## ACCELERATED FAILURE TIME MODEL CURE RATE
1) Liduina Asih Primandari, Henny Pramoedyo, 2) Rahma Fitriani
1) Mahasiswa S2 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Brawijaya Malang
2) Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam  Universitas Brawijaya Malang

## ABSTRAK
Accelerated Failure Time (AFT) adalah metode yang digunakan untuk mengetahui hubungan antar peubah yang mempengaruhi  waktu survival .  Metode  ini  diperluas  dengan  menggunakan  model cure  rate .  Model cure  rate digunakan  apabila  data survival terbagi  menjadi  dua  kelompok  pasien  yaitu susceptible dan immune .  Pasien dikatakan susceptible apabila pasien mengalami kejadian yang diamati (kematian) dan dikatakan immune apabila pasien tersebut masih hidup pada akhir penelitian. Model AFT dengan penambahan model cure rate diterapkan dalam  3  sebaran  yakni  sebaran  Eksponensial,  Weibull  dan  Log  –  Logistik  kemudian  diaplikasikan  untuk mengetahui  hubungan  antara  usia  pasien  (Y 1 )  dan  waktu  menunggu  hingga  memperoleh  donor  (Y 2 )  terhadap waktu survival pasien  penerima  sumsum  tulang  belakang  (X).  Berdasarkan  hasil  penelitian,  diperoleh kesimpulan  bahwa  model  AFT  parametrik  dapat digabungkan  dengan  model cure  rate dengan  terlebih dahulu membentuk fungsi survival dari model AFT parametrik. Model AFT parametrik dengan penambahan model cure rate hanya dapat digunakan apabila waktu survival terbagi menjadi dua kelompok pasien, yakni susceptible dan immune .  Penambahan  model cure  rate memberikan  tambahan  informasi,  yakni  dapat  diketahui  pula  proporsi individu  yang  masih  hidup  (tersensor)  dalam  kasus  ini.  Informasi  ini  dapat  berguna  untuk  mengetahui keefektifan dari pengobatan yang telah dilakukan.
Kata kunci: Accelerated Failure Time , model cure rate , eksponensial, Weibull, Log - Logistik
Analisis survival adalah  suatu  metode yang  berhubungan  dengan  waktu,  mulai  dari time  origin atau start  point sampai  dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end point . Dengan kata lain, analisis survival memerlukan data  yang  merupakan  waktu survival individu. Dalam bidang kesehatan, data ini diperoleh dari suatu  pengamatan  terhadap  sekelompok  atau beberapa  kelompok  pasien  yang  menderita suatu  penyakit  tertentu  untuk  diamati  dan dicatat waktu terjadinya kegagalan hidup setiap individu  (Collet,  2003).  Kegagalan  yang dimaksud  adalah  kematian  pasien  karena penyakit,  keadaan  sakit  yang  terulang  kembali setelah  pengobatan,  atau  munculnya  penyakit baru.  Karakteristik  yang  membedakan  analisis survival dengan  analisis  statistika  lain  yakni adanya  penyensoran  yang  terjadi  karena keterbatasan peneliti dalam melakukan penelitian.  Penyensoran  adalah  pengamatan yang tidak lengkap.
Lee  (2003)  menyatakan, analisis survival dapat  dilakukan  dengan  dua  metode,  yaitu metode nonparametrik dan parametrik. Beberapa metode analisis survival nonparametrik  yang  sering  digunakan  adalah metode life  table atau  Kaplan  Meier.  Metode nonparametrik  ini  digunakan  apabila  populasi yang  diamati  bersifat  homogen  dan  tidak  dapat digunakan  untuk  mengetahui  hubungan  antar peubah  yang  berkaitan  dengan  waktu survival .
Oleh  karena  itu  perlu  digunakan  analisis regresi.  Akan  tetapi,  apabila  analisis  regresi diterapkan  pada  data survival ,  akan  timbul beberapa  masalah.  Pertama,  waktu survival tidak  menyebar  normal.  Kedua,  data  tersensor akan menjadi data hilang pada peubah penjelas. Metode  alternatif  untuk  menggantikan  analisis regresi  pada  data survival adalah  Cox Proporsional Hazard (PH).
Karena tidak memerlukan asumsi sebaran tertentu, model Cox Proporsional Hazard sering digunakan. Seiring perkembangan ilmu pengetahuan,  ditemukan  alternatif  model  PH, yakni  model Accelerated  Failure  Time (AFT). Qi (2009) membandingkan model PH parametrik  dengan  model  AFT  parametrik  dan menyimpulkan  bahwa  model  AFT  lebih  baik dibandingkan model PH, karena dapat memberikan informasi lebih baik.
Venkatesan  (2012)  membahas  model AFT  yang  diperluas  dengan  model frailty . Beberapa  penelitian  dalam  bidang  kesehatan seringkali mengasumsikan populasi yang diamati  bersifat  homogen.  Homogenitas  yang dimaksudkan  adalah  pasien  dianggap  memiliki kondisi  fisik  yang  sama  untuk  setiap  tingkatan usia.  Hal  ini  tidak  dapat  dibenarkan,  karena pasien  berusia  muda  akan  memiliki  kondisi fisik  lebih  baik  daripada  pasien  berusia  tua, sehingga  pengaruh  pengobatan  yang  diberikan kepada  mereka  juga  akan  berbeda.  Beberapa
penelitian  tidak  dapat  menggunakan  asumsi bahwa pengobatan  memberikan pengaruh sama terhadap  pasien  karena  terdapat  heterogenitas dalam  populasi.  Misal,  dalam  suatu  penelitian, pasien  dibagi  menjadi  beberapa  kelompok berdasarkan usia atau tingkat stadium penyakit. Hal ini akan memperkecil keheterogenan dalam populasi.
Selain  model frailty dikenal  juga  model cure  rate. Model cure  rate digunakan  apabila populasi  terdiri  dari  dua  tipe  pasien,  yakni susceptible dan immune .  Model  AFT  tidak hanya  dapat  diperluas  dengan  penambahan model  frailty,  tetapi  juga  dapat  diperluas dengan  penambahan  model cure  rate. Oleh karena  itu,  pada  penelitian  ini  penulis  ingin mengembangkan model AFT parametrik dengan penambahan perluasan model cure rate .
Model  AFT  parametrik  yang  akan  diteliti menggunakan  sebaran  Eksponensial,  Weibull dan Log-logistik.
Rumusan  masalah  dalam  penelitian  ini adalah  bagaimana  mendapatkan  model  AFT eksponensial,  Weibull  dan  Log  –  logistik  yang diperluas  dengan  model cure  rate serta menerapkannya  pada  waktu survival pasien penerima transplantasi sumsum tulang.
Untuk membatasi ruang lingkup penelitian, model AFT parametrik yang dibahas adalah  AFT  eksponensial,  AFT  Weibull  dan AFT Log – logistik yang kemudian dikembangkan  dengan  penambahan  model model cure  rate. Data  dalam  penelitian  ini adalah  waktu survival ,  usia  dan  waktu menunggu  hingga  memperoleh  donor  dari pasien penerima transplantasi sumsum tulang.
Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan model AFT eksponensial,
Weibull  dan  Log  –  logistik  yang  diperluas dengan  model cure  rate serta  menerapkannya pada waktu survival pasien penerima transplantasi sumsum tulang.

## Sumber Data
Dalam penelitian ini akan digunakan data sekunder,  yakni  waktu survival 38  pasien  yang memperoleh transplantasi sumsum tulang (Klein,  1950).  Variabel  yang  terdapat  dalam data tersebut antara lain:
a. Waktu  hingga  terjadi  kematian  (hari), dilambangkan dengan X
b. Indikasi kematian (meninggal atau hidup) 1 – meninggal
0 – hidup
c. Usia pasien  (tahun), dilambangkan  dengan Y 1 d. Waktu  menunggu  hingga  memperoleh donor (hari), dilambangkan dengan Y 2

## METODE
Analisa  data  menggunakan software Minitab. Langkah – langkah dalam memperoleh model  AFT  parametrik  dengan  penambahan model cure rate adalah sebagai berikut:
1. Membentuk fungsi survival untuk individu ke-i.
2. Membentuk fungsi survival untuk populasi.
3. Membentuk  model  umum  AFT  dengan penambahan model cure rate .
4. Asumsikan  waktu survival mengikuti sebaran eksponensial:
a. Pendugaan parameter sebaran eksponensial b. Menghitung  banyaknya  pasien  yang masih hidup
c. Menghitung  banyaknya  pasien  yang meninggal
d. Menghitung nilai p
e. Membentuk  model  AFT  eksponensial dengan penambahan model cure rate
5. Asumsikan  waktu survival mengikuti sebaran Weibull a.Pendugaan parameter sebaran Weibull
b. Menghitung  banyaknya  pasien  yang masih hidup
c.Menghitung  banyaknya  pasien  yang meninggal
d. Menghitung nilai p
e.Membentuk model AFT Weibull dengan penambahan model cure rate
6. Asumsikan  waktu survival mengikuti sebaran Log – Logistik
a.Pendugaan  parameter  sebaran  Log  - Logistik
b. Menghitung  banyaknya  pasien  yang masih hidup
c.Menghitung  banyaknya  pasien  yang meninggal
d. Menghitung nilai p
e.Membentuk  model  AFT  log  –  logistik dengan penambahan model cure rate

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini menghasilkan suatu persamaan  baru  yaitu  model  AFT  parametrik dengan penambahan model cure rate .
Tabel 1 Model AFT Parametrik dengan Penambahan Model Cure Rate ebaran Model AFT dengan penambahan model cure rate Eksponensial Weibull Log – Logistik
Waktu survival untuk pasien penerima transplantasi  sumsum  tulang  belakang,  X i, dianggap  mengikuti  sebaran  eksponensial. Model  log  –  linier  untuk  peubah  acak    X i , adalah
di mana μ, σ dan α adalah parameter yang tidak diketahui  sedangkan  y 1 adalah  nilai  peubah acak Y 1 , yaitu usia pasien (tahun) dan y 2 adalah nilai  peubah  acak  Y 2 ,  yaitu  waktu  menunggu hingga memperoleh donor (hari).
Tabel 2 Model AFT Parametrik dengan Penambahan Model Cure Rate setelah Dilakukan Pendugaan Parameter pada Kasus Transplantasi Sumsum Tulang
Waktu survival dianggap mengikuti sebaran: Eksponensial
Weibull Log – logistik

## Pembahasan
Pada  kasus  ini,  jumlah  pasien  meninggal lebih  banyak  daripada  jumlah  pasien  yang masih hidup  dengan nilai .
Sehingga  apabila  terdapat  100  pasien  yang menerima  transplantasi  sumsum  tulang,  hanya 39  pasien  yang  akan  mengalami  kesembuhan. Oleh  karena  itu  perlu  dikembangkan  metode penyembuhan yang lainnya untuk meningkatkan jumlah pasien yang hidup setelah pengobatan dilakukan.
Nilai bernilai negatif artinya, bertambahnya usia pasien akan membuat waktu survival pasien  semakin  menurun.  Hal  ini disebabkan  oleh  semakin  menurunnya  stamina dan  ketahanan  hidup  pasien  pada  usia  lanjut. Sementara  itu  nilai bernilai  positif,  artinya waktu survival pasien  dipengaruhi  oleh  waktu
menunggu hingga memperoleh donor, meskipun pengaruhnya sangat kecil.

## KESIMPULAN
Model AFT parametrik dapat digabungkan  dengan  model cure  rate. Hal  ini dilakukan  dengan  terlebih  dahulu  membentuk fungsi survival dari  model  AFT  parametrik. Fungsi survival tersebut  kemudian  menjadi fungsi survival awal  pada  model cure  rate. Model  AFT  parametrik  dengan  penambahan model cure rate hanya dapat digunakan apabila waktu survival terbagi  menjadi  dua  kelompok pasien,  yakni susceptible dan immune .  Model AFT  parametrik  dapat  digunakan  untuk mengetahui  pengaruh  peubah  penjelas  (dalam kasus  ini  adalah  usia  pasien  dan  waktu menunggu hingga memperoleh  donor) terhadap waktu survival pasien  penerima  transplantasi
sumsum. Penambahan model cure rate memberikan  tambahan  informasi,  yakni  dapat diketahui  pula  proporsi  individu  yang  masih hidup (tersensor) dalam kasus ini. Informasi ini dapat  berguna  untuk  mengetahui  keefektifan dari pengobatan yang telah dilakukan.
Pada  penelitian  kasus  pasien  yang memperoleh  transplantasi  sumsum  tulang, diperoleh bahwa waktu survival pasien penerima  transplantasi  sumsum  akan  semakin menurun dengan bertambahnya usia pasien. Hal ini  disebabkan  oleh  semakin  menurunnya stamina  dan  ketahanan  hidup  pasien  pada  usia lanjut.  Sementara  itu,  waktu  menunggu  hingga memperoleh  donor  memberikan pengaruh  yang sangat  kecil  tehadap  peningkatan  waktu survival pasien.  Selain  itu,  jumlah  pasien  yang meninggal  lebih  besar  daripada  jumlah  pasien yang  masih  hidup,  sehingga  dapat  disimpulkan bahwa  perlu  dilakukan  penelitian  lebih  lanjut untuk mengetahui pengobatan yang lebih baik.

## SARAN
Pada  penelitian  ini  masih  belum  dapat diketahui  model  AFT  yang  lebih  baik,  apakah dengan penambahan model cure rate atau tanpa penambahan  model cure  rate .  Oleh  karena  itu disarankan  untuk  peneliti  selanjutnya  untuk meneliti  metode  untuk  pemilihan  model  yang lebih baik.

## DAFTAR PUSTAKA
Collet,  D.  2003. Modelling  Survival  Data  In Medical  Research .  Chapman  &  Hill. London.
Iachine,  I.  2007. Basic  Survival  Analysis. Biostatistik-Basale Begreber . http://www.biostat.sdu.dk/courses/e02/ba salebegreber/bbsure01sm.pdf Tanggal akses: 11 November 2012. Jenkins, S.P. 2005. Survival Analysis .
http://www.chestnut.org/li/downloads/tra ining_memos/survivalanalysis.pdf
Tanggal akses: 10 November  2012.
Kannan,  N.,  Debasi,  K.,  Nair,P.  dan  Tripatih, R.C.  2010. The  Generalized  Exponential Cure  Rate  Model  with  Covariates .
Journal of Applied Statistics 37 (2): 1625
– 1636.
Klein, J. P. 1995. Survival Analysis: Techniques for  Censored  and  Truncated  Data . Springer-Verlag. New York. Kleinbaum,  D.G.  dan  Klein,  M.  2005. Survival Analysis: A Self-Learning Text . Springer- Verlag. New York.
Lee,  E.T.  dan  Wang,  J.W.  2003. Statistical
Methods for Survival
Data  Analysis .
John Wiley and Sons, Inc. New Jersey.
Qi,  J.  2009. Comparison  of  Proportional
Hazards  and  Accelerated  Failure  Time
Models. Thesis. Department of Mathematics  and  Statistics  University  of Saskatchewan. Venkatesan,  P.  dan  Ramon  T.T.  2012. Accelerated  Failure  Time  Frailty  Model in Survival Analysis . International Journal of Science and Technology 2 (2).