Vol. 4, No.1, 39-42,  Juli  2007
Teorema Limit Pusat Linberg-Levy Pada Kasus Multivariate
Georgina M. Tinungki 

## Abstrak
Jika  kita  berhadapan  dengan  keadaan  yang  mana  dalam  suatu  fungsi  padat  peluang  fungsi distribusinya  diketahui  dengan  tepat,  namun  sesungguhnya  sering  kita  hanya  mengetahui sedikit  sekali  malahan  tidak  sama  sekali  tentang  distribusi  yang  melatar  belakangi  sample. Dalam pendekatan statistika, apabila sebagian atau tidak ada keterangan tentang f.d. Teorema Limit  Pusat  (TPL)  merupakan  hasil  yang  utama  dari  semua  bidang  matematika,  dan terapannya  yang  muncul  dalam  seluruh  statistika  yang  bersifat  teori    maupun  terapan. Teorema ini akan dibuktikan untuk kasus yang sederhana dan bentuk yang lebih umum.
Kata  Kunci :  fungsi  padat  peluang,  fungsi  distribusi,  matriks  varian-kovarian, teorema limi pusat.

## 1.  Landasan Teori
Teorema limit pusat merupakan salah satu hasil statistika yang paling dipusat (sehingga paling  penting),  karena  jangkauannya  paling  jauh  baik  dari  segi  teori  maupun  terapannya  dan merupakan sumbangan moderen yang utama tidak hanya untuk statistika tetapi juga untuk semua matematika,  kecantikan  dan  terapannya,  yang  dapat  memudarkan  hasil  gabungan  dari  aljabar, analisis, topologi, dan matematika terapan klasik.  Keberuntungan kita karena dapat mempelajari dalam  bentuk  modern,  langsung  tapi  umum  dalam  angagapannya  sehingga  sederhana  dalam penerapannya.    Beberapa  sifat  kekonvergenan  campuran  (yakni  konvergen  dalam  peluang  dan distribusi campuran) yang melatar belakangi pembahasan ini.
Sebagai ilustrasi dapat terlihat pada gambar berikut
δ                    δ
μ=E(X) Misalkan n Z Z ,..... 1 barisan  peubah  acak  dengan  distribusi  bersama  (untuk  n≥1)  didefinisikan pada  ruang  sample  Ώ  yang  sama.    Misalkan Z peubah  acak  yang  lain  didefinikan  pada  ruang sampel  yang  sama.    Yang  dimaksud  dengan Z n menuju  (atau  konvergen)    ke Z dapat  terlihat pada definisi berikut ini:
 Staf pengajar  pada Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin  Makassar email: ina_matematika@yahoo.co.id
Definisi 1.
Z n dikatakan  menuju  (atau  konvergen)  ke Z dengan  peluang  1  jika   1 lim     Z Z P n n ,  ini disebut konvergen hampir pasti  atau konvergen hampir dimana-mana atau konvergen kuat Definisi 2.
Z n dikatakan menuju (atau konvergen) ke Z dalam peluang Z Z p n   ( ) jika untuk setiap ε > 0 0 ) ( lim       Z Z P n n
(ini disebut konvergen stokastik, atau konvergen dalam ukuran atau konvergen lemah)

## Teorema Limit Pusat
Misalkan ,.... , 2 1 X X peubah  acak  bebas  yang  berhingga  yang  berdistribusi  identik  dengan   ) ( i X E dan  Var  ( X 1 )  =  σ 2 >    0  (keduanya  berhingga).    Maka  untuk  semua z )      z jika n   , dy e z n X X P z y n                 2 2 1 1 2 1 ) ( ... ) (    

## Bukti :
Untuk  pembuktian  ini  digunakan  fungsi  pembangkit  momen,  sehingga  perlu  dimisalkan bahwa  fungsi  ini  ada.    Tetapi,  pada  dasarnya  bukti  dari  baris  perbaris  sama  dan  dapat digunakan  dengan  memakai  fungsi  kepadatan  sebagai  gantinya,  karena  pengandaian (anggapan)  yang  tertera  pada  teorema  merupakan  syarat  yang  cukup  agar  teorema  berlaku, walaupun memerlukan  anggapan agar keabsahan berlaku, sehingga diperoleh
) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( t n t n t n n i n i x x x x                    = n n x t i          ) ( )    = n x n t i                        
= n n t o n t X E n t X E                  2 2 2 2 2 1 1 ! 2 ) ( ! 1 ) ( 1      = n n t o n t               2 2 2 2 1 1  = n n n t no t       
      
        2 2 2 2 1 1 
 , 2 1 2 t e jika  n  

## 2.  Pembahasan

## Teorema TPL Linberg-Levy Multivariate
Misalkan ,.... , 2
1 X X peubah  acak  p  yang  bebas  dan  berdistribusi  identik,  masing-masing dengan vector rataan   ) ( i X E dan matriks variansi-kovariansi  .  Maka limit distribusi dari :
n X X X n ) ( .... ) ( ) ( 2 1          adalah  normal  p-peubah  acak ) ,...., ( 1 n X X X  berdistribusi  normal  (multivariate)
) , (   N dengan              n    . . 1
Suatu vector dengan n unsure  bilangan real dan
                    nn n n n n          .... . . . .... .... 2 1 2 22 21 1 12 11
adalah sembarang matriks definit positif pasti yang simetris berukuran nxn dengan unsur bilangan real bila [dimisalkan ] )' ,...., ( 1 n x x x  ) ( )' ( 2 1 2 / 1 ) 2 ( 1 ) (           x x n x e x f
Untuk semua vektor x yang berupa bilangan nyata, dengan rataan 0 dan matriks varian-kovarian yang sama  .
Syarat TLP Linberg.
Misalkan ,.... , 2 1 X X peubah  acak, X i mempunyai  fungsi  distribusi F i (.)  dengan
i X E   ) ( dan Var ( X i ) = 2 i  Misalkan :
) .... ( ) ( .... ) ( ) ( 2 2 1 2 2 1 1 n n n n X X X Y              

## Georgina M. Tinungki
Syarat Linberg berlaku, jika untuk setiap t > 0 yang tetap, jika n  
2 1 2 * 2 1 * 1 ...... ) ( ....... ) ( n n n n X E X E            0      ;  untuk i = 1,2,......    5 . 0 2 2 1 )) ..... ( , 1 0 * n i i t X bila i X        
(1) Jika syarat Lindeberg berlaku , maka ) 1 , 0 ( N Y d n   (2) Jika ) 1 , 0 ( N Y d n   dan 0 .... , .... 2 2 1 2 2 2 1        n n n     
maka syarat Lindeberg berlaku.
Syarat-syarat  yang  pada  dasarnya  perlu  dan  cukup  agar  limitnya  berdistribusi  normal  untuk peubah acak bebas yang rataan dan variannya semuanya ada.  (Dikatakan pada dasarnya karena jika limit dibagian (2) di langgar, limitnya masih berdistribusi normal tidak baku- yakni distribusi normal dengan varian yang tidak satu.  Juga dalam keadaan rataan dan variannya tidak ada, hasil yang terkadang tetap berlaku jika n diganti dengan besaran lainnya.

## Daftar Pustaka:
[1]. E.J.  Dudewicz    &  S.N.  Mishra,  1988,  “ Modern Mathematical Statistics”, John  Wiley  & Sons, Ltd . Inc.
[2]. Robert Hogg  & Craig, 1995, “ Introduction to Mathematical Statistics”, Printice Hall,fifth edition.