## SIFAT-SIFAT SCALING DALAM PERSAMAAN DIFUSI NON-LINIER DAN PENERAPANNYA DALAM MASALAH TRANSPORT AIR DI DALAM TANAH TAK JENUH AIR (Scaling Properties in the Non-Linear Diffusion Equation and Its Application to the Problem of Water Transport in Water Unsaturated Soils)

## Lutfi Rohman
Jurusan Fisika FMIPA Universitas Jember Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia Email: elrohman2@gmail.com
Abstract. In this work, we investigate the scaling properties related to the nonlinear fractional diffusion equations and indicate the possibilities to the applications of these equations  to  simulate  the  water  transport  in  unsaturated  soils.  Usually,  the  water transport in soils with anomalous diffusion, the dependence of concentration on time ( t ) and distance ( x ) may be expressed in term of a single variable given by q q t x /   .  In particular, for q = 1/2 the systems obey Fick’s law and Richards’ equation for water transport. We show that a generalization of Richards’ equation via fractional approach can incorporate the above property.
Keywords: sifat scaling , persamaan Diffusi Non-linear, transport air dalam tanah MSC 2020: 34A08

## 1. Pendahuluan
Pada  dekade  yang  lampau  kita  dapat  mencermati  perkembangan  penggunaan  persamaan kalkulus fraksional untuk menggambarkan berbagai system dalam bidang teknik, fisika dan keuangan.  Dalam bidang fisika material, persamaan diffusi fraksional telah digunakan untuk menggambarkan anomali proses diffusi dalam amorphous semikonduktor [1], polymer [2], film komposit  heterogen  [3]  dan  media porous [4].    Dalam  bidang  teknik,  persamaan fraksional derivative telah  digunakan  untuk  menggambarkan  model viscoelastis ,  yang merupakan model mekanika klasik umum [5].  Dalam bidang pasar uang, asumsi gaussian untuk  distribusi  peluang  pengembalian  telah  diperluas  dengan  penggunaan  asumsi  non- gaussian dan pendekatan fraksional derivative , sebagai studi empiris [6].
Dalam bidang hidrologi, deskripsi transport air di dalam tanah, dalam kolom horisontal, telah digunakan persamaan diffusi non-linear [7], sebagai berikut:
             x D x t    1 (1)
Sifat-Sifat Scaling dalam Persamaan Difusi Non-Linier dan Penerapannya ...... Rohman, L.
Persamaan ini menghadirkan sebuah scaling konsentrasi yang bergantung kepada waktu t dan jarak x yang diberikan oleh persamaan:
  2 / 1 2 / 1 t x    (2)
Ini juga disebut dengan variabel Boltzmann dalam hukum Fick.  Dan persamaan (1) di atas dalam term 2 / 1  dapat dituliskan kembali menjadi,
          2 / 1 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2        d d D d d d d (3)
Dalam penelitian yang telah dilakukan oleh beberapa peneliti dalam beberapa jenis tanah: silt loam Kolombia, silt loam Hesperia, sandy loam Hesperia, dan campuran silty clay loam dan kaolinite-sand Salkum, telah diamati terjadinya penyimpangan terhadap persamaan (2) [8], sehingga kebergantungan konsentrasi terhadap waktu t dan jarak x [9] dituliskan kembali menjadi bentuk:
  q q t x    (4)
dimana q dapat lebih besar atau lebih kecil dari 1/2.  Untuk hukum scaling umum (persamaan 4),  yang  didasarkan  pada  persamaan  diffusi  non-linear,  terdapat  beberapa  asumsi  yang berkaitan dengan persamaan (1), yaitu: koefisien persamaan diffusi diasumsikan mempunyai kebergantungan eksplisit terhadap jarak yang diberikan oleh     D x  [9], sedangkan dalam literatur lain [10] koefisien diffusi diasumsikan mempunyai kebergantungan secara eksplisit terhadap    D t m 1 2  , dimana m adalah kontanta positif.  Sesungguhnya dua asumsi tersebut adalah sebuah fenomenologi yang memungkinkan untuk memperoleh hukum scaling dalam persamaan (4). Salah satu cara lain untuk memperoleh hukum scaling yang mungkin dapat dilakukan adalah dengan menggunakan pendekatan fraksional.   Turunan  fraksional  dapat didefinisikan  dalam  bentuk  integral,  dan  hasil  ini  berhubungan  dengan  efek  memori  saat mengerjakan persamaan differensial yang diterapkan dalam sistem fisika secara komputasi. Dalam  proses  stochastik,  turunan  fraksional  berhubungan  dengan  sistem  alamiah  non- markovian.

## 2. Metodologi
Metode dari penelitian yang dilakukan adalah menganalisa dan menemukan solusi analitik dari persamaan diffusi fraksional non-linear.Penelitian ini juga menginvestigasi sifat scaling yang bergantung terhadap waktu dan jarak, dalam persamaan diffusi fraksional non-linear.
Untuk melakukan hal di atas, akan diterapkan definisi Riemann-Lioville dan Caputo untuk turunan fraksional.  Sebenarnya masih banyak definisi yang lain untuk turunan fraksional [12],  namun  definisi  Riemann-Lioville  dan  Caputo  yang  paling  sering  digunakan  dalam literatur.
Berdasarkan uraian dalam pendahuluan, persamaan diffusi  fraksional  non-linear, dengan scaling yang  bergantung  waktu  dan  jarak,  memungkinkan  untuk  digunakan  dalam menggambarkan  transport  air  dalam  tanah  saat  kehadiran  efek  memori  diperhitungkan. Untuk itu, akan dijelaskan lebih lanjut tentang peristiwa transport air ini.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## Persamaan Diffusi Fraksional Non-Linear dan Scaling
Beberapa sistem fisika dibangun strukturnya secara intrinsik dengan beberapa relasi scaling fundamental .    Pengetahuan  ini  membawa  kepada  model  analisa  baru  dari  sebuah  sistem. Dalam  sebuah  sistem  fisika  diindikasikan  bahwa  kuantitas-kuantitas  yang  meliputi  relasi scaling lebih banyak yang berhubungan secara rigid , walaupun terjadi perubahan parameter dari sistem.  Sebagai contoh adalah Sistem transport air dalam tanah yang digambarkan oleh persamaan  (1),  yang  berhubungan  dengan  bergantungnya  konsentrasi  terhadap  jarak  dan waktu, persamaan (3).  Propagator fraktal dalam sierpinski gasket juga menghadirkan sebuah scaling yang bergantung pada jarak dan waktu dalam bentuk asimtotik [11].  Sebuah contoh lain yang menghadirkan relasi scaling ditunjukkan oleh potensial Gibbs dalam wilayah titik kritis [13].
Untuk  menginvestigasi  relasi  scaling  dari  persamaan  diffusi  fraksional  non-linear  ini digunakan  pendekatan  terhadap  definisi  Riemann-Lioville  dan  Caputo  pada  turunan fraksional sebagai berikut:
                 z n n n z RL d z f dz d n z f D 0 1 1       (5)
dan
                 z n n z C d z f n z f D 0 1 1       (6)
dimana,
   z RL D mengindikasikan Operator Riemann-Lioville dan
   z C D mengindikasikan Operator Caputo
Dan dua definisi operator tersebut dihubungkan oleh ekspresi berikut:
                z f z f D z f D k n k k z C z RL 1 1 0 0            , (7)
dimana,
                  0 , 0 0 , 1 z z z z    (8)
Pertama,  akan  dijelaskan  turunan  fraksional  Riemann-Lioville  terhadap  jarak  yang diterapkan ke dalam persmaan (1):
    1 0 ,                  x D D t x RL (9)
Pada persamaan ini, dengan   D D    , telah digunakan pada studi anomali diffusi untuk L’evy  flight. Sedangkan  untuk       D D  telah  dipelajari  dalam  [14].    Melalui generalisasi variable scaling , persamaan (4), yang diperoleh dari persamaan (9) dihasilkan persamaan berikut:
               x q q d x D x d d t q 0 1 1           (10)
dengan memasukkan variabael q t u /   ke dalam persamaan (10) dihasilkan:
              q RL q q d d D D d d q q          (11)
dengan,      1 / 1 q .    Terlihat,  persamaan  (9)  dapat  diekspresikan  sebagai  fungsi generalisasi  relasi scaling (persamaan  (4)).    Perlu  dicatat,  untuk 1   ,  telah  me recover variable boltzman.
Untuk  Operator  Caputo  terhadap  jarak,  dapat  juga  digunakan  prosedur  yang  sama.    Dan hasilnya adalah sama dengan persamaan (11), yaitu:
              q C q q d d D D d d q q          (12)
dengan,      1 / 1 q .    Sedangkan,  untuk  turunan  fraksional  terhadap  waktu,  dapat dijelaskan bahwa Operator Caputo beraksi pada sisi sebelah kiri persamaan (1),
    1 0 ,                  x D x D t C (13)
Persamaan ini telah digunakan dalam studi anomali diffusi untuk wilayah subdiffusive [11].
Dengan  memasukkan  q t x u   1 ke  dalam  persamaan  (13)  dan  menggunakan  variable persamaan (4) diperoleh:
                    q q q q u q d d D d d t du u t q             
2 0 1 1 1 (14)
bila disetting q 2   , diperoleh:
             q q t C q d d D d d O          (15)
(perlu  dicatat:  bahwa  singularitas  yang  didekati  dalam  variabel
 q t x u   1 untuk t  0 tidaklah membuat tidak berlakunya integrasi dari persamaan (13), dikarenakan fakta bahwa limit  yang  menghubungkan  integral  cenderung  kepada  nilai  yang  sama.)  Bagaimanapun, persamaan (14) adalah valid untuk t >0.  Relasi scaling persamaan (4) yang berhubungan dengan  persamaan  (13)  juga  dibenarkan  oleh  hasil  analitik  yang  telah  diperoleh  dalam penelitian [11].  Sebuah pengamatan terhadap integral pada sisi sebelah kiri persamaan (14) tidaklah  mewakili  definisi  biasa  dari  turunan  fraksional  persamaan  (5)  disebabkan  fakta bahwa variabel  bergantung kepada q  dan variabel integrasi u .  Untuk alasan tersebut maka diterapkan operator    t C O yang dimasukkan ke    t C D .
Untuk  Operator  Riemann-Lioville  yang  beraksi  terhadap  waktu  pada  sisi  sebelah  kiri persamaan  (1),  hubungan  persamaan  fraksional  terhadap  variabel scaling persamaan  (4), telah diberikan oleh:
                            q q q q RL q q q d d D d d O du u       
             0 1 2 1 2 2 1 (16)
dimana, 2 /   q .  Sedangkan untuk sisi kanannya persamaan (1),  dapat digantikan oleh Operator Caputo yang beraksi terhadap waktu pada sisi sebelah kiri persamaan (13), lihat referensi  [11].  Hubungan persamaan fraksionalnya adalah:
                              t x x t RL d t D t x D D t 0 1 1             (17)

## Transport Air di dalam Tanah dan Persamaan Diffusi Fraksional
Seperti  yang  sudah  dijelaskan,  beberapa  transport  air  di  dalam  tanah  pada  kolom  tanah horisontal, telah dapat disimulasikan oleh persamaan (1) dan relasi scaling persamaan (2). Namun, relasi scaling dalam persamaan (2) tidaklah menghasilkan hasil yang sesuai dengan eksprimen [9, 10].  Untuk itu, sekarang akan dijelaskan bentuk generalisasi dari persamaan (1) yang telah dijelaskan dalam [10] dengan koefisien diffusi yang bergantung waktu, yaitu:
              x D t x t      (18)
dimana,
 adalah parameter real
 adalah kandungan air volumetrik
Secara  khusus,  persamaan  (18)  untuk    nilai
  D D
   dan 2    ,  dijelaskan  oleh Batchelor,  telah digunakan untuk mensimulasikan aliran turbulen [15].  Untuk transport air dalam tanah, kondisi perbatas ( boundary conditions ) seringkali dipilih sebagai berikut [7]:
0 , , 0    t x i   (19)
0 , , 0 0    t x   (20)
dimana, i  adalah kandungan air mula-mula sepanjang kolom tanah
0  adalah konstanta kandungan air pada x=0
Persamaan  (18)  berhubungan  dengan  relasi scaling (persamaan  (4)),  dan  juga  telah digunakan  untuk  mensimulasikan  data attenuasi  sinar  single-energy  gamma untuk  tanah Salkum bertekstur silty clay loam [10].
Sekarang,  akan  diterapkan  cara  lain  untuk  menganalisa    persamaan  (18)  dalam pembandingan dengan persamaan fraksional (persamaan (17)).  Pengintegralan persamaan (18) terhadap waktu didapatkan:
                 t x x d D x t x 0 1 1 0 , ,          (21)
konstanta      1 dijelaskan  dalam  perjanjian.    Dengan  memasukkan  variabel u t   
,dihasilkan:
                    t x x d u t D x t x 0 1 1 0 , ,         (22)
Bila dilakukan penurunan terhadap waktu diperoleh:
                   t x x d u t D t t 0 1 1        (23)
Ini sangat menarik untuk dicatat bahwa persamaan tersebut mirip dengan persamaan (17) namun tidak sama.  Dalam persamaan (23), variabel  bergantung pada x, t dan u , sedangkan pada  persamaan  (17)  variabel  bergantung  hanya  kepada x dan  .    Secara  operasional dikatakan  bahwa  denominator  integral    persamaan  (17),   t ,  berjalan  dari  nol  ke t. Sedangkan denominator integral dari persamaan (23), u t    , berjalan dari  nol ke t .  Jadi, ini  merupakan  fenomena  kebalikan  satu  sama  lain.    Persamaan  (17)  dan  persamaan  (23) adalah sama untuk satu kasus khusus, yaitu jika numerator integral dari persamaan ini adalah symmetris dengan relasinya terhadap titik t/2 untuk semua t sesaat. Generalisasi persamaan (1) telah dijelaskan dalam [9], dengan koefisien diffusi yang bergantung terhadap jarak:
                    x D x x J x t      (24)
dimana,  J  adalah  fluks.    Secara  khusus,  persamaan  (24),  bila   D D
   dan 3 /
4    , dijelaskan  oleh  Richardson,  telah  digunakan  untuk  mensimulasikan  aliran  turbulen  [16]. Persamaan (9) dapat diperoleh dari persamaan (24) dengan mempertimbangkan kontribusi mula-mula dari fluks.
Seharusnya perlu dipahami bahwa kompleksitas dari struktur tanah tidaklah dapat dijelaskan dalam deskripsi transport air dalam tanah melalui persamaan diffusi.  Dalam deskripsi ini dijelaskan perubahan porositas media dan kerapatan bulk ( bulk density ), dan sistem yang dikategorikan sebagai berikut [10]: (1) media berpori yang rigid dengan kerapatan bulk yang tidak berubah. (2) Media berpori semirigid dengan kerapatan bulk yang tidak berubah. (3)
media berpori swelling dengan kerapatan bulk yang berubah.  Kategori pertama seringkali digambarkan oleh persamaan (1) dengan koefisien diffusi  yang hanya bergantung kepada kandungan  air  volumetrik,  .    Untuk  kategori  kedua  dan  ketiga,  dengan  kemungkinan perubahan struktur media berpori dan kerapatan bulk, deskripsi dari sistem ini yang mungkin adalah dengan persamaan (18), (24) atau persamaan diffusi fraksional non-linear dalam teks di atas dengan menggunakan lebih banyak fungsi diffusivitas yang kompleks.  Perlu dicatat bahwa persamaan diffusi fraksional yang bergantung waktu dengan nilai 2 /   q adalah lebih kecil dari 1/2, sedangkan untuk persamaan diffusi fraksional  yang bergantung jarak dengan nilai      1 / 1 q adalah lebih besar dari 1/2, untuk 0 <  < 1.  Kedua persamaan tersebut dapat di cover oleh range 0 < q < 1.

## 4. Kesimpulan
Telah  diinvestigasi  bahwa  terdapat  relasi scaling (persamaan  (4))  untuk  beberapa  tipe persamaan  diffusi  fraksional  non-linear.    Relasi  ini  mengindikasikan  bahwa  persamaan diffusi fraksional non-linear memainkan aturan yang penting dalam transport air di dalam tanah  saat Scaling  Boltzmann telah  rusak.    Juga  telah  ditunjukkan  bahwa  seringkali persamaan diffusi non-linear yang bergantung waktu (persamaan (18)) berhubungan dekat dengan persamaan diffusi fraksional non-linear (persamaan (17).
Diharapkan penelitian ini dapat memberikan kontribusi terkait dengan beberapa aspek yang berhubungan dengan persamaan diffusi fraksional dan juga persamaan antara fraksional dan persamaan diffusinya.

## Daftar Pustaka
[1] U. Even et al., 1984. Phys. Rev. Lett. 52, 2164.
[2] H. Schiessel and A. Blumen. 1995. Fractals 3, 483.
[3] G. Niklasson and C. Granqvist, 1986. Phys. Rev. Lett. 56, 256.
[4] B. Berkowitz and H. Scher, 1997. Phys. Rev. Lett. 79, 4038.
[5] F.  Mainardi,  1997.  Fractional  calculus:  Some  basic  problems  in  continuum  and statistical mechanics, in  : A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continnum Mechanics, Springer-Verlag, NY, 1997, 291 – 348.
[6] N. Laskin, 2000. Physica A 287, 482.
[7] D. Hillel, Soil and Water, 1997. Physical Principles and Processes, 1971, Academic Press, NY.
Sifat-Sifat Scaling dalam Persamaan Difusi Non-Linier dan Penerapannya ...... Rohman, L.
[8] H.Ferguson and W.R. Gardner, 1963. Soil Sci. Soc. Am. Proc. 27, 243.
[9] Y. Pachepsky and D. Timlin, J. 198.  Hydrology 204, 98.
[10] I.A. Guerrini and D. Swartzendruber, 1992. Soil Sci. Soc. Am. J. 56, 335.
[11] R. Metzler and J. Klafter, 2000. Phys. Rep. 339, 1.
[12] K. B. Oldham and J. Spannier, 1974. The fractional calculus (Academic Press, NY).
[13] H.  B.  Callen,  Thermodynamics  and  an  introduction  to  thermostatistics  (second edition), 1985, John Wiley & Sons.
[14] M. Bologna, C. Tsallis and P. Grigolini, 2000. Phys. Rev. E 62, 2213.
[15] J. Klafter, A. Blumen and M. F. Shlesinger 35, 3081 (1987).
[16] G. Boffetta and I. M. Sokolov, 2002. Phys. Rev. Lett. 88, 094501.