## MODEL ALIRAN PANAS
DALAM STERILISASI MAKANAN ATAU MINUMAN KALENG
Choirul Annisa IAIN Kediri choirul.annisa@iainkediri.ac.id

## Abstrak
Salah  satu  cara  pengawetan  makanan  atau  minuman  kaleng  adalah  dengan  sterilisasi konvensional.  Makanan  atau  minuman  kaleng  dipanaskan  pada  suhu  tinggi  dalam waktu  tertentu  secara  konduksi.  Pemberian  panas  sesuai  dengan  persamaan ∆𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇 , yang berarti kalor (∆𝑄) berbanding lurus dengan masa zat (𝑚) , kenaikan suhu
(∆𝑇) dan  kalor  jenis  zat (𝑐) .  Pemodelan  aliran  panas  dan  nilai  sterilisasi  dalam sterilisasi  makanan  atau  minuman  kaleng  ini  dapat  dilakukan  dengan  menurunkan persamaan panas secara konduksi dari kontrol volume dengan model balok. Kemudian ditransformasikan ke dalam koordinat tabung sehingga menjadi 1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 1 𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑟2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 . Sedangkan  nilai  sterilisasi  pada  waktu 𝑡 didefinisikan  dengan, 𝐹 0 (𝑡) = ∫ 𝑒𝑥𝑝 { 𝑙𝑛(10) 𝜎𝑟𝑒𝑓 𝑇(0,0, 𝑡) − 𝑇 𝑟𝑒𝑓 } 𝑑𝑡 𝑡1 𝑡0 .
Kata Kunci: Model Aliran Panas, Sterilisasi, Nilai Sterilisasi.

## Abstract
One  of  the  way  to  preserve  canned-food  and  canned-beverage  is  by  conventional sterilization.  Canned-food  or  canned-beverage  are  heated  at  high  temperature  in  a certain time in conduction. The given heat will be equal to can temperature change. It represents  equation  of ∆𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇 which  means  the  heat  of (∆𝑄) is  proportional  to mass  of  substance (𝑚) ,  temperature  rise (∆𝑇) ,  and  substance  specific  heat (𝑐) . Furthermore, the heat equation in Cartesian coordinate is transformed into cylindrical coordinate. So, the heat equation becomes 1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 1 2𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑟2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 . With 𝑇(0,0, 𝑡) is the temperature  at  the  center  of  the  can,  the  sterilization  value  at  time 𝑡 is  defined  by,
𝐹 0 (𝑡) = ∫ 𝑒𝑥𝑝 { 𝑙𝑛(10) 𝜎𝑟𝑒𝑓 𝑇(0,0, 𝑡) − 𝑇 𝑟𝑒𝑓 } 𝑑𝑡 𝑡1 𝑡0 .
Key Word: Heat Flow Model, Sterilization, Sterililization Value

## PENDAHULUAN
Salah  satu  caranya  agar  makanan  atau minuman  kaleng  bertahan  lama  adalah  dengan pemberian  bahan  pengawet  atau  proses pengawetan
lainnya.
Pada dasarnya pengawetan  makanan  atau  minuman  dapat dilakukan  dengan  berbagai  macam  cara,  yaitu penambahan bahan pengawet kimia,
penggaraman, pengasapan, pendinginan/ pembekuan,  pengeringan,  dan  pemanasan (pasteurisasi,  sterilisasi).  Dalam  hal  makanan atau  minuman  dalam  kaleng,  maka  cara pengawetan  yang  dilakukan  adalah  dengan
sterilisasi  menggunakan  panas.  Peristiwa pemberian  panas  pada  sterilisasi  sangat  erat kaitannya dengan
perpindahan panas. Perpindahan  panas  (heat  transfer)  adalah  ilmu yang  mempelajari  perpindahan  energi  yang terjadi  karena  adanya  perbedaan  temperatur diantara  benda  atau  material.  Semakin  banyak panas  yang  diberikan,  akan  sebanding  dengan perubahan  suhunya.  Sesuai  dengan  persamaan ∆𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇 , yang berarti kalor ( ∆𝑄 ) berbanding lurus dengan masa zat ( 𝑚 ), kenaikan suhu ( ∆𝑇 ) dan kalor jenis zat ( 𝑐 ).
Persamaan  diferensial  adalah  persamaan yang  memuat  turunan  dari  satu  atau  beberapa fungsi.  Persamaan  diferensial  sering  digunakan untuk  membangun  model  matematika  yang dapat  membantu  mempermudah  penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Pada masalah sterilisasi  makanan  atau  minuman  ini, keterkaitan  suhu,  waktu  dan  pertumbuhan mikroorganisme  dapat  dibawa  ke  dalam  model matematis  dengan  menggunakan  asumsi– asumsi  tertentu,  setelah  itu  dicari  solusi  dari permasalahan tersebut. Secara umum persamaan  panas  dimensi  tiga  dapat  disusun dari  hukum  kekekalan  energi  dan  persamaan konduksi 𝑞𝑥 𝐴 = −𝑘 𝑑𝑇 𝑑𝑥 .  Kemudian  persamaan tersebut  ditransformasikan  dari  koordinat kartesius  ke  koordinat  tabung.  Sehingga diperoleh  model  dari  aliran  panas  dalam sterilisasi makanan atau minuman kaleng.
Tujuan  dari  tugas  akhir  ini  adalah memperoleh  model  matematika  dari  proses perambatan  panas  dan  nilai  sterilisasi  pada makanan  atau  minuman  kaleng  agar  dapat diselesaikan  secara  numerik  dengan  metode beda  hingga.  Adapun  manfaat  yang  dapat diperoleh  dari  penulisan  tugas  akhir  ini  adalah
secara  teoritis,  kajian  ini  dapat  digunakan sebagai pengetahuan tentang model matematika dari  proses  perambatan  panas  pada  sterilisasi makanan  atau  minuman  kaleng  yang  dapat diselesaikan  dengan  metode  beda  hingga.  Serta sebagai pengetahuan tentang model matematika dari  nilai  sterilisasi  pada  sterilisasi  makanan atau minuman kaleng.

## Kerangka Konsep
Kerangka  konsep  digunakan  untuk membantu  memahami  konsep-konsep  yang akan  dibahas.  Berikut  ini  adalah  kerangka konsep  dari  kajian  Penerapan  Diferensial  pada Model Aliran Panas dalam  Sterilisasi Makanan atau Minuman Kaleng.
Gambar 1. Bagan Kerangka Konsep
Kekekalan Energi
Kreith,  dkk  (2011)  menjelaskan  bahwa, asas  dari  kekekalan  energi  untuk  kontrol volume,  luas  permukaan  area A ,  ketebalan ∆x , dapat dinyatakan sebagai: Nilai konduksi panas ke  dalam  kontrol  volume  +  Nilai  pembangkit
panas  di  dalam  kontrol  volume  =  Nilai konduksi panas yng keluar  dari kontrol volume + Nilai energi yang tersimpan di dalam kontrol volume.
Gambar 2. Kontrol Volume untuk Konduksi Dimensi Satu dalam Koordinat Persegi
Hukum Termodinamika I
Hukum  Termodinamika  I  terkait  dengan kekekalan  energi.  Hukum  ini  menyatakan perubahan  energi  dalam  dari  suatu  sistem termodinamika  tertutup  sama  dengan  total  dari jumlah  energi  kalor  yang  disuplai  ke  dalam sistem  dan  kerja  yang  dilakukan  terhadap sistem. Hermawan (2001) menjelaskan, Hukum Dasar  termodinamika  I  dapat  dilihat  dari pernyataan ∮ dQ = ∮ dW yang  artinya  bahwa energi  hanya  dapat  dirubah  bentuk,  atau  lebih dikenal dengan hukum kekekalan energi.
Hukum Termodinamika II
Pernyataan  senada  mengenai  Hukum Kedua  Termodinamika  pun  disampaikan  oleh Kevin-Planck  dalam  Termodinamika  Teknik Moran  dan  Shapiro  (2004),  bahwa  tidak mungkin untuk sistem apa pun dapat beroperasi dalam  siklus  termodinamika  dan  memberi sejumlah  kerja  neto  ke  sekelilingnya  sementara
menerima energi melalui perpindahan kalor dari suatu reservoir termal tunggal. Reservoir termal itu  sendiri  adalah  suatu  bentuk  sistem  khusus yang selalu tetap pada suatu temperatur konsten walaupun  energi  ditambahkan  atau  dikurangi melalui perpindahan kalor.

## Perpindahan Panas
Perpindahan panas adalah pengangkutan dari  energi  termal  yang  digerakkan  oleh  termal yang tidak setimbang di dalam sebuah medium atau  media  yang  saling  berdekatan.  (Kaviany, 2011)
Konduksi
Welty, dkk (2004) memperkirakan bahwa persamaan  dasar  yang  digunakan  untuk menggambarkan  proses  konduksi  ini  serupa dengan  persamaan  yang  digunakan  dalam transfer  momentum  molekuler.  Persamaan semacam  itu  dinyatakan  pertama  kali  oleh
Fourier dalam bentuk qx A = −k dT dx .
Dimana, q x adalah  laju  transfer  panas  dalam arah x (watt atau Btu/jam)
A adalah luas daerah yang tegak lurus terhadap arah aliran panas (m 2 atau ft 2 ) ,
dT dx adalah  gradien  temperatur  dalam
arah x ( K m atau °F ft ) ,
k adalah konduktivitas termal ( W (m∙K) atau Btu jam ft 2 °F) .
Rasio qx A menyatakan  fluks  panas dalam arah x , ( W m2 atau Btu jam ft 2 ) .
Model aliran panas dalam sterilisasi makanan atau minuman kaleng Choirul Annisa
Kondisi Perpindahan Panas Umumnya kondisi
berlangsungnya proses perpindahan panas ada dua macam yaitu keadaan  Tunak  dan  keadaaan  Tak  Tunak.  Jika temperatur  dari  sebuah  material  bukan merupakan  sebuah  fungsi  waktu,  maka  sistem berada  dalam  keadaan  tunak  dan  tidak menyimpan energi apapun. Persamaan konduksi  keadaan  tunak  tiga  dimensi  dalam koordinat  persegi  adalah ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 + ∂2T ∂z2 + qG k = 0 .  Jika  sistem  dalam  keadaan  tidak  ada  panas yang  dihasilkan  di  dalamnya,  persamaan selanjutnya disederhanakan menjadi ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 +
∂2T ∂z2 = 0 . (Kreith,dkk: 2011)
Tidak  seperti  kondisi  tunak,  proses kondisi  tak  tunak  dimulai  dan  diakhiri  oleh periode  waktu  yang  terbatas,  bukan  waktu  tak terbatas yang kontinyu. Dengan kata lain bahwa tidak  seperti  sistem  yang  tunak,  sistem  dengan kondisi  tak  tunak  dapat  berubah  karena  waktu. Sistem  tak  tunak  pada  sebagian  keadaan  mirip dengan sistem tertutup, kecuali massa di dalam batas-batas sistem tersebut tidak konstan selama proses berlangsung. (Cengel, 2008)
Persamaan Panas
Persamaan  panas  merupakan  bentuk khusus  dari  persamaan  difusi  yang  merupakan sebuah  persamaan  diferensial  parsial  yang memodelkan  berbagai  proses  fisik  khususnya aliran  panas  secara  konduksi  pada  suatu medium. Dalam medium 3 dimensi, persamaan panas adalah sebagai berikut:
𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑘 ( 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑧 2 )
Di  mana 𝑢 adalah  fungsi  terhadap 𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧 yang  merepresentasikan  temperature pada  setiap  waktu 𝑡 pada  posisi (𝑥, 𝑦, 𝑧) dalam medium.  Konstanta k merepresentasikan thermal  conductivity  yang  bergantung  pada material  yang  digunakan  sebagai  medium. Konstanta 𝑘 juga  sering  disebut  sebagai koefisien difusi. (Made, dkk: 2010)
Masalah Nilai Batas
Baiduri  (2004)  menjelaskan,  bentuk  dari persamaan panas yang memuat syarat awal dan syarat batas antara lain:
1. Persamaan panas dengan syarat batas tetap homogen (temperatur 0° )
Persamaan diferensial parsial:
𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝛽 𝜕2𝑢 𝜕2𝑡 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
Syarat batas:
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 𝑡 > 0
Syarat awal:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 0 < 𝑥 < 𝐿 2. Persamaan  panas  dengan  syarat  batas terisolasi
Persamaan diferensial parsial:
𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝛽 𝜕2𝑢 𝜕2𝑡 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
Syarat batas:
𝜕𝑢 𝜕𝑥 (0, 𝑡) = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 (𝐿, 𝑡) 𝑡 > 0
Syarat Awal:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 0 < 𝑥 < 𝐿
Metode Beda Hingga
Jika  sumbu  x  dibagi  ke  dalam  beberapa interval ∆x = h yang  panjangnya  sama,  maka absis titik kisi i dapat ditulis dalam bentuk x i = i∆x = ih ,  sehingga  bentuk  pendekatan  turunan pertama di titik kisi i menjadi:
1. Pendekatan beda maju: 𝑑𝑓(𝑥𝑖) 𝑑𝑥 = 𝑓𝑖+1−𝑓𝑖 ℎ
2. Pendekatan beda mundur: 𝑑𝑓(𝑥𝑖) 𝑑𝑥 = 𝑓𝑖−𝑓𝑖−1 ℎ
3. Pendekatan beda pusat: 𝑑𝑓(𝑥𝑖) 𝑑𝑥 = 𝑓𝑖+1−𝑓𝑖−1 2ℎ Dengan 𝑓 𝑖 − 𝑓(𝑥 𝑖 ), 𝑥 𝑖 = 𝑖∆𝑥 = 𝑖ℎ, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 − 1 .  Persamaan 𝑑𝑓(𝑥0) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0) ℎ ditambah dengan persamaan 𝑑𝑓(𝑥0) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥0)−𝑓(𝑥0−ℎ) ℎ dan x = i∆x , maka diperoleh untuk pendekatan  turunan  kedua  yaitu 𝑑2𝑓(𝑥𝑖) 𝑑𝑥2 =
𝑓𝑖−1−2𝑓𝑖+𝑓𝑖+1
ℎ2 .
Transformasi  Koordinat  Kartesius  ke  Koordinat Tabung
Mursita  (2008)  menjelaskan,  hubungan antara  koordinat  cartesius  dengan  koordinat tabung akan dijelaskan dari gambar berikut.
Gambar 3. Transformasi Koordinat Kartesius ke Koordinat Tabung
Dalam  perhitungan  integral  rangkap  tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan transformasi  dari  kordinat  kartesius  ke  dalam
koordinat  tabung.  Bila  dalam  koordinat kartesius 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan dalam koordinat tabung 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝑧) maka diperoleh hubungan berikut :
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 , 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑧 = 𝑧
Proses  Sterilisasi  Makanan  atau  Minuman Kaleng
Sterilisasi  komersial  adalah  pemanasan pada  suhu  di  atas  100ºC,  umumnya  sekitar 121,1ºC  menggunakan  uap  air  selama  waktu tertentu  dengan  tujuan  untuk  memusnahkan spora  bakteri  patogen  termasuk  spora  bakteri Clostridium  botulinum.  Dengan  demikian, sterilisasi  komersial  ini  hanya  digunakan  untuk mengolah  bahan  pangan  berasam  rendah  di dalam  kaleng,  seperti  kornet,  sosis  dan  sayuran dalam  kaleng.  Susu  steril  dalam  kotak  adalah contoh  produk  lain  yang  diproses  dengan sterilisasi  komersial.  Tetapi  prosesnya  berbeda dengan  pengalengan.  Susu  steril    dalam  kotak diproses dengan pengemasan aseptik yaitu suatu proses  sterilisasi  kontinyu  dimana  produk  susu yang  sudah  disterilkan  dimasukkan  ke  dalam kotak  yang  sudah  disterilkan  dalam  lingkungan yang juga aseptik (Hariadi: 2010).
Nilai Sterilisasi
Menurut  penelitian  yang  dilakukan Schaschke dalam bukunya yang berjudul “Food Processing”  (2011),  mikro-organisme  juga sangat sensitif terhadap panas. untuk menghancurkan  mikro-organisme  diperlukan energi termal yang cukup untuk mematikannya. Energi  ini  harus  terus  ada  selama  periode  yang diperlukan  untuk  memastikan  kematian  dari mikro-organisme  tersebut.  Penelitian  secara
empirik  telah  membuktikan  bahwa  pada temperatur  yang  konstan,  banyak  mikro- organisme yang akan mati mengikuti kombinasi suhu  dan  waktu.  Tingkatan  waktu  dari perubahan  jumlah  organisme  yang  terjadi  pada perlakuan  panas  tersebut  dapat  dideskripsikan secara matematika yaitu 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = −𝑘𝑁 .

## PEMBAHASAN
Model  Matematika  dari  Proses  Perpindahan Panas  pada  Sterilisasi  Makanan  atau  Minuman Kaleng
Volume  dari  benda  dimensi  tiga  tersebut adalah ∆𝑉 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ,  maka  massanya  adalah ∆𝑚 = 𝜌∆𝑉 = 𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧 .  Dengan  rumus 𝑞 = 𝑚𝑐𝑇 ,  jumlah  panas  benda  ini  pada  waktu 𝑡 adalah: 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) = 𝑐∆𝑚𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑐𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (3.1).
Rata-rata  perubahan  jumlah  panas  pada  benda ini diberikan oleh:
𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑐𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑇 𝜕𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (3.2).
Sesuai  dengan  prinsip  kekekalan  energi, yaitu  rata-rata  perubahan  panas  harus  sama dengan  aliran  panas  yang  masuk  dikurangi aliran  panas  yang  keluar.  Dan  karena persamaan  konduksi  pada  benda  dimensi  tiga diturunkan  dari  bentuk  kontrol  volume  model balok  yang  tepi-tepinya ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 dan  masing- masing  sejajar  dengan  sumbu 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 ,  maka didapatkan  rata-rata  perubahan  panasnya adalah
Gambar 4. Kontrol Volume Model Balok
dQ dt = q x + q y + q z − q x+∆x − q y+∆y − q z+∆z (3.3).
Dari  persamaan  konduksi  untuk  panas yang dihantarkan ke dalam dan ke luar volume, dan  mensubstitusikan  Persamaan  (3.2)  ke Persamaan (3.3), maka didapatkan
𝑐𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝑘 [ 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 ] (3.4).
Kemudian  persamaan  tersebut  dibagi  dengan ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 dan  karena  konduktifitas  termalnya konstan, Persamaan (3.4) dapat ditulis
1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 = 𝛻 2 𝑇 (3.5),
dengan 1 𝛼 = 𝑐𝜌 𝑘 adalah  konstanta  penghamburan panas  dan 𝛻 2 𝑇 adalah  Operator  Laplace  untuk 𝑇 .  Persamaan  (3.5)  inilah  yang  disebut  sebagai persamaan  panas  pada  benda  dimensi  tiga dalam koordinat kartesius.
Selanjutnya jika 𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
ditransformasikan  dalam  koordinat  tabung 𝑇 = 𝑇(𝑟, 𝜃, 𝑧, 𝑡) seperti  terlihat  pada  Bab  II  Gambar
2.6  dengan  transformasi  sebagai  berikut 𝑥 = 2𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦 = 2𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑧 = 𝑧 .
Gambar 5. Transformasikan dalam Koordinat Tabung Didapatkan  Persamaan  panas  pada  benda dimensi tiga dalam koordinat tabung, yaitu:
1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 1 2𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑟2 + 1 𝑟2 𝜕2𝑇 𝜕𝜃2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 (3.6).
Karena  kaleng  yang  diperlihatkan  berbentuk tabung yang bersifat simetris, perambatan panas tidak bergantung pada besar sudut θ . Maka 𝜕𝑇 𝜕𝜃 =
0 dan 𝜕2𝑇 𝜕𝜃2 = 0 , dan didapatkan:
1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 1 2𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑟2 + 𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 (3.7).
Persamaan (3.23) adalah persamaan panas pada kaleng  berbentuk  tabung,  dengan T(r, z, t) adalah  suhu  di  dalam  kaleng (𝑟, 𝑧) dengan 𝑟(0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅) dan 𝑧(0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿) saat waktu 𝑡 .
Untuk  melengkapi  pemodelan,  maka perlu  ditambahkan  syarat  awal  dan  syarat batasnya sebagai berikut.
Syarat  Awal,  Pada  waktu  awal  (initial  time) 𝑡 𝑖 suhu  awalnya  adalah 𝑇 0 , 𝑇(𝑟, 𝑧, 𝑡 𝑖 ) = 𝑇 0 , ∀𝑟 ∈ [0, 𝑅) , ∀𝑧 ∈ [0, 𝐿] (3.8).
Syarat Batas,  Suhu  di  sekeliling,  dasar  dan  atas kaleng diberikan oleh,
𝑇[𝑟, 𝑧, 𝑡] = 𝑇(𝑡) ∀𝑧 ∈ [0, 𝐿]
𝑇[𝑟, 0, 𝑡] = 𝑇(𝑡) ∀𝑟 ∈ [0, 𝑅]
(3.9)
𝑇[𝑟, 𝐿, 𝑡] = 𝑇(𝑡) ∀𝑟 ∈ [0, 𝑅] .
Sedangkan  suhu  di  sepanjang  sumbu 𝑧 ,  yaitu 𝑟 = 0 tidak berubah terhadap 𝑟 , 𝜕𝑇 𝜕𝑟 = 0 , 𝑟 = 0 ∀𝑧 ∈ [0, 𝐿] (3.10).
Dengan  metode  beda  hingga  penyelesaian persamaan  panas  dimensi  tiga  pada  sterilisasi makanan atau minuman kaleng adalah
𝑇 𝑖,𝑗,𝑘+1 = 𝑇 𝑖,𝑗,𝑘 + 𝛼∆𝑡 ∆2𝑟 [𝑇 𝑖−1,𝑗,𝑘 − 2𝑇 𝑁,𝑗,𝑘 ] + 𝛼∆𝑡 ∆2𝑧 [𝑇 𝑖,𝑗+1,𝑘 − 2𝑇 𝑖,𝑗,𝑘 + 𝑇 𝑖,𝑗−1,𝑘 ] .
Persamaan  Matematika  dari  Nilai  Sterilisasi pada Sterilisasi Makanan atau Minuman Kaleng
Nilai sterilisasi diberikan dengan besaran F 0 .  Jika c(r, z, t) adalah  konsentrasi  dari mikroorganisme pada lokasi (r, z) saat waktu t , maka c(0,0, t) adalah konsentrasi
mikroorganisme pada pusat kaleng saat waktu t . Seperti  yang  disebutkan  sebelumnya,  nilai sterilisasi  dilihat  pada  pusat  kaleng,  karena tempat  ini  lebih  lambat  menerima  panas. Sehingga  memiliki  kemungkinan  konsentrasi mikroorganisme yang masih hidup terbesar.
Karena  laju  inaktifasi  mikroba  selama waktu pemanasan pada suhu tertentu dN dt = −kN , dimana N adalah  jumlah  mikroba  sisa  yang masih  hidup  setelah  pemanasan. N disubstitusi dengan c(0,0, t) , sehingga kehancuran mikroorganisme  akibat  pemanasan  diberikan oleh persamaan diferensial berikut ini, dc(0,0,t) dt = kc(0,0, t) .
Nilai  sterilisasi  saat  waktu 𝑡 didefinisikan dengan,
F 0 (t) = ∫ exp { ln(10) σref T(0,0, t) − T ref } dt t1 t0 (3.11).
Jika  diberikan  derajat  sterilisasi  F  yang diinginkan  pada  akhir  waktu,  maka  harus dipastikan
F 0 (t f ) ≥ F
(3.12),
begitu pula untuk suhu akhir harus T(0,0, t f ) ≤ T f
(3.13).
Dan konsentrasi dari mikroorganisme saat akhir waktu harus memenuhi:
c(0,0, t f ) ≤ c 0 exp {− ln(10) βref F} (3.14).

## PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  pembahasan  tentang model  aliran  panas  dalam  sterilisasi  makanan atau minuman kaleng, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut.
1) Model  Matematis  Persamaan  Panas
Dimensi  Tiga  pada  Sterilisasi  Makanan atau Minuman Kaleng
1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 1 𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟 + 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑟 2 + 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑧 2
dengan 𝑇(𝑟, 𝑧, 𝑡) adalah  suhu  bahan makanan  di  dalam  kaleng (𝑟, 𝑧)
dengan 𝑟(0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅) dan 𝑧 (− 𝐿 2 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿 2 ) saat waktu 𝑡 .
a) Syarat Awal dan Syarat Batas
Syarat Awal
T(r, z, t i ) = T 0 , ∀r ∈ [0, R) , ∀z ∈ [− L 2 , L 2 ] .
Syarat Batas
Suhu di sekeliling, dasar dan atas kaleng
diberikan oleh, T[r, z, t] = T(t) ∀z ∈ [− L 2 , L 2 ] T [r, − L 2 , t] = T(t) ∀r ∈ [0, R] T [r, L 2 , t] = T(t) ∀r ∈ [0, R] .
Sedangkan  suhu  di  sepanjang sumbu z ,      yaitu r = 0 tidak  berubah terhadap r , ∂T ∂r = 0 , r = 0 , ∀z ∈ [− L 2 , L 2 ] .
b) Penyelesaian  Persamaan  Panas  Dimensi Tiga  pada  Sterilisasi  Makanan  atau Minuman Kaleng
Dengan  menggunakan  metode  beda hingga, didapatkan penyelesaiannya
𝑇 𝑁,𝑗,𝑘+1 = 𝑇 𝑁,𝑗,𝑘 + 𝛼∆𝑡 ∆ 2 𝑟 [𝑇 𝑁−1,𝑗,𝑘 − 2𝑇 𝑁,𝑗,𝑘 ] + 𝛼∆𝑡 ∆ 2 𝑧 [𝑇 𝑁,𝑗+1,𝑘 − 2𝑇 𝑁,𝑗,𝑘 + 𝑇 𝑁,𝑗−1,𝑘 ]
untuk 𝑖 = 2,3,4, … , 𝑁 − 1 , 𝑗 = 2,3,4, … , 𝑀 − 1 , 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑃 .
2) Model  Matematis  dari  Nilai  Sterilisasi pada  Sterilisasi  Makanan  atau  Minuman Kaleng
Nilai  sterilisasi  pada  waktu t didefinisikan dengan,
F 0 (t) = ∫ exp { ln(10) σref T(0,0, t) − T ref } dt
t1 t0 . Sedangkan konsentrasi dari mikroorganisme  pada  pusat  kaleng  saat waktu 𝑡 dinyatakan dengan
𝑐(0,0,𝑡) 𝑐 0 =
𝑒𝑥𝑝 {− ln(10) 𝛽 𝑟𝑒𝑓 ∫ 𝑒𝑥𝑝 {ln(10) 𝑇(0,0,𝑡)−𝑇 𝑟𝑒𝑓 𝜎 𝑟𝑒𝑓 } 𝑑𝑡 𝑡 1 𝑡 0 } .
Pembahasan  ini  telah  mengkaji tentang  model  matematis  dari  proses perambatan  panas  dan  nilai  sterilisasi dengan memperhatikan derajat pertumbuhan mikroorganisme dalam makanan  atau  minuman  kaleng.  Namun yang  telah  dibahas  hanya  berlaku  untuk kaleng  makanan  atau  minuman  berbentuk silinder,  kaleng  bersifat  homogen  sehingga konstanta kalor jenis bahan c, konduktifitas suhu  bahan 𝑘 dan  massa  jenis  bahan 𝜌
tidak bergantung terhadap 𝑥 , 𝑦 , dan 𝑧 . Hal ini  berarti  upaya  pemodelan  matematis pada  proses perambatan  panas  dan  nilai sterilisasi  dengan  memperhatikan  derajat pertumbuhan mikroorganisme dalam makanan  atau  minuman  kaleng  masih dapat  dilanjutkan.  Dengan  itu  penulis dapat  menyarankan  pada  pembaca  yang berminat  melakukan  pembahasan  serupa untuk mengkaji pada permasalahan dengan kondisi lebih umum lagi. Beberapa kondisi tersebut diantaranya sebagai berikut.
1) Pemodelan  matematis  dari  proses perambatan panas dan nilai sterilisasi pada kaleng makanan atau minuman yang tidak hanya
berbentuk silinder.
2) Kaleng bersifat tak homogen sehingga konstanta kalor jenis bahan
c,  konduktifitas  suhu  bahan  k  dan massa  jenis  bahan ρ bergantung bergantung terhadap x, y, dan z.
3) Model matematis dari nilai sterilisasi  pada  sterilisasi  makanan atau  minuman  kaleng  saat  waktu 𝑡 pada koordinat (𝑥, 𝑦, 𝑧) atau dengan kata  lain  tidak  hanya  pada  pusat kaleng.
Pembuatan  program  komputasi dari  model  yang  telah  dikaji  pada  kajian ini.

## Daftar Pustaka
Ardian,  Dedik.  2010.  Analisa  Proses  Sterilisasi Makanan  Kaleng.  Skripsi  S1  Teknik. Institute Teknologi Sepuluh Nopember.
Baiduri.  2001.  Persamaan  Diferensial  & Matematika  Model.  Malang:  UMM Press.
Cengel,  Yunus  A.,  2008.  Introduction  to Thermodynamics  and  Heat  Transfer Second  Edition.  USA:  McGraw-Hill Companies. Dinas  Kesehatan  Pemerintah  Kabupaten Sleman, Dinkes. 2001. Materi
Penyuluhan  bagi  Perusahaan  Makanan Industri  Rumah  Tangga.  Sleman: Dinkes.
Hariyadi,  Purwiyatno.  2010.  Sterilisasi  UHT dan  Pengemasan  Aseptik.  Bogor:
Institut Pertanian Bogor.
Hermawan,  Windy  Mitrakusuma.  2001.  Diktat Dasar  Refrigerasi.  Jakarta:  Universitas Gunadarma.
Kaviany,  Massoud.  2011.  Essentials  of  Heat Transfer.  New  York:  Cambridge University Press.
Kreith, Frank, Raj M. Manglik, Mark S. Bohn, 2011. Stamford: Cengage Learning.
Luknanto,  Djoko.  2003.  Model  Matematika Bahan  Kuliah  Hidraulika  Komputasi. Yogyakarta: Universitas Gajah Mada.
Marwan,  H.  2001.  Modul  Termodinamika
Teknik.  Medan:  Universitas  Sumatra Utara.
Moran,  Michael  J.,  Howard  N.  Shapiro.  2000. Fundamental of Engineering Thermodynamics.  Terjemahan  oleh Yulianto  Sulistyo  Nugroho  &  Adi Surjosatyo. 2004. Jakarta: Erlangga.
Muchtadi,  Deddy.  25  Nopember,  2005. Mungkinkah  Makanan  dan  Minuman dalam  Kaleng  tanpa  Bahan  Pengawet.
Suara Pembaruan, hal 11.
Mursita,  Danang.  2008.  Matamatika  Dasar. Bandung:  Sekolah  Tinggi  Teknologi Telkom.
Naga, Dali S. 1991. Fisika: Ilmu Panas. Jakarta: Penerbit Gunadarma.
Parlaungan.  2008.  Pemodelan  Matematika untuk Peningkatan Bermatematika
Siswa  Sekolah  Menengah  Atas  (SMA).
Tesis  S2  Pendidikan  Matematika.
Universitas Sumatra Utara.
Rochmad.  2007.  Persamaan  Diferensial  Bagian
I. Semarang: Universitas Negeri Semarang.
Schaschke,  Carl  J.  2011.  Food  Processing.
Scotland:  Carl  J.  Schaschke  &  Ventus
Publishing ApS.
Verberg,  Dale  &  Edwin  J.  Purcell.  2003. Calculus  8th  Edition  Varberg,  Purcell, Rigdon.  Terjemahan  oleh  I  Nyoman
Susila. 2004. Jakarta: Erlangga.
Welty,  James  R.,  Charles  E.  Wicks,  Robert  E.
Wilson, Gregory Rorrer. 2001. Fundamental of Momentum, Heat, and
Mass  Transfer.  Terjemahan  oleh Gunawan  Prasetio.  2004.  Jakarta: Erlangga.
Wikipedia.  2009.  Keadaan  Tunak,  (on-line), (http://id.wikipedia.org/wiki/Tunak,
diakses 17 Januari 2012).
Zuhair.  2007.  Matematika  IV:  Modul  9
Transformasi Laplace.
Jakarta:
Universitas Mercu Buana.