## APLIKASI  STRUKTUR  GRUP  YANG  TERKAIT  DENGAN KOMPOSISI TRANSFORMASI PADA BANGUN GEOMETRI
Mujiasih a
a Program  Studi  Matematika  Jurusan  Tadris  Fakultas  Tarbiyah  IAIN Walisongo Jl.  Prof. Dr. Hamka  Kampus  II Ngaliyan  Semarang
Telp.(024)7601295    Faks.(024)7615387

## Abstrak
Komposisi transformasi diantaranya meliputi pencerminan dan rotasi. Komposisi transformasi dapat dilak uk an secara aljabar yaitu dengan menggunak an perk alian matrik s -matrik s yang bersesuaian yang mewak ili  masing-masing  transformasi  tersebut.  Suatu  himpunan  yang  beranggotak an  unsur-unsur k omposisi transformasi dapat membentuk  sebuah grup. Hal itu dapat ditunjuk k an melalui tabel cayley k omposisi transformasi.
Dalam k ehidupan sehari-hari sering dijumpai pola-pola seperti pada : lantai k eramik , uk iran Jepara, k ain batik , hiasan dinding, dan lain-lain. Pola-pola tersebut dapat diperoleh melalui transformasi bangun geometri datar, yaitu lingk aran, segitiga, dan tembereng  lingk aran. Bangun-bangun geometri tersebut apabila dik ombinasik an, ak an menghasilk an pola-pola yang indah dan menarik .
Kata kunci : komposisi transformasi, geometri datar, grup

## A. Pendahuluan
Komposisi  bangun  geometri  datar  yang  dibicarakan  dalam  bahasan  di  sini  dibatasi pada  transformasi  yang  berupa pencerminan (refleksi)  dan rotasi (perputaran).  Adapun pencerminan-pencerminan  tersebut  adalah:
1) Pencerminan  terhadap  sumbu  X, dinotasikan  dengan  P 1 = P x ;
2) Pencerminan  terhadap  sumbu  Y, dinotasikan  dengan  P 2 = P y;
3) Pencerminan  terhadap  garis  y = x, dinotasikan  dengan  P 3 = P y = x ; dan
4) Pencerminan  terhadap  garis  y = -x, dinotasikan  dengan  P 4 = P y = -x .
Sedangkan  rotasi  yang  dimaksud  adalah:
i).    Rotasi  berpusat  di  titik  O(0,0),  yakni  titik  potong  sumbu  X  dengan  sumbu  Y,  dengan sudut  putar  sejauh    90 0 berlawanan  arah  dengan  arah  putaran  jarum  jam,  dinotasikan dengan  R + = 0 90 R ;
ii).  Rotasi  berpusat  di  titik  O(0,0),  yakni  titik  potong  sumbu  X  dengan  sumbu  Y,  dengan sudut  putar  sejauh    90 0 searah  dengan  arah  putaran  jarum  jam,  dinotasikan  dengan R = 0 90 R ;
iii).  Rotasi  berpusat  di  titik  O(0,0),  yakni  titik  potong  sumbu  X  dengan  sumbu  Y,  dengan sudut  putar  sejauh   180 0 , dinotasikan  dengan  R 2 = 0 180 R .
` Selain  pencerminan  dan  rotasi  di  atas,  digunakan  pula  rotasi  dengan  sudut  putar  0 0 atau  pencerminan  terhadap  bangun  datar  itu  sendiri,  yang  selanjutnya  disebut  dengan identitas dan  dilambangkan  dengan  “  I  ”.  Dengan  demikian  ada  8  (delapan)  unsur  yang terlibat  dalam  pembahasan  komposisi  transformasi  bangun  geometri  datar  tersebut. Sedangkan  komposisi  transformasi  menggunakan  lambang  “  o  ”  (baca  :  bundaran),  yang diartikan  sebagai  “diteruskan  atau  dilanjutkan  dengan”.  Misalkan  suatu  obyek  lingkaran 1  (L-1)  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x,  menghasilkan  bayangan  lingkaran  2  (L-2) kemudian  dilanjutkan,  bayangannya  diputar  R ,  menghasilkan  bayangan  lingkaran  3 (L-3), maka ungkapan  tersebut  dapat dilambangkan  dengan  :
( R o P 3 )(L-1) =  R  (L-2) = L-3.

## B. Pola-Pola  yang Terjadi  pada  Transformasi  Bangun-Bangun  Geometri Datar
Bangun-bangun  datar  yang  dijadikan  obyek  dalam  melakukan  transformasi  adalah: (a)  lingkaran,  (b)  segitiga,  dan  (c)  tembereng  lingkaran.  Uraian  selengkapnya  sebagai berikut.
a. Lingkaran.
1).   Perhatikan  Gambar  a.1.
Jika  L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x  (P 3 ),  akan  menghasilkan  bayangan  L-2, seperti  tampak  pada Gambar  a.2.
2).   Perhatikan  Gambar  a.3.
Jika  L-1  dicerminkan  terhadap  sumbu  X  (P 1 ),  akan  menghasilkan  bayangan  L-3. Lingkaran  3  (L-3)  dapat  juga  dihasilkan  dari  L-2  diputar  sejauh  90 0 searah  dengan arah  putaran  jarum  jam  dengan  pusat  titik  O(0,0),  yaitu  titik  potong  sumbu  X dengan  sumbu  Y  ( R ).  Dengan  menggunakan  komposisi  transformasi,  maka  dapat dijelaskan  bahwa  :  L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x  (P 3 )  menghasilkan bayangan  L-2,  kemudian  dilanjutkan  dengan  memutar  L-2  sejauh  90 0 searah  dengan arah  putaran  jarum  jam  dengan  pusat  titik  O(0,0)  (R – )  menghasilkan  bayangan berupa     L-3. Dengan  simbol,  uraian  tersebut  dapat dinyatakan  sebagai:
( R o P 3 ) ( L-1) =  R  (L-2) = L-3 = P 1 ( L-1). X Y L-1 L-2 L-3 L-4 L-6 X Y L-1 L-2 L-3 L-4 L-5 X Y L-1 L-2 L-3 L-4 L-5 L-6 L-8 L-7
Gambar  a.4 Gambar  a.5
Gambar  a.6
3).   Perhatikan  Gambar  a.4.
X Y L-1 X Y L-1 L-2 X Y L-1 L-2 L-3 Gambar  a.1 Gambar  a.2
Gambar  a.3
L-4 dapat diperoleh  dari  L-1 dengan  beberapa cara antara  lain  :
(1) L-1  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  90 0 searah  dengan  arah  putaran  jarum jam  atau  dengan  simbol  :  R  (L-1);
(2) L-1  dicerminkan  terhadap  sumbu  X,  menghasilkan  L-3  dan  selanjutnya L-3 dicerminkan  terhadap  garis  y = -x, atau dengan  simbol:
(P 4 o P 1 )( L-1) = P 4 (L-3);
(3) L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x,  menghasilkan  L-2  dan  selanjutnya      L-2 diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  90 0 searah  dengan  arah  putaran  jarum  jam, menghasilkan  L-3,  kemudian  L-3  dicerminkan  terhadap  garis      y  =  -x,  atau dengan  simbol  : (P 4 o  R o P 1 )( L-1) = (P 4 o   R )(L-2) = P 4 (L-3);
4). Perhatikan  Gambar  a.5.
a. L-5 dapat diperoleh  dari  L-1 dengan  beberapa cara, antara  lain  :
(1).  L-1  dicerminkan  terhadap  sumbu  X,  menghasilkan  L-3  dan  selanjutnya  L-3 dicerminkan  terhadap  garis  y  =  -x,  menghasilkan  L-4,  kemudian  L-4 dicerminkan  terhadap  sumbu  Y, atau  dengan  simbol  :
(P 2 o P 4 o P 1 ) ( L-1) = (P 2 o P4)(L-3) =  P 2 (L-4);
(2).  L-1  diputar  dengan  pusat  O  (0,0)  sejauh  90 0 searah  dengan  arah  putaran jarum  jam,  menghasilkan  L-4,  kemudian  L-4  dicerminkan  terhadap  sumbu Y, atau dengan  simbol  : (P 2 o  R ) (L-1) = P 2 (L-4);
(3).  L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x,  menghasilkan  L-2,  kemudian  L-2 diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  180 0 ,  menghasilkan  L-5,  atau  dengan simbol  : (R 2 o P 3 ) ( L-1) = R 2 (L-2).
b. L-6 dapat diperoleh  dari  L-1 dengan  beberapa cara, antara  lain  :
(1) L-1  dicerminkan  terhadap  sumbu  X,  menghasilkan  L-3  dan  selanjutnya  L-3 dicerminkan  terhadap  sumbu  Y, atau  dengan  simbol  :
(P 2 o P 1 ) ( L-1) = P 2 (L-3);
(2) L-1  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  180 0 menghasilkan  L-6,  atau dengan  simbol  :  R (L-1);
(3) L-1  diputar  dengan  pusat  O  (0,0)  sejauh  90 0 searah  dengan  arah  putaran jarum  jam,  menghasilkan  L-4,  kemudian  L-4  diputar  dengan  pusat  O  (0,0)
sejauh  90 0 searah  dengan  arah  putaran  jarum  jam  atau  dengan  simbol  : ( R  o  R ) (L-1);
(4) L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x,  menghasilkan  L-2  dan  selanjutnya L-2 dicerminkan  terhadap  garis  y = -x atau dengan  simbol  :
(P 4 o P 3 ) ( L-1) = P 4 (L-2).
5). Perhatikan  Gambar   a.6.
a. L-7 dapat diperoleh  dari  L-1 dengan  beberapa cara, antara  lain  :
(1) L-1 dicerminkan  terhadap  sumbu  Y, atau  dalam  bentuk  simbol  P 2 (L-1);
(2) L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x,  menghasilkan  L-2  kemudian dilanjutkan,    L-2  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  90 0 berlawanan  arah dengan  arah  putaran  jarum  jam,  atau  dengan  simbol  :
(R + o P 3 ) ( L-1) = R + (L-2);
(3) L-1  dicerminkan  terhadap  sumbu  X,  menghasilkan  L-3,  kemudian diteruskan,  L-3  diputar  dengan  pusat  O  (0,0)  sejauh  180 0 ,  atau  dengan simbol:  (R 2 o P 1 ) ( L-1) = R 2 (L-3);
(4) L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  -x,  menghasilkan  L-5  kemudian diteruskan,  L-5  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  90 0 searah  dengan  arah putaran  jarum  jam,  atau  dengan  simbol  : ( R  o P 4 ) ( L-1) = R  (L-5).
b. L-8 dapat diperoleh  dari  L-1 dengan  beberapa cara, antara  lain  :
(1) L-1  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  90 0 berlawanan  arah  dengan  arah putaran  jarum  jam,  atau  dengan  simbol  : R + ( L-1);
(2) L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x,  menghasilkan  L-2,  kemudian diteruskan,   L-2 dicerminkan  terhadap  sumbu  Y, atau  dengan  simbol  :
(P 2 o P 3 ) ( L-1) = P 2 (L-2);
(3) L-1  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  180 0 ,  menghasilkan  L-6,  kemudian diteruskan,  L-6  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh  90 0 searah  dengan  arah putaran  jarum  jam,  atau  dengan  simbol  : ( R  o R 2 )( L-1) =  R  (L-6);
(4) L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  -x,  menghasilkan  L-5  kemudian diteruskan,  L-5 dicerminkan  terhadap  sumbu  X, atau  dengan  simbol  : (P 1 o P 4 ) ( L-1) = P 1 (L-5).
b.    Segitiga X Y S-1 S-2 X Y S-1 S-2 S-3 S-4 S-5 S-6 S-7 S-8 Gambar  b.1 Gambar  b.2 1). Perhatikan  Gambar   b.1.
Segitiga  siku-siku  1  (S-1)  dicerminkan  terhadap  sumbu  X,  menghasilkan  S-2,  atau dengan  simbol  : P 1 (S-1) = S-2.
2). Perhatikan  Gambar   b.2.
Analog  seperti  contoh  langkah-langkah  yang  dikembangkan  pada  bangun  lingkaran, sebagaimana  ditampilkan  pada  Gambar  a.1  sampai  dengan    Gambar  b.6,  lengkap dengan  uraian  cara-cara  untuk  mendapatkan  bayangannya,  maka  terhadap  segitiga siku-siku  1  (S-1)  dapat  dilakukan  transformasi  (komposisi  pencerminan,  dan  rotasi), sehingga  diperoleh  pola  seperti  terlihat  pada  Gambar  b.2  yang  bersesuaian  dengan pola  lingkaran  seperti  yang  ditampilkan  pada Gambar   a.6.
c. Tembereng  Lingkaran X Y T-1 T-2 X Y T-1 T-2 T-3 T-4 T-5 T-6 T-7 T-8 Gambar  c.1 Gambar  c.2
1). Perhatikan  Gambar   c.1.
Tembereng  lingkaran  1  (T-2)  dicerminkan  terhadap  sumbu  X,  menghasilkan tembereng  lingkaran  2 (T-2), atau dengan  simbol  :  P 1 (T-1) = T-2.
2). Perhatikan  Gambar   c.2.
Analog  seperti  contoh  langkah-langkah  yang  dikembangkan  pada  bangun  lingkaran sebagaimana  ditampilkan  pada  Gambar    a.1  sampai  dengan  Gambar  a.6,  lengkap dengan  uraian  cara-cara  untuk  mendapatkan  bayangannya,  maka  terhadap  tembereng lingkaran  1  (T-1)  dapat  dilakukan  transformasi  (komposisi  pencerminan  dan  rotasi), sehingga  diperoleh  pola  seperti  terlihat  pada  Gambar  c.2  yang  bersesuaian  dengan pola  lingkaran  seperti  yang  ditampilkan  pada Gambar  a.6.

## C. Telaah  Transformasi  (Komposisi  Pencerminan  dan  Rotasi)  Bangun  Geometri Datar Terhadap  Grup.
Untuk  memudahkan  pembahasan  secara  aljabar  tentang  komposisi  transformasi (refleksi  dan  rotasi)  sebagaimana  dijelaskan  pada  bagian  pendahuluan,  maka  8  (delapan) unsur  yang  menjadi  elemen  komposisi  transformasi,  yakni  :  I,  P 1 ,  P 2 ,  P 3 ,  P 4 ,  R + ,  R , dan  R 2 ,  berturut-turut  diwakili  oleh  matriks  ordo  2  x  2,  yang  selengkapnya  dapat diuraikan  sebagai  berikut:
1 0 0 1 I ; 1 0 0 1 P 1 ; 1 0 0 1 P 2 ; 0 1 1 0 P 3 ; 0 1 1 0 P 4 ; 0 1 1 0 R ;   R = 0 1 1 0 ; dan 1 0 0 1 R 2
Dengan  menggunakan  matriks-matriks  yang  mewakili  masing-masing  transformasi tersebut,  komposisi  transformasi  dapat  dilakukan  secara  aljabar  dengan  cara  melakukan perkalian  matriks-matriks  yang  bersesuaian.  Untuk  lebih  jelasnya  dapat  ditampilkan beberapa contoh  sebagai  berikut:
a. L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  x,  menghasilkan  bayangan  L-2,  kemudian diteruskan  dengan  memutar  L-2  sejauh  90 0 searah  dengan  arah  putaran  jarum  jam dengan  pusat  di  titik  O(0,0)  menghasilkan  bayangan  berupa  L-3.  Uraian  tersebut secara simbol  dapat dinyatakan:  ( R o P 3 )(L-1) =  R  (L-2) = L-3 = P 1 (L-1).
Apabila  dijabarkan  dengan  menggunakan  matriks-matriks  yang  mewakilinya,  maka simbol  tersebut  dapat diinterpretasikan  menjadi:
0 1 1 0 0 1 1 0 i i y x = 0 1 1 0 t t y x =  (L-3)  = 1 0 0 1 i i y x ,    i (L-1)
dan   t  (L-3).
Ternyata  ( R  o P 3 )(L-1) = P 1 (L-1), yaitu: 0 1 1 0 0 1 1 0 = 1 0 0 1 .
b.    L-1  dicerminkan  terhadap  sumbu  X  menghasilkan  L-3,  kemudian  diteruskan  L-3 dicerminkan  terhadap  garis  y  =  -x,  menghasilkan  L-4,  kemudian  diteruskan,  L-4 dicerminkan  terhadap  sumbu  Y menghasilkan  L-5, atau  dengan  simbol  :
(P 2 o P 4 o P 1 )( L-1) = (P 2 o P 4 )(L-3) = P 2 (L-4) = L-5.
Komposisi  transformasi  tersebut  sama  dengan  L-1  dicerminkan  terhadap  garis  y  =  - x,  atau  dengan  simbol  P 4 (L-1).  Apabila  dijabarkan  dengan  menggunakan  matriks- matriks  yang  mewakilinya,  maka simbol  tersebut  dapat diinterpretasikan  menjadi:
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 i i y x = 1 0 0 1 0 1 1 0 t t y x = 0 1 1 0 i i y x ,
i (L-1)  dan  t (L-3).
Ternyata  (P 2 o P 4 o P 1 )( L-1) = P 4 ( L-1), yaitu:
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 = 0 1 1 0
c.    L-1  dicerminkan  terhadap  sumbu  X  menghasilkan  L-3,  kemudian  diteruskan,  L-3 dicerminkan  terhadap  sumbu  Y  menghasilkan  L-6,  atau  dinyatakan  dalam  bentuk notasi:  (P 2 o  P 1 )(  L-1)  =  P 2 (L-3).  Dapat  pula  L-1  diputar  dengan  pusat  O(0,0)  sejauh 180 0 , menghasilkan  L-6, atau  dinyatakan  dalam  bentuk  simbol  :  R 2 (L-1).
Apabila  dijabarkan  dengan  menggunakan  matriks-matriks  yang  mewakilinya,  maka simbol  tersebut  dapat diinterpretasikan  menjadi:
1 0 0 1 1 0 0 1
i i y x = 1 0 0 1 t t y x = 1 0 0 1 i i y x ,  i (L-1)  dan  t (L-
3).
Ternyata  (P 2 o P 1 )( L-1) = R 2 (L-1), yaitu: 1 0 0 1 1 0 0 1 = 1 0 0 1 .
Analog  tiga  contoh  di  atas,  dapat  ditampilkan  tabel  Cayley  komposisi transformasi  yang  melibatkan  8  (delapan)  unsur  yang  telah  dipaparkan  di  atas, sebagai  berikut:
Tabel 1 o I P 1 P 2 P 3 P 4 R + R R 2 I I P 1 P 2 P 3 P 4 R + R R 2 P 1 P 1 I R 2 R R + P 4 P 3 P 2 P 2 P 2 R 2 I R + R P 3 P 4 P 1 P 3 P 3 R + R I R 2 P 1 P 2 P 4 P 4 P 4 R R + R 2 I P 2 P 1 P 3 R + R + P 3 P 4 P 2 P 1 R 2 I R R R P 4 P 3 P 1 P 2 I R 2 R +
R 2 R 2 P 2 P 1 P 4 P 3 R R + I
Misalkan G adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur komposisi transformasi  sebagaimana  yang  telah  diuraikan  di  atas, maka:
G =   I, P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R + ,  R , R 2 .
Berdasarkan  Tabel  1 tersebut  di  atas, dapat ditunjukkan  bahwa:
G dengan  operasi  komposisi  transformasi,  memenuhi  sifat-sifat  sebagai  berikut:
a). Tertutup,
b). Assosiatif.
c). Ada elemen  Identitas,  yaitu
1 0 0 1 I
d). Setiap  elemen  G mempunyai  invers,  yakni:
I     inversnya   I,
P 1 inversnya   P 1
P 2 inversnya   P 2
P 3 inversnya   P 3
P 4 inversnya   P 4
R + inversnya    R
R    inversnya   R + , dan
R 2 inversnya   R 2 .
Karena  keempat  sifat  grup  dipenuhi  oleh  G  dengan  operasi  komposisi  transformasi, maka  G adalah  Grup.

## D. Aplikasi  Transformasi  Bangun  Geometri  Datar  yang  Berhubungan  dengan Grup
Pola  sebagaimana  yang  tampak  pada  Gambar  a.6,  b.2,  dan  c.2,  apabila  dipadukan menjadi  satu,  jadilah  suatu  pola  kombinasi  seperti  tampak  pada  tampilan  Gambar  d.1 berikut  ini.
X Y X Y Gambar  d.1
Gambar  d.2
Dalam  kehidupan  sehari-hari,  tidak  begitu  sukar  untuk  mendapatkan  pola-pola seperti  dicontohkan  pada  tampilan  Gambar  d.1.  Pola-pola  seperti  dicontohkan  di  atas dapat  dijumpai,  misalkan:  lantai  keramik,  ukiran  Jepara,  kain  batik,  hiasan  dinding,  dan lain-lain.  Perlu  diketahui  bahwa  bangun-bangun  geometri  datar  yang  dijadikan  bangun dasar  untuk  ditransformasikan  tidak  hanya  lingkaran,  segitiga,  ataupun  tembereng lingkaran  saja.  Banyak  bangun-bangun  geometri  yang  dapat  dipilih  dan  dikombinasikan, sehingga  menghasilkan  pola-pola  yang  indah  dan menarik.

## E. Penutup
Dari  uraian  pada  pembahasan,  kita  dapat  memperoleh  pola-pola  yang  kita  inginkan melalui komposisi transformasi pada bangun geometri datar. Adapun untuk menggambar  pola  pada  kain  batik,  kita  cukup  melukis  sebuah  lingkaran,  sebuah  segitiga, dan  sebuah  tembereng  lingkaran  seperti  tampak  pada  Gambar  d.2  dengan  menggunakan
program  komputer.  Proses  pencerminan  dan  rotasi  Gambar  d.2  untuk  mendapatkan Gambar  d.1  tentunya  dapat  dirancang  dengan  program  komputer  yang  bisa  dikerjakan oleh  programmer.

## Daftar Pustaka
Pandoyo  &  Joko  Moesono,  dkk.  1994, Matematika  3  untuk  SLTP ,  Jakarta,  Balai Pustaka.
Gallian  Joseph  A,  1990, Contemporary  Abstract  Algebra ,  Loxington,  Massachusetts, Toronto,  D.C. Heath  and Company.
Gilbert  William  J,  1976,  Modern  Algebra  With  Applications,  New  York,  John  Wiley and Sons.
Herstein,  1975, Topics  in  Algebra,  New York, John  Wiley  and Sons.