## Nilai Konsentrasi Unsur Paracetamol Dan Kafein Yang Membentuk Sistem Persamaan Taklinear Dengan Metode Broyden

## Ilham Syata
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, ilham.syata@uin-alauddin. ac.id

## Putri Nurrabiah Suriadi
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, nurrabiahputri@gmail.com

## St. Nur Humairah Halim
Universitas Muhammadiyah Makassar,irahumairah08@gmail.com
Abstrak , Tujuan penelitian ini untuk mencari nilai  konstentrasi  unsur  paracetamol  dan kafein.  Langkah-langkah  penelitian  yaitu membentuk model matematika yang berbentuk system persamaan taklinear, menentukan nilai awal, mencari solusi system persamaan taklinear dengan metode broyden, mengulangi iterasi sampai mendapatkan galat yang  kecil.  Hasil  penelitian  diperoleh  nilai konsentasi  yaitu  unsur  paracetamol  sebesar 12713,66  ppm dan  kafein  sebesar  6516,51 ppm
Kata  Kunci :  Konsentrasi  paracetamol  dan kafein, metode Broyden

## 1. PENDAHULUAN
Metode  numerik  adalah  Teknik  untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang  diformulasikan  secara  matematis  dengan cara diskretisasi [1]. Pemakaian metode numerik sangat  banyak  digunakan  karena  mampu menyelesaikan  model  matematika  yang  rumit dan  sulit  diselesaikan  secara  analitik.  Metode numerik  telah  dikembangkan  oleh  ilmuan sehingga  diperoleh  banyak  metode  yang  dapat menyelesaikan kasus yang sama, serta dibutuhkan teknologi khususnya dibidang komputer untuk memudahkan dalam perhitungan.  Metode  numerik  dapat  digunakan dalam banyak bidang seperti matematika, teknik (sipil,  mesin,  elektro,  kimia  dan  sebagainya), kedokteran,  ekonomi,  sosial  dan  bidang  ilmu lainnya  [2,3].  Sistem  persamaan  linear  dan  non linear  dapat  membentuk  model  yang  sangat kompleks dan sulit diselesaikan secara analitik.
Metode  numerik  dapat  digunakan  untuk menyelesaikan  persamaan  linear  dan  non  linear tersebut, baik dalam bentuk aljabar, polynomial ataupun  transcendental,  yaitu  dengan  mencari akar-akar  persamaan  nonlinear  secara  numerik.
Setiap  penyelesaian  numerik  dilakukan  dengan perkiraan  berurutan  (iterasi),  sehingga  setiap hasil  yang  didapat  lebih  teliti  dari  perkiraan sebelumnya.  Dengan  melakukan  sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, maka akan didapat  hasil  perkiraan  yang  mendekati  hasil yang sebenarnya dengan toleransi kesalahan (ε) yang  ditentukan.  Persamaan  non  linear  juga dapat ditemukan pada bidang kimia yaitu untuk melakukan perhitungan terhadap nilai konsentrasi  unsur  kimia  ataupun  yang  lainnya.
Pada  bidang  elektro,  bentuk-bentuk  persamaan nonlinear tersebut salah
satunya diimplementasikan dalam suatu rangkaian listrik. Serta bidang lainnya yang menggunakan bentuk- bentuk  dari  persamaan  nonlinear.  Ada  dua metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan  suatu  persamaan,  yaitu  metode analitik dan metode numerik [[5,7,9].
Metode  analitik  adalah  suatu  metode  yang dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  suatu persoalan  matematika  secara  tepat.  Sedangkan metode numerik adalah suatu metode yang dapat digunakan  untuk  memecahkan  suatu  persoalan matematika dengan pen dekatan numerik [5,7,9]. Metode  analitis  dapat  memberikan  hasil  yang eksak  atau  pasti  dari  suatu  persamaan.  Namun, ternyata banyak terdapat model matematis yang tidak bisa diselesaikan dengan metode analitis.
Misalnya  persamaan  nonlinear  dengan pangkat lebih dari 3 akan sangat rumit bila harus diselesaikan  dengan  metode  analitis.  Dengan kelemahan  yang  dimiliki  oleh  metode  analitik dimana  hanya  model  matematis  tertentu  yang dapat  diselesaikan,  maka  dikembangkanlah penyelesaian  dengan  metode  numerik  untuk dapat  mendekati  penyelesaian  eksak.  Ada beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk  menyelesaikan  suatu  system  persamaan nonlinear,  Salah  satunya  menggunakan  metode
Broyden  [6].  Metode  Broyden  merupakan pengembangan  dari  metode  Secant  untuk variabel yang lebih dari satu.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Matriks
Definisi:
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara  teratur  dalam  baris  dan  kolom  yang membentuk  suatu  persegi  panjang,  serta  termuat diantara sepasang tanda kurung [3]. Secara umum, suatu matriks dituliskan sebagai:
𝐴 = [ 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑚1 … 𝑎 𝑚𝑛 ]
Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, Jika matriks  tersusun  atas  m  baris  dan  n  kolom  maka dikatakan matriks tersebut berukuran (berodo) m x n. penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, Sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan  n  kolom)  adalah 𝐴 𝑚𝑥𝑛 , 𝐵 𝑚𝑥𝑛 dan seterusnya.[4]
Berikut ini beberapa operasi Matriks a. Penjumlahan (addition)
Jika  A  dan  B  adalah  sembarang  dua  matriks yang  ukurannya  sama  maka  jumlah  A+B adalah  matriks  yang  diperoleh  dengan menambahkan  entri-entri  yang  bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
𝑨 = [ 𝑎 𝟏𝟏 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 𝟐𝟏 𝑎 𝟐𝟐 𝑎 𝟐𝟑 𝑎 𝟑𝟏 𝑎 𝟑𝟐 𝑎 𝟑𝟑 ] ; 𝑩 = [ 𝑏 𝟏𝟏 𝑏 12 𝑏 13 𝑏 𝟐𝟏 𝑏 𝟐𝟐 𝑏 𝟐𝟑 𝑏 𝟑𝟏 𝑏 𝟑𝟐 𝑏 𝟑𝟑 ] 𝑨 + 𝑩 = [ 𝑎 𝟏𝟏 + 𝑏 𝟏𝟏 𝑎 12 + 𝑏 𝟏𝟐 𝑎 13 + 𝑏 𝟏𝟑 𝑎 𝟐𝟏 + 𝑏 𝟐𝟏 𝑎 𝟐𝟐 + 𝑏 𝟐𝟐 𝑎 𝟐𝟑 + 𝑏 𝟐𝟑 𝑎 𝟑𝟏 + 𝑏 𝟑𝟏 𝑎 𝟑𝟐 + 𝑏 𝟑𝟐 𝑎 𝟑𝟑 + 𝑏 𝟑𝟑 ]
b. Pengurangan (subtraction)
Jika  A  dan  B  adalah  sembarang  dua  matriks yang  ukurannya  sama  maka  jumlah  A-B adalah  matriks  yang  diperoleh  dengan mengurangkan  entri-entri  yang  bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A
𝑨 = [ 𝑎 𝟏𝟏 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 𝟐𝟏 𝑎 𝟐𝟐 𝑎 𝟐𝟑 𝑎 𝟑𝟏 𝑎 𝟑𝟐 𝑎 𝟑𝟑 ] ; 𝑩 = [ 𝑏 𝟏𝟏 𝑏 12 𝑏 13 𝑏 𝟐𝟏 𝑏 𝟐𝟐 𝑏 𝟐𝟑 𝑏 𝟑𝟏 𝑏 𝟑𝟐 𝑏 𝟑𝟑 ]
𝑨 − 𝑩 = [ 𝑎 𝟏𝟏 − 𝑏 𝟏𝟏 𝑎 12 − 𝑏 𝟏𝟐 𝑎 13 − 𝑏 𝟏𝟑 𝑎 𝟐𝟏 − 𝑏 𝟐𝟏 𝑎 𝟐𝟐 − 𝑏 𝟐𝟐 𝑎 𝟐𝟑 − 𝑏 𝟐𝟑 𝑎 𝟑𝟏 − 𝑏 𝟑𝟏 𝑎 𝟑𝟐 − 𝑏 𝟑𝟐 𝑎 𝟑𝟑 − 𝑏 𝟑𝟑 ]
c. Perkalian Skalar Pada Matriks
Jika  A  adalah  Suatu  matriks  dan  c  suatu scalar,  maka  hasil  kali  cA  adalah  matriks yang diperoleh dengan mengalihkan masing- masing entri dari A oleh c
𝑨 = [ 𝑎 𝟏𝟏 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 𝟐𝟏 𝑎 𝟐𝟐 𝑎 𝟐𝟑 𝑎 𝟑𝟏 𝑎 𝟑𝟐 𝑎 𝟑𝟑 ] → 𝑐𝑨 = 𝑨 = [ 𝑐𝑎 𝟏𝟏 𝑐𝑎 12 𝒄𝑎 13 𝑐𝑎 𝟐𝟏 𝑐𝑎 𝟐𝟐 𝑐𝑎 𝟐𝟑 𝑐𝑎 𝟑𝟏 𝑐𝑎 𝟑𝟐 𝑐𝑎 𝟑𝟑 ] d. Perkalian Dua Matriks
Matriks 𝐴 𝑚𝑥𝑛 dapat  dikalikan  dengan matriks 𝐵 𝑝𝑥𝑞 jika dan hanja jika banyaknya kolom  pada  matriks  A  sama  dengan banyaknya baris pada matriks B (n=p).
𝐴 𝑚𝑥𝑛 𝐵 𝑛𝑥𝑝 = 𝐴 𝑚𝑥𝑞
𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗 ] 𝑚𝑥𝑛 𝑑𝑎𝑛  = [𝑏 𝑖𝑗 ] 𝑛𝑥𝑞 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐶 =   [𝑎 𝑖𝑗 ] 𝑚𝑥𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐶 𝑖𝑗 = ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 e. Transpose Dari Suatu Matriks
Pada  suatu  matriks 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) berukuran (mxn),  maka  transpose  dari  A  adalah matriks 𝐴 𝑇 berukuran (nxm) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-I dari A, i = 1,2,…,m sebagai koliom ke- I  dari 𝐴 𝑇 . dengan  kata  lain: 𝐴 𝑇 = (𝑎 𝑗𝑖 ) Transpose  dari  suatu  matriks  adalah mengubah  komponen-komponen  dalam matriks,  dari  yang  baris  menjadi  kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris [4]

## 2.1 Vektor
Definisi
Vector  adalah  suatu  potongan  (ruang,  segmen) garis yang mempunyai arah. [4]
• Penulisan vector
1. Vektor posisi: Ditulis dalam notasi vector terhadap titik acuan.
Contoh:  Vektor  posisi  titik  A  dari  0 adalah 0𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗
2. Vektor  Basis:  ditulis  dalam  vector satuan Contoh: 𝒂 ⃗⃗  = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌
3. Vektor Kolom
𝒂 ⃗⃗  = ( 𝒙 𝒚 𝒛 )
4. Vektor Baris
𝒂 ⃗⃗  = (𝒙, 𝒚 𝒛)
• Vektor pada Bidang dan Ruang
1. Vektor  basis  dapat  ditentukan  dengan mengitung  vector  satuan  mulai  dari ujung ke pangkal vector
2. Vektor Basis AB dengan koordinat titik 𝐴(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) 𝑑𝑎𝑛 𝐵(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) dapat dihitung:
Dalam bidang
𝐴𝐵 ̅̅̅̅ = 𝑏̅ − 𝑎̅ = ( 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑦 2 − 𝑦 1 )
Dalam Ruang
𝐴𝐵 ̅̅̅̅ = 𝑏̅ − 𝑎̅ = ( 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑧 2 − 𝑧 1 ) 3. Panjang vector
|𝐴𝐵 ̅̅̅̅| = √𝑥 2 + 𝑦 2 |𝐴𝐵 ̅̅̅̅| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 • Operasi Vektor
4. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Dengan Vektor  basis dengan 𝑎(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑏(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) 𝑏̅ + 𝑎̅ = ( 𝑥 2 + 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑦 1 𝑧 2 + 𝑧 1 )       𝑏̅ − 𝑎̅ = ( 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑧 2 − 𝑧 1 ) 5. Perkalian Skalar dan Vektor
𝑘 ( 𝑥 𝑦 𝑧 ) = ( 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧 ) 𝑘. 𝑎̅ = 𝑘. |𝑎̅|
6. Perkalian Skalar/titik 𝑎̅ . 𝑏̅ = |𝑎||𝑏| cos 𝜃
7. Perkalian Skalar Dengan Vektor basis dengan 𝑎(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑏(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) 𝑎̅ . 𝑏̅ = (𝑥 1 𝑥 2 + 𝑦 1 𝑦 2 +𝑧 1 𝑧 2 )

## • Ruang Vektor
Himpunan  tak  kosong  V  merupakan  ruang vector  apabila ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 Sedemikian hingga memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut
1. 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉
2. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
3. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
4. Terdapat 0 ∈ 𝑉 sedemikian  hingga 0 + 𝑉 = 𝑉 + 0 = 0
5. Terdapat – 𝑥 ∈ 𝑉 Sedemikian  hingga 0 + 𝑉 = 𝑉 + 0 = 0
6. 𝑎𝑥 ∈ 𝑉
7. 𝑎(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 𝑑𝑎𝑛 (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
8. (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎(𝑏𝑥)
9. 𝑙𝑥 = 𝑥
[4]

## 2.2 Sistem Persamaan Linear
Bentuk  umum  sistem  m  buah  persamaan linear  dengan  n  buah  variabel  dapat  ditulis sebagai.
𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 2 ⋮              ⋮                        ⋮            ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 adalah variabel yang belum diketahui, 𝑎 11 + 𝑎 12 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 adalah  koefisien  sistem dan 𝑏 1 , 𝑏 2 , ⋯ , 𝑏 𝑚 adalah  nilai  konstan.  Sistem Persamaan  Linear  dapat  diubah  dalam  bentuk matriks dengan persamaan:
𝐴𝑥 = 𝑏 [4,8,9]
Dimana A  adalah matriks m*n, x adalah vector kolom dengan n buah entri dan b adalah vektor kolom dengan m buah entri
𝐴 = [ 𝑎 11 𝑎 12 ⋯ 𝑎 21 𝑎 22 … ⋮ ⋮ ⋱ 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚1 …    𝑎 𝑚𝑛 ] 𝑥 = [ 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 ] , 𝑏 = [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ]  [5]

## 2.3 Sistem Persamaan Tak Linear
Sistem persamaan non linear adalah himpunan m persamaan  non-linear,  dengan  m  >  1.  Sistem persamaan non linear dengan m persamaan dan n variabel secara umum berbentuk:
𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) = 0 𝑓 2 (𝑥 1, 𝑥 2, … , 𝑥 𝑛 ) = 0 ⋮                               ⋮ 𝑓 𝑛 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) = 0
Setiap fungsi 𝑓 𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 merupakan pemetaan vector 𝒙 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) 𝑡
dari 𝑅 𝑛 𝑘𝑒 𝑅 Sistem  ini  dapat  ditulis  dalam bentuk  lain  dengan  mendefinisikan  fungsi  F yakni pemetaan dari 𝑅 𝑛 𝑘𝑒 𝑅 yang dapat ditulis sebagai:
𝑭(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) = (𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), 𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ), … , 𝑓 𝑛 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 )) 𝑡 = 0
Dengan  menggunakan  notasi  vector,  Sistem  di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑭(𝒙) = 𝟎 Fungsi 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑚 disebut koordinat fungsi F.
Contoh Sistem persamaan non linear
3𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 𝑥 3 ) − 1 2 = 0 𝑥 1 2 − 81(𝑥 2 + 0. 𝑖) 2 + sin 𝑥 3 + 1.06 = 0 𝑒 1𝑥 1 𝑥 2 + 20𝑥 3 + 10𝜋−3 3 = 0 [6]
Persamaan  non  linear  adalah  persamaan  yang pangkat  variabelnya  tidak  sama  dengan  satu atau  memuat  salah  satu  fungsi  trigonometri, hiperbola,  transcendental.  Adapun  bentuk umum fungsi polynomial sebagai berikut: 𝑝(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
Dimana:
𝑎 0 … . 𝑎 𝑛 → merupakan bilangan riil 𝑛          → merupakan pangkat polynomial [4]
2.4 Metode Broyden
Metode  Broyden  merupakan  pendekatan metode  Newton-Raphson  dengan  perkiraan matriks  Jacobian  yang  digunakan  untuk  iterasi yang  pertama.  Metode  Broyden  merupakan metode  yang  paling  sederhana  dari  metode Quasi-Newton.  Metode  Broyden  ini  merupakan pengembangan  dari  metode  Secant  untuk variabel yang lebih dari satu. Adapun algoritma metode broyden yaitu
a Mencari Hitung nilai F(X 1 ) dengan subsitusi nilai iterasi 1 (X 1 )
b Hitung nilai a dan b dengan rumus a n = F(X n+1 )- F(X n ) , n = 0, 1, 2, 3,…
b n = X n+1 - X n , n = 0, 1, 2, 3,…
c.      Mencari  invers  matriks 𝐽(𝑋 𝑛+1 ) −1 dengan teorema Sherman-Morisson
J(X n+1 ) −1 = J(X n ) −1 × (b n − J(X n ) −1 a n )b n t J(X n ) −1 b n t J(X n ) −1 a n n=0, 1, 2, … d. Hitung nilai iterasi n+1 dengan rumus
X n+1 = X n – J(X n ) -1 .F(X n ) , n=1, 2, 3,… e. Ulangi langkah 3 sampai F(X) ≈ 0
[6]

## 3. METODOLOGI
Penelitian ini merupakan  penelitian terapan. Adapun  langkah-langkah  penelitian  sebagai berikut:
1. Membentuk  model  matematika  system persamaan tak linear
2. Menentukan  nilai  tebakan  awal  pada masing-masing variable
3. Menentukan nilai iterasi 1 dengan menggunakan metode newton rapshon
4. Hitung iterasi n+1 dengan metode broyden
5. Ulangi iterasi sampai F(X) ≈ 0

## 4.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Model
Dari hasil Eksperimen yang telah dilakukan yaitu  mengukur konsentrasi larutan  yang  terdiri dari parasetamol dan kafein, Diasumsikan bahwa untuk  parasetamol  dan  kafein  didapatkan hubungan  absorban  A  terhadap  konsentrasi  c mengikuti hubungan polynomial sebagai berikut
𝐴 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑐 + 𝑎 2 𝑐 2 + 𝑎 3 𝑐 3
Konstanta 𝑎 0, 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 diperoleh  dari  data kalibrasi  yang  disajikan  pada  table,  dengan Hubungan  antara  absorban dan konsentrasi dari parasetamol  dan  kafein  untuk  berbagai  panjang gelombang (lambda)
Tabel 4.1. Hubungan antara absorban dan konsentrasi dari parasetamol dan kafein untuk berbagai panjang gelombang [2]
Kom
ponen Lambda (nm) 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 Paras etamo l 272,2 1,83E- 03 1,44E- 04 - 4,99E- 08 0
249,1 5,38-03 6,53E- 05
0 0 Kafei n
272,2 -3,73E- 04 8,95E- 05 -
9,62E-
08 0
249,1 1,09E- 03 4,36E-
05 - 2,48E- 8 0
Tabel 4.2. Hasil pengukuran absorban dari satu
sampel [2]
No Lamda(nm) Absorban 1. 272,2 0,073 2. 249,1 0,054
Misalkan 𝑥 1 adalah  variable  untuk  Konsentrasi Parasetamol  dan 𝑥 2 adalah  variable  untuk Konsentrasi  Kafein,  Kemudian  dari  Data  diatas pada panjang gelombang 272,2 nm dan 249,1 nm dapat  diperoleh  sistem  persamaan  non  linear dengan dua variable sebagai berikut:
1,83 × 10 −3 + 1,44 × 10 −4 𝑥 1 − 4,99 × 10 −8 𝑥 1 2 − 3,73 × 10 −4 + 8,95 × 10 −5 𝑥 2 − 9,62 × 10 −8 𝑥 2 2 + 3,49 × 10 −11 𝑥 2 3 = 0,073
5,38 × 10 −3 + 6,53 × 10 −5 𝑥 1 + 1,09 × 10 −3 + 4,36 × 10 −5 𝑥 2 − 2,48      × 10 −8 𝑥 2 2 = 0,054

## ITERASI 1
Langkah 1 : Sistem Persamaan non linear diatas dapat ditulis sebagai berikut:
𝐹(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = −0,071543 + 1,44 × 10 −4 𝑥 1 + 8,95 × 10 −5 𝑥 2 − 4,99 × 10 −8 𝑥 1 2 − 9,62 × 10 −8 𝑥 2 2 + 3,49 × 10 −11 𝑥 2 3 = 0 𝐺(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = −0,04753 + 6,53 × 10 −5 𝑥 1 + 4,36 × 10 −5 𝑥 2 − 2,48      × 10 −8 𝑥 2 2 = 0
Sistem Persamaan tersebut kemudian digunakan untuk  menentukan  konsentrasi  paracetamol  dan kafein  pada  suatu  campuran  yang  mengandung keduannya  Dengan  menggunakan  Konsentrasi awal  10000      ppm  parasetamol  dan  6000  ppm kafein  maka  sistem  tersebut  dapat  diselesaikan secara numeric metode Newton Rapshon Langkah 2 : Menentukan nilai tebakan awal 𝑥 1 𝑑𝑎𝑛  𝑥 2 Yaitu: 𝑥 1 0 = 10000     𝑑𝑎𝑛    𝑥 2 0 = 6000 Langkah 3 : Mencari nilai fungsi dari kedua persamaan dengan nilai tebakan awal 𝑥 1 0 = 10000  𝑑𝑎𝑛  𝑥 2 0 = 6000 yaitu
𝐹(10000,6000) = −0,071543 + 1,44 × 10 −4 (10000) + 8,95 × 10 −5 (6000) − 4,99 × 10 −8 (10000) 2 − 9,62 × 10 −8 (6000) 2 + 3,49 × 10 −11 (6000) 3 = 9,9066 × 10 −1 𝐺(10000,6000) = −0,047,53 + 6,53 × 10 −5 (10000) + 4,36 × 10 −5 (6000) − 2,48      × 10 −8 (6000) 2 = −2,573 × 10 −2
Langkah 4: Mencari Turunan-turunan Fungsi tersebut terhadap masing-masing variabelnya yaitu
𝜕𝐹
𝜕𝑥 1 = 1,44 × 10 −4 − 9,98 × 10 −8 𝑥 1 𝜕𝐺 𝜕𝑥 1 = 6,53 × 10 −5 𝜕𝐹 𝜕𝑥 2 = 8,95 × 10 −5 − 19,24 × 10 −8 𝑥 2 + 10,47 × 10 −11 𝑥 2 2 𝜕𝐺 𝜕𝑥 2 = 4,36 × 10 −5 − 4,96 × 10 −8 𝑥 2
Langkah  5 :  Menghitung  Turunan  Dari  Fungsi Yang Telah Didapat Dari Langkah Sebelumnya Dengan Menggunakan Nilai Tebakan Awal 𝜕𝐹
𝜕𝑥 1 = 1,44 × 10 −4 − 9,98 × 10 −8 (10000) =   −8.5 × 10 −4 𝜕𝐺 𝜕𝑥 1 = 6,53 × 10 −5 𝜕𝐹 𝜕𝑥 2 = 8,95 × 10 −5 − 19,24 × 10 −8 (6000) +10,47 × 10 −11 (6000) 2 = 2,702 × 10 −3 𝜕𝐺 𝜕𝑥 2 = 4,36 × 10 −5 − 4,96 × 10 −8 (6000)
= −2,54 × 10 −4
Langkah  6: Menentukan  deviasi  dari  setiap variabelnya menggunakan Aturan Cramer.
Nilai-Nilai  Deviasi  tersebut  dimisalkan 𝑟 1 1 𝑑𝑎𝑛 𝑟 2 1 untuk  mencari  nilai 𝑟 1 1 𝑑𝑎𝑛 𝑟 2 1 Terlebih dahulu turunan dan Fungsi beserta nilai fungsi  sistem  persamaan  non  linear  dibentuk menjadi:
[ −8.5 × 10 −4 2,702 × 10 −3
6,53 × 10 −5 −2,54 × 10 −4 ] [ 𝑟 1 1 𝑟 2 1 ] = − [ 9,90666 × 10 −1 −2,573 × 10 −2 ]
Kemudian  Perhitungan  dilanjutkan  dengan mencari  matriks 𝐴, 𝐴 1 𝑑𝑎𝑛 𝐴 2 dengan  Aturan Cramer. Adapun hasilnya sebagai berikut:
𝐴 = [ −8.5 × 10 −4 2,702 × 10 −3
6,53 × 10 −5 −2,54 × 10 −4 ]  ,   𝐴 1 = [ −9,90666 × 10 −1 2,702 × 10 −3
2,573 × 10 −2 −2,54 × 10 −4 ],
𝐴 2 = [ −8.5 × 10 −4 −9,90666 × 10 −1 6,53 × 10 −5 2,573 × 10 −2 ]
Setelah didapatkan matriks 𝐴, 𝐴 1 𝑑𝑎𝑛 𝐴 2 dengan  Aturan  Cramer  di  atas  Kemudian Dilanjutkan dengan mencari determinan matriks-matriks diatas untuk mendapatkan nilai 𝑟 1 1 𝑑𝑎𝑛 𝑟 2 1 yaitu: 𝑟 1 1 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 1 det 𝐴 = [ −9,90666 × 10 −1 2,702 × 10 −3 2,573 × 10 −2 −2,54 × 10 −4 ]
[ −8.5 × 10 −4 2,702 × 10 −3 6,53 × 10 −5 −2,54 × 10 −4 ] = ((−9,90666 × 10 −1 × −2,54 × 10 −4 ) − (2,573 × 10 −2 × 2,702 × 10 −3 )) ((−8.5 × 10 −4 × −2,54 × 10 −4 ) − (6,53 × 10 −5 × 2,702 × 10 −3 ))
= 4514,48424
𝑟 2 1 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 2 det 𝐴 = [ −8.5 × 10 −4 −9,90666 × 10 −1 6,53 × 10 −5 2,573 × 10 −2 ] [ −8.5 × 10 −4 2,702 × 10 −3 6,53 × 10 −5 −2,54 × 10 −4 ]
= ((−8.5 × 10 −4 × −2,573 × 10 −2 ) − (6,53 × 10 −5 × −9,90666 × 10 −1 )) ((−8.5 × 10 −4 × −2,54 × 10 −4 ) − (6,53 × 10 −5 × 2,702 × 10 −3 ))

## = 1059.314255
Langkah 7: Setelah mendapatkan nilai 𝑟 1 1 𝑑𝑎𝑛 𝑟 2 1 di  atas,  akan  dicari  nilai  pendekatan yang  lebih  tepat  dari  nilai  awal,  dengan menggunakan persamaan dibawah ini:
𝑥 1 1 = 𝑥 1 0 + 𝑟 1 1 = 10000 + 4514,48424 = 14514,48424 𝑥 2 1 = 𝑥 2 0 + 𝑟 2 1 = 6000 + 1059,314255 = 7059.314255
Nilai 𝑥 1 1 = 14514.48424 dan 𝑥 2 1 = 7059.314255 akan  digunakan  sebagai  tebakan awal untuk langkah berikutnya ITERASI 2:
Langkah 2 : Menentukan nilai tebakan 𝑥 1 𝑑𝑎𝑛  𝑥 2 Yaitu: 𝑥 1 1 = 14514.48424     𝑑𝑎𝑛    𝑥 2 1 = 7059.314255
Langkah 3 : Mencari nilai fungsi dari kedua persamaan dengan nilai tebakan 𝑥 1 1 = 14514.48424   𝑑𝑎𝑛  𝑥 2 1 = 7059.314255 yaitu 𝐹(14514.48424,7059.314255)
= −0,071543 + 1,44 × 10 −4 (14514.48424) +8,95 × 10 −5 (7059.314255) − 4,99 × 10 −8 (14514.48424) 2 − 9,62 × 10 −8 (7059.314255) 2
+ 3,49 × 10 −11 (7059.314255) 3 = −0,378522462
𝐺(14514.48424,7059.314255)
= −0,04753 + 6,53 × 10 −5 (14514.48424)
+4,36 × 10 −5 (7059.3142550)
− 2,48      × 10 −8 (7059.3142550) 2 = −2,7829238 × 10 −2
Langkah 4 : Langkah selanjutnya yaitu dicari nilai dari 𝑟 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 0 yang  ada  pada  persamaan  yang mana  diperoleh  cari  pengurangan  terhadap sedangkan  diperoleh  dari  selisih  terhadap  yang akan digunakan ketika mencari invers dari matriks sebagai berikut:
𝑟 0 = [ −3,78522462 × 10 −1 −2,7829238 × 10 −2 ] − [ 9,9066 × 10 −1 −2,573 × 10 −2 ] = [ −1,3692 −2,09923 × 10 −3 ]
𝑠 0 =   [ 14514.48424 7059.314255 ] −   [ 10000 6000 ]
=   [ 4514,4824 1059,314255 ]
Langkah 5 : Langkah selanjutnya yaitu mencari invers  dari  matriks 𝐴 1 −1 dengan  menerapkan teorerna Sherman-Morrison. Adapun hasil invers dari  matriks  menggunakan  teorema  Sherman- Morrison adalah sebagai berikut:
𝑨 𝟏 −𝟏
= [ 𝟗, 𝟕𝟗𝟐𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟕
𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟑𝟔 −𝟏, 𝟔𝟓𝟒𝟖 × 𝟏𝟎 −𝟔 𝟑, 𝟑𝟗𝟔𝟒 × 𝟏𝟎 −𝟒 ] + ([ 𝟒𝟓𝟏𝟒, 𝟒𝟖𝟐𝟒 𝟏𝟎𝟓𝟗, 𝟑𝟏𝟒𝟐𝟓𝟓 ] − [ −𝟎, 𝟔𝟔𝟕𝟑 −𝟕, 𝟎𝟗𝟏𝟑 ]) [ 𝟏, 𝟑𝟓𝟒𝟔 × 𝟏𝟎 −𝟓 −𝟐, 𝟔𝟕𝟓 ] [ 𝟒𝟓𝟏𝟒, 𝟒𝟖𝟐𝟒 𝟏𝟎𝟓𝟗, 𝟑𝟏𝟒𝟐𝟓𝟓 ] [ −𝟎, 𝟔𝟔𝟕𝟑 −𝟕, 𝟎𝟗𝟏𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟕 ]
=   [ 𝟗, 𝟕𝟗𝟐𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟕 𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟑𝟔 −𝟏, 𝟔𝟓𝟒𝟖 × 𝟏𝟎 −𝟔 𝟑, 𝟑𝟗𝟔𝟒 × 𝟏𝟎 −𝟒 ]
+ [ −𝟒, 𝟖𝟏𝟕𝟕 −𝟒, 𝟗𝟑𝟗𝟗 ] [ 𝟏, 𝟑𝟓𝟒𝟔 × 𝟏𝟎 −𝟓 −𝟐, 𝟔𝟕𝟓 ] −𝟑, 𝟎𝟏𝟐𝟓 =   [ 𝟗, 𝟕𝟗𝟐𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟕 𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟑𝟔 −𝟏, 𝟔𝟓𝟒𝟖 × 𝟏𝟎 −𝟔 𝟑, 𝟑𝟗𝟔𝟒 × 𝟏𝟎 −𝟒 ] + [ −𝟐, 𝟏𝟔𝟔𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟓 −𝟒, 𝟐𝟕𝟕𝟖 −𝟐, 𝟐𝟐𝟏𝟐 × 𝟏𝟎 −𝟓 −𝟒, 𝟑𝟖𝟔𝟒 ]
=   [ −2,0684 × 10 −7 −3,79114 −2,3868 × 10 −5 −4,3861 ]
Langkah 6 : Setelah didapatkan nilai 𝐴 1 −1 maka langkah  selanjutnya  yaitu  hasil  nilai  invers tersebut  disubstitusikan  ke  dalarn  rumus  pada persamaan,  sehingga  diperoleh  nilai  sebagai berikut
[ 𝑥 12 𝑥 2 2 ] = [ 14514.48424 7059.314255 ] −   [ −2,0684 × 10 −7 −3,79114 −2,3868 × 10 −5 −4,3861 ] [ −3,78522462 × 10 −1 −2,7829238 × 10 −2 ] [ 𝑥 12 𝑥 2 2 ] = [ 14514.48424 7059.314255 ] −   [ 1800,76190 542, 582734 ]
=   [ 12713,72234 6516,73152 ]
Nilai 𝑥 1 2 = 12713,72234 dan 𝑥 2 2 = 6516,73152 akan  digunakan  sebagai  tebakan awal untuk langkah berikutnya
ITERASI 3: Langkah 2 : Menentukan nilai tebakan 𝑥 1 2 𝑑𝑎𝑛  𝑥 2 2 Yaitu: 𝑥 1 2 = 12713,72234 𝑑𝑎𝑛 𝑥 2 2 = 6516,73152
Langkah 3 : Mencari nilai fungsi dari kedua persamaan dengan nilai tebakan 𝑥 1 2 = 12713,72234 𝑑𝑎𝑛 𝑥 2 2 = 6516,73152 yaitu 𝐹( 12713,72234 ;  6516,73152 )
= −0,071543 × 10 −3 + 1,44 × 10 −4 ( 12713,72234 ) +8,95 × 10 −5 ( 6516,73152 ) − 4,99 × 10 −8 ( 12713,72234 ) 2 − 9,62 × 10 −8 (6 6516,73152 ) 2 + 3,49 × 10 −11 (6 6516,73152 ) 3
= 0,108
𝐺( 12713,72234 ; 6516,73152 )
= −0,04753 + 6,53 × 10 −5 ( 12713,72234 ) +4,36 × 10 −5 ( 6516,73152 ) − 2,48 × 10 −8 ( 6516,73152 ) 2 = −0,015008
Langkah 4 : Langkah selanjutnya yaitu dicari nilai dari 𝑟 1 𝑑𝑎𝑛 𝑠 1 yang  ada  pada  persamaan  yang mana  diperoleh  cari  pengurangan  terhadap sedangkan  diperoleh  dari  selisih  terhadap  yang akan digunakan ketika mencari invers dari matriks sebagai berikut:
𝑟 1 = [ −6,9915 × 10 −3 −0,013604 ] − [ −3,7852 × 10 −1 −2,7829 × 10 −2 ] = [ 0,3715 0,0414 ] 𝑠 1 =   [ 12713,72234 6516,73152 ] −   [ 14514.48424 7059.314255 ] =   [ −1.800 492,58 ]
Langkah 5 : Langkah selanjutnya yaitu mencari invers  dari  matriks 𝐴 2 −1 dengan  menerapkan teorerna Sherman-Morrison. Adapun hasil invers dari  matriks  menggunakan  teorema  Sherman- Morrison adalah sebagai berikut:
𝐴 2 −1 = [ −2,0684 × 10 −7 −3,79114 −2,3868 × 10 −5 −4,3861 ] + ([ −1.800 −492,58 ] − [ −0,1569 −0,1816 ]) [ 0,01213 8984,6 ]
[−1.800 −492,58 ] [ −0,1569 −0,1816 ] =   [ −2,0684 × 10 −7 −3,79114 −2,3868 × 10 −5 −4,3861 ] + [ −1799,8 − 492 ,4 ] [ 0,01213 8984,6 ]
371,9
=   [ −2,0684 × 10 −7 −3,79114 −2,3868 × 10 −5 −4,3861 ] + [ −0,0587 −0,0435 −0,0161 −11,896 ] =   [ −0,0587 −3,83464 −0,0161 −16,2821 ]
Langkah  6 :  Setelah  didapatkan  nilai 𝐴 1 −1 maka langkah selanjutnya yaitu hasil nilai invers tersebut  disubstitusikan  ke  dalarn  rumus  pada persamaan,  sehingga  diperoleh  nilai  sebagai berikut
[ 𝑥 13 𝑥 2 3 ] = [ 12713,72234 6516,73152 ] −   [ −0,0587 −3,83464 −0,0161 −16,2821 ] [ −6,9915 × 10 −3 −0,013604 ] [ 𝑥 13 𝑥 2 3 ] = [ 12713,72234 6516,73152 ] −   [ 0,0525804 0, 2161256 ] =   [ 12713,66976 6516,50991 ]
Karena  nilai  iterasi  ke  dua  dan  iterasi  ke  tiga hampir  sama  maka  iterasi  dihentikan,  Jadi  nilai Nilai 𝑥 1 3 = 12713,66976 dan 𝑥 2 3 = 6516,50991 Selanjutnya  penulis  akan  mencari  nilai eror  menggunakan  Microsoft  exel,  didapatkan  seperti table dibawah ini : Tabel 4.3 . Perhitungan galat
No 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 Eror 1 10.000 6.000 2 14514,48 7059,31 0,378 3 12713,72 6516,73 0,15008 4 12713,67 6516,51 0,15
Iterasi dapat dilanjutkan untuk  memperoleh galat yang  lebih  kecil.  Semakin  banyak  iterasi  yang dilakukan  maka  akan  mendapatkan  solusi  yang menghampiri solusi analitik.

## 4.2 Pembahasan
Berdasarkan  hasil  perhitungan  di  atas,  untuk menyelesaikan  contoh  kasus  sistem  persamaan non linear dengan metode Broyden. Adapun dalam perhitungannya,  membutuhkan  proses  yang panjang. Untuk  metode  Broyden,  iterasi  pertama menggunakan  metode  Newton  Raphson  yang diawali  dengan  menentunkan  nilai  tebakan  awal dan  mencari  turunan  fungsi  terhadap  masing- masing  variabelnya.  Untuk  mendapatkan  nilai selesaiannya,  dibutuhkan  juga  nilai-nilai  deviasi. Sedangkan  dalam  pencarian  nilai-nilai  deviasi, melibatkan  perhitungan  aljabar  matriks  yaitu matriks jacobian dan aturan cramer. Untuk matriks jacobian  yang  berordo  2  x  2  seperti  yang dikerjakan oleh penulis.
Lalu  untuk  iterasi  kedua  dan  seterusnya maka  akan  menggunakan  teorema  Sherman- Morris. Langkah pertama yang di ambil subtitusi
nilai  dari  iterasi  pertama  kedalam  persamaan  F dan G lalu mencari nilai 𝑟 0 dan 𝑠 0 dan setelah itu baru  penulis  menerapkan  teorema  Sherman- Morris  untuk  mencari  invers  dari  matriks 𝐴 1 seperti pada metode diatas, setelah didapat hasil invers tersebut penulis mensubtitusikan ke dalam pada persaman, seperti pada langkah ke 5.
Dari    hasil  iterasi  dapat  diperoleh konsentrasi parasetamol yang memenuhi seperti yang  terlihat  pada  Tabel  di  atas,  Pada  sistem persamaan dengan panjang gelombang 272,2 nm dengan  249,1  nm  apabila  diselesaikan  dengan metode  Broyden  akan  diperoleh  konsentrasi parasetamol  sebesar 12713,66976 ppm  dan konsentrasi kafein sebesar
6516,50991 ppm Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode metode Broyden dapat diterapkan untuk mengkombinasikan besarnya konsentrasi parasetamol  dan  kafein  dalam  larutan  untuk memperoleh nilai absorban yang diinginkan.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan,  Dengan menggunakan  langkah-langkah  metode  Newton Raphson  dengan  nilai  awalan  konsentrasi parasetamol  sebesar  10000  dan  konsentrasi kafein  6000  maka  diperoleh  konsentrasi parasetamol  yang  memenuhi  Pada  sistem persamaan dengan panjang gelombang 272,2 nm dengan 249,1 nm diperoleh konsentrasi parasetamol  sebesar 12713,66 ppm  dan konsentrasi  kafein  sebesar 6516,51 ppm.  Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode Broyden dapat diterapkan  untuk  mengkombinasikan  besarnya konsentrasi parasetamol dan kafein dalam larutan untuk memperoleh nilai absorban yang diinginkan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Burden,  R.L.  dan  Faires,  J.D.  2011. Numerical  Analysis  Ninth  Edition.  Boston: BROOKS/CALE
[2] Romantir,Baiq  Maya.” Penyelesaian  Sistem Persamaan  Non  Linear  Dengan  Metode Newton-Raphson Termodifikasi ”.jurnal STMIKAKOM-yogyakarta.2004
[3] Rukmono,Budi  Utomo.” Metode  Numeric Rosenberg Dengan Arah Pencarian
Termodifikasi  Penambahan  Konstanta l k Untuk  Beberapa  Nilai 0 ≤ l k ≤ 1 ” .Jurnal
Prima Program Studi Pendidikan Matematika Dan Penelitian Matematika.Vol.6, No 1.2017.
[4] Anton,  Howard  dan  Rorres,  C.  2013.
Elementary  Linear  Algebra 11 th Edition. Canada : Wiley.
[5] Sastry. S.S, Formerly, Dkk. 2006.
Introductory Methods of Numerical Analysis
Fourth Edition. New Delhi : Prentice-Hall of India.
[6] Burden,  Richard  L.    2016.  Numerical Analysis. Boston: Cengage Learning
[7] Yang, W.Y., Cao, W., Chung, T., dan Morris, J. 2005. Applied Numerical Method Using MATLAB. New York: John Wiley & Sons, Inc.
[8] Bloomfield,  Victor  A.    2009.  Using  R  For Numerical Analysis in Science and
Engineering. New York: CRC Press
[9] Basuki,  A.  2005.  Metode  Numerik  dan Algoritma  Komputasi.  Yogyakarta:  Andi Publiher.