## KADIKMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2, Agustus 2023, Hal. 58-67 e-ISSN : 2686-3243 ; p-ISSN : 2085-0662 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/kadikma https://doi.org/10.19184/kdma.v14i2.37923

## HIMPUNAN DOMINASI TERKENDALI GRAF HASIL OPERASI AMALGAMASI TITIK DAN SISI PADA GRAF SIKLUS BERORDE SAMA
Landerius Maro 1*
1 Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Tribuana Kalabahi, Indonesia
* E-mail: landeriusmaro@gmail.com
Article History: Received: 12-05-2023 ; Revised: 07-06-2023 ; Accepted: 11-07-2023

## ABSTRAK
Teori graf merupakan salah satu ilmu terapan matematika yang hingga kini terus dikembangkan. Salah satu konsep yang dipelajari dalam teori graf adalah himpunan dominasi terkendali. Himpunan 𝐷 𝑟 ⊆ 𝑉(𝐺) disebut himpunan dominasi terkendali jika setiap titik dalam 𝑉(𝐺) − 𝐷 𝑟 bertetangga dengan minimal satu titik di dalam 𝐷 𝑟 begitu juga suatu titik lain di dalam 𝑉(𝐺)– 𝐷 𝑟 . Tujuan dari penelitian ini untuk menentukan bilangan dominasi terkendali graf hasil operasi amalgamasi titik dan sisi pada graf siklus berorde sama, atau ( a 𝑚𝑎𝑙 ( 𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) dan ( a 𝑚𝑎𝑙 ( 𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) . Penelitian  ini  menggunakan  metode  pembuktian  dengan  memanfaatkan  teorema  yang  telah  ada, yaitu teorema bilangan dominasi terkendali pada graf siklus dan teorema batas atas dan batas bawah bilangan  dominasi  terkendali.  Adapun  hasil  yang  diperoleh,  yaitu: 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ untuk 𝑛 ≥ 3 ,  dan 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋, untuk 𝑛 ≥ 3, 𝑛 = 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 ,  dan 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) =   (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋, untuk 𝑛 ≥ 3, 𝑛 ≠ 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 .
Keywords: Himpunan  dan  Bilangan  Dominasi  Terkendali,  Amalgamasi  Titik  dan  Sisi,  Graf Siklus.

## ABSTRACT
Graph theory is one of the applied mathematics that continues to be developed. One of the concepts studied in graph theory is the controlled dominance set. The set 𝐷 𝑟 ⊆ 𝑉(𝐺) is called a controlled dominance  set  if  every  vertex  in 𝑉(𝐺) − 𝐷 𝑟 is  neighbor  to  at  least  one  vertex  in 𝐷 𝑟 ,  as  well  as another vertex 𝑉(𝐺) − 𝐷 𝑟 . The purpose of this research is to determine the controlled domination number of the graph resulting from the amalgamation operation of nodes and edges in cycle graphs of  the  same  degree,  ( a 𝑚𝑎𝑙 ( 𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 ))  and  ( a 𝑚𝑎𝑙 ( 𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) . This  research  uses  the proof method by utilizing the existing theorems, namely the controlled domination number theorem on cycle graphs and the upper and lower bound theorems of controlled domination numbers. The results obtained are: 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ f or 𝑛 ≥ 3 , and
𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋, for 𝑛 ≥ 3, 𝑛 = 3𝑘, where 𝑘 ≥ 1 , and 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) =   (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋, for 𝑛 ≥ 3, 𝑛 ≠ 3𝑘, where 𝑘 ≥ 1 .
Keywords:  Restrained  Domination  Sets  and  Numbers,  Point  and  Side  Amalgamation,  Cycle Graph.

## PENDAHULUAN
Teori  graf  merupakan  salah  satu  ilmu  terapan  matematika  yang  hingga  kini  terus dikembangkan.  Graf  digunakan  untuk  merepresentasikan  objek  –  objek  diskrit  dan hubungan antara objek – objek tersebut (1). Pada tahun 1736 seorang ahli matematikawan dari Swiss yang bernama Leonard Euler pertama kalinya memperkenalkan teori graf. Euler berhasil  memecahkan  masalah  jembatan  Konigsberg  (kota  Konigsberg,  sebelah  timur Prussia,  Jerman  sekarang)  di  sungai  Pregal  yang  sangat  terkenal  di  Eropa.  Ia  kemudian memecahkan  masalah  ini  ke  dalam  graf  (2). Graf 𝐺 didefinisikan  sebagai  pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) , ditulis dengan notasi 𝐺 = (𝑉, 𝐸) , yang dalam hal ini 𝑉 adalah himpunan tidak  kosong  dari  simpul  –  simpul  dan 𝐸 adalah  himpunan  sisi  yang  menghubungkan sepasang simpul (3).
Teori  Graf  memiliki  beberapa  konsep,  dimana  salah  satunya  adalah  himpunan dominasi.  Konsep  himpunan  dominasi  pada  graf  memiliki  akar  sejarah  sejak  tahun  1850 ketika penggemar  catur  Eropa mempelajari  masalah  “dominasi  ratu”. Para penggemar ini bekerja untuk menentukan jumlah minimum ratu yang diperlukan sehingga setiap persegi pada papan catur standar 8 × 8 dapat diduduki oleh sebuah ratu atau dapat langsung diserang oleh ratu, dengan kata lain kotak tersebut didominasi oleh sebuah ratu. Situasi tersebut dapat di  modelkan  dengan  teori  graf.  Pada  papan  catur,  kotak  adalah  titik (𝑉) dan  dua  titik terhubung disebut sisi (𝐸) . Jika setiap kotak dapat dicapai oleh ratu pada kotak lain dengan satu langkah. Jumlah minimum ratu yang memungkinkan untuk tidak bertabrakan dengan ratu lainnya dengan satu langkah adalah bilangan dominasi dari sebuah himpunan dominasi di 𝐺 .
Himpunan  dominasi  adalah  suatu  himpunan  bagian 𝐷 dari  himpunan  simpul 𝑉(𝐺) dengan simpul – simpul yang tidak berada di 𝐷 bertetangga sedikitnya dengan satu simpul di 𝐷 .  Kardinalitas 𝐷 minimum  disebut  bilangan  dominasi  graf 𝐺 dan  dinotasikan dengan 𝛾(𝐺) .  Pengkajian  tentang  himpunan  dominasi  dari  graf  khusus  dan  graf  hasil operasinya telah dilakukan dan memperoleh beberapa hasil, diantaranya   bilangan dominasi pada graf lintasan (𝑃 𝑛 ) , graf siklus (𝐶 𝑛 ) dan graf lengkap (𝐾 𝑛 ) , penjumlahan graf 𝐾 3 + 𝐶 𝑛 dan 𝐾 3 +   𝑃 𝑛 , perkalian graf 𝐶 𝑛 ×   𝑃 𝑛 , korona graf 𝐶 𝑛 ⊙   𝐾 𝑛 , dan shackle graf 𝐾 𝑛 , 𝑛 (4).
Himpunan  dominasi  memiliki  beberapa  jenis,  diantaranya signed  dominating  set , restrained  dominating  set,  dan  roman  dominating  set .  Jenis  himpunan  dominasi  yang dibahas  pada  penelitian  ini  adalah  himpunan  dominasi  terkendali  ( restrained  dominating set ). Himpunan 𝐷 𝑟 ⊆ 𝑉(𝐺) adalah himpunan dominasi terkendali, apabila setiap titik dalam 𝑉(𝐺) − 𝐷 𝑟 bertetangga dengan satu titik di dalam 𝐷 𝑟 begitu juga suatu titik lain di dalam 𝑉(𝐺)– 𝐷 𝑟 , sedangkan kardinalitas 𝐷 𝑟 minimum disebut bilangan dominasi terkendali graf 𝐺 (𝛾 𝑟 (𝐺) ).  Penelitian  tentang  himpunan  dominasi  terkendali  juga  telah  banyak  dikaji, diantaranya “ Restrained Domination in Graphs” yang memperoleh hasil bilangan dominasi terkendali pada graf lengkap ( 𝛾 𝑟 (𝐾 𝑛 )) , graf lintasan ( 𝛾 𝑟 (𝑃 𝑛 )) , dan graf siklus ( 𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) (5). Sedangkan “On equality in an upper bound for the restrained and total domination numbers of  a  graph” (6)  dan “Restrained  Domination  in  Unicyclic  Graphs” (7)  masing  –  masing memperoleh hasil batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali dari suatu graf.
Selain itu, penelitian tentang himpunan dominasi terkendali yang melibatkan operasi  graf dari beberapa graf khusus juga telah banyak dikaji, diantaranya “Restrained Domination in Graphs Under Some Binary Operations ” (8), “ The Product of the Restrained Domination Numbers of A Graph and Its Complement” (9), “ Secure Restrained Domination in the Join and Corona of Graphs ” (10), “Penentuan Bilangan Dominasi Terkendali pada 𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 dan 𝐾 𝑛 ⨀𝐾 𝑛 ”  (11),  dan  “ Determination  of  the  Restrained  Domination  Number  on  Vertex Amalgamation and Edge Amalgamation of the Path Graph With the Same Order ” (12). Kendati telah banyak penelitian yang dilakukan terkait himpunan dominasi terkendali terhadap graf hasil operasi pada beberapa graf khusus, namun tidak sedikit pula yang belum pernah dikaji, salah satunya adalah operasi amalgamasi titik dan sisi pada graf siklus (𝐶 𝑛 ) , dimana  operasi  amalgamasi  graf  merupakan  penggabungan  dua  atau  lebih  graf  dengan menyatukan  masing  –  masing  satu  titik  atau  sisi  dari  setiap  graf  yang  diamalgamasikan. Selain  itu , sulitnya  menentukan  bilangan  dominasi  terkendali  pada  graf  hasil  operasi amalgamasi  titik  dan  sisi  graf  siklus  jika  berorder  banyak  atau  mendekati  takterhingga, memicu  perlu  adanya  penelitian  yang  bertujuan  untuk  menentukan  bilangan  dominasi terkendali graf hasil operasi amalgamasi titik dan sisi pada graf siklus berorde sama, dimana graf siklus berorde sama adalah dua buah graf siklus yang masing – masing memiliki jumlah titik yang sama .

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  menggunakan  prinsip  –  prinsip pembuktian deduktif yang berlaku dalam logika matematika dengan menggunakan teorema yang telah ada untuk menghasilkan teorema baru yang akan dibuktikan kebenarannya secara deduktif.  Adapun  teorema  yang  akan  digunakan  untuk  pembuktian  hasil  penelitian  ini adalah: 𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 ) = 𝑛 − 2 ⌊ 𝑛 3 ⌋, untuk 𝑛 ≥ 3 (5)  dan  pembuktian  batas  atas  dan  batas  bawah bilangan dominasi terkendali dengan masing – masing menggunakan teorema 𝛾 𝑟 (𝐺) ≤ 𝑛 − ∆, dengan 𝛿 ≥ 2 (6) dan 𝛾 𝑟 (𝐺) ≥ 𝑛 − 2𝑚 3 , untuk order 𝑛 dan size 𝑚 (7).
Adapun langkah – langkah dalam penelitian ini dapat dilihat pada flowchart  berikut :
Berdasarkan flowchart di atas, dapat diuraikan langkah – langkah peneltian ini sebagai berikut :  1) Menerapkan graf siklus berorder sama ke dalam operasi amalgamasi titik dan sisi  dengan    titik  terminal  masing  –  masing 𝑥 1 dan 𝑦 1 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) dan  sisi terminal  masing  –  masing 𝑥 1 𝑥 2 dan 𝑦 1 𝑦 2 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) , 2)  Menentukan himpunan dominasi terkendali 𝐷 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) dan 𝐷 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) , kemudian  memeriksa  apakah himpunan dominasi  terkendali tersebut  adalah minimum, 3) Secara  deduktif,  diperoleh  teorema  baru  terkait 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) dan 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) yang  selanjutnya  dibuktikan  dengan  menggunakan  teorema lama 𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 ) = 𝑛 − 2 ⌊ 𝑛 3 ⌋, untuk 𝑛 ≥ 3 dan pengujian batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali dari suatu graf.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Hasil
1. Himpunan  dominasi  terkendali  graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  siklus berorder sama .
Defenisi 1
(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 ))  atau  graf  hasil  Amalgamasi  titik  graf  siklus  berorde  sama  dengan masing – masing  memiliki titik terminal 𝑥 1 dan 𝑦 1 adalah graf yang memiliki himpunan titik 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = {𝑥 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑗 |2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan himpunan sisi 𝐸(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = {𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥 1 𝑥 𝑛 } ∪ {𝑦 𝑗 𝑦 𝑗+1 |2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥 1 𝑦 𝑛 , 𝑥 1 𝑦 2 } , dimana 𝐶 𝑛 adalah graf siklus berorde 𝑛 . Berdasarkan definisi 1, diperoleh observasi sebagai berikut: Observasi 1.
|𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 ))| = 2𝑛 − 1 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 3 |𝐸(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 ))| = 2𝑛  , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 3 ∆(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = 4 𝛿(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = 2
Hasil  observasi  ini  diperlukan  untuk  pembuktian  teorema  baru  terkait  bilangan  dominasi terkendali graf hasil operasi amalgamasi titik graf siklus beorder sama.
Teorema 1.
Untuk 𝑛 ≥ 3 bilangan dominasi terkendali dari (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋

## Bukti:
Graf hasil operasi amalgamasi titik graf siklus berorde sama merupakan gabungan dari dua buah graf siklus berorde sama dengan masing – masing  graf siklus tersebut menggunakan satu titik secara bersama atau disebut titik terminal yang dalam hal ini adalah titik 𝑥 1 untuk graf siklus pertama, dan titik 𝑦 1 untuk graf siklus kedua. Penentuan titik dominasi terkendali dimulai  pada  titik  dengan  derajat  terbesar,  sehingga  titik  terminal  selalu  menjadi  titik dominasi  terkendali  karena  titik  terminal  merupakan  satu  –  satunya  titik  dengan  derajat terbesar. Selanjutnya, penentuan titik dominasi terkendali untuk titik yang lain (selain titik terminal) dilakukan sama seperti penentuan titik dominasi terkendali untuk masing –masing graf siklus. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa bilangan dominasi terkendali untuk amalgamasi graf siklus  berorde sama merupakan penjumlahan bilangan dominasi terkendali dari kedua graf siklus tersebut (2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) . Namun karena salah satu titik dominasi selalu merupakan titik terminal yang digunakan secara bersama (2 titik dijadikan 1), maka jumlah titik bilangan dominasi terkendali untuk amalgamasi graf siklus berorde sama mengalami
pengurangan  satu  titik  dominasi  terkendali,  yaitu; (2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) − 1 .    Maka  berdasarkan Teorema 𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 ) = 𝑛 − 2 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , diperoleh :
𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = 2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) − 1 = 2𝑛 − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ − 1 = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ berada pada selang batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali dari suatu graf.
Berdasarkan  Teorema batas atas dan batas bawah, yaitu 𝑛 − ∆≥ 𝛾 𝑟 (𝐺) ≥ 𝑛 − 2𝑚 3 dengan 𝑚 adalah jumlah sisi dan 𝑛 adalah jumlah titik,  dan observasi 1, diperoleh :
• Batas Atas
(2𝑛 − 1) − 4 ≥ 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) (2𝑛 − 1) − 4 ≥ (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋
Karena 𝑛 ≥ 3 , maka 4 akan selalu lebih kecil atau sama dengan 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ . Hal ini mengakibatkan (2𝑛 − 1) − 4 pasti  akan  selalu  lebih  besar  atau  sama  dengan (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ ,  sehingga terbukti bahwa (2𝑛 − 1) − 4 ≥ (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ . • Batas Bawah
𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 ))   ≥ (2𝑛 − 1) − 2(2𝑛) 3 (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋   ≥ (2𝑛 − 1) − 4( 𝑛 3 )
Karena 𝑛 ≥ 3 ,  maka 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ akan  selalu  lebih  kecil  atau  sama  dengan 4( 𝑛 3 ) .  Hal  ini mengakibatkan (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ pasti akan selalu lebih besar atau sama dengan (2𝑛 − 1) − 4( 𝑛 3 ) , sehigga terbukti bahwa (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋   ≥ (2𝑛 − 1) − 4( 𝑛 3 ) .
Dengan demikian terbukti bahwa 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ berada pada selang batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali. ∎
2. Himpunan  dominasi  terkendali  graf  hasil  operasi  amalgamasi  sisi  graf  siklus berorder sama .
Defenisi 2
(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) atau graf hasil amalgamasi sisi graf siklus berorder sama dengan masing – masing memiliki sisi terminal 𝑥 1 𝑥 2 dan 𝑦 1 𝑦 2 adalah graf yang memiliki himpunan titik 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = {𝑥 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑗 |3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan  himpunan  sisi 𝐸(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = {𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥 1 𝑥 𝑛 } ∪ {𝑦 𝑗 𝑦 𝑗+1 |3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥 1 𝑦 𝑛 , 𝑥 2 𝑦 3 } , dimana 𝐶 𝑛 adalah graf siklus berorder n .
Berdasarkan definisi 2, diperoleh observasi sebagai berikut:
Observasi 2.
|𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 ))| = 2𝑛 − 2  , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 3 |𝐸(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 ))| = 2𝑛 − 1 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 3
∆(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = 3 𝛿(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = 2
Hasil  observasi  ini  diperlukan  untuk  pembuktian  teorema  baru  terkait  bilangan  dominasi terkendali graf hasil operasi amalgamasi sisi graf siklus beorder sama.
Teorema 2.
Untuk 𝑛 ≥ 3 bilangan  dominasi  terkendali  dari  amalgamasi  sisi  graf  siklus  berorde  sama adalah:
1. γ r (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , 𝑛 ≥ 3, 𝑛 = 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 2. γ r (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) =   (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , 𝑛 ≥ 3, 𝑛 ≠ 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 Bukti:
➢ γ r (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , 𝑛 ≥ 3, 𝑛 = 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 Graf hasil operasi amalgamasi sisi graf siklus berorde sama merupakan gabungan dari dua buah graf siklus berorde sama dengan masing – masing graf siklus tersebut menggunakan satu sisi secara bersama (sisi terminal) yang mengakibatkan dua titik bersisian dengan sisi terminal tersebut juga digunakan secara bersama oleh kedua graf siklus tersebut. Penentuan titik  dominasi  terkendali  dimulai  pada  titik  dengan  derajat  terbesar,  sehingga  terdapat kemungkinan kedua atau salah satu titik tersebut dijadikan sebagai titik dominasi terkendali. Selanjutnya,  penentuan  titik  dominasi  terkendali  untuk  titik  yang  lain  (selain  kedua  titik tersebut) dilakukan sama seperti penentuan titik dominasi terkendali untuk masing – masing graf siklus. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa bilangan dominasi terkendali untuk amalgamasi  sisi  graf  siklus    berorde  sama  merupakan  penjumlahan  bilangan  dominasi terkendali dari kedua graf siklus tersebut (2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) . Namun karena dalam penentuan titik dominasi  terkendali  graf  hasil  amalgamasi  sisi  graf  siklus  berorder  sama  dan  kelipatan 3 hanya pada salah satu titik dari dua titik dengan derajat terbesar, maka jumlah titik bilangan dominasi terkendali untuk graf hasil amalgamasi sisi graf siklus berorde sama dan kelipatan 3 mengalami pengurangan satu titik dominasi terkendali, yaitu; (2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) − 1 .
Maka berdasarkan Teorema 𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 ) = 𝑛 − 2 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , diperoleh :
𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = 2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) − 1 = 2𝑛 − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ − 1 = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ berada pada selang batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali dari suatu graf. Berdasarkan  teorema  batas  atas  dan  batas  bawah,  yaitu 𝑛 − ∆≥ 𝛾 𝑟 (𝐺) ≥ 𝑛 − 2𝑚 3 dan observasi 2, diperoleh :
• Batas Atas
(2𝑛 − 2) − 3 ≥ 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) (2𝑛 − 1) − 4 ≥ (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋
Karena 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 = 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 , maka 4 akan selalu lebih kecil atau sama dengan 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ . Hal ini mengakibatkan (2𝑛 − 1) − 4 pasti akan selalu lebih besar atau sama dengan
(2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , sehingga terbukti bahwa (2𝑛 − 1) − 4 ≥ (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ .
•
Batas Bawah
𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) ≥ (2𝑛 − 2) − 2(2𝑛 − 1) 3 (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋   ≥ (2𝑛 − 1) − (1 + ( 4𝑛 − 2 3 ))
Karena 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 = 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 ,  maka 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ akan  selalu  lebih  kecil  atau  sama dengan (1 + ( 4𝑛−2 3 )) . Hal ini mengakibatkan (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ pasti akan selalu lebih besar atau sama dengan (2𝑛 − 1) − (1 + ( 4𝑛−2
3 )) , sehigga terbukti bahwa (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋   ≥ (2𝑛 − 1) − (1 + ( 4𝑛−2 3 )) .
Dengan demikian terbukti bahwa 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 = 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 berada pada selang batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali.
➢ γ r (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) =   (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , 𝑛 ≥ 3, 𝑛 ≠ 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 Graf hasil operasi amalgamasi sisi graf siklus berorde sama merupakan gabungan dari dua buah graf siklus berorde sama dengan masing – masing  graf siklus tersebut menggunakan satu sisi secara bersama (sisi terminal) yang mengakibatkan dua titik bersisian dengan sisi terminal tersebut juga digunakan secara bersama oleh kedua graf siklus tersebut. Penentuan titik  dominasi  terkendali  dimulai  pada  titik  dengan  derajat  terbesar,  sehingga  terdapat kemungkinan kedua atau salah satu titik tersebut dijadikan sebagai titik dominasi terkendali. Selanjutnya,  penentuan  titik  dominasi  terkendali  untuk  titik  yang  lain  (selain  kedua  titik tersebut) dilakukan sama seperti penentuan titik dominasi terkendali untuk masing – masing graf siklus. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa bilangan dominasi terkendali untuk amalgamasi  sisi  graf  siklus    berorde  sama  merupakan  penjumlahan  bilangan  dominasi terkendali dari kedua graf siklus tersebut (2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) . Namun karena dalam penentuan titik dominasi terkendali graf hasil amalgamasi sisi graf siklus berorder sama dan bukan kelipatan 3 harus  pada  kedua  titik  dengan  derajat  terbesar,  maka  jumlah  titik  bilangan  dominasi terkendali untuk graf hasil amalgamasi sisi graf siklus berorde sama dan bukan kelipatan 3 mengalami pengurangan dua titik dominasi terkendali, yaitu; (2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) − 2 .
Maka berdasarkan Teorema 𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 ) = 𝑛 − 2 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , diperoleh :
𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = 2(𝛾 𝑟 (𝐶 𝑛 )) − 2 = 2𝑛 − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ − 2 = (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ berada pada selang batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali dari suatu graf. Berdasarkan  teorema  batas  atas  dan  batas  bawah,  yaitu 𝑛 − ∆≥ 𝛾 𝑟 (𝐺) ≥ 𝑛 − 2𝑚 3 dan observasi 2, diperoleh:
• Batas Atas
(2𝑛 − 2) − 3 ≥ 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) (2𝑛 − 2) − 3 ≥ (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋
Karena 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 ≠ 3𝑘 , dimana 𝑘 ≥ 1 , maka 3 akan selalu lebih kecil atau sama dengan 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ . Hal ini mengakibatkan (2𝑛 − 2) − 3 pasti akan selalu lebih besar atau sama dengan
(2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , sehingga terbukti bahwa (2𝑛 − 2) − 3 ≥ (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ .
•
Batas Bawah
𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) ≥ (2𝑛 − 2) − 2(2𝑛 − 1) 3 (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋   ≥ (2𝑛 − 2) − 4 ( 𝑛 − 1 2 3 )
Karena 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 ≠ 3𝑘 ,  dimana 𝑘 ≥ 1 ,  maka 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ akan  selalu  lebih  kecil  atau  sama dengan 4 ( 𝑛− 1 2 3 ) . Hal ini mengakibatkan (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ pasti akan selalu lebih besar atau sama dengan (2𝑛 − 2) − 4 ( 𝑛− 1 2 3 ) , sehigga terbukti bahwa
(2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋   ≥ (2𝑛 − 2) − 4 ( 𝑛− 1 2 3 ) .
Dengan demikian terbukti bahwa 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑛 ≠ 3𝑘 , dimana 𝑘 ≥ 1 berada pada selang batas atas dan batas bawah bilangan dominasi terkendali.
B. Pembahasan
Implementasi  himpunan  dominasi  terkendali  dari  hasil  penelitian  ini    adalah mempermudah  dalam  menentukan  kardinalitas  minimum  dari  himpunan  dominasi terkendali  pada  suatu  graf  yang  biasa  disebut  sebagai  bilangan  dominasi  terkendali (𝛾 𝑟 ) . Hasil penelitian yang diperoleh berupa teorema  baru terkait bilangan dominasi  terkendali graf hasil operasi amalgamasi titik dan sisi dari dua buah graf siklus berorder sama.
Agar  lebih  mudah  memahami  penerapan  teorema  yang  telah  diperoleh,  perhatikan gambar  1a  dan  1b  berikut  dimana  masing  –  masing  merupakan  hasil  penentuan  bilangan
dominasi terkendali graf hasil operasi amalgamasi titik dan amalgamasi sisi dari graf siklus dengan  graf  siklus  berorder  7,  dengan  titik  berwarna  merah  merupakan  titik  dominasi terkendali sedemikian sehingga jumlah titik tersebut minimum.
(a) (b)
Gambar 2. (a) 𝑫 𝒓 (𝒂𝒎𝒂𝒍(𝑪 𝟕 , 𝑪 𝟕 , 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 )) dan (b) 𝑫 𝒓 (𝒂𝒎𝒂𝒍(𝑪 𝟕 , 𝑪 𝟕 , 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟏 𝒚 𝟐 ))
Berdasarkan gambar 1a  dan 1b di  atas, dapat  dengan mudah mengetahui  bilangan dominasi terkendali (𝛾 𝑟 ) , yaitu masing – masing 5 dan 4. Kendati demikian, hal tersebut akan  menjadi  sulit  jika  nilai 𝑛 semakin  banyak  bahkan  mendekati  tak  hingga.  Hal  ini mendorong  pentingnya  penggunaan  teorema  yang  dihasilkan  dalam  penelitian  ini, sehingga akan diperiksa kebenaran teorema tersebut dengan menggunakan graf yang sama pada gambar 1a dan 1b.
1. Bilangan  dominasi  terkendali  graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  dari  graf  siklus dengan graf siklus berorder 7.
Berdasarkan  teorema  1  dengan 𝑛 = 7 ,  maka  diperoleh 𝛾 𝑟 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 7 , 𝐶 7 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = (2(7) − 1) − 4 ⌊ 7 3 ⌋ = 13 − 4(2) = 5 .
2. Bilangan  dominasi  terkendali  graf  hasil  operasi  amalgamasi  sisi  dari  graf  siklus dengan graf siklus berorder 7.
Berdasarkan teorema 2 dengan 𝑛 = 7 , maka diperoleh
γ r (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 7 , 𝐶 7 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) =   (2(7) − 2) − 4 ⌊ 7 3 ⌋ = 12 − 4(2) = 4 .
Dengan  demikian  teorema  tersebut  dapat  digunakan  untuk  menentukan  bilangan dominasi terkendali graf hasil operasi amalgamasi titik dan amalgamasi sisi dari graf siklus dengan graf siklus berorder sama.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  diperoleh  dari  penelitian  ini,  maka  dapat disimpulkan bahwa teorema 1 dan 2 dapat digunakan untuk menentukan bilangan dominasi terkendali graf hasil operasi amalgamasi titik dan amalgamasi sisi dari graf siklus dengan graf siklus berorder sama. Adapun teorema yang diperoleh yaitu sebagai berikut : Teorema 1.
Untuk 𝑛 ≥ 3 bilangan dominasi terkendali dari (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 , 𝑦 1 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ . Teorema 2.
Untuk 𝑛 ≥ 3 bilangan  dominasi  terkendali  dari  amalgamasi  sisi  graf  siklus  berorde  sama adalah:
1. γ r (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) = (2𝑛 − 1) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , 𝑛 ≥ 3, 𝑛 = 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1 2. γ r (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝐶 𝑛 , 𝐶 𝑛 , 𝑥 1 𝑥 2 , 𝑦 1 𝑦 2 )) =   (2𝑛 − 2) − 4 ⌊ 𝑛 3 ⌋ , 𝑛 ≥ 3, 𝑛 ≠ 3𝑘, dimana 𝑘 ≥ 1
𝑥 1
𝑦 2 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 7 𝑦 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 𝑦 4 𝑦 5 𝑦 6 𝑦 7 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 7 𝑦 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 𝑦 4 𝑦 5 𝑦 6 𝑦 7

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Munir R. Matematika Diskrit, edisi kelima. Bandung: Informatika Bandung; 2012.
[2] Daniel F, Taneo PNL. Teori Graf . Yogyakarta: Deepublish; 2019.
[3] Maro  L. Himpunan  Dominasi  Terkendali  pada  Korona  Graf  Lintasan  dengan Lintasan, Graf Siklus dengan Graf Siklus, dan Graf Lengkap dengan Graf Lengkap . Universitas Hasanuddin; 2017.
[4] Dafik, Roifah M. Kajian Himpunan Dominasi pada Graf Khusus dan Operasinya . In: Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember. 2014; 1(5): 191 – 196. Available from: https://jurnal.unej.ac.id/index.php/psmp/article/view/929/732 .
[5] Domke  GS,  Hattingh  JH,  Hedetniemi  ST,  Laskar  RC,  Markus  LR.  Restrained domination  in  graphs. Discrete  Mathematics .  1999; 203 :  61  –  69.  Available  from: www.elsevier.com/locate/disc
[6] Dankelmann P, Day D, Hattingh JH, Henning MA, Markus LR, Swart HC. On equality in an upper bound for the restrained and total domination numbers of a graph. Discrete Mathematics . 2007; 307 (22): 2845 – 2852. Available from: https://doi.org/10.1016/j.disc.2007.03.003 .
[7] Hattingh  JH,  Joubert  EJ,  Loizeaux  M,  Plummer  AR,  Hattingh  JH,  Joubert  EJ. Restrained Domination  in  Unicyclic Graphs.  In: Discussiones Mathematicae Graph Theory. 2009; 29.
[8] Canoy SR. Restrained domination in  graphs under some binary operations. Applied Mathematical  Sciences .  2014; 8 (121–124):  6025  –  6031.  Available  from: https://doi.org/10.12988/ams.2014.48597 .
[9] Hattingh JH, Joubert EJ. The product of the restrained domination numbers of a graph and its complement. Acta Mathematica Sinica, English Series . 2014; 30 (3): 445 – 452. Available from: https://doi.org/10.1007/s10114-014-2492-1 .
[10] Enriquez EL. Secure Restrained Domination in the Join and Corona of Graphs. Global Journal  of  Pure  and  Applied  Mathematics. 2016;  12(1).  Available  from: http://www.ripublication.com/gjpam.htm .
[11] Maro L, Hasmawati, Nurdin. Penentuan Bilangan Dominasi Terkendali Pada Pn ⨀ Pn dan Kn ⨀ Kn. Universitas Hasanuddin Makassar. 2017.
[12] Maro L, Sanga A, Tuaty ME. Determination of the Restrained Domination Number on Vertex  Amalgamation  and  Edge  Amalgamation  of  the  Path  Graph  With  the  Same Order. BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika Dan Terapan . 2022; 16 (2): 421 – 426. Available from: https://doi.org/10.30598/barekengvol16iss2pp421-426 .