## Interior Subgrup Fuzzy

## Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat, Jl. A. Yani Km 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan 70714, Indonesia
Korespondensi; Email: samunlam@gmail.com

## Abstrak
Tujuan dari penelitian ini adalah memperkenalkan konsep interior fuzzy subgrup (interior subgroup) dalam grup dan menyelidiki beberapa sifat yang terkait.
Kata Kunci Grup; subgrup; interior subgroup; fuzzy subgroup; interior subgrup fuzzy

## Abstract
The  aim  of  this  paper  is  to  introduce  the  notion  of  fuzzy  interior  subgroup  (interior  subgroup)  in  group  and investigate some related properties.
Keywords Group; subgroup; interior subgroup; fuzzy subgroup; fuzzy interior subgroup

## Pendahuluan
Konsep  dasar  himpunan fuzzy  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Zadeh  pada  tahun  1965  [1],  yang beberapa tahun kemudian banyak peneliti tertarik untuk melakukan penelitian lanjutan dengan cara memadukannya dengan bidang lain, seperti pada bidang aljabar dipelopori oleh Rosenfeld pada tahun 1971 [2], yang memadukannya dengan kosep teori grup yang selanjutnya muncul teori grup fuzzy, dan  Kuroki  pada  tahun  1982  [3]  memadukan  dengan  konsep  ideal semiprime  pada  semigrup  dan interior semigrup sehingga menghasilkan konsep pada fuzzy semiprime ideal pada semigrup. Dari penelitian yang dilakukan Kuroki[4], banyak yang mengembangkan ide yang dihasikannya, seperti: Sung  [5]  melakukan  penelitan  dengan  memadukan  dengan  interior  ideal  pada  semigrup,  Jian[6] memadukannya dengan kosep interior ideal pada semigrup, dan Kumar [7] memadukannya dengan kosep interior ideal pada  -semigrup.
Berdasarkan uraian dari penelitian lanjutan dari penelitian yang dilakukan oleh Kuroki[4], penelitian lebih  banyak  dilakukan pada  struktur  semigrup dan  belum  ada  peneliti  yang  melakukan  penelitian interior pada struktur grup atau subgrup, maka pada tulisan ini akan diperkenalkan konsep interior subgrup fuzzy pada struktur grup. Menurut Hotta[8] dan Dummit [9] suatu himpunan tak kosong G dikatakan  membentuk  grup  jika  pada  elemen-elemen  dalam  G  dikenakan  suatu  operasi  binair ⋆ , sedemikian  hingga  dipenuhi  sifat  asosiatif,  adanya  elemen  identitas,  dan  setiap  elemen  di  grup  G mempunyai invers.
Definisi interior subgrup dan interior subgrup fuzzy akan dikontruksi dengan menginduksi definisi interior  dan  interior fuzzy  dari  suatu  semigrup  yang  dibangun  oleh  Kuroki  [4]  dan  Sung  [5],  dan selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat terkait dan karakterisai interior subgrup fuzzy pada suatu grup.

## Landasan Teori
Dalam [8, 9, 10, 11] himpunan tidak kosong 𝐺 yang dilengkapi dengan suatu operasi biner sedemikian hingga dipenuhi sifat tertutup, asosiatif, adanya unsur identitas, dan setiap elemen mempunyai invers, maka 𝐺 disebut grup. Lebih lanjut [11] subset tidak kosong 𝑆 dalam 𝐺 disebut subgrup jika untuk setiap 𝑎, 𝑏  𝑆 dipenuhi 𝑎𝑏 −1 ∈ 𝑆 .
Definisi 2.1 [12, 13, 14] Fungsi  dikatakan sebagai subset fuzzy dari himpunan tidak kosong 𝐺 jika  adalah suatu fungsi dari 𝐺 ke interval tutup [0, 1] . Selanjutnya untuk penulisan koleksi dari subset fuzzy dari 𝐺 disimbolkan dengan 𝔽(𝐺) .
Definisi 2.2 [13] Misalkan 𝐺 adalah suatu grup dan  𝔽(𝐺) . Subset fuzzy  dari grup 𝐺 disebut subgrup fuzzy dari 𝐺 jika untuk setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 berlaku
(i).  (𝑥𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦)} , dan (ii).  (𝑥 −1 ) ≥  (𝑥) .
Lemma  2.3  [5] Diberikan 𝑆 adalah  subset  tidak  kosong  dari  semigrup 𝐺 dan  𝑠 adalah  fungsi karakteristik dari 𝑆 , maka 𝑆 adalah subsemigrup dari 𝐺 jika dan hanya jika  𝑠 adalah subsemigrup fuzzy dari G.
Definisi  2.4[12] Misalkan  adalah  subset  fuzzy  dari  grup 𝐺 dan 𝑡  [0, 1] .  Himpunan  𝑡 = {𝑥  𝐺 |  (𝑥)   ≥  𝑡} disebut level subset dari  .
Berikut diberikan definisi interior subgrup dan interior subgrup fuzzy yang diinduksi dari [4, 5]: Definisi 2.5 Subgrup 𝑆 dari grup 𝐺 disebut interior dari 𝐺 jika untuk setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 dan 𝑎  𝑆 maka 𝑥𝑎𝑦  𝑆 .
Definisi  2.6 Subgrup  fuzzy  dari  grup 𝐺 disebut  interior  subgrup  fuzzy  dari 𝐺 jika  untuk  setiap 𝑥, 𝑎, 𝑦  𝐺 berlaku  (𝑥𝑎𝑦) ≥  (𝑎) .

## Hasil dan Pembahasan
Lemma 3.1 [15] Misalkan  adalah subgrup fuzzy dari grup 𝐺 , maka untuk setiap 𝑥  𝐺 berlaku: (i).  (𝑒) ≥  (𝑥) , dan (ii).  (𝑥) =  (𝑥 −1 ) .
Bukti: Diambil sebarang 𝑥  𝐺 . Mengingat 𝐺 grup dan 𝑥  𝐺 , maka ada 𝑥 −1 ∈ 𝐺 dan 𝑥 = (𝑥 −1 ) −1 sedemikian hingga 𝑥𝑥 −1 = e . Menurut yang diketahui  adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 , maka  (𝑥 −1 ) ≥  (𝑥) yang mengakibatkan (i).  (𝑒) =  (𝑥𝑥 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑥),  (𝑥 −1 )} ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑥),  (𝑥)} =  (𝑥). ⟺  (𝑒) ≥ =  (𝑥).
(ii).  (𝑥) =  ((𝑥 −1 ) −1 )
≥  (𝑥 −1 ) ≥  (𝑥)
⟺  (𝑥) =  (x −1 ) . ■
Lemma 3.2 [2] Subset fuzzy  dari grup 𝐺 disebut subgrup fuzzy dari 𝐺 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 berlaku  (𝑥𝑦 −1 )   ≥  𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦)} .
Bukti: ( ⇛ )  Misalkan  adalah  subgrup fuzzy  dari  grup 𝐺 .  Akan  dibuktikan  untuk  setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 berlaku  (𝑥𝑦 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑥),  (𝑦)} . Diambil sebarang 𝑥, 𝑦  𝐺 . Mengingat  adalah subgrup fuzzy dari grup 𝐺 , maka berlaku  (𝑦 −1 ) ≥  (𝑦) . Akibatnya:
 (𝑥𝑦 −1 )   ≥  𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦 −1 )} ≥  𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦)}.
Jadi untuk setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 berlaku  (𝑥𝑦 −1 )   ≥  𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦)} .
( ⇚ )  Misalkan  adalah subset  fuzzy  dari  grup 𝐺 dan  untuk  setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 berlaku  (𝑥𝑦 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑥),  (𝑦)} . Akan dibuktikan  adalah subgrup fuzzy dari grup 𝐺 .
Diambil  sebarang 𝑥  𝐺 ,  maka  menurut  yang  diketahui  dipenuhi  (𝑥𝑥 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑥),  (𝑥)} yang mengakibatkan  (𝑒) ≥  (𝑥) untuk setiap 𝑥  𝐺 .
Karena 𝑒 adalah unsur identitas di grup 𝐺 dan untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐺 ada 𝑦 −1 ∈ 𝐺 sedemikian hingga 𝑦𝑦 −1 = 𝑒 dan 𝑦 −1 = 𝑒𝑦 −1 , maka menurut yang diketahui diperoleh
 (𝑦 −1 ) =  (𝑒𝑦 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑒),  (𝑦)} =  (𝑦)}
Selanjutnya, diambil sebarang 𝑥, 𝑦  𝐺 .
Mengingat 𝐺 adalah grup maka untuk setiap elemen di 𝐺 berlaku 𝑦 = (𝑦 −1 ) −1 , sehingga menurut yang diketahui dipenuhi:
 (𝑥𝑦) =  (𝑥(𝑦 −1 ) −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦 −1 )} ≥ 𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦)}.
Berdasarkan analisa di atas, diperoleh dua kondisi yang dipenuhi oleh setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 , yaitu: (i).  (𝑥𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦)} , dan (ii).  (𝑦 −1 ) ≥  (𝑦) .
Akibatnya, menurut Definisi 2.2,  adalah subgrup fuzzy dari grup 𝐺 . ■
Teorema 3.3 Misalkan 𝑆 adalah subset tidak kosong dari grup 𝐺 , maka 𝑆 adalah interior subgrup dari 𝐺 jika dan hanya jika fungsi karakteristik  𝑠 dari 𝑆 adalah interior subgrup fuzzy dari 𝐺 .
Bukti:
( ⇛ ) Misalkan 𝑆 adalah interior subgrup dari grup 𝐺 , dan didefinisikan fungsi karakteristik  𝑠 dari 𝑆 , yaitu:
φ S (x) = { 1, x ∈ S 0, x ∈ G\S
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 . Akan dibuktikan fungsi karakteristik  𝑠 dari 𝑆 adalah interior subgrup fuzzy dari 𝐺 . Mengingat 𝑆 adalah interior subgrup dari 𝐺 , maka menurut Definisi 2.5, 𝑆 adalah subgrup dari 𝐺 . Diambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , maka ada tiga kemungkinan jika keanggotaan 𝑎 dan 𝑏 dikaitkan dengan keanggotaan di 𝑆 , yaitu:
(i). Jika 𝑎, 𝑏  𝑆 maka 𝑎𝑏 −1 ∈ 𝑆 sehingga φ S (a) = φ S (b −1 ) =  φ S (ab −1 ) = 1 . Akibatnya:  𝑆(𝑎𝑏 −1 ) = 1 = 𝑚𝑖𝑛 {1, 1} = 𝑚𝑖𝑛 {  𝑆(𝑎),  𝑆(𝑏)} . (ii). Jika 𝑎 ∈ 𝑆 dan 𝑏 ∈ 𝐺\𝑆 , maka φ S (ab −1 ) ≥ 0 , φ S (b) = 0 , dan φ S (a) = 1 . Akibatnya:  𝑆(𝑎𝑏 −1 ) ≥  0 = 𝑚𝑖𝑛 {1, 0} = 𝑚𝑖𝑛 {  𝑆(𝑎),  𝑆(𝑏)} . (iii). Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺\𝑆 , maka φ S (ab −1 ) ≥ 0 , dan φ S (a) = φ S (b) = 0 . Akibatnya:  𝑆(𝑎𝑏 −1 ) ≥ 0 = 𝑚𝑖𝑛 {0, 0}
= 𝑚𝑖𝑛 {  𝑆(𝑎),  𝑆(𝑏)}
Berdasarkan  hasil  analisa  pada  bagian  (i),  (iii),  dan  (iii)  diperoleh  𝑠(𝑎𝑏 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛 {  𝑠(𝑎),  𝑠(𝑏)} untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , sehingga menurut Teorema 3.2:  𝑠 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 . Selanjutnya, diambil sebarang 𝑥, 𝑎, 𝑦 ∈ 𝐺 . (i). Jika 𝑎 ∈ 𝑆 , maka 𝑥𝑎𝑦 ∈ 𝑆 yang mengakibatkan  𝑠(𝑥𝑎𝑦) = 1 =  𝑠(𝑎) . (ii). Jika 𝑎  𝑆 , maka  𝑆(𝑎) = 0 , sehingga diperoleh  𝑠(𝑥𝑎𝑦) ≥ 0 =  𝑠(𝑎) .
Karena  untuk  setiap 𝑥, 𝑎, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku  𝑠(𝑥𝑎𝑦) ≥  𝑠(𝑎) ,  maka  fungsi  karakteristik  𝑠 dari 𝑆 adalah interior subgrup fuzzy dari 𝐺 .
( ⇚ ) Misalkan  𝑠 adalah fungsi karakteristik dari 𝑆 dengan 𝑆 adalah subset tidak kosong di grup 𝐺 dan  𝑠 adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 . Akan dibuktikan 𝑆 adalah interior subgrup dari 𝐺 . Diambil sebarang 𝑎, 𝑞  𝑆 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 maka φ S (a) = φ S (q) = 1 . Mengingat  𝑠 adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 , maka berlaku: (i).  𝑠(𝑎𝑞 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜑 𝑆 (𝑎), 𝜑 𝑆 (𝑞)} = 𝑚𝑖𝑛{1, 1} = 1 Akibatnya,  𝑠(𝑎𝑞 −1 ) = 1 sehingga 𝑎𝑞 −1 ∈ 𝑆 , dengan kata lain 𝑆 subgrup dari 𝐺 . (ii).  𝑠(𝑥𝑎𝑦) ≥  𝑠(𝑎)
Mengingat 𝑎 ∈ 𝑆 dan  𝑠 adalah  fungsi  karakteristik  dari 𝑆 ,  maka  𝑠(𝑎) = 1 ,  Akibatnya,  𝑠(𝑥𝑎𝑦) = 1 sehingga 𝑥𝑎𝑦 ∈ 𝑆 .
Berdasarkan analisa di atas diperoleh kondisi  a q −1 ∈ 𝑆 dan 𝑥𝑎𝑦 ∈ 𝑆 untuk setiap 𝑎, 𝑞 ∈ 𝑆 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 , sehingga berdasarkan Definisi 2.5, 𝑆 adalah interior subgrup dari 𝐺 . ■
Teorema 3.4 Jika 𝑆 adalah interior subgrup dari grup 𝐺 , maka untuk setiap 𝑡 ∈ (0, 1) terdapat interior subgrup fuzzy  dari 𝐺 sedemikian hingga  𝑡 = 𝑆 .
Bukti:
Misalkan 𝑆 adalah interior subgrup dari grup 𝐺 , dan didefinisikan subset fuzzy  dari 𝐺 dengan:
φ(x) = { t, x ∈ S
0, x ∈ G\S
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 dan 𝑡 ∈ (0, 1) . Diambil sebarang 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺 , maka: (i). Jika 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑆 .
Mengingat 𝑆 adalah interior subgrup dari grup 𝐺 , maka 𝑆 adalah subgrup dari 𝐺 sehingga berlaku c d −1  S yaitu  (c) =  (d −1 ) =  (cd −1 ) = 𝑡 . Akibatnya:
 (𝑐𝑑 −1 ) = 𝑡
= 𝑚𝑖𝑛{𝑡, 𝑡} = 𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑑)} . (ii). Jika 𝑐 ∈ 𝑆 dan 𝑑 ∈ 𝐺\𝑆 , maka  (cd −1 ) ≥ 0 ,  (c) = 𝑡 , dan  (d) =  0 . Akibatnya:  (𝑐𝑑 −1 ) ≥ 0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑡, 0} = 𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑑)} .
(iii). Jika 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺\𝑆 , maka  (cd −1 )   ≥  0 , dan  (𝑐) =  (𝑑) = 0 . Akibatnya:  (c d −1 ) ≥ 0 = 𝑚𝑖𝑛{0, 0}
= 𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑑)}
Berdasarkan hasil analisa pada bagian (1), (iii), dan (iii) diperoleh
 (𝑎𝑏 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑎),  (𝑏)}
untuk setiap 𝑎, 𝑏  𝐺 , sehingga menurut Teorema 3.2:  adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 .
Selanjutnya, diambil sebarang 𝑧, 𝑠, 𝑤 ∈ 𝐺 . (i). Jika 𝑠 ∈ 𝑆 , maka 𝑥𝑠𝑦 ∈ 𝑆 yang mengakibatkan  (𝑧𝑠𝑤) = 𝑡 =  (𝑠) . (ii). Jika 𝑠 ∉ 𝑆 , maka  (𝑠) = 0 yang mengakibatkan  (𝑧𝑠𝑤) ≥ 0 =  (𝑠) .
Karena untuk setiap 𝑥, 𝑎, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku  (𝑧𝑠𝑤) ≥  (𝑠) , maka subset fuzzy  adalah interior subgrup fuzzy  dari 𝐺 .  Lebih  lanjut,  dengan  memperhatikan  definisi level  subset  𝑡 dari  dan  definisi keanggotaan dari  , maka  𝑡 = {𝑔 ∈ 𝐺 |  (𝑔)   ≥  𝑡}
= {𝑔 ∈ 𝐺 | 𝑔  𝑆}
= 𝑆 . ■
Lemma 3.5 Misalkan 𝐺 adalah suatu grup. Subset fuzzy  dari 𝐺 adalah interior fuzzy subgrup dari G  maka  level  subset  𝑡 dari  adalah  interior  subgrup  dari 𝐺 untuk  setiap 𝑡 ∈  (𝐺) ∪   {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠  ≤  (𝑒)} .
Bukti: Misalkan  adalah interior fuzzy subgrup dari 𝐺 , maka  adalah subgrup fuzzy, sehingga menurut Lemma 3.1:
 (𝑒) ≥  (𝑥) = 𝑡
untuk suatu 𝑡 ∈ [0, 1] , yang mengakibatkan 𝑒 ∈  𝑡 , dengan kata lain  𝑡  ≠  . Diambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈  𝑡 maka
 (𝑎) ≥ 𝑡 dan  (𝑏) ≥ 𝑡 .
Mengingat  adalah subgrup fuzzy, maka menurut Lemma 3.2:
 (𝑥𝑦 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑥),  (𝑦)} = 𝑚𝑖𝑛{𝑡, 𝑡} = 𝑡
yang menyebabkan 𝑥𝑦 −1 ∈  𝑡 . Dengan kata lain  𝑡 adalah subgrup dari 𝐺 .
Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan 𝑠 ∈  𝑡 maka  (𝑠) ≥ 𝑡 . Karena  adalah interior subgrup fuzzy dari 𝐺 maka berlaku
 (𝑥𝑠𝑦) ≥  (𝑠) ≥  𝑡
sehingga 𝑥𝑠𝑦 ∈  𝑡 dengan kata lain  𝑡 adalah interior subgrup dari 𝐺 . ■
Lemma 3.6 Misalkan 𝐺 adalah suatu grup. Level subset  𝑡 dari  adalah interior subgrup dari 𝐺 untuk  setiap 𝑡 ∈  (𝐺) ∪ {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠 ≤  (𝑒)} ,  maka  subset  fuzzy  dari 𝐺 adalah  interior  fuzzy subgrup dari 𝐺 .
Bukti: Misalkan  𝑡 adalah interior subgrup dari 𝐺 untuk setiap 𝑡 ∈  (𝐺)   ∪   {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠  ≤  (𝑒)} . Akan dibuktikan subset fuzzy  dari 𝐺 adalah interior fuzzy subgrup dari 𝐺 . Diambil sebarang 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐺 maka terdapat 𝑚, 𝑛 ∈ [0, 1] sedemikian hingga
 (𝑧) = 𝑚 dan  (𝑤) = 𝑛 .
Misalkan 𝑑 = 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛} , maka
 (𝑧) = 𝑚 ≥ 𝑑 dan  (𝑤) = 𝑛 ≥ 𝑑
sehingga 𝑧, 𝑤  𝑑 .
Karena  𝑡 adalah interior subgrup dari 𝐺 untuk setiap 𝑡 ∈  (𝐺) ∪ {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠  ≤  (𝑒)} , maka  𝑑 sehingga 𝑧𝑤 −1 ∈  𝑑 yang mengakibatkan
 (𝑧𝑤 −1 ) ≥ 𝑑 = 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛} = 𝑚𝑖𝑛{  (𝑧),  (𝑤)} .
Selanjutnya, andaikan ada 𝑧 0 ,  𝑥 0 , 𝑤 0 ∈ 𝐺 sedemikian hingga  (𝑧 0 𝑥 0 𝑤 0 ) <  ( 𝑥 0 ) . Misalkan
𝑡 0 = 1 2 [(𝑧 0 𝑥 0 𝑤 0 ) +  ( 𝑥 0 )]
maka berlaku
 (𝑧 0 𝑥 0 𝑤 0 ) <  𝑡 0 <  (𝑥 0 ) ⟺  (𝑧 0 𝑥 0 𝑤 0 ) < 𝑡 0 dan  (𝑥 0 ) >  𝑡 0 . ⟺   𝑧 0 𝑥 0 𝑤 0  𝜑 𝑡 0 dan 𝑥 0  𝜑 𝑡 0 .
Dari fakta 𝑧 0 𝑥 0 𝑤 0 ∉ 𝜑 𝑡 0 dan 𝑥 0 ∈ 𝜑 𝑡 0 , maka 𝜑 𝑡 0 bukan interior subgrup dari 𝐺 untuk suatu 𝑡 0 ∈  (𝐺) ∪ {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠  ≤  (𝑒)} .  Kondisi 𝜑 𝑡 0 bukan  interior  subgrup  dari 𝐺 untuk  suatu 𝑡 0 ∈  (𝐺) ∪ {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠 ≤  (𝑒)} , kontradiksi dengan yang diketahui yaitu  𝑡 adalah interior subgrup dari 𝐺 untuk setiap 𝑡 ∈  (𝐺) ∪ {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠 ≤  (𝑒)} ,  sehingga  pengandaian  salah,  seharusnya  (𝑧𝑥𝑤) ≥  (𝑥) untuk setiap 𝑧, 𝑥, 𝑤  𝐺 .
Berdasarkan analisa di atas, maka diperoleh bahwa subset fuzzy  dari grup 𝐺 adalah interior fuzzy subgrup dari 𝐺 . ■
Akibat 3.7 Subset fuzzy  dari grup 𝐺 adalah interior fuzzy subgrup dari 𝐺 jika dan hanya jika level subset  𝑡 dari  adalah interior subgrup dari 𝐺 untuk setiap 𝑡 ∈  (𝐺) ∪ {𝑠 ∈ [0, 1]|𝑠 ≤  (𝑒)} .
Lemma 3.8 Misalkan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 . Dua level subset 𝜑 𝑠 dan 𝜑 𝑡 dari  dengan 𝑠 <  𝑡 adalah sama jika dan hanya jika tidak ada 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian hingga 𝑠 ≤  (𝑎) < 𝑡 .
Bukti:
( ⇛ ) Misalkan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 dan 𝜑 𝑠 = 𝜑 𝑡 dengan 𝑠 < 𝑡 . Akan dibuktikan tidak ada 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian hingga 𝑠 ≤  (𝑎) < 𝑡 . Andaikan ada 𝑎  𝐺 sedemikian hingga 𝑠 ≤  (𝑎) < 𝑡 maka 𝑎 ∈ 𝜑 𝑠 dan 𝑎 ∉ 𝜑 𝑡 , yang mengakibatkan 𝜑 𝑠 ≠ 𝜑 𝑡 . Kondisi: 𝜑 𝑠 ≠ 𝜑 𝑡 kontradiksi  dengan  yang  diketahui  yaitu 𝜑 𝑠 = 𝜑 𝑡 ,  sehingga  pengandaian  salah, seharusnya tidak ada 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian hingga 𝑠 ≤  (𝑎) < 𝑡 .
( ⇚ ) Misalkan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 dan tidak ada 𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian hingga 𝑠  ≤  (𝑎) <  𝑡 . Akan dibuktikan 𝜑 𝑠 = 𝜑 𝑡 dengan 𝑠 < 𝑡 . Diambil sebarang 𝑎  𝜑 𝑡 , maka  (𝑎) ≥ 𝑡 >  𝑠 yang mengakibatkan  (𝑎) > 𝑠 , sehingga diperoleh 𝑎 ∈ 𝜑 𝑠 , yaitu 𝜑 𝑡 ⊆ 𝜑 𝑠 . Selanjutnya, diambil sebarang 𝑎 ∈ 𝜑 𝑠 maka  (𝑎) ≥ 𝑠 .
Karena  (𝑎) ≥ 𝑠 dan  tidak 𝑎  𝐺 sedemikian  hingga 𝑠 ≤  (𝑎)   < 𝑡 ,  maka  (𝑎) ≮ 𝑡 yang mengakibatkan  (𝑎) ≥ 𝑡 , yaitu 𝑎  𝜑 𝑡 , dengan kata lain 𝜑 𝑠  𝜑 𝑡 . Akibatnya 𝜑 𝑠 = 𝜑 𝑡 . ■
Lemma 3.9 Misalkan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup G, maka
𝜑 ⋆ = {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑒)}
adalah interior subgroup dari 𝐺 .
Bukti: Dari definisi keanggotaan φ ⋆ maka φ ⋆ ⊆ G . Mengingat 𝑒 adalah unsur identitas di 𝐺 , maka φ(e) = φ(e) dengan kata lain 𝑒 ∈ φ ⋆ .
Selanjutnya diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝜑 ⋆ dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 maka φ(a) = φ(e) , φ(b) = φ(e) dan φ(c) = φ(e) . Karena  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 , maka
φ(bc −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{φ(b), φ(c) }
= φ(e)
dan
 (𝑥𝑎𝑦) ≥  (𝑎) = φ(e)
yang mengakibatkan bc −1 ∈ φ ⋆ dan xay ∈ φ ⋆ , dengan kata lain φ ⋆ interior subgrup dari 𝐺 . ■
Lemma 3.10 Misalkan  dan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 . Jika  ⊆  dan  (𝑒) =  (𝑒) , maka 𝜑 ⋆ ⊆ 𝛿 ⋆ .
Bukti: Misalkan  dan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 dengan  ⊆  dan  (𝑒) =  (𝑒) . Akan dibuktikan φ ⋆ ⊆ δ ⋆ .
Diambil  sebarang 𝑎  φ ⋆ , maka  (𝑎) =  (𝑒) .  Mengingat  ⊆  ,  maka  menurut  [14,  Definisi 1.14]  (𝑥) ≥  (𝑥) untuk setiap 𝑥  𝐺 , sehingga pada saat 𝑥 = 𝑎 , maka berlaku
 (𝑎) ≥  (𝑎) =  (𝑒) =  (𝑒) ⟺  (𝑎) ≥  (𝑒) .
Karena  (𝑎) ≥  (𝑒) ,  adalah  interior  subgrup fuzzy  dari  grup 𝐺 ,  maka  berdasarkan  Lemma  3.1 haruslah  berlaku  (𝑒) ≥  (𝑎) untuk  setiap 𝑎  𝐺 ,  sehingga  (𝑒) =  (𝑎) yang  mengakibatkan 𝑎  ⋆ . Dengan kata lain 𝑎  ⋆ , sehingga diperoleh φ ⋆ ⊆   δ ⋆ . ■
Berikut dikontruksi definisi interior subgrup fuzzy dari suatu grup yang bersifat normal yang diinduksi dari [16].
Definisi 3.11 Misalkan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 . Interior subgrup fuzzy  bersifat normal, jika ada 𝑥 ∈ 𝐺 sedemikian hingga  (𝑥) = 1 .
Teorema 3.12 Jika  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 yang bersifat normal, maka  (𝑒) = 1 .
Bukti:
Misalkan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 yang bersifat normal, maka ada 𝑞 ∈ 𝐺 sedemikian hingga  (𝑞) = 1 . Mengingat  adalah interior subgrup fuzzy dari 𝐺 , maka  adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 , sehingga menurut Lemma 3.1:  (𝑒) ≥  (𝑞) = 1 , yang mengakibatkan  (𝑒) = 1 . ■
Teorema 3.13 Jika  dan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 yang bersifat normal dan  ⊆  , maka 𝜑 ⋆ ⊆ 𝛿 ⋆ .
Bukti: Misalkan  dan  adalah interior subgrup fuzzy dari grup 𝐺 yang bersifat normal dan  ⊆  , maka menurut Teorema 3.12:  (𝑒) =  (𝑒) = 1 dan  (𝑎) ≥  (𝑎) untuk setiap 𝑎  𝐺 . Akan dibuktikan φ ⋆ ⊆ δ ⋆ . Diambil  sebarang 𝑏  φ ⋆ ,  maka  (𝑏) =  (𝑒) ,  sehingga  (𝑏) ≥  (𝑏) =  (𝑒) =  (𝑒) = 1 .  Akibatnya menurut Lemma 3.1, maka  (𝑏) = 1 , yaitu  (𝑏) =  (𝑒) sehingga 𝑎  δ ⋆ dengan kata lain φ ⋆ ⊆ δ ⋆ . ■
Teorema 3.14 Jika 𝜑 𝑆 fungsi karakteristik dari interior subgrup 𝑆 di grup 𝐺 , maka 𝜑 𝑆 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal dan 𝜑 𝑆 ⋆ = S.
Bukti:
Misalkan φ 𝑆 fungsi karakteristik dari interior subgrup 𝑆 di grup 𝐺 . Akan dibuktikan φ 𝑆 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal dan φ 𝑆 ⋆ = 𝑆 . Mengingat 𝑆 adalah interior subgrup 𝑆 di grup 𝐺 , maka menurut Teorema 3.3: φ 𝑆 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 dan 𝑆 memuat unsur identitas 𝑒 ,  sehingga φ 𝑆 (𝑒) = 1 ,  yang  mengakibatkan φ 𝑆 adalah  interior  subgrup  fuzzy  di 𝐺 yang  bersifat normal. Selanjutnya,
φ 𝑆 ⋆ =   {𝑥 ∈ 𝐺 |𝜑 𝑆 (𝑥) = 𝜑 𝑆 (𝑒) } =   {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝜑 𝑆 (𝑥)  1 } = {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝑥 ∈ 𝑆 } =  𝑆 .
Jadi, φ 𝑆 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal dan φ 𝑆 ⋆ = 𝑆 . ■
Teorema 3.15. Misalkan 𝐺 adalah grup dan  ,  𝔽(𝐺) . Jika  dan  adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal, maka   adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal.
Bukti: Misalkan  dan  adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang  bersifat normal. Akan dibuktikan   adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal. Mengingat  dan  adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal dan definisi   , maka untuk setiap 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺 berlaku:
(i). (   )(𝑐𝑑 −1 ) =  𝑚𝑖𝑛{  (𝑐𝑑 −1 ),  (𝑐𝑑 −1 )} ≥  𝑚𝑖𝑛{𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑑)}, 𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑑)}}
= 𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑑),  (𝑐),  (𝑑)}
=  𝑚𝑖𝑛{𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑐)}, 𝑚𝑖𝑛{  (𝑑),  (𝑑)}}
= 𝑚𝑖𝑛{(   )(𝑐), (   )(𝑑)} .
(ii). (   )(𝑒) =  𝑚𝑖𝑛{  (𝑒),  (𝑒)}
= 𝑚𝑖𝑛{1,1} = 1 . (iii). (   )(𝑏𝑐𝑑) = 𝑚𝑖𝑛{  (𝑏𝑐𝑑),  (𝑏𝑐𝑑)} ≥ 𝑚𝑖𝑛{  (𝑐),  (𝑐)} = (   )(𝑐)
Jadi,   adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 yang bersifat normal. ■

## Kesimpulan
Hasil penting yang diperoleh dari penelitian ini adalah definisi interior subgrup (interior subgrup fuzzy) dari grup 𝐺 , dan Teorema yang menyatakan bahwa Subset fuzzy  dari grup 𝐺 adalah interior fuzzy subgrup dari 𝐺 jika dan hanya jika level subset  𝑡 dari  adalah interior subgrup dari 𝐺 untuk setiap 𝑡  (𝐺) ∪ {𝑠 ∈ [0, 1] | 𝑠  ≤  (𝑒)} .  Sifat  ini  yang  menghubungkan  antara  antara  interior  subgrup dihimpunan kelasiknya dengan interior subgrup fuzzy pada himpunan fuzzynya.

## Referensi
[1]  L. A. Zadeh, 1965, Fuzzy Sets , Inf. Control, Vol. 8(3): pp. 338–353.
[2]  A. Rosenfeld, 1971, Fuzzy groups , J. Math. Anal. Appl., Vol. 35(3): pp. 512–517.
[3]  N. Kuroki, 1992, Fuzzy generalized Bi-ideals in semigroups , Inf. Sci, Vol. 66(3): pp. 235–243.
[4]  N. Kuroki, 1982, Fuzzy Semiprime Ideals in Semigroup , Fuzzy Sets Syst., Vol. 8(1): pp. 71–79.
[5]  M. H. Sung, B. J. Young, and J. Meng, 1995, Fuzzy interior ideals in semigroups , Indian J. pure appl. Math, Vol. 26(9): pp. 859–863.
[6]  Z. Jian-ming and M. A. Xue-ling, 2008, On Fuzzy Interior Ideals in Semigroups , Vol. 28(1): pp. 103–110.
[7]  S. Kumar, B. Davvaz, and S. Kumar, 2010, A study on fuzzy interior ideals of Γ -semigroups , Comput. Math. with Appl., Vol. 60(1): pp. 90–94.
[8]  S. Hotta, 2018, Introductory Group Theory , in Mathematical Physical Chemistry: Practical and Intuitive Methodology, Springer Singapore, Singapore.
[9]  D. David S and F. Richard M, 2004, Abstract Algebra , 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc.
[10]  J. B. Fraleigh, 2002, A First Course In Abstract Algebra , 7th ed. Pearson.
[11]  R. Lal, 2017, Group Theory, in Algebra 1: Groups, Rings, Fields and Arithmetic, Springer Singapore, Singapore.
[12]  J. N. Mordeson, 2011, Zadeh’s influence on mathematics , Sci. Iran., Vol. 18(3): pp. 596–601.
[13]  J. N. Mordeson, K. R. Bhutani, and A. Rosenfeld, 2005, Fuzzy Subsets and Fuzzy Subgroups, in Fuzzy Group Theory, Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg.
[14]  J. N. Mordeson, D. S. Malik, and N. Kuroki, 2003, Introduction’, in Fuzzy Semigroups, Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg.
[15]  S. Abdurrahman, 2012, Ideal Fuzzy Near-Ring , J. Epsil., Vol. 6(2): pp. 13–19.
[16]  S.  Abdurrahman,  2014, Karakterisasi  Ideal  Maksimal  Fuzzy  Near-Ring ,  Seminar  Nasional  Pendidikan  Matematika Ahmad Dahlan (Sendikmad), Yogyakarta, 27 Desember 2014, pp. 1199–1207.

## THIS PAGE INTENTIONALLY LEFT BLANK