## PEMBENTUKAN ISOMORFISMA DARI GELANGGANG FAKTOR KE GELANGGANG FAKTOR LOKAL
Amir Kamal Amir
Kelompok Keahlian Aljabar Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin  (UNHAS)
Jl. Perintis Kemerdekaan KM.10 Makassar 90245, Indonesia amirkamalamir@yahoo.com

## Abstrak
Suatu  gelanggang  lokal  adalah  gelanggang  yang  hanya  mempunyai    satu  ideal maksimal.    Ideal  prim  suatu  gelanggang  dapat  dipakai  untuk  mencari  gelanggang  local dan dapat juga dipakai untuk membentuk gelanggang faktor. Sedangkan ideal maksimal dari  gelanggang  lokal  dapat  dipakai  untuk  membentuk  gelanggang  faktor  lokal.  Tulisan ini  akan    memaparkan  secara  lebih  terperinci  dan  jelas,  sehingga  akan  lebih  mudah dimengerti,  mengenai  gelanggang  faktor  dan  pembentukan  isomorfisma  antara gelanggang faktor dengan gelanggang faktor lokal.
Keywords : faktor ,  gelanggang  lokal, maksimal, multiplikatif,  ideal prim.

## PENDAHULUAN
Dari suatu daerah  integral  dapat dibentuk suatu lapangan yang disebut lapangan fraksi.  Dalam  sutau  lapagan  fraksi  dapat  ditemukan  suatu  gelanggang    yang  hanya mempunyai satu ideal maksimal. Gelanggang seperti ini disebut gelanggang lokal. Salah satu  cara  untuk  mendapatkan  gelanggang  local  yaitu  dengan  menggunakan  himpunan bagian  multiplikatif.  Sedangkan  untuk  mendapatkan  himpunan  multiplikatif    dapat digunakan ideal prim.
Permasalahan yang akan dibahas dalam  tulisan ini adalah bagaiamana merancang atau  membentuk  satu  isomorfisma  dari  gelanggang    faktor    ke  gelanggang  faktor  lokal. Dalam  tulisan ini  memaparkan secara lebih terperinci dan jelas, sehingga lebih mudah untuk  dimengerti,  mengenai  himpunan  bagian  multiplikatif,  gelanggang  lokal,  dan  satu isomorfisma  dari  gelangggang  faktor    ke  gelanggang  faktor  lokal.  Dengan  terbentuknya
isomorfisma  ini,  maka  gelanggang    faktor    akan  isomorfik  dengan  gelanggang  faktor lokal.  Dengan  demikian  untuk  mengetahui  struktur  dari  gelanggang  faktor  lokal  dapat diselidiki  melalui  gelanggang  faktor  yang  lebih  sederhana.  Untuk  mempermudah pembahasan,  maka  pada  bagian  awal  dari  tulisan  ini  disajikan  beberapa  pengertian,  dan notasi yang akan digunakan dalam pembahsan selanjutnya.

## PEMBAHASAN
Untuk  mempermudah  pembahasan,  maka  pada  bagian  awal  dari  bagian    ini disajikan  beberapa  pengertian,  dan  notasi  yang  akan  digunakan  dalam  pembahsan selanjutnya.

## Definisi 1.1
Suatu  gelanggang R disebut  gelanggang    lokal    jika  ia  mempunyai    tepat    satu  ideal maksimal.

## Contoh 1.2
Misalkan R adalah  sebagai  berikut, , , 0, ganjil a R a b Z b b b   = ∈ ≠     ,  maka R adalah
gelanggang lokal, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa , , 0, ganjil, genap a M a b Z b b a b   = ∈ ≠     adalah satu-satunya
ideal maksimal dari R . Dengan mudah dapat diamati bahwa M adalah suatu ideal dalam R .  Selanjutnya  misalkan I adalah  suatu    ideal  dalam R dengan . I R ≠ Untuk menunjukkan  bahwa M adalah  satu-satunya  ideal  maksimal,  maka  akan  ditunjukkan bahwa I termuat dalam M .  Andaikan I tidak termuat dalam M, berarti terdapat a b I ∈ dengan 0, b ≠ b ganjil,  dan a ganjil  .  Karena a ganjil,  maka . b a R ∈ Dengan  demikian
1 . a b I b a = ∈ .    Karena    1 , I ∈ maka . I R = Hal  ini  kontradiksi  dengan  pernyataan sebelumnya.

## Definisi 1.3
Misalkan D adalah  suatu  daerah  integral.  Terdapat    suatu  lapangan K yang  memuat D dengan syarat untuk setiap , c K ∈ c dapat ditulis dalam bentuk 1 , , c ab a b D − = ∈ dan
0. b ≠ Lapangan seperti ini disebut lapangan fraksi dari D .
Contoh 1.4
Q adalah lapangan fraksi dari   , Z dengan Q adalah  himpunan bilangan rasional dan Z adalah himpunan bilangan bulat.

## Definisi 1.5
Misalkan D adalah  suatu  daerah  integral  dengan    lapangan  fraksi K. suatu  himpunan bagian S dari D disebut himpunan bagian multiplikatif  jika  0 , 1 , S S ∉ ∈ dan S tertutup terhadap  operasi  perkalian.  Selanjutnya,  jika S adalah  suatu  himpunan  bagian multiplikatif, maka didefinisikan 1 a S D K b S b −   = ∈ ∈     . Himpunan ini jelas merupakan suatu subgelanggang dari K.
Contoh 1.6
{ } 1 2 3 1, 2 , 2 , 2 , S = L adalah himpunan bagian multiplikatif dari daerah integral   , Z yaitu himpunan bilangan bulat.
Pada teori berikut diberikan hubungan antara ideal prim dengan himpunan bagian multiplikatif.

## Teorema 1.7
Jika P adalah  suatu  ideal  prim  dari D ,  maka
\ P S D P = adalah  suatu  himpunan  bagian multiplikatif  dari D .

## Bukti:
Karena  0 , P ∈ maka   0 . P S ∉ Karena  1 , P ∉ maka   1 . P S ∈ Selanjutnya, ambil    , P a b S ∈ berarti    , . a b P ∉ Dengan  menggunakan  sifat  prim  dari P diperoleh . ab P ∉ Dengan dimikian . P ab S ∈
Dalam  pembahasan  selanjutnya, 1 P S D − ditulis  sebagai . P D Sebagai    contoh  ,    jika
3 P = ,  maka tidak habis dibagi oleh 3 , P a Z Q b b   = ∈     dengan Q adalah himpunan bilangan rasional dan Z adalah himpunan bilangan bulat.
Salah  satu  cara  untuk  membentuk  gelanggang  lokal  yaitu  menggunakan  ideal  prim. Secara lengkap tatacara pembentukannya diberikan oleh teori berikut.

## Teorema 1.8
Jika P adalah suatu ideal prim dari D , maka P D adalah suatu gelanggang lokal.
Bukti:
Karena P adalah  ideal prim, maka P memuat semua ideal-ideal prim yang terpisah dari . P S Dengan demikian,  ideal P PD merupakan  satu-satunya ideal maksimal dalam P D . Milne (1998) memberikan bentuk korespondensi satu-satu dan pada dari himpunan ideal- ideal  prim  dalam D ke  himpunan  ideal-ideal  prim  dalam 1 . S D − Secara  lengkap  teori tersebut disajikan berikut.
Teorema 1.9 (Milne, 1998)
Misalkan D adalah  suatu daerah integral dan misalkan S adalah suatu  himpunan  bagian multiplikatif dari D , maka pemetaan
1 , a P S P a P s S s −   = ∈ ∈     a
merupakan    pemetaan  satu-satu  dan  pada  dari  himpunan  ideal-ideal  prim  dalam D yang memenuhi P S ∩ = ∅ ke himpunan ideal-ideal prim dalam 1 . S D − Invers dari pemetaan
tersebut adalah , Q Q D ∩ a dengan Q adalah ideal dalam 1 . S D −

## Bukti:
Dengan mudah dapat dilihat bahwa, jika P adalah suatu ideal prim  yang terpisah dari S , maka 1 S P − adalah  suatu    ideal  prim  dan  jika Q adalah  ideal  prim  dalam 1 , S D − maka Q D ∩ adalah  suatu  ideal  dalam D yang  terpisah  dari S .  Jadi,  untuk  melengkapi pembuktian, selanjutnya ditunjukkan bahwa
( ) ( ) 1 1 dan . S P D P S Q D Q − − ∩ = ∩ =
a. Akan ditunjukkan bahwa ( ) 1 . S P D P − ∩ =
Jelas  terlihat  bahwa ( ) 1 . S P D P − ∩ ⊇ Untuk  kebalikannya,    misalkan ( ) 1 , , . a s S P D a P s S − ∈ ∩ ∈ ∈ Perhatikan  pernyataan    . . a s s a P = ∈ Karena  kedua a s dan  s  berada  dalam D dan P adalahi  ideal  prim  dalam D ,  maka  paling  sedikit  satu diantara a s atau s berada dalam P . Tetapi karena s P ∉ (diasumsikan), maka . a s P ∈
b. Akan ditunjukkan bahwa ( ) 1 . S Q D Q − ∩ = Jelas  terlihat  bahwa ( ) 1 S Q D Q − ∩ ⊆ karena Q D Q ∩ ⊆ dan  Q  adalah  suatu  ideal dalam 1 . S D − Untuk  kebalikannya,  misalkan . b Q ∈ Karena  Q  adalah  ideal  dalam
1 , S D − maka b dapat  dituliskan  seperti a s b = dengan , , a D s S ∈ ∈ sehingga
( ) . . a s a s Q D = ∈ ∩ Jadi ( ) ( ) ( ) 1 . . a a s s b s s S Q D − = = ∈ ∩
Pada  bagian  pembahasan  selanjutnya    disajikan  bentuk  isomorfisma  dari gelanggang faktor, , m D P ke gelanggang faktor lokal . P m D Q

## Teorema 1.10
Misalkan P adalah suatu ideal maksimal dari gelanggang D , dan misalkan Q adalah suatu ideal yang dibangun dalam P D ,  yaitu . , P Q P D = maka pemetaan
P m m D D P Q → dengan aturan m m a P a Q + + a
adalah suatu isomorfisma.

## Bukti:
Misalkan : P m m D D P Q ϕ → dengan ( ) . m m a P a Q ϕ + = + Pertama akan ditunjukkan bahwa  pemetaan  di  atas  adalah  pemetaan  satu-satu. Dalam  hal  ini  ditunjukkan  bahwa
m m Q D P ∩ = ,  sebagai    langkah  awal.  Namun  demikian,  dari  proses  pembentukan Q , dapat  dilihat  bahwa, 1 dan \ , m m Q S P S D P − = = sehingga  untuk  menunjukkan  bahwa m m Q D P ∩ = cukup ditunjukkan ( ) 1 . m m P S P D − = ∩ Pada  satu  sisi,  jelas  terlihat  bahwa ( ) 1 . m m P S P D − ⊆ ∩ Untuk  kebalikannya,  suatu
elemen ( ) 1 m
S P D − ∩ dapat ditulis b s a = dengan , , m b P s S ∈ ∈ dan . a D ∈ Sehingga . m sa P ∈ Jadi ( )( ) 0 . m m m m s P a P sa P P + + = + = + .  .  .  .  .  .  .  (2.1).
Pada  sisi  lain,  satu-satunya  ideal  maksimal  yang  memuat m P adalah P (karena  jika M
adalah  ideal  maksimal    dengan m M P ⊇ ,  maka M P ⊇ .  Hal  ini  kontradiksi  karena P adalah ideal maksimal). Dengan demikian maksimal ideal dalam m D P hanyalah m P P .
Karena m s P + tidak  berada  dalam m P P ,  maka m s P + adalah  unit  dalam m D P .
Sehingga  bersama  dengan  persamaan  (2.1)  disimpulkan  bahwa
0 m m a P P + = + .  Jadi . m a P ∈
Sampai  disini    sudah  ditunjukkan  bahwa, m m Q D P ∩ = .  Selanjutnya  pembuktian  sifat satu-satu  dilanjutkan.  Misalkan ( ) ( ) m m c P d P ϕ ϕ + = + ,  maka m m c Q d Q + = + ,
sehingga . m c d Q − ∈ Karena m m Q D P ∩ = ,  maka m c d P − ∈ .  Dengan  demikian diperoleh m m c P d P + = + yang melengkapi pembuktian sifat satu-satu.
Selanjutnya    akan  ditunjukkan  bahwa  pemetaan  di  atas  bersifat  pada.  Ambil
. m a P m s D Q Q + ∈ Berarti . a P s D ∈ Karena s P ∉ dan  P  adalah  ideal  maksimal,  maka
. s P D + = Oleh  karena  itu,  terdapat b D ∈ dan m q P ∈ sedemikian  sehingga 1. bs q + = Dengan demikian
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 . . m m m m
m m m
m m Q bs q Q b P s P q P b P s P q P b P s Q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ   + = + + = + + + +       = + + + + = + +
Dari  persamaan  diatas  disimpulkan  bahwa
( ) 1 ( ) . m m b P s Q ϕ − + = + sehingga
( ) ( ) . m m b s ba P Q ϕ + = +

## SIMPULAN
Dari pembahasan di atas disimpulkan beberapa hal berikut:
Gelanggang  faktor  yang  dibentuk  oleh  gelanggang  tersebut    dengan  ideal  primnya  akan isomorfik  dengan  gelanggang  faktor  yang  dibentuk  oleh  gelanggang  lokal  dengan  ideal maksimalnya, dengan catatan bahwa gelanggang lokal ini berkorespondensi dengan ideal prim tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Milne, J.S. 1998. Algebraic Number Theory . Lecture note at the University of Michigan.
Lam,  T.Y.  1999. Lectures  on  Modules  and    Rings .  New  York:  Graduate  Texts  in Mathematics, Springer.
McConnell,  J.C.  &  Robson,  J.C.  1987. Noncommutative  Noetehrian  Rings .  Chichester: John Wiley and Sons, Inc.
Passman,  D.S.  1991. A  Course  in  Ring  Theory .  California:  Wadsworth  &  Brooks/Cole Advanced Books & Software.
Spindler, K. 1994. Abstract Algebra With Applications . New York: Marcel Dekker, INC.
Kempf,  G.R.  1995. Algebraic  Structures .  Braunschweig:  Viewieg  &  Sohn Verlagsgesellschaft mbH.