EVALUASI PREMI POLIS LAST SURVIVOR PASANGAN SUAMI ISTRI MENGGUNAKAN METODE COPULA FRANK
Irma Fauziah 1
1 Program Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
e-mail : irma_s2mathUGM@yahoo.com atau irmaristianto08@gmail.com

## ABSTRAK
Tulisan ini mengkaji tentang sebuah produk asuransi, ketahanan hidup, yang didasarkan pada dua kelompok umur: pasangan menikah berusia kurang dari 55 tahun dan menikah berusia lebih dari 55 tahun. Penilaian  premi  untuk  pasangan  menikah  yang  kurang  dari  55  tahun  diperoleh  dengan  metode  Frasier dengan  memperhitungkan  probabilitas  kematian  setelah  kematian  terjadi  dari  salah  satu  tertanggung dengan asumsi kematian pasangan menikah adalah independen. Sedangkan untuk pasangan yang sudah menikah  lebih  dari  55  tahun,  premi  penilaian  diperoleh  dengan  metode  Frasier  untuk  menghitung probabilitas  kematian  dengan  menganggap  kematian  pasangan  menikah  adalah  dependen,  asumsi  ini dimodelkan oleh Frank kopula, dimana kopula ini adalah salah satu dari keluarga kopula Archimedes.
Kata kunci : Metode Frasier, Frank Copula, Hidup Bersama dan Status Terakhir

## ABSTRACT
This paper introduces an insurance product, Survivorship, based on two age groups : married couples less than 55 years old and married couples over 55 years old. Premiums Valuation for married couples who less than 55 years are obtained using Frasier method with take into account the lapse rate after death occurs from one of the insured with mortality assumption of married couples are independent. While for married couples over 55 years, premiums valuation are obtained using Frasier method for calculating the probability of death by assuming mortality of married couples are dependent, this assumption is modeled by Frank copula.  This copula is one of family Archimedean copula .
Keywords :   Frasier Methods, Frank Copula, Joint Life and Last Survivor Status

## PENDAHULUAN
Di Indonesia, polis asuransi single life lebih mendominasi  produk-produk  asuransi  di  setiap perusahaan  asuransi,  sedangkan  polis  asuransi last  survivor belum  begitu  banyak  mendapat perhatian.    Di  Kanada,  Industri  asuransi menetapkan  harga  polis  asuransi last  survivor menggunakan  metode  Frasier  untuk  menaksir probabilitas  kematian  tertanggung  dengan mengasumsikan  mortalitas  pasangan  suami  istri adalah  saling  bebas.    Metode  ini  menaksir probabilitas  kematian  dari  tertanggung  terakhir pada polis last survivor pada tahun tertentu yang telah  dihitung pada awal tahun berlakunya polis last survivor . Polis last survivor adalah polis asuransi jiwa yang  menanggung  minimal  dua  orang  dimana benefitnya  dibayarkan  jika  semua  tertanggung meninggal dunia.  Jika tertanggungnya merupakan pasangan suami istri maka ada beberapa hal yang harus dianalisis terkait valuasi premi last survivor yaitu :
1. Resiko  yang  dialami  pasangan  suami  istri pasangan suami istri kurang lebih mempunyai resiko yang sama diantaranya :
a. Penyakit  menular  (Margus  P,  2002) seperti Tubelkolosis (Gusti Arlina, 2003) dan  penyakit  kelamin  seperti  HIV,  AIDS, Hepatitis B (Dr.M. Atoillah I, 2007)
b. Kecelakaan  yang  dialami  bersama (Martikeinan P, Valkonen T, 1996)
c. Stress  Cardiomyopathy  (Parkes,  1969  ; Martikeinan P, 1996; dan Heekyung Youn, Arkady  Shemyakin,  1999).    Menurut Parkes,  stress  cardiomyopathy  terjadi pada  pasangan  suami  istri  yang  berusia 55 tahun ke atas.
2. Faktor Lapse
Lapse  adalah  kejadian  dimana  pemegang polis tidak melanjutkan kontraknya disebabkan tidak sanggup membayar premi.
Berdasarkan  pertimbangan  dua  faktor tersebut  maka  dapat  disimpulkan  produk asuransi  jiwa last  survivor dengan  asumsi mortalitas  pasangan suami  istri saling dependen yang  keduanya  hanya  dikhususkan  untuk pasangan  suami  istri  yang  keduanya  berusia  55 tahun  keatas.  Sedangkan  faktor lapse setelah terjadi kematian dari salah  satu  pasangan suami istri dan asmsi bahwa mortalitas pasangan suami- istri  adalah  independen  diperhitungkan  untuk pemegang  polis last  survivor dengan  usia pasangan suami istri kurang dari 55 tahun.
Tulisan ini hanya terbatas pada perhitungan  premi  tunggal  bersih  asuransi  jiwa last  survivor berjangka  10  tahun  yang  dihitung menggunakan tabel multilife yang memuat angka klaim  Frasier  yang  diturunkan  dari  tabel mortalitas single  life  US  female  and  Male tahun 2004.

## LANDASAN TEORI

## A. Bunga Majemuk
Semua  polis  asuransi  jiwa  baik single  life maupun multilife mengharuskan premi dibayar di muka sebelum asuransi efektif sedangkan benefit baru  akan  dibayarkan  pada  masa  yang  akan datang sehingga premi itu dikenakan bunga.  Oleh karena  itu,  perhitungan  bunga  pada  asuransi menggunakan teknik perhitungan bunga majemuk  dan  diskonto.    Akumulasi  bunga majemuk dari dana sebesar Rp 1,. adalah
𝑎(𝑡) = (1 + 𝑖) 𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 ≥ 0 (1)
dengan i menyatakan  suku  bunga  dalam  satu periode.  Faktor  diskonto  dinotasikan  dengan v t yang diberikan oleh,
𝑎 −1 (𝑡) = 𝑣 𝑡 = 1 (1 + 𝑖) 𝑡 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 ≥ 0 (2)

## B. Status Single Life

## a) Fungsi Survival
Misalkan X adalah variabel random kontinu yang  menyatakan  jatah  usia  yang  akan  dijalani oleh  seorang  bayi  yang  baru  lahir,  maka  fungsi distribusi dari X adalah
𝐹 𝑋 (𝑥) = Pr(𝑋 ≤ 𝑥) ,
𝑥 ≥ 0 (3)
dan fungsi survival yang menyatakan probabilitas seorang bayi yang baru lahir akan mencapai usia x tahun adalah
𝑠(𝑥) = 1 − 𝐹 𝑋 (𝑥) = Pr(𝑋 > 𝑥) , 𝑥 ≥ 0 (4)
b) Sisa Usia Bagi ( x )
Notasi T ( x )  menyatakan  sisa  usia  dari  ( x ) dinyatakan dengan T ( x ) = X – x .  Notasi aktuaria yang  berhubungan  dengan  probabilitas  tentang T ( x ) dinyatakan sebagai,
1. Probabilitas  ( x )  akan  meninggal t tahun kemudian dinyatakan sebagai berikut:
𝑞 𝑥 𝑥 = Pr(𝑇(𝑥) ≤ 𝑡)
= 1 − 𝑠(𝑥 + 𝑡) 𝑠(𝑥) , 𝑡 ≥ 0 (5)
2. Probabilitas ( x ) akan hidup mencapai usia x+t tahun dinyatakan sebagai berikut :
𝑝 𝑡 𝑥 = 1 − 𝑞 𝑡 𝑥 = Pr(𝑇(𝑋) > 𝑡) = 𝑠(𝑥 + 𝑡) 𝑠(𝑥) , 𝑡 ≥ 0 (6)
c) Sisa Usia Bulat Bagi ( x )
Variabel  random  yang  berhubungan dengan  sisa  usia  bulat  untuk  ( x )  sampai  terjadi kematian  dinotasikan  dengan K ( x ).  Fungsi distribusi dari K ( x ) didefinisikan sebagai :
𝐹 𝐾(𝑥) (𝑦) = ∑ 𝑞 ℎ 𝑥 𝑘 ℎ=0 = 𝑞 𝑘+1 𝑥 ,   𝑦 ≥ 0 (7)
dan k bilangan bilat terbesar dari y.
d) Hubungan  Tabel  Mortalitas  dan  Fungsi Survival
Misalkan £(x) merupakan variabel random yang menyatakan jumlah orang yang masih hidup sampai usia x tahun yang dinyatakan dengan
£(𝑥) = ∑ 𝐼 𝑗 (𝑥) 𝑙0 𝑗=1 1. £(𝑥)~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑙 0 , 𝑠(𝑥))
2. 𝐼 𝑗 ~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 dengan
𝐼 𝑗 = { 1, 𝑗 𝑚𝑎𝑠𝑖ℎ ℎ𝑖𝑑𝑢𝑝 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑥 0, 𝑗 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑥
Karena 𝐸[𝐼 𝑗 ] = 𝑠(𝑥) maka 𝑙 𝑥 = 𝐸[£(𝑥)] = 𝑙 0 𝑠(𝑥) . Probabilitas seseorang yang berusia x akan hidup  paling  sedikit k tahun  yaitu 𝑝 𝑘 𝑥 = 𝑙𝑥+𝑘 𝑙𝑥 maka  probabilitas  seseorang  berusia x akan meninggal  sebelum  mancapai  usia x+k tahun adalah
𝑞 𝑘 𝑥 = 1 − 𝑝 𝑘 𝑥 = 𝑙 𝑥+𝑘 − 𝑙 𝑥 𝑙 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑙 𝑥 (8)
Tabel  mortalitas  yang  digunakan  dalam tulisan ini adalah life table US male&female 2004 .
e) Sistem  Pembayaran Benefit Asuransi Single Life Berjangka Diskrit
Misalkan b k+ 1 menyatakan  fungsi  benefit dan v k +1 menyatakan  fungsi  diskonto  maka asuransi  berjangka n tahun  yang  menyediakan benefit  pada  akhir  tahun  kematian  tertanggung adalah
𝑏 𝑘+1 = { 1,    𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1 0,                 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 (9)
Untuk
mempermudah perhitungan, asumsikan benefitnya sebesar Rp 1,. Present Value pembayaran benefit adalah sebesar z k +1 = b k+ 1 . v k +1 Variabel random dari z k +1 dinotasikan dengan Z.
𝑍 = { 𝑣 𝑘+1 , 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1 0,         𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 (10)
Actuarial  Presesnt  Value  (APV)  dari asuransi berjangka n tahun adalah
                     1 0 1 : | 1 0 1 1 Pr n k n x x k n k k k A q k x K v v E Z E (11) f) Anuitas Jiwa Single Life Berjangka n Tahun Diskrit
Present Value variabel random dari anuitas jiwa awal berjangka n tahun sebesar 1  pertahun adalah
𝑌 = { 𝑎̈ 𝐾+1| ̅̅̅̅̅̅̅ 0 ≤ 𝐾 ≤ 𝑛 𝑎̈ 𝑛| ̅̅̅ 𝐾 ≥ 𝑛 (12)
dan actuarial present value (APV) nya adalah
  :: 1 1 .. .. .. 1 0 0 x n n n k k n k x x k n x k x k k E Y a p q a p v p a             (13)

## g) Status Last Survivor
Kelangsungan status  dari m individu yang berusia x 1 , x 2 ,…, x m masih berlangsung jika paling sedikit satu dari ( x 1 ), ( x 2 ),…,( x m ) hidup dan status ini akan berkahir jika semua individu  meninggal dunia dinamakan status Last Survivor .  Status ini dinotasikan  dengan (𝑥 1 𝑥 2 … 𝑥 𝑚 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) .    Distribusi  sisa usia yang lengkap yang akan dijalani  oleh  status last survivor yaitu:
    1 2 1 2 ... max ( ), ( ),..., ( ) m m
K x x x K x K x K x  (14)
dengan K ( x i ) adalah sisa usia lengkap yang dijalani oleh  individu  ke-i.    Misalkan  status last  survivor pasangan  suami  istri  dengan x menyatakan  usia suami  dan y menyatakan  usia  istri  maka  fungsi
distribusi  dari 𝐾(𝑥𝑦 ̅̅̅) dengan  asumsi  sisa  usia pasangan  suami  istri  adalah  saling  bebas dinyatakan sebagai,
    k y k x y x k k y k y k y k k x k x k y k xy K q q p q p q q p q k f k xy K          ) ( Pr ) (
(15)
Probabilitas salah seorang pasangan suami istri akan hidup k tahun dinotasikan dengan
𝑝 𝑘 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ = 𝑝 𝑘 𝑥𝑦 + 𝑝 𝑘 𝑥 𝑞 𝑘 𝑥 + 𝑝 𝑘 𝑦 𝑞 𝑘 𝑥 (16)
C. Sistem  Pembayaran Benefit Asuransi Last Survivors Berjangka Diskrit
Jika  K  menyatakan  sisa  usia  lengkap  dari status (𝑥𝑦 ̅̅̅) maka
1. Waktu pembayaran adalah K+1
2. Present  Value pada  pembayaran benefit ini pada saat polis dikeluarkan sebesar Z = v K +1 .
3. Actuarial Present Value (APV) yaitu :
    1 1 1 1 : 0 Pr ( ) n k k xy n k E Z E v v K xy k A        
    
(17)
D. Anuitas  Jiwa Last  Survivors Berjangka n Tahun Diskrit
Actuarial  present  value (APV)  dari  anuitas Last Survivor berjangka n tahun adalah :
    1 .. .. .. 1 : 0 Pr ( ) n k n xy n n xy k E Y a K xy k a p a         (18)

## E. Copula Frank
Copula  Frank  merupakan  salah  satu keluarga  copula  Archimedean  dan  pertama  kali dikenalkan  oleh  Frank  pada  tahun  1979  yang mempunyai bentuk :
      1 1 1 , ln 1 1 u v e e C u v e               

 ,

## 
    (19)
Α  adalah  parameter  yang  mengukur penyimpangan  dari  asumsi  saling  bebas.  Copula ini dibangun dari fungsi pembangkit (generator) yang dinotasikan dengan ( ) u  yaitu :
𝜑(𝑢) = ln 𝑒 𝛼𝑢 − 1 𝑒 𝛼 − 1 (20)
dengan fungsi invers yaitu :
      1 ln 1 1 u e e u        (21)
Copula  ini  mempunyai  kelebihan  jika dibandingkan
dengan keluarga
copula Archimedean yang lain yaitu :
1. Dependensi lengkap,
copula Frank mengijinkan  dependensi  negative  antar marginal, 

##    
2. Copula ini digunakan untuk memodelkan data yang menunjukkan dependensi yang lemah
3. Mempunyai  batas-batas  Frechet-Hoeffding yang  termuat  dalam  interval  parameter dependensi.

## PEMBAHASAN

## A. Status Polis Last Survivor
Dalam polis
Last
Survivor yang menanggung  pasangan  suami  yang  berusia x tahun  dan  istri  yang  berusia y tahun  maka terdapat  empat  status  yang  bergantung  pada status  hidup  keduanya,  misalkan  A,  B,  C  dan  D adalah  empat  status  tersebut  dengan  status  A menyatakan status pasutri keduanya masih hidup, status  B  menyatakan  status  bahwa  istri  masih hidup  dan  suami  sudah  meninggal,  status  C menyatakan  status  istri  sudah  meninggal  dan suami  masih  hidup  dan  status  D  menyatakan status  bahwa  keduanya  sudah  meninggal.    Jadi asumsi  mortalitas  pada  keempat  status merupakan bobot rata-rata angka mortalitas yang ditunjukkan pada Tabel 1.

## Tabel 1. Populasi dan Status
Status  TP (x)  TK (y)
PSPAT (k+1) PIF A h h 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑘 𝑥 𝑝 𝑘 𝑦 ya B m h 𝑝 𝑘 𝐵 𝑥𝑦 = 𝑞 𝑘 𝑥 𝑝 𝑘 𝑦 ya C h m 𝑝 𝑘 𝐶 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑘 𝑥 𝑞 𝑘 𝑦 ya D m m 𝑝 𝑘 𝐷 𝑥𝑦 = 𝑞 𝑘 𝑥 𝑞 𝑘 𝑦 tidak
Keterangan.
H : hidup M : meninggal TP
: tertanggung pertama
TK : tertanggung kedua PSPAT  : probabilitas status pada awal tahun
PIF
: policy in force
B. Angka Klaim Last Survivor Frasier
Bill Frasier pada tahun 1978 mengenalkan metode pendekatan untuk menghitung probabilitas  kematian  pada  tahun  tertentu  dari tertanggung  terakhir,  yang  dihitung  pada  awal
berlakunya polis, angka klaim tersebut dinyatakan dengan,
              k x k y x k y k k x k y x k k x k y y k JLS k k x k y k x k y k x k y p p q q p q q q p q q p p p q q p    
        1 1 k k xy xy k xy q q q     (22)
Dengan 𝑞 𝑘 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ menyatakan  probabilitas  bahwa kedua  tertanggung  meninggal  dalam  k  tahun pertama.
Persamaan (22) dapat dinyatakan sebagai probabilitas bersyarat, yaitu :
| | : A B C k xy k xy y k xmeninggal k xy x k ymeninggal x k y k JLS k A B C k xy k xy k xy p q p q p q q p p p          
  (23)
Populasi  status  A  akan  berkurang  karena terjadi  kematian  salah  satu  tertanggung  maka polis  bermigrasi  ke  status  B  dan  C  dan  jika keduanya  meninggal  maka  polis  bermigrasi  ke status D.
Secara rekursif dinyatakan sebagai :
KTBN MTBN 𝑝 𝑘+1 𝐴 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 − 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 × 𝑞 𝑥+𝑘,𝑦+𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 × (𝑞 𝑦+𝑘|𝑥 ℎ − 𝑞 𝑥+𝑘,𝑦+𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) 𝑝 𝑘+1 𝐵 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑘 𝐵 𝑥𝑦 − 𝑝 𝑘 𝐵 𝑥𝑦 × 𝑞 𝑥+𝑘|𝑦 𝑚 − 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 × (𝑞 𝑦+𝑘|𝑦 ℎ − 𝑞 𝑥+𝑘,𝑦+𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )
𝑝 𝑘+1 𝐶 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑘 𝐶 𝑥𝑦 − 𝑝 𝑘 𝐶 𝑥𝑦 × 𝑞 𝑦+𝑘|𝑥 𝑚 − 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 × (𝑞 𝑦+𝑘|𝑥 ℎ − 𝑞 𝑥+𝑘,𝑦+𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )
𝑝 𝑘+1 𝐷 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑘 𝐷 𝑥𝑦 − 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 × 𝑞 𝑥+𝑘,𝑦+𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑝 𝑘 𝐴 𝑥𝑦 × (𝑞 𝑦+𝑘|𝑦 𝑚 − 𝑞 𝑥+𝑘,𝑦+𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) + − 𝑝 𝑘 𝐵 𝑥𝑦 × 𝑞 𝑥+𝑘|𝑦 𝑚 + − 𝑝 𝑘 𝐶 𝑥𝑦 × 𝑞 𝑦+𝑘|𝑥 𝑚 Keterangan. KTBN  : klaim total bersih nol MTBN : migrasi total bersih nol

## C. Pengaruh  Tingkat  Lapse  pada  Setiap Status
Jika  data  tidak  tersedia  maka  seorang aktuaris boleh mengasumsikan tingkat lapse yang lebih  rendah  diantara  tertanggung  yang  masih hidup (Margus, 2002).
Untuk  menetapkan  jumlah  populasi  pada tahun  berikutnya  berdasarkan  asumsi  tingkat lapse yang diberikan, secara terpisah pada setiap status yang berlaku maka,
status A,
  . . 1 1 1 A A e o y A k xy k xy k xy P P r      status B,   . . 1 1 1 B B e o y B k xy k xy k xy P P r      status C,   . . 1 1 1 C C e o y C k xy k xy k xy P P r     
dimana 1 A k xy r  menyatakan  tingkat  lapse  pada akhir  tahun  ke k +1  pada  status  A, 1 B k xy r  menyatakan  tingkat  lapse  pada    akhir    tahun  ke
k +1 pada status B,
1 C k xy r  menyatakan tingkat lapse pada akhir tahun ke k +1 pada status C, dan notasi . . A e o y k xy P menyatakan  probabilitas  hidup  atau populasi  akhir  tahun  ke- k pada  status  A  yang besarnya dinyatakan dengan
. .
A e o y A k xy k xy p p  : A k xy x k y k p q       | : A k xy y k xhidup x k y k p q q         | : A k xy x k yhidup x k y k
p q q       (25)
Persamaan  ini  diperoleh  dari  persamaan (24),  dimana  persamaan  (24)  merupakan populasi awal tahun.  Sedangkan status D adalah status dimana keduanya meninggal maka populasi status D tidak berubah.
D. Model  Copula  Frank  untuk  Anuitas  dan Asuransi Berjangka Last Survivor
Notasi (𝑥𝑦 ̅̅̅) menyatakan  status  dari  dua tertanggung  yang  berusia x dan y tahun  masih berlangsung jika salah satu dari ( x ) atau ( y )  masih hidup dan status tersebut berakhir jika keduanya meninggal dunia disebut status Last Survivor . Probabilitas  salah  satu  tertanggung  dari suami ataupun istri akan hidup mencapai usia x+k dan y+k tahun  dinotasikan  dengan k xy p , berdasarkan  copula  Frank  dinyatakan  sebagai     1 1 1 1 log 1 1 k y k x q q k e xy e e p e                              (26)
Anuitas  awal  berjangka n tahun  untuk status Last  Survivor dinotasikan  dengan 𝑎̈ 𝑥𝑦 ̅̅̅̅:𝑛̅ yang besarnya adalah,
    1 .. : 0 1 1 1 1 log 1 1 k y k x q q n k xy n e k e e a v e                                           (27)
Nilai  tunai  asuransi  atau  premi  tunggal bersih asuransi Last Survivor sebesar Rp 1,. selama n tahun adalah
1 1 1 : 0 n k JLS k k xy xy n k A v p q     
            1 1 . . 1 1 . . 0 1 1 1 1 log 1 1 1 k y k x k y k x q q n k e q q k e e e v e e e                            
         
(28)

## E. Model  Copula  Frank  untuk  Premi Last Survivor
Misalkan  premi  tunggal  bersih  untuk asuransi Last Survivor berjangka n tahun dengan benefit sebesar Rp 1,.  bagi  suami yang berusia x
tahun dan istri yang berusia y tahun dinotasikan dengan 1 : xy n P .
Fungsi kerugian:
.. .. 1 1 1 : k k n n xy xy n L v P a a p            k = 0,1,2,…, n -1   .. .. 1 1
1 : 0 0 k k n n xy xy n E L E v P
E a a p      
                
                  1 1 . . 1 1 . . 0 1 : . . 1
0
1 1 1 1 log 1 1 1 1 1 1 1 log 1 1 k y k x k y k x k y k x q q n k e q q k xy n q q n k e k e e e v e e e P e e v e                                                                              
(29)
Contoh
1. Karena  ketidak  tersediaan  data  di  lapangan, maka  sebagai  contoh  andaikan  pasangan suami istri yang mempunyai usia lebih dari 55 tahun  mengalihkan  resiko  ketidakpastian hidup  dengan  mengikuti  asuransi  berjangka last survivor berjangka dengan masa asuransi 10  tahun,  pasangan  suami  istri  tersebut berturut-turut berusia 60 tahun dan 55 tahun, dengan uang pertanggungan sebesar Rp. 100 000  000,.  dan  suku  bunga  6%  pertahun, parameter  dependensi  mortalitas  pasutri dihitung menggunakan copula Frank dengan mengambil nilai parameter α = -3,367, -3, -2,5, -2, -1,5, -1 dan 1(Valdez, Frees, dan Carriere, 1999) maka premi tahunan netto nya adalah :
Tabel  2.  Premi  Netto  Tahunan  Berjangka  10 tahun Untuk suami yang berusia 60 tahun dan Istri yang berusia 55 tahun
UPSI P ( 𝛼) PTN (Rp) x = 60 -3.367 292 506.01 y = 55 -3 273 782.33 -2.5 247 579.07 -2 220 892.55 -1.5 194 163.79 -1 167 914.84 1 78 471.49 Keterangan. UPSI : usia pasangan suami-istri P : parameter
PTN : premi tahunan netto dengan perhitungan sebagai berikut: x=60 (1) (2) (3) (4) y=55 Mortalitas Single Life k q x+k q y+k k q x k q y 0 0.01176 0.00472 0.00000 0.00000 1 0.01293 0.00514 0.01176 0.00472 2 0.01416 0.00559 0.02454 0.00984 3 0.01536 0.00611 0.03836 0.01538 4 0.01656 0.00670 0.05313 0.02139 5 0.01785 0.00739 0.06881 0.02795 6 0.01933 0.00817 0.08543 0.03513 7 0.02099 0.00898 0.10311 0.04301
8 0.02286 0.00978 0.12193 0.05160 9 0.02492 0.01058 0.14200 0.06087 10 0.02706 0.01147 0.16339 0.07081 (5) (6) (7) (8) (9) α = -3.3 α = -3 α = -2.5 α = -2 α = -1.5 0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000 0.00019  0.00017  0.00015  0.00013  0.00011 0.00080  0.00073  0.00063  0.00054  0.00045 0.00189  0.00172  0.00151  0.00129  0.00109 0.00352  0.00323  0.00283  0.00245  0.00208 0.00577  0.00530  0.00467  0.00406  0.00346 0.00870  0.00803  0.00711  0.00620  0.00532 0.01242  0.01149  0.01022  0.00896  0.00773 0.01700  0.01578  0.01410  0.01242  0.01077 0.02250  0.02096  0.01882  0.01666  0.01452 0.02898  0.02708  0.02444  0.02175  0.01907 (10) (11) (12) (13) (14) α = -1 α = 1 α = -3.3 α = -3 α = -2.5 0.00000  0.00000  0.00019  0.00017  0.00015
0.00009  0.00003  0.00061  0.00055  0.00048 0.00038  0.00014  0.00109  0.00100  0.00088 0.00091  0.00035  0.00164  0.00151  0.00133 0.00173  0.00069  0.00225  0.00208  0.00185 0.00290  0.00117  0.00295  0.00274  0.00245 0.00448  0.00185  0.00375  0.00349  0.00314 0.00655  0.00277  0.00463  0.00434  0.00392 0.00917  0.00399  0.00560  0.00526  0.00478 0.01244  0.00556  0.00663  0.00626  0.00573
0.01644  0.00755  0.00775  0.00734  0.00676 (15) (16) (17) (18) (19) α = -2 α = -1.5 α = -1 α = 1 v k
0.00013  0.00011  0.00009  0.00003  1.00000
0.00041  0.00035  0.00029  0.00011  0.94340 0.00076  0.00064  0.00053  0.00021  0.89000 0.00115  0.00099  0.00083  0.00033  0.83962 0.00161  0.00139  0.00117  0.00049  0.79209 0.00215  0.00186  0.00158  0.00068  0.74726 0.00278  0.00242  0.00207  0.00092  0.70496 0.00349  0.00307  0.00265  0.00122  0.66506
0.00429  0.00379  0.00330  0.00158  0.62741 0.00517  0.00461  0.00404  0.00200  0.59190
0.00615  0.00552  0.00488  0.00252  0.55839 (20) (21) (22) (23) (24) α = -3.3 α = -3 α = -2.5 α = -2
α = -1.5 1.00000  1.00000  1.00000  1.00000  1.00000
0.94322  0.94323  0.94326  0.94328  0.94330
0.88929  0.88935  0.88944  0.88952  0.88959
0.83804  0.83817  0.83836  0.83853  0.83870 0.78930  0.78954  0.78985  0.79016  0.79045 0.74295  0.74329  0.74377  0.74423  0.74467
0.69882  0.69930  0.69995  0.70059  0.70121 0.65680  0.65741  0.65826  0.65910  0.65992 0.61675  0.61751  0.61856  0.61962  0.62066 0.57858  0.57949  0.58076  0.58204  0.58330
0.54221  0.54327  0.54475  0.54625  0.54775
(25) (26) (27) (28) (29) α = -1 α = 1 α = -3.3 α = -3 α = -2.5 1.00000  1.00000  0.00018  0.00016  0.00014 0.94331  0.94337  0.00054  0.00049  0.00043 0.88966  0.88987  0.00092  0.00084  0.00073 0.83886  0.83932  0.00130  0.00119  0.00105 0.79072  0.79155  0.00168  0.00155  0.00138 0.74509  0.74638  0.00207  0.00192  0.00172 0.70180  0.70365  0.00247  0.00230  0.00207 0.66070  0.66321  0.00287  0.00269  0.00243 0.62166  0.62491  0.00326  0.00306  0.00279
0.58453  0.58861  0.00362  0.00342  0.00314
0.54922  0.55418  0.00396  0.00376  0.00348 (30) (31) (32) (33) α = -2 α = -1.5 α = -1 α = 1 0.00012  0.00010  0.00008  0.00003 0.00037  0.00031  0.00026  0.00010 0.00063  0.00054  0.00045  0.00018 0.00091  0.00078  0.00065  0.00026 0.00120  0.00103  0.00087  0.00036 0.00151  0.00131  0.00111  0.00048 0.00184  0.00160  0.00137  0.00061 0.00217  0.00191  0.00165  0.00076 0.00251  0.00222  0.00194  0.00093
0.00284  0.00254  0.00223  0.00111 0.00317  0.00285  0.00253  0.00132
Nilai  parameter  dependensi  α  =  -3,367 menunjukkan  angka  mortalitas  yang  sangat tinggi sehingga premi yang dihasilkan paling mahal  jika  dibandingkan  dengan  parameter dependensi yang lain.  Nilai parameter α = 1 menunjukkan  angka  mortalitas last  survivor yang  menurun  sehingga  premi  yang dihasilkan paling murah di antara parameter dependensi  yang  lain.    Nilai  parameter dependensi α yang mendekati nol menunjukkan independensi mortalitas pasangan suami-istri.
2. Andaikan pasangan suami-istri yang berturut-turut berusia 54 tahun dan 43 tahun mengasuransikan  diri  mereka  dengan mengambil  polis last  survivor berjangka  10 tahun  dengan benefit sebesar  Rp.  100  000
000,. dan suku bunga 6%.
Karena usia pasangan suami-istri dibawah 55 tahun  maka  Premi  Tunggal  Bersih    dihitung dengan mengasumsikan mortalitas pasangan suami istri yang independen dan tingkat lapse 5% sampai terjadi kematian pertama dan 1% setelahnya.  Besar premi adalah
    9 1 1 54:43 :10 1
0 .. 9 54:34:10 :10
54:43 0 1, 06 1 100000000. 100000000.
63033,53 1, 06 1 k JLS k k xy k k xy k k q q A P a q 
        
dengan perhitungan sebagai berikut :
x=54 (1) (2) (3) y=43  Probabilitas Terjadi Lapse pada Akhir Tahun ke-k+1 k 1 A k xy r  1 B k xy r  1 C k xy r  𝑥 ℎ dan 𝑦 ℎ 𝑥 ℎ 𝑦 ℎ 0 5.00% 1.00% 1.00% 1 5.00% 1.00% 1.00% 2 5.00% 1.00% 1.00% 3 5.00% 1.00% 1.00% 4 5.00% 1.00% 1.00% 5 5.00% 1.00% 1.00% 6 5.00% 1.00% 1.00% 7 5.00% 1.00% 1.00% 8 5.00% 1.00% 1.00%
9 5.00% 1.00% 1.00% 10 5.00% 1.00% 1.00% (4) (5) (6) (7) (8)=(4)x(5) Keduanya Meninggal x k q  y k q  k x q k y q : x k y k
q   0.00749  0.00188  0.00000  0.00000 0.00001 0.00795  0.00206  0.00749  0.00188 0.00002 0.00846  0.00224  0.01537  0.00393 0.00002 0.00906  0.00244  0.02370  0.00617 0.00002 0.00981  0.00263  0.03255  0.00859 0.00003 0.01071  0.00282  0.04204  0.01120 0.00003 0.01176  0.00301  0.05230  0.01399 0.00004 0.01293  0.00320  0.06345  0.01695 0.00004 0.01416  0.00343  0.07556  0.02010 0.00005 0.01536  0.00370  0.08865  0.02347 0.00006 0.01656  0.00400  0.10265  0.02707 0.00007

## KESIMPULAN
1. Produk  asuransi Last  Survivor berjangka untuk  pasangan  suami-istri  yang  berusia  55 tahun  keatas,  premi  dimodelkan  dengan asumsi  dependensi  mortalitas  pasangan suami  istri  menggunakan  copula  Frank, asumsi  ini  diciptakan  sebagai  perlindungan terhadap resiko finansial perusahaan asuransi,
2. Produk  asuransi Last  Survivor berjangka untuk  pasangan  suami-istri  yang  berusia  di bawah 55 tahun ke bawah, premi dimodelkan menggunakan
asumsi
independensi mortalitas  pasangan  suami-istri  dan  asumsi lapse pada setiap status polis Last Survivor .

## REFERENSI
[1] Bowers,  Newton  L,  Jr.,Gerber,  Hans U,.etc.1997.  Actuarial  Mathematics,  Second Ed.The  Society  Of  Actuaries.  Schaunburg Illinois
[2] Frasier, W. M. 1978. Second To Die Joint Life Cash  Value  And  Reverses.  The  Actuary (April) : 4
[3] Frees,  E.  W.,  Carriere,  and  E.  Valdez.  1995. Annuity Valuation With Dependent
Mortality. Actuarial Research Clearing House
2 : 31-80
[4] Gusti Arlina. 2003. Kekerapan Tuberkolosis Paru  pada  Pasangan  Suami-Istri  Penderita Tuberkolosis  Paru  yang  Berobat  di  Bagian Paru  RSUP  Adam  Malik.    Universitas
Sumatera Utara
[5] Heekyung  Youn,  Shemyakin  Arkady.1999. Statistical  Aspect  Of  Joint  Life  Insurance Pricing. American Stat. Association : 34-38
[6] Kellison,  Stephen  G.  1991.  The  Theory  Of Interest.  Edisi  Kedua.  Irwin  McGraw-Hill  : United State Of America
[7] Margus,  Paul.  2002.  Generalized  Frasier Claim  Rates  under  Survivorship  Life Insurance Policies.  NAAJ
[8] M.  Atoillah  I,  Dr.  2007.    Epidemiologi Hepatitis B
[9] National Vital Statistics Report, Vol 56, No. 9, 28 Desember 2007
[10] Nelsen,  B.  Roger.  2005.  An  Introduction  to Copula. Springer-Verlag, New York
[11] P  Feferman  A.  2005.  Broken  Heart Syndrome.  Universidade  Federal  de  Sao Paulo : Brazil
[12] Sembiring,  R.K.Ph.D.2001.  Buku  Materi Pokok Asuransi Jiwa I dan Asuransi Jiwa II. Karunika Jakarta : Universitas Terbuka