## Analisis Lanjut Metode Beda Hingga Eksplisit Untuk Menentukan Harga Opsi
Wahyudi 1
1 Universitas Muhammadiyah Ponorogo, wahyudi@umpo.ac.id
Abstract. Explicit  finite  difference  method  is  used  to  approximate  a  partial differential  equation  that  is  applied  to  determine  the  option  pricing.  The  results  of this  study  note that  the calculation  of option  pricing  using  explicit  finite difference method is negative when partition 25 N  with a value of -2.21. Thus, the results of the  calculation  of  option  pricing  are  not  convergent  and  away  from  the  results  of analyzing  the  option  pricirng  (Black-Scholes)  solution.  This  is  because  one  of  the three  probabilities 2 2 1 j b j t     is  negative,  namely  (-0.12)  when 12 j  with 16.25 S  (in  units).  So  this  explicit  finite  difference  method  cannot  be  used  to determine the option pricing.
Keywords : Option Pricing, Explicit Finite Difference Method
Abstrak. Metode  beda  hingga  eksplisit  digunakan  untuk  mengaproksimasi  suatu persamaan  diferensial  pasial  yang  aplikasikan  untuk  menentukan  harga  opsi.  Hasil penelitian ini diketahui bahwa perhitungan harga opsi dengan menggunakan metode beda  hingga  eksplisit  bernilai  negatif  pada  saat  partisi 25 N  dengan  nilai  -2,21.
Dengan demikian, hasil perhitungan harga opsi tidak konvergen dan menjauhi hasil solusi  analitik  perhitungan  harga  opsi  (Black-Scholes).  Hal  ini  disebabkan  karena salah  satu  ketiga  probabilitas  yaitu 2 2 1 j b j t     bernilai  negatif  yaitu  (-0.12) saat 12 j  dengan 16.25 S  (dalam  satuan).  Sehingga  metode  beda  hingga eksplisit ini tidak dapat digunakan untuk menentukan harga opsi.
Kata Kunci : Harga Opsi, Metode Beda Hingga Eksplisit .

## 1 Pendahuluan
Kegunaan  opsi  dalam  perdagangan  derivatif  (kontrak  antar  dua  pihak) keuangan  yaitu  melindungi  investasi  seseorang  dengan  memperjual  belikan  opsi (disisi  lain jual beli sahamnya). Dengan demikian, perlu adanya ketelitian dalam menentukan  nilai  opsi  tersebut  sehingga  dapat  menyelamatkan  investasinya  di persaingan harga saham. Menurut Niwiga (2005) kontrak antar dua pihak tersebut adalah  pihak  memberi  hak  kepada  pihak  lain  untuk  menjual  atau  membeli  aset tertetu  pada  harga  dan  periode  wajtu  tertentu.  Menurut  Hull  (2003)  terdapat  dua kontrak  opsi  yaitu  opsi  call  dan  opsi  put.  Opsi  call  adalah  opsi  dengan memberikan hak kepada pembeli sutau aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga  yang  telah  ditentukan  selama  periode  tertentu,  sedangkan  opsi  put merupakan  opsi  dengan  memberikan  hak  kepada  pihak  lain  untuk  menjual  suatu aset  tertentu  dengan  jumlah  tertentu  pada  harga  yang  telah  ditentukan  selama periode  tertentu.  Berdasarkan  waktu  eksekusi  terdapat  dua  tipe  opsi  yaitu  opsi Eropa dan opsi Asia.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Wiklund  (2012)  menyatakan  bahwa  untuk  opsi  Asia  belum  ada  solusi analitiknya,  sehingga  untuk  mendapatkan  solusinya  perlu  adanya  metode pendekatan  atau  aproksimasi,  sedangkan  opsi  Eropa  terdapat  solusi  analitiknya dari model persamaan Black-Scholes berikut
2 2 2 2 1 2 V V V rS S rV t S S           (1)
dengan V menyatakan  harga  opsi, t menyatakan  waktu  berlakunya  opsi, r menyatakan  tingkat  suku  bunga, σ menyatakan  volatilitas  harga  saham  dan S menyatakan  harga  saham.  Menurut  (Causon  dan  Mingham,  2010)  metode  beda hingga  merupakan  metode  numerik  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  suatu persamaan diferensial parsial.
Misalkan   ,
V t S menyatakan  nilai  opsi  dengan  peubah t an S ,  maka persamaan Black-Sholes dapat dinyatakan sebagai berikut         2 2 2 2 , , , 1 ,
2 V t S V t S
V t S rS S rV t S t S S           (2)
Untuk mengaproksimasi turunan-turunan persamaan parsial dengan menggunakan ekspansi deret Taylor (Nugroho, 2009). Bentuk umum deret Taylor adalah sebagai berikut (Hernadi, 2015)
                2 0 0 0 0 0 0 0 ' '' ... 1! 2! ! n n
S S S S S S V S V S V S V S V S n         (3)
Misal   0 S S S    , maka diperoleh
          2 0 0 0 0 '
'' ... 1! 2! ! m n
S S S V x V S V S V S V S n         (4)
Berikut aproksimasi turunan pertama dan turunan kedua dengan ekspansi deret Taylor. Persamaan beda maju
    , 1 , V t S V t S V S S       (5) dan persamaan beda mundur     , , V t S V t S S V S S     
  (6)
Dari  hasil  pengurangan  persamaan  beda  maju  dan  persamaan  beda  mundur diperoleh persamaan beda pusat yaitu
    , , 2 V t S S V t S S
V S S          (7) Untuk aproksimasi turunan kedua dengan menggunakan         2 , 2 , ,
'' , V t S S V t S V t S S V t S
S         (8)
Aproksimasi turunan pertama terhadap t, untuk persamaan beda maju yaitu
    , , V t t S V t S V t t        (9)
dengan     , , V t S V i j  , maka diperoleh     1, , V i j V i j V t t    
  (10)
Persamaan beda mundurnya adalah
   
, , V t S V t t S V t t        (11)
dengan     , , V t S V i j  , maka diperoleh
    , 1, V i j V i j V t t    
  (12) Untuk  mendiskritisasi  model  persamaan  Black-Scholes  dengan  metode  beda hingga eksplisit dengan memisalkan     , , V t S V i j  , diperoleh 1, , i j i j V V V t t       (13)
1, 1 1, 1 2 i j i j V V V S S          (14)
2
1, 1 1, 1, 1 2 2 2 i j i j i j V V V V S S            (15)
Kemudian  persamaan  (13),  (14),  dan  (15)  disubstitusikan  ke  persamaan  beda dalam persamaan Black-Sholes, maka diperoleh
  , 1, 1 1, 1, 1 1 1 i j j i j j i j j i j V a V b V c V r t           (16)
untuk i = N-1 , ..., 1, 0 dan j = 1, 2, ..., M-1 dengan
2 2 2 2 j j t r j t a      , 2 2 1 j b j t     , dan 2 2 2 2 j j t r j t c      (17)
Menurut  Hull  (2003)  persamaan  (1)  merupakan  persamaan  diferensial  parsial yang  diaplikasikan  untuk  perubahan  harga  saham.  Dengan  demikian,  sebelum menenukan  harga  saham,  terlebih  dahulu  menentukan  harga  opsi  untuk menyelamatkan  investasi  yang  sudah  dilakukan.  Dalam  penelitian  Wahyudi (2014),  sebelum  metode  beda  hingga  digunakan  untuk  menentukan  harga  opsi Asia,  terlebih  dahulu  digunakan  untuk  menentukan  harga  opsi  Eropa.  Karena dalam  menentukan  harga  opsi  Eropa  sudah  terdapat  solusi  analitiknya,  sehingga saat  menggunakan  metode  beda  hingga  untuk  menentukan  harga  opsi  Eropa hasilnya  sesuai  dengan  solusi  analitiknya,  maka  metode  beda  hingga  ini  dapat digunakan selanjutnya untuk menentukan harga opsi Asia.
Wahyudi (2014) menggunakan tiga metode beda hingga yaitu metode implisit, eksplisit, dan Crank-Nicholson. Namun pada hanya metode beda hingga eksplisit saja  yang  tidak  dapat  diaplikasikan  untuk  menentukan  harga  opsi.  Dengan demikian,  ini  menjadi  alasan  peneliti  untuk  menganalisis  lanjut  ketidakvalidan metode beda hingga eksplisit untuk menentukan harga opsi.

## 2 Metode Penelitian
Dalam  penelitian  ini  akan  dibahas  penyelesaian  dari  permasalahan  tersebut, yaitu  dengan  metode  literatur  dari  berbagai  sumber  literatur-literatur  yang mendukung,  guna  mengetahui  perkembangan  dan  perbaikan  metode  perhitungan harga opsi dengan menggunakan metode beda hingga eksplisit.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science

## 3 Pembahasan
Metode beda hingga eksplisit yang digunakan untuk menentukan harga opsi ini konsepnya sama seperti metode trinomial. Sebagaimana Hull (2003) menyatakan bahwa  metode  beda  eksplisit  ini  ekuivalen  dengan  metode  trinomial  yaitu memiliki  tiga  kemungkinan  (probabilitas)  masing-masing  pada  persamaan  (17) yang mana nilai a j , b j , c j adalah koefisien dari matriks penentu harga opsi dengan metode beda hingga eksplisit. Probabilitas yang dimaksud di atas adalah
 2 2 2 2 j j t r j t a     
:  probabilitas  harga  opsi  dari j S  ke   1 j S  
dengan partisi waktu t 
 2 2 1 j b j t 
   :  probabilitas  harga  opsi  tetap  pada  saat j S  ke  dengan partisi waktu t 
 2 2 2 2 j j t r j t c      :  probabilitas  harga  opsi  dari j S  ke   1 j S  
dengan partisi waktu t 
Ketiga  kemungkinan  dari  metode  beda  hingga  eksplisit  dapat  dibentuk  dalam interpretasi metode trinomial sebagai berikut.
Gambar 1 Metode Beda Hiingga Eksplisit ekuivalen dengan Metode Trinomial
Menurut  Hull  (2003)  metode  beda  hingga  eksplisit  merupakan  metode  yang dapat  diaplikasikan  untuk  menentukan  harga  opsi  dengan  ketiga  probabilitas
2 2 2 2 j j t r j t a      , 2 2 1 j b j t     , dan 2 2 2 2 j j t r j t c      dengan a j , b j , dan c j bernilai  positif.  Perhitungan  harga  opsi  dengan  menggunakan  metode  beda hingga  eksplisit  berbantuan  MATLAB,  hasil  perhitungan  dengan  partisi N =  25 adalah sebagai berikut.
Tabel 1 Simulasi Perhitungan Harga Saham dan Harga Opsi dengan Metode Beda Hingga Eksplisit
Partisi N Harga Saham ( dalam satuan ) Harga Opsi( dalam satuan ) 1 1.25 0 2 2.5 0 3 3.75 0.00000384304315 4 5.0 0.00000122614022 5 6.25 0.00000084966809 6 7.5 0.00000054397682 7 8.75 0.00000031413567
2 2 2 2 j t r j t     2 2 1 j t    2 2 2 2 j t r j t    
  , V i j   1, 1 V i j     1, 1 V i j     1, V i j 
8 10.0 0.00000013924646 9 11.25 0.00000144060867 10 12.5 0.00000106391114 11 13.75 0.00000074930331 12 15.0 0.00000048470366 13 16.25 0.00000037975674 14 17.5 0.00000028909633 15 18.75 0.00000021005946 16 20.0 0.00000014047302 17 21.25 0.00000235955034 18 22.5 0.00000301177920 19 23.75 0.00000409695495 20 25.0 0.00000587782443 21 26.25 0.00000884047306 22 27.5 0.00001372637291 23 28.75 0.00002191748496 24 30.0 0.00003589951710 25 31.25 -0.01541514989301
Berdasarkan  Tabel  1  dapat  diketahui  bahwa  harga  opsi  bernilai  negatif  mulai dari  partisi 25 N  .  Dengan  demikian,  hasil  perhitungan  harga  opsi  ini  semakin partisi  diperbesar  semakin  menjauhi  solusi  analitiknya  yaitu  hasil  perhitungan harga opsi. Sehingga metode beda hingga eksplisit ini tidak efektif jika digunakan untuk  menentukan  harga  opsi.  Selain  itu,  dari  salah  satu  ketiga  kemungkinan (probabilitas)  bernilai  nol,  yaitu  probabilitas  harga  saham  pada  saat j S  ke dengan  partisi  waktu t  .  Pada  perhitungan  dengan  menggunakan  metode  beda hingga  eksplisit  ini, 2 2 1 j b j t     bernilai  negatif  yaitu  (-0.12476606363069) saat 12 j  dengan 16.25 S  (dalam satuan).

## Gambar 2 Sebagian Hasil Perhitungan Harga Opsi
Salah satu ketiga kemungkinan bernilai negatif, mengakibatkan nilai harga opsi dan ketidakkonsistenan harga opsi lain bernilai negatif dan berikut sebagian dari hasil perhitungan harga opsi yang menggunakan metode beda hingga eksplisit yang  ditunjukkan  pada  Gambar  2  di  atas.  Dengan  demikian,  salah  satu  ketiga

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
probabilitas bernilai negatif, maka solusi dari hasil perhitungan harga opsi dengan menggunakan  metode  beda  hingga  tidak  konvergen  ke  satu  titik  atau  tidak mendekati  solusi  analitiknya  dan  metode  beda  hingga  eksplisit  ini  tidak  dapat gunakan  untuk  menentukan  harga  opsi.  Perhitungan  harga  opsi  dengan menggunakan  metode  beda  hingga  eksplisit  merupakan  ilustrasi  perhitungan harga  opsi  dengan  nilai  yang  ditentukan  oleh  peneliti.  Jika  metode  ini  dapat memberikan  nilai  yang  benar,  maka  metode  ini  dapat  digunakan  untuk menghitung harga opsi yang sesungguhnya.

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diketahui bahwa perhitungan harga opsi dengan  menggunakan  metode  beda  hingga  eksplisit  bernilai  negatif  pada  saat partisi 25 N  dengan  nilai  -2,205174218676090.  Dengan  demikian,  hasil perhitungan  harga  opsi  tidak  konvergen  dan  menjauhi  hasil  solusi  analitik perhitungan  harga  opsi  (Black-Scholes).  Hal  ini  disebabkan  karena  salah  satu ketiga probabilitas yaitu 2 2 1 j b j t 
   bernilai negatif yaitu (-
0.12476606363069)  saat 12 j  dengan 16.25 S  (dalam  satuan).  Seharusnya
ketiga  probabilitas  dalam  ilustasi  (simulasi)  perhitungan  harga  saham  bernilai positif. Dengan demikian, metode beda hingga eksplisit ini tidak dapat digunakan untuk menentukan harga opsi.

## 5 Daftar Pustaka
[1]  Niwiga,  D.  B., Numerical  Methods  For  The  Valuation  Of  Financial Derivatives, University of Werstern Cape, 2005.
[2]  Hull,  J. C., Option  Future and Other Derivative , Prentice Hall International Inc, 2003.
[3]  Wiklund,  E., Asian  Option  Pricing  and  Volatility, Institute  of  Technology, 2012.
[4]  Causon, D.M. & Mingham, C.G., Introductory Finite Difference Methods for PDEs , Ventus Publishing ApS, 2010.
[5]  Nugroho, D.B., Metode Numerik , Universitas Kristen Satya Wacana, 2009.
[6]  Hernadi, J., Analisis Real Elementer , Erlangga, 2015.
[7]  Wahyudi, Analisis  Metode  Beda  Hingga  Implisit,  Eksplisit  Dan  Crank- Nicholson Pada Perhitungan Harga Opsi Asia , UIN Malang, 2014.