Abstrak —Kebangkrutan pada suatu perusahaan asuransi secara teori dapat dihitung probabilitasnya menggunakan pendekatan statistik dengan konsep ruin probability . Peluang kebangkrutan merupakan peluang terjadinya kebangkrutan pertama kali pada perusahaan asuransi. Hal ini ditandai dengan fungsi surplusnya bernilai negatif atau yang berarti perusahaan sudah tidak dapat menanggung beban klaim pada periode berikutnya.  Konsep ini dapat digunakan bukan hanya untuk menghitung kebangkrutan secara utuh, namun dapat digunakan pula untuk menghitung kerugian suatu program asuransi pada waktu tertentu. Dengan memandang banyaknya klaim yang terjadi pada periode waktu tertentu sebagai suatu data berdistribusi peubah acak, dapat ditentukan nilai peluang kerugian  dengan model yang dikembangkan menggunakan persamaan integro-diferensial. Menghitung probabilitas kerugian dapat menjadi acuan untuk mengetahui risiko yang mungkin dihadapi oleh perusahaan di masa mendatang. Model peluang kerugian Program Jaminan Kematian PT ASABRI (Persero) berdasarkan dengan data akumulasi klaim tahun 2019 yang berdistribusi Normal adalah sebagai berikut: 𝝍𝝍 ( 𝒖𝒖 ) = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒆𝒆 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒖𝒖 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝒆𝒆 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒖𝒖 . Hasil simulasi peluang kerugian menunjukkan bahwa semakin besar nilai surplus, maka peluang kerugian semakin kecil.
Kata Kunci —Asuransi, Distribusi Normal, Kerugian Perusahaan, Peluang Kebangkrutan, Persamaan Integro- diferensial.

## I. PENDAHULUAN
ERDASARKAN  Undang-Undang Nomor 40 Tahun 2004 tentang Perasuransian, disebutkan bahwa asuransi adalah perjanjian antara dua pihak, yaitu perusahaan asuransi dan pemegang polis, yang menjadi dasar bagi penerimaan premi oleh perusahaan asuransi sebagai imbalannya  [1]. Kebangkrutan  perusahaan asuransi pada dasarnya dapat dihitung menggunakan pendekatan statistika, yakni peluang kebangkrutan atau ruin probability . Peluang kebangkrutan merupakan peluang terjadinya kondisi bangkrut untuk pertama kali pada perusahaan asuransi [2]. Hal ini ditandai dengan fungsi surplusnya bernilai negatif atau yang berarti perusahaan sudah tidak dapat menanggung beban klaim pada periode berikutnya. Secara teori, pendekatan ruin probability ini dapat digunakan untuk meninjau kerugian perusahaan asuransi pada salah satu atau beberapa manfaat program yang diberikan kepada peserta asuransi. Berdasarkan Peraturan Pemerintah Nomor 102 Tahun 2015, PT Asuransi Sosial Angkatan Bersenjata Republik Indonesia (Persero) atau PT ASABRI (Persero) bertugas mengelola program Asuransi Sosial Prajurit TNI, Anggota Polri, dan PNS di Lingkungan Kementerian Pertahanan dan Kepolisian Negara Republik
Indonesia.  PT ASABRI (Persero) selaku perusahaan yang mengelola manfaat asuransi harus memenuhi persyaratan tingkat kesehatan keuangan perusahaan sesuai standar Peraturan Otoritas Jasa Keuangan (POJK) Nomor 71 Tahun 2016, yaitu tingkat solvabilitas, cadangan teknis, kecukupan investasi, ekuitas, dana jaminan, dan ketentuan lain yang berhubungan dengan kesehatan keuangan [3]. Penelitian ini menganalisa  salah satu program yang ada di  PT ASABRI (Persero), yakni Jaminan Kematian (JKm). Melalui model dan simulasi peluang kerugian dapat diperoleh probabilitas program JKm memberikan kerugian bagi keuangan perusahaan. Perhitungan peluang kerugian ini dapat memberikan informasi tentang risiko yang dimiliki perusahaan dalam situasi yang sedang dialami di masa sekarang dan risiko yang mungkin terjadi di masa mendatang. Dengan demikian, perusahaan dapat mengambil kebijakan untuk mengurangi risiko yang cukup besar. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan model peluang kerugian dari perusahaan asuransi adalah dengan menggunakan persamaan integro-diferensial.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Penelitian Terdahulu
Penelitian  ini  merujuk pada beberapa jurnal penelitian yang telah ada sebelumnya. Pada tahun 2017, penelitian yang berjudul “ Pemodelan dan Simulasi Untuk Mengetahui Kebangkrutan Perusahaan Asuransi Berdasarkan Ukuran Klaim ” oleh Nanda Putri Mintari menghasilkan suatu model dan simulasi pada klaim keberapa kebangkrutan pertama kali terjadi pada perusahaan asuransi dengan frekuensi klaim berdistribusi Poisson dan ukuran klaim berdistribusi Eksponensial. Hasil penelitian ini menyimpulkan bahwa semakin besar premi yang diterima perusahaan, maka semakin lama perusahaan dapat bertahan karena semakin kecil peluang kebangkrutannya  [4]. Namun, hal ini berdampak pada jumlah pelanggan asuransi menjadi semakin berkurang oleh karena semakin besar premi yang harus dibayarkan.
Penelitian ini juga merujuk pada jurnal penelitian yang disusun oleh Inayatul Qudsiyah, dkk. pada tahun 2013 yang berjudul “ Menentukan Model Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi dengan Persamaan Integro- diferensial ”. Penelitian tersebut berisi tentang model risiko dalam asuransi dan membahas mengenai hasil peluang kebangkrutan dalam waktu yang tidak terbatas. Akumulasi klaim pada penelitian tersebut diasumsikan berdistribusi

## Pemodelan dan Simulasi Peluang Kerugian dengan Persamaan Integro-diferensial pada Program Jaminan Kematian PT ASABRI (Persero)
Yerahmeel Dwiyawara dan Basuki Widodo Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : b_widodo@matematika.its.ac.id
B
kombinasi linier dari dua distribusi Eksponensial. Model peluang kebangkrutan pada proses surplus yang mengikuti proses Poisson majemuk dengan persamaan integro- diferensial yang berhasil ditentukan oleh Inayatul Qudsiyah, dkk. adalah sebagai berikut[5]
𝜓𝜓 ( 𝑢𝑢 ) = − 𝐴𝐴 1 𝑝𝑝 1 𝑒𝑒 𝑝𝑝 1 𝑢𝑢 − 𝐴𝐴 2 𝑝𝑝 2 𝑒𝑒 𝑝𝑝 2 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ≥ 0

## B. Asuransi
Berdasarkan Undang-Undang Nomor 40 Tahun 2004 tentang Perasuransian, disebutkan bahwa asuransi adalah perjanjian antara dua pihak, yaitu perusahaan asuransi dan pemegang polis. Usaha asuransi dapat dikelompokkan menjadi usaha asuransi umum dan usaha asuransi jiwa. Usaha asuransi jiwa adalah usaha yang menyelenggarakan jasa penanggulangan risiko yang memberikan pembayaran kepada pemegang polis, tertanggung, atau pihak lain yang berhak dalam hal tertanggung meninggal dunia atau tetap hidup.
Peserta asuransi atau pihak tertanggung berkewajiban untuk membayarkan sejumlah uang yang disebut dengan premi. Premi merupakan iuran yang harus dibayarkan kepada perusahaan asuransi sesuai dengan polis yang berlaku berdasarkan kesepakatan bersama antara perusahaan dan peserta asuransi. Sementara itu, peserta asuransi memiliki hak atas klaim apabila di kemudian hari, risiko yang tertuang dalam polis terjadi.
C. Program Jaminan Kematian (JKm) PT ASABRI (Persero) Program JKm diberikan kepada peserta asuransi yang masih aktif dan berhenti apabila peserta diberhentikan dari dinas tempat peserta bekerja. Iuran Program JKm atau premi yang dibayarkan adalah sebesar 0,67% dari gaji peserta per bulan. Premi ini ditanggung oleh Pemberi Kerja.
Hak atas klaim yang dapat diajukan peserta merupakan manfaat dari program JKm, yang meliputi:

## 1) Santunan Risiko Kematian
Manfaat santunan risiko kematian diberikan kepada ahli waris peserta yang meninggal dunia biasa dalam status dinas aktif.
a. Santunan Kematian Sekaligus
Perwira TNI dan Polri, dan PNS Golongan III –  IV sebesar Rp 17.000.000,00, bintara dan tamtama TNI dan Polri, PNS Golongan I – II sebesar Rp 15.500.000.
b. Uang Duka Wafat Diberikan kepada ahli waris peserta aktif sebesar tiga kali dari gaji terakhir peserta.
c. Biaya Pemakaman Diberikan kepada ahli waris peserta aktif sebesar Rp 10.000.000,00.
2) Bantuan Beasiswa
Diberikan sekaligus sebesar Rp 15.000.000,00 untuk satu orang anak peserta dengan ketentuan yang telah diatur dalam PP 102 Tahun 2015.

## D. Uji Kolmogorov-Smirnov
Salah satu metode untuk menguji distribusi dari suatu data adalah metode uji Kolmogorov-Smirnov. Pengujan dilakukan dengan membandingkan fungsi distribusi kumulatif 𝐹𝐹 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 )
dengan fungsi kumulatif empiris 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) untuk menilai kecocokan yang didefinisikan sebagai [6].
𝐹𝐹 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑛𝑛 dengan 𝑛𝑛 merupakan ukuran atau banyaknya sampel dan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) adalah jumlah 𝑋𝑋 𝑖𝑖 kurang dari atau sama dengan 𝑥𝑥 . Hipotesa pada uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut: Hipotesa:
𝐻𝐻 0 : Data berdistribusi umum 𝐻𝐻 1 : Data tidak berdistribusi umum Statistik uji Kolmogorov-Smirnov untuk fungsi distribusi kumulatif 𝐹𝐹 ( 𝑥𝑥 ) didefinisikan [6].
𝐷𝐷 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝 | 𝐹𝐹 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 ) − 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 )|
Hipotesa 𝐻𝐻 0 diterima jika nilai statistik uji ( 𝐷𝐷 𝑛𝑛 ) lebih kecil dari nilai kritis yang diperoleh dari Tabel 1  sesuai dengan ukuran sampel 𝑛𝑛 .

## E. Distribusi Normal
Suatu peubah acak 𝑋𝑋 berdistribusi normal dengan mean 𝜇𝜇 dan variansi 𝜎𝜎 2 memiliki bentuk fungsi kepadatan peluang sebagai berikut [7].
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ; 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎 ) = 1 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 − ( 𝑥𝑥−𝜇𝜇 ) 2 2𝜎𝜎 2 untuk −∞ < 𝑥𝑥 < ∞ , dimana −∞ < 𝜇𝜇 < ∞ dan 0 < 𝜎𝜎 < ∞ . Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan mean 𝜇𝜇 = 0 dan  variansi 𝜎𝜎 2 = 1 . Bentuk peubah acak distribusi normal standar dinyatakan dengan bentuk transformasi.
𝑍𝑍 = 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 𝜎𝜎 .

## F. Fungsi Surplus
Misalkan 𝑈𝑈 ( 𝑡𝑡 ) surplus pada waktu ke- 𝑡𝑡 , 𝑢𝑢 menyatakan modal awal atau modal pada waktu ke- 𝑡𝑡 - 1 , lalu 𝑐𝑐 menyatakan premi yang diterima oleh perusahan asuransi, serta 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) menyatakan agregat atau akumulasi klaim yang dibayarkan perusahaan sampai pada waktu ke- 𝑡𝑡 , maka fungsi surplus didefinisikan sebagai [8].
𝑈𝑈 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑢𝑢 + 𝑐𝑐𝑡𝑡 − 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ≥ 0.
Model fungsi surplus serupa juga disajikan oleh Ali Deven Sezer (2010). Pendekatan model yang dilakukan oleh Ali Deven  Sezer hanya terdapat perbedaan pada penamaan variabel yang ada. Berikut pendekatan model yang disajikan oleh Ali Deven Sezer [9].
𝑆𝑆 𝑡𝑡 = 𝑆𝑆 0 + 𝑐𝑐𝑡𝑡 − � 𝑋𝑋 𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
dengan 𝑆𝑆 𝑡𝑡 merupakan dana perusahaan pada waktu ke-t, 𝑆𝑆 0 merupakan initial surplus, dan 𝑋𝑋 𝑖𝑖 merupakan ukuran klaim ke-i.
G. Ruin Probability
Nilai pada fungsi surplus dapat bernilai positif, nol, maupun negatif. Apabila surplus bernilai negatif untuk pertama kalinya pada saat tertentu, maka dikatakan
perusahaan telah mengalami kebangkrutan. Misalkan diberikan 𝑈𝑈 ( 𝑡𝑡 ) adalah fungsi surplus, maka
𝑇𝑇 = min{ 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑈𝑈 ( 𝑡𝑡 ) < 0; 𝑡𝑡 ≥ 0} menyatakan saat bangkrut dengan 𝑇𝑇 bernilai tak hingga jika 𝑈𝑈 ( 𝑡𝑡 ) ≥ 0, ∀𝑡𝑡 ≥ 0 . Peluang terjadinya bangkrut, jika dana awal 𝑢𝑢 , didefinisikan
𝜓𝜓 ( 𝑢𝑢 ) = 𝑃𝑃 ( 𝑇𝑇 < ∞ ).

## H. Persamaan Integro-diferensial
Persamaan integro-diferensial merupakan suatu persamaan yang melibatkan turunan dan integral pada fungsi. Persamaan integro-diferensial diberikan dalam bentuk [10].
𝑥𝑥 ′ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓�𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) � + � 𝐾𝐾�𝑡𝑡 , 𝑠𝑠 , 𝑥𝑥 ( 𝑠𝑠 ) �𝑑𝑑𝑠𝑠 , 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑥𝑥 0 𝑡𝑡 𝑡𝑡 0 (2.8)
dimana 𝑡𝑡 0 ≥ 0 dan 𝑥𝑥 ′ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 .
Peluang bertahan pada waktu yang berhingga didefinsikan sebagai
𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) = 𝑃𝑃 ( 𝑈𝑈 𝑠𝑠 ≥ 0, 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 𝑡𝑡 | 𝑈𝑈 0 = 𝑢𝑢 )
Fungsi peluang bertahan 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) didefiniskan sebagai persamaan integro-diferensial parsial yang memenuhi [11].
𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) = 𝑐𝑐 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) − 𝜆𝜆𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 )
+ 𝜆𝜆 � 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 − 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑢𝑢

## III. METODE PENELITIAN

## A. Studi Literatur
Pada bagian ini dilakukan studi literatur tentang hal-hal yang berkaitan dengan penelitian ini. Di antaranya mengenai penelitian terdahulu yang berkaitan dengan model peluang kebangkrutan perusahaan asuransi, regulasi yang mengatur Program Jaminan Kematian (JKm)  PT ASABRI (Persero), serta persamaan integro-diferensial sebagai persamaan yang digunakan sebagai dasar model peluang kerugian. Studi lebih mendalam mengenai hal-hal tersebut diperoleh melalui buku, jurnal ilmiah, website resmi PT ASABRI (Persero), serta Peraturan Pemerintah 102 Tahun 2015.

## B. Analisis Data
Setelah memiliki data sebagai dasar penelitian, kemudian dilakukan analisis data yang diterima dari PT ASABRI (Persero). Terlebih dahulu data yang diperoleh akan dianalisa dan ditentukan bentuk distribusi peubah acaknya dengan uji distribusi. Data premi dan klaim yang ada pada tahun 2019 juga akan dianalisa nilai surplusnya berdasarkan data di setiap bulannya.

## C. Model Peluang Kerugian dengan Persamaan Integro- diferensial
Berdasarkan bentuk distribusi yang diperoleh lewat analisa data akan dikembangkan menjadi suatu model peluang untuk menghitung peluang  kerugian pada program JKm dengan persamaan integro-diferensial sehingga didapatkan persamaan yang efektif untuk menemukan peluang kerugian dengan surplus 𝑢𝑢 .
Tabel 1. Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov Distribusi Akumulasi Klaim
No x 𝐹𝐹 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 ) 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12 6.862.239.900 9.580.921.500 10.861.031.700 11.627.961.060 11.859.343.500 11.993.943.300 12.464.064.300 12.675.384.900 13.361.985.300 14.124.668.400 14.288.950.500 14.448.978.900 0,0833 0,1667 0,25 0,3333 0,4167 0,5 0,5833 0,6667 0,75 0,8333 0,9167 1 0,0089 0,1314 0,2981 0,4286 0,4721 0,496 0,5832 0,6217 0,7324 0,834 0,8531 0,8686 0,07443 0,035267 0,0481 0,095267 0,05543 0,004 0,00013 0,044967 0,0176 0,00067 0,063567 0,1314 Tabel 2. Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov Distribusi Frekuensi Klaim No x 𝐹𝐹 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 ) 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
10. 11.
12
146 204
238 250 253 258 262 267 286 303 304 309 0,08333 0,16667 0,25 0,33333
0,416667 0,5 0,58333 0,66667 0,75 0,83333 0,916667
1 3.8794 x 10 -14 0,000381 0,12769 0,35337 0,42549 0,54954 0,64539 0,75227 0,96695 0,99782 0,99819 0,99932 0,08333 0,166286 0,12232 0,02004 0,008832 0,049535 0,062056 0,085605 0,21695 0,164484 0,081523 0,00068 Gambar 1. Goodness of fit distribusi akumulasi klaim dengan easy fit 5.5 trial version.
Gambar 2. Goodness of fit distribusi frekuensi klaim dengan easy fit 5.5 trial version.
Gambar 3. Skema model kontinu.

## D. Simulasi Model Peluang Kerugian
Model peluang kerugian yang telah diperoleh disimulasikan dengan menggunakan data surplus 𝑢𝑢 pada setiap bulannya di tahun 2019. Hasil simulasi ini juga dinyatakan dalam bentuk grafik untuk melihat pengaruh 𝑢𝑢 pada nilai peluang kerugiannya.

## E. Analisa Hasil
Dilakukan analisa pada peluang kerugian yang terjadi berdasarkan data di Januari  2019-Desember 2019  lewat model peluang kerugian yang diperoleh dan hasil simulasi dari model peluang kerugian tersebut.

## IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN

## A. Uji Distribusi Data Akumulasi Klaim Program JKm
Uji distribusi data klaim dilakukan secara manual dengan metode uji Kolmogorv-Smirnov dan dilakukan juga dengan menggunakan software Easyfit 5.5 Trial Version untuk memvalidasi perhitungan. Pengujian distribusi ini dilakukan dengan menggunakan nilai signifikansi 𝛼𝛼 = 0,01 . Berdasarkan data akumulasi jumlah klaim keseluruhan dari Program Jaminan Kematian (JKm) pada periode Januari 2019-Desember 2019, dilakukan perhitungan secara manual menggunakan  metode Kolmogorov-Smirnov  dengan 𝜇𝜇 = 12.012.000.000 dan 𝜎𝜎 = 2.173.800.000 . Berdasarkan Uji Hipotesis Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesa:
𝐻𝐻 0 : Data berdistribusi Normal
𝐻𝐻 1 : Data tidak berdistribusi Normal Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov untuk fungsi distribusi kumulatif 𝐹𝐹 ( 𝑥𝑥 ) adalah sebagai berikut.
𝐷𝐷 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝 | 𝐹𝐹 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 ) − 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 )| 𝐷𝐷 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝 | 𝐷𝐷 | = 0,1314
Berdasarkan Tabel 1 dengan 𝑁𝑁 = 12 dan nilai signifikansi 𝛼𝛼 =  0,01 , didapatkan 𝐷𝐷 𝑁𝑁 , 𝛼𝛼 =  0,44905 . Karena 𝐷𝐷 𝑛𝑛 < 𝐷𝐷 𝑁𝑁 , 𝛼𝛼 maka 𝐻𝐻 0 diterima, sehingga data akumulasi klaim Program Jaminan Kematian (JKm) pada periode Januari 2019- Desember 2019 terbukti berdistribusi Normal.
Kemudian  dilakukan pengujian dengan menggunakan Easyfit 5.5 Trial Version untuk memvalidasi perhitungan dan diperoleh data berdistribusi Normal untuk nilai signifikansi 𝛼𝛼 =  0,01 . Hasil uji distribusi dengan Easyfit 5.5 Trial Version tertera pada Gambar  1  untuk akumulasi klaim program Jaminan Kematian (JKm).

## B. Uji Distribusi Data Frekuensi Klaim Program JKm
Uji distribusi data frekuensi  dilakukan  secara manual dengan metode uji Kolmogorv-Smirnov  dengan menggunakan nilai signifikansi 𝛼𝛼 = 0,01 . Berdasarkan data frekuensi  klaim  Program Jaminan Kematian (JKm) pada periode Januari 2019-Desember 2019, dilakukan perhitungan secara manual menggunakan metode Kolmogorov-Smirnov dengan 𝜆𝜆 = 256,67 . Berdasarkan Uji Hipotesis Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesa:
𝐻𝐻 0 : Data berdistribusi Poisson 𝐻𝐻 1 : Data tidak berdistribusi Poisson Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov untuk fungsi distribusi kumulatif 𝐹𝐹 ( 𝑥𝑥 ) adalah sebagai berikut.
𝐷𝐷 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝 | 𝐹𝐹 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 ) − 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 )|
𝐷𝐷 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑝𝑝 | 𝐷𝐷 | = 0,21695
Berdasarkan Tabel 1 dengan 𝑁𝑁 = 12 dan nilai signifikansi 𝛼𝛼 =  0,01 , didapatkan 𝐷𝐷 𝑁𝑁 , 𝛼𝛼 =  0,44905 . Karena 𝐷𝐷 𝑛𝑛 < 𝐷𝐷 𝑁𝑁 , 𝛼𝛼 maka 𝐻𝐻 0 diterima, sehingga data frekuensi  klaim program Jaminan Kematian (JKm) pada periode Januari 2019- Desember 2019 terbukti berdistribusi Poisson. Kemudian  dilakukan pengujian dengan menggunakan Easyfit 5.5 Trial Version untuk memvalidasi perhitungan dan diperoleh data berdistribusi  diskrit  Poisson  untuk nilai signifikansi 𝛼𝛼 =  0,01 . Hasil uji distribusi dengan Easyfit 5.5 Trial Version tertera pada Gambar 2 untuk frekuensi klaim program Jaminan Kematian (JKm).
C. Batas Bawah dan Batas Atas Peluang Kerugian Program JKm
Telah diketahui data frekuensi klaim Program Jaminan Kematian (JKm) berdistribusi Poisson dengan 𝜆𝜆 = 256,67 merupakan ekspektasi terjadinya klaim setiap bulan pada
Gambar 4. Simulasi peluang kerugian program JKm tahun 2019.
tahun 2019. Melalui data frekuensi klaim yang terjadi pada setiap bulan selama tahun 2019, akan dihitung besar peluang kerugian pada bulan Januari 2019 dan pada bulan Desember 2019 sebagai nilai batas untuk pembentukan model peluang kerugian pada sub bab berikutnya.
Berdasarkan data pada Januari 2019, diketahui bahwa jumlah peserta aktif sebanyak 929.683 orang, jumlah premi yang diterima oleh perusahaan sebesar Rp 16.328.490.637, jumlah akumulasi klaim yang dibayarkan perusahaan sebesar Rp  11.993.943.300, serta frekuensi klaim yang terjadi sebanyak 258 klaim. Diasumsikan perusahaan tidak menerima surplus pada tahun sebelumnya, sehingga fungsi surplus yang terjadi dengan 𝑢𝑢 = 0 adalah
𝑈𝑈 = 𝑢𝑢 + 𝑐𝑐 − 𝑆𝑆 𝑈𝑈 = 0 + 16.328.490.637 − 11.993.943.300 𝑈𝑈 =  4.334.547.337 .
Diasumsikan jumlah akumulasi klaim pada Januari 2019 dibagi dengan frekuensi klaim yang terjadi merupakan rata- rata jumlah klaim yang dibayarkan kepada satu peserta program, maka diperoleh
𝑥𝑥̅ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑛𝑛 = 11.993.943.300 258 𝑥𝑥̅ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑛𝑛 = 46.488.152 dengan 𝑥𝑥̅ merupakan rata-rata besar klaim oleh satu orang peserta. Pada kondisi 𝑥𝑥̅ demikian, maka perusahaan hanya dapat menanggung klaim sebanyak 351 klaim dengan akumulasi sebesar Rp 16.317.341.446.
Maka peluang perusahaan mengalami kerugian pada Januari 2019 dapat dinyatakan sebagai peluang frekuensi klaim yang terjadi lebih dari 351 klaim. Peluang terjadinya frekuensi klaim ini dihitung dengan fungsi kepadatan peluang distribusi  Poisson,  namun  oleh  karena  nilai  λ  yang  sangat besar dan mempersulit proses perhitungan, maka akan dilakukan perhitungan berdasarkan frekuensi klaim yang terjadi setiap hari. Diasumsikan ekspektasi frekuensi klaim yang terjadi dibagi jumlah hari pada bulan Januari merupakan frekuensi klaim yang terjadi pada satu hari, maka
𝜆𝜆′ = 256.67 31 = 8,2797 ≈ 9 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑛𝑛 = 351 31 = 11,322 ≈ 12 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑑𝑑
dengan 𝜆𝜆′ merupakan rata-rata atau ekspektasi frekuensi klaim yang terjadi pada satu hari dan 𝑦𝑦 adalah frekuensi klaim yang terjadi.
Sehingga, peluang perusahaan mengalami kerugian dinyatakan dengan
𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 > 12) = 1 − 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 ≤ 12) 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 > 12) = 1 − [ 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 = 0) + 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 = 1) + 𝑃𝑃 ( 𝑢𝑢 = 2) + ⋯ + 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 = 12)] 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 > 12) = 0,12423.
Maka diperoleh peluang frekuensi klaim yang terjadi lebih dari 12 klaim terjadi setiap hari yang berarti peluang perusahaan mengalami kerugian adalah 0,12423 atau sebesar 12,423%. Hal ini berarti peluang perusahaan tidak mengalami kerugian adalah sebesar
1 − 0,12423 = 0,87577.
Nilai peluang tidak mengalami kerugian sebesar 0,87577 pada Januari 2019 ini akan menjadi nilai batas bawah pada pembentukan model peluang kerugian nantinya.
Dengan proses yang serupa akan dihitung nilai peluang kerugian pada Desember 2019 sebagai nilai batas atas untuk pembentukan model peluang kerugian. Berdasarkan data pada Desember 2019, diketahui bahwa jumlah peserta aktif sebanyak 926.181 orang, jumlah  premi yang diterima oleh perusahaan sebesar Rp 18.200.360.193, jumlah akumulasi klaim yang dibayarkan perusahaan sebesar Rp 9.580.921.500, serta frekuensi klaim yang terjadi sebanyak 204 klaim. Diketahui perusahaan menerima surplus hingga periode November  2019 sebesar Rp 61.456.536.765, sehingga fungsi surplus yang terjadi adalah
𝑈𝑈 = 𝑢𝑢 + 𝑐𝑐 − 𝑆𝑆 𝑈𝑈 = 61.456.536.765 + 18.200.360.193 − 9.580.921.500 𝑈𝑈 =  70.075.975.458 .
Diasumsikan jumlah akumulasi klaim pada Desember 2019 dibagi dengan frekuensi klaim yang terjadi merupakan rata-rata jumlah klaim yang dibayarkan kepada satu peserta program, maka diperoleh
𝑥𝑥̅ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 = 9.580.921.500
204
𝑥𝑥̅ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 = 46.965.301 dengan 𝑥𝑥̅ merupakan rata-rata besar klaim oleh satu orang peserta. Pada kondisi 𝑥𝑥̅ demikian, maka perusahaan dapat menanggung klaim hingga sebanyak 1696 klaim dengan akumulasi sebesar Rp 79.656.896.958.
Maka peluang perusahaan mengalami kerugian pada Desember 2019 dapat dinyatakan sebagai peluang frekuensi klaim yang terjadi lebih dari 1696 klaim. Diasumsikan frekuensi klaim yang terjadi dibagi jumlah hari pada bulan Desember merupakan frekuensi klaim yang terjadi pada satu hari, maka
𝜆𝜆′ = 256,67 31 = 8,2797 ≈ 9 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 = 1696 31 = 54,7097 ≈ 55 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑡𝑡𝑑𝑑
dengan 𝜆𝜆′ merupakan rata-rata atau ekspektasi frekuensi klaim yang terjadi pada satu hari dan 𝑦𝑦 adalah frekuensi klaim yang terjadi.
Sehingga, peluang perusahaan mengalami kerugian dinyatakan dengan 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 > 55) = 1 − 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 ≤ 55) 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 > 55) = 1 − [ 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 = 0) + 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 = 1) + 𝑃𝑃 ( 𝑢𝑢 = 2) + ⋯ + 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 = 55)] 𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦 > 55) = 0.
Maka diperoleh peluang frekuensi klaim yang terjadi lebih dari 1696 klaim terjadi setiap hari yang berarti peluang perusahaan mengalami kerugian pada Desember 2019 adalah 0 atau sebesar 0%. Hal ini berarti, peluang perusahaan tidak mengalami kerugian adalah sebesar 1.

## D. Model Peluang Kerugian Program JKm dengan Persamaan Integro-diferensial
Peluang bertahan perusahaan dalam jangka waktu yang berhingga didefiniskan 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) = 𝑃𝑃 ( 𝑈𝑈 𝑠𝑠 ≥ 0, 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 𝑡𝑡 | 𝑈𝑈 0 = 𝑢𝑢 ) . Kondisi awal surplus dinyatakan sebagai 𝑢𝑢
dimana 𝑢𝑢 ≥ 0 , 𝑐𝑐 merupakan premi yang diterima oleh perusahaan dalam waktu 𝑡𝑡 . Didefiniskan  bahwa 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) memenuhi persamaan integro-diferensial parsial berikut [11],
𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) = 𝑐𝑐 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) − 𝜆𝜆𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆 ∫ 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 − 𝑢𝑢 0 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 dengan 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥 ) merupakan fungsi kepadatan peluang distribusi akumulasi klaim program Jaminan Kematian (JKm) yang berdistribusi normal dengan fungsi sebagai berikut
𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −12� 𝑥𝑥−𝜇𝜇 𝜎𝜎 � 2
Dengan melakukan subtitusi fungsi kepadatan peluang pada persamaan intergro-diferensial parsial, maka
𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) = 𝑐𝑐 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) − 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆 � 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 − 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) 1 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −12� 𝑥𝑥−𝜇𝜇 𝜎𝜎 � 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑢𝑢 0
Kondisi optimal dinyatakan dengan,
𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) = 0
sehingga didapatkan 𝜙𝜙 merupakan fungsi 𝑢𝑢 ,
𝑐𝑐 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) − 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 � 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 − 𝑥𝑥 ) 1 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −12� 𝑥𝑥−𝜇𝜇 𝜎𝜎 � 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑢𝑢 0 = 0 −𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )
= 𝜆𝜆 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −𝜇𝜇 2 2𝜎𝜎 2 � 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 − 𝑥𝑥 ) 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 2 +2𝑥𝑥𝜇𝜇 2𝜎𝜎 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑢𝑢 0
Misalkan 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 − 𝑥𝑥 , maka 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑑𝑑𝑦𝑦 . Sehingga, bentuk persamaan (4.4) menjadi
−𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 𝜆𝜆 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −𝜇𝜇 2 2𝜎𝜎 2 � 𝜙𝜙 ( 𝑦𝑦 ) 0 𝑢𝑢 𝑒𝑒 − ( 𝑢𝑢−𝑦𝑦 ) 2 +2 ( 𝑢𝑢−𝑦𝑦 ) 𝜇𝜇 2𝜎𝜎 2 ( −𝑑𝑑𝑦𝑦 ) −𝑐𝑐𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 𝜆𝜆 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 −𝑢𝑢2+2𝜇𝜇𝑢𝑢−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 ∫ 𝜙𝜙 ( 𝑦𝑦 ) 𝑒𝑒 −𝑦𝑦2−2𝜇𝜇𝑦𝑦 2𝜎𝜎2 𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑦𝑦 𝜎𝜎2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑢𝑢 0
Kedua ruas pada persamaan di atas dikalikan dengan 𝑒𝑒 − 𝑢𝑢𝑦𝑦 𝜎𝜎2 ,
[ −𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )] 𝑒𝑒 −𝑢𝑢𝑦𝑦 𝜎𝜎 2 = 𝜆𝜆 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 − ( 𝑢𝑢−𝜇𝜇 ) 2 2𝜎𝜎 2 � 𝜙𝜙 ( 𝑦𝑦 ) 𝑒𝑒 −𝑦𝑦 2 −2𝜇𝜇𝑦𝑦 2𝜎𝜎 2 𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑦𝑦 𝜎𝜎 2 𝑒𝑒 −𝑢𝑢𝑦𝑦 𝜎𝜎 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑢𝑢 0 [ −𝑐𝑐𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )] 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 2 +𝑢𝑢𝑥𝑥 𝜎𝜎 2 = 𝜆𝜆 𝜎𝜎 √ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 − ( 𝑢𝑢−𝜇𝜇 )2 2 𝜎𝜎 2 � 𝜙𝜙 ( 𝑦𝑦 ) 𝑒𝑒 −𝑦𝑦 2 − 2 𝜇𝜇𝑦𝑦 2 𝜎𝜎 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑢𝑢 0 (4.6)
Kedua ruas pada persamaan di atas diturunkan terhadap 𝑢𝑢 menjadi,
[ −𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙′ ( 𝑢𝑢 )] 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 2 +𝑢𝑢𝑥𝑥 𝜎𝜎 2 + [ −𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )] ( − 2 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 ) 𝜎𝜎 2 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 2 +𝑢𝑢𝑥𝑥 𝜎𝜎 2 = 𝜆𝜆 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 �− ( 𝑢𝑢 − 𝜇𝜇 ) 𝜎𝜎 2 � 𝑒𝑒 − ( 𝑢𝑢−𝜇𝜇 ) 2 2𝜎𝜎 2 � 𝜙𝜙 ( 𝑦𝑦 ) 𝑒𝑒 −𝑦𝑦 2 −2𝜇𝜇𝑦𝑦 2𝜎𝜎 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑢𝑢 0 + 𝜆𝜆 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 − ( 𝑢𝑢−𝜇𝜇 ) 2 2𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 2 −2𝜇𝜇𝑢𝑢 2𝜎𝜎 2
Subtitusi persamaan di atas, maka
�−𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙′ ( 𝑢𝑢 ) + �−𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) +
𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) � ( −2𝑢𝑢+𝑥𝑥 ) 𝜎𝜎 2 � 𝑒𝑒 −𝑢𝑢2+𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜎𝜎2 = − ( 𝑢𝑢−𝜇𝜇 ) 𝜎𝜎 2 [ −𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) +
𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )] 𝑒𝑒 −𝑢𝑢2+𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜎𝜎2 + 𝜆𝜆 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 −2𝑢𝑢2−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )
Kedua ruas pada persamaan di atas dibagi dengan 𝑒𝑒 −𝑢𝑢2+𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜎𝜎2 , sehingga menjadi
−𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + �−𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) � ( −2𝑢𝑢+𝑥𝑥 ) 𝜎𝜎 2 = − ( 𝑢𝑢−𝜇𝜇 ) 𝜎𝜎 2 [ −𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )] + 𝜆𝜆 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 −2𝑢𝑢𝑢𝑢−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )
−𝑐𝑐𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) − 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝑐𝑐𝜇𝜇 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) − 𝜆𝜆𝑢𝑢 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) − 𝜆𝜆𝜇𝜇 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) − 𝜆𝜆 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 −2𝑢𝑢𝑢𝑢−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 0
Kedua ruas pada persamaan di atas  dikalikan dengan − 1 𝑐𝑐 , maka
𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) − 𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) − 𝑢𝑢 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝑥𝑥 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) − 𝜇𝜇 𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆𝑢𝑢 𝑐𝑐𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) − 𝜆𝜆𝑥𝑥 𝑐𝑐𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆𝜇𝜇 𝑐𝑐𝜎𝜎 2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) + 𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 −2𝑢𝑢𝑢𝑢−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 0
𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 + 𝑥𝑥−𝑢𝑢−𝜇𝜇 𝜎𝜎 2 � 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥−𝑢𝑢−𝜇𝜇 ) 𝜎𝜎 2 + 𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 −2𝑢𝑢𝑢𝑢−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 � 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 0
Subtitusi 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥−𝑢𝑢−𝜇𝜇 𝜎𝜎 dengan nilai signifikansi 𝛼𝛼 = 0,01
𝑍𝑍 1−𝛼𝛼2 = 𝑥𝑥 − 𝑢𝑢 − 𝜇𝜇 𝜎𝜎
𝑍𝑍 0 , 995 = 𝑥𝑥 − 𝑢𝑢 − 𝜇𝜇 𝜎𝜎 .
Dengan melihat nilai dari Z-score  pada tabel distribusi normal (Tabel 2), diperoleh
𝑥𝑥 − 𝑢𝑢 − 𝜇𝜇 𝜎𝜎 = 2,576
Sehingga, persamaan menjadi
𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 + 2 , 576 𝜎𝜎 � 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 2 , 576 𝜎𝜎 + 𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 5 , 152𝜎𝜎𝑢𝑢−2𝑢𝑢2+2𝑢𝑢𝜇𝜇−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 � 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 0
Misalkan,
𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑢𝑢 𝜙𝜙 ′ ( 𝑢𝑢 ) = 𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑢𝑢 𝜙𝜙 ′′ ( 𝑢𝑢 ) = 𝑚𝑚 2 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑢𝑢
Maka bentuk persamaan menjadi
�𝑚𝑚 2 + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 + 2 , 576 𝜎𝜎 � 𝑚𝑚 + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 2 , 576 𝜎𝜎 + 𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 5 , 152𝜎𝜎𝑢𝑢−2𝑢𝑢2+2𝑢𝑢𝜇𝜇−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 �� 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑢𝑢 = 0
Diperoleh persamaan karakteristik
𝑚𝑚 2 + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 + 2 , 576 𝜎𝜎 � 𝑚𝑚 + �− 𝜆𝜆 𝑐𝑐 2 , 576 𝜎𝜎 +
𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 5 , 152𝜎𝜎𝑢𝑢−2𝑢𝑢2+2𝑢𝑢𝜇𝜇−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2 � = 0
Maka diperoleh nilai 𝑚𝑚 1 dan 𝑚𝑚 2
𝑚𝑚 1 = 1 2 �� 𝜆𝜆 𝑐𝑐 − 2 , 576 𝜎𝜎 � +
� 𝜆𝜆 2 𝑐𝑐 2 − 5 , 152𝜆𝜆 𝑐𝑐𝜎𝜎 + 6 , 6358 𝜎𝜎 2 + 10 , 304𝜆𝜆 𝑐𝑐𝜎𝜎 − 4𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 5 , 152𝜎𝜎𝑢𝑢−2𝑢𝑢2+2𝑢𝑢𝜇𝜇−𝜇𝜇2 2𝜎𝜎2
�
𝑚𝑚 2 = 1 2 �� 𝜆𝜆 𝑐𝑐 − 2 , 576 𝜎𝜎 � −
� 𝜆𝜆 2 𝑐𝑐 2 − 5 , 152𝜆𝜆 𝑐𝑐𝜎𝜎 + 6 , 6358 𝜎𝜎 2 + 10 , 304𝜆𝜆 𝑐𝑐𝜎𝜎 − 4𝜆𝜆 𝑐𝑐 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 5 , 152𝜎𝜎𝑢𝑢−2𝑢𝑢2+2𝑢𝑢𝜇𝜇−𝜇𝜇2
2𝜎𝜎2 �
Karena persamaan di atas  merupakan persamaan linear homogen tingkat dua dengan akar-akarnya tidak kembar dimana 𝑚𝑚 1 ≠ 𝑚𝑚 2 , maka solusi persamaannya adalah
𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 𝐴𝐴 1 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 + 𝐴𝐴 2
Solusi dari persamaan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan batas bawah dan batas atas pada sub bab sebelumnya. Karena 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) merupakan peluang perusahaan bertahan atau tidak mengalami kerugian, maka nilai batas bawahnya adalah 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 0,87577 dan nilai batas atasnya adalah 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 1 . Dengan melakukan subtitusi nilai peluang pada bulan Januari 2019 dengan 𝑢𝑢 = 0 , maka
𝜙𝜙 (0) = 𝐴𝐴 1 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 0 + 𝐴𝐴 2 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 0 𝐴𝐴 2 = 0,87577 − 𝐴𝐴 1
Kemudian untuk mendapatkan nilai dari 𝐴𝐴 1 dilakukan subtitusi pada batas atas peluang kerugian di periode Desember 2019, maka
𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 𝐴𝐴 1 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 + (0,87577 − 𝐴𝐴 1 ) 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢 1 = ( 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 − 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢 ) 𝐴𝐴 1 + 0,87577 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢 𝐴𝐴 1 = 1 − 0,87577 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 − 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢
Untuk mendapatkan nilai dari 𝐴𝐴 1 dan 𝐴𝐴 2 dilakukan dengan menerapkan model peluang pada persamaan (4.11) dengan data yang digunakan adalah data pada Desember 2019 sebagai batas atas, yakni
𝜆𝜆 = 256,67 𝑐𝑐 = 18.200.360.193
𝜎𝜎 = 2.173.800.000
𝜇𝜇 = 12.012.000.000 𝑥𝑥 = 9.580.921.500
Diperoleh nilai dari 𝑚𝑚 1 = 1,36199 × 10 −8 dan 𝑚𝑚 2 = − 7,02432 × 10 −10 . Kemudian dengan menggunakan peluang pada batas atas di periode Desember 2019 dengan 𝑢𝑢 = 61.456.536.765 dan nilai nilai dari 𝐴𝐴 1 pada persamaan (4.12), maka
𝐴𝐴 1 = 1 − 0,87577 𝑒𝑒 ( −7 , 02432 × 10 −10 )( 61 . 457 ) 𝑒𝑒 ( 1 , 36199 × 10 −8 )( 61 . 457 ) − 𝑒𝑒 ( −7 , 02432 × 10 −10 )( 61 . 457 ) 𝐴𝐴 1 = 141,1129 sehingga, 𝐴𝐴 2 = − 140,2372 . Salah satu hal yang menjadi
catatan pada perhitungan ini adalah nilai dari 𝑢𝑢 atau initial surplus  yang disubtitusi hendaknya dalam satuan jutaan sehingga dapat mempermudah perhitungan. Sebagai contoh, nilai 𝑢𝑢 pada Desember 2019 adalah 61.456.536.765, namun yang disubtitusi pada persamaan adalah 61.457 dalam satuan jutaan. Maka, model peluang pada persamaan (4.12) menjadi
𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) = 141,1129 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 − 140,2372 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢
Dengan demikian, diperoleh model peluang kerugian untuk Program Jaminan Kematian (JKm) PT ASABRI (Persero) berdasarkan data pada tahun Januari 2019-Desember 2019 sebagai berikut:
𝜓𝜓 ( 𝑢𝑢 ) = 1 − 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 ) 𝜓𝜓 ( 𝑢𝑢 ) = 1 − 141,1129 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 + 140,2372 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢

## E. Simulasi Peluang Kerugian Program JKm
Berdasarkan model persamaan peluang kerugian (4.15) dilakukan simulasi dengan nilai surplus 𝑢𝑢 merupakan surplus pada setiap bulan. Diperoleh grafik hasil simulasi seperti pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Terlihat bahwa semakin besar nilai 𝑢𝑢 , maka semakin kecil nilai peluang kerugian perusahaan pada Program JKm. Pada akhir tahun terlihat nilai peluang kerugian sama dengan nol yang berarti pada kondisi surplus tersebut, perusahaan berada pada kondisi yang tidak akan mengalami kerugian.

## V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dari penelitian diperoleh kesimpulan sebagai berikut: (1)  Model peluang kerugian Program Jaminan Kerugian PT ASABRI (Persero) berdasarkan data premi di tahun 2019, frekuensi klaim di tahun 2019, serta jumlah klaim di tahun 2019 dinyatakan sebagai 𝜓𝜓 ( 𝑢𝑢 ) = 1 − 141,1129 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 + 140,2372 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢 . (2) Hasil simulasi peluang kerugian Program JKm terhadap nilai surplus berdasarkan data di tahun 2019 menunjukkan bahwa semakin besar nilai surplus, maka peluang kerugian semakin kecil.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  P. R. Indonesia, “Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 5 Tahun 2014 Tentang Aparatur Sipil Negara.” Kemeterian Sekretariat Negara Republik Indonesia, Jakarta, 2014.
[2]  Y. Andriani, “Analisis penyelesaian integrasi perkalian dalam membentuk model peluang kebangkrutan suatu perusahaan asuransi,” J. Penelit. Sains , vol. 12, no. 3, pp. 1–5, 2009.
[3]  OJK, “Peraturan Otoritas Jasa Keuangan Nomor 73/POJK. 05/2017 Tentang Tata Kelola Perusahaan yang Baik Bagi Perusahaan Perasuransian.” Otoritas Jasa Keuangan, Jakarta, 2016.
[4]  N. P. Mintari, “Pemodelan dan Simulasi untuk Mengetahui Kebangkrutan Perusahaan Asuransi Berdasarkan Ukuran Klaim,” in Proceedings of Engineering , 2017, vol. 4, no. 2, pp. 3025–3032.
[5]  I. Qudsiyah, H. T. Sutanto, and A. Oktaviarina, “Menentukan model peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dengan persamaan integro- diferensial,” J. Ilm. Mat. Univ. Negeri Surabaya , vol. 2, no. 3, 2013.
[6]  A. Awatif, I. G. P. Purnaba, and I. W. Mangku, “Simulasi sistem bonus- malus pada asuransi kendaraan bermotor berdasarkan jenis kecelakaan dan tingkat keparahan,” J. Math. Its Appl. , vol. 17, no. 1, pp. 17–32, 2018.
[7]  L. J. Bain and Max Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics , 2nd ed. Kentucky: Duxbury, 1992.
[8]  F. Diba, “Pemodelan dan simulasi peluang kebangkrutan perusahaan asuransi dengan analisis nilai premi dan ukuran klaim diasumsikan berdistribusi eksponensial,” Indones. J. Comput. , vol. 2, no. 2, p. 1, 2017, doi: 10.21108/indojc.2017.2.2.147.
[9]  A. Devin Sezer, “Modeling of an insurance system and its large deviations analysis,” J. Comput. Appl. Math. , vol. 235, no. 3, pp. 535–
546, 2010, doi: 10.1016/j.cam.2010.06.003.
[10]  V. Lakshmikantham and M. R. M. Rao,
Theory of Integro-Differential Equations , 1st ed. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 1995.
[11]  G. E. Willmot, “On a partial integrodifferential equation of seal’s type,” Insur. Math. Econ. , vol. 62, pp. 54–61, 2015, doi: 10.1016/j.insmatheco.2015.03.004.