## RUANG FUNGSI MUSIELAK-ORLICZ TIPE BOCHNER
Yulia Romadiastri 1
1 Dosen Prodi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Walisongo Semarang
Jl. Walisongo 3-5 Semarang, Telp./Faks. : 024-7604554/024-7601293

## ABSTRAK
Fungsi Musielak-Orlicz merupakan fungsi Orlicz dengan beberapa syarat tambahan yang berlaku, yang kemudian membentuk  suatu  ruang  fungsi  Musielak-Orlicz.  Ruang  fungsi  Musielak-Orlicz  dibangkitkan  oleh  suatu  modular  yang mempunyai sifat konveks. Penambahan syarat tertentu pada ruang  fungsi Musielak-Orlicz  membentuk suatu ruang  fungsi Musielak-Orlicz  tipe  Bochner   X L ,   .    Selanjutnya,  ditunjukkan  bahwa  ruang  fungsi  Musielak-Orlicz  tipe  Bochner merupakan  ruang  linear  dan  juga  ruang  bernorma  dengan  norma   . : , L X    R ,  dengan   X f f .  ,  untuk
setiap   X L f ,    . Berikutnya, ditemukan bahwa ruang fungsi Musielak-Orlicz tipe Bochner ini juga merupakan ruang Banach.
Kata Kunci: ruang fungsi Musielak-Orlicz, modular konveks, dan ruang Banach

## 1. Pendahuluan
Perkembangan  teknologi  saat  ini  mengalami  kemajuan  yang  begitu  besar.  Hal  ini  tentu  tidak  lepas  dari peranan  ilmu-ilmu  dasar  yang  menjadi  landasannya.  Salah  satu  ilmu  dasar  yang  selalu  menjadi  landasan perkembangan  teknologi  tersebut  adalah  matematika.  Dalam  matematika,  salah  satu  materi  yang  juga  sedang dan telah berkembang, baik secara teori maupun aplikasinya, adalah bidang analisis matematika.
Salah satu topik yang sedang berkembang pada bidang analisis matematika adalah teori ruang Orlicz. Ruang Orlicz diperkenalkan pertama kali pada tahun 1931 oleh W. Orlicz. Teori ruang Orlicz mempunyai peranan yang sangat penting dan telah banyak diterapkan ke dalam berbagai cabang matematika, salah satunya pada masalah Optimal  Control. Pengembangan  dari ruang  Orlicz  sendiri juga  mengalami  kemajuan  yang  sangat  pesat,  salah satunya  adalah  ruang  fungsi  Musielak-Orlicz.  Ruang  fungsi  ini  dikembangkan  oleh  Musielak  dan  Orlicz  yang merupakan  perluasan  dari  ruang  fungsi  Orlicz  yang  dibangkitkan  oleh  suatu  modular  yang  mempunyai  sifat konveks.  Dalam  hal  ini,         T X d t f t f I    , ~ yang  merupakan  modular  konveks  membangkitkan  ruang
fungsi  Musielak-Orlicz  tipe  Bochner           L f X T L f X L X    . : , , 0 ,  yang  juga  merupakan  ruang Banach.

## 2. Pengertian Dasar
Definisi  2.1 Suatu  himpunan  X  yang  tak  kosong  disebut ruang  linear  (ruang  vektor) atas  lapangan jika memenuhi
(L1) (X,+) merupakan grup Abelian.
(L2) Untuk setiap X y x  , dan ,    R berlaku x X   dan:
  , y x y x         , x x x            x x     1x = x.
Definisi 2.2 Diberikan ruang linear X. Fungsi . : X  disebut norma jika
(B1) ||x|| ≥ 0 untuk setiap x  X,
||x||  0 jika dan hanya jika x  θ,
(B2) ||αx||  |α|||x|| untuk setiap x X  dan ,  
(B3) ||x  y || ≤ ||x||  ||y|| untuk setiap x,y  X.
Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma ||.|| disebut ruang bernorma dan dilambangkan dengan ( X,  ||.|| ).  Selanjutnya,  jika  normanya  sudah  tertentu,  maka  ruang  bernorma  cukup  ditulis X saja.Setiap  ruang bernorma ( X, ||.|| ) merupakan ruang metrik terhadap
  , d x y x y   , x,y  X.
Definisi 2.3 Diberikan ruang bernorma   , . . X
(i) Barisan   n x X  dikatakan konvergen ke x X  jika  untuk  setiap 0   terdapat  bilangan  asli 0 n sehingga untuk setiap bilangan asli 0 n n  berlaku . n x x    Barisan   n x konvergen ke x dinotasikan dengan 0, n x x   untuk n   atau lim . n n x x   (ii) Barisan   n x X  disebut barisan  Cauchy jika  untuk  setiap 0   terdapat    bilangan  asli 0 n   dengan sifat untuk setiap dua bilangan asli 0 , m n n  berlaku . n m x x   
Teorema  2.4 Diberikan  ruang  bernorma   . . , X Jika  barisan   X x n  konvergen,  maka   n x   merupakan barisan Cauchy.

## Definisi 2.5
(i) Ruang bernorma   . , X dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalam X konvergen.
(ii) Ruang bernorma   . , X disebut ruang Banach jika   . , X lengkap.
Definisi 2.6 Diberikan X ruang bernorma.
(i) Barisan   n f X  dikatakan summable ke  suatu s X  jika  barisan   1 , n n n k k s dengan s f   
konvergen ke s. Ditulis dengan 1 . n n f s    
(ii) Barisan   n f X  dikatakan absolutely summable jika 1 . n n f     
Teorema 2.7 Ruang bernorma X lengkap jika dan hanya jika setiap barisan yang absolutely summable adalah summable.

## 3. Ruang Bermodular
Definisi 3.1 Diberikan sebarang ruang linear T atas lapangan .
Fungsi non-negatif     , 0 : T  disebut modular pada T  jika untuk setiap T y x  , berlaku:
(M1)        x x 0 ,
(M2)     x x     ,
(M3)       y x y x         jika   1 , 0 ,    dengan 1     .
Ruang linear T yang dilengkapi dengan suatu modular disebut ruang bermodular dan dilambangkan dengan    , T .
Suatu  himpunan Y B  ,  dengan Y ruang  linear,  disebut himpunan  konveks jika  untuk  setiap B y x  ,
dan   1 , 0 ,    dengan 1     ,  berlaku B y x     .  Fungsi : f B  dikatakan konveks ,  jika B konveks dan untuk setiap B y x  , dan   1 , 0 ,    dengan 1     berlaku       y f x f y x f        .
Selanjutnya,  modular  dikatakan  memenuhi  sifat  konveks  jika  merupakan  fungsi  konveks.  Pada pembahasan  selanjutnya,  yang  dimaksud  modular  adalah  modular  yang  memenuhi  sifat  konveks,  kecuali  bila dinyatakan lain.

## Teorema 3.2
(i) Jika 1 2 ,    R dengan 2 1 0     , maka     x x 2 1      untuk setiap X x  .
(ii) Jika      x untuk setiap 0   , maka   x .

## 4. Ruang Fungsi Musielak-Orlicz tipe Bochner
Definisi 4.1 Diberikan sebarang ruang linear T.
Fungsi
  : 0, T     R disebut fungsi Musielak – Orlicz jika:
(1)   0 0 ,    u u t  , untuk setiap T t  ,
(2) ) , ( ) , ( u t u t    
(3) ,.) ( t  kontinu
(4) ,.) ( t  naik pada ) , 0 ( 
(5)   u ,   terukur, untuk setiap u  R
(6)    , t  konveks,
(7)   0 ,  u u t  jika 0  u pada T.

## Contoh 4.2
Diketahui T ruang linear sebarang dan fungsi
  : 0, T     R , dengan       p u u t p 1 , ,  ,
untuk setiap t . Fungsi  merupakan fungsi Musielak-Orlicz, karena:
1.
  0 0 0 0 ,        u u u u t p  , untuk setiap T t  ,
2.     u t u u u t p p , ,        ,
3. ,.) ( t  kontinu,
4. ,.) ( t  naik pada    , 0 ,
5.   u ,   terukur,  untuk  setiap u  R ,  karena  untuk  setiap , n  dibentuk  barisan  fungsi  sederhana
: , n T   dengan   ,1 , , p n t u p u  
    untuk setiap n. Diperoleh bahwa untuk setiap n, n 
merupakan fungsi konstan. Selanjutnya,
    lim , lim 0. p p n n n t t u u u        
6.    , t  konveks.
Dipunyai   , ,1 . p t u u p      Diperoleh     1 1 , 0 , 0 p u p p u u p u u            . Akibatnya         2 2 1 , 0 1 , 0 p uu p p p u u p p u u       
      .
Jadi untuk setiap 0, u  diperoleh 0. uu   Jadi  konveks pada     , 0 0, .    
7. jika
0  u pada T , maka ( , ) . p u t u u u  
Diperoleh untuk 0, u  berlaku 1 0 p p u u u    dan untuk 0, u  berlaku   1 0. p p u u u       
Untuk fungsi Musielak-Orlicz  , didefinisikan fungsi
    , 0 : 0 L I  dengan         T d t f t f I    , ,
untuk  setiap 0 L f  .  Dapat  ditunjukkan  bahwa  fungsi  I merupakan  modular  konveks.  Kemudian, didefinisikan ruang fungsi Musielak–Orlicz  L , dengan   0 ) ( : 0      c suatu untuk cf I L f L   . Dapat ditunjukkan  bahwa  ruang  fungsi  Musielak-Orlicz  L merupakan  ruang  linear.  Selanjutnya,  fungsi  Musielak-
Orlicz  dan  dikatakan saling berkomplemen jika     , xy x y     untuk setiap , . x y  .
Untuk setiap fungsi Musielak–Orlicz  , didefinisikan fungsi  
* : 0, T 
   R , dengan
      u t v u v t u , sup , 0 *      ,
untuk setiap v  R dan T t  . Dapat ditunjukkan bahwa fungsi   juga merupakan fungsi Musielak-Orlicz.
Teorema  4.3 Untuk  setiap  fungsi  Musielak-Orlicz  ,  berlaku     v t u t uv , ,      , , 0, u v  untuk  setiap . t T 
Definisi  4.4 Fungsi  Musielak  –  Orlicz  dikatakan  memenuhi kondisi- 2  ,  ditulis 2    ,  jika  terdapat konstanta 0  k dan 0 0 u  sehingga     u t k u t , 2 ,    , untuk setiap T t  dan 0 u u  .
Selanjutnya,  didefinisikan  fungsi
      , 0 , : ~ 0 X T L I  ,  dengan         T X d t f t f I    , ~
,untuk  setiap
  X T L f , 0  . Dapat ditunjukkan bahwa fungsi  I ~ merupakan modular.
Teorema 4.5 Fungsi  I ~ merupakan modular.
Bukti:
Untuk setiap   X T L g f , , 0  berlaku:
(1)
      0 , 0 ~     T X d t f t f I        0 ,   X t f t  , h.d. pada T     0 0     t f t f X , h.d. pada T
   f , h.d. pada T ,
(2)
          T X d t f t f I    , ~       d t f t T X   , .   f I  ~  ,
(3) untuk
  1 , 0 ,    dengan 1     , akan ditunjukkan       g I f I g f I      ~ ~ ~    .
Karena  merupakan fungsi naik, maka berlaku
               X X X t g t f t t g f t          , , .
Sehingga diperoleh,
           T X d t g f t g f I        , ~              T X X d t g t f t     ,            T X X d t g t f t     ,           , , X X T
t f t t g t d               , , X X T T t f t d t g t d
                , , X X T T t f t d t g t d
                  , , X X T T t f t d t g t d             g I f I   ~ ~   .
Dari (1), (2), dan (3) terbukti bahwa fungsi  I ~ merupakan modular. 
Untuk  fungsi  Musielak-Orlicz  ,  didefinisikan           L f X T L f X L X    . : , , 0 .  Dapat
ditunjukkan pula bahwa   X L ,   merupakan ruang linear.
Teorema 4.6 Ruang fungsi   X L ,   merupakan ruang linear.
Bukti:
Diambil  sebarang   X L g f , ,    dan  skalar,  artinya   L f X  . dan   L g X  . .  Karena  L ruang linear,  maka  berlaku      L g f X X   . . dan      . .
X X f f L      .  Akibatnya   X L f ,     .
Selanjutnya,  karena   L f X  . dan   L g
X  . ,  maka  berdasarkan  definisi  diperoleh  bahwa   0 . ,
. L g f X X  dan  terdapat 0 , 2 1  c c sehingga  berlaku           X X f c I f c I . . 1 1   dan
          X X g c I g c I . . 2 2   .
Dipilih   2 1 , min c c c  , maka 0 2 1  c dan berlaku
                                                        X X X X cg cf I cg cf I g f c I g f c I . 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 . 2 1 . 2 1             X X cg I cf I . 2 1 . 2 1             X X g c I f c I . . 2 1       . Jadi    L g f X   . .  Karena   X L g f , ,    maka   X T L g f , , 0  .  Diperoleh   X T L g f , 0   .
Dengan kata lain,   X L g f ,     .
Jadi   X L ,   merupakan ruang linear. 
Didefinisikan   . : , L X    R , dengan   X f f .  , untuk setiap   X L f ,    . Dapat ditunjukkan bahwa     . , , X L   merupakan ruang bernorma.
Teorema 4.7 Ruang fungsi   X L ,   merupakan ruang bernorma.
Bukti:
Menurut Teorema 4.6,   X L ,   merupakan ruang linear. Tinggal ditunjukkan . merupakan norma.
(N1)  Karena X . merupakan  norma,  maka 0  X f .  Akibatnya,  diperoleh  bahwa  0 .   X f .  Jadi
0  f . Selanjutnya,            f f f f X X 0 . 0 . 0 . (N2) Untuk setiap   X L f ,    dan  skalar, berlaku      X f f .     X f . 
   X f .  f   .
(N3) Diambil sebarang   X L g f , ,    . Diperoleh,    X g f g f .       X g f . .      X X g f . .       X X g f . .   g f   .
Dari  (N1),  (N2),  dan  (N3)  diperoleh  bahwa     . , , X L   adalah  ruang  bernorma  terhadap  norma
  X f f .  .  Teorema 4.8 Ruang bernorma     . , , X L   merupakan ruang Banach .
Bukti:
Diambil sebarang     X L f n ,    sehingga
1 . n n f M       Klaim 1 n n f    konvergen  di  dalam   , . L X   Selanjutnya,  untuk  setiap , n  didefinisikan n g dengan
    1 . n n k k g x f x    Maka 1 1 1 . n n n k k k k k k g f f f M            Karena . p p n n g M g M    
Untuk  setiap , x berlaku     1 n n g x g x   dan , n g M  maka     . n g x g x  Akibatnya g terukur. Selanjutnya, karena   n g naik dan tak negatif, maka menurut Lemma Fatou berlaku
lim lim . p p p p n n g g g M      
Akibatnya p g terintegral dan g berhingga h.d. pada . T
Jadi, ada ' T T  dengan   ' 0 T   sehingga   , g x   untuk setiap ' . x T T

##  
Akibatnya,  untuk  setiap ' , x T T   berlaku   1 k k f x    absolutely  summable .  Artinya,  bahwa
  1 . k k f x      Akibatnya   n g konvergen, katakan ke   . s x
Selanjutnya didefinisikan     ' ' , . 0, s x x T T t x x T        Diperoleh 1 n n k k s f    dan s terukur.
Karena     , n s x g x  maka     . s x g x  Diperoleh,           p p n n s x s x s x s x            2 . p p p g x g x g x   
Karena 2 p p g terintegral dan     0 . . p n s x s x h d   pada , maka
0. n s s    Akibatnya, 0
0 p n n s s s s      1 n n k k s s f s     
       1 . k k f s      Dengan kata lain,   n f summable . Jadi diperoleh   , L X   lengkap.
Terbukti bahwa ruang bernorma     . , , X L   merupakan ruang Banach. 
Selanjutnya, ruang fungsi   X L ,   disebut ruang fungsi Musielak – Orlicz tipe Bochner .

## 5.   Kesimpulan
Di  dalam  pembahasan  telah  dibuktikan  bahwa,
      , T I f t f t d      merupakan  modular  konveks.
Modular  ini  membangkitkan  ruang  fungsi  Musielak-Orlicz   0 ) ( : 0      c suatu untuk cf I L f L  
.
Selanjutnya, untuk setiap fungsi Musielak  – Orlicz  , didefinisikan fungsi  
    u t v u v t u , sup , 0 *      , yang
juga  merupakan  fungsi  Musielak-Orlicz  dan  fungsi *  disebut  fungsi  komplemen  dari  .  Selanjutnya  telah ditunjukkan  pula  bahwa         T X d t f t f I    , ~
merupakan  modular  konveks.  Modular  ini  membangkitkan
ruang fungsi Musielak-Orlicz tipe Bochner           L f X T L f X L X    . : , , 0 . Lebih lanjut,   X L ,   merupakan ruang Banach terhadap
  X f f .  untuk setiap   X L f ,    .

## 5. Referensi
Giesy,  D.P.,  1966,  On  a  Convexity  Condition  in  Normed  Linear  Spaces, Transactions  of  the  American Mathematical Society Vol. 125 No. 1, 114-146, AMS.
Hudzik, H. and A, Kurc., W., 1987, Uniformly non-ln   1 Musielak-Orlicz Spaces, Bull. Acad. Polon.  Sci. Math.,
35, 7-8, 441-448.
Hudzik, H. and Chen, S., 1988, On Some Convexities of Orlicz and Orlicz-Bochner Spaces, Comment. Math., Univ. Carolinae 029 No. 1, 13-29.
Kolwicz,  P.  and  Pluciennik,  R.,  1998,  P-convexity  of    Musielak-Orlicz  Function  Spaces  of  Bochner  Tipe,
Revista Matematica Complutense Vol. 11 No. 1.
Kolwicz, P. and Pluciennik, R., 1995, On P-convex Musielak-Orlicz Spaces, Comment. Math., Univ . Carolinae 36, 655-672.
Kolwicz,  P.  and  Pluciennik,  R.,  1998,  P-convexity  of  Orlicz-Bochner  Spaces, Proceedings  of  The  American Mathematical Society, Vol. 126 No. 8, 2315-2322.
Kolwicz,  P.  and  Pluciennik,  R.,  1997,  P-convexity  of  Musielak-Orlicz  Sequence  Spaces  of  Bochner  Tipe,
Collect. Math.48, 587-600.
Orlicz, W, 1992, Linear Functional Analysis , World Scientific, London.
Orlicz, W. and Musielak, J., 1959, On Modular Spaces, Studia Mathematica Vol. 18, 49-64, Warsawa.
Royden, H.L., 1989, Real Analysis, MacMillan Publishing Company, New York.
Suparno, 2008, Ruang Bermodular Orlicz , Tesis, Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta.