Vol. 13, No. 1,  46-54,  Juli  2016
Metode Pendeteksian Autokorelasi Murni dan Autokorelasi Tidak Murni
Georgina M. Tinungki 
Abstrak
Autokorelasi  merupakan  salah  satu  pelanggaran  asumsi Ordinary  Least  Square yang menyatakan  bahwa  dalam  pengamatan-pengamatan  yang  berbeda  tidak  terdapat  korelasi antara error  term pada  persamaan  regresi.  Autokorelasi  yang  digunakan  pada  penelitian  ini adalah  autokorelasi  urutan  pertama  yang  dideteksi  dengan  menggunakan  Statistik  Durbin- Watson.  Untuk  mengatasi  autokorelasi  tersebut  digunakan  prosedur  Cochrane-Orcutt  yang merupakan salah satu alternatif pemecahan dalam permasalahan penaksiran koefisien regresi pada persamaan Generalized Least Square .
Kata  Kunci: Autokorelasi, Ordinary  Least  Square,  Statistik  Durbin-Watson, prosedurCochrane-Orcutt.

## 1.   Pendahuluan
Ordinary  Least  Square (OLS)  merupakan  penaksir  linear  terbaik  tak  bias  ( Best  Linear Unbiased  Estimator )  bagi  suatu  model  regresi  dengan  beberapa  asumsi  yang  dimilikinya (Supranto,  1983).    Salah  satu  asumsinya,  selayaknya  ( error )  hanya  mengandung  galat  yang berbentuk  acak.  Error  tersebut  mungkin  berasal  dari  penyimpangan  acak  waktu  mengadakan pengukuran, misalnya dari alat ukur atau pembacaan alat ukur tersebut, atau faktor lain yang tidak diukur  tapi  bersifat  acak.  juga  dapat  berkorelasi  dengan  error  pada  pengamatan  lain  yang disebut autokorelasi. Hal  ini  merupakan  pelanggaran  asumsi  pada  penaksiran  dengan  OLS (Sembiring, 1995).
Autokorelasi  merupakan  pelanggaran  asumsi  OLS  yang  menyatakan  bahwa  dalam pengamatan-pengamatan  yang  berbeda  tidak  terdapat  autokorelasi  antara  error.  Autokorelasi dapat  terjadi  pada  setiap  penelitian  dimana  urutan  pada  pengamatan-pengamatan  memiliki  arti. Oleh  karenanya,  autokorelasi  sering  disebut  korelasi  serial  yang  terjadi  kebanyakan  pada serangkaian data runtun waktu. Intisari autokorelasi adalah bahwa error pada suatu periode waktu secara  sistematik  tergantung  kepada  error  pada  periode  waktu  yang  lain.  Misalnya
10 3 2 1 , , , , e e e e  dan
11 4 3 2 , , , , e e e e  (Sarwoko, 2002).

## 2.   Tinjauan Pustaka

## 2.1.   Autokorelasi
Autokorelasi  merupakan  pelanggaran  asumsi  OLS  yang  menyatakan  bahwa  dalam pengamatan-pengamatan  yang  berbeda  tidak  terdapat  korelasi  antara error  term .  Intinya  bahwa error term pada suatu periode waktu secara sistematik tergantung kepada error term pada periode
 Program Studi Statistika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin

## Georgina M. Tinungki
waktu yang lain. Dalam hubungannya dengan persoalan regresi, model regresi diberikan  sebagai berikut
t tn n t t t X X X Y             2 2 1 1 0 , (1)
dimana t Y = Nilai peubah respon dalam amatan ke t ,
i  = parameter model yang tidak diketahui nilainya i= 1,2,3,..., n ,
ti X = nilai peubah bebas X ke- i pada amatan ke t ,
t  = error term yang bersifat acak.
Jika t  mengandung autokorelasi maka
t t t V    1   (2)
Persamaan  (2)  disebut  model  autokorelasi  urutan  pertama,  dengan t  adalah error  term dari persamaan  yang  sedang  dipertanyakan,  adalah  koefisien  autokorelasi  yang  menunjukkan derajat  hubungan  fungsional  antara error  term yang  sedang  diamati,  dan t V adalah error  term klasik  (yang  tidak  mengandung  autokorelasi).  Besarnya  nilai  menggambarkan  kekuatan autokorelasi  di  dalam  persamaan.  Apabila  nilai  sama  dengan  0,  maka  dikatakan  tidak  ada autokorelasi. Apabila nilai  mendekati 1, maka nilai pengamatan error term yang mendahului, yaitu 1  t  , menjadi  penting  dalam  menentukan  nilai  pengamatan error  term saat  ini, t  , dan dikatakan ada autokorelasi yang tinggi. Dapat dikatakan bahwa 1 1     , , 0 ) (  t E  dan 2 2 1 ) (      t Var dan . 1 ) , ( 2 2 1     
         t t Cov (3)
Berdasarkan nilai t  pada persamaan (3), maka diperoleh
3 4 3 2 3 2 1 2 1                t t t t t t t t t V V V       , Sehingga persamaan (2) menjadi t t t t t t t V V V V           1 2 2 1 2 ) (       . t , 0,1,2, = s , 0       s s t s t V   (4)
Dengan  demikian t  pada  periode t adalah  kombinasi  linear  dari  gangguan  sekarang  dan sebelumnya (Neter, 1990).

## 2.2.   Jenis Autokorelasi
Berdasarkan pada penyebabnya, autokorelasi terbagi atas 2, yaitu autokorelasi murni dan autokorelasi tidak murni.

## Georgina M. Tinungki

## 1. Autokorelasi Murni
Autokorelasi murni terjadi bila asumsi klasik yang menyatakan bahwa tidak ada korelasi antara error term pada periode pengamatan-pengamatan yang berbeda diperlonggar dalam sebuah persamaan yang terspesifikasi dengan benar. Asumsi itu adalah ). ( , 0 ) , ( j i Cov j i    
Apabila  nilai  yang  diharapkan  dari  koefisien  korelasi  sederhana  antara  setiap  dua pengamatan error  term adalah  tidak  sama  dengan  nol,  maka error  term tersebut  dikatakan memiliki autokorelasi. Jika para ahli ekonometrika menggunakan istilah autokorelasi tanpa sifat perubahan, maka yang dimaksud adalah autokorelasi murni (Sarwoko, 2002).
Sebagai  contoh  di  dalam  model  runtun  waktu,  sebuah  pengaruh  yang  besar  terhadap suatu kegiatan ekonomi dalam satu periode akan tetap tertahan selama beberapa periode. Jika hal ini  terjadi  maka error  term , t  ,  akan  cenderung  positif  untuk  sejumlah  pengamatan,  kemudian negatif  untuk  beberapa  periode.  Jika  hal  ini  terjadi  maka error  term t  akan  cenderung  positif untuk  sejumlah  pengamatan,  kemudian  negatif  untuk  beberapa  periode  kemudian  dan  kembali lagi positif.
Gambar 1. Autokorelasi Positif.
Pengamatan-pengamatan error  term yang  diperlihatkan  pada  Gambar  1  di  atas,  diatur menurut  urutan  waktu.  Pengamatan  pada  periode  pertama  menjadi  urutan  pertama,  pengamatan pada periode kedua menjadi urutan kedua dan seterusnya. Untuk melihat perbedaan antara error term dengan  atau  tanpa  autokorelasi  positif  dapat  dilihat  dari  perbandingan  Gambar  1  dan Gambar  2  berikut,  dimana  persamaan  tidak  mengandung  autokorelasi,  atau 0   (Supranto, 1983).

## Georgina M. Tinungki
Gambar 2. Tidak Terdapat Autokorelasi.
Gambar 3. Autokorelasi Negatif.
Gambar  3  menunjukkan  contoh  autokorelasi  negatif.  Nilai  negatif  pada  menyatakan  secara tidak langsung bahwa error term memiliki suatu kecenderungan berubah–ubah tanda dari negatif ke  positif  dan  seterusnya  saling  berganti  tanda  pada  pengamatan–pengamatan  berikutnya.  Ini disebut autokorelasi negatif (Sarwoko, 2002).
Autokorelasi  dapat  mengambil  banyak  bentuk,  selain  autokorelasi  urutan  pertama. Misalnya,  pada  model  kuartalan,  pengamatan error  term kuartalan  saat  ini  dapat  dihubungkan secara  fungsional  dengan  pengamatan error  term kuartalan  yang  sama  pada  tahun  sebelumnya. Model ini disebut autokorelasi kuartalan berdasarkan musiman, yaitu . 4 t t t v u u    
Serupa dengan fungsi itu, misalnya pengamatan error term kuartalan saat ini merupakan fungsi dari pengamatan error term pada dua periode kuartalan sebelumnya, . 2 2 1 1 t t t t v u u u        Model  ini  disebut  dengan  autokorelasi  urutan  kedua  ( second  order autocorellation ). Pembenaran terhadap model persamaan autokorelasi yang semakin banyak pada umumnya diaanggap lemah dari pada model persamaan autokorelasi urutan kedua (Neter, 1990).

## 2. Autokorelasi Tidak Murni
Autokorelasi tidak murni adalah autokorelasi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi seperti  menghilangkan  variabel  yang  penting  atau  bentuk  fungsi  yang  salah.  Sementara autokorelasi  murni  disebabkan  oleh  alasan  pokok  distribusi error  term pada  persamaan  yang spesifikasinya sudah benar (Sarwoko, 2002).

## Georgina M. Tinungki
Untuk  melihat  bagaimana sebuah  variabel  penting  yang  tidak  dimasukkan  dalam  model dapat  menyebabkan error  term yang  mengandung  autokorelasi,  sebuah  persamaan  diberikan, yaitu t t t t X X Y         2 2 1 1 0 . Apabila 2 X tiba-tiba dihilangkan dari persamaan di atas, maka persamaan tersebut menjadi
* 1 1 0 t t t X Y       , dimana . 2 2 * t t t X     
Dengan  demikian error  term digunakan  pada persamaan  yang  kasusnya  menghilangkan variabel  penting  bukan error  term sebagaimana  menurut  asumsi  klasik t  tetapi  merupakan fungsi  dari  salah  satu  variabel  independen, 2 X .  Akibatnya, error  term * t  yang  baru  dapat mendorong  autokorelasi,  walaupun error  term t  yang  lama  tidak. Error  term * t  yang  baru, khususnya akan cenderung mengandung autokorelasi apabila:
1. Variabel independen 2 X yang dihilangkan itu sendiri mengandung autokorelasi,
2. Ukuran t  kecil jika dibandingkan dengan ukuran . 2 2 t X 
Kecenderungan  ini  ada  sekalipun  terdapat  sejumlah  variabel  yang  dilibatkan  atau dihilangkan. Perhatikan bahwa sementara error term * t  sepertinya memiliki rata-rata tidak sama dengan nol, namun sebenarnya tidaklah demikian, karena * 0  hasil estimasi ordinary least square akan menyesuaikan dan mengimbangi persoalan ini. Kedua, oleh karena autokorelasi tidak murni menunjukkan  sebuah  kesalahan  karena  penghilangan  sebuah  variabel,  maka  autokorelasi semacam itu kemungkinannya akan menyatu dengan koefisien estimasi yang bias. Baik koefisien bias  maupun  autokorelasi  tidak  murni  akan  terhapus  apabila  kesalahan  spesifikasi  itu  dikoreksi (Neter, 1990).
Penyebab autkorelasi tidak murni lainnya adalah apabila autokorelasi itu disebabkan oleh bentuk fungsi yang salah. Pemilihan bentuk fungsi yang salah menyebabkan error term memiliki autokorelasi. Misalkan model yang  tepat untuk suatu pengamatan adalah , 2 1 0 t t e X Y      akan  tetapi  model  yang  digunakan  adalah t t e X Y    1 0   .  Sebagai  akibatnya,  penggunaan sebuah bentuk fungsi linear ketika bentuk fungsi nonlinear lebih tepat umumnya berautokorelasi positif  (Sarwoko,  2002).    Gambaran  visual  untuk  permasalahan  ini  diperlihatkan  pada  gambar berikut.
Manipulasi  dan  penyederhanaan  pada  data  juga  dapat  menjadi  penyebab  autokorelasi. Data mentah seringkali dimanipulasi dan disederhanakan, misalkan dalam regresi menggunakan data  runtuk  waktu  yang  meliputi  data  triwulan,  data  tersebut  biasanya  merupakan  penjumlahan dari tiga data bulanan, kemudian dibagi tiga. Proses rata-rata ini akan membuat smooth data asli, sebab fluktuasi data bulanan tak akan terlihat lagi. Maka dari itu kurva  data triwulan akan lebih terlihat smooth dari  pada  data  bulanan,  dan  penghalusan  semacam  ini  akan  menimbulkan  pola sistematis dalam kesalahan pengganggu, yang berarti akan menimbulkan autokorelasi (Supranto, 1983).

## Georgina M. Tinungki
Gambar 4. Bias dalam Bentuk Fungsi yang Tidak Tepat.

## 2.3.   Akibat Autokorelasi
Keberadaan  autokorelasi  pada  error  dalam  sebuah  persamaan  melanggar  asumsi,  dan estimasi persamaan dengan OLS memiliki paling tidak tiga konsekuensi
1. Autokorelasi murni tidak menyebabkan bias pada koefisien-koefisien taksiran,
2. Autokorelasi meningkatkan variansi pada taksiran koefisien b ,
3. Autokorelasi menyebabkan OLS menaksir terlalu rendah kesalahan baku pada errornya.

## 2.4. Statistik Durbin-Watson
Statistik Durbin-Watson digunakan untuk menentukan autokorelasi urutan pertama pada error  term  dari  sebuah  persamaan  regresi.  Statistik  Durbin-Watson  digunakan  apabila  asumsi- asumsi yang mendasarinya dipenuhi, yaitu
1. Model  regresi  harus  mencakup  titik  potong,  tidak  boleh  melalui  titik  asal.  Untuk  model dua variabel t t t e x Y    1 0   , maka 0 0   ,
2. Residual t  diperoleh dari autokorelasi urutan pertama t t t V e e    1  ,
Statistik Durbin-Watson pada pengamatan ke t adalah
       n t n t t t t e e e d 2 1 2 2 1 / ) ( (5)
yang  merupakan  rasio  jumlah  kuadrat  dari  selisih t e dengan 1  t e .  Perhatikan  bahwa  di  dalam pembilang pada Statistik Durbin-Watson, banyaknya observasi hanya n -1.
Hipotesis yang digunakan dalam pengujian dengan statistik ini adalah:
1. Hipotesis satu arah
- Autokorelasi positif
0
: 0   H 0 : 1   H
Jika L d d  maka  tolak 0 H , U d d  maka  terima 0 H ,  dan  tidak  diperoleh kesimpulan apa-apa jika
U L d d d  
.
- Autokorelasi negatif
0 : 0   H 0 : 1   H Jika L d d   4 maka  tolak 0 H ,  jika U d d  maka  terima 0 H , dan  tidak diperoleh kesimpulan apapun jika , 4 U d d   . 4 4 L U d d d     2. Hipotesis dua arah
0 : 0   H 0 : 1   H
Jika L d d  dan L d d   4 maka tolak , 0 H jika U U d d d    4 maka terima 0 H , dan tidak dapat diperoleh kesimpulan apapun jika U L d d d   atau . 4 4 L U d d d    
Kelemahan  dari  pada  pengujian    Durbin-Watson  ialah  jika  hasil  pengujian  berada  pada daerah  yang  tidak  dapat  diperoleh  kesimpulan  apapun,  maka  tidak  akan  diperoleh  kesimpulan apakah  terjadi  autokorelasi  atau  tidak.  Perlu  dicatat  bahwa  banyaknya  nilai  amatan  agar  dapat menggunakan statistik Durbin-Watson adalah minimal 15 amatan (Neter, 1990).

## 2.5.   Prosedur Cochran-Orcutt
Prosedur Cochran-Orcutt merupakan salah satu alternatif pemecahan dalam permasalahan penaksiran  koefisien  regresi  pada  persamaan Generalized  Least  Square yang  tidak  dapat diestimasi  dengan  OLS. Generalized  Least  Square adalah  sebuah  metode  untuk  membuang autokorelasi  tahap  pertama  pada  sebuah  estimasi  persamaan  regresi.  Metode  ini  juga meminimumkan varian dari persamaan regresi tersebut. Generalized Least Square diawali dengan sebuah  persamaan  yang  tidak  memenuhi  asumsi  autokorelasi,  dan  melakukan  transformasi persamaan menjadi sebuah persamaan yang memenuhi asumsi tersebut. Prosedur Cochran-Orcutt terdiri atas 3 tahap, yaitu
1. Pendugaan  ,  suatu  kenyataan  bahwa  proses  autoregresif  dari  error  dapat  ditunjukkan sebagai  suatu  regresi, t t t V    1   .  Jika t  , 1  t  adalah  variabel  bebas, V t merupakan error  term  yang  memenuhi  asumsi  klasik,  dan  slope  garis  menuju  asal.  Karena t  dan 1  t  tidak diketahui, maka digunakan e t dan e t- 1 yang diperoleh dari OLS.  dengan fitting garis lurus menuju asal, dengan nilai dugaan yang dilambangkan dengan  ˆ adalah
     2 1 1 ˆ t t t e e e  (6)
2. Model  transformasi  persamaan  menjadi  sebuah  persamaan  yang  memenuhi  asumsi  klasik, dimulai dengan sebuah persamaan yang mengandung autokorelasi
t t t t V X
Y      1 1 0    (7)
Georgina M. Tinungki
dimana t V adalah  error  term  yang  tidak  mengandung  autokorelasi.  Apabila t  dapat dibuang dari persamaan di atas, maka autokorelasi akan hilang, sebab t V tidak mengandung aurokorelasi.  Untuk  menghilangkan t  dari    persamaaan  di  atas,  maka  persamaan  (1) dikalikan dengan  dan diperoleh persamaan baru untuk satu periode
1 1 1 0 1       t t t X Y     (8)
Sekarang dengan mengurangkan persamaan (7) dengan persamaan (8) diperoleh persamaan yang tidak mengandung komponen autokorelasi dalam error term,
t t t t t t t t t t V X X V X X Y Y                   ) ( ) 1 ( 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1            (9)
Sehingga diperoleh
t t t V X
Y    * * 1 * 0 *   (10)
dimana 1 *    t t t Y Y Y  ) 1 ( 0 * 0      ) ( 1 * 1    t t X X X  1 * 1   
Penggunaan dugaan  ˆ pada persamaan (6) dan OLS dengan variabel transformasi tersebut untuk menghasilkan fungsi regresi yang sesuai.

## 3.   Kesimpulan
Beberapa kesimpulan yang dapat diperoleh dari tulisan ini adalah:
1. Jika  pemilihan  bentuk  fungsi  yang  salah  serta  jika  nilai  yang  diharapkan  dari  koefisien korelasi sederhana antara setiap dua pengamatan error term tidak sama dengan nol, maka error term tersebut dikatakan memiliki autokorelasi.
2. Autokorelasi  tidak  murni  menunjukkan  sebuah  kesalahan  karena  penghilangan  sebuah variabel,  maka  autokorelasi  semacam  itu  menyatu  dengan  koefisien  estimasi  yang  bias. Baik  koefisien  bias  maupun  autokorelasi  tidak  murni  akan  terhapus  apabila  kesalahan spesifikasi itu dikoreksi.
3. Statistik  Durbin-Watson  digunakan  untuk  menentukan  autokorelasi  murni  dan  tidak murni  urutan  pertama  pada  error  term  dari  sebuah  persamaan  regresi.  Statistik  Durbin- Watson digunakan apabila asumsi-asumsi yang mendasarinya dipenuhi.
4. Prosedur Cochran-Orcutt merupakan salah satu alternatif pemecahan dalam permasalahan penaksiran koefisien regresi pada persamaan Generalized Least Square yang tidak dapat diestimasi dengan OLS ( Ordinary Least Square ) .

## Daftar Pustaka
Draper,  N.  dan  Smith,  H.,  1981. Applied  Regression  Analysis , Second  Edition .  John  Wiley  & Sons Inc., New York.
Mangkuatmojo, S., 2004. Statistika Lanjutan . Rineka Cipta, Jakarta.

## Georgina M. Tinungki
Myers,  R.H., 1998. Classical  and  Modern  Regression  with  Application, 2 nd ed .   PWS-KENT, Boston.
Neter,  J.,  1990. Applied  Linear  Statistical  Model .  Donnelley  and  Sons  Company,  Boston Amerika.
Pindyck,  R.S.  dan  Rubinfeld,  D.L.,  1998. Econometric  Models  and  Economic  Forecast, 4 th ed. Irwin McGraw-Hill.
Rawling , 1998. Applied Modern Regression . John Wiley & Sons., New York.
Ryan, T.P., 1997. Modern Regression Methods . John Wiley & Sons., New York.
Sarwoko, 2002. Dasar-dasar Ekonometrika. Penerbit ANDI, Yogyakarta.
Sembiring, R.K., 1995. Analisis Regresi . ITB, Bandung.
Supranto, J., 1983. Ekonometrik . Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.