Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 13 No. 2, Desember 2021, hal. 71-80 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## SEMIGRUP REGULER DAN SIFAT-SIFATNYA

## Najmah Istikaanah
Jurusan Matematika Universitas Jendral Soedirman najmah.mtk@unsoed.ac.id
Ari Wardayani, Renny, Ambar Sari Nurahmadhani, Agustini Tripena,

## Triyani

## Jurusan Matematika Universitas Jendral Soedirman
ABSTRACT .  This  article  discusses  some  properties  of  regular  semigroups.  These properties  are  especially  concerned  with  the  relation  of  the  regular  semigroups    to groups,  idempoten  semigroups  and  invers  semigroups.  This  article  also  discusses  the Cartesian  product  of  two  regular  semigroups  where  it  is  concluded  that  the  Cartesian product  of  two  regular  semigroups  is  a  regular  semigroup,  a  group  must  be  a  regular semigroup. In addition, idempotent semigroups and inverse semigroups are also regular semigroups.
Keywords :  idempoten  semigroup,  inverse  semigroup,  regular  semigroup,  Cartesian product
ABSTRAK. Artikel  ini  membahas  tentang  sifat-sifat  semigrup  reguler.  Sifat-sifat  ini khususnya  berkenaan  dengan  keterkaitan  semigrup  reguler  dengan  grup,  semigrup idempoten,  dan  semigrup  invers.  Pada  artikel  ini  juga  dibahas  mengenai  hasil  kali Cartesius  dari  dua  semigrup  regular  dimana  diperoleh  kesimpulan  bahwa  hasil  kali Cartesius dua semigrup reguler merupakan semigrup reguler, suatu grup pasti merupakan semigrup  regular.  Selain  itu,  semigrup  idempoten  dan  semigrup  invers  juga  merupakan semigrup regular.
Kata kunci : semigrup idempoten, semigrup invers, semigrup reguler,  hasil kali kartesius.

## 1. PENDAHULUAN
Semigrup  merupakan  himpunan  tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang bersifat assosiatif (Lidl  dan  Pilz, 1998:  333).  Semigrup yang dilengkapi  dengan  elemen  identitas  dan  elemen  invers  disebut  grup.  Elemen e pada  grup disebut  elemen  identitas  jika  untuk  setiap a G berlaku
Adapun  elemen pada  grup G disebut  elemen  invers  dari
a jika  memenuhi
Dengan demikian, untuk setiap a pada grup G , berlaku
Namun hal ini tidak selalu berlaku pada semigrup,  sehingga  hal  ini  memberikan  peluang  pada  kita  untuk  mendefinisikan
suatu  elemen  reguler.  Pada  penelitian  Widyanesti  dan  Wahyuni  (2011), didefinisikan  bahwa  elemen a pada  semigrup disebut  sebagai  elemen  reguler
dimana  untuk suatu terdapat suatu
sedemikian sehingga berlaku
.  Selanjutnya,  semigrup    yang  setiap    elemennya    merupakan    elemen reguler  disebut  semigrup reguler.
Pada  semigrup  berlaku  sifat  bahwa  hasil  kali  Cartesius  dua  semigrup merupakan semigrup. Namun tidak semua semigrup merupakan semigrup reguler. Hal  ini  memotivasi  munculnya  ide  apakah  hasil  kali  Cartesius  dua  semigrup reguler  merupakan  semigrup  regular.  Pada  artikel  ini  akan  disajikan  hasil mengenai  hasil  kali  Cartesius  dua  semigrup  reguler  serta  keterkaitan  antara semigrup reguler dengan  grup dan semigrup lainnya, yaitu semigrup invers serta band.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi  dari  semigrup  reguler  diberikan  oleh  Howie  (1976:44)  sebagai berikut.
Definisi 1 (Semigrup Reguler) Diberikan adalah semigrup. Elemen a  di disebut  elemen  reguler  jika  terdapat sedemikian  sehingga .
Semigrup disebut  semigrup regular jika setiap elemen di merupakan elemen reguler.
Salah satu contoh dari semigrup reguler disajikan dalam Contoh 1.

## Contoh 1
Misalkan
adalah  himpunan  bilangan  bulat
modulo m .  Didefinisikan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo m pada
yaitu mod m untuk  setiap .  Himpunan  bilangan
bulat yang  dilengkapi  dengan  operasi
,  dinotasikan  dengan
merupakan semigrup reguler. Berikut penjelasannya.
Operasi merupakan operasi biner di , sebab untuk setiap berlaku mod .  Selanjutnya,  operasi pada bersifat asosiatif, sebab untuk setiap berlaku
                            mod mod mod
mod mod mod mod mod . m m m m m m a b c a b c m a b c m m a b c m m a b m c m
a b m c a b c                     Hal  ini  berarti merupakan  semigrup.  Diketahui adalah  himpunan bilangan  bulat  modulo ,  maka  terhadap  operasi
,  jika  diambil  sembarang
, maka selalu terdapat sedemikian sehingga
dan dengan 0 adalah elemen identitas di . Oleh karena itu, Karena setiap
merupakan elemen reguler, maka adalah semigrup reguler.
Tidak  semua  semigrup    merupakan  semigrup  reguler,  seperti  yang  diperlihatkan dalam Contoh 2 berikut.

## Contoh 2
Misalkan diberikan semigrup himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi  perkalian  biasa,  dinotasikan  dengan
.  Sistem  matematika
bukan semigrup reguler, sebab elemen reguler di
hanya -1, 0 dan 1.
Selanjutnya  sifat-sifat  dari  semigrup  reguler  disajikan  dalam  beberapa  subbab berikut.

## 2.1 Hasil Kali Cartesius Dua Semigrup Reguler
Jika  dipunyai  dua  semigrup  reguler,  maka  hasil  kali  Cartesius  dari  dua semigrup reguler juga merupakan semigrup reguler, seperti yang disajikan dalam teorema berikut.
Teorema 1 Jika dan masing masing adalah semigrup reguler, maka
hasil  kali  Cartesius  dari  semigrup  reguler
dan  semigrup  reguler
merupakan  semigrup  reguler,  yang  dilambangkan  dengan dan operasi elemen-elemennya diberikan oleh
untuk setiap . Bukti Diketahui dan merupakan  semigrup  reguler,  maka  untuk  setiap terdapat sedemikian  sehingga  berlaku dan  untuk setiap terdapat sedemikian sehingga berlaku . Diketahui maka dan , dengan U, V masing masing adalah semigrup reguler. Dengan demikian diperoleh,
.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa setiap elemen pada merupakan elemen reguler.  Ambil  sebarang terdapat sedemikian
sehingga berlaku
. . Ini membuktikan bahwa juga merupakan semigrup reguler.
Contoh  dari  hasil  kali  Cartesius  dari  dua  semigrup  reguler  disajikan  dalam Contoh 3.
Contoh 3 Diketahui dan merupakan semigrup. Selanjutnya dan merupakan  semigrup  reguler,  sebab  pada  Tabel  1  nampak  bahwa  untuk ,dan  untuk  setiap berlaku Untuk , terdapat sedemikian sehingga . Kemudian pada Tabel 2, terlihat  bahwa  untuk ,  terdapat berlaku Untuk terdapat sedemikian  sehingga Untuk terdapat sedemikian sehingga
Selanjutnya,  telah  diketahui  bahwa    hasil  kali  Cartesius merupakan  semigrup.  Hasil  kali  ini  disajikan  dalam  Tabel  3.  Semigrup
merupakan  semigrup  reguler  karena  untuk terdapat sedemikian sehingga , untuk terdapat sedemikian sehingga , untuk terdapat sedemikian sehingga , untuk terdapat sedemikian sehingga ,
untuk terdapat sedemikian sehingga , untuk terdapat sedemikian sehingga . Jadi terbukti bahwa adalah semigrup reguler. Tabel 1 Hasil operasi di 0 1 0 0 0 1 0 1 Tabel 2 Hasil operasi di 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Tabel 3 Hasil operasi di (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 2) (0, 0) (0, 2) (0, 1) (1, 0) (1, 2) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 2) (1, 0) (1, 2) (1, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 1)

## 2.2  Keterkaitan  antara  Semigrup  Reguler  dengan  Grup  dan  Semigrup Lainnya
Grup  merupakan  semigrup  yang  dilengkapi  dengan  elemen  satuan  dan elemen invers. Keterkaitan antara grup dengan semigrup reguler diberikan  dalam teorema berikut.
Teorema 2 Setiap grup merupakan semigrup reguler.

## Bukti
Jika merupakan  grup,  maka  operasi  *  pada bersifat  biner  dan
assosiatif.  Jadi,
adalah  semigrup.  Selanjutnya,  setiap elemen  di G memiliki invers, yaitu
edemikian sehingga
dengan
e merupakan elemen identitas pada G terhadap operasi *. Perhatikan bahwa
 
dan
  Jadi untuk setiap terdapat yang memenuhi . Dengan demikian, grup merupakan semigrup reguler.
Berikut ini merupakan contoh keterkaitan semigrup reguler dengan grup.
Contoh 4 Misalkan adalah himpunan matriks berordo yaitu {[ ] }
yang  dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  matriks.  Diketahui adalah  grup.  Menurut  Teorema  2 yaitu  setiap  grup  merupakan  semigrup  reguler maka berlaku bahwa juga merupakan semigrup reguler.
Selain semigrup reguler, ada beberapa jenis  semigrup  yang lainnya,  yang diantaranya  adalah  semigrup  idempoten  (yang  disebut  juga band ) dan  semigrup invers.  Semigrup  yang  setiap  elemennya  berupa  elemen  idempoten  disebut semigrup idempoten. Elemen di disebut elemen idempoten jika memenuhi Semigrup disebut  semigrup  invers  jika  untuk  setiap terdapat dengan tunggal sehingga dan
.  Sifat-sifat  dari  semigrup  idempoten  dapat  dilihat  antara  lain  pada  (Baader, 1987) dan (Almeida, dkk., 1992), sedangkan sifat-sifat dari semigrup invers dapat dilihat pada (Srinivas dan Nandakumar, 2009) dan (Cherubini dan Frigeri, 2019). Keterkaitan antara semigrup reguler dengan semigrup idempoten disajikan dalam Teorema 3.
Teorema  3 Misalkan merupakan  semigrup  idempoten,  maka merupakan semigrup reguler.
Bukti
Misalkan merupakan semigrup idempoten. Jika diambil x sembarang elemen di S , maka berlaku
=
Dengan demikian, S adalah semigrup reguler.
Berikut  ini  merupakan  contoh  keterkaitan  semigrup  reguler  dengan  semigrup idempoten.

## Contoh 5
Diketahui merupakan semigrup idempoten dengan {[ ]   [ ]} yang  dilengkapi  dengan  operasi  perkalian  matriks,  maka berdasarkan teorema 3 diperoleh bahwa erupakan semigrup reguler.
Selanjutnya,  diberikan  teorema  tentang  keterkaitan  semigrup  reguler dengan semigrup invers sebagai berikut.
Teorema  4 Misalkan
merupakan  semigrup  invers,  maka merupakan
semigrup reguler. Bukti Misalkan
merupakan  semigrup  invers.  Diambil  sembarang
Jadi, mempunyai invers yaitu yang memenuhi dan . Karena  untuk  setiap berlaku maka merupakan
semigrup reguler.
Keterkaitan semigrup reguler dengan semigrup invers diilustrasikan dalam contoh berikut.

## Contoh 6
Diketahui merupakan  semigrup  invers.  Jadi  menurut  teorema  6 diperoleh bahwa . merupakan semigrup reguler.

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Semigrup  reguler  adalah  semigrup  yang  setiap  elemennya  merupakan elemen  reguler.  Elemen a pada semigrup dengan untuk suatu disebut  elemen  reguler.  Contoh  dari  semigrup  reguler  antara  lain  adalah himpunan bilangan bulat modulo m yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan modulo  m,  himpunan  polinom  bererajat  n  atas  R  dengan  indeterminate  x  yang
dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  polinom.  Salah  satu  sifat  semigrup reguler  mempunyai  yaitu  hasil  kali  Cartesius  dua  semigrup  reguler  merupakan semigrup  reguler.  Semigrup  reguler  juga  mempunyai  kaitan  dengan  grup  dan semigrup lainnya  yaitu suatu  grup pasti merupakan semigrup  reguler. Selain  itu, band dan semigrup invers juga merupakan semigrup reguler.
Pada  artikel  ini  telah  dikaji  keterkaitan  antara  semigrup  reguler  dengan semigrup idempoten dan semigrup invers.  Penelitian selanjutnya dapat  mengkaji keterkaitan  semigrup  reguler  dengan  semigrup  yang  lainnya,  seperti  komutatif dan kanselatif semigrup.

## DAFTAR PUSTAKA
Almeida, J., Pin, J-E., Weil, P., Semigroups whose Idempoten form a Subsemigroups .
Mathematical  Proceedings,  Cambridge  University  Press  (CUP), 111 (1992), 241 – 253.
Baader, F., Unification in Varieties of Idempoten Semigroups , Semigroup Forum , 36 (1987), 127 – 145.
Cherubini, A., Frigeri, A., Inverse Semigroups with Apartness , Semigroup Forum, 98 (2019), 571 – 588.
Howie,  J.M., An  Introduction  to  Semigrup  Theory ,  3 rd Edition,  Academic  Press,
London, 1976.
Lang,    S., Algebra ,  Addison-Wesley  Publishing  Company,  United    States    of America , 1993..
Lidl,  R.,  Pilz,  G., Applied  Abstract  Algebra ,  2 nd Edition,  Spinger-Verlag,  New York, 1998.
Srinivas,  K.  V.  R.,  Nandakumar, Algebraic  Properties  and  Examples  of  Inverse Semigroups , Proyecciones Journal of Mathematics, 28 (2009), 227 – 232. Widyanesti,  S.,  Wahyuni,  S.,   Semigrup  Legal  dan  Beberapa  Sifatnya, Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika, 3 Desember 2011, Universitas Negeri Yogyakarta, 2011.