Vol. 14, No. 1,  12-18,  Juli  2017
Analisis Reliabilitas dengan Distribusi Weibull 2 Peubah Pada Tingkat Kelangsungan Hidup Penderita Penyakit Kanker Paru-Paru
Anna Islamiyati 

## Abstrak
Analisis  Reliabilitas  digunakan  untuk  melihat  tingkat  keandalan  suatu  produk  atau  sistem  dalam berbagai bidang kehidupan. Secara statistik, salah satu metode yang dapat digunakan dalam analisis reliabilitas  adalah  distribusi  Weibull,  yang  ditunjukkan  melalui  2  peubah, x dan y. Ilustrasi menggunakan  data  pada  tingkat  kelangsungan  hidup  penderita  penyakit  kanker  paru-paru berdasarkan  lama  perawatan  pasien  di  rumah  sakit.  Disini  tidak  dijelaskan  metodologi  penelitian karena  data  yang  diangkat  hanyalah  data  sekunder  yang  telah  dilakukan  pada  kegiatan  hibah penelitian.
Kata Kunci : reliabilitas, tingkat kelangsungan hidup dan distribusi weibull.

## 1.  Pendahuluan
Dewasa ini, teori keandalan semakin dibutuhkan baik dalam dunia industri, pendidikan, kedokteran  dan  berbagai  bidang  lainnya.  Kualitas  produk  yang  andal  atau  kualitas  sistem pelayanan yang baik menjadi kunci utama dalam kesuksesan bisnis atau program. Inovasi-inovasi baru perlu mengetahui tingkat keandalan setiap komponen yang digunakan supaya memiliki mutu yang lebih bersaing di pasaran.
Kajian  tentang  keandalan biasanya  dianalisis dalam  analisis reliabilitas dan salah  satu distribusi yang dapat digunakan adalah Distribusi Weibull.
Dalam  tulisan  ini,  akan  ditunjukkan  pendeteksian  awal  data  dengan  menggunakan distribusi  weibull  dengan  2  peubah  sebelum  masuk  dalam  analisis  reliabilitas.  Dan  sebagai ilustrasi  akan  digunakan  data  lama  perawatan  pasien  pengidap  kanker  paru-paru  dalam menganalisis tingkat kelangsungan hidup pasien melalui analisis reliabilitas. Melalui tulisan ini, diharapkan  penggunaan  analisis  reliabilitas  dengan  distribusi  data  dapat  lebih  banyak dimanfaatkan oleh pengguna statistik, sehingga tidak hanya terbatas pada analisis parametrik dan non parametrik saja seperti yang digunakan selama ini.

## 2. Teori Pendukung

## 2.1.  Distribusi Weibull dalam Teori Reliabilitas
Peubah acak kontinu T yang berdistribusi Weibull untuk parameter  α dan β, memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut :
    t e t t f    1 ) ( ; t > 0, α > 0 dan β > 0 (1)
 Staf Pengajar pada Jurusan Matematika  F.MIPA  Universitas Hasanuddin  Makassar

## Anna Islamiyati
Penggunaan  Distribusi  Weibull  dalam  teori  keandalan  produk  menjelaskan  tentang tingkat  keandalan  dan  tingkat  kegagalan  dari  produk  tersebut.  Tingkat  keandalan  disimbolkan R(t) yang dapat ditulis sebagai berikut :
) ( 1 ) ( ) ( ) ( t F dt t f t T P t R t        (2)
jika F(t) menyatakan distribusi kumulatif T.
Peluang bersyarat bahwa sebuah produk/sistem akan gagal dalam selang waktu  T = t sampai  T  =  t  +  Δt,  bila  diketahui  dapat  bertahan  sampai  batas  waktu  t  yang  telah diperkirakan/ditentukan, diberikan oleh :
) ( ) ( ) ( t R t F t t F    (3)
Bila  nisbah  dibagi  dengan  Δt  dan  diambil  limitnya  dengan  membuat  Δt  →  0  maka diperoleh tingkat kegagalan yang disimbol Z(t) sebagai berikut:
1 ) (     t t Z (4)
Hubungan R(t) dan Z(t) ditunjukkan pada persamaan berikut :
) ( 1 ) ( ) ( lim ) ( 0 t R t t F t t F t Z t       
) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' t F t f t R t f t R t F     (5)
karena R(t) = 1 – F(t) dan R’(t) = F’(t), maka :
  dt t R d t R t R t Z ) ( ln ) ( ) ( ' ) (        dt t Z t R ) ( ) ( ln c e c e t R t dt t Z          ) ( ) ( (6)
Sehingga dari pers (4) dan (6) maka :
) ( ) ( ) ( t R t Z t f  (7) Gambar 1 : Distribusi Waktu Kegagalan R(t) f(t) 0 t

## 2.2. Tingkat Kelangsungan Hidup
Analisis  Tingkat  Kelangsungan  Hidup  biasa  disebut  Analisis  Survival  adalah  analisis data  yang  menggambarkan  waktu  terjadinya  sebuah  kejadian  tertentu  ke  titik  akhir  kejadian  itu (“ Time to Event ” data). Dalam dunia kedokteran, titik akhir kejadian dapat digambarkan sebagai kejadian pasien yang meninggal, sembuh dari penyakitnya, atau munculnya kembali gejala suatu penyakit.  Tujuan  Analisis  Survival  ini  untuk  mengidentifikasi  variabel  ramalan  yang  penting untuk  waktu  kelangsungan  hidup  pasien.  Tingkat  kelangsungan  hidup  ini  merupakan  salah  satu ukuran yang dapat ditunjukkan melalui analisis reliabilitas, termasuk dalam dunia kedokteran
Dalam  analisis  Survival  ini  melibatkan  peubah  yang  berdistribusi  weibull  yang menggambarkan  peluang  kegagalan  dan  keandalan  pasien  dalam  bertahan  hidup  dalam  proses penyembuhannya.
Ukuran reliabilitas ada yang dikategorikan repairable yaitu tingkat kegagalan lebih dari satu kali artinya ada kemungkinan suatu produk untuk berfungsi kembali kemudian rusak kembali pada  waktu  tertentu  dan  ada  pula  yang  masuk  dalam  kategori non-repairable yaitu  tingkat kegagalan satu kali atau kemampuan produk hanya satu kali.
Produk yang repairable akan menggunakan MTBF ( Mean Time Between Failure ) dan Availability .  MTBF  adalah  rata-rata  waktu  sistem  akan  beroperasi  sampai  terjadi  kegagalan berikutnya. Availability adalah proporsi waktu suatu sistem dapat dioperasikan.
MTTR  ( Mean  Time  to  Repair )  adalah  waktu  rata-rata  untuk  memperbaiki,  di  mana suatu produk atau sistem mulai rusak sampai selesai diperbaiki.
Kegagalan Tingkat Total
Perbaikan Waktu Total MTTR  (8) Kegagalan
Tingkat
MTBF
1  (9) MTTR MTBF MTBF ty Availabili  
(10)
Sedangkan  produk  non-repairable  menggunakan  MTTF  ( Mean  Time  to  Failure )  dan Hazard  Rate .  MTTF  adalah  rata-rata  waktu  suatu  sistem  akan  beroperasi  sampai  terjadi kegagalan  pertama  kali.  Hazard  Rate  adalah  tingkat  kegagalan  suatu  komponen  hingga  waktu tertentu atau sebagai fungsi sampai berapa lama komponen dapat digunakan.
Rate Hazard
MTTF 1  (11) t Waktu Hingga Komponen liabilitas t Saat Gagal Komponen obabilitas Rate Hazard Re Pr  (12)

## 3.  Pendeteksian Distribusi Data dengan Weibull
Pendeteksian  distribusi  data  sangat  penting  sebagai  langkah  awal  dalam  analisis reliabilitas.  Pendeteksian  ini  berguna  untuk  melihat  ketepatan  distribusi  dengan  data  hasil penelitian melalui metode maksimum likelihood. Pendeteksian ini akan ditunjukkan melalui plot probabilitas  dan  nilai  Anderson  Darling  dari  Distribusi  Weibull  2  peubah  seperti  yang ditunjukkan pada gambar berikut.
Lama Perawatan P e rc e n t 100 10 1 95 80 50 20 5 2 1 C orrelation C oefficient Weibull 0.984 Probability Plot for Lama Perawatan LSXY Estimates-Censoring Column in Sensor Berobat Jalan Weibull Lama Perawatan P e rc e n t 100 10 1 95 80 50 20 5 2 1 C orrelation C oefficient Weibull 0.974 Probability Plot for Lama Perawatan LSXY Estimates-Censoring Column in Sensor Pulang Paksa Weibull Lama Perawatan P e rc e n t 100 10 95 80 50 20 5 2 1 C orrelation C oefficient Weibull 0.991 Probability Plot for Lama Perawatan LSXY Estimates-Censoring Column in Sensor Meninggal Weibull Lama Perawatan P e rc e n t 100 10 95 80 50 20 5 2 1 C orrelation C oefficient Weibull 1.000 Probability Plot for Lama Perawatan LSXY Estimates-Censoring Column in Sensor Kambuh Kembali Weibull
Gambar  2  :  Plot  Probabilitas  Untuk  Lama  Perawatan  Pasien  Penyakit  Kanker  Paru-Paru Berdasarkan Status Kelangsungan Hidup Pasien
Hasil plot data seperti pada Gambar 2 di atas menunjukkan plot probabilitas data sudah mendekati  garis  lurus  dengan  nilai  Anderson  Darling  dari  distribusi  weibull  untuk  pasien  yang berobat jalan  sebesar  59,258,  pasien  yang  pulang  paksa  sebesar  20,752,  pasien  yang  meninggal sebesar 31,674 dan pasien yang  kambuh kembali sebesar 48,098 dengan nilai koefisien korelasi rata-rata  di  atas  0,9.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  analisis  reliabilitas  dengan  distribusi weibull  dapat  digunakan  dalam  memprediksi  kondisi  pasien  penyakit  kanker  paru-paru  selama perawatan pada Rumah Sakit Wahidin Sudirohusodo pada 50 pasien.
Melalui  distribusi  weibull,  rata-rata  lama  perawatan  pasien  yang  berobat  jalan  adalah 26,057 hari, dengan selang kepercayaan 95% berkisar antara            21,173 – 32,067 hari, artinya bila diputuskan bahwa data pasien mengikuti distribusi weibull, maka 95% pasien yang menjalani perawatan  kemudian  berobat  jalan  akan  berada  antara  21,173  –  32,067  hari  perawatan.  Untuk pasien yang pulang paksa rata-rata perawatan sekitar 41,904 hari dengan kisaran 23,181 – 75,750 hari  yang  dijalani  oleh  sekitar  95%  pasien.  Rata-rata  perawatan  pasien  yang  meninggal  sekitar 48,791 hari dengan 95% pasien akan berada pada kisaran 30,109 – 79,067 hari. Sedangkan untuk pasien yang penyakitnya kambuh kembali memiliki rata-rata perawatan yang paling tinggi yaitu sekitar  89,742  hari  dengan  95%  pasien  akan  berada  pada  kisaran  30,702  –  262,311  hari.  Lama tidaknya perawatan pasien di rumah sakit juga dipengaruhi oleh faktor kondisi kesehatan pasien maupun dari faktor lain misalnya faktor keuangan, pelayanan rumah sakit, dan lain-lainnya yang tidak diteliti dalam penelitian ini.
Taksiran  parameter  untuk  masing-masing  status  pasien  ditunjukkan  pada  Tabel  2 berikut.

## Anna Islamiyati
Tabel 2.  Fungsi  Distribusi  Weibull  Berdasarkan  Status  Kelangsungan  Hidup  Pasien  untuk Parameter α dan β
Status Fungsi Distribusi Weibull     t e t t f    1 ) (
Berobat Jalan Pulang Paksa Meninggal Kambuh Lagi 8 1 , 1 31 , 29 81 , 0 05 , 53 ) ( t e t t f   0 3 , 1 43 , 42 03 , 0 70 , 43 ) ( t e t t f   0 8 , 2 08 , 55 31 , 28 57 , 114 ) ( t e t t f   4 3 , 1 76 , 98 43 , 0 23 , 141 ) ( t e t t f  

## 4.  Analisis  Reliabilitas  dalam  Tingkat  Kelangsungan  Hidup  Penderita Penyakit Kanker Paru-Paru
Untuk  analisis  reliabilitas,  akan  ditunjukkan  tingkat  keandalan  dan  tingkat  kegagalan dari keseluruhan pasien yang kemudian akan digunakan untuk menjelaskan tingkat kelangsungan hidup  pasien  dengan  memperhatikan  status  kelangsungan  hidup  mereka  sesuai  data  hasil penelitian, yaitu pasien yang berobat jalan, pulang paksa, meninggal dan kambuh kembali. Pasien yang  berobat jalan  dan  pulang  paksa  dikategorikan  sebagai  pasien  yang  mampu  bertahan  hidup sampai  akhir  perawatan  sedangkan  pasien  yang  meninggal  dan  kambuh  kembali  dikategorikan sebagai  pasien  yang  gagal  bertahan  hidup  dan  gagal  untuk  sembuh  dari  penyakit  yang dideritanya.
Kondisi  pasien  dengan  beberapa  kemungkinan  tersebut  menunjukkan  bahwa  tingkat kegagalan  pada  pasien  bermacam-macam  sehingga  ukuran  reliabilitas  untuk  kondisi  pasien  ada yang  dikategorikan repairable yaitu  tingkat  kegagalan  lebih  dari  satu  kali  artinya  ada kemungkinan pasien untuk sembuh kemudian kambuh atau baru meninggal pada waktu tertentu dan  ada  pula  yang  masuk  dalam  kategori non-repairable yaitu  tingkat  kegagalan  satu  kali  atau hidupnya hanya satu kali.
Dalam  penelitian  ini,  status  kelangsungan  hidup  penderita  penyakit  kanker  paru-paru dibagi  dalam  5  kategori  yaitu  pasien  yang  sembuh,  pulang  paksa,  berobat jalan,  meninggal  dan kambuh kembali penyakitnya. Masing-masing kategori menunjukkan status kelangsungan hidup pasien yang berbeda-beda. Hal yang paling menonjol adalah pasien yang sembuh dan meninggal, karena  dari  dua  kondisi  pasien  ini,  dapat  memberikan  keterangan  tentang  kemampuan  pasien untuk  bertahan  hidup,  apakah  akan  sembuh  dari  penyakit  kanker  paru-paru  atau  sebaliknya meninggal  karena  serangan  penyakit  tersebut.  Sedangkan  ketiga  kondisi  lainnya  yaitu  pulang paksa,  berobat  jalan  dan  kambuh  lagi  memiliki  dua  kemungkinan  yaitu  sembuh  atau  akan meninggal.
Tetapi  karena  pasien  yang  sembuh  tidak  didapatkan  dalam  penelitian  maka  hanya  4 status pasien yang akan dibahas dan semuanya dikategorikan dalam pasien non repairable karena data  yang  didapatkan  hanya  menunjukkan  lama  perawatan  pasien  sampai  pada  keadaan  sensor atau status pasien yaitu berobat jalan, pulang paksa, meninggal atau kambuh kembali.
Tingkat  kegagalan  pasien  adalah  kegagalan  pasien  untuk  dapat  bertahan  hidup (meninggal)  atau  penyakitnya  kambuh  kembali  selama  masa  perawatan  di  rumah  sakit  dari penyakit kanker paru-paru yang dideritanya. Untuk semua pasien nilai parameter yang diperoleh adalah α = 53,12 dan β = 1,76 sehingga bentuk persamaannya ditunjukkan seperti berikut :
7 6 , 2 12 , 53 76 , 0 49 , 93 ) ( t e t t f   76 , 0 ) 49 , 93 ( ) ( t t Z  dan 7 6 , 2 12 , 53 ) ( t e t R  
Rata-rata  lama  perawatan  pasien  di  rumah  sakit  kemudian  mengalami  kematian  atau pun kambuh kembali penyakitnya sekitar 47,299 hari yang berada pada interval 29,398 – 76,104 hari  perawatan.  Hasil  analisis  menunjukkan  bahwa  sekitar  30%  pasien  akan  meninggal  setelah dirawat  selama  29,56  hari atau  sekitar  1  bulan  di  rumah  sakit.  Pasien  yang  bisa  bertahan  hidup melewati  1  bulan  sebesar  69,35  %  dan  50  %  pasien  hanya  mampu  bertahan  selama  1,5  bulan. Keadaan ini tentunya harus menjadi bahan evaluasi bagi rumah sakit maupun dari pasien karena faktor  utama  penyebab  kematian  pasien  karena  keterlambatan  dari  pasien  sendiri  dalam melakukan  pengobatan di rumah  sakit  sehingga  perawatan sejak  dini  tidak  dapat  dilakukan  lagi oleh pihak rumah sakit. Di sisi lain keterlambatan pasien bukan karena faktor ketidaktahuan tetapi pada  umumnya  disebabkan  oleh  faktor  ekonomi,  sehingga  tim  manajemen  rumah  sakit  perlu untuk mengkaji lebih lanjut tentang permasalahan tersebut.
Nilai taksiran reliabilitas pada lama perawatan pasien, dapat dilihat pada grafik berikut.
Lama Perawatan R a te 140 120 100 80 60 40 20 0 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 Table of Statistics Median 43.1326 IQ R 37.8016 Failure
8
C ensor 42 A D* 37.720 Shape C orrelation 0.993 1.75902 Scale 53.1246 Mean 47.2999 StDev 27.7649 Parametric Hazard Plot for Lama Perawatan Censoring Column in Sensor Reliabilitas - LSXY Estimates Weibull Lama Perawatan P e rc e n t 140 120 100 80 60 40 20 0 100 80 60 40 20 0 Table of Statistics Median 43.1326 IQ R 37.8016 Failure 8 C ensor 42 A D* 37.720 Shape C orrelation 0.993 1.75902 Scale 53.1246 Mean 47.2999 StDev 27.7649 Parametric Survival Plot for Lama Perawatan Censoring Column in Sensor Reliabilitas - LSXY Estimates Weibull - 95% CI (a)
(b)
Gambar 3 : Plot Hazard Rate (a) dan Plot Survival (b) Lama Perawatan Pasien
Gambar di atas menunjukkan reliabilitas pasien selama dirawat semakin lama semakin mengalami penurunan sedangkan peluang kegagalan pasien selama dalam perawatan mengalami peningkatan.  Terlihat  bahwa  setelah  pasien  dirawat  selama  30  hari  reliabilitasnya  menurun sebesar 68,16 % dan terus mengalami penurunan seiring dengan bertambahnya lama perawatan di rumah  sakit.  Sedangkan  total  pasien  yang  gagal  sampai  30  hari  sekitar  31,84  %.  Hasil  ini menunjukkan  bahwa  semakin  lama  pasien  dirawat  di  rumah  sakit  maka  tingkat  reliabilitasnya semakin rendah, sebaliknya tingkat kegagalannya semakin tinggi.
Selengkapnya,  peluang  tingkat  kegagalan  dan  tingkat  keandalan  pasien  selama  masa perawatan ditunjukkan pada Tabel 3.:

## Anna Islamiyati
Tabel 3. Tingkat kegagalan dan tingkat keandalan pasien selama masa perawatan
Lama Perawatan (Hari) Tingkat Kegagalan (Z(t)) Tingkat Keandalan (R(t)) 6 12,2 18,4 24,6 30,8 37 43,2 49,4 55,6 61,8 68 74,2 80,4 86,6 92,8 99 105,2 111,4 117,6 123,8 0,006 0,011 0,015 0,018 0,022 0,025 0,028 0,031 0,034 0,037 0,040 0,043 0,045 0,048 0,051 0,053 0,056 0,058 0,061 0,063 0,979 0,928 0,857 0,772 0,682 0,589 0,499 0,415 0,338 0,271 0,214 0,165 0,126 0,094 0,069 0,050 0,036 0,025 0,017 0,019

## 5. Kesimpulan
- Untuk  mengetahui  keandalan  suatu  produk/sistem,  analisis  pemecahan  yang  dapat digunakan adalah analisis reliabilitas dengan distrbusi weibull.
- Analisis  reliabilitas  dapat  digunakan  dalam  menjelaskan  tingkat  kelangsungan  hidup pasien penderita kanker paru-paru.
- Dalam  analisis  reliabilitas dengan  distribusi  weibull menunjukkan  bahwa  semakin  lama suatu  produk/pasien  maka  tingkat  keandalannya  akan  mengalami  penurunan  tetapi sebaliknya tingkat kegagalan semakin tinggi.

## Daftar Pustaka
[1] William  Feller,  1982,  ” Probability  Theory  and  Its  Apllications”, Third  Printing.  John Wiley & Sons.  The United States of America.
[2] Ibrahim  J.G.,  Chen,  MH  and  Shina,  D.,  2001,  “ Bayesian  Survival  Analysi s”  Springer Verlag, New York.
[3] Lee E.T., 1992, “ Statistical Methods for Survival Data Analysis” , John Wiley and Sons Inc., Canada.