Solusi Polinomial Romanovski pada Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Rosen Morse
Cecilia Yanuarief [1]
[1] Program Studi Fisika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta Jl. Marsda Adisutjipto No. 1, Yogyakarta 55281 Telp : 274-512474, 274-589621 Fax. 274-586117 E-mail : cecilia.yanuarief@uin-suka.ac.id
Abstrak – Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang persamaan Schrödinger potensial  non  sentral  Rosen  Morse  plus  Rosen  Morse.  Persamaan  Schrödinger  diselesaikan  menggunakan metode  polinomial  Romanovski.  Tingkat  energi  yang  diperoleh  merupakan  fungsi  tertutup  sedangkan  fungsi gelombang  baik  polar  maupun  radial  dinyatakan  dalam  bentuk  persamaan  polinomial  Romanovski.  Untuk menunjukan  akurasi  hasil  penelitian  ini,  spektrum  energi  dan  fungsi  gelombang  bagian  polar  maupun  radial serta  grafik  rapat  probabilitas  divisualisasikan  dengan  pemrograman  komputer.  Visualisasi  fungsi  gelombang radial  yang  terbentuk  mendeskripsikan  nilai  probabilitas  ditemukannya  partikel,  sedangkan  visualisasi  fungsi gelombang  polar  yang  terbentuk  mendeskripsikan  arah  momentum  sudut  orbital  dari  sebuah  partikel  yang berada dalam pengaruh potensial sistem.
Kata kunci: non sentral Rosen Morse, polinomial Romanovski.

## PENDAHULUAN
Mekanika  kuantum  sudah  lama  dikenal  sebagai ilmu  dasar  bagi  pengkajian  gejala  dan  sifat berbagai  sistem  mikroskopik.  Pemanfaatannya tidak hanya berhasil memperluas dan memperdalam  pemahaman  peristiwa  alami  di dalam  laboratorium,  tetapi  juga  menghasilkan kemajuan teknologi secara luas, dan mempengaruhi  kualitas  serta  corak  hidup manusia  secara  tidak  langsung.  Perkembangan mekanika  kuantum  berakar  dari  konsep  dasar teori  kuantum  yang  meliputi  dugaan-dugaan baik  secara  diskrit  maupun  ketidakteraturan. Teori  kuantum  terbukti  mampu  menjelaskan fenomena  kuantum  dari  sistem  makroskopik seperti  superkonduktivitas  dan  superfluiditas yang  memiliki  potensi  aplikasi  penting.  Proses pembelajaran mekanika kuantum selalu melibatkan  persamaan-persamaan  yang  rumit dan  penyelesaiannya  membutuhkan  analisa  dan pemikiran  yang  tinggi.  Contoh  masalah  yang cukup  rumit  adalah  penyelesaian  nilai  energi dan  fungsi  gelombang  persamaan  Schrödinger [5]. Penelitian tentang penyelesaian nilai  energi dan  fungsi  gelombang  persamaan  Schrödinger merupakan  penelitian  yang  sangat  penting dalam  ilmu  fisika  modern.  Berbagai  metode penyelesaian  persamaan  Schrödinger  untuk gerak  partikel  pada  potensial-potensial  sentral
dan  non  sentral  dengan  suatu  potensial  vektor atau  suatu  potensial  skalar  terpisahkan  telah dikembangkan.  Berbagai  metode  yang  telah dikembangkan  tersebut  diantaranya  adalah metode Super Symmetry [3], metode Nikiforov- Uvarov [6], dan metode polinomial Romanovski [1]. Berdasarkan fakta tersebut, maka dilakukanlah  penelitian  yang  bertujuan  untuk memecahkan  kerumitan  dalam  menyelesaikan nilai  energi  dan  fungsi  gelombang  persamaan Schrödinger tersebut dengan cara menggunakan metode polinomial Romanovski. Sebagai pembeda  yang  menjadi  ciri  khas  penelitian  ini adalah  potensial  persamaan  Schrödinger  yang digunakan  merupakan  kombinasi  antara  dua potensial  non  sentral  yaitu  kombinasi  antara potensial  non  sentral  Rosen  Morse  [4]  sebagai potensial sistem dan potensial non sentral Rosen Morse  sebagai  potensial  pengganggu,  dimana potensial ini merupakan kandidat utama sebagai potensial
efektif dalam Quantum Chromodynamic (QCD) [2], sehingga penelitian tentang bagaimana Solusi
Polinomial Romanovski  pada  Analisis  Energi  dan  Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus  Rosen  Morse  menjadi  penting  untuk dilakukan.

## LANDASAN TEORI Teori Dasar Polinomial Romanovski
Persamaan  umum  hypergeometry  orde  dua dinyatakan sebagai berikut,
( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = 0 , (1) ( ) =
+ + ; = + , (2a) dengan parameter Romanovski,
= 1, = 0, = 1, = 2(1 − ), dan = , > 0 , ( ) = ( , ) ( ) , > ,  (2b)
Sehingga,  persamaan  hypergeometry  orde  dua yang  dipenuhi  oleh  polinomial  Romanovski, yaitu,
(1 + ) ( , ) ( ) + (2 (1 − ) + ) ( , ) ( ) − { ( − 1) + 2 (1 − )} ( , ) ( ) = 0 . (3)
Persamaan Schrödinger dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam bentuk persamaan (3) dengan
melakukan  substritusi  variabel  yang  sesuai. Cara yang digunakan adalah dengan mensubstitusi  fungsi  gelombang  persamaan Schrödinger dengan
permisalan
fungsi gelombang Romanovki, yaitu,
( ) = (1 + ) ( , ) ( ) , (4)
dengan,
( , ) ( ) = ( ) ((1 + ) ( )) . (5) Persamaan (5) merupakan polynomial Romanovski,  dengan ( ) merupakan  faktor bobot yang dapat ditentukan dengan menggunakan  persamaan  differensial  Pearson, yaitu,
( ) ( ) = ( ) ( ) . (6)
Dengan  mensubstitusi  persamaan  (2a)  dan  (2b) ke persamaan (6), maka diperoleh,
( ) = exp  ∫ ( ) ( ) , ( ) = exp ∫ ,
( ) = [−   (1 + ) + ] , ( ) = (1 + ) ( ) . (7)

## Menentukan  tingkat  energi  dan  fungsi gelombang dengan polinomial Romanovski
Potensial  yang  merupakan  kombinasi  dari potensial  non  sentral  Rosen  Morse  dengan potensial non sentral Rosen Morse adalah;
( , ) = − ℏ 2 2 coth 2 − 1 + ℏ ( ) − 2 cot , (8) dengan > 0 .
Persamaan  Schrödinger  untuk  persamaan  (8) adalah,
− ℏ 2 1 + 1 sin sin + 1 sin ( , , ) + − ℏ 2 2 coth 2 − 1 + ℏ 2 [ ( + 1) csc − 2 cot ] ( , , ) =
( , , ) . (9)
Dari persamaan (9), diperoleh,
− 1 ( ) 1 sin sin ( ) − 1 ( ) 1 sin ( ) +
[ ( + 1) csc − 2 cot ] = , (10a) 1 ( ) ( ) + 2 coth 2 − 1 + ℏ = , (10b)
dengan    adalah  konstanta  sparasi  dengan  nilai
= ( + 1) dan    adalah  bilangan  kuantum orbital, = 0, 1, 2, … .Penyelesaian  persamaan gelombang untuk bagian azimuth pada persamaan (10a), yaitu, = , (10c) dengan adalah konstanta  normalisasi dan m
= 0, ±1, ±2, ±3, ±4, …

## Penyelesaian  Fungsi  Gelombang  Persamaan Schrödinger Bagian Polar
Dari  substitusi  persamaan  (10c)  kepersamaan (10a), diperoleh,
( ) + cos ( ) − ( ) − 2 cos ( ) + ( ) = 0 .  (11)
Dengan  substitusi  variabel cot = pada persamaan (11), maka diperoleh,
(1 + ) ( ) + ( ) − ( ( + 1) + ) − ( ) −
( ) ( ) = 0 . (12) Persamaan (12) diselesaikan dengan
mensubstitusi  fungsi  gelombang ( ) dengan permisalan  fungsi  gelombang  Romanovski seperti  pada  persamaan  (4),  yaitu,  dengan
( ) = ( ) , sehingga diperoleh
(1 + ) ( , ) ( ) + {(2 + 1) − } ( , ) ( )
− { ( + 1)+ − − + } ( , ) ( ) = 0 ,(13)
( , ) ( ) = ℛ ( , ) ( ) (14)
Dengan membandingkan persamaan (13) dengan persamaan (3), maka diperoleh,
= = − ( ) ,
(15a)
= − ( + 1)+ − , (15b)
+ =
( + 1)+ + + −
( )
.   (15c)
Dari persamaan (15a), (15b) dan (15b), maka fungsi  gelombang  polar  dapat  diperoleh melalui persamaan (4), (5), dan (7),yaitu,
= (1 + ) ( ) ∙ ( ) ( ) ∙ ℛ ( , ) ( ) , (16a)
dengan,
ℛ ( , ) ( ) = ( , ) (1 + ) ∙ ( , ) , (16b)
( , ) = (1 + ) ( ) ∙ ( )
( ) . (16c)

## Penyelesaian  Fungsi  Gelombang  Persamaan Schrödinger Bagian Radial
Dari  persamaan  (10b),  persamaan  Schrödinger bagian radial dapat ditulis kembali,
( ) + coth − 1 + ℏ − ( ) ( ) = 0 , (17)
dengan,
ℏ
= − , ℏ = , dan ( ) = ( ) ,  (18) maka persamaan (17) menjadi,
( ) + coth − ( ) csch − − X( ) = 0 , (19) dengan  substitusi  variabel coth = pada
persamaan (19), diperoleh,
(1 + ) ( ) + 2 ( ) − ( + 1) −
2 + X( ) = 0 . (20) Persamaan (12) diselesaikan dengan mensubstitusi  fungsi  gelombang X( ) dengan permisalan  fungsi  gelombang  Romanovski seperti  pada  persamaan  (4),  yaitu,  dengan X( ) = ( ) , sehingga diperoleh,
(1 + ) ( , ) ( )
+ [2( + 1) − ] ( , ) ( )
− ( + 1) − + − ( , ) ( ) = 0 , (21) ( , ) ( ) = ℛ ( , ) ( ) . (22)
Dengan membandingkan persamaan (22)
dengan persamaan (3), maka diperoleh :
= ( ) , (23a)
= −( + + 1) , (23b) serta diperoleh persamaan energi dari persamaan (18) dan (23b), yaitu,
; = − ℏ − ( ) + ( ) , (24)
+ + 1 = .
(25)
Menggunakan  persamaan  (24)  dan  (25),  maka fungsi gelombang radial dapat diperoleh melalui persamaan (4), (5), dan (7), yaitu,
; = (1 + ) ( ) ∙ ( ) ( ) ∙ ℛ ( , ) ( ) , (26a)
dengan,
ℛ ( , ) ( ) = ( , ) (1 + ) ∙ ( , ) ,  (26b)
( , ) = (1 + ) ( ) ( ) ( ) .
(26c)

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Gambar 1 . Grafik Tingkat Energi
Gambar 2 . Fungsi Gelombang Polar Untuk = = , = , = Gambar 3 . Fungsi Gelombang Polar Untuk = = , = , =
Gambar  4 .  Fungsi  Gelombang  Radial  untuk
= ,
= , ;   =
Gambar  5 .  Grafik  Rapat  Probabilitas  untuk = , = , ;   =
Persamaan  Schrödinger  potensial  non  sentral Rosen  Morse  plus  Rosen  Morse  memiliki penyelesaian  fungsi  gelombang  pada  bagian radial  dan  bagian  polar  [5].  Untuk  analisis energi  persamaan  Schrödinger,  Gambar  1 menunjukan tingkat  energi partikel dari persamaan (24). Energi partikel pada keadaan n dipengaruhi  oleh  nilai  bilangan  kuantum  utama yang terdiri dari bilangan kuantum radial dan bilangan  kuantum  orbital  .  Untuk  menentukan nilai  ,  dipilih  dari  keadaan  dasar  persamaan (15c)  saat = = 0 yaitu, = + .
Dengan mempertimbangkan kedaan fisis dimana ≥ 0 dan ≥ 0 ,  maka  bilangan kuantum  magnetik ≥ .  Pertimbangan tersebut yang menjadi acuan untuk menentukan fungsi  gelombang  polar  dengan  persamaan (16a)  dan  fungsi  gelombang  radial  dengan persamaan (26a).
Pada  penyelesaian  fungsi  gelombang  polar, bilangan  kuantum  orbital    yang  secara  fisis
2 3 4 5 6 7 8 -14 -12 -10 -8 -6 -4 x 10 -38 n E (n ) (e V ) l = 2 l = 2,72 l = 3,62 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -10 -5 0 5 10 15 r X (n r; l) X(2;2) X(2;2,72) X(2;3,62) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 5 10 15 r |X (n r; l) | |X(2;2)| |X(2;2,72)| |X(2;3,62)|
mempengaruhi bentuk orbit partikel dipengaruhi oleh nilai   dan  . Jika ditinjau dari persamaan (15a)  dan  (15b),  nilai    dan    mempengaruhi nilai    dan  .  Kedua  nilai  tersebut  merupakan koefisien  dari  hamiltonian  pengganggu.  Saat
> 0 dan/atau > 0 , menggambarkan adanya gangguan  pada  sistem,  dan  saat = = 0 menggambarkan  bahwa  sistem  tidak  terganggu dengan  anggapan  perubahan  nilai dan berubah  secara  kontinyu,  sehingga  eigenfungsi dan energi eigen terganggu berubah secara halus kedalam  eigenfungsi  dan  energi  eigen  tak terganggu.
Jika ditinjau dari persamaan (8) yang merupakan  persamaan  potensial  non  sentral Rosen  Morse  plus  Rosen  Morse,  untuk  nilai
= = 0 mengakibatkan  potensial  Rosen Morse pengganggu bernilai nol, sehingga fungsi gelombang  hanya  di  pengaruhi  oleh  potensial Rosen  Morse  sistem.  Namun  untuk > 0 dan > 0 mengakibatkan  fungsi  gelombang mendapat gangguan dari potensial Rosen Morse pengganggu  dengan  bentuk  gangguan  seperti pada  gambar  2  dan  3.  Bentuk  gangguan  nilai dan   dapat dijelaskan dengan persamaan (15c) dimana nilai   dan   berpengaruh terhadap nilai bilangan kuantum orbital   yang mempengaruhi bentuk  orbit  partikel.  Semakin  besar  nilai  , maka fungsi gelombang polar secara keseluruhan  juga  membesar,  namun  jika semakin besar nilai   , gangguan yang diberikan pada fungsi gelombang polar adalah memperkecil  fungsi  gelombang  positif  dan memperbesar fungsi gelombang negatif.

## KESIMPULAN
Dari uraian diatas, penyelesaian nilai energi dan fungsi  gelombang  persamaan  Schrödinger potensial  non  sentral  Rosen  Morse  plus  Rosen Morse dapat
diselesaiakan dengan
menggunakan metode polinomial Romanovski.

## PUSTAKA
[1] Alvarenz-Castillo.  D.E.  2009. Exactly Solvable Potentials and Romanovski Polynomials  in  Quantum  Mechanics .
Physics  Thesis  of  Autonomous  University of San Luis Potosi, Mexico
[2] Compean.  C.B.  and  Kirchbach.  M.  2006. The  Trigonometric  Rosen-Morse  Potential as a Prime Candidate for an Effective QCD Potential.  Av.  Manuel  Nava  No.  6,  S.L.P. 78290, México (Abstr.)
[3] Compean.  C.B.  and  Kirchbach.  2008. The
Trigonometric  Rosen-Morse  Potential  in the  Supersymmetric  Quantum  Mechanics and  its  Exact  Solutions .  Av.  Manuel  Nava 6, San Luis Potos´ı, S.L.P. 78290, M´exico
: 12
[4] Flugge,  S.  1971. Practical  Quantum Mechanics II. New York: Springer.
[5] Greiner, W and B. Muller. 2004. Quantum Mechanics: Symmetries . Berlin- Heidelberg: Springer. 2nd rev. ed.
[6] Ikot et  al .  2011. Analytical  Solutions  of Schrödinger Equation with Two- Dimensional Harmonic Potential in Cartesian  and  Polar  Coordinates  Via Nikiforov-UvarovMethod .JVR. 65-76