Vol. 11, No. 2,  139-148,  Januari  2015
Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
NaimahAris 1 , Jusmawati M 2 ,Islamiyah Abbas 3 ,

## Abstrak
Dalam tulisan ini dibahas pembuktian teorema aproksimasi Weierstrass dengan menggunakan teorema Fejer.  Teorema  aproksimasi  Weierstrass  menyatakan  bahwa  suatu  fungsi  yang  kontinu  pada  suatu interval  tutup  dapat  dihampiri  oleh  suatu  polinomial.  Oleh  Fejer,  teorema  ini  dibuktikan  dengan menunjukkan  bahwa  suatu  fungsi ( ) yang  kontinu  pada  interval  tutup [–     ] dengan (  ) ( ) dapat  dihampiri  oleh  suatu  polinomial  rata-rata ( ) dan  ditunjukkan    bahwa
( )
( ) konvergen seragam pada [–     ] .
Kata Kunci : aproksimasi Weierstrass, approksimasi Fejer .

## Abstract
This  thesis  discussed  about  proving  Weierstrass  approximation  theorem  by    using  Fejer theorem.  The approximation  theorem  states  that  a  continuous  function  on  a  closed  interval  can  be  approached  by  a polynomial.  By Fejer,   this theorem is  proved by showing  that a continuous  function ( ) on a closed interval [–     ] with (  )    ( ) can  be  approached  by  a  polynomial  average ( ) then  is  proved that ( )    ( ) converges uniformly on [–     ] .
Keywords: Weierstrass approximation theorem, Fejer theorem.

## 1. Pendahuluan
Dalam  aplikasi-aplikasi  matematika,  umumnya  menggunakan  fungsi-fungsi  yang  jauh lebih  rumit  dari  fungsi  standar.  Beberapa  dari  fungsi-fungsi  tersebut  tidak  dapat  diekspresikan dalam bentuk standar, dan beberapa lagi hanya diketahui secara implisit atau melalui grafiknya. Untuk kasus-kasus seperti itu digunakan suatu pendekatan/aproksimasi terhadap fungsi tersebut. 1 Salah  satu  bentuk  aproksimasi  diberikan  oleh  Karl  Wilhelm  Theodor  Weierstrass  (1885) yang dikenal teorema Weierstrass yang menyatakan bahwa suatu fungsi yang kontinu pada suatu interval  tutup  dapat  dihampiri  oleh  polinomial ( ) .  Pembuktian  teorema  aproksimasi Weierstrass yang paling terkenal adalah pendekatan konstruktif melalui polinomial Bernstein oleh Sergei  Bernstein  pada  tahun  1911  yaitu,  jika adalah  sebuah  fungsi  kontinu  bernilai  real  pada ,   - , maka barisan polinomial Bernstein (    )   ∑ ( ) (     ) . /
untuk  setiap konvergen  seragam  ke .Pembuktian  teorema  aproksimasi  Weierstrass  juga dilakukan  oleh  Fejer  dan  Marshall  Stone.Dalam  tulisan  ini,  pembahasan  difokuskan  pada pembuktian  teorema  Weierstrass  dengan  menggunakan  teorema  Fejer.  Permasalahan  yang  akan dibahas dibatasi pada fungsi trigonometri yang kontinu dan terbatas pada interval [–     ] dimana fungsi-fungsinya bernilai real yang terdefinisi pada semua domain dan periodik dengan periode serta terintegralkan Riemann pada [–     ] .
1 Prodi Matematika,Jurusan Matematika,Universitas Hasanuddin,email: : newima@gmail.com
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
2 Prodi Matematika, Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, email: jusmawati@gmail.com 3 Prodi Matematika, Jurusan
Matematika,
Universitas
Hasanuddin,
email: islam_miyah@yahoo.co.id

## 2. Tinjauan Pustaka
Terkait  dengan  permasalahan  yang  akan  diselesaikan,  kajian  pustaka  yang  penting  untuk dipahami adalah teori mengenai Fungsi Integral Riemann, dan Deret Fourier.

## 2.1 Integral Riemann
Definisi 2.1 Fungsi ,    - disebut  terintegralkan  Riemann  di ,    - jika  terdapat  bilangan sehingga
terdapat di ,    - sedemikian  sehingga  jika ̇ adalah partisi bertanda dari ,    - dengan ‖ ̇‖ , maka | (    ̇)    |
Teorema 2.1 Jika * ( )+ adalah  barisan  fungsi  yang  terintegral  Riemann  dan * ( )+ konvergen seragam ke ( ) , maka ( ) terintegral Riemann.
Teorema 2.2 Misalkan positif dan monoton turun pada *        + . Deret ∑
konvergen jika dan hanya  jika  integral  tak  wajar ∫  ( ) ∫  ( ) ada.  Dalam  hal ∑ konvergen, jumlah parsial ∑ dan jumlah ∑ memenuhi ∫  ( ) ∫  ( )

## 2.2 Deret Fourier
Definisi 2.2 Misal [–     ] , deret Fourier dari diberikan oleh ( ) ∑( )
Dengan koefisien-koefisien Fourier berikut
∫  ( ) ∫  ( ) ∫  ( )
Definisi 2.3 Misalkan ,     ) .  Perluasan  periodik (dengan  periode )  dari ke diperoleh dengan mendefinisikan ( )    (       ) , dimana sedemikian sehingga
,     ) .
Definisi 2.4 Misalkan ,    - . Deret sinus Fourier dari diberikan oleh ( )  ∑ dimana ∫  ( ) adalah  koefisien  sinus  Fourier  dari .  Dengan
cara yang sama, deret cosinus  Fourier dari ,    - diberikan oleh
( ) ∑ dimana ∫  ( ) ∫  ( ) adalah koefisien cosinus Fourier  dari .
Teorema 2.3 Misalkan * + dan * + adalah barisan dari bilangan real yang memenuhi
a) Jumlahan parsial ∑ membentuk barisan terbatas, b) , dan c) , maka ∑ konvergen.

## Teorema 2.4
Misalkan * + adalah  barisan  dari  bilangan  real  yang  memenuhi dan Maka a) ∑ konvergen untuk setiap , dan b) ∑ konvergen untuk setiap , kecuali pada , . Definisi 2.5 Deret  yang  berbentuk ∑ ( ) dimana dan adalah
bilangan real disebut deret trigonometri.
Teorema 2.5 Jika  deret  trigonometri ∑ ( ) konvergen  seragam  pada
[–     ] ,  maka  deret  tersebut  adalah  deret  Fourier  dari  fungsi  bernilai  real  yang  kontinu pada [–     ] .

## Teorema 2.6
Misalkan ,    - untuk  setiap ,  dan  misalkan  bahwa  barisan * + konvergen seragam ke pada ,    - . Maka ,    - dan ∫  ( ) ∫ ( )
Teorema 2.7 Jika periodik  dengan  periode dan  terintegralkan  Riemann  pada ,    - ,  maka terintegralkan  Riemann  pada ,        - untuk  setiap ,  dan ∫ ( )
∫  ( )
Definisi 2.6 Barisan * + dari  fungsi  non  negatif  yang  terintegralkan  Riemann  pada ,     - yang memenuhi
)  ∫ ( ) dan ) ∫ ( )
*  | |+ disebut identitas aproksimasi pada ,     - .

## Teorema 2.8
Misalkan * + sifat  aproksimasi  pada ,    - ,  dan  misalkan fungsi  periodik  pada periode 2 bernilai real yang terbatas di dengan ,    - . Untuk , , didefinisikan ( )   ∫  (     ) ( ) Jika kontinu di , maka ( )    ( ) Selanjutnya, jika kontinu pada ,    - , maka ( )    ( ) seragam pada .

## 3. Hasil dan Pembahasan
Aproksimasi  Weierstrass  adalah  suatu  bentuk  aproksimasi  terhadap  suatu  fungsi  kontinu pada suatu interval tutup oleh suatu fungsi polinomial.

## Teorema 3.1
Jika ,    - kontinu,  maka  untuk  setiap ,  maka  terdapat  polinomial ( ) , sedemikian sehingga | ( )    ( )|           ,    -
Pada teorema yang diberikan oleh Fejer, diberikan  secara eksplisit versi trigonometri dari teorema Weierstrass. Fungsi-fungsi yang memegang peranan penting dalam pembuktian teorema Fejer  adalah  fungsi  yang  dikenal  sebagai  Kernel  Fejer  yang  merupakan  suatu  fungsi  yang dibangun dari Dirichlet Kernel.
Misalkan adalah suatu fungsi bernilai real yang terdefinisi pada [–     ] dan diperluas pada  domain dimana periodik  dengan  periode .  Selanjutnya  diasumsikan  bahwa
,     - .
Teorema 3.2 Misalkan ,     - . Maka untuk setiap
dan berlaku ( ) ∫  ( ) (     ) dimana adalah Dirichlet kernel  diberikan oleh
( ) ∑ {
( )
Bukti :
Berdasarkan definisi koefisien-koefisien Fourier dan , diperoleh ( ) ∑( )
∫  ( ) [ ∑ (     ) ] (1) Misalkan ( ) ∑ , maka dengan menggunakan persamaan (1), diperoleh ( ) ∫  ( ) [ ∑      (     ) ] ∫  ( ) (     )
Selanjutnya, sisa mengambil fungsi ( ) . - Untuk , , diperoleh
(   ) ∑
- Untuk , dengan identitas dari Teorema 2.5, diperoleh ( ) ( ) ( )
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa jika ,     - maka barisan * + akan konvergen ke  suatu  fungsi pada ,     - .  Untuk  membuktikan  kekonvergenan  dalam  rata-rata  dari  deret Fourier, didefinisikan rata-rata aritmetika dari jumlahan parsial . Untuk setiap , diberikan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Teorema 3.3 Jika limit dari * + ada, maka Bukti : Misalkan barisan * + konvergen ke , sehingga Selanjutnya, terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap , | |
Persamaan (2) dapat dituliskan (     ) ∑ ( ) Misalkan . Dengan manipulasi aljabar, persamaan (3) dapat dituliskan ∑( ) ∑ ( )
Dengan  mengaplikasikan  ketidaksamaan  segitiga  pada  kedua  penjumlahan  dan  karena , maka penjumlahan sisi kanan lebih kecil dari (     ) . Sehingga diperoleh
| |   | ∑( ) ∑ ( ) |
(     )
karena konstan dan misalkan semakin besar hingga penjumlahan sisi kiri lebih kecil dari , diperoleh
| | untuk setiap
. Jadi, konvergen ke .
Lemma 3.1 Untuk
, misalkan ( ) ∑( )

## Maka
) ( ) ∑ ( ) ( )
dan
)   ∫, ( ) ( )- ∫, ( ) ( )-
Teorema 3.4
Misalkan ,     - . Maka untuk setiap dan , ( ) ∫  ( ) (     ) dimana adalah kernel Fejer, diberikan oleh
( ) ∑ ( )
{ (     ) [ (     ) ]
Bukti: Dengan Teorema 3.2,
( ) ∫  ( ) (     )
dimana adalah Dirichlet Kernel. Oleh karena itu,
( ) ∫  ( ) (     )
dimana ( ) ∑ ( ) Jika , , maka (   ) , dan jadi
(   ) ∑ ( ) (     ) Jika , , maka
( ) (     ) ∑     ( )
(     )
∑ ( ) Dengan sifat ,   (     )      (     )- , ∑ ( ) ∑(            (     ) ) (     ) Oleh karena itu, untuk
,
( ) (     ) [ (     ) ]
Teorema 3.5
a) periodik pada periode dengan (  ) ( ) . b) ( ) untuk setiap . c) ∫ ( ) . d) Untuk , ( ) seragam untuk setiap , | | . Bukti :
a) Diketahui ( ) (   ) * (   ) + . Karena
( (     ) (      ))   (  ) (     )
dan
(      )
subtitusikan hasil ini ke diperoleh
(      ) (     ) [ (     )
]
(     ) [ (     ) ] ( )
Selanjutnya,
(  ) (     ) [ (     ) (  )
(  ) ]
(     ) [
(     ) ] ( )
diperoleh (  ) ( ) .
Oleh karena itu, periodik dengan periode .
b) Karena (   ) * (   ) +
untuk , maka ( ) untuk semua nilai . c) Karena ∫ ( ) , diperoleh
∫ ( ) ∑ ∫ ( ) d) Karena . / . / untuk semua dan | | dan
((     ) )
|    ((     ) )|
diperoleh
( ) (     ) [ (     ) ]
(     ) untuk semua nilai , dan | | . Untuk setiap , dimana , diperoleh ( ) (     ) Karena ( ) sehingga ( ) Oleh karena itu,
( ) secara seragam pada | | .
Teorema 3.6
Jika adalah fungsi bernilai real pada [–     ] dengan (  )    ( ) , maka ( )    ( )
seragam pada [–     ] .
Bukti : Diketahui adalah  fungsi  yang  bernilai  real  pada yang  periodik  dengan  periode ,  dari Teorema 3.4,
( ) ∫  ( ) (     ) Dengan mengubah variabel diperoleh ( ) ∫  (     ) ( )
Karena fungsi yang memetakan (     ) ( ) periodik dengan periode , diperoleh
( ) ∫  (     ) ( )
Selanjutnya, karena kontinu pada [–     ] dengan (  )    ( ) , maka diperoleh
( )    ( )
seragam pada [–     ] .
Akan  ditunjukkan  bahwa  teorema  aproksimasi  Weierstrass  versi  trigonometri  dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Fejer sebagai berikut

## Teorema 3.7
Misalkan kontinu  pada [–     ] dengan (  )    ( ) .  Untuk  setiap ,  terdapat polinomial trigonometri ( ) ∑( )
sedemikian sehingga | ( ) ( )| untuk setiap [–     ] . Bukti:
Misalkan kontinupada [–     ] dengan (  )    ( ) .  Diketahui  bahwa ( ) adalah  rata-rata jumlahan  parsial  dari  deret  trigonometri  dan  deret  tersebut  juga  merupakan  fungsi  polinomial trigonometri, dimana
( ) ∑ ( ) ( ) sehingga ( ) ( ) . Dari teorema Fejer diperoleh ( )    ( )
konvergen  seragam  pada [–     ] ,  yang  berarti ( ) konvergen  seragam  ke ( ) .  Berdasarkan definisi konvergen seragam, diperoleh
| ( ) ( )|   | ( ) ( )|
untuk setiap
.

## 4. Penutup
Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh  dapat  disimpulkan  bahwa  teorema  aproksimasi Weierstrass dapat dibuktikan dengan teorema Fejer, yaitu Misalkan kontinu pada [–     ] dengan (  )    ( ) . Untuk setiap , terdapat polinomial trigonometri (yang diperoleh dari teorema Fejer)
( ) ∑ ( ) ( )
dan
( )    ( )
seragam pada [–     ] , sedemikian sehingga | ( ) ( )| untuk setiap [–     ] .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Manfred Stoll, 1997, Introduction to Real Analysis, Addison-Wesley, Amerika Serikat.
[2] Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert, 2000, Introduction to Real Analysis third edition , John Wiley & Sons, New York.
[3] Robert Wrede dan Murray R. Spiegel, 2007, Schaum’s Outlines Teori dan Soal-soal
Kalkulus Lanjut, Erlangga, Jakarta.
[4] William Ted Martin, E. H. Spanier, G. Springer and P. J. Davis, 1976, Principles of
Mathematical Analysis third edition , McGraw-Hill, Inc., New York.
[5] Dilcia  P´erez,  Yamilet  Quintana,  2008,  A  survey  on  the  Weierstrass approximation
theorem, Divulgaciones Matem´aticas, Vol. 16 No. 1, pp. 231–247