## Journal of Authentic Research on Mathematics Education (JARME)
https://doi.org/10.37058/jarme.v4i1.3675

## DESAIN PEMBELAJARAN HIMPUNAN MELALUI PERANCANGAN HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY MENGGUNAKAN PENDEKATAN MATEMATIKA REALISTIK
Sukirwan 1 , Putri Ramadhani Fitri 2 , Warsito 3, Hairul Saleh 4
1,2 Universitas Sultan Ageng Tirtayasa, Jl. Raya Palka Km. 3 Sindangsari, Pabuaran 42124, Banten, Indonesia 3,4 Universitas Muhammadiyah Tangerang, Jl. Perintis Kemerdekaan I/33, Tangerang 15188, Banten, Indonesia Corresponding Author: sukirwan@untirta.ac.id

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mendesain pembelajaran himpunan melalui perancangan hipotesis lintasan belajar. Penelitian ini menggunakan metode penelitian desain, yang meliputi tahapan: studi pendahuluan, eksperimen pengajaran, dan analisis retrospektif. Penelitian diawali dengan analisis situasi problematik, studi historis, serta analisis  pengalaman guru mengajarkan materi himpunan hingga  terbentuk  hipotesis  lintasan  belajar  awal.  Rancangan  pembelajaran  disusun  berdasarkan hipotesis  lintasan  belajar awal yang kemudian diujicobakan melalui  2 tahapan, yaitu:  pengajaran pendahuluan,  dan  eksperimen  pengajaran.  Analisis  retrospektif  dilakukan  pada  masing-masing tahapan  tersebut  dengan  membandingkan  antara  hipotesis  lintasan  belajar  awal  dengan  lintasan belajar  aktual  hingga  diperoleh  hipotesis  lintasan  belajar  final.  Penelitian  ini  dilaksanakan  mulai tanggal 5 Agustus-10 Desember 2021 dengan melibatkan 20 siswa SMP Madinatul Hadid kelas VII B pada  tahap  pengajaran  pendahuluan  dan  20  siswa  SMP  Madinatul  Hadid  kelas  VII  A  pada  tahap eksperimen  pengajaran.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  siswa  dapat  melalui  hipotesis lintasan belajar melalui konteks survey jajanan sekolah, yang terdiri dari aktivitas: mendaftar objek jajanan  di  kantin  sekolah  (masalah  kontekstual),  mengelompokkan  objek  berdasarkan karakteristik/sifat  objek  yang  identik  (pemodelan),  membuat  relasi  dua  himpunan  berdasarkan objek  (anggota  himpunan)  yang  sama  (membangun  pengetahuan),  menggunakan  notasi  formal irisan dan gabungan (matematika formal).
Kata Kunci :  desain  pembelajaran,  himpunan, hypothetical  learning  trajectory ,  pendekatan matematika realistik.

## Abstract
This study aims to design set learning through the design of a hypothetical learning trajectory. This study  uses  a  design  research  method,  including  a  preliminary  study,  teaching  experiment,  and retrospective  analysis.  The  research  begins  with  an  analysis  of  problematic  situations,  historical studies,  and  the  experience  of  teachers  teaching  set  material  to  form  the  initial  hypothetical learning  trajectory.  The  learning  design  was  prepared  based  on  the  initial  hyphotetical  learning trajectory, which was then tested through 2 stages: preliminary teaching and teaching experiments. A retrospective analysis was carried out at each stage by comparing the initial hyphotetical learning trajectory  with  the  actual  learning  trajectory  to  obtain  the  final  hypothetical  learning  trajectory. This research was conducted from August 5 to December 10, 2021, involving 20 students of SMP Madinatul Hadid class VII B in the preliminary teaching stage and 20 students of  SMP Madinatul Hadid class VII A in the teaching experiment stage. The results showed that students were able to go through the hypothetical learning trajectory through the context of a school snack survey, which consisted  of  the  following  activities:  registering  snack  objects  in  the  school  canteen  (contextual problem),  grouping  objects  based  on  the  characteristics/natures  of  identical  objects  (modeling), making a relationship between two sets based on objects (members of the set) that are the same (building knowledge), using the formal notation of intersection and union (formal mathematics).
Keywords: learning design, sets, hypothetical learning trajectory, realistic mathematics approach.
80

## 1. Pendahuluan
Himpunan  adalah  materi  yang  sering  dijumpai  dalam  kehidupan.  Himpunan  banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan benda atau hewan yang ada di lingkungan sekitar [1], misalnya, himpunan kendaraan bermotor, himpunan siswa yang  menyukai  olahraga  basket  ataupun  himpunan  hewan  berkaki  empat.  Ada  juga himpunan  orang-orang  yang  menyukai  olahraga  bersepeda  ataupun  himpunan  para pemuda yang tidak menyukai olahraga berenang.
Ferreiros  [2]  mengungkapkan  bahwa  himpunan  merupakan  fondasi  dalam perkembangan  matematika.  Himpunan  dijadikan  sebagai  pengetahuan  dasar matematika  yang  sangat  berpengaruh  terhadap  perkembangan  geometri,  statistika dan  aljabar.  Hal  itulah  yang  menjadikan  himpunan  dipelajari  sebagai  materi pendahulu sebelum topik-topik lainnya diajarkan.
Meskipun  himpunan  menjadi  topik  matematika  yang  sangat  penting,  namun tidak sedikit siswa yang mengalami hambatan untuk memahami himpunan. Menurut Deden  &  Heni  [3],  siswa  kurang  mampu  dalam  pembelajaran  materi  himpunan terlebih dalam memahami konsep himpunan. Bahkan, siswa juga mengalami kesulitan hanya sekedar menyajikan himpunan dan membedakan antara himpunan dan bukan himpunan [4].
Dwidarti, Mampouw, & Setyadi [5] menjelaskan bahwa pada jenjang SMP, siswa sulit  memahami  himpunan  karena  operasinya  berbeda  dengan  operasi  yang digunakan  di  sekolah  dasar.  Siswa  mulai  dihadapkan  pada  notasi  formal  himpunan untuk  menyatakan  hubungan  antara  dua  himpunan  atau  lebih,  seperti:  irisan, gabungan,  komplemen,  penjumlahan,  pengurangan  dan  sebagainya.  Dalam  hal  ini siswa  tidak  hanya  menyebutkan  anggota  himpunan,  tetapi  merelasikan  antar himpunan melalui hubungan antar anggota himpunan satu dengan himpunan lainnya. Di  samping  itu,  penyajian  pengajaran  himpunan  yang  monoton  juga  terpaku  pada buku  paket  menjadi  salah  satu  masalah  yang  menyebabkan  siswa  kesulitan  dalam memahami himpunan [6]. Kondisi ini telah memicu situasi problematik tentang hasil belajar  matematika  siswa  serta  memberikan  tantangan  bagi  para  peneliti  untuk mencari  alternatif  cara  mengatasi  masalah  yang  tepat  agar  siswa  dapat  memahami himpunan.
Walpole  [7]  mengungkapkan  bahwa  himpunan  merupakan  sekumpulan  objek atau benda yang didefinisikan dengan jelas. Objek atau benda tersebut disebut sebagai elemen  atau  anggota  himpunan.  Penyebutan  objek  atau  benda  sebagai  anggota himpunan  selanjutnya  memberikan  gambaran  bahwa  salah  satu  cara  untuk memahami  himpunan  adalah  dengan  mendaftarkan  anggota  himpunan  itu  sendiri Cara  ini  dapat  menginspirasi  tentang  penyusunan  konteks  yang  terkait  dengan aktivitas  mendaftarkan  anggota  himpunan.  Sebagai  contoh,  Ratuanik  [8] menggunakan konteks “mata pelajaran yang disukai oleh siswa” untuk mendaftarkan “himpunan siswa yang menyukai mata pelajaran A”, “himpunan siswa yang menyukai mata  pelajaran  B”,  serta  “himpunan  siswa  yang  menyukai  mata  pelajaran  A  dan  B”. Demikian  pula,  Sholihah  &  Rejeki  [9] menggunakan  konteks  “berlangganan  majalah dan  koran”  untuk  mendaftarkan  “himpunan  orang  yang  berlangganan  majalah”,
“himpunan  orang  yang  berlangganan  koran”,  “himpunan  orang  yang  berlangganan majalah dan koran” serta “himpunan orang yang tidak berlangganan majalah maupun koran”.
Seperti yang dilakukan oleh para peneliti sebelumnya, penggunaan konteks yang dekat  dengan  lingkungan  kehidupan  siswa  dapat  menjadi starting  point dalam pembelajaran himpunan. Ketika siswa berada di sekolah, maka kumpulan objek yang ada  di  lingkungan  sekitar  sekolah  dapat  dijadikan  sebagai  konteks  [10  -  12].  Ada beragam  kumpulan  objek,  di  antaranya:  jajanan,  olahraga,  mata  pelajaran,  bunga, permainan,  warna,  buah,  dan  sebagainya.  Objek-objek  ini  kemudian  memberikan inspirasi  tentang  adanya  fenomena  yang  perlu  diorganisasikan  menjadi  masalah kontekstual,  misa lnya  dengan  melakukan  survey  tentang  “jajanan  yang  disukai  atau tidak  disukai”,  “olahraga  yang  diminati  atau  tidak  diminati”,  “mata  pelajaran  yang diikuti atau tidak diikuti”, dan seterusnya. Pada saat siswa mendaftarkan objek-objek tersebut,  siswa  akan  mengelompokkan  objek  berdasarkan  karakteristik  atau  sifat objek  yang  sama,  kemudian  membuat  relasi  antar  kelompok  objek  serta mendefinisikan  relasi-relasi  yang  terjadi.  Aktivitas  siswa  dalam  mendaftarkan  objek adalah  situasi  di  mana  siswa  melakukan  proses  matematisasi  horizontal,  sedangkan aktivitas siswa dalam membuat dan mendefinisikan relasi antar objek adalah situasi di mana  siswa  melakukan proses  matematisasi  vertikal.  Pemahaman  siswa  selanjutnya diperoleh  ketika  siswa  dapat  mengikuti  lintasan  belajar  ( learning  trajectory )  dari situasi  informal  pada  saat  siswa  melakukan  matematisasi  horizontal  menuju  situasi formal pada saat siswa mampu melakukan matematisasi vertikal [13].
Lintasan belajar yang dilalui oleh siswa pada dasarnya adalah kemampuan siswa dalam  mengikuti  dan  menguasai  lintasan  belajar  yang  dirancang  oleh  desainer pembelajaran  dalam  bentuk  hipotesis  lintasan  belajar  ( hypothetical  learning trajectory /HLT).  Menurut  Prahmana  [14],  HLT  merupakan  rancangan  pembelajaran dan hipotesis bagaimana pemahaman atau dugaan jawaban siswa berkembang dalam kegiatan pembelajaran. HLT ini dapat membantu guru dalam mendesain pembelajaran menjadi  bermakna  dan  membuat  siswa  mengetahui  konsep  yang  akan  dipelajari bukan dengan menghafal.
Pada  praktiknya,  HLT  ini  dikembangkan  berdasarkan  prinsip-prinsip pendekatan matematika realistik. Pendekatan matematika realistik merupakan suatu pendekatan  pembelajaran  yang  menempatkan  realitas  dan  juga  pengalaman  siswa sebagai  titik  awal pembelajaran  ( starting  point ) di  mana  siswa  diberi  kesempatan seluas-luasnya  untuk  mengkonstruksi  sendiri  pengetahuan  matematikanya berdasarkan  pada  masalah  kontekstual  yang  disajikan  [15]. Gravemeijer  [16] menyebutkan tiga prinsip kunci dalam pendekatan matematika realistik, yaitu: proses penemuan  konsep  secara  terbimbing ( guided  reinvention  and  progressive mathematization ),  proses  pembelajaran  yang  memanfaatkan  fenomena  yang  bersifat mendidik ( didactical phenomenology ), dan  pengembangan model secara mandiri yang dikembangkan  siswa  ( emergent  modeling ).  Ketiga  prinsip  ini  merupakan  heuristik untuk  mencapai  tingkat  pemahaman  formal  siswa  melalui  alur  pembelajaran
82
sebagaimana  yang  didesain  dalam  HLT.  Oleh  karena  itu,  untuk  memprediksikan bahwa HLT ini dapat dilalui oleh siswa, maka pendesainan HLT harus memicu adanya ketiga prinsip heuristik ini.
Di  dalam  pendekatan  matematika  realistik,  keberhasilan  pembelajaran  terlihat pada saat siswa dapat mencapai notasi formal melalui learning trajectory . Agar situasi ini  tercapai  sesuai  dengan  yang  ditargetkan,  maka  HLT  perlu  didesain  sedemikian rupa sehingga apa yang diprediksikan dalam HLT awal tidak terlalu jauh melenceng dari lintasan belajar aktual. Hal ini kemudian mengindikasikan bahwa studi terhadap HLT menjadi sangat penting untuk dilakukan. Seperti yang diungkapkan oleh Wijaya et al. [17] bahwa penelusuran terhadap learning trajectory penting untuk mendukung siswa  dalam  mengembangkan  pemahaman  terhadap  apa  yang  sedang  dipelajari. Berdasarkan pada pertimbangan tersebut, maka studi mengenai desain pembelajaran himpunan melalui perancangan HLT ini dilakukan.

## 2. Metode
Penelitian  ini  menggunakan  metode design  research, yang  bertujuan  untuk menghasilkan  lintasan  belajar  melalui  pendekatan  matematika  realistik. Design research adalah  studi  sistematis  dalam  merancang,  mengembangkan,  dan mengevaluasi program-program pendidikan, proses, dan produk [18]. Gravemeijer & Cobb  [19]  menjelaskan  3  langkah design  research, yaitu:  tahap  persiapan  pengujian ( preparing for the experiment ), tahap pengujian desain ( design experiment ), dan tahap analisis tinjauan ( retrospective analysis ).
Tahap persiapan pengujian diawali dengan analisis hambatan belajar siswa pada topik himpunan, wawancara eksploratif pada guru, studi historis tentang pengajaran himpunan  serta  studi  literatur  mengenai  fenomena  yang  terkait  dengan  himpunan hingga diperoleh ide untuk membuat masalah kontekstual ( contextual problem ) yang sesuai.  Tahap  berikutnya  adalah  merancang  HLT  awal  untuk  pengajaran  himpunan, yang  terdiri  dari:  tujuan  pembelajaran,  aktivitas  pembelajaran,  serta  dugaan  atau hipotesis  pembelajaran.  Tahap  pengujian  desain  merupakan  tahap  implementasi pembelajaran berdasarkan pada HLT awal yang telah disusun pada tahap sebelumnya. Tahap  ini  diimplementasikan  dalam  bentuk  siklus  pembelajaran,  yang  terdiri  dari: pilot experiment , dan teaching experiment . Tahap pilot experiment merupakan tahap uji coba  awal  untuk  mendapatkan  data  terkait  dengan  penyesuaian  dan  perbaikan  HLT yang akan diimplementasikan pada kelas aktual. Sedangkan tahap teaching experiment merupakan  tahapan  pengumpulan  data  untuk  menjawab  pertanyaan  penelitian. Ulasan  tentang  siklus  pembelajaran  yang  terjadi  pada  implementasi  HLT  dijelaskan pada Gambar 1 di bawah ini.

## Gambar 1. Siklus Design Research [17]
Tahap yang terakhir adalah analisis tinjauan, yaitu membandingkan antara HLT awal  dengan  lintasan  belajar  aktual.  Hasil  dari  analisis  tinjauan  ini  selanjutnya digunakan untuk memperbaiki HLT pada siklus berikutnya.

## 2.1. Subjek Penelitian
Penelitian ini melibatkan siswa kelas VII SMP Madinatul Hadid tahun pelajaran 2020- 2021.  Penelitian  dilaksanakan  mulai  5  Agustus  sampai  dengan  10  Desember  2021. Subjek  penelitian  dipilih  sebanyak  40  orang  siswa,  yang  terdiri  dari  20  orang  siswa kelas  VII  A  dan  20  orang  siswa  kelas  VII  B.  Kelas  VII  B  ditetapkan  sebagai  kelas pengujian  awal  ( pilot  experiment ),  sedangkan  kelas  VII  A  ditetapkan  sebagai  kelas pengujian  pengajaran  ( teaching  experiment ).  Kedua  kelas  tersebut  memiliki  prestasi dan  karakteristik  yang  identik  serta  sama-sama  belum  mendapatkan  pengajaran tentang topik himpunan berdasarkan informasi yang diterima dari guru matematika yang mengajar di kedua kelas tersebut.

## 2.2. Pengumpulan Data
Data  penelitian  ini  berbentuk  data  kualitatif  yang  dikumpulkan  melalui  hasil observasi, wawancara dan dokumentasi. Observasi dilakukan pada saat implementasi pembelajaran, baik pada pilot experiment maupun teaching experiment menggunakan lembar  observasi.  Lembar  observasi  ini  memuat  aktivitas  siswa  yang  diamati, terutama keaktifan siswa dalam setiap tahapan pembelajaran. Wawancara dilakukan untuk mengkonfirmasi dan mengklarifikasi terhadap setiap temuan, terutama dalam mengungkap  lintasan  belajar  yang  dilalui  sesuai  dengan  tujuan  yang  ditetapkan. Sedangkan dokumentasi merupakan data otentik tentang aktivitas siswa, baik dalam bentuk  dokumen  hasil  kerja  siswa  maupun  dokumen  aktivitas  siswa  yang  direkam dalam  bentuk  video  pembelajaran.  Dokumentasi  ini  merupakan  data  yang  sangat penting untuk mengungkap secara detail mengenai aktivitas siswa selama mengikuti pembelajaran.
84

## 2.3. Analisis Data
Analisis  data  dalam  penelitian  ini  menggunakan  teknik  analisis  kualitatif,  melalui metode: deskriptif, transkip, dan klarifikasi  [10]. Metode deskriptif digunakan untuk mendeskripsikan  situasi  dan  kondisi  yang  terjadi  selama  pembelajaran.  Metode transkip  digunakan  untuk  mentranskripsikan  hasil  rekaman  video  maupun wawancara  ke  dalam  bentuk  tulisan  (transkripsi).  Sedangkan  metode  klarifikasi digunakan untuk menafsirkan seluruh hasil pengamatan selama proses pembelajaran. Dalam hal ini, HLT awal yang telah dirancang dibandingkan dengan hasil analisis data yang diperoleh pada pembelajaran aktual, sehingga diperoleh informasi yang otentik tentang bagaimana siswa mengkontruksi pengetahuannya. Berdasarkan hasil analisis tersebut, HLT selanjutnya mengalami penyesuaian yang didasarkan pada dugaan baru yang muncul dari hasil pemikiran siswa yang berkembang selama pembelajaran.

## 3. Hasil dan Diskusi
Hasil dari penelitian ini fokus pada perancangan dan penyesuaian HLT seiring dengan perkembangan tingkat pemahaman siswa selama mengikuti pembelajaran. Pada tahap persiapan pengujian, HLT awal dirancang berdasarkan analisis historis pembelajaran himpunan  serta  hambatan  belajar  yang  dialami  siswa.  HLT  awal  ini  memuat  tujuan pembelajaran,  aktivitas  pembelajaran  dan  dugaan  lintasan  belajar  siswa.  Secara skematik, rancangan HLT awal ini diuraikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Skema HLT Awal Pembelajaran Irisan dan Gabungan
Dugaan Lintasan Belajar Irisan dan gabungan Survey Jajanan Sekolah Mendaftar/memilih objek (jajanan) Mengelompokkan objek (jajanan) berdasarkan karakteristik/sifat objek yang identik (yang disukai) Menambah dan menyepakati objek
Membuat relasi antar objek dalam bentuk diagram Venn
Menggunakan notasi irisan dan gabungan secara simbolik untuk relasi antar objek himpunan
Tujuan Pembelajaran Aktivitas
Tujuan  dari  pembelajaran  ini  adalah  menentukan  irisan  dan  gabungan  serta diagram Venn.  Aktivitas pembelajaran dimulai dari survey terhadap kumpulan objek yang ada di sekitar lingkungan sekolah, yaitu jajanan sekolah. Survey jajanan sekolah ini  dijadikan  sebagai starting  point pembelajaran  di  mana  selanjutnya  siswa diharapkan  dapat  membangun  pemahaman  matematika  melalui  tahapan pembelajaran  yang  telah  dirancang  dalam  HLT.  Dugaan  lintasan  belajar  siswa  yang dilalui  pada  pembelajaran  himpunan  ini  adalah  (1)  mendaftar/memilih  objek,  yaitu jajanan  yang  disukai  atau  biasa  dibeli  di  kantin  sekolah,  (2)  menambah  atau menyepakati  objek,  siswa  dapat  mempertimbangkan  lebih  dari  1  jenis  jajanan  yang disukai,  (3)  mengelompokkan  objek  berdasarkan  karakteristik/sifat  yang  identik, siswa menggunakan definisi himpunan dengan mengelompokkan objek jajanan yang sama, (4) membuat relasi antar objek, siswa membuat relasi adanya objek yang saling berkaitan  melalui  diagram  Venn,  dan  (5)  menggunakan  notasi  irisan  dan  gabungan secara simbolik, siswa mengidentifikasi relasi antar himpunan dengan menggunakan notasi formal. Rancangan HLT ini selanjutnya dikembangkan ke dalam bentuk lembar aktivitas  peserta  didik  (LKPD).  Ada  3  buah  LKPD  yang  dirancang,  yaitu:  LKPD  1, memuat  permasalahan  tentang  pendefinisian  himpunan;  LKPD  2,  memuat permasalahan  tentang  diagram  Venn;  dan  LKPD  3,  memuat  permasalahan  tentang relasi antar himpunan dan notasi irisan dan gabungan.
Pada  tahap pilot  experimen ,  uji  coba  pembelajaran  dilakukan  pada  siswa  kelas VIIB  SMP  Madinatul  Hadid.  Sebanyak  20  orang  siswa  terlibat  dalam  4  kelompok diskusi  untuk  menyelesaikan  permasalahan  pada  LKPD  1,  LKPD  2,  dan  LKPD  3. Berdasarkan  pengamatan  terhadap  hasil  uji  coba  ini,  beberapa  aktivitas  siswa  yang diduga  pada  rancangan  HLT  belum  muncul  sesuai  dengan  yang  ditargetkan.  Pada penentuan  relasi  antar  objek,  siswa  ternyata  tidak  bisa  secara  langsung  membuat relasi  sehingga  antara  2  himpunan  terjadi  relasi.  Hal  ini  disebabkan  karena  dalam LKPD  belum  dicantumkan  tentang  pengelompokkan  2  objek  jajanan  atau  lebih  yang disukai.  Siswa  nampaknya  mengalami  kesulitan  untuk  membuat  relasi  dengan mencermati  bawah  terdapat  anggota  himpunan  objek  yang  sama  pada  himpunan objek yang 1 dengan himpunan objek yang lainnya.
Gambar 3. Pengelompokkan Objek Jajanan oleh Kelompok 1
86
Berikut  ini  adalah  transkripsi  dialog  yang  terjadi  antara  peneliti  dengan  siswa pada  kelompok  1  tentang  relasi  antar  himpunan  berdasarkan  hasil  pengelompokan objek jajanan.
Dialog 1 : ............... Guru : “Dapatkah kalian membuat hubungan antara jajanan satu, dua, tiga, empat, dan lima?” Albar : “Tidak tahu, Bu” Guru : “Apakah ada siswa yang menyukai jajanan lebih dari satu?”
Adityo : “Ada Bu, Albar menyukai susu, batagor, dan ...hm...  siomay”
Adityo : “Davin menyukai susu, batagor, siomay dan floridina”
Guru : “Bagus  sekali,  apakah  kalian  bisa  membuat  pengelompokan  jajanan  yang disukai lebih dari satu?” Agus : “Bisa, bu” Guru : “Dapatkah  kalian  menggambarkannya  dalam  lingkaran  yang  saling berhubungan?”
Sugeng  : “Bisa kayaknya....” ...................................
Dialog  pembelajaran  tersebut  menggambarkan  bahwa  untuk  memahami  relasi antar  himpunan,  siswa  perlu  memahami  terlebih  dahulu  konteks  tentang  relasi  itu sendiri dengan cara mendaftarkan jajanan yang disukai oleh lebih dari 1 orang. Pada dialog  tersebut  juga  terlihat  bahwa  siswa  nampak  ragu  untuk  bisa  menggambarkan relasi  antar  himpunan  dalam  bentuk  diagram  Venn.  Akan  tetapi,  dengan  membuat aktivitas  pengelompokan  jajanan  yang  terdapat  relasi,  siswa  dapat  membayangkan bahwa relasi himpunan dapat digambarkan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap pilot experimen , perbaikan terhadap HLT selanjutnya dilakukan dengan  memperjelas alur  pembelajaran  dalam  LKPD  melalui  pemberian probing  question yang  lebih mengarah kepada pemahaman matematis yang ingin dicapai.
Pada tahap teaching experiment , HLT yang telah mengalami perbaikan kemudian diimplentasikan  pada  siswa  kelas  VII  A  SMP  Madinatul  Hadid.  Dari  20  orang  siswa yang  terlibat  sebagai  subjek  penelitian  kemudian  dibentuk  4  kelompok  diskusi; masing-masing kelompok terdiri dari 5 orang siswa.  Setiap kelompok mendapatkan 3 buah LKPD. Tiap-tiap LKPD dipelajari dalam satu kali pertemuan. Pertemuan pertama, siswa  belajar  LKPD  1  mengenai  definisi  himpunan;  pertemuan  kedua,  siswa  belajar LKPD  2,  memuat  permasalahan  tentang  diagram  Venn;  dan  LKPD  3,  memuat permasalahan tentang relasi antar himpunan dan notasi irisan dan gabungan.

## Pertemuan Pertama
Pada pertemuan yang pertama, siswa mempejalari tentang definisi himpunan. Siswa diberi permasalahan kontekstual mengenai jajanan yang disukai. Permasalahan yang diajukan  adalah  bagaimana  cara  mengelompokan  jajanan  berdasarkan  jenis  jajanan yang  disukai  oleh  siswa.  Detail  mengenai  permasalahan  jajanan  ini  selengkapnya diuraikan pada masalah 1 berikut ini.

## Masalah 1 :
Sekolah Madinatul Hadid akan melakukan survey ke setiap siswa kelas VII A mengenai jenis jajanan yang biasa dibeli atau disukai di kantin Madinatul Hadid. Bagaimanakah cara  mengelompokan  siswa  kelas  VII  A  tersebut  sehingga  pihak  sekolah  mengetahui jajanan apa saja yang biasa dibeli atau disukai?
Untuk menyelesaikan masalah 1, setiap siswa terlebih dahulu diberi kesempatan untuk melakukan survey jajanan pada kantin SMP Madinatul Hadid. Siswa yang sudah terbiasa jajan dikantin dapat langsung menuliskan jajanan apa yang disukai atau biasa dibeli.  Setiap  kelompok  selanjutnya  diberi  kesempatan  untuk  mendiskusikan  cara pengelompokan  sehingga  dapat  diketahui  jajanan  apa  saja  yang  biasa  dibeli  atau disukai siswa. Kegiatan siswa pada saat diskusi dapat dilihat pada Gambar 4.

## Gambar 4. Siswa Berdiskusi tentang Jenis Jajanan yang Disukai
Setiap  kelompok  memiliki  cara  tersendiri  untuk  mengelompokan  siswa berdasarkan jenis jajanan yang biasa dibeli atau disukai. Kelompok 1 dan kelompok 2 memiliki cara yang sama untuk menentukan pengelompokan dengan membuat daftar tabel. Meskipun begitu, jenis jajanan yang didaftarkan masing-masing berbeda.
Gambar 5. Strategi Pengelompokan Siswa oleh Kelompok 1 (Gambar i) dan Kelompok 2 (Gambar ii)
Strategi pengelompokan yang dilakukan oleh kelompok 1 dan kelompok 2 dapat dicermati pada transkipsi dialog 2 berikut ini.
(i)
(ii)
88
Dialog 2 : ...............
Nadia
: “ Bu..ini  boleh  bebas,  Bu!  Kalau  misalkan  kita  buat  pengelompokan  dengan tabel boleh, Bu! ” Guru : “ Boleh, kalau dibuat tabel, berarti apa yang dikelompokan? ”
Nadia : “ Seperti ini, Bu! ” [Sambil memperlihatkan LKPD] Guru : “ Oke... Silahkan dilanjutkan ”
Putri : “ Kalau kita pengelompokannya bentuk love, boleh Bu! ”
Guru : “ Bagaimana Putri? ” [Beralih ke kelompok 2] Putri : “ Makanannya bebas kan, Bu! ”
Guru : “ Oke ” Sabila
: “Kalau lebih dari dua, boleh kan Bu!” Guru : “Boleh” ...................................
Petikan  dialog  2  memperlihatkan  bahwa  setiap  siswa  berlomba  untuk memberikan  kontribusi  yang  positif  terhadap  masalah  yang  disajikan.  Pada  fase  ini siswa telah berupaya untuk membangun pemahaman sendiri secara bertahap.
Cara  pengelompokan  yang  berbeda  disajikan  oleh  kelompok  4,  seperti  dapat dilihat pada Gambar 6.
Gambar 6. Strategi Pengelompokkan Siswa oleh Kelompok 4
Kelompok  4  mendaftar  makanan  yang  disukai  oleh  siswa  dalam  tabel  yang melintang.  Kelompok  ini  memberikan  identifikasi  ( title )  pada  nama  siswa  dan  nama makanan/jajanan  yang  disukai.  Strategi  yang  digunakan  oleh  kelompok  ini  secara eksplisit dapat dilihat dari dialog 3 berikut.
Dialog 3 : ..................................
Guru : “Apa yang kalian pikirkan tentang pengelompokan ini?”
Andini : “Saya menuliskan nama siswa dan nama makanannya, Bu” Guru
: “Oke .. , kenapa harus menuliskan dengan cara seperti ini?” Nayla
: “Hhm...” Afdal : “Saya lihat bahwa Nayla menyukai makanan lebih dari satu, Bu” Guru
: “ Oke.. ”
...................................
Petikan  pada  dialog  3  memperlihatkan  bahwa  siswa  pada  kelompok  ini  telah berupaya untuk membuat relasi. Hal ini agak berbeda dengan kelompok yang lainnya di mana relasi antar himpunan berdasarkan jenis jajanan belum nampak.

## Pertemuan Kedua
Pada  pertemuan  kedua,  siswa  belajar  untuk  mengelompokkan  data  menggunakan diagram lingkaran. Pada mulanya, siswa hanya diminta untuk  mendaftarkan anggota himpunan pada lingkaran-lingkaran yang disajikan secara terpisah. Selanjutnya siswa diminta  untuk  merelasikan  lingkaran-  lingkaran  tersebut  menggunakan  data  siswa yang menyukai jajanan yang sama. Pada fase ini, guru memperkenalkan relasi secara umum.  Masalah  matematis  yang  diajukan  pada  pertemuan  2  dapat  dicermati  pada masalah 2 berikut.

## Masalah 2 :
Setelah kalian mengelompokkan jenis jajanan yang biasa dibeli atau disukai, bagaimana cara kalian membuat relasi (hubungan) antara 2 kelompok makanan yang berbeda? Petunjuk:  (1)  isilah  setiap  lingkaran  di  bawah  ini  dengan  daftar  siswa  sesuai  dengan jenis  jajanan  yang  disukai,  (2)  buatlah  relasi  antara  lingkaran-lingkaran  tersebut dengan  menghubungkan  (merelasikan)  antara  2  buah  lingkaran  menggunakan  data yang sama.

## Gambar 7. Penyajian Data Siswa pada Diagram Lingkaran
Untuk  menyelesaikan  masalah  2,  siswa  perlu  mengatur  strategi  tentang bagaimana  membuat  relasi  antara  2  himpunan.  Pada  mulanya  siswa  dapat  dengan mudah  untuk  menyajikan  data  dalam  diagram  lingkaran,  namun  untuk  selanjutnya siswa  harus  memahami  tentang  makna  dari  relasi.  Dari  seluruh  rangkaian  kegiatan pembelajaran  2,  beberapa  kelompok  dapat  langsung  memahami  relasi  dengan meletakkan  data  siswa  pada  irisan  antara  2  himpunan  untuk  siswa  yang  menyukai jenis  jajanan  A  dan  jajanan  B.  Namun,  ada  juga  kelompok  yang  menuliskan  relasi dalam  satu  lingkaran  dengan  mendaftar  makanan  yang  disukai  oleh  2  orang  siswa.
90
Selain itu, ada juga kelompok yang semua anggotanya menyukai 2 jenis jajanan yang sama.
Gambar 8. Siswa Berdiskusi untuk Merancang Strategi Menyelesaikan Masalah 2
Pada  bagian  (1),  sesuai  dengan  petunjuk  soal  dalam  masalah  2;  kelompok  1, kelompok  2,  kelompok  3,  dan  kelompok  5  dapat  dengan  mudah  mengisi  lingkaran dengan daftar siswa yang menyukai jenis jajanan tertentu. Demikian pula kelompok 4 dapat  mengisi  daftar  siswa  yang  menyukai  jenis  jajanan  tertentu,  meskipun  pada mulanya menyajikan pengelompokkan data siswa dengan cara yang berbeda.
Gambar 9. Penyajian Data pada Diagram Lingkaran Kelompok 4
Pada  bagian  (2),  sesuai  dengan  petunjuk  soal  dalam  masalah  2,  kelompok  1 sudah mampu membuat relasi antara himpunan siswa yang menyukai jajanan kalpa, himpunan siswa yang menyukai jajanan donat, serta himpunan siswa yang menyukai jajanan  kalpa  dan  donat.  Relasi  antara  kedua  himpunan  tersebut  disajikan  seperti pada Gambar 10.
Gambar 10. Relasi antar Himpunan yang Dibuat Kelompok 1
Untuk melihat secara detail strategi penyelesaian masalah yang dilakukan oleh kelompok 1 serta cara berpikir siswa terhadap masalah, berikut disajikan transkripsi dialog antara guru dan siswa pada saat pembelajaran berlangsung.
Dialog 4 : .................................. Nadia : “ Bu, ini gimana yah cara menghubungkannya? ”
Guru : “ Coba  cermati,  menurut  kalian  bagaimana  dengan  siswa  yang  menyukai satu jenis jajanan? Bagaimana pula siswa yang menyukai dua jenis jajanan? ” Anggita  : “ Nadia suka kalpa dan donat? ”
Guru
: “ Bagaimana kalian berpikir bahwa Nadia harus masuk lingkaran satu dan juga lingkaran dua? ” Anggita  : “Hhm....” [Nampak bingung] Anggita  : “Berarti harus dibuat berhubungan ya, Bu” Guru : “Bagaimana cara membuatnya?” Anggita  : “Seperti ini...” [Sambil memperlihatkan gambar] ....................................
Strategi  yang  dibuat  oleh  kelompok  1  terfokus  pada  anggota  siswa  yang menyukai  2  jenis  makanan.  Untuk  membuat  relasi,  guru  kemudian  memberi  arahan tentang  bagaimana  agar  anggota  siswa  tersebut  dapat  masuk  ke  lingkaran  1  dan lingkaran 2 sekaligus. Dalam hal ini siswa harus berpikir tentang mengaitkan antara lingkaran 1 dengan lingkaran 2 sehingga membentuk irisan.
Kelompok 3 memiliki cara yang berbeda untuk membuat relasi antara himpunan 1 dengan himpunan 2, Seperti yang tersaji pada Gambar 11.
Gambar 11. Relasi antar Himpunan yang Dibuat Kelompok 3
92
Strategi yang digunakan oleh kelompok 3 dan cara berpikir siswa dapat dilihat pada dialog 5 berikut.
Dialog 5 : .................................. Guru : “ Apa yang kalian pikirkan tentang himpunan ini ” Albar : “Saya dan Adit menyukai jajanan yang sama?” Guru : “Apakah kalian memikirkan himpunan yang anggotanya makanan?”
Adit
: “ Engga, Bu ”
Albar : “Harusnya yang didaftar adalah nama siswa ya, Bu”
Guru
: “ Apakah kalian menyadari kesalahannya di mana? ”
Adit : “Oh... iya, Bu” ..................................
Meskipun kelompok 3 melakukan kekeliruan, namun siswa di kelompok ini pada dasarnya sudah mulai menyadari tentang pengertian relasi. Seperti yang terlihat pada dialog  5,  relasi  terjadi  jika  terdapat  anggota  himpunan  1  yang  juga  menjadi  anggota himpunan  2.  Kelompok  3  melakukan  kekeliruan  pada  saat  mendaftarkan  anggota himpunan  termasuk  identitas  himpunan.  Di  sisi  lain,  hasil  pekerjaan  siswa  ini  dapat menjadi  umpan balik  di  kegiatan  berikutnya  di mana jika himpunan A sama  dengan himpunan B, maka A irisan B adalah A atau A irisan B adalah B.
Apabila  dicermati  lebih  lanjut,  siswa  pada  kelompok  3  sebenarnya  sudah memiliki  pemikiran  lebih  maju  jika  dibandingkan  dengan  kelompok  4.  Perhatikan hasil aktivitas siswa pada Gambar 12 berikut ini.

## Gambar 12. Relasi antar Himpunan yang Dibuat Kelompok 4
Untuk menelusuri strategi dan cara berpikir siswa tentang relasi himpunan yang dibuat  oleh  kelompok  4,  berikut  dialog  yang  terjadi  antara  guru  dan  siswa  yang ditranskripsikan pada dialog 6.
Dialog 6 : .................................. Guru
: “ Apa yang kalian pikirkan tentang relasi antara kedua himpunan ini? ” Andini
: “ Karena semua siswa menyukai makanan yang sama ”
Afdal
: “ Saya telah menuliskannya satu kali, Bu ” Guru
: “ Apakah itu artinya bahwa kedua himpunan memiliki anggota yang sama? ”
93
Nayla : “ Benar, Bu ”
Guru
: “Apakah itu artinya bahwa kedua himpunan adalah sama?”
Andini : “O, iya ya Bu...  berarti cukup digambar satu lingkaran saja” ..................................
Ada dua hal yang menarik dari dialog 6 yang terjadi antara guru dan siswa, (1) siswa memahami bahwa ketika 2 himpunan memiliki relasi, maka prinsipnya adalah bagaimana merelasikan antara kedua himpunan tersebut sehingga semua anggota dari kedua himpunan tersebut ditulis satu kali, (2) kelompok 4 menyadari kekeliruan yang dilakukan,  tetapi  selanjutnya  mengantarkan  kepada  pemahaman  yang  lebih  maju  di mana  relasi  dua  himpunan  yang  anggotanya  sama  adalah  himpunan  itu  sendiri. Dengan  demikian,  jika  himpunan  A  sama  dengan  himpunan  B,  maka  relasi  dari himpunan  A  dan  himpunan  B  adalah  himpunan  itu  sendiri.  Pada  permasalahan selanjutnya  situasi  ini  akan  menjadi  temuan  tersendiri  sebagai  bagian  dari perkembangan pemahaman siswa.

## Pertemuan Ketiga
Pada pertemuan ketiga, guru secara hati-hati memperkenalkan tentang diagram Venn. Sesuai dengan kegiatan sebelumnya bahwa diagram Venn dapat digambarkan dengan relasi antar himpunan yang digambarkan dalam bentuk diagram lingkaran. Lingkaran- lingkaran tersebut dapat digambar hanya 1 buah lingkaran, 2 buah lingkaran, bahkan lebih dari 2 lingkaran tergantung kepada anggota yang direlasikan. Melalui relasi antar himpunan yang sudah dibangun oleh siswa, guru selanjutnya mengajukan masalah 3 tentang relasi yang terjadi relasi yang terjadi berkenaan dengan siswa yang menyukai jajanan A, siswa yang menyukai jajanan B, siswa yang menyukai jajanan A dan B, dan siswa yang menyukai jajanan A atau jajanan B. Pada situasi ini guru bermaksud untuk memperkenalkan  tentang  irisan  dan  gabungan  dari  2  buah  himpunan  yang mengantarkan siswa pada pengetahuan yang lebih formal.

## Masalah 3 :
Setelah kalian mengelompokkan jenis jajanan yang biasa dibeli atau disukai, bagaimana cara  kalian  membuat  relasi  (hubungan)  antara  2  kelompok  makanan  yang  berbeda sehingga diketahui:
1. Siapa saja siswa yang menyukai jajanan yang pertama dan yang kedua?
2. Siapa saja siswa yang menyukai jajanan yang pertama atau yang kedua?
Ada 2 masalah yang diajukan pada masalah 3. Masalah yang pertama berkenaan dengan konsep irisan, yaitu menentukan anggota himpunan yang merupakan anggota himpunan  A  sekaligus  juga  merupakan  anggota  himpunan  B.  Masalah  yang  kedua berkenaan  dengan  konsep  gabungan,  yaitu  menentukan  anggota  himpunan  yang merupakan  anggota  himpunan  A  atau  anggota  himpunan  B.  Dari  hasil  pengamatan terhadap  aktivitas  siswa,  hampir  semua  siswa  dapat  dengan  mudah  menjawab permasalahan  tersebut.  Hal  ini  dikarenakan  masing-masing  siswa  telah  dapat mendefinisikan relasi dengan tepat.
94

## Gambar 12. Jawaban Kelompok 1 untuk Masalah 3
Dialog  antara  guru  dan  siswa  tentang  strategi  dan  cara  berpikir  siswa  pada kelompok 1 disajikan pada transkipsi dialog 7 berikut.
Dialog 7 : .................................. Guru : “ Siapakah yang menyukai kalpa dan donat? ” Anggita  : “ Nadia, Bu ” Guru : “ Apakah Nadia menyukai kalpa atau donat? ” Nadia : “ Tidak, Bu ” Guru : “ Kenapa? ” Nadia : “ Karena Nadia menyukai keduanya, tidak salah satunya ” Guru
: “Jadi, siapakah yang menyukai kalpa atau donat?” Iman : “Shaikal, Nadia, Anggita, dan Iman, Bu” ..................................
Pada dialog 7, guru berupaya untuk memfasilitasi siswa mengenai penggunaan kata  “dan”  yang  mengartikulasikan  irisan  dan  “atau”  yang  mengartikulasikan gabungan. Secara tanpa sadar siswa mengungkapkan bahwa makna gabungan adalah semua anggota A ditambah anggota B tetapi bukan sekaligus anggota A dan anggota B. Pada  kasus  di  atas,  siswa  juga  dapat  langsung  memahami  bahwa  irisan  itu  berbeda dengan gabungan.
Jawaban  yang  menarik  terlihat  pada  kelompok  4.  Siswa  menuliskan  jawaban yang sama untuk pertanyaan pertama dan kedua pada masalah 3.
Gambar 13. Jawaban Kelompok 4 untuk Masalah 3
Untuk  mengetahui  bagaimana  cara  berpikir  siswa  pada  kelompok  4,  berikut disajikan dialog yang terjadi antara guru dan siswa yang ditranskripsikan pada dialog 8 berikut.
95
Dialog 8 : ..................................
Guru
: “ Kok, jawabannya sama, ya ”
Andini : “ Ya, Bu ” Guru : “ Siapa yang bisa menjelaskan, apa alasannya? ” Rahma  : “ Karena kita menyukai kedua jajanan itu, Bu ” Guru : “ Siapakah yang menyukai jajanan martabak dan bakso? ” Nayla
: “ Nayla, Rahma, Andini, dan Afdal ”
Guru : “ Siapakah yang menyukai jajanan martabak atau bakso?” Nayla
: “Nayla, Rahma, Andini, dan Afdal” Guru : “Jadi apa yang kalian pikirkan?” Rahma  : “Hhm.... karena anggotanya sama saja kan, Bu” Guru : “Bagaimana dengan himpunan jajanan martabak dan himpunan bakso?” Rahma  : “Himpunan yang sama” ..................................
Transkripsi  dialog  8  memperlihatkan  bahwa  siswa  memahami  irisan  dan gabungan  bisa  sama,  jika  himpunan  A  sama  dengan  himpunan  B.  Di  balik  itu, himpunan A sama dengan himpunan B, jika anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan  B.  Jadi jika  himpunan A  sama  dengan  himpunan B,  maka  A irisan B  sama dengan A gabungan B sama dengan A.

## Penutup
Pada  kegiatan  penutup  guru  memperkenalkan  secara  hati-hati  tentang  notasi  irisan ditulis “  ” yang memiliki artikulasi dan, dan notasi gabungan ditulis  yang memiliki artikulasi  atau.  Pada  akhir  pembelajaran  guru  memberikan  Pekerjaan  Rumah  (PR) berupa masalah himpunan irisan dan gabungan.
Ulasan tentang Learning Trajectory yang Dilalui Siswa Hasil  pengamatan  terhadap  seluruh  aktivitas  siswa  pada  pertemuan  1  sampai pertemuan  3  memberikan  gambaran  bahwa  pemahaman  siswa  mengalami perkembangan.  Hal  ini  seiring  dengan  lintasan  belajar  yang  dilalui  oleh  siswa  mulai dari masalah nyata, pemodelan, membangun pengetahuan hingga matematika formal. Pada  masalah  nyata,  siswa  dihadapkan  pada  survey  tentang  jajanan  kantin  sekolah yang biasa dibeli atau disukai siswa. Siswa kemudian melakukan pemodelan dengan mengelompokkan  jajanan  tersebut  berdasarkan  pada  nama-nama  siswa  yang  biasa membeli  atau  menyukai  jajanan  itu  dalam  bentuk  tabel  atau  diagram  lingkaran. Pengelompokkan jajanan tersebut merupakan himpunan-himpunan jajanan yang bisa dibeli/disukai  dan  masih  disajikan  secara  terpisah.  Pada  saat  siswa  membangun pengetahuan, siswa membuat relasi-relasi antar himpunan dengan cara: (1) mendaftar anggota himpunan yang bisa masuk pada himpunan yang pertama dan himpunan yang kedua, dan (2) mendaftar anggota himpunan yang merelasikan antara himpunan yang pertama dan himpunan yang kedua di mana anggota himpunan A yang sama dengan anggota  himpunan  B  ditulis  satu  kali.  Relasi-relasi  yang  disajikan  dalam  bentuk diagram  lingkaran  selanjutnya  diperkenalkan  sebagai  diagram  Venn.  Setelah  siswa
96
membuat relasi  antara himpunan  A  dan himpunan  B,  siswa  kemudian menyebutkan siapa yang menjadi anggota A dan B dan siapa yang menjadi anggota A atau B. Pada fase  ini  siswa  telah  sampai  pada  matematika  formal  di  mana  istilah  irisan  yang dinotasikan dengan “  ” dan gabungan yang dinotasikan dengan “  ” digunakan.

## 4. Simpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  ini  diperoleh  simpulan  bahwa  perancangan  HLT membantu  siswa  dalam  memahami  himpunan  pada  sub  topik  irisan  dan  gabungan. HLT  dalam  penelitian  ini  merupakan  lintasan  belajar  yang    dirancang  berdasarkan dugaan lintasan belajar awal, meliputi: masalah kontekstual, pemodelan, membangun pengetahuan,  dan  matematika  formal.  HLT  akhir  yang  diperoleh  setelah diimplementasikan  adalah  mendaftar/memilih  objek  (survey  objek  jajanan), mengelompokkan  objek  berdasarkan  karakteristik/sifat  objek  yang  diidentik  dalam bentuk  himpunan  objek  yang  terpisah,  membuat  relasi  dua  himpunan  berdasarkan objek  (anggota  himpunan)  yang  sama,  menggunakan  notasi  formal  irisan  dan gabungan.  Rekomendasi  yang  disampaikan  berdasarkan  penelitian  ini  adalah:  (1) penelitian tentang rancangan HLT memberikan kontribusi positif kepada pemahaman siswa  terhadap  materi  himpunan  untuk  sub  topik  irisan  dan  gabungan,  sehingga penelitian serupa dapat dilakukan dengan merancang HLT pengajaran himpunan yang lebih  komprehensif,  dan  (2)  penyusunan  alur  pembelajaran  melalui  masalah  yang disajikan adalah hal yang sangat penting dan perlu ditelaah secara mendalam sehingga siswa  dapat  mengikutinya  sesuai  dengan  target  yang  ingin  dicapai  dalam pembelajaran.

## Referensi
[1]  Manurung  M  M,  Windria  H,  &  Arifin  S  2018  Desain  pembelajaran  materi himpunan  dengan  pendekatan  Realistic  Mathematics  Education  (RME) untuk kelas VII Jurnal Derivat 5(1) 19 – 29 Doi: 10.31316/j.derivat.v5i1.143
[2]  Ferreirós  J  2007 Labyrinth  of  thought:  A  history  of  set  theory  and  its  role  in modern mathematics (Basel: Birkhuser Verlag AG)
[3]  Hidayat D W & Pujiastuti H 2019 Analisis kesalahan siswa dalam menyelesaikan masalah  matematis  pada  materi  himpunan Jurnal  Analisa 5(1) 59 – 67  Doi:
10.15575/ja.v5i1.4120
[4]  Wulandari S 2016 Pengaruh penggunaan media video pembelajaran pada materi himpunan  terhadap  hasil  belajar  matematika  siswa  kelas  VII  SMP  NU Palembang (Tesis UIN Raden Fatah) http://eprints.radenfatah.ac.id/1044/
[5]  Dwidarti  U,  Mampouw  H  L,  &  Setyadi  D  2019  Analisis  kesulitan  siswa  dalam menyelesaikan  soal  cerita  pada  materi  himpunan Jurnal  Cendekia    Jurnal Pendidikan Matematika 3(2) 315 – 322 Doi: 10.31004/cendekia.v3i2.110
[6]  Lestari  A  2014  Penerapan  pendekatan  Realistic  Mathematics  Education  untuk meningkatkan hasil belajar siswa pada materi soal cerita tentang himpunan di  kelas  VII  MTsN  Palu  Barat Jurnal  Elektronik  Pendidikan  Matematika Tadulako 2(1) 1 – 10
97
[7]  Mumu J & Tanujaya B 2018 Desain pembelajaran materi operasi pada himpunan mengunakan  permainan  ‘Lemon  Nipis Journal  of  Honai  Math 1(1) 14 – 23
Doi: 10.30862/jhm.v1i1.770
[8]  Ratuanik  M  2019  Desain  pembelajaran  pada  materi  himpunan  menggunakan model  problem  based  learning Asimtot:  Jurnal  Kependidikan  Matematika 1(2) 93 – 104 https://journal.unwira.ac.id/index.php/ASIMTOT/issue/view/38
[9]  Sholihah  I  &  Rejeki  S  2020  Peningkatan  kemampuan  berpikir  kritis  melalui penerapan  pendekatan Pendidikan  Matematika Realistik  Indonesia  (PMRI) pada  pembelajaran  himpunan Kontinu:  Jurnal  Penelitian  Didaktik Matematika 4(1) 1 – 16 Doi: 10.30659/kontinu.4.1.1-16
[10]  Astuti  W  &  Wijaya  A  2020  Learning  trajectory  berbasis  proyek  pada  materi definisi  himpunan Jurnal  Riset  Pendidikan  Matematika 7(2) 254 – 266  Doi: 10.21831/jrpm.v7i2.16483
[11]  Muhtadi  D  &  Sukirwan  2017  Implementasi  Pendidikan  Matematika  Realistik (PMR)  untuk  Meningkatkan  Kemampuan  Berpikir  Kreatif  Matematik  dan Kemandirian  Belajar  Peserta  Didik Mosharafa:  Jurnal  Pendidikan Matematika 6(1) 1-12 https://doi.org/10.31980/mosharafa.v6i1.289
[12]  Warsito,  Muhtadi  D  &  Sukirwan  2020  Peranan  Pembelajaran  Matematika Realistik Melalui Matematisasi Progresif Terhadap Pencapaian Representasi Matematis  Siswa  SMP Journal  of  Authentic  Research  on  Mathematics Education 2(2) 132-141  https://doi.org/10.37058/jarme.v2i2.1789
[13]  Warsito, Nuraini Y, Sukirwan, & Muhtadi D 2019 The design learning of fraction with realistic mathematics education in elementary school Journal of Physic Conference Series 1188 Doi: 10.1088/1742-6596/1188/1/012110
[14]  Prahmana  R  C  L  2017 Design  research  (Teori  dan  implementasinya:  Suatu pengantar) (Jakarta: Rajawali Press)
[15]  Evi  S  2011  Pendekatan  Matematika  Realistik  (PMR)  untuk  meningkatkan kemampuan berfikir siswa di tingkat sekolah dasar Metodik Didaktik : Jurnal Pendidikan  ke-SD-an edisi  khusus  2 79 – 85  http://jurnal.upi.edu/file/9- Evi_Soviawati-edit.pdf
[16]  Gravemeijer  K  1994 Developing  realistic  mathematics  education (Utrecht: Freudenthal Institute)
[17]  Wijaya  A,  Elmaini,  &  Doorman  M  2021  A  learning  trajectory  for  probability:  A case of game-based learning Journal on Mathematics Education 12(1) 1 – 16
Doi: 10.22342/JME.12.1.12836
[18]  Akker J V D, Bannan B, Kelly A E, Nieveen N, & Plomp T 2007 An introduction to educational  design  research (Netherland:  SLO  Netherland  Institute  for Curriculum Development)
[19]  Gravemeijer  K  &  Cobb  P  2006  Utrecht,  the  Netherlands  Susan  McKenney University of Twente, the Netherl in Design research from a learning design perspective 17 – 51