## J .   M a t h .   a n d   I t s   A p p l .
I S S N :   1 8 2 9 -6 0 5 X V o l .   1 3 ,   N o .   2 ,   N o p e mb e r   2 0 1 6 ,   1 -1 0

## PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-METRIK CONE ℝ BERNILAI ℝ 2
Sunarsini 1 , Mahmud Yunus 2 , Sadjidon 3 , Auda Nuril Z 4 1,2,3,4 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
1 sunarsini@matematika.its.ac.id, 2 yunusm@matematika.its.ac.id ,
3 djidon@matematika.its.ac.id, 4 audanz44@gmail.com

## Abstrak
Ruang b–metrik cone merupakan perluasan dari ruang b–metrik dan ruang metrik  cone.  Pada  paper  ini,  diselidiki  eksistensi  dan  sifat  ketunggalan  titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang b–metrik cone yang lengkap. Selanjutnya, dikaji  fungsi  b-metrik  pada  ruang  b-metrik  cone  dan  dibuktikan  beberapa teorema  ekivalensi  antara  kedua  ruang  tersebut  dengan  disertai  beberapa contoh terkait, khususnya ruang b-metrik cone ℝ bernilai ℝ 2 Katakunci: Cone; Pemetaan kontraktif; ruang b-metrik; ruang b–metrik cone; ruang metrik

## 1. Pendahuluan
Konsep  ruang  metrik  cone  merupakan  perumuman  dari  ruang  metrik, yaitu dengan mengganti kodomain fungsi jarak menjadi ruang Banach real. Penelitian  tentang  ruang  metrik  cone,  pertama  kali  dilakukan  oleh  Long- Guang.  Dalam  [6]  Long-Guang  menggeneralisasi  Teorema  Titik  Tetap Banach  pada  ruang  metrik  ke  dalam  ruang  metrik  cone.  Pengembangan Teorema Titik Tetap Banach pada ruang inipun banyak diteliti lebih lanjut, salah satunya dilakukan  oleh Raja dan Vaezpour [7]. Dalam penelitiannya, Raja dan Vaezpour menggeneralisasi definisi pemetaan kontraktif pada ruang metrik cone lengkap. Penelitian tentang perumuman ruang metrik pun banyak dilakukan,  diantaranya  oleh  Ahmed  Al-Rawashdeh  dkk.[1].  Mereka memperkenalkan  definisi  baru  yang  merupakan  perumuman  dari  ruang metrik  yaitu  dengan  mengganti  kodomainnya  dengan  ruang  norma  terurut atau  dikenal  sebagai  ruang E- metrik. Dengan  analogi  yang  sama  dari beberapa penelitian tersebut, Sunarsini dan Sadjidon dalam [8] membuktikan
ruang metrik cone tertentu bernilai 𝐶[𝑎, 𝑏] pada ruang ℓ 𝑝 dengan pendekatan yang berbeda  yaitu tidak melalui sifat  cone tetapi dengan pengertian ruang terurut  norma  ( ordered  norm  space ),  dan  disebut  ruang 𝐶[𝑎, 𝑏] -metrik. Sedangkan   sifat-sifat dari ruang 𝐶[𝑎, 𝑏] -metrik, seperti sifat kekonvergenan barisan, barisan Cauchy serta sifat lengkap dikaji kembali oleh Sunarsini dkk. [9].  Kemudian  dalam  [10],  kembali  Sunarsini  dkk  meneliti  lebih  lanjut tentang barisan kontraktif dan Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif pada ruang  tersebut.  Selanjutnya,  pengembangan  ruang  metrik  terus  dilakukan, antara lain oleh Czerwik [2] yaitu diperkenalkannya suatu ruang b-metrik dan teorema  titik  tetap  dalam  ruang  tersebut.  Ruang  b-metrik  merupakan generalisasi dari ruang metrik dengan perbedaan yang terletak pada koefisien pertidaksamaan segitiga yang berlaku dalam syarat b-metrik. Perkembangan selanjutnya tidak berhenti pada ruang b-metrik dan ruang metrik cone saja. Hussain dan Shah dalam [4] dan Huang dalam [3], memperkenalkan ruang b- metrik  cone  dan  teorema  titik  tetap  pada  ruang  tersebut.  Bahkan,  Kumam, Dung dan Hang [5] mengenalkan fungsi b-metrik baru pada ruang b-metrik cone  dan  aplikasinya  pada  teorema  titik  tetap.  Dengan  analogi  yang  sama dengan Kumam dkk, maka akan dikonstruksikan fungsi b-metrik pada ruang b-metrik  cone,  khususnya  pada  ruang  b-metrik  cone R bernilai R 2 (𝑹, 𝑑 𝑏𝑐 , 𝑹 𝟐 ) . Lebih lanjut, akan diselidiki ekivalensi antara dua ruang tersebut.

## 2. Tinjauan Pustaka
Pada bagian ini  didefinisikan ruang metrik, ruang b-metrik, pengertian himpunan cone, urutan parsial, ruang metrik cone,  ruang b-metrik cone serta diberikan beberapa contoh yang terkait.

## 2.1. Ruang b-Metrik
Sebelum  membahas  ruang  b-metrik  yang  merupakan  perluasan  ruang metrik, berikut ini didefinisikan terlebih dahulu ruang metrik.
Definisi  2.1  [11] Misalkan 𝑋 suatu  himpunan  tak  kosong.  Dideﬁnisikan metrik  atau  fungsi  jarak  sebagai  fungsi  bernilai  real 𝑑: 𝑋 x 𝑋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 , berlaku: (M1) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 (M2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦
(M3) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥)
(M4) 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧) (pertidaksamaan segitiga).
Jika 𝑑 metrik di 𝑋 maka pasangan (𝑋, 𝑑) disebut ruang metrik .
Definisi 2.2 [2] Diberikan 𝑋 ≠ ∅ dan s ≥ 1 bilangan real. Fungsi 𝑑 𝒃 ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝑹 sehingga memenuhi (B1). 𝜽 ≤   𝑑 𝒃 (𝑥, 𝑦) untuk  semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑 𝒃 (𝑥, 𝑦) = 𝜽 jika  hanya jika 𝑥 = 𝑦 (B2). 𝑑 𝒃 (𝑥, 𝑦) =   𝑑 𝒃 (𝑦, 𝑥) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (B3). 𝑑 𝒃 (𝑥, 𝑦) ≤  𝑠[𝑑 𝒃 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 𝒃 (𝑦, 𝑧)] untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 disebut b-metrik  pada X dan (𝑋, 𝑑 𝒃 ) disebut ruang b-metrik .
Contoh 2.1: [2] Pada himpunan 𝑹 , didefinisikan 𝑑 𝒃 ∶ 𝑹 × 𝑹 → 𝑹 sehingga 𝑑 𝐛 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| 𝑝 untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑹 dan 𝑝 > 1 ,  maka (𝑹, 𝑑 𝐛 ) ruang b-metrik
Terlihat bahwa perbedaan metrik dengan b-metrik adalah pada koefisien pertidaksamaan segitiga 𝑠 . Pada metrik, 𝑠 = 1 , sedangkan pada b-metrik 𝑠 ≥ 1 . Dari koefisien tersebut terlihat bahwa setiap metrik adalah b-metrik, tetapi belum tentu berlaku sebaliknya.

## 2.2. Ruang  Metrik Cone
Sebelum  menguraikan  ruang  metrik  cone,  dijelaskan  terlebih  dahulu mengenai  definisi  ruang  Banach,  cone  dan  beberapa  lemma  tentang  cone yang digunakan dalam analisis dan pembahasan penelitian ini.
Definisi 2.4 [11] Ruang Banach adalah ruang vektor bernorma yang lengkap dibawah metrik yang bersesuaian dengan normanya. Contoh 2.2 [11] Himpunan ℝ 2 yang merupakan himpunan pasangan terurut bilangan  real  adalah  ruang  Banach  dengan  norma  standard ‖𝑥‖ = (∑ |𝑥 𝑖 | 2 2 𝑖=1 ) 1 2 = √|𝑥 1 | 2 + |𝑥 2 | 2 , untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ 2 .
Definisi 2.5 [6] Diberikan E ruang Banach real dan 𝑃 himpunan bagian dari 𝐸. P disebut cone  jika hanya jika (C1). P tertutup, 𝑃 ≠ ∅ dan 𝑃 ≠ {𝜽} (C2). 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ∈ 𝑃 (C3). 𝑥 ∈ 𝑃 dan (−𝑥) ∈ 𝑃 ⇒ 𝑥 = 𝜽
Berikutnya,  jika 𝑃 ⊆ 𝐸 cone,  didefinisikan  urutan  parsial " ≼ " terhadap P dengan 𝑥 ≼ 𝑦 jika  hanya  jika 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝑃 .  Untuk 𝑥 ≺ 𝑦 diartikan 𝑥 ≼ 𝑦 dan 𝑥 ≠ 𝑦 .  Untuk 𝑥 ≪ 𝑦 diartikan 𝑦 − 𝑥 ∈ int P (  interior P )  [6].  Untuk selanjutnya, selalu diasumsikan bahwa E ruang Banach real, P cone dalam E dengan int 𝑃 ≠ ∅ dan " ≼ " adalah urutan parsial terhadap P .
Definisi  2.6  [6] Diberikan 𝑋 ≠ ∅ .  Fungsi 𝑑 𝑷 ∶ 𝑋 × 𝑋 → 𝐸 sehingga memenuhi (MC1). 𝜽 ≼   𝑑 𝑷 (𝑥, 𝑦) untuk  semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑 𝑷 (𝑥, 𝑦) = 𝜽 jika  hanya jika 𝑥 = 𝑦 (MC2). 𝑑 𝑷 (𝑥, 𝑦) =   𝑑 𝑷 (𝑦, 𝑥) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (MC3). 𝑑 𝑷 (𝑥, 𝑦) ≼   𝑑 𝑷 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 𝑷 (𝑦, 𝑧) untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 disebut metrik cone pada X dan (𝑋, 𝑑 𝑷 , 𝐸) disebut ruang metrik cone.
Dari Definisi 2.6 terlihat bahwa ruang metrik cone merupakan perluasan dari ruang  metrik.  Perbedaannya  terletak  pada  kodomainnya.  Dengan  demikian metrik  merupakan  kasus  khusus  metrik  cone  dengan  mengambil  conenya adalah R.
Contoh 2.3: [6]
1. Misalkan 𝐸 =  ℝ , 𝑃: = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑥 ≥ 0} , 𝑋 =  ℝ dan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → 𝐸 sehingga 𝑑 𝐏 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| , maka (ℝ, 𝑑 𝐏 , ℝ) ruang metrik cone.
2. Misalkan 𝐸 =   ℝ 2 , 𝑃: = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸: 𝑥, 𝑦 ≥ 0} , 𝑋 =  ℝ dan 𝑑 𝐏 : 𝑋 × 𝑋 → 𝐸 sehingga 𝑑 𝐏 (𝑥, 𝑦) = (|𝑥 − 𝑦| , 𝛼|𝑥 − 𝑦|) dengan 𝛼 ≥ 0 ,  maka (ℝ, 𝑑 𝐏 , ℝ 2 ) ruang metrik cone.

## 2.3. Ruang b–Metrik Cone
Pada bagian ini dijelaskan definisi dan sifat – sifat ruang b–metrik cone. Definisi 2.7 [3] Misalkan 𝑋 adalah himpunan tak kosong dan 𝑠 ≥ 1 adalah suatu bilangan real. Pemetaan 𝑑 𝑏𝑐 : 𝑋 x 𝑋  → 𝐸 dikatakan b–Metrik cone jika dan hanya jika untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧  ∈ 𝑋 , berlaku : (BC1) 𝜃 ≺ 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦)
(BC2) 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = 𝜃 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦 (BC3) 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑥)
(BC4) 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) ≺ 𝑠[𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 𝑏𝑐 (𝑧, 𝑦)] selanjutnya (𝑋, 𝑑 𝑏𝑐 ) disebut ruang b–metrik cone.
Contoh 2.4 [3] Diberikan  suatu  himpunan 𝑋 = {1,2,3,4} ,  ruang  Banach 𝐸 = ℝ 2 dan  cone 𝑃 = ℝ 0+ 2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0}
.Didefinisikan 𝑑 𝑏𝑐 : 𝑋 x 𝑋 → 𝐸
dengan
𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = { (|𝑥 − 𝑦| −1 , |𝑥 − 𝑦| −1 ), jika 𝑥 ≠ 𝑦 𝜃              , jika 𝑥 = 𝑦
Pemetaan 𝑑 tersebut  adalah  b-metrik  cone  sebab  memenuhi  syarat  pada Definisi 2.7.
Adapun  mengenai  definisi  titik  interior,  persekitaran,  barisan  konvergen, barisan Cauchy dan kelengkapan dalam ruang b–metrik cone diuraikan dalam definisi berikut.
Definisi 2.8 [3] Misalkan ( 𝑋, 𝑑 𝑏𝑐 ) adalah ruang b–metrik cone dan 𝐵 ⊆ 𝑋 . Kemudian, 𝑏 ∈ 𝐵 disebut  titik  interior  dari 𝐵 jika ∃𝑐 dengan 𝜃 ≪ 𝑐 sedemikian  sehingga 𝐵 𝑐 (𝑏) ⊆ 𝐵 dengan  definisi  himpunan 𝐵 𝑐 (𝑏) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑 𝑏𝑐 (𝑏, 𝑦) ≪ 𝑐} . Definisi  2.9  [3] Misalkan  ( 𝑋, 𝑑 𝑏𝑐 )  adalah  ruang  b–metrik  cone, 𝑥 ∈ 𝑋 dan (𝑥 𝑛 ) adalah barisan di 𝑋 , berlaku bahwa :
(i) (𝑥 𝑛 ) konvergen  ke 𝑥 apabila  untuk  setiap 𝑐 ∈ 𝐸 dengan 𝜃 ≪ 𝑐 ada bilangan  asli 𝑁 sedemikian  sehingga 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥 𝑛 , 𝑥) ≪ 𝑐 untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁, dapat ditulis bahwa 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑥 atau 𝑥 𝑛 → 𝑥 (𝑛 → ∞) ;
(ii) (𝑥 𝑛 ) adalah  barisan  Cauchy  apabila  untuk  setiap 𝑐 ∈ 𝐸 dengan 𝜃 ≪ 𝑐, ada  bilangan  asli 𝑁 sedemikian  sehingga 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) ≪ 𝑐 untuk semua 𝑛, 𝑚  ≥ 𝑁 ; (iii) (𝑋, 𝑑 𝑏𝑐 ) adalah ruang b–metrik cone lengkap jika setiap barisan Cauchy konvergen di 𝑋 .

## Contoh 2.5
Diberikan ((0,1], 𝑑 𝑏𝑐 ) adalah  ruang  b-metrik  cone  dengan 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = (|𝑥 − 𝑦| 2 , |𝑥 − 𝑦| 2 ) untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ (0,1] ,  cone 𝑃 = ℝ 0+ 2 dan  int 𝑃 = ℝ + 2 .  Barisan (𝑥 𝑛 ) = ( 1 𝑛 ) , 𝑛 ∈ ℕ adalah  barisan  Cauchy  pada (0,1] tetapi tidak konvergen pada (0,1] .

## 2.4. Teorema Titik Tetap Banach
Sebagaimana  yang  telah  dinyatakan  pada  latar  belakang,  teorema  titik tetap Banach  diperkenalkan oleh seorang Matematikawan bernama Banach dan diberi nama Teorema Kontraksi atau Teorema Titik Tetap Banach [11]. Teorema tersebut memiliki aplikasi penting dalam menentukan eksistensi dan ketunggalan solusi persamaan differensial, juga dalam bidang komputasi.
Titik  tetap  pada  pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 adalah 𝑥 ∈ 𝑋 yang  dipetakan  atas dirinya  sendiri,  didefinisikan 𝑇𝑥 = 𝑥 [11].  Teorema  titik  tetap  Banach memberikan  prosedur  untuk  mendapatkan  perkiraan  titik  tetap  yang  diberi nama  iterasi.  Berdasarkan  definisinya,  ditentukan  sebarang 𝑥 0 ∈ 𝑋 . Kemudian, didefinisikan 𝑥 𝑛+1 = 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑛 = 0,1,2, …
Berikut  diuraikan  definisi  pemetaan  kontraktif  dan  teorema  titik  tetap Banach yang mendasari teorema titik tetap pada ruang b-metrik cone. Definisi 2.10 [11] Diberikan (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik. Pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 disebut kontraktif pada (𝑋, 𝑑) jika terdapat bilangan real 0 < 𝑘 < 1 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 yang memenuhi 𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝑘𝑑(𝑥, 𝑦) . Teorema  2.1  [11 Diberikan (𝑋, 𝑑) ruang  metrik  dengan (𝑋, 𝑑) ≠ ∅ .  Jika (𝑋, 𝑑) lengkap  dan  diberikan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 kontraktif  pada (𝑋, 𝑑) maka 𝑇 mempunyai tepat satu titik tetap.
Teorema  titik  tetap  Banach  kemudian  dikembangkan  ke  dalam  ruang  – ruang lainnya seiring munculnya perluasan dari ruang metrik. Sebagaimana dalam  penelitian  tugas  akhir  ini,  teorema  titik  tetap  Banach  dikembangkan dalam ruang b-metrik cone.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  diuraikan  teorema  titik  tetap  pemetaan  kontraktif  pada ruang b-metrik cone lengkap serta dikonstruksi teorema titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang b-metrik cone ℝ bernilai ℝ 2 .
3.1. Eksistensi  dan  Ketunggalan  Titik  Tetap  Pemetaan
Kontraktif pada Ruang b-Metrik Cone Lengkap.
Dua teorema di bawah ini menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap pemetaan  kontraktif  pada  ruang  b-metrik  cone  lengkap.  Perbedaan  kedua teorema  tersebut  terletak  pada  kondisi  kontraktifnya.  Untuk  selanjutnya, kondisi kontraktif teorema titik tetap yang pertama diberi nama kondisi jenis I dan kondisi kontraktif teorema titik tetap yang kedua diberi nama kondisi jenis II. Pemetaan yang memenuhi kondisi jenis I dinamakan pemetaan jenis I dan pemetaan yang memenuhi kondisi jenis II dinamakan pemetaan jenis II.
Teorema  3.1  [1]  (Teorema  Titik  Tetap  Pemetaan  Jenis  I) Diberikan (𝑋, 𝑑 𝑏𝑐 ) ruang  b-metrik  cone  yang  lengkap.  Jika  pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 memenuhi kondisi kontraktif
𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≺ 𝜆𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan 𝜆 ∈ [0,1) adalah  suatu  konstanta,  maka 𝑇 memiliki  suatu  titik  tetap  yang  tunggal  pada 𝑋 .  Lebih  lanjut,  barisan (𝑇 𝑛 𝑥) konvergen ke titik tetap tersebut.
Teorema  3.2  [1]  (Teorema  Titik  Tetap  Pemetaan  Jenis  I) Diberikan (𝑋, 𝑑 𝑏𝑐 ) ruang  b-metrik  cone  yang  lengkap.  Jika  pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 memenuhi kondisi kontraktif
𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≺ 𝜆𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦)
untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan 𝜆 ∈ [0,1) adalah  suatu  konstanta,  maka 𝑇 memiliki suatu titik tetap yang tunggal pada 𝑋 . Lebih lanjut, barisan (𝑇 𝑛 𝑥) konvergen ke titik tetap tersebut.

## 3.2. Pemetaan  Kontraktif  pada  Ruang  b -Metrik  Cone ℝ Bernilai ℝ 𝟐 .
Seperti  pada  Teorma  3.1  dan  3.2,  maka  akan  dikonstruksi  pemetaan kontraktif  pada  ruang  b-metrik  cone ℝ Bernilai ℝ 2 .  Oleh  karena  itu  akan dditentukan  bahwa 𝑋 adalah  himpunan  bilangan  real ℝ dan 𝐸 adalah  ruang Banach ℝ 2 dengan  himpunan 𝑃 = ℝ 0+ 2 adalah  cone,  interior (ℝ 0+ 2 ) = ℝ + 2 dan 𝜃 = (0,0) .  Berikut  ini  diberikan  teorema  bahwa (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) adalah ruang b–metrik cone yang lengkap. Teorema  3.3 Jika  diberikan  fungsi 𝑑 𝑏𝑐 : ℝ x ℝ  → ℝ 2 dengan 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ), 𝑝 > 1, maka (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) adalah  ruang  b–metrik  cone yang lengkap.
3.2.1. Pemetaan Jenis I pada Ruang b-Metrik Cone ℝ Bernilai ℝ 𝟐 . Teorema  3.4 Diberikan (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) ruang  b-metrik  cone  lengkap  dengan 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ), 𝑝 > 1 dan 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ .  Jika  diberikan pemetaan 𝑇: ℝ → ℝ dengan
𝑇𝑥 = 1 𝑛 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑛 > 1 ,  maka  pemetaan  memenuhi  kondisi jenis I dan mempunyai titik tetap yang tunggal pada ℝ . Bukti :
𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = (|𝑇𝑥 − 𝑇𝑦| 𝑝 , |𝑇𝑥 − 𝑇𝑦| 𝑝 ) = (| 1 𝑛 𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 𝑝 , | 1 𝑛 𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 𝑝 ) = (| 1 𝑛 (𝑥 − 𝑦)| 𝑝 , | 1 𝑛 (𝑥 − 𝑦)| 𝑝 ) = ( 1 𝑛 𝑝 |𝑥 − 𝑦| 𝑝 , 1 𝑛 𝑝 |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ) = 1 𝑛 𝑝 (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ) ≺ 1 (𝑘𝑛) 𝑝 (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ) 𝑘 ∈ ( 1 𝑛 , 1] = 1 (𝑘𝑛) 𝑝 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦), 𝑘 ∈ ( 1 𝑛 , 1]
Jadi, 𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≺ 1 (𝑘𝑛) 𝑝 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦), dengan 𝑘 ∈ ( 1 𝑛 , 1] dan 𝜆 = 1 (𝑘𝑛) 𝑝 ∈ [0,1) .
Terlihat  bahwa  pemetaan  tersebut  memenuhi  kondisi  kontraktif.  Sehingga, dijamin  bahwa  pemetaan  tersebut  memiliki  suatu  titik  tetap  yang  tunggal.
Misal titik tetap tersebut adalah 𝑥 ∗ , akibatnya 𝑇𝑥 ∗ = 𝑥 ∗ .   Jadi 1 𝑛 𝑥 ∗ = 𝑥 ∗ Jadi, 𝑥 ∗ = 0 adalah titik tetap yang tunggal dari pemetaan 𝑇: ℝ → ℝ dengan 𝑇𝑥 = 1 𝑛 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑛 > 1 .
Teorema 3.5 Diberikan (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) ruang b-metrik cone lengkap dengan 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ), 𝑝 > 1 dan 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ . Jika diberikan pemetaan 𝑇: ℝ → ℝ dengan
𝑇𝑥 = 1 𝑛 𝑥 + 𝑐, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 > 1 dan 𝑐 konstanta  sebarang,  maka pemetaan memenuhi kondisi jenis I dan mempunyai titik tetap yang tunggal pada ℝ . Bukti : 𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = (|𝑇𝑥 − 𝑇𝑦| 𝑝 , |𝑇𝑥 − 𝑇𝑦| 𝑝 )
= (|( 1 𝑛 𝑥 + 𝑐) − ( 1 𝑛 𝑦 + 𝑐)| 𝑝 , |( 1 𝑛 𝑥 + 𝑐) − ( 1 𝑛 𝑦 + 𝑐)| 𝑝 ) = (| 1 𝑛 (𝑥 − 𝑦)| 𝑝 , | 1 𝑛 (𝑥 − 𝑦)| 𝑝 ) = ( 1 𝑛 𝑝 |𝑥 − 𝑦| 𝑝 , 1 𝑛 𝑝 |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ) = 1 𝑛 𝑝 (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ) ≺ 1 (𝑘𝑛) 𝑝 (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ), 𝑘 ∈ ( 1 𝑛 , 1] = 1 (𝑘𝑛) 𝑝 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦), 𝑘 ∈ ( 1 𝑛 , 1]
Jadi, 𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≺ 1 (𝑘𝑛) 𝑝 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦), dengan 𝑘 ∈ ( 1 𝑛 , 1] dan 𝜆 = 1 (𝑘𝑛) 𝑝 ∈ [0,1) .  Terlihat  bahwa  pemetaan  tersebut  memenuhi  kondisi  kontraktif. Sehingga, dijamin bahwa pemetaan tersebut memiliki suatu titik tetap yang tunggal. Misal titik tetap tersebut adalah 𝑥 ∗ , akibatnya 𝑇𝑥 ∗ = 𝑥 ∗ 1 𝑛 𝑥 ∗ + 𝑐 = 𝑥 ∗
Jadi, 𝑥 ∗ = 𝑛 𝑛−1 𝑐 adalah titik tetap yang tunggal dari pemetaan 𝑇: ℝ → ℝ
dengan 𝑇𝑥 = 1 𝑛 𝑥 + 𝑐, ∀𝑥 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ , 𝑛 > 1 dan 𝑐 konstanta sebarang.
3.2.2. Pemetaan Jenis II pada Ruang b-Metrik Cone ℝ Bernilai ℝ 𝟐 . Teorema  3.6 Diberikan (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) ruang  b-metrik  cone  lengkap  dengan 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = (|𝑥 − 𝑦| 2 , |𝑥 − 𝑦| 2 ), untuk 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ dan 𝑠 = 2 2 = 4 .  Jika diberikan pemetaan 𝑇: ℝ → ℝ dengan 𝑇𝑥 = 1 𝑛 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑛 > 8 , maka  pemetaan  memenuhi  kondisi  jenis  II  dan  mempunyai  titik  tetap  yang tunggal pada ℝ . Bukti:
𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = (|𝑇𝑥 − 𝑇𝑦| 2 , |𝑇𝑥 − 𝑇𝑦| 2 ) = (| 1 𝑛 𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 2 , | 1 𝑛 𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 2 ) = (| 1 𝑛 (𝑥 − 𝑦)| 2 , | 1 𝑛 (𝑥 − 𝑦)| 2 ) = ( 1 𝑛 2 |𝑥 − 𝑦| 2 , 1 𝑛 2 |𝑥 − 𝑦| 2 ) = 1 𝑛 2 (|𝑥 − 𝑦| 2 , |𝑥 − 𝑦| 2 ) = 1 𝑛 2 (𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 , 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑥) = (|𝑥 − 𝑇𝑥| 2 , |𝑥 − 𝑇𝑥| 2 ) = (|𝑥 − 1 𝑛 𝑥| 2 , |𝑥 − 1 𝑛 𝑥| 2 )
= (| 𝑛−1 𝑛 𝑥| 2 , | 𝑛−1 𝑛 𝑥| 2 ) = (𝑛−1) 2 𝑛 2 (|𝑥| 2 , |𝑥| 2 ) = (𝑛−1) 2 𝑛 2 (𝑥 2 , 𝑥 2 )
𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑦) = (|𝑦 − 𝑇𝑦| 2 , |𝑦 − 𝑇𝑦| 2 ) = (|𝑦 − 1 𝑛 𝑦| 2 , |𝑦 − 1 𝑛 𝑦| 2 ) = (| 𝑛−1 𝑛 𝑦| 2 , | 𝑛−1 𝑛 𝑦| 2 ) = (𝑛−1) 2 𝑛 2 (|𝑦| 2 , |𝑦| 2 ) = (𝑛−1) 2 𝑛 2 (𝑦 2 , 𝑦 2 )
𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑦) = (|𝑥 − 𝑇𝑦| 2 , |𝑥 − 𝑇𝑦| 2 ) = (|𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 2 , |𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 2 ) 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑥) = (|𝑦 − 𝑇𝑥| 2 , |𝑦 − 𝑇𝑥| 2 ) = (|𝑦 − 1 𝑛 𝑥| 2 , |𝑦 − 1 𝑛 𝑥| 2 )
Kemudian, 𝜆 1 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑥) + 𝜆 2 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑦) + 𝜆 3 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑦) +𝜆 4 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑥) = 𝜆 1 (𝑛−1) 2 𝑛 2 (𝑥 2 , 𝑥 2 ) + 𝜆 2 (𝑛−1) 2 𝑛 2 (𝑦 2 , 𝑦 2 ) + 𝜆 3 (|𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 2 , |𝑥 − 1 𝑛 𝑦| 2 ) + 𝜆 4 (|𝑦 − 1 𝑛 𝑥| 2 , |𝑦 − 1 𝑛 𝑥| 2 ) = 𝜆 1 (𝑛−1) 2 𝑛 2 (𝑥 2 , 𝑥 2 ) + 𝜆 2 (𝑛−1) 2 𝑛 2 (𝑦 2 , 𝑦 2 ) +𝜆 3 (𝑥 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑦 2 , 𝑥 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑦 2 ) +𝜆 4 (𝑦 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑥 2 , 𝑦 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑥 2 ) .  Dengan memberi nilai 𝜆 1 = 1 (𝑛−1) 2 , 𝜆 2 = 1 (𝑛−1) 2 , 𝜆 3 = 𝜆 4 = 1 2𝑛 ,
diperoleh bahwa 𝜆 1 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑥) + 𝜆 2 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑦) + 𝜆 3 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑦) +𝜆 4 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑥) = 1 𝑛 2 (𝑥 2 , 𝑥 2 ) + 1 𝑛 2 (𝑦 2 , 𝑦 2 ) + 1 2𝑛 (𝑥 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑦 2 , 𝑥 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑦 2 ) + 1 2𝑛 (𝑦 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑥 2 , 𝑦 2 − 2 𝑛 𝑥𝑦 + 1 𝑛 2 𝑥 2 ) = ( (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑥 2 + (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑦 2 − 2 𝑛 2 𝑥𝑦 (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑥 2 + (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑦 2 − 2 𝑛 2 𝑥𝑦 )
Selanjutnya perhatikan bahwa 𝜆 1 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑥) + 𝜆 2 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑦) + 𝜆 3 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑦) +𝜆 4 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑥) −
𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = ( (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑥 2 + (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑦 2 − 2 𝑛 2 𝑥𝑦 (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑥 2 + (𝑛+1) 2 2𝑛 3 𝑦 2 − 2 𝑛 2 𝑥𝑦 ) − 1 𝑛 2 ( 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = ( 𝑛 2 +1 2𝑛 3 𝑥 2 + 𝑛 2 +1 2𝑛 3 𝑦 2 𝑛 2 +1 2𝑛 3 𝑥 2 + 𝑛 2 +1 2𝑛 3 𝑦 2 )
Terlihat bahwa 𝜆 1 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑥) + 𝜆 2 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑦) + 𝜆 3 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑦) +𝜆 4 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑥) − 𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ∈ ℝ 0+ 2 . Dengan kata lain, 𝑑 𝑏𝑐 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≺ 𝜆 1 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑥) + 𝜆 2 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑦) + 𝜆 3 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑇𝑦) +𝜆 4 𝑑 𝑏𝑐 (𝑦, 𝑇𝑥)
dengan 𝜆 𝑖 ∈ [0,1) dan 𝜆 1 + 𝜆 2 + 𝑠(𝜆 3 + 𝜆 4 ) = 1 (𝑛−1) 2 + 1 (𝑛−1) 2 + 4( 1 2𝑛 + 1 2𝑛 ) = 4(𝑛−1) 2 +2𝑛 (𝑛−1) 2 𝑛 < min {1, 2 𝑠 } = min {1, 2 4 } = 1 2 .
Jadi, pemetaan tersebut memenuhi kondisi kontraktif. Sehingga, dijamin bahwa pemetaan tersebut memiliki suatu titik tetap yang tunggal. Misal titik tetap tersebut adalah 𝑥 ∗ , akibatnya 𝑇 𝑥 ∗ = 𝑥 ∗ 1 𝑛 𝑥 ∗ = 𝑥 ∗
Jadi, 𝑥 ∗ = 0 adalah titik tetap yang tunggal dari pemetaan 𝑇: ℝ → ℝ dengan 𝑇𝑥 = 1 𝑛 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑛 > 8 .
Pemetaan  pada  Teorema    3.5  terlihat  hampir  sama  dengan  Teorema  3.6 Perbedaannya adalah bilangan asli 𝑛 > 1 pada Teorema 3.5 dan bilangan asli 𝑛 > 8 pada  Teorema  3.6.  Akan  tetapi,  kedua  teorema  tersebut  memenuhi kondisi kontraktif dan memiliki suatu titik tetap yang tunggal.
3.3. Konstruksi  b-Metrik  pada  Ruang  b -Metrik  Cone ℝ Bernilai ℝ 𝟐 .
Pada bagian ini dibahas mengenai fungsi baru pada ruang b-metrik cone dan ekivalensinya antara dua ruang tersebut. Hal  ini telah dijelaskan dalam [5], Teorema 14. Dengan analogi yang sama dengan teorema tersebut, maka akan dikonstruksikan fungsi b-metrik pada ruang b-Metrik Cone ℝ Bernilai ℝ 2 , yang tertuang dalam teorema berikut. Teorema  3.7 Diberikan (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) ruang  b-metrik  cone  lengkap  dengan 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦) = (|𝑥 − 𝑦| 𝑝 , |𝑥 − 𝑦| 𝑝 ), 𝑝 > 1, untuk , 𝑦 ∈ ℝ .  Jika  fungsi 𝐷: (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 )x(ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) → ℝ
dengan 𝐷(𝑥, 𝑦) = inf {‖𝑢‖: 𝑢 ∈ ℝ + 2 , 𝑢 ⪯
1 𝑠 𝑑 𝑏𝑐 (𝑥, 𝑦)} untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) , maka 𝐷 merupakan b-metrik pada (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) .  Dengan  demikian    pasangan ((ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ), 𝐷) merupakan  ruang  b- metrik. Teorema 3.8. Barisan (𝑥 𝑛 ) konvergen di dalam ruang b-metrik cone (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) jika  dan  hanya  jika  barisan (𝑥 𝑛 ) konvergen  di  dalam  ruang  b-metrik  cone ((ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ), 𝐷).
Teorema  3.9. (𝑥 𝑛 ) barisan  Cauchy  di  dalam  ruang  b-metrik  cone (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) jika  dan  hanya  jika (𝑥 𝑛 ) barisan  Cauchydi  dalam  ruang  b-metrik  cone ((ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ), 𝐷).
Teorema  3.10. ruang  b-metrik  cone (ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ) lengkap  jika  dan  hanya jikaruang b-metrik ((ℝ, 𝑑 𝑏𝑐 ), 𝐷) lengkap.
4. Daftar Pustaka
[1] Al-Rawashdeh, A., Wasti, S., and Khandaqji, M., Normed Ordered and E-Metric Spaces, Hindawi Publishing Corporation International Journal of Mathematics and Mathematics of Sciences, article  ID 272137, 11 pages, 2012.
[2] Czerwik, S., Nonlinear Set-valued Contraction Mappngs in b-Metric Spaces, Atti del  Seminario  Matematico e Fisico  dell’Universita  di Modena, 46: 263-276, 1998
[3] Huang and Xu., Fixed Point Theorems of Contractive Mappings in Cone  b-Metric  spaces  and  Applications, Fixed  Point  Theory  and Applications , 2013:112, 2013
[4] Hussain,  N  and  Shah,  M.  H.,  KKM  Mappings  in  Cone  b-Metric Spaces, Computers and mathematics with Applications 62(4):1677- 1684, 2011
[5] Kumam,  P.,  dung,  NV  and  Le  Hang,  VT.,  Some  equivalences between  Cone  b-Metric  Spaces  and  b-Metric  Spaces, Hindawi
Publishing Corporation Abstract  and  Applied Analysis , article  ID 57374, 8 pages, 2013
[6] Long-Guang, H., and Xian, Z.,  Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings, Journal Mathematical Analysis and Applications , 332, 1468-1476, 2007.
[7] Raja,  P.,  and  Vaezpour,  S.M.,  Some  Extensions  of  Banach’s Contraction  Principle  in  Complete  Cone  Metric  Spaces, Hindawi
Publishing Corporation Fixed Point Theory and Applications , article ID 768294, 11 pages, 2008.
[8] Sunarsini dan Sadjidon, Ruang Metrik Terurut Bernilai C[ a , b ] Pada ℓ 𝑝 ( ℓ 𝑝 , d C[ a , b ] ),  Simposium  Analisis  Matematika  VI,  Universitas Airlangga, Surabaya, 2013.
[9] Sunarsini,  Sadjidon  dan  Yunus,  M., Ruang 𝐶[𝑎, 𝑏 ]-Metrik ,  KNM XVII Jurusan Matematika, FMIPA ITS, Surabaya, 2014.
[10]  Sunarsini, Sadjidon dan Yunus, M., Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif  Pada  Ruang 𝐶[𝑎, 𝑏 ]-Metrik ,  Seminar  Nasional Matematika UNS, Surakarta, 2014.
[12]  Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications , New York: John Wiley and Son, 1978