## Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit
Yunita Indriana Sari dan Didik Khusnul Arif Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : didik@matematika.its.ac.id
Abstrak—Reduksi  Model  adalah  penyederhanaan sistem yang berorde besar agar sistem tersebut memiliki orde  yang  lebih  kecil  tanpa  kesalahan  yang  signifikan. Pada  Tugas  Akhir  ini,  dibahas  mengenai  reduksi  model dengan  menggunakan  metode  Pemotongan  Setimbang dengan menganalisis sistem awal, mengkaji pembentukan  sistem  setimbang,  dan  konstruksi  model tereduksi.  Proses  reduksi  model  diawali  dengan membentuk  sistem  setimbang  dari  sistem  awal  yang bersifat  stabil,  terkendali,  dan  teramati  dengan  matriks transformasi 𝐓 .  Setelah  didapatkan  sistem  setimbang, selanjutnya dilakukan pemotongan nilai singular Hankel yang kecil. Setelah itu dilakukan simulasi reduksi model menggunakan  MATLAB.  Hasil  simulasi  menunjukkan bahwa  model  tereduksi  yang  dihasilkan  memiliki  sifat yang  sama  dengan  sistem  awal,  yaitu  sifat  stabil, terkendali,  teramati.  Selain  itu,  pemotongan  nilai singular  Hankel  dapat  dilakukan  sesuai  kebutuhan dalam pengaplikasian reduksi model pada permasalahan di kehidupan nyata. Selanjutnya, dilakukan perbandingan  model  awal  dan  model  tereduksi  dengan menggunakan respon frekuensi .
Kata Kunci—Metode Pemotongan Setimbang, Reduksi Model, Singular Hankel, Sistem Diskrit.

## I. PENDAHULUAN
istem  yang  terdapat  di  alam  semesta  seringkali memiliki  orde  yang  besar.  Sehingga  dihasilkan model  matematika  yang  memiliki  banyak  variabel keadaan.  Semakin  banyak  variabel  yang  digunakan, model matematika yang digunakan semakin mendekati nilai fenomena ataupun sistem nyata yang sebenarnya. Tentunya  hal  ini  mempengaruhi  waktu  komputasi karena semakin besar ukuran sistem, waktu komputasi yang  dibutuhkan  semakin  lama  pula.  Dan  juga permasalahan yang ada pada sistem semakin besar dan kompleks.  Tentunya  penyelesaian  sistem  yang memiliki orde besar lebih rumit dibanding sistem yang memiliki orde lebih kecil. Oleh karena itu, dibutuhkan penyederhanaan sistem yang berorde besar agar sistem tersebut  memiliki  orde  yang  lebih  kecil  tanpa kesalahan  yang  signifikan.  Penyederhanaan  sistem inilah yang dinamakan reduksi model[1].
Terdapat banyak metode reduksi model, diantaranya adalah  metode  Pemotongan  Setimbang,  aproksimasi Norma  Hankel  dan  Aproksimasi  Perturbasi  Singular. Diantara  metode  reduksi  model  tersebut,  metode Pemotongan  Setimbang  merupakan  metode  reduksi model  yang  paling  sederhana.  Selain  itu,  metode Pemotongan  Setimbang  menjamin  sifat-sifat  dari
sistem awal selalu dipertahankan. Sistem hasil reduksi dengan metode Pemotongan Setimbang akan mempunyai  sifat  yang  sama  dengan  sifat  sistem semula yaitu stabil, terkendali dan teramati[2].
Berdasarkan  latar  belakang  di  atas,  pada  penelitian ini akan dilakukan analisis reduksi model pada sistem diskrit  dengan  menggunakan  metode  pemotongan setimbang.  Setelah  didapatkan  model  hasil  reduksi, kemudian  akan  dilakukan  analisis  terhadap  sifat-sifat model  hasil  reduksi.  Setelah  itu  akan  dilakukan simulasi  untuk  model  awal  dan  model  hasil  reduksi dengan menggunakan aplikasi MATLAB.

## II. METODE PENELITIAN

## Tahap Studi Literatur
Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengan  cara  mencari  referensi  mengenai  teori-teori yang menunjang penelitian.

## Tahap Analisis Sifat Model Awal
Pada tahap ini dilakukan analisis mengenai sifat- sifat model awal, meliputi analisis sifat dan perilaku sistem, yaitu analisis kestabilan, keterkendalian dan keteramatan pada sistem tersebut.

## Tahap Reduksi Model
Pada  tahap  ini  dilakukan  reduksi  model  sistem awal  dengan  menggunakan  metode  Pemotongan Setimbang  agar  menghasilkan  model  setimbang dengan variabel keadaan yang jumlahnya lebih sedikit namun dengan karakteristik yang sama.

## Tahap Analisis Sifat Model Tereduksi
Pada tahap ini dilakukan analisis sifat model yang telah  direduksi,  yaitu  analisis  sifat  kestabilan, keterkendalian dan keteramatan.

## Tahap Simulasi dan Analisis
Pada  tahap  ini  dilakukan  simulasi  dan  analisis model  awal  dan  model  reduksi  dengan  menggunakan software MATLAB.

## Tahap Penarikan Kesimpulan
Pada  tahap  ini  dilakukan  penarikan  kesimpulan  dan saran  berdasarkan  pada  hasil  simulasi  dan  analisis pada tahap sebelumnya.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## Kajian Sistem Awal
Misalkan  diberikan  suatu  sistem  linear  waktu diskrit sebagai berikut:
𝑥 𝑘+1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 (1)
S
𝑧 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘 (2)
dengan 𝑥 𝑘 ∈ ℝ 𝑛 : variabel keadaan pada waktu 𝑘 𝑢 𝑘 ∈ ℝ 𝑚 : vektor masukan deterministik pada waktu 𝑘 𝑧 𝑘 ∈ ℝ 𝑃 : vektor pengukuran pada waktu 𝑘 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 : matriks-matriks konstan dengan ukuran yang bersesuaian.
Dari Persamaan (1) dan (2) dapat dibentuk sebuah fungsi transfer[3].
𝐺(𝑧) = 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴) −1 𝐵 + 𝐷 (3)
Melalui  fungsi  transfer  dapat  diketahui  hubungan antara masukan dan keluaran.
Selanjutnya,  untuk  menyelidiki  sifat  kestabilan Persamaan (1) dan (2) digunakan teorema berikut.

## Teorema 3.1[4]
Sistem  linear  diskrit  adalah  stabil  asimtotik  jika  dan hanya  jika |𝜆 𝑖 (𝐴)| < 1 untuk 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛 dengan 𝜆 𝑖 (𝐴) adalah  nilai  eigen  matriks 𝐴 .  Sedangkan  jika |𝜆 𝑖 (𝐴)| ≤ 1 ,  untuk 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛 maka  sistem  diskrit adalah stabil.
Sedangkan untuk mengetahui sifat keterkendalian Persamaan (1) dan (2) digunakan teorema berikut.

## Teorema3.2[4]
Sistem  diskrit  terkendali  jika  dan  hanya  jika 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐵 𝐴𝐵   ⋯  𝐴 𝑛−1 𝐵) = 𝑛 , dengan (𝐵 𝐴𝐵   ⋯  𝐴 𝑛−1 𝐵) disebut sebagai matriks keterkendalian.
Didefinisikan gramian keterkendalian, 𝑊 , pada sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) adalah sebagai berikut[5].
𝑊 = ∑ 𝐴 𝑘 𝐵𝐵 𝑇 (𝐴 𝑇 ) 𝑘 ∞ 𝑘=0 (4)
Berikut merupakan teorema yang menjelaskan hubungan antara sifat keterkendalian sistem dengan gramian keterkendalian.
Teorema 3.3[2] Pernyataan berikut ekuivalen.
(i) Sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) terkendali,
(ii) Gramian  keterkendalian, 𝑊 ,  adalah  definit positif,
(iii) Matriks keterkendalian, (𝐵   𝐴𝐵    ⋯   𝐴 𝑛−1 𝐵) , mempunyai rank baris penuh. Untuk mengetahui sifat keteramatan digunakan teorema berikut. Teorema 3.4[4] Sistem  diskrit  teramati  jika  dan  hanya  jika 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐶 𝑇 𝐴 𝑇 𝐶 𝑇 ⋯  (𝐴 𝑇 ) 𝑛−1 𝐶 𝑇 ) = 𝑛 , dengan (𝐶 𝑇 𝐴 𝑇 𝐶 𝑇 ⋯  (𝐴 𝑇 ) 𝑛−1 𝐶 𝑇 ) disebut  sebagai  matriks keteramatan.
Didefinisikan gramian keteramatan, 𝑀 , pada sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) adalah sebagai berikut[5].
𝑀 = ∑ (𝐴 𝑇 ) 𝑘 𝐶 𝑇 𝐶𝐴 𝑘 ∞ 𝑘=0 (5)
Berikut merupakan teorema yang menjelaskan hubungan antara sifat keteramatan sistem dengan gramian keteramatan.
Teorema 3.5[2]
(i) Sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) teramati,
(ii) Gramian keteramatan, 𝑀 , adalah definit positif,
Matriks keteramatan, (𝐶 𝑇 𝐴 𝑇 𝐶 𝑇 ⋯  (𝐴 𝑇 ) 𝑛−1 𝐶 𝑇 ) , mempunyai rank kolom penuh.

## Kajian Sistem Setimbang
Sistem  setimbang  merupakan  sistem  baru  sebagai bentuk pendekatan  dari  sistem  awal  yang  mempunyai gramian  keterkendalian  sistem  setimbang, 𝑊 ̃ ,  dan gramian keteramatan sistem setimbang, 𝑀 ̃ , yang sama dan  merupakan  matriks  diagonal (𝑊 ̃ = 𝑀 ̃) .Konsep sistem setimbang berdasarkan gramian keterkendalian, 𝑊 ̃ ,  dan  gramian  keteramatan, 𝑀 ̃ ,  diberikan  pada definisi berikut.
Definisi 3.1[2] Sistem (𝐴̃ , 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷) disebut  sistem  setimbang  dari sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) jika  sistem (𝐴̃ , 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷) mempunyai gramian keterkendalian, 𝑊 ̃ , dan gramian keteramatan, 𝑀 ̃ ,  yang  merupakan  solusi  tunggal  dari persamaan Lyapunov
𝐴̃𝑊 ̃ 𝐴̃ 𝑇 + 𝐵̃𝐵̃ 𝑇 − 𝑊 ̃ = 0 (6) 𝐴̃ 𝑇 𝑀 ̃𝐴̃ + 𝐶̃ 𝑇 𝐶̃ − 𝑀 ̃ = 0 (7)
sedemikian sehingga memenuhi 𝑊 ̃ = 𝑀 ̃ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎 1 , 𝜎 2 , ⋯ , 𝜎 𝑛 ) (8) 𝜎 1 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑟 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 > 0 dengan 𝜎 𝑖 menyatakan nilai singular Hankel dari sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang dapat didefinisikan sebagai 𝜎 𝑖 = √𝜆 𝑖 (𝑊𝑀) (9)
𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 . Dengan 𝜆 𝑖 adalah nilai-nilai eigen dari 𝑊𝑀 .
Untuk  mendapatkan  sistem  setimbang,  diperlukan matriks transformasi 𝑇 . Matriks transformasi 𝑇 adalah matriks yang mentransformasikan sistem awal menjadi sistem  setimbang.  Algoritma  untuk  mendapatkan matriks transformasi 𝑇 adalah sebagai berikut:
Gambar. 1. Konstruksi Matriks 𝑇
Misal diberikan suatu matriks transformasi 𝑇 yang memenuhi[6].
𝑥 𝑘 = 𝑇𝑥̃ 𝑘 (10)
dengan, 𝑥 𝑘 : variabel keadaan dari sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) 𝑥̃ 𝑘 : variabel keadaan dari sistem setimbang (𝐴̃ , 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷)
𝑇 : matriks transformasi yang non singular dan berukuran 𝑛 × 𝑛
Selanjutnya, Persamaan (10) dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑥̃ 𝑘 = 𝑇 −1 𝑥 𝑘 (11)
Untuk 𝑘 = 𝑘 + 1 , diperoleh 𝑥̃ 𝑘+1 = 𝑇 −1 𝑥 𝑘+1 (12)
Jika sistem awal disubstitusikan pada Persamaan diatas maka diperoleh hasil sebagai berikut.
𝐴̃ = 𝑇 −1 𝐴𝑇 , 𝐵̃ = 𝑇 −1 𝐵 , 𝐶̃ = 𝐶𝑇 , dan 𝐷 ̃ = 𝐷 Apabila 𝐴̃, 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷 ̃ disubstitusikan pada Persamaan awal  maka diperoleh hasil sebagai berikut.
𝑥̃ 𝑘+1 = 𝐴̃𝑥̃ 𝑘 + 𝐵̃𝑢̃ 𝑘 (13)
𝑦̃ 𝑘 = 𝐶̃𝑥̃ 𝑘 + 𝐷 ̃𝑢̃ 𝑘 (14)

## Kajian Model Tereduksi
Setelah  didapatkan  sistem  setimbang (𝐴̃ , 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷) yang mempunyai gramian kesetimbangan Σ . Berdasarkan  urutan  nilai  singular  Hankel,  maka gramian kesetimbangan Σ dapat dipartisi menjadi  = (  1 0 0  2 ) (15)
dengan,
 1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝜎 1 , 𝜎 2 , ⋯ , 𝜎 𝑟 )  2 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝜎 𝑟+1 , 𝜎 𝑟+2 , ⋯ , 𝜎 𝑛 ) , dan 𝜎 𝑟 > 𝜎 𝑟+1 Partisi yang terjadi pada Σ menyebabkan terjadinya partisi pada sistem setimbang (𝐴̃, 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷) , yaitu
𝐺 = ( 𝐴̃ 11 𝐴̃ 12 𝐴̃ 21 𝐴̃ 22 − − − − − 𝐶̃ 1 𝐶̃ 2 | 𝐵̃ 1 𝐵̃ 2 − − 𝐷 ) (16)
dengan,
𝐴̃ = ( 𝐴̃ 11 𝐴̃ 12 𝐴̃ 21 𝐴̃ 22 ) , B ̃ = ( B ̃ 1 B ̃ 2 ) , dan C̃ = (C̃ 1 C̃ 2 ) (17)
Selanjutnya,  pada  sistem  setimbang (𝐴̃, 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷) dilakukan pemotongan terhadap variabel keadaan yang sulit  untuk  dikendalikan  dan  sulit  diamati  sehingga terbentuk  sistem  tereduksi  yang  mempunyai  variabel keadaan  lebih  sedikit  daripada  variabel  keadaan  pada sistem semula. Pemotongan terhadap variabel keadaan yang  sulit  untuk  dikendalikan  dan  sulit  diamati  ini dapat dijelaskan melalui teorema berikut.
Teorema 3.6[2] Diberikan sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) yang stabil, terkendali, teramati dan setimbang dengan gramian
𝑊 = 𝑀 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎 1 , 𝜎 2 , ⋯ , 𝜎 𝑛 ), 𝜎 1 ≥ 𝜎 2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 > 0 (18)
Jika 𝜎 𝑟 > 𝜎 𝑟+1 maka sistem tereduksi dengan order 𝑟 juga  akan  stabil,  terkendali  dan  teramati  serta memenuhi
‖𝐺 𝑧 − 𝐺 𝑧𝑟 ‖ ∞ ≤ 2(𝜎 𝑟+1 + ⋯ + 𝜎 𝑛 ) (19)
dengan 𝐺 𝑧 dan 𝐺 𝑧𝑟 masing-masing    adalah  fungsi transfer sistem (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) dan sistem tereduksinya.
Menurut  Teorema  3.6,  maka  pemotongan  variabel keadaan  pada  sistem  setimbang  dapat  dilakukan dengan  menentukan  urutan  nilai  singular  Hankel dimana terjadi loncatan yang besar atau dipilih urutan singular  Hankel  ke- 𝑟 dimana 𝜎 𝑟 ≫ 𝜎 𝑟+1 .  Akhirnya diperoleh  sistem  tereduksi  yang  berukuran 𝑟 yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
𝑥̃ 𝑟𝑘+1 = 𝐴̃ 11 𝑥̃ 𝑟𝑘 + 𝐵̃ 1 𝑢̃ 𝑘 (20)
𝑦̃ 𝑟𝑘 = 𝐶̃ 1 𝑥̃ 𝑟𝑘 + 𝐷𝑢̃ 𝑘 (21)
Untuk selanjutnya sistem tereduksi pada Persamaan  (20)  dan  (21)  disebut  sebagai  sistem (𝐴̃ 11 , 𝐵̃ 1 , 𝐶̃ 1 , 𝐷) .

## Simulasi
Pada  subbab  ini  akan  dilakukan  simulasi  reduksi model.  menggunakan  metode  pemotongan  setimbang. Sebagai  langkah  awal,  diberikan  suatu  sistem  linear waktu diskrit dengan 𝑛 = 8 .
𝑥 𝑘+1 = [ 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,5 0 −1 0 0 0 0 0 0 0,8 0 0 0 0 −2
0 0 0 0,7 0
0 0 0 0 0 0 0 −0,5 0,2 2 0 0 1 3 0 0,4 −0,6 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,81 0
−1 0 0 0 0
0 0 0,9] 𝑥 𝑘 + [ 4 1 3 3 −2 1 4 1 ] 𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = [1 5 3 7 −3 2 4 6]𝑥 𝑘 + [1]𝑢 𝑘 Sistem  tersebut  memiliki  sifat  stabil,  terkendali, dan teramati.
Didapat sistem (𝐴̃ , 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷 ̃) sebagai berikut.
𝐴̃ = [ 0,963 −0,1108 0,0024 −0,0087 0,0148 0,0011 0,0001 0 0,1108 0,5633 −0,4411 −0,063 0,1315 0,0017 0,0006 −0,0003 −0,0024
−0,4411 −0,8034 0,0835 −0,142 −0,0095 −0,0006 0,0003 −0,0087
0,063 −0,0835 −0,8972 −0,3007 0,0489 −0,0008 0,0006 −0,0148 0,1315 −0,142 0,3007 −0,0347 0,3154 0,0004 0,0007 −0,0011 0,0017 −0,0095 −0,0489 0,3154 −0,01 −0,1268 0,0702 −0,0001 0,0006 −0,0006 0,0008 0,0004 −0,1268 0,7454 0,2847 0 0,0003 −0,0003 0,0006 −0,0007 −0,0702 −0,2847 −0,3364] 𝐵̃ = [ −9,2733 −12,2348 −1,1801 −1,3131
2,3704 0,1318 0,0109
−0,0056 ]
𝐶̃ = [9,273  − 12,235  − 1,18  1,313  2,37  0,132  0,011  0,006]
𝐷 ̃ = [1]
Selanjutnya,  didapatkan  nilai  Singular  Hankel. Berikut  merupakan  nilai  singular  Hankel  dari  sistem (𝐴̃ , 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷 ̃).
Gambar. 2. Grafik Nilai Singular Hankel Pemotongan  variabel  keadaan  dilakukan  ketika terjadi  loncatan  nilai  singular  Hankel, 𝜎 𝑖 , yang  besar. Berikut dilakukan beberapa pemotongan nilai Singular Hankel.

## Kasus 1
Pada bagian ini, dilakukan pemotongan variabel keadaan menjadi model tereduksi orde 1. Berikut merupakan model tereduksi yang dihasilkan.
x̃ rk+1 = [0,963]x̃ rk + [−9,273]ũ k
ỹ rk = [9,273]x̃ rk + [1]ũ k
Berikut merupakan grafik respon frekuensi model awal dan model tereduksi orde 1.
Gambar. 3. Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 1
Berdasarkan  Gambar  3,  respon  frekuensi  untuk sistem  awal  dan  model  tereduksi  memiliki  alur  yang hampir  sama.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model tereduksi  memiliki  karakteristik  dan  perilaku  yang sama dengan model awal.

## Kasus 2
Pada bagian ini, dilakukan pemotongan variabel keadaan menjadi model tereduksi orde 2. Berikut merupakan model tereduksi yang dihasilkan.
x̃ rk+1 = [ 0,963 0,1108
−0,1108 0,5633 ] x̃ rk + [ −9,273 −12,23 ] ũ k ỹ rk = [9.273 −12.23]x̃ rk + [1]ũ k
Berikut merupakan grafik respon frekuensi model awal dan model tereduksi orde 2.
Gambar. 4. Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 2 Berdasarkan  Gambar  4,  respon  frekuensi  untuk sistem  awal  dan  model  tereduksi  memiliki  alur  yang hampir  sama.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model tereduksi  memiliki  karakteristik  dan  perilaku  yang sama dengan model awal.

## Kasus 3
Pada bagian ini, dilakukan pemotongan variabel keadaan menjadi model tereduksi orde 3. Berikut merupakan model tereduksi yang dihasilkan.
x̃ rk+1 = [ 0,963 0,1108 −0,00236 −0,1108 0,5633 −0,4411 0,00236 −0,4411 −0,8034 ] x̃ rk + [ −9,273 −12,23 −1,18 ] ũ k
ỹ rk = [9,273 −12,23 −1,18]x̃ rk + [1]ũ k
Berikut merupakan grafik respon frekuensi model awal dan model tereduksi orde 3.
Gambar. 5. Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 3
Berdasarkan Gambar 5, respon frekuensi untuk sistem awal dan model tereduksi memiliki alur yang hampir sama. Hal ini menunjukkan bahwa model tereduksi memiliki karakteristik dan perilaku yang sama dengan model awal.

## Kasus 4
Pada bagian ini, dilakukan pemotongan variabel keadaan menjadi model tereduksi orde 4. Berikut merupakan model tereduksi yang dihasilkan.
x̃ rk+1 = [ 0,963 −0,1108 0,00236 −0,008654 0,1108 0,5633 −0,4411 −0,06302 −0,00236 −0,4411 −0,8034 0,08347 −0,008654 0,06302 −0,08347 −0,8972 ] x̃ rk + [ −9,273 −12,23 −1,18 −1,313 ] ũ k ỹ rk = [9,273 −12,23 −1,18 1,313]x̃ rk + [1]ũ k
Berikut merupakan grafik respon frekuensi model awal dan model tereduksi orde 4.
Gambar. 6. Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 4
Berdasarkan  Gambar  6,  respon  frekuensi  untuk sistem  awal  dan  model  tereduksi  memiliki  alur  yang hampir  sama.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model tereduksi  memiliki  karakteristik  dan  perilaku  yang sama dengan model awal.

## Kasus 5
Pada  bagian  ini,  dilakukan  pemotongan  variabel keadaan  menjadi  model  tereduksi  orde  5.  Berikut merupakan model tereduksi yang dihasilkan.
𝑥̃ 𝑟 𝑘+1 =
[ 0,963
−0,1108 0,00236 −0,008654 0,01485 0,1108 0,5633 −0,4411 −0,06302 0,1315 −0,00236 −0,4411 −0,8034 0,08347 −0,142 −0,008654 0,06302 −0,08347 −0,8972 −0,3007 −0,01485 0,1315
−0,142 0,3007 −0,03469] 𝑥̃ 𝑟 𝑘 + [ −9,273 −12,23 −1,18 −1,313 2,37 ] 𝑢̃ 𝑘
𝑦̃ 𝑟𝑘 = [9,273 −12,23 −1,18 1,313 2,37]𝑥̃ 𝑟𝑘 + [1]𝑢̃ 𝑘 Berikut merupakan grafik respon frekuensi model awal dan model tereduksi orde 5.
Gambar. 7 .  Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 5 Berdasarkan  Gambar  7,  respon  frekuensi  untuk sistem  awal  dan  model  tereduksi  memiliki  alur  yang hampir  sama.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model tereduksi  memiliki  karakteristik  dan  perilaku  yang sama dengan model awal.

## Kasus 6
Pada bagian ini, dilakukan pemotongan variabel keadaan menjadi model tereduksi orde 6. Berikut merupakan model tereduksi yang dihasilkan.
𝑥̃ 𝑟 𝑘+1
=
[ 0,963
−0,1108 0,0024 −0,0087 0,0149 0,0011 0,1108 0,5633 −0,4411 −0,063 0,1315 0,0017 −0,0024 −0,4411 −0,8034 0,0835 −0,142 −0,0095 −0,0087 0,063 −0,0835 −0,8972 −0,3007 0,0489 −0,0149 0,1315 −0,142 0,3007 −0,0347 0,3154 −0,0011 0,0017 −0,0095 −0,0489 0,3154 −0,0099] 𝑥̃ 𝑟 𝑘 + [ −9,273 −12,23 −1,18 −1,313 2,37 0,1318 ] 𝑢̃ 𝑘 𝑦̃ 𝑟 𝑘 = [9,273 −12,23 −1,18 1,313 2,37 0,1318]𝑥̃ 𝑟𝑘 + [1]𝑢̃ 𝑘 Berikut merupakan grafik respon frekuensi model awal dan model tereduksi orde 6.
Gambar. 8. Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 6 Berdasarkan  Gambar  8,  respon  frekuensi  untuk sistem  awal  dan  model  tereduksi  memiliki  alur  yang hampir  sama.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model tereduksi  memiliki  karakteristik  dan  perilaku  yang sama dengan model awal.
Gambar. 9 .  Grafik Perbandingan Respon Frekuensi Model Awal dan Model Tereduksi
Berdasarkan  Gambar  9,  terlihat  bahwa  model  awal dan model tereduksi memiliki perilaku yang sama. Hal ini  menunjukkan  bahwa  model  tereduksi  memiliki perilaku  dan  karakteristik  yang  sama  dengan  sistem awal.  Pada  Gambar  8  juga  terlihat  bahwa  model tereduksi  yang  paling  mendekati  dengan  sistem  awal adalah  model  tereduksi  orde  6  karena  memiliki variabel keadaan yang hampir sama jumlahnya dengan sistem awal.
Selanjutnya  dilakukan  penghitungan error model tereduksi  terhadap  model  awal.  Didapatkan  hasil sebagai berikut.
Tabel 1. Nilai Error Model Tereduksi
Model Tereduksi Nilai Error Orde 1 0,330300731 Orde 2 0,106822536 Orde 3 0,012303625 Orde 4 8,47 × 10 −14 Orde 5 8,47 × 10 −14 Orde 6 8,47 × 10 −14
Berikut merupakan grafik perbandingan error model tereduksi.
Gambar. 10. Grafik Perbandingan Error Model Tereduksi Berdasarkan  Gambar  9,  terlihat  bahwa error paling besar  dimiliki  oleh  model  tereduksi  orde  1.  Hal  ini dikarenakan  pada  model  tereduksi  tersebut  bekerja hanya menggunakan 1 variabel keadaan saja sehingga hasil yang didapatkan tidak semaksimal apabila model bekerja  dengan  menggunakan  variabel  keadaan  lebih dari  1.  Sedangkan error paling  kecil  dimiliki  oleh model tereduksi orde 4, 5, dan 6. Hal ini dikarenakan model  tereduksi  tersebut  memiliki  variabel  keadaan yang  lebih  banyak  dibanding  model  tereduksi  yang lain sehingga dapat bekerja lebih maksimal dibandingkan dengan model tereduksi yang lain.

## IV. KESIMPULAN
1. Dari  hasil  analitik,  model  tereduksi  memiliki  sifat yang  sama  dengan  model  awal,  yaitu  sifat kestabilan, keterkendalian, dan keteramatan.
2. Dari  hasil  simulasi,  pemotongan  variabel  keadaan untuk mendapatkan model tereduksi dapat dilakukan  sesuai  kebutuhan  dalam  pengaplikasian reduksi model pada permasalahan dalam kehidupan nyata.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Gregoriadis,  K.  M.  (1995).  Optimal H ∞ Model Reduction via Linear Matrix inequalities: Continuous and Discrete-Time Cases. System and Control Letter 26, 321-333.
[2] Arif,  D.  K.  (2014). Konstruksi  dan  Implementasi Algoritma  Filter  Kalman  pada  Model  Tereduksi. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.
[3] Staffans,  O.  2009. Transfer  Function. Abo Akademi University Press, Finlandia.
[4] Ogata,  Katsuhiko.  (1995). Discrete-Time  Control Systems . New Jersey. Prentice Hall.
[5] Arif,  D.K.  dkk.  (2014).  Construction  of  the Kalman Filter Algorithm on the Model Reduction. International  Journal  Control  and  Automation (IJCA), Vol 7. No 9, 257-270.
[6] Zhou,  K.,  Doyle,  J.  C.,  &  Glover,  K.  (1996). Robust  and  Optimal  Control .  New  Jersey: Prentice-Hall.