## Analisis Perubahan Berat Badan Balita dengan Estimator Penalized Spline Kuadratik
Muhammad Jayzul Usrah 1* , Anna Islamiyati 1 , Anisa 1
1 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia. * Corresponding author, email: mjayzulusrah@gmail.com

## Abstract
Nonparametric regression is a regression approach that is used when one of the parametric assumptions are not fulfilled. One of the estimators in nonparametric regression is penalized spline. The growth pattern of toddler that varied each month of observation make the suitable regression approach is nonparametric penalized  spline  regression  because  of  its  high  flexibility.  This  study  aims  to  obtain  an  estimate  of  the growth model for toddler in South Sulawesi. The optimal model obtained with a minimum GCV value of 4.87E-05 using two point knots that is 14 and 56 with lamda 100. The estimation results show that there are 3 intervals of change patterns in the growth of toddler in South Sulawesi.
Keywords : GCV, Growth of Toddler, Knots Point, Nonparametric Regression, Spline .

## Abstrak
Regresi nonparametrik merupakan salah satu pendekatan regresi yang digunakan ketika salah satu asumsi parametrik  tidak  terpenuhi.  Salah  satu  estimator  pada  regresi  nonparametrik  yakni penalized  spline . Tumbuh kembang anak yang bervariasi pada setiap bulan pengamatan menyebabkan pendekatan regresi yang  cocok  adalah  regresi  nonparametrik penalized  spline karena  sifat  fleksibilitasnya  yang  tinggi . Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memperoleh  estimasi  model  pertumbuhan  balita  di  Sulawesi  Selatan. Diperoleh model  yang optimal dengan nilai GCV minimum  4,87E-05 menggunakan dua titik knot yakni 14 dan 56 serta lamda 100. Hasil  estimasi menunjukkan  bahwa  terdapat 3  interval pola  perubahan pada pertumbuhan balita di Sulawesi Selatan.
Kata Kunci : GCV, Pertumbuhan Balita, Regresi Nonparametrik, Spline, Titik Knot.

## 1. Pendahuluan
Regresi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelidiki pola hubungan dan  pengaruh  beberapa  variabel  prediktor  terhadap  variabel  [1].  Berdasarkan  model, regresi terbagi atas tiga pendekatan yakni regresi parametrik , regresi nonparametrik dan regresi  semiparametrik  [2].  Regresi  parametrik  digunakan  apabila  bentuk  kurva  fungsi regresi diketahui atau terdapat informasi masa lalu yang lengkap mengenai pola datanya. Namun terdapat kasus dimana pola data tidak mengikuti model regresi parametrik, maka digunakan  pendekatan  regresi  nonparametrik  untuk  mengestimasi  fungsi  regresi.  Sifat fleksibel terhadap suatu data membuat regresi nonparametrik cocok digunakan pada data yang tidak memiliki model tertentu [3].
Pada regresi nonparametrik terdapat beberapa estimator diantaranya spline truncated [4,5,6], spline smoothing [7] dan spline penalized [8, 9, 10]. Spline merupakan potongan- potongan  polinomial  yang  memiliki  sifat tersegmen  dan  kontinu  serta  berorde tertentu
Muhamaad Jayzul Usrah, Anna Islamiyati, Anisa
yang saling bersambung pada titik-titik knot. Titik knot merupakan titik perpaduan yang terjadi  karena  terdapat  perubahan  perilaku  pola  pada  interval  yang  berlainan  [11,  12]. Dalam  regresi  spline  penting  untuk  memperhatikan  titik-titik  knot  data.  Dari  titik-titik knot itu dapat digunakan untuk memperoleh model matematis yang optimal. Keunggulan penalized  spline ada  pada  kemampuan  estimasi  yang  lebih  akurat  karena  sudah melibatkan  titik  knot  dan  parameter  penghalus  secara  simultan  dalam  mengontrol kemulusan kurva.
Penelitian mengenai regresi nonparametrik penalized spline telah banyak dilakukan, diantaranya,  Zia,  Suparti,  dan  Safitri  (2017)  menggunakan penalized spline  untuk memodelkan hubungan harga penutupan saham dan kurs USD [13]. Islamiyati, Raupong dan Anisa (2019) menggunakan penalized spline untuk mengidentifikasi pola perubahan gula  darah  pasien  diabetes  [14].  Oleh  sebab  itu,  penelitian  ini  menggunakan  regresi nonparametrik  dengan  estimator penalized  spline kuadratik  untuk  memodelkan pertumbuhan balita di Sulawesi Selatan.

## 2. Material dan Metode
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder dari hasil pengukuran balita. Data berasal dari posyandu di 12 kabupaten/kota di provinsi Sulawesi Selatan pada tahun 2019. Data terdiri dari angka berat badan balita sebagai variabel respon (y) dan usia balita  sebagai  variabel  prediktor  (x).  Model  yang  digunakan  adalah  model  regresi nonparametrik dengan estimator penalized spline kuadratik : 𝑓(𝑥) =   𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 +  𝛽 2 𝑥 2 +  𝛽 3 (𝑥 − 𝐾 1 ) + 2 + ⋯ +   𝛽 2+𝑑 (𝑥 − 𝐾 𝑑 ) + 2 (1)
Nilai d menunjukkan  banyaknya  titik  knot.  Pemilihan  titik  knot  optimal  dalam  model spline  dapat  menggunakan  metode Generalized  Cross  Validation (GCV).  Knot  yang optimal berkaitan dengan nilai GCV yang terkecil.
Tahap  pertama  untuk  memperoleh  model  regresi  nonparametrik penalized  spline kuadratik adalah membuat scatter plot untuk melihat pola perubahan berat badan balita berdasarkan usia balita. Tahap kedua yakni mencari titik knot dan parameter penghalus optimum  yang  mempunyai  nilai  GCV  minimum.  Selanjutnya  tahap  ketiga  adalah membandingkan  nilai  GCV  model  regresi  nonparametrik penalized spline kuadratik untuk  mendapatkan  model  terbaik.  Tahap  terakhir  yakni  menginterpretasikan  pola hubungan berat badan balita dengan usia balita di Sulawesi Selatan berdasarkan model terbaik.

## 3. Hasil dan Diskusi
Tahapan  pemodelan  berat  badan  balita  berdasarkan  usia  dimulai  dengan  membuat scatter  plot untuk  melihat  pola  hubungan  antara  berat  badan  balita  dengan  usia  yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Scatter Plot variabel respon dan prediktor pada data pertumbuhan balita di Sulawesi Selatan.
Berdasarkan  Gambar  1  terlihat  bahwa  semakin  usia  balita  bertambah  maka keragaman dari berat badan balita semakin besar. Terlihat pula bahwa terdapat beberapa data outlier pada data, sehingga model estimasi parametrik tidak dapat digunakan. Oleh karena  itu, untuk  memodelkan data pertumbuhan  balita di Sulawesi Selatan digunakan pendekatan regresi nonparametrik dengan estimator penalized spline kuadratik.
Pemodelan dilakukan dengan memilih titik knot dan parameter penghalus optimum untuk satu hingga tiga titik knot. Pemilihan titik knot dilakukan melalui trial and error dengan mengambil titik yang berada pada interval nilai variabel respon hingga didapatkan nilai GCV paling minimum.
Tabel 1. Nilai GCV Penalized Spline Kuadratik satu dan dua titik knot
No. Titik Knot  Lamda GCV Titik Knot Lamda GCV K1 K1 K2 1 5 0 6.76E-05 5 10 500 5.47E-05 2 10 200 5.42E-05 5 15 1500 4.98E-05 3 13 400 5.06E-05 5 20 100 4.90E-05 4 14 500 4.99E-05  10 15 3000 5.02E-05 5 15 600 4.98E-05  10 20 2000 4.97E-05 6 16 700 4.99E-05  14 55 400 4.97E-05 7 17 900 5.01E-05 14 56 100 4.87E-05* 8 20 1400 5.11E-05  15 20 6100 5.02E-05 9 25 2600 5.59E-05  20 30 2000 5.28E-05 10 30 3800 6.26E+05  25 40 3500 5.69E-05 Sumber: Data diolah 2020

## Analisis Perubahan Berat Badan Balita...
Tabel 2. Nilai GCV Penalized Spline Kuadratik 3 titik knot No. Titik Knot Lamda GCV K1 K2  K3 1 5 10 15 3100 5.02E-05 2 5 10 20 2100 4.95E-05 3 5 10 23 1000 4.94E-05 4 10 15 20 7300 4.98E-05 5 10 15 25 3600 5.00E-05 6 15 20 25 4200 5.10E-05 7 15 20 30 4000 5.13E-05 8 20 25 30 1600 5.31E-05 9 25 30 35 500 5.65E-05 10 30 35 40 400 6.14E-05
Sumber: Data diolah 2020
Berdasarkan  Tabel  1  dan  2  nilai  GCV  minimum  terbaik  berada  pada  2  titik  knot optimal yakni K1 = 14 dan K2 = 56 dengan lamda 100 dimana nilai GCV yang diperoleh adalah  sebesar  4.87E-05.  Selanjutnya  dilakukan  estimasi  model  regresi  nonparametrik penalized  spline kuadratik  menggunakan  titik  knot optimal  K1  =  14  dan  K2  =  56  dan lamda 100 dan diperoleh model persamaan sebagai berikut:
𝑦̂ =   4,2735 + 0,4216𝑥 − 0,0083𝑥 2 + 0,0077(𝑥 − 14) + 2 + 0,0004(𝑥 − 56) + 2 (2)
Model regresi pada Persamaan (2) menunjukkan bahwa pola kuadratik  yang terjadi pada pertumbuhan balita di Sulawesi Selatan optimal pada dua titik knot yaitu 14 dan 56. Hal  ini  bersesuaian  dengan  Gambar  2,  berat  badan  balita  di  Provinsi  Sulawesi  Selatan memiliki  3  pola  perubahan,  yaitu  berat  badan  balita  naik  hingga  pada  usia  14  bulan, selanjutnya naik perlahan hingga usia 56 bulan, dan kembali naik setelah usia 56 bulan.
Gambar 2. Plot Estimasi kurva perubahan berat badan balita di Sulawesi Selatan

## Analisis Perubahan Berat Badan Balita... Muhamaad Jayzul Usrah, Anna Islamiyati, Anisa
Berikut estimasi model terbaik yaitu model penalized spline kuadratik dengan dua titik knot (K1 = 14 & K2 = 56) dan lamda 100 sebagai berikut:
𝑦̂ = { 4,2735 + 0,4216𝑥 − 0,0083𝑥 2 0 ≤ 𝑥 < 14 5,7827 + 0,206𝑥 − 0,0006𝑥 2 14 ≤ 𝑥 ≤ 56 7,0371 + 0,1612𝑥 − 0,0002𝑥 2 56 ≤  𝑥 (3)

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Data pertumbuhan balita di Sulawesi Selatan dapat dimodelkan dengan menggunakan regresi  nonparametrik penalized  spline  kuadratik dengan  model  matematis  sebagai berikut :
𝑦̂ =   4,2735 + 0,4216𝑥 − 0,0083𝑥 2 + 0,0077(𝑥 − 14) + 2 + 0,0004(𝑥 − 56) + 2
2. Model terbaik pertumbuhan balita di Sulawesi Selatan berada pada dua titik knot yakni 14  dan  56  dan  parameter  penghalus  100  dengan  nilai  GCV  yang  diperoleh  sebesar 4,87E-05
Penelitian ini masih mempertimbangkan satu faktor yaitu berat badan balita dalam mengevaluasi pertumbuhan  balita di Sulawesi Selatan. Oleh sebab  itu, kajian  ini dapat dikembangkan ke penggunaan prediktor lain dan estimator lainnya.

## Daftar Pustaka
[1] Islamiyati, A., Fatmawati & Chamidah, N. Estimation of Covariance Matrix on Bi- Response Longitudinal Data Analysis with Penalized Spline Regression. J. Phys.: Conf. Ser . 979 012093, 2018
[2] Lestari, B., & Budiantara, I. N. Spline Estimator of Triple Response Nonparametric Regression Model. Jurnal Ilmu Dasar , Vol. 11, 17-22, 2010.
[3]    Rumlawang,  F.Y.,  Aulele,  S.N.  &  Kasim,  N.  Penentuan  Model  Regresi Nonparametrik  Spline  Pada  Data  Pertumbuhan  Balita  Di  Desa  Nania  Provinsi Maluku  Tahun  2013-2014. Barekeng  :  Jurnal  Ilmu  Matematika  dan  Terapan, 12(1): 27-32, 2018.
[4]    Islamiyati,  A.  Taksiran  Kurva  Regresi  Spline  pada  Data  Longitudinal  dengan Kuadrat  Terkecil. Jurnal  Matematika,  Statistika  &  Komputasi ,  11(1)  :  97-102, 2014.
[5] Ramdhani, Z.A., Islamiyati, A. & Raupong. Hubungan Faktor Kolesterol Terhadap Gula  Darah  Diabetes  dengan  Spline  Kubik  Terbobot. ESTIMASI:  Journal  of Statistics and Its Application , 1 (1) : 32-39, 2020.
[6] Arifin, S., Islamiyati, A. & Raupong. Kemampuan Estimator Spline Linear dalam Analisis Komponen Utama. ESTIMASI: Journal of Statistics and Its Application , 1 (1) : 40-47, 2020.
[7]    Lestari,  B.,  Fatmawati  &  Budiantara,  I.N.  Smoothing  Spline  Estimator  in Multiresponse Nonparametric Regression for Predicting Blood Pressure and Heart Rate. International Journal of Academic and Applied Research, 3 (9) : 1-8, 2019.
[8]   Islamiyati, A., Fatmawati & Chamidah, N. Fungsi Goodness of Fit dalam Kriteria Penalized  Spline  pada  Estimasi  Regresi  Nonparametrik  Birespon  untuk  Data Longitudinal. Proseding Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya . UNAIR Surabaya, 2017.
[9]   Islamiyati, A., Fatmawati & Chamidah, N. Penalized Spline Estimator With Multi Smoothing  Parameters  in  Biresponse  Multipredictor  Regression  Model  for Longitudinal  Data. Songklanakarin  Journal  of  Science  and  Technology ,  42  (4)  : 897-909, 2020.
[10]   Islamiyati, A., Sunusi, N., Kalondeng, A., Wati, F. & Chamidah, N. Use of Two Smoothing Parameters in Penalized Spline Estimator for Bi-Variate Predictor Non- Parametric Regression Model. Journal of Sciences, Islamic Republic of Iran , 31 (2) : 175-183, 2020.
[11]  Ahmad, R.R., Ghazali, N., Rambeli, A.S., Din, U. K. S. & Hassan, N. Application of Cubic Spline in the Implementation of Braces for the Case of a Child. Journal of Mathematics and Statistics , 8 (1) : 144-149, 2012.
[12]   Islamiyati, A., Fatmawati & Chamidah, N. Changes in Blood Glucose 2 Hours After Meals in Type 2 Diabetes Patients Based On Length of Treatment at Hasanuddin University Hospital, Indonesia. Rawal Medical Journal , 45 (1) : 31-34, 2020.
[13]  Zia, G.N., Suparti, & Safitri, D. Pemodelan Regresi Spline Menggunakan Metode Penalized  Spline  Pada  Data  Longitudinal  (Studi  Kasus:  Harga  Penutupan  Saham Lq45 Sektor Keuangan Dengan Kurs Usd Terhadap Rupiah Periode Januari 2011- Januari 2016). Gaussian : Jurnal Statistika UNDIP, 6(2) : 221-230,2017.
[14]  Islamiyati,  A.,  Raupong  &  Anisa.  Use  of  Penalized  Spline  Linear  to  Identify Change  in  Pattern  of  Blood  Sugar  Based  On  the  Weight  of  Diabetes  Patients. International Journal of Academic and Applied Research , 3(12) : 75-78, 2019.