Vol. 20, No. 3, May 2024, pp. 724-742 DOI: 10.20956/j.v20i3.34476

## Stock Option Pricing Using Binomial Trees with Implied Volatility
Penentuan Harga Opsi Saham dengan Menggunakan Binomial Trees dengan Penyertaan Implied Volatility
Aimmatul Ummah Alfajriyah 1 *, Endah R.M Putri 2** , Daryono Budi Utomo 3** , Moch. Taufik Hakiki 4*
*Departemen Aktuaria Institut Teknologi Sepuluh Nopember,**Departemen Matematika Institut

## Teknologi Sepuluh Nopember
Email : aimmatulummahff@its.ac.id 1 , endahrmp@matematika.its.ac.id 2 , daryono@matematika.its.ac.id 3 , moch.taufik22@its.ac.id 4
Received: 5 April 2024, revised: 8 May 2024 , accepted: 9 May 2024

## Abstract
The Black-Scholes model provides an analytical solution in option pricing and has been widely used  in  finance.  This  model  assumes  constant  volatility.  Pricing  option  incorporating  implied volatility is conducted using implied binomial tree. This study aims to simulate the prices of put options  and  call  options  using  implied  binomial  trees,  binomial  trees  and  the  Black-Scholes model  and  determine  the  factors  that  influence  option  prices.  The  simulation  was  conducted using  Matlab.  The  option  price  resulted  from  implied  binomial  tree  and  binomial  tree  are compared  with  the  option  prices  of  the  Black-Scholes  model  to  determine  the  difference  of option  prices  with  constant  volatility  and  option  prices    incorporating  implied  volatility.  The implied  binomial  tree  method  provides  better  option  prices  than  the  binomial  tree  based  on small  relative  error  value  to  the  Black-Scholes  model.  This  is  caused  by  the  transition probability  value  of  stock  price  movements  in  the  implied  binomial  tree  at  each  point  is different, whereas in the binomial tree the value of transition probability is same. Furthermore, increasing  the  time  step  causes  the  option  prices  obtained  from  the  implied  binomial  tree converge  to  the  Black-Scholes.  It  is  concluded  that  these  three  methods  can  be  used  in  option pricing.  Factors  that  influence  the  option  price  are  stock  price,  strike  price,  interest  rate  and maturity date, are also obtained.
Keywords: Binomial Tree, Black-Scholes, Implied Binomial Tree, Implied Volatility, Option

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki

## Abstrak
Model  Black-Scholes  memberikan  solusi  analitik  pada  penentuan  harga  opsi  dan  telah digunakan  secara  luas  dalam  dunia  keuangan.  Model  ini  mengasumsikan  volatilitas  konstan. Penentuan  harga  opsi  dengan  menyertakan implied  volatility dilakukan  dengan  menggunakan metode implied binomial tree . Penelitian ini bertujuan untuk melakukan simulasi harga opsi jual dan  opsi  beli  dengan  menggunakan implied  binomial  tree , binomial  tree dan  model  Black- Scholes  serta  menentukan  faktor-faktor  yang  berpengaruh  terhadap  harga  opsi.  Simulasi dilakukan  dengan  menggunakan  pemrograman  Matlab.  Hasil  simulasi  harga  opsi  dari implied binomial  tree dan binomial  tree dibandingkan  dengan  harga  opsi  model  Black-Scholes  untuk mengetahui  perbedaan  harga  opsi  dengan  volatilitas  konstan  dan  penyertaan implied  volatility . Berdasarkan  simulasi,  metode implied  binomial  tree memberikan  harga  opsi  yang  lebih  baik daripada binomial  tree berdasarkan  nilai  eror  relatif  terhadap  harga  opsi  Black-Scholes.  Hal tersebut  disebabkan  oleh  nilai  probabilitas  transisi  pergerakan  harga  saham  pada implied binomial  tree pada  setiap  titik  berbeda,  sedangkan  pada binomial  tree bernilai  sama.  Lebih lanjut,  peningkatan  langkah  waktu  mengakibatkan  harga  opsi  yang  diperoleh  dari implied binomial tree konvergen terhadap harga opsi Black-Scholes. Disimpulkan bahwa ketiga metode tersebut  dapat  digunakan  dalam  penentuan  harga  opsi.  Selain  itu,  diperoleh  faktor-faktor  yang berpengaruh terhadap harga opsi yaitu harga saham, harga strike , suku bunga, dan waktu jatuh tempo juga didapatkan.
Kata kunci: Binomial Tree, Black-Scholes , Implied Binomial Tree , Implied Volatility ,
Opsi.

## 1.  PENDAHULUAN
Instrumen  derivatif  merupakan  salah  satu  instrumen  manajemen  risiko  yang  nilainya dipengaruhi oleh perubahan harga aset-aset yang mendasarinya [10]. Hal yang mendasari adanya instrumen  derivatif  adalah  keinginan  para  investor  terhadap  suatu  investasi  yang  dapat meminimalisir  dampak  risiko.  Investor  membuat  suatu  perjanjian  untuk  saling  mempertukarkan aset  di  masa  mendatang,  daripada  memperdagangkan  secara  fisik  suatu  aset.  Terdapat  berbagai macam  jenis  instrumen  derivatif  yang  ada  di  pasar  modal,  di  antaranya  adalah  tiga  instrumen derivatif  paling  fundamental,  yaitu futures , forward dan  opsi  [10].  Opsi  adalah  suatu  kontrak antara  dua  pihak  bahwa  pemegang  kontrak  dapat  menjual  atau  membeli  sejumlah  aset  yang mendasari  kontrak  tersebut  ( underlying  asset )  dengan  harga  ketetapan  ( strike )  dan  waktu  jatuh tempo ( maturity date ) yang telah ditetapkan di awal kontrak [12] . Aset yang mendasari kontrak opsi  dapat  berupa  saham  atau  surat  berharga  lainnya.  Opsi  saham  banyak  diperdagangkan  di negara-negara  yang  pada  umumnya  memiliki  kondisi  pasar  modal  baik.  Sebagai  salah  satu instrumen derivatif, opsi dibuat untuk  meminimalkan  dampak risiko dengan melakukan lindung nilai  ( hedging ).  Oleh  karena  itu,  penentuan  harga  opsi  menjadi  sangat  penting  dilakukan  agar tidak menyebabkan kerugian kepada penjual dan pembeli opsi.
Model  klasik  dalam  penentuan  harga  opsi,  yang  telah  digunakan  secara  luas,  adalah  Model Black-Scholes.  Penerapan  Model  Black-Scholes  dalam  menentukan  harga  opsi  pada  berbagai kondisi telah dibahas, di antaranya di [13], [21], [23], [25] dan [28] serta referensi di dalamnya. Kelebihan  model  Black-Scholes  yang  membuatnya  populer  adalah  tersedianya  solusi  analitik untuk  menentukan  harga  opsi [2].  Namun,  pada  kenyataan terdapat  perbedaan  antara  penemuan empiris  dengan  teori  harga  opsi  Black-Scholes  [15].  Hal  ini  dikarenakan  asumsi  pada  model Black-Scholes  adalah  nilai  volatilitas  konstan.  Berdasarkan  asumsi  tersebut,  sebarang  opsi  jual atau opsi beli pada aset pada waktu jatuh tempo yang sama, tetapi harga strike berbeda, memiliki

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
nilai implied  volatility yang  sama;  yakni  volatilitas  yang  disebabkan  oleh  harga  pasar.  Hal  ini yang mendasari penelitian Yi dkk. [15]. Hasilnya adalah asumsi dari model Black-Scholes tidak terjadi pada pasar opsi di dunia riil. Nilai implied volatility menunjukkan bentuk smile terhadap harga strike sedemikian hingga diperoleh bentuk smile dari implied volatility yang lebih konsisten dengan  pasar  opsi  dunia  daripada  asumsi  dari  model  Black-Scholes  [4].  Soini  dan  Lorentzen menyimpulkan  bahwa  dalam  praktiknya implied  volatility konsisten  berubah  terhadap  derajat moneyeness dan sering ditemukan dalam bentuk implied volatility smile [24]. Lebih lanjut, model Black-Scholes  tidak  dapat  menjelaskan  adanya  korelasi  antara  volatilitas  dan  harga  aset  dasar [20].  Penelitian  serupa juga  mendapatkan  efek  dari implied volatility  smile terlihat  dengan jelas pada data simulasi menggunakan model Black-Scholes [27]. Aproksimasi nilai implied volatility berdasarkan  beberapa  parameter  yaitu  harga strike dan  waktu  jatuh  tempo  dapat  diperoleh menggunakan metode deep neural network yang membentuk suatu permukaan implied volatility yang tidak konstan[11]. Penelitian lain tentang volatilitas yang berubah dibahas pada [7] dan [9]. Anomali  dari implied  volatility menjadi  hal  yang  sangat  penting  dalam  pengembangan  metode penentuan harga opsi.
Metode lain dalam penentuan harga opsi adalah binomial tree . Metode ini digunakan untuk menentukan harga opsi pada suatu jangka waktu dengan mensyaratkan bahwa pergerakan harga saham memiliki dua kemungkinan, yaitu naik atau turun. Binomial tree memiliki kelebihan salah satunya adalah dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan kompleks terkait penentuan harga  opsi. Binomial  tree jauh  lebih  mampu  menangani  kondisi early  exercise karena mempertimbangkan harga saham pada setiap periode waktu, bukan hanya harga saham pada saat waktu  jatuh  tempo  [6]. Binomial  tree juga  dapat  digunakan  dalam  perhitungan  nilai greeks sensitivitas  harga  opsi  [17].  Rubenstein  menemukan  teknik  numerik  untuk  valuasi  harga  saham dengan  asumsi  bahwa  perubahan  harga  dapat  direpresentasikan  menggunakan  metode binomial tree [22].    Berlatar  belakang  pada  kondisi  riil  bahwa  harga  opsi  pasar  tidak  selalu  konsisten dengan  harga  yang  diperoleh  dari  model  Black-Sholes,  Derman  dan  Kani  [4]  mengontruksikan metode implied binomial tree yang lebih konsisten terhadap efek volatility smile . Metode implied binomial  tree juga  dikonstruksikan  oleh  Barle  dan  Cakiki  mampu  untuk  menentukan  harga instrumen derivatif yang konsisten dengan pasar [1]. Perluasan metode binomial tree Rubenstein dapat diperluas dengan menambahkan parameter yang bergantung terhadap waktu [14]. Beberapa penelitian lain juga mendapatkan bahwa metode binomial tree dapat digunakan dalam penentuan harga  opsi  tipe  Eropa  dikarenakan  harga  yang  diperoleh  mendekati  harga  opsi  model  Black- Scholes [16, 18, 26].
Berdasarkan penelitian terdahulu, belum tersedia penelitian yang membandingkan cara kerja dan  hasil  dari  metode  penentuan  harga  opsi  dengan  volatilitas  konstan  dan  harga  opsi  dengan penyertaan implied  volatility, padahal  hal  tersebut  perlu  dilakukan . Oleh  karena  itu,  pada penelitian  ini  dilakukan  simulasi  penentuan  harga  opsi  menggunakan  tiga  metode,  yaitu  Black- Scholes, binomial tree dan implied binomial tree . Dimulai dari konstruksi implied binomial tree berdasarkan [4] dan dilanjutkan dengan simulasi harga opsi jual dan opsi beli tipe Eropa. Variasi banyaknya  langkah  waktu  pada  metode  binomial  (dinotasikan )  dilakukan  untuk  mengetahui pengaruhnya  terhadap  harga  opsi.  Selanjutnya,  dilakukan  perbandingan  harga  opsi  dengan menghitung  eror  relatif  harga  opsi binomial  tree dan implied  binomial  tree terhadap  harga  opsi Black-Scholes.  Dilakukan  pula  simulasi  untuk  mengetahui  faktor-faktor  yang  berpengaruh terhadap  harga  opsi  saham  dengan  Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  pemrograman Matlab.  Melalui  penelitian  ini,  diharapkan  dapat  memberikan  hasil  dan  analisis  dari  penentuan harga opsi saham dengan menyertakan implied volatility menggunakan binomial tree.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Opsi
Opsi merupakan suatu kontrak antara dua pihak bahwa pemegang kontrak dapat menjual atau membeli  sejumlah  aset  yang  mendasari  kontrak  tersebut  ( underlying  asset )  dengan  harga ketetapan ( strike ) dan waktu jatuh tempo ( maturity date ) yang telah ditetapkan [12]. Berdasarkan pembelian atau penjualan aset, opsi dibedakan menjadi dua tipe, yaitu opsi beli ( call option ) dan opsi  jual  ( put  option ).  Opsi  jual  adalah  suatu  kontrak  untuk  menjual  sejumlah  aset  yang mendasari  kontrak  dengan  harga  dan  waktu  yang  telah  ditentukan.  Sebaliknya,  opsi  beli  adalah suatu  kontrak  untuk  membeli  sejumlah  aset  yang  mendasari  kontrak  tersebut  dengan  harga  dan waktu yang telah ditentukan.
Opsi  dapat  dibedakan  menjadi  dua  tipe  berdasarkan  waktu  jatuh  temponya,  yaitu  opsi  tipe Eropa  dan  tipe  Amerika.  Opsi  tipe  Eropa  ( European  option )  adalah  opsi  yang  dapat  digunakan hanya pada saat waktu jatuh tempo. Opsi tipe Amerika ( American option ) adalah opsi yang dapat digunakan sebelum maupun pada waktu jatuh tempo. Perdagangan opsi dapat memengaruhi harga saham  yang  mendasarinya.  Secara  khusus,  harga  penutupan  saham  dengan  opsi  terdaftar mendekati harga strike pada waktu jatuh tempo [19] .

## 2.2 Volatilitas
Volatilitas  adalah  suatu  ukuran  yang  menunjukkan  seberapa  besar  nilai  berfluktuasi  dalam suatu  periode  tertentu.  Volatilitas  dapat  dibedakan  menjadi  dua,  yaitu  volatilitas  historis  dan volatilitas tersirat ( implied volatility ). Volatilitas historis merupakan suatu ukuran volatilitas yang dihitung berdasarkan harga saham yang telah lalu pada suatu periode waktu tertentu, sedangkan volatilitas  tersirat  ( implied  volatility )  adalah  volatilitas  yang  diperoleh  dari  harga  opsi  tunggal yang dikutip [12]. Implied volatility menjadi salah satu komponen pada model Black-Scholes dan disimbolkan dengan . Pada asumsi model Black-Scholes, setiap harga opsi pada sekuritas yang sama pada opsi tersebut, dengan waktu jatuh tempo ( maturity date ) yang sama, tetapi nilai harga strike yang  berbeda  akan  menghasilkan implied  volatility yang  sama.  Oleh  karena  itu,  akan didapatkan  garis  lurus  horizontal  grafik implied  volatility dari  suatu  opsi  terhadap  fungsi  harga strike .

## 2.3 Model Black-Scholes
Model  Black-Scholes  merupakan  model  matematika  yang  utamanya  digunakan  dalam penentuan harga opsi. Beberapa asumsi dasar dalam model Black-Scholes adalah:
a) Harga aset yang mendasari opsi mengikuti gerak Brown-geometrik, yakni

## (   )
dengan menyatakan expected return rate dan
menyatakan gerak Brown geometri k.
b) Tingkat suku bunga bebas risiko konstan.
c) Tidak terdapat pembayaran dividen pada aset yang mendasari.
d) Tidak terdapat biaya transaksi dan pajak.
e) Pasar bebas arbitrase.
Persamaan matematika dalam model Black-Scholes adalah

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
(   )
dengan (    ) menyatakan  harga  opsi  saham, menyatakan  harga  saham, menyatakan suku bunga bebas risiko dan menyatakan implied volatility [12]. Untuk  mendapatkan  harga  opsi  pada  waktu ,    - ,  perlu  diselesaikan  Persamaan  (2.2)  dengan batas ( boundary )
{ (     ) ( e ) (     ) ( )
pada  domain ∑   *(    )                  + dimana merupakan  harga strike .  Penyelesaian masalah ini adalah
(    )    (    )     ( ) ( ) (   )
untuk harga opsi beli Eropa dan
(    )    (    ) ( )     ( ) (   )
untuk  harga  opsi  jual  Eropa  [12].  Di  sini, ( ) merupakan  fungsi  probabilitas  kumulatif  dari distribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1, yaitu

## ( ) √ ∫

## 2.4 Binomial Tree
Setiap model penetapan harga opsi didasarkan pada konsep lindung nilai tanpa risiko, salah satunya  adalah  metode binomial  tree [3] .  Binomial  tree adalah  suatu  diagram  yang merepresentasikan kemungkinan lintasan berbeda yang diikuti oleh harga saham selama periode umur kontrak opsi. Misalkan interval ,    - dipartisi menjadi subinterval *, -+ dengan untuk dan .  Pada binomial  tree biasa,  hanya  terdapat  dua kemungkinan  pergerakan  harga  saham,  yaitu  naik  atau  turun  dibandingkan  harga  sebelumnya. Dari waktu ke waktu , harga saham dapat bergerak naik dengan faktor sebesar dan dapat bergerak turun dengan faktor sebesar dengan . Hal ini diilustrasikan pada Gambar 2.1.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
Gambar 2.1. Ilustrasi Binomial tree
Pada setiap posisi waktu ke- (waktu ) terdapat
percabangan harga saham, kemudian
sebanyak percabangan tersebut diposisikan secara menaik dari bawah ke atas. Harga saham di  titik (    ) untuk
didefinisikan  sebagai  harga  saham  pada  waktu  ke- di percabangan ke- . Jika adalah harga saham di waktu dan menyatakan harga saham di titik (    ) , maka harga saham di titik (    ) dirumuskan sebagai

## (   )
Menghitung harga opsi dilakukan dengan perhitungan dari ujung binomial tree pada waktu jatuh  tempo  hingga  pangkal binomial  tree pada  posisi  saat  ini  yaitu  saat  harga  saham Perhitungan  nilai  payoff  opsi  beli  dan  opsi  pada  waktu  jatuh  tempo  berturut-turut  dengan persamaan
{ } { }
Harga opsi beli dan jual pada titik (    ) adalah ( (     ) ) ( (     ) )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo,

## Moch. Taufik Hakiki
Harga opsi yang dicari adalah nilai dan . Pada metode binomial tree ini, parameter , dan bernilai tetap pada setiap titik.
2.5 Harga Arrow Debreu
Harga  Arrow-Debreu  adalah  harga  opsi  yang  membayar  1  unit  payoff  jika  harga  saham pada suatu waktu t mencapai nilai dan 0 jika tidak [8]. Harga Arrow-Debreu pada keadaan di level dapat dihitung sebagai expected discounted value dari payoff, yaitu
[ ( ) ] (   )
dengan ( ) adalah fungsi indikator. Secara umum harga Arrow-Debreu dapat diperoleh dengan rumus iterasi sebagai berikut, dengan
sebagai definisi,
, ( )- [ ( )] , -                                   (   ) untuk .

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Konstruksi Implied Binomial Tree
Penelitian  terdahulu  menyatakan  bahwa  nilai  volatilitas  konstan  tidak  terjadi  di  dunia  pasar modal yang nyata. Implied volatility yang tidak konstan menyebabkan adanya volatility smile dan volatility  skew [5].    Volatility smile merupakan  perubahan  nilai implied  volatility terhadap perubahan  harga strike opsi,  sedangkan  volatility skew adalah  perubahan  nilai implied volatility terhadap  perubahan  waktu  jatuh  tempo  [5].  Sebagai  akibat  dari  hal  tersebut,  pada  penelitian  ini diturunkan formula pergerakan harga saham, harga Arrow-Debreu dan probabilitas transisi pada implied binomial tree berdasarkan [4].
Konstruksi implied  binomial  tree dibuat  pada  interval ,    - dengan  beda  waktu  yang  sama yaitu .  Dimulai  pada  level  nol (     ) ,  nilai  harga  saham  sama  dengan  harga  saham pada  saat  ini  yaitu
.  Terdapat (     ) titik  pada  level  ke dari tree .  Selanjutnya,  harga saham pada titik ke level ke- dinotasikan dengan . Harga forward pada level titik dari pada  level  ke adalah .  Probabilitas  bersyarat  adalah  probabilitas  transisi pergerakan kenaikan harga saham dari (    ) ke (            ) memenuhi persamaan
( ((     )  ))    ( (   )) dengan . Harga forward memenuhi kondisi risk neutral sebagai berikut

## ( )
Pendekatan implied binomial tree memerlukan perhitungan harga saham, probabilitas transisi dan  harga  Arrow-Debreu  dilakukan  secara  iterasi  dari  level  ke  level,  dimulai  dari  level  nol. Ilustrasi  diagram implied  binomial  tree disajikan  pada  Gambar  3.1.  Pada  Gambar  3.1  terlihat bahwa setiap harga saham pada suatu titik memiliki satu harga Arrow-Debreu yang bersesuaian.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo,

## Moch. Taufik Hakiki
Setiap harga saham  memiliki kemungkinan untuk mengalami kenaikan dan penurunan. Berbeda dengan binomial tree yang setiap probabilitas kenaikan digeneralisir menggunakan faktor , pada implied  binomial  tree setiap  probabilitas  kenaikan  harga  saham  memiliki  nilai  yang  berbeda, yaitu .
Gambar 3.1. Ilustrasi Implied binomial tree
Selanjutnya, perhitungan harga opsi dihitung pada interval
menggunakan harga Arrow- debreu sebagai berikut
((     )     )   ∑ ( ) ((     )     )   ∑ ( )
Pembentukan implied binomial tree ditentukan dari center level dan 2 titik yaitu titik tepat di atas dan di bawah center level . Titik yang berada di atas center level disebut dengan upper node , sedangkan titik yang berada di bawah center level disebut dengan lower node . Misalkan adalah level yang menyatakan banyaknya langkah waktu, maka
1. Jika merupakan  bilangan  genap,  maka central  node berada  pada center  level tersebut dengan
.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
2. Jika merupakan bilangan ganjil, maka titik yang berada tepat di atas dan di bawah
center level memiliki proportional jump sebagai berikut
Gambar 3.2. Ilustrasi Center Level pada Implied Binomial Tree
Selanjutnya, dengan menggunakan kondisi risk neutral , diperoleh formula iterasi dengan mengonstruksi implied binomial tree berikut
( ((     ) ) ) ( ) ((     ) ) ( ) dengan ∑ ( ) . Pada level ganjil, untuk menentukan harga saham
dengan digunakan proportional jump sehingga diperoleh ( ((     ) ) ) ((     ) ) dengan .
Harga saham pada lower node ditentukan dengan persamaan berikut ( ((     ) ) ) ( )) ((     ) ) ( ) dengan ∑ ( ) .

## 3.2 Perhitungan Harga Opsi Jual dan Opsi Beli
Simulasi dilakukan dengan tiga metode yaitu b inomial tree , implied binomial tree dan harga opsi  Black-Scholes.  Pada binomial  tree ,  volatilitas  bernilai  konstan,  sedangkan  pada implied binomial  tree nilai  volatilitas  tidak  konstan  akibat  pengaruh implied  volatility .  Hasil  simulasi

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
harga opsi jual dan beli dari binomial tree dan implied binomial tree dibandingkan terhadap harga opsi  Black-Scholes.  Nilai  eror  harga  opsi  beli  dan  jual  dari  binomial  berturut-turut  dihitung menggunakan formula eror relatif sebagai berikut
dimana merupakan  harga  opsi  beli  Black-Scholes, merupakan  harga  opsi  jual  Black- Scholes, menunjukkan  harga  opsi  beli  binomial  dan menunjukkan  harga  opsi  jual binomial.  Perhitungan  nilai  eror  relatif  pada  kasus  ini  sesuai  dengan  jenis  data  dan  digunakan untuk  menunjukkan  besarnya  tingkat  kesalahan  antara  harga  opsi  binomial  dengan  harga  opsi Black-Scholes. Semakin kecil nilai eror relatifnya, maka harga opsi yang diperoleh akan semakin baik.
Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  harga  saham  awal  sebesar dan  suku  bunga bebas risiko pertahun senilai 1,57% dengan waktu jatuh tempo selama satu tahun dan opsi dalam keadaan at the money (ATM). Nilai implied volatility pada at the money (ATM) dari opsi adalah 6,138%, nilai implied volatility naik sebesar 0,5% atau turun sebesar 0,5% dari nilai awal setiap kenaikan atau penurunan harga saham sebesar 10. Hal tersebut mendefinisikan adanya penyertaan implied volatility pada metode implied binomial tree .
Hasil simulasi diperoleh bahwa formula opsi Black-Scholes menunjukkan bahwa harga opsi beli bernilai 9.5270 dan opsi jual bernilai 5.0127. Gambar 3.2 menunjukkan binomial tree dengan nilai  volatilitas  konstan  6.1388%  pada  setiap  titik  pada  setiap  level  langkah  waktu.  Metode binomial  tree ini  tidak  menyertakan implied  volatility .  Faktor  kenaikan  dan  penurunan  harga saham  masing-masing  digeneralisasi  secara  berturut-turut  sebagai dan . Probabilitas transisi pada setiap level adalah . Perhitungan metode binomial tree memberikan harga opsi beli sebesar dan opsi jual sebesar . Hasil perhitungan menunjukkan bahwa terdapat eror relatif sebesar pada
opsi beli dan eror relatif sebesar pada opsi jual terhadap opsi Black-Scholes.
Gambar 3.4, Gambar 3.5 dan Gambar 3.6 berturut-turut menunjukkan hasil perhitungan pohon harga  saham,  pohon  probabilitas  transisi  dan  pohon  harga  Arrow  Debreu  dengan  menggunakan implied binomial tree . Ketiga pohon tersebut mengandung volatility smile dari implied volatility yaitu nilai implied volatility berubah bergantung terhadap perubahan harga saham. Pada Gambar 3.4, terdapat 21 harga saham yang dipertimbangkan untuk menentukan harga opsi. Harga saham mula-mula  (pada )  adalah  289,8.  Setiap  level tree menunjukkan  pergerakan  harga  saham pada  bulan  ke .  Harga  saham  tertinggi  yaitu  333,7791  dan  harga  saham  terendah  adalah 252,1133 pada satu tahun ke depan ( ).

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
Gambar 3.3. Pohon Pergerakan Harga Saham pada Binomial tree
Gambar 3.4. Pohon Pergerakan Harga Saham pada Implied binomial tree

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo,

## Moch. Taufik Hakiki
Probabilitas  pergerakan  harga  saham  ditunjukkan  oleh  Gambar  3.5.  Pada  level  pertama, probabilitas harga saham naik sebesar 0,564 dan probabilitas harga saham turun sebesar 0,4328. Pada setiap level, probabilitas harga saham naik dan turun memiliki nilai yang berbeda.
Gambar 3.5. Pohon Probabilitas Transisis pada Implied Binomial Tree
Gambar 3.6. Pohon Harga Arrow-Debreu pada Implied Binomial Tree

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo,

## Moch. Taufik Hakiki
Metode implied binomial tree memerlukan konstruksi tiga macam pohon, yaitu pohon harga saham,  pohon  probabilitas  transisi  dan  pohon  harga  Arrow-Debreu.  Simulasi implied  binomial tree menghasilkan  harga  opsi  beli  sebesar  9.527  dan  harga  opsi  jual  sebesar  5.0127. Dibandingkan dengan harga opsi Black-Scholes, nilai eror relatif harga opsi beli yang diperoleh dari implied binomial tree adalah
dan eror relatif harga opsi jual bernilai
. Nilai eror relatif tersebut dapat dikatakan bernilai kecil, oleh karena itu, implied binomial tree menunjukkan nilai mendekati harga opsi Black-Scholes pada level .

## 3.3 Peningkatan Nilai Langkah Waktu pada Binomial Tree
Ketika metode binomial tree digunakan dalam praktik penentuan harga opsi, masa hidup opsi biasanya  dibagi  menjadi  30  atau  lebih  langkah  waktu  [2].  Setiap  langkah  waktu  terdapat pergerakan  harga  saham  yang  mengikuti  pola  Binomial.  Misalkan  terdapat  sebanyak langkah waktu,  maka  terdapat titik  harga  saham  dan kemungkinan  jalur  harga  saham  yang dipertimbangkan dalam penentuan harga opsi.
Untuk mengetahui pengaruh peningkatan nilai langkah waktu terhadap harga opsi jual dan opsi  beli,  maka  dilakukan  simulasi  dengan  menggunakan  nilai berbeda.  Gambar  3.7 menunjukkan  pengaruh  nilai terhadap  harga  opsi  beli.  Berdasarkan  Gambar  3.7  didapatkan bahwa harga opsi beli baik dari binomial tree maupun implied binomial tree berfluktuasi di antara harga opsi Black-Scholes. Semakin besar nilai , maka harga opsi beli semakin mendekati harga opsi Black-Scholes. Hasil yang diperoleh dari implied binomial tree menunjukkan bahwa pada bilangan ganjil diperoleh  harga opsi jual yang sama dengan harga opsi jual Black-Scholes. Nilai eror rata-rata yang diperoleh dari simulasi implied binomial tree sebesar 0.3140, sedangkan pada simulasi binomial tree sebesar 0.3300.
Gambar 3.7. Harga Opsi Beli dengan Peningkatan Langkah Waktu
Simulasi  pada  opsi  jual  digambarkan  pada  Gambar  3.8.  Perhitungan  menunjukkan  bahwa harga  opsi  jual  dari binomial  tree dan implied  binomial  tree berfluktuasi  di  antara  harga  opsi Black-Scholes. Semakin besar nilai maka harga opsi beli semakin mendekati harga opsi Black- Scholes.  Hasil  simulasi  pada implied  binomial  tree menunjukkan  bahwa  saat bilangan  ganjil diperoleh harga yang sama dengan  harga opsi Black-Scholes. Nilai eror rata-rata yang diperoleh

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
dari  simulasi implied  binomial  tree sebesar  0.1372,  sedangkan  pada  simulasi binomial  tree sebesar  0.1490.  Oleh  karena  itu,  dari  hasil  simulasi  diperoleh  bahwa  metode implied  binomial tree memberikan  hasil  yang  lebih  baik  daripada binomial  tree berdasarkan  nilai  eror  yang dihasilkan.
Gambar 3.8. Harga Opsi Jual dengan Peningkatan Level Langkah Waktu

## 3.3 Faktor-Faktor yang Berpengaruh terhadap Harga Opsi
Pada sub-bab ini, dicari faktor-faktor yang berpengaruh terhadap harga opsi jual dan opsi beli dengan  melakukan  simulasi  menggunakan implied  binomial  tree , binomial  tree dan  model Black-Scholes. Variabel yang diteliti pengaruhnya adalah harga saham, harga strike , suku bunga dan  waktu  jatuh  tempo.  Simulasi  dilakukan  dengan  mengatur  perubahan  nilai  dari  satu  faktor tersebut  dan  faktor  lainnya  diasumsikan  bernilai  tetap.  Selanjutnya,  simulasi  dilakukan  dengan menggunakan nilai yang sama pada simulasi sebelumnya. Nilai yang digunakan yaitu banyaknya level ,  harga strike ,  suku  bunga ,  waktu  jatuh  tempo  tiga  bulan (         ) dan  volatilitas
.  Pertaman,  untuk  mengetahui  pengaruh  nilai  harga saham terhadap harga opsi jual dan opsi beli dibuat simulasi dengan nilai harga saham  berbeda, sedangkan nilai faktor lainnya lain tetap. Cara yang sama dilakukan untuk mengetahui pengaruh faktor harga strike , suku bunga dan waktu jatuh tempo. Berikut merupakan hasil simulasi faktor- faktor yang berpengaruh terhadap harga opsi.
1. Harga saham
Nilai  harga  saham  yang  disimulasikan  berada  pada  selang
.  Hasil  simulasi pada Gambar 3.9. menunjukkan pengaruh harga saham terhadap harga opsi beli dan jual. Metode implied binomial tree , binomial tree d dan Black-Scholes memberikan hasil yang sama,  yaitu  semakin  tinggi  nilai harga  saham  mengakibatkan  semakin  tinggi  harga  opsi beli  dan  semakin  rendah  harga  opsi  jual.  Hal  tersebut  bersesuain  dengan  model  Black- Scholes. Berdasarkan Persamaan 2.3 dan Persamaan 2.4, didapatkan
( )
( )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
yaitu,  ketika naik,  maka  harga  opsi  beli  naik  dan  harga  opsi  jual  turun.  Ketika  harga saham  naik,  pemegang  opsi  beli  menginginkan  profit  yang  lebih  tinggi  di  masa  depan sehingga  harga  opsi  beli  naik.  Sebaliknya,  pemegang  opsi  jual  akan  lebih  sulit mendapatkan profit sehingga harga opsi jual turun.
Gambar 3.9. Pengaruh Harga Saham terhadap Harga Opsi
2. Harga strike
Simulasi  perbedaan  harga strike ditampilkan  pada  Gambar  3.10.  Berdasarkan  hasil simulasi  didapatkan  bahwa  peningkatan  harga strike mengakibatkan  penurunan  harga opsi  beli  dan  peningkatan  harga  opsi  jual.  Hasil  simulasi  bersesuaian  dengan  model Black-Scholes dengan berdasarkan Persamaan 2.2 dan Persamaan 2.3 didapatkan
( )
(     ( ))
Gambar 3.10. Pengaruh Harga Strike terhadap Harga Opsi

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
3. Suku bunga
Simulasi menunjukkan bahwa nilai tingkat suku bunga berpengaruh secara linier terhadap harga  opsi.  Gambar  3.11  menunjukkan  semakin  tinggi  nilai  suku  bunga  maka  semakin tinggi harga opsi beli. Hal berbeda terjadi pada opsi jual, yaitu semakin tinggi nilai suku bunga  maka  semakin  rendah  harga  opsi  jual.  Hal  tersebut  bersesuaian  dengan  model Black-Scholes bahwa
( )

## (     ( ))
Kenaikan  suku  bunga  memiliki  dua  pengaruh  yaitu  harga  saham  naik  dan  harga strike yang didapatkan pada waktu jatuh tempo memiliki nilai yang rendah pada saat ini.
Oleh karena itu, terjadi penuurunan harga opsi jual dan peningkatan harga opsi beli.
Gambar 3.11. Pengaruh Suku Bunga terhadap Harga Opsi
4. Waktu jatuh tempo
Derivatif  parsial  model  Black-Scholes  terhadap  waktu  jatuh  tempo  adalah
( ) ( ) √ ( ( )) ( )

## √
Tidak  dapat  dipastikan  tanda  dari  ruas  kanan  dari  dua  persamaan  diatas,  sehingga  dari model  Balck-Scholes  tidak  dapat  memprediksi  pengaruh  waktu  jatuh  tempo  terhadap harga  opsi.  Namun,  berdasarkan  hasil  simulasi  pada  Gambar  3.12  menunjukkan  bahwa harga  opsi  beli  dan  opsi  jual  semakin  tinggi  seiring  meningkatnya  waktu  jatuh  tempo. Simulasi pada opsi jual diperoleh bahwa harga opsi semakin tinggi dengan peningkatan waktu  jatuh  tempo,  namun  dengan  tingkat  peningkatan  yang  lebih  rendah  jika dibandingkan dengan peningkatan pada opsi beli.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
Gambar 3.12. Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi

## 3.  KESIMPULAN
Pada  artikel  ini,  model  harga  opsi  dilakukan  dengan  metode implied  binomial  tree dan binomial  tree ,  kemudian  dibandingkan  hasilnya  dengan  model  Black-Scholes.  Penggunaan metode implied  binomial  tree dapat  menyertakan  perubahan  nilai implied  volatility di  pasar keuangan.  Harga  opsi  berdasarkan  metode implied  binomial  tree memberikan  nilai  eror  harga opsi  yang  lebih  kecil  terhadap  harga  opsi  Black-Scholes  dibandingkan  dengan  harga  opsi  yang diperoleh  dari  metode binomial  tree .  Pada  metode implied binomial  tree dan binomial  tree , semakin besar nilai langkah waktu, harga opsi konvergen menuju harga opsi Black-Scholes. Berdasarkan simulasi, diperoleh faktor-faktor yang berpengaruh terhadap harga opsi jual dan opsi  beli.  Faktor-faktor  tersebut  adalah  harga  saham,  harga strike ,  suku  bunga,  dan  waktu jatuh tempo.  Semakin  tinggi  nilai  harga  saham,  maka  semakin  tinggi  harga  opsi  beli  dan  semakin rendah  harga  opsi  jual.  Semakin  tinggi  nilai  harga strike ,  maka  semakin  rendah  harga  opsi  beli dan semakin tinggi harga opsi jual. Semakin tinggi nilai suku bunga, maka semakin tinggi harga opsi beli dan semakin  rendah  harga  opsi jual.  Semakin  lama  waktu jatuh  tempo,  maka  semakin tinggi harga opsi beli dan opsi jual.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]. Barle,  S.  &  Cakici,  N.,  1998.  How  To  Grow  a  Smiling  Tree. The  Journal  of  Financial Engineering , Vol. 7, No. 2, 127-146.
[2]. Black, F. & Scholes, M., 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy , Vol. 81, No. 3, 637-654.
[3]. Brigham,  E.  F.  &  Daves,  P.  R.,  2019. Intermediate  Financial  Management, Thirteenth Edition. Cengage Learning., United States of America.
[4]. Derman, E. & Kani, I., 1994. Riding on A Smile. Risk , Vol. 7, No. 2, 32-39.
[5]. Derman, E. & Miller, M. B., 2016. The Volatility Smile . John Wiley & Sons, Inc., Canada. [6]. Emmanuel,  F.,  Adedoyin,  A.  O.  &  Hammed,  O.  O.,  2014.  Performance  Measure  of Binomial Model for Pricing American and European Options. Applied and Computational Mathematics , Vol. 3, No. 6, 18-30.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
[7]. Gatheral,  J.,  Jaisson,  T.  &  Rosenbaum,  M.,  2022. Volatility  Is  Rough.  In  Commodities, Second Edition. Chapman and Hall., London.
[8]. Härdle, W. K., Hautsch, N. & Overbeck, L., 2009. Applied Quantitative Finance , Second Edition. Springer., Berlin.
[9]. Huang, D., Schlag, C., Shaliastovich, I. & Thimme, J., 2019. Volatility-of-Volatility Risk. Journal of Financial and Quantitative Analysis , Vol. 54, No. 6, 2423-2452.
[10].  Hull,  J.,  2022. Options,  Futures,  and  Other  Derivatives ,  Eleventh  Edition.  Pearson Education Inc., New York.
[11].  Horvath, B., Muguruza, A. & Tomas, M., 2021. Deep Learning Volatility: A Deep Neural Network Perspective on Pricing and Calibration in (Rough) Volatility Models. Quantitative Finance , Vol. 21, No.1, 11-27.
[12].  Jiang,  L.  &  Li,  C.,  2005. Mathematical  Modeling  and  Methods  of  Option  Pricing .  World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore.
[13].  Jiang,  Q.,  2019.  Comparison  of  Black–Scholes  Model  and  Monte-Carlo  Simulation  on Stock Price Modeling. Advances in Economics, Business and Management Research , Vol. 109, 135-137.
[14].  Kim,  Y.  S.,  Stoyanov,  S.,  Rachev,  S.  &  Fabozzi,  F.  J.,  2019.  Enhancing  Binomial  and Trinomial Equity Option Pricing Models. Finance Research Letters , Vol. 28, 185-190.
[15].  Liu, Y. F., Zhang, W. & Xu, H. C. 2014. Collective Behavior and Options Volatility Smile: An Agent-Based Explanation. Economic modelling , Vol. 39, 232-239.
[16].  Maulida, V., Siswanah, E. & Nisa, E. K., 2019. Penentuan Harga Opsi Tipe Eropa dengan Model Binomial. Journal of Mathematics and Mathematics Education , Vol. 1, No. 1, 65- 72.
[17].  Muroi, Y., 2022. Discrete Malliavin Greeks. In Computation of Greeks Using the Discrete Malliavin Calculus and Binomial Tree. Springer., Singapore.
[18].  Muroi,  Y.  &  Suda,  S.,  2022.  Binomial  Tree  Method  for  Option  Pricing:  Discrete  Cosine Transform Approach. Mathematics and Computers in Simulation , Vol. 198, 312-331.
[19].  Ni, S. X., Pearson, N. D., Poteshman, A. M. & White, J., 2021. Does Option Trading Have A  Pervasive  Impact  on  Underlying  Stock  Prices?. The  Review  of  Financial  Studies ,  Vol. 34, No. 4, 1952-1986.
[20].  Nian,  K.,  Coleman,  T.  F.  &  Li,  Y.,  2021.  Learning  Sequential  Option  Hedging  Models from Market Data. Journal of Banking & Finance , Vol. 133, 106277.
[21].  Roul, P., 2022. Design and Analysis of A High Order Computational Technique for Time ‐ Fractional Black–Scholes Model Describing Option Pricing. Mathematical Methods in the Applied Sciences , Vol. 45, No. 9, 5592-5611.
[22].  Rubinstein,  M.,  1994.  Implied  Binomial  Trees. The  Journal  of  Finance ,  Vol.  49,  No.  3, 771-818.
[23].  Simarmata,  J.  E.  &  Ahzan,  Z.  N.,  2021.  The  Use  of  The  Black  Scholes  Model  in Determining the Price of the European Type Option. Journal of Research in Mathematics Trends and Technology , Vol. 3, No. 2, 2021, 15-25.
[24].  Soini,  V.  &  Lorentzen,  S.,  2019.  Option  Prices  and  Implied  Volatility  in  The  Crude  Oil Market. Energy Economics , Vol 83, 515-539.
[25].  Srivastava,  A.  &  Shastri,  M.,  2020.  A  Study  of  Black–Sch  e   M de ’   A    c     ty   n Indian Capital Markets. Paradigm , Vol. 24, No. 1, 73-92.
[26].  Subartini,  B.,  Riaman,  R.,  Nabiilah,  N.  &  Sukono,  S.,  2021.  Analisis  Penerapan  Metode Pohon  Binomial dan  Metode  Black-Scholes  dalam  Penentuan  Harga  Opsi  Beli. Teorema: Teori dan Riset Matematika , Vol. 6, No. 2, 260-266.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aimmatul Ummah Alfajriyah, Endah R.M Putri, Daryono Budi Utomo, Moch. Taufik Hakiki
[27].  Vagnani, G., 2009. The Black–Scholes Model as A Determinant of The Implied Volatility Smile: A Simulation Study. Journal of Economic Behavior & Organization, Vol. 72, No.1, 103-118.
[28].  Vulandari, R. T. & Sutrima., 2020. Black-Scholes Model of European Call Option Pricing in  Constant  Market  Condition. International  Journal  of  Computing  Science  and  Applied Mathematics , Vol. 6, No. 2, 46-49.