## ANALISIS KEUNTUNGAN MAKSIMUM DENGAN KONSEP TURUNAN PADA INDUSTRI PERCETAKAN

## L.Virginayoga Hignasari
Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik, Universitas Mahendradatta Bali Jl. Ken Arok No 12, Peguyangan Denpasar Utara, Bali 80115 Email : ginahignasari@gmail.com
Abstrak -  Dalam  sebuah  bisnis  atau  usaha,  keuntungan  adalah  suatu  hal  yang  wajib diperhitungkan.  Banyak  faktor  yang  mempengaruhi  keuntungan  sebuah  usaha,  diantaraya, biaya  produksi,  biaya  operasional,  harga  jual,  jumlah  penjulan  dan  lainya.  Penelitian  ini bertujuan  untuk  menganalisis  keuntungan  maksimum  pada  sebuah  usaha  secara  teoritis. Penelitian  ini  merupakan  penelitian  kualitatif  dengan  mengunakan  metode  studi  kasus.  Dalam hal  ini,  peneliti  mengambil  data  penjualan  Cahaya  Bintang  yang  merupakan  sebuah  usaha  di bidang  percetakan.  Objek  penelitian  adalah  keuntungan  dari  penjulan  produk  kartunama  dan nota.  Keuntungan  maksimum  akan  dianalisis  dengan  menggunkan  konsep  turunan.  Adapun langkah-lagkah  yang  dilakukan  dalam  menentukan  keuntungan  maksimum  menggunakan konsep turunan adalah : 1) Menetukan fungsi biaya, fungsi permintaan, fungsi penerimaan dan fungsi keuntungan; 2) Menentkan turunan pertama dari fungsi keuntungan; 3) Menentukan titik kritis dari turunan pertama dari fungsi keuntungan; 4) Analisis titik kritis dengan menggunakan turunan kedua. Berdasarkan hasil analisis menggunakan konsep turunan, penjualan kartunama dan nota  akan mencapai keuntungan maksimum jika perusahaan tersebut mampu menjual 309 box    perbulan  dan  untuk  nota  199  rim  per  bulan.  Penjualan  kartu  nama  dan  nota  pada  bulan sebelumnya berada di bawah nilai maksimum yang telah ditentukan berdasarkan hasil analisis. Oleh  sebab  itu  keuntungan  yang  didapatkan  pada  bulan  sebelumnya  belum  mencapai keuntungan maksimum.
Kata Kunci : keuntungan, maksimum, turunan
Abstract - In a business, profit is a must to reckoned with. Many factors affect the profits of a business,  among  them,  the  cost  of  production,  operating  costs,  selling  price,  the  number  of penjulan and others. This study aims to analyze the maximum profit on a business theoretically. This  research  is  a  qualitative  research  using  case  study  method.  In  this  case,  the  researcher takes the sales data of Cahaya Bintang which is a business in the field of printing. The object of research  is  the  advantage  of  selling  business  card    and  invoice  book.  Maximum  profit  will  be analyzed  by  using  derivative  concept.  The  steps  taken  in  determining  the  maximum  benefit using  the  concept  of  derivatives  are:  1)  Determine  the  function  of  cost,  demand  function, acceptance  function  and  profit  function;  2)  Define  the  first  derivative  of  the  profit  function;  3) Determining  the  critical  point  of  the  first  derivative  of  the  profit  function;  4)  Analysis  of  critical point  by  using  second  derivative.  Based  on  the  results  of  the  analysis  using  the  concept  of derivatives,  sales  of  business  card      and  invoice  book  will  achieve  maximum  profits  if  the company is able to sell 309 boxes per month and for invoice book of 199 rim per month. Sales of  business  cards  and  invoice  book    in  the  previous  month  were  below  the  maximum  value determined based on the analysis results. Therefore the profit earned in the previous month has not reached the maximum profit.
Keyword : profit, maximum, derivative

## PENDAHULUAN
Suatu  bisnis  tidak  terlepas  dari aktivitas  produksi,  pembelian,  penjualan, maupun  pertukan  barang  dan  jasa  yang melibatkan orang ataupun perusahan (Fuad,  2006).  Aktivitas  dalam  bisnis  atau usaha  pada  umumnya  bertujuan  untuk menghasilkan  keuntungan.  Dalam  sebuah
bisnis  atau  usaha,  keuntungan  adalah suatu  hal  yang  wajib  diperhitungkan.
Banyak faktor yang mempengaruhi keuntungan dalam sebuah usaha, diantaraya, biaya produksi, biaya
operasional,  harga  jual,  jumlah  penjulan dan sebagainya. Terkadang dalam  merintis suatu  usaha,  keuntungan  maksimum  akan
diperoleh hanya jika penjualan barang atau jasa  dijual  sebanyak  mungkin.  Padahal sebenarnya  ada  beberapa  variabel  yang mempengaruhi  perolehan  keuntungan  agar mampu memperoleh
keuntungan maksimum.
Secara  ilmu  ekonomi  keuntungan  total sama  dengan  penerimaan  ( Total  Revenue , TR)  dikurangi  dengan  biaya  total  ( Total Cost, TC).  Penerimaan  total  merupakan perkalian  antara  tingkat  harga  yang  terjadi di  pasar  dengan  jumlah  ouput  yang dihasilkan,  sedangkan  biaya  total  adalah biaya  yang  dikeluarkan  oleh  produsen dalam  menghasilkan  output  (Susantun, 2000).  Dalam  jangka  pendek,  biaya  dapat dibedakan atas biaya tetap ( fixed cost , FC) dan  biaya  variabel  ( variable cost,  VC). Biaya  tetap  adalah  biaya  yang  tidak tergantung  pada  besarnya  jumlah  output yang  dihasilkan,  sedangkan  biaya  variabel adalah  biaya  yang  tergantung  kepada besar kecilnya jumlah output yang dihasilkan.  Secara  ekonomi,  keuntungan dapat  diperoleh  apabila  memenuhi  prinsip efisiensi  dalam  produksi.  Efisiensi  produksi merupakan  perbandingan  output  dan  input berhubungan  dengan  tercapainya  output maksimum  dengan  sejumlah  input,  yang artinya  jika  ratio  output  input  besar  maka efisiensi dikatakn semakin tinggi (Susantun, 2000).  Efisiensi  ekonomi  akan  tercapai  jika memenuhi dua kondisi berikut:
1.  Proses produksi harus berada pada saat  elastisitas  produksi  lebih  dari sama  dengan  0  dan  kurang  dari sama dengan 1.
2. Kondisi keuntungan maksimum tercapai  dimana value  marginal product sama  dengan marginal factor  coast  resource .  (Susantun,
2000) Secara  eksak  nilai  keuntungan
maksimum dapat ditentukan dengan
menggunkan  konsep  turunan  matematika.
Cabang  ilmu  matematika  yang  membahas mengenai turunan adalah Kalkulus. Kalkulus  merupakan  salah  satu  cabang ilmu  Matematika  yang  mempelajari  tentang hal-hal yang berhubungan dengan pencarian  tingkat  perubahan  (pencarian arah/garis singgung pada suatu kurva) dan pencarian  area  yang  terletak  di  bawah kurva (Legowo, 1984:1). Kedudukan khusus  dari  fungsi  seperti  titik  maksimum, titik  belok  dan  titik  minimumnya  ditentukan dengan  konsep  diferensial  atau  turunan.
(Dumairy,  1999:197).  Salah  satu  bidang penerapan    turunan  adalah  deskripsi dinamika  ekonomi  dengan  menggunakan konsep  elastisitas.  Elastisitas  menunjukkan perubahan  relatif  dari  indikator  ekonomi  di bawah pengaruh perubahan faktor ekonomi yang  bergantung  pada  faktor-faktor  tetap konstan yang mempengaruhinya
(Tarasova,2016).
Berdasarkan  observasi  pada  usaha bidang percetakan dalam hal produksi kartu nama  dan  nota,  pemilik  mengeluhkan bahwa  keuntungan  yang  didapatkan  belum maksimal.  Terutama  dalam  hal  produksi kartu nama. Hasil wawancara menyebutkan bahwa  permintaan  kartunama  perbulan lebih  dari  100box  dimana  harga  jual  untuk satu  box  kartu  nama  adalah  Rp  55.000. Jika  dilihat  dari  hasil  penjualan.  penjualan kartunama  minimal  perbulan  rata-ratanya adalah  Rp  5.500.000.  Dilihat  dari  kuantitas penjualan,  permintaan  kartu  nama  lebih tinggi  dibandingkan  dengan  permintaan pembuatan nota. Namun berdasarkan hasil wawancara  dengan  pemilik,  keuntungan yang  didapat  dari  produksi  kartu  nama dirasa kurang maksimal.
Berdasarkan fakta tersebut untuk mencapai  tingkat  penilaian  keuntungan efisiensi  ekonomi  maka  diperlukan  suatu alat analisis yaitu sebuah fungsi keuntungan.  Menurut  Simatupang,  dengan alat  ini,  hampir  semua  parameter  yang berkaitan  langsung  dengan  produksi  dapat ditentukan (dalam Mandaka, 2016). Keuntungan  maksimum  akan  tercapai apabila  semua  faktor  produksi  telah dialokasikan penggunaanya
secara maksimal,  baik  efisiensi  secara  teknis, harga dan ekonomi (Mandaka, 2016). Dalam menentukan
keuntungan maksimum  dari  sebuah  bisnis  atau  usaha secara  matematis,  yang  harus  ditentukan adalah  fungsi  biaya,  fungsi  permintaan, fungsi  penerimaan  dan  fungsi  keuntungan. Fungsi  Keuntungan  merupakan  turunan dari  fungsi  produksi  (Susantun  ,2000). Berdasarkan  hasil  penelitian  Susantun pada  tahun  2000,  pendugaan  efisensi ekonomi  relatif  dapat  dianalisis  dengan konsep turunan.
Berdasarkan pemaparan di atas,
keuntungan  merupakan  hal  yang  harus diperhitungkan dengan baik dalam mendirikan  suatu  usaha.  Oleh  sebab  iu penelitian  ini  bertujuan  untuk  menganalisis
keuntungan  maksimum  yang  diperoleh suatu  usaha  dengan  mengaplikasikan konsep  turunan.    Dengan  adanya  cara untuk  menentukan  keuntungan  maksimum, hal  tersebut  diharapkan  akan  memberikan solusi dari permasalahan yang dialami oleh industri percetakan pada khususnya.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  penelitian kualitatif  dengan  menggunakan  metode studi  kasus.  Sampel  penelitian  di  ambil  di sebuah  badan  usaha  milik  pribadi  yang bergerak dibidang percetakan yaitu Cahaya Bintang Printing  and  Advertising .  Cahaya Bintang  beralamat  di  Dalung  Permai, Lingkungan  Tegal  Sari  IIIA,  Blok  UU  No 13D/3,  Kerobokan  Utara,  Badung,  Bali. Sample  yang  diambil    dalam  penelitian  ini adalah data mengenai proses produksi dan penjualan  kartu  nama  dan  nota.  Hal tersebut  dipilih  karena  permintaan  kartu nama dan nota konsisten setiap bulanya.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan  dalam  penelitian  ini  adalah pengumpulan data, tabulasi data perhitungan dengan konsep turunan. Penentuan keuntungan maksimum ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
1.  Menentukan  fungsi  biaya  (C),  fungsi harga  (permintaan)  (P),  dan  fungsi penerimaan (R).
2.  Menentukan  fungsi  keuntungan,  yaitu
3.  Menentukan turunan pertama
4.  Fungsi  keuntunggan  sama  dengankan dengan  0,
.  Dari  perhitungan hasil tersebut akan diperoleh suatu titik kritis  atau  titik  ekstrem  ysng  akan digunakan untuk menentukan keuntungan maksimum. 5.  Menentukan  turunan  kedua  dari  fungsi keuntungan yaitu 6.  Fungsi hasil turunan kedua disamadengankan  dengan  0, . Tujuan  untuk  menentukan  turunan kedua  adalah  untuk  menguji  apakah titik ekstrem merupakan titik maksimum atau minimum. Jika setelah
disubstitusikan  titik  ekstrem  ke  turuan kedua  fungsi  nilainya  negatif,  hal tersebut  menunjukkan  bahwa  kurva terbuka  ke  bawah  yang  artinya  titik eskrem  tersebut  adalah  puncak  atau maksimunya  (keuntungan  maksimum). Sedangkan jika saat titik disubstitusikan ke  dalam  turun  kedua  hasilnya  positif, hal tersebut menunjukkan kurva
terbuka  ke  atas  yang  artinya  titik ekstrem tersebut berada di bawah atau nilai  minimum  (kerugian  maksimum)
(dalam Asyhar, 2014)

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan  hasil  pengumpulan data penelitian, peneliti menemukan beberapa data data yang telah dikumpulkan yang  digunakan  dalam  penelitian  ini.  Data yang  peneliti  peroleh  yaitu  data  tentang biaya  produksi,  jumlah  prouksi  dan  harga dari  hasil  produksi.    Adapun  data  yang dimaksud  di  atas  dari  Cahaya  Bintang adalah disajikan dalam tabel di bawah.
Tabel 1. Biaya Operasional Rutin Per Bulan
No  Pembiayaan Total Ket 1. Service Printer 125.000 2. Gaji Karyawan 2.000.000  2 karywan freelance @ 1.000.000 3. Listrik 200.000 4. Biaya Internet  dan Telpon 220.000 Total 2.545.000 Tabel 2. Biaya Produksi 1 Box Kartu Nama No  Pembiayaan Total Ket 1. Kertas,  Ongkos Cetak, dan Ongkos Potong 30.000 2. Box Kartu Nama 1.000 3. Ongkos Desain 10.000 Total  (Harga  Pokok  1 box Kartu Nama) Rp 41.000 Tabel 3. Biaya Produksi 1 rim Nota No  Pembiayaan Total Ket 1. Kertas  NCR  2 Tipe 86.500 Atas : 46.000 Bawah : 40.500 2. Ongkos Plat 13.000 3. Ongkos Cetak dan Finishing 30.000 4. Ongkos Desain 10.000 Total  (Harga  Pokok  1 Rim Nota 2 Warna) Rp 139.500
Tabel  4.  Data  Penjualan  Kartu  Nama  dan
Nota Bulan Mei 2018
No Produk Harga Jual Jumlah Penjualan 1 Kartu Nama 55.000/box 177 box 2 Nota  2 Warna 240.000/rim  97 rim Tabel  5.  Data  Penjualan  Kartu  Nama  dan Nota Bulan Juni 2018 No Produk Harga Jual Jumlah Penjualan 1 Kartu Nama 57.000/box 114 box 2 Nota  2 Warna 245.000/rim  82 rim
Dari Tabel 1,  2  dan  3  dapat  diperoleh fungsi biaya (C) untuk masing-masing jenis produk.  Tabel  4  dan  5  dapat  diperoleh fungsi permintaan (P) untuk masing-masing produk.  Fungsi  penerimaan  (R)  diperoleh dari fungsi permintaan (P) dikalikan dengan jumlah  barang  yang  diproduksi  (Q).  Fungsi keuntungan ( ) diperoleh dari pengurangan antara fungsi penerimaan (R) dan  fungsi  biaya  (C).  Untuk  menentukan keuntungan maksimum maka fungsi keuntungan  yang  sudah  didapatkan  akan dianalisi  menggunakan  konsep  turunan (derivative).
Selanjutnya  akan  ditentukan  masing- masing  fungsi  dari  data  yang  sudah disajikan  pada  tabel  sebelumnya.  Untuk menentukan  fungs  biaya  (C)  data  yang digunakan  adalah  total  biaya  operasional dan  harga  pokok  masing-masing  produk sehigga  fungsi  biayanya  adalah  sebagai berikut :
 Fungsi Biaya Kartu Nama :
……………..(1)
 Fungsi Biaya 1 Rim Nota 2 Warna :

## …………………(2)
Fungsi  yang  selanjutnya  ditentukan  adalah fungsi  permintaan  (P).  Fungsi  permintaan dicari dengan rumus berikut :
Fungsi  permintaan  di  dapat  dari  data penjualan  pada  bulan  Mei  2018  dan  Juni 2018.
Dengan  subtitusi  data  penjualan  ke  dalam rumus  fungsi  permintaan,  maka  dapat dijabarkan sebagai berikut :
 Fungsi Permintaan Kartu Nama :

## (          )        (       )
…………(3)
 Fungsi Permintaan Nota 2 Warna :

## (           )        (      )
…………(4)
Selanjutnya  adalah  menentukan  fungsi penerimaan.  Fungsi  penrimaan  diperoleh dari  perkalian  antara  fungsi  permintaan dengan banyaknya barang yang diproduksi (Q),  sehingga  fungsi  penerimaan  adalah sebagai berikut :
 Fungsi Penerimaan Kartu Nama :
(                  ) ……………(5)
 Fungsi Penerimaan  Nota 2 Warna :
(                 ) ……………..(6)
Fungsi  penerimaan  dan  fungsi  biaya  sudh didapatkan, maka selanjutnya adalah menentukan fungsi keuntungan ( ). Adapun  fungsi  keuntungan  adalah  sebagai berikut :
 Fungsi Keuntungan Kartu Nama :
( )
…(7)
 Fungsi Keuntungan Nota 2 Warna:
( )
…(8)
Setelah  fungsi  keuntungan  didapatkan, langkah  selanjutnya  adalah  menentukan
turunan pertama dari masing-masing fungsi keuntungan dan menentukan titik kritisnya. Keuntunggan Maksimum Kartu Nama :
(Titik Kritis)
Keuntunggan Maksimum Nota 2 Warna :
,2 (Titik Kritis)
Uji  fungsi  keuntungan  dengan  menentukan turunan  kedua.  Setelah  mendapatkan turunan  kedua  substitusi  titik  kritis  yang sudan didapatkan.
,
Karena  turunan  kedua  masing-masing fungsi  keuntungan  <  0  maka,  titik  kritis tersebut adalah keuntungan maksimumnya. Artinya  saat  produksi  mencapai  di  jumlah titik  kritis  tersebut,  perusahaan  akan mencapai keuntungan maksimum. Untuk  membuktikkan  keuntungan  1  box Kartu  Nama,  berikut  adalah  keuntungan yang  diperoleh  dari  jumlah  produksi  yang sudah  ada  sebelumnya  berdasarkan  data dengan  cara  subtitusi  jumlah  produksi  ke dalam fungsi keuntungan.
Adapaun datanya adalah sebagai berikut : Tabel 6. Data Keuntungan Penjualan Kartu Nama No Jumlah Produksi Keuntungan Ket 1. 177 box -66.819 2. 114 box -720.927 3. 309 box 506.319 Maks 4. 310 box 486.676 5 400 box 224.000 Tabel 7. Data Keuntungan Penjualan Nota No Jumlah Produksi Keuntungan Ket 1. 97 rim 7.203.782 2. 114 rim 6.106.197 3. 199 rim 10.689.754 Maks
4. 200 rim 10.689.600 5 300 rim 7.307.900 Fungsi keuntungan berupa parabola karena merupakan fungsi kuadrat. Jika dari bentuk fungsi  keuntungan  koefisien  pada  variable kuadrat adalah negatif, maka grafik parabola  akan  terbuka  ke  bawah  (Mesra 2016).  Hal  tersebut  menunjukkan  bahwa pada saat berada di titik kritis, grafik fungsi mencapai  nilai  maksimum.  Itu  artinya bahwa  keuntungan  maksimum  didapatkan pada  saat  jumlah  produksi  nilainya  sama dengan  nilai  titik  kritis.    Tetapi  saat  jumlah produksi  ditambah  lagi  keuntungan  akan berkurang,  dikarenakan  biaya  produksi yang akan bertambah.
Berdasarkan  hasil  analisis  di  atas,
penjulan  kartu  nama  akan  mencapai keuntungan maksimum jika terdapat penjualan  309  box  per  bulan.  Sedangkan penjualan nota akan  mencapai keuntungan maksimum  jika  mampu  menjual  199  rim nota  perbulan.  Sesuai  data  penjualan sebelumnya jika dibandingkan dengan data analisis keuntungan maksimum, maka pada penjualan  sebelumnya  Cahaya  Bintang belum  mampu  mendapatkan  keuntungan maksimum  dalam  penjualan  kartu  nama dan nota.

## KESIMPULAN
Keuntungan  maksimum  sebuah  usaha dapat dianailis dengan menggunakan konsep  matematika.  Konsep  matematika yang  digunakan  untuk  menyelesaikan permasalahan keuntungan maksimum adalah  konsep  turunan.  Adapaun  langkah- langkah  dalam  penentuan  keuntungan maksimum  adalah  1)  Menetukan  Fungsi Biaya, Fungsi Permintaan, Fungsi Penerimaan  dan  Fungsi  Keuntungan;  2) Menentukan  turunan  pertama  dari  fungsi keuntungan;  3)  Menentukan  titik  kritis  dari turunan pertama dari fungsi keuntungan; 4) Analisis  titik  kritis  dengan  menggunakan turunan  kedua.  Berdasarkan  hasil  analisis, penjualan akan mencapai maksimum apabila  penjualan  kartu  nama  309  box perbulan dan 199 rim nota/bulan. Penjualan kartu nama dan nota pada bulan sebelumny  sesuai  dengan  data  yang diperoleh  belum  mencapai  hasil  yang maksimal  dikarenakan  jumlah  penjualan perbulan  masih  dibawah  nilai  maksimum penjualan. Oleh sebab itu keuntungan yang didapatkan  pada  bulan  sebelumnya  belum mencapai keuntungan maksimal.
Adapun saran  yang dapat disampaikan adalah,  dengan  adanya  analisis  secara teoritik mampu memberikan solusi terhadap kemajuan  perusahaan  kedepanya,  dan dapat  dijadikan  bagi  pedoman  untuk mengembangkan  bisnis  yang  lainnya.  Bagi pembaca  sangat  disarankan  bagi  peneliti selanjutnya  agar  membahas  metode  lain yang  dapat  digunakan  untuk  menetukan keuntungan maksimum.

## DAFTAR RUJUKAN
Asyhar,  Beni.  2014.  "Aplikasi  Turunan
(Derivatif)  Dalam  Permasalahan Analisis Keuntungan Maksimum." Al-Khwarizmi: Jurnal
Pendidikan  Matematika  dan  Ilmu
Pengetahuan Alam 2.1: 1-14.
Dumairy.1999. Matematika  Terapan  untuk Bisnis  dan  Ekonomi .  Yogyakarta  : BPFE-Yogyakarta.
Fuad,  M,  dkk.  2006. Pengantar  Bisnis . Jakarta  :  PT.  Gramedia  Pustaka Utama.
Legowo.  1984. Dasar-Dasar  Kalkulus  dan Penerapanya dalam Ekonomi . Jakarta  :  Lembaga  Penerbitan Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia Mandaka,  Syafrudin,  and  M.  Parulian Hutagaol.  2016.  "Analisis  fungsi keuntungan,  efisiensi  ekonomi  dan kemungkinan  skema  kredit  bagi pengembangan skala usaha peternakan  sapi  perah  rakyat  di Kelurahan  Kebon  Pedes,  Kota Bogor." Jurnal  Agro  Ekonomi 23.2: 191-208. Mesra, B. 2016. Penerapan Ilmu Matematika  dalam  Ekonomi  dan Bisnis . Deepublish, 2016.
Susantun, Indah. 2000 "Fungsi keuntungan Cobb-Douglas  dalam  pendugaan efisiensi ekonomi relatif." Economic Journal  of  Emerging  Markets 5.2: 149-161.
Tarasova,  V.V.  and  Tarasov,  V.E.,  2016. Elasticity  for  Economic  Processes with Memory: Fractional Differential Calculus Approach. Fractional Differential  Calculus , 6 (2),  pp.219- 232.