## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646

## Proses berpikir fungsional siswa SMP dalam menyelesaikan soal matematika

## Eny Suryowati
Pendidikan Matematika, STKIP PGRI Jombang Email : enysuryowati@gmail.com

## Abstrak
Berpikir  fungsional  pada  penelitian  ini  merupakan  generalisasi  dari  suatu hubungan antara beberapa variabel. Proses berpikir fungsional pada penelitian ini  menggunakan  tahapan  berpikir  dalam  menyelesaikan  soal  atau  masalah matematika  yang  terdiri  dari  tahap  entry,  attack  dan  review.  Penelitian  ini merupakan penelitian kualitatif. Metode pengumpulan data pada penelitian ini melalui pemberian soal matematika dan wawancara. Soal matematika tersebut dikerjakan secara think aloud. Instrumen penelitian yang digunakan yaitu soal matematika  tentang  pola  dan  pedoman  wawancara.  Sebanyak  20  siswa  SMP kelas VII diberi soal matematika dan dua siswa dipilih untuk dianalisis proses berpikir fungsionalnya. Proses berpikir fungsional subjek pertama pada tahap entry yaitu memperoleh informasi yang terdapat pada soal. Pada tahap attack, subjek  pertama  menggunakan  strategi  dengan  membuat  tabel  tentang banyaknya  meja  dan  orang  yang  bisa  menempatinya  lalu  menemukan keteraturan pola. Pada tahap review,  subjek pertama memperluas keteraturan pola sesuai yang ditanyakan soal. Proses berpikir fungsional subjek kedua pada tahap  entry  sama  dengan  subjek  pertama.  Pada  tahap  attack,  subjek  kedua mencoba  mencari  cara  yang  sama  untuk  menghitung  banyaknya  orang  yang dapat  menempati  meja  sesuai  banyak  meja.  Pada  tahap  review,  subjek  kedua menerapkan  cara  yang  sudah  diperoleh  untuk  t  meja.  Proses  berpikir  subjek pertama  secara  parsial,  mengamati  keteraturan  pola  pada  setiap  bagian. Sedangkan  proses  berpikir  subjek  kedua  secara  induktif,  cara  yang  berlaku disetiap model diperluas sesuai yang ditanyakan pada soal.
Kata kunci: berpikir fungsional; generalisasi; pola

## Abstract
Functional thinking in this study is a generalization of a relationship between several variables. The functional thinking process in this study uses the stages of thinking in solving math problems or problems consisting of the entry, attack and review stages. This research is a qualitative research. Methods of data collection in  this  study  through  giving  math  questions  and  interviews. Mathematical problems are done think aloud. The research instrument used was mathematical questions about interview patterns and guidelines. A total of 20 grade VII junior high school students were given math questions and two students were selected to analyze their functional thinking processes. The first subject's functional thinking process at the entry stage is to obtain the information contained in the questions. In the attack stage, the first subject uses a strategy by making a table about the number of tables and people who can occupy it and then finding the regularity of the  pattern.  In  the  review  stage,  the  first  subject  expands  the  regularity  of  the pattern according to what is being asked about. The functional thinking process of the second subject at the entry stage is the same as the first subject. At the attack stage,  the  second  subject tries  to find the  same  way  to  calculate  the  number  of people who can occupy a table according to the number of tables. In the review

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
stage, the second subject applies the method already obtained for t table. The first subject's thought process partially, observing the regularity of patterns in each part.  While  the  second  subject's  thinking  process  inductively,  the  method  that applies in each model is expanded according to what is asked in the questions.
Keywords: functional thinking; generalization; pattern

## A. Pendahuluan
Salah satu komponen penting dalam belajar matematika adalah berpikir fungsional (Stephens dkk, 2012). Berpikir fungsional itu berkaitan tentang suatu  hubungan  antara  dua  atau  lebih  variabel  serta  generalisasi  suatu hubungan  beberapa  kuantitas  (Smith,  2003).  Hal  ini  sependapat  dengan Markworth (2010) yang menyatakan bahwa berpikir fungsional merupakan representasi berpikir yang fokus pada hubungan dua atau lebih variasi atau kuantitas. Menurut Blanton (2011) beberapa ciri berpikir fungsional antara lain  generalisasi  suatu  hubungan  antara  variabel,  hubungan  tersebut ditunjukkan  dalam  kata-kata,  simbol,  tabel  atau  grafik  serta  penalaran berbagai representasi untuk menganalisis sifat fungsi. Menurut Warren dan Cooper  (2005)  berpikir  fungsional  juga  membantu  dalam  mengembangkan hubungan  antara  operasi,  contohnya  jika  bilanganku  bertambah  2  dan sekarang 8, apakah bilanganku semula ?, ini membantu mendorong berpikir tentang  fungsi  pada  tahap  awal,  membantu  siswa  mengeksplorasi aritmatika,  membuat  koneksi  antara  beberapa  operasi,  menyediakan peluang  untuk  menduga  dan  justifikasi  pada  anak-anak.  Menurut  Pinto (2017) berpikir fungsional sebagai pendekatan berpikir aljabar. Jadi berpikir fungsional  merupakan  generalisasi  dari  suatu  hubungan  antara  beberapa variabel.
Pada penelitian ini siswa mengerjakan soal tentang pola bilangan yang membuat siswa melakukan proses generalisasi, sehingga siswa akan berpikir fungsional  dalam  menyelesaikan  soal  tersebut.  Proses  berpikir  fungsional pada  penelitian  ini  menggunakan  tahapan  berpikir  dalam  menyelesaikan soal  atau  masalah  matematika  yang  terdiri  dari  tahap entry , attack dan review (Mason  dan  Stacey,  2010).  Tahap entry ,  tahap  awal  dalam menyelesaikan  soal.  Tahap  ini  ditandai  dengan  perolehan  informasi  dari permasalahan  yang  diselesaikan.  Tahap attack ,  ditandai  dengan  adanya aktivitas  matematika,  menggunakan  strategi  untuk  menyelesaikan masalah.  Pada  tahap review ,  terdapat  aktivitas  memeriksa  jawaban, memperluas ke konteks yang lebih luas.
Indikator tahap entry antara lain menemukan informasi yang terdapat pada  soal  dan  menghubungkan  informasi  tersebut.  Indikator  tahap attack yaitu  menentukan  strategi  untuk  menyelesaikan  soal.  Indikator  tahap review antara  lain  memperluas  ke  konteks  yang  lebih  luas  dan    membuat kesimpulan. Jadi proses berpikir fungsional pada penelitian ini merupakan proses  seseorang  dalam  melakukan  aktivitas  mental  yang  terjadi  selama

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
menyelesaikan soal tentang pola bilangan. Proses tersebut melalui tiga tahap yaitu entry , attack dan review .
Soal  matematika  yang  digunakan  pada  penelitian  mengadaptasi  soal yang  digunakan  Carraher  dkk  pada  penelitiannya.  Penelitian  Carraher dilakukan  pada  kelas  3  sekolah  dasar  melalui  suatu  pembelajaran.  Hasil penelitian  Carraher  dkk  (2008)  menunjukkan  bahwa  siswa  kelas  3  dalam melakukan generalisasi melalui pengamatan di dalam pembelajaran. Siswa membuat  generalisasi  rekursif.  Ada  beberapa  cara  yang  digunakan  siswa melalui  bantuan  guru  untuk  menentukan  banyaknya  orang  yang  dapat menempati meja. Pertama, jika meja bertambah satu maka banyaknya orang yang  menempati  meja  sebelumnya  ditambah  2.  Kedua,  siswa  melengkapi tabel  dengan  menghitung  jumlah  orang  pada  meja  yang  terpisah  lalu menghitung  banyaknya  orang  yang  tidak  bisa  duduk  jika  meja  digabung kemudian untuk menentukan banyaknya orang yang dapat menempati meja yaitu mengurangi jumlah orang pada meja yang terpisah dengan banyaknya orang yang tidak bisa duduk jika meja digabung. Ketiga, banyaknya orang yang menempati meja ada dua sisi ( 𝑡 + 𝑡 ) kemudian ditambah 2 orang yang duduk di ujung kanan dan kiri meja (1 orang di ujung kanan dan 1 orang di ujung kiri) sehigga banyaknya orang yang menempati t meja yaitu ( 𝑡 + 𝑡 + 2) . Keempat dengan menambah 1 meja ( 𝑡 + 1) , setiap meja dua orang yang menempati sehingga banyaknya  orang yang menempati 𝑡 meja yaitu 2 ( 𝑡 + 1) . Soal tersebut diadopsi untuk diberikan kepada subjek penelitian.  Pada penelitian ini siswa kelas VII SMP menyelesaikan soal tersebut dengan cara yang berbeda dengan hasil penelitian tersebut. Selain itu pada penelitian ini akan  dideskripsikan  proses  berpikir  siswa  dalam  menyelesaikan  soal tersebut. Berdasarkan uraian di atas, rumusan masalah pada penelitian ini adalah  bagaimanakah  proses  berpikir  fungsional  siswa  SMP  dalam menyelesaikan soal matematika?.

## B. Metode Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  kualitatif.  Ada  beberapa  ciri  dari penelitian  kualitatif  yaitu  alamiah,  peneliti  tidak  membawa  subjek  pada situasi  yang  sudah  disiapkan  sebelumnya,  peneliti  merupakan  instrumen utama,  peneliti  sendiri  yang  mengumpulkan  data  melalui  media  perekam audio  visual,  peneliti  mengumpulkan  data  dari  berbagai  sumber  seperti wawancara,  hasil  tertulis  dari  subjek  dan think  aloud ,    untuk  analisa datanya secara induktif, peneliti membuat kategori-kategori secara induktif, peneliti membuat gambaran secara menyeluruh dari masalah yang diteliti (Creswell, 2010).
Metode  pengumpulan  data  pada  penelitian  ini  melalui  pemberian  soal matematika  dan  wawancara.  Soal  matematika  tersebut  dikerjakan  secara think aloud . Siswa mengerjakan soal matematika dengan menyuarakan apa yang dipikirkan dan dikerjakan. Instrumen penelitian yang digunakan yaitu

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
soal matematika tentang pola dan pedoman wawancara. Sebanyak 20 siswa SMP kelas VII diberi soal matematika dan dua siswa dipilih untuk dianalisis proses berpikir fungsionalnya. Penelitian ini dilakukan pada tahun 2017.

## C. Hasil dan Pembahasan

## Hasil Penelitian
Berikut soal matematika yang diberikan kepada siswa yaitu:
Disuatu restoran A, meja makan ditata dengan aturan satu meja dapat ditempati empat orang. Jika meja ditambahi satu lagi maka meja tersebut diletakkan  disampingnya  (berimpit  satu  sisinya)  begitu  seterusnya  seperti pada gambar berikut:
Jika banyak meja dalam restoran belum diketahui jumlahnya (misalkan ada t meja), berapa banyak orang yang bisa menempati meja tersebut?
Hasil  pakerjaan  siswa  yang  dianalisis  pada  penelitian  ini  sebanyak  2 siswa. Subjek penelitian yang pertama simbolkan S1 dan subjek penelitian yang kedua disimbolkan S2. Untuk peneliti disimbolkan P. Berikut paparan data dan hasil analisisnya kedua subjek tersebut.

## 1. Proses Berpikir Fungsional S1
Berikut hasil pekerjaan tertulis S1.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
Gambar 1. Hasil Pekerjaan Tertulis S1
Berikut hasil think aloud S1
Subjek membaca soal terlebih dahulu :
“ Di suatu restoran A, meja makan ditata dengan aturan satu meja dapat ditempati empat orang. Jika meja ditambah satu lagi maka meja tersebut diletakkan disampingnya (berimpit satu sisinya) begitu seterusnya seperti pada  gambar  berikut.    Satu  meja  ditempati  empat  orang,  dua  meja ditempati enam orang, tiga meja ditempati delapan orang. Jika banyak meja dalam restoran belum diketahui jumlahnya (misalnya ada t meja), berapa banyak orang yang bisa menempati meja tersebut ?. ”
Kemudian  subjek  menyelesaikan  soal  dengan  menyuarakan  apa  yang dipikirkan :
“ saya buat tabel untuk banyaknya meja dan banyaknya orang yang dapat duduk. Satu meja ada empat orang, dua meja ada enam orang, tiga meja ada delapan orang, empat meja ada sepuluh orang, lima meja ada ada dua belas orang, enam meja ada empat belas orang, tujuh meja ada enam belas  orang,  delapan  meja  ada  delapan  belas  orang  (subjek  sambil menggambar  meja  dan  menghitung  banyaknya  orang  yang  dapat menempati  meja  yang  dia  gambar  seperti  pada  gambar  1).  Jika  ada  t meja  berapa  banyak  orang  yang  dapat  menempati  meja tersebut?....emmm… dari gambar jika meja bertambah satu maka orang yang  dapat  duduk  bertambah  2.  Setiap  meja  ditempati  dua  orang berhadapan  lalu  ditambah  satu  orang  diujung  kanan  dan  satu  orang diujung kiri. Jadi jika ada t meja maka orang yang dapat duduk ada t dikali 2 ditambah 2, sama dengan (𝑡 × 2) + 2 orang. ”
Berikut hasil wawancara dengan S1 : P : “ mengapa saudara membuat tabel ? ” S1 : “ untuk mengetahui banyaknya orang yang dapat duduk dimeja yang saya gambar, kan di soalnya hanya ada tiga model gambar. ”
P : “ apa yang saudara dapatkan dari tabel tersebut ? ”
S1 : “ ya  jika  setiap  meja  bertambah  satu  maka  orang  yang  dapat duduk akan bertambah dua. ”
P : “ bagaimana  cara  saudara  menentukan  banyaknya  orang  yang dapat duduk jika ada t meja ? ”
S1 : “ ya  kan  satu  meja  dapat  diduduki  dua  orang  berhadapan ditambah satu orang disebelah kanan dan satu orang disebelah kiri meja. Begitu juga kalau ada dua meja berarti dua meja dikali

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
dua  (karena  setiap  meja  ada  dua  orang  berhadapan)  lalu ditambah satu orang yang duduk diujung sebelah kanan dan satu orang yang duduk diujung sebelah kiri meja. Begitu juga jika ada tiga meja, tinggal banyaknya meja dikalikan dua lalu ditambah dua. ” P : “ jadi  jika  ada  t  meja,  berapa  banyaknya  orang  yang  dapat duduk? ”
S1 : “ ya  ada (𝑡 × 2) + 2 orang,  t  kan  banyaknya  meja  dikali  dua karena setiap meja ada dua orang yang duduk berhadapan lalu ditambah dua karena ada dua orang yang duduk diujung meja (satu  orang duduk  diujung  meja  sebelah  kanan  dan satu  orang duduk diujung meja sebelah kiri). ”
Berdasarkan  hasil  pekerjaan  tertulis,  hasil think  aloud dan  hasil wawancara S1 dapat dideskripsikan proses berpikir fungsional dari S1. Pada tahap entry ,  S1  menemukan  informasi  yang  terdapat  pada  soal.  Informasi tersebut antara lain banyaknya meja dan orang yang duduk jika meja ada satu,  dua  dan  tiga.  Subjek  menghubungkan  banyaknya  meja  dan  banyak orang. Pada tahap attack , S1 menentukan strategi untuk menyelesaikan soal dengan  membuat  tabel  tentang  banyaknya  meja  dan  banyaknya  orang seperti  pada  gambar  1.  Berdasarkan  tabel  tersebut,  S1  menemukan keteraturan  pola  yaitu  jika  meja  bertambah  satu  maka  orang  yang  bisa duduk  juga  bertambah  sebanyak  dua.  Selain  itu  S1  menemukan  cara menghitung  banyaknya  orang  sesuai  dengan  banyaknya  meja.  Cara menghitungnya sebagai berikut :
Gambar 2. Ilustrasi Cara Menghitung S1
Cara yang ditemukan ini dari keteraturan pola atau gambar yang dibuat subjek.  Kemudian  S1  masuk  pada  tahap review ,  subjek  memperluas  ke konteks  yang  lebih  luas.  Subjek  menggunakan  cara  ini  untuk  diterapkan pada t meja  seperti  pekerjaan  tertulis  S1  yang  terdapat  pada  gambar  1. Kemudian S1 menyimpulkan banyaknya orang yang bisa menempati t meja yaitu (𝑡 × 2) + 2 orang.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646

## 2. Proses Berpikir Fungsional S2
Berikut hasil pekerjaan tertulis S2.
Gambar 3. Hasil Pekerjaan Tertulis S2
Berikut hasil think aloud S2
Subjek membaca soal terlebih dahulu :
“ Di suatu restoran A, meja makan ditata dengan aturan satu meja dapat ditempati empat orang. Jika meja ditambah satu lagi maka meja tersebut diletakkan disampingnya (berimpit satu sisinya) begitu seterusnya seperti pada gambar berikut.  Satu meja ini bisa ditempati empat orang, kalau dua meja bisa ditempati enam orang, tiga meja ditempati delapan orang. Jika banyak meja dalam restoran belum diketahui jumlahnya (misalnya ada t meja), berapa banyak orang yang bisa menempati meja tersebut ? ”
Kemudian  subjek  menyelesaikan  soal  dengan  menyuarakan  apa  yang dipikirkan, subjek mencoba-coba cara sampai menemukan cara yang sama untuk menentukan banyaknya orang:
“ dari  gambar  kalau  ada  satu  meja  maka  ada  empat  orang,  ini  bisa dihitung dengan cara 1 × 2 + 2 , kalau dua meja ada enam orang, ini bisa dihitung dengan cara 2 × 2 + 2 , dan seterusnya begitu juga berlaku untuk tiga  meja,  empat  meja…jadi  kalau  ada  t meja  maka  banyaknya  orang yang bisa duduk ada ( 𝑡 × 2) + 2 = 2𝑡  + 2 orang. ”
Berikut hasil wawancara dengan S2 : P  : “ bagaimana  cara  saudara  memperoleh  cara  untuk  menghitung banyaknya orang yang bisa menempati satu meja dan dua meja? ”
S2 : “ saya coba-coba, bagaimana menghitung banyaknya orang yang bisa menempati  satu  meja,  dua  meja… saya  cari  cara  yang  menghubungkan banyaknya meja dan banyaknya orang dan berlaku untuk semua…jadi kalau  satu  meja  maka  banyaknya  orang  yang  dapat  menempati  ada empat  orang  diperoleh  dengan  cara 1 × 2 + 2 ,  kalau  dua  meja  berarti 2 × 2 + 2 ”
P  : “ apa  maksud  angka-angka  tersebut  (sambil  menunjuk  ke  jawaban subjek) ? ”

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
S2 : “ 1 × 2 + 2 , angka 1 itu menunjukkan banyaknya meja. Angka 2 yang depan  itu  menunjukkan  banyaknya  orang  ini  (sambil  menunjukkan gambar) dan angka 2 yang belakang itu menunjukkan banyaknya orang yang duduk di kanan dan kiri meja. Jadi kalau ada 10 meja ya tinggal banyaknya  meja  diganti  10  jadi  ada  22  orang  yang  dapat  menempati meja ”
P  : “ bagaimana  saudara  menentukan  banyaknya  orang  yang  dapat menempati t meja ? ”
S2 : “ ya dari cara yang tadi…kan cara itu juga bisa untuk tiga meja, empat meja, lima  meja  dan  seterusnya  …tinggal  mengalikan  banyak  meja dengan dua dan ditambah dua. Jadi kalau ada t meja maka ada 𝑡 × 2 + 2 = 2𝑡 + 2 orang yang bisa menempatinya. ”
Berdasarkan  hasil  pekerjaan  tertulis,  hasil think  aloud dan  hasil wawancara S2 dapat dideskripsikan proses berpikir fungsional dari S2. Pada tahap entry , S2 memperoleh informasi dari soal tentang banyaknya meja dan banyaknya orang yang terdapat pada setiap model yang diketahui pada soal. Tahap attack ,  S2  mencoba-coba  strategi  atau  cara  untuk  menghitung banyaknya orang yang dapat menempati meja sesuai yang ada di soal. Subjek mencoba  menghubungkan  banyaknya  meja  dan  banyaknya  orang  yang menempati  meja  tersebut.  S2  mencari  cara  yang  dapat  digunakan  untuk menghitung banyaknya orang jika mejanya ada 1, ada 2 dan seterusnya. S2 menemukan  kesamaan  cara  untuk  menentukan  banyaknya  orang  yang berlaku  untuk  semua  (pada  meja  berapapun)  seperti  terlihat  pada  hasil pekerjaan tertulis S2 pada gambar 3.
Cara  yang  ditemukan  S2  untuk  menghitung  banyaknya  orang  yang menempati meja adalah banyaknya meja dikalikan dua kemudian ditambah dua. Pada tahap review , S2 menerapkan cara ini untuk t meja seperti terlihat pada  hasil  pekerjaan  tertulis  subjek.  Kemudian  subjek  menyimpulkan banyaknya orang yang dapat menempati t meja ada sebanyak ( 𝑡 × 2) + 2 = 2𝑡  + 2 orang.

## Pembahasan
Kedua  subjek  dalam  menyelesaikan  soal  pola  bilangan  menggunakan representasi  yang  berbeda  untuk  mengungkapkan  ide  dan  menyelesaikan soal. Subjek pertama menggunakan repesentasi gambar, angka dan simbol. Subjek kedua menggunakan representasi menggunakan representasi angka

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
dan simbol. Ini sesuai dengan pendapat Debrenti (2015) dan NCTM (2000) bahwa  representasi  merupakan  cara  yang  digunakan  siswa  untuk menemukan  solusi  dan  mengungkapkan  ide  atau  pemikiran  terhadap masalah yang dihadapi.
Hasil  penelitian  ini,  hasil  generalisasi  kedua  subjek  sama  dengan penelitian  Carraher,  dkk  (2008).  Subjek  menuliskan  secara  simbolik  hasil yang  diperoleh  (secara  aljabar).  Namun  strategi  yang  digunakan  berbeda, pada penelitian ini subjek pertama secara parsial dan subjek kedua secara induktif. Pada strategi secara induktif, proses generalisasi dilakukan dengan membangun keteraturan dalam proses yang muncul dalam  menyelesaikan soal.  Kemudian  dari  keteraturan  tersebut  disimpulkan  sesuai  yang ditanyakan  pada  soal.  Jadi  terdapat  proses  generalisasi  dan  hasil generalisasi sesuai pendapat Harel (2001).
Kedua  subjek  dalam  melakukan  generalisasi  diawali  dengan menghubungan  banyaknya  meja  dan  banyaknya  orang  yang  dapat menempati. Hal ini sesuai dengan aksi generalisasi yang diungkapkan Ellis (2007)  bahwa  aksi  generalisasi  yang  pertama  yaitu relating .  Pada  aksi relating terjadi aksi menghubungkan situasi atau objek yang terdapat pada soal.  Setelah  itu  subjek  pertama  mencari  keteraturan  pola  dengan mengamati  bagian  (unsur)  yang  terdapat  pada  gambar.  Sedangkan  subjek kedua  mencari  kesamaan  cara  untuk  menghitung  banyaknya  orang  yang menempati  meja.  Hal  ini  juga  sesuai  aksi  generalisasi  yang  diungkapkan Ellis (2007) bahwa aksi generalisasi yang kedua yaitu searching . Pada aksi searching terjadi aksi mencari kesamaan hubungan atau kesamaan prosedur atau  kesamaan  pola  atau  hasil.  Kemudian  kedua  subjek  memperluas keteraturan  yang  diperoleh  atau  keteraturan  cara/prosedur  sesuai  yang ditanyakan  soal.  Hal  ini  juga  sesuai  dengan  aksi  generalisasi  yang diungkapkan  Ellis  (2007)  bahwa  aksi  generalisasi  yang  ketiga  yaitu extending .  Pada  aksi extending ,  terjadi  aksi  memperluas  jangkauan penerapan atau menghilangkan hal-hal tertentu untuk mengembangkan ke kasus yang lebih umum atau melakukan operasi atau melanjutkan pola.

## D. Simpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  tersebut,  dapat  disimpulkan  proses berpikir  fungsional  subjek  sebagai  berikut:  S1  melalui  tahap entry memperoleh  informasi  yang  terdapat  pada  soal,  kemudian  dari  informasi tersebut  S1  menggunakan  strategi  dengan  membuat  tabel  tentang banyaknya meja dan orang yang menempati serta menemukan keteraturan pola,  ini  merupakan  tahap attack .  S1  mengamati  dan  menghubungkan banyaknya meja dan banyaknya orang pada setiap model.  Kemudian pada tahap review , S1 memperluas keteraturan pola sesuai yang ditanyakan pada soal.  Proses  berpikir  fungsional  S2  pada  tahap entry ,  subjek  memperoleh informasi  tentang  banyaknya  meja  dan  banyaknya  orang  yang  dapat menempati  meja.  Kemudian  pada  tahap attack ,  S2  mencoba  mencari  cara

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
yang sama untuk menghitung banyaknya orang yang dapat menempati meja sesuai yang ada di soal. Pada tahap review , S2 menerapkan cara yang sudah diperoleh untuk t meja. Berdasarkan proses berpikir kedua subjek tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa proses berpikir fungsional subjek pertama secara  parsial  karena  subjek  mengamati  keteraturan  pola  pada  setiap bagian. Sedangkan proses berpikir fungsional subjek kedua secara induktif karena cara yang berlaku disetiap model diperluas sesuai yang ditanyakan pada soal (diterapkan untuk t meja).

## E. Daftar Pustaka
Blanton, M, Levi, L., Crites, T., & Dougherty, B. (2011). Developing Essential Understanding  of  Algebraic  Thinking  for  Teaching  Mathematics  in Grades 3-5 . Reston, VA: NCTM. Carraher, D.W., Martines, M.V., & Schliemann, A.D.  (2008). Early Algebra and Mathematical Generalization . ZDM Mathematics Education , 40 , 3 – 22.
Creswell,  J.  (2010). Research  Design :  Qualitative,  Quantitative  and  Mixed Methods Approaches . California: Saga Publication. Debrenti,  E.  (2015).  Visual  Representations  in  Mathematics  Teaching:  An Experiment with Students. Acta Didactica Napocensia , 8 (1), 19 – 25. Ellis,  A.B.  (2007).  A  Taxonomy  for  Categorizing  Generalizations : Generalizing  Actions  and  Reflection  Generalizations. The    Journal  of The Learning Sciences , 16 (2), 221 – 262.
Harel,  G.  (2001).  The  development  of  mathematical  induction  as  a  proof scheme:A model for DNR-based instruction. In S. Campbell & R. Zazkis (Eds.), Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction (pp. 184-212). Westport, CT: Greenwoood Press. Markworth,  K.  (2010). Growing  and  Growing:  Promoting  Functional Thinking with Geometric Growing Patterns (Doctoral dissertation, The University  of  North  Carolina,  Chapel  Hill)  diunduh  dari https://core.ac.uk/download/pdf/210600357.pdf.
Mason,  J.,  Stacey,  K.,  &  Burton,  L.  (2010). Thinking  Mathematically . Edinburgh: Pearson.
NCTM.  (2000). Principles  and  Standards  for  School  Mathematics .  Reston: The National  Council of Teachers of Mathematics.             . Pinto, E., Canadas, M. (2017). Functional thinking and generalisation in third year  of  primary  school .  Proceedings  of  the  Tent  Congress  of  the European Society for Research in Mathematics Education, Institute of Education, Dubin City. Diunduh dari
https://www.researchgate.net/publication/312625577_Functional_thinking_a nd_generalisation_in_third_year_of_primary_school.
Smith,  E.  (2003).  Stasis  and  change:  Integrating  patterns,  functions,  and algebra throughout the K-12 curriculum. In J. Kilpatrick, W. G. Martin,
& D. Schifter (Eds.), A Research Companion to

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 1 April 2021 e-ISSN 2579-7646
Principles  and  Standards  of  School  Mathematics (pp.  136 – 150). Reston,VA:NationalCouncilof Teachers of Mathematics. Stephens,  A.,  Baykal,  I.,  dan  Marum,  T.  (2012). From  Recursive  Pattern To  Correspondence  Rule:  Developing  Students’  Abilities  To  Engage  in Functional  Thinking .  Proceedings  of  the  34th  Annual  Meeting  of  the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education , Western Michigan University . Diunduh dari https://www.researchgate.net/publication/304526974_From_recursive_ pattern_to_correspondence_rule_Developing_students'_abilities_to_eng age_in_functional_thinking.
Warren, E., & Cooper, T. (2005). Introducing Functional Thinking in year 2: A Case Study of  Early Algebra Teaching. Contemporary Issues in Early Childhood , 6(2).