Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 266-285 DOI: 10.20956/j.v19i2.22301

## Mathematical Model of COVID-19 with Quarantine and Vaccination

## Model Matematika Penyebaran Covid-19 Dengan Karantina Dan Vaksinasi
Muhammad Rifki Nisardi 1* , Sulma 2* , Hukmah 3* , Suriani 4* , Syamsuddin Toaha 5**
* Program Studi Ilmu Aktuaria FSAINS-UM Bulukumba
** Program Studi Magister Matematika FMIPA-UNHAS
E-mail: muhammadrifkinisardi@umbulukumba.ac.id 1 , sulma@umbulukumba.ac.id 2 , hukmah@umbulukumba.ic.id 3 , suriani@umbulukumba.ac.id 4 , syamsuddint@yahoo.com 5
Received: 26 August  2022; Accepted: 6 October 2022; Published: 5 January 2023

## Abstract
We  present  a  mathematical  model  of  COVID-19  disease  by  modifying  the  SEIR  model.  The model considers two additional compartments, quarantine (Q) and vaccination (V) which aim to control  the  spread  of  COVID-19.  Based  on  the  model,  we  obtained  a  disease-free  equilibrium point and an endemic equilibrium point. The basic reproduction numbers were calculated using the next-generation matrix method. In this model, we analyzed the stability conditions that must be  satisfied  by  the  defining  parameters.  We  perform  data  on  the  spread  of  COVID-19  in Indonesia for estimation to provide the parameter value in the model. Based on the result, there is an influence of changes in several parameter values on the number of individuals infected with COVID-19.
Keywords: SEIR-VQ Model, Basic Reproduction Numbers, Next Generation Matrix .

## Abstrak
Dalam  penelitian  ini,  diberikan  model  matematika  penyebaran  penyakit  COVID-19  dengan memodifikasi  model  SEIR.  Model  yang  digunakan  mempertimbangkan  dua  kompartemen tambahan yaitu karantina (Q) dan vaksinasi (V) sebagai usaha untuk mengendalikan penyebaran COVID-19.  Berdasarkan  model  yang  telah  dibangun,  diperoleh  titik  kesetimbangan  bebas penyakit  dan  titik  kesetimbangan  endemik.  Nilai  bilangan  reproduksi  dasar ( ) dihitung dengan  menggunakan  metode  matriks next  generation. Dalam  model  ini  juga  diperoleh  syarat kestabilan  yang  harus  dipenuhi  oleh  parameter  yang  telah  didefinisikan.  Data  penyebaran COVID-19  di  Indonesia  digunakan  untuk  memberikan  estimasi  nilai  parameter  pada  model. Berdasarkan analisa yang diperoleh, terdapat pengaruh dari perubahan beberapa nilai parameter terhadap jumlah individu terinfeksi COVID-19.
Kata kunci: Model SEIR-VQ, Bilangan Reproduksi Dasar, Matriks Next Generation.
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha

## 1.  PENDAHULUAN
COVID-19 atau Coronavirus-disease-2019 adalah penyakit infeksi yang disebabkan oleh suatu mutasi  baru  dari  virus  corona  yang  disebut  sebagai “Severe  Acute  Respiratory  Syndrome Coronavirus  2  (SARS-CoV-2)”. Virus  ini  diketahui  pertama  kali  tercatat  pada  Desember  2019  di kota Wuhan, Republik Rakyat Tiongkok. Virus COVID-19 bertransmisi dari manusia ke manusia ( Human to Human ). Dalam proses penyebarannya, virus tersebut akan menginfeksi melalui droplet dari hidung ataupun mulut seseorang yang terinfeksi COVID-19 baik ketika bersin, batuk maupun ketika  sedang  berbicara  dengan  jarak  yang  terlalu  dekat[1].  Sejak  kemunculan  virus  tersebut, berbagai  negara  telah  mencoba  melakukan  upaya  untuk  mengurangi  transmisi  virus  dengan berbagai  tindakan  pencegahan.  Hal  tersebut  juga  dilakukan  oleh  Indonesia  pada  awal  masa pandemik  COVID-19.  Pemerintah  memberlakukan  kebijakan  untuk  membatasi  interaksi  antar individu  yang  dikenal  dengan  istilah  PSBB  dan  PPKM.  Kemudian,  masyarakat  dihimbau  untuk patuh  pada  protokol  kesehatan  yang  berlaku,  termasuk  penggunaan  masker  dan  menjaga kebersihan.
Beberapa  model  matematika  mengenai  pemodelan  penyakit  seperti Susceptible-Infectious- Recovered (SIR) , SEIR dan SEIRS telah banyak digunakan untuk membantu menjelaskan berbagai macam  jenis  penyebaran  penyakit  disertai  dengan  asumsi-asumsi  yang  ada  pada  model  tersebut. Contohnya  adalah  penyebaran  penyakit TBC,  Demam  Berdarah  (DBD)  atau  HIV-AIDS  dan  lain- lain.  [3-7,12-13] . Model  matematika  mengenai  penyebaran  COVID-19  juga  telah  banyak  diteliti oleh banyak peneliti yang mengkaji tentang dinamika penyebaran penyakit tersebut dalam populasi [2,8-11,14].  Pada  artikel  [1]  peneliti  mengkaji  tentang  penyebaran  COVID-19  dengan mempertimbangkan Social  Distancing dan Rapid  test. Dalam  penelitiannya,  digunakan  model SEIAR dengan membagai kompartemen terinfeksi tanpa gejala (A) menjadi dua subpopulasi yaitu individu terinfeksi tanpa gejala yang terdeteksi COVID-19 dan tidak terdeteksi.
Pada  penelitian  ini,  model  yang  akan  diangkat  adalah  model  matematika  SEIRQV  dengan dengan  mempertimbangkan  kompartemen  karantina  (Q)  dan  vaksinasi  (V)  sebagai  bentuk  usaha dalam  mengurangi  penyebaran  COVID-19  dalam  populasi.  Selain  itu,  akan  ditentukan  titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik kemudian akan dilakukan analisa kestabilan  lokal  untuk  setiap  titik  kesetimbangan  yang  diperoleh.  Bilangan  reproduksi  dasar  juga akan dihitung berdasarkan hasil estimasi parameter dari data real COVID-19 di Indonesia.
Dalam  artikel  ini  terdiri  dari  beberapa  sub  bagian.  Bagian  1  merupakan  pendahuluan  dari penelitian ini dan formulasi model matematika dengan mempertimbangkan skema karantina dalam populasi.  Pada  bagian  2  diperoleh  hasil  dan  pembahasan  dari  penelitian  ini.  Selain  itu,  memuat estimasi  parameter  dan  simulasi  numerik  dengan  mempertimbangkan  berbagai  skenario  untuk melihat  pengaruh  dari  perubahan  nilai  parameter  tersebut.  Bagian  3  berisi  kesimpulan  dari penelitian ini.
Model  penyebaran  COVID-19  yang  dibangun  terdiri  dari  enam  kompartemen.  Setiap kompartemen merepresentasikan status kesehatan yang berbeda-beda satu sama lain. Kompartemen tersebut terdiri atas individu yang rentan dan belum mendapatkan vaksin ( ) ; Individu rentan yang telah  mendapatkan  vaksin ( ) ;  Individu  yang  berada  dalam  masa  inkubasi  COVID-19 ( ) ; Individu  yang  terinfeksi  COVID-19 ( ) ;  Individu  yang  menjalani  karantina ( ) ;  Individu  yang dinyatakan sembuh dari COVID-19 ( ) .
Individu  yang  berada  dalam  kompartemen akan  bertambah  dikarenakan  adanya  kelahiran alami  sebesar dan  akan  berkurang  dikarenakan  adanya  vaksinasi  dengan  tingkat ,  adanya kematian  alami  dengan  tingkat serta  adanya  interaksi  individu  rentan  dengan  individu  yang

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
terinfeksi dengan tingkat transmisi kontak sebesar sehingga individu yang terinfeksi berpindah ke kompartemen .
Kompartemen  rentan  yang  telah  mendapatkan  vaksin akan  bertambah  akibat  adanya individu  rentan  yang  telah  mendapatkan  proteksi  vaksin  dengan  tingkat dan  akan  berkurang dikarenakan  adanya  kematian  alami  serta  perpindahan  menuju  kompartemen  yang  berada  dalam periode  inkubasi  dikarenakan  kontak  dengan  individu  terinfeksi  COVID-19.  Individu  yang  telah mendapatkan vaksin, memiliki pengurangan resiko infeksi sebesar (     ) , diman adalah tingkat efikasi vaksin yang digunakan.
Kompartemen akan  bertambah  dikarenakan  individu  yang  berpindah  dari  kompartemen dan setelah  mengalami  kontak  dengan  individu  yang  terinfeksi  COVID-19.  Setelah  periode inkubasi  berakhir,  maka  individu  tersebut  akan  berpindah  ke  kompartemen dengan  tingkat perpindahan  dari  masa  inkubasi  ke  infeksi  sebesar .  Kompartemen  ini  juga  akan  mengalami pengurangan dikarenakan adanya kematian alami.
Kompartemen  terinfeksi bertambah  karena  adanya  individu  yang  selesai  menjalani  masa inkubasi COVID-19. Individu yang merasakan gejala akan diminta untuk menjalani karantina, baik secara  mandiri  maupun  di  fasilitas  kesehatan  yang  telah  disediakan  dengan  proporsi  sebesar . Individu yang terinfeksi dan tidak menjalankan karantina selanjutnya akan  menjadi individu yang menyebabkan infeksi baru dan diasumsikan akan sembuh secara alami dengan tingkat kesembuhan .  Selain  itu,  kompartemen  ini  akan  berkurang  ketika  individunya  mengalami  kematian. Komparteman  karantina akan  bertambah  ketika  adanya  individu  terinfeksi  yang  melaksanakan karantina dan akan berkurang ketika ada individu yang sembuh dengan tingkat kesembuhan sebesar . Interaksi antar kompartemen dapat dilihat pada Gambar (1).
Gambar 1. Interaksi antar kompartemen model penyebaran COVID-19 dengan vaksinasi dan karantina
Berdasarkan  asumsi  dan  bentuk  hubungan  yang  telah  diberikan,  maka  model  matematika penyebaran COVID-19 dibangun sebagai berikut
(     )
(     )(     )
(     ) (     )(     )
(     ) (1.1)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha

## (     )
Setiap parameter yang digunakan diasumsikan bernilai positif.
Berikut diberikan definisi yang digunakan pada hasil yang diperoleh. Definisi 1.1 [6] Normalisasi indeks sensitivitas diperoleh dengan normalisasi dari variabel V yang terdiferensial pada parameter p, didefinisikan sebagai berikut:
dimana V aalah variabel yang akan dianalisis dengan p adalah parameter.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 2.1. Analisis Solusi Non-Negative dan Keterbatasan Solusi
Sistem (1.1) merupakan sistem yang melibatkan interaksi antar populasi sehingga solusi dari sistem  harus  positif  dan  terbatas.  Untuk  Sistem  (1.1)  didefinisikan  suatu  feasible  region sedemikian sehingga {(                ) ( ) } .
Teorema 2.1. Semua solusi dari Sistem (1.1) yang berada dalam merupakan solusi yang non-negative dan terbatas.
Bukti:
Pembuktian diawali dengan menunjukkan bahwa solusi pada Sistem (1.1) merupakan solusi yang non-negative dan  terbatas.  Pertama,  Misalkan ( )    ( )    ( )    ( )    ( )    ( ) ( ) ,  akan  ditunjukkan  bahwa  solusi  dari  Sistem  (1.1) non-negative .  Pembuktian  solusi non- negative akan diberikan dari poin a)-f).
a) Dari persamaan pertama dari Sistem (1.1) diperoleh
(     ) (     (     ) )
Karena ( )    ( ) diperoleh
(     (     )    )
dengan (     ) . Kemudian diperoleh ( )    ( ) untuk mengakibatkan . Dengan kata lain ( ) untuk . b) Dari persamaan kedua dari Sistem (1.1) diperoleh (     )(     ) ( (     )(     ) *
Karena ( )    ( ) diperoleh
( (     )(     )    )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
dengan (     )(     ) . Kemudian diperoleh ( )    ( ) untuk mengakibatkan . Dengan kata lain ( ) untuk . c) Dari persamaan ketiga dari Sistem (1.1) diperoleh (     ) (     )(     ) (     )
Selanjutnya diperoleh
( )    ( ) (   ) untuk mengakibatkan (   ) . Dengan kata lain ( ) untuk . d) Dari persamaan keempat dari Sistem (1.1) diperoleh
(     )                ( (     )         )
dengan (     ) . Kemudian diperoleh ( )    ( ) untuk mengakibatkan . Dengan kata lain ( ) untuk .
e) Dari persamaan kelima dari Sistem (1.1) diperoleh

## (     )
Selanjutnya diperoleh
( )    ( ) (   ) untuk mengakibatkan (   ) . Dengan kata lain ( ) untuk .
f) Dari persamaan terakhir dari Sistem (1.1) diperoleh

## (     )
Selanjutnya diperoleh ( )    ( ) untuk mengakibatkan . Dengan kata lain ( ) untuk .
Berdasarkan permbuktian pada poin a) – f), terbukti bahwa solusi Sistem (1.1) merupakan solusi yang non-negative.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa solusi Sistem (1.1) terbatas. Diketahui bahwa ( )    ( ) ( )    ( )    ( )    ( )    ( ) . Dari Sistem (1.1) diperoleh

## (                     )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Karena ( ) maka sehingga  diperoleh atau ( ) .    Jadi  terbukti bahwa solusi Sistem (1.1) terbatas.

## 2.1 Normalisasi Model
Sistem  (1.1)  merupakan  model  yang  melibatkan  populasi  individu.  Populasi  individu dinyatakan  dalam  jumlah  orang/individu  dalam  nilai  yang  besar.  Untuk  menyederhanakan perhitungan, maka setiap kompartemen dinyatakan sebagai berikut
(2.1)
dimana menyatakan  proporsi  setiap  kompartemen  terhadap  total  populasi. Dengan mensubtitusi Persamaan (2.1) ke Sistem (1.1) diperoleh
(     )
(     )(     )
(     ) (     )(     ) (     ) (     ) (2.2)

## 2.2 Titik Kesetimbangan Model
Titik kesetimbangan Sistem (2.2) diperoleh ketika
Dalam kasus model penyebaran COVID-19, terdapat dua jenis titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik  kesetimbangan  endemik.  Titik  kesetimbangan  bebas penyakit  ditandai  dengan yang  bermakna  tidak  ada  individu  terinfeksi  yang  menularkan COVID-19 kepada individu lain. Dengan mengasumsikan lalu mensubtitusi nilai tersebut ke
Sistem (2.2), diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit ( )   ( * (2.3)
Selain kondisi bebas penyakit, terdapat juga kondisi yang disebut sebagai kondisi endemik. Kondisi endemik terjadi ketika yang bermakna bahwa masih terdapat individu terinfeksi yang dapat menularkan COVID-19 kepada individu lain dalam populasi. Sehingga dengan kata lain,  COVID- 19 masih akan terus ada dalam populasi. Adapun titik kesetimbangan endemik untuk Sistem (2.2) diperoleh

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
( ) (2.4) dengan dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan yang bergantung pada
sebagai berikut.
(     ) ( (     ) (     ))( (     )(     ) ) (2.5) dimana (   ) (   ) . Kondisi endemik terjadi ketika Hal
tersebut dapat diperoleh dari akar real positif dari polynomial ( ) berderajat tiga berikut ( ) (2.6)
dengan
(     ) (     )(     ) (     )( (     )(     )(     )    (     )) (     )(     ) (     ) (     ) (     ) (     )
2.3 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  akan  dihitung  dengan  menggunakan  metode Next  Generation Matrix (NGM).  Misalkan ( ) adalah  laju  penambahan  infeksi  baru  dan ( ) adalah  laju perpindahan indvidu, sehingga diperoleh ( ) dan ( ) sebagai berikut
( (     ) (     )(     )
+ (2.7) ( (     ) + (2.8)
Kemudian, diperoleh matriks dan sebagai berikut ( ) ( (     ) (     )(     )
+ ( (     ) (     )(     )
,
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
( ) ( (     ) + Selanjutnya, invers dari matriks adalah ( (     )( (     )         ) (     ) (     )( (     )         )(     ) (     )( (     )         ) ) Dari matriks dan yang telah didapatkan, diperoleh matriks ( (     )(     (     )) (     )(     )(         (     ) ) (     )(     (     )) (     )(         (     ) ) , Matriks tersebut merupakan matriks generasi yang memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut:
( ) ( (     )(     (     )) (     )(     )(         (     ) ) ) (2.9) Dari  persamaan  karakteristik  (2.9),  diperoleh  akar-akar  karakteristik  yaitu ((   )   (   )) (   )(   )(     (   ) ) Karena  nilai  bilangan  reproduksi  dasar  adalah radius  spectral dari atau dengan kata lain ( ) , maka diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar (     ) (     (     )) (     )(     )(         (     ) ) (2.10)

## 2.4 Analisis Sensitivitas Parameter terhadap
Analisis  sensitivitas  bilangan  reproduksi  dasar  dilakukan  untuk  mengetahui  pengaruh  suatu parameter terhadap bilangan reproduksi dasar tersebut. Dalam kasus ini, variabel yang akan diukur adalah  bilangan  reproduksi  dasar  model  penyebaran  COVID-19  terhadap  beberapa  parameter terkait.  Selanjutnya  akan  dianalisis  efek  dari  beberapa  parameter  terhadap  bilangan  reproduksi dasar sebagai berikut
1) Parameter terhadap
( (     )(     (     )) (     )(     )(         (     ) ) ) (     ) (     (     )) (     )(     )(         (     ) )
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Analisis  sensitivitas  parameter terhadap menunjukkan  nilai  positif  yang  berarti peningkatan  parameter berbanding  lurus  dengan  peningkatan .  Index  sensitivitas  sebesar  1
menunjukkan bahwa kenaikan nilai akan mengakibatkan kenaikan nilai sebesar . 2) Parameter terhadap ( ((     )     (     )) (     )(     )(         (     ) ) ) ((     )     (     )) (     )(     )(         (     ) ) (     (     ))(     )
Analisis sensitivitas parameter terhadap menunjukkan nilai negatif. Index sensitivitas negatif berarti hubungan antara perubahan nilai parameter dan berbanding terbalik. Peningkatan nilai parameter mengakibatkan penurunan nilai dari .
3) Parameter terhadap
( (     ) (     (     )) (     )(     )(         (     ) ) ) (     ) (     (     )) (     )(     )(         (     ) ) (     ) (     )     (     )(     )
Analisis sensitivitas parameter terhadap menunjukkan nilai yang negatif. Hal tersebut berarti hubungan  antara  perubahan  nilai  parameter dan berbanding  terbalik.  Peningkatan  nilai parameter mengakibatkan penurunan nilai dari dan sebaliknya.
4) Parameter terhadap
( (     ) (     (     )) (     )(     )(         (     ) ) ) (     ) (     (     )) (     )(     )(         (     ) ) (     ) (     )(    (     )      )
Berdasarkan hasil analisis sensitivitas parameter terhadap , diperoleh hasil yang menunjukkan nilai indeks yang negatif. Hal tersebut berarti hubungan antara perubahan nilai parameter dan berbanding  terbalik.  Peningkatan  nilai  parameter mengakibatkan  penurunan  nilai  dari dan sebaliknya.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha

## 2.5 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Berdasarkan Sistem (2.2) dapat diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut
[ (     )
(     ) (     )(     ) (     )(     ) (     ) (     )(     ) (     )( (     ) ) (     ) (     ) ] (2.11)
Subtitusi titik kesetimbangan bebas penyakit pada Persamaan (2.3), maka diperoleh
( ) [
(     )
(     )(     ) (   )(  (   ) )
(     ) (     ) ] , (2.12)

## Dengan misalkan
(     ) (     )(     ) Selanjutnya diperoleh ( ) [
(     )
(     ) ]
. (2.13)
Dari  Persamaan  (2.13),  persamaan  karakteristik  diperoleh  dari ( ( )     ) .  Kemudian diperoleh
(         )(     ) (         )( ) (2.14) dengan (     ) (     (     )     )    ( (     ) )
Berdasarkan Persamaan (2.14), diperoleh enam nilai eigen yang didefinisikan sebagai berikut

## Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Karena setiap parameter yang digunakan dalam Sistem (2.2) bernilai positif, mengakibatkan untuk dan bernilai  negatif.  Hal  tersebut  membuat  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan  bebas penyakit bergantung pada nilai eigen dan yang diperoleh dari persamaan
( ) (2.15)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, ( ) memiliki nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya jika memenuhi
 Untuk syarat pertama

## (     )
Karena setiap parameter bernilai positif, maka jelas bahwa
 Untuk syarat kedua | | Karena , maka akan dipenuhi jika dan hanya jika (     ) .
Selanjutnya,  untuk  menentukan  kestabilan  titik  kesetimbangan  endemik,  subtitusi  titik kesetimbangan endemik (2.4) pada matriks Jacobi (2.11), diperoleh
( ) [ (     )
(     ) (     )(     ) (     )(     ) (     ) (     )(     ) (     )( (     ) ) (     ) (     ) ] . (2.16)
Kemudian, dengan melakukan pemisalan untuk penyederhanaan diperoleh
( ) [ ( ) (     ) ]
, (2.17)
dengan (     ) , (     ) , (     )(     ) , , (     ) ,
, (     ) ,
.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Berdasarkan Persamaan (2.17), diperoleh enam nilai eigen dengan dua nilai eigen dan dapat didefinisikan sebagai berikut Untuk diperoleh dari persamaan karakteristik berikut ( ) (2.18) dimana ( ) ( )    ( )    ( ) (( )    ( ) ( ) ) ( ( )   ( ) ) ( ) , (( ( ) ) ( )) ( ( )) . Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, ( ) memiliki nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan
hanya jika memenuhi , | | , | | , dan |
| .

## 2.6 Simulasi Numerik
Estimasi  parameter  adalah  pendugaan  karakteristik  populasi  (parameter)  dengan menggunakan karakteristik  sampel (statistik). Dalam model ini, terdapat beberapa parameter yang nilainya  akan  diestimasi  menggunakan  data  yang  telah  dikumpulkan  dari  situs  kawalcovid19.id. Data  tersebut  merupakan  data  harian  COVID-19  untuk  daerah  Indonesia  terhitung  dari  interval waktu  01  April  2022  -  01  Juli  2022.  Estimasi  nilai  parameter  model  dilakukan  dengan meminimalkan fungsi tujuan dari fungsi nonlinier multivariabel dengan bantuan toolbox ‘fmincon’ pada Matlab. Data COVID-19 yang digunakan pada esetimasi parameter adalah jumlah kasus aktif yang didefinisikan sebagai
dimana kasus aktif COVID-19, kasus konfirmasi COVID-19, kasus meninggal COVID-19, kasus sembuh COVID-19.
Hasil  yang  diperoleh  dari  estimasi  parameter  tersebut  akan  digunakan  dalam  memodelkan  Sistem (2.2). Adapun beberapa parameter dan nilai awal yang diperoleh dapat dilihat dalam Tabel 2.1 dan Tabel 2.2 sebagai berikut

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Tabel 2.1 Nilai Parameter dari Sistem (2.2) Parameter Nilai Sumber Diestimasi Asumsi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Tabel 2.2 Nilai Awal Variabel dari Sistem (2.2) Kompartemen Nilai Awal Sumber Asumsi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Diestimasi Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel (2.1), (2.2) dan masing-masing nilai awal , , , , , , diperoleh titik kesetimbangan non endemik * + dengan  nilai eigen  pada  titik  kesetimbangan  tersebut  adalah , , , , , .  Karena  semua  nilai
eigen  bernilai  negatif  maka  berdasarkan  syarat  kestabilan  titik  kesetimbangan  non  endemik adalah  stabil  asimtotik.  Diperoleh  nilai
yang  menunjukkan  bahwa selama  masa  infeksi  terjadi  interaksi  tidak  menghasilkan  kasus  sekunder  dari  kasus  primer tersebut,  dengan  kata  lain  besaran  tersebut  menunjukkan  bahwa  solusi  akan  menuju  kepada titik kesetimbangan non endemik.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Gambar  2.1 Grafik  perubahan  kompartemen  Susceptible  ( ),  Vaccinated  ( ),  Exposed  ( ), Infected ( ), Quarantine ( ), dan Recovered ( )
Gambar 2.1. (a) menunjukkan bahwa populasi Susceptible ( ) yakni populasi rentan yang tidak  divaksinasi  berkurang  sejak  awal,  dikarenakan  adanya  perpindahan  dari  populasi ke Vaccinated ( ) dan kompartemen Exposed ( ) sehingga menuju ke nol disekitar hari. Kemudian,  populasi Vaccinated ( )  bertambah  karena  bertambahnya  jumlah  populasi  yang divaksin  begitupun  dengan  populasi Recovered ( )  yang  bertambah  sejak  awal  kemudian menuju ke titik kesetimbangan karena adanya laju kesembuhan dari populasi dan . Gambar 2.1 (b) menunjukkan bahwa populasi Exposed ( ) bertambah sejak awal (dari nilai awal yang diberikan)  mencapai  titik  puncak  karena  ada  perpindahan  dari  kompartemen Susceptible ( ),
kemudian kembali berkurang di sekitar hari kemudian menuju ke titik kesetimbangan
bebas  penyakit  disekitar
hari.  Selanjutnya,  populasi Infected ( )  yang  awalnya berkurang  kemudian  bertambah  dan  kembali  berkurang  di  sekitar
hari  dikarenakan adanya tingkat kesembuhan secara alami sehingga berpindah ke kompartemen Recovered ( ). Begitupun  dengan  kompartemen Quarantined ( )  yang  awalnya  bertambah  sehingga mencapai titik puncak dan berkurang disekitar
hari kemudian menuju ke nol disekitar hari.  Berkurangnya  populasi  yang  dikarantina  sehingga  menuju  ke  nol,  tidak  lain karena  disekitar hari  jumlah  populasi Exposed ( )  dan Infected ( )  terlebih  dahulu menuju  ke  nol.  Sehingga,  berdasarkan  grafik  diperoleh  bahwa  untuk hari  tidak  perlu lagi  ada  pembatasan  interaksi  antara  populasi  karena  populasi  terinfeksi  sudah  tidak  ada  di dalam sistem.
(b) (a)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Gambar 2.2 Grafik perubahan populasi terinfeksi dengan nilai parameter yang berbeda
Pada  Gambar  2.2,  diberikan  simulasi  yang  menunjukkan  bahwa  untuk  nilai
dan jumlah  populasi  terinfeksi  awalnya  berkurang  kemudian  kembali  bertambah  disekitar hari, kemudian kembali berkurang disekitar
hari. Dari kedua grafik tersebut terlihat bahwa semakin tinggi nilai parameter maka jumlah populasi terinfeksi akan bertambah dari nilai awal  yang  diberikan.  Dengan  kata  lain,  semakin  tinggi  laju  interaksi  antara  populasi  rentan  dan terinfeksi  maka  jumlah  orang  yang  terinfeksi  akan  bertambah,  tetapi  kembali  berkurang dikarenakan  adanya  kebijakan  karantina  dan  laju  kesembuhan  alami  pada  populasi  terinfeksi. Sedangkan,  untuk  nilai menunjukkan  bahwa  populasi  terinfeksi  berkurang  sejak  awal dan  menuju  ke  nol  disekitar hari.  Artinya,  populasi  terinfeksi  akan  lebih  cepat  berkurang jika laju interaksi semakin kecil.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Gambar 2.3 Grafik perubahan populasi terinfeksi dengan nilai parameter yang berbeda
Grafik populasi terinfeksi pada Gambar 2.3, menunjukkan untuk nilai yang berarti bahwa jika sebanyak 85% populasi dikarantina mengakibatkan populasi terinfeksi akan berkurang sejak  awal.  Akan  tetapi,  jika  nilai  parameter dikurangi  akibatnya  populasi  terinfeksi  semakin lambat menuju nol. Berdasarkan simulasi pada Gambar 2.3 terlihat bahwa jika hanya 60% populasi yang  dikarantina  maka  populasi  terinfeksi  akan  bertambah  sejak  awal  waktu,  dan  kemudian berkurang disekitar hari. Oleh karena itu, tingkat karantina perlu diberikan dalam proporsi yag cukup besar agar dapat menekan peningkatan jumlah populasi terinfeksi.
Hasil  yang  diperoleh  dari  simulasi  tersebut  sejalan  dengan  yang  diperoleh  pada  penelitian [1]. Simulasi dengan skema penurunan laju interaksi suatu populasi dapat berupa social distancing, serta  peningkatan  proporsi  karantina mampu  menurunkan  jumlah  infeksi  COVID-19.  Sebaliknya, skenario  peningkatan  nilai  parameter berarti  adanya  interaksi  individu  yang  lebih  banyak  yang diakibatkan  oleh  perenggangan social  distancing serta  penurunan  proporsi  individu  yang dikarantina memberikan dampak peningkatan jumlah individu terinfeksi COVID-19.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Gambar 2.4 Grafik perubahan populasi terinfeksi dengan nilai parameter yang berbeda.
Gambar  2.4  menunjukkan  pengaruh  pemberian  vaksinasi  sebagai  tindakan  preventif  untuk mencegah  bertambahnya  jumlah  populasi  yang  terinfeksi.  Untuk  nilai memberikan pengaruh terhadap pengurangan populasi terinfeksi sejak awal, akan tetapi jika nilainya dikurangi menjadi akibatnya  populasi  terinfeksi  yang  berkurang  tidak  secepat  nilai . Sedangkan, jika diberikan nilai
artinya tingkat vaksinasi sangat sedikit sehingga mengakibatkan terjadinya kenaikan populasi terinfeksi dari nilai awal yang diberikan.
Hasil  yang  diperoleh  sejalan  dengan  penelitian  [8].  Peningkatan  tingkat  vaksinasi  dalam populasi  mampu  mengurangi jumlah individu  terinfeksi  COVID-19.  Sebaliknya, tingkat  vaksinasi yang  mengecil  diartikan  sebagai  vaksinasi  yang  melambat  dapat  menjadi  penyebab  kenaikan jumlah  individu  terinfeksi  COVID-19.  Dengan  demikian,  masyarakat  perlu  menyadari  akan pentingnya melakukan vaksinasi untuk meningkatkan sistem kekebalan tubuh sehingga mengurangi resiko terinfeksi COVID-19.
Kemudian,  pada  Gambar  2.5-2.7  diberikan  skenario  simulasi  yang  melibatkan  tiga  nilai parameter yaitu transmisi kontak, proporsi karantina dan tingkat vaksinasi. Simulasi dibuat dengan melakukan perubahan terhadap dua nilai parameter dan menetapkan nilai parameter lainnya sesuai dengan  Tabel  2.1  lalu  menghubungkannya  dengan  nilai  ambang  batas .  Simulasi  tersebut menghasilkan  gambaran  tentang  nilai (direpresentasikan  dengan  garis  hitam)  dengan  berbagai kemungkinan skenario perubahan dari parameter-parameter terkait.
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Gambar 2.5 Ambang batas dengan kombinasi proporsi Karantina dan Transmisi kontak
Kondisi  bebas  penyakit  dapat  dicapai  apabila  nilai
.  Pada  Gambar  2.5,  nilai diperoleh  pada  kombinasi  nilai  proporsi  karantina  dan  transmisi  kontak  berada  di  bagian  kanan garis
.  Misalnya  pada  titik  koordinat (    )   (     ) , (     ) .    Artinya  pada  proporsi karantina  tertentu  tingkat  transmisi  kontak  antara  populasi  yang  rentan  dan  terinfeksi  dapat ditoleransi sehingga nilai masih dapat terkendali. Dengan demikian penyebaran penyakit dapat terkendali menuju kondisi bebas penyakit.
Gambar 2.6 Ambang batas dengan kombinasi laju vaksinasi dan Transmisi kontak

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha
Pada Gambar 2.6, nilai
diperoleh pada kombinasi nilai laju vaksinasi dan tingkat transmisi kontak berada di bawah garis
. Misalnya pada titik koordinat (    )   (       ) , (       ) . Jadi  laju  vaksinasi  yang  tinggi  mampu  menekan  nilai sehingga  laju  penyebaran  penyakit menurun  meskipun  tingkat  transmisi  kontak  antara  populasi  rentan  dan  terinfeksi  cenderung meningkat.
Gambar 2.7 Ambang batas dengan kombinasi proporsi Karantina dan Transmisi kontak.
Kemudian,  pada  Gambar  2.7,  nilai
diperoleh  pada  kombinasi  nilai  laju  vaksinasi  dan proporsi  karantina  berada  di  atas  garis
.  Misalnya  pada  titik  koordinat (    )   (       ) , (       ) . Nilai akan cenderung menurun jika laju vaksinasi dan proporsi karantina ditingkatkan sehingga penyebaran penyakit cenderung menurun.

## 3.  KESIMPULAN
Analisis model matematika SEIR-VQ pada penyebaran penyakit COVID-19 dengan karantina dan  vaksinasi  menghasilkan  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  endemik  dan  non- endemik. Analisis sensitivitas parameter transmisi kontak ( ) menujukkan hasil yang positif yang berarti peningkatan nilai mengakibatkan nilai juga akan mengalami peningkatan.  Sebaliknya indeks sensitivitas pada parameter laju vaksinasi ( ) , efikasi vaksin ( ) , dan proporsi karantina ( ) menujukkan hasil yang negatif yang berarti peningkatan nilai parameter dan mengakibatkan penurunan terhadap
Berdasarkan  simulasi  numerik,  perubahan  parameter  proporsi  karantina  dan  laju  vaksinasi memberikan  pengaruh  terhadap  penyebaran  penyakit  COVID-19.  Jika  parameter dan mengalami kenaikan, maka populasi terinfeksi akan semakin berkurang. Sebaliknya Jika parameter mengalami kenaikan, maka populasi terinfeksi akan semakin meningkat.
Muhammad Rifki Nisardi, Sulma, Hukmah, Suriani, Syamsuddin Toaha

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Aldila,  D.,  Khoshnaw,  S.,  Safitri,  E.,  Anwar,  Y.,  Bakry,  A.,  Samiadji,  B.,  Anugerah,  D., Alfarizi,  F.,  Dayanah  Ayulani,  I.,  &  Salim,  S.,  2020.  A  mathematical  study  on  the  spread of COVID-19 considering social distancing and rapid assessment : The case of Jakarta, Indonesia. Chaos, Solitons & Fractals , 139 , 110042.
[2] Annas,  S.,  Pratama,  M.,  Rifandi,  M.,  Sanusi,  W.,  &  Side,  S.,  2020.  Stability  Analysis  and Numerical  Simulation  of  SEIR  Model  for  pandemic  COVID-19  spread  in  Indonesia. Chaos, Solitons & Fractals , 139 .
[3] Attaullah,  &  Sohaib,  M.,  2020.  Mathematical  modeling  and  numerical  simulation  of  HIV infection model. Results in Applied Mathematics , 7 .
[4] Cassels,  S.,  Clark,  S.  J.,  &  Morris,  M.,  2008.  Mathematical  Models  for  HIV  Transmission Dynamics:  Tools  for  Social  and  Behavioral  Science  Research  NIH  Public  Access. J  Acquir Immune Defic Syndr , 47 (1), 34–39.
[5] Chávez, J., Goetz, T., Siegmund, S., & Wijaya, K., 2017. An SIR-Dengue transmission model with seasonal effects and impulsive control. Mathematical Biosciences , 289 .
[6] Chitnis, N., Hyman, J., & Cushing, J., 2008. Determining Important Parameters in the Spread of  Malaria  Through  the  Sensitivity  Analysis  of  a  Mathematical  Model. Bulletin  of Mathematical Biology , 70 , 1272–1296.
[7] Hartati, H., Toaha, S., & Kasbawati, K., 2019. Stability analysis of SEISEIR-SEI modelling on the  dynamics  of  spread  dengue  fever  with  vaccination  and  insecticide. Journal  of  Physics: Conference Series , 1341 , 062033.
[8] Iboi, E., Ngonghala, C., & Gumel, A., 2020. Will an imperfect vaccine curtail the COVID-19 pandemic in the U.S.? Infectious Disease Modelling , 5 .
[9] Mwalili,  S.,  Kimathi,  M.,  Ojiambo,  V.,  Gathungu,  D.,  &  Mbogo,  R.  2020.  SEIR  model  for COVID-19  dynamics  incorporating  the  environment  and  social  distancing. BMC  Research Notes , 13 .
[10] Ndairou, F., Area, I., Nieto, J., & Torres, D. F. M., 2020. Mathematical Modeling of COVID- 19 Transmission Dynamics with a Case Study of Wuhan .
[11] Nisardi,  M.  R.,  Kasbawati,  K.,  Khaeruddin,  K.,  Robinet,  A.,  &  Chetehouna,  K.,  2022. Fractional Mathematical Model of Covid-19 with Quarantine. InPrime: Indonesian Journal of Pure and Applied Mathematics , 4 (1), 33–48.
[12] Sulma,  S.,  Toaha,  S.,  &  Kasbawati,  K.,  2020.  Stability  Analysis  of  Mathematical  Models  of the  Dynamics  of  Spread  of  Meningitis  with  the  Effects  of  Vaccination,  Campaigns  and Treatment. Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi , 17 , 71–81.
[13] Suriani, S., Toaha, S., & Kasbawati, K., 2020. MSEICR Fractional Order Mathematical Model of The Spread Hepatitis B. Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi , 17 , 314–324.
[14] [14]  Zakary,  O.,  Sara,  B.,  Rachik,  M.,  &  Ferjouchia,  H.,  2020.  Mathematical  Model  to Estimate and Predict the COVID-19 Infections in Morocco: Optimal Control Strategy. Journal of Applied Mathematics , 2020 , 1–13.