## EVALUASI DISTRIBUSI GABUNGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA KONVOLUSI DAN REKURSI PANJER
Rosita Kusumawati
Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta (UNY)
Karangmalang, Yogyakarta 55281, Indonesia
rosita.kusumawati@gmail.com
Abstrak
Evaluasi  distribusi  gabungan  merupakan  bagian  penting  dalam  matematika  asuransi  dan  manajemen resiko. Perbandingan evaluasi distribusi gabungan menggunakan algoritma Konvolusi dan rekursi Panjer akan dikaji dalam tulisan ini.
Keywords: distribusi gabungan, konvolusi, rekursi panjer
Abstact
Evaluation  of  the  compound  distribution  is an important  part  in  the  field  of  mathematics  insurance  and risk  manajement.  Comparative  evaluation  of  the  compound  using  Convolution  algorithms  and  Panjer recursion will be reviewed in this paper.
Keyword: compound distribution, convolution, panjer recursion

## PENDAHULUAN
Salah  satu  pilar  dalam  teori
resiko klasik dan asuransi adalah analisa kumpulan  resiko  atau  jumlahan  klaim dari  seluruh  polis-polis  dalam  suatu portofolio  asuransi.  Ada  dua  cara  untuk melakukan  analisa  akumulasi  klaim (Kulgman,  et  al.  2004),  yaitu  dengan model  resiko  individu  (individual  risk model)  dan  model  resiko  kolektif (collective  risk  model).  Individual  risk model  melihat  polis  secara  individual, sedangkan  collective  risk  model  melihat jumlahan  klaim  secara  menyeluruh dalam  portofolio  bukan  polis  secara invidual.  Akumulasi  klaim  asuransi kebakaran  dan  kerugian  adalah  salah satu contoh asuransi yang cocok
dimodelkan menggunakan collective risk model .
Collective  risk  model merupakan proses  acak.  Misalkan  peubah  acak N menyatakan  jumlah  klaim  yang  terjadi dari  suatu  portofolio  polis  dalam  suatu rentang waktu tertentu, dan peubah acak X i adalah  besar  klaim  ke– i ,  untuk i = 1,2,  …, N .  Total  klaim  dari  portofolio dalam periode tersebut adalah,
1 2 ... N S X X X     .  Asumsi  yang
digunakan  untuk  mempermudah  dalam mempelajari  model  resiko  kumpulan S di atas yaitu,
i. X 1 , X 2 , … iid
ii. peubah  acak N , X 1 , X 2 ,  … saling independen
Evaluasi distribusi gabungan
sangatlah  penting  dalam  c ollective  risk
model .  Ada  beberapa  pendekatan  yang
dapat dilakukan yaitu algoritma
Konvolusi,  algoritma  Rekursi  untuk kelas distribusi  yang lebih besar dalam,
Fast  Fourier  Transform  (FFT), sparse vector , dan lain – lain. Dalam tulisan ini
penulis akan mengkaji algoritma
Konvolusi  dan  Rekursi  Panjer  dalam evaluasi distribusi gabungan.

## FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN
Fungsi distribusi gabungan S dari total  jumlah  klaim  dari  seluruh  polis dalam  portofolio  adalah  fungsi  yang dapat  digunakan  untuk  melakukan analisa  kumpulan  resiko  yang  imple- mentasinya  pada  asuransi  kebakaran digunakan  untuk  menghitung  premi reasuransi  stop  loss.  Sifat-sifat  dis- tribusi  gabungan  akan  dibahas  dalam beberapa teorema di bawah ini.
Teorema  1 .  (Bowers,  et.  al.,  1997)
Diberikan  variabel  random  total  klaim
S  yaitu 1 2 ... N S X X X     ,  dengan variabel random N jumlah klaim dan X i iid.
a.       E S E X E N  .
b.             2 Var S E N Var X E X Var N   .
c.       log S N X m t m m t  .
bukti:
a.       E S E E S N  .                     1 0 1 0 1 0 0 ... ... ... N n n n n n n E X X N n P N n E X X N n P N n E X X P N n nE X P N n
E X E N
           
     
           .
b. Dengan  menggunakan dekomposisi variansi diperoleh,
         
Var S E Var S N Var E S N   .
     
          2 E NVar X Var N E N Var X E X Var N      . c. .       tS S m t E E e N  .                       1 1 ... 0 ... 0 0 log N n X t X X n t X X n n X n N m t E e N n P N n E e P N n m t P N n E e              

           
    log N X m m t  . ▄
Pemilihan  distribusi  dari N akan
berpengaruh  pada  distribusi  dari S .
Terdapat  beberapa  bentuk  khusus  yang sering digunankan dalam analisa  model resiko,  yaitu  untuk N berdistribusi
Poisson, maka S berdistribusi gabungan
Poisson,  dan  untuk N berdistribusi binomial  negatif, S berdistribusi  ga- bungan binomial negatif.
Teorema  2 .  (Bowers,  et.  al.,  1997)
Untuk   N POI  , S disebut
distribusi  gabungan  Poisson  dengan
    E S E X   ,     2 Var S E X  
dan       exp 1 S X m t m t    .
bukti : cukup  jelas  menggunakan  Teorema  1.
▄
Teorema  3 . Untuk
 
, N BIN r p ,  S
disebut  distribusi  gabungan  Binomial
Negatif dengan     rq E S E X p  ,
        2 2 2 2 2 rq rq
Var S E X
E X p p   dan
    1 r S X p m t qm t
     
    .
bukti :
cukup  jelas  menggunakan  Teorema  1.
▄

## ALGORITMA KONVOLUSI
Misalkan dua peubah acak X 1 , X 2 ,
yang saling independen dan
1 2 S X X   dengan  daerah  diberikan pada gambar di bawah ini.
Gambar 1. Daerah 1 2 X X s  
Fungsi  distribusi  dari S adalah
      1 2 S F s P S s P X X s      .
Jika  adalah  peubah  acak  diskrit  maka dengan  hukum  peluang  total  dapat diperoleh,
      1 2 2 2 S r s F s P X X s X r P X r             1 2 2 r s P X s r X r P X r        
Diketahui X 1 , X 2 independen, sehingga diperoleh,
      1 2 S X X r s F s F s r f r
     (1)
Hal  yang  sama  juga  diperoleh  untuk peubah  acak  kontinu.  Proses  pada persamaan  (1)  disebut  konvolusi  dari sepasangan  fungsi  distribusi   1 1 X F x dan   2 2 X F x ,  yang  dapat  dinotasikan
dengan
1 2 * X X F F .  Algoritma  Konvolusi untuk distribusi gabungan secara umum diberikan dalam teorema di bawah ini.
Teorema 1 . Konvolusi (Kass R., 2008)
Distribusi  bersyarat  S  untuk  N  =  n adalah
        1 0 ... S N n F s P S s P X X s N n P N n            ,
atau dapat dituliskan dalam bentuk lain
      * 0 n S n F s P s P N n      , dan
      * 0 n S n f s p s P N n      . bukti :
cukup jelas menggunakan hukum
peluang total.
▄
Contoh  2 .  Diketahui  jumlah  klaim  N berdistribusi  Poisson  dengan 2   .
Diasumsikan
1 N i i S X    , dan   1 1 2 P X   , serta
    1 2 3 4 P X P X  
  . Tentukan
distibusi dari S.
Untuk jumlah klaim N berdistribusi  Poisson  dengan 2   ,
  2 2 ( ) ! n N e P N n f n n     .  Distribusi S akan ditentukan menggunakan algoritma  Konvolusi.  Dari  Teorema  4, diperoleh tabel konvolusi sebagai berikut, N 0 1 2 3 …     * 0 ( ) n S n f x p x P n       P N n  2 e  2 2 e  2 2 e  2 4 3 e  x   *0 p x   *1 p x   *2 p x   *3 p x
0 1 2 e  1 1
2 2 2 1 .2 2 e e    2 1 4 1 1 1
. 2 2 4  2 2 2 1 1 .2 .2 4 4 e e e     
3 1 4 1 1 1 1 1 . . 2 4 4 2 4   1 1 1 . 2 4 8  2 2 2 2 1 1 1 4 7 .2 .2 . 4 4 8 3 6 e e e e        4 1 1 1 1 1 1 5 . . . 2 4 4 4 4 2 16    .. … 5 1 1 1 1 1 . . 4 4 4 4 8   … … 6 1 1 1 . 4 4 16 
… … … … … … …  … Tabel 1 . Konvolusi Distribusi Gabungan Poisson 2   Terlihat bahwa evaluasi distribusi gabungan menggunakan algoritma Konvolusi sangat rumit dan
membutuhkan  perhitungan  yang  sangat banyak terutama ketika n semakin besar.
Algoritma  rekursi  adalah  salah  satu pendekatan lain untuk distribusi gabungan.

## ALGORITMA REKURSI PANJER
Algoritma  berikutnya  yang dapat
digunakan untuk mengevaluasi distribusi gabungan  adalah  Algoritma  rekursi Panjer.  Relasi  yang  mendasari  rekursi
Panjer  diberikan  dalam  Teorem  5  di bawah  ini.  Pada  beberapa  literatur banyak  dijumpai  algoritma  rekursi  lain yang  menggunakan  relasi  yang  sama relasi berikut.
Teorema 5 . (Kass R., 2008)
Distribusi gabungan S dengan N adalah jumlah  klaim  yang  terjadi  dengan
( ) ( 1) P N n b a P N n n            atau dapat ditulis dalam notasi lain
1 n n b q q a n        
 ,  untuk  n  =  1,  2,..,  dan
X i adalah  besar  klaim  ke  –  i  dengan
0, i x x X    adalah
   
        Pr 0 , 0 0 0 log 0 , 0 0 N N jika p f m p jika p          .
        1 1 , 1,2,... 1 0 s h bh f s a p h f s h s ap s              . (3.1)
bukti:
Untuk s = 0, dengan menggunakan         1 0 ... S N n f s P S s P X X s N n P N n            (Teorema 4.),
diperoleh bahwa   0 0 p  maka   (0) Pr 0 f N   , dan untuk
  0 0 jika p  maka
    (0) log 0 N f m p  .
Untuk    s  =  1,  2,…,  dibentuk
1 2 ... k k T X X X     . Ada k iid variabel,
dengan X 1 dan k  –  1 variabel  yang  lain iid dan simetris, jelas
1 k bX b s b
E a T s a a s s k k                   (i)
Harga  harapan  tersebut  dapat  pula dinyatakan dalam bentuk,         1 1 1 1 0 0 s s k k k h h k P X h P T X s h bX bh bh E a T s a P X h T s a s s s P T s                              (ii) Dari (i), (ii) dan relasi 1 n n b q q a n          , diperoleh Distribusi gabungan S yaitu
                     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 k k k k k k k k k k s k k k k h k s k k k h k k f s q P T s b a q P T s k bX E a T s q P T s s P X h P T X s h bh q a P T s s P T s bh q a P X h P T X s h s bh a P X h q P T X s s                 
                                                       
                              0 1 0 1 0 s h k s h s h h bh a p h f s h s bh ap f s a p h f s h s              
 
          
 .
diperoleh,
        1 1 1 0 s h bh f s a p h f s h ap s            
. ▄
Algoritma  rekursi  Panjer  hanya
dapat  digunakan  untuk  distibusi  yang
memenuhi  relasi  Teorema  5.,  dan
distribusi–distribusi itu adalah distribusi Poisson, Binomial Negatif, dan
Binomial. Berikut formula rekursi untuk
distribusi  gabungan  Poisson,  Binomial
Negatif, dan Binomial,
i. Distribusi  Poisson    meme-
nuhi 1 n n b q q a n          ,  dengan  dengan 0 a  dan 0 b    .  Persamaan  3.1 untuk distribusi Poisson    adalah,
                      0 1 0 Pr 0 , 0 0
0! 0
log 0 exp 0 1 , 0 0 p N e N e jikap f
m p p e jikap                  
  
       1 1 , 1, 2,... s h f s hp h f s h s s      
.
Contoh  2 .  Tentukan  distibusi  dari  S pada  Contoh  1.  dengan  algoritma Rekursi Panjer.
Diketahui  distribusi  gabungan  Poisson
dengan dengan 2   dan
  1 1 1 1, 2,3 , , 2 4 4 P X   . Dengan Teorema 5. diperoleh,                           1 2.1. (1) 1 2.2 2 2 2.3. 3 3 1 1 1 1 2.1. . 1 4. . 2 6. . 3 2 4 4
1 3 1 2 . 3 2 f s p f s p f s p f s s
f s f s f s s
f s f s f s s                              
.
untuk s = 1,2,…. Diperoleh,
2 (0) S f e   , 2 1 (1) (0) 1 S S f f e    ,
        2 2 2 1
1 (2) 1 0 2 2 S S S f f f e e e         ,
      2 2 2 2 1 3 1 3 7 (3) 2 1 0 3 2 3 2 6
S S S S f f f f e e e e                        .
Contoh  implementasi  rekursi  Panjer dalam program R dengan menggunakan
Panjer.Bin function yaitu,
Panjer.Poi<- function(theta,p,
maks=100) { if (sum(p)>1||any(p<0)) stop("p
parameter not a density") fs=NULL d=length(p)
fs[1]=exp(-theta*(1- p[1]))
for (s in 1:maks){ ptemp=NULL
if ((s+1)<=d) ptemp=p[2:(s+1)] if ((s+1)>d) { ptemp=p[2:d]
ptemp[d:s]=0 }
ptemp=ptemp*((1:s)*theta) ftemp=fs[s:1]
fs[s+1]=((1/s)*p[1]))*(ptemp%*
%ftemp)
if (sum(fs)>0.99999999) break
} return(fs) } i. Distrbusi Binomial Negatif
  , r  memenuhi 1 n n b q q a n          ,
dengan 1 a    , dan      1 1 1 b a r r       . Dengan
1 a    dan 1 b r a   sehingga
0 1 a   dan
0 a b   ,  atau 1 a    , dan      1 1 1 b a r r       . Persamaan 3.1 untuk distribusi Binomial Negatif   , r  adalah,
                  0 0 1 Pr 0
1 , 0 0 0 0 log 0 , 0 0 1 1 0 r r r N r N jika p f m p jika p p                       
                             
            1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 1 , 1, 2,...
1 1 0 s h s h r h f s p h f s h p s r h p h f s h s p s                                      .
Contoh  implementasi  rekursi  Panjer dalam program R dengan menggunakan
Panjer.Bin function yaitu,
Panjer.NegBin<- function(r,theta,p,
maks=100) { if (sum(p)>1||any(p<0)) stop("p
parameter not a density")
fs=NULL
d=length(p)
fs[1]=(theta/(1-(1-theta)*p[1]))^r for (s in 1:maks){
ptemp=NULL if ((s+1)<=d) ptemp=p[2:(s+1)]
if ((s+1)>d) { ptemp=p[2:d] ptemp[d:s]=0
}
ptemp=ptemp*((1:s)*(r-1)/s+1) ftemp=fs[s:1] fs[s+1]=((1-theta)/(1-(1- theta)*p[1]))*(ptemp%*%ftemp)
if (sum(fs)>0.99999999) break
}
return(fs) } ii. Distrbusi Binomial   , k  memenuhi 1 n n b q q a n          ,  dengan
atau
1 a     ,  dan   1 1 b k            .
Dengan
1 a a    dan b a k a    , sehingga 0 a  dan   1 b a k    , Persamaan 3.1 untuk distribusi Binomial   , k  adalah,
 
       
              0 0 log 0 Pr 0 1 1
, 0 0 0 0 log 0 1 1 . 0 , 0 0 k k k k p N k N
jika p f
m p e p jika p   
     
                          .
                         
    1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 s h s h s h k h f s p h f s h s p k h p h f s h s p k h p h f s h s p k h p s                   
                                   
                   
                         
      
                                        1 1 1 1 , 1, 2 , .. . 1 0 1 s h s h p h f s h
k h p h f s h s s p                         .
Contoh  implementasi  rekursi  Panjer dalam program R dengan menggunakan
Panjer.Bin function yaitu,
Panjer.Bin<- function(k,theta,p,
maks=100) { if (sum(p)>1||any(p<0))
stop("p parameter not a density")
fs=NULL
d=length(p)
fs[1]=(1-theta+theta*p[1])^k for (s in 1:maks){
ptemp=NULL if ((s+1)<=d) ptemp=p[2:(s+1)]
if ((s+1)>d) { ptemp=p[2:d] ptemp[d:s]=0 }
ptemp=ptemp*((1:s)*(1+k)/s-1) ftemp=fs[s:1] fs[s+1]=(-theta)/(theta*(1-p[1])- 1)*(ptemp%*%ftemp)
if (sum(fs)>0.99999999) break
}
return(fs)
}

## SIMPULAN
Algoritma rekursi Panjer mempermudah evaluasi dari distribusi gabungan dibandingkan algoritma konvolusi.
Akan  tetapi  algoritma  rekursi  hanya dapat dijalankan untuk distribusi gabungan  tertentu  saja  yaitu  distribusi gabungan  Poisson,  Negatif  Binomial, dan Binomial.

## DAFTAR PUSTAKA
Bowers, et. al. 1997, Actuarial
Mathematics ,  2 nd Edition,  Society
of Actuaries.
Crawley, M. J., 2007, The R Book , John
Wiley & Sons, Ltd.
Kass,  R.  2008, Modern  Actuarial  Risk
Theory using R , Springer Verlag.
Klugman,  Stuart  A.,  Panjer,  Harry  H.
and Willmot, Gordon E. 2004. Loss
Models
from Data to Decisions , 2 nd edition.
New  Jersey  :  John  Wiley  &  Sons,
Inc.
Rice,  J.  A.  (1995), Mathematical
Statistics  and  Data  Analysis ,  2 nd
Edition,  Duxbury  Press,  Belmont,
CA.