Vol. 18, No. 3,  385-393,  May, 2022

## DOI: 10.20956/j.v18i3.19714

## Stability and Bifurcation Analysis of Mathematical Models of Meningitis Transmission with Vaccination and treatment
Analisis Kestabilan dan Bifurkasi pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Meningitis dengan Perlakuan Vaksinasi dan Pengobatan
Rabiatul Adawiyah 1  , Syamsuddin Toaha 2* , Kasbawati 3*

## Abstract
Meningitis is an infectious disease that occurs in inflammation of the meninges and the spinal cord in consequence  of  bacteria  and  viruses.  Vaccination  and  treatment  using  antibiotics  is  used  to  increase growth rate in infected people so that the spread rate can be reduced. This study aims to  see the effect of  vaccination  and  treatment  using  some  compartments:    susceptible,  carrier,  infected  without symptoms, infected with symptoms, recovery without disability, and recovery with disability; show the sensitivity analysis in order to discover the parameter that affect basic reproduction number and bifurcations analysis. The result from sensitivity found the relation between parameter and that can increase  and  decrease  the value.  This  study  also  showed  the  influence  of  stability  change  from equilibrium  point  caused  by  the  parameter value  change  form  bifurcations  analysis.  Models simulation show that the effect of vaccination and treatmen for spread of meningitis can be handled.
Keywords: Model of Meningitis Disease, Sensitivity of , Bifurcations .

## Abstrak
Meningitis adalah suatu penyakit menular yang terjadi pada peradangan meninges dan sumsum tulang belakang yang disebabkan oleh bakteri dan virus. Upaya vaksinasi dan pengobatan berupa pemberian antibiotik dilakukan untuk meningkatkan laju penyembuhan bagi individu terinfeksi sehingga menekan laju penyebaran penyakit meningitis pada suatu populasi. Tujuan dari penelitian ini ialah untuk melihat pengaruh  dari  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  dengan  memperhatikan  beberapa  kompartemen, yaitu susceptible,  carrier,  infected  without  symptoms,  infected  with  symptoms,  recovery  without disability, dan recovery with disability , menunjukkan analisis sensitivitas  untuk mengetahui parameter yang  berpengaruh  pada  bilangan  reproduksi  dasar dan  analisis  bifurkasi.  Hasil  yang  diperoleh dari  analisis  sensitivitas,  yaitu  ditemukan  hubungan  parameter  dengan yang  dapat  meningkatkan dan  menurunkan  nilai ,  dan  analisis  bifurkasi  menunjukkan  pengaruh  perubahan  kestabilan  titik ekuilibrium  akibat  perubahan  nilai  parameter .  Simulasi  model  menunjukkan  bahwa  pemberian vaksinasi dan pengobatan dapat mengendalikan penyebaran penyakit meningitis
Kata kunci: Model Penyebaran Meningitis, Sensitivitas , Bifurkasi.

## 1.  Pendahuluan
Model  Matematika  merupakan  suatu  cara  untuk  mengimplementasikan  permasalahan kompleks  ke  dalam  bentuk  matematika[16].  Pemodelan  matematika  dapat  digunakan  untuk menganalisis penyebaran suatu penyakit. Fajri, N[7] telah membahas model penyebaran penyakit malaria yang memperhatikan efek dari vaksinasi. Selain itu, dinamika pemodelan populasi yang memiliki kecanduan terhadap penggunaan sosial media yang dikaji oleh Alemneh, dkk[3] dengan mempertimbangkan  faktor  strategi  pembelajaran  dan  pendampingan  terhadap  individu  yang memiliki  kecanduan  berat  pada  media  sosial.  Sementara  itu,  model  yang  dibahas  oleh  Afifah, dkk[1] tentang penyakit meningitis yang memperhatikan  kestabilan titik kesetimbangan endemik dan non endemik dengan fungsi lyapunov.
 Program Studi Magister Matematika, FMIPA-UNHAS
Email address : 1 ade.rabiatul@gmail.com, 2 syamsuddint@gmail.com, 3 kasbawati@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Rabiatul Adawiyah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Meningitis  adalah  suatu  penyakit  berbahaya  dan  menular  yang  menyerang  dan  terjadinya peradangan  pada  meninges  yang  melindungi  sistem  syaraf  pusat  dan  sumsum  tulang  belakang. Penyakit  ini  dapat  menyebabkan  kecacatan  hingga  kematian.  Meningitis  yang  disebabkan  oleh beberapa  bakteri,  yaitu  Haemophilus  Inflenzae,  Neisseria  meningitidis,  dan  Streptococcus pneumoniae,  biasanya  disebut  meningitis  bakterialis.  Kasus  lain  terjadi  pada  Jirapa,  Ghana, penyakit  meningitis  yang  terjadi  pada  negara  tersebut  ialah  meningitis  yang  disebabkan  oleh penumpukan  cairan  pada  otak  dan  terjadi  keracunan  darah[17].  Peristiwa  endemik  penyakit meningitis ini kebanyakan terjadi di negara-negara barat seperti Firlandia, Belanda, dan Amerika adalah  0.7-0.9  per  100.000  individu  tiap  tahunnya  dalam  sepuluh  sampai  dua  puluh  tahun belakangan  ini.  Negara-negara  Afrika  memiliki  peristiwa  endemik  sebanyak  10-40  per  100.000 individu tiap tahunnya[6]. Pada negara-negara Asia Tenggara, peristiwa endemik sebanyak 18.3- 24.6  per  100.000  individu  dengan  kejadian  tertinggi  jatuh  pada  Negara  Thailand  dan  terendah pada Negara India [13].
Gejala  utama  yang  dirasakan  adalah  sakit  kepala  yang  sangat  hebat,  mual-muntah,  leher kaku, demam tinggi, hingga sensitif terhadap cahaya. Rata-rata masa inkubasi virus adalah empat hari,  bahkan  dapat  berkisar  dua  sampai  sepuluh  hari.  Jika  seseorang  telah  terpapar,  sebaiknya dalam  waktu  24  jam  setelah  diagnosa  ditegakkan  diberikan  pengobatan  berupa  antibiotik. Pencegahan penyakit meningitis pada resiko tinggi dilakukan dengan cara meminimalkan kontak antara  keluarga  yang  sakit  dengan  keluarga  yang  ada  di  rumah  dan  menjalankan  karantina. Penanganan dengan tepat sangat diperlukan bagi individu yang terpapar dikarenakan penyakit ini merupakan  penyakit  yang  berbahaya  dan  dapat  menular  dengan  cepat.  Oleh  karena  itu,  perlu dilakukan  berbagai  upaya  untuk  mengontrol  penyebaran  penyakit  meningitis  di  antaranya melakukan  vaksin  dan  pengobatan  berupa  pemberian  antibiotik[11].  Terdapat  vaksin  untuk melindungi  individu  yang  memiliki  resiko  kontak  lansung  dengan  individu  terinfeksi  meskipun terjadi outbreak. Antibiotik  dapat  diberikan  pada  seluruh  individu  yang  mungkin  terkena meningitis bahkan sebelum menunjukkan gejala[2].
Berdasarkan  uraian  tersebut,  penyakit  meningitis  adalah  suatu  fenomena  yang  dapat  dikaji melalui model matematika. Dalam  pemodelan matematika ini, diharapkan dapat  mengambarkan prediksi dan upaya pencegahan penyakit meningitis. Salma dan Ibrahim [8] telah mengkaji model matematika dari penyakit meningitis yang terjadi pada Sub-Sarahan Afrika dengan menggunakan 6 kompartemen, yaitu Susceptible (S), Vaccinated (V), Carrier (C), Infected ( ), Recovered with disability ( , dan Recovered with disability ( ). Penelitian ini memiliki fokus pada efektivitas vaksinasi yang dilakukan, namun setelah dilakukan evaluasi penyakit meningitis tetap ada. Hasil simulasi menunjukkan bahwa penyakit dapat dikendalikan jika vaksinasi bekerja dengan baik dan efisien.  Pemodelan  matematika  penyakit  meningitis  juga  dikaji  oleh  Asamoah,  dkk  [3] menggunakan 4 kompartemen, yaitu susceptible (S), carrier (C), il (I), dan recovered (R). Peneliti menggunakan sensitivity heat map dan spektrum sensitivitas parameter untuk menguji sensivitas kompartemen  dan  parameter.  Pada  sensitivity  heat  map  menunjukkan  bahwa  keadaan  variabel yang  paling  sensitif  untuk  semua  kompartemen  selama  tidak  terjadi  transmisi  musiman  adalah kompartemen  pemulihan  dan  diikuti  oleh  kompartemen  rentan.  Sementara  itu,  peneliti menggunakan kontrol optimal untuk mempelajari dampak dari terbatasnya antibiotik dan tempat tidur rumah sakit.
Selanjutnya,  pengembangan  lain  dari  model  akan  memperlihatkan  fakta  pada  kehidupan nyata  bahwa  penyakit  meningitis  merupakan  penyakit  menular  yang  membahayakan  dapat mengakibatkan terjadinya disabilitas terhadap individu yang telah mendapatkan pengobatan[10]. Berdasarkan  hal  tersebut,  dilakukan  juga  penambahan  kompartemen  berupa  individu  yang terjangkit  tanpa  adanya  gejala  ( Infected  without  Symptoms ),  pengalihan  kompartemen  individu yang  telah  tervaksin  ( Vaccinated )  menjadi  parameter  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  pada model yang akan dikembangkan.
Pada  artikel  ini  akan  dikembangkan  menjadi  enam  kompartemen,  yaitu susceptible  (S), carrier  (C),  infected  without  symptoms ,  infected  with  symptoms  ( ),  recovery  without disability  ( ),  recovery  with  disability  ( ) dengan  menambahkan  perlakuan  vaksinasi  dan pengobatan. Selanjutnya, analisis model dimulai dari analisis titik ekuilibrium endemik dan non endemik,  penentuan  bilangan  reproduksi  dasar  ( ),  analisis  sensitivitas  parameter,  dan  analisis bifurkasi.

## 2. Model Matematika
Laju  Penyebaran  penyakit  meningitis  biasanya  terdiri  dari  kompartemen susceptible  (s), carrier  (c),  infected  (i), dan recovery  (r). Pada  artikel  ini,  model  penyakit  meningitis dikembangkan  sehingga memiliki enam kompartemen, yaitu susceptible (S), carrier (C), infected without  symptoms ,  infected  with  symptoms  ( ),  recovery  without  disability  ( ),  recovery with  disability  ( ). Diasumsikan  bahwa  setiap  individu  yang  lahir  sehat  dan  rentan  terhadap

## Rabiatul Adawiyah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
penyakit  meningitis  dengan  laju ke  dalam  kompartemen .  Populasi yang  mendapatkan perlakuan vaksinasi mendapatkan kekebalan sementara dengan laju ke dalam kompartemen dan  yang  gagal  mendapatkan  kekebalan  dengan  laju
ke  dalam  kompartemen Diasumsikan hanya membawa virus tanpa terinfeksi karena memiliki kekebalan sementara sehingga  dapat  berpindah  ke  kompartemen ( ) dengan  laju  perpindahan dan  populasi  yang tidak memiliki kekebalan tubuh akan terinfeksi dengan menunjukkan gelajanya dengan laju ke dalam  kompartemen . Individu  yang  terkena  infeksi  namun  belum  menunjukkan  gejala  akan menyebar  dalam  masa  inkubasi  virus  selama  beberapa  hari  dan  kemudian  menunjukkan  gelaja sehingga berpindah ke kompartemen dengan laju .
Selanjutnya,  individu yang  telah  terinfeksi  akan  diberikan  perlakuan  berupa  pengobatan dengan waktu dan penanganan yang tepat akan berpindah ke dalam kompartemen dengan laju Namun  individu  yang  mendapatkan  penanganan  yang  terlambat  sehingga  dapat menyebabkan disabilitas akan berpindah ke kompartemen dengan laju . Kelompok
populasi  yang  telah  sembuh  ( dan )  yang  memiliki side  effect disabilitas  ataupun  tidak memiliki  laju  perpindahan  yang  sama  menuju  kompartemen dan tetap  rentan  terkena  infeksi sehingga  kedua  kelompok  populasi  tersebut  masuk  ke  dalam  kompartemen dengan  laju  yang sama, yaitu . Serta diasumsikan pula terjadi kematian alami di setiap kelompok individu dengan laju Model matematika penyebaran penyakit meningitis diberikan oleh persamaan (2.1).
(2.1)
total  populasi
dengan berturut-turut merupakan  laju  perubahan  populasi  rentan,  pembawa  virus/bakteri,  terinfeksi  tanpa  gejala, terinfeksi  dengan  gejala,  sembuh  tanpa  disabilitas,  sembuh  disertai  disabilitas  terhadap  waktu. Nilai  parameter  dalam  persamaan  (2.1)  diasumsikan  bernilai  positif.  Secara  skematis  proses penyebaran  penyakit  meningitis  dapat  dilihat  pada  Gambar  2.1  serta  keterangan  pada  Tabel  2.1 sebagai berikut.
Tabel 2.1 Keterangan Variabel dan Parameter Sistem Persamaan (2.1).
Simbol Deskripsi Nilai Satuan Referensi Total populasi pada waktu - Orang - Kelompok individu yang rentan terkena penyakit meningitis pada waktu - Orang - Kelompok individu pembawa bakteri atau virus meningitis pada waktu - Orang - Kelompok individu terinfeksi tanpa gejala pada waktu - Orang - Kelompok individu terinfeksi dengan gejala pada waktu - Orang - Kelompok individu yang sembuh sementara setelah mendapatkan pengobatan pada waktu - Orang - Kelompok individu yang sembuh setelah mendapatkan pengobatan tetapi mengalami disabilitas pada waktu - Orang - Laju pertambahan individu rentan melalui proses kelahiran 100-10000 Orang/tahun [4] Laju kematian alami 0.002 1/tahun Asumsi
Gambar 2.1. Skema Penyebaran Penyakit Meningitis

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Titik Ekuilibrium Sistem
Pada  bagian ini,  akan  dilakukan  analisis  dengan  menentukan titik  ekuilibrium  endemik dan  non  endemik  pada  sistem  persamaan  (2.1).  Keadaan  titik  tetap  ekuilibrium  model dipenuhi ketika
. Titik ekuilibrium non endemik adalah suatu keadaan dimana semua kompartemen yang berhubungan dengan penyakit bernilai nol atau  pada  saat  itu  tidak  terjadi  penyebaran  penyakit  di  suatu  poulasi,  diperoleh  titik
ekuilibrium non endemik, yaitu ( ) Titik ekuilibrium endemik adalah suatu keadaan terjadi penyebaran penyakit pada suatu popuasi  dan  terjadi  pada  saat .  Dari  sistem  persamaan  (2.1) diperoleh titik ekuilibrium endemik, yaitu ( ) .

## 3.2  Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  yang  dinotasikan  dengan
merupakan  nilai  harapan banyaknya  populasi  rentan  yang  menjadi  terinfeksi  selama  masa  infeksi  berlangsung. Penentuan  bilangan dilakukan  dengan  menggunakan  pendekatan matriks The  Next
Generation berdasarkan subpopulasi terinfeksi pada persamaan (2.1), yaitu:
Laju perpindahan kelompok individu ke 0.2-0.88 1/tahun [4] Laju perpindahan kelompok individu ke 0.3 1/tahun [8] Laju perpindahan kelompok individu ke 0.5 1/tahun [8] Laju perpindahan kelompok individu ke 0.1-0.52 1/tahun [4] Laju perpindahan kelompok individu ke 0.2 1/tahun [8] Laju perpindahan kelompok individu ke 0.15 1/tahun [8] Laju perpindahan kelompok individu ke 0.1-0.9 1/tahun [4] Proporsi perlakuan vaksinasi 0-1 - [4] Proporsi perlakuan pengobatan 0-1 - [4]
𝜖 𝜎 𝜔 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 Λ 𝑺 𝑪 𝑹 𝟏 𝑹 𝟐 𝑰 𝑺 𝑰 𝑨 𝛿 𝜓 𝜓 𝜒𝜏
Misalkan adalah laju penambahan infeksi baru pada kompartemen dan adalah laju perpindahan individu pada kompartemen , sehingga diperoleh dan sebagai berikut: [ ]   [ ] (3.1) [ ]   [ ] (3.2)
Dengan demikian, matriks jacobi dari persamaan (3.1) dan  (3.2) diperoleh:
[
]
(3.3) [ ]
(3.4)
Oleh karena itu, bilangan reproduksi dasar ( diperoleh:
(3.5)

## 3.3 Analisis Sensitivitas
Analisis  sensitivitas  dilakukan  untuk  menunjukkan  pengaruh  parameter-parameter terhadap bilangan reproduksi dasar.
Definisi  3.1 Normalisasi  indeks  sensitivitas  diperoleh  dengan  normalisasi  dari  variabel yang terdiferensial oleh parameter , yang didefinisikan sebagai berikut;
(3.6)
di mana adalah variabel yang akan dianalisis dengan [2].
Selanjutnya,  berdasarkan  model  penyebaran  penyakit  meningitis,  variabel  yang  akan diukur  adalah  bilangan terhadap  parameter  yang  mempengaruhi.  Adapun  hasil  analisis sensitivitas sebagai berikut:
(3.7)
dan  untuk  parameter  lainnya  dilakukan  dengan  cara  yang  sama.  Selanjutnya  indeks parameter yang diperoleh dengan mensubtitusi nilai parameter pada Tabel 2.1 akan disajikan pada Tabel 3.1.

## Rabiatul Adawiyah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Tabel 3.1. Ekspresi Sensititas Parameter terhadap Parameter Nilai Nilai Indeks Positif Positif Negatif Negatif Positif Negatif Positif Negatif

## 3.4 Analisis Bifurkasi
Bifurkasi adalah suatu perubahan kestabilan sistem akibat adanya perubahan parameter. Pada  bagian  ini,  akan  dilakukan  analisis  bifurkasi  pada  parameter .  Persamaan  bifurkasi ditentukan  oleh dengan  mensubtitusi dan . Maka, diperoleh persamaan bifurkasi untuk parameter sebagai berikut:
(3.8)
dengan,
Selanjutnya,  parameter dianggap  sebagai  peubah  atau  variabel  dari  persamaan bifurkasi sehingga ketika
, diperoleh
(3.9)
dengan bantuan software Maple , diperoleh diagram bifurkasi sebagai berikut:
Gambar 3.1 Diagram Bifurkasi
Berdasarkan  diagram  yang  diperoleh  dapat  diketahui  bahwa  pada  saat maka populasi tidak ada atau tidak terjadi penyebaran penyakit meningitis, sedangkan pada saat terjadi  penyebaran  penyakit  meningitis.  Berdasarkan  analisis  bifurkasi  yang dihasilkan,  yaitu  bifurkasi  maju.  Bifurkasi  maju  terjadi  ketika  daerah
tidak  adanya penyebaran suatu penyakit yang terjadi. Sedangkan
terdapat kestabilan terhadap titik ekuilibrium endemik sehingga menyebabkan terjadinya penyebaran suatu penyakit [7].
Simulasi dilakukan berdasarkan parameter terhadap nilai . Pada saat nilai ,  sehingga  untuk  mengidentifikasi  nilai dapat  dilakukan  dengan mengambil nilai , sebaliknya untuk nilai dapat dilakukan dengan mengambil nilai ,  sehingga  hasil  interpretasi  parameter pada  diagram  bifurkasi,  dapat  dilihat pada tabel berikut.
Titik Ek. Non Endemik Stabil Titik Ek. Non Endemik Tak Stabil Titik Ek. Endemik Stabil 𝑅 𝑅 Po pula si 𝐼 𝑠
Rabiatul Adawiyah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Tabel 3.2. Interpretasi Parameter terhadap Stabilitas Titik Ekuilibrium Nilai Nilai T.E. Non Endemik T.E. Endemik Stabil Asimtotik Tidak Stabil Stabil Asimtotik Tidak Stabil Stabil Asimtotik Tidak Stabil Tidak Stabil Stabil Asimtotik Tidak Stabil Stabil Asimtotik Tidak Stabil Stabil Asimtotik Tidak Stabil Stabil Asimtotik

## 3.5 Simulasi Model
Simulasi  model  penyebaran  penyakit  meningitis  untuk  masing-masing  populasi dilakukan  dengan  interpretasi  parameter  yang  berpengaruh  pada  model  tersebut.  Dengan nilai  awal
.  Pada
Gambar  3.2  diberikan  simulasi  model  dengan  nilai  parameter
dengan nilai  parameter  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  relatif  rendah.  Berdasarkan  parameter tersebut  diperoleh  kestabilan  pada  titik  ekuilibrium  endemik  yang  artinya  terjadinya penyebaran penyakit meningitis dalam suatu populasi.
Gambar 3.2 Grafik Subpopulasi Terinfeksi dengan Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik
Selanjutnya,  simulasi  dengan  menaikkan  nilai  interpretasi  parameter  vaksinasi  dan pengobatan.  Dengan  parameter
.  Diperoleh  kestabilan  titik  ekuilibrium
non endemik.
Selanjutnya,  simulasi  dengan  menaikkan  nilai  interpretasi  parameter  vaksinasi  dan pengobatan.  Dengan  parameter

## Rabiatul Adawiyah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
.  Diperoleh  kestabilan  titik  ekuilibrium non endemik.
Gambar 3.4 Grafik Subpopulasi Terinfeksi dengan Kestabilan Titik Ekuilibrium Non Endemik
Gambar  3.2  menunjukkan  bahwa rendahnya  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  pada model  penyebaran  penyakit  meningitis  ini,  populasi  terinfeksi  dengan  gejala    dan  tanpa gejala  sangat  tinggi  dan  menyebabkan  stabilnya  titik  ekuilibrium  endemik  sehingga penyebaran  penyakit  terus terjadi.  Sedangkan,  pada  Gambar  3.3  ditingkatkannya  perlakuan vaksinasi,  populasi  terinfeksi  dengan  gejala  dan  tanpa  gejala  semakin  menurun  jumlahnya sehingga diperoleh stabilitas pada titik ekuilibrium non endemik, maka penyebaran penyakit dapat  dikendalikan.  Selanjutnya  pada  Gambar  3.4  menunjukkan  bahwa  dengan meningkatkan  lagi  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  populasi  terinfeksi  semakin berkurang,  dan  populasi carrier terus  bertambah  akibat  efektifitas  vaksinasi  yang memberikan  kekebalan  tubuh  pada  waktu .  Hal  tersebut  menunjukkan  bahwa  semakin tinggi  proporsi  serta  efek  dari  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  maka  semakin  rendah jumlah  populasi  terinfeksi,  penyakit  meningitis  di  suatu  populasi  dapat  dikendalikan penyebarannya.

## 4. Kesimpulan
Hasil  analisis  sensitivitas  menunjukkan  bahwa  terdapat  hubungan  posistif,  yaitu  laju kelahiran,  interksi  populasi  rentan,  laju  perpindahan  populasi menuju ,  dan  laju perpindahan  populasi menuju  populasi serta  hubungan  negatif  pada  parameter perlakuan vaksin, interaksi pengobatan, laju kematian, serta laju populasi menuju populasi ,  yang  artinya  laju  penyebaran  akan  meningkat  dengan  banyaknya  jumlah  orang  yang berinteraksi  dengan  populasi  terinfeksi  dan  dapat  diturunkan  laju  penyebaran  dengan memberikan perlakuan vaksinasi dan interaksi pengobatan terhadap populasi terinfeksi.
Pada  analisis  bifurkasi  yang  dilakukan  dapat  disimpulkan  bahwa    terdapat  perubahan kestabilan  terhadap  titik  ekuilibrium  endemik  dan  non  endemik  akibat  perubahan  nilai parameter ,  jika  nilai maka  diperoleh  titik  ekuilibrium  non  endemik  stabil asimtotik,  sedangkan  jika  nilai
maka  diperoleh  titik  ekuilibrium  endemik  stabil asimtotik. Selanjutnya, simulasi yang dilakuakan dengan pengaruh perlakuan vaksinasi dan pengobatan diperoleh dua titik ekuilibrium, yaitu endemik dan non endemik. Hasil simulasi menunjukkan  bahwa  ketika  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  yang  diberikan  rendah, maka  kondisi  endemik  dapat  terjadi.  Sedangkan  dengan  menaikkan  nilai  efektivitas vaksinasi  80%  dan  pengobatan  85%  maka  kondisi  berubah  menjadi  non  endemik.  Hal  ini berarti  bahwa  dengan  memberikan  perlakuan  vaksinasi  dan  pengobatan  dapat  berpengaruh terhadap pengendalian penyebaran penyakit meningitis dengan berkurangnya populasi yang terinfeksi.

## Daftar Pustaka
[1] Afifah,  I.,  2019.  Analisis  Kestabilan  Global  Model  Penyebaran  Penyakit  Meningitis dengan Menggunakan Fungsi Lyapunov. Buletin Ilmiah Math, Stat, dan Terapannya, Vol. 8, No. 4, 829-838.
[2] Afolabi,  M.A.,  Adewoye,  K.S.,  Folorunso,  A.I.,  Omoloye,  M.A.,  2021.  A  Mathematical Model  on Transmission  Dynamic  of Meningococcal Meningitis. IRE  Journal , Vol  4,  No. 10.
[3] Alemneh,  H.T.  &  Alemu,  N.Y.,  2021.  Mathematical  Modelling  with  Optimal  Control Analysis of Social Media Addiction. KeAi Publishing, Vol 6, No. 21, 405-419.
[4] Asamoah, J.K.K., Nyabadza, F., Jin, Z., Bonyah, E., Khan, M.A., Li, M.Y., & Hayat, T., 2020. Backward bifurcation and Sensitivity Analysis for Bacterial Meningitis Transmission Dynamic with A Nonlinear Recovery Rate. Chaos, Solitons, and Fractals, Vol 140.
[5] Asamoah,  J.K.K.,  Nyabadza,F.,  Seidu,  B.,  Chand,  M.,  &  Duta,  H.,  2018.  Mathematical Modelling  of  Bacterial  Meningitis  Transmission  Dynamic  with  Control  Measures. Computation and Mathematical Methods in Medicine, 1-21.
[6] Brauwer,  M.,  Tunkel,  A.  &  Van  de  Beek,  D.,  2010.  Epidemology,  Diagnosis,  and Antimicrobial Treatment of Acute Bacterial Meningitis. Clinical Microbiology, Vol 23, N. 3, 467-492.
[7] Fajri, N., Sianturi, P., & Bakhtiar, T., 2015. Model Matematika SIS-SI dalam Penyebaran Penyakit Malaria dengan Vaksinasi Taksempurna. Institut Pertanian Bogor.
[8] Gumel,  A.B.,  2012.  Cause  of  Backward  Bifurcations  in  some  Epidemological  Models. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 395, No. 12, 355-365
[9] Ibrahim, M.E. & Salma, O.A.A., 2017. A Mathematical Model for Meningitis Disease. Red Sea University Journal, Vol 2, No. 2, 467-472.
[10]  IDAI., 2015. Melengkapi/mengejari Imunisasi (Bagian III).
https://www.idai.or.id/artikel/klinik/imunisasi/melengkapi-mengejar-imunisasi- bagian-iii [3 Juni 2021].
[11]  Kementrian  Kesehatan.,  2013. Selamatkan  Jemaah  Haji  dan  Umroh  dari  Bahaya Meningitis Meningokokus. https://www.kemkes.go.id/article/view/2277/selamatkan- jemaah-haji-dan-umroh-dari-bahaya-meningitis-meningokokus.html [1 Juni 2021].
[12]  Kementrian  Kesehatan.,  2019 .  Panduan  Deteksi  dan  Respon  Penyakit  Meningitis Meningokokus.
https://infeksiemerging.kemkes.go.id/PANDUAN_DETEKSI_RESPON_MM [28 Desember 2021]
[13]  Maimati,  N.,  Isa,  M.Z.,  Rahimi,  A.,  Kouadio,  I.K.,Ghazi,  H.F.  &  Aljunid,  S.M.,  2012. Incidence of Bacterial Meningitis in South East Asia Region. BMC Public Health, Vol. 12, No. A30.
[14]   Martinez, M.J.F., Merino, E.G., Sanchez, E.G., Sanchez, J.E.G., Rey, A.M.D., & Sanchez G.R.,  2013.  A  Mathematical  Model  to  Study  the  Menigococcal  Meningitis. Procedia Computer Science, Vol 18, 2492-2495.
[15]  Musa, S.S., Zhao, S., Hussaini, N., Habib, A.G., & He, D., 2019. Mathematical Modeling and Analsis of Meningococcal Meningitis Transmission Dynamic. International Journal of Biomathematics 2050006.
[16]  Side,  S.  &  Rangkuti,  Y.M.,  2015.  Pemodelan  Matematika  dan  Solusi  Numerik  untuk Penularan Demam Berdarah. Perdana Publising. [17]  WHO., 2018. Meningitis Meningococcal .
https://www.who.int/emergencies/diseases/meningitis/epidemiological/en/  [9  April 2021]
[18]  Wiah,  E.N.  &  Adetunde,  I.A.,  2010.  A  Mathematical  Model  of  Cerebrospinal Meningitis Epidemic: A Case Study for Jirapa District, Ghana. KMITL Sci Tech J, Vol 10, No. 2.