Penggunaan Metode Elemen Hingga Pada Struktur Grid Dengan Program Freemat

## Amir Hamzah
Jurusan Teknik Sipil, Universitas Asahan email: ah5211011@gmail.com DOI: http://dx.doi.org/10.31869/rtj.v4i1.2040
Abstrak: Metode  elemen  hingga  adalah  alat  yang  ampuh  untuk  menyelesaikan  masalah  yang kompleks  terkait    dengan    bidang  teknik  dan    bidang  lainnya.  Metode  ini  paling  banyak  digunakan untuk  memecahkan  masalah  analisa  struktur.  Di  rekayasa  struktural  di  mana  analisis  kritis  dengan akurasi  tinggi  adalah  parameter  penting  dan  itu  terbukti  efektif.  Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas metode  elemen  hingga  khususnya  elemen  grid  menggunakan  Program  FreeMat.  Pada  penggunaan metode  ini  ada  beberapa  hal  yang  harus  diketahui,  yaitu    modulus  elastisitas  E,  modulus  geser elastisitas G, momen inersia I, konstanta torsional J, dan panjang batang L.

## PENDAHULUAN
Metode  elemen  hingga  adalah  prosedur numerik  untuk menyelesaikan masalah  teknik. Metode elemen hingga adalah alat yang sangat berguna  di  bidang  teknik  sipil  untuk memperkirakan secara fisik struktur fisik yang terlalu  rumit  untuk  solusi  analitis.  Metode  ini dalam  penyelesaian  masalah  menggunakan pendekatan  diskretisasi  elemen    untuk menemukan perpindahan titik simpul/joint/grid  dan  gaya-gaya  dari  struktur. Persamaan yang menggunakan elemen diskret mengacu  pada  metode  matrik  untuk  analisis struktur  dan  hasil  yang    diperoleh  identik dengan analisis klasik untuk struktur. Diskretisasi  yang  dilakukan  dapat  dilakukan dengan  menggunakan  elemen  satu  dimensi (elemen  garis),  dua  dimensi  (elemen  bidang, ataupun  tiga  dimensi  (elemen  solid/kontinum). Pendekatan  menggunakan  elemen  kontinum untuk  menentukan  pendekatan  penyelesaian masalah  yang  lebih  mendekati  sebenarnya. Ada  enam  langkah  yang  digunakan  untuk menyelesaikan  setiap  masalah  menggunakan elemen hingga. Enam langkah analisis elemen hingga sebagai berikut:
1. Diskretisasi
Diskretisasi  adalah  pernbagian  suatu sistem menjadi elemen-elemen. Diskretisasi  ini  akan  menghasilkan  suatu harga pendekatan terhadap keadaan sesungguhnya.  Jadi   bukan  merupakan solusi  eksak.  Massa  dibagi  menjadi sejumlah  elemen  yang  kecil  yang  disebut " finite  element ".  Titik  potong  sisi-sisi elemen disebut titik nodal dan pertemuan. .
2. Menulis matriks kekakuan elemen
Persamaan  kekakuan  elemen  perlu  ditulis untuk  setiap  elemen  dalam  domain menggunakan FreeMat
3. Merakit matriks kekakuan global Ini  akan  dilakukan  dengan  menggunakan pendekatan kekakuan langsung menggunakan FreeMat 4. Menerapkan kondisi batas Ini  seperti  penyangga  dan  beban  serta perpindahan yang diterapkan.
5. Memecahkan persamaan
Akan dilakukan dengan mempartisi matriks  kekakuan  global  dan  kemudian memecahkan  persamaan  yang  dihasilkan menggunakan  eliminasi  Gaussian.  Dalam tulisan  ini  proses  partisi  akan  dilakukan secara  manual  sedangkan  bagian  solusi akan  dilakukan  menggunakan  FreeMat dengan eliminasi Gaussian.
6. Pasca  pemrosesan  -  untuk  mendapatkan informasi  tambahan  seperti  reaksi  dan kekuatan elemen akan dilakukan
menggunakan FreeMat
Terlihat  dari  langkah-langkah  di  atas  bahwa proses solusi melibatkan penggunaan kombinasi  FreeMat  dan  beberapa  operasi manual  terbatas.  Operasi  manual  dikerjakan sangat  sederhana  hanya  berurusan  dengan diskritisasi  (langkah  1),  menerapkan  kondisi batas  (langkah  4)  dan  mempartisi  matriks kekakuan global (bagian dari langkah 5).

## TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan  Dasar  Elemen  grid  adalah elemen terbatas dua dimensi dengan koordinat lokal  dan  global.  Elemen  grid  memiliki modulus elastisitas E, modulus geser elastisitas  G,  momen  inersia  I,  konstanta
torsional J, dan panjang L. Setiap elemen grid memiliki dua node dan cendrung dengan sudut θ  diukur  berlawanan  arah  jarum  jam  dari sumbu X global positif seperti yang ditunjukkan  pada  gambar  1.1  dan    C  =  cosθ dan S = sinθ. Dalam hal ini, matriks kekakuan elemen diberikan oleh matriks berikut,
[k]=[R] T [k] [R]
(1)
di  mana  matriks  rotasi  [R]  dan  matriks kekakuan [k ] diberikan oleh:
                           
                 L EI L EI L EI L EI L GJ L GJ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L GJ L GJ L EI L EI L EI L EI k 4 0 6 2 0 6 0 0 0 0 6 0 12 6 0 12 2 0 6 4 0 6 0 0 0 0 6 0 12 6 0 12 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 (2)                          C S S C C S S C R 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (3) Y i
X
 j
Z x
Gambar 1.1  Grid Elemen
Jelas  bahwa  elemen  grid  memiliki  enam derajat  kebebasan  -  tiga  di  setiap  node  (satu perpindahan  dan  dua  rotasi).  Akibatnya  untuk struktur  dengan  n  node,  matriks  kekakuan global K akan berukuran 3n × 3n (karena  kita memiliki  tiga  derajat  kebebasan  di  setiap node).  Matriks  kekakuan  global  K  dirakit dengan  melakukan  panggilan  ke  fungsi FreeMat  GridAssemble  yang  ditulis  khusus untuk Program ini.
Proses ini akan diilustrasikan secara rinci dalam  contoh.  Setelah  matriks  kekakuan global  diperoleh,  kita  memiliki  persamaan struktur berikut:
[K]{U} = {F}
(4)
di  mana  U  adalah  vektor  perpindahan  nodal global  dan  F  adalah  vektor  gaya  nodal  global. Pada  langkah  ini  kondisi  batas  diterapkan secara  manual  ke  vektor  U  dan  F.  Kemudian matriks  diatas  diselesaikan  dengan  partisi  dan eliminasi Gaussian. Akhirnya begitu perpindahan  dan  reaksi  yang  tidak  diketahui ditemukan, vektor gaya nodal adalah diperoleh untuk setiap elemen sebagai berikut:
{f} =[k] [R] {u}
(5)
di  mana  {f}  adalah  vektor  gaya  nodal  6  ×  1 dalam elemen dan u adalah vektor perpindahan elemen  6  ×  1.  Elemen  pertama  dalam  setiap vektor  {u}  adalah  perpindahan  melintang sedangkan  elemen  kedua  dan  ketiga  adalah rotasi tentang sumbu X dan Z, masing-masing, pada  simpul  pertama,  sedangkan  elemen keempat  dalam  setiap  vektor  {u}  adalah perpindahan melintang dan elemen kelima dan keenam  adalah  rotasi  pada  sumbu  X  dan  Z, masing-masing, pada simpul kedua.

## Fungsi FreeMat yang digunakan.
Ada  5  fungsi  FreeMat  yang  digunakan  dalam Grid Element :
1. GridElementLength  (x 1 ,  y 1 ,  x 2, y 2 )    - Fungsi ini mengembalikan panjang elemen  yang  diberikan  (x 1 ,  y 1 )  dan koordinat dari node kedua (x 2 , y 2 ) function y = GridElementLength(x1,y1,x2,y2) y  =  sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+  (y2-y1)*(y2- y1));
2. GridElementStiffnessLokal(E,G,I,J,L). Fungsi  ini  menghitung  matrik  kekakuan elemen  untuk  setiap  elemen  grid  dengan modulus  elastisitas  E,  geser  modulus elastisitas  G,  momen  inersia  I,  konstanta torsi  J,  dan  panjang  L,  mengembalikan matriks kekakuan elemen(6x 6) k. function y = GridElementStiffness(E,G,I,J,L) w1=12*E*I/(L*L*L); w2=6*E*I/(L*L); w3=G*J/L; w4=4*E*I/L; w5=2*E*I/L; y = [w1 0 w2 -w1 0 w2;  0 w3  0   0 -w3 0;
w2 0 w4 -w2 0 w5; -w1 0 -w2  w1 0 - w2;
0 -w3  0  0 w3 0;  w2 0  w5 -w2 0 w4];
3. GridElementStiffness(E,G,I,J,L,Theta). Fungsi  ini  menghitung  matrik  kekakuan elemen  untuk  setiap  elemen  grid  dengan modulus  elastisitas  E,  geser  modulus elastisitas  G,  momen  inersia  I,  konstanta torsi  J,  dan  panjang  L,  mengembalikan matriks kekakuan elemen(6x 6) k. function y = GridElementStiffness(E,G,I,J,L,theta) x = theta*pi/180; C = cos(x); S = sin(x); w1=12*E*I/(L*L*L); w2=6*E*I/(L*L); w3=G*J/L; w4=4*E*I/L; w5=2*E*I/L; kprime= [w1 0 w2 -w1 0 w2; 0 w3 0 0 - w3 0; w2 0 w4 -w2 0 w5; -w1 0 -w2 w1 0 -w2; 0 -w3 0 0 w3 0; w2 0 w5 -w2 0 w4]; R = [1 0 0 0 0 0; 0 C S 0 0 0; 0 -S C 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 C S;0 0 0 0 -S C]; y = R'*kprime*R;
4. GridAssemble(K,k,i,j) Fungsi  ini  merakit  matriks  kekakuan elemen  k  dari  elemen  grid  yang menghubungkan  node  i  dan  j  ke  dalam matriks kekakuan global K. Ia mengembalikan  matriks  kekakuan  global 3n x 3n K setiap kali elemen dirakit. function y = GridAssemble(K,k,i,j) K(3*i-2,3*i-2)= K(3*i-2,3*i-2)+ k(1,1); K(3*i-2,3*i-1)= K(3*i-2,3*i-1)+ k(1,2); K(3*i-2,3*i)= K(3*i-2,3*i)+ k(1,3);
K(3*i-2,3*j-2)= K(3*i-2,3*j-2)+ k(1,4);
K(3*i-2,3*j-1)= K(3*i-2,3*j-1)+ k(1,5); K(3*i-2,3*j)= K(3*i-2,3*j)+ k(1,6); K(3*i-1,3*i-2)= K(3*i-1,3*i-2)+ k(2,1); K(3*i-1,3*i-1)= K(3*i-1,3*i-1)+ k(2,2); K(3*i-1,3*i)= K(3*i-1,3*i)+ k(2,3); K(3*i-1,3*j-2)= K(3*i-1,3*j-2)+ k(2,4); K(3*i-1,3*j-1)= K(3*i-1,3*j-1)+ k(2,5); K(3*i-1,3*j)= K(3*i-1,3*j)+ k(2,6); K(3*i,3*i-2)= K(3*i,3*i-2)+ k(3,1); K(3*i,3*i-1)= K(3*i,3*i-1)+ k(3,2); K(3*i,3*i)= K(3*i,3*i)+ k(3,3); K(3*i,3*j-2)= K(3*i,3*j-2)+ k(3,4); K(3*i,3*j-1)= K(3*i,3*j-1)+ k(3,5); K(3*i,3*j)= K(3*i,3*j)+ k(3,6); K(3*j-2,3*i-2)= K(3*j-2,3*i-2)+ k(4,1); K(3*j-2,3*i-1)= K(3*j-2,3*i-1)+ k(4,2); K(3*j-2,3*i)= K(3*j-2,3*i)+ k(4,3); K(3*j-2,3*j-2)= K(3*j-2,3*j-2)+ k(4,4); K(3*j-2,3*j-1)= K(3*j-2,3*j-1)+ k(4,5); K(3*j-2,3*j)= K(3*j-2,3*j)+ k(4,6); K(3*j-1,3*i-2)= K(3*j-1,3*i-2)+ k(5,1); K(3*j-1,3*i-1)= K(3*j-1,3*i-1)+ k(5,2); K(3*j-1,3*i)= K(3*j-1,3*i)+ k(5,3); K(3*j-1,3*j-2)= K(3*j-1,3*j-2)+ k(5,4); K(3*j-1,3*j-1)= K(3*j-1,3*j-1)+ k(5,5); K(3*j-1,3*j)= K(3*j-1,3*j)+ k(5,6); K(3*j,3*i-2)= K(3*j,3*i-2)+ k(6,1); K(3*j,3*i-1)= K(3*j,3*i-1)+ k(6,2); K(3*j,3*i)= K(3*j,3*i)+ k(6,3); K(3*j,3*j-2)= K(3*j,3*j-2)+ k(6,4); K(3*j,3*j-1)= K(3*j,3*j-1)+ k(6,5); K(3*j,3*j)= K(3*j,3*j)+ k(6,6); y = K;
5. GridElementForce(E,G,I,J,L,Theta,u) Fungsi  ini  menghitung  vektor  gaya elemen  menggunakan  modulus  elastisitas E.  geser  modulus  elastisitas  G,  momen inersia I, konstanta torsi J, dan panjang L dan  vektor  perpindahan  elemen  u. mengembalikan 6 x 1 elemen gaya vektor f. function y = GridElementForce(E,G,I,J,L,theta,u) x = theta*pi/180; C = cos(x); S = sin(x); w1=12*E*I/(L*L*L); w2=6*E*I/(L*L); w3=G*J/L; w4=4*E*I/L; w5=2*E*I/L; kprime=[w1 0 w2 -w1 0 w2;  0  w3  0 0 - w3  0;
w2 0 w4 -w2 0 w5; -w1 0 -w2 w1 0 - w2; 0 -w3  0  0 w3 0; w2 0  w5 -w2 0 w4];
R = [1 0 0 0 0 0; 0 C S 0 0 0; 0 -S C 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 C S;0 0 0 0 -S C]; y = kprime*R*u;

## Contoh Perhitungan
Diketahui struktur grid seperti gambar 1.2. Ditentukan E = 210 Gpa, modulus geser, G = 84 Gpa, Inersia I = 20 X 10 -5 m 4 dan konstanta torsional  J = 5 x 10 -5 m 4 .
Y 3 3m F=-10 kN 3m 1 X 2 Z 4m Gambar 1.2 Struktur grid % Program Grid Elemen 02 %----------------------------------------------; % No.batang   Titik-i   Titik-j   Pjg batang %----------------------------------------------; %   1        1            2           5.0       ; %   2        1            3           5.0       ; %----------------------------------------------;
E = 210e6 % kN/mm2 = 210 GPa = 210e6
kN/m2
G =84e6 I=20e-5 J=5e-5 L1 = GridElementLength(4,0,0,-3) L2 = GridElementLength(4,0,0,3) theta1 = 180-atan(3/4)*180/pi theta2=180+atan(3/4)*180/pi % Kekakuan Lokal k11= GridElementStiffnessLokal(E,G,I,J,L1) k12= GridElementStiffnessLokal(E,G,I,J,L2) % Kekakuan Global
k1 = GridElementStiffness(E,G,I,J,L1,theta1)
k2 = GridElementStiffness(E,G,I,J,L2,theta2) % Merakit Matrik K = zeros(9,9)
K = GridAssemble(K,k1,1,2) K = GridAssemble(K,k2,1,3)
k = K(1:3,1:3) f = [-10;0;0] u = k\f % Gaya btg global U = [u;0;0;0;0;0;0] F = K*U
% Gaya batang Lokal u1 = [U(1) ; U(2) ; U(3) ; U(4) ; U(5) ; U(6)] u2 = [U(1) ; U(2) ; U(3) ; U(7) ; U(8) ; U(9)]
% Gaya batang f1 = GridElementForce(E,G,I,J,L1,theta1,u1)
f2 = GridElementForce(E,G,I,J,L2,theta2,u2) Hasil keluarannya :
E = 210000000 G = 84000000
I = 2.0000e-004 J = 5.0000e-005
L1 = 5 L2 = 5 theta1 = 143.1301 theta2 = 216.8699

## Kekakuan Lokal
k11 = 4032      0  10080  -4032      0  10080
0    840      0      0   -840      0 10080      0  33600 -10080      0  16800 -4032      0 -10080   4032      0 -10080 0   -840      0      0    840      0 10080      0  16800 -10080      0  33600 k12 = 4032      0  10080  -4032      0  10080 0    840      0      0   -840      0 10080      0  33600 -10080      0  16800
-4032      0 -10080   4032      0 -10080
0   -840      0      0    840      0 10080      0  16800 -10080      0  33600

## Kekakuan global
k1 = 1.0e+004 *
0.4032   -0.6048   -0.8064   -0.4032 -0.6048    1.2634    1.5725    0.6048 -0.8064    1.5725    2.1806    0.8064 -0.4032    0.6048    0.8064    0.4032 -0.6048    0.5510    0.8467    0.6048 -0.8064    0.8467    1.0450    0.8064 -0.6048   -0.8064 0.5510    0.8467
0.8467    1.0450 0.6048    0.8064 1.2634    1.5725 1.5725    2.1806 k2 = 1.0e+004 * 0.4032    0.6048   -0.8064   -0.4032 0.6048    1.2634   -1.5725   -0.6048 -0.8064   -1.5725    2.1806    0.8064 -0.4032   -0.6048    0.8064    0.4032 0.6048    0.5510   -0.8467   -0.6048 -0.8064   -0.8467    1.0450    0.8064 0.6048   -0.8064 0.5510   -0.8467
-0.8467    1.0450 -0.6048    0.8064 1.2634   -1.5725 -1.5725    2.1806

## Merakit matrik
1.0e+004 *
0.8064   -0.0000   -1.6128   -0.4032
-0.0000    2.5267    0.0000    0.6048 -1.6128    0.0000    4.3613    0.8064 -0.4032    0.6048    0.8064    0.4032 -0.6048    0.5510    0.8467    0.6048 -0.8064    0.8467    1.0450    0.8064 -0.4032   -0.6048    0.8064         0 0.6048    0.5510   -0.8467         0 -0.8064   -0.8467    1.0450         0
-0.6048   -0.8064   -0.4032    0.6048   -0.8064 0.5510    0.8467   -0.6048    0.5510   -0.8467 0.8467    1.0450    0.8064   -0.8467    1.0450 0.6048    0.8064         0         0         0 1.2634    1.5725         0         0         0 1.5725    2.1806         0         0         0 0         0         0.4032   -0.6048    0.8064 0         0        -0.6048    1.2634   -1.5725 0         0         0.8064   -1.5725    2.1806
U 1y F 1y  1x M 1x  1z M 1z U 2y F 2y  2x =   M 2x  2z M 2z
U 3y F 3y  3x M 3x  3z M 3z
1.0e+004 * 0.8064   -0.0000   -1.6128   -0.4032 -0.0000    2.5267    0.0000    0.6048 -1.6128    0.0000    4.3613    0.8064 -0.4032    0.6048    0.8064    0.4032 -0.6048    0.5510    0.8467    0.6048 -0.8064    0.8467    1.0450    0.8064 -0.4032   -0.6048    0.8064         0 0.6048    0.5510   -0.8467         0 -0.8064   -0.8467    1.0450         0 -0.6048   -0.8064   -0.4032    0.6048   -0.8064 0.5510    0.8467   -0.6048    0.5510   -0.8467 0.8467    1.0450    0.8064   -0.8467    1.0450 0.6048    0.8064         0         0         0 1.2634    1.5725         0         0         0 1.5725    2.1806         0         0         0 0         0         0.4032   -0.6048    0.8064 0         0        -0.6048    1.2634   -1.5725 0         0         0.8064   -1.5725    2.1806 U 1y -10  1x 0  1z 0
0        F 2y 0   =    M 2x
0        M 2z 0        F 3y
0        M 3x 0        M 3z
Penyelesaian persamaan : 1.0e+004 * 0.8064   -0.0000   -1.6128  U 1y -10
-0.0000    2.5267    0.0000  1x =  0
-1.6128    0.0000    4.3613  1x 0
k =
1.0e+004 * 0.8064   -0.0000   -1.6128 -0.0000    2.5267    0.0000 -1.6128    0.0000    4.3613 f = -10 0 0 Perpindahan Nodal 1 u = 1.0e-003 * -4.7622 -0.0000 -1.7611
U = 1.0e-003 * -4.7622 -0.0000 -1.7611 0 0 0 0 0 0
Vektor gaya pada Nodal:
F = -10.0000 Y 0.0000 0 5.0000 3 13.8905           3m           F=-10 kN 20.0000 5.0000 R V3 X -13.8905 3m 1 20.0000 Z 2 R V2

## Deformasi batang 1
u1 = 1.0e-003 *                 2 -4.7622                -0.0000
-1.7611 0
0 0 Deformasi batang 2 u2 = 1.0e-003 *
-4.7622 -0.0000 -1.7611 0 0 0
Gaya batang f1 =
-5.0000 -0.8876 -0.6657 5.0000 0.8876 -24.3343 f2 = -5.0000 0.8876 -0.6657 5.0000 -0.8876 -24.3343

## SIMPULAN
Hasil  perhitungan  dengan  FreeMat  cukup akurat  dan  lebih  mudah  untuk  melakukan variasi-variasi yang diperlukan. Dalam penyelesaian  struktur  grid  menggunakan FreeMat terlebih dahulu harus dicari kekakuan lokal  dan  global.  Hasil  perhitungan  diatas sudah di validasi dan sesuai dengan Program SAP2000.

## REFERENSI
P.I.  Kattan,  2002. “MATLAB  Guide  to  Finite Elemen”, Springer – Verlag. Wiryanto  Dewo  Broto,  2007.  “ Aplikasi
Rekayasa Konstruksi dengan SAP
2000”, Elex Media Komputindo. Fausett.L,  1999.  “ Applied  Numerical  Analysis Using MATLAB ”, Prentice Hall. George  R.Buchanan,  1995.  “ Finite  Element Analysis ”,McGraw- Hill, INC. Larry  J.  Segerlind,  1984.” Applied  Element analysis ”,John Wiley and Sons. Inc. Amar  Khennane,  2013.” Introduction  to  Finite Element  Analysis  Using  MATLAB  and Abaqus ”,CRC  Press  Taylor  and  Francis
Group. Yoyong  Arfiadi,  2016.” Analisis  Struktur dengan Program Matlab dan FreeMat ”,Cahaya Atma Pustaka. https://it.wikipedia.org/wiki/FreeMat R V1 =-10 kN M 1X =0 M 1Z =0 R V2 =5kN M 2x =13.8905 kNm M 2z =20.0 kNm R V3 =5kN M 3X =-13.8905 kNm M 3Z =20.0 kNm