Vol. 3, No.2, 70-79,  Januari 2007
Model Matematika Sistem Persediaan (Q, R) Yang Terkait Dengan Mutu Barang Dan Informasi Permintaan Lengkap
Agus Sukmana 

## Abstract
This  paper  deals  with  an  inventory  model  for  continuous  review  (Q,  r)  where  there  are  some proportions  of  defective  items  in  the  ordered  items.  The  number  of  defective  items  in  a  lot  vary and it is assumed that their proportions follow a beta distribution. Lead time demand is a random variable,  its  distribution  and  parameters  are  known.  This  model  also  accommodates  a  condition where lost sales and back order policy are implemented in one cycle with different proportions of defective items. Numerical example is also given for illustration.
Keywords: continuous review, defective items, full demand information , inventory.

## 1. Pendahuluan
Tujuan  dari  pengelolaan  persediaan  adalah  untuk  memenuhi  permintaan  pelanggan dengan    ekspektasi  biaya  pengelolaan  yang  minimun.  Ada  beberapa  sistem  persediaan  yang dikenal satu diantaranya adalah jenis continuous review . Sistem persediaan ini memantau tingkat persediaan dari  waktu  ke waktu  secara  terus  menerus.  Pengadaan  barang  sejumlah Q dilakukan bila  tingkat  persediaan  ( on-hand  inventory )  mencapai  titik r (disebut  titik  pemesanan  kembali). Titik r ditentukan  dengan  memperhitungkan  permintaan  selama  waktu  ( L )  menunggu  barang yang  dipesan  tiba.  Selanjutnya  model  sistem  persediaan  tersebut  diberi  nama  model  persediaan (Q, r). Besarnya permintaan merupakan variabel acak, bila distribusi dan parameternya diketahui, disebut informasi  permintaan  lengkap .  Dari  sejumlah  Q  unit  barang  yang  tiba  dari  hasil pemesanan  sebelumnya  tidak  seluruhnya  bermutu  baik.  Untuk  memastikan  mutu  barang dilakukan  pemeriksaan  (inspeksi)  terhadap  seluruh  Q  unit  barang  tersebut.  Misalkan  terdapat y unit  yang  cacat,  maka  hanya  Q- y unit  tersedia  untuk  memenuhi  permintaan  periode  berikutnya. Proporsi barang cacat untuk setiap lot berbeda dan merupakan variabel acak.
Gambar  1  memberikan  ilustrasi  tingkat  persediaan  barang  dari  waktu  ke  waktu.  Pada siklus  yang  pertama,  persediaan  barang  sebanyak r dapat  memenuhi  permintaan  yang probabilistik  selama  waktu  tunggu L .  Sedangkan  pada  siklus  ke-2  dan  ke-3    permintaan  lebih besar dari r sehingga terjadi kekurangan persediaan (tingkat persediaan negatif). Ada 2 kebijakan bila  terjadi  kekurangan  persediaan.  Kebijakan  pertama  disebut back  order ,  pelanggan  bersedia menunggu  sampai  barang  datang  dan  sebagai  kompensasi  diberikan  sejumlah  uang  (perusahaan membayar penalti). Kebijakan kedua disebut lost sales, pelanggan tidak bersedia menunggu dan membatalkan  pembelian  barang  serta  perusahaan  tetap  dikenai  penalti  (biasanya  penalti  untuk lost  sales lebih  tinggi  dari  penalti  untuk back  order karena  memperhitungkan  kehilangan kesempatan  untuk  memperoleh  keuntungan).  Pada  siklus  yang  kedua  terjadi  kekurangan
 Staf pengajar pada Jurusan Matematika Universitas Parahyangan  Bandung,
e-mail : asukmana@home.unpar.ac.id
persediaan  dan  pelanggan  bersedia  menunggu  sampai  barang  yang  dipesan  tiba.  Segera  setelah barang  tiba,  permintaan  tersebut  dipenuhi  dan  tingkat  persediaan  barang  pada  awal  siklus berikutnya  kurang  dari  Q  unit.  Pada  siklus  ke-3  terjadi  kekurangan  persediaan  dan  pelanggan tidak  bersedia  menunggu  dan  membatalkan  pemesanan  sehingga  tingkat  persediaan  pada  awal siklus ke-4 sebesar Q.
Makalah ini akan membahas model matematika untuk sistem persediaan (Q,r) dengan mutu barang yang tidak seluruhnya baik. Distribusi permintaan yang dibahas adalah normal dan eksponensial. Model juga mempertimbangkan kebijakan lost sales dan back order dapat muncul bersamaan  dalam  satu  siklus  dengan  proporsi  tertentu.  Urutan  pembahasan  sebagai  berikut: formulasi  model,  optimasi  model  dengan  tujuan  mencari  nilai  variabel  keputusan  yang optimal,dan contoh perhitungan serta analisisnya.
Sistem  persediaan continuous  review dibahas  antara  lain  pada:  [Hopp,1996]  dan [Hadley,1963]. Pengembangan menjadi model (Q,r,L) antara lain  oleh [Ben-Daya,1999] untuk L deterministik  dan  distribusi  permintaan  normal,  sedangkan    [Fenny,  2004]  untuk  distribusi eksponensial.  Model  (Q,r,L)  dengan  barang  cacat  dibahas  [Wu,  2001],  [Sukmana,dkk  2005] membahas model untuk informasi permintaan lengkap dan parsial.

## 2. Formulasi Model

## 2.1 Notasi-notasi
Notasi-notasi yang digunakan adalah sebagai berikut:
D :  Rata-rata banyak permintaan per tahun.
A :  Biaya pengadaan barang per siklusnya
h :  Biaya simpan barang baik per unit per tahun
h’ :  Biaya simpan barang cacat per unit per tahun. (h’<h)
Q :  Banyak barang yang dipesan dalam satu kali pemesanan .
Y :  Banyak barang cacat, berdistribusi Binomial(Q, p ) p :  proporsi barang cacat ) 1 , 0 [  p , berdistribusi Beta.
r : Titik dimana pada saat tingkat persediaan mencapai titik r dilakukan pemesanan.
L :  Waktu pengiriman barang ( lamanya waktu antara pemesanan dan barang tiba).
 :  Proporsi terjadinya back order , dan 1-  adalah proporsi lost sales ,  [0,1].
 :  Biaya denda / penalti yang harus dibayar karena terjadi kekurangan persediaan.
 0 :  Kesempatan untuk mendapatkan keuntungan yang hilang karena lost sales . v :  Biaya pemeriksaan per unit.
Q L Waktu T ing k at P ers e di a an ( u ni t) r 0 1 2 3 4
Winoto Buwono , Agus Sukmana
X :  Rata-rata permintaan selama waktu ancang (variabel acak).
 x : } 0 , max{ x

## 2.2 Model Persediaan
Ekspektasi  biaya  total  persediaan  pertahun  diasumsikan  terdiri  dari  komponen- komponen:  biaya  pemesanan,  biaya  simpan  barang  bermutu  baik,  biaya  simpan  barang  cacat, biaya kekurangan persediaan, dan biaya pemeriksaan (inspeksi).
Selama selang perencanaan setahun, rata-rata banyaknya siklus adalah 1 ( ) E T dengan rata-rata panjang setiap siklus adalah:
    D Y Q E T E   (1)
Berikut akan dibahas uraian masing-masing komponen biaya:
 Biaya pemesanan
Biaya  pemesanan  pertahun  dihitung  berdasarkan  ekspektasi  frekuensi  pemesanan selama satu tahun dikalikan dengan biaya (tetap) untuk setiap kali melakukan pemesanan.
  . D A E Q Y  = A Y E Q D ) (  (2)

##  Biaya simpan barang mutu baik
Biaya untuk menyimpan barang bermutu baik pertahun dihitung berdasarkan perkalian ekspektasi  banyaknya  barang  yang  disimpan  dalam  satu  siklus  dengan  ekspektasi  frekuensi pemesanan dalam satu tahun  dan biaya  simpan barang per unit pertahun sama dengan:
    ( )
. 1 . . 2 ( ) Q Y Q Y D
E r L E X r h D E Q Y                        = ] ) ( ) 1 ( [ )) ( ( 2 ) ( ) ( 2 2 2          r X E L r h Y E Q Y E Y QE Q h   (3)
di  mana    ) ( ) 1 ( r X E  adalah  banyaknya  barang  yang  dikembalikan  akibat  pelanggan membatalkan pesanan ( lost-sales ).
 Biaya simpan barang cacat
Biaya  yang  dikeluarkan  untuk  menyimpan  sementara  barang  cacat  hasil  pemeriksaan sebelum  dikembalikan  kepada  pemasok  pada  siklus  berikutnya  dihitung  berdasarkan ekspektasi jumlah barang rusak dikalikan biaya simpan barang rusak perunit pertahun:
( ) ' ( )
Q Y
D E Q h D E Q Y         = ) ( ) ( ' ) ( ) ( ' 2 Y E Q Y E h Y E Q Y E Q h    (4)
 Biaya kekurangan persediaan
Biaya  untuk  membayar  denda  akibat  perusahaan  tidak  dapat  memenuhi  permintaan. Pada  kasus lost-sales juga  kehilangan  kesempatan  untuk  memperoleh  keuntungan  karena pelanggan membatalkan pesanan. Ekspektasi biaya kekurangan pertahun adalah:
             r X E Y Q E D    1 0 =
             r X E Y E Q D    1 0 (5)
 Biaya pemeriksaan (inspeksi)
Biaya  yang  harus  dikeluarkan  untuk  memeriksa  kualiatas  barang  yang  dipesan. Ekspektasi biaya pemeriksaan pertahun adalah:
  Y Q E DvQ  =   Y E Q DvQ  (6)
Sehingga ekpektasi biaya total pertahun dapat ditulis:
       
        2 2 2 ( , )
. 1 2 Q E QY E Y AD h EAC Q r h r L E X r E Q E Y E Q E Y   
                                               Y E Q E r X E D Y E Q E Y E h Y E Q E Y E Q h              1 ' ' 0 2     Y E Q E DvQ   (7)
Banyaknya  barang  rusak  ( Y )  merupakan  variabel  acak  berdistribusi  Binomial  dengan parameter Q dan p, sedangkan    proporsi  barang  rusak  ( p )  untuk  setiap  lot  berbeda-beda mengikuti distribusi tertentu, sehingga ekspektasi Y adalah:
    | E Y p QE p  (8) dan variansi Y adalah:
   
| 1 Var Y p QE p p       (9) atau         p p QE p E Q Y
E    1 2 2 2 (10)
Diasumsikan p berdistribusi  Beta( s,t )  dengan  rataan ( ) ( ) E p s s t   dan  variansi   2 ( ) ( 1) Var p st s t s t    
Subsitusikan persamaan (8) dan (10) ke persamaan (7), menjadi persamaan:
                2 2 1 ,
1 2 1 1 1 Q E p E p E p p AD h EAC Q r Q E p E p E p Q E p                                    
              p E p p E Q h r X E L r h           1 1 1 ' 1 .           0 1 1 1 D E X r
Dv E p
Q E p                    (11)
Persamaan (11) memuat bentuk
  ) ( r X E yang bergantung pada distribusi permintaan.

## 3. Optimisasi

## 3.1 Distribusi Normal
Bila  permintaan  berdistribusi  normal  dengan  rataan  ( mean ) L L    dan  simpangan baku L L    maka titik pemesanan kembali r ditulis:
Winoto Buwono , Agus Sukmana
L k L r     .
Ekspektasi jumlah kekurangan  dinyatakan dalam persamaan :
      dx X f r X r X E r L L         , , (12)
Variabel x diubah menjadi t menggunakan transformasi ( ) t x L L  
  , sehingga: ( ) ( ) ( , 0,1)
r
E X r t L L r f t L L Ldt              (13) Misalkan ( ) t r L L     substitusikan r z L L     kedalam  (13), maka ( ) ( ) ( , 0,1) z E X r t z L f t L L Ldt    
       (14)
Variabel X diubah menjadi variabel t , sehingga persamaan (14) menjadi:
1 ( ) ( ) ( , 0,1)
z E t z t z L f t L L J Ldt     
       (15)
dengan Jacobian
dx dt J L   
Sehingga dapat ditulis :
( ) ( ) ( , 0,1) z E t z L t z f t L L dt    
      (16)
Karena t berdistribusi Normal baku maka (16) dapat ditulis :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z z z E t z
L t z t dt L t t dt z t dt                        (17)
dengan (.)  fungsi kepadatan peluang normal baku. Persamaan (17) disederhanakan:
( i )  
 z z dt t t ) ( ) (   (18a)
(ii) ( ) [1 ( )] ( )
z z t dt z z z z         (18b)
Bukti: (i).              0 ) ( ) ( ) ( ) ( z z dt t t dt t t dt t t t E    sehingga,        z z dt t t dt t t ) ( ) (   dengan ( ) t  fungsi kepadatan normal baku.
        z z t dt te dt t t 2 2 2 1 ) (   Misalkan 2 2 t u   , maka:
Winoto Buwono , Agus Sukmana
1 1 ( ) ( ) 2 2 z z u u z t t dt e du e z                 (ii).             z z dt t dt t dt t 1 ) ( ) ( ) (    atau ( ) 1 ( ) ( ) z z t dt t dt z           dimana ( ) ( ) z z t dt      fungsi distribusi kumulatif normal baku
Substitusikan kedalam (17), diperoleh:
( ) ( ) E t z L z      (19)
dengan ( ) ( ) ( ) z z z z      . Kemudian substitusikan kedalam persamaan (11).
Nilai Q dan r yang  meminimumkan  biaya,  dicari  melalui  turunan  pertama  dan  kedua dari ekspektasi total biaya EAC(Q,r) terhadap variabel Q dan k .
( , ) 0 EAC Q k Q    =           2 2 2 1 2
1 1
E p E p AD h E p
E p Q E p                                0 2 1 1 ' 1 1 D
E p p L k h
E p Q E p     
   
               (20)
dan
  2 0 2 3 3 , 2 [ (1 )]
2 ( ) 0 [1 ( )] [1 ( )]
EAC Q k D AD
L k Q Q E p Q E p              
sehingga  untuk  suatu  nilai k yang  tetap,  ekspektasi  biaya  total  adalah  fungsi  konveks.  Dari persamaan (20) diperoleh nilai Q yang optimal adalah:
              0 * 2 2 1 1 2 2 ' 1
D A L k
Q
h E p E p h E p p                      (21)
Dengan menggunakan aturan Leibnitz pada persamaan (12) diperoleh:
    dx X f r X r r X E r L L           , , ) ( '   , , L L r f X dx       = - ( ) z P k (22)
dimana     k Z P k P z   dan Z adalah variabel acak dari distribusi Normal baku.
Winoto Buwono , Agus Sukmana
Turunan pertama terhadap k adalah:
  , 0
EAC Q k k   
          0 1 1 1 z z D L h L h LP k P k Q E p                      
kemudian disederhanakan menjadi:
                      1 1 1 0 h p E Q D h k P z (23)
Kemudian  dicari  nilai k yang  optimum  yang  memenuhi  persamaan  (20)  dan  (23),  hasilnya digunakan untuk mencari r optimum menggunakan rumus * * r L k L     .
Solusi persamaan (20) dan (23) tidak mudah diselesaikan secara langsung,  tetapi cukup mudah diselesaikan secara iteratif menggunakan algoritma berikut:

## Algoritma :
1) Mulai dari 1 0 k  s, hitung nilai dari   1 k  menggunakan persamaan (19)
2) Hitung 1 Q dengan menggunakan pesamaan  (21).
3) Substitusi nilai 1 Q ke dalam persamaan (23) diperoleh  nilai dari   1 z P k .
4) Nilai   1 z P k digunakan untuk mencari nilai dari 2 k yang diperoleh dari nilai invers dari 1-   2 z P k pada distribusi normal baku.
Ulangi langkah 1) -  4) sampai diperoleh nilai Q dan k yang hampir tetap, nilai tersebut menjadi Q* dan k* optimal, nilai r* dihitung menggunakan rumus * * r L k L     .

## 3.2 Distribusi Eksponensial
Bila permintaan berdistribusi Eksponensial dengan parameter  ,nilai Q* memenuhi :
   
      _ 0 exp _ exp 1 , 1 1 1
,
D F r L Q h E p F r L                      
  (24)
dengan
  _ exp 1 , exp[ ] z r F r L dx L L      
(25)
Sedangkan nilai r* memenuhi persamaan:
              2 _ 2 2 0 exp 1
1 1 1 , g z A E X r h E p F r L                                        _ 2 2 2 2 0 exp 1 , 1 2 ' 1 0 2 h D F r L E p E p h E p p                          (26)
dimana   1 r E X r e       dan L . 1   
.
Winoto Buwono , Agus Sukmana

## 4. Contoh Numerik
Data di bawah ini akan diterapkan ke dalam model untuk dianalisa : D =  600 unit/tahun; A =  $200 untuk setiapkali pesan;
h  =  $20 perunit/tahun; v  =  $1.6 perunit ;
h’ = $12 perunit pertahun;  =  $50 per unit;
0  = $150 per unit;
L  =  4 dan 8 minggu.
Proporsi  barang  cacat p diasumsikan  berdistribusi Beta (3,12),  sehingga   2 , 0  p E dan
  05 , 0 2  p E . Gambar 2 memperlihatkan  peluang terbesar terjadi disekitar p= 0,2.
Gambar 2. fungsi kepadatan peluang Beta (3,12)

## 4.1 Distribusi Normal
Semakin besar proporsi pelanggan yang memilih kebijakan backorder (yang memilih kebijakan lost-sales semakin  kecil)  dapat  menurunkan  nilai r *  ,  ini  terjadi  karena  penalti  untuk backorder lebih  kecil  dibandingkan lost-sales .  Sedangkan  biaya  total  semakin  menurun,  akibat langsung  dari  menurunnya  biaya  simpan.  Lamanya  waktu  tunggu  berpengaruh  lebih  besar  pada r *  dibandingkan  dengan    Q*  ,  karena  tingkat  persediaan r* dipersiapkan  untuk  memenuhi kebutuhan  selama  waktu  tunggu,  peningkatan  sebesar  2  kali  untuk  waktu  tunggu  meningkatkan r * hampir dua kalinya (lihat Tabel 1)
Tabel 1. Hasil perhitungan untuk permintaan berdistribusi Normal
β proporsi Back order L Q* r* Biaya Pesan ($) Biaya Simpan ($) Biaya Kekurangan ($) Biaya Total ($) 0 8 127 134 2379.55 2163.96 139.82 4683.33 4 132 76 2466.83 1959.37 99.22 4525.41 0.1 8 127 134 2378.88 2152.02 141.22 4672.12 4 132 75 2466.35 1950.89 100.22 4517.46 0.2 8 127 133 2378.14 2138.91 142.80 4659.84 4 132 75 2465.81 1941.58 101.35 4508.73 0.3 8 127 132 2377.30 2124.39 144.58 4646.27 4 132 74 2465.19 1931.28 102.62 4499.09 0.4 8 128 131 2376.33 2108.15 146.63 4631.12 4 132 74 2464.49 1919.75 104.09 4488.33 0.5 8 128 131 2375.21 2089.75 149.03 4613.98 4 132 73 2463.66 1906.69 105.81 4476.16
Sambungan Tabel 1.
0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f( x ) x Grafik Distribusi Beta (3, 12)
Winoto Buwono , Agus Sukmana
β proporsi Back order L Q* r* Biaya Pesan ($) Biaya Simpan ($) Biaya Kekurangan ($) Biaya Total ($) 0.6 8 128 129 2373.86 2068.56 151.89 4594.32 4 132 72 2462.68 1891.65 107.85 4462.18 0.7 8 128 128 2372.21 2043.66 155.40 4571.28 4 132 71 2461.48 1873.97 110.37 4445.81 0.8 8 128 126 2370.12 2013.59 159.87 4543.58 4 132 70 2459.95 1852.61 113.57 4426.12 0.9 8 128 124 2367.32 1975.82 165.87 4509.00 4 133 69 2457.89 1825.78 117.87 4401.54 1 8 129 122 2363.25 1925.50 174.60 4463.35 4 133 67 2454.90 1790.03 124.13 4369.06

## 4.2 Distribusi Eksponensial
Karakteristik  model  untuk  distribusi  permintaan  eksponensial  hampir  sama  dengan distribusi  permintaan  normal  yang  telah  dijelaskan  pada  bagian  sebelumnya.  Sedangkan perbedaannya  terletak  pada  nilai Q *  dan r *  yang  nilainya  hampir  dua  kali  lipat  nilai  untuk distribusi normal. (lihat tabel 2)
Tabel 2. β
proporsi backorder L Q* r* Biaya Pesan Biaya Simpan Biaya Kekurangan Biaya Total 0 8 234 323 1840.29 7095.83 1790.23 10726.36 4 177 174 2139.76 4416.72 901.74 7458.21 0.1 8 234 315 1839.99 6949.24 1791.68 10580.92 4 178 170 2139.57 4343.81 902.29 7385.62 0.2 8 235 308 1839.647 6790.01 1793.38 10423.03 4 178 166 2139.34 4264.63 902.96 7306.94 0.3 8 235 299 1839.22 6615.74 1795.41 10250.36 4 178 162 2139.08 4178.04 903.74 7220.86 0.4 8 235 289 1838.70 6423.27 1797.90 10059.86 4 178 157 2138.75 4082.46 904.71 7125.92 0.5 8 235 279 1838.06 6208.38 1800.99 9847.42 4 178 152 2138.35 3975.83 905.90 7020.08 0.6 8 235 266 1837.24 5965.12 1804.95 9607.31 4 178 146 2137.84 3855.26 907.42 6900.52 0.7 8 236 252 1836.15 5684.86 1810.21 9331.22 4 178 139 2137.15 3716.52 909.45 6763.13 0.8 8 236 236 1834.65 5354.29 1817.51 9006.45 4 178 131 2136.22 3553.20 912.24 6601.65 0.9 8 237 216 1832.42 4951.26 1828.36 8612.05 4 178 121 2134.83 3354.61 916.36 6405.80 1 8 239 190 1828.80 4434.80 1846.15 8109.75 4 179 108 2132.58 3101.22 923.08 6156.88

## 5. Penutup

## 5.1 Kesimpulan
- Distribusi permintaan sangat berpengaruh terhadap nilai Q dan r yang optimum.
- Distribusi permintaan menentukan rataan jumlah kekurangan persediaan   ) ( r X E sebagai konsekuensinya untuk setiap distribusi memerlukan rumus tersendiri untuk mencari Q dan r
yang  optimum  (bandingkan  rumus  (23)  untuk  distribusi  normal  dan  (26)  untuk  distribusi eksponensial yang memiliki bentuk yang sangat berbeda) .
- Biaya total berkurang seiring meningkatnya proporsi backorder .

## 5.2 Saran pengembangan
Dalam  praktek  tidak  terlalu  mudah  untuk  mengenali  distribusi  permintaan  dan  juga menurunkan  rumus-rumusnya.  Oleh  karena  itu  perlu  dikembangkan  model  sederhana  untuk mengakomodasi  berbagai  kasus  distribusi  permintaan  tetapi  memiliki  solusi  yang    cukup  dekat pada solusi eksaknya.

## Daftar Pustaka
[1] M. Ben-Daya dan M.Hariga, 1999, “ Some Stochastic Inventory Models with Deterministic Variable Lead Time ”,  European Journal of Operational Research, 113 , p. 42-51.
[2] W.Buwono, 2005, “ Model persediaan (Q, r, L) untuk produk yang memuat barang cacat dengan  informasi  permintaan  lengkap” ,  Skripsi  Jurusan  Matematika  Universitas Parahyangan.
[3] W.J.  Hopp,  dan  M.L.  Spearman,  M.L.,  1996,  “ Factor  Physics:  Foundations  of Manufacturing Management” , Richard D. Irwin.
[4] A.Sukmana,  W.Buwono,  Y.Arman,  dan  Fenny,  2005,  “ Model  Matematika  untuk  Sistem Persediaan  (Q,r,L) ”,    dipresentasikan  pada  Seminar  Nasional  Matematika  2005  di Universitas Pendidikan Indonesia Bandung, 20 Agustus 2005
[5] K.S.  Wu  dan  L.Y.  Ouyang,  2001,  “ (Q,r,L)  Inventory  Model  with  Defective  Items ”, Computers and Industrial Engineering , 39, p.173-185
[6] Fenny, 2004, “ Model  Persediaan  (Q,  r,  L)  dengan  Informasi  Permintaan  Lengkap  dan  L Deterministik” , Skripsi Jurusan Matematika, Universitas Parahyangan.