Implementasi Kontrol Umpan Balik Keluaran Berbasis Tapis Kalman dan Regulator Kuadratik Linier pada Sistem Pendulum
Terbalik
1 Ajeng Rizky Octavia, 2 David Nathanlius& 3 Tua AgustinusTamba *
Program Studi Teknik Elektro (Mekatronika), Universitas Katolik Parahyangan, Bandung
1 6315020@student.unpar.ac.id, 2 6315008@student.unpar.ac.id, 3 ttamba@unpar.ac.id
* Penulis korespondensi

## Abstrak
Sistem  pendulum  terbalik  merupakan  salah  satu  contoh  acuan  atau benchmark yang  sering digunakan  dalam  studi,  analisis  dan  perancangan  sistem  kontrol  modern.  Sistem  ini  pada  dasarnya terdiri  dari  sebuah  tongkat  yang  dijaga  agar  senantiasa  berada  pada  posisi  vertikal  di  atas  suatu gerobak/kereta melalui pengontrolan gerak horizontal dari gerobak/kereta tersebut.
Makalah  ini  melaporkan  hasil  awal  dari  kegiatan  studi  dan  penelitian  yang  dilakukan  tim  penulis dalam  upaya  merancang  suatu  purwarupa  sistem  pendulum  terbalik.  Model  sistem  pendulum  yang ditinjau  diturunkan  secara  analitik  dalam  bentuk  model  persamaan  ruang  keadaan  linier  dengan empat  variabel  keadaan  yang  mencakup  (i)  posisi  dan  kecepatan  sudut  simpangan  dari  tongkat pendulum  serta  (ii)  posisi  dan  kecepatan  gerak  horizontal  dari  gerobak/kereta  penyangga  tongkat pendulum.  Pada  model  yang  digunakan,  diasumsikan  data  pengukuran  dari  sensor  yang  dapat digunakan  untuk  merancang  pengontrol  hanya  ada  dua,  yaitu  sudut  simpangan  tongkat  pendulum serta  posisi  kereta  penyangga.  Data  pengukuran  dari  sensor  tersebut  juga  diasumsikan  telah tercampur dengan sinyal gangguan.
Berdasarkan  karakteristik  model  dinamik  serta  data  pengukuran  tersebut,  pengontrolan  sistem pendulum terbalik dilakukan dengan teknik kontrol umpan balik keluaran ( output feedback control ). Lebih  spesifik,  sistem  kontrol  yang  digunakan  terdiri  dari  (i)  tapis  Kalman  (Kalman filter )  untuk mengestimasi variabel keadaan sistem yang tidak terukur serta (ii) kontrol umpan balik berbasis LQR pada  gerobak  penyangga  untuk  menjaga  tongkat  pendulum  pada  posisi  vertikal.  Simulasi  numerik hasil rancangan sistem kontrol umpan balik yang diusulkan dilaporkan untuk mengilustrasikan kinerja estimator dan pengontrol yang dikembangkan.

## Kata Kunci: Pendulum terbalik, LQR, Kalman Filter

## 1 Pendahuluan
Teori  kontrol  merupakan  suatu  bidang  ilmu  yang  menawarkan  berbagaimetoda  inovasi untuk  peningkatan  performansi  suatu  sistem.  Hingga  saat  ini,  teori  kontrol  telah  banyak digunakan  dalam  pendidikan  dan  penelitian  di  berbagai  bidang  natural  maupun  rekayasa [1][2].  Akademisi  dan  peneliti  yang  berminat  mendalami  teori  kontrol  perlu  mendapatkan dukungan fasilitas yang dapat membantu proses pemahaman tentang konsep teoritis yang dipelajari.  Dukungan  tersebut  dapat  berupa  alat  peraga  atau  simulator  sistem  kontrol. Simulator  tersebut  diharapkan  dapat  meminimalisir  kesenjangan  antara  teori  yang dipelajari dengan aplikasi atau permasalahanpada kehidupan nyata [1]. Terdapat beberapa benchmark sistem  yang  sering  digunakan  dalam  simulator  untuk  pembelajaran  teori kontrol, salah satunya adalah sistem pendulum terbalik [3].
Sistem  pendulum  terbalik  (SPT)  adalah  sistem  nonlinear  yang  terdiri  dari  suatu  tongkat pendulum yang hendak dijaga atau dikontrol agar berada pada posisi vertikal di atas suatu
gerobak yang bergerak. Pada sistem pendulum yang ditinjau pada makalah ini, titik tumpu pendulum  diasumsikan  terletak  di  atas  gerobak  yang  bergerak  pada  arah  horizontal. Gerobak  dan  pendulum  tersebut  dihubungkan  oleh  suatu  sendi.  Gerobak  dilengkapi dengan sebuah motor yang menerima masukan tegangan listrik yang dapat menghasilkan torsi  untuk  menggerakkan  gerobak  pada  arah  horizontal.  Dalam  hal  ini,  posisi  pendulum akan dikontrol menggunakan gerak horizontal gerobak [2]. Gambar 1 mengiIustrasikan SPT yang ditinjau pada makalah ini [4].
Dalam  beberapa  tahun  terakhir,  penelitian  mengenai  kontrol  SPT  telah  banyak  dilakukan, contohny  akontrol  SPT  untuk  aplikasi  penyeimbangan  robot  berodadua  menggunakan metode  kontrol  proporsional-integral  serta  rancang  bangun  sekuter  yang  dapat menyeimbangkan  dirinya  sendiri  sebagai  moda  transportasi  [5][6].  Beberapa  penelitian terkait  kontrol  SPT  dengan  metode  regulator  kuadratik  linier  ( linear  quadratic  regulator , LQR)  serta  penggunaan  tapis  Kalman  untuk  kompensasi  kesalahan  pengukuran  sensor gyro juga telah dilakukan sebelumnya [7].
Makalahini  difokuskan  pada  implementasi  sistem  kontrol  berbasis  metode  LQR  dan  tapis Kalman pada SPT. Pengontrol dirancang untuk mengontrol pendulum pada SPT agar dapat mempertahankan  posisi  tegak/vertikal  secara  stabil  saat  gerobak  telah  mencapai  posisi yang  diinginkan.  Analisis  dibatasi  pada  model  linearisasi  SPT  berdasarkan  asumsi  sudut simpangan kecil.
Makalah  ini  terdiri  dari  lima  bab.  Bab  satu  berisi  penjelasan  SPT  dan  teknik  kontrolnya secara  keseluruhan.  Bab  dua  berisi  penjelasan  tentang  SPT  beserta  pemodelannya.  Bab tiga menjelaskan perancangan pengontrol SPT dengan menerapkan tapis Kalman dan LQR. Bab  empat  berisikan  hasil  simulasi  dan  observas  isistem  kontrol  yang  dirancang. Kesimpulan dipaparkan pada bab lima.

## 2 Deskripsi dan Model Sistem
SPT  terdiri  dari  sebuah  pendulum  yang  melekat  pada  gerobak  yang  dilengkapi  dengan motor  yang  menggerakkan  gerobak  tersebut  pada  arah  horizontal.  Gerobak  dilengkapi dengan encoder yang  berfungsi  untuk  mengukur  posisi  gerobak  dan  sensor  sudut  yang berfungsi untuk mengukur sudut simpangan pendulum dari sumbu vertikal.
Gambar  1  menunjukkan  skematika  SPT  yang  ditinjau  pada  makalah  ini.  Pada  SPT  ini diasumsikan  bahwa  massa  tongkat  pendulum  dapat  diabaikan  dan  tidak  ada  gaya  gesek pada  engsel  antara  pendulum  dengan  gerobak.  Gaya menggerakkan  gerobak  secara horizontal searah sumbu  X.  Sudut  simpangan  pendulum dari sumbu  vertikal Ydisimbolkan dengan  .  Panjang  tongkat  pendulum  dinyatakan  sebagai  .  Massa  pendulum  dituliskan dengan ,  sedangkan  massa  gerobak  dituliskan  dengan .  Perpindahan  gerobak  pada sumbu horizontal direpresentasikan dengan  .

## Gambar 1 Sketsa
Untuk  melakukan  analisis  dan  perancangan  pengontrol  pada  SPT,  terlebih  dahulu dilakukan  pemodelan  sistem.  Pemodelan  dilakukan  dalam  dua  tahap,  yaitu  penentua persamaan  gerak  komponen  pendulum  dan  komponen  gerobak.  Persamaan  gerak pendulum dan gerobak pada SPT dapat diperoleh dari masing-masing  komponen.  DBB  gerobak  ditunjukkan  pada  Gambar  2  dan ditunjukkan  Gambar 3.
Berdasarkan DBB di Gambar 2, persamaan
Gambar 2 diagram bendabebas (DBB) pendulum.
11 (2), 2019    ISSN : 2085-2517, e-ISSN: 2460-6340
ketsa SPT yang ditinjau.
Untuk  melakukan  analisis  dan  perancangan  pengontrol  pada  SPT,  terlebih  dahulu dilakukan  pemodelan  sistem.  Pemodelan  dilakukan  dalam  dua  tahap,  yaitu  penentuan komponen  pendulum  dan  komponen  gerobak.  Persamaan  gerak gerobak pada SPT dapat diperoleh dari analisis diagram benda bebas (DBB) gerobak  ditunjukkan  pada  Gambar  2  dan  DBB  pendulum
Berdasarkan DBB di Gambar 2, persamaandinamik pendulum dapatdituliskansebagai:
∑  = , (1)
diagram bendabebas (DBB) pendulum.
Gambar 3
dimana  adalah torsi, adalah momen inersia pendulum, dan simpangan  pendulum.Berdasarkan  komponen dapat dituliskan menjadi:
dimana dan berturut-turut merupakan gaya yang bekerja pada pendulum di sumbu X dan Y. dapat dituliskan sebagai berikut:
dimana ̈ menyatakan  percepatan  pendulum  pada  sumbu  Y gravitasi. Komponen dapat didefinisikan sebagai berikut
dimana ̈ merupakan percepatan pendulum pada
Percepatanpendulum pada sumbu Y dapat
̈ =   − ̇
=   − ̇ − ,̈ =
Di sisilain, percepatan pendulum terhadapsumbu
̈ = ̇ + ̇ = ̈ − ̇ + 11 (2), 2019    ISSN : 2085-2517, e-ISSN: 2460-6340
ambar 3 DBB gerobak.
n inersia pendulum, dan   adalah percepatan sudut komponen  gaya  pada  Gambar  2,  makapersamaan  (1)
∑ sin ( )   −   ∑ cos ( )   = ,̈ (2)
turut merupakan gaya yang bekerja pada pendulum di sumbu dapat dituliskan sebagai berikut:
∑ = ̈ + , (3)
ercepatan  pendulum  pada  sumbu  Y  dan    adalah  percepatan dapat didefinisikan sebagai berikut:
∑ = ̈ , (4)
pendulum pada sumbu X.
pendulum pada sumbu Y dapat diperoleh dari turunan kedua sebagai berikut: = . (5a) ̇ = = − ̇ . (5b) ̈ =   − ̇ + ̈ . (5c)
Di sisilain, percepatan pendulum terhadapsumbu X dapatdituliskansebagaiberikut:
= + . (6a) ̇ = + = ̇ + ̇ . (6b) ̇ ̈ . (6c)
Dengan mensubstitusikan(5c) ke persamaan (3),gaya pendulum di sumbu Y menjadi:
∑ = − ̇ + ̈ + = − ( ̇ + ̈ ) + . (7)
Untuk mengetahui gaya pendulum pada sumbu X, persamaan (6c) perlu disubstitusikan ke persamaan (4) untuk memperoleh persamaan:
∑ = ̈ − ̇ + ̈ = ̈ − ̇ + .̈ (8)
Dengan mensubstitusikan persamaan (7)-(8) pada persamaan (2), maka diperoleh:
̈ = − ̇ − ̈ − ̈ − ̇ + ̈ , = 2 − 4 ̇ − 4 ̈ − 4 ̇ + 2 ̈ ,
= − ̈ − ̈  + ̈ . (9) Dengan  menggunakan  identitas  trigonometri + = 1, maka  persamaan  (9) menjadi:
̈ = − ̈ + ̈ . (10)
Berdasarkan  DBB  gerobak  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  3,  maka  persamaan  dinamik pada gerobak memenuhi persamaan:
∑ + ∑ = ̈ , (11)
dimana adalah  gaya  pada  gerobak  terhadap  sumbu  X, merupakan  gaya  pada gerobak terhadap sumbu Y, dan ̈ percepatan gerobak. Dengan meninjau komponengaya di Gambar 3, maka dapat diperoleh persamaan:
∑ = − ∑ = − 2 ̈ − 2
̇ + ̈ , = − ̈ + ̇ − ̈ . (12)
Pada  gerobak,  nilai ∑ = 0 karena  gerobak  tidak  bergerak  pada  arah  vertikal  (sumbu  Y). Dalam hal ini, persamaan gerobak menjadi:
− ̈ + ̇ = + ̈ . (13)
Persamaan  differensial  untuk ̈ dan ̈ dapat  diperoleh  dengan  mensubstitusi  persamaan dinamil pendulum dan gerobak. Dalam hal ini ̈ dapat didefinisikan sebagai berikut:
+ ̈ = + ̈ . (14)
Definisikan + = sehingga persamaan ̈ dapat dituliskan sebagai berikut:
̈ = +
̈ . (15)
Dengan  mensubstitusikan(15)  kepersamaan  (13)  dan  mengasumsikan   bernilai  kecil sehingga  kondisi = dan = 1 valid ,  maka(13)  dapat  dilinearisasi  untuk memperoleh:
+ ̈ = − 2 2 + ̈ 2 + 2 ̇, = − 4 − 4 ̈ + 2 ̇, + + ̈ = −
+ ̇ . (16) Definisikan
+ + = . Maka:
̈ = − + ̇ . (17)
Dengan  mensubstitusikan  (17)  kepersamaan  (15)  dan  mengasumsikan = , = 1 , maka:
̈ = 2 + 2 − 4 + ̇ 2 , = +
− + ̇. (18)
Persamaan  (17)  dan  (18)  merepresentasikan  model  dinamik  SPT.  Untuk  implementasi metoda  LQR,  model  (17)-(18)  perlu  direpresentasikan  dalam  bentuk  persamaan  ruang keadaan.Untuk  memperoleh  model  persamaan  ruang  keadaan,  tinjau  pemisalan  vektor variabel keadan berikut:
= ;  ̇ =   ̇ = . = ;̇ ̇ = .̈ = ;  ̇ = ̇ = . = ̇ ;  ̇ = ̈ . Definisikan = [ , , , ] sebagai  vektor  variabel  keadaan  SPT.  model  persamaan ruang keadaan SPT dapatdituliskan sebagai berikut:
̇ = + ( ), = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 1 0 0
2 − 8 4 0 0 0 0 0 1 − 4 2 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ + ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 2 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
(19)
Sinyal keluaran SPT dimodelkan sebaga iberikut:
=
= 1 0 0 0 0 0 1 0 . (20)
Dapat dilihat model SPT (19)-(20) merupaka nsistem linear time-invariant (LTI).

## 3 Teknik Kontrol Pada Sistem
Bagian  makalah  ini  berisi  penjelasan  mengenai  teknik  kontrol  berbasis  metoda  LQR  dan tapis Kalman yang digunakan pada SPT.
Pada  penelitian  ini,  sinyal  kontrol  umpan  balik  pada  SPT  ditentukan  dengan  metoda  LQR. Sinyal  kontrol  berbasis  LQR  merupakan  sinyal  kontrol  optimal  yang  dapat  menstabilkan sistem LTI berdasarkan minimisasi suatu indeks performansi kuadratik tertentu [4,8].
Model  LTI  untuk  SPT  pada  persamaan  (19)-(23)  memiliki  empat  variabel  keadaan,  yaitu posisi  gerak  horizontal  kereta ,  kecepatan  gerak  horizontal  kereta ,  sudut  simpangan tongkat  pendulum ,  dan    kecepatan  sudut  simpangan  tongkat  pendulum .  Namun, variabel  yang  dapat  diukur  hanya  ada  dua,  yaitu dan .  Sehingga  untuk  implementasi metoda  LQR,  diperlukan  suatu  estimator  bagi  dua  variabel  keadaan  yang  tidak  terukur lainnya.  Makalah  ini  menggunakan  tapis  Kalman  sebagai  estimator  karena  tapis  Kalman merupakan estimator optimal bagi sistem LTI[9].

## 3.1 Metode Linear Kuadratik Regulator
Metode LQR dapat digunakan untuk merancang pengontrol optimal  padasuatu sistem LTI. Sinyal  kontrol  LQR  ditentukan  berdasarkan  minimisasisuatu  indeks  performansi  sistem tertentu[10].  Indeks  performansi  pada  metoda  LQRumumnya  dikarakterisasi  oleh  dua matriks,  yaitu  matriks    dan  .  Matriks    adalah  matriks  positif  definit  utuk  kompensasi aksi  kontrol  sedangkan  matriks adalah  matriks  nonnegatif  definit  untuk  kompensasi variabel keadaan sistem.
Tinjau model umum sistem LTI berikut:
̇( ) = ( ) + ( );        ≥ 0, (0) = , (21a) ( ) = ( ), (21b)
Dimana A adalah  matriks  keadaan, ( ) adalah  vektor  variabel  keadaan  pada  waktu t , adala hmatriks masukan, ( ) adalah vector keluaran sistem,   adalah matriks keluaran sistem,  dan ( ) adalah  vektor  sinyal  masukan/kontrol.  Pada  makalah  ini,  sinyal  kontrol sistem diasumsikan sebagai sinyal umpan balik berbentuk:
( ) = ( ) , (22)
Dengan F adalah  matriks  penguat  sinyalkontrol  umpan  balik.Pada  metoda  LQR,  sinyal kontrol U ( t )  ditentukan  sebagai  nilai  yang  meminimumkan  indeksperformansi  kuadratik berikut:
= ∫ [ ( ) ( ) + ( ) ( ) . (23)
Dalam hal ini, sinyal kontrol optimal terkait memenuhi persamaan
( )   = ( ) = − ( ), (24)
dimana    merupakan  matriks  simetrik  positif  definite  yang  memenuhi  persamaan  aljabar Riccati (algebraic Riccati equation, ARE) sebagai berikut:
+ + + = 0. (25)
Padaliteratur  metoda  LQR,  diketahui  bahwa  sinyal  kontrol  optimal  (24)  selalu  dapat ditentukan  jika  sistem  LTI  yang  ditinjau  memenuhi  syarat  dapat  distabilkan  ( stabilizable ) dan  dapat  dideteksi  ( detectable ).  Dengan  demikian,  algoritma  dasar  metoda  LQR  berikut untuk memperoleh sinyal kontrol optimal (24) dapat dituliskan [8,10]:
(i). Ujiketerstabilan ( stabilizability ) dan keterdeteksian ( detectability ) sistem (ii). Jika (i) terpenuhi, tentuka nsolusimatriks simetrik  pada ARE di persamaan (25).
(iii). Tentukan sinyal kontrol optimal sesuai (24).

## 3.2 Kalman Filter
Metode  LQR  standar  sebagaimana  dijelasan  di  bab  3.1  dapatdigunakan  pada  sistem dengan  semua  variabel  keadaan  terukur.  Pada  praktiknya,  tidak  semua  variabel  keadaan pada  sistem  dapat  diukur  secara  langsung,  sehingga  diperlukan  estimator  yang  dapat memprediksi  variabel  keadaan  tidak  terukur  berdasarkan  pengukuran  yang  tersedia. Estimator optimal yang dapat digunakan pada sistem LTI adalah tapis Kalman [9].
Untuk  menjelaskan  metoda  tapis  Kalman,  makalah  ini  akan  menggunakan  versi  diskrit model LTI sistem (21) sebagai berikut:
= + ; = 0, 1, 2 … (26a) = + , (26b)
Dimana k adalah  indeks  waktu  diskrit, dan adalah  vektor  variabel  keadaan  dan pengukuran pada waktu k ,  dan   adalah matriks keadaan dan keluaran,   dan   adalah gangguan  pada  proses  dan  pengukuran  yang  diasumsikan  tidak  berkkorelasi.  Statistik gangguan proses dan pengukuran diasumsikan diketahui dalam bentuk nilai kovariansinya masing-masing sebagai berikut:
= ( ) dan = ( ), (27)
dimana (∙) merupakan  operator nilai ekspektasi ( expected value ). Model  (29)-(30) dapat diperoleh dari model (22)-(23) dengan metoda diskritisasi (atau secara komputasi misalnya menggunakan MATLAB dengan command C2D).
Jika adalah  nilai  estimasi  variabel  keadaan  dan = − adalah  kesalahan  pada waktu  , matriks kovariansi kesalahandi waktu  adalah:
= [ ] = [( − )( − ) ], (28)
Dengan menggabungkan nilai estimasi dengan hasil pengukuran, maka nilai estimasi dapat diperbarui berdasarkan persamaan berikut:
= + ( − ), = + ( + − ), (29)
dimana merupakan faktor penguatan Kalman  ( Kalman gain ) dan = ( − ) sering disebut  komponen  inovasi.  Dengan  mensubstitusikan  (29)  pada  (28),  maka  matriks kovariansi (28) menjadi:
= ( 1 − ) (1 − ) −2(1 − ) [( − ) ] + , (30)
Karena  gangguanpengukuran  dan  proses  tidak  saling  berkorelasi,  maka [ ] = 0 . Sehingga:
[( − ) ] = [ ] − [ ] = 0
Berdasarkan  karakteristik  gangguan  tersebut  serta  menggunakan  manipulasi  matematis, maka pada persamaan (30) dapat dituliskan menjadi:
=
− 2
( −1 ( − ) −1 ) +
−1 ( − ) −1 ×
−1 − −1 ( −1 − ) −1
= − ( ) . (31)
Berdasarkan  persamaan  (26)  dan  (29),  estimasi  variabel  keadaaan  pada  waktu + 1 adalah = . Kesalahan  estimasi  pada  waktu + 1 dalam  hal  ini  dapat  dituliskan sebagai berikut:
= −
+ −
, = + . (32)
Sehingga, nilai matriks kovariansi menjadi:
= ( + ( ), = [ ] + [ ] + [ ] + [ ], = [ ] + 2 [ ] + [ ].
Dengan  mensubstitusikan  nilai pada  (32)  dan  asumsi  bahwa ( ) = 0 ,  dapat dituliskan:
= + 2 [ ] + , = + . (33)
Berdasarkan nilai di (33), maka nilai faktor penguat Kalman dapat ditentukan sebagai berikut:
= ( + ) . (34)
Dalam  hal  ini,  estimasi  variabel  keadaan  pada  waktu  dapat  ditentukan  secara  iteratif sebagai:
= + ( + − ). (35)

## 4 Simulasi, Implementasi dan Analisis
Bab  ini  mengilustrasikan  proses  pemodelan,  implementasi  kontrol  dan  analisisSPT  pada MATLAB.  Parameter  sistem  yang  disimulasikan  terdiri  dari  massa  gerobak = 0.19 kg, massa  pendulum
= 0.3 kg,  panjang  tongkat  pendulum = 2 m,  percepatan  gravitasi = 9.8
, serta momen inersia pendulum
= 0.0225 .
Karena  SPT  di  (21)dimodelkan  pada  ranah  waktu  kontiniu  sementaraimplementasi  tapis Kalmandidefinisikandalam  ranah  waktu  diskrit,  maka  model  (21)  didiskritisasi  terlebih dahulu  pada  simulasi.  Proses  diskritisasiini  dilakukan  menggunakan  perintah C2D pada MATLAB dengan periode pencacahan ( T ) sebesar 0.4 detik.
Kondisi  awal  SPT  yang  disimulasikan  terdiri  dari  dua  kemungkinan,  yaitu  (i)  pergerakan diawali  oleh  pendulum  dan  disusul  oleh  pergerakan  gerobak ( = [1 0 0 0]) dan  (ii) pergerakan  yang  diawali  dengan  perpindahan  gerobak  yang  disusul  oleh  pendulum
( = [0 0 1 0]).
Gambar  4menunnjukkan  hasil  simulasi  dari  respons  lup  tertutup  SPT  menggunakan  LQR dengan kondisi awal = [1 0 0 0] . Grafik pada Gambar 4 menunjukkan bahwa pada waktu = 1 ,  pendulumdiberikan  disimpangkan  dari  posisi  vertikal  sehingga  pada = 2 gerobak  bergerak  pada  arah  yang  berlawanan  dengan  pendulum  untuk  mendorong pendulum kembali ke sumbu  vertikal.  Dengan  penyesuaian posisi  yang dilakukan gerobak tersebut,  sudut  penyimpangan  pendulum  terhadap  referensi  sumbu  vertikal  ( Y )  dapat diminimalisir.  Berdasarkan  grafik  yang  disajikan  pada  Gambar  4,  dapat  dilihat  bahwa pendulum dan gerobak menjadi stabil setelah mengalami dua kali overshoot .
Gambar 4 Respon Gambar 5 Respons variabel keadaan ak
Gambar  5  menunjukkan    respons  keempat  variabel  keadaan pendulum ( ) ,  kecepatan  sudut  pendulum gerobak ( ) yang  diperoleh  dengan  tapis  Kalman Gambar  ini  menunjukkan  bahwa  estimasi  variabel  keadaan mencapai nilai aktualnya.
Gambar  6  menunjukkan  respons  lup  tertutup Grafik  ini  menunjukkan  bahwa  gerobak sehingga  pada = 2 gerobak  didorong  ke  arah  berlawanan  untuk  mengembalikan pendulum  pada  sumbu  vertikal..  Berdasarkan pendulum  dan  gerobak  kembali  stabil  setelah  menga menunjukkan  respons keempat variabel keadaan untuk kondisi awal ini. Dapat terlihat pada gambar ini bahwa estimasi v dan juga  mencapai  nilai  aktualnya
espons sistemuntuk ( ) = .
s variabel keadaan aktual dan hasil estimasi untuk ( ) = .
keempat  variabel  keadaan  SPT  yang  terdiri  dari  sudut kecepatan  sudut  pendulum ( ) ,  posisi  gerobak ( ) ,  dan  kecepatan s  Kalman  untuk  kondisi  awal = [1 0 0 0] . bahwa  estimasi  variabel  keadaan dan secara  asimptotis lup  tertutup  SPT  untuk  kondisi  awal = [0 0 1 0] . bahwa  gerobak  bergerak  lebih  dulu  dibandingkan  pendulum, gerobak  didorong  ke  arah  berlawanan  untuk  mengembalikan  posisi sumbu  vertikal..  Berdasarkan  plot  pada  Gambar  6,  dapat  dilihat  bahwa
stabil  setelah  mengalami  dua  kali overshoot .  Gambar  7 keempat variabel keadaan SPTyang diperoleh dengan tapis Kalman Dapat terlihat pada gambar ini bahwa estimasi variabel keadaan secara  asimptotis.  Hal  ini  mengilustrasikan
performansi  estimasi  yang  efektif  dan  optimal berbeda.
Gambar 6 Respon
Gambar 7 Respons variabel keadaan aktual dan hasil estimasi untuk

## 5 Kesimpulan
Makalah ini telah memaparkan studi pemodelan, perancangan pengontrol dan analisis SPT dengan  metoda LQR serta  estimator tapis  Kalman. Simulasi  numerik  terkait  implementa algoritma  kontrol  dan  estimasi  yang  diusulkan  menunjukkan  bahwa  pengontrol  berbasis LQR yang dirancang mampu menjaga pendulum pada posisi vertikal secara stabil dan filter Kalman  yang  digunakan  mampu  mengestimasi  nilai  aktual  variabel  tidak  terukur  dala waktu yang relatif cukup singkat
Penelitian  selanjutnya  akan  diarahkan  untuk  mengimplementasikan  secara  praktis algoritma kontrol dan estimasi yang dikembangkan pada simulator SPT skala laboratorium
11 (2), 2019    ISSN : 2085-2517, e-ISSN: 2460-6340
efektif  dan  optimal  dari  tapis  Kalman  untuk  kondisi  awal espons sistemuntuk ( ) = .
Respons variabel keadaan aktual dan hasil estimasi untuk ( ) = .
Makalah ini telah memaparkan studi pemodelan, perancangan pengontrol dan analisis SPT dengan  metoda LQR serta  estimator tapis  Kalman. Simulasi  numerik  terkait  implementasi algoritma  kontrol  dan  estimasi  yang  diusulkan  menunjukkan  bahwa  pengontrol  berbasis LQR yang dirancang mampu menjaga pendulum pada posisi vertikal secara stabil dan filter Kalman  yang  digunakan  mampu  mengestimasi  nilai  aktual  variabel  tidak  terukur  dalam
Penelitian  selanjutnya  akan  diarahkan  untuk  mengimplementasikan  secara  praktis algoritma kontrol dan estimasi yang dikembangkan pada simulator SPT skala laboratorium.
Selain  itu,  penelitian  juga  akan  diarahkan  untuk  meninjau  implementasi  algoritma  kontrol dan estimator nonlinear pada model nonlinear SPT.

## 6 Daftar Pustaka
[1] O. Boubaker, 2012, “The inverted pendulum: A fundamental benchmark in control theory  and  robotics,” Proc.  International  Conference  on  Education  and  E-Learning Innovations ( ICEELI ), pp. 1-6.
[2] C.  Fathonah,  2016, Analisis  Kestabilan  dan  Kontrol  Optimal  Double  Pendulum Terbalik  pada  Kereta  Menggunakan  Metode  Linear  Quadratic  Regulator ( LQR ), Disertasi Doktoral, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.
[3] M. B. Mochamad, B. S. Bayu D and B. AR Anom, “Sistem kontrol inverted pendulum pada balancing  mobile  robot ,  2011,  ” Proc.  13th  Industrial  Electronics  Seminar
( IES ), pp. 24-29.
[4] M.  W.  Musthofa,  2009,    “Desain  linear  quadratic  regulator  pada  sistem  inverted pendulum,” Prosiding Seminar Nasional Matematika UNY , pp. 950-959.
[5] A. Laksana and I. Setiawan, 2012, Balancing Robot Beroda Dua Menggunakan MetodeKendali Proporsional Integral , Disertasi Doktoral, Universitas Diponegoro.
[6] R. Syam, 2015, "Rancang bangun self-balancing scooter sebagai moda trasportasi," JurnalMekanikal , vol. 6, no. 1, pp. 522-531.
[7] H.-J.  Lee  and  S.  Jung,  2009,  "Gyro  sensor  drift  compensation  by  Kalman  filter  to control  a  mobile  inverted  pendulum  robot  system," Proc.  IEEE  International Conference on Industrial Technology , pp. 1—6.
[8] K. Zhou, J. C. Doyle and K. Glover,1996, Robust and Optimal Control . Prentice Hall, New Jersey.
[9] S. Haykin, 2004, Kalman Filtering and Neural Networks . John Wiley & Sons.
[10] E. V. Kumar and J. Jerome, 2013, "Robust LQR controller design for stabilizing and trajectory  tracking  of  inverted  pendulum," Procedia  Engineering ,  vol.  64,  pp.  169--
178.