## 𝝎 – SUBSEMIRING FUZZY
Saman Abdurrahman FMPA Universitas Lambung Mangkurat e-mail: saman@ulm.ac.id

## ABSTRACT
Mapping 𝜌 is called a fuzzy subset of an empty set of S if 𝜌 is the mapping from S to the close interval [0,1] . A fuzzy subset ρ introduced into this paper is a fuzzy subset of semiring S, defined by
𝜌 𝑎 + 𝑑  ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌 𝑑 and 𝜌 𝑎𝑑  ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) , for each 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 so that a fuzzy subset ρ is called a fuzzy subsemiring from a semiring S. In this paper, investigated the basic nature of subsemiring fuzzy 𝜌 from a semiring S which includes intersect with two or more fuzzy subsemiring from a semiring S is always a fuzzy subsemiring from a semiring S. Moreover, it was introduced to the concept of 𝜔 – fuzzy subsemiring from a semiring S which is denoted by 𝜌 𝜔 . Finally, investigated the minimal conditions that guarantee the existence of 𝜔 – fuzzy subsemiring 𝜌 𝜔 and the intersection of two or more 𝜔 – fuzzy subsemiring 𝜌 𝜔 of a semiring S is always an 𝜔 – fuzzy subsemiring 𝜌 𝜔 of a semiring S.
Keywords: fuzzy subset, fuzzy semiring, 𝜔 – fuzzy subsemiring

## ABSTRAK
Pemetaan 𝜌 disebut subset fuzzy dari himpunan tidak kosong 𝑆 jika 𝜌 merupakan pemetaan dari 𝑆 ke interval tutup [0, 1] . Subset fuzzy 𝜌 yang diibahas pada paper ini adalah subset fuzzy dari semiring 𝑆 , yang memenuhi kondisi
𝜌 𝑎 + 𝑑  ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) dan 𝜌 𝑎𝑑  ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) , untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga subset fuzzy 𝜌 disebut subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 . Pada paper ini, diselidiki sifat dasar dari subsemiring fuzzy 𝜌 dari semiring 𝑆 , yang meliputi irisan antara dua atau lebih subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 selalu merupakan subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 . Selain itu, pada paper ini diperkenalkan konsep 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , yang dinotasikan dengan 𝜌 𝜔 . Akhirnya, diselidiki kondisi minimal yang menjamin eksistensi dari 𝜔 – subsemiring fuzzy 𝜌 𝜔 , dan irisan dua atau lebih 𝜔 – subsemiring fuzzy 𝜌 𝜔 dari semiring 𝑆 selalu merupakan 𝜔 – subsemiring fuzzy 𝜌 𝜔 dari semiring 𝑆 .
Kata kunci: subset fuzzy , semiring fuzzy , 𝜔 – subsemiring fuzzy
Perkembangan penelitian bidang aljabar dari waktu ke waktu, semakin berkembang dan banyak variasinya, baik mengkaji bidang aljabar itu sendiri ataupun mengaplikasikan dengan bidang kajian lain, diantaranya mengaplikasikan dengan konsep himpunan fuzzy yang diperkenalkan oleh Zadeh (1965) sehingga muncul konsep baru dalam bidang aljabar, yaitu aljabar fuzzy . Kajian aljabar fuzzy dipelopori oleh Rosenfeld (1971), yaitu mengaplikasikan konsep grup dengan himpunan fuzzy , yang selanjutnya dikenal dengan konsep grup fuzzy . Konsep grup fuzzy , merupakan konsep dasar yang dijadikan pondasi dalam mengkontruksi definisi ataupun sifat terkait oleh peneliti selanjutnya, dalam mengkaji struktur aljabar fuzzy lainnya, diantaranya: Abdurrahman (2018) memperkenalkan konsep interior subgrup fuzzy pada struktur grup, Ahsan, Mordeson, & Shabir (2012) memperkenalkan konsep semiring fuzzy pada struktur semiring, dan Sharma (2013a) memperkenalkan konsep 𝛼 – subgrup fuzzy pada struktur grup. Pada paper ini, akan diperkenalkan konsep subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , dan diselidiki beberapa sifat yang terkait. Semiring merupakan salah satu perluasan dari ring dengan menghilangkan beberapa aksioma ring sedemikian sehingga (𝑆, +) adalah grup abelian, (𝑆, . ) adalah semigrup yang tidak harus komutatif, dan dipenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan. Sifat yang akan dikaji pada semiring fuzzy meliputi irisan dari dua atau lebih subsemiring fuzzy , apakah akan terbentuk subsemiring fuzzy dari semiring S atau tidak. Selain itu, akan dikaji konsep 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , yang dinotasikan dengan 𝜌 𝜔 , dengan definisi 𝜔 – subset fuzzy dari semiring 𝑆 ,diinduksi dari penelitian Sharma (2013b) dan diselidiki eksistensi dari 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , dengan melihat kondisi dari 𝜌 , apakah syarat 𝜌 cukup subset fuzzy saja atau harus subsemiring fuzzy , serta akan diselidiki, apakah irisan dua atau lebih 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring S, apakah akan menghasilkan 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring S atau tidak.
METODE Penelitian yang kami lakukan, merupakan kajian teori yang dirujuk dari buku ataupun jurnal, khususnya yang berkaitan dengan semiring, subset fuzzy , dan subsemiring fuzzy ataupun tulisan lainnya yang analog, pada model struktur aljabar fuzzy lainnya. Berikut disajikan definisi: semiring, subsemiring, subset fuzzy , irisan dua subset fuzzy, level subset, subsemiring fuzzy, dan 𝜔 – subset fuzzy, yang sangat mendukung pada pembentukan definisi ataupun sifat pada bagian pembahasan. Semiring merupakan salah satu perluasan dari ring, dengan menghilangkan beberapa aksioma pada ring. Menurut Ahsan, Mordeson, & Shabir (2012), himpunan 𝑆(≠ ∅) disebut semiring, jika S dilengkapi dengan dua operasi biner penjumlahan " + " dan perkalian " ∙ " sedemikian sehingga (𝑆, +) adalah semigrup abelian, dan (𝑆,∙) adalah semigrup (tidak harus komutatif), serta memenuhi kondisi:
𝑎 ∙  𝑐 + 𝑑  = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑐 dan 𝑎 + 𝑑  ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑑 ∙ 𝑐 . untuk setiap 𝑎, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑆 . Selanjutnya, Jagatap (2014) menyatakan bahwa: Subset 𝐾(≠ ∅) dari semiring 𝑆 disebut subsemiring dari semiring 𝑆 , jika 𝑎 + 𝑑 ∈ 𝐾 dan 𝑎 ∙ 𝑑 ∈ 𝐾 . untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝐾 , Selanjutnya, penulisan 𝑎 ∙ 𝑐 , dapat dituliskan dengan 𝑎𝑐 .
Definisi 2.1. (Mordeson & Bhutani, 2005) . Subset fuzzy 𝜌 dari himpunan S (≠ ∅) adalah suatu fungsi dari 𝑆 ke interval tutup [0,1] .
Definisi 2.2. (Mordeson & Bhutani, 2005) . Misalkan 𝜌 dan 𝛿 adalah subset fuzzy 𝜌 dari himpunan 𝑆 , maka 𝜌⋂𝛿  𝑥  ≝ 𝜌(𝑥) ∧ 𝛿(𝑥) , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆 .
Definisi 2.3. (Mordeson & Bhutani, 2005) . Diberikan subset fuzzy 𝜌 dari himpunan 𝑆 dan 𝑎 ∈ [0,1] . Level subset dari 𝜌 dinotasikan dengan 𝜌 𝑎 dan 𝜌 𝑎 ≝ {𝑥 ∈ 𝑆|𝜌 𝑥  ≥ 𝑎} .
Definisi 2.4. (Ahsan, Mordeson, & Shabir, 2012) . Subset fuzzy 𝜌 dari semiring 𝑆 disebut subsemiring fuzzy dari 𝑆 jika untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 berlaku :
𝜌(𝑎 + 𝑑) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) dan ρ(𝑎𝑑) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) .
Berikut diberikan definisi 𝜔 − subset fuzzy dari semiring 𝑆 , yang diinduksi dari Sharma (2013b).
Definisi 2.5. Misalkan 𝑆 adalah semiring dan 𝜔 ∈ [0,1] . Subset fuzzy 𝜌 dari 𝑆 disebut 𝜔 − subset fuzzy, yang dinotasikan dengan 𝜌 𝜔 , jika 𝜌 𝜔 𝑎  = 𝜌 𝑎  ∧ 𝜔 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑆 . Selanjutnya, notasi 𝜌 𝜔 menyatakan 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini, disajikakan sifat-sifat dari 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 dalam bentuk Teorema, Lemma ataupun Akibat. Sifat-sifat tersebut, diperoleh dengan cara menginduksi dari penelitian-penelitian sebelumnya, yang terlampir pada referensi, sehingga terbentuk sifat pada struktur subsemiring fuzzy.
Teorema 3.1. Misalkan 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka 𝜌 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 .
Bukti: Misalkan 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 berlaku: 𝜌 𝜔 (𝑎 + 𝑑) = 𝜌 𝑎 + 𝑑  ∧ 𝜔 ≥  𝜌 𝑎  ∧ 𝜌(𝑑)  ∧ 𝜔 =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) , dan 𝜌 𝜔 (𝑎𝑑) = 𝜌 𝑎𝑑  ∧ 𝜔 ≥  𝜌 𝑎  ∧ 𝜌(𝑑)  ∧ 𝜔 =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) .
Oleh karena itu, berdasarkan Definisi 2.4, 𝜌 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . ■
Konvers dari Teorema 3.1 tidak selalu berlaku. Sebagai ilustrasi, diberikan himpunan bilangan asli ℕ terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, (ℕ, +, ∙) adalah semiring. Misalkan 𝜌 adalah subset fuzzy dari ℕ , dengan 𝜌 2𝑛  = 0,6 dan 𝜌 2𝑛 − 1  = 0,9 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ . Subset fuzzy 𝜌 bukan subsemiring fuzzy dari semiring ℕ , karena terdapat 1,3 ∈ ℕ sedemikian sehingga kondisi Definisi 2.4. Tidak dipenuhi oleh 𝜌 , yaitu:
𝜌 3 + 1  = 𝜌 4  = 0,6 < 0,9 = 𝜌 3  ∧ 𝜌 1 .
Selanjutnya, dipilih 𝜔 = 0,09 maka untuk setiap 𝑛  ℕ , diperoleh: 𝜌 2𝑛  > 𝜔 dan 𝜌 2𝑛 − 1  > 𝜔 .
Akibatnya, untuk setaip 𝑎, 𝑑  ℕ , berlaku:
𝜌 𝑎 + 𝑑  = 𝜌 2𝑛  > 𝜔 atau 𝜌 𝑎 + 𝑑  = 𝜌 2𝑛 − 1  > 𝜔 , dan
𝜌 𝑎𝑑  = 𝜌 2𝑛  > 𝜔 atau 𝜌 𝑎𝑑  = 𝜌 2𝑛 − 1  > 𝜔 .
Oleh sebab itu, 𝜌 𝜔 (𝑎 + 𝑑) = 𝜌 𝑎 + 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜔 = 𝜔 ∧ 𝜔 =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) ,
dan
𝜌 𝜔 (𝑎𝑑) = 𝜌 𝑎𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜔 = 𝜔 ∧ 𝜔 =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) .
Jadi, untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 berlaku:
𝜌(𝑎 + 𝑑) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) dan 𝜌(𝑎𝑑) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) .
Dengan kata lain, 𝜌 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari semiring ℕ .
Berdasarkan contoh di atas, berikut disajikan Teorema yang menjamin eksistensi 𝜌 𝜔 selalu berupa subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , meskipun 𝜌 hanya subset fuzzy dari 𝑆 . Lemma 3.2. Misalkan 𝜌 adalah subset fuzzy dari semiring 𝑆 dan 𝜔 ∈ [0,1] . Jika 𝑠 ≥ 𝜔 dan 𝑠 = ∧ {𝜌(𝑎)|𝑎  𝑆} ,
maka 𝜌 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 .
Bukti: Misalkan 𝑠 ≥ 𝜔 dan 𝑠 = 𝜌(𝑎) 𝑎 ∈𝑆 , maka untuk setiap 𝑎  𝑆 , dipenuhi kondisi 𝜌(𝑎) ≥ 𝜔 , sehingga
𝜔 = 𝜌 𝑎  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) .
Selanjutnya, diambil sembarang 𝑎, 𝑑  𝑆 , maka 𝜌 𝑎 + 𝑑  ≥ 𝜔 dan 𝜌 𝑎𝑑  ≥ 𝜔 . Oleh karena itu, 𝜌 𝜔 (𝑎 + 𝑑) = 𝜌 𝑎 + 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜔 = 𝜔 ∧ 𝜔 =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) dan 𝜌 𝜔 (𝑎𝑑) = 𝜌 𝑎𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜔
= 𝜔 ∧ 𝜔 =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) .
Jadi, 𝜌 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . ■
Setelah mengkaji Teorema yang menjamin eksistensi 𝜌 𝜔 selalu berupa subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , meskipun 𝜌 hanya subset fuzzy dari 𝑆 . Berikut disajikan Teorema yang analog, yang menjamin eksistensi 𝜌 𝜔 sebagai subsemiring fuzzy dari 𝑆 selalu terjadi, yang dikaitkan dengan subsemiring dan nilai keanggotaan.
Teorema 3.3. Misalkan 𝜌 subset fuzzy dari semiring 𝑆 . Jika H adalah subsemiring dari 𝑆 , maka untuk setiap 𝑠  (0,1] terdapat subsemiring fuzzy 𝜌 𝜔 dari 𝑆 sedemikian sehingga 𝜌 𝑠 𝜔 = 𝐻 .
Bukti: Misalkan H adalah subsemiring dari 𝑆 dan 𝜌: 𝑆 ⟶ [0,1] dengan:
𝜌 𝑎  ≝ 𝑠, 𝑎  𝐻 0, 𝑎  𝐻 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑆 dan 𝑠  (0,1] .
Untuk sembarang 𝑎, 𝑑  𝑆 , ditinjau 3(tiga) kasus berikut ini.
Kasus 1 Kondisi 𝑎, 𝑑  H, maka 𝑎 + 𝑑 ∈ 𝐻 dan 𝑎𝑑 ∈ 𝐻 , sehingga menurut nilai keanggotaan 𝜌 , dipenuhi: 𝜌 𝑎  = 𝑠 , 𝜌 𝑑  = 𝑠 , 𝜌 𝑎 + 𝑑  = 𝑠 , dan 𝜌 𝑎𝑑  = 𝑠 .
Oleh karena itu, 𝜌 𝜔 (𝑎 + 𝑑) = 𝜌 𝑎 + 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝑠 ∧ 𝜔 =  𝑠 ∧ 𝜔  ∧ (𝑠 ∧ 𝜔) =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) ,
dan 𝜌 𝜔 (𝑎𝑑) = 𝜌 𝑎𝑑  ∧ 𝜔
= 𝑠 ∧ 𝜔
=  𝑠 ∧ 𝜔  ∧ (𝑠 ∧ 𝜔)
=  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔) ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 (𝑎) ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) .
Kasus 2 Kondisi 𝑎 ∈ 𝐻 dan 𝑑 ∉ 𝐻 , maka berdasarkan nilai keanggotaan 𝜌 , diperoleh kondisi: 𝜌 𝑎  = 𝑠 , 𝜌 𝑑  = 0 , 𝜌 𝑎 + 𝑑  ≥ 0 , dan 𝜌 𝑎𝑑  ≥ 0 . Akibatnya, 𝜌 𝜔 𝑎 + 𝑑    = 𝜌 𝑎 + 𝑑  ∧ 𝜔 ≥ 0 ∧ 𝜔 =  𝑠 ∧ 𝜔  ∧ (0 ∧ 𝜔) =  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔  ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔) = 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) , dan 𝜌 𝜔 (𝑎𝑑)
= 𝜌 𝑎𝑑  ∧ 𝜔 ≥ 0 ∧ 𝜔 =  𝑠 ∧ 𝜔  ∧ (0 ∧ 𝜔)
=  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔  ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔) = 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) .
Kasus 3 Kondisi 𝑎, 𝑑 ∉ 𝐻 , maka berdasarkan nilai keanggotaa dari 𝜌 , dipenuhi kondisi berikut ini. 𝜌 𝑎  = 0 , 𝜌 𝑑  = 0 , 𝜌 𝑎 + 𝑑  ≥ 0 dan 𝜌 𝑎𝑑  ≥ 0 . Oleh sebab itu, 𝜌 𝜔 𝑎 + 𝑑    = 𝜌 𝑎 + 𝑑  ∧ 𝜔 ≥ 0 ∧ 𝜔
=  0 ∧ 𝜔  ∧ (0 ∧ 𝜔)
=  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔  ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔) = 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) , dan 𝜌 𝜔 (𝑎𝑑) = 𝜌 𝑎𝑑  ∧ 𝜔 ≥ 0 ∧ 𝜔 =  0 ∧ 𝜔  ∧ (0 ∧ 𝜔)
=  𝜌 𝑎  ∧ 𝜔  ∧ (𝜌 𝑑  ∧ 𝜔) = 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑)
Berdasarkan hasil analisa pada Kasus 1, Kasus 2, dan Kasus 3  di atas, untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 berlaku:
𝜌 𝜔 (𝑎 + 𝑑) ≥ 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) dan 𝜌 𝜔 (𝑎𝑑) ≥ 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑) .
Dengan kata lain, 𝜌 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . Selanjutnya, menurut karakteristik keanggotaan level subset 𝜌 𝑠 𝜔 dan nilai keanggotaan dari 𝜌 , maka
𝜌 𝑠 𝜔 =  𝑐 ∈ 𝑆  𝜌 𝜔 (𝑐) ≥ 𝑠}
=  𝑐 ∈ 𝑆   𝜌 𝑐  ∧ 𝜔 ≥ 𝑠}
=  𝑐 ∈ 𝑆   𝜌 𝑐  ≥ 𝑠} =  𝑐 ∈ 𝑆   𝑐 ∈ 𝐻} = 𝐻 .■
Kondisi subsemiring dari semiring 𝑆 menetukan ekisistensi 𝜌 𝜔 sebagai subsemiring fuzzy dari 𝑆 dan level subsetnya sama dengan subsemiring di 𝑆 . Berikut ini, disajikan Teorema yang menjamin level subset 𝜌 𝑠 𝜔 untuk setiap 𝑠 ∈ [0, 1] adalah subsemiring dari 𝑆 , jika 𝜌 𝜔 dari 𝑆 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 , dan juga berlaku sebaliknya. Lemma 3.4. Misalkan 𝜌 subset fuzzy dari semiring 𝑆 . Subset fuzzy 𝜌 𝜔 dari 𝑆 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 jika dan hanya jika setiap level subset 𝜌 𝑠 𝜔 (≠ ∅) dari 𝜌 𝜔 adalah subsemiring dari 𝑆 , untuk se tiap 𝑠 ∈ [0, 1] .
Bukti: (⇛) Misalkan 𝜌 𝜔 subsemiring fuzzy dari 𝑆 dan 𝜌 𝑠 𝜔 (≠ ∅) ⊆ 𝑆 , untuk setiap 𝑠 ∈ [0, 1] . Akan dibuktikan 𝜌 𝑠 𝜔 subsemiring dari 𝑆 . Diambil sembarang 𝑎, 𝑑 ∈ 𝜌 𝑠 𝜔 , maka 𝜌 𝜔 𝑎  ≥ 𝑠 dan 𝜌 𝜔 𝑑  ≥ 𝑠 .
Karena 𝜌 𝜔 subsemiring fuzzy dari 𝑆 , maka
𝜌 𝜔 𝑎 + 𝑑  ≥ 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 𝑑  ≥ 𝑠 dan 𝜌 𝜔 𝑎𝑑  ≥ 𝜌 𝜔 𝑎  ∧ 𝜌 𝜔 𝑑  ≥ 𝑠 .
Oleh karena itu,
𝑎 + 𝑑 ∈ 𝜌 𝑠 𝜔 dan 𝑎𝑑 ∈ 𝜌 𝑠 𝜔 .
Dengan kata lain, 𝜌 𝑠 𝜔 adalah subsemiring dari 𝑆 , untuk setiap 𝑠 ∈ [0, 1] .
(⇚) Misalkan setiap 𝜌 𝑠 𝜔 (≠ ∅) adalah subsemiring dari 𝑆 , untuk setiap 𝑠 ∈ [0, 1] . Akan dibuktikan subset fuzzy 𝜌 𝜔 dari 𝑆 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . Andaikan terdapat 𝑎 0 , 𝑑 0 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝜌 𝜔 𝑎 0 + 𝑑 0 < 𝜌 𝜔 𝑎 0 ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑 0 ) dan 𝜌 𝜔 𝑎 0 𝑑 0 < 𝜌 𝜔 𝑎 0 ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑 0 ) . Dipilih 𝑟 ∈ [0, 1] sedemikian sehingga
𝜌 𝜔 𝑎 0 + 𝑑 0 < 𝑟 ≤ 𝜌 𝜔 𝑎 0 ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑 0 ) dan 𝜌 𝜔 𝑎 0 𝑑 0 < 𝑟 ≤ 𝜌 𝜔 𝑎 0 ∧ 𝜌 𝜔 (𝑑 0 ) . Oleh karena itu,
𝑎 0 , 𝑑 0 ∈ 𝜌 𝑟 𝜔 . Tetapi,
𝑎 0 + 𝑑 0 ∉ 𝜌 𝑟 𝜔 dan 𝑎 0 𝑑 0 ∉ 𝜌 𝑟 𝜔 .
Kondisi ini, kontradiksi dengan 𝜌 𝑠 𝜔 adalah subsemiring dari S, untuk setiap 𝑠 ∈ 𝜌(𝑆) , sehingga pengandaian salah, seharusnya untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 berlaku :
𝜌(𝑎 + 𝑑) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑) dan ρ(𝑎𝑑) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑑)
Jadi, 𝜌 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . ■
Teorema 3.4, mempunyai peranan penting dalam struktur semiring fuzzy. Dikarenakan , Teorema ini mendeskripsikan hubungan antara semiring dan semiring fuzzy , melalui level subset. Kondisi ini, memunculkan ide untuk mengkontruksi sifat-sifat pada semiring fuzzy , dengan menginduksi dari sifat-sifat pada semiring. Diantaranya, teorema irisan dua subsemiring di 𝑆 adalah subsemiring di 𝑆 , sehingga pada semiring fuzzy dapat dikontruksi Teorema yang analog, seperti yang disajikan pada Teorema 3.5 berikut ini.
Teorema 3.5. Misalkan 𝜌 dan 𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka 𝜌⋂𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 .
Bukti: Misalkan 𝜌 dan 𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari S, maka untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 berlaku: (𝜌⋂𝛿)(𝑎 + 𝑑) = 𝜌 𝑎 + 𝑑  ∧ 𝛿 𝑎 + 𝑑 ≥  𝜌 𝑎  ∧ 𝜌 𝑑   ∧  𝛿 𝑎  ∧ 𝛿 𝑑 =  𝜌 𝑎  ∧ 𝛿 𝑎   ∧ [𝜌 𝑑  ∧ 𝛿 𝑑 ] =  𝜌⋂𝛿  𝑎  ∧  𝜌⋂𝛿  𝑑 , dan (𝜌⋂𝛿)(𝑎𝑑)
= 𝜌 𝑎𝑑  ∧ 𝛿 𝑎𝑑
≥  𝜌 𝑎  ∧ 𝜌 𝑑   ∧  𝛿 𝑎  ∧ 𝛿 𝑑
=  𝜌 𝑎  ∧ 𝛿 𝑎   ∧ [𝜌 𝑑  ∧ 𝛿 𝑑 ] = (𝜌⋂𝛿) 𝑎  ∧ (𝜌⋂𝛿) 𝑑 .
Oleh karena itu, 𝜌⋂𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . ■
Irisan dua subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , dipenuhi seperti sifat irisan dua subsemiring di semiring 𝑆 . Hasil yang diperoleh dari Teorema 3.5, dapat dijadikan dasar untuk membentuk irisan sebanyak hingga dari subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , seperti yang disajikan pada Teorema berikut ini. Akibat 3.6. Misalkan 𝜌 1 , 𝜌 2 , …, dan 𝜌 𝑛 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka ρ 1 ⋂ρ 2 ⋂ ⋯ ⋂ρ n adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 .
Analog dengan Teorema 3.5, dikontruksi irisan dari dua 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring S dengan memperhatikan kondisi pada Teorema 3.1 dan Teorema 3.2.
Teorema 3.7. Misalkan 𝜌 dan 𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka 𝜌⋂𝛿 𝜔 dan 𝜌 𝜔 ⋂𝛿 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 .
Bukti: Misalkan 𝜌 dan 𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 , maka berdasarkan Teorema 3.5, 𝜌⋂𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . Akibatnya, untuk setiap 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 berlaku: 𝜌⋂𝛿 𝜔 (𝑎 + 𝑑) = [ 𝜌⋂𝛿  𝑎 + 𝑑 ] ∧ 𝜔 ≥   𝜌⋂𝛿  𝑎  ∧  𝜌⋂𝛿  𝑑   ∧ 𝜔 =   𝜌⋂𝛿  𝑎  ∧ 𝜔  ∧ [ 𝜌⋂𝛿  𝑑  ∧ 𝜔] =  𝜌⋂𝛿 𝜔 𝑎  ∧  𝜌⋂𝛿 𝜔 𝑑 , dan
𝜌⋂𝛿 𝜔 (𝑎𝑑) = [ 𝜌⋂𝛿  𝑎𝑑 ] ∧ 𝜔 ≥   𝜌⋂𝛿  𝑎  ∧  𝜌⋂𝛿  𝑑   ∧ 𝜔
=   𝜌⋂𝛿  𝑎  ∧ 𝜔  ∧ [ 𝜌⋂𝛿  𝑑  ∧ 𝜔]
=  𝜌⋂𝛿 𝜔 𝑎  ∧  𝜌⋂𝛿 𝜔 𝑑 .
Oleh karena itu, 𝜌⋂𝛿 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 . Selanjutnya, untuk membuktikan 𝜌 𝜔 ⋂𝛿 𝜔 adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 , cukup dibuktikan 𝜌⋂𝛿 𝜔 = 𝜌 𝜔 ⋂𝛿 𝜔 . Diambil sembarang 𝑑 ∈ 𝑆 , maka 𝜌⋂𝛿 𝜔 (𝑑)
= [ 𝜌⋂𝛿  𝑑 ] ∧ 𝜔 = [𝜌 𝑑  ∧ 𝛿(𝑑)] ∧ 𝜔 =  𝜌 𝑑  ∧ 𝜔  ∧  𝛿 𝑑  ∧ 𝜔 = 𝜌 𝜔 𝑑  ∧ 𝛿 𝜔 (𝑑) = (𝜌 𝜔 ⋂𝛿 𝜔 )(𝑑) .
Akibatnya, 𝜌⋂𝛿 𝜔 = 𝜌 𝜔 ⋂𝛿 𝜔 .■
Berdasarkan hasil analisa pada langkah pembuktian pada Teorema 3.7, maka dapat dibentuk sifat yang analog dengan hukum De Morgan pada teori himpunan. Akibat 3.8. Misalkan 𝜌 dan 𝛿 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka 𝜌⋂𝛿 𝜔 = 𝜌 𝜔 ⋂𝛿 𝜔 .
Selanjutnya, disajikan sifat yang merupakan perumuman dari Teorema 3.7. Akibat 3.9. Misalkan 𝜌 1 , 𝜌 2 , …, dan 𝜌 𝑛 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka 𝜌 1 ⋂𝜌 2 ⋂ ⋯ ⋂𝜌 𝑛 𝜔 dan 𝜌 1 𝜔 ⋂𝜌 2 𝜔 ⋂ ⋯ ⋂𝜌 𝑛 𝜔
adalah subsemiring fuzzy dari 𝑆 .
Sifat terakhir yang yang disajikan pada tulisan ini adalah sifat yang diperoleh pada analisa pembuktian pada Teorema 3.7 dan diperumum untuk sebanyak 𝑛 subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 . Akibat 3.10. Misalkan 𝜌 1 , 𝜌 2 , …, dan 𝜌 𝑛 adalah subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 , maka 𝜌 1 ⋂𝜌 2 ⋂ ⋯ ⋂𝜌 𝑛 𝜔 = 𝜌 1 𝜔 ⋂𝜌 2 𝜔 ⋂ ⋯ ⋂𝜌 𝑛 𝜔 .

## SIMPULAN
Sifat penting yang dapat dijadikan sebagai simpulan dari tulisan ini adalah eksistensi dari 𝜔 – subsemiring fuzzy 𝜌 𝜔 dari semiring 𝑆 dapat terjadi, jika diberikan subsemiring fuzzy 𝜌 dari 𝑆 , bahkan dapat diperlemah untuk 𝜌 subset fuzzy dari 𝑆 , serta irisan dua atau lebih 𝜔 – subsemiring fuzzy dari semiring 𝑆 selalu merupakan 𝜔 – subsemiring fuzzy dari 𝑆 .

## REFERENSI
Abdurrahman, S. (2018). Interior Subgrup Fuzzy. Jurnal Fourier , 7 (1), 13–21. Ahsan, J., Mordeson, J. N., & Shabir, M. (2012). Fuzzy Semirings with Applications to Automata Theory . Springer Berlin Heidelberg New  York  Dordrecht  London. Jagatap, R. D. (2014). Right k -Weakly Regular Γ -Semirings. Hindawi Publishing Corporation Algebra , 2014 , 1–5.
Mordeson, J., & Bhutani, K. R. (2005). Fuzzy Subsets and Fuzzy Subgroups. In Group (Vol. 39, pp. 1–39). Rosenfeld, A. (1971). Fuzzy groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications , 35 (3), 512–517. Sharma, P. K. (2013a). Alpha - Fuzzy Subgroups. International Journal of Fuzzy Mathematics and Systems , 3 (1), 47–59.
Sharma, P. K. (2013b). T- fuzzy Subring and Ideal. Indian Journal of Computational and Applied Mathematics , 1 (1), 93–104.
Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control , 8 (3), 338–353.