PENERAPAN METODE REGRESI BERSTRUKTUR POHON PADA PENDUGAAN LAMA PENYUSUNAN SKRIPSI MAHASISWA
(The Application of the Regression Method with Tree Structure on the Estimation of the Student Thesis Duration)
Theresia Trias Candra Dewi, Yuliani  Setia Dewi, Agustina Pradjaningsih
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember
Abstract. The tree regression is one of the regresion methods that can be used to find out the influence of independent X variable to the dependent Y variable. The tree regression method analyzes data by doing step by step isolation. The prunning tree process is used in order to get the optimal tree size. Prunning tree is done based on cost complexity. This paper is written in order to apply the tree regression method in data of graduated student from  Faculty  of  MIPA  at  2001-2005  that  used  to  find  out  the  variable  which  has  an influence to the long student minithesis. The research result shows that the long student minithesis is influenced by GPA and department.
Keywords: Clean  and  Healthy  Living  Behavior,  Health  Promotion,  Modeling Mathematics.
MSC2020: 62J05

## 1. Pendahuluan
Salah  satu  tujuan  analisis  data  dalam  statistika  adalah  untuk  mengetahui  apakah  ada hubungan antara dua variabel  atau lebih dan memperkirakan besarnya efek kuantitatif dari  perubahan  variabel-variabel  tersebut . Dalam  keperluan  analisis  data,  digunakan analisis regresi untuk mengetahui bentuk hubungan antara dua atau lebih variabel, yaitu sebuah variabel yang akan diramalkan atau disebut juga variabel tak bebas (dependent variable) yang  dituliskan  dalam Y dan  satu  atau  lebih  variabel  yang  digunakan  untuk meramalkan atau disebut variabel bebas (independent variable) yang dituliskan dalam X .
Metode  regresi  pohon  merupakan  salah  satu  cara  yang  menarik  dalam  melakukan eksplorasi data dan mengambil kesimpulan dalam analisis. Perbedaan regresi berstruktur pohon ini dengan  regresi  yang biasa digunakan  adalah pada  regresi  berstruktur pohon pendugaan  respon  dilakukan  pada  kelompok-kelompok  pengamatan  yang  dibentuk berdasarkan variabel-variabel bebasnya, bukan untuk keseluruhan data.
Metode  regresi  berstruktur  pohon  ini  menganalisa  suatu  gugus  data  dengan  cara menyekatnya  menjadi  beberapa  anak  gugus  (simpul)  secara  bertahap.  Tahap  pertama, seluruh data disekat menjadi dua anak gugus kemudian diperiksa kembali secara terpisah dan  dibagi  lagi  berdasarkan  penyekat  lainnya,  demikian  seterusnya  sampai  tercapai kriteria  berhenti.  Anak  gugus  yang  tidak  bisa  disekat  dinamakan  simpul  terminal, sedangkan anak gugus yang masih dapat disekat dinamakan simpul dalam.
Permasalahan    yang  dibahas  dalam  penelitian  ini  adalah  bagaimana  mengaplikasikan metode regresi berstruktur pohon pada data lulusan mahasiswa dan mengidentifikasikan variabel yang berpengaruh terhadap lama penyusunan skripsi mahasiswa.
Regresi  berstruktur  pohon  merupakan  salah  satu  metode  yang  menggunakan  kaidah pohon  keputusan  yang  dibentuk  melalui  suatu  algoritma  penyekatan  yang  dilakukan secara  bertahap.  Metode  regresi  berstruktur  pohon  ini  menganalisa  suatu  gugus  data dengan cara menyekatnya menjadi beberapa anak gugus (simpul) secara bertahap. Tahap pertama, seluruh data disekat menjadi dua anak gugus kemudian diperiksa kembali secara terpisah  dan  dibagi  lagi  berdasarkan  penyekat  lainnya,  demikian  seterusnya  sampai tercapai kriteria berhenti. Anak gugus yang tidak bisa disekat dinamakan simpul terminal, sedangkan anak gugus yang masih dapat disekat dinamakan simpul dalam.
Dalam analisis regresi berstruktur pohon diperlukan empat langkah dasar yaitu (Roger L, 2000):
1. proses pembangunan pohon;
2. penghentian proses pembangunan pohon. Dalam proses ini akan ditemukan pohon dengan ukuran yang cukup besar (pohon maksimal);
3. proses pemangkasan ( pruning ) untuk mendapatkan pohon yang cukup sederhana;
4. pemilihan dan pembentukan pohon yang optimal.
Pohon regresi dibentuk melalui penyekatan data pada tiap simpul ke dalam dua simpul anak. Aturannya sebagai berikut :
1. setiap penyekatan tergantung pada nilai yang hanya berasal dari satu variabel bebas;
2. untuk variabel numerik j X ,  penyekatan berasal dari pertanyaan “apakah X j  c ” untuk
  c . Jadi  jika  ruang  sampelnya  berukuran n dan  terdapat  sebanyak-banyaknya n nilai amatan yang berbeda pada variabel X j , maka akan terdapat sebanyak-banyaknya n -1  split  yang  berbeda  yang  dibentuk  oleh  gugus  pertanyaan  (“apakah X j  i c ”),
dengan 1 ,..., 3 , 2 , 1   n i dan c i adalah nilai tengah antara dua nilai amatan variabel X j yang berbeda dan berurutan;
3.  untuk  variabel  bebas  yang  berkategori,  pemilahan  yang  terjadi  berasal  dari  semua kemungkinan pemilahan berdasarkan terbentuknya dua anak gugus yang saling lepas (disjoint) . Jika X j merupakan variabel kategori nominal bertaraf L , maka akan terdapat 1 2 1   L sekatan yang mungkin, sedangkan jika X j merupakan variabel kategori ordinal maka akan ada L -1 sekatan yang mungkin.
Menurut Breiman et al (1993), untuk menyekat suatu simpul dilakukan proses sebagai berikut :
1. menentukan semua penyekat yang mungkin untuk setiap variabel bebas;
2. memilih sekat yang terbaik dari kumpulan sekat dua anak simpul, yaitu simpul kiri dan simpul kanan.
Penyekatan  terbaik  adalah  penyekatan  yang  memaksimumkan  ukuran  pemisahan antara dua simpul anak tersebut. Jumlah Kuadrat Sisaan (JKS) digunakan sebagai kriteria  kehomogenan  di  dalam  masing-masing  simpul.  Misalkan  simpul g berisi anak sampel {( x n , y n )} dan n(g) adalah banyaknya amatan pada simpul g, nilai respon dalam suatu simpul g tersebut dapat dihitung sebagai berikut :
   g x n n y g n g y ) ( 1 ) ( maka jumlah kuadrat sisaan simpul g adalah :       g x n n g y y g JKS 2 ) ( ) (
Misalkan s menyekat simpul g menjadi simpul kiri L g dan simpul kanan R g . Kriteria jumlah kudrat terkecil ) , ( g s  adalah : ) ( ) ( ) ( ) , ( R L g R g R g R g s     dengan: ) ( g
R : jumlah kuadrat sisaan pada simpul g atau ) ( g JKS ) ( L g R : jumlah kuadrat sisaan pada simpul kiri L g atau ) ( L g JKS ) ( R g R : jumlah kuadrat sisaan pada simpul kanan R g atau ) ( R g JKS
Sekat terbaik s* adalah sekat yang memenuhi kriteria
)
, ( max ) *, ( * g s g s s      ; dengan  adalah himpunan semua sekat s yang mungkin pada simpul g ;
3.    algoritma    pembentukan  struktur  pohon  dilakukan  pada  setiap  variabel  sampai dipenuhi  aturan  penghentian  tertentu.  Kriteria  yang  sering  dijadikan  aturan penghentian adalah N min banyaknya obyek pengamatan pada setiap simpul akhir;
4.   menyusun tingkatan dari semua sekatan terbaik dalam setiap variabel berdasarkan penurunan  jumlah  kudrat  terkecil.  Hal  ini  berarti  bahwa  sekat  yang  dipilih  untuk dijadikan penyekat utama adalah sekat yang mampu memberikan penurunan jumlah kuadrat sisaan terbesar.
Prosedur pemangkasan dilakukan berdasarkan suatu ukuran biaya kompleksitas (Breiman et al, 1993). Ukuran biaya kompleksitas dari subpohon maks G (pohon berukuran besar atau pohon maksimal), yaitu ukuran biaya dari G , yang didefinisikan sebagai:
G G R G R ~ ) ( ) (     ;
dengan : ) ( G R  : biaya kompleksitas dari G
| ~ | G : banyaknya anggota dari gugus simpul akhir G ~
) ( G R : didefinisikan sebagai    G g g R G R ~ ' ) ' ( ) ( dengan ) ' ( g R
adalah jumlah kuadrat sisaan pada suatu simpul akhir  ' g  : parameter kompleksitas dengan  0 
Pohon  yang  dipangkas  adalah  pohon  yang  memenuhi  kriteria  biaya  kompleksitas minimum.
Dalam  memilih  pohon  terbaik  dari  deretan  pohon  yang  terbentuk  pada  proses pemangkasan  digunakan  suatu  penduga  yang  dinamakan  penduga  jujur  bagi ) ( G R
(Breiman et  al ,  1993).  Ada  dua  penduga  jujur  bagi ) ( G R yaitu  penduga  sampel  uji
) ( G
R ts dan penduga validasi silang
) ( G R CV . ) ( k ts G R didefinisikan sebagai:
      2 ) , ( 2 2 ) ( ˆ 1 ) ( L y x i k i k ts i i x y y n G R dengan ) ( k ts G R : penduga sampel uji  bagi k G 2 n : ukuran dari test sample 2 L i y : nilai respon pada amatan ke- i ; i = 1,2,…, 2 n
) ( ˆ i k x y : pendugaan respon dari amatan ke-i  pada pohon ke- k
Pohon terbaik adalah 0 k G yang memenuhi :
) ( min ) ( 0 k ts k ts G R
G R  . Penduga validasi silang ) ( k CV G R adalah sebagai berikut:       v v L y x i v k i k CV V i i x y y N G R 1 ) , ( 2 )) ( ˆ ( 1 ) ( ;
dengan N adalah  jumlah  amatan  keseluruhan.  Pohon  terbaik  adalah  pohon 0 k G yang memenuhi kriteria:
) ( min ) ( 0 k CV k CV G R G R  .

## 2. Metodologi
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data lulusan mahasiswa FMIPA UNEJ periode I bulan November 2001 sampai periode III bulan Maret 2005 dengan total respon 297  orang,  dengan  variabel  tak  bebas  (respon)  nya  adalah  lama  penyusunan  skripsi mahasiswa (bulan) dan variabel bebasnya adalah Jenis kelamin: a.laki-laki, b.Perempuan; Jurusan:  a.Matematika,  b.Fisika,  c.Biologi  d.Kimia;  Asal  Daerah:  a.Jember,  b.Luar Jember; Jalur masuk: a.PMDK, b.UMPTN dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK).
Tahap awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah melakukan telaah pustaka yang berkaitan dengan metode regresi berstruktur pohon. Tahap selanjutnya adalah melakukan eksplorasi  data  menggunakan  metode  regresi  berstruktur  pohon  dengan  bantuan  paket program R. Kemudian menganalisis hasil yang diperoleh.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Berikut  ini  merupakan  gambaran  umum  mahasiswa  FMIPA  Universitas  Jember  yang berasal  dari  data  wisudawan  bulan  November  2001  sampai  Maret  2005  dengan  total respon 297 orang.
Tabel 1. Data Lulusan Mahasiswa FMIPA Tahun 2001-2005 Jenis Kelamin Asal Daerah Jalur Masuk L              P              Jember      Luar Jember      PMDK     UMPTN Matematika Fisika Kimia Biologi 24            44 20            45 12            76 25            51 28 40 29 36 50                   38 36                   40 14               54 17               48 13               75 9               67 Total 81           216 143                  154 53             244
Dari  tabel  di  atas  dapat  diketahui  bahwa  mahasiswa  perempuan  lebih  banyak dibandingkan mahasiswa laki-laki.  Demikian juga mahasiswa yang masuk melalui jalur UMPTN juga lebih banyak daripada PMDK.  Sedangkan jumlah mahasiswa yang berasal dari Jember hampir berimbang dengan yang berasal dari luar Jember. Sedangkan rata-rata IPK dan lama penyusunan skripsi dari keseluruhan mahasiswa (297 sampel) pada masing- masing jurusan adalah sebagai berikut :

## Tabel 2. Rata-rata IPK dan Lama Penyusunan Skripsi
Rata-rata IPK Rata-rata Lama Penyusunan Skripsi Matematika Fisika Kimia Biologi 3.04 2.92 2.79 3.04 11.32 11.43 12.77 13.81 FMIPA 2.94 12.99
Formula yang digunakan dalam pembangunan pohon regresi dengan menggunakan paket R adalah : mipa.tree<-tree(Lama~JK+Jurusan+Asal+JlrMasuk+IPK,MIPA)

## Gambar 1. Pohon Regresi Awal
Berdasarkan  proses  pembangunan  pohon  dan  hasil  plot  pohon  regresi  terlihat  bahwa terdapat 8 simpul akhir pada pembangunan pohon awal yaitu :
1. kelompok  amatan  yang  memiliki  IPK<2.795  dari  jurusan  Matematika  dan  Biologi dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 13.73 bulan ;
2. kelompok  amatan  yang  memiliki    2.795<IPK<3.005  dari  jurusan  Matematika  dan Biologi dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 11.11 bulan ;
3. kelompok  amatan  yang  memiliki  IPK<2.61  dari  jurusan  Fisika  dan  Kimia  dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 16.73 bulan ;
4. kelompok  amatan  yang  memiliki  2.61<IPK<2.725  dari  jurusan  Fisika  dan  Kimia dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 23.93 bulan ;
5. kelompok  amatan  yang  memiliki  2.725<IPK<3.005  dari  jurusan  Fisika  dan  Kimia dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 14.33 bulan ;
6. kelompok amatan yang memiliki 3.005<IPK<3.54 dari jurusan Biologi dengan rata- rata lama penyusunan skripsi 9.78 bulan ;
7. kelompok amatan yang memiliki 3.005<IPK<3.54 dari jurusan Matematika, Fisika, dan Kimia dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 12.26 bulan ;
8. kelompok amatan yang memiliki IPK>3.54 dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 8.34 bulan.
Pemangkasan  pohon  dilakukan  dengan  proses pruning .  Perintah  yang  dilakukan  pada paket R : > prune.mipa<-prune.tree(mipa.tree)
| IPK < 3.005 Jurusan:ad IPK < 2.795 IPK < 2.725 IPK < 2.61 IPK < 3.54 Jurusan:a 12.990 14.310 13.090 13.730 11.110 15.760 19.760 16.730 23.930 14.330
11.490 11.740 9.784 12.260 8.337 Regresi Pohon Fakultas MIPA Keterangan : Jurusan a = Biologi Jurusan b = Fisika Jurusan c = Kimia Jurusan d = Matematika

## Gambar 2. Hubungan ukuran pohon dan devian dalam pemangkasan
Plot di atas menunjukkan bahwa semakin banyak jumlah pohon yang terbentuk semakin kecil deviannya. Hal ini menunjukkan bahwa biaya kompleksitas yang dibutuhkan untuk pemangkasan akan semakin kecil. Dalam menentukan ukuran pohon digunakan validasi silang (cross-validation) .  Formula  yang  digunakan  dalam  paket  R  untuk  melakukan validasi silang ( cross validation ) adalah cv.tree. > cv.mipa<-cv.tree(mipa.tree)
Hasil plot hubungan deretan pohon dan devian berdasarkan validasi silang (cross validation) adalah sebagai berikut :
Gambar 3. Hubungan ukuran pohon dan devian berdasarkan validasi silang
size de via nce 8000 8500 9000 9500 1 2 3 4 5 6 7 8 590 240 110 -Inf
size de via nce 9400 9600 9800 1 2 3 4 5 6 7 8 590 350 240 120 110 -Inf
Dari  hasil  plot  cv.tree  tampak  bahwa  ukuran  pohon  yang  paling  optimal  dalam meminimumkan devian adalah simpul dengan ukuran ( size ) 5 yang menunjukkan bahwa pohon optimal memiliki 5 simpul akhir.
Pembentukan pohon optimalyang berukuran 5 adalah sebagai berikut : > prune.mipa<-prune.tree(mipa.tree,best=5)
Gambar 4.  Plot pohon optimal
Berdasarkan kelompok yang dihasilkan dengan menggunakan analisa regresi pohon diatas dapat disusun urutan kelompok mahasiswa berdasarkan waktu penyusunan skripsi yang lebih cepat sebagai berikut :
1. kelompok mahasiswa dengan waktu penyusunan skripsi paling cepat berada pada simpul  3  yaitu  mahasiswa  yang  memiliki  IPK>3,005  dengan  rata-rata  lama penyusunan skripsi 11,49 bulan;
2. kelompok mahasiswa dengan waktu penyusunan skripsi cepat berada pada simpul 4  yaitu  mahasiswa  jurusan  Matematika  dan  mahasiswa  jurusan  Biologi  yang memiliki IPK< 3,005 dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 13,09 bulan;
3. kelompok  mahasiswa  dengan  waktu  penyusunan  skripsi  sedang  berada  pada simpul  11  yaitu  mahasiswa  jurusan  Fisika  dan  mahasiswa  jurusan  Kimia  yang memiliki 2,725<IPK<3,005 dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 14,33 bulan;
4. kelompok mahasiswa dengan waktu penyusunan skripsi lama berada pada simpul 20 yaitu mahasiswa jurusan Fisika dan mahasiswa jurusan Kimia yang memiliki IPK<2,61 dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 16,73 bulan;
5. kelompok mahasiswa dengan waktu penyusunan skripsi paling lama berada pada simpul  21  yaitu  mahasiswa  jurusan  Fisika  dan  mahasiswa  jurusan  Kimia  yang memiliki 2,61< IPK<2,725 dengan rata-rata lama penyusunan skripsi 23,93 bulan.
| IPK < 3.005 Jurusan:ad IPK < 2.725 IPK < 2.61 13.09 16.73 23.93 14.33 11.49 Keterangan : Jurusan a = Biologi
Jurusan b = Fisika
Jurusan c = Kimia Jurusan d = Matematika

## 4. Kesimpulan
Dari analisis data wisudawan Universitas Jember bulan November 2001 sampai Maret 2005 dengan total respon 297 orang , diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. hasil analisa data lulusan mahasiswa FMIPA tahun 2001-2005 menunjukkan bahwa variabel  yang  paling  berpengaruh  terhadap  lama  penyusunan  skripsi  mahasiswa adalah variabel IPK dan Jurusan ;
2. hasil analisa regresi pohon pada data lulusan mahasiswa FMIPA tahun 2001-2005 berdasarkan IPK, menunjukkan bahwa waktu penyusunan skripsi yang paling cepat terdapat  pada  kelompok  mahasiswa  dengan  IPK>3,005  dengan  rata-rata  lama penyusunan skripsi 11,49 bulan ;
3. hasil analisa regresi pohon pada data lulusan mahasiswa FMIPA tahun 2001-2005 berdasarkan  jurusan  dari  kelompok  mahasiswa  yang  memiliki  IPK<3,005 menunjukkan  mahasiswwa  jurusan  Matematika  dan  Biologi  memiliki  waktu penyelesaian  skripsi  yang  lebih  cepat  dibandingkan  dengan  mahasiswa  jurusan Fisika dan Kimia.

## Daftar Pustaka
[1] Breiman, L. J.H Friedman, R. A. Olshen & Charles J. Stone. (1993), Classification and Regression Tree . Chapman & Hall. New York
[2] Chambers J.M & Hastie T.J., (1993), Statistica Model in S . Chapman & Hall. New York
[3] Lewis, R.J., (2000), An Introduction to Classification and Regression Tree (CART) Analysis .  Department  of  Emergency  Medicine  Harbor-UCLA  Medical  Centre. California. http://www.saem.org/download/lewis1.pdf
[4] Venables  W.N  &  Ripley  B.D.,  (1994), Modern  Applied  Statistics  with  S-Plus . Springer. New York
[5] Yohannes  Y  &  Hoddinot  J.,  (1999), Classification  and  Regression  Trees  :  An Introduction . International Food Policy Research Institute. USA