ISSN 1693-7945

## KAJIAN SIMULASI MODEL BISWAS-SEN DALAM DINAMIKA OPINI UNTUK 2 DIMENSI
Indri Yanti 1) , Rinto Anugraha NQZ 2) 1 Universitas Wiralodra, Jln. Ir. H. Juanda Km. 3 Indramayu, indriyanti757@gmail.com
2 Universitas Gajah Mada, Yogyakarta

## ABSTRAK
Pada  penelitian  ini  telah  dilakukan  simulasi  Monte  Carlo  untuk  model  Biswas-Sen  yang merupakan  salah  satu  model  opini  binerdenganmenggunakansoftwareImageJ.Model Biswas-Sen merupakan model dinamika opini biner yang tergantung pada ukuran domain tetangga.  Dalam  model  dinamika  opini  biner  diasumsikan  bahwa  seorang  individu  akan dipengaruhi  oleh tetangga atau  domain terdekatnya. Model  ini dapat  diwakili  oleh suatu sistem spin Ising yang hanya memiliki 2 keadaan, yaitu keadaan up dan down. Penelitian ini  mengusulkan  model  Biswas-Sen  dalam  2  dimensi  dengan  medan  eksternal  tidak diikutsertakan  sehingga  sistem  dianggap  tidak  mengalami  fluktuasi.  Model  Biswas-Sen  2 dimensi untuk mengembangkan sistem 1 dimensi yang sudah pernah dilakukan oleh Soham Biswas  dan  Parongama  Sen.  Model  Biswas-Sen  1  dimensi  dianalogikan  seperti  model Ising  1  dimensi  yaitu  tidak  ada  transisi  fase  sehingga  dalam  model  Biswas-Sen  tersebut tidak  terlihat  adanya  transisi  fase.  Hasil  dari  penelitian  ini  yaitu  model  Biswas-Sen  2 dimensi belum muncul transisi fase.
Kata kunci: Simulasi Monte Carlo, Model Ising, Transisi Fase, Model Biswas-Sen.

## PENDAHULUAN
Menurut  Kamus  Besar  Bahasa  Indonesia  definisi  opini  adalah  pendapat,  pikiran, pendirian  seseorang  terhadap  sesuatu  ataupun  kejadian.  Dinamika  opini  merupakan  topik sentral  dalam  sosiologi,  terutama  pada  dinamika  sosial.  Dalam  sosiofisika  opini-opini diwakili oleh spin-spin (Kulakowski, 2008). Dinamika keputusan di bawah pengaruh sosial telah  berada  dalam  kajian  ilmiah  selama  beberapa  dekade  (Chakrabarti  dan  Chatterjee, 2006).  Opini  dan  dinamika  keputusan  di  bawah  pengaruh  sosial  terjadi  pada  bidang ekonomi,  politik,  dan  lain-lain.  Fitur  utama  dalam  dinamika  opini  adalah  interaksi  antar individu.  Manusia  memutuskan  apa  yang  harus  dilakukan  dalam  suatu  situasi  dengan melihat  apa  yang  orang  lain  lakukan  (Cialdini,  2000).  Keputusan  yang  diambil  oleh individu  dapat  dipengaruhi  oleh  individu  di  sekitarnya.  Individu  dalam  banyak  situasi berperilaku  seperti  partikel  yang  tidak  memiliki  kehendak  bebas.  Individu  memiliki kecenderungan  untuk  mengubah  opininya  mengikuti  opini  dari  individu  lain  atau mengikuti  opini  yang  memiliki  pengikut  yang  lebih  banyak.  Perubahan  pendapat  dari seorang  individu  dikarenakan  adanya  tekanan  sosial  ataupun  faktor  lainnya,  hal  ini merupakan  dinamika  yang  terjadi  dalam  kehidupan  sosial.  Dari  sudut  pandang  fisikawan
*
2 Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
*rinto@ugm.ac.id (Desember, 2015)

## ISSN 1693-7945
perilaku  individu  dan  interaksi  di  antara  mereka  merupakan  tingkat  mikroskopik  dari sistem sosial.
Dinamika opini dalam kehidupan sosial menjadi tema untuk penelitian ini. Penelitian ini akan mengusulkan suatu model dinamika opini biner 2 dimensi dengan medan eksternal tidak diikutsertakan sehingga sistem dianggap tidak mengalami fluktuasi. Model ini dapat diwakili oleh suatu sistem spin Ising yang hanya memiliki 2 keadaan, yaitu keadaan up dan down .  Dalam  model  dinamika  opini  biner  diasumsikan  bahwa  seorang  individu  akan dipengaruhi  oleh  tetangga  terdekatnya.  Model  dinamika  opini  biner  pada  penelitian  ini merupakan  jenis  model  Biswas-Sen  dengan  dinamika  opini  tergantung  pada  ukuran domain tetangga. Model Biswas-Sen 1 dimensi dianalogikan seperti model Ising 1 dimensi yaitu  tidak  ada  transisi  fase.  Sehingga  dalam  model  Biswas-Sen  tersebut  tidak  terlihat adanya  transisi  fase.  Pada  opini  biner,  hanya  terdapat  dua  opini  yang  berlawanan  seperti “pro”  atau  “kontra”,  “hitam”  atau  “putih”  dan  sebagainya.  Dinamika  opini  biner  dapat diwakili oleh dinamika spin Ising.
Pada  model  Ising,  suatu  spin  hanya  memiliki  dua  keadaan  yaitu atau . Interaksi spin dapat terjadi baik antara spin tersebut dengan tetangga terdekatnya maupun dengan  medan  magnet  eksternal.  Isingmenemukan  bahwa  pada  model  1  dimensiternyata tidakterdapattransisifase.Model    Ising    1    dimensi    yang    ditandai    dengan    tiap    spin magnetik  hanya  memiliki  dua  tetangga  terdekatnya  yaitu  kiri  dan  kanan.Dalam modelIsingferromagnetik2  dimensi  setiap  spinberinteraksidenganempattetanggaterdekat, sepertiditunjukkanpadagambar 1.1.
Gambar1.1Model sederhana bahan ferromagnetik 2 dimensi.
Pada  ferromagnetik,  jika  dua  spinbertetangga  menunjukkan  arah  yang  sama,  maka kontribusi  energi  adalah tetapi  jika  kedua  spin  tersebut  anti-paralel,  maka .  Secara

## ISSN 1693-7945
umum  sistem  ingin  menuju  kepada  energi  terendah  mungkin  sehingga  pada  sistem ferromagnetik maka spin-spin yang paralel lebih disukai.
Interaksi  antar  spin  sebenarnya  sangat  kompleks  tetapi  Ising  menyederhanakan sistemnya  yaitu  hanya  berinterasi  dengan  empat  tetangga  terdekat  dari  spin  yang  dipilih secara random. Energi interaksi antara dua buah  spin yang terpisah pada jarak dituliskan sebagai (Griffiths, 1999):
[ ( ̂)( ̂)] dengan merupakan  permeabilitas  ruang  hampa  yang  bersatuan atau
, dan merupakan momen magnet spin pertama dan kedua yang memiliki satuan atau atau ,  dan merupakan  jarak  antara  kedua  spin  yang  bersatuan (dapat  menggunakan Å ).  Sehingga memiliki  satuan atau ,  dengan .
Soham  Biswas  dan  Parongama  Sen  telah  mengusulkan  sebuah  model  opini  biner dengan  pendapat  individu  berubah  berdasarkan  keadaan  domain  tetangga  mereka.  Jika domain tetangga memiliki opini yang berlawanan maka opini domain dengan ukuran yang lebih  besar  diikuti.  Dimulai  dengan  suatu  konfigurasi  acak  (random),  sistem  berevolusi kesuatu keadaan homogen.
Dalam  suatu  model  dinamika  opini,  fitur  utama  adalah  interaksi  individu-individu. Biasanya,  dalam    semua  model,  diasumsikan  bahwa  seorang  individu  dipengaruhi  oleh tetangga  terdekatnya.  Biswas  dan  Sen  mengusulkan  model  1  dimensi  opini  biner  dengan dinamika tergantung pada ukuran domain tetangga. Model opini biner 1 dimensi, individu mengubah  opininya  dalam  dua  situasi:  pertama  ketika  dua  domain  tetangga  memiliki polaritas berlawanan maka individu akan mengikuti opini tetangga yang memiliki domain lebih besar. Kasus ini hanya muncul ketika individu berada pada batas dua domain. Kasus kedua, individu mengubah opininya ketika kedua domain tetangga memiliki polaritas yang sama namun berbeda dengan individu tersebut, dengan kata lain individu tersebut terjepit diantara  dua  domain  yang  memiliki  opini  yang  sama.  Kasus  kedua  ini  sebenarnya merupakan  kasus  khusus  dari  yang  pertama.  Model  ini  dapat  diwakili  oleh  suatu  sistem spin  Ising,  di  mana  keadaan up dan down sesuai dengan  dua  opini  yang  mungkin.  Kasus pertama dan kedua tersebut ditunjukkan secara skematis pada gambar 1.2.
Gambar 1.2 Aturan dinamis untuk model Biswas-Sen 1
Kasus  pertama,  spin  yang  dilingkari  akan  mengikuti  opini  dari  domain  kiri.  Kasus kedua,  spin down antara  dua  domain  spin up akan  membalik  tanpa  bergantung  dengan ukuran  domain  tetangganya  (Biswas  dan  Sen,  2009).  Dalam  kasus  pertama,  spin  yang dipilih dan terletak di batas antara dua domain akan mengikuti opini domain sebelah kiri. Hal ini disebabkan jumlah spin  yang sama pada domain sebelah kiri lebih besar daripada domain  sebelah  kanan.  Untuk  kasus  kedua,  spin down yangdiapit  oleh  dua  spin  tetangga yang  berorientasi up maka  arahnya  akan  membalik  untuk  mengikuti  orientasi  spin tetangganya. Ini disebut sebagai tekanan sosial ( social pressure ).
Berbeda  dengan  kasus  1  dimensi,  untuk  model  2  dimensi  suatu  spin  memiliki empat  domain    terdekatnya    yaitu    domain  kanan,  kiri,    atas    dan    bawah.Selanjutnya dihitung  jumlah  anggota  spin  yang  berada  pada  domain  masing-masing,  kemudian  spin yang  memiliki  orientasi  sama  akan  dijumlah.  Spin  yang  dipilih  secara  random  tersebut akan mengikuti jumlah spin tetangga yang lebih dominan, seperti ditunjukkan gambar 1.3.
Gambar 1.3 Aturan dinamis model Biswas-Sen dalam 2 dimensi. Spin yang diambil akan berubah up . (Yanti, 2015)
(Yanti, 2015)
ISSN 1693-7945
Jika merupakan  sejumlah  orang  dengan  opini  tertentu  (spin up )  dan merupakan  sejumlah  orang  yang  memiliki  opini  berlawanan  (spin down ),  parameter keteraturan didefinisikan sebagai:

## |
|
Rumus ini identik dengan (nilai absolut) magnetisasi dalam sistem spin.
Dimulai dengan konfigurasi awal yang acak, dinamika dalam model Biswas-Sen 1 dimensi  selalu  menuju  ke  keadaan  akhir  berupa atau ,  yaitu  keadaan  homogen dengan semua individu memiliki opini yang sama. Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.4.
Gambar 1.4 Pertumbuhan parameter keteraturan dengan waktu untuk dua ukuran sistem yang berbeda sepanjang garis lurus (slope 0.51) yang ditinjukkan dalam plot log-log (Biswas dan Sen, 2009).

## METODOLOGI PENELITIAN
Simulasi  model  Biswas-Sen  2  dimensi  dilakukan  dengan  metode  Monte  Carlo menggunakan software Image J .

## Metode Monte Carlo
Metode-metode  Monte  Carlo  merupakan  salah  satu  algoritma  komputasi  yang bergantung  pada  sampel  acak  yang  diulang  untuk  memperoleh  hasil-hasil  numerik. Metode-metode tersebut  sering digunakan pada  masalah-masalah fisis  dan matematis dan berguna ketika masalah-masalah tersebut sulit diselesaikan secara analitik. Sebagian besar metode-metode Monte Carlo digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, integrasi numerik, dan distibusi probabilitas.

## ISSN 1693-7945
Metode-metode  Monte  Carlo  bermacam-macam,  tetapi  cenderung  untuk  mengikuti suatu pola tertentu yaitu:
1. Mendefinisikan suatu domain dari input-input yang mungkin
2. Membangkitkan input secara acak dari suatu distribusi probabilitas
3. Melakukan suatu komputasi secara deterministik pada input
4. Mengumpulkan hasil-hasil.
Pada    dasarnya,  simulasi    dengan    menggunakan    metode    Monte    Carlo  berarti menggunakan    angka    acak    untuk    memeriksa  permasalahan  yang  akan dipecahkan.Metode    Monte    Carlo    berhubungan    dengan    bidang  probabilitas    dan statistika  karena  pengaplikasian  metode ini  membutuhkan sampel  acak.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Biwas-Sen 2 dimensi merupakan pengembangan dari model 1 dimensi. Pada model Biswas-Sen 1 dimensi individu hanya memiliki  dua domain tetangga terdekat yaitu sebelah  kanan  dan  kiri.  Sedangkan  untuk  sistem  2  dimensi  individu  memiliki  empat domain  tetangga  terdekat  yaitu  kanan,  kiri,  atas,  dan  bawah.    Pada  penelitian  ini,  ukuran ( ) sistem yang digunakan dalam simulasi model Biswas-Sen 2 dimensi yaitu 400 x 400. Persentase  spin  putih  sama  dengan  50%  dari  total  spin  dalam  sistem  yang  menunjukkan bahwa  magnetisasi  total  mula-mula  sama  dengan  nol,  dengan  spin- up direpresentasikan dengan  warna  putih  sedangkan  spin- down dengan  warna  hitam.  Simulasi  model  Biswas- Sen 2 dimensi akan terjadi perubahan dari keadaan heterogen menjadi homogen. Keadaan homogen digambarkan ketika spin menjadi hitam semua ataupun sebaliknya menjadi putih semua. (Yanti, 2015) .
Gambar 3.1 Grafik perubahan terhadap untuk model Biswas-Sen 2 dimensi. Simulasi I (a), II (b).
Dinamika  mulai  terjadi  pada
.  Pada  Gambar  3.1  terlihat  bahwa  sistem bergerak  menuju yang  menunjukkan  sistem  sudah  mencapai  konsensus  baik  yang berakhir  dengan  keadaan  hitam  ataupun  putih  semua.  Dari  dua  grafik  tersebut menunjukkan kesamaan dengan grafik yang diperoleh Biswas-Sen dalam 1 dimensi Hal ini menunjukkan  bahwa  dalam  model  Biswas-Sen  2  dimensi  belum  terlihat  adanya  transisi fase.  Padahal  harapannya  dengan  menaikkan  dimensi  dari  sistem  tanpa  menambahkan fluktuasi model Biswas-Sen 2 dimensi sudah bisa muncul transisi fase sama seperti model Ising 2 dimensi.
Sama seperti yang terjadi pada model Biswas-Sen 1 dimensi, ketika ukuran sistem diubah maka waktu untuk mencapai homogen akan berbeda seperti yang ditunjukkan oleh tabel 3.1.
Tabel 3.1 Perbandingan Waktu untuk Mencapai Keadaan

## Homogen dengan Ukuran Sistem 50 dan 100
Ukuran Sistem 50 18 33 21 23 15 100 30 26 29 39 28 (Yanti, 2015)
(Yanti, 2015).
(Yanti, 2015).
ISSN 1693-7945
Waktu untuk mencapai keadaan homogen bervariasi dikarenakan angka random ( ) yang dihasilkan berbeda yang berpengaruh pada posisi distribusi spin putih pada dan posisi spin yang dipilih pada berikutnya ketika mulai terjadi dinamika.

## KESIMPULAN
Pada  model  Biswas-Sen  2  dimensi  tidak  muncul  transisi  fase  seperti  yang  terjadi pada model Biswas-Sen 1 dimensi. Keadaan akhir model Biswas-Sen 2 dimensi homogen dengan .  Dapat  disimpulkan  bahwa  keadaan  akhir  yang  dapat  dicapai  oleh  model Biswas-Sen 2 dimensi sama dengan model Biswas-Sen 1 dimensi.

## PUSTAKA
Biswas, S., dan Sen, P.2009. Model of binary opinion dynamics: Coarsening and effect of disorder. Physical Review E, 80, 027101.
Chakrabarti, B.K.,Chakraborti, A., dan Chatterjee, A.2006. Econophysics and Sociophysics (Trends and Perspectives). WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim. Cialdini, R.B.2000. Influence Science and Practice (4th Edition) . Allyn & Bacon.
Kulakowski,  K.  2008.Around  the  gap  between  sociophysics  and  sociology. arXiv:0711.2880v2 [ physics.soc-ph ].
Olmsted  P.  D.2000.Landau  Theory  of  Phase  Transitions. Lectures .  Departement  of Physiscs and Astronomy, University of Leed.
Yanti, I. 2015. "Kajian Simulasi Model Biswas-Sen dalam Dinamika Opini untuk 1 dan 2 Dimensi Dengan dan Tanpa Parameter Bak-Suhu". Tesis.Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada
(Yanti, 2015).