November 2021

## Batas Atas Ukuran Risiko Agregat Pada Portofolio Saham INDF.JK dan ICBP.JK
Trimono 1 , Amri Muhaimin 2 , Andreas Nugroho Sihananto 3
1,2 Program Studi Sains Data Fakultas Ilmu Komputer UPN Veteran Jawa Timur, Indonesia
3 Program Studi Informatika Fakultas Ilmu Komputer UPN Veteran Jawa Timur, Indonesia e-mail: trimono.stat@upnjatim.ac.id

## ABSTRAK
Pada investasi agregat aset finansial, setiap aset tunggal dapat memunculkan potensi risiko kerugian yang  harus  ditanggung  oleh  investor.  Pada  kondisi  ini,  untuk  memprediksi  nilai  risiko  kerugian dapat  digunakan  konsep  risiko  agregat.  Prediksi  nilai  risiko  dapat  diukur  melalui  suatu  ukuran risiko, salah satunya adalah Value at Risk (VaR). Namun, VaR tidak selalu memenuhi sifat subaditif, sehingga  VaR  bukan  merupakan  ukuran  risiko  yang  koheren.  Ukuran  risiko  lain  sebagai  alternatif pengganti  VaR  adalah Expected  Shortfall (ES).  Kelebihan  utama  ES  dibandingkan  VaR  adalah  ES telah memenuhi sifat subaditif, sehingga ES adalah ukuran risiko yang koheren. Untuk memprediksi nilai risiko agregat menggunakan VaR maupun ES, dibutuhkan fungsi distribusi bersama dari risiko agregat tersebut. Akan tetap cukup sulit untuk menentukan fungsi distribusi bersama risiko agregat yang disusun oleh beberapa risiko tunggal yang tidak saling bebas. Alternatif yang dapat digunakan apabila fungsi distribusi bersama risiko agregat sulit diperoleh adalah dengan menghitung batas atas risiko  agregat  dengan  memanfaatkan  sifat  komonotonik  dan convex  order .  Penelitian  ini  bertujuan untuk mengukur nilai batas risiko agregat menggunakan ukuran risiko ES untuk investasi agregat pada saham PT. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF.JK) dan PT Indofood CBP Sukses Makmur Tbk (ICBP.JK). Berdasarkan hasil analisis menggunakan data return saham INDF.JK dan ICBP.JK periode 02/01/21  –  17/09/21,  nilai  batas  atas  ukuran  risiko  aregat  VaR  dan  ES  pada  portofolio  saham untuk  tingkat  kepercayaan  95%  dan holding  period 1  hari  masing-masing  adalah  -0,05231  dan  - 0,07731.
Kata Kunci: Risiko agregat, Prediksi risiko, Komonotonik, VaR, ES.

## ABSTRACT
In  the aggregate  investment  of  financial  assets,  every single  asset  can pose  a  potential  risk  of loss that must be borne by investors. In this condition, to predict the value of the risk of loss, the concept of aggregate risk can be used. Prediction of risk value can be measured through a risk  measure,  one  of  which  is  Value  at  Risk  (VaR).  However,  VaR  does  not  always  satisfy  the subadditive  nature,  so  VaR  is  not  a  coherent  measure  of  risk.  Another  risk  measure  as  an alternative to VaR is the Expected Shortfall (ES). The main advantage of ES over VaR is that ES has  subadditive  properties,  so  ES  is  a  coherent  measure  of  risk.  To  predict  the  value  of aggregate risk using VaR and ES, a joint distribution function of the aggregate risk is needed. It will  still  be  quite  difficult  to  determine  the  distribution  function  along  with  the  aggregate  risk composed  of  several  non-independent  single  risks.  An  alternative  that  can  be  used  if  the distribution function with  aggregate risk is difficult to obtain is to  calculate the upper limit of aggregate  risk  by  utilizing  the  comonotonic  and  convex  order  properties.  This  study  aims  to measure the aggregate risk limit value using the ES risk measure for aggregate investment in PT.  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk  (INDF.JK)  and  PT  Indofood  CBP  Sukses  Makmur  Tbk (ICBP.JK). Based on the results of the analysis using stock return data of INDF.JK and ICBP.JK for  the  period  02/01/21  – 17/09/21,  the  upper  limit  value  of  the  VaR  and  ES aggregate  risk measures in the stock portfolio for the 95% confidence level and the 1 day holding period are - 0.05231 and -0.07731, respectively.
Keywords: Aggregate risk, Risk prediction, Commonotonic, VaR, ES.
Trimono dkk.

## 170

## 1.  PENDAHULUAN
Investasi  kepemilikan  aset dalam  bentuk  saham  saat ini  menjadi  salah  satu  bentuk  investasi yang sangat diminati oleh investor. Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan atau pemilikan  seseorang  atau  badan  dalam  suatu  perusahaan  atau  perseroan  terbatas  (Ruhani, dkk  2018).  Untuk  memperoleh  keuntungan  yang  lebih  besar,  para  investor  biasanya melakukan  investasi  pada  lebih  dari  satu  aset,  atau  sering  dikenal  dengan  istilah  portofolio. Pada investasi portofolio, risiko menjadi salah satu kajian penting bagi seorang investor. Risiko dapat  diartikan  sebagai  suatu  kemungkinan  terjadinya  hasil  yang  tidak  diinginkan  sehingga risiko sering dikaitan dengan besarnya kerugian yang akan diterima oleh seorang investor atas saham yang dimiliki. Pada penelitian ini, diasumsikan bahwa portofolio dibangun atas dua aset tunggal  tunggal X 1 dan X 2 yang  tidak  saling  bebas,  dengan  nilai  kebergantungannya  berada diantara 0 dan 1.
Memperkirakan besarnya nilai risiko yang akan terjadi dapat dilakukan dengan menggunakan ukuran  risiko.  Ukuran  risiko  yang  sering  digunakan  adalah Value  at  Risk (VaR).  Pada kenyataannya  VaR  bukan  ukuran  risiko  yang  koheren,  karena  tidak  dapat  memenuhi  sifat subaditif (Banihashemi dkk, 2017). Karena VaR bukan ukuran risiko yang koheren, maka pada penelitian ini akan dicoba ukuran risiko lain yang bersifat koheren sebagai alternatif dari VaR, yaitu Expected  Shortfall (ES).  Untuk  mengukur  risiko  atas  suatu  portofolio  dengan menggunakan  VaR  maupun  ES,  kita  membutuhkan  fungsi  distribusi  dari  portofolio  yang terbentuk.  Akan  tetapi,  cukup  sulit  untuk  menentukan  fungsi  distribusi  bersama  dari  dua peubah acak yang tidak saling bebas.
Oleh  karena  itu,  Campana  (2007)  memberikan  alternatif  dalam  menghitung  perkiraan  nilai risiko  portofolio  yang  komponen  peubah  acak  tunggalnya  tidak  saling  bebas  dengan  cara menghitung batas atas nilai risiko portofolio tanpa menggunakan fungsi distribusi bersamanya. Selanjutnya,  nilai  batas  atas  risiko  kerugian  yang  diperoleh  dapat  dijadikan  acuan  oleh investor  untuk  mempersiapkan  tindakan  dan  strategi  yang  harus  diambil  apabila  suatu  saat risiko tersebut benar-benar terjadi.
Dalam  konteks  menentukan  batas  atas  nilai  risiko  Bernard,  dkk  (2013)  mengkaji  mengenai batas  atas  VaR  pada  peubah  acak  yang  saling  bergantung  dengan  menambahkan  kondisi pembatasan variansi yang disimulasikan pada data bangkitan berdistribusi Pareto dan Normal. Selanjutnya  Pucetti  (2013)  developed  research  pada  penentuan  batas  atas Expected  Shortfall untuk  sejumlah N peubah  acak  yang  saling  bergantung,  dengan  mengasumsikan  bahwa struktur kebergantungannya adalah tidak diketahui secara pasti.
Pada Penelitian ini, akan dikaji mengenai batas atas ukuran risiko VaR dan ES, yang nilainya diperoleh  dengan  menggunakan  metode Historical  Simulation .  Secara  khusus,  kita  akan membuktikan  sifat  subaditif  bahwa  batas  atas  ES  lebih  baik  daripada  batas  atas  VaR.  Data yang digunakan adalah data closing price saham PT. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF.JK) dan  PT  Indofood  CBP  Sukses  Makmur  Tbk  (ICBP.JK)  periode 02/01/21  sampai  dengan 17/09/21 .

## 2.  METODE PENELITIAN
Ukuran Risiko Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES)
Pengukuran  batas  atas  ukuran  risiko  agregat  pada  penelitian  ini  dititikberatkan  pada  risiko investasi  portofolio  saham.  Untuk  mengukur  risiko  investasi  portofolio  saham, return atas harga saham lebih banyak digunakan daripada harga saham. Misalkan P j,t adalah harga saham ke- j pada  periode t ,  dan X j,t adalah  nilai return saham  ke- j pada  periode t ,  maka X j,t didefinisikan sebagai (Miskolczi, 2017):
          1 , , , ln t j t j t j
P P
X
(1)
Kemudian,  untuk  suatu  portofolio  yang  terdiri  dari N aset  saham,  dengan N bersifat deterministik, maka return portofolio S N diperoleh dengan cara:
N N X X X
S     ... 2 1
(2)
Pada  penelitian  ini  diasumsikan  bahwa X i dengan X j tidak  saling  bebas  dan  berdistribusi identik, serta     1 , 0 ,  j i X X  ; i, j = 1, 2, …, N , i ≠ j. Untuk N = 2, kita memiliki:
2 1 2 X X
S   (3)
Pada  portofolio  saham,  ukuran  risiko  merupakan  metode  yang  dapat  digunakan  untuk memprediksi  besarnya  nilai  risiko  yang  mungkin  akan  terjadi.  Menurut  Artzner  dkk  (1999), ukuran risiko yang baik haruslah bersifat koheren. Terdapat 4 sifat yang harus dipenuhi oleh suatu  ukuran  risiko  agar  dikatakan  koheren,  yaitu translational invariance , positive homogeneity , monotonicity , dan subaditif . Pada bagian ini, dua ukuran risiko yang akan dikaji adalah Value at Risk (VaR), dan Expected Shortfall (ES).
Value-at-Risk (VaR) pada Portofolio Aset Saham Mengacu  pada  Zhang  dkk  (2019),  untuk  suatu  peubah  acak  S2  yang  menyatakan  return portofolio untuk 2 aset saham, VaR didefinisikan sebagai nilai risiko kerugian maksimum yang masih  dapat  ditoleransi  pada  tingkat  kepercayaan  (1-α),  dengan  α ∈ (0,1).  Secara  matematis, VaR pada tingkat kepercayaan (1-α) adalah dinyatakan sebagai (Ogawa dkk, 2018):     1 2 1 2 ) (     S F S VaR (4)
dengan,
    1 2 S F adalah  invers  fungsi  distribusi  dari  S 2 .  Dalam  bentuk  lain, ) ( 2 1 S VaR   dapat diformulasikan sebagai berikut (Nabella dkk, 2020):
(5)
Jika merupakan fungsi yang monoton tak turun dan inversnya dijamin selalu ada, maka
Salah  satu  syarat  agar  suatu  ukuran  risiko  dikatakan  baik  dan  efektif  adalah  harus  bersifat koheren.  Tetapi  kenyataannya  VaR  bukanlah  termasuk  ukuran  risiko  yang  koheren,  hal tersebut dikarenakan terdapat satu dari empat aksioma kekoherenan ukuran risiko yang tidak dipenuhi  oleh  VaR,  yaitu  aksioma  subaditif  ( Fischer  dkk,  2020) .  Hal  tersebut  akan  dibuktikan melalui contoh penyangkal berikut,
Misalkan terdapat koleksi peubah acak X 1 dan X 2 , dengan nilai realisasinya adalah:
Jika dipilih α = 5%, maka nilai VaR untuk X 1 dan X 2 pada tingkat kepercayaan 95% adalah
= - inf (0) = 0 (6) = - inf (0) = 0 (7)
Untuk peubah acak S 2 = X 1 + X 2 perhatikan bahwa,
Sehingga,  apabila  dipilih  α  =  5%,  maka  nilai  VaR  untuk  S 2 pada  tingkat  kepercayaan  95% adalah:
= - inf {-0,02, 0} = 0,02 (8)
Berdasarkan persamaan (6), (7), dan (8) diperoleh kesimpulan bahwa:
(9)
Trimono dkk.

## 172
Jadi  terbukti  bahwa  VaR  bukan  ukuran  risiko  yang  koheren  karena  tidak  memenuhi  sifat subaditif.
Salah  satu  kelebihan  VaR  adalah  memberikan  informasi  mengenai  prediksi  nilai  kerugian maksimum  yang  masih  dapat  ditoleransi.  Tetapi  disisi  lain  ternyata  VaR  bukanlah  ukuran risiko  yang  koheren,  sehingga  kurang  baik  untuk  digunakan.  Hal  tersebut  tentunya  akan mengakibatkan  kemungkinan  terjadinya  bias  informasi  terkait  tentang  kemungkinan  nilai kerugian yang harus ditanggung. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dikaji ukuran risiko Expecteded Shortfall (ES) sebagai alternatif ukuran risiko lain yang terbukti bersifat koheren.
Expected Shortfall (ES) pada Portofolio Aset Saham ES  dapat  dimaknai  sebagai  rata-rata  besarnya  nilai  kerugian  yang  akan  ditanggung  apabila kerugian yang terjadi nilainya melebihi VaR. Untuk portofolio saham yang terdiri dari dua aset, formula ES pada tingkat kepercayaan (1-α) dinyatakan sebagai (Chen, 2018):
(10)
Salah satu kelebihan ES dibanding VaR adalah ES memenuhi sifat subaditif, sifat yang tidak dipenuhi  oleh  VaR.  Berikut  ini  adalah  bukti  ES  memenuhi  sifat  subaditif  (Embrechts  dan Wang, 2015):
Misalkan  terdapat  dua  variabel  acak X 1 dan X 2 yang  menyatakan return dari  dua  saham. Kemudian didefinisikan S 2 sebagai agregasi dari X 1 dan X 2 yaitu: S 2 = X 1 + X 2 (11)
Selanjutnya perhatikan bahwa:
(α)(ES 1-α ( X 1 ) + ES 1-α ( X 2 ) + ES 1-α ( S 2 )) = (α)(E[-X 1 |-X 1 ≥ (α)] + E[-X 2 |-X 2 ≥ (α)] -(α)
E[-S 2 |-S 2 ≥ (α)])
= + -
= +
Kemudian diperoleh hasil bahwa:
(α)(ES 1-α (X 1 ) + ES 1-α (X 2 ) + ES 1-α (S 2 )) ≥ (α) + (α) = (α)(α-α)+ (α)(α-α)
= 0 Sehingga, untuk S 2 = X 1 + X 2 berlaku: ES 1-α (S 2 ) ≤ ES 1-α (X 1 ) + ES 1-α (X 2 ) (12)
Batas Atas Ukuran Risiko VaR dan ES pada Protofolio Saham Berdasarkan  Tse  (2009),  untuk  memprediksi  nilai  VaR  dan  ES  pada  portofolio  saham  yang tersusun  atas  dua  aset,  dibutuhkan  fungsi  distribusi  bersama
,  dan  invers  fungsi distribusi  bersama dari return portofolio.  Jika  X 1 dan  X 2 saling  bebas,  maka dan cukup  mudah  untuk  ditentukan  yaitu  melalui  metode  konvolusi  atau  rekursi  Panjer. Namun,  jika  X 1 dan  X 2 tidak  saling  bebas,  maka dan
menjadi  sulit  untuk
ditentukan. Hal ini akan berakibat pada pada terhambatnya proses pengukuran nilai ES dan
173
VaR. Untuk mengatasi permasalahan ini, Dhaene dkk (2001) pada Xu (2020) memperkenalkan alternatif lain untuk memprediksi risiko kerugian yaitu dengan cara mengukur batas atas nilai VaR dan ES dari portofolio saham tersebut.
Pada  pengukuran  batas  atas  nilai  VaR  dan  ES  pada  portofolio  yang  tersusun  dari  dua  aset, langkah pertama adalah membentuk vektor acak X = ( X 1 , X 2 ). Kemudian, langkah selanjutnya adalah membentuk comonotonic counterpart dari X yang dinotasikan dengan X c . Untuk vektor acak X yang  belum  tentuk  bersifat  komonotonik, X c didefinisikan  sebagai  vektor  acak  yang elemennya  memiliki  fungsi  distribusi  marginal  yang  sama  dengan X ,  dan  memiliki  struktur kebergantungan  komonotonik.  Kemudian  dapat  dibuktikan  bahwa  vektor  acak X c adalah komonotonik  jika  dan  hanya  jika  semua  komponennya  adalah  fungsi  tak  turun  (atau  tidak naik)  dari  vektor  acak X (McNeil,  dkk  2015). Comonotonic  counterpart dari X yaitu X C didefinisikan sebagai:
(13)
Kemudian, sifat dari X C adalah:
  ) ( ), ( 1 2 1 1 U F U F X X d    C
X (14)
Dengan U adalah peubah acak berdistribusi Uniform(0,1). Karena U berdistribusi Uniform(0,1), maka pada akhirnya nilai-nilai ) ( 1 1 U F X  dan ) ( 1 2 U F X  adalah nilai-nilai dari peubah acak X 1 dan X 2 . Akibatnya dan serupa dalam distribusi dengan X 1 dan X 2 , serta fungsi distribusi dan sama dengan fungsi distribusi X 1 dan X 2 .
Misalkan adalah jumlahan dari setiap anggota pada X C , maka   dapat dinyatakan sebagai:
(15)
Definisi 1. Pandang X 1 dan X 2 sebagai dua peubah acak.
i. X 1 dikatakan lebih kecil daripada X 2 dalam urutan konveks, jika
        2 1 X g E X g E  (16)
untuk setiap fungsi konveks g sedemikian sehingga nilai ekspektasinya ada. ii. X 1 dikatakan lebih kecil daripada X 2 dalam urutan stop-loss
jika
             K X E K X E 2 1 ,
(17)
untuk setiap K ∈ ℝ .
Sifat  kelengkapan  1. Jika  X 1 kurang  dari  atau  sama  dengan  X 2 dalam  urutan  konveks , maka E[X 1 ]=E[X 2 ] dan var[X 1 ] ≤ var[X 2 ].
Sifat  kelengkapan  2. jika  dan  hanya  jika
.  Kemudian,  batas  atas  (dalam urutan konveks) untuk S N = X 1 + X 2 + … + X N ditentukan melalui teorema berikut: Teorema 1. (Campana, 2007) Untuk setiap vektor acak X = , berlaku:
(18)
dengan S N = X 1 + X 2 + … + X N dan
. □
Jadi, berdasarkan Teorema 1, untuk peubah acak X 1 dan X 2 , dapat dibentuk peubah acak baru S 2 dan   yang didefinisikan sebagai: S 2 = X 1 + X 2 (19)
(20)
Selanjutnya, antara S 2 dan   memenuhi kondisi berikut:
(21)
Batas atas untuk VaR 1-α (S 2 ) dan ES 1-α (S 2 ) diperoleh melalui teorema berikut: Teorema 2. (Dhaene dkk, 2006) Untuk setiap koleksi peubah acak X 1 dan X 2 berlaku:
(22)
Trimono dkk.
174
yang berlaku untuk setiap α ∈ (0,1). Teorema 3. (Dhaene dkk, 2006) Untuk setiap koleksi peubah acak X 1 dan X 2 berlaku:
(23)
yang berlaku untuk setiap α ∈ (0,1).
Oleh karena itu, mengacu pada Teorema 2 dan 3, untuk setiap return portofolio S 2 , dan peubah acak komonotonik   sebagai batas atas komonotonik untuk S 2 , diperoleh:
(24) (25) Persamaan untuk nilai dan adalah sebagai berikut: (26) (27)

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN
Data  awal  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  harga  saham  PT.  Indofood  Sukses Makmur Tbk (INDF.JK) dan PT Indofood CBP Sukses Makmur Tbk (ICBP.JK) periode 02/01/21 sampai dengan  17/09/21 . Data tersebut diunduh dari Yahoo (2021). Bab ini akan menyajikan analisis untuk memperoleh estimasi nilai batas atas dari VaR dan ES untuk portofolio saham INDF.JK  dan  ICBP.JK  dengan  menggunakan  pendekatan Historical  Simulation .  Pandang  P 1,t dan  P 2,t masing-masing  adalah  peubah  acak  yang  menyatakan  harga  saham  INDF.JK  dan ICBP.JK  pada  waktu t .  Jika  X 1,t dan  X 2,t dinyatakan  sebagai return dari  dua  saham  tersebut pada waktu t , maka:
(28)
dan
(29)
Berikut disajikan plot deret waktu dan untuk X 1 , X 2 :
Gambar 1 Plot deret waktu untuk return INDF.JK (X 1 ), return ICBP.JK (X 2 )
Gambar  1  menunjukkan  bahwa  nilai  X 1 dan  X 2 pada  periode  02/01/2021  –  18/09/2021 memiliki  pergerakan  yang  berfluktuasi  dan  memiliki  pola  yang  cenderung  sama,  hal  ini mengindikasikan bahwa antara dua variabel tersebut memiliki korelasi yang signifikan. Untuk membuktikan dugaan tersebut, berikut disajikan nilai koefisien korelasi Pearson beserta nilai statistika deskriptif untuk X 1 dan X 2 :
Tabel 1 Statistika deskriptif X 1 dan X 2 n Korelasi Rata-rata St. dev Sekwness  Kurtosis Min Maks X 1 173 0,596 -0.00052 0,0157 0,2185 4,7821 -0,0482 0,0590 X 2 173 -0,00093 0,0154 0,3957 4,2555 -0,0473 0,0561
Melalui nilai korelasi Pearson, diperoleh kesimpulan bahwa antara X 1 dan X 2 berkorelasi cukup kuat  yaitu  sebesar  0,596  dengan  arah  korelasi  positif.  Adanya  korelasi  yang  cukup  kuati  ini menunjukkan bahwa kedua variabel tersebut tidak saling bebas. Plot korelasi antara X 1 dan X 2 adalah sebagai berikut:
Gambar 2 Plot korelasi X 1 dengan X 2
Selanjutnya,  rata-rata  X 1 dan  X 2 yang  bernilai  negatif  menunjukkan  bahwa  pada  periode 02/01/2021  –  18/09/2021  kerugian  yang  diterima  lebih  besar  daripada  keuntungan  yang diperoleh.  Salah  satu  hal  yang  menyebabkan  keadaan  ini  adalah  karena  Indonesia  belum sepenuhnya  terbebas  dari  pandemi  COVID-19  sehingga  berakibat  pada  iklim  investasi  dan perdagangan yang menjadi tidak stabil.
Agar terhindar dari kerugian yang lebih besar, salah satu strategi yang dapat dilakukan adalah dengan  membentuk  portofolio  dari  saham  INDF.JK  dan  ICBP.JK.  Jika  S 2 dinyatakan  sebagai return portofolio dari dua saham tersebut, maka nilai S 2 pada waktu t didefinisikan sebagai: S 2,t = X 1,t + X 2,t
(30)
Berikut ini adalah plot S 2 yang terbentuk berdasarkan persamaan (30) di atas:
Gambar 3 Plot deret waktu untuk return portofolio
Trimono dkk.

## 176
Jika  diamati  melalui  Gambar  3,  pembentukan  portofolio  berdampak  pada  berkurangnya fluktuasi yang terjadi pada nilai return . Atau dengan kata lain, nilai return portofolio cenderung lebih  stabil  jika  dibandingkan return aset  tunggalnya.  Untuk  mengetahui  karakteristik  yang lebih detail dari S 2 , dapat dilihat melalui tabel statistika deskriptif berikut:
Tabel 2 Statistika deskriptif return portofolio ( S 2 ) n Rata-rata St. dev Sekwness  Kurtosis Min Maks S 2 173 0,0015 0,0278 0,3531 5,1719 -0,0925 0,1010
Berdasarkan  Tabel  2,  pembentukan  portofolio  menyebabkan  rata-rata return menjadi  bernilai positif sehingga keuntungan yang diterima lebih besar daripada kerugian yang terjadi. Karena return aset tunggal yang membentuk return portofolio adalah tidak saling bebas, maka alternatif  yang  dapat  dilakukan  untuk  memperkirakan  nilai  risiko  kerugian  portofolio  adalah dengan cara mengukur batas atas dari risiko kerugian tersebut. Dengan mengukur nilai batas atas tersebut, kita akan memperoleh suatu nilai yang telah dijamin secara teoritis bahwa nilai kerugian portofolio tidak akan lebih besar dari nilai tersebut.
Batas atas return portofolio S 2 Pengukuran  batas  atas  risiko  kerugian  dari S 2 adalah  bergantung  pada  fungsi  distribusi marginal dari X 1 dan X 2 . Kami menduga bahwa X 1 dan X 2 adalah berdistribusi Normal. Untuk membuktikannya dugaan tersebut, dilakukan uji normalitas Kolomorov-Smirnov dengan hasil sebagai berikut:
Tabel 3 Hasil uji normalitas Kolmogorv-Smirnov untuk data X 1 dan X 2 D p-value α X 1 0,101 0,058 0,05 X 2 0,065 0,451 0,05
Mengacu  pada  Tabel  3,  maka  pada  tingkat  signifikansi  α  =  5%  maka X 1 dan X 2 berdistribusi Normal, dengan X 1~ Normal (-0.00052; 0,0157) dan X 2~ Normal (-0,00093; 0,0154). Langkah pertama dalam menentukan batas atas ukuran risiko (VaR dan ES) untuk S 2 adalah menentukan  batas  atas  (dalam  urutan  konveks)  dari  S 2 itu  sendiri.  Berdasarkan  Teorema  1 dan Sifat Kelengkapan 2, batas atas (dalam urutan konveks) untuk suatu return portofolio S 2 adalah S 2c , S 2c didefinisikan sebagai S 2c = X 1c + X 2c
dengan,
, , dan U adalah  bilangan  acak  berdistribusi  Uniform(0,1). Pada  penelitian  ini,  ukuran  sampel  yang  dibangkitkan  untuk X 1c dan X 2c masing-masing adalah 173 data sampel. Nilai statistik deskriptif dari X 1c dan X 2c adalah sebagai berikut:
Tabel 4 Statistik deskriptif   dan n Rata-rata St. dev Sekwness  Kurtosis Min Maks 173 -0.00037 0.01550 0.12585 0.19809 -0.04500 0.05061 173 -0.00094 0.01506  -0.12732 0.14947 -0.04870 0.05460
Berdasarkan  nilai  statistik  deskriptif  menunjukkan  bahwa  karakteristik  dari dan yang
diperoleh memiliki kemiripan dengan X 1 dan X 2 . Nilai S 2c akan digunakan untuk menentukan batas atas dari ukuran risiko VaR dan ES portofolio saham INDF.JK dan ICBP.JK.
Batas atas ukuran risiko VaR pada portofolio saham INDF.JK dan ICBP.JK Pada  praktiknya,  pengukuran  VaR  dapat  dilakukan  melalui  beberapa  metode,  diantaranya adalah Historical  Simulation (HS), Standard  Deviation  Premium  Principle (SDPP),  dan  Simulasi Monte  Carlo.  Pada  penelitian  ini,  metode  yang  dipilih  untuk  mengukur  nilai  VaR(S 2c )  sebagai batas atas dari VaR(S 2 ) adalah Historical Simulation (HS). Dengan menggunakan nilai S 2c yang
diperoleh  dari  prosedur  sebelumnya,  berikut  ini  adalah  nilai  VaR( S 2c )  pada  beberapa  tingkat kepercayaan dan holding period :
Tabel 5 . Nilai VaR( ) sebagai batas atas VaR( S 2 ) Holding period Tingkat Kepercayaan VaR( ) 1 hari 90% -0.04722 95% -0.05231 97% -0.05339 98% -0.05898 99% -0.06732 3 hari 90% -0.057608 95% -0.063818 97% -0.065136 98% -0.071956 99% -0.08213 5 hari 90% -0.065636 95% -0.072711 97% -0.074212 98% -0.081982 99% -0.093575
Salah satu interpretasi yang dapat diperoleh berdasarkan Tabel 5 adalah pada holding period 1 hari dengan tingkat kepercayaan 95% diperoleh VaR( ) sama dengan -0.05231, artinya untuk satu  periode  perdagangan  ke  depan  setelah  tanggal  17/09/2021  yaitu  tanggal  20/09/2021, prediksi nilai VaR(S 2 ) tidak akan lebih besar dari -0.05231. Telah  diketahui  bersama  bahwa S 2 dibangun  oleh  agregasi  antara X 1 dan X 2 yang  masing- masing berdistribusi normal, maka akibatnya distribusi dari S 2 adalah Normal Multivariat yang masih  relatif  mudah  untuk  ditentukan.  Sebagai  pembuktian  apakah  benar  bahwa  VaR( )  ≤ VaR( ),  kami  mencoba  menghitung  nilai  VaR( )  dan  VaR( )  untuk  sembarang  tingkat kepercayaan 1-α pada interval 0,5 < (1-α) < 1. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut:
Gambar 4 Nilai VaR(S 2 ) dan VaR( ) pada interval tingkat kepercayaan 0,5<(1-α)<1
Trimono dkk.
178
Secara  teori,  pada  setiap holding  period dan  tingkat  kepercayaan,  nilai  VaR( )  adalah  batas atas  untuk  VaR(S 2 ).  Hal  ini  memberikan  jaminan  bahwa  nilai  VaR(S 2 )  akan  kurang  dari  atau sama  dengan  VaR( ).  Tetapi  pada  kenyataannya  pada  interval  tingkat  kepercayaan  0,5<(1- α)<0,6 terdapat situsi VaR(S 2 ) justru bernilai lebih besar dari VaR( ). Kondisi ini menunjukkan bahwa VaR kurang baik apabila dijadikan sebagai batas atas ukuran risiko agregat. Sehingga kita perlu menggunakan ukuran risiko lain sebagai alternatif dari VaR, yaitu ES.

## Batas atas ukuran risiko ES pada portofolio saham INDF.JK dan ICBP.JK
Pada  subbab  3.2,  VaR  sebagai  batas  atas  ukuran  risiko  agregat  ternyata  tidak  berlaku  pada sembarang  interval.  Oleh  karena  itu  akan  digunakan  ukuran  risiko  ES  sebagai  alternatif sekaligus  perbaikan  dari  model  VaR.  Hasil  pengukuran  batas  atas  ES  pada  berbagai  tingkat kepercayaan dan holding period diberikan pada tabel berikut:
Tabel 6 Nilai ES( S 2c ) sebagai batas atas ES(S 2 ) Holding period Tingkat Kepercayaan ES(S 2c ) 1 hari 90% -0.07222 95% -0.07731 97% -0.07839 98% -0.08398 99% -0.09232 3 hari 90% -0.082608 95% -0.088818 97% -0.090136 98% -0.096956 99% -0.10713 5 hari 90% -0.090636 95% -0.097711 97% -0.099212 98% -0.106982 99% -0.118575
Salah satu interpretasi yang dapat diperoleh berdasarkan Tabel 5 adalah, pada setiap holding period dan  tingkat  kepercayaan,  nilai  ES(S 2c )  adalah  batas  atas  untuk  ES(S 2 ),  sehingga,  nilai ES(S 2 ) pada setiap holding period dan tingkat kepercayaan telah dijamin bahwa nilainya akan kurang  dari  atau  sama  dengan  ES(S 2c ).  Sebagai  contoh,  pada holding  period 5  hari  dengan tingkat kepercayaan 99% diperoleh ES(S 2c ) sama dengan -0.118575, artinya untuk satu periode perdagangan  ke  depan  setelah  tanggal  17/09/2021  yaitu  tanggal  20/09/2021,  prediksi  nilai ES(S 2 ) tidak akan lebih besar dari -0.118575.
Kemudian,  berikut  kami  sajikan  pula  perhitungan  nilai  ES( )  dan  ES( )  untuk  sembarang tingkat  kepercayaan  1-α  pada  interval  0,5  <  (1-α)  <  1.  Hasil  yang  diperoleh  adalah  sebagai berikut:
179
Gambar 5 Nilai ES( S 2 ) dan ES( ) pada interval tingkat kepercayaan 0,5<(1-α)<1
Secara teori, pada setiap holding period dan tingkat kepercayaan, nilai ES( ) adalah batas atas untuk  ES( S 2 ).  Hal  ini  memberikan  jaminan  bahwa  nilai  ES( S 2 )  akan  kurang  dari  atau  sama dengan ES( ). Hasil pengukuran yang diperoleh seperti tertera pada Gambar 5 sesuai dengan teori  yang  ada.  Sehingga  ES  dapat  menjadi  pilihan  yang  lebih  baik  daripada  VaR  untuk mengukur batas atas risiko kerugian pada portofolio antara saham INDF.JK dan ICBP.JK.

## 4.  SIMPULAN
Berdasarkan hasil pengukuran VaR(S 2c ) dan ES( ) sebagai batas atas dari VaR(S 2 ) dan ES(S 2 ), ES  terbukti  lebih  baik  daripada  VaR  karena  untuk  setiap  nilai  tingkat  kepercayaan  pada interval  0,5  <  (1-α)  <  1  berlaku  ES( S 2 )  ≤  ES( ).  Pada  tingkat  signifikansi  dan holding  period yang  sama,  nilai  ES( )  selalu  lebih  besar  dari  VaR(S 2c ).  Pada holding  period 1  hari  dengan tingkat kepercayaan 95% diperoleh VaR( ) sama dengan -0.05231, artinya untuk satu periode perdagangan  ke  depan  setelah  tanggal  17/09/2021  yaitu  tanggal  20/09/2021,  prediksi  nilai VaR(S 2 )  tidak  akan  lebih  besar  dari  -0.05231.  Pada holding  period 5  hari  dengan  tingkat kepercayaan  99%  diperoleh  ES( )  sama  dengan  -0.118575,  artinya  untuk  satu  periode perdagangan  ke  depan  setelah  tanggal  17/09/2021  yaitu  tanggal  20/09/2021,  prediksi  nilai ES(S 2 ) tidak akan lebih besar dari -0.118575.

## UCAPAN TERIMA KASIH.
Ucapan  terimakasih  diberikan  kepada  UPN  Veteran  Jawa  Timur  yang  telah  mendanai penelitian ini melalui skema Uber Publikasi.

## DAFTAR PUSTAKA
Artzner,  P.  dkk.  (1999).  Coherent  measures  of  risk.  An  International  Journal  of  Mathematics, Statistics and Finance Economics, 9 (3), 203-228.
Banihashemi, dkk. (2017). Portfolio performance evaluation in Mean-CVaR framework: A comparison with  non-parametric  methods  value  at  risk  in  Mean-VaR  analysis.  Operations  Research Perspectives, 4 (2), 21-28.
Bernard, C. dkk. (2014). Risk aggregation with dependence uncertainty. Insurance: Mathematics and Economics, 54 (1), 93-108.
Campana,  A.  (2007).  On  Tail  Value-at-Risk  for  sums  of  non-independent  random  variables  with  a generalized Pareto distribution. Geneva Risk Insur Rev, 32 (1), 169-180.
Chen,  J.  M.  (2018).  On  Exactitude  in  Financial  Regulation:  Value-at-Risk,  Expected  Shortfall,  and Expectiles. Risks, 6 (2), 1-28.
Dhaene, J. dkk. (2006). Risk Measures and Comonotonicity: A Review. Stochastic Models, 22 (1), 573
- 606.
Trimono dkk.

## 180
Embrechts,  P.,  dan  Wang,  R.  (2015).  Seven  Proofs  for  the  Subadditivity  of  Expected  Shortfall. Department of Mathematics, Zurich-Switzerland, 1-23.
Fischer,  M.  dkk.  (2020).  A  Discussion  on  Recent  Risk  Measures  with  Application  to  Credit  Risk: Calculating Risk Contributions and Identifying Risk Concentrations. Risks, 6 (142), 1-28. McNeil,  A.  J.  dkk.  (2015).  Quantitative  risk  management:  Concepts,  techniques  and  tools:  Revised edition. New Jersey: Princeton University Press.
Miskolczi,  P.  (2017).  Note  on  simple  and  logarithmic  return.  Applied  Studies  in  Agribusiness  and Commerce. 11 (1-2), 127-136.
Nabella,  R.  S.  dkk  (2020).  Systemic  risk  analysis  using  Conditional  Value  at  Risk  (covar)  model: evidence in Indonesia. Journal of Economics and Development Studies. 12 (1), 57-67.
Ogawa,  M.  A.  dkk.  (2018).  Value-at-Risk  (VaR)  Brazilian  Real  and  currencies  of  emerging  and developing markets. Gestao & Producao, 25(3), 485-499.
Puccetti,  G.  (2013).  Sharp  Bounds  on  the  Expected  Shortfall  for  A  Sum  of  Dependent  Random Variables. Statistics and Probability Letters. 83 (1), 1227 - 1233.
Ruhani,  F.  dkk.  (2018).  Theories  Explaining  Stock  Price  Behavior:  A  Review  of  the  Literature. International Journal of Islamic Banking and Finance Research, 2 (2), 51-64. Tse,  Y-K.  (2009).  Nonlife  Actuarial  Models  Theory,  Methods,  and  Evaluation.  Cambrige  University Press.
Xu, Z, 1. (2020). A new characterization of comonotonicity and its application in behavioral finance. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 418 (2), 612-625. Zhang, W. dkk. (2019). On Double Value at Risk. Journal of Risk. 7 (31), 1-22.