## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

## Karakteristik Modul Endoprima Lemah

## Dewi Ika Ainurrofiqoh
Volume 6, Issue 2, Pages 220–225, August 2024
Diterima 5 Juni 2024, Direvisi 25 Juli 2024, Disetujui 28 Juli 2024, Diterbitkan 3 Agustus 2024 To Cite this Article : D. I. Ainurrofiqoh,“Karakteristik Modul Endoprima Lemah”, Jambura J. Math , vol. 6, no. 2, pp. 220–225, 2024, https://doi.org/10.37905/jjom.v6i2.26450
© 2024 by author(s)

## JOURNAL INFO • JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index Ǽ Journal Abbreviation : Jambura J. Math. Х Frequency : Biannual (February and August) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.37905/jjom ʢ Online ISSN : 2656-1344 ǽ Editor-in-Chief : Hasan S. Panigoro Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ƒ Country : Indonesia ̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/oai  Google Scholar ID : iWLjgaUAAAAJ Ͳ Email : info.jjom@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Biomathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics EULER : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains, dan Teknologi

## Karakteristik Modul Endoprima Lemah
Dewi Ika Ainurrofiqoh 1 , ∗ 
1 Jurusan Matematika, Universitas Jember, Jember, Indonesia
ABSTRAK. Dalam penelitian ini dipelajari modul endoprima lemah yang merupakan pengembangan dari modul prima lemah dengan meninjau submodul invarian penuhnya. Hal ini serupa dengan pengembangan modul endoprima dari modul prima. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan hubungan modul endoprima lemah dan modul endopri- ma serta mengkaji submodul invarian penuh dari modul endoprima lemah. Metode yang digunakan adalah mengkaji hubungan modul prima lemah dan modul prima, modul endoprima dan modul prima, serta modul endoprima lemah dan prima lemah. Hasil yang diperoleh adalah setiap modul endoprima merupakan modul endoprima lemah, akan tetapi untuk sebaliknya belum tentu terpenuhi. Selain itu, submodul invarian penuh dari modul endoprima lemah belum tentu merupakan modul endoprima lemah.
ABSTRACT. In this research, we studied weakly endoprime module, which is a development of weakly prime module by reviewing its fully invariant submodule. This is similar to the development of endoprime module from prime module. This primary objective of this research are to determine the relationship between weakly endoprime module and endoprime module and examine the fully invariant submodules of weakly endoprime module. The method employed in this research involves studying the relationship between weakly prime modules and prime modules, endoprime modules and prime modules, as well as weakly endoprime modules and weakly prime modules. The results obtained are that each endoprime module is a weakly endoprime module, but the converse is not necessarily true. Moreover, a fully invariant submodule of a weakly endoprime module is not necessarily a weakly endoprime module.
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of JJoM: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Modul atas ring merupakan hasil perumuman dari ruang vektor atas lapangan [1] . Hal tersebut termotivasi dengan ada- nya suatu grup komutatif G yang memenuhi semua aksioma per- kalian skalar, akan tetapi himpunan skalar F bukan merupakan lapangan, F merupakan ring. Sehingga, struktur aljabar tersebut didefinisikan sebagai modul atas ring. Di lain sisi, misalkan R suatu ring komutatif, maka jelas bahwa R merupakan atas diri- nya sendirinya, atau disebut sebagai modul reguler R R [2] . Oleh karena itu, dalam perkembangannya banyak ilmuwan yang meng- embangkan teori modul dengan mengadaptasi teori yang ada pa- da ring. Sebagai contoh modul prima [3] yang dikembangkan dari definisi ring prima.
Suatu ring R dikatakan prima jika dan hanya jika annihila- tor (pemusnah) di R dari setiap idealnya adalah nol ( ann R ( I ) = r ∈ R | rm = 0 , m ∈ I } , untuk setiap I ideal dari R ) [4] . Kon- sep tersebut diperumum ke sebarang modul M atas ring R oleh Feller dan Swokowski pada tahun 1965 dan secara terpisah oleh Dauns pada tahun 1978. Suatu modul M atas ring R disebut modul prima jika annihilator (pemusnah) di R dari setiap submo- dul tak nolnya adalah unsur nol di R dan elemen reguler di R tidak memusnahkan unsur tak nol di modul [3] . Dengan demiki- an, suatu modul dikatakan sebagai modul prima jika annihilator
∗ Penulis Korespondensi.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Diterima 5 Juni 2024
Direvisi 25 Juli 2024
Disetujui 28 Juli 2024 Diterbitkan 3 Agustus 2024

## KATA KUNCI
Modul Endoprima
Modul Endoprima Lemah
Submodul Invarian Penuh

## KEYWORDS
Endoprime Modules Weakly Endoprime Modules Fully Invariant Submodule
(pemusnah) dari modul sama dengan annihilator (pemusnah) dari setiap submodulnya [5] .
Pada teori ring, ideal merupakan bagian yang krusial da- ri ring, begitu halnya dengan submodul juga merupakan bagian yang krusial dari modul. Pada teori ring, kita telah mengenal istilah ideal prima. Adapun konsep pada ideal prima tersebut kemudian diaplikasikan ke submodul, sehingga terdapat definisi submodul prima [6] dan submodul prima lemah [7] . Keterkait- an antara submodul prima dan prima lemah dapat dilihat pada [8] . Dengan mempertimbangkan eksistensi submodul prima le- mah dari suatu modul dan annihilator (pemusnah) sebagai ideal prima dari ring, maka Behboodi [9] memperkenalkan suatu je- nis modul yang disebut dengan modul prima lemah. Behboodi [9] mendefinisikan modul prima lemah sebagai suatu modul yang annihilator (pemusnah) di ring dari sebarang submodul tak nolnya merupakan ideal prima.
Pendefinisian modul prima dan prima lemah seperti yang dijelaskan di atas hanya meninjau modul atas ring reguler. Dari sebarang ring reguler bisa dibentuk suatu struktur ring yang baru yaitu ring endomorfisma. Misalkan R suatu ring maka End R ( R ) juga merupakan ring. Kemudian konsep tersebut diperumum un- tuk sebarang modul. Misalkan M adalah modul atas ring R ma- ka S = End R ( M ) juga memenuhi struktur ring dan M juga merupakan modul atas ring S . Sehingga M merupakan bimo- dul atas ring R dan S . Dalam perkembangannya banyak peneliti Email : 199406042024062001@mail.unej.ac.id (D. I. Ainurrofiqoh) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index / E-ISSN : 2656-1344 © 2024 by the Author(s).
yang mengembangkan definisi modul dengan meninjau ring en- domorfismanya seperti modul endoprima [10] , modul endo co- prima [11] , modul endoprima lemah [12] , serta modul Baer dan dualnya [13] .
Berdasarkan definisi, R disebut ring prima jika dan hanya jika setiap ideal di R mempunyai annihilator (pemusnah) nol [14] . Selanjutnya dengan memandang R sebagai modul reguler R R , maka sebarang submodul invarian penuh tak nol dari modul R R merupakan modul faithful atas ring endomorfismanya. Apabila konsep tersebut diperumum ke sebarang modul, diperoleh sua- tu struktur aljabar yang disebut modul endoprima. Haghany dan Vedadi [10] menyatakan bahwa suatu modul disebut modul en- doprima jika untuk setiap submodul invarian penuh (misalkan N submodul dan f ( N ) ⊆ N untuk sebarang f ∈ End R ( M ) yang tidak nol merupakan modul faithful atas ring endomorfisma atau dengan kata lain annihilator (pemusnah) di ring endomorfisma da- ri setiap submodul yang tak nol adalah nol [10] .
Selanjutnya, serupa dengan pengembangan modul prima lemah yang termotivasi dari eksistensi ideal prima dari suatu ring, maka dengan mempertimbangkan eksistensi ideal prima dari ring endomorfisma terbentuk modul endoprima lemah yang dibahas oleh Beyranvand dan Beiranvand [12] . Pendefinisian modul en- doprima lemah analog dengan pendefinisian modul prima lemah. Selain itu, seperti halnya dalam pendefinisian modul endopri- ma, submodul invarian penuh mempunyai peranan penting da- lam pendifinisian modul endoprima lemah. Modul endoprima le- mah didefinisikan sebagai modul yang annihilator (pemusnah) di ring endomorfisma dari sebarang submodul invarian penuh tak nolnya merupakan ideal prima dari ring endomorfisma [12] . Pa- da perkembangannya, muncul istilah submodul endoprima lemah (endoprima) yang didefinisikan secara terpisah dari definisi mo- dul endoprima lemah (endoprima). Sebarang submodul disebut submodul endoprima lemah (endoprima) tidak mengharuskan su- bmodul tersebut dari modul endoprima lemah (endoprima) [15] . Berdasarkan pemaparan di atas, diketahui bahwa modul en- doprima merupakan pengembangan dari modul prima dan modul endoprima lemah merupakan pengembangan dari modul prima lemah. Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Haghany dan Vedadi [10] telah diperoleh hubungan antara modul endoprima dan modul prima. Begitu pula dengan hasil penelitian Beyran- vand dan Beiranvand [12] yang menjelaskan hubungan modul en- doprima lemah dan modul prima lemah. Akan tetapi, belum ada kajian mengenai hubungan modul endoprima lemah dan modul endoprima. Pada paper ini dikaji keterkaitan antara modul en- doprima lemah dan modul endoprima dengan terlebih dahulu mengkaji keterkaitan antara modul prima dan prima lemah. Sela- in itu, dikaji pula karakteristik submodul invarian penuh dari mo- dul endoprima lemah dengan memeriksa apakah submodul inva- rian penuh dari modul endoprima lemah juga merupakan modul endoprima lemah atau bukan.

## 2. Metode
Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi li- eratur dengan melakukan kajian pustaka tentang modul prima, modul prima lemah, modul endoprima dan modul endoprima le- mah. Setelah melakukan kajian pustaka, selanjutnya dikaji ke- terkaitan antara modul endoprima lemah dan modul endoprima dengan terlebih dahulu mengkaji keterkaitan antara modul prima
lemah dan modul prima. Berikut ini disajikan beberapa landasan teori yang digunakan untuk mendukung penelitian ini.

## 2.1. Modul Prima
Definisi 1. [5] Misalkan 0 6 = M adalah modul atas ring R . Maka M disebut modul prima jika ann R ( M ) = ann R ( N ) , untuk sebarang 0 6 = N submodul dari M .
Contoh 1. Z p dengan p bilangan prima sebagai modul atas Z merupakan modul prima karena untuk semua N submodul dari Z p berlaku ann Z ( Z p ) = ann Z ( N ) .
Proposisi 1. [16] Misalkan M modul kanan atas R dan untuk sebarang submodul tak nol N dari M R memenuhi ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) dan S = End R ( M ) . Jika M R modul prima maka S M modul prima.

## 2.2. Modul Prima Lemah
Definisi 2. [9] Misalkan 0 6 = M adalah modul atas ring R . Maka M disebut modul prima lemah jika ann R ( N ) adalah ideal prima dari R , untuk sebarang 0 6 = N submodul dari M .
Contoh 2. Z 6 sebagai modul atas Z 6 merupakan modul pri- ma lemah. Submodul tak nol dari Z 6 sebagai modul atas Z 6 yaitu N 1 = { 0 , 2 , 4 } dan N 2 = { 0 , 3 } dengan ann Z 6 ( N 1 ) = { 0 , 3 } dan ann Z 6 ( N 2 ) = { 0 , 2 , 4 } . Sehingga ann Z 6 ( N 1 ) dan ann Z 6 ( N 2 ) adalah ideal prima dari Z 6 .
Modul prima lemah belum tentu modul prima, seperti di- tunjukkan pada Contoh 2 . Z 6 sebagai modul atas Z 6 merupakan modul prima lemah, tetapi bukan modul prima.

## 2.3. Modul Endoprima
Definisi 3. [10] Misalkan 0 6 = M modul kanan atas ring R dan S = End R ( M ) . Maka M disebut modul endo- prima jika ann S ( N ) = 0 , untuk sebarang 0 6 = N submodul invarian penuh dari M .
Contoh 3. Z sebagai modul atas Z merupakan modul endo- prima. Misalkan S = End Z ( Z ) . Untuk setiap submodul invarian penuh tak nol dari Z yaitu n Z dengan n ∈ Z , maka ann S ( n Z ) = 0 .
Karena modul endoprima merupakan pengembangan da- ri modul prima, maka perlu ditinjau hubungan modul endoprima dan modul prima. Berikut ini proposisi yang menyatakan hubung-
an modul endoprima dan modul prima.
Proposisi 2. [10] Misalkan M adalah modul kanan atas ring R dengan S = End R ( M ) . Maka M R endoprima jika dan hanya jika S M prima.
Bukti. ( ⇒ ) Misalkan M R modul endoprima. Ambil sebarang N submodul tak nol dari S M . Maka N R submodul invarian penuh tak nol dari M R . Karena M R modul endoprima maka ann S ( N R ) = 0 . Perhatikan bahwa ann S ( N ) = ann S ( N R ) . Karena M juga merupakan submodul invarian penuh tak nol dari M R maka ann S ( M ) = 0 . Dengan demikian
0 = ann S ( M ) = ann S ( N R ) = ann S ( N ) .
Jadi, S M modul prima.
( ⇐ ) Misalkan S M prima. Ambil sebarang N submodul invarian penuh tak nol dari M R maka N submodul tak nol dari S M . Ka- rena S M prima maka ann S ( N ) = ann S ( M ) = 0 . Dengan demikian, M R modul endoprima.

## 2.4. Modul Endoprima Lemah
Definisi 4. [12] Misalkan 0 6 = M modul kanan atas ring R . Maka M disebut modul endoprima lemah jika untuk seba- rang 0 6 = N submodul invarian penuh dari M , ann S ( N ) adalah ideal prima dari S = End R ( M ) , maksudnya un- tuk sebarang f, g ∈ S dan f SgN = 0 mengakibatkan f N = 0 atau gN = 0 .
Contoh 4. Z 6 sebagai modul atas Z 6 merupakan modul en- doprima lemah. Misalkan S = End Z 6 ( Z 6 ) . Submodul inva- rian penuh tak nol dari Z 6 yaitu N = h 2 i dan ann S ( N ) = f dengan f ( a ) = 3 a ideal prima di S .
Modul endoprima lemah belum tentu modul endoprima, seperti ditunjukkan pada Contoh 4 . Z 6 sebagai modul atas Z 6 merupakan modul endoprima lemah, tetapi bukan modul endo- prima. Selanjutnya, karena modul endoprima lemah merupakan pengembangan dari modul prima lemah, maka dikaji hubungan modul endoprima lemah dan modul prima lemah. Berikut ini di- sajikan proposisi yang menyatakan hubungan modul endoprima lemah dan modul prima lemah.
Proposisi 3. [12] Misalkan M adalah modul kanan atas ring R dengan S = End R ( M ) .Jika M R endoprima lemah dan retra- ctable, maka M R prima lemah.
Bukti. Andaikan M R bukan prima lemah tetapi M R retractable . Karena M R bukan prima lemah berarti terdapat N submodul tak nol dari M dan I , J ideal dari R sedemikian sehingga N IJ = 0 tetapi N I 6 = 0 dan N J 6 = 0 . Dengan demikian SN I 6 = 0 dan SN J 6 = 0 . Perhatikan bahwa SN I dan SN J submodul tak nol dari M R . Suatu modul dikatakan retractable jika untuk sebarang submodul tak nol N dari M , Hom R ( M, N ) 6 = 0 [17] . Karena
M R retractable maka terdapat 0 6 = f, g ∈ S sedemikian sehingga f M ⊆ SN I dan gM ⊆ SN J . Sehingga kita punyai,
f SgM ⊆ f S ( SN J ) ⊆ f ( SN ) J ⊆ SN IJ = 0 .
Karena M endoprima lemah, maka f M = 0 atau gM = 0 . De- ngan demikian, f = 0 atau g = 0 . Kontradiksi.
Proposisi 4. [12] Misalkan M adalah modul kanan atas ring R dengan S = End R ( M ) . Jika M R endoprima lemah dan R komutatif, maka M R prima lemah.
Bukti. Andaikan M R bukan prima lemah. Berarti terdapat N sub- modul tak nol dari M R dan a, b sebarang unsur di R yang me- menuhi N ab = 0 , tetapi N a 6 = 0 dan N b 6 = 0 . Dengan demi- kian, SN a 6 = 0 dan SN b 6 = 0 . Karena R komutatif, definisikan f, g ∈ End R ( M ) sedemikian sehingga untuk sebarang x ∈ M , f ( x ) = xa dan g ( x ) = xb . Oleh karena itu, untuk sebarang h ∈ S berlaku f hg ( SN ) = f h ( SN b ) ⊆ f ( SN ) b = SN ab = 0 . Ka- rena SN submodul invarian penuh tak nol dari M dan M endo- prima lemah, maka 0 = g ( SN ) = SN b atau 0 = f ( SN ) = SN a . Kontradiksi.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini, disajikan beberapa hasil penelitian yang menyatakan hubungan antara modul endoprima lemah dan mo- dul endoprima. Selain itu, disajikan pula karakteristik submodul invarian penuh dari modul endoprima lemah.

## 3.1. Hubungan Modul Endoprima Lemah dan Modul Endoprima
Karena modul endoprima (endoprima lemah) dikembang- kan dari modul prima (prima lemah), maka terlebih dahulu dikaji hubungan antara modul prima dan modul prima lemah. Berikut ini disajikan keterkaitan modul prima dan prima lemah.
Lemma 1. Misalkan M modul kanan atas ring komutatif R dan ann R ( M ) ideal maksimal di R . Maka M R modul prima jika dan hanya jika M R modul prima lemah.
Bukti. ( ⇒ ) Misalkan M R modul prima dan ann R ( M ) ideal mak- simal di R . Ambil sebarang N submodul tak nol dari M . Ka- rena M R modul prima maka ann R ( M ) = ann R ( N ) . Karena ann R ( M ) ideal maksimal di R maka ann R ( M ) ideal prima di R . Akibatnya, ann R ( N ) juga ideal prima di R . Dengan demiki- an, berdasarkan Definisi 2 , M R modul prima lemah.
( ⇐ ) Misalkan M R adalah modul prima lemah. Ambil sebarang N submodul tak nol dari M . Karena 0 6 = N ⊆ M ma- ka ann R ( M ) ⊆ ann R ( N ) ⊆ R . Karena ann R ( M ) ide- al maksimal di R maka ann R ( N ) = R atau ann R ( M ) = ann R ( N ) . Berdasarkan Definisi 2 , karena M R modul prima le- mah maka ann R ( M ) merupakan ideal maksimal di R , sehingga ann R ( M ) = ann R ( N ) .Dengan demikian, berdasarkan Defini- si 1 , M R modul prima.
Hubungan modul endoprima dan modul prima yang dinya- takan dalam Teorema 1 .
Teorema 1. Misalkan M modul kanan atas ring komutatif R dan untuk sebarang submodul tak nol N dari M R memenuhi ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) maka pernyataan berikut ekui- valen:
i. M R modul endoprima, ii. M R modul prima.
Bukti. (i → ii) Misalkan M R modul prima dan untuk sebarang su- bmodul tak nol N dari M R berlaku ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) . Maka berdasarkan Proposisi 1 , S M modul prima. Karena S M mo- dul prima maka berdasarkan Proposisi 2 , M R modul endoprima. (ii → i) Ambil sebarang N submodul tak nol dari M R . Selanjut- nya ditunjukkan ann R ( N ) = ann R ( M ) . Karena N ⊆ M ma- ka jelas bahwa ann R ( M ) ⊆ ann R ( N ) . Sebaliknya, misalkan r ∈ ann R ( N ) . Karena R komutatif, definisikan f r ( M ) := M r untuk suatu f r ∈ End R ( M ) . Karena N submodul tak nol dari M R maka SN submodul invarian penuh tak nol dari M R . Karena r ∈ ann R ( N ) maka
f r ( SN ) = SN r = 0
Dengan demikian, f r ∈ ann S ( SN ) . Karena M R endoprima ma- ka f r = 0 . Oleh karena itu
0 = f r ( M ) = M r
Dengan demikian, r ∈ ann R ( M ) . Sehingga, ann R ( N ) ⊆ ann R ( M ) . Jadi, ann R ( M ) = ann R ( N ) . Sehingga, berdasarkan Definisi 1 , M R modul prima.
Selanjutnya, dikaji hubungan modul endoprima dan endop- rima lemah. Berikut ini adalah implikasi yang menyatakan hu- bungan modul endoprima dan endoprima lemah.
Lemma 2. Misalkan M modul kanan atas ring R , jika M R modul endoprima maka M R modul endoprima lemah.
Bukti. Misalkan M adalah modul endoprima atas ring R dan S = End R ( M ) . Ambil sebarang submodul invarian penuh tak nol N dari M dan sebarang f, g ∈ S sedemikian sehing- ga f SgN = 0 Dengan demikian, f Sg ∈ ann S ( N ) . Berdasarkan Definisi 3 , karena M R modul endoprima maka ann S ( N ) = 0 se- hingga f Sg = 0 dan S ring prima. Akibatnya f = 0 atau g = 0 . Sehingga f N = 0 atau gN = 0 . Dengan demikian berdasrkan Definisi 4 , M R modul endoprima lemah.
Konvers dari Lemma 2 tidak berlaku karena modul endop- rima lemah belum tentu modul endoprima. Sebagai contoh pe- nyangkal, Z 6 sebagai modul atas Z 6 merupakan modul endopri- ma lemah tetapi bukan modul endoprima.
Teorema 2. Misalkan M adalah modul kanan atas ring komuta- tif R dan ann R ( M ) ideal maksimal di R serta untuk setiap 0 6 = N submodul dari M berlaku ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) , jika M R modul endoprima lemah maka M R modul endoprima.
Bukti. Misalkan M R endoprima lemah dan R komutatif maka ber- dasarkan Proposisi 4 , M R modul prima lemah. Karena M R mo- dul prima lemah dan R komutatif serta ann R ( M ) ideal maksi- mal di R maka berdasarkan Lemma 1 , M R modul prima. Karena M R modul prima dan setiap 0 6 = N submodul dari M berlaku ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) ) maka berdasarkan Teorema 1 , M R modul endoprima.
Selain itu, karena modul endoprima lemah merupakan per- umuman dari modul prima lemah, berikut ini disajikan keterkait- an modul prima lemah dan modul endoprima lemah. Pada Propo- sisi 3 telah diketahui bahwa suatu modul endoprima lemah yang retractable merupakan modul prima lemah. Pada bagian ini, di- sajikan syarat agar modul prima lemah juga merupakan modul endoprima lemah.
Teorema 3. Misalkan M adalah modul kanan atas ring komuta- tif R dan ann R ( M ) ideal maksimal di R serta untuk setiap 0 6 = N submodul dari M berlaku ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) , jika M R modul prima lemah maka M R modul endoprima lemah.
Bukti. Misalkan M R modul prima lemah dan R komutatif serta ann R ( M ) ideal maksimal di R maka berdasarkan Teorema 1 , M R modul prima. Karena M R modul prima dan untuk setiap 0 6 = N berlaku ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) maka M R modul endoprima dan berdasarkan Lemma 2 , setiap modul endoprima merupakan modul endoprima lemah. Jadi, M R modul endoprima lemah.

## 3.2. Submodul Invarian Penuh dari Modul Endoprima Lemah
Pendefinisian modul endoprima lemah ditinjau dari submo- dul invarian penuhnya. Oleh karena itu, pada bagian ini ditinjau sifat-sifat submodul invarian penuh dari modul endoprima lemah.
Lemma 3. [10] Misalkan N submodul invarian penuh tak nol dari M R . Maka pemetaan ψ : End R ( M ) → End R ( N ) yang dibatasi di N adalah homomorfisma ring yang surjektif jika M R quasi injektif.
Bukti. Misalkan N adalah submodul invarian penuh tak nol dari M R dan konstruksi
ψ : End R ( M ) → End R ( N ) ,
f 7→ f | N .
Selanjutnya ditunjukkan bahwa ψ surjektif. Ambil sebarang f | N ∈ End R ( N ) , f | N ( N ) ⊆ N ⊆ M . Dengan demikian, f | N ∈ Hom R ( N, M ) . Karena M R modul quasi injektif maka f | N dapat diperluas ke suatu endomorfisma dari M [18] , sehing- ga terdapat f ∈ End R ( M ) sedemikian sehingga f | N = ψ ( f ) . Jadi, ψ surjektif.
Proposisi 5. [12] Misalkan M R modul endoprima lemah quasi injektif. Maka sebarang submodul invarian penuh tak nol N R merupakan modul endoprima lemah.
Bukti. Misalkan M R modul endoprima lemah quasi injektif dan N R submodul invarian penuh tak nol dari M R . Ambil sebarang K submodul invarian penuh tak nol dari N R . Tulis S = End R ( N ) dan S = End R ( M ) . Misalkan f SgK = 0 untuk suatu f, g ∈ S . Karena M R quasi injektif maka berdasarkan Lemma 3 homomor- fisma ring ψ : ¯ S → S surjektif, sehingga terdapat ¯ f , ¯ g ∈ ¯ S se- demikian sehingga f | N = f dan ¯ g | N = g . Karena K submodul invarian penuh tak nol dari N dan M maka
¯ f ¯ S ¯ gK = ¯ f ¯ SgK = ¯ f SgK = f SgK = 0 .
Karena M R modul endoprima lemah maka ¯ f K = 0 atau ¯ gK = 0 . Dengan demikian, f K = ¯ f | N K = 0 atau gK = ¯ g | N K = 0 . Oleh karena itu, N R endoprima lemah.
Lemma 4. Jika M R endoprima lemah quasi-injektif dan N su- bmodul invarian penuh tak nol dari M R maka S ′ = End R ( N ) ring prima.
Bukti. Misalkan M R endoprima lemah quasi-injektif dan N su- bmodul invarian penuh tak nol dari M R , maka berdasarkan Pro- posisi 5 , N R merupakan modul endoprima lemah. Karena N R adalah modul endoprima lemah maka untuk sebarang submodul invarian penuh tak nol N ′ dari N , ann S ′ ( N ′ ) ideal prima dari S ′ , artinya untuk sebarang f, g ∈ S ′ jika f S ′ gN ′ = 0 maka f N ′ = 0 atau gN ′ = 0 . Pilih N ′ = N , maka f N = 0 atau gN = 0 . Karena M 6 = 0 maka f = 0 atau g = 0 . Dengan demikian, S ′ ring prima.
Akibat 1. Jika M R endoprima lemah quasi-injektif dan N sub- modul invarian penuh tak nol dari M R dan misalkan S ′ = End R ( N ) maka S ′ S ′ modul endoprima lemah.
Bukti. Misalkan M R endoprima lemah quasi-injektif dan N sub- modul invarian penuh tak nol dari M R dan misalkan S ′ = End R ( N ) . Berdasarkan Proposisi 5 , karena M R endoprima le- mah quasi-injektif maka N R modul endoprima lemah. Berdasar- kan Lemma 4 , karena N R modul endoprima lemah maka S ′ = End R ( N ) ring prima. Dengan demikian, jelas bahwa S ′ S ′ mo- dul endoprima. Berdasarkan Lemma 2 , jelas bahwa S ′ S ′ modul endoprima.
Berdasarkan Proposisi 5 , telah terbukti bahwa jika M R mo- dul endoprima lemah quasi injektif dan N submodul invarian pe- nuh tak nol maka N R modul endoprima. Selanjutnya timbul per- tanyaan, jika N submodul invarian penuh tak nol dari M R dan N R modul endoprima lemah, apakah M R juga merupakan mo- dul endoprima lemah atau bukan. Jika M R bukan modul endo- prima lemah, maka ditentukan syarat agar M R menjadi modul endoprima lemah. Hasil penelitian Beyranvand dan Beiranvand [12] menyatakan sebagai berikut.
Proposisi 6. Misalkan M R nonsingular dan semua submodul se- jati dari M R merupakan submodul esensial. Jika untuk setiap 0 6 = N R submodul invarian penuh dari M R merupakan modul
endoprima lemah maka M R modul endoprima lemah.
Bukti. Misalkan N R modul endoprima lemah. Ambil sebarang K submodul invarian penuh tak nol dari M dan f, g ∈ End R ( M ) sedemikian sehingga f SgK = 0 . Karena semua submodul da- ri M R merupakan submodul esensial maka N dan K submodul esensial dari M R sehingga N ∩ K 6 = 0 [18] . Perhatikan bah- wa N ∩ K ⊆ N merupakan submodul invarian penuh dari N R . Karena f SgK = 0 maka f Sg ( N ∩ K ) = 0 sehingga f | N S 0 g | N ( N ∩ K ) = 0 , dengan S 0 = End R ( N ) . Karena N R modul endoprima lemah maka f | N ( N ∩ K ) = 0 atau g | N ( N ∩ K ) = 0 f | N ∩ K ( N ∩ K ) = 0 atau g | N ∩ K ( N ∩ K ) = 0 Dengan demikian f | N ∩ K = 0 atau g | N ∩ K = 0 . Karena N dan K submodul esensial maka N ∩ K juga submodul esensial dari M R [19] . Berdasarkan [10] , karena M R nonsingular dan N ∩ K submodul esensial maka homomorfisma ring ψ : End R ( M ) → End R ( N ∩ K ) injektif. Akibatnya, f = 0 atau g = 0 , sehingga f K = 0 atau gK = 0 . Jadi, M R modul endoprima lemah.
Berdasarkan Proposisi 5 dan Proposisi 6 , diperoleh suatu teorema yang menyatakan syarat perlu dan cukup suatu submo- dul invarian penuh dari modul endoprima lemah juga merupakan modul endoprima lemah.
Teorema 4. Misalkan M R modul quasi injektif nonsingular dan semua submodul sejati dari M R merupakan submodul esensial. Jika N R submodul invarian penuh tak nol dari M R maka pernya- taan berikut ekuivalen
i. M R endoprima lemah, ii. N R endoprima lemah.
Bukti. (i → ii) bersadarkan Proposisi 5 dan (ii → i) berdasarkan Pro- posisi 6 .

## 4. Kesimpulan
Sebarang modul endoprima merupakan modul endoprima lemah, tetapi untuk sebaliknya belum tentu berlaku. Secara umum, modul endoprima lemah belum tentu modul endopri- ma. M R modul endoprima lemah merupakan modul endoprima jika R komutatif dan ann R ( M ) ideal maksimal di R serta un- tuk setiap 0 6 = N submodul dari M berlaku ann R ( M / N ) ⊈ ann R ( M ) . Selain itu, jika M R modul endoprima lemah quasi injektif maka submodul invarian penuh tak nol N R dari modul endoprima lemah M R juga merupakan modul endoprima lemah. Sebaliknya, jika M R nonsingular dan semua submodul sejati dari M R merupakan submodul esensial serta untuk setiap 0 6 = N R submodul invarian penuh dari M R merupakan modul endoprima lemah maka M R modul endoprima lemah.
Ucapan Terima Kasih. Penulis menyampaikan terima kasih kepada Prof. Dr. Irawati, M.S. selaku pembimbing selama penyelesaian studi S2 Ma- tematika ITB yang telah membantu memberikan masukan dan dukungan dalam pelaksanaan penelitian. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada editor dan reviewer atas pembacaan yang cermat, kritik yang
mendalam, dan rekomendasi yang praktis untuk meningkatkan kualitas tulisan ini.
Pembiayaan. Penelitian ini tidak menerima pembiayaan eksternal.
Konflik Kepentingan. Penulis menyatakan tidak ada konflik kepentingan yang terkait dengan artikel ini.

## Referensi
[1] N. A. Loehr, Advanced linear algebra . CRC Press, 2024, doi: 10.1201/9781003484561 .
[2] A. Facchini, ”Basic Concepts on Rings and Modules,” In Semilocal Categories and Modules with Semilocal Endomorphism Rings, Progress in Mathematics , vol 331, Cham: Birkhäuser, 2019, doi: 10.1007/978-3-030-23284-9_2 .
[3] E. H. Feller and E. W. Swokowski, “Prime Modules,” Can. J. Math. , vol. 17, pp. 1041–1052, 1965, doi: 10.4153/cjm-1965-099-5 .
[4] O. A. E. Safi, N. Mahdou, and M. Yousif, “Rings with divisibility on ascending chains of ideals,” Int. Electron. J. Algebr. , vol. 35, no. 35, pp. 82–89, 2024, doi: 10.24330/ieja.1299720 .
[5] J. Dauns, “Prime modules,” J. fur die Reine und Angew. Math. , vol. 1978, no.
298, pp. 156–181, 1978, doi: 10.1515/crll.1978.298.156 .
[6] H. A. Shahad and N. S. Al-Muthafar, “On essential-prime sub-modules,” J. Discret. Math. Sci. Cryptogr. , vol. 24, no. 7, pp. 1973–1977, 2021, doi: 10.1080/09720529.2021.1968572 .
[7] M. Jamali and R. Jahani-Nezhad, “On classical weakly prime submodules,” Facta Univ. Ser. Math. Informatics , pp. 17–30, 2022.
[8] P. N. Afifah and I. Irawati, “Characterization of Weakly Prime Submo-
dule,” J. Fundam. Math. Appl. , vol. 4, no. 2, pp. 180–184, 2021, doi: 10.14710/jfma.v4i2.12189 .
[9] M. Behboodi, “Weakly Prime Modules,” Vietnam J. Math. , vol. 32, no. 2, pp. 185–195, 2004.
[10] A. Haghany and M. R. Vedadi, “Endoprime modules,” Acta Math. Hungarica , vol. 106, no. 1–2, pp. 89–99, 2005, doi: 10.1007/s10474-005-0008-2 .
[11] H. Mostafanasab and A. Y. Darani, “On endo-prime and endo-coprime modules,” arxiv: Mathematics, Rings and Algebras , pp. 1–12, 2015, doi: 10.48550/arXiv.1503.00324 .
[12] R. Beyranvand and P. K. Beiranvand, “Weakly endo-prime modules,” Int. Ma- th. Forum. , vol. 11, no. 4, pp. 155–161, 2016, doi: 10.12988/imf.2016.51185 .
[13] N. Ghaedan and M. R. Vedadi, “Notes on Baer modules and their dual,” Acta Math. Univ. Comenianae , vol. 91, no. 4, pp. 325–334, 2022. [Online]. Available: http://www.iam.fmph.uniba.sk/amuc/ojs/index.php/amuc/article/view/1695 .
[14] A. W. Goldie, “The structure of prime rings under ascending chain condi- tions,” in Proc. London Math. Soc. , vol. 3, no. 4, 1958, pp. 589–608, doi: 10.1112/plms/s3-8.4.589 .
[15] S. A. Hussin and H. K. Mohammadali, “WE-Prime Submodules and WE-Semi- Prime Submodules,” Ibn AL-Haitham Journal For Pure and Applied Sciences , vol. 31, no. 3, pp. 109–117, 2018, doi: 10.30526/31.3.2000 .
[16] R. Wisbauer, Modules and algebras: bimodule structure on group actions and algebras. Harlow: Longman, 1996. [Online]. Available: ht- tps://cir.nii.ac.jp/crid/1130000794101924736.bib?lang=en .
[17] H. A. Jumaa and M. M. Abed, “A new view of retractable modules,” in AIP Conference Proceedings , AIP Publishing, 2023, doi: 10.1063/5.0182111 . [18] T. Y. Lam, Lectures on modules and rings . New York: Springer Science & Busi- ness Media, 2012, doi: 10.1007/978-1-4612-0525-8 .
[19] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules , 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1992, doi: 10.1007/978-1-4684-9913-1 .