## KONTROL OPTIMAL MODEL EPIDEMIK HOST-VECTOR DENGAN SIMULASI MENGGUNAKAN FORWARD-BACKWARD SWEEP METHOD
Dewi Erla Mahmudah 1 , Muhammad Zidny Naf’an 2 1 . STMIK Asia Malang, 2 . Fasilkom Universitas Indonesia e-mail: mdewierla@gmail.com , muhammad.zidny@ui.ac.id

## ABSTRAKSI
Model epidemik host-vector dengan transmisi langsung diperluas dengan tiga pengendalian, yaitu  kontrol  pencegahan  untuk  meminimalkan  kontak  antara host-vektor ,  kontrol  insektisida untuk vector ,  dan  kontrol  pengobatan  pada host yang  terinfeksi.  Tujuannya  adalah  untuk memperoleh  strategi  pencegahan  yang  optimal  dengan  biaya  minimal.  Karakterisasi  kontrol optimal  dilakukan  secara  analitik  dengan  menerapkan  prinsip  Minimum  Pontryagin.  Sistem kontinu yang diperoleh kemudian diselesaikan secara numerik dengan Forward-Backward Sweep Method untuk menyelidiki upaya pengendalian yang efektif dalam meminimalkan kejadian infeksi antara host-vector .
Kata  kunci : Model  epidemik  host-vector,  Transmisi  langsung,  Kontrol  optimal,  Prinsip  Minimum Pontryagin, Forward-Backward Sweep Method.

## ABSTRACT
Vector-host  epidemic  model with  direct  transmission  expanded  by  three  controls  namely prevention to minimize contact between vector-host, insecticides and treatment. The objective is to obtain optimal prevention strategy with the minimum cost. Characterization optimal control done analitically  by  applying  the  Pontryagin  Minimum  Principle.  The  optimality  system  is  then  settled numerically  with  Forward-Backward  Sweep  Method  to  investigate  that  is  effective  in  controlling effort to minimize the occurrence of an infection between hosts and vectors.
Keywords  : Vector-host epidemic model, Direct transmission, Optimal control, Pontryagin Minimum Principle, Forward-Backward Sweep Method.

## PENDAHULUAN
Penyakit  menular  adalah  suatu penyakit  yang  dapat  menular  kepada individu  ( host )  tertentu.  Penyakit  menular pada  umumnya  disebabkan  oleh  suatu  agen ( vector )  biologi  seperti  bakteri,  virus,  jamur, atau  parasit,  dan  bukan  disebabkan  oleh faktor fisik, seperti trauma benturan dan luka bakar,  maupun  faktor  kimia,  seperti keracunan. Penularan penyakit pada manusia melalui vector penyakit  berupa  serangga merupakan  penyakit  yang  bersifat  endemik maupun  epidemik  pada  suatu  daerah tertentu.  Penyakit  tersebut  antara  lain seperti malaria, demam berdarah, chikungunya,  kaki  gajah,  disentri,  dan  lain- lain.
Model  matematika  berperan  penting dalam suatu permasalahan dinamika penularan penyakit. Sebuah model sederhana
berperan  penting  dalam  pengembangan pemahaman  yang  lebih  baik  dalam  studi epidemiologi karena dapat  membantu untuk memahami  pola-pola  epidemiologi  yang diamati  dan  menerapkan  berbagai  strategi pengendalian  penularan  penyakit.  Berbagai macam  strategi  pengendalian  penyakit  telah dilakukan dengan tujuan meminimalkan host yang  terkena  penyakit  maupun  sebagai upaya  pencegahan.  Baru-baru  ini  banyak penulis
yang
menganalisis strategi pengendalian penyakit pada model epidemik host dan vector . Misalnya, Agusto dkk. (2012) yang  menganalisis  strategi  pengendalian penyakit  malaria  dengan  menerapkan kontrol  pada host yang  rentan  berupa pemberian  tirai  pada  tempat  tidur,  kontrol pengobatan  pada host yang  terinfeksi,  dan penyemprotan  pada vector .  Selain  itu, Roddrigues  dkk.  (2012)  telah  melakukan
penelitian  dengan  studi  kasus  penyakit demam berdarah di daerah pulau Cape Verde yang melibatkan kontrol yang diberikan pada vector yaitu kontrol pada larva, kontrol pada vector yang  rentan,  dan  kontrol  mekanik pada  habitat vector .  Ozair  dkk.  (2012)  juga telah  melakukan  penelitian  tentang  model epidemik vector-borne dengan  laju  infeksi nonlinear yang melibatkan kontrol pencegahan  pada host yang  rentan,  kontrol pengobatan  pada host yang  terinfeksi,  dan kontrol  mekanik  pada  habitat vector .  Hasil penelitian  tersebut  menunjukkan  bahwa strategi pengendalian ini secara efektif dapat meminimalkan host yang terinfeksi.
Dalam
memodelkan transmisi penyakit  pada host dan vector ,  banyak penulis  menganggap  bahwa  infeksi  penyakit seperti  malaria  maupun  demam  berdarah ditransmisikan  ke  populasi  manusia  oleh serangga  atau vector .  Salah  satunya  adalah Kong  dkk.  (2011)  yang  membahas  kontrol optimal model epidemik host - vector . Namun, beberapa  studi  kasus  menunjukkan  bahwa transmisi  langsung  seperti  penularan host yang  rentan  oleh host yang  terinfeksi  juga dapat terjadi seperti pada penelitian Cai dan Li  (2010).  Tipe  model SIS diterapkan  dalam model  epidemik  pada host dan vector ini, dimana  populasi host dan vector dibagi menjadi  individu  yang  rentan  dan  individu yang terinfeksi.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  dalam penelitian ini dibahas kontrol optimal model epidemik host - vector dengan  transmisi langsung  sebagai  pengembangan  dari penelitian Cai dan Li (2010). Pengembangan yang  dilakukan  pada  penelitian  ini  adalah dengan menambahkan variabel kontrol pada model epidemik host - vector dengan transmisi langsung.  Variabel-variabel  kontrol  tersebut adalah dan Kontrol
merupakan  pencegahan  kontak  antara subpopulasi vector yang  terinfeksi  dengan subpopulasi host yang  rentan,  misalnya dengan  pemakaian  obat  pada host yang rentan, dan kontrol
merupakan kontrol penyemprotan
pada populasi vector . Penerapan  kontrol  pada  model  bertujuan untuk  meminimalkan host yang  terinfeksi dengan  biaya  yang  minimum.  Kontrol  yang optimal  ditentukan  dengan  menggunakan Hamiltonian.
Kondisi-kondisi
yang diperlukan  untuk  menentukan  kontrol
optimal  diperoleh  dengan  mengaplikasikan Prinsip Minimum Pontryagin.

## KAJIAN TEORI
1. Teori Kontrol Optimal
Untuk memudahkan pemahaman permasalahan  kontrol  optimal,  disajikan permasalahan dasar sebagai berikut. Minimumkan
∫  (             ) dengan kendala
̇       (             ) dengan
dan
[ ] Persamaan merupakan  fungsi objektif dengan ( ) adalah state dan ( ) adalah kontrol.  Vektor state
memodelkan  suatu  keadaan.  Hubungan dan dapat  dilihat  pada  persamaan yang  disebut  persamaan state .  Pada persamaan ditentukan  suatu state awal pada  saat yaitu ,  sedangkan persamaan menyatakan  bahwa
anggota  daerah  kontrol     (Chiang  dan Wainwright, 1927).

## 2. Fungsi Hamilton
Fungsi  Hamilton  dengan  tiga  variabel,
yaitu yang masing-masing merepresentasikan  waktu,  vektor state ,  dan vektor kontrol, didefinisikan sebagai
(                   )    (             )
dengan ( ) adalah costate (Chiang  dan  Wainwright, 1927).
3. Prinsip Minimum Pontryagin
Prinsip Minimum Pontryagin merupakan prinsip penting dalam
menyelesaikan  masalah  kontrol  optimal karena  prinsip  ini  menyatakan  kondisi  yang diperlukan  agar  diperoleh  solusi  yang optimal.  Prinsip  ini  digunakan  untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal yang meminimumkan  fungsi  objektif  persamaan dengan  kendala  persamaan dan
diberikan daerah kontrol persamaan
Prosedur menyelesaikan  masalah
kontrol  optimal  menggunakan  Prinsip Minimum Pontryagin adalah sebagai berikut.
Langkah 1                          : Membentuk fungsi Hamilton ( ) (             ) (             )
Langkah 2                          : Mencari  solusi  fungsi  Pontryagin  yang memenuhi kondisi stasioner
untuk mendapatkan (             ) Langkah 3                         : Mengamati (             ) (             ) Langkah 4                         : Menyelesaikan ̇ (persamaan state ), dan ̇ (persamaan costate )
dengan kondisi transversal
Langkah 5                          : Mensubstitusikan hasil dari Langkah 4 ke untuk  menentukan  kontrol  optimal (Gopal, 1985).
4. Fordward-Backward Sweep Method
Terdapat  beberapa  metode  numerik yang  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan masalah kontrol optimal, salah satunya ialah metode  Sweep  Maju-Mundur.  Secara  garis besar, algoritma metode ini sebagai berikut. Langkah 1: Menentukan  nilai  awal dan  menyimpan nilai . Langkah 2: Menggunakan kondisi  awal
dan
nilai  awal untuk  menyelesaikan  persamaan state
dengan  langkah  maju  metode
Runge-Kutta orde 4.
Langkah 3: Menggunakan
kondisi transversal dan nilai
dan untuk menyelesaikan persamaan costate dengan langkah mundur metode Runge Kutta orde 4. Langkah 4:
Memperbarui  nilai  kontrol dengan memasukkan  nilai dan yang  baru  ke dalam karakteristik dari . Langkah 5: Jika nilai error dari setiap variabel dalam iterasi saat ini dan iterasi sebelumnya sangat kecil  maka  cetak  nilai-nilai  saat  ini  sebagai solusi. Tetapi,  jika nilai errornya tidak sangat kecil  maka  kembali  ke  langkah  2  (Lenhart dan Workman, 2007).
5. Model Epidemik Host-Vektor dengan Transmisi Langsung Model  epidemik host - vector dengan transmisi  langsung  dimodelkan  dengan model  kompartemen  tipe
dimana
( susceptibles )  menunjukkan  individu  yang rentan  dan ( infectious )  menunjukkan individu yang terinfeksi. Populasi host dibagi menjadi  dua  subpopulasi,  yaitu  subpopulasi host yang  rentan dan  subpopulasi host yang  terinfeksi Diasumsikan  total populasi host ,  yang  dinotasikan  sebagai adalah  konstan,  sehingga Begitu  juga  dengan  populasi vector yang  dibagi  menjadi  dua  subpopulasi,  yaitu subpopulasi vector yang  rentan dan
subpopulasi vector yang terinfeksi
Total populasi vector adalah  konstan  dan dinotasikan  sebagai dengan Nilai dan tidak  pernah  bernilai  negatif  karena menyatakan jumlah populasi.
Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah diberikan  pada  batasan  masalah  pada  Bab  I, secara  skematis  penyebaran  penyakit host- vector dengan  transmisi  langsung  dapat digambarkan  dalam  model  kompartemen seperti  pada  Gambar  1  dengan  parameter- parameter pada Tabel 1.
Gambar 1. Model kompartemen epidemik host - vector dengan transmisi langsung Tabel  1. Parameter-parameter  model epidemi host-vector dengan  transmisi langsung
Parameter Keterangan Laju kelahiran dan kematian alami populasi host
Laju kelahiran dan kematian alami populasi vector
Laju infeksi subpopulasi host yang rentan akibat kontak dengan subpopulasi host yang terinfeksi
Laju infeksi subpopulasi host yang rentan akibat kontak dengan subpopulasi vector
yang terinfeksi
Laju infeksi subpopulasi vector
yang rentan akibat kontak dengan subpopulasi host yang terinfeksi
Laju kesembuhan subpopulasi host yang terinfeksi
Model  epidemik host - vector dengan transmisi langsung berupa sistem persamaan diferensial biasa nonlinear sebagai berikut
Untuk  penyederhanaan  penulisan,
fungsi-fungsi terhadap dinyatakan Misal ̂ ̂ ̂ ̂ dan
maka  sistem  persamaan  model host- vector dengan  transmisi  langsung  adalah sebagai berikut.
Dinamika  sistem  persamaan  di  atas dibatasi  pada  daerah yang  didefinisikan sebagai
Cai dan Li, 2010).

## PEMBAHASAN
1. Model  Epidemik Host-Vector dengan Tansmisi Langsung dengan Kontrol Model  epidemik host - vector dengan transmisi langsung diperluas dengan menambahkan  tiga  variabel  kontrol,  yaitu kontrol  pencegahan berupa  pemberian obat  pada host rentan,  kontrol  insektisida berupa  pembasmian  seluruh  populasi vector dengan  laju  sebesar dan  kontrol pengobatan
berupa  pemberian  obat
pada host yang  terinfeksi.  Model  ini  berupa sistem persamaan diferensial biasa nonlinear sebagai berikut.

## 2. Penyelesaian Kontrol Optimal
Penyelesaian  kontrol  optimal  di  sini bertujuan untuk meminimumkan
subpopulasi host yang  terinfeksi  dan  biaya yang  digunakan  untuk  menerapkan  kontrol yaitu  dengan  meminimumkan
fungsi objektif berikut
dengan  kendala  sistem  persamaan dengan adalah bobot yang dikenakan pada host yang  terinfeksi, C adalah  bobot  pada biaya pemakaian obat  pada host yang rentan, D adalah  bobot  pada  biaya  penyemprotan pada  populasi vector ,  dan E adalah  bobot pada  biaya  pemberian  obat  pada host yang terinfeksi,  dengan [ ] Kemudian  akan ditentukan  kontrol  optimal ̅ ̅ dan ̅ sehingga berlaku
dimana
Masalah  kontrol  optimal  diselesaikan dengan  memenuhi  kondisi-kondisi  pada Prinsip  Minimum  Pontryagin.  Terlebih dahulu didefinisikan fungsi Hamilton sebagai berikut
dengan
adalah variabel costate . Menurut Prinsip Minimum Pontryagin, fungsi Hamilton mencapai solusi optimal jika memenuhi kondisi-kondisi berikut.
A. Kondisi Stasioner Kondisi stasioner untuk kontrol
: Karena  didefinisikan solusi ̅ adalah sehingga kontrol optimal ̅ dapat dinyatakan sebagai Kodisi stationer untuk kontrol : Karena  didefinisikan solusi ̅ adalah
sehingga kontrol optimal ̅ dapat dinyatakan sebagai Kodisi stationer untuk kontrol : Karena  didefinisikan solusi ̅ adalah sehingga kontrol optimal ̅ dapat dinyatakan sebagai
B. Persamaan State Persamaan state untuk  model  epidemik host-vector dengan  transmisi  langsung dengan kontrol adalah sebagai berikut,

## dengan kondisi awal
C. Persamaan Costate
Persamaan costate untuk model epidemik host-vector dengan  transmisi  langsung dengan kontrol adalah sebagai berikut,
dengan kondisi transversal
Sistem  optimal  diperoleh  dengan memasukkan  kontrol  optimal ̅ ke  sistem persamaan state dan costate sehingga  diperoleh  sistem yang  optimal sebagai berikut
dengan kondisi batas yaitu
Teorema (Kontrol Optimal)
Diberikan  kontrol  optimal ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ dan  solusi state optimal ̂ ̅̅̅   ̂ ̅̅̅̅   ̂ ̅̅̅ ̂ ̅ yang meminimumkan fungsi objektif sehingga  terdapat  variabel costate ̂ ̂ ̂ ̂ yang memenuhi dengan kondisi transversal Selanjutnya, kontrol optimal ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ dinyatakan sebagai

## 3. Simulasi Numerik
Metode  numerik  yang  digunakan untuk  menyelesaikan  masalah  kontrol optimal  adalah Forward-Backward  Sweep Method dengan mendiskritisasi interval [ ] di titik-titik dengan merupakan  ukuran  langkah  waktu sehingga .  Selanjutnya,  variabel- variabel ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ dinyatakan  dalam  bentuk  titik-titik
yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Variabel state ̂ ̂ ̂
̂ didekati dengan  metode  Runge  Kutta  orde  4  dengan nilai awal
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
dan ̂ ̂ sedangkan variabel costate
̂ ̂ ̂ ̂ juga  didekati  dengan
metode Runge Kutta orde 4 dengan nilai awal
̂
̂ ̂
̂ Algoritma Forward-Backward  Sweep Method dijelaskan  pada  langkah-langkah berikut. Langkah 1: Inisialisasi nilai
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ dalam  bentuk  vektor  0  dengan  banyak elemen dan Mengganti nilai ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Langkah 2: Mengganti nilai ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
dan ̂ ̂ Untuk , hitung ̂ ̂ ̂ ̂
menggunakan  Runge-Kutta  orde  4  dan
memakai
Langkah 3: Mengganti nilai
̂
̂ ̂ ̂ Untuk hitung ̂ ̂ ̂
̂
menggunakan Runge-Kutta orde 4. Langkah 4:
Langkah 5: Menghitung
Untuk memberikan gambaran tentang model epidemik host vector dengan transmisi langsung  dengan kontrol,  dilakukan simulasi numerik dengan metode Runge-Kutta orde 4 yang  diimplementasikan  pada  MATLAB, dengan  nilai  awal ̂ ̂ ̂ dan ̂ dan  nilai  parameter  pada Tabel dengan bobot pada fungsi objektif untuk melihat pengaruh  adanya  kontrol.  Proses  simulasi dilakukan  dengan  waktu  awal (hari) dan waktu akhir (hari).
Tabel 2. Nilai Parameter
Gambar 2. Host yang Rentan
Gambar 3. Host yang Terinfeksi Gambar 4. Vector yang Rentan
Gambar 5. Vector yang Terinfeksi
Pada  Gambar  2  dapat  diketahui  bahwa terjadi  perubahan  yang  sangat  signifikan antara  model  tanpa  variabel  kontrol  dan model  dengan  variabel  kontrol.  Apabila
diperhatikan dari waktu ke waktu grafik host yang  rentan  semakin  naik.  Hal  itu  berkaitan erat  dengan  Gambar  3  yang  menunjukkan bahwa host yang  terinfeksi  mengalami penurunan  pada  hari  ke-17  walaupun sebelumnya  sempat  terjadi  kenaikan  pada hari  ke-5.  Begitu  pula  dengan  subpopulasi vector .  Gambar  5  menunjukkan  adanya kenaikan  pada  vector  yang  terinfeksi  dan terlihat  penurunan  yang  signifikan  pada vector yang  rentan  pada  hari  ke-17  seperti terlihat pada Gambar 4.
Dengan  demikian,  penambahan  variabel kontrol  pada  model  sangat  efektif  dalam meminimalkan terjadinya infeksi antara host- vector .

## PENUTUP
Pada  jurnal  ini  telah  dilakukan pengkajian  tentang  pengaruh  penambahan kontrol  pencegahan  untuk  meminimalkan kontak antara host-vektor , kontrol insektisida untuk vector ,  dan  kontrol  pengobatan  pada host yang  terinfeksi  pada  model  dengan transmisi  langsung.  Kontrol  yang  optimal ditentukan  dengan  menggunakan  Prinsip Minimum  Pontryagin.  Simulasi  numerik model  epidemik host-vector tanpa  kontrol dan  dengan  kontrol  dilakukan  untuk mengkaji  pengaruh  pemberian  kontrol  pada model.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Agusto,  F.B.,  M.  Nizar,  dan  K.O.  Okosun.
2012. Application  of  Optimal Control to the  Epidemiology  of  Malaria. Electronic Journal of
Differential Equations,
81:2012, 1-22
2. Cai,  L.  dan  X.  Li.  2010.  Analysis  of  a Simple  Vector-Host  Epidemic  Model with  Direct  Transmission. Discrete Dynamical  in  Nature  and  Society, 2010:2010, Article ID 679613, doi:10.1155/2010/679613
3. Chiang,  A.C.  dan  K.  Wainwright.  1927.
Fundamental  Methods  of  Mathematical Economics  (Fourth  Edition) .  New  York:
McGraw-Hill/Irwin 4. Gopal,  M.  1985. Modern  Control  System
Theory .  New  Delhi:  Mohinder  Singh
Sejwal for Wiley Eastern Limited
5. Kong,  Q.,  Z.  Qiu,  Z.  Sang,  dan  Y.  Zou. 2011.  Optimal  Control  of  a  Vector-Host Epidemics  Model. Mathematical Control and Related Fields, 4:1, 493-508
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 Waktu (hari) H o s t R e n ta n ( S H ) tanpa kontrol dengan kontrol 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 Waktu (hari) H o s t T e ri n fe k s i (I H ) tanpa kontrol dengan kontrol 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Waktu (hari) V e c to r R e n ta n ( S V ) tanpa kontrol dengan kontrol 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Waktu (hari) V e c to r T e ri n fe k s i (I V ) tanpa kontrol dengan kontrol
6. Lenhart,  S.  dan  J.T.  Workman.  2007.
Numerical  Solutions  of  Optimal  Control Problems .  USA:  Chapman  and  Hall,  CRC Press
7. Ozair, M., A.A. Lashari, I.H. Jung, dan K.O. Okosun.  2012.  Stability  Analysis  and
Optimal  Control  of  a  Vector-Borne Disease  with  Nonlinear  Incidence.
Discrete Dynamics in Nature and Society,
2012:2012, Article
ID 595487, doi:10.1155/2012/595487
8. Rodrigues,  H.S.,  M.T.T.  Monteiro,  dan D.F.M.  Torres.  2012.  Modeling  and
Optimal  Control  Applied  to  a  Vector Borne  Disease. Proceeding  of  the  12th International Conference on Computational and Mathematical
Methods  in  Science  and  Engineering,
CMMSE 2012,
III:2012, 1063-1070
9. Shim,  E.  2004. An  Epidemic  Model  with Immigration of Infectives and Vaccination . MSc. Thesis, The University of British Columbia