## PENENTUAN MOMEN KELEMBAMAN SILINDER PEJAL DENGAN PERCOBAAN BIDANG MIRING
Eko Setyadi K.
Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purworejo Jl. KH. Ahmad Dahlan 6 Purworejo 54111 Telp/Fax. 0275-321494 E-mail: ekosetyadik@gmail.com

## Raden Oktova
Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Ahmad Dahlan Kampus III, Jl. Prof. Dr. Soepomo, Yogyakarta 55164

## INTISARI
Telah  dilakukan  percobaan  untuk  menentukan  momen  kelembaman  silinder  pejal  dengan  percobaan  gerak menggelinding  pada  bidang  miring,  dan  sebagai  sampel  digunakan  tiga  buah  silinder  pejal  yang  terbuat  dari kuningan,  tembaga,  dan  seng.  Analisis  yang  digunakan  adalah  regresi  linear  tanpa  bobot  berdasarkan  metode kuadrat terkecil dengan bantuan  Microsoft Office Excel 2003. Besaran akhir yang diuji adalah  ukuran momen
kelembaman tak berdimensi 2 mR / I K  , yang secara teoretis untuk silinder pejal bernilai ½. Percobaan dan analisis  menggunakan  dua  metode  yang  berbeda:  pada  metode  pertama    diukur  waktu  tempuh  pada  panjang lintasan  ( s )  yang  bervariasi  pada  sudut  kemiringan  (  )  tetap,  sedangkan  pada  metode  kedua    diukur  waktu tempuh  pada  sudut  kemiringan    yang  bervariasi  pada  panjang  lintasan  tetap.  Pada  metode  pertama,  hasil percobaan dengan tiga sudut kemiringan kecil hingga 15 0 memberikan nilai K yang  sesuai dengan nilai teoretis, sedangkan pada sudut 20 0 diperoleh nilai K yang  lebih besar dari nilai teoretis. Pada metode kedua,  ternyata diperoleh nilai K yang sesuai dengan nilai teoretis untuk semua panjang lintasan.
Kata kunci: momen kelembaman, silinder pejal, regresi linier, metode kuadrat terkecil.

## DETERMINATION OF MOMENT OF INERTIA OF A SOLID CYLINDER USING AN INCLINED PLANE EXPERIMENT

## ABSTRACT
An  inclined  plane  experiment  has  been  performed  to  determine  the  moment  of  inertia  of  a  solid  cylinder  by observing the rolling motion.  As samples three  solid cylinders have been used made  of brass, copper and zinc. The  data  were  analyzed  using  linear  regression  analysis  aided  by  Microsoft  Office  Excel.  The  final  physical quantity obtained was a dimensionless measure of moment of inertia 2 / mR I K  , which theoretically should be  equal to ½. Two methods  were used. In the first method, the distance of travel  ( s ) was  varied at a constant inlination  angle  (  ),  while  in  the  second method  the  distance  of  travel  was  fixed  and  the inclination  angle has been varied. In the first method, the experimental data at  three small inclination angles up to  15 0 give values of K which are in agreement with the theoretical value, however at 20 0 the values of K obtained are larger than  the theoretical value. In the second method, all values of K obtained are in agreement with the theoretical value.
Keywords: moment of inertia, solid cylinder, linear regression, least squares method.

## I. PENDAHULUAN
Rotasi  benda  tegar  merupakan  topik  kajian  yang  tetap  menarik  hingga  saat  ini.  Beberapa  kajian mutakhir  telah  dilakukan  oleh  Pintão,  dkk.  (2007)  yang  melakukan  percobaan  rotasi  kerucut  tegak,  Broody (2005)  mengkaji  tentang  momen  kelembaman  pada  bola  tennis,  Tan  (1985)  meneliti  tentang  momen kelembaman pada bola basket, dan Pintão, dkk. (2004) yang mengkaji tentang penentuan momen kelembaman pada  plat  datar.  Selain  itu Takao  (2007) meneliti  tentang  momen  kelembaman  pada  batang  balok,  sedang Tan (1985) meneliti tentang momen kelembaman pada bola basket.
Berkaitan dengan hal tersebut telah dirancang suatu percobaan untuk menentukan momen kelembaman silinder  pejal  dengan  pengamatan  gerak  menggelinding  pada  bidang  miring.  Besaran  akhir  yang  diuji  adalah ukuran momen kelembaman tak berdimensi 2 mR / I K  , yang secara teoretis untuk silinder pejal bernilai ½. Percobaan  dan  analisis  menggunakan  dua  metode  yang  berbeda:  pada  metode  pertama    diukur  waktu  tempuh pada panjang lintasan ( s ) yang bervariasi pada sudut kemiringan (  ) tetap, sedangkan pada metode kedua  diukur waktu  tempuh  pada  sudut  kemiringan    yang  bervariasi  pada  panjang  lintasan  tetap.  Analisis  regresi  linier digunakan  dari  pada  sekedar  perhitungan  langsung K , karena  dengan  regresi  linier  dapat  setidaknya  dicek apakah model mekanika yang diasumsikan memang berlaku, dan perhitungan K menjadi lebih teliti karena akan terbebas dari pengaruh adanya ralat sistematik zero offset . Analisis regresi linier menggunakan MS Excel 2003

## II. LANDASAN TEORI
a. Regresi Linier
Dalam suatu regresi linier antara pasangan variabel ( x , y ), diasumsikan himpunan titik ( x,y ) memenuhi hubungan yang dapat dinyatakan dengan fungsi linier,
(1)
dengan adalah koefisien-koefisien yang dicari. Dalam metode kuadrat terkecil, diasumsikan bahwa peluang P i untuk mendapatkan hasil ukur y i terdistribusi  secara normal  ( Gaussian ),  dan digunakan  parameter kecocokan ( chi-square ) yang didefinisikan sebagai (Bevington dan Robinson, 2003: 98-113)
(2)
dengan adalah  selisih  nilai y eksperimental  ke- i terhadap  nilai  hasil  regresinya ,  dan adalah variansi data y i populasi induk, yang dapat didekati dengan deviasi standard populasi sampel data . Dalam regresi linier berbobot, dapat diuji baik-tidaknya kecocokan ( goodness of fit ) fungsi linier dengan uji . Jika sumber ketidakpastian atau ralat ( error ) pengukuran  besaran y adalah pembacaan alat ukur ( instrumental error ) dan dianggap tidak sama untuk semua titik data, maka regresi liniernya disebut regresi linier berbobot, dengan sebagai faktor bobot. Jika sumber ralat pengukuran  besaran y adalah pembacaan alat ukur dan dianggap sama untuk semua titik data, , maka pers. (2) dapat ditulis
dan  dalam  metode  kuadrat  terkecil  dibuat  agar mencapai  nilai  minimum,  sehingga  untuk  regresi  linier berlaku
(3)
atau
, sehingga didapatkan
x a a y 1 0  
1 0 dan a a
2      N i i i y y 1 2 2 2 , ) ˆ (   y y i ˆ  yˆ 2 i  2 i s 2  2 / 1 i     2 i     N i i y y 1 2 2 2 , ) ˆ ( 1   2  minimum ) ( 1 2 1 0      N i i i x a a y 0 ; 0 1 2 0 2       a a           N i i i N i i N i i y x x a x a 1 1 1 1 2 0
. (4.b)
Terdapat dua persamaan dengan 2 parameter  yang belum diketahui, yaitu dan , dengan penyelesaian , (5.a)
,
(5.b)
dengan ralat 2 2 ˆ ) ( 1 i i y a x x N N s s     , (6.a)
2 2 2 ˆ ) ( 0 i i i y a x x N x s s      , (6.b)
dengan deviasi standard nilai y eksperimental terhadap nilai regresi didefinisikan sebagai
. (7)
Perlu dicatat bahwa dalam pendekatan regresi linier tanpa bobot ini tidak dapat dilakukan uji untuk mengetahui baik-tidaknya kecocokan, karena bernilai tetap.

## b. Gerak silinder menggelinding
Untuk  menghitung  momen  kelembaman  sebuah  benda  tegar  pejal  homogen  berbentuk  silinder  dengan massa m , lebar L dan jejari R yang berotasi terhadap sumbu silinder, pandanglah sebuah elemen massa berupa kulit  sangat  tipis  dengan  jejari r dengan  tebal dr dan  lebar L ,  dan  jika  rapat  massa  bahan  per  satuan  volume adalah seragam sebesar ρ , atau dm = ρ dV , maka dapat ditulis dm = 2 πL ρr dr. Silinder dapat dipandang sebagai suatu  distribusi  kontinyu  banyak  sekali  elemen  massa  kecil dm yang  berjarak r dari  sumbu  rotasi,  sehingga momen kelembaman total dapat diperoleh dengan integral
, 2   dm r I
yang menghasilkan  (Sears,dkk, 2004: 348)
. (8)
      N i i N i i y Na x a 1 1 1 0 0 a 1 a 2 2 0 ) x ( x N y x ) y x ( N a i i i i i i         2 2 2 1 ) x ( x N ) y x ( x y x a i i i i i i i          2 2 1 0      N ) x a a y ( s i i y ˆ 2  2  2 2 1 mR I   B A s m
Andaikan sebuah silinder pejal dilepaskan dari keadaan diam di atas suatu bidang miring, dan silinder menggelinding tanpa selip (Gambar 1) di bawah pengaruh dua gaya, yaitu gaya berat w dan gaya gesekan antara tepi  silinder  dan  bidang  miring, f .  Gerak  menggelinding  silinder  merupakan  gabungan  dari  gerak  rotasi  dan translasi,  dengan  pusat  massa  silinder  melakukan  gerak  translasi  lurus  berubah  beraturan  (GLBB),  sedangkan silinder berotasi pada sumbunya dengan percepatan sudut tetap, maka percepatan translasi pusat massa silinder adalah
, (9)
dengan g adalah percepatan gravitasi bumi. Panjang lintasan s terkait dengan waktu tempuh t ,
. (10)
Jika a dalam pers. (9) dimasukkan ke dalam ruas kanan pers. (10), maka diperoleh
.
atau
.
(11.a)
Untuk  mudahnya  kita  definisikan  suatu  besaran  momen  kelembaman  tak  berdimensi
,  yang secara teoretis untuk silinder pejal adalah sama dengan ½. Dengan demikian pers. (11.a) dapat dituliskan sebagai
. (11.b)
Sebenarnya dari pers. (11.b) terlihat bahwa nilai K dapat saja dihitung langsung dari nilai-nilai s , t , θ dan g , namun harus diingat bahwa perhitungan secara langsung ini mengandung beberapa kelemahan, yaitu tidak dapat  dicek  atau  diuji apakah rumus  teoretis  (9  s.d.  11.b)  dalam model  kita  berlaku,  dan  tidak  dapat  dideteksi serta dihilangkan adanya ralat sistematik dalam panjang lintasan s (juga dalam pengukuran sudut kemiringan θ ) yang boleh jadi mempengaruhi ketelitian perhitungan K . Inilah alasan utama mengapa diperlukan suatu analisis regresi linier. Terdapat dua alternatif untuk melakukan regresi linier, sebagaimana diuraikan berikut ini.
c. Metode Pertama
Jika dilakukan pengamatan silinder pejal menggelinding dan diukur t pada berbagai nilai s dengan θ dibuat tetap, maka pers. (11.b) dapat ditulis ke dalam bentuk persamaan linier (1) dengan 2 , t y s x   , dengan    sin 1 2 1 g K a   , (12)
Dengan demikian K dapat dihitung dengan
1 2 sin 1    g a K , (13)
dengan ralatnya
2 1 mR I sin g a    2 2 1 at s  2 2 1 2 sin t mR I g s          s g mR I t  sin 1 2 2 2         2 mR / I K    s g K t  sin 1 2 2  
s K       2 2 2 2 2 2 1 1   s K s g K s a K g a                            , (14)
dengan ralat untuk a 1 diberikan oleh pers. (6.a).
d. Metode Kedua
Pada metode ini dilakukan variasi  pada s tetap. Pers. (11.b) dapat ditulis
. (15)
Jika θ divariasi dengan panjang lintasan ( s ) tetap, maka pers. (15) merupakan persamaan linier seperti pers. (1) dengan x = , y = t 2 , dan
(16)
sehingga jika dilakukan regresi linier t 2 terhadap , dan diperoleh , maka K dapat dihitung dari
, (17)
dan ralatnya dapat dihitung dengan perambatan ralat
. (18)

## III.  METODE PERCOBAAN
Percobaan dilakukan di SMA Muhammadiyah Gombong, Kabupaten Kebumen, Jawa Tengah. Susunan alat  disajikan  pada  Gambar  2.  Papan  kayu  yang  berbentuk bidang  miring  pada  sikunya  diberi  engsel  sehingga dapat  digerakkan  secara  bebas  dengan  panjang  lintasannya  300  cm,  dibuat  sedemikian  rupa  sehingga  sudut kemiringannya  dapat  divariasi,  dan  pada  bagian  tengahnya  diberi  rel  setinggi  1  cm  agar  silinder  yang menggelinding tidak menyimpang atau membelok saat digelindingkan. Sementara itu agar papan lintasan tidak melengkung  saat  digunakan,  pada  bagian  tengah  dan  atas  dipasang  penyangga.  Tiga  buah  silinder  pejal digunakan sebagai sampel  dengan bahan kuningan, tembaga, dan seng bermassa 97,45 gram dan berjejari 1,40 cm dengan ketebalan untuk silinder kuningan 19,70 mm, tembaga 18,40 mm, dan seng 20,18 mm.
(b)
Gambar 2. (a) Rancangan alat percobaan, (b) silinder kuningan, tembaga, dan seng yang digunakan.
 sin 1 ) 1 ( 2 2 g s K t    sin 1 g s K a ) 1 ( 2 1    sin 1 1 a 1 . 2 1   s g a K       2 2 2 2 2 2 1 1 s g a K s s K s g K s a K s                       
   
Untuk mengukur sudut papan digunakan busur derajat dengan skala 0 0 sampai 90 0 yang dipasang pada papan lintasan bidang miring, dan dapat dikunci dengan memutar baut pengikatnya, dengan skala terkecil 1 cm sehingga untuk ralat sudutnya digunakan ½ skala terkecil, yaitu 0,5 mm. Penggaris atau mistar gulung digunakan untuk  mengukur  panjang  lintasan.  Untuk  mengukur  massa  silinder  pejal  digunakan  neraca  O’Hauss.  Jangka sorong  digunakan  untuk  mengukur  jejari  silinder.  Untuk  mengukur  waktu  tempuh  silinder  menggelinding digunakan stopwatch digital pada sebuah handphone (HP) dengan pembagian skala terkecil 0,001 detik.
Pada  metode  pertama,  waktu  tempuh  diukur  untuk  setiap  sudut  kemiringan  papan  (  )  tetap  dengan panjang lintasan ( s ) yang bervariasi. Panjang lintasan yang digunakan adalah 300 cm, 280 cm, 260 cm, 240 cm, 220 cm, 200 cm, 180 cm, 160 cm, 140 cm, 120 cm, 100 cm, 80 cm, 60 cm, dan 40 cm. Nilai sudut kemiringan yang digunakan dalam seluruh percobaan adalah  = 10 0 dan  = 20 0 . Perlu disampaikan bahwa pada percobaan pendahuluan untuk silinder pejal telah dicoba papan luncur sepanjang 1 meter, namun jarak ini dirasakan terlalu kecil  sehingga  waktu  tempuh  terlalu  kecil  dan  ralat  relatif  pengukuran  waktu  tempuh  menjadi  terlalu  besar. Untuk memperbaiki keadaan ini kemudian digunakan papan lintasan sepanjang 3 meter, dengan panjang lintasan untuk  sudut  tetap  mulai  dari  0,4  meter  hingga  3  meter  dengan  kenaikan  0,20  meter.  Analisis  regresi  linier t 2 terhadap s pada  sudut kemiringan  tetap  berdasarkan pers.  (11.b)  menggunakan  MS Excel  2003,  menghasilkan nilai 0 a dan 1 a , dan ralatnya dihitung dengan pers. (6.a) dan (6.b). Nilai K dan ralatnya dihitung dari pers. (20- 21). Untuk perhitungan ralat K digunakan perkiraan ralat panjang lintasan sebesar setengah skala terkecil, yaitu 0,5 mm.
Pada  metode  kedua,  waktu  tempuh  ( t )  diukur  untuk  setiap  panjang  lintasan  ( s )  tetap  dengan  sudut kemiringan  papan  ( θ )  yang  divariasi.  Panjang  lintasan  yang  digunakan  adalah  300  cm,  200  cm,  dan  100  cm, sedangkan sudut kemiringan yang digunakan dalam seluruh percobaan adalah  = 5 0 s.d  = 25 0 . Nilai K dan ralatnya  dihitung  dari  pers.  (17-18).    Untuk  perhitungan  ralat K digunakan  perkiraan  ralat  sudut  kemiringan sebesar setengah skala terkecil, yaitu 0,5 0 .
Percobaan penentuan gravitasi dilakukan menggunakan bandul matematis dengan analisis regresi linier periode ayunan kuadrat ( T 2 ) terhadap panjang lintasan L , dan diperoleh g =  (9,70  0,06) m/s 2 . Hasil ini sesuai dalam batas-batas ralat percobaan  dengan hasil percobaan  lain di Yogyakarta dengan metode sama sebesar g = (9,76  ± 0,07) m/s 2 oleh Martini dan Oktova (Martini dan Oktova, 2009).

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
a. Metode Pertama
Untuk  masing-masing  nilai  sudut  kemiringan diperoleh  14  pasangan  data ( s, t 2 ),  dan  hasil  analisis regresi  liniernya  disajikan  pada  Tabel  I.  Secara  teoretis,  jika  tidak  ada zero  offset dalam  pengukuran  panjang lintasan, haruslah 0 0  a .  Jika  dilihat hasil  perhitungan 0 0  a pada  Tabel  I,  pada  umumnya  terdapat ralat sistematik  berupa zero  offset ,  baik 0 a positif  maupun  negatif.  Tanda 0 a positif  menunjukkan  bahwa pengukuran panjang lintasan terlalu kecil dari yang seharusnya, dan sebaliknya tanda 0 a negatif menunjukkan bahwa pengukuran panjang lintasan terlalu besar dari yang seharusnya.
Tabel I . Hasil perhitungan dengan seluruh titik data.
No. Silinder  ( 0 ) a 0 (s 2 ) a 1 (s 2 /m) 2 mR I K 
1 Kuningan 5 (0,39  0,26) (3,51  0,14) (0,50  0,06) 10 (- 0,09  0,11) (1,81  0,06) (0,53  0,05) 15 (0,25  0,08) (1,20  0,05) (0,52  0,06) 20 (0,39  0,04) (0,99  0,02) (0,66  0,04) 2 Tembaga 5 (0,30  0,26) (3,56  0,14) (0,52  0,06) 10 (- 0,33  0,05) (1,77  0,04) (0,51  0,03) 15 (0,29  0,08) (1,19  0,04) (0,51  0,05) 20 ( 0,12  0,04) (0,92  0,02) (0,54  0,03) 3 Seng 5 (0,35  0,30) (3,57  0,16) (0,52  0,07) 10 (- 0,45  0,09) (1,76  0,05) (0,50  0,04) 15 (0,01  0,07) (1,19  0,03) (0,51  0,04) 20 (0,02  0,05) (0,98  0,03) (0,64  0,05)
Berdasarkan  nilai 1 a yang  diperoleh,  ternyata  untuk  ketiga  silinder  diperoleh  nilai 2 / mR I K  yang  sesuai dengan  nilai  teoretis  ½    untuk  sudut-sudut  kemiringan  kecil  (5 o ,  10 o ,  15 o ),  namun  tidak  sesuai  dengan  nilai teoretis untuk sudut kemiringan 20 o . Menarik juga bahwa eksimpulan bahwa nilai 1 a untuk sudut kemiringan
(a)
(b)
(c)
Gambar  3. Grafik  kuadrat  waktu  tempuh, t 2 terhadap  panjang lintasan, s beserta hasil  analisis  regresi  linier terhadap semua titik data untuk ketiga silinder: (a) silinder kuningan, (b) silinder tembaga (hanya untuk 10 o dan 20 o ), dan (c) silinder seng.
Momen Kelembaman Silinder Kuningan (5 0 ,10 0 ,15 0 ,20 0 ) 0.40 2.40 4.40 6.40 8.40 10.40 12.40 0.40 0.90 1.40 1.90 2.40 2.90 3.40 Panjang Lintasan (m) W a k tu K u a d ra t (s 2 ) 5 derajat,14 titik data 10 derajat,14 titik data 15 derajat,14 titik data 20 derajat,14 titik data = 5 derajat,14 titik data = 10 derajat,14 titik data = 15 derajat,14 titik data = 20 derajat,14 titik data
Momen Kelembaman Silinder Tembaga (10 0 dan 20 0 ) 0.30 0.80 1.30 1.80 2.30 2.80 3.30 3.80 4.30 4.80 5.30 0.40 0.90 1.40 1.90 2.40 2.90 3.40 Panjang Lintasan ( m ) W a k tu K u a d ra t ( s 2 ) 10 derajat, 14 titik data 20 derajat, 14 titik data = 20 derajat, 14 titik data = 10 derajat, 14 titik data
Momen Kelembaman Silinder Seng (5 0 ,10 0 ,15 0 ,20 0 ) 0.35 2.35 4.35 6.35 8.35 10.35 12.35 14.35 0.34 0.84 1.34 1.84 2.34 2.84 3.34 Panjang Lintasan (m) W a k tu K u a d ra t (s 2 ) 5 derajat,14 titik data 10 derajat,14 titik data 15 derajat,14 titik data 20 derajat,14 titik data = 5 derajat,14 titik data = 10 derajat,14 titik data = 15 derajat,14 titik data
= 20 derajat, 14 titik data
yang sama seharusnya sama dan tidak bergantung pada massa, jejari dan bahan silinder,  hanya berlaku dalam batas-batas ralat untuk sudut-sudut kemiringan kecil (5 o , 10 o , 15 o ) namun tidak sepenuhnya berlaku pada sudut kemiringan 20 o ; pada sudut kemiringan 20 o kesesuaian nilai 1 a hanya terjadi untuk silinder kuningan dan seng namun keduanya memberikan nilai 1 a yang tidak sama dengan 1 a untuk silinder tembaga. Kecenderungan yang sama  persis  terlihat  juga  untuk  nilai K yang  diperoleh  pada  sudut  kemiringan  20 o ;  kesesuaian  nilai K hanya terjadi untuk silinder kuningan dan seng namun keduanya memberikan nilai K yang tidak sama dengan nilai K untuk silinder tembaga.
Pada Gambar 3 disajikan grafik kuadrat tempuh, t 2 terhadap panjang lintasan, s untuk ketiga silinder, dan terlihat bahwa grafik terlihat cukup linier, termasuk untuk silinder tembaga pada sudut kemiringan 5 o dan 15 o yang tidak ditunjukkan dalam gambar.
Untuk  sudut  kemiringan  20 0 dilakukan  pengecekan  apakah  dapat  diperoleh  nilai K yang  lebih  sesuai dengan  nilai  teoretis  jika  dilakukan  penolakan  terhadap  titik  data  yang  sangat  menyimpang  dari  titik  hasil regresi, yaitu data ke-10 sampai dengan data ke-14, dan hasil regresi ulang disajikan dalam Tabel II.  Ternyata setelah  dilakukan  penolakan  terhadap  lima  titik  data  yang  terlalu  menyimpang,  nilai K yang  diperoleh  untuk silinder kuningan, tembaga dan seng berturut-turut adalah  (0,59  0,06), (0,54  0,03) dan (0,55  0,09), yang berarti  untuk  silinder  kuningan  dan  tembaga  lebih  mendekati  nilai  teoretis  daripada  hasil  perhitungan  dengan seluruh titik data, dan  untuk silinder tembaga sesuai dengan nilai teoretis.
Tabel II . Hasil perhitungan dengan penolakan data.
No. Silinder  ( 0 ) a 0 (s 2 ) a 1 (s 2 /m) 2 mR I K 
1 Kuningan 20 (0,44  0,40) (0,95  0,03) (0,59  0,06) 2 Tembaga 20 ( 0,12  0,04) (0,92  0,02) (0,54  0,03) 3 Seng 20 (0,08  0,07) (0,93  0,05) (0,55  0,09)
Selama  percobaan  dijumpai  beberapa  kesulitan.  Salah  satu  kesulitan adalah  dalam  pengukuran  waktu menggunakan stopwatch , reflek tangan atau waktu reaksi saat menekan tombol tidak selalu sama. Kesulitan lain timbul akibat adanya gesekan tambahan antara silinder dengan sisi rel lintasan, meskipun rel lintasan yang dibuat sudah disesuaikan dengan tebal silinder dan diberi kelonggaran sekitar 0,5 cm untuk mengurangi gesekan. Selain itu dalam menentukan titik awal silinder sebelum dilepaskan pada panjang lintasan tertentu terkadang tidak tepat pada  titik  yang  dikehendaki  sehingga  turut  mempengaruhi  waktu  tempuhnya  sehingga  nilai a 0 untuk  ketiga silinder  pada sudut 20 0 tidak nol, dengan kata lain terdapat zero offset . Namun demikian adanya zero offset ini tidak mempengaruhi  hasil perhitungan K karena nilai K hanya bergantung pada a 1 , dan sesungguhnya inilah keunggulan perhitungan dengan analisis regresi linier.

## b. Metode Kedua
Untuk  masing-masing nilai  panjang  lintasan diperoleh  sembilan  pasangan  data ( , t 2 ),  dan hasil analisis regresi liniernya  disajikan  pada  Tabel  III.  Secara  teoretis,  jika tidak ada zero offset dalam  pengukuran panjang  lintasan,  haruslah .  Jika  dilihat  hasil  perhitungan pada  Tabel  III,  pada  umumnya terdapat  ralat  sistematik  berupa zero  offset ,  baik positif  maupun  negatif.  Tanda positif  menunjukkan bahwa  pengukuran  panjang  lintasan  terlalu  kecil  dari  yang  seharusnya,  dan  sebaliknya  tanda negatif menunjukkan bahwa pengukuran panjang lintasan terlalu besar dari yang seharusnya.
Tabel III . Hasil perhitungan dengan panjang lintasan ( s ) tetap.
No. Silinder s ( m) a 0 (s 2 ) a 1 (s 2 ) 1 Kuningan 3,0 (0,28  0,34) (0,94  0,06) (0,52  0,06) 2,0 (- 0,28  0,17) (0,62  0,03) (0,50  0,07) 1,0 (- 0,07  0,15) (0,31  0,02) (0,51  0,04)
 sin 1
0 0  a 0 0  a 0 a 0 a 0 a 2 mR I K 
Tabel III (Lanjutan) . Hasil perhitungan dengan panjang lintasan ( s ) tetap.
No. Silinder s ( m) a 0 (s 2 ) a 1 (s 2 ) 2 Tembaga 3,0 (- 0,21  0,18) (0,95  0,03) (0,54  0,05) 2,0 (- 0,41  0,12) (0,63  0,02) (0,53  0,05) 1,0 (- 0,08  0,17) (0,32  0,03) (0,54  0,04) 3 Seng 3,0 (- 0,42  0,19) (0,93  0,03) (0,51  0,05) 2,0 (- 0,33  0,19) (0,62  0,03) (0,51  0,07) 1,0 (- 0,07  0,03) (0,31  0,02) (0,52  0,04)
Regresi  linier t 2 terhadap  1/sin θ pada  percobaan  bidang  miring  menghasilkan a 1 , a 0 ,  dan K . Berdasarkan nilai a 1 yang diperoleh, ternyata untuk ketiga silinder diperoleh nilai K = I / mR 2 yang dalam batas- batas  ralat  sesuai  dengan  nilai  teoretis  ½,  seperti  ditunjukkan  pada  Tabel  III.  Namun  demikian  untuk  nilai a o masih  terdapat  ralat  sistematik  dalam  pengukuran  panjang  lintasan,  yaitu  silinder  kuningan  untuk  panjang lintasan 2 meter dan 1 meter, sedangkan untuk silinder tembaga dan seng terdapat ralat sistematik untuk semua panjang lintasan. Pada Gambar 4 disajikan grafik kuadrat waktu tempuh t 2 terhadap 1/sin θ untuk ketiga silinder.
(a)
(b)
Gambar 4. Grafik kuadrat waktu tempuh terhadap 1/sin  dan hasil analisis regresi linier terhadap semua titik data untuk panjang lintasan 3 meter, 2 meter, dan 1 meter pada: (a) silinder kuningan, (b) tembaga.
2 mR I K 
Momen Kelembaman Silinder Kuningan dengan ( s ) Tetap 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 1/sin  w a k tu k ua dra t (s 2 ) s = 3 meter s = 2 meter s = 1 meter R kuadrat = 0,9895 R kuadrat = 0,994 R kuadrat = 0,9812 Momen Kelembaman Silinder Tembaga dengan ( s ) Tetap 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 1/sin  w a k tu k u a d ra t (s 2 ) s = 3 meter s = 2 meter s = 1 meter R kuadrat = 0,9971 R kuadrat = 0,9969 R kuadrat = 0,9783

## (c)
Gambar 4 (Lanjutan). (c) Grafik kuadrat waktu tempuh terhadap 1/sin  dan hasil analisis regresi linier terhadap semua titik data untuk panjang lintasan 3 meter, 2 meter, dan 1 meter pada silinder seng.

## c. Kesulitan Percobaan
Selain kesulitan waktu reaksi yang dijumpai pada metode pertama, pada metode kedua penentuan titik awal  gerak  silinder  sebelum  dilepaskan  pada  panjang  lintasan  tertentu  terkadang  tidak  tepat  pada  titik  yang dikehendaki  dan hal  ini  mempengaruhi  waktu  tempuhnya  sehingga nilai a 0 untuk  ketiga  silinder    pada  semua panjang  lintasan  tidak  nol,  kecuali  untuk  silinder  tembaga  pada  panjang  lintasan  3  meter,  dengan  kata  lain terdapat zero  offset .  Namun  demikian adanya zero offset ini  tidak mempengaruhi   hasil  perhitungan K karena nilai K hanya  bergantung  pada a 1 ,  dan  sesungguhnya  inilah  keunggulan  perhitungan  dengan  analisis  regresi linier.
Suatu catatan perlu disampaikan di sini. Dalam kajian ini dilakukan analisis regresi linier tanpa bobot, dengan  deviasi  standard (pers.  7)  diambil  dari  deviasi  data eksperimen  terhadap    nilai  hasil regresi karena  setiap  nilai y i diperoleh  dari  eksperimen  hanya  dari  sekali  pengukuran t .
Kelemahan metode ini adalah tidak dapat dilakukan uji statistik untuk mengetahui baik-tidaknya kecocokan ( goodness  of  fit  test )  fungsi  linier  dengan  data  eksperimen  karena  untuk  itu  harus  dilakukan  regresi  linier berbobot.  Untuk dapat melakukan  uji ,  sehingga  kesimpulan  yang  diperoleh  dapat  lebih  sahih,  disarankan penelitian  lanjutan  dengan eksperimen diperoleh dari  pengamatan  berulang-ulang  yang  memberikan deviasi standard yang berbeda-beda untuk setiap titik data dan dilakukan regresi linier berbobot.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Percobaan  silinder menggelinding  dengan  analisis regresi  linier  tanpa  bobot  terbukti  dapat  digunakan untuk menentukan momen kelembaman. Pada metode pertama, diukur waktu tempuh untuk panjang lintasan ( s ) yang bervariasi pada sudut kemiringan (  ) tetap, dan hasil percobaan dengan tiga sudut kemiringan kecil hingga 15 0 memberikan  nilai  momen  kelembaman  yang    sesuai  dengan  nilai  teoretis,  sedangkan  pada  sudut  20 0 diperoleh  nilai  momen  kelembaman yang    lebih  besar  dari  nilai  teoretis.  Selain  itu  dapat  diperoleh  ralat sistematik  ( zero  offset )  pengukuran  panjang  lintasan.  Pada  metode  kedua    diukur  waktu  tempuh  untuk  sudut kemiringan  yang bervariasi pada panjang lintasan tetap, dan   diperoleh nilai momen kelembaman yang sesuai dengan nilai teoretis untuk semua panjang lintasan.
Untuk  penelitian  lanjutan,  disarankan  agar  rel  lintasan  dibuat  serendah  mungkin  untuk  memperkecil gesekan yang tidak perlu antara silinder dengan rel. Agar sewaktu digunakan bidang miring tidak melengkung ke bawah, perlu dipasang penyangga. Pengamatan waktu tempuh perlu diulangi-ulang agar dapat diperoleh deviasi standard langsung dari eksperimen sehingga dapat dilakukan analisis regresi linier berbobot dan dapat dilakukan
Momen Kelembaman Silinder Seng dengan ( s ) Tetap
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 1/sin  w a k tu k u a d ra t (s 2 ) s = 3 meter s = 2 meter s = 1 meter R kuadrat = 0,9969 R kuadrat = 0,993 R kuadrat = 0,9812
y s ˆ 2 i i t y  ) ( 1 0 i x a a  2  2  2 i i t y  y s ˆ ) , ( i i y x
uji  linearitas  2 .  Selain  itu  sebagai  benda  menggelinding  perlu  digunakan  benda  tegar  dengan  bentuk  lain, misalnya bola, agar kesimpulan yang diperoleh lebih umum.

## DAFTAR  PUSTAKA
Bevington, P.R. dan Robinson, D.K., 2003, “Data reduction and error analysis for the physical sciences,” New York: McGraw-Hill.
Broody,H., 2005, “The moment of inertia of a tennis ball”, The Physics Teacher , 43 , 503-505.
Martini, D., dan Oktova, R., 2009, “Penentuan modulus Young kawat besi dengan percobaan regangan”, Berkala Fisika Indonesia , 2 (1) , 1-14.
Pintão, C.A.F., de Souza Filho, M.P., Usida, W.F. dan  Xavier, J.A., 2007, ”Experimental study of the moment of inertia of a cone—angular variation and inertia ellipsoid “, Eur. J. Phys. 28, 191-200.
Sears,  F.W.,  Zemansky,  M.W.,  Young,H.D.,  Freedman,R.A.,  2004,  “University  physics”  ,  11 th Ed.,  San Francisco : Addison Wisley.
Takao,T., 2007, “The moment of inertia of a ractangular rod”, The Physics Teacher . 45 , 518-519.
Tan, A., 1985, “The moment of inertia of a basketball”, American Journal of Physics , 83 , 811-811.