How to cite: Darmajid,  et  al.  (2024).  Indeks  Wiener  dari  Graf  Identitas  dan  Graf  Pangkat  pada  Grup  Siklis Berhingga. Syntax Literate . (9)7 . http://dx.doi.org/10.36418/syntax-literate.v9i7 E-ISSN: 2548-1398
Syntax Literate: Jurnal Ilmiah Indonesia p–ISSN: 2541-0849
e-ISSN: 2548-1398 Vol. 9, No. 7, Juli 2024

## INDEKS WIENER DARI GRAF IDENTITAS DAN GRAF PANGKAT PADA GRUP SIKLIS BERHINGGA
Darmajid 1* ,  Noor  Hidayat 2 ,  Wildan  Bagus  Wicaksono 3 ,  Ayunda  Faizatul Musyarrofah 4
Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia 1,2,3,4
Email: darmajid@ub.ac.id 1*

## Abstrak
Graf identitas atas suatu grup didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titiknya berupa unsur- unsur  grup  dan  dua  titik  dihubungkan  oleh  sebuah  sisi  jika  hasil  kalinya  merupakan  unsur identitas atau tepat salah satu dari kedua titik merupakan unsur identitas pada grup. Graf pangkat atas suatu grup didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titiknya berupa unsur-unsur grup dan dua titik dihubungkan oleh sebuah sisi jika satu titik dapat dituliskan sebagai perpangkatan dari titik  lainnya.  Pada  penelitian  ini  dikaji  formulasi  indeks  Wiener  dari  graf  identitas  dan  graf pangkat pada grup siklik berhingga. Hasil formulasi indeks Wiener dari graf identitas terbagi atas grup siklis orde 1, orde ganjil lebih dari 1 dan orde genap sedangkan dari graf pangkat difokuskan pada grup siklis berode perpangkatan bilangan prima dan perkalian dua prima berbeda.
Kata Kunci : Indeks Wiener, Graf identitas, Graf pangkat.

## Abstract
An  identity  graph  for  a  group  is  defined  as  a  graph  with  a  set  of  points  consisting  of  group elements and two points connected by an edge if the product is an identity element or exactly one of the two points is an identity element in the group. A power graph of a group is defined as a graph with a set of points consisting of elements of the group and two points connected by an edge if one point can be written as a power of another point. In this research, we examine the formulation of the Wiener index for identity graphs and power graphs in finite cyclic groups. The results of the Wiener index formulation from identity graphs are divided into cyclical groups of order 1, odd order more than 1 and even order, while the power graph focuses on cyclic groups with the exponent of prime numbers and the product of two different primes.
Keywords : Wiener index, identity graph, power graph.

## Pendahuluan
Teori graf merupakan cabang ilmu matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18 (Biggs et al., 1986). Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan, konstruksi graf tidak lagi terbatas pada analisis graf secara umum, tetapi juga dapat dibentuk dari struktur aljabar seperti grup. Salah satu jenis graf yang dibentuk dari struktur grup adalah graf identitas. Graf identitas pertama kali diperkenalkan pada tahun 2009 oleh Kandasamy dan Smarandache, yang didefinisikan sebagai graf dengan himpunan  titiknya  berupa  elemen-elemen  grup,  di  mana  dua  titik  dihubungkan  oleh sebuah  sisi  jika  hasil  kalinya  merupakan  unsur  identitas  atau  tepat  salah  satunya merupakan  unsur  identitas  (Kandasamy  &  Smarandache,  2009).  Pada  tahun  2020, Jeeshma melanjutkan penelitian terkait graf identitas dengan fokus pada pewarnaan titik dan  sisi  dari  graf  tersebut  (Jeeshma,  2020).  Pada  tahun  2022,  Alib  dan  Magpantay meneliti  jarak,  eksentrisitas,  radius,  diameter,  dan  center  dari  graf  identitas  pada  grup siklik berhingga (Alib & Magpantay, 2022). Di sisi lain, terdapat graf pangkat yang juga
dibentuk dari struktur grup. Graf ini pertama kali diperkenalkan oleh Chakrabarty dkk. pada  tahun  2009,  yang  didefinisikan  sebagai  graf  dengan  himpunan  titiknya  berupa elemen-elemen semigrup, di mana dua titik dihubungkan oleh sebuah sisi jika satu titik dapat  dituliskan  sebagai  perpangkatan  dari  titik  lainnya  (Chakrabarty  et  al.,  2009). Selanjutnya,  Cameron  dan  Ghosh  melanjutkan  penelitian  mengenai  graf  pangkat  pada grup  berhingga  (Cameron  &  Ghosh,  2011).  Pada  tahun  2017,  Chattopadhyay  dan Panigrahi memperkenalkan graf pangkat 𝑘 pada semigrup (Chattopadhyay & Panigrahi, 2017), dan kemudian pada tahun 2023, Swathi dan Sunitha mengembangkan konsep graf pangkat 𝑘 pada grup berhingga (Swathi & Sunitha, 2023). Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf sederhana dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸. Jarak dua titik 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek yang menghubungkan 𝑢 dan 𝑣 dan dinotasikan sebagai 𝑑(𝑢, 𝑣). Jumlahan dari jarak di antara  semua  pasangan  titik  disebut  sebagai  indeks  Wiener  dan  dinotasikan  dengan 𝑊(𝐺). Indeks  Wiener  adalah  indeks  topologi  yang  pertama  kali  diperkenalkan  oleh seorang  ahli  kimia  bernama  Harold  Wiener  pada  tahun  1947  untuk  memprediksi  titik didih  dari  struktur  molekul  parafin  (Wiener,  1947).  Indeks  Wiener  dapat merepresentasikan  sifat  fisikokimia  suatu  ikatan  molekul  karbon.  Jika  indeks  Wiener semakin  kecil,  maka  kekompakan  molekulnya  meningkat,  sehingga  titik  didihnya menurun, dan berlaku sebaliknya (Hayat et al., 2018). Hasil penerapan Indeks Wiener dalam bidang kimia disajikan oleh Gutman pada tahun (1993) dan Nikolic pada tahun 1995 (1995).
Dalam bidang matematika, perhitungan indeks Wiener dari suatu graf mengalami perkembangan  pesat  seperti  yang  telah  dilakukan  oleh  Polansky  dan  Bounchev  pada tahun  (1986).  Beberapa  peneliti  juga  merumuskan  perhitungan  indeks  Wiener  pada beberapa  tipe  graf  khusus  seperti  graf  pohon  (Dobrynin  et  al.,  2001;  Entringer  et  al., 1976), graf nonbipartit (Chen et al., 2014), graf Euler (Gutman et al., 2014), serta graf bintang dan graf garis (Knor & Skrekovski, 2014). Selain itu, berkembang juga penelitian terkait  indeks  Wiener  dari  graf  yang  dibentuk  dari  struktur  ring,  seperti  Ahmadi  dan Jahani-Nezhad pada tahun 2011 meneliti indeks Wiener dari graf pembagi nol atas ring (Ahmadi & Jahani-Nezhad, 2011). Kemudian Singh dan Bath pada tahun 2021 meneliti indeks Wiener dari graf pembagi nol atas ring bilangan bulat modulo n (Singh & Bhat, 2021). Pada tahun 2022 Selvakumar dkk. meneliti indeks Wiener dari graf pembagi nol atas  ring  komutatif  berhingga  (Selvakumar  et  al.,  2022).  Melihat  perkembangan penelitian  dari  indeks  Wiener  yang  masih  terbuka  luas,  secara  spesifik  belum  dibahas indeks Wiener yang dibangun oleh struktur grup seperti graf identitas dan graf pangkat. Oleh karena itu, dalam paper ini akan dikaji indeks Wiener dari graf identitas dan graf pangkat pada grup siklik berhingga.
Kajian teori graf ini dibatasi hanya pada graf sederhana yang merupakan suatu graf tak berarah yang tidak mempunyai loop dan sisi ganda.
Grup Siklik (Gallian, 2021) Misalkan 𝐺 suatu grup dan 𝑎 ∈ 𝐺. Didefinisikan himpunan yang dibangun oleh 𝑎 sebagai
〈𝑎〉 = {𝑎 3 |𝑛 ∈ ℤ}. Grup 𝐺 disebut grup siklik jika terdapat 𝑎 ∈ 𝐺. sedemikian sehingga 𝐺 = 〈𝑎〉 .
Teorema  2.2. (Gallian,  2021)  Misalkan 𝐺 grup,  dan 𝑎 ∈ 𝐺 .  Jika 𝑎 memiliki  order berhingga 𝑛 maka 〈𝑎〉 = {𝑒, 𝑎, 𝑎 9 , … , 𝑎 3;< } dan 𝑎 = = 𝑎 > jika dan hanya jika 𝑛 membagi habis 𝑖 − 𝑗 .
Darmajid, Noor Hidayat, Wildan Bagus Wicaksono, Ayunda Faizatul Musyarrofah
Misalkan Γ = (𝑉, 𝐸) adalah graf sederhana dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 . Jarak dua titik di 𝑢 dan 𝑤 di 𝐺 , dinotasikan 𝑑(𝑢, 𝑤) didefinisikan sebagai panjang lintasan  terpendek  yang  menghubungkan 𝑢 dan 𝑣 .  Jika  titik 𝑢 dan 𝑣 berada  pada komponen berbeda pada Γ maka jaraknya tidak dapat ditentukan.
Graf Identitas (Gallian, 2021) Graf identitas dari grup 𝐺 adalah graf sederhana yang himpunan titiknya berupa elemen-elemen pada 𝐺 dan dua titik 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 bertetangga jika dan hanya jika 𝑥𝑦  =  𝑒, di mana 𝑒 elemen identitas pada 𝐺.
Graf  Pangkat (Chakrabarty  et  al.,  2009)  Graf  pangkat  dari  grup 𝐺 yang  dinotasikan dengan 𝑃(𝐺) adalah graf sederhana yang himpunan titiknya berupa elemen-elemen pada 𝐺 dan dua titik 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 bertetangga jika dan hanya jika 𝑎 ≠ 𝑏 dan 𝑎 J = 𝑏 atau 𝑏 J = 𝑎 untuk suatu bilangan asli 𝑚.
Matriks  Jarak (Chartrand  et  al.,  2016) Misalkan Γ suatu  graf  dengan  himpunan  titik {𝑣 < , 𝑣 9 , … , 𝑣 3 }. Matriks jarak dari graf Γ , dinotasikan 𝐷 ( Γ ), merupakan matriks 𝐷(Γ) = M𝑑 => N = 𝑛 × 𝑛 dimana 𝑑 => = 𝑑(𝑣 = , 𝑣 > ) dan 𝑑 == = 0 .
Indeks  Wiener (Asir  et  al.,  2022)  Misalkan Γ suatu  graf  dengan  matriks  jarak 𝐷(Γ) . Indeks Wiener dari Γ , dinotasikan 𝑊(Γ) , didefinisikan sebagai
𝑊(Γ) = 1 2 S S 𝑑 => 3 >T< 3 =T< .

## Metode Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  adalah  studi  literatur  untuk  menemukan formulasi  indeks  Wiener  pada  graf  bentukan  dari  struktur  aljabar  grup  siklik.  Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut.
1) Menghitung  indeks  Wiener  dari  graf  identitas  pada  grup  siklik  berode  1,  2,  3 kemudian dikembangkan hingga orde 𝑛 .
2) Merumuskan  indeks  Wiener  dari  graf  identitas  pada  grup  siklik  berode 𝑛 dan membuktikan kebenaran rumus tersebut.
3) Menghitung  indeks  Wiener  dari  graf  pangkat  pada  grup  siklik  berode  1,  2,  3 kemudian  dikembangkan  hingga  orde  bilangan  asli  yang  merupakan  hasil perpangkatan bilangan prima maupun perkalian dua bilangan prima berbeda.
4) Merumuskan indeks Wiener dari graf identitas pada grup siklik berode 𝑛 dimana 𝑛 merupakan perpangkatan bilangan prima atau perkalian dua bilangan prima berbeda dan membuktikan kebenaran rumus tersebut.

## Hasil dan Pembahasan
Berikut hasil yang diperoleh terkait formulasi Indeks Wiener dari Graf Identitas dan Graf Pangkat.
Teorema 3.1. Misalkan 𝐺 adalah grup siklis berorde 𝑛 ∈ ℕ dan Γ V adalah graf identitas atas 𝐺 . Indeks Wiener dari Γ V adalah
𝑊(Γ V ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 jika 𝑛 = 1,
4 ` 𝑛 2 a 9 − ` 𝑛 2 a          jika 𝑛 ganjil dan 𝑛 > 1,
4 g 𝑛 2 h 9 − 5𝑛 2 + 2 jika 𝑛 genap.
Bukti. Jika 𝑛 = 1 maka 𝐺 = {𝑒} sehingga 𝐷(Γ V ) merupakan matriks nol yang memaksa 𝑊(Γ V ) = 0 . Selanjutnya diasumsikan bahwa 𝑛 > 1 . Karena 𝐺 siklis maka terdapat 𝑎 ∈ 𝐺 sehingga 𝐺 = 〈𝑎〉 . Tinjau kasus 𝑛 = 2𝑚 + 1 dimana 𝑚 = ` 3 9 a. Untuk setiap 𝑎 = ∈ 𝐺 , terdapat tepat satu 𝑎 > ∈ 𝐺 yang memenuhi 𝑎 = 𝑎 > = 𝑒 = 𝑎 > 𝑎 = yakni 𝑎 > = 𝑎 9Jm<;= . Karena 𝑖 ≠ 2𝑚 + 1 − 𝑖 maka 𝑎 = ≠ 𝑎 9Jm<;= . Ini berarti, 𝑎 = hanya bertetangga dengan 𝑒 dan 𝑎 9Jm<;= serta 𝑎 9Jm<;= hanya bertetangga dengan 𝑎 = dan 𝑒 . Hal ini menunjukkan bahwa 𝑑n𝑎 = , 𝑎 9Jm<;= o = 𝑑n𝑎 = , 𝑒o = 𝑑n𝑎 9Jm<;= , 𝑒o = 1 sedangkan untuk setiap 𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛 − 1} − {0, 𝑖, 2𝑚 + 1 − 𝑖} berlaku 𝑑n𝑎 = , 𝑎 p o = 2 dan 𝑑n𝑎 = , 𝑎 = o = 0 . Diperoleh,
S 𝑑n𝑒, 𝑎 > o 9J >Tq = 𝑑(𝑒, 𝑒) + S 𝑑n𝑒, 𝑎 > o 9J >Tq = 0 + 2𝑚 = 2𝑚. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 , berlaku
S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 9J >Tq = 𝑑n𝑎 = , 𝑒o + 𝑑n𝑎 = , 𝑎 = o + 𝑑n𝑎 = , 𝑎 9Jm<;= o + S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o >∈{q,<,…,3;<} >∉{=,9Jm<;=} = 1 + 0 + 1 + S 2 >∈{q,<,…,3;<} >∉{=,9Jm<;=}
= 4𝑚 − 2.
Akibatnya, indeks Wiener dari graf identitas Γ V adalah
𝑊(Γ t ) = 1 2 S S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 9Jm< >Tq 9Jm< =Tq = 2𝑚 + (4𝑚 − 2)(2𝑚) 2 = 4𝑚 9 − 𝑚.
Selanjutnya, ditinjau kasus 𝑛 = 2𝑚 . Karena (𝑎 J ) ;< = 𝑎 J dan n𝑎 = o ;< = 𝑎 9J;= ≠ 𝑎 = untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑚 maka 𝑎 = bertetangga dengan 𝑒 dan 𝑎 9J;= serta 𝑎 9J;= bertetangga dengan e dan 𝑎 = . Lebih lanjut, 𝑎 J hanya bertetangga dengan 𝑒 . Diperoleh,
S 𝑑n𝑒, 𝑎 > o 9J;< >Tq = 𝑑(𝑒, 𝑒) + S 𝑑n𝑒, 𝑎 > o 9J;< >Tq = 0 + S 1 9J;< >Tq = 2𝑚 − 1 dan
S 𝑑n𝑎 J , 𝑎 > o 9J;< >Tq = 𝑑(𝑎 J , 𝑒) + 𝑑(𝑎 J , 𝑎 J ) + S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o >∈{q,<,…,9J;<} >uJ = 1 + 0 + S 2 >∈{q,<,…,3;<} >uJ
= 4𝑚 − 3.
Darmajid, Noor Hidayat, Wildan Bagus Wicaksono, Ayunda Faizatul Musyarrofah
Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 − 1 dengan 𝑖 ≠ 𝑚 berlaku
S 𝑑n𝑎 = , 𝑎
> o 9J;< >Tq = 𝑑n𝑎 = , 𝑒o + 𝑑n𝑎
= , 𝑎 9J;= o + 𝑑n𝑎 = , 𝑎 = o + S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 9J;= o
>∈{q,<,…,9J;<} >uJ
= 1 + 1 + 0 + S 2 >∈{q,<,…,3;<}
>uJ
= 4𝑚 − 4.
Akibatnya, indeks Wiener dari graf identitas Γ V adalah
𝑊(Γ t ) = 1 2 S S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 9J >Tq 9J =Tq = (2𝑚 − 1) + (4𝑚 − 3) + (2𝑚 − 2)(4𝑚 − 4) 2
= 4𝑚 9 − 5𝑚 + 2.
Selanjutnya akan dihitung indeks Wiener dari graf pangkat atas grup siklis dengan orde tertentu. Misalkan 𝐺 siklis dengan orde 𝑛 . Ini berarti, terdapat 𝑎 ∈ 𝐺 sehingga 𝐺 = 〈𝑎〉 = {𝑒, 𝑎, 𝑎 9 , … , 𝑎 3;< } . Jika 𝑛 = 1 maka jelas bahwa indeks Wiener dari graf pangkat Γ V atas grup 𝐺 adalah 𝑊(Γ V ) = 0.
Teorema 3.2. Misalkan 𝐺 adalah grup siklis berorde 𝑛 ∈ ℕ dan Γ V adalah graf pangkat atas 𝐺 . Jika 𝑛 = 𝑝 J untuk suatu bilangan prima 𝑝 dan bilangan asli 𝑚 maka Indeks Wiener dari Γ V adalah 𝑊(Γ V ) = (x y ;<)x y 9 .
Bukti. Misalkan 𝑎 = ∈ 𝐺 . Perhatikan bahwa deg(𝑎 = ) ≤ 𝑛 − 1 . Karena Γ V graf sederhana maka deg(𝑎 = ) = 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝑎 = bertetangga dengan setiap anggota lain di Γ V . Jika gcd(𝑖, 𝑛) = 1 maka 〈𝑎 = 〉 = 〈𝑎〉 = 𝐺 sehingga 𝑎 = bertetangga dengan setiap anggota lain di 𝐺 . Ditinjau kasus 𝑝|𝑖 . Perhatikan bahwa 𝑎 = bertetangga dengan 𝑎 > untuk setiap bilangan asli 𝑗 yang memenuhi gcd(𝑗, 𝑛) = 1 . Bilangan asli 𝑗 yang memenuhi kondisi tersebut ada sebanyak 𝜑(𝑛) = 𝑝 J − 𝑝 J;< . Karena 𝑝|𝑖 maka haruslah 𝑎 = bertetangga dengan setiap anggota pada 〈𝑎 x 〉 − 〈𝑎 = 〉 yang memiliki sebanyaka 3 x − 1 anggota.
Karena 𝜑(𝑛) + 3 x − 1 = 𝑝 J − 1 maka 𝑎 = bertetangga dengan setiap anggota lain di Γ V . Akibatnya, disimpulkan bahwa setiap titik di Γ V saling bertetangga satu sama lain sehingga 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o = 1 untuk setiap 0 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 dan ∑ 𝑑(𝑎 = , 𝑎 > ) 3;< >Tq = 𝑛 − 1 . Jadi, indeks Wiener dari graf pangkat Γ V adalah
𝑊(Γ t ) = 1 2 S S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 3;< >Tq 3;< =Tq = 1 2 S(𝑛 − 1) 3;< =Tq = (𝑛 − 1)𝑛 𝟐 = (𝑝 J − 1)𝑝 J 𝟐 .
Teorema 3.3. Misalkan 𝐺 adalah grup siklis berorde 𝑛 ∈ ℕ dan Γ V adalah graf pangkat atas 𝐺 . Jika 𝑛 = 𝑝𝑞 dimana 𝑝 dan 𝑞 adalah dua bilangan prima berbeda maka Indeks Wiener dari Γ V adalah 𝑊(Γ V ) = x€(x€m<);9(xm€)m9
9
.
Bukti.
Misalkan 𝑎 = ∈ 𝐺 . Untuk 𝑖 = 0 maka 𝐴 = ∑ 𝑑(𝑎 = , 𝑎 > ) 3;< >Tq = 𝑛 − 1 = 𝑝𝑞 − 1 . Diasumsikan bahwa 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 . Jika gcd(𝑖, 𝑛) = 1 maka 𝑎 = bertetangga dengan
setiap anggota di 𝐺 − ‚𝑎 = ƒ sehingga berakibat ∑ 𝑑(𝑎 = , 𝑎 > ) 3;< >Tq = 𝑛 − 1 = 𝑝𝑞 − 1. Nilai yang demikian ada sebanyak 𝜑(𝑛) = (𝑝 − 1)(𝑞 − 1) = 𝑝𝑞 − 𝑝 − 𝑞 + 1 sehingga didapat
𝐵 = S S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 3;< >Tq =∈{<,9,…,3;<} …†‡(=,3)T< = S (𝑛 − 1) =∈{<,9,…,3;<} …†‡(=,3)T< = 𝜑(𝑛) ⋅ (𝑛 − 1)
= (𝑝𝑞 − 1)(𝑝𝑞 − 𝑝 + 𝑞 + 1).
Jika 𝑝|𝑖 maka 𝑞 ∤ 𝑖 . Tinjau 𝑎 = yang bertetangga dengan 𝑎 > untuk setiap bilangan asli 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 yang memenuhi gcd(𝑗, 𝑛) = 1 , yakni sebanyak 𝜑(𝑛) . Karena 𝑝|𝑖 dan 𝑞 ∤ 𝑖 maka gcd(𝑖, 𝑛) = 𝑝 sehingga 〈𝑎 = 〉 = 〈𝑎 x 〉 . Ini berarti, 𝑎 = bertetangga dengan setiap anggota dari 〈𝑎 x 〉 − 〈𝑎 = 〉 , yaitu sebanyak 3 x − 1 = 𝑞 − 1. Karena 〈𝑎 x 〉 ∩ 〈𝑎 € 〉 = 〈𝑎 x€ 〉 = {𝑒} maka 𝑎 = tidak bertetangga dengan setiap anggota 〈𝑎 € 〉 − {𝑒} , yakni sebanyaka 3 € − 1 = 𝑝 − 1. Diperoleh,
S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 3;< >Tq = 1 ⋅ (𝜑(𝑛) + 𝑞 − 1) + 2(𝑝 − 1) = 𝑝𝑞 − 𝑝 + 2𝑝 − 2 = 𝑝𝑞 + 𝑝 − 2.
Banyaknya nilai 𝑖 ∈ {1,2, , … , 𝑛 − 1} yang memenuhi 𝑝|𝑖 adalah 3 x − 1 = 𝑞 − 1 sehingga
𝐶 = S S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 3;< >Tq =∈{<,9,…,3;<} x|= = S (𝑝𝑞 + 𝑝 − 2) =∈{<,9,…,3;<}
x|= = (𝑞 − 1)(𝑝𝑞 + 𝑝 − 2).
Secara analog, dengan kondisi 𝑞|𝑖 dan 𝑝 ∤ 𝑖 akan didapat
𝐷 = S S 𝑑n𝑎 = , 𝑎 > o 3;< >Tq =∈{<,9,…,3;<} €|= = S (𝑝𝑞 + 𝑞 − 2) =∈{<,9,…,3;<}
€|= = (𝑝 − 1)(𝑝𝑞 + 𝑝 − 2).
Jadi, indeks Wiener dari graf pangkat Γ V adalah
𝑊(Γ V ) = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 2 = 𝑝𝑞 − 1 + (𝑝𝑞 − 1)(𝑝𝑞 − 𝑝 − 𝑞 + 1) + (𝑞 − 1)(𝑝𝑞 + 𝑝 − 2) + (𝑝 − 1)(𝑝𝑞 + 𝑝 − 2)
2 = 𝑝𝑞(𝑝𝑞 + 1) − 2(𝑝 + 𝑞) + 2 2 .

## Kesimpulan
Indeks Wiener dari graf identitas pada grup siklis 𝐺 berode 𝑛 adalah
𝑊(Γ V ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 jika 𝑛 = 1,
4 ` 𝑛 2 a 9 − ` 𝑛 2 a          jika 𝑛 ganjil dan 𝑛 > 1,
4 g 𝑛 2 h 9 − 5𝑛 2 + 2 jika 𝑛 genap.
Di pihak lain, Indeks Wiener dari graf pangkat pada grup siklis 𝐺 berode 𝑛 = 𝑝 J dan berode Γ V adalah 𝑛 = 𝑝𝑞 masing-masing adalah
𝑊(Γ V ) = (𝑝 J − 1)𝑝 J 2 dan   𝑊(Γ V ) = 𝑝𝑞(𝑝𝑞 + 1) − 2(𝑝 + 𝑞) + 2
2

## BIBLIOGRAFI
Ahmadi, M. R., & Jahani-Nezhad, R. (2011). Energy and Wiener index of zero-divisor graphs. Iranian  Journal  of  Mathematical  Chemistry , 2 (1  (Special  Issue  on  the Occasion of Mircea V. Diudea's Sixtieth Birthday)), 45–51.
Alib, C., & Magpantay, D. M. (2022). Some Parameters of the Central Graphs of the Identity  Graphs  of  Finite  Cyclic  Groups. European  Journal  of  Pure  and  Applied Mathematics , 15 (3), 1098–1112.
Asir, T., Rabikka, V., Anto, A. M., & Shunmugapriya, N. (2022). Wiener index of graphs over rings: a survey. AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics , 19 (3), 316–324.
Biggs,  N.,  Lloyd,  E.  K.,  &  Wilson,  R.  J.  (1986). Graph  Theory,  1736-1936 .  Oxford University Press.
Cameron,  P.  J.,  &  Ghosh,  S.  (2011).  The  power  graph  of  a  finite  group. Discrete Mathematics , 311 (13), 1220–1222.
Chakrabarty, I., Ghosh, S., & Sen, M. K. (2009). Undirected power graphs of semigroups.
Semigroup Forum , 78 , 410–426. Chartrand, G., Lesniak, L., & Zhang, P. (2016). Graphs and Digraphs (Edisi ke-6) . CRC press.
Chattopadhyay, S., & Panigrahi, P. (2017). Some structural properties of power graphs and k-power graphs of finite semigroups. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography , 20 (5), 1101–1119.
Chen, L., Li, X., & Liu, M. (2014). The (revised) Szeged index and the Wiener index of a nonbipartite graph. European Journal of Combinatorics , 36 , 237–246. Dobrynin, A. A., Entringer, R., & Gutman, I. (2001). Wiener index of trees: theory and applications. Acta Applicandae Mathematica , 66 , 211–249.
Entringer,  R.  C.,  Jackson,  D.  E.,  &  Snyder,  D.  A.  (1976).  Distance  in  graphs. Czechoslovak Mathematical Journal , 26 (2), 283–296. Gallian, J. (2021). Contemporary abstract algebra . Chapman and Hall/CRC. Gutman,  I.  (1993).  Chemical  Graph  Theory. Journal  of  Chemical  Information  and Modelling , 33 , 79–85.
Gutman,  I.,  Cruz,  R.,  &  Rada,  J.  (2014).  Wiener  index  of  Eulerian  graphs. Discrete Applied Mathematics , 162 , 247–250.
Hayat,  S.,  Wang,  S.,  &  Liu,  J.-B.  (2018).  Valency-based  topological  descriptors  of chemical  networks  and  their  applications. Applied  Mathematical  Modelling , 60 , 164–178.
Jeeshma, J. U. (2020). Coloring for the identity graphs of groups. International Research Journal of Engineering and Technology (IRJET) , 7 (5), 5965–5968.
Kandasamy,  W.  B.,  &  Smarandache,  F.  (2009).  Groups  as  graphs. ArXiv  Preprint ArXiv:0906.5144 .
Knor,  M.,  &  Skrekovski,  R.  (2014).  Wiener  index  of  generalized  4-stars  and  of  their quadratic line graphs. Australas. J Comb. , 58 , 119–126. Nicolic, S. (1995). Molecular Descriptors in Chemistry. Molecules , 27 , 1–15.
Polansky, O. E., & Bonchev, D. (1986). The Wiener number of graphs. I. General theory and changes due to some graph operations. MATCH Commun. Math. Comput. Chem , 21 (133–186), 72.
Selvakumar,  K.,  Gangaeswari,  P.,  &  Arunkumar,  G.  (2022).  The  Wiener  index  of  the zero-divisor  graph  of  a  finite  commutative  ring  with  unity. Discrete  Applied Mathematics , 311 , 72–84.
Singh,  P.,  &  Bhat,  V.  K.  (2021).  Adjacency  matrix  and  Wiener  index  of  zero  divisor graph\varGamma (Z_n) Γ (Z n). Journal of Applied Mathematics and Computing , 66 , 717–732.
Swathi, V., & Sunitha, M. S. (2023). k-Power Graphs of Finite Groups. ArXiv Preprint ArXiv:2301.10425 .
Wiener,  H.  (1947).  Structural  determination  of  paraffin  boiling  points. Journal  of  the American Chemical Society , 69 (1), 17–20.

## Copyright holder:
Darmajid, Noor Hidayat, Wildan Bagus Wicaksono, Ayunda Faizatul Musyarrofah (2024)

## First publication right:
Syntax Literate: Jurnal Ilmiah Indonesia
This article is licensed under: