Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 205 – 212, Maret 2022 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2022 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/6709
RUANG PROYEKTIF KOMPLEKS 〖 CP 〗 ^n  SEBAGAI RUANG FAKTOR 𝕊 𝟐𝒏+𝟏 𝕊 𝟏 ⁄
Denik Agustito 1 , Irham Taufiq 2 , Muhammad Irfan 3 1,2,3 Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa, Jl. Batikan UH 3/1043 Tuntungan Umbulharjo, Indonesia Email: 3 muhammad.irfan@ustjogja.ac.id

## ABSTRACT
The action of a group G on a non-empty set X is a mapping 𝐺 × 𝑋 ⟶ 𝑋 defined by (𝑔, 𝑥) ⟼ 𝑔𝑥 and satisfying the properties 𝑒𝑥 = 𝑥 and 𝑔(ℎ𝑥) = (𝑔ℎ)𝑥 for all 𝑥 ∈ 𝑋 and 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 where e is the identity element in group G and this  is  equivalent  to  the  existence  of  a  group  homomorphism 𝜌: 𝐺 ⟶ Bij(𝑋) defined  by 𝜌(𝑔) = 𝜌 𝑔 ∈ Bij(𝑋) . Then  the  action  of  a  group G in  a  topological  space X Top obtains  a  homeomorphic  topological  space  with  a  space consisting of all orbits in the X Top topological space, namely 𝐺/𝑋 Top = {[𝑥]|𝑥 ∈ 𝑋 Top } . If group G is a unit circle group  i.e.  S 1 acting  on  a  topological  space  S 2n+1 then  the  factor  space  will  be  homoemorphic  on  an  n-dimensional complex projective space i.e. CP n .
Keywords: Action, group, homeomorphic, complex, projective, topology

## ABSTRAK
Aksi  dari  sebuah  grup 𝐺 pada  sebuah  himpunan  tak-kosong 𝑋 adalah  sebuah  pemetaan 𝐺 × 𝑋 ⟶ 𝑋 yang didefinisikan dengan (𝑔, 𝑥) ⟼ 𝑔𝑥 dan memenuhi sifat 𝑒𝑥 = 𝑥 dan 𝑔(ℎ𝑥) = (𝑔ℎ)𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 dimana 𝑒 adalah elemen identitas pada grup 𝐺 dan ini ekuivalen dengan adanya suatu homomorfisma grup 𝜌: 𝐺 ⟶ Bij(𝑋) yang didefinisikan dengan 𝜌(𝑔) = 𝜌 𝑔 ∈ Bij(𝑋) . Kemudian aksi suatu grup 𝐺 pada suatu ruang topologi 𝑋 Top memperoleh sebuah ruang topologi yang homeomorfik dengan ruang yang terdiri dari semua orbit-orbit pada ruang topologi 𝑋 Top yaitu 𝐺/𝑋 Top = {[𝑥]|𝑥 ∈ 𝑋 Top } . Jika grup 𝐺 adalah grup lingkaran satuan yaitu 𝕊 1 yang beraksi pada suatu ruang topologi 𝕊 2𝑛+1 maka ruang faktornya akan homoemorfik pada ruang proyektif kompleks berdimensi- n yaitu ℂ𝑃 𝑛 .
Kata Kunci: Aksi, grup, homeomorfik, kompleks, proyektif, topologi.
Dikirim: 07 Desember 2021; Diterima: 22 Januari 2022; Dipublikasikan: 30 Maret 2022 Cara  sitasi:  Agustito,  D.,  Taufiq,  I.,  &  Irfan,  M.  (2022).  Ruang  proyektif  kompleks 〖 CP 〗 ^n    sebagai  ruang  faktor 𝕊 𝟐𝒏+𝟏 𝕊 𝟏 ⁄ . Teorema: Teori dan Riset Matematika, 7 (1), 205-212. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v7i1.6709
• 206 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 205 – 212, Maret 2022

## PENDAHULUAN
Ruang  faktor  dalam  kajian  topologi  umum  memainkan  peranan  penting  dalam  cabang matematika  seperti  geometri  diferensial,  topologi  aljabarik  atau  topologi  geometrik.  Kontruksi  dari ruang faktor bisa ditemukan dalam (Munkres, 2000) dan salah satu contoh kegunaan ruang faktor adalah  untuk  mengkonstruksi  sebuah  torus  dan  torus  ini  sangat  penting  dalam  kajian  geometri diferensial,  topologi  aljabarik  atau  topologi  geometrik  karena  memiliki  struktur  diferensial  sebagai manifold. Ruang faktor dari ruang topologi X juga bisa dikonstruksi melalui aksi dari sebuah grup pada  ruang  topologi  tersebut.  Jika  diberikan  sebuah  grup 𝐺 dan  sebuah  ruang  topologi 𝑋 maka sebuah  aksi  dari  grup 𝐺 pada  himpunan 𝑋 adalah  pemetaan 𝐺 × 𝑋 ⟶ 𝑋 yang  didefinisikan dengan (𝑔, 𝑥) ⟼ 𝑔𝑥 dan memnuhi sifat 𝑒𝑥 = 𝑥 dan 𝑔(ℎ𝑥) = (𝑔ℎ)𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 dimana 𝑒 adalah elemen identitas pada grup 𝐺 . Gagasan mengenai aksi dari grup 𝐺 pada ruang topologi 𝑋 akan ekuivalen dengan adanya suatu homomorfisma grup 𝜌: 𝐺 ⟶ Homeo(𝑋) yang didefinisikan dengan 𝜌(𝑔) = 𝜌 𝑔 ∈ Homeo(𝑋) dimana Homeo(𝑋) adalah grup dari semua homeomorfisma dari ruang topologi 𝑋 kedirinya sendiri bersama dengan operasi komposisi fungsi dan 𝜌 𝑔 (𝑥) = 𝑔𝑥 untuk  semua 𝑥 ∈ 𝑋 .  Untuk  gagasan  mengenai  relasi  ekuivalen,  kelas-kelas ekuivelan dan ruang faktornya juga sudah familiar dan kemudian pada ruang topologi 𝑋 didefinisikan sebuah relasi ~ yaitu sebagai berikut:
𝑥~𝑦  ≝   ∃𝑔 ∈ 𝐺 ∋ 𝜌 𝑔 (𝑥) = 𝑦 (1)
untuk 𝑥 dan 𝑦 di 𝑋 . Jelas relasi ~ adalah relasi ekuivalen dan kelas ekuivalensi yang memuat 𝑥 adalah [𝑥] = {𝑦 ∈ 𝑋|𝑥~𝑦} = {𝑦 ∈ 𝑋|𝜌 𝑔 (𝑥) = 𝑦 untuk suatu 𝑔 ∈ 𝐺 } = {𝑔𝑥|𝑔 ∈ 𝐺} (katakan [𝑥] sebagai orbit dari x ). Himpunan yang terdiri dari semua orbit-orbit pada ruang topologi 𝑋 akan  dinotasikan  dengan 𝑋/𝐺 = {[𝑥]|𝑥 ∈ 𝑋} bersama  dengan  topologi  faktor  padanya  dan katakan 𝑋/𝐺 sebagai ruang faktor.
Pada penelitian sebelumnya, (Massey, 1973) telah mengkonstruksi ruang faktor dari bidang proyektif kompleks ℂ𝑃 2 dengan mengidentifikasi dua titik (dengan kata lain koordinat homogennya adalah konjugat satu sama lain) dan menghasilkan ruang topologi yang sangat bagus yaitu sphere berdimensi-4 yang dinotasikan dengan 𝕊 4 . Pada tulisan ini, penulis akan menyajikan bahwa ruang faktor dari sphere berdimensi 2𝑛 + 1 yaitu sebagai berikut:
(2)
Yang  aksi  pada  sebuah  grup  (Hundly,  2009)  yaitu 𝕊 1 = {𝑧 ∈ ℂ||𝑧| = 1} menghasilkan ruang  topologi  yang  sangat  bagus  yaitu  ruang  proyektif  kompleks  berdimensi- n yang  dinotasikan dengan ℂ𝑃 𝑛 .  Konstruksi  dari  sifat-sifat  topologis dari ℂ𝑃 𝑛 bisa  ditemukan  dalam  (Agustito et al ., 2021).  Ruang  proyektif  kompleks ℂ𝑃 𝑛 adalah  ruang faktor 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 dikontruksi  melalui  sebuah homeomorfisma di antara ℂ𝑃 𝑛 dan 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 dan ini bisa ditemukan dalam (Bauer et al ., 2015). Homeomorfisma  di  antara ℂ𝑃 𝑛 dan 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 dalam  tulisan  ini bukanlah  hal  baru  tetapi penulis akan  memberikan  beberapa  hal  baru  ketika  membuktikan  homeomorfisma  di  antara ℂ𝑃 𝑛 dan 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 yaitu  pada  Lemma  1.8  dan  Lemma  1.10.  Seluruh  pembuktikan  dalam  tulisan  ini  akan disajikan secara detail mengingat sepanjang sepengetahuan penulis mengenai homeomorfisma di antara ℂ𝑃 𝑛 dan 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 dalam berbagai literatur kurang ditulis secara detail.
METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  studi  literatur  mengenai  konstruksi  ruang  factor.  Penelitian dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mendefinisikan sebuah aksi dari grup lingkaran satuan 𝕊 1 pada sphere 𝕊 2𝑛+1 .
2. Mengkonstruksi sebuah pemetaan kontinu 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0}   ⟶   𝕊 2𝑛+1 .
𝕊 2𝑛+1 = {(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ ℂ 𝑛+1 | ∑ 𝑧 𝑖 𝑧̅ 𝑖 = 1 𝑛+1 𝑖=1 }
3. Dengan  gagasan  mengenai  konstruksi  ruang  faktor,  diperoleh  sebuah  pemetaan  kontinu 𝑓: ℂP 𝑛 ⟶   𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 dan dibuktikan bahwa pemetaan 𝑓 adalah homeomoerfisma.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Gagasan  mengenai  pemetaan  kontinu,  pemetaan  terbuka  dan  homeomorfisma  dapat dijumpai pada (Dugundji, 1966). Diberikan sebuah grup 𝐺 dan sebuah ruang topologi 𝑋 dan himpun semua homeomorfisma pada X dan notasikan himpunan tersebut dengan Homeo(𝑋) . Himpunan Homeo(𝑋) membentuk  semua  grup  terhadap  operasi  komposisi  fungsi,  dan  dari  himpunan Homeo(𝑋) akan  didefinisikan  sebuah  aksi  dari  grup 𝐺 pada  ruang  topologi X sebagai  suatu homomorfisma grup.
𝜌: 𝐺 ⟶ Homeo(𝑋)
Jika 𝐺 = 𝕊 1 = {𝑧 ∈ ℂ||𝑧| = 1} adalah  sebuah  grup  terhadap  operasi  perkalian  dan diberikan sebuah ruang topologi yaitu sphere berdimensi 2𝑛 + 1 yaitu sebagai berikut:
𝕊 2𝑛+1 = {(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ ℂ 𝑛+1 | ∑ 𝑧 𝑖 𝑧̅ 𝑖 = 1 𝑛+1 𝑖=1 }
maka dapat dibentuk sebuah pengaitan dari 𝕊 1 pada sphere 𝕊 2𝑛+1 yaitu 𝜌: 𝕊 1 ⟶ Homeo(𝕊 2𝑛+1 ) dan didefinisikan sebagai berikut:
𝜌 𝑧 : 𝕊 2𝑛+1 ⟶ 𝕊 2𝑛+1
dengan 𝜌 𝑧 ((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) = (𝑧. 𝑧 1 , … , 𝑧. 𝑧 𝑛+1 ) untuk  setiap (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ 𝕊 2𝑛+1 dan  pengaitan tersebut adalah well-defined . Sifat 1.1. Pemetaan 𝜌: 𝕊 1 ⟶ Homeo(𝕊 2𝑛+1 ) adalah homomorfisma grup. Bukti : Ambil sembarang 𝑦, 𝑧 ∈ 𝕊 1 . Jelas 𝜌 𝑦𝑧 : 𝕊 2𝑛+1 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 ∈ Homeo(𝕊 2𝑛+1 ) . Ambil sembarang (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ 𝕊 2𝑛+1 . Jelas 𝜌 𝑦𝑧 ((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) = ((𝑦𝑧)𝑧 1 , … , (𝑦𝑧)𝑧 𝑛+1 ) = (𝑦(𝑧𝑧 1 ), … , 𝑦(𝑧𝑧 𝑛+1 ))
= 𝜌 𝑦 ((𝑧𝑧 1 , … , 𝑧𝑧 𝑛+1 )) = 𝜌 𝑦 (𝜌 𝑧 ((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ))) = (𝜌 𝑦 𝜌 𝑧 )((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) .
Jelas 𝜌 𝑦𝑧 = 𝜌 𝑦 𝜌 𝑧 atau dengan kata lain 𝜌(𝑦𝑧) = 𝜌 𝑦 𝜌 𝑧 untuk setiap 𝑦, 𝑧 ∈ 𝕊 1 . Jadi pemetaan 𝜌: 𝕊 1 ⟶ Homeo(𝕊 2𝑛+1 ) adalah homomorfisma grup.
Kemudian didefinisikan sebuah relasi ~ pada 𝑋 yaitu sebagai berikut:
𝑥~𝑦 ≝ ∃𝑔 ∈ 𝐺 ∋ 𝜌 𝑔 (𝑥) = 𝑦 untuk suatu 𝜌 𝑔 ∈ Homeo(𝑋) .
Teorema 1.2. Relasi ~ pada 𝑋 adalah relasi ekuivalen. Bukti : (i). Ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝑋. Pilih 𝑒 ∈ 𝐺 sebagai elemen identitasnya. Definisikan 𝜌 𝑔 = 1 𝑋 ∈ Homeo(𝑋) . Jelas 𝜌 𝑔 (𝑥) = 1 𝑋 (𝑥) = 𝑥 . Jadi relasi ~ bersifat refleksif. (ii).
Ambil sembarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 yang sifatnya 𝑥~𝑦 . Karena 𝑥~𝑦 , jelas ∃𝑔 ∈ 𝐺 ∋ 𝜌 𝑔 (𝑥) = 𝑦 untuk suatu 𝜌 𝑔 ∈ Homeo(𝑋) .
• 208 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 205 – 212, Maret 2022
Karena 𝜌 𝑔 ∈ Homeo(𝑋) , jelas 𝜌 𝑔 −1 ∈ Homeo(𝑋) . Karena 𝜌 𝑔 (𝑥) = 𝑦 , jelas 𝑦 = 𝜌 𝑔 −1 (𝑥) . Jelas 𝑦~𝑥 . Jadi relasi ~ bersifat simetrik. (iii). Ambil sembarang 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 yang sifatnya 𝑥~𝑦 dan 𝑦~𝑧 . Jelas ∃𝑔 1 , 𝑔 2 ∈ 𝐺 ∋ 𝜌 𝑔 1 (𝑥) = 𝑦 dan 𝜌 𝑔 2 (𝑦) = 𝑧 untuk suatu 𝜌 𝑔 1 , 𝜌 𝑔 2 ∈ Homeo(𝑋) . Karena 𝜌 𝑔 1 , 𝜌 𝑔 2 ∈ Homeo(𝑋) , jelas 𝜌 𝑔 2 𝜌 𝑔 1 ∈ Homeo(𝑋) .
Jelas 𝜌 𝑔 2 𝜌 𝑔 1 (𝑥) = 𝑧 . Jelas 𝑥~𝑧 . Jadi relasi ~ bersifat transitif.
Kelas ekuivalensi yang memuat 𝑥 ∈ 𝑋 adalah [𝑥] = {𝑦 ∈ 𝑋|𝑦~𝑥} dan himpunan faktornya akan dinotasikan dengan 𝑋/𝐺 = {[𝑥]|𝑥 ∈ 𝐺} . Dari contoh sebelumnya diperoleh sebuah himpunan faktor yaitu sebagai berikut:
𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 = {[(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 |(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ 𝕊 2𝑛+1 }
Lemma  1.3. Jika  diberikan  sebuah  pemetaan  kontinu 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑋 dan 𝑌 subruang  dari 𝑋 yang sifatnya 𝑓(𝑋) ⊆ 𝑌 maka pemetaan 𝑔: 𝑋 ⟶ 𝑌 yang didefinisikan dengan 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 adalah kontinu. Bukti : Ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝑋 dan sembarang lingkungan buka 𝑈 dalam 𝑌 dari 𝑔(𝑥) . Karena 𝑈 buka dalam 𝑌 , jelas 𝑈 = 𝑉 ⋂ 𝑌 untuk suatu himpunan buka 𝑉 dalam 𝑋 . Karena 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , jelas 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∈ 𝑈 = 𝑉 ⋂ 𝑌 . Jelas 𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝑈) = 𝑓 −1 (𝑉 ⋂ 𝑌) = 𝑓 −1 (𝑉) ⋂ 𝑓 −1 (𝑌) ⊂ 𝑓 −1 (𝑉) . Karena 𝑓 kontinu dan 𝑉 buka dalam 𝑋 , jelas 𝑓 −1 (𝑉) juga buka dalam 𝑋 . Jelas 𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝑉) . Pilih 𝑈 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑉) adalah lingkungan buka dari 𝑥 . Jelas 𝑔(𝑈 𝑥 ) = 𝑔(𝑓 −1 (𝑉)) = {𝑔(𝑎)|𝑎 ∈ 𝑓 −1 (𝑉)} = {𝑔(𝑎)|𝑓(𝑎) ∈ 𝑉}
= {𝑔(𝑎)|𝑔(𝑎) ∈ 𝑉}
= 𝑉 Jadi 𝑔: 𝑋 ⟶ 𝑌 adalah pemetaan kontinu.
Teorema 1.4. Pemetaan 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ 𝕊 2𝑛+1 yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛 )) = ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )
adalah kontinu dengan 𝑧 = (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) . Bukti : Jelas  pemetaan  identitas 1 ℂ 𝑛+1 −{0} : ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ ℂ 𝑛+1 − {0} adalah  kontinu  dan 𝕊 2𝑛+1 adalah subruang dari ℂ 𝑛+1 − {0} . Karena 1 |𝑧| ∈ ℂ adalah  skalar,  jelas  pemetaan 𝑓: 1 |𝑧| 1 ℂ 𝑛+1 −{0} : ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ ℂ 𝑛+1 − {0} yang didefinisikan dengan 𝑓((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛 )) = 1 |𝑧| 1 ℂ 𝑛+1 −{0} ((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛 )) = ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) juga kontinu. Jelas 𝑓(ℂ 𝑛+1 − {0}) ⊆ 𝕊 2𝑛+1 . Bentuk  pemetaan 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ 𝕊 2𝑛+1 yang  didefinisikan  dengan 𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛 )) = 𝑓((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛 )) = ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) .
Berdasarkan Lemma 1.3, jelas pemetaan 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ 𝕊 2𝑛+1 kontinu.
Jadi pemetaan 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ 𝕊 2𝑛+1 adalah kontinu.
Kemudian  akan  diperkenalkan  sebuah  ruang  topologi  yang  berisikan  semua  garis-garis yang  melalui  titik  pusat  koordinat  dari  ruang  Euclidean  kompleks ℂ 𝑛+1 yaitu  ruang  proyektif kompleks dan dinotasikan dengan ℂ𝑃 𝑛 . Ruang Proyektif kompleks ℂ𝑃 𝑛 ini telah diketahui memiliki struktur manifold yaitu manifold kompleks.
Teorema 1.5. Pengaitan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑓([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]) = [( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1
adalah bijektif. Bukti : (i). Dibuktikan pengaitan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah well-defined . Ambil  sembarang [𝑦 1 : … : 𝑦 𝑛+1 ], [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] ∈ ℂ𝑃 𝑛 yang  sifatnya [𝑦 1 : … : 𝑦 𝑛+1 ] = [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] . Jelas (𝑦 1 , … , 𝑦 𝑛+1 ) = 𝑘(𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛+1 ) untuk suatu 𝑘 ∈ ℂ dengan 𝑘 ≠ 0 . Jelas 𝑦 𝑖 = 𝑘𝑥 𝑖 untuk suatu 𝑘 ∈ ℂ dengan 𝑘 ≠ 0 dengan 𝑖 = 1, … , 𝑛 + 1 . Tulis 𝑦 = (𝑦 1 , … , 𝑦 𝑛+1 ) dan 𝑧 = (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) . Jelas ( 𝑦 1 |𝑦| , … , 𝑦 𝑛+1 |𝑦| ) = ( 𝑘𝑧 1 |𝑘||𝑧| , … , 𝑘𝑧 𝑛+1 |𝑘||𝑧| ) = 𝑘 |𝑘| ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) .
Tulis 𝜆 = 𝑘 |𝑘| ∈ 𝕊 1 . Jelas ( 𝑦 1 |𝑦| , … , 𝑦 𝑛+1 |𝑦| ) = 𝜆 ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) . Jelas [( 𝑦 1 |𝑦| , … , 𝑦 𝑛+1 |𝑦| )] 𝕊 1 = [( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 .
Jelas 𝑓([𝑦 1 : … : 𝑦 𝑛+1 ]) = 𝑓([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]) . Jadi pengaitan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah well-defined .
(ii). Ambil  sembarang [𝑦 1 : … : 𝑦 𝑛+1 ], [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] ∈ ℂ𝑃 𝑛 yang  sifatnya 𝑓([𝑦 1 : … : 𝑦 𝑛+1 ]) = 𝑓([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]) . Jelas [( 𝑦 1 |𝑦| , … , 𝑦 𝑛+1 |𝑦| )] 𝕊 1 = [( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 . Jelas ( 𝑦 1 |𝑦| , … , 𝑦 𝑛+1 |𝑦| ) = 𝜆 ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) untuk suatu 𝜆 ∈ 𝕊 1 .
Jelas 1 |𝑦| (𝑦 1 , … , 𝑦 𝑛+1 ) = 𝜆 |𝑧| (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) .
Jelas (𝑦 1 , … , 𝑦 𝑛+1 ) = 𝜆|𝑦| |𝑧| (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) .
Jelas [𝑦 1 : … : 𝑦 𝑛+1 ] = [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] . Jadi pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah injektif.
(iii). Ambil sembarang [𝑎] 𝕊 1 ∈ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 . Tulis [𝑎] 𝕊 1 = [(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 .
Pilih 𝑎 = (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ 𝕊 2𝑛+1 ⊆ ℂ 𝑛+1 − {0} .
Karena 𝑎 = (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ 𝕊 2𝑛+1 ,  Jelas 𝑟(𝑎) = 𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) = ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) = (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) . Pilih 𝑏 = [𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ] ∈ ℂ𝑃 𝑛 .
Jelas 𝑓(𝑏) = 𝑓([𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ]) = [( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 = [(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 =[𝑎] 𝕊1 .
Jadi pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah adalah surjektif. Sekarang pandang diagram berikut ini:
• 210 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 205 – 212, Maret 2022
ℂ 𝑛+1 − {0}
𝕊 2𝑛+1 𝜋 𝑞 ℂ𝑃 𝑛 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1
𝑓
Sembarang 𝑧 = (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ ℂ 𝑛+1 − {0} berlaku 𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) = ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) dan 𝜋((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) = [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] .  Jelas 𝑞 (𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ))) = 𝑞 (( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )) = [( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 dan 𝑓 (𝜋((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ))) = 𝑓([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]) = [( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 .  Jelas 𝑞 ∘ 𝑟 = 𝑓 ∘ 𝜋 ; dengan kata lain Diagram tersebut adalah komutatif. Jelas bahwa pemetaan proyeksi 𝜋, 𝑞 adalah surjektif kontinu dan terbuka dan pemetaan 𝑟 juga kontinu.
Teorema 1.6. Pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah kontinu. Bukti : Ambil sembarang himpunan buka U dalam 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 . Karena 𝑞 kontinu, jelas 𝑞 −1 (𝑈) adalah buka dalam 𝕊 2𝑛+1 . Karena 𝑟 kontinu, jelas 𝑟 −1 (𝑞 −1 (𝑈)) adalah buka dalam ℂ 𝑛+1 − {0} . Jelas 𝑟 −1 (𝑞 −1 (𝑈)) = (𝑞 ∘ 𝑟) −1 (𝑈) buka dalam ℂ 𝑛+1 − {0} . Karena Diagram 1 di atas adalah komutatif, jelas 𝑞 ∘ 𝑟 = 𝑓 ∘ 𝜋 . Karena 𝑞 ∘ 𝑟 = 𝑓 ∘ 𝜋 dan (𝑞 ∘ 𝑟) −1 (𝑈) , jelas (𝑓 ∘ 𝜋 ) −1 (𝑈) buka dalam ℂ 𝑛+1 − {0} . Jelas (𝑓 ∘ 𝜋 ) −1 (𝑈) = 𝜋 −1 (𝑓 −1 (𝑈)) buka dalam ℂ 𝑛+1 − {0} .
Karena 𝜋 adalah pemetaan terbuka, jelas 𝜋 (𝜋 −1 (𝑓 −1 (𝑈))) = 𝑓 −1 (𝑈) buka dalam ℂ𝑃 𝑛 .
Jadi  diperoleh  jika U adalah  sembarang  himpunan  buka  dalam 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 maka 𝑓 −1 (𝑈) adalah juga himpunan buka dalam ℂ𝑃 𝑛 . Jadi pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah kontinu.
Teorema 1.7. Pemetaan 𝑓 −1 : 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 ⟶ ℂ𝑃 𝑛 yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑓 −1 ([(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 ) = [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]
adalah invers dari pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 . Bukti : (i). Ambil sembarang [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] ∈ ℂ𝑃 𝑛 . Jelas (𝑓 −1 ∘ 𝑓)([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]) = 𝑓 −1 (𝑓([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ])) = 𝑓 −1 ([( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 ) = [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]
Jadi 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 1 ℂ𝑃 𝑛 .
(ii). Ambil sembarang [(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 . Jelas (𝑓 ∘ 𝑓 −1 )([(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 ) = 𝑓(𝑓 −1 ([(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 )) = 𝑓([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]) = [(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1
Jadi 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 1 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 .
Dari  (i)  dan  (ii),  jelas  pemetaan 𝑓 −1 : 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 ⟶ ℂ𝑃 𝑛 adalah  invers  dari  pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 .
Lemma  1.8. Jika  diberikan  fungsi 𝑓 adalah  kontinu  dan  terbuka,  fungsi ℎ adalah  kontinu,  maka setiap fungsi 𝑔 yang memenuhi sifat ℎ = 𝑔𝑓 adalah kontinu. Bukti : Untuk  setiap  fungsi 𝑔 ,  tulis 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑌 , 𝑔: 𝑌 ⟶ 𝑍 dan ℎ: 𝑋 ⟶ 𝑍 yang sifatnya ℎ = 𝑔𝑓 dengan 𝑓 adalah kontinu dan terbuka dan 𝑔 kontinu. Ambil sembarang himpunan buka U dalam 𝑍 . Karena 𝑔 kontinu, jelas ℎ −1 (𝑈) buka dalam X . Karena 𝑓 adalah terbuka, jelas 𝑓(ℎ −1 (𝑈)) buka dalam 𝑌 . Karena ℎ = 𝑔𝑓 , jelas 𝑔 (𝑓(ℎ −1 (𝑈))) = (𝑔𝑓)(ℎ −1 (𝑈)) = ℎ(ℎ −1 (𝑈)) ⊆ 𝑈 . Jadi fungsi 𝑔 adalah kontinu.
Lemma 1.9. Komposisi dari dua buah fungsi kontinu dan terbuka adalah kontinu dan terbuka. Bukti : Silakan lihat pada (Dugundji, 1966).
Lemma 1.10. Pemetaan 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ 𝕊 2𝑛+1 adalah pemetaan terbuka. Bukti : Ambil sembarang himpunan buka U dalam ℂ 𝑛+1 − {0} . Jelas 𝑟(𝑈) = {(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )| ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) ∈ 𝕊 2𝑛+1 } . Jelas 𝑟(𝑈) = (ℂ 𝑛+1 − {0}) ⋂ 𝕊 2𝑛+1 sedangkan ℂ 𝑛+1 − {0} buka  dalam  dirinya,  akibatnya 𝑟(𝑈) buka dalam 𝕊 2𝑛+1 . Jadi pemetaan 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ 𝕊 2𝑛+1 adalah pemetaan terbuka.
Sekarang pandang diagram berikut ini:
𝑟
ℂ 𝑛+1 − {0}
𝕊 2𝑛+1 𝜋 𝑞 ℂ𝑃 𝑛 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 𝑓 −1
Sembarang 𝑧 = (𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ ℂ 𝑛+1 − {0} berlaku 𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) = ( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ) dan 𝜋((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) = [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] . Jelas 𝑞 (𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ))) = 𝑞 (( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )) =
[( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 dan 𝑓 −1 (𝑞 (𝑟((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )))) = 𝑓 −1 ([( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1 ) = [ 𝑧 1 |𝑧| : … : 𝑧 𝑛+1 |𝑧| ] = [𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ] = 𝜋((𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )) . Jelas = 𝑓 −1 ∘ 𝑞 ∘ 𝑟 ; dengan kata lain Diagram  tersebut adalah komutatif.
Teorema 1.11. Pemetaan 𝑓 −1 : 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 ⟶ ℂ𝑃 𝑛 adalah kontinu.
• 212 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 205 – 212, Maret 2022
Bukti : Berdasarkan Lemma 1.10, jelas pemetaan 𝑟 adalah terbuka. Karena pemetaan 𝑞 dan 𝑟 adalah terbuka, berdasarkan Lemma 1.9, jelas 𝑞 ∘ 𝑟 adalah terbuka. Karena pemetaan 𝜋 adalah kontinu dan 𝑞 ∘ 𝑟 adalah terbuka serta memenuhi sifat 𝜋 = 𝑓 −1 ∘ 𝑞 ∘ 𝑟 dari Diagram 2, berdasarkan Lemma 1.8, jelas pemetaan 𝑓 −1 adalah kontinu. Jadi pemetaan 𝑓 −1 : 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 ⟶ ℂ𝑃 𝑛 adalah kontinu.
Berdasarkan Teorema 1.5, Teorema 1.6, Teorema 1.7 dan Teorema 1.8 diperoleh  bahwa pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah  kontinu,  bijektif  dan  inversnya  kontinu;  dengan  kata  lain bahwa pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah homeomorfisma.

## KESIMPULAN
Simpulan  dari  tulisan  ini  adalah  bahwa  jika  diberikan  sebuah  grup  lingkaran  satuan 𝐺 = 𝕊 1 = {𝑧 ∈ ℂ||𝑧| = 1} dan sebuah sphere berdimensi- 2𝑛 + 1 yaitu 𝕊 2𝑛+1 = {(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ ℂ 𝑛+1 | ∑ 𝑧 𝑖 𝑧̅ 𝑖 = 1 𝑛+1 𝑖=1 } maka ruang faktornya yaitu 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 = {[(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 )] 𝕊 1 |(𝑧 1 , … , 𝑧 𝑛+1 ) ∈ 𝕊 2𝑛+1 } akan  homeomorfik  ke  ruang  proyektif  kompleks berdimensi- n yaitu ℂ𝑃 𝑛 melalui homoemorfisma 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑓([𝑧 1 : … : 𝑧 𝑛+1 ]) = [( 𝑧 1 |𝑧| , … , 𝑧 𝑛+1 |𝑧| )] 𝕊 1
Dan  untuk  membuktikan  bahwa  pemetaan 𝑓: ℂ𝑃 𝑛 ⟶ 𝕊 2𝑛+1 /𝕊 1 adalah  homeomorfisma, menggunakan hasil yang penulis peroleh yaitu  jika diberikan fungsi 𝑓 adalah kontinu dan terbuka, fungsi ℎ adalah kontinu, maka setiap fungsi 𝑔 yang memenuhi sifat ℎ = 𝑔𝑓 adalah kontinu (Lemma 1.8) dan pemetaan 𝑟: ℂ 𝑛+1 − {0} ⟶ 𝕊 2𝑛+1 adalah pemetaan terbuka (Lemma 1.10).

## REKOMENDASI
Tulisan ini direkomendasikan untuk bagi peneliti yang bekerja di teori homotopi ekuivariant yang meneliti tentang aksi dari sebuah ruang topologi terhadap suatu grup topologis, kemudian bagi peneliti  yang  bekerja  di  geometri  aljabarik  kompleks untuk  mengembangkan  gagasan  teori hodge dari  ruang  proyektif  kompleks  serta  dalam  kajian  geometri  differensial  yang  mengkaji  tentang struktur diferensial pada ruang proyektif kompleks.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  ucapkan  terima  kasih  kepada  Universitas  Sarjanawiyata  Tamansiswa dan  semua pihak yang telah mendukung penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Agustito,  D.,  Taufiq.  I.,  Setyana.  D.  S.,  &  Purwoko  R,  Y.  (2021). ruang  proyektif  kompleks ℂ𝑃 𝑛 adalah manifold  kompleks . Delta: Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika, 9 (1), 99-112.
Bauer, T., Boij, M., Rocco, S. D., Rydh, D., & Skjelnes, R. (2015). Algebra and geometry through projective spaces. SF2724 Topics in Mathematics IV.
Dugundji, J. (1966). Topology . Michigan Allyn and Bacon.
Grillet, P, A. (2007). Algebra , Springer Science + Business Media, LLC, Newy-York.
Hundly, J. (2009). Introduction to Lie Groups , Southern Illinois University Carbondale.
Rotman, J. (2005). A First Course in Abstract Algebra with Applications , Prenstice Hall.