J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 47–55

## INDEKS KEMAMPUAN PROSES BERDASARKAN PROPORSI PERSESUAIAN UNTUK DISTRIBUSI NON NORMAL
Laksmi P Wardhani 1 , Resty Z Fahrida, Nur Hasanah
Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya
1 wmarbun@indo.net.id

## Abstrak
Indeks Kemampuan proses adalah suatu alat untuk menganalisa kemampuan proses produksi apakah sesuai dengan spesifikasi yang diberikan. Indeks C p , C pk , C pm , dan C pmk adalah indeks yang sering digunakan untuk mengukur kemampuan proses dengan berdasarkan proporsi bagian yang tidak sesuai ( Proportion non Conforming ) dan pada indeks ini data diasumsikan berdistribusi Normal.
Indeks Kemampuan proses berdasarkan bagian yang sesuai ( proportion of conforming ) yaitu C pc dapat mengatasi kelemahan- kelemahan dari indeks kemampuan proses yang berdasarkan Proportion non Conforming diatas dimana data tidak harus berdis- tribusi Normal. Dalam tulisan ini dibahas analisis tentang indeks C pc dengan menggunakan asumsi berdistribusi Non Normal yaitu distribusi Poisson dan distribusi Eksponensial berikut estimasi dari C pc yaitu b C pc .
Katakunci: Indeks kemampuan proses, distribusi Poisson, distribusi Eksponensial , MLE, limit kepercayaan.

## 1. Pendahuluan
Pengendalian Kualitas terhadap suatu produk menjadi hal yang penting dalam dunia industri disebabkan adanya berbagai penyimpangan yang se- ring terjadi dalam suatu proses produksi. Berbagai penyimpangan terja- di apabila produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan dengan spesifikasi yang telah ditetapkan. Setelah proses produksi terken-dali maka dilakukan analisis kemampuan proses, yaitu analisi tentang kemampuan proses untuk memproduksi suatu produk apakah sesuai dengan batas-batas spesifikasi yang telah ditetapkan perusahaan. Analisis kemampuan proses memerluk- an indeks kemampuan proses untuk mengukur dan menganalisis potensial dan performa dari suatu proses produksi.
Indeks kemampuan proses sering digunakan adalah C p , C pk , C pm , dan C pmk dengan dasar perhitungannya berdasarkan proportion of non confor- ming (bagian yang tidak sesuai) . Kelemahan indeks indeks tersebut adalah peubah acak yang digunakan harus ber-distribusi Normal dan batas spesifi- kasi bawah (BSB ) dan batas spesifikasi atas(BSA) harus diketahui terlebih dahulu.
Telah diusulkan sebuah indeks kemampuan proses yang baru untuk mengatasi kelemahan dari indeks-indeks sebelumnya, yaitu indeks C pc . In- deks C pc adalah indeks kemampuan proses yang berdasarkan proportion of conforming (bagian yang sesuai). Salah satu kelebihan indeks C pc adalah dapat digunakan untuk data yang berdistribusi non Normal, baik diskrit ataupun kontinu. Pada tulisan ini akan dianalisis indeks C pc untuk asumsi distribusi diskrit yaitu distribusi Poisson dan distribusi kontinu yaitu distri- busi Eksponensial. Analisa yang akan dilakukan adalah estimator dari C pc dan limit kepercayaannya.

## 2. Indeks C pc
Indeks C pc yaitu indeks kemampuan proses berdasarkan proportion of con- forming (bagian yang sesuai) atau jumlah unit produksi yang memenuhi satu atau beberapa spesifikasi dari proses produksi tersebut/tidak cacat. Indeks C pc didefinisikan sebagai berikut [4]:
C pc = 1 − p 0 1 − p (1)
Dengan p : bagian yang sesuai p 0 : proses minimun yang diijinkan.
Nilai p 0 adalah 0,9973, yaitu luasan dari sebaran alamiah dari suatu proses yang besarnya 6 σ . Nilai-nilai dibawah atau diatas 0,9973 diijinkan, namun hasil yang diperoleh menjadi tidak maksimum.
Selain itu, indeks C pc juga didefinisikan sebagai berikut:
C pc = min p L 0 p 1 , p U 0 p 2
Dengan p 1 = P ( X < U ), U batas spesifikasi atas.
p 2 = P ( X > L ), L batas spesifikasi bawah.
Sedangkan p L 0 dan p U 0 adalah bagian proses yang cacat (tidak sesuai) yang dapat diterima sesuai dengan batas spesifikasi bawah dan atas yang diberikan.
Nilai minimum yang yang diperkenankan dalam proporsi yang sesuai p 0 secara intuisi dikehendaki yang mendekati nilai 1. Walaupun nilai p 0 tidak spesifik, tetapi nilai 0,9973 lebih senang dipilih karena mempunyai sifat- sifat yang mendekati satu dan proses rata-rata tepat berlokasi pada titik tengah spesifikasi M = ( L + U ) / 2 dan nilai tersebut merupakan nilai standar dari Indeks Kemampuan Proses [4]. Dalam tulisan ini, supaya memudahkan diasumsikan nilai p 0 = 0 , 9973. Jadi indeks C pc dalam persamaan (1) dapat ditulis kembali dalam bentuk berikut:
C pc = 0 , 0027 1 − p (2)
Dengan demikian analisa indeks ini selanjutnya dapat dimodifikasi sesuai asumsi nilai p 0 lain yang diinginkan, sedangkan tulisan ini analisa selanjut- nya akan memakai persamaan (2).
Pengujian nilai yang berbeda untuk nilai p , akan menghasilkan nilai C pc sebagai berikut:
(a) Jika nilai p = 0 , 9973 , maka nilai indeks C pc = 1
(b) Jika nilai p > 0 , 9973 , maka nilai indeks C pc > 1 (c) Jika nilai p > 0 , 9973 , maka nilai indeks C pc < 1

## Indeks kemampuan proses berdasarkan proporsi persesuaian
Satu-satunya parameter yang tidak diketahui dalam indeks C pc adalah p , nilai p tergantung pada bentuk distribusi yang diguanakan dalam proses produksi, dan dapat diestimasi dalam bentuk sampel acak dalam proses yang diuji. Hasil estimasinya dinotasikan dalam bentuk b p , sehingga esti- mator indeks C pc adalah
b C pc = 0 , 0027 1 − b p (3)

## 3. Analisa inferensia indeks C pc untuk proses

## berdistribusi Poisson
Dalam bagian ini indeks C pc dianalisa dalam kasus dimana proses produksi yang diberikan berkarakteristik distribusi Poisson dengan parameter λ . Ji- ka nilai U diketahui, maka indeks dinotasikan dengan C pcu , demikian juga jika nilai L yang diberikan, maka indeks dinotasikan dengan C pcl . Indeks C pcu didefinisikan sebagai [2], [5]:
C pcu = 0 , 0027 1 − p 1 , dengan p 1 = P ( X < U ) (4)
Indeks C pcl didefinisikan sebagai
C pcl = 0 , 0027 1 − p 2 , dengan p 2 = P ( X > L ) (5)
dengan p 1 dan p 2 merupakan Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Poisson dengan parameter λ , jadi
p 1 = P ( X ≤ U − 1) = U − 1 X x =0 e − λ λ x x ! (6)
Karena adanya hubungan antara Distribusi Poisson dengan distribusi Gamma maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai,
p 1 = P ( X ≤ U − 1) = P ( χ 2 2 U > 2 λ )
Dengan χ 2 2 U distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 2U . Oleh ka- rena itu berdasarkan sifat-sifat probabilitas Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai
C pcu = 0 , 0027 P ( χ 2 2 U < 2 λ ) (7)
Dengan cara yang serupa, indeks C pcl dapat ditulis kembali dalam bentuk
C pcl = 0 , 0027 P ( χ 2 2( L +1) > 2 λ ) (8)
3.1. Estimasi C pcu dan C pcl untuk proses distribusi Poisson
Jika parameter λ tidak diketahui maka harus diganti dengan estimasinya seperti diketahui MLE( Maximum Likelihood Estimation ) dari parameter λ untuk n sampel acak ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) dari distribusi Poisson adalah mean (rata-rata dari sampel) yaitu b λ = ¯ X . Jadi estimator untuk C pcu dan C pcl masing-masing adalah [2], [5]:
C pcu = 0 , 0027 P ( χ 2 2 U < 2 b λ ) dan C pcl = 0 , 0027 P ( χ 2 2( L +1) > 2 b λ ) (9)
Untuk menganalisan apakah estimator untuk C pcu dan C pcl yaitu b C pcu dan b C pcl merupakan estimator yang tak bias, dilihat terlebih dahulu nilai harapan dari estimator tersebut.
E ( b C pcu ) = C pcu × 1 1 − [ e − nλ ( nλ + ( nλ ) − 2 )]
Sehingga estimator tak bias dari C pcu adalah b n × b C pcu dengan b n sebagai faktor koreksi, dan b n = 1 − [ e − nλ ( nλ + ( nλ ) − 2 )].

## 3.2. Limit kepercayaan untuk indeks C pc
Selang kepercayaan 100(1 − α )% untuk indeks C pc memunyai lebar selang sebagai berikut:
P ( L ≤ C pc ≤ U ) = 1 − α
Untuk membangun selang kepercayaan, dilakukan pendekatan dengan distribisi sampling Chi-Kuadrat.
Jika diberikan n sampel acak ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) dengan X i ∼ P OI ( λ ) maka Y = P n i =1 x i juga berdistri- busi Poisson dengan parameter nλ . Karena ada hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Chi-Kuadrat seperti pada awal tulisan diatas, se- lang kepercayaan 100(1 − α )% untuk indeks nλ adalah
1 2 χ 2 2 Y , α < nλ < 1 2 χ 2 2( Y +1) , 1 − α (10)

## Indeks kemampuan proses berdasarkan proporsi persesuaian
Dengan cara yang serupa, didapat limit kepercayaan atas 100(1 − α )% untuk nλ yaitu
P nλ < 1 2 χ 2 2( Y +1) , 1 − α = 1 − α
atau
P 2 λ < χ 2 2( Y +1) , 1 − α n ! = 1 − α (11)
Selang kepercayaan 100(1 − α )% untuk C pcl didapat dari persamaan (8) dan (11) didapat adalah
0 , 0027 P χ 2 2 U < χ 2 2( Y +1) , 1 − α n (12)
Dengan cara yang similar didapat selang kepercayaan 100(1- α )% untuk C pcu sebagai berikut:
0 , 0027 1 − P χ 2 2( L +1) < χ 2 2 Y,α n (13)
4. Analisis inferensia indeks C pc untuk proses

## berdistribusi Eksponensial
Dalam bagian ini indeks C pc dianalisa dalam kasus dimana proses produksi yang diberikan berkarakteristik distribusi Eksponensial dengan parameter θ .
Distribusi Eksponensial diasumsikan sangat beralasan karena dipakai pada uji reliabilitas tentang uji hidup suatu produk . Karena distribusi ini non normal maka akan dilihat selang kepercayaannya satu sisi seperti pada distribusi Poisson pada subbab 3.
Dengan menggunakan batasan seperti persamaan (4) dan (5) didapat masing-masing indeks C pcu dan C pcl pada distribusi Eksponensial adalah [3], [4]:
C pcu = 0 , 0027 e − θU (14)
dan
C pcl = 0 , 0027 1 − e − θL (15)
Dengan CDF untuk X ∼ EXP ( θ ) adalah F ( x, θ ) = 1 − e − θx , x > 0.
4.1. Estimasi C pcu dan C pcl untuk proses distribusi ekspo- nensial
Selanjutnya dicari estimator untuk C pcu dan C pcl dari asumsi distribusi Eksponensial dengan cara mencari estimator untuk parameter θ . M L E untuk θ adalah b θ = 1 ¯ X , sehingga diperoleh estimator untuk C pcu dan C pcl masing-masing adalah,
b C pcu = 0 , 0027 e − b θU = 0 , 0027 e − U ¯ X (16)
dan
b C pcl = 0 , 0027 1 − e − b θL = 0 , 0027 1 − e − L ¯ X (17)
Dengan menggunakan pdf ( probability density functions ) dari distribusi Eksponential, metode transformasi satu-satu [1] dan Y = P n i =1 X i ∼ GAM ( θ, n ) didapat distribusi dari b C pcu dan b C pcl .
Jika W = b C cpu maka W = 0 , 0027 e ¯ X − 1 U dan pdf dari W yaitu
f W ( w ) = ( θnU ) n Γ( n ) (ln w + 5 , 9145) − n − 1 w − 1 e ( − θnU ) / (ln w +5 , 9145) ,
untuk 0 , 0027 < w < ∞ . Jika V = b C cpl , maka dengan cara yang similar seperti W didapat pdf untuk V adalah [3]:
f V ( v ) = ( θnL ) n Γ( n ) ( − ln 1 − 0 , 0027 v ) − n − 1 e ( θnL ) / (ln(1 − 0 , 0027 /v ) 0 , 0027 v 2 − 0 , 0027 v , untuk 0 , 0027 < w < ∞ .

## 4.2. Limit Kepercayaan untuk indeks C pc
Selang kepercayaan 100(1 − α )% untuk indeks C pc mempunyai lebar selang sebagai berikut:
P ( L ≤ C pc ≤ U ) = 1 − α
Untuk membangun selang kepercayaan, dilakukan pendekatan dengan distribusi sampling . Jika diberikan n sampel acak ( X 1 , X 2 , ..., X n ) dengan X i ∼ EXP ( θ ) maka Y = P n i =1 X i ∼ GAM ( θ, n )dan Z = θY didapat
Z ∼ GAM (1 , n ) terlihat Z tidak bergantung dari parameter θ . Limit ke- percayaan bawah 100(1 − α )% untuk θ diperoleh dengan menggunakan percentil α dari distribusi Z yiatu c 1 , sehingga dengan melihat persamaan (14) dan (15) didapat
P ( Z > c 1 ) = P ( θ > c 1 Y ) = P ( c 1 Y < θ ) = P ( e − U c 1 Y < e − θU ) = P C pcu > 0 , 0027 e − U c 1 Y = 1 − α
Jadi limit kepercayaan bawah 100(1 − α )% untuk C pcu adalah
0 , 0027 e − U c 1 P xi
Dengan cara yang similar didapat limit kepercayaan bawah 100(1 − α )% untuk C pcl adalah 0 , 0027
1 − e − Lc 2 P xi dengan c 2 adalah percentile 1 − α dari distribusi Z.

## 5. Kesimpulan
Dari kajian diatas terlihat bahwa indeks kemampuan Proses C pc banyak menanggulangi beberapa kekurangan dari indeks kemampuan Proses yang lama antara lain hanya diasumsikan untuk distribusi normal, sedangkan in- deks C pc dapat digunakan untuk distribusi Non-Normal baik untuk proses diskrit seperti distribusi Poisson dan kontinyu seperti distribusi Eksponen- sial.
Estimasi Parameter dari Indeks C pc untuk kedua distribusi cukup dengan melihat MLE dari parameter distribusi tersebut, sedangkan limit kepercayaan hanya untuk satu sisi saja.

## Pustaka
[1] Bain, L.J. dan Engelhardt, M., Introduction to Probability and Mathe- matical Statistics , 2nd edition, Duxbury Press, California, 1991.
[2] Fahrida, R. Z., Kajian Indeks Kemampuan Proses C pc dengan meng- gunakan asumsi distribusi Poisson , Tugas Akhir, Jurusan Matematika
FMIPA ITS, 2008.
[3] Nur, H, Kajian Indeks Kemampuan Process C pc dengan menggunakan asumsi distribusi Eksponensial Tugas Akhir. Jurusan Matematika FMI- PA ITS, 2009.
[4] Perakis, M. dan Xekalaki, E. 2002. A Process Capability Index that it based on the Proportion of Conformance . Journal Statistical Computa- tion and Simulation, 2002, Vol 72(9), pp. 707-718.
[5] Perakis, M. dan , Xekalaki, E., A Process Capability Indeks For Discre- te Processes . Journal Statistical Computation and Simulation, March 2005, vol 75 No.3, pp 175-187.