Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.9, No.1, Jauari 2023, pp. 165~172
ISSN 2407-4098 (print)
DOI:10.31605/saintifik.v9i1.422
ISSN 2622-8904 (online)
Pemodelan Matematika SIR dengan Pengaruh Vaksinasi pada Penyebaran Covid-19 di Sulawesi Selatan
Muhammad Rifandi 1 , Muhammad Abdy* 2
1 Universitas Sulawesi Barat
2 Universitas Negeri Makassar e-mail: muh.abdy@unm.ac.id

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk menyusun model SIR pada penyebaran COVID-19 dengan pengaruh vaksinasi,  analisis  kestabilan  dan  simulasi  model  SIR  pada  penyebaran  COVID-19  di  Sulawesi  Selatan. Metode  yang  digunakan  untuk  membangun  model  adalah  model  persamaan  diferensial  dengan mempertimbangkan  faktor  vaksinasi  sebagai  parameter,  analisis  model  menggunakan  metode  matrix  next generation    untuk  menentukan  bilangan  reproduksi  dasar  dan  kestabilan  model  penyebaran  COVID-19. Simulasi  model  numerik  menggunakan  data  sekunder  jumlah  kasus  COVID-19  di  Sulawesi  Selatan.  Hasil yang diperoleh adalah Analisis model memberikan bukti kestabilan titik kesetimbangan. Berdasarkan hasil yang  diperoleh  juga  dapat  dilihat  bahwa  vaksinasi  sangat  berpengaruh  terhadap  penyebaran  covid-19, sehingga  diperlukan  adanya  kesadaran  bagi  masyarakat  Sulawesi  Selatan  untuk  mengikuti  anjuran pemerintah  agar  melakukan  vaksinasi  hingga  tiga  kali  guna  mencegah  atau  menurunkan  laju  penularan covid-19.  Berdasarkan  hasil  perhitungan  bilangan  reproduksi  dasar,  diperoleh  R 0 =  0.653784  sehingga dapat dikatakan bahwa keadaan penularan penyakit covid-19 di Provinsi Sulawesi Selatan sudah terkendali.

## Kata Kunci – SIR Model, Vaksinasi, Kestabilan

## 1. PENDAHULUAN
Pandemi COVID-19 merupakan salah satu infeksi penyakit yang sangat darurat dimana terjadi pertama kali pada bulan Desember 2019 di China dan dengan cepat menyebar ke negara lain. Coronavirus (CoV) adalah keluarga virus zoonosis, yaitu virus yang menular ke manusia melalui hewan dan mengakibatkan tanda-tanda penyakit  mulai  dari  flu  sampai  penyakit  yang  lebih  serius  seperti Middle  East  Respiratory  Syndrome (MERS)  yang  menular  ke  manusia  melalui  unta  dan Severe  Acute  Respiratory  Syndrome (SARS)  yang menular  ke  manusia  melalui  musang.  Beberapa  virus  corona  yang  diketahui  belum  menginfeksi  manusia beredar di beberapa hewan. Jenis virus corona baru adalah jenis SARS-CoV-2 dimana menyebabkan gejala pernapasan,  demam,  batuk,  dan  sesak  nafas  (Alam,  M.F  &  Abadi,  2021).  Menurut Center  for  Disease Control  and  Preventian (CDC),  virus  ini  menyebar  melalui  kontak  langsung,  kontak  tidak  Iangsung,  dan melalui  droplet  yaitu  melalui  batuk  dan  bersin  penderita  dalam  jarak  dekat  (Rundle et  al ,  2020).  Masalah pernafasan akut seperti batuk, sesak nafas dan demam merupakan gejala dan tanda umum infeksi Covid-19, dimana gejala parah dapat mengakibatkan pneumonia bahkan sampai kematian (Kemenkes RI, 2020).
Jumlah  kasus  infeksi  virus  corona  penyebab  Covid-19  masih  terus  mengalami  peningkatan  di berbagai  belahan  dunia.  Laju  peningkatan,  baik  untuk  jumlah  kasus  terinfeksi,  kematian,  maupun kesembuhan,  berbeda-beda  di  setiap  wilayah.  Setiap  negara  juga  memiliki  kebijakan  tersendiri  untuk menahan penyebaran virus yang terjadi di wilayahnya. Menurut data yang dikumpulkan oleh John Hopkins University,  hingga  tanggal  9  Februari  2023,  total  jumlah  kasus  Covid-19  di  seluruh  dunia  telah  mencapai 672,355,299  kasus,  dengan  6,849,254  kematian,  dan  5,089,029,612  orang  telah  menerima  vaksin.  Jumlah kasus terbanyak masih tercatat di USA, yaitu 102,486,294 kasus, disusul India dengan 44,684,973 kasus, dan Perancis  sebanyak  38,510,108  kasus.  Dari  sisi  jumlah  yang  telah  menerima  vaksin,  jumlah  terbesar  ada  di China, yaitu sebanyak 1,276,517,000 orang atau sekitar 91% dari populasi penduduknya.
Semakin meningkatnya jumlah kasus dan berkembangnya varian baru virus Covid-19 secara global termasuk wilayah  Sulawesi  Selatan  membuat  fasiIitas  pelayanan  kesehatan  rumah  sakit  sebagai  tempat  perawatan pasien  terinfeksi  Covid-19  menjadi  tempat  yang  berisiko  tinggi  terhadap  penularan  Covid-19  baik  bagi
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
tenaga  kesehatan  maupun  bagi  pengunjung  dan  pasien  yang  sedang  di  rawat  di  RS.  Tenaga  kesehatan sebagai garda terdepan  pemberi pelayanan  kepada  pasien  Covid-19  berisiko  tinggi tertular  Covid-19  mulai dari  mengalami  gejala  ringan  sampai  dengan  kematian  (Wahyuni,  2022).  Dalam  upaya  melaksanakan pencegahan penularan COVID-19, Kemenkes mengeluarkan Surat Edaran Nomor HK.02.01/MENKES/199/2020  yaitu  himbauan  yang  harus  dipatuhi  semua  kalangan  masyarakat.  Selain himbauan pemerintah, dalam upaya meningkatkan kepatuhan protokol kesehatan, perlu juga memperhatikan faktor-faktor  yang  mempengaruhi  kepatuhan  COVID-19  antara  lain:  sikap,  motivasi,  pengetahuan,  usia, pendidikan, lingkungan sosial, dan ketersediaan sarana (Tanto & Handayani, 2022).
Pemodelan  matematika  SIR,SIRS,  SEIR  dan  SEIRS  pada  penularan  penyakit  seperti  demam berdarah, tuberculosis, diabetes, HIV-AIDS telah dilakukan oleh (O. Egonmwanl & D. Okuonghae1, 2018) (Abdy et al , 2021) (Abdy &Maryam, 2022) (Ramadhani, 2022) (B. Tang et al , 2020) (O. Diekmann et al , 2010)  (Dontwi et  al ,  2014)  (Spencer et  al ,  2020)  (Rusliza  &  Harun  Budin,  2012)  (Ofosuhene et  al ,  2017) (Elif et  al ,  2011)  (Rangkuti et  al ,  2014)  (Rosdiana,  2015),  kemudian  pemodelan  matematika  pada penyebaran  COVID-19  telah  dilakukan  oleh  Annas et  al (2020)  dan  Side  (2015)  yaitu  pemodelan matematika  SEIR  untuk  wilayah  Sulawesi  Selatan  dan  pemodelan  matematika  SEIRV  di  wilayah  Wuhan, China dengan mempertimbangkan faktor lingkungan, sedangkan analisis dan simulasi model menggunakan data jumlah kasus COVID-19 di Wuhan.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  untuk  membangun  model  adalah  model  SIR  dengan  mempertimbangkan pengaruh  vaksinasi  sebagai  variable  kontrol.  Analisis  model  menggunakan  metode  matriks  generasi  untuk mendapatkan  bilangan  reproduksi  dasar  dan  stabilitas  model  SIR  untuk  penyebaran  COVID-19.  Simulasi numerik model menggunakan data jumlah kasus COVID-19 di Sulawesi Selatan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Formulasi Model SIR pada penyebaran COVID-19
Model  SIR  pada  penyebaran  COVID-19  di  Sulawesi  Selatan  dibagi  menjadi  empat  sub-populasi yaitu Suscepted (𝑆), Infected (𝐼), and Recovered (𝑅). Individu yang rentan tertular covid-19 dapat terinfeksi karena adanya interaksi dengan individu yang terlebih dahulu terinfeksi. Perubahan yang terjadi pada setiap sub-populasi  manusia  pada  kasus  penularan  Covid-19  menggunakan  model  SIR  dapat  ditafsirkan  dalam bentuk Gambar berikut:
Gambar 1. Skema Model SIR penyebaran Covid-19
Variabel  dan  parameter  yang  digunakan  pada  model  SIR  penyebaran  Covid-19  dapat  dilihat  pada tabel berikut:
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Tabel 1. Variabel dan parameter yang digunakan pada model SIR penyebaran Covid-19
Parameter Keterangan 𝜋 Laju kelahiran 𝛼 Laju  perpindahan  dari  populasi  manusia  yang  rentan  (s usceptible ) untuk COVID-19 ke populasi yang terinfeksi ( infection ) Covid-19 𝛽 Laju  perubahan  dari  populasi  manusia  yang  terinfeksi  ( infection ) COVID-19 ke populasi yang sembuh ( recovered) dari Covid-19 𝜇 Laju kematian alami 𝜇 𝑖 Laju kematian karena covid-19 V Vaksinasi S Populasi yang rentan (s usceptible )  terinfeksi Covid-19 I Populasi yang terinfeksi ( infection ) Covid-19 R
Populasi yang telah sembuh ( recovered) dari Covid-19
Berdasarkan  skema  model  epidemi  SIR  kasus  penyebaran  Covid-19  pada  Gambar  1,  maka  laju  perubahan jumlah individu pada setiap sub-populasi dapat ditafsirkan seperti pada persamaan (1) – (3) 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜋 − ((1 − 𝑣)𝐼 + 𝛼𝐼 + 𝑣 + 𝜇)𝑆
(1)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆𝐼 + (1 − 𝑣)𝑆𝐼 − (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇)𝐼
(2) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽𝐼 + 𝑣𝑆 − 𝜇𝑅 (3)

## 3.2 Titik Kesetimbangan Model SIR

## 3.2.1 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Untuk menentukan titik kesetimbangan bebas penyakit maka setiap persamaan pada persamaan (1)- (3), harus sama dengan nol, yaitu 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0 , dan 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0 , sehingga diperoleh persamaan (4) – (6)
0 = 𝜋 − ((1 − 𝑣)𝐼 + 𝛼𝐼 + 𝑣 + 𝜇)𝑆 (4) 0 = 𝛼𝑆𝐼 + (1 − 𝑣)𝑆𝐼 − (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇)𝐼 (5) 0 = 𝛽𝐼 + 𝑣𝑆 − 𝜇𝑅 (6)
Selanjutnya dengan menggunakan metode subtitusi sederhana akan ditentukan nilai S, I, dan R untuk titik kesetimbangan bebas penyakit model SIR.
Titik keseimbangan bebas penyakit merupakan keadaan dimana tidak terjadi penyebaran COVID-19, yaitu 𝐼 = 0 . Dengan manipulasi aljabar pada persamaan (4)-(6) maka diperoleh persamaan (7)-(9) berikut:
𝑆 = 𝜋
(1−𝑣)𝐼+𝛼𝐼+𝑣+𝜇 (7)
𝐼 = 𝛼𝑆𝐼+(1−𝑣)𝑆𝐼 𝛽+𝜇 𝑖 +𝜇 (8)
𝑅 = 𝛽𝐼+𝑣𝑆 𝜇 (9)
Dengan melakukan subtitusi pada persamaan (7)-(9) dengan terlebih dahulu menentukan nilai I = 0 maka diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit model SIR penyebaran Covid-19 yaitu
(𝑆, 𝐼, 𝑅) = ( 𝜋 𝑣+𝜇 , 0, 𝑣𝜋 𝜇(𝑣+𝜇) ) (10)

## 3.2.2 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  dapat  dicari  dengan  menggunakan  metode next  generation  matrix . Matriks ini dibentuk dengan memperhatikan bagian  positif dan bagian negatif pada laju penularan populasi terinfeksi yaitu populasi infected .
𝑁𝐺𝑀 = 𝑇Σ −1
(11)
Berdasarkan sistem persamaan (2), maka: 𝑇 = 𝛼𝑆𝐼 + (1 − 𝑣)𝑆𝐼
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Σ = (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇)𝐼 Sehingga diperoleh 𝑇 = [𝛼𝑆 + (1 − 𝑣)𝑆] Σ = [𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇] (12)
Maka didapatkan invers dari matriks persamaan (12) yaitu
Σ −1 = [ 1 𝛽+𝜇 𝑖 +𝜇 ] (13)
Selanjutnya dilakukan perkalian antara 𝑇Σ −1 , diperoleh
𝑁𝐺𝑀 = (𝛼𝑆 + (1 − 𝑣)𝑆) ( 1 𝛽+𝜇 𝑖 +𝜇 ) = 𝛼𝑆+(1−𝑣)𝑆 𝛽+𝜇 𝑖 +𝜇
Dengan melakukan substitusi titik kesetimbangan bebas penyakit ke NGM, diperoleh
𝑁𝐺𝑀 = ( 𝛼+1−𝑣 𝛽+𝜇 𝑖 +𝜇 ) ( 𝜋 𝑣+𝜇 ) = 𝜋(𝛼+1−𝑣) (𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇 𝑖 +𝜇) (14) Maka diperoleh bilangan reproduksi dasar, yaitu 𝑅 0 = 𝜋(𝛼+1−𝑣) (𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇 𝑖 +𝜇) (15) 3.2.3 Titik Kesetimbangan Endemik
Dengan melakukan substitusi persamaan (15) ke persamaan (7) – (9), diperoleh 𝑆 = 𝜋 (1−𝑣)𝐼+𝛼𝐼+𝑣+𝜇 (16)
𝐼 = 𝑅 0 (𝑣+𝜇)𝑆𝐼 𝜋 (17)
𝑅 = 𝛽𝐼+𝑣𝑆 𝜇 (18)
Berdasarkan persamaan (17) diperoleh
𝑆 = 𝜋 𝑅 0 (𝑣+𝜇) (19) Substitusi persamaan (19) ke persamaan (16), maka didapatkan (1 − 𝑣)𝐼 + 𝛼𝐼 = 𝑅 0 (𝑣 + 𝜇) − (𝑣 + 𝜇)
(20)
𝐼 = 𝑅 0 (𝑣+𝜇)−(𝑣+𝜇) 1−𝑣+𝛼
𝐼 = (𝑣+𝜇)(𝑅 0 −1) 1−𝑣+𝛼
(21)
Selanjutnya subtitusi persamaan (19) dan persamaan (21) ke persamaan (18), diperoleh:
𝑅 = 𝛽( (𝑣+𝜇)(𝑅0−1) 1−𝑣+𝛼 )+𝑣( 𝜋 𝑅0(𝑣+𝜇) ) 𝜇
= 𝛽(𝑣+𝜇) 2 𝑅 0 (𝑅 0 −1)+𝑣𝜋(1−𝑣+𝛼) 𝜇(𝑣+𝜇)(1−𝑣+𝛼)𝑅 0 (22)
Sehingga diperoleh titik kesetimbangan endemik
(𝑆, 𝐼, 𝑅) = ( 𝜋 𝑅 0 (𝑣+𝜇) , (𝑣+𝜇)(𝑅 0 −1) 1−𝑣+𝛼 , 𝛽(𝑣+𝜇) 2 𝑅 0 (𝑅 0 −1)+𝑣𝜋(1−𝑣+𝛼) 𝜇(𝑣+𝜇)(1−𝑣+𝛼)𝑅 0 ) (23)

## 3.2.4 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Berdasarkan persamaan (1) - (4) dapat dibentuk matriks jacobian ( J ) berikut: 𝐽 = [ −((1 − 𝑣)𝐼 + 𝛼𝐼 + 𝑣 + 𝜇) ((1 − 𝑣) + 𝛼)𝑆 0 −(𝛼 + 1 − 𝑣)𝐼 (𝛼 + 1 − 𝑣)𝑆 − (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇) 0 𝑣 𝛽 −𝜇 ] (24)

## Teorema 1
Titik kesetimbangan bebas penyakit model matematika penyebaran Covid-19 dikatakan stabil jika R 0  1dan tidak stabil jika R 0 > 1. Bukti : Subtitusi titik kesetimbangan bebas penyakit ke matriks J , sehingga diperoleh matriks
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
𝐽 =
[ 𝑣 + 𝜇 𝜋(1−𝑣+𝛼)
𝑣+𝜇 0 0 𝜋(𝛼+1−𝑣) 𝑣+𝜇 − (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇) 0 𝑣 𝛽 −𝜇]
(25)
Kemudian dicari nilai eigen dari matriks (25): |𝜆𝐼 − 𝐽| = 0
|𝜆𝐼 − 𝐽| = | | 𝜆 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] −
[ 𝑣 + 𝜇 𝜋(1 − 𝑣 + 𝛼)
𝑣 + 𝜇 0 0 𝜋(𝛼 + 1 − 𝑣) 𝑣 + 𝜇 − (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇) 0
𝑣 𝛽 −𝜇] | | = 0 |𝜆𝐼 − 𝐽| = || 𝜆 + (𝑣 + 𝜇) − 𝜋(1−𝑣+𝛼) 𝑣+𝜇 0 0 𝜆 − 𝜋(𝛼+1−𝑣) 𝑣+𝜇 + (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇) 0 −𝑣 −𝛽 𝜆 + 𝜇 || = 0 (26)
Selanjutnya substitusi S pada persamaan (25) sehingga diperoleh
0 = (𝜆 + 𝑣 + 𝜇) (𝜆 − 𝜋(𝛼+1−𝑣)
𝑣+𝜇 + 𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇) (𝜆 + 𝜇) (27) Sehingga diperoleh nilai eigen 𝜆 1 = −(𝑣 + 𝜇) (28) 𝜆 2 = − (𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇 − 𝜋(𝛼+1−𝑣) 𝑣+𝜇 ) (29)
𝜆 3 = −𝜇 (30)
Karena 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 < 0 maka  dapat  dikatakan  bahwa  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  stabil asimtotik.■ Teorema 2 Titik kesetimbangan endemik model matematika penyebaran Covid-19 stabil asimptotik . Bukti:
Titik  kesetimbangan endemik berlaku  untuk  I  ≠  0,  maka  berdasarkan  matriks J pada  persamaan  (24), diperoleh matriks:
𝐽 = [− −𝑅 0 𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇 0 (𝑣 + 𝜇)(𝑅 0 − 1) 0 0 𝑣 𝛽 −𝜇 ] (31)
Nilai eigen diperoleh sebagai berikut: |𝜆𝐼 − 𝐽| = 0
|𝜆 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] − [ −𝑅 0 𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇 0 −(𝑣 + 𝜇)(𝑅 0 − 1) 0 0 𝑣 𝛽 −𝜇 ]| = 0
| 𝜆 + 𝑅 0 −(𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇) 0 (𝑣 + 𝜇)(𝑅 0 − 1) 𝜆 0 −𝑣 −𝛽 𝜆 + 𝜇 | = 0

## Diperoleh
0 = (𝜆 + 𝜇)[(𝜆 + 𝑅 0 )(𝜆) + (𝑣 + 𝜇)(𝛽 + 𝜇 𝑖 + 𝜇)(𝑅 0 − 1)]
(32)
Berdasarkan aturan tanda descartes maka dapat dikatakan bahwa persamaan karakteristik (32) memiliki nilai negatif  untuk  semua  solusi  yang  ada  atau 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 < 0 .  Sehingga  dapat  disumpulkan  bahwa  titik kesetimbangan endemik model SIR penyebaran Covid-19 dengan pengaruh vaksinasi stabil asimtotik. ■
3.3 Simulasi Model Matematika SEIR Penyebaran Covid-19 di Sulawesi Selatan
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Simulasi  model  Matematika  SEIR  Penyebaran  Covid-19  di  Sulawesi  Selatan  dilakukan menggunakan software Maple. Nilai awal ( ) 0 S , ( ) 0 I , ( ) 0 R dan nilai parameter dari model yang digunakan dalam simulasi ini disajikan pada Tabel 2 dan Tabel 3.
Tabel 2. Nilai Awal Model SIR Covid-19 Sulawesi Selatan Variabel Nilai Sumber 𝑆 0.846 Kemenkes 2022 𝐼 0.130 Kemenkes 2022 𝑅 0.012 Kemenkes 2022 Tabel 3. Nilai parameter Model SIR Covid-19 Sulawesi Selatan Parameter Nilai Sumber 𝜋 0.0188 [9] 𝛼 0.4 [9] v 0.233 [9] 𝛽 0.075 [8] 𝜇 0.002 [8] 𝜇 𝑖 0.0035 Covid19.go.id
Berdasarkan nilai variabel dan parameter pada Tabel 2 dan 3, maka diperoleh hasil simulasi seperti yang ditampilkan pda gambar 2
Gambar 2. Grafik hasil simulasi Model SIR penyebaran Covid 19
Berdasarkan  Gambar  2  terlihat  bahwa  jumlah individu  yang  sembuh atau  kebal terhadap  Covid-19 makin  meningkat  seiring  waktu  dan  melebihi  jumlah  susceptible  yang  terlihat  semakin  menurun  dengan bertambahnya  waktu.  Meskipun  terlihat  pula  bahwa  kelompok  individu  terinfeksi  makin  meningkat  secara perlahan  namun  laju  kesembuhan  yang  tinggi  membuat  jumlah  kelompok  individu  yang  terinfeksi  tetap berada dibawah jumlah individu yang kebal atau sembuh dari penyakit Covid 19

## 3.4 Pembahasan
Model  SIR  dan  SEIR  membangun  model  penularan  Tuberculosis  (TB),  melakukan  analisis  dan memprediksi jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan (Abdy et al , 2021) (Abdy & Maryam, 2022) (Ramadhani, 2022)  (Elif et  al, 2011).  Kemudian  Rangkuti et  al (2014)  membangun  model  penularan  Demam  Berdarah (DBD),  melakukan  analisis  dan  memprediksi  jumlah  kasus  Demam  Berdarah  di  Sulawesi  Selatan.  Model SEIR  ini  tidak  mempertimbangkan  pengaruh  vaksin  saat  melakukan  analisis  pada  model  SIR  penyebaran
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Covid-19,  sedangkan  hasil  penelitian  ini  membangun  model  penyebaran  COVID-19  dengan mempertimbangkan pengaruh vaksinasi pada populasi COVID-19 di Sulawesi Selatan. Hasil Simulasi model SIR pada penyebaran COVID-19 memberikan informasi dan prediksi jumlah kasus COVID-19 di Sulawesi Selatan  sehingga  hasil  simulasi  ini  sangat  membantu  dalam  meningkatkan  kemampuan  strategi  dalam mengawal dan mengontrol jumlah kasus penyebaran COVID-19.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian,  disimpulkan  bahwa  model  SIR  dengan  pengaruh  vaksinasi  dapat menjadi acuan untuk melihat penyebaran COVID-19 di Sulawesi Selatan. Analisis model memberikan bukti bahwa  model  yang  diperoleh  memiliki  titik  kesetimbangan  yang  stabil.  Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh juga  dapat  dilihat  bahwa  vaksinasi  sangat  berpengaruh  terhadap  penyebaran  covid-19  di  Sulawesi  Selatan, sehingga  diperlukan  adanya  kesadaran  bagi  masyarakat  Sulawesi  Selatan  untuk  mengikuti  anjuran pemerintah agar melakukan vaksinasi guna mencegah atau menurunkan laju penularan covid-19 di Sulawesi Selatan.

## DAFTAR PUSTAKA
Alam,  M.F.  dan  Abadi.  (2021).  Model  Matematika  Penularan  Penyakit  Covid-19  dengan  Penerapan Vaksinasi  Dua  Dosis:  Studi  Kasus  Di  Sidoarjo,  Sulawesi  Selatan. Jurnal  Ilmiah  Matematika MATHUnesa . 9 (1). 501-513. https://doi.org/10.26740/mathunesa.v9n3.p501-513
RundIe, C. W., PresIey, C. L., MiIiteIIo, M., Barber, C., PoweII, D. L., Jacob, S. E., Atwater, A. R., Watsky, K. L., Yu, J., & Dunnick, C. A. (2020). Hand hygiene during COVID-19: Recommendations from the American Contact Dermatitis Society. JournaI of the American Academy of DermatoIogy , 83 (6),
1730–1737. https://doi.org/10.1016/j.jaad.2020.07.057
Kemenkes  RI.  (2020). Pedoman  Pencegahan  Dan  PengendaIian  Coronavirus  Disease  (Covid-19) . Kemenkes RI.
Annas,  S.,  Side,  S.,  Pratama,  M.I.,  Rifandi,  M.,  Sanusi,  W.  2020.  Stability  Analysis  and  Numerical Simulation  of  SEIR  Model  for  Pandemic  COVID-19  Spread  in  Sulawesi  Selatan. Journal:  Chaos, Solitons & Fractals, 139, 110072. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110072
Wahyuni,  W.,  &  Kurniawidjaja,  M.  (2022).  Kepatuhan  perilaku  cuci  tangan  tenaga  kesehatan  pada  masa pandemi covid-19: A systematic review. PREPOTIF: Jurnal Kesehatan Masyarakat , 6 (1), 268-277.
Tanto, T., & Handayani, H. (2022). Literature Review: Determinan Kepatuhan Terhadap Protokol Kesehatan COVID-19 di Indonesia. Jurnal Ilmu Kesehatan Masyarakat , 11 (02), 127-136.
Egonmwan,  A.  O.,  &  Okuonghae,  D.  (2019).  Analysis  of  a  mathematical  model  for  tuberculosis  with diagnosis. Journal of applied mathematics and computing , 59 , 129-162.
Abdy, M., Side, S., Annas, S., Nur, W., & Sanusi, W. (2021). An SIR epidemic model for COVID-19 spread with  fuzzy  parameter:  the  case  of  Indonesia. Advances  in  difference  equations , 2021 ,  1-17. https://doi.org/10.1186/s13662-021-03263-6
Abdy,  M.  (2022).  Pemodelan  Matematika  SIAS-SI  pada  Penyebaran  Penyakit  Malaria  Asimtomatik  dan Super Infeksi. SAINTIFIK , 8 (1), 1-9. https://doi.org/10.31605/saintifik.v8i1.360
Ramadhani,  S.  E.  (2021). MODEL  MATEMATIKA  PENYEBARAN  COVID-19  DENGAN  PENGARUH PENGOBATAN. MATHunesa: Jurnal Ilmiah Matematika , 9 (1), 141-152.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Tang,  B.,  Wang,  X.,  Li,  Q.,  Bragazzi,  N.  L.,  Tang,  S.,  Xiao,  Y.,  &  Wu,  J.  (2020).  Estimation  of  the transmission  risk  of  the  2019-nCoV  and  its  implication  for  public  health  interventions. Journal  of clinical medicine , 9 (2), 462.
Diekmann, O., Heesterbeek, J. A. P., & Roberts, M. G. (2010). The construction of next-generation matrices for compartmental epidemic models. Journal of the royal society interface , 7 (47), 873-885.
Dontwi I. K, W. Obeng D, E.A Andam& L. Obiri A. 2014.. A mathematical model to predict the prevalence and  transmission  dynamics  of  tuberculosis  in  amansie  west  district,  Ghana. British  Journal  of Mathematics & Computer Science . 4(3): 402-4025.
Spencer, J. A., Shutt, D. P., Moser, S. K., Clegg, H., Wearing, H. J., Mukundan, H., & Manore, C. A. (2020). Epidemiological  parameter  review  and  comparative  dynamics  of  influenza,  respiratory  syncytial virus, rhinovirus, human coronavirus, and adenovirus. MedRxiv , 10 (2020.02), 04-20020404.
Rusliza A and Harun Budin, (2012). Stability Analysis of Mutualism Population Model with Time Delay. International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering . 6(2): 151-155.
Apenteng, O. O., & Ismail, N. A. (2017). Modelling the spread of HIV and AIDS epidemic trends in male and female populations. World Journal of Modelling and Simulation , 13 (3), 183-192.
Demirci, E., & Unal, A. (2011). A fractional order SEIR model with density dependent death rate. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics , 40 (2), 287-295.
Rangkuti, Y. M., Side, S. and M.S.M Noorani. (2014). SEIR model for transmission of dengue fever. ITBC Journal of Science (Journal of Mathematical and Fundamental Sciences). 46A (1). 91-105.
Rosdiana.  (2015).  Pemodelan  Matematika  SIR  dengan  Vaksin  pada  Penyebaran  Penyakit  Hepatitis  B. Skripsi, Universitas Negeri Makassar.
Side,  S.  (2015).  A  susceptible-infected-recovered  model  and  simulation  for  transmission  of tuberculosis. Advanced Science Letters , 21 (2), 137-139.