Vol. 11, No. 2,  105-114,  Januari  2015
Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit
Rezki Setiawan Bachrun * ,Khaeruddin ** ,Andi Galsan Mahie ***

## Abstrak
Salah  satu  fenomena  fisik  yang  sering  dijadikan  sebagai  studi  rekayasa  dan  melibatkan  model matematika  adalah  fenomena  gelombang  pada  sebuah  gendang  berbentuk  segiempat.  Model matematika yang terbentuk dari fenomena gelombang merupakan suatu Persamaan Diferensial Parsial (PDP).  Pada  penelitian  ini,  model  PDP  pada  gelombang  diselesaikan  secara  numerik  dengan menerapkan  metode  beda  hingga,  menggunakan  skema Alternating  Direction  Implicit (ADI)  dengan melibatkan  beberapa  masalah  syarat  batas  dan  syarat  awal.  Masalah  syarat  batas  yang  digunakan adalah  masalah  syarat  batas  Dirichlet.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  skema  ADI  konsisten terhadap  PDP  awal  dan  stabil  pada  saat
.  Solusi  numerik  yang  diperoleh  pada  skema ADI konvergen terhadap solusi analitiknya.
Kata Kunci : Persamaan gelombang, numerik, metode beda hingga, Alternating Direction Implicit,syarat batas Dirichlet, konsisten, stabil, konvergen.

## 1. PENDAHULUAN
Fenomena  gelombang  merupakan  suatu  gejala  alam  yang  penting  untuk  dipelajari  karena mempunyai  pengaruh  terhadap  beberapa  studi  rekayasa.  Fenomena  tersebut  terjadi  dalam berbagai  macam  situasi  fisik,  salah  satunya  pada  sebuah  gendang.  Salah  satu  metode  numerik yang  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  PDP  adalah  metode  beda  hingga.  Metode  beda hingga  mudah  digunakan  dalam  penyelesaian  masalah  fisik  yang  mempunyai  bentuk  geometri teratur,  seperti  interval  dalam  satu  dimensi,  kotak  dalam  dua  dimensi  atau  kubik  dalam  tiga dimensi [4].
Dalam  metode  beda  hingga  dengan  skema  implisit  terdapat  beberapa  metode  yang  dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan gelombang dua dimensi, salah satunya adalah metode Alternating  Direction  Implicit (ADI),  dimana  metode  ADI  dapat  memberikan  hasil  pendekatan yang relatif lebih efisien dibandingkan dengan metode implisit lainnya [2]. Kemampuan metode beda hingga tersebut karena didukung oleh kemajuan yang sangat pesat dalam bidang komputer, baik  dalam  software  maupun  hardware.  Dengan  kecanggihan  software  maupun  hardware  pada komputer sekarang, masalah rekayasa yang rumit dapatdimodelkan dengan relatif mudah. Waktu yang diperlukan untuk memecahkan masalah pun semakin singkat [5]. Tujuan dari penelitian ini adalah  untuk  mengetahui  solusi  numerik  dari  persamaan  gelombang  dua  dimensi  menggunakan metode ADI. 1

## 2. BAHAN DAN METODE

## A. Persamaan Gelombang dan Objek Pengamatan
Diketahui bentuk persamaan gelombang dua dimensi, yaitu:
. / (1)
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
dimana dengan ( ) menyatakan  tegangan  dan ( ) menyatakan  massa jenis  membran  [3].  Bentuk  domain  dari  Persamaan ( ) digambarkan  pada  Gambar ( ) sebagai berikut:

## Gambar 1. Segmen membran yang merupakan objek pengamatan
Pada  Gambar ( ) menunjukkan  objek  pengamatan  perambatan  gelombang  pada  bagian membran  yaitu  diambil  dari  satu  garis  dari  sisi  luar  membran  pada  gendang  segiempat  yaitu dan sampai pada sisi luar yang satunya yaitu dan . Segmen  membran tersebut akan diamati perubahannya dari waktu awal ( ) hingga waktu yang ditentukan ( ) .

## B. Metode Beda Hingga
Metode  beda  hingga  adalah  suatu  metode  numerik  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan suatu PDP dengan menggunakan pendekatan deret Taylor . Deret Taylor dalam artian fisik dapat diartikan sebagai “suatu besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu tertentu dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang mempunyai perbedaan kecil dengan ruang dan waktu tinjauan” [1].
Secara matematis deret Taylor dapat dinyatakan sebagai berikut: Andaikan dan  semua  turunannya
kontinu  di  dalam  selang ,    - .  Misalkan ,    - , maka untuk nilai-nilai disekitar dan ,    - , dapat diekspansi ke dalam deret Taylor [5]
( )    ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )                                               ( )
Persamaan ( ) merupakan penjumlahan dari suku-suku yang disebut deret. Jika dimisalkan , maka ( ) dapat dinyatakan sebagai berikut [2]:
( )    ( )   ∑ (  ) ( ) ( ) (3)
Berdasarkan  ekspansi  deret Taylor pada  Persamaan ( ) terdapat  tiga  skema  beda  hingga yang dapat digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu beda maju, beda mundur, dan beda pusat.
Dengan  menggunakan  Persamaan ( ) maka  diperoleh  skema  beda  hingga  untuk  orde pertama yaitu:
| . / *(  )+ (4)
| . / *(  )+ (5) | (  ) *(  ) + (6)
dimana merupakan  tingkat  kesalahan  pada  suku  terbesar  dari  sisa  deret.  Persamaan ( )  ( ) dan ( ) berturut-turut merupakan skema beda maju, beda mundur, dan beda pusat untuk orde pertama.

## Rezki Setiawan Bachrun, Khaeruddin, Andi Galsan Mahie
Dengan menggunakan cara yang sama, skema beda pusat orde kedua diperoleh:
| . / *(  ) + (7)
Dalam  menyelesaikan  suatu  PDP  yang  dinyatakan  dengan  fungsi (       ) terdapat persoalan  masalah  syarat  batas,  dimana  pada  penelitian  ini  menggunakan  masalah  syarat  batas Dirichlet dengan artian nilai konstanta ditetapkan diseluruh batas pada domain [2].
Dalam  menyelesaikan  suatu  PDP  dengan  menggunakan  suatu  metode  numerik,  dimana metode tersebut dikatakan dapat menyelesaikan suatu PDP yang dihampiri jika memenuhi 3 sifat yaitu konsistensi, kestabilan, dan konvergensi.

## C. Persoalan Konsistensi
Terminologi  konsistensi  menunjukkan  bahwa  solusi  dengan  Persamaan  Beda  Hingga (PBH)  merupakan  pendekatan  solusi  dari  PDP  yang  diharapkan  secara  analitik,  bukan  solusi persamaan yang lain [7].
Secara matematis konsistensi PBH dapat dinyatakan sebagai berikut: Misalkan  PDP  merupakan  persamaan  diferensial  parsial  dan  PBH  merupakan  persamaan beda hingga dari sebuah PDP, suatu PBH dikatakan konsisten terhadap PDP yang didekati yaitu [6]; ika (          ) maka

## D. Persoalan Kestabilan
Penerapan  suatu  metode  numerik  pada  suatu  PDP  menghasilkan  suatu  PBH.  Solusi numerik dari PBH belum tentu menghasilkan solusi yang sama dengan solusi analitik dari suatu PDP.  Suatu  PBH  dikatakan  stabil  jika  solusi  yang  dihasilkannya  terbatas,  sehingga  dalam merumuskan suatu PBH diperlukan suatu analisis kestabilan [2].
Dalam  menganalisis  kestabilan  suatu  PBH,  ada  beberapa  metode  yang  dapat  digunakan, pada penelitian ini metode analisis kestabilan yang digunakan yaitu melalui pendekatan terhadap solusi numerik yang diperoleh melalui pemilihan panjang grid tertentu.
Secara matematis stabilitas PBH dapat dinyatakan sebagai berikut: Sebuah PBH dari sebuah PDP dikatakan stabil jika [6]:
| |   |
(         ) (         ) |   | |
Jika  untuk  nilai
dan tertentu  memenuhi | | dikatakan  stabil  bersyarat  dan jika untuk semua nilai dan memenuhi | | dikatakan stabil tak bersyarat.

## E. Persoalan Konvergensi
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menganalisis konvergensi suatu PBH yaitu dengan memperhatikan galat absolut yang dihasilkan, apabila panjang gridnya dibuat menuju nol maka galat absolut yang diperoleh juga menuju nol. Karena dalam penelitian ini tidak diperoleh solusi  analitiknya  maka  metode  alternatif  yang  digunakan  yaitu  dengan  memperhatikan  galat relatif yang dihasilkan.
Secara matematis konvergensi PBH dapat dinyatakan sebagai berikut:
Misalkan merupakan  solusi  analitik  dari  sebuah  PDP  dan merupakan  solusi numerik  dengan  menggunakan  PBH.  Sebuah  PBH  dikatakan  konvergen  terhadap  PDP  yang didekati yaitu [6]:
ika (          ) maka

## 3. PEMBAHASAN

## A. Diskritisasi Persamaan Gelombang
Melalui suatu PBH, benda atau struktur yang akan dianalisis dibagi atau dipotong kedalam bagian-bagian  kecil  ( grid ),  inilah  yang  dinamakan  sebagai  diskritisasi.  Banyaknya  grid  yang dibentuk bergantung pada panjang grid.
Bentuk diskritisasi untuk titik (       ) diubah menjadi subskrip (       ) , dimana: Dimensi ruang dengan titik dinyatakan dengan indeks , Dimensi ruang dengan titik dinyatakan dengan indeks , Dimensi waktu dengan titik dinyatakan dengan indeks . Sedangkan untuk masing-masing panjang grid, yaitu: dimana dimana dan dimana

## B. Metode ADI
Di  dalam  formulasi  skema  ADI  untuk  dimensi  waktu ( ) dan  dimensi  ruang (    ) menggunakan  pendekatan  beda  pusat  orde  kedua.  Skema  ADI  disusun  berdasarkan  pada  syarat awal dan syarat batas yang diberikan.
PBH  pada  skema  ADI  membentuk  dua  persamaan  simultan  yang  harus  dikerjakan  secara berurutan yaitu tahap sweep dan sweep. Tahap sweep digunakan untuk memperoleh
nilai-nilai pada step waktu
. Dengan mensubstitusi Persamaan ( ) ke Persamaan ( ) yang merupakan persamaan gelombang, dengan demikian diperoleh:
( ) ( ) (8) dimana (  ) (  ) (  ) (  ) dan . Sedangkan  untuk  tahap sweep  digunakan  untuk  memperoleh  nilai-nilai  pada  step waktu
dengan  melibatkan  nilai-nilai  yang  diperoleh  pada  tahap sweep.  Dengan mensubstitusi Persamaan ( ) ke Persamaan ( ) yang merupakan persamaan gelombang, dengan demikian diperoleh:
( ) ( ) ( ) dimana (  ) (  ) (  ) (  ) dan .
Persamaan ( ) dan ( ) merupakan  PBH  skema  ADI  yang  digunakan  untuk  menentukan nilai-nilai (       ) pada setiap domain yang telah didiskritisasi. Dengan syarat awal, yaitu:
(    ) untuk (    ) untuk
Sedangkan untuk syarat batasnya, yaitu:
untuk untuk
Berikut gambar jaringan titik hitung dengan menggunakan skema ADI pada penyelesaian persamaan gelombang:

## Gambar2. Jaringan titik hitung dengan skema ADI

## C. Analisis Konsistensi
Dalam  tinjauan  konsistensi  suatu  PBH,  dapat  dilakukan  dengan  mensubstitusi  bentuk ekspansi  deret Taylor pada  setiap  bentuk  diskritisasi  yang  terlibat  dalam  PBH  yang  diperoleh.
Dalam hal ini ekspansi deret Taylor yang dimaksud adalah:
1) Ekspansi deret Taylor dari disekitar , dapat dinyatakan dengan: . / . /
(10)
2) Ekspansi deret Taylor dari disekitar , dapat dinyatakan dengan: (  ) (  ) (11) 3) Ekspansi deret Taylor dari disekitar , dapat dinyatakan dengan: (  ) (  ) (12) 4) Ekspansi deret Taylor dari disekitar , dapat dinyatakan dengan: . / . /
(13)
5) Ekspansi deret Taylor dari disekitar , dapat dinyatakan dengan: (  ) (  ) (14)
Dari setiap bentuk ekspansi deret Taylor yang diperoleh disubstitusi kedalam skema ADI yaitu tahap sweep dan . Untuk tahap dengan mensubstitusi Persamaan
(  ) , (  ) ,  dan (  ) ke  persamaan  awal  pada tahapan dan  untuk  tahap dengan  mensubstitusi  Persamaan (  ) , (  ) ,  dan (  ) ke  persamaan  awal  pada  tahapan , sehingga keduanya diperoleh:
(  ) 0( (  ))    . (  )/1 (15) Kemudian Persamaan (  ) panjang gridnya dibuat menuju nol, sehingga diperoleh:
( )
Dari hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa PBH dengan skema ADI konsisten terhadap PDP awal ketika panjang gridnya dibuat menuju nol.

## Rezki Setiawan Bachrun, Khaeruddin, Andi Galsan Mahie

## D. Simulasi Komputasi
Dengan menggunakan software Matlab R2009a , dilakukan beberapa simulasi kasus dengan menggunakan skema ADI. Pertama-tama dilakukan suatu pendefinisian pada koefisien tegangan, massa  jenis  membran,  panjang  membran ( ) ,  lebar  membran ( ) ,  serta  waktu  simulasi ( ) . Dilanjutkan dengan pendefinisian panjang grid, syarat awal dan syarat batas. Pada bagian proses, digunakanlah  PBH  skema  ADI  dengan  menentukan  jaringan  titik  hitungnya  melalui  penentuan indeks (       ) , tentunya pada bagian ini terjadi perhitungan secara berulang-ulang. Kasus I Parameter-parameter yang diberikan:
Koefisien (    ) Panjang membrane ( ) Lebar membran ( ) Waktu simulasi ( ) Panjang grid
Jumlah grid Jumlah grid Step waktu
Dengan syarat awal: (       )      ( )( ) (       ) dimana dan
.  Dengan  parameter-parameter  yang  diberikan,  diperoleh  grid yang terbentuk berukuran (       ) .
Gambar3. Kondisi awal pada saat
untuk kasus I Gambar ( ) merupakan visualisasi kondisi membran pada saat . Selanjutnya dengan maka  membentuk
matriks  dengan  ukuran (       ) .  Untuk  tahapan  waktu yang  pertama  dan  kedua  dinyatakan  pada  syarat  awal  sedangkan  untuk  tahapan  selanjutnya menggunakan nilai-nilai pada dua tahapan sebelumnya.
Berikut visualisasi perubahan gelombang yang terjadi dari waktu ke waktu:

## Rezki Setiawan Bachrun, Khaeruddin, Andi Galsan Mahie
Gambar4. Kondisi perambatan gelombang pada kasus I
Gambar ( ) menunjukkan perubahan perambatan gelombang pada saat , , , dan . Kasus II Parameter-parameter yang diberikan: Koefisien (    ) Panjang membran ( )
Lebar membran ( ) Waktu simulasi ( ) Panjang grid
Jumlah grid Jumlah grid Step waktu
Dengan syarat awal:
(       )      (  )     . /    (  ) (       ) dimana dan . Dengan parameter-parameter yang diberikan, diperoleh grid yang terbentuk berukuran (       ) .
Gambar5. Kondisi awal pada saat
untuk kasus II Gambar ( ) merupakan visualisasi kondisi membran pada saat . Selanjutnya dengan maka  membentuk
matriks  dengan  ukuran (       ) .  Untuk  tahapan  waktu yang  pertama  dan  kedua  dinyatakan  pada  syarat  awal  sedangkan  untuk  tahapan  selanjutnya menggunakan nilai-nilai pada dua tahapan sebelumnya.
Berikut visualisasi perubahan gelombang yang terjadi dari waktu ke waktu:

## Rezki Setiawan Bachrun, Khaeruddin, Andi Galsan Mahie
Gambar6. Kondisi perambatan gelombang pada kasus II
Gambar ( ) menunjukkan  perubahan  perambatan  gelombang  pada  saat , ,
, dan .

## E. Analisis Kestabilan
Pada  penelitian  ini  menganalisis  kestabilan  skema  ADI  hanya  didekati  berdasarkan pemilihan  panjang  grid  tertentu.  Hal  ini  disebabkan  karena  skema  ADI  dalam  menganalisis kestabilan  meng-gunakan  metode  analitik  relatif  sulit.  Jadi  dari  hasil  uji  simulasi,  apabila diperbesar  sedangkan dan tetap,  diperoleh  bahwa  skema  ADI  stabil  pada  saat .
Gambar9. Syarat Kestabilan Skema ADI.

## F. Analisis Konvergensi
Dalam  uji  konvergensi  skema  ADI,  dilakukan  melalui  pengamatan  dari  galat  relatif  yang dihasilkan karena pada penelitian ini tidak diperoleh solusi analitiknya. Galat relatif ini dihitung dengan perhitungan matematika sebagai berikut:
| ( ) ( ) ( ) |
Kasus  2  pada  titik . / dipilih  sebagai  pusat  pengamatan.  Metode  yang  diterapkan yaitu  dengan  melakukan  pemilihan  panjang  grid , ,  dan tertentu  pada  kondisi  stabil, kemudian  untuk  pengamatan  selanjutnya  ukuran  grid  ruangnya  yaitu  setengah  dari  pengamatan sebelumnya sedangkan grid waktunya tetap. Hasil daripengamatan uji konvergensi skema ADI ini disajikan pada Tabel ( ) .
( ) Galat (%)
Tabel1. Uji
konvergensi skema
ADI.
Tabel ( ) menunjukkan  5  pengamatan  untuk  kasus  2  pada  titik  tinjauan  dengan menggunakan  panjang  grid  yang  berbeda-beda.  Dari  pengamatan  solusi  yang  dihasilkan  pada Tabel ( ) , diperoleh grafik sebagai berikut:
Gambar 9. Tingkat galat relatif.

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  pembahasan  yang  telah  dijelaskan  sebelumnya  bahwa  metode  beda  hingga  dengan skema  ADI  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  persoalan  persamaan  gelombang  dimana penelitian  ini  menggunakan  fenomena  gelombang  pada  sebuah  gendang  yang  berbentuk segiempat.  Penggunaan  metode  beda  hingga  dengan  skema  ADI  konsisten  terhadap  PDP  awal. Dari hasil uji simulasi yang dilakukan dengan bantuan software Matlab R2009a , diperoleh skema ADI  stabil  pada  saat
dengan  kata  lain  syarat  kestabilannya  berupa  stabil bersyarat.  Sedangkan  kekonvergenan  skema  ADI  menghasilkan  solusi  yang  konvergen  melalui pendekatan tinjauan terhadap galat relatifnya ketika ukuran gridnya dibuat menuju nol. Penulisan selanjutnya  disarankan  dalam  menganalisis  kestabilan  skema  ADI  dengan  menggunakan  salah satu metode analitik. Selain itu juga, karena dalam penulisan ini hanya menggunakan galat relatif dalam  analisis  konvergensi  skema  ADI  selanjutnya  diharapkan  perlu  adanya  solusi  analitiknya, sehingga dalam analisis konvergensi skema ADI menggunakan galat absolut.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]. Anderson,  John.,  1995, Computational  Fluid  Dynamics  the  basic  and  applications edition , McGraw-Hill.
[2]. Hoffmann, Klauss A., Chiang, Steve T., 2000, Computational Fluid Dynamics Vol. II ,Wichita, USA: Engineering Education System.
1
- 2 3 4 5
[3]. Kreyzig, Erwin., 2011, Advanced Engineering Mathematics tenth edition , Wiley
[4]. Li, Qingling et al., 1998, “ eat Transfer and  ressure  rop Characteristics In Rectangular Channels  with  Elliptic   in  Fins”, International  Journal  of  Heat  and  Fluid  Flow ,  pp.  245- 250.
[5]. Munir, Rinaldi., 2003, Metode Numerik , Bandung: Buku Teks Ilmu Komputer  Informatika.
[6]. Noye,  I.  John.,  1983, Computational  Techniques  for  Differential  Equation ,  Australia: Faculty of Mathematical Sciences The University of Adelaide.
[7]. Ribal,  Agustinus.,  2008, Modul  Kuliah  Metode  Beda  Hingga ,  Makassar:  Jurusan Matematika FMIPA Unhas.