Jurnal Mutiara Pendidikan Indonesia Avalilable Online http://e-journal.sari-mutiara.ac.id/index.php/JMT DOI https://doi.org/10.51544/mutiara%20pendidik.v6i1.1907

## Universitas Sari Mutiara Indonesia

## PENENTUAN GALAT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE 1 DENGAN METODE NUMERIK
Wajib Pandia 1 , Israil Sitepu 2
1 Prodi Pendidikan Matematika, Universitas Quality Medan
E-mail: wajibpandia957@gmail.com
2 Prodi Biologi, Universitas Hindu Indonesia Denpasar E-mail: israil63@gmail.com
Received: Januari 2021; Accepted: April 2021; Published: Juni 2021

## ABSTRAK
Metode numerik dapat menangani sistem persamaan besar, ketidaklinieran, dan geometri yang rumit dalam praktek  rekayasa  yang  seringkali  tidak  mungkin  dipecahkan  secara  analitik.  Perhitungan  dengan  metode numerik merupakan perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang  semakin  mendekati  nilai  penyelesaian  sebenarnya.Persamaan  diferensial  biasa  merupakan  salah  satu masalah yang dapat diselesaikan dengan metode numerik. Ada empat metode yang dapat digunakan dalam menentukan galat persamaan diferensial biasa, yaitu metode Deret Taylor, metode Runge-Kutta, metode Heun, dan  metode  Euler.Penelitian  ini  merupakan  penelitian  yang  berjenis  kepustakaan  atau  literature  yang bertujuan  mengumpulkan  data-data  dan  informasi  melalui  buku  dan  jurnal.  Tujuan  penelitian  ini  untuk mengetahui  metode  terbaik  untuk  menentukan  galat  persamaan  diferensial  biasa.Berdasarkan  soal  yang diselesaikan  dalam  menentukan  galat  persamaan  diferensial  menggunakan  metode  Deret  Taylor,  metode Runge-Kutta, metode Heun dan metode Euler, metode yang menghasilkan galat paling kecil adalah metode Runge-Kutta.
Kata kunci: Metode Numerik, Menentukan Galat Persamaan Diferensial Biasa

## ABSTRACT
Numerical  methods  can  handle  systems  of  large  equations,  nonlinearities,  and  complicated  geometries  in engineering  practice  thatoften  impossible  to  solve  analytically.  Calculations  in  numerical  methods  are calculations that  are done  repeatedly to  get  continuously obtain  results  that are getting  closer  to the  actual settlement  value.Ordinary  differential  equations  are  one  of  the  problems  that  can  be  solved  by  numerical methods. There are four methods that can be used in determining ordinary differential equation errors, namely the Taylor Series method, the Runge-Kutta method, the Heun method, and the Euler method.This research is a type of literature research that aims to collect data and information through books and journals. The purpose of this  study  is  to  find  out  the  best  method  for  determining  ordinary  differential  equation  errors.Based  on  the problem solved in determining the differential equation error using the Taylor Series method, the Runge-Kutta method, the Heun method and the Euler method, the method that produces the smallest error is the Runge-Kutta method.
Keywords: Numerical Method, Determining Ordinary Differential Equation Errors

## PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
Matematika  merupakan  salah  satu  ilmu dasar  dalam  dunia  pendidikan  yang digunakan  untuk  menunjang  ilmu-ilmu lain  seperti  ilmu  fisika,  kimia,  komputer,
dan  lain-lain.  Matematika  bukan  hanya alat  bantu  untuk  matematika  itu  sendiri, tetapi  banyak  konsep-konsepnya  yang sangat  diperlukan  oleh  ilmu  lainnya. Matematika  juga  memegang  peranan penting dalam kehidupan manusia.
Kebermaknaan konsep-konsep matematika tampak  jelas  ketika  digunakan  dalam memecahkan masalah sains, teknologi dan kehidupan sehari-hari.
Haryono  (2014:  6)  menyatakan bahwa,  banyak  filsuf  telah  menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan penalaran yang dihasilkan  dengan  memanfaatkan  bukti- bukti  matematika  dianggap  telah  dapat menghasilkan  suatu  pencapaian  yang memuaskan.  Matematika  telah  menjadi sumber  inspirasi  yang  utama  bagi  para filosof untuk mengembangkan epistemology dan metafisik.
Matematika  merupakan  ilmu  universal yang  mendasari  perkembangan  teknologi modern,  mempunyai  peranan  penting dalam berbagai displin dan mengembangkan  daya  pikir  manusia. Struktur  spesifik  yang  diselidiki  oleh matematika  sering  kali  berasal  dari  ilmu pengetahuan  alam  termasuk  didalamnya biologi,  akan  tetapi  yang  paling  umum berasal  dari  fisika  (Hasratuddin,  2015: 35).Peranan  matematika  sebagai  alat dalam  menyelesaikan  berbagai  masalah sangat  penting.  Kebanyakan  masalah  ini dimodelkan  dengan  menggunakan  suatu sistem persamaan diferensial.
Persamaan  diferensial  merupakan persamaan fungsi  turunan  yang ada dalam permasalahan matematika. Persamaan diferensial  merupakan  persamaan  yang menyangkut  turunan  dari  suatu  lebih variabel  tak  bebas.  Berdasarkan  jumlah variabel  bebasnya,  persamaan  diferensial dikelompokkan menjadi persamaan diferensial  biasa  (PDB)  dan  persamaan diferensial  parsial  (PDP).  Persamaan diferensial  biasa  adalah  persamaan  yang memuat  turunan  terhadap  fungsi  yang memuat  satu  variabel  bebas(Setiawan, 2006: 193).
Penyelesaian persamaan diferensial biasa  mempunyai  dua  cara  yaitu  dengan menggunakan  metode  analitik  dan  metode numerik. Metode analitik disebut juga metode sejati  karena  memberikan  solusi  sejati  atau
solusi sesungguhnya. Metode numerik digunakan ketika suatu  persoalan  matematika tidak mampu diselesaikan dengan menggunakan metode analitik. Metode numerik  memiliki  pengertian  yakni  teknik- teknik  yang  digunakan  untuk  merumuskan masalah-masalah  matematika  agar  dapat diselesaikan dengan operasi-operasi aritmatika (hitungan)  biasa  (tambah,  kurang,  kali,  dan bagi).  Terdapat  beberapa  metode  numerik yang  digunakan  untuk  menghitung  solusi PDB,  yaitu  metode  Deret  Taylor,  metode Runge-Kutta, metode Heun dan metode Euler. Metode  Deret  Taylor  merupakan bentuk  dari  fungsi  matematika  sebagai jumlahan  tak  hingga  dari  suku  yang  nilainya dihitung  dari  turunan  fungsi  tersebut  pada suatu  titik.  Salah  satu  fungsi  deret  Taylor adalah memberikan solusi hampiran dari suatu fungsi dalam  bentuk  polynomial, sehingga nilai penyelesaian pada suatu fungsi dapat  diperoleh  pendekatannya.  Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor. Metode ini berusaha mendapatkan  derajat  ketelitian  yang  lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan  mencari  turunan  yang  lebih  tinggi dengan  jalan  mengevaluasi  fungsi  f(x,y). Metode  Heun  merupakan  perbaikan  metode Euler.  Metode  Euler  merupakan  metode paling  sederhana  yang  diturunkan  dari  deret Taylor.
Sesuai  dengan  latar  belakang  inilah penulis  merasa  tertarik  mengambil  judul: PENENTUAN  GALAT  PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE

## 1DENGAN METODE NUMERIK

## Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menentukan galat persamaan  diferensial  biasa  orde  1 secaranumerik

## Tujuan Penulisan
Tujuan penelitian ini untuk mengetahui galat  terkecil  persamaan  diferensial  biasa orde 1 secara numerik.

## TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Diferensial
Persamaan  diferensial  (PD)  adalah  suatu persamaan  yang  mengandung  fungsi  dan turunan.Persamaan  diferensial  adalah  suatu relasi  yang  menyangkut  satu  atau  lebih turunan dari sebuah fungsi yang tak diketahui dan  mungkin  fungsi  itu  sendiri  (Maya  dan Rachmawati, 2018:1). Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut turunan  dari  satu  atau  lebih  variabel  tak bebas  terhadap  satu  atau  lebih  variabel bebas (Ross, 1984: 3). Persamaan diferensial yang melibatkan (x, y, turunannya) dapat dinyatakan dalam bentuk:F(x,y,y’,y’’,…,y (n) ) = 0 dengan  y (n) merupakan  turunan  ke-n  dari y terhadap x
(Piskunov,
1974:14). Persamaan
diferensial  biasa  (PDB)  adalah  persamaan diferensial yang menyangkut turunan biasa dari satu atau lebih variabel bebas terhadap satu variabel terikat (Ross, 1984: 4). PDB  orde  1,  yaitu  PDB  yang  turunan tertingginya adalah turunan pertama.
Contoh: 0 2   y dx dy x
Penyelesaian PDB dibagi dua yaitu:
1. Penyelesaian  Umum  (PU):  Penyelesaian PDB  yang  masih  mengandung  konstanta sebarang misalnya c.
2. Penyelesaian  Khusus  (PK):  Penyelesaian yang tidak mengandung konstanta variabel karena  terdapat  syarat  awal  pada  suatu persamaan diferensial biasa.
Contoh: PD: y’’– y’ – 2y = 0 PU: y = c 1 e -x + c 2 e 2x Jika c 1 dan c 2 masing-masing diberi harga c 1 = 2 dan c 2 = 1, maka PK: y = 2e -x + e 2x
PDB orde satu ditulis dalam bentuk persamaan:
1. F(x,y)dy + G(x,y)dx = 0
2. R Qy Py dx dy    2 3. 0 ) , , (  dx dy y x f
Metode Penyelesaian Persamaan

## Diferensial

## Metode Deret Taylor
Metode  deret  Taylor  adalah  suatu metode  pendekatan  yang  menggunakan deret  Taylor  sebagai  bentuk  perbaikan nilai untuk nilai fungsi secara keseluruhan pada  penyelesaian  persamaan  diferensial. Deret Taylor digunakan untuk menghampiri  fungsi  ke  dalam  bentuk polinom.  Fungsi  yang  rumit  menjadi sederhana  dengan  deret  Taylor.Diberikan fungsi f dan semua turunannya,
di  dalam  selang  [a,b]. Misalkan ,  maka  untuk  nilai- nilai x di  sekitar dan x dapat diperluas (diekspansi) kedalam deret Taylor:
) ( ; ; ! ) ( ! 2 ) ( '' ! 1 ) ( ' ) ( ) ( 0 2 1 x f y x x h x x n x f x x f x x f x f x f n i n i i i i              

## 
Munir,2010, 379)

## Metode Runge-Kutta
Metode  ini  dikembangkan  sekitar tahun 1900 oleh matematikawan Jerman Carl Runge Wilhelm Kutta.Metode  Runge  Kutta adalah  alternatif  lain  dari  metode  deret taylor yang tidak membutuhkan perhitungan  turunan.  Metode  ini  berusaha mendapatkan  derajat  ketelitian  yang  lebih tinggi, namun dengan cara yang sederhana. Metode  Runge  Kutta  mencapai  ketelitian suatu  pendekatan  deret  taylor  tanpa memerlukan  kalkulai  turunan  yang  lebih tinggi.  Banyak  perubahan  terjadi,  tetapi semuanya  dapat  ditampung  dalam  bentuk umum dari persamaan:
h h y x y y i i i i ) , , ( 1     Dengan h h y x i i ) , , (  adalah fungsi
pertambahan yang menggambarkan kemiringan pada interval. Fungsi pertambahan tersebut ditulis dalam bentuk umum:
n n k a k a k a       2 2 1 1
Dengan a 1 , a 2 , …, a n adalah tetapan, dan k adalah: k 1 = f(x i , y i ); k 2 = f(x i + p 1 h,y i + q 11 k 1 h);k 3 = f(x i + p 2 h,y 1 + q 21 k 1 h + q 22 k 2 h ) k n = f(x i + p n-1 h,y 1 + q n-1,1 k 1 h + q n-1,2 k 2 h + … + q n-1,n-1 k n-1 h )
Ada beberapa tipe metode Runge Kutta yang  tergantung  pada  nilai n yang digunakan.
Metode Runge Kutta orde satu :
) , ( 1 1 1 i i y x f a k a   
Metode Runge Kutta orde dua:
) ( 2 2 1 1 1 k a k a y y i i     dengan : ) , ( ); , ( 1 11 1 2 1 1 h k q y h p x f k y x f k i i i    
Metode Runge Kutta orde tiga:
) 4 ( 6 1 3 2 1 1 k k k y y i i      dengan : ) 2 , ( ); 2 1 , 2 1 ( ); , ( 2 1 3 1 1 2 1 h k h k y h x f k h k y h x f k y x f k i i i i i        
Metode Runge Kutta orde empat:
) 2 2 ( 6 1 4 3 2 1 1 k k k k y y i i       dengan: ) , ( ); 2 1 , 2 1 ( ); 2 1 , 2 1 ( ); , ( 3 4 2 3 1 2 1 k y h x hf k k y h x hf k k y h x hf k y x hf k i i i i i i i i          
Bentuk umum metode Runge-Kutta orde n:
n n k a k a k a    
  2 2 1 1 dengan:
k 1 = f(x i , y i ); k 2 = f(x i + p 1 h,y i + q 11 k 1 h); k 3 = f(x i + p 2 h,y 1 + q 21 k 1 h + q 22 k 2 h ) k n = f(x i + p n-1 h,y 1 + q n-1,1 k 1 h + q n-1,2 k 2 h + … + q n-1,n-1 k n-1 h )(Hasanah, 2009).

## Metode Heun
Prosedur  untuk  menghitung  solusi numerik untuk masalah nilai awal: y’(t) = f(t,y(t)), y(t 0 ) = y 0 , dengan cara metode
Heun,  pertama  menghitung  nilai  antara 1 ^  i y dan kemudian perkiraan akhir pada titik integrasi berikutnya.
) , ( 1 ^ i i i i y t hf y y    ; ) , ( ) , ( [ 2 1 ^ 1 1       i i i i i i y t f y t f h y y .  dimana adalah ukuran langkah dan t i+1 =t i + h Pada metode Heun, solusi dari metode Euler  dijadikan  sebagai  solusi  perkiraan  awal ( predictor ). Selanjutnya solusi perkiraan awal ini  diperbaiki  dengan  menggunakan  metode
Heun ( corrector )(Yeremia, 2016. hal.2).
Formula Heun:
) , ( ) , ( [ 2 1 1 1       i i i i i i y t f y t f h y y
dengan:i=0,1,2,…,n; y i+1 = hampiran sekarang; y i =  hampiran  sebelumnya; =  ukuran langkah.  Nilai  dari  y i+1 merupakan  solusi perkiraan  awal  ( predictor )  yang  dihitung dengan metode Euler, persamaan Heun dapat ditulis:
) , ( : Pr ) 0 ( 1 i i i i y t hf y y edictor    ) , ( ) , ( [ 2 : ) 0 ( 1 1 1       i i i i i i y t f y t f h y y Coreector
(Oktaviani,dkk, 2014:33).

## Metode Euler
Metode  Euler  adalah  salah  satu metode  satu  langkah  yang  paling  sederhana. Dibanding  dengan  beberapa  metode  lainnya, metode  ini  paling  kurang  teliti.  Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat  kesederhanaannya  dan  mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari  metode  lain  yang  lebih  teliti. Misalnya diberikan PDB orde 1,
) , ( ' y x f dx dy y   dan  nilai  awal  y(x 0 )=x 0 .
Misalkany r = y x r adalah hampiran nilai di x r yang  dihitung  dengan  metode  Euler. Dalam  hal  inix r =  x 0 +  rh;  r  =  1,2,3,…,n. Metode  Euler  diturunkan  dengan  cara menguraikan  y(x r+1 )  di  sekitar  x r hasilnya diperoleh:
n r y x hf x y x y r r r r , , 2 , 1 , 0 );
, ( ) ( ) ( 1      atau dapat ditulis r r r hf y y    1 (Munir,2010, 367)
GALAT
Galat  atau  error  atau  dalam keseharian  disebut  kesalahan.  Galat  atau error  dapat  juga  didefinisikan  sebagai selisih  dari  nilai  atau  hasil  yang  kita harapkan  terjadi  dengan  observasi  atau kenyataan  yang  terjadi  di  lapangan (Ermawati,  dkk,  2017:17).  Galat  dapat berfungsi  untuk  menunjukkan  efisiensi dari satu jenis percobaan atau penelitian ke penelitian  yang  lain.  Secara  normal,  kita menginginkan  galat  yang  bernilai  kecil bahkan tidak terjadi galat. Namun ketiadaan  galat  juga  dapat  menyebabkan pertanyaan dalam penelitian kita.
Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan  yang  menggunakan  metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa  dekat  solusi  hampiran  terhadap solusi  sejatinya.  Semakin  kecil  galatnya, semakin  teliti  solusi  numerik yang didapatkan. Misalkan ^ a adalah nilai hampiran  terhadap  nilai  sejati  a,  maka
selisih ^ a a    disebut galat(Maharani, 2018:10).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian Persamaan
Diferensial Dengan Metode Taylor Diketahui PDB: 1 ) 0 ( ;    y y x dx dy
.Hitung  y  (0.2)  dengan  matode  Taylor
1 , 0   x Penyelesa
y x y y x dx d y y x y          1 ' 1 ) ( '' ' Masukkan ke dalam deret Taylor 11 , 1 01 , 0 1 , 0 1 ) 1 , 0 ( ) 1 0 1 ( ! 2 ) 1 , 0 ( ) 1 0 )( 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( ) 1 ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ! 2 ) ( '' ! 1 ) ( ' ) ( ) ( 2 2 1 2 1                            x f x f y x x y x x x f x f x x f x x f x f x f i i i i i i 242 , 1 ) 11 , 1 1 , 0 1 ( ! 2 ) 1 , 0 ( ) 11 , 1 1 , 0 )( 1 , 0 ( 11 , 1 ) 2 , 0 ( ) 1 ( ! 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 1                  x f y x x y x x x f x f i i Penyelesaian Persamaan Diferensial
Dengan Metode Runge-Kutta Diketahui PDB: 1 ) 0 ( ;    y y x dx dy
. Hitung y (0.2) dengan matode Runge- Kuttaordeempat, h = 0,2 Penyelesaian : 1 ) 0 (  y ; y x y x f r r   ) , ( 2 , 0 ) 1 0 ( 2 , 0 ) , ( 0 0 1     y x hf k 24 , 0 ) 1 , 1 1 , 0 )( 2 , 0 ( )] 1 , 0 1 , 1 . 0 0 ( )[ 2 , 0 ( ) 2 1 , 2 1 ( 2 2 1 0 0 2          k f k k y h x hf k 244 , 0 ) 12 , 1 1 , 0 ( 2 , 0 )] 12 , 0 1 , 1 . 0 0 ( [ 2 , 0 ) 2 1 , 2 1 ( 3 3 2 0 0 3          k f k k y h x hf k 2888 , 0 ) 244 , 1 2 , 0 ( 2 , 0 )] 244 , 0 1 , 2 . 0 0 ( [ 2 , 0 ) , ( 4 4 3 0 0 4          k f k k y h x hf k ) 2 2 ( 6 1 4 3 2 1 1 k k k k y y i i       2428 , 1 ] 2888 , 0 ) 244 , 0 ( 2 ) 24 , 0 ( 2 2 , 0 [ 6 1 1 ) 2 2 ( 6 1 2 , 0 2 , 0 4 3 2 1 0 2 , 0            y y k k k k y y Penyelesaian Persamaan Diferensial
Dengan Metode Heun Diketahui PDB: 1 ) 0 ( ;    y y x dx dy
.
Hitung y (0.2) dengan matode Heun.h=0,1 Penyelesaian : y x y x f r r   ) , ( ) , ( 1 ^ i i i i y t hf y y   
) , ( ) , ( [ 2 1 1 1       i i i i i i y t f y t f h y y 1 , 1 1 , 0 1 ) 1 0 ( 1 , 0 ) 0 ( ) 1 , 0 ( : Pr ^       f y ediktor 105 , 1 2 ) 1 , 1 1 ( 1 , 0 ) 0 ( ) 1 , 0 ( 1 , 0
     f f x Untuk 1652 , 1 0601 , 0 105 . 1 ) 105 , 1 1 , 0 ( 1 , 0 ) 1 , 0 ( ) 2 , 0 ( : Pr ^       f y ediktor 2185 , 1 1135 , 0 105 , 1 2 ) 1652 , 1 105 , 1 ( 1 , 0 ) 1 , 0 ( ) 2 , 0 ( 2 , 0
       f f x Untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial
Dengan Metode Euler Diketahui PDB: 1 ) 0 ( ;    y y x dx dy .
Hitung y (0.2) dengan matode Euler. h=0,1 Penyelesaian : y x y x f r r   ) , ( ; r r r hf y y    1 1 , 1 1 , 0 1 ) 1 0 ( 1 , 0 ) 0 ( ) 1 , 0 ( 1 , 0        f f x Untuk 22 , 1 12 , 0 1 , 1 ) 1 , 1 1 , 0 ( 1 , 0 ) 1 , 0 ( ) 2 , 0 ( 2 , 0        f f x Untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Dengan Metode Analitik
Diketahui PDB: 1 ) 0 ( ;    y y x dx dy .
Hitung y (0.2) dengan matode Analitik. Penyelesaian :
x uv dx du v dx dv u dx du v dx dv u dx dy uv y x y dx dy         x dx du v v dx dv x dx du v v dx dv u       ; 0 ) ( c e xe u xdx e du xdx e du x dx du e x dx du v e v x v dx v dv dx v dv v dx dv x x x x x x                       ln 0 242805516 , 1 2 1 2 , 0 ) 2 , 0 ( 2 1 2 1 0 1 1 ) 0 ( 1 ) )( ( 2 , 0                          e y e x y c c y ce x e c e xe uv y x x x x x

## PEMBAHASAN
Perbandingan galat untuk ke empat metode:
1. Metode Deret Taylor = 1,242
2. Metode Runge Kutta = 1,2428
3. Metode Heun = 1,2185
4. Metode Euler  = 1,22
Nilai Eksak = 1,242805116 Dari keempat hasil penyelesaian persamaan  diferensial  tersebut,  maka dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  galat yang terkecil adalah pada penyelesaian persamaan  diferensial  dengan  metode Runge Kutta (Munir,2010,415)

## SIMPULAN DAN SARAN

## Simpulan
Berdasarkan  penyelesaian  persamaan diferensial didapat hasil sebagai berikut:
1. Penyelesaian  persamaan  diferensial dengan metode deret Taylor = 1,242
2. Penyelesaian  persamaan  diferensial dengan metode Runge-Kutta = 1,2428
3. Penyelesaian  persamaan  diferensial dengan metode Heun = 1,2185
4. Penyelesaian  persamaan  diferensial dengan metode Euler = 1,22 Dari  keempat  hasil  penyelesaian persamaan  diferensial  tersebut,  maka dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  galat yang terkecil adalah pada penyelesaian  persamaan  diferensial dengan metode Runge Kutta.
Saran Saran  kepada  penelitilain  yang akan mengadakan penelitian tentang penentuan  galat  persamaan  diferensial dengan  metode  numerik  menggunakan metode  Runge  Kutta,  karena  galat  yang dihasilkan oleh metode  Runge Kutta lebih kecil  dibandingkan  dengan  galat  yang dihasilkan  oleh  metode  Deret  Taylor, metode Heun dan metode Euler.

## DAFTAR PUSTAKA
Ernawati, dkk. 2017. Perbandingan Solusi Numerik  Integral  Lipat  Dua  Pada Fungsi  Fuzzy  Dengan  Metode
Romberg  Dan  Simulasi  Monte Carlo Jurnal Msa Vol. 5 No. 2 Ed Haryono, Didi. 2014. Filsafat Matematika Suatu Tinjauan Epistemologi dan Filosofis . Bandung. Alfabeta. Hasanah,  Inayatul.  2009. Solusi  Analitik dan  Solusi  Numerik  Persamaan Chaucy-Euler . Malang: Universitas
Negeri Malang. Hasratuddin. 2015. Mengapa Harus Belajar Matematika? . Medan:
Perdana Publising. Maharani,  Swasti  dan  Suprapto,  Edy. 2018. Analisis  Numerik  Berbasis Group Investigion Untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir  Kritis .  Jawa  Timur:  CV. AE Media Grafika. Maya Kurniawati, Anggita dan Rachamawati, Yunita. 2018.
Persamaan  Diferensial  Linier  Tak Homogen . Yogyakarta:  Universitas PGRI Yogyakarta Vol.IV No. 1.
Munir,R. 2010. MetodeNumerik . Bandung:
Informatika. Oktaviani, Rizka, dkk. 2014. Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan Difrensial  Non  Linier  Dengan metode  Heun  pada  Model  Lotka Voltera .  Bulletin  Ilmiah  Mat.  Stat dan Terapannya. Vol. 3 No.1 Piskunov,  N.  1974. Differential  and Integral  Calculus  vol.  II .  MIR Publishers. Moscow.
Ross,  Shepley  L.  1984. Differensial Equantions .  Third  Edition.  New York: John Wiley & Sons.Inc.
Setiawan,  A.  2006. Pengantar  Metode Numerik . Yogyakarta: Andi.
Yeremia  Wijaya,  Jayme. Perbandingan Penyelesaian Persamaan Diferensial  Biasa  Menggunakan Metode  Backpropagation,  Euler, Heun,  dan  Runge-Kutta  Orde  4 . Jurnal  Telematika  Vol.  11  No.  1. Institut  Harapan  Bangsa,  Bandung. ISSN: 1858-2516.