## KESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN
1 Hilwin Nisa’, 2 Hairur Rahman, 3 Imam Sujarwo
1 Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
2 jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang 3 jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Email: azzami09hadza@gmail.com
ABSTRAK
Persamaan fungsional Jensen merupakan variasi dari persamaan fungsional Cauchy additive yang paling sederhana dan paling bagus. Persamaan fungsional Jensen dapat diaplikasikan sebagai model dari suatu proses fisik ketika persamaan fungsional Jensen tersebut stabil. Oleh karena itu, dengan diketahuinya  kestabilan  dari  persamaan  fungsional  tersebut,  dapat  menambah  referensi  para peneliti  lain  yang  akan  mengaplikasikan  persamaan  fungsional  Jensen.  Pada  artikel  ini  akan ditunjukkan kestabilan persamaan fungsional Jensen. Untuk mengetahui kestabilannya digunakan teorema  kestabilan  Hyers-Ulam-Rassias.  Berdasarkan  hasil  analisis,  telah  dibuktikan  bahwa persamaan  fungsional  Jensen  telah  memenuhi  teorema  kestabilan  Hyers-Ulam-Rassias,  sehingga dapat dikatakan bahwa persamaan fungsional Jensen tersebut stabil.
Kata kunci : persamaan fungsional Cauchy additive , persamaan fungsional Jensen, kestabilan Hyers-Ulam- Rassias

## ABSTRACT
Jensen functional equation is the simplest and the most elegant one among variations of Cauchy additive functional equation. Jensen functional equation can be applied as a model of physical process when  it is stable.  This article  showed  stability  of  Jensen  functional  equation.  To  know  the  stability,  we  used Hyers-Ulam-Rassias stability theorem. Based on the analysis, we proved that Jensen functional equation satisfy Hyers-Ulam-Rassias stability theorem, so it can be said that Jensen functional equation is stable.
Keywords : additive Cauchy functional equation, Jensen functional equation, Hyers-Ulam-Rassiass stability

## PENDAHULUAN
Persamaan  fungsional  merupakan  salah  satu pembahasan  dari  matematika  modern.  Di  antara berbagai macam persamaan fungsional, persamaan fungsional  yang  paling  penting  adalah  persamaan fungsional  Cauchy additive .  Hal  ini  dikarenakan sifat-sifat  dari  persamaan  fungsional  Cauchy additive dapat  digunakan  untuk  mengembangkan teorema-teorema  dari  persamaan  fungsional  lain. Ada  banyak  variasi  dari  persamaan  fungsional Cauchy additive ,  akan  tetapi  diantara  variasi persamaan  fungsional  Cauchy additive tersebut yang  paling  bagus  dan  paling  sederhana  adalah persamaan fungsional Jensen.
Suatu  fungsi 𝑓: ℝ → ℝ disebut  sebagai  persamaan fungsional  Jensen  jika  memenuhi 𝑓 ( 𝑥+𝑦 2 ) = 𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)
2 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ .  Persamaan  fungsional  Jensen dapat diaplikasikan sebagai model dari suatu proses fisik  ketika  persamaan  fungsional  Jensen  tersebut stabil.  Dengan  diketahuinya  kestabilan  dari persamaan fungsional Jensen, akan dapat dijadikan referensi para peneliti lain yang  bermaksud untuk
mengaplikasikan  persamaan  fungsional  Jensen tersebut.
Adapun  konsep  kestabilan  yang  digunakan  untuk meneliti  kestabilan  persamaan  fungsional  Jensen pada  artikel  ini  adalah  konsep  kestabilan  Hyers- Ulam-Rassias.  Dalam  teorema  kestabilan  Hyers- Ulam-Rassias, persamaan fungsional yang dijadikan acuan  adalah  persamaan  fungsional  Cauchy additive. Jika  yang  diteliti  kestabilannya  adalah persamaan  fungsional  lain,  maka  persamaan fungsional  Cauchy additive dalam  teorema kestabilan  Hyers-Ulam-Rassias  diganti  dengan persamaan  fungsional  tersebut.  Oleh  karena  itu, untuk  meneliti  kestabilan  persamaan  fungsional Jesnen,  persamaan  fungsional  Cauchy additive dalam  teorema  kestabilan  Hyerss-Ulam-Rassias tersebut  diganti  dengan  persamaan  fungsional Jensen.
Artikel ini merupakan upaya ilmiah untuk meneliti kestabilan dari persamaan fungsional Jensen dalam rangka  penelitian  pengembangan.  Pada  peneltian ini  dilakukan  pembuktian  terhadap  teorema kestabilan  Hyers-Ulam-Rassiass  pada  persamaan fungsional Jensen. Jika persamaan fungsional Jensen
memenuhi  teorema  kestabilan  Hyers-Ulam- Rassiass, maka dapat dikatakan bahwa persamaan fungsional Jensen tersebut stabil.

## KAJIAN TEORI

## 1. Persamaan Fungsional
Persamaan  fungsional  adalah  persamaan  fungsi yang belum diketahui fungsinya [1].

## 2. Persamaan Fungsional Cauchy Additive
Suatu  fungsi 𝑓: ℝ → ℝ dikatakan  suatu  fungsi additive jika fungsi tersebut memenuhi persamaan fungsional Cauchy additive
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ [1] .

## 3. Persamaann Fungsional Jensen
Suatu  fungsi 𝑓: ℝ → ℝ disebut  persamaan  Jensen, jika persamaan tersebut memenuhi
𝑓 ( 𝑥 + 𝑦 2 ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 2 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ [1].

## 4. Ruang Bernorma
Misalkan 𝐸 suatu  ruang  vektor.  Suatu  pemetaan ‖. ‖: 𝐸 → ℝ disebut  norm,  jika ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 dan 𝜆 ∈ ℝ berlaku
1. ‖𝑥‖ ≥ 0;
2. ‖𝑥‖ = 0 ↔ 𝑥 = 0;
3. ‖𝜆𝑥‖ = |𝜆|‖𝑥‖;
4. ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖.
(E, ‖ . ‖) disebut  ruang  vektor  bernorma  dan ‖𝑥‖ disebut norm dari 𝑥 [2].
Setiap  ruang  bernorma (𝐾, ‖. ‖) merupakan  ruang metrik terhadap 𝑑:
𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾 [3] .

## 5. Barisan Konvergen
Suatu barisan 𝑋 = {𝑥 𝑛 } ∈ ℝ dikatakan konvergen ke 𝑥 ∈ ℝ atau 𝑥 dikatakan  suatu  limit  dari {𝑥 𝑛 } ,  jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat suatu bilangan asli 𝐾(𝜀) sedemikian  hingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝐾(𝜀), 𝑥 𝑛 memenuhi |𝑥 − 𝑥 𝑛 | < 𝜀 [4].

## 6. Barisan Cauchy
Suatu barisan 𝑋 = {𝑥 𝑛 } ∈ ℝ dikatakan suatu barisan Cauchy  jika  untuk  setiap 𝜀 > 0 terdapat  suatu
bilangan asli 𝐻(𝜀) sedemikian hingga untuk setiap bilangan  asli 𝑛, 𝑚 ≥ 𝐻(𝜀), 𝑥 𝑛 dan 𝑥 𝑚 memenuhi |𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑚 | < 𝜀 [4].
Di  dalam  sembarang  ruang  metrik (𝑋, 𝑑) setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy [5].

## 7. Ruang Banach
Ruang  Banach  merupakan  ruang  bernorma  yang lengkap  [6].  Ruang  bernorma  dikatakan  lengkap jika setiap barisan Cauchy-nya konvergen [2].

## 8. Kestabilan Hyers-Ulam-Rassiass
Misalkan 𝐸 1 dan 𝐸 2 merupakan ruang Banach, dan misalkan 𝑓: 𝐸 1 → 𝐸 2 suatu  fungsi  yang  memenuhi pertidaksamaan
‖𝑓(𝑥 + 𝑦) − 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)‖ ≤ 𝜃(‖𝑥‖ 𝑝 + ‖𝑦‖ 𝑝 ) untuk 𝜃 > 0, 𝑝 ∈ [0,1), dan ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 1 . Maka  ada 𝐴: 𝐸 1 → 𝐸 2 suatu  fungsi additive yang  tunggal, sedemikian hingga
‖𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)‖ ≤ 2𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 (2.16)
∀𝑥 ∈ 𝐸 1 [7] .

## PEMBAHASAN
Untuk membuktikan kestabilan persamaan fungsional  Jensen  dengan  menggunakan  konsep kestabilan  Hyers-Ulam-Rassias,  maka  persamaan fungsional  Cauchy additive dalam  teorema kestabilan  Hyers-Ulam-Rassias  tersebut  diganti dengan  persamaan  fungsional  Jensen. Oleh  karena itu, untuk meneliti kestabilan persamaan fungsional Jensen  adalah  dengan  membuktikan  teorema berikut ini:
Misalkan 𝑓: 𝐸 1 → 𝐸 2 merupakan suatu fungsi antara ruang  Banach.  Jika f memenuhi  pertidaksamaan fungsional
‖2𝑓 ( 𝑥+𝑦 2 ) − 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)‖ ≤ 𝜃(‖𝑥‖ 𝑝 + ‖𝑦‖ 𝑝 ) ... (1) (3.2)
∀𝜃 ≥ 0, dengan 0 ≤ 𝑝 < 1 dan ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 1 ada 𝐴: 𝐸 1 → 𝐸 2 , suatu    fungsi  additive  yang tunggal, sedemikian hingga
‖𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)‖ ≤ 2𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝
∀𝑥 ∈ 𝐸 1 . Bukti: Karena  fungsi  tersebut  terjadi  di  antara  ruang Banach  ( 𝐸 1 𝑑𝑎𝑛 𝐸 2 ) dan ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 1 ,  dan  karena ruang  Banach  merupakan  ruang  bernorma  yang lengkap,  maka  akan  berlaku  sifat  dari  ruang bernorma sebagi berikut:
1. ‖𝑥‖ ≥ 0;
2. ‖𝑥‖ = 0 ↔ 𝑥 = 0;
3. ‖𝜆𝑥‖ = |𝜆|‖𝑥‖, dimana 𝜆 ∈ ℝ;
4. ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖.
Untuk  membuktikan  teorema  Hyers-Ulam-Rassias, maka harus ditunjukkan bahwa:
1. { 𝑓(2 𝑛 𝑥) 2 𝑛 } 𝑛=1 ∞ merupakan suatu barisan Cauchy untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 1 . 2. Jika 𝐴(𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑓(2 𝑛 𝑥) 2 𝑛 , maka 𝐴 merupakan fungsi additive.
3. 𝐴 memenuhi ‖𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)‖ ≤ 2𝜃 2−2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 , ∀𝑥 ∈
𝐸 1 .
4. 𝐴 merupakan fungsi yang tunggal.
Asumsikan 𝑓(0) = 0 ,
‖2𝑓 ( 𝑥 + 𝑦
2 ) − 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)‖ ≤ 𝜃(‖𝑥‖ 𝑝 + ‖𝑦‖ 𝑝 ).
Jika diambil y = 0 dan f(0) = 0, maka
‖2𝑓 ( 𝑥 + 0 2 ) − 𝑓(𝑥) − 𝑓(0)‖
≤ 𝜃(‖𝑥‖ 𝑝 + ‖0‖ 𝑝 ) ‖2𝑓 ( 𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥)‖ ≤ 𝜃(‖𝑥‖ 𝑝 ).
Dengan  mengganti 𝑥 = 2𝑥 dan  kedua  sisi  dibagi dengan 2, maka akan diperoleh
‖𝑓(𝑥) − 1 2 𝑓(2𝑥)‖ ≤ 𝜃 2 (‖2𝑥‖ 𝑝 ), ∀𝑥 ∈ 𝐸 1 . Misalkan 𝑛, 𝑚 bilangan bulat nonnegatif dengan 𝑛 < 𝑚, maka ‖ 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑚 𝑓(2 𝑚 𝑥)‖ = ‖ ‖ ‖ 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑛+1 𝑓(2 𝑛+1 𝑥) + 1 2 𝑛+1 𝑓(2 𝑛+1 𝑥) − 1 2 𝑛+2 𝑓(2 𝑛+2 𝑥) + ⋯ + 1 2 𝑚−1 𝑓(2 𝑚−1 𝑥) − 1 2 𝑚 𝑓(2 𝑚 𝑥) ‖ ‖ ‖ .
Karena 𝑓 suatu  fungsi  di  antara  ruang  Banach, dengan  menggunakan  sifat  keempat  pada  ruang bernorma (ketaksamaan segitiga), maka diperoleh
‖ 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑚 𝑓(2 𝑚 𝑥)‖ ≤ ‖ 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑛+1 𝑓(2 𝑛+1 𝑥)‖ + ‖ 1 2 𝑛+1 𝑓(2 𝑛+1 𝑥) − 1 2 𝑛+2 𝑓(2 𝑛+2 𝑥)‖ + ⋯ + ‖ 1 2 𝑚−1 𝑓(2 𝑚−1 𝑥) − 1 2 𝑚 𝑓(2 𝑚 𝑥)‖ = 1 2 𝑛 ‖𝑓(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛+1 𝑥)‖ + 1 2 𝑛+1 ‖𝑓(2 𝑛+1 𝑥) − 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛+2 𝑥)‖ + ⋯ + 1 2 𝑚−1 ‖𝑓(2 𝑚−1 𝑥) − 1 2 𝑚 𝑓(2 𝑚 𝑥)‖
≤ 1 2 𝑛 𝜃 2 (‖2 𝑛+1 𝑥‖ 𝑝 ) + 1 2 𝑛+1 𝜃 2 (‖2 𝑛+2 𝑥‖ 𝑝 ) + ⋯ + 1 2 𝑚−1 𝜃 2 (‖2 𝑚 𝑥‖ 𝑝 ) = 2 𝑝 2 𝑛 𝜃 2 (‖2 𝑛 𝑥‖ 𝑝 ) + 2 𝑝 2 𝑛+1 𝜃 2 (‖2 𝑛+1 𝑥‖ 𝑝 ) + ⋯ + 2 𝑝 2 𝑚−1 𝜃 2 (‖2 𝑚−1 𝑥‖ 𝑝 ) = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) ( 2 𝑝𝑛 2 𝑛 + 2 𝑝(𝑛+1) 2 𝑛+1 + ⋯ + 2 𝑝(𝑚−1) 2 𝑚−1 ) = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) ∑ 2 𝑘𝑝 2 𝑘 𝑚−1 𝑘=𝑛 .
Jadi,
‖ 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑚 𝑓(2 𝑚 𝑥)‖ ≤ 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) ∑ 2 𝑘𝑝 2 𝑘 . 𝑚−1 𝑘=𝑛 Berdasarkan  definisi  barisan  Cauchy,  barisan {𝑥 𝑛 } dikatakan Cauchy jika berlaku |𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑚 | < 𝜀 untuk setiap 𝜀 > 0. Jika 𝑛 → ∞ dan  karena 0 ≤ 𝑝 < 1 , maka 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) ∑ 2 𝑘𝑝
2 𝑘 𝑚−1 𝑘=𝑛 = 0 .  Oleh  karena  itu,
lim 𝑛→∞ ‖ 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑚 𝑓(2 𝑚 𝑥)‖ = 0 ,  sehingga  dapat dikatakan  bahwa { 𝑓(2 𝑛 𝑥) 2 𝑛 } 𝑛=1 ∞ merupakan  barisan Cauchy untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 1 .  Karena 𝐸 1 merupakan ruang  Banach,  dimana  setiap  barisan  Cauchy-nya konvergen,  maka  terdapat  fungsi 𝐴: 𝐸 1 → 𝐸 2 yang didefinisikan  dengan 𝐴(𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑓(2 𝑛 𝑥) 2 𝑛 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 1 . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa fungsi 𝐴: 𝐸 1 → 𝐸 2 merupakan fungsi additive. Pandang bahwa ‖𝐴(𝑥 + 𝑦) − 𝐴(𝑥) − 𝐴(𝑦)‖
= ‖ lim 𝑛→∞ { 2𝑓 ( 2 𝑛 (𝑥+𝑦) 2 ) 2 𝑛 − 𝑓(2 𝑛 𝑥) 2 𝑛 − 𝑓(2 𝑛 𝑦) 2 𝑛 }‖ = ‖ lim 𝑛→∞ 1 2 𝑛 {2𝑓 ( 2 𝑛 (𝑥 + 𝑦) 2 ) − 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 𝑓(2 𝑛 𝑦)}‖ = lim 𝑛→∞ 1 2 𝑛 ‖{2𝑓 ( 2 𝑛 (𝑥 + 𝑦) 2 ) − 𝑓(2 𝑛 𝑥) − 𝑓(2 𝑛 𝑦)}‖.
Dengan  menggunakan  pertidaksamaan  (1),  maka didapatkan ‖𝐴(𝑥 + 𝑦) − 𝐴(𝑥) − 𝐴(𝑦)‖ ≤ lim 𝑛→∞ 𝜃(‖𝑥‖ 𝑝 + ‖𝑦‖ 𝑝 ) 2 𝑛 = 0.
Jadi ‖𝐴(𝑥 + 𝑦) − 𝐴(𝑥) − 𝐴(𝑦)‖ ≤ 0. Berdasarkan  sifat  pertama  pada  ruang  bernorma dan
‖𝐴(𝑥 + 𝑦) − 𝐴(𝑥) − 𝐴(𝑦)‖ ≤ 0 , maka didapatkan
‖𝐴(𝑥 + 𝑦) − 𝐴(𝑥) − 𝐴(𝑦)‖ = 0. Berdasarkan  sifat  kedua  pada  ruang  bernorma, maka didapatkan
𝐴(𝑥 + 𝑦) − 𝐴(𝑥) − 𝐴(𝑦) = 0
𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴(𝑥) + 𝐴(𝑦). Dari  definisi  fungsi addditive ,  maka  dapat ditunjukkan  bahwa 𝐴: 𝐸 1 → 𝐸 2 merupakan  fungsi additive . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa A memenuhi
||𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)|| ≤ 2𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 , ∀𝑥 ∈ 𝐸 1 .
||𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)|| = lim 𝑛→∞ ‖ 1 2 0 𝑓(2 0 𝑥) − 1 2 𝑛 𝑓(2 𝑛 𝑥)‖ ≤ lim 𝑛→∞ 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) ∑ 2 𝑘𝑝 2 𝑘 𝑛−1 𝑘=0 = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) lim 𝑛→∞ ∑ 2 (𝑝−1)𝑘 𝑛−1 𝑘=0 = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) lim 𝑛→∞ ∑ 1 2 (1−𝑝)𝑘 𝑛−1 𝑘=0 ... Karena 𝑝 < 1
= 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) lim 𝑛→∞ (1 + ∑ 1 2 (1−𝑝)𝑘 𝑛−1 𝑘=1 ) ... Karena 𝑝 < 1 = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) lim 𝑛→∞ (1 + 1 2 (1−𝑝) 1 − 1 2 (1−𝑝) ) = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) lim 𝑛→∞ (1 + 1 2 (1−𝑝) 2 (1−𝑝) −1 2 (1−𝑝) ) = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) lim 𝑛→∞ (1 + 1 2 (1−𝑝) − 1 ) = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) lim 𝑛→∞ ( 2 (1−𝑝) − 1 + 1 2 (1−𝑝) − 1 ) = 2 𝑝 𝜃 2 (‖𝑥‖ 𝑝 ) ( 2 (1−𝑝) 2 (1−𝑝) − 1 ) = 2𝜃 2(2 (1−𝑝) − 1) (‖𝑥‖ 𝑝 ) = 𝜃 ( 2 2 𝑝 − 1) (‖𝑥‖ 𝑝 ) = 𝜃 ( 2−2 𝑝 2 𝑝 ) (‖𝑥‖ 𝑝 ) = 2 𝑝 𝜃 2 − 2 𝑝 (‖𝑥‖ 𝑝 ).
Jadi,
||𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)|| ≤ 2 𝑝 𝜃 2 − 2 𝑝 (‖𝑥‖ 𝑝 ).
Karena 2 𝑝 < 2, ∀𝑝 ∈ [0,1), maka ||𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)|| ≤ 2𝜃 2 − 2 𝑝 (‖𝑥‖ 𝑝 ).
Terbukti ||𝑓(𝑥) − 𝐴. (𝑥)|| ≤ 2𝜃 2−2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 , ∀𝑥 ∈ 𝐸 1 .
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa 𝐴 tunggal. Andaikan 𝐴 tidak  tunggal,  maka  akan  ada  fungsi additive yang lain 𝐵: 𝐸 1 → 𝐸 2 sedemikian hingga
||𝑓(𝑥) − 𝐵(𝑥)|| ≤ ||𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)|| ≤
2𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝
∀𝑥 ∈ 𝐸 1 . ||𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥)||
= ||𝐴(𝑥) − 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥 − 𝐵(𝑥)|| ≤ ||𝐴(𝑥) − 𝑓(𝑥)|| + ||𝑓(𝑥) − 𝐵(𝑥)|| = ||𝑓(𝑥) − 𝐴(𝑥)|| + ||𝑓(𝑥) − 𝐵(𝑥)||
≤ 2𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 + 2𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 .
Jadi, ||𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥)|| ≤ 4𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 . ||𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥)||  = lim 𝑛→∞ ‖ 1 2 𝑛 𝐴(2 𝑛 𝑥) − 1 2 𝑛 𝐵(2 𝑛 𝑥)‖ = lim 𝑛→∞ 1 2 𝑛 ‖𝐴(2 𝑛 𝑥) − 𝐵(2 𝑛 𝑥)‖ ≤ lim 𝑛→∞ 1 2 𝑛 4𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 = 4𝜃 2 − 2 𝑝 ‖𝑥‖ 𝑝 lim 𝑛→∞ 1 2 𝑛 = 0 dimana 𝑛 ∈ ℝ . Karena ||𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥)|| ≤ 0 dan  berdasarkan  sifat  pertama  pada  ruang bernorma, maka
𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐸 1 .
Jadi  terbukti  bahwa 𝐴 tunggal  dan  pembuktian teorema Hyers-Ulam-Rassias di atas telah lengkap, sehingga  terbukti  bahwa  persamaan  Jensen tersebut stabil.

## KESIMPULAN
Pada artikel ini telah ditunjukkan bahwa persamaan fungsional Jensen telah memenuhiteorema kestabilan  Hyers-Ulam-Rassias.  Oleh  karena  itu, dapat  dikatakan  bahwa  persamaan  fungsional Jensen  tersebut  stabil.  Dengan  demikian, persamaan fungsional Jensen ini dapat diaplikasikan sebagai model dari suatu proses fisik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] P. K. Sahoo and P. Kannappan, "Introduction to Functional Equations," in Introduction to Functional Equations , New York, CRC Press, 2011.
[2]   R.  Coleman,  "Calculus  on  Normed  Vector Spaces," London, Springer Science+Business Media New York, 2012.
[3]   S.  Darmawijaya,  "Pengantar  Analisis Abstrak,"  Yogyakarta,  Jurusan  Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UGM, 2007.
[4]   R. G. Bartle and D. R. Sherbert, "Introduction to  Real  Analysis,"  New  York,  John  Wiley  & Sons, Inc., 2000.
[5]   M.  Muslikh,  "Analisis  Real,"  Malang, Universitas Brawijaya Press, 2012.
[6]   R.  S.  Al-Mosadder,  "On  Stability  of  Some Types  of  Functional  Equations,"  Gaza, Islamic University of Gaza, 2012.
[7]   S. M. Jung, "Hyers-Ulam-Rassias Stability of Functional
Equations in Nonlinear Analysis," London, Springer Science+Business Media, 2011.
[8]   A.  G.  Parlos,  "Linearization  Of  Nonlinear Dynamics,"  2014.  [Online].  Available: http://parlos.tamu.edu/MEEN651/Lineariz ation.pdf. [Accessed 17 Agustus 2014].
[9]   R.  C.  Robinson,  An  Introduction  Dynamical System  Continuous  and  Discrete,  New Jersey: Pearson Education, 2004.
[10]   W.  E.  Boyce  and  R.  C.  DiPrima,  Elementary Differential  Equations  and  Boundary  Value Problems, New York: John Wiley & Sons, Inc, 2009.
[11]   R.  O.  Kwofie,  "A  mathematical  model  of  a suspension  bridge  –  case  study:  Adomi bridge,  Atimpoku,  Ghana," Global  Advanced Research Journal of Engineering, Technology, and Innovation, vol. 1(3), pp. 047-062, 2012.
[12]   G. Vries, T. Hillen, M. Lewis, J. Müller and M. Schönfisch,  A  Course  in  Mathematical Biology:  Quantitative  Modeling  with Mathematical  and  Computational  Methods, Alberta: SIAM, 2006.
[13]   P.  K.  s.  d.  P.  Kannappan,  "Introduction  to Functional  Equations,"  in Introduction  to Functional Equations , New York, CRC Press,
2011, p. 2.