Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya Vol.6, No.1, Januari 2020, pp. 77~88
ISSN 2622-8904 (online)

## Penentuan Energi Dasar Ion B 2+ Dengan Menggunakan Metode Variasional Dua Parameter
Nursakinah Annisa Lutfin* 1 , Fauziah A 2
1 Universitas Sulawesi Barat
2 Institut Teknologi Bandung
e-mail: * 1 nursakinahlutfin@unsulbar.ac.id , 2 fauziah.physics@gmail.com

## Abstrak
Penentuan energi dasar ion B 2+ telah dilakukan dengan menggunakan metode variasional dengan dua parameter.  Pada  prinsipnya  metode  ini  menggunakan  suatu  fungsi  yang  ternormalisasi.  Selain  itu,  dengan sebuah fungsi coba dan penggunaan parameter akan memberikan pendekatan dan faktor koreksi yang lebih baik untuk memperoleh nilai energi dasar yang sebenarnya. Pada penelitian ini dilakukan pendekatan dengan membandingkan energi ion B 2+ pada keadaan dasar yang diperoleh terhadap nilai energi eksperimen. Fungsi gelombang yang digunakan yaitu pendekatan fungsi gelombang atom Hidrogen. Energi Dasar ion B 2+ dengan menggunakan  metode  variasional  1  paramater  tanpa  interaksi  antar  elektron  yaitu  sebesar  -765  eV, sedangkan energi dengan interaksi antara elektron  dengan 1 paramter yaitu -629.4823 eV. Energi Dasar ion B 2+ dengan menggunakan 2 parameter tanpa interaksi elektron secara numerik yaitu sebesar  -679.9999 eV, sedangkan energi dasar dengan interaksi elektron menggunakan metode variasional untuk 2 parameter yaitu -633.4906  eV.  Perbandingan  nilai  yang  diperoleh  dengan  membandikan  hasil  yang  diperoleh  dan  hasil eksperimen  memberikan  persentase  kesalahan  perhitungan  variasional  1  parameter  energi  tanpa  interaksi sebesar  19.99%  dan  sebesar  1.26  %  untuk  energi  dengan  interaksi  antara  elektron,  sedangkan  untuk variasional 2 parameter tanpa interaksi sebesar 6.66% dan sebesar 0.633 % untuk energi dengan interaksi antara elektron .
Kata kunci: Metode Variasional, ion B 2+ , Energi Dasar

## 1. PENDAHULUAN
Riccardo  Borghi  (2018)  menyatakan  bahwa  mekanika  kuantum  dikenal  dengan  kerumitan  problem matematika  yang  sering  kali  membuat  kita  lupa  untuk  memahami  konsep  fisikanya.  Sehingga  diperlukan metode untuk menghindari penggunaan problem matematika yang terlalu sulit. Salah satu masalah yang masih sulit  diselesaikan  adalah  ( time-independent ) Schorodinger  equation. Bahkan  Wichmann  (1971)  dalam bukunya Quantum  Physiscs menuliskan  bahwa  tidak  ada  pendekatan  yang  tepat  untuk  menyelesaikan persamaan Scrodinger.
Penyelesaian persmaan Scrodinger diperlukan untuk menentukan energi suatu sistem. Untuk sistem sederhana seperti partikel dalam kotak, gerak harmonis satu dimensi  (S. Keith Dunn: 2001) atau sistem atom hidrogen penyelesaian persamaan Schrodinger telah pernah dilakukan dan tidak membutuhkan kalkulasi yang terlalu rumit. Namun untuk sistem yang terdiri atas banyak partikel seperti pada atom berelektron banyak atau pada suatu  molekul  penyelesaian  persamaan Schrodinger merupakan  sesuatu  yang  sangat  rumit.  Sehingga, diperlukan suatu metode  untuk menghitung energi dasar tanpa menyelesaikan persamaan Scrodinger . Metode pendekatan  yang  banyak  digunakan  dalam  penentuan  energi  level  dari  sebuah  atom  atau  molekul  adalah metode variasional.
Metode variasional adalah salah satu cara untuk menemukan pendekatan energi terendah atau keadaan dasar. Adapun dasar metode variasi yaitu memilih sebuah fungsi gelombang yang bergantung pada satu atau lebih  parameter  dan  menemukan  nilai-nilai  parameter  ini  dengan  nilai  harapan  energi  serendah  mungkin. Tulisan    ini  akan  membahas  mengenai  penggunaan  metode  variasional  dalam  mekanika  kuantum  untuk
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
menghitung energi dasar ion B 2+ dengan menggunakan fungsi coba dua parameter yaitu 𝛼 dan 𝛽 . Kemudian hasil yang diperoleh dibandingkan dengan hasil eksperimen (E exp = - 637,531 eV) dan penelitian sebelumnya.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  yang  berdasarkan  studi  literatur  dan  metode  analitik  dengan menggunakan metode variasional untuk menentukan energi dasar ion B 2+ . Berdasarkan nilai energi dasar yang diperoleh  dari  hasil  eksperimen,  akan  dilakukan  pendekatan  perhitungan  untuk  menentukan  energi  dasar tersebut. Berikut ini adalah bagan alur kerja dalam menghitung energi dasar ion B 2+ dalam penelitian ini :
Gambar 1 . Alur Kerja

## 2.1 Metode Variasional
Griffith (2005) menyatakan bahwa metode variational dapat digunakan untuk menghitung energi dasar,
g E , untuk sistem hamiltonian H yang diketahui dan persamaan Schrodinger yang tidak dapat diselesaikan.
Metode  variasional  merupakan  metode  yang  cukup  sederhana,  namun  menggunakan  prinsip  dasar  metode matematika yang rumit. Pada prinsipnya, metode variational ini didasari oleh operator Hamiltonian (H) yang merupakan operator penentu energi dasar.
Hal pertama yang dilakukan pada metode variational adalah memilih fungsi gelombang ternormalisasi  sembarang. Berlaku :
H H E g    
(1)
Persamaan di atas merupakan nilai ekspektasi H , dalam keadaan  adalah taksiran tinggi dari enerrgi dasar.
Untuk  sembarang  fungsi  gelombang  ternormalisasi  yang  kondisi  ikatannya  sesuai  dengan  kondisi ikatan  maka berlaku :   g E d H    * ,  ternormalisasi (2)
Dengan  adalah  fungsi  gelombang  partikel  yang  sesungguhnya,  sedangkan  adalah  fungsi  gelombang aproksimasi  atau  fungsi  variasi . Untuk  membuktikan  teorema  tersebut  maka  suatu  fungsi  dapat  diekspansi
Metode Variasional Menentukan Fungsi Coba Gelombang Menentukan Hamiltonian Menentukan Persamaan Energi Mencari Nilai Parameter Menghitung Energi secara Analitik dengan 2 Parameter dan secara Numerik dengan MatLab Membandingkan Nilai Energi Secara Analitik dengan Eksperimen Selesai
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
menjadi kombinasi linear yang suku-sukunya merupakan fungsi eigen. Untuk itu  diekspansi ke dalam fungsi eigen k  sehingga :
 = k k k a  
(3)
karena k  adalah fungsi eigen maka padanya berlaku :
k k k E H   = (4)
Substitusi pers. (3) ke ruas kiri pers. (2) membuat ruas kiri menjadi :
      d a H a d H j k j j k k    = * * *
Dengan menggunakan persamaan eigen (4) maka ruas kiri pers. (2) menjadi :
   = k j j j j k k d E a a d H       * * *
(5)
Karena a j , a k , dan E k adalah bukan fungsi maka mereka dapat dikeluarkan dari tanda integral, sehingga :
    = = k j k j kj j j k j k j j k E a a d E a a d H        * * * * (6)
Perlu diingat bahwa kj  berharga 1, jika k = j dan 0 jika k  j sehingga ruas kiri pers. (2) menjadi :
  = k k k k E a a d H * *    atau   = j j j j E a a d H * *    ) (7)
Karena 2 * k k k a a a = maka   = k k k E a d H 2 *    (8)
Mengingat E g adalah tingkat energi terendah maka E k pasti > E g sehingga :
    = k g k k k k E a E a d H 2 2 *    (9) Maka    k k a E d H 2 1 *   
(10)
Karena  adalah ternormalisasi maka  = 1 *    d , dan jika ekspansi pers (3) dimasukkan ke dalam kondisi normalisasi ini maka :
1 2 * * * *      = = = = k j k j k k kj j k j k j k a a a d a a d        (11)
Jika 1 2 =  k k a , dimasukkan pada pers. (10) maka diperoleh :
  g E d H    *  ternormalisasi (12)
Dengan demikian pers.(2) sudah terbukti.
Teorema dengan pernyataan seperti pada pers. (2) adalah jika  ternormalisasi. Bagaimana jika  tidak ternormalisasi. Fungsi  yang tidak ternormalisasi akan menjadi ternormalisasi jika dikalikan dengan suatu bilangan yaitu A yang disebut faktor normalisasi sehingga pers. (12) menjadi :
  g E d H A    * 2
(13)
Harga  A  dapat  dihitung  dari  sifat  fungsi  ternormalisasi  yaitu  = 1 * 2    d A ,  jadi  pers.  (3)  dapat  ditulis menjadi :
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
g E d d H          * *
(14)
Keberhasilan penggunaan metode variasi ini ditentukan oleh kemampuan memformulasi  berdasarkan data boundary condition .
Fungsi  disebut fungsi variasi dan integral (2) atau integral (14) disebut integral variasional. Untuk dapat  memperoleh  aproksimasi  yang  bagus  terhadap  energi  ground  state  E g maka  harus mencoba  beberapa fungsi variasi yang memberikan hasil terendah tetapi tidak lebih rendah dari E g yang sesungguhnya (yaitu E g yang diperoleh melalui eksperimen).

## 2.2. Menentukan Fungsi Coba Gelombang
Jika diambil 1  sebagai fungsi gelombang ground state yang sesungguhnya, dengan demikian berlaku:
1 1   g E H = (15)
Untuk fungsi variasi yang digunakan sama dengan 1  , maka dengan mensubtitusi pers. (15) ke dalam pers. (2)  akan  terlihat  bahwa  integral  variasional  tepat  sama  dengan  E g .  Jadi  fungsi  gelombang  keadaan  dasar menghasilkan integral variasional terendah untuk suatu sistem. Dalam prakteknya orang sering memasukkan beberapa parameter ke dalam fungsi variasi untuk memperoleh integral variasional yang semakin mendekati energi keadaan dasar yang sesungguhnya. Untuk kasus ion B 2+ dalam penelitian ini  digunakan nilai Z = 5 dan fungsi coba gelombang (Zettili : 2001) dalam bentuk dua parameter sebagai berikut:
𝜓 1 = 𝜓 2 = √ 𝛼 3 𝜋𝑎 3 𝑒 −𝛼𝑟1 𝑎 𝜓 3 = √ 𝛼 3 32𝜋𝑎 3 (2 − 𝛽𝑟 3 𝑎 ) 𝑒 −𝛼𝑟3 2𝑎 (16)

## 2.3 Menentukan Hamiltonian
Untuk menghitung energi keadaan dasar sistem untuk ion B 2+ berlaku persamaan Schrodinger :
( )   E r r r z r z =
        − + − −  +  − 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 (17)
dengan operator Hamiltonian menjadi seperti di bawah ini :
( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ˆ r r r z r z H − + − −  +  − = (18)
Dimana r 1 dan r 2 merupakan koordinat kedua elektron, | r 1 – r 2 | adalah jaraknya, dan Z adalah nomor atom ( Pan, dkk : 2004), dimana nomor atom untuk ion B 2+ dalam penelitian ini adalah 5.

## 2.4 Menentukan Persamaan Energi
Secara lengkap hasil integrasi hamiltonian untuk ion B 2+ yang terdiri dari 3 elektron yang mengelilingi inti nukleus dengan 5 proton dan neutron menggunakan dua parameter α dan β .
Hamiltonian untuk sistem ini didefinisikan sebagai berikut.
𝐻 =   − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛽 𝑟 3 ) + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 1 |𝑟 1 −𝑟 2 | + 1 |𝑟 1 −𝑟 3 | + 1 |𝑟 2 −𝑟 3 | ) (19)
Hamiltonian ini terdiri dari energi tanpa  interaksi yaitu, energi kinetik dan energi potensial dari ion B 2+ dan energi interaksi yang terjadi antara ketiga elektron yang mengelilingi inti B 2+ .

## 2.5 Menentukan Nilai Parameter Dan Energi Dasar
Penyelesaian  nilai  parameter  dan  energi  dasar  dilakukan  dengan  2  cara  yaitu  secara  analitik  dan mumerik.  Penyelesaian  analatik  dilakukan  dengan  pendekatan  metode  variasional,  sedangkan  numerik dilakukan dengan menggunnkan fungsi nelder dan fminseacrh pada MatLab.

## 2.6 Membandingkan Energi Dasar
Langkah  terakhir  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  adalah  membandingkan  energi  dasar  yang diperoleh dari hasil analitik dan numerik dengan data eksperimen dan penilitian lainnya. Berikut ini adalah data hasil penelitian nilai energi dasar ion B 2+ dengan metode variasional.
Tabel 1. Nilai Energi Dasar Ion B 2+ Peneliti Metode Energi (V) Youhei Tsubono Variasional 2 parameter -635.965 Frank, Rioux Variasional 1 parameter -629,604 Eksperimen -637.531 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Penentuan Energi Ion B 2+ Dua Parameter (Numerik)
Secara lengkap hasil integrasi hamiltonian untuk ion B 2+ yang terdiri dari 3 elektron yang mengelilingi inti nukleus dengan 5 proton dan neutron menggunaka dua parameter α dan β . Hamiltonian untuk sistem ini didefinisikan sebagai berikut.
𝐻 =   − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛽 𝑟 3 ) + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 1 |𝑟 1 − 𝑟 2 | + 1 |𝑟 1 − 𝑟 3 | + 1 |𝑟 2 − 𝑟 3 | )
Hamiltonian ini terdiri dari energi tanpa  interaksi yaitu, energi kinetik dan energi potensial dari ion B 2+ dan Energi  interaksi  yang  terjadi  antara  ketiga  elektron  yang  mengelilingi  inti  B 2+ .  Untuk  mencari  nilai  energi optimasi B 2+ ini maka kami membagi hamiltonian dan melakukan penyelesaian integrasi masing-masing untuk energi tanpa interaksi dan energi interaksi antara elektron untuk memperoleh energi total dari ion B 2+ . Berikut ini adalah penyelesain integrasi energi tanpa interaksi dengan menggunakan prinsip mirip atom hidrogen.

## 3.1.1 Energi tanpa interaksi
𝐻 =   − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛽 𝑟 3 )
Nilai eigen
𝐻𝜓 123 = 𝐸𝜓 123 [− ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛽 𝑟 3 )] 𝜓 123 =  𝐸𝜓 123
Menggunakan separasi variabel dengan 𝜓 123 =   𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 1 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝛼 𝑟 1 ) 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 + (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝛼 𝑟 2 ) 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 + (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 3 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝛽 𝑟 3 ) 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 = 𝐸𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3
Kedua ruas dikali 1 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3
1 𝜓 1 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 1 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 1 𝑟 1 ) 𝜓 1 + 1 𝜓 2 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 1 𝑟 2 ) 𝜓 2 + 1 𝜓 3 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 3 2 − 𝛽𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 1 𝑟 3 ) 𝜓 3 = 𝐸 𝐸 1 + 𝐸 2 + 𝐸 3 = 𝐸
1 𝜓 1 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 1 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝑟 1 ) 𝜓 1 = 𝐸 1 1 𝜓 2 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝑟 2 ) 𝜓 2 = 𝐸 2 1 𝜓 3 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 3 2 − 𝛽𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝑟 3 ) 𝜓 3 = 𝐸 3
Bentuk persamaan energi di atas mirip dengan atom hidrogen yang bernilai 𝐸 = 𝑍 2 𝐸 𝑜 , sehingga nilai energi untuk setiap bagiannya adalah sebagai berikut.
𝐸 1 =   𝛼 2 𝐸 𝑜 𝐸 2 =   𝛼 2 𝐸 𝑜 𝐸 3 = 𝛽 2 4 𝐸 𝑜
Energi total tanpa interaksi untuk ion B 2+ dengan dua parameter diperoleh dari penjumlahan setiap bagian energi sebelumnya.
𝐸 𝑇 = 𝐸 1 + 𝐸 2 + 𝐸 3 𝐸 𝑇 = 𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛽 2 4 𝐸 𝑜 𝐸 𝑇 = 2𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛽 2 4 𝐸 𝑜
Energi  tanpa interaksi untuk ion B 2+ dengan dua parameter adalah 2𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛽 2 4 𝐸 𝑜 dengan dengan α sebagai parameter pertama, β sebagai parameter kedua, dan E 0 = -13,6 eV.

## 3.1.2 Energi interaksi
Ion B 2+ dengan 3 elektron yang mengelilingi inti mengakibatkan terjadinya interaksi antara ketiganya. Terdapat tiga energi interaksi antara elektron untuk ion B 2+ yang terjadi yaitu, energi interaksi elektron 1 dan 2 yang keduan berada di kulit pertama, energi interaksi elektron 1 di kulit pertama dengan elektron 3 di kulit kedua, dan energi interaksi antara elektron 2 di kulit pertama dengan elektron 3 di kulit kedua. Hamiltonian untuk energi interaksi antara ketiga elektron ini ditunjukkan dalam persamaan berikut ini.
Gambar 2. Ilustrasi elektron pada B 2+
𝐻 = 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 1 |𝑟 1 − 𝑟 2 | + 1 |𝑟 1 − 𝑟 3 | + 1 |𝑟 2 − 𝑟 3 | )
Untuk  mendapatkan  nilai  approksimasi  yang  lebih  baik  maka  digunakan  prinsip  metode  variasional menggunakan fungsi gelombang coba sebagai berikut.
B 2+
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
a r e a     − = 3 3 100 100  adalah fungsi gelombang coba pada elektron 1 dan 2 di kulit pertama.
a r e a r a 2 3 3 200 ) 2 ( 32      − − = 200  adalah  fungsi  gelombang  coba  pada  elektron  3  di  kulit  kedua.  Interaksi  antara  elektron  tersebut didefinisikan sebagai berikut.
Energi interaksi antara elektron total merupakan total energi interaksi antara ketiga elektron 1, 2, dan 3 sebagai berikut.
〈𝑉 12 〉 = − 5 4 𝛼𝐸 𝑜 〈𝑉 13 〉 = 1 2 𝛼 3 𝛽 3 𝐸 𝑜 [ 48 (2𝛼 + 𝛽) 5 + 24 𝛽(2𝛼 + 𝛽) 4 + 24 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 3 + 16 𝛽 3 (2𝛼 + 𝛽) 2 − 4 𝛼 2 𝛽 3 ] 〈𝑉 23 〉 = 1 2 𝛼 3 𝛽 3 𝐸 𝑜 [ 48 (2𝛼 + 𝛽) 5 + 24 𝛽(2𝛼 + 𝛽) 4 + 24 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 3 + 16 𝛽 3 (2𝛼 + 𝛽) 2 − 4 𝛼 2 𝛽 3 ]
Energi interaksi antar elektron total didefinisikan di bawah ini.
𝐸 𝐼 = 𝑉 12 + 𝑉 13 + 𝑉 23
𝐸 𝐼 = − 5 4 𝛼𝐸 𝑜 + 𝛼 3 𝛽 3 𝐸 𝑜 [ 48 (2𝛼 + 𝛽) 5 + 24 𝛽(2𝛼 + 𝛽) 4 + 24 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 3 + 16 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 2 − 4 𝛼 2 𝛽 3 ]
dengan α sebagai parameter pertama, β sebagai parameter kedua, dan E 0 =-13,6 eV.

## Energi ion B 2+
Setelah memperoleh hasil dari energi tanpa interaksi dan energi interaksi ion B 2+ maka diperoleh nilai energi total ion B 2+ dari penjumlahan keduanya,
𝐸 = 𝐸 𝑡𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 Dengan,
𝐸 𝑇𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 = 2𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛽 2 4 𝐸 𝑜 𝐸 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 = − 5 4 𝛼𝐸 𝑜 + 𝛼 3 𝛽 3 𝐸 𝑜 [ 48 (2𝛼 + 𝛽) 5 + 24 𝛽(2𝛼 + 𝛽) 4 + 24 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 3 + 16 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 2 − 4 𝛼 2 𝛽 3 ]
Sehingga energi totalnya adalah adalah,
𝐸 = 2𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛽 2 4 𝐸 𝑜 − 5 4 𝛼𝐸 𝑜 + 𝛼 3 𝛽 3 𝐸 𝑜 [ 48 (2𝛼 + 𝛽) 5 + 24 𝛽(2𝛼 + 𝛽) 4 + 24 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 3 + 16 𝛽 2 (2𝛼 + 𝛽) 2 − 4 𝛼 2 𝛽 3 ]
dengan α sebagai parameter pertama, β sebagai parameter kedua, dan E 0 =-13,6 eV. Metode Variasional
2 3 1 3 0 * r d r d V V ee ee     =
Penyelesaian perhitungan energi dasar ion B 2+ untuk sistem yang dideskripsikan dalam hamiltonian di bawah ini,
𝐻 =   − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛽 𝑟 3 ) + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 − 5 𝑟 1 + 𝛼 − 5 𝑟 2 + 𝛽 − 5 𝑟 3 ) + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 1 |𝑟 1 − 𝑟 2 | + 1 |𝑟 1 − 𝑟 3 | + 1 |𝑟 2 − 𝑟 3 | )
Dilakukan dengan menggunakan metode variational dengan menggunakan prinsip sebagai berikut,
𝐸 𝑔𝑠 ≤ < 𝜓|𝐻|𝜓 > ≡ < 𝐻 >
Sehingga diperoleh energi dasar ion B 2+ seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

## Tanpa interaksi elektron
( ) ( ) a e a e E E H 4 5 4 2 5 4 4 1 2 | | 0 2 0 2 0 2 0 2           − + − + + = Dengan interaksi elektron ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 3 3 0 3 4 0 2 3 5 0 3 3 0 0 0 2 0 2 2 16 2 24 2 24 2 48 4 10 4 59 4 1 2 | |                      + + + + + + + + + + − − = E E E E E E E E H
Berdasarkan prinsip metode variational, optimasi nilai energi dasar terendah untuk ion B 2+ diperoleh dengan,
0 =  d dE dan 0 =  d dE
Penyelesain  differensial  ini  terlalu  kompleks  untuk  dilakukan  secara  analitik,  sehingga  dilakukan penyelesaian secara numerik menggunakan fungsi fminsearch dan fungsi nelder untuk mencari nilai α, β, dan energi optimasi terendah pada matlab. Penyelesain energi optimasi yang dilakukan dengan fungsi fminsearch pada matlab menghasilkan nilai α, β, dan energi sebagai berikut.
Tabel 2. Hasil Numerik fungsi fminsearch Nilai parameter 1 4.667006416653926 Nilai parameter 2 3.474346531048508 Energi -633.4906313957516 eV Persentase error 0.63375249 %
Penyelesain energi optimasi yang dilakukan dengan fungsi nelder pada matlab menghasilkan nilai α, β, dan energi sebagai berikut.
Tabel 3. Hasil Numerik fungsi nelder Nilai parameter 1 4.66742875186139 Nilai parameter 2 3.47396189757417 Energi -633.490626788617 eV Persentase error 0.6337532153547 % 3.2. Penentuan Energi Ion B 2+ Satu Parameter (Analitik) 3.2.1 Energi tanpa interaksi
𝐻 =   − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛼 𝑟 3 )
Nilai eigen
𝐻𝜓 123 = 𝐸𝜓 123 [− ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛼 𝑟 3 )] 𝜓 123 =  𝐸𝜓 123
Menggunakan separasi variabel dengan 𝜓 123 =   𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3
(− ℏ 2
2𝑚 ∇ 1 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝛼 𝑟 1 ) 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 + (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝛼 𝑟 2 ) 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 + (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 3 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝛼 𝑟 3 ) 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 = 𝐸𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3
Kedua ruas dikali 1 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 1 𝜓 1 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 1 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 1 𝑟 1 ) 𝜓 1 + 1 𝜓 2 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 1 𝑟 2 ) 𝜓 2 + 1 𝜓 3 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 3 2 − 𝛽𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 1 𝑟 3 ) 𝜓 3 = 𝐸 𝐸 1 + 𝐸 2 + 𝐸 3 = 𝐸 1 𝜓 1 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 1 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝑟 1 ) 𝜓 1 = 𝐸 1 1 𝜓 2 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝑟 2 ) 𝜓 2 = 𝐸 2 1 𝜓 3 (− ℏ 2 2𝑚 ∇ 3 2 − 𝛼𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 𝑟 3 ) 𝜓 3 = 𝐸 3
Bentuk persamaan energi di atas mirip dengan atom hidrogen yang bernilai 𝐸 = 𝑍 2 𝐸 𝑜 , sehingga nilai energi untuk setiap bagiannya adalah sebagai berikut.
𝐸 1 =   𝛼 2 𝐸 𝑜 𝐸 2 =   𝛼 2 𝐸 𝑜 𝐸 3 = 𝛼 2 4 𝐸 𝑜
Energi  total  tanpa  interaksi  untuk  ion  B 2+ dengan  dua  parameter  diperoleh  dari  penjumlahan  setiap  bagian energi sebelumnya.
𝐸 𝑇 = 𝐸 1 + 𝐸 2 + 𝐸 3 𝐸 𝑇 = 𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛼 2 𝐸 𝑜 + 𝛼 2 4 𝐸 𝑜 𝐸 𝑇 = 9𝛼 2 4 𝐸 𝑜
Energi  tanpa interaksi untuk ion B 2+ dengan dua parameter adalah 9𝛼 2 4 𝐸 𝑜 dengan dengan α sebagai parameter dan E 0 = -13,6 eV.

## 3.2.2. Energi interaksi
Hamiltonian untuk energi interaksi antara ketiga elektron ini ditunjukkan dalam persamaan berikut ini.
𝐻 = 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 1 |𝑟 1 − 𝑟 2 | + 1 |𝑟 1 − 𝑟 3 | + 1 |𝑟 2 − 𝑟 3 | )
Untuk  mendapatkan  nilai  approksimasi  yang  lebih  baik  maka  digunakan  prinsip  metode  variasional menggunakan fungsi gelombang coba sebagai berikut.
a r e a     − = 3 3 100 100  adalah fungsi gelombang coba pada elektron 1 dan 2 di kulit pertama.
a r e a r a 2 3 3 200 ) 2 ( 32      − − =
200  adalah  fungsi  gelombang  coba  pada  elektron  3  di  kulit  kedua.  Interaksi  antara  elektron  tersebut didefinisikan sebagai berikut.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Energi interaksi antara elektron total merupakan total energi interaksi antara ketiga elektron 1, 2, dan 3. Energi interaksi antar elektron total didefinisikan di bawah ini.
𝐸 𝐼 = 𝑉 12 + 𝑉 13 + 𝑉 23
𝐸 𝐼 = − 5 4 𝛼𝐸 𝑜 − 150 243 𝛼𝐸 𝑜 − 150 243 𝛼𝐸 𝑜 𝐸 𝐼 = −2,48 𝛼𝐸 𝑜
dengan α sebagai parameter pertama dan E 0 =-13,6 eV.

## Energi ion B 2+
Setelah memperoleh hasil dari energi tanpa interaksi dan energi interaksi ion B 2+ maka diperoleh nilai energi total ion B 2+ dari penjumlahan keduanya,
𝐸 = 𝐸 𝑡𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 Dengan,
𝐸 𝑇𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 = 9 4 𝛼 2 𝐸 𝑜 = 2,25 𝛼 2 𝐸 𝑜 𝐸 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑠𝑖 = −2,48 𝛼𝐸 𝑜
Sehingga energi totalnya adalah, 𝐸 = 2,25 𝛼 2 𝐸 𝑜 − 2,48 𝛼𝐸 𝑜
dengan α sebagai parameter pertama, α sebagai parameter kedua, dan E 0 =-13,6 eV.

## Metode Variasional
Penyelesaian perhitungan energi dasar ion B 2+ untuk sistem yang dideskripsikan dalam hamiltonian di bawah ini,
𝐻 =   − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛽 𝑟 3 ) + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 − 5 𝑟 1 + 𝛼 − 5 𝑟 2 + 𝛽 − 5 𝑟 3 ) + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 1 |𝑟 1 − 𝑟 2 | + 1 |𝑟 1 − 𝑟 3 | + 1 |𝑟 2 − 𝑟 3 | )
Dilakukan dengan menggunakan metode variational, dengan menggunakan prinsip sebagai berikut,
𝐸 𝑔𝑠 ≤ < 𝜓|𝐻|𝜓 > ≡ < 𝐻 > Sehingga diperoleh energi dasar ion B 2+ seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

## Tanpa Interaksi Elektron
< 𝜓|𝐻|𝜓 >= < 𝜓| − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛼 𝑟 3 ) |𝜓 > + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 < 𝜓| ( 𝛼 − 5 𝑟 1 + 𝛼 − 5 𝑟 2 + 𝛼 − 5 𝑟 3 ) |𝜓 >
Berdasarkan prinsip metode variational, optimasi nilai energi dasar terendah untuk ion B 2+ tanpa interaksi ditunjukkan pada Tabel 4 di bawah.
Tabel 4. Hasil energi tanpa interaksi Nilai parameter 1 5 Energi -765 eV Persentase error 19,9 %
Energi dengan Interaksi Elektron
2 3 1 3 0 * r d r d V V ee ee     =
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
< 𝜓|𝐻|𝜓 >= < 𝜓| − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 + ∇ 3 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 𝛼 𝑟 1 + 𝛼 𝑟 2 + 𝛽 𝑟 3 ) |𝜓 > + 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 < 𝜓| ( 𝛼 − 5 𝑟 1 + 𝛼 − 5 𝑟 2 + 𝛽 − 5 𝑟 3 ) |𝜓 > +
< 𝜓| 𝑒 2 4𝜋𝜀 𝑜 ( 1 |𝑟 1 − 𝑟 2 | + 1 |𝑟 1 − 𝑟 3 | + 1 |𝑟 2 − 𝑟 3 | ) |𝜓 >
Berdasarkan prinsip metode variational, optimasi nilai energi dasar terendah untuk ion B 2+ dengan interaksi antara elektron ditunjukkan pada tabel 5 berikut.
Tabel 4. Hasil energi dengan interaksi elektron Nilai parameter 1 4,5 Energi -629,4823 eV Persentase error 1,26 %

## 3.2.3 Pembahasan
Variasional merupakan salah satu metode analisis yang dapat digunakan untuk memecahkan persamaan Schrodinger  untuk  atom  dengan  dua  elektron  atau  lebih.  Prinsip  metode  ini  yaitu  dengan  menentukan persamaan  Hamiltonian  untuk  satu  atau  lebih  parameter  yang  selanjutnya  digunakan  fungsi  coba  untuk menyelesaikan persamaan Hamiltonian tersebut. Hasil akhir yang didapatkan yaitu besarnya nilai eigen untuk energi  dengan  mensubtitusikan  nilai  parameter  yang  didapatkan.  Tabel  6  di  bawah  ini  menunjukkan rangkuman hasil analitik dan numerik energi ion B 2+ pada keadaan dasar yang dibandingkan dengan energi hasil eksperimen ion B 2+ yaitu - 637.531 eV.
Tabel 6. Hasil Energi Keadaan Dasar ion B 2+ Metode Parameter Energi (eV) %Eror Variasional 1 Parameter tanpa interaksi antara elektron α = 5 -765 19.99 Variasional 1 Parameter dengan interaksi elektron α = 4.537 -629.4823 1.26 Variasional 2 Parameter tanpa interaksi antara elektron (numerik) α =  5.0000 β =  5.0000 -765 19.99 Variasional 2 Parameter dengan fungsi fminseach (numerik) α =  4.6670 β =  3.4743 -633.4906 0.633 Variasional 2 Parameter dengan fungsi nelder (numerik) α =  4.6674 β =  3.4739 -633.4906 0.633
Tabel  6  di  atas  menunjukkan  energi  keadaan  dasar  ion  B 2+ dengan  metode  variasional  1  paremeter dengan  analitik  dan  metode  variasional  2  parameter  dengan  numerik  menggunakan  fungsi  fminsearch  dan nelder. Metode variasional dengan 1 dan 2 parameter  tanpa interaksi memiliki eror yang paling besar yaitu 19.99%. Metode variasional 2 parameter yang menggunakan numerik memiliki persentase eror yang terkecil, yaitu  0.633%.  Persentase  tersebut  dapat  disebut  cukup  baik  karena  telah  memiliki  kesalaha  di  bawah  1%. Meskipun menggunakan metode variasional yang sama dan menggunakan fungsi coba gelombang yang sama namun metode variasional 1 parameter memiliki hasil yang berbeda dengan metode variasional 2 parameter.
Hasil  ini  menunjukkan  angka  bahwa  metode  variasional  2  parameter  memiliki  hasil  yang  lebih  baik dibandingkan metode variasional 1 parameter dan variasional dengan memperhitungkan energi interaksi lebih baik daripada energi tanpa interaksi.  Metode variasional merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam penyelesaian permasalahan Schrodinger untuk atom dengan nomor atom 2 atau lebih, karena memiliki variasi nilai parameter yang nilai eigennya cukup mendekati nilai energi acuan.

## 4. KESIMPULAN
Metode variasional merupakan salah satu metode analisis untuk memecahkan persamaan Schrodinger yang kompleks seperti untuk atom berelektron 2 atau lebih yang bertujuan agar nilai harap dapat mendekati nilai energi acuan. Hasil akhir yang didapatkan yaitu besarnya nilai eigen untuk energi dengan mensubtitusikan
nilai  parameter  yang  didapatkan.  Berdasarkan  hasil  analitik  dan  numerik  energi  atom  litium  pada  keadaan dasar yang telah dilakukan dengan menggunakan metode variasional, dapat disimpulkan bahwa energi Dasar ion B 2+ dengan menggunakan metode variasional 1 paramater tanpa interaksi antar elektron yaitu sebesar -765 eV, sedangkan energi dengan interaksi antara elektron  dengan 1 paramter yaitu  -629.4823 eV, energi Dasar ion  B 2+ dengan  menggunakan  2  parameter  tanpa  interaksi  elektron  secara  numerik  yaitu  sebesar  -765  eV, sedangkan energi dasar dengan interaksi elektron menggunakan metode variasional untuk 2 parameter secara numerik  yaitu  -633.4906  eV,  dan  perbandingan  nilai  yang  diperoleh  dengan  membandikan  hasil  yang diperoleh dan hasil eksperimen memberikan persentase kesalahan perhitungan variasional 1 parameter energi tanpa interaksi sebesar 19.99% dan sebesar 1.26 % untuk energi dengan interaksi antara elektron, sedangkan untuk  variasional  2  parameter  tanpa  interaksi  sebesar  19.99%  dan  sebesar  0.633  %  untuk  energi  dengan interaksi antara elektron .

## DAFTAR PUSTAKA
Borghi,  Riccardo.  2018.  The  Variational  Method  in  Quantum  Mechanics:  an  elementary  Introduction. European Journal of Physics. 39 035410 .
Griffiths, David J. 2005. Introduction Quantum Mechanics. USA: Pearson Prentice Hall.
Pan X. Y., Sahni V., dan Massa L.,  2013. Determination of a wave function functional: The constrained search variational method . The Graduate School of the City University of New York.
Rioux, Frank. 1999. Atomic Variational Calculations: Hydrogen to Boron. Chem. Educator Vol 4, 40-43.
S. Keith Dunn, Variational Method Applied To The Harmonic Oscillator . Kentucky: Department Of Chemistry Centre College Danville.
Wichmann E.H. 1971. Quantum Physics (Barkeley Physics Course, Vol 04). New York: McGraw Hill Colloge.
Tsubono, Youhei. 2018. Truth of Quantum Mechanical Variational Methods. http://www7b.biglobe.ne.jp/~kcy05t/variational.html diakses 03 desember 2019.
Zettili, Nouredine. 2001. Quantum Mechanics Concepts and Application. New York: John Wiley & Sons, Ltd.