## ANALISIS MODEL SEIR (SUSCEPTIBLE, EXPOSED, INFECTED,

## RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT TIFUS DI KOTA MAKASSAR
Irwan, S.Si.,M.Si 1 , Hikmawati Pathuddin, S.Pd.,M.Si 2 , Nur Rizkynanda Auliyah Ahmad 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Alauddin
Makassar
Irwan.msi@uin-alauddin.ac.id , hikmawati.pathuddin@uin-alauddin.ac.id , nurrizkynandaa@gmail.com

## ABSTRAK
Penelitian  ini  berkaitan  tentang  penularan  penyakit  tifus  di  kota  Makassar.  Tujuan  dari penelitian ini yaitu untuk mengetahui model penyebaran penyakit tifus dan kestabilan titik kesetimbangan  dari  model  tersebut.  Berdasarkan  hasil  penelitian,  model  penyebaran penyakit  tifus  yaitu dS dt = α − (βI + μ)S , dE dt = βSI − (ε + μ + θ)E , dI dt = θE − (ε + μ + γ)I, dR dt = γI − μR .  Hasil  penelitian  diperoleh  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit E 0 = (S, E, I, R) = (1.1,0,0,0) adalah  stabil  dan  titik  kesetimbangan  endemik  penyakit E 1 = (S, E, I, R) = ( 215.141, −27.217, −1.9433, −135.295) adalah stabil.
Kata kunci: Model SEIR, Penyakit Tifus

## ABSTRACT
This research is related to the transmission of typhus in the city of Makassar. The purpose of this  study  is  to  determine  the  model  of  the  spread  of  typhus  and  the  stability  of  the equilibrium point of the model. Based on the results of the study, the model for the spread of typhus is 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛼 − (𝛽𝐼 + 𝜇)𝑆 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − (𝜀 + 𝜇 + 𝜃)𝐸 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜃𝐸 − (𝜀 + 𝜇 + 𝛾)𝐼, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾I − 𝜇𝑅 The results obtained that the disease-free equilibrium point 𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = (1.1,0,0,0) ) is stable and the disease-endemic equilibrium point 𝐸 1 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = ( 215.141, −27.217, −1.9433, −135.295) is stable.
Keywords :SEIR Model, Thypus

## A. PENDAHULUAN
Penyakit  menular  cenderung  mendapat  perhatian  lebih  dari  pemerintah  disbanding dengan  penyakit  tidak  menular.  Salah  satu  penyakit  menular  yang  tersebar  di  dunia  yaitu penyakt  tifus.  Penyakit  tifus  adalah  penyakit  infeksi  bakteri  yang  disebabkan  oleh  Salmonella Thypi  (M.  Jurkalnain,  2021).  Saat  ini  tifus  masih  menjadi  penyakit  yang  menyita  banyak perhatian  masyarakat  maupun  tenaga  kesehatan.  Bahkan  terdapat  22  juta  kasus  pertahun  di dunia dan mengakibatkan 216.000 – 600.000 kematian (Juwono R, 1984).
Di Indonesia sendiri penyakit tifus masih mendapat perhatian serius dari berbagai pihak karena  mengancam  kesehatan  masyarakat  dengan  meningkatnya  kasus  terhadap  obat  yang digunakan sehingga menyulitkan upaya pengobatan serta pencegahan (KEMENKES, 2006). Salah satu kota di Sulawesi Selatan yang memiliki kasus terbanyak yaitu kota Makassar pada trahun 2016 – 2017 dilaporkan yang terjangkit penyakit sebanyak 112 kasus pada usia 12 – 25 tahun (Satriani Hadi, 2020).
Melihat banyaknya penderita tifus, dan telah dilakukan berbagai upaya penanggulangan penyakit  tersebut,  maka  sangat  perlu  untuk  mengetahui  penyebaran  penyakit  ini.  Salah  satu cara yang dapat digunakan adalah pemodelan matematika. Model SEIR dapat digunakan untuk mempersentasikan penyebaran penyakit tifus. Model SEIR adalah perkembangan dari model SIR dengan  tambahan  kompartemen  E.  Saat  ini  sudah  banyak  penelitian  yang  dilakukan  dalam pemodelan matematika, baik itu Pemodelan matematika SIRI pada Penyebaran Penyakit Tifus di Sulawesi Selatan (S. Side, 2021), Model dan Simulasi SEIR untuk Penyakit Tifus (S. Side, 2021), Model Matematika SEIR Demam Kejang pada Bayi dibawah 5 tahun di kota Makassar (S. Side, 2021), Analisis Kestabilan Model SEIR Untuk Penyebaran Covid-19 Dengan Parameter Vaksinasi (Miftahul Jannah, 2021), Analisis Kestabilan Model SEIR Penyebaran Penyakit Campak Dengan Pengaruh  Imunisasi  dan Vaksin  MR  (Willyam  DS, 2019),  SEIR  Model  In  Spread  Disease  (Nerli Khairani, 2022), Mathematical  Model  Of Tiphoid Fever Spread Using Saturated Incidence Rate (M.  Julkarnain,  2021).  Pada  penelitian  ini  menjelaskan  mengenai  modifikasi  model  yang  telah dilakukan  oleh  Side,  dkk  dimana  model  SEIR  terdapat  penambahan  parameter  pada kompartemen E yaitu parameter laju kematian karena penyakit.

## B. TINJAUAN PUSTAKA

## Model Epidemik SEIR
Model SEIR mendeskripsikan pola penyebaran penyakit pada populasi yang menyerang manusia.  Secara  garis  besar  model  SEIR  mendeskripsikan  pola  penyebaran  penyakit  dari kelompok  individu susceptible sebagai exposed melalui  hubungan  langsung  dengan  individu infected .  Selanjutnya  individu exposed yang  masa  latennya  sudah  usai  dapat  menjadi infected. Sedangkan  individu infected yang  dapat  bertahan  terhadap  penyakit  akan  sembuh  dan memasuki kelompok recovered.
Bentuk diagram kompartemen model epidemik SEIR

## Sistem Persamaan Differensial
Persamaan diferensial ialah suatu Persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel  terikat  pada  satu  atau  lebih  variabel  bebas.  Adapun  bentuk  umum  dari  Persamaan diferensial adalah sebagai berikut :
𝑥 = 𝑓(𝑥)
Persamaan differensial dapat dibagi menjadi dua yaitu biasa dan parsial (L. Perko, 2001).

## Titik Kesetimbangan dan Kestabilan
Titik  kesetimbangan  ialah  titik  yang  tidak  berubah  terhadap  waktu.  Artinya  pada  saat 𝑡 = 1,2, … , 𝑛 nilai  titik  tersebut  akan  tetap  dan  tidak  berubah.  Misalkan  suatu  Persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut :
𝑥 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑅 𝑛
Dimana  titik 𝑥̅ ∈ 𝑅 𝑛 dinamakan  titik  kesetimbangan  dari  Persamaan  diatas  jika  terpenuhi 𝑓(𝑥̅) = 0 .
Kestabilan  titik  kesetimbangan  sistem  Persamaan  differensial  baik  linear  mapun  nonlinear dalam defenisi berikut :
Diberikan system Persamaan differensial orde pertama dan 𝑡, 𝑥 0
Adalah solusinya pada saat t dengan kondisi awal 𝑥(0) = 𝑥 0
1. Vector 𝑥̅ memenuhi 𝑓(𝑥̅) = 0 dikatakan sebagai titik kesetimbangan.
2. Titik  kesetimbangan 𝑥̅ dikatakan  stabil  jika  diberikan 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 sedemikian sehingga jika ||𝑥 0 − 𝑥̅|| < 𝛿 (dengan ||.|| adalah norm pada R n ) maka ||𝑥(𝑡, 𝑥 0 ) − 𝑥̅|| < 𝜀 untuk 𝑡 ≥ 0 .
3. Titik  kesetimbangan  stabil  asimtotik  jika  titik-titik  kesetimbangannya  stabil  dan  terdapat 𝛿 1 > 0 sedemikian sehingga 𝑙𝑜𝑔 𝑡→∞ ||𝑥(𝑡, 𝑥 0 ) − 𝑥̅|| = 0 , asalkan ||𝑥 0 − 𝑥̅|| < 𝛿 1 .
Titik kesetimbangan 𝑥̅ dikatakan tidak stabil bila titik kesetimbangannya tidak memenuhi point ke-2 (G.J. Olsder, 1994).

## Bilangan Reproduksi Dasar
Angka  reproduksi  adalah  angka  yang  menyatakan  jumlah  rata-rata  individu  efektif sekunder akibat tertularnya individu efektif primer yang terjadi pada populasi rentan.
Bilangan reproduksi dasar ialah parameter yang menentukan stabilitas yang diturunkan dari  titik-titik  kesetimbangan  model  dan  di  notasikan  menggunakan  simbol  R 0 .  Titik  kritis  R 0 berkisar  satu,  bila  R 0 <  1  maka  rata-rata  populasi  yang  terinfeksi  berkurang  atau  menghilang dari populasi. Jika R 0 > 1, maka infeksi akan membesar atau semakin tinggi di suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit (John Giesecke, 1994).
Ada beberapa keadaan yang akan timbul yaitu: (Driessche dan Watmough, 2002).
1. Jika 𝑅 0 < 1 , maka penyakit akan hilang.
2. Jika 𝑅 0 = 1 , maka penyakit akan menetap
3. Jika 𝑅 0 > 1 , maka penyakit akan mewabah.

## Tifus
Demam  tifus  ialah  suatu  penyakit  yang  disebabkan  oleh  bakteri  salmonella  typhi. Penyebab penyakit ini yaitu kelompok bakteri salmonella yang masuk ke dalam tubuh penderita melalui  saluran  pencernaan.  Adapun  sumber  utama  penyakit  ialah  manusia  yang  selalu mengeluarkan  mikroorganisme  penyebab  penyakit,  baik  pada  saat  menderita  sakit  maupun dalam masa penyembuhan (Soedarto, 1996).
Tifus  merupakan  penyakit  infeksi  sistemik  dengan  ilustrasi  demam  yang  berlangsung lama, adanya bakteremia disertai peradangan yang dapat menyumbat usus dan organ hati. Tifus merupakan  penyakit  menular  yang  menyebar  ke  seluruh  dunia  dan  masih  menjadi  masalah kesehatan terbesar di negara berkembang dan tropis seperti Asia Tenggara, Afrika dan Amerika Latin.  Angka  kejadian  penyakit  ini  masih  sangat  tinggi  serta  diperkirakan  mencapai  21  juta kasus dengan lebih dari 700 kasus berakhir dengan kematian.
Di Indonesia, kejadian tifus diperkirakan sekitar 300-810 kasus per 100.000 penduduk per  tahun.  Hal  ini  berkaitan  dengan  tingkat  kebersihan  individu,  sanitasi  lingkungan  serta penyebaran kuman penyakit dari penderita tifus. Berdasarkan hasil kuesioner kesehatan rumah tangga  tahun  1986  dinyatakan  bahwa  penyakit  tifus  menyebabkan  3%  kematian  dari  seluruh kematian  di  Indonesia.  Bakteri  Salmonella  typhi  dapat  menyebabkan  penyakit  yang  parah  di satu daerah tetapi hanya menimbulkan gejala penyakit yang ringan di daerah lain, ini berarti ada hubungan  antara  perbedaan  daerah  dengan  tingkat  keparahan  penyakit  (Yatnita  Parama  Cita, 2011).

## C. METODE
Jenis penelitian ini adalah penelitian terapan yang digunakan untuk mengkaji penyakit tifus  dengan  jenis  data  adalah  data  sekunder  dan  sumber  data  adalah  Dinas  Kesehatan  Kota Makassar  dan  Badan  Pusat  Statistika  Kota  Makassar.  Langkah  pertama  adalah  membangun model matematika berdasarkan asumsi-asumsi yang berkaitan dengan model SEIR berdasarkan karakteristik  penyakit,  kemudian  akan  terbentuk  diagram  dan  model  matematika  yang membentuk  persamaan  differensial.  Langkah  selanjutnya  yaitu,  nilai  reproduksi  dasar  lalu menentukan titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik dari model yang telah dibentuk sebelumnya  dan  menganalisis  kestabilan  titik  kesetimbangan.  Kemudian  melakukan  simulasi menggunakan program model SEIR dari nilai awal dan nilai parameter.

## D. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Membangun Model SEIR
Asumsi-asumsi yang digunakan untuk model penyebaran penyakit tifus, yaitu:
1. Populasi penduduk terbuka.
2. Semua anak yang lahir diasumsikan masuk kedalam kelompok Susceptible.
3. Terdapat kelahiran dan kematian dalam populasi.
4. Penularan penyakit terjadi jika ada kontak langsung antara kelompok Susceptible dengan kelompok Infected .
5. Apabila dari kelompok Susceptible terdapat individu yang menunjukkan gejala terjangkit maka akan digolongkan kedalam kelompok Exposed .
6. Kelompok Exposed akan  digolongkan  kedalam  kelompok Infected jika  individu  telah terinfeksi.
7. Kelompok Infected dapat menularkan penyakit kepada individu yang lain.
8. Individu  dari  kelompok Infected yang  sembuh  digolongkan  kedalam  kelompok Recovered .
9. Individu  dari  kelompok Recovered memiliki  kekebalan  tubuh  sementara  dan  dapat digolongkan kembali kedalam kelompok Susceptible .
10. Pada kelompok Exposed dan Infected terdapat kematian kerena penyakit.
Diagram model SEIR penyakit tifus
Gambar 4.1 Diagram Alur Model Penyebaran Penyakit Tifus Berdasarkan asumsi dan gambar 4.1 maka model matematika yang terbentuk adalah:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛼 − (𝛽𝐼 + 𝜇)𝑆
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − (𝜀 + 𝜇 + 𝜃)𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜃𝐸 − (𝜀 + 𝜇 + 𝛾)𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾I − 𝜇𝑅
Variabel dan parameter yang digunakan adalah sebagai berikut:
Tabel 4.1 Variabel dan Parameter Variable Keterangan 𝑆 Jumlah individu rentan 𝐸 Jumlah individu yang memiliki gejala infeksi 𝐼 Jumlah individu yang telah terinfeksi 𝑅 Jumlah individu sembuh 𝛼 Laju kelahiran 𝛽 Laju individu rentan ke individu exposed 𝜃 Laju individu terinfeksi 𝛾 Laju individu sembuh 𝜇 𝑆 Laju kematian alami Susceptible 𝜇 𝐸 Laju kematian alami Exposed 𝜇 𝐼 Laju kematian alami Infected 𝜇 𝑅 Laju kematian alami Recovered 𝜀 Laju kematian karena penyakit
Analisis Model SEIR untuk Penyebaran Penyakit Tifus
Bilangan Reproduksi Dasar ( 𝑅 0 )
yang  menentukan  stabilitas  penyebaran  penyakit.  Dalam  mencari  nilai ( 𝑅 0 ) dari penyebaran  penyakit  tifus menggunakan matriks next  generation yang  berdasar  pada  variabel Exposed dan Infected .
Berdasar persamaan variabel E dan I diperoleh:
𝐹̅ = ( 0 𝛽𝑆 0 0 ) dan 𝑉̅ = ( 𝜀 + 𝜇 + 𝜃 0 −𝜃 𝜀 + 𝜇 + 𝛾 )
Maka, 𝐺̅ = 𝐹̅𝑉̅ −1
𝐺̅ = ( 𝜃𝛽𝑆
(𝜀 + 𝜇 + 𝜃)(𝜀 + 𝜇 + 𝛾) 𝛽𝑆 𝜀 + 𝜇 + 𝛾 0 0 )
Nilai  reproduksi  dasar ( 𝑅 0 ) adalah  nilai  eigen  terbesar  dari 𝐺̅ dengan  menggunakan  rumus |𝜆𝐼 − 𝐺̅| = 0 , sehingga diperoleh nilai 𝜆 1 = 𝜃𝛽𝑆 (𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾) ; 𝜆 2 = 0 .
Sehingga diperoleh nilai Reproduksi Dasar yaitu 𝑅 0 = 𝜃𝛽𝛼 𝜇(𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾)

## Titik kesetimbangan
Titik kesetimbangan pada model SEIR akan terjadi pada saat ( 𝑑𝑆 𝑑𝑡 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 , 𝑑𝑅 𝑑𝑡 ) = (0,0,0,0) . Terdapat  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  atau 𝐸 0 dan  titik kesetimbangan  endemik  atau 𝐸 1 .  Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  diperoleh  dengan
mengasumsikan 𝐼 = 0 yang berarti tidak ada individu yang terinfeksi dan menularkan penyakit. Berdasarkan persamaan (4.1) diperoleh  titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = ( 𝛼 𝜇 , 0,0,0) .  Untuk  mengetahui  titik  kesetimbangan  endemik 𝐸 1 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅), dimana 𝑆 =
(𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾) 𝛽𝜃 , 𝐸 = 𝛼𝛽𝜃−𝜇(𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾) 𝛽𝜃(𝜀+𝜇+𝜃) , 𝐼 = 𝛼𝛽𝜃−𝜇(𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾) 𝛽(𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾) , 𝑅 = 𝛼𝛽𝜃𝛾−𝜇𝛾(𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾) 𝛽𝜇(𝜀+𝜇+𝜃)(𝜀+𝜇+𝛾) .
Selain  itu  titik  kesetimbangan  endemik  dapat  dinyatakan  dengan  mensubstitusi  nilai 𝑅 0 , sehingga diperoleh 𝐸 1 = 𝛼 𝜇𝑅 0 , 𝛼(𝑅 0 −1) 𝑅 0 (𝜀+𝜇+𝜃) , 𝜇(𝑅 0 −1) 𝛽 , 𝛾𝜇(𝑅 0 −1) 𝛽𝜇 .

## Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Kestabilan titik kesetimbangan diperoleh dengan melakukan linearisasi pada persamaan (1) sehingga diperoleh matriks jacobian untuk kesetimbangan bebas penyakit.
𝐽𝐸 0 = [ −𝜇 0 − 𝛽𝛼 𝜇 0 −(𝜀 + 𝜇 + 𝜃) 𝛽𝛼 𝜇 0 0 𝜃 0 −(𝜀 + 𝜇 + 𝛾) 𝛾 0 0 0 −𝜇
]
Untuk  mengetahui  kestabilan 𝐸 0 dengan  langkah  mencari  nilai  eigen  dari  matriks 𝐽𝐸 0 menggunakan rumus |𝜆𝐼 − 𝐽𝐸 0 | = 0 diperoleh:
| | [ 𝜆 0 0 0 𝜆 0 0 0 0 0 𝜆 0 0 0 0 𝜆 ] − [ −𝜇 0 − 𝛽𝛼 𝜇 0 −(𝜀 + 𝜇 + 𝜃) 𝛽𝛼 𝜇 0 0 𝜃 0 −(𝜀 + 𝜇 + 𝛾) 𝛾 0 0 0 −𝜇 ] | | = 0 [ 𝜆 + 𝜇 0 𝛽𝛼 𝜇
0 𝜆 + (𝜀 + 𝜇 + 𝜃) − 𝛽𝛼 𝜇 0 0 −𝜃 0
𝜆 + (𝜀 + 𝜇 + 𝛾) −𝛾 0 0 0 𝜆 + 𝜇 ] = 0
Dengan  menggunakan  metode  sarrus  diperoleh  nilai  eigen 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 dan 𝜆 4 bernilai  negatif sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit bersifat stabil.

## Simulasi Model
Nilai awal untuk setiap variabel sebagi berikut:
Tabel Nilai Awal Variabel Variabel Nilai Sumber S 0,9975 Dinas Kesehatan E 0,0014 Dinas Kesehatan I 0,00055 Dinas Kesehatan R 0,00053 Data Asumsi Simulasi menggunakan nilai parameter sebagai berikut: Tabel Nilai Parameter Parameter Nilai Sumber 𝜶 0,0159 Dinas Kesehatan 𝜷 0,0072 Dinas Kesehatan 𝝁 0,0140 BPS Kota Makassar 𝜽 0,0714 Data Asumsi 𝜺 0,0252 Dinas Kesehatan 𝜸 0,9747 Dinas Kesehatan
Berdasarkan nilai parameter pada tabel nilai parameter diperoleh nilai 𝑅 0 = 0,0005 < 1 , yang berarti individu yang terinfeksi tifus tidak akan menularkan ke individu lain.
Dari hasil simulasi menggunakan aplikasi maple diperoleh grafik sebagai berikut:
Gambar 4.2 Proporsi Populasi Susceptible
Pada  gambar  diatas  menyatakan  bahwa  populasi  Susceptible  mengalami  kenaikan  setiap tahunnya dikarenakan adanya populasi terbuka atau kelahiran.
Gambar 4.3 Proporsi Populasi Exposed
Pada gambar diatas menyatakan bahwa populasi Exposed mengalami penurunan di tahun ke 50 sampai tahun berikutnya dengan seiring berjalannya waktu.
Gambar 4.4 Proporsi Populasi Infected
Pada gambar diatas menyatakan bahwa populasi Infected mengalami penurunan di setiap tahun dengan seiring berjalannya waktu.
Gambar 4.5 Proporsi Populasi Recovered
Pada  gambar  diatas  menyatakan  populasi  Recovered  mengalami  kenaikan  ditahun  pertama tetapi pada tahun ke 10 mengalami penurunan hingga tahun-tahun berikutnya.

## Gambar 4.6 Proporsi Populasi Model SEIR
Pada  gambar  diatas  menyatakan  bahwa  populasi  model  SEIR  menunjukkan  bahwa  populasi individu exposed, terinfeksi dan sembuh mendekati nol, sedangkan populasi rentan mengalami peningkatan setiap bulan. Hal ini menunjukkan bahwa penyakit tifus semakin lama akan menuju E 0 , maka seiring berjalannya waktu individu yang terinfeksi tifus akan hilang dari populasi.
Selanjutnya  menentukan  kestabilan  titik  kesetimbangan  endemik  dengan  cara  yang  sama dengan  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit.  Sehingga  diperoleh  semua  nilai  eigen  bernilai negatif sehingga titik kesetimbangan endemik bersifat stabil.

## E. PENUTUP

## 1. Kesimpulan
Adapun  kesimpulan  dari  hasil  penelitian  berdasarkan  rumusan  masalah  yang  telah  diuraikan sebelumnya adalah sebagai berikut:
1. Model penyebaran penyakit tifus menggunakan model SEIR sebagai berikut
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0,0159 − (0,0072 𝐼 + 0,0140)𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0,0072 𝑆𝐼 − 0,1106 𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0,0714 𝐸 − 1,0139 𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0,9747 I − 0,0140 𝑅
2. Diperoleh  titik  kesetimbangan  dari model  penyebaran  penyakit  tifus  di  kota  makassar sebagai berikut:
a. Titik kesetimbangan bebas penyakit
𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = (1.1,0,0,0)
Pada  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dimana  variable  Exposed  dan  Infected diasumsikan  sama  dengan  0  yang  artinya  penyakit  yang  akan  diteliti  beum dimasukkan pada persamaan bebas penyakit.
b. Titik kesetimbangan endemik
𝐸 1 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = (215.141, −27.217, −1.9433, −135.295)
Pada  persamaan  endemik  dimana  hasil  yang  diperoleh  setiap  variable  menunjukkan  angka negatif yang dimana artinya populasi penyakit tifus berkurang atau tidak mewabah.

## 2. Saran
Pada  penelitian  ini  dilakukan  analisis  serta  simulasi  model  SEIR  untuk  penyebaran penyakit  tifus,  dimana  model  ini  masih  dapat  dikembangkan  dengan  menambahkan  variabel baru  sehingga  membentuk  model  baru  seperti  SVEIR  dan  lain  sebagainya.  Serta  dapat  diteliti lebih lanjut untuk upaya pencegahan penularan penyakit tifus .

## DAFTAR PUSTAKA
Driessche, P. Van den dan Watmough, James. 2002. Reproduction Numbers and Sub-Threshold
Endemic  Equilibria  For  Compartmental  Models  Of  Disease  Transmission,  Mathematical Bioscience.
DS,  Willyam.  2019.  Analisis  Kestabilan  Model  SEIR  Penyebaran  Penyakit  Campak  Dengan Pengaruh Imunisasi dan Vaksin MR. Jurnal Matematika, Stastistika dan Komputasi.
Giesecke, John. 1994. Modern Infectious Disease Epidemilogy. New York: Oxford University Press.
Hadi, Satriani. 2020. Karakteristik Penderita Demam Tifoid di RS Ibnu Sina Kota Makassar Tahun 2016-2017 . Universitas Muslim Indonesia: Makassar. 5(1).
Jannah,  Miftahul.  2021. Analisis  Kestabilan  Model  SEIR  Untuk  penyebaran  Covid-19  Dengan Parameter Vaksinasi . BAREKING: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan.
Julkarnain, M. 2021. Mathematical Model Of Tiphoid Fever Spread Using Saturated Incidence Rate . AdMathEdu. 11(2)
Julkarnain,  M.  2021. Model  Penyebaran  Penyakit  Tipes  Dengan  Saturated  Incidence  Rate .  Journal : AdMathEdu. 11(2).
Keputusan  Menteri  Kesehatan  Nomor  365/MENKES/SK/V/2006  tentang  Pedoman  Pengendalian Demam Tifoid.
Khairani, Nerli. 2022. SEIR Model In Spread . Jurnal Universitas Medan.
Olsder, G.J. 1994. Mathematical System Theory . Belanda : Delft University of Technology.
Parama Cita, Yatnita. 2011. Bakteri Salmonella Typhi dan Demam Tifoid . Stikes : Jakarta Timur. Vol 6 no 1.
Perko, L. 2001. Differential Equations and Dynamical System (3 rd edition) : New York : Springer
R, Juwono. 1984. Demam Tifoid. Dalam: Soeparman, editor. Ilmu Penyakit Dalam Jilid 1 Edisi ke 2 . Jakarta: Balai Penerbit FKUI.
Soedarto. 1996. Penyakit – Penyakit Infeksi di Indonesia . Jakarta : Widya Medika.
Side, S. 2021. SEIR Mathematical Model of Seizure fever in Infants Under 5 Years Old in Makassar City . Journal Physics: Conference Series.
Side, S. 2021. SEIR Model and Simulation for Typus Disease. Journal of Physics: Conference Series.
Side,  S.  2021. Pemodelan  Matematika  SIRI  pada  Penyebaran  Penyakit  Tifus  di  Sulawesi  Selatan. Journal of Mathematic. Vol 4 no 2.