Accredited by Ministry of Research, Technology                          DOI: https://doi.org/10.35799/jis.20.1.2020.27278 and Higher Education No: 28/E/KPT/2019                Available online at https://ejournal.unsrat.ac.id/index.php/jis

## Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Bunga Double Quadrilateral
Fery Firmansah 1)
1) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Widya Dharma Klaten feryfirmansah@unwidha.ac.id
(Article History:  Received 16-01-2020; Accepted 09-03-2020; Published 10-03-2020)

## ABSTRAK
Graf harmonis ganjil adalah graf yang memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil. Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan kelas graf baru yang merupakan graf harmonis ganjil. Metode penelitian yang digunakan terdiri dari beberapa tahapan yaitu konstruksi definisi, formulasi fungsi pelabelan dan pembuktian teorema. Hasil dari penelitian ini adalah konstruksi graf bunga double quadrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 dan  graf  bunga  variasi  double  quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 yang merupakan pengembangan dari graf double quadrilateral 𝐷𝑄 dan graf variasi double quadrilateral 𝑉𝐷𝑄 . Lebih lanjut telah dibuktikan bahwa graf 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dan 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) adalah graf harmonis ganjil.
Kata Kunci: graf double quadrilateral, graf bunga, graf harmonis ganjil, pelabelan graf

## Odd Harmonious Labelling on The Flower Double Quadrilateral Graphs

## ABSTRACT
Odd harmonious graphs are graphs that have odd harmonious labeling properties. The purpose of this study is to get a new class of graphs which are odd harmonious graphs. The research method used consists of several stages, namely construction of definitions, formulation of labeling functions and proof of theorems.  The results of this study is to get a graph construction will be given, namely the  flower  quadrilateral  graphs 𝐹𝐷𝑄(𝑚) with 𝑚 ≥ 1 and  the  flower  variation  of  quadrilateral graphs 𝐹𝐷𝑄(𝑚) with 𝑚 ≥ 1 , which are the development of double quadrilateral graphs 𝐷𝑄 and variation double quadrilateral graphs 𝑉𝐷𝑄 . It has further been proven that 𝐹𝐷𝑄(𝑚) and 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) are odd harmonious graphs.
Keywords: double quadrilateral graph, flower graph, labeling graph, odd harmonious graph

## PENDAHULUAN
Sedlacek memperkenalkan pertama kali teori pelabelan graf pada tahun 1963. Sampai tahun  2019  Gallian  telah  mengumpulkan banyak  hasil  penelitian  pelabelan  graf  baik dari sisi pengembangan teori maupun aplikasi dalam  berbagai  bidang  keilmuan.  Liang  dan Bai  pada  tahun  2009  memperkenalkan  salah satu  jenis  dari  pelabelan  graf  yang  harmonis yaitu pelabelan graf harmonis ganjil (Gallian, 2019).
Pelabelan  harmonis  ganjil  graf 𝐺 pada dasarnya adalah pemetaan setiap elemen titik ke  bilangan  bulat  positif {0,1,2,3, … ,2𝑞 − 1} yang  bersifat  injektif,  sedemikian  sehingga
menginduksi pemetaan setiap elemen garis ke bilangan  bulat  positif  ganjil {1,3,5,7, … ,2𝑞 − 1} yang  bersifat  bijektif,  dengan 𝑓 ∗ (𝑐𝑑) = 𝑓(𝑐) + 𝑓(𝑑) dan 𝑞 order  dari  graf 𝐺 (Liang dan Bai, 2009).
Penelitian yang relevan dengan penelitian  ini  antara  lain.  Rismayati  (2013) membuktikan bahwa graf hairy lingkaran, graf shadow  lingkaran  dan  generalisasi  graf shadow lingkaran adalah graf harmonis ganjil. Abdel-Aal  (2014)  membuktikan  bahwa  dua graf lingkaran dengan sebuah busur persekutuan  adalah  graf  harmonis  ganjil. Firmansah dan Yuwono (2017) membuktikan bahwa  kelas  graf  baru  hasil  operasi  cartesian product  adalah  graf  harmonis  ganjil.  Pada
makalah  yang  berbeda  Firmansah  dan Yuwono  (2017a)  juga  membuktikan  bahwa graf kincir angin belanda berlipat adalah graf harmonis  ganjilJeyanthi  &  Philo  (2019) membuktikan  bahwa  graf  super  subdevisi adalah  graf  harmonis  ganjil.  Firmansah  &
Tasari (2020) membuktikan bahwa amalgamasi garis dari graf double quadrilateral adalah graf harmonis ganjil. Firmansah & Syaifuddin (2016)
membuktikan bahwa graf kincir angin double quadrilateral 𝐷𝑄 (𝑘) adalah  graf  harmonis ganjil. Selanjutnya Firmansah (2017) memperkenalkan graf variasi double
quadrilateral 𝑉𝐷𝑄 dan  graf  kincir  angin variasi  double  quadrilateral 𝑉𝐷𝑄 (𝑘) ,  lebih lanjut  telah  dibuktikan  bahwa  graf 𝑉𝐷𝑄 (𝑘) adalah  graf  harmonis  ganjil.  Firmansah  & Syaifuddin (2018) dan Firmansah & Syaifuddin  (2018a)    membuktikan  bahwa amalgamasi graf kincir angin double
quadrilateral 𝐷𝑄 (𝑘) ∗ 𝑃 2 ∗ 𝐷𝑄 (𝑘) adalah  graf harmonis ganjil.
Pada makalah ini peneliti tertarik untuk mengembangkan  kelas  graf  baru  yaitu  graf bunga double quadrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dan graf bunga variasi double quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) yang merupakan pengembangan dari graf 𝐷𝑄 dan 𝑉𝐷𝑄 .  Selain  itu  peneliti  juga  akan membuktikan  bahwa  graf  bunga  double quadrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dan graf bunga variasi double  quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) adalah  graf harmonis ganjil.

## METODE PENELITIAN
Metode penelitian
yang telah dikerjakan terdiri dari bebarapa langkah antara lain.  (1)  Membentuk  definisi  kelas  graf  baru beserta  gambarnya,  (2)  memformulasikan fungsi  pelabelan  titik  dan  fungsi  pelabelan garis  dengan  sifat-sifat  tertentu,  dan  (3) menyatakan  dalam  bentuk  teorema  disertai dengan pembuktian secara matematis.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut  diberikan  definisi  dari  graf bunga  double  quadrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 dan  graf  bunga  variasi  double quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 .
Selanjutnya  diberikan  sifat  yang  menyatakan bahwa  graf  bunga  double  quadrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 dan  graf  bunga
variasi double quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.
Definisi  1. Graf  bunga  double  quadrilteral yang  dinotasikan  dengan 𝐹𝐷𝑄(𝑚) , 𝑚 ≥ 1 adalah  graf  yang  mempunyai  himpunan  titik 𝑉(𝐹𝐷𝑄(𝑚)) = {𝑢 0 } ∪ {𝑢 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2} dan himpunan garis 𝐸(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) = {𝑢 0 𝑢 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1} ∪ {𝑢 2𝑖−1 𝑣 𝑖 1 |  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 𝑢 2𝑖 |  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑢 2𝑖+1 𝑣 𝑖 2 |  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 2} .
Berdasarkan Definisi 1 diperoleh  order 𝑝(𝐹𝐷𝑄(𝑚)) = 4𝑚 + 2 dan size 𝑞(𝐹𝐷𝑄(𝑚)) = 6𝑚 + 1 .
1 u 2 u 3 u 1 2  m u 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 1 3 v 2 3 v 1 m v 2 m v 0 u 4 u 5 u 6 u 7 u m u 2 1 2  m u
Gambar 1. Konstruksi dan definisi titik dari graf  bunga  double  quadrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 .
Teorema  2. Graf  bunga  double  quadrilteral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.
Bukti.
Didefinisikan  fungsi  pelabelan  titik 𝑓: 𝑉(𝐹𝐷𝑄(𝑚)) → {0,1,2,3, … ,12𝑚 + 1}
𝑓(𝑢 0 ) = 0 (1) 𝑓(𝑢 𝑖 ) = 2𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1 (2)
𝑓(𝑣 𝑖 𝑗 ) = 12𝑚 − 12𝑖 + 2𝑗 + 4, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2 (3)
Berdasarkan persamaan (1), (2), dan (3)
diperoleh
𝑓 (𝑉(𝐹𝐷𝑄(𝑚))) = {0} ∪ {1,3,5,7, … ,4𝑚 + 1} ∪ {12𝑚 − 6,12𝑚 − 18,12𝑚 − 30,12𝑚 −
14 Jurnal Ilmiah Sains Vol. 20  No. 1, April 2020
42, … ,6,12𝑚 − 4,12𝑚 − 16,12𝑚 − 28,12𝑚 − 40, … ,8} = {0,1,3,5,6,7,8, … ,4𝑚 + 1, … ,12𝑚 − 42,12𝑚 − 40, 12𝑚 − 30,12𝑚 − 28,12𝑚 − 18,12𝑚 − 16,12𝑚 − 6,12𝑚 − 4} = {0,1,3,5, … ,12𝑚 − 4}
Didapatkan  himpunan  titik  setelah
diberikan label
𝑓 (𝑉(𝐹𝐷𝑄(𝑚))) =
{0,1,3,5, … ,12𝑚 − 4} ⊆ {0,1,2,3, … ,12𝑚 + 1} .  Disisi  yang  lain  terlihat  juga  bahwa himpunan titik setelah diberi label
𝑓 (𝑉(𝐹𝐷𝑄(𝑚))) = {0,1,3,5, … ,12𝑚 − 4}
menghasilkan  label  yang  berbeda-beda  pada setiap  titiknya.  Sehingga  didapatkan  fungsi pelabelan titik bersifat injektif.
Didefinisikan  fungsi  pelabelan  garis 𝑓 ∗ : 𝐸(𝐹𝐷𝑄(𝑚)) → {1,3,5,7, … ,12𝑚 + 1}
𝑓 ∗ (𝑢 0 𝑢 𝑖 ) = 2𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1 (4) 𝑓 ∗ (𝑢 2𝑖−1 𝑣 𝑖 1 ) = 12𝑚 − 8𝑖 + 2𝑗 + 1,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1 (5)
𝑓 ∗ (𝑣 𝑖 𝑗 𝑢 2𝑖 ) = 12𝑚 − 8𝑖 + 2𝑗 + 3,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2 (6)
𝑓 ∗ (𝑢 2𝑖+1 𝑣 𝑖 2 ) = 12𝑚 − 8𝑖 + 2𝑗 + 5,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 2 (7)
Berdasarkan  persamaan  (4),  (5),  (6), dan (7) diperoleh
𝑓 ∗ (𝐸(𝐹𝐷𝑄(𝑚))) = {1,3,5,7, … ,4𝑚 + 1} ∪
{12𝑚 − 5,12𝑚 − 13,12𝑚 − 21,12𝑚 − 29, … ,4𝑚 + 3} ∪ {12𝑚 − 3,12𝑚 − 11,12𝑚 − 19,12𝑚 − 27, … ,4𝑚 + 5,12𝑚 − 1,12𝑚 − 9,12𝑚 − 17,12𝑚 − 25, … ,4𝑚 + 7} ∪ {12𝑚 + 1,12𝑚 − 7,12𝑚 − 15,12𝑚 − 23, … ,4𝑚 + 9}
= {1,3,5,7, … ,4𝑚 + 1,4𝑚 + 3,4𝑚 + 5,4𝑚 + 7,4𝑚 + 9, … ,12𝑚 − 29,12𝑚 − 27,12𝑚 − 25,12𝑚 − 23,12𝑚 − 21,12𝑚 − 19,12𝑚 − 17,12𝑚 − 15,12𝑚 − 13,12𝑚 − 11,12𝑚 −
9,12𝑚 − 7,12𝑚 − 5,12𝑚 − 3,12𝑚 − 1,12𝑚 + 1}
= {1,3,5,7, … ,12𝑚 + 1}
Didapatkan  himpunan  garis  setelah
diberikan label 𝑓 ∗ (𝐸(𝐹𝐷𝑄(𝑚))) = {1,3,5,7, … ,12𝑚 + 1} . Disisi yang lain terlihat juga  bahwa  himpunan  garis  setelah  diberi label 𝑓 ∗ (𝐸(𝐹𝐷𝑄(𝑚))) =
{1,3,5,7, … ,12𝑚 + 1} menghasilkan  label yang  berbeda-beda  pada  setiap  garisnya.
Sehingga  didapatkan  fungsi  pelabelan  garis bersifat bijektif.
Sedemikian  sehingga  diperoleh  graf bunga double quadrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.
Contoh  3 .  Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf 𝐹𝐷𝑄(5) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 6 8 18 20 30 32 42 44 54 56 0
Gambar 2. Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf 𝐹𝐷𝑄(5)
Contoh 4 . Pelabelan harmonis ganjil pada graf 𝐹𝐷𝑄(6)
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 0 23 25 6 8 18 20 30 32 42 44 54 56 66 68 Gambar 3. Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf 𝐹𝐷𝑄(6)
Definisi  5. Graf  bunga  variasi  double quadrilteral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah graf  yang  mempunyai  himpunan  titik 𝑉(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) = {𝑢 0 } ∪ {𝑢 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑤 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚} ∪ {𝑥 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} dan
himpunan garis 𝐸(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) =
{𝑢 0 𝑢 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1} ∪ {𝑢 2𝑖−1 𝑣 𝑖 1 |  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, } ∪
{𝑣 𝑖 𝑗 𝑢 2𝑖 |  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2} ∪
{𝑢 2𝑖+1 𝑣 𝑖 2 |  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, } ∪
{𝑢 2𝑖−1 𝑤 2𝑖−1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} ∪
{𝑢 2𝑖+1 𝑤 2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} ∪ {𝑤 2𝑖−1 𝑢 2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} ∪ {𝑤 2𝑖 𝑢 2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} ∪
{𝑣 𝑖 𝑗 𝑥 𝑖 |  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2} .
Berdasarkan Definisi 5 diperoleh order 𝑝(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) = 7𝑚 + 2 dan size 𝑞(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) = 12𝑚 + 1 . 1 u 2 u 3 u 1 2  m u 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 1 3 v 2 3 v 1 m v 2 m v 0 u 4 u 5 u 6 u 7 u m u 2 1 2  m u 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 1 2  m w m w 2 m x 1 x 2 x 3 x
Gambar 4. Konstruksi dan definisi titik dari graf bunga variasi double quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 .
Teorema  6. Graf  bunga  variasi  double quadrilteral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.
Bukti.
Didefinisikan  fungsi  pelabelan  titik 𝑓: 𝑉(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) → {0,1,2,3, … ,24𝑚 + 1}
𝑓(𝑢 0 ) = 0 (8) 𝑓(𝑢 𝑖 ) = 2𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1 (9)
𝑓(𝑣 𝑖 𝑗 ) = 12𝑚 − 12𝑖 + 2𝑗 + 4,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2 (10)
𝑓(𝑤 𝑖 ) = 12𝑚 + 2𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 (11)
𝑓(𝑥 𝑖 ) = 8𝑚 + 16𝑖 − 7, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 (12) Berdasarkan  persamaan  (8),  (9),  (10),
(11) dan (12) diperoleh
𝑓 (𝑉(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚))) = {0} ∪
{1,3,5,7, … ,4𝑚 + 1} ∪ {12𝑚 − 6,12𝑚 − 18,12𝑚 − 30,12𝑚 − 42, … ,6,12𝑚 −
4,12𝑚 − 16,12𝑚 − 28,12𝑚 − 40, … ,8} ∪ {12𝑚 + 2,12𝑚 + 4,12𝑚 + 6,12𝑚 + 8, … ,16𝑚} ∪ {8𝑚 + 9,8𝑚 + 25,8𝑚 + 41,8𝑚 + 57, … ,24𝑚 − 7} = {0,1,3,5,6,7,8, … ,4𝑚 + 1,8𝑚 + 9,8𝑚 + 25,8𝑚 + 41,8𝑚 + 57, … ,12𝑚 − 42,12𝑚 − 40, 12𝑚 − 30,12𝑚 − 28,12𝑚 − 18,12𝑚 − 16,12𝑚 − 6,12𝑚 − 4,12𝑚 + 2,12𝑚 + 4,12𝑚 + 6,12𝑚 + 8, … ,16𝑚, … ,24𝑚 − 7} = {0,1,3,5, … ,24𝑚 − 7}
Didapatkan  himpunan  titik  setelah
diberikan label 𝑓 (𝑉(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚))) = {0,1,3,5, … ,24𝑚 − 7} ⊆ {0,1,2,3, … ,24𝑚 +
1} .    Disisi  yang  lain  terlihat  juga  bahwa himpunan titik setelah diberi label 𝑓 (𝑉(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚))) = {0,1,3,5, … ,24𝑚 − 7} menghasilkan  label  yang  berbeda-beda  pada setiap  titiknya.  Sehingga  didapatkan  fungsi pelabelan titik bersifat injektif.
Didefinisikan  fungsi  pelabelan  garis 𝑓 ∗ : 𝐸(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) → {1,3,5,7, … ,24𝑚 + 1}
𝑓 ∗ (𝑢 0 𝑢 𝑖 ) = 2𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 + 1 (13) 𝑓 ∗ (𝑢 2𝑖−1 𝑣 𝑖 1 ) = 12𝑚 − 8𝑖 + 2𝑗 + 1,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, (14)
𝑓 ∗ (𝑣 𝑖 𝑗 𝑢 2𝑖 ) = 12𝑚 − 8𝑖 + 2𝑗 + 3,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2 (15)
𝑓 ∗ (𝑢 2𝑖+1 𝑣 𝑖 2 ) = 12𝑚 − 8𝑖 + 2𝑗 + 5,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, (16) 𝑓 ∗ (𝑢 2𝑖−1 𝑤 2𝑖−1 ) = 12𝑚 + 8𝑖 − 5,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, (17)
𝑓 ∗ (𝑢 2𝑖+1 𝑤 2𝑖 ) = 12𝑚 + 8𝑖 + 1,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, (18)
𝑓 ∗ (𝑤 2𝑖−1 𝑢 2𝑖 ) = 12𝑚 + 8𝑖 − 3,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, (19)
𝑓 ∗ (𝑤 2𝑖 𝑢 2𝑖 ) = 12𝑚 + 8𝑖 − 1,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, (20)
𝑓 ∗ (𝑣 𝑖 𝑗 𝑥 𝑖 ) = 20𝑚 + 4𝑖 + 2𝑗 − 3,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 1,2 (21)
Berdasarkan persamaan (13), (14), (15),
(16), (17), (18), (19), (20), dan (21) diperoleh
𝑓 ∗ (𝐸(𝑉𝐹𝐷𝑄(𝑚))) = {1,3,5,7, … ,4𝑚 +
1} ∪ {12𝑚 − 5,12𝑚 − 13,12𝑚 − 21,12𝑚 − 29, … ,4𝑚 + 3} ∪ {12𝑚 − 3,12𝑚 − 11,12𝑚 − 19,12𝑚 − 27, … ,4𝑚 + 5,12𝑚 − 1,12𝑚 − 9,12𝑚 − 17,12𝑚 − 25, … ,4𝑚 +
7} ∪ {12𝑚 + 1,12𝑚 − 7,12𝑚 − 15,12𝑚 −
23, … ,4𝑚 + 9} ∪ {12𝑚 + 3,12𝑚 + 11,12𝑚 + 19,12𝑚 + 27, … ,20𝑚 − 5} ∪ {12𝑚 + 9,12𝑚 + 17,12𝑚 + 25, … ,20𝑚 + 1} ∪ {12𝑚 + 5,12𝑚 + 13,12𝑚 + 21,12𝑚 + 29, … ,20𝑚 − 3} ∪ {12𝑚 + 7,12𝑚 + 15,12𝑚 + 23,12𝑚 + 31, … ,20𝑚 − 1} ∪ {20𝑚 + 3,20𝑚 + 7,20𝑚 + 11,20𝑚 + 15, … ,24𝑚 − 1,20𝑚 + 5,20𝑚 + 9,20𝑚 + 13,20𝑚 + 17, … ,24𝑚 + 1} = {1,3,5,7, … ,4𝑚 + 1} ∪ {4𝑚 + 3,4𝑚 + 5,4𝑚 + 7,4𝑚 + 9, … ,12𝑚 − 29,12𝑚 − 27,12𝑚 − 25,12𝑚 − 23,12𝑚 − 21,12𝑚 − 19,12𝑚 − 17,12𝑚 − 15,12𝑚 − 13,12𝑚 − 11,12𝑚 − 9,12𝑚 − 7,12𝑚 − 5,12𝑚 − 3,12𝑚 − 1,12𝑚 + 1} ∪ {12𝑚 + 3,12𝑚 + 5,12𝑚 + 7,12𝑚 + 9,12𝑚 + 11,12𝑚 + 13,12𝑚 + 15,12𝑚 + 17,12𝑚 + 19,12𝑚 + 21,12𝑚 + 23,12𝑚 + 25,12𝑚 + 27,12𝑚 + 29,12𝑚 + 31, … ,20𝑚 − 5,20𝑚 − 3,20𝑚 − 1,20𝑚 + 1} ∪ {20𝑚 + 3,20𝑚 + 5,20𝑚 + 7,20𝑚 + 9,20𝑚 + 11,20𝑚 + 13,20𝑚 + 15,20𝑚 + 17, … ,24𝑚 − 1,24𝑚 + 1}
= {1,3,5,7, … ,4𝑚 + 1,4𝑚 + 3,4𝑚 + 5,4𝑚 + 7,4𝑚 + 9, … ,12𝑚 − 29,12𝑚 − 27,12𝑚 − 25,12𝑚 − 23,12𝑚 − 21,12𝑚 − 19,12𝑚 − 17,12𝑚 − 15,12𝑚 − 13,12𝑚 − 11,12𝑚 − 9,12𝑚 − 7,12𝑚 − 5,12𝑚 − 3,12𝑚 − 1,12𝑚 + 1,12𝑚 + 3,12𝑚 + 5,12𝑚 +
7,12𝑚 + 9,12𝑚 + 11,12𝑚 + 13,12𝑚 + 15,12𝑚 + 17,12𝑚 + 19,12𝑚 + 21,12𝑚 + 23,12𝑚 + 25,12𝑚 + 27,12𝑚 + 29,12𝑚 + 31, … ,20𝑚 − 5,20𝑚 − 3,20𝑚 − 1,20𝑚 + 1,20𝑚 + 3,20𝑚 + 5,20𝑚 + 7,20𝑚 + 9,20𝑚 + 11,20𝑚 + 13,20𝑚 + 15,20𝑚 + 17, … ,24𝑚 − 1,24𝑚 + 1} = {1,3,5,7, … ,24𝑚 + 1}
Didapatkan  himpunan  garis  setelah
diberikan label 𝑓 ∗ : 𝐸(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) = {1,3,5,7, … ,24𝑚 + 1} . Disisi yang lain terlihat juga  bahwa  himpunan  garis  setelah  diberi label 𝑓 ∗ : 𝐸(𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚)) = {1,3,5,7, … ,24𝑚 + 1} menghasilkan  label  yang  berbeda-beda pada  setiap  garisnya.  Sehingga  didapatkan fungsi pelabelan garis bersifat bijektif.
Sedemikian  sehingga  diperoleh  graf bunga variasi double quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.
Contoh  7 .  Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf 𝐹𝑉𝐷𝑄(5) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 6 8 18 20 30 32 42 44 54 56 0 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 49 65 81 97 113 Gambar 5 . Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf 𝐹𝑉𝐷𝑄(5)
Contoh  8 .  Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf 𝐹𝑉𝐷𝑄(6)
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 0 23 25 6 8 18 20 30 32 42 44 54 56 66 68 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 57 73 89 105 121 137 Gambar 6 . Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf 𝐹𝑉𝐷𝑄(6)

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  graf  bunga double  qudrilateral 𝐹𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah  graf  harmonis  ganjil  (Teorema  2).
Selain  itu  juga  telah  dibuktikan  bahwa  graf bunga variasi double quadrilateral 𝐹𝑉𝐷𝑄(𝑚) dengan 𝑚 ≥ 1 adalah  graf  harmonis  ganjil (Teorema 6).

## DAFTAR PUSTAKA
Abdel-Aal, M. E. 2014. New Families of Odd
Harmonious Graphs. International Journal  of  Soft  Computing,  Mathe- matics and Contro l, 3 (1): 1-13.
Firmansah,  F.  2017.  The  Odd  Harmonious Labeling on Variation of the Quadrilateral Windmill Graphs. Jurnal Ilmu Dasar, 18 (2): 109-118.
Firmansah,  F.  &  M.W.  Syaifuddin.  2016.
Pelabelan  Harmonis  Ganjil  pada  Graf Kincir  Angin  Double  Quadrilateral. Magistra, 28 (97): 71-77.
Firmansah,  F.  &  M.W.  Syaifuddin.  2018.
Pelabelan Harmonis Ganjil pada Amalgamasi Graf Kincir Angin Belanda. Fibonacci Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika, 4 (4):  37-
46.
Firmansah,  F.  &  M.W.  Syaifuddin.  2018a.
Pelabelan Harmonis Ganjil pada Amalgamasi Graf Kincir Angin Double Qudrilateral. Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan SENDIKMAD, 6 : 59-64.
Firmansah,  F.  &  Tasari.  2020.  Odd
Harmonious Labeling on Edge Amalgamation from Double Quadrilateral  Graphs. Desimal  Jurnal Matematika, 3 (1): 65-72.
Firmansah,  F.  &  M.R.  Yuwono.  2017. Pelabelan  Harmonis  Ganjil  pada  Kelas Graf  Baru  Hasil  Operasi  Cartesian Product. Jurnal  Matematika  Mantik, 3 (2): 87-95.
Firmansah, F. & M.R. Yuwono. 2017a.  Odd Harmonious Labeling on Pleated of the Dutch Windmill Graphs. Chaucy Jurnal Matematika  Murni  dan  Aplikasi, 4 (4): 161-166.
Gallian, J. A. 2019. Dynamic Survey of Graph Labeling. The  Electronic  Journal  of Combinatorics , 18 .
Jeyanthi,  P.  &  S.  Philo.  2019.  Odd
Harmonious Labeling of Super Subdivision Graphs. Proyecciones Journal of Mathematics, 38 (1): 1-11.
Liang,  Z.  &  Z.  Bai.  2009.  On  The  Odd Harmonious  Graphs  with  Application. J. Appl. Math. Comput, 29 :105-116.
Rismayati.  2013.  Pelabelan  Harmonis  Ganjil pada  Graf  Hairy  Cycle,  Graf  Shadow Lingkaran dan Graf Generalisasi Shadow Lingkaran. [Tesis]. Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia.