JURNAL FOURIER | April 2022, Vol. 11, No. 1, 22-39
DOI: 10.14421/fourier.2022.111.22-39
Model Eksponensial dan Logistik Serta Analisis Kestabilan Model Pada Perhitungan Proyeksi Penduduk Provinsi Riau
Nur Khasanah 1 , Irma Suryani 2
12 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jalan HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293
Korespondensi; Irma Suryani, Email: irma.suryani@uin-suska.ac.id

## Abstrak
Paper  ini  membahas  tentang  proyeksi  penduduk  menggunakan  model  eksponensial  dan  logistik  serta  selanjutnya menganalisis kestabilan pada model logistik pada data penduduk Provinsi Riau. Pada model eksponensial dan logistik diasumsikan bahwa 𝑵 𝟎 adalah populasi awal dan 𝒕 adalah waktu yang diukur dalam tahun. Analisis kestabilan dilakukan dengan metode linearisasi persamaan disekitar titik tetap, lalu menyelidiki distribusi nilai eigen dari matriks jacobian sistem linier yang didapatkan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa  model eksponensial IV dengan bentuk persamaan 𝑵 = 𝟔. 𝟑𝟒𝟒. 𝟒𝟎𝟐𝒆 (𝟎,𝟎𝟐𝟑𝟓𝟕)𝒕 sebagai  model  terbaik  dengan  galat  sebesar  1,9845,  dan  model  logistik  IV  dengan  bentuk persamaan 𝑵 = 𝟏𝟑.𝟕𝟎𝟗.𝟒𝟗𝟓,𝟏𝟓 (𝟏,𝟏𝟔𝟎𝟖𝟖)𝒆−(𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟐)𝒕+𝟏 sebagai  model  terbaik  dengan  galat  sebesar  1,91629.  Analisis  kestabilan  model logistik  mempunyai  2  titik  tetap  yaitu 𝑵 ∗ = 𝟎 dan 𝑵 ∗ = 𝑲 .  Titik  tetap 𝑵 ∗ = 𝟎 merupakan titik  kesetimbangan  stabil. Sedangkan 𝑵 ∗ = 𝑲 terjadi perubahan kestabilan akibat adanya waktu tunda.
Kata Kunci : Analisis Kestabilan, Model Eksponensial, Model Logistik, Waktu Tunda

## Abstract
This paper discusses about population projections using exponential and logistic models as well as to analyze the stability of the logistic model in the population data of Riau Province. In the exponential and logistic models it is assumed that 𝑵 𝟎 is the initial population and 𝒕 is the time measured in years. Stability analysis was carried out by linearizing the equations around a fixed point, then investigating the distribution of the eigenvalues of the jacobian matrix of the linear system obtained. The results showed that the exponential model IV with the equation form 𝑵 = 𝟔. 𝟑𝟒𝟒. 𝟒𝟎𝟐𝒆 (𝟎,𝟎𝟐𝟑𝟓𝟕)𝒕 as the best model with error value of 1.9845, and the logistical model IV with the equation form 𝑵 = 𝟏𝟑.𝟕𝟎𝟗.𝟒𝟗𝟓,𝟏𝟓
(𝟏,𝟏𝟔𝟎𝟖𝟖)𝒆−(𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟐)𝒕+𝟏 with error value of 1.91629. The stability analysis of the logistic model has two fixed points, 𝑵 ∗ = 𝟎 and 𝑵 ∗ = 𝑲 . The fixed point, 𝑵 ∗ = 𝟎 is the point of stable equilibrium. While 𝑵 ∗ = 𝑲 there is a change in stability due to the time delay.
Keywords : Stability Analysis, Exponential Model, Logistic Model, Time Delay

## Pendahuluan
Populasi adalah sekumpulan individu dengan spesies yang sama yang hidup pada suatu wilayah tertentu, sehingga populasi manusia juga dapat diartikan seluruh jumlah penduduk di suatu daerah tertentu. Setiap tahunnya pertumbuhan penduduk di  Indonesia semakin meningkat.  Dengan angka kepadatan dan laju pertumbuhan penduduk yang tinggi, dapat menyebabkan permasalahan dalam berbagai aspek kehidupan, seperti  kemacetan,  berkurangnya  ketersediaan  lahan,  krisis  keamanan,  kebutuhan  pangan,  lapangan pekerjaan yang semakin berkurang, angka pengangguran yang tinggi dan lain-lain [1]. Dengan adanya permasalahan  ini  diperlukan  proyeksi  kependudukan  sebagai  sistem  pendukung  yang  membantu
pemerintah  dalam  pembuatan  kebijakan.  Hasil  dari  proyeksi  kependudukan  bermanfaat  untuk perencanaan dalam persediaan pangan, fasilitas Kesehatan, keamanan, fasilitas Pendidikan, pemukiman, lapangan kerja dan rencana pembangunan lainnya.  Proyeksi penduduk juga dapat dihitung menggunakan pemodelan  matematika  menggunakan  persamaan  diferensial.  Sehingga  model  matematika  yang digunakan dalam kasus ini adalah persamaan diferensial model eksponensial dan logistik [2].
Model  eksponensial  menggambarkan  populasi  yang  terus  bertumbuh  dan  tidak  dibatasi  oleh lingkungan  sehingga  tidak  terjadi  suatu  kompetisi  untuk  mendapatkan  sumberdaya.  Pada  model eksponensial  diasumsikan  laju  pertumbuhan  penduduk  proporsional  dengan  jumlah  penduduk. Sedangkan  pada  model  logistik  memasukkan  sejumlah  batas  agar  jumlah  populasi  tidak  berkembang secara tak terhingga [3]. Pada model logistik pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah yang terus bertumbuh tetapi juga sejauh mana batas dari faktor logistik yang tersedia untuk mendukung kehidupan [4].
Namun pada keadaan sebenarnya, sepanjang waktu pertumbuhan daya dukung lingkungan mengalami perubahan,  yang  mengakibatkan  pertumbuhan  akan  mengalami  penundaan.  Akibatnya  akan  terjadi penurunan  populasi  namun  kemudian  terjadi  peningkatan  kembali  sehingga  membentuk  osilasi  pada pertumbuhan populasi. Jika persamaan logistik diasumsikan tidak terjadi penundaan waktu pada proses pertumbuhan populasi, maka model akan menghasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton naik atau turun. Sedangkan jika terjadi osilasi, solusi yang dihasilkan bukan fungsi yang monoton [5].
Penelitian  mengenai  model  eksponensial  dan  logistik  dibahas  oleh  [4]  untuk  mengetahui  proyeksi penduduk di Provinsi Jawa Timur dengan menggunakan model eksponensial dan logistik berdasarkan tingkat  pertumbuhan  dan  daya  dukung.  Penelitian  ini  memilih  model  terbaik  berdasarkan  hasil  nilai MAPE  ( Mean  Absolute  Percentage  Error )  terkecil.  Dari  penelitian  tersebut  diperoleh  Model Eksponensial  V  dengan  proyeksi  penduduk  pada  tahun  2030  sebesar  43.997.165,5  jiwa  dan  Model Logistik  V  dengan  proyeksi  penduduk  pada  tahun  2030  sebesar  41.444.035  jiwa  dengan  laju pertumbuhan penduduk sebesar 0,05111.
Selanjutnya, Peneliti [6] melakukan penelitian mengenai aplikasi persamaan diferensial pada model pertumbuhan penduduk Kota Mataram yaitu Model Eksponensial dan Model Logistik dapat ditentukan besarnya pendugaan jumlah penduduk Kota Mataram pada tahun 2024. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model pertumbuhan eksponensial memiliki tingkat keakuratan sebesar 99,6% sedangkan dengan model pertumbuhan logistik menghasilkan tingkat kepercayaannya sebesar 97,9%. Adapun hasil estimasi jumlah penduduk di Kota Mataram pada tahun 2024 adalah sebesar 526.085 jiwa.
Selanjutnya,  Peneliti  [5]  dalam  penelitiannya  memeriksa  kesetimbangan  dari  model  pertumbuhan logistik  dilakukan  analisis  titik-titik  kesetimbangan  model  pertumbuhan  populasi  dengan  penundaan waktu.  Hal  inilah  yang  mendasari  penulis  untuk  membahas  kembali  proyeksi  kependudukan mengunakan  model  eksponensial  dan  logistik  serta  menganalisis  kestabilan  model  logistik  dengan pengaruh waktu tunda.

## Landasan Teori
Berikut akan dibahas model matematika yang akan digunakan dalam penelitian ini.

## Model Pertumbuhan Eksponensial
Model  pertumbuhan  eksponensial  dikenal  dengan  model  pertumbuhan  populasi  penduduk  Malthus. Thomas  Malthus  (1798)  membuat  sebuah  model  pertumbuhan  penduduk  dasar  (model  pertumbuhan eksponensial)  untuk  mengestimasi  populasi  yang  laju  pertumbuhannya  konstan.  Model  eksponensial
mengatakan  bahwa  populasi  penduduk  berkembang  tak  terbatas  sebab  faktor  lingkungan  semisal kompetisi dalam memperoleh makanan [15].
Misal jumlah populasi pada saat 𝑡 dinyatakan dengan 𝑁(𝑡) , kemudian jumlah populasi saat 𝑡 = 0 = 𝑡 0 adalah 𝑁 0 yang  laju  kelahiran  dan  kematiannya  konstan 𝑏 dan 𝑑 serta  laju  pertumbuhan  populasi dinyatakan dengan 𝑟 , dimana 𝑘 = 𝑏 − 𝑑 maka bentuk model eksponensial dituliskan sebagai berikut:
𝑑𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(𝑡) (1)
Solusi model dari Persamaan (1) adalah sebagai berikut:
𝑁(𝑡) = 𝑁 0 𝑒 𝑟𝑡 (2)
Dalam hal ini jika 𝑟 bernilai positif artinya populasi akan meningkat secara eksponensial sedangkan jika 𝑟 bernilai negatif maka populasi akan semakin punah. Dari Persamaan (2) diperoleh persaman laju intrinsik ( r )
𝑟 = ln 𝑁𝑡 𝑁0 𝑡 (3)

## Model Pertumbuhan Logistik
Model logistik adalah sebuah inovasi dari model sebelumnya yaitu model eksponensial (Malthus). Model logistik melibatkan faktor logistik yaitu faktor ruang hidup  dan makanan disebabkan model pertumbuhan alami  tidak cukup akurat untuk  populasi  besar dan tempat  yang terbatas yang akhirnya menimbulkan kendala  disebabkan  populasi  yang  padat  akan  menyebabkan  populasi  di  tempat  tersebut  berkurang. Penggunaan  model  logistik  didasari  oleh  fakta  bahwa  besar  kecilnya  populasi  bergantung  pada kerapatannya, oleh karenanya laju kelahiran dan laju kematian tidak konstan. Adapun persamaan logistik sebagai berikut:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 ) (4)
Solusi khusus Persamaan (4) adalah
𝑁 = 𝐾 𝑒 −𝑟𝑡 ( 𝐾 𝑁0 −1)+1 (5)
dengan :
𝑁 = jumlah populasi
𝑁 0 = jumlah populasi awal 0 t = 𝐾 = daya tampung ( carrying capacity ) 𝑟 = laju pertumbuhan
𝑡 = waktu
Persamaan (5) adalah bentuk sederhana dari solusi khusus model logistik yang selanjutnya akan dipakai dalam melakukan proyeksi penduduk.

## Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda
Persamaan logistik dengan waktu tunda dikenal dengan persamaan Hutchinson memiliki bentuk umum sebagai berikut:
𝑑𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(𝑡) (1 − 𝑁(𝑡−𝜏) 𝐾 ) (6)
dimana 𝜏 adalah  tundaan  waktu  yang  diasumsikan  positif.  Titik  kesetimbangan  yang  positif  untuk Persamaan (6) adalah 𝑁 ∗ = 𝐾 .

## MAPE
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah kesalahan rata-rata absolut atau rata-rata diferensiasi absolut antara nilai peramalan dan actual yang dinyatakan sebagai presentase nilai aktual. Pada penelitian
ini penggunaan MAPE adalah untuk menilai kecocokan suatu model dalam proyeksi penduduk. Rumus MAPE sebagai berikut:
𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 𝑛 ∑ |𝑌 𝑡 −𝑌′ 𝑡 | 𝑌 𝑡 𝑛 𝑡=1 × 100% (7)
dengan:
𝑌 𝑡
= Jumlah penduduk sebenarnya
𝑌′ 𝑡 = Jumlah penduduk proyeksi
𝑛 = Banyaknya data
Interpertasi  nilai  MAPE  yaitu  jika 𝑀𝐴𝑃𝐸 < 10% maka  hasil  sangat  akurat, 10% ≤ 𝑀𝐴𝑃𝐸 < 15% sangat baik, 15% ≤ 𝑀𝐴𝑃𝐸 < 20% baik, dan 20% ≤ 𝑀𝐴𝑃𝐸 < 50% .

## Hasil dan Pembahasan
Untuk  melakukan  proyeksi  penduduk  di  Provinsi  Riau  perlu  dilakukan  terlebih  dahulu  analisis perhitungan  terhadap  jumlah  penduduk  agar  dapat  diketahui  pola  dan  banyaknya  data.  Adapun  data penelitian ini secara ringkas disajikan dalam Tabel 1 berikut:
Tabel 1. Jumlah Penduduk Provinsi Riau Tahun 2015-2020
Waktu Tahun Jumlah Penduduk Tahun ( 𝑵 ) 0 t = 2015 6.344.402 0 N 1 t = 2016 6.500.971 1 N
2 t = 2017 6.657.911 2 N
3 t = 2018 6.814.909 3 N
4 t = 2019 6.971.745 4 N 5 t = 2020 6.394.087
5 N

## Sumber : Badan Pusat Statistik Provinsi Riau
Dari  Tabel  1  dapat  dilihat  jumlah  penduduk  Provinsi  Riau  tiap  tahun  dari  2015-2020.  Dinamika pertumbuhan penduduk dapat dilihat pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1. Grafik Jumlah Penduduk Provinsi Riau Tahun 2015-2020
6000000 6200000 6400000 6600000 6800000 7000000 7200000 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Jumlah Penduduk Provinsi Riau Tahun 2015- 2020
Berdasarkan Gambar 1 dapat dikatakan bahwa populasi penduduk Provinsi Riau mengalami kenaikan pada tahun 2015-2019 sedangkan pada tahun 2020 jumlah penduduk mengalami penurunan.

## Penyelesaian Model Eksponensial
Bentuk umum model eksponensial pada Persamaan (1) dengan solusi pada Persamaan (3) yaitu
𝑟 = ln 𝑁 𝑡 𝑁 0 𝑡
Persamaan 𝑁(𝑡) = 𝑁 0 𝑒 𝑟𝑡 pada  Persamaan  (2)  adalah  penyelesaian  khusus  model  eksponensial sedangkan laju intrinsik ( r ) dapat dihitung menggunakan Persamaan (3).
Dari  Tabel  1,  dilakukan  proyeksi  penduduk  dengan  menggunakan  model  eksponensial,  sebelumnya diasumsikan terlebih dahulu bahwa waktu yang diukur dalam tahun dan dimisalkan 𝑡 = 0 pada tahun 2015 maka syarat awal diambil 𝑁(0) = 6.344.402 . Akan ditentukan model eksponensial menggunakan Persamaan (2). Dari persamaan tersebut dapat ditentukan laju instrinsik ( 𝑟 ) menggunakan Persamaan (3) jika diketahui 𝑁(0) = 6.344.402 dan 𝑁(1) = 6.500.971 nilai 𝑟 untuk 𝑡 = 1 pada Tahun 2016 sebagai berikut:
𝑟 = ln 𝑁 𝑡 𝑁 0 𝑡 𝑟 = ln 𝑁(1) 𝑁(0) 1
𝑟 = ln 6.500.971 6.344.402
1
𝑟 = ln(6.500.971) − ln(6.344.402) 𝑟 = 0,024378701
adapun ketika nilai 𝑟 disubstitusikan ke persamaan 𝑁(𝑡) = 𝑁 0 𝑒 𝑟𝑡 diperoleh bentuk model eksponensial sebagai berikut:
𝑁 = 6.344.402𝑒 (0,02437)𝑡
Untuk 𝑡 = 2 , 𝑡 = 3 , 𝑡 = 4 , 𝑡 = 5 menggunakan perhitungan yang sama.
Dari perhitungan diatas diperoleh hasil model eksponensial sebagai berikut:
a. Model Eksponensial I bentuk persamaannya, 𝑁 = 6.344.402𝑒 (0,02437)𝑡 .
b. Model Eksponensial II bentuk persamaannya, 𝑁 = 6.344.402𝑒 (0,02411)𝑡
c. Model Eksponensial III bentuk persamaannya, 𝑁 = 6.344.402𝑒 (0,02384)𝑡
d. Model Eksponensial IV bentuk persamaannya, 𝑁 = 6.344.402𝑒 (0,02357)𝑡
e. Model Eksponensial V bentuk persamaannya, 𝑁 = 6.344.402𝑒 (0,00156)𝑡
Setelah diketahui bentuk persamaan untuk setiap model eksponensial dari model I hingga model V, selanjutnya akan dihitung jumlah penduduk Provinsi Riau dari tahun 2015-2020 yang dihasilkan  dari kelima model diatas.  Berikut  disajikan dalam tabel  hasil perhitungan jumlah penduduk menggunakan lima model eksponensial. Adapun perbandingannya dapat dilihat pada Tabel 2 berikut:
Tabel 2. Perbandingan Data Aktual dan Model Eksponensial
Tahun  Jumlah Penduduk (aktual) Model I Model II  Model III  Model IV  Model V 2015 6.344.402 6.344.402  6.344.402  6.344.402  6.344.402  6.344.402 2016 6.500.971 6.500.914  6.499.224  6.497.470  6.495.716  6.354.307 2017 6.657.911 6.661.288  6.657.825  6.654.231  6.650.638  6.364.227 2018 6.814.909 6.825.618  6.820.296  6.814.774  6.809.256  6.374.163 2019 6.971.745 6.994.001  6.986.731  6.979.190  6.971.656  6.384.115 2020 6.394.087 7.166.539  7.157.229  7.147.573  7.137.930  6.394.082
Hasil  yang  diperoleh  kemudian  akan  dilakukan  perbandingan  antara  jumlah  penduduk  yang sebenarnya  (aktual)  dengan  hasil  model  eksponensial.  Model  yang  terbaik  adalah  model  yang menghasilkan data-data cukup dekat dengan data sebenarnya atau jika ditampilkan dalam bentuk grafik maka  model  terbaik  adalah  model  yang  grafiknya  mendekati  dengan  grafik  yang  dihasilkan  dari  data sebenarnya.  Jika  perbandingan  jumlah  penduduk  Provinsi  Riau  antara  data  aktual  dan  hasil  model eksponensial ditampilkan dalam diagram garis, makan akan terlihat seperti Gambar 2 berikut:
Gambar 1. Grafik Model Eksponensial Jumlah Penduduk Provinsi Riau
Berdasarkan jumlah penduduk yang dihasilkan oleh kelima model diatas, maka model eksponesial V memberikan hasil yang cukup mendekati data aktual dibandingkan model lainnya.
Diberikan persamaan logistik pada Persamaan (4) sebagai berikut:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 )
Persamaan logistik (4) dapat diselesaikan dengan mengintegralkan kedua ruas sebagai berikut:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 ) ∫ 𝑑𝑁 𝑁 (1 − 𝑁 𝐾) = 𝑟 𝑑𝑡 6.000.000 6.500.000 7.000.000 7.500.000 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 Model Eksponensial Jumlah Penduduk (aktual) Model I Model II
Model III Model IV Model V
𝑁 = 𝐾𝑒 𝑟𝑡+𝑐 1 + 𝑒 𝑟𝑡+𝑐 (8)
Persamaan (8) merupakan solusi umum dari Persamaan logistik (4). Dari Persamaan (8) jika diberikan nilai  awal 𝑡 = 0 dan 𝑁(0) = 𝑁 0 kemudian disubstitusikan kembali  ke Persamaan (8) maka diperoleh 𝑐 = ln ( 𝑁 0 𝐾−𝑁 0 ) . Nilai 𝑐 disubstitusikan ke Persamaan (8) untuk memperoleh solusi khusus model logistik sebagai berikut:
𝑁 = 𝐾𝑒 𝑟𝑡+ln( 𝑁 0 𝐾−𝑁 0 ) 1 + 𝑒 𝑟𝑡+ln( 𝑁 0 𝐾−𝑁 0 ) 𝑁 = 𝐾 𝑒 −𝑟𝑡 ( 𝐾 𝑁 0 − 1) + 1 (9)
merupakan solusi khusus Persamaan (4) dan Persamaan (9). Persaman (9) jika dilimitkan 𝑡 → ∞ diperoleh (untuk 𝑟 > 0 ) adalah:
𝑁 𝑚𝑎𝑥 = lim 𝑡→∞ 𝑁 = 𝐾 = 𝑎 𝑏
dengan 𝑎 dan 𝑏 secara  berturut  adalah  laju  pertumbuhan  intrinsik  dan  pengaruh  dari  peningkatan kepadatan. Jika 𝑁 0 adalah populasi pada saat 𝑡 = 0 , 𝑁 1 adalah populasi pada saat 𝑡 = 0 dan 𝑁 2 pada saat 𝑡 = 2 , dari Persamaan (9) didapat: untuk 𝑡 = 1
𝑁 1 = 𝑎 𝑏 𝑒 −𝑟(1) (𝑎/𝑏 𝑁 0 − 1) + 1 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑟 ) = 1 𝑁 1 − 𝑒 −𝑟 𝑁 0 (10)
untuk 𝑡 = 2 ,
𝑁 2 = 𝑎 𝑏 𝑒 −𝑟(1) (𝑎/𝑏 𝑁 0 − 1) + 1 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −2𝑟 ) = 1 𝑁 2 − 𝑒 −2𝑟 𝑁 0 (11)
Dilakukan pembagian pada Persamaan (11) dan (12) untuk mengeliminasi 𝑏 𝑎 , sehingga diperoleh:
𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑟 ) = 1 𝑁 1 − 𝑒 −𝑟 𝑁 0 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −2𝑟 ) = 1 𝑁 2 − 𝑒 −2𝑟 𝑁 0 𝑒 −𝑟 = 𝑁 0 (𝑁 2 − 𝑁 1 ) 𝑁 2 (𝑁 1 − 𝑁 0 ) ((12)
Untuk memperoleh nilai 𝐾 maka substitusikan Persamaan (12) ke Persamaan (10), sehingga:
𝑏 𝑎 (1 − 𝑁 0 (𝑁 2 − 𝑁 1 ) 𝑁 2 (𝑁 1 − 𝑁 0 ) ) = 1 𝑁 1 − 𝑁 0 (𝑁 2 − 𝑁 1 ) 𝑁 2 (𝑁 1 − 𝑁 0 ) 𝑁 0
𝑎 𝑏 = 𝑁 1 (𝑁 1 𝑁 0 − 2𝑁 0 𝑁 2 + 𝑁 1 𝑁 2 ) 𝑁 1 2 − 𝑁 0 𝑁 2 sehingga daya tampung ( carrying capacity ) dapat ditulis:
𝐾 = 𝑁 1 (𝑁 1 𝑁 0 − 2𝑁 0 𝑁 2 + 𝑁 1 𝑁 2 ) 𝑁 1 2 − 𝑁 0 𝑁 2 (13)
Berdasarkan pada Tabel 1, dilakukan proyeksi penduduk di Provinsi Riau dengan menggunakan model eksponensial dan logistik dengan diasumsikan 𝑡 = 0 pada Tahun 2015 maka syarat awal adalah 𝑁(0) = 6.344.402 .  Selanjutnya  nilai carrying  capacity dapat  dihitung  dengan  menggunakan  Persamaan  (13). Dari  Tabel  1  diperoleh 𝑡 = 0,1,2 tahun  2015,  2016,  2017  dengan 𝑁 0 , 𝑁 1 , 𝑁 2 adalah 𝑁 0 = 6.344.402 , 𝑁 1 = 6.500.971 , 𝑁 2 = 6.657.911 . Nilai 𝑁 0 , 𝑁 1 , 𝑁 2 disubstitusikan ke Persamaan (13) diperoleh nilai carrying capacity yaitu :
𝐾 = 6.500.971((6.500.971)(6.344.402) − 2(6.344.402)(6.657.911) + (6.500.971)(6.657.911))
(6.500.971) 2 − (6.344.402)(6.657.911) 𝐾 = 13.709.495,15 (14)
𝐾 dan 𝑁 0 didistribusikan ke Persamaan (9) sehingga diperoleh
𝑁 = 13.709.495,15
𝑒 −𝑟𝑡 ( 13.709.495,15 6.344.402 − 1) + 1 𝑁 = 13.709.495,15 𝑒 −𝑟𝑡 (1,16088) + 1 (15)
Dari  Persamaan  (15)  diatas  dicari  model  logistik  yang  mewakili  laju  pertumbuhan  untuk 𝑡 = 1 pada tahun 2016 maka 𝑁 1 = 6.500.971 , jika didistribusikan ke Persamaan (15) diperoleh nilai 𝑟
𝑁 1 = 13.709.495,15 𝑒 −𝑟𝑡 (1,16088) + 1
𝑟 = 0,04586
Nilai 𝑟 disubstitusikan ke (15) maka:
𝑁 = 13.709.495,15 (1,16088)𝑒 −(0,04586)𝑡 +1 ,(Model logistik I)
Maka diperoleh beberapa persamaan logistik sebagai berikut :
a. Model Logistik I yaitu 𝑁 = 13.709.495,15 (1,16088)𝑒 −(0,04586)𝑡 +1 b. model Model Logistik II yaitu 𝑁 =
13.709.495,15 (1,16088)𝑒 −(0,04586)𝑡 +1
c. Model Logistik III yaitu 𝑁 = 13.709.495,15 (1,16088)𝑒 −(0,04585)𝑡 +1
d. Model Logistik IV yaitu 𝑁 =
13.709.495,15 (1,16088)𝑒 −(0,04582)𝑡 +1
e. Model Logistik V yaitu 𝑁 = 13.709.495,15 (1,16088)𝑒 −(0,00291)𝑡 +1
Berdasarkan lima model yang diperoleh beserta data jumlah penduduk pada Tabel 1 dapat dihitung proyeksi penduduk dengan menggunakan model 1,2,..5 yang secara lengkap dapat dilihat pada Tabel 3. Perbandingan jumlah penduduk aktual dengan hasil proyeksi menggunakan logistik sebagai berikut:
Tabel 3. Perbandingan Data Aktual dan Model Logistik
Tahun Jumlah
Penduduk (aktual) Model I Model II Model III Model IV Model V 2015 6.344.402 6.344.402 6.344.402 6.344.402 6.344.402 6.344.402 2016 6.500.971 6.500.969 6.500.970 6.500.922 6.500.846 6.354.335 2017 6.657.911 6.657.908 6.657.908 6.657.812 6.657.660 6.364.270 2018 6.814.909 6.815.053 6.815.053 6.814.909 6.814.682 6.374.207 2019 6.971.745 6.972.239 6.972.240 6.972.048 6.971.745 6.384.146 2020 6.394.087 7.129.303 7.129.304 7.129.064 7.128.686 6.394.087
Gambar 2. Grafik Model Logistik Jumlah Penduduk Provinsi Riau
Berdasarkan  jumlah  penduduk  yang  dihasilkan  oleh  kelima  model  diatas,  maka  model  logistik  V memberikan  hasil  yang  cukup  mendekati  data  aktual  dibandingkan  model  lainnya.  Berikut  akan diberikan proyeksi pertumbuhan penduduk dengan pengambilan waktu 𝑡 = 0. .300 . 5.800.000 6.000.000 6.200.000 6.400.000 6.600.000 6.800.000 7.000.000 7.200.000 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Model Logistik Jumlah Penduduk (aktual) Model I Model II
Model III Model IV Model V
Gambar 3. Grafik Model Logistik dengan 𝑵(𝟎) = 𝟔. 𝟑𝟒𝟒. 𝟒𝟎𝟐, 𝑲 = 𝟏𝟑. 𝟕𝟎𝟗. 𝟒𝟗𝟓, 𝟏𝟓 dan 𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔
Dari  grafik  pada  Gambar  3  dapat  dilihat  bahwa  untuk  jangka  waktu  yang  akan  datang  penduduk  di Provinsi Riau tidak akan melebihi kapasitas daya tampung ( carrying capacity ) tetapi mendekati kapasitas daya  tampungnya.  Selanjutnya  akan  dihitung  galat  nilai  dengan  menggunakan  MAPE.  Model  yang menghasilkan  data-data  yang  cukup  dekat  dengan  data  sebenarnya  dapat  dikatakan  sebagai  model terbaik.

## Analisis Galat Model
Pada bagian ini dihitung galat jumlah penduduk berdasarkan data pada Tabel 2 dan Tabel 3 menggunakan rumus MAPE. Selanjutnya dipilih model yang memiliki nilai galat terkecil yang kemudian digunakan untuk memproyeksi jumlah penduduk. Perhitungan galat model eksponensial sebagai berikut:
Tabel 4. Galat Model Eksponensial dalam Persen
Tahun Galat Model I Galat Model II Galat Model III Galat Model IV Galat Model V 2015 0 0 0 0 0 2016 0,00087 0,026866 0,05386 0,08084 2,25603 2017 0,050721 0,001292 0,05528 0,10923 4,41105 2018 0,157137 0,079045 0,00199 0,08295 6,46737 2019 0,319238 0,21496 0,10679 0,00127 8,42874 2020 12,08073 11,93512 11,7841 11,6333 0,00008 ∑ 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡/𝑛 2,10144 2,04288 2,00033 1,98460 3,59387
Berdasarkan Tabel 4 diketahui bahwa model eksponensial yang memiliki galat terkecil adalah model IV  dengan  persamaan 𝑁 = 6.344.402 𝑒 (0,02357)𝑡 .  Model  ini  digunakan  unutk  memprediksi  jumlah penduduk Provinsi Riau, sehingga jika dimisalkan 𝑡 = 15 pada tahun 2030 menggunakan model tersebut
0 50 100 150 200 250 300 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 10 7 t(time) n ila i a w a l N(0)=1
diperoleh  jumlah  penduduk  Provinsi  Riau  sebanyak 9.035.153 jiwa.  Adapun  hasil  perhitungan  galat model logistik disajikan dalam Tabel 5 berikut:
Tabel 5. Galat Model Logistik dalam Persen
Tahun Galat Model I Galat Model II Galat Model III Galat Model IV Galat Model V 2015 0,000027 0,000027 0,000027 0,000027 0,000027 2016 0,000026 0,000026 0,000734 0,001896 2,217374 2017 0,000026 0,000026 0,001463 0,003736 4,335761 2018 0,002209 0,002121 0,000025 0,003309 6,357330 2019 0,007215 0,007216 0,004371 0,000025 8,285676 2020 11,498531  11,498531  11,494665  11,488743  0,194410 ∑ 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡/𝑛 1,918006 1,918006 1,916879 1,916289 3,565096
Dari  hasil  perhitungan  Tabel  5  diketahui  bahwa  galat  model  logistik  terkecil  dihasilkan  oleh  Model Logistik  IV  dengan  nilai  MAPE  sebesar 1,91629 .  Model  logistik  IV  dengan  persaman 𝑃 = 13.709.495,15 (1,16088)𝑒 −(0,04582)𝑡 +1 akan  digunakan  untuk  memperkirakan  jumlah  penduduk  di  waktu  mendatang. Misalkan 𝑡 = 15 pada tahun 2030, maka perkiraan jumlah penduduk Provinsi Riau sebanyak 8.656.294 jiwa.

## Analisis Kestabilan
Dari persamaan (6) diperoleh dua titik tetap yaitu 𝑁 ∗ = 0 dan 𝑁 ∗ = 𝐾 . Titik 𝑁 ∗ = 0 tidak stabil dengan pertumbuhan eksponensial, dengan demikian kita hanya perlu mempertimbangkan kestabilan titik tetap 𝑁 ∗ = 𝐾 .
Analisis  kestabilan  lokal  dari  titik  keseimbangan  untuk  model  logisitik  dengan  waktu    tunda dilakukan dengan metode linearisasi di sekitar titik tetap 𝑁 ∗ = 𝐾 . Misalkan 𝑢(𝑡) = 𝑁(𝑡) − 𝐾 dengan nilai 𝑁(𝑡) cukup  dekat  dengan  nilai 𝐾 .  Selanjutnya 𝑁(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝐾 disubstitusikan  ke  dalam Persamaan (4), diperoleh
𝑑𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟(𝑢(𝑡) + 𝐾) (1 − 𝑢(𝑡 − 𝜏) + 𝐾 𝐾 ),
atau
𝑑𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝑟 𝐾 𝑢(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝜏) − 𝑟𝑢(𝑡 − 𝜏).
Karena nilai 𝑁(𝑡) cukup dekat  dengan nilai 𝐾 , maka bentuk 𝑢(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝜏) dapat  diabaikan. Sehingga model linear yang diperoleh
𝑑𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 − 𝑟𝑢(𝑡 − 𝜏), atau (16)
𝑑𝑁 1 (𝑡) 𝑑𝑡 = −𝑟𝑁 1 (𝑡 − 𝜏).
Pertimbangkan persamaan karakteristik untuk Model (5). Dengan mengsubstitusikan fungsi 𝑁 1 (𝑡) = 𝑐𝑒 𝜆𝑡 ke dalam Model (5) diperoleh persamaan 𝜆𝑒 𝜆𝑡 = −𝑟𝑒 𝜆(𝑡−𝜏) . Karena 𝑒 𝜆𝑡 ≠ 0 , selanjutnya dimana 𝑐 konstan dan nilai eigen 𝜆 adalah solusi dari persamaan karakteristik
𝜆 + 𝑟𝑒 −𝜆𝜏 = 0 (17)
Dengan 𝜆 adalah solusi dari Persamaan karakteristik (6). Menggunakan metode linearisasi, 𝑥 = 𝐾 stabil asimptotik jika nilai eigen persamaan (6) merupakan bagian real negatif. Selanjutnya 𝜆 ditulis dalam bentuk bilangan kompleks 𝜆 = 𝜇 + 𝑖𝑣 , dengan 𝜇 dan 𝑣 masing-masing merupakan bagian riil dan imajiner dari 𝜆 . Dengan mengsubstitusikan 𝜆 = 𝜇 + 𝑖𝑣 ke Persamaan karakteristik (6) diperoleh:
(𝜇 + 𝑟𝑒 −𝜇𝜏 cos 𝑣𝜏) + 𝑖(𝑣 − 𝑟𝑒 −𝜇𝜏 sin 𝑣𝜏) = 0 (18)
Jika dipisahkan bagian real dan imajiner dari Persamaan karakteristik (7) diperoleh
𝜇 + 𝑟𝑒 −𝜇𝜏 cos 𝑣𝜏 = 0 𝑣 − 𝑟𝑒 −𝜇𝜏 sin 𝑣𝜏 = 0. (19) (20)
Perhatikan bahwa saat 𝜏 = 0 , Persamaan karakteristik  (7) menjadi 𝜆 + 𝑟 = 0 dan nilai  eigen 𝜆 = −𝑟 < 0 adalah sebuah bilangan real negatif. Kita mencari kondisi saat 𝜏 sedemikian rupa sehingga 𝑅𝑒 𝜆 berganti  dari  negatif  ke  positif.  Berdasarkan  sifat  kontinuitas,  jika 𝜆 berganti  dari −𝑟 ke  suatu  nilai sedemikian  sehingga 𝑅𝑒 𝜆(𝜏 0 ) = 𝜇(𝜏 0 ) = 0 .  Dengan  kata  lain,  Persamaan  karakteristik  (7)  harus memiliki sepasang akar imajiner murni ±𝑖𝑣 0 , 𝑣 0 = 𝑣(𝜏 0 ) . Misalkan demikian, maka terdapat
cos 𝑣 0 𝜏 = 0 yang berarti bahwa
𝑣 0 𝜏 𝑘 = 𝜋 2 + 2𝑘𝜋, 𝑘 = 0,1,2, …
Ingat bahwa 𝑣 0 = 𝑟 , didapatkan
𝜏 𝑘 = 𝜋 2𝑟 + 2𝑘𝜋 𝑟 , 𝑘 = 0,1,2, …
Sehingga, saat
𝜏 = 𝜏 0 = 𝜋 2𝑟 ,
Persamaan  (7)  memiliki  sepasang  akar  imajiner ±𝑖𝑟 ,  yang  sederhana  dan  seluruh  akar  memiliki bagian negatif. Saat 0 < 𝜏 < 𝜋 2𝑟 , seluruh akar dari Persaman (7) memiliki bagian real yang negatif. Nyatakan 𝜆(𝜏) = 𝜇(𝜏) + 𝑖𝑣(𝜏) , akar Persamaan (7) memenuhi 𝜇(𝜏 𝑘 ) = 0 , 𝑣(𝜏 𝑘 ) = 𝑣 0 . Terdapat kondisi transversal
𝑑𝜇 𝑑𝜏 | 𝜏=𝜏 𝑘 = 𝑟 2 > 0, 𝑘 = 0,1,2, …
Pembahasan diatas dapat disimpulkan dalam teorema berikut:
Teorema 1. [9] i. Jika 0 ≤ 𝜏 < 𝜋 2𝑟 maka titik tetap 𝑁 ∗ = 𝐾 stabil asimtotik.
ii. Jika 𝜏 = 𝜏 0 = 𝜋 2𝑟 maka titik tetap 𝑁 ∗ = 𝐾 mengalami perubahan kestabilan, yaitu dari stabil asimtotik jika 0 ≤ 𝜏 < 𝜋 2𝑟 menjadi  tidak stabil  dan muncul solusi  periodik  jika 𝜏 > 𝜋 2𝑟 . Dengan kata  lain titik tetap 𝑁 ∗ = 𝐾 mengalami bifurkasi Hopf. Analisis kesetimbangan di titik 𝑁 ∗ = 𝐾 , dapat dilihat beberapa kasus dari 𝜏 sebagai berikut 1. Kasus 𝝉 = 𝟎 Untuk 𝜏 = 0 persamaan karakteristik (6) menjadi 𝜆 + 𝑟 = 0
Solusi untuk persamaan diatas menjadi 𝑁 1 (𝑡) = 𝑐𝑒 −𝜇𝑡 . Pada keadaan ini tidak terjadi osilasi pada 𝜏 = 0 karena solusi persamaaan adalah eksponensial.
2. Kasus 𝝉 > 𝟎
Akan ditentukan kondisi awal dari 𝜏 > 0 sehingga 𝑅𝑒 𝜆 < 0 agar kesetimbangan di titik 𝑁(𝑡) = 𝐾 stabil. Pada kasus ini dilakukan simulasi untuk 0 < 𝜏 < 𝜋 2𝑟 . Untuk memperoleh solusi numerik pada persamaan logistik waktu tunda akan dilakukan formulasi diskrit untuk model pertumbuhan logistik diskrit dengan waktu tunda 𝜏 sebagai berikut:
𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) = ∆𝑡 𝑁(𝑡) (𝑟 − 𝑟 𝐾 𝑁(𝑡 − 𝜏)) (21)
Dengan pengukuran dilakukan pada setiap selang waktu ∆𝑡 . Diasumsikan penundaan waktu selama satu tahun (𝜏 = ∆𝑡 = 1) . Persamaan (21) disederhanakan menjadi:
𝑁(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑁(𝑡) [1 + (∆𝑡𝑟 − ∆𝑡 𝑟 𝐾 𝑁(𝑡 − ∆𝑡))] (22)
Persamaan (22) disederhanakan lagi menghasilkan:
𝑁 𝑚+1 = 𝑁 𝑚 (1 + 𝛼 − 𝛽𝑁 𝑚−1 ) (23)
Dengan 𝛼 = ∆𝑡𝑟 dan 𝛽 = ∆𝑡 𝑟 𝐾 . Sehingga kesetimbangan yang diperoleh adalah 𝑁 ∗ = 0, atau 𝑁 ∗ = 𝛼 𝛽 = ∆𝑡𝑟 ∆𝑡 𝑟 𝐾 = 𝐾 . Sehingga dapat disimpulkan pada saat 𝜏 < 𝜋 2𝑟 populasi menjadi stabil.
3. Kasus 𝝉 < 𝝅 𝟐𝒓
Misalkan 𝜏 = 𝜏 𝑐 + 𝜀 maka
𝜏 = 𝜋 2𝑟 + 𝜀, 0 < 𝜀 ≤ 1
Untuk 𝜏 = 𝜋 2𝑟 ,  diketahui  bahwa  nilai 𝜇 = 0 dan 𝑣 = 𝑟 .  Untuk 𝜀 yang  sangat  kecil, 𝜇 dan 𝑣 berubah menjadi 𝜇 = 𝛿 dan 𝑣 = 𝑟 + 𝜎 , 0 < 𝛿 ≤ 1, 0 < 𝜎 ≤ 1 Dengan 𝛿 dan 𝜎 akan ditentukan dengan mensubstitusikan 0 < 𝛿 ≤ 1 dan 0 < 𝜎 ≤ 1 ke Persamaan (8) dan (9) didapat
𝛿 = −𝑟𝑒 (−𝛿( 𝜋 2𝑟+𝜀)) cos ((𝑟 + 𝜎) ( 𝜋 2𝑟 + 𝜀)) 𝑟 + 𝜎 = 𝑟𝑒 (−𝛿( 𝜋 2𝑟+𝜀)) sin ((𝑟 + 𝜎) ( 𝜋 2𝑟 + 𝜀)) (24) (25)
Dari  nilai 𝛿 dan 𝜎 yang  didapat  maka  solusi  untuk  Persamaan  (5)  ditulis  sebagai  berikut 𝑁 1 (𝑡) = 𝑅𝑒(𝑐𝑒 (𝜇+𝑖𝑣)𝑡 ) . Dengan menggantikan nilai 𝜇 dan 𝑣 yang baru maka
𝑁 1 (𝑡) = 𝑐 ( 𝑒 ( 𝑟2𝛿𝑡 1+ 𝜋2 4 ) ) (cos 𝑡 (𝑟 − 𝑟 2 𝜀𝜋 2(1+ 𝜋2 4 ) )) .
untuk 𝜀 > 0 , jika semakin besar nilai 𝜀 yang digunakan makan parameter waktu tunda jumlah semakin besar.  Untuk 𝜏 yang  semakin  besar (𝜏 > 𝜋 2𝑟 ) solusi  berosilasi  semakin  besar  menjauhi  titik kesetimbangan.
4. Kasus 𝝉 = 𝝅 𝟐𝒓 (terjadi penundaan yang mengakibatkan suatu keadaan setimbang stabil berubah menjadi suatu keadaan setimbang yang tidak stabil). Dalam hal ini jika waktu tunda meningkat melebihi nilai 𝜏 = 𝜋 2𝑟 , maka keadaan setimbang menjadi tidak stabil.

## Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan  ditunjukkan simulasi numerik untuk model persamaan logistik tanpa waktu tunda dan persamaan logistik dengan waktu tunda. Akan dilihat perilaku dari model pada Persamaan  (4) untuk mengetahui  kestabilan  titik  tetap 𝑁 ∗ = 𝐾 sampai  pada  nilai 𝜏 maksimal.  Diberikan  parameter    waktu tunda 𝜏 = 0,0.1,0.2,0.3, . .1.9,2 𝑑𝑎𝑛 3 , dengan dimisalkan 𝑟 = 1 dan 𝐾 = 100 .  Dengan menggunakan software MATLAB, diperoleh grafik model logistik dengan dan tanpa waktu tunda sebagai berikut yang disebut Gambar 6.
(a) 0  = (b) 0.1  = (c) 0.2  = (d) 0.3  = (e) 0.4  = (f) 0.5  =
Pada Gambar 6, gambar bagian (a) merupakan pola pertumbuhan logistik tanpa waktu tunda, kondisi ini menunjukkan pola pertumbuhan populasi mendekati carrying capacity sehingga dapat dikatakan
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t )
stabil.  Pada  bagian  (b),  (c),  (d),  (e)  dan  (f)  dengan  nilai  parameter 𝜏 = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 menunjukkan pada bagian ini pertumbuhan mencapai kenaikan disekitar titik tetap 𝑁(𝑡) = 100 dan akhirnya mencapai kestabilan.
(g) 0.6  = (h) 0.7  = (i) 0.8  = (j) 0.9  = (k) 1  = (l) 1.1  = (m) 1.2  = (n) 1.3  = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 t(waktu) N (t )
(o) 1.4  = (p) 1.5  =
Sedangkan  pada  bagian  (g),  (h),  (i),  (j),  (k),  (l),  (m),  (n)  dan  (o)  dengan  nilai  parameter 𝜏 = 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 mengalami  kenaikan  kemudian  mengalami  penurunan, selanjutnya  mengalami  osilasi  kemudian  mencapai  titik  kestabilan  disekitar  titik  tetap  yaitu  pada 𝑁(𝑡) = 100 .   Selanjutnya pada bagian (p) dengan nilai parameter 𝜏 = 1.5 merupakan nilai bifurkasi dimana suatu keadaan setimbang stabil berubah menjadi suatu keadaan setimbang yang tidak stabil.
(q) 1.6  = (r) 1.7  = (s) 1.8  = (t) 1.9  = (u) 2  = (v) 3  = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 250 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 250 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 250 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 250 300 t(waktu) N (t ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 250 300 t(waktu) N (t ) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 t(waktu) N (t )
Gambar 6. Simulasi Model Logistik Dengan dan Tanpa Waktu Tunda
Pada bagian (q), (r), (s), (t), (u), dan (v) dengan 𝜏 = 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2, dan 3 solusi berosilasi semakin besar dan menjauhi titik kesetimbangan. Sehingga kesetimbangan menjadi tidak stabil dan muncul solusi periodik. Dengan kata lain secara berkala populasi penduduk bertambah dan tidak benar-benar punah di suatu tempat tersebut.

## Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dilakukan dari penelitian ini dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Hasil  perhitungan  proyeksi  penduduk  menggunakan  model  eskponensial  dan  model  logistik menghasilkan 5 model sesuai  dengan laju intrinsik ( ) r yang berbeda-beda untuk  setiap modelnya. Setelah dilakukan analisis galat model, disimpulkan bahwa Model  Eksponensial IV dengan bentuk persamaan 𝑁 = 6.344.402 𝑒 (0,02357)𝑡 sebagai model terbaik dengan galat atau nilai MAPE terkecil yaitu sebesar 1,9845, dan Model Logistik IV dengan bentuk persamaan
𝑁 = 13.709.495,15 ( 1,16088 ) 𝑒 − ( 0,04582 ) 𝑡 + 1
sebagai model terbaik dengan galat sebesar 1,91629. Dari kedua model eksponensial dan logistik yang terbaik, diperoleh proyeksi penduduk Provinsi Riau pada tahun 2030 adalah sebesar 9.035.153 jiwa menggunakan Model Eksponensial IV, sedangkan dengan model logistik IV sebesar 8.656.294 jiwa. Hampir  semua  hasil  perhitungan  estimasi  penduduk  provinsi  Riau  menggunakan  model  logistik mendekati data yang sebenarnya. Sehingga dapat disimpulkan model logistik adalah model yang lebih tepat digunakan untuk memproyeksi jumlah penduduk provinsi Riau.
2. Analisis  kestabilan  model  logistik  mempunyai  2  titik  tetap  yaitu 𝑁 ∗ = 0 dan 𝑁 ∗ = 𝐾 .  Titik  tetap 𝑁 ∗ = 0 merupakan titik kesetimbangan stabil.  Sedangkan 𝑁 ∗ = 𝐾 bersifat  stabil asimptotik.  Titik tetap 𝑁 ∗ = 𝐾 dibahas untuk kasus adanya keterlambatan atau penundaan. Disimpulkan bahwa untuk jumlah populasi yang sama dengan carrying capacity ( 𝑁 ∗ = 𝐾 ) keadaan setimbangnya stabil untuk 𝜏 < 𝜋 2𝑟 , tidak stabil untuk 𝜏 > 𝜋 2𝑟 , sedangkan untuk 𝜏 = 𝜋 2𝑟 terjadi bifurkasi. Secara umum semakin besar waktu tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan pada pertumbuhan, dalam hal ini terjadi ledakan populasi dan juga populasi dapat berkurang hingga akhirnya mengalami kepunahan.
3. Simulasi numerik menunjukkan kesimpulan yang sama dengan hasil analisis.

## Referensi
[1] C. Christiani, P. Tedjo, dan B. Martono, “Analisis Dampak Kepadatan Penduduk Terhadap Kualitas Hidup Masyarakat Provinsi Jawa Tengah,” Jurnal Ilmiah UNTAG Semarang , vol. 3, no. 1, hal. 102–114, 2014.
[2]   Y.  K.  Pandu,  “Prediksi  Penduduk  Kabupaten  Alor  Dengan  Menggunakan  Model  Pertumbuhan  Logistik  Pada  Beberapa  Tahun Mendatang,” Asimtot : Jurnal Kependidikan Matematika , vol. 2, no. 1, hal. 71–81, 2020.
[3]   A.  Kurniawan,  I.  Holisin,  dan  F.  Kristanti,  “Aplikasi  Persamaan  Diferensial  Biasa  Model  Eksponensial  dan  Logistik  pada Pertumbuhan Penduduk Kota Surabaya,” MUST: Journal of Mathematics Education, Science and Technology , vol. 2, no. 1, hal. 129, 2017.
[4]   D. Anggreini, “Penerapan Model Populasi Kontinu Pada Perhitungan Proyeksi Penduduk Di Indonesia (Studi Kasus: Provinsi Jawa Timur),” E-Jurnal Matematika , vol. 9, no. 4, hal. 229, 2020.
[5]  H. M. Timuneno, R. H. Soelistyo Utomo, dan Widowati., “Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda,” Jurnal Matematika , vol. 11, no. 1, hal. 43–51, 2008.
[6]  N. Rozikin, K. Sarjana, A. Arjudin, dan N. Hikmah, “Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Mengestimasi Jumlah Penduduk dengan Menggunakan Model Eksponensial dan Logistik,” Griya Journal of Mathematics Education and Application , vol. 1, no. 1, hal. 44– 55, 2021.
[7]  G. Marion, An Introduction to Mathematical Modeling , 3 ed. 2008.
[8]  Widowati dan Sutimin, Buku Ajar Pemodelan Matematika . Semarang: Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro, 2007.
[9]  N. Finizio dan G. Ladas, Introduction to Differential Equations . University of Rhode Island, 1982.
[10] D. G. Zill, A First Course in Differential Equations, 10th Ed. , 10 ed. Richard Stratton, 2013.
[11] D. H. Trahan, W. E. Boyce, dan R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. , 11 ed., vol. 86, no. 7. John Wiley & Sons, 2017.
[12] Stephen Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos . Springer, 2000.
[13] B. Maxfield, Calculus and Differential Equations , 2 ed. CRC Press, 2000.
[14] L. Perko, “Differential Equations and Dynamical Systems,” Department of Mathematics Northem Arizona University Flagstaf . USA, 1983.
[15] N. S. Nurkholipah, N. Anggriani, dan A. K. Supriatna, “Perbandingan Proyeksi Penduduk Jawa Barat Menggunakan Malthus dan Verhust dengan Variasi Internal Pengambilan Sampel,” Jurnal DIALEKTIKA , vol. 1, no. 1, hal. 195-202., 2017.
[16] S. Toaha, “Analisis Kestabilan Model Logistik Satu Populasi Dengan Tundaan Waktu,” Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi ,
vol. 8, no. 2, hal. 131–138, 2012.