## PEMANFAATAN ITERATED FUNCTION SYSTEM (IFS) UNTUK MEMBANGKITKAN MOTIF ANYAMAN UKURAN
×
( Utilization of Iterated Function System (IFS) to Generate Woven Pattern Size × )

## Ingka Maris, Kosala Dwidja Purnomo, Bagus Juliyanto
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia Email: ingkamaris@gmail.com, {kosala, bagus}.fmipa@unej.ac.id
Abstract. Woven is one of art thats very close to life. Woven has a pattern consisting of two-dimensional (2D) and has a basic pattern. Along with the development times, technology is also growing including computer technology. Computer can be used for mathematical calculation process, one of them is fractal. Fractal Sierpinski carpet is formed from a square that use Iterated Function System (IFS) method. This method is exact self-similar resulting in the same fractal with the original constituent object. The writer want to get woven pattern using computer technology, that is GUI application in Matlab that utilizes the IFS method on fractal. Woven patterns formed from woven that have a grid size of × and are given a few iterations. So, that it can make it easier for craftsmen to make woven pattern that are interesting and varied.
Keywords: Iterated Function System (IFS), Sierpinski Carpet, Woven Pattern. MSC2020: 31E05

## 1. Pendahuluan
Kesenian merupakan suatu hal yang sangat dekat dengan kehidupan termasuk anyaman. Salah satu ciri anyaman adalah memiliki berbagai macam motif. Terdapat motif anyaman yang terdiri atas susunan bangun dua dimensi yaitu persegi dan persegi panjang. Seiring dengan perkembangan jaman, teknologi menjadi semakin canggih dan dapat digunakan untuk berbagai macam bidang salah satunya matematika. Terdapat bidang matematika yang dapat diaplikasikan pada teknologi komputer yaitu fraktal. Fraktal merupakan suatu bentuk  yang  dihasilkan  dengan  cara mengulang  suatu  pola  yang  dimiliki  sehingga menghasilkan bentuk yang serupa dengan bentuk semula pada setiap bagiannya. Fraktal memiliki ciri yaitu self-similarity yang merupakan keadaan suatu objek yang dibangun dengan cara mengganti suatu gambar dengan yang sebangun, tetapi berukuran lebih kecil dari asalnya. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mengkonstruksi fraktal yaitu menggunakan  metode Iterated  Function  Sytem (IFS).  IFS  adalah  suatu  metode  yang terasosiasi dengan fungsi iterasi untuk membentuk suatu fraktal.
Fraktal memiliki berbagai macam jenis antara lain Koch Snowflake , segitiga Sierpinski, karpet  Sierpinski,  kurva  Hilbert  dan  himpunan  Mandelbrot.  Jenis-jenis  fraktal  dapat diaplikasikan  pada  benda-benda  yang  ada  di  dalam  kehidupan,  misalnya  anyaman.
Anyaman  dapat  dibuat  menggunakan  salah  satu  jenis  fraktal  yaitu  karpet  Sierpinski. Terdapat  penelitian  yang  menyatakan  bahwa  motif  anyaman  dapat  dihasilkan menggunakan  fraktal  karpet  Sierpinski  dengan  objek  penyusun  berupa  persegi  dan disusun  dengan  menggunakan  metode  IFS  [1].  Penelitian  tersebut  diaplikasikan menggunakan bahasa pemrograman C++ dengan pola menggunakan checkbox berukuran 5 × 5. Terdapat pula yang menyatakan pembuatan motif anyaman dapat memanfaatkan metode IFS dengan transformasi afin yaitu tranlasi, dilasi dan translasi serta rotasi dan translasi pada aplikasi Matlab [2]. Namun, pada penelitian tersebut apabila salah dalam menginputkan nilai, maka program harus diulang dari langkah pertama.
Penelitian  yang  dilakukan  bertujuan untuk  mengembangkan  motif-motif  anyaman berukuran  grid × dengan  memanfaatkan  IFS.  Motif-motif  anyaman  tersebut  akan menyerupai karpet Sierpinski dan diaplikasikan menggunakan GUI pada Matlab.

## Anyaman
Kerajinan  anyaman  merupakan  kerajinan  tangan  yang masih  sering  dibuat  dan  dapat dijumpai  sampai  saat  ini.  Anyaman  diartikan  sebagai  menganyam,  mengatur  ,  tindih- menindih  dan  silang-menyilang  [3].  Anyaman  dapat  dibuat  menggunakan  berbagai macam bahan sehingga mengakibatkan terbentuknya berbagai motif anyaman. Anyaman dibagi menjadi tiga berdasarkan cara membuatnya, yaitu anyaman datar (sasak), anyaman miring  (serong)  dan  anyaman  persegi  (truntum).  Anyaman  datar  (sasak)  merupakan anyaman  yang  dibuat  datar,  lebar  dan  pipih,  anyaman  miring  (serong)  merupakan anyaman yang dibuat miring biasanya berbentuk dua dimensi atau tiga dimensi. Anyaman persegi (truntum) merupakan anyaman yang dibuat dengan motif persegi, bisa segitiga, segi 4, segidelapan dan seterusnya [4].

## Fraktal
Fraktal  merupakan  kata  sifat  yang  berarti  tidak  teratur  atau  berasal  dari  bahasa  latin frengere merupakan kata kerja yang berarti membelah. Fraktal didapatkan melalui proses iterasi serta mempunyai sifat self-similarity (keserupaan diri) [5]. Selain self-similarity , keteraturan tertentu lainnya juga dimiliki oleh fraktal, yaitu self-squaring , self-inverse dan self-affinity . Self-squaring yaitu  bentuk  geometri  fraktal  yang  merupakan peningkatan kerumitan dari bagian sebelumnya. Self-inverse yaitu terdapat suatu bagian dalam  fraktal  yang  merupakan  susunan  terbalik  dari  susunan  lainnya. Self-affinity menggambarkan  bahwa  fraktal  disusun  atas  bagian-bagian  geometri  yang  saling terangkai satu sama lain [6].

## Karpet Sierpinski
Sierpinski adalah sebuah kurva  yang mengisi ruang kurva itu sendiri [7]. Objek pada
Sierpinski ini membagi dirinya sendiri dan masing-masing bagian mengisi kembali ke bagian persegi tersebut pada skala berbeda. Karpet Sierpinski mulai dibangun dengan persegi  lalu  dibagi  menjadi  sembilan  kotak  yang  kongruen  dalam  3  grid.  Kemudian prosedur  yang  sama  diterapkan  secara  rekursif  kedalam  8  kotak  yang  tersisa  seperti Gambar 1.

## Iterasi 1
Iterasi 2         Iterasi 3 Gambar 1. Karpet Sierpinski

## Persamaan
Motif  anyaman  yang  dibentuk  menyerupai  fraktal  karpet  Sierpinski,  membutuhkan rancangan pola dasar. Pola yang dibentuk memanfaatkan nilai koordinat-koordinat dua dimensi.  Motif  anyaman  yang  terbentuk  dari  karpet  Sierpinski  berbetuk  persegi,  oleh karena itu pembentukan dilakukan dengan membagi bidang sebanyak n bagian baris dan kolom dengan jarak yang sama. Pada Gambar 2 ditunjukkan pembagian bidang sebanyak 5 bagian.

## Gambar 2. Pembagian Bidang
Persegi memiliki 4 buah titik utama sebagai penyusunnya, yaitu koordinat ( , ) yaitu (0,0) terletak pada sisi kiri atas, koordinat ( , ) yaitu ( max-width ,0) yang terletak di sisi kanan atas dengan max-width adalah lebar maksimal persegi, koordinat ( , ) yaitu ( max-width,max-lenght )  yang  terletak  di  sisi  kanan  bawah  dengan max-height adalah panjang maksimal persegi, dan koordinat ( , ) yaitu (0, max-lenght ) yang terletak di sisi kiri bawah [1]. Titik , merupakan simbol dari setiap koordinat titik x , dengan i merupakan baris dan j merupakan kolom. Sedangkan titik , merupakan simbol dari setiap koordinat titik y .
Persamaan (1) dan (2) berikut dapat digunakan untuk mencari nilai koordinat titik dan titik pada kotak atau persegi yang akan dibangkitkan:
, = + ( ) , + ( ) (1)
, = + ( ) , + ( ) (2)
dengan: i = baris kotak yang akan dibangkitkan
j = kolom kotak yang akan dibangkitkan
x 1 = lebar minimal y 1 = panjang minimal
x 2 = lebar maksimal
y 4 = panjang maksimal
n = ukuran grid

## GUI pada Matlab
Grapichal User Interface (GUI) merupakan pemrograman yang dapat digunakan pada Matlab.  GUIDE  atau  GUI  builDEr  merupakan  sebuah  GUI  yang  menyediakan  media tampilan  grafis  sebagai  pengganti  perintah  teks  untuk  berinteraksi  antara  pengguna dengan  program [8].  Hasil  pemrograman  yang  menggunakan  GUI  akan  jauh  lebih menarik dan menjadi lebih interaktif serta penggunaan program menjadi lebih efektif. Komponen-komponen  standar  terdapat  pada  Matlab  untuk  keperluan  membuat  GUI antara lain edit text, static text, pushbutton, pop-up menu, axes , uitable, dll.
Iterated Function System (IFS)
Iterated Function System (IFS) adalah fungsi iterasi yang memiliki sifat self-similarity sehingga menghasilkan fraktal yang sama dengan objek penyusun aslinya. Fungsi iterasi adalah  fungsi  yang  terdiri  atas  dirinya  sendiri  dan  tak  terhingga  pengulangan  bentuk objeknya,  dalam  proses  ini  disebut  iterasi.  Proses  iterasi  dimulai  dari  nilai  awal, selanjutnya  menentukan  hasil  yang  akan  mengakibatkan  fungsi  sebagai  masukan  dan mengulanginya beberapa kali [9]. Setiap fungsi yang menggunakan konsep IFS tersebut dapat menggunakan bantuan program komputer untuk menghasilkan suatu motif tertentu yang sangat unik [10]. Selain itu, IFS tidak digunakan pada semua domain, tetapi hanya pada domain yang termasuk dalam himpunan bagian dari ruang yang dipakai.

## 2. Metodologi
Sebelum membentuk sebuah motif anyaman, terlebih dahulu membuat pola dasar. Pola merupakan  bentuk  dasar  atau  rangkaian  yang  digunakan  untuk  menghasilkan suatu bentuk. Pola anyaman yang dibuat terdiri dari beberapa persegi. Persegi-persegi yang
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 21 Nomor 1 2021, 25 – 38 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1441-6669
menjadi pola dasar dapat dikembangkan mejadi suatu fraktal. Pola dibuat dengan cara menentukan  ukuran  grid × sesuai  dengan  motif  yang  diinginkan.  Setelah menentukan ukuran grid × , langkah selanjutnya yitu memasukkan pola pada tabel GUI menggunakan bilangan bulat.
Apabila pola dasar sudah terbentuk, maka pola akan diberi iterasi untuk mendapatkan motif anyaman yang lebih menarik. Iterasi dioperasikan pada kotak yang ditandai dengan bilangan bulat terbesar.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Simulasi program dilakukan dengan membuat beberapa motif anyaman yang memiliki ukuran grid dan iterasi berbeda-beda.
a. Pola dasar motif anyaman Ukuran grid × merupakan n baris dan n kolom yang dapat disesuaikan dengan keinginan  pembuat.  Apabila  ukuran  grid 1 × 1 ,  maka  akan  dihasilkan  pola anyaman seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Pola anyaman ukuran grid 1 × 1
Pada Gambar 3, pola yang dihasilkan berupa gambar persegi polos, sehingga tidak dapat menghasilkan sebuah motif. Sedangkan sebuah anyaman harus memiliki motif. Oleh karena itu, ukuran grid yang digunakan untuk membuat pola dasar anyaman yaitu > 1 . Berikut ini contoh pola dasar anyaman dengan ukuran grid
> 1 dapat dilihat pada Gambar 4.
(a) (b) (c) (d) Gambar 4. Pola Dasar Anyaman (a) Ukuran Grid 2 × 2 (b) Ukuran Grid 3 × 3
(c) Ukuran Grid 7 × 7 (d) Ukuran Grid 15 × 15
Pola dasar dapat dibuat dengan menginputkan bilangan bulat tak negatif secara manual  sesuai  dengan  pola  yang  diinginkan. Apabila    bilangan  bulat  yang digunakan  0  dan  1,  maka  kotak  yang  diberi  tanda  0  akan  berwarna  hitam, sedangkan  kotak  yang  diberi  tanda  1 akan  berwarna  putih.  Contoh  pola  dasar anyaman yang dibentuk oleh bilangan bulat 0 dan 1 dapat dilihat pada Gambar 5.
(a) (b) (c)
Gambar 5. Pola Dasar Anyaman Ukuran Grid 7 × 7 (a) 42 kotak bertanda bilangan bulat terbesar (b) 33 kotak bertanda bilangan bulat terbesar (c) 25 kotak bertanda bilangan bulat terbesar
Selain  bilangan  0  dan  1,  pola  dasar  juga  dapat  dibuat  dengan  bilangan  bulat lainnya seperti pada Gambar 6.
Gambar 6. Pola Dasar Menggunakan Tanda Bilangan Bulat 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10
Pada  Gambar  6,  terlihat  bahwa  semakin  kecil  bilangan  bulat  yang  digunakan, maka warna pada kotak akan semakin gelap. Sedangkan apabila menggunakan bilangan  bulat  semakin  besar,  maka  warna  pada  kotak  akan semakin  terang. Namun, Gambar 6 bertentangan dengan cara pembuatan anyaman yang tindih- menindihatau silang-menyilang. Semua kotak memiliki warna yang berbeda pada Gambar 6 sehingga tidak menunjukkan adanya rangkaian yang saling menyilang. Oleh karena itu, dalam satu baris atau satu kolom harus ada minimal dua warna yang sama untuk menunjukkan bahwa terdapat rangkaian yang saling menyilang. Sehingga  pemberian  bilangan  bulat  pada  satu  baris  atau  satu  kolom  harus  ada minimal dua bilangan yang sama.
b. Pembangkitan Motif Anyaman pada GUI Menggunakan IFS
Motif anyaman dapat dibentuk setelah diperoleh pola dasar anyaman. Setelah pola dasar anyaman terbentuk, maka langkah selanjutnya yaitu membangkitkan motif anyaman menggunakan IFS pada GUI Matlab. Pola dasar akan terbentuk menjadi sebuah motif dan menjadi lebih menarik apabila diberi iterasi atau pengulangan. Fungsi iterasi akan dioperasikan pada kotak yang bertanda bilangan bulat terbesar seperti Gambar 7.
Iterasi 1
Iterasi 2 Iterasi 3 Iterasi 4 (a) Iterasi 1
Iterasi 2 Iterasi 3 Iterasi 4
(b) Gambar 7. Variasi Pola dengan Iterasi
(a) Ukuran Grid 4 × 4 (b) ukuran Grid 7 × 7
Hasil penelitian menunjukkan bahwa motif anyaman dapat dibuat menarik dengan pola yang  bervariasi.  Pola  anyaman  dapat  ditentukan  melalui  ukuran  grid  sesuai  dengan keinginan  seperti  Gambar  4.  Pola  dasar  dengan  ukuran  grid  yang  berbeda  akan menghasilkan anyaman yang berbeda pula. Semakin sedikit × yang digunakan, maka motif  anyaman  akan  semakin  sulit  terlihat.  Sedangkan  semakin  banyak × yang digunakan,  maka  motif  akan  semakin  mudah  terlihat. Hal  ini  dikarenakan  semakin banyak × , maka semakin banyak kotak yang digunakan untuk membuat pola dasar sehingga pola dasar lebih terlihat motifnya. Selain itu, semakin banyak ukuran grid × yang digunakan, maka variasi pola dasar akan semakin banyak seperti Gambar 8.
(a) (b) Gambar 8. Variasi Pola Anyaman
(a) Ukuran Grid 2 × 2 (b) Ukuran Grid 5 × 5
Gambar 8 menunjukkan bahwa pola dasar berukuran grid 2 × 2 memiliki variasi pola lebih sedikit daripada pola dasar berukuran 5 × 5 . Oleh karena itu, apabila grid × yang dipakai semakin sedikit, maka variasi pola dasar anyaman akan semakin sedikit. Sedangkan apabila menggunakan grid × semakin banyak, maka variasi pola dasar anyaman yang terbentuk akan semakin banyak.
Pola dasar juga dipengaruhi oleh pemberian tanda bilangan bulat. Bilangan bulat terbesar akan mempengaruhi bentuk dari pola dasar anyaman. Pada Gambar 5 memiliki ukuran grid  yang  sama  namun  dengan  tanda  berbeda.  Semakin  banyak  jumlah  kotak  yang ditandai  dengan  bilangan  bulat  terbesar  seperti  Gambar  5 (a),  maka  pola  dasar  akan semakin sulit terbentuk. Sedangkan semakin sedikit jumlah kotak yang ditandai dengan bilangan bulat tebesar seperti Gambar 5 (c), maka pola dasar semakin mudah terbentuk.
Motif anyaman dibuat menyerupai fraktal dengan memanfaatkan IFS pada GUI Matlab. IFS dibangkitkan pada kotak yang telah ditandai dengan bilangan bulat terbesar. Kotak tersebut akan mengulang bentuk keseluruhan kedalam ukuran yang lebih kecil dengan menggunakan Persamaan (3) pada program GUI Matlab sebagai berikut:
( − 1) ( ) + 1: ( ) , ( − 1) ( ) + (1: ( ) )) (3)
dengan: i = baris
j = kolom
N = ukuran grid
t = iterasi
Aplikasi pada GUI dapat membentuk motif anyaman dengan ukuran grid × dengan n tak  hingga.  Namun,  pemberian  iterasi  pada  pola  anyaman terbatas  sesuai  dengan kapasitas program aplikasi GUI pada masing-masing komputer. Berikut ini Gambar 9 merupakan motif anyaman yang terbentuk berdasarkan ukuran grid dan iterasi.
Iterasi 1 Iterasi 13
(a) Iterasi 1 Iterasi 5 (b) Iterasi 1 Iterasi 2 (c) Gambar 9. Variasi Motif dengan Iterasi Maksimal
(a) Ukuran Grid 2 × 2 (b) Ukuran Grid 5 × 5 (c) Ukuran Grid 25 × 25
Motif anyaman pada Gambar 9 menunjukkan grid dan iterasi yang berbeda-beda sesuai dengan kapasitas program. Pola dengan ukuran grid 2 × 2 dapat diberikan iterasi sampai 13,  pola  dengan  ukuran  grid 5 × 5 dapat  diberikan  iterasi  sampai  5  dan  pola  dengan ukuran 25 × 25 dapat diberikan iterasi sampai 2. Apabila diberikan iterasi yang lebih dari kapasitas  program,  maka  gambar  tidak  akan  muncul.  oleh  karena  itu, apabila  motif anyaman  yang  terbuat  dari  pola  dasar  berukuran  grid  semakin  sedikit,  maka  dapat diberikan iterasi yang semakin banyak. Sedangkan apabila motif anyaman yang terbuat dari pola dasar berukuran semakin banyak, maka iterasi yang diberikan akan semakin sedikit.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  maka  diperoleh  kesimpulan  sebagai berikut:
a. Pola dasar anyaman yang digunakan untuk membuat motif anyaman dipengaruhi oleh  ukuran  grid n baris  dan n kolom.  Semakin  sedikit  grid × yang digunakan,  maka  motif  anyaman  akan  semakin  sulit  terbentuk.  Sedangkan semakin banyak grid × yang digunakan, maka motif anyaman akan semakin mudah terbentuk.
b. Pola dibuat dengan menginputkan bilangan bulat. Apabila jumlah kotak yang ditandai dengan bilangan bulat terbesar semakin banyak, maka pola dasar akan semakin sulit terbentuk. Sedangkan apabila jumlah kotak yang ditandai dengan bilangan bulat terbesar semakin sedikit, maka pola dasar akan semakin mudah terbentuk.
c. Motif anyaman dapat dibuat bervariasi dengan memanfaatkan metode IFS yang ada pada fraktal karpet Sierpinski.
d. Motif  anyaman  akan terlihat  lebih  menarik  dan  bervariasi  apabila  diberikan beberapa  iterasi  pada  pola  dasar  anyaman.  Iterasi  yang  diberikan  pada  pola disesuaikan dengan ukuran grid × . Apabila menggunakan pola dasar dengan ukuran grid semakin sedikit, maka iterasi yang diberikan akan semakin banyak. Jika menggunakan pola dasar dengan ukuran grid semakin banyak, maka iterasi yang diberikan akan semakin sedikit.
Penelitian ini menggunakan ukuran grid × untuk membuat sebuah motif anyaman. Pada penelitian selanjutnya dapat dilakukan pembuatan motif anyaman dengan ukuran grid × agar  lebih  banyak  variasi  motif  yang  dihasilkan.  Selain  itu,  penelitian  ini memiliki kelemahan yaitu apabila iterasi yang digunakan untuk membuat motif anyaman terlalu besar dan tidak sesuai dengan ukuran grid, maka akan terjadi eror. Oleh karena itu penelitian  selanjutnya  dapat  menggunakan  aplikasi  pemrograman  selain  GUI  pada Matlab.

## Daftar Pustaka
[1] Suria.O, M. Kartika, W. Kusuma, 2014, Membuat motif anyaman bervariasi dengan menggunakan fraktal sierpinski carpet, Sientika 2 (1): 511-519.
[2] Prasasti.I, 2018, Pemanfaatan  Metode  Iterated  Function  System  dalam Pengembangan  Motif  Anyaman, Skripsi , Jember:  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 21 Nomor 1 2021, 25 – 38 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1441-6669
[3] Sugiono.D, 2008, Kamus  Besar Bahasa  Indonesia , Jakarta:  Gramedia  Pustaka Utama.
[4] Mutmainah.S, 2014, Buku Ajar: Kriya Anyam , Surabaya: Jurusan Seni Rupa Fakultas Bahasa dan Seni UNESA.
[5] Mandelbrot.B.B, 1983, The Fractal Geometry of Nature , New York: W.H. Freeman Company.
[6] Baragar.A, 2001, A Survey Of Classical and Modern Geometry , Prentice Hall: New Jersey.
[7] Gough.J, 2012, Hilbert and Sierpinski Spacefilling Curves and Beyond , Australia:
Gale Education, Religion and Humanities Lite Package.
[8] Sugiharto.A, 2006, Pemrograman GUI dengan Matlab, Yogyakarta: Andi Offset.
[9] Falconer.K, 2003, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, West Sussex: John Wiley & Sons.
[10] Utomo.B, 2011, Fraktal dan Invers Fraktal, Jurnal Matematika 2 (1): 28-37.