## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 2, No. 2, 2020, pp. 71-88.

## Analisis Kestabilan Model Matematika Penyebaran Penyakit
Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate
Elda Widya 1,* , Miswanto 1 & Cicik Alfiniyah 1
1 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Indonesia
*Corresponding author : elda.widya.indriah-2016@fst.unair.ac.id
Abstract. Schistosomiasis  is  a  disease  caused  by  infections  of  the  genus  Schistosoma. Schistosomiasis  can  be  transmitted  through  schistosoma  worms  that  contact  human  skin. Schistosomiasis  is  a  disease  that  continues  to  increase  in  spread.  Saturated  incidence  rates  pay attention to the ability to infect a disease that is limited by an increase in the infected population. This thesis formulates and analyzes a mathematical model of the distribution of schistosomiasis with a saturated incidence rate. Based on the analysis of the model, two equilibrium points are obtained, namely non-endemic equilibrium points (E 0 ) and endemic equilibrium points (E 1 ). Both equilibrium points  are  conditional  asymptotically  stable.  The  nonendemic  equilibrium  point  will  be asymptotically  stable  if r h > d h , r s > d s and R 0 <  1,  while  the  endemic  equilibrium  point  will  be asymptotically stable if R 0 > 1. Sensitivity analysis shows that there are parameters that affect the spread of the disease. Based on numerical simulation results show that when R 0 < 1, the number of infected  human  populations  ( H i ),  the  number  of  infected  snail  populations  ( S i ),  the  amount  of cercaria  density  ( C )  and  the  amount  of  miracidia  density  ( M )  will  tend  to  decrease  until  finally extinct. Otherwise at the time R 0 > 1, the number of the four populations tends to increase before finally being in a constant state.
Keywords: kestabilan, model matematika, schistosomiasis, saturated incidence rate .

## 1 Pendahuluan
Schistosomiasis adalah  penyakit  yang  disebabkan  oleh  infeksi  cacing  dari  genus Schistosoma . Seseorang dapat terinfeksi ketika larva cacing masuk lewat kulit manusia setelah  kontak  dengan  air  yang  terinfeksi schistosomiasis [1]. Schistosomiasis banyak ditemukan  di  daerah  tropis  dan  subtropis.  Sebagian  besar  daerah  endemik  terletak  di Timur Tengah, Amerika Selatan, Asia Tenggara dan Afrika. Lebih dari 779 juta orang di dunia berisiko terinfeksi schistosomiasis [2].
Penularan  schistosomiasis  terjadi  ketika  penderita schistosomiasis buang  air  besar sembarangan,  maka  telur schistosoma akan  menetas  dalam  air.  Telur  yang  menetas menjadi miracidia dan masuk ke dalam tubuh siput yang dijadikan sebagai inangnya. Di dalam tubuh siput, larva tersebut berkembang menjadi cercaria lalu dikelurkan dalam air. Ketika  manusia  melakukan  kontak  dengan  air  yang  terinfeksi schistosomiasis maka
cercaria menembus  kulit  manusia.  Di  dalam  tubuh, cercaria berkembang  biak  hingga menghasilkan telur. Beberapa telur dikeluarkan dari tubuh dalam tinja atau urin [3]. Jadi, telur tersebut akan melanjutkan siklus hidup schistosomiasis hingga akhirnya masuk ke tubuh manusia.
Upaya  pemberantasan schistosomiasis difokuskan  pada  upaya  pengendalian  secara preventif. World  Health  Organization (WHO)  merekomendasikan  obat praziquantel untuk  mengobati  penderita schistosomiasis. Pemberian praziquantel harus  diberikan secara  berkala  selama  beberapa  tahun  agar  pengobatan  lebih  efektif.  Kendala  yang dialami  adalah  keterbatasan  ketersediaan praziquantel .  Selain  itu, praziquantel hanya dapat membunuh cacing yang sudah dewasa di dalam tubuh [4].
Model  matematika  telah  digunakan  secara  luas  untuk  mendeskripsikan  permasalahan real, termasuk  penyebaran  suatu  penyakit  menular.  Penelitian  tentang  penyebaran penyakit schistosomiasis telah dilakukan oleh beberapa peneliti seperti [5], [6] dan [7]. [5]  telah  mengkaji  tentang  penyebaran schistosomiasis dengan  memperhatikan penyebaran Schistosoma japonica dengan pertimbangan fluktuasi tingkat air musiman Danau Poyang di Jiangxi, Cina. Selanjutnya [6] melakukan penelitian tentang penyebaran penyakit schistosomiasis dengan  adanya  waktu  inkubasi.  Berikutnya  [7]  melakukan penelitian  tentang  penyebaran  penyakit schistosomiasis dengan  memperhatikan  waktu tunda.
Model  matematika  penyebaran  penyakit schistosomiasis pada  manusia  merujuk  pada model  yang  digunakan  oleh    [7].  Model  tersebut  telah  dilakukan  modifikasi  tanpa menggunakan  waktu  tunda.  Penulis  juga  Merubah  bentuk incidence  rate yang  semula bilinear  incidence  rate menjadi saturated  incidence  rate .  Berdasarkan  uraian  di  atas penulis tertarik untuk melakukan analisis titik setimbang serta melakukan interpetasi hasil simulasi numerik pada model penyebaran penyakit schistosomiasis pada manusia.
2 Model Matematika Penyebaran Penyakit Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate
Pada  bagian  ini  akan  dijelaskan  mengenai  model  matematika  penyebaran  penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate yang mengacu pada jurnal yang ditulis oleh [7] berupa sistem persamaan diferensial biasa non linier yang terbagi menjadi enam kompartemen  yang terbentuk  dari jenis populasi manusia, populasi siput,  dan populasi cacing. Populasi manusia terbagi menjadi dua subpopulasi yaitu populasi manusia rentan (𝐻 𝑠 ) dan populasi manusia terinfeksi (𝐻 𝑖 ) . Populasi siput terbagi menjadi dua subpopulasi yaitu populasi siput rentan (𝑆 𝑠 ) dan populasi siput terinfeksi (𝑆 𝑖 ) . Populasi cacing dibagi menjadi  dua  subpopulasi  yaitu  populasi Cercaria (𝐶) dan  populasi Miracidia (𝑀) . Asumsi yang digunakan dalam model matematika penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate sebagai berikut:
1. Populasi  manusia  yang  rentan bertambah karena  adanya pertumbuhan dengan laju logistik.
2. Populasi  siput  yang  rentan  bertambah  karena  adanya  pertumbuhan  dengan  laju logistik.
3. Penyebaran schistosomiasis terjadi karena adanya interaksi antara cercaria dengan manusia serta interaksi antara miracidia dengan siput.
4. Populasi manusia yang sembuh dari infeksi dapat menjadi rentan kembali.
5. Siput yang terinfeksi tidak akan bisa sembuh.
Tabel  1 Variabel  dalam  Model  Penyebaran  Penyakit Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate Variabel Keterangan 𝐻 𝑠 (𝑡) Populasi manusia rentan pada saat 𝑡 𝐻 𝑖 (𝑡) Populasi manusia terinfeksipada saat 𝑡 𝑆 𝑠 (𝑡) Populasi siput rentan pada saat 𝑡 𝑆 𝑖 (𝑡) Populasi siput terinfeksi pada saat 𝑡 𝐶(𝑡) Kepadatan Cercaria pada saat 𝑡 𝑀(𝑡) Kepadatan Miracidia pada saat 𝑡
Tabel 2 Parameter dalam Model Penyebaran Penyakit Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate Parameter Keterangan Satuan 𝑟 ℎ Laju kelahiran pada populasi manusia 1/satuan waktu 𝑘 1 Kapasitas pendukung populasi manusia individu 𝑎 𝑐 Laju transmisi cercaria terhadap manusia 1/(individu x satuan waktu) 𝜃 𝑖𝑠 Laju  transmisi  manusia  terinfeksi  ke manusia rentan 1/satuan waktu 𝑑 ℎ Laju kematian alami populasi manusia 1/satuan waktu 𝛽 Tingkat kejenuhan 1/individu 𝑟 𝑠 Laju kelahiran pada populasi siput 1/satuan waktu 𝑘 2 Kapasitas pendukung populasi siput individu 𝑏 𝑚 Laju transmisi miracidia terhadap siput 1/(individu x satuan waktu) 𝑑 𝑠 Laju kematian alami populasi siput 1/satuan waktu 𝛾 Tingkat kejenuhan 1/individu 𝜎 Laju  produksi cercaria per  siput  yang terinfeksi 1/satuan waktu 𝑑 𝑐 Laju kematian alami cercaria 1/satuan waktu 𝛼 Laju penetasan miracidia dari telur 1/satuan waktu 𝑑 𝑚 Laju kematian alami miracidia 1/satuan waktu
Notasi dan definisi dari masing-masing variabel serta parameter pada model penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate yang disajikan dalam Tabel 1 dan Tabel 2.
Selanjutnya
untuk mempermudah penulisan maka notasi kompartemen 𝐻 𝑠 (𝑡), 𝐻 𝑖 (𝑡), 𝑆 𝑠 (𝑡), 𝑆 𝑖 (𝑡), 𝐶(𝑡) dan 𝑀(𝑡) berturut-turut dapat ditulis dengan
𝐻 𝑠 , 𝐻 𝑖 , 𝑆 𝑠 , 𝑆 𝑖 , 𝐶 , dan 𝑀 . Notasi tersebut diasumsikan sebagai jumlah populasi pada waktu ( 𝑡 ),  sehingga  harus  memenuhi  syarat 𝐻 𝑠 , 𝐻 𝑖 , 𝑆 𝑠 , 𝑆 𝑖 , 𝐶, 𝑀 ≥  0.  Sedangkan,  seluruh parameter diasumsikan bernilai positif. Oleh karena itu, parameter yang digunakan dalam model penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate diasumsikan sebagai berikut:
𝑟 ℎ , 𝑘 1 , 𝑎 𝑐 𝜃 𝑖𝑠 , 𝑑 ℎ , 𝛽, 𝑟 𝑠 , 𝑘 2 , 𝑏 𝑚 , 𝑑 𝑠 , 𝛾, 𝜎, 𝑑 𝑐 , 𝛼 , 𝑑 𝑚 > 0.
Berdasarkan  asumsi-asumsi  dan  parameter  yang  telah  dijelaskan  diatas,  maka  model matematika  penyebaran  penyakit  schistosomiasis  dengan saturated  incidence  rate dinyatakan dalam persamaan diferensial sebagai berikut:
𝑑𝐻 𝑠 𝑑𝑡 = 𝑟 ℎ 𝐻 𝑠 (1 − 𝐻 𝑠 𝑘 1 ) − 𝑎 𝑐 𝐶𝐻 𝑠 1+𝛽𝐶 + 𝜃 𝑖𝑠 𝐻 𝑖 − 𝑑 ℎ 𝐻 𝑠 (1)
𝑑𝐻 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑐 𝐶𝐻 𝑠 1+𝛽𝐶 − (𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ )𝐻 𝑖 (2)
𝒅𝑺 𝒔 𝒅𝒕 = 𝒓 𝒔 𝑺 𝒔 (𝟏 − 𝑺 𝒔 𝒌 𝟐 ) − 𝒃 𝒎 𝑴𝑺 𝒔 𝟏+𝜸𝑴 − 𝒅 𝒔 𝑺 𝒔 (3)
𝑑𝑆 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑏 𝑚 𝑀𝑆 𝑠 1+𝛾𝑀 − 𝑑 𝑠 𝑆 𝑖 (4)
𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜎𝑆 𝑖 − 𝑑 𝑐 𝐶 (5)
𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝛼𝐻 𝑖 − 𝑑 𝑚 𝑀 (6)
Persamaan  (1)  mempresentasikan  laju  perubahan  populasi  manusia  rentan  per  satuan waktu. Populasi manusia rentan bertambah karena adanya laju kelahiran pada populasi manusia  dengan  fungsi  logistik  serta  manusia  yang  terinfeksi  menjadi  rentan  setelah pulih.  Sedangkan  populasi  manusia  rentan  berkurang  karena  adanya  interaksi  antara manusia rentan dan cercaria serta adanya kematian alami.
Persamaan (2) mempresentasikan laju perubahan populasi manusia terinfeksi per satuan waktu.  Populasi  manusia  terinfeksi  bertambah  karena  adanya  interaksi  antara  manusia rentan dan cercaria . Sedangkan populasi manusia terinfeksi berkurang karena kematian alami dan manusia yang terinfeksi menjadi rentan setelah pulih.
Persamaan (3) mempresentasikan laju perubahan populasi siput rentan per satuan waktu. Populasi siput rentan bertambah karena adanya laju kelahiran pada populasi siput dengan fungsi logistik. Sedangkan populasi siput rentan berkurang karena adanya interaksi antara siput rentan dan miracidia serta adanya kematian alami.
Persamaan  (4)  mempresentasikan  laju  perubahan  populasi  siput  terinfeksi  per  satuan waktu.  Populasi  siput  terinfeksi  bertambah  karena  adanya  interaksi  antara  siput  rentan dan miracidia . Sedangkan populasi siput terinfeksi berkurang karena kematian alami.
Persamaan (5) mempresentasikan laju perubahan kepadatan cercaria per satuan waktu. Kepadatan cercaria bertambah  karena  adanya cercaria yang  keluar  dari  siput  dari ekskresi  per  wilayah.  Sedangkan  perubahan  kepadatan cercaria berkurang  karena kematian alami.
Persamaan (6) mempresentasikan laju perubahan kepadatan miracidia per satuan waktu. Kepadatan miracidia bertambah  karena  adanya  penetasan  telur miracidia pada  setiap wilayah  setelah  dikeluarkan  bersama  tinja  manusia  terinfeksi.  Sedangkan  perubahan kepadatan miracidia berkurang karena kematian alami.
3 Titik Setimbang Model Matematika Penyebaran Penyakit Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate
Keadaan  setimbang  suatu  sistem  merupakan  suatu  kondisi  dimana  laju  perubahan populasi  bernilai  konstan.  Model  matematika  penyebaran  penyakit schistosomiasis dengan saturated  incidence  rate akan  memiliki  titik  setimbang  jika  memenuhi 𝑑𝐻 𝑠 𝑑𝑡 = 𝑑𝐻 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑠 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 0. Berdasarkan  persamaan  tersebut,  diperoleh  dua  titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik dan titik setimbang endemik.
 Titik  setimbang  non  endemik merupakan  suatu  kondisi  dimana  tidak  terdapat penyebaran  penyakit.  Titik  setimbang  non  endemik  tersebut  diperoleh  pada  saat tidak ada manusia dan siput  yang terinfeksi dalam populasi  ( 𝐻 𝑖 = 𝑆 𝑖 = 𝐶 = 𝑀 = 0).  Misalkan  titik  setimbang  kepunahan  dinotasikan  dengan 𝐸 0 , maka 𝐸 0 = ( 𝐻 𝑠 , 𝐻 𝑖 , 𝑆 𝑠 , 𝑆 𝑖 , 𝐶, 𝑀) = ( 𝑘 1 (𝑟 ℎ −𝑑 ℎ ) 𝑟 ℎ , 0 , 𝑘 2 (𝑟 𝑠 −𝑑 𝑠 ) 𝑟 𝑠 , 0, 0 , 0) . 𝐸 0 akan  eksis  jika memenuhi
i. 𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ ii. 𝑟 𝑠 > 𝑑 𝑠
 Basic Reproduction Number
Selanjutnya  akan  ditentukan Basic  Reproduction  Number (𝑅 0 ) yang  digunakan sebagai parameter ambang penentuan kriteria endemik peyakit pada populasi (𝑅 0 ) adalah parameter yang menyatakan rata-rata jumlah populasi baru yang terinfeksi
penyakit  menular terhadap individu yang rentan. Dalam penelitian ini, digunakan metode Next-Generation  Matrix (NGM)    untuk  menghitung  nilai (𝑅 0 ) yakni dengan  membangun  matriks    yang  mebangkitkan  jumlah  individu  baru  yang terinfeksi. Dari metode tersebut didapatkan nilai
𝑅 0 = √ 𝛼 (𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) ( 𝜎 𝑑 𝑠 ) ( 𝑎 𝑐 𝑘 1 (𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ ) 𝑟 ℎ 𝑑 𝑐 ) ( 𝑏 𝑚 𝑘 2 (𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠 ) 𝑟 𝑠 𝑑 𝑚 ) 4
 Titik  setimbang  endemik adalah  kondisi  saat  terjadi  penyebaran  penyakit schistosomiasis. Diperoleh titik setimbang endemik yang dinyatakan sebagai 𝐸 1 = ( 𝐻 𝑠 ∗ , 𝐻 𝑖 ∗ , 𝑆 𝑠 ∗ , 𝑆 𝑖 ∗ , 𝐶 ∗ , 𝑀 ∗ ) , dengan
𝐻 𝑠 ∗ = (𝜃 𝑖𝑠 +𝑑 ℎ )𝐻 𝑖 ∗ +𝛽𝜎 (𝜃𝑖𝑠+𝑑ℎ) 𝑑𝑐 𝐻 𝑖 ∗ 𝑆 𝑖 ∗ 𝑎𝑐𝜎 𝑑𝑐 𝑆 𝑖 ∗
𝑆 𝑠 ∗ = 𝑑 𝑠 𝑆 𝑖 ∗ +( 𝛼𝛾𝑑𝑠 𝑑𝑚 )𝐻 𝑖 ∗ 𝑆 𝑖 ∗ 𝛼𝑏𝑚𝐻𝑖 ∗ 𝑑𝑚
𝐶 ∗ = 𝜎 𝑑 𝑐 𝑆 𝑖 ∗ 𝑀 ∗ = 𝛼 𝑑 𝑚 𝐻 𝑖 ∗ 𝐻 𝑖 ∗ = 𝑎 1 𝑆 𝑖 ∗2 +𝑎 2 𝑆 𝑖 ∗ 𝑎 3 𝑆 𝑖 ∗2 +𝑎 4 𝑆 𝑖 ∗ +𝑎 5
dengan
𝑎 1 = 𝑘 1 𝑎 𝑐 ( 𝜎 𝑑 𝑐 ) 2 ((𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ )𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) − 𝑑 ℎ 𝑎 𝑐 ) 𝑎 2 = 𝑘 1 (𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ )(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) 𝑎 𝑐 𝜎 𝑑 𝑐 𝑎 3 = 𝑟 ℎ (𝛽𝜎 (𝜃 𝑖𝑠 +𝑑 ℎ ) 𝑑 𝑐 ) 2 𝑎 4 = 2𝑟 ℎ (𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) 2 𝛽𝜎 𝑑 𝑐 𝑎 5 = 𝑟 ℎ (𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) 2
dan 𝑆 𝑖 ∗ merupakan akar positif dari persamaan
𝑐 1 𝑆 𝑖 ∗ 4 + 𝑐 2 𝑆 𝑖 ∗ 3 + 𝑐 3 𝑆 𝑖 ∗ 2 + 𝑐 4 𝑆 𝑖 ∗ + 𝑐 5 = 0
dengan
𝑐 1 = 𝑎 1 2 𝑏 3 + 𝑎 1 𝑎 3 𝑏 4 + 𝑎 3 2 𝑏 5 𝑐 2 = 2𝑎 1 𝑎 2 𝑏 3 + (𝑎 1 𝑎 4 + 𝑎 2 𝑎 3 )𝑏 4 + 2𝑎 3 𝑎 4 𝑏 5 − (𝑎 1 2 𝑏 1 + 𝑎 1 𝑎 3 𝑏 2 ) 𝑐 3 = 𝑎 2 2 𝑏 3 + (𝑎 1 𝑎 5 + 𝑎 2 𝑎 4 )𝑏 4 + (𝑎 4 2 + 2𝑎 3 𝑎 5 )𝑏 5 − (2𝑎 1 𝑎 2 𝑏 1 + (𝑎 1 𝑎 4 + 𝑎 2 𝑎 3 )𝑏 2 ) 𝑐 4 = 𝑎 2 𝑎 5 𝑏 4 + 𝑎 4 𝑎 5 𝑏 5 − (𝑎 2 2 𝑏 1 + (𝑎 1 𝑎 5 + 𝑎 2 𝑎 4 )𝑏 2 ) 𝑐 5 = 𝑎 5 2 𝑏 5 − 𝑎 2 𝑎 5 𝑏 2 𝑏 1 = 𝑘 2 𝑏 𝑚 𝑑 𝑠 ( 𝛼 𝑑 𝑚 ) 2 ((𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠 )𝛾 − 𝑏 𝑚 )
𝑏 2 = 𝑘 2 (𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠 )𝑑 𝑠 𝛼𝑏 𝑚 𝑑 𝑚 𝑏 3 = 𝑟 𝑠 ( 𝛼𝛾𝑑 𝑠 𝑑 𝑚 ) 2 𝑏 4 = 2𝑟 𝑠 𝑑 𝑠 2 𝛼𝛾 𝑑 𝑚 𝑏 5 = 𝑟 𝑠 𝑑 𝑠
2
Titik setimbang endemik 𝐸 1 = (𝐻 𝑠 ∗ , 𝐻 𝑖 ∗ , 𝑆 𝑠 ∗ , 𝑆 𝑖 ∗ , 𝐶 ∗ , 𝑀 ∗ ) eksis jika:
1. 𝑆 𝑖 < ( (𝑟 ℎ −𝑑 ℎ )(𝜃 𝑖𝑠 +𝑑 ℎ ) ( 𝜎 𝑑𝑐 (𝑑 ℎ 𝑎 𝑐 −(𝑟 ℎ −𝑑 ℎ )𝛽(𝜃 𝑖𝑠 +𝑑 ℎ ))) ) 2. 𝑅 0 > 1
𝑑 𝑠 2 (((𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ )(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ )) 2 𝛼𝛾 𝑑 𝑚 𝑘 1 + (𝑑 ℎ 𝑎 𝑐 ) 2 𝛼𝛾 𝑑 𝑚 𝑘 1 ) 2𝑑 ℎ 𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) ((𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ )𝑘 1 𝑎 𝑐 𝛼𝛾 𝑑 𝑚 + 𝑟 ℎ 𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ )𝑑 𝑠 2 ) + 𝑑 𝑠 2 ((𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ )𝑟 ℎ (𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ )) 2 ) 𝑘 1 𝑑 ℎ ((𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ )𝑘 1 𝑎 𝑐 𝛼𝛾 𝑑 𝑚 + 𝑟 ℎ 𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ )𝑑 𝑠 2 ) + 𝑑 𝑠 2 (𝑟 ℎ (𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ )) 2 ) 2 2𝑘 1 𝑎 𝑐 2 𝑑 ℎ 𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) 𝛼𝛾 𝑑 𝑚 ((𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ )𝑘 1 𝑎 𝑐 𝛼𝛾 𝑑 𝑚 + 𝑟 ℎ 𝛽(𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ )𝑑 𝑠 2 ) > 1.

## 4 Analisis Kestabilan Titik Setimbang
Model matematika penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate pada  artikel  ini  berbentuk  sistem  diferensial  nonlinear  sehingga  harus  dilakukan linearisasi  dengan  menggunakan  matriks  Jacobian  untuk  menguji  kestabilan  lokal  dari titik setimbang  yang telah diperoleh sebelumnya. Adapun matriks  jacobian dari model adalah sebagai berikut :
𝐽 = ( 𝑞 1 − 𝑎 𝑐 𝐶 1 + 𝛽𝐶 − 2𝑟 ℎ 𝐻 𝑠 𝑘 1 𝜃 𝑖𝑠 0 0 − 𝑎 𝑐 𝐻 𝑠 (1 + 𝛽𝐶) 2 0 𝑎 𝑐 𝐶 1 + 𝛽𝐶 −𝑞 2 0 0 𝑎 𝑐 𝐻 𝑠 (1 + 𝛽𝐶) 2 0 0 0 𝑞 3 − 𝑏 𝑚 𝑀 1 + 𝛾𝑀 −2𝑟 𝑠 𝑠 𝑠 𝑘 2 0 0
− 𝑏 𝑚 𝑆 𝑠 (1 + 𝛾𝑀) 2 0 0 𝑏 𝑚 𝑀 1 + 𝛾𝑀 −𝑑 𝑠 0 𝑏 𝑚 𝑆 𝑠 (1 + 𝛾𝑀) 2 0 0 0 𝜎 −𝑑 𝑐 0 0 𝛼 0 0 0 −𝑑 𝑚 )
dengan 𝑞 1 = 𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ 𝑞 2 = 𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ 𝑞 3 = 𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠
4.1 Kestabilan Titik Setimbang Non Endemik
Matriks Jacobian titik  setimbang  non  endemik 𝐸 0 =  ( 𝐻 𝑠 , 𝐻 𝑖 , 𝑆 𝑠 , 𝑆 𝑖 , 𝐶, 𝑀) = ( 𝑘 1 (𝑟 ℎ −𝑑 ℎ ) 𝑟 ℎ , 0 , 𝑘 2 (𝑟 𝑠 −𝑑 𝑠 ) 𝑟 𝑠 , 0, 0 , 0) sebagai berikut:
𝐽(𝐸 0 ) =
( −𝑞 1 𝜃 𝑖𝑠 0 0 −𝑞 4 0 0 −𝑞 2 0 0 𝑞 4 0 0 0 −𝑞 3 0 0 −𝑞 5 0 0 0 −𝑑 𝑠 0 𝑞 5
0 0 0 𝜎 −𝑑 𝑐 0 0 𝛼 0 0 0 −𝑑 𝑚 )
dengan 𝑞 1 = 𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ 𝑞 2 = 𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ 𝑞 3 = 𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠 𝑞 4 = 𝑘 1 𝑎 𝑐 𝑞 1 𝑟 ℎ 𝑞 5 = 𝑘 2 𝑏 𝑚 𝑞 3 𝑟 𝑠
Berdasarkan  matriks  Jacobian  tersebut  dapat  dibentuk  persamaan  karakteristik  dengan menggunakan det (𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )) = 0 , yaitu
(𝜆 + 𝑞 1 )(𝜆 + 𝑞 3 ) ( 𝜆 4 + 𝑝 1 𝜆 3 + 𝑝 2 𝜆 2 + 𝑝 3 𝜆 + 𝑝 4 ) = 0 dengan 𝑝 1 = 𝑞 2 + 𝑑 𝑚 + 𝑑 𝑠 + 𝑑 𝑐 𝑝 2 = 𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 + 𝑞 2 +𝑑 𝑚 ) + 𝑑 𝑠 (𝑞 2 +𝑑 𝑚 ) + 𝑞 2 𝑑 𝑚 𝑝 3 = 𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 (𝑞 2 +𝑑 𝑚 ) + 𝑞 2 𝑑 𝑚 ) + 𝑞 2 𝑑 𝑚 𝑑 𝑠 𝑝 4 = 𝑞 2 𝑑 𝑚 𝑑 𝑠 𝑑 𝑐 − 𝛼𝜎𝑞 4 𝑞 5
Dari  persamaan  diatas  diperoleh  nilai  eigen 𝜆 1 = −𝑞 1 = −(𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ ) dan 𝜆 2 = −𝑞 2 = −(𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠 ) serta sisanya adalah akar-akar dari persamaan berikut:
(𝜆 4 + 𝑝 1 𝜆 3 +𝑝 2 𝜆 2 + 𝑝 3 𝜆 + 𝑝 4 ) = 0
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz maka titik setimbang non endemik akan stabil jika: a. 𝑟 ℎ > 𝑑 ℎ b. 𝑟 𝑠 > 𝑑 𝑠 c. 𝑅 0 < 1

## 4.2 Kestabilan Titik Setimbang Endemik
Matriks Jacobian titik setimbang non endemik 𝐸 1 adalah sebagai berikut:
𝐽(𝐸 1 ) =
( 𝐴 1 𝜃 𝑖𝑠 0 0 −𝐴 2 0 𝐴 3 −𝑞 2 0 0 𝐴 2 0 0 0 𝐴 4 0 0 −𝐴 5 0 0 𝐴 6 −𝑑 𝑠 0 𝐴 5 0 0 0 𝜎 −𝑑 𝑐 0 0 𝛼 0 0 0 −𝑑 𝑚 )
dengan
𝐴 1 = 𝑞 1 − 2 𝑟 ℎ 𝑘 1 𝐻 𝑠 ∗ − 𝑎 𝑐 𝐶 ∗ 1+𝛽𝐶 ∗ 𝐴 2 = 𝑎 𝑐 𝐻 𝑠 ∗ (1+𝛽𝐶 ∗ ) 2 𝐴 3 = 𝑎 𝑐 𝐶 ∗ 1+𝛽𝐶 ∗ 𝐴 4 = 𝑞 2 − 2 𝑟 𝑠 𝑘 2 𝑆 𝑠 ∗ − 𝑏 𝑚 𝑀 ∗ 1+𝛾𝑀 ∗ 𝐴 5 = 𝑏 𝑚 𝑆 𝑠 ∗ (1+𝛾𝑀 ∗ ) 2 𝐴 6 = 𝑏 𝑚 𝑀 ∗ 1+𝛾𝑀 ∗
Berdasarkan  matriks  Jacobian  tersebut  dapat  dibentuk  persamaan  karakteristik  dengan menggunakan det (𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 1 )) = 0 , yaitu
𝜆 6 +𝑚 1 𝜆 5 + 𝑚 2 𝜆 4 + 𝑚 3 𝜆 3 + 𝑚 4 𝜆 2 + 𝑚 5 𝜆 + 𝑚 6 = 0 (7)
dengan
𝑚 1 = 𝑞 2 + 𝑑 𝑐 + 𝑑 𝑚 + 𝑑 𝑠 − 𝐴 1 − 𝐴 4 𝑚 2 = 𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 + 𝑑 𝑚 + 𝑞 2 −𝐴 1 − 𝐴 4 ) + 𝑑 𝑠 (𝑑 𝑚 + 𝑞 2 −𝐴 1 − 𝐴 4 ) − 𝐴 4 (𝑑 𝑚 + 𝑞 2 −𝐴 1 )+𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 − 𝜃 𝑖𝑠 𝐴 3 𝑚 3 = 𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 (𝑑 𝑚 + 𝑞 2 −𝐴 1 − 𝐴 4 ) − 𝐴 4 (𝑑 𝑚 + 𝑞 2 −𝐴 1 )+𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 ) + 𝑑 𝑠 (−𝐴 4 (𝑑 𝑚 + 𝑞 2 −𝐴 1 )+𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 )−𝐴 4 (𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 ) + 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 − 𝜃 𝑖𝑠 𝐴 3 (𝑑 𝑐 + 𝑑 𝑠 + 𝑑 𝑚 − 𝐴 4 ) 𝑚 4 = 𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 (−𝐴 4 (𝑑 𝑚 + 𝑞 2 −𝐴 1 )+𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 )−𝐴 4 (𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 ) + 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 ) − (𝑑 𝑠 (𝐴 4 (𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 ) + 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 ) − 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 𝐴 4 ) + −𝜃 𝑖𝑠 𝐴 3 (𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 + 𝑑 𝑚 − 𝐴 4 ) + 𝑑 𝑠 (𝑑 𝑚 − 𝐴 4 ) − 𝑑 𝑚 𝐴 4 ) 𝑚 5 = −(𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 (𝐴 4 (𝑑 𝑚 (𝑞 2 −𝐴 1 ) − 𝑞 2 𝐴 1 ) + 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 ) − 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 𝐴 4 ) − 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 𝐴 4 𝑑 𝑠 ) + −𝜃 𝑖𝑠 𝐴 3 (𝑑 𝑐 (𝑑 𝑠 (𝑑 𝑚 − 𝐴 4 ) − 𝑑 𝑚 𝐴 4 ) − 𝑑 𝑚 𝐴 4 𝑑 𝑠 ) 𝑚 6 = 𝑞 2 𝐴 1 𝑑 𝑚 𝐴 4 𝑑 𝑠 𝑑 𝑐 − 𝜃 𝑖𝑠 𝐴 3 (𝑑 𝑚 𝐴 4 𝑑 𝑠 𝑑 𝑐 + −𝐴 4 𝐴 3 𝛼𝜎𝐴 2 𝜆 − 𝐴 4 𝐴 3 𝛼𝜎𝐴 2 𝑑 𝑠 + 𝛼𝜎𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 𝐴 5 )
Untuk  menentukan  akar-akar  dari  persamaan  karakteristik  diatas  sulit  untuk  dicari solusinya secara analitik, sehingga titik setimbang penyebaran penyakit schistosomiasis ini akan di analisis melalui simulasi numerik dengan menggunakan grafik bidang fase. Berikut adalah tabel nilai awal dan nilai parameter yang digunakan.
Tabel 3 Nilai Parameter untuk Menentukan Kestabilan Titik Setimbang Endemik Parameter Nilai Sumber 𝑟 ℎ 0,005 Asumsi 𝑘 1 3000 Asumsi 𝑎 𝑐 0,00001914 [7] 𝜃 𝑖𝑠 0,00075 [7] 𝑑 ℎ 0,00003914 [7] 𝛽 0,004 Asumsi 𝑟 𝑠 0,02 Asumsi 𝑘 2 2000 Asumsi 𝑏 𝑚 0,000084 [7] 𝑑 𝑠 0,00033 [7] 𝛾 0,003 Asumsi 𝜎 0,7 [7] 𝑑 𝑐 1 [7] 𝛼 0,6 [7] 𝑑 𝑚 2 [7]
Nilai awal untuk populasi disajikan pada Tabel 4 berikut ini.
Tabel  4 Nilai  Awal  untuk  Bidang  Fase  Model  Penyebaran  Penyakit Schistosomiasis dengan
Saturated Incidence Rate Nilai Awal 𝐻 𝑠 ∗ (0) 𝐻 𝑖 ∗ (0) 𝑆 𝑠 ∗ (0) 𝑆 𝑖 ∗ (0) 𝐶 ∗ (0) 𝑀 ∗ (0) 1 2900 1200 1000 1000 3000 3000 2 1800 1700 900 800 3500 2500 3 2200 1300 800 600 2000 1500
Berdasarkan nilai parameter di atas dan pemberian tiga nilai awal yang berbeda dengan rentang waktu 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 1000, diperoleh grafik sebagai berikut:
Gambar 1 Grafik Bidang Fase Populasi 𝐻 𝑠 terhadap 𝐻 𝑖 pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate
Gambar 1 merupakan grafik bidang fase populasi 𝐻 𝑠 terhadap 𝐶 dari model penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate . Gambar di atas menunjukkan bahwa pemberian nilai tiga awal yang berbeda akan menghasilkan grafik yang cenderung konvergen ke satu titik. Titik tersebut yaitu (1313; 4334) yang tidak lain adalah bagian dari  titik  setimbang  penyebaran  penyakit schistosomiasis dengan saturated  incidence rate. Selain itu berdasarkan pada nilai parameter yang diberikan maka didapatkan nilai 𝑅 0 = 9.334074751 > 1.
Dari uraian diatas, dapat disimpulkan bahwa titik setimbang 𝐸 1 = ( 𝐻 𝑠 ∗ , 𝐻 𝑖 ∗ , 𝑆 𝑠 ∗ , 𝑆 𝑖 ∗ , 𝐶 ∗ , 𝑀 ∗ ) pada model matematika penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated  incidence  rate stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika 𝑅 0 > 1 .  Hal  ini menunjukkan  bahwa  populasi cercaria (𝐶) dan miracidia (𝑀) dapat  menularkan schistosomiasis kepada kurang lebih dari satu penderita baru, sehingga schistosomiasis dapat menyebar luas atau dengan kata lain terjadi kondisi endemik schistosomiasis.

## 4.3 Analisis Sensitivitas Parameter
Analisis  sensitivitas  digunakan  untuk  mengetahui  parameter  yang  paling  berpengaruh pada suatu model (Chitniz dkk, 2009) . Dalam hal ini akan ditentukan indeks sensitivitas pada  setiap  parameter  yang  terlibat  pada basic  reproduction number ( 𝑅 0 )  dari  model matematika penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate .Nilai 𝑅 0 yang  akan  digunakan  dalam  analisis  sensitivitas  model  matematika  penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate adalah
𝑅 0 = √ 𝛼 (𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) ( 𝜎 𝑑 𝑠 ) ( 𝑎 𝑐 𝑘 1 (𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ ) 𝑟 ℎ 𝑑 𝑐 ) ( 𝑏 𝑚 𝑘 2 (𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠 ) 𝑟 𝑠 𝑑 𝑚 ) 4
Indeks sensitivitas parameter dirumuskan sebagai berikut:
𝑖𝑑𝑚 = 𝜕𝑅 0 𝜕𝑝 × 𝑝 𝑅 0 dengan: 𝑖𝑑𝑚 = indeks sensitivitas parameter 𝑝 𝑝 = parameter yang dianalisis
Terlihat  bahwa  terdapat  13  parameter  yang  akan  dihitung  indeks  sensitivitasnya  yaitu 𝑟 ℎ , 𝑘 1 , 𝑎 𝑐 , 𝜃 𝑖𝑠 , 𝑑 ℎ , 𝑟 𝑠 , 𝑘 2 , 𝑏 𝑚 , 𝑑 𝑠 , 𝜎, 𝑑 𝑐 , 𝛼 , 𝑑 𝑚 . Hasil indeks sensitivitas parameter model matematika penyebaran penyakit schistosomiasos dengan saturated incidence rate dapat dilihat pada Tabel 5 berikut ini:
Tabel 5 Hasil Perhitungan Indeks Parameter Model Matematika Penyebaran Penyakit
Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate Parameter Indeks Sensitivitas 𝑟 ℎ 0,0019 𝑘 1 0,25 𝑎 𝑐 0,25 𝜃 𝑖𝑠 -0,237 𝑑 ℎ -0,014 𝑟 𝑠 0.0042 𝑘 2 0,25 𝑏 𝑚 0,25 𝑑 𝑠 -0.254 𝜎 0,25 𝑑 𝑐 -0,25 𝛼 0,25 𝑑 𝑚 -0,25
Berdasarkan Tabel 5 dapat diperoleh beberapa hal yaitu:
1. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑟 ℎ adalah  0,0019,  artinya  jika  laju  kelahiran  pada populasi manusia bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan bertambah (berkurang) sebesar 0.019%.
2. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑘 1 adalah  0,25,  artinya  jika  jumlah  kapasitas pendukung  populasi  manusia  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%,  maka  nilai 𝑅 0 akan bertambah (berkurang) sebesar 2,5%.
3. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑎 𝑐 adalah  0,25,  artinya  jika  laju  transmisi cercaria terhadap manusia bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan berkurang (bertambah) sebesar 2,5%.
4. Indeks sensitivitas parameter 𝜃 𝑖𝑠 adalah -0,237, artinya jika laju transmisi manusia terinfeksi ke manusia rentan bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan berkurang (bertambah) sebesar 2,37%.
5. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑑 ℎ adalah  -0,014,  artinya    jika  laju  kematian  alami populasi manusia bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan berkurang (bertambah) sebesar 0,14%.
6. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑟 𝑠 adalah  0,0042  artinya  jika  laju  kelahiran  pada populasi siput bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan bertambah (berkurang) sebesar 0,042%.
7. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑘 2 adalah  0,25,  artinya  jika  kapasitas  pendukung populasi siput bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan bertambah (berkurang) sebesar 2,5%.
8. Indeks sensitivitas parameter 𝑏 𝑚 adalah 0,25, artinya jika laju transmisi miracidia terhadap siput bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan bertambah (berkurang) sebesar 2,5%.
9. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑑 𝑠 adalah  -0,254,  artinya  jika  laju  kematian  alami populasi siput  bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan berkurang (bertambah) sebesar 2,54%.
10. Indeks sensitivitas parameter 𝜎 adalah 0,25, artinya  jika  laju produksi cercaria per siput  yang  terinfeksi  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%,  maka  nilai 𝑅 0 akan bertambah (berkurang) sebesar 2,5%.
11. Indeks  sensitivitas  parameter 𝑑 𝑐 adalah  -0,25,  artinya    jika  laju  kematian  alami cercaria bertambah  (berkurang)  sebesar  10%,  maka  nilai 𝑅 0 akan  berkurang (bertambah) sebesar 2,5%.
12. Indeks sensitivitas parameter 𝛼 adalah 0,25, artinya jika laju penetasan miracidia dari telur bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan bertambah (berkurang) sebesar 2,5%.
13. Indeks sensitivitas parameter 𝑑 𝑚 adalah -0,25, artinya jika laju penetasan miracidia dari  telur  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%,  maka  nilai 𝑅 0 akan  berkurang (bertambah) sebesar 2,5%.
Berdasarkan penjelasan diatas, terdapat 13 parameter yang mempengaruhi besar kecilnya nilai 𝑅 0 .  Sedangkan  parameter  yang  paling  berpengaruh  dalam  model  matematika penyebaran schistosomiasis dengan saturated incidence rate adalah 𝑑 𝑠 . Hal  itu karena nilai  indeks  parameter 𝑑 𝑠 memiliki  nilai  mutlak  indeks  parameter  tertinggi  dibanding dengan parameter lainnya.
Selanjutnya akan disimulasikan parameter 𝑑 𝑠 dan 𝑟 𝑠 terhadap 𝑅 0 . Pada simulasi ini dipilih nilai 𝑑 𝑠 = 0,2, 𝑑 𝑠 = 0,5 dan 𝑑 𝑠 = 0,7 . Hasil simulasi sensitivitas parameter 𝑑 𝑠 terhadap 𝑅 0 adalah sebagai berikut:
Gambar 2 Grafik Sensitivitas 𝑑 𝑠 dan 𝛼 terhadap 𝑅 0
Berdasarkan Gambar 2 menujukkan bahwa dengan memilih tiga nilai 𝑑 𝑠 yang berbeda dan  nilai 𝑟 𝑠 ,  grafik  menujukkan  bahwa  semakin  kecil  nilai 𝑑 𝑠 dan 𝛼 mengakibatkan semakin besar nilai 𝑅 0 .
5 Simulasi Numerik dan Interpretasi Model Matematika Penyebaran Penyakit Schistosomiasis dengan Saturated Incidence Rate
Subbab  ini  membahas  mengenai  simulasi  numerik  model  matematika  penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated  incidence  rate .  Terdapat  dua  kondisi  yang disimulasikan, yaitu saat kondisi bebas penyebaran penyakit schistosomiasis dan kondisi penyebaran  penyakit schistosomiasis. Simulasi  dilakukan  dengan  bantuan software MATLAB dan dengan memasukkan nilai awal untuk masing-masing populasi.
Kondisi bebas Penyakit Schistosomiasis terjadi ketika popluasi penyebar schistosomiasis tidak ada atau dengan kata lain tidak ada penyebaran penyakit schistosomiasis ( 𝑅 0 < 1). Simulasi dilakukan untuk 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 100 dalam satuan hari. Nilai parameter saat kondisi bebas penyebaran schistosomiasis adalah sebagai berikut:
Tabel 6 Nilai Parameter untuk Menentukan Kestabilan Titik Setimbang Non Endemik Parameter Nilai Sumber 𝑟 ℎ 0,005 Asumsi 𝑘 1 1600 Asumsi 𝑎 𝑐ℎ 0,0001914 [7] 𝜃 𝑖𝑠 0,075 [7] 𝑑 ℎ 0,00003914 [7] 𝛽 0,03 Asumsi 𝑟 𝑠 0,09 Asumsi 𝑘 2 1000 Asumsi 𝑏 𝑚𝑠 0,0000084 [7] 𝑑 𝑠 0,033 [7] 𝛾 0,04 Asumsi 𝜎 0,0007 [7] 𝑏 1 [7] 𝑑 𝑐 0,035 [7] 𝛼 2 [7]
Berdasarkan nilai parameter yang diberikan pada Tabel 6, diperoleh 𝑅 0 = 0,053176984 < 1.  Berikut  merupakan  hasil  simulasi  numerik  saat  kondisi  bebas  penyebaran  penyakit schistosomiasis :
Gambar 3 Grafik Simulasi Numerik saat Kondisi Bebas Penyebaran Penyakit Schistosomiasis dengan Nilai Awal (𝐻 𝑠 , 𝐻 𝑖 , 𝑆 𝑠 , 𝑆 𝑖 , 𝐶, 𝑀) = ( 300 150 300 200 200 150)
Gambar  4  merupakan  hasil  simulasi  pada  saat  kondisi  bebas  penyebaran  penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate . Jumlah populasi manusia rentan 𝐻 𝑠 dan populasi  siput 𝑆 𝑠 rentan  cenderung  naik  karena  tidak  adanya  penyebaran  penyakit schistosomiasis. sementara,  Jumlah  populasi  manusia  terifeksi (𝐻 𝑖 ) ,  jumlah  populasi siput terinfeksi (𝑆 𝑖 ) , jumlah kepadatan cercaria ( 𝐶 ) serta jumlah kepadatan miracidia ( 𝑀 )  pada  kondisi  bebas  penyebaran schistosomiasis akan  cenderung  turun  hingga akhirnya mengalami kepunahan.
Kondisi penyebaran penyakit schistosomiasis terjadi ketika terdapat populasi penyebar s chistosomiasis atau dengan kata lain ada penyebaran schistosomiasis (𝑅 0 > 1). Simulasi dilakukan untuk 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 1000 dalam satuan hari. Nilai parameter saat kondisi penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate sebagai berikut:
Tabel 7 Nilai Parameter untuk Menentukan Kestabilan Titik Setimbang Endemik Parameter Nilai Sumber 𝑟 ℎ 0,005 Asumsi 𝑘 1 3000 Asumsi 𝑎 𝑐 0,00001914 [7] 𝜃 𝑖𝑠 0,00075 [7] 𝑑 ℎ 0,00003914 [7] 𝛽 0,004 Asumsi 𝑟 𝑠 0,02 Asumsi 𝑘 2 2000 Asumsi 𝑏 𝑚 0,000084 [7] 𝑑 𝑠 0,00033 [7] 𝛾 0,003 Asumsi 𝜎 0,7 [7] 𝑑 𝑐 1 [7] 𝛼 0,6 [7] 𝑑 𝑚 2 [7]
Berdasarkan  nilai  parameter  yang  diberikan  pada  Tabel  7,  diperoleh 𝑅 0 = 9,334074751 > 1 . Berikut merupakan hasil simulasi numerik saat kondisi penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate :
Gambar 4 Grafik Simulasi Numerik saat Kondisi Penyebaran Penyakit Schistosomiasis dengan Nilai Awal (𝐻 𝑠 , 𝐻 𝑖 , 𝑆 𝑠 , 𝑆 𝑖 , 𝐶, 𝑀) = (2800 1000 1500 1000 100 100) .
Gambar  4 merupakan  hasil  simulasi  pada  populasi  manusia  saat  kondisi  penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated  incidence  rate .  Jumlah  populasi  manusia terifeksi 𝐻 𝑖 jumlah  populasi  siput  terinfeksi 𝑆 𝑖 ,  jumlah  kepadatan cercaria (𝐶 )  serta jumlah  kepadatan miracidia (𝑀) pada  kondisi  penyebaran schistosomiasis akan cenderung naik sebelum akhirnya berada pada keadaan konstan.

## 6 Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  yang  telah  diuraikan  sebelumnya,  maka  dapat  ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Model matematika penyebaran penyakit schistosomiasis dengan saturated incidence rate memiliki dua titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik (𝐸 0 ) dan titik setimbang  endemik (𝐸 1 ) .  Titik  setimbang  non  endemik  akan  stabil  asimtotis  jika 𝑟 ℎ > 𝑑 ℎ , 𝑟 𝑠 > 𝑑 𝑠 dan 𝑅 0 < 1. Titik  setimbang  endemik (𝐸 1 ) cenderung  stabil asimtotis jika 𝑅 0 > 1 , dengan
𝑅 0 = √ 𝛼 (𝜃 𝑖𝑠 + 𝑑 ℎ ) ( 𝜎 𝑑 𝑠 ) ( 𝑎 𝑐 𝑘 1 (𝑟 ℎ − 𝑑 ℎ ) 𝑟 ℎ 𝑑 𝑐 ) ( 𝑏 𝑚 𝑘 2 (𝑟 𝑠 − 𝑑 𝑠 ) 𝑟 𝑠 𝑑 𝑚 ) 4
2. Berdasarkan hasil simulasi numerik yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa jumlah populasi manusia terifeksi (𝐻 𝑠 ) , jumlah populasi siput terinfeksi (𝐻 𝑖 ) , jumlah kepadatan cercaria ( 𝐶 )  serta  jumlah  kepadatan miracidia ( 𝑀 )  pada  kondisi  bebas penyebaran schistosomiasis akan  cenderung  turun  hingga  akhirnya  punah.  Lain halnya pada kondisi penyebaran schistosomiasis , jumlah keempat populasi tersebut cenderung naik sebelum akhirnya berada pada keadaan konstan.

## 7 Daftar Pustaka
[1] World  Health  Organization  (WHO),  2019, Schistosomiasis ,  https://www.who.int/news- room/fact-sheets/detail/schistosomiasis, 24 November 2019.
[2] Zhang,  S.,  Wang,  T.,  Zhou,  Y.,  Chao,  Z.,  dan  Wang,  N.,  2019,  Influence  of  the  Three Gorges Dam on schistosomiasis control in the middle and lower reaches of the Yangtze River, Global Health Journal , 3 :1-7.
[3] Departemen  Kesehatan  Republik  Indonesia  (Depkes  RI),  2016,    Schistosomiasis  Masih Ada, Butuh Peran Lintas Sektor Bebaskan Indonesia https://www.depkes.go.id/article/print/16102600002/schistosomiasis-masih-ada-butuh- peran-lintas-sektor-bebaskan-indonesia.html, 17 November 2019.
[4] World  Health  Organization  (WHO),  2018, Schistosomiasis ,  https://www.who.int/news- room/facts-in-pictures/detail/10-facts-on-schistosomiasis, 15 November 2019.
[5] Xiang, J., Chen, H., dan Ishikawa, H., 2013, A mathematical model for the transmission of Schistosoma  japonicum  in  consideration  of  seasonal  water  level  fluctuations  of  Poyang Lake in Jiangxi, China, Parasitology International, 62:118-126.
[6] Ding, C., Tao, N., Sun, Y., dan Zhu, Y, 2016, The effect of time delays on transmission dynamics of schistosomiasis, Chaos, Solitons and Fractals, 91:360-371.
[7] Ding,  C.,  Liu,  W.,  Sun,  Y.,  dan  Zhu,  Y,  2019,  A  delayed  Schistosomiasis  transmission model and its dynamics, Chaos, Solitons and Fractals , 118 , 18–34.