JURNAL PEMBELAJARAN DAN MATEMATIKA SIGMA (JPMS) ISSN     : 2460-593X Vol.  9, No. 2 (2023) E-ISSN : 2685- 5585 Hal : 133 – 137 DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4274

## OPTIMISASI PROGRAM LINEAR PADA PERMASALAHAN MULTIKRITERIA MENGGUNAKAN METODE ε-CONSTRAINT

## OPTIMIZATION OF LINEAR PROGRAMS IN MULTICRITERIA PROBLEMS

## USING ε -CONSTRAINT METHOD
SWITAMY ANGNITHA PURBA 1 , TRISNO AFANDI 2 , DINDA RIZKA FADHILLAH 3 , SRY WAHYUNI 4 , RIA JANUARTI 5
12345 Program StudiTeknik Kimia, PoliteknikTeknologi Kimia Industri Jalan Medan Tenggara VII, Medan email: 1 switamy@kemenperin.go.id, 2 trisnoafandi@kemenperin.go.id , 3 dindarizka@kemenperin.go.id,
4 sry.wahyuni@kemenperin.go.id , 5 ria.januarti@kemenperin.go.id

## Abstrak
Tujuan  penelitian  ini  adalah  menyelesaikan  permasalahan  multikriteria  menggunakan  metode ε- constraint  sebagai  formulasi  matematika dengan  bantuan excel  solver. Masalah  optimisasi multikriteria  merupakan  masalah  optimisasi  yang  memiliki  lebih  dari  satu  fungsi  tujuan.  Suatu masalah optimasi multikriteria dapat dikatakan sebagai multiple criteria decision making (MCDM) jika terdapat  lebih  dari  satu  hal  yang  harus  diperhatikan  dalam  model  sebagai  tujuan  atau  kriteria. Umumnya,  metode  pembobotan  dan  metode ε-constraint adalah  yang  paling  banyak  digunakan. Metode  pembobotan  mengubah  sekumpulan  opsi  menjadi  opsi  dengan  mengalikan  setiap  opsi dengan menggunakan bobot inventaris. Di sisi lain, metode ε-constraint hanya menyimpan salah satu tujuan  yang  ada  dan  membatasi  tujuan  dengan  sejumlah  nilai  tertentu  untuk  mendapatkan  batas yang efisien.
Kata kunci : 𝜀 -Constraint, Program Linier, Multikriteria

## Abstract
The  purpose  of  this  study  is  to  solve  multi- criteria  problems  using  the  ε-constraint  method  with  the help  of  an  excel  solver.  The  multi-criteria  optimization  problem  is  an  optimization  problem  that  has more  than  one  objective  function.  A  multi-criteria  optimization  problem  can  be  said  to  be  a  multiple criteria decision making (MCDM) if there is more than one thing that must be considered in the model as  a  goal  or  criterion.  In  general,  the  weighting  method  and  the  ε-constraint  method  are  the  most widely used. The weighting method converts a set of options into options by multiplying each option by  the  inventory  weight.  On the  other  hand,  the  ε-constraint  method  only  saves  one  of  the  existing goals and limits the goals with a certain number of values to get an efficient limit.
Key Words : 𝜀 Constraint, Linear Program, Muticriteria

## Pendahuluan
Permasalahan  optimasi  multikriteria  merupakan  permasalahan  yang  memiliki  lebih  dari  satu fungsi objektif. Pada pengoptimuman masalah multikriteria ada yang disebut multiple criteria decision making (MCDM) yaitu terdapat satu hal atau lebih yang diperhatikan dalam model sebagai tujuan atau kriterianya. MCDM dikelompokkan menjadi dua yaitu Multiple Attribute Decision Making (MADM) dan Multiple  Objective  Decision  Making (MODM)  berdasarkan  tujuan  dan  jenis  data.  Pada  tahap pengevaluasian  digunakan  MADM  yang  selalu  dihubungkan  dengan  nilai  dari  alternatif  yang  telah ditetapkan  sebelumnya.  Sedangkan  MODM  cocok  untuk  tujuan  dan  perencanaan  tahapan  untuk mencapai tujuan yang optimal dengan mempertimbangkan berbagai kendala yang diberikan. Program linear multiobjektive adalah sebuah permasalahan  yang mengoptimalkan fungsi linear objektif secara simultan pada kendala linear yang diberikan[1].
Vol.  9, No. 2 (2023) E-ISSN : 2685- 5585 Hal : 133 – 137
DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4274
Permasalahan optimasi program linear multi objektif dan efektivitas penyelesaiannya dengan 3 metode  (metode  pembobotan,  metode  Minimax  terboboti  dan  pemrograman  tujuan  yang diimplementasikan  pada  masalah  perencanaan  produksi  barang[2].  Sebuah  penelitian  menyebutkan bahwa membentuk sebuah model yang baru yakni model program linear multi objektif De Novo. Model ini  merupakan  perluasan  dari  model  program  linear  yang  menyertakan  kendala  budget  sehingga diharapkan tidak ada kendala yang tersisa[3].
Dasar  dari  metode  kendala ɛ adalah  mengubah  hamper  seluruh  fungsi  tujuannya  menjadi kendala  dan  hanya  menyisakan  satu  fungsi  objektif  saja.  Sedangkan  fungsi  tujuan  lainnya  diubah menjadi  kendala.  Fungsi  tujuan  yang  akan  diubah  menjadi  kendala  pertama  sekali  dicari  solusi optimalnya. Setelah  dikalikan  dengan  parameter ε akan  menjadi  kendala  baru.  Setelah  itu,  diperoleh optimasi  fungsi  objektif 𝑓 𝑖 ( x )  dengan  menambahkan  kendala-kendala  baru  tersebut.  Fungsi  tujuan tersebut dicari solusi optimalnya dengan mencoba beberapa nilai ε berbeda[4].
Pada  penelitian  ini  akan  diselesaikan  optimisasi  permasalahan  multikriteria  yang  terdapat  di sebuah  rumah  sakit  dengan  menggunakan  metode 𝜀 Constraint dan  dengan  bantuan  excel  solver. Rumah  sakit  ini  ingin  memaksimalkan  keuntungan  dan  juga  memaksimalkan  tingkat  kepuasan. Program linear menjadi solusi yang dilakukan oleh rumah sakit.

## Metode Penelitian
Adapun  langkah-langkah  penulisan  yang  berkaitan  dengan  tujuan  penulisan  ini  adalah  sebagai berikut:
1.  Membuat formulasi matematika permasalahan Multikriteria
2.  Memisalkan fungsi objektifnya adalah 𝑓 1 𝑥 dan yang lainnya menjadi kendala.
3.  Fungsi  objektif  yang  diubah  menjadi  kendala  kemudian  dicari  solusi  optimalnya  dengan dikalikan parameter ε sehingga menjadi kendala baru.
4.  Mengoptimasikan  fungsi  objektif 𝑓 1 𝑥 dengan  menambahkan  kendala-kendala  baru.  Fungsi objektif 𝑓 1 𝑥 dicari  solusi  optimalnya  dengan  mencoba  nilai ε berbeda  agar  didapatkan  nilai 𝑓 1 ∗ (𝑥) dan x. 5.  Membuat kurva trade-off nilai 𝑓 1 ∗ (𝑥) dan 𝑓 𝑖 ∗ (𝑥) yang baru.

## Hasil Penelitian dan Pembahasan Hasil Penelitian
Sebuah  rumah  sakit  memiliki  3  kelas  pelayanan  yaitu  utama,  standart  dan  ekonomi.  Untuk kelas utama membutuhkan 20 dokter dan 20 perawat. Kelas standart membutuhkan 10 dokter dan 30 perawat.  Kelas  ekonomi  membutuhkan  10  dokter  dan  20  perawat.  Banyaknya  dokter  yang  tersedia adalah  100  orang  dan  perawat  sebanyak  150  orang.  Keuntungan  untuk  kelas  utama  sebesar Rp.30.000.000, kelas standart sebesar Rp. 27.000.000, dan kelas  ekonomi sebesar Rp.  20.000.000. Rumah  sakit  tersebut  mendapatkan  tingkat  kepuasan  10  untuk  kelas  utama,  8  untuk  kelas  standart, dan  5  untuk  kelas  ekonomi.  Rumah  sakit  ini  ingin  memaksimalkan  keuntungan  dan  juga memaksimalkan tingkat kepuasan. Solusi apa yang sebaiknya dilakukan oleh rumah sakit tersebut. Dari permasalahan diatas dibuatlah formulasi matematikanya sebagai berikut:
Fungsi tujuan
Maks z 1 = 30x 1 + 27x 2 +20x 3
Maks z 2 = 10x 1 + 8x 2 +5x 3
Dengan kendala    20x 1 + 10x 2 + 10x 3 ≤ 100
20x 1 + 30x 2 + 20x 3 ≤ 150
x 1, x 2, x 3 ≥ 0
Vol.  9, No. 2 (2023) E-ISSN : 2685- 5585 Hal : 133 – 137
DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4274

## Pembahasan
 z 1 sebagai fungsi tujuan dan z 2 sebagai fungsi kendala
Model  diatas  akan  diselesaikan  dengan  menggunakan  metode  kendala- ɛ.  Misalkan  fungsi objektif 1 ditetapkan sebagai fungsi objektif, maka fungsi objektif 2 diubah menjadi kendala. Tahapan pengoptimuman model, yaitu :
Langkah 1
Max   z 2 = 10x 1 + 8x 2 +5x 39
Dengan kendala  2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 10
2x 1 + 3x 2 + x 3 ≤ 15
x 1, x 2, x 3 ≥ 0
Solusi optimum yang diperoleh dari langkah 1 adalah z 2 = 56, x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2.
Langkah 2
Max   z 1 = 30x 1 + 27x 2 +20x 3
Dengankendala  x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 10
2x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 15 10x 1 + 8x 2 +5x 3 ≥ ɛ*z 2
x 1, x 2, x 3 ≥ 0 dan x 1, x 2, x 3 integer
- Solusi optimum yang diperoleh jika ɛ = 0,1 adalah x 1 = 4, x 2 = 2 dan x 3 = 0. - Solusi optimum yang diperoleh jika ɛ = 0,4 adalah x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2 . - Solusi optimum yang diperoleh ɛ=0,7 adalah x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2. - Solusi optimum yang diperoleh ɛ=0,95 adalah x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2. -
- Tabel 1. Hasil optimal dengan z 1 (fungsi tujuan) dan z 2 (fungsi kendala)
Dari table diatas dapat kita lihat bahwa hasil yang optimum dari persoalan diatas adalah x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2. Dimana rumah sakit tersebut lebih baik membuat kelas utama sebanyak 3, kelas standart sebanyak 2 dan kelas ekonomi sebanyak 2 dengan keuntungan sebesar 30.000.000 (3) + 27.000.000 (2) + 20.000.000 (2) = Rp. 184.000.000,00 dengan tingkat kepuasan sebesar 10 (3) + 8 (3) + 5 (2) = 56.
 z 2 sebagai fungsi tujuan dan z 1 sebagai fungsi kendala
Model  diatas  akan  diselesaikan  dengan  menggunakan  metode  kendala  - ɛ.    Misalkan  fungsi objektif 2 ditetapkan sebagai fungsi objektif, maka fungsi objektif 1 diubah menjadi kendala. Tahapan pengoptimuman model, yaitu:
Langkah 1
Max   z 1 = 30x 1 + 27x 2 +20x 3
Dengan kendala  2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 10 ɛ x 1 x 2 x 3 z 1 =30x 1 + 27x 2 +20x 3 z 2 = 10x 1 + 8x 2 +5x 3 0,1 4 2 0 174 56 0,4 3 2 2 184 56 0,7 3 2 2 184 56 0,95 3 2 2 184 56
Vol.  9, No. 2 (2023) E-ISSN : 2685- 5585 Hal : 133 – 137
DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4274
2x 1 + 3x 2 + x 3 ≤ 15
x 1, x 2, x 3 ≥ 0
Solusi optimum yang diperoleh dari langkah 1 adalah z 1 = 214, x 1 = 0, x 2 = 2 dan x 3 = 8
Langkah 2
Max   z 2 = 10x 1 + 8x 2 + 5x 3
Dengan kendala x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 10 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 15,
30x 1 + 27x 2 + 20x 3 ≥ ɛ*z 1
x 1, x 2, x 3 ≥ 0 dan x 1, x 2, x 3 integer
- Solusi optimum yang diperoleh jika ɛ = 0,1 adalah x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2. - Solusi optimum yang diperoleh jika ɛ = 0,4 adalah x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2 . - Solusi optimum yang diperoleh ɛ = 0,7 adalah x 1 = 3, x 2 = 2 dan x 3 = 2. - Solusi optimum yang diperoleh ɛ=0,95 adalah x 1 = 1, x 2 = 2 dan x 3 = 6.
Tabel 2. Hasil optimal dengan z 2 (fungsi tujuan) dan z 1 (fungsi kendala)
Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa hasil yang optimum dari persoalan diatas adalah x 1 = 1, x 2 = 2 dan x 3 = 6. Dimana rumah sakit tersebut  lebih baik membuat kelas utama sebanyak 1, kelas standart  sebanyak  2  dan  kelas  ekonomi  sebanyak  6  dengan  keuntungan  sebesar  30.000.000  (1)  + 27.000.000 (2) + 20.000.000 (6) = Rp. 204.000.000 dan tingkat kepuasan sebesar 5 (1) + 10 (2) + 8(6) = 56. Sehingga, dengan dapat diperoleh hasil optimal dengan z 2 sebagai fungsi tujuan dan z 1 sebagai fungsi  kendala.  Pihak  rumah  sakit  lebih  baik menyediakan  sebanyak kelas  utama  sebanyak  1, kelas standart  sebanyak  2  dan  kelas  ekonomi  sebanyak  6  dengan  keuntungan  sebesar  30.000.000  (1)  + 27.000.000 (2) + 20.000.000 (6) = Rp. 204.000.000 dan tingkat kepuasan sebesar 5 (1) + 10 (2) + 8(6) = 56.

## Kesimpulan
Terdapat  banyak  metode  untuk  menyelesaikan  permasalahan  program  linear  pada  Multikriteria.  Pada penelitian  ini  penyelesaian  permasalahan  program  linear  tersebut  menggunakan  metode ε-Constraint dengan  bantuan  excel  solver.  Dengan  menggunakan  metode  tersebut  dianggap  sudah  mendapatkan hasil  yang  optimal.  Diharapkan  penelitian  mengenai  multikriteria  dapat  terus  dilakukan  dengan menggunakan metode yang berbeda dan dengan bantuan software lainnya.

## Daftar  Pustaka
[1] Hwang, C.L. and Yoon, K. (2005). Multiple Attribute Decision Making.Springer New York.
[2] Abinuddin, E. (2007). Optimisasi Pemrograman Linear Multi Objektif pada Masalah Produksi. Sigma- Mu, 1(2).
[3] Lestari, D. (2014). Optimisasi Perencanaan Produksi Model Program Linear  Multi Objektif De Novo dengan  Pendekatan  Goal  Programming. Prosiding Konferensi  Nasional  Matematika  XVII. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
ɛ x 1 x 2 x 3 z 1 =30x 1 + 27x 2 +20x 3 z 2 = 10x 1 + 8x 2 +5x 3 0,1 3 2 2 184 56 0,4 3 2 2 184 56 0,7 3 2 2 184 56 0,95 1 2 6 204 56
[4] Mauro,  Falasca,  Zobel  CW,  Fetter  GM.  (2009). An  Optimization  Model  for  Humanitarian  Relief Volunteer Management . Virginia Tech: Pamplin College of Business.
[5] Sakawa,  M.,  Yano,  H.  and    Nishizaki,  I.  (2011).  Linear  and  Multiobjective  Programming  with  fuzzy Stochastic Extensions. Springer New York. 159:26-27.