## KETAKSAMAAN CHEBYSHEV DAN PERUMUMANNYA

## Pangeran B.H.P
Institut Teknologi Bandung pangeranbhp@yahoo.com

## Hendra Gunawan

## Institut Teknologi Bandung hgunawan@math.itb.ac.id
ABSTRACT. We  study  Chebyshev’s  Inequality  and  example  of  its  application  on  the expectation of a continuous random variable. In addition, we also discussed the inequality on determinant form.
Keywords : Chebyshev’s Inequality, expectation, continuous random variable, matrix determinant
ABSTRAK. Dalam  makalah  ini  akan  dibahas  mengenai  Ketaksamaan  Chebyshev  dan contoh penggunaannya pada ekpektasi dari suatu peubah acak kontinu. Sebagai tambahan, dibahas juga ketaksamaan dalam bentuk determinan matriks.
Kata Kunci : Ketaksamaan Chebyshev, ekspektasi, peubah acak kontinu, determinan matriks

## 1. PENDAHULUAN
Misalkan 𝑓 terdefinisi pada suatu himpunan H . Kita katakana bahwa 𝑓 𝑛𝑎𝑖𝑘 pada 𝐻 apabila untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ H dengan 𝑥 < 𝑦 berlaku
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦).
Jika ketaksamaan < berlaku, maka kita katakana bahwa 𝑓 𝑛𝑎𝑖𝑘 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖 pada H .
Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun dan turun sejati pada H.
Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton.
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 217 - 222
Teorema  1.1.  (Ketaksamaan  Chebyshev). Jika 𝑓, 𝑔 ∶   [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi dengan kemonotonan yang sama maka
1 𝑏−𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≥ ( 1 𝑏−𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ) ( 1 𝑏−𝑎 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ) (1)
Arah ketaksamaan dibalik bila 𝑓, 𝑔 fungsi dengan kemonotonan yang berbeda.
Bukti dapat dilihat pada (Niculescu dan Pecarie, 2010).

## 2. PEMBAHASAN
2.1 Ketaksamaan Chebyshev dengan fungsi bobot
Teorema  2.1.  (Mitrinuvie,  dkk.,  1993). Jika 𝑓, 𝑔 ∶   [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi dengan  kemonotonan  yang  sama, 𝑝 positif  dan  terintegralkan  Riemann  pada [𝑎, 𝑏]
maka
∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑝(𝑥)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≥ ∫ 𝑝(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑝(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 (2)
Bukti  analogi  seperti  pada  (Niculescu  dan  Pecarie,  2010)  yakni  menggunakan  fakta bahwa untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] berlaku
𝑝(𝑥)𝑝(𝑦)(𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦))(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑦)) ≥ 0

## 2.2 Ekspektasi
Misalkan 𝑝 ∶ [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℝ + merupakan fungsi padat peluang dari peubah acak 𝑋 dan
𝐸(𝑋) ∶= ∫ 𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎
adalah ekpektasi dari peubah acak 𝑋 .
2.3 Penggunaan Ketaksamaan Chebyshev pada Ekspektasi

## 218                                                                                     Pangeran BHP dan Hendra Gunawan
Dengan  menggunakan  Teorema  2.1,  analogikan 𝑝(𝑥) sebagai  fungsi  padat  peluang dari  suatu  peubah  acak    kontinu 𝑋 karena 𝑝 ∶   [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℝ + dan  sebagai  akibat 𝑝(𝑥) merupakan fungsi padat peluang maka ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1. 𝑏 𝑎
Berdasarkan (2) diperoleh
𝐸[ 𝑓(𝑋)𝑔(𝑋)] ≥ 𝐸[ 𝑓(𝑋)]𝐸[ 𝑔(𝑋)]
Untuk 𝑓, 𝑔 ∶   [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah fungsi dengan kemonotonan yang sama. Seperti pada kasus  sebelumnya,  arah  ketaksamaan  dibalik  bila 𝑓, 𝑔 fungsi  dengan  kemonotonan yang berbeda.

## 2.4 Perumuman dengan bentuk determinan
Sebagai langkah awal,  tinjau
(𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦))(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑦))
=   | 1 1 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥) | | 1 1 𝑔(𝑦) 𝑔(𝑥) |
Hal  ini  ingin  mengatakan  bahwa  Ketaksamaan  Chebyshev  dapat  dinyatakan  dalam bentuk determinan matriks.

## Ketaksamaan Chebyshev dalam bentuk determinan
Teorema  2.2. (Mitrinuvie,  dkk.,  1993). Jika 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 dan 𝑔 1 , 𝑔 2 , … , 𝑔 𝑛 fungsi yang terintegralkan Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan
| 𝑓 1 (𝑥 1 ) … 𝑓 1 (𝑥 𝑛 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑓 𝑛 (𝑥 1 ) … 𝑓 𝑛 (𝑥 𝑛 ) | | 𝑔 1 (𝑥 1 ) … 𝑔 1 (𝑥 𝑛 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑔 𝑛 (𝑥 1 ) … 𝑔 𝑛 (𝑥 𝑛 ) | ≥ 0
maka
| | ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 … ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ⋮ ⋱ ⋮ ∫ 𝑓 𝑛 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 … ∫ 𝑓 𝑛 (𝑥)𝑔 𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 | | ≥ 0
Ketaksamaan Chabyshev dan Perumumannya                                                                    219
Ide pembuktian akan dimulai dari kasus determinan matriks 2 × 2 .
Jika 𝑓 𝑖 dan 𝑔 𝑖 fungsi yang terintegralkan Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan
| 𝑓 1 (𝑥 1 ) 𝑓 1 (𝑥 2 ) 𝑓 2 (𝑥 1 ) 𝑓 2 (𝑥 2 ) | | 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 1 (𝑥 2 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 2 ) | ≥ 0
dengan 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ [𝑎, 𝑏] maka
| | ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 | | ≥ 0 Bukti.
| ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 | = ∫ 𝑓 1 (𝑥 1 ) | 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) ∫ 𝑓 2 (𝑥 2 )𝑔 1 (𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥 2 )𝑔 2 (𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑏 𝑎 | 𝑑𝑥 1 𝑏 𝑎
= ∫ ∫ 𝑓 1 (𝑥 1 )𝑓 2 (𝑥 2 ) | 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) 𝑔 1 (𝑥 2 ) 𝑔 2 (𝑥 2 ) | 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
= ∫ ∫ 𝑓 1 (𝑥 1 )𝑓 2 (𝑥 2 ) | 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 1 (𝑥 2 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 2 ) | 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 (∗)
Dilain pihak ,
| ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 | = ∫ 𝑓 2 (𝑥 1 ) | ∫ 𝑓 1 (𝑥 2 )𝑔 1 (𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 1 (𝑥 2 )𝑔 2 (𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) | 𝑑𝑥 1 𝑏 𝑎 = ∫ ∫ 𝑓 2 (𝑥 1 )𝑓 1 (𝑥 2 ) | 𝑔 1 (𝑥 2 ) 𝑔 2 (𝑥 2 ) 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) | 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
= ∫ ∫ −𝑓 2 (𝑥 1 )𝑓 1 (𝑥 2 ) | 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 1 (𝑥 2 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 2 ) | 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 (∗∗)
maka dari (∗) dan (∗∗) didapat
| ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑔 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 | = 1 2 ∫ ∫ (𝑓 1 (𝑥 1 )𝑓 2 (𝑥 2 ) − 𝑓 2 (𝑥 1 )𝑓 1 (𝑥 2 )) | 𝑔 1 (𝑥 2 ) 𝑔 2 (𝑥 2 ) 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) | 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
= 1 2 ∫ ∫ | 𝑓 1 (𝑥 1 ) 𝑓 1 (𝑥 2 ) 𝑓 2 (𝑥 1 ) 𝑓 2 (𝑥 2 ) | | 𝑔 1 (𝑥 2 ) 𝑔 2 (𝑥 2 ) 𝑔 1 (𝑥 1 ) 𝑔 2 (𝑥 1 ) | 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ≥ 0
berdasarkan sifat positif integral.
Lalu dengan cara yang sama untuk matriks
| ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎
… ∫ 𝑓 1 (𝑥)𝑔 𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ⋮ ⋱ ⋮ ∫ 𝑓 𝑛 (𝑥)𝑔 1 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 … ∫ 𝑓 𝑛 (𝑥)𝑔 𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 | = 1 𝑛! ∫ … ∫ | 𝑓 1 (𝑥 1 ) … 𝑓 1 (𝑥 𝑛 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑓 𝑛 (𝑥 1 ) … 𝑓 𝑛 (𝑥 𝑛 ) | | 𝑔 1 (𝑥 1 ) … 𝑔 1 (𝑥 𝑛 ) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑔 𝑛 (𝑥 1 ) … 𝑔 𝑛 (𝑥 𝑛 ) | 𝑑𝑥 1 … 𝑑𝑥 𝑛 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
≥ 0 .
Hal ini dikarenakan ada 𝑛! cara dalam pengambilan 𝑓 𝑖 . 

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Ketaksamaan  Chebyshev  merupakan  ketaksamaan  yang  membandingkan  perkalian dua  integral  fungsi  dengan  integral  dari  perkalian  dua  fungsi  dengan  syarat  fungsi tersebut  merupakan  fungsi  monoton.  Ketaksamaan  Chebyshev  dengan  fungsi  bobot dapat digunakan dalam ekspektasi suatu peubah acak kontinu dengan fungsi bobotnya berperan sebagai fungsi padat peluang.
Lebih  lanjut,  syarat  Ketaksamaan  Chebyshev  dapat  diperlemah  yakni  dengan menyatakan ketaksamaan dalam bentuk determinan.

## DAFTAR PUSTAKA
Cerone  P.  dan  Dragomir  S.S,  (2011), Mathematical  Inequalities:  A  Perspective ,
Taylor and Francis Group, LLC.
Mitrinovic  D.  S.  ,  Pecaric  J.  E.  dan  Fink  A.  M.  ,  (1993), Classical  and  New Inequalities in Analysis , Kluwer, Dordrecht, 1993.
Niculescu C. P. dan Pecaric J. E., (2010), The equivalence of Chebyshev's inequality with the Hermite-Hadamard inequality. Math. Reports , 12 (62), No. 2, pp. 145- 156.
Walpole R.E., (2007), Probability & Statistics for Engineers & Scientists 8 th edition.
Pearson Education International.
222                                                                                     Pangeran BHP dan Hendra Gunawan