## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/Euler DOI: https://doi.org/10.37905/euler.v11i2.22420 Desember 2023, Vol. 11, No. 2, pp. 282-296

## Komparasi Skema Numerik Euler, Runge-Kutta dan Adam- Basforth-Moulton untuk Menyelesaikan Solusi Persamaan Osilator Harmonik
Resmawan 1* , Binti Mualifatul Rosydah 2 , Rizka Putri Handayani 3
1,2,3) Program Studi Doktor Matematika, Universitas Brawijaya, Indonesia
1) Program Studi Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Indonesia
2) Program Studi Teknik Keselamatan dan Kesehatan Kerja, Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email: resmawan@student.ub.ac.id, resmawan@ung.ac.id

## Abstrak
Artikel  ini  membahas  tentang  komparasi  beberapa  skema  numerik  berbeda  untuk  menampilkan visualisasi  solusi  persamaan  diferensial  orde  2. Metode  satu  lkangkah  seperti  metode  Euler  dan metode  Runge-Kutta  orde  4  dikombinasikan  dengan  metode  Adam-Bashforth-Moulton  orde  3 untuk menyelesaikan solusi persamaan diferensial orde 2. Kombinasi metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan Osilator Harmonik yang merupakan persamaan diferensial orde 2 yang banyak diterapkan dalam berbagai konteks osilasi. Orde akurasi dan orde kesalahan aproksimasi ditentukan  secara  analitik.  Pada  bagian  akhir  diberikan  simulasi  dengan  pengambilan  langkah berbeda  pada  ketiga  metode  untuk  mengonfirmasi  bagaimana  perilaku  solusi  pada  persamaan Osilator Harmonik. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode Euler dengan orde akurasi yang paling rendah memiliki akurasi yang baik di awal osilasi namun tidak memiliki akurasi yang baik pada saat waktu t diperbesar. Metode Runge-Kutta dengan orde akurasi paling tinggi menunjukkan akurasi dan stabilitas solusi yang sangat baik dan konsisten, sementara metode Adam-Bashforth- Moulton meski memiliki akurasi yang lebih rendah dari metode Runge-Kutta orde 4, namun dapat ditingkatkan  akurasinya  dengan  memilih  metode  satu  langkah  dengan  orde  akurasi  yang  tinggi untuk mengaproksimasi beberapa solusi awal yang dibutuhkan. Ketiga metode dapat memberikan nilai aproksimasi dengan akurasi dan stabilitas yang sangat baik jika dipilih langkah h yang kecil, namun  langkah ini dapat  menambah durasi  waktu untuk menampilkan solusi. Dengan demikian, perlu pemilihan h yang tepat menyesuaikan dengan konteks persamaan dan metode yang digunakan untuk mendapatkan solusi yang akurat dengan durasi waktu yang optimal.
Kata Kunci: Euler; Runge-Kutta; Adam-Bashforth-Moulton; Osilator Harmonik; Persamaan Diferensial

## Abstract
This article discusses the comparison of  different numerical schemes to  visualize the solution  of 2nd-order differential  equations. One-step methods such as the Euler  method  and the 4th-order Runge-Kutta method are combined with the 3rd-order Adam-Bashforth-Moulton method to solve the solution of 2nd-order differential equations. This combination of methods solves the Harmonic Oscillator  equation,  an  2nd-order  differential  equation  widely  applied  in  various  oscillation contexts.  The  order  of  accuracy  and  order  of  approximation  error  are  determined  analytically. Finally, simulations are given with different steps for the three methods to confirm the behavior of the solution to the Harmonic Oscillator equation. The results show that the Euler method with the lowest order of accuracy has good accuracy at the beginning of the oscillation but not when time t is  increased.  The Runge-Kutta  method,  with  the  highest  order  of  accuracy,  shows  excellent  and consistent accuracy and solution stability, while the Adam-Bashforth-Moulton method, although it has a lower accuracy than the Runge-Kutta method of order 4, can be improved by choosing a one- step method with a high order of accuracy to approximate some of the required initial solutions. All three methods can provide approximation values with excellent accuracy and stability if a small step, h, is chosen, but this step can increase the time duration to display the solution. Thus, it is necessary to choose the right h according to the context of the equation and the method used to obtain accurate solutions with optimal time duration.
Keywords: Euler; Runge-Kutta; Adam-Bashforth-Moulton; Harmonic Oscillator; Differential Equations

## 1. Pendahuluan
Pemodelan  adalah  bagian  matematika  yang  memiliki  peran  penting  dalam  pemahaman  dan pemecahan  masalah  ilmiah  yang  kompleks,  terutama  dalam  konteks  perubahan  dinamika  sistem. Salah  satu  alat  yang  sering  digunakan  untuk  memodelkan  perubahan  tersebut  adalah  Persamaan Diferensial  (PD),  khususnya  PD  orde  dua.  Persamaan  diferensial  orde  dua  memiliki  aplikasi  luas dalam  berbagai  disiplin  ilmu,  seperti  fisika,  teknik,  ekonomi,  dan  biologi,  karena  mereka memungkinkan kita untuk memahami bagaimana sistem berubah seiring waktu.
Dalam  pemecahan  Persamaan  Diferensial  orde  dua,  skema  numerik  dibutuhkan  untuk mengonfirmasi  solusi  analitik.  Bahkan  dalam  bentuk  yang  lebih  kompleks,  beberapa  bentuk persamaan  tidak  memungkinkan  untuk  ditentukan  solusinya  secara  analitik,  sehingga  diperlukan penentuan  solusi  dengan  skema  numerik.  Berbagai  metode  dengan  skema  numerik  telah dikembangkan untuk mendekati solusi persamaan diferensial ini. Metode Euler, Runge-Kutta , dan Adam-Bashforth-Moulton  adalah  tiga  di  antara  banyak  skema  numerik  yang  digunakan  untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial.  Setiap  metode  numerik  ini  memiliki  karakteristik  sendiri dalam hal akurasi, stabilitas, dan kompleksitas komputasi. Berbagai penelitian melibatkan metode ini untuk penyelesaian persamaan diferensial telah dilakukan.
Beberapa artikel membahas tentang penyelesaian Masalah Nilai Awal menggunakan metode Euler. Lanlege, dkk [1] menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan masalah nilai awal pada Persamaan Dieferensial orde satu. Dalam kasus lain, metode Euler juga digunakan pada model yang membahas  tentang  penularan  penyakit  seperti  yang  dilakukan  oleh  Hurit  dan  Resi  [2]  yang menyelesaikan  model  SIR  penularan  penyakit  HIV/AIDS  dengan  menggunakan  metode  Euler. Metode  Euler  juga  digunakan  oleh  Prahmono,  dkk  [3]  untuk  menyelesaikan  solusi  numerik persamaan  gerak  jatuh  bebas.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  meskipun  termasuk  metode  yang sederhana, metode Euler masih banyak dimanfaatkan dalam berbagai konteks untuk menyelesaikan persamaan-persamaan secara numerik. Hal serupa dapat kita temukan pada metode Runge-Kutta yang telah  dikenal  memiliki  akurasi  yang  lebih  tinggi  dalam  penyelesaian  solusi  persamaan  secara numerik.
Beberapa penelitian yang melibatkan metode Runge-Kutta diantaranya dilakukan oleh Enkekes dan  Mardianto  [4]  yang  menyelesaikan  persamaan  gelombang  1D  menggunakan  metode  Runge- Kutta orde 4 . Adapun Trifina, dkk [5] menampilkan visualisasi pada fenomena harmonis dan chaos pada getaran tergandeng secara numerik dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. Dalam kasus lain, metode Runge-Kutta orde 4 banyak diaplikasikan untuk menyelesaikan solusi model yang merpresentasikan penularan penyakit [6]-[8]. Metode Runge-Kutta orde 4 banyak digunakan untuk menyelesaikan  persamaan  terapan  secara  numerik  karena  sudah  dikenal  memiliki  akurasi  dan stabilitas aproksimasi yang akurat. Meskipun demikian, tetap ada upaya untuk meningkatkan kualitas akurasi  metode  runge  kutta  seperti  yang  dibahas  oleh  Ahmadianfar  [9]  yang  pada  penelitiannya, mengembangkan optimasi untuk meningkatkan akutrasi solusi metode Runge-Kutta.
Lebih lanjut, metode  Adam-Bashforth-Moulton juga termasuk salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan diferensial dengan nilai awal. Beberapa penelitian yang menggunakan metode ini dinataranya dilakukan oleh Latip, dkk. [10] yang membahas  perbandingan  metode  Adam-Bashforth-Moulton  dan  metode  Milne-Simpson  untuk menyelesaikan persamaan diferensial Euler. Penelitian lain dilakukan oleh Apriani, dkk [11] yang menggunakan metode Adam-Bashforth-Moulton untuk menyelesaikan persamaan logistik pada kasus pertumbuhan penduduk. Disamping penggunaan secara tunggal, beberapa metode yang telah dibahas sebelumnya juga banyak digunakan secara komparatif untuk menyelesaikan berbagai kasus terapan yang melibatkan persamaan diferensial.
Imran, dkk. [12] membahas komparasi metode euler, modifikasi metode euler, serta runge kutta untuk menyelesaikan beberapa kasus nilai awal secara numerik. Sementara itu, perbandingan metode Euler  dan  metode  Runge-Kutta  dibahas  pada  kasus  pemodelan  yang  merepresentasikan  proses pengisian dan pengosongan kapasitor [13]. Selanjutnya, Rahayu, dkk., [14] melakukan analisis secara komparatif  antara  metode  Euler  dengan  Jacobian  pada  kasus  proyeksi  pertumbuhan  penduduk. Metode Euler dan Runge-Kutta orde 4 juga digunakan pada penyelesaian metode SIR secara numerik pada kasus penyebaran virus ebola [15], sedangkan Sari, dkk [16] menyelesaikan model rangkaian listrik menggunakan metode Runge-Kutta dan metode Euler. Beberapa penelitian ini menunjukkan bagaimana  metode  ini  sangat  bermanfaat  untuk  digunakan  menyelesaikan  persamaan  diferensial dalam berbagai konteks terapan.
Pada  penelitian  ini  digunakan  metode  banyak  langkah  Adam-Bashforth-Moulton  3  (ABM3) untuk menyelesaikan model terapan yang melibatkan persamaan diferensial orde dua. Metode ABM3 adalah metode banyak langkah yang membutuhkan beberapa solusi awal untuk menentukan solusi selanjutnya.  Penentuan  beberapa  solusi  awal  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  satu langkah  seperti  metode  Euler  atau  metode  Runge-Kutta.  Pada  penelitian  ini,  dilakukan  komparasi antara  metode  Euler-ABM3  dan  metode  RK4-ABM3  untuk  menyelsaikan  solusi  persamaan diferensial  secara  numerik.  Metode  Euler,  RK4,  dan  ABM3  adalah  tiga  metode  dengan  tingkat akurasi  yang  berbeda,  sehingga  menarik  untuk  ditunjukkan  bagaimana  akurasi  ketika  dilakukan komparasi untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Tingkat akurasi dan errornya ketiga metode ditunjukkan  secara  analitik  pada  kasus  PD  orde  2,  kemudian  dikonfirmasi  secara numerik  dengan menggunakan MATLAB. Kombinasi metode ini selanjutnya diterapkan dan dilihat tingkat akurasi dan  kesalahan  aproiksimasinya  pada  persamaan  Osilator  Harmonik  yang  merupakan  salah  satu terapan  persaman  diferensial  orde  2  yang  banyak  digunakan  dalam  berbagai  bidang  ilmu  dan teknologi.
Hasil  penelitian  ini  diharapkan  dapat  memberikan  panduan  praktis  dalam  memilih  metode numerik yang sesuai untuk kasus-kasus tertentu. Selain itu, diharapkan adanya informasi baru terkait pemahaman yang lebih baik tentang stabilitas numerik yang dapat menghindarkan penyelesaian yang salah  atau  tidak  stabil  dalam  pemodelan  berbagai  fenomena  alam,  terutama  pada  kasus  yang melibatkan persamaan diferensial dengan masalah nilai awal.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian Penelitian ini mengomparasikan 3 skema numerik untuk menyelesaikan persamaan Osilator  Harmonik,  yaitu  metode  satu  langkah  dan  metode  banyak  langkah.  Metode  satu  langkah menggunakan metode Euler dan metode Runge-Kutta Orde 4, untuk mengestimasi beberapa solusi awal secara akurat, kemudian dilanjutkan dengan metode banyak langkah Adam-Bashforth-Moulton Orde  3  untuk  mengestimasi  solusi  selanjutnya.  Kombinasi  metode  Euler-ABM3  dan  RK4-ABM3 dikomparasikan untuk melihat bagaimana perilaku solusi persamaan Osilator Harmonik. Peta konsep penggunaan skema numerik ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1 . Peta konsep penggunaan skema numerik
Algoritma penentuan solusi persamaan Osilator Harmonik dengan metode Runge-Kutta orde 4 dan metode Adam-Bashforth-Moulton orde 3:
Metode Euler Metode RK4 Metode ABM3 Persamaan Osilator Harmonik
1) Tahap 1: Metode Euler:
1. Menentukan persamaan diferensial dan kondisi awal.
2. Menentukan rentang waktu 𝑡 dan langkah ℎ .
3. Inisialisasi nilai awal persamaan diferensial.
4. Lakukan loop dengan skema numerik Euler untuk  menentukan beberapa solusi awal yang dibutuhkan untuk metode ABM3.
a. Menentukan solusi 𝑦 𝑛+1 dengan menggunakan nilai parameter sebelumnya: 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + ℎ𝑦 𝑛 ′
b. Meningkatkan nilai 𝑡 dengan ℎ untuk langkah berikutnya:
𝑡 = 𝑡 + ℎ
2) Tahap 1: Metode Runge-Kutta Orde 4 (RK4):
1. Menentukan persamaan diferensial dan kondisi awal.
2. Menentukan rentang waktu 𝑡 dan langkah ℎ .
3. Inisialisasi nilai awal persamaan diferensial.
4. Lakukan loop dengan skema numerik RK4 untuk menentukan beberapa solusi awal yang dibutuhkan untuk metode ABM3.
a. Menentukan parameter RK4 masing-masing:
𝑘 1 = ℎ𝑓(𝑡, 𝑦) 𝑘 2 = ℎ𝑓 (𝑡 + ℎ 2 , 𝑦 + 𝑘 1 2 ) 𝑘 3 = ℎ𝑓 (𝑡 + ℎ 2 , 𝑦 + 𝑘 2 2 ) 𝑘 4 = ℎ𝑓(𝑡 + ℎ, 𝑦 + 𝑘 3 )
b. Menentukan solusi 𝑦 𝑛+1 dengan menggunakan nilai parameter sebelumnya: 𝑦 𝑛+1 = 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )
c. Meningkatkan nilai 𝑡 dengan ℎ untuk langkah berikutnya: 𝑡 = 𝑡 + ℎ
3) Tahap 2: Metode Adam-Bashforth-Moulton Orde 3 (ABM3)
1. Inisialisasi 𝑡 dan 𝑦 dengan nilai yang dihasilkan dari tahap RK4, yaitu 𝑡 0 + 𝑁ℎ dan 𝑦 𝑁+1 dengan N adalah lanjutan dari langkah yang telah diambil pada metode RK4.
2. Lakukan loop  dengan  skema  numerik  Adam-Bashfoth  (AB)  sebagai  prediktor  dan skema numerik Adam-Moulton (AM) sebagai korektor:
a. Tentukan nilai prediktor 𝑦 𝑝𝑟𝑒𝑑 dengan skema AB orde 3
𝑦 𝑝𝑟𝑒𝑑 = 𝑦 𝑛 + ℎ 12 [23𝑓(𝑡 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) − 16𝑓(𝑡 𝑛−1 , 𝑦 𝑛−1 ) + 5𝑓(𝑡 𝑛−2 , 𝑦 𝑛−2 )]
b. Tentukan nilai 𝑡 𝑛+1 dengan 𝑡 𝑛 +h
c. Menentukan nilai 𝑓(𝑡 𝑛+1 , 𝑦 𝑝𝑟𝑒𝑑 ) dengan menggunakan persamaan diferensial
d. Menentukan nilai korektor 𝑦 𝑛+1 yang baru dengan skema numerik AM3:
𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + ℎ 12 [5𝑓(𝑡 𝑛+1 , 𝑦 𝑝𝑟𝑒𝑑 ) + 8𝑓(𝑡 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) − 𝑓(𝑡 𝑛−1 , 𝑦 𝑛−1 )]
e. Meningkatkan nilai 𝑛 untuk langkah berikutnya:
𝑛 = 𝑛 + 1
Pada subbab berikutnya diuraikan orde akurasi dan kesalahan masing-masing metode ini secara analitik kemudian diimplementasikan pada persamaan Osilator Harmonik yang merupakan salah satu terapan persamaan diferensial orde 2. Perbandingan metode Euler-ABM3 dan RK4-ABM3 diberikan untuk menunjukkan bagaimana pengaruh metode satu langkah untuk meningkatkan akurasi metode banyak langkah ABM3.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Orde Akurasi dan Kesalahan pada Skema Numerik Euler

## 3.1.1 Skema Numerik Euler
Metode  Euler  adalah  salah  satu  metode  aproksimasi  yang  sederhana  dan  dapat  memberikan hasil yang baik dengan langkah waktu yang cukup kecil, terutama untuk masalah yang tidak terlalu kompleks. Misal diberikan persamaan diferensial
𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑦(𝑡 0 ) = 𝑦 0
dengan solusi umum

## 𝑦(𝑡) = 𝜙(𝑡).
Skema  numerik  Euler  dapat  digunakan  untuk  mengaproksimasi  solusi  persamaan diferensial dengan mengikuti formula
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ𝑦 𝑖 ′ , ℎ = 𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 .

## 3.1.2 Kesalahan Aproksimasi Metode Euler
Untuk melihat kesalahan pemotongan secara analitik, ditentukan ekspansi Taylor dari formula metode Euler.  Dari persamaan:
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖
diperoleh ekspansi deret Taylor untuk solusi eksak
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 (3) + ⋯
dan ekspansi deret Taylor untuk pendekatan numerik
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 2 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 6 𝑓 𝑖 ′′′ + ⋯
dengan kesalahan aproksimasi
𝐸 = |[𝑦 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 (3) + ⋯ ] − [𝑦 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 2 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 6 𝑓 𝑖 ′′′ + ⋯ ]| = ( ℎ 2 2 − ℎ 2 ) 𝑓 𝑖 ′ + ( ℎ 3 6 − ℎ 3 2 ) 𝑓 𝑖 ′′ + ⋯ = 𝛰ℎ 1
Dengan demikian, skema numerik Euler memiliki kesalahan aproksimasi pada orde 2 (𝛰ℎ 2 ) dengan tingkat akurasi pada orde 1 (𝛰ℎ) .

## 3.2 Orde Akurasi dan Kesalahan pada Skema Numerik Runge-Kutta Orde 4
3.2.1 Skema Numerik Runge-Kutta Orde 4
Skema numerik metode Runge Kutta Orde 4 dinyatakan dengan
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )
dengan
𝑘 1 = ℎ𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 )
𝑘 2 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑖 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑖 + 1 2 𝑘 1 ) 𝑘 3 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑖 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑖 + 1 2 𝑘 2 ) 𝑘 4 = ℎ𝑓(𝑥 𝑖 + ℎ, 𝑦 𝑖 + 𝑘 3 )

## 3.2.2 Kesalahan Aproksimasi Metode Runge-Kutta Orde 4
Untuk melihat kesalahan pemotongan secara analitik, ditentukan ekspansi Taylor dari formula metode Runge Kutta Orde 4.  Dari persamaan:
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )
diperoleh ekspansi deret Taylor untuk solusi eksak
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 (3) + ⋯
dan ekspansi deret Taylor untuk pendekatan numerik
𝑘 2 = 𝑘 3 = 𝑓 𝑖+ 1 2 ℎ = 𝑓 𝑖 + 1 2 ℎ𝑓 𝑖 ′ + ℎ 2 2! 4 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 3 3! 8 𝑓 𝑖 ′′′ + ℎ 4 4! 16 𝑓 𝑖 (4) + ℎ 5 5! 32 𝑓 𝑖 (5) + ⋯ 𝑘 4 = 𝑓 𝑖+ℎ = 𝑓 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 ′ + ℎ 2 2! 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 3 3! 𝑓 𝑖 ′′′ + ℎ 4 4! 𝑓 𝑖 (4) + ℎ 5 5! 𝑓 𝑖 (5) + ⋯
sehingga
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 ′′′ + ⋯
Dengan demikian, skema numerik Runge-Kutta memiliki kesalahan aproksimasi pada orde 5 (𝛰ℎ 5 ) dengan tingkat akurasi pada orde 4 (𝛰ℎ 4 ) .

## 3.3 Orde Akurasi dan Kesalahan pada Skema Numerik Adam-Bashforth-Moulton Orde 3

## 3.3.1 Skema Numerik Adam-Bashforth-Moulton
Skema  numerik  Adam-Bashforth-Moulton  orde  3  adalah  kombinasi  dari  dua  metode  yaitu metode  implisit  Adam-Bashforth  sebagai  skema  prediktor  dan  metode  eksplisit  Adam-Moulton sebagai skema korektor. Skema numerik Adam-Bashforth-Moulton mengikuti formula
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑡 𝑖+1 𝑡 𝑖
dengan
∫ 𝑓(𝑡, 𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑡 𝑖+1
𝑡 𝑖 ≅ ∫ 𝑝 2 (𝑡) 𝑡 𝑖+1 𝑡 𝑖 𝑑𝑡.
𝑃 2 (𝑡) pada  metode  Adam-Bashforth  ditentukan  secara  implisit  menggunakan  aproksimasi Lagrange:
𝑝 2 (𝑡) = ∑ 𝑓(𝑡 𝑖−𝑘 , 𝑥 𝑖−𝑘 ) × 𝐿 𝑘 (𝑡) 2 𝑘=0 = ∑ 𝑓 𝑖−𝑘 × 𝐿 𝑘 (𝑡) 2 𝑘=0
dengan
𝐿 𝑖 (𝑡) = ∏ 𝑡 − 𝑡 𝑗 𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑗 2 𝑗=0 𝑗≠𝑖 𝐿 0 (𝑡) = (𝑡 − 𝑡 𝑖−1 )(𝑡 − 𝑡 𝑖−2 ) (𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 )(𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−2 ) 𝐿 1 (𝑡) = (𝑡 − 𝑡 𝑖 )(𝑡 − 𝑡 𝑖−2 ) (𝑡 𝑖−1 − 𝑡 𝑖 )(𝑡 𝑖−1 − 𝑡 𝑖−2 ) 𝐿 2 (𝑡) = (𝑡 − 𝑡 𝑖 )(𝑡 − 𝑡 𝑖−1 ) (𝑡 𝑖−2 − 𝑡 𝑖 )(𝑡 𝑖−2 − 𝑡 𝑖−1 )
sehingga diperoleh
𝑝 2 (𝑡) = (𝑓 𝑖 × 𝐿 0 ) + (𝑓 𝑖−1 × 𝐿 1 ) + (𝑓 𝑖−2 × 𝐿 2 ).
Dengan menyelesaikan
∫ 𝑝 2 (𝑡) 𝑡 𝑖+1 𝑡 𝑖 𝑑𝑡 = ∫ [(𝑓 𝑖 × 𝐿 0 ) + (𝑓 𝑖−1 × 𝐿 1 ) + (𝑓 𝑖−2 × 𝐿 2 )] 𝑡 𝑖+1 𝑡 𝑖 𝑑𝑡
diperoleh skema numerik Adam-Bashforth yang digunakan sebagai prediktor, yaitu
𝑥 𝑖+1 ≈ 𝑥 𝑖 + ℎ 12 [23𝑓 𝑖 − 16𝑓 𝑖−1 + 5𝑓 𝑖−2 ].                                         (1)
Selanjutnya, 𝑃 2 (𝑡) pada  skema  numerik  Adam-Moulton  ditentukan  secara  eksplisit  dengan aproksimasi Lagrange:
𝑝 2 (𝑡) = (𝑓 𝑖−1 × 𝐿 0 ) + (𝑓 𝑖 × 𝐿 1 ) + (𝑓 𝑖+1 × 𝐿 2 )
dengan
𝐿 0 (𝑡) = (𝑡 − 𝑡 𝑖 )(𝑡 − 𝑡 𝑖+1 ) (𝑡 𝑖−1 − 𝑡 𝑖 )(𝑡 𝑖−1 − 𝑡 𝑖+1 )
𝐿 1 (𝑡) = (𝑡 − 𝑡 𝑖−1 )(𝑡 − 𝑡 𝑖+1 ) (𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 )(𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖+1 ) 𝐿 2 (𝑡) = (𝑡 − 𝑡 𝑖−1 )(𝑡 − 𝑡 𝑖 ) (𝑡 𝑖+1 − 𝑡 𝑖−1 )(𝑡 𝑖+1 − 𝑡 𝑖 ) .
Dengan menyelesaikan
𝑥 𝑖+1 ≈ 𝑥 𝑖 + ∫ ((𝑓 𝑖−1 × 𝐿 0 ) + (𝑓 𝑖 × 𝐿 1 ) + (𝑓 𝑖+1 × 𝐿 2 ))𝑑𝑡 𝑡 𝑖+1 𝑡 𝑖
diperoleh skema numerik Adam-Moulton yang digunakan sebagai korektor untuk mendapatkan nilai aproksimasi, yaitu
𝑥 𝑖+1 ≈ 𝑥 𝑖 + ℎ 12 [5𝑓 𝑖+1 + 8𝑓 𝑖 − 𝑓 𝑖−1 ].                                                                  (2)

## 3.3.2 Kesalahan Aproksimasi Metode Adam-Bashforth-Moulton
Untuk melihat kesalahan pemotongan secara analitik, ditentukan ekspansi Taylor dari masing- masing skema numerik Adam-Bashforth-Moulton.
Dari  skema  numerik  Adam-Bashforth  pada  persamaan  (1),  diperoleh  ekspansi  deret  Taylor untuk solusi eksak
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 (3) + ⋯
dan ekspansi deret Taylor untuk pendekatan numerik
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ − 2ℎ 4 𝑓 𝑖 ′′′ + ⋯
dengan kesalahan aproksimasi
𝐸 = |[𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 (3) + ⋯ ] − [𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ − 2ℎ 4 𝑓 𝑖 ′′′ + ⋯ ]| = ( ℎ 4 24 + 2ℎ 4 ) 𝑓 𝑛 (4) + ⋯ = 𝛰ℎ 4
Dengan demikian, skema numerik Adam-Bashforth memiliki kesalahan aproksimasi pada orde 4 (𝛰ℎ 4 ) dengan tingkat akurasi pada orde 3 (𝛰ℎ 3 ) .
Dari skema numerik Adam-Moulton pada persamaan (2), diperoleh ekspansi deret Taylor untuk solusi eksak
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 (3) + ⋯
dan ekspansi deret Taylor untuk pendekatan numerik
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + 1 2 ℎ 2 𝑓 𝑖 ′ + 1 6 ℎ 3 𝑓 𝑖 ′′ + 1 12 ℎ 4 𝑓 𝑖 ′′′ + ⋯
dengan kesalahan aproksimasi
𝐸 = |[𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 24 𝑓 𝑖 (3) + ⋯ ] − [𝑥 𝑖 + ℎ𝑓 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 𝑖 ′ + ℎ 3 6 𝑓 𝑖 ′′ + ℎ 4 12 𝑓 𝑖 ′′′ + ⋯ ]| = ( ℎ 4 24 + ℎ 4 12 ) 𝑓 𝑛 (4) + ⋯ = 𝛰ℎ 4
Dengan demikian, skema numerik Adam-Moulton memiliki kesalahan aproksimasi pada orde 4 (𝛰ℎ 4 ) dengan tingkat akurasi pada orde 3 (𝛰ℎ 3 ) .
Hasil  analitik  menunjukkan  orde  akurasi  ABM3  berada  di  bawah  orde  akurasi  RK4. Selanjutnya,  ditunjukkan  secara  numerik  bagaimana  penggunaan  metode  1  langkah  memiliki pengaruh  terhadap  peningkatan  akurasi metode  banyak  langkah.  Untuk menenjukkan  hal  tersebut, diberikan salah satu contoh persamaan diferensial orde 2 yang diketahui solusi eksaknya agar dapat
diketahui  tingkat  kesalahan  dari  kombinasi  metode  yang  digunakan.  Konfirmasi  hasil  simulasi numerik pada metode ini dapat dijadikan sebagai acuan untuk menggunakan metode ini pada bentuk persamaan yang lebih kompleks.

## 3.4 Solusi Masalah Nilai Awal
Pada bagian ini diberikan implementasi metode Euler, Metode Runge-Kutta orde 4, dan metode Adam-Bashforth-Moulron orde 3 untuk mengaproksimasi solusi persamaan Osilator Harmonik yang merupakan salah satu contoh terapan persamaan diferensial orde 2. Persamaan Osilator Harmonik sering digunakan untuk memodelkan fenomena osilasi seperti gelombang. Bentuk umum persamaan Osilator Harmonik dinyatakan dengan
𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 + 𝜔𝑥 = 0, 𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 , 𝑥 ′ (𝑡 0 ) = 𝑥 0 ′ .
Variabel 𝑥 merepresentasikan gerakan Osilator Harmonik terhadapa waktu 𝑡 dan 𝜔 merupakan frekuensi osilasi. Dengan menyelesaikan persamaan osilasi, diperoleh solusi khusus
𝑥(𝑡) = 𝑥 0 cos 𝜔𝑡 + 𝑥 0 ′ 𝜔 sin 𝜔𝑡.
Untuk implementasi skema numerik, diberikan nilai awal dan nilai parameter
𝜔 = 2
𝑥(0) = 1 𝑥 ′ (0) = 0
sehingga diperoleh model osilasi
𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 + 2𝑥 = 0
dengan solusi

## 𝑥(𝑡) = cos 2𝑡.

## 3.4.1 Penyelesaian dengan Skema Numerik Euler
Penyelesaian dengan skema numerik Euler diberikan pada Gambar 2. Gambar 2 menampilkan ilustrasi solusi persamaan osilasi menggunakan metode euler dengan langkah ℎ = 0.05. Skema ini menghasilkan solusi aproksimasi 1,264885813121606 . Dengan solusi eksak 0,408082061813392, diperoleh  kesalahan  relatif  sebesar 2,099586900489671 .  Terlihat  pada ilustrasi  Gambar  1  bahwa  akurasi  metode  euler  cukup  efektif  pada  awal  waktu 𝑡 namun  semakin buruk jika waktu 𝑡 diperbesar.
Gambar 2. Solusi persamaan osilasi dengan metode euler
Akurasi metode Euler dapat diperbesar dengan memilih langkah ℎ yang lebih kecil, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Solusi persamaan osilasi dengan metode euler
Gambar  3  menunjukkan  solusi  persamaan  osilasi  menggunakan  pendekatan  skema  numerik Euler dengan 3 langkah pendekatan yang berbeda, yaitu ℎ = 0,05;  ℎ = 0,025; dan ℎ = 0,01. Dapat dilihat  bahwa  langkah ℎ yang  diperkecil  menyebabkan  akurasi  atau  konvergensi  metode  euler semakin baik. Hal ini disebabkan karena metode Euler menggunakan pendekatan linearisasi dengan langkah waktu ℎ, yang mengasumsikan bahwa perubahan dalam nilai fungsi 𝑥(𝑡) dalam interval ℎ sebanding dengan gradien (laju perubahan) di titik awal. Semakin kecil nilai ℎ, nilai aproksimasi akan semakin dekat dengan perilaku solusi yang sebenarnya. Namun perlu diperhatikan bahwa pemilihan langkah ℎ yang  kecil  menyebabkan  proses looping membutuhkan  waktu  yang  lebih  lama  untuk menampilkan hasil aproksimasi karena semakin banyak langkah yang harus dijalankan.

## 3.4.2 Penyelesaian dengan Skema Numerik Runge-Kutta Orde 4
Penyelesaian dengan skema numerik Runge-Kutta orde 4 diberikan pada Gambar 4.
Gambar 4. Solusi persamaan osilasi dengan metode Runge-Kutta orde 4
Gambar 4 menampilkan ilustrasi solusi persamaan osilasi menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 dengan langkah ℎ = 0,05. Skema ini menghasilkan solusi aproksimasi 0,408096657111826 . Dengan solusi eksak 0,408082061813392, diperoleh kesalahan relatif sebesar 0,000035765596677 .  Hasil  ini  memberikan  konfirmasi  dengan  jelas  bahwa  aproksimasi  dengan metode Runge-Kutta orde 4 jauh lebih akurat daripada aproksimasi metode euler. Pemilihan nilai ℎ relatif tidak berpengaruh secara signifikan pada metode RK4, seperti ditunjukkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Solusi persamaan osilasi dengan metode RK4
Gambar 5 menunjukkan perilaku solusi persamaan Osilator Harmonik dengan menggunakan variasi langkah pada metode Runge-Kutta orde 4. Dengan mengambil variasi langkah yang relatif
lebih besar dari metode euler, yaitu ℎ = 0,01;  ℎ = 0.05; dan ℎ = 0,1, terlihat perilaku solusi tidak mengalami  perubahan  yang  signifikan.  Hal  ini  disebabkan  karena  tingkat  akurasi  metode  Runge- Kutta orde 4 memiliki orde akurasi yang tinggi sehingga relatif stabil dibandingkan dengan metode numerik lainnya.
Kedua metode ini selanjutnya digunakan untuk mengestitasi 2 solusi awal yang diperlukan pada metode  ABM3.  Hasil  aproksimasi  metode  Euler-ABM3  dan  metode  RK4-ABM3  dibahas  pada subbab selanjutnya.

## 3.4.3 Skema Numerik Euler dan Prediktor-Korektor ABM Orde 3
Penyelesaian dengan skema numerik Adam-Bashforth-Moulton orde 3 yang melibatkan metode Euler diberikan pada Gambar 6.
Gambar 6. Solusi persamaan osilasi dengan metode Euler-ABM3
Gambar  6  menampilkan  ilustrasi  solusi  persamaan  osilasi  menggunakan  kombinasi  metode Euler  dan  metode  prediktor-korektor  Adam-Bashforth-Moulton  orde  3  dengan  langkah ℎ = 0,1. Skema  ini  menghasilkan  solusi  aproksimasi 0.436701812926024 .  Dengan  solusi  eksak 0,408082061813392, diperoleh  kesalahan  relatif  sebesar 0.070132342954392. Hasil  ini memberikan  konfirmasi  bahwa  aproksimasi  dengan  kombinasi  metode  Euler-ADM3  memberikan hasil  yang  cukup  akurat.  Secara  visual  terlihat  bahwa  kombinasi  metode  ini  lebih  akurat  secara signifikan  dari  metode  Euler  dan  hampir  mendekati  akurasi  metode  Runge-Kutta  orde  4.  Hasil aproksimasi  secara  numerik  menunjukkan  bahwa  tingkat  akurasi  metode  ini  masih  lebih  rendah dibandingkan dengan metode Runge-Kutta orde 4 karena menghasilkan kesalahan yang lebih besar.
Bagian selanjutnya menunjukkan penyelesaian persamaan diferensial secara numerik dengan kombinasi metode RK4 dengan metode ABM3.
3.4.4 Skema Numerik Runge-Kutta Orde 4 dan Prediktor-Korektor ABM Orde 3
Penyelesaian dengan skema numerik Adam-Bashforth-Moulton orde 3 yang melibatkan metode Runge-Kutta orde 4 diberikan pada Gambar 7.
Gambar 7. Solusi persamaan osilasi dengan metode RK4-ABM3
Gambar  7  menampilkan  ilustrasi  solusi  persamaan  osilasi  menggunakan  kombinasi  metode Runge-Kutta orde 4 dan metode prediktor-korektor Adam-Bashforth-Moulton orde 3 dengan langkah ℎ = 0,1. Skema  ini  menghasilkan  solusi  aproksimasi 0.415323901362112 .  Dengan  solusi  eksak 0,408082061813392, diperoleh  kesalahan  relatif  sebesar 0.017746037442908. Hasil  ini memberikan  konfirmasi  bahwa  aproksimasi  dengan  kombinasi  metode  RK4-ADM3  memberikan peningkatan akurasi yang cukup signifikan dibandingkan metode Euler-ABM3. Peningkatan akurasi dapat dilihat dari tingkat kesalahan yang jaug lebih kecil dibandingan kesalahan pada metode Euler- ABM3.
3.4.5 Perbandingan Metode Runge-Kutta, Kombinasi Euler-ABM3 dan Kombinasi RK4-ABM3
Ilustrasi yang ditampilkan pada Gambar 8 menunjukkan bagaimana perbedaan akurasi skema numerik  Runge-Kutta  orde  4  jika  dibandingkan  dengan  kombinasi  metode  Euler-ABM3  dan kombinasi metode RK4-ABM3 dengan langkah ℎ = 0.1 .
Gambar 8 menampilkan perilaku solusi persamaan Osilator Harmonik dengan menggunakan metode  RK4,  Euler-ABM3,  dan  RK4-ABM3  dalam  mengaproksimasi  solusi  persamaan  Osilator Harmonik. Dengan mengambil langkah yang  sama, yaitu ℎ = 0,1, Gambar 8 menunjukkan bahwa metode Runge-Kutta orde 4 sebagai metode dengan orde akurasi tertinggi menghasilkan nilai yang sangat stabil dan paling akurat dalam mengaproksimasi solusi persamaan Osilator Harmonik. Metode Adam-Bashfoth-Moulton  orde  3,  meskipun  memiliki  orde  akurasi  yang  lebih  rendah  dari  metode RK4, namun dapat ditingkatkan akurasinya dengan memilih metode satu langkah yang tepat untuk mengaproksimasi  beberapa  solusi  awalnya.  Penggunaan  kombinasi  metode  Euler-ABM3  pada dasarnya sudah menunjukkan akurasi yang cukup baik namun masih memiliki tingkat kesalahan yang cukup besar. Selanjutnya, penggunaan kombinasi metode RK4-ABM3 dapat meningkatkan akurasi secara signifikan dengan hasil yang mendekati ketelitian metode Runge-Kutta orde 4. Hasil simulasi ini menunjukkan bahwa pada kasus-kasus yang membutuhkan metode banyak langkah seperti metode ABM3, dapat digunakan metode satu langkah dengan akurasi yang tinggi seperti metode RK4 untuk meningkatkan akurasi dan stabilitas hasil aproksimasinya.

## Gambar 8. Solusi persamaan osilasi dengan beberapa skema numerik

## 4. Kesimpulan
Persamaan Osilator Harmonik adalah salah satu bentuk terapan persamaan orde 2 yang dapat diselesaikan secara numerik menggunakan metode Euler, metode Runge-Kutta, dan metode Adam- Bashforth-Moulton.  Metode  Euler  memiliki  langkah  sederhana  tetapi  kurang  akurat  dan  sensitif terhadap  variasi  ukuran  langkah ℎ .  Metode  Runge-Kutta  orde  4  (RK4)  memberikan  akurasi  yang tinggi  dan  stabilitas  yang  sangat  baik,  sehingga  dapat  digunakan  dalam  berbagai konteks.  Namun pada  kasus  yang  membutuhkan  metode  banyak  langkah  seperti  metode  Adam-Bashforth-Moulton yang memiliki orde akurasi yang lebih rendah dari metode Runge-Kutta orde 4, dapat dikombinasikan dengan metode RK4 untuk menghasilkan nilai aproksimasi yang lebih akurat dan lebih stabil. Selain itu,  perlu  diperhatikan  pemilihan  langkah ℎ yang  tepat  untuk  mendapatkan  hasil  yang  efektif  dan efisien. Pemilihan langkah ℎ yang semakin kecil dapat menghasilkan solusi yang akurat namun akan membutuhkan  waktu  yang  lebih  lama  untuk  menyelesaikan  solusi  persamaan.  Oleh  karena  itu pemilihan metode dan pemilihan langkah ℎ perlu disesuaikan dengan konteks persamaan yang akan diselesaikan.

## Referensi
[1]   D. I. Lanlege, U. M. Garba, and A. Aluebho, “Using Modified Euler Method (MEM) for the solution  of  some  First  Order  Differential  Equations  with  Initial  Value  Problems (IVPs),” Pacific Journal of science and technology , vol. 16, no. 2, pp. 63-81, 2015.
[2] R. U. Hurit dan B. B. F. Resi, “Penyelesaian Model SIR untuk Penyebaran Penyakit Hiv/Aids Menggunakan Metode Euler dan Metode Heun,” in ProSANDIKA UNIKAL (Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika Universitas Pekalongan), 2022, pp. 381-390.
[3] A. Prahmono, N. Nurhamidah,  dan N. Nurhamidah, “Solusi Numerik Menggunakan Metode Euler  Untuk  Persamaan  Gerak  Jatuh  Bebas  Tanpa  Gesekan  Udara  Pada  Microsoft  Excel 2013,” Al ’Ilmi: Jurnal Pendidikan MIPA , vol. 12, no. 1, pp. 27-32, 2023.
[4] Y. Enkekes dan L. Mardianto, “Metode Runge-Kutta Orde 4 Dalam Penyelesaian Persamaan Gelombang 1D Syarat Batas Dirichlet,” Indonesian Journal Of Applied Mathematics, vol. 2, no. 1, pp. 1-8, 2022. doi: https://doi.org/10.35472/indojam.v2i1.489.
[5] L. Trifina, A. Warsito, L. Lapono, dan A. Louk, “Visualisasi Fenomena Harmonis Dan Chaos Pada Getaran Tergandeng Berbasis Komputasi Numerik Runge Kutta,” Jurnal Fisika: Fisika
Sains dan Aplikasinya , vol. 8, no. 1, pp. 11-20, 2023. doi:
https://doi.org/10.35508/fisa.v8i1.11817.
[6] C.  H.  K.  Yion,  “SIR  integrated  model  based  on  Runge-Kutta  for  Polio  Vaccination Analysis,” Journal of Quality Measurement and Analysis JQMA , vol. 19, no. 1, pp. 1-11, 2023.
[7] S. Side, N. Syahirah, dan A. M. R. Y. Sap, “A Solusi Numerik Model SIRV Penyebaran Covid- 19 dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta di Kabupaten Pinrang,” Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya , vol. 11, no. 2, pp. 1-6, 2023.
[8] D. Ludji and F. C. Buan, “Aplication of Order 4 Runge-Kutta Method to Modeling Monkeypox Transmission,” Jurnal  Saintek  Lahan  Kering , vol.  5,  no.  2,  pp.  24-26,  2023.  doi: https://doi.org/https://doi.org/10.32938/slk.v5i2.1981.
[9] I.  Ahmadianfar,  A.  A.  Heidari,  A.  H.  Gandomi,  X.  Chu,  and  H.  Chen,  “RUN  beyond  the metaphor: An efficient optimization algorithm based on Runge Kutta method,” Expert Systems with Applications , vol. 181, p.115079, 2021. doi: https://doi.org/10.1016/j.eswa.2021.11507.
[10]  F. Latip, A. Dorrah, dan S. Suharsono, “Perbandingan Metode Adams Bashforth-Moulton dan Metode  Milne-Simpson  dalam  Penyelesaian  Persamaan  Diferensial  Euler  Orde-8,”  in Prosiding Seminar Nasional Metode Kuantitatif , 2017, pp. 278-292.
[11]  D. Apriani, W. Wasono, dan M. Huda, “Penerapan Metode Adams-Bashforth-Moulton pada Persamaan  Logistik  Dalam  Memprediksi  Pertumbuhan  Penduduk  di  Provinsi  Kalimantan Timur,” Eksponensial, vol. 13, no. 2, pp. 95-102, 2022.
[12]  M. Imran, M. Cancan, S. Rashid, Y. Ali, dan N. Imran, “Graphical Comparison on Numerical Solutions of Initial Value Problem by Using Euler’s Method, Modified Euler’s Method and Runge-Kutta Method,” International Journal of Research Publication and Reviews , vol. 3, no. 10, p. 1930, 2022.
[13]  N. Nurhamidah, F. Mabruroh, J. K. Putri, A. P. Sairi, dan A. N. Latifah, “Perbandingan Metode Euler  dan  Metode  Runge-Kutta  Orde  4  Pada  Proses  Pengisian  dan  Pengosongan Kapasitor,” Jurnal  Inovasi  dan  Pembelajaran  Fisika , vol.  9,  no.  2,  pp.  185-196,  2022.  doi: https://doi.org/10.36706/jipf.v9i2.18531.
[14]  S.  D.  Rahayu,  A.  Latip,  dan W.  Nurul,  “Analisis  Komparatif  Metode  Jacobian  Dan  Metode Euler Dalam Kasus Proyeksi Jumlah Penduduk,” JRMST: Jurnal Riset Matematika dan Sains Terapan , vol. 2, no. 1, pp. 29-39, 2022.
[15]  M. T. Hossain, M. M. Miah, and M. B, Hossain, “Numerical study of kermack-mckendrik SIR model to predict the outbreak of ebola virus diseases using euler and fourth order runge-kutta methods,” American  Scientific  Research Journal  for  Engineering,  Technology,  and  Sciences (ASRJETS) , vol. 37, no. 1, pp. 1-21, 2017.
[16]  I. P. Sari, N. Nurhamidah, “Penyelesaian Rangkaian Listrik RLC Menggunakan Metode Runge Kutta  dan  Euler,” OPTIKA:  Jurnal  Pendidikan Fisika , vol.  6,  no.  2,  pp.  142-149, 2022.  doi: https://doi.org/10.37478/optika.v6i2.1974.