## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i1.7713

## Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator
Spline Truncated dan Deret Fourier
Andrea Tri Rian Dani 1* , Narita Yuri Adrianingsih 2
1,2 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Analitika Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jl. Arif Rahman Hakim, Kota Surabaya 60111, Jawa Timur, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: andrikadoko@gmail.com

## ABSTRAK 1
Pendekatan regresi nonparametrik digunakan apabila hubungan antara variabel prediktor dan variabel  respon  tidak  diketahui  polanya. Spline  truncated dan  deret  Fourier  merupakan estimator dalam pendekatan nonparametrik yang terkenal, karena memiliki fleksibilitas yang tinggi  dan  mampu  menyesuaikan  terhadap  sifat  lokal  data  secara  efektif.  Penelitian  ini bertujuan untuk mendapatkan estimator model regresi nonparametrik terbaik menggunakan spline  truncated dan  deret  Fourier.  Metode  estimasi  kurva  regresi  nonparametrik  dilakukan dengan  menyelesaikan  optimasi Ordinary  Least  Squares (OLS).  Kriteria  kebaikan  model menggunakan GCV, R 2 dan MSE. Pemodelan regresi nonparametrik diterapkan pada data Case Fatality  Rate (CFR)  akibat Demam  Berdarah Dengue (DBD)  di  Indonesia.    Berdasarkan  hasil analisis, hasil estimasi dari pemodelan regresi nonparametrik menunjukkan bahwa estimator spline truncated memberikan performa yang lebih baik dibandingkan estimator deret Fourier. Hal ini ditunjukkan dengan nilai R 2 dari estimator spline truncated yaitu sebesar 91,80% dan MSE sebesar 0,04, sedangkan dengan estimator deret Fourier diperoleh nilai R 2 sebesar 65,44% dan MSE sebesar 0,19.
Kata Kunci:
Regresi Nonparametrik; Spline Truncated ; Deret Fourier

## ABSTRACT
The nonparametric regression approach is used when the relationship between the predictor variable and the response variable is unknown. Spline truncated and Fourier series are well-known estimators in the nonparametric approach because they have high flexibility and are able to adjust to the local properties of the data effectively. This study aims to obtain the best nonparametric regression model estimator using the truncated spline and the Fourier series. The nonparametric regression curve estimation method is done by completing the Ordinary Least Squares (OLS) optimization. The criteria for the goodness of the model use GCV, R 2 , and MSE. Nonparametric regression  modeling is applied to  Case  Fatality Rate (CFR)  modeling  due  to  Dengue  Hemorrhagic  Fever  (DBD)  in Indonesia.  Based  on  the  analysis,  the estimation results from the nonparametric regression modeling show that the truncated spline estimator provides  better  performance  than  the  Fourier  series  estimator.  This  is  shown  by  the  R 2 value  of  the
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 A.T.R. Dani; N.Y. Adrianingsih | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 24 October 2020 | Accepted: 15 December 2020 | Online: 2 January 2021

## Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Spline Truncated …
truncated spline estimator which is 91.80% and the MSE is 0.04, while the Fourier series estimator obtained an R 2 value of 65.44% and MSE of 0.19.
Keywords:

## Nonparametric Regression; Spline Truncated; Fourier Series
Format Sitasi:
A.T.R. Dani and N.Y. Adrianingsih , “ Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Spline Truncated dan Deret Fourier ,” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 1, pp. 26-36, 2021.

## 1.  Pendahuluan
Penyakit  Demam  Berdarah Dengue (DBD)  disebabkan  karena  infeksi virus  dengue, sehingga menimbulkan dampak ekonomi dan sosial. Jumlah penderita DBD semakin bertambah, dikarenakan tingginya mobilitas dan jumlah penduduk. Pada tahun 1968, pertama  kali  demam  berdarah  ditemukan  di  Surabaya,  dengan  angka  kematiannya 41,30%, dan menyebar ke seluruh Indonesia hingga saat ini [1]. Berdasarkan dari data WHO, kasus DBD terbesar kedua di dunia adalah Indonesia. Tahun 2014 ada 100.347 penderita  kasus  DBD  dan banyak  yang  meninggal  adalah  907  orang [2].  Tahun  2015 penderita DBD meningkat menjadi 126.675 orang dan yang meninggal ada 1.229 orang. Pada  tahun  2016  penderita  DBD  melambung  tinggi,  peningkatannya  yaitu  sebanyak 204.171  orang.  DBD  sampai  saat  ini  masih  jadi  masalah  kesehatan  yang  mendapat perhatian dunia [3]. Beberapa penelitian mengenai kasus DBD telah banyak dilakukan seperti  yang terdapat pada [4][5][6][7].  Berdasarkan beberapa penelitian sebelumnya, dapat  diketahui  bahwa  faktor-faktor  yang  diduga  mempengaruhi  angka  kematian akibat  DBD  adalah  persentase  penduduk  miskin,  persentase  rumah  tangga  kumuh, persentase rumah tangga sanitasi layak, dan persentase rumah tangga menurut sumber air minum layak.
Analisis regresi merupakan analisis untuk menyelidiki pola hubungan antara variabel prediktor  dengan  variabel  respon  dan  dapat  digunakan  untuk  melakukan  prediksi [8][9]. Ada 3 pendekatan dalam analisis regresi yaitu regresi parametrik, nonparametrik, dan semiparametrik. Pada regresi parametrik, harus memenuhi asumsi dan memiliki sifat yang kaku, artinya bentuk kurva regresi harus diketahui. Regresi nonparametrik, apabila  kurva  diasumsikan  tidak  diketahui,  sedangkan  pendekatan  regresi semiparametrik  merupakan  kombinasi  antara  parametrik  dan  nonparametrik.  Sering kali  dalam  prakteknya,  bentuk  pola  hubungan  antara  variabel  prediktor  dan  respon tidak diketahui, sehingga pendekatan yang disarankan adalah regresi nonparametrik.
Kurva regresi nonparametrik diasumsikan mulus ( smooth ) yaitu termuat dalam suatu fungsi  tertentu.  Pendekatan  regresi  nonparametrik  memiliki  fleksibilitas  yang  sangat tinggi, sehingga diharapkan data mampu menyesuaikan sendiri bentuk estimasi kurva regresi  tanpa  dipengaruhi  oleh  subyektifitas  peneliti  [10].  Pada  pendekatan  regresi nonparametrik,  terdapat  beberapa  estimator  yang  dikembangkan  oleh  para  peneliti, diantaranya adalah Kernel [9][10][11][12], spline truncated [6][8][13][14] dan deret Fourier [15][16][17].
Estimator  yang  paling  sering  digunakan  adalah spline  truncated . Spline  truncated merupakan potongan polinomial yang sifatnya tersegmen dan kontinu. Kelebihan dari spline truncated yaitu model ini fleksibel, dikarenakan spline truncated memiliki titik-titik knot yang menunjukkan adanya perubahan pola data [8][15]. Selain itu metode yang
menjadi  sorotan  lainnya  adalah  deret  Fourier  yang  dipopulerkan  oleh  Bilodeau  [18]. Deret  Fourier  merupakan  polinomial  trigonometri  yang  punya  fleksibilitas  tinggi, sehingga dapat menyesuaikan sifat lokal data secara efektif [19][20]. Deret Fourier juga baik digunakan untuk kurva yang polanya berulang [21].
Pada makalah ini dilakukan pemodelan kasus Case Fatality Rate (CFR) akibat DBD di Indonesia  dengan  pendekatan  regresi  nonparametrik  menggunakan  estimator spline truncated dan  deret  Fourier.  Pendekatan  regresi  nonparametrik  dapat  memberikan fleksibilitas  yang  tinggi,  yang  tidak  tergantung  pada  asumsi  bentuk  kurva  regresi tertentu,  sementara  kedua  estimator  yang  digunakan  memiliki  kelebihan  masing- masing. Oleh karena itu, perlu dicari estimator terbaik dalam memodelkan data kasus CFR akibat DBD di Indonesia.

## 2.  Metode
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang dipublikasikan oleh  BPS  (Badan  Pusat  Statistik)  dan  Kementerian  Kesehatan  Republik  Indonesia (Kemenkes  RI)  dalam  Laporan  Statistik  Lingkungan  Hidup  dan  Profil  Kesehatan Indonesia, tentang Case Fatality Rate (CFR) akibat Demam Berdarah Dengue (DBD) di 33 provinsi Tahun 2018 [3][22].
Variabel-variabel  yang  diduga  mempengaruhi CFR akibat  DBD  di  Indonesia  yaitu persentase  penduduk  miskin,  persentase  rumah  tangga  kumuh,  persentase  rumah tangga yang memiliki akses sanitasi layak, dan persentase rumah tangga yang memiliki akses sumber air minum layak.
Analisis  data  yang  digunakan  adalah  dengan  menggunakan  pendekatan  regresi nonparametrik  dengan  estimator spline  truncated dan  deret  Fourier.  Untuk menyelesaikan  tujuan  penelitian,  maka  disusun  langkah  penelitian  dengan  tahapan sebagai berikut:

## 2.1 Mendefinisikan model regresi nonparametrik
Diberikan  data  berpasangan  dengan  variabel  prediktor  sebanyak  4  sehingga  dapat dituliskan 1 2 3 4 ( , , , , ) i i i i i x x x x y .  Selanjutnya  diasumsikan  pola  antara  masing-masing variabel  prediktor 1 2 3 4 ( , , , ) i i i i x x x x terhadap  variabel  respon ( ) i y mengikuti  model regresi  nonparametrik.  Kurva  regresi  yang  dibentuk  dari  variabel  prediktor diasumsikan bersifat aditif, sehingga:
( ) 4 1 2 3 4 1 1 2 2 4 4 1 ( , , , ) ( ) ( ) ... ( ) i i i i i i i p pi p f x x x x f x f x f x f x = = + + + =  (1)
2.2 Menghampiri  kurva  regresi  nonparametrik  menggunakan  estimator spline truncated .
Data  berpasangan i x dan i y ,  dimana 1, 2,..., i n
= yang  merupakan  model  regresi nonparametrik. Didapatkan persamaan spline truncated berikut:
0 1 ( ) ; 1, 2,..., m r j m i j i m k i k i j k y x x K i n    + + = = = + − + =   (2)
dengan fungsi truncated diberikan oleh:

## Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Spline Truncated …
( ) ( ) 0 m m i k i k x K x K +  − − =   k k x K x K   (3)
Model regresi pada Persamaan (2) diubah menjadi bentuk matriks sebagai berikut:
1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
m m m r m m m r
m m m n m r n n n n n n r y x x x x K x K y x x x x K x K y x x x x K x K       + + + + + + +   − −
              − −         = +                 − −           (4)
Maka menjadi:
Y   = + X (5)
Selanjutnya parameter  dapat diestimasi dengan menggunakan Ordinary Least Squares (OLS) yaitu suatu metode untuk memperoleh estimator dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat error . Adapun error dari Persamaan (5) diberikan oleh:
0 1 ( ) m r j m i i j i m k i i k j k y x x K Y      + + = =   = − + −     = −   X (6)
Sehingga jumlah kuadrat error diberikan oleh:
2 1 ( ) ( ) n T T i i Y Y      = = = − −  X X (7)
Metode OLS mendapatkan estimator ˆ  melalui penyelesaian optimasi:
    min ( ) min ( ) ( ) T Q Y Y    = − − X X (8)
Untuk  menyelesaikan  optimasi  pada  Persamaan  (8)  dapat  menggunakan  derivatif parsial. Bentuk kuadratik dari ( ) Q  dapat diuraikan menjadi
( ) 2 T T T T T Q Y Y Y       = − +   X X X (9)
Kemudian  Persamaan  (9)  diturunkan  terhadap  vektor  dan  disamadengankan  nol sedemikian sehingga diperoleh:
1 ˆ ( ) T T Y  − = X X X (10)
Dengan demikian estimasi kurva regresi ˆ ( ) p pi f x diperoleh:
1 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) T T p pi f x Y
K Y  −   = → →   X X X X X Z (11)
2.3 Menghampiri  kurva  regresi  nonparametrik  menggunakan  estimator  deret Fourier.
Misalkan diberikan data berpasangan i x dan i y , dimana 1, 2,..., i n = yang merupakan model regresi nonparametrik. Didapatkan persamaan deret Fourier sebagai berikut:
0 1 1 cos( ) ; 1, 2,..., 2 Q i i q i i q y x qx i n     = = + + + = 
(12)
Model regresi pada Persamaan (12) dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut:
0 1 11 11 11 11
1
2 12 12 12 12 2 1 1 1 1
1 cos cos  (2 ) cos  (Q ) 1 cos cos  (2 ) cos  (Q ) 1 cos cos  (2 ) cos  (Q ) Q n n n n n n y x x x x y x x x x y x x x x    
                          = +                           (13)
Maka dapat menjadi:
Y   = + A (14)
Selanjutnya parameter  dapat diestimasi dengan menggunakan  OLS. Adapun error pada Persamaan (14) diberikan oleh:
0 1 1 cos( ) 2 Q i i i q i q i y x qx Y    
  =   = − + +     = −
 A
(15)
Sehingga jumlah kuadrat error diberikan oleh:
2 1 ( ) ( ) n T T i i Y Y      = = = − −  A A (16)
Metode OLS mendapatkan estimator ˆ  melalui penyelesaian optimasi:
    min ( ) min ( ) ( ) T Q Y Y    = − − A A (17)
Untuk  menyelesaikan  optimasi  pada  Persamaan  (17)  dapat  menggunakan  derivatif parsial. Bentuk kuadratik dari ( ) Q  dapat diuraikan menjadi
( ) 2 T T T T T Q
Y Y Y       = − +   A A A (18)
Kemudian Persamaan (18) diturunkan terhadap vektor  dan disamadengankan nol sedemikian sehingga diperoleh:

## Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Spline Truncated …
1 ˆ ( ) T T Y  − = A A A (19)
Dengan demikian estimasi kurva regresi ˆ ( ) p pi f x diperoleh: 1 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) T T p pi f x Y
Q Y  −   = → →   A A A A A B (20)
2.4 Memodelkan  kasus CFR akibat  DBD  di  Indonesia  dengan  estimator spline truncated dan deret Fourier.
Membuat scatter  plot (diagram  pencar)  antara  variabel  respon ( ) y dengan  masing- masing variabel prediktor
1 2 3 4 ( , , , ) x x x x . Selanjutnya dimodelkan dengan pendekatan regresi nonparametrik berdasarkan estimator spline truncated dan deret Fourier.
2.5 Menetapkan estimator terbaik dalam proses pemodelan kasus CFR akibat DBD di Indonesia .
Tujuan  utama  dalam  pemodelan  statistika  adalah  mendapatkan  model  yang  terbaik. Adapun kriteria yang digunakan:
Kriteria Generalized Cross Validation (GCV):
  1 2 1 1 2 ˆ ( ) ( ) ( [ ( ) ) n i i i opt
n y y GCV K
n trace K − = − − = −  I Z &   1 2 1 1 2 ˆ ( ) ( ) ( [ ( ) ) n i i i opt n y y GCV Q
n trace Q − = − − = −  I B (21)
Kriteria Koefisien Determinasi (R 2 ):
2 1 SSE R SST = − (22) dengan SSE adalah 2 1 ˆ ( ) n i i i y y = −  dan SST adalah 2 1 ( ) n i i y y = −  .

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  estimasi  model  regresi  nonparametrik spline truncated dan deret Fourier yang diterapkan pada data CFR akibat DBD pada 33 Provinsi di Indonesia Tahun 2018.

## 3.1.  Statistika Deskriptif
Sebelum dilakukan proses pemodelan dengan menggunakan estimator spline truncated dan  estimator  deret  Fourier  pada  kasus  DBD  di  Indonesia,  ditampilkan  statistika deskriptif  guna  memberikan  informasi  awal  dari  masing-masing  variabel  yang digunakan pada Tabel 1.
Statistika  deskriptif  yang  ditampilkan  pada  Tabel  1  memperlihatkan  bahwa  masing- masing Provinsi di Indonesia memiliki karakteristik yang berbeda-beda untuk semua variabel prediktornya. Provinsi Maluku Utara merupakan daerah yang memiliki CFR akibat  DBD tertinggi yaitu sebesar 3,64%, sedangkan DKI Jakarta merupakan daerah yang memiliki CFR akibat DBD terendah yaitu hanya sebesar 0,07%.
Tabel 1. Statistika deskriptif variabel penelitian
Variabel  N  Minimum  Maksimum  Rata-Rata  Standar Deviasi y 33 0,07 3,64 0,88 0,75 1 x 33 3,55 27,43 10,72 5,75 2 x 33 1,13 40,01 7,10 6,95 3 x 33 33,75 91,14 68,25 13,13 4 x 33 49,37 90,90 72,49 8,98
Selanjutnya hubungan variabel respon dengan masing-masing variabel prediktor dapat dilihat  dari  diagram  pencar.  Hasil  diagram  pencar  untuk  masing-masing  variabel respon terhadap variabel prediktor ditampilkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram pencar antara variabel prediktor terhadap variabel respon
Diagram pencar pada Gambar 1 menunjukkan pola hubungan antara CFR Akibat DBD (Y)  terhadap  ke  empat  variabel  prediktor.  Diagram  pencar  yang  ditampilkan  pada Gambar  1  memperlihatkan  tidak  adanya  kecenderungan  membentuk  suatu  pola tertentu.  Sehingga  dengan  pola  data  yang  demikian,  kurang  tepat  apabila  didekati dengan menggunakan regresi parametrik.
Selanjutnya  pola  hubungan  antara  antara  CFR  Akibat  DBD  (Y)  terhadap  ke  empat variabel prediktor akan di dekati dengan model regresi nonparametrik. Estimator yang digunakan pada penelitian ini ada 2 yaitu spline truncated dan deret Fourier. Akan di pilih model yang terbaik dari kedua estimator yang digunakan.
Penelitian ini menggunakan jumlah titik knot dengan jumlah yang sama untuk setiap variabel prediktor yang digunakan yaitu 1 sampai dengan 4 titik knot untuk estimator spline  truncated ,  sedangkan  untuk  estimator  deret  Fourier  akan  dicobakan  parameter osilasi dari 1 sampai dengan 4.

## 3.2.  Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Spline Truncated
Pada pemodelan regresi nonparametrik dengan estimator spline truncated , langkah awal yang dilakukan adalah menentukan banyaknya titik knot serta lokasi dimana titik knot

## Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Spline Truncated …
yang  optimal  berada  sedemikian  sehingga  akan  menghasilkan  nilai  GCV  yang minimum.  Metode  estimasi  yang  digunakan  adalah  OLS . Adapun  hasil  yang didapatkan dari proses pemodelan CFR Akibat DBD (Y) ditampilkan pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai GCV dan R
2 berdasarkan banyaknya dan letak titik knot Banyaknya Titik Knot Lokasi Knot Optimal GCV  Koefisien Determinasi X 1 X 2 X 3 X 4 1 22,88  32,60  80,20  82,98  0,78 18,27% 2 17,19 18,33 23,34 25,19 66,54 69,27 73,10 75,08 0,71 47,60% 3 16,05 17,19 18,33 21,49 23,34 25,19 63,81 66,54 69,27 71,12 73,10 75,08 0,53 71,05% 4 8,09 13,78 14,92 16,05 8,53 17,79 19,64 21,49 44,68 58,34 61,07 63,81 57,28 67,17 69,14 71,12 0,25 91,80%
Berdasarkan  hasil  analisis,  nilai  GCV  minimum  dan  koefisien  determinasi  terbesar didapatkan  saat  banyaknya  titik  knot  adalah  4.  Berikut  disajikan  persamaan  regresi nonparametrik spline truncated dengan 4 titik knot.
1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ˆ 0, 01 0,14 0, 00 0, 94 0, 84 0,15( 8, 09) 0, 73( 13, 78) 1, 57( 14, 92) 0, 76( 16, 05) 0, 83( 8, 53) 4, 68( 17, 79) 0, 30( 19, 64) 2, 88( 21, 49) 0, 09( 44, 68) 3,17( 58, 34 ˆ ˆ ) y x x x x x x x
x x x x x x x y y + + + + + + + + + + = + + − + − − − − + − − − + − − − + − + − + − + − = = − 3 3 4 4 4
4 3, 20( 61, 07) 0, 88( 63, 81) 0, 78( 57, 28) 1, 50( 67,17) 3, 04( 69,14) 1, 47( 71,12) ˆ y x x x x x x + + + + + + − + − − − + − − + − = −

## 3.3.  Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Deret Fourier
Pada pemodelan regresi nonparametrik dengan estimator deret Fourier, maka langkah awal yang dilakukan adalah menentukan banyaknya osilasi (gelombang) sedemikian sehingga  akan  menghasilkan  nilai  GCV  yang  minimum.  Osilasi  akan  disimbolkan dengan Q , dimana nilai Q merupakan bilangan bulat positif. Q yang akan dicobakan dari 1 hingga 4. Selanjutnya dilakukan metode estimasi dengan OLS. Adapun hasil yang didapatkan dari proses pemodelan CFR Akibat DBD (Y) ditampilkan pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai GCV dan R 2 berdasarkan banyaknya osilasi Nilai Q GCV Koefisien Determinasi 1 Q = 7,53 19,44% 2 Q = 2,97 28,63% 3 Q = 0,93 60,35% 4 Q = 0,52 65,44%
Berdasarkan  hasil  analisis,  nilai  GCV  minimum  dan  koefisien  determinasi  terbesar didapatkan  saat  banyaknya  osilasi  adalah  4.  Sebenarnya  banyaknya  nilai Q yang dicobakan bisa lebih dari 4, akan tetapi akan berdampak terhadap banyaknya parameter yang akan diestimasi. Sebagai contoh dengan 5 Q = maka parameter yang diestimasi
ada sebanyak 25. Model yang dihasilkan tidak parsimoni (sederhana). Berikut disajikan persamaan regresi nonparametrik deret Fourier dengan banyaknya osilasi adalah 4.
2 4 4 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3 3 3 2 0, 09 0,12 0, 01 0, 01cos 0, 36 0, 74 0, 27 0, 01 0, 28 0,11 0,17 0,14 0, 02 0, 35 cos 0 ˆ 1.07 0, 08 0,12 cos cos 2 cos 3 cos 4 cos 2 cos 3 cos 4 cos cos 2
cos 3 co
ˆ s 4 ˆ 0, 00 i i i i i i i i i i i i i i
i i i x x x y x x x x x x x x x x x
x y
y x x − − − − − − − − + + + + = = = − + + − + + + 4 4 4 , 24 cos 2 0, 49 cos 3 0, 29 cos 4 i i i x x x + −

## 3.4.  Pemilihan Model Regresi Nonparametrik Terbaik
Setelah dilakukan pemodelan dengan menggunakan pendekatan regresi nonparametrik dengan  2  estimator  yang  dicobakan,  yaitu spline  truncated dan  deret  Fourier  maka langkah selanjutnya adalah mendapatkan model yang terbaik.
Tabel 4. Pemilihan model terbaik Estimator Koefisien Determinasi  MSE Spline Truncated 91,80% 0,04 Deret Fourier 65,44% 0,19
Berdasarkan  Tabel  4,  terlihat  estimator spline  truncated memiliki  nilai  GCV  dan  MSE yang  lebih  kecil  serta  nilai  koefisien  determinasi  yang  lebih  tinggi  dibandingkan estimator  deret  Fourier,  sehingga  estimator  terbaik  untuk  memodelkan  kasus  CFR akibat DBD di Indonesia adalah spline truncated . Pada spline truncated banyaknya titik knot yang digunakan adalah 4. Adapun  hasil visualisasi dengan menggunakan diagram garis berdasarkan nilai y dengan ˆ y dari kedua estimator di tampilkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Grafik aktual dan prediksi dari kedua estimator
Terlihat nilai ˆ y yang didapatkan dari pemodelan regresi nonparametrik menggunakan estimator spline truncated cenderung mengikuti pola data aktual.

## 4.  Kesimpulan
Hasil pemodelan Case Fatality Rate (CFR) akibat Demam Berdarah Dengue (DBD) di 33 provinsi  Indonesia  menggunakan  pendekatan  regresi  nonparametrik,  menunjukkan bahwa  estimator spline  truncated memiliki  performa  dan  akurasi  yang  lebih  baik dibandingkan  estimator  deret  Fourier.  Hal  ini  ditunjukkan  dengan  nilai  koefisien determinasi  dari  estimator spline  truncated adalah 91,80%  dan nilai MSE sebesar 0,04.

## Pemodelan Regresi Nonparametrik dengan Estimator Spline Truncated …
Pada estimator deret Fourier, diperoleh nilai koefisien determinasi sebesar 65,44% dan nilai MSE sebesar 0,19.

## Referensi
[1]
Kemenkes RI,  “Buletin  Demam  Berdarah,” 2014.  [Online].  Available: https://www.kemkes.go.id/folder/view/01/structure-publikasi-pusdatin buletin.html . [Accessed: 12-09-2020].
[2] Kemenkes RI, Profil Kesehatan Indonesia 2015 , Jakarta: Kementerian Kesehatan RI, 2016.
[3] Kemenkes RI, Profil Kesehatan Indonesia 2017 , Jakarta: Kementerian Kesehatan RI, 2018.
[4] S. Sifriyani , “ Simultaneous Hypothesis Testing of Multivariable Nonparametric
Spline  Regression  in  the  GWR  Model ,” International  Journal  of  Statistics  and Probability ., vol. 8, no. 4, pp. 32-46, 2019.
[5] A.  Fitriani,  I.  G.  A.  M.  Srinadi,  and  M.  Susilawati,  “ Estimasi  Model  Regresi Semiparametrik Menggunakan Estimator Kernel Uniform (Studi Kasus: Pasien DBD di RS Puri Rahar ja),” E-Jurnal Matematika , vol. 4, no. 04, pp. 176-180, 2015.
[6] E.  Yunita,  K.  Kuzairi,  and  R.  Mubarak, “Model  Proyeksi  Kematian  Penderita
Demam  Berdarah  Dengue  (DBD)  Berdasarkan  Estimator  Spline,” Prosiding National Conference on Mathematics, Science, and Education (NACOSME) , pp. 195- 204, 2018.
[7] N. W. Yani, I. G. A. M. Srinadi, and I. W. Sumarjaya, “ Aplikasi Model Regresi Semiparametrik  Spline  Truncated  (Studi  Kasus:  Pasien  Demam  Berdarah Dengue (DBD) di Rumah Sakit Puri Raharja ,” E-Jurnal Matematika , vol. 6, pp. 65- 73, 2017.
[8] I. N. Budiantara, “Spline Dalam Regresi  Nonparametrik Dan Semiparametrik: Sebuah  Pemodelan  Statistika  Masa  Kini  dan  Masa  Mendatang,” Pidato Pengukuhan Untuk Jabatan Guru Besar Dalam Bidang Ilmu: Matematika Statistika dan Probabilitas,  Pada  Jurusan  Statistika,  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan Alam, Insititut Teknologi Sepuluh November, Surabaya, 2009.
[9] N. A. K. Rifai, “Pendekatan Regresi Nonparametrik dengan Fungsi Kernel untuk Indeks Harga Saham Gabungan,” E-Jurnal  Statistika , vol.  19, no. 01, pp. 53-61, 2019.
[10] R. L. Eubank, Spline Smoothing and Nonparametric Regression , New York: Marcel Dekker, 1988.
[11] W. Hardle, “ Applied Nonparametric Regression ,” New York: Cambrige University Press, 1990.
[12] A.  P.  Putri,  R.  Santoso,  and  Sugito ,  “Analisis  Regresi  Nonparametrik  Kernel Menggunakan  Metode  Jacknife  Sampel  Terhapus-1  dan  Sample  Terhapus-2 (Studi  Kasus  Pemodelan  Tingkat  Inflasi  Terhadap  Nilai  Tukar  Rupiah  di Indonesia Periode 2004- 2016,” Jurnal Gaussian , vol. 6, no. 1, pp. 01-10, 2017.
[13] V.  Ratnasari,  I.  N.  Budiantara,  M.  Ratna,  and  I.  Zain, “Estimation  of Nonparametric  Regression  Curve  using  Mixed  Estimator  of  Multivariable
Truncated Spline and Multivariable Kernel,” Global Journal of Pure and Applied Mathematics . vol. 10, pp. 5047-5057, 2016.
[14] G. Wahba, Spline Models for Observational Data , Pennsylvania: SIAM, 1990.
[15] R. L. Eubank, Nonparametric Regression and Spline Smoothing, 2 Edition . New York: Marcel Dekker, 1999.
[16] D.  R.  S.  Saputro,  A.  Sukmayanti,  and  P.  Widyaningsih ,  “The  Nonparametric Regression  Model  Using  Fourier  Series  Approximation  and  Penalized  Least
Squares  (Case  on  Data  Proverty  in  East  Java),” in The  Sixth  Seminar  Nasional Pendidikan  Matematika  Universitas  Ahmad  Dahlan , IOP  Conference  Series:  Journal Physics 1188, 2019.
[17] A. Prahutama, S. Suparti, and T. W. Utami , “Modelling Fourier Regression for Time  Series  Data-a  Case  Study:  Modelling  Inflation  in  Foods  Sector  in
Indonesia,” in International  Conference  on  Mathematics:  Pure,  Applied  and Computation , IOP Conference Series: Journal Physics 974, 2018.
[18] M. Bilodeau, “Fourier Smoother and Additive Models”, The Canadian Journal of Statistics , vol. 03, pp. 257-269, 1992.
[19] L.  J.  Asrini  and  I.  N.  Budiantara, “Fourier  Series  Semiparametric  Regression Models  (Case  Study:  The  Production  of  Law  Land  Rice  Irrigation  in  Central Java) ,” ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences , vol. 09, pp. 1501-1506, 2014.
[20] R.  Pane,  I.  N.  Budiantara,  I.  Zain,  and  B.  W. Otok,  “Parametric  and Nonparametric  Estimators  in  Fourier  Series  Semiparametric  Regression  and Their Characteristi cs,” Applied Mathematical Sciences , vol. 102, no. 08, pp. 5053- 5064, 2012.
[21] L. J. Asrini “Regresi Semiparametrik Deret Fourier”, in Prosiding Seminar Nasional FMIPA Universitas Negeri Surabaya , pp. 77-80, 2012.
[22] BPS, Statistik Lingkungan Hidup , Jakarta: Badan Pusat Statistik, 2016.
This  article  is  an  open  access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics,  Universitas  Negeri  Gorontalo,  Jln.  Prof.  Dr.  Ing.  B.J.  Habibie, Moutong,  Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.