PENERAPAN PROGRAM LINIER MENGGUNAKAN METODE DUAL SIMPLEKS DAN METODE QUICK SIMPLEKS UNTUK MEMINIMUMKAN BIAYA (STUDI KASUS: KELOMPOK WANITA TANI (KWT) SENTOSA SANTUL)
Elfira Safitri 1* , Sri Basriati 2 , Elvina Andiani 3
1, 2, 3 Program Studi Matematika, UIN Suska Riau Email : 1 elfira.safitri@uin-suska.ac.id, 2 sribasriati@uin-suska.ac.id, 3 elvinaandiani19@gmail.com
Abstract. The  Sentosa    Santul  Women  Farmers  Group  (KWT)  is  a  group  of  women farmers in Dusun Santul, Kampar Utara District an is engaged in the field of food crops is chili. The Sentosa Santul Women Farmers group (KWT) uses 4 types of fertilizers for chili  plant  fertilization,  namely  hydro  complex  fertilizer,  phonska,  NPK  Zamrud  and goat manure. The KWT wants the minimum fertilizer cost but the nutrients in the plants are  met.  The  method  used  in  this  research  is  the  dual  simplex  method  and  the  quick simplex method. The purpose of this study is to determine the minimum costs that must be  incurred  by  the  Womens  Farmer  Group  (KWT)  for  fertilization  using  the  dual simplex  method  and  the  quick  simplex  method  to  obtain  an  optimum  and  feasible solution. For the dual simplex method, the optimum and feasible solution were obtained using  the  Gauss  Jordanelimination.  While  the  quick  simplex  method,  the  solution  is illustrated  using  a  matrix  to  reduce  the  number  of  iterations  needed  to  achieve  the optimal solution. Based on the research result, it is found that the quick simplex method is  more  efficient  than  the  dual  simplex  method.  This  can  be  seen  from  the  number  of iterations carried out. Dual simplex method iteration there are two iterations and quick simplex one iteration. The dual simplex method and the quick simplex method produce the same value.
Keywords :  Dual simplex method, Feasible, Iteration, Quick simplex method
Abstrak . Kelompok Wanita Tani (KWT) Sentosa Santul merupakan kelompok wanita tani di  Dusun  Santul,  Kecamatan  Kampar  Utara  dan  bergerak  dalam  bidang  tanaman  pangan yaitu  cabai.  Kelompok  wanita  tani  (KWT)  Sentosa  Santul  menggunakan  4  jenis  pupuk untuk pemupukan tanaman cabai yaitu pupuk Hidrokompleks, Phonska, NPK Zamrud dan pupuk  kandang  Kambing.  KWT  tersebut  menginginkan  biaya  pemupukan  seminimal mungkin  tetapi  unsur  hara  pada  tanaman  terpenuhi.  Metode  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  metode  dual  simpleks  dan  metode quick simpleks.  Tujuan  dari penelitian  ini  adalah  mengetahui  biaya  minimum  yang  harus  dikeluarkan  Kelompok Wanita  Tani  (KWT)  untuk  pemupukan  menggunakan  metode  dual  simpleks  dan  metode quick simpleks untuk mendapatkan solusi yang optimum dan fisibel. Penyelesaian  metode dual simpleks, solusi optimum dan fisibel diperoleh menggunakan eliminasi Gauss Jordan. Sedangkan  metode quick simpleks,  solusi  penyelesaian  di  ilustrasikan  dengan menggunakan  matriks  untuk  mengurangi  jumlah  iterasi  yang  diperlukan  mencapai  solusi yang optimal. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh bahwa metode quick simpleks lebih

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
117 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
efisien dibandingkan dengan metode dual simpleks. Hal ini, dapat dilihat dari banyak nya iterasi  yang  dilakukan  dan  waktu  pengerjaan  yang  lebih  singkat.  Iterasi  metode  dual simpleks  terdapat  dua  kali  iterasi  dan quick simpleks  satu  kali  iterasi.    Metode  dual simpleks dan metode quick simpleks menghasilkan nilai yang sama.
Kata kunci: Fisibel, iterasi,metode dual simpleks, metode quick simpleks.

## I. PENDAHULUAN
Pupuk adalah bahan yang diberikan ke dalam tanah baik yang organik maupun anorganik dengan  maksud  mengganti  kehilangan  unsur  hara  dari  dalam  tanah  yang  bertujuan  untuk meningkatkan  produksi  tanaman  dalam  keadaan  lingkungan  yang  baik.  Dalam  penggunaan pupuk  memerlukan  petani  yang  berpengalaman  banyak,  sehingga  tanaman  yang  dipupuk tumbuh dengan subur dan pendapatan petani meningkat [6].
Peningkatan  pendapatan  petani  bisa  dilihat  juga  dengan  adanya  organisasi  yang  bisa mendapatkan cara pemupukan yang baik dan memperkuat kerjasama diantara sesama petani wanita dalam kelompok tani dan antar kelompok tani serta dengan pihak lain adalah dengan adanya  organisasi  Kelompok  Wanita  Tani  (KWT).  Salah  satunya  adalah  organisasi Kelompok  Wanita  Tani  (KWT)  Sentosa  Santul  yang  terdapat  di  Dusun  Santul,  Kecamatan Kampar  Utara  dan  kelompok  wanita  tani  ini  bergerak  dalam  bidang  tanaman  pangan,  salah satunya yang ditanam adalah cabai [7].
Salah  satu  faktor  yang  menunjang  tanaman  untuk  tumbuh  dan  berproduksi  secara optimal  adalah  ketersediaan  unsur  hara  dalam  jumlah  yang  cukup  dalam  tanah.  Jika  tanah tidak dapat menyediakan unsur hara yang cukup bagi tanaman, maka pemberian pupuk perlu dilakukan  untuk  memenuhi  kekurangan  tersebut.  Pemberian  pupuk  tidak  cukup  hanya melihat  keadaan  tanah  dan  lingkungan  saja,  tetapi  harus  mempertimbangkan  kebutuhan pokok unsur hara tanaman tersebut [5].
Penanaman  cabai  pada  umumnya  petani  kurang  memperhatikan  Penggunaan  pupuk. Petani memberikan penggunaan jenis dan dosis pupuk yang berbeda-beda walaupun dengan luas  tanah  yang  sama.  Petani  yang  memiliki  modal  banyak,  dalam  penggunaan  pupuk cenderung  lebih  banyak.  Sedangkan  petani  yang  memiliki  modal  sedikit  cenderung meminimalkan  penggunaan  pupuk  untuk  mengurangi  biaya  yang  dikeluarkan  [1]. Meminimalkan penggunaan pupuk tanpa mempertimbangkan kebutuhan unsur hara tanaman karena  biaya  yang  terbatas    terjadi  pada  kelompok  wanita  tani  (KWT)  Sentosa  Santul. Penggunaan pupuk dilakukan secara manual tanpa diketahui apakah jumlahnya sudah optimal atau  belum.  Akibatnya,  hasil  produksi  cabai  menjadi  tidak  maksimal  karena  kurangnya kandungan  unsur  hara  yang  dibutuhkan.  Dalam  mengatasi  keterbatasan  yang  dimiliki  guna meminimumkan  biaya  keseluruhan,  maka  perlu  dilakukan  optimasi  dengan  cara  program linear [7].
Solusi dasar dari metode simpleks dengan akan memiliki dua kemungkinan solusi, yaitu fisibel dan tidak fisibel.  Solusi yang fisibel akan menjadi solusi yang optimum dan  untuk  solusi  yang  tidak  fisibel  dapat  dioptimumkan  menjadi  solusi  yang  fisibel  dengan menggunakan  metode  dual  simpleks.  Penyelesaian  metode  dual  simpleks  sangat  mirip dengan  metode  simpleks,  perbedaan  antara  keduanya  adalah  terletak  pada leaving  variabel dan entering  variabel . Entering  variabel pada  dual  simpleks  adalah  variabel  basis  yang memiliki  nilai  negatif  terbesar. Leaving  variabel pada  dual  simpleks  adalah  ditentukan perbandingan rasio antara koefisien baris (z) dengan koefisien leaving variabel [3].
0  − j j C Z
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
118 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Ada  suatu  pendekatan  baru  untuk  menyelesaikan  permasalahan  program  linier  yaitu pendekatan quick simpleks.  Solusi  penyelesaian  dengan  menggunakan quick simpleks  di ilustrasikan dengan  menggunakan  matriks  untuk mengurangi jumlah iterasi yang diperlukan mencapai  solusi  yang  optimal.  Metode  dual  simpleks  memakai  tabel  simpleks  dengan perulangan/iterasi,  perlu  banyak  langkah  dan  ketelitian  tinggi  sedangkan quick simpleks hanya  sekali  iterasi.  Maka, quick simpleks  baik  secara  tabel  dan  bentuk  matriks  akan digunakan dalam penyelesaian masalah ini [12].
Penelitian  terdahulu  yang  berkaitan  dengan  metode quick simpleks  dapat  dilihat  dari jurnal  penelitian  yang  berkaitan  dengan  hal  tersebut  yaitu  penelitian  yang  dilakukan  oleh Vaidya, dkk [10] yang berjudul “ Approximation algorithm for optimal solution to the linear programming problem ”.  Dalam penelitian ini membahas tentang algoritma alternative baru untuk dua fase metode simpleks dan pemograman linier. Metode ini melibatkan lebih sedikit iterasi dari metode simpleks biasa.
Selanjutnya,  penelitian  Vaidya,  dkk  [8]  yang  berjudul  “ Comparision  between  various entering  vector  criteria  with  quick  simplex  algorithm  for  optimal  solution  to  the  linear programming  problem ”.  Dalam  penelitin  tersebut  dibahas  mengenai  memecahkan  masalah pemrograman  linier  menggunakan  metode  simpleks  dan  membandingkan  metode quick simpleks  dengan  metode  lain  untuk  memperkenalkan  vektor  dengan  berbagai  kriteria mencapai solusi optimal.  Metode ini melibatkan iterasi yang lebih sedikit dari pada metode simpleks atau paling banyak angka yang sama karena metode ini mencoba untuk mengganti lebih dari satu variabel dasar secara bersamaan.
Penelitian lain dengan pembahasan yang sama juga dilakukan oleh Vaidya, dkk [9] yang berjudul  “ Quick  Simplex  Algorithm  For  Optimal  Solution  to  the  Linear  Programming Problem  Along  with  Theoretical  Proof  of  Formulae”. Dalam  penelitian  tersebut  dibahas mengenai  menyelesaikan  solusi  linear  programming  menggunakan  metode  simpleks  dan diaplikasikan  dengan  metode quick simpleks.  Metode quick simpleks  mencoba  untuk menggantikan lebih dari satu variabel dasar simultan sehingga melibatkan lebih sedikit iterasi atau pada jumlah yang paling sama dari pada dalam metode simpleks.
Selanjutnya penelitian lain dilakukan oleh Vaidya dan Kasturiwale  [11] yang berjudul “ Application Of Quick  Simplex  Method (A New  Approach) On Two Phase  Method” . Dalam penelitian  tersebut  dibahas  mengenai  menyelesaikan  metode  simpleks  dua  fase  dan diaplikasikan dengan metode quick simpleks  pada fase I dan fase II, di ilustrasikan dengan memberikan  solusi  untuk  menyelesaikan  masalah  metode  dua  fase  simpleks  tersebut.  Dan menunjukakan  bahwa  iterasi  yang  dibutuhkan  sama  atau  kurang,  tetapi  iterasi  yang diperlukan tidak pernah lebih dibandingkan dengan Metode Simpleks.
Kemudian juga dilakukan oleh Vaidya, dkk [12]  yang berjudul .” Application Of Quick Simplex  Method  On  The  Dual  Simplex  Method  (A  New  Approach) “.  Dalam  penelitian tersebut dibahas mengenai menyelesaikan metode quick simpleks menggunakan metode dual simpleks.  Metode quick simpleks    mencoba  untuk  menggantikan  lebih  dari  satu  variabel dasar simultan  sehingga  melibatkan  lebih  sedikit  iterasi atau  pada  jumlah  yang  paling  sama dari pada dalam metode dual simplek standar.
Berdasarkan  penelitian  Vaidya  [12]  penulis  tertarik  melakukan  penelitian  mengenai metode quick simpleks dengan variabel dan fungsi kendala serta kasus yang berbeda. Adapun tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  mengetahui  biaya  minimum  yang  harus  dikeluarkan Kelompok  Wanita  Tani  (KWT)  untuk  pemupukan  menggunakan  metode  dual  simpleks  dan metode quick simpleks untuk mendapatkan solusi yang optimum dan fisibel.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
119 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## II. METODE DAN BAHAN PENELITIAN

## 2.1 Metode Dual Simpleks
Metode dual simpleks adalah persoalan program linier yang udah optimum (berdasarkan kondisi  optimalisasi),  tetapi  belum  fisibel  (ada  pembatas  nonnegatif  yang  tidak  terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual simpleks [2]. Langkah-langkah dalam menyelesaikan metode dual simpleks sebagai berikut:
a. Mengubah  model  program  linier  kedalam  bentuk  standar  dengan  mengubah  semua kendala menjadi pertidaksamaan ≤ dan kemudian tambahkan variabel slack.
b. Menentukan leaving variabel Yang menjadi leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang memiliki harga  negatif  terbesar.  Jika  semua  variabel  basis  telah  berharga  positif  atau  nol,  berarti keadaan fisibel telah tercapai.
c. Menentukan entering variable
Terdapat dua cara menentukan entering variable yaitu:
1. Menentukan  perbandingan  (rasio)  antara  koefisien  persamaan 𝑧 dengan  koefisien persamaan leaving variable . Abaikan penyebut positif atau nol. Jika semua penyebut berharga  positif  atau  nol,  berarti  persoalan  yang  bersangkutan  tidak  memilki  solusi fisibel.
2. Untuk  persoalan  minimasi, entering  variable adalah  variabel  dengan  rasio  terkecil, sedangkan  untuk  persoalan  maksimasi, entering  variable adalah  variabel  dengan rasio absolut terkecil.
d. Melakukan eliminasi Gauss Jordan.
e. Solusi dikatakan optimal untuk kasus maksimasi dan minimasi jika nilai ruas kanan pada pembatas tidak bernilai negatif dan dikatakan solusi  optimum dan fisibel [2].
2.2 Metode Quick Simpleks
Langkah-Langkah dalam penyelesaian metode quick simpleks [12] sebagai berikut :
a. Mengubah model kedalam bentuk standar.
b. Menentukan leaving variabel Leaving variable dipilih yang memiliki nilai negatif dari variabel basis.
c. Menentukan entering variabel .
Entering  variable dipilih  ketika  elemen-elemen  pivot  dalam entering  variable berada dalam basis yang berbeda dan ditentukan dari perbandingan antara koefisien persamaan z dengan  koefisien leaving  variable dimulai  dari  negatif  terbesar.  Jika  terdapat  nilai entering variable yang sama, maka dipilih salah satu yang terdapat nilai leaving variable yang negatif terbesar.Untuk persoalan minimasi entering variable adalah variabel dengan rasio  positif  terkecil,  sedangkan  untuk  persoalan  maksimasi entering  variable adalah absolut terkecil.
d. Menentukan nilai R.
R adalah determinan matriks dari A. Rumus untuk dua variabel (1) R 22 21 12 11 det x x x x R =
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
120 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Rumus untuk tiga variabel:
(2)
e. Menentukan  elemen  baru  dengan  menggunakan  metode quick simpleks.  Elemen  baru diperoleh  dari  rasio  dua  determinan,  yang  penyebutnya  adalah  R.  Menentukan  metode quick simpleks  menggunakan  dua  variabel  atau 𝑛  > 2 variabel.  Ada  dua  formulasi rumus yang terdapat pada metode quick simpleks yaitu:
1. Jika  terdapat  dua  variabel  mencari  nilai  elemen  dalam  tabel  simpleks  baru menggunakan rumus yang dilihat pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1. Tabel mencari nilai 𝑥 1 ∗∗ , 𝑥 2 ∗∗ , 𝑠 3 ∗∗ dan 𝑠 4 ∗∗ 𝑥 1 ∗∗ = (−1) 1 | 𝑥 12 𝑥 13 𝑥 22 𝑥 23 | 𝑅 𝑥 2 ∗∗ = (−1) 2 | 𝑥 11 𝑥 13 𝑥 21 𝑥 23 | 𝑅 𝑠 3 ∗∗ = | 𝑥 11 𝑥 12 𝑥 13 𝑥 21 𝑥 22 𝑥 23 𝑥 31 𝑥 32 𝑥 33 | 𝑅 𝑠 4 ∗∗ = | 𝑥 11 𝑥 12 𝑥 13 𝑥 21 𝑥 22 𝑥 23 𝑥 41 𝑥 42 𝑥 43 | 𝑅
2. Menghitung metode quick simpleks untuk 𝑛  > 2 variabel menggunakan rumus yang terdapat dalam Tabel 2 berikut:
Tabel 2. Tabel untuk n variabel 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 NK 𝑠 5 𝑠 6 𝑠 7 𝑠 8 1 0 0 0
0 1 0
0 0 0 1 0 R 33 32 31 23 22 21 13 12 11 det x x x x x x x x x R = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 33 32 2 23 22 1 13 12 1 x x x x x x x x x b x x b x x b x x x =    33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 3 31 23 2 21 13 1 11 2 x x x x x x x x x x b x x b x x b x x =    33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 32 31 2 22 21 1 12 11 3 x x x x x x x x x b x x b x x b x x
x =   
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
121 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
0 0 0 1
Keterangan :
: Simbol kolom vektor untuk dua variabel
: Simbol kolom vektor untuk 𝑛  > 2 variabel
f. Menentukan niai elemen baru dan memperoleh solusi optimal.
g. Solusi dikatakan optimal pada kasus maksimasi dan minimasi jika nilai ruas kanan pada pembatas tidak bernilai negatif dan solusi dikatakan optimum dan fisibel.
Untuk mendapatkan nilai 𝑧 menggunakan rumus: 𝑧 𝑗 − 𝑐 𝑗 = ∑ 𝐶 𝐵 𝑛 𝑖=1 𝑃 𝑗 − 𝑐 𝑗 (3)
Keterangan:
Koefisien variabel basis fungsi tujuan
Koefisien variabel fungsi kendala,
Koefisien variabel fungsi tujuan,

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1  Gambaran Data
Penelitian  ini  menggunakan  4  unsur  utama  yang  dibutuhkan  cabai  yaitu  nitrogen, phosfat,  kalium  dan  sulfur.  Setiap  satu  periode  penanaman  cabai  memerlukan  kandungan nitrogen  paling  sedikit  200%,  phosfat  paling  sedikit  160%,  kalium  paling  sedikit  220%  dan sulfur paling sedikit 100%. Isi kandungan dari empat jenis pupuk tersebut akan dijelaskan di dalam Tabel 3 berikut:
Tabel 3. Jenis Pupuk Tanaman Cabai yang Digunakan
Jenis Pupuk Jumlah Kandungan UnsurHara (%) Per Karung HargaPer Karung Nitrogen Phosfat Kalium Sulfur Hidrokompleks 15% 9% 20% 4% Rp 225.000 Phonska 15% 15% 15% 10% Rp 115.000 NPK Zamrud 16% 16% 16% 4% Rp 115.000 Pupuk Kandang Kambing 2% 1% 1% 1% Rp 35.000 Kebutuhan Minimum 200% 160% 220% 100%
(Sumber: Skripsi Wazna Ulya, 2019)
33 32 31 23 22 21 13 12 11 4 3 2 1 43 33 23 11 42 32 22 12 41 31 21 11 4 x x x x x x x x x b b b b x x x x x x x x x x x x s =    * * i x n i ,..., 2 , 1 ; = * * * i x n i ,..., 2 , 1 ; = B C : j P : n j ,..., 2 , 1 = j c : n j ,..., 2 , 1 =
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
122 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Harga  satu  karung  pupuk  jenis  Hidrokompleks  Rp  225.000,  harga  satu  karung  pupuk  jenis Phonska  Rp115.000, harga satu karung pupuk jenis NPK Zamrud Rp 115.000 dan harga satu karung pupuk jenis pupuk kandang Kambing Rp 35.000.

## 3.2  Penyelesaian menggunakan Metode Dual Simpleks
Metode  dual  simpleks  merupakan  salah  satu  teknik  penyelesaian  dalam  program  linier yang  digunakan  pada  persoalan  yang  udah  optimum,  tetapi  belum  fisibel,  maka  persoalan tersebut  harus  diselesaikan  dengan  metode  dual  simpleks.  Langkah-langkah  dalam menyelesaikan metode dual simpleks sebagai berikut:
Iterasi 0: Langkah 1: Menyusun model program linier
a. Menentukan variabel keputusan
:  Jumlah pupuk jenis Hidrokompleks yang harus disediakan
: Jumlah pupuk jenis Phonska yang harus disediakan
: Jumlah pupuk jenis NPK Zamrud yang harus disediakan
: Jumlah pupuk jenis pupuk kandang Kambing yang harus disediakan
b. Menentukan fungsi tujuan
Min (4)
c. Menentukan fungsi kendala:
(5)
Langkah 2: Menyusun model program linier kedalam bentuk standar Karena  semua  pembatas  dalam  Persamaan  5  di  atas  merupakan  pembatas  dengan  tanda  , maka  penyelesaian  persoalan  tersebut  dapat  diselesaikan  menggunakan  metode  dual simpleks.  Langkah  pertama  yang  harus  dilakukan  adalah  mengubah  pembatas  tanda menjadi  tanda dengan  mengalikan  -1  pada  setiap  kendala.  Setelah  diperoleh pertidaksamaan  dengan  kendala  bertanda ,  kemudian  mengubah  model  ke  dalam  bentuk standar dengan menambahkan variabel slack yaitu: sebagai berikut :
Min (6) kendala
Langkah 3 : Menyusun Persamaan (6) kedalam bentuk tabel awal simpleks Tabel 4.  Awal simpleks untuk metode dual simpleks
BV Solusi z − 225000 − 115000 − 115000 − 35000 0 0 0 0 0 − 15 − 15 − 15 − 2 1 0 0 0 − 200
1 x 2 x 3 x 4 x 4 3 2 1 35000 115000 115000 225000 x x x x z + + + = 0 , , , 100 4 10 4 220 16 15 20 160 16 15 9 200 2 16 15 15 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1   + + +  + + +  + + +  + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x     4 3 2 1 , , , s s s s 4 3 2 1 35000 115000 115000 225000 x x x x z + + + = 0 , , , , , , , 100 4 10 4 220 16 15 20 160 16 15 9 200 2 16 15 15 4 3 2 1 4 3 2 1 4 4 3 2 1 3 4 3 2 1 2 4 3 2 1 1 4 3 2 1  − = + − − − − − = + − − − − − = + − − − − − = + − − − − S S S S x x x x S x x x x S x x x x S x x x x S x x x x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 s 2 s 3 s 4 s

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
123 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
− 9 − 15 − 16 − 1 0 1 0 0 − 160 − 20 − 15 − 16 − 1 0 0 1 0 − 220 − 4 − 10 − 4 − 1 0 0 0 1 − 100 Leaving variable                  Entering variable
Langkah 4: Menentukan leaving variable Leaving  variable dipilih  berdasarkan  variabel  basis  yang  memiliki  ruas  kanan negatif terbesar yaitu 220 3 − = s .
Langkah 5 : Menentukan entering variable Entering  variable dipilih  berdasarkan  perbandingan  (rasio)  antara  koefisien  z dengan koefisien leaving variable . Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah  variabel  dengan  rasio  positif  terkecil.  Sehingga  diperoleh entering variable yaitu 3 x .
Langkah 6: Melakukan eliminasi Gauus Jordan
Jika  nilai  iterasi  eliminasi  Gauus  jordan  masih  terdapat  nilai  negatif  pada  nilai ruas  kanan  pada  pembatas,  maka  iterasi  akan  terus  dilanjutkan.  Lanjut  ke Langkah 4.
Berdasarkan Tabel 4, karena koefisien pada persamaan z masih bernilai negatif atau nol maka  solusi  sudah  optimal  akan  tetapi  solusi  awalnya  tidak  fisibel  dikarenakan  nilai  ruas kanan berharga negatif.  Solusi optimal diperoleh setelah dilakukan iterasi sebanya dua kali. Berikut diperoleh solusi optimal pada iterasi terakhir yang disajikan pada Tabel 5 berikut:
Tabel 5.   Iterasi II metode dual simpleks
BV Nilai Ruas Kanan z − 82.400 0 0 − 26.950 0 0 − 6.900 − 1.150 1.633.000 5 0 0 −1 1 0 −1 0
20
11 0 0 0 0 1 −1 0 60 7 5 0 1 − 1 20 0 0 − 1 10 3 20 7 − 4 25 1 0 3 25 0 0 1 25 − 4 25 36 5
Berdasarkan  Tabel  5,  karena  nilai  ruas  kanan  pada  pembatas  tidak  ada  yang  bernilai negatif,  maka  iterasi  tidak  perlu  dilanjutkan.  Sehingga,  diperoleh  hasil  optimum  dan  fisibel yang disajikan dalam Tabel dibawah berikut:
Tabel 6. Hasil Optimasi Tabel Dual Simpleks Variabel keputusan Hasil akhir z 1.633.000 20 60
7 2 s 3 s 4 s 1 x 2 x 3 x 4 x 1 s 2 s 3 s 4 s 1 s 2 s 3 x 2 x 1 s 2 s 3 x 2 x 5 3 6

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
124 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Berdasarkan  Tabel  6  di  atas,    dapat  disimpulkan  bahwa  kelompok  wanita  tani  (KWT) Sentosa  Santul  harus  menyediakan  pupuk  jenis  Phonska  sebanyak karung,  pupuk  jenis NPK Zamrud karung dengan biaya minimum sebesar RP. 1.633.000.

## 3.3  Penyelesaian menggunakan Metode Quick Simpleks
Metode quick simpleks memakai tabel dengan sekali iterasi untuk mencapai solusi optimum dan fisibel. Langkah-Langkah penyelesaian metode quick simpleks sebagai berikut:
Langkah 1: Menyusun model program linier
a. Menentukan variabel keputusan
:  Jumlah pupuk jenis Hidrokompleks yang harus disediakan
: Jumlah pupuk jenis Phonska yang harus disediakan
: Jumlah pupuk jenis NPKZamrud yang harus disediakan
: Jumlah pupuk jenis pupuk kandang Kambing yang harus disediakan
b. Menentukan fungsi tujuan
Min (7)
c. Menentukan fungsi kendala:
Langkah 2: Menyusun model program linier kedalam bentuk standar Karena  semua  pembatas  dalam  Persamaan  7  di  atas  merupakan  pembatas  dengan  tanda  , maka  penyelesaian  persoalan  tersebut  dapat  diselesaikan  menggunakan  metode  dual simpleks.  Langkah  pertama  yang  harus  dilakukan  adalah  mengubah  pembatas  tanda menjadi  tanda dengan  mengalikan  -1  pada  setiap  kendala.  Setelah  diperoleh pertidaksamaan  dengan  kendala  bertanda ,  kemudian  mengubah  model  ke  dalam  bentuk standar dengan menambahkan variabel slack yaitu: sebagai berikut :
Maks (8) kendala
Langkah 3 : Menyusun Persamaan (8) kedalam bentuk tabel awal simpleks Tabel 7. Tabel awal metode quick simpleks
VB NK
5 3 6 7 1 x 2 x 3 x 4 x 4 3 2 1 35000 115000 115000 225000 x x x x z + + + = 0 , , , 100 4 10 4 220 16 15 20 160 16 15 9 200 2 16 15 15 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1   + + +  + + +  + + +  + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x     4 3 2 1 , , , s s s s 4 3 2 1 35000 115000 115000 225000 x x x x z − − − − = 0 , , , , , , , 100 4 10 4 220 16 15 20 160 16 15 9 200 2 16 15 15 4 3 2 1 4 3 2 1 4 4 3 2 1 3 4 3 2 1 2 4 3 2 1 1 4 3 2 1  − = + − − − − − = + − − − − − = + − − − − − = + − − − − S S S S x x x x S x x x x S x x x x S x x x x S x x x x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 s 2 s 3 s 4 s Z 225000 − 115000 − 115000 − 35000 − 0 0 0 0 0 1 s 15 11 − = x 15 12 − = x 16 13 − = x 2 14 − = x 200 1 − = b 1 0 0 0
2 s 9 21 − = x 15 22 − = x 16 23 − = x 1 24 − = x 160 2 − = b 0 1 0 0 3 s 20 31 − = x 15 32 − = x 16 33 − = x 1 34 − = x 220 3 − = b 0 0 1 0
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
125 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## NK: nilai ruas kanan
Langkah 4 : Menentukan leaving variable
Leaving  variable dipilih  dari  variabel  basis  yang  memiliki  ruas  kanan  yang bernilai  negative yaitu 4 3 2 1 , , s dan s s s .
Langkah 5 : Menentukan entering variable Entering variable dipilih ketika elemen-elemen penting dalam entering variable berada  dalam  baris  yang  berbeda. Entering  variable dipilih  berdasarkan perbandingan (rasio) antara koefisien persamaan 𝑧 dengan koefisien persamaan leaving  variable yang  memiliki  harga  negatif  dan  dimulai  dari  negatif  terbesar dari variabel basis. Untuk persoalan minimasi entering variable adalah variabel dengan  rasio  positif  terkecil.  Jika  terdapat  nilai entering  variable yang  sama, maka dipilih salah satu.
Tabel 8. Entering variable untuk
Koefisien persamaan
Koefisien persamaan Rasio
Tabel 9. Entering variable untuk
Koefisien persamaan Koefisien persamaan
Rasio
Perhitungan yang sama dilakukan untuk menentukan entering variable untuk 2 s dan 4 s . Berdasarkan Tabel 8, Tabel 9 serta perhitungan untuk 2 s dan 4 s diperoleh elemen pivot berada dalam basis yang sama yaitu untuk ( ) 5 , 7187 220 3 3 = = − = x s ; ( ) 5 , 7187 200 3 1 = = − = x s dan ( ) 5 , 7187 160 3 2 = = − = x s . Karena 3 2 1 , s dan s s elemen pivot berasa  dalam  basis  yang  sama  yaitu 3 x maka  pilih  salah  satu  ( 3 s ).  Sedangkan 4 s diperoleh elemen  pivot  berada  dalam  basis  yang  berbeda  yaitu: .  Sehingga diperoleh leaving variable yaitu dan sedangkan entering variable nya yaitu: dan Langkah 5 : Menentukan nilai R
R adalah determinan matriks dari A. Matriks A adalah susunan segi empat siku- siku dari bilangan-bilangan atau fungsi yang dibatasi dengan tanda kurung dan nilai R diambil dari elemen-elemen yang terdapat pada Tabel 7, dimana kolom
, ( leaving variable ) dan , ( entering variable ). Maka menggunakan rumus  R  untuk  dua  variabel  secara  simultan  dan  kolom  baris  yang  lain  tidak dimasukkan dalam R. Nilai R disajikan dalam Tabel 10 berikut:
4 s 4 41 − = x 10 42 − = x 4 43 − = x 1 44 − = x 100 4 − = b 0 0 0 1 ) 220 ( 3 − = s 1 x 2 x 3 x 4 x 1 s 2 s 3 s 4 s z 225000 − 115000 − 115000 − 35000 − 0 0 0 0 3 s 20 − 15 − 16 − 1 − 0 0 1 0 11250 6 , 7666 5 , 7187 35000 0 0 0 0
) 200 ( 1 − = s 1 x 2 x 3 x 4 x 1 s 2 s 3 s 4 s z 225000 − 115000 − 115000 − 35000 − 0 0 0 0 1 s 15 − 15 − 16 − 2 − 1 0 0 0 15000 6 , 7666 5 , 7187 17500 0 0 0 0 11500 ) 100 ( 2 4 = = − = x s 3 s 4 s 2 x 3 x 3 s 4 s 2 x 3 x
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
126 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Tabel 10 Metode quick simpleks untuk R
VB
NK
z entering variable    entering variable                leaving variable leaving variable Sehingga, didapatkan matriks A adalah sebagai berikut: 100 220 160 200 1 4 10 4 1 16 15 20 1 16 15 9 2 16 15 15 4 3 2 1 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = = b b b b x x x x x x x x x x x x x x x x A
Karena leaving  variable dan entering  variable ada  dua,  maka  menentukan  nilai  R  menggunakan rumus dua variabel secara simultan, sehingga diperoleh nilai R:
Langkah 6 : Menentukan nilai elemen untuk tabel simpleks baru
Karena leaving variable dan entering variable ada dua, maka menggunakan rumus untuk dua variabel secara simultan dan didapatkan tabel simpleks baru yang disajikan dalam Tabel hasil optimasi metode quick simpleks.
1
x 2 x 3 x 4 x 1 s 2 s 3 s 4 s 225000 − 115000 − 115000 − 35000 − 0
0 0 0 0 1 s 15 11 − = x 15 12 − = x 16 13 − = x 2 14 − = x 200 1 − = b
1 0 0 0 2 s 9 21 − = x 15 22 − = x 16 23 − = x 1 24 − = x 160 2 − = b 0 1 0 0 3 s 20 31 − = x 15 32 − = x 16 33 − = x 1 34 − = x 220 3 − = b
0 0 1 0 4 s 4 41 − = x 10 42 − = x 4 43 − = x 1 44 − = x 100 4 − = b 0 0 0 1 100 160 60 4 10 16 15 43 42 33 32 − = − = − − − − = = x x x x R
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
127 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Tabel 11. Nilai elemen baru metode quick simpleks
C B VB NK 225000 − 115000 − 115000 − 35000 − 0 0 0 0 1 x 2 x 3 x 4 x 1 s 2 s 3 s 4 s
0 1 s
R x x x x x x x x x 11 13 12 41 43 42 31 33 32 = 5 100 500 100 15 16 15 4 4 10 20 16 15 = − −
= − − − − − − − − − − = 0 0 R x x x x x x x x x 14 13 12 44 43 42 34 33 32 = 1 100 100 100 2 16 15 1 4 10 1 16 15 − = − = − − − − − − − − − − = 1 0 R x x x x x x 0 1 1 13 12 43 42 33 32 = 1 100 100 100 0 16 15 0 4 10 1 16 15 − = − = − − − − − − − = R x x x x x x
0 1 0 13 12 43 42 33 32 =
0 100 0 100 0 16 15 1 4 10 0 16 15 = − = − − − − − − − = R b x x b x x b x x 1 13 12 4 43 42 3 33 32 =
20 100 2000 100 200 16 15 100 4 10 220 16 15 = − − = − − − − − − − − − − =
0 2 s
R x x x x x x x x x
21 23 22 41 43 42 31 33 32 =
0 0
R x x x x x x x x x
24 23 22 44 43 42 34 33 32
= 0 1
R x x x x x x 0 0 1 23 22 43 42 33 32 =
R x x x x x x 0 1 0 23 22 43 42 33 32
=
R b x x b x x b x x 2 23 22 4 43 42 3 33 32 = JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id 128 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035 https://doi.org/10.14710/jfma.v4i1.8879
11 100 1100 100 9 16 15 4 4 10 20 16 15 = − − =
− − − − − − − − − − = 0 100 0 100 1 16 15 1 4 10 1 16 15 = − = − − − − − − − − − − = 1 100 100 100 0 16 15 0 4 10 1 16
15 − = − = − − − − − − − =
0 100 0 100 0 16 15 1 4 10 0 16 15 = − = − − − − − − −
=
60 100 6000 100 160 16 15 100 4 10 220 16 15 = − − = − − − − − − − − − − =
115000 − 3 x R x x x x 41 42 31 32 2 ) 1 ( − = 55 7 100 140 100 ) 80 64 ( 100 4 10 20 15 ) 1 ( 2 = − − = − − = − − − − − − = 0 1 R x x x x 44 42 34 32 2 ) 1 ( − =
20 1 100 5 100 ) 10 15 ( 100 1 10 1 15 ) 1 ( 2 − = − = − − = − − − − − − = 0 0 R x x
0 1 ) 1 ( 42 32 2 − =
10 1 100 10 100 )) 10 ( 0 ( 100 0 10 1 15 ) 1 ( 2
− = − = − − − = − − − − = R x x 1 0 ) 1 ( 42 32 2 −
= 20 3 100 15 100 ) 0 15 ( 100 1 10 0 15 ) 1 ( 2 = − − = − − − = − − − − = R b x b x 4 42 3 32 2 ) 1 ( − = 7 100 700 100 2200 1500 100 100 10 22 15 ) 1 ( 2 = − − = − − = − − − − − − = 115000 − 2 x R x x x x 41 43 31 33 1 ) 1 ( − = 1 0
R x x x x 44 43 34 33 1 ) 1 ( − = 0 0 R x x
0 1 ) 1 ( 43 33 1 − = R x x 1 0 ) 1 ( 43 33 1 − = R b x b x 4 43 3 33 1 ) 1 ( − = JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id 129 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035 https://doi.org/10.14710/jfma.v4i1.8879
NK: Nilai ruas kanan Menentukan  nilai 𝑧 𝑗 − 𝑐 𝑗 digunakan rumus pada Persamaan (3):
400 . 82 min 400 . 82 )) 000 . 225 ( ) 25 4 ).( 000 . 115 ( ) 5 7 ).( 000 . 115 ( ) 11 ).( 0 ( ) 5 ).( 0 (( max : 1 1 − = = − − − + − + + → − x x c z j j 950 . 26 min 950 . 26 )) 000 . 35 ( ) 25 3 ).( 000 . 115 ( ) 20 1 ).( 000 . 115 ( ) 0 ).( 0 ( ) 1 ).( 0 (( max : 4 4 − = = − − − + − − + + − → − x x c z j j 000 . 633 . 1 min 000 . 633 . 1 )) 0 ( ) 5 36 ).( 000 . 115 ( ) 7 ).( 000 . 115 ( ) 0 ).( 0 ( ) 0 ).( 0 (( max : 150 . 1 min 150 . 1 )) 0 ( ) 25 4 ).( 000 . 115 ( ) 20 3 ).( 000 . 115 ( ) 0 ).( 0 ( ) 0 ).( 0 (( max : 900 . 6 min 900 . 6 )) 0 ( ) 25 1 ).( 000 . 115 ( ) 10 1 ).( 000 . 115 ( ) 1 ).( 0 ( ) 1 ).( 0 (( max : 4 4 3 3 = − = − − + − + + → − − = = − − − + − + + → − − = = − − + − − + − + − → − NK NK c z s s c z s s c z j j j j j j 25 4 100 16 100 ) 80 64 ( 100 4 4 20 16 ) 1 ( 1 − = − = − − − = − − − − − − = 25 3 100 12 100 ) 4 16 ( 100 1 4 1 16 ) 1
( 1
= − − = − − − = − − − − − − = 25 1 100 4 100 ) 4 0 ( 100 0 4 1 16 ) 1 ( 1 = − − = − − − − = − − − −
= 25 4 100 16 100 ) 0 16 ( 100 1 4 0 16 ) 1 ( 1 − = − = − − − − = − − − − = 5
36 100 720 100 ) 880 1600 ( 100 100 4 220 16 ) 1 ( 1 = − − = − − − = − − − − − − = JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id 130 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035 https://doi.org/10.14710/jfma.v4i1.8879
Berdasarkan Tabel 11 menunjukkan bahwa hasil optimasi nilai ruas kanan tidak bernilai negatif, maka solusi sudah optimal dan fisibel. Sehingga diperoleh hasil optimum dan fisibel yang disajikan dalam tabel dibawah berikut:
Tabel 12.  Hasil optimasi tabel quick simpleks
Variabel keputusan Hasil akhir
Berdasarkan  Tabel  hasil  optimasi quick simpleks  dapat  disimpulkan  bahwa  kelompok wanita  tani  (KWT)  Sentosa  Santul  harus  menyediakan  pupuk  jenis  Phonska  sebanyak karung, pupuk jenis NPK Zamrud karung dengan biaya minimum sebesar RP. 1.633.000. Berdasarkan  hasil  pembahasan  diperoleh  bahwa  metode quick simpleks  lebih  efisien dibandingkan dengan metode dual simpleks, hal ini dapat dilihat dari banyaknya iterasi yang dilakukan  dan  waktu  pengerjaan  yang  lebih  singkat  karena  metode quick simpleks pengambilan leaving  variable dan entering  variable bisa  diambil  dua  sekaligus  secara simultan  yang  bernilai  negatif.  Sehingga,  solusi  optimal  dan  fisibel  metode  dual  simpleks diperoleh  dengan  melakukan  iterasi  sebanyak  dua  kali  iterasi  dan quick simpleks  satu  kali iterasi.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian, dapat di ambil kesimpulan bahwa dari kedua metode yaitu metode dual simpleks dan quick simpleks menghasilkan nilai yang sama. Sehingga diperoleh hasil  bahwa  kelompok  wanita  tani  (KWT)  Sentosa  Santul  tidak  menyediakan  pupuk  jenis Hidrokompleks  dan  pupuk  jenis  kandang  kambing,  tetapi  kelompok  wanita  tani  (KWT)
Sentosa  Santul  harus  menyediakan  pupuk  jenis  Phonska  sebanyak karung,  pupuk  jenis
NPK Zamrud   karung dengan biaya minimum untuk pemupukan sebesar RP. 1.633.000.
Z
000 . 633 . 1 1 s 20 2 s 60 3 x 7 2 x 5 3 6 5 3 6 7 5 3 6 7
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
131 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## REFERENSI
[1] Alfian,  R,  “Efisiensi  Usaha  Tani  Cabai  Merah  di  Lahan  Pasir  Pantai  di  Desa  Pleret Kecamatan Panjatan Kabupaten Kulon Progo”, Skripsi . Fakultas Pertanian. Universitas Muhammadiyah Yogyakarta , 2017.
[2] Dimyati, Tjutju dan Dimyati Ahmad, Operation Research: Model-Model Pengambilan Keputusan . Bandung: Sinar Baru Algesindo, 2009.
[3] Gupta,    Premer  Kumar  dan  Hira  D.  S.“ Operation  Research” .  Fifth  Revised  Edition S.Chand and Company Ltd. 2010.
[4] Hiller,  Frederick  S.  and  Lieberman,  Gerald  J. “Introduction  to  Operation  Research” . Mc Graw- hill Publishing Company, New York. 2001.
[5] Runhayat,  A.  “Penentuan  Kebutuhan  Pokok  Unsur  Hara  N,  P,  K  untuk  pertumbuhan Tanaman Panili (Vanilla Planifolia Andrews). Bul. Littro. Vol. XVIII No. 1. 2007
[6] Sutedjo, M. M, Pupuk dan Cara Pemupukan . Jakarta: PT. Rineka Cipta hlm 177, 1999.
[7] Ulya, Wazna, “Penerapan metode Cutting Plane untuk optimasi biaya pemupukan pada tanaman cabai (Studi kasus: Kelompok Wanita Tani Sentosa Santul)”, Skipsi. Fakultas Sains dan Teknologi. Program Studi Matematika , 2019.
[8] Vaidya  NV,  dan  Kasturiwale  NN.  “Comparison  between  various  entering  vector criteria  with  quick  simplex  algorithm  for  optimal  solution  to  the  linear  programming problem”. International  Journal  of  Mathematics  and  Statistics  Invention (IJMSI). 2(6):17-36.  Available: www.ijmsi.org E-  ISSN:  2321  –  4767,  P-ISSN:  2321  –  4759. 2014.
[9] Vaidya NV, dan Kasturiwale NN. “Quick simplex algorithm for optimal solution to the linear  programming  problem  along  with  theoretical  proof  of  formulae”. Int.  J  Latest Trend Math, (IJLTM). (E-ISSN-2049- 2561). 4(2):183-200. 2014.
[10]  Vaidya NV, dan Kasturiwale NN. “Approximation algorithm for optimal solution to the linear programming problem”. Int. J. Mathematics in Operational Research, Vol. 6, No.
2. 2014.
[11]  Vaidya  N.  V  dan  Kasturiwale  N.N,  “Application  of  Quick  Simplex  Method  (A  New Approach)  on  two  phase  method”. British  Journal  of  Mathematics  &  Computer Science . Science  domain  International .,  16  (1)  :  1  –  15  :  Article  no.  BJMCS  .  24440 ISSN: 2231-0851, 2016.
[12]  Vaidya  N.V  dan  Kasturiwale  N.N,  “Application of  quick  simplex  method  on  the  dual simplex  method  (A  New  Approac)’’. British  Journal  of  Mathematics  &  Computer Science . Science  domain  International .,  24  (5)  :  1  –  19  :  Article  no.  JAMCS  .  36357 ISSN: 2231-0851, 2017.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
132 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035