## Available online at: http://ejournal.radenintan.ac.id/index.php/desimal/index
Desimal: Jurnal Matematika,2(1), 2019, 43-48

## Fungsi Zeta Riemann Genap Menggunakan Bilangan Bernoulli
Ikhsan Maulidi 1 *, Vina Apriliani 2 , Muhamad Syazali 3
1 Universitas Syiah Kuala. Jalan Tgk. Nyak Arif, Syiah Kuala, Banda Aceh,23111, Indonesia. 2 Universitas Islam Negeri Ar-Raniry. Jln.Syech Abdurrauf,Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia 3 Universitas Islam Negeri Raden Intan Lampung. Jalan Endro Suratmin, Sukarame, Bandar Lampung 35133, Indonesia.
* Corresponding Author . E-mail: ikhsanmaulidi@unsyiah.ac.id

## Abstrak
Dalam  artikel  ini  kami  mengkaji  nilai  dari  Fungsi  Zeta  Riemann  untuk  bilangan  genap positif menggunakan Bilangan Bernoulli. Di bagian awal kami mengulas sedikit tentang Bilangan Bernoulli dan Fungsi Zeta. Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah  penelitian studi pustaka. Dari hasil analisis yang kami lakukan, diperoleh suatu teorema untuk menghitung nilai Fungi Zeta beserta pembuktian nya.
Kata kunci : Fungsi Zeta Riemann, Bilangan Bernoulli, Polinom Bernoulli

## Abstract
In this article, we study about the value of  Riemann Zeta Function for  even  numbers  using Bernoulli  number.  First,  we  give  some  basic  theory  about  Bernoulli  number  and  Riemann  Zeta function. The method that used in this research was literature study. From our analysis, we have a theorem to evaluate the value of Riemann Zeta function for the even numbers with its proving.
Keywords: Riemann Zeta Function, Bernoulli Number, Bernouli Polynomial.

## PENDAHULUAN
Dalam  ilmu  matematika,  dikenal banyak  bilangan  khusus  yang  memiliki banyak  terapan  atau  aplikasi.  Salah  satu bilangan  tersebut  adalah  bilangan Bernoulli.  Bilangan  ini  ditemukan  oleh Jacob  Bernoulii  (1654-1705  M),  seorang matematikawan dan fisikawan berkebangsaan  Swiss.  Bilangan  ini diperoleh dengan diawali dengan diperolehnya suatu bentuk polinom yang disebut  Polinom  Bernoulli.  Bilangan Bernoulli juga memiliki hubungan dengan Bilangan
Euler. (Vassilev, 1987)
Perumuman  dari  bilangan  ini  dapat dilihat  pada  beberapa  artikel  (Q.-M.  Luo, 2002)
Salah  satu  manfaat  dari  ditemukan Polinom dan Bilangan Bernoulli ini adalah untuk menghitung nilai Fungsi Zeta, 𝜁(𝑠) . Fungsi Zeta ini ditemukan oleh  Bernhard
Riemann  seorang  ilmuwan  matematika asal Jerman pada abad ke 19.
Evaluasi  nilai  dari  Fungsi  Zeta merupakan  hal  yang  menarik  untuk dikaji.  Euler  dapat  memberikan  hasil untuk  Fungsi  Zeta  untuk 𝑠 = 1. Namun pada  saat  itu  Euler  belum  dapat menemukan  nilai  dari  fungsi  Zeta  untuk 𝑠 = 4. Fungsi Zeta dapat digunakan untuk menentukan  distribusi  dari  bilangan prima.
Berdasarkan penelitian yang terdahulu  fungsi  Zeta  Riemann  telah banyak dilakukan dalam berbagai penelitian  (Alabdulmohsin,  2017;  Anton, 20114;  Atangana  &  Noutchie,  2014; Basile,  Joung,  Lal,  &  Li,  2018;  Basiuk  & Tarasyuk, 2016; Duong & Lucchini, 2013; Hasil & Vesely, 2016; K & Raina.R.K, 2014; Kim  &  Song,  2018;  M  &  I,  2010;  Pan  & Chen, 2011; R. Sita Rama Chandra RAO & Sarma, 2015; Riguidel, 2018; Wang, Liu, &

## Ikhsan Maulidi, Vina Aprilian, Muhamad Syazali
Hou,  2018;  Williams,  2015;  Wu  &  Bercu, 2017; Xin, 2016; Xu, 2016; Yildiz, Tunc, & Kavurmaci, 2014). Namun belum terdapat  penelitian  yang  mengkaji  nilai dari Fungsi Zeta Riemann untuk bilangan genap  positif  menggunakan  Bilangan Bernoulli.  Maka,  dalam  artikel  ini diberikan  salah  satu  cara  menentukan nilai  Fungsi  Zeta    untuk  nilai 𝑠 bilangan genap  yaitu  dengan  menggunakan Bilangan  Bernoulli.  Dengan  pendekatan Bernoulli ini, diyakini dapat mempercepat proses
komputasi dibandingkan  dengan  menggunakan  cara biasa atau secara rekursif.

## METODE
Penelitian ini merupakan penelitian studi  pustaka  dan  dilakukan  pada November  2018  sampai  Desember  2018. Tempat penelitian  ini adalah  di Perpustakaan  Universitas  Syiah  Kuala dan Laboratorium Komputasi Numerik.
Dalam penelitian ini diberikan salah satu  cara  lain  dalam  pembuktian Teorema yang disajikan dengan menggunakan  kajian  konsep  Polinom Bernoulli  yang  ada  dalam  penlitian terdahulu  (Kelly,  W.  G,  Peterson,  2001) Bukti  lain  dari  Teorema  ini  dapat  dilihat pada penelitian oleh Silva (Silva, 2006)

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum  membahas  Teorema  inti dalam  artikel  ini,  berikut  kami  sajikan beberapa Definisi dan Lema yang relevan dan  berguna  dalam  memahami  konsep yang ada.
Definisi 3.1 (Polinom Bernulli) Suatu  poinom  Bernoulli, 𝐵 𝑘 (𝑡) , didefinsikan sebagai berikut :
𝑥𝑒 𝑡𝑥 𝑒 𝑥 −1 = ∑ 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 . ∞ 𝑘=0 (1)
Dengan  kata  lain 𝑥𝑒 𝑡𝑥 𝑒 𝑥 −1 merupakan  fungsi pembangkit  eksponensial  untuk  barisan 𝐵 𝑘 (𝑡) .
Dengan  mengekspansi  kedua  ruas diperoleh  beberapa  Polinom  Bernoulli berikut:
𝐵 0 (𝑡) = 1.
𝐵 1 (𝑡) = 𝑡 − 1 2 . 𝐵 2 (𝑡) = 𝑡 2 − 𝑡 + 1 6 . 𝐵 3 (𝑡) = 𝑡 3 − 3 2 𝑡 2 + 1 2 𝑡.
(Kelly, W. G, Peterson, 2001)

## Definisi 3.2 (Bilangan Bernoulli)
Bilangan  Bernoulli  ke 𝑘 , 𝐵 𝑘 , didefinisikan dengan mengevaluasi poinom Bernoulli ke 𝑘 untuk 𝑡 = 0, atau 𝐵 𝑘 = 𝐵 𝑘 (0).
Beberapabilangan Bernoulli, 𝐵 0 = 𝐵 0 (0) = 1, 𝐵 1 = 𝐵 1 (0) = 0 − 1 2 = − 1 2 , 𝐵 2 = 𝐵 2 (0) = 0 2 − 0 + 1 6 = 1 6 , 𝐵 3 = 𝐵 3 (0) = 0.

## Definisi 3.3 (Operator Beda)

## Operator beda, ∆, didefinisikansebagai
∆𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 1) − 𝑦(𝑡).
Lema 3.1 (Sifat-sifat Polinom

## Bernoulli)
Berikut  ini  adalah  beberapa  sifat  dari Polinom Bernoulli:
3.1.a 𝐵 𝑘 ′ (𝑡) = 𝑘𝐵 𝑘−1 (𝑡),   𝑘 ≥ 1.
3.1.b ∆ 𝑡 𝐵 𝑘 (𝑡) = 𝑘𝑡 𝑘−1 ,    𝑘 ≥ 0. Bukti 3.1.a:
Dengan menurunkan kedua ruas persamaan (1) terhadap 𝑡 diperoleh
𝑥 2 𝑒 𝑡𝑥 𝑒 𝑥 − 1 = ∑ 𝐵 𝑘 ′ (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 , ∞ 𝑘=0 𝑥 ∑ 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 = ∑ 𝐵 𝑘 ′ (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 , ∞ 𝑘=0
∞ 𝑘=0 ∑ 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘+1 =   ∑ 𝐵 𝑘 ′ (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 , ∞ 𝑘=0 ∞

## Ikhsan Maulidi, Vina Aprilian, Muhamad Syazali
∑ 𝐵 𝑘−1 (𝑡) (𝑘 − 1)! 𝑥 𝑘 = ∑ 𝐵 𝑘 ′ (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 , ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑘=1 Sehingga 𝐵 𝑘−1 (𝑡) (𝑘−1)! = 𝐵 𝑘 ′ (𝑡) 𝑘! , 𝐵 𝑘 ′ (𝑡) =
𝑘𝐵 𝑘−1 (𝑡),   𝑘 ≥ 1. Terbukti. Bukti3.1.b Denganmengambilbedadarikeduaruas pada persamaan (1),
∆ 𝑡 ∑ 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 =  ∆ 𝑡 𝑥𝑒 𝑡𝑥 𝑒 𝑥 − 1 . ∞ 𝑘=0 ∑ ∆ 𝑡 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 = ∞ 𝑘=0 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 (𝑒 (𝑡+1)𝑥 − 𝑒 𝑡𝑥 ) = 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 𝑒 𝑡𝑥 (𝑒 𝑥 − 1) = 𝑥𝑒 𝑡𝑥 ∑ ∆ 𝑡 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 = ∞ 𝑘=0 ∑ 𝑡 𝑘 𝑥 𝑘+1 𝑘! ∞ 𝑘=0 ,
Yang setaradengan
∑ ∆ 𝑡 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! 𝑥 𝑘 = ∞ 𝑘=1 ∑ 𝑡 𝑘−1 𝑥 𝑘 (𝑘 − 1)! ∞ 𝑘=1 .
Sehingga ∆ 𝑡 𝐵 𝑘 (𝑡) 𝑘! = 𝑡 𝑘−1 (𝑘−1)! , ∆ 𝑡 𝐵 𝑘 (𝑡) =
𝑘𝑡 𝑘−1 , untuk 𝑘 ≥ 1. Jelas pula bahwa ∆ 𝑡 𝐵 0 (𝑡) = 0, jadi ∆ 𝑡 𝐵 𝑘 (𝑡) = 𝑘𝑡 𝑘−1 , untuk 𝑘 ≥ 0.

## Definisi 3.4 (Fungsi Zeta Riemann)
Fungsi Zeta Riemann adalah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:
𝜁(𝑠) = ∑ 1 𝑛 𝑠 . ∞ 𝑛=1
Evaluasi nilai Fungsi Zeta Riemann untuk 𝑠 bilangan  genap  daat  diperoleh dengan melakukan transformasi Polinom Bernoulli ke dalam bentuk Deret Fourier. Deret  ini  dikembangkan  oleh  Joseph Fourier  dimana  menggunakan  deret  tak hingga dari fungsi sinus dan kosinus.

## Lema 3.2 (Deret Fourier pada Interval
[− 𝑻 𝟐 , 𝑻 𝟐 ] )
Deret  Fourier  darifungsi 𝑓(𝑥) dengan periode 𝑇 pada interval [ −𝑇 2 , 𝑇 2 ] didefinisikan sebagai deret
𝐹(𝑥) = 𝑎 0 2 + ∑ 𝑎 𝑛 cos ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑇 ) ∞ 𝑛=1 + ∑ 𝑏 𝑛 sin ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑇 ) ∞ 𝑛=1 , dimana
𝑎 𝑛 = 1 𝑇 ∫ 𝑓(𝑥) cos ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑇 ) 𝑑𝑥 𝑇 2 −𝑇 2 dan 𝑏 𝑛 = 1 𝑇 ∫ 𝑓(𝑥) sin ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑇 ) 𝑑𝑥 𝑇 2 −𝑇 2 .
(Young, 1992)
Lema  3.3  (Beberapa  Sifat  Deret Fourier )
Diberikanekspansi  Fourier 𝐹(𝑥) =
∑ 𝑎 𝑛 cos ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑇 ) + ∞ 𝑛=1 ∑ 𝑏 𝑛 sin ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑇 ) ∞ 𝑛=1 untuk  fungsi 𝑓(𝑥). Maka  berlaku  sifat- sifat berikut:
a. Jika 𝑓(𝑥) adalah  fungsi  ganjil ( 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ) maka 𝑎 𝑛 = 0; b. Jika 𝑓(𝑥) adalah  fungsi  genap ( 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ) maka 𝑏 𝑛 = 0;
c. ∫ |𝑓(𝑥)| 2 𝑑𝑥 = 1 𝑇 ∫ |𝐹(𝑥)| 2 𝑑𝑥 ∞ −∞ ∞ −∞ (Teorema Parseval).

## Pembahasan Fungsi Zeta Riemann Genap
Teorema 1 (Fungsi Zeta Riemann Genap) Untuksuatubilanganpositif 𝑘 berlaku
𝜁(2𝑘) = ∑ 1 𝑛 2𝑘 ∞ 𝑛=1 = (−1) 𝑘−1 𝐵 2𝑘 (2𝜋) 2𝑘 2(2𝑘)! .
Bukti : Diawalidenganmenyatakanfungsi 𝐵 1 (𝑥) =
𝑥 − 1 2 pada [− 1 2 , 1 2 ] sebagai Deret Fourier. Untuk mempermudah misalkan 𝐵 1,1 (𝑥) = 𝑥, jelas  bahwa  fungsi 𝐵 1,1 adalah  fungsi ganjil, sehingga 𝑎 𝑛 = 0 untuk 𝑛 ≥ 1. Sementarauntuk 𝑇 = 1, 𝑎 0 =
1 1 ∫ 𝑓(𝑥) cos(2𝑛𝜋𝑥) 1 2 − 1 2 dx= 1 1 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 0. 1 2 − 1 2
Karena 𝑓(𝑥) = 𝑥 adalah  fungsi  ganjil maka 𝑎 𝑛 = 0, 𝑛 ≥ 1. Selanjutnya

## Ikhsan Maulidi, Vina Aprilian, Muhamad Syazali
𝑏 𝑛 = ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑛𝜋𝑥)𝑥 = (−1) 𝑛+1 𝑛𝜋 1 2 −1 2 .
Maka  fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 untuk 𝑥 ∈ [− 1 2 , 1 2 ] dapat dinyatakan dengan
𝑓(𝑥) = 𝑥 = ∑ (−1) 𝑛+1 𝑛𝜋 sin(2𝑛𝜋𝑥) . ∞ 𝑛=1
Dengan  melakukan  translasi  dari [− 1 2 , 1 2 ] ke [0,1], 𝑥 − 1 2 = ∑ (−1) 𝑛+1 𝑛𝜋 sin (2𝑛𝜋 (𝑥 − 1 2 )) , ∞ 𝑛=1 diperoleh 𝑥 = ∑ (−1) 𝑛+1 𝑛𝜋 sin (2𝑛𝜋 (𝑥 − 1 2 )) + 1 2 . ∞ 𝑛=1
Sehingga  polinom  Bernoulli 𝐵 1 (𝑥) dapat dinyatakan dalam deret Fourier berikut
𝐵 1 (𝑥) = ∑ (−1) 𝑛+1 𝑛𝜋 sin (2𝑛𝜋 (𝑥 − 1 2 )) . ∞ 𝑛=1
Dari  Teorema3.1.a  dan  Teorema  Dasar Kalkulus
2 ∫ 𝐵 1 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐵 2 (𝑥) − 𝐵 2 (0) = 𝑥 0 − 2(2) (∑ (−1) 𝑛+1 (2𝑛𝜋) 2 cos (2𝑛𝜋 (𝑥 − 1 2 )) ∞ 𝑛=1 − ∑ (−1) 𝑛+1 (2𝑛𝜋) 2 cos(−𝑛𝜋) ∞ 𝑛=1 ) 𝐵 2 (𝑥) = −2 ∑ (−1) 𝑛+1 (2𝑛𝜋) 2 cos (2𝑛𝜋 (𝑥 ∞ 𝑛=1 − 1 2 )) .
Dengan  mengintegralkan 𝐵 2 (𝑥) dua  kali diperoleh
𝐵 4 (𝑥) = (4!)2 ∑ (−1) 𝑛+1 (2𝑛𝜋) 4 cos (2𝑛𝜋 (𝑥 ∞ 𝑛=1 − 1 2 )) .
Jika  proses  ini  kita  ulangi  terus  maka akan diperoleh polaberikut
𝐵 2𝑘 (𝑥)
= 2(2𝑘!)(−1) 𝑘 ∑ (−1) 𝑛+1 (2𝑛𝜋) 2𝑘 cos (2𝑛𝜋 (𝑥 ∞ 𝑛=1 − 1 2 )) , Untuk 𝑘 ≥ 1.
Subtitusikan 𝑥 = 0 ke  persamaan  (..) diperoleh
𝐵 2𝑘 (0) = 2(2𝑘!)(−1) 𝑘 ∑ (−1) 𝑛+1 (2𝑛𝜋) 2𝑘 cos(−𝑛𝜋)
∞ 𝑛=1 𝐵 2𝑘 = 2(2𝑘!)(−1) 𝑘+1 ∑ 1 (2𝑛𝜋) 2𝑘 ∞ 𝑛=1
(−1) 𝑘+1 𝐵 2𝑘 (2𝜋) 2𝑘 2(2𝑘!) = ∑ 1 𝑛 2𝑘 = ∞ 𝑛=1 𝜁(2𝑘).

## Terbukti.

## ContohAplikasi Teorema 1
Dengan  mengetahui  nilai 𝐵 2 = 1 6 , kita  dapat  menghitung  nilai ∑ 1 𝑛 2 ∞ 𝑛=1 seperti berikut
∑ 1 𝑛 2 = ∞ 𝑛=1 𝜁(2) = (−1) 1+1 𝐵 2 (2𝜋) 2 2(2!) = 1 6 4𝜋 2 4 = 𝜋 2 6 .
Berikut  kami  sajikan  beberapa  nilai Fungsi Zeta genap
. k 𝐵 2𝑘 𝜁(2𝑘) = (−1) 𝑘+1 𝐵 2𝑘 (2𝜋) 2𝑘 2(2𝑘!) 1 1 6 𝜋 2 6 2 − 1 30 𝜋 2 360 3 1 42 𝜋 2 15120 4 − 1 30 𝜋 2 604800
5 5 66 𝜋 2 23950080
SIMPULAN DAN SARAN

## Ikhsan Maulidi, Vina Aprilian, Muhamad Syazali
Berdasarkan  hasil  pembahasan, Nilai  Fungsi  Zeta  Riemann  untuk bilangan  genap  dapat  ditentukan  dengan menggunakan  Bilangan  Bernoulli.  Hasil ini  disajikan  dalam  Teorema  1  beserta bukti nya.
Berdasarkan hasil penelitian, selain untuk Fungsi  Zeta  Riemann  genap  perlu  dikaji juga  bagaimana  cara  menentukan  nilai Fungsi Zeta Riemann ganjil

## DAFTAR PUSTAKA
Alabdulmohsin,  I.  M.  (2017).  Fractional parts  and  their  relations  to  the values of the Riemann Zeta Function. Arabian Journal Of Mathematics , 7 (1), 1 – 8.
Anton,  D.  (20114).  Fourier  expansion along geodesics on Riemann surfaces. Open  Mathematics , 12 (4), 559 – 573.
Atangana,  A.,  &  Noutchie,  O.  (2014).  A Modified  Groundwater  Flow  Model Using  the  Spce  Time  Riemann- Liouville Fractional Derivatives Spproximation. Abstract  and  Applied Analysis , 2014 .
Basile, T., Joung, E., Lal, S., & Li, W. (2018). Character  Integral  representation  of Zeta  Function  in  AdSd+1  Part  1 Derivation  Of  The  General  Formula. Journal  Of  High  Energy  Physics , 2018 (10), 1 – 35.
Basiuk,  Y.  .,  &  Tarasyuk,  S.  .  (2016).
Fourier Coefficients Assoxiated With The Riemann Zeta Function. Karpats’ki  Matematicni  Publikaci ,
8 (1), 16 – 20.
Duong,  H.  D.,  &  Lucchini,  A.  (2013).  A Finiteness condition on the coefficients  of  the  probabilistic  zeta function. International  Journal  Of Group Theory , 2 (1), 167 – 174.
Hasil,  P.,  &  Vesely,  M.  (2016).  Oscillation and  non-oscillation  criterion  for Riemann-  Weber  type  half-linier differential  equations. Electronic Journal  Of  Qualitative  Theory  of
Differential  Equationd , 2016 (12),  1 – 22.
K, P. R., & Raina.R.K. (2014). On a Certain Extension of The Hurwitz Lerch Zeta Function. Annals  of  the  West University  of  Timisoara , 52 (2),  157 – 170.
Kelly,  W.  G,  Peterson,  A.  .  (2001).
Difference  Equation :  An  Introduction with Applications . Florida: Harcourt. Kim,  D.,  &  Song,  K.  (2018).  The  Inverses Of  Tails  Of  The  Riemann  Zeta Function. Journal  Of  Inequalities  and Applications , 2018 (1), 1 – 13.
M,  H.,  &  I,  H.  I.  (2010).  A  Derivation  Of Spin Based on a Stability Analysis Of The Riemann-Zeta Function. Progress in Physics , 2010 (2), 55 – 55. Pan, T., & Chen, H. (2011). Two Dimention Riemann  Initial-Boundary  Value Problem of Scalar Conservation Laws with  Curved  Boundary. Boundary Value Problems , 20 (11), 1 – 16. Q.-M.  Luo,  B.-N.  G.  F.  Q.  (2002). Generalizations of Bernoulli’s numbers and polynomials.
R. Sita Rama Chandra RAO, A., & Sarma, S. R.  (2015).  Some  Identities  Involving The  Riemann  Zeta  Function.  In Procceding of Indian National Science Academy . Riguidel,  M.  (2018).  Morphogenesis  of
The Zeta Function in the Critical Strip by Computational Approach. Mathematics , 6 (12), 285.
Silva, J. B. (2006). Bernoulli Numbers and their Applications.
Vassilev,  M.  V.  (1987). Relations  between Bernoulli numbers and Euler numbers . Wang,  Y.,  Liu,  Y.,  &  Hou,  C.  (2018).  New Concept  of  Fractional  Hahns  Omega Derivative of Riemann-Liouville type and  Caputo  type  and  Application. Advances  in  Difference  Equations , 2018 (1), 1 – 21.
Williams,  F.  L.  (2015).  Zeta  Function
Expression of Spin Partition Functions on Thermal AdS3.

## Ikhsan Maulidi, Vina Aprilian, Muhamad Syazali
Mathematics , 3 (3), 653 – 665. Wu,  S.,  &  Bercu,  G.  (2017).  Fast
Convergence Of Generalized
DeTemple  Sequences  and  The Relation  to  the  Riemann  Zeta Function. Journal  Of  Inequalities  and Applications , 2017 (1), 1 – 10.
Xin, L. (2016). Some Identities Related to Riemann  Zeta  Function. Journal  Of
Inequalities and Applications ,
2016 (1), 1 – 6.
Xu,  H.  (2016).  Some  Computational Formulas Related The Riemann Zeta- Function Tails. Journal Of Inequalities and Applications , 2016 (1), 1 – 7.
Yildiz,  C.,  Tunc,  M.,  &  Kavurmaci,  H.
(2014). Inequalities for Co-ordinated m-Convex  Functions  via  Riemann- Liouville Fractional Integrals. International  Journal  of  Analysis  and Application , 5 (1), 45 – 55. Young,  R.  M.  (1992). Excursions  in calculus :  an  interplay  of  the continuous and the discrete
Washington,  D.C. Washington,  D.C: Mathematical Association of
America, c1992.