Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 1, Juli 2020, 9-18 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i1.6752
Aliran Konveksi Campuran Magnetohidrodinamik yang Melewati Bola Bermagnet
Lutfi Mardianto 1* , Basuki Widodo 2 , Dieky Adzkiya 3
1 Departemen Matematika Institut Teknologi Sumatera, Lampung Selatan
2,3 Departemen Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Indonesia e-mail: lutfi.mardianto@ma.itera.ac.id
Diajukan:9 April 2020,  Diperbaiki: 22 Mei 2020, Diterima:23 Mei 2020

## Abstrak
Permasalahan yang dibahas pada paper ini adalah aliran konveksi campuran magnetohidrodinamik (MHD) tak tunak dari fluida Newtonian yang melalui bola bermagnet. Persamaan pembangun dimensional terdiri dari persamaan kontinuitas, persamaan momentum dan persamaan energi. Persamaan ini diubah ke bentuk non-dimensional menggunakan variabel non-dimensional. Selanjutnya, semua persamaan dianalisis dengan  teori  lapisan  batas  dan  ditransformasikan  ke  bentuk  persamaan  non-similar.  Persamaan  ini diselesaikan  secara  numerik  menggunakan  metode  beda  hingga  skema  implisit.  Profil  kecepatan  dan temperatur di permukaan bola bermagnet ditentukan oleh beberapa parameter seperti bilangan Prandtl ( Pr ), parameter magnetik (M) dan parameter konveksi campuran ( 𝛼 ). Gesekan kulit dan transfer panas dipelajari dan diinvestigasi selain kecepatan dan temperatur.
Kata Kunci : magnetohidrodinamik, konveksi campuran, bola bermagnet, skema implisit.

## Abstract
The problem of unsteady magnetohydrodynamics (MHD) mixed convection of Newtonian fluid flow over a magnetic sphere is considered in this paper. Dimensional governing equations are constructed from continuity equation, momentum equation and energy equation. These governing equations are changed into non-dimensional one by using non-dimensional variables. Further, all equations are analyzed by boundary layer theory and transformed into similarity equation. These equations are solved numerically by using finite diference method implicit scheme. The velocity and temperature profiles along surface of a magnetic sphere are determined by variations of parameters such as Prandtl number (Pr), Magnetic parameter (M) and mixed convection parameter 𝛼 . The skin friction and the Nusselt number are studied and investigated.
Keywords: magnetohydrodynamics, mixed convection, magnetic sphere, implicit scheme.

## 1 Pendahuluan
Magnetohidrodinamik merupakan suatu studi terhadap fenomena interaksi fluida terinduksi dan  elektromagnetik.  Studi  tentang  aliran  ini  sangat  penting  untuk  beberapa  penerapan  seperti akselerator dan generator MHD, pendingin reaktor nuklir, dan pertumbuhan kristal. Kondisi ini membuat peneliti tertarik untuk mempelajarinya akhir-akhir ini.
Beberapa peneliti telah melakukan studi terhadap magnetohidrodinamik. Nursalim, dkk. [1] mempelajari perilaku aliran fluida magnetohidrodinamik pada bola teriris di titik stagnasi 𝑥 0 . Muhammad, dkk. [2] memaparkan pengaruh magnetohidrodinamik terhadap pengendalian aliran separasi.
Konveksi aliran fluida terjadi karena fluida dipengaruhi oleh gaya apung, gaya eksternal atau keduanya. Konveksi yang terdiri dari gaya apung dan gaya eksternal disebut konveksi campuran.
Permasalahan  tentang  aliran  fluida  konveksi  campuran  telah  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti.
Kotouc,  dkk.  [3]  menginvestigasi  kehilangan axisymmetry pada  aliran  konveksi  campuran melewati bola dipanaskan. Nazar, dkk. [4] mempelajari aliran konveksi campuran tunak melewati bola  pejal  dengan  temperatur  permukaan  yang  konstan  dalam  aliran  yang  terbantu  maupun berlawanan.
Keberadaan medan magnet beserta adanya konveksi aliran fluida semakin gencar dipelajari.
Molla,  dkk.  [5]  mempertimbangkan  aliran  konveksi  alami  magnetohidrodinamik  dengan keberadaan panas untuk mempelajari gesekan kulit dan transfer panas selain distribusi kecepatan dan  temperatur.  Prasad,  dkk.  [6]  menganalisis  pengaruh  radiasi  pada  perilaku  kecepatan temperatur fluida pada aliran konveksi alami atau bebas. Beg, dkk. [7] mempelajari konveksi bebas atau  alami  pada  bola  terhadap  media  berpori  non-Darcian  dengan  keberadaan  panas  atau  efek penyerapan. Chamkha, dkk. [8] menginvestigasi konveksi campuran magnetohidrodinamik pada titik stagnasi terdepan dari bola berputar dengan perbedaan temperatur permukaan. Widodo, dkk. [9]  memaparkan  efek  dari  bilangan  Prandtl  dan  parameter  magnetik  pada  konveksi  paksa magnetohidrodinamik  selain  mempelajari  aliran  fluida  magnetohidrodinamik  dengan  konveksi campuran  yang  melewati  bola  bermagnet  terhadap  profil  kecepatan  dan  temperatur  pada  titik stagnasi terbawah [10].
Dalam  paper  ini,  peneliti  mempelajari  gesekan  kulit  dan  tranfer  panas  yang  diakibatkan profil kecepatan dan temperatur dari aliran fluida magnetohidrodinamik konveksi campuran tak tunak  yang melewati  bola  bermagnet.  Masalah  ini  diselesaikan  secara  numerik  dengan  metode beda  hingga  skema  implisit.  Aliran  yang  terbantu  dipilih  sebagai  konveksinya  dengan  bola bermagnet sebagai penghalang.

## 2 Pemodelan Matematika
Gambar 1 menunjukkan masalah fisik dalam penelitian ini. Fluida yang digunakan adalah fluida  Newtonian  yang  mengalir  ke  atas  dan  berlawanan  dengan  gravitasi 𝑔 .  Aliran  bebas disimbolkan  sebagai 𝑈 dan temperatur pada aliran bebas disimbolkan sebagai 𝑇 . Benda yang dipakai sebagai penghalang adalah bola bermagnet dengan radius 𝑎 dalam bidang berdimensi dua.
Kekuatan  medan  magnet 𝐵 pada  bola  diterapkan  pada  komponen  - 𝑧 .  Dalam  penelitian  ini, bilangan magnetik Reynolds diasumsikan kecil, tidak ada arus listrik sehingga medan listriknya nol.  Koordinat 𝑥̅ diukur  titik  stagnasi  terbawah  dengan  arah  berlawanan  dengan  jarum  jam sementara koordinat 𝑦 diukur dari garis normal menjauhi permukaan bola.
Gambar 1. Skema penelitian
Persamaan  pembangun  dimensional  terdiri  dari  persamaan  kontinuitas,  persamaan momentum, dan persamaan energi yang ditulis sebagai berikut.
0 ru rv x y       (1)     2 2 0 2 2 sin / u u v p u u u u B u g T T x a t x y x x y                                            (2)     2 2 0 2 2 cos / v u v p v v v v B v g T T x a t x y y x y
                                           (3)
2 2 2 2 p T T T T T C u u k t x y x y                   
            (4)
dengan kondisi batas
0 : 0, for any , 0 : 0, for 0
, as w e t u v T T
x y
t u v T T y u u T T y               
dimana 𝜌 densitas fluida, 𝜇 viskositas fluida, 𝑔 gravitasi, 𝛽 koefisien ekspansi panas, 𝐶 panas spesifik, dan 𝑘 fluks panas. Selanjutnya, nilai 𝑟 didefinisikan sebagai 𝑟̅ 𝑥̅ 𝑎 sin 𝑥̅/𝑎 , dan nilai arus bebas 𝑢 didefinisikan sebagai 𝑢 3/2 sin 𝑥̅/𝑎 untuk kasus pada bola.
Selanjutnya,  variabel  non-dimensional  digunakan  untuk  mentransformasi  Persamaan  (1)  –  (4) menjadi persamaan non-dimensional seperti berikut ini.
  1 1 2 2 , Re , , Re ,
, ,
, w x y u v
x y u v a a U U r x U t T T p t p T r a U T T a
   
 
          
Teori  lapisan  batas  diterapkan  pada  sistem  persamaan  pembangun  nondimensional  sehingga sistem tereduksi menjadi
0 ru rv x y       (5) 2 2 ( ) sin e e e u u u v u u u u M u u T x t x y x y                   (6)
2 2 1 Pr T T T T u v t x y y
           (7)
dengan kondisi batas untuk persamaan pembangun non-dimensional seperti berikut ini.
0 : 0, 0 for any , 0 : 0, 1 for 0 , 0 as e t u T x y t u v T y u u T y            
Parameter non-dimensional yang muncul dalam sistem didefinisikan sebagai

 3 2 0 2 Gr Re , Pr , , , Gr Re W P g T T a B a U a C M k U                
dimana Pr adalah  bilangan  Prandtl, M adalah  parameter  magnetik  dan 𝛼 adalah  parameter konveksi campuran.
Pada  aliran  dua  dimensi,  kecepatan  pada  komponen  - 𝑥 dan  - 𝑦 dapat  dinyatakan  sebagai stream function seperti berikut ini
1 1 and u v r y r x    
     (8)
Dengan substitusi Persamaan (8) ke Persamaan (5) dan (6), maka
2 2 2 2 3 3 2 2 2
3
1 1 1 1 1 1 1 sin u r e u M T x
e r t y x y y x y x x r r y r r r y y                                                    (9)
2 2 1 1 1 Pr T T T T t r y x r x y y     
            (10)
dengan kondisi batas
0 : 0, 0 for any , 0 : 0, 1 for 0 , 0 as e t T x y y t
T y y ru T y y                        
Untuk  memperoleh  solusi  pada  kasus small time 𝑡 𝑡 ∗ ,  variabel  non-similaritas  yang digunakan pada sistem persamaan pembangun adalah
1/2 1/2 ( ) ( ) ( , , ), , ( , , ) e y t u x r x f x t T s x t t       
Dengan substitusi variabel non-similaritas di atas ke Persamaan (9) dan (10), sistem persamaan pembangun untuk kasus small time menjadi
2 3 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 1 2 1 sin u f f f f f f f f f f r f e t f tu e x t x x r x f ts tM x u e          
                                                                     (11)
2 2 Pr Pr Pr 2 u s s s s s f f s f r s e t f t u e x t x x r x 
                                              (12)
dengan kondisi batas seperti di bawah ini
0 : 0, 1 for any , 0 : 0, 0 for 0 1, 0 as f t f s x f t f s f T    
                     Untuk kasus large time 𝑡 𝑡 ∗ , variable non-similaritas didefinisikan sebagai
( ) ( ) ( , , ), , ( , , ) e u x r x F x Y t y Y T S x Y t
    Variabel non-similaritas di atas disubstitusikan ke Persamaan (9) dan (10) sehingga 2 3 2 2 2 2 2
3 2 2 2 1 1 sin u F F F F F F F F F r F F S e F u M x e x Y t Y
x Y Y x r x Y u Y Y Y Y e     
                                                            (13)
2
2 Pr Pr e e u S S S S F F S F r S F u x Y t x Y x Y r x Y Y                                      (14)
dengan kondisi batas
0, 1 for 0
1, 0 as F F T Y Y F F T Y
F             

## 3 Hasil dan Pembahasan
Dalam penelitian ini, pengaruh bermacam-macam parameter seperti parameter magnetik 𝑀 , bilangan Prandtl 𝑃𝑟 dan parameter konveksi campuran 𝛼 terhadap kecepatan, temperatur, gesekan kulit dan transfer panas dipelajari. Program dibuat menggunakan Matlab. Grid yang digunakan dalam simulasi adalah 𝑑𝑥
5 ° dan 𝑑𝜂 0,1 dengan partisi 𝑛𝑥 36 dan 𝑛𝜂 60 .
Parameter  magnetik  merepresentasikan  keberadaan  gaya  Lorentz.  Gaya  magnetik  yang semakin  meningkat, berakibat  pada  gaya  Lorentz  yang  meningkat pula.  Hal ini  berakibat pada kecepatan fluida berkurang seperti pada Gambar 2a. Menurunnya kecepatan fluida tidak hanya terjadi  pada  titik  stagnasi,  tetapi  juga  di  sepanjang  permukaan  bilangan  magnetik  seperti  pada Gambar 2b.
Gambar 2. (a) Profil kecepatan pada titik stagnasi terendah dan (b) profil gesekan kulit dengan parameter magnetik yang bermacam-macam dengan Pr
1 dan α 1 .
Dalam  Gambar  3a,  temperatur  fluida  menurun  ketika  parameter  magnetik  meningkat.
Temperatur  menurun  karena  penurunan  energi  internal  fluida.  Kenaikan  bilangan  magnetik berakibat pada menurunnya kecepatan fluida sehingga temperatur fluida menurun.
Transfer panas pada fluida ditunjukkan oleh bilangan Nusselt. Bilangan Nusselt yang tinggi berarti transfer panas dari bola terhadap fluida berlangsung lambat. Bilangan Nusselt meningkat ketika  parameter  magnetik  meningkat  seperti  pada  Gambar  3b.  Kenaikan  parameter  magnetik
(a) (b)
berakibat  pada  menurunnya  kecepatan  fluida  pada  permukaan  bola  sehingga  temperatur  fluida menurun. Akibatnya, bilangan Nusselt meningkat.
Gambar 3. (a) Profil temperatur pada titik stagnasi terendah dan (b) profil bilangan Nusselt dengan parameter magnetik yang bermacam-macam dengan Pr 1 dan α 1 .
Bilangan Prandtl didefinisikan sebagai rasio antara difusivitas momentum dan difusivitas panas.  Dari  Gambar  4a,  kenaikan  bilangan  Prandtl  berpengaruh  pada  menurunnya  kecepatan fluida.  Tingginya  difusivitas  momentum  membuat  aliran  fluida  lambat.  Hal  ini  nampak  pada menurunnya gesekan kulit seperti pada Gambar 4b.
Gambar 4. (a) Profil kecepatan pada titik stagnasi terendah dan (b) profil gesekan kulit dengan bilangan Prandtl yang bermacam-macam dengan M 1 dan α 1 .
Gambar  5a  menunjukkan  bahwa  ketika  bilangan  Prandtl  meningkat,  temperatur  fluida menurun. Kenaikan bilangan Prandtl berpengaruh pada menurunnya difusivitas panas. Akibatnya, temperatur fluida menurun. Terdapat perbedaan antara bilangan Prandtl 0 Pr 1 dan Pr 1 .
(a) (b) (a) (b)
Bilangan Prandtl 0 𝑃𝑟 1 berarti nilai difusivitas panas dominan sehingga temperatur fluida tinggi, tetapi bilangan Prandtl 𝑃𝑟
1 berarti momentum difusivitas momentum lebih dominan. Akibatnya,  kenaikan  bilangan  Prandtl  pada 𝑃𝑟 1 tidak  merubah  secara  signifikan  terhadap penurunan temperatur fluida.
Gambar 5. (a) Profil temperatur pada titik stagnasi terendah dan (b) profil bilangan Nusselt dengan bilangan Prandtl yang bermacam-macam dengan M 1 dan α 1 .
Seperti  yang  telah  dideskripsikan  sebelumnya,  kenaikan  bilangan  Prandtl  berpengaruh pada  penurunan  temperatur.  Akibatnya,  bilangan  Nusselt  meningkat  seperti  pada  Gambar  5b.
Bilangan Nusselt yang tinggi berarti tranfer panas berlangsung lambat.
Gambar 6. (a) Profil kecepatan pada titik stagnasi terendah dan (b) profil gesekan kulit dengan parameter konveksi campuran yang bermacam-macam dengan M 1 dan Pr 1 .
Parameter konveksi campuran menunjukkan keberadaan gaya apung dibandingkan dengan gaya eksternal pada aliran fluida. Konveksi alami atau bebas dominan ketika parameter konveksi
(a) (b) (a) (b)
campuran berada pada rentang 0 α 1 , sedangkan konveksi paksa dominan ketika parameter konveksi  campuran  berada  pada  rentang α 1 .  Gambar  6a  menggambarkan  kecepatan  fluida meningkat  ketika  parameter  konveksi  meningkat.  Kenaikan  parameter  konveksi  campuran berpengaruh  pada  penurunan  densitas  fluida.  Akibatnya,  fluida  mengalir  dengan  cepat. Peningkatan parameter konveksi campuran berpengaruh pada peningkatan gesekan kulit seperti pada  Gambar  6b.  Peningkatan  parameter  konveksi  campuran  berpengaruh  pada  peningkatan kecepatan fluida. Akibatnya, gesekan kulit juga meningkat.
Gambar 7. (a) Profil temperatur pada titik stagnasi terendah dan (b) profil bilangan Nusselt dengan parameter konveksi campuran yang bermacam-macam dengan M 1 dan Pr 1 .
Kenaikan  parameter  konveksi  campuran  berpengaruh  pada  kenaikan  temperatur  seperti pada Gambar 7a. Kenaikan bilangan berpengaruh pada kenaikan kecepatan fluida sehingga energi internal meningkat. Akibatnya, temperatur fluida juga meningkat. Temperatur fluida berhubungan dengan bilangan Nusselt. Ketika temperatur fluida meningkat, bilangan Nusselt menurun seperti pada Gambar 7b yang berarti transfer panas berlangsung cepat.

## 4 Simpulan
Dalam  penelitian  ini,  aliran  konveksi  campuran  magnetohidrodinamik  melewati  bola bermagnet dipelajari. Pengaruh parameter non-dimensional seperti prameter magnetik, bilangan Prandtl dan parameter konveksi campuran juga dipelajari. Kenaikan parameter magnetik berakibat pada  menurunnya  kecepatan,  temperatur  dan  gesekan  kulit,  tetapi  bilangan  Nusselt  meningkat. Kenaikan  bilangan  Prandtl  berpengaruh  pada  menurunnya  kecepatan,  temperatur  dan  gesekan kulit, tetapi bilangan Nusselt meningkat. Kenaikan parameter konveksi campuran mengakibatkan meningkatnya kecepatan, temperatur dan gesekan kulit, tetapi bilangan Nusselt menurun.

## 5 Daftar Pustaka
[1] Nursalim, R., Widodo, B., dan Imron, C., Magnetohydrodynamics of unsteady viscous fluid on boundary layer past a sliced sphere. Journal of Physics: Conference Series. Vol.
893. No. 1. IOP Publishing, 2017.
[2] Mohammad, N. F., Kasim, A. R. M., Ali, A., & Shafie, S., Effect of MHD on unsteady boundary layer flow past a sphere. Proceedings of The Annual International Conference,
Syiah Kuala University-Life Sciences & Engineering Chapter. Vol. 3. No. 2. (2013).
[3] Kotouc, M., Bouchet, G., dan Dusek, J., Loss of axisymmetry in the mixed convection, assisting flow past a heated sphere, Vol. 51 (2008): 2686-2700.
[4] Nazar, R., Amin, N., dan  Pop, I., On the mixed convection boundary layer flow about a solid sphere with constant surface temperature, The Arabian journal for science and engineering, Vol. 27 (2002), 117-135.
[5] Molla, M. M., Taher, M. A., Chowdhury, M. M. K., dan Hossain, M. A., Magnetohydrodynamic natural convection flow on a sphere in presence of heat generation, Nonlinear analysis: modelling and control, Vol. 10 (2005), 349-363.
[6] Prasad, V. R., Vasu, B. A. B. O., Bég, O. A., & Parshad, R. D., Thermal radiation effects on magnetohydrodynamic free convection heat and mass transfer from a sphere in a variable porosity regime. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 17 (2012), 654-671.
[7] Beg, O. A., Zueco, J., Bhargava, R., dan Takhar, H. S., Magnetohydrodynamic convection flow from a sphere to a non-Darcian porous medium with heat generation or absorption effects: network simulation, International Journal of Thermal Sciences, Vol. 48 (2009),
913-921.
[8] Chamkha, A. J., dan Ahmed, S. E., Unsteady MHD heat and mass transfer by mixed convection flow in the forward stagnation region of a rotating sphere at different wall conditions, Chemical engineering communications, Vol. 199 (2012), 122-141.
[9] Widodo, B., Khalimah, D. A., Zainal, F. D. S., dan Imron, C., The effect of Prandtl number and magnetic parameter on forced convection unsteady magnetohydrodynamics boundary layer flow of a viscous fluid past a sphere, International journal of advances in science, engineering and technology, Vol. 4 (2017), 75-78.
[10]  Widodo, B., Mardianto, L., Adzkiya, D., Numerical investigation on magnetohydrodynamics mixed convection flow past a magnetic sphere, Journal of Physics: Conference Series, Vol. 1153, No. 1. IOP Publishing, 2019.