## RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto
razzaq.ganesha@gmail.com Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This paper discusses a matrices over a commutative ring. A matrices over commutative rings is a matrices whose entries are the elements of the commutative ring. We    investigates  the  structure  of  the  set  of  the  matrices  over  the  commutative  ring.  We obtain that the set of the matrices over  the commutative ring equipped with an addition and a multiplication operation of matrices is a ring with a unit element.
Keywords : set, matrices, ring, matrices over commutative rings.
ABSTRAK. Makalah  ini  membahas  tentang  matriks  atas  ring  komutatif.  Matriks  atas ring  komutatif  yaitu  matriks  dengan  entri-entrinya  merupakan  elemen  pada  ring komutatif. Selanjutnya, diselidiki struktur yang terbentuk dari himpunan matriks atas ring komutatif  tersebut.  Hasil  yang  diperoleh  adalah  himpunan  matriks  atas  ring  komutatif yang  dilengkapi  operasi  penjumlahan  dan  perkalian  matriks  merupakan  ring  dengan elemen satuan
Kata kunci : himpunan, matriks, ring, matriks atas ring komutatif, ring polinomial.

## 1. PENDAHULUAN
Sistem matematika merupakan satu himpunan tak kosong atau lebih yang dilengkapi dengan satu operasi biner atau lebih yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Sistem  matematika  yang  terdiri  dari  satu  himpunan  tak  kosong  yang  dilengkapi dengan  sebuah  operasi  biner  diantaranya  yaitu  grupoid,  semigrup,  monoid,  dan grup. Adapun sistem matematika yang terdiri dari satu himpunan tak kosong yang dilengkapi  dengan dua buah operasi  biner diantaranya  yaitu ring, daerah integral dan  lapangan.  Menurut  Fraleigh  (2002),  himpunan  bilangan  riil  dan  kompleks yang  dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  aritmatika  merupakan  sistem matematika  grup.  Selanjutnya,  jika  himpunan  bilangan  riil  dan  kompleks dilengkapi  operasi  penjumlahan  dan  perkalian  aritmatika  maka  himpunan bilangan riil dan kompleks tersebut merupakan suatu ring.
Matriks merupakan susunan elemen yang berbentuk persegi panjang yang disusun  menurut  baris  dan  kolom.  Matriks  merupakan  salah  satu  kajian  pada bidang  aljabar  yang  memiliki  operasi  yang  berbeda  dari  operasi  aritmatika. Pembahasan  mengenai  matriks  dengan  entri-entrinya  merupakan  elemen himpunan  bilangan  riil  dan  kompleks  telah  dibahas  oleh  Anton  (2010).  Matriks yang  dibahas  oleh  Anton  merupakan  suatu  matriks  atas  ring  riil  atau  ring kompleks.  Sukartini  (2003)  mengkaji  mengenai  kongruensi  matriks  hermite  atas ring  polinomial.  Pada  penelitian  tersebut  matriks  yang  dibahas  adalah  matriks yang  entri-entrinya  merupakan  elemen  pada  ring  polinomial.  Ring  polinomial merupakan salah satu bentuk khusus dari ring.
Penelitian  ini  membahas  mengenai  pembentukan  matriks  dengan memperumum  entri-entrinya  yaitu  elemen  pada  ring  komutatif.  Selanjutnya, dengan membentuk matriks atas ring komutatif ini maka secara otomatis struktur beserta sifat-sifat  matriks  yang dibahas pada Anton dan matriks  yang dikaji  oleh Sukartini termuat di dalam matriks atas ring komutatif ini.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka dengan cara  mengkaji  buku-buku  teks  yang  berkaitan  dengan  pembentukan  ring  matriks atas ring komutatif. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu :
(1) Mendefinisikan  matriks  dengan  memperumum  entri-entrinya  yang merupakan elemen pada ring komutatif.
(2) Mendefinisikan  himpunan  matriks  atas  ring  komutatif  serta  operasi  pada himpunan tersebut.
(3) Membuktikan  struktur  yang  terbentuk  dari  sistem  matematika  himpunan matriks atas ring komutatif merupakan ring.
12                                                                                                               Ahmad Abdurrazaq, dkk

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  hasil  dan  pembahasan  ini  dibahas  mengenai  pembentukan  matriks atas ring komutatif dan selanjutnya akan ditunjukkan sistem matematika ring yang terbentuk dari matriks atas ring komutatif dan ring polinomial atas ring tersebut.

## 3.1 Matriks Atas Ring Komutatif
Misalkan R merupakan ring komutatif dengan  elemen nolnya  adalah 0 e . Apabila R merupakan  ring  komutatif    dengan  elemen  satuan  maka  elemen satuannya  dinotasikan 1 e .  Selanjutnya,  pembahasan  pada  sub  bab  ini  diawali dengan  mendefinisikan  suatu  matriks  dengan  entri-entrinya  merupakan  elemen pada ring komutatif.
Definisi 1 Misalkan R  adalah ring komutatif. Matriks  berukuran m n  disebut matriks atas ring komutatif R jika setiap entri matriks adalah elemen pada R .
Karena R dan C masing-masing  merupakan  ring  komutatif  maka  matriks  yang entri-entrinya  elemen  pada R dan C seperti  pada  pembahasan  Anton  (2010) merupakan  bentuk  khusus  dari  matriks  atas  ring  komutatif  dengan  entri-entrinya elemen pada  ring komutatif. Matriks  yang dibahas oleh Anton untuk  selanjutnya disebut  matriks  biasa.  Berikut  ini  diberikan  definisi  himpunan  matriks  atas  ring komutatif menurut Brown (1993:10).
Definisi  2 Misalkan R   adalah  ring  komutatif,  maka  himpunan  semua  matriks berukuran m n  atas R ,  dinotasikan ( ) m n M R  disebut  himpunan  matriks  atas ring komutatif R .
Berdasarkan Definisi 2, diperoleh bahwa bentuk umum dari ( ) m n M R  adalah
 
( ) | , 1, 2,..., , 1, 2,..., m n ij ij M R a a R i m j n           . (3.1)
Pada penelitian  ini matriks yang digunakan merupakan matriks persegi, sehingga himpunan matriksnya adalah ( ) n n M R  .
Operasi  penjumlahan  dan  perkalian  matriks  terdefinisi  dengan  baik  di ( ) n n M R  .  Ambil  sembarang , , , ( ) n n A B C D M R   dengan A C  dan B D  dimana , , ij ij A a B b           , ij ij C c D d           , untuk setiap , , , ij ij ij ij a b c d R  dan
, 1, 2,..., . i j n  Karena A C  dan B D  maka ij ij a c  dan ij ij b d  untuk  setiap
, 1, 2,..., . i j n  Dengan demikian berlaku ij ij ij ij A B a b a b                  ij ij ij ij c d c d C D                  
A B   1 1 n n iq qj iq qj q q a b c d C D       
            .
Hal ini berarti operasi penjumlahan dan perkalian matriks terdefinisi dengan baik di ( ) n n M R  .  Pada  suatu  matriks,  yang  mempengaruhi  bentuk  dan  sifat  yang menyertainya adalah entri-entri yang membentuk matriks tersebut.

## 3.2 Struktur pada Matriks Atas Ring Komutatif
Setelah  membentuk  matriks  atas  ring  komutatif,  selanjutnya  ditunjukkan mengenai    sistem  matematika    ring  yang  terbentuk  dari  himpunan  matriks  atas ring  komutatif.  Sistem  matematika    yang  dibahas  merupakan  sistem  matematika yang  terdiri  dari  himpunan  matriks  atas  ring  komutatif  yang  disertai  dengan  dua buah  operasi,  yaitu  operasi  penjumlahan  dan  perkalian  matriks.  Karena  matriks atas ring komutatif merupakan perumuman dari matriks biasa, maka struktur yang terbentuk  dari  matriks  atas  ring  komutatif  juga  memperumum  struktur  dari matriks biasa.
Berikut  ini  diberikan  lemma  untuk  himpunan  matriks  atas  ring  komutatif yang disertai operasi penjumlahan matriks.

## Lemma 3
Himpunan  matriks ( ) n n M R  yang  dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan matriks merupakan grup Abel.
14                                                                                                               Ahmad Abdurrazaq, dkk
Bukti. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa himpunan matriks atas ring komutatif yang disertai operasi penjumlahan matriks merupakan grup Abel.
a. Misalkan , ( ) n n A B M R   dengan ij A a      dan ij B b      ,  untuk  setiap
, ij ij a b R  dan , 1, 2,..., i j n  .  Hasil  penjumlahan  dari  matriks A dan B
adalah       ij ij ij ij
A B a b a b      ,  untuk , 1, 2,..., i j n  .  Karena , ij ij a b R  maka berlaku ij ij a b R   , sehingga diperoleh bahwa ( ) n n A B M R    . b. Sifat  assosiatif  penjumlahan  terpenuhi  di ( ) n n M R  ,  karena  untuk  setiap
, , ( ) n n A B C M R   dengan , , ij ij A a B b           dan ij C c      ,  untuk  setiap
, , ij ij ij a b c R  dan , 1, 2,..., i j n  ,  berlaku     ij ij ij A B C a b c                  
    . ij ij ij a b c A B C                 
c. Terdapat  matriks  nol ( ) ij n n E d M R        dengan 0 ij d e  untuk  setiap
, 1, 2,..., i j n  ,  sedemikian  sehingga  untuk  setiap
( ) n n A M R   berlaku
A E E A A     .  Hal  ini  dapat  ditunjukkan  oleh
ij ij A E a d            ij ij ij d a a
        
      . Jadi E merupakan elemen nol pada ( ) n n M R  .
d. Untuk setiap ( ) ij n n A a M R        dengan ij a R  dan , 1, 2,..., i j n  ,  terdapat
1 ( ) ij n n A
A a M R    
       untuk  setiap ij a R   yang  merupakan  invers dari ij a terhadap  operasi  penjumlahan  pada  ring  komutatif R ,  sehingga berlaku 1 1 ij ij ij ij A A a a a a                            ij ij ij a a d E
            dan 1 A A     1 ij ij ij ij ij ij ij a a a a a a d E                                    . Jadi terbukti  bahwa 1 A A    merupakan  invers  matriks A terhadap  operasi penjumlahan di ( ) n n M R  .
Ring Matriks atas Ring Komutatif                                                                                               15
e. Sifat  komutatif  penjumlahan  terpenuhi  di ( ) n n M R  , karena  untuk  setiap , ( ) n n A B M R   dengan ij A a      dan ij B b      , berlaku ij ij A B a b
            . ij ij ij ij ij ij a b b a a b B A                       
Karena  semua  aksioma  pada  grup  dan  sifat  komutatif  terpenuhi  maka  terbukti
  ( ), n n M R   merupakan grup Abel. ■
Himpunan  matriks  atas  ring  komutatif  yang  dilengkapi  dengan  operasi perkalian  matriks  membentuk  sistem  matematika  seperti  dijelaskan  pada  lemma berikut.

## Lemma 4
Himpunan  matriks ( ) n n M R  yang  dilengkapi  dengan  operasi  perkalian  matriks merupakan semigrup.
Bukti. Berikut ini ditunjukkan bahwa himpunan matriks atas ring komutatif yang disertai dengan operasi perkalian matriks merupakan semigrup.
Untuk  setiap , , ( ) n n A B C M R   dengan , , ij ij A a B b      
    dan ij C c      ,
dimana , , ij ij ij a b c R  dan , 1, 2,..., i j n  , berlaku
a. Hasil  perkalian  dari  matriks A dan B adalah ij A B c       ,  dengan 1 n ij iq qj q c a b    untuk , 1, 2,..., i j n  .  Karena , iq qj a b R  maka 1 n iq qj q a b R   
sehingga diperoleh bahwa ( ) n n A B M R    .
b. Sifat assosiatif perkalian yaitu
    1 1 . n n iq qj ij ij qr rj ij ij ij q r A B C a b c a b c a b c                                            
 .
Karena  setiap  aksioma  pada  semigrup  terpenuhi  maka  terbukti   ( ), n n M R  
merupakan semigrup. ■
16                                                                                                              Ahmad Abdurrazaq, dkk
Selanjutnya  diberikan  lemma  yang  menyatakan  bahwa  operasi  perkalian
matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan pada ( ) n n M R  .

## Lemma 5
Untuk  setiap , , ( ) n n A B C M R   berlaku,   A B C A B A C       dan   . B C A B A C A      
Bukti. Ambil  sembarang , , ( ) n n A B C M R   dengan , , ij ij A a B b           dan ij C c      ,  untuk  setiap , , ij ij ij a b c R  dengan , 1, 2,..., i j n  .  Selanjutnya perhatikan bahwa
    1 1 1 ( ) ( ) n n n iq qj iq qj iq qj iq qj q q q A B C a b a c a b a c A B A C    
                        dan
    1 1 1 ( ) ( ). n n n iq qj iq qj iq qj iq qj q q q B C A b a c a b a c a B A C A    
                        Jadi
terbukti bahwa sifat distributif operasi perkalian terhadap penjumlahan berlaku di ( ) n n M R  . ■
Berdasarkan  uraian  lemma  3,  lemma  4,  dan  lemma  5  diperoleh  sistem matematika  yang  terdiri  dari  satu  himpunan  yang  dilengkapi  dengan  dua  buah operasi biner.

## Teorema 6
Himpunan  matriks ( ) n n M R  yang dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  dan perkalian matriks merupakan ring.
Bukti. Berdasarkan  lemma  3  diperoleh  bahwa   ( ), n n M R   merupakan  grup
Abel,  dan  menurut  lemma  4,  sistem  matematika   ( ), n n M R   merupakan semigrup.  Selanjutnya,  menurut  lemma  5  diperoleh  bahwa  sifat  distributif
Ring Matriks atas Ring Komutatif                                                                                               17
perkalian  terhadap  penjumlahan  berlaku  di ( ) n n M R  .  Hal  ini  menunjukkan bahwa   ( ), , n n M R    merupakan ring. ■
Menurut  Teorema  6  matriks  atas  ring  komutatif  yang  dilengkapi  operasi penjumlahan  dan  perkalian  matriks  merupakan  ring  dengan  elemen  satuan. Karena  operasi  perkalian  matriks  tidak  bersifat  komutatif,  maka   ( ), , n n M R   
bukan  ring  komutatif.  Hal  ini  berarti  sistem  matematika   ( ), , n n M R    bukan lapangan maupun daerah integral.

## 4 KESIMPULAN DAN SARAN
Matriks atas ring komutatif adalah matriks yang entri-entrinya merupakan elemen  dari  ring  komutatif.  Himpunan  matriks  atas  ring  komutatif  yang dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  dan  perkalian  matriks  merupakan  ring dengan elemen satuan, tetapi bukan merupakan lapangan ataupun daerah integral. Untuk  selanjutnya  penelitian  ini  dapat  dilakukan  untuk  ideal  pada  ring  matriks atas  ring  komutatif.  Selain  itu  dapat  juga  dilakukan  pengkajian  matriks  dengan mengubah entri dari matriks dengan lapangan ataupun daerah integral.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton,  H.  (2010). Dasar-Dasar  Aljabar  Linier,  Jilid  1 .  Ciputat  Tangerang: Binarupa Aksara Publisher.
Brown,  W  C.  (1993). Matrices  Over  Commutative  Rings .  New  York:  Marcell Dekker Inc.
Fraleigh,  J.B.,  &  Katz,  V.J.  (2002). A  First  Course  in  Abstract  Algebra, 7 th Edition. New York: Addison-Wesley Publishing Company.
Sukartini. (2003). Menentukan Kongruensi Matriks Hermite Atas Ring Polinomial Skripsi S1 pada ITS Surabaya.
18                                                                                                              Ahmad Abdurrazaq, dkk