MODEL MATEMATIKA SEDERHANA REDAMAN GETARAN PADA SAYAP PESAWAT TERBANG
Rukmono Budi Utomo
Universitas Muhammadiyah Tangerang Email : rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id
ABSTRACT . We have known that when the plane encountered turbulence or in a hard landing, the aircraft engine will swing to dampen vibrations of the aircraft  wing.  Thus,  based  on  rights,  this  research  is  investigating  and constructing mathematical model of aircraft wing vibration. In this research, we  described  not  only  the  creation  of  mathematical  models,  but  also  the analysis of the model and its interpretation.
Keywords: aircraft wing vibration, mathematical model.
ABSTRAK.  Diketahui  bahwa  ketika  pesawat  mengalami  turbulensi  atau pendaratan  keras,  maka  mesin  pesawat  akan  berayun  untuk  meredam gertaran yang terjadi pada sayap pesawat. Dengan demikian berdasarkan hal tersebut  penelitian  ini  bertujuan  untuk  menyelidiki  dan  mengkonstruksi model  matematika redaman getaran pada sayap pesawat terbang. Penelitian ini  tidak  hanya  menjelaskan  pembentukan  model  matematika,  namun  juga dilakukan analisis dari model yang dihasilkan beserta interpretasinya.
Kata Kunci : getaran sayap Pesawat, model matematika.

## 1. PENDAHULUAN
Saat  ini  pesawat  terbang  merupakan  satu-satunya  alat  transportasi  paling efisien  bagi  manusia  dalam  melakukan  perjalanan  jauh  melintasi  daerah,  negara bahkan  benua.  Pesawat  dapat  terbang  karena  adanya  mesin  pesawat  yang menghasilkan  dorongan  sehingga  terjadi  momentum  dan  perbedaan  kecepatan aliran  udara  di  bawah  dan  di  atas  sayap  pesawat.  Hukum  Bernoully  menyatakan bahwa  kecepatan  udara  yang  besar  akan  menimbulkan  tekanan  udara  yang  kecil sehingga  tekanan  udara  di  bawah  sayap  menjadi  lebih  besar  dari  sayap  pesawat bagian  atas.  Berdasarkan  hal  tersebut  akan  timbul  gaya  angkat  ( lift )  yang menjadikan pesawat  dapat  terbang. Selain mesin, terdapat  bagian-bagian  penting lainnya yang mendukung pesawat dapat terbang. Bagian-bagian penting itu antara lain:  badan  pesawat  ( fuselage )  yang  didalamnya  terdapat  ruang  kemudi  pilot
JMP : Volume 8 Nomor 1, Juni 2016, hal. 8 - 20
( cockpit )  dan  penumpang,  sayap  pesawat (wing) yang  memuat aileron dan flap yang masing-masing berfungsi sebagai rolling pesawat dalam bergerak ke kiri kiri dan  kanan  serta  untuk  menambah  luas  area  sayap  ( coefficient  lift )  yang  berguna untuk  menambah  gaya  angkat  pesawat  (Dunia  Baca,  2012).  Selain  itu  bagian penting  lainnya  dalam  pesawat  adalah  ekor  yang  berfungsi  sebagai  anggukan peswat  dalam  arah  naik  dan  turun  dan  roda  pesawat  yang  berfungsi  dalam pendaratan atau lepas landas.
Meski  merupakan  alat  transportasi  yang  efisien  dan  cepat  bukan  berarti pesawat terbang tidak memiliki  hambatan. Ancaman akan  cuaca buruk atau arus angin  yang  terlampau  kencang  akan  membuat  peswat  mengalami  guncangan bahkan turbulensi. Kemungkinan akan bahaya ini tentu saja telah diperhitungkan dan diantisipasi oleh para produsen pesawat. Berbagai sistem keamanan dirancang dalam menghadapi kemungkinan timbulnya getaran pesawat salah satunya adalah menempatkan mesin pada bawah sayap pesawat.
Mesin  peswat  yang  ditempatkan  pada  bagian  bawah  sayap  dimaksudkan sebagai  bandul  peredam  yang  akan  berayun  ketika  muncul  getaran  pada  sayap pesawat.  Peredaman  ini  sangatlah  penting  agar  getaran  yang  terjadi  pada  sayap pesawat  tidak  terus  terjadi  dan  segera  hilang.  Apabila  tidak  adanya  sistem redaman, maka penumpang akan mengalami guncangan dan sayap pesawat dapat patah karena getaran yang terus diterimanya.
Penelitian ini bertujuan memahami dan memodelkan secara matematis dari redaman  getaran  pada  sayap  pesawat.  Dalam  menyusun  model  redaman  getaran ini,  peneliti  menganalogikan  mesin  pesawat  sebagai  peredam  yang  ditempatkan pada  sayap  pesawat  memiliki  kesamaan  sifat  seperti  pegas  dengan  redaman. Dengan demikian berdasarkan hal tersebut model yang dibangun diturunkan dari model pegas dengan redaman tersebut. Dalam penelitian ini juga akan dilakukan analisis dari model yang telah terbentuk beserta interpretasinya.
Dalam menyusun model redaman getaran pada sayap pesawat ini, terlebih dahulu  peneliti  mengenalkan  hukum-hukum  fisika  yang  terkait  seperti  Hukum Newton,  Hooke,  gaya  fluida,  gaya  sinusoidal,  sifat-sifat  dan  model  pegas sederhana  tanpa  redaman,  serta  model  pegas  dengan  redaman.  Penelitian  serupa
9
R. B. UTOMO
yang telah dilakukan antara lain oleh Mohamad Ardi Cahyono dan Agus Basuksti dengan  judul  penelitian Penentuan  Frekuensi  alamiah  Sayap  Pesawat  Latih Dasar KT-1B Menggunakan Metode MYKLESTAD dan hasil penelitiannya terbit pad jurnal Angkasa Volume 2 edisi bulan april 2010. Lebih lanjut, beberapa buku penunjang  dibutuhkan  dalam  penyusunan  model  matematika  redaman  getaran pada  sayap  pesawat  ini,  antara  lain  buku Mathematical  Models:  Mechanical Vibration,  Population  Dynamicsand  Traffic  Flow karya  Richard  Haberman,
Elementary Differential Equation and Boundary Value Problem karya  Boyce dan Richard, Chaos and Introduction to Dynamical System karya Alligood, Sacer dan Yorke  serta  buku Buku  Pemodelan  Matematika,  Analisis  dan  Aplikasinya karya Widowati  dan  Sutimin,  serta  buku-buku  lainnya  yang  dapat  dibaca  dalam  daftar pustaka.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Diketahui  bahwa  pesawat  umumnya  memiliki  mesin  dibawah  kedua sayapnya.  Dengan  suatu  faktor  tertentu,  pesawat  dapat  mengalami  getaran  yang disebabkan  oleh  guncangan  baik  saat lepas  landas ( take  off ),  saat  mengudara maupun saat pendaratan ( landing ). Banyak faktor penyebab itu semua diantaranya beban  pesawat  yang  terlalu  berat,  kondisi  landasan  pacu  yang  kurang  baik, ganguan  cuaca,  maupun  disebabkan  oleh  komposisi  material  penyusun  pesawat itu  sendiri.  Getaran  pada  pesawat  biasanya  dialami  pada  bagian-bagian  tertentu dan  sensitif  seperti  pada  bagian  sayap,  sambungan  ekor,  kokpit  maupun  pada badan pesawat.
Mesin  pesawat  yang  diletakan  pada  bagian  bawah  sayap  dimaksudkan apabila  terjadi  getaran  karena  salah  satu  dari  faktor  diatas,  maka  mesin  dapat bertindak  sebagai  suatu  instrumen  yang  dapat  mengurangi  ( reduce )  getaran tersebut.  Sehingga  sekalipun  masih  mengalami  getaran,  maka  hal  tersebut  masih berada  pada  batas  ambang  toleransi  besarnya  getaran  yang  dapat  dialami  oleh pesawat.
Peneliti  dapat  memandang  topik  ini  dengan  memanfaatkan  apa  yang diketahui  pada  sistem  massa  pegas  dengan  redaman.  Pemanfaatan  ini  didasari

## MODEL MATEMATIKA SEDERHANA REDAMAN GETARAN                                10
bahwa  sayap  pada  pesawat  memiliki  karakteristik  tipis  dan  lentur  sehingga membentuk  suatu  sistem  vibrasi  teredam  dengan  frekuensi  redaman  kurang (under damp) yang dapat dimodelkan seperti gambar di bawah ini
Gambar: sistem massa pegas dengan redaman
Dalam  penelitian  kali  ini  peneliti  menganalogkan  bahwa  mesin  yang berada  pada  bawah  sayap  pesawat  adalah  seperti  peredam  dalam  model  pegas dengan redaman ini. Sehingga dengan demikian model pegas dengan redaman ini dapat  pula  dianggap  sebagai  model  getaran  pada  sayap  pesawat  dikarenakan kemiripan sifat.
Sebelum membahas sistem massa pegas dengan redaman, akan dikenalkan terlebih  dahulu  mengenai  sistem  massa  pegas  klasik  tanpa  redaman.  Newton merumuskan  gaya F yang  terjadi  pada  pegas  dengan  satu  massa  dirumuskan sebagai  perkalian  antara  massa m dengan  percepatan a ,  atau  secara  matematis dituliskan  sebagai F ma  (Haberman,  1971).  Karena  percepatan  merupakan
turunan kedua jarak terhadap waktu atau
2
2 d x a dt  , maka gaya yang bekerja pada
pegas  dengan  satu  massa  menurut  Newton  adalah
2
2 d x F m dt  ,  dengan x merupakan variabel posisi horizontal dan t merupakan variabel waktu (Widowati, 2013) .
Hooke berpendapat bahwa ketika pegas ditarik atau didorong, maka pada saat  yang  bersamaan,  pegas  menghasilkan  suatu  gaya  untuk  mengembalikan bentuknya seperti sedia kala. Gaya ini memiliki arah berlawanan dari tarikan atau
R. B. UTOMO
dorongan dan disebut sebagai gaya pemulih atau restoring force (Alligood, 1993) . Gaya  pemulih  ini  diformulasikan  sebagai F kx   ,  dengan k merupakan  suatu konstanta  pemulih  (Agarwal,  2008).  Dengan  demikian  berdasarkan  hal  tersebut model sistem pegas satu massa tanpa redaman adalah
2 2 d x m kx dt   atau 2 2 0 d x m kx dt     1
yang merupakan Persamaan Differensial (PD) orde dua homogen (Boyce, 1992). Solusi dari persamaan   1 tersebut adalah   sin cos x t A t B t     yang bersifat
sinusoidal  dengan  periode,  jumlah  periode  dalam 2  satuan,    dan    frekuensi dalam  osilasi  sistem  pegas  ini  masing-masing  adalah 2 T    , 2 T    ,  dan  ,
1 f T  , dengan k m   (Coddington, 1961).
Apabila  model  sistem  massa  pegas  diberikan  redaman,  maka  gaya peredam  juga  berlaku  pada  massa  selain  gaya  yang  disebabkan  oleh  peregangan pegas.Lebih lanjut apabila sistem ini berada dalam suatu fluida, maka benda akan mendapatkan  peredaman  karena  kekentalan  fluida.  Gaya  akibat  kekentalan  ini sebanding  dengan  kecepatan  benda  dan  di  formulasikan  dengan d dx F c dt   ,
dengan c merupakan  koefisien  peredam  dengan  satuan s N m (Cahyono,  2010).
Berdasarkan  hal  tersebut  model  massa  pegas  dengan  redaman  karena  kekentalan fluida adalah
2 2 d x dx m kx c dt dt    atau 2 2 0 d x dx m c kx dt dt      2
yang merupakan PD orde dua homogeny (Boyce 1992).
Pada  kenyataannya,  terdapat  gaya  lain  yang  berpengaruh  pada  model  ini, gaya tersebut adalah gaya luar yang berbentuk sinusoidal dan dinyatakan sebagai
0 cos F F t   ,  dengan 0 F merupakan  besarnya  gaya  luar  yang  terjadi  (Anonim).
Berdasarkan hal  tersebut,  model matematis redaman getaran pada sayap  pesawat

## MODEL MATEMATIKA SEDERHANA REDAMAN GETARAN                               12
menjadi
2 0 2 cos d x dx m c kx F t dt dt     dengan  merupakan jumlah periode dalam
2  satuan.

## 2.1 Solusi Model
Telah  disebutkan  pada  pendahuluan  bahwa  model  redaman  getaran  pada pesawat  ini  diturunkan  dari  model  pegas  dengan  redaman  dari  fluida  dan memperhatikan  gaya  lain  seperti  sinusoidal,  berdasarkan  hal  tersebut  model redaman getaran pesawat dalam penelitian ini dituliskan sebagai
2 0 2 cos d x dx m c kx F t dt dt     atau 2 0 2 cos d x c dx k x F t dt m dt m             3
Misalkan
2 c m   , dengan mengingat bahwa 2 k m   , maka persamaan   3 dapat dituliskan sebagai
2 2 2 0 2 cos d x dx x F t dt dt         4
Perhatikan bahwa model   4 tersebut Persamaan Differensial orde dua non homogen  sehingga  untuk  mencari  solusi  dari  persamaan  ini,  dicari  dahulu  solusi untuk  persamaan  differensial  homogen  dan  dilanjutkan  dengan  mencari  solusi partikulirnya.  Berdasarkan  hal  tersebut  solusi  umum  persamaan  ini  adalah jumlahan dari kedua solusi tersebut.
Untuk mencari solusi homogen dilakukan dengan membuat nol ruas kanan persamaan   4 dengan demikian diperoleh persamaan
2 2 2 2 0 d x dx x dt dt        5 Akar-akar persamaan karakteristik
persamaan   5 adalah
2 4 2 1 1 1 4 2 2 r        dan 2 4 2 2 1 1 4 2 2 r        sehingga solusi homogen persamaan   5 adalah
13
  2 4 2 2 4 2 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 1 2 t t x t C e
C e                             6
dengan 1 C dan 2 C merupakan konstanta.
Solusi  partikulir  persamaan   4 dicari  dengan  cara trial  and  eror ,  yakni dengan  memisalkan   cos sin x t A t B t     .  Dengan  demikian  berdasarkan  hal
tersebut diperoleh
  sin cos dx t A t B t dt       
dan   2 2 2 2 cos sin d x t A t B t dt        .
Selanjutnya  dengan  mensubstitusikan   dx t dt dan   2 2 d x t dt ke  dalam  persamaan   4 diperoleh persamaan
    2 2 0 cos sin cos
B t A t F t          7
Dengan  melihat  kesesuaian  bentuk  antara  ruas  kanan  dan  kiri  diperoleh
2 0 B F   atau 0 2 F
B   dan 0 A  .  Dengan  demikian  solusi  partikulir persamaan   4 adalah
  0 2 sin F x t t      8
Berdasarkan hal tersebut solusi umum dari persamaan   4 adalah
  2 4 2 2 4 2 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 0 1 2 2 sin t t F
x t C e C e t                                9

## 2.2 Simulasi Model
Pada bagian ini akan dilakukan simulasi atas solusi umum model redaman getaran  pada  sayap  pesawat  terbang  yang  telah  diperoleh  pada  persamaan   9 .

## MODEL MATEMATIKA SEDERHANA REDAMAN GETARAN
Simulasi  dilakukan  untuk  tiga  kondisi  yakni:  Kondisi  I      ,  Kondisi  II
     dan  Kondisi  III      dengan  nilai   0 1 x  ,   0 0 dx dt  dan 0 F yang semakin besar  yakni 25, 50, 100 . Hasil perhitungan simulasi model ditunjukkan pada gambar-gambar di bawah ini:
Kondisi I   0 9, 25;50;100 F      Gambar 1   0 25 F  Gambar 2   0 50 F  Gambar 3   0 100 F 
Pada kondisi I dilakukan simulasi perhitungan untuk nilai 9     dengan nilai
0 F yang  semakin  besar  yakni  25,  50,  100.  Pada  gambar  1  terlihat  bahwa  getaran teredam  terjadi  secara  perlahan-lahan  (tidak  ekstrim)  dan  semakin  lama  getaran tersebut  akan  hilang  meskipun  dibeberapa  titik  terjadi  peningkatan  getaran  yang tak  lama  kemudian  turun  kembali.  Lebih  lanjut  gambar  2  dengan  nilai  gaya
0 50 F  menunjukkan  bahwa  penurunan  getaran  lebih  cepat  dan  sedikit  lebih tajam  dibandingkan  pada    gambar  1  yakni  ketika  keadaan  dengan  gaya 0 25 F  . Namun keadaan saat 0 50 F  ini pada beberapa titik terjadi kenaikan getaran yang lebih  besar  dibandingakan  kondisi  pada  saat  gaya 0 25 F  .  Pada  gambar  3  saat
0 100 F  ,  penurunan  getaran  semakin  cepat  dan  tajam  dari  dua  kondisi sebelumnya, namun kenaikan getaran dibeberapa titik untuk kondisi ini juga lebih besar dari dua kondisi sebelumnya yakni ketika 0 25 F  dan 0 50 F 
15
Kondisi II   0 16 9, 25;50;100 F       Gambar 4   0 25 F  Gambar 5   0 50 F  Gambar 6   0 100 F 
Pada kondisi II dilakukan simulasi perhitungan untuk nilai 16 9      dengan nilai 0 F yang  semakin  besar  yakni  25,  50,  100.  Pada  gambar  4  terlihat  bahwa getaran teredam secara ekstrim dan cepat menghilang. Berbeda dengan kondisi I, pada kondisi II ini dengan 0 25 F  dapat dikatakan getaran yang terjadi cenderung turun dan tidak terjadi kenaikan  yang signifikan. Pada gambar 4 getaran berhenti pada  titik  sekitar 1.4 t  dan  setelahnya  berosilasi  secara  kontinu.  Lebih  lanjut gambar 5 dengan nilai gaya 0 50 F  menunjukkan bahwa penurunan getaran lebih cepat dan lebih tajam dibandingkan pada  gambar 4 yakni ketika keadaan dengan gaya  pada    saat 0 50 F  ini  getaran  lebih  cepat  berhenti  dibandingakan  kondisi pada  saat  gaya 0 25 F  yakni  pada  saat 1.1 t  .  Meski  demikian  osilasi  getaran pada saat 0 50 F  ini lebih cepat dibandingkan kondisi sebelumnya. Pada gambar
6  saat 0 100 F  ,  penurunan  getaran  lebih  cepat  dan  tajam  dari  dua  kondisi sebelumnya.  Getaran  berhenti  saat 1 t  dan  setelanya  getaran  akan  berosilasi secara kontinu.

## MODEL MATEMATIKA SEDERHANA REDAMAN GETARAN                                16
Kondisi III   0 9 16, 25;50;100 F       Gambar 7   0 25 F  Gambar 8   0 50 F  Gambar 9   0 100 F 
Pada kondisi III dilakukan simulasi perhitungan untuk nilai 9 16      dengan nilai 0 F yang  semakin  besar  yakni  25,  50,  100.  Pada  gambar  7  terlihat  bahwa getaran  cenderung  teredam  secara  linear  dan  pada  akhirnya  akan  menghilang. pada  kondisi  III  ini  dengan 0 25 F  getaran  yang  terjadi  tidak  mengalami kenaikan  dengan  kata  lain  getaran  terus  turun  dan  menghilang.  Pada  gambar  7 getaran  berhenti  pada  titik  sekitar 3.2 t  .    Lebih  lanjut  gambar  8  dengan  nilai gaya 0 50 F  menunjukkan  bahwa  penurunan  getaran  tidak  selinier  apabila dibandingkan  pada  kondisi    gambar  7.  Pada  kondisi  saat 0 50 F  ini  getaran mengalami  penurunan  getaran  yang  lebih  bervariasi  dibandingakan  kondisi  pada saat gaya 0 25 F  meski pada akhirnya getaran juga akan berhenti juga pada saat sekitar 3.2 t  .  Pada  gambar  8  saat 0 100 F  ,  penurunan  getaran  mengalami kenaikan  yang  cukup  banyak  dibeberapa  titik  dibandingkan  dengan  dua  kondisi sebelumnya meskipun pada akhirnya getaran juga akan berhenti ketika 3.2 t  .

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Penelitian  ini  menghasilkan  beberapa  kesimpulan  dan  saran  yang diuraikan dalam beberapa poin-poin sebagai berikut
17
R. B. UTOMO
3.1  Kesimpulan
Beberapa hal penting yang dihasilkan dari penelitian ini antara lain:
1. Model matematika yang menjelaskan redaman getaran pada sayap pesawat terbang ditunjukkan pada persamaan   4 . Model ini merupakan Persamaan
Differensial  orde  dua  non  homogen.  Model  ini  diturunkan  dari  model sistem  pegas  horizontal  dengan  mempertimbangkan  adanya  redaman fluida dan gaya sinusoidal
2. Solusi umum dari model yang terbentuk ditunjukkan pada persamaan   9
yang  merupakan  jumlahan  atas  solusi  homogeny  beserta  solusi partikulirnya.  Solusi  homogen  dan  partikulir  dari  model  yang  terbentuk masing-masing ditunjukkan pada persamaan   6 dan   8
3. Simulasi  model  dilakukan  untuk  tiga  kondisi  yakni  Kondisi  I      ,
Kondisi  II      dan  Kondisi  III      dengan  nilai   0 1 x  ,   0 0 dx dt  dan 0 F yang semakin besar yakni 25, 50, 100.
4. Hasil simulasi perhitungan model pada kondisi I dapat dilihat pada gambar 1, 2 dan 3, kemudian simulasi perhitungan untuk kondisi II disajikan pada gambar 4, 5, 6 serta gambar 7, 8, 9. merupakakan simulasi untuk kondisi III.
5. Pada kondisi I, semakin besar gaya 0 F , maka penurunan getaran semakin tajam  namun  kenaikan  getaran  dibeberapa  titik  semakin  tinggi  sebelum pada akhirnya getaran tersebut habis. Pada kondisi  II semakin besar gaya
0 F ,  maka  semakin  cepet  getaran  hilang  dan  lebih  cepat  pula  getaran mengalami  osilasi  secara kontinu setelahnya. Pada gambar  III, berapapun nilai 0 F ,  getaran  akan  habis  pada  saat  yang  bersamaan  ,  namun  dengan cara  yang  tidak  sama  yakni  semakin  besar 0 F ,  semakin  besar  peluang getaran sempat mengalami kenaikan sebelum akhirnya turun kembali.

## MODEL MATEMATIKA SEDERHANA REDAMAN GETARAN                                18
3.2  Saran
Beberapa poin mengenai saran dalam penelitian ini antara lain:
1. Perlu  dikembangkan  model  matematika  redaman  getaran  pada  sayap pesawat  terbang  yang  lebih  sesuai  dengan  kenyataan,  yakni  dengan memperhatikan faktor-faktor lain seperti tekanan angin, konstanta material bahan  sayap  pesawat  dan  gaya  luar  lain  yang  bekerja  pada  keadaan tersebut.
2. Perlu dilakukan simulasi  yang lebih lengkap dan terperinci  untuk  melihat dengan baik perubahan getaran yang terjadi pada sayap pesawat.

## DAFTAR PUSTAKA
Alligood, K. T, Sauer, T.D, dan Yorke, J.A., Chaos an Introduction to Dynamical Systems, Springer, 1993.
Agarwal,  R.  D  dan  Regan  D.  O., An  Introduction  to  Differential  Equation . Springer, 2008.
Anonim, Diktat Getaran Mekanik.pdf., diakses pada 27 Juli 2014.
Boyce,  W.E.  &  Richard, Elementary  Differential  Equation  and  Boundary  Value Problem, Edisi Kelima, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1992.
Cahyono,  M.  A.  dan  Basukesti,  A.,  2010. Penentuan  Frekuensi  Alamiah  Sayap Pesawat  Latih  Dasar  KT-1B  Menggunakan  Metode  MYKLESTAD ,  Jurnal ANGKASA, 2 (1) (2010).
Coddington,  E.  A., An  Introduction  To  Ordinary  Differential  Equation ,  Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1961.
Anonim, Mengapa Pesawat Bisa Terbang , Dunia Baca, 2012, http://duniabaca.com/mengapa-pesawat-bisa-terbang.html,  diakses  pada  28  Juli 2016.
19 R. B. UTOMO
Haberman,  R., Mathematical  Models:  Mechanical  Vibration,  Population Dynamics  and  Traffic  Flow, Prentice  Hall,  Inc.,  Englewood  Cliffs,  New  Jersey 07623, 1971.
Widowati  dan  Sutimin, Buku  Ajar  Pemodelan  Matematika  Analisis  dan Aplikasinya, UNDIP Press, 2013.
MODEL MATEMATIKA SEDERHANA REDAMAN GETARAN                                20