JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 2, Tahun 2023, Halaman 178 - 188 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## ANALISIS k-MEDOIDS DENGAN VALIDASI INDEKS PADA IPM DAERAH 3T DI INDONESIA
Maria Dafrosa Doi 1 , Agus Rusgiyono 2 , Triastuti Wuryandari 3 1,2,3 Jurusan Statistika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro
* e-mail: dafrosadoi@gmail.com
DOI: 10.14710/j.gauss.12.2.178-188

## Article Info:
Received: 2022-12-06 Accepted: 2023-02-15 Available Online: 2023-07-28

## Keywords:
Human Development Index, k-
Medoids, Euclidean Distance, Manhattan Distance, Cluster Validation
Abstract: Human development is a development paradigm that places humans  as  the  main  target  of  all  development  activities,  namely controling over resources, improving health and improving education. The  Human  Development  Index  (HDI)  in  Indonesia  varies  in  each district,  especially  in  the  3T  areas.  The  3T  area  is  an  area  that  is classified  as  underdeveloped,  remote  and  outermost  in  terms  of economy, health, education and infrastructure. The k-Medoids method is  a  partitional  clustering  method  for  grouping  several  objects  into clusters. This clustering algorithm uses the medoid as the center of the cluster, so it is robust to data containing outliers. This study aims to classify the 3T regions in Indonesia based on the Human Development Index  to  find  out  which  areas  require  more  attention  from  the government  in  optimizing  the  Human  Development  Index  numbers. The  size  of  object  similarity  is  calculated  by  using  the  Euclidean distance and Manhattan distance, for the selection of the best number of  clusters,  internal  cluster  validation,  such  as  Calinski  –  Harabasz index,  Gamma  Index,  and  Silhouette  index.  The  result  of  this  study showed  that  the  best  cluster  were  four  by  using  Euclidean  distance measurement, having Calinski  – Harabasz index  score of 37.15764, Gamma  index  score  of  0.7821181,  and  Silhouette  index  score  of 0.3354435.

## 1. PENDAHULUAN
Indonesia  adalah  negara  berkembang  dimana  penentuan  pembangunan  merupakan salah  satu  landasan  perubahan.  Pembangunan  adalah  proses  perubahan  yang  disengaja dengan tujuan untuk mengubah kehidupan masyarakat menjadi lebih baik. Manusia adalah insan  yang  bisa  membantu  kemajuan,  pergeseran  ini  dimulai  dengan  perkembangan manusia.  Paradigma  pembangunan  yang  dikenal  dengan  “pembangunan  manusia” memandang  manusia  sebagai  tujuan  utama  dari  semua  upaya  pembangunan,  termasuk menguasai  sumber  daya  alam,  meningkatkan  kesehatan,  dan  meningkatkan  standar pendidikan. United  Nations  Development  Programme awalnya  menetapkan  konsep pengukuran  pembangunan  manusia  pada  tahun  1990.  Sebuah  konsep  baru  dalam pengukuran manusia, diperkenalkan oleh UNDP adalah Indeks Pembangunan Manusia yang bisa disingkat dengan IPM, (BPS, 2021).
Pertumbuhan  IPM  Indonesia menurut  Badan Pusat  Statistik  (BPS) konsisten lebih besar  dari  0,7%,  bahkan  sebelum  pandemi  COVID-19.  IPM  terus  meningkat  selama pandemi, naik dari 71,92 pada 2019 menjadi 71,94 pada 2020, kemudian naik lagi menjadi 72,29  pada  2021.  Kondisi  pembangunan  manusia  kabupaten  dan  kota  di  Indonsia  sangat bervariasi pada tahun 2021. Kota Yogyakarta, memiliki IPM terbesar dengan capaian indeks 87,18. Kabupaten Nduga memiliki capaian  IPM terendah, dengan indeks  32,84. Terdapat 250  kabupaten  dan  kota  berstatus  IPM  “sedang”  pada  tahun  2021,  22  kabupaten/kota berstatus  “rendah”  (4,28%),  204  kabupaten/kota  berstatus  “tinggi”  (36,69%),  dan  38 kabupaten/kota berstatus " status IPM sangat tinggi” (7,39%). (BPS, 2021). Presiden Joko Widodo  menetapkan  identifikasi  daerah  tertinggal  periode  2020  hingga  2024  dalam
Peraturan  Presiden  (Perpes)  Nomor  63  Tahun  2020.  Di  Indonesia,  terdapat  62  daerah  3T atau  sering  disebut  daerah  tertinggal  yang  tersebar  di  beberapa  provinsi.  Daerah  3T merupakan daerah yang tergolong tertinggal, terpencil, dan terluar  segi ekonomi, kesehatan, infrastruktur, dan pendidikan.
Bidang statistik menggunakan analisis klaster sebagai salah satu metode analisisnya untuk  mengklasifikasikan  objek.  Metode k-Means dan  metode k-Medoids ,  merupakan pendekatan  yang  digunakan  dalam  analisis  klaster.  Han  dan  Kamber  (2006)  menegaskan bahwa  pendekatan k-Medoids lebih  unggul  dari  metode k-Means karena  dapat  digunakan untuk mengelompokkan objek yang mengandung outlier . Pengukuran jarak dapat digunakan untuk  mengukur seberapa dekat  sifat dua item  yang mirip satu  sama lain. Semakin dekat objek dengan pusat cluster jarak yang diperoleh semakin kecil, dan semakin besar jarak yang diperoleh  semakin  jauh  letak  objek  dengan  pusat  klaster.  Jarak  Manhattan  dan  jarak Euclidean adalah satuan jarak yang digunakan.
Validasi klaster merupakan faktor yang harus diperhitungkan dalam analisis klaster untuk mengidentifikasi klaster yang terbaik. Validasi internal adalah metode validasi cluster yang  digunakan.  Untuk  menetapkan  jumlah  klaster/kelompok  yang  terbaik,  penulis  akan menggunakan  pendekatan k-Medoids untuk  mengklasifikasikan  daerah  3T  Indonesia berdasarkan  Indeks  Pembangunan  Manusia  (IPM)  dan  validasi  indeks  internal  dengan menggunakan  Calinski-Harabasz index , Gamma  index ,  dan Silhouette  index di  RStudio 4.2.1.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Pembangunan manusia memandang manusia bukan hanya sebagai input, melainkan tujuan  akhir  dari  pembangunan  tersebut.  Pembangunan  ini  dengan  tujuan  adalah  untuk menciptakan  kondisi  dimana  masyarakat  dapat  hidup  lama,  sehat,  dan  produktif  (UNDP, 1990).  IPM  adalah  metrik  penting  untuk  melihat  sisi  pembangunan.  Setiap  indikator komponen IPM datap digunakan untuk menilai kemajuan suatu masyarakat atau penduduk dalam  meningkatkan  kualitas  hidup.  Beberapa  indikator  komponen  IPM  yang  digunakan pada penelitian ini yaitu: Usia Harapan hidup (UHH), Harapan Lama Sekolah (HLS), Rata- rata Lama Sekolah (RLS), serta Pendapatan per kapita yang disesuaikan (PPD).
Untuk  menghindari  masalah  yang  disebabkan  oleh  penggunaan  satuan  data  yang berbeda, variabel penelitian harus dibakukan jika memungkinkan. Untuk mengonversi setiap peubah ke nilai standarnya (Z score ), bagi nilai rata-rata dengan nilai standar deviasi atau simpangan  baku.  Rumus  standarisasi  untuk  setiap  variabel  menurut  Walpole  dan  Mayes (1995) sebagai berikut:
𝑍 𝑖 = 𝑥 𝑖 −𝑥̅ 𝑠 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 (2.1)
dengan, 𝑍 𝑖 = variabel standarisasi, 𝑥 𝑖 = data ke- i , 𝑥̅ = nilai mean semua data untuk masing- masing variabel, 𝑠 = standar deviasi.
Data outlier adalah data yang menyimpang dari pola khusus dan tersebar jauh dari pusat data. Outlier , menurut Sembiring (1995), adalah titik data yang menyimpang dari pola tipikal  model.  Data  yang outlier mengungkapkan  anomali  yang  tidak  sesuai  dengan  data lainnya. Hair et al ., (2010) menyatakan bahwa keberadaan outlier dapat mengakibatkan hasil analisis  yang  tidak  akurat  sehingga  tidak  mencerminkan  kondisi  populasi  secara  akurat. Dengan mengukur jarak antara setiap nilai pengamatan dan pusat data menggunakan kuadrat
jarak  Mahalanobis.  Berikut  adalah  persamaan  yang  dapat  digunakan  untuk  menentukan kuadrat jarak Mahalanobis antara pusat data dan objek ke- i :
𝑑 𝑀𝐷 2 (𝑖) = (𝒙 𝒊 − 𝒙 ̅) 𝑻 𝜮 −𝟏 (𝒙 𝒊 − 𝒙 ̅), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.2)
dengan, 𝑑 𝑀𝐷 2 (𝑖) = kuadrat jarak Mahanabis objek ke- i dengan pusat data, 𝒙 𝒊 = vektor data objek variabel ke- i , 𝒙 ̅ = vektor rata-rata setiap variat, dan 𝜮 −𝟏 = matriks kovarians variat. Kuadrat  jarak  mahalanobis (𝑑 𝑀𝐷 2 ) kemudian  dievaluasi  dengan distribusi  chi-kuadrat (𝜒 𝛼,𝑝 2 ) di mana p adalah jumlah variabel observasi. Apabila suatu data memiliki nilai (𝑑 𝑀𝐷 2 ) > chi-kuadrat (𝜒 𝛼,𝑝 2 ) maka data tersebut diidentifikasi sebagai data outlier .
Teknik analisis multivariat seperti analisis klaster sebagian besar digunakan untuk mengkategorikan  hal-hal  menurut  sifatnya.  Teknik  mengklasifikasikan  objek  ke  dalam kelompok-kelompok yang pada dasarnya sama (homogen) disebut analisis klaster. Objek di setiap klaster memiliki kecenderungan untuk menyerupai satu sama lain dan berbeda dari hal-hal di klaster lain. Selain itu, tidak ada tumpang tindih atau interaksi karena setiap objek hanya dimiliki oleh satu kelompok (Supranto, 2004).
Ada  dua  asumsi  yang  perlu  dipenuhi  dalam  analisis  klaster,  menurut  Hair et  al ., (2010) adalah:
1. Kecukupan Sampel (Sampel Representatif)
Sampel  yang  akurat  dapat  mewakili  seluruh  populasi  dikatakan  sebagai  sampel representatif. Kaiser-Mayer-Olkin (KMO)  dapat  digunakan  untuk  menguji  sampel  yang representatif.  Dengan  uji  KMO  ini,  kecukupan  sampel  dari  setiap  indikator  serta  ukuran sampel secara keseluruhan akan dievaluasi. Jika nilai KMO berada di antara 0,5 dan 1, maka sampel  dianggap  representatif  atau  dapat  mencerminkan  populasi.  Berikut  adalah  rumus KMO (Widarjono, 2010):
𝐾𝑀𝑂 = ∑ ∑ 𝑟 𝑠𝑡 2 𝑝 𝑡=1,𝑘≠𝑗 𝑝 𝑠=1 ∑ ∑ 𝑟 𝑠𝑡 2 𝑝 𝑡=1 𝑝 𝑠=1 + ∑ ∑ 𝜌 𝑠(𝑡𝑢) 2 𝑝 𝑟=1 𝑝 𝑠,𝑡=1 (2.2)
dengan, 𝑝 = banyaknya variabel, 𝑛 = banyaknya objek, 𝑟 𝑠𝑡 = koefisien korelasi antara variabel ke −𝑠 dan variabel ke −𝑡 , 𝜌 𝑠(𝑡𝑢) 2 = koefisien korelasi parsial antara variabel ke – 𝑠 , ke −𝑡 dan  ke – 𝑢
2. Tanpa Multikolinearitas (Non-Multikolinearitas)
Multikolinearitas menurut Gujarati (2009), didefinisikan sebagai adanya hubungan linier  yang  sempurna  antara  beberapa  atau  seluruh  peubah  penelitian.  Untuk  mengetahui multikolinearitas adalah dengan menggunakan nilai Variance Inflation Factor (VIF), yang bisa dihitung dengan rumus:
𝑉𝐼𝐹 𝑗 = 1 1 − 𝑅 𝑗 2 (2.4)
dengan : 𝑅 𝑗 2 = koefisien determinasi variabel ke- j . Dalam kasus pemodelan regresi linier, 𝑅 𝑗 2 diperoleh  dengan  meregresikan  variabel  independen j dengan  variabel  dependen. Sedangkan  pada  analisis  klaster 𝑅 𝑗 2 dapat  diperoleh  dengan  meregresikan  variabel  ke- j
dengan  variabel  lainnya.  Jika  nilainya 𝑉𝐼𝐹  ≥ 10 ,  maka  dapat  dikatakan  terjadi multikolinieritas pada suatu data.
Jarak  Euclidean  dan  jarak  Manhattan  digunakan  dalam  penelitian  ini  untuk membandingkan hasil klaster dengan berbagai jarak.
1. Jarak Euclidean
Jarak  Euclidean  antar  objek  dihitung  dengan  mengambil  akar  kuadrat  dari penjumlahan kuadrat selisih nilai setiap peubah pada item (Andreberg, 1973). Rumus jarak Euclidean adalah sebagai berikut:
𝑑 (𝑥 𝑖 .𝐶 𝑘 ) = √∑(𝑥 𝑖𝑗 − 𝐶 𝑘𝑗 ) 2 𝑝 𝑗=1 , 𝑖 = 1,2,3 … , 𝑛;  𝑗 = 1,2,3, . . , 𝑛 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑝 (2.5)
dengan, 𝑥 𝑖𝑗 = objek pada pengamatan ke –  𝑖 pada variabel ke –  𝑗 , 𝐶 𝑘𝑗 = pusat klaster ke − 𝑘 pada variabel ke − 𝑗 , 𝑝 = banyaknya variabel yang diteliti.

## 2. Jarak Manhattan
Jarak  Manhattan  mengukur  jarak  objek  dengan  menghitung  jumlah  mutlak perbedaan  objek  pada  setiap  variabel  (Andreberg,  1973).  Jarak  manhattan  dirumuskan sebagai berikut:
𝑑 (𝑥 𝑖 .𝐶 𝑘 ) = ∑|𝑥 𝑖𝑗 − 𝐶 𝑘𝑗 |, 𝑝 𝑗=1 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 ; 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑝 (2.6)
dengan, 𝑥 𝑖𝑗 = objek pada pengamatan ke –  𝑖 pada variabel ke –  𝑗 , 𝐶 𝑘𝑗 = pusat klaster ke − 𝑘 pada variabel ke − 𝑗 , 𝑝 = banyaknya variabel yang diteliti.
Leonard Kauffman dan Peter J.Rousseuw menemukan pendekatan clustering partisi yang dikenal sebagai k-Medoids , dengan mengurangi jarak antara titik yang ditunjuk sebagai cluster dan titik yang ditunjuk sebagai pusat cluster. Metode k-Medoids menggunakan objek data medoids sebagai  pusat  data,  sedangkan  metode k-means menggunakan  nilai means sebagai pusat cluster. (Kaur, et al., 2014).
k-Medoids merupakan  algoritma  clustering  yang  lebih  tahan  terhadap  outlier dibandingkan dengan k-Means (Aggawal and Reddy, 2014). Mirip dengan k-means , Tujuan k-Medoids adalah untuk menemukan solusi pengelompokan k -klaster diantara semua objek data di dalam sebuah kelompok data. Algoritme k-Medoids memilih titik data aktual sebagai prototipe  dan  lebih  kuat  terhadap  noise  dan outlier dalam  data.  Untuk  mengelompokkan objek ke dalam cluster, algoritma k-medoids menggunakan clustering partisi. Algoritma ini mewakili cluster dalam satu set objek menggunakan objek. Medoids adalah objek yang akan dipilih untuk mewakili cluster. Kedekatan objek medoid dan non medoid akan dihitung untuk membentuk cluster.
Algoritma dari k-Medoids menurut Han dan Kamber (2006), adalah sebagai berikut:
1. Tetapkan k sebagai jumlah cluster yang akan dibentuk
2. Memilih k objek secara acak dalam kumpulan n objek sebagai medoid awal
3. Alokasikan  jarak  antara  objek  non medoid dengan medoid awal  dengan  ukuran  jarak euclidean dan jarak manhatttan, kemudian tandai jarak ke medoid terdekat, jumlahkan jarak terdekatnya
4. Pilih objek non medoid secara acak sebagai bakal calon medoid baru
5. Hitung jarak setiap objek non medoid dengan bakal calon medoid baru, lalu menandai jarak medoid terdekat, dan hitung total jarak terdekatnya
6. Hitung total jarak S total (jarak) , dengan S total (jarak) = total jarak di medoid baru - total jarak di medoid lama.
7. Jika hasil S total (jarak) < 0, maka jadikan kandidat medoid baru menjadi medoid baru, lalu  lakukan  iterasi  dengan  mengulangi  langkah  (4)  sampai  (7).    Jika  didapat S total (jarak) > 0, maka iterasi berakhir.
Untuk  menganalisis  jumlah  klaster  yang  dibuat  dari  metode  klasterisasi  yang digunakan untuk menghasilkan pengelompokan yang sesuai dengan data kajian, maka harus dilakukan validasi klaster. Setiap cluster yang dibuat memiliki ukuran yang berbeda untuk karakteristiknya,  seperti  nilai  indeks  validasi  klaster  (Brock,  et  al.,  2008).  Hasil  klaster divalidasi menggunakan dua kriteria indeks dalam analisis klaster: validasi indeks internal dan validasi indeks eksternal. Validasi klaster internal mengevaluasi klaster menggunakan informasi  internal  yang  terkandung  dalam  data  penelitian,  sedangkan  validasi  eksternal membandingkan hasil analisis klaster dengan hasil yang diketahui secara eksternal, seperti label  kelas  yang  diberikan  dari  luar  data  yang  digunakan  (Nerukar  et  al.,  2019).  Karena belum diketahui label eksternal yang digunakan sebagai acuan validasi klaster eksternal pada penelitian  ini,  maka  validasi  internal  digunakan  untuk  mengevaluasi  hasil  klaster  yang terbentuk.Dalam  penelitian  ini,  validasi  klaster  internal  dilakukan  dengan  menggunakan Calinski-Harabasz index , Gamma index , dan Silhouette index .
1. Calinski-Harabasz index Calinski-Harabasz index (CH index ), menurut Baarsch dan Celebi (2012), menawarkan evaluasi  hasil  klaster  berdasarkan  perbandingan  nilai  jumlah  kuadrat  antar  klaster  (SSB) sebagai  pemisahan  dan  nilai  jumlah  kuadrat  dalam  klaster  (SSW)  sebagai  kekompakan dikalikan dengan faktor normalisasi yaitu selisih jumlah data dengan jumlah cluster dibagi banyaknya klaster dikurangi satu. Nilai klaster Calinski-Harabasz index harus lebih tinggi untuk hasil klaster yang lebih baik. Persamaan berikut dapat digunakan untuk mendapatkan nilai validitas Calinski-Harabasz index :
𝐶𝐻 = 𝑡𝑟 (𝑆𝑆𝐵) 𝑡𝑟 (𝑆𝑆𝑊) × 𝑛 − 𝑘 𝑘 − 1 (2.7)
di  mana k =  banyaknya  cluster,  n  =  banyaknya  objek  yang  diteliti,  dan trace  (tr) adalah jumlah elemen di sepanjang diagonal utama matriks.
2. Gamma index
Gamma index adalah validasi klaster internal yang diusulkan oleh Baker dan Hubert pada tahun 1975. Indeks ini merupakan gagasan dari Godman dan Kruskal pada tahun 1954. Persamaan berikut dapat digunakan untuk menentukan Gamma index :
𝐺 = 𝑆 + − 𝑆 − 𝑆 + + 𝑆 − (2.8)
dengan, 𝑆 + = banyaknya pasangan objek yang concordant , 𝑆 − = banyaknya pasangan benda yang discordant . Pasangan objek dikatakan concordant jika memenuhi d(q, r) < d(s, t) , objek q dan r berada pada cluster yang sama, sedangkan objek s dan t berada pada cluster yang  berbeda  atau d(q,  r) > d(s,  t) ,  objek q dan r berada  dalam  klaster  yang  berbeda, sedangkan  objek s dan t berada  dalam  klaster  yang  sama.  Pasangan  objek  dikatakan discordant jika memenuhi d(q, r) < d(s, t) , objek q dan r berada pada cluster yang berbeda, sedangkan objek s dan t berada dalam cluster yang serupa atau d(q, r) > d(s, t ), objek q dan r berada  dalam  klaster  yang  sama,  sedangkan  objek s dan t berada  dalam  klaster  yang berbeda. Nilai Gamma index berkisar antara rentang -1 sampai dengan 1, dengan nilai indeks maksimum  yang  diambil  untuk  mewakili  jumlah  cluster  terbaik  (Milligan  and  Cooper, (1985).
3. Silhouette index
Setiap  titik  dalam  pengumpulan  data  dirata-ratakan  dengan  menggunakan  indeks silhouette  (Rousseeuw,  1987).  Nilai  pada  masing-masing  titik  dihitung  dengan  cara mengurangkan nilai separasi dan kekompakan, kemudian membagi hasilnya dengan selisih maksimum  antara  keduanya.  Rumus  berikut  digunakan  untuk  menentukan  koefisien Silhouette:
𝑆𝐼 = 1 𝑘 ∑ 𝑆𝐼 𝑗 𝑘 𝑗=1 (2.9)
dimana, 𝑆𝐼 𝑗 = 1 𝑚 𝑗 ∑ 𝑆𝐼 𝑖 𝑗 𝑚 𝑗 𝑖=1 , 𝑆𝐼 𝑖 𝑗 = 𝑏 𝑖 𝑗 −𝑎 𝑖 𝑗 𝑚𝑎𝑥{𝑎 𝑖 𝑗 ;𝑏 𝑖 𝑗 } 𝑎 𝑖 𝑗 = 1 𝑚 𝑗 −1 ∑ 𝑑( 𝑚 𝑗 𝑟=1,𝑟≠𝑖 𝑥 𝑖 𝑗 , 𝑥 𝑟 𝑗 ) , 𝑏 𝑖 𝑗 𝑚𝑖𝑛 { 1 𝑚 𝑙 ∑ 𝑑 𝑚 𝑗 𝑟=1,𝑟≠𝑖 (𝑥 𝑖 𝑗 , 𝑥 𝑟 𝑙 )} , 𝑙 ≠ 𝑗, 𝑙 = 1, … , 𝑘 , 𝑆𝐼 = Indeks  Silhouette global, 𝑆𝐼 𝑗 = Indeks Silhouette di cluster j , 𝑎 𝑖 𝑗 = Rata-rata objek i dan semua objek lain pada satu cluster j ,
𝑏 𝑖 𝑗 =  nilai  mean  minimum  objek i dan  seluruh  data  dari  cluster  lain j .  Nilai Silhouette Coefficient (SC) dapat digunakan untuk menentukan apakah hasil cluster baik atau tidak . Nilai SC dihitung menggunakan persamaan berikut:
dengan, 𝑆𝐶 = Koefisien  Silhouette , 𝑆𝐼(𝑘) = Indeks  Silhouette  dengan  k cluster  .  Semakin besar nilai Silhouette Coefficient (SC) , maka cluster tersebut semakin baik.

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang bersumber dari publikasi Badan Pusat Statistik tahun 2021. Indikator/variabel penelitiannya meliputi: UHH (X1), HLS (X2), RLS (X3), dan PPD (X4).
Pada  penelitian ini data  diolah dengan menggunakan RStudio 4.2.1 dan Microsoft Excel . Data penelitian dianalisis dengan tahapan sebagai berikut:
1. Data harus distandarisasi
2. Pendeteksian data outlier dengan kuadrat jarak mahalanobis
3. Melakukan uji non-multikolinearitas dengan nilai Variance Inflation Factor (VIF) .
4. Tentukan k sebagai banyaknya klaster yang akan dibentuk, k yang digunakan adalah k = 3, 4, 5, 6, dan 7
5. Mengunakan algoritma k-Medoids untuk melakukan analisis klaster
6. Validasi hasil klaster menggunakan indeks internal yaitu:
𝑆𝐶 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑆𝐼(𝑘) (2.10)
a. Menghitung  nilai  CH index , Gamma  index ,  dan Silhouette  index pada  masing- masing k klaster
b. Membandingkan  nilai CH index , Gamma  index ,  dan Silhouette  index. Nilai maksimum  dari  CH index , Gamma  index ,  dan Silhouette  index menunjukan  hasil klaster terbaik
7. Melakukan  interprestasi  karakteristik  daerah  berdasrakan  hasil  pengklasteran  yang terbaik

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Standarisasi dilakukan untuk membakukan satuan data penelitian. Hal ini dilakukan karena dalam data penelitian ini terdapat data dengan satuan yang berbeda, dimana variabel X 1 (dalam  tahun),  X 2 (dalam  tahun),  X 3 (dalam  tahun),  dan  X 4 (dalam  rupiah).  Tabel  1  di bawah ini menunjukkan hasil standardisasi data:
Tabel 1 . Hasil Standardisasi Data Objek ke- X1 X2 X3 X4 1 1,5140  0,5591 -0,5263 0,2012 2 1,2441  0,3166 -0,3155 0,2318 3 1,4668  0,6441 0,0410 -0,3577 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 62 0,1146  -0,7254  -1,7262 -1,3438
Deteksi  data  outlier  dengan  kuadrat  jarak  mahalanobis,  suatu  objek  teridentifikasi sebagai  outlier  jika  kuadrat  jarak  mahalanobis (𝑑 𝑀𝐷 2 ) > chi-kuadrat (𝜒 𝛼,𝑝 2 ).  Penelitian  ini menggunakan p sebanyak  4  variabel  dengan  nilai 𝛼 yang dipakai  adalah  0,05.  Diperoleh nilai 𝜒 0,05;4 2 =  9,487729.  Berdasarkan  hasil  pendeteksian  kuadrat  jarak  mahanlanobis  tiap objek  dan  membandingkannya  dengan  nilai chi-squared 9,487729  diketahui  terdapat  2 kabupaten/kota yang outlier yaitu Kabupaten Nduga dan Kabupaten Intan Jaya. Kedua data outlier dalam hal ini tetap dimasukkan dalam analisis selanjutnya, karena metode k-Medoid merupakan  pengelompokan  data  yang robust terhadap outlier sehingga  tidak  akan mempengaruhi hasil.
Analisis klaster memiliki dua asumsi yang harus dipenuhi, yaitu: asumsi kecukupan sampel (sampel representatif) dan asumsi non-multikolinearitas. Uji kecukupan sampel pada penelitian ini, karena data yang digunakan adalah data IPM Daerah 3T pada tahun 2021 yang termasuk  data  populasi.  Perhitungan  nilai Variance  Inflation  Factor (VIF)  untuk  setiap peubah  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  digunakan  untuk  menguji  asumsi  non multikolinearitas. Hasil dari VIF ditunjukkan pada Tabel 2 di bawah ini:
Tabel 2 . Nilai Variance Inflation Factor dari 4 Variabel
Variabel VIF X 1 1,061372 X 2 1,849360 X 3 2,561896 X 4 1,895932
Berdasarkan Tabel 2 terlihat bahwa dari variabel X 1 sampai dengan X 4 tidak terdapat variabel yang memiliki nilai VIF > 10, sehingga disimpulkan asumsi non multikolinearitas terpenuhi.
Analisis  clustering  menggunakan  metode k-Medoids dengan k =  3,  4,  5,  6  dan  7. Diolah dengan software Rstudio 4.2.1 , objek medoid dan jumlah anggota pada setiap cluster disajikan pada Tabel 3 berikut :
Tabel 3 . Hasil clustering dengan k = 3, 4, 5, 6 dan 7
k Jarak Klaster ke- Jumlah Anggota
Medoid 3 Euclidean 1 27 Objek ke-35 2 21 Objek ke-7 3 14 Objek ke-50 Manhattan 1 32 Objek ke-12 2 16 Objek ke-27 3 14 Objek ke-50 4 Euclidean
1 28 Objek ke-12 2 17 Objek ke-7 3 5 Objek ke-37 4 12 Objek ke-50 Manhattan 1 29 Objek ke-12 2 15 Objek ke-27 3 5 Objek ke-37 4 13 Objek ke-50 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 7 Euclidean
1 9 Objek ke-18 2 8 Objek ke-35 3 16 Objek ke-31 4 11 Objek ke-27 5 5 Objek ke-37 6 12 Objek ke-50 7 1 Objek ke-55 Manhattan 1 9 Objek ke-18 2 12 Objek ke-35 3 10 Objek ke-51 4 13 Objek ke-27 5 5 Objek ke-37 6 12 Objek ke-50 7 1 Objek ke-55
Nilai dari masing-masing indeks validasi dengan k = 3, 4, 5, 6, dan 7 dapat digunakan untuk menentukan jumlah cluster terbaik, pada Tabel 4 berikut:
Tabel 4 . Nilai Indeks Validasi Jumlah Cluster
k Jarak Indeks Validasi Calinski- Harabazs index Gamma index Silhouette index 3 Euclidean 36,7833 0,6506 0,2869 Manhattan 31,9834 0,6622 0,2794 4 Euclidean 37,1576 0,7821 0,3354
Manhattan 31,9841 0,7643 0,3147 5 Euclidean 32,5158 0,7308 0,2715 Manhattan 32,2467 0,7496 0,2947 6 Euclidean 30,1575 0,7248 0,2720 Manhattan 29,6892 0,7171 0,2653 7 Euclidean 34,4094 0,7815 0,2862 Manhattan 33,7762 0,7750 0,2779
Berdasarkan Tabel 4 terlihat bahwa nilai Calinski-Harabazs index , Gamma index , dan Silhouette index terbesar berada pada jumlah cluster k = 4, dengan pengukuran jarak Euclidean. Profilisasi klaster terbaik k = 4 disajikan pada Tabel 5 berikut:
Tabel 5 . Hasil Pengelompokan Terbaik (k = 4) k Objek Medoid Jumlah Anggota Daerah 1 Objek ke-12 28 Kepulauan Mentawai, Lombok Utara, Sumba Barat, Kupang,  Timor  Tengah  Selatan,  Belu,  Alor,  Rote Ndao,  Sumba  Barat  Daya,  Manggarai  Timur,  Sabu Raijua,  Donggala,  Tojo  Una-Una,  Nias,  Nias Selatan,  Nias  Utara,  Nias  Barat,  Sula  Kepulauan, Sorong  Selatan,  Sorong,  Maybrat,  Manokwari
Selatan, Pegunungan Arfak, Paniai, Mappi, Waropen, dan Supiori 2 Objek ke-7 17 Musi  Rawas  Utara,  Pesisir  Barat,  Sumba  Timur, Lembata,  Sumba  Tengah,  Sigi,  Kepulauan  Aru, Seram  Barat,  Seram  Timur,  Maluku  Barat  Daya, Buru Selatan, Pulau Taliabu, Teluk Wondama, Teluk Bintuni, Nabire, Boven Digoel, dan Keerom 3 Objek ke-37 5 Malaka,  Tambrauw,  Jayawijaya,  Asmat,  dan Mamberamo Raya 4 Objek ke-50 12 Puncak  Jaya,  Yahukimo,  Pegunungan  Bintang, Tolikara, Nduga, Lanny Jaya, Mamberamo Tengah, Yalimo, Puncak, Dogiyai, Intan Jaya, dan Deiyai
Interpretasi dilakukan untuk melihat nilai rata-rata/ centroid masing-masing variabel dari cluster terbaik, ditunjukkan pada Tabel 6:
Tabel 6 . Nilai Centroid Masing-masing  Variabel pada setiap Klaster Terbaik (k = 4) Variabel Klaster 1 Klaster 2 Klaster 3 Klaster 4 UHH/X 1 (Tahun) 67,1 63,5 59,5 64,6 HLS/X 2 (Tahun) 12,7 12,4 11,8 7,51 RLS/X 3 (Tahun) 7,09 8,45 5,72 3,66 PPD/X 4 (Tahun) 6659 8334 5610 4896
Berdasarkan Tabel 5 dan Tabel 6 diperoleh informasi sebagai berikut:
a. Klaster 1
Klaster 1 memiliki dua variabel atau indikator IPM yaitu X3 dan X4 yang rata-ratanya lebih  rendah  dari  klaster  2.  Klaster  1  mempunyai  nilai centroid yang  lebih  tinggi  untuk variabel  X3  dan  X4  dibandingkan  klaster  3  dan  4,  serta  rata-rata  yang  lebih  tinggi  untuk variabel X1 dan X2 dibandingkan kelompok 2, 3, dan 4.
b. Klaster 2
Pada variabel X1, klaster ini mempunyai nilai centroid lebih rendah dari klaster 1 dan 4, serta variabel X2 pada klaster 1. Klaster 2 mengungguli klaster 3 pada variabel X1, klaster 3 dan klaster 4 pada variabel X2, serta klaster 1, 3, dan 4 pada variabel X3 dan X4.
c. Klaster 3
Anggota  klaster  ini  terdiir  dari  5  kabupaten  yang  tesebar  di  beberapa  provinsi,  yaitu: Malaka, Tambrauw, Jayawijaya, Asmat, dan Mamberamo Raya. Pada variabel X1, klaster ini  mempunyai  nilai centroid /rata-rata  lebih  rendah  pada  klaster  1,  2,  dan  4  serta  pada variabel X2, X3, X4 pada klaster 1 dan 2. Klaster 3 juga mempunyai  nilai rata-rata lebih tinggi dari klaster 4 pada variabel X2, X3, dan X4.

## d. Klaster 4
Pada  variabel  X2,  X3,  X4,  dan  X1,  klaster  ini  mempunyai  nilai  centroid  yang  lebih rendah dibandingkan dengan klaster 1, 2, dan 3. Klaster 4 mengungguli klaster 2 dan 3 pada variabel  X1.  Anggota  klaster  4  terdiri  dari  12  kabupaten,  yaitu:  Puncak  Jaya,  Yahukimo, Pegunungan Bintang, Tolikara, Nduga, Lanny Jaya, Mamberamo Tengah, Yalimo, Puncak, Dogiyai, Intan Jaya, dan Deiyai.

## 5. KESIMPULAN
Pengelompokan  menggunakan  metode k-Medoids dengan  pengukuran  jarak euclidean dan jarak manhattan untuk k = 3, 4, 5, 6, dan 7 diperoleh klaster yang terbaik pada k = 4 dengan jarak euclidean dimana nilai CH index = 37,1576, nilai Gamma index = 0,7821, dan nilai Silhouette index = 0,3354. Hasil pengelompokan metode ini menunjukkan bahwa jarak  pengukuran  berpengaruh  terhadap  hasil  pengelompokan.  Profilisasi  hasil  analisis klaster  menunjukan  bahwa  pada  klaster  3  indikator  IPM  yang  paling  rendah  yaitu,  Umur Harapan  Hidup  berada  pada  kabupaten  Malaka,  Tambrauw,  Jayawijaya,  Asmat,  dan Mamberamo  Raya.  Untuk  klaster  4  indikator  yang  paling  rendah  yaitu,  Harapan  Lama Sekolah,  Rata-rata  Lama  Sekolah  dan  Pengeluaran  per  kapita  disesuaikan  berada  pada kabupaten  Puncak  Jaya,  Yahukimo,  Pegunungan  Bintang,  Tolikara,  Nduga,  Lanny  Jaya, Mamberamo Tengah, Yalimo, Puncak, Dogiyai, Intan Jaya, dan Deiyai. Klaster 1 dan klaster 2 didominasi indikator IPM dengan rata-rata tinggi diantara klaster yang lain.
Untuk menentukan clustering mana yang lebih tahan terhadap data outlier , penelitian lebih lanjut dapat dilakukan dengan menggunakan clustering dan perbandingan pendekatan clustering k-Medoids dan k-Means .  Penelitian  selanjutnya  bisa  menggunakan  metode klastering k-Prototypes dengan  menambahkan  variabel  penelitian  dan  bisa  juga menggunakan pengukuran jarak yang lainnya seperti jarak g ower.

## DAFTAR PUSTAKA
Aggarawal, C. C.,& Reddy,K. C. 2014. Data Clustering Algoritmas and Applications . New York: CRC Press.
Anderberg, M. 1973. Cluster Analysis for Application . New York: Academic Press. Baarsch, J., & Celebi, M. E. 2012. Investigastion of Internal Validity Measures for K-Means Clustering. International Multiconference of Engineers and Computer Scientist 1 . Los Angeles: Louisiana Board of Regents. 14–16.
Brock, G., Vasyl, P., Susmita, D., & Somnath, D. 2008. CValid: An R Package for Cluster Validation. Journal of Statistical Software . Vol. 25, No.4, 1–22.
[BPS]  Badan  Pusat  Statistik.  2021. Indeks  Pembangunan  Manusia  2021 .  Jakarta:  Badan Pusat Statistik.
Gujarati, D. 2009. Dasar-Dasar Ekonometrika . Jakarta: Erlangga.
Hair,  J.  F.,  Anderson,  R.  E.,  Thatham,  R.  L.,  &  Black,  W.  C.  2010. Multivariate  Data Analysis Seventh Edition . New Jersey: Pearson Education Inc. Han,  J.,  &  Kamber,  M.  2006. Data  Mining:  Concepts  and  Techniques .  San  Fransisco: Elsevier Inc.
Kaufman, L., & Rousseeuw, P. J. 1990. Finding Groups in Data: An Introduction to Cluster Analysis (Wiley Series in Probability and Statistics) . New York: Wiley. Kaur, N. K., Kakur, U., & Singh, D. 2014. K-Medoids Clustering Algorithm. International Journal of Computer Application and Technology (IJCAT) . Vol.1, No.1. Milligan, G., Cooper, M.  1985. An examination of procedures for determining the number of clusters in a data set. Psychometrika . Vol.50, No. 2, 159-179.
Nerukar,  P.,  Pavate,  A.,  Shah,  M.,  &  Jacob,  S.  2019.  Performance  of  Internal  Cluster Validations  Measures  for  Evolutionary  Clustering. Computing,  Communication  and Signal Processing . Singapore: Springer Nature Singapore Pte Ltd. 305–312.
[PERPES]  Peraturan  Presiden.  2020. Peraturan  Presiden  tentang  Penetapan  Daerah Tertinggal Tahun 2020-2024
Nomor 63 Tahun 2020 . Tersedia: https://peraturan.bpk.go.id/Home/Details/136563/perpres-no-63-tahun-2020  (diakses pada tanggal 6 Juni 2022)
Rousseeuw, P. 1987. Silhouettes: A Graphical Aid to the Interpretation and Validation of Cluster Analysis. Jornal of Computational and Applied Mathematics . Vol.20, 53–65. Sembiring, R. 1995. Analisis Regresi . Bandung: Penerbit ITB. Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat : Arti dan Interpretasi . Jakarta: PT. Rineka Cipta.
Walpole,  R.E.,  dan  Myers,  R.H.  1995 .  Ilmu  Peluang  dan  Statistika  untuk  Insinyur  dan Ilmuwan Edisi ke-4 . Bandung : Penerbit ITB
Widarjono,  A.  2010.  Analisis  Statistika  Multivariat  Terapan.  Yogyakarta:  UPP  STIM YKPN.