## REVIEW BEBERAPA PERSAMAAN TAK BERDIMENSI DALAM MEKANIKA KUANTUM NON-RELATIVISTIK
Wingrit Y.B. Bianome * , Herry F. Lalus,  Fakhruddin Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,
Universitas Nusa Cendana, Kupang, 85000, Indonesia email: wingritbianome695@gmail.com

## ABSTRAK
Telah  dilakukan  review  jurnal  dengan  judul  ‘Dimensionless  equation  of  non-relativistic  quantum  mechanics’  yang  membahas  tentang persamaan tak berdimensi dalam mekanika kuantum non-relativistik pada model potensial satu dimensi, model atom hidrogen dan teori perturbasi tak bergantung waktu. Tujuan dari penelitian ini untuk menyajikan persamaan tak berdimensi secara jelas dan terperinci pada model potensial satu dimensi, atom hidrogen serta teori perturbasi tak bergantung waktu dengan menggunakan operator Hamiltonian. Dalam  menentukan  persamaan  tak  berdimensi  dilakukan  terlebih  dahulu  menurunkan  persamaan  Hamiltonian  tak  bergantung  waktu. Setelah menentukan persamaan Hamiltonian tak bergantung waktu, ditinjau setiap kasus yang terdapat pada model potensial satu dimensi, model  atom  hidrogen  dan  teori  perturbasi  tak  bergantung  waktu,  kemudian  ditransformasikan  beberapa  solusi  dan  parameter  yang sederhana serta skala yang tepat sehingga menghasilkan persamaan dalam bentuk tak berdimensi. Hasil penelitian menunjukan bahwa dengan menggunakan persamaan Hamiltonian dapat menentukan persamaan tak berdimensi di berbagai kasus yang terdapat pada model potensial satu dimensi, atom hidrogen dan teori perturbasi tak bergantung waktu.
Kata kunci: Persamaan tak Berdimensi; Mekanika Kuantum; Mekanika Kuantum Non-relativistik;  Operator Hamiltonian

## ABSTRACT
[Titel: Review Of Some Non-Dimensional Equations In Non-Relativistic Quantum Mechanics] A review of the journal entitled 'Dimensionless equation in non-relativistic quantum mechanics' has been conducted which discusses dimensionless equations in non- relativistic quantum mechanics in one-dimensional potential models, hydrogen atomic models and timeless perturbation theory. The purpose of this study is to present dimensionless equations clearly and in detail on one-dimensional potential models, hydrogen atoms and timeless perturbation  theory  using  Hamiltonian  operators.  In  determining  the  dimensionless  equation,  it  is  done  first  deriving  the  timeless Hamiltonian equation. After determining the time-independent Hamiltonian equation, each case contained in the one-dimensional potential model, the hydrogen atomic model and the timeless perturbation theory was transformed, then transformed several simple solutions and parameters and precise scales to produce equations in dimensionless form. The results showed that using the Hamiltonian equation can determine dimensionless equations in various cases contained in one-dimensional potential models, hydrogen atoms and timeless perturbation theory.
Keywords: Dimensionless Equations; Quantum Mechanics; Non-relativistic Quantum Mechanics; Hamiltonian Operators

## PENDAHULUAN
Mekanika  kuantum  dikembangkan  sebagai respon  atas  ketidakmampuan  teori  mekanika  klasik dan  elektromagnetik  dalam  menjelaskan  beberapa fenomena seperti sifat radiasi elektromagnetika dan struktur  atom.  Akibatnya,  muncul  teori  yang  di mana  prinsip  dasarnya  dapat  digunakan  untuk menjelaskan,  tidak  hanya  struktur,  sifat  atom, molekul  dan  padatan  serta  bagian-bagian  dari  inti dan  partikel  elementer  seperti  proton  dan  neutron (Noer  &  Dayana,  2021).  Mekanika  kuantum  non-
relativistik  adalah  rumusan  secara  matematis  dalam mekanika  kuantum  yang  diterapkan  dalam  konteks relativitas  Galilea  serta  pada  teori  ini  membahas beberapa persamaan, misalnya persamaan gelombang dan persamaan Schr 𝑜̈ dinger (Rae, 2002).
Persamaan  Schr 𝑜̈ dinger  merupakan  dasar dari  mekanika  kuantum  yang  digunakan  untuk memprediksi  sifat-sifat  partikel  subatomik  serta perilaku  materi  pada  skala  atomik  dan  sub  atomik. Untuk  memudahkan  pemahaman  terhadap  setiap persamaan  dalam  mekanika  kuantum  non-
relativistik,  setiap  variabel  yang  terkandung  dalam persamaan  tersebut  diubah  menjadi  bentuk  tak berdimensi.  Apabila  menganalisis  persamaan
Schr 𝑜̈ dinger  tak  bergantung  waktu − ℏ 2
2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 + 1 2 𝑚𝜔 2 𝑥 2 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥). Dari  Persamaan  ini terdapat beberapa variable satuan fisik seperti posisi 𝑥 , massa partikel 𝑚 dan konstanta tereduksi ℏ . Jika dipilih  parameter  tak  berdimensi  dan  solusi sederhana  serta  skala  yang  tepat,  maka  dapat disederhanakan  bentuk  persamaan − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑢 2 +
(𝑢 − 𝜖) = 0 ini  dalam  bentuk  tak  berdimensi (Sugiyono, 2016).
Dalam  penelitian  ini,  memanipulasi  aljabar dari persamaan tak berdimensi terbukti sangat sulit dibandingkan  dengan  metode  numerik.  Jika  tidak diselesaikan  dengan  tepat  dan  tidak  diteliti  secara detail, hal ini dapat mengakibatkan kesalahan dalam penyelesaiannya.  Peneliti  sebelumnya  juga  telah menunjukan  persamaan  tak  berdimensi  dan membahas  keuntungan  dari  pendekatan  ini  dalam mekanika kuantum non-relativistik. Dapat mengkaji beberapa  kasus  satu  dimensi,  seperti  osilator harmonik  dengan  potensial,  osilator  Morse  dengan potensial,  serta  memberikan  contoh  persamaan
Schr 𝑜̈ dinger dengan potensial. Selain itu, peneliti ini juga  mengkaji  bagian  atom  dan  molekul,  dengan fokus khusus pada operator Hamiltonian untuk atom hidrogen.  Penelitian  ini  menguraikan  kegunaan persamaan  tak  berdimensi  dalam  penerapan  teori gangguan,  dengan  menggunakan  beberapa  contoh seperti  osilator  anharmonik  kuartik  dan  operator Hamiltonian  untuk  atom  dengan  elektron  dan muatan  nuklir  dalam  pendekatan  inti  yang  terjepit (Fernández, F. M, 2020).
Selanjutnya,  penelitian  ini  digunakan operator Hamiltonian sebagai alat untuk membantu menyelesaikan persamaan dalam mekanika kuantum non-relativistik  ke  dalam  bentuk  tak  berdimensi. Persamaan  yang  disajikan  dalam  bentuk  tak berdimensi  mempermudah  untuk  lebih  memahami fisika  secara  fundamental  dari  fenomena  fisika  dan mempermudah dalam analisis secara matematis.
Tujuan dari penelitian ini, untuk menentukan persamaan tak berdimensi dalam mekanika kuantum non-relativistik untuk model potensial satu dimensi, model  atom  hidrogen  dan  teori  pertubasi  tak
bergantung  waktu.  Dengan  menggunakan  operator Hamiltonian,  setiap  persamaan  yang  awalnya berdimensi  diubah  menjadi  bentuk  tak  berdimensi. Kajian ini dilakukan karena terdapat persamaan baru yang  memerlukan  analisis  mendalam  untuk memudahkan  pembaca  dalam  memahami  jurnal  ini dengan  baik.  Selain  itu,  penelitian  yang  dilakukan dalam  jurnal  ini  merupakan  penelitian  terbaru dengan  penurunan  persamaan  yang  kompleks  dan sulit dipahami.

## PEMBAHASAN

## I. Analisis Model Potensial Satu Dimensi
Menentukan  persamaan  Schr 𝑜̈ dinger  tak bergantung  waktu  dalam  mekanika  kuantum  non- relativistik yaitu ditinjau dari persamaan energi total 𝐸 = 𝑇 + 𝑉 maka  dihasilkan  persamaan 𝐸𝜓 =
− ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 + 𝑉(𝑥) .  Persamaan  Schr 𝑜̈ dinger  adalah persamaan yang mencerminkan operator Hamiltonian  dan  sebagai  operasi  matematis  untuk menggambarkan  energi  total  sistem  kuantum. Dalam  konteks  mekanika  kuantum  persamaan Hamiltonian dituliskan berikut
𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑉(𝑥). (1)
Persamaan  (1)  digunakan  untuk  memprediksi perilaku  fungsi  gelombang  sebuah  partikel  pada keadaan tertentu.
Selanjutnya  menentukan  solusi  sederhana untuk  menganalisis  persamaan  dalam  mekanika kuantum  non-relativistik  pada  model  satu  dimensi, model  atom  hidrogen  dan  teori  perturbasi.  Setiap kasus  didefinisikan  koordinat 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 ,  sehingga jika bentuk 𝑑 𝑑𝑥 ≡ 𝑑 𝐿𝑑𝑥̃ atau 𝑑 2 𝑑𝑥 2 ≡ 𝑑 𝐿 2 𝑑𝑥̃ 2 dari bentuk ini  yang  digunakan  untuk  tinjau  kasus-kasus  yang mengandung variabel 𝑥 .
Selanjutnya  persamaan  (1)  ditinjau  dengan kedua  ruas  dikalikan  bentuk 𝑚𝐿 2 ℏ 2 dan  juga  setiap variabel 𝑥 diubah  sesuai  dengan  yang  telah didefinisikannya, maka dihasilkan persamaan berikut
𝐻 ̃ ≡ 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉(𝐿𝑥̃). (2)
Unit  dimensi  energi  adalah  1  joule = 1 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑠 2 ,
sedangkan kebalikan unit dimensi energi yaitu 𝑠 2 𝑘𝑔.𝑚 2
maka  didefinisikan  satuan  energi  tak  berdimensi dalam  mekanika  kuantum  yang  sesuai,  dapat dinyatakan sebagai
𝐸̃ ≡ 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐸. (3)
i. Kasus  Partikel  Massa 𝒎 dalam  Kotak
Panjang 𝑳
Selanjutnya  menganalisis  kasus  sederhana, yaitu  partikel  massa 𝑚 dalam  kotak  panjang 𝐿 , seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini
Gambar 1. Partikel massa 𝒎 dalam kotak panjang 𝑳
Berdasarkan gambar 1 jika potensialnya ∞ di luar kotak, maka fungsi  gelombangnya harus nol di luar  kotak  dengan  secara  matematis  dapat  ditulis sebagai 𝜓(𝑥) = 0 untuk 𝑥 < 0 dan 𝑥 > 𝐿. Jika ditinjau  dengan  persamaan  Hamiltonian  yaitu 𝐻𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) atau  ditulis  persamaan  sebagai
− ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) ,
jika  potensial 𝑉(𝑥) = 0, maka persamaan menjadi
− ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥). (4)
Persamaan  (4)  diubah  ke  dalam  bentuk  tak berdimensi, dengan kedua ruas dikalikan bentuk 𝑚𝐿 2 ℏ 2 dan  jika 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 maka  dihasilkan  bentuk
− 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 𝜓(𝑥̃𝐿) = 𝐸̃𝜓(𝑥̃𝐿) .  Lalu  didefinisikan
𝜓̃(𝑥̃) ≡ 𝜓(𝐿𝑥̃) maka persamaan menjadi
− 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 𝜓̃(𝑥̃) = 𝐸̃𝜓̃(𝑥̃).
(5)

## ii. Kasus Osilator Harmonik Sederhana
Selanjutnya  pada  model  satu  dimensi diberikan  kasus  sederhana  untuk  menentukan potensialnya  ke  dalam  bentuk  tak  berdimensi, pertama  osilator  harmonik  dengan  potensialnya seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.

## Gambar 2. Potensial pegas
Gerak  osilasi  dapat  dijelaskan  sebagai pergerakan suatu objek yang berulang-ulang melalui jalur  yang  sama.  Contoh  kasus  sederhana  adalah gerak  osilasi  pada  sebuah  pegas  yang  apabila direnggangkan  atau  ditekan,  mengakibatkan  benda yang  terhubung  dengan  pegas  tersebut  bergerak bolak balik. Fenomena ini jika ditinjau secara klasik,
dimana  menggunakan  hukum  Hooke 𝐹 = −𝑘𝑥 →
𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 + 𝑘 𝑚 𝑥 = 0. Selanjutnya  menggunakan  solusi dari 𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝐵 cos(𝜔𝑡) dengan frekuensi  sudut 𝜔 2 = 𝑘 𝑚 lalu  disubstitusikan 𝜔 2 maka persamaan menjadi 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin (√ 𝑘 𝑚 𝑡) +
𝐵 cos (√ 𝑘 𝑚 𝑡) . Jika 𝑥 = 𝑥 0 ,  maka  bentuk
potensial 𝑉 (𝑥) = 𝑉 (𝑥 0 ) + 𝑑𝑣 𝑑𝑡 | 𝑥=𝑥 0 (𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑑 2 𝑣 𝑑𝑥 2 | 𝑥=𝑥 0 (𝑥 − 𝑥 0 ) 2 dimana 𝑥 − 𝑥 0 sehingga  pada bagian  ini,  jika  tinjau  suku  pertama,  maka  titik minimum 𝑑𝑣 𝑑𝑥 | 𝑥=𝑥 0 = 0 → 𝑉(𝑥) = 𝑉 𝑥 0 , untuk
𝑑 2 𝑣 𝑑𝑥 2 > 0. Ditinjau  lebih  lanjut  maka  dihasilkan persamaan potensial harmonik sederhana yaitu
𝑉(𝑥) = 𝑘 2 𝑥 2 . (6)
Persamaan (6) ditinjau dengan kedua ruas dikalikan
𝑚𝐿 2 ℏ 2 dihasilkan persamaan
𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉(𝑥) = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑘 2 𝑥 2 dan  jika 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 ,  maka  diperoleh persamaan berikut
𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉(𝐿𝑥̃) = 𝑚𝐿 4 𝑘 ℏ 2 𝑥̃ 2 2 . (7)
Persamaan  (7)  dalam  bentuk  berdimensi,  untuk menghilangkan  variabel  berdimensi  dilakukan pemilihan  satuan  panjang 𝐿 dari  bentuk 𝑚𝐿 4 𝑘 ℏ 2 = 1
lalu  kedua  ruas  dikalikan ℏ 2 𝑚𝑘 menjadi 𝑚𝐿 4 𝑘 ℏ 2 ℏ 2 𝑚𝑘 = 1 ℏ 2 𝑚𝑘 selanjutnya  menghilangkan  variabel  yang sama, maka diperoleh bentuk persamaan berikut
𝐿 4 = ℏ 2 𝑚𝑘 . (8)
Selanjutnya  menentukan  persamaan  tak berdimensi  pada    persamaan  (6)  yaitu  ditinjau dengan  persamaan  Hamiltonian 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 ,  jika diketahui 𝑇 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 dan 𝑉(𝑥) = 𝑘 2 𝑥 2 maka persamaan  Hamiltonian  menjadi 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑘
2 𝑥 2 . Selanjutnya  kedua  ruas  dikalikan  dengan 𝑚𝐿 2 ℏ 2
jika  koordinat  tak  berdimensi 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 ,  sehingga
dihasilkan persamaan
𝐻 ̃ ≡ 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑(𝑥̃ 2 𝐿 2 ) + 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑘 2 (𝑥̃ 2 𝐿 2 ) lalu dieliminasi variabel  yang  sama  dan  disubstitusikan  persamaan (8), maka dihasilkan persamaan berikut
𝐻 ̃ = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 1 2 𝑥̃ 2 . (9)

## iii. Kasus Fungsi Energi Potensial
Diberikan  fungsi  energi  potensial  dalam  parameter panjang yaitu,
𝑉(𝑥) = 𝑉 0 𝑓 ( 𝑥 𝑎 ). (10)
Dengan  potensial  yang  diberikan  pada  persamaan (10)  ditinjau  lebih  lanjut  dengan  kedua  ruas dikalikan  bentuk 𝑚𝐿 2 ℏ 2 ,  maka  dihasilkan  persamaan
𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉(𝑥) = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉 0 𝑓 ( 𝑥 𝑎 ) .  Kemudian  variabel 𝑥
diubah  dengan  bentuk 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 ,  sehingga diperoleh persamaan berikut
𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉(𝐿𝑥̃) = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉 0 𝑓 ( 𝐿𝑥̃ 𝑎 ). (11)
Persamaan  (11)  masih  dalam  bentuk  berdimensi, untuk  menghilangkan  variabel  berdimensi  yaitu ditinjau  ulang  dari  persamaan  (10),  disubstitusikan ke  dalam  persamaan Hamiltonian 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 atau
𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝑓  ( 𝑥 𝑎 ). Selanjutnya  kedua ruas dikalikan  dengan  bentuk 𝑚𝐿 2 ℏ 2 jika 𝐿 ≡ 𝑎 dan 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 maka  persamaan  menjadi 𝐻 ̃ ≡ 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑑 2 𝑑(𝐿 2 𝑥̃ 2 ) + 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉 0 𝑓  ( 𝐿𝑥̃ 𝑎 ). Setelah  itu dieliminasi  variabel  yang  sama  sehingga  persamaan menjadi 𝐻 ̃ ≡ 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑚𝑎 2 ℏ 2 𝑉 0 𝑓(𝑥̃) .
Pada  bagian  sisi  kanan  suku  kedua  masih  dalam bentuk  berdimensi  sehingga  dapat  memilih parameter  tak  berdimensi 𝜆 yang  mewakili  bentuk 𝑚𝑎 2 ℏ 2 𝑉 0 ,  maka  dihasilkan  persamaan  tak  berdimensi yang dituliskan sebagai
𝐻 ̃ = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝜆𝑓(𝑥̃). (12)
Selanjutnya  memilih  satuan  panjang 𝐿 dari  bentuk
𝜆 = 𝑚𝑎 2 ℏ 2 𝑉 0 jika 𝐿 ≡ 𝑎 → 𝜆 = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉 0 , bentuk ini
𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉 0 = 1 ,  kedua  ruas  dikalikan  dengan ℏ 2 𝑚𝑉 0 ,
persamaan  menjadi 𝑚𝐿 2 𝑉 0 ℏ 2 ℏ 2 𝑚𝑉 0 = 1 ℏ 2 𝑚𝑉 0 , maka
dihasilkan  bentuk  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 sebagai
𝐿 2 = ℏ 2 𝑚𝑉 0 (13)
Persamaan  (12)  masih  bergantung  pada 𝜆 ,  agar tidak  terikat  pada  parameter 𝜆 .  Ditinjau  ulang dengan  potensialnya  yang  terdapat  di  persamaan (10)  disubstitusikan  ke  dalam  persamaan Hamiltonian,  maka  persamaan  menjadi 𝐻 =
− ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝑓  ( 𝑥 𝑎 ) lalu  kedua  ruas  dikalikan dengan 𝑚𝑎 2 ℏ 2 jika 𝐿 ≡ 𝑎 , didapatkan persamaan 𝐻 ̃ = 𝑚𝑎 2 ℏ 2 𝐻 = 𝑚𝑎 2 ℏ 2 − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 𝐿 2 + 𝑉 0 𝑓 ( 𝐿𝑥̃ 𝑎 ) 𝑚𝑎 2 ℏ 2 .
Selanjutnya dieliminasi variabel yang sama kemudian
disubstitusikan  satuan  panjang 𝐿 2 ,  maka  diperoleh persamaan tak berdimensi yang tak bergantung pada
𝜆, yaitu
𝐻 ̃ = 1 𝑉 0 , 𝐻 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑓(𝑥̃). (14)

## iv. Kasus Potensial Morse
Selain  dari  kasus  sederhana  pada  potensial penghalang yang diberikan, terdapat kasus sederhana lainnya,  yaitu  osilator  Morse.  Osilator  Morse menjelaskan  getaran  atom  dalam  molekul  sebagai getaran  anharmonik  dan  menggambarkan  energi potensial  getaran  yang  dianggap  lebih  kompleks daripada  model  osilator  harmonik.  Persamaan Morse memiliki persamaan matematika yaitu
𝑉(𝑥) = 𝐷𝑒[1 − exp(−𝑎𝑥)] 2 . (15)
jika  divisualisasikan  gambar  osilator  Morse  dengan menggunakan  persamaannya,  dimana  pemilihan variabel 𝐷 = 5, 𝑎 1 = 0.1, 𝑎 2 = 0.2 dan 𝑎 3 = 0.3 maka dihasilkan bentuk gambar seperti di bawah ini
Gambar 3. Osilator Morse Selanjutnya, persamaan
(15) jika disubstitusikan  ke  dalam  persamaan  Hamiltonian
𝐻 = 𝑇 + 𝑉 ,  maka  persamaan  menjadi 𝐻 =
− ℏ 2 2𝑚 + 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝐷 𝑒 [1 − 𝑒𝑥𝑝(−𝑎𝑥)] 2 . Selanjutnya disederhanakan  ke  dalam  bentuk  tak  berdimensi, yaitu  kedua  ruas  dikalikan 𝑚 ℏ 2 𝑎 2 ,  jika 𝐿 ≡ 1 𝑎 ,  maka didapatkan  persamaan 𝐻 ̃ ≡ 𝑚 ℏ 2 𝑎 2 𝐻 = 𝑚 ℏ 2 𝑎 2 − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 𝐿 2 + 𝑚𝐷𝑒 ℏ 2 𝑎 2 [1 − 𝑒𝑥𝑝(−𝑎(𝑥̃𝐿))] 2
menghilangkan  variabel  yang  sama,  maka  diperoleh persamaan tak berdimensi berikut
𝐻 ̃ = − 1 2 + 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝜆[1 − 𝑒𝑥𝑝(−𝑥̃)] 2 (16)
Persamaan  (16)  dalam  bentuk  tak  berdimensi, variabel 𝜆 dipilih sebagai parameter tak berdimensi yang mewakili bentuk dari 𝑚𝐷𝑒 ℏ 2 𝑎 2 .

## v. Kasus Potensial Penghalang Eksponensial Mutlak
Terdapat  kasus  yang  lain  di  model  potensial satu dimensi yaitu potensial penghalang eksponensial mutlak dengan persamaan matematikanya yaitu
𝑉(𝑥) = 𝑉 0 (1 − 𝑒 (2|𝑥|/𝑎) ), 𝑉 0 > 𝑎, 𝑎 > 0. (17)
Untuk  menampilkan  bentuk  gambar  potensial penghalang eksponensial mutlak dengan menggunakan  persamaannya,  yaitu  pemilihan  nilai dari variabel 𝑉 0 = 1 dan 𝑎 = −2 , maka dihasilkan gambar di bawah ini
Gambar
4 Potensial
penghalang eksponensial mutlak
Selanjutnya,  tinjau  persamaan  (17)  untuk menentukan  persamaan  tak  berdimensinya  dengan menggunakan persamaan Hamiltonian 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 ,
𝑇 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 dan 𝑉(𝑥) = 𝑉 0 (1 − 𝑒 (2|𝑥|/𝑎) jika dimisalkan 𝑓(𝑥̃) = (1 − 𝑒 (2|𝑥|𝑎) ) , maka persamaan  menjadi 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝑓(𝑥̃) .
Selanjutnya,  kedua  ruas  dikalikan  dengan 𝑚𝐿 2 ℏ 2
persamaan menjadi 𝐻 ̃ = − ℏ 2 2𝑚 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉 0 𝑓(𝑥̃) ,  jika 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 maka  dihasilkan persamaan  yang  tak  berdimensi 𝐻 ̃ = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ +
𝜆𝑓(𝑥̃).
vi. Kasus Potensial Cut off Selanjutnya  pada  kasus  potensial Cut  off dengan  bentuk  potensialnya 𝑉(𝑥) = − 𝛼 𝛼 𝑥2 , 𝜖 1 < 𝜖 2 < 𝜖 3 .  Jika  divisualisasikan  ke  dalam  bentuk gambar dengan menggunakan persamaan potensialnya  dengan  nilai  dari 𝛼 = 1 ,  sedangkan
𝜖 1 = 0.1 𝜖 2 = 0.5 dan 𝜖 3 = 1 maka  dihasilkan gambar di bawah ini
Gambar 5. Potensial cut off Dalam  kasus  ini  terdapat  dua  bentuk  lain model potensial satu dimensi, yaitu bentuk potensial pertama 𝑉𝜖(𝑥) = − 𝛼 𝜖 2 dengan  syarat  batas 0 < 𝑥 < 𝜖 .  Untuk  menentukan  persamaan  tak berdimensinya,  kedua  ruas  dikalikan  dengan 2𝑚𝐿 2 ℏ 2
didapatkan  bentuk 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉 𝜖 (𝑥) = − 𝛼 𝜖 2 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 ,
didefinisikan  satuan  panjang 𝐿 2 = ℏ 2 𝜖 2 2𝑚𝛼 ,  maka diperoleh persamaan berikut
𝜖 2
𝛼 2 𝑉𝜖(𝐿𝑥̃) = −1 . (18)
Kemudian  potensial  kedua 𝑉𝜖(𝑥) = − 𝛼 𝑥 2 dengan syarat  batas 𝜖 < 𝑥 > ∞ .  Disederhanakan  menjadi bentuk  yang  lain,  yaitu  dengan  proses  penyelesaian sama  seperti  pada  persamaan  (18),  sehingga
dihasilkan  persamaan 𝜖 2 𝛼 2 𝑉𝜖(𝐿𝑥̃) = − 𝜖 2
𝑥̃ 2 ,  karena 𝜖 ≡ 𝜌 0 , maka bentuk persamaan menjadi 𝜖 2 𝛼 2 𝑉𝜖(𝐿𝑥̃) = − 𝜌 0 2 𝑥̃ 2 , (19)
Dengan  demikian  persamaan  (18)  dan  (19) dihasilkan  dalam  bentuk  tak  berdimensi  tanpa melibatkan persamaan Hamiltonian.
Selanjutnya  menentukan  persamaan  tak berdimensi  pada  potensial Cut  off dengan menggunakan persamaan  Hamiltonian.  Bentuk potensial  pertama 𝑉(𝑥) = − 𝛼 𝜖 2 disubstitusikan  ke dalam  persamaan  Hamiltonian  maka  persamaan
menjadi 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 − 𝛼 𝜖 2 .  Jika  persamaan diubah ke bentuk tak berdimensi, dengan kedua ruas dikalikan  bentuk 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 ,  untuk 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 diperoleh persamaan 𝐻 ̃ = 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 𝐿 2 − 𝛼 𝜖 2 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 , kemudian disubstitusikan pemilihan satuan panjang 𝐿 2 = ℏ 2 𝜖 2 2𝑚𝛼 maka  dihasilkan  persamaan  tak berdimensi 𝐻 ̃ = 𝜖 2 𝛼 𝐻 = − 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 − 1. Selanjutnya
ditinjau  bentuk  potensial  kedua 𝑉(𝑥) =
− 𝛼 𝑥 2 disubstitusikan ke dalam persamaan
Hamiltonian  menjadi 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 − 𝛼 𝑥 2 kedua ruas dikalikan dengan bentuk 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 , untuk koordinat 𝑥̃ ≡ 𝑥/𝐿 maka  diperoleh  persamaan 𝐻 ̃ = 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 𝐿 2 − 𝛼 𝑥̃ 2 𝐿 2 2𝑚𝐿 2 ℏ 2 .
Kemudian  disubstitusikan  bentuk 𝐿 2 = ℏ 2 𝜖 2 2𝑚𝛼 dan
didefinisikan  bentuk 𝜌 0 2 = 2𝑚𝛼 ℏ 2 sehingga  dihasilkan persamaan tak berdimensi 𝐻 ̃ = 𝜖 2 𝛼 = − 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 − 𝜌 0 2 𝑥̃ 2 .
vii. Contoh
Penerapan Persamaan tak
Berdimensi pada Kasus Potensial

## Penghalang
Dalam  model  potensial  satu  dimensi  pada kasus  potensial  penghalang  ini,  penerapan  konsep tak  berdimensi  bertujuan  untuk  memberikan wawasan abstrak dan umum terhadap sifat transmisi partikel  melalui  potensial  penghalang  tersebut. Kasus  ini  dapat  ditinjau  melalui  pemecahan persamaan  Schr 𝑜̈ dinger  dengan  solusi  persamaan potensial berikut
𝑉(𝑥) = { 0             𝑥 < 0 𝑉 0 0 < 𝑥 > 𝑎 0             𝑥 > 𝑎 .
Berdasarkan  bentuk  solusi  dari  potensial  diatas, selanjutnya  menentukan  koefisien  transmisi 𝑇 pada tiga kasus 𝐸 < 𝑉 0 , 𝐸 > 𝑉 0 dan 𝐸 = 𝑉 0 .
Kasus 𝑬 < 𝑽 𝟎
Gambar 6. Kasus 𝑬 < 𝑽 𝟎
Selanjutnya  tinjau  daerah  I  dan  III  untuk menentukan koefisien
transmisi dengan
menggunakan  persamaan  Schr 𝑜̈ dinger − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝜓 = 𝐸𝜓 jika 𝑉 0 = 0 maka  persamaan
Schr 𝑜̈ dinger  menjadi − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 𝑉 0 𝜓 = 𝐸𝜓 lalu
dihasilkan bentuk 𝑘 = √ 2𝑚𝐸 ℏ 2 dan fungsi gelombang
𝜓 1 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 dan 𝜓 3 = 𝐸𝑒 𝑖𝑘𝑥 .
Sedangkan  untuk  daerah  II  dihasilkan  bentuk 𝑙 =
√ 2𝑚(1−𝐸) ℏ 2 dan 𝜓 2 = 𝐶𝑒 𝑙𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑙𝑥 . Selanjutnya tinjau  syarat  kontinuitas  di 𝜓 1 (𝑥) = 𝜓 2 (𝑥), jika 𝑥 = −𝑎 maka dihasilkan persamaan berikut
𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝑎 + 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝑎 = 𝐶𝑒 −𝑙𝑎 + 𝐷𝑒 𝑙𝑎 . (20.a)
Lalu turunkan 𝑑𝜓 1 𝑑𝑥 | 𝑥=−𝑎 dan 𝑑𝜓 2 𝑑𝑥 | 𝑥=−𝑎 , maka
𝑖𝑘(𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝑎 − 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝑎 ) = 𝑙(𝐶𝑒 −𝑙𝑎 − 𝐷𝑒 𝑙𝑎 ) (20.b)
untuk  kontinuitas 𝜓 2 (𝑥) = 𝜓 3 (𝑥) jika 𝑥 = 𝑎 maka dihasilkan persamaan berikut
𝐶𝑒 𝑙𝑎 + 𝐷𝑒 −𝑙𝑎 = 𝐸𝑒 𝑖𝑘𝑎 . (20.c)
Lalu  turunkan 𝑑𝜓 2 𝑑𝑥 | 𝑥=𝑎 dan 𝑑𝜓 3 𝑑𝑥 | 𝑥=𝑎 , maka persamaan menjadi
𝑙(𝐶𝑒 𝑙𝑎 − 𝐷𝑒 −𝑙𝑎 ) = 𝑖𝑘𝐸𝑒 𝑖𝑘𝑎 . 20.d)
Persamaan (20.c) dikalikan dengan 𝑙 , menjadi
𝑙𝐶𝑒 𝑙𝑎 + 𝑙𝐷𝑒 −𝑙𝑎 = 𝑙𝐸𝑒 𝑖𝑘𝑎 (20.e)
persamaan (20.e) kurang persamaan (20.d), menjadi
𝐶 = 𝑒 𝑙𝑎 2 (1 − 𝑖𝑘 𝑙 ) 𝐸𝑒 𝑖𝑘𝑎 . (20.f)
Persamaan  (20.e)  dijumlahkan  dengan  persamaan (20.d), menjadi
𝐶 = 𝑒 𝑙𝑎 2 (1 + 𝑖𝑘 𝑙 ) 𝐸𝑒 𝑖𝑘𝑎 . (20.g)
Kemudian  persamaan  (20.a)  kedua  ruas  dikalikan dengan 𝑖𝑘, menjadi
𝑖𝑘 𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝑎 + 𝑖𝑘 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝑎
= 𝑖𝑘 𝐶𝑒 −𝑙𝑎 + 𝑖𝑘 𝐷𝑒 𝑙𝑎 . (20.h)
Persamaan  (20.h)  dijumlahkan  dengan  persamaan (20.b)  dan  substitusikan  persamaan  (20.g)  dan persamaan (20.f) menjadi
𝐴𝑒 −2𝑖𝑘𝑎 = 𝐸2𝑖𝑘  ( 𝑒 2𝑙𝑎 +𝑒 −2𝑙𝑎 2 ) + 𝐸 ( 𝑘 𝑙 − 𝑙 𝑘 ) ( 𝑒 2𝑙𝑎 −𝑒 −2𝑙𝑎 2 )
lalu  disederhanakan  bentuk (𝐶𝑒 2𝑙𝑎 +𝑒 −2𝑙𝑎 ) 2 =
cosh (2𝑙𝑎) dan ( 𝑒 2𝑙𝑎 −𝑒 −2𝑙𝑎
2 ) = sinh (2𝑙𝑎) ,
sehingga persamaan menjadi
𝐸 𝐴 = 𝑒 2𝑖𝑘𝑎
cosh(2𝑙𝑎)− 𝑖 2 ( 𝑘2−𝑙2 𝑙𝑘 ) sinh(2𝑙𝑎)
𝑇 = 𝐽 𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠 𝐽 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔 = 𝑇 = | 𝐸 𝐴 | 2 , 𝑇 = ( 𝑒 2𝑖𝑘𝑎 (cosh(2𝑙𝑎)+ 𝑖 2 ( 𝑘2−𝑙2 𝑙𝑘 ) sinh(2𝑙𝑎)) ) ∗ ( 𝑒 2𝑖𝑘𝑎 (cosh(2𝑙𝑎)+ 𝑖 2 ( 𝑘2−𝑙2 𝑙𝑘 ) sinh(2𝑙𝑎)) )
𝑇 = 1 cosh 2 ( 2𝑙𝑎 ) + ( 𝑘2−𝑙2) 2 4𝑙2𝑘2 sinh 2 (2𝑙𝑎) .
Di  misalkan cosh 2 (𝑙𝑎) − sinh 2 𝑙𝑎 = 1 ,  sehingga bentuk persamaan menjadi
𝑇 = 1 1 + (𝑘 2 +𝑙 2 ) 2 4𝑙 2 𝑘 2 sin 2 ℎ (2𝑙𝑎) .
Kemudian disubstitusikan nilai dari 𝑘 =
√ 2𝑚𝐸 ℏ 2 ,  𝑙 = √2𝑚(𝑉 0 −𝐸) ℏ , maka diperoleh persamaan berikut
𝑇 = 1
1+ 𝑉0 2 4𝐸(𝑉0−𝐸) sinh 2 ( 2𝑎 ℏ √2𝑚(𝑉 0 −𝐸) .
Selanjutnya,  persamaan  disederhanakan  ke  dalam bentuk tak berdimensi dengan dimisalkan 𝜆 sebagai parameter  tak  berdimensi  yang  mewakili  bentuk 2𝑎 ℏ √2𝑚(𝑉 0 − 𝐸) sehingga  bentuk  persamaan menjadi 𝑇 = 1
1+ 𝑉0 2 4𝐸(𝑉0−𝐸) sinh 2 𝜆 , dan  didefinisikan parameter baru 𝜖 ≡ 𝑉 0 𝐸 , maka persamaan menjadi
𝑇 = 1 1+ 𝜖 4(1−𝜖) sinh 2 𝜆 . (21)
Kasus 𝑬 > 𝑽 𝟎
Gambar 7. Kasus 𝑬 > 𝑽 𝟎
Selanjutnya  tinjau  daerah  I  dan  III  untuk menentukan  koefisien  transmisi 𝑇 dengan menggunakan  persamaan  Schr 𝑜̈ dinger − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 +
𝑉 0 𝜓 = 𝐸𝜓 ,  jika 𝑉 0 = 0 ,  maka  persamaan
Schr 𝑜̈ dinger  menjadi − ℏ 2
2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 = 𝐸𝜓 lalu
dihasilkan bentuk 𝜅 = √ 2𝑚𝐸 ℏ 2 dan fungsi gelombang
𝜓 1 = 𝐴𝑒 𝑖𝜅𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝜅𝑥 , 𝜓 3 = 𝐸𝑒 𝑖𝜅𝑥 .
Kemudian daerah II ditinjau juga dengan persamaan Schr 𝑜̈ dinger,  jika 𝑉 0 = 𝑉 0 maka  persamaan menjadi − ℏ 2
2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝜓 = 𝐸𝜓 lalu  dihasilkan
bentuk 𝑤 = √ 2𝑚 ( 𝐸−𝑉 0 ) ℏ 2 dan  fungsi  gelombang
𝜓 2 = 𝐶𝑒 𝑖𝑤𝑥 + 𝐷𝑒 −𝑖𝑤𝑥 .
Selanjutnya
menentukan  syarat  kontinuitas 𝑥 = −𝑎, untuk 𝜓 1 (𝑥 = −𝑎) = 𝜓 2 (𝑥 = −𝑎) dihasilkan persamaan berikut
𝐴𝑒 −𝑖𝜅𝑎 + 𝐵𝑒 𝑖𝜅𝑎 = 𝐶𝑒 −𝑖𝑤𝑎 + 𝐷𝑒 𝑖𝑤𝑎 . (22.a)
Lalu turunkan 𝑑𝜓 1 𝑑𝑥 | 𝑥=−𝑎 dan 𝑑𝜓 2 𝑑𝑥 | 𝑥=−𝑎 , maka
𝑖𝜅 (𝐴𝑒 −𝑖𝜅𝑎 − 𝐵𝑒 𝑖𝜅𝑎 )     = 𝑖𝑤(𝐶𝑒 −𝑖𝜅𝑎 − 𝐷𝑒 𝑖𝜅𝑎 ) . (22.b)
Sedangkan untuk kontinuitas 𝑥 = 𝑎, untuk 𝜓 2 (𝑥 = 𝑎) = 𝜓 3 (𝑥 = 𝑎) dihasilkan persamaan berikut
𝐶𝑒 𝑖𝑤𝑎 + 𝐷𝑒 −𝑖𝑤𝑎 = 𝐸𝑒 𝑖𝜅𝑎 , (22.c)
Lalu turunkan 𝑑𝜓 2 𝑑𝑥 | 𝑥=𝑎 dan 𝑑𝜓 3 𝑑𝑥 | 𝑥=𝑎 , maka
𝑖𝑤(𝐶𝑒 𝑖𝑤𝑎 − 𝐷𝑒 −𝑖𝑤𝑎 )      = 𝑖𝜅𝐸𝑒 𝑖𝜅𝑎 . (22.d)
Selanjutnya  persamaan  (22.c)  dikalikan  dengan 𝑖𝑤, menjadi
𝑖𝑤 𝐶𝑒 𝑖𝑤𝑎 + 𝑖𝑤𝐷𝑒 −𝑖𝑤𝑎 = 𝑖𝑤𝐸 𝑖𝜅𝑎 . (22.e)
Persamaan (22.e) kurang persamaan (22.d), menjadi
𝐷 = 𝑒 −𝑖𝑤𝑎 2 (1 − 𝑖𝜅 𝑖𝑤 ) 𝐸𝑒 𝑖𝜅𝑎 . (22.f)
Persamaan  (22.e)  dijumlahkan  dengan  persamaan (22.d), menjadi
𝐶 = 𝑒 𝑖𝑤𝑎 2 (1 − 𝑖𝜅 𝑖𝑤 ) 𝐸𝑒 𝑖𝜅𝑎 . (22.g)
Persamaan (22.a) dikalikan dengan 𝑖𝜅, menjadi
𝑖𝜅 𝐴𝑒 𝑖𝜅𝑎 + 𝑖𝜅 𝐵𝑒 −𝑖𝜅𝑎
= 𝑖𝜅 𝐶𝑒 𝑖𝑤𝑎 + 𝑖𝜅 𝐷𝑒 −𝑖𝑤𝑎 . (22.h)
Persamaan  (22.h)  dijumlahkan  dengan  persamaan (22.b)  selanjutnya  disubstitusikan  persamaan  (22.f) dan (22.g), maka dihasilkan persamaan berikut
𝐸 𝐴 = 𝑒 2𝑖𝜅𝑎 cosh(2𝑖𝑤𝑎) + 𝑖 2 ( 𝜅 4 −𝑤 2 𝑖𝑤𝜅 2 ) sinh(2𝑖𝑤𝑎) .
Sehingga  untuk  mendapatkan  koefisien  Transmisi, maka
𝑇 = 𝐽 𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠 𝐽 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔 = | 𝐸 𝐴 | 2 = | 𝐸 𝐴 | ∗ | 𝐸 𝐴 |, 𝑇 = ( 𝑒 2𝑖𝜅𝑎
cosh(2𝑖𝑤𝑎)+ 𝑖 2 ( 𝜅4−𝑤2 𝑖𝑤𝜅2 ) sinh(2𝑖𝑤𝑎) ) ∗ ( 𝑒 2𝑖𝜅𝑎 cosh(𝑖𝑤𝑎)+ 𝑖 2 ( 𝜅4−𝑤2 𝑖𝑤𝜅2 ) sinh(2𝑖𝑤𝑎) ), 𝑇 = 1
1+ (𝜅4−𝑤2) 2
4𝑤2𝜅2 sinh 2 (2𝑖𝑤𝑎) .
Selanjutnya  substitusikan  nilai  dari 𝜅 = √ 2𝑚𝐸 ℏ 2 dan 𝑤 = √ 2𝑚(𝐸−𝑉 0 ) ℏ 2 maka  dihasilkan  bentuk persamaan 𝑇 = 1
(1+ 𝑉0 2 4𝐸(𝐸−𝑉0) ) sinh 22𝑎 ℏ √2𝑚(𝐸−𝑉 0 ) .
Selanjutnya  disederhanakan  ke  dalam  bentuk  tak berdimensi  dengan  dimisalkan  parameter  tak berdimensi 𝜆 mewakili  bentuk  variabel  berdimensi 2𝑎 ℏ √2𝑚(𝐸 − 𝑉 0 ), maka  persamaan  menjadi
𝑇 = 1
(1+ 𝑉0 2
4𝐸(𝐸−𝑉0 ) sinh 2 𝜆 lalu
didefinisikan
parameter baru 𝜖 ≡ 𝑉 0 𝐸 , sehingga bentuk persamaan menjadi bentuk tak berdimensi
𝑇 = 1 (1+𝜖 1 4(𝜖−1) ) sinh 2 𝜆 . (23)
Kasus 𝑬 = 𝑽 𝟎
Gambar 8. Kasus 𝑬 = 𝑽 𝟎
Selanjutnya  menentukan  koefisien  transmisi T pada kasus ini, ditinjau mulai dari daerah I dan III
dengan  persamaan  Schr 𝑜̈ dinger − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝜓 = 𝐸𝜓 ,  jika 𝑉 0 = 0 maka  persamaan  menjadi
− ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑𝑥 2 = 𝐸𝜓 dihasilkan  bentuk 𝛽 = √ 2𝑚𝐸 ℏ 2 dan  fungsi  gelombang 𝜓 1 = 𝐴𝑒 𝑖𝛽𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑖𝛽𝑥 ,
𝜓 3 = 𝐸𝑒 𝑖𝛽𝑥 . Selanjutnya  tinjau  daerah  II  dengan persamaan Schr 𝑜̈ dinger − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 2 𝑑𝑥 2 + 𝐸𝜓 2 = 𝐸𝜓 2 lalu  dihasilkan  bentuk  fungsi 𝜓 2 = 𝐶 + 𝐷𝑥 . selanjutnya tinjau syarat kontiunuitas dari 𝜓 1 (𝑥) =
𝜓 2 (𝑥) jika 𝑥 = −𝑎 maka  dihasilkan  persamaan berikut
𝐴𝑒 −𝑖𝛽𝑎 + 𝐵𝑒 𝑖𝛽𝑎 = 𝐶 − 𝐷𝑥. (23.a)
Lalu  turunkan  persamaan  (23.a) 𝑑𝜓 1 𝑑𝑥 | 𝑥=−𝑎 𝑑𝜓 2
𝑑𝑥 | 𝑥=−𝑎 , maka
𝑖𝛽𝐴𝑒 −𝑖𝛽𝑎 − 𝑖𝛽𝐵𝑒 𝑖𝛽𝑎 = 𝐷. (23.b)
Sedangkan  untuk  tinjau 𝜓 2 (𝑥) = 𝜓 3 (𝑥) jika 𝑥 = 𝑎 maka persamaan menjadi
𝐶 + 𝐷𝑎 = 𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 . (23.c)
Lalu turunkan persamaan (23.c), menjadi
𝐷 = 𝑖𝛽 𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 . (23.d)
Selanjutnya  persamaan  (23.a)  jumlahkan  dengan persamaan (23.c), menjadi
𝐴𝑒 −𝑖𝛽𝑎 + 𝐵𝑒 𝑖𝛽𝑎 + 𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 = 2𝐶. (23.e)
Persamaan  (23.a)  kurangi  persamaan  (23.c), menjadi
𝐴𝑒 −𝑖𝛽𝑎 + 𝐵𝑒 𝑖𝛽𝑎 − 𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 = −2𝐷𝑎. (23.f)
Persamaan  (23.d)  substitusikan  ke  persamaan (23.b), menjadi
𝑖𝛽𝐴𝑒 −𝑖𝛽𝑎 − 𝑖𝛽𝐵𝑒 𝑖𝛽𝑎 = 𝑖𝛽𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 . (23.g)
Persamaan (23.d) substitusikan ke persamaan (23.f), menjadi
𝐴𝑒 −𝑖𝛽𝑎 + 𝐵𝑒 𝑖𝛽𝑎 − 𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 = −2𝑎𝑖𝛽𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 . (23.h)
Persamaan (23.h) dikalikan dengan 𝑖𝛽, menjadi
𝑖𝛽𝐴𝑒 −𝑖𝛽𝑎 + 𝑖𝛽𝐵𝑒 𝑖𝛽𝑎 − 𝑖𝛽𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 = −2𝑖𝛽 2 𝑎𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 . (23.i)
Persamaan  (23.g)  dijumlahkan  dengan  persamaan (23.i),  menjadi 2𝑖𝛽𝐴𝑒 −2𝑖𝛽𝑎 = 𝑖𝛽𝐹𝑒 𝑖𝛽𝑎 (2 −
2𝑎𝑖𝛽 2 ) lalu
disederhanakan
menjadi
𝐹 𝐴 = 2𝑖𝛽𝑒 −2𝑖𝛽𝑎
2−2𝑎𝑖𝛽 2 . Maka  untuk  koefisien  transmisi 𝑇 , menjadi
𝑇 = | 𝐽 𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠 𝐽 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔 | = | 𝐹 𝐴 | 2 = | 𝐹 𝐴 | ∗ | 𝐹 𝐴 |, 𝑇 = ( 2𝑖𝛽𝑒 −2𝑖𝛽𝑎 2 − 2𝑎𝑖𝛽 2 ) ∗ . ( 2𝑖𝛽𝑒 −2𝑖𝛽𝑎 2 − 2𝑎𝑖𝛽 2 ), 𝑇 = − 4𝛽 2 4 + 4𝑎 2 𝛽 4 , 𝑇 = − 2 2 + 2 𝑎 2 2𝑚𝐸 ℏ 2 .
Selanjutnya  menghilangkan  variabel  berdimensi dalam  kasus  ini,  memilih 𝜆 sebagai  parameter  tak berdimensi  yang  mewakili bentuk 𝑎 2 2𝑚𝐸 ℏ 2 . Sehingga persamaan menjadi bentuk tak berdimensi
𝑇 = − 2 2 + 2𝜆 . (24)
Dengan  demikian,  penerapan  konsep  tak berdimensi  pada  model  satu  dimensi,  khususnya pada  kasus  potensial  penghalang  ini,  memfasilitasi analisis  yang  lebih  abstrak  dan  umum.  Penerapan konsep  tak  berdimensi  dengan  pemecahan persamaan Schr 𝑜̈ dinger untuk menentukan koefisien transmisi. Dengan pemecahan persamaan
Schr 𝑜̈ dinger  untuk  kasus 𝐸 < 𝑉 0 dapat  diperoleh koefisien  transimi  T  dalam  bentuk  tak  berdimensi
𝑇(𝜖, 𝜆) = 1 (1+ 𝜖 4(1−𝜖) ) sinh 2 𝜆 , 0 ≤ 𝜖 ≤≤ 1, kasus
𝐸 = 𝑉 0 diperoleh  koefisien  transmisi 𝑇 dalam bentuk  tak  berdimensi 𝑇(𝜖, 𝜆) = 2 2+𝜆 , 𝜖 = 1 dan
𝐸 > 𝑉 0 dihasilkan  koefisien  transmisi 𝑇 dalam bentuk tak berdimensi 𝑇(𝜖, 𝜆) = 1
1+ 𝜖 4(𝜖−1) sinh 2 𝜆,
𝜖 > 1.
II. Analisis Persamaan pada Atom Hidrogen
i. Kasus Hukum Coulomb
Operator  Hamiltonian  untuk  sistem 𝑘 partikel  massa 𝑚 𝑖 dengan  muatan 𝑞 𝑖 di  posisi 𝑟 𝑖 .
Jika  diketahui  energi  kinetik 𝑇 = − ℏ 2 2𝑚𝑖 ∇ 𝑖 2 dan
energi  potensial 𝑉 = 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 4𝜋𝜖𝑟 𝑖𝑗 selanjutnya disubstitusikan  ke  dalam  persamaan  Hamiltonian 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 ,  maka  persamaan  menjadi 𝐻 =
− ℏ 2 2𝑚 𝑖 ∇ 𝑖 2 + 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 4𝜋𝜖𝑟 𝑖𝑗 , untuk suku pertama didefinisikan  nilai 𝑖 = 1,2,3 … 𝑘 sedangkan  pada suku  kedua  didefinisikan  nilai 𝑖 = 1,2,3. . 𝑘 − 1
dan 𝑗 = 𝑖 + 1 … 𝑘 .  Sehingga  bentuk  persamaan dituliskan berikut
𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑖 ∇ 𝑖 2 ∑ + ∑ 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 4𝜋𝜖 0 𝑟 𝑖𝑗 ∑ 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 4𝜋𝜖 0 𝑟 𝑖𝑗 𝑘 𝑗=𝑖+1 𝑘−1 𝑖=1 𝑘 𝑖=1 . (25)
Persamaan (25) disederhanakan ke dalam bentuk tak berdimensi, yaitu kedua ruas dikalikan dengan 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 ,
persamaan menjadi 𝐻 ̃ ≡ 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 = 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 − ℏ 2 2 ∑ ∇ 𝑖 2 𝑚 𝑖 + ∑ ∑ 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 4𝜋𝜖 0 𝑟 𝑖𝑗 𝑘 𝑗=𝑖+1 𝑘−1 𝑖=1 𝑘 𝑖=1
selanjutnya  evaluasi  beberapa  bentuk  pola,  yaitu untuk 𝑟̃ ≡ 𝑟 𝑖 /𝐿 dan ∇ 𝑖 2 ≡ ∇ ̃ 𝑖 2 𝐿 2 serta juga besaran tak berdimensi 𝑚 ̃ 𝑖 ≡ 𝑚 𝑖 𝑚 𝑒 dan 𝑞 𝑖 ≡ 𝑞̃ 𝑖 𝑒 .  Maka persamaan menjadi
𝐻 ̃ = − 1 2 ∑ ∇ ̃ 𝑖 2 𝑚 ̃ 𝑖 + 𝑘 𝑖=1 𝑚 𝑒 𝐿𝑒 2
4𝜋𝜖 0 ℏ 2 ∑ ∑ 𝑞̃ 𝑖 𝑞̃ 𝑗 𝑟̃ 𝑖𝑗 . 𝑘 𝑗=𝑖+1 𝑘−1 𝑖=1 (26)
Persamaan  (26)  yang  terdapat  pada  suku  kedua masih dalam bentuk berdimensi, untuk menghilangkannya, maka dilakukan pemilihan satuan panjang 𝐿 dari  bentuk 𝑚 𝑒 𝐿𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 = 1 ,    sehingga
diperoleh bentuk
𝐿 = 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑒 2 . (27)
Setelah  dilakukan  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 ,  lalu persamaan (27) disubstitusikan ke dalam persamaan
(26) menjadi 𝐻 ̃ ≡ 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − 1 2 ∑ ∇ ̃ 𝑖 2 𝑚 ̃ 𝑖 + 𝐾 𝑖=1 𝑚 𝑒 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑒 2 ∑ ∑ 𝑞 𝑖 ̃ 𝑞̃ 𝑗 𝑟̃ 𝑖𝑗 𝐾 𝑗=𝑖+1 𝐾−1 𝑖=1 . maka  dihasilkan
persamaan dalam bentuk tak berdimensi yaitu
𝐻 ̃ = − 1 2 ∑ ∇ ̃ 𝑖 2 𝑚 ̃ 𝑖 + ∑ ∑ 𝑞̃ 𝑖 𝑞̃ 𝑗 𝑟̃ 𝑖𝑗 . 𝐾 𝑗=𝑖+1 𝐾−1 𝑖=1 𝐾 𝑖=1 (28)

## ii. Kasus Atom Hidrogen
Selanjutnya,  dianalisis  kasus  atom  hidrogen dengan
mempertimbangkan
persamaan
Hamiltonian,  yaitu  diketahui  energi  kinetik 𝑇 =
− ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 dan  potensialnya 𝑉(𝑥) = − 𝑒 2
4𝜋𝜖 0 𝑟 jika disubstitusikan  ke  dalam  persamaan  umum
Hamiltonian
𝐻 = 𝑇 + 𝑉 . Maka dihasilkan persamaan berikut
𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝑎 0 𝑟 . (29)
Persamaan (26) yang terdapat bentuk 𝑚 𝑒 𝐿𝑒 2
4𝜋𝜖 0 ℏ 2 dipilih sebagai  satuan  atom,  untuk  pemilihannya  yaitu 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝐿𝑒 2 = 1 jika kedua ruas dikalikan dengan 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝐿
persamaan menjadi ℏ 2 𝑚 𝑒 𝐿 = 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝐿 , didefinisikan 𝐿 ≡ 𝑎 0 , maka persamaan menjadi
ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑎 0 = 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝑎 0 . (30)
Menentukan  persamaan  (29)  menjadi persamaan  tak  berdimensi,  maka  dimodifikasi bentuk  potensialnya  menjadi 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝑟 ≡ ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑎 0 2 seperti yang terdapat pada persamaan (30), maka persamaan menjadi 𝐻 ̃ = − ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 − ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑎 0 2 1 𝑟 .  Jika  kedua  ruas dikalikan  dengan 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 diperoleh 𝐻 ̃ = 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 − ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 − 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑎 0 2 1 𝑟 . Kemudian
didefinisikan 𝑟̃ = 𝑟, dan ∇ 𝑖 2 = 𝐿 −2 ∇ ̃ 𝑖 2 ,  maka dihasilkan persamaan berikut
𝐻 ̃ = − 1 2𝑚 ̃ ∇ ̃ 2 − 1 𝑟̃ . (31)
Selanjutnya  kita  pilih  satuan  panjang 𝐿 ,  untuk bentuk  pemilihannya  sama  seperti  pada  persamaan
(27) yaitu 𝑚 𝑒 𝐿𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 = 1 , kedua ruas dikalikan dengan
4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑒 2 maka dihasilkan bentuk persamaan berikut
𝐿 = 4𝜋𝜖 0 ℏ 𝑚𝑒 2 . (32)
Selanjutnya ditinjau ulang dari persamaan (29) tanpa diubah  potensialnya  maka  persamaan  dituliskan sebagai 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝑎 0 𝑟 ,  kedua  ruas dikalikan  dengan 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 didapatkan  persamaan 𝐻 ̃ ≡ 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = 𝑚 𝑒 𝐿 2 ℏ 2 − ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 − 𝑚 𝑒 𝑒 2 𝐿 2 4𝜋ℏ 2 𝜖 0 𝑟𝑎 0 , didefenisikan  bentuk  variabel  jika 𝑟 𝑖 ̃ =
𝑟 , 𝐿 ≡ 𝑎 0 dan ∇ 2 = 𝐿 −2 ∇ ̃ 2 , maka  dihasilkan
bentuk  persamaan  dalam  bentuk  tak  berdimensi, yaitu
𝐻 ̃ = − 1 2 ∇ ̃ 2 − 1 𝑟̃ . (33)

## III. Analisis Persamaan pada Teori perturbasi i. Kasus Osilator Anharmonik Kuartik
Pada bagian ini ditunjukkan bahwa persamaan
Schr 𝑜̈ dinger  tak  berdimensi  yang  sesuai  dapat memfasilitasi  penerapan  teori  gangguan,  sehingga diberikan kasus untuk ditinjau dalam teori perturbasi yaitu  osilator  anharmonik  kuartik.  Osilator anharmonik  kuartik  berbeda  dengan  osilator harmonik  sederhana  dan  osilator  morse,  osilator anharmonik  kuartik  pada  getaran molekul  diatomik tingkat anharmonisitasnya lebih tinggi. Pada osilator anharmonik  kuartik  selalu  melibatkan  suku  kuadrat dalam  ekspansi  Taylor  dari  energi  potensial, tentunya dengan model ini digunakan pada efek-efek anharmonik yang lebih kuat pada getaran molekul.
Dengan demikian potensial osilator anharmonik kuartik ditinjau menggunakan operator Hamiltonian  yaitu  perpaduan  antara  energi  kinetik dan  energi  potensial.  Jika  diketahui 𝑇 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2
dan 𝑉(𝑥) = 𝑘 2 2 𝑥 2 + 𝑘 4 𝑥 4 , nilai dari energi kinetik dan  energi  potensial  disubstitusikan  ke  dalam persamaan 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 , bentuk persamaan menjadi
𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑘 2 2 𝑥 2 + 𝑘 4 𝑥 4 . (34)
Selanjutnya  fokus  pada  bagian  potensialnya, kedua  ruas  dikalikan  dengan 𝑚𝐿 2 ℏ 2 dan  untuk
koordinat 𝑥 ≡ 𝐿𝑥̃ , maka diperoleh persamaan
𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝑉(𝐿𝑥̃) = 𝑚𝑘 2 𝐿 4 2ℏ 2 𝑥̃ 2 + 𝑚𝑘 4 𝐿 6 ℏ 2 𝑥̃ 4 . (35)
Persamaan  (35)  masih  dalam  bentuk  berdimensi sehingga  untuk  menghilangkan  satuan  berdimensi pada  persamaan  tersebut  maka  sebagai  solusinya adalah  lakukan  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 pada bagian  suku  osilator  harmonik 𝑚𝑘 2 𝐿 4 ℏ 2 = 1 ,  kedua
ruas  dikalikan  dengan ℏ 2 𝑚𝑘 2 maka  dihasilkan  bentuk persamaan
𝐿 = ( 2ℏ 2 𝑚𝑘 2 ) 1/4 . (36)
Setelah  dilakukan  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 .
Persamaan  (32)  kedua  ruas  dikalikan  bentuk 𝑚𝐿 2 ℏ 2
diperoleh  persamaan 𝐻 ̃ = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑚𝑘 2 𝐿 4 2ℏ 2 𝑥̃ 2 + 𝑚𝑘 4 𝐿 6 ℏ 2 𝑥̃ 4
dan disubstitusikan persamaan (36) maka diperoleh persamaan berikut
𝐻 ̃ = 𝐻 ℏ𝜔 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑥̃ 2 + 𝜆𝑥̃ 4 . (37)
Persamaan  (37)  dalam  bentuk  tak  berdimensi  di mana  variabel 𝜆 dipilih  sebagai  parameter  tak berdimensi  yang  mewakili  variabel  dari ℏ𝑘 4
(𝑚𝑘 2 3 ) 1 2 .
Selanjutnya dilakukan pemilihan satuan panjang 𝐿 di persamaan  (35)  bentuk  suku  kedua 𝑚𝑘 4 𝐿 6 ℏ 2 =
1 dihasilkan  bentuk  pemilihan  pertama 𝐿 =
( ℏ √𝑚𝑘 4 ) 1/3 kemudian disederhanakan ke bentuk lain
dengan  meninjau  bentuk  dari ℏ𝑘 4 (𝑚𝑘 2 3 ) 1/2 menjadi
𝑘 4 = 𝜆 (𝑚𝑘 2 3 ) 1/2
ℏ dan dihasilkan bentuk piliha satuan
𝐿 yang  kedua 𝐿 = ( ℏ 𝑚𝜔𝜆 1 3 ) 1/2 . Sehingga  hasil  dari pemilihan satuan panjang 𝐿 ditulis ulang yaitu
𝐿 = ( ℏ √𝑚𝑘 4 ) 1 3 , 𝐿 = ( ℏ 𝑚𝜔𝜆 1 3 ) 1/2 . (38)
Setelah  dilakukan  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 , selanjutnya ditinjau ulang dari persamaan (34) kedua ruas  dikalikan  dengan  bentuk 𝑚𝐿 2 ℏ 2 persamaan menjadi 𝐻 ̃ = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑚𝑘 2 2ℏ 2 𝐿 4 𝑥̃ 2 + 𝑚𝑘 4 ℏ 2 𝐿 6 𝑥̃ 4 lalu disubstitusikan hasil pemilihan satuan panjang 𝐿 yaitu 𝐿 2 = ℏ 𝑚𝜔𝜆 1/3 , 𝐿 4 = ℏ 2 𝑚𝑘 2 , 𝐿 6 = ℏ 2 𝑚𝑘 4 , maka  dihasilkan  persamaan  dalam  bentuk  tak berdimensi
𝐻 ̃ = 𝐻 ℏ𝜔𝜆 1 3 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑥̃ 2 2 + 𝑥̃ 4 . (39)
Selanjutnya,  menentukan 𝑓 (𝑞) dengan  mengasumsi bahwa 𝑓 (𝑞) dapat  diperluas  dalam  deret  Taylor.
Selanjutnya  untuk  mengubah  bentuk  fungsi 𝑓 (𝑞) menjadi  deret  Taylor,  maka  perlu  mengekspansi
𝑓 (𝑞) sebagai deret tak terhingga menggunakan rumus deret  Taylor.  Menghasilkan  bentuk  deret  Taylor
𝑓(𝑥) = ∑
( 𝑓 𝑎 𝑛 𝑛! ) (𝑥 − 𝑎) 𝑛 ∞ 𝑛=0 dengan 𝑓 𝑎 𝑛 adalah turunan  ke-n  dari 𝑓(𝑥) di  titik 𝑎. Selanjutnya menentukan  turunan 𝑓 (𝑞) sampai  orde  ke-2,  yaitu 𝑓 ′′ (𝑞) dan mengekspansi 𝑓 (𝑞) sehingga persamaan
menjadi 𝑓 (𝑞) = 𝑓 (0) + 𝑓 (0) ′ 𝑞 + 1 2 𝑓 (0) ′′ 𝑞 2 + ∑ 𝑓 (0) 𝑗 𝑗! 𝑞 𝑗 ∞ 𝑗=3 atau  dituliskan  bentuk  persamaan menjadi
𝑓(𝑞) = ∑ 𝑓 𝑖 𝑗! ∞ 𝑗=2 𝑞 𝑗 2 . (40)
Selanjutnya,  ditinjau  potensial  yang  terdapat  di persamaan (10) menggunakan persamaan Hamiltonian. Dalam kasus ini melibatkan perturbasi sehingga  potensial  yang  diberikan  dapat  mengalami pertambahan  deret 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝑓 2 𝑎 𝑥 2 + 𝑉 0 𝑓 𝑎 𝑥 2 . Didefinisikan  suku  ketiga  potensial  yang mengalami pertambahan deret 𝑉 0 𝑓 𝑎 𝑥 2 , jika 𝑓 ≡ 𝑓 𝑞 .
Sehingga  persamaan  menjadi 𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑑𝑥 2 + 𝑉 0 𝑓 𝑎 𝑥 2 + 𝑉 0 (𝑓 𝑞 ) 𝑎 𝑥 2 kemudian  kedua  ruas  dikalikan dengan 𝑚𝐿 2 ℏ 2 jika 𝑥̃ ≡ 𝑥 𝐿 maka  diperoleh  persamaan berikut
𝐻 ̃ = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑚𝐿 4 𝑉 0 𝑓 2 𝑎ℏ 2 𝑥̃ 2 + ∑ 𝑓 𝑗 𝑗! 𝑚𝐿 𝑗+2 𝑉 0 𝑎 𝑗 ℏ 2 𝑞 𝑗 𝑥̃ 𝑗 ∞ 𝑗=2 . (41)
Persamaan (41) masih dalam bentuk tak berdimensi, sehingga dilakukan pemilihan satuan panjang 𝐿 dari bentuk 𝑚𝐿 4 𝑉 0 𝑓 2 𝑎ℏ 2 , sehingga diperoleh hasil pemilihan satuan panjang 𝐿 berikut
𝐿 4 = ( ℏ 2 𝑎 𝑚𝑉 0 𝑓 2 ). (42)
Dengan  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 ,  hasil  yang diperoleh disubstitusikan ke dalam persamaan 𝐻 ̃ =
− 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑚𝑉 0 𝐿 4 𝑓 2 𝑎ℏ 2 𝑥̃ 2 +
∑ 𝑓 𝑗 𝑗! 𝑞 𝑗 𝑚𝑉 0 𝐿 𝑗+2 𝑓 2 𝑎ℏ 2 𝑥̃ 2 , ∞ 𝑗=3
maka dihasilkan persamaan tak berdimensi berikut
𝐻 ̃ = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑥̃ 2 + ∑ 𝑓 𝑗 𝑗! 𝜆 𝑞 𝑗 ∞ 𝑗=3 𝑥̃ 𝑗 , 𝜆 = 𝑚𝑉 0 𝐿 𝑗+2 𝑎 𝑗 ℏ 2 . (43)
ii. Kasus  Atom  Hidrogen  dengan  Elektron dan  Muatan  Nuklir  Dalam  Pendekatan Inti Terjepit
Menganalisis  kasus  atom  hidrogen  dengan elektron  dan  muatan  nuklir  dalam  pendekatan  inti terjepit  menggunakan  operator  Hamiltonian 𝐻 = 𝐻 0 + 𝐻 ′ , 𝐻 0 adalah  persamaan  Hamiltonian  tanpa gangguan,  sedangkan 𝐻 ′ merupakan  persamaan Hamiltonian  gangguan.  Menentukan  persamaan Hamiltonian tanpa gangguan yaitu substitusikan nilai masing-masing  dari  energi  kinetik 𝑇 = − ℏ 2 2𝑚 𝑒 ∇ 𝑖 2
dan  potensial 𝑉 = − 𝑍𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝑟 𝑖 , dengan  kedua  suku didefinisikan  nilai 𝑖 = 1,2,3, … 𝑁 maka  bentuk persamaan sebagai
𝐻 0 = − ℏ 2 2𝑚 𝑒 ∑ ∇ 𝑖 2 − 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑍 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝑟 𝑖 𝑁 𝑖=1 . (44.a)
Selanjutnya  menentukan  Hamiltonian  gangguan (𝐻 ′ ) dengan  persamaan  umumnya  adalah 𝐻 ′ = 𝑇 + 𝑉 , untuk energi kinetik 𝑇 = 0, sedangkan 𝑉 = 𝑒 2 4𝜋𝜖𝑟 𝑖𝑗 . Didefinisikan notasi sumasi pada koreksi 𝑖 = 1,2,3 … 𝑁 − 1 dan pada koreksi 𝑗 = 𝑖 + 1 sampai dengan N, sehingga bentuk persamaan sebagai
𝐻 ′ = ∑ ∑ 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 𝑟 𝑖𝑗 𝑁 𝑗=𝑖+1 𝑁−1 𝑖=1 . (44.b)
Persamaan  (44.a)  dan  persamaan  (44.b) kedua  persamaan  tersebut  jika  disubstitusikan  ke dalam  persamaan 𝐻 = 𝐻 0 + 𝐻 ′ , maka  bentuk persamaannya menjadi
𝐻 = − 1 2 ∑ ∇ 𝑖 2 − 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑚 𝑒 𝐿 2 𝑍𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ℏ𝑟 𝑖 + 𝑁 𝑖=1
∑ ∑ 𝑚 𝑒 𝐿 2 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑟 𝑖𝑗 𝑁 𝑖=𝑖+1 𝑁−1 𝑖=1 . ((45)
Persamaan (45) dalam bentuk berdimensi, sehingga dilakukan  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 dari  bentuk 𝑚 𝑒 𝐿𝑍 𝑒 2
4𝜋𝜖 0 ℏ = 1 ,  maka  diperoleh  bentuk 𝐿 2 = 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑍𝑒 2
dan  disederhanakan  ke  bentuk  lain  menjadi 𝐿 2 𝑍 =
4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑚 𝑒 𝑍𝑒 2 ,  dengan  demikian  ditulis  ulang  pemilihan bentuk satuan panjang 𝐿 sebagai
𝐿 2 ≡ 4𝜋𝜖 0 ℏ 𝑚𝑒𝑍𝑒 2 = 𝑎 0 2 𝑍 . (46)
Setelah  pemilihan  satuan  panjang 𝐿 ,  selanjutnya disubstitusikan  ke  dalam  persamaan 𝐻 =
− 1 2 ∑ ∇ 𝑖 2 − 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑚 𝑒 𝐿 2 𝑍𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ℏ𝑟 𝑖 + 𝑁 𝑖=1 ∑ ∑ 𝑚 𝑒 𝐿 2 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ℏ 2 𝑟 𝑖𝑗 𝑁 𝑖=𝑖+1 𝑁−1 𝑖=1 , maka
dihasilkan persamaan dalam bentuk tak berdimensi
𝐻 ̃ = − 1 2 ∑ ∇ ̃ 𝑖 2 − 𝑁 𝑖=1 ∑ 1 𝑟̃ 𝑖 + 1 𝑍 𝑁 𝑖=1 ∑ ∑ 1 𝑟̃ 𝑖𝑗 𝑁 𝑖=𝑖+1 𝑁−1 𝑖=1 . (47)

## KESIMPULAN DAN SARAN
Hasil  penelitian  menunjukan  bahwa  dengan menggunakan operator Hamiltonian dapat menentukan  kasus-kasus  yang  terdapat  pada  model potensial  satu  dimensi,  atom  hidrogen  dan  teori perturbasi  tak  bergantung  waktu  ke  dalam  bentuk tak  berdimensi.  Berikut  kasus-kasus  yang  dapat disederhanakan dalam bentuk tak berdimensi dengan menggunakan operator Hamiltonian
1. Model potensial satu dimensi
a) Osilator harmonik sederhana
𝐻 ̃ = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 1 2 𝑥̃ 2 b) Fungsi Energi potensial
𝐻 ̃ = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝜆𝑓(𝑥̃),
c) Osilator morse
𝐻 ̃ = 𝑚 ℏ 2 𝑎 2 𝐻 = − 1 2 + 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝜆 [1 − exp(−𝑥̃)] 2 , 𝜆 = 𝑚𝐷𝑒 ℏ 2 𝑎 2
d) Kasus  potensial  penghalang  eksponensial mutlak
𝐻 ̃ = 𝑚𝐿 2 ℏ 2 𝐻 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝜆𝑓𝑥̃,
e) Potensial cut off Bentuk potensial pertama dihasilkan persamaan  dalam  bentuk  tak  berdimensi
𝜖 2
𝛼 2 𝑉𝜖(𝐿𝑥̃) = −1 dan  bentuk  potensial keduanya dihasilkan persamaan tak berdimensi 𝜖 2 𝛼 2 𝑉𝜖(𝐿𝑥̃) = − 𝜌 0 2 𝑥̃ 2 .
f) Contoh penerapan persamaan tak berdimensi pada potensial penghalang
𝑇(𝜖, 𝜆) = { 1 (1 + 𝜖
4(1−𝜖) ) sinh 2 𝜆              0 ≤ 𝜖 ≤ 1,
2 2 + 𝜆 𝜖 = 1, 1 (1 + 𝜖 4(𝜖−1) ) sinh 2 𝜆                   𝜖 > 1.
2. Model Atom Hidrogen a) Hukum Coulomb
𝐻 ̃ = − 1 2 ∑ ∇ ̃ 𝑖 2 𝑚 ̃ 𝑖 + ∑ ∑ 𝑞̃ 𝑖 𝑞̃ 𝑗 𝑟̃ 𝑖𝑗 , 𝐾 𝑗=𝑖+1 𝐾−1 𝑖=1 𝐾 𝑖=1 b) Atom hidrogen
𝐻 ̃ = − 1 2 ∇ ̃ 2 − 1 𝑟̃
3. Teori Pertubasi tak bergantung waktu a) Osilator anharmonik
𝐻 ̃ = 𝐻 ℏ𝜔 = − 1 2 𝑑 2 𝑑𝑥̃ 2 + 𝑥̃ 2 + 𝜆𝑥̃ 4
b)  atom hidrogen dengan elektron dan muatan nuklir dalam pendekatan inti terjepit.
𝐻 ̃ = − 1 2 ∑ ∇ ̃ 𝑖 2 − 𝑁 𝑖=1 ∑ 1 𝑟̃ 𝑖 + 1 𝑍 𝑁 𝑖=1 ∑ ∑ 1 𝑟̃ 𝑖𝑗 𝑁 𝑖=𝑖+1 𝑁−1 𝑖=1 .
Berdasarkan  penelitian  yang  telah  dilakukan, dapat menentukan persamaan tak berdimensi dalam mekanika  kuantum  non-relativsitik  pada  model potensial  satu  dimensi,  model  atom  hidrogen  dan teori perturbasi tak bergantung waktu. Oleh karena itu disarankan bagi pembaca agar melakukan  tindak lanjut  dengan  menggunakan  operator  Hamiltonian untuk  menentukan  persamaan  tak  berdimensi  pada kasus  model  potensial  tiga  dimensi  dalam  konteks mekanika  kuantum  non-relativistik.  Adapun pembaca juga menggunakan hasil dari persamaan tak berdimensi  model  potensial  satu  dimensi  untuk menganalisis  kasus  lain,  dengan  pemecahan persamaan  Schr 𝑜̈ dinger  dalam  menentukan  fungsi gelombang  pada  konteks  mekanika  kuantum  non- relativistik.
DAFTAR PUSTAKA
Ahmed, Z., Kumar, S., Ghosh, D., & Goswami, T.
(2019). Solvable  model  of  bound  states  in  the continuum  (BIC)  in  one  dimension.  Physica  Scripta, 94(10).
Amore,  P.,  &  Fernandez,  F.  M.  (2009). Harmonic oscillator in a one-dimensional box . INIFTA (UNLP, CCT  La  Plata-CONICET),  Division  Teorica, Blvd.
Amrullah,  A.  (2017).  Solusi  efek  terobosan penghalang ganda dengan persamaan Schrodinger dua dimensi. Jember: Universitas Jember.
Capri,  Z.  A.  (2002). nonrelativistic-quantum- mechanics-anton-z-capri-ed--annas-archive (Third Editon).  Department  of  Physics.  University  of Alberta.
Fernández,  F.  M.  (2020). Dimensionless  equations  in non-relativistic  quantum  mechanics .  INIFTA,
Division Quimica Teorica Blvd.
Fernández,  F.  M.  (2001). Introduction  to perturbation  theory  in  quantum  mechanics .  CRC Press, Boca Raton.
Gasiorowiez,  S.  1996. Quantum  Physics  Second Edition. Kanda: John Wiley and Sons, Inc
Griffiths,  D.  J.  (1994).  Introduction  to  quantum mechanics.  In Principles  of  Quantum  Computation and
Information . Prentice Hall.
https://doi.org/10.1142/9789813237230_000 3
Griffiths,  D.  J.  (2005). Introduction  to  Quantum Mechanics (Second Edi) . Pearson Education, Inc.
Ikot,  A.N.,  Okorie,  U.S.,  Rampho,  G.J. et  al.
(2021) Approximate  Analytical  Solutions  of  the Klein–Gordon  Equation  with  Generalized  Morse Potential . Int JThermophys 42,10.https://doi.org/10.1007/s1 0765-020-02760-2
Krane, S. K. (2019). Modern Physics: Forth Edition .
Landau.  D.  L  &  Lifshitz.  M.  E. Quantum  Mechanics Non-Relativistic  Theory ,  volume  III  of Course  of Theoretical  Physics .  Butterworth-Heinemann, 3edition, 1981.
Marwan  Al-Raei  &  Moustafa.  S.  El-Daher.  (2020).
An  algorithm  for  fractional  Schr 𝑜̈ dinger  equation  in case of Morse potential . AIP Advances 10, 035305.
Nguyen,  T.  X.,  &  Marsiglio,  F.  (2019). Numerical and  Analytical  Study  of  the  Bound  States  of  the −𝛼/𝑥 2 Potential. Departement  of  Physics, University  of  Alberta,  Edmonton,  Alberta, Canada, T6G 2E1.
Noer, Z. & Dayana I. (2021). Pengantar Mekanika Kuantum. GUE
Nurul Ain. & dkk. (2023). Schr 𝑜̈ dinger Wave Equation for  Simple  Harmonic  Ocillator .  International Association of STM Publishers.
Rae,  A.  I.  M.  (2002). Quantum  mechanics . Department of Physics University
of Birmingham Uk.
Turbiner,  V.  A.  &  Rosales,  J.  C.  D.  V.  (2023).
Quantum  Anharmonic  Oscillator. World  Scientific Publishing Co. Pte. Ltd
Singh,  R.B.  (2009). Introduction  to  Modern  Physics Volume  1 .  New  Delhi:  New  Age  International Publishers.
Siregar,  R.  E.  (2018).  FISIKA  KUANTUM. Departemen  Fisika,  Fakultas  Matematika  dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran.
Walecka,  J.  (2008). INTRODUCTION  TO  MODERN PHYSICS:Theoretical Foundations . World Scientific Publishing Company.
Walecka,  D.  J.  (2013). Topic  In  Modern  Physics : Theoretical  Foundations.  World  Scientific Publishing Company.