## ON THE CALCULATION OF GAS DISTRIBUTION FUNCTION BY UTILIZING TIME DEPENDENT TEMPERATURE

## PERHITUNGAN FUNGSI DISTRIBUSI GAS DENGAN MEMANFAATKAN WAKTU  BERGANTUNG SUHU

## Gunawan Nugroho
Jurusan Teknik Fisika Institut Teknologi Sepuluh Nopember  Surabaya Jl. Arif Rahman Hakim (60111), Surabaya, Indonesia Email : nugrohoits@ yahoo.com

## ABSTRACT
The method  for determining  gas distribution function  is  reconstructed. In this  study, the Boltzmann equation is bypassed by converse method. The temperature change is specified first in order  to  determine  the  distribution  function.  The  argument  of  this  method  is  explained  both  by analytically  solving  Bolztmann  equation  and  pure  probabilistic  consideration  in  statistical thermodynamics.  Boltzmann  equation  is  solved  by  modeling  collision  terms  with  several assumptions and It is found that  the results are  similar. On  the other  hand,  probabilistic  method gives  no  rigorous  physical  understanding  so  it  offer  several  justifications  about  the  resulting distribution function. The calculation shows that the distribution function is totally Maxwellian in all cases. The temperature dependency only affects the peak value and the shape curve. It is found that more slender curve is resulted in higher temperature and quick sampling data is required to probe the rapidly change temperature processes.
Key  words :  Boltzmann  equation,  modeling  collision,  probabilistic  method,  the  distribution function

## PENDAHULUAN
Teori  kinetik  merupakan  sebuah  cabang dari  fisika  statisistik  yang  berhadapan  dengan dinamika  proses  nonequilibrium  dan  relaksasi pada termodinamika equilibrium [Succi, 2001]. Salah  satu    yang  mendasari  yaitu  persamaan transport  Boltzmann  yang  melingkupi  daerah aplikasi yang cukup luas. Selain itu, persamaan Boltzmann dengan jelas menjadi prinsip utama dari  dinamika  fluida  dan  kinetika  kimia,yang dari  persamaan  tersebut  maka  persamaan Navier-Stokes  dan  Arrhenius  dapat  diturunkan [Nugroho  dan  Karim,  2006].  Untuk  aliran  gas dalam reaksi penjernihan, persamaan Boltzmann  linear  dapat  diselesaikan  dengan menggunakan  Knudsen  number  [Gobbert  dan Cale,  2006].  Dinyatakan  bahwa  kecepatan bergantung  pada  nilai-nilai  yang  dapat  diakses secara langsung untuk menganalisa kinetika
dasar  yang  disebabkan  variabel  makroskopik. Formulasi  umum  ruang-waktu  linier  secara khusus  mengambil  jarak  ke  seberang  elemen ruang-waktu  sebagai  representasi  nya  disebut juga disipasi [Pain dkk, 2006]. Secara numerik, metode  Petro galerkin  digunakan  untuk mengoptimalkan akurasi dengan cara meminimalisir osilasi dalam perhitungan transient.  Dengan  demikian,  metode  energi digunakan untuk menyusun solusi klasik secara menyeluruh  mendekati  Maxwellian  dalam kotak  periode  dengan  sudut  cutoff  yang  kecil [Hongjun,  2006]. Sebuah  kisi-kisi  model Boltzmann  juga  memainkan  peranan  penting dalam  menyelesaikan  fenomena  kontinyu karena  metode  tersebut  dapat  secara  mudah diimplementasikan  [Zheng  dkk,  2006].  Kita tidak  perlu  menyelesaikan    persamaan  Poisson dan  tidak  membutuhkan  penanganan  canggih untuk menurunkan persamaan tersebut. Metode
tersebut  diverifikasi  dengan  menggunakan metode  lain  yang  khusus  membahas    aplikasi pertumbuhan  gelembung  di  bawah  buoyancy dan  gelombang  kapiler.  Untuk  skala  aliran mikro  dengan  kecepatan  rendah,  Sebuah metode  komputasional  menggunakan  model persamaan  kinetik  Boltzmann  dikembangkan [Morinishi,  2006].  Secara  umum,  hasil  dari persamaan Navier-Stokes dengan kondisi batas yang  bergeser sesuai dengan  model persamaan kinetik  Boltzmann  jika  Knudsen  number kurang  dari  0.1.  Hal  tersebut  diduga  bahwa metode gabungan kinetik-kontinyu akan menjadi  sebuah  alat  untuk  menganalisa  aliran dari  molekul  bebas  menuju  aliran  kontinyu. Dengan  cara  yang  sama,  didemonstrasikan gelombang  berjalan  dan  sebuah  aplikasi  dari metode  kinetik  untuk  pembatas  sederhana seeperti pembatas  Minmod dapat menyediakan pembatas  yang  lebih  baik  dalam  beberapa kasus  [Banda,  2006].  Sangat  sulit  melakukan penurunan  pada  persamaan  Boltzmann.  Oleh karena  itu,  biasanya  dilakukan  pemodelan dengan  memberikan  beberapa  asumsi  dengan berbagai  pertimbangan.  Fokus  pada  Direct Numerical Simulations (DNS) dan Large Eddy Simulations  (LES)  dari  aliran  turbulent longitudinal dalam rod bundle, operasi penggabungan  antara  persamaan  Boltzmann dengan  Bhatnagar-Groos-Crook  dilakukan  dan ditemukan  bahwa  aplikasi  dari  19  kecepatan memberikan  hasil  yang  salah  secara  kualitatif [Mayer  dan  Hazi,  2006].  Bagaimanapun,  27 hubungan dapat menghasilkan profil kecepatan axial  dan  juga  memperkirakan  pola  aliran kedua hasil dari pengukuran.
Dalam
Magnetohidrodinamika (MHD),  bentuk  penggabungan  yang  diajukan dalam  rencana  persamaan  kinetik  Boltzmann dimodelkan  dengan  BGK  [Breyiannis  dan Valougeorgis,  2006].  Fungsi  distribusi  tidak yang  didimensikan  dan  diperluas  adalah  tipe Maxwellian  pada  mach  number  yang  rendah. Hasilnya  mengindikasikan  evolusi  kompleks melalui  hubungan  non  linear  antara  arus  dan vektorpual.  Juga  disarankan  bahwa  model kinetik  dapat  menyediakan  penjelasan  yang memuaskan dalam aliran magnetohidrodinamika  tiga  dimensi.  Semua referensi  yang  telah  disebutkan  memerlukan spesifikasi bentuk penggabungan untuk menyelesaikan persamaan transport Boltzmann,  bahkan  secara  numerik.  Biasanya, bentuk  penggabungan  dibedakan  berdasarkan pengaruh kecepatan dan membutuhkan kecepatan  yang  lebih  besar  pada  suhu  yang lebih  tinggi  dan  kecepatan.  Dalam  penelitian ini,  persamaan  Boltzmann  dibypass  dengan
menggunakan  metode  sebaliknya.  Perubahan suhu pertama kali dispesifikasi untuk menentukan  fungsi  distribusi.  Berdasarkan metode  ini,  fungsi  distribusi  hasil  adalah maxwellian murni dalam semua kasus. Argumen  dari  metode  tersebut  dijelaskan dengan  dua  cara  yaitu  secara  analitis  dan pertimbangan probabilistik murni dalam mekanika  statistik.  Persamaan  Boltzmann diselesaikan  dengan  cara  memodelkan    bentuk penggabungan  dengan  beberapa  asumsi  dan ditemukan  hasil  bahwa  hasilnya  hampir  sama. Di  sisi  lain,  metode  probabilistik  memberikan pemahaman  fisik  yang  tidak  mutlak  jadi metode tersebut menawarkan beberapa ketentuan  mengenai  fungsi  distribusi  hasil. Oleh  karena  itu,  kedua  metode dapat dihubungkan satu sama lain.

## METODOLOGI

## PERTIMBANGAN KONSEPTUAL
Diperlukan  sebuah  review  pokok  dasar sebelum melakukan perhitungan fungsi distribusi  secara  explicit.  Pertama,  persamaan
Boltzmann yang digunaka
[ ] Ω − = ∇ + ∇ + ∂ ∂ ∫ d dp f f f f f p f v t f p r 2 2 1 ' 2 ' 1 . 2 . . σ π
....................................................1
Dimana  f  adalah  fungsi  distribusi,  v adalah  kecepatan,  p  adalah  gaya  eksternal, σ area  cross  sectional  penggabungan  dan Ω adalah  sudut  ruang.  Dalam  urutannya  untuk mendapatkan solusi dari persamaan 1, diasumsikan bahwa f 1 =f. Kemudian, pernyataan (1) dapat disusun sebagai berikut,
( ) B Af p f p f c v + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ − . ξ
Dengan definisi dari
Ω = ∫ d dp f A 2 2 2 σ π , Ω = ∫ d dp f f B 2 ' 2 ' 1 2 σ π dan ct z y x − + + = ξ .  Oleh  karena  itu,  dengan mela-kukan  separasi  variable,  solusi  dari persamaan Boltzmann menjadi,
( ) ( ) A B p A D c v D C p f −       − +       − = ξ ξ exp ,
.....2
Dengan D merupakan konstanta variabel separasi, dapat dengan mudah dibuktikan bahwa  persamaan  (2) akan  menjadi distribusi  Maxwell-Boltzmann  jika  gaya  luar ditiadakan  dalam  kondisi  keseimbangan,  juga, teorema  H  mengondisikan  bahwa  fungsi distribusi  hasil  setelah  proses  penggabungan selalu menurun terhadap waktu [Reichi, 1998]. Ini  mengartikan  bahwa  arah  arah  dari  teorema selalu negatif (berkurang), jadi dengan penggunaan  teorema  Boltzmann  H  dapat dipertanggungjawabkan  untuk  menjelaskan istilah penggabungan dalam bentuk,
( ) at coll e p r K t f − =       , δ δ
…………..3
Dimana  K(r,p)  adalah  koefisien  yang nilainya tergantung pada posisi dan momentum dan  a  adalah  konstanta  dari  waktu.  Kemudian menstubtitusikan  persamaan  (3)  ke  persamaan (1),  bentuk  tersebut  merupakan  kelas  dari bagian persamaan diferensial-parsial non homogen.  Dengan  demikian  solusi  dapat dengan mudah didapatkan.
( ) ( ) ( ) at p r nK Dp c v D C t p r f − +       +       − = exp , exp , , ξ
…………. 4 Dimana  C  dn  n  adalah  kontanta integrasi.
Lagipula, sederhana untuk
memeriksa  persamaan  (2)  dan  (4)  yang  serupa untuk  pengembangan  generalisasi  linier  dari distribusi Maxwell-Boltzmann,
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) g p f t p r g p f t p r f exp , , 1 , , 0 0 = + =
.................5
Pertimbangan  yang  lain  datang  dari termodinamika.  Metode  probabilitas  murni diaplikasikan untuk menyelidiki fungsi distribusi  dari  gas  [Doolittle  dan  Hale,  1984]. Pada  metode  tersebut,  kandungan  gas  N molekul  didefinisikan.  Tiap  molekul  mendu- duki  tingkat  energi i ε jadi  probabilitas  untuk menemukan  mokelkul  ke- i dalam  kondisi energi tersebut adalah
( ) ! ! i i n N P Π = ε
Persamaan  probailitas  bisa  dikembangkan  ke dalam bentuk volume menjadi,
( ) i n i i i g n N n V Π Π = ! ……………. 6
Dengan  menggunkan  logaritma  dan  formula stirling. Pernyataan di atas menjadi,
( ) log log log log i i i i i V n N N n n n g const = − + + ∑ ∑ Dalam kaitannya untuk membuat i n independent  terhadap  yang  lain,  implementasi dari pengali lagrange α and β menghasilkan,
1 log log − − − = α βε i i i g n ( ) 1 exp − − − = α βε i i i g n …………..7
Dengan definisi,
( ) p rd d t p r f n 3 3 , , ∫ =
Jadi bentuk dari fungsi distribusi mendekati,
i Ce f βε − = ...................................8 Oleh  karena  itu,  kesimpulan  secara
langsung  dari  persamaan  (3),  (4),  (5)  dan  (8) menyatakan bahwa distribusi Maxwel- Boltzmann dapat secara umum digunakan pada hampir semua kondisi dari gas.
Perlu  diperhatikan  bahwa  metode  dari probabilitas  tidak  dipengaruhi  oleh  penurunan sebelumnya dai persamaan transport Boltzmann.  Persamaan  transport  Boltzmann membutuhkan teorema H untuk mendefinisikan tingkah  laku  penggabungan.  Lagi  pula, persamaan  tersebut  membutuhkan  asumsi untuk  mendapatkan  solusi  non  equilibrium yang  sesuai  dengan  distribusi  Maxwell- Boltzmann.  Metode  probabilitas,  di  sisi  lain tidak  membahas  apaun  mengenai  proses penggabungan.  Tetapi  itu  tidak  berarti  proses penggabungan  tidak  termasuk.  Pada  kontra tersebut,  secara  universal  metode  tersebut memberikan  pengecualian  bahwa  kondisi  non equilibrium termasuk di dalamnya. Oleh karena itu, kedua metode memberikan hasil yang sama meskipun yang metode yang kedua secara fisik lebih kaku. Untuk  menggambarkan  kontribusi  dari proses  non  equilibrium  di  dalam  distribusi equilibrium,  suhu  sebagai  parameter  saing. Sebuah pengukuran eksperimental menunjukan bahwa  semua  properti  termodinamika  ter-
gantung  pada  suhu.  Ketergantungan  secara khas  pada  masing-masing  parameter.  Keter- gantungan tersebut ditunjukan dengan persamaan di bawah ini,
p rd d f p rd fd M M 3 3 3 3 ∫ ∫ = ......................9
Dimana  (M)  adalah  kuantitas  termodinamika rata-rata di atas kondisi yang paling mungkin.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Contoh  sederhana  untuk  perhitungan dari fungsi distribusi dari proses termodinamika  sangat  banyak  dapat  ditemui. Dalam paper ini akan dibahas mengenai tangki berisi  gas, diasumsikan  bahwa  gas mempunyai temperatur  yang seragam yaitu T i . Jumlah dari panas  yang  ditambahkan  ke  tangki  per  unit waktu  adalah  Q,  kerja  yang  dilakukan  tangki per  satuan  waktu  adalah  W.  Diasumsikan bahwa  disana  tidak  terdapat  kalor  yang dilepaskan dan terjadi aliran keluar masuk gas.
. . W Q dt dE − =
................ 10
Dimana E adalah kalor  yang dihasilkan. Perlu  diperhatikan  bahwa  di  sana  terdapat perbedaan  mode  dari  kalor  yang  ditambahkan ke  dalam  sistem  i.e.  kontak  langsung,  radiasi, pembakaran dan lain-lain. Proses diatas berlaku untuk kebalikannya.
E dt dE ± =
Nilai  plus  dan  minus  menyatakan  sistem mengalami proses pemanasan dan pendinginan. Pernyataan  di  atas  dapat  diperluas  menjadi fungsi temperature,
( ) ∞ − ± = T T L dt dT mC p ……………..11
Solusi dari persamaan (11) adalah,
( ) ( )         ± − + = ∞ ∞ t mC L T T T t T p i exp .....12
Oleh  karena  itu,  perubahan  dari  fungsi distribusi  di  dalam  tangki  dapat  ditentukan dengan cara mensubtitusikan persamaan(12) ke dalam distribusi Maxwell-Boltzmann,
( )         −       = KT mv KT m v f 2 exp 2 2 2 3 π .........13
Kontribusi dari persamaan (12) terhadap distribusi  Mazwell-Boltzmann  digambarkan seperti gambar di bawah ini,

## Gambar  1. Distribusi Maxwell-Boltzmann dengan perbedaan temperatur
Perhitungan menunjukkan bahwa semakin  tinggi  temperatur  maka  fungsi distribusi  semakin  landai.  Itu  berarti  bahwa energy  dapat  didistribusikan  secara  efektif menjadi  molekul  dan  hal  itu  dapat  diduga bahwa  distribusi  kecepatan  akan  hampir seragam  dalam  suhu  yang  extra  tinggi.  Fokus pada  fungsi  distribusi  non-equilibrium,  alur proses  transien  sebagian  tergantung  pada proses.  Untuk  perubahan  temperatur  yang cepat,  contohnya  pada  pembakaran,  perubahan fungsi  distribusi  juga  dapat  secara  cepat berubah  terhadap  waktu  sebagai  gambarannya dapat dilihat pada grafik di bawah ini,

## Gambar 2. Distribusi Maxwell-Boltzmann dalam perubahan suhu yang cepat
Untuk fungsi distribusi tidak tergantung  pada  waktu,  penyamplingan  data yang  cepat  dibutuhkan  ketika  temperatur berubah  dengan  cepat.  Walaupun  demikian persamaan  Boltzmann  merupakan  persamaan yang  non  linier  jika  diterapkan  pada,  katakan
pembakaran seperti pada kasus dalam pembahasan ini. Pada jantung teori kinetik dan gas  terionisasi,  persamaan  Boltzmann  meng- gambarkan  bagaimana  satu  distribusi  partikel berubah  terhadap  waktu  pada  orde  waktu  rata- rata  antara  tumbukan-tumbukan  serta  dalam orde  waktu  dinmika  gas.  Disamping  beberapa kesulitan  dalam  teori  klasik  ini,  kita  masih tidak  punya  alternatip  lain  sebagai  dasar  fisika kinetik.  Titik  lemah  dalam  teori  kinetik Boltzmann  adalah  pada  perlakuan  sifat-sifat dinamika  dari  partikel-partikel  yang  berinte- raksi.
Pada sisi lain, integral tumbukan dalam persamaan Boltzmann membawa permasalahan lain  mengenai  cross  sections  tumbukan  antar partikel.  Pendekatan  solid  dalam  penurunan persamaan  kinetik  ini  didasarkan  pada  hirarki Bogolyubov  -  Born-Green  –  Kirkwood  -Yvon (BBGKY).  Nilai  distribusi  ditentukan  dengan metode  multi-scale  yang  pada  gilirannya menjadi  persamaan  Boltzmann  jika  perubahan fungsi  distribusi  terhadap  waktu  pada  waktu tumbukan  diabaikan.  Atau  secara  equivalen dikatakan  pada  orde  jarak  radius  interaksi partikel.  Sagat  penting  untuk  dicatat  bahwa perhitungan  untuk  skala  di  atas  mempunyai konsekuensi  bahwa  sebelum  menerapkan perkiraan-perkiraan  yang  akan  memecahkan rantai  [Alexeev,  1994,  1995]  Bogolyubov, term-term  tambahan  yang  umumnya  mem- punyai  besar  orde  sama  muncul  dalam persamaan  Boltmann.  Jika  metode  dari  fungsi korelasi  digunakan  untuk  menurunkan  fungsi distribusi dari persamaan BBGKY, bagian dari persamaan  Boltzmann mengabaikan  efek nonlokal  dan  perlambatan  waktu.  Berikan kesulitan-kesulitan di atas, beberapa pertanyaan berikut ini akan mengemuka.
Pertama-tama,  volume  infinit  fisis  apa dan bagaimana dia sampai dapat mempengaruhi  persamaan  kinetik,  dan  kedua, bagaimana perhitungan sistmatik untuk diameter  partikel  yang  representatip  mem- pengaruhi  persamaan  Boltzmann.  Pada  teori yang dikembangkan disini, akan ditinjau bahwa fungsi distribusi  sebagai  fungsi umum. Sehingga  penting  untuk  digaris  bawahi  bahwa esensi fisis  dari keumuman  yang akan  menjadi tolok  ukur  analisis  di  atas,  yang  kemudian melihat  pada  kasus  khusus  seperti  dalam Gambar  1  dan  Gambar  2,  sehingga  sebagai- mana  persamaan  Boltzmann  adalah  pusat  dari teori  proses  transport,  perhitungan  fungsi distribusi  akan  dapat  juga  diaplikasikan  dalam aspek-aspek makroskopik.
Secara  berlawanan,  perubahan  dalam gambaran  makroskopik  akan  mempengaruhi juga gambaran pada tingkatan kinetik. Hubungan ini tidak selalu mudah untuk dilacak ketika menyelesaikan masalah fenomena transport  karena  kerumitan  masalah  yang  ada didalamnya.    Penting  untuk  ditekankan  bahwa permasalahan  disini  adalah  bukan  memo- difikasi  persamaan  Boltzmann  maupun  per- samaan  transport  makroskopik  guna  me- masukkan  term  tambahan.  Kita  harus  pergi lebih  jauh  dari  gambaran  fisis  klasik  jika  akan merevisi  teori  untuk  sesuai  dengan  data-data percbaan.  Beberapa  alternatip  adalah  sebagai berikut;
1. Teori yang memodifikasi gambaran makroskopik  dan  mengabaikan  perubahan teori kinetik
2.  Perubahan  gambaran  kineik  pada  level fungsi  distribusi  tanpa  perlu  kuatir  bahwa hal  ini  akan  tidak  konsisten dengan hirarki BBGKY
3.  Teori  kinetik  dan  makroskopik  altertatip yang konsisten dengan hirarki BBGKY.
Perubahan dengan cara membuat derivatip kedua dari temperatur terhadap waktu akan  mengakibatkan  peralihan  persamaan energi (10) dan  (11)  dari  keadaan parabolik  ke hiperbolik,  yang  pada  gilirannya  akan  meng- hasilkan  perambatan  panas  dengan  kecepatan terhingga.  Meskipun  begitu,  metode  ini sayangnya  tidak  dapat  diteruskan  dalam  kasus tiga dimensi (3D) Namun asumsi bahwa semua partikel  bergerak  pada  kecepatan  yang  sama akan  memisahkan  manifold  dari  ruang  fase enam  dimensi  dalam  persamaan  Boltzmann. Hal  ini  mengndikasikan  bahwa  perluasan tersebut  tidak  boleh  hanya  tebatas  pada koordinat  ruang  saja.  Sebagai  contoh  per- samaan-persamaan  parabolik  kuasi  linier  dapat menghasilkan solusi gelombang juga.
Oleh  karena  itu  membuat  persamaan energi  menjadi  hiperbola  tidak  akan  valid kecuali  ada  justifikasi  kinetik  yang  solid. Persamaan  energi  hiperbolik  akan  muncul  jika persamaan  Boltzmann  diselesaikan  dengan metode  Grad.  Mengikuti  hal  tersebut,  skema komputasi  yang  stabil  dengan  presisi  tinggi telah  dikembangkan  pada  kasus  persamaan hiperbola  konduksi  panas  [Jarzebski  dan Thulli, 1986], yang penerapannya termasuk dua temperatur nonlokal model konduksi panas dan studi  persamaan  telegraph  sebagai  paradigma hidrodinamika yang lebih umum.
Kesulitan  umum  mengemuka  ketika isu  tentang  keberadaan  dan  keunikan  dari persamaan  umum  hidrodinamika,  persamaan Navier–Stokes  diperhatikan.  O.A.  Ladyzhens-
kaya  (1987)  telah  menunjukkan  bahwa  untuk kasus  tiga  dimensi  yang  dibawah  kondisi  awal yang  mulus,  solusi  unik  hanya  mungkin  pada interval waktu terbatas. Ladyzhenskaya bahkan memperkenalkan  koneksi  pada  persamaan Navier–Stokes  guna  keunikan  solusinya  dapat diselesaikan. Hal tersebut menunjukkan bahwa, pada  kasus  ini,  koefisien  viskositas seharusnya bergantung  pada  gradien  kecepatan  yang  pada gilirannya  akan  mengakibatkan  koefisien- koefisien kinetik juga dikoreksi. Namun  tidaklah  seburuk  itu  keadaanya jika  kita  mencoba  menganalisis  perkiraan hidrodinamika. Integral Boltzmann akan hilang,  term  tumbukan  akan  memberikan kontribusi  hanya  satu  orde  dalam  persamaan Navier–Stokes.  Secara  matematis,  kita  tidak dapat  mengabaikan  terma  dengan  parameter kecil  di  depan  terma  turunan  lebh  tinggi. Secara fisis, yang muncul tersebut dikarenakan adanya viskositas dan dia berhubungan dengan turbulensi  skala  kecil  Kolmogorov.  Terma integral  kemudian  menjadi  penting  baik  pada bilangan  Knudsen  kecil  maupun  besar  pada teori  proses  transport.  Isu  penting  dlam metodologinya  adalah  bagaimana  hukum- hukum  konservasi  klasik  masuk  ke  dalam persamaan  Boltzmann.  Hukum-hukum  konser- vasi  dalam  mekanika  kontinum  diturunkan dalam tingkatan makroskopik.
Sehingga  partikel-partikel  Boltzmann berada  dalam  satu  satuan  volume  secara menyeluruh. Dia akan muncul dalam mekanika kontinum  sebuah  ide  bahwa  analisis  diskrit dalam  ditinggalkan.  Pendekatan  ini  tentunya sangat  mungkin  dan  menghasilkan  persamaan Euler  dalam  hidrodinamika.  Tetapi  ketika pengaruh  viskositas  dan  konduktivitas  termal dimasukkan,  situasi  berbeda  akan  didapat. Sebagaimana  diketahui,  bahwa  viskositas dinamik  proporsional  terhadap  waktu  rata-rata antara tumbukan-tumbukan partikel yang mana tidak terdapat pada persamaan Euler. Kemunculan  partikel  dengan  ukuran  tertentu akan memicu pengaruh-pengaruh baru. Tinjau  sebuah  partikel  dengan  radius terhingga  dengan  vektor  posisi  dan  waktu tertentu.  Kemudian  fakta  bahwa  pusat  massa adalah  dalam  volume  tertentu  bukan  berarti bahwa semua partikel ada di sana. Dengan kata lain,  pada  setiap  titik  akan  selalu  ada  partikel yang  sebagian  di  dalam  dan  sebagian  lagi  di luar  permukaan  yang  ditinjau,  yang  akan berhubungan  dengan  fluktuasi  massa  dan kuantitas hidrodinamika secara tidak terhindarkan.  Ada  satu  poin  penting  dalam  hal ini, yaitu fluktuasi yang terjadi akan proposional  terhadap  waktu  rata-rata  antara
tumbukan, dan hal ini dapat dibuat meyakinkan dengan argumen yang cukup sederhana. Anggaplah  bahwa  kita  mempunyai  gas dengan  bentuk  lingkaran  pejal  yang  berada pada  kotak  yang  juga  berdinding  pejal.  Tinjau bahwa kontur referensi berada pada suatu jarak dalam  orde  diameter  partikel  dari  dinding kotak.  Harapan  matematis  dari  jumlah  partikel yang  bergerak  melalui  permukaan  referensi yang  secara  ketat  tegak  lurus  dinding  adalah nol.  Oleh  karena  itu,  pada  perkiraan  pertama, fluktuasi akan proporsional terhadap mean free path  (atau  terhadap  waktu  rata-rata  antara tumbukan). Sebagai hasilnya, persamaan hidrodinamika  akan  secara  eksplicit  termasuk dalam  fluktuasi  yang  secara  proporsional terhadap waktu rata-rata antara tumbukan. Penggunaan  cross  section  tumbukan adalah  konsisten  dengan  persamaan  kinetik juga direkomendasikan oleh teori Enskog  yang terkenal  dalam  gas-gas  berkerapatan  sedang. Konsep  Enskog  adalah  untuk  menggambarkan sifat-sifat  dari  jenis  kerapatan  sedang  dengan memisahkan  bagian  nonlokal  dari  integral tumbukan Boltzmann. Koefisien-koefisien transport  yang  didapat  dengan  cara  ini menghasilkan  kesalahan  dalam  ketergantungan temperatur  dalam  sistem  koefisien  kinetik. Untuk  mengatasi  situasi  ini,  model  dari  bola lunak  diperkenalkan  untuk  mencocoki  data- data eksperimen.
Di  dalam  sebuah  teori  yang  dikatakan kinetically consistent difference schemes fungsi  distribusi  diperluas  dalam  power  series terhadap  waktu,  yang  berhubungan  dengan penggunaan perkiraan kedua tak lengkap dalam penurunan fisis persamaan Boltzmann. Hasilnya  adalah  skema  difference  yang didapatkan  mengandung  hanya  viskositas buatan  yang  dipilih  secara  khusus  untuk masalah-masalah tertentu.
Alexeev  dkk  (1997)  menyarankan menggunakan  terma  dalam  persamaan  guna menggambarkan  fungsi  distribusi  fluktuasi dalam  plasma  turbulen.  Yang  dikatakan parameter  tersusun  akan  mengubah  tipe persamaan.  Guna  menggambarkan  nonloka- litas,  mereka  melengkapi  persamaan  kinetik dengan  terma  orde  dua  dan  orde  tinggi. Menarik untuk dicatat bahwa, dalam persamaan  Boltzmann  adalah  mungkin  untuk memasukkan term-term orde tinggi lainnya.
Jelasnya,  pendekatan  pada  modifikasi dari  fungsi  distribusi  harus  didasarkan  pada prinsip-prinsip  tertentu  dan  dapat  dipertang- gungjawabkan untuk menjelaskan secara singkat  di  sini.  Yang  paling  konsisten  adalah ketika  prinsip-prinsip  tersebut  menunjukkan
hubungan  antara  alternatip-alternatip  fungsi distribusi  dengan  hirarki  BBGKY.  Ada beberapa  persyaratan  yang  mana  perluasan fungsi distribusi harus memenuhinya. Persayaratan-persyaratan tersebut adalah; 1.  Karena  pemecahan  semu  dari  hirarki BBGKY  tidak  dapat  dihindari  dalam perubahan gambaran satu partikel, perluasan  fungsi  distribusi  seharusnya dapat  didapatkan  dengan  metode-metode yang  sudah  diketahui  dalam  teori  kinetik, seperti  pendekatan  multiscale,  metode fungsi korelasi, metode iterasi dan sebagainya.
2.    Harus  ada  hubungan  explisit  antara  fungsi istribusi  dan  jalan  kita  memperkenalkan volume fisis infinit sehingga fluktuasi akan dikarenakan  oleh  ukuran  tertentu  dari partikel.
3.  Pada kasus nonrelativistik, fungsi distribusi harus memenuhi transformasi Galileo.
4.  Fungsi  distribusi  harus  menjamin  hubungan antara H -theorem klasik dan perluasannya. 5.  Fungsi  distribusi  seharusnya  tidak  menam- bah kerumitan yang tidak beralasan di dalam teori.
Persamaan  Boltzmann  yang  diperluas mengenalkan  perkiraan  diferensial  lokal  untuk integral
tumbukan
nonlokal
dengan perlambatan  waktu.  Di  sini,  kita  menghadapi problem yang seupa dengan kualitas harga dari ekonomi.  Hal  tersebut  adalah,  berapa  harga dalam  bentuk  kerumitan  meningkat  yang sanggup kita bayar untuk memperbaiki kualitas teori.  Jawaban  dari  analogi  ini  hanya  mungkin melalui  pengalaman  dengan  masalah-masalah praktis.
Klimontovich  (1992)  berusaha  untuk menghilangkan inkonsistensi dari teori Boltzmann melalui pemasukan variabel- variabel  dinamika  tambahan  (derivatip  dari kecepatan)  dalam  fungsi  distribusi  satu partikel. Bagaimanapun, pendekatan ini terlihat agak  terburu-buru  sampai  semua  sumber- sumber yang ada dalam menggambarkan fungsi distribusi  ditentukan.  Dari  sudut  pandang  ini, term-term fluktuasi dalam perluasan persamaan Boltzmann  adalah  dikarenakan  oleh  fakta bahwa  volume  referensi  sebagai  element  yang diukur  digunakan  untuk  menggambarkan  titik dari  partikel-partikel  tak  berstruktur.  Untuk menyimpulkan  hal  ini  hanya  menyisakan catatan  bahwa  pengaruh-pengaruh  yang  telah disebut  di  atas  akan  selalu  relevan  pada  teori kinetik,  yaitu  menggunakan  gambaran  satu partikel termasuk aplikasinya dalam benda cair maupun  plasma  yang  mana  gaya-gayanya konsisten  terhadap  radius  cutoff  dari  aksinya
untuk  perluasan  potensi  persamaan  Bolzmann yang dimodifikasi.
Fondasi  konseptual  dari  persamaan Boltzmann  terlihat  hanya  sedikit  diinvestigasi dengan  baik  untuk  keperluan  matematis, mengingat persamaan Boltzmann adalah prototipe  dari  konstruksi  matematis  yang sentral teori fenomena bergantung waktu dalam sistem  yang  besar.  Secara  sangat  skematis,  ide untuk  mengisolasi  beberapa  koordinat  dari semua  manifold tingkat  keadaan  partikel  yang, setidaknya  untuk  keperluan  idealisasi,  dapat diakses untuk pengukuran makroskopik. Koordinat-koordinat  ini  terhubung  dengan persamaan-persamaan gerak yang eksak terhadap  koordinat-koordinat  yang  lebih  sulit dijangkau.  Sehingga  nilai-nilai  dari  koordinat makroskopik pada satu waktu tidak menentukan nilai-nilainya pada waktu kemudian.  Dengan kata  lain,  koordinat makroskopik  tidak  menentukan  evolusi  waktu autonomon.  Meskipun  begitu,  sebagaimana jumlah  partikel  naik  sampai  mendekati  tak hingga,  gambaran  makroskopik  menjadi  lebih dan  lebih  signifikan.  Orang  dapat  meng- harapkan  bahwa  pengaruh  dari  koordinat mikroskopik  ke  koordinat  makroskopik  men- jadi fungsi dari koordinat makroskopik sendiri, setidaknya  hal  ini  benar  secara  statistik.  Hal tersebut  akan  mempunyai  konsekuensi  bahwa pada  batas  makroskopik,  koordinat  tersebut akan menentukan evolusinya sendiri.
Konsep  yang  akan  kita  formulasikan akan  mengatakan  bahwa  sesuatu  yang  seperti demikian  akan  terjadi,  namun  hanya  akan berlaku  pada  situsi  khusus  yang  terbatas  pada gas  dilute.  Hal  ini  merupakan  sebuah  fakta bahwa  kerapatannya  sangat  kecil  dimana analisis  tersbut  dapat  diterapkan.  Pencarian perluasan  yang  akan  diaplikasikan  dalam  gas dengan  kerapatan  sedang  dan  besar  mungkin merupakan  masalah  sentral  dari non-equili- brium statistical mechanics.
Paragrap  di  atas  menunjukkan  arah bahwa  ada  semacam  elemen  probabilitas  yang terlibat dalam daerah antara gambaran mikroskopik  dan  makroskopik.  Hal  ini  nyata- nyata  memang  seperti  itu  namun  penggunaan ide  probabilitas  ternyata  lebih  halus  dari  yang diperkirakan.  Khususnya,  pada  sudut  pandang yang  telah  dikembangkan  adalah  bahwa persamaan  Boltzmann  berlaku  tidak  atas  rata- rata  tapi  dia  memberikan  gambaran  akurat perkembangan  waktu  untuk  hampir  semua titik-titik  awal.  Pemilihan  himpunan  asumsi probabilitas  minimal  membolehkan  pernyataan di atas dibuat tepat yang mana merupakan satu dari aspek-aspek yang memuaskan dari teori.
Saat  ini,  terdapat  pandangan  bahwa metode  terbaik  untuk  mendapatkan  solusi global yang mulus untuk persamaan differential parsial nonlinear termasuk persamaan
Boltzmann memerlukan :
1.  Solusi  eksak  dan  eksplisit  (paling  tidak transformasi  untuk  menjadikannya  lebih sederhana)
2.  Perturbative  hypotheses  (diantaranya,  data yang dekat dengan solusi-solusi khusus)
3.  Satu  atau  lebih  kuantitas  global  terkontrol yang  baru  (seperti  saat  ini  total  kinetic energy and  dissipation)
4. Menemukan metode baru (radikal)
walaupun  nomor  (1),  (2)  dan  (3)  tidak mengambil peran di dalamnya
Masalah global regularity untuk persamaan  Boltzmann  terbilang  sangat  kurang dalam  ketiga  syarat  pertama  di  atas,  terutama pada  kasus  fluida  [Nugroho  dkk,  2011] Namun,  untuk  pertama-tama  mari  kita  tinjau strategi  nomor  (2).  Strategi  tersebut  tidaklah mungkin  dicapai  tanpa  mendefinisikan  ulang masalahnya  atau  menambahkan  asumsi-asumsi baru. Juga, dalam situasi perturbative, persamaan  Bolztmann  didefinisikan  hampir linier, sementara dalam situasi non- perturbative,  perilakunya  sangat  nonlinear, sehingga  jika  kondisi  perturbative  tidak bekerja,  maka  tidak  ada  kemungkinan  untuk mereduksi masalahnya dari kasus non- perturbative  ke  dalam  kasus  perturbative kecuali dengan teknik-teknik transformasi yang sangat canggih. Hal tersebut akan tampak tidak ada  beda  dengan  menyelesaikan  persamaan Boltzmann  sendiri,  yaitu  nomor  (1).  Dengan demikian, marilah kita anggap bahwa masalahnya tereduksi menjadi tiga strategi  (1), (3) dan (4) untuk menyelesaikannya.
Banyak yang sudah dilakukan khususnya  untuk  nomor  (4),  tapi  hasil  yang teramati  menunjukkan  adanya  hambatan  yang besar  yang  (kelihatannya)  menolak  metode- metode  yang  sudah  ada.  Dalam  tinjauan dinamika  sistem  misalnya,  interaksi  antar molekul  merupakan  sistem  dengan  derajat kebebasan  hampir  tak  berhingga,  sehingga metode  Lyapunov  benar-benar  tidak  bekerja. Nomor  (1)  kemungkinan  tidak  ada  harapan tanpa  asumsi-asumsi  tambahan.  Nomor  (3) mungkin  menunjukkan  harapan,  tapi  kita  tidak cukup bijak untuk menemukan kuantitas global terkontrol  yang  baru.  Kasus  banyaknya  varian
dari  model  model-model  tumbukan  adalah yang  paling  jelas.  Kita  akan  kembali  kepada nomor (3)  kemudian,  sekarang  mari  kita tinjau nomor  (4).  Hal  mendasar  dalam  memodelkan persamaan
Boltzmann adalah bahwa persamaan tersebut memenuhi scale invariance.
Teknisnya,  aplikasikan  scaling  parameter lamda  positip  lebih  besar  dari  nol,  anggap setiap  distribusi  yang  mulus f memenuhi persamaan  Boltzmann  untuk  waktu  tertentu t , Orang dapat membentuk vektor kecepatan yang baru F dengan formula,
( ) ( ) , , , f x t F x t λ = .............. 13 Dalam  hal  ini  parameter  skala λ dapat  besar atau kecil, sehingga orang dapat membayangkan bahwa transformasi dari f ke F sebagai  proses pembesaran  dan  pengecilan. Sekarang  ambil  perilaku  skala  kecil  dari f dan  padankan  dengan  perilaku  identik  skala lebih  besar  yang  sudah  di  skala  ulang  . Kuncinya  adalah  proses  ini  mengakibatkan bahwa  kita  dapat  memperlakukannya  dengan metode  penyelesaian  yang  sama.  Kita  amati bahwa  proses  scaling  menyatakan  bahwa perilaku  skala  kecil  akan  mempunyai  skala waktu  berbeda  dengan  perilaku  skala  besar. Sehingga  jika  pada  skala  kecil  terjadi  suatu proses  maka,  pada  skala  lain  akan  terjadi  hal yang  sama  pada  tempat  dan  waktu  berbeda. Blow up dapat muncul ketika solusi menggeser energinya  ke  dalam  skala-skala  yang  lebih kecil  dan  menuju  singularitas  jika  prosesnya sangat  dekat  dengan  nol.  Untuk  mencegah blow  up,  kita  harus  menahan  pergerakan energinya  dari  skala  besar  (frekuensi  rendah) ke  skala  kecil  (frekuensi  tinggi).  Kesimpulan untuk  nomor  (4)  adalah  bahwa  setiap  klaim dalam  global  regularity  untuk  persamaan Boltzmann via (4) tampaknya harus menggunakan  metode  baru  yang  radikal  untuk menyediakan  kontrol  yang  canggih  terhadap solusi untuk satuan skala dan waktu sembarang,  dan  ini  tampak  tidak  mungkin tanpa  terobosan  dalam  nomor  (1)  atau  (3). Dengan kata lain, scale invariance masih dapat digunakan,  namun  sesudahnya  kita  harus  ada kontrol  eksak  (1)  atau  dapat  meredam  energi (3). Penjelasan di atas adalah kritik umum (jika bukan skeptik) dari strategi nomor (4). Jika kita tinggalkan  nomor  (4),  tinggal  nomor  (3),  yaitu penemuan  bound  baru  yang  lebih  kuat  dari yang  sudah  ada,  karena  bekerja  dengan  yang lama akan menggiring kita dalam situasi kritis, sebagaimana  scaling  invariance  di  atas. Sehingga strategi nomor (3) dan (4)
kemungkinan  besar  akan  saling  berkaitan [Nugroho dkk, 2010]. Oleh karena itu, menjadi jelas  bahwa  adalah  bahwa  strategi  nomor  (1) adalah  yang  paling  penting,  sebagai  shortest strategy [Nugroho  dkk,  2010].  Nomor (3), jika tanpa bantuan solusi eksak, memerlukan intuisi yang sangat bagus dalam fisika dan keberuntungan  dalam  eksperimen.  Untuk nomor  (4),  jika  tanpa  (1)  dan  (3),  ini  di  luar metode-metode yang sekarang ada.

## KESIMPULAN
Penelitian  mengenai  fungsi  distribusi gas telah dilakukan dengan mempertimbangkan pemecahan  dari  persamaan  Boltzmann  dan metode  probabilitas  dalam  termodinamika statis.  Persamaan  boltzmann  diselesaikan dengan  cara  memodelkan  dengan  istilah penggabungan  dengan  beberapa  asumsi  dan didapatkan bahwa hasilnya serupa. Di sisi lain, metode  probabilitas  memberikan  pemahaman fisik  yang  tidak  kaku,  tetapi  hal  tersebut dibuktikan bahwa distribusi Maxwell-
Boltzmann  merupakan  fungsi  distribusi  yang paling  mungkin.  Perhitungan  menunjukkan bahwa  fungsi  distribusi  keseluruhan  berupa Maxwellian  pada  semua  kasus.  Pengaruh  suhu hanya berdampak pada nilai puncak dan bentuk kurva.  Didapatkan  bahwa  suhu  yang  lebih tinggi menghasilakn  kurva  yang lebih langsing dan  pada  proses  yang  mengalami  perubahan temperatur  secara  cepat  dibutuhkan  penyam- plingan  data  secara  cepat  pula.  Untuk  progress ke depannya perlu dilakukan upaya perbandingan  dengan  data  eksperimennya.
Perbandingan tersebut mungkin dapat dilakukan  dengan  permasalahan  yang  lebih spesifik yang berguna bagi aplikasi keteknikan.

## DAFTAR PUSTAKA
Alexeev, B.V., 1994, The Generalized Boltzmann Equation, Generalized Hydrodynamic Equations and their Applications. Philos. Trans. Roy. Soc. London 349 , 417–443.
Alekseev, B.V., 1995, An Investigation of the Charged Particle Distribution
Function in Electromagnetic Field Involving the Use of The Generalized Boltzmann Equation. High Temp. 33 (6), 834–845.
Alekseev,  B.V.,  Lebedev,  Yu.A.  &  Michailov, V.V.,  1997,  Investigation  of    the Generalized  Boltzmann  Equation  For
Electron  Energy  Distribution  in  a
Constant  Electric  Field  with  Due Regard for Inelastic Collisions.
HighTemp. 35 (2), 207–213.
Banda,  M.A.  et  al.,  2006,  Kinetic-Based Numerical
Schemes  for  Incompressible  Navier- Stokes Equations, Computers & Fluids 35 , pp 879-887. Breyiannis,  G.  &  Valougeorgis,  D.,  2006, Lattice  Kinetic  Simulations  of  3-D MHD  Turbulence,  Computers  & Fluids 35, pp 920-924.
Doolittle, J.S. & Hale, F.J., 1984,
Thermodynamics  for  Engineers  SI Version ,  John  Wiley  &  Sons,  Inc., Canada.
Gobbert,  M.K.  &  Cale,  T.S.,  2006,  A  Kinetic Transport  and  Reaction  Model  and Simulator  for  Rarefied  Gas  Flow  in the  Transition  Regime, Journal  of Computational  Physics  213 ,  pp  591- 612.
Hongjun,  Y.,  2006,  Global  Classical  Solutions of  the  Boltzmann  Equation  Near Maxwellians, Acta
Mathematica Scientia 26B (3) , pp 491-501.
Jarzebski, A.B. & Thulli, J.W., 1986, A Stable Highly  Accurate  ADI  Method  for Hyperbolic Heat Conduction Equation. J.  Comput.  Phys. 63 ,  236– 239.
Klimontovich,  Yu.L.  (1992).  About  Necessity and Possibility  of Unified Description of  Hydrodynamic  Processes. Theoret. and Math. Phys. 92 (2), 312. Ladyzhenskaya O.A., 197, Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Revised Second Edition.
Gordon and Breach, Science Publishers Inc., New York, USA.
Mayer, G. & Hazi, G., 2006, Direct Numerical and Large Eddy Simulation of Longitudinal Flow Along Triangular Array of Rods Using the Lattice Boltzmann Method, Mathematics and Computers in Simulation 72 , pp 173- 178.
Morinishi,  K.,  2006, Numerical Simulation  for Gas  Microflows  Using  Boltzmann Equation, Computers  & Fluids  35 ,  pp 978-985.
Nugroho,  G.  &  Abdul  Karim,  Z.A.,  2006, Modification  of  Large  Eddy  Simu- lation  and  Reaction  Rate  for  Gas Turbine  Combustor  Design, National Conference  of  Energy  Security, Sura- baya, Indonesia, 20-21 December.
Nugroho G., Ali A.M.S., & Abdul Karim Z.A., 2010,  A  Class  of  Exact  Solutions  to the  Three-Dimensional  Incompressi- ble  Navier-Stokes  Equations, Applied Mathematics  Letters  23 ,  pp.  1388  – 1396.
Nugroho G., Ali A.M.S., & Abdul Karim Z.A., 2010,  Properties  of V = ∇× Φ and V = ∇Φ + ∇× Φ Classes  of  Solution  to the  Three-Dimensional  Incompressi- ble  Navier-Stokes  Equations, Interna- tional Journal of Applied Mathematics and Mechanics 6 (11) , pp. 98 – 117.
Nugroho G., Ali A.M.S., & Abdul Karim Z.A., 2011, The  Navier-Stokes  Equations: On  Special  Classes  and  Properties  of 3D  Incompressible  Flows ,  Lambert Academic Publishing, Germany.
Pain, C.C. et al., 2006, Space-Time Streamline Upwind  Petrov-Galerkin  Methods  for the  Boltzmann  Transport  Equation,
Computer Methods in Applied
Mechanics  and  Engineering  195 ,  pp
4334-4357. Reichi,  L.E.,  1998, A  Modern  Course  in Statistical  Physics  2 nd Edition ,  John Wiley & Sons, Inc., Canada.
Succi,  S.,  2001, The  Lattice  Boltzmann Equation  for  Fluid  Dynamics  and Beyond , Clarendon Press, Oxford. Zheng, H.W. et al., 2006, A Lattice Boltzmann Model  for  Multiphase  Flows  with Large  Density  Ratio, Journal  of Computational  Physics  218 ,  pp  353- 371.