## EXPLORASI PEMBELAJARAN OPERASI PECAHAN SISWA SEKOLAH DASAR MENURUT TEORI GRAVEMEIJER DI KABUPATEN NGADA NTT

## EXPLORATION FRACTION OPERATION LEARNING OF ELEMENTARY SCHOOLS STUDENTS ACCORDING TO GRAVEMEIJER THEORY IN NGADA REGENCY, NTT
Gregorius Sebo Bito, Sugiman FKIP Universitas Flores, Universitas Negeri Yogyakarta eris391@yahoo.co.id, sugiman_uny@yahoo.com

## Abstrak
Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  mengetahui  perkembangan  belajar  operasi  pecahan  siswa sekolah dasar menurut teori Gravemeijer di Kabupaten Ngada NTT. Jenis penelitian kualitatif fenome- nologi digunakan untuk mencapai tujuan penelitian. Dalam penelitian ini Hypothetical Learning Trajec- tory (HLT)  memainkan  peranan  penting  sebagai  instrumen  penelitian.  Perangkat  pembelajaran  yang disusun untuk menjalankan serangkaian aktivitas belajar dalam HLT telah dikonsultasikan dengan dua orang ahli Pembelajaran Matematika selanjutnya diuji coba pada kelompok kecil yaitu lima siswa Kelas IV Sekolah Dasar Katolik Bomari Langa pada tahap eksperimen pilot. Selanjutnya HLT dibandingkan dalam proses pembelajaran sebenarnya pada tahap eksperimen pengajaran dengan 24 siswa. Berdasar- kan  analisis  ditemukan  bahwa  siswa  dapat  berkembang  dalam  belajar  operasi  pecahan  dengan  meng- gunakan tingkat aktivitas yang berbeda berdasarkan pendekatan PMR menurut teori Gravemeijer. Pada level pertama yaitu level situasional, Drama Matematika dapat menstimulasi pengetahuan informal sis- wa  tentang  prosedur  operasi  penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan.  Pada  level  referensial,  untaian manik-manik dan kartu pecahan menjadi model dari situasi drama matematika yang merupakan jembat- an  menuju  gagasan  penggunaan  garis  bilangan  untuk  operasi  penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan. Pada  level  ketiga  yaitu  level  general,  siswa  dapat  menggunakan  garis  bilangan  sebagai  model  untuk operasi  penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan.  Pada  level  formal,  dengan  bantuan  untaian  bilangan membawa siswa mengkonstruksi soal cerita sendiri dan menyelesaikan soal cerita yang dihasilkan de- ngan prosedur formal operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan.
Kata Kunci : Teori Gravemeijer, hipotesis trayektori belajar, penjumlahan dan pengurangan pecahan.

## Abstract
This study aims to determine the students progress of learning operations on fractions according to  Gravemeijer  theory  in  Ngada  Regency,  East  Nusa  Tenggara.  A  qualitative  fenomenology  research design was selected to attain the research objective. In this research, a hypothetical learning trajectory (HLT) played an important role as a research instrument. The learning kits constructed to implement a series of learning activities in HLT were consulted with two experts in mathematics learning and were tried out to a small group consisting of five Grade IV students of Sekolah Dasar Katolik Bomari Langa in the pilot experimental stage. Then, HLT was compared with the actual learning process in the expe- rimental stage involving 24 students. Based on the analysis, it is found out that the students can develop more  in  the  learning  of  concepts  of  fraction  operations  through  activity  levels  different  from  those based  on  the  RME  according  Gravemeijer  theory.  At  the  first  level,  namely  the  situational  level,  a mathematics  drama  can  stimulate  the  students’  informal  knowledge  of  the  procedure  of  addition  and subtraction operations on fractions. At the referential level, a string of beads and fraction cards become a model for the mathematics drama situation serving as a bridge to the idea of using a number line for the  addition  and  subtraction  operations  on  fractions.  At  the  third  level,  namely  the  general  level,  the students can use a number line as a model for the addition and subtraction operations on fractions. At the formal level,  with the aid  of  a  series of numbers,  the  students  construct  their  own  word  problems and  solve  them  by  means  of  the  formal  procedure  of  the  addition  and  subtraction  operations  on fractions.
Keywords: Gravemeijer Theory, hypothetical learning trajectory, addition and subtraction fractions

## Pendahuluan
Pecahan  telah  terbukti  sebagai  materi yang  kompleks  dan  sulit  untuk  dipahami  oleh anak-anak (Van Niekrek, et al, 1999, p.1). Sela- in  itu,  makna  pecahan  yang  bervariasi  merupa- kan  salah  satu  dari  penyebab  kesulitan  anak dalam  pembelajaran  pecahan  (Permatasari, Junianti  &  Patahudin,  2012,  p.17).  Di  sisi lain, pecahan  sangat  berguna  bagi  siswa  karena  ma- teri ini akan  membantu mereka untuk  mempel- ajari materi matematika yang lain di jenjang be- rikutnya. Kurangnya pemahaman siswa tentang pecahan  merupakan  faktor  yang  berkontribusi pada  penguasaan  matematika  yang  tidak  me- madai (Mullis, et al, 1997, p.28). Post, Behr & Lesh (Wheeldon, 2008, p.28) menemukan bah- wa  siswa  tidak  dapat  membedakan  antara  ope- rasi bilangan cacah dan operasi bilangan pecah- an. Hal ini karena sebelumnya pada mereka te- lah terbentuk  pengetahuan yang  mapan  tentang bilangan  asli  (Liu,  Xin  &  Li,  2012,  p.47).  Di Indonesia  hasil  penelitian  Soedjadi  (Nalole, 2008, p.138) menyatakan bahwa salah satu ma- salah yang paling menonjol di pendidikan dasar adalah pada materi pecahan.
Selain temuan yang telah dipaparkan di atas,  para  peneliti  telah  mengidentifikasi  bebe- rapa masalah utama dalam proses pembelajaran matematika.  Pembelajaran cenderung ditujukan hanya  untuk  mencapai  pemahaman  instrumen- tal,  dimana  siswa  dapat  menggunakan  rumus untuk  menyelesaikan  suatu  soal  tetapi  tidak memahami  bagaimana  rumus  itu  diperoleh  dan mengapa  rumus  itu  dapat  berfungsi  demikian (Marpaung  dalam  Sumaji,  2008,  p.261).  Pem- belajaran  demikian  masih  dipraktikan  oleh hampir seluruh guru di Ngada, dimana guru sa- ngat mengandalkan materi pada buku pelajaran yang  beredar  di  pasaran,  padahal  menurut  Zul- kardi  (2002,  p.6),  buku  pelajaran  di  Indonesia lebih banyak memuat serangkaian aturan, algo- ritma  dan  tidak  memiliki  aplikasi  yang  berda- sarkan pengalaman kongkrit siswa.
Kondisi seperti ini tentunya bertentang- an dengan tujuan pembelajaran yaitu membawa siswa  pada  pemahaman.  Tanpa  pemahaman, pembelajaran  matematika  direduksi  menjadi menghafal rumus dan aturan aturan matematika sehingga  belajar  menjadi  tidak  bermakna,  apa- lagi berguna (Boulet, 1998, p.18). Pembelajaran yang membawa siswa belajar konsep matemati- ka secara bermakna merupakan penekanan pen- ting  dalam  Pendidikan  Matematika  Realistik (PMR)  yang  belakangan  ini  sudah  dipraktikan
di  beberapa  daerah  di  Indonesia.  Teori  PMR merupakan  salah  satu  teori  yang  terus  menerus dikembangkan dan disempurnakan dalam siklus berkelanjutan  dari  merancang,  melakukan  ek- sperimen,  analisis  dan  refleksi.  Melalui  desain riset  dengan  konteks  “membagi  serenteng  ma- kanan ringan” serta konteks “menaikan dan me- nurunkan  penumpang”  akan  diinvestigasi  per- kembangan  siswa  dalam  belajar  operasi  pen- jumlahan dan pengurangan pecahan secara ber- tahap  berdasarkan  level  aktivitas  pemodelan dalam PMR.
Gravemeijer  (1994,  p.90)  mengemuka- kan bahwa ada tiga prinsip utama dalam PMR, yaitu:  (a) guided  reinvention/progressive  ma- thematizing ,  (b) didactical  phenomenology dan ( c) self-developed  models. Gravemeijer  (1994, p.101)  menguraikan  perbedaan model  of dan model  for dalam  empat  tingkatan  aktivitas  ya- itu: situasional , referensial , general dan formal . Level  situasional  merupakan  yang  paling  dasar dari pemodelan dimana pengetahuan dan model masih berkembang dalam konteks situasi masa- lah  yang  digunakan.  Pada  level  referensional, strategi  dan  model  yang  dikembangkan  tidak berada  dalam  konteks  situasi,  melainkan  sudah merujuk  pada  konteks  dimana  siswa  membuat model  untuk  menggambarkan  situasi  konteks sehingga  hasil  pemodelan pada  model  ini  dise- but  model  dari  ( model  of )  situasi.  Model  yang dikembangkan  siswa  pada level  general sudah mengarah pada pencarian solusi secara matema- tis  yang  disebut  model  untuk  ( model  for )  pe- nyelesaian masalah. Pada level formal yang me- rupakan  tahapan  perumusan  dan  penegasan konsep matematika yang dibangun siswa, siswa sudah bekerja dengan menggunakan simbol dan representasi matematis.
Tujuan penelitian ini adalah untuk me- ngetahui  perkembangan  siswa  belajar  operasi penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan  kelas IV Sekolah Dasar dengan level aktivitas pemo- delan menurut teori Gravemeijer.

## Metode
Penelitian  ini  menggunakan  pendekat- an kualitatif dan jenis penelitian fenomenologi. Untuk  memudahkan  dalam  memperoleh  data penelitian,  peneliti  dibimbing  oleh  sebuah  ins- trumen  yang  dinamakan Hypothetical  Learn- ing  Trajectory (HLT).  HLT  terdiri  dari  akti- vitas  belajar,  deskripsi  aktivitas,  material  yang mendukung  proses  pembelajaran  dan  konjektur atau  dugaan  pemikiran  siswa  yang  mungkin akan berkembang dalam proses pembelajaran.
HLT  yang  telah  disusun  pada  tahap awal  diuji  coba  dalam  tahap  eksperimen  pilot dengan siswa sebanyak lima orang. Selanjutnya dalam melakukan eksperimen di kelas, kegiatan pembelajaran dinilai, direvisi, dan dirancang se- tiap  hari  selama  eksperimen  pengajaran.  Wa- wasan  dan  pengalaman  yang  diperoleh  dalam eksperimen  pilot  ini  menjadi  pertimbangan  un- tuk  modifikasi  HLT  yang  akan  digunakan  da- lam pembelajaran kelas dengan siswa sebanyak 25 Orang. Dalam tahap analisis data, semua da- ta  selama  eksperimen  pengajaran  dianalisis  de- ngan  cara  membandingkan  HLT  dengan  pem- belajaran  yang  sebenarnya.  Berdasarkan  anali- sis tersebut maka HLT direvisi berdasarkan du- gaan baru tentang berbagai gagasan atau pemi- kiran siswa dalam pembelajaran.
Dalam  analisis  data,  peneliti  melaku- kan kegiatan utama yaitu membandingkan HLT dengan  pembelajaran  yang  sebenarnya  untuk menyelidiki  dan  menjelaskan  bagaimana  siswa memperoleh pemahaman mereka tentang opera- si  penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan.  Ke- luaran dari analisis data ini adalah untuk untuk tujuan:  (1)  menggambarkan  proses  belajar  sis- wa  yang  terdiri  dari  cara  siswa  dalam  berpikir dan  memecahkan  masalah  serta  alasan  siswa menggunakan  strategi  tertentu,  argumen  siswa ketika  menjelaskan  gagasannya  saat  presentasi maupun  dalam  pekerjaan  siswa;  (2)  menggam- barkan  situasi  di  mana  siswa  membutuhkan bantuan  dalam  memahami  dan  memecahkan masalah  dan  sifat  bantuan  yang  terbukti  ber- manfaat  (3)  membandingkan  strategi,  penjelas- an,  dan  pertanyaan  siswa  tentang  masalah  ter- tentu  selama  kegiatan  pembelajaran;  (4)  Mem- buat  kesimpulan  berdasarkan  data. Kesimpulan ini  berfokus  pada  menjawab  pertanyaan  pene- litian, memberikan rekomendasi untuk perbaik- an  HLT  berikutnya,  untuk  praktek  pendidikan matematika  di  Indonesia  dan  untuk  penelitian lebih lanjut.

## Hasil Penelitian
Hasil  eksperimen  pembelajaran  yang dilakukan  yang  merupakan  implementasi  dari keempat  tipe  aktivitas  matematika  berdasarkan tahap  pengembangan  model  dalam  PMR  me- nurut teori Gravemeijer adalah sebagai berikut.
Level Situasional
Pada  level  situasional,  siswa  akan  me- lakukan  Drama  Matematika  dengan  mempera- gakan  Skenario  1  dan  Skenario  2.  Tujuan  dari aktivitas  ini  adalah  untuk  mengorientasikan
siswa  pada  pada  masalah  kontekstual  yang sering  mereka alami setiap hari dalam hubung- annya  dengan  masalah  matematika  yang  akan dipelajari.

## Skenario 1
Pada  suatu  siang  sepulangnya  dari  pasar  Ba- jawa,  ibu  membawa  oleh  oleh  berupa  1  ren- teng  makanan  ringan  untuk  Owyn.  Siang  itu Owyn  langsung  makan  1/5  bagian  dan  pada sore harinya ia  menghabiskan  lagi  2/5  bagian. Sisanya akan diberikan pada temannya.
Dari  pengamatan  terlihat  siswa  tidak kesulitan dalam memperagakan Skenario 1. Sis- wa dapat menentukan makanan ringan yang di- makan  Owyn  pada  siang  hari  sebanyak  1/5 bagian (2 bungkus) dan sore harinya 2/5 bagian (4 bungkus) sehingga total yang dimakan Owyn adalah sebanyak 3/5 bagian (6 bungkus). Selan- jutnya,  siswa  menentukan  sisa  dari  makanan ringan yaitu 2/5 bagian (4 bungkus) Untuk me- ngetahui  gagasan  siswa  berkaitan  dengan  akti- vitas  peragaan  Skenario  1,  peneliti  melakukan percakapan  dengan  Telin  yang  berperan  mem- bagi makanan ringan sebagai berikut.
Peneliti: Ok, Telin. Bagaimana kamu tahu bah- wa  yang  akan  diberikan  Owyn  pada temannya adalah 4 bungkus.
Telin: Dari soal pak. Siang dia makan 1/5 bagi- an.
Peneliti: Berarti 1/5 bagian itu sama dengan 2 bungkus ?
Telin:  Iya  pak.  Kalau  1/5  itu  berarti  makanan ringan tadi dibagi 5 bagian.
Peneliti: Masing-masing bagian besarnya? Telin: 1/5 Pak. Jadi siang dia makan 1 bagian atau  1/5,  sore  dia  2  bagian  atau  2/5, jadi  dia  sudah  makan  sebesar  3/5 bagian.
Peneliti:  Itu  artinya  yang  kamu  berikan  pada Rufina berapa besarnya?
Telin:  Itu  yang  saya  berikan  ke  Rufina  untuk temannya Owyn besarnya 2/5.
Berdasarkan  percakapan  ini  siswa  da- pat diketahui bahwa siswa memahami apa yang mereka  hasilkan  dalam  Skenario  1.  Hal  ini  da- pat  terjadi  karena tools yang  digunakan  adalah serenteng makanan ringan yang diketahui isinya 10  bungkus.  Setelah  melakukan  peragaan  Ske- nario 1 siswa mengerjakan soal No. 1 pada LKS yang menggambarkan Drama Matematika yang telah  mereka  lakukan.  Pada  soal  1  (a)  siswa menggambarkan  aktivitas  pembagian  makanan ringan  yang  telah  mereka  lakukan,  selanjutnya pada soal 1(b) siswa dapat menentukan makan-
an ringan yang diberikan Owyn pada temannya sebesar  2/5  bagian,  dan  pada  soal  1(c)  siswa dapat  menentukan  makanan  ringan  yang  dima- kan Owyn sebesar 3/5 bagian. Pengetahuan sis- wa  tentang  pembagian  bilangan  cacah  dan  pe- ngertian  pecahan  sebagai part-whole  relation dari  aktivitas  mempartisi  serta  interpretasi  ma- kanan  ringan  yang  dimakan  (misalnya: makan lagi , ambil lagi ) dan sisa makanan ringan pada aktivitas    Drama  Matematika  menuntun  siswa untuk sukses menyelesaikan soal No.1 (Gambar 1).

## Skenario 2.
Bemo  Sempati  berangkat  dari  Langa  menuju Terminal  Bajawa  dengan  1/3  dari  jumlah  tem- pat  duduknya  terisi  penumpang.  Di  Watujaji bemo  berhenti  dan  menaikkan  penumpang  se- hingga ¼ bagian dari jumlah tempat duduk lagi terisi penumpang.
Dalam  aktivitas  menaikan  dan  menu- runkan penumpang, siswa mengalami kesulitan karena  siswa  tidak  mengetahui  kapasitas  pe- numpang  (jumlah  tempat  duduk  pada  Bemo). Peran  guru  untuk  memprovokasi  siswa  sangat penting  terutama  membangkitkan  pengetahuan yang  telah  ada  pada  siswa  seperti  pada  perca- kapan berikut.
Peneliti:  Rizal,  tadi  kamu  tidak  dapat  menaik- kan  penumpang  sebanyak  1/3  bagian yang dari Langa, ¼ bagian yang naik di  Watujaji  dan  1/6  yang  turun  di Waewoki.Kenapa Rizal?Sulit ya ?
Rizal:  Iya,  pak.  Saya  tidak  tau  jumlah  penum- pangnya berapa.
Peneliti:  Bagaimanakah  caranya  agar  kalian dapat menentukan 1/3, ¼ dan 1/6 ba- gian  dari  jumlah  total  tempat  duduk. Ok.  Berapa  jumlah  kursi  sehingga kita bisa bagi 3 bagian sama banyak, bagi  4  bagian  sama  banyak  dan  bagi 6 bagian sama banyak?
Rizal:  Oh  iya  pak,  Berarti  1/3  bagian  tempat duduk  yang  diisi  penumpang  yang dari Langa ada 4 tempat duduk.
Peneliti:Bagaimana kamu bisa menentukan itu? Rizal: Karena 12: 3=4, 12:4=3 , 12/6=2 Peneliti:  Ok,  berarti  tempat  duduk  yang  diisi penumpang dari langa ada berapa?
Rizal: 4 kursi dari 12 kursi Pak atau bisa ditulis 4/12.
Peneliti: Artinya apa tuh Rizal? Rizal: 1/3 diganti dengan 4/12.
Karena  siswa  memahami  1/3,  ¼,  1/6 sebagai  besar  setiap  unit  dari  hasil  partisi  pada pembelajaran  di  Kelas  III  dan  KPK  (3,  4,  6) maka setelah pertanyaan provokasi tersebut, sis- wa  menentukan  bahwa  jumlah  tempat  duduk atau  kapasitas  penumpang  adalah  12.  Setelah mengetahui  kapasitas  penumpang  Bemo  siswa tidak terlihat kesulitan menaikan dan menurun- kan  penumpang  berdasarkan  Skenario  2 (Gambar 2).
Gambar 1. Aktivitas Drama Matematika (Skenario 1)
Gambar 2. Aktivitas menaikkan dan menurunkan penumpang (Skenario 2)
Setelah  melakukan  drama  dengan  Ske- nario  2,  siswa  akan  menggambarkan  aktivitas tersebut dengan menyelesaikan soal No. 2 pada LKS.  Interpretasi  aktivitas  menaikan  serta  me- nurunkan  penumpang  (misalnya  naik,  turun) merupakan  bagian  penting  dalam  aktivitas  ini. Siswa  menggambarkan  situasi  dengan  kursi- kursi dan bulatan kecil sebagai penumpang dan memberi  tanda  pada  bulatan  sebagai  gambaran penumpang  yang  turun.  Selanjutnya,  siswa  da- pat  menentukan  penumpang  yang  naik  dari langa 1/3 bagian tempat duduk dan naik lagi di Watujaji  ¼  bagian  (sebelum  Bemo  berhenti  di Waewoki untuk menurunkan penumpang) yaitu sebanyak 7/12 bagian dari tempat duduk.
Hal ini menunjukkan siswa dapat mela- kukan operasi penjumlahan pecahan dengan pe- nyebut  tidak  sama  dari  situasi  menaikan  (tam- bah) dan menurunkan (kurang) penumpang. Da- ri percakapan dengan siswa pada Drama Mate- matika  dan  hasil  pekerjaan  siswa  pada  soal  1 dan 2 dapat dilihat bahwa siswa dapat menemu- kan  penyelesaian  masalah  kontekstual  dengan menggunakan  aktivitas  yang  menggambarkan kehidupan kesehariannya. Selain itu dalam me- nyelesaikan  penjumlahan  dan  pengurangan  pe- cahan dengan penyebut yang tidak sama, siswa menyadari  bahwa  mengganti  pecahan  dengan
pecahan  lain  yang  setara  dapat  membantu  me- reka menyelesaikan masalah.
Pada  level  ini  pengetahuan  prasyarat siswa  sangat  diperlukan  yaitu  pengetahuan tentang  pengertian  pecahan  sebagai  hubungan antara  bagian-bagian  dan  sesuatu  yang  utuh ( fraction  as  part  of  a  whole/part-whole  relati- on ), kemampuan mempartisi sekumpulan objek diskrit  (memproduksi  pecahan)  dan  kemam- puan  menemukan  kesamaan  pecahan  ( gene- rating  equivalencies ).  Berawal  dari  mengalami situasi  (masalah  kontekstual)  dalam  aktivitas drama  matematika),  siswa  dapat  memodelkan- nya  sendiri  dengan  menyusun,  melambangkan dan  memvisualisasikan  drama  tersebut.  Hal  ini sesuai  dengan  prinsip  pertama  dari  PMR  yaitu penggunaan  masalah  kontekstual  ( use  of  con- textual  problems )  dimana  aktivitas  membagi makanan  ringan  serta  drama  menaikkan  dan menurunkan  penumpang  merupakan  sumber untuk  memproduksi  sendiri  prosedur  operasi penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan.  De- ngan  demikian  kedua  konteks  yang  digunakan dalam aktivitas Drama Matematika sukses men- stimulasi  penalaran  siswa  tentang  penjumlahan dan pengurangan pecahan.
Level Referensial
Pada  level  ini  siswa  secara  berkelom- pok akan memperagakan Skenario 1 dan Skena- rio 2 menggunakan  manik-manik dan kartu pe- cahan  kosong.  Manik-manik  putih  menggam- barkan  makanan  ringan  yang  sudah  dimakan dan  kursi  angkot  yang  kosong.  Manik-manik hitam  menggambarkan  makanan  ringan  yang belum dimakan dan kursi angkot yang diduduki
penumpang.  Sedangkan  kartu  pecahan  bertuju- an  untuk  mempartisi  manik-manik  ke  beberapa bagian  yang  sama  sesuai  skenario.  Setelah  sis- wa  memodelkan  Skenario  1  dan  Skenario  de- ngan  manik-manik  dan  kartu  pecahan,  siswa menggambarkan  untaian  manik-manik  yang  te- lah  digantungkan  kartu  pecahan  yang  dihasil- kannya pada LKK II (Gambar 3 & Gambar 4).
Gambar 3. Siswa Menerjemahkan Skenario 1 dalam Untaian Manik-manik dan Kartu Pecahan dan Menggambarkannya dalam Lembar Kerja Kelompok.
Gambar 4. Siswa Menerjemahkan Skenario 1 dalam Untaian Manik-manik dan Kartu Pecahan dan Menggambarkannya dalam Lembar Kerja Kelompok.
Pada  level  aktivitas  kedua,  siswa, menggunakan  manik-manik  (hitam  dan  putih), kartu pecahan kosong, dan senar. Pada tahap ini siswa memodelkan situasi dalam seuntai manik- manik yang digantungkan kartu pecahan. Selan- jutnya  siswa  menggambarkanya  sesuai  untaian manik-manik  yang  dihasilkan.  Hal  ini  sesuai dengan  prinsip  kedua  dari  PMR  yaitu,  peng- gunaan  model-model  ( use  of  models )  dimana untaian  manik-manik  dapat  menjadi  jembatan menuju  pada  operasi  penjumlahan  dan  pengu- rangan menggunakan garis bilangan.
Level General
Sebagai refleksi dari aktivitas sebelum- nya,  saat  ini  guru  memimpin  diskusi  kelas. Kongres Matematika dilaksanakan untuk mem- fasilitasi  dan  membangun  pemahaman  siswa untuk  menggunakan  garis  bilangan  yang  dapat membantu membawa mereka pada gagasan ten- tang  prosedur  operasi  penjumlahan  dan  pengu- rangan pecahan. Manfaat yang diperoleh dalam Kongres  Matematika  tersebut  adalah  tidak  ha- nya  bertujuan  untuk  mengkomunikasikan  ga- gasan siswa tetapi juga dapat memberi stimulus
pada  siswa  yang  lain  untuk  mengembangkan strategi yang berbeda.  Hal ini berhubungan de- ngan  prinsip  keempat  dari  PMR  yaitu  inter- aktivitas dimana siswa dapat membagi apa yang dipikirkan  mereka  dalam  diskusi  kelas.  Dalam kesempatan  tersebut  guru  memegang  peranan penting  untuk  mengatur  jalannya  proses  disku- si.  Garis  bilangan  merupakan  model  yang  sa- ngat berguna untuk membimbing siswa menuju prosedur  formal  operasi  penjumlahan  dan  pe- ngurangan  pecahan.  Pada  aktivitas  ini  garis  bi- langan  kosong  digunakan  untuk  pemodelan yang lebih spesifik dengan memanfaatkan kon- tribusi  siswa  sebelumnya  yaitu  peragaan  dan
gambaran  masalah  menggunakan  untaian  ma- nik-manik.
Berdasarkan  prinsip  ketiga  dari  PMR yaitu,  penggunaan  kreativitas  dan  kontribusi siswa,  gambaran  dari  untaian  manik-manik  se- bagai model dari situasi ditransformasikan pada garis bilangan kosong sebagai model untuk pe- nalaran matematika yang lebih formal (Gambar 5). Transformasi ini merupakan momen belajar yang  penting  bagi  siswa  dimana  mereka  dapat menggunakan  model  untuk  beranjak  dari  kon- teks  yang  konkrit  menuju  matematika  yang  le- bih formal.
Langa Watujaj i Bajawa 1/3 +1/4 ……… 0 1/5 …… + 2/5
- Jurnal Prima Edukasia, Volume 1 - Nomor 2, 2013 180
Level Formal
Aktivitas  penalaran  matematika  formal yang  tidak  lagi  tergantung  pada  dukungan  mo- del untuk kegiatan matematika. Fokus dari dis- kusi menuju karakteristik model yang lebih spe- sifik  yang  terkait  dengan  penjumlahan  dan pengurangan pecahan. Dalam aktivitas ini siswa sudah  bekerja  dengan    simbol-simbol  pecahan yang lebih formal yaitu untaian bilangan pecah-
an  (misalnya: 4 1 3 1  , 10 1 5 3  , 7 1 7 3  dan 10 1 5 3  ) dengan menggunakan aturan yang te- lah  ditemukan  sendiri  pada  aktivitas  sebelum- nya.  Siswa  akan  membuat  soal  sendiri  dengan dipandu untaian bilangan sebagai model formal. Setelah  membuat  soal  sendiri  siswa  akan  me- nyelesaikannya  dalam  bahasa  matematika  for- mal (Gambar 6).
Gambar 6. Siswa Membuat Soal Cerita Sendiri dan Menyelesaikannya
Berdasarkan  analisis  data  dapat  dilihat bahwa semua dugaan peneliti telah disusun da- lam  instrumen  penelitian  (HLT)  terobservasi dalam  proses  pembelajaran.  Selanjutnya  segala aktivitas  yang  disusun dalam  HLT  berdasarkan tingkat  aktivitas  dalam  pendekatan  PMR  dapat dilaksanakan  sesuai  yang  diharapkan.  Dan  dari hasil tes akhir dapat dilihat bahwa siswa memi-
liki  peningkatan  dalam  belajar  pecahan  dengan tingkat  aktivitas  berbeda  dan  pembelajaran yang  dilakukan  sudah  sesuai  dengan  karakter- istik  PMR  menurut  Gravemeijer.  Implementasi dari  keempat  tipe  aktivitas  matematika  dalam pembelajaran  penjumlahan  dan  pengurangan pecahan  dalam  konteks  membagi  makanan  ri- ngan dan konteks menaikkan serta menurunkan
4 3 4 1  10 1 5 3  7 1 7 3  10 1 5 3  10 1 5 3  7 1 7 3  10 1 5 3 
penumpang  yang  merupakan  jawaban  atas  per- tanyaan  penelitian  adalah  adalah  sebagai  beri- kut.
Pada  aktivitas  situasional,  interpretasi penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan  tergan- tung  pada  pemahaman  dan  interpretasi  pada konteks  yang  diberikan.  Aktivitas  situasional pada  penelitian  ini  adalah  masalah  membagi serenteng  makanan  ringan  serta  konteks  mena- ikkan  dan  menurunkan  penumpang.  Interpre- tasi makanan ringan yang dimakan (makan lagi, ambil lagi) dan aktivitas menaikkan serta menu- runkan  penumpang  (naik,  turun)  merupakan bagian penting dalam aktivitas ini.
Aktivitas  referensial,  yaitu model  of mengacu pada kegiatan dengan aturan yang di- jelaskan.  Kegiatan  siswa  dianggap  referensial ketika  mereka  awalnya  menggunakan  manik- manik  hitam  yang  merepresentasikan  makanan yang belum dimakan dan kursi yang masih ter- isi  serta  manik-manik  putih  merepresentasikan makanan ringan yang sudah dimakan dan kursi yang telah kosong. Pada aktivitas referensial ini representasi  garis  bilangan  dari  penyusunan kartu  pecahan  (potongan-potongan  kertas  yang telah ditulisi nama pecahan) yang digantungkan pada untaian manik-manik dapat digunakan un- tuk  peragaan  penjumlahan  dan  pengurangan pecahan.
Aktivitas general ,  yaitu model  for un- tuk  merujuk  pada  kerangka  hubungan  matema- tika.  Model  untuk  penalaran  matematika  yang yang  digunakan  pada  aktivitas  ini  adalah  gam- bar  garis  bilangan.  Dalam  kegiatan  ini,  repre- sentasi  garis  bilangan  pecahan  diperkenalkan sebagai  alat  generalisasi  untaian  manik-manik yang  digantungkan  kartu  pecahan  pada  aktivi- tas  sebelumnya.  Siswa  diminta  untuk  meng- gambarkan  hubungan  antara  pecahan-pecahan yang  diperoleh  dari  pecahan  yang  dihasilkan. Selain itu, dalam kegiatan ini representasi garis bilangan  dapat  digunakan  untuk  membantu menjumlahkan  pecahan  dengan  penyebut  yang berbeda  sebelum  menggunakan  konsep  KPK yang telah dikenal sebelum pembelajaran mate- ri pecahan.
Aktivitas  penalaran  matematika  formal yang  tidak  lagi  tergantung  pada  dukungan  mo- del untuk kegiatan matematika. Fokus dari dis- kusi  menuju  karakteristik  model  yang  lebih spesifik  yang  terkait  dengan  penjumlahan  dan pengurangan  pecahan.  Dalam  aktivitas  ini  sis- wa  sudah  bekerja  dengan  simbol-simbol  pe- cahan  yang  lebih  formal  dengan  menggunakan aturan  yang  telah  ditemukan  sendiri  pada  akti-
vitas  sebelumnya.  Siswa  akan  membuat  soal sendiri  dengan  dipandu  untaian  bilangan  (re- presentasi  dari  penjumlahan  dan  pengurangan pecahan).  Setelah  membuat  soal  sendiri  siswa akan  menyelesaikannya  dalam  bahasa  mate- matika formal.
Dengan  demikian  aktivitas-aktivitas yang  telah  disusun  dalam  HLT  dapat  mendu- kung siswa untuk belajar operasi pecahan seca- ra bertahap berdasarkan tingkatan aktivitas bel- ajar  dalam  PMR  menurut  Gravemeijer.  Jika digambarkan  dalam  bentuk iceberg ,  trayektori pembelajaran  untuk  operasi  penjumlahan  dan pengurangan  pecahan  adalah  sebagai  berikut (Gambar 7).
Penelitian ini menunjukkan siswa dapat lebih berkembang dalam belajar tentang operasi penjumlahan  dan pengurangan  pecahan  dengan menggunakan level aktivitas yang berbeda. Le- vel  yang  dimaksudkan  adalah  level  aktivitas berdasarkan  pendekatan  PMR  menurut  teori Gravemeijer  yaitu,  situasional,  referensial,  ge- neral  dan  formal.  Pada  penelitian  ini  gagasan dan  konsep  dari  teori  Gravemeijer  digunakan dalam desain setiap tahap aktivitasnya. Konteks yang digunakan yaitu membagi makanan ringan serta  aktivitas  menaikan  dan  menurunkan  pe- numpang.  Temuan  penelitian  menunjukkan bahwa  kedua  konteks  ini  baik  untuk  membim- bing  siswa  dalam  proses  matematisasi  setelah mengikuti  keempat  level  aktivitas  menurut Gravemeijer.
Pada level pertama yaitu level situasio- nal,  siswa  melakukan  drama  matematika  de- ngan  menggunakan  serenteng  makanan  ringan dan susunan kursi-kursi Bemo berdasarkan ske- nario yang diberikan. Pada level ini pengetahu- an  prasyarat  siswa  sangat  diperlukan  yaitu  pe- ngetahuan  tentang  pengertian  pecahan  sebagai hubungan  antara  bagian-bagian  dan  sesuatu yang  utuh  ( fraction  as  part  of  a  whole/  part- whole  relation )  serta  kemampuan  mempartisi sekumpulan  objek  diskrit.  Berawal  dari  meng- alami  situasi  (masalah  kontekstual)  dalam  akti- vitas drama matematika), siswa dapat memodel- kannya  sendiri  dengan  menyusun,  melambang- kan dan memvisualisasikan drama tersebut. Hal ini  sesuai  dengan  prinsip  pertama  dari  PMR yaitu  penggunaan  masalah  kontekstual  ( use  of contextual problems ) dimana aktivitas membagi makanan  ringan  serta  drama  menaikkan  dan menurunkan  penumpang  merupakan  sumber untuk  memproduksi  sendiri  prosedur  operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan.
Pada  level  aktivitas  kedua,  siswa, menggunakan  manik-manik  (hitam  dan  putih), kartu pecahan kosong, dan senar. Pada tahap ini siswa memodelkan situasi dalam seuntai manik- manik yang digantungkan kartu pecahan. Selan- jutnya  siswa  menggambarkanya  sesuai  untaian manik-manik  yang  dihasilkan.  Hal  ini  sesuai dengan  prinsip  kedua dari PMR  yaitu,  penggu- naan  model-model  ( use  of  models )  dimana  un- taian manik-manik dapat menjadi jembatan me- nuju pada operasi penjumlahan dan pengurang- an menggunakan garis bilangan.
Pada  level  ketiga  (aktivitas  general), garis  bilangan  merupakan  model  yang  sangat berguna untuk membimbing siswa menuju pro- sedur  formal  operasi  penjumlahan  dan  pengu- rangan  pecahan.  Gambar  untaian  manik-manik yang  digantungkan  garis  bilangan  dijadikan awal untuk gagasan menggunakan garis bilang- an  dalam  melakukan  operasi  penjumlahan  dan pengurangan pecahan.
Pada level aktivitas keempat (level for- mal),  siswa  tidak  lagi  menggunakan  garis  bi- langan. Dengan dibimbing oleh untaian bilang- an, siswa membuat soal cerita sendiri yang ber-
hubungan dengan penjumlahan dan pengurang- an  pecahan.  Setelah  membuat  soal  cerita  me- reka  sendiri,  siswa  menyelesaikannya  dengan kalimat  matematika  formal.  Berdasarkan  prin- sip ketiga dari PMR yaitu, penggunaan kreativi- tas dan kontribusi siswa, representasi dari untai- an manik-manik sebagai model dari situasi (dra- ma  matematika)  ditransformasikan  pada  garis bilangan  sebagai  model  untuk  penalaran  mate- matika yang lebih formal. Transformasi ini me- rupakan  momen  belajar  yang  penting  bagi  sis- wa  dimana  mereka  dapat  menggunakan  model untuk  beranjak  dari  konteks  yang  konkrit  me- nuju matematika yang lebih formal.
Pada  penelitian  ini,  ditemukan  situasi yang  menggambarkan  proses  dimana  siswa  sa- ling  membagi  pengalaman  dan  gagasan  dalam aktivitas  pembelajaran  (konggres  matematika). Hal  ini  berhubungan  dengan  prinsip  keempat dari  PMR  yaitu  interaktivitas  (i nteractivity )  di- mana  siswa  dapat  membagi  apa  yang  dipikir- kan mereka dalam diskusi kelas. Dalam kesem- patan tersebut guru memegang peranan penting untuk mengatur jalannya proses diskusi.
Gambar 7. Iceberg Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

## Kesimpulan
Berdasarkan  temuan-temuan  dalam penelitian  ini  dapat  disimpulkan  bahwa  siswa dapat  lebih  berkembang  dalam  belajar  operasi pecahan  dengan  menggunakan  tingkat  aktivitas yang  berbeda  berdasarkan  pendekatan  PMR menurut  teori  Gravemeijer.  Pada  level  pertama yaitu level  situasional ,  Drama  Matematika  da- pat  menstimulasi  pengetahuan  informal  siswa tentang  prosedur  operasi  penjumlahan  dan  pe- ngurangan  pecahan.  Pada level  referensial ,  un- taian  manik-manik  dan  kartu  pecahan  menjadi model dari situasi drama matematika yang  me- rupakan jembatan  menuju gagasan  penggunaan garis  bilangan  untuk  operasi  penjumlahan  dan pengurangan  pecahan.  Pada  level  ketiga  yaitu level  general ,  siswa  dapat  menggunakan  garis bilangan  sebagai model  untuk operasi  penjum- lahan dan pengurangan pecahan. Pada level for- mal ,  dengan  bantuan  untaian  bilangan  memba- wa siswa mengkonstruksi soal cerita sendiri dan menyelesaikan  soal  cerita  yang  dihasilkan  de- ngan  prosedur  formal  operasi  penjumlahan  dan pengurangan pecahan.
Berdasarkan  hasil  penelitian  ini,  dapat dilihat bahwa apa yang dihasilkan dalam pene- litian  ini  hanya  dalam  skala  yang  relatif  kecil, sehingga tidak semua temuan penelitian ini da- pat digeneralisasi tetapi akan berimplikasi pada praktik  pendidikan,  khususnya  sebagai  sebuah inisiatif  yang  penting  untuk  memperbaiki pem- belajaran  matematika  di  Indonesia,  terutama  di Kabupaten  Ngada,  NTT.  PMR  dapat  diguna- kan  sebagai  pendekatan  dalam  mengajar  mate- matika, atau lebih spesifik seperti dalam peneli- tian ini untuk pembelajaran operasi penjumlah- an dan pengurangan pecahan di kelas IV Seko- lah Dasar. Siswa tidak dikondisikan untuk seca- ra langsung belajar matematika formal tetapi di- biasakan untuk menemukan sendiri konsep ma- tematika  sejak  awal  ketika  menyelesaikan  per- masalahan yang mereka alami secara informal.

## Daftar Pustaka
Boulet,  G.  (1998).  Didactical  implications  of children’s  difficulties  in  learning  the fraction  concept. Focus  on  Learning
Problems  in  Mathematics,  20 (4),  19- 34.
Gravemeijer.  (2004). Local  instruction  theo- ries as means of support for teacher in reform mathematics education . utrecht: Freudenthal  Institute  &  Department  of Educational Research, Utrecht University.
Liu.  C.,  Xin,  Z.,  &  Li,  X.,.  (2012).  The  deve- lopment  of  chinese  students’  under- standing  of  the  concept  of  fractions from  fifth  to  eighth  grade. Journal  of Mathematics  Education  Vol.5,  No.  1 August 2012, pp. 45-62
Mullis, et al. (1997). Mathematics achievement in the primary school years: IEA ’ s third mathematics and science study . Boston: Center  for  the  Study  of  Testing, Evaluation,  and  Educational  Policy,
Boston College.
Nalole,  M.  (2008).  Pembelajaran  pengurangan pecahan melalui pendekatan realistik di kelas  V  sekolah  dasar. Inovasi,  Vol  5, No.3, September 2008 .
Permatasari,  Elisabeth  Ayunika.  (2012). Early fraction  learning  of  3 rd grade  students in sd laboratorium Unesa
Van  Niekrek,  T.,  (1999).  Successes  and obstacles in the development of grade 6 learners’  conceptions  of  fractions. Paper  presented  at  the  5th  Annual Congress  of  the  Association  for Mathematics Education of South Africa (AMESA),  Port  Elizabeth,  5-9  July 1999.
Wheldon,  D.A.  (2008).  Developing  mathema- tical  practices  in  a  social  context:  an instructional  sequence  to  support  pros- pective elementary teachers’ learning of fractions . Disertasi :  University  of Central Florida. Tidak diterbitkan.
Zulkardi.  (2002). Developing  a  learning  envi- ronment  on  realistic  mathematics  edu- cation  for  indonesian  student  teachers . Enschede: University of Twente.