## PENERAPAN ALGORITMA DEMINA-KUDRYASHOV DALAM MENENTUKAN SOLUSI MEROMORFIK PERSAMAAN OSTROVSKY
Herry F. Lalus
Jurusan Fisika, Fakultas Sains dan Teknik,  Universitas Nusa Cendana, Jl. Adisucipto, Penfui-Kota Kupang E-mail : herrylalus@gmail.com

## Abstrak
Persamaan Ostrovsky merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear yang dapat ditemukan dalam fenomena fisis seperti tsunami. Persamaan ini telah memiliki banyak solusi khusus analitik terutama  untuk  menggambarkan  penjalaran  gelombang  soliton.  Salah  satu  solusi  khusus  yang terkenal  berupa  solusi  tanh  kuadrat  atau  dapat  juga  dinyatakan  dalam  sech  kuadrat.  Paper  ini mengkaji  solusi  meromorfik  persamaan  Ostrovsky  dengan  menggunakan  algoritma  Demina- Kudryashov.  Mula-mula,  persamaan  Ostrovsky  ditransformasi  ke  dalam  bentuk  persamaan diferensial biasa nonlinear menggunakan model penjalaran gelombang dan selanjutnya diterapkan algoritma  tersebut  untuk  memperoleh  solusi  meromorfik  berdasarkan  pada  uraian  Laurentnya. Solusi yang diperoleh berupa solusi periode tunggal, solusi periode ganda (solusi eliptik), dan solusi rasional, di mana solusi-solusi ini bersifat umum. Pada akhirnya, ditampilkan suatu solusi khusus berupa  solusi  tanh  kuadrat  sebagai  pemilihan  keadaan  khusus  berdasarkan  salah  satu  solusi meromorfik.
Kata kunci : solusi meromorfik; algoritma Demina-Kudryashov; persamaan Ostrovsky.

## Abstract
Ostrovsky equation is a nonlinear partial diferential equation which we found in many problems of physics  such  as  tsunami.  This  equation  has  many  special  analytical  solutions  especially  for describing the travelling of soliton. One of the famous special solution is containing  quadratic tanh term  or  we  can  express  it  in sech term.  In  this  paper,  the  meromorphic  solutions  of  Ostrovsky equation  have  analyzed  by  using  Demina-Kudryashov  algorithm.  Firstly,  this  equation  was transformed to nonlinear ordinary differential equation by using travelling wave model and then by using this algorithm and based on Laurent series, the meromorphic solutions can be contructed. Finally, the general solutions was found. These solutions take form in three types, such as simply periodic, doubly periodic (elliptic solutions), and rational solution. And then, the special solution of this equation was showed by choosing a special condition.
Keywords : meromorphic solutions; Demina-Kudryashov algorithm; Ostrovsky equation.

## PENDAHULUAN
Dewasa  ini,  telah  dikembangkan  banyak metode  untuk  memperoleh  solusi  eksak  dari persamaan-persamaan  diferensial  nonlinear autonomos.  Beberapa  jenis  metode  tersebut yaitu  metode  fungsi  tanh-coth  [1];  metode modifikasi tanh-coth [2]; metode eksponensial [3,4],  metode G’/G [5],  dan  berbagai  metode modifikasi  lainnya  [6,7].  Namun,  muncul pertanyaan  penting  berikut.  Apakah  melalui metode-metode tersebut dapat diperoleh solusi- solusi  umum?  Atau  dengan  kata  lain,  apakah dapat  diperoleh  keluarga  solusi  ( solutions family ) dari persamaan diferensial yang dikaji? Tentu saja jawaban untuk pertanyaan ini hampir jarang  ditemukan  (beberapa  jawaban  dapat
dilihat pada [8,9,10]). Namun, pada tahun 2010, Maria  Demina  dan  Nikolay  Kudryashov memperkenalkan suatu algoritma penting yang dapat  digunakan  untuk  mengkonstruksi  solusi meromorfik (solusi yang bersifat umum) untuk persoalan di atas [9] .
Paper  ini  secara  khusus  membahas tentang solusi meromorfik persamaan Ostrovsky.  Persamaan  Ostrovsky  merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan suku  derivatif  tertinggi  berorde  tiga  yang ditemukan  dalam  fenomena  fisis  seperti tsunami [8,11,12,13]. Persamaan Ostrovsky ini mula-mula ditransformasi dengan menggunakan  model  penjalaran  gelombang untuk  meng-hasilkan  persamaan  diferensial
biasa  nonlinear  yang  selanjutnya  dengan menggunakan  algoritma Demina-Kudryashov akan dibentuk solusi meromorfik berupa solusi periode  tunggal,  solusi  periode  ganda  (solusi eliptik), dan solusi rasional. Struktur dari paper ini  adalah  sebagai  berikut.  Bagian  pertama merupakan pendahuluan. Bagian kedua membahas  tentang  solusi  meromorfik  dan algortima Demina-Kudryashov. Pada  bagian ketiga  dibahas  tentang  konstruksi  solusi meromorfik  berdasarkan  algoritma  tersebut. Sebagai  tambahan,  ditampilkan  suatu  solusi khusus  berdasarkan      salah  satu  solusi meromorfik yang diperoleh sebelumnya. Solusi khusus  ini  merupakan  bentuk  verifikasi terhadap  salah  satu  solusi  khusus  yang  telah terkenal selama ini [12,13].

## SOLUSI MEROMORFIK DAN ALGORITMA DEMINA-KUDRYASHOV
Misalkan ditinjau suatu persamaan autonomos [9,10]
0 )] ( [  z w E . (1)
Suatu persamaan autonomos dapat memiliki solusi  eksak  meromorfiknya  jika  persamaan tersebut  memiliki  solusi  Laurent  (ekspansi asimptotik)  persamaan  (1).  Solusi  eksak meromorfik persamaan (1) dapat dipenuhi oleh uraian Laurent berikut [8,9,10]
       m k m c m k z z k c z w . 0 ; 0 ; ) 0 ( ) ( (2)
Berikut  disajikan  suatu  teorema  penting sebagai  dasar  untuk  mengkonstruksi  solusi meromorfik. Tanpa mengurangi generalitasnya, untuk sementara konstanta 0 z tidak dimasukkan dalam perhitungan.
Teorema  1 . Semua  solusi  meromorfik  dari persamaan  (1)  dengan  hanya  satu  ekspansi asimptotik  yang  sesuai  untuk  uraian  Laurent dalam  suatu  lingkungan  pole 0  z memiliki bentuk :
1. Solusi eliptik dengan periode
2 2 , 1 2  
dengan  satu  pole  orde p memiliki
bentuk
0 ) 2 , 1 ; ( 2 2 2 )! 1 ( ) 1 ( ) ( h z p k k dz k d k k c k z w                     .

## (3)
Syarat  perlu  untuk  eksistensi  solusi eliptik adalah . 0 1   c
2. Solusi periode tunggal dengan periode T dan orde pole p memiliki bentuk
0 cot 1 1 1 )! 1 ( 1 ) 1 ( ) ( h T z k dz k d p k k k c k T z w                    
     
.
(4)
3. Solusi rasional 0 ; 1 0 ) (         m p k m k k z k c k z k c z w     m k m k z k h z w 0 . 0 ; ) ( (5)
Di mana, (1), (2), (3), k h , m k   0 meru- pakan konstanta-konstanta, dan  merupakan fungsi eliptik Weierstrass.
Berikut, disajikan algoritma
Demina- Kudryashov untuk  mengkonstruksi  solusi meromorfik. Pertama , persamaan (2) dimasukkan ke per-samaan diferensial nonlinear yang dikaji dan kemudian diekspansi di sekitar . 0  z Kedua , memilih bentuk solusi meromorfik  berdasarkan  teorema  1  di  atas. Solusi  meromorfik  yang  dipilih  dapat  berupa solusi  periode  tunggal,  solusi  eliptik,  maupun solusi  rasional.  Namun,  harus  diperhatikan syarat  perlu  eksistensi  solusi  meromorfik berdasarkan teorema tersebut. Ketiga , menguraikan  solusi  meromorfik  yang  telah dipilih di sekitar pole-nya. Keempat , membandingkan  koefisien-koefisien hasil eks- pansi  solusi  meromorfik  terhadap  solusi asimptotik  yang  telah  diperoleh  sebelumnya. Selanjutnya,  melakukan  perhitungan  aljabar untuk  menentukan  parameter-parameter  solusi meromorfik  yang  dibutuhkan.  Namun,  jika tidak  terdapat  kekonsistenan  antara  koefisien- koefisien  tersebut,  maka  persamaan  tersebut tidak memiliki solusi meromorfik sebagaimana solusi  meromorfik  yagn  diusulkan. Kelima , memverifikasi  solusi  meromorfik  yang  telah diperoleh  dengan  memasukkannya  kembali  ke persamaan diferensial nonlinear yang dikaji.

## SOLUSI MEROMORFIK PERSAMAAN OSTROVSKY
Persamaan  Ostrovsky  dapat  ditulis  sebagai berikut [8,12,13]
. 0 2 2 2 3              t x t x x t     
 (6)
Dengan menggunakan model penjalaran gelombang  ( traveling  wave ) ) ( ) , ( z w t x   ; t C x z 0   diperoleh . 0 2 2 2 3 3    dz dw w dz w d dz dw dz w d w (7)
Dengan  memasukkan  persamaan  (2)  ke  dalam persamaan (7) diperoleh uraian Laurent berikut
... 6 1800 4 0 4 4 2 10 2 0 0 2 6 ) (        z a z a z a a z z w (8)
Persamaan  (8)  merupakan  solusi  Laurent  dari persamaan (7). Solusi di atas memiliki pole orde dua dan mempunyai tiga konstanta sembarang yaitu 0 a , 4 a dan 0 z .
Terlihat dari persamaan (8) bahwa persamaan (7) hanya memiliki satu jenis solusi Laurent,  maka  dapat  dibentuk  satu  tipe  solusi meromorfik  berdasarkan  teorema  1  di  atas. Berikut  solusi-solusi  meromorfik  yang  dapat dibentuk.
Pertama,  terlihat  dari  solusi  Laurent  (8)  di atas bahwa residu 0 1   c maka dapat dibentuk solusi  eliptik.  Berdasarkan  persamaan  (3), diperoleh bentuk
0 2 ) ( h c z w     . (9)
Persamaan  di  atas  diekspansi  di  sekitar  titik
0  z menghasilkan (10)
Selanjutnya, dengan membandingkan koefisien-koefisien  persamaan  (10)  dan  (8), diperoleh
; 3 4 14 3 ; 3 2 0 2 0 0 ; 6 2 a g a g a h c        (11)
Dengan  demikian,  solusi  eliptik  persamaan Ostrovsky dapat dituliskan
. 0 3 4 14 ; 3 2 0 ; 6 ) ( a a a z z w                (12)
Berikutnya adalah membentuk solusi periode  tunggal.  Berdasarkan  persamaan  (4), diperoleh
  0 cot 2 ) ( h z L dz d c L z w     ,         (13)
atau persamaan di atas menjadi   z L L c L c h z w 2 cot 2 2 0 ) (      .           (14)
Dengan  mengekspansi  persamaan  (13)  atau (14), diperoleh
(15)
Selanjutnya,  membandingkan  persamaan  (15) dengan persamaan (8), diperoleh
(16)
Sehingga,  solusi  periode  tunggal  persamaan Ostrovsky dapat ditulis
. 2 cot 6 4 0 ) (          z j L j L j L a z w (17)
Kemudian,  berdasarkan  solusi  Laurent  (8), maka solusi rasionalnya memiliki bentuk
. 0 2 ) ( 6 a z z w    (18)
Berikut disajikan pemilihan keadaan khusus untuk  mendapatkan  solusi  khusus  persamaan Ostrovsky berupa solusi fungsi tanh. Bagian ini digunakan  salah  satu  solusi  meromorfik  yaitu solusi  periode  tunggal  (17)  namun  dengan menyatakannya  secara  utuh  (konstanta 0 z
... 6 1200 2 2 2 4 28 3 2 2 20 2 2 0 2 2 ) (
   
    
 z g c z g c z g c h z c z w ... 4 189 3 2 2 2 15 2 2 3 2 0 2 2 ) (           z L c z L c L c h z c z w 1 2 ; 1 1 ; 4 0 ; 2 0 0 ; 6 2             j a j L j L a h c
kembali  dimasukkan  dalam  perhitungan) sebagai berikut (19)
Terdapat identitas
  coth ) cot( i i   , (20)
       
2 coth tanh    i , (21)
Dengan  memilih 0  j L ,  maka  identitas cotangen  persamaan  persamaan  (19)  akan menjadi  cotangen  hiperbolik.  Terlihat  juga bahwa  cotangen  hiperbolik  dan  tangen hiperbolik  hanya  berbeda  fase  sebesar 2 /  i , maka kita dapat memilih fase di mana  digeser sejauh 2 /  i sehingga  identitas  cotangent hiperbolik  menjadi  tangen  hiperbolik.  Oleh karena  itu,  dengan  memilih 2 / 0  i z  dan dengan memanfaatkan identitas (21), persamaan (19) menjadi
. 2 tanh 6 4 0 ) (          z j L j L j L a z w (22)
Dari  definisi ) , ( ) ( t x z w   ; t C x z 0   ,  maka
persamaan (22) dapat ditulis
. ) 0 ( 2 tanh 6 4 0 ) (           t C x j L j L j L a z w
(23)
Solusi  (23)  ini  merupakan  konfirmasi
terhadap solusi well-known persamaan Ostrovsky  [12,13].  Ini  menunjukkan  bahwa solusi  yang  meromorfik  yang  diperoleh  ini bersifat  umum.  Solusi  (23)  merupakan  solusi yang  dikenal  dengan  nama  solusi  soliton persamaan  Ostrovsky.  Dengan  demikian  telah terbukti bahwa solusi soliton di atas merupakan salah  satu  solusi  khusus  dari  persamaan Ostrovsky.  Ini  menunjukkan  bahwa  solusi meromorfik  dalam  kajian  ini  menyediakan beberapa  kemungkinan  solusi traveling  wave lain  di  samping  solusi  soliton  tersebut.  Kita dapat  memilih  keadaan  yang  memungkinkan untuk membentuk solusi khusus lain berdasarkan  syarat-syarat  eksistensi  solusi meromorfik di atas.

## SIMPULAN DAN SARAN
Dalam  paper  ini,  telah  dikaji  solusi meromorfik  persamaan  Ostrovsky.  Solusi
meromorfik  yang  dikaji  berupa  solusi  periode tunggal,  periode  ganda  (solusi  eliptik),  dan solusi rasional. Solusi-solusi meromorfik yang diperoleh ini merupakan ”keluarga solusi” dari persamaan  Ostrovsky,  yang  darinya  dapat diturunkan  solusi-solusi  khusus  bentuk  lain dengan memanfaatkan identitas-identitas trigonometri, fungsi hiperbolik, maupun konstan-kontanta. Konstruksi solusi meromorfik persamaan Ostrovsky ini didasarkan pada algoritma yang diperkenalkan oleh  Maria  Demina  dan  Nikolay  Kudryashov pada tahun 2010. Algoritma ini mengacu pada eksistensi uraian Laurent persamaan diferensial nonlinear.  Algoritma  ini  juga  menjadi  suatu metode  yang  sangat powerful sehingga  dapat diterapkan  dalam  pemecahan  persoalan  atau persamaan-persamaan  serupa  yang  tentunya didasarkan  pada  syarat-syarat  eksistensi  solusi yang diberikan. Sebagai bagian akhir, juga telah diberikan  suatu  bentuk  solusi  khusus,  yang mana  merupakan  solusi  soliton  persamaan Ostrovsky yang sudah sangat terkenal.

## DAFTAR PUSTAKA
1. S.  Cesar  A.  Gómez,  Alvaro  H.  Salas, Bernardo  Acevedo  Frias.  2010.  “New periodic  and  soliton  solutions  for  the Generalized  BBM  and  Burgers–BBM equations”,  Applied  Mathematics  and Computation 217 . 1430–1434.
2. Wazzan L. 2009 . “A modified tanh-coth method for solving the KdV and the KdV- Burgers  equations”  Commun.  Nonlinear Sci. Numer. Simulat; 14: 443-50.
3. Inan  Ibrahim E. and Yavuz Ugurlu. 2010. “Exp-function  method  for  the  exact solutions of fifth order KdV equation and modified  Burgers  equation”,  Applied Mathematics and Computation 217. 1294– 1299.
4. Borhanifar    A. and M.M.  Kabir.  2009. “New  periodic  and  soliton  solutions  by application  of  Exp-function  method  for nonlinear evolution equations”, Journal of Computational  and  Applied  Mathematics 229 . 158-167.
5. Li.  Zi-Liang. 2010. “Constructing of new exact  solutions  to  the  GKdV–mKdV equation  with  any-order  nonlinear  terms by  ( G’/G )  -expansion  method”,  Applied
  . ) 0 ( 2 cot 6 4 0 ) ( z z j L j L j L a z w    
Mathematics  and  Computation  217  . 1398–1403.
6. Akbar M. A. 2013. Norhashidah H. M. A. and  S.  T.  Mohyud-Din,  “Assessment  of the  further  improved G’/G -expansion method  and  the  extended  tanh-method  in probing  exact  solutions  of  nonlinear PDEs”, Akbar et al. SpringerPlus, 2:326.
7. Li Z. And Zhengde Dai. 2010. “Abundant new  exact  solutions  for  the ( 3+1 ) - dimensional  Jimbo–Miwa  equation”,  J. Math. Anal. Appl. 361 . 587–590.
8. Kudryashov  N.  A.  2011.  “Meromorphic solutions of nonlinear ordinary differential equations”, arXiv: 1201.0126v1 [nlin.SI].
9. Demina,  M.  V  and  N.  A  Kudryashov.
2011. Explicit expressions for meromorphic  solution  of  autonomous nonlinear ordinary differential equations”, arXiv: 1112.5445v1 [nlin.PS].
10. Lalus  H.  F.  2014.  “Solusi  Meromorfik Persamaan Korteweg-de Vries, Kawahara, Ginzburg-Landau, dan  Aplikasinya”, Tesis S2, Institut Teknologi Bandung.
11. Drazin  P.  G.  and  R.  S.  Johnson.  1996. “Solitons  :  an  Introduction”,  Cambridge University Press.
12. Kangalgil  F.,  Ayaz  F..  2008.  New  exact travelling wave solutions for the
Ostrovsky equation,
Phys. Lett. A;372:1831 – 1835.
13. Koroglu  C.,  Ozis  T.  2009.  New  exact travelling wave solutions for the
Ostrovsky  equation  using  Exp-function method, Comput. Math. Appl.
doi:10.10.1016/j.camwa.2009.03.028.