## GETARAN BEBAS PADA BALOK KANTILEVER

## Kusdiman Joko Priyanto

## Abstrak
Pada  dasarnya  sistem  pegas  massa  dengan  satu  derajat  kebebasan (single degree  of  freedom) merupakan  sebuah konsep  dasar  yang  diperlukan  dalam menganalisa  dinamika  struktur, dimana matrik  massa  terpusat  dan  matrik  massa konsisten  yang  diperlukan untuk menganalisa  sebuah  batang  dan  balok dapat diturunkan  secara  detail.  Besarnya  waktu  getar  alami  sebuah  batang  kantilever  dan balok yang terjepit pada ujungnya dihitung dengan menggunakan matrik massa terpusat dan matrik massa konsisten.
Kata kunci : derajad kebebasan, matrik massa, waktu getar alamai

## 1. PENDAHULUAN.
Pada  dasarnya  sistem  pegas  massa dengan satu derajat kebebasan merupakan  sebuah  sistem  dasar  yang digunakan  dalam  mempelajari  sebuah sistem  kontinu  seperti  sebuah  batang balok  dan  rangka  batang.  Untuk  sebuah sistem pegas massa pada persamaan (1) berlaku hubungan sebagai berikut :
mx + kx = F(t) (1)
Massa  dinyatakan  dengan  m,  k adalah  kekakuan  pegas  dan  F(t)  adalah fungsi beban  yang  tergantung  pada waktu.  Persamaan-1 diatas  dapat  secara mudah diturunkan dengan menggunakan hukum  Newton  II.  Persamaan  (1)  diatas juga  merupakan  persamaan  diferensial tingkat  dua  yang  solusinya  terdiri  dari solusi homogen dan solusi non
homogen.
Solusi  analitis  dari  persamaan  (1) diselesaikan  dengan  cara  numerik,  bila sisi  sebelah  kanan  dari  persamaan  (1)
sama  dengan  nol,  maka  akan  didapat persamaan homogen sebagai berikut :
x +  2 x = 0 (2)
ω =  (k/m) 1/2 adalah  waktu  getar  alami sistem. Dengan memperhatikan persamaan  (2)  besarnya  waktu  getar alami  tergantung  pada  kekauan    (k)  dan massa  (m).  Gerak  yang  dinyatakan dengan  persamaan  (2)  diatas  dinamakan persamaan gerak harmonik sederhana.
Bila  fungsi  perpindahan  sepanjang sumbu x elemen batang tersebut bersifat linier,  maka  fungsi  perpindahan  tersebut dapat  dinyatakan  dengan  hubungan berikut :
û = a 1 + a 2 x (3)
Gambar 1 : sisitem pegas massa
k m F(t)
x

## 2. PERSAMAAN ELEMEN HINGGA
Persamaan  elemen  hingga untuk sebuah  batang  dapat  diturunkan  dengan menggunakan sebuah  diagram  batang bebas (free body) berikut :
Gambar 2 : elemen batang dengan beban f 1 (t) dan f 2 (t).
Persamaan  (3)  diatas  dapat  dinyatakan dengan bentuk fungsi sebagai berikut :
û   = N 1 d 1 + N2 d 2 (4)
N1 = 1  L x
(5.a)
N2 = L x
(5.b)
Bila  hubungan  antara  regangan  dan perpindahan  dapat  dinyatakan  sebagi berikut :
{ } x  = [ ]{ } d B dx du . = (6)
dimana : [ ]    − = L L B 1 1 (7.a)
{ }       = 2 1 d d d
(7.b)
Maka  hubungan  antara  tegangan  dan regangan  dapat  dinyatakan  sebagai berikut :
{ } [ ]{ } [ ][ ]{ } d B D x D x . . . = =   (8)
[ ] D = adalah matriks elastisitas

## 3. MATRIKS MASSA
3.1. Matriks massa terpusat
Pada  umumnya  sebuah  system tidak  berada  dalam  kondisi  seimbang akibat  beban  yang  tergantung  pada waktu sehingga besarnya f 1 (t) tidak sama dengan  t 2 (t). Dengan  menggunakan hukum  Newton  II  yaitu  f =  m  .  a  untuk setiap  nodal  sesuai  dengan  gambar  (2) maka didapat hubungan berikut :
f e = f 1 (t) + m 1 2 1 2 t d ∂ ∂ f e = f 2 (t) + m 2 2 2 2 t d ∂ ∂ (9) f 2 (t),d 2 f 1 (t),d 1 L 1 2
dimana : f 1 dan  f 2 adalah gaya luar
Matriks  massa  m 1 dan  m 2 dapat dihitung  dengan  menggunakan  metode massa  terpusat  yang  bekerja  pada  nodal
1 dan
nodal 2.
Besarnya  massa  terpusat  tersebut pada masing-masing nodal adalah :
m 1 = L A. . . 2 1 
( 10.a)
m 1 = L A. . . 2 1 
( 10.b)
dimana ρ adalah  massa  jenis, L  adalah panjang  elemen  batang  dan  A  adalah luas  penampang  batang.  Bila  persamaan (9) ditulis  dalam  bentuk  matriks,  maka akan didapat :
      2 1 f f =       ) ( ) ( 2 1 t f t f +       2 1 0 0 m m .             ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 . t d t d d
(11)
Bila  {f}  adalah  persamaan (11) dinyatakan  sebagai  perkalian  antara matriks  kekakuan [ ] k dan  matriks perpindahan  nodal  {d}  maka  akan didapatkan hubungan sebagai berikut :
{ } e f = [ ]{ } [ ]{ } d m d k + . (12)
dimana :
[ ]       − − = 1 1 1 1 L AE k (13)
{ }             ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 1 2 . . t d t d d (14)
[ ]       = 1 0 0 1 2 . . L A m  (15)
Matriks [ ] k diatas  adalah  matriks kekakuan  elemen  batang  yang  secara mudah  dapat  diturunkan,  sdangkan matriks [ ] m merupakan  matriks  massa terpusat.  Matriks  massa  terpusat  sesuai dengan  persamaan (15) merupakan matriks diagonal. Sifat matriks diagonal akan mempermudah dalam pemecahan persamaan  secara  global.  Akan  tetapi keakuratan  solusi  yang  didapat  tidak sebaik  bila  digunakan  matriks  massa konsisten.

## 3.2. Matriks massa konsisten
Banyak metode yang dapat digunakan  untuk  mendapatkan  matriks massa  konsisten.  Metode  yang  biasa digunakan  adalah  metode  kerja  virtual yang  merupakan  dasar  dari  berbagai macam prinsip energi. Dengan menggunakan  prinsip  energi  tersebut, maka  matriks  massa  konsisten  dapat dinyatakan sebagi berikut :
[ ] { } { } ∫∫∫ = V T dv N N m  (16)
dimana  (n)  adalah  fungsi  bentuk  dan  V adalah volume / isi.
Matriks [ ] m ini dinamakan matriks massa konsisten yang didapat dengan menggunakan  fugsi  bentuk  {N}  yang digunakan  untuk  mendapatkan  matriks kekauan.
Secara  umum  matriks

## [ ]
m ini merupakan  matriks  penuh  yang  bersifat simetris dan untuk sebuah elemen batang adalah
[ ] ∫∫∫       −     
     − = V dV L x L x L x L x m . 1 . 1  (17)
Bila persamaan 17 disederhanakan maka didapatkan hubungan sebagai berikut :
[ ] ∫       −           − = L dx L x L x L x L x A m 0 . 1 . 1 . 
(18)
Dengan  melakukan  integrasi  sepanjang batang  maka  matriks  massa  konsisten adalah :
[ ]       = 2 1 1 2 . . . 6 1 L A m  (19)

## 4. WAKTU GETAR ALAMI
Waktu  getar  alami  sebuah  batnag dapat dipecah melalui persamaan sebagai           berikut :
[ ]{ } [ ]{ } d K d M . . + = 0 (20)
dimana: [ ] M adalah  matriks  kekauan total
[ ] K adalah  matriks  kekauan batang.
Solusi  homogen  persamaan (20) adalah sebuah  persamaan  harmonic  yang  dapat dinyatakan sebagai berikut :
{ } { } t e d t d . . 1 1 . ) (  = (21)
dimana:  (d)  adalah  mode  alami  yang diasumsikan tidak bergantung waktu.
ω adalah waktu getar alami sIstem.
Bila persamaan (21) dideferensiasikan  dua  kali  terhadap waktu maka didapat :
{ } { }( ) t e d t d . . 1 2 ' . ) (   − = (22)
Dengan  memasukkan  hubungan    antara persamaan (21) dan (22) kedalam persamaan (20) maka didapatkan :
−ω 2 [ ] { } [ ]{ } t i t i e d K e d
M   . . . . ' ′ + = 0 (23)
atau :
e t i  [ ] [ ] ( ) { } 0 . . 2 = ′ − d M K  (24)
Karena    (e t i  )  tidak  sama  dengan  nol, maka  bila  persamaan  24  dibagi  dengan (e t i  )  akan  didapatkan  hubungan  sebagi berikut : [ ] [ ] ( ) { } 0 . . 2 = ′ − d M K  (25)
Pada  persamaan (25) merupakan sistem  persamaan  homogen    linier dalam (d’). Persamaan tersebut mempunyai  solusi  yang  bersifat  non trivial  bila  determinan  matriks  koefisien (d’) sama dengan nol, atau :
[ ] [ ] ( ) 0 . 2 = − M K  (26) Pada persamaan (26) diatas
merupakan persamaan aljabar derajat (n) dimana  (n)  merupakan  jumlah  derajat kebebasan  sesuai  dengan  masalah  yang ditinjau.  Untuk  mendapatkan  besarnya waktu  getar  alami  sistem  di bawah  ini akan  ditunjukkan  hasil  perhitungan waktu getar alami sebuah batang.
Untuk  menganalisa  getaran  bebas sebuah  balok  diperlukan  matriks  massa konsisten  atau  matriks  massa  terpusat. Persamaan yang digunakan dalam analisis  getaran  bebas  sebuah  balok hamper  sama  dengan  persamaan  yang digunakan  untuk  menganalisis  sebuah batang.  Matriks  massa  terpusat  untuk sebuah  elemen    balok  dapat  dinyatakan sebagai berikut :
[ ]
2 2 1 1 . . . 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2 . .    ′ ′ ′ ′             = ′ y d y d L A m (27)
ρ adalah  massa  jenis,  A  adalah  luas penampang  balok,  L  adalah  panjang balok.
Derajat kebebasan yang berhubungan  dengan  elemen  balok tersebut adalah perpindahan vertiKal dan putaran sudut dinodal 1 dan dinodal 2.
Berdasarkan persamaan (27) massa balok  keseluruhan  terbagi  menjadi  dua buah massa terpusat dinodal 1 dan nodal 2.
Gambar  3  :  derajat  kebebasan  elemen balok
Seperti halnya pada sebuah batang,
maka untuk sebuah balok matriks massa konsistennya dapat diturunkan berdasarkan fungsi bentuk. Fungsi bentuk untuk sebuah balok adalah :
N1 = 3 1 L { } 3 2 3 . 3 2 L L X X + − N2 = 3 1 L { } 3 2 2 3 . 2 XL L X L X + − N3 = 3 1 L { } L X X . 3 2 2 3 + − N4 = 3 1 L { } 2 2 3 . 2 L X L X − (28)
Dengan  menggunakan  fungsi  bentuk sesuai  dengan  persamaan (28) diatas maka  matriks  massa  konsisten  sebuah balok adalah :
[ ] [ ] [ ] ∫∫∫ = ′ V T dV N N m . .  φ 2’ φ 1’ 1 2 L x’
=
{ } x d dA N N N N N N N N L A ′             ∫∫∫ . . 4 3 2 1 0 4 3 2 1  persm. (29)
Dengan  menyelesaikan  persamaan (29),  maka  matriks  massa  konsisten sebuah elemen balok adalah :
[ ]    
        − − − − − − = ′ 2 2 2 2 4 22 3 13 22 156 13 54 3 13 4 22 13 54 22 156 420 . . L L L L
L L L L L L L l L A m 
persm. (30)
Untuk  menganalisa  getaran  bebas sebuah balok diperlukan matriks kekakuan elemen balok. Matriks kekauan  elemen  balok  tersebut  dapat diturunkan  berdasarkan  fungsi  bentuk sesuai dengan persamaan (28), yaitu :
[ ]             − − − − − − = ′ 2 2 2 2 3 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 L L L L L L L L L L L L L EI k
(31)
dimana:
E : modulud elastisitas
I : momen inersia penampang
L : panjang elemen
Bila  matriks  massa  terpusat  atau matriks  matriks  massa  konsisten  dan matrik  kekakuan  elemen  balok  sesuai dengan  persamaan (31) dimasukkan kedalam persamaan (26) maka didapatkan  waktu  getar  alami  sebuah elemen balok.

## 5. PERHITUNGAN NUMERIK.
Getaran  bebas  sebuah  batang, seperti  pada  gambar  4  sebuah  batang sepanjang  2L  mempunyai  moduldus elastisitas  E,  luas  penampang  A  dan massa  jenis ρ terjepit  pada  posisi  x  =  0 dan  bebas  pada  posisi  x  =  2L.  Untuk mendapatkan  harga  waktu  getar  alami batang,  pertama  batang  tersebut  dibagi menjadi  2  buah  elemen  dengan  panjang masing-masing elemen sama dengan L
Gambar 4 : batang dianalisa sepanjang L
Bila  batang  tersebut  dianalisa sebagi batang 3 nodal yang terdiri dari 2 buah  elemen  dengan  panjang  masing- masing elemen L, maka matriks kekauan
3 2 1
elemen 2 elemen 1 L L
elemen  untuk  masing-masing  elemen adalah :
[ ]       − − = 1 1 1 1 1 L AE K (32) [ ]       − − = 1 1 1 1 2 L AE K (33)
Dengan  merakit  matriks  kekakuan elemen  sesuai  dengan  persamaan (32) dan (33) akan didapat matriks  kekakuan total [ ] K untuk batang tersebut adalah :
[ ]           − − − − = 1 1 0 1 2 1 0 1 1
L AE K (34)
Selanjutnya  dihitung  besarnya  matriks massa terpusat [ ] m untuk masing-masing elemen. Besarnya matriks massa terpusat untuk elemen 1 dan elemen 2 adalah :
[ ]       = 1 0 0 1 2 . 1 AL m  (35)
[ ]       = 1 0 0 1 2 . 2 AL m  (36)
Matriks masa terpusat total didapat dengan  merakit  matriks  massa  trpusat elemen 1 dan elemen 2 sesuai persamaan (35) dan (36) yaitu :
[ ]           = 1 0 0 0 2 0 0 0 1 2 . . L A M  (37) Dengan memasukkan matriks kekauan  total [ ] K sesuai  dengan
persamaan (34) dan  matriks  massa terpusat  total [ ] M
sesuai  dengan persamaan (37) kedalam persamaan (26) serat digunakan syarat batas d 1 = 0 maka didapat persamaan berikut :
0 ). 2 ( ) 2 .( 2 2 2 2 2 2 = − − − −       L E L E L E L E (38)
Bila  diterminan  dalam  persamaan (38) dievaluasi maka didapat  besarnya waktu getar alami system sebagai berikut :
ω 1 = 0.7654 2 L E  ω 2 = 1.8478 2 L E

## 
Bila  matriks  massa  konsisten  digunakan dalam  analisis  tersebut  maka  matriks massa konsisten total merupakan sebuah matriks  penuh  yang  bersifat  simetris sebagi berikut :
[ ]           = 2 1 0 1 4 1 0 1 2 6 . . L A M  (39)
Dengan memasukkan matriks massa  konsisten  total      sesuai  dengan persamaan  (39)  dan  matriks  kekakuan total      sesuai  dengan  persamaan  (34) dengan  syarat  batas                      d1  =  0 kedalam  persamaan  (26)  maka  didapat persamaan berikut :
0 2 1 1 4 6 . . 1 1 1 2 2 =       −       − − AL
L AE  
(40) Dengan mengevaluasi bentuk persamaan  (40)  diatas  maka  besarnya waktu  getar  alami  sistem  adalah  :
Tabel 1 : Hasil perhitungan waktu getar alami massa terpusat batang kantilever.
Jml. elm.
(n) ω 1 µ ω 2 µ ω 3 µ ω 4 µ ω 5 µ ω 6 µ ω 7 µ ω 8 µ ω 9 µ ω 10 µ 2 0.7654 1.8478 3 0.7764 2.1213 2.8978 4 0.7804 2.2223 3.3259 3.9231 5 0.7822 2.2700 3.5355 4.4550 4.9384 6 0.7832 2.2961 3.6526 4.7601 5.5433 5.9487
Keterangan : µ = 2 L E 
Tabel 2 : Hasil perhitungan waktu getar alami massa konsisten batang kantilever.
Jml. elm.
(n) ω 1 µ ω 2 µ ω 3 µ ω 4 µ ω 5 µ ω 6 µ ω 7 µ ω 8 µ ω 9 µ ω 10 µ 2 0.8057 2.8147 3 0.7944 2.5981 4.7133 4 0.7904 2.4946 4.5297 6.5503 5 0.7886 2.4441 4.3301 6.4932 8.3517 6 0.7876 2.4171 4.2094 6.2482 8.4440 10.132 0 Keterangan : µ = 2 L
E 

## 6. KESIMPULAN.
Dari  hasil  uraian  di  atas  dapat diambil  beberapa  kesimpulan  sebagai berikut :
1. Pendekatan  dengan  massa  terpusat menghasilkan  matriks  massa  total yang  bersifat  simetris,  sehingga mempermudah perhitungan.
ω 1 = 0.8057 2 L E  ω 2 = 2.8147 2 L E 
Sebagai  pembanding  waktu  getar  alami system dasar yang dihitung secara eksak adalah :
ω 1 = 0.7848 2 L E 
2. Analisa  dengan  menggunakan  massa terpusat  memberikan  hasil  yang  baik dari  pada  massa  dibanding  dengan massa konsisten.
3. Metode  massa  konsisten  merupakan metode  yang  konvergen,  dengan jumlah  elemen  yang  tidak  terlalu banyak, waktu getar alami dasar yang didapat mendekati harga sebesanrnya.

## 7. DAFTAR PUSTAKA.
Reddy,  J.N.  (1993), An  Introduction  to the Finite Element Method, Mc.
Graw Hill.
Weaver,  William  Jr.,  Paul  R.  Johnston (1984), Finite  Elements  For Structural  Analysis,  Prentice Hall, New Jersey.
Sofia  W.  Alisjahbana  (1998), Prinsip Dasar  Metode  Elemen  Hingga,
Universitas Tarumanegara Jakarta. Katili,  I.  (1999), Aplikasi  Metode Elemen  Hingga  Pada  Rangka, Universitas Indonesia Jakarta.
Katili,  I,  (2008), Metode  Elemen Hingga  Untuk  Skeletal,  Raja
Grafindo Persada Jakarta
Biodata Penulis :
Kusdiman  Joko  Priyanto. S1- Struktur
FTSP UTP Surakarta  (1996).  S2- Struktur MTS UNDIP Semarang (2009).