ANALISIS KESTABILAN MODEL PREY-PREDATOR DENGAN PEMANENAN KONSTAN PADA IKAN PREY
Luluk Ianatul Afifah 1 , Usman Pagalay 2
1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
e-mail: lu2k.iana@yahoo.co.id 1 , usmanpagalay@yahoo.co.id 2

## ABSTRAK
Model Prey-predator merupakan  salah  satu  model  interaksi  antara  dua  spesies  yang  berbentuk persamaan  diferensial  biasa  nonlinier.  Tujuan  dari  penelitian  ini  yaitu  untuk  menganalisis  model prey- predator dengan  pemanenan  konstan  pada  ikan prey dan  melakukan  intepretasi  pada  model  tersebut berdasarkan  simulasi  yang  dilakukan.  Dengan  menggunakan  nilai  pemanenan 0 ≤ ℎ ≤ ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠, dimana ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 merupakan  nilai  pemanenan  maksimu.  Maka  didapatkan  lima  titik  kesetimbangan  yang  terdapat satu titik kesetimbangan yang stabil dengan jenis titik simpul dan jenis kestabilan berupa stabil asimtotik. Dari simulasi yang dilakukan dengan tiga kondisi nilai pemanenan yaitu ketika ℎ < ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 , ℎ = ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 dan ℎ > ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 .  Maka  dapat  disimpulkan  bahwa  jika  nilai  pemanenan  melebihi  nilai  pemanenan  maksimum maka  model  tersebut  tidak  stabil  dan  populasi  ikan prey akan  punah  dan  diikuti  oleh  populasi  ikan predator .  Pada  penelitian  selanjutnya  dapat  dilakukan  analisis  pada  model prey-predator dengan memberikan  perlakuan  pemanenan  berupa  konstan  pada  kedua  spesies  dan  selain  itu  juga  dengan memberikan  perlakuan  pemanenan  berupa  fungsi  pemanenan  kepada  salah  satu  spesies  atau  kedua spesies.
Kata Kunci : model prey-predator, pemanenan maksimum, kestabilan.

## ABSTRACT
A prey-predator model is one of  interaction models between the two species populations in the from system  of  nonlinier  defferential  equations.  The  aim  of  this  study  is  to  analysis  a  pre-predator  model  with harvesting at the prey and interpret the model based  on simulation. The value of the harvesting used is 0 ≤ ℎ ≤ ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 , where ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 is  maximum value of the Harvesting. Then  there are five equilibrimu point obtained in which there is one  stabile point in typenode point andthe type ofasymptotically  stability. The results of the simulations, simulation done by three conditions of  the harvesting is ℎ < ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 , ℎ = ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 and ℎ > ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 . Then we can conclude that if the value of the harvesting exceeds maximum value of the harvesting then the model was unstable and the population of prey will thet will be followed by the extinction of predator fish. Further research canbe donein a  prey-predator modelwith a giventreatmentharvestingconstant to the two ofthem and what istreatment in the form of a harvesting functionfor one or two spesies.
Key Words : prey-predator model, maximum harvesting, stability.

## 1. PENDAHULUAN
Salah  satu  bentuk  interaksi  pada makhluk  hidup  yaitu  saling  memangsa  antara spesies satu dengan lainnya demi kelangsungan hidupnya.  Dalam  matematika  model  tersebut dinamakan model prey-predator yang diperkenalkan oleh Vito Volterra. Pada kasus ini pemanenan  yang  dilakukan  pada  populasi  ikan prey berupa  konstan.  Menurut  [1],  pemanenan yang  berupa  konstan  pada  ikan  tidak mengalami  kenaikan  maupun  penurunan disetiap  tahunnya.  Dalam  penelitian  ini diasumsikan  pemanenan  yang  dilakukan  bisa mendapatkan hasil yang maksimum.
Terdapat salah satu konsep pemanenan yaitu  pemanenan  maksimum  disebut  juga sebagai Maximum  Susteinable  Yield (MSY). Secara  teoritis  MSY  merupakan  jumlah tangkapan  ikan predator terbesar  yang  dapat diambil  dari  persediaan  suatu  jenis  ikan prey dalam jangka waktu yang tak terbatas.
Terdapat beberapa penelitian terdahulu  mengenai  kasus  ini  yaitu  penelitian oleh  [2],  penelitian  tersebut  tentang Maximum Susteinable Yield (MSY) pada perikanan dengan struktur prey-predator ,  Kemudian  penelitian yang dilakukan oleh [3], tentang analisis model mangsa-pemangsa  Michaelis-Menten  dengan pemanenan  konstan  pada  populasi prey . Kemudian  penelitian  yang  dilakukan  oleh  [4],
tentang Effort  Dynamics  in  a  Prey-Predator Model with Herfesting . Pada penelitian tersebut membahas  tentang  kestabilan  model prey- predator dengan  pemanenan    yang  berupa fungsi  pada  populasi  ikan prey .  Sedangkan dalam  penelitian  tersebut  belum  dibahas mengenai    model prey-predator dengan pemanenan  konstan.  Maka  penulis  akan menganalisis kestabilan dan membuat simulasi dari  model prey-predator dengan  pemanenan konstan  pada    ikan prey berdasarkan  model dari [4].

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Model Prey-predator
Menurut  [5],  model Prey-predator merupakan  sistem  persamaan  nonlinier  dan tidak  ada  cara  yang  diketahui  untuk menyelsaikan  secara  eksplisit,  meskipun demikian  dimungkinkan  dengan  menggunakan teori  kualitatif  mengenai  sistem  semacam  itu. Menurut  Waluya  (2006),  terdapat  dua  kunci konsep dalam sistem nonlinier yang menentukan  semua  hasil  dinamik.  Dua  konsep tersebut  adalah  titik  kesetimbangan  (titik equilibrium) dan kestabilan.

## 2.2 Model Pemanenan Ikan Prey
Menurut  Verhust  pada  buku  [6], diberikan model logistik sebagai berikut 𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(𝑡) (1 − 𝑁(𝑡) 𝐾 ) (1)
dari  model  pertumbuhan  (2.1)  dengan diberikan nilai r = 0.08 dan nilai K = 100, maka grafik pertumbuhan maksimum dari N(t) yaitu
Gambar 1.  Grafik Pertumbuhan Maksimum dari Persamaan (1) dengan 𝑟 = 0.8 dan 𝐾 = 100
Pada  Gambar  1  bahwa  terdapat  dua titik  kesetimbangan  yaitu 𝑁 1 = 0 dan 𝑁 2 = 𝐾 . Terlihat  bahwa  grafik  memenuhi  titik kesetimbangan 𝑁 1 = 0 ,  maka  dapat  diartikan makhluk  hidup  tumbuh  jumlahnya  tidak  akan mendekati  nilai  nol,  karena  makhluk  hidup tumbuh dan berkembang.  Pada grafik  tersebut garis    menuju  ke  titik  kesetimbangan  kedua yaitu 𝑁 2 = 𝐾 ,  maka  pada  titik  kesetimbangan kedua stabil.
Menurut [3], maka terdapat pertumbuhan  populasi N(t) maksimum  diberi simbol 𝑁(𝑡) ∗ ,  sesuai  pada  gambar  (2.1),  dapat dilihat  nilai  pertumbuhan  maksimum  dari populasi N(t) yaitu 𝑁(𝑡) ∗ = 𝐾 2 (2)
sehingga  populasi N(t) akan  mencapai  nilai maksimum  pada  kondisi  setengah  dari  daya dukung lingkungan.
2.3 Linierisasi Persamaan Deferensial
Biasa  Autonomus
Menurut  [7],  dalam  suatu  sistem autonomus seperti berikut:
𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑔(𝑥, 𝑦)
untuk 𝑓 dan 𝑔 adalah nonlinier, kemudian akan dicari  pendekatan  pada  sistem  linier  di  sekitar (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) menggunakan    deret  Taylor,  untuk menghilangkan  suku  nonliniernya  sebagai berikut:
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) + 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )(𝑥−𝑥 ∗ ) + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )(𝑦−𝑦 ∗ ) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) + 𝜕𝑔 𝜕𝑥 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )(𝑥−𝑥 ∗ ) + 𝜕𝑔 𝜕𝑦 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )(𝑦−𝑦 ∗ )(3)
Misal (𝑥−𝑥 ∗ ) = 𝑣 dan (𝑦−𝑦 ∗ ) = 𝑢 maka  untuk 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝑑𝑡 dan 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 pada  keadaan setimbang 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) = 0 dan 𝑔(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) = 0 , kemudian disubtitusikan pada sistem persamaan  (3)  dan  sistem  persamaan  linear pada  titik  kesetimbangan (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) diberikan dengan
[ 𝑢 𝑣 ] = [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝜕𝑔 𝜕𝑦 ] (2.9)
dimana semua turunan parsial di dalam matriks adalah dievaluasi pada (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) yang lebih dikel sebagai matriks Jacobi

## 2.4 Titik Kestabilan Sistem Autonomous
Menurut  [8],  terdapat  beberapa kemungkinan  dari  nilai  akar-akar  karakteristik 𝜆 1 dan 𝜆 2 tersebut,  maka  jenis  titik kesetimbangan (0,0) dapat digolongkan seperti pada Tabel 1 berikut:

## 2.5 Potret Fase dari Sistem Autonomous
Menurut  [5],  gambar  semua  trayektori dari  suatu  sistem  disebut  potret  fase  dari sistem.  Potret  fase  dari  sebuah  sistem  hampir seluruhnya bergantung pada akar 𝜆 1 dan 𝜆 2 .
Tabel 1. Jenis-jenis Kestabilan dari Titik
Kesetimbangan (0,0) Nilai Akar- akar Persamaan Karakteristik Jenis dari Titik Kesetimbangan (0,0) Jenis Kestabilan Real, berbeda dan bertanda sama Titik simpul ( node ) Stabil asimtotok bila akar-akar negatif, tidak stabil bila akar- akar positif Real, berbeda dan berbeda tanda Titik plana ( saddle point ) Tidak stabil Real dan sama  Titik bintang ( star ) Stabil asimtotik bila akar-akar negatif, tidak stabil bila akar – akar positif Kompleks tapi tidak imajiner murni Titik spiral ( spiral point ) Stabil asimtotik bila bagian real dari akar-akar negatif, tidak stabil bila bagian real dari akar- akar positif Imajiner murni Titik pusat ( center ) Stabil, tetapi tidak stabil asimtotik Sumber: [8]

## 3. PEMBAHASAN
3.1 Model Prey-predator dengan
Pemanenan Konstan pada Ikan prey
Berikut diberikan diagram model prey- predator dengan pemanenan konstan  pada ikan prey yaitu sebagai berikut:
Gambar 2. Diagram Model Prey-predator dengan Pemanenan Konstan pada Ikan Prey
Pada  Gambar  (2)  tersebut  dapat dirumuskan  menjadi  model  matematika    oleh Kar dan Cakraborty (2010) sebagai berikut: 𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝑟𝑥(𝑡) (1 − 𝑥(𝑡) 𝐾 ) − 𝛼𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) − ℎ (4)
𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 = −𝑏𝑦(𝑡) + 𝛽𝛼𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) − 𝛾𝑦(𝑡) 2 (5)
dengan:
x(t) :  Banyaknya populasi ikan prey terhadap Waktu t y(t) :  Banyaknya populasi ikan predator terhadap waktu t
r :  Laju pertumbuhan interistik populasi ikan prey 𝐾 :  Daya kapasitas populasi ikan prey 𝛼 :  Laju  penangkapan  relatif  maksimum akibat predasi
𝛽 :  Laju  pertumbuhan  maksimum  ikan predator
𝛾
:  Laju  kematian predator akibat predasi A :  Laju kelahiran populasi ikan prey B :  Laju kematian alami ikan predator H :  Tingkat pemanenan ikan prey dengan r,K, 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 ,a,b,h adalah  parameter positif.

## 3.2 Besaran Parameter Model
Parameter  yang  dipakai  dalam  model prey-predator dengan pemanenan konstan pada ikan prey menggunakan  parameter  dari penelitian Kar dan Cakraborrty (2010), yaitu: Tabel 2. Nilai Awal yang Digunakan untuk Model Vareabel Nilai x(t) 80 y(t) 20 Tabel 3. Nilai Parameter untuk Model Parameter Nilai r 0.8 K 100 𝛼 0.75
𝛽 0.75 𝛾 0.08 a 10 b 0.001 3.3 Penentuan Nilai Pemanenan Maksimum ( h maks ) Diberikan perlakuan pemanenan berupa  konstanta h dalam  kasus  ini  pada populasi ikan prey . Telah diketahui bahwa nilai pertumbuhan  maksimum    populasi  ikan prey (𝑥(𝑡) ∗ )  adalah  setengah  dari  daya kapasitasnya ( 𝐾 2 ) .  Berdasarkan  asumsi  yang diberikan untuk nilai pemanenan yaitu 0 ≤ ℎ ≤ ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 ,  dimana ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 merupakan  nilai pemanenan  maksimum.  Maka  meneentukan nilai populasi ikan predator maksimum yaitu
𝑦(𝑡) = −𝑏 𝛾 + 𝛽𝛼𝑥(𝑡) 𝛾(𝑎 + 𝑥(𝑡)) (6)
dengan memsubtitusikan nilai 𝑥(𝑡) ∗ pada persamaan (3.4), maka nilai populasi ikan predator maksimum yaitu
𝑦(𝑡) = −𝑏 𝛾 + 𝛽𝛼𝐾 𝛾(2𝑎 + 𝐾) Dengan mensubtitusikan nilai populasi maksimum  ikan predator 𝑦(𝑡) dan  nilai pertumbuhan maksimum ikan prey 𝑥(𝑡) ∗ , maka didapatkan  nilai  pemanenan  maksimum  pada populasi ikan prey ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 yaitu
ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝑟𝐾 4 + 𝛼𝑏𝐾 𝛾(2𝑎 + 𝐾) − 𝛽𝛼 2 𝐾 2 𝛾(2𝑎 + 𝐾) 2 (7)
jika  dimasukan  nilai  parameter  sesuai  tabel (3.2),  maka  didapatkan  nilai  pemanenan maksimum ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 = 16.35 .  maka  untuk  nilai pemanenan yaitu 0 ≤ ℎ ≤ 16.35 .
3.4 Analisis  Model Prey-predator dengan Pemanenan  Konstan  pada  Ikan Prey Ketika Salah Satunya Tidak Ada Ketika Tidak Ada Populasi Ikan Predator Untuk  populasi  ikan prey ketika  tidak adanya  populasi  ikan predator persamaan  (4) menjadi sebagai berikut:
𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟𝑥(𝑡) (1 − 𝑥(𝑡) 𝐾 ) − ℎ
dengan nilai awal sebesar 80  , r = 0,8, K = 100, dan h  = 10  maka  didapatkan  solusi  dari persamaan tersebut yaitu 𝑥(𝑡)
= 5 1454 (20√727 + 727 tanh ( 1 36350 (727𝑡 + 50√727) arctanh ( 12 727 √727)) √727) maka simulasi dari solusi 𝑥(𝑡) yaitu
Gambar 4. Model Prey-predator dengan Pemanenan
Konstan pada Ikan Prey Ketika Tidak Ada Populasi Ikan Predator
dari  Gambar  4  terlihat  bahwa  populasi  ikan prey akan  mengalami  peningkatan  terus menerus  sampai  mengarah  kesuatu  titik  yaitu 85.38  yang  berati  stabil  dengan  nilai pemanenan  sebesar  10  satu  satuan  dan  tidak dipengaruhi oleh populasi ikan predator .
Ketika Tidak Ada Populasi Ikan Prey Untuk  populasi  ikan predator ketika tidak  adanya  populasi  ikan prey, maka persamaan (3.2) menjadi sebagai berikut:
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡 = −𝑏𝑦(𝑡) − 𝛾𝑦(𝑡) 2 dengan  nilai  awal  sebesar  20, b  = 10 𝛾 = 0.08 ,  dan h =  10,   maka  didapatkan  solusi dari persamaan tersebut yaitu
𝑦(𝑡) = 520
−16000 + 16001𝑒 1 1000 𝑡 maka simulasi dari solusi 𝑦(𝑡) yaitu Gambar 5 Model Prey-predator dengan Pemanenan Konstan pada Ikan Prey Ketika Tidak Ada Populasi Ikan Prey
dari  Gambar  5  terlihat  bahwa  populasi  ikan predator akan  mengalami  penurunan  terus menerus  sampai  menuju  ke  nol  yang  berati tidak  stabil.  Tidak  stabil  tersebut  dapat diartikan bahwa jumlah populasi ikan predator mengalami penurunan sampai pada kepunahan karena tidak ada sumber makanan.
3.5 Linierisasi Model
maka  didapatkan  hasil  linierisasi  dari  sistem tersebut  dengan  titik  kesetimbangan (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) , yaitu
( 𝑥̇ 𝑦̇ ) = ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝜕𝑔 𝜕𝑦) Dengan 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑟 (1 − 𝑥(𝑡) 𝐾 ) − 𝑟. 𝑥(𝑡) 𝐾 − 𝛼. 𝑦(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) + 𝛼. 𝑥(𝑡). 𝑦(𝑡) (𝑎 + 𝑥(𝑡)) 2 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = − 𝛼. 𝑥(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) 𝜕𝑔 𝜕𝑥 = 𝛽. 𝛼. 𝑦(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) + 𝛽. 𝛼. 𝑥(𝑡). 𝑦(𝑡) (𝑎 + 𝑥(𝑡)) 2 𝜕𝑔 𝜕𝑦 = −𝑏 + 𝛽. 𝛼. 𝑥(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) − 2. 𝛾. 𝑦
dari Matriks Jacobi yang didapatkan, kemudiaan akan dianalisis kestabilannya.
3.6 Penentuan Titik Kesetimbangan
Pada  persamaan  (4)  dan  (5)  dengan memisalkan 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 dan 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 maka persamaan tersebut menjadi:
0 = 𝑟𝑥(𝑡) (1 − 𝑥(𝑡)
𝐾 ) − 𝛼𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) − ℎ
0 = −𝑏𝑦(𝑡) + 𝛽𝛼𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) 𝑎 + 𝑥(𝑡) − 𝛾𝑦(𝑡) 2 (8 ) (9)
Ketika 𝒙(𝒕) = 𝟎 Dengan memisalkan 𝑥(𝑡) = 0 , maka didapatkan nilai 𝑦(𝑡) = 0 .  Maka  titik  kesetimbangan pertama  yaitu (𝑥 1 ∗ , 𝑦 1 ∗ ) = (0, 0) .  Pada  titik kesetimbangan  ini  dapat  diartikan  bahwa  jika populasi ikan prey tidak ada maka populasi ikan predator juga  tidak  ada.  Karena  tidak  ada sumber makanan untuk populasi ikan predator.
Ketika 𝒚(𝒕) = 𝟎 Dengan memisalkan 𝑦(𝑡) = 0 , maka didapatkan titik  kesetimbangan  yang  dua    dan  nilai parameternya  disubtitusikan  maka (𝑥 2 ∗ , 𝑦 2 ∗ ) = ( 𝐾+ 𝐾 𝑟 √𝑟 2 +4 𝑟 𝐾 ℎ 2 , 0) = (71.36, 0) . Untuk titik
kesetimbangan yang ketiga (𝑥 4 ∗ , 𝑦 4 ∗ ) = ( 𝐾− 𝐾 𝑟 √𝑟 2 +4 𝑟 𝐾 ℎ
2 , 0) = (28.63, 0) . Pada titik
kesetimbangan  ini  dapat  diartikan  bahwa  jika populasi  ikan predator tidak  ada,    maka populasi  ikan prey tetap  dapat  bertahan  hidup meskipun  terdapat  pemanenan  pada  populasi ikan prey.
Ketika 𝒙(𝒕) ≠ 𝟎 dan 𝒚(𝒕) ≠ 𝟎
Pertama menentukan nilai 𝑦(𝑡) , yaitu
𝑦(𝑡) = −𝑏 𝛾 + 𝛽𝛼𝑥(𝑡) 𝛾(𝑎 + 𝑥(𝑡))
kemudian  smensubtitusikan  nilai 𝑦(𝑡) ,  maka persamaan (3.6)
0 = (− 𝑟𝑥(𝑡) 2 𝐾 ) + 𝑟𝑥(𝑡) − 𝛼𝑥(𝑡) ( −𝑏 𝛾(𝑎 + 𝑥(𝑡)) + 𝛽𝛼𝑥(𝑡) 𝛾(𝑎 + 𝑥(𝑡)) 2 ) − ℎ
Maka  pada  titik  kesetimbangan  ini,  jika dimasukan  nilai  parameter  sesuai  pada  tabel (3.2)  dengan  menggunakan  bantuan software MAPLE 12 maka didapatkan dua nilai dari 𝑥(𝑡) yaitu 6.41 dan 88.33 . Sehingga didapatkan dua titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan keempat (𝑥 4 ∗ , 𝑦 4 ∗ ) = (46.98, 5.78) dan  titik kesetimbangan  kelima (𝑥 5 ∗ , 𝑦 5 ∗ ) = (49.81, 5.84) . Setelah didapatkan titik kesetimbangan kemudian akan dianalisis kesetabilanya.
3.7 Analisis Kestabilan pada Titik
Kesetimbangan Untuk Titik Kesetimbangan Pertama (𝒙 𝟏 ∗ , 𝒚 𝟏 ∗ ) Pada  titik  kesetimbangan  pertama  yaitu (0,0) ,  didapatkan  nilai  eigen  sebagai  berikut 𝜆 = 0.8 dan 𝜆 = −0.001 . Didapatkan nilai eigen real, berbeda dan tidak  sama tanda yaitu maka nilai  eigen  pada  titik  kesetimbangan (0,0) termasuk  pada  tipe  titik saddle yang  tidak stabil.
Untuk Titik Kesetimbangan Kedua (𝒙 𝟐 ∗ , 𝒚 𝟐 ∗ ) Pada  titik  kesetimbangan  ketiga  yaitu
( 𝐾+ 𝐾 𝑟 √𝑟 2
+4 𝑟 𝐾 ℎ 2 , 0) = (71.36, 0) , maka didapatkan
nilai eigen sebagai berikut yaitu 𝜆 = −0.34 dan 𝜆 = 0.49 .  Didapatkan  nilai  eigen  real,  berbeda dan  tidak  sama  tanda  yaitu  maka  nilai  eigen pada  titik  kesetimbangan (71.62,0) termasuk pada tipe titik saddle yang tidak stabil.
Untuk Titik Kesetimbangan Ketiga (𝒙 𝟑 ∗ , 𝒚 𝟑 ∗ ) Pada  titik  kesetimbangan  keempat  yaitu
( 𝐾− 𝐾 𝑟 √𝑟 2 +4 𝑟 𝐾 ℎ 2 , 0) = (28.63, 0) ,maka didapatkan
nilai  eigen  sebagai  berikut  yaitu 𝜆 = 0.34 dan 𝜆 = 0.41 .  Didapatkan  nilai  eigen  real,  berbeda dan sama tanda yaitu maka nilai eigen pada titik kesetimbangan (5.28,0) termasuk pada tipe titik simpul  ( node) yang  tidak  stabil,  karena  nilai eigen bertanda positif.
Untuk Titik Kesetimbangan Keempat (𝒙 𝟒 ∗ , 𝒚 𝟒 ∗ ) Pada  titik  kesetimbangan  yang  kelima  yaitu (46.98,5.78) ,maka  didapatkan  nilai  eigen  yaitu 𝜆 1 = 0.022 dan 𝜆 2 = −0.45 .  Didapatkan  nilai eigen real, berbeda dan tidak  sama tanda  yaitu maka  nilai  eigen  pada  titik  kesetimbangan (46.98, 5.78) termasuk  pada  tipe  titik saddle yang  tidak  stabil.  Ketidak  stabilan  disini  bisa merupakan ketidak simbangan antara
Untuk Titik Kesetimbangan Kelima (𝒙 𝟓 ∗ , 𝒚 𝟓 ∗ ) Pada  titik  kesetimbangan  yang  keenam yaitu (49.81,5.84) ,  maka  didapatkan  nilai  eigen yaitu 𝜆 1 = −0.022 dan 𝜆 2 = −0.45 didapatkan nilai eigen real, berbeda dan sama tanda, maka nilai eigen pada titik kesetimbangan (88.33,6.30) termasuk  pada  tipe  titik  simpul ( node) yang stabil, karena nilai eigen  keduanya bertanda  negatif.  Maka  jenis  kestabilan  pada titik  kesetimbangan  ini  merupakan  kestabilan asimtotik.  Kestabilan  pada  titik  kesetimbangan tersebut menunjukan bahwa, populasi ikan prey populasi ikan predator dapat hidup
berdampingan  meskipun  terdapat  pemanenan pada ikan prey.

## 4. SIMULASI
Kondisi Ketika 𝒉 < 𝒉 𝒎𝒂𝒌𝒔
Ketika nilai pemanenan h = 0
(a) (b)
Gambar 5. Potret Fase (a) dan Grafik Perilaku (b) dari Sistem Persamaan (3.1)  dan (3.2) dengan Nilai Pemanenan h = 0
Dari  Gambar  5  untuk  Potret  Fase  (a) dapat  dilihat  bahwa  tidak  ditemukan  titik kesetimbangan dengan ditunjukan adanya arah panah  menuju  ke  suatu  titik  yaitu  (94.3,  6.34). Hal  ini  menunjukan  bahwa    ketika  nilai pemanenan  tidak  ada  maka  model  ini  stabil. Untuk  grafik  perilaku  (b)  dengan  nilai pemanenan  tidak  ada,  dapat  dilihat  bahwa grafik dari populasi ikan prey dengan nilai awal sebesar  80  satu  satuan  mengalami  kenaikan pada saat waktu sebesar 12satu satuan menuju ke  suatu  titik    94.3  satu  satuan.  Sedangkan untuk  populasi  ikan prey dengan  nilai  awal  20 satu  satuan  mengalami  penurunan  saat  waktu sebesar 6 satu satuan dan menuju ke titik 6.34 satu  satuan  waktu.  Hal  ini  dapat  diartikan bahwa  populasi  ikan prey dan  populasi  ikan predator dapat  hidup  berdampingan  tanpa adanya pemanenan pada populasi ikan prey .
Ketika nilai pemanenan h = 5
(c) (d) 6. Potret Fase (c) dan Grafik Perilaku (d) dari Sistem
Persamaan (3.1) dan (3.2) dengan Nilai
Pemanenan h = 5
Dari  Gambar  6  untuk  Potret  Fase  (c) dapat  dilihat  bahwa  tidak  ditemukan  titik kesetimbangan dengan ditunjukan adanya arah panah  menuju  ke  suatu  titik  yaitu  (86.7,  6.29). Hal  ini  menunjukan  bahwa    ketika  nilai pemanenan  sebesar 5 satu satuan stabil. Untuk grafik  perilaku  (d)  dengan  nilai  pemanenan sebesar  5  satu  satuan  dapat  dilihat  bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal  sebesar 80  satu  satuan  mengalami  penurunan  sebesar 78.75  satu  satuan  pada  saat  waktu  0.5  satu satuan waktu dan mengalami kenaikan menuju ke suatu titik  86.7satu satuan pada saat waktu 10  satu  satuan  waktu.  Sedangkan  untuk populasi  ikan predator dengan  niali  awal sebesar  20  satu  satuan  mengalami  penurunan pada  saat  waktu  5  satu  satuan  waktu  dan menunju ke suatu titik 6.29 satu satuan.  Hal ini dapat  diartikan  bahwa  populasi  ikan prey dan populasi  ikan predator dapat  hidup berdampingan  meskipun  adanya  pemanenan pada ikan prey sebesar 5 satu satuan.Ketika
Ketika nilai pemanenan h = 16.25 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Grafik Model Matematika Prey-predator pada Usaha Pemanenan Ikan Prey t x( t) ,y (t ) x(t) y(t) 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Grafik Model Matematika Prey-predator pada Usaha Pemanenan Ikan Prey t x( t) ,y (t ) x(t) y(t)
(e) (f)
Gambar 7. Potret Fase (e) dan Grafik Perilaku (f) dari Sistem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai
Pemanenan h = 16.25
Dari  Gambar  .7  untuk  Potret  Fase  (e) dapat  dilihat  bahwa  tidak  ditemukan  titik kesetimbangan dengan ditunjukan adanya arah panah menuju ke suatu titik yaitu (52.28, 5,89). Hal  ini  menunjukan  bahwa    ketika  nilai pemanenan    sebesar  16.25  satu  satuan  stabil. Untuk  grafik  perilaku  (f)  dengan  nilai pemanenan  sebesar  16.25  satu  satuan  dapat dilihat bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal  sebesar  80  satu  satuan  mengalami penurunan sampai 52.28 satu satuan pada saat waktu  62 satu satuan waktu. Sedangkan untuk populasi  ikan predator dengan  niali  awal sebesar  20  satu  satuan  mengalami  penurunan pada  saat  waktu  16.5  satu  satuan  waktu  dan menunju  ke  suatu  titik  5,89  .    Hal  ini  dapat diartikan  bahwa  populasi  ikan prey dan populasi  ikan predator dapat  hidup berdampingan  dengan  meskipun  adanya pemanenan  pada  ikan prey sebesar  16.25  satu satuan.
Kondisi Ketika 𝒉 = 𝒉 𝒎𝒂𝒌𝒔 Ketika nilai pemanenan h = 16.35
(g) (h)
Gambar 8. Potret Fase (g) dan Grafik Perilaku (h) dari Sistem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai Pemanenan h = 16.35
Dari  Gambar  8.  untuk  Potret  Fase  (g) dapat  dilihat  bahwa  tidak  ditemukan  titik kesetimbangan dengan ditunjukan adanya arah panah menuju ke suatu titik yaitu (49.81, 5.84). Hal  ini  menunjukan  bahwa    ketika  nilai pemanenan    sebesar  16.35  satu  satuan  stabil. Untuk  grafik  perilaku  (h)  dengan  nilai pemanenan  sebesar  16.35  satu  satuan  dapat dilihat bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal  sebesar  80  satu  satuan  mengalami penurunan sampai 49.81 satu satuan pada saat waktu  40 satu satuan waktu. Sedangkan untuk populasi  ikan predator dengan  niali  awal sebesar  10  satu  satuan  mengalami  penurunan pada  saat  waktu  10  satu  satuan  waktu  dan menunju ke suatu titik 5.84 satu satuan .  Hal ini dapat  diartikan  bahwa  populasi  ikan prey dan populasi  ikan predator dapat  hidup berdampingan  dengan  meskipun  adanya pemanenan  pada  ikan prey sebesar  16.35  satu satuan.
Kondisi Ketika 𝒉 > 𝒉 𝒎𝒂𝒌𝒔
Ketika nilai pemanenan h = 16.45 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Grafik Model Matematika Prey-predator pada Usaha Pemanenan Ikan Prey t x (t ), y (t ) x(t) y(t) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Grafik Model Matematika Prey-predator pada Usaha Pemanenan Ikan Prey t x( t) ,y (t ) x(t) y(t)
(i)
(j)
Gambar 9. Potret Fase (i) dan Grafik Perilaku (j) dari Sistem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai Pemanenan h = 16.45
Dari  Gambar  9.  untuk  Potret  Fase  (i) dapat  dilihat  bahwa  tidak  ditemukan  titik kesetimbangan dengan ditunjukan tidak adanya arah  panah  menuju  ke  suatu  titik.  Hal  ini menunjukan  bahwa    ketika  nilai  pemanenan sebesar  16.45  satu  satuan  tidak  stabil.    Untuk grafik  perilaku  (j)    dengan  nilai  pemanenan sebesar  16.45  satu  satuan  dapat  dilihat  bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal  sebesar 80 satu satuan mengalami penurunan sampai  0 satu satuan pada saat waktu   sebesar 110 satu satuan  waktu.  Sedangkan  untuk  populasi  ikan predator dengan  niali  awal  sebesar  20  satu satuan  mengalami  penurunan  sampai  0  satu satuan pada saat waktu sebesar 111 satu satuan waktu.  Hal ini dapat diartikan bahwa populasi ikan prey akan  mengami  kepunahan  kemudian terjadi  kepunahan  pada  populasi  ikan predator karena terdapat pemanenan sebesar 16.45 satu satuan.
Ketika nilai pemanenan h =18
(k)
(l)
Gambar 10. Potret Fase (m) dan Grafik Perilaku (n) dari Sistem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai Pemanenan h = 18
Dari  Gambar  10.  untuk  Potret  Fase  (k) dapat  dilihat  bahwa  tidak  ditemukan  titik kesetimbangan dengan ditunjukan tidak adanya arah  panah  menuju  ke  suatu  titik.  Hal  ini menunjukan  bahwa    ketika  nilai  pemanenan sebesar  18  satu  satuan  tidak  stabil.    Untuk grafik  perilaku  (l)  dengan  nilai  pemanenan sebesar  18  satu  satuan  dapat  dilihat  bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal  sebesar 80 satu satuan mengalami penurunan sampai  0 satu  satuan  pada  saat  waktu    sebesar  19  satu satuan  waktu.  Sedangkan  untuk  populasi  ikan predator dengan  niali  awal  sebesar  20  satu satuan  mengalami  penurunan  sampai  0  satu satuan pada saat waktu sebesar 20 satu satuan waktu.  Hal ini dapat diartikan bahwa populasi ikan prey akan  mengami  kepunahan  kemudian terjadi  kepunahan  pada  populasi  ikan predator karena  terdapat  pemanenan  sebesar  18  satu satuan.

## PENUTUP
1. KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang dilakukan pada  model prey-predator dengan  pemanenan konstan pada ikan prey . Dari hasil analisis yang
0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Grafik Model Matematika Prey-predator pada Usaha Pemanenan Ikan Prey t x (t ), y (t ) x(t) y(t) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Grafik Model Matematika Prey-predator pada Usaha Pemanenan Ikan Prey t x (t ), y (t ) x(t) y(t)
dilakukan  pada  model  tersebut,  didapatkan nilai  pemanenan  maksimum ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 sebesar 16.35  satu  satuan.  Kemudian  dilakukan  analisi kestabilan  ketika  nilai  pemanen  maksimum. Dari  lima  titik  kesetimbangan  didapatkan  satu titik kesetimbangan yang stabil yaitu pada titik (49.81, 5.84) kemudian  didapatkan  nilai eigennya  yaitu 𝜆 1 = −0.022 dan 𝜆 2 = −0.45 , maka  jenis  titik  kesetimbangan  yaitu  berupa titik simpul yang stabil dengan jenis kestabilan stabil asimtotik.
Dari  simulasi  yang  dilakukan  dengan nilai  pemanenan  diasumsikan 0 ≤ ℎ ≤ ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 , maka diberikan tiga  kondisi untuk menganalisi model  ini  yaitu  kondisi  pertama ℎ < ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 , kondisi  kedua ℎ = ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 ,  dan  kondisi  ketiga ℎ > ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 .  Pada  kondisi  nilai  pemanenan ℎ < ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 dan ℎ = ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 dapat disimpulkan model tersebut  stabil,  ini  berarti  bahwa  spesies  ikan prey dan  populasi  ikan predator dapat  hidup berdampingan  meskipun  terdapat  pemanenan pada  populasi  ikan prey .  Pada  kondisi  nilai pemanenan ℎ > ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠 dapat  disimpukan bahwa  model  tersebut  tidak  stabil,  ini  berarti populasi  ikan prey dan  populasi  iakn predator tidak  dapat  hidup  berdampingan  dengan  nilai pemanenan melebihi nilai pemanenan maksimu.

## 4.2 Saran
Pada  penelitian  selanjutnya  dapat dilakukan  pada  model prey-predator dengan memberikan  perlakuan  pemanenan  berupa konstan pada kedua  spesies dan  selain itu juga dengan  memberikan  perlakuan  pemanenan berupa  fungsi  pemanenan  kepada  salah  satu spesies atau kedua spesies.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Idels, W dan Mai, W, Harvesting Fisheries Menegement Strategis With
Modified Effort Function, IJMC Jurnal dalam Modeling Complex System, 2006.
[2]   Hertini, E dan Gusriani, N, Maximum Sustainable Yield (MSY) pada Perikanan dengan Struktur Prey-predator,
Sumedang: Universitas Padjadjaran,
2013.
[3]   H. Dwaradi, Analisis Model Mangsa- pemangsa Michaelis-menten dengan Pemanenan pada Populasi Mangsa,
Skripsi S1 tidak dipublikasikan. Bogor:
ITB, 2011.
[4]   Kar,T dan Cakraborty, K, Effort Dynamics In A Prey-predator Model With Harvesting. Vol.6 No. 3 Hal. 318-332,
India, 2010.
[5]   Finizio dan Ladas, Persamaan Deferensial Biasa dan Dan Penerapan Moderen, Jakarta: Eirlangga, 988.
[6]   R. J. Iswanto, Pemodelan Matematika: Aplikasi dan Terapan, Yogyakarta: Graha Ilmu, 2012.
[7]   Boyce, W. E dan Prima, R. C, Elementery Differential Equation and Boundary Value Problem, Uited States of America:
John Wiley and Sons, 1997.
[8]   Widowati dan Sutimin, Buku Ajar Model Matematika, Semarang: Fakultas MIPA UNDIP, 2007.
[9]   Kartono, Persamaan Deferensial Biasa: Model Matematika Fenomena
Perubahan, Yogyakarta: Graha Ilmu,
2012.
[10]  P. S. Redjeki, Diktat Kuliah Ma2271 Metoda Matematika, Bandung: Fakultas
MIPA ITB, 2009.
[11]  R. C. Robinson, An Introduction to Dynamical System Continous and Discrete, New Jersey: Pearson Education,
In, 2004.