## SIR Model Introduction

## Muh. Irwan
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, muhirwan@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK ,    Model Susceptible,  Infected,  dan  Recover (SIR)  pertama  kali  diperkenalkan  oleh Kermack  dan McKendrik pada tahun 1929 . Hethcote (2000) menyebutkan  bahwa  pada  model  SIR  populasi  di  bagi menjadi  tiga  kompartemen  yakni  individu  yang  rentan penyakit (susceptible), individu yang terinfeksi (infected), dan  individu  yang  telah  sembuh  dan  kebal  dari  penyakit (recovered). Tujuan penelitian ini untuk memperkenalkan model  SIR  secara  umum  dan  implementasinya  dalam pemodelan matematika.
Kata  Kunci:  Pemodelan  Matematika,  Epidemologi, Penyebaran penyakit.

## 1. PENDAHULUAN
Pemodelan matematika dimaksudkan untuk mempelajari penomena-penomena dalam kehidupan  sehari-hari.  Agar  masalah  yang  ada bisa  diselesaikan  dengan  baik  dan  benar  serta sesuai  dengan  yang  diharapkan.  Terdapat  3 langkah  yang  dilakukan  dalam  menyelesaiakan masalah yaitu [1],
1. Merumuskan masalah 2. Menyelesaikan masalah 3. Melakukan interpretasi
Secara  umum  pemodelan  matematika dimulai dengan adanya masalah dalam kehidupan  sehari-hari  yang  harus  diselesaikan. Untuk menyelesaiakan masalah, harus mempertimbangkan  berbagai  aspek  dengan mengedapankan prinsip algoritma yang diperkenalkan  oleh  Abu  Abdullah  Muhammad bin  Musa  al-Khwarizmi  [2].  Rumusan  masalah sebagai  Langkah  kedua  yang  disertai  dengan berbagai  asumsi  yang  memungkinkan  model dapat  digunakan  se-fleksibel  mungkin.  Model yang  diperoleh  dalam  bentuk  persamaan matematika  diselesaikan  dengan  metode  yang sesuai  dengan  karakteristik  persamaan  yang solusinya digunakan untuk menafsirkan/menginterpretasikan  masalah  yang yang telah dirumuskan.
Jika  solusi  yang  diperoleh  tidak  mampu memberikan gambaran solusi permasalahan yang ada,  boleh  jadi  terdapat  permasalahan  dalam membuat  asumsi.  Oleh  karena  itu,  perlu  lagi mempertimbangkan  asumsi  yang  telah  dibuat.
Demikian  tahapan  secara  terus  menerus dilakukan dalam pemodelan matematik.
Pemodelan  matematika  terbagi  dalam berbagai bidang diantaranya, bidang ekonomi/keuangan, ekologi, epidemologi/kesehatan, fisika, kimia, dan masih banyak bidang lainnya.
Pada  paper  ini,  diperkenalkan  model sederhana  dalam  bidang  epidemologi  sebagai dasar  pengembangan  model  yaitu  model epidemologi Susceptible, Infected, Recover atau dikenal  dengan  nama  Model  SIR.  Ilmuwan matematika  telah  mengembangkan  model  SIR dalam berbagai model seperti model SEIR, SIRS, SEIRS, SITR, SITRS dan yang lainnya,

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Model SIR diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrik  pada  tahun  1929.  Hethcote  (2000) menyatakan  bahwa  populasi  dalam  model  SIR dibagi  menjadi  tiga  kelompok,  yaitu  kelompok individu  yang  rentan,  kelompok  individu  yang terinfeksi, dan kelompok individu yang sembuh (imunoreaktif sakit) [3].
Adapun alur penyebarannya sendiri, kompartemen  rentan  adalah  orang  yang  sehat tetapi  rentan  terhadap  penyakit,  sehingga individu  dalam  kompartemen  ini  berpeluang mudah tertular dan masuk ke dalam kompartemen  tertular  melalui  kontak  langsung atau  perantara  lainnya.  Kompartemen  terinfeksi adalah  sekelompok  orang  yang  telah  tertular penyakit  dan  dapat  sembuh  dengan  pindah kekompartemen  R.  Kompartemen  R  adalah kelompok  orang  yang  berhasil  sembuh  dari penyakit [4].

## Matriks
Matriks  adalah  himpunan  bilangar  skalar (riil  atau  kompleks)  yang  disusun/disejajarkan dalam bentuk persegi panjang (berdasarkan baris dan  kolom)  [5].  Elemen-elemen  matriks  bisa berbentuk scalar maupun fungsi. Sebagai contoh;
A=
( 𝑎₁₁ 𝑎₁₂  …  𝑎₁ₙ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎₂ₙ
⋮       ⋮      …   ⋮ 𝑎ₘ₁  𝑎ₘ₂   … 𝑎ₘₙ ) (2.1)
Ordo  atau  ukuran  matriks  A  adalah 𝑚 × 𝑛 dengan  m  jumlah  baris  dan  n  adalah  jumlah kolom.  Jika  jumlah  baris  matriksnya  ada  4  dan kolomnya ada 3, maka disebut matriks berukuran 4 × 3 yang  bermakna  jumlan  elemen  baris tersebut sebanyak 12 unit.

## Persamaan Differensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan  yang  meliputi turunan  dari  satu  atau lebih  variabel  terikat  terhadap  satu  atau  lebih variabel  bebas.  Bentuk  umum  dari  persamaan diferensial adalah sebagai berikut:
𝑥  =  𝑓(𝑥) (2.2)
Dengan
x = ( 𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 , 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 , … , 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑡 ) T , 𝑓 =    (𝑓 1 , 𝑓 2 , , … , 𝑓 𝑛 ) T , dan 𝑥 =   (𝑥 1 , 𝑥 2 , , … , 𝑥 𝑛 ) T 𝜖 ℝ n .
Persamaan  tersebut  dapat  dituliskan  sebagai berikut:
𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , , … , 𝑥 𝑛 ) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 = 𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , , … , 𝑥 𝑛 ) ⋮ 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑛 (𝑥 1 , 𝑥 2 , , … , 𝑥 𝑛 )

## 3. METODOLOGI
Langkah  yang  dilakukan  dalam  merumuskan model SIR adalah:
1. Merumuskan Model
SIR dengan menyertakan parameternya; 2. Melakukan analisis model
a) Titik kesetimbangan model
b) Kestabilan titik kesetimbangan
3. Melakukan simulasi

## 4. PEMBAHASAN

## Model SIR
Terdapat 3 kompartemen dalam model SIR yaitu  kompartemen  susceptible  (kelompok individu rentang), kompartemen Infected (kelompok individu terinfeksi) dan kompartemen Recover  (kelompok  individu  sembuh).  Alur penyebarannya digambarkan pada bagan berikut:
Gambar  1. Alur Penyebaran model SIR
Kompartemen S atau kelompok individu rentang dapat  dipandang  sebagai  semua  individu  yang sehat  (tergantung  penyakit  yang  dikaji).  Bisa berupa  bayi,  anak-anak,  remaja,  dewasa.  Selain itu, harus diperhatikan bahwa kelompok apa saja yang  dapat  menambah  jumlak  kompartemen  S (banyak factor bisa dipertimbangkan) seperti laju kelahiran, imigrasi atau yang lainnya.
Pada kompartemen I, jumlah individu dapat bertambah atau berkurang. Bertambahnya junlah individu  dapat  disebabkan  karena  adanya interaksi  antar  individu  “rentang”  dengan individu  “sakit”.  Selain  itu,  jika  penderita  di kompartemen  I    bersifat  tahunan,  harus dipertimbangkan juga laju kelahiran yang terjadi. Berkurangnya  individu  kompartemen  I  dapat disebabkan karena meninggal, emigrasi, sembuh atau yang lainnya.
Sementara  untuk  kompartemen  R,  dapat dipengaruhi  oleh  kelahiran,  kematian,  dan individu  sembuh.  Oleh  karena  itu,  untuk membangun  model  SIR  dibutuhkan  asusmsi yang tepat agar model yang terbentuk mewakili abjek kajiannya.
Kasus:
Penggunakan  Model  SIR  pada  penyebaran ISPA.
1) Membuat asumsi
Dalam  menyederhanakan  model  untuk penyebaran  penyakit  ISPA,  diberikan asumsi sebagai berikut:
a. Populasi penduduk konstan. Semua bayi yang  lahir  merupakan  Susceptible.
Jumlah populasi Susceptible akan bertambah  karena  adanya  kelahiran individu dengan tingkat kelahiran sebesar
(𝛼) . Pertambahan dan pengurangan yang disebabkan  oleh  faktor  lain  diabaikan. Populasi  Susceptible  akan  berkurang karena  adanya  kematian  alami  dengan laju (𝜇) .  Kontak  langsung  dengan individu  yang  terinfeksi  menyebabkan individu  pada  populasi  Susceptible  akan terinfeksi  dan  masuk  menjadi  kelompok Infectious. Hal ini menyebabkan berkurangnya populasi pada Susceptible. Laju penularan penyakit adalah (𝑏).
b. Kelompok Infectious menyatakan
individu  yang  terinfeksi  dan  dapat menularkan  penyakit  kepada  orang  lain. Jumlah individu Infectious akan bertambah karena  adanya individu Susceptible  yang  terinfeksi  dengan tingkat penularannya sebesar (𝑏).
Berkurangnya  populasi  pada  kelompok Infectious  ini  disebabkan  karena  adanya kematian yang disebabkan oleh penyakit ISPA  dengan  laju (𝜋 𝑡 ) .  Individu  yang terinfeksi  penyakit  juga  dapat  sembuh secara spontan dengan laju (𝑐) dan masuk dalam  populasi  Recovered.  Hal  ini menyebabkan  berkurangnya  populasi pada kelompok Infectious.
c. Jumlah individu Recovered akan bertambah  karena  adanya  kesembuhan individu  pada  kelompok  Infectious dengan tingkat kesembuhan sebesar (𝑐) .
Individu  pada  kelompok  Recovered diasumsikan tidak akan kambuh kembali menjadi penderita penyakit ISPA. Berkurangnya  populasi  pada  kelompok ini  disebabkan  oleh  adanya  kematian secara alami dengan laju (𝜇) .
Dari asumsi diatas dapat dibuatkan diagram alur model  matematika  untuk  penyebaran  penyakit ISPA, sebagai berikut:
Gambar 2. Diagram Alur Model Penyebaran ISPA.
Berdasarkan  asumsi  dan  Gambar  2,  maka model matematika yang terbentuk adalah:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = −(𝑏𝐼 + 𝜇)𝑆 + 𝛼                    (4.1)
Model persamaan (3.1) menunjukkan bahwa penurunan  jumlah  individu  dalam  kelas Susceptible  dikarenakan  adanya  individu pada  kelas  Susceptible  yang  terinfeksi penyakit.
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑏𝐼𝑆 − (𝝁 𝒕 + 𝑐)𝐼 (4.2)
Model  persamaan  (4.2)  menunjukkan peningkatan  jumlah  individu  dalam  kelas Infectious disebabkan adanya individu pada kelas  Susceptible  yang  terinfeksi  penyakit. Sedangkan  penurunan  jumlah  individu dalam  kelas  Infectious  dikarenakan  adanya individu yang sembuh.
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑐𝐼 − 𝜇𝑅 (4.3)
Model  persamaan  (4.3)  menunjukkan peningkatan  jumlah  individu  dalam  kelas Recovered  dikarenakan  adanya  individu yang sembuh.
2) Titik Kesetimbangan
Untuk  menentukan  titik  kesetimbangan (Titik  Ekuilibrium)  pada  model  epidemik SIR diperoleh jika 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0 .  Titik  kesetimbangan  bebas penyakit  diperoleh  dari 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0 pada persamaan (2) sebagai berikut:
𝑏𝐼𝑆 − (𝝁 𝒕 + 𝑐)𝐼 = 0
𝐼(𝑏𝑆 − (𝝁 𝒕 + 𝑐)) = 0 𝐼 = 0 𝑏𝑆 − (𝝁 𝒕 + 𝑐)

## Sehingga diperoleh nilai untuk Infectious (I)
𝐼 = 0 (4.4)
Untuk 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0 subtitusikan  persamaan (4.4) ke persamaan (4.3)
𝑐𝐼 − 𝜇𝑅 = 0
𝑅 = 𝑐𝐼 𝜇
𝑅 = 𝑐(0) 𝜇
Sehingga diperoleh nilai untuk Recovered (R)
𝑅 = 0 (4.5)
Untuk 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0 subtitusikan  persamaan  (4.4)  ke persamaan (1)
−(𝑏𝐼 + 𝜇)𝑆 + 𝛼 = 0
𝑆 = 𝛼 𝜇

## Sehingga diperoleh nilai untuk Susceptible (S)
𝑆 = 𝛼 𝜇
Dari  persamaan  (4.4)  dan  (4.5)  didapatkan  titik kesetimbangan bebas penyakit:
𝐸 0 = (𝑆, 𝐼, 𝑅) =   ( 𝛼 𝜇 , 0,0) .
Titik  kesetimbangan  endemic  penyakit  dapat diperoleh dari 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0 dari persamaan (4.1)
−(𝑏𝐼 + 𝜇)𝑆 + 𝛼 = 0 −𝑆(𝑏𝐼 + 𝜇) = −𝛼 𝑆 = 𝛼 (𝑏𝐼+𝜇) (4.6)
Untuk 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0 subtitusikan  persamaan  (4.6)  ke persamaan (4.2)
𝑏𝐼𝑆 − (𝝁 𝒕 + 𝑐)𝐼 = 0
𝐼 = 𝑏𝛼 − 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐) 𝑏𝜇 𝑡 + 𝑏𝑐
Sehingga diperoleh untuk nilai Infectious (𝐼)
𝐼 = 𝑏𝛼−𝜇(𝜇 𝑡 +𝑐) 𝑏𝜇 𝑡 +𝑏𝑐 (4.7)
Subtitusikan persamaan (4.7) ke persamaan (4.6) untuk mendapatkan nilai Susceptible (𝑆)
𝑆 = 𝛼 (𝑏𝐼 + 𝜇)
𝛼(𝜇 𝑡 + 𝑐) 𝑏𝛼 − 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐) + 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐)
Sehingga diperoleh untuk nilai Susceptible (𝑆)
(𝑆) = 𝛼(𝜇 𝑡 +𝑐) 𝑏𝛼−𝜇(𝜇 𝑡 +𝑐)+𝜇(𝜇 𝑡 +𝑐) 4.8
Untuk 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0 subtitusikan  persamaan  (4.7)  ke persamaan (4.3) 𝑐𝐼 − 𝜇𝑅 = 0
𝑅 ∗ = 𝑐𝐼 𝜇 𝑅 = 𝑐 ( 𝑏𝛼 − 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐) 𝑏(𝜇 𝑡 + 𝑐) 𝜇 ) 𝑅 = 𝑎𝑏𝑐−𝜇𝑐(𝜇 𝑡 +𝑐) 𝜇𝑏(𝜇 𝑡 +𝑐) (4.9)
Dari  persamaan  (4.6)  sampai  persamaan  (4.9) diperoleh titik kesetimbangan endemic penyakit sebagai berikut:
𝐸 1 = (𝑆, 𝐼, 𝑅)
= ( 𝛼(𝜇 𝑡 + 𝑐) 𝑏𝛼 − 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐) + 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐) , 𝑏𝛼 − 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐) 𝑏𝜇 𝑡 + 𝑏𝑐 , 𝑎𝑏𝑐 − 𝜇𝑐(𝜇 𝑡 + 𝑐) 𝜇𝑏(𝜇 𝑡 + 𝑐) ) 3) Nilai Reproduksi Dasar ( 𝑅 0 )
Bilangan  reproduksi  dasar (𝑅 0 ) digunakan untuk  mengetahui  besarnya  angka  tingkat penyebaran penyakit. Dari persamaan (4.2), diselesaikan  menggunakan  matriks  next generation, diperoleh:
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑏𝐼𝑆 − (𝝁 𝒕 + 𝑐)𝐼
Untuk  mendapatkan  bilangan  reproduksi dasar (𝑅 0 ) digunakan rumus berikut dengan F  merupakan  bagian  positif  dan  V merupakan bagian negative sehingga diperoleh:
𝐾 = 𝐹𝑉 −1 (4.10)
Dari  persamaan  (4.10)  untuk  F  yang merupakan bagian positif dari 𝑑𝐼 𝑑𝑡 diperoleh:

## 𝐹 = 𝑏𝐼𝑆
Selanjutnya,  F  diturunkan  terhadap  I sehingga diperoleh:
𝐹 1 = 𝑏𝑆
Subtitusikan  titik  kesetimbangan  bebas penyakit untuk S sehingga diperoleh:
𝐹 = 𝑏 𝛼 𝜇
Dari  persamaan  (10)  untuk  V  yang merupakan bagian positif dari 𝑑𝐼 𝑑𝑡 diperoleh:
𝑉 = (𝜇 𝑡 + 𝑐)𝐼
Selanjutnya,  V  diturunkan  terhadap  I sehingga diperoleh:
𝑉 = (𝜇 𝑡 + 𝑐)
jadi:
𝑉 −1 = 1 𝜇 𝑡 + 𝑐 Dari persamaan (4.2) yang diselesaikan menggunakan next generation matrix , diperoleh:
𝐾 = 𝑅 0 = 𝛼𝑏 𝜇 ( 1 𝜇 𝑡 + 𝑐 ) = 𝛼𝑏 𝜇(𝜇 𝑡 + 𝑐)
Jadi, untuk nilai 𝑅 0 diperoleh:
𝑅 0 = 𝛼𝑏 𝜇𝜇 𝑡 +𝜇𝑐 (4.11)
4) Analisis Kestabilan bebas penyakit
Titik  kestabilan  bebas  penyakit  (disease  free equilibrium) (S,I,R)= (  α/π,0,0) dievaluasi pada matriks Jacobian.
𝐽 2 = [ −(𝑏(0) + 𝜇) −𝑏 ( 𝛼 𝜇 ) 0 𝑏(0) 𝑏 ( 𝛼 𝜇 ) − 𝝁 𝒕 − 𝑐 0 0 𝑐 −𝜇] (4.12)
Untuk  mencari  nilai  eigen  (eigen  value) 𝜆 matriks 𝐽 2 yang berukuran 3 × 3 , maka matriks 𝐽 2 dituliskan  sebagai (𝜆𝐼 − 𝐽 2 )𝑥 = 0 ,  dengan  I adalah  matriks  identitas,  agar 𝜆 menjadi  nilai eigen,  maka  harus  ada  pemecahan  taknol  dari persamaan (𝜆𝐼 − 𝐽 2 )𝑥 = 0 .  Persamaan  tersebut mempunyai  pemecahan  taknol  jika  dan  hanya jika:
(𝜆𝐼 − 𝐽 2 ) = 0
Dengan  operator  aljabar,  diperoleh  nilai lamda

## Tabel 1. Tabel Routh-Hurwitz
𝜆 3
1 𝜇 2
+ 2𝜇𝜇 𝑡 + 2𝜇𝑐 𝜆 2
𝜇 + 𝜇 − 𝑏𝛼 𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝑐 𝑐 − 𝑏𝑎 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝜆 1 𝜇 3 +2𝜇 2 𝜇 𝑡 +2𝜇 2 𝑐+𝜇 3 +2𝜇 2 𝜇 𝑡 +2𝜇 2 𝑐−𝑏𝑎𝜇+2𝑏𝑎𝜇 𝑡 + 2𝑎𝑏𝑐+𝜇 2 𝜇 𝑡 +2𝜇𝜇 𝑡 2 +2𝜇𝑐𝜇 𝑡 +𝜇 2 𝑐± 2𝜇𝜇 𝑡 𝑐+2𝜇𝑐 2 −(𝑐− 𝑏𝑎 𝜇 +𝜇 𝑡 ) 𝜇+𝜇− 𝑏𝛼 𝜇 +𝜇 𝑡 +𝑐 0
𝜆 0 (𝑐 − 𝑏𝑎 𝜇 + 𝜇 𝑡 )
0
Semua suku pada kolom pertama tabel Routh- Hurwitz harus bertanda positif agar persamaan  menjadi  stabil,  karena  koefisien pada persamaan bertanda positif dan lengkap, maka syarat perlu untuk stabil terpenuhi

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian di atas, untuk menggunakan  SIR  model  maka  dibutuhkan asumsi  yang  bersesuaian  dengan  kasus  yang dikaji  sehingga  model  dapat  menjelaskan permasalahan yang dikaji. Selain itu, dibutuhkan kemampuan  analisis  aljabar  untuk  menentukan nilai kestabilan penyakit melalui nilai eigen dan vector eigen.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  R. Haberman, "Matematical Model Mechanical Vibration, Populations Dynamic, and Traffic Flow, United State Of America," Prentice-Hall, , 1998. .
[2]  Wink,  "Penemu.co,"  18  Desember  2020. [Online]. Available: https://penemu.co/penemu-algoritma-al- khawarizmi/. [Accessed 03 Februari 2022].
[3]  Gina Puspita, dkk, "Pemodelan Matematika Pada  Penyebaran  Penyakit  Difteri  Dengan Pengaruh Karantina Dan Vaksinasi," (UNNES Journal of Mathematics, vol. 6(1), 2017)..
[4]  I.  S.  d.  H.  Tasman,  "“  Model  pidemik  SIR untuk  penyakit  yang  menular  secara Horizontal  dan  Vertikal”,,"  in Prosiding Konferensi  Nasional  Matematika  XVII- 2014 , Surabaya, 2014.
[5]  K.  Indriani,  Matriks,  Vektor,  Dan  Program Linear, Jakarta: Universitas Khatolik
Indonesia Atma Jaya, 2019.