Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 16, No. 1, Agustus 2019, 11-25

## Pencadangan Klaim  IBNR dengan Pendekatan Distribusi Keluarga Tweedie pada Generalized Linear Model
Media Rahmawati 1 ,  Isnani  Darti 2 , Marjono 3 1,2,3 Departemen  Matematika,  Universitas  Brawijaya  Indonesia e-mail :  media.rahmawati@student.ub.ac.id 1 ,  isnanidarti@ub.ac.id 2 ,  marjono@ub.ac.id 3

## Abstrak
Total  klaim  dalam  asuransi  umum  merupakan  jumlah  dari  klaim  yang  telah  dilaporkan  dan  klaim incurred but not  reported (IBNR).  Cadangan  klaim  IBNR  belum  diketahui  nominalnya,  sehingga  perlu diestimasi. Hasil estimasiyang akurat berpengaruh  terhadap manajemen  internal,  investor, dan regulator suatu  perusahaan  asuransi.Dalam  artikel  ini,  dibahas  tentang  estimasi  cadangan  klaim  IBNR menggunakan  metode  GLM  dengan  pendekatan  distribusi  keluarga  Tweedie,  yaitu: Over  Dispersed Poisson (ODP) , Gamma, dan majemuk Poisson-Gamma. Analisis  performa estimasi pencadangan dinilai dengan menggunakan mean squared error prediction (MSEP). Hasil pencadangan menunjukkan bahwa estimasi terbaik diperoleh  dengan menggunakan metode GLM model  ODP .
Kata Kunci: IBNR, Generalized Linear Model, distribusi keluarga Tweedie.

## Abstract
Total claims  in general  insurance  represent  the number  of  reported  claims  and  incurred but not reported  yet  claims  (IBNR).  The  nominal  reserves  of  IBNR  claims  are  unknown,  so  they  need  to  be estimated.  Accurate  estimation  results  affect  the  internal  management,  investors,  and  regulators  of  an insurance company. In  this article,  we  discuss  the estimation of  IBNR claim  reserves  using  the  GLM method  approached  by  Tweedie family  distribution  i.e.  Over Dispersed  Poisson  (ODP), Gamma, and Poisson-compound Gamma. The performance analysis of reserves estimations is assessed using the mean squared error prediction (MSEP). The results show that the best estimation is obtained using th e GLM method of the ODP model.
Keyword s: IBNR, Generalized Linear Model, Family Tweedie distribution.

## 1 Pendahuluan
Kerugian total atau total klaim dalam asuransi  umum  merupakan jumlah dari klaim  yang telah  dilaporkan  dan  klaim  yang  telah  terjadi  namun  belum  dilaporkan  oleh  pihak  tertanggung yang disebut sebagai Incurred But Not Reported atau IBNR. Pada saat penyusunan laporan akhir periode, pihak asuransi sebagai insurer telah  mengetahui secara pasti  nominal klaim  yang telah dilaporkan oleh pihak tertanggung,  namun berbeda dengan besarnya  nominal IBNR  yang belum diketahui  secara  pasti  besar  nominalnya  sehingga  IBNR  perlu  diestimasi  secara  tepat.  Proses perhitungan estimasi IBN R disebut sebagai pencadangan klaim ( claim reserving ). Akurasi dalam
penentuan  nominal  pencadangan  secara  langsung  berpengaruh  terhadap  tiga  aspek  penting  di dalam  perusahaan  asuransi,  yaitu:  manajemen  internal,  investor,  dan regulator  [1].
Tipe  data  yang  digunakan  dalam  pncadangan  klaim  IBNR  adalah  data aggregate . Selanjutnya, data aggregate disusun menjadi segitiga run-off . Segitiga run-off digunakan sebagai alat  bantu  untuk  melihat  perilaku  klaim  dalam  kurun  waktu  yang  telah  ditentukan.  Metode pencadangan  yang  sering digunakan oleh aktuaris adalah  metode Mack’s Chain- Ladder (MCL) [2].  Namun,  seiring  berkembangnya  teknologi  dan  perangkat  lunak  komputer  yang  dapat digunakan sebagai alat dalam perhitungan cadangan  klaim,  maka banyak dikembangkan teknik pencadangan  yang  bersifat  stokastik  salah  satunya  adalah  GLM  ( Generalized  Linear  Model ). Model stokastik  GLM untuk pencadangan klaim IBNR dikembangkan oleh  England dan Verrall (2002) [3]. Hartl pada tahun 2010  memanfaatkan  model  GLM  untuk  menentukan besar estimasi klaim  pada  segitiga run-off yang  rumpang  atau  data  yang  tidak  lengkap  [4].  Pendekatan  yang digunakan dalam penyelesaian permasalahan tersebut adalah  model regresi  non  linear dan teori graph.  Selanjutnya,  pada  tahun  2011,  Bj ö rkwall  dkk  menggunakan  model  GLM  denga n menambahkan efek smoothing dalam pencadangan klaim [8]. Perhitungan cadangan klaim IBNR GLM  dipengaruhi  oleh  distribusi  model  EDF  ( Exponential  Dispersion  Family )  karena  model EDF  sangat  sesuai  dengan  distribusi  pada  klaim  IBN R  [5].  Selanjutnya,  pada  tahun  1997, Jørgensen  mengungkapkan bahwa  model  EDF dicirikan oleh fungsi  variansnya 𝑉(𝜇) [6]. Fungsi varians  menggambarkan  hubungan antara distribusi  mean dan  varians ketika parameter dispersi 𝜙 dipertahankan  konstan.  Y  memiliki  distribusi  EDF  dengan  mean 𝜇 dan  fungsi  varians 𝑉(𝜇), maka 𝑉𝑎𝑟[𝑌]  =  𝑎(𝜙)𝑉(𝜇) [7].
Model  EDF dengan  mean dan  varians  yang  memiliki  hubungan 𝑉(𝜇)  = 𝜇 𝑝 untuk suatu nilai 𝑝 disebut  sebagai  model  distribusi  keluarga  Tweedie.  Model  keluarga  distribusi  Tweedie adalah  satu-satunya  model  eksponensial  dispersi  yang  sifatnya  sesuai  untuk  pemodelan  data kontinu  tak  negatif  dengan  skala  pengukuran  yang  acak.  Karakteristik  data  tersebut  sesuai dengan  karakteristik  data  pada  klaim  IBN R.  Keluarga  distribusi  ini  terdiri  dari  beberapa distribusi  seperti  distribusi  O DP( Over  Dispersed  Poisson ),  distribusi  Gamma,  dan  distribusi majemuk  Poisson-Gamma.  Model  majemuk  Poisson-Gamma  [10]  merupakan  perluasan  dari model  ODP [3, 9] dan model  Gamma  [8, 11].
Simulasi  numerik dengan  menggunakan data dari asuransi  umum  untuk beberapa line of business (LoB) dengan karakteristik data  yang berbeda pada setiap  LoB, disajikan pada bagian akhir artikel ini. Selanjutnya, nilai mean squared error prediction (MSEP) dimanfaatkan sebagai sarana  dalam  menilai  performa  hasil  pencadangan  klaim  IBNR  untuk  masing- masing  metode yang  digunakan.
13
Pencadangan  Klaim  Ibnr  dengan  Pendekatan  Distribusi  Keluarga  Tweedie  pada Generalized  Linear  Model

## 2 Data dan Notasi
Data  segitiga Run-Off komulatif  diperoleh  dari  [12]  LoB  1,  LoB  2,  LoB  3,  dan  LoB  4. Selanjutnya, data tersebut dirubah menjadi bentuk inkremental dengan bentuk umum pada Tabel 1 sebagai  berikut.
Tabel  1. Struktur  Segitiga Run-off Inkremental AY DY 1 2 ⋯ 𝑘 ⋯ 𝐼 − 1 𝐼 1 𝑆 1,1 𝑆 1,2 ⋯ 𝑆 1,𝑘 ⋯ 𝑆 1,𝐼−1 𝑆 1,𝐼 2 𝑆 2,1 𝑆 2,2 ⋯ 𝑆 2,𝑘 ⋯ 𝑆 2,𝐼−1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ I 𝑆 𝑖,1 𝑆 2,2 ⋯ 𝑆 𝑖,𝑘
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐼 − 1 𝑆 𝑖−1,1 𝑆 𝑖−1,2 𝐼 𝑆 𝐼,1
Segitiga run-off inkremental  berukuran 𝐼 × 𝐼 dengan Accident  Year (AY)  digambarkan sebagai  baris  dengan 𝑖 ∈ {1,2 ⋯ 𝐼} dan Development  Year (DY)  digambarkan  sebagai  kolo m dengan ∈ {1,2 ⋯ 𝐼} . 𝑆 𝑖,𝑘 adalah  variabel acak yang  menyatakan besarnya klaim  inkremental pada AY- 𝑖 dan  dibayarkan  maksimum  pada  DY- 𝑘 .  Diasumsikan  bahwa  data 𝑆 𝑖,𝑘 untuk 𝑖 ∈ {1,2 ⋯ 𝐼} dan 𝑘 ∈ {1,2,⋯ , 𝐼 − 𝑖 + 1} telah  diobservasi.

## 3 Metode

## 3.1 Distribusi  Keluarga  Tweedie
Distribusi  keluarga  Tweedie  yang  merupakan  sub-keluarga  dari  distribusi Exponential Dispersion  Family (EDF),  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Tweedie  (1984).  EDF  memiliki bentuk  fungsi  kepadatan peluang  (fkp) 𝜋(𝑦: 𝜃, 𝜙) sebagai  berikut
ln 𝜋(𝑦; 𝜇, 𝜃) = 𝑦 𝜃−𝑏 (𝜃) 𝑎 (𝜙) + 𝑐(𝑦, 𝜙) (1)
dimana
 𝑦 merupakan  nilai  data  Y  yang  diobservasi,  dalam  permasalahan  ini  yaitu  berupa 𝑆 𝑖,𝑘 untuk 𝑖 ∈ {1,2 ⋯ 𝐼} dan 𝑘 ∈ {1,2, ⋯ , 𝐼 − 𝑖 + 1} ,
 𝜃 disebut canonical parameter,
 𝜙 adalah  parameter  disperse,
 𝑏(. ) disebut cumulant function yang  menentukan  bentuk  dari  distribusi,  dan
 exp 𝑐(𝑦, 𝜙) merupakan  faktor  yang  menormalisasi data atau disebut sebagai normalizing factor .
 Fungsi 𝑎, 𝑏, 𝑐 diasumsikan  kontinu  dan 𝑏 adalah  fungsi  satu-satu  serta  dapat  diturunkan sebanyak  dua kali  dengan  turunan  pertama  juga  merupakan  fungsi  satu-satu.
Pemilihan 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan karakteristik data observasi  mempengaruhi anggota distribusi EDF. Distribusi  Tweedie  diperoleh  dari  EDF dengan  pembatasan  nilai 𝑝 sebagai  berikut
𝑉(𝜇) = 𝜇 𝑝 , 𝑝 ≤ 0 atau 𝑝 ≥ 1 . (2)
Jika  diberikan 𝑉𝑎𝑟[𝑌] = 𝛼(𝜙)𝑉(𝜇) , 𝛼(𝜙) = 𝜙/𝑤 , 𝜇 = 𝐸[𝑌] ,  dan 𝑌 merupakan  data  yang diobservasi,  maka  diperoleh 𝑉𝑎𝑟[𝑌] = 𝜙𝜇 𝑝 .  Nilai  varians  berbanding  lurus  terhadap  nilai 𝑝 , sehingga  bentuk  dari  fungsi  varians  mengakibatkan cumulant function adalah
𝑏(𝜃) = [(1−𝑝)𝜃] 2−𝑝 1−𝑝 2−𝑝 . (3)
Selanjutnya  diperoleh
𝜇 = [(1 − 𝑝)𝜃] 1 1−𝑝 . (4)
Bentuk  fkp  dari distribusi  keluarga  Tweedie  yang  dinotasikan  dengan 𝑇𝑤(𝜇, 𝜙; 𝑝) adalah ln 𝜋(𝑦; 𝜇, 𝜃) = [ 𝑦 𝜇 1−𝑝 (1−𝑝) − 𝜇 2 −𝑝 (2−𝑝) ] 𝜙 + 𝑐(𝑦,𝜙) ⁄ . (5)
Tabel  2. Anggota  Distribusi  Keluarga  Tweedie Distribusi 𝑝 𝑏(𝜃) 𝜇 ln 𝜋 (𝑦; 𝜇, 𝜙) Normal 0 1 2 𝜃 2 𝜃 [𝑦 𝜇 − 1 2 𝜇 2 ] 𝜙 Over-Dispersed Poisson 1 exp 𝜃 exp 𝜃 [𝑦 ln 𝜇 − 𝜇] 𝜙 Gamma 2 ln (−𝜃) 1 −𝜃 [− 𝑦 𝜇 − ln 𝜇] 𝜙
Tabel  2  menyajikan  beberapa  distribusi  yang  termasuk  ke  dalam  anggota  distribusi  keluarga Tweedie.  Menurut  Jorgensen  (1987),  untuk  nilai 1 < 𝑝 < 2 diidentifikasi  sebagai  distribusi majemuk  Poisson-Gamma  atau  sering  disebut  sebagai  Tweedie .  Compound Poisson.
Distribusi Over  Dispersed  Poisson (ODP)  berbeda  dengan  ditribusi  Poisson.  Varians pada  distribusi  ODP  bernilai  tidak  sama  dengan  rataan  hitung 𝜇 ,  namun  nilai  variansnya berbanding  lurus  terhadap 𝜇 karena  nilai  variansnya  dipengaruhi  oleh 𝜙 .  Fkp  dari  ODP dinyatakan  sebagai  berikut
𝜋(𝑦; 𝜇, 𝜙) = 𝜇 𝑦 𝜙 exp (− 𝜇 𝜙 ) ( 𝑦 𝜙 ) ! , 𝑦 = 0, 𝜙, 2𝜙, dst. (6)
dari  persamaan  (6) diperoleh
15 Pencadangan  Klaim  Ibnr  dengan  Pendekatan  Distribusi  Keluarga  Tweedie  pada
Generalized  Linear  Model 𝐸[𝑌  𝜙 ⁄ ] = 𝜇 , (7)
𝑉𝑎𝑟[𝑌  𝜙 ⁄ ] = 𝜙𝜇 . (8)
Sedangkan  untuk  distribusi  Gamma,  bentuk  fkp dinyatakakan  sebagai  berikut
𝑉𝑎𝑟[𝑌  𝜙 ⁄ ] = 𝜙𝜇 2 .
Model  distribusi  majemuk  Poisson-Gamma  merupakan  perluasan  dari  model  distribusi Gamma.  W ü thrich  pada  tahun  2016,  berasumsi  bahwa  setiap  data  pada  segitiga run-off terdiri dari 𝑟 𝑖,𝑘 pembayaran tunggal dengan  mengikuti distribusi  Gamma dengan 𝜏 𝑖,𝑘 sebagai  mean atau rataan  hitung  dan 𝛾 merupakan shape  parameter .  Selanjutnya,  banyaknya  pembayaran 𝑟 𝑖,𝑘 merupakan  bentuk  konkrit  dari  variable  acak 𝑅 𝑖,𝑘 .  Banyaknya  pembayaran 𝑅 𝑖,𝑘 dan  besar  dar i pembayaran  tunggal  yang  dinotasikan  oleh 𝑋 𝑖,𝑘 (𝑗) dimodelkan  secara  stokastik.    Selanjutnya, 𝑅 𝑖,𝑘 diasumsikan  berdistribusi  Poisson.  Fungsi  varians  pada  distribusi  majemuk  Poisson-Gamma adalah
𝑉[𝜇] = 𝜇 𝑝 ; 𝑝 ∈ (1,2) (10)
dengan  bentuk  fkp
𝜋(𝑦; 𝜇, 𝜙, 𝑝) = {∑ ( ( 1 𝜙 ) 𝛾+1 𝑦 𝑦 (𝑝 − 1) 𝛾 (2− 𝑝) ) 𝑟
1 𝑟! Γ(𝑟𝛾)𝑦 𝑟 }𝑒𝑥𝑝 { 1 𝜙 (𝑦 𝜇 1−𝑝 1 − 𝑝 − 𝜇 2−𝑝 2 − 𝑝 )}, (11)
dengan , 𝑝 = 𝛾+2 𝛾+1 , 𝑝 ∈ (1,2) , 𝑝 merupakan  fungsi  dari 𝛾 .
𝜇 = 𝜆 ∙ 𝜏,
𝜙 = 𝜆 1−𝑝 𝜏 2−𝑝
(2 − 𝑝) .
dari  persamaan  diperoleh
𝐸[𝑌  𝜙
⁄ ] = 𝜇 , (12)
𝑉𝑎𝑟[𝑌  𝜙 ⁄ ] = 𝜙𝜇 𝑝 ; 𝑝 ∈ (1,2) (13)
3.2 Generalized Linear Model (GLM)  untuk  Pencadangan  Klaim  IBNR
Analisis regresi linear adalah salah satu analisis yang mengukur hubungan antara variabel prediktor  dengan  variabel  responnya.  Asumsi  yang  harus  dipenuhi  dalam  regresi  linear  adalah error  berdistribusi  normal  dan  memiliki  varians  yang  konstan  (homoskedastik)  (Neter  dkk., 1996).  Namun,  pada  kenyataannya,  asumsi  tersebut  seringkali  tidak  terpenuhi,  misalnya  error tidak  berdistribusi  normal  dan  variansnya   tidak  konstan  (heteroskedastik),  sehingga  untuk menyempurnakan  model tersebut, Nelder dan Baker pada  tahun 1972  menciptakan suatu  model bernama Generalized Linear Model (GLM).  Dalam  GLM variabel  respon  yang  digunakan  tidak
berdistribusi  normal  saja  akan  tetapi  seluruh  distribusi  yang  termasuk  ke  dalam  distribusi keluarga  eksponensial.  Selanjutnya,  GLM  dapat  digunakan  sebagai  sarana  dalam  mengest imasi besar cadangan  klaim  IBNR. GLM dapat dinyatakan  kedalam  bentuk  regresi
𝐘 i = 𝐱 i ′ 𝐛 + 𝜖 𝑖 , 𝜖 𝑖 ~𝑁(0,𝜙), (14)
𝜇 = 𝑔 −1 (𝐗𝐛) (15)
Transformasi struktur data segitiga run-off kedalam  struktur data GLM ditunjukkan pada Tabel 3 berikut.
Tabel  3. Struktur  GLM IBNR
Parameter B 𝑐 𝛼̂ 2 𝛼̂ 3 ⋯ 𝛼̂ 12 𝛽̂ 2 𝛽̂ 3 ⋯ 𝛽̂ 12
AY 𝑖 DY 𝑘 Data Y Matrix  Model X Nilai 𝜇 1 1 𝑆 1,1 1 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 𝑒𝑥𝑝 (𝑐) 2 1 𝑆 2,1 1 1 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 𝑒𝑥𝑝 (𝑐 + 𝛼̂ 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 12 1 𝑆 12,1 1 0 0 ⋯ 1 0 0 ⋯ 0 𝑒𝑥𝑝 (𝑐 + 𝛼̂ 12 ) 1 2 𝑆 1,2 1 0 0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0 𝑒𝑥𝑝 (𝑐 + 𝛼̂ 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 1 12 𝑆 1,12 1 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 1 𝑒𝑥𝑝 (𝑐 + 𝛽̂ 12 )
Masing- masing  kolom  pada  matrik  model  X  mempresentasikan  variabel  yang  berpengaruh terhadap  kolom  vektor  Y  yang  bersesuaian  dan  masing- masing  baris  pada  matrik  model  X merupakan representasi dari setiap sel yang ada pada segitiga run-off. Semua entri pada matrik X berisi  0  dan  1.  N ilai  1  berarti  bahwa  terdapat  hubungan  antara  parameter  dengan  kolom  serta baris yang membangun fitted value . Nilai 0 untuk sebaliknya. Vektor Y mempresentasikan klaim inkremental  yang  telah  diobservasi.
GLM  dalam  IBNR  menggunakan  segetiga run-off berbentuk  inkremental  dengan asumsi-asumsi  dasar sebagai  berikut.
 Tidak  terdapat  faktor perkembangan.  GLM  hanya digunakan  untuk  memproyeksikan klaim  terakhir  pada data yang  telah  diobservasi.
 𝑆 𝑖,𝑘 adalah  bebas stokastik.
 Model  cenderung over-parameterized sehingga  dapat menyebabkan  kinerja  prediktor tidak  maksimal.
Mengacu  pada  Renshaw  dan  Verall  (1998),  struktur  GLM  dalam  pencadangan  klaim  adalah sebagai  berikut:
1. 𝑆 𝑖,𝑘 berdistribusi  EDF ( Eksponential Distribution Family ).
2. 𝐸(𝑆 𝑖,𝑘 ) = 𝜇 𝑖,𝑘 .
17 Pencadangan  Klaim  Ibnr  dengan  Pendekatan  Distribusi  Keluarga  Tweedie  pada
Generalized  Linear  Model
3. 𝜂 𝑖,𝑘 = 𝑔(𝜇 𝑖,𝑘 ) ,  dengan 𝜂 𝑖,𝑘 adalah  penduga  linear.  Selanjutnya, 𝑔(. ) merupakan link function. Terdapat beberapa kemungkinan untuk link function pada setiap distribusi  yaitu sebagai berikut.  Untuk  model  ODP 𝑔(. ) = 𝐿𝑛(. ) , model Gamma 𝑔(. ) = 1 −(.) atau 𝐿𝑛(. ) , dan  untuk  model  majemuk  Poisson-Gamma 𝑔(. ) = 𝐿𝑛(. ) .  Agar  lebih  sederhana,  dalam artikel  ini link function yang  digunakan  pada masing-masing  model  adalah  log-linear
4. Prediktor  linear 𝜂 𝑖,𝑘 = 𝑐 + 𝛼̂ 𝑖 + 𝛽̂ 𝑘 ,  dengan 𝑐 adalah intercept , 𝛼̂ 𝑖 dan 𝛽̂ 𝑘 adalah  faktor efek  yang  mempengaruhi  hasil  estimasi  cadangan  klaim  IBN R.  Untuk  menghindari overparameterized dan  mengatasi  permasalahan  multikolinieritas  yang  muncul  maka nilai 𝛼̂ 1 = 𝛽̂ 1 = 0 ( reference cell technique) .
Parameter  dispersi (𝜙) dapat  diperoleh  dengan  menentukan residual  pearson sebagai langkah  awal,  yaitu
𝑟 𝑝 = (𝑆 𝑖 ,𝑘 −𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) √𝑆̂ 𝑖,𝑘 , (16)
sehingga  diperoleh 𝜙̂ sebagai  berikut
𝜙̂ = 1 𝑛−𝑝 ∑ ∑ ( 𝑆 𝑖 ,𝑘 −𝑆̂ 𝑖,𝑘 √𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) 𝐼−1+1 𝑘=1 𝐼 𝑖=1 , (17)
dengan 𝑛 adalah  jumlah  data  yang  diobservasi  dan 𝑝 adalah  total  parameter  yang  diestimasi. Estimasi  parameter  dalam  GLM  memanfaatkan  fungsi log-likelihood. Formula log-likelihood secara  berurutan  untuk  distribusi  ODP,  distribusi  Gamma,  dan  distribusi  majemuk  Poisson- Gamma, telah dijabarkan di [1, 10] dan  [11]. Cadangan klaim IBNR  untuk setiap AY dan  total secara berurutam  diperoleh  dengan
𝐼𝐵𝑁𝑅 𝑖 = ∑ 𝑆̂ 𝑖,𝑘 𝐼 𝑘 =𝐼+1−𝑖 , (18)
𝐼𝐵𝑁𝑅 = ∑ 𝐼𝐵𝑁𝑅 𝑖 𝐼
𝑖=1 (19)
3.3 Mean Squared Error Prediction (MSEP) IBNRpada  GLM
Diasumsikan  bahwa 𝑆 𝑖,𝑘 adalah  independent,  dan 𝑆̂ 𝑖,𝑘 adalah  penduga  tak  bias  [8]. Selanjutnya,  diasumsikan  bahwa 𝜂̂ 𝑖,𝑘 adalah  penduga  GLM  untuk 𝜂 𝑖,𝑘 = 𝑙𝑛𝜇 𝑖,𝑘 .  Bentuk  umum i mean square error prediction (MSEP)
𝑀𝑆𝐸𝑃 𝐼𝐵𝑁𝑅 𝑖 (𝐼𝐵𝑁𝑅 𝑖 ) =  𝐸 [(𝑅 𝑖 − 𝑅̂ 𝑖 ) 2 ] =  𝐸 [(𝑆 𝑖,𝑘 − 𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) 2 ] =  𝑀𝑆𝐸𝑃 𝑆 𝑖,𝑘 (𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) (20)
𝑀𝑆𝐸𝑃 𝑆 𝑖,𝑘 (𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) = 𝐸 [(𝑆 𝑖,𝑘 − 𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) 2 ] = 𝑉𝑎𝑟(𝑆 𝑖,𝑘 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) (21)
≈ 𝜙 ∙ 𝜇 𝑖,𝑘 𝑝 + (𝜇 𝑖,𝑘 ) 2 𝑉𝑎𝑟(𝜂̂ 𝑖,𝑘 ) .
Estimasi  MSE  pada  masing- masing  distribusi  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan persamaan-persamaan  sebagai  berikut
𝑚𝑠𝑒𝑝 ̂ (𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) 𝐺𝐿𝑀 − 𝑂𝐷𝑃 = ∑ 𝜙𝜇̂ 𝑖,𝑘 + ∑ 𝜇̂ 𝑖,𝑘 2 𝑉𝑎𝑟(𝜂̂ 𝑖,𝑘 ) 𝑘∈𝐷 𝑘∈𝐷 + 2 ∑ 𝜇̂ 𝑖,𝑘 1 , 𝜇̂ 𝑖,𝑘 2 𝐶𝑜𝑣(𝜂̂ 𝑖,𝑘 1 , 𝜂̂ 𝑖,𝑘 2 ) 𝑘 1 ,𝑘 2∈𝐷 (22)
𝑚𝑠𝑒𝑝 ̂ (𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) 𝐺𝐿𝑀 − 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 = ∑ 𝜙 𝑘∈𝐷 𝜇̂ 𝑖,𝑘 2 + ∑ 𝜇̂ 𝑖,𝑘 2 𝑉𝑎𝑟(𝜂̂ 𝑖,𝑘 ) 𝑘∈𝐷 + 2 ∑ 𝜇̂ 𝑖,𝑘 1 , 𝜇̂ 𝑖,𝑘 2 𝐶𝑜𝑣(𝜂̂ 𝑖,𝑘 1 , 𝜂̂ 𝑖,𝑘 2 ) 𝑘 1 ,𝑘 2∈𝐷
(23)
𝑚𝑠𝑒𝑝
̂ (𝑆̂ 𝑖,𝑘 ) 𝐺𝐿𝑀
− 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 = ∑ 𝜙 𝑘∈𝐷 𝜇̂ 𝑖,𝑘 𝑝 + ∑ 𝜇̂ 𝑖,𝑘 2 𝑉𝑎𝑟(𝜂̂ 𝑖,𝑘 ) 𝑘∈𝐷 + 2 ∑ 𝜇̂ 𝑖,𝑘 1 , 𝜇̂ 𝑖,𝑘 2 𝐶𝑜𝑣(𝜂̂ 𝑖,𝑘 1 , 𝜂̂ 𝑖,𝑘 2 ) 𝑘 1 ,𝑘 2∈𝐷
(24)
denga  nilai 𝑝 ∈ (1,2) .
Dalam  menilai suatu performa dari  hasil pencadangan dapat  menggunakan Coefficient of Variation dengan  menggunakan  formula  sebagai  berikut.
𝐶𝑉 = 𝑚𝑠𝑒𝑝 ̂ 𝐼𝐵𝑁𝑅 × 100% (25)

## 4 Hasil dan Pembahasan
Data  yang  digunakan  pada  masing- masing  LoB  terdiri  dari  12  AY  yang  dinotasikan sebagai 𝑖 dengan 𝑖 ∈ {1,2,⋯ ,12} dan 12DY dengan 𝑘 ∈ {1,2, ⋯ ,12} . Visualisasi data pada  LoB 1 disajikan  pada Gambar  1.
Pencadangan  Klaim  Ibnr  dengan  Pendekatan  Distribusi  Keluarga  Tweedie  pada Generalized  Linear  Model
(a) Untuk  seluruh  AY
(b) masing- masing  AY  (kanan)
Gambar  1. Visualisasi  Besar  Klaim  Inkremental  pada LoB  1.
Dari  Gambar  1,  dapat  dilihat  bahwa trend yang  terjadi  pada  besar  klaim  inkremental mengikuti  distribusi  eksponensial  ( decay ).  Langkah  selanjutnya  yaitu  mentransformasi  segitiga run-off kedalam  struktur  GLM  seperti  pada  Tabel  3.  Estimasi  parameter  dilakukan  dengan memanfaatkan perangkat  lunak  R [13].  Hasil estimasi parameter  yang diperoleh dapat dilihat di lampiran  2.
Untuk  mendapatkan  cadangan  klaim  IBN R  pada  setiap  AY,  maka  besar  klaim  IBNR pada segitiga run-off bagian bawah ditentukan. Sebagai contohnya untuk menghitung 𝑆̂ 3,11 pada LoB 1 GLM-ODP adalah  sebagai  berikut
𝑆̂ 3,11 = 𝜇 3,11
= exp(𝑐 + 𝛼̂ 12 + 𝛽̂ 5 )
= exp(11,364790 + 0,237007 − 2,960910) = 5.658,346 .
Selanjutnya total cadangan klaim  IBNR diperoleh dengan  menggunakan persamaan (19). Berikut  ini  disajikan  hasil  estimasi  cadangan  klaim  IBNR  pada  masing- masing  LoB  dengan menggunakan  tiga  model  yang  berbeda  yaitu:  GLM-ODP,  GLM-Gamma,  dan  GLM-Mejemuk Poisson-Gamma.
Tabel  4. Hasil  Estimasi  Cadangan  Klaim  IBNR  Metode GLM (dalam  1.000)
LoB 1 LoB 2 LoB 3 LoB 4 M ode l O D
P 𝑝 = 1 Total Klaim 2.347.825 4.304.450 5.698.268 4.484.015 IBNR 289.570 406.282 523.818 564.027 𝑀𝑆𝐸𝑃 ̂ 12.420 24.091 25.640 21.837 𝜙̂ 157,1814 543,8351 476,5823 231,9094
LoB 1 LoB 2 LoB 3 LoB 4 M ode l O D P 𝑝 = 2
Total Klaim 2.361.376 4.314.212 5.714.737 4.510.149 IBNR 303.121 416.044 540.287 590.161 𝑀𝑆𝐸𝑃 ̂ 19.539 57.825 39.796 28.812 𝜙̂ 0,01188 0,04607 0,01430 0,00723
M ode l P oi ss on -G am m a Total Klaim 2.361.233 4.304.569 5.714.617 4.509.866 IBNR 302.978 406.401 540.167 589.878 𝑀𝑆𝐸𝑃 ̂ 18.595 22.215 37.838 27.611 𝜙̂ 0,00884 287,75 0,01104 0,00566 𝑝 1,99 1,01 1,99 1,99
Dari  Tabel  4  dapat  diketahui  bahwa  besar  nominal  cadangan  klaim  IBNR  pada  LoB  1 untuk  model  GLM-ODP  bernilai  paling  sedikit  namun  merupakan  hasil  pencadangan  dengan performa terbaik. Hal  ini  juga berlaku pada LoB 3 dan LoB 4. Untuk  LoB 2, hasil pencadangan dengan  model  GLM-Majemuk  Poisson-Gamma  menunjukkan  performa  terbaik   yang ditunjukkan  dari  nilai 𝑚𝑠𝑒𝑝 ̂ yang  terkecil.  Selain  dengan  menggunakan  besar 𝑚𝑠𝑒𝑝 ̂ dalam menilai performa, aktuaris dapat  memanfaatkan nilai CV pada persamaan (25). Visualisasi  hasil perhitungan CV pada keempat LoB dapat dilihat pada Gambar 2. N ilai 𝜙 pada model GLM-ODP merupakan  besar  parameter  dispersi,  sedangkan  pada  model  GLM-Gamma  merupakan shape parameter .
Gambar  2. CV Estimasi  Cadangan  Klaim  IBNR
Informasi standardized  residual sangat  menguntungkan  aktuaris  maupun  pihak  yang terkait,  karena  aktuaris  dapat  mengetahui  keberadaan outliers. Plotting sebaran standardized residual VS Fitted Value disajikan  pada Gambar  3 . 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 1 2 3 4 C oe fi si e n of V ar it ion Line of Bussiness CV dari Estimasi Cadangan Klaim IBNR GLM-ODP GLM-Gamma GLM-Poisson-Gamma
(a) Model Gamma LoB 1 (b) Model Majemuk Poisson-Gamma LOB 1 (c) Model ODP LoB 2
(d) Model Majemuk Poisson-Gamma LOB 2
Gambar  3. Standardized Residual VS Fitted Value
Melalui Gambar 3 dapat ditunjukkan bahwa besar  nilai 𝑝 pada  model  majemuk Poisson- Gamma sangat  mempengaruhi sebaran standardized residul (SR).  Untuk  nilai 𝑝 yang  mendekati nilai 𝑝 = 1 (Gambar 3 (d)), maka sebaran SR memiliki pola yang serupa dengan SR pada model GLM-ODP (Gambar 3 (c)). Sedangkan untuk nilai 𝑝 yang mendekati nilai 𝑝 = 2 (Gambar 3 (b)), sebaran  SR memiliki  pola  yang  serupa  dengan  sebaran  SR pada GLM-Gamma  (Gambar  3 (a)).

## 5 Simpulan
Hasil  estimasi  cadangan  klaim  IBNR  terbaik  pada  LoB  1,  LoB  3,  dan  LoB  4  diperoleh dengan  menggunakan  model  GLM-ODP,  sedangkan  untuk  LoB  2  menggunakan  model  GLM- majemuk  Poisson-Gamma.  N ilai 𝑝 pada  model  GLM- majemuk  Poisson  Gamma  berpengaruh terhadap  sebaran standardized  residual .  Estimasi  terbaik  pada  LoB  1  adalah  12.420,  LoB  2 sebesar  22.215,  sedangkan  untuk  LoB  3  adalah  523.818,  dan  LoB  4  adalah  sebesar  564.027 (dalam  1.000).

## 6 Daftar Pustaka
[1] J.  Friedland  and  K.  Llp,  “Casualty  Actuarial  Society  Estimating  Unpaid  Claims  Using Basic  Techniques,”  2010.
[2] T.  Mack,  “Distribution-free  Calculation  of  the  Standard  Error  of  Chain  Ladder  Reserve Estimates,” ASTIN Bull. ,  vol.  23, no. 02, pp. 213–225, 2006.
[3] B. P. D. England and  R. J. Verrall,  “Stochastic Claims Reserving In  General Insurance,” Int. J. , vol.  544, no. January,  2002.
[4] T. Hartl,  “Fitting  a GLM to Incomplete  Development  Triangles,”  pp. 1–36, 2010.
[5] P.McCullagh  and J.A. Nelder,“Generalized  Linear  Models,” CRC  Press ., vol.  37,  1989.
[6] B. Jorgensen,  “The  Theory  Of Dispersion  Models,” CRC Press , 1997.
[7] G.  Taylor,  and  G.  McGuire,  “Stochastic  Loss  Reserving  Using  Generalized  Linear Models,” CAS Monograph , vol.  3, 2016.
[8] S.  Bj ö rkwall,  S.  O.  H ö ssjer,  E.  O hlsson,  and  R.  Verrall,  “A  Generalized  Linear  Mode l With  Smoothing  Effects  For  Claims  Reserving , ” Insurance:  Mathematics  and Economics. , vol.  49, no. 1, p. 27–37, 2011.
[9] A.  E.  Renshaw,  and  R.  J. Verrall, “A  Stochastic  Model  Underlying  The  Chainladder Technique,” British Actuarial Journal , vol.  4, no. 4, p. 903–923, 1998.
[10] M. V. W ü thrich, “Claims Reserving  Using  Tweedie’s Compound Poisson Model.” ASTIN Bulletin:  The Journal of the IAA , 33(2):331–346,  2016.
[11]   T. Mack,“Schadenversicherungsmathematik,” Verlag Vers.swirtschaft , Karisruhe,  1997.
[12] M. V. W ü thrich, Non-life insurance: mathematics & statistics. https://ssrn.com/abstract=2319328 , Diakses  pada 31 Januari  2018, 2017.
[13] A.  Carrato,  F.  Concina,  M.  Gesmann,  D.  Murphy, M.  V. W ü thrich,  and  W.  Zhang,
“Claims  Reserving  with  R:  Chainladder-0.2.  5 Package Vignette,”  2017.

## Pencadangan  Klaim  Ibnr  dengan  Pendekatan  Distribusi  Keluarga  Tweedie  pada Generalized  Linear  Model

## Lampiran
Lampiran  1. Pseucode
Tabel  L1. Pseucode R untuk  metode  GLM:  ODP, Gamma,  dan Compound-Poisson
ODP fit1<-glmReserve(triinc,var.power=1,  link.power=0,  cum=FALSE, mse.method=c("formula"),  nb=FALSE) summary(fit1,type="model") Gamma fit2<-glmReserve(triinc,var.power=2, link.power=0, cum=FALSE, mse.method=c("formula")  , nb=FALSE) summary(fit2,type="model") Compound- Poisson fit3<-glmReserve(triinc,var.power=NULL, link.power=0,cum=FALSE, mse.method=c("formula"),nb=FALSE) summary(fit3,type="mode l")
“var.power”  merupakan  nilai 𝑝 pada 𝑉(𝜇) = 𝜇 𝑝 .  Untuk 𝑝 = 1 merupakan  GLM-ODP, 𝑝 = 2 adalah  GLM-Gamma,  dan  jika 𝑝 = NULL diasumsikan  data  berdistribusi  Compound-Poisson. Untuk  index  “link.power  =  0”  menghasilkan link  function berupa  log- linear.  “cum=FALSE” berarti bahwa data  yang diolah berupa segitiga run-off incremental. “mse.method=c(“formula”)” berarti  bahwa  perhitungan 𝑚𝑠𝑒𝑝 ̂ secara  analitik  bukan  melalui  teknik bootstrap .  Untuk “nb=FALSE”,  hal  ini  mengindikasikan bahwa proses perhitungan  tidak  menggunakan distribusi Negatif  Binomial.
Lampiran  2. Hasil  Estimasi
Tabel  L2. Output Estimasi  Parameter  oleh  R
Parameter LoB 1 LoB 2 ODP Gamma Poi-Gamma ODP Gamma Poi-Gamma Estimasi Std Error Estimasi Std Error Estimasi Std Error Estimasi Std Error Estimasi Std Error Estimasi Std Error
Pencadangan  Klaim  Ibnr  dengan  Pendekatan  Distribusi  Keluarga  Tweedie  pada Generalized  Linear  Model
Tabel  L2. Output Estimasi  Parameter  oleh  R (Lanjutan)
Parameter LoB 3 LoB 4 ODP Gamma Poi-Gamma ODP Gamma Poi-Gamma