Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.8 No.2 (2014) Hal. 1‐5

## HOMOMORFISMA DARI LEVEL SUBNEAR-RING FUZZY

## Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru
E-mail: saman@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Dalam makalah ini diperkenalkan konsep level subnear-ring dalam subnear-ring fuzzy. Hasil dari penelitian ini adalah image dan pre-image homomorfisma near-ring dari level subnear-ring dalam subnear-ring fuzzy adalah level subnear-ring dalam subnear-ring fuzzy.
Kata kunci: near-ring, subnear-ring , level subnear-ring

## 1. PENDAHULUAN
Penelitian yang berkaitan dengan aljabar abstrak yang dikaitkan dengan teori fuzzy telah  banyak  dilakukan  oleh  peneliti-peneliti  sebelumnya,  diantaranya Abou-Zaid [1] memperkenalkan konsep subnear -ring fuzzy dan ideal fuzzy near- ring . Menurut Clay [3], dan Satyanarayana at al [6], near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa asioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan  pada near-ring .  Operasi  pertama  pada near-ring sebarang  tidak harus abelian , dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan.
Ide penelitian Abou-Zaid [1], banyak melahirkan penelitian-penelitian baru, diantaranya:  Abdurrahman at al [2]  memperkenalkan  konsep  ideal fuzzy near- ring . Pada penelitian ini, akan disajikan hasil kajian teori mengenai level subnear- ring dalam subnear-ring fuzzy yang dibangun oleh homomorfisma near-ring .

## 2.  TINJAUAN PUSTAKA
Berikut  ini,  disajikan  definisi  dan  sifat  dari  near-ring  dan  himpunan  fuzzy yang digunakan pada pembahasan.
Definisi 2.1. [3, 6] Himpunan R tidak kosong dengan dua operasi biner + dan  disebut near ring kiri, jika memenuhi:
(1).  ( R , +) adalah grup ( tidak harus grup abelian ),
(2).  ( R , .) adalah semigrup,
(3). berlaku sifat distributif kiri, yaitu untuk setiap x,y,z  R berlaku:
x . (y + z) = x . y + x . z
Selanjutnya  yang  dimaksud near-ring adalah near-ring kiri ,  kecuali  ada keterangan  lebih  lanjut,  dan x  y dapat  juga  ditulis xy .  Pada near-ring ,  grupnya tidak  harus  abelian  terhadap  operasi  +,  maka  dalam  mendefinisikan  ideal, subgrupnya harus merupakan subgrup normal.
Definisi 2.2. [3] Diberikan near-ring R. Subgrup H di R disebut subnear-ring di R, jika memenuhi HH  H .
Definisi 2.3. [5] Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan  disebut subset fuzzy dari X jika  . Selanjutnya himpunan semua
subset fuzzy dari X dinotasikan dengan ( X ) .
Definisi 2.4. [5] Diberikan  adalah subset fuzzy dari himpunan tidak kosong X dan t  [0, 1]. Himpunan  t  { x  X |  ( x )  t } disebut level subset dari  .
Definisi  2.5.  [5] Diberikan  adalah fungsi dari X ke Y,  (X) dan  (Y). Didefinisikan subset fuzzy    (Y) dan  –1   (Y) berturut-turut sebagai berikut:
  (y) 
untuk setiap y  Y, dan  –1  (x)   [  (x)] untuk setiap x  R. Selanjutnya   disebut image dari  di bawah  , dan  –1 disebut pre-image dari  di bawah  .
Selanjutnya,  jika  –1  (x)   maka  notasi   (y)  dapat  dituliskan  sebagai berikut:   (y) = sup{  (x) | x  X,  (x) = y}.
Definisi  2.6.  [4] Subset fuzzy  di near-ring R disebut subnear-ring fuzzy, jika  ( x – y )  min{  ( x ),  ( y )}, dan  ( xy )  min{  ( x ),  ( y )} untuk setiap x,y  R.

## 3.  METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  berdasarkan  studi  literatur.  Metodelogi  yang digunakan  adalah  mengumpulkan  bahan  tulisan  mengenai near-ring , subnear- ring , near-ring fuzzy , dan subnear-ring fuzzy.
Pada  tahap  awal  dipelajari  tentang  konsep  dasar  dari near-ring fuzzy ,  dan subnear-ring fuzzy. Konsep dasar ini yang nantinya akan banyak membantu pada saat mengkonstruksi sifat level subnear-ring dalam subnear-ring fuzzy .
Selanjutnya,  dibuktikan  beberapa  lemma/teorema  yang  terkait  dan ditentukan asumsi-asumsi sehingga terbentuk sifat-sifat level subnear-ring dalam
subnear-ring fuzzy ,  dan  sifat-sifat  tersebut  akan  dibuktikan  kebenarannya  pada pembahasan.

## 4.  HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum  membuktikan  sifat-sifat  dari level subnear-ring dalam  s ubnear- ring fuzzy , berikut diberikan sifat pre-image dan image homomorfisma near-ring dalam subnear-ring fuzzy.
Teorema  4.1. Diberikan near-ring N 1 dan N 2 , dan  : N 1 → N 2 adalah suatu homomorfisma near-ring. Jika  adalah subnear-ring fuzzy di N 2 , maka  –1  adalah subnear-ring fuzzy di N 1 .
Bukti: Diambil sebarang x, y  N 1 , maka
 –1  (x – y)  =  [  (x – y)]
=  [  (x) –  (y)]
 min{  [  (x)],  [  (y)]} = min{  –1  (x),  –1  (y)}, dan  –1  (xy)  =  [  (xy)]
=  [  (x)  (y)]  min{  [  (x)],  [  (y)]}
= min{  –1  (x),  –1  (y)}.
Jadi,  –1  adalah subnear-ring fuzzy di N 1 . ■
Teorema  4.2. Diberikan near-ring N 1 dan N 2 , dan  : N 1 → N 2 adalah suatu homomorfisma near-ring. Jika  adalah subnear-ring fuzzy di N 1 , maka   adalah subnear-ring fuzzy di N 2 .
Bukti:
Diberikan  sebarang
 ( N 1 )  N 2 dengan  ,  ,  dan  sedemikian hingga   ,   , dan  
Mengingat   adalah image dari  di bawah  , maka
  

   min{  ,  }  min{  ,  }
 min{   ,   }, dan
 
 
 
 min{  ,  } = min{  ,  }  min{   ,   }
Jadi,   adalah subnear-ring fuzzy di N 2 . ■
Berikut  diberikan  sifat  image  dan  pre-image  homomorfisma  dari level subnear-ring dalam subnear-ring fuzzy .
Lemma 4.3. Image homomorfisma near-ring dari level subnear-ring adalah level subnear-ring.
Bukti:
Misalkan N 1 dan N 2 adalah near-ring ,  dan  : N 1 → N 2 adalah  suatu homomorfisma near-ring ,  dengan  t adalah level subnear-ring dari N 1 ,  maka menurut Abdurrahman ([2], Teorema 4.1.6):  adalah subnear-ring fuzzy dari N 1 . Akan ditujukkan  (  t ) adalah level subnear-ring di N 2 . Diambil sebarang x, y  (  t )  N 2 , maka ada z, w  t sedemikian hingga  (z) = x dan  (w) = y.
Karena  t adalah level subnear-ring dari N 1 , maka z – w, zw  t . Akibatnya: x – y =  (z) –  (w) =  (z – w)  (  t ), dan zw =  (x)  (y) =  (xy)  (  t ). Dengan  kata  lain  (  t )  adalah subnear-ring di N 2 ,  sehingga  menurut Abdurrahman ([2], Teorema 4.1.7) terdapat subnear-ring fuzzy  di N 2 sedemikian sehingga level subnear-ring  s =  –1 (  t ), untuk suatu s  [0, 1]. ■
Lemma 4.4. Pre-image homomorfisma near-ring dari level subnear-ring adalah level subnear-ring.
Bukti: Misalkan N 1 dan N 2 adalah near-ring ,  dan  : N 1 → N 2 adalah  suatu homomorfisma near-ring ,  dengan  t adalah level subnear-ring dari N 2 ,  maka menurut Abdurrahman ([2], Teorema 4.1.6):  adalah subnear-ring fuzzy dari N 2 . Akan ditujukkan  –1 (  t ) adalah level subnear-ring di N 1 . Diambil sebarang x, y  –1 (  t )  N 1 , maka  (x) = x 1 dan  (y) = y 1 untuk suatu x 1 , y 1  t , sehingga:
x 1 – y 1 =  (x) –  (y) =  (x – y)  t , dan x 1 y 1 =  (x)  (y) =  (xy)  t . Akibatnya x – y, xy  –1 (  t ), dengan kata lain  –1 (  t ) adalah subnear-ring di N 1 , sehingga menurut Abdurrahman ([2], Teorema 4.1.7) terdapat subnear-ring fuzzy  di N 1 sedemikian sehingga level subnear-ring  s =  –1 (  t ), untuk suatu s  [0, 1]. ■

## 5.  KESIMPULAN
Hasil penting atau sifat yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah, image dan pre-image homomorfisma near-ring dari level subnear-ring dalam subnear-ring fuzzy adalah level subnear-ring dalam subnear-ring fuzzy.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Abou-Zaid. S. 1991. “ On fuzzy subnear-rings and ideals” , Fuzzy Sets and Systems, vol. 44, pp. 139-146.
[2]. Abdurrahman.  S,  Thresye,  dan  Hijriati.  N.  2012.  “ Ideals fuzzy near-ring” , Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon, Vol. 6, No. 2, hal 13 – 19.
[3]. Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and applications , Oxford, New York.
[4]. Kandasamy.  W.  B.  V.  2003.  “ Smarandache fuzzy algebra ”,  American Research Press Rehoboth.
[5]. Mordeson.  J.N,  Bhutani.  K.  R,  and  Rosenfeld.  A.  2005.  “ Fuzzy group theory ”, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[6]. Satyanarayana.  Bh,  and  Prasad.  K.  S.  2013.  “ Near-ring, Fuzzy Ideals, and Graph Theory ”, Taylor and Francis Group, LLC.