## ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL COX MULTIVARIAT DENGAN METODE MAXIMUM PARTIAL LIKELIHOOD ESTIMATION

## Irfan Wahyudi
Mahasiswa S-3 Statistika  FMIPA ITS, Surabaya e-mail: irfan_wahyudi06@yahoo.co.id
Purhadi , Sutikno , dan Irhamah
Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya
ABSTRACT. Multivariate  Cox  proportional  hazard  models  have  ratio  property,  that  is the  ratio  of    hazard  functions  for  two  individuals  with  covariate  vectors z 1 and z 2 are constant  (time  independent).  In  this  study  we  talk  about  estimation  of  prameters  on multivariate  Cox  model  by  using  Maximum  Partial  Likelihood  Estimation  (MPLE) method. To determine the appropriate estimators  that maximize the ln-partial likelihood function,  after  a  score  vector  and  a  Hessian  matrix  are  found,  numerical  iteration methods  are  applied.  In  this  case,  we  use  a  Newton  Raphson  method.  This  numerical method is used since the solutions of the equation system of the score vector after setting it  equal  to  zero  vector  are  not  closed  form.  Considering  the  studies  about  multivariate Cox model are limited, including the parameter estimation methods, but the methods are urgently  needed  by  some  fields  of  study  related  such  as  economics,  engineering  and medical  sciences.  For  this  reasons,  the  goal  of  this  study  is  designed  to  develop parameter estimation methods from univariate to multivariate cases.
Keywords : Multivariate Cox model; Maximum Partial Likelihood Estimation; Parameter Estimator; Newton Raphson Method.
ABSTRAK. Model Cox multivariat proportional hazard memiliki sifat bahwa rasio dari fungsi hazard untuk dua individu dengan vektor covariat z 1 dan z 2 adalah konstan (tidak bergantung  pada  vektor  waktu  survival t ).  Penelitian  ini    mengkaji  tentang  estimator parameter    pada  model  Cox  multivariat  dengan    metode  Maximum  Partial  Likelihood Estimation (MPLE), hal ini disebabkan oleh bentuk baseline hazard model tersebut tidak spesifik.  Untuk menentukan nilai estimasi parameter model Cox multivariat proportional hazard,  setelah  diperoleh  vektor  skor  dan  matriks  Hesse,  iterasi  numerik  dilakukan dengan  menggunakan  metode  Newton  Raphson.  Hal  ini  disebabkan  oleh  penyelesaian nilai-nilai estimator parameter model Cox multivariat tersebut tidak berbentuk tertutup. Mengingat kurangnya pembahasan tentang model Cox multivariat dan belum tersedianya bentuk  estimator  parameter  pada  model  tersebut,  sedangkan  perkembangan  bidang- bidang yang mengkaji tentang survival multivariat seperti pada bidang ekonomi, bidang ilmu rekayasa dan pada bidang kedokteran dirasa sangat pesat. Untuk itu penelitian ini dibuat  dengan  tujuan  untuk  mengembangkan  metode  penaksir  parameter  model  Cox univariat ke model Cox multivariat.
Kata kunci : Model  Cox  multivariat;  Maximum  Partial  Likelihood  Estimation; Estimator parameter model; Metode Newton Raphson.

## 1. PENDAHULUAN
Pada bagian ini dikemukakan secara ringkas tentang apa yang menjadi latar belakang  penelitian,  bagaimana  perumusan  masalahnya,  apa  tujuan  penelitian yang hendak dicapai dan apa manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini.

## 1.1  Latar Belakang Penelitian
Model  Cox proportional  hazard atau  dikenal  dengan analisis survival adalah metode statistika yang digunakan untuk menganalisis data dimana variabel responnya  adalah  waktu  kejadian  yang  dianggap  penting  (Klembaum,  1996). Analisis  waktu survival ini  banyak  diaplikasikan  pada  berbagai  bidang  ilmu seperti pada bidang ilmu kedokteran, ilmu ekonomi, dan ilmu rekayasa.
Pada bidang ilmu kedokteran, waktu survival bisa berupa waktu sakit, waktu sembuh,  waktu  terjadinya  infeksi,  dan  sebagainya.  Pada  bidang  ilmu  ekonomi, waktu survival seperti  kapan  waktu  yang  tepat  untuk  mengganti  produk  dengan inovasi  baru  atau  kapan  inovasi  baru  dapat  direalisasikan  dalam  proses  siklus suatu  produk.  Bidang  rekayasa  juga  turut  berkontribusi  pada  perkembangan analisis survival ,  dimana  pokok  perhatian  utamanya  terletak  pada  pemodelan masa pakai berbagai mesin atau komponen elektronika ( Lawless, 2003 )
Metode-metode pada analisis survival telah dikembangkan oleh para peneliti pada  bidang  ilmu  yang  berbeda-beda,  akibatnya  muncul  nama  dan  istilah  yang berbeda-beda  pula.  Namun  pada  bidang-bidang  tertentu  yang  sering  dijumpai antara  lain survival  analysis (bidang  kedokteran), event  history  analysis (bidang sosial), failure  time  analysis atau lifetime  analysis (bidang  rekayasa), duration analysis atau transition  analysis (bidang  ekonomi).  Perbedaan  nama  ini  tidak mengubah prinsip dan kaidah-kaidah keilmuannya, melainkan berbeda dalam hal istilah dan pendekatannya saja.
Pada data survival, model regresi linier biasa kurang tepat untuk digunakan, hal  ini  disebabkan  data  waktu survival jarang  yang  mengikuti  distribusi  normal (Klembaum,1996).  Model  Cox proportional  hazard saat  ini  banyak  digunakan untuk analisis data survival . Model ini sangat populer untuk analisis data survival karena bentuknya sederhana dan tidak berdasarkan pada asumsi-asumsi distribusi.
186                                                                     Irfan Wahyudi, Purhadi , Sutikno, dan Irhamah
Pada  beberapa  tahun  terakhir  ini  teori  yang  berbasis  model  telah  menjadi semakin kokoh, berbagai perkembangan memperlihatkan beberapa perluasan baru seperti  model  Cox  terstratifikasi  (Klembaum,1996)  atau  model  Cox  dengan variabel  prediktor  yang  bergantung  waktu (Collet,  1994).  Metode  alternatif    lain untuk analisis data survival adalah model accelerated failure time (Collet, 1994).
Pada bidang statistika terdapat kajian khusus tentang analisis survival yaitu kajian  tentang  regresi  Cox propotional  hazard .  Namun  untuk  kasus  multivariat, hal  ini  masih  tergolong  sangat  jarang  ditemui,  terutama  pada  bagian  inferensi statistiknya seperti estimasi parameter dan statistik uji untuk pengujian hipotesis.
Mengingat  kurangnya  pembahasan  tentang  model  Cox  multivariat  dan belum tersedianya bentuk estimator parameter, sedangkan perkembangan bidang- bidang  tertentu  yang   terkait dengan survival multivariat  dan membutuhkan alat- alat statistik yang relevan dirasa cukup pesat, untuk itu penelitian ini dibuat untuk memenuhi kebutuhan tersebut.

## 1.2  Perumusan Masalah
Dari  uraian  latar  belakang  di  atas  teridentifikasi  beberapa  permasalahan yang  perlu  segera  dipecahkan  dan  menarik  untuk  diteliti  lebih  jauh,  yaitu  dapat dirumuskan sebagai berikut: 1) Bagaimana bentuk estimator parameter model Cox multivariat? dan 2)   Apakah estimator parameter  model Cox multivariat  tersebut bersifat konsisten dan asymtotic normality ?

## 1.3  Tujuan Penelitian
Berdasarkan  perumusan  masalah  yang  telah  diuraikan  di  atas,  tujuan  yang hendak  dicapai  dalam  penelitian  ini  adalah  untuk  mendapatkan  bentuk  estimator parameter model Cox multivariat dan mengetahui lebih jauh tentang sifat-sifatnya, meliputi sifat kekonsistenan dan sifat asymptotic normality .

## 1.4  Manfaat Penelitian
Setelah  diperoleh  bentuk  estimator  model  Cox  multivariat  dan  mengetahui sifat-sifat estimator tersebut, manfaat yang dapat dirasakan terutama adalah untuk penelitian-penelitian  yang  berkaitan  dengan  analisis  model  survival  multivariat, khususnya pada pemodelan model Cox multivariat dapat dengan mudah dilakukan dan dengan mudah pula diterapkan pada kasus-kasus riil yang relevan.

## 2.   METODE PENELITIAN
Metode  dan  tahapan-tahapan  yang  dilakukan  untuk  mendapatkan  estimator parameter  model  Cox  multivariat  dengan  metode Maximum  Partial  Likelihood adalah sebagai berikut:
a.  Menetapkan bentuk marginal model Cox multivariat, yaitu
T 0 ( , ) ( ) exp( ) k ik ik t t  Z β Z , untuk baseline hazard yang identik,  atau
T 0 ( , ) ( ) exp( ) k ik k ik t t  Z β Z , untuk baseline hazard yang berbeda-beda.
b.  Membentuk fungsi likelihood parsial model Cox multivariat, yaitu
T T 1 1 1 1 exp( ( )) ( )
( ) exp( ( )) ik n K ik ik n K i k jl ik jl ik j l X PL Y X X       
 
          β Z β β Z
untuk baseline hazard yang identik, atau
T T 1 1 1 exp( ( )) ( ) ( ) exp( ( )) ik n K ik ik n i k jl ik jk ik j X PL Y X X        
         β Z β β Z
untuk baseline hazard yang berbeda-beda Wong  (1986).
c.  Membentuk In-likelihood parsial model Cox multivariat , yaitu
T T 1 1 1 1 exp( ( )) ln ( ) ln ( ) exp( ( )) ik n K ik ik n K i k jl ik jl ik j l X PL
Y X X       
            β Z β β Z untuk baseline hazard yang identik, atau T T 1 1 1 exp( ( )) ln ( ) ln ( ) exp( ( )) ik n K ik ik n i k jk ik jk ik j X PL Y X X      
           β Z β β Z
untuk baseline hazard yang berbeda-beda.
d.  Memaksimumkan  fungsi ln ( ) PL β dengan  cara  menurunkan ln ( ) PL β
terhadap β untuk  mendapatkan  vektor  skor,  dan  selanjutnya  mengatur vektor skor tersebut agar sama dengan nol, yaitu
ln ( ) ( ) PL     β
U β 0 β
188                                                                     Irfan Wahyudi, Purhadi , Sutikno, dan Irhamah
e.  Menentukan  matriks  Hesse,  yaitu  matriks  turunan  parsial  pertama  dari vektor skor ( ) U β atau turunan kedua dari ln ( ) PL β terhadap  , β yaitu
2 T ln ( ) ( ) PL     β H β β β f.  Melakukan iterasi numerik, di sini digunakan metode Newton Raphson ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) q q q q       β β H β U β , 1, 2, q 
g.  Memperoleh estimator ˆ β dengan menggunakan pemrograman MATLAB.

## 3.   HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini dibahas cara mendapatkan estimator parameter pada model Cox  multivariat  dengan  menggunakan  metode Maximum  Partial  Likelihood Estimation (MPLE),  dan  pengkajian  sifat-sifatnya  meliputi  sifat  kekonsistenan MPLE ˆ β , asymptotic normality dari ˆ β , dan kekonsistenan estimator ˆ ˆ ( ) Σ β .

## 3.1. Estimator Parameter Model Cox Multivariat
Misalkan terdapat n unit (pasien/ cluster ) dan setiap unit berpotensi  untuk mengalami K tipe failure .  Misalkan ik T adalah  waktu  terjadi  tipe failure ke- k pada  unit  ke- i ,  dan  misalkan ik C adalah  waktu  sensoring  untuk  unit  ke- i pada tipe failure ke- k . Didefinisikan min( , ) ik ik ik X T C  dan fungsi indikator sensoring
( ) ik ik ik I T C
   . Demikian juga dengan T 1 ( , , ) ik ik pik Z Z  Z menyatakan vektor
prediktor untuk unit ke- i , tipe failure ke- k . Vektor waktu failure
1 ( , , ) i i iK T T  T
dan vektor waktu sensoring 1 ( , , ) i i iK C C  C diasumsikan saling bebas bersyarat terhadap  vektor  prediktor T T 1 ( , , ) i i iK Z Z  Z ( 1, , ) i n  .  Untuk  selanjutnya
diasumsikan bahwa  ( , , ) i i i X C Z adalah elemen-elemen random yang saling bebas dan berdistribusi secara identik. Jika ik T atau ik Z hilang, maka ditetapkan 0, ik C  yang  berarti 0 ik X  dan 0 ik   .    Pada  umumnya,  kasus-kasus  demikian  tidak memberi kontribusi terhadap perhitungan statistik.
Model yang lazim digunakan untuk merumuskan distribusi marginal pada setiap  tipe failure adalah  model proportional  hazard .  Model  tersebut  tergantung
pada apakah baseline hazard -nya identik atau tidak identik diantara K tipe failure . Fungsi hazard dari unit ke- i pada tipe failure ke- k dengan baseline hazard identik atau berbeda-beda, secara berturut-turut, ditulis sebagai berikut
T 0 ( , ) ( ) exp( ) k ik ik t Z t  β Z (1)
atau
T 0 ( , ) ( ) exp( ) k ik k ik t Z t  β Z (2)
dimana 0 ( ) t dan 0 ( ) k t ( 1, , ) k K  keduanya adalah fungsi baseline hazard ,
dan T 1 ( , , ) p    β adalah vektor parameter  (koefisien regresi) yang berukuran
1. p  Pada kasus-kasus ketika fungsi baseline hazard -nya berbeda-beda diantara
K tipe failure , digunakan 0 ( ) k t ( 1, , ) k K  ,  jika tidak demikian, maka cukup diasumsikan  fungsi baseline  hazard -nya  sama.  Pada  kedua  model  (1)  dan  (2), digunakan vektor β yang sama diantara model-model marginal -nya. Hal ini tidak akan  mengurangi  keumuman  karena  asumsi  tersebut  selalu  dapat  dipenuhi  oleh pemakaian variabel prediktor yang tepat. Perlu diketahui bahwa Wei, et al. (1989) menggunakan model (2) dengan vektor parameter regresi tipe spesifik sedangkan Lee, et al. (1992) mempelajari model (1).
Jika  observasi  yang  diamati  diasumsikan  independen  maka  fungsi partial likelihood untuk β dari model (1) dan model (2), secara berturut turut, adalah
T T 1 1 1 1 exp( ( )) ( ) ( ) exp( ( )) ik n K ik ik n K i k jl ik jl ik j l X PL
Y X X         
   
      β Z β β Z (3) dan T * T 1 1 1 exp( ( )) ( ) ( ) exp( ( )) ik n K ik ik n i k jk ik jk ik j X PL
Y X X        
         β Z β β Z (4)
dengan indikator survival ( ) ( ) ik ik Y t I X t   ,  yang berarti ( ) 1 ik Y t  jika  unit ke- i pada tipe failure ke- k survive dan beresiko dibawah pengamatan pada titik waktu
, t dan  bernilai  nol  untuk  alternatif  yang  lainnya.  Fungsi  logaritma  natural  dari
partial likelihood ( ) PL β pada persamaan (3) dan (4), secara berturut-turut, adalah
190                                                                    Irfan Wahyudi, Purhadi , Sutikno, dan Irhamah
  T T 1 1 1 1 ln ( ) ( ) ln ( ) exp( ( )) n K n K ik ik ik jl ik jl ik j l i k PL X Y X X               β β Z
β Z (5)
dan
  * T T 1 1 1 ln ( ) ( ) ln ( ) exp( ( )) n K n ik ik ik jk ik jk ik j i k PL X Y X X             β β Z
β Z (6)
Vektor skor yang bersesuaian dengan persamaan (5) dan (6), berturut-turut adalah
(1) (0) 1 1 ( , ) ( ) ( ) S ( , ) n K ik ik ik ik i k ik X X X             S β U β Z β (7)
dan
(1)
(0) 1 1 ( , ) ( ) ( ) S ( , ) n K k ik ik ik ik i k k ik X X X             S β U β Z β (8) dimana T ( ) (0) 1 1 S ( , ) ( ) jk n t k jk j t n Y t e     β Z β , T ( ) (1) 1 1 ( , ) ( ) ( ) jk n t k jk jk j t n Y t e t     β Z S β
Z
( 1, , ) k K  dan ( ) ( ) 1 ( , ) ( , ) K r r k k t t    S β S β ( 0,1) r  .  Pada  kedua  kasus  di  atas,
diperoleh estimator tunggal ˆ β dengan cara menyelesaikan persamaan (7) atau (8) yaitu   ( ) atau  ( ) .   U β 0 U β 0 Jika  penyelesaian  tersebut  tidak  menghasilkan
solusi yang eksplisit (bukan bentuk tertutup), maka estimator ˆ β diperoleh dengan pendekatan secara numerik. Matriks Hesse atau matriks turunan parsial kedua dari
ln ( ) PL β atau matriks turunan pertama dari vektor skor ( ) U β terhadap β adalah
2 T 1 1 ln ( ) ( ) ( , ) n K ik k i k PL t           β H β V β β β dimana 2 (2) (1) (0) (0) ( , ) ( , ) ( , ) S ( , ) S ( , ) k ik k ik k k ik k ik X X t X X    
     S β S β V β β β adalah matriks kovariansi empiris dengan T ( ) (2) 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) . jk n t k jk jk j t n Y t e t      β Z S β Z Sebagai penjelasan, bentuk 2  a
di  sini  adalah  notasi outer-product yang  berarti  matriks T , aa ini  berlaku  untuk sebarang vektor kolom . a Selanjutnya MPLE ˆ β diperoleh melalui iterasi numerik, di sini digunakan metode Newton Raphson, yaitu dirumuskan sebagai berikut
( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) q q q q       β β H β U β , 1, 2, q 
Estimasi Parameter pada Model Cox Multivariat                                                                 191
Proses iterasi dimulai dengan penentuan nilai awal (0) β dan iterasi dihentikan pada
langkah ke- m jika ( ) ( 1) m m     β β dimana  adalah bilangan yang sangat kecil.
Maka MPLE ˆ β dari β adalah ( 1) ˆ m   β β .

## 3.2.  Sifat kekonsistenan MPLE ˆ β
Pada  bagian  ini  dibahas  sifat  kekonsistenan MPLE ˆ β dari  parameter  . β
Secara ringkas hal ini dijelaskan pada proposisi berikut ini.
Proposisi  1: Misalkan ˆ β adalah  MPLE  dan 0 β adalah  true  value  dari β pada model Cox multivariat. Jika n  maka P 0 ˆ   β β , yaitu MPLE ˆ β konsisten.
Bukti: Bentuk ( ) PL β pada persamaan  (3)  jika dinyatakan dalam notasi counting process , maka bentuk tersebut menjadi
( ) T T 1 1 0 1 1 ( ) exp( ( )) ( ) ( ) exp( ( )) ik dN u n K ik ik n K i k u jl jl j l Y u u PL Y u u         
          β Z β β Z dengan ( ) 1 ik dN u  jika ( ) ( ) 1 ik ik N u N u    dan ( ) 0 ik dN u  untuk  alternatif yang lainnya.  misalkan ln , PL  L maka ( , ) t β L dapat diuraikan menjadi
    T 1 1 0 T 1 1 1 1 0 T (0) 1 1 0 ( , ) ( ) ( ) ln ( ) exp ( ) ( ) ( ) ln  S ( , ) ( ) t n K ik ik i k t n K n K jl jl ik i k j l t n K ik j ik i k t u dN u Y u u dN u
u n u dN u                        β β Z β Z β Z β L Definisikan   0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) K k k G t t t G t n      β β β β L L dengan   (0) T 0 (0) 1 0 0 (0) (0) (0) T 1 1 S ( , ) 1 ( , ) ( ) ( ) ln ( ), S ( , )
1 S ( , ) S ( , )  dan  S ( , ) ( ) exp ( ) . t n j k ik ik i j K n j jl jl jl jl l j u G t u d N u n u u u u Y u u n                      β β β β Z
β β β β β Z
Definisikan pula 1 ( , ) ( , ) K k k G t G t
   β β dengan
192                                                                     Irfan Wahyudi, Purhadi , Sutikno, dan Irhamah
(0) T 0 (0) 1 0 0 s ( , ) 1 ( , ) ( ) ( ) ln ( ), s ( , ) t n j k ik ik i j u G t u dN u n u                β β β β Z β   (0) (0) (0) (0) 1 s ( , ) s ( , )  dan  s ( , ) S ( , ) . K j jl jl jl l u u u u     β β β β E Untuk ( ) ( , ) d jl t S β , 0,1, 2, d  seperti yang telah dirumuskan pada bagian 3.1 di atas,
terdapat  persekitaran B dari 0 β dan,  mencakup   ( ) ( ) ( , ) ( , ) d d jl jl t t  s β S β E secara
berturut-turut,  fungsi  scalar,  fungsi  vector,  dan  fungsi  matriks (0) s ( , ) jl t β , (1) ( , ) jl t s β dan (2) ( , ) jl t s β terdefinisi  pada [0, ]   B sedemikian  sehingga,  untuk 0,1, 2, d 
P ( ) ( ) [0, ], sup ( , ) ( , ) 0 d d jl jl t t t       β S β s β B jika n  , 1, , j n  ; 1, , l K  .            (9) Selanjutnya,  akan  ditunjukkan  bahwa ( , ) G  β ekuivalen  dengan ( , ) G  β secara asimtotik, dalam arti bahwa P ( , ) ( , ) jika . G G n        β β 0 Dari definisi ( , ) k G  β dan ( , ) k G  β , (0) (0)
(0) (0) 1 0 0 0 (0) (0) (0) (0) 0 0 0 S ( , ) ( , ) 1
( , ) ( , ) ln ln ( ) S ( , ) ( , )
S ( , )
( , ) ( ) ln ln S ( , ) ( , ) n j j k k ik i j j j j k j j u u G G
dN u n u u
u u N u d u u n                                         β s β β β β s β β s β β s β
Karena ( ) ( , ) d jl t s β adalah fungsi-fungsi dari  β B terbatas pada   0,   B [ , kontinu di 0 β dan berlaku persamaan (9), maka untuk setiap   0, u   dan ,  β B.
(0) (0) (0)
(0) 0 P (0) (0) (0)
(0) 0 0 0 S ( , ) s ( , ) S ( , ) S ( , ) ln ln ln ln 0 jika n S ( , ) s ( , ) s ( , ) s ( , ) j j j j j j j j u u u u u u u u        β β β β β β β β
sehingga diperoleh bahwa
1 0 (0) 0 0 0 ( ) 1 P P ( ) ( ) P ( ) S ( , ) n k ik ik i k k N Y u u du n n u u du                                        β Pilih (0) 0 0 0 ( ) s ( , ) , k k u u du     β maka
P (0) 0 0 0 P ( ) S ( , ) 0 k k u u du             β jika
Estimasi Parameter pada Model Cox Multivariat                                                                 193
n  , sehingga / 0    jika .    ( ) Karena itu,  lim lim P 0. k n N n   
         
P Jadi, ( , ) ( , ) . k k G G      β β 0 Akibatnya ( , ) G  β ekuivalen  dengan ( , ) G  β
secara  asimtotik.  Karena  itu,  untuk  data  besar  ( n  ),  MPLE ˆ β di ( , ) G  β
konvergen dalam probabilitas ke 0 β ( true value yang memaksimumkan ( , ) t β L di
( , ) G  β ).  Hal ini menunjukkan bahwa jika , n   maka MPLE P 0 ˆ .   β β
3.3.  Sifat asymptotic normality dari ˆ β
U ntuk  data  besar,  estimator
0 ˆ ( ) n  β β konvergen  dalam  distribusi  ke
0 ( , ( )) p 0 Σ β N ,  dimana   T 0 1 0 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . n K n K ik jl i k j l          Σ β D β D β E Hal  ini
dijelaskan pada proposisi berikut ini.
Proposisi  2: Misalkan 0 ( ) Σ β adalah  matriks  kovariansi.  jika , n   maka
0 0 ˆ ( ) ( , ( )).
p n   β β 0 Σ β D N
Bukti: Ekspansi  Taylor  orde  pertama  untuk  vektor  skor ( ) U β dengan  pusat true value 0 β dari β dapat ditulis sebagai berikut
* 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ),       β β U β U β U β β β β (10)
dimana * β terletak pada segmen garis antara ˆ β dan 0 . β Karena ˆ β adalah MPLE maka ˆ ( )  U β 0 , sehingga persamaan (10) menjadi
* 0 0 1 1 ˆ ( ) ( ) ( ). n n n             β β U β U β β β β Dari  teorema  limit  sentral  multivariat  Puri  dan  Sen  (1971)  diperoleh  bahwa P 0 0 1 ( ) ( , ( )) p n   U β 0 Σ β N . Dari proposisi 1 diketahui bahwa ˆ β konsisten, ini
berarti P *
0  β β jika n  , sehingga
* P 0 1 ( ) ( ) n            β β U β I β β jika . n 
Jadi P 0 0 ˆ ( ) ( , ( )). p n   β β 0 Σ β N Akibatnya
0 0 ˆ ( ) ( , ( )). p n    β β 0 Σ β D N
194                                                                    Irfan Wahyudi, Purhadi , Sutikno, dan Irhamah
3.4.  Sifat kekonsistenan estimator

## ˆ ˆ ( ) Σ β
Penjelasan  sifat kekonsistenan estimator ˆ ˆ ( ) Σ β secara ringkas dijelaskan pada proposisi berikut ini.
Proposisi  3: Misalkan ˆ β adalah  MPLE  dan 0 β adalah  true  value  dari β pada model Cox multivariat. Jika n  maka P 0 ˆ ˆ ( ) ( ).   Σ β Σ β
Bukti: Untuk  menunjukkan  sifat  kekonsistenan  estimator  ˆ Σ ,  diperlukan  dua  hal yang harus diperlihatkan, yaitu jika n  maka:
1)   P 1 T T 1 0 1 0 1 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) n ik il k l i n      B β B β D β D β E dan 2) P 0 ˆ ˆ( ) ( )   I β I β dimana T (1) ( ) (0) (0) 0 ( , ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) S ( , ) S ( , ) ik u j ik ik ik ik k j j u Y u e u dN u dN u u n u                      β Z S β B β Z β β ,
(1) (0) 0 (0) 1 0 0 ( , ) ( ) ( )
( )  dan   ( ) ( , ) s ( , ) ( )  . s ( , ) t K j ik ik ik k k k k j u u dM u t t h t dt u                   s β D β Z I β v β β β
Untuk  menunjukkan  bagian  pertama,  cukup  dibuktikan  bahwa  setiap  komponen dari 1 T 1 ˆ ˆ ( ) ( ) n ik il i n    B β B β konvergen dalam probabilitas ke setiap komponen yang sesuai  dengan   T 1 0 1 0 ( ) ( ) k l D β D β E .  Bagian  kedua  dapat  ditunjukkan  dengan  cara membuktikan
P 0 ˆ ˆ( ) ( )   I β I β 0 jika n  . Dari kedua hal tersebut, diperoleh bahwa ˆ ˆ ( ) Σ β adalah estimator yang konsisten, dengan P 0 ˆ ˆ ( ) ( ).   Σ β Σ β

## 4. KESIMPULAN  DAN  SARAN
Dari  uraian  singkat  dengan  penjelasan-penjelasan  sederhana  di  atas  dapat ditarik beberapa kesimpulan, yaitu:
a) Estimator-estimator parameter model Cox multivariat dapat dicari dengan cara yang cukup sederhana menggunakan metode MPLE. Nilai estimator-estimator tersebut dapat didekati dengan menggunakan metode iterasi Newton Raphson dengan algoritma yang cukup sederhana pula.
b) Estimator MPLE bersifat konsisten dan asymptotic  normality .
c) Estimator matriks varian kovarian ˆ ˆ ( ) Σ β bersifat konsisten.
Saran bagi para peneliti yang bekerja pada bidang survival multivariat, khususnya pada  model  Cox  multivariat  untuk  menggunakan  metode  iterasi  selain  Newton Raphson, hal ini untuk membandingkan metode mana yang lebih akurat dan lebih efisien dalam memperoleh nilai-nilai hampiran estimator dan dalam proses iterasi.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Diucapkan  banyak  terimakasih  kepada  yang  terhormat  Promotor  dan  Co- promotor  penulis  (Dr.Purhadi,  M.Sc,  Dr.Sutikno,  M.Si,  dan  Dr.Irhamah,  M.Si) atas  segala  bantuan  dan  kesabarannya  dalam  membimbing  penulis  dalam menyelesaikan  tulisan  ilmiah  ini  untuk  diseminarkan  pada  Simposium  Nasional Analisis Matematika dan Aplikasinya V di Program Studi Matematika Universitas Jenderal Soedirman Purwokerto.

## DAFTAR PUSTAKA
Collett,  D.  (1994). Modeling  Survival  Data  in  Medical  Research, chapman  and Hall, London.
Klembaum,  D.G.  (1996). Survival  Analysis:  A  Self  learning  text. Springer,  New York.
Lawless,  J.  F.  (2003). Statistical  Models  and  Methods  for  Lifetime  Data .  2nd edition, John Wiley & Sons. Inc., Hoboken, New Jersey.
Lee,  E.W.,  Wei,  L.J.  dan  Amato,  D.A.  (1992). Cox-type  regression  analysis  for large  numbers  of  small  groups  of  correlated  failure  time  observations, in Klein, J.P. and Goel, P.K. (eds), Survival analysis : State of  the art , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 237-247.
Puri,  M.L.  dan  Sen,  P.K.  (1971). Nonparametric  Methods  in  Multivariate Analysis , New York: Chapman and Hall.
Wei,  L.J.,  Lin,  D.Y.  dan  Weissfeld,  L.  (1989). Regression  analysis  of multivariate  incomplete  failure  time  data  by  modeling  marginal distributions , Journal of the America Statistical Association, 84, 1065-1073.
Wong,  W.H.  (1986). Theory  of  partial  likelihood.  The  Annals  of  Statistics, Vol.
14. No. 1, 88-123.
196                                                                    Irfan Wahyudi, Purhadi , Sutikno, dan Irhamah