## ANALISIS METODE BINOMIAL DIPERCEPAT  PADA PERHITUNGAN HARGA OPSI EROPA
Istiqomah, Abdul Aziz
Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: thifa_31@yahoo.com

## ABSTRAK
Model  umum  yang  digunakan  dalam  perhitungan  harga  opsi  Eropa  adalah  model  Black  Scholes. Kemudian  ditemukan  suatu  metode  baru  yang  merupakan  aproksimasi  dari  model  Black  Scholes  yaitu metode  Binomial.  Akan  tetapi,  perhitungan  harga  opsi  Eropa  menggunakan  metode  Binomial membutuhkan  partisi  waktu  yang  banyak  untuk  bisa  mendekati  model  kontinu  Black  Scholes.  Untuk mempercepat kekonvergenan aproksimasi harga opsi Eropa maka digunakan pengembangan dari model Binomial yaitu Binomial Dipercepat. Langkah yang dilakukan dalam metode Binomial Dipercepat adalah melakukan pemulusan kurva harga opsi yang disebut dengan Middle of Tree (MOT). Sebelum melakukan pemulusan  kurva  tersebut  yang  dilakukan  terlebih  dahulu  adalah  memisahkan  partisi  waktu  yang digunakan  yaitu  partisi  waktu  ganjil  dan  genap.  Asumsi  yang  digunakan  pada  MOT  adalah  dengan meletakkan  harga  ketentuan  di  tengah  pohon  binomial  pada  saat  jatuh  tempo.  Dari  asumsi  tersebut didapatkan parameter u dan p yang akan digunakan dalam pemulusan kurva MOT. Dengan menggunakan parameter MOT tersebut diperoleh hasil dari harga opsi Eropa yang bisa mendekati harga kekonvergenan Black Scholes dengan partisi yang lebih sedikit dibandingkan dengan menggunakan metode Binomial.
Kata Kunci : Opsi Eropa, Binomial,Binomial Dipercepat, Middle of Tree (MOT)

## ABSTRACT
A  common  model  which  is  used  the  calculation  of  the  price  of  European  option  is  Black  Scholes Model. Afterwards, there is a new model which in approximation of Black Scholes Model. This model  is called as Binomial Model. But then, the calculation of the price of European Option with Binomial Model requires many iterations to approach the Continue Model of Black Scholes. The development of Binomial Model, Accelerated Binomial, is used accelerate the convergence of the approximation of European Option. On  of  steps  in  the  Accelerated  Binomial  Method  is  the Middle  of  Tree (MOT).  MOT  is  the  smoothing  of option price’s curve. Before doing the smoothing of curve, the first  step that  must  be done is separating the  used  time;  odd  and  even  time.  The  assumption  that  is  used  in  MOT  is  placing  the  price  provision among the binomial tree on the maturity time. The result the assumption u and p that will be applied in the smoothing of curve. The using of MOT parameter produces a result from the price of European Option that convergences to Black Scholes faster than using Binomial Model.
Keywords: European Option, Binomial, Accelerated Binomial, Middle of Tree (MOT)

## PENDAHULUAN
Pada penelitian sebelumnya tentang perhitungan  harga  opsi  Eropa  menggunakan metode  Binomial  telah  dijelaskan  beberapa bentuk yang digunakan untuk menghitung harga opsi  Eropa.  Salah  satu  bentuk  yang  digunakan dalam  perhitungan  harga  opsi  Eropa  adalah metode Binomial bentuk CRR.
Metode  Binomial  bentuk  CRR  ini  untuk pertama  kali  dikembangkan  secara  simultan oleh  Cox,  Ross  dan  Rubinstein  [1]  serta Rendlemen dan Bartter [2] dengan mengasumsikan  bahwa  dalam  suatu  interval waktu,  harga  saham  akan  naik  sebesar  faktor  u (up)  dan  akan  turun  sebesar  faktor  d  (down) karena  dipengaruhi  oleh  faktor  suku  bunga. Selanjutnya  CRR  mempertimbangkan  bahwa
pergerakan harga saham juga dipengaruhi faktor volatilitas.
Semakin  banyak  partisi  waktu  yang digunakan  pada  metode  Binomial  CRR,  maka harga  opsi  yang  didapat  akan  semakin mendekati  model  kontinyu  Black  Scholes  [3]. Akan  tetapi,  untuk  mendapatkan  harga  opsi yang  mendekati  model  kontinyu  Black  Scholes diperlukan  waktu  yang  cukup  lama  karena dengan  partisi  waktu  yang  semakin  banyak maka  proses  perhitungan  harga  opsi  juga  akan semakin banyak.
Setiap  partisi  waktu  yang  berubah  pada metode  Binomial  CRR  mengakibatkan  keadaan strike  price  selalu  berubah  terhadap  node  pada waktu jatuh tempo. Ini menyebabkan terjadinya osilasi  (naik  turun)  harga  opsi  terhadap  partisi
waktu,  sehingga  kekonvergenan  terhadap  Black Scholes  sangat  lambat  [4].  Keadaan  ini  telah dibuktikan  pada  penelitian  sebelumnya  tentang perhitungan  opsi  Eropa  dengan  metode Binomial  CRR.  Jika  menggunakan  partisi  waktu kecil maka harga saham pada waktu jatuh tempo yang  diperoleh  sangat  kecil  sehingga  akan menyebabkan  keadaan  dimana  antara  opsi  call dan opsi put tidak saling imbang.
Salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk mempercepat kekonvergenan harga opsi metode  Binomial  CRR  terhadap  harga  opsi metode Black Scholes adalah dengan melakukan pemulusan kurva terhadap pohon Binomial CRR atau biasa disebut dengan Middle of Tree (MOT). Dengan  melakukan  pemulusan  kurva  Binomial CRR maka peneliti  akan  mendapat  harga saham pada  waktu  jatuh  tempo  yang  lebih  besar  dari metode Binomial CRR. Dengan nilai harga saham pada waktu jatuh tempo yang lebih besar maka dengan partisi waktu berapapun akan didapatkan  nilai K yang  selalu  ada  di  tengah pohon  Binomial  pada  saat  jatuh  tempo.  Hal  ini menyebabkan  nilai  opsi  call  ataupun  put  selalu tidak  nol  sehingga  kedua  opsi  tersebut  dapat memiliki peluang untuk mendapatkan untung.

## TINJAUAN TEORI

## 1. Binomial Definisi 2.1.1
Eksperimen  Binomial:  Suatu  eksperimen dinamakan  eksperimen  binomial bila dan hanya bila eksperimen yang bersangkutan terdiri dari
percobaan-percobaan binomial.
Anggaplah p adalah  probabilitas  bahwa  suatu kejadian  akan  terjadi  dalam  suatu  percobaan tunggal sembarang (disebut peluang keberhasilan),  maka q  =1–p adalah  probabilitas bahwa  suatu  kejadian  akan  gagal  dalam  setiap satu  percobaan  (disebut  peluang  kegagalan). Probabilitas  bahwa  suatu  kejadian  akan  terjadi tepat x kali  dalam n percobaan  (artinya, keberhasilan-keberhasilan  (sukses)  dan n  -  x kegagalan  akan  terjadi)  ditentukan  oleh  fungsi probabilitas
   
  ! ! ! x n x x n x n n f x P X x p q p q x x n x     
     
  dimana  variabel  acak X melambangkan  jumlah keberhasilan dalam n percobaan dan x = 0, 1,…, n.
2. Opsi Opsi ( Option ) adalah sebuah hak atau suatu kontrak  antara writer (penjual) dan holder (pembeli) pemegang opsi yang memberikan hak,
kepada holder (pemegang  option) untuk membeli  atau  menjual  suatu  aset  pokok ( underlying  asset )  pada  suatu  tanggal  tertentu untuk  suatu  harga  tertentu.  Ada  dua  tipe  dasar opsi  yaitu call dan put. Opsi call adalah  hak untuk  membeli sejumlah  tertentu  suatu underlying  asset dengan  harga  sebesar strike price ,  pada  waktu  jatuh  tempo ( maturity  date ).
Sedangkan  opsi put adalah  hak  untuk  menjual sejumlah tertentu suatu underlying asset dengan harga  sebesar strike  price ,  pada  waktu  jatuh tempo ( maturity date ) [5] .
Kontrak  opsi  adalah  suatu  perjanjian  yang memberikan  hak  kepada holder untuk  membeli suatu underlying  asset .  Pada  tingkat  harga tertentu  ( striking  price )  pada  saat  tanggal tertentu  ( maturity  date ). Seorang holder suatu opsi  harus  membuat  suatu  keputusan  apa  yang akan  ia  lakukan  terhadap  tanggungan  kontrak hak  opsi  ini.  Keputusannya  akan  ditentukan pada  situasi  pasar,  dan  tipe  opsi  ini.  Misalkan pada call opsi  Eropa , dia  dapat  mengabaikan opsi  ini  bila  harga  saham  ( stock  price )  di  pasar pada  waktu  jatuh  tempo  ( maturity  date) lebih rendah  dari  pada  harga call opsi ( strike  price ), karena  tidak  dapat  memberikan  keuntungan.  Ia lebih  baik  membeli  saham  serupa  di  pasar dengan  harga  yang  lebih  rendah  dari  pada membelinya  pada writer dengan  harga strike price .
Menurut  seydel  [3]  jika S T adalah  harga saham  di  pasar  pada  waktu T dan K adalah strike  price maka  keuntungan  atau  nilai payoff untuk kedua jenis opsi di atas diberikan oleh: untuk opsi call     max ,0 T T C S K S K      (1)
Sedangkan untuk opsi put diberikan oleh
    max ,0 T T P K S K S      (2)
Writer memperoleh keuntungan dari biaya atau  harga  opsi  dari holder ,  baik holder melaksanakan haknya maupun tidak melaksanakan  haknya. Holder (pemegang  opsi) akan  mendapatkan  untung,  jika  menggunakan hak  opsinya,  dari  nilai  opsi  yang  diperoleh  dari selisih  harga  saham  pada  pasar  bebas  dengan harga saham pada opsi, yang diistilahkan dengan payoff , V ,  setelah  dikurangi  dengan  harga  opsi ( option  price ),  yang  diistilahkan  dengan profit atau  keuntungan.  Keuntungan  atau  kerugian yang  diperoleh holder atau  pemegang  opsi call pada waktu T : Profit = payoff – harga option
= max( ,0) c T V C K S C    
sebaliknya,  bagi  pemegang  opsi put akan mendapatkan keuntungan atau kerugian:
Profit = payoff - harga  option
= max( ,0) p T V P K S
P    
Artinya,  jika profit bernilai  positif  maka pemegang  opsi  mendapatkan  keuntungan,  dan sebaliknya  jika  negatif  merupakan  kerugian yang  maksimal  sebesar  harga opsi.  Berikut  ini adalah  gambar  kurva  fungsi payoff dan profit untuk opsi call dan opsi put . Profit diperoleh dari pengurangan harga transaksi pada saat membeli opsi terhadap nilai payoff yang diperoleh [6].

## 3. Metode Binomial Eropa
Pada  kenyataannya  harga  saham  di  pasar bebas  akan  selalu  berubah  naik  atau  turun dengan  perubahan  waktu.  Kemungkinan  dua arah  perubahan  inilah  yang  digunakan  sebagai dasar  model  binomial.  Misalkan  harga  saham saat  pembuatan  opsi,  adalah S 0 naik  dengan peluang p menjadi S u atau  akan  turun  dengan peluang q menjadi S d .  Sehingga  nilai  opsi  pada saat  pembuatan  opsi,  adalah V 0 dan  pada  saat naik  menjadi U atau  akan  turun  menjadi D . Permodelan  matematika  diharapkan  dapat membantu  untuk  memahami  keadaan  sekarang dan  prediksinya  pada  waktu  yang  akan  datang. Oleh  karena  itu,  agar  model  binomial  ini  dapat berhasil  dengan  lebih  baik  maka  harus  sesuai dengan  keadaan  dunia  nyata.  Masalah  yang dihadapi  sekarang  adalah  bagaimana  kita memilih p,  u, dan d sedemikian  hingga  model binomial  ini  mendekati  pada  keadaan  dunia nyata [6].
Memulai dengan diskritisasi, yaitu menjadikan  waktu  kontinu t menjadi  diskrit dengan  menggantikan t oleh  waktu  yang  sama lamanya katakanlah t i . bidang (S,t) diwakili oleh garis-garis  lurus  paralel  dengan  jarak ∆t . Mengganti  nilai-nilai  kontinu S i sepanjang paralel t  =  t i dengan  nilai-nilai  diskrit S ji ,  untuk semua i dan j yang  sesuai.  Untuk  lebih memahami  lihat  gambar  1.  Gambar  ini menunjukkan sebuah hubungan grid, katakanlah perubahan dari t ke t+∆t , atau dari t i ke t i+1 .

## Gambar 1 Prinsip Metode Binomial
Misalkan digunakan notasi sebagai berikut:
M = banyaknya selang waktu
i = indeks waktu, i t = waktu ke i j = indeks kemungkinan harga saham dengan: T t M  : . , i t i t 0,1, 2,3,..., i M  0,1, 2,3,..., j i    : i i S S t
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam permodelan ini adalah: 1.  Harga S ,  sebagai  harga  awal,  selama  setiap periode  waktu ∆t hanya  dapat  berubah dalam  dua  kemungkinan  yaitu  naik  menjadi S u atau turun menjadi S d dengan 0 < d < u . Di sini u dan d masing-masing  merupakan faktor  perubahan  naik  dan  turun  yang konstan untuk setiap ∆t . 2.  Peluang perubahan naik adalah p, P(naik) = p. Sehingga P(turun) = q=(1-p).
3.  Ekspektasi  harga  saham  secara  acak  kontinu, dengan  suku  bunga  bebas  resiko  ( r ),  dari harga  saham  ke i pada  waktu  ke i menjadi harga  saham  ke i+1 pada  waktu  ke i+1 adalah:
1 ( ) . r t i i
E S S e    (1)
4.  Tidak  ada  pembayaran  dividen    selama periode waktu tersebut.
Skema  ( tree) untuk  fluktuasi  harga  saham secara  diskrit  dapat  dibangun  menggunakan model  binomial.  Sehingga  secara  umum  harga saham pada saat t = t i terdapat i+ 1 kemungkinan dengan rumus umum:
0 j i j ji S S u d   , i = 0,1,…,M j = 0,1,…i.
dan i j  (4)

## PEMBAHASAN
Berdasarkan  konstruksi  tentang  metode binomial  untuk  perhitungan  harga  opsi  Eropa, yang didasarkan pada perhitungan harga saham. Harga  saham  pada  waktu  tertentu  sangat diperlukan  oleh holder (pembeli)  dan writer (penjual)  untuk  memprediksi nilai opsi.
Menghitung  harga  opsi  Eropa  dan  opsi  Asia Eropa  terlebih  dulu  mencari payoff atau  nilai opsi.  Mencari  nilai  opsi  Eropa  dan  opsi  Asia Eropa, pada kontrak opsi  yang dilakukan holder dan writer ,  saat  pertama  kali  perjanjian holder (pembeli)  harus  menentukan  opsi call (hak untuk  membeli)  atau  opsi put (hak  untuk menjual) , pada kontrak opsi Eropa dan opsi Asia Eropa  diketahui  harga  saham  awal   0 S dan menentukan  harga  saham  perjanjian (strike
S S u = u . S S d = d . S p q S i+1 S i t i+1 = t + ∆t t i = t S t
price, K ) dalam  waktu  jatuh  tempo  ( maturity date, T ).
Menentukan harga saham pada waktu jatuh tempo membutuhkan harga saham awal dengan metode  binomial.  Harga  saham  di  pasar  bebas pada  waktu  tertentu  yang  akan  datang,  tidak dapat  dipastikan.  Harga  saham  pasar  bebas kenyataannya selalu mengalami perubahan naik atau  turun  setiap  detiknya  atau  dengan perubahan  waktu.  Kemungkinan  dua  arah perubahan  inilah  yang  digunakan  sebagai  dasar metode  binomial.  Pada  metode  binomial, diketahui  harga  saham  awal,  untuk  mengetahui harga  saham  sampai  dengan  jatuh  tempo menggunakan persamaan (4).
Gambar 2. Skema Fluktuasi Harga Saham Secara Binomial
dari ekspektasi di atas didapatkan rumus diskrit harga saham pada waktu t = M sebagai berikut:
    0 M M E S pu qd S
  (5)
Persamaan  (4)  adalah  tidak  rekursif,  artinya perhitungan  yang  memerlukan  waktu  relatif lama,  sehingga  perlu  adanya  bentuk  rekursif yang diperoleh sebagai berikut, dengan bantuan persamaan
  0 r t M E S S e   (6)
untuk menghitung harga saham awal dari harga saham jatuh tempo menggunakan diskon r t e   dari persamaan (3) dengan rumus:
    0 1 1, 1 , 1 r t r t ji j i j i S e E S S e pS qS           (7)
dan untuk mengetahui harga saham sebelumnya menggunakan  persamaan  (7).  Dari  langkah- langkah  ini,  dapat  menemukan  dari  harga  opsi awal sampai jatuh tempo, terdapat model untuk
mencari harga opsi yaitu model opsi Eropa yang di bandingkan dengan model Black-Scholes.

## 1. Perhitungan Harga Opsi Eropa
Model yang pertama menggunakan opsi Eropa.  Setelah  menemukan  harga  saham  waktu jatuh  tempo,  dari  itu  dapat  memperoleh  nilai opsi  Eropa.  Sebelum  menghitung  nilai  opsi, menentukan  jenis  opsi  terlebih  dahulu,  yaitu opsi call atau opsi put . Menghitung nilai opsi call ( call payoff ) yaitu
  max ,0 jM jM V S K   (8)
terdapat  beberapa  nilai j  =  0,1,2,...,i dan i =0,1,2,...,M .
Gambar 3. Skema Perubahan payoff Secara Binomial
Dari  beberapa  nilai  opsi  ini  diperoleh  secara binomial mundur harga opsi awal,
  0 1, 1 , 1 r t j i j i V e pV qV     
  (9)
dan untuk menghitung nilai opsi put ( put payoff ) yaitu
  max ,0 jM jM V K S   (10)
terdapat  beberapa  nilai j  =  0,1,2,...,i dan i =0,1,2,...,M . Dari beberapa nilai opsi ini diperoleh secara binomial mundur harga opsi awal,
  0 1, 1 , 1 r t j i j i V e pV qV        (11)
Supaya  model  binomial  ini  mendekati  pada keadaan  dunia  nyata,  maka  harus  mencari  nilai parameter u, d dan p.
2. Parameter-parameter u,d, dan p
Metode  dengan  asumsi u.d =1. Untuk menentukan  tiga  parameter  yang  belum diketahui, u, d, dan p, diperlukan tiga persamaan, yaitu:
1) Menyamakan  ekspektasi  harga  saham model diskrit dengan model kontinu
00 ji V V  11 V 01 V 22 V 12 V 02 V 23 V 13 V 03 V i MM V 0 M V i t Su Sd Su 2 Sud Sd 2 Su 3 Su 2 d Sud 2
Sd 3 1 i t  t  Su M S Sd M 33 V j
2) Menyamakan  variansi  model  diskrit dengan model kontinu 3) Menyamakan u . d = 1
Persamaan  pertama  menyamakan  ekspektasi harga  saham  model  diskrit  dengan  model kontinu yaitu  menggunakan  persamaan  (5)  dan persamaan  (6)  pada  waktu  jatuh  tempo M t . sehingga diperoleh nilai untuk u, d dan p yaitu:
2 4 2 u      , 1 d u  , d u d e p t r    
dengan
  2 r t r t e e         (12)

## 3. Metode Binomial Dipercepat
Pada  metode  Binomial  Dipercepat  ini konsep yang digunakan adalah konsep pemulusan kurva harga opsi Eropa yang disebut dengan Middle  of  Tree (MOT). Middle  of  Tree (MOT)  adalah  pemulusan  kurva  dengan meletakkan  harga K di  tengah  pohon  Binomial pada  saat  waktu  jatuh  tempo  sehingga  harga K selalu tetap terhadap node di setiap nilai M yang berubah.  Untuk  menghilangkan  osilasi  pada harga  opsi  Eropa  menggunakan  metode Binomial CRR, partisi waktu dipisahkan menjadi M ganjil dan M genap [4].
Harga K selalu  terletak  di  tengah  pohon Binomial  pada  saat  waktu  jatuh  tempo  dengan cara  merubah  parameter u dan d .  Oleh  karena harga K harus terletak di tengah pohon Binomial pada saat jatuh tempo, maka
2 2 3 3
0 0 0 0 j i j
S ud S u d S u d
S u d K      
dengan 1, 2, , ; 0,1, 2, , i M j i  
Pada  saat  jatuh  tempo,  harga K harus terletak  di  tengah  noktah-noktah  pohon Binomial,  akibatnya
2 0 ( ) M S ud K  (13)
Pada  metode  Binomial  CRR,  harga  saham akan  naik  atau  turun  bergantung  pada parameter u dan d sesuai dengan rumus yaitu
dan t t
u e d e     
  Sedangkan parameter u dan d pada metode
Binomial Dipercepat
diubah dengan menambahkan  variable C 1 dan C 2 pada eksponensial  parameter u dan d .  Penambahan variabel C 1 dan C 2 membuat  harga  node  saham akan bergerak sehingga keadaan K selalu berada di  tengah-tengah  jumlah  node  pohon  Binomial
pada  saat  waktu  jatuh  tempo  sehingga didapatkan parameter u dan d sebagai berikut:
1 2 , t C t C u e d e
         (14)
Dengan  mensubtitusikan  persamaan  (13) dan (14) dan dengan melakukan pemilihan nilai C 1 dan C 2 didapatkan
0 1 2 ln( ) K S C C M   (15)
Dan  dengan  mensubtitusikan  persamaan (13) ke persamaan (14) didapatkan parameter u dan d sebagai berikut:
0 0 ln( ) ln( ) , K K S S t t M M u e d e          (16)

## 4. Simulasi Grafik
Ilustrasi yang dgunakan untuk menentukan harga  opsi call dan  harga  opsi put dari  model opsi  Eropa  dengan  perbandingan  model  Black Scholes  dan  model  opsi  Eropa  akan  diberikan tiga  contoh  simulasi  sebagai  berikut.  Warna hijau  menunjukkan  harga  opsi  genap,  warna merah  menunjukkan  harga  opsi  ganjil  warna biru  menunjukkan  harga  black  Scholes,  dan warna biru menunjukkan opsi Asia Eropa.
4.1  Harga  Saham  Lebih  Besar  dari  Harga Ketentuan
Untuk grafik call opsi
0 S = 50, K = 43, r = 0.15,  = 0.24, M = 146
Gambar 4.  Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Call dengan pemisahan partisi waktu M
Dari pemisahan partisi ini didapatkan  hasil yang yang sama dengan hasil sebelumnya hanya dibedakan  partisi M ganjil  dan M genap.  Dari hasil  simulasi  opsi  call  menggunakan  metode Binomial  CRR  didapatkan bahwa holder (pemegang  opsi)  harus  membayar  sebesar 13.5056  kepada writer (penulis  opsi)  dengan acuan  perhitungan  menggunakan  Black Scholes. Untuk hasil dari MOT adalah sebagai berikut:
0 50 100 150 13.35 13.4 13.45 13.5 13.55 13.6 13.65 13.7 13.75 13.8 Waktu Ha rg a Op si Pergerakan Harga Opsi Call Eropa bentuk CRR BS CRR genap CRR ganjil
Gambar 5. Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Call dengan MOT
Dari  grafik  hasil  pemulusan  dapat  dilihat bahwa harga opsi Eropa menggunakan Binomial Dipercepat  sudah  dapat  mendekati  harga  Black Scholes  dengan  partisi  101.  Kekonvergenan  ini lebih cepat dibandingkan dengan kekonvergenan  menggunakan  metode  Binomial CRR di mana harga opsi Eropa yang didapat dari metode Binomial Dipercepat pada partisi waktu 101  baru  dapat  didapat  oleh  metode  Binomial CRR pada partisi waktu 146. Untuk grafik put opsi
0 S = 50, K = 43, r = 0.15,  = 0.24, M = 146
Gambar 6. Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Put dengan pemisahan partisi waktu M
Dari pemisahan partisi ini didapatkan  hasil yang yang sama dengan hasil sebelumnya hanya dibedakan  partisi M ganjil  dan M genap.  Dari hasil  simulasi  opsi  put  menggunakan  metode Binomial  CRR  didapatkan bahwa holder (pemegang  opsi)  harus  membayar  sebesar 0.5160  kepada writer (penulis  opsi)  dengan acuan  perhitungan  menggunakan  Black Scholes. Untuk hasil dari MOT adalah sebagai berikut:
Gambar 7.  Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Put dengan MOT Dari  grafik  hasil  pemulusan  dapat  dilihat bahwa harga opsi Eropa menggunakan Binomial Dipercepat  sudah  dapat  mendekati  harga  Black Scholes  dengan  partisi  101.  Kekonvergenan  ini lebih cepat dibandingkan dengan kekonvergenan  menggunakan  metode  Binomial CRR di mana harga opsi Eropa yang didapat dari metode Binomial Dipercepat pada partisi waktu 101  baru  dapat  didapat  oleh  metode  Binomial CRR pada partisi waktu 146.

## 4.2  Harga  Saham  sama  dengan  Harga Ketentuan
Untuk grafik call opsi
0 S = 50, K = 50, r = 0.15,  = 0.24, M = 146
Gambar 8. Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Call dengan pemisahan partisi waktu M
Dari  pemisahan  partisi  ini  didapatkan hasil  yang  yang  sama  dengan  hasil  sebelumnya hanya  dibedakan  partisi M ganjil  dan M genap. Dari  hasil  simulasi  opsi  put  menggunakan metode Binomial CRR didapatkan  bahwa holder (pemegang  opsi)  harus  membayar  sebesar 8.7602  kepada writer (penulis  opsi)  dengan acuan  perhitungan  menggunakan  Black Scholes. Untuk hasil dari MOT adalah sebagai berikut:
Gambar 9.  Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Call dengan MOT
Grafik  yang  didapatkan  dari  pemulusan kurva  ini  adalah  sama  dengan  grafik  dari binomial  CRR  sebelumnya  dengan  pemisahan partisi  waktu.  Harga  opsi  awal  yang  didapat adalah  9.0378  dan  pada  waktu  ke-146  harga opsi  call  Eropa  yang  didapatkan  adalah  8.7515
0 50 100 150 11.8 12 12.2 12.4 12.6 12.8 13 13.2 13.4 13.6 Waktu Ha rg a O ps i Pergerakan Harga Opsi Call Eropa dengan Middle of Tree BS MOT genap MOT ganjil 0 50 100 150 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 Waktu Ha rg a O ps i Pergerakan Harga Opsi Put Eropa bentuk CRR BS CRR genap CRR ganjil 0 50 100 150 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Waktu Ha rga O ps i Pergerakan Harga Opsi Put Eropa dengan Middle of Tree BS MOT genap MOT ganjil 0 50 100 150 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 Waktu Ha rg a Op si Pergerakan Harga Opsi Call Eropa bentuk CRR BS CRR genap CRR ganjil 0 50 100 150 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 Waktu Ha rg a Op si Pergerakan Harga Opsi Call Eropa bentuk CRR BS CRR genap CRR ganjil
dan  harga  Black  Scholes  adalah  8.7602. Sehingga,  hasil  yang  diperoleh  sama  dengan hasil yang diperoleh pada Binomial CRR dengan pemisahan partisi waktu
Untuk grafik put opsi
0 S = 50, K = 50, r = 0.15,  = 0.24, M = 146
Gambar 10.  Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Put dengan pemisahan partisi waktu M
Dari  pemisahan  partisi  ini  didapatkan hasil  yang  yang  sama  dengan  hasil  sebelumnya hanya  dibedakan  partisi M ganjil  dan M genap. Dari  hasil  simulasi  opsi  put  menggunakan metode Binomial CRR didapatkan  bahwa holder (pemegang  opsi)  harus  membayar  sebesar 1.7956  kepada writer (penulis  opsi)  dengan acuan  perhitungan  menggunakan  Black Scholes. Pergerakan  harga  opsi  put  Eropa  dengan menggunakan  metode  MOT  sama  dengan pergerakan  harga  opsi  call  Eropa  dengan menggunakan metode MOT yaitu grafiknya sama dengan  hasil  perhitungan  Binomial  CRR  dengan pemisahan  partisi  waktu.  Sehingga,  untuk mengetahui    pergerakan  harga  opsi  put  Eropa dengan  MOT  dapat  dilihat  pada  pergerakan harga  opsi  put  Eropa  menggunakan  Binomial CRR dengan pemisahan partisi waktu.

## 4.3  Harga  Saham  kurang  dari  Harga Ketentuan
Untuk grafik call opsi
0 S = 50, K = 57, r = 0.15,  = 0.24, M = 146
Gambar 11. Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Call dengan pemisahan partisi waktu M
Dari  pemisahan  partisi  ini  didapatkan hasil  yang  yang  sama  dengan  hasil  sebelumnya hanya  dibedakan  partisi M ganjil  dan M genap. Dari  hasil  simulasi  opsi  put  menggunakan
metode Binomial CRR didapatkan bahwa holder (pemegang  opsi)  harus  membayar  sebesar 5.2155  kepada writer (penulis  opsi)  dengan acuan  perhitungan  menggunakan  Black Scholes. Untuk hasil dari MOT adalah sebagai berikut:

## Gambar 12. Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Call dengan MOT
Dari  grafik  hasil  pemulusan  dapat  dilihat bahwa harga opsi Eropa menggunakan Binomial Dipercepat  sudah  dapat  mendekati  harga  Black Scholes  dengan  partisi  101.  Kekonvergenan  ini lebih cepat dibandingkan dengan kekonvergenan  menggunakan  metode  Binomial CRR di mana harga opsi Eropa yang didapat dari metode Binomial Dipercepat pada partisi waktu 101  baru  dapat  didapat  oleh  metode  Binomial CRR pada partisi waktu 146.
Untuk grafik put opsi
0 S = 50, K = 57, r = 0.15,  = 0.24, M = 146
Gambar 13. Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Put dengan pemisahan partisi waktu M
Dari pemisahan partisi ini didapatkan  hasil yang yang sama dengan hasil sebelumnya hanya dibedakan  partisi M ganjil  dan M genap.  Dari hasil  simulasi  opsi  put  menggunakan  metode Binomial  CRR  didapatkan bahwa holder (pemegang  opsi)  harus  membayar  sebesar 4.2758  kepada writer (penulis  opsi)  dengan acuan  perhitungan  menggunakan  Black Scholes. Untuk hasil dari MOT adalah sebagai berikut:
0 50 100 150 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 Waktu Ha rg a Op si Pergerakan Harga Opsi Put Eropa bentuk CRR BS CRR genap CRR ganjil 0 50 100 150 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 Waktu Ha rg a Op si Pergerakan Harga Opsi call Eropa bentuk CRR BS CRR genap CRR ganjil 0 50 100 150 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 Waktu Ha rg a O ps i Pergerakan Harga Opsi Call Eropa dengan Middle of Tree BS MOT genap MOT ganjil 0 50 100 150 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 Waktu Ha rg a O ps i Pergerakan Harga Opsi Put Eropa bentuk CRR BS CRR genap CRR ganjil
Gambar 14. Grafik hasil Simulasi Harga Opsi Put dengan MOT
Dari  grafik  hasil  pemulusan  dapat  dilihat bahwa harga opsi Eropa menggunakan Binomial Dipercepat  sudah  dapat  mendekati  harga  Black Scholes  dengan  partisi  101.  Kekonvergenan  ini lebih cepat
dibandingkan
dengan kekonvergenan  menggunakan  metode  Binomial CRR di mana harga opsi Eropa yang didapat dari metode Binomial Dipercepat pada partisi waktu 101  baru  dapat  didapat  oleh  metode  Binomial CRR pada partisi waktu 146.

## PENUTUP
Semakin  banyak  partisi  waktu  yang digunakan  maka  aproksimasi  harga  opsi    akan semakin  lambat  untuk  menuju  kekonvergenan terhadap  Black  Scholes.  Untuk  mempercepat kekonvergenan  aproksimasi  harga  opsi  Eropa maka  digunakan  pengembangan  dari  model Binomial  yaitu  Binomial  Dipercepat.  Langkah yang  dilakukan  dalam  metode  Binomial Dipercepat  adalah  melakukan  pemulusan  kurva harga  opsi  yang  disebut  dengan Middle  of  Tree (MOT).  Akan  tetapi,  sebelum  melakukan pemulusan  kurva  tersebut  yang  dilakukan terlebih  dahulu  adalah  memisahkan  partisi waktu yang digunakan yaitu partisi waktu ganjil dan  genap.  Dengan  menggunakan  parameter MOT  tersebut  diperoleh  hasil  dari  harga  opsi Eropa yang bisa mendekati harga kekonvergenan  Black  Scholes  dengan  partisi yang  lebih  sedikit  dibandingkan  dengan menggunakan metode Binomial.

## Saran
Bagi  penelitian  selanjutnya,  disarankan untuk menggunakan metode Binomial Dipercepat  pada  perhitungan  harga  opsi  Asia Eropa, opsi Amerika ataupun opsi Asia Amerika. Bisa  juga  dikembangkan  metode  lain  untuk mempercepat  perhitungan  harga  opsi  selain menggunakan pemulusan kurva MOT.

## BIBLIOGRAPHY
[1] S. M. Ross, An introduction to
mathematical finance: options and other topics , vol. 36. Cambridge university press Cambridge, 1999.
[2] R. J. Rendleman and B. J. Bartter, “Two State Option Pricing,” J. Finance , vol. 34,
no. 5, pp. 1093–1110, 1979.
[3] R. Seydel and R. Seydel, Tools for
computational finance , vol. 4. Springer, 2002.
[4] T. R. Klassen, “Simple, fast, and flexible pricing of Asian options,” J. Comput. Financ. , vol. 4, no. 3, pp. 89–124, 2001.
[5] Z. Bodie, Essentials of investments . .
[6] A. Aziz, “Empat Bentuk Nilai Parameter- parameter u, d, dan p dalam Binomial Harga Saham,” 2004. [Online]. Available: http://blog.uin- malang.ac.id/abdulaziz/files/2010/08/A bdul-Aziz-Empat-Bentuk-Solusi-Model- Binomial-fulltext_1.pdf. [Accessed: 06- Nov-2014].
0 50 100 150 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 Waktu Ha rg a Op si Pergerakan Harga Opsi Put Eropa dengan Middle of Tree BS MOT genap MOT ganjil