## AKURASI METODE LAGRANGE DAN ORDINARY KRIGING UNTUK INTERPOLASI DATA  MULTIVARIAT
Hery Andi Sitompul, S.Si, M.Si
Dosen Kopertis Wilayah I Sumut, Dpk Universitas Darma Agung, Medan.

## Abstract
Interpolate  for  function  of  several  variables  or  multivariate  data  is  still  very  limited discussed  in  literature.  Would  be  very  useful  if  help  who  compares  the  result  of  both scheme interpolate whether deterministic and stochastic. Lagrange method is one of the deterministic  interpolaton  scheme  who  determine  a  polynomial  function  to  approach sample data, while Ordinary Kriging is one of the scheme stochastic interpolation who use the parameter of statistic sample data in neighbor point that will be interpolate. Both this scheme  have  the  same  result  that  very  fine  in  interpolate  points  on  multivariate  data, although both of this method need different sample size.
Keywords : Interpolation, Deterministic, Stochastic, Kriging, Lagrange.

## PENDAHULUAN LATAR BELAKANG
Sering  kali  kita  dihadapkan  pada permasalahan  nilai  sebuah  fungsi yang diketahui pada satu himpunan titik (katakanlah ) tetapi kita tidak mengetahui ekspresi analitik  untuk tersebut  ,sehingga kita  tidak  bias  menentukan  nilai pada sembarang titik yang lain.Sebagai contoh,  misalkan merupakan  hasil pengukuran  fisik  atau  hasil  perhitungan secara  numerik,  tetapi  tidak  dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi. Sekarang  jika  kita  ingin  mengetahui nilai pada  sembarang  titik  yang berada  diantara  nilai  terkecil  dan terbesar dapat  dilakukan  dengan estimasi.  Salah  satu  metode  yang  sering digunakan adalah proses interpolasi. Berbagai skema interpolasi untuk proses  estimasi  nilai /  fungsi variabel  tunggal  seperti  yang  dijelaskan sebelumnya  sudah  sangat  banyak dibahas  dan dipelajari.  Jika diperhatikan dalam  berbagai  buku  literature  sudah sangat banyak membahas mengenai teori interpolasi  untuk  fungsi  satu  variable tetapi  masih  terbatas  untuk  fungsi polynomial  multivariat.  Padahal  sangat banyak  kasus  dapat  kita  jumpai  yang melibatkan  data  multivariate.    Sebagai contoh adalah data geostatsistik, hidrologi, meteorologi, maupun interpolasi permukaan. Terdapat  dua  bagian  besar metode interpolasi yang melibatkan data multivariate  yaitu  secara  deterministic dan stokastik. Akan  sangat  bermanfaat  dan memudahkan  bagi  pengguna  berikutnya jika  ada  kajian  yang  membandingkan antara kedua metode ini. Dalam tulisan ini metode deterministik yang dipilih adalah metode Lagrange  multivariate  dan  metode stokastik adalah Ordinary Kriging

## MAKSUD DAN TUJUAN
Maksud  dari  tulisan  ini  adalah untuk  mempelajari  perbedaan  yang dihasilkan  oleh  metode  interpolasi Lagrange  Multivariat  dan  Ordinary Kriging. Sedangkan tujuan dari tulisan ini adalah : 1. Mempelajari  keuntungan  dan kerugian  dari  interpolasi  dengan menggunakan  metode  Lagrange Multivariat dan Ordinary Kriging 2. Menjelaskan  Perbedaan  yang dihasilkan 3. Menentukan metode yang terbaik untuk data multivariat. LANDASAN TEORI INTERPOLASI Interpolasi adalah proses pencarian  atau  perhitungan  suatu  nilai fungsi  pada  sembarang  variable  dengan
menggunakan  data  beberapa  titik  yang dilalui oleh fungsi tersebut. Secara  formal  defenisi  dari interpolasi adalah sebagai berikut : Diketahui : 1. daftar titik, 2. Nilai fungsi pada titik tersebut 3. Nilai pada yang tidak berada dalam daftar Prediksi/hitung : nilai pada Interpolasi  multivariate  adalah adaptasi  dari  proses  interpolasi  fungsi satu  variable  untuk  fungsi  beberapa peubah. Atau disebut juga interpolasipermukaan. LAGRANGE MULTIVARIAT Metode  Lagrange  merupakan metode deterministic yang menggunakan bentuk  polynomial  dari  data  yang diberikan  untuk  menghitung  suatu  nilai fungsi.Bentuk umum interpolasi polynomial Lagrange adalah : ∏ Untuk data yang diberikan : .  .  . .  .  . Bentuk polynomial untuk kasus multivariate adalah : Misalkan adalah sebuah  fungsi  dengan n variable  bebas yang  berderajat m ,  oleh  karena  itu  akan terdapat ( ) bentuk polynomial yang mungkin dalam , dengan demikian akan terdapat sebanyak data yang diketahui , , dengan atau dalam bentuk lain : ∑ dimana adalah  koefisien dalam , adalah n buah  variable  bebas  dari , adalah  vektor  eksponen
dengan  elemen  integer  non  negatif antara  1  dan m .  Dengan  demikian
∏ .  Mengikuti  bentuk  penulisan
polynomial  Lagrange, dapat  ditulis dalam  bentuk ∑ ,  dimana adalah  fungsi  multinomial  dengan variabel  bebas dengan sifat  jika maka dan . Dari system persamaan linier ∑ dimana dapat dikonstruksikan matriks sampel * + : [( )] Misalkan ,  maka  multinomial untuk adalah : dan ∑ ORDINARY KRIGING Kriging adalah metode geostatistik  yang  digunakan  untuk mengestimasi nilai dari sebuah titik atau blok  sebagai  kombinasi  linier  dari  nilai contoh yang terdapat disekitar titik yang akan diestimasi. Bobot kriging diperoleh dari  hasil  variansi  estimasi  minimum dengan  memperluas  penggunaan  semi- variogram.  Estimator  kriging  dapat diartikan sebagai variable tidak bias dan penjumlahan  dari  keseluruhan  bobot adalah  satu.  Bobot  inilah  yang  dipakai untuk mengestimasi nilai dari ketebalan, ketinggian,  kadar  atau  variable  lain  ( https :/ /id. wikipedia. org/wiki/Kriging ).
Sebagai  contoh  diberikan  dalam gambar  berikut,  titik  yang  akan diestimasi adalah s 0 , dengan
menggunakan data s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 ,s 5 ,s 6 ,s 7 yang ada disekeliling s 0 .
Gambar 1.Polai nterpolasi dengan Kriging.
Terdapat  berbagai  macam  metode kriging,  antara  lain  adalah  :  Simple Kriging,  Universal  Kriging,  Ordinary Kriging, Co-Kriging, dll. Ordinary Kriging dipilih  karena  metode  ini  adalah  yang paling  umum  /asli  dan  metode  kriging yang  lain dapat dimodifikasi dari metode ini.
Ordinary  Kriging  didasarkan  pada beberapa model geostatistik yang selama ini  sudah  lama  digunakan  dengan batasan sebagai berikut : 1. Mean/rata-rata diasumsikan adalah adalah konstan. 2. Variogram diasumsikan diketahui. Misalkan  s 0 adalah  sebuah  titik sembarang  yang  berada  pada  daerah    D yang  bukan sampel,  dan  akan diprediksi nilainya ( ). Sifat  –  sifat  dari  prediktor  Ordinary Kriging : 1. Prediktor  merupakan  kombinasi linier  dari  data  sampel ̂
∑ 2. Tidak  bias,  dan  memenuhi  :
( ̂ )
3. ∑ Untuk  mendapatkan  predictor  tak bias  terbaik  dapat  dilakukan  dengan meminimasi ̂ terhadap  kendala ∑ .  Dengan mengaplikasikan metode pengali lagrange  dari  kalkulus  dapat  diperoleh bahwa koefisien – koefisen ( ) yang  optimal  adalah  yang  memenuhi persamaan : Dimana : =( ) adalah variogram { ( ) adalah pengali Lagrange dan adalah matriks simetris. Variansi  minimum  disebut  variansi Kriging : ∑ Dalam kasus variogram dapat  diperoleh bahwa : Dimana :
[ ] [ ] Dengan adalah variogram eksperimental.  Model  variogram  ini dapat  diperoleh  dari  data  yang  ada dengan menggunakan persamaan : ̂ ∑ =  lokasi  titik  sampel, =  nilai  dari lokasi  titik  sampel, =  jumlah pasangan titik ( ) yang dipisahkan jarak . Selanjutnya  untuk  keperluan analisis  variogram  eksperimen  tersebut harus  diganti  dengan  model  variogram teoritis  yang  paling  sesuai,  model variogram  teoritis  tersebut  adalah sebagai berikut : 1. Model Spherical : { ( ) 2. Model Eksponensial : ( ) 3. Model  Gaussian  :
( ) 4. Model linier : | | Dengan = Range, =jarak, = sill. METODOLOGI Untuk memperlihatkan perbedaan  akurasi  yang  dihasilkan  oleh kedua  metode  ini,  akan  dilakukan dengan  menerapkan  kedua  metode
tersebut  pada  sebuah  kasus  yang  sama,
kemudian  membandingkan  hasil  yang diperoleh.  Proses  penentuan  model estimasi  dilakukan  dengan  pemograman Matlab dan Maple Kasus yang akan diterapkan pada kedua  metode  adalah    :  akan diinterpolasi  berbagai  titik  yang  dilalui oleh  permukaan  sebuah  fungsi  dengan ekspresi sebagai berikut:
…….(*)
Interpolasi  Data  dengan  Metode Langrange Multivariat
Beberapa  titik  yang  dilalui  oleh fungsi  dalam  persamaan  (*)  diatas diambil secara acak sebagai sampel yaitu sebagai  berikut: Tabel 1.Data titiks ampel. No 1 -2 -1 3 2 -1 2 -2 3 3 2 5 4 1 3 -8 5 2 -2 0 6 0 -3 -9 Dengan  menggunakan  metode interpolasi  Lagrange  Multivariat  dapat diperoleh bahwa : , (jumlah variable bebas) ( ) (orde polynomial)
Dengan  demikian  data  sampel  tersebut berada  pada  fungsi  dengan  dua  peubah bebas  dan  berderajat  2,  yang  memenuhi system persamaan : ∑ Dengan  mensubstitusi  data  sampel kedalam  system  persamaan  diatas diperoleh  matriks yang  berisiko efisien – koefisien . Sedemikian hingga : [ ]     [ ]
[ ] 1144 =  Matriks  dimana  setiap  baris  ke-i pada diganti dengan maka multinomial untuk adalah: Demikian  seterusnya  dilakukan  hingga .
Setelah
didapatkan maka : ∑ Interpolasi  Data  dengan  Ordinary Kriging Estimasi dengan Ordinary Kriging  dilakukan  dengan  analisis structural  yaitu  pencocokan  variogram eksperimen  dengan  teoritis.  Variogram eksperimental  diperoleh  dengan  cara menghitung variansi data pengukuran/eksperimen  untuk masing  - masing  lag  jarak  dan  arah,  selanjutnya nilai  variansi  tersebut  dicocokkan dengan  model  variogram  teoritis  yang
ada sedemikian hingga diperoleh sebuah model variogram yang paling sesuai. Data  eksperimen  yang  digunakan  dalam metode  ini  diambil  secara  acak  dari fungsi pada persamaan (*) dan disajikan dalam plot berikut :
Gambar 2. Data titik sampel pada
Ordinary Kriging. Dari hasil analisa structural pada
data  sampel  dan  pencocokan  variogram eksperimen  dengan  teoritis  diperoleh bahwa    model  variogram  terbaik  adalah model  spherical  dengan  range  ( ), sill  ( )seperti  terlihat  dalam grafik berikut : Gambar 3. Pencocokan variogram empiris dengan teoritis. Maka diperoleh : { ( ) ……(***) Hasil dan Pembahasan Model  estimasi  yang  dihasilkan
dari  sampel  pada  kedua  metode  adalah sebagai berikut : 1. Metode  Lagrange  menghasilkan polynomial  untuk  interpolas iadalah : 2. Metode Ordinary Kriging menghasilkan  : ∑ , dimana adalah  bobot  yang diperoleh  dari dengan adalah persamaan (***). Kedua  model  tersebut  akan  digunakan untuk  menginterpolasi  beberapa  titik yang disajikan dalam table berikut : Tabel  2.Hasil  interpolasi  di  beberapa titik. Lagrange  Ordinary Kriging Data Aktual -3 1 8 8.0000 8 -3 0 9 9.0000 9 1 -2 -3 -3.0000 -3 2 1 3 3.0000 3 0 -1 -1 -1.0000 -1 2 2 0 -8.9540e-14 0 Secara keseluruhan hasil interpolasi  dari  kedua  model  yang dihasilkan  dapat  dilihat  dalam  grafik berikut : Gambar 4. Hasil interpolasi dengan kedua metode dibandingkan dengan data sebenarnya. Tabel 3.Statistik hasil interpolasi Metode Total Error MSE Lagrange 0 0 Ordinary Kriging -1.0969e- 12 1.9417e- 27 Dari  hasil  perhitungan  yang disajikan  dalam  gambar  4  dan  tabel  3 dapat  terlihat  bahwa  kedua  metode menghasilkan  model  estimasi  sangat baik,
Kesimpulan Beberapa hal yang dapat disimpulkan  dari  pembahasan  diatas adalah : 1. Metode Lagrange dapat menghasilkan  interpolasi  yang sangat  presisi,  ini  dikarenakan polynomial interpolasi yang
dihasilkan  sama  dengan  fungsi yang melalui titik sampel. 2. Metode ordinary Kriging menghasilkan  interpolasi  yang sangat  baik,  yaitu  rata  –  rata kuadrat  error  (MSE)  yang dihasilkan sangat kecil atau sama dengan 0. 3. Kedua metode memberikan akurasi  yang  sama  walau  pun terdapat  perbedaan  yang  sangat kecil. 4. Kedua  metode  dapat  diterapkan untuk interpolasi data multivariate. Saran Untuk  data  sampel  dengan ukuran  kecil  /  sedikit  sebaiknya digunakan  interpolasi  dengan  metode Lagrange,  juga  sebaliknya  untuk  data sampel  ukuran  besar/banyak  sebaiknya digunakan metode Ordinary Kriging.

## Daftar Pustaka
1. Alex Lewis , Multivariate
Lagrange Interpolation.
2. Armstrong, Margaret. 1998 . Basic Linear Geostatistics, Springer: Germany. 3. Geoff Bohling, 2005 . Introduction to GeostatsisticsAndVariogram Analysis. 4. https://id.wikipedia.org/wiki/Kri ging 5. Isobel  Clark,  Elsevier  Science, 1979 , Practical Geostatistics
6. Kamron.  Saniee,  2007. A  Simple Expression for Multivariate Lagrange Interpolation. 7. Mitas, L., Mitasova, H., 1999 ; Spatial Interpolation. In:
P.Longley, et al (Eds.).
8. P.J.  Olver.  2006 .On  multivariate interpolation.  Studies  in  Applied
Mathematics. 9. TănaseDinu,  SeriaMatematică  - Informatică  –  Fizică,  Vol.  LIX  No. 1/2007, Interpolation  of  the Functions  with  Two  Variable Values with Simple Nodes.