Vol. 20, No. 3, May 2024, pp. 639-653 DOI: 10.20956/j.v20i3.34305

## Spatial Weighting Selection in GSTAR and S-GSTAR Models for Temperature Prediction

## Pemilihan Pembobotan Spasial pada Model GSTAR dan S-GSTAR dalam Memprediksi Temperatur
Utriweni Mukhaiyar 1* , Riani Utami 2* , Nabila Mardhiyah 3* , Yalela Sa’adah 4* , Erni Widyawati 5*
 Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Institut Teknologi Bandung, Indonesia
Email : utriweni.mukhaiyar@itb.ac.id, rianiutami9@gmail.com , nabila.mardiyah01@gmail.com, yalelasaadah212@gmail.com, 94erniwidyawati@gmail.com
Received: 26 March 2024 , revised: 21 April 2024 , accepted: 22 April 2024

## Abstract
Recent research in time series analysis indicates that events at a particular location are not only influenced  by  events  at  previous  times  but  also  by  proximity  between  locations.  Events influenced by both space and time can be modeled using a space-time model. GSTAR model is one such space-time model. In its development, time series data exhibiting seasonal patterns are modeled  using  Seasonal  GSTAR  (S-GSTAR).  The  GSTAR  and  S-GSTAR  models  are  used  to model temperature in the Banjar, Cilacap, and Sleman Districts. The purpose of employing both methods is to compare the best model for  modeling temperature at these three locations. Spatial weights  used  include  inverse  distance  weighting  using  the  Euclidean  distance  formula,  uniform weighting,  and  cross-correlation  normalization  weighting.  Ordinary  Least  Squares  (OLS)  is  the estimation method used in this study. The best model obtained is S-GSTAR (    ) with inverse distance weighting, as this model has the smallest RMSE value .
Keywords: Space-time, GSTAR, seasonal, temperature, prediction.

## Abstrak
Penelitian  terkini  dalam  deret  waktu  menunjukkan  bahwa  kejadian  pada  suatu  lokasi  bukan hanya dipengaruhi kejadian pada waktu sebelumnya, tetapi juga kedekatan antarlokasi. Kejadian yang  dipengaruhi  oleh  ruang  dan  waktu  dapat  dimodelkan  dengan  model  ruang  waktu.  Contoh dari model ruang waktu adalah model GSTAR. Pada perkembangannya, untuk data ruang waktu yang memiliki pola musiman dapat dimodelkan dengan Seasonal GSTAR              (S-GSTAR). Model  GSTAR  dan  S-GSTAR  digunakan  untuk  memodelkan  temperatur  di  Kabupaten  Banjar, Cilacap,  Sleman.  Tujuan  penggunaan  kedua  metode  tersebut  adalah  untuk  membandingkan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
model  yang  terbaik  dalam  memodelkan  temperatur  pada  ketiga  lokasi  tersebut.  Bobot  spasial yang  digunakan  yaitu  bobot  invers  jarak  dengan  rumus euclidian  distance ,  bobot  seragam,  dan bobot  normalisasi  korelasi  silang.  OLS  ( Ordinary  Least  Square )  merupakan  metode  estimasi yang digunakan pada penelitian ini. Model terbaik yaitu model S-GSTAR (    ) dengan bobot spasial inversi jarak, hal ini dikarenakan model tersebut  nilai RMSE terkecil.
Kata kunci: Ruang waktu, GSTAR, musiman, temperatur, prediksi.

## 1.  PENDAHULUAN
Prediksi biasanya dilakukan untuk mendapatkan gambaran tentang kejadian yang akan terjadi pada  beberapa  waktu  selanjutnya.  Perkembangan  ilmu  pengetahuan  menjadikan  prediksi  dapat dilakukan  dengan  menganalisis  dan  memodelkan  suatu  data.  Data time  series (deret  waktu) adalah  kumpulan  data  yang  sering  digunakan  dalam  memprediksi  suatu  kejadian  yang  dihitung dengan  interval  waktu  sama.  Saat  ini,  pemodelan  data  deret  waktu  banyak  dilakukan  dalam berbagai sektor seperti curah hujan [6], produksi minyak [11], kasus demam berdarah [8], covid- 19 cases [9], transportasi [10], dan permintaan ethanol [4].
Seiring  dengan  perkembangannya,  banyak  peneliti  yang  mengembangkan  konsep  pada  data time series (deret waktu) menjadi data space time (ruang waktu) [3],[13]. Pada data space time , kejadian  pada  suatu  lokasi  dianggap  dipengaruhi  oleh  faktor  lokasi  dan  waktu  [2] . Menurut hukum  Tobler,  segala  sesuatu  saling  berhubungan.  Semakin  dekat  jarak  suatu  lokasi  maka keberpengaruhannya  semakin  besar  [1].  Keterkaitan  kedekatan  secara  spasial  dapat diinterpretasikan  dalam  matriks  bobot  spasial.  Pada  data  ruang  waktu  dapat  digunakan  model GSTAR ( Generalized Space Time Autoregressive ) untuk memodelkan data tersebut. Data dengan pola  stasioner  dapat  dimodelkan  dengan  model  GSTAR  [12][7].  Sementara  itu,  data  yang  tidak stasioner  (umumnya  memiliki  pola  tren  atau  musiman)  dapat  dimodelkan  dengan  model Integrated  GSTAR  (GSTARI)  atau  model Seasonal GSTAR  (S-GSTAR).  Salah  satu  aplikasi dalam pemodelan dengan GSTAR pada kehidupan sehari-hari yaitu pemodelan temperatur pada beberapa  lokasi  yang  saling  berdekatan  [14].  Pada  pemodelan  tersebut,  temperatur  pada  suatu daerah  dianggap  dipengaruhi  oleh  temperatur  pada  waktu  sebelumnya  dan  juga  temperatur  dari lokasi  terdekatnya.  Selanjutnya,  dengan  menambahkan  faktor  musiman  pada  data,  model  lain yang dapat digunakan adalah model Seasonal GSTAR (S-GSTAR).
Pada penelitian ini, analisis temperatur maksimum di tiga kabupaten dilakukan menggunakan model  GSTAR  dan  model  S-GSTAR.  Model  GSTAR ( ) untuk sebagai  orde waktu serta sebagai orde spasial dapat ditulis sebagai [3]: ∑ [ ∑ ( ) ] (1.1) dengan ( )   [ ] adalah  vektor  pengamatan pada  saat untuk . Kemudian, ( ( ) ( ) adalah  suatu  matriks  diagonal  dengan ( ) merupakan parameter autoregressive lag waktu ke- k lokasi ke- i , dan ( ( )
( ) ) merupakan suatu  matriks  diagonal  dengan ( ) merupakan  parameter  spasial  orde  ke- pada  lokasi  ke- i . Selanjutnya, ( ) merupakan  matriks  bobot  spasial  orde  ke  ke- dengan ∑
dan
Sementara itu, ( ) merupakan vektor galat pada saat Elemen

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
merupakan  galat  di  lokasi i saat t .  Galat  tersebut  diasumsikan  memenuhi  sifat  proses white noise dan memenuhi asumsi kenormalan.
Model  S-GSTAR  juga  merupakan  hasil  pengembangan  dari  model  GSTAR.  Namun  S- GSTAR digunakan ketika suatu data memiliki pola musiman. Model S-GSTAR ( )
dengan adalah orde seasonal berlaku dapat ditulis sebagai berikut [5]:
∑ [ ∑ ( ) ∑ ( ) ] (1.2) dengan ( ( ) ( ) )  merupakan  matriks  diagonal  dengan  elemen
( )
menyatakan  parameter  seasonal autoregressive lag  waktu  ke- k lokasi  ke- i ,  dan ( ( )
( ) )  merupakan  matriks  diagonal  dengan ( ) menyatakan  parameter seasona l space time lag spasial ke- di lokasi ke- i .

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini  menggunakan  data temperatur  bulanan dari tahun  2016  sampai  tahun  2021  di Kabupaten  Banjar,  Kabupaten  Cilacap,  dan  Kabupaten  Sleman.  Data  tersebut  merupakan  data temperatur bulanan. Variabel yang digunakan yaitu.
Tabel 2.1. Keterangan setiap variabel Variabel Keterangan Satuan Temperatur Kabupaten Banjar Temperatur Kabupaten Cilacap Temperatur Kabupaten Sleman
Berikut merupakan tahapan yang dilakukan dalam pemodelan GSTAR dan S-GSTAR :
1. Mendeskripsikan data observasi.
2. Melakukan  pembagian  data  menjadi  dua  kelompok,  yaitu  60  observasi  awal  menjadi  data training  dan  11  observasi  selanjutnya  menjadi  data  testing.  Data  training  digunakan  untuk membentuk  model,  sementara  data  testing  digunakan  untuk  validasi  model.  Tidak  terdapat aturan  khusus  mengenai  rasio  pengelompokkan  data  training  dan  testing.  Tidak  terdapat aturan khusus dalam pembagian data tersebut, namun umumnya pembagian data sebesar 70- 80%  untuk  data  training  dan  20-30%  untuk  data  testing.  Beberapa  peneliti  yang menggunakan rasio ini diantaranya [11],[12].
3. Melakukan analisis statistika deskriptif pada ketiga lokasi tersebut.
4. Melakukan pemeriksaan kestasioneran data dengan uji ADF.
5. Menentukan  matriks  bobot  spasial  dalam  hal  ini  bobot  seragam,  bobot invers jarak  dengan rumus Euclidian  distance ,  dan  bobot  korelasi  silang.  Penggunaaan  ketiga  bobot  spasial tersebut  digunakan  untuk  menentukkan  bobot  yang  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk prediksi temperatur.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
6. Memilih  orde  pada  model  dengan  melihat lag signifikansi  dari  plot  STACF  dan  plot STPACF dari masing-masing bobot spasial.
7. Melakukan estimasi parameter dengan metode estimasi OLS.
8. Melakukan pemeriksaan asumsi residu yaitu white noise serta kenormalan residu .
9. Melakukan perhitungan nilai RMSE masing-masing model.

## 3.  ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Hasil-hasil penelitian yang dibahas dalam hal ini meliputi deskripsi data, kestasioneran data dengan  uji  ADF,  perhitungan  matriks  bobot  spasial,  identifikasi  model  GSTAR  dan  S-GSTAR dengan  STACF  dan  STPACF,  estimasi  parameter  model  GSTAR  dan  S-GSTAR,  pemeriksaan asumsi residu, dan membandingkan model berdasarkan pada perhitungan nilai RMSE.

## 3.1 Deskripsi Data
Deskripsi  suatu  data  memudahkan  peneliti  dalam  memahami  data  observasi.  Deskripsi  data dilakukan dengan menghitung nilai statistik numerik dari data observasi. Statistik numerik untuk data temperatur pada 3 lokasi sebagai berikut.
Tabel 3.1. Statistik numerik data temperatur bulanan di Banjar, Cilacap, dan Sleman
Statistik Banjar Cilacap Sleman Rata-rata 27,700 30,980 31,550 Standar Deviasi 0,890 1,710 0,720 Minimum 25,870 27,840 29,870 Maksimum 29,860 40,480 32,950
Lokasi  dengan  rata-rata    temperatur  tertinggi  yaitu  Sleman  dengan  rata-rata  temperatur  sebesar sedangkan  lokasi  dengan  rata-rata  temperatur  terendah  yaitu  Banjar  dengan  rata-rata sebesar
. Plot data temperatur untuk ketiga lokasi dapat dilihat pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1 . Plot data temperatur di Banjar, Cilacap, dan Sleman

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
Plot  data  tersebut  menunjukkan  bahwa  terjadi  kenaikan  dan  penurunan  yang  hampir  seragam pada  ke-3  lokasi  tersebut.  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  terdapat  pengaruh  temperatur  dari suatu lokasi terhadap temperatur di lokasi yang lain. Menurut [13], suatu pola musiman pada data dapat  diidentifikasi  dari  plot  data  yang  terjadi  penurunan  dan  kenaikan  yang  berulang  setiap periode.  Pada  Gambar  3.1  terlihat  bahwa  kenaikan  dan  penurunan  untuk  plot  data  temperatur tersebut berulang setiap periodenya.

## 3.2 Uji Kestasioneran Data
Kestasioneran  merupakan  syarat  penting  dalam  pemodelan  GSTAR.  Secara  umum,  data dikatakan stasioner jika rata-rata dan variansi data nya konstan [13]. Untuk menguji kestasioneran data  dapat  menggunakan  uji  ADF.  Hasil  pengujian  kestasioneran  dengan  uji  ADF  ditampilkan pada Tabel 3.2 berikut
Tabel 3.2. Pengujian kestasioneran dengan uji ADF No Variabel P-value Keterangan 1. 0,010 Stasioner 2. 0,010 Stasioner 3. 0,034 Stasioner
Pada  uji  ADF  nilai p-value yang  kurang  dari  0,05  untuk  ketiga  variabel  tersebut  menunjukkan kestasioneran  data  sudah  dipenuhi.  Artinya  data  sudah  stasioner  walaupun  mengandung  pola musiman. Data yang stasioner pada penelitian ini juga mengidentifikasikan besarnya temperatur pada  ketiga  lokasi  tersebut  berada  pada  interval  nilai  yang  selalu  konstan.  Artinya  tidak ditemukan  kasus nilai temperatur pada ketiga lokasi tersebut yang sangat jauh nilainya ( outlier ) dari nilai temperatur waktu sebelumnya. Hal ini menjadi salah satu kasus unik, dengan data yang memiliki  pola  musiman  akan  tetapi  stasioner.  Oleh  karena  itu,  menarik  untuk  dilakukannya pemodelan  dengan  dua  model  sekaligus  yaitu  GSTAR  dan  S-GSTAR.  Hal  ini  dilakukan  untuk membandingkan  kedua  model  pada  data  yang  memiliki  studi  kasus  tersebut.  Sebelumnya pemodelan  dengan  membandingkan  model  GSTAR  dan  S-GSTAR  sudah  dilakukan  oleh  [6] menggunakan  data  curah  hujan.  Sedangkan  pada  penelitian  ini,  pemodelan  menggunakan  data temperatur. Berdasarkan referensi, belum ada peneliti yang membandingkan model GSTAR dan S-GSTAR dalam memprediksi temperatur.

## 3.3 Matriks Bobot Spasial
Matriks bobot spasial ( ) pada model GSTAR menyatakan suatu keterkaitan spasial dengan merupakan  hubungan  spasial  antara  lokasi i dengan  lokasi j [3].  Beberapa  matriks bobot spasial  pada  model GSTAR  antara lain matriks inversi jarak,  matriks korelasi silang, dan matriks seragam. Matriks bobot ( ) merupakan matriks persegi berukuran
dengan
elemen diagonal utamanya 0 yaitu
( )   [ ] .
Beberapa peneliti lain menggunakan satu bobot dalam pemodelan GSTAR, seperti menggunakan bobot invers jarak [6]. Beberapa peneliti yang lain juga ada yang menggunakan tiga pembobotan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
spasial [12]. Pada penelitian bobot yang dipilih adalah tiga pembobotan spasial. Selain itu, model yang  digunakan  tidak  hanya  model  GSTAR  tetapi  juga  S-GSTAR.  Dua  model  dengan  tiga metode  pembobotan  spasial  yang  digunakan  diharapkan  mampu  menjelaskan  dan membandingkan  model  yang  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk  pemodelan  temperatur.  Pada GSTAR terdapat beberapa bobot spasial yang telah dikembangkan antara lain :
1) Matriks bobot seragam
Beberapa peneliti telah menggunakan bobot seragam dalam pemodelan GSTAR, diantaranya [ 7],[12],[8]. Perhitungan matriks bobot seragam pada model GSTAR dihitung dengan rumus
(3.1)
dalam hal ini merupakan banyaknya lokasi terdekat dengan lokasi . Definisi dekat dalam hal ini  masih bersifat  subjektif.  Pada penelitian [12], pendefinisian  kedekatan pada  matriks bobot seragam dilakukan berdasarkan lokasi yang berbatasan langsung. Sementara, menurut [7],  pendefinisian  kedekatan  pada  matriks  seragam  yaitu  semua  lokasi  tetangganya.  Pada penelitian ini, pendefinisian kedekatan dilakukan dengan berdasarkan penelitian [7].

## [
]
Matriks  bobot  tersebut  merepresentasikan  bahwa  setiap  lokasi  memiliki  keberpengaruhan spasial yang sama.

## 2) Matriks inversi jarak
Beberapa  peneliti  melakukan  perhitungan  matriks  invers  jarak  secara  berbeda.  Diantaranya [6],[12]  menghitung  jarak  berdasarkan  jarak  sebenarnya.  Perhitungan  matriks  invers  jarak menggunakan  jarak  sebenarnya  dapat  dilakukan,  namun  seringkali  acuan  pusat  lokasi  satu dengan  lainnya  masih  menjadi  pertimbangan.  Selain  itu,  jika  jarak  sebenernya  yang dimaksudkan adalah jarak nyata di lapangan, maka akan terjadi banyak pertimbangan seperti jalan  yang  tidak  lurus,  jalan  yang  menanjak,  dan  lain  sebagainya.  Oleh  karena  itu,  pada penelitian  ini  perhitungan  matriks  jarak  didasarkan  pada  rumus Euclidian  distance .  Dalam konteks  pengukuran  antara  dua  titik  atau  objek  dalam  ruang  Euclidean,  jarak  Euclidean merupakan  panjang  garis  lurus  yang  menghubungkan  dua  titik  tersebut.  Misalnya,  jika  dua titik  merepresentasikan  lokasi  geografis  dua  kota,  maka  jarak  Euclidean  antara  kota-kota tersebut  akan  memberikan  ukuran  garis  lurus  terpendek  antara  keduanya.  Berdasarkan referensi,  perhitungan  invers  jarak  dengan  rumus  Euclidian  masih  jarang  digunakan kebanyakan  peneliti  menggunakan  informasi  jarak  sebenarnya.  Perhitungan  matriks  inversi jarak dihitung berdasarkan rumus Euclidian sebagai berikut
√( ) ( ) , (3.2)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
dengan merupakan  koordinat  pada  garis  longitude  pada  lokasi ,  dan merupakan koordinat  pada  garis  latitude  pada  lokasi Berikut  merupakan  koordinat  longitude  dan latitude ke-3 lokasi tersebut.
Tabel 3.3. Titik longitude dan latitude masing-masing lokasi
Lokasi Longitude Latitude Banjar 109.70690 -7.33300 Cilacap 109.01490 -7.71890 Sleman 110.402374 -7.732521
Matriks bobot inversi jarak diperoleh dengan persamaan sebagai berikut
{
∑
(   )
Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh matriks bobot inversi jarak untuk 3 lokasi,
[ ]
Nilai  pada  matriks  invers  jarak  tersebut  merepresentasikan  bobot  dalam  hubungan  spasial. Misalkan,  nilai  0,627  merupakan  nilai  elemen  tertinggi  dari  matriks  tersebut.  Artinya  pada bobot invers jarak, hubungan antara Sleman dan Banjar diberikan bobot lebih besar dari bobot hubungan  spasial  lokasi  yang  lainnya.  Pada  matriks  invers  jarak  juga  merepresentasikan bahwa semakin dekat suatu lokasi maka keberpengaruhan antar keduanya semakin besar.
3) Matriks korelasi silang
Penggunaan matriks korelasi silang pada pemodelan GSTAR banyak dilakukan oleh beberapa peneliti,  diantaranya  [12].  Matriks  korelasi  silang  merupakan  matriks  yang  menyajikan koefisien  korelasi  antara  dua  variabel  pada lag waktu  tertentu.  Nilai  estimasi  dari  korelasi silang untuk variabel di lokasi ke- i dan ke- j dapat dihitung dengan persamaan,
∑ [( ̅ )( ̅ )] √∑ ( ̅ ) ∑ ( ̅ ) (   )
dengan ̅ dan ̅ masing-masing menyatakan rata-rata pengamatan pada lokasi ke- dan lokasi ke- . Perhitungan bobot korelasi silang dirumuskan dengan,
( ) ∑ | ( )| (   )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
dengan ∑ | | .
Pada  penelitian  ini,  perhitungan  matriks  korelasi  silang  dilakukan  hanya  dilakukan  terhadap lag .  Korelasi  silang lag
mengacu  pada  koefisien  korelasi  antara  dua  variabel dalam  satu  langkah  waktu  atau lag .    Misalkan, ( ) adalah  nilai  korelasi  silang  antara Banjar  dan  Cilacap, ( ) adalah  nilai  korelasi  silang  antara  Banjar  dan  Sleman,  dan ( ) adalah  nilai  korelasi  silang  antara  Cilacap  dan  Sleman.  Nilai  korelasi  silang  dihitung dengan persamaan (3.4). Nilai korelasi untuk
sebagai berikut
Tabel 3.4. Nilai korelasi silang untuk
( ) 0,479 0,438 0,245 0,228 0,326 0,220
Matriks  bobot  korelasi  silang  dihitung  menggunakan  persamaan  (3.5),  sehingga  diperoleh matriks,
[ ]

## 3.4 Identifikasi Model
Plot STACF dan Plot STACF digunakan untuk mengidentifikasi model GSTAR. Identifikasi model GSTAR ( ) dapat dilakukan jika pada plot STACF bersifat tail-off dalam hal ini banyak lag yang keluar dari batas signifikansi) dan plot STPACF pada lag spasial bersifat cut-off dalam  hal  ini lag yang  keluar  dari  batas  signifikansi  hanya  pada  lag saja.  Berikut merupakan plot STACF dan STPACF untuk ketiga bobot spasial.
Gambar 3.2. Plot STACF dan STPACF untuk bobot seragam

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
Gambar 3.3. Plot STACF dan STPACF untuk bobot invers jarak
Gambar 3.4. Plot STACF dan STPACF untuk bobot korelasi silang
Orde spasial yang sering digunakan oleh peneliti dalam pemodelan GSTAR adalah orde spasial satu [12],[3]. Orde spasial satu merepresentasikan bahwa kejadian pada suatu lokasi dipengaruhi oleh  kejadian  pada  lokasi  yang  paling  dekat  dengan  lokasi  tersebut.  Oleh  karena  itu,  pada penelitian ini orde spasial yang digunakan hanya sampai pada orde satu. Begitupun plot STACF dan plot STPACF hanya sampai pada lag spasial satu.  Plot STPACF untuk masing-masing bobot spasial pada orde spasial ,  menunjukkan bahwa pada tlag terdapat garis vertical yang melewati  batas  signifikansi  ( cut  off ).  Sementara,  plot  STACF  bersifat tail  off , sehingga  model GSTAR ataupun model S-GSTAR yang dipilih adalah model dengan
dan .

## 3.5 Estimasi Parameter
Menurut  [3],  parameter  pada  model  GSTAR  dapat  diestimasi  dengan  menggunakan  metode OLS. Hal ini dapat dilakukan karena model GSTAR dapat direpresentasikan sebagai model linier. Pemilihan  metode  OLS  bertujuan  untuk  meminimumkan  residu  model.  Beberapa  peneliti  yang menggunakan  metode  OLS  untuk  estimasi  GSTAR  diantaranya  yaitu  [2],[3],[13].  Menurut  [3], model GSTAR ( ) untuk masing-masing lokasi dapat dituliskan sebagai
(3.6)
dengan,
* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] , [ ] dan [ ] . Estimasi model GSTAR ( ) dengan metode  OLS didefisinikan sebagai, ̂   ( ) (3.7)
dengan ( ) , ( ) , ( ) and ( ) . Tabel 3.5 Hasil estimasi parameter model GSTAR(1:1) Parameter Bobot Seragam P-value Bobot Jarak P-value Bobot korelasi silang P-value ( ) 0,475 0,010* 0,472 0,009* 0,483 0,008* ( ) 0,231 0,004* 0,228 0,004* 0,231 0,004* ( ) 0,334 0,097 0,300 0,137 0,309 0,127 ( ) 0,248 0,125 0,254 0,116 0,230 0,142 ( ) 0,756 0,000* 0,761 0,000* 0,758 0,000* ( ) 0,237 0,066 0,317 0,028* 0,297 0,036*

## *Signifikan
Persamaan  model  GSTAR(1:1)  diperoleh  dengan  cara  mensubstitusikan  nilai  hasil  estimasi parameter pada Tabel 3.5 ke dalam persamaan (1.1). Persamaan model GSTAR (1:1) untuk ketiga bobot spasial, yaitu
1. Model GSTAR (1:1) untuk bobot seragam
2. Model GSTAR (1:1) untuk bobot inversi jarak
3. Model GSTAR (1:1) untuk bobot korelasi silang

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
Persamaan  tersebut  merepresentasikan  bahwa  temperatur  pada  suatu  lokasi  dipengaruhi  oleh temperatur  pada  periode  sebelumnya  di  lokasi  tersebut  dan  di  lokasi  tetangganya.  Persamaan dengan  huruf  tebal  menunjukkan  pengaruh  yang  signifikan.  Sebagai  contoh,  pada  pemodelan GSTAR(1:1)  dengan  bobot  invers  jarak,  pemodelan  temperatur  di  Kabupaten  Banjar  ( ) dipengaruhi  secara  signifikan  oleh  temperatur  di  Kabupaten  Banjar  sendiri.  Sementara,  untuk temperatur  di  Kabupaten  Cilacap  ( ) dan  Kabupaten  Sleman  ( ) di  pengaruhi  secara signifikan oleh lokasi tetangganya.
Tabel 3.6. Estimasi S-GSTAR (    ) untuk masing-masing bobot spasial
Parameter Seragam P-value Invers jarak P-value Korelasi silang P-value ( ) 0,524 0,000* 0,539 0,000* 0,537 0,000* ( ) 0,170 0,122 0,161 0,142 0,168 0,120 ( ) 0,530 0,000* 0,510 0,000* 0,516 0,000* ( ) 0,046 0,676 0,039 0,720 0,041 0,704 ( ) 0,809 0,000* 0,839 0,000* 0,818 0,000* ( ) 0,114 0,300 0,142 0,193 0,136 0,208 ( ) 0,271 0,013* 0,259 0,017* 0,270 0,012* ( ) 0,362 0,000* 0,320 0,003* 0,358 0,001* ( ) 0,377 0,000* 0,389 0,000* 0,380 0,000* ( ) 0,134 0,223 0,138 0,205 0,128 0,235 ( ) -0,320 0,003* -0,288 0,001* -0,321 0,002* ( ) -0,014 0,899 -0,032 0,769 -0,023 0,831

## *Signifikan
Persamaan model S-GSTAR(1:1) 12 untuk ketiga bobot spasial, yaitu
1. Model S-GSTAR(1:1) 12 untuk bobot seragam
2. Model S-GSTAR(1:1) 12 untuk bobot inversi jarak
3. Model S-GSTAR(1:1) 12 untuk bobot korelasi silang

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni Widyawati
Persamaan  pada  model  S-GSTAR(1:1) 12 lebih  panjang  dibandingkan  persamaan  pada  model GSTAR(1:1) 12 . Persamaan model S-GSTAR(1:1) 12 merepresentasikan bahwa temperatur di suatu lokasi  tidak  hanya  dipengaruhi  oleh  waktu  sebelumnya  tetapi  juga  waktu  seasonalnya  baik  di lokasi  tersebut  maupun  lokasi  tetangganya.  Sama  halnya  dengan  interpretasi  pada  persamaan GSTAR(1:1),  pada  persamaan  S-GSTAR(1:1) 12 juga  demikian.  Persamaan  dengan  huruf  tebal menandakan  pengaruh  yang  signifikan.  Namun  perbedaannya,  pada  model  S-GSTAR(1:1) 12 terdapat pengaruh negatif yang diberikan dari lokasi lain pada waktu seasonal nya.

## 3.6 Pemeriksaan Asumsi Residual
Asumsi  pada  model  GSTAR  yaitu  residu  model  harus  memenuhi  asumsi white  noise dan asumsi kenormalan. Menurut [13], suatu proses dikatakan memenuhi sifat white noise jika tidak terjadi  autokorelasi,  memiliki  rata-rata  disekitar  nol  dan  variansi  konstan.  Asumsi white  noise dilakukan  dengan  uji  Ljung-Box,  sementara  itu  pemeriksaan  asumsi  kenormalan  dilakukan  uji Kolmogorov-Smirnov.  Uji  Ljung-Box  merupakan  salah  satu  tes  statistik  yang  digunakan  untuk memeriksa  apakah  terdapat  korelasi  antar  residu  yang  dihasilkan  oleh  model  GSTAR.  Secara umum,  jika  nilai p-value dari  uji  Ljung-Box  lebih  besar  dari  tingkat  signifikansi  yang  telah ditetapkan,  maka  hipotesis  nol  tidak  dapat  ditolak.  Artinya  tidak  ada  korelasi  antar  residu. Sebaliknya, jika nilai p-value lebih kecil dari taraf signifikansi maka hipotesis nol di tolak artinya terdapat korelasi antar residu.
Tabel 3.7. Uji Ljung-Box masing-masing lokasi untuk bobot seragam
Variabel P-value Keterangan 0,070 Terpenuhi 0,357 Terpenuhi 0,523 Terpenuhi
Dengan memilih taraf signifikansi sebesar 0,05, maka hasil uji Ljung-Box tersebut menunjukkan bahwa  tidak  adanya  korelasi  antar  residu.  Jika  residu  tidak  saling  berkorelasi,  hal  ini menunjukkan  bahwa  tidak  ada  pola  atau  struktur  tertentu  dalam  residu  model  yang  tidak dijelaskan  oleh  variabel  independen  yang  dimasukkan  ke  dalam  model.  Oleh  karena  itu,  ini menunjukkan bahwa  model mampu  menjelaskan sebagian besar variasi dalam data. Selanjutnya adalah menguji kenormalan residu dengan uji Kolmogorov-Smirnov.
Pemeriksaan  kenormalan  residu  dilakukan  dengan  uji  Kolmogorov-Smirnov.  Uji  tersebut merupakan  tes  statistik  yang  digunakan  untuk  menguji  apakah  residu  model  terdistribusi  secara normal.  Sama  seperti  uji  Ljung-Box,  pada  uji  Kolmogorov-Smirnov keputusan didasarkan  pada nilai p-value dan  tingkat  signifikansi.  Jika  nilai p-value lebih  dari  tingkat  signifikansi  artinya

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni
Widyawati
residu model memenuhi asumsi kenormalan residu, begitupun sebaliknya. Hasil uji Kolmogorov- Smirnov ditunjukkan pada Tabel 3.8.
Tabel 3.8. Uji Kolmogorov-Smirnov untuk bobot seragam
Variabel P-value Keterangan 0,706 Terpenuhi 0,099 Terpenuhi 0,992 Terpenuhi
Nilai p-value pada uji Kolmogorov-Smirnov untuk masing-masing lokasi lebih dari 0,05, hal ini berarti  asumsi  normalitas  residu  terpenuhi.  Uji  kenormalan  residu  penting  untuk  memastikan konsistensi  dan  efisiensi  parameter  model.  Jika  residu  tidak  normal,  maka  estimasi  parameter dapat  menjadi  bias.  Berdasarkan  uraian  sebelumnya,  dapat  disimpulkan  bahwa  asumsi white noise dan  kenormalan  residu  yang  diperlukan  untuk  pemodelan  GSTAR  (1:1)  untuk  bobot seragam sudah terpenuhi.
Uji  asumsi  residu  model  GSTAR  (1:1)  untuk  bobot  yang  lain  dilakukan  dengan  cara  yang sama. Begitu juga untuk model S-GSTAR(1:1) 12 . Hasil asumsi residu pada ketiga bobot spasial terdapat pada Tabel 3.9.
Tabel 3.9. Hasil uji residu model GSTAR (1:1) dan S-GSTAR (1:1) 12 untuk ketiga bobot spasial
Model Asumsi White noise Kenormalan GSTAR(1:1) Seragam Terpenuhi Terpenuhi Inversi jarak Terpenuhi Terpenuhi Korelasi silang Terpenuhi Terpenuhi S-GSTAR(1:1) 12 Seragam Terpenuhi Terpenuhi Inversi jarak Terpenuhi Terpenuhi Korelasi silang Terpenuhi Terpenuhi
Tabel 3.9 menunjukkan bahwa asumsi residu pada ketiga bobot spasial terpenuhi, sehingga dapat dikatakan bahwa model GSTAR (1:1) dan S-GSTAR(1:1) 12 dengan ketiga bobot spasial tersebut layak untuk memodelkan data temperatur pada ketiga lokasi tersebut.

## 3.7 Perbandingan Nilai RMSE
Kriteria pemilihan model terbaik ditentukan dengan memperhatikan nilai RMSE. Model yang memiliki  nilai  RMSE  terkecil  adalah  model  yang  terbaik.  Nilai  RMSE  dihitung  dengan persamaan sebagai berikut
√( ∑ ( ̂ ) ) (3.8)
dengan merupakan nilai observasi pada saat t , dan ̂ merupakan nilai ramalan pada saat t .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni
Widyawati
Tabel 3.10. Nilai RMSE pada  model GSTAR(1:1) Bobot Spasial RMSE Seragam 0,751 Inversi jarak 0,743 Korelasi silang 0,749 Tabel 3.11. Nilai RMSE pada  model S-GSTAR(1:1) 12 Bobot Spasial RMSE Seragam 0,711 Inversi jarak 0,709 Korelasi silang 0,711
Pemilihan model terbaik dilakukan dengan melihat nilai RMSE yang terkecil.  Nilai RMSE pada ketiga  bobot  spasial  memberikan  nilai  RMSE  yang  hampir  sama,  Hal  ini  membuktikan  bahwa semua  model  yang  dihasilkan  tidak  terlalu  berbeda.  Tabel  3.10  dan  Tabel  3.11  menunjukkan bahwa model S-GSTAR(1:1) 12 memiliki nilai RMSE yang lebih kecil jika dibandingkan dengan model  GSTAR(1:1).  Pada  model  S-GSTAR(1:1) 12 bobot  dengan  nilai  RMSE  terkecil  adalah bobot  inversi  jarak  dengan  nilai  RMSE  sebesar  0,709,  Oleh  karena  itu,  prediksi  pada  periode selanjutnya  dilakukan  menggunakan  model  S-GSTAR(1:1) 12 dengan  bobot  inversi  jarak. Pemilihan  model  terbaik  dengan  nilai  RMSE  juga  dilakukan  oleh  [6],  pada  penelitiannya  nilai RMSE  model  S-GSTAR  lebih  baik  dibandingkan  GSTAR,  namun  bedanya  pemodelan  yang dilakukan merupakan data curah hujan.

## 4,  KESIMPULAN
Pada penelitian ini dilakukan perbandingan dua model statistik, yaitu GSTAR dan S-GSTAR untuk  memprediksi  temperatur.  Perbandingan  antara  kedua  model  ini  memberikan  pemahaman yang  lebih  baik  dalam  memprediksi  temperatur.  Model  GSTAR  umumnya  digunakan  untuk memprediksi  tren  umum  dan  fluktuasi  temperatur  dalam  jangka  waktu  tertentu  karena  tidak memperhitungkan  faktor  musiman.  Sedangkan,  model  S-GSTAR  dinilai  lebih  akurat  dalam memprediksi  fluktuasi  temperatur  yang  berkaitan  dengan  perubahan  musiman  karena memasukkan  komponen  musiman  tambahan.  Namun,  model  ini  memiliki  tingkat  kompleksitas yang  lebih  tinggi.  Pemilihan  model  antara  GSTAR  dan  S-GSTAR  harus  mempertimbangkan kebutuhan spesifik dalam memprediksi temperatur. Pemilihan model yang digunakan tergantung pada  tujuan  analisis  dan  karakteristik  data  yang  tersedia  karena  setiap  model  mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Dari hasil penelitian ini diperoleh model terbaik dalam memprediksi  temperatur  di  Kabupaten  Banjar,  Cilacap,  dan  Sleman  adalah  model  S- GSTAR(1:1) 12 menggunakan bobot inversi jarak, dengan rata-rata RMSE sebesar 0,709.

## Utriweni Mukhaiyar, Riani Utami, Nabila Mardhiyah, Yalela Sa’adah, Erni
Widyawati

## DAFTAR PUSTAKA
[1].  Anselin,  L.,  1988. Spatial  Econometrics:  Methods  and  Models .  Kluwer  Academic Publishers, Dordrecht.
[2].  Ardianto,  M.,  2014.  Pemodelan  Generalized  Space  Time  Autoregressive  (GSTAR)  pada Tiga  Periode  Waktu  (Studi  Kasus  Inflasi  di  Lima  Kota  Besar  di  Pulau  Jawa). Jurnal Mahasiswa Statistik, Vol. 2, No. 4, 265-268.
[3].  Borovkova,  S.,  Lopuhaä,  H.  P.,  &  Ruchjana,  B.  N.,  2008.  Consistency  and  Asymptotic Normality  of  Least  Squares  Estimators  in  Generalized  STAR  Models. Statistica Neerlandica , Vol. 62, No. 4, 482-508.
[4].  Dey, B., Roy, B., Datta, S., & Ustun, T. S., 2023. Forecasting Ethanol Demand in India to Meet Future Blending Targets: A Comparison Of ARIMA And Various Regression Models. Energy Reports , Vol. 9, 411-418.
[5].  Gusnadi,  R.,  Rahmawati, R.,  &  Prahutama,  A.,  2015.  Pemodelan  Generalized  Space Time Autoregressive  (GSTAR)  Seasonal  pada  Data  Jumlah  Wisatawan  Mancanegara  Empat Kabupaten/Kota di Jawa Tengah. Jurnal Gaussian , Vol 4, No. 4, 1017-1026.
[6].   Hadi, A. F., Yudistira, I., Anggraeni, D., & Hasan, M., 2018. The Geographical Clustering of The Rainfall Stations on Seasonal GSTAR Modeling for Rainfall Forecasting. In Journal of Physics: Conference Series , Vol. 1028, No. 1, 012238.
[7].  Huda,  N.M.,  Imro’ah,  N.,  2023.  Determination  of  The  Best  Weight  Matrix  for  The Generalized  Space  Time  Autoregressive  (GSTAR)  Model  in  The  Covid-19  Case  on  Java Island, Indonesia. Spatial Statistics , Vol. 54, 100734.
[8]. Mukhaiyar,  U.,  Huda,  N.M.,  Sari,  R.  K.  N.,  &  Pasaribu,  U.  S.,  2019.  Modeling  Dengue Fever  Cases  by  Using  GSTAR  (1;  1)  Model  with  Outlier  Factor. In  Journal  of  Physics: Conference Series , Vol. 1366, No. 1, 012122.
[9].  Mukhaiyar,  U.,  Bilad,  B.  I.,  &  Pasaribu,  U.  S.,  2021.  The  Generalized  STAR  Modelling with  Minimum  Spanning  Tree  Approach  of  Weight  Matrix  for  COVID-19  Case  in  Java Island. In Journal of Physics: Conference Series, Vol. 2084, No. 1, 012003.
[10]. Mukhaiyar,  U.,  Nabilah,  F.  T.,  Pasaribu,  U.  S.,  &  Huda,  N.  M.,  2022.  The  Space-Time Autoregressive  Modelling  with  Time  Correlated  Errors  for  The  Number  of  Vehicles  in Purbaleunyi  Toll  Gates. In  Journal  of  Physics:  Conference  Series ,  Vol.  2243,  No.  1, 012068.
[11].  Suhartono,  S.,  Prastyo,  D.  D.,  Kuswanto,  H.,  &  Lee,  M.  H.,  2018.  Comparison  between VAR,  GSTAR,  FFNN-VAR  and  FFNN-GSTAR  Models  for  Forecasting  Oil  Production. MATEMATIKA: Malaysian Journal of Industrial and Applied Mathematics , Vol. 34, No. 1, 103-111.
[12]. Utami, R., Nurhayati, N., & Maryani, S., 2021. Forecasting The Amount of Rainfall in West Kalimantan  Using  Generalized  Space-Time  Autoregressive  Model. In  IOP  Conference Series: Earth and Environmental Science , Vol. 746, No. 1, 012035.
[13].
[14]. Wei,  W.W.S.,  2006. Time  series  Analysis  Univariate  and  Multivariate  Methods .  Addison Wesley Publishing Company, Canada.
Zewdie, M. A., Wubit, G. G., & Ayele, A. W. 2018. G-STAR Model for Forecasting Space- Time Variation of Temperature in Northern Ethiopia . Turkish Journal of Forecasting , Vol. 2, No 1, 9-19.