## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 1, No. 1, 2019, pp. 56-63.
Analisis Pengaruh Angka Kematian Bayi Terhadap Angka Harapan Hidup di Provinsi Jawa Timur Berdasarkan Estimator Least Square Spline
Anies Yulinda W. 1 , Trias Novia L. 2 , Melati Tegarina 3 & Nur Chamidah 4,*
1,2,3,4 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Kampus C Universitas Airlangga, Jl. Mulyorejo, Surabaya
*Corresponding author: nur-c@fst.unair.ac.id
Abstract. Life  expectancy  can  be  used  to  evaluate  the  government's  performance  for  improving  the welfare  of  the  population  in  the  health  sector.  Life  expectancy  is  closely  related  to  infant  mortality rate.  Theoretically,  decreasing  of  infant  mortality  rate  will  cause  increasing  of  life  expectancy.  A statistical method that can be used to model life expectancy is nonparametric regression model based on least square spline estimator. This method provides high flexibility to accommodate pattern of data by  using  smoothing  technique.  The  best  estimated  model  is  order  one  spline  model  with  one  knot based on minimum generalized cross validation (GCV) value of 0.607. Each increasing of one infant mortality rate unit will cause decreasing of life expectancy of  0.2314 for infant mortality rate less than 27,  and  of    0.0666  for  infant  mortality  rate  more  than  and  equals  to  27.  In  addition,  based  on  mean square  error  (MSE)  of  0.492  and  R 2 value  of  76.59%  for  nonparametric  model  approach  compared with MSE of 0.634 and R 2 value of 71.8%  for parametric model approach, we conclude that the use of nonparametric model approach based on least square spline estimator is better than that of parametric model approach.
Keywords: infant  mortality  rate;  least  square  spline  estimator;  life  expectancy;  nonparametric regression.

## 1 Pendahuluan
Pemerintah  Indonesia  terus  melakukan  pembangunan  di  semua  bidang  kehidupan sebagai upaya dalam meningkatkan kesejahteraan masyarakat. Salah satu indikator yang digunakan  untuk  mengevaluasi  pelaksanan  pembangunan  tersebut  adalah  indikator kesehatan.  Kesehatan  merupakan  hak  dasar  manusia  dan  merupakan  salah  satu  aspek kualitas  sumber  daya  manusia  yang  penting.  Sumber  daya  manusia  (SDM)  yang  sehat secara fisik diharapkan menjadi manusia berkualitas sehingga dapat ikut berperan aktif dalam pembangunan untuk mewujudkan kesejahteraan rakyat.
Secara  umum,  angka  harapan  hidup  (AHH)  merupakan  salah  satu  alat  yang  dapat digunakan  untuk  mengevaluasi  kinerja  pemerintah  dalam  peningkatan  kesejahteraan penduduk di bidang kesehatan. Angka harapan hidup adalah perkiraan lama hidup rata- rata  penduduk  dengan  asumsi  tidak  ada  perubahan  pola  mortalitas  menurut  umur. Angka  harapan  hidup  (AHH)  berhubungan  erat  dengan  angka  kematian  bayi  (AKB).
Secara  teoritis,  menurunnya  angka  kematian  bayi  akan  menyebabkan  meningkatnya angka harapan hidup. Angka kematian bayi merupakan banyaknya kematian bayi usia 0 tahun  dari  setiap  1000  kelahiran  hidup.  Angka  kematian  bayi  mempunyai  korelasi dengan angka harapan hidup karena dalam perhitungan angka harapan hidup digunakan indikator angka kematian bayi di dalamnya .
Berdasarkan data BPS tahun 2016, angka kematian bayi di Jawa Timur mencapai angka 23,6 bayi dari total 1000 kelahiran. Angka tersebut sudah di atas target pemerintah yaitu 24  bayi  dari  1000  kelahiran.Menurut  pengkategorian  Pramono  [1]  ,  angka  tersebut tergolong  sangat  rendah,  namun  menurut  pemerintah,  angka  yang  mendekati  target tersebut masih tergolong tinggi. Penelitian sebelumnya tentang angka kematian bayi dan angka harapan hidup di Jawa Timur telah dilakukan oleh Juliandari dan Budiantara [2]. Penelitian tersebut didasarkan pada data  angka kematian bayi dan angka harapan hidup di  Jawa  Timur  pada  tahun  2011,  sedangkan  penelitian  ini  didasarkan  pada  data  tahun 2016.
Analisis  statistika  yang  dapat  menggambarkan  hubungan  fungsional  antara  variabel respon  dan  variabel  prediktor  adalah  analisis  regresi.  Ada  dua  pendekatan  yang  dapat dilakukan  untuk  mengestimasi  hubungan  fungsional  tersebut,  yaitu  pendekatan  model regresi  parametrik  dan  nonparametrik.    Pendekatan  parametrik  digunakan  jika  peneliti mengasumsikan  bentuk  tertentu  dari  fungsi  regresinya  seperti  linier,  kuadratik,  kubik, eksponensial  atau  bisa  disebut  pendekatan  global.    Dalam  pendekatan  model  regresi nonparametrik    fungsi  regresi  hanya  diasumsikan smooth sehingga  memberikan fleksibilitas  yang  tinggi  terhadap  bentuk  yang  mungkin  dari  fungsi  regresinya.    Salah satu  teknik smoothing yang  dapat  digunakan  dalam  pengestimasian  model  regresi nonparametrik  adalah  estimator  spline  yang  terdiri  dari  potongan  polinomial  yang tersegmen  oleh  titik  knot  (fungsi truncated )  sehingga  dapat  mengakomodasi  sifat kelokalan (Chamidah, et al [3]).  Estimator spline yang diperoleh dengan menggunakan metode least square disebut least square Spline. Peneliti yang menggunakan estimator spline dalam regresi nonparametrik antara lain Lestari et al [4], Islamiyati, et al [5] and Ayidin and Yilmaz [6].
Dalam  hubungan  fungsional  antara  AHH  dengan  angka  kematian  bayi  menunjukkan pola  yang  tidak  linier    (tidak  bersifat  global)  sehingga  diperlukan  model  yang  dapat mengakomodasi  kelokalan  yaitu  estimator  spline.  Selain  memodelkan  AHH  terhadap AKB berdasarkan estimator spline, dalam artikel ini juga ditunjukkan kelebihan model regresi  nonparametrik  berdasarkan  estimator  spline  jika  dibandingkan  pendekatan parametrik  global  berdasarkan  kriteria goodness  of  fit yaitu  MSE  dan  R 2 .  Untuk pengolahan dan analisi data digunakan program OSS-R.

## 2 Estimator Least Square Spline
Spline  least  square merupakan  potongan-potongan  polinomial  dengan  segmen-segmen polinomial berbeda yang digabungkan bersama pada knot  dengan tetap menjamin sifat continuity (Chamidah[7]).
Titik  knot  merupakan  titik  perpaduan  bersama  dimana  terjadi  perubahan  perilaku fungsi. Secara umum fungsi spline order 𝑝 dengan titik knot 𝜏 1 , 𝜏 2 , … , 𝜏 𝑘 pada sebarang fungsi 𝑓(𝑥) disajikan dalam persamaan sebagai berikut :
𝑓(𝑥) = ∑ 𝛽 𝑗 𝑥 𝑗 𝑝 𝑗=0 + ∑ 𝛽 𝑗+𝑝 (𝑥 − 𝜏 𝑗 ) + 𝑝 𝑘 𝑗=1 (1)
dengan
(𝑥 − 𝜏 𝑗−𝑝 ) + 𝑝 = { (𝑥 − 𝜏 𝑗−𝑝 ) 𝑝 , 𝑥 ≥ 𝜏 𝑗−𝑝 0                   , 𝑥 < 𝜏 𝑗−𝑝 Jika diberikan untuk 𝜆 = (𝜏 1 , 𝜏 2 , … , 𝜏 𝑘 ) maka estimator dari 𝑓 dengan orde 𝑝 dan banyaknya knot dapat dinyatakan dengan :
𝑓 𝜆 (𝑥) = ∑  𝜆𝑗  𝑗 (𝑥) 𝑝+𝑘 𝑗=0 (2)
dengan
 𝑗 (𝑥) = { 𝑥 𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘   0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 (𝑥 − 𝜏 𝑗−𝑝 ) + 𝑝 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝 + 1  ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 + 𝑘

## 3 Pemilihan Titik Knot Optimum Estimator Least Square Spline
Agar diperoleh spline yang optimal perlu ditentukan titik knot yang optimal. Salah satu metode  untuk  mendapatkan  titik  knot  optimal  adalah  metode Generalized  Cross Validation (GCV) yang didefinisikan sebagai berikut :
𝐺𝐶𝑉(𝜏 1 , 𝜏 2 , … , 𝜏 𝑘 ) = 𝑀𝑆𝐸 (𝜏 1 ,𝜏 2 ,…,𝜏 𝑘 ) (𝑛 −1 𝑡𝑟[𝐼−𝐻(𝜏 1 ,𝜏 2 ,…,𝜏 𝑘 )]) 2 (3)
dengan
𝑀𝑆𝐸 (𝜏 1 , 𝜏 2 , … , 𝜏 𝑘 ) = 1 𝑛 ∑ (𝑦 𝑖 −  𝑓(𝑥 𝑖 )) 2 𝑛 𝑖=1 (4)
dengan 𝜏 1 , 𝜏 2 , … , 𝜏 𝑘 adalah titik knot pertama hingga knot ke-k. Nilai titik knot yang optimal diperoleh berdasarkan nilai 𝐺𝐶𝑉 yang  minimum.

## 4 Metodologi
Data  yang digunakan merupakan data sekunder  tentang  Angka Harapan  Hidup (AHH) sebagai variabel respon dan Angka Kematian Bayi (AKB) sebagai variabel prediktor di 38  kabupaten/kota  provinsi  Jawa  Timur  tahun  2016.  Dalam  membangun  model digunakan  data in  sample sebanyak  30  kabupaten/kota  yang  dipilih  secara  acak sedangkan  8  kabupaten/kota  digunakan  sebagai  data out  sample untuk  prediksi.  Data sekunder diperoleh melalui publikasi di website resmi Badan Pusat Statistik (BPS) Jawa
Timur  yaitu https://www.bps.go.id/ .    Variabel  dalam  penelitian  ini  adalah  angka kematian bayi (per 1000 kelahiran) yang menjadi variabel prediktor dan angka harapan hidup (tahun) yang menjadi variabel respon.
Langkah-langkah  dalam  memodelkan  AHH  berdasrkan  AKB  pendekatan  regresi nonparametrik berdasarkan estimator Least – Square Spline adalah sebagai berikut:
a. Melakukan  scatter  plot  antara  Angka  Kematian  Bayi (𝑥) terhadap  Angka Harapan Hidup (𝑦) .
b. Malakukan  pencocokan  kurva  dengan  pendekatan  parametrik  linier  dan kuadratik.
c. Menentukan  orde  dan  jumlah  knot  optimal  menggunakan  metode  kuantil berdasarkan kriteria GCV pada persamaan (3).
d. Mengestimasi model terbaik untuk AHH berdasarkan AKB berdasarkan orde dan jumlah knot optimal dari hasil (b)
e. Menghitung nilai MSE dan R 2
f. Membuat plot hasil estimasi dan data observasi
g. Membandingkan hasil model regresi parametrik dan model regresi nonparametrik berdasarkan nilai MSE dan R 2

## 5 Pemodelan Angka Harapan Hidup berdasarkan Angka Kematian Bayi
Dalam  pemodelan  AHH  berdasarkan  AKB  terlebih  dahulu  dibuat scatter plot  AHH versus  AKB  untuk  melihat  pola  hubungan  kedua  variabel  tersebut  yang  ditunjukkan dalam Gambar 1 berikut ini:
Gambar 1 . Scatter plot antara Angka Harapan Hidup (AHH) versus Angka Kematian Bayi
(AKB)
50 45 40 35 30 25 20 74 73 72 71 70 69 68 AKB_2 A H H _ 2 Scatterplot of AHH_2 vs AKB_2
Dalam  Gambar  1  terlihat  hubungan  antara    AHH  dan  AKB  tidak  membentuk  pola tertentu seperti linier atau kuadratik.  Berikut ini diberikan plot estimasi model dengan observasi dengan pendekatan parametrik linier dan kuadratik dalam Gambar 2.
Gambar 2 Plot antara estimasi  (garis biru) dan observasi (titik merah) AHH versus AKB dengan pendekatan model regresi linier (kiri) dengan model regresi kuadratik (kanan)
Dengan  pendekatan  model  regresi  parametrik  linier  diperoleh  R 2 sebesar  71,8% sedangkan dengan pendekatan model regresi parametrik kuadratik diperoleh R 2 sebesar 74,8%.
Selanjutnya  untuk  memodelkan  dengan  pendekatan  regresi  nonparametrik  berdasarkan estimator least square spline ditentukan orde dan titik knot optimal berdasarkan kriteria GCV.
Berikut ini diberikan hasil perhitungan nilai GCV, MSE dan R 2 dalam Tabel 1 sebagai berikut:
Tabel 1. Hasil Perhitungan Nilai GCV, MSE dan 𝑅 2 berdasarkan jumlah knot dan Orde
Orde Knot Titik Knot GCV MSE R 2 1 1 27 0,6072 0,4918 76,5933 2 1 39 0,6186 0,4646 77,8881 1 2 27 ; 43 0,6143 0,4614 78,0425 2 2 32 ; 33 0,6657 0,4623 78,0003 1 3 27 ; 33 ; 43 0,6597 0,4582 78,1963 0 20 40 60 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 AKB Provinsi Jawa Timur tahun 2016 AKB 50 45 40 35 30 25 20 74 73 72 71 70 69 68 AKB_2 A H H _ 2 S 0.796195 R-Sq 71.8% R-Sq(adj) 70.8% Fitted Line Plot AHH_2 =  74.94 - 0.1254 AKB_2 65 70 75 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 AHH Provinsi Jawa Timur tahun 2016 AHH 50 45 40 35 30 25 20 74 73 72 71 70 69 68 AKB_2 A H H _ 2 S 0.767393 R-Sq 74.8% R-Sq(adj) 72.9% Fitted Line Plot AHH_2 =  77.94 - 0.3312 AKB_2 + 0.003097 AKB_2**2
Berdasarkan Tabel 1, diperoleh model spline terbaik dengan orde optimal satu dan titik knot optimal 27 berdasarkan nilai GCV minimum  sebesar 0,6072, MSE sebesar 0,4918 dan R 2 sebesar 76,59%. Estimasi model AHH berdasarkan AKB berdasarkan estimator least square spline ditunjukkan dalam persamaan (5) sebagai berikut:
𝑦̂ = 77,2365 −  0,2314𝑥  + 0,1468(𝑥 − 27) (5) Persamaan (5) dapat diuraikan menjadi persamaan (6) berikut ini : 77, 2365 0, 2314       ,  untuk   < 27 ˆ 73, 27729 0, 0846      , untuk 27 y x x x x
       (6)
Untuk  mengetahui  seberapa  besar  perubahan  Angka  Harapan  Hidup  (AHH)  akibat perubahan  nilai  Angka  Kematian  Bayi  (AKB),  perlu  dilakukan  interpretasi  terhadap hasil dari model  pada persamaan (6). Setiap kenaikan satu satuan angka kematian bayi (AKB) akan mengakibatkan angka harapan hidup (AHH) menurun sebesar 0,2314, jika AKB  kurang  dari  27  sedangkan  jika  AKB  lebih  dari  sama  dengan  27,  maka  setiap kenaikan  satu  satuan  angka  kematian  bayi  (AKB)  akan  mengakibatkan  angka  harapan hidup (AHH) menurun sebesar 0,0846.  Berikut adalah plot observasi dan hasil estimasi untuk Angka Harapan Hidup (AHH ) berdasarkan metode least square spline .
Gambar 3. Plot estimasi AHH  terhadap AKB berdasarkan  estimator least square spline
Berdasarkan    hasil  estimasi  model  terbaik  pada  persamaan  (6),  dilakukan pengestimasian  AHH  untuk  data outsample yaitu  data  yang  tidak  digunakan  untuk membangun    model  ( in  sample )    dan  kemudian  dibandingkan  hasil  estimasi  AHH dengan pendekatan model parametrik linier sehingga didapat hasil sebagai berikut:
Tabel 2. Perbandingan hasil estimasi AHH berdasarkan estimator least square spline dengan parametrik linier pada data out sample
Sesuai kriteria goodness of fit yaitu MSE dan R 2 dapat ditunjukkan pada Tabel 3 berikut bahwa  pemodelan  AHH  berdasarkan  AKB  dengan    pendekatan  model  regresi nonparametrik  menggunakan  estimator  spline  lebih  baik  daripada  pendekatan parametrik linier baik untuk in sample maupun out sample .
Tabel 3. Perbandingan Goodness of Fit pada Model Parametrik dan Nonparametrik untuk Data In Sample dan Out Sample MSE R 2 IN SAMPLE Least Square Spline 0,492 76,593 Parametrik 0,634 71,8 OUT SAMPLE Least Square Spline 1,512 78,622 Parametrik 2,021 78,6

## 6 Kesimpulan
Hasil  pemodelan  AHH  berdasarkan  AKB  di  provinsi  Jawa  Timur  menggunakan estimator least  square spline  diperoleh  hasil  bahwa  apabila  nilai  AKB  bertambah sebesar  1  satuan,  maka  nilai  AHH  akan  berkurang  sebesar  0,2314  untuk  nilai  AKB kurang dari 27 dan  berkurang sebesar 0,0846 ketika nilai AKB lebih dari sama dengan 27.  Berdasarkan  kriteria  goodness  of  fit  yaitu  MSE  dan  R 2 model  dengan  pendekatan nonparametrik  berdasarkan  estimator  spline  lebih  baik  dibandingan  model  regresi parametrik linier dalam pemodelan AHH berdasarkan AKB di propinsi Jawa Timur.

## 7 Daftar Pustaka
[1] Pramono,  M.S.,  Suci,  Wulansari.,  dan  Sutikno.,  2012,  Pemetaan  Determinan Angka Kematian Bayi di Jawa Timur Berdasarkan Indikator Indeks Pembangunan
AKB ( 𝒙 ) AHH ( 𝒚 ) ( 𝒚 ̂) Least Square Spline ( 𝒚 ̂) Parametrik 15,60 73,09 73,62 72,98376 17,04 72,68 73,29 72,803184 35,00 70,67 70,94 70,551 17,16 69,79 73,27 72,788136 42,34 67,62 70,45 69,630564 41,90 66,95 70,48 69,68574 45,40 65,89 70,25 69,24684 56,13 66,31 69,53 67,901298
Kesehatan Masyarakat., Bulletin of Health System Research, 15: 38-46.Juliandari, N.Y.N., dan Budiantara, I.N., 2014, Pemodelan Angka Harapan Hidup dan Angka Kematian Bayi di Jawa Timur dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik Spline Birespon, ITS Paper, Surabaya.
[2] Chamidah, N., Kurniawan, A., Zaman, B., Muniroh, L., 2018, Least square-spline estimator  in  Multiresponse  semiparametric  regression  model  for  estimating median  growth  charts  of  children  in  East  Java  Indonesia, Far  East  Journal  of Mathematical Sciences (FJMS) , 107 (2),295-307.
[3] Lestari,  B.,  Budiantara,  I.N.,  Sunaryo,  S.,  and  Mashuri,  M.,  2012,  Spline smoothing  for  multi-response  nonparametric  regression  model  in  case  of heteroscedasticity of variance. Journal of Mathemathics and Statistics , 8 (3), 337- 384.
[4] Islamiyati  A.,  Fatmawati  and  Chamidah  N.,  2018,  Estimation  of  Covariance Matrix  on  Bi-Response  Longitudinal  Data  Analysis  with  Penalized  Spline Regression. Journal  of  Physics:  Conf.  Series ,  979  012093,  IOP  Publishing.  doi :10.1088/1742-6596/979/1/012093.
[5] Aydin,  D.  and  Yilmaz,  E.,  2018,  Modified  spline  regression  based  on  randomly right-censored  data:  A  comparative  study, Communications  in  Statistics- Simulation and Computation , Volume 47, Issue 9.
[6] Chamidah,  N.,  and  Lestari,  B.,  2016.  Spline  estimator  in  homoscedastic  multi- response  nonparametric  regression  model  in  case  of  unbalanced  number  of observations, Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS) , 100 (9), 1433- 1453.