Vol. 6, No.2, 72-85,  Januari 2010
Aplikasi Kalman Filter pada Data Survival
Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, & Sri Astuti Thamrin 

## Abstrak
Kalman  Filter  merupakan  metode  untuk  memprediksi  nilai  suatu  peubah  di  masa  yang  akan datang dengan mempertimbangkan data-data sebelumnya yang senantiasa di up-date. Metode ini  selanjutnya  akan  diaplikasikan  pada  data  survival  penderita  penyakit Tuberculosis (TB) dari  penduduk  Amerika  Serikat.  Metode  ini  sangat  menarik  untuk  digunakan  karena  Tan (2004)  hanya  memanfaatkan  metode  state  space  saja  dalam  memprediksi  nilai  peubahnya. Oleh karena itu, pada paper ini akan memanfaatkan metode Kalman Filter dalam memprediksi nilai suatu peubah dari data survival penderita TB di Amerika Serikat.
Kata Kunci: Metode  state  space,  Kalman  Filter,  data  survival,  noise,  model stokastik.

## 1. Pendahuluan
Tuberculosis (TB)  merupakan  salah  satu  penyakit  yang  membawa  kematian  sekitar  dua sampai  tiga  juta  orang  di  seluruh  dunia  setiap  tahunnya  dan  sebesar  satu  persen  sudah  tertular oleh bakteri TB. Penderita TB yang tidak berobat dapat menularkan penyakitnya kepada sekitar sepuluh  sampai  limabelas  orang  dalam  jangka  waktu  sepuluh  tahun.  Bakteri Mycobacterium tuberculosis penyebab  TB  menyebar  di  udara  pada  saat  seorang  penderita  TB  batuk,  bersin, meludah  ataupun  berbicara  (PPTI,  2008).  Penemuan  penderita  baru  dan  pengobatan  dini  akan memberikan  keuntungan  bagi  program  pemberantasan  TB.  Penyebaran  penyakit  TB  ini  dapat dimodelkan  secara  stokastik.  Dikarenakan  jumlah  penderita  penyakit  TB  setiap  tahunnya berubah-ubah, maka hal ini memungkinkan untuk menerapkan analisis deret waktu ( time series ) untuk memprediksi banyaknya penderita TB pada tahun berikutnya berdasarkan data pada tahun- tahun sebelumnya.
Pada  kasus  penyakit  TB  ini,  model  state  berupa  model  stokastik  yang  diperoleh berdasarkan  mekanisme  biologi  dasar  dari  penyakit.  Jika  beberapa  data  pengamatan  baru diperoleh,  maka  model  pengamatan  dapat  dibentuk.  Kombinasi  dari  model  stokastik  dan  model pengamatan inilah yang dikenal sebagai model State Space (Tan, 2004). Model state space yang dibentuk dari analisa survival ditentukan koefisien parameter melalui Gibs sampling. Selanjutnya model yang diperoleh langsung digunakan untuk memprediksi jumlah penderita TB di Amerika Serikat di waktu yang akan dating. meramalkan Pada paper ini, penulis tertarik  untuk  mengkaji mengenai  aplikasi  Kalman  Filter  pada  model  State  Space  penyakit  TB  yang  merupakan  model survinal, khususnya dalam memprediksi banyaknya penderita penyakit TB di Amerika Serikat.
 Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin,  email: herdiani_86@yahoo.com , via6188@ymail.com , amran_rmuh@yahoo.com ,  tutithamrin@yahoo.com

## Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin

## 2. Kalman Filter
Kalman  Filter  adalah  sebuah  algoritma  untuk  memproses  data  rekursif  optimal  yang sederhana  dan  terdiri  dari  dua  fase  yang  berbeda  yaitu  fase  prediksi  dan  fase update (Orderud, 2005).  Metode  ini  memasukkan  semua  informasi  yang  disediakan  untuk  memproses  semua pengamatan  yang  ada.  Metode  ini  memperhatikan  ketelitian  dalam  menduga  nilai  dari  variabel penting  (Maybeck,  1979).  Selanjutnya  penurunan  State  Space  pada  Kalman  Filter  dapat  dilihat sebagai berikut.

## 2.1. Penurunan State Space
Suatu proses dapat digambarkan dalam bentuk model persamaan:
, (1)
dimana adalah    nilai  pengamatan  yang  bergantung  pada  waktu,
adalah  jangka  waktu penambahan ( gain term) , adalah informasi, dan adalah gangguan ( noise ). Tujuan yang akan dicapai  dari  model  persamaan  diatas  adalah  menaksir  nilai .  Selisih  dari  nilai  taksiran
̂ dengan nilai adalah kesalahan ( error ) dari pengukuran yang dituliskan dalam bentuk fungsi sebagai berikut:
( )    ( ̂ ) . (2)
Bentuk  khusus  dari ( ) bergantung  pada  aplikasinya,  tetapi  fungsi  ini  akan    positif  dan monoton naik yang ditunjukkan oleh fungsi  kuadrat error .
( )   ( ̂ ) . (3)
Nilai  harapan  dari  fungsi  kuadrat  error  disebut  fungsi  kehilangan  ( loss  function )  dan menghasilkan fungsi kesalahan kuadrat rata-rata ( Mean Square Error ) atau MSE:
( )    ( ) . (4)
Suatu proses yang digambarkan dengan model persamaan sebagai berikut:
, (5)
dimana adalah vektor state pada waktu ke-k ( nx1 ),   adalah matriks state transisi dari state k-
1  ke  state  k  dan  diasumsikan  stasioner  ( nxm ),  dan adalah  proses  white  noise  dengan kovariansi  diketahui  ( nx1 ).  Sedangkan  model  persamaan  untuk  pengamatan  adalah  sebagai berkut:
,
(6)
dimana adalah  pengamatan  terbaru  dari pada  waktu  k  ( mx1 ),  H  adalah  matriks  yang menghubungkan antara model state dengan model pengamatan ( noiseless connec tion) ( mxn ), adalah  kesalahan  pengamatan  yang  juga  diasumsikan  sebagai  proses  white  noise  dengan kovariansi  diketahui  dan  korelasi  silang  ( cross-corelation )  dengan  gangguan  ( noise )  proses bernilai nol ( mx1 ).
Untuk  meminimalkan  MSE  agar  diperoleh  filter  yang  optimal,  maka  model  dari kesalahan ( error ) sistem harus diubah dengan menggunakan distribusi Gauss. Kovariansi dari dua model noise diasumsikan stasioner dan dituliskan dalam bentuk:
, - , (7) , - , (8)
Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
dimana Q adalah kovariansi pada vektor state dan R adalah kovariansi pada pengamatan.  MSE ekuivalen dengan bentuk persamaan berikut:
, - , (9)
dimana adalah  matriks  kovariansi  kesalahan  pada  waktu  k,  ( nxn ).  Persamaan  di  atas  dapat dikembangkan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
, -    ,( ̂ )( ̂ ) - . (10)
Diasumsikan  taksiran  prior  dari ̂ dinamakan ̂ ,  didapatkan  dari  informasi  dalam  sistem. Selanjutnya dapat dibuat suatu persamaan update untuk taksiran terbaru dengan menggabungkan taksiran lama dengan data pengukuran sebagai berikut:
̂ ̂ ( ̂ ) , (11)
dimana adalah  nilai  Kalman. ̂ pada  persamaan  adalah  inovasi  atau  residu pengukuran: ̂ . (12)
Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (11), diperoleh persamaan:
̂ ̂ ( ̂ ) . (13)
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (13) ke (10) diperoleh
,[( )( ̂ ) ],( )( ̂ ) - - ,     (14)
dimana ̂ adalah  kesalahan  dari  taksiran  prior  yang  tidak  berkorelasi  dengan  noise pengukuran, sehingga dapat dituliskan seperti pada persamaan berikut:
( )  [( ̂ )( ̂ ) ] ( ) [ ] . (15)
Dengan melakukan substitusi persamaan (8) dan (10) ke (14), diperoleh
( ) ( ) , (16)
dimana adalah taksiran prior dari . Persamaan (16) adalah persamaan kovariansi kesalahan ter-update. Diagonal dari matriks kovariansi adalah MSE, yang ditunjukkan sebagai berikut:
[ , - , - , - , - , - , , - , - , - ] . (17)
Pada  trace  matriks  kovariansi  eror  merupakan  MSE  yang  dapat  diminimumkan  dengan memperkecil  trace  dari yang  juga  akan  memperkecil  trace .  Kondisi  minimum  diperoleh dari  turunan  pertama  trace terhadap dan  hasilnya  disamakan  dengan  nol  (Lacey,  2007).
Perluasan persamaan (16) adalah
( ) . (18)
Karena trace suatu matriks sama dengan trace transposenya (Lacey, 2007), maka trace dari persamaan (18) dapat dituliskan seperti  persamaan berikut:
, -    [ ]     [ ]    [ ( ) ] , (19)
dimana , - adalah  trace  dari  matriks dan  selanjutnya    didiferensialkan  terhadap , sehingga diperoleh
Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
( ) ( ) . (20) Selanjutnya, ( ) ( ) (21) Sehingga ( ) . (22)
Persamaan  (22)  disebut  persamaan  penambahan  Kalman  ( Kalman  gain ) . Persamaan  tersebut digunakan  untuk  memperbaharui  pengamatan. pada  persamaan  (12)  berhubungan  dengan kovariansi prediksi pengukuran (inovasi kovariansi) , yang didefinisikan oleh persamaan berikut:
. (23)
Dengan mensubtitusikan  persamaan (22) ke (18) diperoleh
  ' k k k P H K I
P   . (24)
Persamaan  (24)  merupakan  matriks  kovariansi  kesalahan  yang  diupdate  melalui  penambahan optimal  ( optimal  gain ).  Untuk  menduga  variabel digunakan  persamaan  (13),  (22),  dan  (24). Proyeksi state diperoleh dengan menggunakan
̂ ̂ . (25)
Dengan proyeksi matriks kovariansi eror untuk interval waktu berikutnya,
̂ . (26) Dengan mengembangkan persamaan (10) untuk diperoleh [ ]    ,( )( ) - , (27)
dan mempunyai nilai korelasi silang sama dengan nol karena terakumulasi diantara k dan k+1 sedangkan  eror meningkat  sampai  waktu k .  Oleh  karena  itu  persamaan  (27)  dapat dituliskan:
Q P P T k k     ' . (28)
Persamaan ini merupakan taksiran prior pada matriks kovariansi kesalahan yang dapat digunakan dalam memprediksi state selanjutnya (Lacey, 2007).

## 2.2. Update Kovariansi Model
Model  kovariansi  dari  parameter  dalam  bentuk  inversnya  dikenal  sebagai matriks informasi . Kalman Filter disebut Filter Informasi ketika dibangun berdasarkan matriks informasi tersebut.  Selanjutnya  dapat  diformulasikan  persamaan update sebagai  alternatif  untuk  matriks kovariansi dengan menggunakan penjabaran standar eror sebagai berikut:
. (29)
Dapat  dilihat  bahwa  persamaan  (29)  dan  (24)  ekuivalen.  Ini  dapat  dibuktikan  dengan menggunakan  identitas
.  Dengan  bentuk  persamaan  kovariansi  yang  diperbaharui
adalah ( ) dan , oleh karena itu ( ) . (30)
Dalam tutorial Kalman Filter (Tony Lacey), dengan mensubtitusikan diperoleh
, ( ) -[ ] . (31)
Jadi terbukti bahwa persamaan (29) dan (24) ekuivalen.

## 2.3. Model State Space
Model  State  Space  menggabungkan  model  stokastik  dengan  model  statistik  untuk menguraikan  suatu  proses.  Model  State  Space  dari  penyakit  Tuberculosis  menyimpulkan informasi biologi dari sistem melalui model sistem stokastik dan menggabungkannya dengan data terbaru  melalui  persamaan  pengamatan.  Keuntungan  spesifik  dari  model  ini  adalah  adanya prosedur  optimal  untuk  memperbaharui  model  data  baru  yang  merupakan  langkah  penghalusan pada model State Space (Tan, 2004) .

## 3. Sekilas Mengenai Penyakit Tuberculosis
Tuberkulosis (TB) adalah salah satu jenis penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri " Mycobacterium  tuberculosis ".  Bakteri  ini  dapat  menyerang  semua  bagian  tubuh  manusia,  dan yang  paling  sering  terkena  adalah  organ  paru  (90%).  Bakteri  ini  berbentuk  batang  dan  bersifat tahan asam sehingga dikenal juga sebagai Batang Tahan Asam (BTA) (PPTI, 2008). Penyakit TB dapat menyerang siapa saja tak terkecuali pria, wanita, tua, muda, kaya dan miskin serta dimana saja.
Seperti halnya flu, bakteri TB menyebar di udara pada saat seorang penderita TB batuk, bersin,  meludah  ataupun  berbicara.  Penderita  TB  yang  tidak  berobat  dapat  menularkan penyakitnya  kepada  sekitar  10-15  orang  dalam  jangka  waktu  10  tahun  (PPTI,  2008),  dan  yang menularkan  adalah  mereka  yang  di  dalam  dahaknya  terdapat  bakteri  TB  (penderita  TB  BTA positif)  (Poeloengan,  2005).  Setelah  lima  tahun,  50%  dari  penderita  TB  tanpa  pengobatan  akan meninggal,  25%  akan  sembuh  sendiri  dengan  daya  tahan  tubuh  tinggi,  dan  25%  sebagai  kasus kronik yang tetap menular.
Timbulnya HIV sangat berpengaruh terhadap peningkatan jumlah penderita TB.  Infeksi HIV mengakibatkan  kerusakan  luas  sistem  daya  tahan  tubuh  seluler  ( Cellular Immunity ), sehingga  jika  terjadi  infeksi  oportunistik,  seperti  Tuberkulosis,  maka  yang  bersangkutan  akan menjadi  sakit  parah  bahkan  mengakibatkan  kematian.  Bila  jumlah  orang  terinfeksi HIV meningkat,  maka  jumlah  penderita  TB  akan  meningkat,  dengan  demikian  penularan  TB  di masyarakat akan meningkat pula (Poeloengan, 2005 ).
Perawatan  bagi  penderita  TB  diharuskan  minum  obat  dengan  teratur  dan  benar  sesuai dengan  anjuran  dokter  selama  enam  bulan  berturut-turut  tanpa  terputus  dengan melibatkan petugas kesehatan atau anggota keluarga untuk mengawasi dan memastikan penderita TB minum obat dengan teratur dan benar (PPTI, 2008). Menurut Poelongan, 2005, pencegahan terhadap TB dapat  dilakukan  dengan  pemberian  imunisasi  BCG  ( Bacillus  Calmette  Guerin )  pada  bayi  serta meningkatkan daya tahan tubuh dengan makanan bergizi dan menjaga pola hidup bersih.

## Proses Stokastik dari Penyakit Tuberculosis
Sebuah  proses  stokastik * ( )       + adalah  kumpulan  dari  variabel  acak,  yaitu  untuk setiap ( ) adalah sebuah variabel acak, dimana adalah waktu dan ( ) sebagai state dari proses pada waktu t . Himpunan T disebut indeks himpunan dari proses, jika T adalah himpunan yang  dapat  dihitung  ( countable  set ),  proses  stokastik  dikatakan  proses  waktu  diskrit  ( discrete- time ).  Sedangkan  jika  T  adalah  sebuah  interval  dari  garis  bilangan  real,  maka  proses  stokastik
Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
dikatakan  proses  waktu  kontinu  ( continuous-time ).  Sebagai  contoh, * + adalah sebuah  proses  stokastik  dengan  waktu  diskrit  yang  dilambangkan  dengan  bilangan  bulat  non- negatif;  sedangkan * ( )       + adalah  sebuah  proses  stokastik  dengan  waktu  kontinu  yang dilambangkan dengan bilangan real non negatif (Ross, 1997).
Pada  populasi  yang  beresiko  terkena    penyakit  Tuberculosis,  kelompok  manusia  dapat dibagi menjadi 2 kelompok yaitu kelompok manusia yang sehat ( ) yaitu kelompok yang tidak menderita penyakit TB dan kelompok manusia yang sakit ( ) dalam hal ini penderita TB. Jadi ( ) terdiri  dari ( ) dan ( ) .  Pada  kedua  kelompok  itu  di  dalamnya  terdapat  proses kelahiran, kematian, imigrasi, sakit dan sembuh dari penyakit TB.
Selama  interval  waktu ,         ) ,  proses  kelahiran-kematian-sakit-sembuh  mengikuti distribusi Multinomial dan proses imigrasi adalah proses Poisson. Untuk memperoleh persamaan diferensial  stokastik  untuk  variabel  state  N 1 ( t )  dan  N 2 ( t ),  amati  bahwa (      ) diperoleh  dari ( ) secara  stokastik  melalui  proses  kelahiran-kematian-sakit-sembuh  dan  proses  imigrasi. Sehingga menurut Tan, 2004, persamaan diferensial stokastik untuk ( ) adalah:
( ) ( ) ( ) , (32)
( ) ( ) ( ) . (33)

## 4. Aplikasi Kalman Filter Pada Model Survival
Pada sebuah populasi yang mempunyai individu beresiko terkena penyakit Tuberculosis (TB) terbagi menjadi 2 kelompok yaitu kelompok manusia yang sehat ( ) yaitu kelompok yang tidak  menderita  penyakit  TB  dan  kelompok  manusia  yang  sakit  dalam  hal  ini  terinfeksi Tuberculosis dan sakit ( ) , dimana hal ini merupakan proses stokastik dua dimensi yaitu dan . Ketika suatu populasi beresiko sakit, maka kemungkinan yang dapat terjadi adalah:
1. Anggota  kelompok menderita  sakit  karena  kontak  dengan  anggota atau  melalui perantaranya.
2. Anggota  kelompok dapat  meninggal  akibat  penyakit  TB  atau  sebab  lainnya sedangkan anggota kelompok hanya dapat meninggal akibat penyakit lainnya.
3. Anggota kelompok dapat disembuhkan dengan obat sehingga masuk ke kelompok . 4. Proses  kelahiran  diabaikan  dengan  asumsi  bahwa  sangat  kecil  kemungkinan  bayi  yang baru lahir menderita penyakit TB.
5. Selain itu terdapat proses imigrasi dalam populasi.
Jadi  dalam  sistem  stokastik  perpindahan  penyakit  Tuberculosis  memasukkan  proses  kelahiran, kematian,  imigrasi,  sakit  dan  sembuh  dari  penyakit.  Misalkan ( ) ( ) dan ( ) , dimana ( ) menyatakan banyaknya orang (       ) dalam populasi pada waktu t. Variabel-variabel  transisi  yang  akan  digunakan  dalam  persamaan  sistem  stokastik sebagai  berikut: ( ) =  Banyaknya  orang  sehat  yang  menjadi  sakit selama ,         ) ; ( ) = Banyaknya  orang  sakit  yang  disembuhkan  dengan  obat  selama ,         ) ; ( ) =  Banyaknya kelahiran  dari  orang  sehat    selama ,         ) ; ( ) =  Banyaknya  kelahiran  dari  orang  sakit selama ,         ) ; ( ) =  Banyaknya  kematian  dari  orang  sehat  selama ,         ) ; ( ) = Banyaknya kematian dari orang sakit selama ,         ) ; ( ) = Banyaknya imigrasi orang sehat selama ,         ) ; ( ) =  Banyaknya  imigrasi  orang  sakit selama ,         ) ; laju penyakit (laju transisi dari N 1 N 2 ); laju kesembuhan (laju transisi N 2 N 1 ); laju
kelahiran  dari  orang  sehat; laju  kelahiran  dari  orang  sakit; laju  kematian  dari  orang sehat; laju  kematian  dari  orang  sakit; 1 =  laju  imigrasi  dari  orang  sehat  dan 2 =  laju imigrasi dari orang sakit.

## Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
Perpindahan keadaan dari sakit ke sehat atau dari sehat ke sakit akan digunakan sebagai model state. Model state pada penyakit TB dapat diperoleh berdasarkan mekanisme biologi dasar dari  penyakit  TB  yaitu  melalui  proses  penularannya.  Selama  interval  waktu ,         ) ,  proses kelahiran, kematian, sakit dan sembuh mengikuti distribusi Multinomial dengan parameter yang digunakan adalah * ( ) ( ) ( ) ( )  + sedangkan proses imigrasi merupakan proses Poisson  dengan  rata-rata  (mean) ( ) .  Karena  proses  imigrasi  merupakan  proses  Poisson, maka  model  state  dapat  diperoleh  dari  persamaan  diferensial  stokastik  variabel  state  N 1 ( t )  dan N 2 ( t ),  yang  terlebih  dahulu    diamati    bahwa (      ) diperoleh  dari ( ) secara  stokastik melalui proses kelahiran-kematian-sakit-sembuh dan proses imigrasi.
Distribusi  peluang  bersyarat  dari ( ) dan * ( ) ( ) ( )+ dengan  syarat ( ) diketahui,  dimana adalah  R 1 (t) | ( ) Poisson  dengan  mean ( ) ( ) , R 2 (t) | ( ) Poisson dengan mean ( ) ( ) , * ( ) ( ) ( )+| ( )              , ( ) ( ) ( ) ( )  -
dan * ( ) ( ) ( )+| ( )               , ( ) ( ) ( ) ( )  - . Dalam state ( ) , * ( ) , dan [ ( ) ( ) ( )]         } berdistribusi saling bebas satu sama lainnya. Sehingga untuk
, didefinisikan ( ) , sebagai berikut
( )     , ( ) ( ) ( )  -   , ( ) ( ) ( )  -
, ( ) ( ) ( )  -   , ( ) ( ) ( )  -
(34)
Persamaan diferensial stokastiknya untuk ( ) adalah:
( ) (      ) ( )
*, ( ) ( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( )+ ( ) (35)
( ) (      ) ( )
*, ( ) ( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( )+ ( ) (36)
Pada persamaan diatas, noise ( ) bersifat acak dengan nilai ekspektasi sama dengan  nol  dan  tidak  berkorelasi  dengan  variabel  state * ( )         + .  Pada  tahap  berikutnya untuk  memperbaharui  model  state,  diperlukan  model  pengamatan  agar  prediksi  yang  dilakukan lebih akurat.
Model  pengamatan  diperoleh  berdasarkan  data  pengamatan  terbaru  dari  penyakit  TB.  Misalkan ( ) merupakan banyaknya yang diamati pada waktu ( )   , ( ) ( )- √ ( ) ⁄ berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi , saling bebas untuk
. Maka model pengamatan ditunjukkan sebagai berikut:
( ) ( )   , ( )- ( ) (37)
( ) ( )   , ( )- ( ) , (38)
dimana dan saling bebas dan berdistribusi normal dengan mean sama dengan 0 dan variansi
. Berdasarkan persamaan (6) untuk model pengamatan
, dimana H =
1,  karena  hanya  bergantung  pada dan adalah noise pengamatan  yang  ditunjukkan  oleh
( ) dalam  persamaan.  Berdasarkan  model  state  dan  model  pengamatan,  selanjutnya  akan diaplikasikan pada data penyakit Tuberculosis di Amerika Serikat.

## 4.1. Sumber Data
Data yang digunakan merupakan data sekunder yaitu untuk data state, data diperoleh dari jurnal yang berjudul “State Space Models for Survival Analysis”  oleh Weiming Ke  bersama Dr. Wai-yuan  Tan  (2004)  sedangkan  untuk  data  pengamatan  digunakan  data  penduduk  Amerika

## Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
Serikat pada tahun 1993-2007 yang bersumber dari http://www.disastercenter.com/crime/uscrime.htm dan  data  penderita  penyakit  Tuberculosis  di Amerika  Serikat  pada  tahun  1993-2007  yang  bersumber  dari http://www.cdc.gov/tb/ .  Adapun data tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.

## 4.2. Analisa Data
Pertambahan  penduduk  Amerika  Serikat  pada  tahun  1980  sampai  1992  menunjukkan bahwa jumlah penduduk Amerika Serikat mengalami pertambahan secara linear setiap tahunnya yaitu  dari  tahun  1980  sampai  tahun  1992.  Sedangkan  pada  tahun  1980  sampai  tahun  1985 penderita Tuberculosis  di Amerika  Serikat  mengalami  penurunan jumlah  penderita.  Akan  tetapi pada  tahun  berikutnya  jumlah  penderita  terus  bertambah  sampai  tahun  1992.  Perubahan  ini disebabkan  adanya  efek  dari HIV di  Amerika  Serikat  (Tan  2004).  Oleh  karena  itu  sebelum menyusun model state, terlebih dahulu harus diketahui parameter yang mempengaruhi perubahan dan .
Tabel 1. Data Kasus Penyakit TB di Amerika Serikat Tahun 1980-1992.
Tahun Total Penduduk (jiwa) Sehat (jiwa) Penderita TB (jiwa) 1980 226.545.805 226.517.805 28.000 1981 228.762.212 228.734.712 27.500 1982 230.978.619 230.953.219 25.400 1983 233.195.025 233.171.025 24.000 1984 235.411.432 235.389.231 22.201 1985 237.627.839 237.605.638 22.201 1986 239.844.246 239.821.246 23.000 1987 242.060.653 242.037.653 23.000 1988 244.277.059 244.254.059 23.000 1989 246.493.466 246.469.666 23.800 1990 248.709.873 248.684.373 25.500 1991 250.926.280 250.899.997 26.283 1992 253.142.687 253.116.014 26.673 Sumber: “ State Space Models for Survival Analysi s”, Tan (2004).
Adapun  parameter  pada  model  state  adalah  laju  kelahiran,  laju  kematian,  laju  penyakit,  laju kesembuhan dan laju imigrasi (Tan, 2004). Hasil pendugaan parameter pada model state adalah laju kematian dari orang sehat = 0 . 04, laju kematian dari orang sakit = 0 . 1, 1 = laju imigrasi dari orang sehat = 0 . 05, 2 = laju imigrasi dari orang sakit = 0 . 03, laju penyakit = 0 . 2, laju  kesembuhan  = 0 . 4. Jika  nilai parameter  disubtitusikan  pada  persamaan  (35)  dan (36), diperoleh:
( )   *, ( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) (39)
( )   *, ( ) ( ) ( )- ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) (40)
Sehingga model state untuk N 1 ( t ) dan N 2 ( t ) adalah
Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
N 1 ( t ) = (     ) (     ) (     ) ( ) (41)
N 2 ( t ) = (     ) (     ) (     ) ( )
(42)
Adapun  data  yang  digunakan  sebagai  data  pengamatan  untuk  memperbaharui  model state, dapat dilihat pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Data Kasus Penyakit TB di Amerika Serikat Tahun 1993-2007.
Sumber: http://www.disastercenter.com/crime/uscrime.htm , http://www.cdc.gov/tb/ .
Dengan keadaan penduduk di Amerika Serikat pada tahun 1993 sampai 2007 seperti pada data di atas.  Maka  dapat  disimpulkan  bahwa  jumlah  penduduk  di  Amerika  Serikat  terus  mengalami peningkatan dari tahun ke tahun. Namun penderita TB di Amerika Serikat mengalami penurunan dari tahun 1993 hingga tahun 2007. Berdasarkan data penderita Tuberculosis di Amerika Serikat tahun  1980  sampai  1992,  Weiming  Ke  dan  Dr.  Wai  Yuan  Tan  (2004)    melakukan  pendugaan terhadap  peluang  survival  dari  kelompok    N 1 dan  N 2 untuk  beberapa  tahun  kedepan  dengan metode Multi Level Gibbs Sampling .
Pada  paper  ini,  penulis  menerapkan  data  yang  sama  untuk  model  state  dan  data pengamatan sebagai data tambahan untuk memprediksi N 1 dan N 2 pada tahun berikutnya dengan metode Kalman Filter. Proses rekursif Kalman Filter untuk peramalan jumlah penduduk sehat dan penderita  penyakit  TB  dilakukan  dengan  menggunakan  hasil  prediksi  jumlah  penduduk  yang sehat pada iterasi ke-39 sampai 50 dapat dilihat pada Gambar 1 dan Tabel 3.
Tabel 3 . Prediksi Penduduk Sehat.
Iterasi Xa Iterasi Xa Iterasi Xa Iterasi Xa 39 301.440.000 42 301.520.000 45 301.850.000 48 301.550.000 40 301.890.000 43 301.610.000 46 301.690.000 49 301.420.000 41 301.670.000 44 301.330.000 47 301.630.000 50 301.730.000 Tahun Total Penduduk (jiwa) Sehat  (jiwa) Penderita TB (jiwa) 1993 257.908.000 257.882.893 25.107 1994 260.341.000 260.316.795 24.205 1995 262.755.000 262.732.272 22.728 1996 265.228.572 265.207.362 21.210 1997 267.637.000 267.617.249 19.751 1998 270.296.000 270.277.713 18.287 1999 272.690.813 272.673.312 17.501 2000 281.421.906 281.405.597 16.309 2001 285.317.559 285.301.613 15.946 2002 287.973.924 287.958.868 15.056 2003 290.690.788 290.675.951 14.837 2004 293.656.842 293.642.341 14.501 2005 296.507.061 296.492.996 14.065 2006 299.398.484 299.384.730 13.754 2007 301.621.157 301.607.858 13.299

## Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
Gambar 1. Plot Prediksi Penduduk Sehat.
Sedangkan pada Gambar 2 dan Tabel 4 dapat dilihat hasil prediksi jumlah penderita TB di Amerika Serikat sebagai berikut.
Gambar 2.  Plot Prediksi Penderita TB.
Tabel 4 . Prediksi Penderita TB. Iterasi Xa Iterasi Xa Iterasi Xa Iterasi Xa 39 13.305 42 13.485 45 13.426 48 13.179 40 13.334 43 13.392 46 13.317 49 13.182 41 13.244 44 13.348 47 13.080 50 13.163
Dari Tabel 3, diperoleh hasil prediksi banyaknya penduduk sehat (tidak menderita penyakit TB) pada  tahun  2008  adalah  sekitar  301.730.000  jiwa  dengan  nilai  variansi  sebesar  2,87x10 29 . Sedangkan prediksi penderita TB pada tahun 2008 (dapat dilihat pada Tabel 4) sebanyak  13.163 jiwa dengan  nilai variansi sebesar 1,15x10 15 . Dengan nilai Kalman yang diperoleh yaitu K = 1. Nilai  rata-rata  yang  diperoleh  dari  50 forecasting (50  kali  program  dijalankan)  yaitu  prediksi

## Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
penduduk  sehat  sebanyak  301.629.000  jiwa  sedangkan  prediksi  penderita  TB  sebanyak  13.311 jiwa.
Selanjutnya untuk melihat besarnya simpangan baku tiap kelompok, digunakan  bilangan baku dengan  rumus:
̅ , (43) dimana = bilangan baku ke-I; = data ke-I; ̅ = rata-rata data; = simpangan baku data,  (Tiro,  2004).  Bilangan  baku  untuk  kelompok  penderita  TB  dan  penduduk  sehat  dapat digunakan  sebagai  data  pengamatan  dalam  Kalman  Filter.  Pada  Tabel  5  dapat  dilihat  hasil forcasting penduduk sehat dan penderita TB.
Tabel 5. Prediksi Penduduk Sehat dan Penderita TB
Menggunakan Data Bilangan Baku. Penduduk Sehat Penderita TB 1,4595 -1,1348 1,4498 -1,125 1,4517 -1,1152 1,4635 -1,1094 1,4614 -1,1328 1,4751 -1,1445 1,4606 -1,1123 1,4623 -1,1406 1,4614 -1,1289 1,4617 -1,1221
Nilai  rata-rata  penduduk  sehat  adalah  1,4607  dengan  simbangan  baku  sebesar  0,006839, sedangkan  untuk  penderita  TB  diperoleh  rata-rata  =  -1,12656    dengan  simpangan  baku  sebesar 0,011928.  Jika dikonversi ke nilai awal diperoleh prediksi penduduk sehat sebanyak 301.629.659 jiwa dan penderita TB sebanyak 13.326 jiwa, dimana hasil yang diperoleh tidak berbeda jauh baik menggunakan bilangan baku maupun tidak.
Berdasarkan  laporan  CDC  Amerika  Serikat  diketahui  bahwa  jumlah  penderita  TB  di Amerika  Serikat  pada  tahun  2008  sebanyak  12.898  jiwa  dari  total  penduduk  304.482.526  jiwa (penduduk sehat = 304.469.628 jiwa). Sehingga dapat diketahui persentase kesalahan ( eror ) dari prediksi penduduk sehat sebesar 0,93% dan penderita TB sebesar 3,20%. Ini menunjukkan bahwa hasil prediksi yang diperoleh  dengan metode Kalman Filter cukup akurat. Pada Gambar 3 dapat dilihat  perbandingan  antara  hasil  prediksi  penderita  TB  dengan  Kalman  Filter  dan  jumlah penderita TB sebenarnya (observasi) dari tahun 2001-2008.

## Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
Gambar 3. Plot Prediksi Penderita TB dan Jumlah Penderita TB yang Sebenarnya Tahun 2001-2008.
Dari Tabel  5  dapat  dilihat  bahwa  rata-rata  dari  50  hasil  prediksi  penderita TB  pada  tahun  2001 sebanyak  16.921  jiwa  sedangkan  hasil  observasi  (jumlah  penderita  TB  sebenarnya  pada  tahun 2001)  adalah  15.946  dengan  tingkat  kesalahan  sebesar  2,16%.  Plot  perbandingan  antara  hasil prediksi  dengan  data  sebenarnya  (observasi)  dapat  dilihat  pada  Gambar  3,  akan  tetapi  untuk menunjukkan bahwa tingkat kesalahan hasil prediksi dengan data sebenarnya cukup kecil, dapat digunakan bilangan baku seperti yang terlihat pada Gambar 4 yang diperoleh dari nilai rata-rata 10 forecasting pada tahun 2001-2007.
Gambar 4. Plot Prediksi Penderita TB dan Jumlah Penderita TB yang Sebenarnya
Tahun 2001-2007 dengan Menggunakan Bilangan Baku. Prediksi (Jiwa) Observasi (Jiwa) Prediksi Observasi

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat dituliskan dalam paper ini adalah
1. Model state untuk penderita penyakit Tuberculosi di Amerika Serikat adalah N 1 ( t )= (     ) (     ) (     ) ( )
sedangkan model state untuk penduduk yang sehat adalah N 2 ( t ) = (     ) (     ) (     ) ( )
2. Model  pengamatan  untuk  penderita  penyakit  Tuberculosis  di  Amerika  Serikat  adalah
( ) ( )   , ( )- ( ) ,  sedangkan  model  pengamatan  untuk  penduduk  yang sehat adalah ( ) ( )   , ( )- ( ) .
3. Prediksi  jumlah  penderita  penyakit  Tuberculosis  di  Amerika  Serikat  untuk  tahun  2008 adalah 13.311 jiwa sedangkan jumlah penduduk yang sehat sebanyak 301.629.000 jiwa.

## Ucapan Terima Kasih
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Universitas  Hasanuddin  yang  telah  membiayai pelaksanaan penelitin ini melalui DIPA Universitas Hasanuddin Tahun 2009 sesuai dengan surat perjanjian pelaksanaan pekerjaan hibah penelitian berdasarkan nomor kontrak 2806/H4.13.2/PL.09/2009 tanggal 13 Agustus 2009.

## Daftar Pustaka
[1] Itamar, K., Thomas, L., dan Yuval, M., 2008, Robotic mapping, Jurnal Student Lecture .
[2] Lacey, T., 2007, Tutorial: The Kalman Filter.
[3] Maybeck,  P.S.,  1979, Stochastics  Models,  Estimation,  and  Control.  Volume  I, Academic Press, New York.
[4] Orderud, F., Comparison of  Kalman Filter Estimation Approaches for State Space Models with Nonlinear Measurement .
[5] Poeloengan,  M.  dkk., Lokakarya  Nasional  Penyakit  Zoonosis  :  Bahaya  dan  Penanganan Tuberculosis.
[6] PPTI, 2008, http://www.dinkes-sleman.go.id/files/news47b3b12895520.pdf. [Diakses: Mei 2009]
[7] Pujiati, S.A., 2008, Perbandingan Metode Peramalan untuk Deret Waktu Musiman, Pasca Sarjana Jurusan Statistika: FMIPA ITS.
[8] Ross,  S.M.,  1997, Introduction  To  Probability  Models.  Sixth  Edition, Academic Press.USA.

## Erna Tri Herdiani, Nuravia, Amran, Sri Astuti Thamrin
[9] Tan, W.Y., Ke, W., 2004, State Space Models for Survival Analysis , Elsevier Science B.V.
[10]  Tiro, M. A., 2004, Dasar-Dasar Statistika , State University of Makassar Press, Makassar.
[11]  Tuberculosis. http://www.cdc.gov/tb/ .  [Diakses:  April 2009]
[12]  USA, http:// www.disastercenter.com/crime/uscrime.htm . [Diakses:  April 2009]
[13]  Vazquez,  A.  dan  Syversveen,  A.R.,  2006,  The Ensemble  Kalman  Filter, Norsk Regnesentral: Norwegia.