Vol. 19, No. 3, May 2023, pp. 549-562 DOI: 10.20956/j.v19i3.25843

## Local Stability of Equilibrium Point of the Tuberculosis Transmission Model

## Kestabilan Lokal Titik Ekuilibrium Model Transmisi Penyakit Tuberkulosis
Katarina Lodia Tuturop 1* , Joko Harianto 2 **
* Program Studi Ilmu Kesehatan Masyarakat FKM Universitas Cenderawasih, Papua
** Program Studi Matematika FMIPA Universitas Cenderawasih, Papua Email address : lodiatuturop26@gmail.com 1 , joharijpr88@gmail.com 2
Received: 6 March 2023; Accepted: 2 April 2023; Published: 5 May 2023

## Abstract
A crucial part of illness prevention over the past few decades has been played by mathematical models. The dynamic system can be used to characterize the TB infection process. For the purpose of developing future prevention strategies, it is crucial to comprehend the effect of vaccination approach on the control of TB. We investigated the impact of vaccination strategies on TB disease transmission through a dynamic model. The model discussed involves logistical population growth. The purpose of this discussion is to analyze the local stability of the equilibrium point of the TB disease transmission model. Numerical simulations are provided to illustrate the theoretical results. The existence and local stability of the model equilibrium point depends on  the  basic  reproduction  number  analytically.  Based  on  secondary  data,  the  basic  reproduction  number values are 0.98 and 4.12, respectively. Numerical simulations for these two values support the analysis results obtained.  If  the  basic  reproduction  number  is  less  than  one,  then  the  transmission  of  TB  disease  can  be eradicated.  However,  if  the  basic  reproduction  number  is  more  than  one,  the  vaccination  strategy  is  not sufficient to control TB transmission.
Keywords: Local Stability, TB Disease, Basic Reproduction Number

## Abstrak
Model matematika beberapa dekade terakhir memainkan peran penting dalam pengendalian suatu penyakit. Dinamika  sistem  dapat  menggambarkan  proses  penularan  penyakit  tuberkulosis  (TB).  Pengaruh  strategi vaksinasi  terhadap  penularan  penyakit  TB  penting  untuk  dipahami  dalam  rangka  pengembangan  strategi pencegahan di masa depan. Kami menyelidiki dampak strategi vaksinasi pada penularan penyakit TB melalui model dinamis. Model yang dibahas melibatkan pertumbuhan penduduk secara logistik. Tujuan pembahasan ini adalah menganalisis kestabilan lokal titik ekuilibrium model penularan penyakit TB. Simulasi numerik

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
diberikan  untuk  mengilustrasikan  hasil  teoritis.  Eksistensi  dan  kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium  model bergantung  pada  bilangan  reproduksi  dasar  secara  analitik.  Berdasarkan  data  sekunder  diperoleh  nilai bilangan reproduksi dasar masing-masing sebesar 0,98 dan 4,12. Simulasi numerik untuk dua nilai tersebut mendukung hasil analisis  yang diperoleh. Jika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu  maka penularan penyakit  TB  dapat  diberantas  akan  tetapi,  sebaliknya  jika  bilangan  reproduksi  dasar  lebih  dari  satu  maka strategi vaksinasi yang dilakukan belum cukup untuk mengendalikan penularan penyakit TB.
Kata kunci: Kestabilan Lokal, Penyakit TB, Bilangan Reproduksi Dasar

## 1.  PENDAHULUAN
Tuberkulosis  (TB)  masih  menjadi  masalah  kesehatan  global  yang  utama.  Penyakit  ini merupakan salah satu dari sepuluh penyebab utama kematian dan agen infeksi utama di samping HIV/AIDS.  Indonesia  merupakan  salah  satu  negara  berkembang  yang  terkena  epidemi  TB. Indonesia  memiliki  jumlah  kasus  TB  tertinggi  ketiga  di  dunia  setelah  India  dan  Cina,  dengan jumlah sekitar 10.000 kasus di seluruh dunia. Berdasarkan laporan global TB tahun 2021, sekitar 824.000 kasus TBC diperkirakan terjadi di Indonesia. Pasien TBC hanya sekitar 393.323 atau 48% yang berhasil ditemukan, diobati, dan dilaporkan dalam sistem informasi nasional. Kurang lebih sekitar  52%  kasus  TBC  yang  belum  ditemukan  atau  mungkin  sudah  ditemukan  tetapi  belum dilaporkan.  Pada  tahun  2022  angka  keberhasilan  pengobatan  TBC  sebesar  74%  masih  dibawah target per tahun sebesar 90% (data per bulan September 2022). Model matematika beberapa dekade terakhir memainkan peran penting dalam pengendalian suatu penyakit. Model matematika pertama untuk  masalah  dinamika  transmisi  tuberkulosis  diperkenalkan  dalam  artikel  [19].  Populasi diklasifikasikan  oleh  mereka  menjadi  3  kelas  dan  dimodelkan  menurut  gambaran  epidemiologi infeksi  TB.  Sistem  persamaan  diferensial  banyak  digunakan  dalam  mempelajari  penyebaran penyakit TB. Lima model matematika berbeda dikonstruksi untuk mempelajari penularan penyakit TB  dan  untuk  membantu  memberantas  penyakit  tersebut  [15].  Penyesuaian  data  memberikan kombinasi  yang  tepat  antara  analisis  teoritis  dan  situasi  di  lapangan.  Data  demografi  dan epidemiologi telah digunakan untuk mengeksplorasi efek pertumbuhan penduduk, ketidakteraturan, pengelompokan kontak dan struktur usia pada dinamika penularan TB [1]. Saat ini  beberapa  artikel  terkait  model  matematika  penularan  penyakit  TB  dikembangkan  melalui banyak faktor. Faktor-faktor yang dipertimbangkan dalam model antara lain kecepatan penularan [17],  resisten  terhadap  obat  [3],  infeksi  berulang  [5]-[8],  koinfeksi  [16],  migrasi  dan  musiman [9],[21]. Selain itu, dipertimbangkan juga faktor pencegahan penyakit TB dengan adanya tindakan isolasi  [2],  pengobatan  [12],  vaksinasi  [4],[11],  dan  strategi  kontrol  penularan  penyakit  TB [10],[13],[20].  Nkamba,  et.  al.  dalam  artikelnya  membahas  kelemahan  strategi  pencegahan penularan  penyakit  TB  melalui  vaksinasi  massal.  Populasi  diklasifikasikan  menjadi  5 kompartemen, yaitu kompartemen rentan, divaksin, terpapar resiko rendah, terpapar resiko tinggi dan terinfeksi (model berbasis SVEIL). Hasil yang diperoleh adalah penyakit TB dapat diberantas jika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu akan tetapi, pertumbuhan penduduk pada model tersebut diasumsikan meningkat secara eksponensial [14]. Faktanya, Verhulst berpendapat bahwa pertumbuhan penduduk tidak selalu bertambah secara ekponensial. Model yang lebih akurat untuk mendeskripsikan penularan penyakit TB baik secara kuantitatif maupun kualitatif dapat diperoleh dengan  melibatkan  pertumbuhan  penduduk  secara  logistik  [18].  Oleh  karena  itu,  diperlukan pembahasan terkait model penularan penyakit TB yang melibatkan pertambahan penduduk secara logistik.  Hingga  saat  ini  belum  ada  pembahasan  model  berbasis  SVEIL  yang  melibatkan pertumbuhan penduduk secara logistik untuk masalah penularan penyakit TB. Dengan demikian, tujuan dari pembahasan ini adalah menganalisis kestabilan lokal titik ekuilibrium model penularan penyakit TB berbasis SVEIL yang melibatkan pertumbuhan penduduk secara logistik.
Total populasi dalam waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝑁(𝑡) . Populasi dibedakan menjadi lima kelas epidemiologi, yaitu kelas rentan, kelas divaksin, kelas terpapar resiko tinggi, kelas terinfeksi

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
dan kelas terpapar resiko rendah. Jumlah populasi pada kelas rentan dalam waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝑆(𝑡) . Jumlah populasi pada kelas divaksin dalam waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝑉(𝑡) . Jumlah populasi pada kelas terpapar resiko tinggi dalam waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝐸(𝑡) . Jumlah populasi pada kelas terinfeksi dalam waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝐼(𝑡) . Jumlah populasi pada kelas terpapar resiko rendah dalam waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝐿(𝑡) . Pertumbuhan populasi yang rentan terhadap penyakit  TB  diasumsikan  mengikuti  pertumbuhan  logistik.  Diasumsikan  juga  bahwa  kelas terinfeksi  atau  terpapar  resiko  rendah  maupun  tinggi  tidak  berkontribusi  terhadap  kelahiran  dan kematian  di  kelas  rentan.  Asumsi  yang  digunakan  untuk  memenuhi  syarat  dan  memperjelas peristiwa yang dimodelkan meliputi: populasi tertutup (tidak ada migrasi), kelahiran pada setiap kelas masuk pada kelas rentan 𝑆 , kematian alami terjadi dengan laju yang sama untuk semua kelas, jika orang yang terinfeksi mendapat pengobatan, maka kondisinya dapat berubah menjadi terpapar beresiko tinggi atau beresiko rendah, pengobatan rutin yang diberikan pada orang yang terpapar beresiko tinggi akan mengubah kondisinya menjadi terpapar beresiko rendah, penularan penyakit TB terjadi melalui kontak antara orang yang terinfeksi dengan yang rentan. Orang yang rentan ada kemungkinan  diberikan  vaksin  yang  tidak  sempurna  yang  mengurangi  kerentanannya  terhadap penyakit TB. Dengan demikian, kelas divaksin V (orang-orang yang divaksinasi) dianggap sebagai kelas yang rentan. Berikut ini diberikan diagram skematik model berbasis SVEIL untuk masalah transmisi penyakit TB.
Gambar 1.1 . Diagram skematik model berbasis SVEIL untuk masalah transmisi penyakit TB
Berdasarkan asumsi, pemisalan parameter dan Gambar 1.1, diperoleh bentuk persamaan diferensial sebagai berikut :

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑏𝑆 (1 − 𝑆 𝐾 ) − 𝛽𝑆𝐼 − 𝜀𝑆
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜀𝑆 − 𝜃𝑉𝐼 − 𝜇𝑉 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 + 𝜃𝑉𝐼 + 𝑝𝑟𝐼 − (𝛼 + 𝛾 + 𝜇)𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛾𝐸 − (𝜇 + 𝑟 + 𝑑)𝐼 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = (1 − 𝑝)𝑟𝐼 + 𝛼𝐸 − 𝜇𝐿                       } (1.1)
dengan  nilai  awal  non  negatif  dan 𝑁 = 𝑆 + 𝐸 + 𝐼 + 𝐿 .  Laju  pertumbuhan  intrinsik  kelas  rentan dinotasikan dengan 𝑏 . Daya tampung kelas rentan dalam suatu wilayah dinotasikan dengan 𝐾 . Laju cakupan  vaksinasi  dinotasikan  dengan 𝜀 .  Laju  kontak  antara  kelas  divaksin  dan  terinfeksi dinotasikan dengan 𝜃 . Parameter 𝜇 adalah laju kematian alami pada setiap kelas. Laju kontak orang yang rentan penyakit TB dengan orang yang terinfeksi penyakit TB sebesar 𝛽 . Pengobatan orang- orang pada kelas terpapar resiko tinggi diberikan dengan ukuran sebesar 𝛼 . Kondisi pasien terpapar resiko tinggi yang tidak mendapat pengobatan secara maksimal akan menjadi terinfeksi penyakit TB  dengan  laju  sebesar 𝛾 .  Pasien  terinfeksi  penyakit  TB  diberikan  pengobatan  dengan  ukuran sebesar 𝑟 .  Kemudian  pasien-pasien  terinfeksi  penyakit  TB  yang  menyelesaikan  pengobatannya secara teratur diukur dengan laju sebesar (𝑝 − 1)𝑟 , 0 < 𝑝 < 1 . Pasien yang sembuh kondisinya menjadi  orang  yang  terpapar  beresiko  rendah    karena  pengobatan  tidak  seratus  persen  dapat membasmi bakteri TB dalam tubuhnya. Oleh karena itu, pasien-pasien yang sembuh dan orang- orang  terpapar  beresiko  rendah  diklasifikasikan  menjadi  satu  kelas  saja,  yaitu  kelas  terpapar beresiko rendah. Laju kematian akibat terinfeksi penyakit TB dinotasikan dengan 𝑑 . Dalam hal ini, semua parameter model yang dinotasikan bernilai positif.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Jika dimisalkan 𝑃 = (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐿 ∗ ) adalah titik ekuilibrium Sistem (1), maka
𝑏𝑆 ∗ (1 − 𝑆 ∗ 𝐾 ) − 𝛽𝑆 ∗ 𝐼 ∗ − 𝜀𝑆 ∗ = 0 𝜀𝑆 ∗ − 𝜃𝑉 ∗ 𝐼 ∗ − 𝜇𝑉 ∗ = 0 𝛽𝑆 ∗ 𝐼 ∗ + 𝜃𝑉 ∗ 𝐼 ∗ + 𝑝𝑟𝐼 ∗ − (𝛼 + 𝛾 + 𝜇)𝐸 ∗ = 0                                                         (2.1) 𝛾𝐸 ∗ − (𝜇 + 𝑟 + 𝑑)𝐼 ∗ = 0                                                         (2.2) (1 − 𝑝)𝑟𝐼 ∗ + 𝛼𝐸 ∗ − 𝜇𝐿 ∗ = 0
Dari Persamaan (2.1) diperoleh
𝐸 ∗ = 𝜇 + 𝑟 + 𝑑 𝛾 𝐼 ∗
Jika 𝐸 ∗ disubstitusikan ke Persamaan (2.2), maka diperoleh
(𝛽𝑆 ∗ + 𝜃𝑉 ∗ − 𝑚𝑛 𝛾 + 𝑝𝑟) 𝐼 ∗ = 0                                                       (2.3)
Dengan 𝑚 = 𝛼 + 𝛾 + 𝜇 , 𝑛 = 𝜇 + 𝑟 + 𝑑 . Berdasarkan Persamaan (2.3), perolehan 𝐼 ∗ dapat dibagi menjadi dua kasus, yaitu 𝐼 ∗ = 0 dan 𝐼 ∗ ≠ 0 . kasus 𝐼 ∗ = 0 diperoleh dua titik ekuilibrium Sistem

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
(1.1), yaitu 𝑃 0 (0, 0, 0, 0,0) dan 𝑃 1 ( (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) . Titik ekuilibrium 𝑃 0 merupakan solusi trivial  untuk  Sistem  (1.1). 𝑃 0 secara  fisis  berarti  bahwa  populasi  manusia  pada  akhirnya  akan musnah.  Dengan  demikian, 𝑃 0 tidak  dianalisis  dalam  pembahasan  ini. 𝑃 1 secara  fisis  diartikan sebagai suatu keadaan dengan jumlah populasi yang rentan penyakit TB sebanyak (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 dan tidak ada yang terpapar dengan resiko rendah, tinggi bahkan terinfeksi. Titik ekuilibrium 𝑃 1 dikatakan sebagai titik ekuilibrium bebas penyakit karena secara fisis artinya tidak ada pasien terinfeksi, tidak ada pasien terpapar resiko tinggi dan tidak ada pasien terpapar resiko rendah (bernilai nol). Kasus 𝐼 ∗ ≠ 0 diperoleh 𝑃 ∗ = (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐿 ∗ ) dengan
𝑆 ∗ = 𝜇(𝑚𝑛 − 𝛾𝑝𝑟) 𝛾(𝛽𝜇 + 𝜀𝜃)
𝑉 ∗ = 𝜀 𝜇 𝑆 ∗ 𝐸 ∗ = 𝑛 𝛾 𝐼 ∗ 𝐼 ∗ = 𝑏 − 𝜀 𝛽 − 𝑏𝜇(𝑚𝑛 − 𝛾𝑝𝑟)
𝛽𝐾𝛾(𝛽𝜇 + 𝜀𝜃)
𝐿 ∗ = ( 𝛾(1 − 𝑝)𝑟 + 𝛼𝑛 𝜇𝛾 ) 𝐼 ∗
𝑚 = 𝛼 + 𝛾 + 𝜇 dan 𝑛 = 𝜇 + 𝑟 + 𝑑 .
Bilangan reproduksi dasar ℜ 0 merupakan rata-rata jumlah kasus infeksi baru yang disebabkan oleh pasien  terinfeksi  melakukan  kontak  dengan  seseorang  dari  kelas  rentan  (Henson,  Brauer,  & Castillo-Chavez, 2003). Castillo-Chavez, et. al. (2003) menunjukkan bahwa bilangan reproduksi dasar dapat ditentukan dengan menggunakan the next generation method .
Jika  dimisalkan the  vektor  of  new  generated  infected and  the  vector  of  transfers  between compartments masing-masing sebagai berikut
ℱ = (𝛽𝑆𝐼 + 𝜃𝑉𝐼 + 𝑝𝑟𝐼, 𝛾𝐸, (1 − 𝑝)𝑟𝐼 + 𝛼𝐸) 𝑇
𝒱 = (−(𝛼 + 𝛾 + 𝜇)𝐸, −(𝜇 + 𝑟 + 𝑑)𝐼, −𝜇𝐿  ) 𝑇
Matriks Jacobian dari ℱ dan 𝒱 di titik 𝑃 1 = ( (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) adalah 𝐹 = [ 0 𝐾(𝛽𝜇 + 𝜃𝜀)(𝑏 − 𝜀)
𝑏𝜇 + 𝑝𝑟 0 𝛾 0 0 𝛼 (1 − 𝑝)𝑟 0]
dan
𝑉 = [ 𝑚 0 0 0 𝑛 0 0 0 𝜇 ]
Sehingga the next generation matrix untuk Sistem (1.1), yaitu

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
𝐹𝑉 −1 =
[ 0 𝐾(𝛽𝜇 + 𝜃𝜀)(𝑏 − 𝜀) + 𝑝𝑟𝑏𝜇 𝑏𝜇𝑛 0 𝛾 𝑚 0 0 𝛼 𝑚 (1 − 𝑝)𝑟 𝑛 0]
Bilangan reproduksi dasar untuk Sistem (1.1) merupakan radius spektral dari 𝑉 −1 , yaitu
ℜ 0 = √ 𝛾𝛽𝐾𝑏𝜇 + 𝜇𝑝𝑟𝛾 − 𝐾𝜀𝛽𝜇𝛾 − 𝐾𝜀𝜃(𝜀 − 𝑏)𝛾 𝑏𝜇𝑚𝑛
Hubungan antara bilangan reproduksi dasar dan 𝐼 ∗ dapat ditulis sebagai berikut:
𝐼 ∗ = 𝑏𝜇𝑚𝑛 𝛽𝐾𝛾(𝛽𝜇 + 𝜀𝜃) (ℜ 0 2 − 1)
Sehingga diperoleh
𝐸 ∗ = 𝑏𝜇𝑚𝑛 2 𝛽𝐾𝛾 2 (𝛽𝜇 + 𝜀𝜃) (ℜ 0 2 − 1)
dan
𝐿 ∗ = (𝛾(1 − 𝑝)𝑟 + 𝛼𝑛)𝑏𝜇𝑚𝑛 𝛽𝜇𝐾𝛾 2 (𝛽𝜇 + 𝜀𝜃) (ℜ 0 2 − 1)
Keterkaitan  eksistensi  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dan  endemik  dari  Sistem  (1.1)  dengan bilangan reproduksi dasarnya, yaitu jika ℜ 0 < 1 , maka terdapat satu titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium  bebas  penyakit 𝑃 1 ( (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) .  Sebaliknya,  jika ℜ 0 > 1 maka  terdapat dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit 𝑃 1 ( (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) dan titik ekuilibrium endemik 𝑃 ∗ (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐿 ∗ ) .
Berikut ini dibahas analisis kestabilan lokal titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik Sistem (1). Sistem (1) dapat direduksi menjadi
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑏𝑆 (1 − 𝑆 𝐾 ) − 𝛽𝑆𝐼 − 𝜀𝑆
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜀𝑆 − 𝜃𝑉𝐼 − 𝜇𝑉 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 + 𝜃𝑉𝐼 + 𝑝𝑟𝐼 − (𝛼 + 𝛾 + 𝜇)𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛾𝐸 − (𝜇 + 𝑟 + 𝑑)𝐼                          }
(2.4)
Kestabilan lokal titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik ditentukan dengan menggunakan nilai eigen dari matriks Jacobian Sistem (2.4). Secara umum, matriks Jacobian Sistem (2.4) dapat ditulis sebagai berikut:
𝐽 = [ 𝑙 11 0 0 −𝛽𝑆 𝜀 −(𝜃𝐼 + 𝜇) 0 −𝜃𝑉 𝛽𝐼 𝛾𝐼 −𝑚 𝛽𝑆 + 𝜃𝑉 + 𝑝𝑟 0 0 𝛾 −𝑛 ]

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
dengan 𝑙 11 = −𝛽𝐼 − (𝜇 + 𝜀) . Oleh karena itu, hasil analisis kestabilan lokal titik-titik ekuilibrium Sistem (1.1) dapat disajikan dalam teorema berikut ini.
Teorema  2.1. Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  Sistem  (1.1),  yaitu 𝑃 1 ( (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) stabil asimtotik lokal jika ℜ 0 < 1 dan tidak stabil jika ℜ 0 > 1 dengan
ℜ 0 = √ 𝛾𝛽𝐾𝑏𝜇 + 𝜇𝑝𝑟𝛾 − 𝐾𝜀𝛽𝜇𝛾 − 𝐾𝜀𝜃(𝜀 − 𝑏)𝛾 𝑏𝜇(𝛼 + 𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝑟 + 𝑑)
Bukti :
Matriks Jacobian di titik ekuilibrium 𝑃 1 ( (𝑏−𝜀)𝐾
𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) , yaitu
𝐽(𝑃 1 ) = [ 𝑗 11 0 0 𝑗 14 𝜀 −𝜇 0 𝑗 24 0 0 −𝑚 𝑗 34 0 0 𝛾 −𝑛 ]
dengan
𝑗 11 = −(𝜇 + 𝜀), 𝑗 14 = − (𝑏 − 𝜀)𝛽𝐾 𝑏 , 𝑗 24 = − (𝑏 − 𝜀)𝜃𝜀𝐾 𝜇𝑏 , 𝑗 34 = 𝐾(𝛽𝜇 + 𝜃𝜀)(𝑏 − 𝜀) 𝑏𝜇 + 𝑝𝑟 Persamaan karakteristik dari 𝐽(𝑃 1 ) , yaitu
(𝜆 + 𝜇 + 𝜀)(𝜆 + 𝜇)(𝜆 2 + 𝑐 1 𝜆 + 𝑐 0 ) = 0                                        (2.5) dengan
𝑐 1 = 𝛼 + 𝛾 + 𝜇 + 𝜇 + 𝑟 + 𝑑 > 0
𝑐 0 = 𝑏𝜇(𝛼 + 𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝑟 + 𝑑) − 𝐾𝛾(𝛽𝜇 + 𝜃𝜀)(𝑏 − 𝜀) 𝑏𝜇 − 𝛾𝑝𝑟
Jika dalam Persamaan (2.5) melibatkan bilangan reproduksi dasar, maka diperoleh
(𝜆 + 𝜇 + 𝜀)(𝜆 + 𝜇)(𝜆 2 + 𝑏 1 𝜆 + 𝑏 0 ) = 0                                                (2.6) dengan 𝑚 = 𝛼 + 𝛾 + 𝜇 , 𝑛 = 𝜇 + 𝑟 + 𝑑, 𝑏 1 = 𝑚 + 𝑛, 𝑏 0 = −𝑏𝜇𝑚𝑛(ℜ 0 2 − 1) .  Dari  Persamaan (2.6) diperoleh dua nilai eigen 𝐽(𝑃 1 ) , yaitu 𝜆 1 = −(𝜇 + 𝜀) < 0 dan 𝜆 2 = −𝜇 < 0 . Sedangkan dua nilai  eigen 𝐽(𝑃 1 ) lainnya  bergantung  pada  bilangan  reproduksi  dasar ℜ 0 .  Jika ℜ 0 < 1 ,  maka menurut  kriteria  Ruth-Hurtwiz  persamaan  karakteristik 𝜆 2 + (𝑚 + 𝑛)𝜆 − 𝑏𝜇𝑚𝑛(ℜ 0 2 − 1) = 0 memiliki dua nilai eigen bernilai negatif. Berdasarkan Perko, jika semua nilai eigen matriks 𝐽(𝑃 1 ) bernilai  negatif,  maka  titik  ekuilibrium 𝑃 1 ( (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) stabil  asimtotik  lokal.
Sebaliknya,  jika ℜ 0 > 1 ,  maka  terdapat  nilai  eigen 𝐽(𝑃 1 ) yang  bernilai  positif  akibatnya  titik ekuilibrium 𝑃 1 ( (𝑏−𝜀)𝐾 𝑏 , 𝜀(𝑏−𝜀)𝐾 𝜇𝑏 , 0, 0, 0) tidak stabil.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
Teorema  2.2 .  Pendekatan  numerik  menggunakan  nilai  parameter  pada  Tabel  1  menunjukkan bahwa titik ekuilibrium endemik dari Sistem (1.1), yaitu 𝑃 ∗ (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐿 ∗ ) stabil asimtotik lokal jika ℜ 0 > 1, dengan
ℜ 0 = √ 𝛾𝛽𝐾𝑏𝜇 + 𝜇𝑝𝑟𝛾 − 𝐾𝜀𝛽𝜇𝛾 − 𝐾𝜀𝜃(𝜀 − 𝑏)𝛾 𝑏𝜇(𝛼 + 𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝑟 + 𝑑)
𝑆 ∗ = 𝜇(𝑚𝑛 − 𝛾𝑝𝑟) 𝛾(𝛽𝜇 + 𝜀𝜃) > 0
𝑉 ∗ = 𝜀 𝜇 𝑆 ∗ 𝐸 ∗ = 𝑛 𝛾 𝐼 ∗ 𝐼 ∗ = 𝑏 − 𝜀 𝛽 − 𝑏𝜇(𝑚𝑛 − 𝛾𝑝𝑟)
𝛽𝐾𝛾(𝛽𝜇 + 𝜀𝜃)
𝐿 ∗ = ( 𝛾(1 − 𝑝)𝑟 + 𝛼𝑛 𝜇𝛾 ) 𝐼 ∗
𝑚 = 𝛼 + 𝛾 + 𝜇 dan 𝑛 = 𝜇 + 𝑟 + 𝑑 .
Bukti :
Matriks Jacobian di titik ekuilibrium 𝑃 ∗ = (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ ) , yaitu
𝐽(𝑃 ∗ ) = [ −(𝜇 + 𝜀) 0 0 −𝛽𝑆 ∗ 𝜀 −𝜇 0 −𝜃𝑉 ∗ 0 0 −(𝛼 + 𝛾 𝛽𝑆 ∗ + 𝜃𝑉 ∗ + 𝑝𝑟 0 0 𝛾 −(𝜇 + 𝑟 + 𝑑) ]
Persamaan karakteristik dari 𝐽(𝑃 ∗ ) , yaitu
𝜆 4 + 𝑎 1 𝜆 3 + 𝑎 2 𝜆 2 + 𝑎 3 𝜆 + 𝑎 4 = 0                                       (2.7)
Diperhatikan  pada  Persamaan  (2.7),  berdasarkan  kriteria  Ruth-Hurtwitz  semua  nilai  eigen  dari 𝐽(𝑃 ∗ ) bernilai  negatif jika 𝑎 1 > 0, 𝑎 2 > 0, 𝑎 3 > 0, 𝑎 4 > 0 dan 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 > 𝑎 3 2 + 𝑎 1 2 𝑎 4 .  Kestabilan lokal  titik  ekuilibrium 𝑃 ∗ (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐿 ∗ ) tidak  dimungkinan  untuk  ditentukan  secara  analitik karena  semua  koefisien  Persamaan  (2.7)  sangatlah  kompleks  sehingga  kestabilan  lokal  titik ekuilibrium 𝑃 ∗ (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐿 ∗ ) ditentukan  melalui  pendekatan  numerik. Dengan  menggunakan nilai parameter pada Tabel 1 diperoleh 𝑎 1 = 6,11 , 𝑎 2 = 5,21, 𝑎 3 = 0,24, 𝑎 4 = 0,003 sehingga 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 = 7,86 lebih  dari 𝑎 3 2 + 𝑎 1 2 𝑎 4 = 0,19 .  Jika  dihitung  nilai  eigen 𝐽(𝑃 ∗ ) diperoleh 𝜆 1 = −0,96, 𝜆 2 = −5,09, 𝜆 3,4 = −0,02 ± 0,01𝑖 .  Jadi  terbukti  bahwa  titik  ekuilibrium 𝑃 ∗ stabil asimtotik lokal secara numerik jika ℜ 0 > 1 dengan menggunakan parameter pada Tabel 2.1.
Berdasarkan Tabel 2.1 untuk kasus ℜ 0 < 1 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar Sistem (1.1) sebesar 0,98 .  Titik  ekuilibrium  yang  diperoleh  dari  nilai  parameter  tersebut  untuk  Sistem  (1.1) hanya satu (tunggal), yaitu titik ekuilibrium non endemik 𝑃 1 (49999875,249,0,0,0) .
Tabel 2.1 . Nilai Parameter Sistem (1.1) Parameter Estimasi (per tahun) Sumber

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
Hasil simulasi numerik dengan menggunakan software Maple berupa grafik hubungan jumlah kelas yang rentan, yang divaksin, terpapar beresiko rendah, tinggi, dan terinfeksi terhadap variabel waktu dengan  nilai  awal  jumlah  individu  rentan,  yang  divaksin,  terpapar  beresiko  rendah,  tinggi,  dan terinfeksi berturut-turut sebesar 20 juta jiwa, 1000 jiwa, 300.000 jiwa, 500.000 jiwa, 1000  jiwa. Daya tampung (𝐾) diasumsikan sebesar 50 juta jiwa.
Gambar 2.1 . Dinamika populasi yang rentan saat 𝕽 𝟎 < 𝟏
𝕽 𝟎 < 𝟏 𝕽 𝟎 > 𝟏 𝜀 10 −7 10 −4 Asumsi 𝜃 5 × 10 −7 5 × 10 −4 Asumsi 𝑏 0,04 0,04 (Kim et al., 2018) 𝛽 1,5 × 10 −7 1,5 × 10 −7 (Mengistu and Witbooi, 2019) 𝜇 0,02 0,02 (Kim et al., 2018) 𝛼 0,2 0,2 (Kim et al., 2018) 𝛾 0,023 0,023 (Mengistu and Witbooi, 2019) 𝑝 0,2 0,2 (Kim et al., 2018) 𝑟 0,546 0,546 (Mengistu and Witbooi, 2019) 𝑑 0,17 0,17 (Mengistu and Witbooi, 2019)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
Gambar 2.1 menunjukkan bahwa jumlah kelas rentan konvergen ke angka 49.999.875 jiwa sampai waktu 𝑡 = 5 00.
Gambar 2.2 . Dinamika populasi terpapar beresiko tinggi dan rendah saat ℜ 0 < 1
Gambar 2.2 menunjukkan jumlah kelas yang beresiko rendah dan tinggi berturut-turut konvergen ke angka nol sampai waktu 𝑡 = 500 .
Gambar 2.3 . Dinamika populasi yang divaksin dan terinfeksi saat ℜ 0 < 1
Gambar  2.3  menunjukkan  jumlah  kelas  yang  divaksin  konvergen  ke  angka  249  jiwa  sedangkan jumlah  kelas  terinfeksi  konvergen  ke  angka  nol  sampai  waktu 𝑡 = 500 .  Hal  ini  menunjukkan bahwa solusi Sistem (1.1) konvergen ke titik ekuilibrium bebas penyakit 𝑃 1 (49999875,249,0,0,0) untuk 𝑡 menuju tak hingga. Interpretasi biologisnya, yaitu jika bilangan reproduksi dasarnya kurang

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
dari angka 1  maka transmisi penyakit tuberkulosis dalam populasi akan berhenti seiring dengan berjalannya waktu.
Gambar 2.4 . Dinamika populasi rentan saat ℜ 0 > 1
Berdasarkan Tabel 2.1 untuk kasus ℜ 0 > 1 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar Sistem (1.1) sebesar 4,12 .  Titik  ekuilibrium  yang  diperoleh  dari  nilai parameter  tersebut  untuk  Sistem  (1.1), yaitu titik ekuilibrium non endemik P 1 (49875000,249375,0,0,0) dan titik ekuilibrium endemik P ∗ (47972477,941,324697,10146,3468577) . Nilai awal yang digunakan untuk jumlah individu rentan, yang divaksin, terpapar beresiko rendah, tinggi, dan terinfeksi berturut-turut sebesar 20 juta jiwa, 1000 jiwa, 300.000 jiwa, 500.000 jiwa, 1000 jiwa.
Gambar  2.4  menunjukkan  bahwa jumlah  kelas  rentan  nilainya  konvergen  ke  angka 49.875.000 jiwa  sampai  waktu t = 5 00.  Gambar  2.5  menunjukkan  bahwa  jumlah  kelas  terpapar  beresiko rendah  dan  tinggi  berturut-turut  konvergen  ke  angka 324.697 jiwa  dan 3.468.577 jiwa  sampai waktu t = 5 00.
Gambar 2.5 . Dinamika populasi terpapar beresiko rendah dan tinggi saat ℜ 0 > 1

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
Gambar 2.6 menunjukkan bahwa jumlah kelas yang divaksin dan terinfeksi konvergen berturut- turut  ke  angka 941 jiwa  dan 10.146 jiwa  sampai  waktu 𝑡 = 5 00.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa solusi Sistem (1.1) konvergen ke titik ekuilibrium
endemik 𝑃 ∗ (47972477,941,324697,10146,3468577) untuk 𝑡 menuju tak hingga. Dengan kata lain, titik ekuilibrium endemik 𝑃 ∗ stabil asimtotik lokal secara numerik untuk nilai parameter dan nilai awal tertentu. Interpretasi biologisnya, yaitu jika bilangan reproduksi dasarnya lebih dari angka 1 maka transmisi penyakit tuberkulosis dalam populasi akan tetap terjadi di dalam populasi untuk waktu yang tak terhingga.
Gambar 2.6 . Dinamika populasi yang divaksin dan terinfeksi saat ℜ 0 > 1

## 3.  KESIMPULAN
Model transmisi penyakit tuberkulosis dengan melibatkan pertumbuhan logistik dikonstruksi dalam bentuk sistem persamaan diferensial berbasis SVEIL dengan menambahkan parameter daya tampung (𝐾) dalam model tersebut. Parameter daya tampung mempengaruhi bilangan reproduksi dasar  dari  model  tersebut. Eksistensi titik  ekuilibrium  model  tersebut  bergantung  pada  bilangan reproduksi dasarnya. Titik ekuilibrium sistem (SVEIL) dipengaruhi oleh parameter daya tampung, namun kestabilannya masih belum berpengaruh secara signifikan jika dikaitkan dengan bilangan reproduksi dasarnya. Hasil analisis menunjukkan bahwa titik ekuilibrium non endemik masih stabil asimtotik lokal seperti pada umumnya jika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu. Simulasi numeriknya  juga  mendukung  hasil  analisis  tersebut. Akan  tetapi, jika  bilangan reproduksi dasar lebih  dari  satu  maka  simulasi  numerik  dengan  parameter  dan  nilai  awal  tertentu  menunjukkan bahwa titik ekuilibrium endemik masih stabil asimtotik lokal. Interpretasi biologisnya, yaitu jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu, maka transmisi penyakit tuberkulosis akan terus terjadi dalam populasi sampai waktu yang tak terhingga. Sebaliknya jika bilangan reproduksi dasar kurang dari  satu,  maka  transmisi  penyakit  tuberkulosis akan cenderung  menurun  dalam  populasi  dalam kurun waktu tertentu.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Aparicio, J. P., & Castillo-Chavez, C., 2009. Mathematical modelling of tuberculosis epidemics. Mathematical Biosciences and Engineering , 6 (2). https://doi.org/10.3934/mbe.2009.6.209 [2]  Blower,  S.  M.,  Small,  P.  M.,  &  Hopewell,  P.  C.,  1996.  Control  strategies  for  tuberculosis epidemics: New models for old problems. Science , 273 (5274). https://doi.org/10.1126/science.273.5274.497
[3] Blower, Sally M., & Chou, T., 2004. Modeling the emergence of the “hot zones”: Tuberculosis and  the  amplification  dynamics  of  drug  resistance. Nature  Medicine , 10 (10). https://doi.org/10.1038/nm1102
[4] Castillo-Chavez, C., & Feng, Z., 1998. Global stability of an age-structure model for TB and its applications  to  optimal  vaccination  strategies. Mathematical  Biosciences , 151 (2). https://doi.org/10.1016/S0025-5564(98)10016-0
[5]  Das,  D. K., Khajanchi,  S.,  & Kar, T. K.,  2020. Transmission dynamics  of  tuberculosis  with multiple re-infections. Chaos, Solitons and Fractals , 130 .
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2019.109450
[6] Henson, S. M., Brauer, F., & Castillo-Chavez, C., 2003. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. The American Mathematical Monthly , 110 (3). https://doi.org/10.2307/3647954
[7] Khajanchi,  S.,  Das,  D. K.,  &  Kar, T.  K.,  2018.  Dynamics  of  tuberculosis  transmission  with exogenous reinfections and endogenous reactivation. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 497 . https://doi.org/10.1016/j.physa.2018.01.014
[8] Kim, S., de los Reyes, A. A., & Jung, E., 2018. Mathematical model and intervention strategies for mitigating tuberculosis in the Philippines. Journal of Theoretical Biology , 443 , 100–112. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2018.01.026
[9]  Liu,  L.,  Zhao,  X.  Q.,  &  Zhou,  Y.,  2010.  A  tuberculosis  model  with  seasonality. Bulletin  of Mathematical Biology , 72 (4). https://doi.org/10.1007/s11538-009-9477-8
[10] Liu, S., Yang, X., Bi, Y., & Li, Y., 2019. Dynamic behavior and optimal scheduling for mixed vaccination strategy with temporary immunity. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B , 24 (4). https://doi.org/10.3934/dcdsb.2018216
[11] Mengistu, A. K., & Witbooi, P. J., 2019. Modeling the Effects of Vaccination and Treatment on Tuberculosis Transmission Dynamics. Journal of Applied Mathematics , Volume 201 , 1–9. https://doi.org/10.1155/2019/7463167
[12] Mondal, P. K., & Kar, T. K., 2017. Optimal treatment control and bifurcation analysis of a tuberculosis model with effect of multiple re-infections. International Journal of Dynamics and Control , 5 (2). https://doi.org/10.1007/s40435-015-0176-z
[13] Nepomuceno, E. G., Takahashi, R. H. C., & Aguirre, L. A., 2018. Reducing vaccination level to  eradicate  a  disease  by  means  of  a  mixed  control  with  isolation. Biomedical  Signal Processing and Control , 40 . https://doi.org/10.1016/j.bspc.2017.09.004
[14] Nkamba, L. N., Manga, T. T., Agouanet, F., & Manyombe, M. L. M., 2019. Mathematical model to assess vaccination and effective contact rate impact in the spread of tuberculosis. Journal of Biological Dynamics , 13 (1). https://doi.org/10.1080/17513758.2018.1563218 [15]  Perko,  L.,  2001. Differential  Equations  and  Dynamical  Systems ,  Third  Edition.  Springer- Verlag, New York.
[16]  Pinto,  E.  R.,  Nepomuceno,  E.  G.,  &  Campanharo,  A.  S.  L.  O.,  2019.  Influence  of  Contact Network  Topology  on  the  Spread  of  Tuberculosis. Communications  in  Computer  and Information Science , 1068 CCIS . https://doi.org/10.1007/978-3-030-36636-0_6
[17] Sharomi, O., Podder, C. N., Gumel, A. B., & Song, B., 2008. Mathematical analysis of the transmission  dynamics  of  HIV/TB  coinfection  in  the  presence  of  treatment. Mathematical Biosciences and Engineering , 5 (1). https://doi.org/10.3934/mbe.2008.5.145
[18] Song, B., Castillo-Chavez, C., & Aparicio, J. P., 2002. Tuberculosis models with fast and slow

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Katarina Lodia Tuturop, Joko Harianto
dynamics:  The  role  of  close  and  casual  contacts. Mathematical  Biosciences , 180 (1–2). https://doi.org/10.1016/S0025-5564(02)00112-8
[19] Verhulst, 2006. Ordinary Differential Equations with Applications. In Ordinary Differential Equations with Applications . https://doi.org/10.1007/0-387-35794-7
[20] Waaler, H., Geser, A., & Andersen, S., 1962. The use of mathematical models in the study of the  epidemiology  of  tuberculosis. American  Journal  of  Public  Health  and  the  Nation’s Health , 52 (6), 1002–1013. https://doi.org/10.2105/AJPH.52.6.1002
[21] Yang, Y., Tang, S., Ren, X., Zhao, H., & Guo, C., 2016. Global stability and optimal control for a tuberculosis model with vaccination and treatment. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B , 21 (3). https://doi.org/10.3934/dcdsb.2016.21.1009
[22]  Zhou,  Y.,  Khan,  K.,  Feng,  Z.,  &  Wu,  J.,  2008.  Projection  of  tuberculosis  incidence  with increasing immigration trends. Journal of Theoretical Biology , 254 (2). https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2008.05.026