E-ISSN 2621–086X

## Indonesian Journal of Applied Statistics
Vol. 6, No. 1, pp. 22-32, May 2023 https://jurnal.uns.ac.id/ijas/article/view/79385 https://doi.org/10.13057/ijas.v6i1.79385 Copyright   Author 2022

## Analisis Data Time Series Menggunakan Model Kernel: Pemodelan Data Harga Saham MDKA
Suparti * , Rukun Santoso Departemen Statistika, Universitas Diponegoro
*Corresponding author: suparti@live.undip.ac.id
Abstract. Classic time series data analysis techniques, such as autoregressive, model stationary data in which  the  values  of  prior  observations  influence  the  current  observations  through  a  process  known  as linear  regression.  There  are  several  requirements  for  error  assumptions  in  autoregressive,  including independence, normal distribution with a zero mean and constant variance. It is frequently discovered that these assumptions are challenging to verify when modelling real data. Kernel time series regression is an alternative  model  that  does  not  require  error  assumptions.  Non-stationary  time  series  data  can  be effectively modelled using the kernel time series method. Time series data that isn't yet stationary is made stationary first, then the data is modified by forming the current stationary time series data as the response variable  and  the  previous  period  data  as  the  predictor  variable.  Next,  regression  kernel  modelling  is carried out while applying kernel weight function and determining the optimal bandwidth. For development of science, the optimal bandwidth can be achieved by minimizing the MSE, CV, GCV, or UBR values. It is possible to use R 2 or MAPE as the kernel time series regression model's goodness metric. A strong model is generated while modelling MDKA stock price data using kernel regression utilizing the Gaussian kernel function and optimal bandwidth selection using GCV since R 2 is 0.9828372 more than 0.67 and MAPE is 1.985681% under 10%.
Keywords: 3 time series; kernel regression; GCV; MDKA stock price.

## 1. PENDAHULUAN
Analisis  regresi  merupakan  suatu  teknik  statistik  untuk  menentukan  hubungan  antara variabel  prediktor  dan  variabel  respon.  Hubungan  tersebut  dinyatakan  dalam  suatu  model matematika.  Dalam  pemodelan  data  ada  2  pendekatan  yaitu  pendekatan  parametrik  dan nonparametrik. Pendekatan parametrik dilakukan jika scatter plot datanya membentuk pola yang sudah  diketahui  bentuk  fungsinya  seperti  garis  lurus,  kuadratik,  dan  sebagainya.  Pendekatan nonparametrik  dilakukan  jika  scatterplot  datanya  tidak  membetuk  pola  yang  sudah  diketahui bentuk  fungsinya,  misalnya  pola  datanya  menyebar  secara  acak,  bergerombol  di  suatu  titik tertentu  atau  mempunyai  pola  fluktuasi  naik  dan  turun  di  beberapa  bagian,  dan  sebagainya. Beberapa  metode  dalam  regresi  nonparametrik  diantaranya  model  kernel,  spline,  polinomial lokal, deret Fourier, dan wavelet [1]. Setiap model mempunyai karakteristik pola data masing- masing, seperti jika pola data cenderung menyebar secara acak, maka data tersebut lebih cocok dimodelkan  menggunakan  pendekatan  kernel  dan  jika  pola  data  bergerombol  lebih  cocok mengginakan regresi polinomial lokal [2,3].
Pada  pemodelan  regresi  parametrik  ada  asumsi  yang  mengikat  yaitu error model  harus memenuhi  asumsi  independensi,  memiliki  distribusi  normal  dengan mean nol  dan  varians konstan. Jika asumsi tersebut tidak dipenuhi maka pengambilan keputusan dalam uji signifikansi model akan  menyesatkan  [1].  Dalam  regresi  nonparametrik  asumsi error model  tersebut  tidak diharuskan dan pengambilan keputusan kebaikan model dapat menggunakan ukuran kuantitatif seperti R 2 dan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) [4,5].
Berbeda dengan analisis regresi yang digunakan untuk memodelkan 2 variabel atau lebih, analisis time series dipergunakan dalam pemodelan data dengan satu variabel respon yang diamati dalam  urutan  waktu.  Metode  yang  popular  untuk  menganalisis  data time  series adalah  model ARIMA Box-Jenkins [6]. Dalam model ARIMA, data harus stasioner dan jika belum stasioner, data  harus  distasionerkan  terlebih  dahulu.  Model  ARIMA  Box-Jenkins  terdiri  model Autoregressive (AR), Moving Average  (MA), Autoregressive  Moving Average  (ARMA)  dan Autoregressive  Integrated  Moving Average  (ARIMA).  Model  ARIMA  merupakan  model parametrik dan error modelnya terikat dengan asumsi-asumsi independensi, berdistribusi normal dengan mean nol  dan  varians  konstan.  Jika  asumsi  tersebut  dilanggar  maka  pengambilan keputusan akan menyesatkan. Dalam pemodelan data riil, asumsi error model ARIMA tersebut terkadang sulit untuk dipenuhi. Sebagai alternatifnya, analisis time series dapat dilakukan dengan model  regresi  nonparametrik  dengan  tetap  memperhatikan  stasioneritas  data  harus  dipenuhi. Hardle [7] memberikan solusi bahwa dari data time series yang stasioner dapat dibawa ke dalam permasalahan regresi dengan mendefinisikan data sekarang sebagai variabel respon dan data satu periode sebelumnya sebagai variabel prediktor. Fitri, et. al. [8] telah membandingkan model data time  series pada  harga  Jakarta  Islamic  Index  (JII)  menggunakan  ARIMA  dan  regresi  kernel. Semua model ARIMA yang terbentuk tidak memenuhi asumsi normalitas error dan model regresi kernel memenuhi  kriteria  model  yang  bagus karena  R 2 lebih  dari  0,67  dan  MAPE  kurang  dari 10%. Kekurangan  penelitian  ini  adalah  data time  series- nya  dibiarkan  tidak  stasioner  sehingga konsep dasar pada analisis data time series terabaikan.
Permasalahannya adalah ketika data time series -nya tidak stasioner, diperlukan prosedur pembentukan model regresi nonparametrik dan mencari model yang sesuai dengan karakteristik datanya. Tujuan penelitian ini adalah memodelkan data time series ke dalam model alternatif yang bebas  asumsi  model  yaitu  model  regresi  nonparametrik  dengan  tetap  memperhatikan  konsep penting  stasioneritas  pada  data time  series .  Model  nonparametrik  yang  dipilih  adalah  model kernel karena pada data stasioner akan cenderung berpola acak sehingga model kernel merupakan salah satu model yang sesuai dengan karakteristik data tersebut . Pemodelan data dipilih data harga penutupan saham harian PT. Merdeka Copper Gold Tbk. yang diberi kode MDKA. Data selama 5 tahun terakhir sebelum tahun 2022 mengalami fluktuasi cenderung naik dan akan memberikan keuntungan  bagi  investor  dan  setelah  dilakukan  penelitan  pendahuluan  dengan  pemodelan ARIMA  Box-Jenkins  ada  asumsi  model  yang  tidak  terpenuhi,  sehingga  dilakukan  pemodelan alternatif menggunakan regresi time series kernel.

## 2. LANDASAN TEORI

## 2.1. Model Autoregressive
Model Autoregressive (AR) merupakan model time series klasik yang populer dan bagian dari Model ARIMA. Model AR orde 𝑝 ≥ 1 didefinisikan seperti pada Persamaan (1).
Z t = ρ 1 Z t-1 + ⋯ + ρ p Z t-p + ε t , dengan {𝜀 𝑡 }~𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎 2 ) . (1)
Persamaan (1) merepresentasikan kondisi saat ini ( Z t ) melalui p nilai sebelumnya yaitu 𝑍 𝑡−1 , 𝑍 𝑡−2 , …, 𝑍 𝑡−𝑝 dalam bentuk regresi linier [9]. Secara khusus, pada model AR (1) menyatakan nilai pengamatan saat ini ( Z t ) dipengaruhi oleh satu periode nilai pengamatan sebelumnya ( 𝑍 𝑡−1 ) dalam bentuk regresi linier.

## 2.2. Stasioneritas
Salah satu syarat yang penting dalam analisis data time series adalah sifat stasioneritas. Suatu  data time  series dikatakan  stasioner  apabila mean dan  variansnya  tetap  sepanjang  waktu [6]. Proses stasioner dapat diasumsikan seperti pada Persamaan (2) dan (3).
𝐸(𝑍 𝑡 )       = 𝜇 (2) 𝑉𝑎𝑟 (𝑍 𝑡 ) = 𝐸(𝑍 𝑡 − 𝜇) 2 = 𝛾 𝑜 (3)
dengan μ untuk semua lag k adalah konstan. Uji akar unit Dickey-Fuller (DF) merupakan sakah satu metode untuk menguji stasioneritas data dalam mean. Uji akar unit mengaplikasikan model regresi yang dituliskan pada Persamaan (4).
Δ Z 𝑡 = (𝜌 − 1)𝑍 𝑡−1 + 𝜀 𝑡
Δ Z 𝑡 = δ Z 𝑡−1 + 𝜀 𝑡 (4)
Z t dikatakan tidak stasioner (memiliki akar unit) apabila δ = 0 atau ρ = 1. Hipotesis untuk uji akar unit Dickey-Fuller (DF) adalah: H 0 : δ = 0  (Data tidak stasioner dalam mean ) H 1 : δ < 0  (Data stasioner dalam mean )
Statistik uji untuk uji DF dinyatakan oleh Persamaan (5).
𝜏 hitung = 𝛿 ̂−𝛿 SE(𝛿 ̂) (5)
dengan 𝛿̂ : penduga dari δ, dan SE(𝛿̂) : standard error dari δ.
Kriteria uji: Ho ditolak jika nilai 𝜏 hitung < 𝜏 (𝛼;n-1) atau 𝑝 − value < 𝛼 .
Data time  series yang  tidak  stasioner  dalam mean dapat  diatasi  dengan  melakukan diferensiasi ( differencing ). Proses differencing orde ke- d dapat dinyatakan oleh Persamaan (6).
𝛥 𝑑 𝑍 𝑡 = (1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 (6)
dengan Δ d Z t adalah hasil differencing pengamatan ke– t orde ke- d , d adalah orde differencing , dan B adalah operator backshift.
Pengujian  stasioneritas  dalam  varians  dapat  dilakukan  dengan  melihat  nilai  λ  pada transformasi  Box-Cox.  Nilai  λ  yang  tidak  sama  dengan  satu  menandakan  bahwa  data  tidak stasioner  dalam  varians,  dan  data  harus  ditransformasi  Box-Cox.  Transformasi  Box-Cox  yang dinyatakan oleh Persamaan (7).
𝑍 𝑡 ∗ = { 𝑍 𝑡 𝜆 −1 𝜆 ,     𝜆 ≠ 1 𝑙𝑛 𝑍 𝑡 ,     𝜆 = 1 (7)

## 2.3. Analisis Regresi Nonparametrik
Analisis regresi nonparametrik digunakan untuk menjelaskan hubungan antara variabel prediktor  dengan  variabel  respon  apabila  bentuk  fungsi  atau  pola  dari  data  tersebut  tidak diketahui.  Berbeda dengan analisis regresi parametrik yang memiliki beberapa asumsi yang harus dipenuhi, analisis regresi nonparametrik tidak mengharuskan adanya asumsi pada residual model sehingga  metode  ini  sangat  cocok  digunakan  untuk  menganalisis  data  yang  sangat  fluktuatif
seperti harga saham yang berjalan dinamis terutama karena fleksibilitas dari metode ini. Model regresi nonparametrik secara umum dituliskan pada Persamaan (8).
𝑌 𝑡 = 𝑚(𝑋 𝑡 ) + 𝜀 𝑡 (8)
dengan  Y t merupakan  pengamatan  ke-t  dari  variabel  dependen,  fungsi  m  merupakan  fungsi regresi  yang  polanya  tidak  diketahui  bentuk  kurvanya, 𝜀 𝑡 merupakan  pengamatan  ke- t dari variabel independen, serta merupakan residual pengukuran random. Fungsi regresi diasumsikan mulus sehingga lebih fleksibel dalam menduga fungsi regresinya.

## 2.4. Regresi Kernel
Regresi kernel adalah suatu regresi terboboti dengan menggunakan bobot fungsi kernel. Fungsi kernel  K  adalah  fungsi  yang  bernilai  riil  non  negatif,  simetris, terbatas dan  integralnya sama  dengan  1.  Misalkan  diberikan  data {(𝑋 𝑡 ,Y 𝑡 )}, t = 1,2...,n dan  akan  dilakukan  pendugaan fungsi regresi 𝑚(𝑥) pada Persamaan (8). Penduga Nadaraya-Watson dari 𝑚(𝑥) pada Persamaan (8) didefinisikan pada Persamaan (9).
𝑚(𝑥) = 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥) (9)
Variabel Y dan X bersifat random, sehingga estimator m(x) dari Nadaraya-Watson adalah
𝑚̑(𝑥) = ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑡 ℎ )𝑌 𝑡 𝑛 𝑡=1 ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑡 ℎ ) 𝑛 𝑡=1 (10)
dengan:
𝑊 𝑡 (𝑥) = 𝐾( 𝑥−𝑋𝑡 ℎ ) ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑡 ℎ ) 𝑛 𝑡=1 (11)
Simbol {𝑊 𝑡 (𝑥)} pada Persamaan (11) menyatakan bobot-bobot yang bernilai positif dan menpunyai sifat ∑ 𝑊 𝑡 (𝑥) = 1 𝑛 𝑡=1 . Persamaan (10) dapat ditulis seperti Persamaan (12).
𝑚̑(𝑥) = ∑ 𝑊 𝑡 (𝑥)𝑌 𝑡 𝑛 𝑡=1 (12)
Dengan mengganti indeks t dengan j diperoleh Persamaan (13).
𝑚̑(𝑥) = ∑ 𝑊 𝑗 (𝑥)𝑌 𝑗 𝑛 𝑗=1 (13)
Ketika nilai x = X t , maka 𝑚̑(𝑥) disebut 𝑌̑ 𝑡 dan diperoleh Persamaan (14).
𝑌̑ 𝑡 = ∑ 𝑊 𝑗 𝑛 𝑗=1 (𝑋 𝑡 )𝑌 𝑗 (14)
Dengan  menotasikan 𝑊 𝑗 (𝑋 𝑡 ) = 𝐻 tj maka 𝑌̑ 𝑡 = ∑ 𝐻 tj 𝑛 𝑗=1 𝑌 𝑗 dengan 𝐻 tj = 𝐾( 𝑋𝑡−𝑋𝑗 ℎ ) ∑ 𝐾( 𝑋𝑡−𝑋𝑗 ℎ ) 𝑛 𝑗=1 disebut matriks Hat.
Performa  dari 𝑌̑ 𝑡 dipengaruhi  oleh  fungsi  bobot  kernel  K  yang  dipilih  dan bandwidth h yang ditentukan.  Namun pengaruh pemilihan fungsi bobot kernelnya tidak bersifat signifikan, tetapi penentuan nilai bandwidth merupakan faktor yang paling dominan. Salah satu ukuran untuk memilih  nilai bandwidth optimal  adalah  dengan  meminimalkan  nilai Generalized  Cross Validation (GCV) yang disajikan pada Persamaan (15) [1].
GCV( ℎ ) = 𝑛 −1 ∑ [𝑌 𝑡 −𝑚 ̂ ℎ (𝑋 𝑡 )] 2 𝑛 𝑡=1 [1- ∑ 𝐻tt 𝑛 𝑡=1 𝑛 ] 2 = 𝑛 2 MSE [𝑛−∑ 𝐻 tt 𝑛 𝑡=1 ] 2 (15)

## 2.5. Analisis Data Time Series Nonparametrik
Pada  pemodelan  regresi,  pada  dasarnya  data {(𝑋 𝑡 ,Y 𝑡 )}, t = 1, 2, …, n merupakan pengamatan saling independen. Praktiknya banyak ditemukan bahwa asumsi independensi data tersebut tidak dipenuhi misalnya data time series dengan respon obyek sekarang tergantung dari
respon sebelumnya. Hardle [7] menyusun konsep dasar pemodelan matematika yang mendasari pemodelan ini, yaitu:
1. Model  (S):  Suatu  barisan  stasioner {(𝑋 𝑡 ,Y 𝑡 )}, t = 1, 2, …, n (antar  pengamatan  boleh dependen stokastik) telah diamati dan akan diduga 𝑚(𝑥) = 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥) .
2. Model (T): Suatu data time series telah diamati dan akan diprediksi 𝑍 𝑛+1 dengan 𝑚(𝑥) = 𝐸(𝑍 𝑛+1 |𝑍 𝑛 = 𝑥)
Permasalahan model (T) dapat dibawa ke permasalahan dalam model (S) dengan mendefinisikan dalam  bentuk time  series { 𝑍 𝑡 , t = 1, 2, …, n },  nilai 𝑍 𝑡−1 sebagai  variabel  prediktor 𝑋 𝑡 dan 𝑍 𝑡 sebagai  variabel  respon 𝑌 𝑡 ,.  Selanjutnya,  masalah  prediksi 𝑍 𝑛+1 dari  { 𝑍 𝑡 }  dapat  dipandang sebagai masalah pemodelan regresi untuk {(𝑋 𝑡 ,Y 𝑡 )} = {( 𝑍 𝑡−1 , 𝑍 𝑡 ), t = 1, 2, …, n }. Jadi, masalah prediksi { 𝑍 𝑡 } ekivalen dengan menduga 𝑚(𝑥) = 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥) untuk data time series dua dimensi {(𝑋 𝑡 ,Y 𝑡 ), t = 1, 2, …, n} .  Selanjutnya 𝑚(𝑥) dapat  diduga  dengan  regresi  kernel  Nadaraya- Watson.

## 2.6. Ukuran Kebaikan dan Kinerja Model
Pada analisis pemodelan data, sebelum data dibagi menjadi 2 bagian yaitu data in sample yang  digunakan  untuk  membetuk  model  dan  data out sample  yang  digunakan  untuk  evaluasi kinerja model in sample yang sudah terbentuk. Ukuran kebaikan model in sample dapat diukur dari koefisien determinasinya.  Koefisien determinasi adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar  variabel  prediktor  dapat  menjelaskan  variabel  responnya.  Koefisien  determinasi dirumuskan dalam Persamaan (16).
R 2 = ∑ (𝑍̂ 𝑡 −𝑍̅) 2 𝑛 𝑡=1 ∑ (𝑍 𝑡 −𝑍̅) 2 𝑛 𝑡=1 +∑ (𝑍 𝑡 −𝑍̂ 𝑡 ) 2 𝑛 𝑡=1 (16)
Nilai  koefisien  determinasi  yang  semakin  besar  mendekati  1  maka  model  yang  dihasilkan semakin  baik  untuk  digunakan  dan  sebaliknya.  Nilai 𝑅 2 yang  sudah  melebihi  0,67,  modelnya sudah tergolong model yang kuat [10].
Ukuran kinerja model dapat diukur dari nilai MAPE out sample . Nilai MAPE yang lebih kecil dari 10% mengindikasikan kinerja modelnya sangat bagus [11]. Nilai MAPE dirumuskan pada Persamaan (17).
MAPE = ( 1 𝑛 ∑ | 𝑍 𝑡 −𝑍̄ 𝑡 𝑍 𝑡 | 𝑛 𝑡=1 ) x 100% (17)
dengan 𝑍 𝑡 adalah data aktual pada periode ke-t, 𝑍̂ 𝑡 adalah hasil prediksi pada periode ke-t, dan n adalah banyak pengamatan.

## 3. METODE PENELITIAN
3.1. Data Penelitian dan Pengolahan .
Data penelitian yang digunakan adalah data sekunder yang diambil dari situs web Yahoo Finance  [12],  dengan  variabel  penelitian  adalah  harga  penutupan  saham  harian  PT.  Merdeka Copper Gold Tbk. yang diberi kode MDKA dinotasikan dengan 𝑍 𝑡 . Data tersebut merupakan data perdagangan aktif mulai dari tanggal 4 Januari 2021 hingga 22 September 2022 ada sebanyak 422 data. Pengolahan data dilakukan dengan software R Studio dengan antarmuka GUI.

## 3.2. Prosedur Analisis Data .
Prosedur dalam pemodelan data time series kernel adalah sebagai berikut:
1. Data time  series { 𝑍 𝑡 , t = 1, 2, …, n }  diuji  stasioneritasnya  baik  dalam mean maupun varians. Pegujian pertama stasioneritas dalam varians, jika data belum stasioner dilakukan transformasi Box-Cox menjadi Z * t . Selajutnya data yang telah stasioner dalam varians diuji stasioneritasnya  dalam mean .  Data  yang  belum  memenuhi  stasioneritas  dalam mean dilakukan  differencing  pertama  (ΔZ * t ).  Data  yang  didifferencing  akan  berkurang  1 pengamatan dan datanya menjadi {ΔZ * t , t = 2, 3, …, n}.
2. Data stationer dimodifikasi dengan nilai ΔZ * t-1 sebagai X t dan ΔZ * t sebagai Y t . Selanjutnya masalah  prediksi  ΔZ * n+1 dari  {ΔZ * t } dapat  dipandang  sebagai  masalah  pemodelan  regresi untuk {(X t, Y t )} = {( ΔZ * t-1 , ΔZ * t ), t = 3, 4, ..., n}.
3. Data  modifikasi  dibagi  menjadi  2  bagian  yaitu  data in  sample dan out  sample dengan proporsi  90%:10%.  Data in  sampel dilakukan  pemodelan  dengan  regresi  kernel  dengan fungsi  kernel  Gaussian  dan  model  terbaik  diperoleh  pada bandwidth optimal  yang meminimumkan nilai GCV. Pencarian bandwidth optimal dilakukan dengan trial dan error pada selang interval tertentu.
4. Bandwidth optimal  digunakan  untuk  menghitung  dugaan  data  {ΔZ * t ),  t  =  3,  4,  ...,  n}  dan hasil dugaan dikembalikan ke bentuk data semula seperti sebelum distasionerkan.
5. Model  pada  data in  sample diukur  kebaikan  modelnya  dengan  menghiung  koefisien determinasi  dan  model  yang  terbentuk  dievaluasi  kinerja  modelnya  menggunakan  nilai MAPE data out sample .
6. Langkah terakhir adalah melakukan prediksi data ke depan.

## 4. Hasil dan Pembahasan
Data  harga  penutupan  pada  perdagangan  harian  saham  MDKA  tanggal  4  Januari  2021 hingga 22 September 2022 sebanyak 422 data. Plot data time series harga saham tersebut disajikan dalam Gambar 1.
Gambar 1. Grafik Data Harga Penutuan Harian Saham MDKA
Gambar 1 secara visual terlihat data belum stationer dalam mean dan varians. Oleh karena itu  data  harus  ditarnsformasi.  Hasil  dari  transformasi  Box-Cox  diperoleh  nilai  λ  sebesar  -0,01 (tidak sama  dengan  1)  sehingga  data  tidak  stasioner  dalam  varians  dan  dilakukan  transformasi Box-Cox (Persamaan 6) dengan nilai λ sebesar (-0,01). Setelah dilakukan uji stasioneritas ulang diperoleh nilai λ pada transformasi Box-Cox sebesar 1, sehingga data setelah ditransformasi sudah stasioner  dalam  varians.  Langkah  berikutnya  adalah  pengujian  stasioneritas  dalam mean menggunakan  uji  akar  unit Dickey  Fuller. Berdasarkan  hasil  pengujian Dickey  Fuller dengan α=5% dapat disimpulkan bahwa data tidak stasioner dalam mean karena p-value = 0,4571 > 5%, kemudian  data  dilakukan  differencing  1  kali.  Selanjutnya  diuji Dickey  Fuller kembali
menghasilkan  data  yang  sudah  stasioner  dalam mean karena  p-value  =  0,01  <  5%.  Data  yang dideferencing 1 kali berkurang 1 pengamatan dan datanya menjadi {ΔZ * t , t = 2, 3, ..., 422}. Plot data setelah distasionerkan dalam mean dan varians disajikan dalam Gambar 2. Data yang telah stasioner selanjutnya dimodifiksi menjadi untuk {(X t, Y t )} = {(ΔZ * t-1 , ΔZ * t ), t = 3, 4, ..., 422} dan dibagi menjadi data in sample dan out sample dengan perbandingan 90% dan 10%.
Gambar 2. Plot Data Stasioner Keseluruhan
Data modifikasi in sampel {(X t, Y t ), t= 3, 4, …, 380} sebanyak 378 pengamatan dan data out sample {(X t, Y t ), t= 381, 382, …, 422} sebanyak 42 pengamatan. Data modifikasi in sample disajikan pada Gambar 3.
Gambar 3. Scatter Plot Data Modifikasi In Sample
Gambar 3 terlihat data modifikasi mempunyai pola yang cenderung acak. Data in sample pada Gambar 3, selanjutnya dimodelkan menggunakan regresi kernel dengan mengambil fungsi kernel Gaussian yang rumus pada Persamaan (18).
𝐾(𝑥) = 1 √2 π 𝑒 − 𝑥2 2 ,untuk − ∞ < 𝑥 < ∞ , (18)
dengan fungsi kernel diskala 𝐾 ℎ (𝑥) = 𝐾( 𝑥 ℎ ) ℎ .
Proses pemodelan regresi kernel dengan menentukan nilai bandwidth h dengan trial dan error pada  interval  tertentu  sehingga  didapatkan  nilai  GCV  terkecil.  Setelah  melalui  proses pencarian h optimal, pada penelitian ini ditampilkan gambar fungsi GCV pada nilai 0,005 < h < 0,05  dengan  selisih  penambahan  0,001.  Plot  nilai  h  dan  GCV  disajikan  pada  Gambar  4  dan sepuluh nilai GCV terkecil ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Plot Antara Bandwidth dan GCV No h GCV 1. 0,012 0,001049671 2. 0,011 0,001049749 3. 0,013 0,001049795 4. 0,014 0,001050007 5. 0,010 0,001050182 6. 0,015 0,001050233 7. 0,016 0,001050433 8. 0,017 0,001050593 9. 0,018 0,001050712 10. 0,019 0,001050797
Pada Tabel 1 diperoleh nilai bandwidth optimal dicapai pada nilai h = 0,012. Gambar model terbaik dari data stasioner dengan nilai h = 0,012 disajikan pada Gambar 5. Model regresi kernel pada Gambar 5 disajikan pada Persamaan (19) dengan fungsi kernel K(x) pada Persamaan (18).
𝑚̑(𝑥) = ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑡 0,012 )𝑌 𝑡 380 𝑡=3 ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑡 0,012 ) 380 𝑡=3 , dengan X t = ΔZ * t-1 , Y t = ΔZ * t (19)
Prediksi pada nilai pengamatan keseluruhan x=X i i= 3, 4, …, 422 disajikan pada Persamaan (20)
𝑌̑ 𝑖 = 𝑚̑(𝑋 𝑖 ) = ∑ 𝐾( 𝑋𝑖−𝑋𝑡 0,012 )𝑌 𝑡 380 𝑡=3 ∑ 𝐾( 𝑋𝑖−𝑋𝑡 0,012 ) 380 𝑡=3
(20)
Dari  Y t =ΔZ * t =  Z * t -  Z * t-1, maka 𝑌̑ 𝑖 = 𝑍̂ 𝑖 −  Z i-1 ∗ sehingga  model  Persamaan  (20)  menjadi
Persamaan (21) dengan X t = Z * t-1 –Z * t-2 , Y t = Z * t - Z * t-1 , , 1 *   − = t Z t Z t = 3,4,…,380  dan
X i = Z * i-1 –Z * i-2 ,
, 1 *   − = Zi i Z untuk i = 3, 4, 5, …, 𝜆 = −0,0 1.
𝑍̂ 𝑖 ∗ =  Z i-1 ∗ + ∑ 𝐾( 𝑋𝑖−𝑋𝑡 0,012 )𝑌 𝑡 380 𝑡=3 ∑ 𝐾( 𝑋𝑖−𝑋𝑡
0,012 ) 380 𝑡=3
(21)
Selanjutnya  untuk mengembalikan prediksi 𝑍̂ 𝑖 ∗ ke data time series semula 𝑍̂ 𝑖 dengan melakukan transformasi invers dari Box-Cox yaitu 𝑍̂ 𝑖 = (𝜆𝑍̂ 𝑖 ∗ + 1) 1 𝜆 ⁄ ,dengan𝜆 = −0,01 , i = 3, 4, 5, …
Gambar 5. Grafik Data Modifikasi In Sample dan Model Dugaan
Hasil penduga model pada data stasioner in sample (Gambar 5) yang telah dikembalikan ke data aslinya ditampilkan pada Gambar 6 yang secara visual terlihat data aktual dan prediksinya sangat dekat sekali. Model terbaik memiliki nilai R 2 sebesar 0,9828372 artinya bahwa variabel prediktor mampu menjelaskan variabel respon sebesar 98,28372 %. Model kernel yang terbentuk tergolong model yang kuat karena mempunyai R 2 lebih dari 0,67.
Gambar 6. Grafik Data in sample Asli dan Dugaannya
Model  terbaik  selanjutkan  digunakan  untuk  prediksi  data  o ut  sample yang  hasilnya disajikan pada Gambar 7 dengan nilai MAPE out sample sebesar 1,985681 % yang menunjukkan bahwa kinerja model kernel sangat bagus karena nilai MAPE < 10%.
Gambar 7. Grafik Data Out Sample Asli dan Dugaannya
Dari  model  terbaik  dapat  digunakan  untuk  prediksi  beberapa  hari  ke  depan  asalkan  2 periode  sebelumnya  diketahui  nilainya.  Misalnya  untuk  memprediksi  harga  saham  harian penutupan MDKA pada minggu pertama bulan Juni 2023 (5 - 9 Juni 2023), maka data 2 periode sebelum  tanggal  5  Juni  harus  sudah  ada  yaitu  tanggal  30-31  Mei  2023  mempunyai  harga
penutupan 2960 dan 3000. Prediksi saham penutupan untuk 5 hari ke depan menggunakan model Persamaan (21) disajikan Tabel 2.
Tabel 2. Prediksi Harga Saham Tanggal 5-9 Juni 2023 Tanggal Harga (Rp.) 05 Juni 2023 3105 06 Juni 2023 3108 07 Juni 2023 3112 08 Juni 2023 3115 09 Juni 2023 3119

## 5. KESIMPULAN
Pemodelan data time series selain menggunakan model klasik Autoregressive (AR) dapat juga  menggunakan  model  regresi  nonparametrik  kernel.  Dalam  analisis  AR,  datanya  harus memenuhi asumsi yang ketat agar penarikan kesimpulannya tidak menyesatkan. Dalam analisis regresi  kernel,  asumsi error model  tidak  diperlukan.  Pengambilan  keputusan  untuk  kebaikan model kernel  berdasarkan  nilai  R 2 dan  MAPE.    Penentuan bandwidth optimal  secara trial dan error pada interval tertentu, oleh karenanya pemrograman dengan softwre R Studio dibuat dalam tampilan  GUI  agar  efisien  waktu.    Pada  pemodelan  harga  harian  saham  penutupan  MDKA menghasilkan model regresi nonparametrik kernel yang sangat bagus dengan ukuran R 2 lebih dari 0,67  dan  MAPE out  sample kurang  dari  10%.  Penelitian  selanjutnya  dapat  dilakukan  dengan model nonparametrik polinomial lokal karena data stasioner juga bersifat menggerombol di suatu titik-titik tertentu. Untuk pengembangan ilmu pengetahuan, pemilihan bandwidth optimal dapat dicoba  dengan  metode  lainnya  seperti Mean  Squared  Error (MSE), Cross  Validation (CV), Akaike Information Criterion (AIC), Unbiased Estimator (UBR).

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Suparti, R. Santoso, A. Prahutama, dan A.R. Devi, Regresi Nonparametrik. Ponorogo: Wade Group. 2018.
[2] Putri, A.P., Santoso, R., dan Sugito, “Analisis Regresi Nonparametrik Kernel Menggunakan Metode Jackknife Sampel Terhapus-1 Dan Sampel Terhapus-2,” Jurnal Gaussian,  vol. 6, no. 1, pp. 1-10, 2017.
[3] Suparti. dan A. Prahutama, “Pemodelan Regresi Nonparametrik Menggunakan Pendekatan Polinomial Lokal Pada Beban Listrik di Kota Semarang,” Media Statistika, vol. 9, no. 2, pp. 85–93, 2016.
[4] Suparti et. al., “Biresponses   Kernel   Nonparametric   Regression:   Inflation   and Economic Growth,” International Journal of Criminology and Sociology, vol. 10, pp. 465-471. 2021
[5] D. Chicco, M. J. Warrens, and G. Jurman, “The Coefficient of Determination R-squared is More  Informative  than  SMAPE,  MAE,  MAPE,  MSE,  and  RMSE  in  Regression  Analysis Evaluation,” PeerJ Compt. Sci. 2021.
[6] G.  E.  P.  Box,    G.  M.  Jenkins,  G.  C.  Reinsel  and    G.  M.  Ljung,  Time  Series  Analysis Forecasting and Control Fifth Edition. John Wiley & Sons. 2016.
[7] Hardle, W., Applied Nonparametric Regression. New York: Cambridge University Press. 1990.
[8] R. Fitri, S. Suparti, and P. Kartikasari, "Peramalan Indeks Jakarta Islamic Index (JII) dengan Pendekatan  Regresi  Parametrik  Linier  Sederhana  dan  Regresi  Nonparametrik  Kernel Dilengkapi  GUI  R-Shiny," Jurnal  Gaussian ,  vol.  12,  no.  2,  pp.  221-230. 2023. https://doi.org/10.14710/j.gauss.12.2.221-230
[9] J. Fan and Q. Yao, Nonlinear Time Series : Nonparametric and Parametric Methods. New York: Springer. 2003.
[10] W.W.  Chin,  The  Partial  Least  Square  Aproach  to  Structural  Equation  Modeling.  London: Lawrence Erlbaum Associates. 1998.
[11] P.C. Chang, Y.W. Wang, and C.H. Liu, “The Development of a Weighted Evolving Fuzzy Neural Network for PCB Sales Forecasting,” Expert Systems with Application. vol. 32, pp. 88-89. 2007.
[12] Yahoo Finance: PT Merdeka Copper Gold Tbk (MDKA.JK) Stock Historical Prices & Data: https://finance.yahoo.com/quote/MDKA.JK/history?p=MDKA.JK. 2023.