Proses Adiabatis dan Isovolume Kuantum Sistem Dua Partikel Simetri dengan Model Analogi Termodifikasi
S Akbar 1 , E Latifah 1,* , S Qomariyah 1 , D P Setyo 1 , H Wisodo 1 , dan A Hidayat 1
Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang, Jln Semarang no 5,  65154, Malang, Indonesia
* E-mail: syawaluddin95@gmail.com

## Abstract
The  heat  engine,  as  a  device  for  converting  heat  energy  into  work,  enters  the  era  of miniaturization  until  microscopic  size.  Thus  a  quantum  review  for  thermodynamic concepts are urgent to be done. A quantum theory has been constructed for adiabatic and iso-volume processes over a 1D piston system with 2 symmetry particles. The method used is  an  analogical  model  of  a  thermodynamic  system  with  a  quantum  mechanical  system modified  by  the  first  law  of  thermodynamic  implementation  for  a  quantum  system. Analogical model involves the analogical system of a piston being a 1D box with one of the  free  moving  walls  and  the  analogical  process  that  implements  the  first  law  of thermodynamics for a quantum system. The results obtained are the configurations of the state  of  the  system,  the  energy  representations  during  isovolume  and  adiabatic  processes and  the  equation  of  the  system  which  is  equivalent  to  the  ideal  gas  equation.  With  the resulting  of  these  adiabatic  and  the  isovolume  processes  of  quantum  systems,  a  cycle process  of  quantum  Otto  2  symmetry  particles  and  the  descriptions  of  efficiency  can  be evaluated.
Keywords : Quantum Heat engine, quantum adiabatic process, quantum isovolume process, two symmetry particles system

## Abstrak
Mesin  panas,  sebagai  piranti  konversi  energi  panas  menjadi  usaha,  memasuki  era miniaturisasi  hingga  mencapai  ukuran  mikroskopis.  Dengan  demikian  tinjauan  kuantum untuk  konsep  termodinamis  urgen  untuk  dilakukan.  Telah  dikonstruksi  penelitian  teori kuantum untuk proses adiabatis dan  isovolume atas sistem piston 1D dengan zat kerja 2 partikel  yang  simetri.  Metode  yang  digunakan  adalah  model  analogi  antara  sistem termodinamika dengan sistem mekanika kuantum yang dimodifikasi dengan implementasi hukum pertama termodinamika untuk sistem kuantum. Pemodelan analogi meliputi analogi sistem dari piston menjadi kotak 1D dengan salah satu dinding dapat bergerak bebas dan analogi  proses  yang  mengimplementasikan  hukum  pertama  termodinamika  untuk  sistem kuantum.  Hasil  yang  diperoleh  adalah  formulasi  dan  konfigurasi  keadaan  sistem, representasi  energi  selama  proses  isovolume  dan  adiabatik  dan  persamaan  keadaan  yang setara dengan persaman gas ideal. Dengan dihasilkannya mekanisme proses adiabatic dan isovolume sistem kuantum, dapat dibangun suatu proses siklus mesin Otto kuantum sistem 2 partikel simetri dan deskripsi efisiensinya.
Kata Kunci : Mesin Panas kuantum, proses adiabatic kuantum, proses isovolume kuantum, sistem dua partikel simetri
http://journal2.um.ac.id/index.php/jpse EISSN: 2541-2485
Received 9 Desember 2017
Revised 27 Desember 2017 Accepted for Publication 22 Pebruari 2018
Published
23 Pebruari 2018 This work is licensed under a Creative Commons
Attribution-ShareAlike 4.0 International License .

## JPSE
(Journal of Physical Science and Engineering)

## 1. Pendahuluan
Miniaturisasi  lebih  atas  piranti  merupakan  kebutuhan  teknologi  terkini  yang  terus  dikembangkan desainnya  dengan  performa  yang  tinggi.  Mesin  panas  sebagai  piranti  pengkonversi  energi  panas menjadi usaha mekanik, tak-terhindarkan dari kecenderungan miniaturisasi. Dengan demikian kajian mesin panas termodinamika klasik harus diperkaya dengan mengimplementasikan teori mikroskopis, kuantum.
Kajian mesin panas kuantum telah dimulai dengan memanfaat maser sebagai substansi kerja,  dan selanjutnya dibangun teori kuantum menggunakan model analogi untuk sistem partikel yang terjebak dalam  sumur  potensial  tak-hingga  dengan  salah-satu  batas  dindingnya  dapat  bergerak  bebas  yang menyerupai  model  piston  [1–3].  Model  analogi  ini  menunjukkan  kekurangan  ketika diimplementasikan  untuk  prosen  yang  disertai pertukaran  panas  karena  belum  menggunakan  hukum pertama termodinamika sehingga definisi kerja sistem belum dideskripsikan dengan baik.
Sebagai  konsekwensi  hukum  pertama,  secara  umum  mesin  panas  memiliki  problem  rendahnya efisiensi  [2,4–6],  sehingga  dilakukan  upaya  untuk  meningkatkan  efisiensi  suatu  mesin  yang  salah- satunya  dengan  cara  tinjauan  studi  penelitian  dalam  ranah  mikroskopik  dengan  menerapkan  teori kuantum  [5,6].  Meski  demikian,  penelitian  untuk  mesin  Otto  kuantum  memiliki  hasil  yang berkorespondensi  dengan  sistem  klasiknya  [3,4,7]  sementara  mesin  Carnot  untuk  sistem  kuantum menghasilkan  nilai  efisiensi  yang  sama  dengan  sistem  klasiknya  serta  didapatkan  hubungan  bahwa semakin tinggi jumlah keadaan yang terlibat, maka semakin rendah tingkat efisiensi [1,8,9].
Upaya  mendekati  realitas  fisis  telah  banyak  dilakukan  di  wilayah  mesin  panas  kuantum.  Mesin panas yang mengkonversi energi surya untuk kerja kimia dalam mekanisme fotosintesis telah ditelaah dalam  kajian  mesin  panas  kuantum  [10]  hingga  kemungkinannya  meningkatkan  efisiensi  proses fotosintesis dengan menggunakan keadaan koherensi. Demikian juga efek polaron pada sistem light- harvesting telah diteliti dalam perspektif mesin panas kuantum [11].
Sifat  eksotik  sistem  kuantum  telah  menjadi  tumpuan  harapan  terdongkraknya  performa  mesin panas  oleh  teori  kuantum  dan  tereksplorasinya  secara  lebih  mendalam  beberapa  efek  baru  dalam wilayah mikroskopis  [2,4,11]. Sistem partikel tunggal 1D dengan  mekanika  gelombang Schrodinger telah  banyak  diimplementasikan  sebagai working  substance [2,3,6]  hingga  kajian  dimensi  geometri ruang  Hilbert  sistem  [12]  .  Kajian  mesin  Carnot  kuantum  dengan  Hamiltonian  relativistik Dirac menunjukkan  hasil  yang  berkorespondensi  dengan  sistem  klasiknya  [13,14],  hasil  yang  sama  juga diperoleh  untuk  dua  partikel  relativistik  [15]  dengan  dua  skenario  konfigurasi  sistem  dengan  model analogi.
Model  analogi  memiliki  kelemahan  dalam  mendefinisikan  gaya,  meski  telah  secara  sederhana mampu mengeksplorasi kuantitas termodinamis dan perubahannya di zona kuantum. Formulasi gaya dalam model analogi, yang berkaitan dengan perubahan nilai harap Hamiltonian (energi) sistem  [1], tidak mampu mengevaluasi proses isotermal secara eksplisit [16]. Alternatif solusi atas permasalahan model  analogi  adalah  dengan  implementasi  hukum  pertama  termodinamika  versi  kuantum  [16,17]. Berbeda  dengan  implementasi  langsung  formulasi  statistik  atas  hukum  pertama,  artikel  ini mereproduksi  hukum  pertama  termodinamika  dengan  mengeksplorasi  perubahan  energi  total  sistem dan  ekstraksinya  di  bawah  proses  termodinamis  versi  kuantum,  sedemikian  hingga  juga  dihasilkan formulasi  gaya  bagi  sistem  kuantum.  Sehingga  terbangun  metode  konstruksi  mesin  panas  yang merupakan  penyempurnaan  model  analogi  yang  selanjutnya  disebut  model  analogi  termodifikasi. Dengan model analogi termodifikasi semua proses yang disertai aliran energi panas dapat dievaluasi secara  eksplisit  sehingga  dapat  dikonstruksi  berbagai  siklus  ideal  mesin  panas  kuantum  sehingga dapat dikarakterisasi sifat termodinamis dari sistem kuantum penyusunnya.
Sistem  dua  partikel  yang  telah  dikaji adalah  sistem  dengan  dua  partikel antisimetri.  Dua  partikel Dirac  sebagai  partikel  antisimetri  [15]  sebagai working  substance dikaji  untuk  2  konfigurasi  yang berbeda  telah  menjalani  proses  siklus  yang  terdiri  proses  adiabatik  dan  isotermal  dengan  model
analogi  yang  mengkaji  tanpa  mengimplementasikan  hukum  pertama  termodinamika.  Sesungguhnya akan  lebih  tepat  jika  kajian  proses  termodinamis  yang  mendiskripsikan  perubahan  keadaan termodinamis  dilakukan  dengan  mengimplementasikan  hukum  pertama  termodinamika  yang mengatur  perubahan  energi  sistem.  Dengan  demikian  dilakukan  penelitian  tentang  proses  adiabatik dan  isovolume  kuantum  yang  mengimplementasikan  hukum  pertama  termodinamika  untuk  sistem kuantum.  Ketimbang  memanfaatkan  dua  partikel  antisimetri  penelitian  ini  memilih  dua  partikel simetri dengan Hamiltonian non-relativistik.

## 1.1. Sistem Partikel Identik
Sistem  2  partikel  dapat  dikatakan  identik  jika  kuantitas  fisis  seperti  posisi,  momentum,  energi,  dan variabel  dinamis  lainnya  yang  teramati  tidak  mengalami  perubahan  ketika  kedua  partikel  tersebut mengalami  pertukaran  keadaan.  Variabel  dinamis  pertama  ( x 1 )  di  tukarkan  dengan  variabel  dinamis kedua ( x 2 ) untuk partikel identik berlaku
  1 2 2 1 , ( , ). H x x H x x  (1)
Berkaitan  dengan  sistem  partikel  identik  ini,  didefinisikan  operator  pertukaran  ( exchange operator ) P yang bekerja pada fungsi gelombang 𝜓 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ), yaitu
    1 2 2 1 , , .
P x x x x    (2)
Dan  nilai  eigen  energi  yang  dimiliki  sistem  2  partikel  dapat  diperoleh  dengan  mengoperasikan operator Hamiltonian terhadap fungsi keadaan sistem, yaitu
1 2 1 2 ( , ) ( , ). H x x E x x    (3)
Dimana operator hamiltonian dan operator exchange bersifat saling komut, yaitu
, 0. H P      (4)
Karena  itu, P merepresentasikan  suatu  kuantitas  yang  kekal,  dari  persamaan  (2)  didapatkan hubungan bahwa
    2 2 1 2 1 2 , , , 1 P x x x x P     (5)
Bentuk tersebut memberikan nilai eigen ±1 selanjutnya untuk menghindari kerancuan simbol, sebagai fungsi dari P ambil    dengan
    2 1 2 1 2 , ,
P x x
x x    dan (6)
    12 1 2 21 2 1 , ,
P x x
x x    (7)
Untuk fungsi eigen simetri dapat didefinisikan sebagai
    2 1 1 2 , , s x x x x    (8)
Sedangkan untuk fungsi eigen antisimetri, dapat didefinisikan sebagai
    2 1 1 2 , , s s x x x x     (9)
Sistem 2 partikel simetri suatu keadaan sistem memenuhi
        1 2 1 2 12 1 2 21 2 1 1 , , , 2 x x x x x x       (10)

## 1.2. Sistem Partikel dalam kotak 1 Dimensi
Sistem mesin panas yang dikaji adalah kotak potensial 1D selebar L yang diisi dengan 2 partikel simetri. Deskripsi sistem dua partikel diawali dengan deskripsi partikel tunggal. Partikel tunggal dalam kotak satu dimensi dalam keadaan stasioner dengan Hamilton non-relativistik memenuhi persamaan eigen-value sebagai berikut.
    2 2 2 d . 2 d n n n x E x m x     (11)
Dengan pemenuhan syarat batas sistem, diperoleh eigen-function untuk partikel tunggal,
  2 sin . n n x x
L L          (12)
Eigen-function sistem dua partikel simetri yang terjebak dalam dalam kotak potensial 1D yang disandarkan pada persamaan (10) dan (12), adalah
  1 2 2 1
1 2 2 , sin sin sin sin . m n n x m x n x m x x x L L L L L                                       (13)
Eigen-function persamaan (13) berasosiasi dengan eigen-value energi sebagai berikut.
  2 2 2 2 2 . 2 n m E n m mL     (14)

## 2. Metode Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  adalah  metode  analitik,  membangun  model  fisis  yang merepresentasikan sistem dan mekanisme proses untuk selanjutnya dibuat kontruksi model matematis yang  bersesuaian  dengan  model  fisis  tersebut.  Model  fisis  yang  diimplementasikan  adalah  model analogi yang terdekat dari sistem awal (klasik) dengan suatu  kasus sistem mekanika kuantum. Dalam hal  ini  sistem  partikel  dalam  kotak  potensial  satu  dimensi  dengan  salah  satu  dinding  yang  dapat bergerak  berekspansi  dan  berkompresi  analog  dengan  sistem working  substance dalam  silinder berpiston.  Upaya  untuk  meninjau  proses  yang  merupakan  perubahan  kuantitas  termodinamis dilakukan  dengan  mengimplementasikan  hukum  pertama  termodinamika  bagi  sistem  kuantum tersebut. Model ini selanjutnya disebut sebagai model analogi termodifikasi.

## 2.1. Model analogi
Sistem  mekanika  kuantum  yang  memiliki  analogi  terdekat  dengan  silinder  berpiston  pada termodinamika  adalah  sistem  partikel  yang  terjebak  dalam  kotak  satu  dimensi. Diambil  kasus  kotak satu dimensi dimana potensial sistem bernilai tak hingga ( V = ∞ ) di x ≤ 0 dan x ≥ L , dan bernilai nol
( V  = 0)  di  0  < x < L .  Dengan  demikian  ekpansi  dan  kompresi  sistem  klasik  dianalogikan  dengan penyempian dan pelebaran dari lebar kotak potensial, L .
Kuantitas  temperatur  dalam  kuantum  diwakili  oleh  kuantitas  energi  internal.  Temperatur merupakan  kuantitas  statistik  dan  dapat  memiliki  makna  hanya  untuk  sistem  makroskopis.  Dalam teori  kinetik  gas,  konsep  temperatur  secara  mendasar  merupakan  hal  yang  tak  dikenal,  mengingat atom secara individual cukup hanya dikarakterisasi oleh kelajuan atom. Untuk  gas ideal, temperatur hendaknya didefinisikan sebagai bentuk rerata energi kinetik. Misalkan untuk gas monoatomik, relasi antar  rerata  energi  kinetik  dan  temperatur  memenuhi  persamaan  yakni    dengan k menyatakan konstanta  Boltzmann. Dalam teori kinetik, atom penyusun gas ideal diasumsikan tidak berinteraksi, sedemikian  hingga  potensial  interaksinya  diabaikan.  Bentuk  energi  yang  dimiliki  partikel  yang dideskripsikan  demikian  ini  hanyalah  energi  kinetik  translasi.  Patikel  gas  ideal  juga  tidak  memiliki energi  rotasi  dan  vibrasi.  Dengan  kata  lain  energi  internal  gas  monoatomik  merupakan  total  energi kinetik ensambel penyusun gas yanng terdiri atas N atom. Dengan demikian, energi internal gas ideal monoatomik berbanding lurus hanya dengan temperatur termodinamik, yang bersesuaian dengan hasil eksperimen.
Penentuan  kuantitas  energi  pada  sistem  kotak  1D  sebagai  ensembel  kuantum  diperoleh  dengan mengoperasikan operator Hamiltonian terhadap tiap eigen-state sehingga diperoleh eigen-value energi bagi eigen-state terkait.  Probabilitas  munculnya  suatu  nilai-eigen  sebagai  hasil  ukur  ditentukan  oleh kontribusi eigen-state yang  berkaitan  dengan eigen-value tertentu  terhadap  fungsi  gelombang.
Probabilitas  hasil  pengukuran  energi  menentukan  nilai  harap  Hamiltonian  yang  merupakan  rerata energi  ensambel.  Rerata  energi  sebagai  kuantitas  intrinsik  sistem  ini  selanjutnya  menyatakan  energi internal  sistem  kotak  1D.  Analog  dengan  gas  ideal  klasik  yang  energi  internalnya  berbanding  lurus hanya  dengan  temperatur,  maka  konsep  temperatur  dalam  kajian  sistem  kotak  1D  diperankan  oleh nilai  harap  Hamiltonian  sistem.  Proses  isotermal  termodinamika  yang  berlangsung  dengan mempertahankan  nilai  temperatur  sistem  dalam  kontak  dengan  suatu  tandon,  diekspresikan  dengan dipertahankan nilai harap Hamiltonian sistem kuantum sehingga konstan selama proses.
Sistem  kotak  1D  dengan  salah  satu  dinding  potensialnya  mampu  bergerak  bebas  berperan sebagai silinder berpiston. Sistem ini menjadikan lebar kotak L berperan sebagai volume klasik V dan tekanan klasik P diperankan oleh gaya F .
Kuantitas  gaya  dalam  model  analogi  secara  alami  mendefinisikan  gaya  pada  dinding  potensial sebagai, d d F E L   , dengan E energi  sistem.  Meski  demikian  formulasi  gaya  ini  membawa  resiko kesalahan  dengan  tidak  terdapatnya  gaya  ketika  proses  isotermal  berlangsung,  mengingat  proses temperatur  konstan  ini  diwakili  oleh  konstannya  nilai  energi.  Kekurang-tepatan  model  analogi, selanjutnya dieksplore perbaikan teoritiknya dengan model analogi termodifikasi.

## 2.2. Model analogi termodifikasi
Model  analogi  termodifikasi  merupakan  koreksi  dan  pengembangan  terhadap  model  analogi  yang diusulkan  C.  M.  Bender  [1].  Koreksi  dilakukan  terhadap  definisi  gaya  untuk  sistem  kuantum  kotak 1D, smentara pengembangan dilakukan dengan mengimplementasikan formulasi mikroskopis hukum pertama  termodinamika  yang  dapat  mendeskripsikan  secara  eksplisit  kuantitas  dan  perubahan kuantitas fisis selama proses termodinamika pembentuk siklus berlangsung.
Rerata hasil pengukuran energi diperoleh dengan menentukan nilai harap Hamiltonian,
2 ˆ j j j j j j H a E P E E      (15)
Nilai  harap  Hamiltonian  merupakan  rerata  energi  hasil  pengukuran  seluruh  anggota  ensambel penyusun  sistem,  untuk  selanjutnya  berkaitan  dengan sistem  kotak  1D  cukup  disebut  dengan  energi
sistem.  Di  bawah  proses  lambat,  perubahan  yang  sangat  kecil  atas  energi  sistem  persamaan  (16) memenuhi relasi
1 1 d d d n n j j j j j j E P P E E       (16)
Kedua  suku  persamaan  (16)  memberikan  informasi  bahwa  energi  sistem  berubah  dengan  dua  cara yang  berbeda.  Suku  pertama  merepresentasikan  perubahan  bilangan  kedudukan  atau  probabilitas sementara suku kedua menyajikan perubahan tingkat energi sistem.
Proses  adiabatik  berlangsung  dengan  mempertahankan  probabilitas  tetap  konstan.  Dengan demikian  suku  pertama  persamaan  (16)  bernilai  nol  di  bawah  proses  adiabatis,  dengan  demikian energi sistem memenuhi,
d d j j j P E E   (17)
Proses adiabatis berlangsung tanpa pertukaran panas antara sistem dengan lingkungan. Pada Proses ini, perubahan energi internal merupakan sumbangan interaksi antara sistem dan lingkungan dalam bentuk energi mekanik. Energi internal sistem menurun ketika sistem melakukan usaha sehingga sistem 1D berekspansi, atau usaha 1 d d d n j j j P E W E      .  Dengan demikian usaha yang dialami/dilakukan sistem secara makroskopis dinyatakan dengan,
1 δ d n j j j W P E     (18)
Aliran panas yang dialami sistem ditunjukkan oleh perubahan entropi sistem. Entropi sistem, S, menurut Von-Newmann berkaitan dengan konfigurasi sistem yang diwakili oleh probabilitas sistem. Dengan  demikian,  aliran  panas  pada  sistem  yang  ditunjukkan  dengan  perubahan  entropi  sistem berkaitan  dengan  suku  energi  yang  mengandung  perubahan  probabilitas,  yakni  bersesuaian  dengan susku pertama persamaan (16). Dengan demikian,
1 d δ n j j j E P Q    , (19)
secara mikrokopis mewakili aliran panas yang dialami sistem kuantum.
Gaya  merupakan  kuantitas  yang  tidak well-defined dalam  sistem  kuantum,  mengingat kecenderungan  pembahasan  mekanika  kuantum  lebih  menyukai  menentukan  spektrum  Hamiltonian dan  sifat-sifat eigen-state energi  ketimbang  menganalisis  gaya.  Usaha  berkaitan  dengan  gaya  yang dialami sistem menurut hubungan δ d W F L  . Sementara dari formulasi mikroskopis hukum pertama termodinamika  diperoleh  definisi  mikroskopis  usaha    sesuai  persamaan  (18).  Dengan  demikian diperoleh rerata ensamble kuantitas gaya sebagai berikut
d d j j j j j j E P P F L
F      (20)
Model  analogi  dengan  koreksi  definisi  gaya  bagi  sistem  kuantum  dan  penerapan  formulasi mikroskopis  hukum  pertama  dalam  mendeskripsikan  perubahan  energi  sistem,  selanjutnya, diimplimentasikan untuk mengkaji proses adiabatik dan isovolum kuantum sistem 2 partikel simetri.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Working substance yang dipilih adalah dua partikel identik simetri yang terkurung dalam  kotak 1D. Dua  partikel  ini  dapat  memilih  untuk  menempati  tiga  tingkat  energi  yang  tersedia  dalam  kotak,
sehingga  terbangun  beberapa  konfigurasi  seperti  yang  akan  dideskripsikan.  Konfigurasi  sistem  ini menyumbangkan  varian eigen-state dan eigen-energy sistem  dua  partikel  secara  unik.  Dengan demikian nilai harap energinya diperoleh berdasar konfigurasi yang tersusun.

## 3.1. Konfigurasi Sistem 2 Partikel Simetri
Dua  partikel  identik  dan  simetri  pada  tingkat  energi  yang  terendah  untuk  kotak  potensial  1D, memungkinkan  2  partikel  dapat  berada  pada  tingkat  energi  yg  sama.  Kondisi  ini  menghasilkan  6 model konfigurasi yang mungkin yakni eigen-state 1 1   , 1 2   , 1 3   , 2 2   , 2 3   , 3 3   , yang masing berasosiasi  dengan eigen-energy 1 1 E  , 1 2 E  , 1 3 E  , 2 2 E  , 2 3 E  , 3 3 E  . Penggambaran  skenario  ke- enam konfigurasi dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 . Ragam Konfigurasi 2 partikel simetri dalam kotak 1D
Pasangan keadaan sistem dua partikel dengan eigen-value energi, yang berkaitan, secara urut dari keadaan dasar hingga keadaan tereksitasi teringgi disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Eigen-value of energy untuk masing-masing konfigurasi
No Eigen-state Eigen-energy 1
1 2 1 1 2 2 sin sin x x L L L  
                  
  2 2 1 1 2 E mL    2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 sin sin sin sin x x x x L L L L L                                       2 2 1 2 2 5 2 E mL    3 1 2 2 2 2 2 2 2 sin sin x x L L L                        2 2 2 2 2 8 2 E mL    4 1 2 2 1 1 3 3 3 2 sin sin sin sin x x x x L L L L L                                      
2 2 1 3 2 10 2 E mL   
5 1 2
2 1 2 3 2 3 2 3 2 sin sin sin sin x x x x L L L L L                                      
2 2 2 3 2 13 2 E mL   
6
1 2 3 3 3 3 2 2 sin sin x x
L L L  
                    
2 2 3 3 2 18 2 E mL   
Dari Tabel 1 dan persamaan (15) diperoleh nilai harap Hamiltonian sistem sebagai berikut.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 3 5 8 10 13 18 2 2 2 2 2 H mL mL mL mL mL mL E P P P P P P                    (21)

## 3.2. Proses adiabatik Kuantum dan persamaan sistem
Proses  adiabatis  kuantum  dapat  memformulasi  proses  adiabatis  klasik.  Karena  proses  adiabatis kuantum berlangsung sangat lambat sedemikian hingga kondisi adiabatik kuantum terpenuhi sehingga probabilitas  kedudukan  tidak  berubah.  Tidak  terjadi  perpindahan  panas  selama  proses  berlangsung, akan tetapi usaha tidak bernilai nol. Proses adiabatik klasik tidak perlu mempersyaratkan probabilitas kedudukan  harus  invarian.  Satu  contoh,  ketika  proses  berlangsung  dengan  sangat  cepat  dan  kondisi adiabatik  kuantum  tidak  terpenuhi,  eksitasi  internal  cenderung  terjadi,  akan  tetapi  tidak  terjadi pertukaran panas antara substansi kerja dan tandon panas eksternal. Proses termodinamis demikian ini adalah proses adiabatik klasik, namun bukan proses adiabatik kuantum.
Perubahan  energi  internal,  di  bawah  proses  adiabatik,  terjadi  karena  interaksi  sistem  dengan lingkungan  dalam  bentuk  usaha.  Untuk  sistem  kotak  1D,  usaha  yang  dilakukan  atau  dialami  sistem merupakan usaha mekanik, sedemikian hingga energi internal menurun jika sistem  melakukan usaha sehingga  lebar  kotak  mengalami  peningkatan  dan  sebaliknya.  Pada  kondisi  ini  hukum  pertama termodinamika memenuhi,
adiabat
, d d δ m n m n m n P E E W       . (22)
Dalam  proses  ini,  lebar  kotak  berubah  sebagaimana  dinding  potensial  bergerak.  Tidak  terdapat transisi  diantara  tingkat  energi,  hal  ini  dapat  direpresentasikan  dengan  kuadrat  modulus  koefisien ekspansi yang merupakan probabilitas kedudukan invarian. Hanya di bawah pengaruh proses adiabatis dapat didefinisikan usaha yang berdasar persamaan (22) dan (21) serta hubungan  d d W F L  diperoleh,
adiabat d d adaibat E F L   . (23)
Definisi gaya yang memenuhi persamaan (23) telah digunakan dengan baik untuk mengevaluasi mesin Carnot  1D  model  analogi  [1,2].  Jelas  bahwa  definisi  gaya  persamaan  (23)  dari  model  analogi  dasar sesungguhnya berlaku terbatas hanya untuk proses yang tidak disertai aliran kalor.
Secara khusus untuk kasus dua partikel simetri, gaya yang dialami atau dilakukan sistem selama proses adiabatis memenuhi persamaan berikut.
adiabat
, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 5 8 10 13 18 d d adaibat m n m n m n P F P P P P P P mL mL mL mL mL mL E F L      
        
            
    (24)
dengan 2 j j P a  merupakan probabilitas bagi tiap tingkat energi.
Hubungan  antara eigen-energy dengan eigen-force diketahui  melalui  persamaan  (20).
Berdasarkan persamaan (20) dan nilai energi pada Tabel 1 dapat diperoleh hubungan antara gaya dan energy, 2 m n m n F E L    , yang berkaitan dengan 2 F E L  , atau 2 FL E  (25)
Telaah analogi kuantitas klasik dan kuantum P F  , V L  dan T E  memberikan informasi bahwa persamaan system kuantum, persamaan (25), analog dengan persamaan gas ideal PV NkT  .

## 3.3. Proses isovolume kuantum
Proses isovolume kuantum untuk sistem kotak 1D, analog dengan sistem klasik, berlangsung dengan mempertahankan lebar kotak (yang berperan sebagai volume) sehingga konstan selama proses. Usaha mekanik  di bawah proses isovolume bernilai nol mengingat tidak terjadi perubahan lebar kotak 1D. Dengan  demikian  aliran  energi  panas  yang  melewati  batas  sistem  dan  tandon  seluruhnya  berakibat pada  perubahan  energi  internal  sistem.  Ungkapan  hukum  pertama  bagi  sistem  di  bawah  proses isovolume memenuhi,
, d d δ m n m n m n E P E Q      (26)
Pertukaran  energi  panas  dalam  proses  isovolume  kuantum  menimbulkan  perubahan  entropi  S sistem  sehingga  sistem  mengalami  transisi  antar  tingkat  energi  yang  dinyatakan  dengan  terdapatnya perubahan probabilitas kedudukan   sepanjang proses. Dengan demikian kalkulasi energi  panas yang diserap sistem dapat dilacak dari perubahan energi internal dari awal hingga akhir proses isovolume berlangsung  yang  diwakili  oleh  nilai  harap  energi  pada    proses  awal i E dan  hingga  proses  akhir Isovolume f E .
δ f i Q E E   (27)
Dengan  meninjau  persamaan  (26)  yang  mendefinisikan  nilai  harap  hamiltonian  sebagai  energi sistem  yang  berkaitan  dngan  probabilitas  dari  keadaan  sistem,  serta  dengan  meninjau  lebar  sistem untuk proses isobarik bernilai konstan maka persamaan (27) dapat dituliskan sebagai
      2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 , 1 , 1 3 , 1 δ 2 2 f i m n m n n m n m f i m n m n m n n m Q P n m
P n m mL mL
P P E      
                     


 (28)
Satu  contoh  kasus,  jika  probabilitas  keadaan  sistem  untuk  kondisi  awal  proses  isovolume, probabilitas  sistem  100%  berada  di  keadaan 1 1   dan  probabilitas  keadaan  lain  bernilai  0%, sedangkan pada akhir proses isovolume umtuk probabilitas sistem 100% berada di keadaan 3 3   , dan keadaan lain 0%, maka persamaan (28) menghasilkan,
      3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2
3 3 1 1 .
2 Q P E P E P P mL          
 
        (29)
Implementasi  persamaan  (27)  dapat  menghasilkan  kuantitas  aliran  panas  yang  terjadi  dari lingkungan  ke  sistem  atau  dari  sistem  ke  lingkungan.  Telah  diketahui  bahwa  konsep  panas  dan alirannya merupakan hal yang tidak biasa disajikan dalam teori kuantum.
Dengan  telah  dikonstruksinya  sistem  dua  partikel  simetri  dan  proses  adiabatic  dan  isovolume kuantum, maka dapat disusun suatu mesin panas kuantum, dalam hal ini mesin Otto kuantum dengan 2 partikel simetri sebagai working Substance . Sangat disarankan agar penelitian ini dilanjukan hingga terbangun  mesin  Otto  kuantum  sistem  dua  partikel  Boson  serta  kajian  efisiensinya  sehingga  dapat dibandingkan  dengan  nilai  efisiensi  mesin  panas  kuantum  partikel  tunggal. Kajian  lebih  lanjut  juga
sangat dianjurkan untuk  melakukan eksplorasi persamaan sistem dan kaitannya dengan  karakteristik working substance.

## 4. Kesimpulan
Sistem  2  partikel  identik  simetri  yang  terkurung  di  dalam  kota  potensial  1D  dengan  ketersediaan  3 tingkat keadaan terendah menghasilkan 6 konfigurasi. Ke-enam konfigurasi sistem 2 partikel tersebut menghasikan eigen-state yang  berasosiasi  dengan eigen-value  energy masing-masing,  yang membentuk  tingkat  energi  sistem  secara  berurutan  dan  menyusun  ensambel  sistem.  Energi  internal yang  merupakan  Nilai  harap  Hamiltonian  diperoleh  dari  rerata  energi  hasil  pengukuran  seluruh anggota ensambel penyusun sistem.
Perubahan  energi  sistem  mematuhi  hukum  pertama  yang  secara  mikroskopis  berkaitan  dengan perubahan  probablilitas  tiap  tingkat  energi  (berkaitan  dengan  aliran  panas)  dan  perubahan  energi  di tiap  tingkat  (berkaitan  dengan  usaha  yang  dialami/dilakukan  oleh  sistem).  Proses  adiabatis  dan isovolume  sistem  2  partikel  simetri  dalam  kotak  satu  dimensi  telah  didefinisikan  secara  eksplisit. Proses adiabatik sistem ini mampu mengantarkan pada persamaan sistem yang ternyata analog dengan persamaan gas ideal.
Sangat disarankan agar penelitian ini dilanjutkan hingga terbangun mesin Otto kuantum sistem dua partikel Boson serta kajian efisiensinya sehingga dapat dibandingkan dengan nilai efisiensi mesin panas  kuantum  partikel  tunggal.  Kajian  lebih  lanjut  juga  sangat  dianjurkan  untuk  melakukan eksplorasi persamaan system dan kaitannya dengan karakteristik working substance.

## Daftar Rujukan
[1] Bender  CM,  Brody  DC  dan  Meister  BK.  Quantum  mechanical  Carnot  engine. Journal  of Physics  A:  Mathematical  and  General .  2000; 33 (24):  4427–4436.  DOI:10.1088/0305- 4470/33/24/302.
[2] Latifah E dan Purwanto A. Multiple-State Quantum Carnot Engine. journal of modern physics . 2011; 2 (11): 1366–1372. DOI:10.4236/jmp.2011.211169.
[3] Latifah  E  dan  Purwanto  A.  Multiple-state  quantum  Otto  engine,  1D  box  system.  2014; 137 : 137–140. DOI:10.1063/1.4868768.
[4] Latifah  E  dan  Purwanto  A.  Quantum  Heat  Engines ;  Multiple-State  1D  Box  System.  2013; 2013 (August): 1091–1098.
[5] Nalbach  P  dan  Thorwart  M.  Enhanced  quantum  efficiency  of  light-harvesting  in  a biomolecular  quantum  “steam  engine.” Proceedings  of  the  National  Academy  of  Sciences . 2013; 110 (8): 2693–2694. DOI:10.1073/pnas.1220587110.
[6] Stefanatos  D.  Optimal  efficiency  of  a  noisy  quantum  heat  engine. Physical  Review  E  - Statistical, Nonlinear, and
Soft Matter
Physics . 2014; 90 (1). DOI:10.1103/PhysRevE.90.012119.
[7] Opatrný T dan Scully MO. Enhancing Otto-mobile efficiency via addition of a quantum carnot cycle. Fortschritte der Physik . 2002; 50 (5–7): 657–663. DOI:10.1002/1521- 3978(200205)50:5/7<657::AID-PROP657>3.0.CO;2-#.
[8] Quan HT, Zhang P dan Sun CP. Quantum heat engine with multilevel quantum systems. Phys. Rev. E . 2005; 72 (5): 56110. DOI:10.1103/PhysRevE.72.056110.
[9] Quan  HT,  Liu  Y,  Sun  CP  dan  Nori  F.  Quantum  Thermodynamic  Cycles  and  quantum  heat engines. 2006; : 1–19. DOI:10.1103/PhysRevE.76.031105.
[10] Dorfman KE, Voronine D V., Mukamel S dan Scully MO. Photosynthetic reaction center as a quantum heat engine. Proceedings of the National Academy of Sciences . 2013; 110 (8): 2746– 2751. DOI:10.1073/pnas.1212666110.
[11] Xu  D,  Wang  C,  Zhao  Y  dan  Cao  J.  Polaron  effects  on  the  performance  of  light-harvesting systems:  A  quantum  heat  engine  perspective. New  Journal  of  Physics .  2016; 18 (2):  1–10. DOI:10.1088/1367-2630/18/2/023003.
[12] Silva  R,  Manzano  G,  Skrzypczyk  P  dan  Brunner  N.  Performance  of  autonomous  quantum thermal machines: Hilbert space dimension as a thermodynamical resource. Physical Review E
- Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics . 2016; . DOI:10.1103/PhysRevE.94.032120.
[13] Muñoz  E  dan  Peña  FJ.  Quantum  heat  engine  in  the  relativistic  limit:  The  case  of  a  Dirac particle. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics . 2012; 86 (6): 1– 11. DOI:10.1103/PhysRevE.86.061108.
[14] Sukamto  H,  Purwanto  A  dan  Subagyo  A.  Mesin  Panas  Kuantum  Partikel  Relativistik  pada Sumur Potensial 2 Dimensi. 2014; : 103–107.
[15] Purwanto  A,  Sukamto  H,  Subagyo  BA  dan  Taufiqi  M.  Two  Scenarios  on  the  Relativistic Quantum Heat Engine. Journal of Applied Mathematics and Physics . 2016; 4 (7): 1344–1353. DOI:10.4236/jamp.2016.47144.
[16] Quan  HT,  Zhang  P  dan  Sun  CP.  Quantum  Heat  Engine  with  Multilevel  Quatum  Systems. Phys. Rev. E . 2005; 72 : 56110.
[17] Latifah E dan Purwanto A. Quantum Heat Engines; Multiple-State 1D Box System. Journal of Modern Physics . 2013; 4 (8): 1108–1115. DOI:10.4236/jmp.2013.48146.