Vol. 11, No. 2,  84-92,  Januari  2015
Kelengkapan Ruang pada Ruang Norm-2
Faisal 1 , Jusmawati Massalesse 2 , Muh Nur 3
Abstrak
Tulisan  ini  bertujuan  untuk  menentukan  bahwa  ruang
dengan  norm-2  yang
didefinisikan dengan
‖    ‖ |    ( )|
merupakan  ruang  norm-2  yang  lengkap.  Metode  pembuktiannya  dilakukan  dengan menunjukkan  bahwa  sebarang  barisan  Cauchy  di
konvergen  ke  suatu  elemen
dalam ruang norm- .
Kata Kunci :  Ruang norm- , ruang , ruang norm lengkap.

## 1.   Pendahuluan
Konsep  ruang  norm  pertama  kali  dikemukakan  oleh  S.  Banach,  H.  Hahn  dan  N.  Wiener pada  tahun  1922,  kemudian  teorinya  dikembangkan  oleh  S.  Banach  pada  tahun  1932.  Ruang norm  adalah  ruang-ruang  yang  dibangun  dari  ruang  vektor  dengan  norm  yang  terdefinisikan  di dalamnya.  Ruang  vektor X mempunyai  norm  yang  dilambangkan  dengan ‖  ‖ dan  pasangan ‖  ‖ disebut ruang norm. Sebuah ruang disebut ruang norm yang lengkap (Ruang Banach) jika setiap  barisan  Cauchy  dalam  ruang  tersebut  konvergen  ke  suatu  elemen  yang  ada  dalam  ruang tersebut.
Konsep  ruang  norm-2  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Gähler  pada tahun  1960-an.  Sejak saat itu, ruang norm telah banyak dikaji oleh para matematikawan antara lain H. Gunawan dan M. Mashadi  dalam  tulisannya  “On  finite-dimensional  2-normed  space“pada  tahun  2001.  Norm-2 dilambangkan ‖   ‖ , sedangkan ‖      ‖ menyatakan ruang norm-2. Salah satu contoh ruang norm adalah ruang Ruang merupakan ruang fungsi- fungsi  kontinu  pada  interval  tertutup
.  Kreyszig  (1989)  menyatakan  bahwa  norm  pada
didefinisikan dengan: 1 ‖ ‖ |    | (1)
B eberapa penelitian telah membuktikan bahwa
yang dilengkapi dengan suatu norm- 2  merupakan  ruang  norm-2  yang  lengkap.  Enjun  Junaetidalam  tulisannya  “ Ruang  Fungsi  Real Kontinu  pada  Interval  [a,b]  Sebagai  Ruang  Norm- ”  membuktikan  kelengkapan  ruang pada ruang norm dengan memanfaatkan suatu diagram  keterkaitan antara  kekonvergenan barisan  terhadap  norm- n dan  kekonvergenan  barisan  terhadap  norm  di
Pada  tulisan  ini, kelengkapan ruang
pada norm-2 dilakukan dengan menggunakan kriteria barisan Cauchy, yaitu  dengan  membuktikan  bahwa  setiap  barisan  Cauchy  di
konvergen  ke  suatu
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## 2.  Ruang
2.1. Ruang sebagai ruang vektor
Sebelum membuktikan sebagai ruang vektor, terlebih dahulu diberikan pengertian ruang
sebagai berikut: Definisi 1 Himpunan  semua  fungsi  bernilai  real yang  kontinu  pada  interval  tutup disebut ruang fungsi kontinu pada interval dan dituliskan dengan notasi Jadi, | kontinu untuk setiap Dengan mengunakan aksioma ruang vektor, berikut ini diperlihatkan bahwa adalah ruang
vektor.
Misalkan dengan sebarang skalar. 1. Akan ditunjukkan jika maka Diketahui artinya untuk setiap Sehingga = = jadi
2. Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang skalar jika maka Diketahui artinya untuk setiap
Dengan menggunakan sifat limit maka
= jadi
3. Akan ditunjukkan
Untuk setiap = =
= =
Jadi
=
4. Akan ditunjukkan Untuk setiap
= = = ( ) = 5. Pilih  fungsi untuk  setiap .  Untuk  setiap berlaku

## Faisal, Jusmawati Massalesse, Muh Nur
6. Untuk  setiap pilih sedemikian  sehingga =
= = 7. Akan ditunjukkan Untuk setiap
( )
= = 8. Akan ditunjukkan Untuk setiap ,
= =
9. Akan ditunjukkan
Untuk setiap ( ( ))
= =
10. Akan ditunjukkan Untuk setiap = =
Karena
memenuhi aksioma ruang vektor maka
adalah ruang vektor . 2.2. Ruang

## sebagai ruang norm
Definisi 2.
Misalkan adalah  ruang  vektor  real. Norm  pada didefinisikan  sebagai  suatu  pemetaan ‖ ‖ dimana untuk setiap dan memenuhi : 1 . ‖ ‖ 2 . ‖ ‖ ,  jika dan hanya jika 3 . ‖  ‖   | |‖ ‖ 4 . ‖     ‖   ‖ ‖   ‖ ‖ .
Selanjutnya,  pasangan ‖ ‖ disebut ruang norm.
Berikut ini dibuktikan bahwa norm pada yang didefinisikan dengan ‖ ‖ |    |

## merupakan ruang norm
Bukti.
1. Diketahui
‖ ‖ |    |
Untuk yang tetap maka ‖ ‖ |    | Karena |    | maka ‖ ‖
2. Akan ditunjukkan ‖ ‖ |    | jika dan hany jika ( Misalkan ‖ ‖ artinya |    | . Untuk setiap berlaku : ‖ ‖ |    | Karena ‖ ‖ maka |    | Jadi
untuk setiap
( Misalkan . Berdasarkan definisi nilai mutlak maka |    | untuk setiap . Hal ini berarti |    | .
Jadi ‖ ‖ 3. Akan ditunjukkan ‖  ‖ | |‖ ‖ untuk setiap dan Dari definisi diperoleh: ‖  ‖ |     | = | ||    | = | | |    | = | |‖ ‖ 4. Akan ditunjukkan ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap Misalkan ‖ ‖ | | dan ‖ ‖ | | Maka ‖ ‖ | | | | | | = ‖ ‖ ‖ ‖ Sehingga ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Karena ‖ ‖ memenuhi sifat norm , maka adalah ruang norm.

## 2.3. Kelengkapan Ruang
Definisi 3 . Misalkan ‖ ‖ adalah ruang norm, X dikatakan lengkap jika untuk setiap barisan Cauchy dalam konvergen ke suatu
Ruang norm yang lengkap disebut ruang Banach.
Definisi 4 . Ruang disebut ruang yang lengkap jika setiap barisan Cauchy di konvergen ke
suatu
Definisi  diatas  akan  digunakan  untuk  membuktikan  ruang yang  dilengkapi  norm  yang didefiniskan  dengan
‖ ‖ |    | merupakan ruang norm lengkap

## Bukti.
Misalkan sebarang  barisan  Cauchy  di .  Jadi  untuk  setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ | | (2) Akibatnya untuk suatu ,  berlaku: | | (3)

## Faisal, Jusmawati Massalesse, Muh Nur
Hal  ini  memprelihatkan  bahwa adalah  sebuah  barisan Cauchy di Karena lengkap maka barisan ( ) konvergen, katakanlah dengan Dengan  cara  yang  sama,    untuk tertentu,  terdapat  barisan konvergen  ke dengan Perhatikan  bahwa  setiap berpasangan dengan tepat satu sehingga hal ini mendefinisikan fungsi pada interval . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk konvergen ke untuk Dari persaman (2) dengan diperoleh | | Sehingga untuk setiap berlaku | |
Hal  ini  menunjukkan  bahwa konvergen  seragam  ke di berdasarkan  criteria Cauchy  untuk  konvergen  seragam.  Karena  barisan
kontinu  dan  konvergen  seragam  di maka  limit  fungsi juga  kontinu  di sehingga .  Karena barisan Cauchy  sebarang  di dan  untuk  setiap berlaku konvergen  ke maka lengkap.
2.4. Ruang

## sebagai Ruang Norm-2
Ruang norm-2 didefinisikan sebagai berikut
Definisi 5
Misalkan adalah ruang vektor real dengan dimensi boleh tak hingga). Suatu fungsi ‖      ‖ yang memenuhi empat sifat:
1. ‖    ‖ jikan dan hanya jika x dan y bergantung linear;
2. ‖    ‖   ‖    ‖ untuk setiap
3. ‖     ‖   | |‖    ‖ untuk setiap
4. ‖        ‖   ‖    ‖   ‖    ‖ untuk setiap
dinamakan norm-2 dan pasangan ‖      ‖ dinamakan ruang norm-2 (Gunawan,2011). Ruang norm-2 yang lengkap disebut juga ruang Banach-2.
Uraian berikut ini memperlihatkan bahwa ruang
dengan norm sebagaimana  didefinisikan pada (1) merupakan Ruang Norm-2. Berdasarkan uraian  sebelumnya telah diketahui bahwa
‖ ‖ |    | Selanjutnyadiketahui suatu norm pada didefinisikan dengan ‖    ‖ |    ( )| (4)
(Junaeti ,2011:20)
Pembuktian norm-2 dilakukan dengan menunjukkan bahwa norm sebagaimana didefinisikan pada (4) memenuhi sifat-sifat pada definisi 5 sebagai berikut:
1. Akan ditunjukkan ‖    ‖
jika dan hanya jika dan bergantung linear.
Akan ditunjukkan jika ‖    ‖ maka dan bergantung linear. Diketahui ‖    ‖
Jadi |    ( )| Dengan kata lain (
)
Hal ini berarti terdapat baris atau kolom matriks yang berkelipatan Tanpa mengurangi keberlakuan umum, misalkan
( )     ( ) atau
Jadi dan bergantung linear.
Akan ditunjukkan jika dan bergantung linear maka ‖    ‖ Karena dan bergantung linear maka terdapat sedemikian sehingga ( )     ( ) Akibatnya ‖    ‖ |    ( )| |    ( )| Terbukti ‖    ‖ 2. Akan ditunjukkan ‖    ‖ ‖    ‖ ‖    ‖ |    ( )| |                   | |                   | |                   |
|    ( )| ‖    ‖
Jadi ‖    ‖ ‖    ‖ .
3. Akan ditunjukkan ‖     ‖ | |‖    ‖ ‖     ‖ |    ( )| |                     | |                      | | ||                   | | | |                   | | |‖    ‖ Jadi ‖     ‖ | |‖    ‖
4. Akan ditunjukkan ‖        ‖ ‖    ‖ ‖    ‖
‖        ‖ = |    ( )| |    ( )       ( )| |    ( )| |    ( )| ‖    ‖ ‖    ‖
Jadi dapat disimpulkan bahwa
|    ( )| merupakan norm-2 pada ruang . 2.5. Kelengkapan Ruang pada Norm-2
Pada  subbab  ini  akan  ditunjukkan  bahwa  ruang
merupakan  ruang  norm-2  yang  lengkap, dengan norm -2 yang didefinisikan dengan
‖    ‖ |    ( )| (5) Bukti. Misalkan sebarang barisan Cauchy di maka untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ |    ( )| (6) Ambil yang tetap maka berlaku |    ( )| atau | | (7) Kasus I Dari persamaan (7) diperoleh | | | |   | | | |       | | Jika | | mengakibatkan | | Kasus II Jika | | maka persamaan (7) menjadi | | |( ) | |( ) |   | | | |       | | Jika | | mengakibatkan | |
Dari kasus I dan II diperoleh:
| |        | | Sehingga disimpulkan bahwa dan adalah barisan Cauchy di Karena lengkap maka barisan dan konvergen. Misalkan dan untuk Kemudian akan ditunjukkan dan Dari persamaan (5), untuk setiap diperoleh |    ( )| Untuk dimana diperoleh |    ( )|
Akibatnya:
| ( )    | Sehingga untuk setiap dan berlakU | ( )    | (8)
Persamaan  (8)    menunjukkan  bahwa
konvergen  seragam  ke
di berdasarkan
kriteria Cauchy untuk konvergen seragam. Karena barisan kontinu dan konvergen seragam
di maka  limit  fungsi juga  kontinu  di sehingga .  Karena barisan Cauchy sebarang di dan untuk setiap berlaku konvergen ke  . Jadi ‖       ‖ lengkap.

## 3. Penutup
Ruang merupakan  ruang  fungsi  real  kontinu  pada  interval ,  Dengan  norm-2  yang didefinisikan dengan persamaan ‖    ‖ |    ( )|
Telah ditunjukkan bahwa dengan norm  yang didefinisikan tersebut, sebarang  barisan Cauchy di konvergen  ke  suatu  fungsi  kontinu
.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  ruang
‖      ‖ merupakan  ruang  norm-2  yang  lengkap,  yang  telah  dibuktikan  pada subb ‖      ‖ merupakan ruang norm-2 yang lengkap.

## Daftar Pustaka
[1] Anton, H., dan Chris Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer . 8 th Edition. Jakrta : Erlangga.
[2] Bartle,  Robert  G.,  dan  Donald  R.  Sherbert.  2000. Introduction  to  Real  Analysis .  Third Edition. New  York:   John Wiley and Sons. Inc.

## Faisal, Jusmawati Massalesse, Muh Nur
[3] Kreyszig.E,    1989. Introductory  Functional  Analysis with  Application .  New  York  :  John Wiley and Sons. Inc.
[4] Gunawan,  H  dan  M.  Mashadi.  2001. On  Finite-Dimensional  2-Normed  Space. Soochow  J. Volume 27, 321-329.
[5] Junaeti,  Enjun.  2011. Ruang  Fungsi  Real  Kontinu  Pada  Interval  [a,b]  Sebagai  Ruang Norm-N . Bandung : Thesis Institut Teknologi Bandung.
[6] Nur,  Muh.  2011. Teorema  Titik  Tetap  di  Ruang  Norm- Standar .  Bandung  :  Thesis Institut Teknologi Bandung.