## ABSTRAK

## SIMULASI MONTE CARLO DALAM PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER
Djaffar Lessy, Dosen Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, IAIN Ambon 081343357498, E-mail: Djefles79@yahoo.com
Opsi yang terdapat pada pasar keuangan ada bermacam-macam, antara lain : opsi Amerika,  opsi  Eropa,  dan  juga  opsi  eksotik  seperti  opsi  barrier,  opsi  Asia,  dan lain-lain.  Banyak  model  telah  ditemukan  untuk  menentukan  harga  opsi-opsi tersebut.  Untuk  opsi  barrier,  dapat  ditentukan  salah  satunya  dengan  simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo digunakan untuk menaksir interval harga opsi barrier, yang mana harga opsi barrier diprediksi berada pada interval tersebut.
Kata kunci : simulasi Monte Carlo, Opsi Barrier.

## PENDAHULUAN
Opsi adalah suatu kontrak antara writer dan holder yang memberikan hak, bukan  kewajiban  kepada holder untuk  membeli  atau  menjual  suatu  aset  pokok ( underlying  asset )  dengan  suatu  harga  tertentu  ( strike  price atau exercise  price ) pada  suatu  waktu  tertentu  dimasa  akan  datang  ( expiration  date atau maturity time ). Opsi yang terdapat pada  pasar keuangan ada bermacam-macam seperti opsi Amerika,  opsi  Eropa,  ada  juga  opsi  eksotik  ( exotic  option )  atau path  dependent option seperti  opsi  barrier,  opsi  Asia,  dan  lain-lain.  Hal  menarik  dalam  masalah opsi adalah menentukan harga yang pantas dibayar oleh holder kepada writer saat holder membeli sebuah opsi dari writer .
Banyak  model  telah  ditemukan  untuk  menentukan  harga  bermacam- macam opsi. Untuk menentukan harga opsi barrier dapat menggunakan beberapa model tersebut, salah satunya dengan simulasi Monte Carlo. Simulasi monte carlo adalah  salah  satu  model  yang  digunakan  untuk  menentukan  harga  opsi  dengan menaksir  interval  harga  opsi,  yang  mana  harga  opsi  diprediksi  berada  pada interval tersebut.
Dalam  tulisan  ini,  penulis  akan  mengkaji  tentang  penentuan  harga  opsi barrier dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Opsi Barrier
Opsi merupakan suatu surat berharga yang dapat diperdagangkan, nilainya tergantung  pada  suatu  nilai  dari  aset  pokok  ( underlying  asset ).  Pada  sembarang opsi,  terdapat  dua  pihak  yang  terlibat,  yaitu holder (pihak  yang  memegang  opsi) dan writer (pihak yang menerbitkan opsi).
Opsi  dapat  dikelompokkan  menjadi  dua  kategori  utama  berdasarkan  hak pemilik opsi, yaitu  opsi call dan opsi put . Opsi call adalah opsi untuk membeli sedangkan opsi put adalah opsi untuk menjual. Sebuah opsi call memberikan hak, bukan  kewajiban,  kepada  pemiliknya  ( holder )  untuk  membeli  sebuah  aset  dari writer dengan  harga  yang  telah  disepakati  ( strike  price atau exercise  price ),  dan hak  tersebut  berakhir  pada  waktu  yang  telah  ditentukan  ( expiration  date atau maturity  time ).  Sedangkan  opsi put memberikan  hak,  bukan  kewajiban,  kepada pemiliknya ( holder ) untuk menjual sebuah aset kepada writer dengan harga yang telah disepakati  ( strike price atau exercise price ), dan hak tersebut berakhir pada waktu yang telah ditentukan ( expiration date atau maturity time ). 1
Opsi barrier termasuk dalam jenis path dependent option , yaitu opsi yang nilainya bergantung dari perjalanan harga aset. Opsi barrier merupakan suatu opsi dimana payoff- nya  bergantung  pada  apakah  harga  aset  melewati barrier atau tidak, selama masa hidup opsi.
Opsi barrier terbagi atas beberapa jenis, yaitu :

## 1. Down-and-out
Opsi  ini  ‘hidup’  selama  harga  aset  belum  menyentuh  nilai barrier ,  dengan ,  pada  selang  waktu .  Jika  barrier  tidak  pernah  dilewati  maka payoff -nya  seperti payoff opsi Eropa, untuk opsi call dan untuk opsi put .

## 2. Down-and-in
Opsi  ini  ‘hidup’  hanya  setelah  harga  aset  menyentuh  nilai barrier ,  dengan , pada selang waktu . Jika barrier pernah dilewati maka payoff -
1 John C. Hull. Options, Futures, And Other Derivatives . (New Jersey : Pearson Derivatives, 2006), hlm. 6.
nya  seperti payoff opsi  Eropa,
untuk  opsi call dan untuk opsi put .
3. Up-and-out
Opsi  ini  ‘hidup’  selama  harga  aset  belum  menyentuh  nilai barrier ,  dengan ,  pada  selang  waktu .  Jika barrier tidak  pernah  dilewati  maka payoff -nya  seperti payoff opsi Eropa, untuk opsi call dan untuk opsi put .

## 4. Up-and-in
Opsi  ini  ‘hidup’  hanya  setelah  harga  aset  menyentuh  nilai barrier ,  dengan , pada selang waktu . Jika barrier pernah dilewati maka payoff - nya  seperti payoff opsi  Eropa,
untuk  opsi call dan untuk opsi put . 2
Diberikan  hubungan  antara  opsi barrier  down-and-in dan down-and-out , dan juga opsi barrier up-and-in dan up-and-out , yaitu sebagai berikut : 3
in + out = European
Hubungan ini berlaku untuk opsi call maupun opsi put.

## 2. Simulasi Monte Carlo
Metode  Monte  Carlo  pada  dasarnya  digunakan  sebagai  prosedur  numerik untuk menaksir nilai ekspektasi dari suatu peubah acak sehingga metoda ini dapat digunakan  untuk  permasalahan pricing  product  derivative jika  direpresentasikan sebagai nilai ekspektasinya. Prosedur simulasi melibatkan generating dari peubah acak  dengan  suatu  fungsi  kepadatan  dan  dengan  menggunakan law  of  large number maka rata-rata dari nilai ini dapat dinyatakan sebagai penaksir ekspektasi peubah acak tersebut. Dalam konteks penentuan harga produk derivatif, prosedur Monte Carlo terdiri dari atas langkah-langkah berikut : 4
2 Desmond  J.  Higham. An  Introduction  to  Financial  Option  Valuation. (New  York  : Cambridge University Press, 2004), hlm. 187-188.
3 Ibid. hlm. 189.
4 John  C.  Hull. Options,  Futures,  And  Other  Derivatives .  (New  Jersey  :  Pearson Derivatives, 2006), hlm. 411.
1) Simulasi  terhadap  tiap  sampel  sebagai path dibawah  variabel  yang didefinisikan  sebagai  derivatif  sehingga  didapatkan  harga  asset  dan  derivatif berdasarkan  distribusi probability yang bersifat risk neutral.
2) Untuk setiap sampel, periksalah nilai discounted dari harga derivatif.
3) Ambilah nilai rata-rata dari discounted derivative price untuk setiap sampel. Misalkan X peubah acak dengan ekspektasi E(X) = a dan Var (X) = yang nilainya  belum  diketahui.
adalah  barisan  peubah  acak  yang berdistribusi identik dengan X, maka penaksir tak bias untuk a adalah
dan penaksir tak bias untuk adalah Berdasarkan teorema limit pusat untuk berlaku Akibatnya atau Akan didapatkan taksiran interval untuk a. Perhatikan
dengan mengambil maka
Sehingga  diperoleh  selang  kepercayaan  95  %  untuk a adalah
.
Akurasi  dapat  diperoleh  malalui  dua  cara  yaitu  memperbesar M sehingga memberikan waktu komputasi yang lama dan yang kedua adalah mengecilkan dalam menggunakan control variabel.
Untuk opsi Call Eropa
Untuk opsi Put Eropa
Dengan model pergerakan harga saham
dengan
Kita cari ekspektasi dari peubah acak

## Simulasi Monte Carlo untuk Menentukan Opsi Barrier
Barrier  option  memiliki  payoff  yang  dapat  ‘hidup’  atau  ‘mati’  tergantung kepada  batasan  asset  yang  didefinisikan. H  =H  (t,S) adalah  nilai  pada  asset S (tanpa deviden) saat t dengan tingkat suku bunga sebesar r, maturity time T , dan volatility Nilai opsi ini akan menjadi nol ketika harga aset menyentuh batasan yang  didefinisikan.  Berdasarkan  posisi  batasannya,  Barrier  option  terdiri  dari Barrrier up dan Barrier down, dengan C ( S,T ) adalah harga call pada saat maturity time, maka payoff untuk opsi barrier adalah :
 Barrier up (B > )
Nilai payoof untuk Barrier up terbagi dua yaitu Barrier up  up and in
1. Untuk Barrier up and out
 C ( S,T ) = max { S(T) – K , 0} jika
 C ( S,T ) = 0 jika S > B untuk suatu
2. Untuk Barrier up and in
 C ( S,T ) = 0 jika
 C ( S,T ) = max { S(T) – K , 0} jika S > B untuk suatu
 Barrier down ( B < )
Nilai payoff untuk Barrier down juga terbagi dua yaitu Barrier down and out dan Barrier down and in
1. Untuk Barrier down and out
 C ( S,T ) = 0 jika S < B untuk suatu
 C ( S,T ) = max { S(T) – K , 0} jika
2. Untuk Barrier down and in
 C ( S,T ) = max { S(T) – K , 0} jika S < B untuk suatu
 C ( S,T ) = 0 jika
Dimisalkan  pembahasan  kali  ini  memiliki  barrier,  yaitu
sebagai  barrier bawah  dan sebagai  barrier  atas,  maka  pemisah  ini  dinyatakan  dalam
akan  didapatkan  nilai  batasan  untuk  persamaaan  differensial  parsial
adalah
bersesuaian dengan barrier bawah,
bersesuaian dengan barrier atas.
Untuk jenis opsi barrier out , harga opsi akan bernilai nol apabila S = atau S =
sehingga untuk persamaan differensial terpenuhi
Ukan
Nilai  ini  merupakan  syarat  batas  untuk  persamaan .  Sedangkan syarat awal untuk persamaan adalah nilai V ketika harga
opsi pada saat maturity time, yaitu :
untuk opsi call, untuk opsi put.

## Algoritma Penentuan Harga Opsi Barrier dengan Simulasi Monte Carlo
Dalam  menentukan  selang  kepercayaan  harga  opsi,  dilakukan  langkah-langkah sebagai berikut :
1. Input data yang dibutuhkan, yaitu :
M = banyaknya iterasi
N = banyaknya hari perdagangan saham dalam 1 tahun n = time to maturity
r = interest rate sigma = volatility T = n/N
So = harga saham awal K = strike price
B = Barrier
2. Definisikan kemudian  hitung  mean  dan  standart  deviasi  dari
3. Memilih opsi apa yang digunakan apakah opsi put atau opsi call
4. Hitung payoff opsi barrier
5. Hitung mean dan standar deviasi dari harga opsi yang diperoleh
6. Buat selang kepercayaan harga opsi sebesar 95 %

## Hasil Simulasi Monte Carlo untuk Opsi Barrier
Simulasi  dilakukan  dengan  bantuan  program  MATLAB.  Hasil  simulasi  dengan nilai parameter yang diinput adalah sebagai berikut :

## Opsi Call
 Barrier Up
Untuk So = 98,  K = 95, ,  r = 0.06,  T = 25,  N= 252, n = 30, B = 120. M Mean out SK out Mean in SK in 10 1.5332 [-0.74174 3.8082] 8.1796 [-1.4115 17.7708] 100 3.0341 [1.9555 4.1126] 4.27 [2.3121            6.228 ] 1000 3.1363 [2.7857            3.487 ] 5.3299 [4.5661 6.0937] 10000  3.4157 [3.3008 3.5306] 5.2599 [5.0193 5.5005]
 Barrier Down Untuk So = 98,  K = 95, ,  r = 0.06,  T = 25,  N= 252, n = 30, B = 90. M Mean out SK out Mean in SK in 10 7.0012 [-0.62837 14.6307] 0.2434 [-0.1771 0.66394] 100 7.2630 [4.8397 9.6863] 1.6879 [0.77261 2.6032] 1000 7.2746 [6.5293 8.0199] 1.3203 [1.0619 1.5788] 10000  7.5399 [7.2974 7.7824] 1.3105 [1.3105 1.3975]

## Opsi Put
 Barrier Up
Untuk So = 98,  K = 115, ,  r = 0.06,  T = 25,  N= 252, n = 30, B = 120. M Mean out SK out Mean in SK in 10 21.8002 [11.9054          31.695 ] 1.3690 [-1.3143 4.0523] 100 16.2843 [13.5659 19.0026] 0.2459 [-0.02883 0.52057] 1000 17.3911 [16.5386 18.2436] 0.3780 [0.2376 0.51831] 10000  17.5091 [17.2337 17.7845] 0.3903 [0.34532 0.43535]
 Barrier Down Untuk So = 98,  K = 115, ,  r = 0.06,  T = 25,  N= 252, n = 30, B = 90. M Mean out SK out Mean in SK in 10 1.9122 [-0.62145        4.4459]  11.0030 [2.1625 19.8435]
100 4.2697 [2.9586 5.5808] 14.1218 [10.9531 17.2904] 1000 3.4690 [3.0726 3.8655] 14.5499 [13.5664 15.5335] 10000  3.2069 [3.0868            3.327 ]  14.7679 [14.4596 15.0762]
Hasil simulasi menunjukkan bahwa semakin besar nilai M (banyaknya langkah), semakin memperkecil lebar selang.

## KESIMPULAN
Dari pembahasan di atas, ditarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Harga  opsi  barrier  dapat  ditentukan  dengan  menggunakan  simulasi  Monte Carlo.
2. Pada  simulasi  Monte  Carlo  untuk  menentukan  harga  opsi  barrier,  semakin besar banyaknya langkah (M) maka semakin memperkecil lebar selang.

## DAFTAR PUSTAKA
Higham,  J.  Desmond  (2004). An  Introduction  to  Financial  Valuation Mathematics,  Stochastics  and  Computation .  Cambrige  University  Press, New York.
Hull,  John  C.  (2006). Options,  Futures,  and  Other  Derivatives. Pearson Derivatives, New Jersey.