Optimasi Kecepatan Kereta Api
Menggunakan Metode Kontrol Model Prediksi
Pamor Gunoto
Jurusan Teknik Elektro Universitas Riau Kepulauan (UNRIKA) Jl. Batu Aji Baru No. 99, Batu Aji - Batam Email : pgunoto@yahoo.co.id

## Abstrak
Pada sistem jaringan kereta api, Grafik Perjalanan Kereta Api merupakan bagian yang sangat penting karena berperan pada suatu sistem jaringan kereta api yang sangat kompleks. Suatu keterlambatan kereta api tunggal dapat menyebabkan efek beruntun pada kereta api lainnya sehingga sistem penjadwalan akan mengalami perubahan sangat signifikan. Salah satu solusi yang digunakan untuk  meminimumkan  keterlambatan  kereta  api  adalah  dengan  mengoptimalkan  kecepatan  kereta  api  untuk  meminimumkan waktu tempuh kereta api. Penelitian ini menggunakan metode Kontrol Model Prediksi dengan merancang model sebagai kontrol. Penerapan pada model diperoleh kecepatan rata-rata yaitu 57,9 km/jam.
Katakunci : Kecepatan Kereta Api, Model Jaringan Kereta Api, Waktu Tempuh, Kontrol Model Prediksi.

## Abstrac
On a railway network systems, railway timetable is veryimportant part of a systems because it involves a very complex. A delay of  single  train  can  cause  a  continuity  affect  of  other  trains  that  cause  the  scheduling  system  will  experience  a  very  significant change. One solution that is used to minimize the train delay by optimization the speed of train. In this research using methode of model  predictice  control  (MPC)  for  design  model  by  controlled.  The  result  model  implementation  is  average  speed  of  57,9 km/hours.
Keyword : Speed of train, Railway networks model, Train travel, Model Predictive Control

## 1. Pendahuluan
Kereta  api  merupakan  salah  satu  alat  transportasi  utama  di seluruh dunia. Ketepatan waktu ( on time schedule ) merupakan salah  satu  indikator  dari  performansi  penjadwalan  kereta  api. Keterlambatan  waktu  keberangkatan  suatu  kereta  api  dapat menimbulkan efek beruntun yang menyebabkan kereta api lain mengalami  keterlambatan  pada  jadwal  keberangkatannya. Model  dan  algoritma  untuk  menghitung  perambatan keterlambatan  ( delay  propagation )  pada  jaringan  kereta  api dapat dimodelkan sebagai sistem linier didalam Aljabar Max- Plus  [1].  Terdapat  banyak  aturan  atau  kendala  ( constraints) yang  harus  dipenuhi,  misalnya  aturan  penyusulan  ( overtaking rule ),  aturan  persilangan  ( crossing  rule ),  aturan  jarak  antar kereta  ( headway) ,  kecepatan  maksimum  yang  diperbolehkan di  suatu  jalur,  dan  sebagainya.  Selain  kendala-kendala tersebut, jumlah kereta api dan besarnya jumlah jalur atau rute yang  harus  ditempuh  juga  menjadi  masalah  dalam penjadwalan kereta api.
Dengan  semakin  ketatnya  jadwal  kereta  api  yang  berangkat dan  datang  maka  diperlukan  suatu  pengaturan  waktu keberangkatan dan kedatangan agar diperoleh hasil
penjadwalan  yang  optimal.  Salah  satu  solusi  yang  digunakan yaitu  dengan  mengoptimalkan  kapasitas  jalur  kereta  api  [2], variasi  penumpang  yang  memakai  jasa  pelayanan  kereta  api dan  jarak  antar  kereta  [3].  Pada  kondisi  normal  (tidak  ada gangguan)  kereta  api  akan  mengikuti  jadwal  yang  telah ditentukan. Tetapi pada kondisi terjadi gangguan ( disturbance ) baik  berupa  keterlambatan  jadwal  atau  terjadinya  kerusakan teknis  pada  jaringan  infrastruktur  maka  akan  terjadi keterlambatan  waktu  yang  lebih  besar.  Dalam  meminimalkan keterlambatan  dapat  dilakukan  dengan  pemutusan  koneksi kereta  lanjutan  [4]  atapun  dengan  penjadwalan  ulang  dengan pengaturan  posisi  keberangkatan  kereta  ( change  train  order ) [5].
Sistem  kereta  api  dimodelkan  dengan  menggunakan  model Max-Plus  Linear  yang  berdasarkan  sistem  kejadian  diskrit ( discrete  event  system) .  Kontrol  Model  Prediksi  merupakan salah satu strategi kontrol yang menggunakan horison prediksi dalam  melakukan  optimisasi  untuk  menghasilkan  sinyal kontrol.  Dan  salah  satu  keuntungan  dari  MPC  adalah  dapat menangani  kendala  masukan  dan  keluaran  serta  selalu diperbaharuhi baik model ataupun strategi kontrolnya [6].
Vol. 5, No. 1, 2013, 33-37
ISSN: 2085-3858
Accepted March, 2013
Pada  penelitian  ini,  fungsi  objektif  adalah    untuk meminimumkan  total  keterlambatan  kereta  api  dengan menghasilkan sinyal kontrol kecepatan  yang digunakan  untuk mengatur  waktu  tempuh  perjalanan  kereta  api  dengan menggunakan  Kontrol  Model  Prediksi.  Simulasi  sistem penjadwalan  kereta  api  menggunakan  Program  Matlab  untuk mendapatkan sinyal kontrol yang optimal.
2. Tinjauan Pustaka

## a. Grafik Perjalanan Kereta Api (GAPEKA)
Grafik  Perjalanan  Kereta  Api  (GAPEKA)  berisi  sejumlah jadwal  perjalanan  kereta  api.  Gambar  1  menunjukkan  suatu GAPEKA  yang  tersusun  dari  sumbu  harisontal  yang menyatakan  waktu  dan  sumbu  vertikal  menyatakan  posisi stasiun.

## Gambar 1. GAPEKA
Waktu perjalanan yang diperlukan oleh kereta api diantara dua stasiun  yang  terdekat  adalah  merupakan  proyeksi  di  sumbu horisontal  diantara  dua  waktu,  sedangkan  kemiringan  ( slope) garis miring menentukan kecepatan dari masing-masing kereta api.  Semakin besar slope garis miringnya maka semakin besar kecepatan kereta api tersebut.

## b. Model Jalur Kereta Api
Didalam  sistem  jaringan  kereta  api,  penjadwalan  mengikuti sistem  operasi  nominal  dengan  siklus  waktu  T  ( periode) . Gambar 2 menunjukkan suatu jalur bagian dari jaringan kereta api.
Gambar 2. Jalur Jaringan Kereta Api
Beberapa kendala yang berhubungan dengan waktu keberangkatan kereta dari 𝑥 𝑖 (𝑘) adalah sebagai berikut [7] :
1. Kendala penjadwalan (timetable constraint)
Kereta api- i tidak berangkat sebelum waktu keberangkatan yang ditentukan oleh GAPEKA.
𝑥 𝑖 (𝑘)   ≥   𝑑 𝑖 (𝑘) (1)
2. Kendala koneksi ( connection constraint)
Apabila kereta api- i yang seharusnya memberikan koneksi kepada  kereta  api- j ,  maka  kereta  api- i hanya  dapat berangkat jika kereta api- j telah tiba di stasiun- i , sehingga
𝑥 𝑖 (𝑘) ≥   𝑥 𝑗 (𝑘 − 𝛿 𝑖,𝑗 (𝑘)) + 𝑎 𝑗 (𝑘) + 𝑐 𝑖𝑗 𝑚𝑖𝑛 (𝑘) (2)
Dengan 𝑖 ∈   𝒞 𝑗 (𝑘) ,  dimana 𝛿 𝑖,𝑗 (𝑘) adalah  siklus keterlambatan  diantara  kereta  api- i dan  kereta  api- j pada siklus ke- k .
3. Kendala lanjutan (continuity contraints)
Apabila kereta api- i adalah juga menjadi kereta api- j yang berada di jalur- j
𝑥 𝑖 (𝑘) ≥   𝑥 𝑗 (𝑘 − 𝛿 𝑖,𝑗 (𝑘)) + 𝑎 𝑗 (𝑘) + 𝑠 𝑗 𝑚𝑖𝑛 (𝑘) (3) 4. Kendala jarak antar kereta (follow constraints) :
Untuk masing-masing 𝑖 ∈ 𝜓 𝑗 (𝑘) maka :
𝑥 𝑖 (𝑘) ≥   𝑥 𝑗 (𝑘 − 𝛿 𝑖,𝑗 (𝑘)) + 𝑓 𝑗 𝑚𝑖𝑛 (𝑘) (4)
5. Kendala waktu tunggu (wait constraints) :
Untuk masing-masing 𝑖 ∈ 𝒲 𝑗 (𝑘) maka :
𝑥 𝑖 (𝑘) ≥   𝑥 𝑗 (𝑘 − 𝛿 𝑖,𝑗 (𝑘)) + 𝑎 𝑗 (𝑘) + 𝑤 𝑗 𝑚𝑖𝑛 (𝑘) (5)
Sistem kejadian diskrit ( Discrete Event System ) hanya berlaku pada  sinkronisasi  ( synchronization )  dan  tidak  ada  kejadian yang  lain  ( no  concurrency ),  yang  dapat  dimodelkan  menjadi model Aljabar Max-Plus dengan bentuk persamaan :
𝑥(𝑘) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘 − 1) ⊕ 𝐵 ⊗ 𝑢(𝑘), 𝑥(0) = 𝑥 0 (6) 𝑦(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑥(𝑘)
Dengan 𝐴 ∈ ℝ ℰ 𝑛𝑥𝑛 adalah  matriks  keadaan, 𝐵 ℝ ℰ 𝑛𝑥𝑚 adalah matriks  masukan  dan 𝐶 ∈ ℝ ℰ 𝑙𝑥𝑛 adalah  matriks  output, sedangkan 𝑥(𝑘) ∈ ℝ ℰ 𝑛 adalah  vektor  keadaan, 𝑢(𝑘) ∈ ℝ ℰ 𝑚 adalah vektor masukan dan 𝑦(𝑘) ∈ ℝ ℰ 𝑛 adalah vektor output.
c. Kontrol Model Prediksi
Konsep  kontrol  prediksi  didasarkan  pada  ide  penggunaan prediksi  jarak  jauh  ( long-range  prediction )  dari  keluaran proses  dalam  meminimumkan  suatu  kriteria  tertentu  yang kemudian  menghasilkan  strategi  kontrol.  Prediksi  keluaran proses  ( y )  untuk  sejumlah  cacah  kedepan  dilakukan  dengan menggunakan  suatu  persamaan  matematis  yang  diturunkan dari model proses yang akan dikontrol. Selanjutnya dilakukan perhitungan  sinyal  kontrol  ( u )  yang  diperlukan  agar  prediksi keluaran  proses  dapat  menjejaki  suatu  deretan  harga  yang telah  ditentukan  sebagai  sinyal  referensi  ( r ). Gambar  3 merupakan strategi kontrol dari Kontrol Model Prediksi.
Gambar 3. Strategi Kontrol Model Prediksi
d. Standar  Kontrol Model Prediksi
Jika  dikombinasikan  beberapa  persamaan  diatas,  maka  dapat dibentuk  persamaan  umum  permasalahan  Kontrol  Model Prediksi  pada  sistem  Max-Plus  Linear  adalah  sebagai  berikut [8] :
min 𝑢̃(𝑘) 𝐽 =   min 𝑢̃(𝑘) 𝐽 𝑜𝑢𝑡,𝑝1 + 𝜆 𝐽 𝑖𝑛,𝑝2 (7)
Dengan kendala :
𝑢̃(𝑘) = Η ⊗  𝑢̃(𝑘)  ⊕ 𝑔(𝑘)
Ε (𝑘)𝑢̃(𝑘) +  𝐹(𝑘)𝑦̃(𝑘)   ≤ ℎ(𝑘)
△ 𝑢(𝑘 + 𝑙)   ≥ 0 untuk l = 0,.....,Np-1
△ 2 𝑢(𝑘 + 𝑙) = 0 untuk l =Nc,.....,Np-1
3. Perancangan Model

## a. Model Jaringan Kereta Api
Pada penelitian ini dimodelkan 3 rute kereta api yang diambil dari  data  GAPEKA  yang  dikeluarkan  oleh  PT.  KAI  DAOP  2 di Bandung. [9]
Rute perjalanan kereta api yang dipakai adalah
1. Rute Cicalengka – Padalarang
2. Rute Bandung –Cicalengka
3. Rute Padalarang – Bandung
Persamaan  ruang  keadaan    Max-Plus  Linear  mempunyai bentuk matriks seperti persamaan 6.

## 𝑥(𝑘) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘) ⊕ 𝐵 ⊗ 𝑢(𝑘)
Sehingga  memiliki  bentuk  matriks  keadaan  seperti  dibawah ini, dimana dengan  nilai ε = -inf.
Sedangkan keluaran sistem adalah :
𝑦(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑥(𝑘)
e. Fungsi Objektif
Fungsi objektif yang dipakai adalah
𝐽(𝑘) =   𝐽 𝑜𝑢𝑡 (𝑘) +  𝜆 𝐽 𝑖𝑛 (𝑘) (8)
Dimana dinamika sistem ditentukan oleh horison prediksi ( Np ) dengan periode k sampai 𝑘 +  𝑁 𝑝 − 1 . Fungsi objektif  adalah untuk meminimalkan keterlambatan ( delay ) kereta api dengan memberikan sinyal kontrol berupa pengaturan kecepatan yang akan mempengaruhi waktu tempuh kereta api diantara stasiun. Maka  fungsi  objektif  yang  digunakan  pada  optimisasi penjadwalan kereta api ini adalah :
min 𝐽 𝑐𝑜𝑠𝑡 (𝑘) =   ∑ 𝑁𝑝 𝑙=1 ∑ |𝑦̂ 𝑖 𝑛 𝑖=1 (𝑘 + 𝑙|𝑘) − 𝑟 𝑖 (𝑘 + 𝑙)| − 𝜆 ∑ 𝑁𝑝 𝑙=1 ∑ 𝑣 𝑖 𝑛 𝑖=1 (𝑘 + 𝑙 − 1) (9)
Dengan kendala :
𝑥̂ 𝑗 (𝑘 + 𝑙|𝑘) = max(𝑑 𝑗 (𝑘 + 𝑙), 𝑥̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑙 − 𝛿 𝑖,𝑗 (𝑘 + 𝑙)|𝑘)
+ 𝑎 𝑖 𝑛𝑜𝑚 (𝑘 + 𝑙) −𝑣 𝑖 (𝑘 + 𝑙) + 𝑡 𝑖,𝑗 𝑚𝑖𝑛 (𝑘 + 𝑙)) (10)
𝑣 𝑖,𝑗 (𝑘 + 𝑙) ≥ 0 0  ≤   𝑣 𝑖 (𝑘 + 𝑙)   ≤   𝑎 𝑖 𝑛𝑜𝑚 (𝑘 + 𝑙) − 𝑎 𝑖 𝑚𝑖𝑛 (𝑘 + 𝑙) 𝑣 𝑖 (𝑘 + 𝑙) =   𝑣 𝑖 (𝑘 + 𝑁𝑐 − 1) Pada semua nilai 𝑖, 𝑗 dan pada 𝑙 = 1, … … . . , 𝑁𝑝
Dimana 𝑎 𝑖 𝑛𝑜𝑚 (𝑘) adalah  waktu  tempuh  normal  dengan menggunakan  kecepatan  normal  dan 𝑎 𝑖 𝑚𝑖𝑛 (𝑘) adalah  waktu tempuh  minimal  dengan menggunakan  kecepatan  penuh (full speed). Variabel kontrol 𝑣 𝑖 (𝑘) digunakan untuk memodifikasi waktu  tempuh 𝑎 𝑖 (𝑘) pada  jalur- i (jalur  dari  stasiun- i ke stasiun- j ) pada saat siklus waktu- k adalah
𝑎 𝑖 (𝑘) =   𝑎 𝑖 𝑛𝑜𝑚 (𝑘) − 𝑣 𝑖 (𝑘) (11)
4. Hasil Simulasi dan Analisis

## a. Pengujian Model Jaringan Kereta Api
Untuk  pengujian  pada  model  jaringan  kereta  api  dapat diberikan  uji  gangguan  baik  pada  waktu  tempuh  kereta  api antar  stasiun  atau  pada  waktu  keberangkatan  kereta  api  di setiap stasiun.
Pada  pengujian  ini  diberikan  beberapa  gangguan  berupa keterlambatan  waktu  keberangkatan  di  beberapa  stasiun  yang dipilih  agar  dapat  diamati  tentang  perambatan  keterlambatan dari  masing-masing  kereta  api.  Kemudian  ditinjau  juga  hasil sinyal  kontrol  yang  berupa  kecepatan  yang  optimal  dari perhitungan  yang  dilakukan  oleh  kontrol  model  prediksi  dan selanjutnya dapat direncanakan penjadwalan ulang.

## Tabel 1 Data keterlambatan kereta api  dan hasil optimisasi
Gambar 4.  GAPEKA dengan gangguan keterlambatan
Perubahan  yang  terjadi  pada  kereta  api  setelah  diberikan pengaturan  kecepatan  oleh  kontrol  model  prediksi  dapat dilihat pada tabel 2.
Kereta Nama Stasiun ( Dari - Ke ) Kecepatan Normal (Km/jam) Waktu Tempuh normal (menit) Kecepatan Optimal (Km/Jam) Waktu Tempuh Optimal (menit) Ccl - Hrp 41,2 6 11 2 49,5 5 Hrp - Rck 51,7 6 11 2 62,1 5 Rck - Cmk 39,3 6 11 2 47,1 5 Cmk - Gdb 74,4 3 11 2 85 3 Gdb  Kac 52,1 6 11 2 62,5 5 Kac - Cth 28,2 5 11 2 35,3 4 Cth - Bd 26,4 6 11 2 31,7 5 Bd - And 16,4 10 11 2 18,2 9 And - Cmd 47,9 3 11 2 71,8 2 Cmd - Cmi 36,7 5 5 0 45,8 4 Cmh - Pdl 35,4 11 5 0 38,9 10
Bd - Cth 31,7 5 5 0 39,6 4
Cth - Kac 47 3 5 0 70,6 2 Kac - Gdb 62,5 5 5 0 78,1 4 Gdb - Cmk 74,4 3 11 2 85 3 Cmk - Rck 47,1 5 11 2 58,9 4 Rck - Hrp 62,1 5 11 2 77,6 4 Hrp - Ccl 49,5 5 11 2 61,8 4 Pdl - Cmh 55,6 7 11 2 64,9 6 Cmh - Cmd 45,8 4 11 2 61,1 3 Cmd - And 71,8 2 11 2 85 2 And - Bd 32,8 5 11 2 40,9 4 46,8 116 212 34 57,8 97 319 188 190 Keterlambatan

## 5. Kesimpulan dan Saran
Kontrol model prediksi dapat digunakan untuk meminimumkan  keterlamabatan  kereta  api  yang  terjadi  pada sistem  jaringan  kereta  api. Pengaturan  kecepatan  kereta  api dapat  dijadikan  salah  satu  strategi  untuk  mereduksi perambatan  keterlambatan  secara  signifikan. Kecepatan  rata- rata kereta api yang diterapkan pada model jaringan kereta api ini adalah 57,9 km/jam.
Perlu dikaji lebih lanjut mengenai penjadwalan ulang terhadap sistem  jaringan  kereta  api  yang  lebih  kompleks  dimana meninjau adanya konflik dengan kereta yang lain. Peninjauan variabel penjadwalan ulang  yang lebih banyak (waktu tunggu di stasiun,  jarak antar kereta dll).

## DAFTAR PUSTAKA
[1]    Goverde  Rob,M.P  (2010)  :  A  Delay  Propagation Algorithm  for  Large  Scale  Railway  Traffic  Network, Journal of Transportation Research, 18,269-287 .
[2] Castillo,E.,  Gallego,I.,  Urena,J.M.,  dan  Coronado.J.M, (2011)  :  Timetabling  Optimization  of  a  Mixed  O Double and Single-Tracked Railway Network, Journal of Applied Mathematical Modelling, 35, 859-878.
[3] Wanderson,O.A.,Millani,A  dan  Basilio,E.(2002)  : Generation  of  Optimal  Schedule  for  Metrolines  using Model  Predictive  Control, 15th  Triennial  World Congress , Bercelona,Spain.
[4] De Schutter,B., Van den Boom,T, dan Hegyi,A. (2001) :  A  Model  Predictive  Control  Approach  for  Recovery
from  Delays  in  Railway  Systems, Transportation Research Record, no. 1793, pp. 15-20.
[5] Weiss,N.,Leune,W,  Goverde,M.P,  Vanden  Boom  dan De  Schutter  (2011)  :  A  Permutation  Based-Algorithm to  Optimally  Reschedule  Trains  in  A  Railway  Traffc Network, Proceedings  of  the  18th  IFAC  World Congress, Milan,Italy,pp.9537-9542
[6] Van  den  Boom,T  dan  De  Schutter,B  (2000)  :  Model Predictive  Control  for  Max-Plus  Linear  Systems, Proceeding of the 2000 American Control Conference, Chicago, Illinois,pp.4046-4050
[7] Van  den  Boom  dan  De  Schutter,B.(2004)  :  Modelling and  Control  of  Railway  Networks, Proceeding  of 20004 American Control Conference , Boston , Massachusetts,17,pp.5728-5733
[8] De  Schutter,B,  dan  Van  den  Boom,T.  (2000)  :  MPC for Max-Plus Linier Systems Closed loop Behavior and Tuning, Proceedings  of  the  Workshop  on  System  with Time-Domain Constraint, Eindhoven, The Netherlands, pp.18.
[9] Daerah  Operasi  (DAOP)  2  Bandung  (2011)  :  Grafiks Perjalanan  Kereta  Api  (GAPEKA)  bagian  II-1C, Direktur Jenderal Perkeretaapian
X11 X18 X22 X11&X22 Ccl - Hrp 4121 41,2 49,5 49,6 49,6 49,6 Hrp - Rck 5173 51,7 62,1 62,2 62,2 62,2 Rck - Cmk 3927 39,3 47,1 47,2 47,2 47,2 Cmk - Gdb 3718 74,4 85 85 85 85 Gdb  Kac 5208 52,1 62,5 62,6 62,6 62,6 Kac - Cth 2352 28,2 35,3 35,4 35,4 35,4 Cth - Bd 2638 26,4 31,7 31,7 31,7 31,7 Bd - And 2729 16,4 18,2 18,2 18,2 18,2 And - Cmd 2393 47,9 71,8 72,2 72,2 72,2 Cmd - Cmi 3055 36,7 45,8 45,9 45,9 45,9 Cmh - Pdl 6485 35,4 38,9 39 39 39 Bd - Cth 2638 31,7 39,6 39,7 39,7 39,7 Cth - Kac 2352 47 70,6 70,9 70,9 70,9 Kac - Gdb 5208 62,5 78,1 78,3 78,3 78,3 Gdb - Cmk 3718 74,4 85 85 85 85 Cmk - Rck 3927 47,1 58,9 59,1 59,1 59,1 Rck - Hrp 5173 62,1 77,6 77,8 77,8 77,8 Hrp - Ccl 4121 49,5 61,8 61,8 61,8 61,8 Pdl - Cmh 6485 55,6 64,9 65 65 65 Cmh - Cmd 3055 45,8 61,1 61,3 61,3 61,3 Cmd - And 2393 71,8 85 85 85 85 And - Bd 2729 32,8 40,9 41,1 41,1 41,1 46,8 57,8 57,9 57,9 57,9 319 188 190 Kecapatan Rata-rata
Kecepatan Optimal (Km/Jam) Kereta Nama Stasiun ( Dari - Ke ) Jarak antar stasiun (meter) Kecepatan Normal (Km/Jam)