## DEKOMPOSISI  MODUL AUTOMORFISMA  INVARIAN ATAS MODUL KUASI-INJEKTIF DAN MODUL SQUARE-FREE
Inne Syafrian Putri
Matematika, FST UIN Sunan Gunung Djati Bandung, Indonesia Email: innesyafrian@uinsgd.ac.id
Diterima : 1 Oktober 2020, Revisi : 11 Oktober 2020 Disetujui : 29 Oktober 2020

## ABSTRACT
Let 𝑀 be a module over  ring 𝑅 . An injective hull of 𝑀 , denoted by 𝐸(𝑀) , is  an injective module  which  contains 𝑀 as  its  essential  submodule.  If  M  is  invariant  under  any automorphism  of  E(M),    then  M  is  called  an  automorphism  invariant  module.  An isomorphism between two essential submodule of automorphism invariant module  M can be  extended  into  endomorphism  or  automorphism  of  M.  Direct  summand  of  an automorphism  module  is  automorphism  invariant.  In  this  article  showed  that  an automorphism invariant module is decomposable as quasi-injective module and square- free module which is mutually orthogonal and relatively injective.
Keywords: automorphism invariant module, essential submodule, quasi-injective module,
square-free module

## ABSTRAK
Misalkan 𝑀 adalah modul atas ring 𝑅 . Injektif hull dari 𝑀 , dinotasikan 𝐸(𝑀) , adalah suatu modul injektif yang memuat 𝑀 sebagai submodul essensialnya. Jika 𝑀 invarian dibawah sebarang    automorfisma  dari 𝐸(𝑀) maka 𝑀 disebut  modul  automorfisma  invarian. Isomorfisma diantara dua submodul essensial dari modul automorfisma invaria n 𝑀 dapat diperluas menjadi endomorfisma  atau automorfisma  dari 𝑀 .  Komponen  langsung dari modul  automorfisma  invarian  juga  merupakan  modul  automorfisma  invarian.    Dalam tulisan  ini  dibuktikan bahwa  modul  automorfisma  invarian  dapat  didekomposisi  atas modul kuasi-injektif dan modul square-free yang saling ortogonal dan relatif injektif.
Kata  Kunci:  modul  automorfisma  invarian,  submodul  essensial, modul  kuasi-injektif, modul square-free

## PENDAHULUAN
Dalam aljabar linier telah diperkenalkan tentang ruang vektor atas suatu lapangan. Kemudian dalam struktur aljabar, konsep ruang vektor ini digeneralisasi menjadi modul atas ring  (Sri Wahyuni dkk, 2016). Berbagai jenis modul atas ring juga disajikan dalam teori modul seperti modul bebas, modul faktor, modul siklik, modul torsi, modul proyektif dan sebagainya (Keating, 1998).
Modul  atas  suatu  ring  yang  telah  diteliti  berkembang  dengan berbagai  nama sesuai sifat-sifat modul dan  ring yang  digunakan.   Salah
satunya adalah  modul atas  suatu ring  yang  invarian di  bawah  sebarang automorfisma dari injektif hull-nya. Modul ini oleh Lee dan Zhoe disebut modul automorfisma invarian. Dengan kata lain, sebarang modul 𝑀 atas ring 𝑅 disebut  automorfisma  invarian  jika 𝜎(𝑀) ⊆ 𝑀 untuk  setiap automorfisma 𝜎 dari 𝐸(𝑀) , dengan 𝐸(𝑀) adalah injektif hull dari 𝑀 (Singh dan Srivastava, 2012).
Suatu modul ada  yang  dapat  dinyatakan sebagai  jumlah langsung dua  atau lebih submodulnya ( decomposable module ) dan  ada  juga  yang tidak  ( indecomposable  module ).  Modul  yang  tidak  dapat  didekomposisi contohnya  adalah  modul  sederhana,  yaitu  modul  tak  nol  yang  tidak mempunyai submodul sejati (Keating, 1998).
Pada  penelitian  ini  ditunjukkan  bahwa  modul  automorfisma invarian dapat didekomposisi atas modul kuasi-injektif dan modul square- free. Selain itu, pembahasan tentang submodul essensial, injektif hull dan beberapa  lema  diberikan  untuk  mendukung  pembuktian  dekomposisi modul  automorfisma invarian.  Masalah  penelitian    juga  dibatasi  yaitu semua ring yang digunakan adalah ring dengan unsur satuan.

## METODE PENELITIAN
Metode penelitian ini adalah kualitatif dengan menganalisis  suatu masalah melalui studi literatur. Kajian dan  teorema yang dibahas adalah hasil kajian pustaka dan bukan merupakan hasil baru. Namun begitu, cara penulisan, sudut pandang dan pembuktian yang diberikan dalam penelitian ini dipaparkan dalam gaya berbeda dengan rujukan, yaitu lebih detail dan jelas sehingga mudah dipahami.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Submodul dari suatu modul atas ring 𝑅 adalah juga suatu modul atas 𝑅 . Submodul yang hanya terdiri atas satu anggota, yaitu unsur nol disebut modul nol. Setiap submodul dari suatu modul atas 𝑅 selalu memuat unsur
nol sebagai  identitas terhadap  penjumlahan. Oleh karena itu, setiap  dua submodul dari suatu modul selalu mempunyai irisan.

## Submodul Essensial
Suatu submodul yang  irisannya tak  nol dengan  setiap  submodul lainnya disebut submodul essensial. Misalkan 𝑀 adalah modul atas 𝑅 dan 𝑁 ≤ 𝑀 adalah  submodul  dari 𝑀 .  Submodul 𝑁 disebut submodul essensial dari 𝑀 , ditulis 𝑁 𝑒𝑠𝑠 𝑅 𝑀 atau 𝑁 𝑒𝑠𝑠 𝑀 , jika dan hanya jika 𝑋  ∩ 𝑁 ≠ 0 untuk setiap submodul tak nol 𝑋 ≤ 𝑀 .
Berdasarkan  definisi  di  atas,  suatu  submodul 𝑁 ≤ 𝑀 disebut essensial di 𝑀 jika 𝑁 memiliki irisan tak nol dengan setiap submodul tak nol dari 𝑀 . Dalam hal ini M disebut juga essential extension dari 𝑁 . Definisi ini ekivalen dengan mengatakan bahwa 𝑁 disebut essensial di 𝑀 jika untuk sebarang submodul 𝐿 ≤ 𝑀 ,
𝐿  ∩  𝑁  =  0  ⟹  𝐿  =  0 .
Submodul  essensial  bersifat  transitif,  artinya  jika 𝐿 𝑒𝑠𝑠 𝑁 dan 𝑁 𝑒𝑠𝑠 𝑀 maka 𝐿 𝑒𝑠𝑠 𝑀 . Sebagai bukti, misalkan 𝑋 submodul tak nol dari 𝑀 . Karena 𝑁 𝑒𝑠𝑠 𝑀 maka 𝑋  ∩  𝑁  ≠  0 .  Tetapi 𝐿 𝑒𝑠𝑠 𝑁 berakibat (𝑋  ∩  𝑁) ∩ 𝐿  ≠  0. Diperoleh 𝑋  ∩  𝐿  ≠  0 .
Sebagai  contoh submodul essesensial, 𝑀 𝑒𝑠𝑠 𝑀 untuk sebarang 𝑀 modul atas 𝑅 dan 𝑛ℤ 𝑒𝑠𝑠 ℤ untuk sebarang 𝑛  ∈  ℤ .
Dalam teori modul telah diperkenalkan bahwa jumlah dari sebarang dua  submodul dari  suatu modul  adalah  suatu  submodul juga  (Keating, 1998).  Akan tetapi  jumlah sebarang  dua  submodul belum tentu bersifat essensial di modul tersebut.
Berikut diberikan definisi komplemen suatu submodul yang  akan menjadi  syarat  perlu  agar  jumlah  dua  submodul  bersifat  essensial  di modulnya.
Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah  submodul dari 𝑀 .  Submodul 𝐵 disebut komplemen dari 𝐴 di 𝑀 jika 𝐵 maksimal diantara semua submodul dari 𝑀 yang  irisannya  dengan 𝐴 adalah  trivial.  Dengan  kata  lain 𝐵  =
𝑀𝑎𝑘𝑠 { 𝑀 𝑖 | 𝑀 𝑖 ∩  𝐴  =  0 , 𝑀 𝑖 ≤  𝑀 }.
Contoh  1 .  Misalkan 𝑀 = ℤ 12 modul  atas ℤ dan 𝐶 =   {0̅, 4̅, 8̅} submodul dari ℤ 12 . Akan dicari komplemen dari 𝐶 di ℤ 12 . Perhatikan bahwa 𝐴  =   {0̅} , 𝐵 = {0̅, 6̅} , 𝐶 =  {0̅, 4̅, 8̅} , 𝐷 = {0̅, 3̅, 6̅, 9̅} ,  dan 𝐸  = {0̅, 2̅, 4̅, 6̅, 8̅, 10 ̅̅̅̅} adalah submodul-submodul sejati dari ℤ 12 . Submodul yang irisannya trivial dengan 𝐶 adalah 𝐴, 𝐵 dan 𝐷 .  Pilih maks{𝐴, 𝐵, 𝐷}   =  𝐷 .  Diperoleh 𝐷 komplemen dari 𝐶 .
Jumlah suatu submodul dari 𝑀 dengan komplemennya di 𝑀 bersifat essensial di 𝑀 . Hal ini dibuktikan pada teorema berikut.
Teorema 2. (Anderson dan Fuller, 1974) Jika 𝐵 adalah komplemen dari 𝐴 di 𝑀 maka 𝐴  ⊕  𝐵 𝑒𝑠𝑠 𝑀 .
Bukti  :    Jelas 𝐴  ⊕  𝐵 submodul  dari 𝑀 .  Misalkan 𝐿 sebarang submodul tak nol dari 𝑀 .  Akan ditunjukkan (𝐴  ⊕  𝐵) ∩ 𝐿  ≠  0 . Jika 𝐿  ∩ 𝐴  ≠  0 maka (𝐴  ⊕  𝐵)  ∩ 𝐿  ≠  0 .  Jika 𝐿  ∩  𝐴  =  0 maka 𝐿 termuat  di komplemen dari 𝐴 yaitu 𝐵 sehingga diperoleh (𝐴  ⊕  𝐵)  ∩ 𝐿  ≠  0 . Terbukti (𝐴  ⊕  𝐵) 𝑒𝑠𝑠 𝑀. ∎

## Modul Injektif
Submodul essensial  memiliki kaitan  dengan  modul  injektif.  Jika modul 𝑀 merupakan submodul essensial dari suatu modul injektif maka akan muncul konsep baru yang disebut injektif hull dari 𝑀 . Oleh karena itu perlu dikaji terlebih dahulu tentang modul injektif.
Definisi 3 . Misalkan 𝑀 adalah modul atas 𝑅 .
(i) 𝑀 disebut modul 𝑁 - injektif jika untuk setiap submodul 𝑁 1 ≤ 𝑁 ,  semua  homomorfisma 𝑁 1 ⟶  𝑀 bisa  diperluas  menjadi homomorfisma 𝑁  ⟶  𝑀.
(ii) 𝑀 disebut modul  injektif jika 𝑀 adalah 𝑁 -injektif untuk setiap 𝑁 modul atas 𝑅 .
Contoh sederhana dari modul injektif adalah modul reguler F atas F, dengan F sebarang lapangan.
Definisi  4. Misalkan 𝑀 adalah modul atas 𝑅 .  Injektif hull dari 𝑀 adalah modul injektif 𝐸 yang  ditentukan secara tunggal dengan 𝑀 𝑒𝑠𝑠 𝐸 , dan ditulis 𝐸  =  𝐸(𝑀) .
Sebarang modul atas 𝑅 memiliki kaitan yang erat dengan submodul essensialnya, yaitu keduanya memiliki injektif hull yang sama. Injektif hull dari suatu modul juga berkaitan dengan injektif hull komponen langsung dari submodul essensial.
Lema 5. (Passman, 1991) Misalkan 𝐿 submodul essensial dari 𝑀 , maka
(i)
𝐸(𝐿)  =  𝐸(𝑀) ,
(ii) Jika 𝐿 = 𝐿 1 ⊕ 𝐿 2 ⊕ . . .⊕ 𝐿 2 maka 𝐸(𝑀) = 𝐸(𝐿 1 ) ⊕ 𝐸(𝐿 2 ) ⊕ … ⊕ 𝐸(𝐿 2 ).
Bukti:
(i) Karena 𝐿 𝑒𝑠𝑠 𝑀 dan 𝑀 𝑒𝑠𝑠 𝐸(𝑀) maka  dari  sifat  transitif  submodul essensial diperoleh 𝐿 𝑒𝑠𝑠 𝐸(𝑀) . Jadi 𝐸(𝐿)  =  𝐸(𝑀)
(ii) Karena 𝐿 𝑖 𝑒𝑠𝑠 𝐸(𝐿 𝑖 ) maka 𝐿 = 𝐿 1 ⊕ 𝐿 2 ⊕ . . .⊕ 𝐿 2 𝑒𝑠𝑠 𝐸 = 𝐸(𝐿 1 ) ⊕ 𝐸(𝐿 2 ) ⊕  … ⊕ 𝐸(𝐿 2 ). Karena  E  adalah  jumlah  langsung  dari  modul injektif  maka  E  injektif,  sehingga  disimpulkan  E  =  E(L).  Dari  (i) diperoleh E = E(L) = E(M).

## Modul Automorfisma Invarian
Pendefinisian  modul  automorfisma  invarian  dikarenakan  modul tersebut bersifat  invarian  dibawah  sebarang  automorfisma dari  injektif hull-nya.  Adapun  sifat-sifat  modul  automorfisma  invarian  yang  akan dibahas  adalah  ekivalensi  dari  modul  automorfisma  invarian  dan komponen-komponen langsung  dari  dari  modul automorfisma invarian yang juga automorfisma invarian dan relatif injektif.
Definisi  6 .  Misalkan 𝑀 adalah  modul atas 𝑅 .  Modul 𝑀 disebut
modul automorfisma invarian jika dan hanya jika 𝜎(𝑀) ⊆ 𝑀 untuk setiap automorfisma 𝜎 dari 𝐸(𝑀) , dengan 𝐸(𝑀) adalah injektif hull dari 𝑀 .
Definisi  modul  automorfisma  invarian  dikaitkan  dengan  injektif hull-nya. Injektif hull dari suatu modul injektif adalah dirinya sendiri. Oleh karena itu setiap  modul injektif merupakan contoh modul automorfisma invarian.  Jika  injektif  hull  dari  suatu  modul  merupakan  hasil  jumlah langsung beberapa submodulnya, dengan dua diantaranya isomorfik, maka modul tersebut dapat didekomposisi menjadi jumlah langsung dari masing- masing irisan modul tersebut dengan komponen langsung dari injektif hull- nya seperti dibuktikan pada lema berikut.
Lema  7. (Singh  dan  Srivastava,  2012) Jika 𝑀 adalah  modul automorfisma invarian dengan  injektif hull 𝐸(𝑀)  =   𝐸 1 ⊕  𝐸 2 ⊕  𝐸 2 dan 𝐸 1 ≅   𝐸 2 maka 𝑀  =   (𝑀  ∩  𝐸 1 )  ⊕  (𝑀  ∩  𝐸 2 )  ⊕  (𝑀  ∩  𝐸 3 ) .
Bukti :
Misalkan 𝐸  =  𝐸(𝑀) injektif hull dari 𝑀 , 𝐸 =   𝐸 1 ⊕  𝐸 2 ⊕  𝐸 2 , 𝜎 ∶ 𝐸 1 ⟶ 𝐸 2 isomorfisma,  dan 𝜋 𝑖 ∶  𝐸 ⟶ 𝐸 𝑖 (𝑖  =  1,2,3) proyeksi  kanonik. Karena 𝐸 𝑖 ≤  𝐸 dan 𝑀 𝑒𝑠𝑠 𝐸 maka 𝑀  ∩  𝐸 𝑖 ≠  0. Misalkan 𝜃 = 𝜎 −1 .
Perhatikan bahwa  pemetaan 𝜆 1 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐸 dengan  aturan 𝜆 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )  = (𝑥 1 , 𝜎(𝑥 1 )  +  𝑥 2 , 𝑥 3 ) adalah suatu automorfisma dari 𝐸 .  Karena 𝑀 adalah modul automorfisma invarian maka 𝑀 invarian dibawah 𝜆 1 dan 𝐼 𝐸 , dengan 𝐼 𝐸 pemetaan identitas dari 𝐸 .
Akibatnya
(𝜆 1 − 𝐼 𝐸 )(𝑀) =  𝜆1(𝑀) − 𝐼 𝐸 (𝑀) ⊆ 𝑀 .
Jadi M juga invarian dibawah 𝜆 1 − 𝐼 𝐸 .
Buat  pemetaan 𝜆 2 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐸 dengan  aturan 𝜆 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = (𝑥 1 + 𝜃(𝑥 2 ), 𝑥 2 , 𝑥 3 ). Jelas 𝜆 2 adalah  automorfisma  dari 𝐸 .  Sama  dengan penjelasan sebelumnya, 𝑀 invarian di bawah 𝜆 2 − 𝐼 𝐸 , yaitu (𝜆 2 − 𝐼 𝐸 )(𝑀)  ⊆ 𝑀. Misalkan 𝑥  =   (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 )  ∈  𝑀 ,  dengan 𝑥 𝑖 ∈  𝐸 𝑖 maka (𝜆 1 − 𝐼 𝐸 )(𝑥) = (0, 𝜎(𝑥 1 ), 0) ∈  𝑀 dan (𝜆 2 − 𝐼 𝐸 )(𝑥)   =  (𝜃(𝑥 2 ), 0, 0)   ∈  𝑀 .
Selanjutnya
(𝜆 1 − 𝐼 𝐸 )((𝜃(𝑥 2 ), 0, 0))   =  (0, 𝜎𝜃(𝑥 2 ), 0)  =   (0, 𝑥 2 , 0)  =  𝑥 2 ∈  𝑀.
Diperoleh 𝑥 2 ∈  𝑀  ∩  𝐸 2 . Dengan cara yang sama,
(𝜆 2 − 𝐼 𝐸 )((0, 𝜎(𝑥 1 ), 0))  =   (𝜃𝜎(𝑥 1 ), 0, 0)  =   (𝑥 1 , 0, 0)  =   𝑥 1 ∈  𝑀, yang  berarti 𝑥 1 ∈  𝑀  ∩  𝐸 1 .  Akibatnya 𝑥 − 𝑥 1 − 𝑥 2 = 𝑥 3 ∈ 𝑀 ,  yaitu 𝑥 3 ∈ 𝑀  ∩  𝐸 3 .  Jadi  diperoleh 𝑥  =  (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) =  𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ∈ (𝑀  ∩ 𝐸 1 )  ⊕ (𝑀  ∩  𝐸 2 ) ⊕  (𝑀  ∩  𝐸 3 ) ,  yaitu 𝑀 ⊆ (𝑀  ∩  𝐸 1 ) ⊕ (𝑀  ∩  𝐸 2 ) ⊕ (𝑀 ∩ 𝐸 3 ). Karena 𝑀 ∩ 𝐸 𝑖 ⊆ 𝑀 maka (𝑀  ∩  𝐸 1 ) ⊕ (𝑀  ∩  𝐸 2 ) ⊕ (𝑀 ∩ 𝐸 3 ) ⊆ 𝑀. Terbukti
𝑀 = (𝑀  ∩  𝐸 1 ) ⊕ (𝑀  ∩  𝐸 2 ) ⊕ (𝑀 ∩ 𝐸 3 ). ∎
Untuk  melihat suatu  modul  adalah  automorfisma  invarian  atau bukan, tidak harus melalui injektif hull-nya. Teorema berikut memberikan ekivalensi modul automorfisma invarian dengan  perluasan  isomorfisma antara  dua  submodul  essensialnya  menjadi  endomorfisma  atau automorfisma dari modul tersebut.
Teorema 8. (Lee dan Zhoe, 2013) Misalkan 𝑀 adalah modul kanan atas 𝑅 maka pernyataan berikut ekivalen:
(i) 𝑀 adalah modul automorfisma-invarian
(ii) Setiap isomorfisma diantara dua submodul essensial dari 𝑀 bisa diperluas menjadi automorfisma dari 𝑀
(iii) Setiap isomorfisma diantara dua submodul essensial dari 𝑀
bisa diperluas menjadi endomorfisma dari 𝑀
Bukti:
(i) ⇒ (ii) Misalkan 𝑋 dan 𝑌 submodul essensial dari 𝑀 dan 𝛼 ∶  𝑋  →  𝑌 suatu  isomorfisma,  maka  terdapat  endomorfisma 𝛽 ∶  𝐸(𝑀)  →  𝐸(𝑀) sehingga 𝛽| 𝑋 =  𝛼 . Lebih lanjut β adalah automorfisma dari 𝐸(𝑀). Karena 𝑀 automorfisma invarian maka 𝛽(𝑀)  ⊆  𝑀 dan 𝛽 −1 (𝑀)  ⊆  𝑀 ,  sehingga 𝛽| 𝑀 adalah automorfisma dari 𝑀 yang merupakan perluasan dari 𝛼.
(ii) ⇒ (iii) Jelas
(iii) ⇒ (i) Misalkan 𝜎 adalah automorfisma dari 𝐸(𝑀) , 𝑌 = 𝜎(𝑀) ∩ 𝑀 ,
𝑋  =   𝜎 −1 (𝑌 ) dan 𝛼 = 𝜎| 𝑋 .  Karena 𝜎 bijeksi maka 𝑋 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝜎(𝑥) ∈ 𝑌}.
Lebih lanjut 𝑋 dan 𝑌 adalah submodul essensial dari 𝑀 dan 𝛼: 𝑋 → 𝑌 suatu isomorfisma. Berdasarkan (iii), 𝛼 diperluas menjadi endomorfisma 𝛽 dari 𝑀 .  Misalkan 𝑦 ∈ 𝑌 ∩ (𝜎 − 𝛽)(𝑀) dan  tulis 𝑦 =   (𝜎  −  𝛽)(𝑥) =  𝜎(𝑥) − 𝛽(𝑥) = 𝛼(𝑥) − 𝛽(𝑥) = 0 . Diperoleh 𝑌 ∩ (𝜎 − 𝛽)(𝑀) = 0. Karena 𝑌 𝑒𝑠𝑠 𝐸(𝑀) diperoleh (𝜎 − 𝛽)(𝑀) = 0 sehingga 𝜎(𝑀) = 𝛽(𝑀) ⊆ 𝑀. ∎
Sifat modul automorfisma invarian selanjutnya yang akan dibahas adalah  terkait  dengan  komponen  langsungnya.  Jika  suatu  modul automorfisma invarian merupakan jumlah langsung dari  dua  atau  lebih modul, maka setiap komponen langsungnya juga automorfisma invarian.
Lema  9. (Lee  dan  Zhoe, 2013) Komponen  langsung  dari  modul automorfisma invarian adalah automorfisma invarian .
Bukti:
Misalkan 𝑁 komponen  langsung  dari 𝑀 ,  tulis 𝑀  =  𝑁  ⊕  𝑃 . Misalkan 𝑋 𝑒𝑠𝑠 𝑁, 𝑌 𝑒𝑠𝑠 𝑁 dan 𝛼 ∶ 𝑋 → 𝑌 suatu isomorfisma. Diperoleh (𝑋 ⊕ 𝑃) 𝑒𝑠𝑠 𝑀, (𝑌 ⊕ 𝑃) 𝑒𝑠𝑠 𝑀 dan 𝛼  +  𝑖 𝑃 ∶  𝑋  ⊕  𝑃  →  𝑌  ⊕  𝑃 isomorfisma.  Karena 𝑀 modul  automorfisma  invarian, 𝛼  +  𝑖 𝑃 dapat diperluas  menjadi  endomorfisma 𝛽 dari 𝑀 berdasarkan  Teorema  8. Misalkan 𝑖 ∶  𝑁 →  𝑀 inklusi dan 𝜋 ∶  𝑀 →  𝑁 proyeksi  sepanjang 𝑃 ,  maka 𝜋𝛽𝑖 adalah endomorfisma dari 𝑁 yang jelas merupakan perluasan dari 𝛼 . Berdasarkan Teorema 8 terbukti 𝑁 adalah modul automorfisma-invarian. ∎
Selain  merupakan  modul  automorfisma-invarian,  komponen langsung dari modul automorfisma invarian bersifat relatif injektif. Dengan kata lain, jika 𝐴 dan 𝐵 adalah komponen langsung dari modul automorfisma invarian, maka 𝐴 adalah 𝐵 -injektif dan 𝐵 adalah 𝐴 -injektif.
Teorema 10 (Lee dan Zhoe, 2013) Jika jumlah langsung 𝑀 1 ⊕ 𝑀 2 adalah automorfisma invarian maka 𝑀 1 dan 𝑀 2 relatif injektif.
Bukti:
Asumsikan 𝑓 ∶  𝐴 →  𝑀 1 homomorfisma  dengan 𝐴  ≤  𝑀 2 .  Akan ditunjukkan 𝑓 dapat  diperluas  menjadi  homomorfisma dari 𝑀 2 ke 𝑀 1 . Misalkan 𝐵 adalah komplemen dari 𝐴 di 𝑀 2 . Diperoleh (𝐴  ⊕  𝐵) 𝑒𝑠𝑠 𝑀 2 dan 𝑓 diperluas  menjadi homomorfisma 𝑔: 𝐴  ⊕  𝐵  →  𝑀 1 dengan 𝑔(𝐵)   =  0 . Misalkan 𝐶 ∶=  𝐴  ⊕  𝐵 ,  definisikan 𝛼 ∶   𝑀 1 ⊕  𝐶 →   𝑀 1 ⊕ 𝑀 2 dengan 𝛼(𝑥, 𝑐)  =   (𝑥  +  𝑔(𝑐), 𝑐) untuk sebarang 𝑥  ∈   𝑀 1 dan 𝑐  ∈  𝐶. Jelas 𝛼 suatu monomorfisma.  Lebih  lanjut 𝛼(𝑀 1 ⊕ 𝐶)   = 𝑀 1 ⊕  𝐶 adalah  submodul essensial di 𝑀 1 ⊕ 𝑀 2 .  Karena 𝑀 1 ⊕ 𝑀 2 automorfisma invarian, 𝛼 dapat diperluas menjadi endomorfisma 𝛽 dari 𝑀 1 ⊕ 𝑀 2 . Misalkan 𝑖 ∶   𝑀 2 →  𝑀 1 ⊕ 𝑀 2 injeksi kanonik dan 𝜋 ∶  𝑀 1 ⊕ 𝑀 2 →   𝑀 1 proyeksi kanonik, maka 𝜋𝛽𝑖 ∶ 𝑀 2 →   𝑀 1 adalah perluasan dari 𝑓 . Terbukti 𝑀 1 adalah 𝑀 2 -injektif. ∎

## Dekomposisi Modul Automorfisma Invarian
Sebelum  membahas teorema  utama  tentang  dekomposisi  modul automorfisma invarian, perlu dipahami beberapa definisi berikut ini.
Definisi  11. Misalkan 𝑀 modul atas 𝑅 .
(i) Modul 𝑀 disebut kuasi-injektif jika 𝑀 adalah 𝑀 -injektif
(ii) Modul 𝑀 disebut square-free jika 𝑀 tidak  memuat jumlah langsung dari dua submodul yang isomorfik.
(iii) Dua  modul  disebut saling  ortogonal jika  keduanya  tidak memuat submodul tak nol yang isomorfik.
(iv) Closed  submodule dari  modul 𝑀 adalah  submodul dari 𝑀 yang tidak mempunyai essential extension sejati di 𝑀 .
(v) Essential closure dari submodul 𝐴  ≤  𝑀 adalah suatu closed submodul yang memuat 𝐴 sebagai submodul essensialnya.
Syarat  modul kuasi-injektif lebih lemah dari  pada  modul injektif. Dengan  kata  lain,  modul 𝑀 disebut  kuasi-injektif  jika  untuk  setiap submodul 𝑁  ≤  𝑀 ,  semua  homomorfisma dari 𝑁 ke 𝑀 bisa  diperluas menjadi endomorfisma dari 𝑀 . Hal ini mengakibatkan setiap modul injektif
adalah  modul  kuasi-injektif.  Berikut  ini  adalah  teorema  tentang dekomposisi modul automorfisma invarian atas modul kuasi-injektif dan modul square-free beserta sifat saling ortogonal dan relatif injektif diantara keduanya.
Teorema 12. (Noyan dkk, 2013) Misalkan 𝑀 modul automorfisma invarian maka 𝑀  =  𝑋  ⊕  𝑌 dengan 𝑋 modul kuasi-injektif dan 𝑌 modul square-free yang ortogonal terhadap 𝑋 . Dalam hal ini 𝑋 dan 𝑌 relatif injektif.
Bukti :
Misalkan 𝑀 modul  automorfisma  invarian  dan 𝛤  = {(𝐴, 𝐵, 𝑓 ) | 𝐴, 𝐵  ≤  𝑀, 𝐴  ∩  𝐵  =  0, 𝑓 ∶  𝐴  →  𝐵 isomorfisma}
himpunan terurut dengan urutan (𝐴, 𝐵, 𝑓 )  ≤   (𝐴’, 𝐵’, 𝑓 ’) jika 𝐴  ⊆  𝐴’ , 𝐵  ⊆  𝐵’ dan 𝑓′ perluasan dari 𝑓 . Perhatikan bahwa 𝛤 terurut parsial dan setiap rantai di 𝛤 mempunyai batas  atas,  berdasarkan  Lema  Zorn, 𝛤 mempunyai elemen maksimal. Misalkan (𝐴, 𝐵, 𝑓 ) elemen maksimal di 𝛤 dan 𝐶’ komplemen dari 𝐴  ⊕  𝐵 di 𝑀 . Akan ditunjukkan 𝐶’ square-free.
Andaikan 𝐶’ tidak square-free maka terdapat submodul tak nol 𝐶 1 dan 𝐶 2 dari 𝐶 dengan 𝐶 1 ∩  𝐶 2 =  0 dan 𝜑 ∶   𝐶 1 →  𝐶 2 suatu isomorfisma.
Karena  pemetaan 𝑓  + 𝜑 ∶  𝐴 ⊕ 𝐶1 → 𝐵 ⊕ 𝐶2 dengan  aturan (𝑓  + 𝜑)(𝑎 + 𝑥)   =  𝑓(𝑎) + 𝜑(𝑥) adalah  isomorfisma, 𝐴  ≤  𝐴  ⊕ 𝐶 1 dan 𝐵  ≤  𝐵  ⊕  𝐶 2 , akibatnya (𝐴, 𝐵, 𝑓)   ≤   (𝐴  ⊕ 𝐶 1 , 𝐵 ⊕ 𝐶 2 , 𝑓  +  𝜑) .  Kontradiksi  dengan kemaksimalan (𝐴, 𝐵, 𝑓), haruslah 𝐶′ square-free.
Perhatikan bahwa 𝐴 ⊕ 𝐵 ⊕ 𝐶’ 𝑒𝑠𝑠 𝑀 sehingga berdasarkan Lema 5,
𝐸(𝑀)  =  𝐸(𝐴)  ⊕  𝐸(𝐵) ⊕  𝐸(𝐶’) . Karena 𝐴 ≅ 𝐵 maka berdasarkan Lema 7 diperoleh 𝑀 = (𝑀 ∩ 𝐸(𝐴)) ⊕ (𝑀 ∩  𝐸(𝐵)) ⊕ (𝑀 ∩ 𝐸(𝐶’)) . Akibatnya M = A ⊕ B ⊕ C’ .
Berdasarkan  Lema  9,  komponen  langsung  dari 𝑀 yaitu 𝐴  ⊕  𝐵 adalah modul automorfisma invarian. Dari Teorema 10 diperoleh A dan B relatif injektif. Submodul 𝐴 ⊕ 𝐵 dan 𝐶 ′ juga relatif injektif. Karena 𝐴 ≅ 𝐵 maka A ⊕ B kuasi-injektif.

## Dengan cara sama seperti sebelumnya, bentuk
Ω  =   {(𝐵′, 𝐵, 𝑡)|𝐵′  ≤  𝐶′ , 𝑑𝑎𝑛 𝑡 ∶  𝐵′  →  𝐵 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑜𝑟𝑓𝑖𝑠𝑚𝑎} himpunan terurut parsial dengan urutan (𝐵”, 𝐵, 𝑡”)   ≤   (𝐵’, 𝐵, 𝑡’) jika 𝐵” ⊆ 𝐵’ .
Misalkan (𝐵’, 𝐵, 𝑡) elemen maksimal di Ω . Karena 𝐵 adalah 𝐶′ -injektif,
𝑡 bisa diperluas menjadi monomorfisma 𝑡 1 dari 𝐵” ke 𝐵 , dengan 𝐵” essential closure dari 𝐵′ .  Kemaksimalan 𝑡 mengakibatkan 𝐵’  =  𝐵” sehingga diperoleh 𝐵’ closed submodule dari 𝐶′ .
Misalkan 𝐷 essential  closure dari 𝑡(𝐵’) dan 𝑡 −1 ∶  𝑡(𝐵’) →  𝐶’ monomorfisma. Karena 𝐶′ adalah 𝐵 -injektif, 𝑡 −1 dapat  diperluas menjadi monomorfisma 𝛼 dari 𝐷 ke 𝐶′ .  Akibatnya 𝑡(𝐵’)  =  𝐷 .  Jadi 𝑡(𝐵’) closed submodule dari 𝐵 .
Karena B kuasi-injektif dan 𝑡(𝐵’) closed submodule dari 𝐵 maka 𝑡(𝐵’) komponen langsung dari 𝐵 . Karena 𝐵 adalah 𝐶′ -injektif maka 𝑡(𝐵’) juga 𝐶′ - injektif. Akibatnya 𝐵′ adalah submodul 𝐶′ -injektif dari 𝐶′ . Diperoleh 𝐶’  = 𝐵’  ⊕  𝐶 untuk suatu 𝐶 .
Akan ditunjukkan 𝐵 dan 𝐶 saling ortogonal. Andaikan 𝐵 dan 𝐶 tidak saling ortogonal maka 𝐵 dan 𝐶 mempunyai submodul tak nol 𝐵 1 dan 𝐶 1 yang isomorfik. Dengan sifat square-free dari 𝐶′ haruslah 𝐵 1 dan 𝐶 1 saling ortogonal. Begitu juga 𝐵 1 dan 𝑡(𝐵′ ) saling ortogonal, sehingga diperoleh 𝐵 1 ∩  𝑡(𝐵′ )  =  0. Hal  ini  kontradiksi  dengan  monomorfisma 𝑡 .  Jadi haruslah 𝐵 dan 𝐶 saling ortogonal. Diperoleh 𝐶 dan 𝐴  ⊕  𝐵  ⊕  𝐵’ saling ortogonal. Lebih lanjut 𝐴  ⊕  𝐵  ⊕  𝐵’ kuasi-injektif. Ambil 𝑋  =  𝐴  ⊕  𝐵  ⊕ 𝐵’ dan 𝑌  =  𝐶 diperoleh 𝑀  =  𝑋  ⊕  𝑌 dengan 𝑋 kuasi-injektif dan 𝑌 square- free. ∎

## SIMPULAN
Kesimpulan dari penelitian ini adalah modul automorfisma invarian dapat  didekomposisi menjadi jumlah langsung modul kuasi-injektif dan modul square-free yang saling ortogonal dan relatif injektif.

## DAFTAR PUSTAKA
Noyan Er, Surjeet Singh, Ashish K. Srivastava. Rings and modules which are stable  under automorphisms of their injective hulls .J. Algebra 379 (2013) 223-229.
T.K. Lee, Y. Zhou. Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls . J. Algebra Appl. 12(2)(2013).
D.S. Passman. 1991. A Course in Ring Theory. AMS. USA.
F.W. Anderson, K.R. Fuller. 1974. Rings and Categories  of Modules . Springer-Verlag. New York.
Surjeet  Singh,  Ashish  K.  Srivastava.  Rings  of  invariant  module  type  and automorphisminvariant modules.
M. E. Keating. 1998. A firts course in module theory. Imperial College Press. London.
Sri Wahyuni, dkk. 2016. Teori Ring dan Modul. Gadjah Mada University Press. Yogyakarta.