Abstrak —Rabies  adalah  penyakit zoonosis (penyakit  yang ditularkan  dari  hewan  ke  manusia),  yang  disebabkan  oleh virus  rabies,  dari  genus Lyssavirus ,  dalam  keluarga Rhabdoviridae yang  dapat  ditularkan  dari  air  liur  hewan penderita  rabies  ketika  menggigit  atau  menggores  seseorang. Model  penyebaran  penyakit  yang  digunakan  terdiri  dari  lima persamaan  yang  terdiri  dari  subpopulasi  anjing  yang  rentan terhadap  penyakit,  subpopulasi  anjing  yang  terinfeksi  tapi belum  menunjukkan  tanda-tanda,  subpopulasi  rabies  bentuk tenang,  subpopulasi  rabies  bentuk  ganas,  dan  subpopulasi anjing  yang  divaksinasi.  Sistem  diberi  kontrol  berupa kontrasepsi  pada  subpopulasi  anjing  yang  rentan  terhadap penyakit  untuk  mencegah  penyebaran,.  Studi  ini  membahas tentang  analisis  pada  model  dengan  menentukan  bilangan reproduksi  dasar,  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan endemik,  dan  kestabilan  dari  setiap  titik  kesetimbangan berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz.  Kemudian  dilakukan kontrol  optimal  dengan  menggunakan  Prinsip  Pontryagin. Solusi  numerik  diberikan  dengan  metode  Runge-Kutta  dan dengan simulasi menggunakan software MATLAB.
Kata  Kunci —Kestabilan  Routh-Hurwitz,  Kontrol  Optimal, Metode  Runge-Kutta,  Model  rabies,  Prinsip  Maksimum Pontryagin.

## I. PENDAHULUAN
ABIES  adalah  penyakit zoonosis (penyakit  yang ditularkan  dari  hewan  ke  manusia),  yang  disebabkan oleh  virus  rabies,  dari  genus Lyssavirus ,  dalam  keluarga Rhabdoviridae. Virus  rabies  menyerang  sistem  syaraf mamalia.  Hal  ini  dapat  ditularkan  dari  air  liur  hewan penderita rabies ketika menggigit atau menggores seseorang. Menjilat luka atau menyentuh atau merusak kulit, atau pada lapisan  mulut  dan  hidung,  dapat  juga  menularkan  penyakit [1].
Rabies  merupakan  masalah  kesehatan  masyarakat  dunia, termasuk Indonesia dimana 24 provinsi  endemis rabies dari 34  provinsi  dan  10  provinsi  bebas  rabies  yaitu  Provinsi Kepulauan Bangka Belitung, Kepulauan Riau, DKI Jakarta, Jawa  Tengah,  DI  Yogyakarta,  Jawa  Timur,  Nusa  Tenggara Barat, Papua Barat, Papua dan Kalimantan Barat [2]. Anjing merupakan  penyebab  99%  dari  kasus  rabies  pada  manusia, namun  virus  dapat  ditularkan  dari  hewan  rabies.  Kasus rabies  pada  manusia  terjadi  karena  gigitan  kucing, kelelawar,  luwak,  serigala,  rubah  dan  hewan  karnivora lainnya. Di  seluruh dunia,  rabies  akibat gigitan  monyet dan tikus  jarang  terjadi.  Banyak  hewan  menjadi  agresif  dan menggigit  ketika  mereka  menderita  rabies,  termasuk  pada kuda  dan  keledai.  Sapi  dan  kerbau  tidak  menggigit  ketika terkena  rabies,  tetapi  tindakan  pencegahan  harus  dilakukan
saat memeriksa hewan sakit yang mengeluarkan air liur [1]. Sebagian  besar  sumber  penularan  rabies  di  Indonesia, disebabkan oleh gigitan anjing yang terinfeksi rabies (98%), dan lainnya oleh kera dan kucing. Infeksi rabies pada hewan maupun  pada  manusia  yang  telah  menunjukkan  gejala  dan tanda  klinis  rabies  pada  otak  ( Encephalomyelitis )  berakhir dengan kematian [2].
Pemodelan matematika telah digunakan secara luas untuk mendeskripsikan  permasalahan  riil,  termasuk  penyebaran suatu  penyakit  menular.  Perilaku  model  dapat  diamati melalui  kestabilan  titik  setimbang  pada  model.  Dengan diketahuinya perilaku  model  maka dapat  ditentukan strategi untuk penekanan penyebaran penyakit tersebut.
Model  matematika  penyebaran  rabies  sudah  banyak diteliti  pada  jurnal  dan  studi.  Anik  Zainurrifah  [3] menganalisis  model  matematika  penyebaran  rabies  pada anjing  dengan  vaksinasi.  Dalam  penelitian  ini  didapatkan perbandingan simulasi numerik model matematika penyebaran  penyakit  rabies  pada  anjing  dengan  vaksinasi dan  tanpa  vaksinasi,  pada  populasi  anjing  terinfeksi  namun belum  menunjukkan  tanda-tanda  dan  populasi  anjing terinfeksi  terlihat  berkurang  pada  model  dengan  vaksinasi dibandingkan  tanpa  vaksinasi.  Nia  Arifatul  Laili  [4] menganalisis  kestabilan  dan  kontrol  optimal  model matematika penyebaran penyakit rabies pada anjing dengan pengaruh  migrasi.  Dalam  penelitiannya  disimpulkan  bahwa berdasarkan hasil  simulasi  numerik pada  model matematika penyebaran  penyakit  rabies  pada  anjing  dengan  pengaruh migrasi  didapatkan  pemberian  kontrol  merupakan  langkah paling  efektif  dan  efisien  untuk  meminimalkan  jumlah populasi anjing  yang ter exposed rabies dan  jumlah populasi anjing yang terinfeksi penyakit rabies baik untuk daerah satu maupun daerah dua, serta dapat meminimalkan biaya.
Eti  Dwi  Wiraningsih,  dkk  [5]  menganalisis  kontrol optimal  model  SEIR  rabies  antara  anjing  dan  manusia dengan  pengaruh  vaksinasi  pada  anjing.    Tujuan  dari penelitian  ini  adalah  menganalisis  strategi  distribusi  vaksin yang optimal dengan meminimalkan biaya pengendalian dan penyebaran penyakit (meminimalkan populasi terinfeksi dan populasi rentan). Kittiyanee Sornsong, dkk [6]
mengembangkan dan menganalisis model matematika untuk transmisi  dinamis  model  SEIR  rabies  dengan  langkah- langkah kontrol isolasi dan pemberantasan.
Dalam studi ini dibahas model rabies dengan memasukkan  parameter  kontrol  penggunaan  kontrasepsi untuk  anjing  rentan.  Selain  itu,  akan  dilakukan  analisis kestabilan  dan  kontrol  optimal  penyakit  menggunakan Prinsip  Maksimum  Pontryagin  guna  menentukan  strategi yang  optimal  untuk  mengendalikan  penyebaran  penyakit.

## Analisis Kestabilan Model Matematika Penyebaran Penyakit Rabies pada Anjing dengan Kontrol Optimal Berupa Kontrasepsi
Nirwana F. Kridayati, Kamiran, dan Nur Asiyah Departemen Matematika, Fakultas Matematika Komputasi dan Sains Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : nirwanafatria@gmail.com
R

## II. DASAR TEORI

## A. Model Penyakit Rabies
Model  matematika  penyakit  rabies  berdasarkan  pada penelitian  yang  dilakukan  oleh  Anik  Zainurifah  [3]  adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑠𝑡 = −𝛽𝑆𝐼 + 𝑎(𝑆 + 𝐸 + 𝑉) − (𝑏 + 𝑚𝑁)𝑆 − 𝑣𝑆 + 𝛿𝑉 (2.1) 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝜎𝐸 − (𝑏 + 𝑚𝑁𝐸) (2.2) 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸 − 𝛾𝐼 − (𝑏 + 𝑚𝑁)𝐼 (2.3) 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑣𝑆 − 𝛿𝑉 − (𝑏 + 𝑚𝑁)𝑉 (2.4) Keterangan: 𝑆 ∶ Subpopulasi anjing yang rentan terhadap penyakit
𝐸: Subpopulasi  anjing  yang  terinfeksi  tapi  belum menunjukkan tanda-tanda
𝐼 ∶ Subpopulasi anjing yang terinfeksi
𝑉: Subpopulasi anjing yang divaksinasi 𝑎 : Laju kelahiran anjing
𝑏: Laju kematian alami anjing
𝜎: Laju berakhirnya masa inkubasi penyakit
𝛾 : Laju kematian karena penyakit pada anjing 𝛿 : Laju anjing kehilangan kekebalan dari vaksin
𝛽 : Tingkat penularan penyakit per kontak
𝑣 : Tingkat vaksinasi anjing
𝑚 : Probabilitas kematian total populasi
𝐾 : Kapasitas pendukung

## B. Titik Kesetimbangan
Titik  kesetimbangan  digunakan  untuk  mengetahui  nilai dari bilangan reproduksi dasar.

## Definisi [7]
Diberikan    sistem  persamaan  diferensial 𝒙̇ = 𝒇(𝒙) .  Titik 𝑥̅ ∈ ℝ 𝑛 disebut  titik  kesetimbangan  dari 𝒙̇ = 𝒇(𝒙) jika memenuhi 𝑓(𝑥̅) = 0 .
Pada  kasus  epidemiologi  dapat  diklasifikasikan  menjadi dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangan  bebas  penyakit  adalah  kesetimbangan  saat kelas terinfeksi nol atau saat penyakit tidak menyebar dalam populasi.  Titik  kesetimbangan  endemik  adalah  titik kesetimbangan  saat  kelas  terinfeksi  tidak  nol  atau  saat penyakit menyebar dalam populasi.

## C. Pelinieran
Untuk  mencari  hasil  pelinearan  dari  sistem  persamaan diferensial non linear digunakan matriks Jacobi.
Definisi [8]
Diberikan  fungsi 𝑓 = (𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 ) pada  sistem 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) dengan 𝑓 𝑖 ∈ 𝐶 1 (𝐸) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 . Matriks
𝐽(𝑥̅) =
[ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 1 (𝑥̅) 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 2 (𝑥̅) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 1 (𝑥̅) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 2 (𝑥̅) ⋯ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥̅) ⋯ 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥̅) ⋮ ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 1 (𝑥̅) 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 2 (𝑥̅) ⋱ ⋮ ⋯ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥̅)] (2.5)
Dinamakan matriks Jacobian dari f di titik 𝑥̅ .

## D. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar dapat ditentukan menggunakan metode next  generation  operator [9]  dengan  mencari matriks 𝐹 dan 𝑉 dari  sistem  penyebaran  rabies. 𝐹 𝑖 adalah
laju  kemunculan  infeksi  pada  kompartemen, 𝑉 𝑖 adalah  laju perpindahan  individu  keluar  dari  kompartemen,  dan 𝑥 0 adalah  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit,  maka  bilangan reproduksi  dasar  diperoleh  dari eigen  value terbesar  dari matriks
[ 𝜕𝐹 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) ] [ 𝜕𝑉 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) ] −1 (2.6)
dimana
𝐹 = 𝜕𝐹 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) dan 𝑉 = 𝜕𝑉 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) .

## E. Kriteria Routh-Hurwitz
Diberikan  matriks  Jacobian  dari  sistem  dengan  titik setimbang 𝑥̅ sebagai berikut:
𝐽(𝑥̅) =
[ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 1 (𝑥̅) 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 2 (𝑥̅) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 1 (𝑥̅) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 2 (𝑥̅) ⋯ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥̅) ⋯ 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥̅) ⋮ ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 1 (𝑥̅) 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 2 (𝑥̅) ⋱ ⋮ ⋯ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥̅) ]
Nilai  akar-akar  karakteristik  dari  matriks 𝐽 adalah  akar- akar karakteristik dari polinomial
𝑞(𝑠) = 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑠 + 𝑎 0 ,   𝑎 𝑛 ≠ 0 (2.9 Untuk  mengecek  kestabilan  dengan  kriteria  Routh- Hurwitz maka disusun tabel sebagai berikut:
𝑠 𝑛 𝑠 𝑛−1 𝑠 𝑛−2 𝑠 𝑛−3 ⋮ 𝑠 0 | | 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑏 1 𝑐 1 ⋮ 𝑞 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛−3 𝑏 2 𝑐 2 𝑎 𝑛−4 𝑎 𝑛−5 𝑏 3 𝑐 3 … … …
Dimana 𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑐 1 , 𝑐 2 , …, dan 𝑞 diperoleh dari :
𝑏 1 = 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−2 −𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−3 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 2 = 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−4 −𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−3 𝑎 𝑛−1 , … 𝑐 1 = 𝑏 1 𝑎 𝑛−3 −𝑏 2 𝑎 𝑛−1 𝑏 1 , 𝑐 2 = 𝑏 1 𝑎 𝑛−5 −𝑏 3 𝑎 𝑛−1 𝑏 1 , …
Bila  kolom  pertama  dalam  tabel  tidak  ada  perubahan tanda  (semuanya  bertanda  positif  atau  semuanya  bertanda negatif).  Maka  semua  akar  polinomial 𝑞(𝑠) bagian  realnya adalah  tak  positif    sehingga  sistem  tersebut  adalah  stabil [10].

## F. Prinsip Minimum Pontryagin
Prinsip  Maksimum  Pontryagin  adalah  suatu  kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian optimal kontrol yang sesuai  dengan  tujuan.  Langkah-langkah  penyelesaian kontrol optimal adalah sebagai berikut [11]:
1. Bentuk Hamiltonian
𝐻(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡) = 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡) +
𝜆 ′ (𝑡)𝑓(𝑥(𝑡)), 𝑢(𝑡), 𝑡)
2. Memaksimalkan H terhadap 𝑢(𝑡) dengan cara:
𝜕𝐻 𝜕𝑢 = 0 Sehingga diperoleh kondisi stasioner 𝑢 ∗ (𝑡) = ℎ(𝑥 ∗ (𝑡), 𝜆 ∗ (𝑡), 𝑡) 3. Dengan  menggunakan 𝑢 ∗ (𝑡) yang  diperoleh  dari langkah  2,  akan  didapatkan  fungsi  Hamiltonian  baru yang optimal, 𝐻 ∗ (𝑡) , yaitu :
𝐻 ∗ (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢 ∗ (𝑡), 𝜆 ∗ (𝑡), 𝑡) = 𝐻(𝑥 ∗ (𝑡), 𝜆 ∗ (𝑡), 𝑡) 4. Selesaikan persamaan state dan costate
𝑥̇(𝑡) = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 dan 𝜆̇(𝑡) = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑥 Dengan  kondisi  batas  diberikan  oleh  kondisi transversal (keadaan awal dan keadaan akhir) yaitu:
(𝐻 ∗ + 𝜕𝑆 𝜕𝑡 ) 𝑡 𝑓 𝛿𝑡 𝑓 + (( 𝜕𝑆 𝜕𝑥 ) ∗ − 𝜆 ∗ (𝑡)) 𝑡 𝑓 ′ 𝛿𝑥 𝑓 = 0
Dengan 𝑆 adalah  bentuk  Mayer  dari  fungsi  tujuan 𝐽, 𝐻 adalah  persamaan  Hamiltonian, 𝛿 menunjukkan variasi  dan  tanda ∗ menunjukkan  keadaan  saat variabel kontrolnya stasioner.
5. Substitusi  hasil-hasil  yang  diperoleh  pada  langkah  4 ke  persamaan 𝑢 ∗ (𝑡) pada  langkah  2  untuk mendapatkan kontrol yang optimal.

## G. Metode Runge Kutta Orde 4
Misal diberikan persamaan diferensial sebagai berikut: 𝑦′ = 𝑓(𝑡, 𝑦) dengan  syarat  batas 𝑦(𝑡 0 ) = 𝑦 0 .  Secara  iterasi penyelesaian  Runge  Kutta  orde  4  adalah  sebagai  berikut [11]:
𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + ℎ 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) (2.10)
dengan 𝑘 1 = 𝑓(𝑡 𝑛 , 𝑦 𝑛 )
𝑘 2 = 𝑓 (𝑡 𝑛 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 2 ℎ𝑘 1 ) 𝑘 3 = 𝑓 (𝑡 𝑛 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 2 ℎ𝑘 2 ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑡 𝑛 + ℎ, 𝑦 𝑛 + 𝑘 3 )

## III. METODOLOGI PENELITIAN
a) Studi Literatur
Pada  tahap  ini  akan  dilakukan  identifikasi  permasalahan yang  diangkat  dalam  topik  Studi  ini.  Kemudian  mencari materi dari permasalahan yang diambil yaitu tentang kontrol optimal  pada  penyebaran  penyakit  rabies  pada  anjing dengan menggunakan kontrasepsi baik dari jurnal, buku, dan lain  sebagainya.  materi  yang  harus  dipelajari  adalah  dasar- dasar teori  mengenai rabies,  model penyakit rabies,  metode Prinsip Maksimum Pontryagin dan metode Runge Kutta. b) Pembentukan Model Matematika Untuk  memahami  penyebaran  penyakit  rabies  disusun asumsi-asumsi  tertentu  sehingga  dapat  dibuat  model kompartemen  dengan  subpopulasi  anjing  yang  rentan terhadap  penyakit,  subpopulasi  anjing  yang  terinfeksi  tapi belum  menunjukkan  tanda-tanda,  subpopulasi  rabies  fase tenang,  subpopulasi  rabies  fase  ganas,  dan  subpopulasi anjing yang divaksinasi.
c) Menganalisis  titik  kesetimbangan,  bilangan  reproduksi dasar, dan kestabilan
Pada  tahap  ini  akan  dicari  titik  kesetimbangan  bebas penyakit (𝐸 = 𝐼 1 = 𝐼 2 = 0) dan  titik  kesetimbangan endemik (𝐸, 𝐼 1 , 𝐼 2 ≠ 0) dengan substitusi persamaan  model. Selanjutnya  akan  ditentukan  bilangan  reproduksi  dasar dengan  metode next  generation  operator yang  kemudian akan dianalisis kestabilan pada titik-titik kesetimbangan. d) Kontrol optimal dengan Prinsip Maksimum Pontryagin Pada tahap ini akan ditentukan kontrol yang akan dipakai untuk  mereduksi  penyebaran  rabies  dan  menyelesaikan masalah  kontrol  optimal  dari  model  rabies  menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Langkah-langkah penyelesaiannya  adalah  dengan  menentukan  model  kontrol optimal, menentukan fungsi objektif, membentuk persamaan Hamiltonian,  menentukan  kondisi  batas  yang  harus dipenuhi.
e) Penyelesaian  Kontrol Optimal
Pada  tahap  ini  akan  ditentukan    penyelesaian  numerik kontrol  optimal  dengan  menggunakan  metode  Runge-Kutta dan  akan  dibandingkan  simulasi  sebelum  dan  sesudah penerapan kontrol optimal menggunakan MATLAB.
f) Menarik Kesimpulan dan Saran
Tahap  akhir  adalah  penarikan  kesimpulan  terhadap pembahasan  yang  telah  dilakukan  dan  penulisan  laporan Studi serta pemberian saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model  penyebaran  yang  digunakan  terdiri  dari  lima persamaan  yang  terdiri  dari  subpopulasi  anjing  yang  rentan terhadap  penyakit,  subpopulasi  anjing  yang  terinfeksi  tapi belum  menunjukkan  tanda-tanda,  subpopulasi  rabies  fase tenang,  subpopulasi  rabies  fase  ganas,  dan  subpopulasi anjing  yang  divaksinasi.    Sistem  mereprentasikan  model SEI 1 I 2 V dapat dikontruksi sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑎(𝑆 + 𝐸 + 𝑉) + 𝛿𝑉 − 𝑣𝑆 − 𝜇𝑆 − 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 + (1 − 𝜋)𝜎𝐸 (1) 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 − 𝜇𝐸 − 𝑣𝐸 − 𝜎𝐸 (2) 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = 𝜋𝜎𝐸 − 𝜇𝐼 1 − 𝜆𝐼 1 (3) 𝑑𝐼 2 𝑑𝑡 = 𝜆𝐼 1 − 𝜇𝐼 2 − 𝛾𝐼 2 (4) 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑣𝑆 + 𝑣𝐸 − 𝜇𝑉 − 𝛿𝑉
Dengan 0 ≤ 𝑢 1 ≤ 1 .
Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dapat  diperoleh dengan  menyatakan  ruas  kiri  pada  persamaan  (1),  (2),  (3), (4), dan (5) bernilai nol, kemudian disubstitusikan 𝐸 = 𝐼 1 = 𝐼 2 = 0 sehingga akan diperoleh titik 𝐸 0 = (𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 1 0 , 𝐼 2 0 , 𝑉 0 ) . Telah diketahui pada titik kesetimbangan bebas  penyakit  bahwa 𝐸 = 𝐼 1 = 𝐼 2 = 0 .  Maka,  selanjutnya akan dicari nilai dari 𝑆 0 dan 𝑉 0 . 𝑣𝑆 + 𝑣𝐸 − 𝜇𝑉 − 𝛿𝑉 = 0 (6) 𝑎(𝑆 + 𝐸 + 𝑉) + 𝛿𝑉 − 𝑣𝑆 − 𝜇𝑆 − 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 + (1 − 𝜋)𝜎𝐸 = 0 (7) Dengan menyelesaikan (6) dan (7), sehingga didapatkan: 𝑉 0 = 𝑣𝑁 (𝜇+𝛿+𝑣) (8)
𝑆 0 = 𝑣𝑁(𝑎+𝛿) (𝜇+𝛿+𝑣)(𝑣+𝜇−𝑎) (9)
Sehingga diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit
𝐸 0 = ( 𝑣𝑁(𝑎 + 𝛿) (𝜇 + 𝛿 + 𝑣)(𝑣 + 𝜇 − 𝑎) , 0 , 0, 0, 𝑣𝑁 (𝜇 + 𝛿 + 𝑣) )
Titik  kesetimbangan  endemik  menunjukkan  adanya kemungkinan penyebaran penyakit, yaitu berarti bahwa pada keadaan  endemik  populasi  infeksi 𝐸 ≠ 𝐼 1 ≠ 𝐼 2 ≠ 0 .  Untuk mencari  kesetimbangan  endemik  dapat  diperoleh  dengan menyatakan  ruas  kiri  pada  persamaan  persamaan  (1),  (2), (3),  (4),  dan  (5)  bernilai  nol  sehingga  diperoleh 𝐸 ∗ = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝐼 2 ∗ , 𝑉 ∗ ) . 𝑎(𝑆 + 𝐸 + 𝑉) − 𝛾𝐼 2 − 𝜇(𝑆 + 𝐸 + 𝐼 1 + 𝐼 2 + 𝑉) = 0 (10) 𝜆𝐼 1 − 𝜇𝐼 2 − 𝛾𝐼 2 = 0 (11) 𝜋𝜎𝐸 − 𝜇𝐼 1 − 𝜆𝐼 1 = 0 (12) 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 − 𝜇𝐸 − 𝑣𝐸 − 𝜎𝐸 = 0 (13) 𝑣𝑆 + 𝑣𝐸 − 𝜇𝑉 − 𝛿𝑉 = 0 (6)
Dengan menyelesaikan persamaan (6), (10)-(13) diperoleh titik kesetimbangan endemik sebagai berikut:
𝐸 ∗ = ( (𝜇+𝜆)(𝜇+𝛾)(𝜇+𝑣+𝜎) 𝜋𝜎𝛽(𝜇+𝛾+𝜆) , (𝜇+𝜆) 𝑎𝜋𝜎 ((𝑎 +
𝛾) 𝜆𝑁(𝑎−𝜇)
(𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) . −𝑁(𝑎 − 𝜇))  , 1 𝑎 ((𝑎 +
𝛾) 𝜆𝑁(𝑎−𝜇) (𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) . −𝑁(𝑎 −
𝜇)) , 𝜆𝑁(𝑎−𝜇) (𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) , 𝑣 (𝜇+𝛿)𝜋𝜎 { (𝜇+𝜆)(𝜇+𝛾)(𝜇+𝑣+𝜎) 𝛽(𝜇+𝛾+𝜆) + (𝜇+𝜆)
𝑎 ((𝑎 + 𝛾) 𝜆𝑁(𝑎−𝜇) (𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) . −𝑁(𝑎 − 𝜇))} )
Kompartemen terinfeksi adalah E, I 1 , dan I 2 . Matriks ℱ dan 𝒱 untuk sistem penyebaran rabies pada persamaan (1) - (5) adalah sebagai berikut:
ℱ = [ 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 0 0 ] 𝒱 = [ (𝜇 + 𝑣 + 𝜎)𝐸 −𝜋𝜎𝐸 + (𝜇 + 𝜆)𝐼 1 −𝜆𝐼 1 + (𝜇 + 𝛾)𝐼 2 ]
Dengan turunan parsial terhadap E, I 1 , dan I 2. Kemudian diperoleh matriks 𝐹 sebagai berikut:
𝐹 = [ 0 𝛽𝑆 𝛽𝑆 0 0 0 0 0 0 ]
Dan diperoleh matriks 𝑉 sebagai berikut:
𝑉 = [ 𝜇 + 𝑣 + 𝜎 0 0 −𝜋𝜎 𝜇 + 𝜆 0 0 −𝜆 𝜇 + 𝛾 ]
Dengan mengalikan determinan dan adjoin dari matriks 𝑉 diperoleh nilai invers matriks 𝑉 adalah sebagai berikut:
𝑉 −1 = [ 1 𝜇 + 𝑣 + 𝜎 0 0
𝜋𝜎 (𝜇 + 𝑣 + 𝜎)(𝜇 + 𝜆) 1 𝜇 + 𝜆 0
𝜋𝜎𝜆 (𝜇 + 𝑣 + 𝜎)(𝜇 + 𝜆)(𝜇 +  𝛾) 𝜆 (𝜇 + 𝜆)(𝜇 + 𝛾) 1 𝜇 + 𝛾] Dengan mengalikan FV -1 didapatkan:
𝐹𝑉 −1 = [ 𝛽𝑆 ( 𝜋𝜎 (𝜇+𝑣+𝜎)(𝜇+𝜆) + 𝜋𝜎𝜆 (𝜇+𝑣+𝜎)(𝜇+𝜆)(𝜇+𝛾) ) 𝛽𝑆 ( 1 𝜇+𝜆 + 𝜆 (𝜇+𝜆)(𝜇+𝛾) ) 𝛽𝑆 𝜇+𝛾 0
0 0 0
0 0 ]
Dengan mencari nilai eigen dari bilangan reproduksi dasar didapatkan bilangan reproduksinya adalah R 0 = ρ(FV -1 ) = 𝛽𝑆 ( 𝜋𝜎 (𝜇+𝑣+𝜎)(𝜇+𝜆) + 𝜋𝜎𝜆 (𝜇+𝑣+𝜎)(𝜇+𝜆)(𝜇+𝛾) ) .
Matriks Jacobian dari sistem persamaan diferensial model adalah:
𝐽 = [ 𝑎 − 𝑣 − 𝜇 − 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 ) 𝑎 + (1 − 𝜋)𝜎 −𝛽𝑆 −𝛽𝑆 𝑎 + 𝛿 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 ) −𝜇 − 𝑣 − 𝜎 𝛽𝑆 𝛽𝑆 0 0 𝜋𝜎 −𝜇 − 𝜆 0 0 0 0 𝜆 −𝜇 − 𝛾 0
𝑣 𝑣 0 0 −𝜇 − 𝛿]
Telah  diketahui  sebelumnya  bahwa  titik  kesetimbangan bebas peyakit adalah 𝐸 0 = ( 𝑣𝑁(𝑎+𝛿) (𝜇+𝛿+𝑣)(𝑣+𝜇−𝑎) , 0 , 0, 0,
𝑣𝑁
(𝜇+𝛿+𝑣) ) maka
𝐽(𝐸 0 ) = [ 𝑎 − 𝑣 − 𝜇 𝑎 + (1 − 𝜋)𝜎 − 𝛽𝑣𝑁(𝑎 + 𝛿)
(𝜇 + 𝛿 + 𝑣)(𝑣 + 𝜇 − 𝑎) 0 −𝜇 − 𝑣 − 𝜎 𝛽𝑣𝑁(𝑎 + 𝛿) (𝜇 + 𝛿 + 𝑣)(𝑣 + 𝜇 − 𝑎) 0 𝜋𝜎 −𝜇 − 𝜆 0 0 𝜆 𝑣 𝑣 0
− 𝛽𝑣𝑁(𝑎 + 𝛿) (𝜇 + 𝛿 + 𝑣)(𝑣 + 𝜇 − 𝑎) 𝑎 + 𝛿 𝛽𝑣𝑁(𝑎 + 𝛿) (𝜇 + 𝛿 + 𝑣)(𝑣 + 𝜇 − 𝑎) 0 0 0 −𝜇 − 𝛾 0 0 −𝜇 − 𝛿]
Dengan  ekspansi  kolom  didapatkan    persamaan  sebagai berikut:
[( 𝐴 + 𝜆 ∗ )( 𝐸 + 𝜆 ∗ ) − 𝑣( 𝑎 + 𝛿 )] = 0 (14) | − ( 𝐵 + 𝜆 ∗ ) 𝐹 𝐹 𝜋𝜎 − ( 𝐶 + 𝜆 ∗ ) 0 0 𝜆 − ( 𝐷 + 𝜆 ∗ ) | = 0 (15)
dengan 𝐴 = −𝑎 + 𝑣 + 𝜇 , 𝐵 = 𝜇 + 𝑣 + 𝜎 , 𝐶 = 𝜇 + 𝜆 , 𝐷 = 𝜇 + 𝛾 , 𝐸 = 𝜇 + 𝛿 , dan 𝐹 = 𝛽𝑣𝑁(𝑎+𝛿) (𝜇+𝛿+𝑣)(𝑣+𝜇−𝑎) dengan  menggunakan  diskriminan  dan  kriteria  Routh Hurwitz sistem stabil di titik setimbang bebas penyakit jika : 1. (−𝑎 + 𝑣 + 2𝜇 + 𝛿) 2 > 4{(−𝑎 + 𝑣 + 𝜇)(𝜇 + 𝛿) − 𝑣(𝑎 + 𝛿)}
2. 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3 dimana 𝑎 1 = ( 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 ) 𝑎 2 = ( 𝐵𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐶𝐷 − 𝜋𝜎𝐹 ) 𝑎 3 = 𝐵𝐶𝐷 − 𝜋𝜎𝐹 ( 𝐷 + 𝐹 )
Telah diketahui sebelumnya bahwa titik setimbang endemik 𝐸 ∗ = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝐼 2 ∗ , 𝑉 ∗ ) , maka
𝐽(𝐸 ∗ ) = [ 𝑎 − 𝑣 − 𝜇 − 𝛽(𝑎 − 𝜇)𝑁 𝑎 ( (2𝑎 + 𝛾)𝜆 𝜆(𝑎 + 𝛾) + 𝑎(𝜇 + 𝛾) − 1) 𝑎 + (1 − 𝜋)𝜎 𝛽(𝑎 − 𝜇)𝑁 𝑎 ( (2𝑎 + 𝛾)𝜆 𝜆(𝑎 + 𝛾) + 𝑎(𝜇 + 𝛾) − 1) −𝜇 − 𝑣 − 𝜎
0 𝜋𝜎 0 0 𝑣 𝑣 − 𝛽(𝜇 + 𝜆)(𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝑣 + 𝜎)
𝜋𝜎𝛽(𝜇 + 𝛾 + 𝜆) − 𝛽(𝜇 + 𝜆)(𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝑣 + 𝜎) 𝜋𝜎𝛽(𝜇 + 𝛾 + 𝜆) 𝑎 + 𝛿 𝛽(𝜇 + 𝜆)(𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝑣 + 𝜎) 𝜋𝜎𝛽(𝜇 + 𝛾 + 𝜆) 𝛽(𝜇 + 𝜆)(𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝑣 + 𝜎) 𝜋𝜎𝛽(𝜇 + 𝛾 + 𝜆) 0 −𝜇 − 𝜆 0 0 𝜆 −𝜇 − 𝛾 0 0 0 −𝜇 − 𝛿]
Didapatkan persamaan karakteristik sebagai berikut:
𝜆 ∗ 5 + 𝜆 ∗ 4 (−𝐴 − 𝐵 − 𝐶 − 𝐷 − 𝐹 − 𝐾𝐿) + 𝜆 ∗ 3 (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 +
𝐴𝐷 + 𝐴𝐹 + 𝐵𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐷 + 𝐶𝐹 + 𝐷𝐹 + 𝐶𝐷𝐹 𝐺 − 𝐻 + (𝐵 + 𝐷 + 𝐹 + (𝜋𝜎 + 𝐴))𝐾𝐿) + 𝜆 ∗ 2 (𝐻𝐾𝐿 − 𝐴𝐵𝐶 − 𝐴𝐵𝐷 − 𝐴𝐵𝐹 − 𝐴𝐶𝐷 − 𝐴𝐶𝐹 − 𝐵𝐶𝐷 − 𝐵𝐶𝐹 − 𝐵𝐷𝐹 − 𝐶𝐷𝐹 + 𝐶𝐷𝐹 𝐺 𝜆 − (𝐴 + 𝐵 + 𝐹) 𝐶𝐷𝐹 𝐺 𝜆 + ((𝐶 + 𝐷 + 𝐹)𝐻 − 𝐵𝐷 −
𝐵𝐹 − 𝐵(𝜋𝜎 + 𝐴) − 𝐷𝐹 − 𝐷(𝜋𝜎 + 𝐴) − 𝐹(𝜋𝜎 + 𝐴))𝐾𝐿) + 𝜆 ∗ (−𝐷𝐻𝐾𝐿 − 𝐹𝐻𝐾𝐿 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐹 + 𝐴𝐵𝐷𝐹 +
𝐴𝐶𝐷𝐹 + 𝐵𝐶𝐷𝐹 − (𝐴 + 𝐵) 𝐶𝐷𝐹 𝐺 𝜆 + (𝐴𝐵 + 𝐴𝐹 + 𝐵𝐹) 𝐶𝐷𝐹 𝐺 − (𝐶𝐷 + 𝐶𝐹 + 𝐷𝐹)𝐻 − 𝐶𝐷𝐹𝐻 𝐺 + (𝐵𝐷𝐹 + 𝐵𝐷(𝜋𝜎 + 𝐴) + 𝐷𝐹(𝜋𝜎 + 𝐴))𝐾𝐿) + (𝐷𝐹𝐻𝐾𝐿 − 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹 + 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹 𝐺 𝜆 − 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹 𝐺 + 𝐶𝐷𝐹𝐻 − 𝐶𝐷𝐹𝐻 𝐺 𝜆 + 𝐶𝐷𝐹 2 𝐻 𝐺 − 𝐵𝐷𝐹(𝜋𝜎 + 𝐴)𝐾𝐿) = 0
Dengan 𝐴 = 𝑎 − 𝑣 − 𝜇 , 𝐵 = −𝜇 − 𝛿 , 𝐶 = −𝜇 − 𝑣 − 𝜎 , 𝐷 = −𝜇 − 𝜆 , 𝐹 = −𝜇 − 𝛾 , 𝐺 = 𝜆 + 𝜇 + γ , 𝐻 = ( 𝑎 + 𝛿 ) 𝑣 , 𝐾 = 𝛽(𝑎−𝜇)𝑁 𝑎 , dan 𝐿 = (2𝑎+𝛾)𝜆 𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾) − 1 .
system stabil di titik setimbang endemik jika :
1. 𝑎 1 , 𝑎 5 > 0 .
2. 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3 3. (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 ) > 𝑎 1 2 𝑏 2 𝑎 3 4. (𝑏 1 𝑎 3 − 𝑎 1 𝑏
2 ) > 𝑏 1 2 𝑎 5 𝑏 2 Dengan 𝑎 1 = −𝐴 − 𝐵 − 𝐶 − 𝐷 − 𝐹 − 𝐾𝐿 𝑎 2 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐹 + 𝐵𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐷 + 𝐶𝐹 + 𝐷𝐹 + 𝐶𝐷𝐹 𝐺 − 𝐻 + (𝐵 + 𝐷 + 𝐹 + (𝜋𝜎 + 𝐴))𝐾𝐿 𝑎 3 = 𝐻𝐾𝐿 − 𝐴𝐵𝐶 − 𝐴𝐵𝐷 − 𝐴𝐵𝐹 − 𝐴𝐶𝐷 − 𝐴𝐶𝐹 − 𝐵𝐶𝐷 − 𝐵𝐶𝐹 − 𝐵𝐷𝐹 − 𝐶𝐷𝐹 + 𝐶𝐷𝐹 𝐺 𝜆 − (𝐴 + 𝐵 + 𝐹) 𝐶𝐷𝐹 𝐺 𝜆 + ((𝐶 + 𝐷 + 𝐹)𝐻 − 𝐵𝐷 − 𝐵𝐹 − 𝐵(𝜋𝜎 + 𝐴) − 𝐷𝐹 − 𝐷(𝜋𝜎 + 𝐴) − 𝐹(𝜋𝜎 + 𝐴))𝐾𝐿
𝑎 5 = 𝐷𝐹𝐻𝐾𝐿 − 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹 + 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹 𝐺 𝜆 − 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹 𝐺 + 𝐶𝐷𝐹𝐻 − 𝐶𝐷𝐹𝐻 𝐺 𝜆 + 𝐶𝐷𝐹 2 𝐻 𝐺 − 𝐵𝐷𝐹(𝜋𝜎 + 𝐴)𝐾𝐿 𝑏 1 = 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 3 𝑎 1 , 𝑏 2 = 𝑎 1 𝑎 4 −𝑎 5 𝑎 1
Dalam model persamaan (1) sampai (5) diperluas dengan memasukkan  kontrol  berupa  penggunaan  kontrasepsi (𝑢 1 ), sehingga model persamaan menjadi:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑎(𝑆 + 𝐸 + 𝑉) + 𝛿𝑉 − 𝑣𝑆 − 𝜇𝑆 − 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 + (1 − 𝜋)𝜎𝐸 − (1 − 𝑢 1 )𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 − 𝜇𝐸 − 𝑣𝐸 − 𝜎𝐸 + (1 − 𝑢 1 )𝑆 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = 𝜋𝜎𝐸 − 𝜇𝐼 1 − 𝜆𝐼 1 𝑑𝐼 2 𝑑𝑡 = 𝜆𝐼 1 − 𝜇𝐼 2 − 𝛾𝐼 2 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑣𝑆 + 𝑣𝐸 − 𝜇𝑉 − 𝛿𝑉
Dengan 0 ≤ 𝑢 1 ≤ 1 adalah kontrol penggunaan kontrasepsi. Fungsi objektif untuk model diatas diberikan:
𝐽 𝐻 = min 𝑢 1 ∫ (𝑎 1 𝐸 + 𝑏 1 𝑢 1 2 )𝑑𝑡 𝑡𝑓 0 𝑎 1 𝑆 adalah biaya untuk banyaknya jumlah populasi 𝑆 , 𝑏 1 𝑢 1 2 adalah biaya untuk kontrol penggunaan kontrasepsi. Kemudian didapat Hamiltonian 𝐻 𝑝𝑚 untuk kontrol optimal sebagai berikut: 𝐻 𝑝𝑚 = 𝑎 1 𝐸 + 𝑏 1 𝑢 1 2 + 𝜆 1 (𝑎(𝑆 + 𝐸 + 𝑉) + 𝛿𝑉 − 𝑣𝑆 − 𝜇𝑆 − 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 + (1 − 𝜋)𝜎𝐸 − (1 − 𝑢 1 )𝑆) + 𝜆 2 (𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 − 𝜇𝐸 − 𝑣𝐸 − 𝜎𝐸 + (1 − 𝑢 1 )𝑆) + 𝜆 3 (𝜋𝜎𝐸 − 𝜇𝐼 1 − 𝜆𝐼 1 ) + 𝜆 4 (𝜆𝐼 1 − 𝜇𝐼 2 − 𝛾𝐼 2 ) + 𝜆 5 (𝑣𝑆 + 𝑣𝐸 − 𝜇𝑉 − 𝛿𝑉) Sehingga didapat persamaan kendali optimal yaitu:
𝑢 1 ∗ = max {0, min (1, 𝑆(𝜆 2 − 𝜆 1 ) 2𝑏 1 )}
Persamaan state dapat ditulis sebagai berikut:
𝑆 ∗ (𝑡) = 𝜕𝐻 𝑝𝑚 𝜆 1 =  𝑎(𝑆 + 𝐸 + 𝑉) + 𝛿𝑉 − 𝑣𝑆 − 𝜇𝑆 −
𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 + (1 − 𝜋)𝜎𝐸 − (1 − 𝑆(𝜆 2 −𝜆 1 ) 2𝑏 1 ) 𝑆 𝐸 ∗ (𝑡) = 𝜕𝐻 𝑝𝑚 𝜆 2 = 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 )𝑆 − 𝜇𝐸 − 𝑣𝐸 − 𝜎𝐸 +
(1 − 𝑆(𝜆 2 −𝜆 1 ) 2𝑏 1 ) 𝑆
𝐼 1 ∗ (𝑡) = 𝜕𝐻 𝑝𝑚 𝜆 3 = 𝜋𝜎𝐸 − 𝜇𝐼 1 − 𝜆𝐼 1
𝐼 2 ∗ (𝑡) = 𝜕𝐻 𝑝𝑚 𝜆 4 = 𝜆𝐼 1 − 𝜇𝐼 2 − 𝛾𝐼 2
𝑉 ∗ (𝑡) = 𝜕𝐻 𝑝𝑚 𝜆 5 = 𝑣𝑆 + 𝑣𝐸 − 𝜇𝑉 − 𝛿𝑉
Sedangkan persamaan costate dapat ditulis sebagai berikut:
𝑑𝜆 1 𝑑𝑡 = 𝜆 1 (−𝑎 + 𝑣 + 𝜇 + 𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 ) + (1 − 𝑆(𝜆 2 −𝜆 1 ) 2𝑏 1 )) − 𝜆 2 (𝛽(𝐼 1 + 𝐼 2 ) + (1 − 𝑆(𝜆 2 −𝜆 1 ) 2𝑏 1 )) − 𝜆 5 (𝑣) 𝑑𝜆 2 𝑑𝑡 = −𝑎 1 −𝜆 1 (𝑎 + (1 − 𝜋)𝜎) − 𝜆 2 (−𝜇 − 𝑣 − 𝜎) − 𝜆 3 𝜋𝜎 − 𝜆 5 𝑣 𝑑𝜆 3 𝑑𝑡 = ((𝜆 1 −𝜆 2 )𝛽𝑆) 2 2𝑏 1 (𝐼 1 + 𝐼 2 ) − 𝜆 3 (−𝜇 − 𝜆) − 𝜆 4 𝜆
𝑑𝜆 4 𝑑𝑡 = ((𝜆 1 −𝜆 2 )𝛽𝑆) 2 2𝑏 1 (𝐼 1 + 𝐼 2 ) + 𝜆 4 𝛾 𝑑𝜆 5 𝑑𝑡 = −𝜆 1 (𝑎 + 𝛿) − 𝜆 5 (−𝜇 − 𝛿)
Kemudian  dilakukan  simulasi  menggunakan  metode numerik  Runge  Kutta  dengan  nilai  awal  diasumsikan sebagai berikut :
𝑆(0) = 350 𝐸(0) = 200 𝐼 1 (0) = 35 𝐼 2 (0) = 15 𝑉(0) = 200 dengan waktu akhir adalah 400  hari dengan  nilai  parameter terdapat pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai Parameter Parameter Nilai Parameter Nilai 𝑎 0,001150685 𝑣 0,0004931506 𝜇 0,0009041096 𝜋 0,4 𝜎 0,011 𝜆 0,17543859 𝛾 0,25 𝑎 1 0,0001 𝛿 0,001369863 𝑏 1 0,0001 𝛽 0,003424657
Hasil simulasinya adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Grafik Populasi 𝐸 pada Simulasi.
Dari Gambar 1 dan Gambar 2 dapat diamati bahwa terjadi penurunan  pada  jumlah  populasi  terinfeksi  tapi  belum menunjukkan  tanda-tanda  dan  pada  populasi  anjing terinfeksi  pada  rabies  bentuk  tenang.  Dengan  pemberian kontrol 𝑢 1 ,  32,43%  populasi  anjing  terinfeksi  tapi  belum menunjukkan  tanda-tanda  dapat  direduksi.  Begitu  halnya dengan  anjing  terinfeksi  pada  rabies  bentuk  tenang  terjadi penurunan  sebanyak  11,79%.    Hal  ini  menunjukkan  bahwa pemberian  kontrol  kontrasepsi  cukup  efektif  dalam mengurangi populasi 𝐸 dan 𝐼 1 .
Gambar 3. Grafik Populasi 𝐼 2 pada Simulasi.
Pada  Gambar  3  menunjukkan  bahwa  terjadi  peningkatan pada  populasi  anjing  terinfeksi  pada  rabies  bentuk  ganas. Dengan  pemberian  kontrol 𝑢 1 pada  simulasi  menaikkan populasi  tersebut  sebesar  7,67%.    Hal  ini  bisa  saja  terjadi karena  tidak  ada  kontrol  untuk  mengurangi  populasi terinfeksi pada populasi anjing terinfeksi pada rabies bentuk ganas.
Gambar 4. Grafik Populasi V pada Simulasi.
Pada  Gambar  4  dapat  diamati  tidak  ada  perbedaan  pada populasi  anjing  yang  divaksinasi  ketika  diberi  kontrol maupun  tidak.  Pada  hasil  simulasi,  pemberian  kontrol menaikkan populasi sebesar 0.0005%, yang mana nilai yang sangat  kecil  sekali.      Pada  grafik  dapat  diamati  terjadi penurunan  yang  sangat  signifikan  pada  populasi  tersebut. Hal  ini  bisa  saja  terjadi  karena  populasi  anjing  kehilangan kekebalan dari vaksin dan mengalami kematian alami.
Selanjutnya,  pada  Gambar  4.6  dapat  dilihat  terdapat peningkatan  pada  populasi  anjing  yang  rentan.  Peningkatan populasi  pada  simulasi  bernilai  sebesar  75,53%.  Hal  ini dapat  terjadi  karena  adanya  anjing  yang  terinfeksi  tapi belum  menunjukkan  tanda-tanda  tidak  mengalami  gelaja- gejala  rabies  sehingga  kembali  populasi  yang  rentan  dan hilangnya  kekebalan  dari  vaksin  pada  populasi  anjing  yang divaksinasi.
Kemudian  dari  perhitungan  MATLAB  menggunakan metode  Prinsip  Maksimum  Pontryagin  dan  metode  Runge Kutta  yang  telah  dijelaskan  pada  sub  bab  4.10,  yang  mana didapatkan state dan costate yang  kemudian  disimulasikan di software dengan source  code terdapat  pada  Lampiran diperoleh  perhitungan  hasil  nilai  fungsi  objektif 𝐽 yaitu sebesar  10,763  dengan  nilai 𝑢 1 sebesar  0.  499.  Hal  tersebut dapat  diartikan  fungsi  objektif  merupakan  fungsi  biaya  dan nilai  kontrol 𝑢 1 merupakan  presentase  populasi,  dimana berarti  biaya  yang  dibutuhkan  pada  penggunaan  kontrol tersebut  adalah  sebesar  10,673  dengan  penggunaan  kontrol yang optimal adalah 49,9%.

## V. KESIMPULAN
Dari  hasil  pembahasan  yang  telah  disajikan  dapat disimpulkan:
1. Diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit
𝐸 0 = ( 𝑣𝑁(𝑎+𝛿) (𝜇+𝛿+𝑣)(𝑣+𝜇−𝑎) , 0 , 0, 0, 𝑣𝑁 (𝜇+𝛿+𝑣) )
Sistem stabil di titik setimbang bebas penyakit jika :
a) (−𝑎 + 𝑣 + 2𝜇 + 𝛿) 2 > 4{(−𝑎 + 𝑣 + 𝜇)(𝜇 + 𝛿) − 𝑣(𝑎 + 𝛿)}
b) 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3
2. Diperoleh titik kesetimbangan endemik 𝐸 ∗ =
( (𝜇+𝜆)(𝜇+𝛾)(𝜇+𝑣+𝜎) 𝜋𝜎𝛽(𝜇+𝛾+𝜆) , (𝜇+𝜆) 𝑎𝜋𝜎 ((𝑎 +
𝛾) 𝜆𝑁(𝑎−𝜇) (𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) . −𝑁(𝑎 − 𝜇))  , 1 𝑎 ((𝑎 + 𝛾) 𝜆𝑁(𝑎−𝜇) (𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) . −𝑁(𝑎 − 𝜇)) , 𝜆𝑁(𝑎−𝜇)
(𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) , 𝑣 (𝜇+𝛿)𝜋𝜎 { (𝜇+𝜆)(𝜇+𝛾)(𝜇+𝑣+𝜎) 𝛽(𝜇+𝛾+𝜆) + (𝜇+𝜆)
𝑎 ((𝑎 + 𝛾) 𝜆𝑁(𝑎−𝜇) (𝜆(𝑎+𝛾)+𝑎(𝜇+𝛾)) . −𝑁(𝑎 − 𝜇))} )
Sistem stabil di titik setimbang endemik jika : a) 𝑎 1 , 𝑎 5 > 0 . b) 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3 c) (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 ) > 𝑎 1 2 𝑏 2 𝑎 3 d) (𝑏 1 𝑎 3 − 𝑎 1 𝑏 2 ) > 𝑏 1 2 𝑎 5 𝑏 2 3. Dari  perhitungan  MATLAB  diperoleh  biaya  yang dibutuhkan  pada  penggunaan  kontrol  tersebut  adalah
sebesar 10,673 dengan penggunaan kontrol yang optimal adalah 49,9%.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] World Health Organization, “FAQs. Frequently Asked Questions On Rabies,” 2013.
[2] Kementrian Kesehatan RI, “Situasi dan Analisis Rabies, Strategi Eliminasi Rabies 2020,” 2014.
[3] A.  Zainurrifah,  “Analisis  Model  Matematika  Penyebaran Penyakit Rabies Pada Anjing dengan Vaksinasi,” Surabaya, 2016.
[4] N.  A.  Laili,  “Analisis  Kestabilan  dan  Kontrol  Optimal  Model Matematika  Penyebaran  Penyakit  Rabies  pada  Anjing  dengan Pengaruh Migrasi,” Surabaya, 2018.
[5] W. Eti Dwi and et al, “Optimal Control  for SEIR Rabies Model
between  Dogs  and  Human  with  Vaccination  Effect  in  Dogs,”  in Proceeding  of  the  6th  IMT-GT  Conference  on  Mathematics, Statistics and its Applications , 2018.
[6] K.  Sornsong  and  et  al,  “Mathematical  Model  for  the  Dynamic Transmission  of  Rabies  with  Control  Measures,” Aust.  J.  Basic Appl. Sci. , vol. 10, no. 11, pp. 169–175, 2016.
[7] S.  Wiggins, Introduction  of  Applied  Nonlinear  Synamical Systems and Chaos , 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2003.
[8] J.  Hale  and  H.  Kocak, Dynamics  and  Bifurcations .  New  York: Springer, 1991.
[9] P. Driessche and J. Watmough, “Reproduction Numbers and Sub- threshold  Endemic  Equilibria  for  Compartemental  Models  of Disease Transmission,” Math. Biosci. , pp. 29–48, 2002.
[10] Subiono, Sistem Linear dan Kontrol Optimal . Surabaya, 2016.
[11] W.  Boyce  and  R.  DiPrima,  “Elementary  Differential  Equation and Boundary Value Problems.” 2992.