Penentuan Premi Tunggal Bersih pada Reversionary Annuity untuk Pasangan Suami Istri dengan Model

## Frank’s Copula
Furlo Gilbert Godfrey 1 , I Gusti Putu Purnaba 2 , Ruhiyat 3*
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Institut Pertanian Bogor, Bogor 16680, Indonesia
* Corresponding author. Email: ruhiyat-mat@apps.ipb.ac.id

## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Jambura J. Math. Vol. 4, No. 2, pp. 277–295, July 2022 Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v4i2.13952

## ABSTRAK
Salah satu contoh produk anuitas multi-life (mencakup lebih dari satu orang) adalah reversionary annuity , yaitu produk anuitas hidup untuk dua orang tertanggung yang pembayaran anuitas akan dimulai setelah salah satu tertanggung yang telah ditentukan di kontrak meninggal terlebih dahulu sampai pihak tertanggung lainnya meninggal juga. Perhitungan premi anuitas tersebut biasanya dilakukan dengan mengasumsikan kebebasan peubah acak sisa waktu hidup antara pihak tertanggung. Namun, hal tersebut tidak relevan dengan keadaan sesungguhnya karena pasangan suami istri seharusnya saling terkait kelangsungan hidupnya. Penelitian ini memperhitungkan keterkaitan tersebut pada saat memodelkan sebaran bersama sisa waktu hidup antara pihak suami dan istri. Sebaran bersama sisa waktu hidup suami istri tersebut dimodelkan dengan Frank’s copula yang dibangun dari sebaran marginal masing-masing pihak yang diasumsikan sebarannya mengikuti nilai mortalitas pada Tabel Mortalitas Indonesia IV tahun 2019 di mana nilai mortalitas pada usia non-integer diasumsikan juga mengikuti sebaran seragam ( uniform distribution of death ). Lebih lanjut, sebaran bersama yang dimodelkan dengan copula tersebut dibangun tepat pada saat suami dan istri menikah. Penelitian ini juga memperhitungkan premi tunggal bersih reversionary annuity untuk beberapa kasus penerima manfaat. Secara umum, hasil perhitungan premi tunggal bersih dengan sebaran bersama Frank’s copula menghasilkan nilai lebih rendah dibandingkan dengan perhitungan asumsi kebebasan untuk semua kasus penerima manfaat. Selain itu, waktu pembelian anuitas juga memengaruhi besar nilai premi tunggal bersih yang mengalami peningkatan hingga pada suatu titik usia pernikahan tertentu lalu mengalami penurunan setelahnya.

## Kata Kunci:
Frank’s Copula; Pasangan Suami Istri; Premi Tunggal Bersih; Reversionary Annuity; Uniform Distribution of Death

## ABSTRACT
One of the multi-life annuity products is a reversionary annuity, a life annuity product for two insured people. The annuity payment for this product will begin after one of the insured specified in the contract dies first until the other insured dies as well. The calculation of the annuity premium is usually done by assuming independence between the random variable of remaining life-times of the insured parties. However, this is not relevant to the actual situation because the husband and wife are interrelated with their lives. This study considered this relationship when modelling the joint distribution of the remaining life-times between husband and wife. Frank’s copula was used to model the joint distribution
e-ISSN: 2656-1344 c 2022 F. G. Godfrey, I. G. P. Purnaba, R. Ruhiyat | Under the license CC BY-NC 4.0 Received: 30 March 2022 | Accepted: 10 May 2022 | Online: 13 June 2022
JJoM | Jambura J. Math. 277 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
of the remaining life-times of husband and wife. It was built from marginal distribution, which was assumed to follow the mortality value in the 2019 Indonesian Mortality Table IV. The mortality value at non-integer ages was assumed to follow a uniform distribution (uniform distribution of death). Furthermore, the joint survival distribution modelled by copula was constructed exactly when husband and wife are married. This study also considered the net single premium of reversionary annuity for several beneficiary cases. In general, the results of the calculation of the net single premium with Frank’s copula produced a lower value than the calculation of the assumption of independence for all beneficiary cases. In addition, the purchase time of an annuity also affects the net single premium, which increases up to a certain point of marriage age and then decreases thereafter.

## Keywords:
Frank’s Copula; Married Couple; Net Single Premium; Reversionary Annuity; Uniform Distribution of Death

## Format Sitasi:
F. G. Godfrey, I. G. P. Purnaba and R. Ruhiyat, ”Penentuan Premi Tunggal Bersih pada Reversionary Annuity untuk Pasangan Suami Istri dengan Model Frank’s Copula ”, Jambura J. Math. , vol. 4, No. 2, pp. 277–295, 2022, doi: https://doi.org/10.34312/jjom.v4i2.13952

## 1. Pendahuluan
Salah satu produk asuransi adalah anuitas hidup yang merupakan serangkaian pembayaran yang diberikan ke pihak tertanggung sampai suatu waktu yang telah ditentukan di dalam kontrak anuitas yang biasanya bergantung pada kelangsungan hidup seseorang. Selain produk anuitas hidup single-life (mencakup satu orang tertanggung), tersedia juga produk anuitas hidup multi-life (mencakup beberapa orang tertanggung). Salah satu contoh produk anuitas multi-life adalah reversionary annuity , yaitu produk anuitas hidup untuk dua orang tertanggung yang pembayaran anuitasnya akan dimulai setelah salah satu tertanggung yang telah ditentukan di kontrak meninggal terlebih dahulu sampai pihak tertanggung lainnya meninggal juga. Studi mengenai reversionary annuity relevan ketika mempelajari asuransi untuk janda/duda dan anak yatim piatu [1].
Salah satu cara untuk menilai harga suatu anuitas adalah dengan menentukan premi tunggal bersih produk anuitas tersebut. Perhitungan premi tunggal bersih untuk anuitas hidup multi-life memerlukan sebaran bersama dari sisa waktu hidup para tertanggung di dalam asuransi tersebut. Secara tradisional, estimasi peluang sisa waktu hidup bersama dilakukan dengan mengasumsikan kebebasan sisa waktu hidup para tertanggung. Dengan asumsi ini, peluang kelangsungan hidup bersama adalah perkalian dari peluang kelangsungan hidup setiap pihak tertanggung. Asumsi ini menyederhanakan estimasi bersama menjadi suatu masalah estimasi individu [2]. Namun hal ini tidak relevan dengan apa yang sebenarnya terjadi di kehidupan. Salah satu contoh kasus kelangsungan hidup dari pihak-pihak tertanggung yang tidak saling bebas adalah asuransi yang tertanggungnya adalah pasangan suami istri. Hal ini dikarenakan suami dan istri terpapar oleh risiko yang hampir sama karena sebagian besar waktunya dihabiskan bersama [3].
Studi lebih lanjut mengindikasikan bahwa ” broken heart syndrome ” ataupun ” widowhood effect ” dapat menaikkan tingkat kematian setelah pasangannya meninggal [4–7]. Studi-studi terdahulu menyimpulkan bahwa terdapat kenaikan tingkat risiko kematian bagi pasangan yang berduka dalam kurun waktu kurang lebih 6 bulan pertama setelah pasangannya meninggal [4–7]. Studi yang dilakukan Elwert dan Christakis [8] juga mendapatkan hasil bahwa meninggalnya pasangan menaikkan tingkat kematian pada
JJoM | Jambura J. Math. 277 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
semua penyebab kematian untuk pasangan yang sedang berduka atau ditinggalkan. Selain itu, studi terkait ilmu aktuaria pada perhitungan tingkat mortalitas yang dilakukan oleh Margus [9] sejalan dengan studi sebelumnya terkait ” widowhood effect ”. Hasilnya mengindikasikan bahwa individu yang sudah menikah dan pasangannya masih hidup memiliki tingkat mortalitas lebih rendah dibandingkan individu yang sedang lajang, namun individu yang pasangannya sudah meninggal memiliki tingkat mortalitas lebih tinggi. Hasil-hasil studi tersebut mengindikasikan perlunya model sebaran bersama yang menangkap keterkaitan antarpihak tertanggung, yaitu pasangan suami istri, pada saat perhitungan premi.
Studi-studi terkait perhitungan harga asuransi, sebagian besar, menggunakan model copula untuk memodelkan sebaran bersama dari pihak tertanggung yang memperhitungkan keterkaitan antarpihak tertanggungnya. Beberapa contoh studi tersebut ialah Frees et al. [2] yang menggunakan model Frank’s copula dengan fungsi sebaran marginal Gompertz untuk menilai anuitas hidup, Youn et al. [10] yang menggunakan Gumbel-Hougaard’s copula dengan fungsi sebaran marginal Weibull untuk menentukan harga dari asuransi jiwa joint-life , dan Luciano et al. [11] yang menggunakan model 1-Parameter Archimedean copula dan 2-Parameter Archimedean copula untuk menentukan harga reversionary annuity . Studi-studi tersebut menunjukkan bahwa terdapat perbedaan harga premi suatu produk asuransi multi-life antara perhitungan dengan asumsi kebebasan dan dengan asumsi keterkaitan di mana perbedaannya bergantung pada jenis produk asuransinya.
Penelitian ini juga mengaplikasikan model copula untuk memodelkan sebaran bersama dari pihak-pihak tertanggung yang dibangun dari suatu sebaran marginal sisa waktu hidup dari masing-masing pihak, yaitu suami dan istri. Namun, kali ini sebaran marginal suami dan istri langsung menggunakan nilai mortalitas pada Tabel Mortalitas Indonesia IV tahun 2019 di mana nilai mortalitas pada usia non-integer dihitung menggunakan asumsi uniform distribution of death ( UDD ). Selanjutnya, muncul pertanyaan lain terkait pemodelan copula tersebut, yaitu pada umur-umur berapa sebaiknya model copula tersebut diterapkan? Carriere [12] merekomendasikan untuk menerapkan model copula tepat pada umur dari pihak-pihak yang bersangkutan menikah. Hal ini masuk akal karena kedua belah pihak baru akan saling bergantung hidupnya setelah hari pernikahan. Konsep tersebut digunakan pada penelitian ini saat memodelkan sebaran bersama dengan model copula .
Prosedur pada studi-studi sebelumnya sebagian besar diawali dengan mengestimasi sebaran marginal tertentu (biasanya sebaran Gompertz-Makeham atau Weibull) bagi masing-masing pihak, suami dan istri, sebelum dimodelkan sebaran bersamanya dengan copula . Namun hal ini dapat menjadi hambatan karena keterbatasan data mengenai waktu hidup pasangan suami istri yang menikah pada kombinasi usia waktu tertentu. Tujuan utama pada penelitian ini adalah untuk memberikan prosedur alternatif untuk menentukan sebaran bersama bagi pasangan suami istri dengan hanya bermodalkan pada suatu tabel mortalitas. Oleh sebab itu, berdasarkan sebaran bersama tersebut dapat dihitung pula nilai premi tunggal bersih dari suatu produk asuransi, yang kali ini produk asuransinya adalah reversionary annuity . Selain itu, akan dianalisis juga pengaruh waktu pembelian anuitas yang dibeli tepat pada saat hari pernikahan atau beberapa tahun setelah pernikahan (tepat pada saat ulang tahun pernikahan) dan juga pengaruh pihak penerima manfaat yang telah didefinisikan pada kontrak.
JJoM | Jambura J. Math. 278 Volume 4 | Issue 2 | July 2022

## 2. Metode
Data pada penelitian ini adalah data mortalitas yang terdapat pada Tabel Mortalitas Indonesia IV tahun 2019 (TMI IV). Data yang digunakan adalah nilai-nilai peluang kematian dalam satu tahun ke depan bagi laki-laki berusia x yang dinotasikan q m ( TMI ) x dan nilai-nilai peluang kematian dalam satu tahun ke depan bagi perempuan berusia x yang dinotasikan q f ( TMI ) x . 1 Selain itu, terdapat limiting age hingga usia ω = 112 bagi laki-laki maupun perempuan sehingga nilai pada tabel tersebut tersedia untuk usia x ∈ { 0, 1, 2, . . . , 111 } . Pada penelitian ini, diasumsikan bahwa pihak tertanggung pada reversionary annuity adalah pasangan suami istri yang pernikahannya terjadi ketika suami berusia tepat 26 tahun dan istri berusia tepat 24 tahun.

## 2.1. Model Sebaran Survival Marginal
Sebaran kelangsungan hidup bagi para pihak diasumsikan mengikuti nilai mortalitas pada TMI IV di mana nilai mortalitas pada usia non-integer diinterpolasi dengan asumsi uniform distribution of death ( UDD ).
2.1.1. Model Sebaran Survival Single-Life TMI IV dengan Asumsi UDD
Misalkan ( x ) menyatakan individu yang berusia x , maka T x adalah peubah acak kontinu bagi waktu hingga kematian bagi ( x ) . Sebaran survival marginal bagi ( x ) dapat dinyatakan sebagai peluang bagi ( x ) akan tetap bertahan hidup paling tidak hingga mencapai usia x + t yang dapat ditulis sebagai
t p x = S T x ( t ) = Pr ( T x > t ) (1)
untuk 0 ≤ t ≤ ω − x . Sebaran survival marginal pada Persamaan (1) dapat dievaluasi untuk nilai-nilai x dan t yang bernilai integer menggunakan nilai mortalitas pada TMI IV yang dapat ditulis sebagai
t p x = t − 1 ∏ i = 0 p ( TMI ) x + i = t − 1 ∏ i = 0 1 − q ( TMI ) x + i (2)
untuk x = 0, 1, 2, . . . , ω − 1 dan t = 1, 2, . . . , ω − x . Di samping itu, berdasarkan asumsi UDD , sebaran survival marginal bagi ( x ) dapat ditulis sebagai
t p x = 1 − t q x = 1 − tq ( TMI ) x (3)
untuk x = 0, 1, . . . , ω − 1 dan 0 ≤ t ≤ 1 [13]. Menggunakan Persamaan (2) dan (3) akan didapatkan persamaan umum sebaran survival marginal bagi ( x ) , yaitu
1 Notasi superscript m menyatakan male ( laki − laki ) sehingga juga merujuk pada suami sementara superscript f menyatakan f emale ( perempuan ) sehingga juga merujuk pada istri . Sementara itu , superscript ( TMI ) menyatakannilai mortalitas berdasarkan Tabel Mortalitas Indonesia IV .
JJoM | Jambura J. Math. 279 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
t p x =                      1 − tq ( TMI ) x , 0 ≤ t ≤ 1 p x 1 − ( t − 1 ) q ( TMI ) x + 1 , 1 < t ≤ 2 2 p x 1 − ( t − 2 ) q ( TMI ) x + 2 , 2 < t ≤ 3 .. . ω − x − 1 p x 1 − ( t − ( ω − x − 1 )) q ( TMI ) ω − 1 , ω − x − 1 < t ≤ ω − x t p x = b t c p x 1 − ( t − b t c ) q ( TMI ) x + b t c , 0 ≤ t ≤ ω − x
sehingga dapat dinyatakan sebagai
t p x = " b t c− 1 ∏ i = 0 1 − q ( TMI ) x + i # h 1 − ( t − b t c ) q ( TMI ) x + b t c i (4)
untuk x = 0, 1, . . . , ω − 1 dan 0 ≤ t ≤ ω − x .
2.1.2. Model Sebaran Survival Marginal Laki-laki 26 Tahun dan Perempuan 24 Tahun
Misalkan ( 26 m ) dan ( 24 f ) berturut-turut menyatakan laki-laki yang berusia 26 tahun dan perempuan yang berusia 24 tahun, maka T m 26 dan T f 24 adalah peubah acak kontinu bagi waktu hingga kematian bagi ( 26 m ) dan ( 24 f ) . Berdasarkan sub-subbab 2.1.1, sebaran survival marginal bagi ( 26 m ) akan tetap bertahan hidup paling tidak hingga mencapai usia 26 + t dapat dinyatakan seperti pada Persamaan (1) dan (4) yaitu
Pr ( T m 26 > t ) = S T m 26 ( t ) (5) = t p m 26 = " b t c− 1 ∏ i = 0 1 − q m ( TMI ) 26 + i # h 1 − ( t − b t c ) q m ( TMI ) 26 + b t c i
untuk 0 ≤ t ≤ 86 ( ω − x = 112 − 26 = 86 ) . Sementara itu, sebaran survival marginal bagi ( 24 f ) akan tetap bertahan hidup paling tidak hingga mencapai usia 24 + t dinyatakan dengan
Pr T f 24 > t = S T f 24 ( t ) (6) = t p f 24 = " b t c− 1 ∏ i = 0 1 − q f ( TMI ) 24 + i # h 1 − ( t − b t c ) q f ( TMI ) 24 + b t c i
untuk 0 ≤ t ≤ 88 ( ω − x = 112 − 24 = 88 ) . Grafik sebaran survival marginal bagi laki- laki 26 tahun dan perempuan 24 tahun diberikan pada Gambar 1.

## 2.2. Model Sebaran Survival Bersama
Sebaran kelangsungan hidup bersama dari para pihak akan dimodelkan dengan asumsi kebebasan dan dengan asumsi keterkaitan menggunakan Frank’s copula survival . Pemodelan sebaran bersama menggunakan empat nilai ukuran keterkaitan Kendall’s tau ,
JJoM | Jambura J. Math. 280 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
yaitu τ = 0 untuk keterkaitan yang saling bebas, τ = 0.25 untuk keterkaitan lemah, τ = 0.50 untuk keterkaitan sedang, dan τ = 0.75 untuk keterkaitan kuat.
Gambar 1. Grafik sebaran survival marginal laki-laki 26 tahun dan perempuan 24 tahun
2.2.1. Model Sebaran Survival Bersama Asumsi Saling Bebas
Misalkan ( x ) dan ( y ) berturut-turut menyatakan individu yang berusia x dan y , maka T x dan T y berturut-turut adalah peubah acak kontinu bagi waktu hingga kematian bagi ( x ) dan ( y ) . Sebaran survival bersama bagi ( x ) dan ( y ) dapat dinyatakan sebagai peluang bersama ( x ) dan ( y ) akan tetap bertahan hidup paling tidak hingga masing-masing mencapai usia x + t x dan y + t y yang dapat ditulis sebagai
S T x , T y t x , t y = Pr T x > t x ∧ T y > t y (7)
untuk 0 ≤ t x ≤ ω − x dan 0 ≤ t y ≤ ω − y . Jika T x dan T y diasumsikan saling bebas, sebaran survival bersamanya pada Persamaan (7) dapat dinyatakan dengan
S T x , T y t x , t y = Pr T x > t x ∧ T y > t y = Pr ( T x > t x ) Pr T y > t y = S T x ( t x ) S T y t y
sehingga dapat ditulis sebagai
S T x , T y t x , t y = t x p x t y p y (8)
untuk 0 ≤ t x ≤ ω − x dan 0 ≤ t y ≤ ω − y .
JJoM | Jambura J. Math. 281 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
2.2.2. Model Sebaran Survival Bersama dengan Frank’s Copula Survival
Frank’s copula merupakan salah satu jenis Archimedean copula 2 dengan fungsi pembangkit yang dapat ditulis sebagai
φ ( t ; θ ) = − ln e − θ t − 1 e − θ − 1 (9)
sehingga fungsi φ pada Persamaan (9) membangkitkan sebuah bivariate copula berikut
C ( u , v ; θ ) = − 1 θ ln 1 + e − θ u − 1 e − θ v − 1 e − θ − 1 ! (10)
untuk θ 6 = 0 dan 0 ≤ u , v ≤ 1. Nilai parameter θ dapat ditentukan melalui hubungan antara ukuran keterkaitan Kendall’s τ dengan parameter Archimedian copula. Misalkan X dan Y merupakan peubah acak kontinu dengan Archimedian copula C yang dibangkitkan dari fungsi pembangkit φ . Ukuran keterkaitan Kendall’s τ adalah sebagai berikut
τ X , Y = 1 + 4 Z 1 0 φ ( t ; θ ) d dt φ ( t ; θ ) dt . (11)
Lebih lanjut, Frank’s copula merupakan satu-satunya Archimedian copula yang memiliki sifat radial symmetry sehingga fungsi C = C [14]. Akibatnya, fungsi bivariate copula survival dari Frank’s copula dapat ditulis seperti pada Persamaan (10) sebagai
C ( u , v ; θ ) = − 1 θ ln 1 + e − θ u − 1 e − θ v − 1 e − θ − 1 ! (12)
untuk θ 6 = 0 dan 0 ≤ u , v ≤ 1. Lalu, Nelsen [14] membuktikan bahwa teorema Sklar 3 juga berlaku untuk fungsi sebaran survival bersama, yaitu misalkan S X , Y adalah suatu fungsi sebaran survival bersama bagi X dan Y dengan sebaran survival marginal S X dan S Y , maka terdapat sebuah copula survival C sedemikian sehingga untuk setiap x , y ∈ R berlaku
S X , Y ( x , y ) = C ( S X ( x ) , S Y ( y )) . (13)
Berdasarkan teorema pada Persamaan (13) dan dengan menggunakan Frank’s copula survival pada Persamaan (12), fungsi sebaran survival bersama bagi T x dan T y dapat dinyatakan dengan
2 Jika terdapat f ungsi pembangkit φ yang membangkitkan sebuah bivariate copula berikut C ( u , v ) = φ − 1 ( φ ( u ) + φ ( v )) , φ ( u ) + φ ( v ) ≤ φ ( 0 ) 0, selainnya untuk 0 ≤ u , v ≤ 1, maka f ungsi copula
C tersebut disebut Archimedean copula . 3 Misalkan F X , Y adalah suatu f ungsi sebaran kumulati f bersama bagi X dan Y dengan sebaran kumulati f marginal F X dan F Y , maka terdapat sebuah copula C sedemikian sehingga untuk setiap x , y ∈ R berlaku F X , Y ( x , y ) = C ( F X ( x ) , F Y ( y )) .
JJoM | Jambura J. Math. 282 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
S T x , T y t x , t y = C S T x ( t x ) , S T y t y = − 1 θ ln   1 + e − θ ( S Tx ( t x )) − 1 e − θ ( S Ty ( t y )) − 1 e − θ − 1  
sehingga dapat ditulis sebagai
S T x , T y t x , t y = − 1 θ ln     1 + e − θ ( tx p x ) − 1 e − θ ty p y − 1 e − θ − 1     . (14)
untuk 0 ≤ t x ≤ ω − x dan 0 ≤ t y ≤ ω − y , asalkan diketahui sebaran survival marginal bagi T x dan T y , yaitu S T x dan S T y .

## 2.2.3. Model Sebaran Survival Bersama Pasangan Suami Istri
Karena pihak tertanggung adalah suami istri yang menikah saat suami berusia tepat 26 tahun dan istri berusia tepat 24 tahun, pemodelan sebaran survival bersama akan dibangun dari sebaran survival marginal laki-laki 26 tahun ( t p m 26 ) dan perempuan 24 tahun t p f 24 4 . Sebaran survival bersama mereka dapat dinyatakan sebagai peluang bersama ( 26 m ) dan ( 24 f ) masing-masing akan tetap bertahan hidup paling tidak hingga usia masing-masing mencapai 26 + t m dan 24 + t f yang dapat ditulis sebagai
S T m 26 , T f 24 t m , t f = Pr T m 26 > t m ∧ T f 24 > t f (15)
untuk 0 ≤ t m ≤ 86 dan 0 ≤ t f ≤ 88.
Berdasarkan sub-subbab 2.2.1, jika T m 26 dan T f 24 diasumsikan saling bebas, Persamaan (15) dapat ditulis seperti pada Persamaan (8), yaitu
S T m 26 , T f 24 t m , t f = t m p m x t f p f y (16)
untuk 0 ≤ t m ≤ 86 dan 0 ≤ t f ≤ 88 di mana t m p m x diberikan pada Persamaan (5) dan t f p f y diberikan pada Persamaan (6).
Berdasarkan sub-subbab 2.2.2, jika T m 26 dan T f 24 diasumsikan saling berkaitan dan dimodelkan dengan Frank’s copula survival , Persamaan (15) dapat ditulis seperti pada persamaan (14), yaitu
4 Kelangsungan hidup pihak suami dan istri akan saling berkaitan setelah mereka menikah ( sebelum pernikahan , kelangsungan hidup mereka saling bebas karena belum hidup bersama ) . Hal ini juga diterapkan pada studi yang dilakukan oleh Debicka , et al. [ 16 ] , di mana pemodelan copula diterapkan saat pertama kali mereka bertemu ( pada studi ini tepat pada saat menikah ) .
JJoM | Jambura J. Math. 283 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
S T m 26 , T f 24 t m , t f = − 1 θ ln        1 + e − θ ( tm p m x ) − 1 e − θ t f p f y − 1 ! e − θ − 1        (17)
untuk 0 ≤ t m ≤ 86 dan 0 ≤ t f ≤ 88 di mana t m p m x diberikan pada Persamaan (5) dan t f p f y diberikan pada Persamaan (6), dengan nilai θ ditentukan berdasarkan beberapa nilai Kendall’s τ yang telah diasumsikan menggunakan hubungan antara Kendall’s τ dan parameter Archimedian copula seperti yang telah dinyatakan pada Persamaan (11). Hasil perhitungan parameter berdasarkan beberapa nilai Kendall’s τ disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil perhitungan parameter Frank’s Copula Ukuran Keterkaitan τ ∗ ) θ ∗∗ ) Saling Bebas 0.00 - ∗∗∗ ) Keterkaitan Lemah 0.25 2.37757 Keterkaitan Sedang 0.50 5.74756 Keterkaitan Kuat 0.75 14.14028 ∗ ) τ menyatakan nilai korelasi Kendall’s tau yang diasumsikan. ∗∗ ) θ merupakan parameter pada Frank’s copula . ∗∗∗ ) Karena τ = 0 tidak terdefinisi untuk Frank’s copula (tidak menghasilkan independence copula ), kasus saling bebas akan langsung menggunakan Persamaan (16).

## 2.3. Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity
Perhitungan premi tunggal bersih reversionary annuity menggunakan tingkat bunga kontinu tahunan yang konstan sebesar δ = 5% per tahun dan manfaat dibayarkan secara kontinu ke pihak penerima manfaat dengan tingkat pembayaran sebesar 1 satuan/tahun. Lebih lanjut, pembelian anuitas tersebut dilakukan tepat saat hari pernikahan (yaitu saat suami dan istri berturut-turut berusia 26 dan 24) atau beberapa tahun setelah hari pernikahan (yaitu saat suami dan istri berusia 26 + s dan 24 + s ). Usia 26 + s dan 24 + s merupakan usia suami dan istri saat membeli anuitas, sementara s merupakan selisih usia antara usia saat pernikahan dan usia saat membeli anuitas (atau s sama saja dengan usia pernikahan). Penelitian ini menghitung premi tunggal bersih reversionary annuity hingga usia pernikahan saat pembelian anuitas mencapai usia 84 tahun, sehingga nilai s yang mungkin adalah s = 0, 1, 2, . . . , 84. Penelitian ini juga memperhitungkan premi tunggal bersih pada reversionary annuity untuk tiga kasus penerima manfaat berikut:
1. Kasus pertama, premi tunggal bersih reversionary annuity di mana manfaatnya diberikan kepada pihak istri setelah kematian pihak suami.
2. Kasus kedua, premi tunggal bersih reversionary annuity di mana manfaatnya diberikan kepada pihak suami setelah kematian pihak istri.
3. Kasus ketiga, premi tunggal bersih reversionary annuity di mana manfaatnya diberikan kepada pihak terakhir yang masih bertahan hidup setelah kematian pertama dari salah satu pihak.
Sebelum menentukan premi tunggal bersih reversionary annuity untuk beberapa kasus di
JJoM | Jambura J. Math. 284 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
atas, diberikan formula umum premi tunggal bersih reversionary annuity . Misalkan pada suatu kontrak reversionary annuity , di mana pihak tertanggungnya adalah ( x ) dan ( y ) , pihak yang berhak menerima manfaat adalah ( y ) setelah kematian ( x ) . 5 Premi tunggal bersih bagi kontrak tersebut dinyatakan sebagai
a x | y = a y − a xy . (18)
Secara umum, berdasarkan Persamaan (18), untuk menentukan premi tunggal bersih reversionary annuity , kita hanya perlu menentukan premi tunggal bersih anuitas hidup bagi pihak yang berhak menerima manfaat (pada kontrak ini adalah ( y ) sehingga premi tunggal bersihnya adalah a y ) dikurangi premi tunggal bersih anuitas hidup status joint- life , 6 yaitu a xy . Lebih khusus, premi tunggal bersih suatu anuitas hidup dihitung dengan
a x = Z ∀ t e − δ t t p x dt (19)
yaitu faktor diskon pada waktu t dikali fungsi sebaran survival bagi status yang dimaksud (pada Persamaan (19) dimaksudkan untuk ( x ) sehingga sebaran survival -nya ialah t p x ) lalu diintegralkan pada semua nilai t yang mungkin.
Berdasarkan pernyataan di atas, penentuan premi tunggal bersih reversionary annuity pada penelitian ini terlebih dahulu perlu ditentukan premi tunggal bersih anuitas hidup status joint-life bagi pasangan suami istri tersebut yang pembelian anuitasnya tepat terjadi pada s tahun setelah hari pernikahan [15]. Karena reversionary annuity sejatinya merupakan produk anuitas hidup yang melibatkan lebih dari satu pihak tertanggung, maka pada saat pembelian anuitas tersebut perlu dijamin bahwa suami dan istri keduanya masih tetap bertahan hidup hingga waktu pembelian anuitas tersebut (keduanya masih hidup selama s tahun setelah hari pernikahan). Jadi, fungsi sebaran survival bagi status joint-life pasangan suami istri tersebut dinyatakan dengan
t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = Pr T ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f > t T m 26 > s ∧ T f 24 > s 7 = Pr T 26 m :24 f > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s = Pr T m 26 > s + t ∧ T f 24 > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s = Pr T m 26 > s + t ∧ T f 24 > s + t Pr T m 26 > s ∧ T f 24 > s
5 Kontrak ini bisa hangus jika pihak yang meninggal pertama adalah ( y ) , sehingga ( x ) tidak akan menerima man f aat walaupun masih hidup . 6 ( xy ) menyatakan status joint − li f e yang pesertanya adalah ( x ) dan ( y ) , yaitu status yang tetap bertahan jika semua peserta yang terlibat di dalam status tersebut semuanya masih bertahan hidup [ 15 ] . T xy merupakan peubah acak waktu hingga kegagalan status tersebut dan sebaran survival status tersebut dinyatakan sebagai t p xy = Pr T xy > t = Pr T x > t ∧ T y > t = S T x , T y ( t , t ) untuk 0 ≤ t ≤ min { ω − x , ω − y } . 7 Pada Kenyatannya t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = Pr T ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f > t T m 26 > s ∧ T f 24 > s =
Pr T ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f > t .
JJoM | Jambura J. Math. 285 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
sehingga dapat ditulis sebagai
t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = S T m 26 , T f 24 ( s + t , s + t ) S T m 26 , T f 24 ( s , s ) (20)
untuk 0 ≤ t ≤ 86 − s di mana S T m 26 , T f 24 t m , t f diberikan pada Persamaan (16) jika menggunakan asumsi saling bebas dan Persamaan (17) jika menggunakan asumsi saling berkaitan. Menggunakan fungsi sebaran survival status joint-life pada Persamaan (20), premi tunggal bersih anuitas hidup yang memberikan pembayaran secara kontinu dengan tingkat 1 satuan/tahun selama sepasang suami dan istri masih hidup (status joint-life ) di mana anuitas dibeli pada saat suami berusia tepat 26 + s dan istri berusia tepat 24 + s dapat dihitung dengan rumus berikut:
a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = Z 86 − s 0 e − δ t t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f dt (21)
untuk s = 0, 1, 2, . . . , 84.

## 2.3.1. Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity Kasus 1
Sebelum menentukan premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 1 di mana penerima manfaatnya adalah istri (setelah suami meninggal), perlu ditentukan premi tunggal bersih dari anuitas hidup single-life untuk pihak istri. Perhitungan premi tunggal bersih anuitas seumur hidup bagi pihak istri membutuhkan fungsi sebaran marginal survival bagi pihak istri di usia saat membeli anuitas. Lebih lanjut, seperti yang telah dijelaskan pada subbab 2.3, saat membeli suatu anuitas hidup yang melibatkan pihak tertanggung lebih dari satu, jelas bahwa semua pihak tersebut haruslah tetap hidup pada saat pembelian anuitas yang dalam penelitian ini adalah pasangan suami istri. Akibatnya, fungsi sebaran marginal survival bagi pihak istri ketika pembelian anuitas dilakukan s tahun setelah hari pernikahan adalah
t p f 24 + s | T m 26 > s = Pr T f 24 + s > t T m 26 > s = Pr T f 24 > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s = Pr T m 26 > s ∧ T f 24 > s + t Pr T m 26 > s ∧ T f 24 > s
sehingga dapat ditulis sebagai
a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = Z 86 − s 0 e − δ t t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f dt (22)
untuk 0 ≤ t ≤ 88 − s di mana S T m 26 , T f 24 t m , t f diberikan pada Persamaan (16) jika menggunakan asumsi saling bebas dan Persamaan (17) jika menggunakan asumsi saling berkaitan. Menggunakan fungsi sebaran marginal survival bagi pihak istri pada Persamaan (22), premi tunggal bersih anuitas hidup yang memberikan pembayaran
JJoM | Jambura J. Math. 286 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
secara kontinu dengan tingkat 1 satuan/tahun untuk seorang istri berumur 24 + s di mana suaminya masih hidup pada saat pembelian anuitas dapat dihitung dengan rumus berikut:
a f 24 + s = Z 88 − s 0 e − δ t t p f 24 + s | T m 26 > s dt . (23)
Berdasarkan konsep pada Persamaan (18), premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 1 dapat dihitung menggunakan hasil perhitungan premi tunggal bersih pada Persamaan (21) dan (23), sehingga menghasilkan
a ( 26 + s ) m | ( 24 + s ) f = a f 24 + s − a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f (24)
untuk s = 0, 1, 2, . . . , 84.

## 2.3.2. Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity Kasus 2
Sejalan seperti pada subbab 2.3.1, fungsi sebaran marginal survival bagi pihak suami ketika pembelian anuitas dilakukan s tahun setelah hari pernikahan adalah
t p m 26 + s T f 24 > s = Pr T m 26 + s > t T f 24 > s = Pr T m 26 > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s = Pr T m 26 > s + t ∧ T f 24 > s Pr T m 26 > s ∧ T f 24 > s
sehingga dapat ditulis sebagai
t p m 26 + s T f 24 > s = S T m 26 , T f 24 ( s + t , s ) S T m 26 , T f 24 ( s , s ) (25)
untuk 0 ≤ t ≤ 86 − s di mana S T m 26 , T f 24 t m , t f diberikan pada Persamaan (16) jika menggunakan asumsi saling bebas dan Persamaan (17) jika menggunakan asumsi saling berkaitan. Menggunakan fungsi sebaran marginal survival bagi pihak suami pada Persamaan (25), premi tunggal bersih anuitas hidup yang memberikan pembayaran secara kontinu dengan tingkat 1 satuan/tahun untuk seorang suami berumur 26 + s di mana istrinya masih hidup pada saat pembelian anuitas dapat dihitung dengan rumus berikut:
a m 26 + s = Z 86 − s 0 e − δ t t p m 26 + s T f 24 > s dt . (26)
Berdasarkan konsep pada Persamaan (18), premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 2 dapat dihitung menggunakan hasil perhitungan premi tunggal bersih pada Persamaan (21) dan (26), sehingga menghasilkan
JJoM | Jambura J. Math. 287 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
a ( 24 + s ) f | ( 26 + s ) m = a m 24 + s − a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f (27)
untuk s = 0, 1, 2, . . . , 84.

## 2.3.3. Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity Kasus 3
Pihak penerima manfaat pada reversionary annuity kasus 3 adalah pihak yang terakhir bertahan hidup (status last-survivor ) [16] 8 . Sejalan seperti pada subbab 2.3.1, perlu ditentukan premi tunggal bersih anuitas hidup status last-survivor bagi pasangan suami istri tersebut yang pembelian anuitasnya tepat terjadi pada s tahun setelah hari pernikahan. Akibatnya, fungsi sebaran survival bagi status last-survivor ketika pembelian anuitas dilakukan s tahun setelah hari pernikahan adalah
t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = Pr T ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f > t T m 26 > s ∧ T f 24 > s = Pr T 26 m :24 f > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s 9 = Pr T m 26 > s + t ∨ T f 24 > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s = Pr T m 26 > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s + Pr T f 24 > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s − Pr T m 26 > s + t ∧ T f 24 > s + t T m 26 > s ∧ T f 24 > s = S T m 26 , T f 24 ( s + t , s ) S T m 26 , T f 24 ( s , s ) + S T m 26 , T f 24 ( s , s + t ) S T m 26 , T f 24 ( s , s ) − S T m 26 , T f 24 ( s + t , s + t ) S T m 26 , T f 24 ( s , s )
sehingga dapat ditulis sebagai
t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = t p m 26 + s T f 24 > s + t p f 24 + s | T m 26 > s − t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f . (28)
untuk 0 ≤ t ≤ 88 − s dimana S T m 26 , T f 24 t m , t f diberikan pada Persamaan (16) jika menggunakan asumsi saling bebas dan Persamaan (17) jika menggunakan asumsi saling berkaitan. Menggunakan fungsi sebaran survival status last-survivor pada Persamaan (28), premi tunggal bersih anuitas hidup yang memberikan pembayaran secara kontinu dengan tingkat 1 satuan/tahun selama salah satu dari suami atau istri masih hidup (status last-survivor ) di mana anuitas dibeli pada saat suami berusia tepat 26 + s dan istri berusia tepat 24 + s dapat dihitung dengan rumus berikut:
8 ( xy ) menyatakan status last − survivor yang pesertanya adalah ( x ) dan ( y ) , yaitu status yang tetap bertahan jika salah satu peserta yang terlibat di dalam status tersebut masih bertahan hidup [ 16 ] . T xy merupakan peubah acak waktu hingga kegagalan status tersebut dan sebaran survival status tersebut dinyatakan sebagai
t p xy = Pr T xy > t = Pr T x > t ∨ T y > t untuk 0 ≤ t ≤ max { ω − x , ω − y } .
9 t p \ ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f 6 = Pr T \ 26 m :24 f > s + t T \ 26 m :24 f > s karena kedua pihak tertanggung (pasangan suami istri) harus tetap hidup dalam s tahun .
JJoM | Jambura J. Math. 288 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = Z 88 − s 0 e − δ t t p ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f dt . (29)
Berdasarkan konsep pada Persamaan (18), premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 3 dapat dihitung menggunakan hasil perhitungan premi tunggal bersih pada Persamaan (21) dan (29), sehingga dihasilkan
a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f = a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f − a ( 26 + s ) m : ( 24 + s ) f (30)
untuk s = 0, 1, 2, . . . , 84.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Hasil Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity Kasus 1 untuk Semua Ukuran
Keterkaitan
Hasil perhitungan premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 1 untuk tiap semua ukuran keterkaitan Kendall’s tau (termasuk asumsi saling bebas) menggunakan Persamaan (24) disajikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Grafik hasil perhitungan reversionary annuity kasus 1 untuk semua asumsi ukuran keterkaitan
Berdasarkan Gambar 2, terlihat bahwa nilai premi tunggal bersih reversionary annuity yang manfaatnya untuk pihak istri (kasus 1) menghasilkan nilai yang lebih tinggi jika menggunakan asumsi kebebasan ( τ = 0.00) dibanding dengan menggunakan asumsi saling berkaitan ( τ = 0.25, 0.50, dan 0.75) pada model copula ketika usia pernikahan masih tergolong muda hingga tergolong cukup tua (kira-kira ketika usia pernikahan masih kurang dari 56 tahun). Namun hasil perhitungan saling bebas menghasilkan nilai premi yang terlalu rendah jika usia pernikahan semakin tua (kira-kira ketika usia pernikahan lebih dari atau sama dengan 56 tahun). Selain itu, terlihat juga jika keterkaitan semakin kuat, perhitungan dengan asumsi saling bebas akan semakin jauh nilainya dengan perhitungan yang menggunakan asumsi saling berkaitan pada model
JJoM | Jambura J. Math. 289 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
Penentuan Premi Tunggal Bersih pada Reversionary Annuity . . .
copula . Hal ini terjadi karena jika keterkaitan semakin kuat, maka peluang waktu kematian antara suami dan istri terjadi dalam kurun waktu yang berdekatan akan semakin tinggi, akibatnya periode pemberian manfaat anuitas juga akan semakin pendek. Berdasarkan penjelasan tersebut, jelas bahwa bobot peluang yang diberikan untuk periode pemberian manfaat anuitas yang pendek lebih tinggi, sehingga hasil perhitungan nilai premi tunggal bersih juga akan semakin turun.

## 3.2. Hasil Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity Kasus 2 untuk Semua Ukuran Keterkaitan
Hasil perhitungan premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 2 untuk tiap semua ukuran keterkaitan Kendall’s tau (termasuk asumsi saling bebas) menggunakan Persamaan (27) disajikan pada Gambar 3.
Gambar 3. Grafik hasil perhitungan reversionary annuity kasus 2 untuk semua asumsi ukuran keterkaitan
Berdasarkan Gambar 3, terlihat bahwa nilai premi tunggal bersih reversionary annuity yang manfaatnya untuk pihak suami (kasus 2) menghasilkan nilai yang lebih tinggi jika menggunakan asumsi kebebasan ( τ = 0.00) dibanding dengan menggunakan asumsi saling berkaitan ( τ = 0.25, 0.50, dan 0.75) pada model copula untuk semua usia pernikahan. Namun, jika pembelian saat usia pernikahan sudah sangat tua, hasil perhitungan dengan model copula akan mendekati hasil perhitungan dengan asumsi kebebasan (kira-kira ketika usia pernikahan lebih dari 70 tahun). Selain itu, terlihat juga jika keterkaitan semakin kuat, perhitungan dengan asumsi saling bebas akan semakin jauh nilainya dengan perhitungan yang menggunakan asumsi saling berkaitan pada model copula . Hal ini terjadi karena jika keterkaitan semakin kuat, maka peluang waktu kematian antara suami dan istri terjadi dalam kurun waktu yang berdekatan akan semakin tinggi, akibatnya periode pemberian manfaat anuitas juga akan semakin pendek. Berdasarkan penjelasan tersebut, jelas bahwa bobot peluang yang diberikan untuk periode pemberian manfaat anuitas yang pendek lebih tinggi, sehingga hasil perhitungan nilai premi tunggal bersih juga akan semakin turun.
JJoM | Jambura J. Math. 290 Volume 4 | Issue 2 | July 2022

## 3.3. Hasil Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity Kasus 3 untuk Semua Ukuran Keterkaitan
Hasil perhitungan premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 3 untuk tiap semua ukuran keterkaitan Kendall’s tau (termasuk asumsi saling bebas) menggunakan Persamaan (30) disajikan pada Gambar 4.
Gambar 4. Grafik hasil perhitungan reversionary annuity kasus 3 untuk semua asumsi ukuran keterkaitan
Berdasarkan Gambar 4, terlihat bahwa nilai premi tunggal bersih reversionary annuity yang manfaatnya untuk pihak terakhir yang bertahan hidup (kasus 3) menghasilkan nilai yang lebih tinggi jika menggunakan asumsi kebebasan ( τ = 0.00) dibanding dengan menggunakan asumsi saling berkaitan ( τ = 0.25, 0.50, dan 0.75) pada model copula ketika usia pernikahan masih tergolong muda hingga tergolong cukup tua (kira-kira ketika usia pernikahan masih kurang dari 60 tahun). Namun, jika pembelian saat usia pernikahan sudah sangat tua, hasil perhitungan dengan menggunakan asumsi tidak saling bebas pada model copula akan mendekati hasil perhitungan dengan asumsi kebebasan (kira-kira ketika usia pernikahan lebih dari 60 tahun). Selain itu, terlihat juga jika keterkaitan semakin kuat, perhitungan dengan asumsi saling bebas akan semakin jauh nilainya dengan perhitungan yang menggunakan asumsi saling berkaitan pada model copula . Hal ini terjadi karena jika keterkaitan semakin kuat, maka peluang waktu kematian antara suami dan istri terjadi dalam kurun waktu yang berdekatan akan semakin tinggi, akibatnya periode pemberian manfaat anuitas juga akan semakin pendek. Berdasarkan penjelasan tersebut, jelas bahwa bobot peluang yang diberikan untuk periode pemberian manfaat anuitas yang pendek lebih tinggi, sehingga hasil perhitungan nilai premi tunggal bersih juga akan semakin turun.

## 3.4. Hasil Perbandingan Premi Tunggal Bersih Reversionary Annuity Antara Semua Kasus Penerima Manfaat
Pihak penerima manfaat dari suatu produk reversionary annuity akan memengaruhi besaran premi tunggal bersih yang dikenakan pada produk tersebut. Karena alasan tersebut, pada sub-bab ini dibahas perbedaan nilai premi antara ketiga kasus yang
JJoM | Jambura J. Math. 291 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
dihitung pada subbab 2.3. Perbandingan nilai premi tunggal bersih reversionary annuity antara ketiga kasus untuk masing-masing asumsi ukuran keterkaitan dapat dilihat secara eksploratif melalui grafik yang disajikan pada Gambar 5 untuk asumsi kebebasan, Gambar 6 untuk asumsi ukuran keterkaitan yang lemah ( τ = 0.25 ) , Gambar 7 untuk asumsi ukuran keterkaitan yang sedang ( τ = 0.50 ) , dan Gambar 8 untuk asumsi ukuran keterkaitan yang kuat ( τ = 0.75 ) .
Gambar 5. Grafik hasil perhitungan seluruh kasus reversionary annuity dengan asumsi kebebasan ( τ = 0.00 )
Gambar 6. Grafik hasil perhitungan seluruh kasus reversionary annuity dengan asumsi keterkaitan yang lemah ( τ = 0.25 )
Berdasarkan Gambar 5 hingga Gambar 8, terlihat bahwa nilai premi tunggal bersih reversionary annuity tertinggi adalah untuk kasus penerima manfaatnya adalah pihak terakhir yang bertahan hidup (kasus 3). Hal ini masuk akal karena pada kasus ini tidak memerhatikan pihak siapa yang perlu meninggal terlebih dahulu agar manfaat dapat
JJoM | Jambura J. Math. 292 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
Gambar 7. Grafik hasil perhitungan seluruh kasus reversionary annuity dengan asumsi keterkaitan yang sedang ( τ = 0.50 )
Gambar 8. Grafik hasil perhitungan seluruh kasus reversionary annuity dengan asumsi keterkaitan yang kuat ( τ = 0.75 )
dibayarkan. Akibatnya, siapa pun pihak yang meninggal pertama (suami atau istri) produk reversionary annuity kasus ini akan tetap memberikan manfaat pembayaran ke pihak yang masih bertahan hidup (salah satu dari antara suami atau istri yang masih hidup) sehingga kontrak anuitas tersebut tidak akan hangus. Sementara itu, premi tunggal bersih reversionary annuity terendah adalah ketika kasus penerima manfaatnya adalah pihak suami yang bertahan hidup terakhir (kasus 2). Salah satu faktor hal tersebut bisa terjadi adalah karena peluang bertahan hidup laki-laki lebih rendah dibandingkan perempuan. Namun untuk mengkaji faktor lain, perlu dianalisis lebih lanjut mengenai kasus tersebut. Lebih lanjut, ketika ukuran keterkaitan semakin besar, nilai premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 1 akan semakin dekat nilainya ke
JJoM | Jambura J. Math. 293 Volume 4 | Issue 2 | July 2022
Penentuan Premi Tunggal Bersih pada Reversionary Annuity . . .
premi tunggal bersih reversionary annuity kasus 3 (lihat Gambar 8).
Hal lain yang menarik pada penelitian ini adalah hampir semua nilai premi tunggal bersih reversionary annuity pada semua kasus mengalami peningkatan hingga pada suatu titik usia pernikahan tertentu (nilai s tertentu) lalu mengalami penurunan setelahnya. Hal ini bisa disebabkan oleh beberapa faktor yang mengakibatkan besarnya nilai premi tunggal bersih reversionary annuity pada beberapa kasus mempunyai pola tersebut. Sebelumnya, perlu diketahui bahwa besarnya nilai premi tunggal bersih reversionary annuity ketika suku bunga konstan dipengaruhi oleh dua faktor umum, yaitu seberapa cepat salah satu pihak meninggal (pihak yang perlu meninggal terlebih dahulu agar manfaat dapat diberikan) dan seberapa lama pihak yang menerima manfaat akan tetap bertahan hidup. Kenaikan nilai premi tunggal bersih yang terjadi di rentang usia pernikahan awal lebih disebabkan oleh pihak yang perlu meninggal memiliki peluang kematian dalam waktu dekat yang semakin besar, sehingga kematian pihak tersebut akan semakin cepat dan pada akhirnya nilai sekarang aktuaria dari manfaat anuitas akan semakin kecil faktor diskonnya (sehingga nilai sekarang aktuarianya semakin besar). Sementara itu, penurunan premi tunggal bersih di rentang waktu setelahnya disebabkan oleh sisa waktu hidup dari pihak penerima manfaat semakin pendek sehingga jangka waktu penerimaan manfaatnya semakin pendek juga dan pada akhirnya nilai sekarang aktuaria manfaat anuitasnya akan semakin kecil.

## 4. Kesimpulan
Sebaran survival marginal bagi laki-laki berusia 26 tahun dan perempuan berusia 24 tahun dapat dibangun dari TMI IV dengan asumsi UDD . Lebih lanjut, model sebaran bersama kelangsungan hidup pasangan suami istri yang menikah saat suami berusia 26 tahun dan istri berusia 24 tahun juga dapat dibangun dari sebaran marginal tersebut menggunakan asumsi kebebasan dan Frank’s copula untuk beberapa asumsi nilai ukuran keterkaitan Kendall’s tau . Model sebaran bersama tersebut dapat digunakan dalam perhitungan premi tunggal bersih reversionary annuity di mana pihak tertanggungnya adalah pasangan suami istri. Berdasarkan hasil perhitungan premi tunggal bersih reversionary annuity menggunakan model sebaran bersama tersebut, premi berdasarkan asumsi kebebasan cenderung menghasilkan nilai yang lebih tinggi dibandingkan premi yang sebaran bersamanya menggunakan Frank’s copula (terdapat keterkaitan antar pihak tertanggung), khususnya untuk pembelian anuitas saat usia pernikahan masih muda hingga cukup tua. Jika pembelian anuitas saat usia pernikahan sudah sangat tua, premi dengan asumsi kebebasan cenderung terlalu rendah untuk kasus di mana penerima manfaatnya adalah pihak istri yang bertahan hidup terakhir (kasus 1) dan cenderung serupa untuk kasus lainnya. Selain itu, terlihat juga jika keterkaitan semakin kuat, perhitungan dengan asumsi saling bebas akan semakin jauh nilainya dengan perhitungan dengan model copula . Lebih lanjut, berdasarkan perbandingan premi reversionary annuity untuk beberapa kasus, nilai premi tunggal bersih reversionary annuity tertinggi adalah untuk kasus di mana penerima manfaatnya adalah pihak terakhir yang bertahan hidup (kasus 3). Sementara itu, premi tunggal bersih reversionary annuity terendah adalah ketika kasus di mana penerima manfaatnya adalah pihak suami yang bertahan hidup terakhir (kasus 2).
JJoM | Jambura J. Math. 294 Volume 4 | Issue 2 | July 2022

## Referensi
[1] H. U. Gerber, Life Insurance Mathematics . Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1997, doi: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-03460-6.
[2] E. W. Frees, J. Carriere, and E. Valdez, “Annuity Valuation with Dependent Mortality,” The Journal of Risk and Insurance , vol. 63, no. 2, p. 229, jun 1996, doi: http://dx.doi.org/10.2307/ 253744.
[3] M. Denuit and A. Cornet, “Multilife Premium Calculation with Dependent Future Lifetimes,” Journal of Actuarial Practice , vol. 7, pp. 147–180, 1999.
[4] M. Young, “The Mortality of Widowers,” The Lancet , vol. 282, no. 7305, pp. 454–457, aug 1963, doi: http://dx.doi.org/10.1016/S0140-6736(63)92193-7.
[5] C. M. Parkes, B. Benjamin, and R. G. Fitzgerald, “Broken Heart: A Statistical Study of Increased Mortality among Widowers,” BMJ , vol. 1, no. 5646, pp. 740–743, mar 1969, doi: http://dx.doi.org/10.1136/bmj.1.5646.740.
[6] A. W. Ward, “Mortality of bereavement.” BMJ , vol. 1, no. 6011, pp. 700–702, mar 1976, doi: http://dx.doi.org/10.1136/bmj.1.6011.700.
[7] C. Jagger and C. J. Sutton, “Death after marital bereavement-is the risk increased?” Statistics in Medicine , vol. 10, no. 3, pp. 395–404, mar 1991, doi: http://dx.doi.org/10.1002/sim. 4780100311.
[8] F. Elwert and N. A. Christakis, “The Effect of Widowhood on Mortality by the Causes of Death of Both Spouses,” American Journal of Public Health , vol. 98, no. 11, pp. 2092–2098, nov 2008, doi: http://dx.doi.org/10.2105/AJPH.2007.114348.
[9] P. Margus, “Generalized Frasier Claim Rates Under Survivorship Life Insurance Policies,” North American Actuarial Journal , vol. 6, no. 2, pp. 76–94, apr 2002, doi: http://dx.doi.org/10.1080/10920277.2002.10596045.
[10] H. Youn and A. Shemyakin, “Statistical Aspects of Joint Life Insurance Pricing,” in Proceedings of Amer. Stat. Assoc. University of St.Thomas: University of St.Thomas, 1999, pp. 34–38.
[11] E. Luciano, J. Spreeuw, and E. Vigna, “Spouses’ Dependence across Generations and Pricing Impact on Reversionary Annuities,” Risks , vol. 4, no. 2, p. 16, may 2016, doi: http://dx.doi.org/10.3390/risks4020016.
[12] J. F. Carriere, “Bivariate Survival Models for Coupled Lives,” Scandinavian Actuarial Journal , vol. 2000, no. 1, pp. 17–32, jan 2000, doi: http://dx.doi.org/10.1080/034612300750066700.
[13] R. J. Cunningham, T. N. Herzog, and R. L. London, Models for Quantifying Risk , 5th ed. Winsted (CT): ACTEX Publications, Inc., 2012.
[14] R. B. Nelsen, An Introduction to Copulas , 2nd ed., ser. Springer Series in Statistics. New York, NY: Springer New York, 2006, doi: http://dx.doi.org/10.1007/0-387-28678-0.
[15] J. De¸bicka, S. Heilpern, and A. Marciniuk, “Application of Copulas to Modelling of Marriage Reverse Annuity Contract,” Prague Economic Papers , vol. 29, no. 4, pp. 445–468, aug 2020, doi: http://dx.doi.org/10.18267/j.pep.745.
[16] N. Bowers, H. Gerber, and J. Hickman, Actuarial Mathematics , 2nd ed. Schaumburg (IL):
The Society of Actuaries, 1997.
This article is an open-access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License . Editorial of JJoM: Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B.J. Habibie, Moutong, Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.
295 Volume 4 | Issue 2 | July 2022