## PENERAPAN PERSAMAAN LAGRANGE PADA SISTEM BANDUL GANDA YANG TERHUBUNG OLEH PEGAS
1 Nila Mutia Dewi
1 Program Studi Pendidikan Fisika FKIP Universitas Jember Email: nilamutia@unej.ac.id

## Abstract
Lagrange mechanics is an analytical method in classical mechanics that does not consider forces acting on the system. It focuses instead on kinetic and potential energies as the core of the entire system. The primary goal of this study is to derive the equations of motion for the coupled pendulums connected by a spring system using Lagrange  equation.  Two  identical  pendulums,  each  positioned  at  the  end  of  its respective lengths, were connected by a spring. Formulating the Lagrangian for this system  enabled  the  derivation  of  the  equation  of  motion  through  the  Lagrange equation.  These  equations  were  graphically  represented  with  predefined  initial conditions. The  results  revealed  a  recurring  pattern:  as  amplitude  of  the  first pendulum increased, the amplitude of the second pendulum decreased and vice versa. This phenomenon occurs due to the exchange of energy between the two pendulums, where one loses energy while the other gains it.
Keyword: Lagrange equation, coupled pendulums, equation of motion

## PENDAHULUAN
Mekanika  Newton  adalah  metode yang umumnya digunakan untuk menganalisis  pergerakan  suatu  sistem. Dalam  metode  ini,  gerak  sistem  dianalisis dengan mengaitkan gaya dan pergerakannya  menggunakan  tiga  Hukum Newton (Giancoli, 2014). Konsep mekanika  Newton  ini  relatif  mudah  jika diterapkan  pada  sistem  yang  sederhana, namun akan menjadi lebih kompleks ketika diterapkan  pada  sistem  yang  lebih  rumit. Tantangan  utama  yang  muncul  saat menggunakan  konsep  mekanika  Newton adalah  saat  menggambarkan  diagram benda-bebas, di mana dibutuhkan ketelitian dalam menguraikan vektor-vektor  menjadi komponen-komponennya  (Raniati  et  al., 2022).
Pada  tahun  1788  diperkenalkan sebuah  terobosan  oleh  seorang  ilmuan bernama  Joseph  Louis  Lagrange  yang menciptakan  suatu  metode  analisis  tanpa mempertimbangkan  gaya  yang  bekerja pada  sistem  tersebut.  Metode  ini  dikenal
sebagai Mekanika Lagrange (Ariska et al., 2019).  Metode  ini  sangat  sederhana  untuk diterapkan sehingga memungkinkan penyelesaian  sistem  gerak  yang  kompleks tanpa  memerlukan  pemahaman  mendalam tentang  mekanika.  Dalam  mekanika Lagrange,  Lagrangian  ( 𝐿 )  untuk  sistem konservatif  diungkapkan  dalam  bentuk energi kinetik ( 𝑇 ) dan energi potensial ( 𝑉 ) (Gregory,  2006).  Persamaan  Langrange dapat dituliskan pada persamaan 1 berikut.
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 . (1)
Persamaan  gerak  dari  sistem  dengan koordinat  umum  ( 𝑞 )  dapat  ditentukan menggunakan persamaan Lagrange sebagaimana ditunjukkan pada persamaan 2
berikut
𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝑞̇ ) = 𝜕𝐿 𝜕𝑞 (2)
Terdapat beberapa penelitian sebelumnya  yang  menjadi  bahan  rujukan penelitian  ini.  Sebagai  contoh,  penelitian yang  dilakukan  oleh  Rini  et  al.,  (2023)
berhasil mendapatkan persamaan gerak dari pendulum-pegas  tergandeng  menggunakan persamaan Lagrange; Nenuwe, (2019) yang mengaplikasikan persamaan Lagrange pada sistem bandul pegas ganda pada koordinat umum  yang  diselesaikan  menggunakan metode  numerik  berbantuan  aplikasi MAPLE;  Wahyuni  et  al.,  (2022)  mencari persamaan gerak sistem dengan
menggunakan  metode  Lagrangian  dan tampilan visualisasinya, serta Baleanu et al., (2018)  yang  menggunakan  persamaan Lagrange  dan  metode  numerik Fractional Different Equation (FDE) untuk menyelesaikan  persamaan gerak sistem dua bandul yang terhubung. Pada penelitian ini, peneliti melakukan  analisis  tehadap  sistem  bandul ganda  yang  terhubung  dengan  pegas menggunakan persamaan Lagrange untuk  mendapatkan  persamaan  gerak sistem tersebut. Sistem terdiri dari dua buah bandul identik bermassa 𝑚 . Bandul pertama dan  kedua  masing-masing  terhubung dengan tali tak bermassa dengan panjang 𝑙 . Kedua  bandul  terhubung  dengan  ujung pegas elastis tak bermassa dengan konstanta pegas 𝑘 , dengan sudut defleksi 𝜃 1 dan 𝜃 2 . Peneliti membatasi sistem ini dalam ruang dua dimensi yang hanya mencakup bidang 𝑥 dan 𝑦 .  Kedua  bandul  dianggap  sebagai bola  kecil,  sehingga  aspek  volume  dapat diabaikan.  Model  sistem  ini  digambarkan pada Gambar 1.
Gambar 1 . Sistem bandul ganda yang terhubung oleh pegas

## METODE
Metode  yang  digunakan  dalam penelitian ini adalah metode kajian pustaka yang  merujuk  pada  berbagai  sumber literatur  yang  relevan.  Penelitian  ini melibatkan  telaah  terhadap  artikel,  jurnal, buku,  dan referensi  terkait  lainnya.  Proses penelitian  ini  mencakup  langkah-langkah seperti  analisis  literatur,  pengelolaan informasi, serta penyimpulan hasil.
Analisis  literatur  menggambarkan tahapan  mengumpulkan  bahan  bacaan terkait  persamaan  Lagrange.  Pengolahan informasi  merujuk  pada  langkah  untuk mengubah  struktur  sistem  bandul  ganda yang terhubung oleh pegas menjadi bentuk persamaan Lagrange sehingga menghasilkan  persamaan  gerak  yang merepresentasikan  gerak  dari  sistem tersebut.  Persamaan  gerak  sistem  yang dihasilkan  akan  dianalisis  secara  numerik menggunakan aplikasi SCILAB. Sementara itu, tahap penyimpulan menekankan pada merangkum temuan yang dihasilkan dari studi yang telah dilakukan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Langkah  awal  dalam  menurunkan persamaan gerak dalam mekanika Lagrange adalah  dengan  mendefinisikan  energi kinetik dan energi potensial sistem (Shanak et al.,  2021).  Energi  kinetik  dari sistem  di atas ditunjukkan pada persamaan 3 berikut.
𝑇 = 1 2 𝑚𝑥 1 ̇ 2 + 1 2 𝑚𝑥 2 ̇ 2 (3)
keterangan : 𝑥 1 = 𝑙𝜃 1 𝑥 2 = 𝑙𝜃 2
𝑥 1 adalah  perpindahan  yang  dialami  oleh bandul  pertama  dan 𝑥 2 merujuk  pada perpindahan  bandul  kedua.  Selanjutnya, ketika kedua variabel 𝑥 1 dan 𝑥 2 diturunkan terhadap  waktu,  akan  menghasilkan variabel kecepatan bandul pertama ( 𝑥 1 ̇ ) dan bandul kedua ( 𝑥̇ 2 )
𝑥 1 ̇ = 𝑙𝜃 1 ̇ 𝑥 2 ̇ = 𝑙𝜃 2 ̇
Persamaan untuk energi kinetik total sistem ( T ) dinyatakan pada persamaan 4 berikut
𝑇 = 1 2 𝑚(𝑙𝜃 1 ̇ ) 2 + 1 2 𝑚(𝑙𝜃 2 ̇ ) 2 (4)
Bentuk  energi  potensial  dapat  ditentukan dengan  mengasumsikan  bahwa  nilai potensial nol terletak di kedua ujung tetap tali.  Sehingga,  energi  potensial  sistem adalah  hasil  penjumlahan  energi  potensial dari  kedua  massa  serta  energi  potensial pegas.  Dengan  demikian,  total  energi potensialnya ditunjukkan pada persamaan 5 berikut.
𝑉 = −𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 − 𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 + 1 2 𝑘(𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 −𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 1 ) 2 (5)
Lagrangian 𝐿 dari  sistem  didefinisikan dalam  persamaan (1) .  Oleh  karena  itu, 𝐿 dari  sistem  bandul  ganda  yang  terhubung oleh  pegas  dituliskan  sebagaimana  pada persamaan 6 berikut.
𝐿 = 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 1 ̇ 2 + 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 2 ̇ 2 + 𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 + 𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 − 1 2 𝑘𝑙 2 (𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 1 ) 2 (6)
Diasumsikan  bahwa  sudut  simpangan  dari sistem  tersebut  relatif  kecil  terhadap panjang tali, maka nilai
sin 𝜃 ≈ 𝜃
cos 𝜃 ≈ 1 − 𝜃 2 2 Sehingga 𝐿 = 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 1 ̇ 2 + 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 2 ̇ 2 + 𝑚𝑔𝑙 (1 − 𝜃 1 2 2 ) + 𝑚𝑔𝑙 (1 − 𝜃 2 2 2 ) − 1 2 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 −𝜃 1 ) 2 (7)
𝐿 = 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 1 ̇ 2 + 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 2 ̇ 2 + 𝑚𝑔𝑙 − 𝑚𝑔𝑙 𝜃 1 2 2 + 𝑚𝑔𝑙 − 𝑚𝑔𝑙 𝜃 2 2 2 − 1 2 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 −𝜃 1 ) 2 (8)
𝐿 = 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 1 ̇ 2 + 1 2 𝑚𝑙 2 𝜃 2 ̇ 2 + 2𝑚𝑔𝑙 −
1 2 𝑚𝑔𝑙𝜃 1 2 − 1 2 𝑚𝑔𝑙𝜃 2 2 − 1 2 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 −𝜃 1 ) 2 (9)
Persamaan gerak Lagrange dalam koordinat umum  seperti  tertulis  pada  persamaan  2 dapat diuraikan menjadi persamaan berikut 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝜃 1 ̇ ) − 𝜕𝐿 𝜕𝜃 1 = 0 (10)
𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝜃 2 ̇ ) − 𝜕𝐿 𝜕𝜃 2 = 0 (11)
Berdasarkan persamaan 10 dan persamaan 11, penyelesaian persamaan Lagrange pada koordinat umum 𝜃 1 adalah sebagai berikut 𝜕𝐿 𝜕𝜃 1 ̇ = 𝑚𝑙 2 𝜃 1 ̇ (12)
𝜕𝐿 𝜕𝜃 1 = −𝑚𝑔𝑙𝜃 1 + 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (13)
𝑑 𝑑𝑡 (𝑚𝑙 2 𝜃 1 ̇ ) = −𝑚𝑔𝑙𝜃 1 + 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (14)
𝑚𝑙 2 𝜃 1 ̈ = −𝑚𝑔𝑙𝜃 1 + 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (15)
kedua  ruas  dibagi  dengan 𝑚𝑙 2 sehingga menghasilkan
𝜃 1 ̈ = − 𝑔 𝑙 𝜃 1 + 𝑘 𝑚 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (16)
Sedangkan penyelesaian persamaan Lagrange pada koordinat umum 𝜃 2 adalah sebagai berikut 𝜕𝐿 𝜕𝜃 2 ̇ = 𝑚𝑙 2 𝜃 2 ̇ (17) 𝜕𝐿 𝜕𝜃 2 = −𝑚𝑔𝑙𝜃 2 − 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (18) 𝑑 𝑑𝑡 (𝑚𝑙 2 𝜃 2 ̇ ) = −𝑚𝑔𝑙𝜃 2 − 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (19)
𝑚𝑙 2 𝜃 2 ̈ = −𝑚𝑔𝑙𝜃 2 − 𝑘𝑙 2 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (20)
kedua  ruas  dibagi  dengan 𝑚𝑙 2 sehingga menghasilkan
𝜃 2 ̈ = − 𝑔 𝑙 𝜃 2 − 𝑘 𝑚 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) (21)
Persamaan gerak sistem bandul ganda yang terhubung oleh pegas didefinisikan menurut persamaan 22 dan persamaan 23 berikut.
𝜃 1 ̈ + 𝑔 𝑙 𝜃 1 − 𝑘 𝑚 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) = 0 (22)
𝜃 2 ̈ + 𝑔 𝑙 𝜃 2 + 𝑘 𝑚 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) = 0 (23)
Pada  persamaan  22  dan  23  terlihat  bahwa keduanya merupakan persamaan diferensial orde dua. Persamanan tersebut diselesaikan secara  numerik  menggunakan  bantuan aplikasi Scilab. Namun, selain menggunakan  bantuan  aplikasi  Scilab,
persamaan gerak tersebut dapat diselesaikan secara analitik seperti penelitian yang dilakukan oleh  Rini et al.,
(2022)  dan  Situmorang  et  al.,  (2016) sehingga  menghasilkan  solusi  umum sebagaimana  ditunjukkan  pada  persamaan 24 dan 25 berikut
𝜃 1 (𝑡) = 𝐶 1 𝑐𝑜𝑠 𝜔 1 𝑡 + 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2 𝑡 (24) 𝜃 2 (𝑡) = 𝐶 1 𝑐𝑜𝑠 𝜔 1 𝑡 − 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2 𝑡 (25)
Keterangan:
𝜔 1 = √( 𝑔 𝑙 ) 𝜔 2 = √ 𝑔 𝑙 + 2𝑘 𝑚 Artikel ini akan menyajikan visualisasi  mengenai  dinamika  yang muncul  berdasarkan  persamaan  (22)  dan (23) dengan kondisi awal saat 𝑡 = 0𝑠 nilai 𝜃 1 =  10° dan 𝜃 2 = 0° .  Parameter  yang digunakan antara lain 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠 2 ; 𝑚  = 1 𝑘𝑔 ; 𝑙  =  0,5 𝑚 ;  dan 𝑘  =  1 𝑁/𝑚
Grafik keluaran yang ditampilkan merupakan  grafik  hubungan  sudut 𝜃 1 dan 𝜃 2 terhadap  waktu 𝑡 yang  tertera  pada Gambar 2 dan 3.
Gambar 2 . Grafik hubungan sudut 𝜃 1 𝑣𝑠 𝑡
Gambar 3 . Grafik hubungan sudut 𝜃 2 𝑣𝑠 𝑡
Hasil  visualisasi  grafik  hubungan sudut 𝜃 1 terhadap waktu 𝑡 yang tersaji pada Gambar  2  menggambarkan  bahwa  saat kondisi  awal  ( 𝑡 = 0𝑠 ),  bandul  pertama memiliki  perpindahan  sudut  sebesar 10° dan  mengalami  osilasi  yang  kemudian
-15 -10 -5 0 5 10 15 0 50 100 150 200 𝜃 1 t -15 -10 -5 0 5 10 15 0 50 100 150 200 𝜃 2 t
amplitudonya  secara  bertahap  menurun hingga  mencapai  nol.  Sedangkan  pada Gambar  3  yang  merupakan  visualisasi grafik hubungan sudut 𝜃 2 terhadap waktu 𝑡 , berbeda  dengan  bandul  pertama,  di  mana bandul  kedua  memiliki  perpindahan  sudut awal  sebesar 0° dan  kemudian  mulai berosilasi.  Hal  ini  dikarenakan  bandul kedua terhubung oleh pegas dengan bandul pertama.  Amplitudo  bandul  kedua  terus naik  sampai  mencapai  nilai  maksimalnya, kemudian  akan  menurun  bertahap  hingga nol.
Pola ini berulang, kenaikan amplitudo  pada  bandul  pertama  berkaitan dengan penurunan ampitudo bandul kedua, dan sebaliknya. Fenomena ini terjadi karena adanya  pertukaran  energi  antara  kedua bandul; saat bandul pertama mulai berayun, bandul pertama akan kehilangan energi dan energi  akan  ditransfer  ke  bandul  kedua. Seiring bandul kedua yang mulai menerima transfer energi dari bandul pertama, bandul kedua mulai berosilasi.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Sistem  yang  terdiri  dari  dua  bandul identik  dengan  massa 𝑚 ,  terhubung  oleh pegas  elastis  tidak  bermassa  dengan konstanta pegas 𝑘 telah diteliti.
Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh dua persamaan gerak pada sistem bandul ganda yang  terhubung  dengan  pegas    berupa persamaan  diferensial  orde  dua  yang didefinisikan  menurut  persamaan 𝜃 1 ̈ + 𝑔 𝑙 𝜃 1 − 𝑘 𝑚 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) = 0 dan 𝜃 2 ̈ + 𝑔 𝑙 𝜃 2 + 𝑘 𝑚 (𝜃 2 − 𝜃 1 ) = 0 .  Persamaan  gerak  ini diperoleh  menggunakan  konsep  mekanika Lagrange. Grafik yang disertakan mempermudah  visualisasi  fenomena  yang terjadi  dalam  sistem.    Pada  penelitian selanjutnya, direkomendasikan untuk meninjau  sistem  dalam  tiga  dimensi sepanjang bidang 𝑥 ,y dan z.

## DAFTAR PUSTAKA
Ariska, M. (2019). Penyelesaian Dinamika Pesawat Atwood  dengan  Persamaan Euler  Lagrange  Sebagai  Alternatif Persamaan  Newton  pada  Fisika
SMA. Jurnal Inovasi dan Pembelajaran  Fisika  (JIPF) ,  6(1),
62-69.
Baleanu, D., Jajarmi, A., Asad, J.H. (2019). Classical  and  fractional  aspects  of two  coupled  pendulums. Romanian
Reports in Physics , 71(1),103-115.
Giancoli, D.C. (2014). Fisika : Prinsip dan Aplikasi (Edisi ke 7-Jilid 1).  Jakarta:
Penerbit Erlangga
Gregory, R.D. (2006). Classical Mechanics. New  York:  Cambridge  University Press.
Nenuwe,  N.O.  (2019).  Application  of Lagrange  Equation  to  2D  Double Spring-Pendulum  in  Generalized Coordinates. Ruhuna  Journal  of Science , 10(2), 120-134.
Raniati., Ariyanti, Y., Subekti, P., Syahropi, H. (2022). Studi Literatur:
Mekanika  Lagrange. Jurnal  Aptek ,
15(1), 55-58.
Rini,  N.W.,  Saefa,  J.,  Khoiri,  N.  (2022).
Pendekatan Numerik Gerak Kinematika Pendulum Pegas Tergandeng. Prosiding  Seminar Nasional  Lontar  Physics  Forum  VI , 75-62.
Rini,  N.W.,  Saefa,  J.,  Khoiri,  N.  (2023). Lagrangian  Equation  of  Coupled Spring-Pendulum  System. Physics Communication , 7(1), 22-27.
Shanak, H., Jarrar, R., Khalilia, H., & Asad,
J. (2021). Numerical Aspects of The Kinematics  Behaviour  of  Coupled Pendulum. Journal  of  Engineering
Science  and  Technology ,  16(5), 4016-4026.
Situmorang, H., Ginting, J.B., Siregar, N.E.,
Rajagukguk, J. (2016). Penyelesaian Numerik  Model  Ayunan  Terpaksa Menggunakan Metode Pengali Lagrange dan Karakteristik Dinamika. Prosiding Seminar Nasional  Inovasi  dan  Teknologi Indonesia , 1747-1752. Wahyuni, S., Irawati, E., Saefan, J. (2022). Mekanika Pegas-Pendulum Tergandeng dalam Tinjauan Lagrangian. Prosiding Seminar Nasional  Lontar  Physics  Forum  VI ,
37-42.
Zulaikha,  D.F.,  Warsono.  (2021). Aplikasi Transformasi  Laplace  pada  Sistem Dinamik Pendulum Terbalik dengan Redaman  dan  Gaya  Penggerak. Jurnal Pendidikan Fisika , 9(1), 1-6.