Perilaku Nonlinier Buckling pada Struktur Cangkang Bola

## Sumirin
Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Islam Sultan Agung Jl. Raya Kaligawe Km. 04 Semarang E-mail: sumirinms@gmail.com

## Nuroji
Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Diponegoro Jl.Prof. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275 E-mail: nrji@sipil.ft.undip.ac.id; ojiksam2000@yahoo.com

## Abstract
This paper presents the results of a numerical study using the finite element method in geometrical nonlinear on  camped  shallow  spherical  shells  under  uniform  pressure.  The  shell  structure  was  modelled  by  finite axisymmetric  thin  shell  elements  and  quadrilateral  elements.  The  geometrical  nonlininear  problem  was solved  by  a  scheme  of  incremental  iterative  procedures  applying  Newton-Raphson  method  in  combination with  arch  length  methods.  The  results  of  finite  element  analysis  compared  with  the  experimental  results  of previous reseacher .
Keywords: Information, Rasionalization, Kagan, Stepwise, Weight factor, Hydrological network

## Abstrak
Tulisan ini menyajikan hasil studi numerik dengan menggunakan metode elemen hingga nonlinier geometri pada  struktur  cangkang  bola  bertumpuan  jepit  dengan  beban  tekanan  merata.  Struktur  shell  dimodelkan elemen  cangkang  tipis  simetri  sumbu  dan  elemen  cangkang  segiempat.  Masalah  nonliniar  geometri diselesaikan  dengan  metode  incremental-iteratif  metode  Newton-Raphson  dan  kombinasi  dengan  teknik panjang busur. Hasil analisis elemen hingga dibandingkan dengan hasil eksperimen peneliti terdahulu .
Kata-kata Kunci : Informasi, Rasionalisasi, Kagan, Stepwise, Weight factor, Jaringan hidrologi .

## Pendahuluan
Buckling didefinisikan  sebagai  keadaan  batas ultimate di  mana  struktur  tiba-tiba  kehilangan stabilitas  di  bawah  gaya  membran  tekan  dan  atau geser,  yang  menyebabkan  baik  perpindahan  besar atau  struktur  tidak  mampu  memikul  beban (Eurocode 3, 2007). Buckling merupakan fenomena  instabilitas  yang  terjadi  pada  batang langsing, pelat dan cangkang yang tipis. Konsekuensi buckling pada  dasarnya  adalah masalah  geometri,  dimana  terjadinya  perpindahan besar  akan  mengubah  geometri  struktur  yang membawa  konsekuensi  dalam  metode  analisis struktur.
Fenomena buckling pada  struktur  kolom  langsing merupakan prototipe sederhana yang menggambarkan  masalah  instabilitas  struktur. Masalah  instabilitas buckling batang  kolom
pertama  kali  dalam  sejarah  dapat  dipecahkan  oleh Euler  pada  tahun  1744  M  (Timoshenko  dan  Gere, 1961).  Karakteristik  mendasar  dari  keruntuhan buckling adalah  beban  runtuh  tergantung  pada modulus  elastisitas  dan  kekakuan  penampang  dan hampir  tidak  tergantung  kepada  kekuatan  bahan atau batas kelelehan bahan.
Secara  umum  ada  dua  jenis  instabilitas buckling ditinjau  dari  metoda  analisis  yaitu linear  buckling dan nonlinear  buckling (Lagace,  2002).  Metode pertama,  yaitu  analisis  pada linear  buckling disebut  sebagai linear bifurcation  eigenvalue buckling, beban kritis buckling dianalisis pada titik bifurkasi  dari  idealisasi  struktur  elastis  linier dengan  menyelesaikan  masalah  nilai eigen . Analisis pendekatan dengan nilai eigen ini hasilnya konservatif,  tetapi  karena  relatif  lebih  mudah  dan cepat umumnya dapat digunakan sebagai pendekatan  awal.  Metode  kedua,  yaitu  analisis
pada nonlinear  buckling yang  hanya  dapat diselesaikan dengan analisis nonlinier geometri.
Perilaku buckling nonlinier pada struktur cangkang pertama  kali  ditunjukkan  oleh  Von  Karman  dan Tsien  pada  tahun  1939  (Karman  dan  Kerr,  1962). Penelitian pada cangkang bola dangkal selanjutnya dilakukan  antara  lain  oleh  Budiansky,  Kaplan dan  Fung  (Kaplan,  1954).  Bertahun-tahun orang  berusaha  untuk  memecahkan  persamaan diferensial  masalah  nonlinear  pada  cangkang  akan tetapi  kemajuannya  masih  lambat  (K.Y.,  Yeh, et.al ,  1980).  Masalah buckling  nonlinier pada cangkang dapat dipecahkan dengan metode elemen hingga  nonlinier  geometri  dilakukan  oleh  Nygard pada  tahun  1986  untuk  kasus  cangkang  silindris akibat  beban  terpusat  (Felippa,  2004).  Uchiyama dan  Yamada  (2000)  melakukan  studi  model cangkang bola jenis elemen hingga nine-node-shell untuk melihat pengaruh ketidaksempurnaan ( imperfection ) geometri.
Dalam  penelitian  ini  akan  dikaji perilaku buckling pada  struktur  cangkang  bola  bertumpuan  jepit dengan  beban  tekanan  merata.  Metode  elemen hingga  nonlinier  geometri  digunakan  dalam penelitian  ini  dengan  menggunakan  Program ANSYS.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui perilaku buckling nonlinier cangkang bola dengan membandingkan  hasil  antara  analisis  elemen hingga  dengan  hasil  eksperimen  dari  peneliti terdahulu.

## Metodologi

## Deskripsi masalah
Penelitian  ini  dilakukan  terhadap  model  struktur cangkang bola bertumpuan jepit seperti
ditunjukkan  pada  Gambar  1.  Model  yang  diuji dalam  penelitian  ini  adalah  Specimen  #1,  #2  dan #3  dari  penelitian  Kaplan  (1954).  Jari-jari kelengkungan  cangkang,  R=20 inches .  Bahan spesimen  dibuat  dari  logam  paduan  aluminium- magnesium  QQ-M-44  dengan  data  propertis E=6,5x10 6 psi dan  =0,32.  Data  lainnya  disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Data geometri cangkang bola No. Kode Tebal, t (in.) Tinggi, h0 (in.)  1 Spec # 1 0.101 0.251 4.04 2 Spec # 2 0.099 0.253 4.08 3 Spec # 3 0.101 0.256 4.16 Sumber: Kaplan(1954).
Berikut  ini  dijelaskan  variabel  yang  digunakan dalam penelitian ini:
a. Parameter geometri cangkang 
Hubungan  antar  variabel  geometri  dinyatakan dengan  parameter  geometri  cangkang  (Kaplan, 1954; Uchiyama dan Yamada, 2000), yaitu:
  t R a (1 12 4 1 2 )    λ ..................................   (1)
Sedangkan  hubungan  antara  tinggi  cangkang  h 0 dengan  radius  kelengkungan  R  dan  radius  dasar cangkang  dapat  diambil  dari  persamaan  bola a=  [h 0 (2R-h 0 )]. x z Y a q t R elemen cangkang SHELL51 simetri sumbu 1 2 3 4 5 6 7 titik nodal Keterangan  : : 1,2,3,4,5,6 elemen cangkang SHELL51 : , , , , , , (a) Geometri Struktur Cangkang (b) Model Elemen Hingga Cangkang Simetri Sumbu R a a 0 h t q h 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7
Gambar 1. Geometri dan model elemen hingga struktur cangkang simetri sumbu SHELL51 dibebani tekanan merata q bertumpuan jepit.
b. Geometri struktur cangkang
a. Model elemen hingga cangkang simetri sumbu
b. Beban tekanan cangkang nondimensional, q/q 0 Agar beban
tekanan dapat dinyatakan nondimensional maka diambil suatu nilai pembanding  yaitu  beban  tekanan  kritis  dari  teori linier  klasik.  Solusi  teori  linier  klasik  beban  kritis buckling cangkang  bola  ( spherical  shell )  mula- mula  ditemukan  oleh  Zolley  dalam  disertasinya pada  tahun  1915.  Berdasarkan  teori  elastis  linier, dengan  asumsi  deformasi  kecil  dan  elastis,  beban kritis  cangkang  bola  q 0 yang  dibebani  tekanan merata  bertumpuan  jepit  adalah  (Timoshenko  dan Gere, 1961):
2 2 0 R t ) - 1 ( 3 E 2 q         ...........................................   (2)
c. Perpindahan pada apex , Uoy
Besarnya  perpindahan  atau  perpindahan  arah vertikal  setiap  titik  pada  permukaan  cangkang dinyatakan dengan notasi Uy, sedangkan perpindahan  pada  puncak  cangkang  atau apex dinyatakan  dengan  Uoy.  Notasi  perpindahan apex nondimensional  digunakan  perbandingan  tingi cangkang  h 0 yaitu  Uoy/h 0 .  Untuk  nilai  Uoy/h 0 =1 berarti titik cangkang berada pada posisi mendatar yaitu  titik  apex  dan  titik  tumpuan  berada  pada posisi dalam satu garis horizontal.

## Pemodelan elemen hingga cangkang
Struktur  cangkang  bola  ( spherical  shell )  dibebani tekanan  merata  dengan  tumpuan  jepit  di  tepi dimodelkan  dengan  6  elemen  dan  7  titik  nodal seperti  pada  Gambar  1.b.  Jenis  elemen  cangkang yang digunakan dalam penelitian ini adalah elemen cangkang  simetri  sumbu  ( axisymmetric  shell )  dan elemen  cangkang  segiempat  dengan  4  titik nodal  per  elemen.  Pada  penelitian  ini  digunakan Program  ANSYS  dengan  jenis  elemen SHELL51 ( axisymmetric structural shell ).
Pengaruh  penguatan  tegangan  digunakan  untuk memperhitungkan  pengaruh  gaya  membran  pada cangkang  yang  dapat  menyebabkan buckling . Elemen SHELL51 memiliki dua titik nodal dimana terdapat  empat  derajat  kebebasan  pada  setiap  titik nodal, yaitu: translasi titik nodal pada arah X, arah Y,  dan  arah  Z  serta  rotasi  terhadap  sumbu  Z dinotasikan  Ux,  Uy,  Uz  dan  z  (atau  ROT z ), sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2. Pemodelan  elemen  cangkang  simetri  sumbu SHELL51 divalidasi dengan jenis elemen cangkang segiempat  nonlinier  elastis  4  titik  nodal SHELL63 pada Program ANSYS 12.0 (ANSYS, 2009).
u I  v X U Y U Z  Z U I J Z simetri sumbu w s Y X
Gambar 2. Notasi derajat kebebasan titik nodal untuk elemen cangkang simetri sumbu.

## Analisis non linier geometri
Pada analisis nonlinier, persamaan kesetimbangan dilakukan pada konfigurasi akhir dan  solusi  yang digunakan  untuk  mendapatkan  hubungan  beban- perpindahan  adalah  formulasi  inkremental  dari teori  Lagrangian.  Matriks  kekakuan  elemen dan  vektor  beban  diturunkan  menggunakan sebuah  formulasi updated  Lagrangian .  Prosedur selengkapnya  telah  diturunkan  oleh  Bathe  (1982) dan ANSYS (2009).
Persamaan kesetimbangan struktur pada tahap ke-n dan iterasi ke-i adalah:
        nr i a i F F u Δ K   ...................................   (3)
dimana  [K]  adalah  matriks  kekakuan  singgung atau tangen dalam bentuk:
      K K K i o i   
.......................................   (4)
dimana  [Ko]  adalah  matriks  kekakuan  pada umumnya, yaitu:
        (vol) d B D B K i i T i i o   ..............................   (5)
dimana  [B i ] T adalah  matriks  relasi  regangan- perpindahan  pada  geometri  {X n } dan  [D i ] matriks relasi  tegangan-regangan.  Sedangkan  [K  i ]  adalah kontribusi  tegangan  atau  matriks  kekakuan geometri ditulis dalam bentuk simbol:
        (vol) d G G K i i T i i
    ...............................   (6)
dimana [G i ] T adalah matriks turunan fungsi bentuk ( shape  function )  dan  [  i ]  adalah matriks  Cauchy untuk tegangan {  i } pada sistem koordinat global. {F a } adalah  gaya  yang  dikerjakan  pada  tahapan iterasi  ke-i,  {F i nr }  dalam  Persamaan  (3)  adalah gaya residu Newton-Raphson yaitu:
      (vol) d B F i T i nr
i    ..........................................   (7)
Simbol n menyatakan inkremental beban tahap ke- n sedangkan i menyatakan iterasi ke-i.
Formulasi  elemen  hingga  pada  cangkang  simetri sumbu dapat dijumpai pada Cook (1995).
Perpindahan  titik  nodal  pada  elemen  simetri sumbu  diuraikan  dalam  dua  komponen  yaitu  v dan  w  dalam  arah  meridian  dan  melingkar ( hoop ).  Hubungan  antara  regangan  –  perpindahan dinyatakan  dengan:  matriks  kekakuan  elemen secara umum dapat dinyatakan dengan:
       A d B D B K T A e   ..........................................  (8)
Pada  elemen  simetri  sumbu,  luas  elemen  dapat dinyatakan  dengan 1 2 2 ds L r ds r d A     Dengan
demikian  matriks  kekakuan  elemen  cangkang simetri sumbu:
       1 1 0 T e ds r B D B L 2
K    ...................................  (9)

## Teknik solusi metode Newton–Raphson
Metode  Iterasi  merupakan  metode  yang  sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan kesetimbangan  non  linier,  disamping  metode Inkremental.  Metode  Iterasi  yang  digunakan adalah  metode  Newton-Raphson  dengan  solusi linier  pada  pendekatan  pertama.  Untuk  Iterasi selanjutnya, regangan dan tegangan yang sesungguhnya  ditentukan  dengan  menghitung baik  linier  maupun  kontribusi  non  linier  dari pendekatan sebelumnya. Metode Newton- Raphson memiliki keunggulan kecepatan konvergen,  namun  demikian  metode  Newton- Raphson  dengan  kontrol  beban  tidak  dapat melacak  pada  daerah  ekstrim  dekat  beban  batas. Untuk  mendapatkan  solusi  konvergen  dan ketepatan  hasil  pada  daerah  ekstrim  di  daerah beban  batas  digunakan  metode  panjang  busur konstan ( constant arc-length ).
Proses  diskritisasi  elemen  hingga  memberikan sejumlah persamaan simultan:
  
  a F u K  .................................................. (10)
dimana  [K]  adalah  matriks  kekakuan  fungsi perpindahan  {u}  adalah  vektor  nilai  DOF ( degree  of  freedom )  perpindahan  yang  tidak diketahui,  dan  {F a }  adalah  vektor  beban  yang bekerja.  Karena  koefisien  matriks  [K] adalah fungsi  dari  perpindahan  {u} atau  turunannya, maka Persamaan (10) tersebut adalah persamaan nonlinier.
Metode Newton-Raphson dapat digunakan untuk menyelesaikan  persamaan  nonlinier  dengan
inkremental  beban  dan  proses  iterasi  dengan persamaan sebagai berikut (ANSYS,2004; Bathe,1982):
        nr i a i T i F F u
K   
................................  (11)
      i i 1 i Δu u u    .......................................  (12) dimana  [K i T ]  matriks  kekakuan  tangent,  i  dan  n adalah  subskrip  yang  menunjukkan  urutan  iterasi ke-i,  dan  step  atau  tahapan  beban  ke-n  dan  {F i nr } adalah  vektor  beban  pemulihan  ( restoring  loads) sesuai  dengan  gaya  atau  tegangan  elemen  [K i T ] dan {F i nr } dievaluasi berdasarkan nilai perpindahan  {u i } yang  diberikan.  Ruas  kanan Persamaan  (11)  adalah  residu  atau  vektor  beban out-of-balance .  Solusi  tahapan  beban  pada Newton-Raphson  dengan  langkah  iterasi  pada setiap  tambahan  beban  diilustrasikan  pada Gambar 3 (ANSYS, 2009).
Solusi  yang  diperoleh  pada  akhir  proses  iterasi adalah  beban  pada  suatu  tahap  {F a }.  Solusi konvergensi akhir akan berada dalam kesetimbangan  sampai  vektor  beban restore {F i nr } (dihitung dari tegangan yang terjadi) sama atau  mendekati  dengan  vektor  beban  yang bekerja{F a }.  Prosedur  inkremental  Newton- Raphson  akan  konvergen  jika  dan  hanya  jika solusi  pada  setiap  iterasi  {u i } mendekati  solusi eksaknya.
Teknik  analisis  nonlinier  selain  memerlukan proses  penyelesaian  pada  setiap  langkah  dengan cara  iterasi,  juga  dilakukan  beban  bertahap dengan analisis inkremental. Vektor beban akhir yang  bekerja  {F a } dibagi  secara  bertahap  dan tiap  tahap  dilakukan  iterasi  Newton-Raphson pada setiap langkah.
F
F F F U a a a 3 2 1
Gambar 3. Prosedur inkremental beban pada metode Newton-Raphson (ANSYS, 2004)
Metode panjang busur ( arc-length )
Metode  panjang  busur  konstan  dikembangkan oleh  Crisfield  dari  metode  sebelumnya  oleh
Wempner  dan  Risk  (Crisfield,1980).  Metode panjang  busur  dapat  mengatasi  masalah  respon struktur  setelah  titik  kritis post-buckling seperti perilaku  instabilitas snap-through pada  struktur cangkang.
Metode  panjang  busur  konstan  menggunakan iterasi  bulatan  atau  busur  lingkaran  untuk mempertahankan  ortogonalitas  antara  radius panjang  busur  dengan  arah  ortogonal.  Hal  ini berangkat  dari  asumsi  bahwa  semua  besaran beban  dapat  dikontrol  dengan  sebuah  parameter skalar  sebagai  faktor  beban.  Secara  matematis, metode panjang busur  merupakan  melacak trase kurva  kesetimbangan  yang  direntang  oleh variabel  perpindahan  titik  nodal  dan  faktor beban.  Oleh  karena  itu,  metode  Newton- Raphson  masih  menjadi  metode  dasar  untuk solusi  panjang  busur.  Ilustrasi  teknik  solusi metode  panjang  busur  seperti  tampak  pada Gambar 4.

n   i  n u   II i u  I i u i+1 (n+1) solusi konvergen busur spherical pada substep n 1 i U perpindahan b e b a n Un (solusi konvergen pada substep n)
Gambar 4. Teknik solusi metode panjang busur (a rc-length ).
Persamaan  nonlinier  pada  prosedur  panjang busur dapat ditulis sebagai berikut (Crisfield,1980 dan ANSYS, 2009):
        nr i a i T i F F u
K    ψ .................................  (13)
dimana Ψ adalah  parameter  tingkat  beban, pada  umumnya  nilai Ψ berkisar 1 Ψ    1 . Bentuk  persamaan  nonlinier  pada  substep  ke-n, iterasi  ke-i  dengan  memasukkan  parameter tingkat beban adalah :
   
        i nr i a a i T i R F F F u K         ) ( i n ψ ψ ψ .....  (14)
dimana Ψ  adalah  inkremental  parameter tingkat beban.
Inkremental  perpindahan  {  U i } dapat  ditulis dalam dua bagian yaitu:
        I II i i i Δu Δ Δu Δu ψ ................................  (15)
dimana  {  u i | }  adalah  perpindahan  akibat  satuan tingkat  beban, {  u i || }  adalah  inkremental perpindahan metode Newton-Raphson, dimana:       a II i F Δu 1   T i K ...............................................  (16)
      i II i
R u 1     T i K .............................................  (17)
Pada  setiap  iterasi  panjang  busur  menggunakan Persamaan  (14)  dan  (15)  untuk  mendapatkan {  u i | } dan {  u i || }.
Inkremental  tingkat  beban  pada  Persamaan (15)  dihitung  dengan  persamaan  panjang  busur untuk iterasi ke-i sebagai berikut:
      n T n n 2 2 i Δu Δu Δu β ψ 2 i    .........................  (18)
dimana β faktor skala (dalam unit perpindahan), dan i  adalah radius panjang busur (dalam skala gaya).
Persamaan  (15)  dan  (17)  digunakan  untuk menghitung solusi vector (  u i ,  ) T . Inkremental  tingkat  beban  dapat  dihitung dengan:
        II i T n i 2 II i T n i Δu Δu β Δu Δu r Δ    ψ ψ ................................  (19)
dimana  r i adalah  residual  skalar  untuk  iterasi eksplisit pada hitungan busur pertama.
Konvergensi  diperoleh  ketika  ukuran  beban  residu atau  sisa  dan/atau  kenaikan  perpindahan  kurang dari  toleransi  kali  nilai  referensi.  Nilai  toleransi dalam  studi  ini  diambil  nilai default sebesar  R = 0,001  untuk  gaya  dan  untuk  perpindahan  U =0,01.

## Hasil dan Pembahasan
Model  cangkang  simetri  sumbu  jenis  elemen SHELL51 dilakukan  uji  perbandingan  antara  hasil penelitian ini dengan data hasil eksperimen Kaplan (1954).  Hasil  ekperimen  ini  banyak  dirujuk  oleh peneliti  berikutnya  antara  lain:  Uchiyama  dan Yamada  (2000).  Benda  uji  atau  spesimen  berupa cangkang  bola  dangkal  bertumpuan  jepit  dengan beban tekanan merata.
Tiga  buah  spesimen  pertama  yaitu  Spec#1, Spec#2,  Spec#3  dari  eksperimen  Kaplan  (1954) dilakukan  studi  perbandingan  karena  tersedia  data baik  eksperimen  maupun  hasil  analisis  numerik beda  hingga  (dalam  bentuk  kurva  dan  persamaan polinomial). Kurva beban-lendutan hasil eksperimen  dan  analisis  penelitian  Kaplan  (1954). Hasil  analisis  nonlinier  elemen  hingga  studi  ini untuk  model  elemen  cangkang  simetri  sumbu
SHELL51 dan  elemen  cangkang  3  dimensi SHELL63 disajikan pada Gambar 5, Gambar 6 dan Gambar 7.
Hasil  ketiga  benda  uji  tersebut  menunjukkan terjadi snap-through  buckling .  Perilaku  snap- through  buckling ditunjukkan  dengan  adanya  titik kritis maksimum dan titik kritis minimum.
Dalam  Gambar  5  ditunjukkan  kurva  beban- perpindahan  hasil  perbandingan  antara  model
cangkang  simetri  sumbu  jenis  elemen SHELL51 dengan  model  cangkang  3  dimensi  jenis  elemen SHELL63 .  Tidak  terdapat  perbedaan  signifikan hasil  antara  penggunaan  jenis  elemen  dan pembagian elemen yang dipilih antara jenis elemen simetri  sumbu SHELL51 dengan  jenis  elemen cangkang 3 dimensi SHELL63 . Hasil ini menunjukkan  penggunaan  jenis  elemen  simetri sumbu SHELL51 lebih  efisien  karena  dengan jumlah  elemen  jauh  lebih  sedikit  (6  berbanding 48x6).
B E B A N T E K A N A N q 4 t E 2 1        a υ Analisis FEM SHELL51 axisymmetry SPEC.#1 = 4.04
Analisis FEM
SHELL63 cangkang 3D SPEC.#1 = 4.04 PERPINDAHAN (U oy /t) SHELL63 48x6 elemen SHELL51 6 elemen
Gambar 5. Perbandingan kurva beban-perpindahan spesimen SPEC.#1  =4,04.
B E B A N T E K A N A N q 4 t E 2 1        a υ Analisis FEM SHELL63 cangkang 3D SPEC.#2 = 4.08 PERPINDAHAN (U oy /t) SHELL63
48x6 elemen Analisis FEM
SHELL51 axisymmetry
SPEC.#2 = 4.08
SHELL51 6 elemen
Gambar 6. Perbandingan kurva beban-perpindahan spesimen SPEC.#2,  =4,08.
B E B A N T E K A N A N q 4 t E 2 1        a υ Analisis FEM SHELL63 cangkang 3D SPEC.#3 = 4.16
PERPINDAHAN (U oy /t) SHELL63 48x6 elemen SHELL51 6 elemen Analisis FEM
SHELL51 axisymmetry SPEC.#3 = 4.16
Gambar 7. Perbandingan kurva beban-perpindahan spesimen SPEC.#3  =4,16.
Gambar 8, Gambar 9 dan Gambar 10 menunjukkan kurva  beban-perpindahan  perbandingan  antara hasil  eksperimen  dan  hasil  analisis  Kaplan  (1954) dengan hasil analisis elemen hingga studi ini. Hasil analisis  elemen  hingga  studi  ini  lebih  mendekati hasil  analisis  Kaplan,  namun  lebih  tinggi dibandingkan dengan hasil eksperimen. Pada Tabel 2    ditunjukkan  perbandingan  beban  tekanan  kritis hasil  eksperimen  dengan  hasil  analisis  nonlinier FEM sebesar  0,86;  0,78  dan  0,82.  Hasil  analisis nonlinier FEM ini mendekati hasil analisis Kaplan dengan  perbandingan  yang  hampir  sama  yaitu 0,84; 0,84 dan 0,85.
Perbedaan  antara  hasil  eksperimen  dengan  hasil analisis  oleh  studi  Kaplan  (1954)  sendiri  maupun hasil  analisis  elemen  hingga  studi  ini  disebabkan karena  faktor  ketidak  sempurnaan  ( imperfection ) dalam eksperimen cangkang  bola yang  sulit  untuk dihindari.  Hal  ini  sesuai  dengan  pernyataan  dari
Kaplan bahwa meskipun sudah diusahakan dengan baik,  namun set-up spesimen  belum  sebaik  yang diharapkan ( unfortunately it is still not so good as would be desired ).

## Tabel 2. Perbandingan analisis dengan hasil
eksperimental No. Kode  q cr.exp. /q cr.NL q cr.exp. /q cr.NL.K 1 Spec # 1 4,04 0,86 0,84 2 Spec # 2 4,08 0,78 0,84 3 Spec # 3 4,16 0,82 0,85
dimana: q cr.exp. =  beban kritis eksperimental Kaplan(1954). q cr.AK =  beban kritis analisis Kaplan(1954). q cr.NL =  beban kritis analisis nonlinier studi ini.
SPEC.#1, = 4.04 Eksperimen Kaplan(1954) Analisis Kaplan(1954)
Analisis FEM studi ini (SHELL51 axisymmetry ) = 4.04 B E B A N T E K A N A N PERPINDAHAN  (U oy /t) q 4 t E 2 1        a υ E / ) 2 1 )( t / 4 a ( q p ); 0 h / 0y (u 0 W 4; ; n 0 W n p 4 i p        λ
Gambar 8. Perbandingan kurva beban-perpindahan hasil Finite Element Method (FEM) dengan hasil penelitian Kaplan (1954) Spec#1.
B E B A N T E K A N A N q 4 t E 2 1        a υ
Analisis Kaplan(1954) E / ) 2 1 )( t / 4 a ( q p ); 0 h / 0y (u 0 W 4; ; n 0 W n p 4 i p        λ SPEC.#2, = 4.08
Eksperimen Kaplan(1954)
Analisis FEM studi ini (SHELL51 axisymmetry )
= 4.08
PERPINDAHAN  (U oy /t)
Gambar 9. Perbandingan kurva beban-perpindahan hasil Finite Element Method (FEM) dengan hasil penelitian Kaplan (1954) Spec#2;  =4,08; t=0,099 in.; h0=0,253 in.
B E B A N T E K A N A N q 4 t E 2 1        a υ Analisis Kaplan(1954) E / ) 2 1 )( t / 4 a ( q p ); 0 h / 0y (u 0 W 4; ; n 0 W n p 4 i p        λ SPEC.#3, = 4.16
Eksperimen Kaplan(1954)
Analisis FEM studi ini (SHELL51 axisymmetry ) = 4.16
PERPINDAHAN  (U oy /t)
Gambar 10. Perbandingan kurva beban-perpindahan hasil Finite Element Method (FEM) dengan hasil penelitian Kaplan (1954) Spec#3;  =4,16; t=0,101 in.; h0=0,256 in.

## Kesimpulan
Dari  hasil  dan  pembahaan  di  atas  dapat disimpulkan:
a. Struktur  cangkang  bola  bertumpuan  jepit dibebani  tekanan  merata  dengan  parameter geometri  =4,04;  =4,08; dan  =4,16 berperilaku  nonlinier snap-through  buckling ditunjukkan dengan adanya beban kritis maksimum  dan  minimum  pada  kurva  beban- perpindahan.
b. Kurva  beban-perpindahan  hasil  analisis  elemen hingga  nonlinier  dengan  jenis  elemen  simetri sumbu SHELL51 (6  elemen)  dan  elemen segiempat SHELL63 (48x6)  tidak  menunjukkan perbedaan  yang  signifikan.    Oleh  karena  itu penggunakan  elemen  cangkang  simetri  sumbu pada kasus struktur simetri dengan beban simetri jauh lebih efisien.
c. Perbandingan beban tekanan kritis hasil eksperimen  dari  Kaplan  (1954)  dengan  hasil analisis elemen hingga penelitian ini menunjukkan  hasil  yang  lebih  rendah  dengan
perbandingan  antara  0,78  s/d  0,86.    Hal  ini disebabkan  karena  pada  ekperimen  terdapat ketidaksempurnaan geometri yang sangat sentitif terhadap perilaku struktur.
d. Teknik arc-length pada  analisis  nonlinier geometri dapat menemukan titik-titik kesetimbangan post-buckling dengan  kurva beban-perpindahan  turun  atau  kekakuan  sistem struktur negatif.  Pada struktur cangkang dengan parameter geometri  =4,04;  =4,08; dan  =4,16 konvergensi  cepat  dapat  ditemukan  dengan jumlah langkah beban ( load step ) sebesar N=25.

## Ucapan Terima Kasih
Penelitian  ini  merupakan  bagian  dari  penelitian disertasi  pada  Program  Doktor  Teknik  Sipil Universitas  Dinonegoro  Semarang,  Indonesia. Ucapakan terimakasih
kepada Kepala Laboratorium  Perancangan  dan  Tribologi  dan dosen Jurusan Teknik Mesin Universitas Diponegoro  Semarang  atas  ijin  dan  bantuannya dalam  penelitian  ini  menggunakan  fasilitas simulasi  komputasi  numerik Finite  Element Method ( FEM ) dengan Program ANSYS.

## Daftar Pustaka
ANSYS,  2009. Theory  Reference  for  the Mechanical  APDL  and  Mechanical  Applications, Release  12.1 ,  ANSYS,  Inc.  Southpointe  275 Technology Drive, Canonsburg.
Bathe,  K.J.,  1982. Finite  Element  Procedures  in Engineering Analysis , Prentice-Hall, New Jersey.
Cook,  R.D.,  1995. Finite  Element  Modeling  for Stress Anslysis , John Wiley & Sons, Inc., Canada.
Crisfield,  M.A.,  1980. A  Fast  Incremental/ Iterative  Solution  Procedure  that  Handles  “Snap- Through”, Computer and Structures Vol.13 pp.55- 62, England.
Eurocode-3.,  2007. Design  of  Steel  Structures, Part 1-6: Strength and Stability of Shell Structures ,
European Committee for Standardization,
Management  Centre:  rue  de  Stassart,  36  B-1050 Brussels.
Kaplan, A., 1954. Finite Deflection and Bending of Curved and Shallow Spherical Shells under Lateral Loads, Thesis  Doctor  of  Philosophy ,  California Institute of Technology Pasadena, California.
Lagace, P.A., 2002. Stability and Buckling . Unit V, MIT, Opencourse Fall 2002, USA.
Timoshenko,  S.  P.,  dan  Gere,  J.M.,  1961. Theory of  Elastic  Stability ,  McGraw-Hill  Book  Company, Inc. New York.
Uchiyama,  M.  dan  Yamada,  S.,  2000. Nonlinier Buckling  Simulations  of  Imperfect  Shell  Domes using  a  Hybrid  Finite  Element  Formulation  and the Agreement with Experiments , Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, Chania-Crete, Greece.