Nama: Harmi Sugiarti & Andi Megawarni
Judul: Penggunaan Metode Regresi Robust untuk Mencari Selang Kepercayaan Koefisien Garis Regresi jika Ragam Galat Tidak Homogen
Tanggal: September, 2003

## Abstract
The assumption of homogeneous error variance underlying the OLS method is very important to get the best linear unbiased estimation of the regression coefficients. This paper aims to compare the width of confidence interval which is resulted by the OLS, the WLS, and the robust regression methods when the error term is not homogen. Comparing the three methods indicate that the width of confidence interval by the robust regression method is narrower than the OLS method but the WLS method is the narrowest.

## PENDAHULUAN
Asumsi  ragam  galat  homogen  ( )  diperlukan  oleh  metode  kuadrat  terkecil (ordinary  least square, OLS) untuk mendapatkan penduga parameter yang bersifat tak bias linear terbaik (best linear unbiased estimator, BLUE) dari model regresi
.
adalah nilai peubah respons pada pengamatan ke-i, adalah nilai peubah bebas pada pengamatan ke-i dan adalah koefisien regresi yang tidak diketahui nilainya dan akan dicari nilai taksirannya. Penanganan kasus ketidakhomogenan ragam galat kadangkala diikuti munculnya penyimpangan asumsi lainnya, diantaranya adalah munculnya pengamatan pencilan (outlier) dalam data. Adanya pengamatan pencilan dalam data dapat mengakibatkan penduga koefisien garis regresi yang diperoleh tidak tepat. Namun  demikian  tindakan  membuang  (menolak)  begitu  saja  suatu  pengamatan  pencilan  bukanlah tindakan  yang  bijaksana,  karena  adakalanya  pengamatan  pencilan  memberikan  informasi  yang  cukup berarti.
Dalam hal asumsi ragam galat homogen tidak dipenuhi, salah satu metode alternatif yang dapat dicoba adalah  metode  kuadrat  terkecil  tertimbang (weighted  least  square,  WLS) .  Metode  ini  menghasilkan lebar selang kepercayaan untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding metode OLS (Sugiarti, 2001).
Adanya faktor kesulitan penentuan pembobot
karena besarnya tidak diketahui, penggunaan metode  WLS  masih  belum  dapat  mereduksi  munculnya  pengamatan  pencilan.  Untuk  mengatasi kelemahan-kelemahan  dari  metode  yang  ada,  baik  metode  OLS  maupun  metode  WLS,  perlu  dicoba metode  lain  yang  bersifat  tidak  sensitif  terhadap  pelanggaran  asumsi-asumsi,  yaitu  metode  regresi robust (robust  regression). Tulisan  ini  bertujuan  untuk  membandingkan  lebar  selang  kepercayaan koefisien garis regresi yang diperoleh metode regresi robust dengan lebar selang kepercayaan koefisien garis regresi yang diperoleh metode OLS dan metode WLS .

## SELANG KEPERCAYAAN
Selang  kepercayaan  adalah  suatu  kisaran  nilai  yang  dianggap  mengandung  nilai  parameter  populasi yang sebenarnya. Besaran B dan A dikatakan menentukan selang kepercayaan (1-a) 100% bagi suatu parameter apabila memenuhi kriteria berikut:
Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
08/07/2020
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
P[B  nilai parameter yang sebenarnya  A]   (1- a ) dan
a. nilai-nilai B dan A dapat dihitung dari sampel yang telah diambil dari populasi.
Selang  kepercayaan  yang  cukup  baik  adalah  selang  kepercayaan  yang  mempunyai  lebar  selang  yang sempit dan persentase selang yang memuat parameter cukup besar (Koopmans, 1987).

## METODE REGRESI ROBUST
Prosedur  regresi  robust  dirancang  untuk  mengurangi  pengaruh  dari  pengamatan-pengamatan  yang mempunyai pengaruh tinggi jika metode kuadrat terkecil digunakan. Oleh karena itu, prosedur regresi robust cenderung untuk mengabaikan sisaan-sisaan yang berhubungan dengan pencilan-pencilan yang besar. Disamping tidak sensitif jika terdapat kasus pencilan, prosedur regresi robust mempunyai tingkat efisiensi yang sama 90%-95% dibanding kuadrat terkecil jika dibawah distribusi normal (Montgomery & Peck, 1992).
Menurut Staudte & Sheather (1990), jika hubungan linear antara satu peubah respon dengan peubah- peubah  bebasnya  dimodelkan  sebagai:
,  dengan menyatakan  baris  ke-i  dari  matriks rancangan  X, menyatakan  parameter  model  dan menyatakan  suku  galat;  maka  penaksir kemungkinan maksimum atau penaksir-M (M-estimator) untuk model dengan p parameter diperoleh dengan  cara  meminimumkan atau  mencari  penyelesaian  dari ,  dengan adalah  fungsi  pembobot  yang  bernilai antara  0  dan  1  dengan .  Secara  umum  pembobot dirumuskan  sebagai ,  dengan adalah influence  function dan adalah  suatu  fungsi  yang tidak diketahui dan tergantung pada x melalui leveragenya. Dengan menentukan nilai dan serta memilih fungsi Huber
yang berbentuk:
, maka  nilai  pembobot
menjadi  bergantung  pada  kombinasi  besarnya  leverage  dan  studentized residual  melalui  DFFITS.  Sebagai  salah  satu  ukuran  yang  dapat  digunakan  untuk  mendeteksi  adanya
pengamatan yang berpengaruh, DFFITS dirumuskan sebagai .
Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
08/07/2020
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
Secara singkat nilai pembobot dapat dinyatakan dalam bentuk: . Jadi persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks yang kita
kenal sebagai persamaan normal kuadrat terkecil tertimbang dengan W adalah matriks diagonal yang berisi  pembobot.  Solusi  persamaan  normal  tersebut  akan  memberikan  taksiran  untuk yaitu: dan  penaksir-M  untuk    diperoleh  dengan  cara  melakukan  iterasi  sampai diperoleh suatu hasil yang konvergen, cara ini biasa dikenal sebagai metode kuadrat terkecil tertimbang secara iteratif (iteratively reweighted least square).
Berdasarkan pembobot dan penaksir-M parameter  , matriks kovarians untuk parameter   yakni
dapat  didekati  dengan  persamaan  berikut: ,  dengan adalah  matriks  diagonal  dengan  elemen-elemen  diagonalnya dan adalah  matriks diagonal  dengan  elemen  diagonalnya .  Selang  kepercayaan  (1- a )100%  untuk  parameter diperoleh sebagai: (Staudte,1990).

## METODOLOGI
Data yang dipergunakan dalam tulisan ini adalah data simulasi, yaitu data yang dibangkitkan dengan bantuan paket program MINITAB versi 11.12 dan data eksperimen, yaitu berupa data rata-rata panjang daun (cm) tanaman temulawak (curcuma xanthorrhiza roxb.) pada umur 17 minggu yang diberi pupuk kandang pada berbagai taraf yaitu: tanpa pupuk, 0,5 kg/lubang, 1 kg/lubang dan ditanam pada variasi jarak tanam 60 x 40 cm dan 60 x 60 cm (Priono, 1988).
Ada beberapa langkah yang harus ditempuh untuk melakukan simulasi, yaitu pertama adalah mencari galat yang  memenuhi  kriteria  nilai  rataan  nol  dan  ragam  tidak  homogen.  Galat  tersebut  dapat diperoleh  dengan  cara  membangkitkan  data.  Pembangkitan  galat  dikelompokkan  ke  dalam  tiga kelompok dengan setiap kelompok mempunyai rataan nol dan ragam berbeda-beda.
Langkah  kedua  adalah  menentukan  nilai-nilai  peubah  bebas  X 1 dan  X 2 ,  karena  X 1 dan  X 2 adalah konstanta yang diketahui. Nilai-nilai dari koefisien regresi yaitu  diasumsikan dengan nilai tertentu.
Dari nilai-nilai yang telah diketahui, dapat dicari nilai peubah respons sebagai .
Langkah ketiga adalah menguji apakah dari pasangan data X 1 , X 2 dan Y diperoleh ragam galat yang tidak homogen. Apabila hasil uji menyatakan ragam galat tidak homogen, maka pasangan data X 1 , X 2 dan Y dengan rataan galat nol dan ragam galat tidak homogen telah diperoleh.
Langkah keempat, setelah pasangan data X 1 , X 2 dan Y yang mempunyai rataan galat nol dan ragam galat tidak homogen telah diperoleh, selanjutnya dilakukan pendugaan koefisien regresi dengan metode regresi robust dan mencari selang kepercayaan bagi  .
Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
OLS WLS Robust 2.39600 1.55700 -0.93610 0.76870 2.28129 1.72501 0.96714 0.02383 1.01526 0.01140 0.96812 0.02226 0.98137 0.02049 1.00305 0.01005 0.98205 0.01736
Langkah  kelima,  membandingkan  antara  lebar  selang  kepercayaan  yang  diperoleh  metode  regresi robust dengan lebar selang kepercayaan yang diperoleh metode OLS dan metode WLS .
Langkah keenam adalah mengulang langkah keempat dan kelima untuk data eksperimen.

## HASIL DATA SIMULASI
Dengan  mengasumsikan , dan ,  maka  pasangan  data , dan  Y  dapat  dilihat pada  Lampiran  1.  Metode  OLS,  metode  WLS,  dan  metode  regresi  robust  memberikan  penduga  bagi koefisien regresi dan simpangan baku penduga koefisien regresinya seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Penduga Koefisien Regresi dan Simpangan Baku untuk Data Simulasi
Jika  dibandingkan  nilai-nilai  penduga  bagi  koefisien  regresi  yang  diperoleh  metode  regresi  robust dengan  metode  OLS  dan  metode  WLS,  tampak  nilai-nilai  penduga  bagi  koefisien  regresi  yang diperoleh dengan metode regresi robust terletak diantara nilai-nilai penduga bagi koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS dan metode WLS.
Demikian juga dengan simpangan baku penduga koefisien regresinya, pada Tabel 1 ditunjukkan bahwa nilai-nilai  simpangan  baku  penduga  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan  metode  regresi  robust terletak  diantara  nilai-nilai  simpangan  baku  penduga  bagi  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan metode OLS dan metode WLS.
Lebar selang kepercayaan 95% dan 99% untuk koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode  WLS  dan  metode  regresi  robust  disajikan  dalam  Tabel  2.  Pada  tabel  tersebut  tampak  bahwa selang  untuk  koefisien  regresi dan yang  dihasilkan  oleh  metode  regresi  robust  lebih  sempit dibanding  metode  OLS  sedangkan  metode  WLS  menghasilkan  selang  yang  paling  sempit  diantara ketiga metode. Sedangkan selang kepercayaan 95% untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding selang kepercayaan 99% untuk koefisien garis regresi yang dihasilkan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust.
Tabel 2. Lebar Selang Kepercayaan untuk Koefisien Regresi Data Simulasi Selang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99% OLS WLS Robust OLS WLS Robust 6.3899 3.1548 7.0794 8.6289 4.2601 9.56000

## Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
08/07/2020
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
0.0978 0.0468 0.0914 0.1321 0.1321 0.1234 0.0841 0.0413 0.0713 0.1136 0.0557 0.0962

## HASIL DATA EKSPERIMEN
Dengan  menggunakan  data  eksperimen  pada  Lampiran  2  tentang  rata-rata  panjang  daun  tanaman temulawak berumur 17 minggu (Y) yang diberi pupuk kandang pada tiga taraf (X 1 ) dan ditanam pada dua  variasi  jarak  tanam  (X 2 ),  metode  OLS,  metode  WLS,  dan  metode  regresi  robust  memberikan penduga bagi koefisien regresi dan simpangan baku penduga bagi koefisien regresi seperti pada Tabel 3. Nilai-nilai simpangan baku penduga koefisien regresi yang diperoleh dengan metode regresi robust terletak  diantara  nilai-nilai  simpangan  baku  penduga  bagi  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan metode OLS dan metode WLS.
Tabel 3. Penduga Koefisien Regresi dan Simpangan Baku untuk Data Eksperimen dengan Konsentrasi Pupuk sebagai Pembobot OLS WLS Robust 39.0400 27.2500 54.0710 4.2910 61.5178 12.8986 31.5900 12.7300 34.3810 3.2870 19.3309 6.7357 0.2693 0.5197 -0.0406 0.0822 -0.1394 0.2455
Lebar selang kepercayaan 95% dan 99% untuk koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode  WLS  dan  metode  regresi  robust  disajikan  dalam  Tabel  4.  Pada  tabel  tersebut  tampak  bahwa selang kepercayaan untuk koefisien regresi   dan   yang dihasilkan oleh metode regresi robust lebih sempit  dibanding  metode  OLS  sedangkan  metode  WLS  menghasilkan  selang  yang  paling  sempit diantara ketiga metode. Selang kepercayaan 95% untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding selang kepercayaan 99% untuk koefisien garis regresi yang dihasilkan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust.
Tabel 4. Lebar Selang Kepercayaan untuk Koefisien Regresi Data Eksperimen dengan Konsentrasi Pupuk sebagai Pembobot Selang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99% OLS WLS Robust OLS WLS Robust 116.1395 18.2882 54.9738 160.6115 25.2912 76.0244 54.2553 14.0092 28.7076 75.0306 19.3736 39.7002

## Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
08/07/2020
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
2.2150 0.3502 1.0463 3.0631 0.4845 1.4470
Jika  digunakan  jarak  tanam  sebagai  pembobot  pada  metode  WLS,  maka  nilai-nilai  penduga  bagi koefisien regresi dan simpangan baku penduga koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode WLS, dan metode regresi robust disajikan dalam Tabel 5 berikut ini.
Tabel 5. Penduga Koefisien Regresi dan Simpangan Baku untuk Data
Eksperimen dengan Jarak Tanam sebagai Pembobot
OLS WLS Robust 39.0400 27.2500 44.8700 20.9600 61.5178 12.8986 31.5900 12.7300 19.9330 2.5750 19.3309 6.7357 0.2693 0.5197 0.2693 0.5198 -0.1394 0.2455
Nilai-nilai  simpangan  baku  penduga  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan  metode  regresi  robust terletak  diantara  nilai-nilai  simpangan  baku  penduga  bagi  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan metode OLS dan metode WLS. Khusus untuk  , metode regresi robust menghasilkan simpangan baku paling kecil diantara ketiga metode.
Lebar selang kepercayaan 95% dan 99% untuk koefisien regresi yang diperoleh dengan metode OLS, metode  WLS  dan  metode  regresi  robust  disajikan  dalam  Tabel  6.  Pada  tabel  tersebut  tampak  bahwa selang  untuk  koefisien  regresi  yang  dihasilkan  oleh  metode  regresi  robust  lebih  sempit  dibanding metode OLS sedangkan metode WLS menghasilkan selang yang paling sempit diantara ketiga metode kecuali pada selang kepercayaan untuk , dengan metode regresi robust menghasilkan selang paling sempit diantara ketiga metode tersebut.
Tabel 6. Lebar Selang Kepercayaan untuk Koefisien Regresi Data Eksperimen dengan Jarak Tanam sebagai Pembobot Selang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99% OLS WLS Robust OLS WLS Robust 116.1395 89.3315 54.9738 160.6115 123.5382 76.0244 54.2553 10.9747 28.7076 75.0306 15.1771 39.7002 2.2150 2.2154 1.0463 3.0631 3.0637 1.4470

## Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
Obs.
1. 100.972 48 53 -0.02759
Selang kepercayaan 95% untuk koefisien garis regresi lebih sempit dibanding selang kepercayaan 99% untuk koefisien garis regresi yang dihasilkan metode OLS, metode WLS dan metode regresi robust.

## KESIMPULAN
Lebar  selang  yang  dihasilkan  oleh  metode  regresi  robust  secara  keseluruhan  lebih  sempit  dibanding selang yang dihasilkan metode OLS tetapi sedikit lebih lebar dibanding selang yang dihasilkan metode WLS.

## DAFTAR PUSTAKA
Koopmans, L.H. 1987. Introduction to Contemporary Statistical Methods . 2 nd ed. Boston: PWS.
Montgomery,D.C.&Peck,E.A. 1992. Introduction to Linear Regression Analysis. 2 nd ed.

## Homewood, Illinois:Irwin
Priono,  M. 1988. Pengaruh  Pemberian  Pupuk  Kandang  &  Jarak  Tanam  Terhadap Pertumbuhan  Tanaman  Temulawak  (Curcuma  Xanthorrhiza  Roxb.) .  Skripsi  yang  tidak dipublikasikan. Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto.
Staudte, R.G. & Sheather, S.J . 1990. Robust Estimation and Testing . New York: Wiley.
Sugiarti, H. & Megawarni, A. 2001. Selang Kepercayaan untuk Koefisien Garis Regresi Jika  Ragam  Galat  Tidak  Homogen  dengan  Metode  OLS  dan  WLS .  Jakarta:  Lembaga Penelitian Universitas Terbuka.
Lampiran 1. Data Simulasi
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
2. 121.659 95 26 0.65870 3. 41.731 42 1 -1.26902 4. 109.832 62 46 1.83219
5. 55.494 34 22 -0.50565
6. 26.970 17 11 -1.03007
7. 111.646 23 90 -1.35382
8.
112.610 62 50 0.60968
9. 107.549 83 24 0.54867 10. 170.493 79 91 0.49285 11. 103.917 42 62 -0.08276 12. 32.976 18 13 1.97609 13. 121.193 89 36 -3.80707 14. 53.497 8 40 5.49658 15. 88.483 76 14 -1.51694 16. 34.910 2 36 -3.09022 17. 55.939 37 23 -4.06147 18. 95.829 5 89 1.82904 19. 50.646 21 28 1.64600 20. 138.479 48 89 1.47855 21. 170.862 83 88 -0.13793 22. 54.293 40 11 3.29348 23. 77.655 60 24 -6.34511
Obs. 1. 52.90 0.0 40 2. 55.07 0.0 40 3. 55.73 0.0 40 4. 46.97 0.0 60 5. 48.00 0.0 60 6. 53.50 0.0 60 7. 69.00 0.5 40 8. 70.60 0.5 40 9. 64.40 0.5 40 10. 69.27 0.5 60 11. 71.03 0.5 60 12. 71.20 0.5 60 13. 72.13 1.0 40 14. 72.73 1.0 40
Lampiran 2. Data Eksperimen

## Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...
24. 67.161 30 28 9.16097 25. 134.472 37 100 -2.52823 26. 134.850 66 74 -5.15037 27. 144.231 69 82 -6.76911 28. 81.048 67 11 3.04840 29. 83.743 55 26 2.74334
30. 100.464 37 61 2.46426
15. 77.90 1.0 40 16. 46.73 1.0 60 17. 73.93 1.0 60 18. 158.30 1.0 60
Kembali
Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi Vol 4, No. 2, September 2003
file:///H:/2011-pk/20200310/1_JURNAL/JMST/JMST%2004(2)%202003/harmi_sugiarti...