DIAMETER DAN GIRTH GRAF NILPOTEN RING MATRIKS (DIAMETER AND GIRTH OF NILPOTENT GRAPH ON A RING OF MATRICES)
RA Wahyu Fibriyanti 1 , IE Wijayanti 2
1 , 2 Departemen Matematika, Universitas Gadjah Mada Email: 1 regita.agustin@mail.ugm.ac.id, 2 ind wijayanti@ugm.ac.id *Penulis Korespondensi
Abstract. Let G be a simple graph. Diameter of G is the maximum distance for any two vertices u, v in connected graph G . Girth of G is the length of the shortest cycle contained in G . Let R be a ring with unity. N ( R ) is the set of all nilpotent element of R . Z N ( R ) is the set of all x in R with xy is a nilpotent of R , for y in R ∗ . The nilpotent graph, Γ N ( R ) , is a graph with vertex set Z N ( R ) ∗ , two distinct vertices x and y are adjacent if only if xy is a nilpotent of R . On this research, we give some characteristics of diameter and girth nilpotent graph on matrix ring over field F . Given field F , diameter of (Γ N ( M n ( F ))) is 2 , for n ≥ 3 and diameter of (Γ N ( M 2 ( F ))) is 3 . Moreover for field F and n ≥ 2 , then girth of (Γ N ( M n ( F ))) is 3 .
Keywords: nilpotent graph, matrix, diameter, girth. Abstrak. Diberikan suatu graf sederhana G . Diameter graf G merupakan jarak terbe- sar sebarang dua titik u, v di G . Girth graf G adalah panjang sikel terpendek di graf G . Misalkan R suatu ring dengan elemen satuan. N ( R ) merupakan himpunan nilpoten di R . Z N ( R ) merupakan himpunan semua x di R dengan xy nilpoten pada R , un- tuk y di R ∗ . Graf nilpoten, Γ N ( R ) , merupakan graf dengan himpunan titiknya adalah Z N ( R ) ∗ , dan dua titik yang berbeda x, y bertetangga jika dan hanya jika xy nilpoten di R . Pada tulisan ini diberikan beberapa karakterisasi terkait diameter dan girth graf nilpoten pada ring matriks atas lapangan F . Diberikan lapangan F , diameter graf (Γ N ( M n ( F ))) adalah 2 , untuk n ≥ 3 dan diameter graf (Γ N ( M 2 ( F ))) adalah 3 . Serta jika F suatu lapangan dan n ≥ 2 , maka girth graf (Γ N ( M n ( F ))) adalah 3 . Kata Kunci: graf nilpoten, matriks, diameter, girth.

## I. PENDAHULUAN
Dalam beberapa tahun terakhir, teori graf telah menjadi alat matematika yang penting dalam berbagai subjek. Dalam matematika studi tentang struktur aljabar menggunakan sifat- sifat pada graf telah menjadi sebuah topik penelitian yang menarik dalam duapuluh tahun ter- akhir. Teori graf yang berasosiasi dengan ring pertama kali diperkenalkan oleh Beck [5].
Misalkan G adalah graf dengan himpunan titik V ( G ) . Suatu lintasan dari x ke y meru- pakan suatu barisan titik-titik yang bertetangga x ∼ x 1 ∼ x 2 ∼ . . . ∼ x n ∼ y . Namun terdapat pengecualian yaitu jika terdapat lintasan yang mempunyai titik awal dan akhir yang sama maka lintasan tersebut disebut sikel ( cycle ). Suatu n -sikel merupakan suatu sikel dengan n titik, den- gan n ≥ 3 . Jarak antara x dan y , dinotasikan dengan d ( x, y ) , adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan titik x dan y di G , dengan x ̸ = y . Jika G graf terhubung, maka diameter dari graf G didefinisikan sebagai diam ( G ) = maks { d ( x, y ) | x, y ∈ V ( G ) } . Namun, jika G

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
graf tidak terhubung, maka diam ( G ) = ∞ . Girth graf G , dinotasikan dengan gr ( G ) , adalah panjang sikel terpendek di graf G . Jika graf G tidak memiliki sikel, maka gr ( G ) = ∞ .
Himpunan pembagi nol di R dinotasikan Z ( R ) dan Z ( R ) ∗ = Z ( R ) \ { 0 } . Diperhatikan bahwa R ∗ = R \ { 0 } . N ( R ) adalah himpunan semua elemen nilpoten pada R . Graf pembagi nol pada suatu ring komutatif R dengan elemen satuan, dinotasikan Γ ( R ) , adalah suatu graf dengan himpunan titik Z ( R ) ∗ . Graf pembagi nol telah dikaji oleh beberapa peneliti [1] - [4]. Dalam [7], Chen mendefinisikan suatu jenis struktur graf atas ring komutatif dengan semua elemen ring R menjadi titik pada graf dan dua titik x dan y bertetangga jika xy ∈ N ( R ) . Himpunan Z N ( R ) merupakan himpunan semua x ∈ R dengan xy nilpoten untuk suatu y tak nol di R ∗ dan Z N ( R ) ∗ = Z N ( R ) \ { 0 } . Graf nilpoten pada ring komutatif berhingga R , dino- tasikan Γ N ( R ) , adalah graf dengan himpunan titiknya Z N ( R ) ∗ . Dua titik x dan y bertetangga jika xy nilpoten. Graf nilpoten pertama kali diperkenalkan pada [8]. Dalam [9], Nikmehr dan Khojasteh mengkaji beberapa sifat graf nilpoten pada ring matriks atas lapangan berhingga F , seperti diameter dan girth . Dalam tulisan ini, akan dibahas graf nilpoten ring matriks atas lapangan F , terkhusus pada diameter serta girth graf tersebut yang mengacu pada penelitian Nikmehr dan Khojasteh. Serta diberikan contoh terkait diameter dann girth graf nilpoten atas ring M 2 ( Z 2 ) , diameter graf nilpoten atas ring bilangan rasional Q , dan definisi keterhubungan graf nilpoten atas ring yang isomorfis dengan kartesian beberapa himpunan.
Untuk suatu ring R , secara berturut-turut M n ( R ) , R n , I menotasikan ring matriks beruku- ran n × n atas R , himpunan matriks n × 1 , dan matriks identitas. E ij menotasikan matriks dengan entri ke- ( i, j ) adalah 1 dan 0 untuk entri lainnya dengan i dan j , 1 ≤ i , j ≤ n . Pada keseluruhan tulisan ini, graf yang digunakan adalah graf sederhana dan ring R adalah suatu ring dengan elemen satuan.

## II. HASIL PENELITIAN
Pada bagian ini diberikan terlebih dahulu definisi dan sifat-sifat matriks nilpoten yang akan digunakan pada pembahasan selanjutnya.
Definisi 1 [6] Suatu matriks A berukuran n × n dikatakan nilpoten jika A k = O untuk suatu k ∈ Z + , dengan O adalah matriks nol berukuran n × n .
Berikut diberikan lema terkait beberapa sifat matriks nilpoten.
Lemma 1 [6] Untuk sebarang matriks A berukuran n × n dipenuhi sifat-sifat berikut:
(i) Matriks A merupakan matriks nilpoten jika dan hanya jika semua nilai eigen A bernilai nol.
(ii) Jika A matriks nilpoten maka A non-invertible.
(iii) Trace matriks nilpoten selalu bernilai nol, tr ( A ) = 0 .
Berdasarkan Lemma 1 dapat dikhususkan bentuk matriks nilpoten berukuran 2 × 2 sebagai berikut :
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Proposisi 1 [10] Untuk setiap A ∈ M 2 ( F ) , A nilpoten jika dan hanya jika
A = " x a b − x # ;
dengan a, b, x ∈ F, ab = − x 2 .
Selanjutnya diberikan definisi dan contoh graf nilpoten.
Definisi 2 [9] Diberikan suatu ring berhingga R dengan elemen identitas. Graf nilpoten R adalah suatu graf dengan himpunan titiknya adalah
Z N ( R ) ∗ = { x ∈ R − { 0 } | xy ∈ N ( R ) , untuk suatu y ∈ R − { 0 }} .
Dua titik yang berbeda x, y dikatakan bertetangga jika xy ∈ N ( R ) (atau secara ekuivalen yx ∈ N ( R ) ), yaitu himpunan nilpoten di R . Graf ini untuk selanjutnya dinotasikan dengan Γ N ( R ) .
Berikut diberikan contoh graf nilpoten pada ring M 2 ( Z 2 ) .
Contoh 1 Diberikan ring M 2 ( Z 2 ) dengan elemen-elemennya
M 2 ( Z 2 ) =                                                          M 1 = " 0 0 0 0 # , M 2 = " 1 0 0 0 # , M 3 = " 0 1 0 0 # , M 4 = " 0 0 0 1 # , M 5 = " 0 0 1 0 # , M 6 = " 1 1 0 0 # , M 7 = " 0 1 0 1 # , M 8 = " 0 0 1 1 # , M 9 = " 1 0 1 0 # , M 10 = " 1 1 0 1 # , M 11 = " 0 1 1 1 # , M 12 = " 1 0 1 1 # , M 13 = " 1 1 1 0 # , M 14 = " 1 1 1 1 # , M 15 = " 1 0 0 1 # , M 16 = " 0 1 1 0 # .                                                          .
Himpunan titik-titik pada graf Γ N ( M 2 ( Z 2 )) adalah :
Z N ( M 2 ( Z 2 )) ∗ = ( M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7 , M 8 , M 9 , M 10 , M 11 , M 12 , M 13 , M 14 , M 15 , M 16 )
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
dan elemen nilpoten pada M 2 ( Z 2 ) adalah
N ( M 2 ( Z 2 )) = (" 0 0 0 0 # , " 0 1 0 0 # , " 0 0 1 0 # , " 1 1 1 1 #) .
Graf Γ N ( M 2 ( Z 2 )) diberikan pada gambar berikut :
Gambar 1. Graf Γ N ( M 2 ( Z 2 ))
Berdasarkan graf Γ N ( M 2 ( Z 2 )) di atas, diameter graf Γ N ( M 2 ( Z 2 )) adalah 3 dan begitu juga dengan gr (Γ N ( M 2 ( Z 2 ))) = 3
Selanjutnya akan ditunjukkan jika F suatu lapangan dan n ≥ 3 , maka diam (Γ N ( M n ( F ))) = 2 . Serta akan ditunjukkan jika diberikan suatu lapangan F , maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 . Namun, terlebih dahulu diberikan definisi terkait keterhubungan pada graf nilpoten ring ma- triks.
Definisi 3 Diberikan ring matriks atas lapangan F , M n ( F ) . Graf nilpoten M n ( F ) , dino- tasikan Γ N ( M n ( F )) , adalah suatu graf dengan himpunan titiknya
Z N ( M n ( F )) ∗ = { X ∈ M n ( F ) − { 0 } |∃ Y ∈ M n ( F ) − { 0 } , XY ∈ N ( M n ( F )) } .
Dua titik yang berbeda X, Y dikatakan bertetangga jika dan hanya jika XY ∈ N ( M n ( F )) , atau secara ekuivalen, Y X ∈ N ( M n ( F )) , dengan N ( M n ( F )) merupakan himpunann nilpoten di M n ( F ) .
Proposisi 2 [9] Diberikan suatu lapangan F . Jika R = M n ( F ) , dan n ⩾ 2 , maka setiap elemen tak-nol di R merupakan suatu titik pada graf Γ N ( R ) . Selanjutnya jika A merupakan suatu matriks non-singular, maka A bertetangga dengan A − 1 E 1 n dan A ∈ V (Γ N ( R )) . Serta jika A merupakan suatu matriks singular, maka AY = 0 untuk suatu 0 ̸ = Y ∈ R . Oleh karena itu A ∈ V (Γ N ( R )) .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Bukti. Misalkan A ∈ R mempunyai invers, terdapat A − 1 ∈ R . Matriks dengan entri (1 , n ) adalah 1 dan entri yang lain 0 , dinotasikan E 1 n dengan bentuk,
E 1 n =       0 · · · 0 1 0 0 · · · 0 .. . .. . . .. ... 0 0 · · · 0       .
Dapat diperhatikan bahwa
A · A − 1 E 1 n = ( AA − 1 ) E 1 n = IE 1 n = E 1 n ∈ N ( R ) ,
berakibat A ∈ V (Γ N ( R )) . Sebaliknya, jika A merupakan matriks singular, misalkan AY = 0 , karena Y ∈ M n ( F ) sehingga dapat ditulis
A [ Y 1 | Y 2 | ... | Y n ] = 0 ,
dengan Y i merupakan vektor-vektor kolom untuk i = 1 , 2 , ..., n, n ≥ 2 . Lebih lanjut diperoleh
[ AY 1 | AY 2 | ... | AY n ] = [0 | 0 | ... | 0] .
Dari persamaan dua matriks di atas diperoleh sistem persamaan linear homogen
AY 1 = 0 AY 2 = 0
.. . AY n = 0 .
Telah diketahui bahwa suatu sistem persamaan linear homogen hanya mempunyai solusi triv- ial jika dan hanya jika matriks koefisiennya merupakan matriks invertible. Namun karena A merupakan matriks singular sehingga A tidak invertible , akibatnya terdapat solusi lain selain nol untuk sistem persamaan linear homogen di atas. Atau dengan kata lain terdapat 0 ̸ = Y i ∈ R untuk i = 1 , 2 , ..., n, n ≥ 2 .
Selanjutnya diberikan teorema tentang ukuran diameter graf nilpoten pada M n ( F ) dengan n ≥ 3 .
Teorema 1 [9] Jika F suatu lapangan dan n ≥ 3 maka diam (Γ N ( M n ( F ))) = 2 .
Bukti. Misalkan A, B ∈ M n ( F ) dan C = [0 | X ] , dengan X ∈ F n . Dapat dibentuk AC = [0 | AX ] dan BC = [0 | BX ] . Selanjutnya, misalkan W 1 = { X ∈ F n | A n X = 0 } dan W 2 = { X ∈ F n | B n X = 0 } , dengan A n dan B n merupakan baris-baris ke- n matriks A dan B , W 1 dan W 2 merupakan subruang dari F n .
Lebih lanjut akan ditunjukkan bahwa dim ( W i ) ≥ n − 1 , untuk i = 1 , 2 . Namun, dapat diketahui bahwa dim ( W 1 ) = nulitas ( A n ) dan dim ( W 2 ) = nulitas ( B n ) . Dengan masing- masing nulitas ( A n ) adalah dimensi ruang solusi persamaan linear homogen A n X = 0 dan

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
nulitas ( B n ) adalah dimensi ruang solusi persamaan linear homogen B n X = 0 . Berikut akan diberikan paparan untuk W 1 yang juga berlaku serupa untuk W 2 .
• Jika vektor baris A n = (0 , 0 , · · · , 0) , maka dapat diperhatikan ruang baris ( A n ) ,
Row ( A n ) = { k · A n | k ∈ F } , = { k · (0 , 0 , · · · , 0) | k ∈ F } , = { (0 , 0 , · · · , 0) } .
Diperoleh dim ( Row ( A n )) = 0 , atau dengan kata lain rank ( A n ) = 0 dan berakibat nulitas ( A n ) = n .
• Jika vektor baris A n = ( a n 1 , · · · , a nn ) , maka
Row ( A n ) = { k · A n | k ∈ F } , = { k · ( a n 1 , · · · , a nn ) | k ∈ F } .
Diperoleh dim ( Row ( A n )) = rank ( A n ) = 1 dan berakibat nulitas ( A n ) = n − 1 .
Dari kedua poin di atas, dapat disimpulkan bahwa dim ( W 1 ) ≥ n − 1 , dan paparan tersebut juga berlaku untuk menentukan dim ( W 2 ) , dengan kata lain dim ( W 2 ) ≥ n − 1 . Selanjutnya, karena n ≥ 3 , terdapat 0 ̸ = X 0 ∈ W 1 ∩ W 2 . Misalkan C = [0 | X 0 ] , jelas bahwa C bertetangga dengan A dan B . Sehingga diam (Γ N ( M n ( F ))) ≤ 2 . Sebaliknya, E nn dan I merupakan dua titik yang tidak bertetangga pada (Γ N ( M n ( F ))) . Oleh karena itu diperoleh diam (Γ N ( M n ( F ))) = 2 .
Teorema 2 [9] Jika F suatu lapangan, maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) ≤ 3 .
Bukti. Misalkan diberikan A, B ∈ M 2 ( F ) dan X merupakan suatu matriks nilpoten pada M 2 ( F ) . Terdapat beberapa kasus seperti di bawah ini :
1. Jika A dan B merupakan matriks-matriks non-singular , maka A ∼ XA − 1 ∼ B − 1 X ∼ B merupakan suatu lintasan ( path ).
2. Jika A adalah suatu matriks non-singular dan B adalah suatu matriks singular , maka BY = 0 untuk suatu 0 ̸ = Y . Kemudian jika Y X = 0 , maka A ∼ XA − 1 ∼ Y ∼ B adalah suatu lintasan. Sedangkan jika Y X ̸ = 0 , maka A ∼ XA − 1 ∼ Y X ∼ B juga suatu lintasan.
3. Diberikan A dan B merupakan matriks-matriks singular . Jika AB nilpoten, maka A ∼ B merupakan suatu lintasan. Sebaliknya, terdapat X, Y ̸ = 0 sedemikian sehingga AX = 0 dan Y B = 0 , sehingga A ∼ X ∼ Y ∼ B merupakan suatu lintasan, untuk XY = 0 dan juga A ∼ XY ∼ B merupakan suatu lintasan untuk XY ̸ = 0 .
Berdasarkan ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa diam (Γ N ( M 2 ( F ))) ≤ 3 .
Berikut diberikan sebuah akibat berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Akibat 1 Jika F suatu lapangan dan n bilangan bulat positif, maka pernyataan-pernyataan berikut berlaku :
1. jika n ≥ 3 , maka graf Γ N ( M n ( F )) terhubung, 2. jika n = 2 , maka graf Γ N ( M n ( F )) terhubung.
Bukti. Berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2, diketahui bahwa graf Γ N ( M n ( F )) dengan n ≥ 3 memiliki diam = 2 dan graf Γ N ( M n ( F )) dengan n = 2 memiliki diam = 3 . Artinya, masing-masing pada graf tersebut selalu dapat ditemukan sebuah lintasan antara dua sebarang titik berbeda u, v dengan u ̸ = v . Sehingga berdasarkan definisi diameter graf secara umum, maka masing-masing graf tersebut merupakan graf terhubung.
Lemma 2 [9] Jika F adalah suatu lapangan dan terdapat c ∈ F sedemikian sehingga c bukan suatu kuadrat, maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 .
Bukti. Misalkan c ∈ F sedemikian sehingga c ̸ = q 2 , ∀ q ∈ F dan A = " 0 1 c 0 # . Klaim bahwa d ( I, A ) = 3 . Andaikan X bertetangga dengan I dan A . Karena X nilpoten, berdasarkan Sifat 1 diperoleh X = " x y z − x # , untuk suatu x, y, z ∈ F .
Lebih lanjut, XA = " cy x
− cx z # juga nilpoten. Akibatnya diperoleh cy = − z dan cyz = − z 2 .
Karena det ( X ) = 0 , diperoleh x 2 = − yz . Hal tersebut berarti bahwa cx 2 = z 2 . Jika x = 0 , maka yz = 0 dan karena cy = − z , diperoleh X = 0 , hal ini kontradiksi. Untuk x ̸ = 0 diperoleh c = ( zx − 1 ) 2 , hal ini juga merupakan suatu kontradiksi. Berdasarkan Teorema 2, bukti lengkap.
Dari lema di atas, dapat diketahui bahwa jika F lapangan dan terdapat c ∈ F sedemikian sehingga c bukan kuadrat, maka untuk A, B ∈ M 2 ( F ) dapat dibentuk suatu lintasan dengan d ( A, B ) ≤ 3 .
Selanjutnya diberikan contoh terkait Teorema 2. Dalam contoh ini diberikan gambaran bagaimana dua matriks tidak bertetangga dihubungkan oleh suatu lintasan dengan panjang maksimal 3 .
Contoh 2 Berikut contoh pada lapangan bilangan rasional Q .
1. Diberikan A dan B matriks-matriks yang mempunyai invers, dan suatu matriks nilpoten
X ∈ M 2 ( Q ) secara berturut-turut :
A = " 2 3 3 2 # , B = " 1 5 0 0 1 # , X = " 2 − 8 1 2 − 2 # .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Lebih lanjut dapat diperhatikan bahwa
A XA − 1 = " 2 3 3 2 # " − 28 5 22 5 − 7 5 11 10 # = " − 77 5 121 10 − 98 5 77 5 # ∈ N ( M 2 ( Q )) , XA − 1 B − 1 X = " − 28 5 22 5 − 7 5 11 10 # " 10 − 40 1 10 − 2 # = " − 269 5 1076 5 − 269
20 269 5 # ∈ N ( M 2 ( Q )) , B − 1 X B = " 10 − 40 1 10 − 2 # " 1 5 0 0 1 # = " 2 − 40 1 10 − 2 # ∈ N ( M 2 ( Q )) .
Berdasarkan hasil di atas diperoleh perkalian masing-masing A ( XA − 1 ) , ( XA − 1 ) ( B − 1 X ) , dan ( B − 1 X ) B ∈ N ( M 2 ( Q )) . Sehingga A dan B yang tidak berte- tangga dihubungkan oleh lintasan dengan panjang 3 yaitu A ∼ XA − 1 ∼ B − 1 X ∼ B .
2. Diberikan A matriks yang mempunyai invers dan B matriks singular berikut :
A = " 2 3 3 2 # , B = " 1 1 2 2 # .
Terdapat Y ̸ = 0 , Y = " − 1 0 1 0 # sehingga BY = 0 .
Untuk X = " 2 − 8 1 2 − 2 # ∈ N ( M 2 ( Q )) , diperoleh
Y X = " − 1 0 1 0 # " 2 − 8 1 2 − 2 # = " − 2 8 2 − 8 # ̸ = 0 .
Karena Y X ̸ = 0 , diperoleh
A XA − 1 = " 2 3 3 2 # " − 28 5 22 5 − 7 5 11 10 # = " − 77 5 121 10 − 98 5 77 5 # ∈ N ( M 2 ( Q )) ,
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
XA − 1 Y X = " − 28 5 22 5 − 7 5 11 10 # " − 2 8 2 − 8 # = " 20 − 80 5 − 20 # ∈ N ( M 2 ( Q )) , Y X ( B ) = " − 2 8 2 − 8 # " 1 1 2 2 # = " 14 14 − 14 − 14 # ∈ N ( M 2 ( Q )) .
Dari hasil di atas disimpulkan bahwa A dan B yang tidak bertetangga dihubungkan oleh lintasan dengan panjang 3 yaitu A ∼ XA − 1 ∼ Y X ∼ B .
3. Diberikan A dan B merupakan matriks-matriks singular ,
A = " 1 − 4 0 0 # , B = " 1 1 2 2 # .
Diperhatikan bahwa
AB = " − 7 − 7 0 0 # / ∈ N ( M 2 ( Q )) .
Terdapat matriks tak nol X, Y ,
X = " 2 − 8 1 2 − 2 # , Y = " 0 0 2 − 1 # .
sedemikian sehingga AX = 0 dan Y B = 0 . Diperhatikan bahwa
XY = " 2 − 8 1 2 − 2 # " 0 0 2 − 1 # = " − 16 8 − 4 2 # ̸ = 0 .
Berdasarkan Teorema 2 diperoleh
A ( XY ) = " 1 − 4 0 0 # " − 16 8 − 4 2 # = " 0 0 0 0 # ∈ N ( M 2 ( Q )) ,
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
XY ( B ) = " − 16 8 − 4 2 # " 1 1 2 2 # = " 0 0 0 0 # ∈ N ( M 2 ( Q )) .
dengan kata lain A dan B yang tidak bertetangga dihubungkan oleh lintasan dengan panjang 2 yaitu A ∼ XY ∼ B .
Lemma 3 [9] Misalkan F suatu lapangan berhingga. | F | adalah suatu bilangan genap jika dan hanya jika setiap elemen F adalah kuadrat.
Bukti. ( ⇒ ) Misalkan | F | adalah suatu bilangan genap. Dibentuk f : F → F, f ( x ) = x 2 . Berdasarkan definisi karakteristik F , diperoleh char ( F ) = 2 . Lebih lanjut diperoleh
2 · 1 F = 1 F + 1 F = 0 ,
Akibatnya 1 F = − 1 F . Untuk sebarang lapangan F , persamaan x 2 = 1 hanya mempunyai solusi yaitu x = 1 F . Akan ditunjukkan f injektif. Diambil sebarang x, y ∈ F , diperoleh f ( x ) = x 2 dan f ( y ) = y 2 . Diperhatikan bahwa untuk
f ( x ) = f ( y ) ⇔ x 2 = y 2 x 2 y − 2 = y 2 y − 2 xy − 1 2 = 1 .
Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa ( xy − 1 ) 2 = 1 hanya mempunyai satu solusi yaitu xy − 1 = 1 ,
xy − 1 = 1 xy − 1 y = 1 y x = y,
dengan kata lain f injektif. Karena F berhingga, sehingga f surjetktif. Artinya untuk setiap y , terdapat x sehingga f ( x ) = y . Dilain pihak diketahui f ( x ) = x 2 , sehingga berlaku y = x 2 . Akibatnya setiap elemen F kuadrat.
( ⇐ ) Akan dibuktikan jika setiap elemen F kuadrat, maka | F | adalah suatu bilangan genap. Misal diberikan f : F ∗ → F ∗ , f ( x ) = x 2 . Diketahui setiap elemen F kuadrat, artinya untuk setiap y ∈ F terdapat x ∈ F sehingga y = x 2 . Dilain pihak, f ( x ) = x 2 , sehingga diperoleh f ( x ) = y . Dengan kata lain f surjektif. Lebih lanjut karena F berhingga, sehingga f injektif. Jika | F ∗ | genap, terdapat suatu a ∈ F ∗ sedemikian sehingga | a | = 2 . Akibatnya f ( a ) = a 2 = 1 , yang berarti a = 1 dan | a | = 1 , hal ini kontradiksi dengan asumsi | a | = 2 . Dengan kata lain diperoleh | F ∗ | ganjil dan | F | genap.
Akibat 2 [9] Jika F suatu lapangan berhingga dan | F | adalah suatu bilangan ganjil, maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 .
Bukti. Berdasarkan Lema 3 dapat diketahui bahwa | F | ganjil jika dan hanya jika terdapat c ∈

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022)
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
F sedemikian sehingga c bukan kuadrat. Kemudian berdasarkan Lemma 2, jika F lapangan dan terdapat c ∈ F sedemikian sehingga c bukan kuadrat, maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 . Sehingga benar bahwa jika | F | adalah suatu bilangan ganjil, maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa diam (Γ N ( M 2 ( Z 2 ))) = 3 ketika | F | genap. Namun sebelum itu, dibutuhkan beberapa lema sebagai berikut.
Lemma 4 [9] diam (Γ N ( M 2 ( Z 2 ))) = 3 .
Bukti. Misalkan A = " 0 1
1 0 # dan B = " 1 0 1 1 # . Jelas bahwwa AB bukan nilpoten. Kemu- dian klaim bahwa d ( A, B ) = 3 . Andaikan X = " x y z w # bertetangga dengan masing-masing A dan B .
Dengan kata lain AX, XA, BX, XB ∈ N il ( M 2 ( Z 2 )) . Sehingga matriks-matriks di bawah ini haruslah nilpoten dengan AX = C, XA = G, BX = D, XB = E :
C = " z w x y # , G = " y x w z # , D = " x y x + z y + w # B = " x + y y z + w w # .
Berdasarkan sifat pada matriks-matriks nilpoten tersebut, diperoleh xw = yz . Lebih lanjut jika x = 0 , maka y = z = 0 . Di lain pihak karena D nilpoten, berakibat w = 0 . Hal ini merupakan suatu kontradiksi. Selanjutnya misalkan x ̸ = 0 . Karena C nilpoten, diperoleh y = − z . Tetapi D nilpoten, yang berrarti D 2 = 0 dan x 2 + xy − y 2 = 0 untuk suatu 0 ̸ = x, y ∈ Z 2 . Hal ini suatu kontradiksi. Menurut Teorema 2, diperoleh diam (Γ N ( M 2 ( Z 2 ))) = 3 .
Lemma 5 [9] Jika F suatu lapangan dan char ( F ) = 2 , maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 .
Bukti. Jika | F | = 2 , maka berdasarkan Lema 4 terbukti. Kemudian misalkan | F | ≥ 4 . Misalkan dibentuk himpunan S = { α + α − 1 | α ∈ F ∗ } . Selanjutnya diasumsikan y ∈ F \ ( S ∪ { 0 , 1 } ) . Kemudian misalkan x = 1 + y , dan diberikan matriks A = " 1 1 1 x # dan
B = " x 1
1 1 # .
Klaim bahwa d ( A, B ) = 3 . Menggunakan kontradiksi, misalkan A bertetangga dengan B yang berarti d ( A, B ) = 1 , sehingga berakibat det ( AB ) = det ( A ) det ( B ) = 0 , dan diper- oleh (1 + x ) 2 = 0 serta y = 0 . Hal ini kontradiksi dengan keanggotaan y .
Oleh karena itu d ( A, B ) ≥ 2 . Misalkan terdapat X = " a b c d # yang bertetangga dengan A dan B .
Karena X bertetangga dengan A , tr ( AX ) = 0 dan diperoleh
a + c = b + dx.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Karena X juga bertetangga dengan B , berakibat tr ( BX ) = 0 , serta diperoleh
ax + c = b + d.
Berdasarkan dua persamaan di atas diperoleh a (1 + x ) = d (1 + x ) . Diperhatikan bahwa 1 + x = y ∈ F ∗ , sehingga diperoleh a = d dan berakibat X = " a b a + b + ax a # .
Selanjutnya diperhatikan bahwaa det ( AX ) = 0 dan det ( A ) ̸ = 0 , karenanya dapat disimpulkan bahwa det ( X ) = 0 . Oleh karena itu diperoleh
det( X ) = a 2 − ( b ( a + b + ax )) = 0 , a 2 − ab + b 2 + abx = 0 , a 2 − ab − b 2 − abx = 0 , a 2 − b 2 = ab + abx, a 2 + b 2 = ab (1 + x ) . (1)
Berdasarkan Persamaan 1 di atas, jika a = 0 maka b = 0 . Berakibat X = 0 , yang kontradiksi dengan asumsi bahwa X bertetangga dengan A dan B . Kemudian jika a ̸ = 0 , maka jelas b ̸ = 0 , berakibat
a 2 + b 2 = ab (1 + x ) , a 2 + b 2 = ab ( y ) , y = a 2 + b 2 a − 1 b − 1 , y = ab − 1 + ba − 1 ∈ S.
Hal ini merupakan kontradiksi dengan sifat keanggotaan y . Oleh karena itu disimpulkan bahwa benar d ( A, B ) = 3 . Berdasarkan Teorema 2 diperoleh diameter graf Γ N ( M 2 ( F )) adalah 3 .
Selanjutnya diberikan salah satu hasil utama dalam pembahasan ini.
Teorema 3 [9] Jika F suatu lapangan, maka diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 .
Bukti. Jika | F | ganjil, maka berdasarkan Akibat 2, diperoleh diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 . Se- baliknya jika char ( F ) = 2 , dan berdasarkan Lema 5 juga diperoleh diam (Γ N ( M 2 ( F ))) = 3 .
Selanjutnya diberikan sebuah sifat baru jika ring matriks yang digunakan adalah ring ma- triks diagonal.
Lemma 6 Jika M n d ( F ) merupakan ring matriks diagonal, maka himpunan titik Z N ( M n d ( F )) ∗ kosong.
Bukti. Andaikan himpunan titik Z N ( M n d ( F )) ∗ tidak kosong. Artinya, terdapat X ∈ Z N ( M n d ( F )) ∗ dan Y ∈ M n d ( F ) − { 0 } , sehingga XY ∈ N ( M n d ( F )) . Namun diketahui bahwa masing- masing X dan Y merupakan matriks diagoonal, dan hasil kali XY juga merupakan matriks diagonal. Diketahui bahwa matriks diagonal bukanlah elemen nilpoten. Hal ini kotradiksi, se- hingga disimpulkan bahwa benar himpunan titik Z N ( M n d ( F )) ∗ kosong.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Berdasarkan Lemma 6, dapat dikaji lebih khusus tentang ring matriks diagonal yang digu- nakan.
Teorema 4 Jika M n d ( R ) merupakan ring matriks diagonal atas ring komutatif R dengan entri diagonalnya adalah elemen nilpoten pada R dan n d ≥ 2 , maka diam ( M n d ( R )) = 1 .
Bukti. Diketahui R merupakan sebarang ring komutatif. M n d ( R ) merupakan ring matriks di- agonal atas R dengan entri diagonalnya adalah elemen nilpoten pada R . Diambil sebarang A, B ∈ M n d ( R ) . Akan ditunjukkan A, B merupakan elemen nilpoten pada M n d ( R ) . Diperhatikan bahwa A ∈ M n d ( R ) dengan
A =       a 11 0 · · · 0 0 a 22 . .. .. . .. . .. . · · · 0 0 · · · 0 a nn       , a ii ∈ N ( R ) , i = 1 , . . . , n.
Karena a ii ∈ N ( R ) sehingga terdapat k i ∈ Z + sehingga a ii k i = 0 . Dipilih m yang merupakan KPK dari k i . Sehingga diperoleh
A m = 0 , A ∈ N ( M n d ( R )) .
Hal tersebut juga berlaku untuk menunjukkan bahwa B ∈ N ( M n d ( R )) , sehingga untuk n ∈ Z + berlaku B n = 0 . Selanjutnya dipilih k = min { m, n } , sehingga berlaku
( AB ) k = A k B k = 0 .
Hal tersebut menunjukkan bahwa AB ∈ N ( M n d ( R )) . Berdasarkan definisi keterhubungan se- belumnya, maka disimpulkan bahwa A bertetangga dengan B dan diperoleh diam ( M n d ( R )) = 1 .
Selanjutnya, sebelum pada pembahasan berikutnya akan diberikan contoh struktur nilpoten graf atas ring yang isomorfis dengan hasil kali kartesian dua himpunan.
Contoh 3 Diberikan ring R ∼ = M 2 ( Z 2 ) × M 2 ( Z 2 ) . Misalkan diambil sebarang ( A, B ) ∈ M 2 ( Z 2 ) × M 2 ( Z 2 ) , dapat diperhatikan bahwa ( A, B ) dikatakan nilpoten pada M 2 ( Z 2 ) × M 2 ( Z 2 ) jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga
( A, B ) n = 0 ⇔ A n = 0 , B n = 0 .
Selanjutnya diambil sebarang ( A, B ) , ( C, D ) ∈ M 2 ( Z 2 ) × M 2 ( Z 2 ) , lebih lanjut ( A, B ) , ( C, D ) bertetangga jika
( A, B ) · ( C, D ) = ( AC, BD ) ∈ N ( M 2 ( Z 2 ) × M 2 ( Z 2 ))
atau terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga
( AC, BD ) n = 0 ⇔ ( AC ) n = 0 , ( BD ) n = 0 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Sebagai contoh diperhatikan kembali Contoh 1, diperhatikan bahwa ( M 7 , M 2 ) bertetangga den- gan ( M 8 , M 3 ) karena
( M 7 , M 2 ) · ( M 8 , M 3 ) = ( M 7 M 8 , M 2 M 3 ) = " 0 1 0 1 # " 0 0 1 1 # , " 1 0 0 0 # " 0 1 0 0 #! = " 1 1 1 1 # , " 0 1 0 0 #! ,
dan " 1 1 1 1 # , " 0 1 0 0 #! ∈ N ( M 2 ( Z 2 ) × M 2 ( Z 2 )) untuk suatu n = 10 .
Contoh di atas merupakan gambaran untuk pembahasan pada lema berikut.
Lemma 7 [9] Jika R ∼ = k Q i =1 M n i ( F i ) , F 1 , . . . , F k adalah lapangan - lapangan berhingga, dan n i ≥ 3 dengan i , 1 ≤ i ≤ k , maka diam (Γ N ( R )) = 2 .
Bukti. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan n 1 ≥ 3 . Misalkan x = ( x 1 , . . . , x k ) , y = ( y 1 , . . . , y k ) ∈ R . Jika x 1 = y 1 = 0 , maka terbentuk lintasan x ∼ (1 , 0 , . . . , 0) ∼ y . Kemudian sebaliknya jika x 1 ̸ = 0 , y 1 ̸ = 0 , maka berdasarkan Teorema 1, terdapat 0 ̸ = α 1 ∈ M n i ( F i ) sedemikian sehingga
x 1 α 1 , y 1 α 1 ∈ N il ( M n 1 ( F 1 )) .
Sehingga x ( α 1 , 0 , . . . , 0) , y ( α 1 , 0 , . . . , 0) ∈ N il ( R ) , yang mengakibatkan d ( x, y ) ≤ 2 . Selan- jutnya jika d ( x 1 , y 1 ) = 2 dan x i = y i = 0 , untuk i ̸ = 1 , maka d ( x, y ) = 2 , dengan kata lain terbukti diam (Γ N ( R )) = 2 .
Lemma 8 [9] Jika R ∼ = k Q i =1 M n i ( F i ) , F 1 , . . . , F k adalah lapangan - lapangan berhingga, dan n i ≤ 2 untuk i = 1 , ..., k , dan n j = 2 dengan j , 1 ≤ j ≤ k maka diam (Γ N ( R )) = 3 .
Bukti. Akan dibuktikan dengan membagi dua kasus.
1. Kasus pertama jika k = 1 , maka berdasarkan Teorema 3, diperoleh diam (Γ N ( R )) = 3 ,
2. Kasus kedua, diasumsikan k ≥ 2 . Pertama klaim bahwa diam (Γ N ( R )) ≤ 3 . Selan- jutnya misalkan x = ( x 1 , . . . , x k ) , y = ( y 1 , . . . , y k ) ∈ V (Γ N ( R )) . Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan n 1 = 2 . Jika x 1 = y 1 = 0 , maka x dan y bertetangga den- gan (1 , 0 , . . . , 0) . Jika x 1 , y 1 ̸ = 0 , maka berdasarkan Proposisi 2 dan Teorema 3, diper- oleh d ( x 1 , y 1 ) ≤ 3 , dan juga d ( x, y ) ≤ 3 . Jika x 1 = 0 dan y 1 ̸ = 0 , maka diperoleh y 1 a 1 ∈ N ( M 2 ( F 1 )) , untuk suatu 0 ̸ = a 1 ∈ ( M 2 ( F 1 )) . Dengan kata lain, x dan y berte- tangga dengan ( a 1 , 0 , . . . , 0) dan klaim terbukti bahwa diam (Γ N ( R )) ≤ 3 . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa diam (Γ N ( R )) = 3 . Jika n 1 = 1 , maka misalkan 0 ̸ = x i , y i ∈ ( M n i ( F i )) sehingga d ( x i , y i ) = 3 . Jika n i = 2 , maka terdapat x i , y i ∈
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
( M n i ( F i )) sedemikan sehingga d ( x i , y i ) = 3 . Kemudian misalkan x = ( x 1 , . . . , x k ) , y = ( y 1 , . . . , y k ) , mudah diketahui bahwa d ( x, y ) = 3 .
Berdasarkan Lema 8 diperoleh diameter graf Γ N ( M 2 ( F ) × M 2 ( F )) adalah 3 . Diketahui pula sebelumnya bahwa pada Teorema 3 diameter graf Γ N ( M 2 ( F )) adalah 3 . Dapat diamati bahwa elemen nilpoten pada M 2 ( F ) berpengaruh pada penentuan elemen nilpoten ( M 2 ( F ) × M 2 ( F ) ). Sehingga jarak sebarang dua titik u, v di Γ N ( M 2 ( F )) juga berpengaruh pada jarak sebarang dua titik u, v di Γ N ( M 2 ( F ) × M 2 ( F )) . Dengan kata lain diameter graf Γ N ( M 2 ( F )) berpengaruh terhadap diameter graf Γ N ( M 2 ( F ) × M 2 ( F )) .
Begitu pula terdapat hubungan antara diam (Γ N ( M n ( F ))) untuk n ≥ 3 dan diam (Γ N ( R )) dengan R ∼ = k Q i =1 M n i ( F i ) untuk n i ≥ 3 . Diperhatikan bahwa berdasarkan Teorema 1 dan Lema 7 diperoleh diameter masing-masing graf tersebut adalah 2 .
Setelah diberikan beberapa karakterisasi diameter graf nilpoten , berikut dipaparkan be- berapa karakterisasi girth graf nilpoten ring matriks.
Lemma 9 [9] Jika R ∼ = k Q i =1 M n i ( F i ) , F 1 , . . . , F k adalah lapangan - lapangan berhingga, n 1 , . . . , n k adalah bilangan-bilangan bulat positif dan k ≥ 3 , maka gr (Γ N ( R )) = 3 .
Bukti. Misalkan e i merupakan vektor 1 × n dengan komponen ke − i adalah I dan komponen lainnya adalah 0 . Karena k ≥ 3 , sehingga dapat dibentuk 3 − sikel pada (Γ N ( R )) yaitu e 1 ∼ e 2 ∼ e 3 ∼ e 1 . Diperhatikan bahwa :
• e 1 e 2 = ( I, 0 , . . . , 0) (0 , I, . . . , 0) = (0 , 0 , . . . , 0) ∈ N (Γ N ( R )) ,
• e 2 e 3 = (0 , I, . . . , 0) (0 , 0 , I, . . . , 0) = (0 , 0 , . . . , 0) ∈ N (Γ N ( R )) ,
• e 3 e 1 = (0 , 0 , I, . . . , 0) ( I, 0 , . . . , 0) = (0 , 0 , . . . , 0) ∈ N (Γ N ( R )) .
Hal tersebut mengakibatkan gr (Γ N ( R )) = 3 .
Diperhatikan bahwa jika F suatu lapangan, maka (Γ N ( F )) kosong. Sehingga pada lema selanjutnya, diberikan karakterisasi gr (Γ N ( M n ( F ))) , dengan n ≥ 2 .
Lemma 10 [9] Jika F suatu lapangan dan n ≥ 2 , maka gr (Γ N ( M n ( F ))) = 3 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
Bukti. Dapat ditemukan 3 − sikel yaitu E 1 n ∼ E nn ∼ n P i =1 E 1 i ∼ E 1 n . Diperhatikan bahwa
E 1 n E nn =       0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0             0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 1       =       0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       ∈ N (Γ N ( M n ( F ))) .
E nn n X i =1 E 1 i =       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 1                   1 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0             =       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 1             1 1 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       =       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       ∈ N (Γ N ( M n ( F ))) .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
n X i =1 E 1 i E 1 n =             1 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0                   0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       =       1 1 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0             0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       =       0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 .. . .. . .. . .. . 0 0 · · · 0       ∈ N (Γ N ( M n ( F )))
Dengan kata lain terbukti gr (Γ N ( M n ( F ))) = 3 .
Selanjutnya diberikan beberapa karakterisasi girth graf nilpoten atas ring R yang isomorfis dengan kartesian dua himpunan.
Lemma 11 [9] Misalkan R ∼ = M n 1 ( F 1 ) × M n 2 ( F 2 ) , setiap F i adalah lapangan dan | F i | ≥ 3 untuk suatu i . Jika n 1 , n 2 ≥ 2 , maka gr (Γ N ( R )) = 3 .
Bukti. Misalkan e i merupakan vektor 1 × n dengan komponen ke − i adalah I dan kompo- nen lainnya adalah 0 . Pertama misalkan | F 1 | ≥ 3 . Untuk suatu a ∈ F 1 ∗ dapat dibentuk sikel e 1 ∼ ( aE 1 n 1 , 0) ∼ e 2 ∼ e 1 . Oleh karena itu diperoleh gr (Γ N ( R )) = 3 . Bukti tersebut juga digunakan untuk | F 2 | ≥ 3
Lemma 12 [9] Jika F 1 , F 2 lapangan dan n ≥ 2 , maka gr (Γ N ( F 1 × M n ( F 2 ))) = 3
Bukti. Berdasarkan bukti Lema 10, dapat ditemukan sikel E 1 n ∼ E nn ∼ n P i =1 E 1 i ∼ E 1 n pada Γ N ( M n ( F 2 )) . Sehingga juga dapat ditemukan sikel (0 , E 1 n ) ∼ (0 , E nn ) ∼ 0 , n P i =1 E 1 i ∼ (0 , E 1 n ) pada Γ N ( F 1 × M n ( F 2 )) .
Lemma 13 [9] Girth graf Γ N ( M n 1 ( Z 2 ) × M n 2 ( Z 2 )) adalah 3 atau ∞ .
Bukti. Misalkan e i merupakan vektor 1 × n dengan komponen ke − i adalah I dan komponen lainnya adalah 0 . Jika n 1 ≥ 2 , maka dapat dibentuk sikel e 1 ∼ e 2 ∼ ( E 1 n 1 , 0) ∼ e 1 , yang men- gakibatkan gr (Γ N ( R )) = 3 . Hal tersebut juga berlaku untuk bukti ketika n 2 ≥ 2 . Sebaliknya jika n 1 = n 2 = 1 , maka Γ N ( R ) = K 2 , yang artinya graf tersebut tidak memuat sikel. Sehingga diperoleh gr (Γ N ( R )) = ∞ .
Dapat diamati pada Lema 10 dan Lema 11 terdapat hubungan bahwa untuk n ≥ 2 girth graf Γ N ( M n ( F )) dan graf Γ N ( M n ( F ) × M n ( F )) adalah 3 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576

## III. KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN
Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa :
1. Untuk n ≥ 3 , diameter graf (Γ N ( M n ( F ))) adalah 2. Dengan kata lain untuk sebarang A, B ∈ M n ( F ) , jika A tidak bertetangga dengan B atau hasil kali AB bukan nilpoten, maka dapat ditemukan titik lain X ∈ M n ( F ) sehingga AX dan BX keduanya meru- pakan elemen nilpoten ring M n ( F ) dan membentuk lintasan A ∼ X ∼ B .
2. Untuk n = 2 , diameter graf (Γ N ( M n ( F ))) adalah 3. Dengan kata lain untuk sebarang A, B ∈ M n ( F ) , jika A tidak bertetangga dengan B atau hasil kali AB bukan nilpoten, maka dapat ditemukan titik lain X, Y ∈ M n ( F ) sehingga AX , XY , dan Y B masing- masing merupakan elemen nilpoten ring M n ( F ) dan membentuk lintasan A ∼ X ∼ Y ∼ B .
Selanjutnya, jika F suatu lapangan dan n ≥ 2 , maka gr (Γ N ( M n ( F ))) = 3 . Artinya untuk sebarang A ∈ M n ( F ) , terdapat X, Y ∈ M n ( F ) sehingga AX, XY, Y A masing- masing merupakan elemen nilpoten ring M n ( F ) dan membentuk sikel A ∼ X ∼ Y ∼ A .
3. Jika R ∼ = k Q i =1 M n i ( F i ) , F 1 , . . . , F k adalah lapangan - lapangan berhingga, n 1 , . . . , n k , k adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka pernyataan-pernyataan berikut terpenuhi :
(i) jika n i ≥ 3 untuk suatu i , 1 ≤ i ≤ k , maka diam (Γ N ( R )) = 2 ,
(ii) jika n i ≤ 2 untuk i = 1 , ..., k , dan n j = 2 untuk suatu j , 1 ≤ j ≤ k maka diam (Γ N ( R )) = 3 .
Penelitian ini masih berfokus pada graf nilpoten atas lapangan. Diharapkan untuk pengem- bangan penelitian ini, dapat dikaji lebih lanjut tentang graf nilpoten atas ring berhingga secara umum.

## REFERENSI
[1] Akbari, S., Mohammadian, A, ”On Zero-Divisor Graph of Finite Rings”, Journal of Al- gebra , vol. 13, pp. 168-184, 2007.
[2] Akbari, S., Mohammadian, A, ”Zero-Divisor Graphs of Non-Commutative Rings”, Jour- nal of Algebra , vol. 296, pp. 462-479, 2006.
[3] Anderson, D. F., Badawi, A, ”The Total Graph of A Commutative Ring”, Journal of Algebra , 3vol. 20, pp. 2706-2710, 2008.
[4] Anderson, D. F., Livingston, P, ”The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring”, Jour- nal of Algebra , vol. 217, pp. 434-447, 1999.
[5] Beck, I, ”Coloring of Commutative Rings”, Journal of Algebra , vol. 116, pp. 208-226, 1988.
[6] Biswas, D, ”Realm of Matrices : Exponential and Logarithm Functions”, vol. 20, no. 2, pp. 136-150, 2015.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576
[7] Li, A.-H., Li, Q.-S, ”A Kind of graph Structure on Non-reduced Rings”, Algebra Collo- quium , vol. 17, no. 1, pp. 173-180.
[8] Li, A.-H., Li, Q.-S, ”A Kind of Graph Structure on Von-Neumann Regular Rings”, Inter- national Journal of Algebra , vol. 4, pp. 291-302, 2010.
[9] Nikmehr, M. J., Khojasteh, S. ”On The Nilpotent Graph of a Ring”, Turkish Journal of Mathematics , vol. 37, pp. 553-559, 2013.
[10] Un, K.J, All Nilpotent 2 × 2 Matrices, retrieved March 22 from Stack Exchange : https://math.stackexchange.com/questions/1200829/allnilpotent-2-times-2-matrices.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15576