Vol. 4, No.2, 104-116,  Januari  2008
Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Persamaan Black-Scholes
Khaeruddin 1 dan Jusmawati Massalesse *

## Abstrak
Rumus opsi saham Black-Scholes  merupakan terobosan dalam penentuan nilai suatu  wahana keuangan  derivatif  opsi  saham.  Namun  demikian,  rumus  ini  didasari  beberapa  asumsi  yang dalam  praktiknya  tidak  realistis.  Pengembangan  asumsi  tersebut  diperlukan  agar  model penilaian harga opsi saham lebih realistis. Tulisan ini membahas solusi persamaan diferensial parsial  Black-Scholes  terhadap  opsi  Eropa  pada  saham  yang  berfokus  pada  solusi  analitis. Relaksasi  asumsi  yang  dibahas  merupakan  asumsi  tanpa  dividen,  suku  bunga  konstan, volatilitas tetap, dan waktu yang kontinu.
Kata Kunci : European  call,  model  harga  saham,  opsi,  persamaan  diferensial parsial Black-Scholes.

## 1. Pendahuluan
Keuangan  merupakan  suatu  bidang  yang  memiliki  area  perkembangan  dan  perubahan tercepat dalam dunia perusahaan. Karena perubahan cepat inilah, instrumen-instrumen keuangan modern menjadi sangat kompleks dan salah satunya adalah opsi. Opsi adalah instrumen derivatif aset  keuangan  yang  masih  relatif  baru  meskipun  aktivitas  perdagangannya  telah  meluas  secara cepat  sejak  adanya  pengenalan  kontrak  tercatat  di  bursa,  seperti  di Chicago  Board  Options Exchange atau CBOE ([6]).
Pada  tahun  1973,  CBOE  menjadi  bursa  terorganisasi  pertama  di  dunia  yang memperdagangkan Kontrak Opsi. Opsi yang diperdagangkan saat itu hanyalah opsi pada saham ( stock  option ).  Sejak  itu,  pasar  opsi  terus  mengalami  pertumbuhan  pesat.  Saat  ini,  opsi  yang diperdagangkan tidak hanya terbatas pada opsi saham tetapi juga opsi indeks saham ( stock indeks option ),  opsi  komoditas  ( commodity  options ),  dan  lain-lain.  Selain  menambah  volatilitas  bursa saham,  perdagangan  opsi  juga  sangat  berguna  bagi  perusahaan  maupun  individu  untuk mengurangi  resiko  keuangan.  Selanjutnya  dengan  adanya  opsi,  perusahaan/individu  juga  bisa mengurangi  volatilitas  pasar  sehingga  banyak  proyek  yang  tadinya  tidak  layak  menjadi  layak (Sinar  Harapan,  2004).  Model-model  matematika  baru  banyak  dikembangkan  dan  digunakan  di dalam masalah-masalah yang berhubungan dengan instrumen keuangan ini, dan dunia perusahaan dan  keuangan  yang  dahulu  dijalankan  oleh  kalangan  bisnis,  sekarang  diawasi  oleh  orang-orang matematika dan ahli-ahli komputer (Coelen, 2002).
Black  dan  Scholes  (1973)  menciptakan  karya  yang  berjudul The  Pricing  of    Options and Corporate , yang dianggap sebagai terobosan dalam penaksiran opsi khususnya, dan derivatif lain  umumnya.  Karangan  itu  bersama  dengan  karangan  Merton  (1973)  difokuskan  pada  prinsip dasar  model  untuk  menentukan  harga  opsi,  yang  menjadikan  pengarang   Myron  S.  Scholes  dan Robert  C.  Merton  menerima  hadiah  Nobel  dalam  ilmu  Ekonomi  tahun  1997,  dan  Fisher  Black menerima  penghargaan  (Coelen,  2002).  Model  opsi  Eropa  yang  diusulkan  dalam  karangan  itu dikenal  sebagai  formula  Black-Scholes,  yang  selanjutnya  akan  disingkat  dengan  BS
1 Staf pengajar  pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin  Makassar
Email: khaeruddin@gmail.com , jusmawati@gmail.com

## Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
(Andriansyah,  2004).  Formula  Black-Scholes  menunjukkan  pentingnya  ilmu  matematika  dalam bidang  keuangan.  Selain  itu,  formula  ini  juga  membantu  perkembangan  dan  kesuksesan  bidang baru dalam matematika keuangan dan ilmu teknik (Coelen, 2002).
Formula BS merupakan solusi analitik dari Persamaan Diferensial Parsial (PDP) BS :
rV S V S S V rS t V          2 2 2 2 2 1 
dimana V adalah  harga  dari  suatu  derivatif  pada  aset  dasar S .  PDP  ini  dapat  diselesaikan dengan banyak metode, namun secara umum diselesaikan melalui 3 metode yaitu (1) Pendekatan analitik,  (2)  Prosedur  numerik,  dan  (3)  Solusi  analitik.  Pendekatan  analitik  biasanya  digunakan dalam menaksir opsi Amerika karena syarat-syarat batasnya lebih kompleks daripada opsi Eropa, sehingga dengan opsi Amerika akan sulit untuk menemukan formula analitik secara eksak. Yang paling  terkenal  yaitu  prosedur  numerik  dan  contoh  penting  dari  prosedur  ini  yaitu  metode binomial  (Cox et  al .,  1979),  yang  memerlukan  asumsi-asumsi  yang  tidak  spesifik.  Sementara solusi analitik akan menghasilkan formula eksak yang sesuai dengan formula BS (Andriansyah, 2004).  Perluasan  model  opsi  Amerika  juga  mempunyai  daya  tarik  kuat.  Meskipun  demikian, penaksiran  tipe  Amerika  itu  dianggap  lebih  sulit  daripada  tipe  Eropa.  Pemilik  opsi  gaya  Eropa bisa  menggunakan  haknya  satu  kali  hanya  pada  saat  opsi  jatuh  tempo  ( expiration  date ). Sementara  opsi  gaya  Amerika  bisa  menggunakan  haknya  kapan  saja  di  dalam  masa  berlakunya kontrak opsi. Hal ini yang menyebabkan opsi Amerika sulit untuk menemukan syarat-syarat batas dan nilai optimal.

## 2.  Landasan Teori

## Integral Ito
Pada  bagian  ini  akan  diperkenalkan  integral  stokastik  mengenai  gerakan  Brownian. Integral  stokastik  ini  secara  umum  disebut  integral  Ito.  Untuk  memperoleh    formula  Black- Scholes, maka perlu untuk mengetahui definisi integral stokastik yaitu
 T t dB t X 0 ). ( ) (
Coelen  (2002)  menyatakan  bahwa  integral  Ito  dari  proses  sederhana  merupakan variabel acak dengan empat sifat berikut :
1. Bersifat linear, artinya jika ) ( t X dan ) ( t Y adalah proses sederhana, dan  dan  adalah konstan maka
      T T T t B d t Y t B d t X t B d t Y t X 0 0 0 )). ( ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( (     2. Integral  dari  fungsi  indikator  pada  interval 1 ) ( ] , [  t I b a ,  ketika ] , [ b a t  dan  0  lainnya adalah ) ( ) ( a B b B  , T b a    0 ,
   T b a a B b B t B d t I 0 ] , [ ). ( ) ( )) ( ( ) (
3.  Meannya nol :   T t dB t X E 0 . 0 ) ( ) (
4.  Bersifat Isometri :
         T T dt t X E t B d t X E 0 2 2 0 . )) ( ( )) ( ( ) (
Berdasarkan sifatnya, gerakan Brownian mempunyai variasi kuadrat pada ] , 0 [ t , yang sama dengan t t  , . Ini juga dapat dinyatakan sebagai berikut
    t t t ds s dB 0 0 2 )) ( ( atau dalam notasi differensial
. )) ( ( 2 dt t dB 
Dengan  menggunakan  sifat  ini,  dan  mengaplikasikan  formula  Taylor,  formula  Ito menyatakan bahwa jika ) ( x f adalah fungsi yang terdiferensial 2 kali, maka t  berlaku
     t t ds s B f s dB s B f f t B f 0 0 '' ' . )) ( ( 2 1 ) ( )) ( ( ) 0 ( )) ( (
dan dalam notasi diferensial menjadi
. )) ( ( 2 1 ) ( )) ( ( )) ( ( ( '' ' dt t B f t dB t B f t B f d  
Selanjutnya didefinisikan proses Ito. Misalkan ) ( t Y adalah proses integral
  t s dB s X t Y 0 ). ( ) ( ) (
Proses Ito adalah integral Ito plus yang diadaptasi dari proses kontinu variasi berhingga. Proses Y disebut Ito jika untuk setiap T t   0 , Y dapat dinyatakan sebagai
     t t s dB s ds s Y t Y 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (   . (1)
Secara umum, jika Y adalah proses Ito maka Y mempunyai  diferensial stokastik pada ] , 0 [ T sebagai berikut
) ( ) ( ) ( ) ( t dB t dt t t dY     (2)
untuk T t   0 . Fungsi  sering disebut koofisien drift dan fungsi  disebut koofisien difusi. Jika ) , ( t x f terdiferensial dua kali secara kontinu di x , dan terdiferensial secara kontinu
di t , dan ) ( t X dinyatakan sebagai proses Ito, maka
Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
dt t t X x f t X dt t t X t f t dX t t X x f t t x df ) ), ( ( )) ( ( 2 1 ) ), ( ( ) ( ) ), ( ( ) ), ( ( 2 2 2 2          
(3)
Persamaan  (3)  merupakan  formula  Ito’s  dan  merupakan  kasus  yang  akan  digunakan  untuk menghitung persamaan diferensial parsial Black-Scholes di bagian pembahasan (Coelen, 2002).

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1  Penurunan Persamaan Diferensial Parsial Black-Scholes
Dalam sub bab ini, akan ditentukan harga dari suatu derivatif , ) , ( t S V . Model untuk suatu saham diperoleh dari suatu proses Ito yang didefinisikan dalam persamaan (2).  Maka dari itu,  misalkan  fungsi ) , ( t S V terdiferensial  dua  kali  di S dan  terdiferensial  di t .  Dengan menggunakan persamaan (3), diperoleh
dS dS S V dt t V dS S V t S dV 2 2 2 1 ) , (          .
Berdasarkan sifat variasi kuadrat,
dt S S V dt t V dS S V t S dV 2 2 2 2 2 1 ) , (           . (4)
Dengan  mensubstitusikan  model  harga  saham
dB S dt S dS 
   ke  persamaan  (4), diperoleh:
dt S S V t V S V S S V SdB t S dV      
            2 2 2 2 2 1 ) , (    . (5)
Sekarang pertimbangkan nilai dari suatu portofolio yang dibangun dengan long satu opsi, V dan short sejumlah S V   saham. Long disini  berarti  membeli  saham,  sedangkan short berarti meminjam  saham  yang  bebas  resiko  dari  suatu  perusahaan  dan  menjual  kembali  saham  yang dipinjam  tersebut  dengan  harga  yang  beredar  di  pasar. Long dan short merupakan  bentuk hedging . Nilai dari portofolio ini yang disimbolkan dengan  yaitu
S S V V      . (6)
Perubahan  nilai  dari  portofolio  yang  disimbolkan  dengan  d dalam  interval  waktu  yang  tidak lama dt adalah
dS S V dV d      . (7)
Substitusikan model harga saham dan (4) ke dalam persamaan (7) untuk dV dan dS , sehingga diperoleh
Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
) ( 2 1 2 2 2 2 SdB Sdt S V dt S S V t V S V S S V SdB d                             dt S S V t V      
      2 2 2 2 2 1  . (8)
Perlu  dicatat  dalam  hal ini  bahwa  portofolio  sama  sekali risk less (tidak  beresiko),  karena tidak memuat suku acak gerakan Brownian. Karena portofolio ini tidak memuat resiko, portofolio yang diperoleh  harus  sama  dengan  sekuriti  bebas  resiko  lainnya.  Jika  diperoleh  lebih  dari  ini  maka arbitrageurs (orang-orang  yang  melakukan  arbitrasi) dapat  membuat  suatu  keuntungan  dengan melakukan shorting .  Keuntungan shorting yang  diperoleh  ini  digunakan  untuk  membeli portofolio tersebut. Jika portofolio diperoleh ternyata kurang, maka arbitrageurs dapat membuat suatu risk  less menjadi  keuntungan  dengan shorting portofolio,  dan  membeli  sekuriti risk-free (bebas resiko). Berikut suatu portofolio risk less
dt r d    (9)
dimana r adalah  suku  bunga  bebas  resiko.  Substitusi  d dan  dari  persamaan  (6)  dan  (8) sehingga menghasilkan persamaan differensial parsial Black-Scholes
rV S V S S V rS t V          2 2 2 2 2 1  (10)

## 3.2 European Call Option
Syarat  batas  diperlukan  dalam  penyelesaian  persamaan  Black-Scholes.  Dalam  tulisan ini,  syarat  batas  akan  dihubungkan  dengan  harga  dari European  Call  Option ) , ( t S C , dengan harga kesepakatan ( exercise price ) E , dan tanggal jatuh tempo ( expiration date ) T . Kondisi akhir pada T t  dapat diperoleh dari definisi call option (opsi beli). Jika pada tanggal  jatuh  tempo E S  , maka  opsi  beli  akan  bernilai E S  .  Dalam  keadaan  seperti  ini, pembeli opsi akan menggunakan haknya untuk membeli saham sebesar E kemudian kalau mau, pembeli  opsi  bisa  segera  menjualnya  dengan  harga S sehingga  pembeli  opsi  untung  sebesar E S  .  Jika  pada  tanggal  jatuh  tempo E S  ,  maka  pembeli  opsi  tidak  perlu exercise  call option- nya.  Karena  pembeli  dapat  membeli  saham  yang  lebih  murah  dari E di  pasar.  Dalam kasus  ini,  pembeli  opsi  membiarkan  kontrak call  option berakhir  tanpa  digunakan  sehingga pembeli opsi cuma rugi sebesar harga yang dibayarkan untuk beli kontrak itu (harga ini disebut premi dari  opsi).  Pada  waktu T t  ,  nilai  atau  harga  opsi  yang  dikenal  dengan pay  off (keuntungan) adalah
). 0 , max( ) , ( E S T S C   (11)
Ini kondisi akhir untuk PDP BS bentuk European Call sekaligus sebagai syarat awal.
Untuk menentukan syarat batas, akan dipertimbangkan terlebih dahulu nilai C ketika 0  S dan   S .  Jika 0  S ,  maka  dari  model  harga  saham  diperoleh 0  dS .  Ini  berarti bahwa S tidak pernah berubah. Jika pada tanggal jatuh tempo 0  S , maka dari persamaan (11) payoff harus 0. Maka dari itu, ketika 0  S , diperoleh
0 ) , 0 (  T C .

## Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
Sekarang  ketika   S ,  maka  semakin  mungkin  opsi  akan  di- exercise dan pay  off akan menjadi sebesar E S  . Harga kesepakatan menjadi sangat kurang di   S , sehingga harga opsi ekuivalen dengan
S T S C  ) , ( di   S

## 3.3 Solusi Persamaan Black-Scholes untuk European Call
Untuk  menyelesaikan  persamaan  Black-Scholes,  perlu  dilakukan  transformasi persamaan  ke  dalam  persamaan  yang  akan  dikerjakan.  Langkah  pertama  yaitu  menghilangkan suku S dan 2 S dalam persamaan diferensial Black-Scholes
rV S V S S V rS t V          2 2 2 2 2 1  . (12)
Untuk melakukan ini, misalkan perubahan dari variabel-variabelnya menjadi
x Ee S  (13)
2 2 1     T t (14)
) , (  x Ev V  . (15)
Dengan  menggunakan  aturan  rantai  dari  kalkulus  untuk  mentransformasi  turunan  parsial  ke dalam fungsi dua variabel, maka
S V S x x V S V      
        (16)
. t V t x x V t V               (17)
Berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15), maka dapat ditunjukkan bahwa
2 2 1       t 0    t x S S x 1    0    S  .
Selanjutnya  substitusi  persamaan  di  atas  ke  dalam  persamaan  (16)  dan  persamaan  (17),  dan dihasilkan
x v S E S V     
(18)
        v E t V 2 2 1
(19)
2 2 2 2 2 2 x v S E x v S E S V          (20)
Setelah itu, substitusi persamaan (18), (19), dan persamaan (20) ke dalam persamaan diferensial parsial Black-Scholes, diperoleh
Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
kv x v k x v v           ) 1 ( 2 2 
(21)
dimana
2 2 1  r k 
Syarat awal ) 0 , max( ) , ( E S T S C   ditransformasi ke dalam
) 0 , 1 ( max ) 0 , (   x e x v . (22)
Misalkan terdapat variabel lain
) , (    x u e v x  
maka dengan turunan sederhana diperoleh
               u e u e v x x x u e u e x v x x              2 2 2 2 x u e x u e x u e u e x v x x x x                                 
Selanjutnya substitusi parsial di atas ke dalam persamaan (21), diperoleh
                              
                                        ku x u u k x u x u u e u u e u ke x u e k u e k x u e x u e x u e u e u e u e x x x x x x x x x x x                                  ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 ku x u u k x u x u u u u                         
        ) 1 ( 2 2 2 2 .
Dengan menghilangkan suku u dan suku x u   , dan dengan memilih nilai  dan  sedemikian sehingga diperoleh
k k        ) 1 ( 2 dan 0 1 2    k  .
Susun kembali persamaan-persamaan di atas sehingga dapat ditulis
) 1 ( 2 1    k 
dan 2 4 1 ) 1 (    k  .

## Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
Transformasi dari v untuk u yaitu
) , ( 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 (   x u e v k x k      (23)
yang menghasilkan persamaan difusi sederhana
2 2 dx u d d du   untuk 0 ,        x (24)
Bukti :
Berdasarkan persamaan ) 0 , 1 ( max ) , (   x e x v  , dapat disimpulkan bahwa nilai yang mungkin dari ) , (  x v adalah 1  x e dan  0.  Maka  untuk  membuktikan  persamaan  (23)  menghasilkan persamaan difusi, akan digunakan kedua nilai dari ) , (  x v tersebut. 1) Untuk 1 ) , (   x e x v  ,  maka dari persamaan (21) diperoleh k v     .
Persamaan (23) dapat dituliskan sebagai
) , ( ) , ( 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 (    x v e x u k x k     .
Berdasarkan persamaan di atas dapat ditunjukkan bahwa
    2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 1              k x k k x k e k v e v u
(25)
  2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1              k x k k x k e k v e x v x u    2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 ) 1 ( 4 1 ) 1 (                     k x k k x k k x k e k v e k x v e x v x u (26)
Substitusi nilai dari ) , (  x v dan    v ke dalam persamaan (25) dan (26), sehingga diperoleh
   2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 1             k x k k x k e k e k u   2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 1             k x k k x k e k e k x u
dan  terlihat  bahwa 2 2 dx u d d du   ,  berarti  persamaan  (23)  terbukti  menghasilkan  persamaan difusi.
2) Untuk 0  v ,  maka dari persamaan (21) diperoleh 0     v .
Substitusi  nilai  dari ) , (  x v dan    v ke  dalam  persamaan  (25)  dan  (26)  sehingga menghasilkan
0     u dan 0 2 2    x u terlihat bahwa 2 2 dx u d d du   , berarti persamaan (23) terbukti menghasilkan persamaan difusi.
Karena  sekarang ) , (  x v dalam  variabel u ,  syarat  awal  yang  dimiliki  juga  harus berubah. Persamaan (23) disubstitusi ke dalam persamaan (22) sehingga diperoleh
) 0 , ( max ) ( ) 0 , ( ) 1 ( ) 1 ( 0 2 1 2 1 x k x k e e x u x u      . (27)
Solusi  dari  persamaan  difusi  sederhana  pada  persamaan  (24)  dapat  ditempuh  dengan  3  langkah yang diuraikan berikut.
Langkah 1 : Trasformasi persamaan.
Dalam  persamaan  (24),  diperlihatkan  bahwa      x .  Maka  dari  itu,  perlu  dilakukan transformasi Fourier pada persamaan difusi sederhana di atas beserta syarat awalnya.
F  ] [  u F ] [ xx u (28)
F  )] 0 , ( [ x u F )] ( [ 0 x u . (29)
Misalkan  ) , (  s U F )] , ( [  x u maka berdasarkan persamaan (28) dan (29) diperoleh
     ) , ( s U F ] [ xx u (30) ) ( ) 0 ( s U  
dimana  adalah transformasi Fourier dari ) ( 0 x u .
Langkah 2 : Menyelesaikan transformasi persamaan.
Berdasarkan  sifat  ketiga  transformasi  Fourier  berikut.  Jika  fungsi  yang  ditransformasi  adalah suatu turunan parsial dari fungsi ) , (  x u terhadap x , maka aturan transformasinya yaitu
F 2 ) , ( 2 1 ] [            dx e t x u u x i xx xx F ] [ u ,
Persamaan (30) dapat dituliskan
) , ( )) , ( ( 2    s U s d s U d   c s e s U c s s U d s s U d s U                  2 ) , ( ) , ( ln )) , ( ( ) , ( 1
2 2 Untuk 0   , maka ) ( ) 0 , ( s e s U c   
Sehingga   2 ) ( ) , ( s e s s U    .

## Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
Langkah 3 : Menemukan invers dari transformasi.
Untuk menemukan solusi dari ) , (  x u , kita perlu menghitung invers dari transformasi
 ) , (  x u F ] , ( [ 1  s U   F ] ) ( [ 2 1  s e s    . (31)
Berdasarkan sifat konvolusi F   ] [ g f F ] [ f F ] [ g , persamaan (31) menjadi
 ) , (  x u F    )] ( [ 1 s F ] [ 2 1  s e   (32)
dengan menggunakan tabel pada [2], persamaan (32) dapat dituliskan
                      4 0 2 2 1 ) ( ) , ( x e x u x u ds e s u x u s x           4 ) ( 0 2 ) ( 2 1 ) , ( (33)
dimana ) ( 0 x u diberikan  oleh  persamaan  (27).  Agar  penyelesaian  dari  integral  ini  tepat, dibuat suatu perubahan variabel
 2 x s y   sehingga dari persamaan (33) dihasilkan . ) 2 ( 2 1 ) , ( 2 ) 2 ( 2 1 ) , (
2 2 2 2 0 0 dy e x y u x u dy e x y u x u y y   
                  Substitusi syarat awal ke dalam persamaan di atas sehingga menghasilkan dy e e dy e e x u x y x y x y k x y k              
       2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 ( 2 1 2 1 ) , ( .          (34)
Untuk  menyelesaikan  ini,  kita  akan  menyelesaikan  setiap  integral  secara  terpisah.  Integral pada suku pertama di ruas kanan persamaan (34) melengkapkan kuadrat pada eksponen yaitu
. 2 2 ] 1 [ 2 2 ] 1 [ 2 ] 1 [ 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 )( 1 ( 2 1 2 1 2 2 2 2    
   
          
                   k k y k y x k y x k y
Dengan  memisahkan  suku-suku  yang  tidak  memuat  variabel y ,  diperoleh  bentuk  sebagai berikut :
4 ] 1 [ 2 2 ] 1 [ 2 1 ) 1 ( 2 1 2 2 ] 1 [ 2 1 2 2 ] 1 [ 2 1 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2                                     k k y x k k k y x k
sehingga integral pada suku pertama di ruas kanan persamaan (35) tereduksi menjadi
            2 ) 2 ] 1 [ ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 x k y k x k dy e e e I .
Sekarang substitusi
 2 ] 1 [ 2 1    k y z sehingga menghasilkan ) ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 4 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 d N e dz e e I k x k k x z k x k                    dimana   2 ) 1 ( 2 1 2 1    k x d dan
     x y dy e x N 2 2 1 2 1 ) ( 
adalah fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal.
Perhitungan  dari  integral  kedua 2 I identik  dengan 1 I kecuali ) 1 (  k diganti  dengan ) 1 (  k ) ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 4 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 d N e dz e e I k x k k x z k x k                    dimana   2 ) 1 ( 2 1 2 2    k x d dan      x y dy e x N 2 2 1
2 1 ) (  .
Jadi
Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi
) ( ) ( ) , ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 d N e d N e x u k x k k x k         
  . Setelah mendapatkan hasil integral dari ) , (  x u , maka kembali ke persamaan
) , ( 2 4 1 2 1 ) 1 ( ) 1 (   x u e v k x k     
dan mensubstitusi invers transformasi di bawah ke dalam persamaan (14). Penting sebagai catatan bahwa simbol V dalam persamaan (14) diganti dengan C untuk lebih menekankan bahwa harga derivatif yang ingin ditentukan adalah harga dari opsi European Call ,
       E S x ln ) ( 2 1 2 t T    
) , (  x Ev C  ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( 1 d N Ee d SN t S C t T r    
dimana t T t T r d E S        ) )( ( ) ln( 2 2 1 1 t T t T r d E S        ) )( ( ) ln( 2 2 1 2
Dengan mendapatkan solusi dari ) , ( t S C , berarti bahwa harga opsi bentuk European Call dengan menggunakan persamaan diferensial Black-Scholes telah ditentukan.

## 4. Kesimpulan
Titik  penting  dalam  penurunan  persamaan  diferensial  Black-Scholes  adalah  bahwa penetapan  satu  tipe  khusus  dari  sekuriti  suatu  derivatif  untuk  menentukan  harga  hingga memenuhi  syarat  batas  dari European  call tidak  pernah  dilakukan.  Ini  berarti  bahwa  seseorang dapat menggunakan persamaan diferensial Black-Scholes untuk menentukan harga dari sebarang jenis opsi dengan hanya mengubah syarat batas saja.

## Khaeruddin, Jusmawati Massalesse, Alyusi

## Daftar Pustaka
[1] Andriansyah, 2004, “ The  Analytical  Solutions  Of  European  Options  On  Shares  Pricing Models”
[2] N. Coelen, 2002, “ Black-Scholes Option Pricing Model” .
[3] S.  J.  Farlow  1982,  “ Partial  Differential  Equations  For  Scientists  and  Engineers ”, Amerika Serikat.
[4] S. E. Shreve, 1996, “ Stochastic Calculus and Finance ”.
[5] http://www.jsx.co.id/MainMenu/Education/WhatisBond/tabid/89/lang/id- ID/Default.aspx. 2007.  [24 November 2007]
[6] http://spicaalmilia.files.wordpress.com/2007/07/perjalanan-sejarah-option.pdf [15 Juni 2007]
[7] http://id.wikipedia.org/wiki/Sekuriti , pp: 22:46. [30 Desember 2007]
[8] http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi_(keuangan), pp : 06:46. [15 November 2007].
[9] http://www.sinarharapan.co.id/ekonomi/eureka/2004/0514/eur1.html , 2003. [21 November 2007]