Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 2, Juli 2023, 241-253 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i2.16359

## Dimensi Metrik Amalgamasi Graf Theta
Des Welyyanti 1* , Alifaziz Arsyad 2 , Lyra Yulianti 3
1,2,3, Program Studi S1 Matematika,
1,2,3 Departemen Matematika dan Sains Data, FMIPA, Universitas Andalas,
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia e-mail: 1* wely@sci.unand.ac.id, 2 afasarsyad31@gmail.com, 3 lyra@sci.unand.ac.id
Diajukan: 9 Maret 2023, Diperbaiki: 11 April 2023, Diterima: 27 Juni 2023

## Abstrak
Misalkan 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) adalah suatu graf terhubung dengan himpunan titik 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) dan himpunan sisi 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ). Misalkan 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 adalah titik-titik dalam graf terhubung 𝐺𝐺 , panjang lintasan terpendek dari 𝑢𝑢 ke 𝑣𝑣 pada 𝐺𝐺 dinotasikan 𝑑𝑑 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ). Jika 𝑊𝑊 = { 𝑤𝑤 1 , 𝑤𝑤 2 , ⋯ , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 } suatu himpunan terurut dari titik-titik dalam graf terhubung 𝐺𝐺 dan titik 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ), maka representasi dari titik 𝑣𝑣 terhadap 𝑊𝑊 , dinotasikan 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) adalah 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 1 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 2 ), ⋯ , 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 )) . Jika 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) untuk setiap titik 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) berbeda, maka 𝑊𝑊 dinamakan himpunan pembeda  dari 𝐺𝐺 . Himpunan pembeda  dengan kardinalitas minimum dinamakan himpunan  pembeda  minimum, dan kardinalitas dari himpunan pembeda  minimum dinamakan dimensi metrik (metric dimension) dari 𝐺𝐺 , dinotasikan dim ( 𝐺𝐺 ). Pada penelitian ini dibahas tentang dimensi metrik amalgamasi graf Theta. Kata Kunci : Dimensi metrik, himpunan pembeda, amalgamasi, graf Theta.

## Abstract
Let 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) be a connected graph with vertex set 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) and edge set 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ). Define 𝑢𝑢 and 𝑣𝑣 as two vertices in a connected graph G. The length of the shortest path from 𝑢𝑢 to 𝑣𝑣 of 𝐺𝐺 is denoted by 𝑑𝑑 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ). If 𝑊𝑊 = { 𝑤𝑤 1 , 𝑤𝑤 2 , ⋯ , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 } an ordered set from vertices of 𝐺𝐺 connected graph and vertex 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ), then representation of vertex 𝑣𝑣 with respect to 𝑊𝑊 , denoted by 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) is 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 1 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 2 ), ⋯ , 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 )) . If 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) have distinct representation, then 𝑊𝑊 is called the resolving set of 𝐺𝐺 . The resolving set with minimum cardinality is called minimun resolving set, and the cardinality from minimun resolving set is called the metric dimension of 𝐺𝐺 , denoted by 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 ). In this paper, we discuss about metric dimension for amalgamation of theta graph. Keywords : Metric dimension, resolving set, amalgamation, Theta graph.

## 1 Pendahuluan
Misalkan 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) adalah graf terhubung, dengan 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) adalah himpunan titik dan 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) himpunan sisi. Salah satu kajian dalam teori graf yang dibahas dalam penelitian ini adalah dimensi metrik. Istilah dimensi metrik pertama kali diperkenalkan oleh Harary dan Melter[1]. Pada tahun 2000, Chartrand dkk[2] juga membahas tentang dimensi metrik.  Jarak antara dua titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 didefinisikan sebagai lintasan terpendek dari titik 𝑢𝑢 ke 𝑣𝑣 di 𝐺𝐺 , dinotasikan 𝑑𝑑 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) . Jika diberikan suatu himpunan terurut 𝑊𝑊 = { 𝑤𝑤 1 , 𝑤𝑤 2 , ⋯ , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 } ⊆ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) , maka representasi titik 𝑣𝑣 terhadap 𝑊𝑊 adalah 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 1 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 2 ), ⋯ , 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 )) . Jika 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) untuk setiap titik
𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) berbeda, maka 𝑊𝑊 disebut himpunan pembeda. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari 𝐺𝐺 , yang dinotasikan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 ) .
Seiring dengan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, telah diperoleh beberapa hasil terkait penentuan dimensi metrik dari beberapa graf. Beberapa hasil dimensi metrik yang telah diperoleh diantaranya yaitu, graf lingkaran[3], graf kipas[4], graf roda[5], graf bipartit beraturan[6], graf kepingan Salju[7], dan Subdivided-thorn Graph [8]. Kemudian, beberapa hasil terkait operasi penjumlahan graf yang telah diperoleh diantaranya adalah Suhud dkk[9] yang memperoleh dimensi metrik graf kincir pola 𝐾𝐾 1 + 𝑑𝑑𝐾𝐾 3 untuk 𝑑𝑑 ≥ 2 . Selanjutnya, Putra dkk[10] menentukan dimensi metrik dari graf 𝑊𝑊 𝑛𝑛 + 𝐶𝐶 𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 ∈ {3,4} . Pada tahun yang sama Utomo dan Novian[11]memperoleh dimensi metrik graf yang merupakan hasil amalgamasi 𝑛𝑛 buah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑚𝑚 , untuk 𝑛𝑛 ≥ 4 dan 𝑑𝑑 ≥ 4 , yang dinotasikan dengan graf 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 { 𝑛𝑛𝐾𝐾 𝑚𝑚 | 𝑛𝑛 ≥ 4, 𝑑𝑑 ≥ 4} . Selanjutnya, Riyandho dkk[12]memperoleh dimensi metrik dari graf kincir pola 𝐾𝐾 1 + 𝑑𝑑𝐾𝐾 4 untuk 𝑑𝑑 ≥ 2 .
Amalgamasi graf merupakan suatu operasi pada graf. Misalkan { 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 , ⋯ , 𝐺𝐺 𝑡𝑡 } untuk 𝑑𝑑 ∈ {1,2, ⋯ , 𝑡𝑡 } , 𝑡𝑡 ≥ 2 adalah kumpulan hingga graf dari graf terhubung tak trivial dan 𝑣𝑣 0 , 𝑖𝑖 adalah sebuah titik dari graf 𝐺𝐺 𝑖𝑖 yang dinamakan titik terminal. Graf amalgamasi dinotasikan dengan 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 { 𝐺𝐺 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 0 , 𝑖𝑖 } adalah suatu graf yang berasal dari graf 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 , ⋯ , 𝐺𝐺 𝑡𝑡 dengan cara mengidentifikasi titik-titik terminal dari { 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 , … , 𝐺𝐺 𝑡𝑡 } tersebut sedemikian sehingga 𝑣𝑣 0 , 1 = 𝑣𝑣 0 , 2 = ⋯ = 𝑣𝑣 0 , 𝑡𝑡 .  Simanjuntak dkk[13] menemukan teorema yang mengaitkan dimensi metrik pada suatu graf G dengan amalgamasi dari graf tersebut sebagai berikut.
Teorema 1 [13].  Untuk m ∈ ℕ , m ≥ 2 , misalkan {G 1 , G 2 , ⋯ , G m } adalah kumpulan graf terhubung sebarang nontrivial, dan setiap G j memiliki titik terminal a j , untuk 1 ≤ j ≤ m . Misalkan c sebagai titik baru yang berasal dari identifikasi semua titik terminal. Jika G: = Amal{G 1 , G 2 , ⋯ , G m , c} , maka
∑ m i=1 dim(G i ) − m ≤ dim(G) ≤ ∑ m i=1 dim(G i ) + m − 1 .
Misalkan F n adalah graf kipas dengan n+1 titik dan 𝑉𝑉 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ) = { 𝑢𝑢 0 , 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , … , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 } . Misalkan P m adalah graf lintasan dengan m titik dan 𝑉𝑉 ( 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) = { 𝑣𝑣 1 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 3 , … , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 }. Graf 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) adalah graf amalgamasi dari graf kipas F n dan lintasan P m dengan mengidentifikasi titik 𝑢𝑢 0 dan v i pada graf kipas F n dan lintasan P m , menjadi titik baru yaitu titik a . Graf 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) dapat dilihat pada Gambar 1.
a v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v m 1 − v m u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u n 1 − u n

## Gambar 1. Graf 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 )
Misalkan terdapat tiga graf lintasan dengan 𝑛𝑛 titik, untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 , dinotasikan 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2 dan 𝑃𝑃 𝑛𝑛 3 , himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut.
𝑉𝑉 ( 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑘𝑘 ) = { 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 𝑛𝑛 },
𝐸𝐸 ( 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑘𝑘 ) = { 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ,( 𝑗𝑗+1 ) |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 − 1}
Graf Theta yang dinotasikan dengan 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 ) , adalah graf yang dibentuk dengan cara melakukan operasi amalgamasi titik terhadap titik-titik 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 1 , untuk 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3 menjadi satu titik baru, namakan titik 𝐴𝐴 . Selanjutnya, lakukan operasi amalgamasi titik terhadap titik-titik 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑛𝑛 , untuk 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3 menjadi satu titik baru, namakan titik 𝑏𝑏 . Ilustrasi graf 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 3 dan 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 ) diberikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Graf 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 3 dan 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 )
Himpunan titik dan himpunan sisi pada graf Theta sebagai berikut.
𝑉𝑉 ( 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 )) = { 𝐴𝐴 , 𝑏𝑏 } ∪ { 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,2 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 𝑛𝑛 − 1},
𝐸𝐸 ( 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 )) = { 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ,( 𝑝𝑝+1 ) |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,2 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛 − 2} ∪ { 𝐴𝐴𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 2 |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3} ∪ { 𝑏𝑏𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑛𝑛−1 |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3}.
Diberikan 𝑑𝑑 buah graf Theta dengan 𝑛𝑛 titik, untuk 𝑑𝑑 ≥ 2 dan 𝑛𝑛 ≥ 3. Identifikasi titik 𝐴𝐴 𝑗𝑗 , untuk 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 , menjadi titik baru, namakan titik 𝑐𝑐 . Selanjutnya akan dilakukan operasi
amalgamasi terhadap 𝑑𝑑 buah graf Theta,  Notasikan dengan 𝐻𝐻 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 { 𝑑𝑑𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 )| 𝑑𝑑 ≥ 2, 𝑛𝑛 ≥ 3} . Himpunan titik dan sisi pada graf H adalah sebagai berikut.
𝑉𝑉 ( 𝐻𝐻 ) = { 𝑐𝑐 , 𝑏𝑏 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 } ∪ { 𝑣𝑣 𝑗𝑗 , 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 |1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 , 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,2 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 𝑛𝑛 − 1, },
𝐸𝐸 ( 𝐻𝐻 ) = { 𝑣𝑣 𝑗𝑗 , 𝑘𝑘 , 𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑗𝑗 , 𝑘𝑘 ,( 𝑝𝑝+1 ) |1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 , 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,2 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛 − 2} ∪ { 𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑗𝑗 , 𝑘𝑘 , 2 |1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 , 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3} ∪ { 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑗𝑗 , 𝑘𝑘 , 𝑛𝑛−1 |1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 , 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3}.
Graf 𝐻𝐻 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 { 𝑑𝑑Θ ( 𝑛𝑛 )| 𝑑𝑑 ≥ 2, 𝑛𝑛 ≥ 3} dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar  3. Graf 𝐻𝐻 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 { 𝑑𝑑Θ ( 𝑛𝑛 )| 𝑑𝑑 ≥ 2, 𝑛𝑛 ≥ 3}

## 2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan dimensi metrik amalgamasi graf Theta ( H ) adalah sebagai berikut. Untuk menunjukkan bahwa dim(H) = k-1 , akan ditentukan batas atas dan  batas  bawah  untuk  dimensi  metrik graf H . Batas atas dim(H) ditentukan dengan cara mengkonstruksi suatu himpunan pembeda W dengan |W| = k-1 , sedemikian sehingga dari setiap titik u di V(H) , mempunyai representasi yang berbeda. Batas bawah dim(H) ditentukan dengan menunjukkan bahwa untuk setiap kemungkinan  himpunan pembeda W* dengan |W*| = k-2 , akan selalu terdapat minimal dua titik dengan representasi yang sama.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Teorema berikut memberikan dimensi metrik graf Theta yang dinotasikan dengan 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 ) . Teorema 2. Misalkan 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat, dengan 𝑛𝑛 ≥ 3. Jika 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) adalah graf amalgamasi dari graf kipas F n dan lintasan P m maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) � = n − 2 .
Bukti. Misalkan graf 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) adalah graf amalgamasi dari graf kipas F n dan lintasan P m dengan 𝑉𝑉 ( 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 )) = { 𝐴𝐴 , 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , … , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 3 , … , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 } . Akan ditunjukkan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�Θ ( 𝑛𝑛 ) � = n − 2 . Tanpa mengurangi perumuman, pilih himpunan 𝑊𝑊 = { 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , … , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 }\ �𝑢𝑢 � 𝑛𝑛 2 � , 𝑢𝑢 � 𝑛𝑛 2 �+1 � .
Akan dibuktikan 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda.  Representasi semua titik pada 𝑉𝑉 ( 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 )) sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 1 | 𝑊𝑊 ) = (0,1,2,2,2,2, … ,2,2,2)
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2, … ,2,2,2) 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,0,1,2,2,2, … ,2,2,2)
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3, … ,3,3,3) 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 3 | 𝑊𝑊 ) = (2,1,0,1,2,2, … ,2,2,2) ⋮ ⋮
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 , … , 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 ) 𝑟𝑟 �𝑢𝑢 ⌊𝑛𝑛⌋ 2 | 𝑊𝑊� = (2,2, … ,1,2,2, … ,2,2,2) 𝑟𝑟 ( 𝐴𝐴 ) = (1,1,1,1,1,1, … ,1,1,1)
𝑟𝑟 �𝑢𝑢 ⌊𝑛𝑛⌋ 2 +1 | 𝑊𝑊� = (2,2, … ,2,1,2, … ,2,2,2)
⋮ 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2, … ,1,0,1) 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 𝑛𝑛 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2, … ,2,1,0)
Karena setiap titik pada 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) memiliki representasi yang berbeda, maka 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda, akibatnya 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) � ≤ n − 2 . Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa untuk setiap 𝑊𝑊 ∗ dengan | 𝑊𝑊 ∗ | = n − 3 , berlaku 𝑊𝑊 ∗ bukan himpunan pembeda. Artinya, akan selalu terdapat minimal dua titik dengan representasi yang sama terhadap 𝑊𝑊 ∗ . Perhatikan beberapa kasus berikut:
Kasus 1. Jika 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , … , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 }\ �𝑢𝑢 � 𝑛𝑛 2 � , 𝑢𝑢 � 𝑛𝑛 2 �+1 , 𝑢𝑢 � 𝑛𝑛 2 �+2 � , maka diperoleh
𝑟𝑟 �𝑢𝑢 � 𝑛𝑛 2 �+1 �𝑊𝑊 ∗ � = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 | 𝑊𝑊 ∗ ) .
Kasus 2. Jika 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , … , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 }\{ 𝑢𝑢 𝑛𝑛−2 , 𝑢𝑢 𝑛𝑛−1 , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 } , maka diperoleh
𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ∗ ) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 | 𝑊𝑊 ∗ ) .
Kasus 3. Jika 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , … , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 }\{ 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 } , maka diperoleh
𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 2 | 𝑊𝑊 ∗ ) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 | 𝑊𝑊 ∗ ) .
Akibatnya, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) � ≥ n − 2 . Jadi, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) � = n − 2 . ◼ Teorema 3. Misalkan 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat, dengan 𝑛𝑛 ≥ 3 . Jika 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 ) adalah graf Theta, maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 )) = 3 .
Bukti. Diberikan graf 𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 ) dengan himpunan titik 𝑉𝑉 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) = { 𝐴𝐴 , 𝑏𝑏 } ∪ { 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,2 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 𝑛𝑛 − 1} . Akan ditunjukkan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) = 3 . Tanpa mengurangi perumuman, pilih himpunan 𝑊𝑊 = { 𝑣𝑣 1 , 2 , 𝑣𝑣 2 , 2 , 𝑣𝑣 3 , 2 } ∈ 𝑉𝑉 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) .  Akan dibuktikan 𝑊𝑊 = { 𝑣𝑣 1 , 2 , 𝑣𝑣 2 , 2 , 𝑣𝑣 3 , 2 } adalah himpunan pembeda. Perhatikan representasi semua titik 𝑉𝑉 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) sebagai berikut.
1. Representasi titik 𝐴𝐴 terhadap 𝑊𝑊 , diperoleh sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝐴𝐴 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1).
2. Representasi titik 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , untuk setiap 1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 3 , 2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 − 1 terhadap 𝑊𝑊 . Diperoleh sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (0,2,2),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,0,2),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,0),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (1,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,1,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (2,4,4),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,2,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,2),
⋮ 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛−2 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 4, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 𝑛𝑛−2 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 4, 𝑛𝑛 − 2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 𝑛𝑛−2 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1), 𝑟𝑟�𝑣𝑣 3 , 𝑛𝑛−1 �𝑊𝑊� = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3).
3. Representasi titik 𝑏𝑏 terhadap 𝑊𝑊 , diperoleh sebagai beriku.
𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2).
Karena setiap titik pada Θ ( 𝑛𝑛 ) memiliki representasi yang berbeda, maka 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda, akibatnya 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) ≤ 3 . Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa untuk setiap 𝑊𝑊 ∗ dengan | 𝑊𝑊 ∗ | = 2 , berlaku 𝑊𝑊 ∗ bukan himpunan pembeda. Artinya, akan selalu terdapat minimal dua titik dengan representasi yang sama terhadap 𝑊𝑊 ∗ . Perhatikan beberapa kasus berikut. Misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 }
Kasus 1. Jika 𝑊𝑊 ∗ = { 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 } , maka berlaku 𝛼𝛼 ∈ { 𝐴𝐴 , 𝑏𝑏 } , 𝛽𝛽 ∈ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 3,2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 − 1} . Akan selalu terdapat titik 𝑣𝑣 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 , dengan 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 3, 𝑟𝑟 ≠ 𝑑𝑑 , 2 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 𝑛𝑛 − 1 , yang mempunyai representasi yang sama dengan representasi titik 𝑣𝑣 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , dengan 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3, 𝑥𝑥 ≠ 𝑟𝑟 , 𝑑𝑑 , 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑛𝑛 − 1, 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠 . Tanpa mengurangi perumuman misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝐴𝐴 , 𝑣𝑣 1 , 2 } , diperoleh representasi titik 𝑣𝑣 2 , 2 dan 𝑣𝑣 3 , 2 terhadap 𝑊𝑊 ∗ sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 2 ) = (1,2) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 ).
Kasus 2 . Jika 𝑊𝑊 ∗ = { 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 } , maka berlaku 𝛼𝛼 ∈ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 3,2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 − 1} , 𝛽𝛽 ∈ { 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3, 𝑘𝑘 ≠ 𝑑𝑑 , 2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 − 1} . Perhatikan beberapa subkasus berikut:
Subkasus 2.1 𝑛𝑛 = 3 .
Ambil satu titik sebarang di himpunan titik 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 dan 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 , akan selalu terdapat representasi titik yang sama pada titik 𝐴𝐴 dan 𝑏𝑏 .
Subkasus 2.2 𝑛𝑛 > 3 , 𝑛𝑛 genap.
1. Misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 } , dengan 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 2 . Akan selalu terdapat titik 𝑣𝑣 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , dengan 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3 ,
𝑥𝑥 ≠ 𝑑𝑑 , 𝑘𝑘 , 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑛𝑛 − 1 , yang mempunyai representasi yang sama dengan representasi titik 𝑏𝑏 . 2. Misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 } ,  dengan 𝑗𝑗 > 𝑛𝑛 2 . Akan selalu terdapat titik 𝑣𝑣 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ,  dengan 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3, 𝑥𝑥 ≠ 𝑑𝑑 , 𝑘𝑘 , 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑛𝑛 − 1 , yang mempunyai representasi yang sama dengan representasi titik 𝐴𝐴 .
Subkasus 2.3 𝑛𝑛 > 3 , 𝑛𝑛 ganjil.
1.  Misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 } ,  dengan 𝑗𝑗 < ⌈ 𝑛𝑛 2 ⌉ . Akan selalu terdapat titik 𝑣𝑣 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ,  dengan 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3, 𝑥𝑥 ≠ 𝑑𝑑 , 𝑘𝑘 , 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑛𝑛 − 1 , yang mempunyai representasi yang sama dengan representasi titik 𝑏𝑏 .
2. Misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 } , dengan 𝑗𝑗 = ⌈ 𝑛𝑛 2 ⌉ . Akan selalu terdapat representasi titik yang sama pada titik a dan b.
3. Misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗 } ,  dengan 𝑗𝑗 > ⌈ 𝑛𝑛 2 ⌉ . Akan selalu terdapat titik 𝑣𝑣 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ,  dengan 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3, 𝑥𝑥 ≠ 𝑑𝑑 , 𝑘𝑘 , 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑛𝑛 − 1 , yang mempunyai representasi yang sama dengan representasi titik 𝐴𝐴 .
Kasus 3. Jika 𝑊𝑊 ∗ = { 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 } , maka berlaku 𝛼𝛼 ∈ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 3,2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 − 1} , 𝛽𝛽 ∈ { 𝑣𝑣 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 |1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3, 𝑥𝑥 ≠ 𝑑𝑑 , 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑛𝑛 − 1, 𝑦𝑦 ≠ 𝑗𝑗 . Tanpa mengurangi perumuman, misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑣𝑣 1 , 2 , 𝑣𝑣 2 , 3 } , diperoleh representasi titik { 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛−1 , 𝑣𝑣 3 , 𝑛𝑛−3 } terhadap 𝑊𝑊 ∗ sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 3) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 𝑛𝑛−3 | 𝑊𝑊 ).
Kasus 4. Jika 𝑊𝑊 ∗ = { 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 } , maka berlaku 𝛼𝛼 ∈ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 3,2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 − 1} , 𝛽𝛽 ∈ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑘𝑘 |1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 3,2 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 − 1, 𝑘𝑘 ≠ 𝑗𝑗 } Akan selalu terdapat titik 𝑣𝑣 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 , dengan 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 3, 𝑟𝑟 ≠ 𝑑𝑑 , 2 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 𝑛𝑛 − 1 , yang mempunyai representasi yang sama dengan representasi titik 𝑣𝑣 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , dengan 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3, 𝑥𝑥 ≠ 𝑟𝑟 , 𝑑𝑑 , 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑛𝑛 − 1, 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠 . Tanpa mengurangi perumuman, misalkan 𝑊𝑊 ∗ = { 𝑣𝑣 1 , 2 , 𝑣𝑣 1 , 3 } , diperoleh representasi titik { 𝑣𝑣 2 , 2 , 𝑣𝑣 3 , 2 } terhadap 𝑊𝑊 ∗ .
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,3) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 | 𝑊𝑊 ).
Dari empat kasus di atas, karena terdapat representasi titik yang sama terhadap 𝑊𝑊 ∗ , maka terbukti 𝑊𝑊 ∗ bukan himpunan pembeda bagi graf Theta. Akibatnya, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) ≥ 3 . Jadi, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) = 3 . ◼ Teorema berikut memberikan dimensi metrik amalgamasi graf Theta yang dinotasikan sebagai graf 𝐻𝐻 .
Teorema 4. Misalkan graf 𝐻𝐻 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 { 𝑑𝑑𝛩𝛩 ( 𝑛𝑛 )| 𝑑𝑑 ≥ 2, 𝑛𝑛 ≥ 3} , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐻𝐻 ) = 3 𝑑𝑑 − 1 .
Bukti. Akan dibuktikan dim( 𝐻𝐻 ) = 3 𝑑𝑑 − 1 . Pilih himpunan 𝑊𝑊 �𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 2 � 1 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 𝑑𝑑 − 1,1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 3 �
∪ �𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 2 , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , 2 � , dengan 𝑊𝑊 ⊆ 𝑉𝑉 ( 𝐻𝐻 ) dan | 𝑊𝑊 | = 3 𝑑𝑑 − 1 . Notasikan representasi setiap titik graf 𝐻𝐻 terhadap 𝑊𝑊 sebagai 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 1 , 1 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 1 , 2 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 1 , 3 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 2 , 1 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 2 , 2 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 2 , 3 , 2 ), ⋯ , 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 1 , 2 ) , 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 2 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 3 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , 2 )) , untuk setiap 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐻𝐻 ) . Perhatikan representasi semua titik 𝑉𝑉 ( 𝐻𝐻 ) terhadap 𝑊𝑊 sebagai berikut.
1. Representasi titik 𝑐𝑐 terhadap 𝑊𝑊 , diperoleh sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑐𝑐 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1,1,1,1,1,1,1, ⋯ ,1,1,1,1,1) .
2. Representasi titik 𝑣𝑣 𝑗𝑗 , 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 untuk setiap 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 , 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3,2 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 𝑛𝑛 − 1 terhadap 𝑊𝑊 , diperoleh representasi titik sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 1 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (0,2,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,0,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 3 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,0,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 1 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,0,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,0,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 3 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,0,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 1 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,0,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,0,2, ⋯ ,2,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,2,0, ⋯ ,2,2,2,2,2), ⋮
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 1 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,0,2,2,2,2), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,0,2,2,2),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 3 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,0,2,2),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,0,2),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,0),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 3 , 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2,2,2,2,2,2,2, ⋯ ,2,2,2,2,2),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 1 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (1,3,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 2 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,1,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 3 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,1,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 1 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,1,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 2 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,1,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 3 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,1,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 1 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,1,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,1,3, ⋯ ,3,3,3,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,3,1, ⋯ ,3,3,3,3,3),
⋮
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 1 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,1,3,3,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 2 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,1,3,3,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 3 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,1,3,3),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,1,3), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,1), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 3 , 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3,3,3,3,3,3,3, ⋯ ,3,3,3,3,3),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 1 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (2,4,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 2 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,2,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 3 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,2,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 1 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,2,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 2 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,2,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 3 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,2,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 1 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,2,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,2,4, ⋯ ,4,4,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,4,2, ⋯ ,4,4,4,4,4), ⋮
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 1 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,2,4,4,4,4),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 2 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,2,4,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 3 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,2,4,4), 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,2,4),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,2),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 3 , 4 | 𝑊𝑊 ) = (4,4,4,4,4,4,4,4,4, ⋯ ,4,4,4,4,4),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 1 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 2 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 3 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1,
⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 1 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 2 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 3 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 1 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 3 , 2 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3,
⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
⋮ 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 1 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1,
𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 2 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1,
𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚−1 , 3 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1,
𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 − 1),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 3),
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 3 , 𝑛𝑛−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 − 1).
3. Representasi titik 𝑏𝑏 𝑗𝑗 , untuk setiap 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑑𝑑 terhadap 𝑊𝑊 , diperoleh representasi titik sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1,
⋯ , 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1),
𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 2 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1,
⋯ , 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1),
𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 3 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, ⋯ , 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1),
⋮ 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1,
⋯ , 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1),
𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1,
⋯ , 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 − 2).
Karena setiap representasi titik graf 𝐻𝐻 terhadap 𝑊𝑊 berbeda, maka 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda. Akibatnya, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐻𝐻 ) ≤ 3 𝑑𝑑 − 1 .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐻𝐻 ) ≥ 3 𝑑𝑑 − 1 . Misalkan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐻𝐻 ) = 3 𝑑𝑑 − 2 dan 𝑊𝑊 ∗ adalah himpunan pembeda lain graf 𝐻𝐻 . Untuk menentukan batas bawah dari graf 𝐻𝐻 akan digunakan prinsip pigeonhole. Misalkan terdapat 𝑑𝑑 buah graf Θ ( 𝑛𝑛 ) untuk 𝑑𝑑 ≥ 2 dan 𝑛𝑛 ≥ 3 yang masing-masingnya diilustrasikan sebagai kotak, dan titik-titik sebagai himpunan pembeda atau 𝑊𝑊 ∗ ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐻𝐻 ) diilustrasikan sebagai objek.
Berdasarkan Teorema 2, jika Θ ( 𝑛𝑛 ) adalah graf Theta, maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( Θ ( 𝑛𝑛 )) = 3 . Dengan menggunakan prinsip pigeonhole, jika 3 𝑑𝑑 − 2 objek ditempatkan pada 𝑑𝑑 kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak atau lebih yang memuat kurang dari tiga objek. Misalkan Θ ( 𝑛𝑛 ) ∗ adalah graf Θ ( 𝑛𝑛 ) yang merupakan subgraf dari graf 𝐻𝐻 yang memiliki kurang dari tiga titik sebagai himpunan pembeda. Misalkan himpunan pembeda Θ ( 𝑛𝑛 ) ∗ tersebut 𝑊𝑊 1 ∗ ⊆ 𝑊𝑊 ∗ . Perhatikan representasi titik 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 2 ∈ Θ ( 𝑛𝑛 ) ∗ terhadap 𝑊𝑊 1 ∗ . Akan ditentukan beberapa kasus berikut.
Kasus A. Terdapat dua buah graf Θ ( 𝑛𝑛 ) ∗ .
Misalkan pilih himpunan 𝑊𝑊 1 ∗ = { 𝑣𝑣 1 , 1 , 3 , 𝑣𝑣 1 , 2 , 3 , 𝑣𝑣 2 , 1 , 3 , 𝑣𝑣 2 , 2 , 3 } .  Representasi titik 𝑣𝑣 1 , 3 , 2 dan 𝑣𝑣 2 , 3 , 2 terhadap 𝑊𝑊 1 ∗ sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 , 3 , 2 | 𝑊𝑊 1 ∗ ) = (3,3,3,3) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 3 , 2 | 𝑊𝑊 1 ∗ ).
Kasus B. Terdapat satu graf Θ ( 𝑛𝑛 ) ∗ .
Misalkan pilih himpunan 𝑊𝑊 1 ∗ = { 𝑣𝑣 2 , 2 , 3 } . Representasi titik 𝑣𝑣 2 , 1 , 2 dan 𝑣𝑣 2 , 3 , 2 terhadap 𝑊𝑊 1 ∗ sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 1 , 2 | 𝑊𝑊 1 ∗ ) = (3,3) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 , 3 , 2 | 𝑊𝑊 1 ∗ ).
Karena terdapat representasi titik yang sama, maka terbukti 𝑊𝑊 1 ∗ bukan himpunan pembeda bagi Θ ( 𝑛𝑛 ) ∗ . Karena Θ ( 𝑛𝑛 ) ∗ merupakan subgraf dari 𝐻𝐻 , dan 𝑊𝑊 1 ∗ ⊆ 𝑊𝑊 ∗ dengan | 𝑊𝑊 ∗ | = 3 𝑑𝑑 − 2 , maka 𝑊𝑊 ∗ juga bukan himpunan pembeda bagi graf 𝐻𝐻 . Akibatnya, dim( 𝐻𝐻 ) ≥ 3 𝑑𝑑 − 1 .  Jadi, dim( 𝐻𝐻 ) = 3 𝑑𝑑 − 1 . ◼

## 4  Simpulan
Pada penelitian ini diperoleh dimensi metrik dari graf Theta Θ ( 𝑛𝑛 ), untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 adalah 3. Kemudian, diperoleh dimensi metrik dari amalgamasi graf Theta yang dinotasikan dengan 𝐻𝐻 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 { 𝑑𝑑Θ ( 𝑛𝑛 )| 𝑑𝑑 ≥ 2, 𝑛𝑛 ≥ 3} adalah 3 𝑑𝑑 − 1 . Selain itu, penelitian ini juga memperoleh dimensi metrik graf 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ) adalah n-2 .

## 5 UcapanTerima Kasih
Penelitian ini didanai oleh Penelitian Riset Dasar FMIPA Universitas Andalas Tahun 2022.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  H. Iswadi, E. T. Baskoro, A. N. M. Salman, and R. Simanjuntak, “The resolving graph of amalgamation of cycles,” Utilitas Mathematica , vol. 83, 2010.
[2]  G. Chartrand, C. Poisson, and P. Zhang, “Resolvability and the upper dimension of graphs,” Computers and Mathematics with Applications , vol. 39, no. 12, 2000, doi: 10.1016/S0898-1221(00)00126-7.
[3]  G. Chartrand, L. Eroh, M. A. Johnson, and O. R. Oellermann, “Resolvability in graphs and the metric dimension of a graph,” Discrete Appl Math (1979) , vol. 105, no. 1–3, 2000, doi: 10.1016/S0166-218(00)00198-0.
[4]  C. Hernando, M. Mora, I. M. Pelayo, C. Seara, J. Cáceres, and M. L. Puertas, “On the metric dimension of some families of graphs,” Electron Notes Discrete Math , vol. 22, 2005, doi: 10.1016/j.endm.2005.06.023.
[5]  B Shanmukha; B Sooryanarayana; KS Harinath, “Metric dimension of wheels,” Far East J. Appl. Math , vol. 8, no. 3, 2002, doi: 10.1016/0969-806(95)00416-u.
[6] M. Bača, E. T. Baskoro, A. N. M. Salman, S. W. Saputro, and D. Suprijanto, “The metric dimension of regular bipartite graphs,” Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques de Roumanie , vol. 54, no. 1, 2011.
[7]  M. Rafif Fajri, L. Hadiyan Fajri, J. Ashari, A. Arsyad, and C. Author, “Eksakta Article Metric Dimension for Snowflake Graph,” Eksakta , vol. 23, no. 04, pp. 284–299, 2022, doi: 10.24036//eksakta/vol21-iss1/xxx.
[8]  L. Yulianti, N. Narwen, and S. Hariyani, “A note on the metric dimension of subdivided thorn graphs,” Indonesian Journal of Combinatorics , vol. 3, no. 1, p. 34, Jun. 2019, doi: 10.19184/ijc.2019.3.1.4.
[9]  S. Wahyudi, Sumarno, and Suharmadi, “Dimensi Metrik Pengembangan Graf Kincir Pola K1+M3,” J.Math. and Its Appl. , vol. 8, no. 2, pp. 17–22, 2011.
[10]  R. Putra, L. Yulianti, and Syafrizal Sy., “Dimensi Metrik Pada Graf Wn + Cn untuk n ∈ {3, 4},” Jurnal Matematika UNAND , vol. 7, no. 2, pp. 165–169, 2018.
[11]  T. Utomo and R. N. Dewi, “Dimensi Metrik Graf Amal(nKm),” J. Math. and Its Appl. , vol. 15, no. 1, pp. 71–77, 2018.
[12]  Rifqi R, Narwen, and Efendi, “DIMENSI METRIK GRAF KINCIR POLA K 1 + mK4,” Jurnal Matematika UNAND , vol. 7, no. 3, pp. 149–153, 2019.
[13]  R. Simanjuntak, S. Uttunggadewa, and S. W. Saputro, “Metric dimension for amalgamations of graphs,” in Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) , 2015. doi: 10.1007/978-3-319-19315-1_29.