## BILANGAN TERHUBUNG PELANGI PADA GRAF SALJU ( 𝑺𝑺𝒏𝒏 𝒎𝒎 )
Cindy Aisa Putri Noor 1* , Lailany Yahya 2 , Salmun K Nasib 3 , Nisky I Yahya 4
1,2,3,4 Universitas Negeri Gorontalo Email : 1 cindy.aisa2010@gmail.com, 3 salmun@ung.ac.id * Penulis Korespondensi
Abstract. A graph is stated rainbow-connected if there is path between two vertices in which every edge has a distinct color. Supposing there is a graph G which is not trivial with definition of color 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2,3, … } , thus, the rainbow connection number from graph 𝐺𝐺 is minimum 𝑘𝑘 from rainbow 𝑘𝑘 coloring used to color graph 𝐺𝐺 and notated by 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝐺𝐺 ) . The objective of this research was to determine the rainbow connection number at snow graph ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ). The method used in research was literature study method with the following procedure; drawing snow graph, seeking pattern of rainbow connection number, and proving the theorem of rainbow connection number at snow graph ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ). Therefore, it obtained 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 + 1 for 3 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 7 ∧ 𝑚𝑚 = {9,10} and 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 for 𝑚𝑚 = 8 ∧ 𝑚𝑚 ≥ 11 .

## Keywords:
Graph, Rainbow Connection Number, Snow Graph.
Abstrak. Suatu graf dikatakan terhubung pelangi jika terdapat lintasan antara dua titik yang setiap sisi-sisinya memiliki warna berbeda. Misalkan terdapat suatu graf 𝐺𝐺 tak trivial dengan definisi warna 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2,3, … } , maka bilangan terhubung pelangi dari graf 𝐺𝐺 yaitu minimum 𝑘𝑘 dari pewarnaan- 𝑘𝑘 pelangi yang digunakan untuk mewarnai graf 𝐺𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝐺𝐺 ) . Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk menentukan bilangan terhubung pelangi pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ). Metode yang digunakan pada penelitian ini yaitu metode studi literatur dengan prosedur sebagai berikut; menggambar graf salju, mencari pola bilangan terhubung pelangi, dan membuktikan teorema bilangan terhubung pelangi pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ). Sehingga diperoleh 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 + 1 untuk 3 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 7 ∧ 𝑚𝑚 = {9,10} dan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 = 8 ∧ 𝑚𝑚 ≥ 11 .
Kata Kunci: Graf, Bilangan Terhubung Pelangi, Graf Salju.

## I. PENDAHULUAN
Graf pertama kali ditemukan saat memecahkan masalah jembatan konisberg yang dimodelkan kedalam bentuk graf [1]. Graf merupakan pasangan himpunan ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) atau gabungan dari sekumpulan objek yang terdiri dari titik dan sisi. Graf dinotasikan dengan 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) [2].  Sebuah graf, himpunan dari titik 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) merupakan himpunan tak kosong dan himpunan sisi 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) bisa merupakan himpunan kosong [3]. Graf dapat diaplikasikan dalam kehidupan contohnya pada jaringan komunikasi [4]. Dalam teori graf terdapat suatu topik yaitu pelabelan yang terdiri dari pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Salah satu kasus khusus dari pelabelan adalah pewarnaan graf [5]. Ada beberapa jenis pewarnaan graf yaitu pewarnaan sisi, pewarnaan titik, dan pewarnaan wilayah [6]. Dan terdapat dua jenis pewarnaan
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
pelangi yaitu pewarnaan- 𝑘𝑘 pelangi dan pewarnaan- 𝑘𝑘 pelangi kuat [7]. Pewarnaan- 𝑘𝑘 pelangi dan pewarnaan- 𝑘𝑘 pelangi kuat berkaitan dengan lintasan [8], jalan [9], dan jejak [10]. Minimum 𝑘𝑘 dari pewarnaan- 𝑘𝑘 pelangi pada sisi graf 𝐺𝐺 disebut bilangan terhubung pelangi dan dinotasikan dengan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝐺𝐺 ) . Jika 𝐺𝐺 merupakan graf terhubung tak trivial dengan diameter berupa jarak terbesar antara dua titik 𝑣𝑣 1 dan 𝑣𝑣 2 yang dinotasikan dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝐺𝐺 ) dan memiliki sisi sebanyak 𝑚𝑚 , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝐺𝐺 ) ≤ 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝐺𝐺 ) ≤ 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝐺𝐺 ) ≤ 𝑚𝑚 [7]. Sebelumnya sudah ada beberapa penelitian mengenai bilangan terhubung pelangi, yaitu bilangan terhubung pelangi pada graf gir, graf buku, dan graf 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑐𝑐ℎ𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 [11]. Bilangan terhubung pelangi dan bilangan terhubung pelangi kuat pada graf kipas dan graf matahari [12]. Adapula bilangan terhubung pelangi graf bunga dan lemon [13] dan bilangan terhubung pelangi graf amalgamasi [14].

## II. PEMBAHASAN

## 2.1 Definisi

## Gambar 1. Graf Salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 4 )
Graf salju merupakan gabungan dari graf gir dan graf sikel dengan penambahan sisi sebanyak 𝑚𝑚 yang menghubungkan graf gir dengan graf sikel dan dinotasikan dengan 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 dengan bilangan bulat positif 𝑚𝑚 ≥ 3 seperti ditunjukkan pada Gambar 1.  Graf  yang setiap titiknya berderajat dua disebut dengan graf sikel ( 𝐶𝐶 𝑛𝑛 )  [15]. Graf gir diperoleh dengan menambahkan titik di antara dua titik yang berdekatan di graf sikel yang berada pada graf roda [16]. Kemudian, gabungan dari graf 𝐺𝐺 1 dan 𝐺𝐺 2 adalah graf dengan gabungan titik dan gabungan sisi [17].
Dinamakan graf salju karena menyerupai kristal salju. Kristal salju bersifat simetris atau berpola karena mencerminkan tatanan molekul air pada saat kristalisasi [18]. Dapat dilihat pola kristal salju hampir mirip dengan pola bintang, akan tetapi memiliki pola yang berbeda dengan graf bintang. Graf yang terdiri dari satu titik berderajat 𝑛𝑛 − 1 dan 𝑛𝑛 − 1 titik berderajat 1 disebut graf bintang [19].  Derajat suatu titik adalah jumlah sisi yang terhubung pada titik tersebut [20].
Graf salju dibentuk oleh himpunan titik dan sisi yang disimbolkan dengan 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) sebagai titik dan 𝐸𝐸 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) sebagai sisi. Sehingga, graf salju didefinisikan sebagi berikut:
𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = { 𝑣𝑣 } ∪ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 | 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]} ∪ { 𝑢𝑢 𝑖𝑖 | 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]} 𝐸𝐸 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = { 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 | 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 } ∪ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 | 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑣𝑣 2𝑚𝑚+1 = 𝑣𝑣 1 } ∪ { 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝐼𝐼+1 | 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑢𝑢 2𝑚𝑚+1 = 𝑢𝑢 1 } ∪ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖 | 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 }
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## 2.2 Bilangan Terhubung Pelangi pada Graf Salju ( 𝑺𝑺𝒏𝒏 𝒎𝒎 )
Teorema 1 Misalkan 𝑚𝑚 merupakan bilangan bulat positif 𝑚𝑚 ≥ 3 dan 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 adalah graf salju, maka
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = � 𝑚𝑚 + 1, 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 3 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 5 𝑚𝑚 , 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 8, 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑚𝑚 ≥ 8 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = �𝑚𝑚 + 1, 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 3 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 5 ∧ 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 𝑚𝑚 , 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑚𝑚 = 8 ∧ 𝑚𝑚 ≥ 11
Bukti: Diketahui 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝐺𝐺 ) ≥ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝐺𝐺 ) [7]. Sehingga, untuk membuktikan Teorema 1, cukup memperlihatkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) .
Kasus 1. 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 + 1
Subkasus 1.1. 𝑚𝑚 = 3 Karena 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 4 ) = 4 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 4 ) ≥ 4 . Untuk itu didefinisikan pewarnaan 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2,3,4} sebagai berikut: 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 5 𝑢𝑢 6 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 6 𝑣𝑣 1 ) = 1 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 4 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 ) = 𝑖𝑖 2 , 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 ) = 𝑖𝑖+3 2 , 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 1,3
(1)
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = 𝑖𝑖+1 2 , 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = 𝑖𝑖 2 + 1, 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 2,4
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 dan 𝑐𝑐 di 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 3 ) yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan Pelangi dengan pewarnaan 𝑐𝑐 . Lebih jelasnya, lintasan Pelangi pada setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 3 ) dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 dan 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada tabel 1. Tabel 1. Lintasan Pelangi 𝑆𝑆𝑛𝑛 3 Kasus 𝑥𝑥 𝑐𝑐 Kondisi Lintasan Pelangi
1 𝑣𝑣 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖
2 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 2| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , … , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 4 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [1,3]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 3| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , … , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 5 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3} 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , … , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 6 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2
Subkasus 1.2. 𝑚𝑚 = 4 dan 𝑚𝑚 = 5 Pada subkasus ini, untuk nilai 𝑚𝑚 = 4 dan 𝑚𝑚 = 5 dibahas secara bersamaan karena definisi pewarnaannya sama. 𝐷𝐷𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 4 dan 𝑚𝑚 = 5 yaitu 𝑚𝑚 + 1 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑚𝑚 + 1 . Untuk itu didefinisikan pewarnaan 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … } sebagai berikut: 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 2 ) = 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 = {2, 𝑚𝑚 + 2}

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 ) = � 1, 𝑑𝑑 = {4, 𝑚𝑚 + 4} 𝑔𝑔 + 3 2 , 𝑔𝑔 = {3,1}, 𝑑𝑑 = { 𝑔𝑔 , 𝑚𝑚 + 𝑔𝑔 }
4, 𝑑𝑑 = {5,10}, 𝑚𝑚 = 5 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = 𝑚𝑚 + 1 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 𝑖𝑖 2 , 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 (2)
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑣𝑣+1 ) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 𝑑𝑑 + 2 2 , 𝑑𝑑 ∈ [2, 𝑚𝑚 + 1]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 − 1 2 , 𝑑𝑑 ∈ [2, 𝑚𝑚 ]| 𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1, 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2)| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 − 3 − (5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ), 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 2, 𝑚𝑚 + 3]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 − 1 2(11 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) + 𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4, 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 3, 𝑚𝑚 + 4]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐
( 𝑑𝑑 − 1) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4, 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 Kemudian, akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 4 ∧ 𝑚𝑚 = 5 yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan Pelangi dengan pewarnaan c. Lintasan Pelangi disetiap dua titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 4 ∧ 𝑚𝑚 = 5 dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 dan 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada table 2. Tabel 2. Lintasan Pelangi 𝑆𝑆𝑛𝑛 4 ∧ 𝑆𝑆𝑛𝑛 5
Kasus 𝑥𝑥 𝑐𝑐 Kondisi Lintasan pelangi 1 𝑣𝑣 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖
2 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 < 𝑔𝑔 | 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 4 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = [2,4]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [3,2 𝑚𝑚 − 3]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 5 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], ∈ [1, 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , … , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 6 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 7 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1, 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [1, 𝑚𝑚 ] 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , … , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 8 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = [1,4]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 5, 𝑚𝑚 = 5| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 6, 𝑚𝑚 = 5| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [1,3] 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [4,2 𝑚𝑚 − 4]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 Subkasus 1.3. 𝑚𝑚 = 6 dan 𝑚𝑚 = 7 𝐷𝐷𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 adalah 𝑚𝑚 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑚𝑚 . Akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 +  1 untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 . Andaikan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 , maka terdapat pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi yang didefinisikan dengan 𝑐𝑐 ′ : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 } pada 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 . Tanpa mengurangi perumuman, misalkan: 𝑐𝑐 ′ ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 ) = 𝑑𝑑 − 1, 𝑑𝑑 ∈ [2, 𝑚𝑚 + 1] Perhatikan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 2,2 𝑚𝑚 ] hanya dapat diberi warna 𝑑𝑑 − 𝑚𝑚 . Andaikan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 2,2 𝑚𝑚 ] diberi warna selain warna 𝑑𝑑 − 𝑚𝑚 , maka akan terdapat lintasan
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 , … , 𝑢𝑢 𝑚𝑚 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ] . Selanjutnya perhatikan sisi 𝑢𝑢 1 𝑢𝑢 2 hanya dapat diberi warna 𝑚𝑚 . Seandainya 𝑢𝑢 1 𝑢𝑢 2 diberi warna selain 𝑚𝑚 , maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , … , 𝑢𝑢 𝑚𝑚 . Dimisalkan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 diberi warna 𝑑𝑑 + 1 untuk 𝑑𝑑 = 1,3 , warna 1 untuk 𝑑𝑑 = {5,2 𝑚𝑚 − 1} , dan warna ( 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) + 1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 , 2 𝑚𝑚 − 3]| 𝑑𝑑 ganjil. Seandainya sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 ganjil diberi warna lain makan akan terdapat lintasan  yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 dan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 ganjil. Selanjutnya, sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 ganjil hanya dapat diberi warna 𝑑𝑑 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1, 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 untuk 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 ganjil. Jika sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 ganjil diberi warna lain, maka akan terdapat beberapa lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 ganjil, dan lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 genap. Selanjutnya, sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 genap hanya dapat diberi warna 𝑑𝑑 − 2 untuk 𝑑𝑑 ∈ [4,8]| 𝑑𝑑 genap, warna ( 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) − 2 untuk 𝑑𝑑 ∈ [10,2 𝑚𝑚 − 2]| 𝑑𝑑 genap, warna 𝑚𝑚 untuk 𝑣𝑣 2 𝑣𝑣 3 , dan warna 7 𝑚𝑚 − 2 untuk 𝑣𝑣 2𝑚𝑚 𝑣𝑣 1 . Jika sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 genap diberi warna lain, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 ganjil dan lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,2 𝑚𝑚 ]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 genap. Untuk 𝑚𝑚 = 6 , perhatikan sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 2 hanya dapat diberi warna 5. Jika sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 2 diberi warna lain maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , lintasan 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 6 , 𝑣𝑣 7 , lintasan 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 10 , 𝑣𝑣 9 . Selanjutnya, perhatikan sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 6 hanya dapat diberi warna 3. Jika sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 6 diberi warna lain,  maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 6 , 𝑣𝑣 7 . Selanjutnya, perhatikan sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 8 hanya dapat diberi warna 3. Jika sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 8 diberi warna lain, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 8 , lintasan 𝑢𝑢 3 , 𝑣𝑣 3 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 8 . Selanjutnya, perhatikan sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 10 tidak dapat diberi warna 𝑐𝑐′ . Jika sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 10 diberi warna 1,2,5, dan 6, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 10 . Jika sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 10 diberi warna 4, maka akan terdapat lintasan pelangi yaitu 𝑢𝑢 3 , 𝑣𝑣 3 , 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 10 . Jika sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 10 diberi warna 3, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu 𝑣𝑣 6 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 10 . Jadi, graf salju untuk 𝑚𝑚 = 6 bukan merupakan pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi.
Untuk 𝑚𝑚 = 7 , perhatikan 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14]| 𝑑𝑑 genap tidak bisa diwarnai dengan warna yang sama dengan warna pada sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14], 𝑔𝑔 ∈ [5,9]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 genap dan 𝑔𝑔 ganjil. Jika diberi warna yang sama maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14], 𝑔𝑔 ∈ [5,9]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 genap dan 𝑔𝑔 ganjil. Selanjutnya, sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14]| 𝑑𝑑 genap juga tidak bisa diwarnai dengan warna pada sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 genap dan warna pada sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖+9 𝑢𝑢 𝑖𝑖+10 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 genap. Jika diberi warna yang sama maka akan terdapat lintasan yang tidak pelamgi yaitu 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 ganjil. Selanjutnya, sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 dan 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 genap tidak dapat diwarnai dengan warna yang sama pada sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖−2 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 dan 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [2,14]|2 𝑚𝑚 + 1 = 1, 𝑑𝑑 genap. Jika diwarnai dengan warna yang sama maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 . Selanjutnya, perhatikan sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 10 tidak dapat lagi diwarnai dengan 𝑐𝑐′ . Sehingga graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 7 bukan merupakan pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi.
Karena graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 bukan merupakan pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi, maka diperoleh 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑚𝑚 + 1 untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 . Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≤ 𝑚𝑚 + 1 untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 dengan pendefinisian warna 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 + 1} sebagai berikut:
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 2 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 2𝑚𝑚 ) = 2 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 8 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 10 ) = 4 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 2𝑚𝑚 𝑣𝑣 1 ) = 7 𝑚𝑚 − 2 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 1 𝑢𝑢 2 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 2 𝑣𝑣 3 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 4 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 6 ) = 𝑚𝑚 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = 𝑚𝑚 + 1, 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 (3)
𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 ) = � 𝑑𝑑 − 1, 𝑑𝑑 ∈ [2, 𝑚𝑚 + 1] 𝑑𝑑 − 𝑚𝑚 + 1, 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 2,2 𝑚𝑚 ]
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 12 ) = 5, 𝑚𝑚 = 7
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) =
⎩ ⎨ ⎧ 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 ∈ [1, 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 − 2, 𝑑𝑑 ∈ [4,8]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
( 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) − 2, 𝑑𝑑 ∈ [10,2 𝑚𝑚 − 2]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 Kemudian, akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan 𝑐𝑐 . Lintasan pelangi disetiap dua titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 = 6 ∧ 𝑚𝑚 = 7 dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 dan 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada tabel 3. Tabel 3. Lintasan Pelangi 𝑆𝑆𝑛𝑛 6 dan 𝑆𝑆𝑛𝑛 7 Kasus 𝑥𝑥 𝑐𝑐 Kondisi Lintasan Pelangi 1 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 2 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 + 2 ≤ 𝑔𝑔 ≤ 2 𝑚𝑚 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 4 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3} 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = {1,5}, 𝑔𝑔 = 6, 𝑚𝑚 = 6 𝑑𝑑 = 3, 𝑔𝑔 = 6, 𝑚𝑚 = 6 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 4| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6], 𝑚𝑚 = 7| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1
, 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5
, 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+7 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 5 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 1| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 5| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {3,4}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+4 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+5 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+4 6 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [1, 𝑚𝑚 ] 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , … , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 7 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 8 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [1,4]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [1,5]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = {1,5,9}, 𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 = 6 𝑑𝑑 = {3,7,11}, 𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 = 6
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , … , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , … , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+7 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6], 𝑚𝑚 = 7| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 𝑚𝑚 = 7| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 Subkasus 1.4. 𝑚𝑚 = 9 Untuk 𝑚𝑚 = 9 memiliki 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) = 8 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) ≥ 8 . Akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) ≥ 𝑚𝑚 + 1 . Diasumsikan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) ≤ 𝑚𝑚 , maka terdapat pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) dengan definisi warna 𝑐𝑐 ′ : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 } . Tanpa mengurangi perumuman, dimisalkan
𝑐𝑐 ′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = � 𝑑𝑑 + 1 4 � +  1, 𝑑𝑑 = {2,6,10,14,18}.
Perhatikan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diwarnai dengan warna yang sama pada sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 dan 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 ganjil dan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 ∧ 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 genap. Jika diberi warna yang sama, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil,  lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 dan lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga sisi 𝑣𝑣 3 𝑣𝑣 4 diberi warna 5 dan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 = {5,9,13,17} diberi warna � 𝑖𝑖 5 � , untuk 𝑑𝑑 = {7,11} diberi warna 6, dan untuk 𝑑𝑑 = {1,15} diberi warna 7. Selanjutnya perhatikan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diberi warna yang sama dengan warna pada sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 ∧ 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 2], 𝑔𝑔 genap, sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 = 1 ∧ 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5], 𝑔𝑔 ganjil, dan 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Jika diberi warna yang sama akan terdapat beberapa lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil,  lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap, dan lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga, sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 = {1,3,5,7} diberi warna 8, untuk 𝑑𝑑 = {9,11,13,15} diberi warna 9, dan untuk 𝑑𝑑 = 17 tidak dapat lagi diberi warna 𝑐𝑐′ . Karena 𝑢𝑢 17 𝑣𝑣 17 tidak dapat lagi diberi warna 𝑐𝑐′ , maka graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) bukan merupakan pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi dan diperoleh 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) ≥ 𝑚𝑚 + 1 . Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) ≤ 𝑚𝑚 + 1 dengan pendefinisian warna 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 + 1} dapat dilihat pada persamaan (4).
Kemudian, akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan 𝑐𝑐 . Lintasan pelangi disetiap dua titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 9 ) dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 ∧ 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada tabel 4. Tabel 4. Lintasan Pelangi 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 9| 𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐
Kasus 𝑥𝑥 𝑐𝑐 Kondisi Lintasan pelangi 1 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣
2 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 < 𝑔𝑔 | 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 4 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [2,4] 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , … , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 + 1 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [7,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 � ,
𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 + 1 2 � ,
𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 + 1 2 � , 𝑔𝑔 = {5,6}
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 5 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 1| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 3| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3
6 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 = 𝑔𝑔 | 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 4, 𝑔𝑔 = 3 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 , 𝑔𝑔 = {5,7} 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 4, 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 11]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 4, 𝑔𝑔 = 2 𝑚𝑚 − 9 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗+1 𝑣𝑣 𝑗𝑗 7 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 1| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 3| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚−1 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 + 1 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [7,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 + 1 2 � , 𝑔𝑔 = 5 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 4| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 � ,
𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 4]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ [ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 � ∧ 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 2 , 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 4]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {4,6,2 𝑚𝑚 − 4}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 − 1 � ∧ 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 2 , 𝑔𝑔 = 6 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 � , 𝑔𝑔 = 5 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 − 1 � , 𝑔𝑔 ∈ [7,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 � , 𝑔𝑔 = {5,7} 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 − 1 2 � ∧ 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 2 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 8 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [2,8] 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8], 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 ≤ 2 𝑚𝑚 − 1| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [9,2 𝑚𝑚 − 9]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [10,2 𝑚𝑚 − 10]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , … , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 Subkasus 1.5. 𝑚𝑚 = 10 Untuk 𝑚𝑚 = 10 memiliki 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) = 8 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) ≥ 8 . Akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) ≥ 𝑚𝑚 + 1 . Diasumsikan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) ≤ 𝑚𝑚 , maka terdapat pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) dengan definisi warna 𝑐𝑐 ′ : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 } . Tanpa mengurangi perumuman, dimisalkan
𝑐𝑐′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 )   = 𝑐𝑐′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 )   = � 𝑑𝑑 + 1 4 � + 1, 𝑑𝑑 = {2,6,10,14,18}.
Perhatikan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diwarnai dengan warna yang sama pada sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 dan 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 ganjil, sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 ∧ 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 genap. Jika diberi warna yang sama, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil,  lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 , dan lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga sisi 𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 2 diberi warna 5 dan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 = {5,9,13,17} diberi warna ⌈𝑑𝑑 /5 ⌉ , untuk 𝑑𝑑 = {3,7} diberi warna 6, untuk 𝑑𝑑 = {11,15} diberi warna 7, dan untuk 𝑑𝑑 = 19 diberi warna 8. Selanjutnya perhatikan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diberi warna yang sama dengan warna pada sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 ∧ 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 2], 𝑔𝑔 genap, sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 = 1 ∧ 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5], 𝑔𝑔 ganjil, dan 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Jika diberi warna yang sama akan terdapat beberapa lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 untuk
𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil, lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap, dan lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga, sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 = 15 diberi warna 8, untuk 𝑑𝑑 = {1,3,5,19} diberi warna 9, untuk 𝑑𝑑 = {7,9,11,13} diberi warna 10, dan untuk 𝑑𝑑 = 17 tidak dapat lagi diberi warna 𝑐𝑐′ .
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Karena 𝑢𝑢 17 𝑣𝑣 17 tidak dapat lagi diberi warna 𝑐𝑐′ , maka graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) bukan merupakan pewarnaan- 𝑚𝑚 pelangi dan diperoleh 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) ≥ 𝑚𝑚 + 1 . Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) ≤ 𝑚𝑚 + 1 dengan pendefinisian warna 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 + 1} dan persamaannya dapat dilihat pada persamaan (5) Kemudian, akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan 𝑐𝑐 . Lintasan pelangi disetiap dua titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 10 ) dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 ∧ 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada tabel 5. Tabel 5. Lintasan Pelangi 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 8| 𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 Kasus 𝑥𝑥 𝑐𝑐 Kondisi Lintasan Pelangi 1 𝑣𝑣 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 2 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ≤ 𝑔𝑔 | 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 4 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [2,4] 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚
2 � , 𝑔𝑔 ∈ [7,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚
2 � , 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 8]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚
2 � , 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = 2 𝑚𝑚 − 6 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = {5,6}
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , … , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 5 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 1| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 3| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖
, 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 6 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 7 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 1| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {1,2}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = {2,3}| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 = 3| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [7,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚
2 � , 𝑔𝑔 = 5 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = 4
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 4]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 4]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = {4,6} 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = 4 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 8]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = 2 𝑚𝑚 − 6 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = 2 𝑚𝑚 − 4 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = {4,6} 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚
2 � , 𝑔𝑔 = 2 𝑚𝑚 − 4 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = 5 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = 2 𝑚𝑚 − 5 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [7,2 𝑚𝑚 − 7]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 ∈ [9,2 𝑚𝑚 − 5]| 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ � 1, 𝑚𝑚 2 � , 𝑔𝑔 = {5,7}
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+6 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+5 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 8 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [2,7] 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [9,2 𝑚𝑚 − 9]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8]| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , … , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+7 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖−1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗
𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗−1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗
Kasus 2. 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚
Subkasus 2.1. 𝑚𝑚 = 8 Karena 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 8 ) = 8 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 8 ) ≥ 8 . Untuk itu, didefinisikan pewarnaan 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … ,8} dan persamaannya dapat dilihat pada persamaan (5). Akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 8 ) yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan pelangi
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dengan pewarnaan 𝑐𝑐 . Lintasan pelangi pada setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 8 ) dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 ∧ 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada table 5.
Subkasus 2.2. 𝑚𝑚 ≥ 11 untuk 𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 Untuk 𝑚𝑚 ≥ 11, 𝑚𝑚 ganjil memiliki 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 8 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 8 . Akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 11  dan 𝑚𝑚 ganjil . Diasumsikan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≤ 𝑚𝑚 − 1 , maka terdapat pewarnaan-( 𝑚𝑚 − 1 ) pelangi pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 11, 𝑚𝑚 ganjil dengan definisi warna 𝑐𝑐 ′ : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 − 1} .
𝑐𝑐 ′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = � ( 𝑑𝑑 + 1) 4 � +  1, 𝑑𝑑 ∈ [2,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 = {1,2, … }.
Perhatikan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diwarnai dengan warna yang sama pada sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 dan 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 ganjil dan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 dan 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 genap. Jika diberi warna yang sama, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil,  lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 , dan lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1], 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3, 𝑛𝑛 = {1,2, … } diberi warna � 𝑖𝑖−2 4 � + 1 dan 𝑑𝑑 lainnya diberi warna 𝑐𝑐 ′ ∈ �� 2𝑚𝑚+1 4 � + 1, � 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚+1 2 2 �� untuk 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 7, 𝑛𝑛 = {1,2, … } , diberi warna 𝑐𝑐 ′ ∈ �� 2𝑚𝑚+1 4 � + 1, � 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚+1 2 2 �� untuk 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 9, 𝑛𝑛 = {1,2, … } . Selanjutnya perhatikan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diberi warna yang sama dengan warna pada sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 dan 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 2], 𝑔𝑔 genap, sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 = 1 dan 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5], 𝑔𝑔 ganjil, dan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Jika diberi warna yang sama akan terdapat beberapa lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil, lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap, dan lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga, sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 diberi warna $ 𝑐𝑐 ′ ∈ �� 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚+1 2 2 � + 1, 𝑚𝑚 − 1 � untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 7], 𝑑𝑑 ganjil pada 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 7, 𝑛𝑛 = {1,2, … } dan diberi warna 𝑐𝑐 ′ ∈ �� 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚+1 2 2 � , 𝑚𝑚 − 1 � untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,11] ∧ 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 1, 𝑑𝑑 ganjil pada 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 9, 𝑛𝑛 = {1,2, … } , dan untuk 𝑑𝑑 lainnya tidak dapat lagi diberi warna 𝑐𝑐′ . Sehingga, pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 11 dan 𝑚𝑚 ganjil bukan merupakan pewarnaan-( 𝑚𝑚 − 1 ) pelangi. Karena graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 11, 𝑚𝑚 ganjil bukan merupakan pewarnaan-( 𝑚𝑚 − 1 ) pelangi, maka diperoleh 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 11, 𝑚𝑚 ganjil. Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≤ 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 11, 𝑚𝑚 ganjil dengan pendefinisian warna 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 } sebagai berikut:
𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 ) = �𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ∈ [1, 𝑚𝑚 − 1] ∧ 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 − 1] 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 ∧ 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 2 ) = 𝑚𝑚
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = � 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ∈ [1, 𝑚𝑚 − 1] ∧ 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 ]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 ∧ 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 2 � ( 𝑑𝑑 + 2) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚� , 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 3] ∧ 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 | 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 (4)
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 ) = ( 𝑑𝑑 − 2) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 ∈ [4,2 𝑚𝑚 ], 𝑛𝑛 = {1,2, … } 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 ) = � ( 𝑑𝑑 + 5) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑑𝑑 ∈ [3,2 𝑚𝑚 − 5], 𝑛𝑛 = {1,2, … } 4, 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 1 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = � 4, 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 3, 𝑚𝑚 ≥ 11| 𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 10, 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 3, 𝑚𝑚 = 9 Kemudian, akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 11, 𝑚𝑚 ganjil yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan 𝑐𝑐 . Lintasan pelangi disetiap dua titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 11, 𝑚𝑚 ganjil dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 dan 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada tabel 4.
Subkasus 2.3. 𝑚𝑚 ≥ 12 untuk 𝑚𝑚 genap Untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap memiliki 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) = 8 , maka 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 8 . Akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 12 dan 𝑚𝑚 genap. Diasumsikan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≤ 𝑚𝑚 − 1 , maka terdapat pewarnaan-( 𝑚𝑚 − 1) pelangi pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap dengan definisi warna 𝑐𝑐 ′ : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 − 1} .
𝑐𝑐 ′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ′ ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = � ( 𝑑𝑑 + 1) 4 � +  1, 𝑑𝑑 ∈ [2,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 2, 𝑛𝑛 = {1,2, … }.
Perhatikan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diwarnai dengan warna yang sama pada sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 dan 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 ganjil dan sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 dan 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑔𝑔 genap. Jika diberi warna yang sama, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil,  lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6]| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 dan lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 − 1], 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 3 dengan 𝑛𝑛 = {1,2, … } diberi warna ⌊ 𝑖𝑖−2 4 ⌋ + 1 dan 𝑑𝑑 lainnya diberi warna 𝑐𝑐 ′ ∈ [ ⌊ 2𝑚𝑚+1 4 ⌋ + 2, ⌊ 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚 2 2 ⌋ ] untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap. Selanjutnya perhatikan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑑𝑑 ganjil tidak dapat diberi warna yang sama dengan warna pada sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , sisi 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 untuk 𝑔𝑔 = 2 dan 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 2], 𝑔𝑔 genap, sisi 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 = 1 dan 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5], 𝑔𝑔 ganjil, dan sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Jika diberi warna yang sama akan terdapat beberapa lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+3 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+4 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+4 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil, lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [5,2 𝑚𝑚 − 5],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 , 𝑔𝑔 ganjil,  lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑑𝑑 ∈ [1,2 𝑚𝑚 ], 𝑔𝑔 ∈ [6,2 𝑚𝑚 − 6],2 𝑚𝑚 + 1 = 1| 𝑑𝑑 ganjil dan 𝑔𝑔 genap, dan lintasan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖+𝑗𝑗 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖+𝑗𝑗 untuk 𝑔𝑔 ∈ [8,2 𝑚𝑚 − 8] dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 . Sehingga, sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 diberi warna 𝑐𝑐 ′ ∈ � 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚 2 2 + 1, 𝑚𝑚 − 1 � untuk 𝑑𝑑 ∈ � 1,8 �𝑚𝑚 − 1 − � 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚 2 2 ��� , 𝑑𝑑 ganjil pada 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 8, 𝑛𝑛 = {1,2, … } dan diberi warna 𝑐𝑐 ′ ∈ �� 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚 2 2 � , 𝑚𝑚 − 1 � untuk 𝑑𝑑 ∈ � 1,8 �𝑚𝑚 − 4 − � 2𝑚𝑚− 𝑚𝑚 2 2 ��� ∧ 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 − 1, 𝑑𝑑 ganjil pada 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 10, 𝑛𝑛 = {1,2, … } ,
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dan untuk 𝑑𝑑 lainnya tidak dapat lagi diberi warna 𝑐𝑐′ . Sehingga, pada graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 12 dan 𝑚𝑚 genap bukan merupakan pewarnaan- ( 𝑚𝑚 − 1) pelangi. Karena graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap bukan merupakan pewarnaan-( 𝑚𝑚 − 1 ) pelangi, maka diperoleh 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≥ 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap. Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑟𝑟𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) ≤ 𝑚𝑚 untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap dengan pendefinisian warna 𝑐𝑐 : 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑚𝑚 } sebagai berikut:
𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑐𝑐 𝑖𝑖+1 ) = � 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 ∈ [1, 𝑚𝑚 ] ( 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) + 1, 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐
( 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) − 1, 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 2𝑚𝑚−1 𝑢𝑢 2𝑚𝑚−1 ) = 4
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = � 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ∈ [1, 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 ( 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) + 1, 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 − 1]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐 ∧ 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 , 2 𝑚𝑚 − 2]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 ( 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 ) + 2, 𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚 ∧ 𝑑𝑑 ∈ [2, 𝑚𝑚 − 2]| 𝑑𝑑 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑐𝑐 ( 𝑢𝑢 2𝑚𝑚 𝑢𝑢 1 ) = 𝑚𝑚 − 1 (5)
𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 𝑢𝑢 𝑖𝑖+2 ) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧� ( 𝑑𝑑 + 1) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚� + 2, 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑑𝑑 ∈ [3, 𝑚𝑚 − 5],
𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 8, 𝑛𝑛 = {1,2, … } ∧ 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑑𝑑 ∈ [3, 𝑚𝑚 − 1], 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 10, 𝑛𝑛 = {1,2, … }
� ( 𝑑𝑑 + 1) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚� + 1, 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 − 1,2 𝑚𝑚 − 3], 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 8, 𝑛𝑛 = {1,2, … } 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 − 1, 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 1,2 𝑚𝑚 − 3], 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 10, 𝑛𝑛 = {1,2, … } 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 _2 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 _2 𝑚𝑚 ) = �� (2 𝑚𝑚 − 2) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚� − 1, 𝑚𝑚 = 8 ∧ 𝑚𝑚 ≥ 12| 𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛
10, 𝑚𝑚 = 10 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 𝑐𝑐 ( 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑖𝑖+2 ) =
� 𝑑𝑑 − 2, 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 ∈ [4, 𝑚𝑚 ], 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 8, 𝑛𝑛 = {1,2, … } 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 ∈ [4, 𝑚𝑚 + 2], 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 10, 𝑛𝑛 = {1,2, … }
( 𝑑𝑑 − 3) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 4,2 𝑚𝑚 − 2], 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 8, 𝑛𝑛 = {1,2, … } 𝑑𝑑 = 4 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 ∈ [ 𝑚𝑚 + 6,2 𝑚𝑚 − 2], 𝑚𝑚 = 4 𝑛𝑛 + 10, 𝑛𝑛 = {1,2, … }
Pewarnaan pelangi untuk 𝑆𝑆𝑛𝑛 12 ditunjukkan pada Gambar 2. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa setiap pasang titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap yang tidak saling bertetangga terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan 𝑐𝑐 . Lebih jelasnya lintasan pelangi disetiap dua titik 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) untuk 𝑚𝑚 ≥ 12, 𝑚𝑚 genap dengan kondisi 2 𝑚𝑚 + 1 = 1 dan 1 − 1 = 2 𝑚𝑚 dapat dilihat pada table 5. 
42 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Gambar 2. Pewarnaan Pelangi 𝑆𝑆𝑛𝑛 12

## III. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dalam penelitian ini dapat disimpulkan bahwa graf salju ( 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑚𝑚 ) memiliki bilangan terhubung pelangi yang berbeda untuk setiap bilangan bulat positif 𝑚𝑚 ≥ 3 dan dibuktikan dengan memperlihatkan lintasan lintasan pelangi.

## REFERENSI
[1]  D. B. West, Introduction to Graph Theory , 2nd ed. India: Pearson Education, 2002.
[2]  R. Diestel, Graph Theory , 5th ed. Berlin: Springer Nature, 2017.
[3]  I. K. Budayasa, Teori Graph dan Aplikasinya . Surabaya: Unesa University Press,
2007.
[4]  J. A. Bondy and U. S. R. Murty, GRAPH THEORY WITH APPLICATIONS . United States of America: Elsevier Science Publishing Co., Inc, 1976.
[5]  W. Ummah, “Pelabelan Graf (Graph Labelling),” 2013. [Online]. Available: https://www.academia.edu/ 4306800/PELABELAN_GRAF.
[6]  G. Chartrand, L. Lesniak, and P. Zhang, Graphs & Digraphs , 6th ed. New York: Chapman & Hall/CRC, 2015.
[7]  G. Chartrand, G. L. Johns, K. A. McKeon, and P. Zhang, “Rainbow Connection in Graphs,” Math. Bohem. , vol. 133, pp. 85–98, 2008.
[8]  S. Rahayuningsih, TEORI GRAPH DAN PENERAPANNYA . Malang: Universitas Wisnuwardhana Press Malang (Unidha Press), 2018.
[9]  C. Vasudev, Graph Theory with Application . New Delhi: New Age International Publishers, 2006.
[10]  J. M. Harris, J. L. Hirst, and M. J. Mossinghoff, Combinatorics and Graph Theory , 2nd ed. USA: Springer, 2008.
[11]  S. Sy and R. Wijaya, “Rainbow connection numbers of some graphs,” Appl. Math. Sci. , vol. 8, no. 93–96, pp. 4693–4696, 2014, doi: 10.12988/ams.2014.46398.
[12]  S. Sy, G. H. Medika, and L. Yulianti, “The rainbow connection of fan and sun,” Appl. Math. Sci. , vol. 7, no. 61–64, pp. 3155–3160, 2013, doi: 10.12988/ams.2013.13275.
[13]  I. S. Kumala, “BILANGAN TERHUBUNG PELANGI GRAF BUNGA (W_m, K_n) DAN GRAF LEMON (Le_n),” J. Mat. dan Pendidik. Mat. , vol. 4, 2019.
[14]  D. Fitriani and A. M. N. Salman, “Rainbow connection number of amalgamation of some graphs,” AKCE Int. J. Graphs Comb. , 2016, doi: https://doi.org/10.1016/j.akcej.2016.03.004.
[15]  R. Munir, Matematika Diskrit , 3rd ed. Bandung: Informatika Bandung, 2010.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
[16]  J. A. Gallian, “A dynamic survey of graph labeling,” Electron. J. Comb. , vol. 1, p. 13, 2018.
[17]  C. Vasudev, Combinatorics and Graph Theory . New Delhi: New Age International Publishers, 2007.
[18]  M. Almaliki, “Ini Loh Bentuk Salju Asli, Unik Seperti Gambar Bintang, Kok Bisa?,” 2021. [Online]. Available: https://era.id/sains/51891/ini-loh-bentuk-salju-asli-unik- seperti-gambar-bintang-kok-bisa.
[19]  Y. Irene, “PELABELAN TOTAL (a. d) SISI ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF P_3 ∪ P_n,” J. “LOG!K@,” vol. 6, pp. 152–160, 2016.
[20]  M. Bóna, A walk through combinatorics : an introduction to enumeration and graph theory , 4th ed. USA: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2017.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id