ESTIMASI MODEL REGRESI SEMIPARAMETRIK DISKRIT
Baiq Diah Fitasari 1 , Sri Haryatmi 2 , dan Zulaela 2
1 Universitas Islam Al-Azhar Mataram, baiq diah fitasari@yahoo.com ,
2 Universitas Gadjah Mada, s kartiko@yahoo.com ,
3 Universitas Gadjah Mada, zulaela@ugm.ac.id
Abstract. Approaches that are used to estimate the regression function are paramet- ric regression model approaching and nonparametric regression model approaching. Semiparametric regression is association of parametric regression and nonparametric regression. Semiparametric regression is used if the relation pattern between inde- pendent variables and dependent variables has the known pattern and also has the unknown pattern. Estimating the unknown regression approaching and in this case is using the Nadaraya Watso estimator. Semiparametric estimator is better than non- parametric estimator for the data which have the unknown relationpattern between dependent and independent variable and also has the unknown relation pattern be- tween dependent and independent variable by using the MSE value.
Keywords : estimator, parametric, Nadaraya-Watson estimator, semiparametric es- timator.
Abstrak. Pendekatan yang digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi ada dua jenis yaitu pendekatan model regresi parametrik dan pendekatan model regresi non- parametrik. Regresi semiparametrik merupakan gabungan antara regresi parametrik dan nonparametrik. Regresi semiparametrik digunakan jika pola hubungan antara sekumpulan variabel independen terhadap variabel dependen ada yang polanya dike- tahui dan ada pula yang polanya tidak dapat diketahui. Mengestimasi fungsi regresi yang tidak diketahui dapat menggunakan pendekatan estimator kernel dalam hal ini mengunakan estimator Nadaraya-Watson. Estimator semiparametrik lebih baik dibandingkan dengan estimator nonparametrik untuk data yang sebagian pola hubun- gan variabel dependen dan independennya diketahui dan sebagian polanya tidak dike- tahui dapat dilihat dari nilai MSE yang lebih kecil.
Kata Kunci : estimator, parametrik, estimator Nadaraya-Watson, estimator semi- parametrik.

## 1 Pendahuluan
Analisis regresi merupakan alat statistik yang banyak digunakan dalam berba- gai bidang, yang bertujuan untuk mengetahui hubungan antara variabel de- penden dan variabel independen [3]. Pendekatan model regresi semiparametrik merupakan pendekatan model baru dalam regresi yang menggabungkan antara regresi parametrik dan nonparametrik, dalam artian sebagian variabel inde- pendennya bersifat parametrik dan sebagian lain bersifat nonparametrik. Re- gresi semiparametrik digunakan jika pola hubungan antara sekumpulan vari- abel independen terhadap variabel dependen ada yang polanya diketahui dan ada pula yang polanya tidak dapat diketahui [8].
Mengestimasi fungsi regresi yang tidak diketahui dapat menggunakan pen- dekatan estimator kernel [9]. Kernel merupakan suatu fungsi yang mewakili

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
variabel-variabel independen yang bersifat nonparametrik. Estimator kernel memiliki bentuk yang lebih fleksibel dan perhitungan matematisnya mudah disesuaikan. Estimasi model regresi semiparametrik dapat dilakukan dengan berbagai metode yang ada misalnya metode kuadrat terkecil, metode likeli- hood , metode Mean Square Error (MSE), Root Mean Squared Error (RMSE) dan lain-lain [5], [6].
Variabel diskrit merupakan variabel yang hasil pengukurannya (kodomain) berupa bilangan bulat. Variabel diskrit sering juga dinyatakan sebagai vari- abel kategori. Contoh variabel diskrit dikotomi adalah jenis kelamin, status perkawinan, sedangkan variabel diskrit polikotomi contohnya yaitu tingkat pendidikan. Untuk beberapa model regresi semiparametrik kontinu telah diba- has oleh [4] dan [7]. Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji tentang estimasi model regresi semiparametrik diskrit dan simulasinya meng- gunakan program R.

## 2 MODEL REGRESI SEMIPARAMETRIK
Bentuk dari model regresi semiparametrik didefinisikan sebagai berikut [8]:
Y i = m ( X i ) + ε i , i = 1 , 2 , .., n (1)
dengan Y i adalah nilai variabel dependen ke- i , X i adalah nilai variabel inde- penden ke- i , m adalah fungsi regresi yang tidak diketahui untuk diestimasi dan ε i adalah error dengan mean E ( ε i ) = 0 dan variansi V ar ( ε i ) = σ 2 < ∞ , serta
m ( x ) = r ( x ; β ) ω ( x ) (2) =: m ω ( x ; β ) , untuk x ∈ N d
dengan r ( x ; β ) adalah fungsi parametrik yang tergantung pada parameter yang tidak diketahui β = ( β 1 , · · · , β p ) T dan ω ( . ) fungsi koreksi perkalian non- parametrik.

## 2.1 Komponen Parametrik
Bentuk dari model linier didefinisikan sebagai berikut [3]:
Y i = β 0 + β 1 X i + ε i , i = 1 , 2 , · · · , n (3)
dengan Y i adalah nilai variabel dependen ke- i , X i adalah nilai variabel in- dependen ke- i dan ε i adalah error dengan mean E ( ε i ) = 0 dan variansi V ar ( ε i ) = σ 2 < ∞ . Berdasarkan Persamaan 3 dan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil akan diperoleh estimator untuk β 0 dan β 1 sebagai berikut:
ˆ β 0 = ¯ Y − β 1 ¯ X (4)
ˆ β 1 = n P n i =1 X i Y i − P n i =1 X i P n i =1 Y i n P n i =1 X 2 i − ( P n i =1 X i ) 2 (5)
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan

## 2.2 Komponen Nonparametrik
2.2.1 Gabungan Kernel Diskrit Dalam metode gabungan kernel diskrit fungsi kernel K x,h ( · ) merupakan fungsi massa probabilitas (f.m.p) dengan sup- port S x yang tidak tergantung pada h dan x ∈ S x . Selain itu, diberlakukan dua asumsi sebagai berikut [2]:
lim h → 0 E ( K x,h ) = x (6)
lim h → 0 V ar ( K x,h ) = 0 (7)
dimana K x,h adalah variabel acak diskrit dengan f.m.p adalah K x,h ( · ). 2.2.2 Estimasi Regresi Nonparametrik Diketahui estimator Nadaraya- Watson sebagai berikut [5]:
˜ m n ( x ) = P n i =1 Y i K x,h ( X i ) P n j =1 K x,h ( X j ) , x ∈ N (8)
dengan h = h ( n ) > 0 adalah urutan sebarang parameter smoothing yang memenuhi lim n →∞ h ( n ) = 0 dan K x,h ( · ) adalah gabungan fungsi kernel diskrit.
Teorema 1. Misalkan f merupakan f.m.p dari variabel acak diskrit X yang didefinisikan pada N . Diasumsikan bahwa f ( x ) = P ( X = x ) > 0 untuk x ∈ N . Selanjutnya, andaikan bandwidth h = h ( n ) > 0 memenuhi lim n →∞ h = 0 dan kernel diskrit K x,h ( · ) memenuhi asumsi 6 dan 7, maka bias dan variansi dari ˜ m n ( x ) yaitu:
Bias [ ˜ m n ( x )] = m (2) ( x ) + 2 m (1) ( x ) f (1) f ( x ) V ar ( K x,h ) 2 + O 1 n + o ( h ) (9)
V ar [ ˜ m n ( x )] = V ar ( Y | X = x ) nf ( x ) [ P ( K x,h = x )] 2 + o ( 1 n ) (10)
dengan f (1) , m (1) dan m (2) merupakan turunan hingga.
Bukti. Estimator regresi nonparametrik pada Persamaan 8, dapat ditulis se- bagai:
˜ m n ( x ) = N n ( x ; h ) D n ( x ; h ) (11)
dengan D n ( x ; h ) = n − 1 P n j =1 K x,h ( X j ) dan N n ( x ; h ) = n − 1 P n i =1 Y i K x,h ( X i ). Konvergensi dari D n ( x ; h ) ke f ( x ) ditentukan menurut [1] dan dengan cara yang sama konvergensi dari N n ( x ; h ) ke mf ( x ) dapat diperoleh. Kemudian, berdasarkan deret Taylor dapat ditulis sebagai berikut:
˜ m n ( x ) = m ( x ) + 1 f ( x ) [ N n ( x ; h ) − ( mf )( x )] − ( mf )( x ) f 2 ( x ) [ D n ( x ; h ) − f ( x )] − 1 f 2 ( x ) [ N n ( x ; h ) − ( mf )( x )][ D n ( x ; h ) − f ( x )] + N n ( x ; h ) f 3 ( x ) [ D n ( x ; h ) − f ( x )] 2 [1 + o (1)] a.s (12)

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Ekspektasi dari D n ( x ; h ) dapat didekati dengan
E [ D n ( x ; h )] = f [ E ( K x,h )] + 1 2 V ar ( K x,h ) f (2) ( x ) + o ( h ) , h → 0
Dengan cara yang sama, untuk ekspektasi dari N n ( x ; h ) diperoleh:
E [ N n ( x ; h )] = ( mf )[ E ( K x,h )] + 1 2 V ar ( K x,h )( mf ) (2) ( x ) + o ( h ) (13)
Dengan demikian, berdasarkan asumsi 6 dari gabungan kernel diskrit, diper- oleh:
Bias [ D n ( x ; h )] = E [ D n ( x ; h )] − f ( x ) = 1 2 V ar ( K x,h ) f (2) ( x ) + o ( h ) (14)
dan
Bias [ N n ( x ; h )] = E [ N n ( x ; h )] − ( mf )( x ) = 1 2 V ar ( K x,h )( mf ) (2) ( x )+ o ( h ) (15)
Selanjutnya,
E N n ( x ; h )[ D n ( x ; h ) − f ( x )] 2
= O (1 /n ) 2 + O (1 /n ) + E [ D n ( x ; h ) − f ( x )] 2 E [ N n ( x ; h )] (16)
sehingga diperoleh
E [ ˜ m n ( x )] − m ( x ) = ( mf ) (2) ( x ) f ( x ) − mf (2) ( x ) f ( x ) V ar ( K x,h ) 2 + O (1 /n ) + o ( h )
dan
M SE ( x ) = V ar [ ˜ m n ( x )] + Bias 2 [ ˜ m n ( x )] = m (2) ( x ) + 2 m (1) ( x ) f (1) f ( x ) 2 V ar 2 ( K x,h ) 4 = E ( Y 2 1 | X 1 = x ) − f ( x ) E 2 ( Y 1 | X 1 = x ) nf ( x ) [ P ( K x,h = x )] 2 + o h 2 + 1 n (17)

## 3 ESTIMASI REGRESI SEMIPARAMETRIK
Bentuk estimator semiparametrik dari m dapat ditulis sebagai:
ˆ m n ( x ) = r 0 ( x )˜ ω n ( x ) = n X i =1 Y i K x,h ( X i ) P n j =1 K x,h ( X j ) × r 0 ( x ) r 0 ( X i ) , x ∈ N (18)
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Teorema 2. Misalkan diberikan x titik di N yang memenuhi f ( x ) = P ( X = x ) > 0 . Diasumsikan bahwa fungsi regresi memenuhi m ( x ) = r 0 ( x ) ω ( x ) dengan r 0 ( x ) = r ( x ; β 0 ) sebagai awal tetap. Maka, dengan syarat h = h ( n ) → 0 untuk n → ∞ , estimator ˆ m n ( x ) membuktikan
Bias [ ˆ m n ( x )] = r 0 ( x ) ω (2) ( x ) + 2 r 0 ( x ) ω (1) ( x ) f (1) f ( x ) V ar ( K x,h ) 2 + O 1 n + o ( h ) (19)
V ar [ ˆ m n ( x )] = V ar ( Y | X = x ) nf ( x ) [ P ( K x,h = x )] 2 + o 1 n (20)
dengan f (1) , ω (1) dan ω (2) merupakan beda hingga.
Bukti. Bukti dari teorema ini diperoleh dengan cara yang sama pada Teorema 1. Estimator semiparametrik ˆ m n ( x ) dapat ditulis sebagai
ˆ m n ( x ) = H n ( x ; h ) F n ( x ; h )
dan dengan deret Taylor diperoleh persamaan yang sama seperti Persamaan 12 dengan H n ( x ; h ) = n − 1 P n i =1 [ r 0 ( x ) /r 0 ( X i )] Y i K x,h ( X i ) dan F n ( x ; h ) = n − 1 P n j =1 K x,h ( X j ) = D n ( x ; h ). Nilai ekspektasi dari ˆ m n ( x ) yaitu
E [ H n ( x ; h )] = ( mf )( x ) + 1 2 V ar ( K x,h ) r 0 ( x )( ωf ) 2 ( x ) + o ( h ) (21)
dan nilai biasnya adalah sebagai berikut
Bias [ H n ( x ; h )] = E [ H n ( x ; h )] − ( mf )( x ) = 1 2 V ar ( K x,h ) r 0 ( x )( ωf ) 2 ( x ) + o ( h )
Kemudian untuk variansi,
V ar [ H n ( x ; h )] = n − 1 r 0 ( x ) ( E ( ωf ) 2 ( K 2 x,h )) − ( E ( ωf )( K x,h )) 2
Untuk mendapatkan bias ˆ m n ( x ) dan Var ˆ m n ( x ), menggunakan argumen yang sama seperti dalam bukti Teorema 1.

## 4 STUDI KASUS
Dalam penelitian ini akan digunakan data sekunder. Data sekunder yang di- gunakan merupakan informasi data yang diperoleh dari SMA Muhammadiyah Kecamatan Masbagik Kabupaten Lombok Timur Provinsi Nusa Tenggara Barat. Data tersebut berupa data pembelajaran kooperatif tipe jigsaw dan dan ak- tivitas belajar siswa terhadap prestasi belajar siswa kelas X tahun pelajaran 2011/2012. Data ini digunakan untuk studi kasus dalam mengestimasi model

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
regresi semiparametrik diskrit dan untuk melakukan analisis data menggu- nakan program R. Pada penelitian ini yang menjadi variabel independen adalah pembelajaran kooperatif tipe jigsaw dan aktivitas belajar siswa dengan vari- abel independen adalah prestasi belajar siswa, serta yang menjadi sampel pada penelitian ini adalah kelas X.3 yaitu sebanyak 28 orang siswa.
Analisis data menggunakan program R. Dari hasil analisis data diperoleh hasil sebagai berikut:
1. Komponen Parametrik
Dengan menggunakan regresi linier diperoleh nilai ˆ β 0 = 19 , 8626915 dan
ˆ β 1 = 0 , 9539114.
2. Komponen Nonparametrik
Dengan menggunakan estimator Nadaraya-Watson diperoleh nilai M SE = 4605 , 595 3. Komponen Semiparametrik
Dengan menggunakan hasil estimator yang pada sub bab 3 diperoleh nilai
M SE = 88 , 74602

## 5 KESIMPULAN
Berdasar atas hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Estimator model regresi semiparametrik diskrit diperoleh sebagai berikut:
ˆ m n ( x ) = r 0 ( x )˜ ω n ( x ) = n X i =1 Y i K x,h ( X i ) P n j =1 K x,h ( X j ) × r 0 ( x ) r 0 ( X i ) , x ∈ N
2. Bias asimtotik dan variansi asimtotik dari estimator model regresi semi- parametrik diskrit diperoleh sebagai berikut:
Bias [ ˆ m n ( x )] = r 0 ( x ) ω (2) ( x ) + 2 r 0 ( x ) ω (1) ( x ) f (1) f ( x ) V ar ( K x,h ) 2 + O 1 n + o ( h ) V ar [ ˆ m n ( x )] = V ar ( Y | X = x ) nf ( x ) [ P ( K x,h = x )] 2 + o 1 n
3. Nilai MSE dari model regresi semiparametrik diskrit adalah MSE=88,74602 lebih kecil dibandingkan dengan nilai MSE dari model regresi nonparametrik MSE=4605,595. Jadi, dapat dikatakan bahwa dalam hal ini estimator re- gresi semiparametrik diskrit lebih baik dibandingkan dengan estimator re- gresi nonparametrik.

## Daftar Pustaka
[1] Abdous, B., Kokonendji, C. C., dan Senga Kiesse, T. 2010. On Semiparametric Regression for Count Explanatory Variables Journal of Statistical Planning dan Inference . 6:1537-1548.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
[2] Kokonendji, C. C., dan Senga Kiesse, T. 2011. Discrete Associated Kernels Method and Exten- sions. Statistical Methodology . 8:497-516.
[3] Draper, R. N., dan Smith, H. 1996. Applied Regression Analysis . Johan Wiley dan Sons, Inc.
[4] Fan, J., Wu, Y., dan Feng, Y. 2009. Local Quasi-Likelihood with a Parametric Guide. The Annals of Statistics . 37:4153-4283.
[5] Hardle, W. 1991. Smoothing Techniques with Implementation in S . SpringerVerlag. New York.
[6] Hastie, T. J., dan Tibshirani. 1990. Generalized Additive Model 4th ed. Chapman dan Hall. London.
[7] Martins-Filho, C., Mishra, S., dan Ullah, A. 2008. A Class of Improved Parametrically Guided Nonparametric Regression Estimators. Econometrics Reviews . 27:542-573.
[8] Ruppert, D., Wand, M. P., dan Carrol, R. J. 2003. Semiparametric Regression . Cambridge University. United Kingdom.
[9] Wand, M. P., dan Jones, M. C. 1995 Kernel Smoothing . Chapman dan Hall. London.