P-ISSN: 2614-3038 Volume 07, Nomor 03, Agustus-November 2023, pp. 2703-2714

## Struktur Argumentasi Mahasiswa dalam Pembuktian Sifat Ketertutupan Suatu Grup
M. Zainul Arifin 1 , Sudirman 2  , Rustanto Rahardi 3
1, 2,3 Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang Jl. Semarang No 5, Kota Malang, Indonesia zainularifin9195@gmail.com

## Abstract
This research applied the Toulmin Argumentation Model in identifying the structure of argumentation to prove the closure property of a Group with a deductive approach. The data were obtained from 30 students who took the Introduction to Ring Theory course. From all the participants, one subject was selected for further analysis based on complete and correct answers. The components of Toulmin's model were applied in analyzing the answers of the selected subject. The results of the analysis showed that the subject was able to construct a clear Claim  and  to  present  an  appropriate  Warrant  and  strong  Backing;  although  some  of  the  components  of  the argumentation were presented implicitly, they could be revealed using the Toulmin Argumentation Model. The advantage  of  using  the  Toulmin  Argumentation  Model  in  deductive  proof  is  seen  in  its  ability  to  formulate structured and clear arguments. This model allows for systematic explanations and strengthens confidence in the validity of the proof. This research is expected to enrich the understanding of the structure of argumentation in  deductive  proofs  of  the  closure  property  of  a  Group,  and  to  show  the  potential  use  of  the  Toulmin Argumentation Model in identifying mathematical argumentations.
Keywords: Argumentation, Closure, Group Theory, Structure, Proving

## Abstrak
Penelitian  ini  menerapkan  Model  Argumentasi  Toulmin  dalam  mengidentifikasi  struktur  argumentasi  pada pembuktian sifat ketertutupan suatu grup dengan pendekatan deduktif. Data diperoleh dari 30 mahasiswa yang menempuh  mata  kuliah  pengantar  teori  gelanggang.  Dari  seluruh  partisipan  yang  berpartisipasi,  satu  subjek dipilih  berdasarkan  jawaban  lengkap  dan  benar  untuk  dianalisis  lebih  lanjut.  Komponen-komponen  model Toulmin diterapkan dalam analisis terhadap jawaban subjek yang dipilih. Hasil analisis menunjukkan bahwa subjek  mampu  merumuskan Claim yang  jelas,  menyajikan Warrant yang  tepat  dan Backing yang  kuat, walaupun  terdapat  komponen  argumentasi  yang  tersaji  secara  implisit,  namun  dapat  diungkap  dengan menggunakan  Model  Argumentasi  Toulmin.  Kelebihan  penggunaan  model  argumentasi  Toulmin  dalam pembuktian  deduktif  terlihat  dalam  kemampuannya  untuk  merumuskan  argumen  yang  terstruktur  dan  jelas. Model  ini  memungkinkan  penjelasan  yang  sistematis  dan  memperkuat  kepercayaan  terhadap  validitas pembuktian. Dengan adanya penelitian ini diharapkan memperkaya pemahaman tentang struktur argumentasi dalam  pembuktian  deduktif  terhadap  sifat  ketertutupan  grup  dan  menunjukkan  potensi  penggunaan  Model Argumentasi Toulmin dalam mengidentifikasi argumentasi matematika.
Kata kunci: Argumentasi, Ketertutupan, Pembuktian, Struktur, Teori Grup
Copyright (c) 2023 M. Zainul Arifin, Sudirman, Rustanto Rahardi  Corresponding author: Sudirman Email Address: sudirman.fmipa@um.ac.id (Jl. Semarang No 5, Kota Malang, Indonesia) Received 01 June 2023, Accepted 23 July 2023, Published 18 August 2023 DoI : https://doi.org/10.31004/cendekia.v7i3.2534

## PENDAHULUAN
Pembuktian  bukanlah  hal  yang  baru  bagi  mahasiswa  matematika  di  perguruan  tinggi. Pembuktian merupakan dasar dari pemahaman matematika dan sangat penting untuk mengembangkan, membangun, dan mengomunikasikan matematika (Nadlifah & Prabawanto, 2017). Pembuktian adalah salah satu karakteristik utama dari matematika sebagai sebuah disiplin ilmu (Rabin & Quarfoot, 2021) dan  menjadi  dasar  dalam  kegiatan  matematika  (Hanna,  2018;  Wittmann,  2021).  Validitas  teorema dalam  matematika  dapat  ditunjukkan  dengan  adanya  pembuktian  (Cadwallader  Olsker,  2011;  Pala
dkk., 2021). Lebih lanjut, pembuktian dan penalaran berperan penting untuk menunjukkan kebenaran solusi  dari  permasalahan  matematika  dalam  pembelajaran  matematika  (Hamami  &  Morris,  2020; Wittmann,  2021),  sehingga  kemampuan  mengonstruksi  bukti  bagi  mahasiswa  matematika  menjadi salah satu hal yang sangat penting (Moore, 2016; Thomas dkk., 2015; Wasserman dkk., 2018). Lee (2016)  mendefinisikan  konstruksi  bukti  sebagai  proses  membangun  pernyataan  matematika  untuk menunjukkan proposisi matematikanya benar atau salah.
Salah  satu  mata  kuliah  yang  menuntut  mahasiswa  menggunakan  kemampuan  pembuktian matematika adalah Aljabar Abstrak (Isnarto dkk., 2014), dan merupakan salah satu mata kuliah yang sangat penting yang ada dalam kurikulum jurusan matematika dan pendidikan matematika di Indonesia maupun di negara lain (Arnawa dkk., 2020). Kemampuan ini menjadi salah satu aspek penting dalam mempelajari Aljabar Abstrak (Findell, 2001). Karena mata kuliah tersebut identik dengan definisi dan teorema  membutuhkan  pembuktian,  maka  mahasiswa  harus  memahami  setiap  definisi  dan  teorema untuk  mengorganisasikan  konsep  dalam  kegiatan  pembuktian  (Astuti  &  Zulhendri,  2017; Pramasdyahsari dkk., 2022).
Toulmin  menyatakan  untuk  mengidentifikasi  struktur  suatu  argumen  dapat  menggunakan Model Argumentasi Toulmin (Toulmin, 2003). Banegas (2013) menyatakan bahwa skema Toulmin dapat digunakan dalam analisis, penilaian dan konstruksi argumen dan dengan menggunakan skema tersebut dapat diketahui bahwa apakah argumen tersebut didukung oleh suatu data yang valid, jaminan apa  saja  yang  digunakan  untuk  menyatakan  argumen  valid,  apakah  ada  penyangkal  dari  argumen tersebut.  Model  Argumentasi  Toulmin  terdiri  dari  tiga  komponen  utama: Data (D), Claim (C)  dan Warrant (W) dan tiga komponen pelengkap: Backing (B), Rebuttal (R) dan Qualifier (Q). Argumen Toulmin digambarkan dalam skema seperti pada Gambar 1 di bawah ini.

## Gambar 1. Skema Model Argumentasi Toulmin
Menurut  Toulmin  (2003), Data (D)  adalah  fondasi  argumen.  Terdiri  dari  fakta-fakta  yang mendukung  Claim. Claim (C)  adalah  pernyataan  atau  kesimpulan  yang  dibuat  berdasarkan  data. Warrant (W) adalah jembatan yang menghubungkan data dan Claim dan menjadi dasar pemikiran atau alasan yang digunakan untuk menghasilkan kesimpulan. Sebuah Warrant diperkuat oleh Backing (B), yang  merupakan  bukti  lebih  lanjut  atau  alasan  tambahan  yang  diperlukan. Rebuttal (R)  adalah pernyataan  yang  menyangkal  kesimpulan  yang  dihasilkan  jika  kondisi  tersebut  tidak  terpenuhi (Toulmin, 2003). Manfaat dalam menganalisis suatu argumen dengan skema Toulmin adalah untuk menangkap makna terbaik atau kekuatan kata-kata dan proposisi dengan melihat bagaimana seseorang mampu menggunakannya dalam berbagai konteks (Bizup, 2009).
Terdapat  banyak  penelitian  terdahulu  yang  membahas  mengenai  struktur  argumentasi. Penelitian Faizah dkk. (2021) dan Aaidati dkk. (2022) menginvestigasi struktur argumen namun tidak menunjukkan  bagaimana  skema  atau  struktur  argumentasi  yang  lengkap  hasil  pekerjaan  siswa. Kemudian  penelitian  Laamena  &  Nusantara  (2019)  mengkaji  mengenai  struktur  argumentasi  yang berfokus pada komponen Backing dan menampilkan bagaimana struktur argumentasi Toulmin yang lengkap dari jawaban mahasiswa, namun. Namun masih sedikit penelitian yang berfokus pada struktur argumentasi dalam mengonstruksi bukti terutama pada materi Teori Grup pada sifat ketertutupan. Oleh karena  itu,  perlu  adanya  penelitian  untuk  mendeskripsikan  struktur  argumentasi  yang  digunakan mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  dan  menganalisisnya  dengan  menggunakan  Model Argumentasi Toulmin. Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan argumentasi mahasiswa dalam pembuktian  sifat  ketertutupan  suatu  grup  berdasarkan  Model  Argumentasi  Toulmin  dengan menganalisis  dan  memahami  komponen-komponen  argumentasi  yang  digunakan  oleh  mahasiswa. Hasil  penelitian  ini  diharapkan  dapat  memberikan  wawasan  bagi  pengajar  dalam  mengidentifikasi komponen argumentasi yang digunakan oleh mahasiswa. Dengan memahami komponen-komponen tersebut, pengajar dapat lebih efektif dalam membimbing mahasiswa dalam mengonstruksi bukti yang valid.  Hasil  penelitian  ini  diharapkan  dapat  menjadi  pedoman  bagi  pengajar  dalam  membimbing mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  yang  valid.  Temuan  penelitian  ini  dapat  digunakan  sebagai sumber ide untuk merekonstruksi argumentasi mahasiswa yang kurang valid, sehingga pengajar dapat memberikan  panduan  yang  lebih  spesifik  dan  membantu  mahasiswa  memperbaiki  kualitas argumentasi mereka.

## METODE
Penelitian ini menggunakan desain penelitian deskriptif kualitatif untuk mendeskripsikan struktur argumen  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  pada  materi  Teori  Grup,  terutama  pada  sifat ketertutupan. Sebanyak 30 mahasiswa semester empat yang sedang menempuh mata kuliah Pengantar Teori  Gelanggang  pada  Departemen  Matematika  Universitas  Negeri  Malang  menjadi  partisipan penelitian. Data diperoleh dari jawaban terhadap soal Tes Pembuktian Matematika yang terdapat pada Gambar 2 dan hasil wawancara terhadap mahasiswa.
Gambar 2. Soal Tes Pembuktian Matematika
Soal tes terdiri dari 1 soal pembuktian 𝐺 adalah grup. Untuk membuktikan suatu sistem (𝐺,×)
adalah  grup,  maka  perlu  ditunjukkan  beberapa  sifat  yaitu  operasinya  bersifat  tertutup,  operasinya bersifat asosiatif, terdapat elemen identitas, dan setiap elemen di 𝐺 memiliki invers. Berdasarkan sifat tersebut dipilih satu sifat yaitu sifat tertutup yang akan diteliti lebih lanjut mengenai argumentasi yang dikonstruksi oleh mahasiswa. Karena sifat tertutup merupakan sifat yang pertama kali harus dibuktikan ketika akan membuktian suatu grup, sehingga penting bagi mahasiswa untuk dapat membuktikan sifat ketertutupan dengan benar dan dapat melanjutkan ke pembuktian sifat grup selanjutnya. Soal tersebut telah  melalui  proses  validasi  oleh  1  orang  validator  ahli  pada  bidang  matematika.  Bukti-bukti  dari mahasiswa diterima dalam bentuk tertulis. Berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa, dipilih 1 subjek dengan jawaban yang lengkap dan benar supaya dapat menggambarkan argumentasi yang digunakan dengan lebih mendalam. Kemudian dilakukan wawancara agar dapat menggali informasi lebih lanjut mengenai argumentasi yang digunakan oleh subjek ketika menunjukkan sifat ketertutupan. Data hasil pekerjaan subjek dan transkrip wawancara akan dianalisis struktur argumentasinya berdasarkan Model Argumentasi  Toulmin  dengan  cara  mengidentifikasi  setiap  komponen  argumentasi  dan  keterkaitan antar komponen tersebut.

## HASIL DAN DISKUSI
Berdasarkan  hasil  Tes  Pembuktian  Matematika  dari  sebanyak  30  mahasiswa,  didapatkan sebanyak  2  mahasiswa  mampu  memberikan  jawaban  dengan  lengkap,  21  mahasiswa  memberikan jawaban dengan tidak lengkap dan 7 mahasiswa dengan tanpa jawaban sesuai dengan Gambar 3 di bawah ini.

## Gambar 3. Distribusi Kelengkapan Jawaban
Berdasarkan  grafik  distribusi  jawaban  pada  Gambar  4  di  bawah  ini  didapatkan  bahwa sebanyak  9  mahasiswa  mampu  membuktikan  sifat  ketertutupan  namun  hanya  3  mahasiswa  yang mampu  menjawab  dengan  benar,  dimana  sifat  ketertutupan  merupakan  sifat  yang  paling  sedikit dijawab dan paling sedikit dijawab dengan benar oleh mahasiswa. Kemudian dari 2 mahasiswa yang mampu memberikan jawaban dengan lengkap dan menjawab benar pada sifat ketertutupan tersebut dipilih 1 mahasiswa sebagai subjek penelitian untuk mengetahui bagaimana struktur argumentasinya lebih mendalam.
Gambar 4. Distribusi Jawaban Benar pada Sifat Ketertutupan
Agar  mempermudah  mendapatkan  informasi  mengenai  komponen-komponen  argumentasi dari  bukti  yang  dikonstruksi  oleh  mahasiswa  pada  sifat  ketertutupan,  maka  dibuat  suatu  skema pembuktian  ideal  yang  menjadi  acuan  dalam  menganalisis  hasil  pekerjaan  mahasiswa.  Skema pembuktian yang ideal tersaji pada Gambar 5 di bawah ini
Gambar 5.Struktur pembuktian ideal pada sifat ketertutupan
Berdasarkan skema pembuktian yang ideal pada Gambar 5 di atas, Data adalah informasi yang diketahui pada soal, yaitu diketahui bahwa terdapat himpunan 𝐺 sebagai berikut.
𝐺 = {( 1 𝑎 0 𝑏 ) | 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0 } (1)
Kemudian  diketahui  bahwa  operasi  yang  digunakan  adalah  operasi  perkalian  (untuk mempermudah penyebutan disebut sebagai (𝐺,×) ), dengan Claim bahwa operasi perkalian di (𝐺,×) bersifat  tertutup  berdasarkan Warrant yaitu  definisi  ketertutupan,  untuk 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐺 maka 𝑋𝑌 ∈ 𝐺 . Ketiga  komponen  tersebut  membentuk  struktur  terluar  dari  pembuktian  dan  siapapun  yang  ingin
menunjukkan ketertutupan akan menggunakan struktur yang sama. Namun yang membedakan adalah pada komponen Backing . Backing menjelaskan mengapa Warrant bernilai benar. Oleh karena itu, pada komponen Backing inilah terjadi perbedaan struktur pembuktian sesuai dengan hasil pekerjaan subjek. Gambar 6 di bawah ini merupakan hasil pekerjaan Subjek dalam menunjukkan sifat ketertutupan pada (𝐺,×) .

## Gambar 6. Hasil Pekerjaan Subjek
Subjek menggunakan argumentasi yang bersifat deduktif dalam mengonstruksi bukti bahwa operasi di 𝐺 bersifat tertutup. Langkah pertama yang dilakukan Subjek untuk memulai pembuktian adalah dengan mengambil dua anggota 𝐺 , yaitu 𝑋 dan 𝑌 dengan 𝑋 = ( 1 𝑎 0 𝑏 ) dan 𝑌 = ( 1 𝑐 0 𝑑 ) dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ dan 𝑏, 𝑑 ≠ 0 .  Berdasarkan  pernyataan  tersebut  Subjek  sudah  mampu  memahami informasi yang terdapat pada soal, karena mampu menunjukkan bagaimana anggota himpunan 𝐺 dan syarat-syarat  apa  saja  yang  harus  dipenuhi  agar  menjadi  anggota  himpunan 𝐺 .  Pernyataan  tersebut yang digunakan Subjek sebagai komponen Data untuk membuat Claim bahwa 𝑋𝑌 = ( 1 𝑐 + 𝑎𝑑 0 𝑏𝑑 ) ∈ 𝐺 .
Terdapat banyak komponen argumentasi yang dibiarkan secara implisit pada proses tersebut, dimulai ketika Subjek mengambil 2 anggota himpuna 𝐺 yaitu 𝑋 = ( 1 𝑎 0 𝑏 ) dan 𝑌 = ( 1 𝑐 0 𝑑 ) dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, ∈ ℝ dan 𝑏, 𝑑 ≠ 0 , kemudian dilakukan operasi perkalian matriks sehingga dihasilkan 𝑋𝑌 = ( 1 𝑐 + 𝑎𝑑 0 𝑏𝑑 ) .  Namun  komponen  argumentasi  yang  implisit  tersebut  masih  masuk  pada  struktur pembuktian karena berkaitan mengenai pemahaman Subjek terhadap operasi perkalian matriks pada umumnya.  Berdasarkan  dari  hasil  perkalian  tersebut,  Subjek  mengajukan Claim bahwa ( 1 𝑐 + 𝑎𝑑 0 𝑏𝑑 ) ∈ 𝐺 .
Tentu  saja Claim tersebut  harus  didasari  dengan Warrant dan Backing .  Subjek  menuliskan pernyataan  “karena  sesuai  dengan  format ( 1 𝑥 0 𝑦 ) dengan 𝑥 = 𝑐 + 𝑎𝑑 dan 𝑦 = 𝑏𝑑 ”.  Pernyataan tersebut menjadi sebuah Warrant karena secara tidak langsung pernyataan tersebut merupakan definisi dari anggota himpunan 𝐺 . Namun belum ada yang menjamin bahwa Warrant tersebut benar, terdapat
Rahardi
beberapa komponen lagi yang perlu ditunjukkan kebenarannya berdasarkan definisi anggota himpunan 𝐺 , yaitu 𝑐 + 𝑎𝑑 ∈ ℝ dan 𝑏𝑑 ≠ 0 . Sehingga 2 hal tersebut menjadi Backing yang memperkuat Warrant yaitu  definisi  anggota  himpunan 𝐺 . Backing tersebut  juga  harus  diperkuat  karena  harus  dipastikan apakah benar 𝑐 + 𝑎𝑑, 𝑏𝑑 ∈ ℝ dan 𝑏𝑑 ≠ 0 . Sehingga dibuat 2 argumen baru dengan Claim pertama yaitu 𝑐 + 𝑎𝑑 ∈ ℝ dan Claim kedua  yaitu 𝑏𝑑 ≠ 0 .  Untuk Claim 𝑐 + 𝑎𝑑 ∈ ℝ ,  Subjek  menggunakan informasi 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ untuk  digunakan  sebagai Data .  Kemudian  pada  saat  wawancara  Subjek memberikan alasan bahwa jika bilangan real dioperasikan akan menghasilkan bilangan real juga, dan pernyataan  itu  menjadi Warrant pada  argumen  tersebut.  Kemudian  untuk Claim 𝑏𝑑 ≠ 0 ,  Subjek menggunakan infromasi 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0 untuk digunakan sebagai Data .
Kemudian pada saat wawancara juga Subjek memberikan alasan bahwa jika dua bilangan real yang  tidak  nol  dikalikan  hasilnya  juga  tidak  nol,  dan  pernyataan  itu menjadi  sebuah Warrant pada argumen  tersebut.  Secara  keseluruhan  Subjek  merasa  yakin  dengan  pembuktian  yang  telah dikonstruksi tersebut benar, karena telah menggunakan metode pembuktian deduktif dan tidak terdapat kesalahan  konsep  maupun  penghitungan  sehingga  muncul  komponen Qualifier yaitu  Subjek  yakin dengan Claim yang dibuatnya.
Langkah  terakhir  adalah  membuat  struktur  argumentasi  yang  dikonstruksi  oleh  Subjek. Aberdein (2005) menyarankan bahwa struktur dari sebuah argumentasi dapat diungkap dengan lebih jelas  dengan  cara  merantai  pasangan Data-Claim yang  dihubungkan  dengan  pasangan Warrant- Backing dalam  sebuah  pembuktian.  Gambar  7  di  bawah  ini  merupakan  struktur  argumentasi  yang dikonstruksi Subjek dalam membuktikan sifat ketertutupan.
Gambar 7. Struktur argumentasi subjek dalam membuktikan sifat ketertutupan
Penjelasan mengenai struktur argumentasi yang dikonstruksi Subjek dalam membuktikan sifat ketertutupan pada Gambar 7 tersaji pada Tabel 1 sebagai berikut.
Tabel 1. Deskripsi struktur argumentasi subjek
Pernyataan
Argumen 1 D1 𝐺 = {( 1 𝑎 0 𝑏 ) | 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0 } dengan operasi perkalian Q Yakin C1 (𝐺,×) bersifat tertutup W1 Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 maka 𝑥𝑦 ∈ 𝐺 B1 Argumen 2 sampai argumen 5 Argumen 2 D2 𝑋 = ( 1 𝑎 0 𝑏 ) , 𝑌 = ( 1 𝑐 0 𝑑 ) dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ dan 𝑏, 𝑑 ≠ 0
C2 𝑋𝑌 = ( 1 𝑐 + 𝑎𝑑 0 𝑏𝑑 ) W2 Operasi perkalian matriks Argumen 2 D3 𝑋𝑌 = ( 1 𝑐 + 𝑎𝑑 0 𝑏𝑑 ) C3 ( 1 𝑐 + 𝑎𝑑 0 𝑏𝑑 ) ∈ 𝐺 W3 Sesuai dengan format, ( 1 𝑥 0 𝑦 ) dengan 𝑥 = 𝑐 + 𝑎𝑑 dan 𝑦 = 𝑏𝑑
B3 𝑐 + 𝑎𝑑 ∈ ℝ, 𝑏𝑑 ∈ ℝ dan 𝑏𝑑 ≠ 0 Argumen 4 D4 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ dan 𝑏, 𝑑 ≠ 0 C4 𝑐 + 𝑎𝑑 ∈ ℝ, 𝑏𝑑 ∈ ℝ W4 Jika bilangan real dioperasikan akan menghasilkan bilangan real Argumen 5 D5 𝑏 ≠ 0 dan 𝑑 ≠ 0 C5 𝑏𝑑 ≠ 0 W5 Dua bilangan real tak nol dikalikan hasilnya juga bilangan real tak nol
Berdasarkan  hasil  pekerjaan  Subjek  dalam  mengonstruksi  bukti  pada  sifat  ketertutupan, Subjek  telah  berhasil  menunjukkan  bahwa  operasi  perkalian  di 𝐺 bersifat  tertutup,  dengan menggunakan bukti yang bersifat deduktif. Model Argumentasi Toulmin memiliki komponen penting yang digunakan dalam pembuktian deduktif. Pertama adalah Data , merupakan informasi yang terdapat pada  soal.  Subjek  dapat  memahami  informasi  tersebut  yang  digunakan  sebagai  dasar  untuk mengajukan Claim ,  tanpa Data yang  benar, Claim yang  dibuat  tidaklah  berarti. Claim merupakan pernyataan  yang  ingin  dibuktikan. Claim ini  haruslah  jelas  dan  spesifik  agar  pembuktian  dapat dilakukan secara efektif. Namun terkadang Claim tersaji secara implisit. Pada beberapa sub argumen subjek tidak menuliskan secara eksplisit “akan ditunjukkan” pada setiap sub argumen. Oleh karena itu, argumen  yang  dikonstruksi  oleh  subjek  dipecah  menjadi  beberapa  sub  argumen  agar  dapat mengidentifikasi argumen lebih detail. Selanjutnya, Warrant atau pernyataan yang menjamin Claim harus logis dan relevan dengan Claim yang diajukan. Warrant dapat berupa definisi maupun teorema (Faizah dkk., 2020). Namun pada hasil jawaban subjek, terdapat beberapa Warrant yang tersaji secara implisit. Sebagai contoh ketika Subjek mengambil 2 anggota 𝐺 kemudian dioperasikan menghasilkan suatu  matriks,  Subjek  tidak  menuliskan Warrant ,  namun  secara  implisit Warrant yang  digunakan adalah definisi operasi perkalian matriks. Karena Subjek mampu menghitung perkalian matriks dengan
Rahardi
benar,  artinya  Subjek  mampu  menggunakan Warrant dengan  benar. Warrant tersebut  diperkuat dengan adanya Backing .
Backing merupakan inti dari pembuktian, yaitu untuk menunjukkan bahwa jika mengambil 2 anggota himpunan 𝐺 kemudian dioperasikan, hasil operasinya tetap berada pada himpunan 𝐺 . Pada argumen  yang  dikonstruksi  Subjek  tersebut, Backing 1  terdiri  dari  beberapa  sub  argumen  yang kompleks dan saling berhubungan antara satu dengan lainnya. Struktur  argumen yang dihasilkan oleh subjek  tidaklah  unik  dan  dapat  bervariasi,  mungkin  bisa  lebih  sederhana  dan  mungkin  bisa  lebih kompleks. Hal  ini  disebabkan  oleh munculnya sub  argumen  karena Warrant yang  digunakan  perlu dibuktikan  (Conner  dkk.,  2014).  Knipping  &  Reid  (2019)  menyebut  sub  argumen  tersebut  sebegai local argument . Backing 1 menjelaskan mengapa Warrant 1 benar. Chen & Wang (2016) menjelaskan bahwa validitas argumen sangat bergantung pada Backing (valid atau tidaknya suatu argumen), dalam hal ini Backing sebagai salah satu komponen dalam Model Argumentasi Toulmin memegang peranan penting dalam menentukan kebenaran suatu Claim (Laamena & Nusantara, 2019). Kemudian tingkat keyakinan  ( Qualifier )  Subjek  terhadap  pembuktian  yang  telah  dikonstruksi  adalah  dengan  kata “yakin”,  karena  Subjek  sudah  menggunakan  pembuktian  deduktif  dan  tidak  ada  kesalahan  yang dilakukan. Rebuttal berfungsi sebagai  penentang dari  suatu  pernyataan atau  ketidakberlakuan  suatu pernyataan secara umum (Tristanti & Nusantara, 2021). Namun, sanggahan tidak selalu muncul dalam argumen  matematika,  pada  kasus  permasalahan  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  tidak memunculkan Rebuttal .  Hal  ini  dikarenakan  tidak  semua  argumen  dalam  pembuktian  matematika memerlukan  rebuttal  (Lin,  2018).  Berdasarkan  argumen  subjek,  komponen Rebuttal tidak  muncul karena tidak ada kondisi dimana Claim yang diajukan oleh Subjek tidak berlaku.
Model  Argumentasi  Toulmin  telah  memberikan  perspektif  teoretis  kepada  para  peneliti tentang  argumen  yang  melibatkan  konseptualisasi  argumen  dalam  hal  komponen-komponen  yang saling terkait. Keuntungan bagi para peneliti pada bidang matematika dalam menggunakan kerangka kerja  ini  adalah  kerangka  kerja  ini  dapat  digunakan  untuk  menilai  kualitas  argumentasi  dalam  hal mengidentifikasi banyak  komponen, sehingga  kompleksitas  argumen  yang  digunakan.  Dengan cara ini, Model Argumentasi Toulmin dapat diterapkan pada argumen tertulis dan transkrip diskusi lisan. Keterbatasan  kerangka  kerja  ini  adalah  bahwa Claim maupun Warrant terkadang  tersaji  secara implisit,  ditambah  lagi  dengan  identifikasi Data , Warrant dan Backing yang  bisa  jadi  ambigu tergantung pada perspektif peneliti.

## KESIMPULAN
Pemahaman  subjek  terkait  sifat  ketertutupan  suatu  grup  bisa  tergambar  dari  argumen  yang dikonstruksi  yang  kemudian  diidentifikasi  dengan  Model  Argumentasi  Toulmin.  Subjek  mampu menggunakan Data dengan benar, mengajukan Claim yang bernilai benar, memberikan alasan dengan terkait Claim tersebut. Namun penelitian ini hanya terbatas pada subjek yang membuktikan dengan pembuktian  deduktif  pada  sifat  ketertutupan.  Masih  perlu  dilakukan  banyak  penelitian  lagi  untuk
mengetahui bagaimana mahasiswa membuktikan dengan pembuktian induktif, kemudian pembuktian pada sifat-sifat grup lainnya seperti sifat Asosiatif, Identitas, dan Invers. Dengan mengetahui struktur pembuktian  yang  dikonstruksi  oleh  mahasiswa,  dapat  menjadi  pertimbangan  bagi  dosen  untuk merancang  pembelajaran  yang  memfasilitasi  mahasiswa  untuk  meningkatkan  kemampuan argumentasinya pada pembuktian sifat-sifat grup

## UCAPAN TERIMA KASIH
Peneliti mengucapkan terima kasih semua pihak yang telah membantu peneliti menyelesaikan penelitian ini, terutama kepada kedua orang tua dan kepada kedua dosen pembimbing, Dr. Sudirman, M.Si dan Dr. Rustanto Rahardi, M.Si, yang telah memberikan bimbingan dan arahan dalam proses penyusunan artikel ini. Ucapan terima kasih juga peneliti sampaikan kepada Departemen Matematika Univeristas  Negeri  Malang  yang  telah  berkenan  menjadi  tempat  bagi  peneliti  untuk  melakukan penelitian ini.

## REFERENSI
Aaidati, I. F., Subanji, S., Sulandra, I. M., & Permadi, H. (2022). Student Argumentation Structure in
Solving  Statistical  Problems  Based  on  Adversity  Quotient. Jurnal  Pendidikan  Matematika , 16 (2), 121–140. https://doi.org/10.22342/jpm.16.2.16633.121-140
Aberdein,  A.  (2005).  The  uses  of  argument  in  mathematics. Argumentation , 19 (3),  287–301. https://doi.org/10.1007/s10503-005-4417-8
Arnawa,  I.  M.,  Yanita,  Ginting,  B.,  Yerizon,  &  Nita,  S.  (2020).  Improvement  a  positive  attitude towards  abstract  algebra  through  APOS  theory  approach. Journal  of  Physics:  Conference Series , 1503 (1), 012008. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1503/1/012008
Astuti,  A.,  &  Zulhendri,  Z.  (2017).  Analisis  Kesulitan  Belajar  Struktur  Aljabar  pada  Mahasiswa Semester III Jurusan Pendidikan Matematika STKIP Pahlawan Tuanku Tambusai Riau Tahun Ajaran  2015/2016. Jurnal  Cendekia :  Jurnal  Pendidikan  Matematika , 1 (1),  17–23. https://doi.org/10.31004/CENDEKIA.V1I1.5
Banegas,  J.  A.  (2013). Argumentation  in  Mathematics  BT  -  The  Argument  of  Mathematics (A. Aberdein & I. J. Dove, Ed.; hlm. 47–60). Springer Netherlands. https://doi.org/10.1007/978- 94-007-6534-4_4
Bizup,  J.  (2009).  The  uses  of  toulmin  in  composition  studies. College  Composition  and Communication , 61 (1), 1–23.
CadwalladerOlsker,  T.  (2011).  What  Do  We  Mean  by  Mathematical  Proof? Journal  of  Humanistic Mathematics , 1 (1), 33–60. https://doi.org/10.5642/jhummath.201101.04
Chen, Y. T., & Wang, J. H. (2016). Analyzing with Posner’s Conceptual Change Model and Toulmin’s Model  of  Argumentative  Demonstration  in  Senior  High  School  Students’  Mathematic
Rahardi
Learning. International  Journal  of  Information  and  Education  Technology , 6 (6),  457–464. https://doi.org/10.7763/IJIET.2016.V6.732
Conner, A., Singletary, L. M., Smith, R. C., Wagner, P. A., & Francisco, R. T. (2014). Teacher support for  collective  argumentation :  A  framework  for  examining  how  teachers  support  students’ engagement  in  mathematical  activities. Educ  Stud  Math , 86 (2014),  401–429. https://doi.org/10.1007/s10649-014-9532-8
Faizah, S., Nusantara, T., Sudirman, S., & Rahardi, R. (2020). Exploring students’ thinking process in mathematical  proof  of  abstract  algebra  based  on  Mason’s  framework. Journal  for  the Education of Gifted Young Scientists , 8 (2), 871–884. https://doi.org/10.17478/JEGYS.689809
Faizah, S., Rahmawati, N. D., & Murniasih, T. R. (2021). Investigasi Struktur Argumen Mahasiswa Dalam Pembuktian Aljabar Berdasarkan Skema Toulmin. AKSIOMA: Jurnal Program Studi Pendidikan Matematika , 10 (3), 1466. https://doi.org/10.24127/ajpm.v10i3.3781
Findell,  B.  (2001).  Learning  and  understanding  in  abstract  algebra. Doctoral  Dissertations . https://scholars.unh.edu/dissertation/51
Hamami, Y., & Morris, R. L. (2020). Philosophy of mathematical practice: a primer for mathematics educators. ZDM - Mathematics Education , 52 (6), 1113–1126. https://doi.org/10.1007/S11858-020-01159-5/FIGURES/1
Hanna,  G.  (2018).  Reflections  on  Proof as  Explanation.  Dalam  A.  J.  Stylianides  &  G.  Harel  (Ed.),
Advances  in  Mathematics  Education  Research  on  Proof  and  Proving:  An  International Perspective (hlm.  3–18).  Springer  International  Publishing.  https://doi.org/10.1007/978-3- 319-70996-3_1
Isnarto, Wahyudin, Suryadi, D., & Dahlan, J. A. (2014). Students’ Proof Ability: Exploratory Studies of  Abstract  Algebra  Course. International  Journal  of  Education  and  Research , 2 (6). www.ijern.com
Knipping, C., & Reid, D. A. (2019). Argumentation Analysis for Early Career Researchers. Dalam G. Kaiser  &  N.  Presmeg  (Ed.), Compendium  for  Early  Career  Researchers  in  Mathematics Education (hlm. 3–31). Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030- 15636-7_1
Laamena, C. M., & Nusantara, T. (2019). Prospective mathematics teachers’ argumentation structure when  constructing  a  mathematical  proof:  The  importance  of  backing. Beta:  Jurnal  Tadris Matematika , 12 (5), 43–59. https://doi.org/10.20414/betajtm.v12i1.272
Lee, K. S. (2016). Students’ proof schemes for mathematical proving and disproving of propositions.
The Journal of Mathematical Behavior , 41 , 26–44. https://doi.org/10.1016/J.JMATHB.2015.11.005
Lin,  P.-J.  (2018).  The  Development  of  Students’  Mathematical  Argumentation  in  a  Primary
Classroom. Educação & Realidade , 43 (3), 1171–1192.
https://doi.org/http://dx.doi.org/10.1590/2175-623676887
Moore, R. C. (2016). Mathematics Professors’ Evaluation of Students’ Proofs: A Complex Teaching Practice. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education 2016 2:2 , 2 (2), 246–278. https://doi.org/10.1007/S40753-016-0029-Y
Nadlifah, M., & Prabawanto, S. (2017). Mathematical Proof Construction: Students’ Ability in Higher Education. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 895 (1).  https://doi.org/10.1088/1742- 6596/895/1/012094
Pala, O., Aksoy, E., & Narli, S. (2021). Can the Proof Image Exist in the Absence of the Formal Proof?: Analyses of an Unsuccessful Proving Attempt. Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi , 15 (1), 1–31. https://doi.org/10.17522/balikesirnef.843527
Pramasdyahsari,  A.  S.,  Buchori,  A.,  &  Rasiman,  R.  (2022).  Mathematical  Proving  Ability  of  Pre- service Teachers in Online and Blended Learning. KnE Social Sciences , 2022 , 1021–1031– 1021–1031. https://doi.org/10.18502/KSS.V7I14.12052
Rabin, J. M., & Quarfoot, D. (2021). Sources of Students’ Difficulties with Proof By Contradiction.
International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education , 8 (3), 521–549. https://doi.org/10.1007/S40753-021-00152-X/TABLES/3
Thomas, M. O. J., Druck, I. de F., Huillet, D., Ju, M.-K., Nardi, E., Rasmussen, C., & Xie, J. (2015). Key  Mathematical  Concepts  in  the  Transition  from  Secondary  School  to  University. The Proceedings  of  the  12th  International  Congress  on  Mathematical  Education ,  265–284. https://doi.org/10.1007/978-3-319-12688-3_18
Toulmin, S. E. (2003). The uses of argument: Updated edition. Dalam The Uses of Argument: Updated Edition . https://doi.org/10.1017/CBO9780511840005
Tristanti, L. B., & Nusantara, T. (2021). Argumen dalam Pembuktian . Penerbit Deepublish.
Wasserman,  N.,  Weber,  K.,  Villanueva,  M.,  &  Mejia-Ramos,  J.  P.  (2018).  Mathematics  teachers’ views about the limited utility of real analysis: A transport model hypothesis. The Journal of Mathematical Behavior , 50 , 74–89. https://doi.org/10.1016/J.JMATHB.2018.01.004
Wittmann,  E.  C.  (2021).  When  Is  a  Proof  a  Proof? Connecting  Mathematics  and  Mathematics Education , 61–76. https://doi.org/10.1007/978-3-030-61570-3_5