## MODEL MATEMATIKA SIUC PADA KASUS KANKER SERVIKS DENGAN VAKSINASI
Khairunnisa Humolungo 1 *, Rivka Paudi 2
1,2,3 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email: nisahumolungo@gmail.com

## Abstrak
Artikel ini membahas tentang model SIUC pada kasus Kanker Serviks dengan mempertimbangkan vaksinasi. Adapun analisis yang dilakukan yaitu secara analitik dan numerik. Analisis secara analitik meliputi penentuan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik beserta sifat stabilitasnya. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik  untuk  menguji  hasil  analitiknya.  Dari  hasil  smulasi  numerik  diperoleh  grafik  yang  menunjukkan bahwa  solusi  dari  sistem  yang  bersifat  stabil,  dan  dapat  ditunjukkan  bahwa  vaksinasi  pada  kanker  serviks memiliki dampak yang baik.
Kata Kunci: Kanker Serviks; Vaksinasi; Model SIUC

## 1. Pendahuluan
Kanker serviks atau kanker mulut rahim merupakan salah satu penyakit kronis yang menyerang bagian organ  reproduksi  wanita,  tepatnya  di  daerah  bagian  bawah  rahim.  Penyakit  ini  disebabkan  oleh  Human Papilloma  Virus  (HPV)  [1]. Studi  epidemiologis  pada  infeksi  HPV  menetapkan  peran  virus  ini  sebagai penyebab  utama  kanker  serviks.  Diperkirakan  bahwa  infeksi  HPV  bertanggung  jawab  atas  500.000  kasus kanker serviks di seluruh dunia setiap tahun. Vaksinasi terhadap infeksi HPV merupakan cara yang efektif untuk  menurunkan  kejadian  kanker  serviks,  terutama  di  kalangan  wanita  muda.  Ketersediaan  vaksin  HPV memberikan kesempatan untuk menurunkan jumlah kasus penyakit di seluruh dunia yang di sebabkan oleh HPV. Sebenarnya, 2 vaksin pencegah infeksi HPV yang telah ditemukan sangat efisien dan cocok pada wanita. Beberapa model deterministik telah dikembangkan untuk menilai dampak potensial dari vaksinasi terhadap HPV [2].
Model  penyebaran  penyakit  kanker  serviks  yang  dikonstruksi  menghasilkan  persamaan  model  yang menggambarkan  penyebaran  penyakit  kanker  serviks  pada  populasi  wanita  rentan  terhadap  penyakit (Susceptible), populasi  wanita  yang  terinfeksi  penyakit (Infected) dan  populasi  wanita  yang  sembuh  dari penyakit (recovered) .  Model  tersebut  merupakan  model Susceptible-Infected-Recovered (SIR)  yang dikembangkan  oleh  Kermack  dan  McKendrick  [3].  Pada  model  lain  dibahas  penyebaran  penyakit  kanker serviks  dengan  jumlah  populasi  dibagi  menjadi  empat  sub  populasi  yaitu,  populasi  rentan (S) ,  populasi terinfeksi ( I ), populasi terinfeksi kemudian terjangkit penyakit ( C ) dan populasi sembuh ( U ) [4].
Pada  artikel  ini  kami  akan  mengembangkan  model  dengan  meninjau  faktor-faktor  yang  ada  pada penelitian sebelumnya. Disini kami akan menambahkan pemberian vaksin pada penyakit kanker serviks. Pada model  ini  digunakan  beberapa  variabel  yaitu  populasi  (S)  merupakan  jumlah  individu  rentan,  populasi  (I) merupakan  jumlah  individu  yang  terinfeksi,  populasi  (U)  merupakan  jumlah  individu  yang  sembuh,  dan populasi (C) merupakan jumlah individu yang terinfeksi kemudian terjangkit penyakit. Maka dari itu penelitian ini berjudul “Analisis Stabilitas Model SIUC Dengan Pemberian Vaksin Pada Kanker Serviks”.
Model  yang  diperoleh  selanjutnya  dilakukan  analisis  kestabilan  penyebaran  penyakit  kanker  serviks dengan  titik  tetap  bebas  penyakit  dan  titik  tetap  endemik.  Simulasi  numerik  yang  diperoleh  menunjukkan kondisi saat R 0 < 1, penyebaran penyakit kanker serviks dapat dicegah. Dengan melakukan vaksin maka nilai dari  bilangan  reproduksi  dasar  akan  semakin  kecil  yang  menunjukkan  berkurangnya    penyebaran  kanker serviks dalam populasi.

## 2. Metode Penelitian
Metode yang digunakan pada penelitian ini yaitu:
a. Mengidentifikasi parameter dan variabel yang digunakan dalam model.
b. Membuat asumsi yang melibatkan parameter dan variabel.
c. Model  matematika  dari  parameter  untuk  setiap  subpopulasi  yang  diperoleh  dan  asumsi-asumsi  yang diberikan.
d. Menetukan titik kestabilan dari model yang diperoleh. Terdapat dua titik kestabilan, yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap berpenyakit.
e. Membuat simulasi numerik dengan menggunakan software Mathematica .
f. Menyimpulkan hasil yang diperoleh secara keseluruhan.

## 3. Pembahasan

## 3.1 Model Matematika
Pada model ini digunakan empat variabel, yakni: populasi rentan ( S ) adalah populasi yang mempunyai kemungkinan  untuk  terinfeksi  HPV,  populasi  terinfeksi  ( I )  adalah  populasi  yang  terinfeksi  HPV,  populasi sembuh  dari  penyakit  ( U )  adalah  populasi  yang  terinfeksi  HPV  tetapi  tidak  terjangkit  kanker  serviks,  dan populasi terinfeksi kemudian terjangkit penyakit ( C ) adalah populasi yang terinfeksi HPV kemudian terjangkit kanker serviks. Adapun parameter yang digunaka adalah :
𝑏
: laju kelahiran 𝑣 : peluang terjadinya kontak antara individu rentan dan individu   terinfeksi 𝛼 : proporsi individu rentan yang tidak divaksinasi 1 − 𝛼 : proporsi individu rentan yang divaksinasi 𝜇 : laju kematian alami 𝛿 : laju kematian akibat kanker serviks 𝑝 : proporsi individu yang terinfeksi virus HPV yang berlanjut ke kanker serviks.
1 − 𝑝
: proporsi individu yang terinfeksi virus HPV namun tidak berlanjut ke kanker serviks.
Beberapa asumsi yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Laju kelahiran tidak sama dengan laju kematian
2. Individu yang lahir masuk ke populasi rentan
3. Individu rentandivaksinasi
4. Individu rentan yang melakukan interaksi seksual dengan individu terinfeksi akan masuk ke kelas infected
5. Adanya peluang individu yang terinfeksi menjadisembuh alias tidak terinfeksi kanker serviks
6. Dan adanya peluang individu yang terinfeksi masuk ke kelas individu yang terinfeksi kanker serviks
7. Individu yang terkena kanker serviks tidak dapat sembuh
Dengan adanya variabel, parameter dan asumsi di atas, maka dinamika penyebaran penyakit campak dengan pengaruh migrasi dan penambahan imunisasi dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram compartment untuk penularan penyakit
Sehingga model matematika dari diagram di atas dapat di uraikan sebagai berikut:
𝑑𝑆
𝑑𝑡 = 𝑏𝑁 − (1 − 𝛼)𝑆 − (𝜇 + 𝑣𝐼𝛼)𝑆
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑣𝛼𝑆𝐼 − (1 − 𝑝)𝐼 − (𝑝 + 𝜇)𝐼 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = (1 − 𝑝)𝐼 + (1 − 𝛼)𝑆 − 𝜇𝑈
𝑑𝐶
𝑑𝑡 = 𝑝𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝐶

## 3.2 Penentuan Titik Tetap

## 3.2.1 Titik Tetap bebas penyakit
Titik  tetap  bebas  penyakit  terjadi  jika 𝑺 = 𝟎 ,  dan 𝑼 =  0  yang  menunjukkan  tidak  terdapat  populasi penyakit. Titik tetap bebas penyakit dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑬 𝟏 = (𝑺, 𝑰, 𝑼, 𝑪) .
𝑬 𝟏 = (𝑺, 𝑰, 𝑼, 𝑪) = ( 𝒃 (𝟏 − 𝜶) + 𝝁 , 𝟎, ( 𝒃 − 𝜶𝒃 𝝁 − 𝜶𝝁 + 𝝁 𝟐 ) , 𝟎)

## 3.2.2 Titik Tetap Penyakit
Titik  tetap  penyakit  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk 𝑬 𝟐 = (𝑺, 𝑰, 𝑼, 𝑪) .  Berdasarkan  dengan  sistem persamaan pada model tersebut diperoleh:
𝒅𝑺 𝒅𝒕 = 𝒅𝑰 𝒅𝒕 = 𝒅𝑼 𝒅𝒕 = 𝒅𝑪 𝒅𝒕 = 𝟎 𝐸 2 = ( 1 + 𝜇 𝑣𝛼 , −(1 + 𝜇) 2 + 𝛼(1 + 𝑏𝑣 + 𝜇) 𝑣𝛼(1 + 𝜇) , 𝑏𝑣𝛼 − 𝛼𝜇(1 + 𝜇) + 𝑝(1 + 𝜇) 2 − 𝑝𝛼(1 + 𝑏𝑣 + 𝜇) 𝑣𝛼𝜇(1 + 𝜇) , 𝑝(−(1 + 𝜇) 2 + 𝛼(1 + 𝑏𝑣 + 𝜇)) 𝑣𝛼(1 + 𝜇)(𝛿 + 𝜇) )

## 3.3 AnalisiS Kestabilan Titik Tetap
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap suatu sistem persamaan diferensial nonlinier, dapat dilakukan dengan  melinierkan  persamaan  diferensialnya.  Analisis  kestabilan  titik  tetap  dapat  ditentukan  dengan  cara menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian sistem. Matriks Jacobian dari sistem adala :
𝑱 =
[ −(𝟏 − 𝜶) − (𝝁 + 𝒗𝒊𝜶) 𝒗𝜶𝒊 (𝒗𝜶)𝒔 𝒗𝜶𝒔 − (𝟏 − 𝒑) − (𝒑 + 𝝁) 𝟎                     𝟎 𝟎                     𝟎 (𝟏 − 𝜶) (𝟏 − 𝒑) −𝝁                     𝟎 𝟎 𝒑 𝟎            −(𝝁 + 𝜹) ]
Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik 𝑬 𝟏 terlebih dahulu dilakukan pelinearan disekitar titik tetap 𝑬 𝟏 sehingga diperoleh matriks Jacobi untuk titik tetap bebas penyakit.
𝑱 = [ 𝟏 + 𝜶 − 𝝁 𝟎 − 𝒃𝒗𝒂
𝟏 − 𝜶 + 𝝁 −𝟏 − 𝝁 + − 𝒃𝒗𝒂 𝟏 − 𝜶 + 𝝁 𝟎                     𝟎 𝟎                     𝟎 (𝟏 − 𝜶) (𝟏 − 𝒑) −𝝁                     𝟎 𝟎 𝒑 𝟎            −𝝁 − 𝜹 ]
Dari persamaan (1) diperoleh persamaan karakteristik

## 𝒅𝒆𝒕(𝑱 − 𝝀𝑰) = 𝟎
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai-nilai eigen dari matriks J, yaitu
𝝀 𝟏 = 𝟏 + 𝜶 − 𝝁
𝝀 𝟐 = −𝟏 − 𝝁 − 𝒃𝒗𝒂 𝟏 − 𝜶 + 𝝁 𝝀 𝟑 = −𝝁 𝝀 𝟑 = −𝝁 − 𝜹
Kondisi stabil akan dicapai pada semua nilai eigen bernilai negatif, yaitu 𝝀 𝟏 < 𝟎 ⟺ 𝟏 + 𝜶 − 𝝁 < 𝟎 ⟺ 𝝁 − 𝜶 < 𝟏

## 3.4 Bilangan Reproduksi Dasar (𝑹 𝟎 )
Bilangan  reproduksi  yang  dinotasikan  dengan  R 0 adalah  nilai  harapan  banyaknya  infeksi  tiap  satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi rentan yang dihasilkan oleh satu individu terinfeksi. Dari model yang telah dibentuk diperoleh bilangan Reproduksi dasar sebagai berikut:
𝑅 0 = 𝑣𝛼𝑏 [(1 − 𝛼) + 𝜇][(1 + 𝑝) + 𝑝 + 𝜇]
R 0 merupakan nilai ambang batas endemik yang akan menjadi tolak ukur tingkat penyebaran Penyakit Kanker  Serviks  dalam  populasi.  Kondisi  yang  memungkinkan  dari  bilangan  reproduksi  menurut  Van  Den Driessche & Wathmough [3] adalah:
1. Jika R 0 < 1 , maka jumlah individu yang terinfeksi akan menurun pada setiap generasi, sehingga penyakit akan menghilang.
2. Jika R 0 > 1 ,  maka  jumlah  individu  yang  terinfeksi  akan  meningkat  pada  setiap  generasi,  sehingga penyakit akan meningkat.

## 3.5 Simulasi Numerik
Simulasi dilakukan dengan menggunakan nilai parameter yang terdapat pada Tabel 1. Nilai-nilai tersebut diperoleh  berdasarkan  data  sekunder  dan  beberapa  nilai  parameter  digunakan  berdasarkan  asumsi.  Untuk melihat  dinamika  populasi  berdasarkan  nilai-nilai  parameter  yang  telah  ditentukan  dapat  menggunakan software Mathematica dengan nilai awal 𝑺(𝟎) =  𝟑𝟎𝟎 , 𝑰(𝟎) =  𝟐𝟎, 𝑼(𝟎) = 𝟓𝟎, 𝑪(𝟎) = 𝟕𝟓.
Tabel 1. Parameter Parameter Keterangan Nilai 𝑏 Laju Kelahiran 0.0187 𝛼 Proporsi individu rentan yang tidak divaksinasi 0.31 𝜇 Laju kematian alami 1 840 𝜈 Peluang terjadinya kontak antara individu rentan dan individu terinfeksi 0.6 𝑝 Proporsi individu yang terinfeksi HPV yang berlanjut ke kanker serviks 0.7 𝛿 Laju kematian akibat kanker serviks 0.0043
Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 1 di atas diperoleh yaitu R 0 < 1 . Dinamika penyebaran penyakit kanker serviks dengan vaksinasi disajikan pada Gambar 2.

## Gambar 2. Dinamika populasi pada kondisi R 0 < 1
Simulasi model untuk nilai-nilai parameter tael 1 memberikan bilangan reproduksi dasar (R 0 ) sebesar 0.00209571.  dilihat  dari  gambar  2,  pada  kondisi  R 0 <  1  grafiknya  akan  menuju  disekitar  titik  tetap  bebas penyakit 𝐸 1 (𝑆 =  300 , 𝐼 =  20, 𝑈 = 50, 𝐶 = 75 .  Hal  ini  dapat  dikatakan  bahwa  penyebaran  penyakit kanker serviks tidak terjadi atau penyebaran kanker serviks lama kelamaan menghilang dari populasi.

## 4. Kesimpulan
Dari sistem persamaan differensial tersebut diperoleh 1 titik ekuilibrium bebas penyakit yang stabil dan dengan melakukan vaksin maka R 0 akan semakin kecil yang menunjukkan berkurangnya penyebaran penyakit dalam populasi. Hal ini dapat dikatakan bahwa penyebaran penyakit kanker serviks lama kelamaan menghilang dari populasi.

## Referensi
[1] H.  Hasnawati,  R.  Ratianingsih,  and  J.  W.  Puspita,  "Analisis  Kestabilan  Model  Matematika  Pada  Penyebaran Kanker Serviks Menggunakan Kriteria Routh-Hurwitz, " Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan. , vol. 14, no. 1, pp. 120-127, Juni, 2017.
[2] L. R. Majed. "A SIS Model for Human Papillomavirus Transmission," Institut de Cancerologie Gustave Roussy. , pp. 27-35, 2010.
[3] Kermack, W, and Mc Kendrick, A, G, "A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics," Royal Society, 115: 700-721, 1927.
[4] U.  N.  Wulandari,  " Analisis  Model  Epidemik  MSEIR  pada  Penyebaran  Penyakit  Difteri," Universitas  Jember, 2013.
0 2 4 6 8 10 0 50 100 150 200 250 300 Waktu P o p u la s iM a n u s ia