Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 1, Maret 2023, 107-112 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i1.14318

## Eksistensi Invers Moore Penrose Diperumum Elemen Normal Diperumum pada Ring dengan Involusi
Titi Udjiani SRRM *, Nikken Prima Puspita, Suryoto 1,2,3 Departemen Matematika Universitas Diponegoro Semarang  Indonesia e-mail: udjianititi@lecturer.undip.ac.id , nikkenprima@lecturer.undip.ac.id suryoto@lecturer.undip.ac.id
Diajukan: 4 September 2022, Diperbaiki: 29 Januari 2023, Diterima: 6 Maret 2023

## Abstrak
Invers  Moore  Penrose  Elemen  Normal  pada  Ring  dengan  involusi  telah  dibahas  oleh  beberapa peneliti. Dengan memperumum konsep invers Moore Penrose menjadi invers Moore Penrose diperumum, sifat    elemen  Invers  Moore  Penrose  Diperumum    dari  Elemen  Normal  juga  telah  diperoleh.  Selain memperumum  konsep  invers  Moore  Penrose,  definisi  elemen  normal  juga  telah  diperumum  dengan memperumum pangkat 1 menjadi pangkat 𝑛 ∈ ℕ . Diperoleh bahwa irisan antara himpunan elemen Normal diperumum dan himpunan elemen yang mempunyai Invers  Moore Penrose Diperumum tidak kosong. Hal ini  mengindikasikan  ada  sifat  bersama  yang  dimiliki  oleh  keduanya,  sehingga    tulisan  ini  bertujuan membangun syarat perlu dan cukup suatu elemen normal diperumum mempunyai invers Moore Penrose diperumum dengan menggunakan sifat2 tersebut. Metode yang dilakukan adalah dengan mencari kesamaan sifat yang dimiliki oleh elemen normal diperumum dan  elemen yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum.  Langkah  selanjutnya  adalah    menggunakan    sifat  involusi  untuk  memperoleh  hasil  akhir. Pendekatan yang dilakukan  selain melalui invers Moore Penrose Diperumum, juga melalui invers grup Kata Kunci : Grup, Moore Penrose, Normal.

## Abstract
The Moore Penrose inverse of normal element in ring with involution  have been discussed by several researchers. By generalizing  concept of Moore Penrose inverse to the generalized Moore Penrose inverse, the  element  properties  of  the  generalized  Moore  Penrose  inverse  of  normal  elements  have  also  been obtained. In addition to generalizing the concept of Moore Penrose inverse, the definition of the normal element has also been generalized by generalizing the power of 1 to  n ∈ N. It is found that  intersection between set of  generalized normal element  and set of generalized  Moore Penrose inverse element is not empty. This indicates that both of them have common properties, so this paper aims is to build the necessary and sufficient conditions for a generalized normal element to have a generalized Moore Penrose inverse using  these  properties.  The  method  used  is    to  look  for  the  similarity  of  properties  possessed  by  a generalized normal element and  element that has generalized Moore Penrose inverse. The next step is to use  the  involution  properties  to  obtain  the  final  result.  The  approach  taken  is  not  only  through  the generalized Moore Penrose inverse, but also  group inverse.
Keywords : Group, Moore Penrose, Normal.

## 1 Pendahuluan
Menurut [1] dan [2] operasi transpose pada himpunan matriks memiliki sifat berikut :
(𝐴 𝑇 ) 𝑇 =  𝐴 (𝐴 + 𝐵) 𝑇 = 𝐴 𝑇 + 𝐵 𝑇 (𝐴𝐵) 𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴 𝑇
dengan 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑚x𝑛 (ℝ)  dan  operasi  penjumalahan  dan  perkalian  matriks 𝐴 adan 𝐵 dipenuhi. Dengan  membatasi  pembahasan  operasi  transpose  hanya  pada 𝑀 𝑛x𝑛 (ℝ),  selanjutnya  [3] memperluas  definsi  operasi  transpose  dengan  mendefinisikan  operasi  involusi  pada  struktur aljabar ring 𝑅 . Diketahui 𝑅 adalah ring dengan elemen satuan dan 𝑎 ∈ 𝑅 . Suatu operasi involusi " ∗ " pada  ring 𝑅 adalah fungsi ∗ : 𝑎  ∈ 𝑅 ↦ ∗ (𝑎) = 𝑎 ∗ ∈ 𝑅 yang memenuhi (𝑎 ∗ ) ∗ = 𝑎 ,
(𝑎 + 𝑏) ∗ = 𝑎 ∗ + 𝑏 ∗ dan (𝑎𝑏) ∗ = 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ untuk setiap  element 𝑎, 𝑏 di 𝑅 .
Diperoleh fenomena bahwa jika 𝐴 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] ∈ 𝑀 2x2 (ℝ), maka 𝐴 𝑇 𝐴  ≠ 𝐴𝐴 𝑇 . Akan tetapi jika ditambahkan syarat bahwa 𝑏 = 𝑐 , maka 𝐴 𝑇 𝐴 = 𝐴𝐴 𝑇 . Fenomena ini oleh [4] diperumum pada ring 𝑅 dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi " ∗ " , dengan membangun konsep elemen normal.    Diberikan  ring 𝑅 dengan  involusi  " ∗ ".  Elemen 𝑎 ∈ 𝑅 disebut  elemen  normal,  jika 𝑎 komutatif dengan 𝑎 ∗ . Himpunan semua elemen normal in 𝑅 disimbolkan dengan 𝑅 𝑛𝑜𝑟 .
Invers  Moore  Penrose  Diperumum  dari  elemen  normal  suatu  ring  sudah  dibahas  oleh  [5] Dalam perkembangannya, dengan menggunakan definisi elemen normal diperoleh 𝑎𝑎𝑎 ∗ = 𝑎 ∗ 𝑎𝑎 . Hal ini memotivasi  [6] untuk memperumum definisi elemen normal. Elemen 𝑎 anggota ring 𝑅 yang dilengkapi  involusi " ∗ " disebut elemen normal diperumum,  jika 𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ , 𝑛 ∈ ℕ . Himpunan semua elemen normal diperumum di 𝑅 ditulis 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 .
Pada ring 𝑅 yang dilengkapi involusi " ∗ " juga dibahas konsep invers Moore Penrose oleh [7].  Dengan  mengabaikan  syarat  ternormalisasi  yang  dimiliki  oleh  invers  Moore  Penrose, selanjutnya konsep invers Moore Penrose oleh [5]  dapat diperumum. Diberikan ring 𝑅 dengan involusi " ∗ ". Elemen 𝑎 ∈ 𝑅 dikatakan mempunyai invers Moore Penrose diperumum jika dapat ditemukan elemen b ∈ R yang memenuhi :
aba = a , (𝑎𝑏) ∗ = ab , (𝑏𝑎) ∗ = ba . (1)
Elemen b yang memenuhi Persamaan (1) disebut invers Moore Penrose diperumum dari a . Simbol 𝑎 𝑔 + dan 𝑅 𝑔 + berturut turut adalah invers Moore Penrose diperumum dari a dan himpunan elemen di 𝑅 yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum. Jika a ∈ R mempunyai invers Moore Penrose diperumum, maka 𝑎 𝑔 + tidak selalu tunggal. Diperoleh bahwa 𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + atau 𝑎 𝑔 + ≠ 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + . Himpunan invers Moore Penrose diperumum dari a ∈ R disimbolkan dengan (𝑎 𝑔 + ) − .
Sifat invers Moore Penrose dari elemen normal element sudah dibahas oleh [4] . Selanjutnya [5]  telah  membahas  sifat  invers  Moore  Penrose  diperumum  pada  elemen  normal.  Tulisan  ini mendiskusikan sifat invers Moore Penrose diperumum untuk elemen normal diperumum pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan involusi  " ∗ ".

## 2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dengan mempelajari semua sifat sifat utama yang dimiliki ring, ring dengan  elemen  satuan,  involusi,  invers  Moore  Penrose,  invers  grup  dan  elemen  normal. Mempelajari  dan  memperoleh  pemahaman  dari  motivasi  untuk  memperumum  invers  Moore Penrose dan elemen normal. Menyelidiki apakah ada sifat yang dimiliki bersama  antara elemen normal  diperumum  dan  elemen  yang  mempunyai  invers  Moore  Penrose  diperumum,  dengan menunjukkan  bahwa  irisan  dari  himpunan  elemen  normal  diperumum  dan  elemen  yang mempunyai  invers  Moore  Penrose  diperumum  tidak  kosong.  Pada  penyelidikan  selanjutnya diperoleh  bahwa  tidak  setiap  elemen  normal  diperumum  mempunyai  invers  Moore  Penrose diperumum.  Menggunakan  kesamaan  sifat  yang  sudah  diperoleh  dan  sifat  involusi,  dibangun syarat perlu dan cukup elemen normal diperumum mempunyai invers Moore Penrose diperumum. Langkah yang sama dilakukan melalui pendekatan invers grup.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Tidak  setiap  elemen  suatu  ring  mempunyai  invers  Moore  Penrose  diperumum,  sebagai contoh pada ring ℤ 8 terhadap operasi perkalian bilangan bulat modulo 8 yang dilengkapi  involusi identitas.    Element 0̅ , 1̅ , 3̅ , 5̅ , 7̅ ∈ (ℤ 8 ) 𝑔 + ,  tetapi 2̅ , 4̅ , 6̅ ∉ (ℤ 8 ) 𝑔 + .  Teorema  1  berikut  ini menjelaskan sifat dari 𝑎 𝑔 + jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + , yang sudah dibahas oleh [8].
Teorema 1 : Jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + , maka
1. (𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑔 + = ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − dan (𝑎 ∗ ) 𝑔 + ∈ ((𝑎 ∗ ) 𝑔 + ) − . 2. (𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + 𝑎 ∗ 𝑎(𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ dan (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎𝑎 ∗ (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + = ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − , (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + ∈ ((𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + ) − dan (𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + ∈ ((𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + ) − . 3. 𝑎 ∗ = 𝑎 ∗ 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 ∗ untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + )
− . 4. 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + = (𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + 𝑎 ∗ 𝑎(𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + 𝑎 ∗ = 𝑎 ∗ (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎𝑎 ∗ (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − , (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + ∈ ((𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + ) − dan (𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + ∈ ((𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + ) − . 5. (𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑔 + = 𝑎(𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + 𝑎 ∗ 𝑎(𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + = (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎𝑎 ∗ (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎 untuk  setiap (𝑎 ∗ ) 𝑔 + ∈ ((𝑎 ∗ ) 𝑔 + ) − , (𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + ∈ ((𝑎𝑎 ∗ ) 𝑔 + ) − dan (𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + ∈ ((𝑎 ∗ 𝑎) 𝑔 + ) − .
6. (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) 𝑔 + = 𝑎 untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Dengan menggunakan sifat komutatif dari elemen normal dan sifat yang dimiliki involusi, diperoleh sifat elemen normal diperumum sebagai berikut :
Lema 2 : Jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 dan 𝑛 ∈ ℕ , maka 𝑎 𝑛 komutatif  dengan 𝑎 ∗ 𝑎 dan 𝑎𝑎 ∗ . Demikian juga (𝑎 ∗ ) 𝑛 komutatif dengan 𝑎 ∗ 𝑎 dan 𝑎𝑎 ∗ .
Bukti : Oleh karena 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 , maka 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎𝑎 𝑛 dan 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 𝑛 𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 . Selanjutnya
(𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 = (𝑎 ∗ ) 𝑛 (𝑎 ∗ ) ∗ = (𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 ) ∗ = (𝑎 𝑛 𝑎 ∗ ) ∗ = (𝑎 ∗ ) ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛 = 𝑎(𝑎 ∗ ) 𝑛 (2)
Dan
(𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 ∗ = (𝑎𝑎 𝑛 ) ∗ = (𝑎 𝑛 𝑎) ∗ = 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛 (3)
Menggunakan Persamaan  (2) dan (3), diperoleh
(𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎(𝑎 ∗ ) 𝑛 dan (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎(𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛 .
Berikutnya [9] membahas konsep invers grup elemen suatu ring sebagai berikut :
Definisi 3 : Diketahui 𝑅 adalah ring dengan elemen identitas   dan 𝑎 ∈ 𝑅 . Invers grup dari a ∈ R adalah elemen 𝑎 # ∈ R yang memenuhi
a 𝑎 # a = a , 𝑎 # a 𝑎 # = 𝑎 # , a 𝑎 # = 𝑎 # a .
Tidak  semua  elemen  di  ring  mempunyai  invers  grup.  Himpunan  semua  elemen  di R yang mempunyai invers grup dinotasikan dengan 𝑅 # .
Diperoleh bahwa 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # ≠ ∅ . Sebagai contoh [ 1 1 0 0 ] ∈ (𝑀 2x2 (ℝ)) 𝑔 + ∩ (𝑀 2x2 (ℝ)) # dengan  involusi 𝑀 2x2 (ℝ) adalah  operasi  transpose.  Oleh  karenanya  sifat  sifat elemen  normal  diperumum  yang  dibahas  dalam  tulisan  ini  dibatasi  pada  himpunan 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # . Fenomena  yang  terjadi  pada  himpunan 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # menjelaskan  bahwa  tidak  setiap  elemen merupakan  elemen  normal  diperumum.  Pada  himpunan  matriks 𝑀 2x2 (ℝ) dengan  involusi transpose,  elemen [ 1 0 0 0 ] ∈ (𝑀 2x2 (ℝ)) 𝑔 + ∩ (𝑀 2x2 (ℝ)) # merupakan  elemen  normal  diperumum, sementara [ 1 1 0 0 ] ∈  (𝑀 2x2 (ℝ)) 𝑔 + ∩ (𝑀 2x2 (ℝ)) # bukan  elemen  normal  diperumum.  Dimotivasi oleh  fenomena  bahwa 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # ≠ ∅ ,  Teorema  4  berikut  ini  membahas  syarat  perlu  dan  cukup elemen di 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # merupakan elemen normal diperumum.
Teorema 4 : Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # dan 𝑛 ∈ ℕ . Elemen 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 jika dan hanya jika 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 dan (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + (𝑎 ∗ ) 𝑛 untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Bukti : Menggunakan Lema 2 , jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # ∩ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 maka diperoleh
𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 𝑛
Dan
(𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛
untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − . Sehingga untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − diperoleh
𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛
dan
(𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + = (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + (𝑎 ∗ ) 𝑛
Disisi lain  jika 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 dan (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + (𝑎 ∗ ) 𝑛 untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − , maka 𝑎𝑎 # = (𝑎𝑎 # ) 𝑛 = (𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎) 𝑛 (𝑎 # ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + 𝑎(𝑎 # ) 𝑛 = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 𝑎(𝑎 # ) 𝑛 = 𝑎 𝑔 + 𝑎 . Akibatnya 𝑎 # = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − . Berikutnya, karena 𝑎 # 𝑎 = 𝑎𝑎 # diperoleh 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − dan (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 =   𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛−1 𝑎 =   𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛−1 (𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎) ∗ = 𝑎(𝑎 ∗ ) 𝑛 . Menggunakan sifat involusi dihasilkan 𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 = ((𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎) ∗ = (𝑎(𝑎 ∗ ) 𝑛 ) ∗ = 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ .
Berdasarkan Teorema 4 , diperoleh akibat sebagai berikut :
Akibat 5 : Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # dan 𝑛 ∈ ℕ . Jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 , maka 𝑎 # = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) −
Bukti : Menurut Teorema 4, jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 # ∩ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 , maka 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .  So 𝑎𝑎 # = (𝑎𝑎 # ) 𝑛 = (𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎) 𝑛 (𝑎 # ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + 𝑎(𝑎 # ) 𝑛 = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 𝑎(𝑎 # ) 𝑛 = 𝑎 𝑔 + 𝑎 .  Diperoleh kesimpulan 𝑎 # = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Definisi  elemen  normal  diperumum  menjelaskan  bahwa  jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 ,  maka 𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ . Demikian juga jika 𝑎 ∈ 𝑅 # , maka (𝑎 # ) 𝑛 komutatif dengan elemen yang komutatif  dengan 𝑎 𝑛 . Hal ini mengakibatkan dapat dibangunnya Lema 6 sebagai berikut :
Lema 6 : Jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 ∩ 𝑅 # dan 𝑛 ∈ ℕ, maka (𝑎 # ) 𝑛 komutatif dengan 𝑎 ∗ .
Bukti : Disebabkan oleh 𝑎 ∈ 𝑅 # dan 𝑥 ∈ 𝑅 komutatif dengan 𝑎 𝑛 , maka 𝑥(𝑎 # ) 𝑛 = 𝑥(𝑎(𝑎 # ) 2 ) 𝑛 = 𝑥𝑎 𝑛 ((𝑎 # ) 2 ) 𝑛 =   ((𝑎 # ) 2 ) 𝑛 𝑥𝑎 𝑛 = ((𝑎 # ) 2 ) 𝑛 𝑎 𝑛 𝑥 = (𝑎 # ) 𝑛 𝑥
Diperoleh kesimpulan bahwa, jika 𝑎 ∈ 𝑅 # dan 𝑛 ∈ ℕ , maka (𝑎 # ) 𝑛 komutatif dengan elemen yang komutatif dengan 𝑎 𝑛 .  Dilain pihak jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 dan 𝑛 ∈ ℕ, maka 𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ . Sehingga jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑛𝑜𝑟 ∩ 𝑅 # dan 𝑛 ∈ ℕ, maka (𝑎 # ) 𝑛 komutatif with 𝑎 ∗ .

## 4 Simpulan
Dari sifat dan fenomena operasi transpose pada himpunan matriks dapat dibangun konsep elemen  normal  dan  elemen  normal  diperumum.  Eksistensi  suatu  elemen  normal  diperumum mempunyai invers Moore Penrose diperumum dijelaskan pada  Teorema 4,  yaitu bahwa elemen normal tersebut dan involusinya harus komutatif dengan invers Moore Penrose diperumumnya.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Terimakasih  kepada  Departemen  Matematika  Undip,  teman  teman  dosen  dan  mahasiswa yang sudah berkontribusi baik secara langsung ataupun tidak langsung dalam penulisan paper ini.

## 6 Daftar Pustaka
[1] Jin Ho Kwak and Sung Pyo Hong, Linear Algebra . Berlin: Birkhauser, 1997.
[2] Gregory Hartman Ph.D., Fundamentals of Matrix Algebra , 3rd ed. United State License, 2001.
[3] A.  N.  Khan  and  S.  Ali,  “Involution  on  prime  rings  with  endomorphisms,” AIMS Mathematics , 2020, vol. 5, no. 4, pp. 3274–3283, doi: 10.3934/math.2020210.
[4] W. Apairat,  “Moore-Penrose  Inverses and Normal  Elements in Rings.” Thesis Prince of Songkla University, 2017.
[5] T.  Udjiani,  Harjito,  Suryoto,  and  N.  Prima  P,  “Generalized  Moore  Penrose  Inverse  of Normal Elements in a Ring with Involution,” in IOP Conference Series: Materials Science and Engineering , Feb. 2018, vol. 300, no. 1. doi: 10.1088/1757-899X/300/1/012074.
[6] D. M. Mosi´c and D. S. Djordjevi´cdjordjevi´c, “New Characterizations of EP, Generalized Normal  and  Generalized  Hermitian  Elements  in  Rings.”,  Applied  Mathematics  and Computation, 2012,  vol. 218, Issue. 12, pp. 6702-6710
[7] A. Ben-Israel, “The Moore of Moore Penrose Inverse”, The Electronic Journal of Linear Algebra, 2002, vol. 9, pp. 150-157.
[8] T. Udjiani, B. Surodjo, and S. Wahyuni, “Generalized Moore Penrose Inverse in Rings with Involution,” ,Far East Journal of Mathematics Sciences, 2014, vol. 92. No. 1, pp. 29-40.
[9] D. Mosic, “On Jacobson’s Lemma and Cline’s Formula for Drazin Inverse ”, Revista de la Union  Matematica  Argentina ,  2020,  vol.  61,  no.  2,  pp.  267–276,  doi: 10.33044/REVUMA.V61N2A05.