Abstrak —Salah  satu  penyakit  yang  paling  sering  dialami  di Indonesia  khususnya  pada  saat  musim  penghujan  adalah penyakit  Demam  Berdarah Dengue (DBD).  Penyakit  ini disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan oleh nyamuk Aedes aegypti betina. Untuk mengetahui laju kesembuhan pasien maka perlu  diketahui  faktor-faktor  yang  dapat  mempengaruhinya. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah analisis survival . Analisis survival merupakan  analisis  mengenai  data  yang diperoleh  dari  catatan  waktu  yang  dicapai  suatu  objek  sampai terjadinya event. Dalam  penelitian  ini event yang  digunakan adalah waktu hingga sembuh (lama rawat inap) pasien.  Analisis Bayesian memperlakukan semua parameter yang tidak diketahui sebagai  variabel random dan  memiliki  distribusi.  Dalam mengestimasi  parameter  digunakan  pendekatan  bayesian  untuk mengatasi  kasus  jumlah  data  terbatas  karena  pada  bayesian menggunakan  estimasi  dengan  mempertimbangkan  distribusi prior .  Digunakan  dua  macam  distribusi  yang  berbeda  untuk memodelkan survival untuk  kasus  demam  berdarah dengue . Distribusi yang digunakan adalah distribusi Generalized Gamma dan Weibull. Model yang terbaik yang ditunjukkan dengan nilai WAIC  terkecil  adalah  model survival dengan  menggunakan distribusi Weibull.
Kata  Kunci —Analisis  Survival  ,  Bayesian,  Demam  Berdarah Dengue, Kesembuhan.

## I. PENDAHULUAN
NDONESIA merupakan negara iklim tropis yang memiliki dua  musim  yaitu  musim  penghujan  dan  musim  kemarau. Musim  penghujan  dapat  menimbulkan  penyakit  karena banyaknya  virus,  bakteri,  jamur,  dan  parasit  yang  dapat berkembang akibat kelembaban yang tinggi.  Salah satu virus yang  cepat  berkembang  saat  musim  penghujan  adalah  virus dengue ,  apabila  menjangkit  manusia  akan  menimbulkan penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) yang kerap muncul di negara tropis seperti Indonesia [1].
Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan penyakit yang disebabkan  oleh  virus dengue dengan  gejala  demam  2-7  hari disertai  dengan  nyeri  otot  dan  atau  nyeri  sendi,  leukopenia, ruam,  lifadenopati,  trombositopenia,  dan  diatesis  hemoragik  . Penyakit  DBD  ditularkan  melalui  gigitan  nyamuk Aedes aegypti .  Menurut  data  WHO,  Indonesia  dilaporkan  sebagai negara  ke-2  dengan  kasus  DBD  terbesar  diantara  30  negara wilayah  endemis.  Kasus  Demam  Berdarah Dengue (DBD) yang  terjadi  di  Indonesia  pada  tahun  2017  mengalami penurunan  signifikan  dari  tahun  2016  yang  mulanya  terdapat 204171  kasus  menjadi  68407  kasus.  Provinsi  Jawa  Timur merupakan  salah  satu  provinsi  dengan  kasus  DBD  tertinggi
dengan  jumlah  kasus  sebesar  7866  kasus.  Pada  tahun  2018 kasus  DBD  kembali  meningkat  dengan  angka  jumlah  kasus sebanyak 9452 kasus. Kasus kematian akibat DBD yang terjadi di  Indonesia  pada  tahun  2017  mengalami  penurunan  hampir tiga kali lipat. Pada tahun 2017 dan 2018 kasus kematian akibat DBD tertinggi terjadi di Provinsi Jawa Timur dengan banyak kematian  105  kematian  [2].  Surabaya  pada  tahun  2018 mengalami penurunan kasus penyakit DBD. Walaupun terjadi penurunan  kasus  demam  berdarah  tetapi  masih  ada  beberapa kecamatan  di  Surabaya  yang  memiliki  angka  kasus  Demam Berdarah tinggi khususnya untuk wilayah Surabaya Timur.
Pada suatu data yang memiliki variabel respon berupa waktu terjadinya  suatu event diperlukan  suatu  analisis  yaitu  analisis survival Analisis survival adalah analisis mengenai data yang diperoleh dari catatan waktu yang dicapai suatu objek sampai terjadinya event. Untuk  mengetahui  faktor-faktor  yang berpengaruh  terhadap  laju  kesembuhan  pasien  DBD,  maka perlu  dilakukan  penelitian  secara  statistik  untuk  dapat mengurangi  kasus  kematian  yang  disebabkan  oleh  DBD.  Hal ini  dilakukan  untuk  mengetahui  peluang  pasien  DBD  untuk bertahan  hidup,  serta  dalam  metode  penyembuhan  beberapa pasien  dapat  bertahan  dan  seberapa  besar  kegagalan  dari metode tersebut
Berdasarkan  uraian  tersebut,  maka  perlu  dilakukan penelitian untuk mengkaji waktu kesembuhan pasien penyakit DBD berdasarkan faktor demografi, geografi, dan faktor host dari pasien DBD. Penelitian ini akan mengidentifikasi pola data pada  waktu  lama  rawat  inap  untuk  mengetahui  model  yang tepat  untuk  digunakan.  Selanjutnya,  dilakukan  pemodelan survival berdasarkan  faktor-faktor  yang  mempengaruhi  laju kesembuhan pasien DBD yang diestimasi dengan Bayesian.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Pengujian Kesesuaian Distribusi
Pemeriksaan kesesuaian antara pola distribusi data observasi dengan pola distribusi yang dipilih merupakan salah satu tujuan untuk  melalukan  pengujian  kesesuaian  distribusi.  Beberapa metode  yang  sering  digunakan  untuk  pengujian  kesesuaian distribusi  data,  diantaranya  yaitu Anderson  Darling , Kolmogorov-Smirnov ,  dan Chi-square .  Pada  penelitian  ini pengujian  kesesuaian  distribusi  yang  digunakan  adalah menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov (KS). Uji Kolmogorov- Smirnov (KS)  merupakan  pengujian  yang  didasarkan  pada pendekatan  distribusi  kumulatif  atau Cumulative  Density Function (CDF). Selain itu, uji Kolmogorov-Smirnov (KS)

## Pemodelan Survival pada Kejadian Demam Berdarah Dengue di Surabaya Timur dengan Pendekatan Bayesian
Ni Luh Putu Ika Candrawengi, Nur Iriawan dan Irhamah Departemen Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : nur_i@statistika.its.ac.id
I
merupakan  uji  yang  paling  sering  digunakan  dalam  pengujin distribusi[3] . Berikut  merupakan  Hipotesis  uji Kolmogorov Smirnov : H 0 : 𝐹 𝑛 (𝑥) = 𝐹 0 (𝑥) atau  data  mengikuti  pola  distribusi tertentu H 1 : 𝐹 𝑛 (𝑥) ≠ 𝐹 0 (𝑥) atau data tidak mengikuti pola distribusi tertentu Nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut. 𝐷 = 𝑚𝑎𝑥|𝐹 𝑛 (𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)|, (1)
dengan,
𝐹 0 (𝑥) : fungsi distribusi yang dihipotesiskan,
𝐹 𝑛 (𝑥) : fungsi distribusi data secara empiris.
Daerah  penolakan  untuk  hipotesis  ini  adalah  jika  nilai  uji 𝐷 lebih  besar  dari  tabel critical  value  Kolmogorov-Smirnov . Selain  menggunakan  statistik  uji  seperti  pada  Persamaan  (1), pengujian KS juga dapat dilihat dari p-value . Tolak H 0 apabila p-value kurang dari taraf signifikan α yang digunakan.

## B. Analisis Survival
Analisis survival merupakan  salah  satu  metode  dalam statistika  yang  digunakan  untuk  menganalisis  data  yang memiliki variabel respon berupa waktu sampai terjadinya suatu event. Event merupakan suatu peristiwa ekstrim yang mungkin terjadi  pada  individu  seperti  kesembuhan,  kekambuhan, ataupun  kematian  setelah  dilakukan  suatu  proses treatment . Respon dari analisis survival didefinisikan sebagai range waktu dari  awal  penelitian  hingga  suatu event terjadi  atau  sampai penelitian berakhir [4]. Elemen-elemen yang harus diperhatikan dalam menentukan waktu survival adalah sebagai berikut :
1. Time  origin/starting  point atau  merupakan  titik  awal, misalnya wakti awal dimulainya suatu treatment .
2. Failure  time yaitu  waktu  berakhirnya failure  event, misalnya tanggal keluar rumah sakit atau tanggal kematian
3. Measurement  scale  of  time atau  skala  pengukuran  waktu, misalnya hari atau bulan.

## C. Fungsi Survival
Fungsi survival merupakan  probabilitas  bahwa  suatu individu tidak mengalami kejadian lebih dari waktu t . Fungsi survival 𝑆(𝑡) dapat  dinyatakan  sebagai  peluang  seorang individu  untuk  bertahan  lebih  lama  dari  suatu  waktu t [4]. Berikut merupakan persamaan untuk fungsi survival .
𝑆(𝑡) = 𝑃(𝑇 > 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡)
(2)
Fungsi  hazzard  merupakan  laju  kegagalan (failure) sesaat ketika  mengalami  suatu event pada  waktu  ke- t .  Berbeda dengan  fungsi survival yang  fokus  pada  keberhasilan,  fungsi hazard fokus  pada  kegagalan  ketika  kejadian  berlangsung. Fungsi hazard dapat dinyatakan dalam persamaan berikut.
ℎ (𝑡) = 𝑓(𝑡) 𝑆(𝑡) (3)
Hubungan  antara 𝐻(𝑡) atau  fungsi  kumulatif  hazard  dengan fungsi survival 𝑆(𝑡) adalah sebagai berikut :
𝐻(𝑡) = − 𝑙𝑛 𝑆 (𝑡)
(4)
dengan  : t
: Waktu yang diamati,
T : Waktu survival seorang individu,
𝐹(𝑡) : Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi data,
𝑓(𝑡) : Fungsi kepadatan peluang (PDF),
𝑆(𝑡) : Fungsi survival, ℎ (𝑡) : Fungsi hazard proporsional, 𝐻(𝑡) : Fungsi kumulatif hazard .
D. Asumsi Proporsional Hazard
Pengujian asumsi proportional hazard juga dapat dilakukan dengan  menggunakan  statistik  uji goodness  of  fit .  Adapun langkah-langkah untuk pengujian asumsi dengan uji goodness of fit adalah sebagai berikut.
1. Mendapatkan  residual schoenfeld untuk  setiap  variabel prediktor dari model cox.
2. Membuat variabel rank waktu survival dari urutan kecil ke besar
3. Menghitung  korelasi  antara  residual schoenfeld dan rank dari waktu survival menggunakan rumus pada Persamaan
𝑟 𝑅𝑇,𝑃𝑅𝑖 = ∑ (𝑃𝑅𝑖𝑗−𝑃𝑅̄)(𝑅𝑇𝑗−𝑅𝑇̄) 𝑛 𝑗=1 √∑ (𝑃𝑅𝑖𝑗−𝑃𝑅̄) 2 𝑛 𝑗=1 √∑ (𝑅𝑇𝑗−𝑅𝑇̄) 2 𝑛 𝑗=1 (5)
Keterangan :
PR ij : residual schoenfeld untuk variabel prediktor ke- i individu yang mengalami event pada t (j) . RT j : rank waktu survival yang diurutkan dari kecil ke besar pada t (j) .
4. Melakukan pengujian korelasi antara residual schoenfeld dan rank waktu survival dengan hipotesis sebagai berikut. H 0 : 𝜌 = 0 H 1 : 𝜌 ≠ 0
Statistik uji yang digunakan adalah sebagai berikut,
𝑡 ℎ 𝑖𝑡 = 𝑟 𝑅𝑇,𝑃𝑅𝑖 √𝑛−2 √1−𝑟 𝑅𝑇,𝑃𝑅𝑖 2 (6)
Tolak H 0 jika |𝑡 ℎ 𝑖𝑡 | > 𝑡 𝛼 2 ,𝑛−2 atau nilai p-value kurang dari taraf kesalahan (α) yang digunakan. Asumsi propotional hazard terpenuhi  jika  uji  korelasi  antara  residual schoenfeld dan rank waktu survival tidak signifikan atau gagal tolak H 0 [4].
Perhitungan numerik dengan statistik uji global Grambsh and Thernau yang berdasarkan residual schoenfeld pada regresi cox dengan hipotesis sebagai berikut :
𝐻 0 : Asumsi 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ℎ 𝑎𝑧𝑎𝑟𝑑 terpenuhi 𝐻 1 : Asumsi 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ℎ 𝑎𝑧𝑎𝑟𝑑 tidak terpenuhi Persamaan  (7)  merupakan  statistik  uji  global  variabel  ke- p ( 𝐺 𝑝 ):
𝐺 𝑝 = ∑ ∑ (𝛿 𝑖𝑗 ℎ (𝑡 𝑖𝑗 )− ℎ ̄ )𝑟 𝑠𝑝𝑖𝑗 𝑁𝑖 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 𝐼 𝑝 ∑ ∑ (𝛿 𝑖𝑗 ℎ (𝑡 𝑖𝑗 )− ℎ ̄ ) 𝑁𝑖 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 ~𝜒 (1) 2 , (7)
dengan :
𝑟 𝑠𝑝𝑖𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 {𝑥 𝑖𝑗 − 𝛼̄ 𝑝𝑖𝑗 }, (8)
dimana,
𝛼̄ 𝑝𝑖𝑗 = ∑ 𝑥𝑝𝑖𝑗 𝑒𝑥𝑝(𝜷𝒙𝜤) 𝐼∈𝑅𝑓 ∑ 𝑒𝑥𝑝(𝜷𝒙𝜤) 𝐼∈𝑅𝑓 , (9)
𝛿 𝑖𝑗 menunjukkan  status  kejadian  (tersensor  (0)  dan  tidak tersensor  (1)), 𝐼 𝑝 merupakan  elemen information  matrix variabel  ke- p, 𝑟 𝑠𝑝𝑖𝑗 merupakan  nilai  residual Schoenfeld dan kesimpulan gagal tolak 𝐻 0 , jika nilai 𝐺 𝑝 < 𝜒 (1) 2 atau jika nilai P-value > 𝛼 [5].
E. Model Proportional Hazard
Model proportional hazard atau cox  proportional  hazard (Cox PH) adalah suatu pemodelan matematis yang digunakan untuk menganalisis data survival . Pada model cox PH mampu mengestimasi  koefisien  regresi, hazard ratio ,  dan  kurva survival . Cox PH  merupakan  model  yang robust karena  hasil dari  model  Cox  PH  mendekati  aproksimasi  hasil  dari  model parametrik  [4].  Model  cox  PH  merupakan  model  semi- parametrik karena model Cox PH tidak memerlukan informasi tentang distribusi yang mendasari waktu survival dan estimasi parameter regresi dari model cox PH tanpa harus menentukan baseline hazard .  Adapun  persamaan  model  Cox  PH  dapat ditulis seperti Persamaan 21[4].
ℎ (𝑡, 𝑋) = ℎ 0 (𝑡)𝑒 ∑ 𝛽𝑖𝑋𝑖 𝑝 𝑖=1 (10)
ℎ (𝑡, 𝑋) = ℎ 0 (𝑡) 𝑒𝑥𝑝( 𝛽 1 𝑥 𝑖 + 𝛽 2 𝑥 2 +. . . +𝛽 𝑝 𝑥 𝑝 ) (11)
dimana,
(𝑋 1 , 𝑋 2 , . . . , 𝑋 𝑝 ) : Vektor yang berisi p variabel prediktor ℎ 0 (𝑡)
: Baseline hazard yang  menggambarkan model hazard ketika  semua  variabel prediktornya bernilai nol
(𝛽 1 , 𝛽 2 , . . . , 𝛽 𝑝 ) : Vektor pada parameter regresi

## F. Analisis Bayesian
Estimasi parameter suatu model dapat digolongkan ke dalam dua  kelompok  yaitu  data  pengamatan  saat  ini  yang  bersifat sesaat  selama  studi  dan  data  yang  bersifat  long  memory histogram  yang  dikumpulkan  di  masa  lampau  [6]. Analisis Bayesian  memperlakukan  semua  parameter  yang  tidak diketahui  sebagai  variabel random dan  memiliki  distribusi, sehingga  analisis  Bayesian  berbeda  dengan  teori  statsitika klasik  [7].  Dasar  dari  teorema  Bayesian  adalah  distribusi posterior  yang  merupakan  perkalian  antara  distribusi prior dengan data obserbasi penyusun fungsi likelihood [8].
Pada Penelitian ini, jika diketahui 𝑡 adalah sebuah variabel random dengan fungsi densitas 𝑓(𝒕|𝜽) dengan mengikuti pola distribusi tertentu. 𝜽 merupakan vektor parameter dengan 𝜽 = (𝛽 1 , 𝛽 2 , . . . , 𝛽 𝑝 , 𝛼, 𝛾) yang memiliki ukuran sebanyak parameter yang  digunakan,  dalam  penelitian  ini  parameter  ukuran parameter  yaitu 𝑝 + 1 ,  sedangkan t merupakan  vektor  sampel yang  memiliki  ukuran  n  dengan  distribusi  identik  dan
independent. Joint posterior dari 𝜽 dan t dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut.
𝑓(𝜽|𝑡) = 𝑓(𝒕|𝜽)𝑓(𝜽) 𝑓(𝑡) (12)
didapatkan conditional  distribution yang  dituliskan  dalam persamaan berikut.
𝑓(𝜽|𝑡) ∝ 𝑓(𝒕|𝜽)𝑓(𝜽), (13)
dengan :
𝑓(𝒕|𝜽) :  fungsi likelihood ,
𝒇(𝜽) : joint distribution 𝜽 sebagai 𝑓(𝜽) = 𝑓(𝛽 1 ). 𝑓(𝛽 2 ), . . . , 𝑓(𝛽 𝑝 ). 𝑓(𝛼). 𝑓(𝛾) , 𝑓(𝑡) :  total  probabilitas  bayes  yang  berfungsi  sebagai konstanta penormal fungsi distribusi densitas.
Penentuan distribusi prior sangat penting karena mempengaruhi  bentuk  distribusi  posterior  yang  akan digunakan  untuk  pengambilan  keputusan.  Jika  tidak  terdapat informasi prior dapat digunakan non-informative prior dengan memberikan  nilai  yang  tidak  akan  mempengaruhi  distribusi posterior.  Berikut  ini  merupakan  macam-macam  distribusi prior , antara lain : a. Informative dan noninformative prior merupakan penentuan prior yang  didasarkan  pada  ada  atau  tidaknya informasi  yang  diperoleh  dari  penelitian  sebelumnya mengenai pola distribusi data.
b. Conjugate dan nonconjugate  prior merupakan  penentuan prior yang didasarkan dari pola likelihood data.
c. Proper dan improper  prior merupakan  penentuan prior tergantung  pada  pemberian  pembobotan/densitas  di  setiap titik, apakah terdistribusi secara uniform atau tidak
d. Pseudo prior merupakan penentuan prior dengan nilai yang pemberian  nilainya  didasarkan  dan  disetarakan  dengan hasil elaborasi cara frequentist.
Distribusi  posterior  merupakan  distribusi  peluang  yang berisi informasi  mengenai parameter 𝜽 atau dapat dinyatakan dalam 𝑓(𝜽|𝑡) . Distribusi posterior merupakan gabungan antara informasi prior dan data observasi (fungsi likelihood ). Markov Chain  Monte  Carlo (MCMC)  merupakan  suatu  pendekatan yang dapat digunakan untuk  memecahkan  masalah dalam  hal pembaharuan  parameter  dari  sampel  melalui  distribusi posterior. Markov  Chain  Monte  Carlo (MCMC)  dapat digunakan  untuk  membentuk  model  yang  sangat  kompleks, berdimensi  tinggi  atau  memiliki  sifat  data  yang  berkorelasi tinggi.  Untuk  mendapatkan  distribusi prior yang  stasioner, MCMC  memiliki  ide  dasar  dengan  membangkitkan  sebuah Markov  Chain dengan  simulasi Monte  Carlo yang  beriterasi. Salah  satu  algoritma  dari  MCMC  yang  mencakup  iteratif sampling  dari  setiap  distribusi  bersyarat  adalah Gibbs. Algoritma Gibbs  sampling dapat  digunakan  walaupun  data memiliki  distribusi  yang  rumit  dan  tidak  diberitahu  secara eksplisit asalkan distribusi kondisional bersyarat univariat [9]. Diberikan 𝜽 = (𝛽 1 , 𝛽 2 , . . . , 𝛽 𝑝 , 𝛼, 𝛾) ,  dimana  bentuk  distribusi full  conditional yang  digunakan  untuk  masing-masing parameter  adalah: sampling .  Algoritma gibbs  sampling digunakan  untuk  mengambil  sampel  dari  distribusi  kompleks berdimensi tinggi.
𝑝(𝛼|𝒙, 𝛽 2 , … , 𝛽 𝑝 , 𝛾), 𝑝(𝛾|𝒙, 𝛽 2 , … , 𝛽 𝑝 , 𝛼), 𝑝(𝛽 1 |𝒙, 𝛽 2 , . . . , 𝛽 𝑝 , 𝛼, 𝛾), . . . , 𝑝(𝛽 𝑝 |𝒙, 𝛽 1 , . . . , 𝛽 𝑝−1 , 𝛼, 𝛾))
atau  dapat  ditulis  dengan 𝜽 (1) , 𝜽 (2) , . . . , 𝜽 (𝑝) .  Berikut  ini merupakan langkah-langkah dari algoritma gibss samppling : 1. Mengambil  nilai 𝑚 = 0 dan  menentukan  nilai  inisiasi (initial value) dari 𝜽 (0) = (𝛽 1 (0) , 𝛽 2 (0) , . . . , 𝛽 𝑝 (0) , 𝛼 (0) , 𝛾 (0) ) . 2. Membangkitkan tiap komponen dari 𝜽 (𝑚+1) = (𝛽 1 (𝑚+1) , 𝛽 2 (𝑚+1) , . . . , 𝛽 𝑝 (𝑚+1) , 𝛼 (𝑚+1) , 𝛾 (𝑚+1) ) dimana,
Nilai 𝛼 (𝑚+1) berasal dari 𝑝(𝛽 1 |𝑿, 𝛽 1 (𝑚) , … , 𝛽 𝑝 (𝑚) , 𝛾 (𝑚) ) Nilai  berasal dari 𝑝(𝛽 1 |𝑿, 𝛽 1 (𝑚) , … , 𝛽 𝑝 (𝑚) , 𝛼 (𝑚+1) ) Nilai  berasal dari 𝑝(𝛽 1 |𝑿, 𝛽 2 (𝑚) , … , 𝛽 𝑝 (𝑚) , 𝛼 (𝑚+1) , 𝛾 (𝑚+1) ) Nilai𝛽 2 (𝑚+1) berasal dari 𝑝(𝛽 2 |𝑿, 𝛽 1 (𝑚+1) , … , 𝛽 𝑝 (𝑚) , 𝛼 (𝑚+1) , 𝛾 (𝑚+1) )
Nilai𝛽 𝑝 (𝑚+1) berasal dari 𝑝(𝛽 𝑝 |𝑿, 𝛽 1 (𝑚+1) , … , 𝛽 𝑝−1 (𝑚+1) , 𝛼 (𝑚+1) , 𝛾 (𝑚+1) )
3. Melakukan monitoring terhadap kekonvergenan algoritma. Apabila belum konvergen, maka dibangkitkan lebih  banyak  observasi  dengan  mengambil  nilai 𝑚 1 = 𝑚 + 1, 𝑚 2 = 𝑚 + 1, . . . , 𝑚 𝑘 = 𝑚 + 𝑘𝑎 dan diulangi Langkah 1 dan Langkah 2.
4. Membuang b observasi pertama (burn in period). Hal ini dilakukan untuk menghindari pengaruh initial value.
5. Anggap 𝜽 (1) , 𝜽 (2) , . . . , 𝜽 (𝑝) dan  sebanyak  b  observasi pertama sudah dibuang dan diperoleh sampel 𝜽 (𝑏+1) , 𝜽 (𝑏+2) , . . . , 𝜽 (𝑘) untuk analisis posterior,.
6. Membuat plot distribusi posterior.
7. Mendapatkan mean, median, standar deviasi, kuantil, dan MC error dari posterior.
G. Watanabe Akaike Information Criterion (WAIC)
Watanabe Akaike Information Criterion (WAIC) atau yang biasa dikenal dengan Widely Applicable Information Criterion adalah  salah  satu  pendekatan  bayesian  untuk  mengestimasi ekspektasi out-of-sample. Metode  ini  dimulai  dengan menghitung  log  dari  fungsi  densitas  posterior  dan menambahkan  koreksi  untuk  jumlah  parameter  efektif  yang disesuaikan untuk overfitting. Dibandingkan dengan DIC dan AIC, WAIC memiliki sifat yang berada diatas rata-rata diatas distribusi posterior dibandingkan dalam satu estimasi titik. Hal ini  sangat  relevan  digunakan  dalam  prediksi  karena  WAIC mengevaluasi prediksi yang sebenarnya digunakan untuk data baru dalam konteks Bayesian [10].  Rumus untuk menghitung WAIC dapat dilihat pada Persamaan (14).
𝑊𝐴𝐼𝐶 = 𝑙𝑝𝑝𝑑 − 𝑝𝑊𝐴𝐼𝐶, (14)
dengan,
𝑝𝑊𝐴𝐼𝐶 = ∑ 𝑣𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑡   log 𝑝 ( 𝑦 𝑖 | 𝜃) ) 𝑛 𝑖=1 (15)

## H. Demam Berdarah Dengue (DBD)
Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit  menular yang disebabkan oleh virus dengue dan ditularkan oleh nyamuk Aedes aegypti . Biasanya, penyakit demam berdarah ini ditandai dengan adanaya demam mendadak selama 2-7 hari, lemah/lesu, nyeri  ulu  hati,  nyeru  persendian,  dan  dapat  disertai  dengan tanda pendarahan dikulit berupa bintik-bintik. Jika penyakit
demam  berdarah  sudah  sangat  parah  maka  dapat  disertai dengan  mimisan,  muntah  darah, shock ,  bahkan  dapat menimbulkan  kematian.  Tiga  faktor  penting  yang  memegang peranan  pada  penularan  infeksi  virus dengue yaitu  manusia, virus,  dan  vektor  perantara.  Virus dengue ditularkan  kepada manusia  melalui  gigitan  nyamuk Aedes  aegypti betina. Tidak semua  orang  yang  didalam  tubuhnya  terdapat  virus dengue akan sakit demam berdarah dengue . Beberapa akan mengalami demam ringan dan sembuh dengan sendirinya atau bahkan ada yang sama sekali tanpa gejala sakit.

## III. METODOLOGI PENELITIAN

## A. Sumber Data
Pada  penelitian  ini  sumber  data  yang  akan  digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari data rekam medis pasien rawat inap DBD di RSUD Dr. Soetomo Surabaya, waktu rekam  medis  dimulai  dari  tahun  2016  sampai  2019.  Waktu penelitian adalah 1 Januari 2016 sampai dengan 31 Desember 2019.

## B. Variabel Penelitian
Variabel-variabel  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini terdapat pada Tabel 1.
Tabel 1. Variabel Penelitian Variabel Nama Variabel Skala t Lama rawat inap pasien Rasio t.cen data tersensor Nominal X 1 Jenis Kelamin Pasien 0 : Perempuan 1 : Laki-laki Nominal X 2 Usia pasien saat dirawat Rasio X 3 Pendidikan terakhir pasien 1: SD 2 : SMP 3: SMA 4 : S1/D3 5 : Lain-lain Ordinal X 4 Pekerjaan pasien : 1: Ibu Rumah Tangga 2: Pegawai Swasta 3: Pegawai Negeri 4: Tidak Bekerja 5: Lain-lain Nominal X 5 Tingkatan/fase DBD yang diidap : 1: I 2: II
3: III 1. IV
Ordinal
X 6 Lama demam sebelum masuk ke RS Rasio X 7 Banyaknya denyut nadi per menit Rasio X 8 Frekuensi pernafasan pasien Rasio X 9 Suhu badan pasien saat pertama kali datang ke rumah sakit Rasio X 10 Kadar Hemoglobin Pasien Rasio X 11 Kadar Hematokrit Pasien Rasio X 12 Kadar sel darah putih pasien Rasio X 13 Kadar trombosit dalam darah Rasio

## C. Langkah Analisis
Langkah-langkah analisis dalam penelitian ini adalah :
1. Melakukan pengujian distribusi waktu rawat inap.
2. Melakukan  pengujian  asumsi  pemodelan proporsional hazard.
3. Proses  estimasi  parameter  untuk  distribusi  dari  variabel respon lama rawat inap dengan menggunakan MCMC dan gibbs sampler .
4. Menentukan model survival spasial  pada kejadian DBD di  Surabaya  Timur  berdasarkan  faktor-faktor  yang mempengaruhi  laju  kesembuhan  pasien  menggunakan program OpenBUGS. Langkah-langkahnya dapat dijelaskan sebagai berikut.
i. Menentukan distribusi prior yang digunakan berdasarkan informasi dari data
ii. Menentukan joint posterior model survival iii. Menentukan full conditional untuk setiap parameter iv. Melakukan inisiasi untuk parameter awal
v. Menghitung  nilai  fungsi hazard dan survival pasien DBD berdasarkan posterior summaries yang diperoleh 5. Interpretasi  model survival sehingga  diperoleh  faktor- faktor yang berpengaruh terhadap laju kesembuhan pasien
DBD.
6. Menarik kesimpulan dan saran.

## IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
A. Pendugaan Distribusi Lama Rawat Inap (Waktu Survival) Pasien DBD
Pendugaan distribusi dilakukan terhadap waktu survival ( t ) yaitu lama rawat inap pasien DBD  Surabaya Timur di RSUD Dr.  Soetomo.  Oleh  sebab  itu,  dalam  pengujian  kesesuaian distribusi  digunakan  asumsi  awal  yaitu  data  dari  lama  rawat
inap pasien DBD berdistribusi Generalized Gamma 3P/Weibul 2P.
Hasil  uji  kesesuaian  distribusi  pada  Tabel  2  menunjukkan bahwa  waktu  lama  rawat  inap  (waktu survival )  berdistribusi Generalized Gamma  dan  Weibull.  Hal  ini  disebabkan  karena nilai  statistik  uji Kolmogorov-Smirnov dari  data  lama  rawat inap pasien DBD lebih kecil dibandingkan dengan nilai kritis yang ditetapkan sebesar 0,28274. Selain itu, lama waktu rawat inap  pasien  (waktu survival )  selalu  memiliki  nilai  yang cenderung  positif  sehingga  distribusi  yang  sesuai  yaitu Generalized Gamma dan distribusi Weibull.
B. Asumsi Proportional Hazard
Uji  global Grambsch  and  Thernau juga  digunakan  dalam penelitian  ini.  Pengujian  ini  menggunakan  hipotesis  serta statistik uji sesuai dengan Persamaan (5). Tabel 3 Merupakan hasil uji Schoenfeld residual . Hasil pengujian proprosional hazard dengan  menggunakan korelasi antara residual Schoenfeld dengan waktu survival yang ditunjukkan  dengan  rho  menunjukkan  untuk  seluruh  variabel kategorik yang digunakan dalam penelitian ini memiliki nilai P yang lebih dari taraf signifikansi sebesar 0,05. Sehingga, untuk seluruh  variabel  kategorik  tidak  signifikan  sehingga  gagal menolak hipotesis untuk asumsi proporsional hazard . Hasil Uji Global  untuk  menguji  asumsi  proporsional hazard untuk keseluruhan  model  secara  simultan  menunjukkan  nilai P sebesar 0,8076 yang lebih dari taraf signifikansi. Dari hasil uji Global dapat disimpulkan bahwa asumsi proporsional hazard terpenuhi pada model ini

## C. Penentuan Prior
Pada  penelitian  ini  digunakan  dua  macam  distribusi  untuk lama  inap  (waktu survival )  pasien  DBD  yaitu  distribusi Weibull  2  Parameter  dan Generalized Gamma  3  parameter. Fungsi  kepadatan  peluang  (PDF)  untuk  distribusi  Weibull  2 parameter adalah sebagai berikut,
𝑓(𝑡|𝛾, 𝜇) = 𝜇𝛾𝑡 𝛾−1 𝑒𝑥𝑝( − 𝜇𝑡 𝛾 ).
Kemudian  fungsi hazard untuk  distribusi  Weibull  adalah sebagai berikut,
ℎ (𝑡) = 𝛾𝑡 𝛾−1 𝑒𝑥𝑝( 𝛽 1 𝑥 1 + 𝛽 2 𝑥 𝑥 +. . . +𝛽 𝑝 𝑥 𝑝 ), sebelum melakukan estimasi terhadap parameter 𝛾 dan untuk 𝛽 , maka  terlebih  dahulu  menentukan  distribusi prior nya  sebagai berikut,
𝛾~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝑎, 𝑏), 𝛽 𝑖 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝑚, 𝑡𝑎𝑢).
Untuk  distribusi Generalized Gamma  diketahui  fungsi kepadatan peluangnya adalah sebagai berikut,
𝑓(𝑡|𝛾, 𝛼, 𝛽) = 𝛽 𝛤(𝛼) 𝑡 𝛽𝛼−1 𝛾 𝛽𝛼 𝑒𝑥𝑝 (− ( 𝑡 𝛾 ) 𝛽 ),
Tabel 3.
Uji Distribusi Waktu Survival Distribusi Statistik Uji Nilai Kritis Keputusan Generalized Gamma 0,13276 0,28724 Gagal  tolak H0 Weibull 0,15079 0,28724 Gagal  tolak H0 Tabel 2. Hasil Uji Proporsional Hazard Variabel rho P-value Jenis Kelamin (1) 0,05481 0,8374 Usia Pasien 0,41291 0,1397 Pendidikan Terakhir (S1/D3) -0,2339- 0,2671 Pendidikan Terakhir (SMA) -0,20646 0,3335 Pekerjaan Pegawai Negeri 0,09771 0,6676 Pekerjaan (Pegawai Swasta) -0,11479 0,6045 Pekerjaan (Tidak Bekerja) -0,32063 0,1018 Lama  demam  sebelum masuk RS 0,33498 0,0936 Fase DBD (II) -0,20733 0,3648 Fase DBD (III) -0,01608 0,9337 Denyut Nadi -0,24943 0,1697 Pernafasan 0,10119 0,6304 Suhu -0,13837 0,5282 HGB -0,00966 0,9645 HCT 0,16331 0,3972 WBC -0,24273 0,2864 PLT -0,31504 0,0627 GLOBAL NA 0,8076
dengan model hazard,
ℎ (𝑡) = ℎ 0 (𝑡) 𝑒𝑥𝑝( 𝛽 1 𝑥 1 + 𝛽 2 𝑥 𝑥 +. . . +𝛽 𝑝 𝑥 𝑝 ).
Dimana ℎ 0 (𝑡) dari  distribusi Generalized Gamma merupakan bentuk integral rumit yang memuat parameter 𝛼 dan 𝛾 . Sebelum  melakukan  estimasi  terhadap  parameter 𝛼, 𝜃 dan untuk 𝛽 , maka terlebih dahulu menentukan distribusi prior nya sebagai berikut,
𝛼~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝑎, 𝑏), 𝛾~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝑎, 𝑏), 𝛽 𝑖 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝑚, 𝑡𝑎𝑢),
dimana  penentuan  distribusi prior tersebut  dilakukan berdasarkan  gabungan  antara prior informatif  dan pseudo prior .
D. Faktor-faktor yang Signifikan Mempengaruhi Laju Kesembuhan Pasien DBD
1) Faktor  yang  Signifikan  Mempengaruhi  Laju  Kesembuhan Pasien DBD dengan Distribusi Weibull
Faktor-faktor yang dianggap signifikan untuk mempengaruhi  laju  kesembuhan  pasien  DBD  di  RSUD  Dr. Soetomo  adalah  jika  nilai  dari credible  interval 2,5%  hingga 97,5%  tidak  memuat  nilai  0.  Tidak  semua  variabel mempengaruhi  laju  kesembuhan  pasien  DBD  di  RSUD  Dr. Soetomo.  Variabel  yang  berpengaruh  terhadap  kesembuhan pasien DBD adalah variabel jenis kelamin, pendidikan terakhir pasien untuk kategori S1/D3, pekerjaan pasien untuk kategori pegawai  negeri  dan  lain-lain,  diagnosis  DB  ketika  masuk  ke rumah sakit, lama demam sebelum masuk rumah sakit, denyut nadi  per  menit,  tingkat  pernafasan,  kadar White  Blood  Cells, dan kadar platelets atau trombosit.
2) Faktor  yang  Signifikan  Mempengaruhi  Laju  Kesembuhan Pasien DBD dengan Distribusi Generalized Gamma Faktor-faktor yang dianggap signifikan untuk mempengaruhi  laju  kesembuhan  pasien  DBD  di  RSUD  Dr. Soetomo jika diduga bahwa lama rawat inap pasien mengikuti pola  distribusi Generalized Gamma adalah  variabel  jenis kelamin,  pendidikan  terakhir  untuk  kategori  S1,  pekerjaan untuk kategori pegawai negeri, pegawai swasta, dan lain-lain, fase DBD, lama demam sebelum masuk rumah sakit, fase DBD yang didiagnosis II, denyut nadi per menit, tingkat pernafasan, kadar white blood cells, dan kadat platelets atau trombosit.
E. Laju Kesembuhan Pasien DBD
Hazard  rate (laju  kesembuhan)  pasien  DBD  RSUD  Dr. Soetomo di masing-masing kecamatan  yang berada di daerah Surabaya Timur dapat dimodelkan sebagai berikut. Model Laju Kesembuhan Pasien Distribusi Weibull
ℎ (𝑡) = 2,368𝑡 1,368 𝑒𝑥𝑝( − 3,898 + 0,6833𝑋 1(𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛) + 0,3896𝑋 3(𝑆1/𝐷3)
−0,5509𝑋 4(𝑃.𝑁𝑒𝑔𝑒𝑟𝑖) + 0,4727𝑋 4𝑙𝑎𝑖𝑛−𝑙𝑎𝑖𝑛 − 0,4902𝑋 5(𝐼) − 0,462𝑋 6
+0,74𝑋 7 − 0,5048𝑋 8 − 0,6802𝑋 12 + 0,7391𝑋 13
Model  Laju  Kesembuhan  Pasien  Distribusi Generalized Gamma
ℎ (𝑡) = ℎ 0 (𝑡) 𝑒𝑥𝑝( − 2,154 + 0,7327𝑋 1(𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛)
+ 0,3812𝑋 3(𝑆1/𝐷3) − 0,4973𝑋 4(𝑃.𝑁𝑒𝑔𝑒𝑟𝑖) −0,5489𝑋 4(𝑃.𝑆𝑤𝑎𝑠𝑡𝑎) + 0,5492𝑋 4𝑙𝑎𝑖𝑛−𝑙𝑎𝑖𝑛 − 0,4938𝑋 5(𝐼) − 0,49𝑋 6 + 0,7913𝑋 7
−0,5521𝑋 8 − 0,626𝑋 12 + 0,6793𝑋 13
F. Perbandingan Model Survival
WAIC  merupakan  bentuk Generalized nilai Akaike Information Criterion (AIC) ke dalam bentuk model statistika yang singular. Model terbaik yang dipilih adalah  model  yang memiliki nilai WAIC yang lebih kecil. Berikut ini pada Tabel 4 merupakan nilai WAIC dari masing-masing model survival . Berdasarkan  Tabel  4  maka  model  yang  dipilih  adalah  model survival dengan distribusi Weibull. Pemilihan ini dikarenakan nilai WAIC dari model tersebut sebesar 93,01 yang merupakan nilai WAIC terkecil dari model yang ada. Oleh sebab itu maka laju  kesembuhan  pasien  DBD  di  Surabaya  Timur  dapat dimodelkan dengan model sebagai berikut.
ℎ (𝑡) = 2,368𝑡 1,368 𝑒𝑥𝑝( − 3,898
+ 0,6833𝑋 1(𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛)
+ 0,3896𝑋 3(𝑆1/𝐷3)
−0,5509𝑋 4(𝑃.𝑁𝑒𝑔𝑒𝑟𝑖) + 0,4727𝑋 4𝑙𝑎𝑖𝑛−𝑙𝑎𝑖𝑛 − 0,4902𝑋 5(𝐼) − 0,462𝑋 6 +0,74𝑋 7 − 0,5048𝑋 8 − 0,6802𝑋 12 + 0,7391𝑋 13

## V. KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan  yang  diperleh  dari  hasil  analisis  yang  telah dilakukan adalah sebagai berikut; (1)Distribusi dari lama rawat inap pasien DBD mengikuti pola ditribusi Generalized Gamma atau  Weibull;  (2)Pada  penelitian  model  yang  dipilih  untuk memodelkan  laju  kesembuhan  pasien  DBD  adalah  model survival dengan  distribusi  Weibull.  Faktor-faktor  yang mempengaruhi  laju  kesembuhan  pasien  adalah  variabel  jenis kelamin,  pendidikan  terakhir  pasien  untuk  kategori  S1/D3, pekerjaan pasien untuk kategori pegawai negeri dan lain-lain, diagnosis  DB  ketika  masuk  ke  rumah  sakit,  lama  demam sebelum  masuk  rumah  sakit,  denyut  nadi  per  menit,  tingkat pernafasan, kadar White Blood Cells, dan kadar platelets atau trombosit.
Berdasarkan kesimpulan yang diperoleh, dapat dirumuskan saran sebagai berikut.(1)Untuk memodelkan dapat dipertimbangkan untuk kasus mixture pada data sehingga dapat menghasilkan hasil yang lebih baik; (2)Dapat dipertimbangkan untuk menambahkan efek spasial untuk penelitian selanjutnya; (3)Untuk pemerintah Kota Surabaya dapat mempertimbangkan untuk pencegahan penyakit DBD di beberapa kecamatan yang ada di Kota Surabaya.
Tabel 4 . Nilai WAIC Masing-masing Model Survival Model WAIC Model Survival distribusi Generalized Gamma 147,1 Model survival distribusi Weibull 93,01

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  W.  H.  O.  WHO,  “Dengue  increase  likely  during  rainy  season:  WHO warns,” World Health Organization (WHO) , 2019.
https://www.who.int/westernpacific/news/detail/11-06-2019-dengue- increase-likely-during-rainy-season-who-warns.
[2]  K.  R.  I.  Ditjen  P2P,  “Situasi  Penyakit  Demam  Berdarah  di  Indonesia Tahun 2017,” 2018.
[3]  S.  Siegel  and  J.  J.  N.  Castellan,  “Nonparametric  Statistics  for  the Behavioral Sciences,” New York, Springer-Verlag , 1988.
[4]  D. G. Kleinbaum and M. Klein, “Survival Analysis: A self-learning text, 2005,” New York, Springer-Verlag , 2011.
[5]  P.  M.  Grambsch  and  T.  M.  Therneau,  “Proportional  hazards  tests  and diagnostics based on weighted residuals,” Biometrika , vol. 81, no. 3, pp.
515–526, 1994, doi: 10.1093/biomet/81.3.515.
[6]  N.  Iriawan,  “Studi  tentang  ‘Bayesian  Mixture  Normal’dengan menggunakan  metode  Markov  Chain  Monte  Carlo  (MCMC),” Lap. Penelit. , 2001.
[7]  W. M. Boldstat, Introduction to Bayesian Statistics , 2nd ed. New Jersey: John Wiley & Sons. Inc, 2007.
[8]  G. E. P. Box and G. C. Tiao, “Bayesian Inference in Statistical Analysis, Addision-Wesley,” Reading, MA , 1973.
[9]  W.  R.  Gilks  and  P.  Wild,  “Adaptive  Rejection  Sampling  for  Gibbs Sampling,” Appl.  Stat. ,  vol.  41,  no.  2,  p.  337,  1992,  doi: 10.2307/2347565.
[10]  A.  Gelman,  J.  Hwang,  and  A.  Vehtari,  “Understanding  predictive information criteria for Bayesian models,” Stat. Comput. , vol. 24, no. 6, pp. 997–1016, 2014.