## Analisis Sistem Antrian Pasien Rawat Jalan Menggunakan Distribusi Poisson dan Distribusi Erlang
Siti Masnikafah 1 , Siti Alfiatur Rohmaniah 2, Mohammad Syaiful Pradana 3
1 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, masnikafah@gmail.com
2 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, sitialfiatur@unisda.ac.id
3 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, syaifulp@unisda.ac.id
Abstract. Queue at the Health Center is the process of waiting for patients to receive services. The phenomenon of long and long queues occurs at the Turi Health Center Lamongan  Regency  especially  during  crowded  conditions..  The  purpose  of  this study  was  to  determine  the  optimum  number  of  waiters  at  the  Turi  Public  Health Center in crowded conditions. Determination of the number of waiters based on the arrival  rate  represented  by  the  Poisson  Distribution,  while  the  service  time  is represented by the Erlang Distribution. In this study there are three phases of service, namely  registration,  doctor  services,  and  pharmacy  services.  In  determining  the optimal number of servers, look at the utility value. The results of the study on the crowded conditions of patients at the Turi Health Center occurred on Mondays with an arrival of 4 patients per minute and the rate of service for 10 minutes per patient. The average waiting time in the queue is 0.035 minutes, the average waiting time in the  system  is  0.04  minutes  and  the  average  number  of  patient  in  the  queue  and system  is  has  no  patients  per  minute.  The  utility  value  obtained  is  0.4,  so  that  the number of waiters in crowded conditions is one server.
Keywords: Queue, service optimization, Poisson distribution, Erlang distribution.
Abstrak. Antrian  di  Puskesmas  merupakan  proses  menunggu  pasien  untuk mendapat  pelayanan.  Fenomena  antrian  yang  panjang  dan  lama  terjadi  pada Puskesmas Turi Kabupaten Lamongan terlebih pada saat kondisi yang ramai.Tujuan penelitian  ini  untuk  mengetahui  jumlah  pelayan  optimum  Puskesmas  Turi  dalam kondisi  ramai  pasien.  Penentuan  jumlah  pelayan  berdasarkan  tingkat  kedatangan yang  terwakilkan  dengan  Distribusi  Poisson,  sedangkan  waktu  pelayanan  diwakili oleh  Distribusi  Erlang.  Pada  penelitian  ini  terdapat  tiga  fase  pelayanan  yaitu pendaftaran,  pelayanan  dokter,  dan  pelayanan  apotek.  Dalam  penentuan  jumlah pelayan  optimal  melihat  dari  nilai  ultilitas.  Hasil  penelitian  pada  kondisi  ramai pasien  di  Puskesmas  Turi  terjadi  pada  hari  Senin  dengan  laju  kedatangan  4  pasien per menit dan laju pelayanan selama 10 menit per pasien. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian sebesar 0,035 menit, rata-rata waktu  menunggu dalam sistem selama 0,04 menit dan rata-rata banyaknya  pasien dalam antrian maupun sistem tidak ada pasien  per  menitnya.  Nilai  ultilitas  yang  diperoleh  sebesar  0,4,  sehingga  jumlah pelayan pada saat kondisi ramai pasien sudah sesuai sebanyak satu pelayan.
Kata Kunci: Antrian, Optimasi Pelayanan, Distribusi Poisson, Distribusi Erlang.

## 1  Latar Belakang
Fenomena  menunggu  merupakan  akibat  dari  operasional  pelayanan  fasilitas yang  acak  dan  tidak  tersistem  dengan  baik,  termasuk  antrian  yang  terjadi  di puskesmas atau rumah sakit. Secara umum jumlah kedatangan di puskesmas atau rumah sakit tidak diketahui setiap harinya, demikian pula lama pelayanan di loket pendaftaran, pelayanan dokter, pelayanan apotek dan lain-lain. Di Puskesmas Turi yang terletak di sebelah Jalan Raya Lamongan-Babat No.543 Tawangrejo, Wudi, Sukoanyar,  Kecamatan  Turi  Kabupaten  Lamongan  Jawa  Timur  juga  sering terlihat antrian cukup panjang saat kondisi ramai pasien. Hal ini dikarenakan pada loket pendaftaran hanya tersedia satu pelayan untuk melayani pasien yang berobat ke poli-poli yang ada.
Antrian  yang  lama  dan  panjang  dapat  merugikan  bagi  pasien  maupun  bagi pelayan,  maka  diperlukan  penentuan  jumlah  pelayan  yang  sesuai  dengan  tingkat kedatangan dan waktu pelayanan. Distribusi kedatangan dapat diwakilkan dengan distribusi  Poisson.  Sedangkan  waktu  pelayanan  dapat  terwakilkan  dengan distribusi  Erlang.  Distribusi  Erlang  sangat  penting  dalam  teori  antrian  karena dengan  distribusi  erlang  dapat  diperoleh  total  waktu  pelayanan  yang  dibutuhkan oleh  pelanggan  yang  memungkinkan  pelayan-pelayan  memproses  tidak  hanya satu tugas yang spesifik melainkan barisan dari beberapa tugas.
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui implementasi distribusi Poisson dan distribusi Erlang dalam sebuah antrian dan mengetahui gambaran karaktristik dalam  sistem  antrian  dengan  waktu  antarkedatangan  berdistribusi  Poisson  dan waktu  pelayanan  berdistribusi  Erlang.  Hasil  dari  penelitian  ini  juga  diharapkan dapat mengetahui jumlah pelayan optimal pada saat kondisi ramai pasien yang ada di Puskesmas Turi.

## 2 Metode Penelitian

## 2.1 Distribusi Poisson
Distribusi Poisson merupakan pengembangan distribusi binomial yang mampu mencari  distribusi  probabilitas  dengan  kemungkinan  sukses  sangat  kecil  dan jumlah  eksperimen  sangat  besar  [8].  Dalam  teori  antrian,  semua  proses kedatangan  belum  pasti  mengikuti  proses  Poisson.  Namun,  distribusi  Poisson sering muncul dalam beberapa kasus seperti, banyaknya pasien yang datang pada suatu  rumah  sakit,  banyaknya  pelanggan  yang  datang  pada  jasa  pelayanan  bank, banyaknya  panggilan  telepon  selama  jam  kerja,  banyaknya  kecelakaan  di perempatan jalan dan lain-lain [6]. Syarat-syarat kedatangan berdistribusi Poisson adalah sebagai berikut:
1. Pastikan  bahwa  proses  kedatangan  bersifat  acak,  jika  hal  ini  terpenuhi  maka kemungkinan besar pola kedatangan mengikuti distribusi Poisson.
2. Rata-rata  jumlah  kedatangan  per  interval  waktu  sudah  diketahui  dalam pengamatan sebelumnya.
3. Jika  kita  bagi  interval  waktu  ke  interval  yang  lebih  kecil,  maka  pernyataan- pernyataan ini harus terpenuhi:
a. Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan konstan.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
b. Probabilitas  dua  kedatangan  atau  lebih  selama  interval  waktu  tersebut angkanya sangat kecil sekali, sehingga bisa dikatakan sama dengan nol.
c. Jumlah  kedatangan  pada  interval  waktu  tersebut  tidak  tergantung  pada kedatangan di interval waktu sebelum dan sesudahnya.
Nilai laju kedatangan (λ) dalam distribusi poisson dapat diperoleh dengan:
. (1)
Probabilitas tepat terjadinya x kedatangan dalam distribusi Poisson adalah:
. (2)
dengan: λ =  Rata-rata jumlah terjadinya x per interval waktu.
x = Variabel acak diskrit yang menyatakan banyaknya kedatanganper interval waktu

## 2.2 Distribusi Erlang
Distribusi  Erlang  merupakan  distribusi  khusus  dari  distribusi  Gamma  dengan parameter k  =  r dengan r bilangan  bulat  positif.  Menggunakan  distribusi  erlang dapat  diperoleh  total  waktu  pelayanan  yang  dibutuhkan  oleh  pasien  yang memungkinkan  pelayan-pelayan  tidak  hanya  satu  tugas,  melainkan  barisan k tugas.    Misalkan  pada  sebuah  antrian  pada  saat t  =  0 belum  ada  pembeli, kemudian  pada t 1 ada  pembeli  datang.  Pada t 2 pembeli  kedua  datang,  dan seterusnya.  Rentang  dari t  =  0 sampai  pembeli  pertama  muncul  dapat  dikatakan sebagai  waktu  menunggu  pembeli  pertama.  Lama  menunggu  samapai  pembeli kedua  datang  dapat  ditentukan  dengan t 1 +(t 2 -t 1 ) .  Secara  rekursif  dapat  dicari waktu menunggu sampai pada pembeli ke- k . dengan k adalah peubah acak bebas dengan suatu distribusi Eksponensial yang identik [7].
Suatu  peubah  acak  ( T )  berdistribusi  Erlang  jika  memiliki  fungsi  kepekatan peluang sebagai berikut :
(3)
dengan µ dan k adalah parameter bentuk [3]. Untuk mencari nilai laju pelayanan (µ) dapat menggunakan rumus :
. . (4)

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
2.3 Model Antrian Pelayan Tunggal

## 2.3.1  Ukuran Steady-State
Keadaan  sistem  atau  jumlah  unit  dalam  sistem  pada  teori  antrian  akan dipengaruhi  oleh state (keadaan)  awal  dan  waktu  yang  telah  dilalui  jika  suatu sitem  mulai  berjalan.  Kondisi Steady-state merupakan  keadaan  dimana  suatu sistem  berada  dalam  kesetimbangan  [2].  Ukuran steady  state sistem  antrian disimbolkan dengan ρ (faktor utilitas) yaitu:
(5)
dengan:
λ = Laju waktu kedatangan
µ = Laju waktu pelayanan
c = Jumlah pelayan.
Keadaan steady-state dapat  terpenuhi  apabila  ρ  <  1  yang  berarti  bahwa  λ  <  µ. Sedangkan jika ρ > 1 maka kedatangan terjadi dengan kelajuan yang lebih cepat daripada yang dapat ditampung oleh pelayan, keadaan yang sama berlaku apabila ρ = 1.

## 2.3.2 Ukuran Kinerja dengan Waktu Pelayanan Berdistribusi Erlang dengan Pelayan Tunggal
Jika λ merupakan rata-rata laju kedatangan, µ merupakan laju pelayanan, dan k merupakan banyaknya fase, maka ukuran-ukuran kinerja dengan waktu pelayanan distribusi Erlang sebagai berikut :
1. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian (W q )
W q = (6)
2. Rata-rata banyaknya pasien dalam antrian (L q )
L q = (7)
3. Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (W s ) W s = (8)
4. Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem (L s )
L s = (9)

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Data
Penelitian  dilaksanakan  pada  hari  senin  sampai  sabtu,  tanggal  22-27  Maret 2021 mulai pukul 07.30 WIB - 12.00 WIB dengan cara mencatat secara langsung waktu  pasien  mulai  dan  selesai  dilayani  di  loket  pendaftaran,  ruang  dokter  dan apotek  Puskesmas  Turi,  yang  terletak  di  sebelah  Jalan  Raya  Lamongan-Babat No.543 Tawangrejo, Wudi, Sukoanyar, Kecamatan Turi, Kabupaten Lamongan.
Tabel 1. Data Kedatangan Pasien Rawat Jalan Puskesmas Turi.
Hari Jumlah pasien Waktu Minimum Waktu Maksimum Mean Standar Deviasi Senin 80 1 13 3.0750 2.57434 Selasa 77 0 20 2.8571 3.73008 Rabu 56 0 19 4.3393 4.70696 Kamis 60 0 13 3.5167 3.48601 Jum’at 40 0 28 5.5000 6.39311 Sabtu 57 0 13 3.9123 3.51162

## 3.2 Distribusi Waktu Kedatangan Pasien
Dilakukan uji distribusi Poisson untuk watu kedatangan pasien:
1. Hipotesis:
H 0 : Data tidak berdistribusi poisson
H 1 : Data berdistribusi poisson
2. Tingkat signifikansi (α) = 0,05
3. Statistik uji
Tabel 2. Nilai P-value Uji Distribusi Poisson. Hari P-value N Senin 0,008 80 Selasa 0,000 77 Rabu 0,000 56 Kamis 0,000 60 Jum’at 0,000 40 Sabtu 0,001 57 4. Kriteria pengambilan keputusan
H 0 ditolak jika nilai P-value < α
5. Kesimpulan
Berdasarkan tabel pada statistik uji, nilai P-value hari senin sampai  hari sabtu bernilai kurang dari nilai tingkat signifikan (α) yang berarti H 0 ditolak dan H 1 diterima.  Jadi,  data  antarkedatangan  pada  hari  senin  sampai  hari  sabtu mengikuti distribusi Poisson.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science

## 3.3 Distribusi Waktu Pelayanan Pasien
Dilakukan uji distribusi Eksponensial untuk watu pelayanan pasien:
1. Hipotesis:
H 0 : Data tidak berdistribusi eksponensial H 1 : Data berdistribusi eksponensial
2. Tingkat signifikansi (α) = 0,05
3. Statistik uji
Tabel 3. Nilai P-value Uji Distribusi Eksponensial Hari P-value k 1 k 2 k 3 Senin 0,000 1 7 2 Selasa 0,000 2 8 3 Rabu 0,000 2 10 2 Kamis 0,000 2 9 2 Jum’at 0,000 3 9 2 Sabtu 0,000 3 9 2
4. Kriteria pengambilan keputusan H 0 ditolak jika nilai P-value < α
5. Kesimpulan
Berdasarkan tabel pada statistik uji, nilai P-value hari senin sampai  hari sabtu bernilai kurang dari nilai tingkat signifikan (α) yang berarti H 0 ditolak dan H 1 diterima.  Jadi,  data  waktu  pelayanan  pada  hari  senin  sampai  hari  sabtu berdistribusi Eksponensial.

## 3.4 Menentukan Nilai Laju Kedatangan
Nilai dari laju kedatangan pasien (λ)  dengan jam kerja setiap harinya 4,5 jam adalah sebagai berikut:
Tabel 4. Nilai Laju Kedatangan Hari Jumlah pasien Laju Kedatangan (Pasien/Jam) Laju Kedatangan (Pasien/Menit) Senin 80 17,778 4 Selasa 77 17,111 4 Rabu 56 12,444 5 Kamis 60 13,333 5 Jum’at 40 8,889 7 Sabtu 57 12,667 5

## 3.5 Menentukan Nilai Laju Pelayanan
Laju pelayanan adalah  rata-rata pasien yang telah mendapatkan pelayanan per satuan waktu. Nilai laju pelayanan (µ) sebagai berikut:

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Tabel 5. Nilai Laju Pelayanan
Hari Pendaftaran Ruang dokter Apotek Nilai Laju Pelayanan Senin 1 7 2 10 Selasa 2 8 3 13 Rabu 2 10 2 14 Kamis 2 9 2 13 Jum’at 3 9 2 14 Sabtu 3 9 2 14

## 3.6 Menentukan Kondisi Steady-State
Ukuran Steady-state dari  kinerja  sistem  pelayanan  dapat  dilihat  dari  nilai utilitas yang diperoleh dari data laju kedatangan dan laju pelayanan.
Tabel 6. Nilai Utilitas
Hari C λ µ Senin 1 4 10 0,4 Selasa 1 4 13 0,3 Rabu 1 5 14 0,35 Kamis 1 5 13 0,38 Jum’at 1 7 14 0,5 Sabtu 1 5 14 0,35
Nilai  ultilitas  hari  senin  sampai  sabtu  kurang  dari  satu,  sehingga  dapat  diartikan bahwa  rata-rata  kedatangan  pasien  hari  senin  sampai  sabtu  tidak  melebihi kapasitas  pelayanan.  Dengan  demikian,  dapat  dikatakan  bahwa  antrian  dalam kondisi Steady-state .  Hal  ini  berarti  sistem  pelayanan  sudah  seimbang  dengan tingkat kedatangan sehingga tidak perlu adanya penambahan pelayan.
3.7 Ukuran-Ukuran  Kinerja  dengan  Waktu  Kedatangan  Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Berdistribusi Erlang
Gambaran  karakteristik  dalam  sistem  antrian  meliputi  ukuran-ukuran  kinerja dengan waktu pelayanan berdistribusi Erlang sebagai berikut:
1. Nilai rata-rata waktu menunggu dalam antrian (W q )
Tabel 6. Nilai Rata-Rata Waktu Menunggu dalam Antrian
Hari W q (pasien) Senin 0,035 Selasa 0,017 Rabu 0,02 Kamis 0,02 Jum’at 0,03 Sabtu 0,02

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Rata-rata  waktu  menunggu  dalam  antrian  paling  lama  terjadi  pada  hari  senin sebesar 0,035 menit.
2. Nilai rata-rata banyaknya pasien dalam antrian (L q )
Tabel 7. Nilai Rata-Rata Banyaknya Pasien dalam Antrian
Hari L q (menit) Senin 0,14 Selasa 0,06 Rabu 0,10 Kamis 0,12 Jum’at 0,25 Sabtu 0,09
Banyaknya  pasien  dalam  antrian  hari  senin  sampai  hari  sabtu  bernilai  kurang dari  satu  sehingga  dapat  disimpulkan  hari  senin  sampai  hari  sabtu  tidak  ada pasien dalam antrian per menitnya.
3. Nilai rata-rata waktu menunggu dalam sistem (W s )
Tabel 8. Nilai Rata-Rata Waktu Menunggu dalam Sistem
Hari W s (pasien) Senin 0,04 Selasa 0,01 Rabu 0,02 Kamis 0,02 Jum’at 0,03 Sabtu 0,02
Rata-rata  waktu  menunggu  dalam  sistem  paling  lama  terjadi  pada  hari  senin yaitu 0,04 menit, sedangkan paling cepat yaitu hari selasa sebesar 0,01 menit.
4. Nilai rata-rata banyaknya pasien dalam sistem (L s )
Tabel 9. Nilai Rata-Rata Banyaknya Pasien dalam Sistem
Hari L s (menit) Senin 0,17 Selasa 0,07 Rabu 0,11 Kamis 0,13 Jum’at 0,26 Sabtu 0,10
Nilai rata-rata banyaknya pasien dalam sistem hari senin sampai sabtu kurang dari satu, yang berarti tidak ada pasien dalam sistem  per menitnya.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science

## 4 Simpulan
Kedatangan  pada  Puskesmas  Turi  diasumsikan  berdistribusi  Poisson  dengan laju kedatangan (λ) hari senin sebesar 4 pasien/menit, sedangkan waktu pelayanan berdistribusi Erlang dan diperoleh total laju pelayanan pada hari senin sebesar 10 menit/pasien.  Dalam  menentukan  jumlah  pelayan  yang  optimal  perlu  adanya gambaran  karakteristik  sebuah  antrian  yaitu  berupa  ukuran-ukuran  kinerja. Ukuran  kinerja  diperoleh    hari  yang  paling  ramai  pasien  yaitu  hari  senin  dengan jumlah  pasien  sebanyak  80  pasien,  waktu  antarkedatangan  4  menit  dan  laju pelayanan 10 menit/pasien. Pada hari senin W q = 0,035 menit, L q = 0 pasien, W s = 0,04 menit dan L s = 0 pasien. Sistem antrian di puskesmas Turi saat kondisi ramai pasien  sudah  optimal  karena  memiliki  nilai  ultilitas  kurang  dari  1  yaitu  0,4 sehingga tidak perlu penambahan pelayan.

## 5 Daftar Pustaka
[1] Aminudin. Prinsip-Prinsip Riset Operasi , Jakarta,Erlangga, 2005.
[2] Dimyati,  T.T.,  dan  Dimyati  A, Operation  Research  Model-Model Pengambilan Keputusan. Bandung, Sinar Baru Algensindo, 1994.
[3] Hiller,  Frenderick.,  dan  Gerald  J.  Lieberman, Introduction  to  Operations Research:Penelitian Operasional, Buku I- 8/E.Yogyakarta:,Andi, 2008.
[4] Kakiay, Thomas J, Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata, Yogyakarta, Andi, 2004.
[5] Kurniasih, Rini dan Getut P, Distribusi Erlang dan Penerapannya. Semarang, FKIP Universitas Negeri Semarang, 2013.
[6] Mulyono,S, Riset  Operasi ,Jakarta,  Fakultas  Ekonomi  Universitas  Indonesia, 2004.
[7] Rizal,  M.Taufik, Analisis  Teori  Antrian  Multi-Server  dengan  Distribusi Erlang . Bandar Lampung, FMIPA Universitas Lampung, 2018.
[8] Supranto,  J, Pengukuran  Tingat  Kepuasan  Pelanggan  untuk  Menaikan PangsaPasar, Jakarta, RinekaCipta, 2001
[9] Walpole,  R.E  dan  Myers  R.H, Ilmu  Peluang  dan  Statistika  Untuk  Insinyur dan Ilmuan, Edisi Ke-4, Bandung, Insitut Teknologi Bandung, 1995.