Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.8 No.2 (2014) Hal. 26-3 8

## UKURAN RISIKO BERDASARKAN PRINSIP PENENTUAN PREMI : PROPORTIONAL HAZARD TRANSFORM

## Aprida Siska Lestia
Program Studi Matematika, FMIPA Universitas Lambung Mangkurat. Email : as_lestia@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Permasalahan yang akan dibahas di dalam tulisan  ini adalah analisis terhadap salah satu jenis ukuran risiko yang penetapannya berdasarkan prinsip penentuan premi ( premium-based risk measures ), yaitu Proportional Hazard (PH) transform , baik berupa konsep dasar maupun sifat- sifatnya. Kemudian akan dilakukan penaksiran ukuran risiko tersebut  untuk  beberapa  model distribusi data total  klaim asuransi yang umumnya berekor tebal ( heavy tailed ). Di mana proses penaksiran dilakukan secara simulasi menggunakan   metode  Monte Carlo dan metode rekursif. Pembahasan yang dilakukan untuk distribusi total klaim dengan hanya akan dibatasi besar klaim berdistribusi gamma, Weibull, Pareto, lognormal, dan loglogistik dan  distribusi  banyak klaim yang digunakan berupa binomial, binomial negatif serta Poisson.
Kata kunci : proportional hazard (PH) transform, ukuran risiko koheren, distribusi klaim

## 1. PENDAHULUAN
Besarnya premi asuransi sebagai harga yang diminta oleh pihak perusahaan asuransi ( insurer )  untuk pengambilalihan risiko dari pemegang polis ( insured ), besarnya bergantung pada potensi kerugian yang dapat digambarkan oleh ukuran  risiko ( risk measure ).
Pengukuran risiko merupakan bagian yang sangat penting dalam penentuan  premi (sebagai harga yang pantas yang mampu merefleksikan kemungkinan  terburuk yang akan perusahaan asuransi hadapi). Selain itu, pengukuran risiko juga bagian yang penting dalam penentuan  kebutuhan modal atau kapital ( capital requirement ), yaitu berapa banyak kapital yang harus pihak perusahaan asuransi  miliki sehingga kewajiban di masa yang akan datang (pembayaran klaim) dapat dijamin. Ukuran risiko juga dapat dimanfaatkan oleh perusahaan asuransi dalam melakukan evaluasi internal perusahaan dan pelaporan kepada pihak atau badan yang melakukan pengawasan terhadap berjalannya industri asuransi.
Sebelum diambil keputusan mengenai ukuran risiko apa yang akan dipakai, harus diketahui terlebih dahulu distribusi dari data klaim masa lalu yang dimiliki, yang  umumnya merupakan suatu distribusi yang berekor tebal ( heavy tailed ), secara lebih tepatnya adalah ekor bagian kanan ( right tail ).
Dalam prakteknya, kesalahan pemilihan ukuran risiko dapat berakibat fatal, misalnya tidak sesuainya premi yang ditetapkan untuk pemegang polis atau tidak tepatnya pencadangan yang dilakukan sehingga perusahaan tidak memiliki dana yang cukup untuk membayar klaim-klaim bernilai ekstrim pada masa yang akan datang.
Risiko dapat dideskripsikan sebagai suatu kejadian yang mungkin terjadi atau  tidak terjadi dan dapat membawa kerugian secara finansial  ( risk exposure ). Ukuran risiko ( risk  measure )  memberikan suatu bilangan yang dimaksudkan untuk mengukur risk exposure tersebut. Suatu ukuran  risiko merupakan suatu pemetaan fungsional dari distribusi kerugian ke bilangan riil atau berdasarkan definisi dapat dinyatakan
Definisi  1  [3]  Jika, 𝑋𝑋 merupakan peubah acak tak negatif yang menyatakan loss maka risk  measure dari 𝑋𝑋 , yang dinotasikan dengan ℋ ( 𝑋𝑋 ) , merupakan suatu fungsi bernilai riil ℋ : 𝑋𝑋 → ℝ dengan ℝ merupakan himpunan bilangan riil .
Dalam pengukuran risiko asuransi, 𝑋𝑋 merupakan peubah acak yang menyatakan kerugian yang tentunya bernilai tak negatif sehingga ukuran risiko ℋ ( 𝑋𝑋 ) juga ditentukan tak negatif.
Telah banyak dilakukan penelitian mengenai penentuan kualitas suatu ukuran risiko melalui berbagai sifat. Namun yang paling umum dijadikan tolak ukur adalah kemampuan ukuran risiko untuk memenuhi sifat coherent (koheren). Di mana suatu ukuran risiko dianggap sudah cukup baik jika dapat memenuhi sifat-sifat pada definisi berikut,
Definisi 2 [1] Ukuran risiko yang koheren merupakan suatu ukuran risiko ℋ ( 𝑋𝑋 ) yang memenuhi keempat sifat berikut ini untuk sebarang variabel acak kerugian 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 : 1. Subadditivity, ℋ ( 𝑋𝑋 + 𝑌𝑌 ) ≤ ℋ ( 𝑋𝑋 ) + ℋ ( 𝑌𝑌 ) 2. Monotonicity, Jika 𝑋𝑋 ≤ 𝑌𝑌 maka ℋ ( 𝑋𝑋 ) ≤ ℋ ( 𝑌𝑌 ) 3. Positive Homogenity atau Scale Invariance, untuk sebarang 𝑎𝑎 ≥ 0 , ℋ ( 𝑎𝑎𝑋𝑋 ) = 𝑎𝑎ℋ ( 𝑋𝑋 )
4. Translational Invariance , untuk sebarang kontanta 𝑎𝑎 ∈ ℝ , ℋ ( 𝑋𝑋 + 𝑎𝑎 ) =
ℋ ( 𝑋𝑋 ) + 𝑎𝑎
Sifat subadditivity menyatakan bahwa risiko tidak bisa berkurang dengan cara membagi bisnis menjadi bagian-bagian kecil dan dapat berarti juga bahwa merger tidak akan memunculkan risiko tambahan. Sifat monotonicity menyatakan bahwa jika salah satu risiko (kerugian) lebih besar dari yang lain, ukuran risiko pun akan sama (kondisinya).
Sifat positive homogenity menyatakan bahwa  mengubah unit kerugian tidak mengubah ukuran risiko, misalnya terjadi perubahan mata uang.
Sifat translational invariance menyatakan  bahwa, penambahan sejumlah konstanta 𝑎𝑎 (positif maupun negatif) kepada risiko mengakibatkan ukuran risiko bertambah dengan jumlah yang sama.
Jika,  sifat translational invariance diapplikasikan ke suatu ukuran risiko, ℋ ( 𝑋𝑋 ), yang koheren dan diasumsikan 𝑋𝑋 = 0 untuk sebarang konstanta 𝑎𝑎 ≥ 0 , maka ℋ ( 𝑎𝑎 )  = ℋ ( 𝑋𝑋 + 𝑎𝑎 ) = ℋ ( 𝑋𝑋 ) + 𝑎𝑎 = ℋ (0) + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 (1)
Hasil di atas menunjukkan bahwa jika suatu risiko merupakan konstanta, maka ukuran risiko koheren dari risiko tersebut adalah konstanta yang sama. Dengan demikian, untuk ukuran risiko yang didasarkan pada prinsip penentuan

## Aprida Siska Lestia - Ukuran Risiko Berdasarkan Prinsip Penentuan Premi: Proportional Hazard Transform
premi, loading untuk risiko yang berupa konstanta harus sama dengan 0. Ukuran risiko koheren yang demikian dikatakan memiliki no unjustified loading . Jika, risiko 𝑋𝑋 mempunyai support yang finit dengan nilai maksimum 𝑥𝑥 𝑈𝑈 , maka suatu risiko yang didefinisikan dengan 𝑌𝑌 = 𝑥𝑥 𝑈𝑈 memenuhi 𝑋𝑋 ≤ 𝑌𝑌 . Dari sifat monotonicity , suatu ukuran risiko koheren harus memenuhi ℋ ( 𝑋𝑋 ) ≤ ℋ ( 𝑌𝑌 ) = ℋ ( 𝑥𝑥 𝑈𝑈 ) = 𝑥𝑥 𝑈𝑈 . Dengan demikian, ukuran risiko terbatas di atas oleh nilai maksimum dan premium yang memenuhi kondisi tersebut dikatakan  mempunyai sifat no ripoff [3] .
2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Distribusi Total Klaim
Total klaim ( aggregate claim atau aggregate loss ) dari suatu portofolio merupakan jumlah semua kerugian yang terjadi dalam portofolio tersebut. Dalam collective risk model , total klaim diasumsikan mengikuti suatu distribusi compound .  Misal, 𝑁𝑁 merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya claim dalam portofolio dan 𝑋𝑋 𝑖𝑖 merupakan peubah acak yang menyatakan besarnya klaim dari loss ke- 𝑖𝑖 , untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑁 . Maka total klaim dinyatakan dengan
𝑆𝑆 = 𝑋𝑋 1 + ⋯ + 𝑋𝑋 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 = 0,1,2, … (2)
dengan 𝑆𝑆 = 0 saat 𝑁𝑁 = 0 . Distribusi 𝑆𝑆 pada persamaan (2)  diperoleh dari distribusi 𝑁𝑁 dan distribusi 𝑋𝑋 𝑖𝑖 , di mana 𝑆𝑆 mengikuti suatu distribusi compound dengan primary distribution 𝑁𝑁 dan secondary distribution 𝑋𝑋 . 𝑋𝑋 𝑖𝑖 merupakan  peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi identik (i.i.d), kecuali dikhususkan . Pada model collective risk model ini secondary distribution adalah suatu distribusi kontinu.  Beberapa distribusi yang umumnya digunakan dalam memodelkan distribusi banyak klaim adalah distribusi binomial, binomial negatif, dan Poisson, yang  termasuk dalam suatu kelas distribusi untuk peubah acak dengan support berupa bilangan bulat tak negatif, yang dalam literatur aktuaria disebut dengan kelas ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 0) , yang merupakan kelas distribusi dengan dua parameter, yaitu 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 .
Definisi 3 [1] Misalkan 𝑝𝑝 𝑘𝑘 adalah fungsi peluang dari suatu peubah acak diskrit, yang merupakan anggota dari kelas distribusi ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 0) , maka terdapat konstanta 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 sedemikian sehingga
𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 = 1,2,3, … (3)
Tabel 1. Kelas ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 0)
Distribusi 𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒑𝒑 𝟎𝟎 Binomial − 𝑞𝑞 1 − 𝑞𝑞 ( 𝑚𝑚 + 1) 𝑞𝑞 1 − 𝑞𝑞 (1 − 𝑞𝑞 ) 𝑚𝑚
Binomial negatif 𝛽𝛽 1 + 𝛽𝛽 ( 𝑟𝑟 − 1) 𝛽𝛽 1 + 𝛽𝛽 (1 + 𝛽𝛽 ) −𝑟𝑟
Poisson 0 𝜆𝜆 𝑒𝑒 −𝜆𝜆
dengan 𝑝𝑝 0 merupakan nilai awal untuk persamaan rekursif [1, halaman 81] .
Selanjutnya, fungsi distribusi dari 𝑆𝑆 dinyatakan dengan
𝐹𝐹 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥 )    = 𝑃𝑃𝑟𝑟 ( 𝑆𝑆 ≤ 𝑥𝑥 ) = ∑ 𝑝𝑝 𝑛𝑛 Pr ( 𝑆𝑆 ≤ 𝑥𝑥 | 𝑁𝑁 = 𝑛𝑛 ) ∞ 𝑛𝑛=0 = ∑ 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) ∞ 𝑛𝑛=1 (4)
Dengan 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑃𝑃𝑟𝑟 ( 𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥 ) adalah fungsi distribusi dari 𝑋𝑋 𝑖𝑖 dan 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = Pr ( 𝑁𝑁 = 𝑛𝑛 ) . Sedangkan 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) pada persamaan di atas merupakan n-fold convolution dari fungsi distribusi 𝑋𝑋 , dengan
𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗0 ( 𝑥𝑥 ) = � 0, 𝑥𝑥 < 0 1, 𝑥𝑥 ≥ 0 (5)
dan
𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) = ∫ 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑘𝑘−1 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 ) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑥𝑥 0 (6)
untuk 𝑘𝑘 = 2,3, … dan saat 𝑘𝑘 = 1 , 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗1 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ( 𝑥𝑥 ) . Dari sini diperoleh fungsi kepadatan peluang yaitu
𝑓𝑓 𝑋𝑋 ∗𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) = ∫ 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑘𝑘−1 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 ) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑥𝑥 0 (7)
untuk 𝑘𝑘 = 2,3, … . Sedangkan jika 𝑋𝑋 berupa peubah acak diskrit dengan 𝑥𝑥 = 0,1,2, … , maka 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) = ∑ 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑘𝑘−1 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥 𝑦𝑦=0 (8)
dan
𝑓𝑓 𝑋𝑋 ∗𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) = ∑ 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑘𝑘−1 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥 𝑦𝑦=0 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 ) (9)
untuk 𝑘𝑘 = 2,3, …
Dari  persamaan (4) diperoleh fungsi kepadatan peluang dari 𝑆𝑆 yaitu 𝑓𝑓 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥 ) = ∑ 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ∗𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) ∞ 𝑛𝑛=0 (10)
Karena total klaim berdistribusi compound , maka fungsi pembangkit peluang dari
𝑆𝑆 berupa
𝑃𝑃 𝑆𝑆 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑃𝑃 𝑁𝑁 [ 𝑃𝑃 𝑋𝑋 ( 𝑧𝑧 )] (11)
[1, halaman 140-141 ].

## 2.2 METODE REKURSIF
Metode alternatif yang dapat digunakan agar evaluasi total klaim, yang berupa fungsi konvolusi, dapat dilakukan dengan lebih cepat (dengan mengurangi banyaknya perhitungan)  di antaranya adalah metode rekursif. Misalkan, peubah acak 𝑋𝑋 yang menyatakan besar klaim mempunyai fungsi kepadatan peluang 𝑓𝑓 𝑋𝑋 ( 𝑥𝑥 ) yang terdefinisi pada 0,1,2, … , 𝑚𝑚 , di mana 𝑚𝑚 menyatakan pembayaran terbesar yang mungkin terjadi dan dapat bernilai takhingga ( infinite ). Selanjutnya, misalkan distribusi banyak klaim, 𝑝𝑝 𝑘𝑘 , merupakan anggota dari kelas ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 0) sehingga memenuhi definisi 3  maka teorema berikut berlaku,
Teorema 4 Untuk kelas (a,b,0) ,
𝑓𝑓 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥 ) = ∑ �𝑎𝑎+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑥𝑥 �𝑓𝑓 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 ) 𝑓𝑓 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥−𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥∧𝑚𝑚 𝑏𝑏=1 1−𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑋𝑋 ( 0 ) (12)
dengan 𝑥𝑥 ∧ 𝑚𝑚 = min ( 𝑥𝑥 , 𝑚𝑚 ) .
Pembuktian dapat dilihat di [1 , halaman 91]
Perlu diperhatikan bahwa distribusi severity tidak mempunyai peluang di titik nol, sehingga penyebut dari persamaan (12) sama dengan 1 [1,halaman 162] .

## Aprida Siska Lestia - Ukuran Risiko Berdasarkan Prinsip Penentuan Premi: Proportional Hazard Transform
Metode rekursif dibangun untuk distribusi diskrit, sedangkan distribusi besar klaim biasanya merupakan suatu distribusi kontinu.  Sehingga diperlukan suatu cara untuk mendiskritkan distribusi besar klaim tersebut yaitu agar peubah acak besar klaim terdefinisi pada bilangan bulat tak negatif, yang disebut dengan distribusi aritmatika. Metode yang digunakan untuk mengkonstruksi distribusi aritmatika adalah metode pembulatan ( rounding method ). Cara ini dilakukan untuk menghindari perhitungan yang rumit dari fungsi kepadatan peluang total klaim. Pendekatan dilakukan dengan menggunakan suatu unit pengali,  yang biasanya berupa monetary unit ℎ , yang dapat bernilai 10, 100, 1000, … . Misalkan 𝑓𝑓 𝑗𝑗 menyatakan peluang pada titik ℎ , 𝑗𝑗 = 0,1,2, … . Maka tetapkan
𝑓𝑓 0 = Pr �𝑋𝑋 < ℎ 2 � = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 � ℎ 2 − 0 � (13)
𝑓𝑓 𝑗𝑗 = Pr �𝑗𝑗ℎ − ℎ 2 ≤ 𝑋𝑋 < 𝑗𝑗ℎ + ℎ 2 � = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 �𝑗𝑗ℎ + ℎ 2 − 0 � − 𝐹𝐹 𝑋𝑋 �𝑗𝑗ℎ − ℎ 2 − 0 � , 𝑗𝑗 = 1,2, … (14)
Metode ini membagi peluang antara ( 𝑗𝑗 + 1) ℎ dan 𝑗𝑗ℎ serta menetapkannya ke 𝑗𝑗 + 1 dan 𝑗𝑗 [1, halaman 167] .

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur. Metodologi yang digunakan adalah mengumpulkan bahan tulisan mengenai ukuran  risiko Proportional Hazard Transform . Pada tahap awal dipelajari tentang konsep dasar dari ukuran risiko, sifat koheren pada ukuran risiko, dan metode-metode simulasi .
Konsep dasar ini yang nantinya akan  digunakan dalam pemaparan jenis  ukuran risiko Proportional Hazard Transform , yang dikenal dengan istilah Risk Adjusted Premium , baik konsep dasar maupun sifat-sifatnya.  Selanjutnya, dilakukan perhitungan ukuran risiko untuk beberapa contoh distribusi kerugian  ( total loss ) dilakukan secara simulasi. Hasil perhitungan tersebut akan dikaji dalam pembahasan.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Proportional Hazard Transform dan Risk Adjusted Premium (PH-Mean)
Suatu peubah acak tak negatif, 𝑋𝑋 mempunyai fungsi dekumulatif  (fungsi survival ) sebagai berikut
𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) = Pr( 𝑋𝑋 > 𝑡𝑡 ) = 1 − 𝐹𝐹 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) (15)
Definisi  5  Diberikan suatu best-estimate loss distribution, 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) = Pr ( 𝑋𝑋 > 𝑡𝑡 ) , untuk sebarang indeks 𝑟𝑟 , di mana 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1 . Proportional hazard (PH) transform menyatakan pemetaan
𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) = [ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 (16)
dan PH-mean menyatakan ekspektasi  atas  distribusi yang ditransformasi , yaitu
ℋ ( 𝑋𝑋 ) = ∫ 𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 = ∫ [ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 ∞ 0 𝑑𝑑𝑡𝑡 (17)
PH- mean yang diperkenalkan oleh Wang ini menunjukkan premi yang telah dipengaruhi risiko atau dikenal dengan istilah risk-adjusted premium .  Secara umum, untuk 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1 , ukuran risiko PH -transform mempunyai sifat 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 ) ≤
ℋ ( 𝑋𝑋 ) ≤ max ( 𝑋𝑋 ) . Saat 𝑟𝑟 menurun dari satu menuju nol, ℋ ( 𝑋𝑋 ) meningkat dari expected loss, 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 ) , ke maksimum possible loss , max ( 𝑋𝑋 ) . Artinya, PH- mean nilainya akan selalu lebih besar dibandingkan premi murni ( pure premium ) atau 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 ) = ∫ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 [5, halaman 303] .
Gambar 1. Margin untuk ketidakpastian parameter dari PH -transform
Pada gambar di atas, semakin kecil nilai index 𝑟𝑟 akan menyebabkan rentang yang semakin besar antara kurva 𝑆𝑆 𝑌𝑌 dan 𝑆𝑆 𝑋𝑋 .
Indeks 𝑟𝑟 ,  yang disebut pula sebagai exogenous index atau index yang dihubungkan dengan faktor eksternal, dapat ditetapkan berdasarkan tingkat kepercayaan dalam mengestimasi distribusi kerugian.  Semakin ambigu situasi, maka semakin rendah nilai dari 𝑟𝑟 yang harus digunakan. Tingkat kepercayaan mengenai taksiran terbaik (data masa lalu) mempunyai dua skenario, yaitu:
1. Tidak ambigu, di mana terdapat keambiguan kecil mengenai best-estimate loss distribution.
2. Ambigu, yaitu terdapat keambiguan yang pantas dipertimbangkan mengenai best-estimate loss distribution .
Pada tabel berikut ini ditunjukkan berbagai indeks 𝑟𝑟 berdasarkan perbedaan level keambiguan.
Tabel 2. Penentuan Indeks 𝑟𝑟 Berdasarkan Level Keambiguan Level  keambiguan Indeks 𝒓𝒓 Tidak ambigu 0.96 − 1.00 Sedikit ambigu 0.90 − 0.95 Cukup ambigu 0.80 − 0.89 Ambigu ( highly ) 0.50 − 0.79 Sangat ambigu ( extremely )
0.00 − 0.49
[5, halaman 294] .
Aprida Siska Lestia - Ukuran Risiko Berdasarkan Prinsip Penentuan Premi: Proportional Hazard Transform
Perlu diperhatikan bahwa berbagai indeks 𝑟𝑟 yang terdapat pada tabel di atas tidak mutlak berlaku untuk semua situasi. Terdapat cukup banyak faktor yang mendasari penentuan indeks 𝑟𝑟 seperti investasi dan operasional perusahaan. Oleh karena itu, diperlukan kajian yang lebih mendalam untuk dapat menentukan nilai 𝑟𝑟 yang paling proporsional dengan keadaan perusahaan. Meskipun demikian sebagai kajian awal, nilai 𝑟𝑟 yang digagas oleh Wang (1997) pada tabel di atas dapat dijadikan referensi yang cukup baik dalam melakukan penentuan PH- mean .

## 4.2 Sifat Koheren pada PH-Transform
Berikut akan dijabarkan pembuktian bahwa ℋ ( 𝑋𝑋 ) pada definisi 5 memenuhi keempat sifat pada definisi 2.
i. Ukuran risiko berdasarkan PH -transform memenuhi aksioma subadditivity , seperti yang termuat di dalam teorema berikut ini,
Teorema 2.14 Untuk sebarang dua peubah acak tak negatif 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 tanpa memperhatikan kebergantungan, pertidaksamaan berikut berlaku.
ℋ ( 𝑋𝑋 + 𝑌𝑌 ) ≤ ℋ ( 𝑋𝑋 ) + ℋ ( 𝑌𝑌 )
Pembuktian teorema ini dapat dilihat di [4] .
ii. Jika 𝑋𝑋 ≤ 𝑌𝑌 , maka Pr( 𝑋𝑋 > 𝑡𝑡 ) ≤ Pr( 𝑌𝑌 > 𝑡𝑡 ) jika dan hanya jika 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) ≤ 𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) Untuk 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1 , pertidaksamaan tersebut    ekuivalen dengan [ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 ≤ [ 𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 dan ∫ [ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 ∞ 0 𝑑𝑑𝑡𝑡 ≤ ∫ [ 𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 ∞ 0 𝑑𝑑𝑡𝑡 jika dan hanya jika ℋ ( 𝑋𝑋 ) ≤ ℋ ( 𝑌𝑌 )
Artinya, ukuran risiko ini memenuhi sifat monotonicity . iii. Untuk sebarang peubah acak 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 serta sebarang 𝑎𝑎 ≥ 0 . Misalkan 𝑌𝑌 = 𝑎𝑎𝑋𝑋 , maka
𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑦𝑦 ) = Pr( 𝑌𝑌 > 𝑦𝑦 ) = Pr( 𝑎𝑎𝑋𝑋 > 𝑦𝑦 ) = Pr �𝑋𝑋 > 𝑦𝑦 𝑎𝑎 � = 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 / 𝑎𝑎 )
Sehingga ℋ ( 𝑌𝑌 ) = ∫ �𝑆𝑆 𝑋𝑋 � 𝑦𝑦 𝑎𝑎 �� 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑦𝑦 ∞ 0
Misalkan 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , maka 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝑦𝑦 . Akibatnya
ℋ ( 𝑌𝑌 ) = � [ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 = 𝑎𝑎 � [ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 = 𝑎𝑎ℋ ( 𝑋𝑋 )
Dengan demikian sifat positive homogenity atau scale invariance dipenuhi. iv. Misalkan 𝑌𝑌 = 𝑋𝑋 + 𝑏𝑏 , maka
𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑦𝑦 ) = � 1 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 ) , 𝑦𝑦 < 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏 ≤ 𝑦𝑦 Oleh karena itu, ℋ ( 𝑌𝑌 ) = ∫ [ 𝑆𝑆 𝑌𝑌 ( 𝑦𝑦 )] 𝑟𝑟 ∞ 0 𝑑𝑑𝑦𝑦 = ∫ 1 𝑏𝑏 0 𝑑𝑑𝑦𝑦 + ∫ [ 𝑆𝑆 𝑋𝑋 ( 𝑦𝑦 − ∞ 𝑏𝑏 𝑏𝑏 )] 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑦𝑦 Sehingga ℋ ( 𝑋𝑋 + 𝑏𝑏 )     = 𝑏𝑏 + ℋ ( 𝑋𝑋 ) . Jadi, translational invariance dipenuhi.
Dari i, ii, iii, dan iv terbukti bahwa PH- mean merupakan suatu ukuran risiko yang koheren.
4.3 Premium-based Risk Measures untuk Beberapa Distribusi Kerugian
(Total Klaim)
Prosedur penentuan taksiran ukuran risiko PH- mean dengan simulasi menggunakan metode-metode yang telah dipaparkan sebelumnya,  dilakukan dengan algoritma berikut ini :
1) Menyatakan parameter distribusi banyak klaim ke dalam parameter 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 dalam kelas ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 0) , hal ini bertujuan untuk mempermudah perhitungan menggunakan fungsi rekursif pada persamaan (12).
2) Melakukan diskritisasi terhadap distribusi besar klaim, 𝑋𝑋 , dengan metode rounding dengan menggunakan ℎ = 1000 dan ℎ = 10000 . a. Misalkan peubah acak 𝑌𝑌 merupakan hasil konstruksi dari peubah acak 𝑋𝑋 , yang berdistribusi aritmatika. Fungsi peluang dari 𝑌𝑌 , 𝑓𝑓 𝑗𝑗 , terdefinisi pada 𝑗𝑗ℎ , untuk 𝑗𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚𝑚 / ℎ .
b. Berdasarkan persamaan (13), peluang peubah acak 𝑌𝑌 di titik nol untuk
ℎ = 1000 adalah
𝑓𝑓 0 = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 � ℎ 2 − 0 � = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 � 1000 2 − 0 � = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 (500)
Sedangkan peluang pada titik 𝑗𝑗ℎ , untuk 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑚𝑚 / ℎ adalah
𝑓𝑓 𝑗𝑗 = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 �𝑗𝑗ℎ + ℎ 2 − 0 � − 𝐹𝐹 𝑋𝑋 �𝑗𝑗ℎ − ℎ 2 − 0 � = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 � 1000 𝑗𝑗 + 1000 2 − 0 � − 𝐹𝐹 𝑋𝑋 � 1000 𝑗𝑗 − 1000 2 − 0 � = 𝐹𝐹 𝑋𝑋 (1000 𝑗𝑗 + 500) − 𝐹𝐹 𝑋𝑋 (1000 𝑗𝑗 − 500), 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑚𝑚 / ℎ Hal yang serupa dilakukan pula untuk penentuan peluang peubah acak 𝑌𝑌 jika dipilih ℎ = 10000.
3) Selanjutnya akan ditentukan peluang untuk peubah acak total klaim 𝑆𝑆 , dengan menggunakan fungsi peluang besar klaim yang sudah didiskritisasi sehingga fungsi peluang untuk 𝑆𝑆 terdefinisi pada 𝑗𝑗ℎ , dengan 𝑗𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚𝑚 / ℎ dan jika ℎ yang dipakai adalah 1000 maka fungsi peluang untuk 𝑆𝑆 , Pr ( 𝑆𝑆 = 𝑗𝑗ℎ ) , dibangkitkan untuk 𝑗𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚𝑚 /1000 , dengan 𝑚𝑚 menyatakan nilai maksimum klaim dari data .
4) Nilai peluang peubah acak 𝑆𝑆 di titik nol dapat diperoleh dari fungsi pembangkit peluangnya. Berdasarkan persamaan (11),  dapat dinyatakan bahwa
𝑃𝑃 𝑆𝑆 (0) = 𝑃𝑃 𝑁𝑁 [ 𝑃𝑃 𝑌𝑌 (0)] dan  karena fungsi peluang dari suatu peubah acak bisa diturunkan dari fungsi pembangkit peluangnya, diperoleh
𝑃𝑃 ( 𝑘𝑘 ) (0) = 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑘𝑘 ! ⟺ 𝑃𝑃 (0) = 𝑝𝑝 0 ∙ 0! = 𝑝𝑝 0 𝑃𝑃 ( 0 ) (0) = 𝑃𝑃 (0) , artinya turunan ke- 0 dari 𝑃𝑃 (0) adalah 𝑃𝑃 (0) itu  sendiri. Sehingga
𝑓𝑓 𝑆𝑆 (0) = 𝑃𝑃 𝑆𝑆 (0) = 𝑃𝑃 𝑁𝑁 [ 𝑓𝑓 0 ]
Dengan 𝑃𝑃 𝑁𝑁 ( ∙ ) menyatakan fungsi pembangkit peluang dari distribusi banyak klaim dan 𝑓𝑓 0 menyatakan peluang distribusi aritmatika 𝑌𝑌 sebagai hasil diskritisasi dari distribusi besar klaim 𝑋𝑋 di titik nol.
5) Untuk peluang peubah acak 𝑆𝑆 di titik 1 diperoleh dari formula rekursif pada persamaan (12) , yaitu
Aprida Siska Lestia - Ukuran Risiko Berdasarkan Prinsip Penentuan Premi: Proportional Hazard Transform
𝑓𝑓 𝑆𝑆 (1) = ( 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ) 𝑓𝑓 1 𝑓𝑓 𝑆𝑆 (0)
1 − 𝑎𝑎𝑓𝑓 0
Sedangkan di titik-titik lainnya, peluang 𝑆𝑆 dapat ditentukan dengan
𝑓𝑓 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 ) = ∑ �𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 𝑗𝑗 � 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑓𝑓 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 − 𝑦𝑦 ) 𝑗𝑗∧𝑚𝑚 𝑦𝑦=1 1 − 𝑎𝑎𝑓𝑓 0
6) Fungsi  distribusi untuk peubah acak 𝑆𝑆 diperoleh dari fungsi peluangnya, yaitu
𝐹𝐹 𝑆𝑆 (0) = 𝑓𝑓 𝑆𝑆 (0) dan 𝐹𝐹 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 ) = 𝐹𝐹 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 − 1) + 𝑓𝑓 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 )
7) Seperti yang diketahui, fungsi survival dapat diperoleh dari fungsi distribusi, yaitu
𝑆𝑆 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 ) = 1 − 𝐹𝐹 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 ) , untuk 𝑗𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚𝑚 / ℎ .
8) Sebelum  dilakukan penaksiran PH- mean dengan menggunakan  metode Monte Carlo, terlebih dahulu  dilakukan transformasi terhadap distribusi total klaim dengan indeks 𝑟𝑟 , sehingga diperoleh fungsi survival dari distribusi hasil transformasi, 𝑆𝑆̃ , yaitu
𝑆𝑆 𝑆𝑆̃ ( 𝑗𝑗 ) = [ 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 )] 𝑟𝑟 ,  untuk 𝑗𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚𝑚 / ℎ .
9) Nilai  PH- mean, berdasarkan persamaan (17) pada definisi 5, adalah
ℋ ( 𝑋𝑋 ) = � 𝑆𝑆 𝑆𝑆̃ ( 𝑗𝑗 ) 𝑑𝑑𝑗𝑗 𝑗𝑗 = � [ 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 )] 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑗𝑗 𝑗𝑗
Berdasarkan  Metode Monte Carlo [3, halaman 425] ,  maka  nilai integral di atas dapat ditaksir dengan
ℋ ( 𝑋𝑋 ) � = 1 ( 𝑚𝑚 / ℎ ) � [ 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 )] 𝑟𝑟 𝑓𝑓 𝑆𝑆 ( 𝑗𝑗 ) 𝑚𝑚 / ℎ 𝑗𝑗=1
10) Proses simulasi untuk menentukan PH- mean untuk distribusi total klaim ini juga diulang sebanyak 50 kali dan diambil rataannya sebagai hasil akhir.
Pada penelitian ini, dilakukan analisis terhadap model dari suatu data real asuransi kendaraan bermotor roda empat dalam satu periode. Data terdiri dari lima kategori berdasarkan besar uang pertanggungannya, selanjutnya kelima tipe asuransi ini masing-masing dibagi lagi berdasarkan jenis klaimnya, yaitu total loss seperi yang tertera pada Tabel 3   dan partial loss seperti yang ditampilkan pada Tabel 4. Distribusi banyak klaim maupun  distribusi besar klaim yang merupakan unsur penyusun distribusi total klaim, dimodelkan secara terpisah.
Tabel 3. Model untuk Banyak Klaim dan Besar Klaim untuk Jenis Klaim Total Loss Jenis Pertanggungan Banyak Klaim Besar Klaim Distribusi Estimasi Parameter Distribusi Estimasi Parameter Tipe I    : 0 – 150 juta Bernoulli 𝑝𝑝̂ =0,00160094 Weibull 𝜏𝜏̂ =2,428; 𝜃𝜃� =93.132.339 Tipe II  : 151 – 300 juta Bernoulli 𝑝𝑝̂ =0,00114360 Loglogistik 𝛾𝛾� =5,6036; 𝜃𝜃� =166.610.000 Tipe III : 301 – 500 juta Bernoulli 𝑝𝑝̂ =0,00070597 Lognormal 𝜇𝜇̂ =19,65; 𝜎𝜎� =0,3397 Tipe IV : 501 – 800 juta Bernoulli
𝑝𝑝̂ =0,00081143 Eksponensial 𝜃𝜃� =349.012.120 Tipe V  : > 800 juta Bernoulli
𝑝𝑝̂ =0,00055648 Eksponensial 𝜃𝜃� =1.146.909.222
Tabel 4. Model untuk Banyak Klaim dan Besar Klaim untuk Jenis Klaim Partial Loss Jenis Pertanggungan Banyak Klaim Besar Klaim Distribusi Estimasi Parameter Distribusi Estimasi Parameter Tipe I    : 0 – 150 juta Binomial Negatif 𝑟𝑟̂ =4,0265; 𝛽𝛽̂ =0,1299 Loglogistik
𝛾𝛾� =2,1848; 𝜃𝜃� =2.451.400 Tipe II  : 151 – 300 juta Binomial Negatif 𝑟𝑟̂ =6,4708; 𝛽𝛽̂ =0,0988 Loglogistik
𝛾𝛾� =1,9898; 𝜃𝜃� =2.671.000 Tipe III : 301 – 500 juta Binomial Negatif 𝑟𝑟̂ =3,8000; 𝛽𝛽̂ =0,1515 Loglogistik
𝛾𝛾� =1,7545; 𝜃𝜃� =3.220.500 Tipe IV : 501 – 800 juta Binomial Negatif 𝑟𝑟̂ =3,1801; 𝛽𝛽̂ =0,1765 Loglogistik
𝛾𝛾� =1,6729; 𝜃𝜃� =3.236.500 Tipe V  : > 800 juta Binomial Negatif 𝑟𝑟̂ =0,3337; 𝛽𝛽̂ =0,3309 Lognormal 𝜇𝜇̂ =15,02; 𝜎𝜎� =1,095
Pada jenis klaim total loss , kerugian yang dijamin adalah kerusakan minimal 80% dan kehilangan sehingga pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi berupa penggantian uang pertanggungan (kendaraan yang diasuransikan). Oleh karena itu, klaim-klaim yang datang dari jenis ini bernilai besar namun dengan peluang yang kecil.  Sedangkan untuk jenis partial loss, kerugian yang dijamin adalah yang berasal dari kerusakan parsial sehingga klaim bernilai kecil pada jenis ini mempunyai peluang yang lebih besar dibandingkan klaim bernilai besar. Kurva fungsi ditribusi dan fungsi kepadatan peluang distribusi total klaim, 𝑆𝑆 , serta fungsi kepadatan peluang distribusi besar klaim 𝑋𝑋 , untuk 𝑥𝑥 > 0 dari model total klaim disajikan pada tabel berikut ini.
Tabel 5 Kurva Fungsi Peluang untuk Jenis Klaim Total Loss
Jenis Pertanggungan 𝑭𝑭 𝑺𝑺 ( 𝒔𝒔 ) 𝒇𝒇 𝑺𝑺 ( 𝒔𝒔 ) 𝒇𝒇 𝑿𝑿 ( 𝒙𝒙 ) Tipe I Tipe II Tipe III 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 5 0.9982 0.9984 0.9986 0.9988 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 x 10 -8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x 10 -5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10 5 0.9988 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 10 -8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10 -6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10 4 0.9992 0.9993 0.9994 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 -8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 -8

## Aprida Siska Lestia - Ukuran Risiko Berdasarkan Prinsip Penentuan Premi: Proportional Hazard Transform
Tipe IV Tipe V
Tabel 6.  Kurva Fungsi Peluang untuk Jenis Klaim Partial Loss
Jenis
Pertanggungan 𝑭𝑭 𝑺𝑺 ( 𝒔𝒔 ) 𝒇𝒇 𝑺𝑺 ( 𝒔𝒔 ) 𝒇𝒇 𝑿𝑿 ( 𝒙𝒙 ) Tipe I Tipe II Tipe III Tipe IV Tipe V
Dari kurva fungsi kepadatan peluang pada kedua tabel di atas dapat dilihat bahwa semua model distribusi merupakan distribusi  yang skewed to the right .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 0.9991 0.9992 0.9993 0.9994 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 -8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10 -5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9997 0.9997 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10 -9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 x 10 -6 0 2 4 6 8 10 12 x 10 4 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 2 4 6 8 10 12 x 10 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10 -5 0 2 4 6 8 10 12 x 10 4 0 1 2 x 10 -4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x 10 4 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x 10 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10 -5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x 10 4 0 1 2 x 10 -4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 5 0 1 2 3 4 5 6 x 10 -5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 5 0 1 x 10 -4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 5 0 1 2 3 4 5 6 x 10 -5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 5 0 1 x 10 -4 0 1 2 3 4 5 6 x 10 4 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 0 1 2 3 4 5 6 x 10 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 x 10 -5 0 1 2 3 4 5 6 x 10 4 0 1 x 10 -4 36
Jenis klaim total loss merupakan distribusi dengan ekor yang tebal. Hal tersebut terlihat dari bentuk kurva fungsi kepadatan peluang yang menunjukkan peluang nilai-nilai klaim besar yang tinggi (data terpusat di tengah). Berbeda dengan jenis klaim partial loss yang dari kurva distribusinya terlihat bahwa data terpusat pada nilai-nilai klaim kecil dan klaim bernilai besar mempunyai peluang cukup kecil.
Nilai-nilai taksiran parameter pada model distribusi klaim akan dipakai oleh penulis untuk menentukan ukuran risiko PH- mean dari  setiap jenis pertanggungan. Pada tabel berikut ini disajikan nilai mean dari distribusi total klaim 𝑆𝑆 , yang diperoleh dari hasil simulasi menggunakan algoritma yang telah dipaparkan sebelumnya.
Tabel 7.  Nilai Premi Murni dan Taksiran PH- mean dari Hasil Simulasi
Jenis Pertang- gungan Total Loss Partial loss Premi murni E(S) 𝑟𝑟 = 0,3 𝑟𝑟 = 0,5 Premi murni E(S) 𝑟𝑟 = 0,3 𝑟𝑟 = 0,5 Tipe I 132.203,6 24.620.000  6.571.500  1.859.939,013 7.738.000 1.459.700 Tipe II 200.895,1012  1,93 ∙ 10 20 4,97 ∙ 10 19 2.696.082,130  10.890.000 2.163.500 Tipe III 255.700,016 6,94 ∙ 10 188 1,63 ∙ 10 188 3.401.668,280  19.896.000 4.080.800 Tipe IV 283.198,90 12.601.000  2.294.000  3.579.026,854  10.796.000 2.530.100 Tipe V 638.232,04 29.989.000  6.094.000 670.559,257  127.620.000  78.673.000
Hasil  pada tabel di atas menunjukkan bahwa selisih antara rataan peubah acak hasil transformasi (PH- mean ) dengan rataan peubah acak total klaim ( 𝐸𝐸 ( 𝑆𝑆 ) ) akan semakin besar dengan semakin kecilnya nilai 𝑟𝑟 . Taksiran PH- mean untuk tipe II dan III dari jenis total loss menunjukkan nilai yang sangat besar dan kurang realistis, sehingga ukuran risiko PH- transform untuk tipe ini bukan merupakan pilihan yang tepat karena mengharuskan penetapan  cadangan  dengan nilai yang terlalu besar.    Namun, besarnya hasil taksiran yang diperoleh sesuai dengan karakteristik PH- transform yang memberikan loading yang besar kepada premi murni dengan semakin kecilnya 𝑟𝑟 yang ditetapkan (mendekati 0). Apalagi jika dilihat dari kurva fungsi kepadatan peluang tipe III yang memperlihatkan bahwa jenis ini memiliki ekor yang lebih tebal dibandingkan dengan keempat tipe lainnya dari jenis klaim total loss. Sehingga dengan dilakukannya transformasi terhadap fungsi survival , tidak menutup kemungkinan integrasi terhadap hasil transformasi menunjukkan  nilai yang sangat besar.
Untuk Tipe I, IV, dan V dari jenis total loss, taksiran PH- mean yang diperoleh melalui simulasi dengan 𝑟𝑟 = 0,5 jauh lebih besar dibandingkan premi murni. Apalagi saat ditetapkan 𝑟𝑟 = 0,3 , taksiran PH- mean yang diperoleh mencapai 186 kali lipat premi murni (untuk tipe I). Berbeda halnya dengan hasil dari simulasi untuk jenis partial loss tipe I, II, III, dan IV, di mana besarnya taksiran PH- mean yang diperoleh untuk 𝑟𝑟 = 0,5 hampir sama dengan premi murni dan untuk 𝑟𝑟 = 0,3 , hasil yang diperoleh hanya sekitar tiga sampai enam kali lipat dari premi murni. Sedangkan untuk tipe V dari jenis klaim partial loss, taksiran PH- mean yang diperoleh sangat besar dibandingkan 𝐸𝐸 ( 𝑆𝑆 ) . Dari kurva
Aprida Siska Lestia - Ukuran Risiko Berdasarkan Prinsip Penentuan Premi: Proportional Hazard Transform
distribusinya, dapat dilihat bahwa jenis pertanggungan ini mempunyai peluang relatif besar untuk nilai-nilai klaim besar, dibandingkan keempat tipe lainnya.

## 5. KESIMPULAN
Taksiran PH- mean yang diperoleh pada jenis total loss mampu menggambarkan dengan baik kondisi ekor distribusi klaim. Seperti yang diketahui, besar  klaim untuk jenis total loss bernilai besar, sesuai dengan uang pertanggungan. Oleh karena itu, hasil taksiran PH- mean yang besar sesuai dengan kebutuhan pengelolaan risiko untuk jenis asuransi ini.
Secara teori, penetapan 𝑟𝑟 = 0,5 sudah memperlihatkan asumsi ekstrim, namun pada prakteknya tidak menutup kemungkinan asumsi tersebut masih belum mampu memberikan gambaran yang baik mengenai risiko yang dimiliki. Misalnya pada kasus distribusi dengan ekor sangat tebal, di mana klaim dengan nilai sangat besar mempunyai peluang yang besar pula.
Penetapan nilai indeks 𝑟𝑟 tidak bersifat mutlak, artinya semua nilai tersebut bergantung pada kondisi data asuransi yang dianalisis serta berbagai faktor eksternal lainnya seperti dana operasional, investasi perusahaan, pajak, dan profit. Penetapan 𝑟𝑟 yang kecil (mendekati nol) akan memberikan safety margin yang (sangat) besar.
6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Klugman S., Panjer H. and Willmot G. (2004). Loss Models:From Data to Decisions (2 nd edition) .Wiley [2]  Ross, S. (2006). Simulations (4 th edition ) . Elsevier Academic Press [3]  Tse, Yiu-Kuen. (2009). Nonlife Actuarial Models (Theory, Methods and Evaluation) .Cambridge University Press.
[4]  Wang, S. (1995). Insurance Pricing and Increased Limits Ratemaking  by Proportional Hazards Transforms .  Elsevier  Insurance : Mathematics and Economics 17, 43-54.
[5]  Wang, S. (1997). Implementation of PH -transforms in Ratemaking . Casualty Actuarial Society