Kartika, D.E. 2018. Karakteristik Matriks sebagai Daerah Asal Suatu Fungsi Logaritma Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 60 of 64

## KARAKTERISTIK MATRIKS SEBAGAI DAERAH ASAL SUATU FUNGSI LOGARITMA
Era Dewi Kartika IKIP Budi Utomo Malang erfolgera@gmail.com

## Abstrak
Rumus umum  fungsi logaritma asli dengan daerah asal suatu  matriks adalah
ln = ( ) ln ( ) + ( ) , ln ( ) + ( ) , … , ln ( ) + ( ) ( ) dengan adalah  matriks  non-singular  dimana = , ( ) adalah sebarang  matriks  yang  komutatif  dengan , adalah  matriks  Jordan  dari matriks  , adalah  nilai  karakteristik  dari  pembagi  elementer  ,    adalah matriks identitas dan ( ) adalah matriks berukuran × yang mempunyai 1 sebagai  anggota  pada  superdiagonal  pertama  dan 0 untuk  lainnya. Karakteristik  matriks    sebagai  daerah  asal  suatu  fungsi  logaritma  adalah matriks persegi yang non-singular dengan nilai-nilai karakteristik real positif
Kata Kunci : matriks, daerah asal, logaritma asli

## Abstract
The general formula of the natural logarithm function with domain of a matrix is
ln = ( ) ln ( ) + ( ) , ln ( ) + ( ) , … , ln ( ) + ( ) ( ) with   is the non-singular matrix which = , ( ) is any commutative matrix with  ,  is the Jordan matrix of the matrix  ,   is the characteristic value of the elementary divider  ,   is the identity matrix and ( ) is a square matrix which has 1 as a member of the first superdiagonal and 0 for other. The characteristic of matrix   as domain of a natural logarithm function is a non- singular square matrix with real positive characteristic values
Keywords : matrix, domain, natural logarithm
Sitasi: Kartika, D.E. 2018. Karakteristik Matriks sebagai Daerah Asal  Suatu  Logaritma. Matematika dan Pembelajaran , 6(1), 60-64 .
ISSN 2303-0992 ISSN online 2621-3176 Jurnal Matematika dan Pembelajaran Volume 6, No. 1, Juni 2018, h. 60-64
Kartika, D.E. 2018. Karakteristik Matriks sebagai Daerah Asal Suatu Fungsi Logaritma Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 61 of 64

## PENDAHULUAN
Fungsi  logaritma  merupakan  salah  satu  bentuk  fungsi  yang  tidak  asing  lagi  dan sering dijumpai dalam bahasan di kalkulus. Salah satu fungsi logaritma yang akan dibahas dalam artikel ini adalah logaritma yang berbasis bilangan   yang disebut logaritma asli, dan mempunyai lambang ln . Penulisan ln dibaca logaritma asli dari  . Konsep logaritma asli ini diperlukan dalam pendefisian fungsi lainnya dalam kalkulus yaitu fungsi eksponen. Diketahui bahwa fungsi logaritma asli merupakan invers atau balikan dari fungsi eksponen. Selama ini fungsi logaritma, fungsi logaritma asli dan fungsi eksponen yang dipelajari di kuliah adalah fungsi yang hanya mempunyai daerah asal atau domain bilangan real.
Fungsi logaritma dalam domain bilangan real positif didefinisikan dengan
= log ↔ =
dimana    diandaikan  bilangan  positif  bukan  1.  Untuk  fungsi  logaritma  asli  maka = (Purcell, 2009). Hal penting yang harus diperhatikan sebelum menghitung fungsi logaritma dengan  daerah  asal  himpunan  matriks  adalah  karakteristik  suatu  matriks  yang  dapat digunakan dalam fungsi logaritma khususnya fungsi logaritma asli.
Misalkan   adalah suatu lapangan.
∈ , = 1, … , ; = 1, … ,  ,
maka bentuk
     
      
mn m m n n a a a a a a a a a A ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11
disebut sebagai matriks atas   dengan ukuran
× . Matriks diatas juga dapat disimbolkan sebagai
× = × . Entri pada baris ke- i dan kolom ke- j dari matriks   disimbolkan dengan atau ( ) .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Rumus fungsi logaritma asli dari matriks ln =
= ( ) ln ( ) + ( ) , ln ( ) + ( ) , … , ln ( )
+ ( ) ( )
adalah matriks non-singular dimana =
( ) adalah sebarang matriks yang komutatif dengan
adalah matriks Jordan dari matriks
=      
 
        0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1             
= ( ) + ( )
( ) adalah  matriks  berukuran × yang  mempunyai 1 sebagai  anggota  pada
Kartika, D.E. 2018. Karakteristik Matriks sebagai Daerah Asal Suatu Fungsi Logaritma Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 62 of 64
superdiagonal  pertama  dan 0 untuk  lainnya,  yaitu
= 1 ∈ ( ) untuk = 1; = 2,3, … , dan = 0 untuk yang lainnya
= 0 0 0 0 0 0 0 0 = ( ) + ( ) , ( ) + ( ) , … , ( ) + ( )
matriks    disebut bentuk  normal  Jordan atau bentuk  Jordan  sederhana (Gantmacher, 1980) disebut dengan Jordan Block dengan   adalah nilai karakteristik dari pembagi elementer .
Rumus  fungsi  logaritma  asli  dengan  daerah  asal  matriks  beserta  penjelasan  tiap komponen  diatas  jelas  membutuhkan  matriks  yang  non-singular.  Matriks  non-singular sesuai dengan definisi berikut ini berhubungan dengan determinan suatu matriks.
Definisi 1 Suatu matriks persegi   disebut matriks singular jika | | = 0 , sebaliknya, suatu matriks persegi   disebut matriks non-singular jika | | ≠ 0 .
Definisi 2 Anggap   adalah suatu matriks persegi dengan entri-entri bilangan real. Fungsi determinan dinyatakan dengan det , dan mendefinisikan det( ) sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari  .
∶ det ( ) dengan = { × } . Angka det( ) disebut determinan (Anton, 2000) Dari definisi 2 terlihat bahwa matriks yang diperlukan adalah matriks persegi.
Definisi 3 Jika   adalah sebuah matriks persegi, dan jika sebuah matriks   yang berukuran sama  bisa  didapatkan  sedemikian  sehingga
= = maka    disebut  mempunyai balikan  dan    disebut  balikan  ( invers )  dari    (Anton,  2000).  Invers  dari    dinotasikan dengan
Teorema 1 Suatu matriks persegi   mempunyai invers jika dan hanya jika   adalah matriks non-singular (Ayres, 1974)
Definisi 4 Dua matriks persegi   dan   disebut similar jika terdapat suatu matriks   non-
singular sedemikian sehingga = (Ayres, 1974)
Teorema 2 Misalkan   suatu matriks persegi,   adalah suatu nilai karakteristik dari   jika dan  hanya  jika  sistem  persamaan ( ) = mempunyai  penyelesaian  tak-trivial (Anton, 2000)
Teorema 3 Suatu matriks persegi   mempunyai invers jika dan hanya jika = 0 bukanlah suatu nilai karakteristik dari  (Anton, 2000).
Definisi 5 Misalkan diberikan matriks persegi × . Matriks karakteristik dari   adalah .  Determinan  dari  matriks  karakteristik adalah | | yang  merupakan polinom dalam   dan disebut polinom karakteristik dari   (Gantmacher, 1980) dan skalar- skalar yang memenuhi | | = 0 disebut sebagai nilai karakteristik dari  .
Definisi  6 Ambil ( ) sembarang  pembagi  elementer  dari  matriks  persegi × , dimana adalah salah satu nilai karakteristik dari   dan ≠ 0 adalah salah satu nilai dari
, , … , ( +
+ + = ) , sehingga dapat dibentuk
Kartika, D.E. 2018. Karakteristik Matriks sebagai Daerah Asal Suatu Fungsi Logaritma Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 63 of 64
=                 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1     
        = ( ) + ( )
dimana ( ) adalah matriks identitas dengan ukuran   dan ( ) adalah matriks berukuran yang mempunyai 1 sebagai anggota pada superdiagonal pertama dan 0 untuk lainnya,
yaitu = 1 ∈ ( ) untuk = 1; = 2,3, … , dan = 0 untuk yang lainnya. Jadi disebut dengan Jordan Block dengan   adalah nilai karakteristik dari pembagi elementer .
Definisi 7 Misalkan diberikan pembagi elementer dari matriks   yaitu ( ) , ( ) , … , ( )
Maka
= 0 0 0 0 0 0 0 0 = ( ) + ( ) , ( ) + ( ) , … , ( ) + ( )
dan matriks   disebut bentuk normal Jordan atau bentuk Jordan sederhana (Gantmacher, 1980).
Teorema  4 Setiap  matriks  persegi    dengan  ukuran × adalah  similar  dengan  suatu matriks  Jordan  ,    sehingga  terdapat  matriks  non-singular    sedemikian  sehingga = (Gantmacher, 1980).

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat ditarik kesimpulan bahwa karakteristik suatu matriks A dapat menjadi daerah asal fungsi logaritma asli adalah sebagai berikut:
1. Matriks A berukuran × atau merupakan matriks persegi
2. Matriks A adalah matriks non-singular
3. Matriks A mempunyai nilai-nilai karakteristik real positif
Pembahasan  tentang  sifat-sifat  logaritma  asli  yang  juga  berlaku  dalam  fungsi logaritma  asli  dengan  daerah  asal  matriks  dapat  diteliti  lebih  lanjut,  mengingat  dalam artikel  ini  ini  hanya  membahas  karakteristik  matriks  yang  memenuhi  dalam  fungsi logaritma asli. Rumus umum untuk fungsi logaritma dengan daerah asal matriks juga belum diperoleh dan dikembangkan. Bagi para pembaca yang tertarik juga dapat mengembangkan bukti sifat ln =  ln dengan ∈ yang tentunya membutuhkan kajian tentang akar dari suatu matriks.
Kartika, D.E. 2018. Karakteristik Matriks sebagai Daerah Asal Suatu Fungsi Logaritma Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 64 of 64

## DAFTAR RUJUKAN
Anton, H. (2000). Dasar-dasar Aljabar Linear. Batam: Interaksara.
Ayres, F. J. (1974). Teori dan Soal-soal Matriks. Jakarta: Erlangga.
Gantmacher, F. (1980). The Theory of Matrices. New York: Chelsea Publishing Company.
Purcell, E. J. (2009). Calculus. Illinois: Prenhall.