eISSN 2722-9886   pISSN 1411-6669 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index

## Indeks Padmakar-Ivan dan indeks Randic pada graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo
( Padmakar-Ivan  and  Randic  Indices  of  Non-Coprime  Graph  of  Modulo  Integer Groups)

## Lalu Hasan Ghoffari, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana*, Abdurahim
Program Studi Matematika,Universitas Mataram, Mataram, 83125, Indonesia
*korespondensi: adhitya.wardhana@unram.ac.id
Received: 04-01-2024, accepted: 18-03-2024

## Abstract
Graph  theory,  introduced  by  the  Swiss  mathematician  Leonhard  Euler  in  1736,  has  played  a pivotal  role  in  solving  real-world  problems  since  its  inception,  notably  exemplified  by  Euler's solution to the Konigsberg Bridge problem. Its applications extend to various domains, including scheduling, shortest path routing, and chemical structure representation. In chemistry, graphs are extensively used to  depict  molecular structures and  chemical compounds, aiding  in  visualizing atomic  connections  and  overall  compound  configurations.  Topology  indices,  such  as  the Padmakar-Ivan  (PI)  and  Randic  indices,  provide  numerical  values  capturing  chemical  bonding relationships.  Beyond  chemical  structures,  these  indices  find  applications  in  abstract  algebraic graph representations. Recent research, exemplified by Husni et al.'s work on the harmonic and Gutman indices, explores these indices in coprime graphs of integer groups modulo prime power orders.  Additionally,  studies  on  non-coprime  graphs  of  integer  groups  modulo  reveal  unique characteristics and invariants, shedding light on their structure. The non-coprime graph is a graph with two vertices said to be adjacent if the greatest common divisor (GCD) of their orders is not equal to one. This paper aims to investigate the topological indices, specifically the Padmakar- Ivan and Randic indices, in non-coprime graphs of integer groups modulo, adding depth to our understanding of their applicability and significance in abstract algebraic representations.
Keywords: Graph theory, padmakar-ivan index, randic index, non-coprime graphs MSC2020: 05C09

## 1. Pendahuluan
Teori graf merupakan cabang ilmu matematika yang dikenalkan oleh matematikawan asal Swiss,  Leonhard  Euler,  pada  tahun  1736.  Sejak  pengenalannya  melalui  pemecahan masalah  jembatan  Konigsberg,  teori  graf  telah  berkontribusi  dalam  menyelesaikan beberapa masalah dunia nyata, seperti masalah penjadwalan, masalah rute terpendek, dan masalah representasi struktur kimia [ 1 ]. Dalam kimia, graf digunakan secara luas untuk merepresentasikan struktur molekuler dan senyawa kimia. Representasi ini memberikan
pandangan visual yang jelas tentang bagaimana atom-atom dalam molekul terhubung satu sama lain, serta struktur keseluruhan dari senyawa kimia. Beberapa aplikasi utama dari graf  dalam  representasi  struktur  kimia  melibatkan  penggunaan  teori  graf  dan  indeks topologi [ 2 ].
Indeks  topologi  adalah  nilai  numerik  yang  terkait  dengan  ikatan  kimia,  yang mengekspresikan  hubungan  antara  struktur  kimia  [ 3 ].  Terdapat  berbagai  jenis  indeks topologi yang telah dikenalkan dalam matematika, seperti indeks Wiener, indeks Szeged, indeks Padmakar-Ivan, dan indeks Randic [ 4 ]. Indeks Padmakar–Ivan (PI) diperkenalkan oleh Padmakar et. al (2001), sebagai generalisasi dari konsep Indeks Wiener [ 5 ]. Indeks PI  memiliki  peran  penting  dalam  studi  hubungan  struktur–aktivitas  kuantitatif  untuk model  klasifikasi  yang  digunakan  dalam  ilmu  kimia.  Penggunaan  indeks  PI  mampu membantu  menganalisis  dan  mengklasifikasikan  sifat-sifat  molekuler  yang  dapat memengaruhi aktivitas biologis atau kimia suatu senyawa. Indeks PI dinyatakan sebagai 𝑃𝐼(𝐺) = ∑ 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|𝐺) 𝑢𝑣∈𝐸 ( 𝐺 ) + 𝑛 𝑣 ( 𝑢𝑣 | 𝐺 ) . Untuk  suatu 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|𝐺) yaitu  banyaknya  simpul dari 𝐺 yang  lebih  dekat  ke  simpul 𝑢 dari  pada  ke  simpul 𝑣 dan 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|𝐺) adalah banyaknya  simpul  dari 𝐺 yang  lebih  dekat  ke  simpul 𝑣 dari  pada  ke  simpul 𝑢 [ 6 ]. Sementara itu, Indeks Randic adalah  indeks topologi  yang ditemukan pada tahun  1975 oleh  Milan  Randic  [ 7 ].  Indeks  ini  banyak  diteliti  dan  telah  menjadi  salah  satu  indeks topologi  yang  paling  banyak  digunakan  dalam  bidang  kimia  dan  farmakologi.  Indeks Randic  didefinisikan sebagai, 𝑅(𝐺) = ∑ (𝑑𝑒𝑔 𝐺 (𝑢) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝐺 (𝑣)) 𝑢𝑣∈𝐸(𝐺)
− 1
2 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 (𝑢) dan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 (𝑣) masing-masing adalah derajat dari simpul 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺 [ 8 ].
Tidak hanya graf yang merepresentasikan struktur kimia, indeks topologi ini juga dapat diterapkan  untuk  mendapatkan  karakteristik  dari  graf  yang  merepresentasikan  konsep aljabar abstrak [ 9 ]. Beberapa penelitian telah dilakukan mengenai indeks topologi dalam konsep representasi graf aljabar abstrak, seperti penelitian yang berjudul "The harmonic index and the gutman index of coprime graph of integer group modulo with order of prime power”.  Dalam  penelitian  tersebut,  dijelaskan  tentang  indeks  harmonic  dan  indeks gutman pada graf koprima dari grup bilangan  bulat modulo berorde prima berpangkat.
Hasil yang diperoleh adalah 𝐻(Γ ℤ 𝑛 ) = 2 ( 𝑛−1 𝑛 ) dan 𝐺𝑢𝑡(Γ ℤ 𝑛 ) = (𝑛 − 1)(2𝑛 − 3) [ 10 ].
Selain dari graf koprima dari grup bilangan bulat modulo, dikenal juga graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo [ 11 ]. Graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo atau  yang  dinotasikan  dengan Γ̅ ℤ 𝑛 adalah  representasi  graf  dari  grup  bilangan  bulat modulo,  di  mana  simpul  merepresentasikan  elemen  dari  grup  bilangan  bulat  modulo kecuali  elemen  identitas.  Dua  simpul 𝑢, 𝑣 di Γ̅ ℤ 𝑛 bertetangga  jika  dan  hanya  jika (|𝑢|, |𝑣|) ≠ 1 [ 12 ].  Graf  non-koprima  ini  menunjukkan  karakteristik  unik  dalam strukturnya. Nurhabibah (2022) memberikan karakterisasi dan invarian numerik dari graf non-koprima  untuk  grup  kuaternion  umum  [ 13 ].  Masriani,  et  al.  (2020)  menjelaskan karakteristik  graf  jika  grup  bilangan  bulat  modulo  berorde  prima  berpangkat  atau
perkalian  dua  bilangan  prima.  Dalam  penelitiannya,  ia  menemukan  bahwa  untuk  graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo dengan orde 𝑛 = 𝑝 𝑚 yaitu bilangan prima berpangkat  adalah  graf  lengkap 𝐾 𝑛−1 [ 14 ].  Dalam  hal  yang  sama,  Misuki,  et  al. memberikan  penjelasan  tentang  karakteristik  graf  non-koprima  tetapi  untuk  grup  yang berbeda  yang disebut grup Dihedral  [ 15 ]. Berdasarkan beberapa penelitian sebelumnya tentang graf non-koprima, menarik untuk mempelajari bagaimana indeks topologi pada graf tersebut, khususnya indeks topologi Padmakar-Ivan dan indeks Randic [ 16 ]. Dalam penelitian ini, graf non-koprima yang diamati adalah graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo berorde bilangan prima berpangkat dan hasil perkalian dua bilangan prima berbeda.

## 2. Metodologi
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur terkait dengan topik yang akan diteliti. Prosedur yang dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah sebagai berikut .
1. Melakukan tinjauan pustaka untuk  mengeksplorasi  sumber-sumber  yang relevan yang membantu dalam memahami masalah penelitian. Ini melibatkan studi tentang teori graf, teori grup, dan teori indeks topologi melalui literatur.
2. Mengamati  pola  dengan  menganalisis  pembentukan  indeks  Padmakar-Ivan  dan Randic  dalam  graf  non-koprima  atas  grup  bilangan  bulat  modulo.  Pola  ini diperoleh dari observasi yang dilakukan pada beberapa contoh terkait dengan topik yang diselidiki.
3. Merumuskan  dugaan,  atau  hipotesis  sementara,  mengenai  karakteristik  indeks Padmakar-Ivan  dan  Randic  dalam  graf  non-koprima  dari  grup  bilangan  bulat modulo  berdasarkan  observasi  sebelumnya.  Selanjutnya,  dugaan  tersebut dibuktikan  secara  ketat  untuk  menentukan  karakteristik  sebenarnya  dari  indeks tersebut  melalui  bukti  matematis.  Jika  sebuah  dugaan  terbukti  salah,  proses  ini kembali  ke  langkah  dua.  Setelah  dikonfirmasi,  dugaan  tersebut  ditranskripsikan menjadi teorema atau karakteristik definitif dari indeks Padmakar-Ivan dan Randic pada graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo.
4. Menarik kesimpulan dengan merangkum hasil yang muncul dari penelitian yang dilakukan.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan  studi  literatur  yang  telah  dilakukan,  beberapa  teorema  dalam  Indeks Padmakar-ivan  dan  Randic  pada  graf  non-koprima  dari  grup  bilangan  bulat  modulo diperoleh, yaitu sebagai berikut.
Teorema  3.1 Diberikan ℤ n dengan 𝑛 merupakan  bilangan  prima  berpangkat,  indeks Padmakar-Ivan dari ℤ n adalah 𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 𝑛 )   = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2).
Bukti. Berdasarkan  [14], 𝛤̅ ℤ 𝑛 adalah  graf  lengkap 𝐾 𝑛−1 .  Oleh  karena  itu  untuk  setiap 𝑥, 𝑦  ∈  𝑉(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) , banyaknya simpul yang lebih dekat ke 𝑥 dari pada ke 𝑦 adalah 1 , yaitu simpul 𝑥 itu sendiri, begitupun sebaliknya. Oleh karena itu, 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) + 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) =  2 . Selanjutnya, karena 𝛤̅ ℤ 𝑛 memiliki 𝑛 − 1 simpul berbeda, maka 𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = 2𝐶 2 𝑛−1 = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) . □
Contoh 3.1 Diberikan 𝛤̅ ℤ 4 sebagai berikut.
𝛤̅ ℤ 4 :
Gambar 1. Representasi 𝛤̅ ℤ 4
Maka, indeks Padmakar-Ivan dari 𝛤̅ ℤ 4 adalah :
𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 4 ) = ∑ 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|𝛤̅ ℤ 4 ) 𝑢𝑣∈𝐸(𝛤 ̅ ℤ4 ) + 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|𝛤̅ ℤ 4 ) = [𝑛 1 (12|𝛤̅ ℤ 4 ) + 𝑛 2 (12|𝛤̅ ℤ 4 )] + [𝑛 1 (13|𝛤̅ ℤ 4 ) + 𝑛 3 (13|𝛤̅ ℤ 4 )] +[𝑛 2 (23|𝛤̅ ℤ 4 ) + 𝑛 3 (23|𝛤̅ ℤ 4 )] = (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1)
= 6 .
Dengan menggunakan Teorema 3.1 maka akan didapatkan indeks PI yang sama, yaitu :
𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 4 ) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) = (4 − 1)(4 − 2) = 6 .
Teorema  3.2 Diberikan ℤ 𝑛 dengan 𝑛 merupakan  bilangan  prima  berpangkat,  indeks Randic dari ℤ n adalah 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 )   = 𝑛−1 2
Bukti. Berdasarkan [14], 𝛤̅ ℤ 𝑛 adalah graf lengkap 𝐾 𝑛−1 , maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) , 𝑑𝑒𝑔(𝑥) = 𝑛 − 2 . Oleh karena itu, (𝑑𝑒𝑔(𝑢) ∙ 𝑑𝑒𝑔(𝑣)) − 1 2 = 1 𝑛−2 . Selanjutnya, Karena 𝛤̅ ℤ 𝑛 memiliki 𝑛 − 1 simpul  berbeda,  maka 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = 𝐶 2 𝑛−1 𝑛−2 = (𝑛−1)(𝑛−2) 2(𝑛−2) . Dengan  demikian, diperoleh 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = 𝑛−1 2 □
Contoh 3.2 Berdasarkan Gambar 1, maka indeks Randic dari 𝛤̅ ℤ 4 adalah :
𝑅(𝛤̅ ℤ 4 ) = ∑ (𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (𝑢) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (𝑣)) 𝑢𝑣∈𝐸(𝛤 ̅ ℤ4 ) − 1 2
= [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (1) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (2)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (1) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (3)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (2) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ4 (3)] − 1 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 2
Dengan  menggunakan  Teorema  3.2  maka  akan  didapatkan  indeks  Randic  yang  sama, yaitu:
𝑅(𝛤̅ ℤ 4 ) = 𝑛 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3
2
Teorema 3.3 Diberikan 𝛤̅ ℤ 𝑛 adalah graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo 𝑛 . Jika 𝑛  =   𝑝 1 𝑝 2 yaitu  perkalian  dua  bilangan  prima  berbeda,  maka  untuk  setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) , dengan u  ∉   〈p 1 〉 dan v  ∉   〈p 2 〉 atau sebaliknya, 𝑢𝑣 ∈ 𝐸( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) .
Bukti. Partisi 𝑉( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) menjadi beberapa subhimpunan, yaitu 𝐴  =   {𝑝 1 , 2𝑝 1 , . . . , 𝑛 − 𝑝 1 } , 𝐵  =   {𝑝 2 , 2𝑝 2 , . . . , 𝑛 − 𝑝 2 } ,  dan 𝐶  =   ℤ 𝑛 \(𝐴  ∪ 𝐵 ∪ {0}) .  Selanjutnya  ketetanggaan untuk setiap 𝑢, 𝑣  ∈  𝑉( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) dibagi dalam enam kasus.
Kasus  1. Untuk 𝑢, 𝑣  ∈  𝐴 .  Karena 𝑛  =   𝑝 1 𝑝 2 ,  maka |𝑢| = |𝑣| = 𝑝 2 .  Oleh  karena  itu, diperoleh (|𝑢|, |𝑣|) = 𝑝 2 . Dengan demikian, 𝑢𝑣 ∈ 𝐸( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) .
Kasus 2. Untuk 𝑢, 𝑣  ∈  𝐵 , Karena 𝑛  =   𝑝 1 𝑝 2 , maka |𝑢|   =   |𝑣|   =   𝑝 1 . Oleh karena itu, diperoleh (|𝑢|, |𝑣|) =   𝑝 1 ≠  1 . Dengan demikian, 𝑢𝑣  ∈  𝐸( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) .
Kasus  3. Untuk 𝑢, 𝑣  ∈  𝐶 .  Misalkan 𝑛 adalah  orde  dari 𝑢 .  Karena 𝑝 1 dan 𝑝 2 tidak membagi orde 𝑢 ataupun orde 𝑣 , maka  berakibat |𝑢| = |𝑣|   =  𝑛 dan (|𝑢|, |𝑣|) =  𝑛  ≠ 1 . Dengan demikian, 𝑢𝑣 ∈ 𝐸( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) .
Kasus  4. Untuk 𝑢 ∈ 𝐴 dan 𝑣 ∈ 𝐶 .  Sama  seperti  Kasus  1  dan  Kasus  3,  diperoleh (|𝑢|, |𝑣|)   =   𝑝 2 . Jadi 𝑢𝑣 ∈ 𝐸( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) .
Kasus 5. Untuk 𝑢 ∈ 𝐵 dan 𝑣  ∈  𝐶 . Mengikuti pembuktian pada  Kasus  2 dan  Kasus  3, diperoleh (|𝑢|, |𝑣|) = 𝑝 1 . Jadi 𝑢𝑣  ∈  𝐸( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) .
Kasus  6. Jika 𝑢 ∈ 𝐴 dan 𝑣 ∈ 𝐵 ,  maka (|𝑢|, |𝑣|) =   (𝑝 2 , 𝑝 1 ) =  1 .  Karena 𝑝 1 dan 𝑝 2 merupakan dua bilangan prima berbeda, maka 𝑢𝑣  ∉ 𝐸( 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) . □
Hasil pada Teorema 3.3 mempermudah perhitungan rumus umum dari indeks Padmakar- Ivan pada graf yang diteliti.
Teorema  3.4 Misalkan ℤ n merupakan  grup  bilangan  bulat  modulo  dengan 𝑛 = 𝑝 1 𝑝 2 , yaitu  perkalian  dua  bilangan  prima  berbeda,  maka 𝑃𝐼(Γ̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 − 1)(𝑝 2 − 2) + (𝑝 1 − 1)(𝑝 1 − 2) + (𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 ) + (𝑝 1 + 1)(𝑝 2 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) + (𝑝 2 + 1)(𝑝 1 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) .
Bukti. Misalkan ℤ 𝑛 merupakan  grup  bilangan  bulat  modulo  dengan 𝑛  =   𝑝 1 𝑝 2 , yaitu perkalian  dua  bilangan  prima  berbeda,  maka 𝑉(Γ̅ ℤ 𝑛 ) merupakan  gabungan  dari subhimpunan-subhimpunan 𝐴  =   {𝑝 1 , 2𝑝 1 , . . . , 𝑛 − 𝑝 1 } , 𝐵  =   {𝑝 2 , 2𝑝 2 , . . . , 𝑛 − 𝑝 2 } ,  dan 𝐶  =   𝑍 𝑛 \(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ {0}) .  Dalam  pembuktian  ini,  diasumsikan  bahwa 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) . Selanjutnnya  permasalahan  dalam  pembuktian  akan  dibagi  ke  dalam  lima  kasus. Perhatikan,
Kasus 𝟏. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 . Banyaknya simpul yang lebih dekat ke 𝑥 dari pada ke 𝑦 adalah 1 ,  yaitu  simpul 𝑥 itu  sendiri  dan  sebaliknya.  Oleh  karena  itu, (𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) + 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 )) =  2 . Karena 𝐴 memiliki 𝑝 2 − 1 elemen, maka indeks 𝑃𝐼 dalam kasus ini adalah 2𝐶 2 𝑝 2 −1 .
Kasus 𝟐. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 . Sama  seperti  kasus  sebelumnya, (𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) + 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 )) =  2 . Karena 𝐵 memiliki 𝑝 1 − 1 elemen, maka indeks 𝑃𝐼 dalam kasus ini adalah 2𝐶 2 𝑝 1 −1 .
Kasus  3. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 . Sama  seperti  kasus  1  dan  kasus  2, (𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) + 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 )) =  2 . Karena 𝐶 memiliki 𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1 elemen, maka indeks 𝑃𝐼 dalam kasus ini adalah 2𝐶 2 𝑛−𝑝 2 −𝑝 1 +1 .
Kasus 4. Untuk 𝑥  ∈ 𝐴 and 𝑦 ∈ 𝐶 . Berdasarkan Teorema 3.3 , 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦| 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) adalah 1 , yaitu simpul 𝑥 itu sendiri, dan 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) adalah 𝑝 1 , yaitu 𝑦 dan semua elemen di 𝐵 . Oleh karena  itu. (𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) + 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 )) =   𝑝 1 + 1. Karena 𝐴 memiliki 𝑝 2 − 1 elemen dan 𝐶 memiliki 𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1 elemen,  maka dalam  kasus  ini 𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 1 + 1)(𝑝 2 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)
Kasus  5. Untuk 𝑥  ∈ 𝐵 and 𝑦 ∈ 𝐶 .  Berdasarkan  Teorema  3.3,  didapatkan 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦| 𝛤̅ ℤ 𝑛 ) adalah 1 , yaitu simpul 𝑥 itu sendiri, dan 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) adalah 𝑝 2 , yaitu 𝑦 dan semua elemen di 𝐵 . Oleh karena itu. (𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 ) + 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|𝛤̅ ℤ 𝑛 )) =   𝑝 2 + 1. Karena 𝐵 memiliki 𝑝 1 − 1 elemen dan 𝐶 memiliki 𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1 elements, maka dalam kasus  ini 𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 + 1)(𝑝 1 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)
Dengan menjumlahkan indeks 𝑃𝐼 dari setiap kasus maka diperoleh.
𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 − 1)(𝑝 2 − 2) + (𝑝 1 − 1)(𝑝 1 − 2) + (𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 ) + (𝑝 1 + 1)(𝑝 2 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) + (𝑝 2 + 1)(𝑝 1 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) □
Contoh 3.3 Diberikan 𝛤̅ ℤ 6 sebagai berikut.
𝛤̅ ℤ 6 :
Gambar 2. Representasi 𝛤̅ ℤ 6
Maka, indeks Padmakar-Ivan dari 𝛤̅ ℤ 6 adalah :
𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 6 ) = ∑ 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|𝛤̅ ℤ 6 ) 𝑢𝑣∈𝐸(𝛤 ̅ ℤ6 ) + 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|𝛤̅ ℤ 6 ) = [𝑛 1 (15|𝛤̅ ℤ 6 ) + 𝑛 5 (15|𝛤̅ ℤ 6 )] + [𝑛 2 (24|𝛤̅ ℤ 6 ) + 𝑛 4 (24|𝛤̅ ℤ 6 )] +[𝑛 1 (12|𝛤̅ ℤ 6 ) + 𝑛 2 (12|𝛤̅ ℤ 6 )] + [𝑛 1 (14|𝛤̅ ℤ 6 ) + 𝑛 4 (14|𝛤̅ ℤ 6 )] +[𝑛 5 (52|𝛤̅ ℤ 4 ) + 𝑛 2 (52|𝛤̅ ℤ 6 )] + [𝑛 5 (54|𝛤̅ ℤ 6 ) + 𝑛 4 (54|𝛤̅ ℤ 6 )] +[𝑛 1 (13|𝛤̅ ℤ 6 ) + 𝑛 3 (13|𝛤̅ ℤ 6 )] + [𝑛 5 (53|𝛤̅ ℤ 6 ) + 𝑛 3 (53|𝛤̅ ℤ 6 )] = (1 + 1) + (1 + 1) + (2 + 1) + (2 + 1) +(2 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1) + (3 + 1)
= 24
Dengan menggunakan Teorema 3.4 dan memisalkan 𝑝 1 = 2 dan 𝑝 2 = 3 , maka akan didapatkan indeks PI yang sama, yaitu :
𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 6 ) = (3 − 1)(3 − 2) + (2 − 1)(2 − 2) +(6 − 3 − 2 + 1)(6 − 3 − 2) + (2 + 1)(3 − 1 )
(6 − 3 − 2 + 1) + (3 + 1)(2 − 1 )(6 − 3 − 2 + 1)
= 2 + 0 + 2 + 12 + 8 = 24 .
Hasil dari Teorema 3.3 juga diperlukan dalam pencarian rumus umum indeks Randic dari graf yang diteliti.
Teorema 3.5 Misalkan ℤ 𝑛 merupakan grup bilangan bulat modulo dengan 𝑛  =   𝑝 1 𝑝 2 ,, yaitu perkalian dua bilangan prima berbeda, maka
𝑅(Γ̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 − 1)(𝑝 2 − 2) 2(𝑛 − 𝑝 1 − 1) + (𝑝 1 − 1)(𝑝 1 − 2) 2(𝑛 − 𝑝 2 − 1) + (𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 ) 2(𝑛 − 2) + (𝑝 2 − 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) √(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑝 1 − 1) + (𝑝 1 − 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) √(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑝 2 − 1)
Bukti. Misalkan ℤ n merupakan  grup  bilangan  bulat  modulo  dengan n  =   p 1 p 2 ,  yaitu perkalian  dua  bilangan  prima  berbeda,  maka 𝑉(Γ̅ ℤ 𝑛 ) merupakan  gabungan  dari subhimpunan-subhimpunan 𝐴 = {𝑝 1 , 2𝑝 1 , . . . , 𝑛 − 𝑝 1 } , 𝐵 =   {𝑝 2 , 2𝑝 2 , . . . , 𝑛 − 𝑝 2 } ,  dan 𝐶  =   𝑍 𝑛 \(𝐴 ∪  𝐵 ∪ {0}) . Dalam pembuktian  ini, akan dibagi perhitungannya ke dalam lima kasus. Perhatikan,
Kasus 𝟏. Untuk 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) , jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 . Berdasarkan Teorema 3.3, maka deg(𝑥) = deg(𝑦) = 𝑛 − 𝑝 1 − 1 . Oleh karena itu, dalam kasus ini 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = 𝐶 2 𝑝2−1 𝑛−𝑝 1 −1 .
Kasus 𝟐. Untuk 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) , jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 . Berdasarkan Teorema 3.3, maka deg(𝑥) = deg(𝑦) = 𝑛 − 𝑝 2 − 1 . Oleh karena itu dalam kasus ini 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = 𝐶 2 𝑝1−1 𝑛−𝑝 2 −1 .
Kasus 3. Untuk 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) , jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 . Berdasarkan teorema  3.3, maka deg(𝑥) = deg(𝑦) = 𝑛 − 2 . Oleh karena itu dalam kasus ini 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = 𝐶 2 𝑛−𝑝2−𝑝1+1 𝑛−2 .
Kasus  4. Untuk 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) ,  jika 𝑥  ∈ 𝐴 and 𝑦 ∈ 𝐶 .  Berdasarkan  teorema  3.3,  maka deg(𝑥) = 𝑛 − 𝑝 1 − 1 dan deg(𝑦) = 𝑛 − 2 . Oleh karena itu dalam kasus ini 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 −1)(𝑛−𝑝 2 −𝑝 1 +1) √(𝑛−2)(𝑛−𝑝 1 −1) .
Kasus  5. Untuk 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) ,  jika 𝑥  ∈ 𝐵 and 𝑦 ∈ 𝐶 .  Berdasarkan  teorema  3.3,  maka deg(𝑥) = 𝑛 − 𝑝 2 − 1 dan deg(𝑦) = 𝑛 − 2 . Oleh karena itu dalam kasus ini 𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 1 −1)(𝑛−𝑝 2 −𝑝 1 +1) √(𝑛−2)(𝑛−𝑝 2 −1) .
Dengan menjumlahkan indeks Randic dari setiap kasus maka diperoleh.
𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 − 1)(𝑝 2 − 2) 2(𝑛 − 𝑝 1 − 1) + (𝑝 1 − 1)(𝑝 1 − 2) 2(𝑛 − 𝑝 2 − 1) + (𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 ) 2(𝑛 − 2) + (𝑝 2 − 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) √(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑝 1 − 1) + (𝑝 1 − 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) √(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑝 2 − 1) .              □
Contoh 3.4 Berdasarkan Gambar 2, maka indeks Randic dari 𝛤̅ ℤ 6 adalah :
𝑅(𝛤̅ ℤ 6 ) = ∑ (𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (𝑢) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (𝑣))
𝑢𝑣∈𝐸(𝛤 ̅ ℤ6 ) − 1 2
= [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (1) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (5)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (2) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (4)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (1) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (2)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (1) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (4)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (5) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (2)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (5) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (4)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (1) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (3)] − 1 2 + [𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (5) ∙ 𝑑𝑒𝑔 𝛤 ̅ ℤ6 (3)] − 1 2 = 1 4 + 1 3 + 1 2√3 + 1 2√3 + 1 2√3 + 1 2√3 + 1 2√2 + 1 2√2 = 7 + 8√3 + 6√2 12 .
Dengan  menggunakan  Teorema  3.5  dan  memisalkan 𝑝 1 = 2 dan 𝑝 3 = 3 ,  maka  akan didapatkan indeks Randic yang sama, yaitu:
𝑅(𝛤̅ ℤ 6 ) = (3 − 1)(3 − 2) 2(6 − 2 − 1) + (2 − 1)(2 − 2) 2(6 − 3 − 1) (6 − 3 − 2 + 1)(6 − 3 − 2) 2(6 − 2) + (3 − 1)(6 − 3 − 2 + 1)
√(6 − 2)(6 − 2 − 1)
+ (2 − 1)(6 − 3 − 2 + 1) √(6 − 2)(6 − 3 − 1) = 2 6 + 0 + 2 8 + 4 √12 + 2 √8 = 7 + 8√3 + 6√2
12 .

## 4. Kesimpulan
Penelitian ini memperoleh beberapa kesimpulan terkait indeks Padmakar-Ivan dan indeks Randic pada graf non-koprima dari grup bilangan bulat modulo.
1. Indeks  Padmakar-Ivan  dari  graf  non-koprim ℤ 𝑛 dengan 𝑛 adalah  bilangan perpangkatan prima adalah
𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 𝑛 )   = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2).
2. Indeks  Randic  dari  graf  non-koprim ℤ 𝑛 dengan 𝑛 adalah  bilangan  perpangkatan prima adalah
𝑅(𝛤̅ ℤ 𝑛 )   = 𝑛 − 1 2 .
3. Indeks Padmakar-Ivan dari grup non-koprim ℤ 𝑛 dengan 𝑛 = 𝑝 1 𝑝 2 dan 𝑝 1 , 𝑝 2 adalah bilangan prima berbeda adalah
𝑃𝐼(𝛤̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 − 1)(𝑝 2 − 2) + (𝑝 1 − 1)(𝑝 1 − 2) + (𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 ) + (𝑝 1 + 1)(𝑝 2 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) + (𝑝 2 + 1)(𝑝 1 − 1 )(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1).
4. Indeks  Randic  dari  grup  non-koprim ℤ 𝑛 dengan 𝑛 = 𝑝 1 𝑝 2 dan 𝑝 1 , 𝑝 2 adalah bilangan prima berbeda adalah
𝑅(Γ̅ ℤ 𝑛 ) = (𝑝 2 − 1)(𝑝 2 − 2) 2(𝑛 − 𝑝 1 − 1) + (𝑝 1 − 1)(𝑝 1 − 2) 2(𝑛 − 𝑝 2 − 1)
+ (𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 ) 2(𝑛 − 2) + (𝑝 2 − 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) √(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑝 1 − 1) + (𝑝 1 − 1)(𝑛 − 𝑝 2 − 𝑝 1 + 1) √(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑝 2 − 1) .
Penelitian ini memberikan gambaran tentang bagaimana konsep indeks topologi dalam kimia dapat diterapkan secara substansial dalam kerangka aljabar abstrak. Tidak hanya itu,  dalam  penelitian  ini,  karakteristik  indeks  Padmakar-Ivan  dan  indeks  Randic  dapat diaplikasikan dalam pemahaman representasi struktur kimia yang serupa, misalnya dalam kasus  graf  lengkap.  Dengan  demikian,  hasil  penelitian  ini  tidak  hanya  memperdalam keterhubungan  antara  matematika  dan  kimia,  tetapi  juga  memberikan  landasan  yang kokoh  untuk  penerapan  praktis  dalam  analisis  struktur  dan  sifat-sifat  molekuler  yang lebih kompleks.

## Daftar Pustaka
[1]  N.  Deo, Graph  theory  with  applications  to  engineering  and  computer  science . Courier  Dover Publications, 2017.
[2]  S.  Delen, R. H.  Khan,  M.  Kamran,  N.  Salamat, A. Q.  Baig,  I. N. Cangul,  M. K. Pandit,  "Ve-Degree,  Ev-Degree,  and  Degree-Based  Topological  Indices  of Fenofibrate," Journal of Mathematics , 2022. [ CrossRef ]
[3]  B. Z. Yatin, M. R. Gayatri, I. G. A. W. Wardhana, B. D. A. Prayanti, “Indeks hyper- wiener  dan  indeks  padmakar-ivan  dari  graf  koprima  dari  grup  dihedral,”. Jurnal Riset dan Aplikasi Matematika (JRAM) , vol. 7 no. 2, pp. 138-147, 2023.[ CrossRef ]
[4]  E. Mohammadinasab,  M. Goodarzi, “Theoretical study of the relationship between Wiener,  Padmakar-Ivan,  and  Szeged  topological  indices  in  contrast  to  energy, electric  moments and partition coefficient of armchair polyhex carbon nanotubes with various circumference and fixed lengths,” Fullerenes, Nanotubes, and Carbon Nanostructures , vol. 19, no. 6, pp. 550-563, 2011. [ CrossRef ]
[5]  Y.  Shi,  “Note on two generalizations of the Randić  index,” Applied mathematics and computation , vol. 265 , pp. 1019-1025, 2015. [ CrossRef ]
[6]  P.V.H. Khadikar,  S.  Karmakar,  V.  K.  Agarwal,  “A  Novel  PI  index  and  its applications  to  QSPR/QSAR  studies,” Journal  of  chemical  information  and computer sciences . vol. 41, no. 4, pp. 934-949, 2001. [ CrossRef ]
[7]  S. Amin, M. A. Rehman, A. Naseem, I. Khan, N. Alshammari,  N. N. Hamadneh, “Analysis of complex networks via some novel topological indices,” Mathematical Problems in Engineering , 2022. [ CrossRef ]
[8]  M. Randic, “On Characterization of Molecular Branching. Journal of The American Chemical Society,” vol. 97, no. 23, pp. 6609-6615, 1975. [ CrossRef ]
[9]  E. Y. Asmarani, S. T. Lestari, D. Purnamasari, A. G. Syarifudin, S. Salwa, I. G. A. W. Wardhana, “The First Zagreb Index, The Wiener Index, and The Gutman Index of  The  Power  of  Dihedral  Group,” CAUCHY:  Jurnal  Matematika  Murni  dan Aplikasi , vol. 7, no. 4, pp. 513-520, 2023. [ CrossRef ]
[10] M.  N.  Husni,  H.  Syafitri,  A.  M.  Siboro,  A.  G.  Syarifudin,  Q.  Aini,  I.  G.  A.  W. Wardhana, “The harmonic index and the gutman index of coprime graph of integer group modulo with order of prime power,” BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan , vol. 16, no. 3, pp. 961-966, 2022 .[ CrossRef ]
[11] F. Mansoori, A. Erfanian, B. Tolue, “Non-coprime graph of a finite group” In AIP Conference Proceedings , vol. 1750, no. 1, AIP Publishing, 2016. [ CrossRef ]
[12] S. A. Kathirvel, P. J. Cameron, T. T. Chelvam, “Generalized non-coprime graphs of groups,”. arXiv preprint arXiv:2208.01900 , 2022. [ CrossRef ]
[13] N. Nurhabibah, D. P. Malik, H. Syafitri, I. G. A. W. Wardhana, “Some results of the  non-coprime  graph  of  a  generalized  quaternion  group  for  some  n,”  In AIP Conference Proceedings, vol. 2641, no. 1, 2022. [ CrossRef ]
[14] M. Masriani, R. Juliana, A. G. Syarifudin, , I. G. A. W. Wardhana, I. Irwansyah, N. W. Switrayni, “Some result of non-coprime graph of integers modulo n group for n a prime power,” Journal of Fundamental Mathematics and Applications (JFMA) , vol. 3, no.2, pp. 107-111, 2020. [ CrossRef ]
[15] W. U. Misuki, I. G. A. W. Wardhana, N. W. Switrayni,  I. Irwansyah, “Some results of  non-coprime  graph  of  the  dihedral  group  D2n  for  na  prime  power,”  In AIP Conference Proceedings vol. 2329, no. 1, 2021. [ CrossRef ]
[16] M. N. Husni, I. G. A. W. Wardhana, P. K. Dewi, and I. N. Suparta, “Szeged Index and Padmakar-Ivan Index of Nilpotent Graph of Integer Modulo Ring with Prime Power Order ”, J, vol. 20, no. 2, pp. 332-339, 2023. [ CrossRef ]