DESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA

## Thoufina Kurniyati
Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang E-mail: thoufinakurniyati@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Sistem bandul ganda sederhana merupakan pengembangan sistem bandul sederhana. Penurunan model bandul ganda sederhana berasal dari persamaan Euler-Lagrange . Sistem bandul ganda sederhana didapatkan dengan asumsi besar sudut perpindahan benda pertama maupun benda kedua sangat kecil.
Penelitian terdahulu [1] membahas mengenai kestabilan dan solusi eksak dari sistem bandul ganda sederhana,  selanjutnya  pada  penelitian  ini  difokuskan  untuk  mendeskripsikan  kestabilan  perilaku  pada sistem  dengan  parameter  yang  berbeda.  Hasil  penelitian  ini  menunjukkan  sistem  memiliki  titik  tetap trivial ,  nilai  eigen  imajiner  murni  yang  berarti  sistem  berayun  di  sekitar  titik  tetap,  dan  solusi  sistem berupa  solusi  periodik  untuk  perubahan  besar  sudut  benda  pertama  dan  kedua (𝜃 1 , 𝜃 2 ) serta  solusi quasiperiodic untuk  laju  kecepatan  benda  satu  dan  benda  dua (𝜃̈ 1 , 𝜃̈ 2 ) .  Perubahan  parameter  tidak mempengaruhi kestabilan sistem bandul ganda sederhana.
Kata Kunci : sistem bandul ganda sederhana, analisis perilaku, titik tetap, nilai eigen, vektor eigen, solusi periodik, solusi quasiperiodic

## ABSTRACT
Simple double pendulum system is the development of a simple pendulum system. The decline in the  simple  model  of  a  double  pendulum  is  derived  from  the  Euler-Lagrange  equation.  Simple  double pendulum system obtained by assuming a large angle displacement of the object first and second objects is very small.
Previous research by [1] discuss the stability and the exact solution of a simple double pendulum system,  further research is focused to describe the stability of  the behavior of the system  with different parameters.  The  results  of  this  study  indicate  the  system  has  a  nontrivial  fixed  point,  purely  imaginary eigenvalues which means the system swinging around a fixed point, and system solutions in the form of periodic solutions for a major change angle first and second objects (𝜃 1 , 𝜃 2 ) and quasi-periodic solutions to the rate of velocity one and two object (𝜃̈ 1 , 𝜃̈ 2 ) . Parameter changes do not affect the stability of a simple double pendulum system
Keywords : simple double pendulum system, behavioral analysis, fixed point, eigen value, eigen vector, periodic solutions, quasiperiodic solutions

## PENDAHULUAN
Peranan  teori  dan  peranan  penerapan matematika  tidak  dapat  dipisahkan.  Banyak konsep abstrak matematika yang dikembangkan karena kebutuhan untuk menjawab  permasalahan  dari  dunia  nyata  dan bidang ilmu lain [2].
Pemodelan matematika dapat diterapkan ke  berbagai  disiplin  ilmu  lain,  salah  satunya adalah  sistem  bandul  ganda  sederhana.  Sistem bandul ganda sederhana merupakan pengembangan  bandul  sederhana,  pengertian bandul sederhana yaitu benda ideal yang terdiri dari  sebuah  titik  massa,  yang  digantungkan pada tali ringan yang tidak dapat mulur [3].
Penelitian  sebelumnya  [1]  membahas mengenai  solusi  eksak  dan  kestabilan  sistem bandul  ganda  sederhana,  selanjutnya  pada penelitian  ini  difokuskan  mendeskripsikan kestabilan  perilaku  dengan  parameter  yang berbeda,  parameter  tersebut  adalah  massa benda pertama 𝑚 1 . Salah satu permasalahan yang menggunakan sistem bandul ganda adalah pada sistem  kerja  tim  SAR  (Search  and  Rescue)  dan suplai  makanan  atau  amunisi  ke  barak  analisis dengan  menggunakan  helikopter.  Berbagai bencana alam yang ada di Indonesia akhir-akhir ini, menyebabkan kerja Tim SAR semakin tinggi. Keefektifan  kerja  Tim  SAR  sangat  diperlukan
agar  bantuan  makanan  dan,  pakaian  ataupun obat-obatan dapat tersebar merata.
Sesuai  dengan  latar  belakang  yang dikemukakan  untuk  melanjutkan  penelitian sebelumnya,  maka  dalam  penelitian  ini  penulis mengambil tema “ Deskripsi
Pengaruh Parameter terhadap Kestabilan Perilaku Sistem Bandul Ganda Sederhana ”.

## TINJAUAN PUSTAKA

## 1. Bandul Ganda Sederhana
Sistem  bandul  ganda  sederhana  adalah sistem  yang  terdiri  dari  dua  benda 𝐵 1 dan 𝐵 2 dengan  massa  masing-masing  benda  adalah 𝑚 1 dan 𝑚 2 .  Selain  itu  benda  tersebut  masing- masing  dihubungkan  dengan  dua  helai  kawat yang kuat tapi ringan 𝐿 1 dan 𝐿 2 dengan panjang masing-masing kawat adalah 𝑙 1 dan 𝑙 2 , benda 𝐵 1 terpasang pada ujung kawat 𝐿 1 (ujung kawat 𝐿 1 lainnya terpasang mantap pada sebuah bidang). Sementara  itu  benda 𝐵 2 terpasang  pada  ujung kawat 𝐿 2 di  bawah  pengaruh  grafitasi  (ujung kawat 𝐿 2 lainnya mantap terpasang pada benda pertama 𝐵 1 ).  Sistem  bandul  ganda  memiliki  4 (empat)  parameter  yakni 𝑙 1 , 𝑙 2 , 𝑚 1 dan 𝑚 2 dengan  dipengaruhi  oleh  grafitasi,  bandul ganda  berosilasi  pada  bidang  vertikal  dengan sudut  perpindahan  untuk  suatu  waktu  adalah 𝜃 1 (𝑡) dan 𝜃 2 (𝑡) [1].  Sistem  bandul  sederhana adalah sebagai berikut
{ (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑙 1 2 𝜃̈ 1 + 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̈ 2 + (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑙 1 𝑔𝜃 1 = 0 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̈ 1 + 𝑚 2 𝑙 2 2 𝜃̈ 2 + 𝑚 2 𝑙 2 𝑔𝜃 2 = 0
Variabel dan parameter yang digunakan adalah 𝑚 1 :  Massa  benda  pertama  dalam  satuan slug
𝑚 2 :  Massa  benda  kedua  dalam  satuan slug
𝑙 1 :  Panjang  kawat/tali  pertama  dalam satuan kaki
𝑙 2
:  Panjang  kawat/tali  kedua  dalam satuan kaki
𝑔
:  Gravitasi bumi dalam satuan kaki/s 2
𝜃 1 (𝑡) :  Sudut  perpindahan  benda  pertama pada waktu 𝑡 dalam satuan radian
𝜃 2 (𝑡) :  Sudut  perpindahan  benda  kedua pada waktu 𝑡 dalam satuan radian
𝜃̈ 1 (𝑡) :  Laju  kecepatan  benda  pertama terhadap waktu dalam satuan kaki/s 2
𝜃̈ 2 (𝑡) :  Laju kecepatan benda kedua
terhadap waktu dalam satuan kaki/s 2

## 2. Analisis Model Bandul Ganda Sederhana
Pada  bagian  ini  akan  dianalisis  model bandul  ganda  sederhana  yang  dibangun  ke dalam  bentuk  sistem  persamaan  diferensial. Analisis  dimulai  dengan  penurunan  dari persamaan Euler-Lagrange .
Dalam  mekanika Lagrangian ,  evolusi sistem  dijelaskan  dalam  hal  koordinat  umum dan  kecepatan  umum.  Dalam  kasus  ini,  sudut defleksi  bandul 𝜃 1 , 𝜃 2 dan  kecepatan  angular dapat  diambil  sebagai  variabel  umum.  Dengan menggunakan variabel-variabel tersebut, dibangun  persamaan Lagrangian untuk  bandul ganda  kemudian  persamaan  diferensial Euler- Lagrange .
Koordinat bandul pertama didefinisikan
𝑥 1 =   𝑙 1 sin 𝜃 1 , 𝑦 1 = − 𝑙 1 cos 𝜃 1 . Energi kinetik ( 𝑇 ) secara umum dinyatakan
𝑇 = 1 2 𝑚𝑣 2 .
Energi kinetik benda pertama ( 𝑇 1 ) dinyatakan
𝑇 1 = 𝑚 1 2 (𝑙 1 2 𝜃̇ 1 2 ), (1)
dan energi kinetik benda kedua ( 𝑇 2 ) dinyatakan
𝑇 2 = 𝑚 2 2 [𝑙 1 2 𝜃̇ 1 2 + 𝑙 2 2 𝜃̇ 2 2 + 2𝑙 1 𝑙 2 𝜃̇ 1 𝜃̇ 2 cos (𝜃 1 − 𝜃 2 )]. (2)
Energi potensial ( 𝑉 ) secara umum dinyatakan
𝑉 = 𝑚𝑔ℎ.
Energi potensial benda pertama (𝑉 1 ) dinyatakan 𝑉 1 = −𝑚 1 𝑔 𝑙 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 , (3)
dan energi potensial benda kedua dinyatakan 𝑉 2 = −𝑚 2 𝑔 (𝑙 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 + 𝑙 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 ). (4)
Persamaan  Lagrangian  adalah  selisih  antara energi kinetik dengan energi potensial.
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑇 1 + 𝑇 2 − (𝑉 1 + 𝑉 2 ) (5)
Substitusi  (1)-(4)  ke  persamaan  (5)  maka didapatkan
𝐿 = ( 𝑚 1 2 + 𝑚 2 2 ) 𝑙 1 2 𝜃̇ 1 2 + 𝑚 2 2 𝑙 2 2 𝜃̇ 2 2 + 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̇ 1 𝜃̇ 2 cos (𝜃 1 − 𝜃 2 ) + (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑔𝑙 1 cos 𝜃 1 + 𝑚 2 𝑔𝑙 2 cos 𝜃 2 . (6)
Fungsi  trigonometri cos 𝜃 1 ,  dan cos 𝜃 2 dapat digantikan oleh ekspresi perkiraan berikut
cos 𝜃 1 ≈ 1 − 𝜃̇ 1 2 2 , cos 𝜃 2 ≈ 1 − 𝜃̇ 2 2 2 .
Diasumsikan bahwa sudut 𝜃 1 dan 𝜃 2 sangatlah kecil maka nilai cos (𝜃 1 − 𝜃 2 ) dapat  dinyatakan sebagai berikut cos (𝜃 1 − 𝜃 2 ) ≈ cos 𝜃 1 cos 𝜃 2 + sin 𝜃 1 sin 𝜃 2 ≈ 1 maka didapatkan
𝐿 = ( 𝑚 1 2 + 𝑚 2 2 ) 𝑙 1 2 𝜃̇ 1 2 + 𝑚 2 2 𝑙 2 2 𝜃̇ 2 2 + 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̇ 1 𝜃̇ 2 − ( 𝑚 1 2 + 𝑚 2 2 ) 𝑔𝑙 1 𝜃̇ 1 2 + 𝑚 2 2 𝑔𝑙 2 𝜃̇ 1 2 .
Persamaan Euler  -  Lagrange dinyatakan sebagai berikut
𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝜃̇ 𝑖 − 𝜕𝐿 𝜕𝜃 𝑖 = 0,   𝑖 = 1, 2 sehingga diperoleh sistem bandul ganda dengan asumsi sudut osilasi yang kecil
{ 𝑑 𝑑𝑡 [(𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑙 1 2 𝜃̇ 1 + 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̇ 2 ] + (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑔𝑙 1 𝜃 1 = 0 𝑑 𝑑𝑡 [𝑚 2 𝑙 2 2 𝜃̇ 2 + 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̇ 1 ] − 𝑚 2 𝑔𝑙 2 𝜃 2 = 0 atau { (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑙 1 2 𝜃̈ 2 + 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̈ 2 + (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑔𝑙 1 𝜃 1 = 0 𝑚 2 𝑙 2 2 𝜃̈ 2 + 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 𝜃̈ 1 − 𝑚 2 𝑔𝑙 2 𝜃 2 = 0 . (2.24)

## 3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan  matriks 𝐴 adalah  matriks 𝑛 × 𝑛 , maka  vektor  tak  nol x di  dalam ℛ 𝑛 dinamakan vektor  eigen (eigenvector) dari 𝐴 adalah kelipatan skalar dari x ; yakni, 𝐴x = 𝜆x untuk  suatu  skalar 𝜆 .  Skalar 𝜆 dinamakan  nilai eigen dari 𝐴 dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ [4].

## 4. Solusi dan Potret Fase dengan Nilai Eigen Kompleks
Persamaan  diferensial ẋ = 𝑎x memiliki solusi x(𝑡) = x 0 (𝑡)𝑒 𝑎𝑡 dengan x(𝑡) merupakan variabel  yang  bergantung  pada  waktu 𝑡 , 𝑎 merupakan parameter dan kondisi awal x 0 yang berbeda [5].
Selanjutnya  untuk  solusi  dari  nilai  eigen kompleks, diperlukan untuk memahami eksponensial  dengan  eksponen  kompleks. Dengan  membandingkan  ekspansi  deret  kuasa, dapat dilihat bahwa
𝑒 𝑖 𝛽𝑡 = cos(𝛽𝑡) + 𝑖  sin(𝛽𝑡), 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 𝑒 𝑖 𝛽𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 (cos(𝛽𝑡) + 𝑖  sin(𝛽𝑡))
[5].
Demikian,  jika 𝜆 = 𝛼 + 𝑖𝛽 adalah  nilai eigen  kompleks  dengan  vektor  kompleks v = u + 𝑖 w (dengan 𝛼 dan 𝛽 adalah  bilangan  real serta u dan w adalah vektor real), maka 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑡 (u + 𝑖 w) = 𝑒 𝛼𝑡 (cos(𝛽𝑡) + 𝑖  sin(𝛽𝑡))(u + 𝑖 w) Berikutnya  adalah  menggambar  potret fase  untuk  sepasang  nilai  eigen  kompleks.
Diasumsikan  sebuah  nilai  eigen  adalah 𝜆 = 𝛼 ± 𝑖𝛽 dengan 𝛽 ≠ 0 [5] 1. Jika 𝛼 = 0 ,  maka  titik  tetap  adalah elliptic center , dengan solusi periodik. Arah gerakan yaitu  searah  jarum  jam  atau  berlawanan dengan jarum jam.
2. Jika 𝛼 < 0 ,  maka  titik  tetap  adalah stable focus .  Arah  gerakan  yaitu  searah  jarum  jam atau berlawanan dengan jarum jam.
3. Jika 𝛼 > 0 ,  maka  solusi  spiral  keluar  dan titik  tetap  adalah unstable  focus ,  dengan arah  gerak  spiral  yaitu  searah  jarum  jam atau berlawanan dengan jarum jam.
4. Dalam tiga kasus di atas, arah solusi menuju ke  sekitar  titik  tetap  dapat  ditentukan dengan  mengecek  apakah 𝑥̇ 1 adalah  positif atau  negatif  ketika 𝑥 1 = 0 .  Jika 𝑥̇ 1 positif maka  solusi  searah  dengan  jarum  jam  dan jika 𝑥̇ 1 negatif  maka  solusi  berlawanan dengan jarum jam.

## PEMBAHASAN
1. Analisis Perilaku Sistem Bandul Ganda
Sederhana Riset pendahuluan bandul ganda sederhana [1] telah dilakukan
penondimensionalan  terhadap  sistem  bandul ganda sederhana, dimisalkan
𝑎 = (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑙 1 𝑔, 𝑏 = (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑙 1 2 , ℎ = 𝑚 2 𝑙 2 𝑔, 𝑗 = 𝑚 2 𝑙 1 𝑙 2 , 𝑘 = 𝑚 2 𝑙 2 (7)
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑗, ℎ, dan 𝑘 > 0 .  Oleh  karena  itu sistem  persamaan  bandul  ganda  dapat  ditulis sebagai berikut
{ 𝑏𝜃̈ 1 + 𝑗𝜃̈ 2 = − 𝑎 𝜃 1 𝑗𝜃̈ 1 + 𝑘𝜃̈ 2 = −ℎ 𝜃 2 . (8)
Misalkan 𝑥 1 = 𝜃 1 , 𝑥 2 = 𝜃̇ 1 , 𝑥̇ 2 = 𝜃̈ 1 , 𝑥 3 = 𝜃 2 , 𝑥 4 = 𝜃̇ 4 dan 𝑥̇ 4 = 𝜃̈ 2 maka diperoleh
{ 𝑥̇ 1 = 𝜃̇ 1 𝑥̇ 2 = 𝜃̈ 1 𝑥̇ 3 = 𝜃̇ 2 𝑥̇ 4 = 𝜃̈ 2
(9)
atau dapat ditulis
{ 𝑥̇ 1 = 𝑥 2 𝑥̇ 2 = −𝑎𝑘 −𝑗2+𝑏𝑘 𝑥 1 + 𝑗ℎ −𝑗2+𝑏𝑘 𝑥 3 𝑥̇ 3 = 𝑥 4 𝑥̇ 4 = −𝑎𝑗 𝑗2−𝑏𝑘 𝑥 1 + 𝑏ℎ 𝑗2−𝑏𝑘 𝑥 3 (10)
Sistem  (10)  menunjukkan  bahwa  laju kecepatan  benda  pertama  dipengaruhi  oleh besar −𝑎𝑘 −𝑗2+𝑏𝑘 dari  perpindahan  sudut  bandul pertama ditambah besar 𝑗ℎ −𝑗2+𝑏𝑘 dari
perpindahan sudut benda kedua. Laju kecepatan bandul kedua dipengaruhi oleh besar
−𝑎𝑗
𝑗2−𝑏𝑘 dari  perpindahan  sudut  bandul  pertama dan besar 𝑏ℎ 𝑗2−𝑏𝑘 dari perpindahan sudut bandul kedua.

## Analisis Titik Tetap
Analisis  titik  tetap  dikerjakan  dengan mengasumsikan bahwa
𝑥̇ 1 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = 0 , 𝑥̇ 2 = 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 = 0 ,
𝑥̇ 3 = 𝑑𝑥3 𝑑𝑡 = 0 , 𝑥̇ 4 = 𝑑𝑥4 𝑑𝑡 = 0.
Maka,  didapatkan  sistem  linier  untuk  model bandul ganda sederhana sebagai berikut: 0 = 𝑥 2 0 = −𝑎𝑘 −𝑗2+𝑏𝑘 𝑥 1 + 𝑗ℎ −𝑗2+𝑏𝑘 𝑥 3 0 = 𝑥 2 0 = −𝑎𝑗 𝑗2−𝑏𝑘 𝑥 1 + 𝑏ℎ 𝑗2−𝑏𝑘 𝑥 3
(11)
Oleh karena itu, sistem (11) mempunyai pemecahan trivial sehingga
didapatkan titik tetap yaitu 𝐹 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) = (0, 0, 0, 0)
Sistem  bandul  ganda  sederhana  hanya memiliki satu titik tetap yaitu 𝐹 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) = (0, 0, 0, 0) yang  berarti  bahwa posisi  seimbang  pada  bandul  ganda  sederhana ketika sudut perpindahan benda pertama suatu waktu,  laju  kecepatan  benda  pertama  terhadap waktu,  sudut  perpindahan  benda  kedua  suatu waktu  dan  laju  kecepatan  benda  kedua terhadap  waktu  sama  dengan  nol (𝜃 1 (𝑡) = 𝜃̈ 1 (𝑡) = 𝜃 2 (𝑡) = 𝜃̈ 2 (𝑡) = 0) .  Posisi  seimbang merupakan  posisi  dimana  energi  potensial mencapai  harga  minimum  dan  merupakan posisi untuk keseimbangan stabil.

## Contoh Kasus
Contoh  analisis  perilaku  sistem  bandul ganda  sederhana  diberikan  untuk  memahami lebih  dalam  mengenai  perilaku  pada  sistem bandul  ganda  sederhana.  Contoh  kasus  dengan parameter 𝑚 1 = 937,5 slug, 𝑚 2 = 312,5 slug, 𝑙 1 = 16 kaki, 𝑙 2 = 16 kaki,  dan 𝑔 = 32 kaki/s 2 dengan  kondisi    awal  yang  berbeda 𝑥 1 (0) = − 0,5 rad, 𝑥 2 (0) = − 1 rad/s, 𝑥 3 (0) = 1 rad,  dan 𝑥 4 (0) = 2 rad/s.
Pandang  sistem  linier  (10)  menjadi sebuah matriks
ẋ = 𝐴x dengan
ẋ = [ ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 ],
𝐴 = [ 0 1 −𝑎𝑘 −𝑗 2 + 𝑏𝑘 0 0 0 𝑗ℎ −𝑗 2 + 𝑏𝑘 0
0 0 −𝑎𝑗 𝑗 2 − 𝑏𝑘 0 0 1 𝑏ℎ 𝑗 2 − 𝑏𝑘 0 ] , x = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ].
Substitusi  parameter  ke  persamaan  (7) kemudian ke persamaan (10) sehingga didapatkan
[ ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 ] = [ 0 1 −512 192 0 0 0 128 192 0 0 0 512
192 0 0 1 −512 192 0] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ], (12)
kondisi awal yang diberikan adalah
[ x 1 (0) = −0,5 x 2 (0) = −1 x 3 (0) = 1 x 4 (0) = 2 ].
Sistem (12) memiliki solusi sebagai berikut 𝐱 = 𝐱 𝟎 𝑒 𝐴𝑡 atau dapat ditulis
[ 𝑥 1 (𝑡) 𝑥 2 (𝑡) 𝑥 3 (𝑡) 𝑥 4 (𝑡) ] = [ 𝑒 𝐴1,1𝑡 𝑒 𝐴1,2𝑡
𝑒 𝐴2,1𝑡 𝑒 𝐴2,2𝑡 𝑒 𝐴1,3𝑡 𝑒 𝐴1,4𝑡
𝑒 𝐴2,3𝑡 𝑒 𝐴2,4𝑡 𝑒 𝐴3,1𝑡 𝑒 𝐴3,2𝑡
𝑒 𝐴4,1𝑡 𝑒 𝐴4,2𝑡 𝑒 𝐴3,3𝑡 𝑒 𝐴3,4𝑡 𝑒 𝐴4,3𝑡 𝑒 𝐴4,4𝑡 ] [ −0,5 −1 1 2 ].
Menentukan  perilaku  dari 𝑒 𝐴𝑡 saat 𝑡 → ∞ dengan memenuhi
𝑒 𝐴𝑡 = 𝐯𝑒 𝜆𝑡 𝐯 −𝟏 dimana 𝜆 merupakan nilai eigen dan 𝐯 merupakan  vektor  eigen  yang  bersesuaian dengan 𝜆 serta 𝐯 −𝟏 merupakan  invers  dari vektor  eigen.  Selanjutnya,    menentukan  nilai eigen  dari  persamaan  karakteristik  yang memenuhi
det(𝐴 − λI) = 0.
Persamaan karakteristik 𝐴 adalah 𝜆 4 + 1 ( 128 192 ) 1 ( 512 192 ) − 1 ( −512 192 ) 1 ( −512 192 ) = 0.
Sehingga  dengan  menggunakan  bantuan Maple 12 nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴 adalah
𝜆 1 = 2 3 √3 𝑖 ,        𝜆 2 = − 2 3 √3 𝑖 , 𝜆 3 = 2 𝑖 ,       𝜆 4 = −2 𝑖. (13)
Vektor  eigen  yang  bersesuaian  dengan  nilai eigen adalah
𝐯 =
[ − 1 4 √3𝑖 1 4 √3𝑖 1 2 1 2 1 4 𝑖 − 1 4 𝑖 − 1 2 − 1 2 − 1 2 √3𝑖 1 2 √3𝑖 1 1 − 1 2 𝑖 1 2 𝑖 1 1 ] .
Selanjutnya  menentukan  masing-masing  solusi umum dari x 1 (𝑡) , x 2 (𝑡) , x 3 (𝑡) dan x 4 (𝑡) .
x 1 (𝑡) = 𝐶 1 (− 1 4 sin(2𝑡)) + 𝐶 2 ( 1 4 cos(−2𝑡)) +𝐶 3 ( 1 4 √3 sin ( 2 3 √3𝑡)) +𝐶 4 ( 1 4 √3 cos (− 2 3 √3𝑡)) (3.38)
x 2 (𝑡) = 𝐶 1 (− 1 2 cos(2𝑡)) + 𝐶 2 ( 1 2 sin(−2𝑡)) + 𝐶 3 ( 1 2 cos ( 2 3 √3𝑡)) +𝐶 4 ( 1 2 sin (− 2 3 √3𝑡)) (3.39)
x 3 (𝑡) = 𝐶 1 ( 1 2 sin(2𝑡)) + 𝐶 2 (− 1 2 cos(−2𝑡)) +𝐶 3 ( 1 2 √3 sin ( 2 3 √3𝑡)) +𝐶 4 (− 1 2 √3 cos (− 2 3 √3𝑡)) (3.40)
x 4 (𝑡) = 𝐶 1 cos(2𝑡) + 𝐶 2 sin(−2𝑡)
+𝐶 3 cos ( 2 3 √3𝑡) +𝐶 4 sin (− 2 3 √3𝑡) (3.41)
Solusi  khusus  dengan 𝐶 1 = 1, 𝐶 2 = 1 , 𝐶 3 = 1, dan 𝐶 4 = − 3 √3 adalah
x 1 (𝑡) = − 1 4 sin(2𝑡) + 1 4 cos(−2𝑡) + 1 4 √3 sin ( 2 3 √3𝑡) − 3 4 cos (− 2 3 √3𝑡) (3.48)
x 2 (𝑡) = − 1 2 cos(2𝑡) + 1 2 sin(−2𝑡) + 1 2 cos ( 2 3 √3𝑡) − 3 2√3 sin (− 2 3 √3𝑡) (3.49)
x 3 (𝑡) = 1 2 sin(2𝑡) − 1 2 cos(−2𝑡) + 1 2 √3 sin ( 2 3 √3𝑡) + 3 2 cos (− 2 3 √3𝑡) (3.50)
x 4 (𝑡) = cos(2𝑡) + sin(−2𝑡)
+ cos ( 2 3 √3𝑡) − 3 √3 sin (− 2 3 √3𝑡) (3.51)
Berikut  adalah  grafik  perilaku  dari  sistem  bandul ganda dengan 𝑡 = 0 … 50 detik.
Gambar 1 Grafik solusi x 1 (𝑡) terhadap 𝑡
Gambar 1 merupakan grafik perubahan sudut  perpindahan  benda  pertama  terhadap waktu  dengan  rentang  waktu  50  detik.  Benda pertama  mulai  berayun  pada  sudut  -0,5  rad (benda  pertama  berada  di  sebelah  kiri  posisi setimbang)  dan  bergerak  mendekati  posisi seimbang  (0,0)  akan  tetapi  setelah  benda pertama  berada  di  posisi  seimbang  perlahan benda  pertama  menjauhi  posisi  seimbang,  hal tersebut  terjadi  secara  periodik.  Pada  gambar tersebut  menunjukkan  bahwa  pergerakan benda  pertama  berubah  secara  periodik  baik besar  maupun  arahnya  di  sekitar  titik keseimbangan  dengan  periode  4,9  detik, simpangan maksimum yaitu 1,21 rad pada saat benda  pertama  berayun  selama  5,49  detik  dan selama  rentang  waktu  50  detik  benda  pertama tetap berosilasi di sekitar posisi seimbang.
Gambar 2 Grafik x 2 (𝑡) terhadap 𝑡
Gambar 2 merupakan grafik laju kecepatan benda pertama terhadap waktu selama rentang waktu  50  detik.  Pada  gambar  tersebut menunjukkan bahwa laju kecepatan awal benda pertama  terhadap  waktu  sebesar  1  rad/s 2
(benda pertama berada di sebelah kanan posisi seimbang)  dan  kecepatannya  berubah  secara quasiperiodic baik  besar  maupun  arahnya.
Benda kedua memiliki kecepatan maksimal saat 8,9 detik.
Gambar 3 Grafik x 3 (𝑡) terhadap 𝑡
Gambar  3  merupakan  grafik  perubahan sudut  perpindahan  benda  kedua  terhadap waktu  selama  kurung  waktu  50  detik.  Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa pergerakan  benda  kedua  berubah  secara periodik  baik  besar  maupun  arahnya  di  sekitar titik  keseimbangan  dengan  periode  4,91  detik dan simpangan maksimum yaitu 16,76 rad saat 𝑡 = 2,43 detik.
Gambar 4 Grafik x 4 (𝑡) terhadap 𝑡
Gambar 4 merupakan grafik laju kecepatan bandul  kedua  terhadap  waktu  dengan 𝑡 = 0 … 50 detik. Pada gambar tersebut menunjukkan  bahwa  laju  kecepatan  awal sebesar  -0.5 rad, bandul kedua terhadap waktu berubah  secara quasiperiodic baik  besar maupun  arahnya.  Pada  saat 𝑡 = 19,94 detik bandul kedua memiliki laju kecepatan maksimal.
2. Deskripsi Pengaruh Parameter terhadap Kestabilan Perilaku sistem Bandul Ganda Sederhana
Parameter  Massa  Benda  Pertama  lebih besar  daripada  Massa  Benda  Kedua  ( 𝒎 𝟏 > 𝒎 𝟐 ) Simulasi  pertama  dengan  massa  benda pertama  sebesar  412.5  slug  dan  massa  benda kedua sama dengan 312.5 slug. Bandul pertama mulai bergerak saat sudut perpindahan sebesar -0,5  rad  (benda  pertama  berada  di  sebelah  kiri
posisi  seimbang  sebesar  -0,5  rad)  dan  laju kecepatannya  1  rad/s 2 (benda  pertama  berada di  sebelah  kanan  posisi  seimbang  dengan kecepatan 1 rad/s 2 ).
Gambar 5 Trayektori dengan 𝑚 1 > 𝑚 2
Gambar 5 memperlihatkan bahwa trayektori  bergerak  searah  jarum  jam  untuk mendekati  titik  tetap  sampai  akhirnya  mulai menjauhi  titik  tetap  saat 𝑡 > 0 detik  artinya kestabilan  dari  sistem  adalah  tidak  stabil. Periode  dari  sistem  bandul  ganda  sederhana berangsur-angsur membesar sampai 𝑡 → ∞.
Parameter  Massa  Benda  Pertama  sama dengan Massa Benda Kedua (𝒎 𝟏 = 𝒎 𝟐 ) Simulasi  kedua  dengan  massa  benda pertama  sebesar  312,5  slug  dan  massa  benda kedua sama dengan 312,5 slug. Benda  pertama mulai bergerak saat sudut perpindahan sebesar -0,5 rad dan laju kecepatannya 1 rad/s 2 .
Gambar 6 Trayektori dengan 𝑚 1 = 𝑚 2
Gambar 6 memperlihatkan bahwa trayektori  bergerak  melawan  arah  jarum  jam untuk  mendekati  titik  tetap  sampai  akhirnya mulai  menjauhi  titik  tetap  saat 𝑡 > 0 detik artinya  kestabilan  dari  sistem  adalah  tidak stabil.  Periode  dari  sistem  bandul  ganda sederhana berangsur-angsur membesar sampai 𝑡 → ∞.
Parameter  Massa  Benda  Pertama  lebih besar  daripada  Massa  Benda  Kedua 𝒎 𝟏 < 𝒎 𝟐 Simulasi  pertama  dengan  massa  benda pertama  sebesar  212.5  slug  dan  massa  benda kedua sama dengan 312.5 slug. Bandul pertama mulai bergerak saat sudut perpindahan sebesar -0,5 rad dan laju kecepatannya 1 rad/s 2 .
Gambar 7 Trayektori dengan 𝑚 1 < 𝑚 2
Gambar  7  memperlihatkan  bahwa trayektori  bergerak  melawan  arah  jarum  jam untuk  mendekati  titik  tetap  sampai  akhirnya mulai  menjauhi  titik  tetap  saat 𝑡 > 0 detik artinya  kestabilan  dari  sistem  adalah  tidak stabil.  Periode  dari  sistem  bandul  ganda sederhana berangsur-angsur membesar sampai 𝑡 → ∞. Oleh  karena  itu,  perubahan  parameter tidak mempengaruhi kestabilan sistem melainkan hanya arah trayektorinya saja.

## PENUTUP
1. Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  di  atas  maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Model  bandul  ganda  sederhana  tersebut memiliki titik tetap saat 𝐹 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) = (0, 0, 0, 0) artinya  sistem memiliki  posisi  seimbang  ketika  sudut perpidahan benda pertama dan kedua suatu waktu  serta  laju  kecepatan  benda  pertama dan kedua terhadap waktu sama dengan nol. Nilai eigen dari sistem bandul ganda dengan parameter  tertentu  adalah  imajiner  murni berarti  kestabilan  dari  sistem  bandul  ganda yaitu  tak  stabil  dan  tipe  kestabilan  sistem bandul  ganda  sederhana  adalah elliptic center . Grafik  perpindahan  bandul  pertama dan kedua  terhadap  waktu   adalah periodik dan  grafik  laju  kecepatan  bandul  pertama dan  kedua    adalah quasiperiodic . Hal tersebut menunjukkan bahwa sistem bandul ganda  bergerak  bolak-balik melalui  lintasan yang  sama.  Perubahan  besar  parameter
benda pertama tidak mempengaruhi kestabilan sistem.

## 2. Saran
Penelitian  ini  difokuskan  pada  masalah analisis perilaku sistem bandul ganda sederhana.  Pada  penelitian  selanjutnya  penulis menyarankan  untuk  analisis  bifurkasi  pada sistem  bandul  ganda  sederhana  karena  telah diketahui bahwa sistem bandul ganda sederhana  memiliki  nilai  eigen  murni  yang merupakan  syarat  cukup  untuk  analisis bifurkasi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Amanto and La Zakaria, "Solusi Eksak dan Kestabilan Sistem Bandul Ganda sederhana," Jurnal Sains MIPA , pp. 23-32,
2008.
[2] Asep K. Supriatna, "Matematika dan Contoh Penerapan Matematika dalam Disiplin Ilmu Lain," Matematika Integratif , pp. 1-7, 2002.
[3] Robert Resnick and David Halliday, Physics,
3'th Edition . Jakarta: Erlangga, 1978.
[4] Howard Anton, Elementary Linier Algebra, Jilid I . Bandung: Erlangga, 1997.
[5] R C Robinson, An Introduction to Dynamical System Continous and Discrete . Western:
American Mathematical Society , 2012.