## ANALISIS FUNGSI KORELASI KLASIK DAN KUANTUM UNTUK MODEL CINCIN: SEBUAH REVIEW
Ayu Ningsih P. A. Sunaryo 1* , Herry F. Lalus 1 , Hartoyo Yudhawardana 1
1 Program Sudi Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Nusa cendana, Kupang, 85000, Indonesia *email: ayusunaryo59@gmail.com

## ABSTRAK
Telah dilakukan riview jurnal dengan judul ‘Classical And Quantum Correlation Functions For A Ring Model’ yang membahas tentang solusi fungsi korelasi klasik dan kuantum untuk model cincin. Fungsi  korelasi  klasik  dan  kuantum  diturunkan  untuk  sistem  partikel yang  tidak  berinteraksi  yang  bergerak  pada  lingkaran.  Menunjukkan  bahwa  perilaku meluruh  dari  ekspresi  klasik  untuk  fungsi korelasi  dapat  diperoleh  kembali  dari ekspresi  mekanika  kuantum  periodik  ketat  dengan  mengambil   limit ℏ → 0 , setelah transformasi  yang  sesuai. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyajikan secara jelas dan terperinci bagaimana fungsi korelasi posisi untuk sistem partikel yang bergerak pada lingkaran yang memiliki energi rata-rata tertentu dan ditulis dalam bentuk yang menunjukkan  sifat  transformasinya.  Selanjutnya,  dikaji  penggunaan  penjumlahan  poisson  untuk  merepresentasikan 𝐹(𝑧) ,  dan bagaimana fungsi korelasi menjadi identik dengan bentuk yang diberikan oleh mekanika statistika klasik, yang menunjukkan peluruhan Gaussian. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa fungsi  korelasi  posisi  untuk  sistem  partikel  yang  bergerak  pada lingkaran, dan  memiliki  energi  rata-rata  tertentu,  dapat  ditulis  dalam  bentuk  yang  menunjukkan  sifat transformasinya.  Kemudian dengan menggunakan  rumus  penjumlah  Poisson untuk merepresentasikan 𝐹(𝑧) ,  ekspresi  ditulis  ulang  untuk mengaktifkan  limit ℏ → 0 yang  akan  diambil. Akhirnya diperoleh bahwa  fungsi  korelasi  menjadi  identik  dengan  bentuk  yang  diberikan  oleh  mekanika statistik  klasik,  yang menunjukkan  peluruhan  gaussian.
Kata kunci: Model cincin; Fungsi Korelasi; Penjumlahan Poisson; Integral Parsial Gaussian; Mekanika Statistika Klasik

## ABSTRACT
[Title: Analysis of Classic and Quantum Correlation Functions for Ring Models: A Review] A review of the journal entitled 'Classical And Quantum Correlation Functions For A Ring Model' has been carried out which discusses the solutions of classical and quantum correlation functions for the ring model. Classical and quantum correlation functions are derived for systems of  non- interacting particles moving in a circle. demonstrated that the decay behavior of the classical expression for the correlation function can be recovered from a strictly periodic quantum mechanical expression by taking the limit ℏ→ 0, after the appropriate transformation. The aim of this study is to present clearly and in detail how the position correlation function for a system of particles moving  in a circle having a certain average energy and written in a form which shows the nature of the transformation. Next, we examine the use of Poisson addition to represent F(z), and how the correlation function becomes identical to the form given by classical statistical mechanics, which exhibits Gaussian decay. The results of this study indicate that the positional correlation function for a system of particles moving in a circle, and having a certain average energy, can be written in a form which shows the nature of the transformation. Then using the Poisson addition formula to represent F(z), the expression is rewritten to enable the limit ℏ→ 0 to be taken. It was finally found that the correlation function became identical to the form given by classical statistical mechanics, which exhibits a Gaussian decay.
Keywords: Ring model; Correlation Function; Poisson addition; Gaussian Partial Integral; Classical Statistical Mechanics

## PENDAHULUAN
Teori  fundamental  yang  mendeskrisikan sifat  fisik  alam  pada  skala  yang  sangat  kecil  serta merupakan  dasar  dari  fisika  kuantum,  dan  teori medan  kuantum  merupakan  mekanika  kuantum. Partikel  dalam  cincin  satu  dimensi  identik  dengan partikel  dalam  kotak  pada  mekanika  kuantum. Sebuah  model  gas  tidak  berinteraksi  terbatas  yang bergerak  pada  keliling  lingkaran,  menurut  Frisch merupakan model atom cincin ( HL Frisch, 1958 ).
Kita  dapat  mempelajari  perubahan  waktu  rata-rata partikel  pada  model  cincin  ini.  Dengan  demikian, dapat  ditetapkan bagaimana berbagai  rata-rata  pada kondisi awal tertentu mendekati nilai keseimbangan.
Dengan mempertimbangkan model Frisch, penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  untuk  evolusi waktu  dari  berbagai  operator  pada  persamaan mekanika  kuantum  dapat  diselesaikan  dengan  tepat dan  juga  dapat  membentuk  fungsi  korelasi  untuk operator.
Dalam  penelitian  ini,  peneliti  lebih mempertimbangkan model Frisch dan menunjukkan bahwa persamaan mekanika kuantum untuk evolusi waktu  dari  berbagai  operator  dapat  diselesaikan dengan tepat. Fungsi korelasi untuk operator ini juga dapat  dibentuk,  sedangkan  untuk  rumus penjumlahan  Poisson  dapat  digunakan  untuk menunjukkan bagaimana keadaan yang tampak antara sifat  periodik  yang  ketat  dari  solusi  kuantum  dan peluruhan ireversibel (tidak  dapat  diubah)  yang mencirikan  solusi  klasik  dapat  diselesaikan  dengan cara yang tepat.

## METODE
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah metode Hamiltonian. Dalam metode ini lebih memfokuskan  pada  penyelesaian  masalah-masalah yang  rumit  dengan  cara  yang  lebih  sederhana  dan sistematis.  Oleh  karena  itu,  metode  Hamiltonian adalah  metode  yang  tepat  untuk  menyelesaikan masalah  yang  sedang  diteliti  oleh  peneliti  yang diselesaikan dengan langkah-langkah yang sistematis dan  terperinci.  Berikut  langkah-langkah  dalam menganalisis  fungsi  korelasi  klasik  dan  kuantum untuk  model  cincin  yaitu:  menggunakan  rumus Hamiltonian  dalam  menentukan  solusi  untuk operator posisi yang dapat diturunkan dalam bentuk ekivalen,menggunakan  Hamiltonian  untuk  sistem yang menganggap N partikel titik tidak berinteraksi dengan  massa  identik m pada  lingkaran,  kemudian menentukan  matriks  kerapatan  menurut  prinsip entropi  maksimum,menentukan  estimasi  terbaik untuk nilai ekspektasi dari sembarang operator 𝐴(𝑡) , yaitu dalam mekanika klasik 𝐴(𝑡) ditentukan dengan cara  memecahkan  persamaan  gerak  Lagrange  atau Hamiltonian  dan  dalam  mekanika  kuantum 𝐴(𝑡) adalah  solusi  dari  persamaan  Heisenberg, menentukan fungsi korelasi 𝐶 1 dan 𝐶 2 menggunakan solusi  operator  untuk 𝑥(𝑡) ,  membuat  representasi alternatif  dengan  menggunakan  persamaan  Poisson dan  membalikkan  skala  waktu  yang  sesuai, menghasilkan  kesetaraan  yang  jelas  pada  bentuk pertama 𝐶 1 dan  bentuk  ke-dua 𝐶 1 menunjukkan peluruhan  Gaussian,  dan  membandingkan  ekspresi limit  klasik 𝐶 1 menggunakan  mekanika  statistik klasik  untuk  membuktikan  bahwa  limit  fungsi
korelasi 𝐶 1 dan 𝐶 2 adalah identik dan menunjukkan peluruhan Gaussian.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Analisis Model Cincin
Untuk  menghitung  Hamiltonian  pada partikel  bermassa m yang  terkurung  dalam  orbit melingkar  dengan  jari-jari R kita  dapat mentransformasikan  koordinat x dan y ke R dan 𝜙 dengan hasil tranformasi yang diperoleh
𝑥 = 𝑅 cos 𝜙 dan 𝑦 = 𝑅 sin 𝜙 .  (1)
Kemudian kita turunkan x dan y terhadap 𝑑𝑡 , maka didapatkan 𝑥̇ = 𝑅 𝜙̇ sin 𝜙 dan 𝑦̇ = −𝑅 𝜙̇ cos 𝜙 . Setelah itu kita akan menentukan nilai energi kinetik dengan mensubstitusikan nilai 𝑥̇ dan 𝑦̇ kedalam nilai 𝑣 sehingga
𝑇 = 1 2 𝑚𝑣 2 = 1 2 𝑚(𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 ) . (2)
Kemudian kita substitusikan nilai x dan y , dan karena sin 2 𝜙 + cos 2 𝜙 = 1 dan 𝑅 konstan,  kita dapatkan:
𝑇 = 1 2 𝑚 (𝑅 2 𝜙̇ 2 (sin 2 𝜙 + cos 2 𝜙)) . Energi kinetiknya menjadi:
𝑇 = 1 2 𝑚𝑅 2 𝜙̇ 2 . (3)
Selanjutnya,  kita  menghitung  Lagrange dengan  mengabaikan  potensialnya  dan  hanya berpengaruh  pada  koordinat 𝜙 maka 𝐻 = 𝑃 𝛼 𝜙̇ − 1 2 𝑚𝑅 2 𝜙̇ 2 .  Kita  dapatkan  nilai 𝑃 𝜙 = 𝑚𝑅 2 𝜙̇ atau
𝜙̇ = 𝑃 𝜙 𝑚𝑅 2 .  Selanjutnya  nilai 𝑃 𝜙 yang  diperoleh disubstitusikan ke persamaan sebelumnya menghasilkan 𝐻 = 1 2 𝑃 𝜙 2 𝑚𝑅 2 .  Karena  gerak  hanya terjadi pada sudut, 𝑃 𝜙 merupakan momentum sudut maka 𝑃 𝜙 = 𝐿 = −𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝜙 ,  maka  dapat  ditulis menjadi
𝐻 = 𝐿 2 2𝑚𝑅 2 . (4)
Dan ketika 𝜙 merupakan posisi sudut partikel, kita dapat  mengkomutasikan [𝜙, 𝐿] dan  mendapatkan hasilnya sama dengan 𝑖ℏ.
Untuk  operator E dapat  kita  defenisikan dengan 𝐸 = 𝑒 𝑖𝜙 harus  memenuhi [𝛦, 𝐿] = −ℏ𝛦 .
Ini dapat diselesaikan dengan menggunakan turunan parsial.  Pada  persamaan  gerak  Heisenberg  untuk operator E di  dapat  dengan  cara  mengkomutasikan
[𝐸, 𝐻] ,  dengan  menstubtitusikan  nilai 𝐻 seperti pada  persamaan  (4)  dengan 𝐿 merupakan momentum sudut menghasilkan
[𝐸, 𝐻] = −ℏ 2𝑚𝑅 2 (𝐸𝐿 + 𝐿𝐸) , (5)
dengan  solusi  formal,  kita  gunakan  persamaan  (5), maka  didapatkan 𝑙𝑛 𝐸 − 𝑙𝑛 𝐸 0 = 𝑖 2𝑚𝑅 2 2𝐿𝑡 .  Kita eksponensialkan  kedua  ruas  sehingga  menjadi 𝐸 =
𝐸 0 𝑒 𝑖 2𝑚𝑅2 2𝐿𝑡 atau dapat kita tulis menjadi
𝐸 = 𝑒 𝑖𝐿𝑡 2𝑚𝑅2 𝐸 0 𝑒 𝑖𝐿𝑡 2𝑚𝑅2 .          (6)
Operator E(t) juga  dapat  ditulis  dalam  bentuk alternatif,  yaitu 𝛦(𝑡) = 𝛦(0) 𝑖𝑡 𝑒 2𝑚𝑅2 (2𝐿 + ℏ) dan
𝛦(𝑡) = 𝛦(0) 𝑖𝑡 𝑒 2𝑚𝑅2 (2𝐿 − ℏ) 𝐸(0) . Untuk E dan solusi  yang  sesuai  untuk  adjoint  Operator 𝐸 † , ekspresi untuk operator posisi kartesius x = R cos ϕ dan y = R sin ϕ dapat kita turunkan dalam bentuk yang  setara  dengan  mendefenisikan  operator 𝐸 = 𝑒 𝑖𝜙 ,  maka  diperoleh 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ,  kemudian hasil yang diperoleh kita turunkan terhadap 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑦 ,  sehingga  kita  dapatkan, 𝑑𝑟 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑟 dan 𝑑𝑟 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑟 .
Kita turunkan hasil yang diperoleh terhadap 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑦 ,  untuk  mencari  fungsi 𝜙 maka  didapat 𝑑𝑟 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 𝜙 dan 𝑑𝑟 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝜙 ,  sehingga fungsi 𝜙 dari 𝑥 𝑟 menjadi 𝜙 = 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑦 𝑥 .Kemudian  kita  turunkan fungsi 𝜙 terhadap 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑦 , maka didapat 𝑑𝜙 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑟 dan 𝑑𝜙 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑟 .Kemudian  untuk  mencari
𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) kita  misalkan 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥(𝑡)   ; 𝜕𝑢 𝜕𝑟 = 𝑥(0); 1 𝑟 𝜕𝑢 𝜕𝜙 = 𝑦(0) dan 𝑑𝑢 𝑑𝑦 = 𝑦(𝑡)   ; 𝜕𝑢
𝜕𝑟 = 𝑥(0); 1 𝑟 𝜕𝑢
𝜕𝜙 = 𝑦(0) , maka hasil yang didapat,
𝑥(𝑡) = 𝑥(0) 𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑡 𝑚𝑅 2 − 𝑦(0) 𝑠𝑖𝑛 𝜙 dan 𝑦(𝑡) = 𝑦(0) 𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝑥(0) 𝑠𝑖𝑛 𝜙 . (7)
Dalam  model  cincin  kami  menganggap N partikel  titik  yang  tidak  berinteraksi  dengan  massa
identik m bergerak pada lingkaran dengan jari-jari R . Misalkan ϕi adalah  posisi  sudut  pada  lingkaran partikel i .  Hamiltonian  dari  sistem  ini,  di  mana 1 2𝑚𝑅 2 (𝐿 𝑖 2 + 𝐿 2 2 + ⋯ + 𝐿 𝑛 2 ) . Maka,
𝐻 = 1 2𝑚𝑅 2 ∑ 𝐿 𝑛 2 𝑖 , (8)
di  mana L i merupakan  momentum  sudut  dari partikel  ke i yang  diwakili  oleh 𝐿 𝑖 = −𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝜙 𝑖 . Karena  partikelnya  tidak  berinteraksi,  sehingga Hamiltonian sudah dapat dipisahkan dalam koordinat partikel.
Oleh  karena  itu,  dalam  menentukan  sifat sistem partikel N seperti energi rata-rata atau fungsi korelasi  posisi  untuk  pusat  massa,  adalah  mungkin untuk  menghilangkan  jumlah  di  atas  label  partikel. Dengan mempertimbangkan jika hanya satu partikel, tetapi memungkinkan posisi, energi, dll., ditentukan oleh fungsi distribusi tunggal atau matriks kepadatan partikel, rata-rata partikel tunggal dapat diatur sama dengan partikel N rata-rata. Jika, pada waktu t = 0 , yang dapat diketahui hanya tentang energi rata-rata total 𝐸̅ .
Jika N partikel  adalah 𝑁 = ∑ 𝑛 𝑖 𝑁 𝑖=1 ,  di mana 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 . Dengan probabilitas 𝑃 𝑖 = 𝑛 𝑖 𝑁 atau ∑ 𝑃 𝑖 = 1 ,  kita  gunakan  Stirling  dan mneghasilkan ∑ − 𝑙𝑛 𝑃 𝑖 𝑁 𝑖=1 + 𝛼 ∑ 𝑛 𝑖 𝑁 𝑖=1 + 𝛽 ∑ 𝐸 𝑖 𝑁 𝑖=1 = 0 ,  selanjutnya  kalikan  semua  ruas dengan 𝑃 𝑖 , kemudian dapat diturunkan terhadap 𝜕 𝜕𝑃 𝑖 , maka ∑ 𝑃 𝑖 = ∑ 𝑒 −𝛼 𝑒 −𝛽𝐸 𝑖 dapat  ditullis  menjadi
𝑒 −𝛼 = 1 ∑ 𝑒 −𝛽𝐸𝑖 𝑁 𝑖=1 .  Dengan 𝑃 𝑖 = 𝑒 −𝛽𝐸𝑖 ∑ 𝑒 −𝛽𝐸𝑖 𝑁 𝑖=1 ,  di mana 𝑧 = ∑ 𝑒 −𝛽𝐸 𝑖 ,  sehingga 𝑃 𝑖 = 1 𝑧 𝑒 −𝛽𝐸 𝑖 dan
𝜌 = ∑ 𝑃 𝑖 𝑁 𝑖=1 ⟨𝜓 𝑖 |𝜓 𝑖 ⟩ dengan ⟨𝜓 𝑖 |𝜓 𝑖 ⟩ = 1 → 𝑇 𝑟 ⟨𝜓 𝑖 |𝜓 𝑖 ⟩ = |𝛼| 2 + |𝛽| 2 = 1 .  Maka  defenisi matriks kepadatannya adalah
𝑧 = 𝑇 𝑟 (𝑒 −𝛽𝐸 ). (9)
Kemudian dengan memaksimalkan entropi
S  = 𝑇𝑟(𝜌 𝑙𝑛 𝜌) kita  dapat  menentukan  estimasi terbaik  untuk  nilai  ekspektasi  dari  sembarang operator 𝐴(𝑡) dengan  cara  ketika 𝐴 (0) = ∑ 𝑃 𝑖 ⟨𝜓 (𝑡) |𝐴 2 |𝜓 (𝑡) ⟩ maka 𝐴(𝑡) = 𝑇 𝑟 (𝜌 𝐴(𝑡)) . Kemudian pada mekanika klasik A(t) dapat ditemukan
dengan  memecahkan  Lagrangian  atau  Hamiltonian persamaan gerak. Kemudian pada mekanika kuantum
𝐴(𝑡) adalah solusi dari persamaan gerak Heisenberg yang dapat kita tuliskan menjadi:
𝛢(𝑡) = 𝑒 𝑖𝐻𝑡 ℏ 𝐴(0)𝑒 − 𝑖𝐻𝑡 ℏ . (10)

## Analisis Fungsi Korelasi
Fungsi korelasi dari operator 𝐴(𝑧) dengan 𝐴(0) dapat didefenisikan sebagai:
𝐶 1 (𝑧) = 〈𝐴(0)𝐴(𝑧)〉 = 𝑇𝑟[𝐴(0)𝐴(𝑧)𝜌(0)],
𝐶 2 (𝑧) = 〈𝐴(𝑧)𝐴(0)〉 = 𝑇𝑟[𝐴(𝑧)𝐴(0)𝜌(0)] (11)
di mana z merupakan variabel waktu yang kompleks.
Dengan menggunakan persamaan (9) dan (10), fungsi korelasi 𝐶 1 dapat  ditulis  dalam  bentuk 𝐶 1 (𝑧) =
𝑇 𝑟 [𝐴(0) 𝑒 𝑖𝐻𝑡 ℏ 𝐴(0)𝑒 −𝑖𝐻𝑡 ℏ 𝜌(0)] , dengan
|𝜓⟩ =𝑒 −𝑖𝐻𝑡 ℏ maka di peroleh
𝐶 1 (𝑧) = 𝑇𝑟 [ℯ 𝑖𝑧𝐻 ℏ 𝐴(0)ℯ − 𝑖𝑧𝐻 ℏ 𝐴(0)𝑒 −𝛽𝐻 ]. (12)
Sifat invariant dari 𝑇 𝑟 dibawah permutasi siklik dapat kita gunakan untuk menunjukkan bahwa pembilang
𝐶 1 (−𝑧) mengambil bentuk 𝐶 1 (−𝑧) =
𝑇 𝑟 𝐴(0) 𝑒 𝑖( 𝑧+𝑖ℏ𝛽 ℏ )𝐻 𝐴(0) 𝑒 −𝑖( −𝑧+𝑖ℏ𝛽 ℏ )𝐻 𝑒 −𝛽𝐻 .
Sehingga jika kita lihat pada persamaan (11) maka:
𝐶 1 (−𝑧) = 𝐶 1 (𝑧 + 𝛽ℏ) = 𝐶 2 (𝑧). (13)
Dapat  dilihat  bahwa  persamaan  (12)  dan (13)  adalah  sama.  Hubungan  antara  fungsi  korelasi diatas adalah model fungsi korelasi yang independen dan  valid  jika  matriks  kerapatan  awal  memiliki bentuk kanonik yang  diberikan oleh persamaan (9).
Solusi  operator  untuk 𝑥(𝑡) yang  diberikan  dalam persamaan (7) kita boleh masukkan dalam persamaan pertama  pada  persamaan  (11)  untuk  menghasilkan fungsi korelasi 𝑥(0) dengan 𝑥(𝑡) pada saat energi awal  ditentukan,  yaitu 𝐶 1 (𝑡) = 〈𝑥(0) 𝑥(𝑡)〉 =
𝑇𝑟[𝑥(0) 𝑥(𝑡) 𝑒 −𝛽𝐻 ] 𝑇𝑟[𝑒 −𝛽𝐻 ] .
Dasar yang tepat untuk evaluasi jejak adalah himpunan  keadaan  ortonormal,  jika 𝑥 = 𝑟 cos 𝜙 dan 𝑦 = 𝑟 sin 𝜙 ,  di  mana 𝑟 konstan  maka 𝐻 ̂ =
− ℏ 2 2𝑚 1 𝑟 2 𝜕 2 𝜕𝜙 2 .  Menghasilkan 𝑒 𝑖𝑛2𝜋 = cos 2𝑛𝜋 + 𝑖 sin 2𝑛𝜋 = 1 , di mana sin 𝑛𝜋 = 0 ; cos 2𝑛𝜋 = 1 ;  dan 𝑛 = 0, ±1, ±2, , … ,  maka  diperoleh 𝜓(𝜙) = 𝑛𝑒 𝑖𝑛𝜙 . Di mana 0 < 𝜙 <  2𝜋 , sehingga 𝑛 = 1 √2𝜋 .  Ini  merupakan  keadaan  eigen L dengan nilai eigen ℏn dan juga keadaan eigen dari H dengan nilai eigen 𝐸𝑛 = ℏ 2 𝑛 2 /2𝑚𝑅 2 .
Dari  solusi  untuk  operator 𝑥(𝑡) yang diberikan  dalam  persamaan  (7)  dapat  kita  gunakan untuk menulis 𝐶 1 dalam bentuk
𝐶 1 (𝑡) = 𝑅 2 2 𝐹(𝑡) 𝐹(0) , (14)
di  mana 𝐹(𝑡) =   𝑒 𝑖𝑡 2𝜏𝑏 ∑ 𝑒 − 𝜏𝑎 2𝜏𝑏 𝑛 2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝑡 𝜏 𝑏 ) ∞ 𝑛=−∞
dan kostanta waktu untuk 𝜏 𝑎 = ℏ𝛽 dan 𝜏 𝑏 = 𝑚𝑅 2 ℏ .
Kita  dapat  menunjukkan  bahwa 𝐹(𝑡) juga  dapat ditulis dalam bentuk 𝐹(𝑡) =
𝑒 − 𝜏𝑎 8𝜏𝑏 ∑ 𝑒 − 𝜏𝑎 2𝜏𝑏 (𝑛+1/2) 2 𝑐𝑜𝑠 [(𝑛 + 1/ ∞ 𝑛=−∞ 2) ( 𝑡−𝑖𝜏 𝑎 /2 𝜏 𝑏 )] , sehingga fungsi korelasi 𝐶 2 diberikan oleh 𝐶 2 (𝑡) = 〈𝑥(𝑡) 𝑥(0)〉 =   𝑒 𝑖𝑡 𝜏𝑏 𝐶 1 (𝑡) ,  dengan menggunakan ekspresi ini mudah untuk mengetahui bahwa 𝐶 2 (𝑡) = 𝐶 1 (−𝑡) = 𝐶 1 (𝑡 + 𝑖𝜏 𝑎 ) .Fungsi korelasi 𝐶 1 dan 𝐶 2 sangat  periodik  dengan  periode 𝜏 = 4𝜋𝜏 𝑏 dan  juga  terkait  fungsi  dengan  periode imajiner.Untuk menggambarkan ini, dipertimbangkan:
𝑔(𝑧) = 𝑒 𝑧2 2𝛼 ∑ 𝑒 − 𝛼 2 𝑛 2 ∞ 𝑛=−∞ 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧 , ini  mirip dengan  fungsi  Jacobi  theta.  Di  mana cos(𝑛𝑧) =
𝑒 𝑛𝑧 +𝑒 −𝑖𝑛𝑧
2 , maka: 𝑔(𝑧) = 1 2 ∑ [𝑒 − 𝛼 2 (𝑛− 𝑖𝑧 𝛼 ) 2 + ∞ 𝑛=−∞ 𝑒 − 𝛼 2 (𝑛+ 𝑖𝑧 𝛼 ) 2 ] , sehingga jelas bahwa 𝑔(𝑧 + 𝑖𝑚𝛼) =
𝑔(𝑧) .
Karena  indeks  penjumlahan  dapat  digeser oleh  bilangan  bulat  tanpa  mengubah  nilai tunggal,maka 𝑔(𝑧) periodik dengan periode imajiner iα dan 𝐹(𝑡) berhubungan  dengan 𝑔(𝑧) ,  maka
𝐹(𝑡) = 𝑒 𝑖𝑧 2 𝑒 − 𝑧2 2𝛼 𝑔(𝑧) , di mana, 𝑧 = 𝑡 𝜏 𝑏 dan 𝛼 = 𝜏 𝑎 𝜏 𝑏 .  Kemudian  kita  bangun  reprasentasi  alternatif untuk 𝐹(𝑧) ,  yaitu  rumus  penjumlahan  Poisson digunakan untuk menentukan
hasil
∑ 𝑒 − 𝛼 2 𝑛 2 𝑎 𝑛=𝑎 cos 𝑛𝑧 = √ 2𝜋 𝛼 ∑ 𝑒 − 1 2𝛼 (2𝑛𝜋+𝑧) 2 𝑎 𝑛=𝑎 ,
kita misalkan suatu fungsi 𝑓(𝑧) dengan:
𝑓(𝑧) = ∫ 𝑒 − 𝛼 2 𝑛 2 ∞ −∞ cos 𝑛𝑧  𝑑𝑛. (15)
Dari persamaan (15) kita gunakan integral Gaussian  dengan  cara  Feynman  menghasilkan
𝑓(𝑧) = ∫ 𝑛𝑒 − 𝛼 2 𝑛 2 ∞ −∞ sin(𝑛𝑧)  𝑑𝑛 .  Kita  selesaikan dengan  menggunakan  integral  parsial  dengan memisalkan
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 −
∫ 𝑣𝑑𝑢 diperoleh 𝑓 ′ (𝑧) = − 𝑧 𝛼 𝑓(𝛼) Dengan
𝑓 ′ (𝑧) = 𝑑𝑓 𝑑𝑧 , maka: 𝑑𝑓 𝑑𝑧 = − 𝑧 𝛼 𝑓  → 𝑑𝑓 𝑓 = − 𝑧 𝛼 𝑑𝑧 .
Integralkan kedua ruas untuk menghasilkan 𝑒 ln 𝑓 ln 𝐶1 = 𝑒 − 𝑧2 2𝛼 .  Maka  kita  dapatkan  nilai 𝑓(𝑧) nya  adalah
𝑓(𝑧) = 𝐶 𝑒 − 𝑧2 2𝛼 ,  ketika  kita  masukkan  nilai  yang didapat  ke  dalam  persamaan  (15)  di  mana 𝑧 = 0
dapat kita peroleh ∫ 𝑒 − 𝛼 2 𝑛 2 ∞ −∞ 𝑑𝑛 = 𝐶 . Dapat kita selesaikan  menggunakan  integral  parsial  Gaussian diperoleh hasil 𝐼 2 = ∫ ∫ 𝑒 −𝜆𝑟 2 ∞ −∞ ∞ −∞ . Kita misalkan bahwa 𝑑𝜃 = 𝑦 𝑟 , 𝑑𝛼 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ,  dan 𝑦 = 𝑟𝑑𝜃 ,
maka  didapatkan 𝐼 2 = ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 ∫ 𝑒 −𝜆𝑟 2 ∞ 0 𝑟 𝑑𝑟 =
2𝜋 ∫ 𝑒 −𝜆𝑟 2 ∞ 0 𝑑𝑟 .  Kemudian  kita  substitusikan dengan  pemisalan 𝑢 = 𝑟 2 , 𝑑𝑢 𝑑𝑟 = 2𝑟 ,  maka  di peroleh 𝐼 2 = 𝜋 𝜆 (0 + 1) = 𝜋 𝜆 .  Jadi  nilai 𝐼 yang dihasilkan,  yaitu: 𝐼 = √ 𝜋 𝜆 .  Dan  jika 𝜆 = 𝛼 2 ,  di dapatkan: 𝐶 = √ 2𝜋 𝛼 ,  maka 𝑓(𝑧) = √ 2𝜋 𝛼 𝑒 − 𝑧2 2𝛼 , sehingga 𝑧 = 2𝑛𝜋 + 𝑧 . Kita mendapat hasil:
𝑓(𝑧) = √ 2𝜋 𝛼 𝑒 − 1 2𝛼 (2𝑛𝜋+𝑧) 2 . (16)
Dengan  menggunakan  persamaan  (16),
𝑓(𝑧) juga  dapat  di  tuliskan  sebagai 𝐹(𝑧) =
𝑒 𝑖𝑧 2 𝑒 − 1 2𝛼 𝑧 2 ∑ 𝑒 − 2 𝛼 𝑛 2 𝜋 2 ∞ 𝑛=−∞ 𝑒 − 2 𝛼 𝑛𝜋𝑧 .  Pada  saat mengembalikan  skala  waktu  yang  sesuai,  fungsi korelasi  kemudian  dapat  ditulis  dalam  salah  satu bentuk yang setara yaitu;
𝐶 1 (𝑡) =   𝐶 1 (0)𝑒 𝑖𝑡 2𝜏𝑏 ∑ 𝑒 − 𝜏𝑎 2𝜏𝑏 𝑛2 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑡 𝜏𝑏 ∞ 𝑛=−∞ ∑ 𝑒 − 𝜏𝑎 2𝜏𝑏 𝑛2 ∞ 𝑛=−∞ (17)
𝐶 1 (𝑡) = 𝐶 1 (0)𝑒 𝑖𝑡 2𝜏 𝑏 𝑒 − 𝑡2 2𝜏𝑎𝜏𝑏 ∑ 𝑒 − 2𝜏𝑏 𝜏𝛼 𝑛2𝜋2 𝑒 − 2𝑡 𝜏𝛼 𝑛𝜋 ∞ 𝑛=−∞
∑ 𝑒 − 2𝜏𝑏 𝜏𝛼 𝑛2𝜋2 ∞ 𝑛=−∞ (18)
Ini  merupakan  kesetaraan  yang  luar  biasa.  Pada ekspresi pertama karakter periodik 𝐶 1 tampak jelas, sedangkan  pada  bentuk  kedua 𝐶 1 tampak menunjukkan peluruhan Gaussian. Penjelasan untuk ciri khas ini dapat ditemukan dengan mencatat bahwa karena  jumlah  atas n berjalan  dari −∞ ke ∞ ,  ini memiliki suku yang menurun secara eksponensial dan berkembang secara eksponensial. Jika kita perhatikan limit ℏ → 0 maka, kita dapatkan 𝜏 𝛼 = ℏ𝛽 → 0 dan
𝜏 𝑏 = 𝑚𝑅 2 ℏ → 0 , akan tetapi 𝜏 𝛼 𝜏 𝑏 = 𝑚𝑅 2 𝛽.
Oleh  karena  itu,  pada  limit  yang ℏ → 0 , satu-satunya suku yang tidak hilang pada persamaan (18)  adalah  suku  dengan n = 0 dan  kita  dapat simpulkan bahwa
𝑙𝑖𝑚 ℏ→0 𝐶 1 (𝑡) = 𝐶 1 (0)𝑒 − 𝑡2 2𝛽𝑚𝑅2 , (19)
𝑙𝑖𝑚 ℏ→0 𝐶 2 (𝑡) = 𝐶 1 (0)𝑒 − 𝑡2 2𝛽𝑚𝑅2 . (20)
Jadi  dalam  limit  klasik  fungsi  korelasi 𝐶 1 dan 𝐶 2 adalah identik dan menunjukkan peluruhan Gaussian. Sedangkan jika pada saat 𝑡 = 0 , maka nilai lim ℏ→0 𝐶 1 (𝑡) = 𝐶 1 . Ini mennjukkan bahwa persamaan diatas hanya bergantung pada nilai fungsi 𝛽, 𝑅 dan 𝑡 .
Setidaknya  dalam  model  ini,  periodisitas yang  ketat  dari  ekspresi  kuantum  untuk  fungsi korelasi  dan  peluruhan  yang  tampaknya  ireversibel yang  ditunjukkan  oleh  ekspresi  klasik  direkonsiliasi sepenuhnya dalam limit ℏ → 0 .
Analisis Mekanika Statistika Klasik
Dengan  melihat  sistem  yang  sama  pada suatu  partikel  identik  tidak  berinteraksi  bergerak pada  suatu  orbit  melingkar,  dengan  energi  rata- ratanya  ditentukan 𝑡 = 0 ,  maka  Hamiltoniannya sama  dengan  persamaan  (1)  sampai  (4).  Dengan matriks  kerapatan  diberikan  oleh  persamaan  (9), maka 𝑍 = 2𝜋 ∫ 𝑒 −𝛽𝐻 ∞ −∞ 𝑑𝑙 .  Maka  diperoleh persamaan Hamiltoniannya yang mengarahkan pada solusi 𝑙 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝜙 (𝑡) = 𝜙 + 𝑙𝑡 𝑚𝑅 2 , sehingga:
𝑥(𝑡) = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜙(𝑡) = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 (𝜙 + 𝑙𝑡 𝑚𝑅 2 ). (21)
Maka  fungsi  korelasi  yang  di  dapatkan  adalah
𝐶 1 (𝑡) = ∫ ∫ 𝑥(0) 𝑥(𝑡)𝑒 − 𝛽𝑙2 2𝑚𝑅2 ∞ −∞ 𝑑𝜙 𝑑𝑙 2𝜋 0
2𝜋 ∫ 𝑒 − 𝛽𝑙2 2𝑚𝑅2 𝑑𝑙 ∞ −∞
, yang
kemudian  dapat  kita  tuliskan  kedalam  bentuk  lain menjadi:
𝐶 1 (𝑡) = 𝑅 2 ∫ cos 2 𝜙 2𝜋 2 𝑑𝜙 ∫ 𝑒 − 𝛽𝑙2 2𝑚𝑅2 𝛼 −𝛼 cos( 𝑖𝑙𝑡 𝑚𝑅2 ) 𝑑𝑙
2𝜋 ∫ 𝑒 𝛽𝑙2 2𝑚𝑅2 𝛼 −𝛼 𝑑𝑙 . (22)
Selanjunya  kita  akan  mencari  hasil  dari  masing- masing bagian yaitu, yang pertama mencari hasil dari
∫ 𝑒 − 𝛽𝑙2 2𝑚𝑅2 𝛼 −𝛼 cos ( 𝑖𝑙𝑡 𝑚𝑅 2 )  𝑑𝑙 = 𝑓(𝛼) . Dengan memisalkan
𝛼 = 𝑙𝑡 2𝑚𝑅 2 dan 𝜆 = 𝛽 2𝑚𝑅 2 .                                 (23)
Diperoleh 𝑓(𝛼)′ = ∫ 𝑑 𝑑𝛼 ∞ −∞ 𝑒 −𝜆𝑙 2 cos(𝑙𝛼) 𝑑𝑙 dan
𝑓(𝛼)′ = − ∫ 𝑙 ∞ −∞ 𝑒 −𝜆𝑙 2 sin(𝑙𝛼) 𝑑𝑙 .
Kita dapat menyelesaikan dengan mengintegral  parsialkan,  yaitu  ketika  kita memisalkan ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 .  Maka  nilai 𝑓(𝛼)′ yang  di  dapat  adalah 𝑓(𝛼) ′ = − 𝛼 2𝜆 𝑓(𝛼)
dengan 𝑑 𝑑𝛼 𝑓(𝛼) = − 𝛼 2𝜆 𝑓 , dapat kita integralkan
kedua ruas dan menghasilkan 𝑒 ln 𝑓 𝐶 = 𝑒 − 𝛼2 4𝜆 , dengan
𝑓 𝐶 = 𝑒 − 𝛼2 4𝜆 → 𝑓(𝛼) = 𝐶𝑒 − 𝛼2 4𝜆 ,  maka: 𝑓(𝛼) =
∫ 𝑒 −𝜆𝑙 2 𝑑𝑙 ∞ −∞ .  Kemudian  kita  gunakan  persamaan (2) dan hasil dari itu kita integralkan mendapatkan:
∫ 𝑒 𝛽𝑙2
2𝑚𝑅2 ∞ −∞ 𝑑𝑙 = √ 𝜋 𝛽 2𝑚𝑅2 = 𝑅√ 2𝑚𝜋 𝛽 . (24)
Langkah ke dua kita mencari nilai
𝑅 2 ∫ cos 2 𝜙 2𝜋 2 𝑑𝜙 .  Di  mana cos 2 𝜙 = cos 2𝜙+1 2 kita dapat mengintegralkan dengan mengambil batas
0 → 2𝜋 dan menghasilkan 𝜋𝑅 2 . Jika kita masukkan nilai yang didapat dari langkah 1 dan 2 maka:
𝐶 1 (𝑡) = 𝑅 . √ 2𝜋𝑚 𝛽 𝑒 − 𝑡2 2𝛽𝑚𝑅2 . 𝜋𝑅 2 2𝜋. 𝑅√ 2𝜋𝑚 𝛽 = 1 2 𝑅 2 𝑒 − 𝑡2 2𝛽𝑚𝑅2
Dapat  kita  simpulkan  bahwa  hasil  yang diperoleh  pada  persamaan  ini  sesuai  dengan persamaan  yang  diturukan  sebelumnya  jika  pada persamaan (22) 𝑡 = 0 . Maka karakter periodik dari
𝐶 1 tampak  jelas  dan  menunjukkan  peluruhan Gaussian.
Terlihat  dari  rangkaian  analisis  didapatkan jika matriks kerapatan awal memiliki bentuk kanonik serta  solusi  operator  untuk 𝑥(𝑡) yang  diberikan menghasilkan fungsi korelasi 𝑥(0) dengan 𝑥(𝑡) pada saat  energi  awal  ditentukan,  maka  fungsi    korelasi posisi  untuk  sistem  partikel  yang  bergerak  pada lingkaran,  yang  memiliki  energi  rata-rata  tertentu, dapat  ditulis  dalam  bentuk  yang  menunjukkan  sifat transformasinya yaitu:
𝐶 1 (𝑡) = 〈𝑥(0) 𝑥(𝑡)〉 = 𝑇𝑟[𝑥(0) 𝑥(𝑡) 𝑒 −𝛽𝐻 ] 𝑇𝑟[𝑒 −𝛽𝐻 ] .
Untuk  merepresentasikan 𝐹(𝑧) ,  pada awalnya  kita  menggunakan  penjumlahan  Poisson kemudian untuk penyelesaiannya kita menggunakan Integral  Parsial-Gaussian  untuk  menentukan  hasil
𝐹(𝑧) ,  di  mana 𝑧 = 0 ,  dengan 𝜆 = 𝛼 2 maka  nilai
𝐹(𝑧) nya adalah :
𝐹(𝑧) = √ 2𝜋 𝛼 ∑ 𝑒 − 1 2𝛼 (2𝑛𝜋+𝑧) 2 ∞

## 𝑛=−∞
Pada saat menggunakan mekanika statistika klasik,  fungsi  korelasi  menjadi  identik  dan menunjukkan peluruhan Gaussian ketika energi rata-
rata pada kondisi 𝑡 = 0 , dengan matriks kerapatan yang diberikan 𝜌 = 1 𝑍 𝑒 −𝛽𝐻 yang mengarahkan pada solusi  momentum  sudutnya  konstan  dan 𝜙(𝑡) = 𝜙 + 𝑙𝑡 𝑚𝑅 2 , maka 𝑥(𝑡) = 𝑅 cos 𝜙(𝑡) =
𝑅 cos (𝜙 + 𝑙𝑡 𝑚𝑅 2 ) , sehingga ketika kita melakukan evaluasi integral pada persamaan (22) menghasilkan:
𝐶 1 (𝑡) = 1 2 𝑅 2 𝑒 − 𝑡2 2𝛽𝑚𝑅2

## KESIMPULAN DAN SARAN
Hasil  dari  penelitian  ini  menunjukkan bahwa  fungsi  korelasi  posisi  untuk  sistem  partikel yang bergerak pada  lingkaran, dan memiliki energi rata-rata  tertentu,  dapat  ditulis  dalam  bentuk  yang menunjukkan  sifat  transformasinya.  Dengan menggunakan rumus jumlah Poisson, ekspresi ditulis ulang untuk Mengaktifkan limit ℏ → 0 yang akan diambil. Akhirnya menunjukkan bahwa dalam limit tersebut  fungsi  korelasi  menjadi  identik  dengan bentuk yang diberikan oleh mekanika statistik klasik, yang  menunjukkan  peluruhan  gaussian.  Pada penelitian  ini  difokuskan  pada  perhitungan  dengan menggunakan penedekatan mekanika klasik sehingga disarankan untuk pembaca yang ingin mengembangkan  bisa  mencoba  menggunakan pendekatan mekanika kuantum.

## DAFTAR PUSTAKA
A. Hobson dan DL Loomis. (1958). No Title . Phys.
Wahy .
A.A., M. G. (n.d.). fisika statistik 1 .
Buck,  B.,  &  Sukumar,  C.  V.  (2021). Classical  and Quantum Correlation Functions for a Ring Model.
Cox,  H.  (2002).  Problems  and  solutions  to accompany  McQuarrie  and  Simon  Physical chemistry. Chemistry: A Molecular Approach .
E.  T.  Jaynes,  Papers  on  probability,  statistics  and statistical physics, Synthese Library,
Vol.158 (ed. R. D. Rosenkrantz), Reidel, Dordrecht (1983).
Hadi, M.(2020). Dasar-Dasar Mekanika Klasik .68
HL Frisch. (1958). No Title . Phys. Puta .
P.  M.  Morse  and  H.  Feshbach,  Methods  of Theoretical  Physics,  Part  I,  New  York: McGraw-Hill, 466-7 (1953).
Pandiangan,  P.  (n.d.).  Tinjauan  Ulang  Konsep
Mekanika Klasik.
Sethna,  J.  P.  (2006).  Correlations,  response,  and dissipation.  Statistical  Mechanics:  Entropy, Order Parameters, and Complexity. Oxford University Press., Chapter 10.
Sianipar, S. R. (2017). Statistik Maxwell-Boltzmann &  Interpretasi  Statistik  tentang  Entropi.
Retrieved from https://www.slideshare.net/Samantars17/s tatistik-maxwellboltzmann-interpretasi- statistik-tentang-entropi