## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

## Klasifikasi Aljabar Lie Forbenius-Quasi dari Aljabar Lie Filiform Berdimensi ≤ 5

## Putri Nisa Pratiwi, Edi Kurniadi, dan Firdaniza Firdaniza

## Volume 6, Issue 1, Pages 11–15, February 2024
Submit 17 Oktober 2023, Direvisi 11 November 2023, Disetujui 17 November 2023 To Cite this Article : P. N. Pratiwi, E. Kurniadi, dan F. Firdaniza,“Klasifikasi Aljabar Lie Forbenius-Quasi dari Aljabar Lie Filiform Berdimensi ≤ 5 ”, Jambura J. Math , vol. 6, no. 1, pp. 11–15, 2024, https://doi.org/10.37905/jjom.v6i1.22481
© 2024 by author(s)

## JOURNAL INFO • JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index Ǽ Journal Abbreviation : Jambura J. Math. Х Frequency : Biannual (February and August) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.37905/jjom ʢ Online ISSN : 2656-1344 ǽ Editor-in-Chief : Hasan S. Panigoro Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ƒ Country : Indonesia ̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/oai  Google Scholar ID : iWLjgaUAAAAJ Ͳ Email : info.jjom@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Biomathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics EULER : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains, dan Teknologi

## Klasifikasi Aljabar Lie Forbenius-Quasi dari Aljabar Lie Filiform Berdimensi ≤
5
Putri Nisa Pratiwi 1 , ∗ , Edi Kurniadi 1  , dan Firdaniza Firdaniza 1 
1 Departemen Matematika, Universitas Padjadjaran, Indonesia
ABSTRAK. Dalam penelitian ini dipelajari tentang aljabar Lie Frobenius-quasi real dan aljabar Lie filiform berdi- mensi ≤ 5 . Penelitian ini bertujuan untuk menetapkan klasifikasi aljabar Lie filiform berdimensi ≤ 5 ke dalam aljabar Lie Frobenius-quasi real. Metode yang digunakan adalah dengan mengkonstruksi skew-symmetric 2-form pada aljabar Lie real yang nondegenerate 2-cocycle. Hasil yang diperoleh adalah terdapat suatu kelas aljabar Lie filiform berdimensi ≤ 5 yang termasuk ke dalam aljabar Lie Frobenius-quasi real. Untuk selanjutnya, penelitian ini dapat dikembangkan untuk mengklasifikasikan aljabar Lie filiform berdimensi lebih tinggi ke dalam aljabar Lie Frobenius-quasi real.
ABSTRACT. In this research, we studied quasi-Frobenius Lie algebras and filiform Lie algebras of dimensions ≤ 5 over real field. The primary objective of this research is to classify the classification of filiform Lie algebras of dimensions ≤ 5 into quasi-Frobenius Lie algebras. The method employed in this research involves constructing a skew-symmetric 2-form in real Lie algebra which also a nondegenerate 2-cocycle. The outcomes of this research reveal that there exists a class of filiform Lie algebras of dimensions ≤ 5 that can be classified as a quasi-Frobenius real Lie algebra. Furthermore, this research can be developed to classify higher dimensional filiform Lie algebras as quasi-Frobenius real Lie algebras.
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of JJBM: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Aljabar Lie ditemukan pada akhir abad ke-19 oleh seo- rang matematikawan asal Norwegia bernama Marius Sophus Lie. Penelitian mengenai aljabar Lie sudah banyak dilakukan, seperti klasifikasi aljabar Lie nilpoten berdimensi ≤ 7 oleh Michele Vergne yang sekaligus memperkenalkan aljabar Lie fil- iform dan mengklasifikasikannya hingga dimensi 6 [1] . Secara umum, aljabar Lie filiform berdimensi n memiliki adapted basis { x 1 , x 2 , . . . , x n } dan bracket tak nol [ x 1 , x j ] = x j − 1 untuk se- tiap 3 ≤ j ≤ n [2] . Namun, klasifikasi aljabar Lie filiform atas lapangan kompleks baru diperoleh sampai dimensi ≤ 12 [3– 5] . Klasifikasi aljabar Lie filiform dapat dipelajari lebih lanjut, seperti klasifikasi aljabar Lie filiform symplectic kompleks berdi- mensi ≤ 10 beserta semua symplectic form -nya [6] .
Aljabar Lie symplectic dapat disebut juga sebagai aljabar Lie Frobenius-quasi [7] . Suatu aljabar Lie dikatakan symplectic atau Frobenius-quasi jika terdapat skew-symmetric 2- form yang nonde- generate dan 2- cocycle [8] . Symplectic form suatu aljabar Lie di- tunjukkan di dalam beberapa penelitian, seperti symplectic form untuk aljabar Lie berdimensi 4 [9] , complex symplectic form un- tuk aljabar Lie nilpoten [10] , symplectic form untuk 3-Lie algebras [11] , gambaran eksplisit mengenai free nilpotent Lie algebras yang memiliki symplectic form [12] , symplectic form untuk aljabar Lie fil-
∗ Penulis Korespondensi.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Submit 17 Oktober 2023
Direvisi 11 November 2023 Disetujui 17 November 2023

## KATA KUNCI
Aljabar Lie filiform Aljabar Lie Frobenius-quasi
Nondegenerate 2- cocycle

## KEYWORDS
Filiform Lie Algebra Quasi-Frobenius Lie Algebra Nondegenerate 2-cocycle
iform [13, 14] , dan symplectic form pada characteristically nilpotent Lie algebras (CNLAs) termasuk filiform CNLAs berdimensi ≤ 14 [7] . Symplectic form untuk aljabar Lie filiform berdimensi 4 secara eksplisit didefinisikan oleh Pham [8] sebagai
β = x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 + x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 (1)
dimana { x ∗ 1 , x ∗ 2 , x ∗ 3 , x ∗ 4 } merupakan basis dual dan β memenuhi kondisi Frobenius-quasi. Untuk membuktikannya, perlu ditunjukkan bahwa β merupakan bentuk skew-symmetric 2- form yang nondegenerate dan 2- cocycle .
Berbeda dari penelitian sebelumnya, pada penelitian ini diberikan pembuktian secara detail bahwa aljabar Lie filiform berdimensi 4 merupakan Frobenius-quasi. Kemudian diperiksa apakah aljabar Lie filiform berdimensi 3 dan 5 merupakan Frobenius-quasi. Selain itu, dijelaskan mengenai konstruksi skew- symmetric 2- form untuk aljabar Lie filiform berdimensi ≤ 5 .

## 2. Metode
Metode yang digunakan adalah metode penelitian kualitatif berupa studi literatur yang mengacu pada [8] serta beberapa ar- tikel lainnya yang terkait dengan aljabar Lie Frobenius-quasi dan aljabar Lie filiform. Metode yang digunakan untuk mengklasi- fikasikan aljabar Lie Frobenius-quasi dari aljabar Lie filiform berdi- mensi ≤ 5 adalah dengan mengonstruksi 2- form dari dua 1- form
Email : putri20003@mail.unpad.ac.id (P. N. Pratiwi) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index / E-ISSN : 2656-1344 © 2024 by the Author(s).
berbeda yang nondegenerate dan 2- cocycle . Berikut diberikan be- berapa landasan teori yang merujuk pada [8] untuk membuktikan hasil penelitian.
Definisi 1. [15] Misalkan V suatu ruang vektor berdimensi n den- gan basis B = { e 1 , . . . , e n } dan B ∗ = { ε 1 , . . . , ε n } basis untuk V ∗ dual dari B . Untuk 1 ≤ i 1 , . . . , i k ≤ n , definisikan k-form pada V sebagai
( ε i 1 ∧ · · · ∧ ε i k ) ( v 1 , . . . , v k ) = ε i 1 ( v 1 ) · · · ε i 1 ( v k ) .. . . .. .. . ε i k ( v 1 ) · · · ε i k ( v k ) (2)
untuk setiap v 1 , . . . , v k ∈ V .
Definisi 2. [15] Misalkan V suatu ruang vektor berdimensi n den- gan basis B = { e 1 , . . . , e n } dan B ∗ = { ε 1 , . . . , ε n } basis un- tuk V ∗ . Penjumlahan 2-form pada V untuk 1 ≤ i 1 , . . . , i k ≤ n didefinisikan sebagai
ε i 1 ∧ ε i 2 + · · · + ε i k − 1 ∧ ε i k ( v 1 , v 2 ) = ( ε i 1 ∧ ε i 2 )
( v 1 , v 2 ) + · · · + ε i k − 1 ∧ ε i k ( v 1 , v 2 ) (3)
untuk setiap v 1 , v 2 ∈ V .
Teorema 1. [16] Misalkan g aljabar Lie atas lapangan R dengan basis S = { x 1 , . . . , x n } dan β skew-symmetric 2-form pada g . β dikatakan nondegenerate jika dan hanya jika untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ n berlaku
| M | = β ( x 1 , x 1 ) β ( x 1 , x 2 ) · · · β ( x 1 , x j ) β ( x 2 , x 1 ) β ( x 2 , x 2 ) · · · β ( x 2 , x j ) .. . .. . . .. .. .
β ( x i , x
1 ) β ( x i , x
2 ) · · · β ( x n , x n ) ̸ = 0 . (4)
Bukti . ( ⇒ ) β nondegenerate , menurut Definisi 1 jika u ∈ g den- gan β ( u , v ) = 0 untuk setiap v ∈ g , maka u = 0 . Un- tuk menunjukkan bahwa | M | ̸ = 0 , klaim matriks persegi M = ( β ( x i , x j )) , 1 ≤ i, j ≤ n, sebagai matriks representasi untuk β . Sehingga β ( u , v ) = v T M u = 0 , maka v T M u = 0 ∀ v ∈ g ⇔ M u = 0 . Karena β nondegenerate , maka M u = 0 dipenuhi oleh u = 0 artinya M invertible . Karena M invertible , maka | M | ̸ = 0 . ( ⇐ ) Sebaliknya, | M | ̸ = 0 , artinya matriks M invert- ible . Untuk menunjukkan β nondegenerate , terlihat jelas bahwa β ( u , v ) = v T M u = 0 ⇒ v T M u = 0 . Karena M invertible , maka M u = 0 hanya dipenuhi oleh u = 0 .
Definisi 3. [8] Misalkan g adalah aljabar Lie dan β skew- symmetric 2-form pada g . β dikatakan 2-cocycle pada aljabar Lie g jika memenuhi
β ([ x , y ] , z )+ β ([ y , z ] , x )+ β ([ z , x ] , y ) = 0 , ∀ x , y , z ∈ g . (5)
Definisi 4. [8] Suatu aljabar Lie Frobenius-quasi atas R adalah pasangan ( g , β ) dengan g aljabar Lie atas R dan β suatu nonde- generate 2-cocycle pada aljabar Lie yang bernilai real.
Selanjutnya, langkah-langkah yang dilakukan dalam peneli- tian adalah:
1. Tentukan aljabar Lie yang digunakan, yaitu aljabar Lie fili- form berdimensi n , dengan n ≤ 5 .
2. Tentukan skew-symmetric 2- form , yaitu β . Untuk menen- tukan 2- form , pilih dua 1- form yang berbeda lalu operasikan dengan wedge product yang didefinisikan dalam Definisi 1. Dalam hal ini, 1- form merupakan dual basis dari aljabar Lie filiform berdimensi n , dengan n ≤ 5 .
3. Periksa apakah β memenuhi sifat nondegenerate menggu- nakan Teorema 1.
4. Periksa apakah β memenuhi kondisi 2- cocycle menggunakan Definisi 3.
5. Klasifikasikan aljabar Lie Frobenius-quasi dari aljabar Lie fil- iform berdimensi n , dengan n ≤ 5 .

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini, ditunjukkan hasil utama yang merupakan pembuktian detail dari [8] , yaitu bahwa aljabar Lie filiform berdi- mensi 4 adalah Frobenius-quasi. Selain itu, diperiksa apakah al- jabar Lie filiform berdimensi 3 dan 5 merupakan Frobenius-quasi. Misalkan g n aljabar Lie filiform standar dan nonstandar berdi- mensi ≤ 5 dengan bracket tak nolnya adalah
g 3 : [ x 1 , x 2 ] = x 3 , (6)
g 4 : [ x 1 , x 2 ] = x 3 , [ x 1 , x 3 ] = x 4 , (7)
g 5 : g 1 5 : [ x 1 , x i ] = x i +1 , untuk i = 2 , 3 , 4 g 2 5 : [ x
1 , x i ] = x i +1 , i = 2 , 3 , 4 dan [ x 2 , x 3 ] = x 5 . (8)
Proposisi 1. Misalkan g 3 aljabar Lie filiform berdimensi 3 den- gan basis B 3 = { x 1 , x 2 , x 3 } dan bracket Lie tak nolnya didefin- isikan oleh persamaan (6) . Misalkan β sebagai skew-symmetric 2-form pada g 3 , maka untuk setiap β , pasangan ( g 3 , β ) bukan aljabar Lie Frobenius-quasi.
Bukti . Jelas bahwa g 3 berdimensi ganjil, maka g 3 tidak memi- liki symplectic form . Hal ini disebabkan oleh setiap 2- form yang mungkin pada g 3 tidak memenuhi sifat nondegenerate . Untuk menunjukkannya, konstruksi β sebagai 2- form untuk g 3 den- gan memilih dua 1- form berbeda yang dioperasikan dengan wedge product . Diberikan 1- form yaitu B ∗ 3 = { x ∗ 1 , x ∗ 2 , x ∗ 3 } , se- hingga konstruksi 2- form yang mungkin ada pada g 3 adalah β = Span { x ∗ 1 ∧ x ∗ 2 , x ∗ 1 ∧ x ∗ 3 , x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 } . Wedge product yang didefin- isikan oleh Definisi 1 menjelaskan bahwa setiap 2- form x ∗ i ∧ x ∗ j pasti skew-symmetric berdasarkan sifat fungsi determinan matriks.
Dengan kata lain, β = Span { x ∗ 1 ∧ x ∗ 2 , x ∗ 1 ∧ x ∗ 3 , x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 } meru- pakan skew-symmetric 2- form untuk g 3 .
Selanjutnya, misalkan β = Span { x ∗ 1 ∧ x ∗ 2 , x ∗ 1 ∧ x ∗ 3 , x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 } = Span { ω 1 , ω 2 , ω 3 } dan M 1 , M 2 , M 3 adalah matriks repre- sentasi untuk masing-masing ω 1 , ω 2 , ω 3 . Berdasarkan Teorema 1, perhatikan bahwa
M 1 =   0 1 0 − 1 0 0 0 0 0   , M 2 =   0 0 1 0 0 0 − 1 0 0   , M 3 =   0 0 0 0 0 1 0 − 1 0   .
Misalkan M matriks representasi untuk β , maka berdasarkan Definisi 2 terlihat jelas bahwa setiap β di g 3 meng- hasilkan | M | = 0 sehingga β tidak nondegenerate. Dengan kata lain, setiap 2- form yang mungkin ada pada g 3 tidak memenuhi sifat nondegenerate . Oleh karena itu, berdasarkan Definisi 4, pasangan ( g 3 , β ) bukan aljabar Lie Frobenius-quasi.
Proposisi 2. Misalkan g 4 aljabar Lie filiform berdimensi 4 dengan basis B 4 = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } dan bracket Lie tak nolnya didefin- isikan oleh persamaan (7) . Misalkan β sebagai skew-symmetric 2-form pada g 4 yang didefinisikan sebagai
β = x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 + x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 (9)
dengan B ∗ 4 = { x ∗ 1 , x ∗ 2 , x ∗ 3 , x ∗ 4 } . basis dual dari B 4 , maka pasangan ( g 4 , β ) merupakan aljabar Lie Frobenius-quasi.
Bukti . Dalam penelitian [8] telah diperoleh 2- form untuk aljabar Lie filiform g 4 dengan basis B 4 = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } dan basis dual B ∗ 4 = { x ∗ 1 , x ∗ 2 , x ∗ 3 , x ∗ 4 } , yaitu diberikan oleh persamaan (9) . Perlu dibuktikan bahwa β adalah skew-symmetric 2- form.
Berdasarkan Definisi 2, maka persamaan (9) dapat dinyatakan se- bagai,
β ( x i , x j ) = ( x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 + x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 ) ( x i , x j ) = ( x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 ) ( x i , x j ) + ( x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 ) ( x i , x j ) = x ∗ 1 ( x i ) x ∗ 1 ( x j ) x ∗ 4 ( x i ) x ∗ 4 ( x j ) + x ∗ 2 ( x i ) x ∗ 2 ( x j ) x ∗ 3 ( x i ) x ∗ 3 ( x j ) (10)
untuk setiap x i , x j ∈ g 4 dengan 1 ≤ i, j ≤ 4 . Berdasarkan sifat fungsi determinan suatu matriks, maka terbukti bahwa β merupakan skew-symmetric 2- form . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa β memenuhi kondisi nondegenerate dan 2- cocycle. Dengan menggunakan Teorema 1 diperoleh matriks representasi untuk β , yaitu
M =    
0 0 0 1 0 0 1 0 0
− 1 0 0 − 1 0 0 0 
   (11)
dan terlihat jelas bahwa | M | = 1 ̸ = 0 , maka β nondegenerate .
Selanjutnya, perlu dibuktikan bahwa kondisi 2- cocycle dipenuhi oleh β . Diketahui bahwa B 4 basis untuk g 4 , maka g 4 = Span B 4 sehingga sembarang elemen x , y , z ∈ g 4 dapat ditulis sebagai
  
  x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 = P 4 i =1 a i x i , { a i } 4 i =1 ∈ R , y = b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 = P 4 j =1 b j x j , { b j } 4 j =1 ∈ R , z
= c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 = P 4 k =1 c k x k , { c k } 4 k =1 ∈ R . (12)
Selanjutnya diperiksa apakah persamaan (5) terpenuhi.
β ([ x , y ] , z ) = β     4 X i =1 a i x i , 4 X j =1 b j x j   , 4 X k =1 c k x k   = β ( a 1 b 2 x 3 + a 1 b 3 x 4 − a 2 b 1 x 3 − a 3 b 1 x 4 , c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ) = ( x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 + x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 ) ( a 1 b 2 x 3 + a 1 b 3 x 4 − a 2 b 1 x 3 − a 3 b 1 x 4 , c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ) = x ∗ 1 ( k 1 ) x ∗ 1 ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ) x ∗ 4 ( k 1 ) x ∗ 4 ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ) + x ∗ 2 ( k 1 ) x ∗ 2 ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ) x ∗ 3 ( k 1 ) x ∗ 3 ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ) = 0 c 1 a 1 b 3 − a 3 b 1 c 4 + 0 c 2 a 1 b 2 − a 2 b 1 c 3 = a 3 b 1 c 1 − a 1 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 2 − a 1 b 2 c 2 . (13)
dengan
k 1 = a 1 b 2 x 3 + a 1 b 3 x 4 − a 2 b 1 x 3 − a 3 b 1 x 4 β ([ y , z ] , x ) = β     4 X j =1 b j x j , 4 X k =1 c k x k   , 4 X i =1 a i x i   = β ( b 1 c 2 x 3 + b 1 c 3 x 4 − b 2 c 1 x 3 − b 3 c 1 x 4 , a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ) = ( x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 + x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 ) ( b 1 c 2 x 3 + b 1 c 3 x 4 − b 2 c 1 x 3 − b 3 c 1 x 4 , a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ) = x ∗ 1 ( k 2 ) x ∗ 1 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ) x ∗ 4 ( k 2 ) x ∗ 4 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ) + x ∗ 2 ( k 2 ) x ∗ 2 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ) x ∗ 3 ( k 2 ) x ∗ 3 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ) = 0 a 1 b 1 c 3 − b 3 c 1 a 4 + 0 a 2 b 1 c 2 − b 2 c 1 a 3 = a 1 b 3 c 1 − a 1 b 1 c 3 + a 2 b 2 c 1 − a 2 b 1 c 2 . (14)
dengan
k 2 = b 1 c 2 x 3 + b 1 c 3 x 4 − b 2 c 1 x 3 − b 3 c 1 x 4
β ([ z , x ] , y ) = β   " 4 X k =1 c k x k , 4 X i =1 a i x i # , 4 X j =1 b j x j   = β ( a 2 c
1 x 3 + a 3 c 1 x 4 − a 1 c 2 x 3 − a 1 c 3 x 4 ,
b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 ) = ( x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 + x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 ) ( a 2 c 1 x 3 + a 3 c 1 x 4 − a 1 c 2 x 3 − a 1 c 3 x 4 , b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 ) = x ∗ 1 ( k 3 ) x ∗ 1 ( b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 ) x ∗ 4 ( k 3 ) x ∗ 4 ( b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 ) + x ∗ 2 ( k 3 ) x ∗ 2 ( b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 ) x ∗ 3 ( k 3 ) x ∗ 3 ( b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 ) = 0 b 1 a 3 c 1 − a 1 c 3 b 4 + 0 b 2 a 2 c 1 − a 1 c 2 b 3 = a 1 b 1 c 3 − a 3 b 1 c 1 + a 1 b 2 c 2 − a 2 b 2 c 1 . (15)
dengan
k 3 = a 2 c 1 x 3 + a 3 c 1 x 4 − a 1 c 2 x 3 − a 1 c 3 x 4
Tinjau persamaan (13) - (15) , terlihat bahwa
β ([ x , y ] , z ) + β ([ y , z ] , x ) + β ([ z , x ] , y ) = ( a 3 b 1 c 1 − a 1 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 2 − a 1 b 2 c 2 ) + ( a 1 b 3 c 1 − a 1 b 1 c 3 + a 2 b 2 c 1 − a 2 b 1 c 2 )
+ ( a 1 b 1 c 3 − a 3 b 1 c 1 + a 1 b 2 c 2 − a 2 b 2 c 1 ) = a 3 b 1 c 1 − a 3 b 1 c 1 + a 1 b 3 c 1 − a 1 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 2 − a 2 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 2 − a 1 b 2 c 2 + a 1 b 1 c 3 − a 1 b 1 c 3 + a 2 b 2 c 1 − a 2 b 2 c 1 = 0 .
Oleh karena itu, persamaan (5) terpenuhi atau β memenuhi kon- disi 2- cocycle . Berdasarkan Definisi 4, maka terbukti bahwa pasan- gan ( g 4 , β ) merupakan aljabar Lie Frobenius-quasi.
Proposisi 3. Misalkan g 5 aljabar Lie filiform standar dan non- standar berdimensi 5 dengan basis B 5 = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } dengan bracket Lie tak nolnya didefinisikan oleh persamaan (8) . Misalkan β sebagai skew-symmetric 2-form pada g 5 , maka untuk setiap β , pasangan ( g 5 , β ) bukan aljabar Lie Frobenius-quasi.
Bukti . Jelas bahwa g 5 berdimensi ganjil, maka g 5 tidak memiliki symplectic form . Sama dengan g 3 , setiap 2- form yang mungkin pada g 5 tidak nondegenerate . Diberikan 1- form pada g 5 , yaitu B ∗ 5 = { x ∗ 1 , x ∗ 2 , x ∗ 3 , x ∗ 4 , x ∗ 5 } . Misalkan S = { ω i,j } = { x ∗ i ∧ x ∗ j } dengan 1 ≤ i < j ≤ 5 , maka konstruksi 2- form yang mungkin ada pada g 5 adalah β = Span ( S ) . Wedge product yang diny- atakan oleh Definisi 1 menjelaskan bahwa setiap 2- form x ∗ i ∧ x ∗ j pasti skew-symmetric . Selanjutnya misalkan M i,j matriks repre- sentasi untuk ω i,j dengan Teorema 1, diperoleh
M 1 , 2 =       0 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       , M 1 , 3 =       0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       , M 1 , 4 =       0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0       , M 1 , 5 =       0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0       , M 2 , 3 =       0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       , M 2 , 4 =       0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0       ,
M 2 , 5 =       0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0       , M 3 , 4 =       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0       ,
M 3 , 5 =       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 
     , M 4 , 5 =       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 − 1 0       .
Misalkan M matriks representasi untuk β , maka berdasarkan Definisi 2 terlihat jelas bahwa | M | = 0 , se- hingga, β atau setiap 2- form yang mungkin pada g 5 tidak memenuhi sifat nondegenerate . Oleh karena itu, berdasarkan Definisi 4, pasangan ( g 5 , β ) bukan Frobenius-quasi.
Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini dapat dikem- bangkan untuk mengklasifikasikan aljabar Lie filiform berdimensi lebih tinggi ke dalam aljabar Lie Frobenius-quasi.

## 4. Kesimpulan
Telah dibuktikan bahwa aljabar Lie filiform berdimensi 3 dan 5 bukan aljabar Lie Frobenius-quasi karena setiap skew- symmetric 2- form pada aljabar Lie tersebut tidak nondegenerate . Sebaliknya, aljabar Lie filiform berdimensi 4 merupakan aljabar Lie Frobenius-quasi karena terdapat β = x ∗ 1 ∧ x ∗ 4 + x ∗ 2 ∧ x ∗ 3 yang bersifat nondegenerate dan 2- cocycle .

## Referensi
[1] L. Boza, E. Fedriani Martel, J. Valdés, and A. Tenorio, “A historical review of the classifications of Lie algebras,” Revista de la Unión Matemática Argentina , vol. 54, Oct. 2013.
[2] J. M. Escobar, J. Núñez, and P. Pérez-Fernández, “Invariant functions and contractions of certain types of Lie algebras of lower dimensions,” Jour- nal of Nonlinear Mathematical Physics , vol. 25, no. 3, p. 358, 2021, doi: 10.1080/14029251.2018.1494705 .
[3] M. Goze and J. Ancochea Bermudez, “On the varieties of nilpotent Lie alge- bras of dimension 7 and 8,” J Pure Appl Algebra , vol. 77, no. 2, pp. 131–140, Feb. 1992, doi: 10.1016/0022-4049(92)90080-Y .
[4] J. R. Gómez, A. Jimenéz-Merchán, and Y. Khakimdjanov, “Low-dimensional filiform Lie algebras,” J Pure Appl Algebra , vol. 130, no. 2, pp. 133–158, Sep. 1998, doi: 10.1016/S0022-4049(97)00096-0 .
[5] L. Boza, E. M. Fedriani, and J. Núñez, “A new method for classifying complex filiform Lie algebras,” Appl Math Comput , vol. 121, no. 2–3, pp. 169–175, Jun. 2001, doi: 10.1016/S0096-3003(99)00270-2 .
[6] J. R. Gómez, A. Jiménez-Merchán, and Y. Khakimdjanov, “Symplectic struc- tures on the filiform Lie algebras,” J Pure Appl Algebra , vol. 156, no. 1, pp. 15–31, Feb. 2001, doi: 10.1016/S0022-4049(99)90120-2 .
[7] D. Burde, “Characteristically nilpotent Lie algebras and symplectic struc- tures,” Forum Mathematicum , vol. 18, no. 5, Jan. 2006, doi: 10.1515/FO- RUM.2006.038 .
[8] D. N. Pham, “ g -quasi-Frobenius Lie algebras,” Archivum Mathematicum , no. 4, pp. 233–262, 2016, doi: 10.5817/AM2016-4-233 .
[9] G. Ovando, “Four dimensional symplectic Lie algebras,” Beitrage zur Algebra und Geometrie , vol. 47, Oct. 2004.
[10] G. Bazzoni, M. Freibert, A. Latorre, and B. Meinke, “Complex symplectic structures on Lie algebras,” J Pure Appl Algebra , vol. 225, no. 6, p. 106585, Jun. 2021, doi: 10.1016/j.jpaa.2020.106585 .
[11] Y. Sheng and R. Tang, “Symplectic, product and complex structures on 3-Lie algebras,” J Algebra , vol. 508, pp. 256–300, Aug. 2018, doi: 10.1016/j.jalgebra.2018.05.005 .
[12] V. del Barco, “Symplectic structures on free nilpotent Lie algebras,” Proceed- ings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences , vol. 95, no. 8, Oct. 2019, doi: 10.3792/pjaa.95.88 .
[13] D. Millionshchikov, “Graded filiform Lie algebras and symplectic Nilmani- folds,” Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 , vol. 212, Sep. 2002.
[14] D. V. Millionshchikov, “Deformations of filiform Lie algebras and symplectic structures,” Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics , vol. 252, no. 1, pp. 182–204, Jan. 2006, doi: 10.1134/S0081543806010172 .
[15] A. McInerney, First Steps in Differential Geometry . in Undergraduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York, 2013. doi: 10.1007/978-1- 4614-7732-7 .
[16] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , vol. 9.
New York, NY: Springer New York, 1972. doi: 10.1007/978-1-4612-6398-2 .