Nilai Total Ketidakteraturan Titik pada Graf Series Parallel sp(m,3,3)

## Riskawati
Universitas Muslim Maros, riskawati@umma.ac.id

## Erniwati Jalil
Universitas Muslim Maros, ernijalil@umma.ac.id

## Susi Ekawati
Universitas Muslim Maros, susiekawati31@gmail.com
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  membahas  tentang  penentuan nilai total ketidakteraturan titik pada Graf Series Parallel sp (m,3,3). Penentuan nilai total ketidakteraturan titik pada Graf Series  Parallel  sp(m,3,3) dilakukan  dengan menentukan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil. Batas  bawah  dianalisis  berdasarkan  sifat-sifat  graf  dan Teorema  pendukung  lainnya,  sedangkan  batas  atas dianalisis dengan pemberian label pada titik dan sisi pada Series Parallel. Berdasarkan hasil penelitian ini diperoleh nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  graf  Series  Parallel 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) = 3𝑚 + 1, untuk 𝑚 ≥ 3 .
Kata  Kunci:  Graf  Series  Parallel,  Pelabelan Total, Nilai Total Ketidakteraturan Titik

## 1. PENDAHULUAN
Penelitian  mengenai  teori  graf  terus mengalami perkembangan. Salah satu pembahasan  yang  terus  berkembang  adalah pelabelan pada graf. Objek kajiannya berupa graf yang  secara  umum  direpresentasikan  oleh  titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan asli yang disebut label. Pelabelan graf diperkenalkan oleh Stewart  (1966),  kemudian  Kotzig  dan  Rosa (1970).
Wallis  (2001)  mendefinisikan  pelabelan pada  suatu  graf  sebagai  suatu  fungsi  yang memetakan unsur-unsur graf ke suatu himpunan bilangan. Suatu pelabelan dengan domain berupa himpunan titik dari suatu graf disebut pelabelan titik, sedangkan pelabelan dengan domain berupa himpunan  sisi  dari  suatu  graf  disebut  pelabelan sisi.  Apabila  domain  dari  pemetaan  tersebut adalah  gabungan  himpunan  titik  dan  himpunan sisi maka  pelabelan  tersebut dinamakan pelabelan total.
Pelabelan  sisi  dan  titik  dari  graf  dapat dilakukan  dengan  banyak  cara.  Salah  satu  cara yang  dapat  digunakan  adalah  melabelinya dengan  bilangan.  Ada  banyak  pelabelan  graf
yang  telah  dikembangkan,  diantaranya  adalah pelabelan gracefull, pelabelan harmoni, pelabelan total tidak teratur, pelabelan ajaib dan pelabelan anti ajaib.
Penentuan nilai total ketidakteraturan titik pada  beberapa  jenis  graf  telah  dilakukan  oleh beberapa  ahli.  Rajaningsih,  I.    dkk  (2012), menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf  barisan  segitiga.    Ahmad,  A.  dkk  (2014) menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada beberapa kelas graf uncyclic . Nurdin dkk. (2010) menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf pohon.  Untuk graf  regular, yaitu graf yang semua  titiknya  memiliki  derajat  yang  sama, beberapa  hasil  telah  ditemukan.  Nilai  total ketidakteraturan  titik  untuk  graf  lingkaran  telah ditemukan oleh Baca, M. dkk (2007). Begitu pula untuk graf prisma, pada tahun 2014, Ahmad, A. telah menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf prisma .
Graf series parallel merupakan pengembangan dari graf theta yang diperumum. Karakteristik  menarik  dari  graf  series  parallel adalah  sebagian  anggota  himpunan  titiknya berderajat dua. Beberapa peneliti telah menentukan  nilai  ketidakteraturan  pada  graf series  parallel .  Pada  tahun  2015,  Rajasingh,  I. telah menentukan nilai total ketidakteraturan sisi pada graf series parallel . selanjutnya pada tahun 2019,  Riskawati  dkk  menentukan  nilai  total ketidakteraturan  titik  pada  graf series  parallel 𝑠𝑝(𝑚, 𝑟, 2) dan  Marzuki  dkk.  (2020)  telah menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf series parallel 𝑠𝑝(𝑚, 1,3) Oleh karena itu, penelitian  ini  akan  difokuskan  pada  penentuan nilai total ketidakteraturan titik pada graf series parallel 𝑠𝑝(𝑚3,3) .

## 2. TINJAUANPUSTAKA
Pada bagian ini diberikan beberapa definisi dan  konsep  dasar  pada  teori  graf,  terminologi graf,  jenis-jenis  graf  serta  penjelasan  mengenai pelabelan pada graf

## Pengertian Graf
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard  Euler  pada  tahun  1736.  Graf merupakan  pasangan  himpunan  titik  dan himpunan  sisi.  Pengaitan  titik-titik  pada  graf membentuk  sisi  dan  dapat  direpresentasikan sebagai suatu gambar.
Definisi  1  Graf 𝐺 merupakan  suatu  pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dimana 𝑉 suatu himpunan tak kosong  dan 𝐸 (mungkin  kosong).  Himpunan 𝐸 merupakan himpunan pasangan tak terurut dari elemen 𝑉 .  Elemen 𝑉 disebut  titik  dari 𝐺 dan elemen 𝐸 disebut sisi dari 𝐺.
Graf 𝐺 dengan  himpunan  titik 𝑉 dan himpunan  sisi 𝐸 dinotasikan  dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Sisi pada graf digambarkan sebagai garis yang kedua ujungnya merupakan titik dinyatakan dengan 𝑒 = 𝑢𝑣 .  Banyaknya  unsur  dari 𝑉(𝐺) disebut order dari 𝐺 dan banyaknya unsur dari 𝐸(𝐺) disebut ukuran ( size ) dari 𝐺 .

## Terminologi Graf
Dalam mempelajari graf terdapat beberapa terminologi yang berkaitan dengan graf. Berikut didefinisikan beberapa teminologi graf.
Definisi  2  Dua  buah  titik  pada  graf  dikatakan bertetangga ( adjacent ) bila keduanya dihubungkan oleh sebuah sisi. Dengan kata lain, 𝑢 bertetangga dengan 𝑣 jika ( 𝑢𝑣) adalah sebuah sisi pada graf 𝐺.
Definisi  3  Misalkan  graf 𝐺 dan {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑉(𝐺) , jika 𝑒 = (𝑢𝑣) ∈ 𝐸(𝐺) maka  sisi 𝑒 dikatakan terkait ( incident ) dengan titik 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑣.
Definisi  4  Misalkan 𝑣 adalah  titik  dalam  suatu graf 𝐺 .  Derajat  titik 𝑣 adalah  banyaknya  sisi yang terkait dengan titik 𝑣 , dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔 (𝑣), dimana ∆(𝐺) merupakan  derajat maksimum  titik  dari 𝐺 dan 𝛿(𝐺) merupakan derajat minimum titik dari 𝐺 .
Jenis-Jenis Graf
Beberapa graf dikelompokkan berdasarkan  ciri  khusus  dari  setiap  graf.  Pada bagian  ini  akan  dipaparkan  beberapa  jenis  graf yang digunakan pada penelitian ini.
Definisi  5  Graf  theta  yang  diperumum  adalah graf  yang  terdiri  dari  dua  titik  kutub  masing- masing  berderajat 𝑚 ,  dan  terdiri 𝑚 buah lintasan  dengan  panjang 𝑛 ,  dimana  titik  awal setiap  lintasan  bertetangga  dengan  satu  titik kutub dan titik akhir setiap lintasan bertetangga dengan  kutub  yang  lain.  Graf  theta  yang diperumum dinotasikan dengan Θ(𝑛, 𝑚).
Definisi  6  Graf  titik  potong  blok  (block-cut- vertex)  dari  suatu  graf 𝐺 adalah  suatu  graf 𝐻 yang  titik-titiknya  adalah  blok  dan  titik  potong dari 𝐺, dua  titik  bertetangga  dari 𝐻 jika  dan hanya jika titik yang satu adalah sebuah blok di 𝐺 dan  titik  yang  lainnya  adalah  sebuah  titik potong dari 𝐺 yang termuat dalam blok tersebut.
Definisi  7  Graf  rantai  (chain  graph)  yaitu sebuah  graf  blok 𝐵 1 , 𝐵 2 , … , dan 𝐵 𝑘 sedemikian sehingga untuk setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 − 1 berlaku 𝐵 𝑖 dan 𝐵 𝑖+1 mempunyai suatu titik sekutu sehingga graf titik potong blok merupakan lintasan.
Definisi  8  Graf  series  parallel pada 𝐺 adalah suatu  graf  rantai  dimana  setiap  bloknya merupakan  graf  theta  yang  diperumum . Graf Series parallel dinotasikan dengan 𝑠𝑝(𝑚, 𝑟, 𝑙).

## Pelabelan Graf
Penelitian  mengenai  teori  graf  terus mengalami perkembangan. Salah satu pembahasan  yang  terus  berkembang  adalah
Gambar 1 Graf Theta yang Diperumum
Gambar 2 Graf Series Parallel
1
pelabelan pada graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum.
Definisi  9  Pelabelan  graf    adalah  suatu  fungsi yang  memasangkan  elemen-elemen  graf    ke suatu himpunan bilangan bulat positif, umumnya himpunan bilangan bulat positif.
Himpunan bilangan yang menjadi kodomain  dari  pelabelan  disebut himpunan label . Suatu pelabelan graf disebut pelabelan titik jika  domain  dari  fungsinya  adalah      himpunan titik,  dan  disebut pelabelan  sisi jika  domainnya adalah himpunan sisi dan jika domainnya adalah gabungan dari himpunan titik dan himpunan sisi maka pelabelat tersebut disebut pelabelan total .
Definisi  10  Bobot  titik  v  pada  pelabelan  total adalah  label  titik 𝑣 ditambah  dengan  jumlah semua label sisi yang terkait dengan 𝑣 , yaitu 𝑤𝑡(𝑣) = 𝑓(𝑣) + ∑ 𝑓(𝑢𝑣)
𝑢𝑣∈𝐸 .

## Contoh 1
Misalkan 𝑓 adalah pelabelan total pada 𝑃 4 seperti pada Gambar 3, yaitu:
𝑓(𝑣 1 ) = 1                      𝑓(𝑣 1 𝑣 2 ) = 1 𝑓(𝑣 2 ) = 1                      𝑓(𝑣 2 𝑣 3 ) = 1 𝑓(𝑣 3 ) = 1                      𝑓(𝑣 3 𝑣 4 ) = 2 𝑓(𝑣 4 ) = 3.
Maka  bobot  titik 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 dan 𝑣 4 masing- masing adalah 𝑤𝑡(𝑣 1 ) = 𝑓(𝑣 1 ) + 𝑓(𝑣 1 𝑣 2 ) = 1 + 1 = 2 𝑤𝑡(𝑣 2 ) = 𝑓(𝑣 2 ) + 𝑓(𝑣 1 𝑣 2 ) + 𝑓(𝑣 2 𝑣 3 ) = 1 + 1 + 1 = 3 𝑤𝑡(𝑣 3 ) = 𝑓(𝑣 3 ) + 𝑓(𝑣 2 𝑣 3 ) + 𝑓(𝑣 3 𝑣 4 ) = 1 + 1 + 2 = 4 𝑤𝑡(𝑣 4 ) = 𝑓(𝑣 4 ) + 𝑓(𝑣 3 𝑣 4 ) = 3 + 2 = 5.
Pada  tahun  2007,  Baca  memperkenalkan pelabelan  tidak  teratur  lainnya  yaitu  pelabelan nilai total ketidakteraturan titik. Pada subbab ini akan dijelaskan definisi pelabelan total
ketidakteraturan  titik  dan  definisi  nilai  total ketidakteraturan titik.
Definisi  11  Misalkan 𝐺(𝑉, 𝐸) adalah  graf sederhana. Pelabelan total 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2,3, … , 𝑘} disebut  suatu  pelabelan −𝑘 total tidak  teratur  titik  (total  vertex  irregular  k- labeling) pada graf 𝐺 jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada 𝑉, berlaku 𝑤𝑡(𝑥) ≠ 𝑤𝑡(𝑦) dimana
𝑤𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ∑ 𝑓(𝑥𝑢).
𝑥𝑢∈𝐸(𝐺)
Definisi  12  Nilai  total  ketidakteraturan  titik (total  vertex  irregularity  strength)  dari 𝐺 , dinotasikan  dengan 𝑡𝑣𝑠(𝐺), adalah  bilangan bulat  positif  terkecil 𝑘 sedemikian  sehingga 𝐺 mempunyai suatu pelabelan- 𝑘 total tidak teratur titik.

## Contoh 2
Gambar 4 (a) bukan merupakan pelabelan total  tidak  teratur  titik  pada C 3, karena  terdapat dua  titik  memiliki  bobot  yang  sama  dengan  4. Sedangkan Gambar 4 (b) merupakan pelabelan- 2 total tidak teratur titik pada 𝐶 3 dan Gambar 4 (c) merupakan pelabelan-3 total tidak teratur titik pada 𝐶 3 . Namun 𝐶 3 tidak  mempunyai pelabelan −1 tidak  teratur  sehingga  diperoleh 𝑘 yang terkecil adalah 2. Jadi nilai ketidakteraturan pada 𝐶 4 adalah 2.
Nurdin  dkk  (2010)  memberikan  batas bawah  untuk  nilai  total  ketidakteraturan  titik pada, sebagai berikut:
Teorema 1 (Nurdin, dkk., 2010) Misalkan 𝐺 adalah  suatu  graf  yang mempunyai 𝑛 𝑖 titik  berderajat 𝑖 dengan 𝑖 =
Gambar 3 Pelabelan Total pada 𝑃 4
Gambar 4 Pelabelan Total pada 𝐶 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 ( a) ( b) 1 2 1 1 2 3
( c) 1 1 1 1 1 2 3 (a) (b) (c)
𝛿, 𝛿 + 1, 𝛿 + 2, … , ∆ dengan 𝛿 dan ∆ adalah derajat  minimum  dan  maksimum  titik  dari 𝐺 , maka
𝑡𝑣𝑠(𝐺) ≥ 𝑚𝑎𝑘𝑠 {⌈ 𝛿+𝑛𝛿 𝛿+1 ⌉ , ⌈ 𝛿+𝑛𝛿+𝑛𝛿+1 𝛿+2 ⌉ , … , ⌈ 𝛿+∑ 𝑛𝑖 ∆ 𝑖=𝛿 ∆+1 ⌉}.

## 3. METODOLOGI
Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Identifikasi Masalah
Identifikasi  masalah  dilakukan  dengan  cara mengumpulkan  beberapa  jurnal  ilmiah  dan buku  yang  berkaitan  dengan  nilai  total ketidakteraturan  titik  pada  graf  sebagai referensi.  Selanjutnya  menentukan  fokus pembahasan penelitian 2. Studi Literatur Mengkaji secara mendalam jurnal ilmiah dan buku yang akan dikembangkan pada penelitian.
3. Menentukan Batas Bawah Batas  bawah  nilai  total  ketidakteraturan  titik pada graf Series Parallel 𝑠𝑝(𝑚, 3,3) dianalisis berdasarkan  sifat-sifat  dan  karakteristik  graf, banyaknya derajat titik dan banyaknya jumlah titik pada graf.
Gambar 5 . Diagram Alur Kerja
4. Melakukan Konstruksi Pelabelan Memberikan  label  setiap  titik  dan  sisi  pada graf dan menentukan bobot titik berdasarkan definisi. Kemudian mendefinisikan himpunan
titik dan sisi 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2, … 𝑘} sehingga 𝑘 adalah bilangan bulat positif terkecil.
5. Menentukan Batas Atas
Mengidentifikasi label terbesar dari konstruksi pelabelan sebagai batas Atas.
6. Menentukan Nilai Total Ketidakteraturan Titik Menghitung bobot setiap titik dan memastikan bahwa bobot setiap titik berbeda 7. Penarikan Kesimpulan
Setelah  menentukan  batas  bawah  dan  batas atas dengan melakukan konstruksi pelabelan, maka  selanjutnya  melakukan  penarikan kesimpulan terhadap nilai total ketidakteraturan titik.
8. Penyusunan Laporan Penyusunn  laporan  berdasarkan  tahapan penelitian dapat dilihat pada gambar 5

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Graf Series Parallel Graf series  parallel didefinisikan  sebagai berikut:
Definisi 13 (Rajasingh,2015)
Graf  series  parallel  pada 𝐺 adalah  suatu  graf rantai  dimana  setiap  bloknya  merupakan  graf theta  yang  diperumum.  Graf  Series  parallel dinotasikan dengan 𝑠𝑝(𝑚, 𝑟, 𝑙).
Gambar  6 menunjukkan  graf Series Paralle l  untuk 𝑟 = 3 dan 𝑙 = 3. Selanjutnya didefinisikan  himpunan  titik 𝑉 dan  himpunan sisi 𝐸 sebagai berikut:
𝑉 = {𝑥 𝑖,𝑗 , 𝑦 𝑖,𝑗 , 𝑧 𝑖,𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑚, 𝑗 = 1,2,3} ∪ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dan 𝐸 = {𝑥 𝑖,1 𝑥 𝑖,2 , 𝑥 𝑖,2 𝑥 𝑖,3 , 𝑦 𝑖,1 𝑦 𝑖,2 , 𝑦 𝑖,2 𝑦 𝑖,3 , 𝑧 𝑖,1 𝑧 𝑖,2 , 𝑧 𝑖,2 𝑧 𝑖,3 } ∪ {𝑥 𝑖,1 𝑎, 𝑥 𝑖,3 𝑏, 𝑦 𝑖,1 𝑏, 𝑦 𝑖,3 𝑐, 𝑧 𝑖,1 𝑐, 𝑧 𝑖,3 𝑑} dimana 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
Gambar 6 Graf Series Parallel 𝑠𝑝(𝑚, 3,3)
𝑥 1,1 𝑥 1,2 𝑥 1,3 𝑥 2,1 𝑥 2,2 𝑥 2,3 𝑥 3,1 𝑥 3,2 𝑥 3,3 𝑥 𝑖,1 𝑥 𝑖,2 𝑥 𝑖,3 𝑦 1,1 𝑦 1,2 𝑦 1,3 𝑦 2,1 𝑦 2,2 𝑦 2,3 𝑦 3,1 𝑦 3,2 𝑦 3,3 𝑦 𝑖,1 𝑦 𝑖,2 𝑦 𝑖,3 𝑧 1,1 𝑧 1,2 𝑧 1,3 𝑧 2,1 𝑧 2,2 𝑧 2,3 𝑧 3,1 𝑧 3,2 𝑧 3,3 𝑧 𝑖,1 𝑧 𝑖,2 𝑧 𝑖,3 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 Identifikasi Studi Literatur
Menentukan Batas Bawah
Konstruksi Pelabelan Menentukan Batas Atas Menentukan Nilai Total Ketidakteraturan Titik
Nilai  Total  Ketidakteraturan  Titik  Series Parallel sp(m,3,3)
Dalam penentuan nilai total
ketidakteraturan  titik  pada    pada  graf series parallel, diawali  dengan  memeberikan  label titik  dan  label  sisi  pada  graf series  parallel sp(m,3,3) untuk
𝑚  =  3,4,5
gengan mempertimbangkan hal berikut:
1. Batas bawah dengan menggunakan Teorema
1
2. Batas  atas  dengan  pemberian  label  pda  titik dan sisi
3. Bobot pada setiap titik berbed
4. Mempertahankan  pola  pemberian  label  titik dan sisi
Berdasarkan Teorema 1 untuk 𝑚 = 3,4,5 batas bawah nilai total ketidakteraturan titik pada Series  Parallel 𝑠𝑝(𝑚, 3,3) dapat  dilihat  pada Tabel 1 .
Tabel 1 Batas bawah Pelabelan Total 𝑠𝑝(𝑚, 3,3) 𝒎 𝜹 𝒏 𝜹 ⌈ 𝜹 + 𝒏 𝜹 𝜹 + 𝟏 ⌉ ≤ 𝒕𝒗𝒔(𝒔𝒑(𝒎, 𝟑, 𝟑))
3 2 27 10 4 2 36 13 5 2 45 16
Selanjutnya  untuk  menentukan  batas atasnya,  maka  titik  dan  sisi  pada  graf Series Parallel untuk 𝑚 = 3,4,5 diberi  label  sebagai berikut.
Gambar 8 Pelabelan -13 Total 𝑠𝑝(4,3,3)
Gambar 9 Pelabelan -16 Total 𝑠𝑝(5,3,3)
Berdasarkan Tabel 1 , diasumsikan bahwa nilai total ketidakteraturan titik pada graf Series Parallel yaitu 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) = 3𝑚 + 1. Hasil ini  dituliskan  pada Teorema  2 yang  disertai dengan buktinya.
Teorema  2 Untuk 𝑚 ≥ 3 ,  maka  nilai  total ketidakteraturan  titik  pada  graf  Series  Parallel 𝑠𝑝(𝑚, 3,3) adalah 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) = 3𝑚 + 1 Bukti:
Untuk  membuktikan  bahwa 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) = 3𝑚 + 1 maka  digunakan Teorema  1 .  Derajat minimum dari 𝑠𝑝(𝑚, 3,3) adalah 𝛿 = 2, banyaknya  titik  yang  berderajat  2  adalah 𝑛 2 = 9𝑚 .  Selanjutnya  derajat  terkecil  kedua  adalah 𝑚 dengan  banyak  titik 𝑚 adalah 𝑛 𝑚 = 2 ,  dan derajat  maksimum  adalah 2𝑚 dengan  banyak titik 𝑛 2𝑚 = 2. Maka  berdasarkan Teorema  1 diperoleh
𝑡𝑣𝑠(𝐺) ≥ 𝑚𝑎𝑘𝑠 {⌈ 𝛿 + 𝑛 𝛿 𝛿 + 1 ⌉ , ⌈ 𝛿 + 𝑛 𝛿 + 𝑛 𝛿+1 𝛿 + 2 ⌉ , … , ⌈ 𝛿 + ∑ 𝑛 𝑖 ∆ 𝛿 ∆ ⌉}.

## Sehingga
𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3))
≥ 𝑚𝑎𝑘𝑠 {⌈ 2 + 9𝑚 3 ⌉ , ⌈ 2 + 2 + 9𝑚 𝑚 ⌉ , ⌈ 2 + 2 + 2 + 9𝑚 2𝑚 ⌉} = 𝑚𝑎𝑘𝑠 {⌈ 2 + 9𝑚 3 ⌉ , ⌈ 4 + 9𝑚 𝑚 ⌉ , ⌈ 6 + 9𝑚 2𝑚 ⌉}.
Untuk 𝑚 ≥ 3 maka 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) ≥ 𝑚𝑎𝑘𝑠 {⌈ 2 + 9𝑚 3 ⌉ , ⌈ 4 + 9𝑚 𝑚 ⌉ , ⌈ 6 + 9𝑚 2𝑚 ⌉} 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) = ⌈ 2 + 9𝑚 3 ⌉ = ⌈ 2 3 + 9𝑚 3 ⌉ = 1 + 3𝑚.
Gambar 7 Pelabelan -10 Total 𝑠𝑝(3,3,3)

## Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) ≤ 3𝑚 + 1.
Untuk  membuktikan  hal  tersebut  dilakukan konstruksi suatu pelabelan total tidak teratur titik pada Graf Series Parallel 𝑠𝑝(𝑚, 3,3).
Konstruksi  suatu  pelabelan  total 𝒇 pada 𝒔𝒑(𝒎, 𝟑, 𝟑)
Untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 maka  konstruksi pelabelan total sebagai berikut.
𝑓(𝑥 𝑖,1 ) = 1 𝑓(𝑥 𝑖,2 ) = 𝑚 + 𝑖 − 1 𝑓(𝑥 𝑖,3 ) = 𝑖 𝑓(𝑦 𝑖,1 ) = 2 𝑓(𝑦 𝑖,2 ) = 2𝑚 + 𝑖 − 1 𝑓(𝑦 𝑖,3 ) = 𝑚 + 𝑖 + 3 𝑓(𝑧 𝑖,1 ) = 𝑖 + 5 𝑓(𝑧 𝑖,2 ) = 𝑚 + 𝑖 + 3 𝑓(𝑧 𝑖,3 ) = 2𝑚 + 𝑖 + 1 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑑) = 3𝑚 + 1 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑥 𝑖,2 ) = 2 𝑓(𝑥 𝑖,2 𝑥 𝑖,3 ) = 1 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑦 𝑖,2 ) = 𝑚 + 1 𝑓(𝑦 𝑖,2 𝑦 𝑖,3 ) = 𝑚 + 2 𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑧 𝑖,2 ) = 3𝑚 − 2 𝑓(𝑧 𝑖,2 𝑧 𝑖,3 ) = 3𝑚 − 1 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑎) = 2𝑚 + 𝑖 − 1 𝑓(𝑥 𝑖,3 𝑏) = 1 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑏) = 2𝑚 + 𝑖 − 1 𝑓(𝑦 𝑖,3 𝑐) = 3𝑚 − 3 𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑐) = 3𝑚 − 2 𝑓(𝑧 𝑖,3 𝑑) = 3𝑚 + 1
Perhatikan  bahwa  bobot  pada  setiap  titik 𝑠𝑝(𝑚, 3,3) berdasarkan  pelabelan    ,  untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 sebagai berikut.
1. 𝑤𝑡(𝑥 𝑖,3 ) = 𝑓(𝑥 𝑖,3 ) + 𝑓(𝑥 𝑖,2 𝑥 𝑖,3 ) + 𝑓(𝑥 𝑖,3 𝑏) = 𝑖 + 1 + 1 = 𝑖 + 2
2. 𝑤𝑡(𝑥 𝑖,2 ) = 𝑓(𝑥 𝑖,2 ) + 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑥 𝑖,2 ) + 𝑓(𝑥 𝑖,2 𝑥 𝑖,3 ) = (𝑚 + 𝑖 − 1) + (2) + (1) = 𝑚 + 𝑖 + 2
3. 𝑤𝑡(𝑥 𝑖,1 ) = 𝑓(𝑥 𝑖,1 ) + 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑥 𝑖,2 ) + 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑎) = (1) + (2) + (2𝑚 + 𝑖 − 1)
= 2𝑚 + 𝑖 − 2
4. 𝑤𝑡(𝑦 𝑖,1 ) = 𝑓(𝑦 𝑖,1 ) + 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑏) + 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑦 𝑖,2 ) = (2) + (2𝑚 + 𝑖 − 1) + (𝑚 + 1) = 3𝑚 + 𝑖 + 2
5. 𝑤𝑡(𝑦 𝑖,2 ) = 𝑓(𝑦 𝑖,2 ) + 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑦 𝑖,2 ) + 𝑓(𝑦 𝑖,2 𝑦 𝑖,3 ) = (2𝑚 + 𝑖 − 1) + (𝑚 + 1) + (𝑚 + 2) = 4𝑚 + 𝑖 + 2
6. 𝑤𝑡(𝑦 𝑖,3 ) = 𝑓(𝑦 𝑖,3 ) + 𝑓(𝑦 𝑖,2 𝑦 𝑖,3 ) + 𝑓(𝑦 𝑖,3 𝑐) = (𝑚 + 𝑖 + 3) + (𝑚 + 1) + (3𝑚 − 3) = 5𝑚 + 𝑖 + 1
7. 𝑤𝑡(𝑧 𝑖,1 ) = 𝑓(𝑧 𝑖,1 ) + 𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑐) + 𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑧 𝑖,2 ) = (𝑖 + 5) + (3𝑚 − 2) + (3𝑚 − 2) = 6𝑚 + 𝑖 + 1
8. 𝑤𝑡(𝑧 𝑖,2 ) = 𝑓(𝑧 𝑖,2 ) + 𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑧 𝑖,2 ) + 𝑓(𝑧 𝑖,2 𝑧 𝑖,3 ) = (𝑚 + 𝑖 + 3) + (3𝑚 − 2) + (3𝑚 − 1) = 7𝑚 + 𝑖
9. 𝑤𝑡(𝑧 𝑖,3 ) = 𝑓(𝑧 𝑖,3 ) + 𝑓(𝑧 𝑖,2 𝑧 𝑖,3 ) + 𝑓(𝑧 𝑖,3 𝑑)
= (2𝑚 + 𝑖 + 1) + (3𝑚 − 1) + (3𝑚 + 1)
= 8𝑚 + 𝑖 + 1
10. 𝑤𝑡(𝑎) = 𝑓(𝑎) + ∑ 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑎) 𝑚 𝑖=1
= (3𝑚 + 1) + ∑(2𝑚 + 𝑖 − 1) 𝑚 𝑖=1 11. 𝑤𝑡(𝑏) = 𝑓(𝑏) + ∑ 𝑓(𝑥 𝑖,3 𝑏) 𝑚 𝑖=1 + ∑ 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑏) 𝑚 𝑖=1 = (3𝑚 + 1) + ∑ 1 𝑚 𝑖=1 + ∑(2𝑚 + 𝑖 − 1) 𝑚 𝑖=1 = (4𝑚 + 1) + ∑ 1 𝑚 𝑖=1 + ∑(2𝑚 + 𝑖 − 1) 𝑚 𝑖=1
12. 𝑤𝑡(𝑑) = 𝑓(𝑑) + 𝑚(𝑓(𝑧 𝑖,3 𝑑)) = (3𝑚 + 1) + 𝑚(3𝑚 + 1)
= 3𝑚 2 + 4𝑚 + 1
13. 𝑤𝑡(𝑐) = 𝑓(𝑐) + 𝑚 (𝑓(𝑦 𝑖,3 𝑐)) + 𝑚 (𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑐)) = (3𝑚 + 1) + 𝑚(3𝑚 − 3) + 𝑚(3𝑚 − 2) = 6𝑚 2 2𝑚 − 2𝑚 + 1 .
Berdasarkan  definisi  bobot  titik  tersebut, diperoleh 𝑤𝑡(𝑥 1,3 )  𝑤𝑡(𝑥 2,3 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑥 𝑚,3 ) 𝑤𝑡(𝑥 1,2 )  𝑤𝑡(𝑥 2,2 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑥 𝑚,2 ) 𝑤𝑡(𝑥 1,1 )  𝑤𝑡(𝑥 2,1 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑥 𝑚,1 ) 𝑤𝑡(𝑦 1,1 )  𝑤𝑡(𝑦 2,1 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑦 𝑚,1 ) 𝑤𝑡(𝑦 1,2 )  𝑤𝑡(𝑦 2,2 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑦 𝑚,2 ) 𝑤𝑡(𝑦 1,3 )  𝑤𝑡(𝑦 2,3 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑦 𝑚,3 ) 𝑤𝑡(𝑧 1,1 )  𝑤𝑡(𝑧 2,1 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑧 𝑚,1 ) 𝑤𝑡(𝑧 1,2 )  𝑤𝑡(𝑧 2,2 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑧 𝑚,2 ) 𝑤𝑡(𝑧 1,3 )  𝑤𝑡(𝑧 2,3 )  ⋯  𝑤𝑡(𝑧 𝑚,3 ) 𝑤𝑡(𝑎)  𝑤𝑡(𝑏)  𝑤𝑡(𝑑)  𝑤𝑡(𝑐).
Sehingga dapat disimpulkan bahwa bobot setiap titik  pada 𝑠𝑝(𝑚, 3,3) berbeda . Maka 𝑓 yang dikonstruksikan  tersebut  merupakan  suatu pelabelan tidak teratur  pada 𝑠𝑝(𝑚, 3,3).
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa label terbesar  yang  digunakan  adalah 𝑡 sebagai berikut. Misalkan 𝑡 = 3𝑚 + 1.
Untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan 𝑚 ≥ 3 1. 𝑓(𝑥 𝑖,1 ) ≤ 𝑓(𝑥 𝑚,1 ) = 1 ≤ 𝑡
2. 𝑓(𝑥 𝑖,2 ) ≤ 𝑓(𝑥 𝑚,2 ) = (𝑚 + 𝑚 − 1) = 2𝑚 − 1 ≤ 𝑡
3. 𝑓(𝑥 𝑖,3 ) ≤ 𝑓(𝑥 𝑚,3 ) = 𝑚 ≤ 𝑡
4. 𝑓(𝑦 𝑖,1 ) ≤ 𝑓(𝑦 𝑚,1 ) = 2 ≤ 𝑡 5. 𝑓(𝑦 𝑖,2 ) ≤ 𝑓(𝑦 𝑚,2 ) = 2𝑚 + 𝑚 − 1 = 3𝑚 − 1 ≤ 𝑡 6. 𝑓(𝑦 𝑖,3 ) ≤ 𝑓(𝑦 𝑚,3 ) = 𝑚 + 𝑚 + 3 = 2𝑚 ≤ 𝑡 7. 𝑓(𝑧 𝑖,1 ) ≤ 𝑓(𝑧 𝑚,1 ) = 𝑚 + 5 ≤ 𝑡
8. 𝑓(𝑧 𝑖,2 ) ≤ 𝑓(𝑧 𝑚,2 ) = 𝑚 + 𝑚 + 3 = 2𝑚 + 3 ≤ 𝑡 9. 𝑓(𝑧 𝑖,3 ) ≤ 𝑓(𝑧 𝑚,3 ) = 2𝑚 + 𝑚 + 1 = 3𝑚 + 1 ≤ 𝑡 10. 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑑) = 3𝑚 + 1 ≤ 𝑡 11. 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑥 𝑖,2 ) ≤ 𝑓(𝑥 𝑚,1 𝑥 𝑚,2 ) = 2 ≤ 𝑡
12. 𝑓(𝑥 𝑖,2 𝑥 𝑖,3 ) ≤ 𝑓(𝑥 𝑚,2 𝑥 𝑚,3 ) = 1 ≤ 𝑡
13. 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑦 𝑖,2 ) ≤ 𝑓(𝑦 𝑚,1 𝑦 𝑚,2 ) = 𝑚 + 1 ≤ 𝑡
14. 𝑓(𝑦 𝑖,2 𝑦 𝑖,3 ) ≤ 𝑓(𝑦 𝑚,2 𝑦 𝑚,3 ) = 𝑚 + 2 ≤ 𝑡 15. 𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑧 𝑖,2 ) ≤ 𝑓(𝑧 𝑚,1 𝑧 𝑚,2 ) = 3𝑚 − 2 ≤ 𝑡
16. 𝑓(𝑧 𝑖,2 𝑧 𝑖,3 ) ≤ 𝑓(𝑧 𝑚,2 𝑧 𝑚,3 ) = 3𝑚 − 1 ≤ 𝑡 17. 𝑓(𝑥 𝑖,1 𝑎) ≤ 𝑓(𝑥 𝑚,1 𝑎) = 2𝑚 + 𝑚 − 1 = 3𝑚 − 1 ≤ 𝑡
18. 𝑓(𝑥 𝑖,3 𝑏) ≤ 𝑓(𝑥 𝑚,3 𝑏) = 1 ≤ 𝑡 19. 𝑓(𝑦 𝑖,1 𝑏) ≤ 𝑓(𝑦 𝑚,1 𝑏) = 2𝑚 + 𝑚 − 1 =
3𝑚 − 1 ≤ 𝑡
20. 𝑓(𝑦 𝑖,3 𝑐) ≤ 𝑓(𝑦 𝑚,3 𝑐) = 3𝑚 − 3 ≤ 𝑡
21. 𝑓(𝑧 𝑖,1 𝑐) ≤ 𝑓(𝑧 𝑚,1 𝑐) = 3𝑚 − 2 ≤ 𝑡 22. 𝑓(𝑧 𝑖,3 𝑑) ≤ 𝑓(𝑧 𝑚,3 𝑑) = 3𝑚 + 1 ≤ 𝑡
Dengan  demikian 𝑓 merupakan  suatu pelabelan −𝑡 total  tidak  teratur  titik  dengan 𝑡 = 3𝑚 + 1 , untuk 𝑚 ≥ 3 . Artinya
𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) ≤ 3𝑚 + 1.
Karena
𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) ≥ 3𝑚 + 1
dan
𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) ≤ 3𝑚 + 1 , maka 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) = 3𝑚 + 1                  ∎.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan penelitian,  diperoleh  kesimpulan  bahwa  nilai totak  ketidakteraturan  titik  pada  Graf  Series Parallel untuk 𝑚 ≥ 3 yaitu 𝑡𝑣𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 3,3)) = 3𝑚 + 1. Pembahasan  mengenai  pelabelan total tidak  teratur  titik  masih    terbuka    bagi    peneliti lain  untuk  melanjutkan  penelitian  ini  dan  dapat juga  melakukan  penelitian  yang  sejenis  dengan jenis-jenis graf yang berbeda.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahmad, A., Bača, M.,  Bashir, Y. (2014). Total  vertex  irregularity  strength  of  certain classes  of  unicyclic  graphs. Bulletin mathématique  de  la  Société  des  Sciences Mathématiques de Roumanie , 147-152.
[2] Ahmad,  A.,  Baca,  M.,    Siddiqui,  M.  K. (2014).  Irregular  total  labeling  of  disjoint union  of  prisms  and  cycles. Australas.  J Comb., 59 , 98-106
[3] Bača, M., Miller, M.,  Ryan, J. (2007). On irregular total labellings. Discrete mathematics, 307(11-12) , 1378-1388.
[4] Kotzig,  A.,    Rosa,  A.  (1970).  Magic valuations  of  finite  graphs. Canadian Mathematical Bulletin, 13(4) , 451-461
[5] Marzuki,  C.  C.,  Laraza,  L.,    Aryani,  F. (2020). NILAI TOTAL KETAKTERATURAN TITIK PADA GRAF SERI PARALEL sp (m, 1, 3). Jurnal Sains Matematika dan Statistika, 6(2) , 113- 123.
[6] Rajasingh,  I.,  Rajan,  B.,    Annama,  V. (2012). On total vertex irregularity strength of  triangle  related  graphs. Annals  of  Pure and Applied Mathematics, 1(2) , 108-116
[7] Rajasingh, I.,  Arockiamary, S. T. (2015). Total  edge  irregularity  strength  of  series parallel  graphs. International  Journal  of Pure  and  Applied  Mathematics,  99(1), 11- 21.
[8] Riskawati,  Nurdin,  dan  Kasmirah,  (2019),
“ Nilai  Total  Ketidakteraturan  Titik  pada Graf Series Parallel 𝑠𝑝(𝑚, 𝑟, 2) ” (Axiomath
:Jurnal Matematika dan Aplikasinya, Vol. 1 No.2
[9] Simanjuntak, R., Susilawati, S.,  Baskoro,
E.  T.  (2020).  Total  vertex  irregularity strength  for  trees  with  many  vertices  of degree  two. Electron.  J.  Graph  Theory Appl., 8(2) , 415-421.
[10] Stewart,  B.  M.  (1966).  Magic  graphs. Canadian  Journal  of  Mathematics,  18 , 1031-1059.
[11] Wallis,  W.  D.  (2001).  Magic  graphs. Springer Science  Business Media.