## Valuasi One Period Coupon Bond dengan Aset Mengikuti Model Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion
Meiliawati Aniska 1 , Di Asih I Maruddani 2 , dan Suparti 3 1,2,3 Departemen Statistika, Universitas Diponegoro
maruddani@live.undip.ac.id
Abstract. One period coupon bond gives coupon once a bond life together with the principal debt. If the firm’s asset value on maturity date is insufficient to meet the debtholder’s  claim,  then  the  firm  is  stated  as  default.  The  well-known  model  for predicting  default  probability  is  KMV-Merton  model.  Under  this  model,  it  is assumed  that  the  return  on  the  firm’s  assets  is  distributed  normally  and  their behaviour  can be  described  with  the  Geometric  Brownian Motion  (GBM) formula. In  practice,  most  of  the  financial  data  tend  to  have  heavy-tailed  distribution.  It indicates  that  the  data  contain  some  extreme  values.  GBM  with  Jump  is  a  popular model  to  capture  the  extreme  values.  In  this  paper,  we  evaluate  a  corporate  bond which  has  some  extreme  condition  in  their  asset  value  and  predicts  the  default probability  in  the  maturity  date.  Empirical  studies  were  carried  out  on  bond  that  is issued by CIMB Niaga Bank that has a payment due  in November 2020. The result shows that modelling the asset value is more appropriate by using GBM with Jump rather  than  GBM  modelling. Estimation  to  CIMB  Niaga  Bank  equity  in  November 2020  is  IDR  246,533,573,844,229.00.  The  liability  of  this  company  is  IDR 4,205,751,155,771.00.  The  prediction  of  CIMB  Niaga  Bank  default  probability  is 1.065812  10 -8 at  the  bond  maturity.  It  indicates  that  the  company  is  considered capable of fulfilling the obligations at the maturity date.
Keywords: jump diffusion, extreme value, probability default, equity, liability

## 1. Pendahuluan
Sektor finansial merupakan salah satu sektor yang paling banyak diminati dalam berinvestasi.  Investasi  dalam  sektor  finansial  dapat  berupa  investasi terhadap  surat-surat berharga.  Salah  satu  bentuk  instrumen  investasi  finansial  tersebut  adalah  investasi  pada obligasi. Obligasi merupakan surat hutang jangka menengah-panjang yang dapat dipindah tangankan,  yang  berisi  janji  dari  pihak  yang  menerbitkan  untuk  membayar  imbalan berupa  bunga  pada  periode  tertentu  dan  melunasi  pokok  hutang  pada  waktu  yang  telah ditentukan kepada pihak pembeli obligasi tersebut. One period coupon bond adalah jenis obligasi  yang  memberikan  keuntungan  (kupon)  sebanyak  satu  kali  yang  dibayarkan bersamaan dengan nilai pokok obligasi pada saat jatuh tempo.
Risiko  yang  berpotensi  menyebabkan  kerugian  dapat  juga  terjadi  disamping keuntungan  yang  diperoleh.  Salah  satu  risiko  yang  terdapat  ketika  berinvestasi  pada obligasi  adalah  risiko  kredit.  Risiko  kredit  terjadi  apabila  pada  saat  jatuh  tempo perusahaan  penerbit  obligasi  tidak  mampu  membayar  kewajibannya,  yaitu  membayar kupon dan pokok obligasi sehingga dinyatakan bangkrut [1].
Volume 3  No. 2 November 2020
Ada tiga ukuran risiko kredit perusahaan dalam rangka valuasi perusahaan, yaitu nilai  modal  atau  ekuitas  ( equity ),  nilai  hutang  atau  liabilitas  ( liability ),  dan  probabilitas kebangkrutan  ( probability  of  default )  [2].  Untuk  memperhitungkan  risiko  kebangkutan tersebut  dapat  digunakan  valuasi  terhadap  aset  obligasi.  Metode  yang  sering  digunakan untuk  melakukan  valuasi  terhadap  obligasi  adalah  dengan  metode  Merton  yang  asetnya mengikuti  model Geometric  Brownian  Motion (GBM).  GBM  digunakan  untuk memprediksi  pergerakan  harga  aset dalam  periode jangka  pendek  [3].  Trimono dkk.  [4] meneliti tentang model GBM untuk mengukur risiko data saham.
Beberapa  penelitian  terdahulu  menunjukkan  bahwa  pergerakan  data-data keuangan  terindikasi  mengandung  data  ekstrem  yang  dikenali  dengan  keberadaan lompatan  ( jump )  ataupun excess  kurtosis .  Pemodelan  dengan  metode  yang  dapat digunakan untuk melihat efek jump tersebut [5]. Oleh karena itu model GBM kemudian dikembangkan  menjadi Geometric  Brownian  Motion dengan Jump  Diffusion (GBM Jump ).  Pemodelan  data  saham  pada  PT  Aneka  Tambang  Tbk  dengan  GBM Jump memberikan  akurasi  prediksi  harga  saham  yang  sangat  baik  [6].  Pengukuran  risiko dengan memperhatikan keberadaan data ekstrem pada data saham PT Astra Argo Lestari Tbk dengan GBM Jump juga menghasilkan ukuran risiko yang akurat [7].
Valuasi obligasi dengan data aset perusahaan sebagai underlying asset ditemukan juga  bahwa  pengaruh skewness dan kurtosis merupakan  faktor  penting  dalam  valuasi obligasi  [8].  Model  Gram-Charlier  dengan  momen  ketiga  dan  keempat  menghasilkan ukuran  risiko  yang  lebih  baik  [9].  Secara  umum  efek  nilai  ekstrem  yang  ditambahkan pada pemodelan memberikan valuasi obligasi yang lebih baik [10].
PT  Bank  CIMB  Niaga  Tbk  atau  yang  lebih  dikenal  dengan  Bank  CIMB  Niaga merupakan  salah  satu  bank  terbesar  yang  berdiri  di  Indonesia.  Penelitian  ini  bertujuan melakukan  valuasi  pada  obligasi  yang  dikeluarkan  oleh  Bank  CIMB  Niaga  dan menentukan  peluang  kebangkrutan  perusahaan  tersebut  pada  saat  obligasi  jatuh  tempo. Underlying assets bulanan PT Bank CIMB Niaga Tbk pada periode Januari 2012 hingga Desember  2016  terindikasi  mengandung data  ekstrem,  sehingga  GBM Jump merupakan metode yang tepat untuk diterapkan dalam kasus ini.

## 2. Kerangka Teoritis
2.1. Geometric  Brownian  Motion  (GBM). Prediksi  data  berdasarkan  GBM didasarkan  pada  asumsi  bahwa  data  berdistribusi  normal  [11]  dengan  model  sebagai berikut
Volume 3  No. 2 November 2020
(1)
dengan
:  nilai estimasi total aset pada waktu ke- i t
:  nilai estimasi total aset pada waktu ke- 1 − i t
:  nilai ekspektasi return aset
:  volatilitas aset
:  data bangkitan berdistribusi normal baku
2.2. Jump  Diffusion.  Jump  Diffusion merupakan  fungsi  eksponensial  proses  Lèvy dengan model [12]:
dengan  total  aset {S_t;0≤t≤T} dimodelkan sebagai  fungsi eksponensial  dari  proses  Lèvy {L t ;  0≤t≤T}. Proses  Lèvy  merupakan  gerak  Brown  dengan drift (proses  difusi  kontinu) ditambah dengan proses Poisson (proses jump diskontinu) sehingga [13]:
dengan
{W t ; 0≤t≤T}
: gerak Brown Standar
: gerak Brown dengan drift
: proses Poisson dengan jump .
μ dan σ : rata-rata dan standar deviasi pada model GBM λ : intensitas.
2.3. Geometric  Brownian  Motion  with  Jump  Diffusion  (GBM  Jump). GBM Jump diberikan oleh persaman [10]:
Persamaan diferensial stokastik pada GBM Jump mengikuti persamaan
) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( t dQ y t dW dt k dt t dV t − + + − =   
dengan μ adalah rata-rata  ln return aset, σ adalah  volatilitas  atau  standar  deviasi  dari  ln return aset, W ( t ) merupakan gerak Brown, Q ( t ) adalah proses Poisson dengan intensitas  [14].
Penyelesaian GBM Jump dapat  diperoleh  dengan  Teorema Itô [15].  Apabila terdapat  fungsi , ,  maka  berdasarkan  Teorema Itô fungsi
tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut
(2)
Misal fungsi G = ln V , dengan
dan , maka dari persamaan (2)
diperoleh
(3)
maka diperoleh model akhir total aset perusahaan GBM dengan Jump sebagai berikut
(4)
dengan :
:  nilai estimasi total aset pada waktu ke t i

## :  nilai estimasi total aset pada waktu ke t (i-1)
:  nilai ekspektasi return aset
:  volatilitas aset
:  data bangkitan berdistribusi normal baku
:  intensitas jump
: data bangkitan berdistribusi normal ke- i .
2.4. Peak  Over  Threshold  (POT).  Peak  Over  Threshold (POT)  merupakan  sebuah metode yang digunakan untuk mengidentifikasi data yang mengandung nilai ekstrem atau jump . Banyaknya jump yaitu 10% dari data. Nilai ambang yang disebut dengan threshold ditentukan  dari  banyaknya jump +1.  Data  yang  mengandung jump dipilih  berdasarkan pada  data  yang  berada  di  atas  nilai  ambang  batas  atas threshold ,  dan  yang  berada  di bawah nilai ambang batas bawah threshold [5].
2.5. Ekuitas. Ekuitas  adalah  sisa  atas  total  aktiva  perusahaan  yang  telah  dikurangi dengan semua kewajiban dalam neraca. Ekuitas akan berkurang karena adanya penarikan aset kembali oleh pemilik, pembagian keuntungan, atau karena kerugian. Jika dimisalkan suatu  perusahaan  dengan  nilai  total  aset Vt ,  dengan  kewajiban  membayar  hutang  ( face value )  sebesar K ,  pergerakan  nilai  total  aset  mengikuti GBM ,  suku  bunga  bebas  risiko dinotasikan  dengan r ,  besar  kupon  obligasi  adalah c dan  waktu  jatuh  tempo  obligasi adalah T , maka pada saat jatuh tempo terdapat dua kemungkinan keadaan, yaitu :
1.   Jika  nilai  aset  lebih  dari  atau  sama  dengan  pokok  hutang  ditambah  kupon
yaitu , maka penerbit obligasi akan membayar kepada investor sebesar , sedangkan penerbit obligasi memiliki modal atau ekuitas sebesar . 2.  Jika  nilai  aset  kurang  dari  pokok  hutang  ditambah  kupon  yaitu ,  maka
penerbit  obligasi  memiliki  modal  atau  ekuitas  sebesar  0  artinya  penerbit  obligasi bangkrut.
Gambaran  keadaan  untuk  satu  kali  periode  pembayaran  kupon  ditunjukkan  dalam Gambar  1,  sedangkan  nilai  keuntungan  ( payoff )  pada  saat  jatuh  tempo  dapat  diberikan pada Tabel 1.
Volume 3  No. 2 November 2020
Gambar 1. Arus Kas Satu Kali Periode Pembayaran Kupon
Tabel 1. Payoff atau Ekuitas saat Jatuh Tempo Keadaan Aset Obligasi Ekuitas Tidak Bangkrut Bangkrut 0
Jika  nilai  ekuitas  dengan  nilai  utang  ( face  value ) K mengikuti  model  Merton  dengan GBM Jump dan  diasumsikan  bahwa jump berdistribusi  lognormal  maka  nilai  ekuitas untuk model GBM Jump adalah
(5)
i adalah skenario dimana  ke- i terjadi, dengan
dengan merupakan variansi dari model GBM Jump dan k adalah rata-rata dari ukuran aset jump . merupakan  probabilitas  Poisson  dari  total  aset jump waktu i selama interval τ . Jika λ =  0 maka ,  sehingga  setiap  bentuk  penjumlahan  adalah sama dengan 0 kecuali untuk j =0 ketika
dan . merupakan nilai ekuitas
Black-Scholes dengan GBM yang mempunyai persamaan
Volume 3  No. 2 November 2020

## dengan
2.6. Liabilitas. Liabilitas adalah utang yang harus dilunasi atau pelayanan yang harus dilakukan di masa yang akan datang pada pihak lain. Liabilitas merupakan kebalikan dari nilai ekuitas yang dimiliki. Berdasarkan struktur modal sederhana aset suatu perusahaan, liabilitas dan ekuitas dapat diperoleh nilai liabilitas (utang) perusahaan sebagai berikut
(6)
2.7. Probabilitas  Kebangkrutan. Probabilitas  kebangkrutan  adalah  peluang  dengan nilai total aset perusahaan kurang dari nilai utang ( face value ) K pada saat jatuh tempo. Hal  itu  menunjukkan  bahwa  perusahaan  tidak  mampu  membayar  utangnya  dan perusahaan  diambil  alih  atau  mengalami  kebangkrutan.  Probabilitas  kebangkrutan berdasarkan  GBM Jump pada  waktu  jatuh  tempo  dengan  satu  kali  periode  pembayan kupon dirumuskan dengan [16]:
ε~ N (0,1) sehingga probabilitas kebangkrutan pada saat jatuh tempo adalah
Volume 3  No. 2 November 2020
(7)

## 3. Hasil dan Pembahasan
Data in sample aset perusahaan yang digunakan untuk pemodelan diperoleh dari laporan keuangan PT Bank CIMB Niaga Tbk periode Januari 2012 – Desember 2016 dan data out sample yang digunakan untuk melihat ketepatan model merupakan data aset PT Bank  CIMB  Niaga  Tbk  periode  Januari    2017  –  Desember  2018.  Data  tersebut  dapat diakses pada situs www.ojk.go.id. Sedangkan data yang digunakan untuk valuasi obligasi adalah data obligasi berkelanjutan II Bank CIMB Niaga Tahap III tahun 2017 seri B yang diperoleh dari website  www.ibpa.co.id. Data aset yang tersedia selanjutnya dihitung nilai return berdasarkan compounding return asset sebagai dasar pemodelan GBM dan GBM Jump [17, 18].
Tabel 2. Data Obligasi PT Bank CIMB Niaga Tbk.
Data Nilai Nama Obligasi Obligasi  Berkelanjutan  II  Bank  CIMB Niaga Tahap III tahun 2017 Seri B Penerbit PT Bank CIMB Niaga Tbk. Face Value (K) Rp. 657.000.000.000,00 Tanggal Penerbitan 02 November 2017 Tanggal Jatuh Tempo 02 November 2020 Jangka Waktu Obligasi 3 Tahun Rating AAA Kupon 7,5% p.a
Data  obligasi  yang  digunakan  merupakan  data  sekunder  yang  diperoleh  dari Lembaga  Penilaian  Harga  Efek  di  Indonesia  yaitu Indonesian  Bond  Pricing  Agency (IBPA)  yang  diakses  melalui  website  www.ibpa.co.id.  Obligasi  yang  dipilih  pada penelitian ini adalah obligasi berkelanjutan II Bank CIMB Niaga tahap III tahun 2017 seri B yang ringkasan data obligasinya disajikan pada Tabel 2.
Penghitungan  statistik  deskriptif  bertujuan  untuk  memperoleh  nilai kurtosis dan skewness .  Nilai kurtosis dianggap  sebagai  indikator  awal  yang  dapat  menunjukkan
Volume 3  No. 2 November 2020
keberadaan jump .  Apabila  nilai kurtosis berada  di  atas  3  maka  data  tersebut  dianggap mengandung jump atau nilai ekstrem. Nilai statistik deskriptif disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Statistik Deskriptif Data Ln Return Aset Parameter Nilai Rata-rata 0,005814 Varian 0,000372 Nilai terendah -0,068316 Nilai tertinggi 0,055377 Skewness -0,610279 Kurtosis 5,797338
Nilai  volatilitas  merupakan  estimasi  dari  standar  deviasi  dari  ln return bulanan aset PT Bank CIMB Niaga Tbk yang digunakan dari bulan Januari 2012 sampai dengan Desember  2016.  Diperoleh  nilai  varian  sebesar  0,000372  dengan  banyaknya  periode dalam satu tahun ( m ) adalah 12, maka nilai estimasi standar deviasi atau volatilitas dapat diperoleh:
Tabel 4. Nilai Kuantil Ambang Batas Atas dan Bawah
Kuantil Nilai Kuantil ambang batas bawah    -0,013880 Kuantil ambang batas atas 0,025864
Karena  data  ln return bank  CIMB  terindikasi  adanya jump ,  maka  dilakukan perhitungan  jumlah worse  case data  dengan extreme  value menggunakan  metode peak over treshold . Digunakan α = 10% untuk menentukan nilai ambang batas bawah dan nilai ambang batas atas. Sebelum menentukan nilai kuantil ambang batas atas dan bawah data ln return terlebih dahulu diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar, sehingga diperoleh nilai kuantil ambang batas atas dan bawah yang dapat dilihat pada Tabel 4.
Ambang  batas  bawah  memiliki  nilai  -0,013880.  Artinya  nilai return yang  lebih rendah dari -0,013880 merupakan jump yang terjadi pada data ln return aset. Sebanyak 6 data  bernilai  negatif  merupakan jump .  Kuantil  ambang  batas  atas  merupakan  batas  atas
Volume 3  No. 2 November 2020
nilai  data  ekstrem  atau jump yang  ditentukan  dari  nilai  ln return aset.  Ambang  batas memiliki  nilai  0,025864.  Artinya  nilai  ln return aset  yang  lebih  tinggi  dari  0,025864 merupakan  jump  yang  terjadi  pada  data  ln return aset.  Sebanyak  6  data  bernilai  positif merupakan jump .  Sehingga  dari  data  dilakukan  pemotongan  6  data  terendah  dan  6  data tertinggi.
Parameter dalam model GBM Jump meliputi rata-rata ln return ( μ ), volatilitas ln return ( σ ), intensitas jump ( λ ), rata-rata jump ( k ), dan standar deviasi jump ( δ ). Diperoleh hasil seperti pada Tabel 5.
Tabel 5. Estimasi Nilai Parameter Model GBM Jump Parameter Nilai Rata-rata ln return ( μ ) 0,005814 Volatilitas ln return ( σ ) 0,066839 Intensitas jump ( λ ) 0,004698 Rata-rata jump ( k ) 0,011245 Standar deviasi jump ( δ )    0,014007
Nilai  estimasi  intensitas jump ( λ )  merupakan  rata-rata  dari  data jump yaitu  sebesar 0,004698, nilai estimasi rata-rata jump ( k ) merupakan nilai rata-rata dari selisih data jump yaitu  sebesar  0,011245,  dan  nilai  estimasi  standar  deviasi jump ( δ )  adalah  nilai  standar deviasi dari selisih data jump sebesar 0,014007. Nilai estimasi parameter yang diperoleh kemudian  digunakan  untuk  memodelkan  data  ke  dalam  model  GBM Jump berdasarkan persamaan (4) sebagai berikut
dengan
:  nilai estimasi total aset pada waktu ke- i t
:  nilai estimasi total aset pada waktu ke- 1 − i t
:  data bangkitan berdistribusi normal baku ke- 1 − i
Volume 3  No. 2 November 2020
:  data  bangkitan  berdistribusi  normal  dengan  rata-rata  =  0,011245  dan variansi = 0,014007.
Nilai prediksi total aset dan nilai aktual aset PT Bank CIMB Niaga disajikan pada Tabel  6.  Nilai  aktual  dan  hasil  prediksi  total  aset  PT  Bank  CIMB  Niaga  Tbk  ini selanjutnya  akan  digunakan  untuk  menghitung  nilai  kesalahan  prediksi,  yang  dapat menunjukkan  apakah  model  GBM Jump memberikan  hasil  yang  baik  jika  digunakan untuk memprediksi total aset pada kasus ini.
Perhitungan  kesalahan  prediksi  total  aset  dilakukan  menggunakan  nilai  MAPE dibandingkan dengan nilai aktual. Nilai MAPE diperoleh sebesar 3,870466 % untuk data out  sample yaitu  untuk  prediksi  total  aset  bulan  Januari  2017  hingga  Desember  2018. Nilai MAPE yang sebesar 3,870466 % tersebut menunjukkan bahwa model GBM Jump yang dihasilkan memberikan akurasi peramalan yang sangat baik. Sehingga model GBM Jump dapat digunakan untuk valuasi obligasi.
Tabel 6. Nilai Aktual dan Prediksi Total Aset PT Bank CIMB Niaga Tbk.
Periode Aktual Prediksi Periode Aktual Prediksi Januari 2017 234612254  226129508  Februari 2018 261251824  273487409 Februari 2017 235566662  238904710  Maret 2018 255689959  261190936 Maret 2017 232771169  264281161  April 2018 255577476  255145944 April 2017 229501752  249137507  Mei 2018 256276450  259106213 Mei 2017 234043439  273695112  Juni 2018 258203024  248355867 Juni 2017 238302102  233763466  Juli 2018 257464637  263591892 Juli 2017 235351357  236106302  Agustus 2018 256504818  257335876 September 2017 249300982  258995633  September 2018  259070857  247195834 Oktober 2017 247724194  259345971  Oktober 2018 260299892  239292014 November 2017 247227333  243883710  November 2018  256211135  257305086 Desember 2017 264160781  267752590  Desember 2018 265063937  265629066
Perbandingan  berdasarkan  prediksi  data  aset  pada  periode  yang  sama  dengan pemodelan GBM berdasarkan persamaan (1) menunjukkan nilai MAPE yang lebih besar, yaitu  6,111993%,  sehingga Jump lebih  tepat  digunakan  sebagai  dasar  valuasi  obligasi yang  diterbitkan  Bank  CIMB  Niaga.  Hal  ini  sesuai  dengan  kesimpulan  yang  diperoleh pada penelitian sebelumnya [7, 8].
Volume 3  No. 2 November 2020
Untuk  mengetahui  nilai  aset  pada  saat  jatuh  tempo  tersebut,  dilakukan  prediksi menggunakan  model  GBM Jump yang  telah  terbentuk  dengan total  aset  perusahaan pada  saat  obligasi  jatuh  tempo  yaitu  pada  bulan  November  2020. merupakan  total aset  perusahaan  pada saat obligasi  diterbitkan yaitu pada  bulan  November 2017  sebesar Rp  247.227.333.000.000,00.  Jangka  waktu  hingga  obligasi  jatuh  tempo  yaitu  3  tahun adalah . Estimasi nilai aset pada saat jatuh tempo pada tanggal 2 November 2020 berdasarkan persamaan (5) diperoleh sebesar Rp 250.739.325.000.000,00.
Penentuan  ekuitas  perusahaan  digunakan  nilai  suku  bunga  bebas  risiko  yang diambil  dari  rata-rata  suku  bunga  dari  November  2017  hingga  Desember  2018  yaitu sebesar 4,95%. Sedangkan untuk nilai c dan diperoleh dari
Karena nilai kupon obligasi 7,5% diberikan per tahun dengan waktu jatuh tempo 3 tahun maka nilai c
dikalikan 3, sehingga didapatkan
Oleh karena itu,  nilai ekspektasi ekuitas berdasarkan persamaan (6) sebesar
Liabilitas  merupakan  hutang  atau  kewajiban  yang  harus  dibayarkan.  Nilai liabilitas  berkaitan  dengan  nilai  total  aset  dan  nilai  ekuitas.  Berdasarkan  persamaan  (6) diperoleh nilai liabilitas sebesar
Volume 3  No. 2 November 2020
Nilai probabilitas kebangkrutan berdasarkan persamaan (7) dengan k adalah rata- rata ln return jump , merupakan  variansi  dari jump , maka  diperoleh  nilai  probabilitas kebangkrutan sebesar 1,065812 x 10 -8 . Hasil tersebut menunjukkan bahwa kemungkinan PT  Bank  CIMB  Niaga  Tbk  mengalami  kebangkrutan  sangat  kecil.  Berdasarkan  hasil tersebut  dapat  dikatakan  bahwa  PT  Bank  CIMB  Niaga  memiliki  performa  yang  baik untuk dapat membayar hutang obligasi pada saat jatuh tempo.
Ukuran  peluang  kebangkrutan  ini  bisa  dikatakan  akurat  dan  valid  dengan  dasar bahwa underlying  assets dimodelkan  dengan  metode  yang  sesuai  dengan  karakteristik data. Hasil yang sama juga ditunjukkan pada penelitian sebelumnya pada valuasi obligasi Zero Coupon Bond [19]. GBM mempunyai prediksi yang baik dilihat dari ukuran MAPE yang kecil, akan tetapi keberadaan data ekstrem tidak terakomodasi pada model tersebut. Pemodelan GBM Jump menghasilkan akurasi yang lebih baik, dan berdasarkan pola data yang  diuji  di  awal  menunjukkan  keberadaan  data-data  ekstrem.  Valuasi  yang  diperoleh berdasarkan  GBM Jump dapat digunakan  sebagai  bahan  pertimbangan  investor  maupun Bank CIMB Niaga dalam mengelola perusahaan karena diukur berdasarkan  karakteristik data aset Bank CIMB Niaga.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  analisis  yang  dihasilkan  untuk  kasus  PT  Bank  CIMB  Niaga Tbk  tersebut,  diperoleh  kesimpulan  bahwa  model Geometric  Brownian  Motion dengan Jump Diffusion yang terbentuk adalah sebagai berikut
Hasil  valuasi  terhadap  obligasi  berkelanjutan  II  Bank  CIMB  Niaga  tahap  III tahun  2017  seri  B  diperoleh  ekspektasi  ekuitas  pada  saat  obligasi  jatuh  tempo  pada tanggal  2  November  2020  yaitu  sebesar  Rp  246.533.573.844.229,00.  Sedangkan  untuk ekspektasi  utangnya  atau  liabilitas  pada  saat  jatuh  tempo  adalah  sebesar  Rp 4.205.751.155.771,00.  Serta  diperoleh  nilai  probabilitas  kebangkrutan  yang  sangat  kecil
Volume 3  No. 2 November 2020
yaitu  sebesar  1,065812  x  10 -8 ,  yang  berarti  bahwa  kemungkinan  PT  Bank  CIMB  Niaga Tbk  tidak  mampu  membayar  utangnya  sangat  kecil.  Berdasarkan  hal  tersebut  dapat disimpulkan  bahwa  PT  Bank  CIMB  Niaga  Tbk  memiliki  performa  yang  cukup  baik dalam melunasi utangnya.
Model ini cukup akurat dipandang dari hasil perbandingan dengan menggunakan GBM, akan tetapi dengan karakteristik data yang lebih kompleks, memungkinkan untuk dapat dikembangkan dengan kasus volatility clustering pada data, sifat asimetris data, dan sebagainya.

## Ucapan Terima Kasih
Artikel  ini  didanai  oleh  Kementerian  Pendidikan  dan  Kebudayaan,  Direktorat Riset  dan  Pengabdian  Kepada  Masyarakat  melalui  Penelitian  Terapan  Unggulan Perguruan Tinggi, dengan nomor kontrak 101-112/UN7.6.1/PP/2020.

## Daftar Pustaka
[1] Maruddani,  D.A.I.,  Rosadi,  D.,  Gunardi,  dan  Abdurakhman.  Valuation  of  One Period Coupon Bond Based on Default Time and Empirical Study in Indonesian Bond  Data. Far  East  Journal  of  Mathematical  Sciences ,  Vol.  98  (1),  57–73. 2015.
[2] Landschoot,  A.V.  Determinants  of  Euro  Term  Structure  of  Credit  Spreads, Working Paper Series No.397, European Central Bank. 2004.
[3] Abidin,  S.N.Z.  dan  Jaffar,  M.M.  Forecasting  Share  Prices  of  Small  Size Companies  in  Bursa  Malaysia  Using  Geometric  Brownian  Motion. Applied Mathematics  Information Sciences . Vol. 8 (1), 107-112. 2014.
[4] Trimono, Maruddani, D.A.I., dan Ispriyanti, D. Pemodelan Harga Saham Dengan Geometric Brownian Motion dan Value At Risk  PT Ciputra Development Tbk. Gaussian , Vol. 6 (2), 261 – 270. 2017.
[5] Rosso,  G.  Extreme  Value  Theory  for  Time  Series  using  Peak-Over-Threshold Method . Working Paper . 2015.
[6] Trimono dan Maruddani, D.A.I. Valuasi Harga Saham PT Aneka Tambang Tbk sebagai Peraih IDX Best Blue 2016. Statistika , Vol 17(1), 33 – 43. 2017.
[7] Maruddani,  D.A.I.  dan  Trimono.  Prediksi  Harga  Saham  PT.  Astra  Agro  Lestari Tbk. dengan Jump Diffusion Model. Jurnal Riset Akuntansi Mercu Buana , Vol. 3(1), 57 – 67. 2017.
[8] Abdurakhman  dan  Maruddani,  D.A.I.  Pengaruh  Skewness  dan  Kurtosis  dalam Model Valuasi Obligasi. Media Statistika , Vol. 11(1), hal 39 – 51. 2018.
[9] Abdurakhman  dan  Maruddani,  D.A.I.  Comparing  Merton  model  and  Gram- Charlier model to Capture Skewness and Kurtosis on Bond Performance. Journal of Physics Conference Series , Vol. 1217. 2019.
[10] Maruddani,  D.A.I.  Pengaruh  Data  Ekstrim  Aset  Perusahaan  Pada  Valuasi Obligasi. Prosiding Seminar Nasional Variansi 2018 , hal 221-233. 2018.
[11] Brigo, D., Dalessandro, A., Neugebauer, M., dan Triki, FA Stochastic Processes Toolkit  for  Risk  Management. Journal  of  Risk  Management  in  Financial Institutions . Vol. 1 (4), 5–13. 2008.
[12] Matsuda, K. Introduction to Merton Jump Diffusion Model. Working Paper The City University of New York . 2004.
[13] Merton,  R.C.  On  the  Pricing  of  Corporate  Debt:  The  Risk  Structure  of  Interest Rate. Journal of Finance , Vol 29, 449–470. 1974.
[14] Cont, R. dan Tankov, P. Financial Modeling with Jump Processes . Chapman Hall / CRC Financial Mathematics Series. 2004.
[15] Storeng,  H.B.    Jump-Diffusion  Models  for  Option  Pricing  Versus  the  Black Scholes Model. Norwegian School of Economic , 1–77. 2014.
[16] Zhou,  C.  A  Jump-Diffusion  Approach  to  Modeling  Credit  Risk  and  Valuing Defaultable Securities. Federal Reserve Boards Working Paper . 1997.
[17] Maruddani,  D.A.I. Value  at  Risk  untuk  Pengukuran  Risiko  Investasi  Saham: Aplikasi dengan Program R . Wade Group, Ponorogo. 2019.
[18] Maruddani,  D.A.I.  dan  Trimono. Microsoft  Excel  untuk  Pengukuran  Value  at Risk: Aplikasi pada Risiko Investasi Saham . Undip Press. Semarang. 2020.
[19] Maruddani, D.A.I., Abdurakhman, Safitri, D. The Effect of Extreme Asset Prices to The Valuation of Zero Coupon Bond with Jump Diffusion Processes. Journal of Physics Conference Series , Vol. 1217. 2019b.