## TINGKAT-TINGKAT BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENERJEMAHKAN PERNYATAAN MATEMATIS BERKUANTOR UNIVERSAL DARI BENTUK KALIMAT BIASA

## MENJADI BENTUK KALIMAT FORMAL
M. Andy Rudhito dan Susento email: arudhito@yahoo.co.id dan susento@staff.usd.ac.id Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma Kampus III USD Paingan Maguwoharjo Yogyakarta

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menghasilkan  suatu  deskripsi    tingkat-tingkat berpikir  mahasiswa  dalam  menterjemahkan  pernyataan  matematis  berkuantor  universal dari  bentuk  kalimat  biasa  menjadi  bentuk  kalimat  formal.  Jenis  penelitian  ini  adalah penelitian  kualitatif  diskriptif.  Subjek  penelitian  ini  adalah  semua  mahasiswa  Program Studi  Pendidikan  Matematika  FKIP  semester  I  Universitas  Sanata  Dharma  Yogyakarta angkatan  tahun  2006,  yang  berjumlah  46  orang.  Data  bersifat  kualitatif,  yaitu  berupa jawaban  oleh  mahasiswa  terhadap  soal  yang  diberikan.  Data  dianalisis  secara  kualitatif dengan langkah-langkah: reduksi data, kategorisasi data, dan sintesisasi . Hasil penelitian mengindikasikan adanya 7 tingkat berpikir mahasiswa sebagai berikut: Tingkat-0: Tidak ada  gagasan  dalam  menerjemahkan;  Tingkat-1:  Kalimat  formal  tidak  menyatakan pernyataan berkuantor universal atau menyatakan pernyataan berkuantor universal tetapi tidak  bermakna;  Tingkat-2:  Kalimat  formal  menyatakan  pernyataan  berkuantor  yang bermakna  tetapi  tidak  sesuai  dengan  makna  soal  karena  kuantor  universal  tidak  sesuai; Tingkat-3:  Kalimat  formal  menyatakan  pernyataan  berkuantor  yang  bermakna  tetapi tidak  sesuai  dengan  makna  soal  karena  penulisan  predikat  tidak  tepat;  Tingkat-4: Kalimat formal menyatakan pernyataan berkuantor universal yang bermakna dan sesuai dengan  makna  soal,  tetapi  semesta  tidak  ditulis  atau  semesta  kurang  tepat;  Tingkat-5: Kalimat formal menyatakan pernyataan berkuantor universal yang bermakna dan  sesuai dengan  makna  soal,  tetapi  penulisan  predikat  kurang  tepat;  Tingkat-6:  Kalimat  formal menyatakan  pernyataan  berkuantor  universal  bermakna  dan  sesuai  dengan  makna  soal dengan tepat.
Kata kunci : tingkat berpikir, pernyataan berkuantor, logika matematik .

## PENDAHULUAN

## Latar Belakang
Pembuktian dalam matematika merupakan suatu kemampuan  yang harus dikuasi oleh  mahasiswa  dalam  bidang  matematika.  Akan  tetapi  sampai  mahasiswa  semester akhirpun masih banyak dijumpai mahasiswa yang mengalami kesulitan dalam melakukan pembuktian  pernyataan  matematis.  Menurut  Epp  (2003),  salah  satu  alasan  mahasiswa mempunyai  kesulitan  dengan  argumentasi  matematik  formal  adalah  bahwa  bentuk tertentu  suatu  pernyataan  terbuka  untuk  diinterpretasikan  secara  berbeda,  baik  secara informal  maupun  secara  formal.  Di  samping  itu  untuk  membantu  mengatasi  kesuliatan tersebut,  kita  perlu  melihat  tingkat-tingkat  berpikir  mahasiswa.  Suatu  hasil  penelitinan mengenai  tingkat-tingkat  berpikir  yang  sudah  dikenal  adalah  Taksonomi  SOLO. Taksonomi  SOLO  ( Structure  of  Observed  Learning  Outcomes )  adalah  suatu  taksonomi yang digunakan untuk mengklasifikasikan respons terhadap tugas-tugas matematika oleh seorang mahasiswa. Taksonomi ini meliputi lima level yaitu prastruktural, unistruktural, multistruktural, relasional, dan abstrak lanjut ( extended abstract) (Biggs & Collis, 1982).
Dalam masalah pembuktian pernyataan matematis, agar metode pembuktian dapat dipertanggungjawabkan, pernyataan matematis harus dalam bentuk formal. Kemampuan menerjemahkan  pernyataan  matematis  dalam  bentuk  kalimat  biasa  ke  bentuk  formal merupakan  suatu  kemampuan  yang  harus  dikuasi  dalam  masalah  pembuktian.  Untuk membantu tercapainya kemampuan ini, sebagai langkah awal perlu dilakukan penelitian untuk  mengetahui  tingkat-tingkat  berpikir  mahasiswa  dalam  menerjemahkan  pernyataan matematis berkuantor dari bentuk kalimat biasa menjadi bentuk kalimat formal

## Rumusan Masalah
Bagaimanakah  tingkat-tingkat  berpikir  mahasiswa  dalam  menerjemahkan pernyataan  matematis  berkuantor  universal  yang  diikuti  bentuk  implikasi  dari  bentuk kalimat biasa menjadi bentuk kalimat formal.

## Tujuan Penelitian
Mengidentifikasi  dan  mendiskripsikan  tingkat-tingkat  berpikir  mahasiswa  dalam menerjemahkan pernyataan matematis berkuantor universal yang diikuti bentuk implikasi dari bentuk kalimat biasa menjadi bentuk kalimat formal

## Manfaat Penelitian
Memberikan suatu acuan kepada pengajar saat melakukan pembelajaran di kelas yang  menyangkut  masalah  menerjemahkan  pernyataan  matematis  berkuantor  universal dari bentuk kalimat biasa menjadi bentuk kalimat formal.

## METODE PENELITIAN

## Jenis Penelitian
Penelitian  ini  tergolong  dalam  jenis  penelitian  kualitatif  diskriptif.  Penelitian berusaha  mendeskripsi  fenomena  dalam  keadaan  yang  seadanya  ( natural  setting ). Fenomena  yang  dimaksud  adalah  tingkat-tingkat  berpikir  mahasiswa  dalam menerjemahkan  pernyataan  matematis  berkuantor  dari  bentuk  kalimat  biasa  ke  bentuk kalimat formal.

## Subyek Penelitian
Subjek  penelitian  adalah  semua  mahasiswa  Program  Studi  Pendidikan Matematika  FKIP  Universitas  Sanata  Dharma  Yogyakarta  angkatan  tahun  2006  yang menjadi peserta perkuliahan Logika Matematika. Perkuliahan dilaksanakan pada semester gasal 2006/2007 yang diampu oleh Peneliti Utama. Mahasiswa terdiri dari 46 mahasiswa.

## Waktu Pelaksanaan
Pelaksanaan pengambilan data dilaksanakan saat Ujian Sisipan II pada tanggal 20 November 2006, pukul 07.00 – 09.00.

## Metode Pengumpulan Data:
Data  bersifat  kualitatif,  yaitu  berupa  jawaban  oleh  mahasiswa  terhadap  soal yang diberikan. Data dikumpulkan melalui tes tertulis.

## Instrumen Pengumpulan Data

## Soal tes tertulis::
Perhatikan pernyataan berikut: ” Bilangan bulat yang tiga kali-nya merupakan bilangan genap,  pasti  merupakan  bilangan  genap.”  Nyatakan  pernyataan  di  atas  dengan menggunakan variabel dan kuantor.
Adapun indikator-indikator yang ingin dicapai adalah mahasiswa dapat:
1. mengidentifikasi variabel,
2. mengidentifikasi semesta pembicaraan variabel,
3. menentukan kuantor yang sesuai,
4. mengidentifikasi kalimat-kalimat sederhana yang menyusun kalimat majemuknya, dan
5. menentukan penghubung logika yang tepat.
Sehingga jawaban yang diharapkan adalah ∀ x ∈ Z ,   3 x ∈ E ⇒ x ∈ E , dengan Z = himpunan semua bilangan bulat, E = himpunan semua bilangan genap.)

## Metode Analisis Data
Data  dianalisis  secara  kualitatif  dengan  langkah-langkah  sebagai  berikut (Moleong, 2006; Susento, 2006):
a. Reduksi  data:  Bagian-bagian  data  dibandingkan  dan  dikontraskan  satu  sama  lain untuk menghasilkan topik-topik data. Topik data adalah rangkuman bagian data yang mempunyai kandungan makna tertentu.
b. Kategorisasi  data:  Topik-topik  data  dibandingkan  dan  dikontraskan  satu  sama  lain untuk  menghasilkan  kategori-kategori  data.  Kategori  data  adalah  gagasan  abstrak yang mewakili makna yang sama yang terkandung dalam sekelompok topik data.
c. Sintesisasi:  Kategori-kategori  data  dibandingkan  dan  dikontraskan  satu  sama  lain untuk menemukan hubungan di antara kategori-kategori, beserta sifat-sifatnya .
Dalam langkah reduksi data, data dalam dokumen hasil kerja tes diolah sehingga menghasilkan  deskripsi  proses  berpikir  tiap  mahasiswa  dalam  mengerjakan  tiap  butir soal. Dalam langkah kategorisasi data, deskripsi proses berpikir tersebut diolah sehingga menghasilkan pola-pola proses berpikir mahasiswa untuk tiap jenis soal. Dalam langkah sintesisasi,  pola-pola  proses  berpikir  tersebut  diolah  sehingga  menghasilkan  klasifikasi
tingkat-tingkat  berpikir  mahasiswa  untuk  tiap  jenis  soal  beserta  formulasi  karakteristik masing-masing.

## Kriteria Tingkat Berpikir Mahasiswa
Kriteria tingkat-tingkat berpikir akan didasarkan pada dua hal, yaitu:
1. Kemampuan-kemampuan  yang  muncul  pada  jawaban  yang  diberikan,  yang  meliputi identifikasi  variabel,  identifikasi  semesta  pembicaraan  variabel,  penentuan  kuantor yang  sesuai,  identifikasi  kalimat-kalimat  sederhana  yang  menyusun  kalimat majemuknya, dan penentuan penghubung logika yang tepat.
2. Kebermaknaan rangkaian kalimat yang disusunnya. Kalimat dikatakan bermakna jika mempunyai  struktur  yang  lengkap,  yaitu  mempunyai  kuantifikasi  dan  predikat.
Sedangkan kalimat yang tidak bermakna jika strukturnya tidak lengkap. Kalimat yang bermakna sendiri akan dibagi menjadi dua kriteria, yaitu:
a. mempunyai makna yang sesuai dengan pernyataan dalam bahasa biasa,
b. mempunyai makna yang tidak sesuai dengan pernyataan dalam bahasa sehari-hari.

## HASIL ANALISIS DATA

## Reduksi data
Dalam bagian ini data dibandingkan dan dikontraskan untuk menghasilkan topik- topik  data  kualitas  jawaban  mahasiswa.  Jawaban  mahasiswa  merupakan  respon mahasiswa terhadap soal menerjemahkan pernyataan berkuantor berbentuk kalimat biasa menjadi  bentuk  kalimat  formal.  Beberapa  contoh  topik  data  dapat  dilihat  pada  Tabel  1 berikut:

## Tabel 1. Contoh Topik Data Kualitas Jawaban
Kode Jawaban Topik Data 001 ∃ x, x ∈ Θ ⇒ 3 x ∈ Γ Pernyataan berkuantor bermakna. Makna tidak sesuai dengan soal. Sudah menggunakan variabel. Pemilihan kuantor tidak tepat. Penggunaan notasi himpunan semua bilangan bulat tidak tepat. Penghubung logika benar, tetapi anteseden dan konsekuen terbalik. 003 ∀ x, ∈ Ζ ,   3 x = genap Logika belum bermakna. Pernyataan berkuantor bermakna.
Makna tidak sesuai dengan soal. Sudah menggunakan variabel. Kuantor benar. Sifat bilangan dituliskan menggunakan tanda
”=”. Hanya satu anak kalimat yang teridentifikasi. Penghubung logika belum ada.
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 13-24
005 ∀ x ∈ Ζ , y = 3 x ⇒ y = 2n Pernyataan berkuantor bermakna. Makna tidak sesuai dengan soal. Sudah menggunakan variabel, meskipun berlebihan. Kuantor benar. Penghubung Sifat ”genap” dari anteseden tidak ditulis. Penulisan konsekuen tidak tepat. 007 -- tidak ada jawaban -- Tidak mempunyai gagasan 009 ∃ x ∈ Genap ⇒ 3 x ∈ genap.
Pernyataan berkuantor bermakna. Makna tidak sesuai dengan soal. Sudah menggunakan variabel. Pemilihan kuantor tidak tepat. Salah menuliskan notasi himpunan, terpancang notasi yang ada (tidak berani menuliskan simbol himpunan sendiri).
Penghubung logika benar, tetapi anteseden dan konsekuen terbalik.
...

## Kategorisasi Data
Topik-topik  data  di  atas  dibandingkan  dan  dikontraskan  untuk  menghasilkan kategori    dan  subkategori  beserta  contoh  topik  data,  seperti  disajikan  dalam  Tabel  2 berikut.
Tabel 2. Kategori dan Subkategori Data Kualitas Jawaban

## Bentuk Kalimat Kuantor Universal
Kategori dan Subkategori Data Topik Data Tidak punya gagasan (2 mahasiswa) Punya gagasan - Bukan berupa pernyataan berkuantor 3 x bil bulat - Berupa pernyataan berkuantor
- Pernyataan berkuantor tidak
bermakna - - Pernyataan berkuantor bermakna Tidak sesuai dengan makna soal, karena menggunakan kuantor eksistensial ∃ x ∈ Genap ⇒ 3 x ∈ genap ∃ x ∈ Ζ , sdhg   3 x = genap ⇒ x = genap
... Tidak sesuai dengan makna soal, karena pernyataan hanya berisi kalimat terbuka tunggal ∀ x, ∈ Ζ ,   3 x = genap ∀ x ∈ Ζ ,  3 x = genap ... Tidak sesuai dengan makna soal, karena tidak menggunakan penghubung logika ∀ 3 x = genap ; x = genap x ∈ Ζ tiga kalinya, x = bilangan genap, ∃ x , x ∈ Ζ
Tidak sesuai dengan makna soal, karena menggunakan penghubung logika selain
“ ⇒ ”
∀ x, 3 x = genap ⇔ x = genap, x ∈Ζ ∀ x, x ∈ Ζ + ( x = 2 n ) ⇔ (3 x = 2 m ) ; x , n , m ∈ Ζ
Tidak sesuai dengan makna soal, karena anteseden dan konsekuen terbalik ∃ x ∈ Genap ⇒ 3 x ∈ genap ∀ x,y. x ∈ bil genap, y ∈ Ζ ⇒ 3 y.x = Ζ. .... Tidak sesuai dengan makna soal, karena anteseden tidak memuat sifat ”genap”
∀ x ∈ Ζ , y = 3 x ⇒ y = 2n
Tidak sesuai dengan makna soal, karena anteseden dan konsekuen tidak memuat sifat “genap”
∀ x, x ∈ Ζ ; 3 x = ( n +1) ⇒ x = ( k + 1)
Tidak sesuai dengan makna soal, karena ∀ x, m, n ∈ Ζ , 3 x = 2 n ⇒ x = 2 m
kuantifikasi berlebihan ∀ x , ( x = 2 n ) ⇔ (3 x = 2 m ) , x, n, m ∈ Ζ .
∀ x,y x ∈ Ζ , y ∈ Ε , 3 y = x ∈ Ε ⇒ , x ∈ Ε
... Tidak sesuai dengan makna soal, karena menafsirkan “tiga kali” sebagai “pangkat tiga” ∀ x, x 3 = bil genap ⇒ x = bil genap, x ∈ Ζ ∀ x, x ∈ Ζ x = y.y.y, y ∈ genap ⇒ x ∈ genap.
∀ x, x ∈ Ζ , x 3 = genap ⇒ x genap ∀ x, x ∈ Ζ + ⇒ x 3 ∈ Ζ +
Sesuai dengan makna soal, tetapi semesta kuantifikasi tidak didefinisikan
∀ x, 3 x ∈ genap ⇒ x ∈ genap Sesuai dengan makna soal, tetapi definisi semesta ditulis secara terpisah dari kuantifikasi ∀ x , x 2 = genap ⇒ x genap, x ∈ Ζ
Sesuai dengan makna soal, tetapi kuantifikasi ditulis secara tidak efisien
∀ x, x ∈ I , 3 x ∈ Ε ⇒ x ∈ Ε ,  ket: Ε = even (bil. genap). ∀ x,  x ∈ Z sdhg   3 x ∈ Ζ genap ⇒ x ∈ Ζ genap
∀ x, x ∈ Z,   3 x ∈ genap ⇒ x ∈ genap
... Sesuai dengan makna soal, tetapi semesta kuantifikasi dibatasi pada himpunan semua bilangan bulat positif ∀ x ∈ Ζ + ,   3 x genap ⇒ x genap ∀ x ∈ Ζ + , x 2 bil genap ⇒ x bil genap Sesuai dengan makna soal, tetapi anteseden dan konsekuen mengandung ungkapan/notasi yang salah ∀ n ∈ Ζ ,   3 n = Ζ genap ⇒ n = Ζ genap ∀ x ∈ Ζ ,   3 x ∈ genap ⇒ x ∈ genap ∀ x, x ∈ Z,   3 x ∈ genap ⇒ x ∈ genap
... Sesuai dengan makna soal, tetapi sifat “genap” tidak dinyatakan secara eksplisit dalam anteseden ∀ x, x ∈ Ζ 3 x = 3(2 k ) ⇒ x = 2 k A = { x  x ∈ Ζ , , x 2 = 2 n ⇒ x bil genap} ∀ x ∈ Ζ , x 2 = 2 n ⇒ x bil genap.
Sesuai dengan makna soal, tetapi sifat “genap” tidak dinyatakan secara eksplisit dalam konsekuen ∀ x, x ∈ Ζ 3 x = 3(2 k ) ⇒ x = 2 k
Sesuai dengan makna soal dengan tepat ∀ x ∈ Ζ ,   3 x genap ⇒ x genap Keterangan:
1). Bermakna (= mempunyai struktur yang lengkap, yaitu <kuantifikasi> + <predikat>):
a). Tidak sesuai (= mempunyai makna yang tidak sesuai dengan pernyataan dalam bahasa sehari-hari)
b). Sesuai (= mempunyai makna yang sesuai dengan pernyataan dalam bahasa biasa)
2) Tidak bermakna (= mempunyai struktur yang tidak lengkap)
Kategori dan subkategori data di atas dapat disampaikan dalam bentuk diagram pohon pada diagram 1 berikut.

## Diagram 1. Kategori dan Subkategori Data Bentuk Kalimat Kuantor Universal

## Sintesisasi
Kategori-kategori  data  di  atas  selanjutnya  dibandingkan  dan  dikontraskan  untuk menemukan  hubungan  di  antaranya  dan  sifat-sifatnya.  Dari  sini  selanjutnya  disusun tingkat-tingkat berpikir
Tabel 7. Tingkat-Tingkat Berpikir untuk Bentuk Kalimat Kuantor Universal
No Tingkat Indikator 1 Tingkat-0 Tidak ada gagasan 2 Tingkat-1 Bukan pernyataan berkuantor atau pernyataan berkuantor yang tidak bermakna. 3 Tingkat-2 Pernyataan  berkuantor  bermakna  tetapi  tidak  sesuai  dengan makna  soal  karena  kuantor  tidak  sesuai  atau  berupa  kalimat tunggal
Kemampuan Menerjemahkan Tidak ada gagasan Ada gagasan Bukan pernyataan berkuantor Pernyataan berkuantor Tidak bermakna
Bermakna Tidak sesuai dengan makna soal Sesuai dengan makna soal tepat
Tetapi: 1. Semesta tidak ditulis.
2. Semesta kurang tepat.
3. Penulisan anak kalimat mengandung notasi
yang salah. 4. Penulisan sifat anak kalimat tidak dinyata- kan secara eksplisit. Karena: 1. Kuantor tidak sesuai 2. Berupa kalimat tunggal. 3. Penghubung logika tidak ada atau tidak sesuai. 4. Anteseden dan konsekuen terbalik 5. Penulisan sifat anak kalimat tidak tepat
4 Tingkat-3 Pernyataan  berkuantor  bermakna  tetapi  tidak  sesuai  dengan makna  soal  karena  anteseden  dan  konsekuen  terbalik  atau penulisan sifat anak kalimat tidak tepat. 5 Tingkat-4 Pernyataan  berkuantor  bermakna  dan  sesuai  dengan  makna soal, tetapi semesta tidak ditulis atau semesta kurang tepat 6 Tingkat-5 Pernyataan  berkuantor  bermakna  dan    sesuai  dengan  makna soal,  tetapi  penulisan  anak  kalimat  mengandung  notasi  yang salah  atau  penulisan  sifat  anak  kalimat  tidak  dinyatakan secara eksplisit 7 Tingkat-6 Pernyataan  berkuantor  bermakna  dan  sesuai  dengan  makna soal dengan tepat

## PEMBAHASAN

## Aktivitas Kognitif dalam Menerjemahkan Pernyataan Matematis Berkuantor
Menurut  Solso  (2001),  berpikir  adalah  proses  pembentukan  representasi  mental baru  melalui  transformasi  informasi  yang  melibatkan  kerja-kerja  mental  seperti mempertimbangkan,  mengabstraksi,  menalar,  membayangkan,  dan  memecahkan masalah. Dalam hal dalam menerjemahkan pernyataan matematis berkuantor dari bentuk kalimat  biasa  menjadi  bentuk  kalimat  formal,  kerja-kerja  mental  yang  nampak  adalah mempertimbangkan, mengabstraksi dan menalar. Dalam hal mempertimbangkan nampak bahwa mahasiswa harus mempertimbangkan variabel, semesta pembicaraan, kuantor dan penghubung logika yang akan digunakan.
Dari data nampak bahwa untuk dapat menerjemahkan kalimat berkuantor dengan benar,  termasuk  dalam  hal  ini  memahami  makna  soal  dan  menuliskan  kembali  dalam bentuk  formal  yang  sesuai,  mereka  menggunakan  pengetahuan  yang  telah  dimiliki.  Hal ini  nampak  dalam  topik-topik  data  di  mana  mahasiswa  ada  yang  menuliskan  anteseden dan  konsekuen  secara  terbalik,  tidak  dapat  menuliskan  sifat  genap  dengan  tepat, menafsirkan ’tiga kali’ sebagai ’pangkat tiga’, dan menuliskan keanggotaan. Hal di atas sesuai  dengan  Glass  &  Holyoak  (1986),  bahwa  berpikir  melibatkan  transformasi  secara aktif  pengetahuan  yang  telah  dimiliki  untuk  menciptakan  pengetahuan  baru  yang  dapat digunakan untuk mencapai suatu sasaran
Menurut  Mayer  (dalam  Solso,  2001),  berpikir  bersifat  kognitif,  yakni  terjadi  di dalam otak tetapi nampak dalam perilaku. Dalam hal dalam menerjemahkan pernyataan
matematis berkuantor dari bentuk kalimat biasa menjadi bentuk kalimat formal, perilaku mahasiswa  saat  mengerjakan  soal  (yang  peneliti  amati  waktu  menjaga  ujian)  semuanya hampir  sama,  yaitu  duduk  dengan  tenang,  kadang  diam  sejenak  sambil  menerawang, mencoret-coret  dan  menuliskan  sesuatu  dalam  kertas  ujian.  Akan  tetapi  saat  diperiksa hasil ujian nampak berbagai macam variasi jawaban seperti yang terlihat dalam data dan analisis di depan.
Menentukan  kebenaran  suatu  kalimat  tentu  saja  tidak  terlepas  dari  pengetahuan yang dimiliki. Hal seperti ini nampak dalam topik data di mana ada sebagian mahasiswa yang  menuliskan  anteseden  dan  konsekuen  terbalik  (tidak  sesuai  dengan  soal),  hal  ini karena  pernyataan:  ”jika x genap,  maka  3 x genap”  dibandingkan  pernyataan    ”jika    3 x genap  maka, x genap”.  Menurut  Epp  (2003)  menentukan  nilai  kebenaran  suatu pernyataan  matematik,  yang  sederhana sekalipun,  memerlukan  aktivitas  kognitif  yang komplek.  Dalam  hal  ini  seseorang  tidak  hanya  membutuhkan  pengetahuan  tentang prinsip-prinsip  logika,  tetapi  juga  bagaimana  prinsip-prinsip  itu  harus  digunakan  agar argumentasi menjadi valid.

## Kesulitan-kesulitan  dalam  Menerjemahkan Pernyataan  Matematis  Berkuantor Universal
Menurut  Epp  (2003),  pernyataan  yang  diungkapkan  dalam  bahasa  sehari-hari sangat  memungkinkan  terjadi  kerancuan  yang  berkaitan  dengan  konteks  dan  latar belakang pengetahuan pembaca. Di samping itu  masih  menurut Epp (2003), perbedaan antara  bahasa  sehari-hari  dan  bahasa  matematis  merupakan  salah  satu  faktor  kesulitan mahasiswa  dalam  mempelajari  pernyataan  berkuantor.    Berdasarkan  data  jawaban  dan analisis data berikut dibahas kesulitan yang nampak dan dugaan penyebabnya.
1. Tidak memiliki gagasan atau gagasan tidak bermakna
Hal  ini  diduga  mahasiswa  sama  sekali  mempunyai  gambaran  bagaimana  konsep matematik  yang  dituliskan  dalam  bahasa  sehari-hari  akan  dituliskan  dengan menggunakan bahasa formal matematik.
2. Pemilihan kuantor yang tidak sesuai
Penulisan  kuantor  yang  sesuai  diduga  memerlukan  pemahaman  mengenai cakupan  berlakunya  variabel.  Dari  data  nampak  bahwa  beberapa  beberapa
pemilihan kuantor yang tidak sesuai karena subyek mengira hanya berlaku untuk beberapa  nilai  variabel.  Sementara  untuk  semua  variabel  dalam  semesta  yang dimaksud sebenarnya berlaku.

## 3. Penulisan anteseden dan konsekuen yang terbalik
Seperti  yang  sudah  dibahas  di  depan,  hal  ini  diduga  disebabkan  karena  bentuk implikasi dalam arah sebaliknya dari soal lebih mudah dipahami.

## 4. Tidak menuliskan semesta pembicaraan
Dalam  pelajaran  matematika  di  sekolah  menengah  semesta  pembicaraan  tidak selalu  eksplisit  dituliskan,  karena  semesta  pembicaraan  variabel  biasanya  adalah himpunan  semua  bilangan  real.  Hal  ini  yang  diduga  sebagai  penyebabnya,  yaitu belum biasa menuliskan semesta pembicaraan secara eksplisit.
5. Penulisan sifat anak kalimat yang tidak sesuai
Kesulitan  ini  diduga  disebabkan  oleh  minimnya  pengetahuan  dan  pengalaman mahasiswa  semester  I  dalam  menuliskan  pernyataan  matematika  secara  formal. Meskipun  disadari  juga  hal  ini  memerlukan  kemampuan  abstraksi  dan  berpikir secara simbolik.

## SIMPULAN DAN SARAN

## Simpulan
Tingkat-tingkat  berpikir  mahasiswa  dalam  menerjemahkan  pernyataan  matematis berkuantor  dari  bentuk  kalimat  biasa  menjadi  bentuk  kalimat  formal  untuk  kalimat dengan  kuantor  universal  yang  diikuti  bentuk  implikasi  terdiri  dari  7  tingkat  dengan tingkat-tingkat dan indikatornya sebagai berikut: Tingkat-0 : Tidak ada gagasan; Tingkat- 1 :  Bukan  pernyataan  berkuantor  atau  pernyataan  berkuantor  yang  tidak  bermakna; Tingkat-2 :  Pernyataan  berkuantor  bermakna  tetapi  tidak  sesuai  makna  soal  karena kuantor  tidak  sesuai  atau  berupa  kalimat  tunggal; Tingkat-3 :  Pernyataan  berkuantor bermakna  tetapi  tidak  sesuai  makna  soal  karena  anteseden  dan  konsekuen  terbalik  atau penulisan sifat anak kalimat tidak tepat; Tingkat-4 : Pernyataan berkuantor bermakna dan sesuai  makna  soal,  tetapi  semesta  tidak  ditulis  atau  semesta  kurang  tepat; Tingkat-5 : Pernyataan  berkuantor  bermakna  dan    sesuai  makna  soal,  tetapi  penulisan  anak  kalimat
mengandung notasi yang salah atau penulisan sifat anak tidak dinyatakan secara eksplisit;
Tingkat-6 : Pernyataan berkuantor bermakna dan sesuai makna soal dengan tepat.

## Saran
Untuk  penelitian  dan  implementasi  lebih  lanjut  di  masa  datang,  diberikan  beberapa saran berikut:
1. Dalam  penelitian  ini  analisis  data  hanya  didasarkan  pada  respon  tertulis.  Sementara karena  ini  adalah  penelitian  mengenai  proses  berpikir,  maka  hendaknya  perlu  digali lebih mendalam mengenai proses berpikir dengan metode tugas atau wawancara yang lebih  intensif  dalam  mengungkap  proses  berpikir  dengan  jumlah  subyek  penelitian yang lebih sedikit.
2. Perlu  disadari  bahwa  untuk  mahasiswa  tahun-tahun  awal  masih  sedikit  pengetahuan dan  pengalaman  dalam  mengungkapkan  gagasan  matematik  secara  formal.  Hal  ini kiranya  memerlukan  perhatian  dan  kesabaran  pengajar  dalam  membimbing mahasiswa  dalam  menerapkan  prinsip-prinsip  logika  formal  yang  telah  dipelajari dalam penggunaanya pada matakuliah matematika di tahun-tahun berikutnya.

## DAFTAR PUSTAKA
Biggs, J. & Collis, K.F. 1982. Evaluating the Quality of Learning: The SOLO Taxonomy. New York: Academic Press.
Epp,  Susanna  S.  2003.  The  Role  of  Logic  in  Teaching  Proof. American  Mathematical Montly, 110 (10) h. 886-899.
Moleong, L.J. 2006. Metodologi Penelitian Kualitatif . Edisi Revisi. Bandung: 2006.
Solso, R.L. 1991. Cognitive Psychology. Third Edition. Boston: Allyn and Bacon.
Susento.  2006. Mekanisme  Interaksi  antara  Pengalaman  Kultural-matematis,  Proses Kognitif  dan  Topangan  dalam  Proses  Reinvensi  Terbimbing. Disertasi  Doktor. Surabaya: Universitas Negeri Surabaya.