Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 9 No. 1, Maret 2021
p -ISSN 2355-5785 http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
e -ISSN 2550-0325

## Aplikasi Transformasi Laplace pada Sistem Dinamik Pendulum Terbalik dengan Redaman dan Gaya Penggerak
Dewi Fairuz Zulaikha, Warsono
Program Studi Magister Pendidikan Fisika, Universitas Negeri Yogyakarta, Indonesia. E-mail: dewifairuz.2020@student.uny.ac.id

## Abstrak
Pendulum  terbalik  merupakan  suatu  sistem  non-linear,  multivariabel,  tidak  stabil dan  merupakan  tolak  ukur  yang  sangat  baik  untuk  menguji  algoritma  kontrol  yang berbeda.  Dalam  beberapa  tahun  terakhir,  minat  para  peneliti  di  bidang  sistem kontrol pada pendulum terbalik meningkat. Persamaan gerak pada sistem pendulum merupakan persamaan diferensial yang dapat dianalisis menggunakan Transformasi Laplace. Aljabar tersebut menjadi rumit pada suatu kejadian dan dapat lebih mudah jika  diselesaikan  menggunakan  transformasi  Laplace  daripada  jika  diselesaikan dengan  analisis  persamaan  diferensial  secara  langsung.  Tujuan  dari  penelitian  ini adalah  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  dari  hasil  Lagrangian  pada sistem dinamik pendulum terbalik menggunakan transformasi Laplace. Metode yang digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  adalah  menggunakan Mekanika  Lagrange  dan  Tranformasi  Laplace.  Analisis  dengan  Lagrangian digunakan  untuk  menentukan  persamaan  diferensial  orde  2  pada  sistem.  Kemudian persamaan  diferensial  tersebut  diselesaikan  dengan  menggunakan  transformasi Laplace dan invers transformasi Laplace sehingga diperoleh persamaan akhir dalam domain waktu (t).
Kata kunci: Transformasi Laplace; Sistem Dinamik; Pendulum Terbalik; Gaya Penggerak Pendulum

## 1. Pendahuluan
Pendulum  adalah  sistem  yang  dinamis (Agarana,  M  C  &  Agboola,  2015).  Pendulum biasanya memiliki poros di bagian atas dan massa di bagian bawah (Agarana, Michael C. & Ajayi, 2017). Pendulum  yang  memiliki  titik  pusat  massa  di  atas titik  baliknya  dinamakan  pendulum  terbalik/ inverted  pendulum (Michael  et  al.,  2019) . Tidak seperti  pendulum  biasa  yang  selalu  stabil  ketika digantungkan  ke  bawah,  pendulum  terbalik  adalah suatu  sistem  yang  tidak  stabil  dan  harus diseimbangkan  agar  tetap  tegak  (Agarana,  Michael C.  &  Ajayi,  2017). Pendulum  terbalik  merupakan suatu  sistem  yang  non-linear,  multivariabel,  tidak stabil  dan  merupakan  tolak  ukur  yang  sangat  baik untuk  menguji  algoritma  kontrol  yang  berbeda (Mandic  et  al.,  2017).  Sistem  pendulum  terbalik adalah  persoalan  umum  yang  sering  digunakan untuk  mendemonstrasikan  aplikasi  dari  sistem kendali  untuk  menstabilkan  suatu  sistem plant (Sablina et al., 2015), (Rizal & Mantala, 2016).
Dalam  beberapa  tahun  terakhir,  minat  para peneliti  di  bidang  sistem  kontrol  pada  pendulum terbalik meningkat (Mandic et al., 2017), (Tin et al., 2019)  karena  kesamaan  mendasar  dari  sistem
pendulum  terbalik  dengan  berbagai  sistem  praktik, seperti  keseimbangan  tongkat,  gaya  berjalan manusia, keseimbangan peluncur roket dan gerakan vertikal  lengan  manusia  (Bandari  et  al.,  2017). Pendulum  terbalik  adalah  suatu  mekanisme  untuk membawa  objek  dari  satu  tempat  ke  tempat  yang lain  dan  terlihat  fungsinya  saat  berjalan  (Agarana, Michael  C.  &  Ajayi,  2017).  Sistem  pendulum terbalik  juga  banyak  diaplikasikan  dalam  berbagai bidang seperti di dunia robotik, proses industri, dan multi-teknologi  atau  kombinasi  organik  (Su  et  al., 2018)  serta  menjadi  persoalan  yang  sangat  penting baik  di  dunia  teori  maupun  praktik  (Tin  et  al., 2019).
Persamaan  gerak  pada  sistem  pendulum merupakan  persamaan  diferensial  yang  dapat dianalisis  menggunakan  Transformasi  Laplace. Metode  Transformasi  Laplace  ( Laplace  transform ) menganalisis  suatu  persamaan  diferensial  dengan memetakan  masalah  nilai  awal  ke  dalam  suatu persamaan  aljabar  atau  suatu  sistem  persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode aljabar dan tabel  pada  transformasi  Laplace  (Arifin  et  al., 2013).  Aljabar  tersebut  menjadi  rumit  pada  suatu kejadian  dan  dapat  lebih  mudah  jika  diselesaikan menggunakan  transformasi  Laplace  daripada  jika
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 9 No. 1, Maret 2021
p -ISSN 2355-5785 http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
e -ISSN 2550-0325
diselesaikan  dengan  analisis  persamaan  diferensial secara langsung (Minggani, 2019).
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial  dari  hasil Lagrangian pada sistem dinamik pendulum terbalik menggunakan  transformasi  Laplace.  Pengaruh  dari dinamika  pendulum  terbalik  pada  penelitian  ini ditunjukkan  dengan  persamaan  kecepatan  sudut sebagai fungsi waktu.

## 2. Pembahasan
2.1. Penyelesaian Persamaan Diferensial
dengan Transformasi Laplace
Secara umum, transformasi Laplace
didefinisikan dengan:
dengan , merupakan
operator transformasi  Laplace, merupakan  fungsi kernel  transformasi  dan    merupakan  variabel transformasi  (Appel,  2007),  (Arfken  &  Weber, 2016), (Boas, 2006), (Kusse & Westwig, 2006), (Riley et al., 2006).
Langkah-langkah dalam mencari penyelesaian  dari  suatu  persamaan  diferensial dengan  menggunakan  transformasi  Laplace adalah  (Agarana,  M  C  &  Agboola,  2015), (Arifin et al., 2013):
a. Melakukan  transformasi  Laplace  pada kedua ruas persamaan
b. Menyederhanakan  hasil  yang  diperoleh secara  aljabar.  Jika  mengandung  pecahan parsial,
maka analisis dengan menggunakan metode penjumlahan
pecahan parsial.
c. Mencari invers transformasi Laplace untuk menentukan  fungsi  dalam  domain t. Hasil dari  transformasi  Laplace  invers  adalah solusi  dari  persamaan  diferensial  yang diberikan.
2.2. Pemodelan dari Sistem Pendulum Terbalik  dengan  Redaman  dan  Gaya
Penggerak
Ilustrasi  dari sistem pendulum  terbalik dapat dilihat pada Gambar 1
Gambar 1. Sistem Pendulum Terbalik
Komponen vertikal dan horizontal dari panjang tali pada  pendulum  terbalik  dapat  dilihat  pada  Gambar 2.

## Gambar 2. Komponen vertikal dan horizontal dari panjang tali pada pendulum terbalik
Mekanika  Langrange  cocok  untuk  sistem dengan gaya konservatif dan untuk mengatasi gaya yang berlaku pada sistem koordinat apa saja dengan menganalisisnya  menggunakan  energi  (baik  energi kinetik maupun energi potensial) (Agarana, Michael C.  &  Ajayi,  2017).  Lagrangian  didefinisikan dengan:
dimana dan   berturut-turut adalah energi kinetik dan energi potensial.
Persamaan  gerak  dapat  ditentukan  dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange:
dimana adalah  sudut  pendulum  ke  arah  vertikal ke atas.
Berdasarkan gambar, diperoleh bahwa:

## sehingga
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 9 No. 1, Maret 2021
p -ISSN 2355-5785 http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
e -ISSN 2550-0325
Kecepatan sebagai besaran vektor dapat ditentukan dengan
Mengingat sifat trigonometri bahwa
maka
Dari  persamaan  (1),  Lagrangian  dapat  ditulis sebagai: sehingga
Sehingga Persamaan Euler-Lagrange menjadi:
Persamaan (16) adalah persamaan diferensial untuk  sistem  pendulum  terbalik  tanpa  gaya tambahan. Jika terdapat gaya redam yang sebanding dengan  kecepatan,  persamaan  gerak  akan  memuat suku  redaman, dimana adalah  koefisien redaman. Jika terdapat juga gaya penggerak ( driving force ),  persamaan  juga  akan  memuat  suku  gaya penggerak menjadi:
dimana adalah  amplitudo  dari  gaya  penggerak
dan .
Bentuk  tak  berdimensi  dari  persamaan  di  atas adalah:
Persamaan (19) dapat dinyatakan dengan:
2.3. Transformasi Laplace untuk Menganalisis Sistem Pendulum Terbalik dengan Redaman dan Gaya Penggerak Kondisi awal dari sistem adalah: Misalkan dan maka persamaan diferensial (20) menjadi:
Dengan  cara  substitusi  dan  eliminasi  antara persamaan  (28)  dan  (30)  maka  didapatkan dan
sehingga persamaan (29) menjadi:
Persamaan (31) diselesaikan dengan invers Transformasi Laplace:
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 9 No. 1, Maret 2021
p -ISSN 2355-5785 http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
e -ISSN 2550-0325
Dengan cara yang sama menggunakan transformasi Laplace  untuk dan yang  berbeda,  maka
diperoleh persamaan seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Tabel Kecepatan Sudut untuk   dan   yang berbeda 0 0 0 0 0 0
Grafik  kecepatan  sudut  sebagai  fungsi  waktu untuk dan  pada dapat  dilihat
pada Gambar 3. Grafik kecepatan sudut sebagai
fungsi waktu untuk dan pada
dapat dilihat pada Gambar 4.
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 9 No. 1, Maret 2021
p -ISSN 2355-5785 http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
e -ISSN 2550-0325
Gambar 3. Grafik Kecepatan Sudut Terhadap Waktu dengan Variasi   pada

## Gambar 4. Grafik Kecepatan Sudut Terhadap Waktu dengan Variasi

## 3. Penutup
Berdasarkan pembahasan, maka dapat disimpulkan  bahwa  transformasi  Laplace  dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial  pada  sistem  pendulum  terbalik  dengan redaman dan gaya penggerak ( driving force ).
Daftar Pustaka
Agarana, M C, & Agboola, O. O. (2015). Dynamic Analysis of Damped Driven Pendulum using Laplace Transform Method d T. International Journal of Mathematics and Computation , 26 (3).
Agarana, Michael C., & Ajayi, O. O. (2017).
Dynamic modeling and analysis of inverted pendulum using lagrangian- differential transform method. In
Y Y Y Y Y Y Y Y
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 9 No. 1, Maret 2021
p -ISSN 2355-5785 http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
e -ISSN 2550-0325
Proceeding of the World Congress on Engineering (Vol. 2230, hal. 1031–1036).
Appel, W. (2007). Mathematics for Physics and Physicists . New Jersey: New Jersey.
Arfken, G. B., & Weber, H. J. (2016).
Mathematical Methods for Physicists (7th editio). Florida: A Harcourt Science and Technology Company.
Arifin, A., Musthofa, M. W., & Sugiyanto, S.
(2013). Aplikasi Transformasi Laplace Pada Rangkaian Listrik. Jurnal Fourier ,
2 (1), 45. https://doi.org/10.14421/fourier.2013.21.4 5-61
Bandari, N., Hooshiar, A., Javaddargahi, M., & Su, C. Y. (2017). Stabilization of Double Inverted Pendulum on a Cart: LQR
Approach, 5 (2), 149–153.
Boas, M. L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd editio).
Hoboken: Kaye Pace.
Kusse, B. R., & Westwig, E. A. (2006).
Mathematical Physics, Applied Mathematics for Scientists and Engineers (2nd editio). Berlin: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.
Mandic, P. D., Lazarevic, M. P., Šekara, T. B., Cajic, M., & Bucanovic, L. (2017). Stabilization of Double Inverted Pendulum System by Using a Fractional Differential Compensator. In 2017 29th Chinese Control And Decision Conference
(CCDC), Chongqing (hal. 1911–1916). https://doi.org/10.1109/CCDC.2017.79788 29.
Michael, C., Agarana, C., Esther, T., & Akinlabi, T. (2019). Lagrangian-Laplace Dynamic Mechanical Analysis and Modeling of Inverted Pendulum. In Procedia Manufacturing (Vol. 35, hal. 711–718). Elsevier B.V. https://doi.org/10.1016/j.promfg.2019.06.0 13
Minggani, F. (2019). Penerapan Transformasi Laplace Modifikasi Pada Persamaan Diferensial. In Prosiding Natinal Conference on Mathematics, Science, and Education (NACOMSE) (hal. 91–98).
Riley, K. F., Hobson, M. P., & Bence, S. J.
(2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering (3rd editio). New York: Cambridge University Press.
Rizal, Y., & Mantala, R. (2016). Keseimbangan Sistem Pendulum Terbalik Beroda. In
Prosiding SNRT (Seminar Nasional Riset Terapan) (Vol. 5662, hal. 9–10).
Sablina, G. V., Stazhilov, I. V., & Sazhin, A. I.
(2015). Synthesis of double inverted pendulum on the cart system on the sliding modes method basis. In 2015 International
Siberian Conference on Control and
Communications, SIBCON 2015 - Proceedings (hal. 2–6). https://doi.org/10.1109/SIBCON.2015.714 7201
Su, X., Xia, F., Liu, J., & Wu, L. (2018). Event- triggered fuzzy control of nonlinear systems with its application to inverted pendulum systems. Automatica , 94 (1), 236–248.
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2018.
04.025
Tin, P. T., Minh, T. H. Q., Trang, T. T., & Dung, N. Q. (2019). Using real interpolation method for adaptive identification of nonlinear inverted pendulum system. International Journal of Electrical and Computer Engineering ,
9 (2), 1078–1089. https://doi.org/10.11591/ijece.v9i2.pp.107 8-1089