J .   M at h .   a n d  I t s  A pp l .
E - I SSN:   2 5 7 9 - 8 9 3 6 P- I SSN:   1 8 2 9 - 6 0 5 X Vol .   1 4 ,   No.   1,   Mei   2 0 1 7,  1 7 — 2 3

## TEORI IDEAL PADA SEMIRING FAKTOR DAN SEMIRING TERNARY FAKTOR

## Dian Winda Setyawati
Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember dian_ws_math@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Semiring merupakan generalisasi dari ring dimana syarat invers terhadap penjumlahan  dihilangkan.  Pada  semiring,  operasi  yang  digunakan  adalah operasi  biner  penjumlahan  dan  operasi  biner  perkalian  sedangkan  pada semiring  ternari,  operasi  yang  digunakan  adalah  operasi  biner  penjumlahan dan  operasi  terner  perkalian.  Telah  diperoleh  karakterisasi  ideal,  ideal perluasan subtraktif, ideal prima pada semiring faktor maupun semiring ternari faktor.  Pada  paper  ini  akan  diberikan  pembuktian  pada  karakterisasi  ideal, ideal  perluasan  subtraktif,  ideal  prima  pada  semiring  ternari  faktor  dengan mengkaitkan hasil yang telah diperoleh terlebih dahulu pada semiring faktor Kata  Kunci: ideal  perluasan  subtraktif,  ideal  prima,  semiring  faktor  dan semiring ternari faktor

## 1 Pendahuluan
Pada  saat  ini  telah  banyak paper yang  membahas  semiring  maupun semiring ternary. Pada paper Gupta V & Chaudhari,J.N (2009) dibahas ideal prima  pada  semiring, Chaudhari,J.N  dan  Ingale,  K.J.  (2011) dibahas ideal subtraktif pada Semiring ternary, Setyawati, D.W dan Soleha (2014) dibahas bentuk-bentuk  ideal  pada  semiring (ℤ + , +,∙) dan  bentuk-bentuk  ideal  pada semiring (ℤ + ,⊕,⊙) , Setyawati,  DW  and  Soleha  (2016)  dibahas  bentuk  – bentuk ideal pada semiring ( 𝑆 𝑛𝑥𝑛 (ℤ 0 + ), +, . ) dan semiring (𝑆 𝑛𝑥𝑛 (ℤ 0 + ),⊕,⊙) . Pada  paper Chaudhari,J.N dan  Bonde,  D.R  (2014)  telah  diperoleh karakterisasi  ideal,  ideal  perluasan  subtraktif,  ideal  prima  pada  semiring faktor  sedangkan  pada  paper Chaudhari,  J.N dan  Ingale,K.J  (2016)  telah diperoleh  karakterisasi  ideal,  ideal  perluasan  subtraktif,  ideal  prima  pada semiring  ternari  faktor.  Pada  paper  ini  diberikan  pembuktian  karakterisasi ideal,  ideal  perluasan  subtraktif,  ideal  prima  pada  semiring  ternari  faktor dengan mengkaitkan hasil yang telah diperoleh terlebih dahulu pada semiring faktor. Teorema – teorema terkait dengan karakterisasi ideal, ideal perluasan subtraktif,  ideal  prima  yang  telah  diperoleh  pada  semiring  ternari  faktor
dianalasisa  sifat  yang  berlaku  pada  operasinya.  Pada  paper  ini  sifat  yang berlaku pada operasi biner penjumlahan, pembuktian teorema akan dikaitkan dengan teorema yang ada pada hasil pada paper Chaudhari,J.N dan Bonde, D.R (2014) sehingga pembuktian pada paper  ini  beberapa akan  berbeda dengan paper Chaudhari,J.N dan Ingale,K.J (2016) sedangkan sifat yang berlaku pada operasi terner perkalian, pembuktian teorema akan diuraikan secara lengkap seperti pada paper Chaudhari,J.N dan Ingale,K.J (2016)

## 2 Teori Ideal pada Semiring Faktor
2.1 Ideal Pada Semiring
Pada  subbab  ini  akan  diberikan  definisi  –  definisi  ideal  yang  terkait dengan pembahasan pada bab 3 Definisi 2.1 [4] Himpunan  tak  kosong 𝑅 terhadap  operasi  biner  “ + ” dan “ ∙ ” disebut semiring, apabila untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 berlaku
a. Bersifat  asosiatif  terhadap  operasi  biner  “ + ”yaitu (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
b. Bersifat komutatif terhadap operasi biner “ + ”yaitu 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
c. Terdapat  elemen 0 ∈ 𝑅 yang  memenuhi 𝑟 + 0 = 0 + 𝑟 = 𝑟 dan 𝑟0 = 0𝑟 = 0 untuk sebarang 𝑟 ∈ 𝑅 .
d. Bersifat asosiatif terhadap operasi biner “ ∙ ”yaitu (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐)
e. Bersifat distributive terhadap dua operasi biner “ + ” dan “ ∙ ”yaitu
(i) 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
(ii) (𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
Definisi 2.2 [4] Jika 𝑅 adalah semiring dan 𝐼 ⊆ 𝑅 , maka 𝐼 dikatakan ideal pada semiring 𝑅 apabila untuk sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 dan 𝑟 ∈ 𝑅 memenuhi :
a. 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐼 ,
b. 𝑟𝑥 ∈ 𝐼 dan 𝑥𝑟 ∈ 𝐼 .
Selanjutnya akan didefinisikan jenis – jenis ideal pada semiring R
Definisi 2.3 [1] Jika 𝑅 adalah semiring , 𝐼 ⊆ 𝑅 dan 𝐼 ideal pada semiring R maka
(i) Ideal I disebut ideal prima jika 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 , 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 maka 𝑎 ∈ 𝐼 atau 𝑏 ∈ 𝐼 (ii) Ideal I disebut Q-ideal jika ada himpunan 𝑄 subset dari 𝑅 sehingga

## 𝑅 = ⋃ 𝑞 + 𝐼
𝑞 ∈𝑄
dan jika 𝑞 1 , 𝑞 2 ∈ 𝑄 , maka (𝑞 1 + 𝐼) ∩ (𝑞 2 + 𝐼) ≠  ∅  ⇔   𝑞 1 =   𝑞 2 (iii) Ideal A dikatakan  ideal  perluasan  subtraktif  dari I ,  jika  untuk  sebarang x ∈ I dan y ∈ R yang memenuhi x + y ∈ A , maka berakibat y ∈ A .

## 2.2 Ideal Pada Semiring Ternari
Pada  subbab  ini  akan  diberikan  definisi  –  definisi  ideal  yang  terkait dengan pembahasan pada bab 3. Pada konsepnya perbedaan semiring dengan semiring ternari pada operasi perkalian.
Definisi 2.4 [2] Himpunan tak kosong 𝑅 terhadap operasi biner penjumlahan dan operasi terner perkalian  ditulis (𝑅, +, ∙ ) disebut semiring ternari jika untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ∈ 𝑅
(a) Bersifat asosiatif terhadap operasi biner “+” yaitu (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 +   (𝑏 + 𝑐)
(b) Bersifat komutatif terhadap operasi biner “+” yaitu 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
(c) Terdapat  elemen 0 ∈ 𝑅 yang  memenuhi 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 dan 𝑎𝑏0 = 𝑎0𝑏 = 0𝑎𝑏 = 0
(d) Bersifat asosiatif terhadap operasi terner “ ∙ ” yaitu (𝑎𝑏𝑐)𝑑𝑒 = 𝑎(𝑏𝑐𝑑)𝑒 = 𝑎𝑏(𝑐𝑑𝑒)
(e) 𝑅 distributive terhadap operasi biner penjumlahan dan operasi terner perkalian yaitu (i) (𝑎 + 𝑏)𝑐𝑑 = 𝑎𝑐𝑑 + 𝑏𝑐𝑑 (ii) 𝑎(𝑏 + 𝑐)𝑑 = 𝑎𝑏𝑑 + 𝑎𝑐𝑑 (iii) 𝑎𝑏(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑑
ℤ 0 + (himpunan  bilangan  bulat  nonnegatif)  dan ℤ 0 + × ℤ 0 + merupakan semiring  sekaligus  semiring  ternari  tetapi ℤ 0 − (himpunan  bilangan  bulat nonpostitif) dan ℤ 0 − × ℤ 0 − merupakan semiring ternari tetapi bukan semiring karena  terhadap  operasi  perkalian  bukan  operasi  terner  sehingga  setiap semiring pasti semiring ternari tetapi tidak berlaku sebaliknya.
Selanjutnya akan didefinisikan ideal pada semiring ternari

## Definisi 2.5 [2]
I himpunan bagian dari semirings R, I disebut ideal pada R jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 dan 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅 berlaku
(i) 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐼
(ii) 𝑟𝑠𝑥, 𝑟𝑥𝑠, 𝑥𝑟𝑠 ∈ 𝐼
Selanjutnya akan didefinisikan jenis – jenis ideal pada semiring ternari R
Definisi  2.6  [3] Jika 𝑅 adalah  semiring  ternari  , 𝐼 ⊆ 𝑅 dan 𝐼 ideal  pada semiring ternari R maka
(i) Ideal  I  disebut  ideal  prima  jika 𝑎𝑏𝑐 ∈ 𝐼 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 maka 𝑎 ∈ 𝐼 , 𝑏 ∈ 𝐼 atau 𝑐 ∈ 𝐼
(ii) Ideal I disebut Q-ideal jika ada himpunan 𝑄 subset dari 𝑅 sehingga
𝑅 = ⋃ 𝑞 + 𝐼
𝑞 ∈𝑄 dan jika 𝑞 1 , 𝑞 2 ∈ 𝑄 , maka (𝑞 1 + 𝐼) ∩ (𝑞 2 + 𝐼) ≠  ∅  ⇔   𝑞 1 =   𝑞 2 (iii) Ideal 𝐴 dikatakan  ideal  perluasan  subtraktif  dari 𝐼 ,  jika  untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐼 dan 𝑦 ∈ 𝑅 yang  memenuhi 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴, maka berakibat 𝑦 ∈ 𝐴 .
Pada  definisi  ideal  diatas  terlihat  bahwa  definisi  ideal  pada  semiring ternari  sama  dengan  definisi  ideal  pada  semiring  apabila  terkait  dengan operasi biner penjumlahan.

## 2.3 Karakterisasi Ideal pada Semiring Faktor
Pada subbab ini akan diberikan teorema – teorema yang telah diperoleh pada  paper  [1]  terkait  dengan  Karakterisasi  Ideal  pada  Semiring  Faktor.
Lemma berikut ini adalah hubungan antara ideal perluasan subtraktif dengan Q-ideal Lemma 2.1[1]. Misalkan 𝐼 dan 𝐴 adalah  ideal  pada  semiring 𝑅 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 .  Jika 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring 𝑅 ,  maka  ideal 𝐴 merupakan ideal perluasan subtraktif dari 𝐼 jika dan hanya jika 𝐼 adalah 𝐴 ∩ 𝑄 -ideal pada 𝐴 .
Misalkan 𝐼 adalah 𝑄 - ideal  pada  semiring 𝑅 maka  terbentuk  semiring faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ dengan operasi biner  " ⊕ " dan " ⊙ " yang didefinisikan sebagai berikut: Untuk sebarang 𝑞 1 + 𝐼, 𝑞 2 + 𝐼 ∈ 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ dengan 𝑞 1 , 𝑞 2 ∈ 𝑄 berlaku : a. (𝑞 1 + 𝐼) ⊕ (𝑞 2 + 𝐼) = 𝑞 3 + 𝐼 dimana 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝐼 ⊆ 𝑞 3 + 𝐼 untuk suatu 𝑞 3 ∈ 𝑄 , dan
b. (𝑞 1 + 𝐼) ⊙ (𝑞 2 + 𝐼) = 𝑞 4 + 𝐼 dimana 𝑞 1 𝑞 2 + 𝐼 ⊆ 𝑞 4 + 𝐼 untuk suatu 𝑞 4 ∈ 𝑄 .
Teorema  2.1[1]. Misalkan 𝐼 dan 𝐴 masing  –  masing  adalah  ideal  pada semiring 𝑅 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 .  Jika 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring 𝑅 ,  maka pernyataan di bawah ini ekivalen.
a. 𝐴 adalah ideal perluasan subtraktif dari 𝐼 ;
b. 𝐼 adalah 𝐴 ∩ 𝑄 -ideal dari 𝐴 ; c. 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ adalah ideal pada semiring faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ .
Teorema  2.2[1]. Misalkan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring 𝑅 maka himpunan 𝐿 adalah  ideal  pada  semiring  faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ jika  dan  hanya  jika terdapat  ideal  perluasan  subtraktif 𝐴 dari 𝐼 dan 𝐿 = 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ dimana A= {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 + 𝐼 ∈ 𝐿 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑞 ∈ 𝑄} .
Teorema  2.3  [1] Misalkan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  dan 𝑃 adalah  ideal  perluasan subtraktif  dari 𝐼 pada  semiring 𝑅 maka  Ideal 𝑃 adalah  ideal  prima  pada semiring 𝑅 jika dan hanya jika ideal 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ merupakan ideal prima pada semiring faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ .

## 3 Pembahasan
Pada bab ini akan diberikan teorema yang telah diperoleh pada paper [3] terkait dengan karakterisasi ideal, ideal perluasan subtraktif dan ideal prima pada semiring ternari faktor. Pembuktian pada teorema yang terkait dengan operasi biner penjumlahan akan dikaitkan pada subbab 2.3.
Lemma 3.1[3]. Misalkan 𝐼 dan 𝐴 adalah  ideal  pada  semiring  ternari 𝑅 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 . Jika 𝐼 adalah 𝑄 -ideal pada semiring ternari 𝑅 , maka ideal 𝐴 merupakan  ideal  perluasan  subtraktif  dari 𝐼 jika  dan  hanya  jika 𝐼 adalah 𝐴 ∩ 𝑄 -ideal pada 𝐴 . Bukti:
Operasi  pada  Ideal  perluasan  subtraktif  dan  Q-ideal  adalah  operasi  biner penjumlahan sehingga dari lemma 2.1 maka jelas lemma 3.1 terbukti Misalkan 𝐼 adalah 𝑄 - ideal  pada  semiring  ternari 𝑅 maka  terbentuk semiring  ternari  faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ dengan  operasi  biner    " ⊕ "  dan  " ⊙ "yang
didefinisikan sebagai berikut: Untuk sebarang 𝑞 1 + 𝐼, 𝑞 2 + 𝐼, 𝑞 3 + 𝐼 ∈ 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ dengan 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 ∈ 𝑄 berlaku :
a. (𝑞 1 + 𝐼) ⊕ (𝑞 2 + 𝐼) = 𝑞 4 + 𝐼 dimana 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝐼 ⊆ 𝑞 4 + 𝐼 untuk suatu 𝑞 4 ∈ 𝑄 , dan b. (𝑞 1 + 𝐼) ⊙ (𝑞 2 + 𝐼) ⊙ (𝑞 3 + 𝐼) = 𝑞 5 + 𝐼 dimana 𝑞 1 𝑞 2 𝑞 3 + 𝐼 ⊆ 𝑞 5 + 𝐼 untuk suatu 𝑞 5 ∈ 𝑄 .
Teorema  3.1[3]. Misalkan 𝐼 dan 𝐴 masing  –  masing  adalah  ideal  pada semiring  ternari 𝑅 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 .  Jika 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring ternari 𝑅 , maka pernyataan di bawah ini ekivalen.
a. 𝐴 adalah ideal perluasan subtraktif dari 𝐼
b. 𝐼 adalah 𝐴 ∩ 𝑄 -ideal dari 𝐴
c. 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ adalah ideal pada semiring ternari faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ . Bukti:
(𝑎) ⇒ (𝑏) Jelas, dari lemma 3.1
(𝑏) ⇒ (𝑐)
(1) Ambil  sebarang 𝑎 1 + 𝐼, 𝑎 2 + 𝐼 ∈ 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ maka  dari    teorema  2.1
((𝑏) ⇒ (𝑐)) diperoleh (𝑎 1 + 𝐼) ⊕ (𝑎 2 + 𝐼) ∈ 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄
(2) ambil sebarang 𝑎 + 𝐼 ∈ 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ dan 𝑟 + 𝐼, 𝑠 + 𝐼 ∈ 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ dengan
𝑎 ∈ 𝐴 ∩ 𝑄 ,dan 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑄 .  Setelah  itu (𝑟 + 𝐼) ⊙ (𝑠 + 𝐼) ⊙ (𝑎 + 𝐼) = (𝑏 + 𝐼) dimana 𝑟𝑠𝑎 + 𝐼 ⊆ 𝑏 + 𝐼 untuk  suatu 𝑏 ∈ 𝑄 .  Dengan  demikian  berlaku 𝑟𝑠𝑎 + 𝑖 1 = 𝑏 + 𝑖 2 untuk suatu 𝑖 1 , 𝑖 2 ∈ 𝐼 . Dikarenakan 𝐴 adalah ideal pada semiring  ternari 𝑅 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 ,  sehingga  diperoleh 𝑟𝑠𝑎 + 𝑖 1 ∈ 𝐴 dan berakibat 𝑏 + 𝑖 2 ∈ 𝐴 . Dikarenakan 𝐼 adalah 𝐴 ∩ 𝑄 -ideal dari 𝐴 , menurut Lemma 3.1 diperoleh bahwa 𝐴 adalah ideal perluasan subtraktif dari 𝐼 ,  sehingga  dari 𝑏 + 𝑖 2 ∈ 𝐴 diperoleh 𝑏 ∈ 𝐴 dan  berakibat 𝑏 ∈ 𝐴 ∩ 𝑄 . Oleh  karena  itu 𝑏 + 𝐼 ∈ 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ atau (𝑟 + 𝐼) ⊙ (𝑠 + 𝐼) ⊙ (𝑎 + 𝐼) ∈ 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ .  Dengan  cara  yang  sama  dapat  dibuktikan  bahwa (𝑟 + 𝐼) ⊙
(𝑎 + 𝐼) ⊙ (𝑠 + 𝐼) ∈ 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ dan (𝑎 + 𝐼) ⊙ (𝑟 + 𝐼) ⊙ (𝑠 + 𝐼) ∈ 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄
(𝑐) ⇒ (𝑎) Jelas,  Operasi  Ideal  perluasan  subtraktif  adalah  operasi  biner penjumlahan dan teorema 2.1 (𝑐) ⇒ (𝑎)
Teorema  3.2[3]. Misalkan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring  ternari 𝑅 maka himpunan 𝐿 adalah ideal pada semiring ternari faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ jika dan hanya jika  terdapat  ideal  perluasan  subtraktif 𝐴 dari 𝐼 dan 𝐿 = 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ dimana A= {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 + 𝐼 ∈ 𝐿 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑞 ∈ 𝑄} .
Bukti:
(⇒) Dari teorema 2.2 maka berlaku
(i) 𝐿 = 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄
(ii) 𝐼 ⊂ 𝐴
(iii) Jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 maka berlaku 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴
(iv) Jika 𝑥 ∈ 𝐼 dan 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴 maka 𝑦 ∈ 𝐴
Sehingga  tinggal  ditunjukkan  syarat terhadap operasi  terner  perkalian agar  Himpunan 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 + 𝐼 ∈ 𝐿 untuk suatu 𝑞 ∈ 𝑄} merupakan ideal perluasan subtraktif dari I  dan 𝐿 = 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ .
Ambil 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅 dan 𝑎 ∈ 𝐴 artinya 𝑎 + 𝐼 ⊆ 𝑞 + 𝐼 ∈ 𝐿 untuk  suatu 𝑞 ∈ 𝑄 maka 𝑟𝑠𝑎 + 𝐼 ⊆ 𝑟𝑠𝑞 + 𝐼 ⊆ 𝑞 ∗ + 𝐼 untuk  suatu 𝑞 ∗ ∈ 𝑄 dimana (𝑟 + 𝐼)(𝑠 + 𝐼)(𝑞 + 𝐼) = 𝑞 ∗ + 𝐼 .  Karena 𝐿 = 𝐴 𝐼 (𝐴∩𝑄) ⁄ ideal  pada semiring  ternari  faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ dan 𝑞 + 𝐼 ∈ 𝐿 maka (𝑟 + 𝐼) (𝑠 + 𝐼) (𝑞 + 𝐼) = 𝑞 ∗ + 𝐼 ∈ 𝐿 sehingga 𝑟𝑠𝑎 + 𝐼 ⊆ 𝑟𝑠𝑞 + 𝐼 ⊆ 𝑞 ∗ + 𝐼 ∈ 𝐿 akibanya 𝑟𝑠𝑎 ∈ 𝐴
(⇐) Jelas menurut Teorema 3.1
Teorema  3.3[3] Misalkan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  dan 𝑃 adalah  ideal  perluasan subtraktif  dari 𝐼 pada  semiring  ternari 𝑅 maka  Ideal 𝑃 adalah  ideal  prima pada semiring ternari 𝑅 jika dan hanya jika ideal 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ merupakan ideal prima pada semiring ternari faktor 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ . Bukti: (⇒) Akan  ditunjukkan  bahwa  ideal P I (P∩Q) ⁄ merupakan  ideal  prima  pada semiring R I ( Q ) ⁄ Ambil  sebarang q 1 + I, q 2 + I, q 3 + I ∈ R I (Q) ⁄ dimana q 1 , q 2, q 3 ∈ Q yang  memenuhi (q 1 + I) ⊙ (q 2 + I) ⊙ (q 3 + I) = (q 4 + I) ∈ P I (P∩Q) ⁄ ,  dimana q 1 q 2 q 3 + I ⊆   q 4 + I untuk  suatu q 4 ∈  P ∩ Q sehingga  berlaku q 1 q 2 q 3 + i 1 = q 4 + i 2 untuk  suatu i 1 , i 2 ∈  I .  Dikarenakan  ideal P adalah  ideal  pada  semiring ternari R dengan I ⊆  P ,  sehingga  dari q 4 ∈  P dan i 2 ∈  P diperoleh q 4 + i 2 ∈  P dan  berakibat q 1 q 2 q 3 + i 1 ∈  P .  Dan  juga  dikarenakan  ideal P adalah  ideal perluasan  subtraktif  dari I ,  dengan  demikian  dari q 1 q 2 q 3 + i 1 ∈  P diperoleh q 1 q 2 q 3 ∈  P kemudian oleh karena ideal P adalah ideal prima pada semiring P , sehingga diperoleh q 1 ∈  P , q 2 ∈  P atau q 3 ∈  P . Oleh karena itu q 1 ∈ P ∩ Q, q 2 ∈ P ∩ Q atau q 3 ∈ P ∩ Q maka  diperoleh q 1 + I ∈ P I (P∩Q) ⁄ , q 2 + I ∈ P I (P∩Q) ⁄ atau q 3 + I ∈ P I (P∩Q) . ⁄ Dengan  demikian  terbukti  bahwa  ideal P I (P∩Q) ⁄ merupakan ideal prima pada semiring ternari R I (Q) ⁄ .

## (⇐)
Akan ditunjukkan bahwa ideal 𝑃 adalah ideal prima pada semiring 𝑅 . Ambil sebarang 𝑎𝑏𝑐 ∈ 𝑃 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅. Telah  diketahui  bahwa 𝐼 adalah 𝑄 − ideal  pada  semiring 𝑅 ,  dengan  demikian  terdapat  secara  tunggal 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 , 𝑞 4 ∈ 𝑄 yang  memenuhi 𝑎 ∈   𝑞 1 + 𝐼 , 𝑏 ∈   𝑞 2 + 𝐼 , 𝑐 ∈   𝑞 3 + 𝐼 dan 𝑎𝑏𝑐 ∈ (𝑞 1 + 𝐼) ⊙ (𝑞 2 + 𝐼) ⊙ (𝑞 3 + 𝐼) = (𝑞 4 + 𝐼) dimana 𝑞 1 𝑞 2 𝑞 3 + 𝐼 ⊆   𝑞 4 + 𝐼 . Oleh karena 𝑎𝑏𝑐 ∈ 𝑞 4 + 𝐼 ,  sehingga  berlaku 𝑎𝑏𝑐 = 𝑞 4 + 𝑖 untuk  suatu 𝑖 ∈ 𝐼 .  Kemudian, karena 𝑎𝑏𝑐 ∈ 𝑃 didapatlah 𝑞 4 + 𝑖 ∈ 𝑃 . Sebagaimana diketahui  bahwa 𝑃 adalah ideal  perluasan  subtraktif  dari 𝐼 ,  dengan  demikian  dari 𝑞 4 + 𝑖 ∈  𝑃 diperoleh 𝑞 4 ∈ 𝑃 sehingga 𝑞 4 ∈ 𝑃 ∩ 𝑄 dan  berakibat 𝑞 4 + 𝐼 ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ .  Dikarenakan  ideal
𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ adalah  ideal  prima  pada  semiring 𝑅 𝐼 (𝑄) ⁄ ,  oleh  karenanya  dari (𝑞 1 + 𝐼) ⊙ (𝑞 2 + 𝐼) ⊙ (𝑞 3 + 𝐼) = (𝑞 4 + 𝐼) ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ diperoleh
𝑎 ∈ (𝑞 1 + 𝐼) ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) , ⁄ 𝑏 ∈ (𝑞 1 + 𝐼) ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ atau 𝑐 ∈ 𝑞 2 + 𝐼 ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ sehingga
(i) 𝑎 ∈ (𝑞 1 + 𝐼) ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ artinya 𝑞 1 ∈  𝑃 ∩ 𝑄 akibatnya 𝑎 = 𝑞 1 + 𝑖 1 ∈ 𝑃 (ii) 𝑏 ∈ (𝑞 2 + 𝐼) ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ artinya 𝑞 2 ∈  𝑃 ∩ 𝑄 akibatnya 𝑏 = 𝑞 2 + 𝑖 1 ∈ 𝑃 (iii) 𝑐 ∈ (𝑞 3 + 𝐼) ∈ 𝑃 𝐼 (𝑃∩𝑄) ⁄ artinya 𝑞 3 ∈  𝑃 ∩ 𝑄 akibatnya 𝑐 = 𝑞 3 + 𝑖 1 ∈ 𝑃

## 4 Kesimpulan
Pada  pembahasan  terlihat  bahwa  karakterisasi  ideal,  ideal  perluasan subtraktif, ideal prima pada semiring faktor sama dengan karakterisasi ideal, ideal perluasan subtraktif, ideal prima pada semiring ternari faktor.

## 5 Pustaka
[1] Chaudhari, J. N and D. R. Bonde “ Ideal Theory in Quotient Semirings “Thai Journal of Mathematics, Volume 12 Number 1: 95–101, 2014
[2] Chaudhari, J. N and Ingale K. J. “On Partioning and Subtractive Ideals of  Ternary  Semirings”.  Kyungpook  Math.  Journal  51(1),  Hal.  69-76,
2011
[3] Chaudhari,  J.  N.  and  Ingale  K.  J.  ”Subtractive  Extension  of  Ideals  in Semirings “Thai Journal of Mathematics , Volume 14  Number 3 : 615– 625, 2016
[4] Gupta,  V  and  Chaudhari,  J.N  “Prime  Ideals  in  Semirings”,  Bull. Malays.SCI.Soc(2)34(2) 417-421,2011
[5] Setyawati,  DW  dan  Soleha, " Bentuk  –  bentuk  Ideal  pada  Semirings
(Z + ,+,.)  dan  semiring  (Z + , ⊕ , ⨀ )”  pada  Jurnal  Sains  dan  Matematika
Universitas Negeri Surabaya edisi Oktober 2014
[6] Setyawati,  DW  and  Soleha  ”On  Some  Types  of  Ideals  in  Semirings
(𝑆 𝑛𝑥𝑛 (ℤ 0 + ), +, . ) and  Semiring (𝑆 𝑛𝑥𝑛 (ℤ 0 + ),⊕,⊙) ”,  International Mathematical Forum, Vol 11, 2016 , HIKARI Ltd,2016