Vol. 10, No. 2,  124-131,  Januari  2014

## Kelengkapan Ruang pada Ruang Norm-
Meriam 1 , Naimah Aris 2 , Muh Nur 3
Abstrak
Rumusan  norm- pada merupakan  perumuman  dari  rumusan  norm- pada .  Selanjutnya, ditunjukkan  bahwa  ruang merupakan  ruang  Banach- dengan  mengambil  sebarang  barisan Cauchy di yang konvergen di dalam ruang norm- .
Kata Kunci : ruang norm- , ruang , Barisan Cauchy, ruang Banach-
Abstract
The  formula of -normed space in space is a generalization from the formula of -normed space in  space .  Furthermore,  it  is  shown  that  space is -Banach  space  by  taking  any  Cauchy sequence in the space which convergent in on -normed space.
Keywords : -normed space, space , Cauchy sequence, -Banach space

## 1. Pendahuluan
Konsep  ruang  norm  pertama  kali  dikemukakan  oleh  S.  Banach,  H.  Hahn  dan  N.  Wiener pada  tahun  1922.  Ruang  norm, (   ‖ ‖) adalah  suatu  ruang  vektor dengan  metrik  yang didefinisikan  oleh  suatu  norm ‖ ‖ .  Kajian  tentang  ruang  norm  ini  telah  banyak  dikaji  oleh matematikawan, diantaranya adalah kajian tentang ruang norm- 2 yang pertama kali dikemukakan oleh  G ̈ hler  pada  pertengahan  tahun  1960-an.  Ruang  norm- 2 , (   ‖   ‖) adalah  ruang  yang dibangun  dari  ruang  vektor yang  mempunyai  dim ( ) dengan  metrik  yang  didefinisikan oleh suatu norm ‖   ‖ . Pada tahun 1969, G ̈ hler kemudian mengembangkan ruang norm pada ruang vektor real dengan  dim ( ) ,  dilambangkan  dengan ‖       ‖ dan (   ‖       ‖) disebut  ruang  norm- . Tahun 2011, H. Gunawan dan Mashadi [6] dalam  tulisannya menyatakan bahwa ruang norm- dengan adalah  suatu  ruang  norm- (     ) ,  untuk  kasus  standar  atau  untuk  ruang  yang berdimensi hingga, norm- (     ) dapat diturunkan dari norm- dengan cara tertentu, kemudian kekonvergenan dan kelengkapan dari norm- ekuivalen dengan kekonvergenan dan kelengkapan yang diturunkan dari norm- (     ) .
Kajian  lain  yang  membahas  tentang  kelengkapan  norm- dilakukan  oleh  Shelvi  Ekariani dan  Hendra  Gunawan  [2],    dimana    kekonvergenan    dan    kelengkapan    barisan    dalam  norm- mengakibatkan kekonvergenan dan kelengkapan barisan dalam norm, begitu juga sebaliknya.
Kelengkapan ruang pada norm- sebelumnya telah dibahas oleh Hendra Gunawan [4] dalam tulisannya “ The Space of -Summable Sequences and Its Natural -Norm” . Kelengkapan tersebut  ditunjukkan  dengan  mendefinisikan  sebuah  norm  pada  ruang dan  membuktikan ekuivalensi norm tersebut dengan norm pada ruang . 4
Dari beberapa referensi tersebut diatas, penulis tertarik untuk mengkaji kembali bagaimana kelengkapan ruang di dalam ruang norm- dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ruang
1 Program S1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
merupakan ruang Banach- , dengan metode yang sama dengan [1] dengan tujuan penulisan yaitu mengkaji definisi norm- pada ruang , dan membuktikan kelengkapan ruang di ruang norm- .

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Ruang
Definisi 2.1.1 Misal adalah  bilangan    real.  Setiap  elemen  dalam  ruang adalah  barisan ( )   ( ) dari bilangan real sedemikian sehingga | | | | konvergen, didefinisikan
∑ | | ( )
Jika ( ) adalah barisan  dalam  bilangan  real,  maka  yang  diperoleh  adalah  ruang  real . Jika ( ) adalah barisan dalam bilangan kompleks, maka yang diperoleh adalah ruang kompleks , namun yang akan dibahas adalah ruang real .
2.2 Ruang Norm- 2
Definisi 2.2.1
Misalkan ruang  vektor real  berdimensi dengan
.  Norm-2  pada didefinisikan sebagai  suatu  pemetaan ‖   ‖ ,  sehingga  untuk  setiap
dan
memenuhi sifat-sifat berikut :
1. ‖    ‖ jika dan hanya jika dan bergantung linear,
2. ‖    ‖   ‖    ‖ ,
3. ‖     ‖   | |‖    ‖ ,
4. ‖        ‖   ‖    ‖   ‖    ‖
Pasangan (   ‖   ‖) disebut ruang norm-2.
Telah  diketahui  bahwa  norm- 2 pada  ruang untuk dan didefinisikan
sebagai
‖    ‖   [ ∑ ∑ || || ] ( )
Untuk  menunjukkan  bahwa  ruang merupakan  ruang  norm- 2 dibutuhkan  ketaksamaan Minkowski untuk deret double.
Teorema 2.2.2 ( Ketaksamaan Minkowski untuk Deret Double ) Jika dan , dimana ( )  ( ) maka
(∑ ∑| | + (∑ ∑| | + (∑ ∑| | + ( )
Proposisi 2.2.3
Jika fungsi ‖   ‖ , didefinisikan
‖    ‖   [ ∑ ∑ || || ]
Maka ( ‖   ‖) adalah ruang norm-2. Ruang merupakan  ruang yang  lengkap  pada ruang  norm- 2 atau  ruang  Banach- 2 ,  yang telah dibuktikan pada [1].

## 3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Ruang Norm- n
Definisi 3.1.1 Misalkan adalah ruang vektor real berdimensi dimana serta .
Suatu  fungsi  bernilai  real  tak  negatif  yang  didefinisikan  sebagai  suatu  pemetaan ‖
‖ ,  sehingga  untuk   setiap memenuhi sifat-sifat dibawah ini : 1. ‖ ‖ jika dan hanya jika bergantung linear; 2. ‖ ‖   ‖ ‖ , untuk permutasi ( ) dari (        ) ; 3. ‖ ‖   | |‖ ‖ untuk setiap ; 4. ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖ , disebut norm- di .  Pasangan (   ‖       ‖) disebut ruang norm- .
Terinspirasi dari rumusan norm- pada didefinisikan norm- pada , yaitu
‖ ‖ ( ∑ ∑ || || ) ( )
Proposisi 3.1.2
Jika fungsi ‖       ‖ , didefinisikan
‖ ‖ ( ∑ ∑ || || )
maka ( ‖       ‖) adalah ruang norm- .
Bukti : Ambil ( ) ,  akan  ditunjukkan  bahwa  norm ‖ ‖ memenuhi  sifat-sifat ruang  norm- .  Akan  ditunjukkan ‖ ‖ jika  dan  hanya  jika
bergantung linear. ( ) Jika ‖ ‖ maka bergantung linear, diketahui ‖ ‖ , sehingga
[ ∑   ∑ || || ] diperoleh
|| || Sehingga berdasarkan teorema bebas linear, bergantung linear. ( ) Jika bergantung linear maka ‖ ‖ Jika bergantung  linear  maka  terdapat  skalar-skalar dimana ,
sedemikian sehingga
( ,   ( ) ( ,       ( ) ( , (5)
sehingga,
‖ ‖ [ ∑   ∑ | | ( * ( * ( * ( *
( * ( * | | ] ( )
Berdasarkan    sifat  penjumlahan  determinan jika  terdapat  dua  kolom  sama  atau  sebanding  maka nilai determinan , sehingga dari persamaan (6) diperoleh
‖ ‖ [ ∑   ∑ ( ) ]
Sehingga ‖
‖
Ruang memenuhi  sifat  kedua  dan  ketiga  ruang    norm- ,  dapat  dibuktikan  dengan menggunakan sifat determinan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
[ ∑   ∑ | | || (   )
(   ) (   ) ||| | ] ( )
Berdasarkan ketaksamaan Minkowski, diperoleh
[ ∑   ∑ (| (   ) (   ) (   ) |   | (   )
(   )
(   ) |,
]
[ ∑   ∑ (|
(   ) (   ) (   ) |, ] [ ∑   ∑ (| (   ) (   )
(   )
|, ] ( ) Jadi, ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ . Karena semua sifat ruang norm- terpenuhi maka ruang terdefinisi pada ruang norm- .

## 3.2 Ruang Banach- n

## Definisi 3.2.1
Barisan ( ) diruang  norm-n (   ‖       ‖) dikatakan konvergen  ke dalam  norm-n jika  untuk  setiap ,  dan  untuk  setiap terdapat ,  sedemikian sehingga ‖ ‖
Teorema 3.2.2 Misalkan (   ‖       ‖) adalah  ruang  norm- ,  maka  limit  dari  suatu  barisan  diruang tersebut yang konvergen adalah tunggal.

## Definisi 3.2.3
Barisan ( ) diruang norm-n (   ‖       ‖) dikatakan Cauchy ke dalam norm-n jika untuk setiap , dan untuk setiap terdapat , sedemikian sehingga ‖ ‖
Teorema 3.2.4 Jika  barisan ( ) konvergen  dalam  norm- ,  maka ( ) adalah  barisan  Cauchy  dalam norm- .
Definisi 3.2.5 Misal  X  merupakan  ruang  vektor  dalam  ruang  norm- .  Maka  X  disebut  ruang  yang lengkap  pada  norm- jika  setiap  barisan  Cauchy  pada  X  konvergen ke  elemen  X.  Ruang Banach- merupakan ruang norm- yang lengkap.
Teorema 3.2.6 Ruang adalah ruang yang lengkap pada norm- , dengan norm- pada didefenisikan sebagai berikut
‖ ‖ [ ∑   ∑ ( || || ) ]
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy dalam konvergen ke
. Misal ( ) adalah  sebarang  barisan  Cauchy  dalam dimana ( ( ) ( ) ) .  Maka  untuk  setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖
[ ∑ ∑ ( | | ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) | | ) ] ( )
diperoleh,
∑ ∑ ( | | ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
| | ) (  )
Ambil yang tetap, dimana ,  dan misal (  ) , sehingga diperoleh
| | ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
| | (  )
Berdasarkan definisi determinan , dimana (     ) dan untuk genap dan
dan (     ) untuk ganjil.  Maka persamaan (8) dapat dituliskan
(( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) *     (( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) * (12) Pilih yang tetap, untuk , dimana sehingga dari (12) dapat disimpulkan
bahwa ( ( ) )   ( ( ) )       ( ( ) ) merupakan  barisan  Cauchy  di .    Berdasarkan  Teorema Cauchy-Konvergen  pada  bilangan  real,  maka lengkap.    Karena lengkap,  maka
( ( ) )   ( ( ) )       ( ( ) ) konvergen,  berarti  untuk berlaku ( ( ) )   ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )   ( ) .
Kemudian akan ditunjukkan bahwa dan . Dari (10), untuk diperoleh
∑ ∑ | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
|
| (           )
Untuk dan , dimana , diperoleh
∑ ∑ | | ( ) ( ) ( )
| | (  )
Dari definisi determinan memberikan ∑ ∑ *(( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) * (( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) *+ (  ) Persamaan (14) menunjukkan bahwa ( ( ) ) . Karena ( ) ,  dimana , ( ) ,  maka  berdasarkan  ketaksamaan Minkowski diperoleh
∑ | ( ) ( ( ) )| ∑ | ( ) | ∑ |( ( ) )| (  )
Jadi,
. Dari (14) menunjukkan bahwa , karena ( ) adalah sebarang barisan cauchy dalam ruang dan , ini menunjukkan bahwa ruang adalah ruang yang lengkap  pada norm- dengan kata lain merupakan ruang Banach- .

## 4. Penutup

## 4.1 Kesimpulan
Ruang merupakan  barisan ( ) dari  bilangan  real  sedemikian  sehingga ∑ | | konvergen.  Dari rumusan norm- pada , didefinisikan norm- pada , yaitu
‖ ‖
( ∑   ∑ ||
|| )
Ruang merupakan  ruang  yang  lengkap  pada  ruang  norm - atau ruang  Banach- yang  telah dibuktikan pada Teorema 3.2.6.

## 4.2 Saran
Dalam  penulisan  ini,  hanya  mengkaji  kelengkapan  ruang pada  norm- .  Penulis menyarankan  untuk  mengkaji  kelengkapan  ruang [    ] , [    ] ,  baik  pada  norm-2  maupun norm- .

## Daftar Pustaka
[1] Astriana, Ria, (2012), “Ruang p l Sebagai Ruang Banach-2 pada Ruang Norm-2” , Skripsi Universitas Hasanuddin Makassar.
[2] Ekariani, Shelvi dan Hendra Gunawan, (2012), “Teorema Titik Tetap pada Ruang Norm-n Standar”, JMP . 4, 69 – 77.
[3] Edwards, C.H dan David E. Penney, (1937), Elementary Linear Algebra, Prentice Hall, Inc : Englewood Cliffs, New Jersey.
[4] Gunawan,  Hendra,  (2001),  “The  Space  of  -Summable  Sequences  and  Its  Natural  - Norm” , Bull.Austral. Math. Soc . 64, 137-147.
[5] Gunawan, H dan Mashadi, (2001), On n-norm Space. Int. J. Math . Sci. 27, 631-639.
[6] Kreszyg, Erwin, (1978), Introductory  Function Analysis with Application , John Wiley & Sons, Inc : New York.
[7] Nur,  M,  (2011), Teorema  Titik  Tetap  di  Ruang  Norm-n  Standar ,  Tesis  Magister Matematika ITB.
[8] Zulfaneti,  (2011),  Norm-n  dan  Fungsional  linear-n  terbatas  d  Ruang  Hilbert,  (Online), (pasca.unand.ac.id/id/wp-content/uploads/2011/09/artikel2.pdf diunduh 5 Maret 2013).