## Solusi Numerik Model Penyebaran Penyakit ISPA Menggunakan Metode Runge
Kutta Orde Lima (Studi Kasus: Kabupaten Gowa)

## Alda
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar , aldaamir3112@gmail.com

## Risnawati Ibnas
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, risnawati.ibnas@uin-alauddin.ac.id

## Muh. Irwan
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, muhirwan@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK , Penelitian  ini  mengkaji  tentang  solusi numerik  model  penyebaran  penyakit  Infeksi  Saluran Pernapasan  Akut  (ISPA)  di  Kabupaten  Gowa  dengan menggunakan metode Runge Kutta orde lima. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan model penyebaran penyakit  ISPA  dan  untuk  memperoleh  nilai  dari  solusi numerik  model  penyebaran  penyakit  ISPA  di  Kabupaten Gowa  dengan  menggunakan  metode  Runge  Kutta  orde lima.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  model  SEIR digunakan  untuk  menggambarkan  penyebaran  penyakit ISPA.  Berdasarkan  model  tersebut,  diperoleh  hasil perhitungan menggunakan metode Runge Kutta orde lima untuk  bulan  pertama  dengan ∆𝑡 = 0,01 bulan  yaitu populasi  individu  yang  rentan  ( S )  sebanyak  70.497  jiwa, populasi  individu  bergejala  ( E )  sebanyak  8.827  jiwa, populasi  individu  terinfeksi  ( I )  sebanyak  7.164  jiwa, populasi individu sembuh ( R ) sebanyak 7.169 jiwa.
Kata  Kunci: Runge  Kutta  Orde  5,  Model  SEIR,  Infeksi Saluran Pernapasan Akut (ISPA)

## 1. PENDAHULUAN
Infeksi  Saluran  Pernapasan  Akut  (ISPA) merupakan permasalahan kesehatan yang umum terjadi pada anak-anak, berpotensi menyebabkan kecacatan  dan  menjadi  salah  satu  penyebab kematian  pada  bayi  dan  balita.  Hal  ini  terjadi karena sistem kekebalan tubuhnya masih dalam proses  berkembang  dalam  melawan  penyakit infeksi.  Secara  umum  ISPA  dapat  disebabkan oleh  berbagai  mikroorganisme,  seperti  virus, bakteri  dan  jamur.  Gejala  penyakit  ISPA  yang umum  muncul  meliputi  batuk,  demam,  pilek, nyeri tenggorokan dan juga kesulitan bernapas.
Prevalensi  ISPA  tahun  2018  di  Sulawesi Selatan  paling  tinggi  pada  kelompok  usia  1-4 tahun  yang  lebih  banyak  dialami  oleh  laki-laki, dengan  presentasi  2,04%  laki-laki  dan  1,67% Perempuan. Menurut Riskesdas, Gowa merupakan  salah  satu  Kabupaten  di  Sulawesi Selatan dengan jumlah penderita penyakit ISPA tertinggi [1]. Penyebaran ISPA dapat dimodelkan
secara  epidemik  yang  diselesaikan  dengan metode  numerik  menggunakan  metode  Runge Kutta.
Metode Runge Kutta merupakan alternatif dari metode deret taylor yang tidak memerlukan perhitungan  turunan.  Dalam  penelitian  ini menggunakan  metode  Runge  Kutta  orde  lima, metode Runge Kutta orde lima dianggap efektif dalam  menyelesaikan  masalah  numerik  karena memiliki  tingkat  ketelitian  yang  lebih  tinggi. Semakin tinggi orde Runge Kutta, maka semakin tinggi tingat ketelitiannya.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Infeksi Saluran Pernapasan Akut (ISPA)
Istilah ISPA terdiri dari tiga unsur, yaitu: a. Infeksi  adalah  masuknya  kuman  atau mikroorganisme  ke  dalam  tubuh  manusia serta berkembang biak yang dapat menimbulkan gejala penyakit.
b. Saluran  pernapasan  adalah  organ  dimulai dari  hidung  hingga  alveoli  dan  organ adneksanya  seperti  sinus,  rongga  telinga tengah dan pleura.
c. Infeksi akut adalah infeksi yang berlangsung dalam kurun waktu hingga 14 hari [2].

## Persamaan Diferensial
Persamaan  diferensial  adalah  persamaan memuat  satu  atau  lebih  variabel  tak  bebas beserta  turunannya  terhadap  variabel-variabel bebas [3].
Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua yaitu:
a. Persamaan Diferensial Biasa (PDB), adapun bentuk umumnya
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 , … , 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 ) = 0       (2.1)
b. Persamaan  Diferensial  Parsial  (PDP), adapun bentuk umumnya
𝐹 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛, 𝑢, 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 , 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 , … , 𝑑 2 𝑢 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 , … , 𝑑 𝑚 𝑢 𝑑𝑥 1 𝑚 , … , 𝑑 𝑚 𝑢 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑚 , … , 𝑑 𝑚 𝑢 𝑑𝑥 𝑛 𝑚 ) = 0 (2.2)

## Metode Numerik
Metode numerik adalah suatu teknik yang digunakan  untuk  menyelesaikan  permasalahan yang  diformulasikan  secara  matematis  dengan cara operasi hitungan (arithmetic). Dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, permasalahan- permasalahan  dapat  digambarkan  dalam  bentuk persamaan  matematik,  pada  umumnya  bentuk persamaan  sulit  diselesaikan  secara  analitis sehingga  penyelesaiannya  dilakukan  secara numerik.  Hasil  dari  penyelesaian  numeris merupakan  merupakan  nilai  perkiraan  atau pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak, biasanya terdapat kesalahan terhadap nilai eksak yang  harus  cukup  kecil  terhadap  tingkat kesalahan yang ditentukan.
Metode numerik melibatkan beberapa jenis proses perhitungan untuk menyelesaikan berbagai  jenis  persamaan  matematis  dengan waktu  komputasi  yang  paling  efisien.  Operasi hitungan dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang  sangat  banyak  dan  berulang-ulang.  Oleh karena  itu,  diperlukan  bantuan  komputer  untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut [4].

## Metode Runge Kutta Orde 5
Metode Runge-Kutta orde lima memiliki bentuk persamaan sebagai berikut:
𝑦 𝑖+1 =   𝑦 𝑖 + 1 90 (7𝑘 1 + 32𝑘 3 + 12𝑘 4 + 32𝑘 5 + 7𝑘 6 )∆𝑡 (2.3)
Dengan: 𝑘 1 = 𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 )
𝑘 2 = 𝑓 (𝑥 𝑖 + 1 4 ∆𝑡, 𝑦 𝑖 + 1 4 𝑘 1 ∆𝑡) 𝑘 3 = 𝑓 (𝑥 𝑖 + 1 4 ∆𝑡, 𝑦 𝑖 + 1 8 𝑘 1 ∆𝑡 + 1 8 𝑘 2 ∆𝑡)
𝑘 4 = 𝑓 (𝑥 𝑖 + 1 2 ∆𝑡, 𝑦 𝑖 − 1 2 𝑘 2 ∆𝑡 + 𝑘 3 ∆𝑡)
𝑘 5 = 𝑓 (𝑥 𝑖 + 3 4 ∆𝑡, 𝑦 𝑖 − 3 16 𝑘 1 ∆𝑡 + 9 16 𝑘 4 ∆𝑡) 𝑘 6 = 𝑓  ( 𝑥 𝑖 + ∆𝑡, 𝑦 𝑖 − 3 7 𝑘 1 ∆𝑡 + 2 7 𝑘 2 ∆𝑡 + 12 7 𝑘 3 ∆𝑡 − 12 7 𝑘 4 ∆𝑡 + 8 7 𝑘 5 ∆𝑡 ) Keterangan: 𝑦 𝑖 : Nilai sebelumnya 𝑦 𝑖+1 : Nilai selanjutnya dengan ukuran langkah ∆𝑡 ∆𝑡 : Ukuran langkah

## Galat
Penyelesaian  Numerik  akan  memberikan solusi perkiraan yang mendekati nilai sebenarnya dengan  cara  analitik.  Seberapa  dekat  nilai hampiran dengan solusi sebenarnya ini dihitung dengan galat atau seberapa besar kesalahan yang didapat  dari  selisih  nilai  hampiran  dengan  nilai eksak. Secara umum galat terbagi dua yaitu galat pemotongan  ( Truncation  error )  dan  galat pembulatan ( Round-off error ) [5].

## Model Penyebaran Penyakit ISPA
Model  matematika  pada  penyebaran penyakit ISPA menggunakan model SEIR  yang terdiri  atas  4  kompartemen  yaitu  kompartemen Susceptible (S),  kompartemen Exposed (E), kompartemen Infectious (I),  kompartemen Recovered (R).  Adapun  asumsi-asumsi  yang digunakan adalah:
1. Populasi  penduduk  tertutup  artinya  ukuran populasi  konstan  atau  tidak  terdapat perubahan jumlah penduduk akibat kelahiran maupun kematian.
2. Kelompok Susceptible diasumsikan
mencakup semua balita yang baru lahir. 3. Kelompok Susceptible akan  mengalami penambahan  karena  terjadinya  kelahiran individu baru.
4. Penularan  penyakit  terjadi  ketika  terdapat kontak langsung antara kelompok Susceptible dengan kelompok Infectious . 5. Jika ada individu dalam kelompok Susceptible yang  menunjukkan  gejala terjangkit maka  akan diklasifikasikan kedalam kelompok Exposed .
6. Kelompok Exposed akan  dikategorikan sebagai  kelompok Infectious jika  individu tersebut telah terinfeksi.
7. Kelompok Infectious memiliki potensi untuk menyebarkan penyakit kepada individu lain.
8. Individu  yang  sembuh  dari  kelompok Infectious akan  diklasifikasikan  ke  dalam
kelompok Recovered .
9. Individu  yang  berada  dalam  kelompok
Recovered memiliki kekebalan tubuh
sementara dan dapat diklasifikasikan
kembali ke dalam kelompok Susceptible . 10. Kelompok Susceptible , Exposed , Infectious dan Recovered semua  dapat  mengalami kematian  alami.  Namun,  pada  kelompok Infectious terdapat  juga  kemungkinan kematian karena penyakit.

## 3. METODOLOGI
Jenis  Penelitian  ini  adalah  penelitian terapan yang digunakan untuk mengkaji penyakit ISPA  menggunakan  metode  Runge  Kutta  orde lima, dengan jenis data adalah data sekunder dan sumber data adalah Dinas Kesehatan Kabupaten Gowa  dan  Badan  Pusat  Statistik  Kabupaten Gowa.

## Prosedur Penelitian
Adapun prosedur penelitian pada penelitian ini adalah:
1. Memodelkan  penyebaran  penyakit  ISPA  di
Kabupaten Gowa. Adapun Langkah- langkahnya sebagai berikut:
a. Mengambil data sekunder yang berkaitan dengan  model  matematika  penyakit ISPA.
b. Menentukan model matematika.
c. Menentukan  nilai  awal  dan  parameter yang akan digunakan.
2. Mengetahui  solusi  numerik  model  penyakit ISPA  menggunakan  Runge  Kutta  orde  lima dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Melakukan diskritisasi model matematika penyakit ISPA menggunakan
Runge Kutta orde lima.
b. Mengulangi  iterasi  sampai  penyelesaian konvergen.
c. Interpretasi hasil.
d. Menarik kesimpulan.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Model SEIR pada penyebaran penyakit ISPA
Diagram model SEIR penyakit ISPA
Gambar 4.1. Diagram alur model penyebaran penyakit ISPA Model matematika yang terbentuk adalah: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝑅 − (𝛽𝐼 + 𝜇)𝑆
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − (𝛿 + 𝜇)𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛿𝐸 − (𝜀 + 𝜇 + 𝜔)𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜀𝐼 − (𝛾 + 𝜇)𝑅
Variabel dan Parameter yang digunakan adalah sebagai berikut:
Tabel 4.1 Variabel dan Parameter
Variabel Keterangan 𝑺 Jumlah individu yang rentan 𝑬 Jumlah individu yang menunjukkan gejala terjangkit 𝑰 Jumlah individu yang telah terinfeksi 𝑹 Jumlah individu yang sembuh 𝜶 Laju kelahiran 𝜷 Laju individu rentan menjadi individu exposed
𝜹 Laju individu yang terinfeksi
𝝁 Laju kematian alami
𝝎
Laju kematian karena penyakit 𝜺 Laju kesembuhan 𝜸 Laju penurunan kekebalan tubuh setelah sembuh

## Nilai Awal dan Nilai Parameter Model SEIR
Nilai  awal  untuk  setiap  variabel  sebagai berikut:
Tabel 4.2 Nilai Awal Variabel Variabel Nilai S 0,7526829 E 0,0943203
I 0,0764984 R 0,0764984
Adapun nilai parameter sebagai berikut:
Tabel 4.3 Nilai Parameter Parameter Nilai 𝜶 0,011098 𝜷 0,0104427 𝝁 0,001179 𝜹 0,071429 𝝎 0 𝜺 0,083333 𝜸 0,0111111

## Solusi  Numerik  Model  SEIR  Penyebaran Penyakit ISPA Menggunakan Metode Runge Kutta Orde Lima
Setelah  mensubtitusi  nilai  parameter  ke dalam persamaan, selanjutnya adalah melakukan iterasi  menggunakan  nilai  awal  yang  telah ditentukan.
Pada  proses  iterasi  digunakan  interval waktu  atau  ukuran  Langkah  yang  telah ditentukan  yaitu 0,01 .  Diperoleh  penyelesaian numerik  model  penyebaran  penyakit  ISPA dengan  rumus  metode  Runge  Kutta  orde  Lima dimana  nilai  dari  setiap  fungsi  evaluasi  adalah sebagai berikut:
𝑘 1 : 0,010459 𝑙 1 : −0,006247 𝑘 2 : 0,010459 𝑙 2 : −0,006246 𝑘 3 : 0,010459 𝑙 3 : −0,006246 𝑘 4 : 0,010459 𝑙 4 : −0,006244 𝑘 5 : 0,010459 𝑙 5 : −0,006245 𝑘 6 : 0,011099 𝑙 6 : −0,006242
𝑚 1 : 0,000272 𝑛 1 : 0,005435 𝑚 2 : 0,000271 𝑛 2 : 0,005434 𝑚 3 : 0,000271 𝑛 3 : 0,005434 𝑚 4 : 0,000269 𝑛 4 : 0,005434 𝑚 5 : 0,000270 𝑛 5 : 0,005434 𝑚 6 : 0,000267 𝑛 6 : 0,005434
Kemudian  mensubtitusikan  nilai  dari fungsi  evaluasi  ke  dalam  persamaan  metode Runge  Kutta  orde  Lima  maka  akan  diperoleh hasil  dari  solusi  numerik  model  penyebaran penyakit  ISPA  menggunakan  metode  RK5 sebagai berikut:
𝑆 0+1 = 𝑆 0 + 1 90 (7𝑘 1 + 32𝑘 3 + 12𝑘 4 + 32𝑘 5 + 7𝑘 6 )∆𝑡
𝑆 1 = 0,7526829 + 1 90 ((7(0,010459) + 32(0,010459) + 12(0,010459) + 32(0,010459) + 7(0,011099))0,01 = 0,752787 𝐸 0+1 = 𝑆 0 + 1 90 (7𝑙 1 + 32𝑙 3 + 12𝑙 4 + 32𝑙 5 + 7𝑙 6 )∆𝑡 𝐸 1 = 0,0943203 + 1 90 (7(−0,006247) + 32(−0,006246) + 12(−0,006244) + 32(−0,006245) + 7(−0,006242))0,01 = 0,094257 𝐼 0+1 = 𝐼 0 + 1 90 (7𝑚 1 + 32𝑚 3 + 12𝑚 4 + 32𝑚 5 + 7𝑚 6 )∆𝑡 𝐼 1 = 0,0764984 + 1 90 (7(0,000272) + 32(0,000271)
+ 12(0,000269)
+ 32(0,000270) + 7(0,000267))0,01 = 0,076500 𝑅 0+1 = 𝑅 0 + 1 90 (7𝑛 1 + 32𝑛 3 + 12𝑛 4 + 32𝑛 5 + 7𝑛 6 )∆𝑡 𝑅 1 = 0,0764984 + 1 90 (7(0,005435) + 32(0,005434)
+ 12(0,005434)
+ 32(0,005434)
+ 7(0,005434))0,01 = 0,076552 K emudian untuk iterasi selanjutnya dilakukan hal yang sama hingga iterasi ke-1000 atau  akan  memprediksi  laju  untuk 10 bulan kedepan  dengan  menggunakan  program  R- Studio.
Tabel 4.4 Hasil Solusi Numerik Model Penyebaran Penyakit ISPA Menggunakan Metode Runge Kutta Orde 5
𝒕 (Bulan) Variabel
𝑺 𝑬
𝑰 𝑹 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 ⋮ ⋮ 9,95 9,96 0,752683 0,752787 0,752892 0,752996 0,753101 0,753205 ⋮ ⋮ 0,858858 0,858867 0,094320 0,094257 0,094195 0,094133 0,094070 0,094008 ⋮ ⋮ 0,050060 0,050029 0,076498 0,076500 0,076502 0,076504 0,076505 0,076507 ⋮ ⋮ 0,064434 0,064414 0,076498 0,076552 0,076607 0,076661 0,076716 0,076770 ⋮ ⋮ 0,123924 0,123963
𝒕 (Bulan) Variabel
𝑺 𝑬 𝑰 𝑹 9,97 9,98 9,99 10,00 0,859076 0,859185 0,859294 0,859402 0,049998 0,049968 0,049937 0,049907 0,064395 0,064375 0,064356 0,064337 0,124001 0,124039 0,124078 0,124116
Grafik  untuk  hasil  iterasi  solusi  numerik menggunakan  metode  runge-kutta  orde  5  pada model  penyebaran  penyakit  ISPA  untuk  setiap kompartemen  menggunakan  program  R-Studio, akan ditunjukkan pada grafik sebagai berikut:
Hasil  iterasi  untuk  jumlah  individu  rentan ( S )  akan  ditunjukkan  pada  plot  grafik  seperti pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Jumlah Penyebaran Susceptible
Penyakit ISPA Pada Gambar 2. menunjukkan bahwa terjadi peningkatan  pada  bulan  pertama  sampai  bulan berikutnya karena adanya laju kelahiran dan laju penurunan kekebalan setelah sembuh menyebabkan individu menjadi rentan terinfeksi kembali.  Adapun  perkiraan  jumlah  populasi Susceptible pada  10  bulan  ke  depan  senilai 80.482 jiwa.
Selanjutnya hasil iterasi untuk individu yang menunjukkan  gejala  terjangkit  ( E )  ditunjukkan pada plot grafik seperti pada Gambar 4.3.
Pada Gambar 3. menunjukkan bahwa terjadi peningkatan akibat adanya penambahan dari laju perpindahan Susceptible ke Exposed ,  namun pada  bulan  selanjutnya  hingga  bulan  ke-10 mengalami penurunan sampai seterusnya. Adapun perkiraan jumlah populasi Exposed pada 10 bulan ke depan senilai 4.673 jiwa. Selanjutnya hasil  iterasi  untuk  individu  yang  terinfeksi  ( I ) ditunjukkan  pada  plot  grafik  seperti  pada Gambar 4.4
Gambar 4.3 Jumlah Penyebaran Exposed
Penyakit ISPA
Gambar 4.4 Jumlah Penyebaran Infectious Penyakit ISPA
Pada  gambar  4.4  menunjukkan  bahwa bulan  pertama  merupakan  populasi  tertinggi yang  mengalami  peningkatan  disebabkan  oleh besarnya  jumlah  individu  rentan  dan  individu bergejala  yang  terinfeksi  ISPA.  Namun  pada bulan  berikutnya  mengalami  penurunan  hingga seterusnya.  Adapun  jumlah  populasi Infectious pada 10 bulan ke depan adalah 6.025 jiwa.
Selanjutnya  hasil  iterasi  untuk  individu yang  telah  sembuh  ( R )  ditunjukkan  pada  plot grafik seperti pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 Jumlah Penyebaran Recovered Penyakit ISPA
Pada  Gambar  5.  menunjukkan  terjadi kenaikan  dari  populasi  awal  sampai  seterusnya, karena  besarnya  jumlah  individu  yang  sembuh setelah  terinfeksi  penyakit  ISPA.  Adapun perkiraan  jumlah  populasi Recovered pada  10 bulan kedepan senilai 11.623 jiwa.

## 5. KESIMPULAN
Adapun  kesimpulan  dari  hasil  penelitian berdasarkan  rumusan  masalah  yang  telah diuraikan sebelumnya adalah sebagai berikut: 1. Model  SEIR  pada  penyebaran  penyakit ISPA di Kabupaten Gowa:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0,011098 + 0,0111111𝑅 −
((0,0104427𝐼) + 0,001179)𝑆
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0,0104427𝑆𝐼 − (0,071429 +
0,001179)𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0,071429𝐸 − (0,083333 + 0,001179 +
0)𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0,083333𝐼 − (0,0111111 + 0,001179)𝑅
2. Adapun  solusi  numerik  model  SEIR  pada penyebaran  penyakit  ISPA  menggunakan metode Runge Kutta orde 5 dengan ukuran langkah ∆𝑡 = 0,01 didapatkan  untuk 𝑡 = 0,01 bulan  yaitu  individu  rentan (𝑆 1 ) = 0,752787 × 93.649 = 70.497 jiwa, individu yang bergejala (𝐸 1 ) = 0,094257 × 93.649 = 8.827 jiwa, individu yang terinfeksi (𝐼 1 ) = 0,076500 × 93.649 =
7.164 jiwa,  dan  individu  yang  sembuh (𝑅 1 ) = 0,076552 × 93.649 = 7.169 jiwa. Selanjutnya  mengulangi  iterasi  hingga iterasi ke-1000 atau prediksi untuk 10 bulan kedepan, diperoleh hasil  yaitu individu yang rentan (𝑆 1000 ) = 0,859402 × 93.649 = 80.482 jiwa,  individu  yang  bergejala (𝐸 1000 ) = 0,049907 × 93.649 = 4.673 jiwa,  individu  yang  terinfeksi (𝐼 1000 ) = 0,064337 × 93.649 = 6.025 jiwa,  dan individu yang
sembuh (𝑅 1000 ) = 0,124116 × 93.649 = 11.623 jiwa.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Kementrian Kesehatan RI. “Laporan Provinsi Sulawesi Selatan Riskesdas 2018”. Jakarta: Badan Penelitian dan Pengembangan Kesehatan, 2019. [2] Hersoni,  Soni.  “Pengaruh  Pemberian  Air Susu Ibu (ASI) Eksklusif Terhadap Kejadian Infeksi  Saluran  Pernapasan  Akut  (ISPA) pada Bayi Usia 6-12 Bulan di RAB RSU dr. Soekardjo  Kota  Tasikmalaya”  Jurnal Kesehatan Bakti Tunas Husada : Jurnal Ilmu Keperawatan , Analisis  Kesehatan  dan Farmasi . Vol. 19., No. 1., 96-97, 2019.
[3] Lumbantoruan,  Jitu  Halomoan.  “Buku Materi Pembelajaran Persamaan Diferensial”. Jakarta:  Program  Studi
Pendidikan  Matematika  Fakultas  Keguruan dan  Ilmu  Pendidikan  Universitas  Kristen Indonesia, 2-3, 2019.
[4] Triatmodjo,  Bambang.  ”Metode  Numerik ” . Yogyakarta: Beta Offset, 1, 2010.
[5] Mayanti,  Suci.  “Penyelesaian  Persamaan Diferensial  Orde-3  dengan  Metode  Runge- Kutta  Orde  4”.  Other  Thesis,  Universitas Islam Riau, 2021.