Indonesian Journal of Materials Science

## PENDAHULUAN
Suatu struktur dinamakan Laminat bila struktur tersebut terdiri dari dua atau tiga lapis, yang tersusun dari harga sifat elastisitas yang berbeda. Untuk menghitung tegangan pada laminat selalu digunakan teori kontinum. Skema metode perhitungan dengan memperhitungkan beban termis [1,2,3]. Di sini ditinjau hubungan elastomekanis yang memisahkan pengaruh beban mekanis dan beban termis. Di sini dicoba diturunkan suatu hubungan elastomekanis yang menggunakan koefisen perpindahan panas laminat.

## METODOLOGI DAN TEORI
Definisi Aliran Gaya dan Aliran Momen
Momen penampang atau aliran Momen:

## ALIRAN GAYA NORMAL AKIBAT BEBAN SUHU DENGAN MENGGUNAKAN HUBUNGAN ELASTOMEKANIS YANG MENINJAU KOEFISIEN PERPINDAHAN PANAS LAMINAT

## Darwin Sebayang
Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional (LAPAN) Jl. Pemuda Persil 1, Jakarta

## ABSTRAK
ALIRAN GAYA NORMAL AKIBAT BEBAN SUHU DENGAN MENGGUNAKAN HUBUNGAN ELASTOMEKANIS YANG MENINJAU KOEFISIEN PERPINDAHAN PANAS LAMINAT . Hubungan elastomekanis merupakan salah satu persamaan yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan silinder. Di sini diturunkan persamaan elastomekanis yang meninjau koefisien perpindahan panas. Hal ini berguna untuk mempermudah perhitungan gaya dalam akibat beban termis. Untuk meneliti kesahihan hubungan elastomekanis tersebut maka hasil yang diperoleh dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hubungan elastomekanis konvensional.
Kata kunci : aliran gaya normal, elastomekanis, koefisien perpindahan panas laminat.

## ABSTRACT
THE FLOW OF NORMAL FORCE RESULTED FROM TEMPERATURE LOAD BY USING ELASTOMECHANICS RELATION WHICH REFFERED TO LAMINATE HEAT TRANSFER COEFFICIENT . The elastomechanics (relation between stress and strain) is on of the equation, which is important equation to solve the cylinder equation. Herewith the elastomechanics equation which included the heat transfer coefficient will be derivated. It is used to calculate the internal stress due to the thermal load simpler. The validation of this new elastomechanics relation will be proofed by comparing the results using this elastomechanics and the result using the conversional relation.
Key words : Flow force normally, elastomechanics, heat transfer coefficient of laminate
            n k dz k h k h R z k x x N 1 ) 1 ( 1 1  ) 2 ( 1 1      n k dz k h k h k N   
            n k dz k h k h R z k x x N 1 ) 3 ( 1 1    ) 4 ( 1 1      n k dz k h k h k x x N    ) 5 ( 1 1 1             n k dz k h k h R z k xz x Q 
     n k dz k h k h k z Q 1 ) 6 ( 1    ) 7 ( 1 1 1             n k zdz k h k h R z k x x M  ) 8 ( 1 1      n k zdz k h k h k M   
Aliran Gaya Normal Akibat Beban Temperatur dengan Menggunakan Hubungan Elastomekanis yang Meninjau Koefisien Perpindahan Panas Laminat (Darwin Sebayang)

## Hubungan Kinematik
Perubahan bentuk penampang tengah dengan kondisi tidak berubah bentuk berbunyi sebagai berikut:
Untuk kelengkungan permukaan tegangan akibat perubahan akibat lentur dalam arah memanjang  x , perubahan bentuk dalam arah tegak lurus   dan perubahan bentuk akibat torsi  x  . Dalam hal ini diambil kelengkungan permukaan berdasarkan Donnel- Muchtari-Vlasov  4  :

## Persamaan Kesetimbangan
- Persamaan kesetimbangan aliran gaya dalam arah x:
- Persamaan kesetimbangan aliran gaya dalam arah 
- Persamaan kesetimbangan aliran gaya dalam arah z:
- Kesetimbangan momen terhadap sumbu x:
- Kesetimbangan momen terhadap sumbu  :

## Hubungan Elastomekanis Silinder Berdinding Tipis Konvensional
Hubungan
elastomekanis diturunkan berdasarkan prinsip potensial, di mana variasi pertama seluruh potensial sistem yang merupakan perubahan energi, di mana perubahan bentuk dan energi potensial sama dengan nol. Hubungan elastomekanis silinder berdinding tipis berdasarkan teori momen lentur sebagai berikut:
di mana:
Persamaan yang disajikan sama
seperti elastomekanis yang ditunjukkan literatur [1,2,3]. Struktur Laminat tanpa besaran Koppel C 16 = C 26 = K 16 = K 26 = D 16 = 0 dikenal sebagai struktur orthotrop . Apabila struktur lapisan simetris terhadap permukaan tengah, maka akan diperoleh besaran Kwadran Koppel sama dengan Nol.
di mana dan:
Hubungan elastomekanis untuk bahan isotrop yaitu:
) 9 ( 1 1 1             n k zdz k h k h R z k x x M    ) 10 ( 1 1      n k dz z k h k h k x x M    ) 11 ( , , , ,        
     x v R u x R w v x u x
       ) 12 ( , , 2 1 , ,        
             x R x X R x x x
             ) 13 ( , , x p R x N x x
N      ) 14 ( , ,      p R Q R N x x N    ) 15 ( , , r p R Q x x Q R N       ) 16 ( ,
, x m R x M x x M x Q      ) 17 (
, ,      m R M
x x M
Q   
  18 * 66 26 16 66 26 16 26 22 12 26 22 12 16 12 11 16 12 11 66 26 16 66 26 16 26 22 12 26 22 12 16 12 11 16 12 11                                                                     T x M T M T x M T x N T N T x N x x x x D D D K K K D D D K K K D D D K K K K K K C C C K K K C C C K K K C C C x M M x M x N N x N                     19 1 * 1 1 66 26 16 26 22 12 16 12 11 dz n k Z h T T x x k k h k h Q Q Q Q Q Q Q Q Q T x N T N T x N                                              ) 20 ( 1 * 1 1 66 26 16 26 22 12 16 12 11 dz z n k Z h T T x x k k h k h Q Q Q Q Q Q Q Q Q T x M T M T x M                                                ) 22 ( * 66 0 0 0 0 0 0 22 12 0 0 0 0 12 11 0 0 0 0 0 0 66 0 0 0 0 0 0 22 12 0 0 0 0 12 11                                                                  
  T x M T M T x M T x N T N T x N x x x x D D D D D C C C C C x M M x M x N N x N                   ) 23 ( 1 0 * 1 1 66 0 0 0 22 12 0 12 11 dz n k Z h T T x k k h k h Q Q Q Q Q
T x N T N T x N                                              ) 24 ( 1 0 * 1 1 66 0 0 0 22 12 0 12 11 dz z n k Z h T T x k k h k h Q Q Q Q Q
T x M T M T x M                                              ) 21 ( * 55 45 45 44              xz x C C C C x Q Q       25 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                          
     
         
       
  T x M T M T x M T x N T N T x N x x x x x K K x K x K x K S x D x D x D x D x M M x M x N N x N
                       
Indonesian Journal of Materials Science
Disini berlaku :

## Koefisien Perpindahan Panas Suatu Lapisan
Membentuk hubungan elastomekanis dengan meninjau koefisien perpindahan panas lapisan maka mula-mula koefisien perpindahan panas lapisan ditentukan. Untuk menentukan koefisien perpindahan panas tersebut maka mula-mula ditentukan harga kekakuan C ij dan harga  x ,   dan  x  masing-masing lapisan.
Suatu lapisan yang terdiri dari berbagai lapis bila dibebani oleh beban termis maka lapisan tersebut tidak saja berubah bentuk pada tetapi juga melengkung dan memuntir. Dalam bentuk sederhana dapat dituliskan sebagai berikut [5].
di mana
Untuk menentukan koefisien perpindahan panas laminat bila dimasukkan beban luar sama dengan nol.
Koefisien perpindahan panas artinya perpanjangan akibat perubahan suhu persatuan derajat.
Bila koefisien perpindahan panas mengandung suhu yang  sama  maka  berlaku    (ΔT o K dan T = 1 o K). Persamaan 27 dapat dituliskan sebagai berikut:

## Hubungan Elastomekanis dengan Meninjau Koefisien Perpindahan Panas Laminat
Hubungan elastomekanis silinder dengan dinding tipis yang meninjau koefisien perpindahan panas laminat sebagai berikut:
Vektor perubahan bentuk merupakan penambahan perubahan bentuk akibat mekanis dan termis. Bila dibaca Persamaan 31 maka terjadi tegangan negatif dan tegangan tarik bila terjadi
penurunan suhu. Bila keduanya bekerja serentak maka perubahan bentuk akan hilang, Bila dibandingkan dengan Persamaan 34. maka perbedaannya terletak pada kolom perubahan bentuk. Kekakuan lapisan tidak berubah. Sehingga perubahan bentuk merupakan superposisi antara perubahan bentuk akibat beban mekanis dan beban termis. Kesahihan persamaan ini dibuktikan kemudian. Bila persamaan dituliskan dengan menggunakan matrik keluwesan maka hubungan elastomekanis dapat dituliskan sebagai berikut:
atau:

## PENYELESAIAN PERSAMAAN SILINDER
Dengan tujuan menurunkan perpindahan matriks suatu keadaan dalam arah tertentu misalnya, dalam kasus ini mengambilnya dalam arah memanjang, maka diturunkan persamaan diferensial dalam arah memanjang sehingga semua besaran dan turunannya dalam arah keliling, di mana suatu keadaan ujung secara lengkap disajikan. Bila arah perpindahan di ambil dalam arah sumbu x, maka persamaan diferensial dapat dituliskan sebagai berikut :
Dari persamaan kesetimbangan, hubungan elastomekanis dan hubungan kinematis berdasarkan teori Momen lentur besaran perpindahan u,  v,  w, β x dan  β θ dan besaran gaya N x , N xθ , M x , Q x , M xθ , N θ dan Q θ tidak diketahui. Karena arah perpindahan dalam sumbu x, maka besaran keadaan dalam vektor keadaan U berisi. β θ , N θ , M θ dan Q θ bukan anggota besaran keadaan, karena besaran  tersebut tergantung  kepada  sumbu  θ.  Momen torsi M xθ diturunkan dengan menggunakan gaya pengganti Kirchhoff dengan besaran berikut ini:
Dengan demikian vektor keadaan berbunyi sebagai berikut:
Persamaan diferensial yang diturunkan ditunjukkan dalam Lampiran.
 
) 26 ( ) 1 ( 66 ; 66 ; ) 1 ( 2 ) 2 1 ( 12 3 22 11 ; 2 1 11                            x K x K D Gh S C E G Eh x K K D D Eh x D C ) 27 ( 1                              T M T N M N D K K C   ) 28 (              th m th m       ) 29 ( 1                   T M T N D K K C th th     ) 30 ( 1 * 1 1 66 26 16 26 22 12 16 12 11 dz n k T x x k k h k h Q Q Q Q Q Q Q Q Q T x N T N T x N                                        ) 31 ( / / / * 66 26 16 66 26 16 26 22 12 26 22 12 16 12 11 16 12 11 66 26 16 66 26 16 26 22 12 26 22 12 16 12 11 16 12 11         
              
 
                     
 
        
 nt T v x x nt T v nt T v x x T v x x T v T v x x D D D K K K D D D K K K D D D K K K K K K C C C K K K C C C K K K C C C x M M x M x N N x N                    
    ) 32 ( / / / * 66 ˆ 56 ˆ 46 ˆ 36 ˆ 26 ˆ 16 ˆ 56 ˆ 55 ˆ 45 ˆ 35 ˆ 25 ˆ 15 ˆ 46 ˆ 45 ˆ 44 ˆ 24 ˆ 24 ˆ 14 ˆ 36 ˆ 35 ˆ 24 ˆ 33 ˆ 23 ˆ 13 ˆ 26 ˆ 25 ˆ 24 ˆ 23 ˆ 22 ˆ 12 ˆ 16 ˆ 25 ˆ 14 ˆ 13 ˆ 12 ˆ 11 ˆ       
                                                                nt T v x nt T v nt T v x T v x T v T v x x M M x M x N N x N S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S x x x x                               ) 33 ( t m                      (34) θ P θ U θ A x , θ U   ) 35 ( R xθ M xθ N * xθ N : i penggant geser Gaya   ) 36 ( R xθθ. M x Q * x Q : pengganti lintang Gaya       ) 37 ( T * x Q x, M x, β w, * xθθ N x, N u, v,
U 
Aliran Gaya Normal Akibat Beban Temperatur dengan Menggunakan Hubungan Elastomekanis yang Meninjau Koefisien Perpindahan Panas Laminat (Darwin Sebayang)

## Perubahan Persamaan Diferensial Parsial Menjadi Persamaan Diferensial Biasa
Untuk mengubah persamaan diferensial parsial yang diturunkan menjadi persamaan biasa maka haruslah Matriks [A] dan {U} hanya tergantung kepada koordinat yang disesuaikan dengan arah koordinat yang dipilih. Untuk mengubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan biasa digunakan deret Fourier . Deret Fourier untuk perpindahan dan gaya ditunjukkan pada Persamaan 35, 36 dan 37. Fungsi perpindahan dan aliran gaya, yang dituliskan pada Persamaan 35 merupakan besaran yang tergantung kepada koordinat tangensial (θ) dan aksial (x) Untuk mengubah persamaan diferensial parsial tersebut menjadi persamaan biasa maka Matriks [A] dan {U} harus hanya tergantung kepada koordinat yang dipilih. Untuk mengubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan biasa di sini digunakan deret Fourier . Deret Fourier untuk perpindahan dan gaya ditunjukkan pada Persamaan 35, 36 dan 37. Besaran tanda segitiga merupakan besaran simetri dan tanda gelombang menunjukkan besaran antimetri.
Besaran yang bukan merupakan vektor keadaan berlaku sebagai berikut:
dan besaran beban :
di mana u m , v m , w m ......T m hanya tergantung kepada x . Bila deret Fourier Persamaan 39 dan Persamaan 40 ataupun turunannya dimasukkan ke dalam persamaan diferensial parsial maka akan diperoleh persamaan biasa. Dengan membandingkan Koefisien bilangan harmonis akan diperoleh sistem persamaan umum untuk setiap besaran bilangan m, yang sekarang hanya tergantung
kepada Koordinat x. Persamaan biasa tersebut ditunjukkan pada Persamaan 41 di mana vektor beban P diambil sebagai kolom tambahan pada matriks diferensial:
Û m = Vektor keadaan simetris
h m = Vektor keadaan antimetri Â m = Bagian Matriks Diferensial simetris Ã m = Bagian Matriks Diferensial yang Antimetris Â m,a , Ã m,s = Keterkaitan antara Û m dan h m Lebih lanjut besaran keaadaan dinormalisasis agar mempunyai satuan yang sama. Dengan cara ini maka vektor keadaan dapat digunakan untuk silinder dengan kekakuan dalam arah memanjang atau beban permukaan berbeda. Vektor keadaan pada ke dua ujung juga dapat diperoleh dengan perkalian matriks, karena terdapat suatu kesatuan antara vektor keadaan antar kedua ujung. Besaran keadaan sesudah dilakukan normalisasi sebagai berikut:
di mana { }’ = d ( ) / d(x/L) dan L panjang silinder.

## Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan biasa yang diperoleh untuk setiap sistem persamaan diferensial biasa tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
Persamaan diferensial orde pertama dengan konstanta koefisien A dapat diselesaikan sebagai berikut:
Dengan memisahkan faktor pengubah dan mengintegrasi persamaan berikut ini [4, 5]
diperoleh penyelesaian umum y = C eAx dengan C sebagai konstanta pilihan yang bebas. Dengan memasukkan kondisi batas x = 0 diperoleh konstanta yo. Dengan demikian penyelesaian persamaan homogen dapat dituliskan sebagai berikut:
) 38 ( 0 m mθ sin xm Q ~ mθ cos 0 m xm Q ˆ θ) (x, x Q 0 m mθ sin xm M ~ mθ cos 0 m xm M ˆ θ) (x, x M 0 m mθ sin xm β ~ mθ cos 0 m xm β ˆ θ) (x, x β 0 m mθ sin m w ~ mθ cos 0 m m w ˆ θ) w(x, 0 m mθ cos xθθ N ~ mθ sin 0 m xm N ˆ θ) (x, xθ N 0 m mθ sin xm N ~ mθ cos 0 m xm N ˆ θ) (x, x N 0 m mθ sin m u ~ mθ cos 0 m m u ˆ θ) u(x, 0 m mθ cos m v ~ mθ sin 0 m m v ˆ θ) v(x,                                                                                    ) 39 ( 0 m 0 m mθ cos θm Q ~ mθ sin θm Q ˆ θ) (x, θ Q 0 m 0 m mθ sin θm M ~ mθ cos θm M ˆ θ) (x, θ M 0 m 0 m mθ sin θm N ~ mθ cos θm N ˆ θ) (x, θ N                                 ) 40 ( 0 m mθ sin m T ~ 0 m mθ cos m T ˆ θ) T(x,        
) 41 ( 1 m U ~ m U ˆ . 1 0 0 m P ~ m A ~ m,s A ˆ m P ˆ a m, A ~ m A ˆ x , 1 m U ~ m U ˆ                            ) 42 ( 11 /C x Q b R 11 C 2 b /R x M x w, w 11 /C xθ N b R 11 /C x N b R u v ' U          ) 43 ( P(x)dx A(x)y dx dy   (44) y A dx dy  (45) dx A y dy  ) 46 ( 0 y Ax e y 
Gambar 3 . Aliran gaya normal terhadap panjang dengan dan tanpa koefisien perpindahan panas (Serat Karbon (0 o /45 o /90 o )s) 0 200 400 600 800 1000 1200 Koordinat berjalan x (mm) 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 Nx (E-02 N/mm) Dengan KPP WAK Tanpa KPP WAK
Hal ini merupakan masalah kondisi batas, yang ditinjau tidak saja pada titik awal tetapi juga pada kondisi akhir Integrasi. Fungsi Matriks yang dimaksud di atas yaitu eAx menghasilkan Matrik perpindahan yang diperoleh dari Matrik Diferensial A dengan menggunakan Iterasi Picard , di mana Matriks A dengan Koefisien konstan sebagai jumlah suatu deret Matriks yang tak terhingga. Dengan menjumlahkan Matrik tersebut dapat diperoleh sebagai berikut:
Dengan mengembangkan Matriks eAx diperoleh:
di mana
  1 o W yang dikenal sebagai „Matriks
Perpindahan”. Matriks perpindahan   1 o W berarti peubahan besaran vektor keadaan U dari x dari 0 ke 1. Ke dua ujung dihubungkan dengan bantuan matrik perpindahan seluruh daerah.

## PENGGUNAAN TEORI DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian sistem persamaan diferensial yang tidak homogen (Persamaan 46) misalnya dapat dilakukan dengan memvariasikan Konstanta ( Lagrange ) [6, 7]. Dengan demikan dapat diperoleh penyelesaian sistem persamaan diferensial biasa yang tidak homogen. Dengan cara penyelesaian di atas secara umum deret di atas cepat konvergen. Untuk perhitungan yang ril deret matrik ini akan berhenti sesudah dicapai titik ketelitian yang diberikan. Untuk menghindari kesulitan numeris ini maka struktur di bagi atas elemen kecil. Jumlah elemen dan panjang elemen diperoleh dari pengalaman. Disamping itu untuk menghindari kesulitan itu dapat juga dilakukan dengan menyelesaikan dengan penyelesaian seluruhnya yang secara detail dapat dilihat pada literatur [8].
Untuk membandingkan kedua hubungan elastomekanis maka diambil sebagai kondisi batas atau kedua silinder dijepit. Sebagai uji coba maka diambil laminat dengan susunan (0 o /90 o /90 o /0 o ), (0 o /45 o /90 o )s dan (0 o /90 o /45 o /-45 o )s.
Suhu tanpa beban mekanis diambil simetris terhadap sumbu z pada  θ = 0  terhadap keliling .
Fungsi suhu :
Untuk bahan isotrop dan orthotrop maka Persamaan 41 lebih sederhana yaitu:
Persamaan biasa dengan susunan Laminat (0°/45°/90°)s, (0°/90°/45°/-45°)s dan (25°/50°/75°/100°) berbunyi:
Untuk bahan isotrop maka setiap lapisan mempunyai koefisien perpindahan panas yang sama. Aliran gaya normal disajikan pada Gambar 1.
Koefisien perpindahan panas untuk struktur Laminat (0 o /90 o /90 o /0 o ) adalah v x α dan v θ α . Aliran gaya normal
untuk bahan ortotrop diperlihatkan pada Gambar 2. Untuk (0°/45°/90°)s dan (0°/90°/45°/-45°)s koefisien perpindahan panas yakni
v θ α , v x α dan v xθ α .
Hasilnya diperlihatkan pada Gambar 3 dan Gambar 4.
T (  ) = 45 + 21,66 cos  + 6,4 cos 2  - 1,3 cos 3  + 0,7458 cos 5 
Gambar 1 . Aliran gaya normal terhadap panjang dengan dan tanpa koefisien perpindahan panas (Aluminium) 0 200
400 600 800 1000 1200 Koordinat berjalan x (mm) 0 -2 -4 -6
-8
-10
Nx (E-01N/mm)
Tanpa KPP Dengan KPP 0 200
400 600 800 1000 1200 Koordinat berjalan x (mm) 0 -500 -1000
-1500
-2000 -2500 Nx (E-02 N/mm) Dengan KPP Tanpa KPP
Gambar 2 . Aliran gaya normal terhadap panjang dengan dan tanpa koefisien perpindahan panas (Serat Karbon dengan susunan (0 o /90 o /90 o /0 o )       ) 48 ( o U 1 o W 1 U  0 50 70 20 40 -180 180 135 90 0 45 -45 -135 -90 80 60 30 10 Distribusi suhu simetri terhadap  =0        ) 49 ( m T ˆ m U ˆ . m A ˆ ' m U ˆ   ) 50 ( 0 m T ˆ m U ~ m U ˆ . m A ~ m,s A ˆ a m, A ~ m A ˆ ' m U ~ m U ˆ                               ) 47 ( n 1 n Ax n! 1 I Ax e W      
Aliran Gaya Normal Akibat Beban Temperatur dengan Menggunakan Hubungan Elastomekanis yang Meninjau Koefisien Perpindahan Panas Laminat (Darwin Sebayang)

## KESIMPULAN
Dari Gambar 1 sampai Gambar 4 terlihat bahwa hasil perhitungan berdasarkan kedua hubungan elastomekanis sama. Besaran keadaan pada Laminat yang menggunakan hubungan elastomekanis yang meninjau koefisien perpindahan panas laminat hasilnya sama dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hubungan elastomekanis konvensionil. Bila suhu sama diseluruh tebal dan dicari besaran keadaan pada laminat maka digunakan hubungan elastomekanis yang menggunakan koefisien perpindahan panas sedangkan bila distribusi beban tidak sama sepanjang tebal dan dicari besaran keadaan pada setiap lapis maka digunakan hubungan elastomekanis konvensional. Hubungan elastomekanis konvensional membutuhkan data serat dan matriks sedangkan pada hubungan elastomekanis yang menggunakan koefisien perpindahan panas Laminat maka yang dibutuhkan koefisien perpindahan panas Laminat.

## DAFTAR ACUAN
[1]. JONES, Mechanics of Composite Materials , International Student Edition, (1975).
[2]. VINSON, J.R, SIERKOWSKI, R. L, The Behaviour of Struktures Composed of Composite Materilas , Martinus Nijhoff Publisher, (1986).
[3]. GEIRE, B. Grundlagen der strukturmechanism
Beziehungen von Bauteilen aus Faserverbundwerkstoffen , Institut für
Strukturmechanik, Deutsche Forschungs-und Verbundanstalt für Luft und Raumfahrt, (1986).
[4]. BRUSH, DON, O., ALMROTH, B.O, Buckling of bars, Plates and Shells , International Student Edition, (1975).
[5]. SCHNEIDER, W, Wärmeausdehnungskoeffizient und Wärmespannungan von
Glasfaser Kunstoff-Verbund aus unidirektionalen
Schichten , Kunstoffe Band 61, Heft 4.
[6]. PESTEL, LECKIE, Matrix Methods in Elastomechanics , Mc Graw-Hill New York Company, (1963).
Gambar 4 . Aliran gaya normal terhadap panjang dengan
dan tanpa koefisien perpindahan panas ((0 o /90 o /45 o /-45 o )s) 0 200 400 600 800 1000 1200 Koordinat berjalan x (mm) 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500
Nx (E-02 N/mm)
Dengan KPP Tanpa KPP
[7]. COLLATZ, L, Differentialgleichungen , Teubner Stuttgart, (1960).
[8]. SEBAYANG, D, Ein Beitrag zur Aufstellung und Lösung der statische und stabilitätsgleichungen der anisotropen dünnwandigen Zylinderschalen mit Hilfe der Übertragungsmatrizen , Disertasi di RWTH Aachen, (1996).

## Lampiran

## Persamaan Diferensial Parsial Berdasarkan Teori Momen Lentur
Catatan:
Indeks berikut ini 03,1...P3,9.... Ö4,13 dan seterusnya maka singkatan. Dia bukan indeks Matriks. Indeks 11, 22,....14 menunjukkan garis dan kolom suatu Matriks.              
                                                                 8 P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P * x Q x M x β w * xθ N x N u v . 0 87 Y 86 Y 85 Y 84 Y 83 Y 82 Y 81 Y 0 77 Y 76 Y 75 Y 74 Y 73 Y 72 Y 71 Y 0 67 Y 66 Y 65 Y 64 Y 63 Y 62 Y 61 Y 0 0 0 1 0 0 0 0 0 47 Y 46 Y 45 Y 44 Y 43 Y 42 Y 41 Y 0 37 Y 36 Y 35 Y 34 Y 33 Y 32 Y 31 Y 0 27 Y 26 Y 25 Y 24 Y 23 Y 22 Y 21 Y 0 17 Y 16 Y 15 Y 14 Y 13 Y 12 Y 11 Y x , * x Q x M
x β w * xθ N x N u v 2 R θ ), ( 23 b R θ ), ( 22 b 11 Y   ; R θ ), ( 21 b 11 Y  21 a 13 Y  ; 22 a 14 Y  2 R θθ ), ( 23 b R ) ( 21 b 15 Y   ; R θ ), ( 24 b 16 Y  23 b 17 Y  2 R θ ), ( 23 b R θ ), ( 12 b 21 Y   ; R θ ), ( 11 b 22 Y  11 a 23 Y  ; 12 a 24 Y  2 R θ ), ( 13 b R θ ), ( 12 b 25 Y   ; R θ ), ( 14 b 26 Y  13 b 27 Y  θθ ), ( 3,1 O
31 Y  ; θθ ), ( 3,2 O 32 Y  θ ), ( 3,3 O 33 Y  ; θ ), ( 3,4 O 34 Y  θθθ ), ( 3,52 O θ ), ( 3,51 O 35 Y   ; θθ ), ( 3,6 O 36 Y  θ ), ( 3,7 O 37 Y  θθ ), ( 3,1 O 41 Y  ; θθ ), ( 3,2 O 42 Y  θ ), ( 4,3 O
43 Y  ; θ ), ( 4,4 O 44 Y  θθθ ), ( 4,52 O θ ), ( 4,51 O 45 Y   ; θθ ), ( 4,6 O 46 Y 
{P T } beban termis dengan menggunakan hubungan elastomekanis konvensional:
Besaran lain Nol.
Beban termis dengan menggunakan Koefisien Perpindahan Panas Laminat:
2 R θθ , T θ M R T θ N θθ , T x M 8 ,7 2 O T x M 8 ,7 1 O θθ , T * xθ N 8 ,4 2 O T xθ N 8 ,4 1 O θθ , T x N 8 ,3 2 O T x N 8,3 1 O T 8 P ) T xθ M 1 ) 3 ,4 (O θ , T x M 3 ,7 O θ , T * xθ N 3 ,4 O θ , T x N 3 ,3 2 (O T 7 P T x M 3 3 a T * xθ N 3 2 a T x N 3 1 a T 6 P 2 R θ , T θ M R θ , T θ N θ , T x M 4,7 O θ , T * xθ N 4 ,4 O θ , T x N 4 ,3 O T 4 P θ , T xθ M 1 ) 3 ,4 (O θ , T x M 3 7 O θ , T * xθ N 3 ,4 O θ , T x N 3,3 O T 3 P T x M 1 3 a T * xθ N 1 2 a T x N 11 a T 2 P T x M 2 3 a *T xθ N 22 a T x N 2 1 a T 1 P                
         
      θ ), ( 4,7 O 47 Y  2 R θ ), ( 33 b R θ ), ( 32 b 61 Y   ; R θ ), ( 31 b 62 Y  31 a 63 Y  ; 32 a 64 Y  2 R θθ ), ( 33 b R ) ( 32 b 65 Y   ; θ ), ( 34 b 66 Y  33 a 67 Y  θθ ), ( 3,1 O 2 71 Y   ; θθ ), ( 3,1 O 2 72 Y   θ ), ( 3,3 O 2 73 Y   ; θ ), ( 3,4 O 2 74 Y     θθθ ), ( 3,52 O θ ), ( 3,51 O 2 75 Y    ; θθ ), ( 3,6 O 2 76 Y   θ ), ( 3,7 O 2 77 Y   ; 1 78 Y  θθ ), ( 8,12 O θ ), ( 8,11 O 81 Y   ; θθθ ), ( 8,22 O θ ), ( 8,21 O 82 Y   θθ ), ( 8,31 O 8,31 O 83 Y   ; θθ ), ( 8,42 O 8,41 O 84 Y   4θ ), ( 8,53 O θ ), ( 8,52 O ) ( 8,51 O 85 Y    ; θθθ ), ( 8,62 O θ ), ( 8,61 O 86 Y   θθ ), ( 8,72 O θ ), ( 8,71 O 87 Y   ΔT/nt v xθ κ 23 d ΔT/nt v θ κ 22 d ΔT/nt v x κ 21 d T v xθ α 23 c T v θ α 22 c T v x α 21 c T 1 P       ΔT/nt v xθ κ 13 d ΔT/nt v θ κ 12 d ΔT/nt v x κ 11 d T v xθ α 13 c T v θ α 12 c T v x α 11 c T 2 P       ΔT/nt v xθ κ 3,6 P ΔT/nt v θ κ 3,5 P ΔT/nt v x κ 3,4 P θ T, v xθ α 3,3 P θ T, v θ α 3,2 P θ T, v x α 3,1 P T 3 P      
Aliran Gaya Normal Akibat Beban Temperatur dengan Menggunakan Hubungan Elastomekanis yang Meninjau Koefisien Perpindahan Panas Laminat (Darwin Sebayang)
Besaran lain Nol ΔT/nt v xθ κ 4,6 P ΔT/nt v θ κ 4,5 P ΔT/nt v x κ 4,4 P θ T, v xθ α 4,3 P θ T, v θ α 4,2 P θ T, v x α 4,1 P T 4 P       ΔT/nt v xθ κ 33 d ΔT/nt v θ κ 32 d ΔT/nt v x κ 31 d T v xθ α 33 c T v θ α 32 c T v x α 31 c T 6 P       ΔT/nt) v xθ κ 3,6 P ΔT/nt v θ κ 3,5 P ΔT/nt v x κ 3,4 P θ T, v xθ α 3,3 P θ T, v θ α 3,2 P θ T, v x α 3,1 2(P T 7 P        ΔT/nt v xθ κ 8,61 P ΔT/nt v θ κ 8,51 P ΔT/nt v x κ 8,41 P θ T, v xθ α 8,31 P T v θ α 8,21 P T v x α 8,11 P T 8 P       /nt θθ ΔT, v xθ κ 8,62 P /nt θθ ΔT, v θ κ 8,52 P /nt θθ ΔT, v x κ 8,42 P θθ T, v xθ α 8,32 P θθ T, v θ α 8,22 P θθ T, v x α 8,12 P                    R 26 D 26 K ) R 33 b 32 (b 16 D ) R 23 b 22 (b 66 K ) R 13 b 12 (b 16 K 3 R 1 3,1 O 3 )/R 66 K 31 b 16 D 21 b 66 K 11 b 16 (K 3,2 O     ; 2 )/R 31 a 16 D 21 a 66 K 11 a 16 (K 3,3 O    ) 32 a 16 D 22 a 66 K 12 a 16 (K 3,4 O    ; 3 )/R 26 K 32 b 16 D 22 b 66 K 12 b 16 (K 3,51 O     4 )/R 26 D 33 b 16 D 23 b 66 K 13 b 16 (K 3,52 O     ; 3 )/R 66 D 34 b 16 D 24 b 66 K 14 b 16 (K 3,6 O     2 )/R 33 a 16 D 23 a 66 K 13 a 16 (K 3,7 O               ) R 23 F 13 (F R 1 ) R 22 F 12 (F 2 R 1 4,1 O ; 2 )/R R 21 F 11 (F 4,2 O    )/R R 21 E 11 (E 4,3 O    ; )/R R 22 E 12 (E 4,4 O    2 )/R R 22 F 12 (F 4,51 O    ; 3 )/R R 23 F 13 (F 4,52 O    2 )/R R 24 F 14 (F 4,6 O    ; )/R R 23 E 13 (E 4,7 O    2 )/R R 22 F 12 (F 8,11 O    ; 3 )/R R 23 F 22 (F 8,12 O    2 /R 11 F 8,21 O  ; 3 /R 21 F 8,22 O   /R 11 E 8,31 O  ; 2 /R 12 E 8,32 O   2 /R 12 F 8,51 O  ; 3 )/R 22 F 13 (F 8,52 O   4 /R 23 F 8,53 O   ; 2 /R 14 F 8,61 O  3 /R 24 F 8,62 O   ; /R 13 E 8,71 O 
Besaran lain Nol. Di mana: 2 /R 23 E 8,72 O   2 )/R 16 K 31 c 16 D 21 c 66 K 11 c 16 (K 3,1 P     ; 2 )/R 26 K 32 c 16 D 22 c 66 K 12 c 16 (K 3,2 P     2 )/R 66 K 33 c 16 D 23 c 66 K 13 c 16 (K 3,3 P     ; 2 )/R 16 D 31 d 16 D 21 d 66 K 11 d 16 (K 3,4 P     2 )/R 26 D 32 d 16 D 22 d 66 K 12 d 16 (K 3,6 P     )/R R 21 G 11 (G 4,1 P    ; )/R R 22 G 12 (G 4,2 P    )/R R 23 G 13 (G 4,3 P    ; )/R R 21 H 11 (H 4,4 P    )/R R 22 H 12 (H 4,5 P    /R 11 G 8,11 P  ; 2 /R 21 G 8,12 P   /R 12 G 8,21 P  ; 2 /R 22 G 8,22 P   /R 13 G 8,31 P  ; /R 11 H 8,41 P  2 /R 21 H 8,42 P  ; /R 12 H 8,51 P  2 /R 22 H 8,52 P   ; /R 13 H 8,51 P   2 /R 23 H 8,62 P                    16 D 12 D 12 K 16 K R 66 D 66 K R 26 K 26 K R 26 K 26 C R 66 K 66 C 16 K 12 K 12 C 16 C B               11 D 16 K 11 K R 16 D 16 K R 16 K 66 C R 16 K 16 C 11 K 16 C 11 C Ä        


     16 K 12 K 11 K R 66 K 66 C R 26 K 26 C R 16 K 16 C 16 C 12 C 11 C c
Aliran Gaya Normal Akibat Beban Temperatur dengan Menggunakan Hubungan Elastomekanis yang Meninjau Koefisien Perpindahan Panas Laminat (Darwin Sebayang)
2 sampai 1 m dan 3 sampai 1 l 4, sampai 1 k 3, sampai 1 j 3, sampai 1 i ij h kj d ik e ij H ij g kj c ik e ij G il f kl b ik e il F kj a ik e ij E lk B 1 il Ä ik b 1 il Ä il a                
               16 D 12 D 11 D R 66 D 66 K R 26 D 26 K R 16 D 16 K 16 K 12 K 11 K d      21 D 26 K 21 K 21 K 26 C 21 C e       26 D 22 D 22 K 26 K 26 K 22 K 22 C 26 C f      26 K 22 K 21 K 26 C 22 C 21 C g      26 D 22 D 21 D 26 K 22 K 21 K h      26 K 22 K 21 K 26 C 22 C 21 C ik I