Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 2, Juli 2023, 145-156 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i2.9063

## Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran yang Tidak Saling Memperumum
Miftahul Fikri 1 * 1 Jl. Lingkar Luar Barat, Duri Kosambi, Cengkareng, Jakarta 11750 1 Fakultas Ketenagalistrikan dan Energi Terbarukan IT-PLN Jakarta Indonesia *e-mail: miftahul@itpln.ac.id
Diajukan: 23 April 2021, Diperbaiki: 3 Januari 2022, Diterima: 3 Maret 2023

## Abstrak
Sejak Planck dan Zadeh masing-masing mengkaji teori kuantum dan teori possibility, kajian kedua teori ini terus dilakukan hingga sekarang. Dari sisi matematika, kedua teori ini yang berkaitan langsung dan menjadi dasar dalam berbagai kajian baik teoritis maupun aplikatif adalah ukuran kuantum dan ukuran possibility. Meskipun dalam banyak literatur ukuran  kuantum dan ukuran  possibility  merupakan perumuman ukuran tetapi tidak dibuktikan berdasarkan definisi sehingga tidak nampak secara langsung substansi perumuman tersebut. Selain itu, dalam berbagai literatur juga tidak ditemukan pembahasan keterkaitan antara ukuran kuantum dan ukuran possibility. Oleh karena itu, pada penelitian ini dilakukan pembuktian  berdasarkan definisi baik  ukuran  kuantum dan ukuran  possibility  merupakan perumuman ukuran  maupun  ukuran kuantum dan  ukuran possibility  tidak saling memperumum  sehingga  ukuran merupakan irisan keduanya.
Kata Kunci : ukuran, ukuran kuantum, ukuran possibility.

## Abstract
Since Planck and Zadeh studied the quantum theory and the possibility theory respectively, studies of these two theories have continued to this day. From a mathematical perspective, these two theories that are directly related and become the basis for various studies both theoretical and applicable are the quantum measure and the possibility measure. Even though in much literature, the quantum measure and the possibility measure are generalizing the measure, they are not proven by definition so that the substance of generalizes does not appear directly. In addition, in various kinds of literature, there is also no discussion of the relationship between the quantum measure and the possibility measure. Therefore, this research proved base on the definition both the quantum measure and the possibility measure are a generalization of the measure as well as the quantum measure and the possibility measure does not generalize each other so that measure is an intersection of them.
Keywords : measure, quantum measure, possibility measure.

## 1 Pendahuluan
Sejak tahun 1900 ketika Max Planck menggunakan istilah kuantum untuk mengamati radiasi benda hitam ditemukan bahwa radiasi cahaya bukan berasal dari gelombang energi yang kontinu akan tetapi  berasal dari kuanta-kuanta yang kecil yang dapat diukur  [1]  [2]  [3]. Kemudian berkembang menjadi mekanika kuantum dan terus menarik minat para peneliti seperti  Albert Einstein  dengan teori relativitas khusus dan relativitas umum,  De Broglie dengan  dualisme
146 Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran yang Tidak Saling Memperumum
gelombang, Schrodinger dengan fungsi gelombang partikel . Eksperimen tentang kuantum terkait teori ukur terus berkembang hingga memasuki tahun 1994, Sorkin [4] memformulasikan secara matematis mekanika kuantum sebagai teori ukur kuantum. Sorkin menghubungkan kuantum dengan sifat aditif  peluang pada ruang ukur yang selanjutnya memperlihatkan bahwa secara matematis, fisika klasik merupakan kasus khusus dari fisika kuantum. Merujuk Sorkin tersebut, Gudder dalam [5] [6] membahas tentang teori ukur kuantum sebagai perumuman dari teori ukur. Perumaman ini bukan hanya memperumum teori ukur pada ruang ukur yang telah dikenal, tetapi juga dapat membatalkan teorema-teorema yang sudah dikenal luas, seperti teorema dasar kalkulus dan teorema Radon-Nikodym.
Disisi lain, himpunan fuzzy mulai dikenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965 [7], kemudian pada tahun 1978 [8] Zadeh memperkenalkan himpunan fuzzy sebagai basis dari teori possibility. Tahun 1982 [9], dibuktikan bahwa ukuran fuzzy dan possibility tidak sama, namun penelitian ini akan memfokuskan pada teori ukur possibility. Salah satu aplikasi teori ukur possibility adalah digunakan sebagai dasar untuk mengukur metode clustering seperti  [10]–[13].  Dalam  [8]  [9], diketahui bahwa ukuran possibility merupakan perumuman ukuran, hal ini menyebabkan bukan hanya ukuran kuantum tetapi ukuran possibility juga merupakan perumuman ukuran. Meskipun dalam  berbagai  literatur disebutkan bahwa ukuran kuantum dan ukuran possibility merupakan perumuman ukuran tetapi tidak ditunjukkan berdasarkan definisinya sehingga tidak terlihat secara langsung perumumannya. Selain itu, dalam berbagai literatur juga tidak ditemukan pembahasan keterkaitan antara ukuran kuantum dan ukuran possibility. Oleh karena itu, penelitian ini akan membahas “pembuktian ukuran kuantum dan ukuran possibility sebagai perumuman ukuran yang tidak saling memperumum”.

## 2 Metode Penelitian
Definisi 1 [ [14][15] ] Suatu aljabar sigma himpunan-himpunan adalah suatu koleksi 𝒮𝒮 dari subhimpunan-subhimpunan dari himpunan 𝑆𝑆 yang diberikan sedemikian rupa sehingga
1. ∅ , 𝑆𝑆 ∈ 𝒮𝒮 ,
2. Jika 𝑋𝑋 ∈ 𝒮𝒮 dan 𝑌𝑌 ∈ 𝒮𝒮 , maka 𝑋𝑋⋃𝑌𝑌 ∈ 𝒮𝒮 ,
3. Jika 𝑋𝑋 ∈ 𝒮𝒮 , maka 𝑆𝑆 − 𝑋𝑋 ∈ 𝒮𝒮 ,
4. Jika 𝑋𝑋 𝑛𝑛 ∈ 𝒮𝒮 untuk semua 𝑛𝑛 , maka ⋃ 𝑋𝑋 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 ∈ 𝒮𝒮 .
Definisi 2 [ [16] ] Ruang terukur adalah sepasang ( 𝑋𝑋 , ℳ ) , di mana 𝑋𝑋 adalah suatu himpunan dan ℳ adalah suatu aljabar- 𝜎𝜎 dari himpunan bagian-himpunan bagian 𝑋𝑋 . Ukuran 𝜇𝜇 di dalam ruang
terukur ( 𝑋𝑋 , ℳ ) adalah fungsi taknegatif 𝜇𝜇 : ℳ → [0, ∞ ] dimana 𝜇𝜇 ( ∅ ) = 0 dan countable additive, yaitu untuk sembarang koleksi himpunan terukur terhitung yang saling lepas { 𝐸𝐸 𝑘𝑘 } 𝑘𝑘=1 ∞ memenuhi, 𝜇𝜇 �� 𝐸𝐸 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � = � 𝐸𝐸 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 .
Definisi 3 [ [16] ] Ruang ukur adalah rangkap tiga ( 𝑋𝑋 , ℳ , 𝜇𝜇 ) , di mana ( 𝑋𝑋 , ℳ ) adalah ruang terukur dan 𝜇𝜇 adalah ukuran di dalam ruang terukur ( 𝑋𝑋 , ℳ ) .
Definisi 4 [ [6] [5] ] Misalkan ( 𝑋𝑋 , ℳ ) merupakan ruang terukur. Suatu fungsi 𝜇𝜇 : ℳ → [0, ∞ ] adalah ukuran kuantum jika:
1. 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) = 𝜇𝜇 ( ⋃ 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) , untuk setiap barisan naik 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∈ ℳ dan 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) = 𝜇𝜇 ( ⋂ 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ), untuk setiap barisan turun 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ∈ ℳ (kontinu),
2. 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ⨃ 𝐶𝐶 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐶𝐶 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ⨃ 𝐶𝐶 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐶𝐶 ) (grade-2 additive),
3. 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 0 ⇒ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) dan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 0 ⇒ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) (regular).
Definisi 5 [[9] [8]] Misalkan ( 𝑋𝑋 , ℳ ) merupakan ruang terukur. Suatu ukuran possibility adalah fungsi 𝜇𝜇 : ℳ → [0,1] yang memenuhi:
1. 𝜇𝜇 ( ∅ ) = 0, (kosong)
2. 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 ⟹ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) ≤ 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ), untuk 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 ∈ ℳ , (monoton)
3. 𝜇𝜇 ( ⋃ 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) = sup 𝑖𝑖 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ), untuk setiap 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∈ ℳ . (supremum)
Definisi 6 [ [16] ]
Misalkan 𝐸𝐸 himpunan bilangan Real, tetapkan { 𝐼𝐼 𝑘𝑘 } 𝑘𝑘=1 ∞ sebagai himpunan buka tak kosong, interval terbatas yang mengcover 𝐸𝐸 . Outer measure  dari 𝐸𝐸 dilambangkan dengan 𝑙𝑙 ∗ ( 𝐸𝐸 ) didefinisikan sebagai berikut:
𝑙𝑙 ∗ ( 𝐸𝐸 ) = inf �� ℓ ( 𝐼𝐼 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 �𝐸𝐸 ⊆ � 𝐼𝐼 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � .
Misalkan 𝐸𝐸 himpunan yang terukur, ukuran Lebesgue dilambangkan dengan 𝑙𝑙 ( 𝐸𝐸 ) yang didefinisikan oleh 𝑙𝑙 ( 𝐸𝐸 ) = 𝑙𝑙 ∗ ( 𝐸𝐸 ).
Teorema 7 [ [16] ] Ukuran 𝜇𝜇 (termasuk ukuran Lebesgue) memenuhi sifat kekontinuan berikut:
1. Jika { 𝐴𝐴 𝑖𝑖 } 𝑖𝑖=1 ∞ adalah koleksi dari himpunan terukur yang naik maka
𝜇𝜇 �� 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑖𝑖→∞ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 )                                                                     (1)

## 148 Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran yang Tidak Saling Memperumum
2. Jika { 𝐵𝐵 𝑖𝑖 } 𝑖𝑖=1 ∞ adalah koleksi dari himpunan terukur yang turun dan 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 1 ) < ∞ maka 𝜇𝜇 �� 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑖𝑖→∞ 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ).                                                                   (2)

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada penelitiain ini akan membuktikan keterkaitan ukuran, ukuran kuantum dan ukuran possibility yang dikelompokkan pembahasannya sebagai berikut:
1. Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran,
2. Pembuktian Ukuran Kuantum Bukan Perumuman Ukuran Possibility,
3. Pembuktian Ukuran Possibility Bukan Perumuman Ukuran Kuantum.
Masing-masing akan dibahas sebagai berikut:
3.1 Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran
a. Pembuktian Ukuran Kuantum Sebagai Perumuman Ukuran Andaikan ( 𝑋𝑋 , ℳ , 𝜇𝜇 ) ruang ukur. Pembuktian akan dilakukan dengan cara menunjukkan bahwa 𝜇𝜇 merupakan ukuran kuantum, yaitu kontinu(1), grade-2 additive(2) dan regular(3).
1. Kontinu
Berdasarkan Teorema 1, 𝜇𝜇 kontinu.

## 2. Grade-2 additive
𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ⨃ 𝐶𝐶 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐶𝐶 )                                                                              (3)
𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐶𝐶 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ⨃ 𝐶𝐶 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐶𝐶 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐶𝐶 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐶𝐶 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐶𝐶 )
= 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐶𝐶 )                                                                                          (4)
Berdasarkan (3) dan (4) maka 𝜇𝜇 grade-2 additive.
3. Regular
Andaikan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 0 , maka 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) = 0 + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ).
Andaikan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 0 ,  maka 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) = 0, dengan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) ≥ 0 dan 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) ≥ 0, sehingga 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) = 0. Akibatnya 𝜇𝜇 regular.
Sehingga terbukti bahwa 𝜇𝜇 merupakan ukuran kuantum.
b. Pembuktian Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran Andaikan ( 𝑋𝑋 , ℳ , 𝜇𝜇 ) ruang ukur. Pembuktian akan dilakukan dengan cara menunjukkan bahwa 𝜇𝜇 merupakan ukuran possibility, yaitu kosong (1) dan monoton (2), supremum (3).
1. Kosong
Sesuai definisi ukuran, memenuhi 𝜇𝜇 ( ∅ ) = 0 .

## 149

## 2. Monoton
Andaikan 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 . Kasus khusus countable aditif pada ukuran adalah aditif berhingga yang diperoleh dengan cara mengambil  beberapa himpunan terakhir  pada operasi gabungan countable aditif sebagai ∅ . Akibatnya ketika 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 maka 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ~ 𝐴𝐴 ), sehingga 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) ≤ 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ).
3. Supremum
Berdasarkan Teorema 1 dan sifat monoton  possibility maka akan memenuhi sifat supremum.
Sehingga terbukti bahwa 𝜇𝜇 merupakan ukuran possibility.
3.2 Pembuktian Ukuran Kuantum Bukan Perumuman Ukuran Possibility Pembuktian akan dilakukan dengan counter example berikut. Misalkan 𝑋𝑋 = [0,1], ℳ aljabar sigma dari 𝑋𝑋 dan 𝑣𝑣 ukuran Lebesgue yang dibatasi pada [0,1]. Untuk 𝐸𝐸 ∈ ℳ , ukuran 𝜇𝜇 didefinisikan:
𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 ) = 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝑥𝑥 ∈ 𝐸𝐸 : 𝑥𝑥 + 3 4 ∈ 𝐸𝐸�� = 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 ∩ �𝐸𝐸 − 3 4 ��
Akan dibuktikan bahwa ( 𝑋𝑋 , ℳ , 𝜇𝜇 ) merupakan ruang ukur kuantum yaitu 𝜇𝜇 memenuhi kontinu (1), grade-2 additive (2) dan regular (3), tetapi 𝜇𝜇 bukan merupakan ukuran possibility(4).
1. Kontinu
Misalkan 𝐴𝐴 𝑖𝑖 barisan naik di ℳ , maka
𝜇𝜇 �� 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � = 𝑣𝑣 �� 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � − 2 𝑣𝑣 ��� 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � � �� 𝐴𝐴 𝑖𝑖 − 3 4 ∞ 𝑖𝑖=1 �� = 𝑣𝑣 �� 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � − 2 𝑣𝑣 �� �𝐴𝐴 𝑖𝑖 � �𝐴𝐴 𝑖𝑖 − 3 4 �� ∞ 𝑖𝑖=1 �
= lim 𝑖𝑖→∞ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) − 2 lim 𝑖𝑖→∞ 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 𝑖𝑖 � �𝐴𝐴 𝑖𝑖 − 3 4 �� berdasarkan persamaan (1)
= lim 𝑖𝑖→∞ �𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 𝑖𝑖 � �𝐴𝐴 𝑖𝑖 − 3 4 ���
= lim 𝑖𝑖→∞ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ).
Kemudian, misalkan 𝐵𝐵 𝑖𝑖 barisan turun di ℳ dan diketahui bahwa 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 1 ) < 1 < ∞ maka
𝜇𝜇 �� 𝐵𝐵 𝑖𝑖
∞ 𝑖𝑖=1 � = 𝑣𝑣 �� 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � − 2 𝑣𝑣 ��� 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ∞ 𝑖𝑖=1 � � �� 𝐵𝐵 𝑖𝑖 − 3 4 ∞ 𝑖𝑖=1 �� = lim 𝑖𝑖→∞ 𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) − 2 lim 𝑖𝑖→∞ 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 𝑖𝑖 � �𝐵𝐵 𝑖𝑖 − 3 4 �� berdasrkan persamaan (2)

## 150 Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran yang Tidak Saling Memperumum
= lim 𝑖𝑖→∞ �𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 𝑖𝑖 � �𝐵𝐵 𝑖𝑖 − 3 4 ���
= lim 𝑖𝑖→∞ 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ).
2. Grade-2 additive
Untuk membuktikan grade-2 additive, akan dibuktikan 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 2 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 2 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 3 ). Karena 𝑣𝑣 ukuran Lebesgue bersifat additive maka 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ) = 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ), sehingga diperoleh
𝜇𝜇 �𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � = 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝑥𝑥 ∈ 𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 : 𝑥𝑥 + 3 4 ∈ 𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 ��
= 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 �� .
Selanjutnya,
𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 2 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 2 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 3 )
= 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 �� + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 )
− 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 3 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 3 � − 3 4 �� + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 )
− 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 2 � 𝐸𝐸 3 � ∩ ��𝐸𝐸 2 � 𝐸𝐸 3 � − 3 4 �� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� = 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 �� + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 )
− 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ��� + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ��� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ��
= 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 �� + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 )
− 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 ��
− 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ��
− 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� − 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) + 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ��
= 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 ��
− 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� .                                                                             (5)
Disisi lain,
𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) = 𝜇𝜇� ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ) ⨃ 𝐸𝐸 3 �
= 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) − 2 𝑣𝑣 �� ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ) ⨃ 𝐸𝐸 3 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � � 𝐸𝐸 3 � − 3 4 � = 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ��
152 Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran yang Tidak Saling Memperumum
= 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 ��
− 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ���
− 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� ⨃ �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 ��� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 ��
= 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 1 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 2 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐸𝐸 3 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � ∩ ��𝐸𝐸 1 � 𝐸𝐸 2 � − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 1 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 2 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 1 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 2 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐸𝐸 3 ∩ �𝐸𝐸 3 − 3 4 �� .                                                                           (6)
Akibatnya berdasarkan (5) dan (6) maka 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 2 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 2 ⨃ 𝐸𝐸 3 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 1 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 2 ) − 𝜇𝜇 ( 𝐸𝐸 3 ), Sehingga 𝜇𝜇 grade-2 additive.
3. Regular
Akan dibuktikan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 0 ⇒ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) dan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 0 ⇒ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ).
Pertama, andaikan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 0 ⇔ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 �� = 0 ⇔ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ) = 2 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 �� ⇔ 𝐴𝐴 = ∅ atau 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶⨃ �𝐶𝐶 − 3 4 � untuk sembarang 𝐶𝐶 ⊆ � 3 4 , 1 � . Untuk 𝐴𝐴 = ∅ maka diperoleh 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) . Untuk 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶⨃ �𝐶𝐶 − 3 4 � dengan 𝐶𝐶 ⊆ � 3 4 , 1 � sembarang dan diketahui bahwa 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = ∅ sehingga akan diperoleh dua persamaan berikut:
𝐶𝐶 ∩ 𝐵𝐵 = ∅ ,                                                                               (7) dan
�𝐶𝐶 − 3 4 � ∩ 𝐵𝐵 = ∅ .                                                                         (8)
𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 � ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) ∩ � ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) − 3 4 ��
= 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 �� ⨃ �𝐴𝐴 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� ⨃ �𝐵𝐵 ∩ �𝐴𝐴 − 3
4 �� ⨃ �𝐵𝐵
∩ �𝐵𝐵 − 3 4 ���
= 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� ⨃ �𝐵𝐵 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 ��� − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 ��
= 0 + 𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� ⨃ �𝐵𝐵 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 ���
= 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 ��
= 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐶𝐶⨃ �𝐶𝐶 − 3 4 �� ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ ��𝐶𝐶⨃ �𝐶𝐶 − 3 4 �� − 3 4 �� = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐶𝐶 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� ⨃ ��𝐶𝐶 − 3 4 � ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 ���
− 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ ��𝐶𝐶 − 3 4 � ⨃ �𝐶𝐶 − 6 4 ��� = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐶𝐶 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� ⨃ � ( 𝐶𝐶 ∩ 𝐵𝐵 ) − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ �𝐶𝐶 − 3 4 ��
= 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐶𝐶 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� � ∅� − 2 𝑣𝑣 ( ∅ ) � berdasarkan pers. (7) dan (8) �
= 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐶𝐶 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� .
Karena 𝐶𝐶 ⊆ � 3 4 , 1 � dan �𝐵𝐵 − 3 4 � ⊆ � 0, 1 4 � maka 𝐶𝐶 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 � = ∅ sehingga 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) =
𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ). Kedua, andaikan 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 0 maka 𝜇𝜇 �𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� = 0 ⇔ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� ∩ ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� − 3 4 �� = 0 ⇔ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� ∩ ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� − 3 4 ��
⇔ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 ) = 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� ∩ ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� − 3 4 ��
⇔ 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 = ∅ atau 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶⨃ �𝐶𝐶 − 3 4 � untuk sembarang 𝐶𝐶 ⊆ � 3 4 , 1 � .
Untuk 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 = ∅ maka 𝐴𝐴 = ∅ dan 𝐵𝐵 = ∅ sehingga 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ). Selain itu, untuk 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶⨃ �𝐶𝐶 − 3 4 � untuk sembarang 𝐶𝐶 ⊆ � 3 4 , 1 � akan diperoleh

## 154 Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran yang Tidak Saling Memperumum
𝜇𝜇 �𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� = 0 ⇔ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� ∩ ��𝐴𝐴 � 𝐵𝐵� − 3 4 �� = 0 ⇔ 𝑣𝑣 ( 𝐴𝐴 ) + 𝑣𝑣 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� ⨃ �𝐵𝐵 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 ��� − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� = 0
⇔ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) + 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ) − 2 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� − 2 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 �� = 0.     (9)
Karena 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) = 0 maka diperoleh 𝑣𝑣 � ( 𝐴𝐴 ⨃ 𝐵𝐵 ) ∩ � 1 4 , 3 4 �� = 0 dan 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 sehingga dari persamaan (9) diperoleh
𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 ) = 𝑣𝑣 �𝐴𝐴 ∩ �𝐵𝐵 − 3 4 �� + 𝑣𝑣 ��𝐴𝐴 − 3 4 � ∩ 𝐵𝐵� = 𝑣𝑣 ��𝐵𝐵 − 3
4 � ∩ 𝐴𝐴� + 𝑣𝑣 �𝐵𝐵 ∩ �𝐴𝐴 − 3 4 �� = 𝜇𝜇 ( 𝐵𝐵 ).
Hal ini menunjukkan bahwa ( 𝑋𝑋 , ℳ , 𝜇𝜇 ) merupakan ruang ukur kuantum.
4. Bukan Ukuran Possibility
𝜇𝜇 �� 0, 1 4 � ⨃ � 3 4 , 1 �� = 0 sedangkan 𝜇𝜇 �� 0, 1 4 �� = 1 4 sehingga tidak memenuhi sifat monoton, akibatnya 𝜇𝜇 bukan merupakan ukuran possibility.
Sehingga terbukti bahwa ukuran kuantum bukan merupakan perumuman ukuran possibility.
3.3 Pembuktian Ukuran Possibility Bukan Perumuman Ukuran Kuantum
Misalkan 𝑋𝑋 = [0,1], ukuran 𝜇𝜇 di 𝑋𝑋 didefinisikan sebagai berikut (Puri, 1982):
𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ) = � 1, 𝑥𝑥 ∈ [0,1)
0, 𝑥𝑥 = 1        .
Akan ditunjukkan bahwa ( 𝑋𝑋 , ℳ , 𝜇𝜇 ) merupakan ruang ukur possibility yaitu 𝜇𝜇 memenuhi ukuran possibility (1), tetapi 𝜇𝜇 bukan merupakan ruang ukur kuantum (2).
1. Ukuran Possibility Berdasarkan [9], telah dibuktikan bahwa 𝜇𝜇 merupakan ukuran possibility.
2. Bukan Ukuran Kuantum Misalkan 𝐴𝐴 𝑛𝑛 = � 1 − 1 𝑛𝑛 , 1 � . Sehingga diperoleh
𝜇𝜇 �� 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∞
𝑖𝑖=1 � = 0,                                                     (10)
sedangkan
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑖𝑖→∞ 𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) = 1.                                                       (11)
Persamaan (10) dan (11) menunjukkan bahwa 𝜇𝜇 tidak memenuhi sifat kontinu. Akibatnya 𝜇𝜇 bukan merupakan ukuran kuantum.
Sehingga terbukti bahwa ukuran possibility bukan merupakan perumuman ukuran kuantum.
Berdasarkan pembahasan di atas, diperoleh hasil sebagai berikut:
Gambar 1. Keterkaitan Ukuran, Ukuran Possibility dan Ukuran Kuantum

## 4  Simpulan
Pada penelitian ini membahas pembuktian keterkaitan ukuran, ukuran possibility dan ukuran kuantum. Adapun hasil yang diperoleh sebagai berikut:
1. Ukuran kuantum dan ukuran possibility terbukti merupakan perumuman ukuran,
2. Ukuran kuantum terbukti bukan merupakan perumuman ukuran possibility,
3. Ukuran possibility terbukti bukan merupakan perumuman ukuran kuantum.

## 5  Daftar Pustaka
[1] Reza A.A Wattimena, Philosophy and Science . Jakarta: Grasindo, 2008.
[2]  G. E. Marsh, An Introduction to the Standard Model of Particle Physics for the Non- Specialist . World Scientific, 2018.
[3]  D. ter Haar, “On the Theory of the Energy Distribution Law of the Normal Spectrum,” Pergamon Press , p. 82, 1967.
[4]  R. D. Sorkin, “QUANTUM MECHANICS AS QUANTUM MEASURE THEORY,” Mod. Phys. Lett. A , vol. 9, no. 33, pp. 3119–3127, 1994.
[5]  S. Gudder, “Quantum measure and integration theory,” J. Math. Phys. , vol. 50, 2009.
[6]  S. Gudder, “Quantum Measure Theory,” Math. Slovaca , vol. 60, no. 5, pp. 681–700, 2010.
[7]  L. A. Zadeh, “Fuzzy Sets,” Inf. Control , vol. 8, pp. 338–353, 1965.
[8]  L. A. Zadeh, “Fuzzy Sets As A Basis For A Theory Of Possibility,” Fuzzy Sets Syst. , vol. 1, pp. 3–28, 1978.
[9]  M. L. Puri and D. Ralescu, “A Possibility Measure is Not a Fuzzy Measure,” Fuzzy Sets Syst. , vol. 7, pp. 311–313, 1982.
[10]  O. Ozdemir and A. Kaya, “Comparison of FCM, PCM, FPCM and PFCM Algorithms in
Ukuran Ukuran
Kuantum
Ukuran Possibility
156 Pembuktian Ukuran Kuantum dan Ukuran Possibility Sebagai Perumuman Ukuran yang Tidak Saling Memperumum
Clustering Methods,” J. Sci. Eng. , vol. 19, no. 1, pp. 92–102, 2019.
[11]  S. Askari, N. Montazerin, M. H. F. Zarandi, and E. Hakimi, “Generalized entropy based possibilistic fuzzy C-Means for clustering noisy data and its convergence proof,” Neurocomputing , vol. 219, pp. 186–202, 2017.
[12]  N. R. Pal, K. Pal, J. M. Keller, and J. C. Bezdek, “A Possibilistic Fuzzy c-Means Clustering Algorithm,” IEEE Trans. FUZZY Syst. , vol. 13, no. 4, pp. 517–530, 2005.
[13]  N. R. Pal, K. Pal, and J. C. Bezdek, “Mixed c-Means Clustering Model,” in Proceedings of 6th International Fuzzy Systems Conference , 1997, pp. 11–21.
[14]  T. Jech, Set Theory . Springer, 2006.
[15]  V. I. Bogachev, Measure Theory , vol. I. Springer Berlin Heidelberg, 2007.
[16]  H. L. Royden. and P. M. Fitzpatrick, Real Analysis . Prentice Hall, 2010.