## ANALISIS KESTABILAN TITIK TETAP PADA MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN HIV/AIDS
Moch. Fahmi Lamusu 1 , Dewinta Mamula 2* , Fitriyani Muhsana 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: dewintamamula@gmail.com

## Abstrak
Artikel  ini  membahas  tentang  virus  yang  merusak  sistem  kekebalan  tubuh,  dengan  menginfeksi  dan menghancurkan  sel  CD4,  yaitu  virus  HIV  (human  immunodefiency  virus).  Infeksi  HIV  yang  tidak  segera ditangani  akan  berkembang  menjadi  kondisi  yang  serius  yang  disebut  AIDS  (Acquired  Immune  Defiency Syndrome).  Tujuan  penulisan  artikel  ini  adalah  Mengetahui  model  epidemik  SIA  pada  penularan  penyakit HIV/AIDS, Mengetahui titik kesetimbangan dan melakukan analisis kestabilan dan Mengetahui penularan dan pencegahan  penyakit  HIV/AIDS.  Hasil  pembahasan  menunjukkan  jika  kedua  kota  dalam  kondisi  endemik HIV/AIDS dibuktikan dengan nilai 𝑅 0 > 1 . Jika 𝑅 0 < 1 maka hanya terdapat satu titik kesetimbangan bebas penyakit yang stabil. 𝑅 0 > 1 maka terdapat dua titik kesetimbangan, titik kesetimbangan bebas penyakit yang tidak stabil, dan titik kesetimbangan endemi yang stabil.
Kata Kunci: HIV/AIDS; Model Matematika; Titik Tetap; Analisis Kestabilan

## 1. Pendahuluan
HIV  (human  immunodefiency  virus)  adalah  virus  yang  merusak  sistem  kekebalan  tubuh,  dengan menginfeksi dan menghancurkan sel CD4. Semakin banyak sel CD4 yang dihancurkan, kekebalan tubuh akan semakin lemah, sehingga rentan riserangi berbagai penyakit. Infeksi HIV yang tidak segera ditangani akan berkembang menjadi kondisi yang serius yang disebut AIDS (Acquired Immune Defiency Syndrome). AIDS adalah stadium akhir dari infeksi virus HIV. Pada tahap ini, kemampuan tubuh untuk melawan infeksi sudah hilang sepenuhnya. Sampai saat ini belum ada obat untuk menangani HIV dan AIDS. Akan tetapi, ada obat untuk memperlambat perkembangan penyakit tersebut dan dapat meningkatkan harapan hidup penderita.
Model  matematika  seringkali  digunakan  untuk  menjelaskan  fenomena  dalam  bidang  biologi,  seperti penyebaran penyakit menular. Fenomena tersebut dimodelkan oleh persamaan diferensial dengan representasi proses  waktu  kontinu.  [1]  melakukan  penelitian  analisa  kestabilan  penyebaran  HIV/AIDS  dengan  edukasi kesehatan  melalui  perluasan  model  SI  (Susceptible-Infected),  dampak  edukasi  kesehatan  pada  penyebaran penyakit  HIV/AIDS  dikaji  dengan  analisis  sensitivitas  angka  reproduksi  efektif  terhadap  semua  parameter yang mendorong dinamika penyakit. [2] membahas tentang model SIA transmisi HIV di Ghana. Berdasarkan referensi  dari  penelitian  yang  telah  dilakukan  sebelumnya,  dalam  penelitian  ini  dikaji  model  matematika dinamika transmisi atau penularan HIV/AIDS.
Model matematika epidemic yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah model epidemic penularan HIV/AIDS  yang  dimodelkan  dalam  bentuk  SIA.  Model  epidemic  pada  penularan  HIV/AIDS  ini,  populasi manusia pada waktu t tetap terbagi dalam 3 populasi yaitu S, I, dan A. individu-individu yang termasuk dalam kelompok Susceptible (S), menyatakan kelompok awal populasi yang rentan terkena penyakit. Infective (I), menyatakan  kelompok  populasi  yang  terinfeksi  penyakit.  AIDS  (A)  yaitu  kelompok  populasi  yang  sudah terkena penyakit.
Tujuan  penelitian ini  yaitu  untuk  mengetahui titik  kesetimbangan, melakukan  analisis  kestabilannya, menentukan bilangan reproduksi dasar, Mengetahui model epidemic SIA pada penularan penyakit HIV/AIDS, dan Mengetahui penularan dan pencegahan penyakit HIV/AIDS.

## 2. Metode Penelitian
Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah kajian pustaka dengan tahap-tahap: (1) penentuan masalah,  (2)  perumusan  masalah,  (3)  studi  pustaka,  (4)  analisis  dan  pemecahan  masalah,  (5)  penarikan
kesimpulan. Pemilihan dan perumusan masalah diperlukan untuk membatasi permasalahan sehingga diperoleh bahan kajian yang jelas. Sehingga akan lebih mudah untuk menentukan langkah dalam  memecahkan masalah tersebut.
Tahap studi pustaka dilakukan dengan mengkaji sumber-sumber pustaka sehingga dieroleh gambaran umum dan populasinya, model matematika, model epidemic SIA, sistem persamaan diferensial, nilai eigen dan  fektor  eigen,  simulasi  model  dengan  software  matematica.  Dalam  pembahasan  ini  dilakukan  beberapa langkah pokok yaitu. (1) Membangun model matematika pada penyebaran penyakit HIV/AIDS, (2) mencari titik kesetimbangan dari model matematika, (3) menentukan bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) , (4) menganalisis kestabilan titik kesetimbangan, (5) menginterpretasikan solusi model matematika.

## 3. Pembahasan
Model epidemic pada penularan HIV/AIDS ini, populasi manusia pada waktu t tetap terbagi dalam 3 populasi  yaitu  S,  I,  dan  A.  individu-individu  yang  termasuk  dalam  kelompok  Susceptible  (S),  menyatakan kelompok  awal  populasi  yang  rentan  terkena  penyakit.  Infective  (I),  menyatakan  kelompok  populasi  yang terinfeksi  penyakit.  AIDS  (A)  yaitu  kelompok  populasi  yang  sudah  terkena  penyakit.  Secara  skematis diberikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Skema penularan penyakit HIV/AIDS
Berdasarkan  skema  pada  Gambar  1,  diperoleh  model  matematika  dalam  bentuk  sistem  persamaan diferensial sebagai berikut:
𝑑𝑠 𝑎 𝑑𝑡 = b + 𝜑𝑠 𝑏 − 𝜑𝑠 𝑎 − 𝑑𝑠 𝑎 − 𝛽𝑠 𝑎 𝐼 𝑎 − 𝛾𝜑𝑠 𝑏 𝐼 𝑏 − 𝛾𝜑𝑠 𝑎 𝐼 𝑏 𝑑𝐼 𝑎 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝜑𝐼 𝑏 − 𝜑𝐼 𝑎 + 𝛾𝜑𝑠 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑠 𝑎 𝐼 𝑏 − 𝑑𝐼 𝑎 − 𝜃𝐼 𝑎 𝑑𝐴 𝑎 𝑑𝑡 = 𝜃𝐼 𝑎 − 𝑣𝐴 𝑎 𝑑𝑠 𝑏 𝑑𝑡 = b − 𝑑𝑠 𝑏 + 𝜑𝑠 𝑎 − 𝜑𝑠 𝑏 − 𝛽𝑠 𝑏 𝐼 𝑏 − 𝛾𝜑𝑠 𝑎 𝐼 𝑎 − 𝛾𝜑𝑠 𝑏 𝐼 𝑎 𝑑𝐼 𝑏 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝜑𝐼 𝑎 − 𝜑𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑠 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝛾𝜑𝑠 𝑏 𝐼 𝑎 − 𝑑𝐼 𝑏 − 𝜃𝐼 𝑏 𝑑𝐴 𝑎 𝑑𝑡 = 𝜃𝐼 𝑏 − 𝑣𝐴 𝑏
dengan 𝑆 𝑖 , 𝐼 𝑖 , 𝐴 𝑖 mewakili  banyaknya  populasi  Susceptible,  Infective,  dan  AIDS.  Kedua  kota  diasumsikan identic, sehingga parameter yang digunakan kedua kota sama. Parameter-parameter yang digunakan yaitu:
b = laju kelahiran
d = Rata rata kematian alami
𝛽 = Rata rata penularan
𝜑 = rata rata perpindahan penduduk
𝛾 = rata rata penularan antar wilayah
θ = rata rata perubahan dari HIV menjadi AIDS
v = rata rata kematian akibat HIV/AIDS
Sa = populasi dari individu-individu rentan di KOTA A
Ia = populasi dari individu-individu terinfeksi HIV di KOTA A
Aa  =  populasi individu yang telah mencapai fase AIDS di KOTA A
Sb  = populasi dari individu-individu rentan di KOTA B
Ib =populasi dari individu-individu terinfeksi HIV di KOTA B
Ab = populasi individu yang telah mencapai fase AIDS di KOTA B

## 3.1. Titik Tetap Tanpa Penyakit
Dengan membuat : 𝑑𝑆 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝐴 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑏 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 𝑏 𝑑𝑡 = 𝑑𝐴 𝑏 𝑑𝑡 = 0 , maka: 𝑑𝑆 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑏 − 𝜑𝑆 𝑎 − 𝑑𝑆 𝑎 − 𝛽𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 − 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 − 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑏 = 0 ⇒ 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑏 − 𝜑𝑆 𝑎 − 𝑑𝑆 𝑎 = 0 ⇒ 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑏 − (𝜑 + 𝑑)𝑆 𝑎 = 0
⇒ 𝑆 𝑎 = 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑎 𝜑 + 𝑑 𝑑𝑆 𝑏 𝑑𝑡 = 𝑏 − 𝑑𝑆 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑎 − 𝜑𝑆 𝑏 − 𝛽𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 − 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 − 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 = 0
⇒ 𝑏 − 𝑑𝑆 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑎 − 𝜑𝑆 𝑏 = 0 ⇒ 𝑏 − (𝑑 + 𝜑)𝑆 𝑎 − 𝜑𝑆 𝑏 = 0
⇒ 𝑏 − 𝑑𝑆 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑎 − 𝜑 ( 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑎 𝜑 + 𝑑 ) = 0 ⇒ (𝜑 + 𝑑)𝑏 − (𝜑 + 𝑑) 2 𝑆 𝑏 + 𝜑(𝑏 + 𝜑𝑆 𝑏 ) = 0
⇒ 𝜑𝑏 + 𝑑𝑏 − (𝜑 + 𝑑) 2 𝑆 𝑏 + 𝜑𝑏 + 𝜑 2 𝑆 𝑏 = 0 ⇒ 𝜑𝑏 + 𝑑𝑏 + 𝜑𝑏 + [𝜑 2 − (𝜑 + 𝑑) 2 ]  𝑆 𝑏 = 0 ⇒ 2𝜑𝑏 + 𝑑𝑏 + [𝜑 2 − 𝜑 2 − 2𝜑𝑑 − 𝑑 2 ]𝑆 𝑏 = 0 ⇒ (2𝜑𝑑 + 𝑑 2 )𝑆 𝑏 = 2𝜑𝑏 + 𝑑𝑏
⇒ 𝑆 𝑏 = 2𝜑𝑏 + 𝑑𝑏 2𝜑𝑑 + 𝑑 2
⇒ 𝑆 𝑏 = 𝑏(2𝜑 + 𝑑) 𝑑(2𝜑 + 𝑑 2 )
⇒ 𝑆 𝑏 = 𝑏 𝑑
Dari persamaan (1), yaitu :
𝑆 𝑎 = 𝑏 + 𝜑𝑆 𝑎 𝜑 + 𝑑
.......(1)
Substitusi nilai 𝑆 𝑏 = 𝑏 𝑑
𝑆 𝑎 = 𝑏 + 𝜑 𝑏 𝑑 𝜑 + 𝑑
𝑆 𝑎 = 𝑏𝑑 + 𝜑𝑏 𝑑 𝜑 + 𝑑
𝑆 𝑎 = 𝑏𝑑 + 𝜑𝑏 𝑑(𝜑 + 𝑑) 𝑆 𝑎 = 𝑏(𝜑 + 𝑑) 𝑑(𝜑 + 𝑑)
𝑆 𝑎 = 𝑏 𝑑
Didapat titik tetap tanpa penyakit
𝑃 0 = (𝑆 𝑎, 𝐼 𝑎, 𝐴 𝑎, 𝑆 𝑏, 𝐼 𝑏, 𝐴 𝑏 ) = ( 𝑏 𝑑 , 0 , 0 , 𝑏 𝑑 , 0 ,0 )

## 3.2. Mencari Bilangan Reproduksi Dasar (R0)
Dengan mengambil sistem persamaan yang memuat populasi teinfeksi (I) dan populasi AIDS (A) pada kedua kota
𝑑𝐼 𝑎 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑏 + 𝜑𝐼 𝑏 − 𝜑𝐼 𝑎 − 𝑑𝐼 𝑎 − 𝜃𝐼 𝑎
𝑑𝐴 𝑎 𝑑𝑡 = 𝜃𝐼 𝑎 − 𝜐𝐴 𝑎 𝑑𝐼 𝑏 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑎 + 𝜑𝐼 𝑎 − 𝜑𝐼 𝑏 − 𝑑𝐼 𝑏 − 𝜃𝐼 𝑏
𝑑𝐴 𝑏 𝑑𝑡 = 𝜃𝐼 𝑏 − 𝜐𝐴 𝑏
Jumlahkan persamaan (1) dan (3), (2) dan (4):
𝑑𝐼 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 𝑏 𝑑𝑡 =  𝛽𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝛽𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑎 − 𝑑𝐼 𝑎 − 𝑑𝐼 𝑏 − 𝜃𝐼 𝑎 − 𝜃𝐼 𝑏
𝑑𝐴 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑑𝐴 𝑏 𝑑𝑡 =  𝜃𝐼 𝑎 + 𝜃𝐼 𝑏 − 𝜐𝐴 𝑎 − 𝜐𝐴 𝑏
Maka berdasarkan persamaan diatas diperoleh matriks F dan V, sebagai berikut :
𝐹 = [ 𝛽𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝛽𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑎 + 𝛾𝜑𝑆 𝑎 𝐼 𝑏 + 𝛾𝜑𝑆 𝑏 𝐼 𝑎 𝜃𝐼 𝑎 + 𝜃𝐼 𝑏 ]
𝑉 = [ (𝑑 + 𝜃)𝐼 𝑎 + (𝑑 + 𝜃)𝐼 𝑏 𝜐𝐴 𝑎 + 𝜈𝐴 𝑏 ]
Matriks jacobian dari matriks diatas adalah sebagai berikut :
𝐹 = 𝑗(𝐹) = [ 𝛽𝑆 𝑎 + 𝛾𝜑𝑆 𝑎 + 𝛾𝜑𝑆 𝑏 0 𝜃 0 ] ,         𝑉 = 𝑗(𝑉) = [ 𝑑 + 𝜃 0 0 𝜐 ]
Substitusi titik tetap tanpa penyakit kepersamaan diatas :
𝐹 = [𝛽 𝑏 𝑑 + 𝛾𝜑 𝑏 𝑑 + 𝛾𝜑 𝑏 𝑑 0
𝜃 0 ]
𝐹 = [ 𝛽𝑏 + 2𝛾𝜑𝑏
𝑑 0 𝜃 0 ]
𝑉 = [ 𝑑 + 𝜃 0 0 𝜐 ]
Menentukan matriks next generation (K), dimana 𝐾 = 𝐹. 𝑉 −1 karena,
𝑉 = [ 𝑑 + 𝜃 0 0 𝜐 ] ,          𝑉 = [ 1 𝑑 + 𝜃 0 0 1 𝜐 ]
Maka didapat  K :
𝐾 = [ 𝛽𝑏 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑 0 𝜃 0 ] . [ 1 𝑑 + 𝜃 0 0 1 𝜐 ] 𝐾 = [ 𝛽𝑏 + 2𝛾𝜑𝑏
𝑑(𝑑 + 𝜃) 0 𝜃 𝑑 + 𝜃 0]
Akan ditentukan R0 dengan mencari nilai eigen positif terbesar dari matriks K
|𝐾 − 𝜆𝐼| = 0
||
[ 𝛽𝑏 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑(𝑑 + 𝜃) − 𝜆 0 𝜃 𝑑 + 𝜃 −𝜆] || = 0 ( 𝛽𝑏 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑(𝑑 + 𝜃) − 𝜆) (−𝜆) = 0
𝜆 1 = 0 ,    𝜆 2 = 𝛽𝑏 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑(𝑑 + 𝜃)
Dapat ditentukan  R0 adalah nilai eigen positif terbesar :
𝑅 0 = 𝛽𝑏 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑(𝑑 + 𝜃)
Menentukan matriks jacobian untuk titik tetap tanpa penyakit
𝐽 = [ 𝐴 𝐵 0
0 𝐸 0
0 𝐶 0 0 𝐺 𝐷 𝐹 0 𝐻 0 0 0 𝐶 𝐷 0
0 𝐹 0
0 𝐴 0 0 0 𝐵 𝐸 𝐺 0 0 0 𝐻]
, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎
𝐴 = −𝜑 − 𝑑
𝐵 = − 𝑏𝛽 𝑑 𝐶 = 𝜑 𝐷 = 2𝛾𝜑𝑏 𝑑
𝐸 = 𝑏𝛽 − 𝜑𝑑 − 𝑑 2 − 𝜃𝑑 𝑑
𝐹 = 2𝛾𝜑𝑏 + 𝑑𝜑 𝑑
𝐺 = 𝜃
𝐻 = −𝜈

## 3.3. Mencari Nilai Eigen Matriks Jacobian untuk Titik Tetap Tanpa Penyakit
Menentukan determinan matriks J |𝐽| = [ 𝐴 𝐵 0 0 𝐸 0 0 𝐶 0 0 𝐺 𝐷 𝐹 0 𝐻 0 0 0 𝐶 𝐷 0 0 𝐹 0 0 𝐴 0 0 0 𝐵 𝐸 𝐺 0 0 0 𝐻]                         − − = H G E F B A D C
H G E F E C E DF BE A J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2                     
     − − − = H G E F A E BF DE C
H G E F E C E DF BE A J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2                  
    − − = H G E F A E BF DE C H G E F E C A J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2
− 𝐷 𝐸 𝑏 5 + 𝑏 1 − 𝐹 𝐸 𝑏 5 + 𝑏 2 − 𝐵 𝐸 𝑏 5 +𝑏 4 𝐵𝐹 − 𝐷𝐸 𝐸 2 + 𝐹 2 𝑏 2 + 𝑏 4 − 𝐶 𝐴 𝑏 4 + 𝑏 1
𝑐 𝐷𝐹 − 𝐵𝐸
𝐸 2 − 𝐹 2 𝑏 2 + 𝑏 1
 
                    − = H G E F A C H
G E F E C A J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2                         − − = H G E A C H G E F E A C A J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2
Didapat [J] adalah perkalian elemen diagonal matriks diatas :
[𝐽] = ( 𝐴 2 − 𝐶 2 𝐴 ) . ( 𝐸 2 − 𝐹 2
𝐸 ) . 𝐻. 𝐴. 𝐸. 𝐻 [𝐽] = (𝐴 2 − 𝐶 2 )(𝐸 2 − 𝐹 2 ), 𝐻 2
Untuk mencari |𝐽 − 𝜆𝐼| , kita hanya perlu mengganti {𝐽 𝑖𝑗 |𝑖 = 𝑗} pada matriks awal J, dengan {𝐽 𝑖𝑗 |𝑖 = 𝑗}. Perlu diingat bahwa 𝐽 𝑖𝑗 untuk i = j adalah elemen dragonal matriks J. Yaitu : A, E, H, A, E, H
Maka didapat :
|𝐽 − 𝜆𝐼| = [(𝐴 − 𝜆) 2 − 𝐶 2 ][(𝐸 − 𝜆) 2 − 𝐹 2 ][(𝐻 − 𝜆) 2 ] = 0 ⇒ (𝐴 − 𝜆) 2 − 𝐶 2 = 0
𝜆 2 − 2𝐴𝜆 + 𝐴 2 − 𝐶 2 = 0
[𝜆 − (𝐴 + 𝐶)][𝜆 − (𝐴 − 𝐶)] = 0
𝜆 1 = 𝐴 + 𝐶
𝜆 2 = 𝐴 − 𝐶
⇒ (𝐸 − 𝜆) 2 − 𝐹 2 = 0
𝜆 2 − 2𝐸𝜆 + 𝐸 2 − 𝐹 2 = 0
[𝜆 − (𝐸 + 𝐹)][𝜆 − (𝐸 − 𝐹)] = 0
𝜆 3 = 𝐸 + 𝐹
𝜆 4 = 𝐸 − 𝐹
⇒ (𝐻 − 𝜆) 2 = 0
(𝐻 − 𝜆). (𝐻 − 𝜆) = 0
𝜆 5 = 𝐻
𝜆 6 = 𝐻

## 3.4. Analisis kestabilan
𝜆 1 = 𝐴 + 𝐶 = (−𝜑 − 𝑑) + 𝜑 = −𝑑 𝜆 2 = 𝐴 − 𝐶 = (−𝜑 − 𝑑) − (𝜑) = −2𝜑 − 𝑑 𝜆 3 = 𝐸 + 𝐹 = 𝑏𝛽 − 𝜑𝑑 − 𝑑 2 − 𝜃𝑑 𝑑 + 2𝛾𝜑𝑏 + 𝑑𝜑 𝑑 = 𝑏𝛽 − 𝜑𝑑 − 𝑑 2 − 𝜃𝑑 + 2𝛾𝜑𝑏 + 𝑑𝜑 𝑑 = 𝑏𝛽 − 𝑑 2 − 𝜃𝑑 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑 𝜆 4 = 𝐸 − 𝐹 = 𝑏𝛽 − 𝜑𝑑 − 𝑑 2 − 𝜃𝑑 𝑑 − 2𝛾𝜑𝑏 + 𝑑𝜑 𝑑 = 𝑏𝛽 − 𝜑𝑑 − 𝑑 2 − 𝜃𝑑 − 2𝛾𝜑𝑏 + 𝑑𝜑 𝑑
𝜆 5 = 𝜆 6 = 𝐻
= −𝜈
⇒ 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 3 ,
𝜆 3 = 𝑏𝛽 − 𝑑 2 − 𝜃𝑑 + 2𝛾𝜑𝑏
𝑑 < 0
𝑏𝛽 + 2𝛾𝜑𝑏 − 𝑑(𝑑 + 𝜃)
𝑑 < 0
𝑏𝛽 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑 − (𝑑 + 𝜃) < 0 𝑏𝛽 + 2𝛾𝜑𝑏 𝑑 < (𝑑 + 𝜃) 𝑏𝛽 + 2𝛾𝜑𝑏
𝑑(𝑑 + 𝜃) < 1
Maka 𝜆 3 < 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑅 0 < 1

## 3.5. Simulasi Numerik
Simulasi  dilakukan  dengan    menggunakan  software  Matematica  dan  dengan  memberikan  nilai-nilai untuk masing-masing parameter sesuai dengan kondisi 𝑅 0 dalam teorema-teorema yang telah diberikan diatas. Simulasi ini diberikan untuk memberikan gambaran geometris dari teorema eksistensi dan kestabilan dari titik tetap  model  SIA  ini.  Dalam  model  ini  akan  dianalisis  dinamika  penularan  penyakit  HIV/AIDS    dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 1. Dinamika populasi dapat dilihat pada Gambar 2.
Tabel 1 . Nilai-nilai parameter simulasi Simbol Keterangan Nilai B Laju Kelahiran 28.56 D Rata-rata kematian alami 0.00021 𝛽 Rata-rata penularan 0.000113 𝛾 Rata-rata penularan antar wilayah 0.000113 𝜃 Rata-rata perubahan dari HIV  menjadi AIDS 0.435 V Rata-rata kematian akibat HIV/AIDS 0.253 𝜑 Rata-rata perpindahan penduduk 0.002 Gambar 2 . Dinamika populasi kota A dan Kota B

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  analisis  penelitian  ini  diperoleh  hasil  kesimpulan  yaitu:    (1)  Diperoleh  titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit 𝑃 0 dan titik kesetimbangan endemik 𝑃 ∗ , (2) Bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 menentukan eksistensi dan jenis kestabilan titik kesetimbangan. Jika 𝑅 0 < 1 maka hanya terdapat satu titik kesetimbangan bebas penyakit yang stabil. 𝑅 0 > 0 maka terdapat dua titik kesetimbangan, titik kesetimbangan bebas penyakit yang tidak stabil, dan titik kesetimbangan endemi yang stabil, (3) Sampai saat  ini  belum  ada  obat  ataupunvaksi  untuk  mencegah  dan  menyembuhkan  infeksi  HIV/AIDS.  Tetapi, pencegahan dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain: menggunakan kondom setiap kali berhungan seks dan menghindari penggunaan jarum bekas.

## Referensi
[1] Marsudi, M. dan R. B. E. Wibowo. 2013. Model Matematika Penyebaran HIV/AIDS dengan Edukasi Kesehatan. Natural B. Volume 2(1).
[2] Eduafo,  S.  I.  K.  Adu,  F.  T.  Oduro,  dan  I.  O.  Darko.  2015.  An  SIA  Model  of  HIV  Transmission  in Ghana. International Mathematical Forum. Volume 10(2): 95-104.l.
[3] Ault, J.C and Ayres, Frank. Persamaan Diferensial dalam satuan SI Metric.Jakarta: Erlangga.
[4] Bayer R. Stigma and the ethics of public health: not can we but should we. Social Science & Medicine. 2008; 67(3): 463-72.
[5] Braun, M. Differential Equaations and Their Application. New York:Springer-Verlag.
[6] Diekman O, Heesterbeek JAP. Mathematical Epidemiology of Infection Diseases.USA:John Wiley and Son, Ltd.
[7] Gireig. F. Koopman, C. 2003 Multi Level Analysis of Women’s Empowermant and HIV prevention: Quantitative Survey Result from Preliminary Study in Bostwana. J. AIDS behavior, 7: 195-208.
[8] Hia  ME,  Balatif  O,  Ferjouchia  H,  Labriji  EH,  Rachik  M.  Modelling  the  spread  of  HIV/AIDS  in Morocco. International Journal of Computer Sciences Issues Morocco. 2019;9(6).
0 500 1000 1500 2000 2500 0 2000 4000 6000 8000 10 000 Waktu P o p u la s i K O T A A 0 500 1000 1500 2000 2500 0 2000 4000 6000 8000 10 000 Waktu P o p u la s i K O T A B
[9] Infodatin.  2016.  Situasi  Penyakit  HIV  AIDS  di  Indonesia.  Pusat  Data  dan  Informasi  Kementrian Kesehatan RI: Jakarta Selatan.
[10] Jiang, D., C. Ji, N. Shi, dan J. Yu. 2010. The Long Time Behavior of DI SIR Epidemic Model with Stochastic Perturbation. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Volume 372: 162-180.
[11] Murray JD. Mathematical Biology Third Edition. New York: Berlin Heidelberg; 2002.
[12] Sutimin, Imamudin. Model Dinamika Penularan Human Immunodificiency Virus (HIV). Jurnal Sains dan Matematika Universitas Diponegoro. 2009;17(1).
[13] Syamsuddin, Toaha. Pemodelan Matematika Dalam Dinamika Populasi.Makassar:Dua Satu Press.
[14] Wan,  H.  dan  J.  Cui.  2007.  An  SEIS  Epidemic  Model  with  Transport-Related  Infection.  Journal  of Theoretical Biology. Volume 247(3): 507-724.