Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 2, Desember 2020, 181-199 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i2.6730
Model Regresi untuk Return Aset dengan Volatilitas Mengikuti Model GARCH(1,1) Berdistribusi Epsilon-Skew Normal dan Student- t
Didit Budi Nugroho * , Kristia Anggraeni, Hanna Arini Parhusip Departemen Matematika dan Sains Data, Universitas Kristen Satya Wacana, Salatiga, Indonesia * Study Center for Multidisciplinary Applied Research and Technology (SeMARTy)
* Email korespondensi: didit.budinugroho@uksw.edu, didit.budinugroho@staff.uksw.edu
Diajukan: 29 Maret 2020,  Diperbaiki: 9 Juni 2020, Diterima:16 Desember 2020

## Abstrak
Studi  ini  mendiskusikan  dua  perluasan  dari  model  GARCH(1,1),  yaitu  AR(1)-GARCH(1,1)  dan MA(1)-GARCH(1,1),  yang  diperoleh  dengan  cara  menambahkan Autoregression tingkat  1  atau Moving Average tingkat  1  pada  persamaan return .  Untuk  kasus  ini, error dari return diasumsikan  berdistribusi Normal,  Skew  Normal  (SN),  Epsilon  Skew  Normal  (ESN),  dan  Student- t .  Analisis  terhadap  model didasarkan pada pencocokan model untuk return dari indeks saham FTSE100 periode harian dari Januari 2000 sampai Desember 2017 dan indeks saham TOPIX periode harian dari Januari 2000 sampai Desember 2014. Model yang dipelajari diestimasi menggunakan metode GRG ( Generalized Reduced Gradient ) Non Linear yang tersedia di Solver Excel dan juga metode Adaptive Random Walk Metropolis (ARWM) yang diimplementasikan pada program Scilab. Hasil estimasi dari kedua alat bantu tersebut menunjukkan nilai- nilai yang hampir sama, mengindikasikan bahwa Solver Excel mempunyai kemampuan yang handal dalam mengestimasi  parameter  model.  Uji  rasio  log- likelihood dan  AIC  ( Akaike  Information  Criterion ) menunjukkan  bahwa  model  dengan  distribusi  ESN  lebih  unggul  dibandingkan  dengan  model-model berdistribusi  tipe  normal  lainnya  untuk  setiap  kasus  model  dan  data  pengamatan,  bahkan  ini  bisa mengungguli  distribusi  Student- t pada  suatu  model  dan  data  pengamatan.  Lebih  lanjut,  model-model dengan penambahan proses regresi di persamaan return menyediakan pencocokan yang lebih baik daripada model  dasar,  dimana  pencocokan  terbaik  untuk  kedua  data  pengamatan  diberikan  oleh  model  AR(1)- GARCH(1,1) berdistribusi Student- t . Kata kunci : ARWM, GARCH(1,1), GRG Non-Linier, regresi

## Abstract
This  study  discusses  two  extensions  of  GARCH(1,1),  i.e.  AR(1)-GARCH(1,1)  and  MA(1)- GARCH(1,1), by incorporating  either first-order Autoregression or  first-order Moving Average  into the return eqation. In this case, the series of return errors is assumed either Normally, Normal Skew, Epsilon Skew Normal, or Student-t distributed. The data analysis is based on fitting the models to  the FTSE100 stock index for the daily period from January 2000 to December 2017 and the TOPIX stock index for the daily period from January 2000 to December 2014. The  considered models were estimated by using the GRG (Generalized Reduced Gradient) Non Linear method which is available in Excel’s Solver and also the Adaptive Random Walk Metropolis (ARWM) method which is implemented in Scilab. The estimation results obtained from both estimation tools were close each other, indicating that Excel’s Solver is able to estimate  the  models.  Log-likelihood  ratio  test  and  AIC  (Akaike  Information  Criterion)  showed  that  the model with ESN distribution outperforms the models with other normal-type distributions in each model and observed data cases, even the ESN distribution can outperform the Student-t distribution on a model and oberseved data. Furthermore, the GARCH(1,1) model with adding a regression process into the return equation provide a better fit than the basic model, where the best fit on both observed data is provided by the AR(1)-GARCH(1,1) model with the Student-t distribution.
Keywords : ARWM, GARCH(1,1), GRG Non-Linier, regression

## 1 Pendahuluan
Volatilitas ( volatility ) mengukur seberapa besar fluktuasi (laju perubahan) suatu aset di pasar keuangan. Aset keuangan dapat berupa saham, kurs mata uang, komoditas, opsi, obligasi dan lain- lain.  Besar  kecilnya  suatu  volatilitas  akan  berpengaruh  pada  besarnya  keuntungan  maupun kerugian  yang  diperoleh  investor  di  pasar  keuangan  [1].  Karena  itu  volatilitas  mencerminkan tingkat  pengembalian  investasi  atau  mengukur  tingkat  keuntungan  ataupun  kerugian  dari  suatu aset. Secara umum, nilai volatilitas tersebut dinyatakan secara statistik sebagai simpangan baku dari suatu return (perubahan nilai) aset dalam jangka waktu yang spesifik [2].
Suatu model yang populer hingga saat ini untuk mendeskripsikan proses volatilitas dari data runtun waktu yaitu model GARCH ( Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ) [3].  Model  tersebut  merupakan  perumuman  dari  model  ARCH  ( Autoregressive  Conditional Heteroscedasticity )  yang  diperkenalkan  di  [4].  Kedua  model  tersebut  menyatakan  volatilitas sebagai fungsi eksak (bukan stokastik) yang berubah atas waktu (heteroskedastik).
Untuk  mendapatkan  model  dan  ramalan  yang  tepat  bagi  volatilitas  di  pasar  keuangan, terdapat  banyak  perluasan  atau  modifikasi  yang  telah  diturunkan  dari  model  GARCH.  Suatu perluasan  tersebut  yaitu  dengan  menambahkan  proses  regresi  pada  persamaan return .  Model regresi yang dapat ditambahkan yaitu seperti model AR( p ) ( Autoregression tingkat p ) dan MA( q ) ( Moving  Average tingkat q ).  [5]  telah  mengaplikasikan  model  AR(1)-GARCH(1,1)  dengan menggunakan  tiga  macam  distribusi  berekor  tebal  ( heavy  tailed )  untuk error dari return ,  yaitu generalized error distribution , hiperbolik, dan Student- t . Sementara itu, [6] telah mengaplikasikan model MA(1)-GARCH(1,1) untuk data beberapa kurs mata uang dengan mengasumsikan error dari return berdistribusi  Johnson  Su.  Dalam  pengestimasian  model,  [5,6]  telah  menggunakan metode yang didasarkan pada estimasi likelihood maksimum.
Perumuman suatu model statistik dapat juga dilakukan pada distribusinya. [7] menyarankan penggantian distribusi Normal pada model GARCH dengan distribusi Student- t untuk mengatasi karakteristik  ketebalan  ekor  ( heavy-tails )  pada  data returns .  Untuk  karakteristik  kemencengan ( skewness )  dari  distribusi,  [8,9]  mengusulkan  distribusi  Skew  Normal  (SN),  yang  merupakan perumuman  dari  distribusi  Normal.  Selanjutnya  [10]  memperumum  distribusi  SN  menjadi Epsilon-Skew  Normal  (ESN)  dan  menunjukkan  bahwa  distribusi  ESN  lebih  cocok  daripada normal.
Studi ini memperluas kerja dari [5,6] dengan berkontribusi pada dua hal. Pertama, error dari return diasumsikan berdistribusi Normal, SN, ESN, dan Student- t untuk mengetahui perbandingan antara  distribusi  Normal,  bertipe  menceng,  dan  bertipe  ekor  tebal.  Kedua,  metode  GRG ( Generalized  Reduced  Gradient )  Non-Linear  di  Solver  Excel  dan  metode  ARWM  ( Adaptive
Random Walk Metropolis ) dalam skema Markov Chain Monte Carlo yang diimplementasikan di Scilab dikerjakan untuk mengestimasi model-model yang dipelajari. Kedua metode dan alat bantu tersebut sudah pernah dipelajari dan ditunjukkan handal di [11]–[15] pada model-model bertipe GARCH. Ketiga, analisis perbandingan model didasarkan pada data indeks saham FTSE periode harian dari tahun 2000 sampai 2017 dan indeks saham TOPIX periode harian dari 2000 sampai 2014 untuk menyediakan bukti keunggulan distribusi ESN dan Student- t .

## 2 Model Bertipe GARCH
Model GARCH di [3] merupakan perluasan dari model ARCH yang diusulkan di [4]. Model GARCH  diusulkan  untuk  memperkenalkan  struktur  lag-variansi  yang  lebih  fleksibel,  sehingga variansi tidak hanya bergantung pada return masa lalu tetapi juga pada variansi masa lalu. Suatu model yang populer dan banyak digunakan dalam studi yaitu model GARCH(1,1) yang dinyatakan sebagai berikut:
𝑅 𝑡 = 𝑒 𝑡 ,   𝑒 𝑡 ~𝑁(0, 𝜎 𝑡 2 ) , t = 1, 2, …, T (1)
𝜎 𝑡 2 = 𝜔 + 𝛼𝑒 𝑡−1 2 + 𝛽𝜎 𝑡−1 2 , t = 1, 2, …, T (2)
dimana 𝜔 > 0 dan 𝛼, 𝛽 ≥ 0 (untuk  menjamin  nilai  positif  dari  variansi)  dan 0 ≤ 𝛼 + 𝛽 < 1 (untuk  menjamin  variansi  yang  stasioner).  Nilai return umumnya  dihitung  sebagai  selisih  dari logaritma harga aset, yaitu 𝑅 𝑡 = ln ( 𝑆 𝑡 𝑆 𝑡−1 ) , dimana 𝑆 𝑡 menyatakan harga aset pada saat t .
Suatu perluasan model GARCH dapat dilakukan dengan menambahkan regresi di persamaan return . Untuk model AR(1)-GARCH(1,1), persamaan return dinyatakan sebagai berikut:
𝑅 𝑡 = 𝜙𝑅 𝑡−1 + 𝑒 𝑡 (3)
atau bisa dituliskan kembali menjadi
𝑒 𝑡 =   𝑅 𝑡 − 𝜙𝑅 𝑡−1 . (4)
Oleh karena itu, proses variansi bersyarat 𝜎 𝑡 2 untuk model AR(1)-GARCH(1,1) diperoleh dengan memasukkan persamaan (4) ke (2):
𝜎 𝑡 2 = 𝜔 + 𝛼(𝑅 𝑡−1 − 𝜙𝑅 𝑡−2 ) 2 + 𝛽𝜎 𝑡−1 2 . (5)
Untuk model MA(1)–GARCH(1,1), ini diperoleh dengan membentuk regresi untuk error , sehingga persamaan return bisa dinyatakan sebagai berikut:
𝑅 𝑡 = 𝜇 + 𝑒 𝑡 + 𝜓 𝑒 𝑡−1 , (6)
atau bisa dituliskan kembali menjadi
𝑒 𝑡 =   𝑅 𝑡 − 𝜇 − 𝜓𝑒 𝑡−1 , (7)
Karena  itu,  proses  variansi  bersyarat 𝜎 𝑡 2 untuk  model  MA(1)-GARCH(1,1)  diperoleh  dengan memasukkan persamaan (7) ke (2), dengan asumsi 𝑒 0 = 0 dan 𝜎 0 2 = var[{𝑅 𝑡 } 𝑡=1 𝑇 ] :
𝜎 𝑡 2 = 𝜔 + 𝛼(𝑅 𝑡−1 − 𝜇 − 𝜓𝑒 𝑡−1 ) 2 + 𝛽𝜎 𝑡−1 2 . (8)

## 3 Distribusi untuk Error

## 3.1  Distribusi Normal
Distribusi  Normal  atau  biasa  disebut  dengan  distribusi  Gaussian  diperkenalkan  oleh  Karl Fredrich Gauss (1777–1855) ketika meneliti error dalam pengukuran yang berulang-ulang dengan bahan yang sama. Suatu variabel acak x yang berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 , dinotasikan dengan 𝑥~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) , mempunyai persamaan distribusi bersyarat sebagai berikut:
𝑓(𝑥|𝜇, 𝜎) = 1 √2𝜋𝜎 2 exp [− 1 2 ( 𝑥−𝜇 𝜎 ) 2 ] . (9)
Kurva dari fungsi distribusi Normal berbentuk lonceng yang simetris di kedua sisi rata-rata, artinya sisi kanan dari rata-rata merupakan bayangan cermin dari sisi kiri. Dengan kata lain, nilai kemencengan dari distribusi Normal yaitu nol.  Lebih lanjut, ekor distribusinya adalah asimptotik, artinya mendekati tetapi tidak pernah benar-benar bertemu dengan sumbu datar (yaitu sumbu x ).

## 3.2  Distribusi Skew Normal
Distribusi SN diusulkan oleh [8,9] untuk memperluas distribusi Normal sehingga mampu mengakomodasi kemencengan data. Fungsi distribusi SN untuk suatu variabel acak −∞ < 𝑥 < ∞ dinyatakan sebagai berikut:
𝑔(𝑥|𝜆) = 2 ∅(𝑥) 𝚽(𝜆𝑥) , 𝜆 ϵ ℝ , (10)
dimana ∅(∙) dan 𝚽(∙) berturut-turut menyatakan fungsi kepadatan peluang dan fungsi kepadatan kumulatif distribusi Normal. Selanjutnya, persamaan (10) dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑔(𝑥|𝜆) = 2 × 1 √2𝜋𝜎 2 exp (− (𝑥−𝜇) 2 2𝜎 2 ) × 1 2 (1 + 𝐸𝑟𝑓 ( 𝜆(𝑥−𝜇) √2𝜎 2 )), (11)
dimana Erf menyatakan error function yang didefinisikan seperti berikut:
𝐸𝑟𝑓(𝑦) = 2 √𝜋 ∫ 𝑒 −𝑧 2 𝑑𝑧 𝑦 0 .
Gambar 1 menyajikan grafik fungsi yang mengilustrasikan distribusi SN untuk lima nilai 𝜆 yang  berbeda.  Terlihat  bahwa  semakin  negatif  nilai 𝜆 ,  distribusinya  semakin  menceng  ke  kiri. Sebaliknya, semakin positif nilai 𝜆 , distribusinya semakin menceng ke kanan. Ketika 𝜆 = 0 , maka distribusinya adalah Normal.
Gambar 1. Grafik fungsi distribusi SN untuk beberapa nilai 𝜆 .

## 3.3  Distribusi Epsilon Skew Normal
Distribusi ESN diperkenalkan oleh [10] untuk menyatakan suatu distribusi asimetris yang berbeda dengan distribusi SN yang diperkenalkan oleh [8,9]. Untuk suatu parameter kemencengan |𝜀| < 1 , persamaan untuk fungsi distribusi ESN dari suatu variabel acak x didefinisikan seperti berikut:
𝑔(𝑥|𝜀) = { ∅ ( 𝑥 (1+𝜀) )     untuk 𝑥 < 0, ∅ ( 𝑥 (1−𝜀) )     untuk 𝑥 ≥ 0. (12)
Gambar 2 menyajikan grafik yang mengilustrasikan distribusi ESN untuk tiga nilai 𝜀 yang berbeda.  Terlihat  bahwa  semakin  negatif  nilai 𝜀 ,  distribusinya  semakin  menceng  ke  kanan. Sebaliknya, semakin positif nilai 𝜀 , distribusinya semakin menceng ke kiri. Ketika 𝜀 = 0 , maka distribusinya adalah Normal.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 -3 -2 ,8 -2 ,6 -2 ,4 -2 ,2 -2 -1 ,8 -1 ,6 -1 ,4 -1 ,2 -1 -0 ,8 -0 ,6 -0 ,4 -0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1 ,2 1 ,4 1 ,6 1 ,8 2 2 ,2 2 ,4 2 ,6 2 ,8 3 g ( x| la m b d a) x lambda=-4 lambda=-1 lambda=0 lambda=1 lambda=4
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 -5 -4 ,6 -4 ,2 -3 ,8 -3 ,4 -3 -2 ,6 -2 ,2 -1 ,8 -1 ,4 -1 -0 ,6 -0 ,2 0 ,2 0 ,6 1 1 ,4 1 ,8 2 ,2 2 ,6 3 3 ,4 3 ,8 4 ,2 4 ,6 5 g ( x |e p s) x eps=-0,5 eps=-0,3
eps=0 eps=0,3 eps=0,5

## 3.4  Distribusi Student- t
Distribusi  Student- t diperkenalkan  oleh William  Sealy  Gosset (13  Juni  1876–16  Oktober 1937)  pada  tahun  1908  dengan  nama  samarannya  adalah  Student  [16].  Distribusi  Student- t mempunyai dua variabel acak, yaitu yang satu berdistribusi Normal dan satunya lagi berdistribusi chi-square dengan derajat kebebasan v . Persamaan distribusi Student- t dinyatakan sebagai berikut:
𝑔(𝑡|𝜈) = Γ( 𝑣+1 2 ) √𝜋𝑣 Γ( 𝑣 2 ) ( 1 1+ 𝑡2 𝑣 ) 𝑣+1 2 , −∞ < 𝑡 < ∞ . (13)
Dalam hal ini, 𝑡 dikatakan berdistribusi Student- t dengan derajat kebebasan v [17].
Gambar 3. Grafik fungsi distribusi Student- t untuk beberapa nilai 𝜈 .
Gambar  3  mengilustrasikan  grafik fungsi distribusi  Student- t untuk  beberapa nilai derajat kebebasan v .  Semakin  besar  nilai v maka  ketebalan  ekor  distribusi  di  kedua  sisi  akan  semakin menipis, atau dengan kata lain jika nilai v semakin mengecil maka ekor distribusi  di kedua sisi semakin tebal.

## 4 Alat Estimasi
Untuk mendapat nilai-nilai parameter, model diestimasi menggunakan metode GRG-Non Linear yang tersedia di Solver Excel dan sebagai pembandingnya studi ini mengerjakan metode ARWM  dalam  algoritma  MCMC  yang  diimplementasikan  di  Scilab.  Perbandingan  tersebut diperlukan  karena  metode  GRG  Non-Linear  diaplikasikan  secara  langsung  dari  Solver  Excel. Prinsip dari metode GRG-Non Linear dijelaskan di [18], yaitu penyelesaian dimulai dari nilai-nilai awal  parameter  dan  akan  berubah  sedikit  demi  sedikit  sehingga  nilainya  optimal,  artinya  ini
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 -6 -5 ,5 -5 -4 ,5 -4 -3 ,5 -3 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 4 ,5 5 5 ,5 6 g ( t | v ) t v = 3 v = 10 v = 50
diharapkan  secara  bertahap  “menanjak”  jika  tujuannya  memaksimalkan  dan  “menurun”  jika tujuannya meminimumkan fungsi tujuan.
Untuk metode ARWM di [19], algoritmanya secara rinci telah dijelaskan oleh [11]. Idenya yaitu membangkitkan suatu kandidat untuk parameter 𝜃 pada iterasi ke-( j ) dengan cara:
𝜃 (𝑗) = 𝜃 (𝑗−1) + √Δ (𝑗−1) 𝑧 (𝑗) , 𝑧 (𝑗) ~𝑁(0,1), (14)
dimana Δ (𝑗−1) menyatakan lebar langkah dan diperbarui menjadi:
Δ (𝑗) = Δ (𝑗−1) + 𝑚 𝑗 −0.44 𝑗 0,6 , (15)
yang  mana m menyatakan  banyaknya  penerimaan  dari  kandidat.  Metode  tersebut  diaplikasikan dalam  langkah  pertama  dari  algoritma  MCMC,  yaitu  membangkitkan  rantai  Markov  untuk parameter 𝜃 .  Selanjutnya,  langkah  kedua  dari  algoritma  MCMC  yaitu  menghitung  nilai-nilai statistik seperti rata-rata dan interval kepercayaan berdasarkan pendekatan Monte Carlo.
Studi ini  memilih  interval  HPD ( Highest Posterior  Density ) sebagai interval  kepercayaan untuk  mengetahui  signifikansi  estimasi  parameter.  Algoritma  untuk  menghitung  95%  interval HPD untuk rantai Markov {𝜃 (𝑗) } 𝑗=1 𝑀 dijelaskan di [20] seperti berikut:
1. Menghitung 𝑀 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 dan 𝑀 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 , dengan 𝑀 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 = [0,05  ×  𝑀] dan 𝑀 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 = 𝑀 − 𝑀 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 , dimana [∙] menyatakan fungsi pembulatan baku.
2. Mengurutkan nilai estimasi dari kecil ke besar: {𝜃 𝑘 } 𝑘=1 𝑀 , dimana 𝜃 1 ≤ 𝜃 2 ≤ . . . ≤   𝜃 𝑀 3. Menghitung 𝜽 ∗ = {𝜃 𝑘 } 𝑘=𝑀 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑀 − {𝜃 𝑘 } 𝑘=1 𝑀 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔
4. Menentukan indeks 𝑘 ∗ , dimana 𝜽 ∗ (𝑘 ∗ ) merupakan nilai minimum.
5. Interval kepercayaan untuk 95% yaitu (𝜃 𝑘 ∗ , 𝜃 𝑘 ∗ +𝑀 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 ).

## 5 Aplikasi Model dan Metode pada Data Indeks Saham

## 5.1  Data dan Deskripsi
Model-model  yang  dipelajari  selanjutnya  diaplikasikan  pada  dua  data  indeks  saham internasional yang populer, yaitu FTSE100 dan TOPIX. Indeks saham FTSE100 ( Financial Time Stock Exchange 100) merupakan indeks saham dari 100 perusahaan yang terdaftar di pasar saham London  berdasarkan  ukuran  kapitalisasi  pasar  terbesar.  Yang  disebut  dengan  kapitalisasi  pasar yaitu nilai atau harga sebuah perusahaan yang dihitung dari jumlah total nilai saham yang beredar dikalikan  dengan  harganya  di  pasar  saham  [21].  Menurut  [22]  kapitalisasi  pasar  yang  besar umumnya menjadi salah satu daya tarik para investor dalam memilih saham. Sementara itu, indeks saham TOPIX ( Tokyo Stock Price Index ) merupakan suatu indeks saham yang penting di Jepang
dan dihitung serta dipublikasikan oleh Tokyo Stock Exchange [23] yang biasanya digunakan untuk menentukan tren di pasar saham yang dijadikan patokan oleh investor.
Data harian dari returns indeks saham FTSE100 terdiri dari 4437 pengamatan untuk periode dari Januari 2000 sampai Desember 2017 dan indeks saham TOPIX terdiri dari 3665 pengamatan untuk periode Januari 2000 sampai Desember 2014. Tabel 1 menyajikan deskripsi statistik untuk data return harian dari FTSE100 dan TOPIX.
Tabel 1. Deskripsi data return untuk indeks saham FTSE100 dan TOPIX.
Statistik FTSE100 TOPIX Rata-rata –0,0359 –0,0073 Simpangan Baku 0,9364 1,4138 Kurtosis 4,4279 5,9357 Kemencengan –0,1431 –0,3440 Stat. JB 392,11 1388,37
Gambar 4. Plot return harian dari indeks saham FTSE100 (atas) dan TOPIX (bawah).
Tabel  1  memperlihatkan  bahwa  nilai  kemencengan  untuk  kedua return tidak  terlalu mendekati nol, yang berarti bahwa distribusi return tidak benar-benar simetris. Sementara itu, nilai kurtosis untuk kedua return adalah lebih dari 3, yang berarti bahwa ekor distribusinya lebih tebal daripada  daripada  ekor  distribusi  Normal.  Berdasarkan  uji  normalitas  Jarquera–Bera  (JB),
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 1 66 3 31 4 96 6 61 8 26 9 91 1 15 6 1 32 1 1 48 6 1 65 1 1 81 6 1 98 1 2 14 6 2 31 1 2 47 6 2 64 1 2 80 6 2 97 1 3 13 6 3 30 1 3 46 6 3 63 1 3 79 6 3 96 1 4 12 6 4 29 1 re tu rn R t hari ke- t -10 -5 0 5 10 15 1 1 37 2 73 4 09 5 45 6 81 8 17 9 53 1 08 9 1 22 5 1 36 1 1 49 7
1 63 3 1 76 9 1 90 5 2 04 1 2 17 7 2 31 3 2 44 9 2 58 5 2 72 1 2 85 7 2 99 3 3 12 9 3 26 5 3 40 1 3 53 7 re tu rn R t hari ke- t
distribusi untuk kedua return adalah tidak Normal. Lebih lanjut, Gambar 4 menyajikan pergerakan nilai return harian untuk kedua indeks saham. Ini terlihat bahwa kedua return indeks saham adalah stasioner, yaitu berfluktuasi di sekitar rata-ratanya (yang mendekati nol). Konsekuensinya bahwa variansi dari return juga stasioner dan sesuai dengan asumsi model.
5.2  Fungsi Log- likelihood Model
Karena penghitungan log- likelihood lebih mudah daripada penghitungan likelihood dalam komputasi,  maka  bahasan  di  Bagian  2  dan  3  menyatakan  persamaan  fungsi  log- likelihood dari model AR(1)-GARCH(1,1) berdistribusi Normal sebagai berikut:
ℒ = ln 𝑓(𝐑|𝜙, 𝜔, 𝛼, 𝛽) = − 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ (𝑅 𝑡 −𝜙𝑅 𝑡−1 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 (16)
Secara  serupa,  fungsi  log- likelihood untuk  model  MA(1)-GARCH(1,1)  dengan return  error 𝑒 𝑡 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 + 𝜓𝑒 𝑡−1 dan variansi 𝜎 𝑡 2 dapat dinyatakan sebagai berikut: ℒ = ln 𝑓(𝐑|𝜇, 𝜓, 𝜔, 𝛼, 𝛽) = − 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ (𝑅 𝑡 −𝜇−𝜓𝑒 𝑡−1 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 (17)
Ketika 𝑒 𝑡 berdistribusi  SN,  model  AR(1)-GARCH(1,1)  mempunyai  fungsi  log- likelihood yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
ℒ = ln 𝑓(𝐑|𝜙, 𝜔, 𝛼, 𝛽, 𝜆) = − 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ (𝑅 𝑡 −𝜙𝑅 𝑡−1 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1
+ ∑ ln (1 + 𝐸𝑟𝑓 ( 𝜆(𝑅 𝑡 −𝜙𝑅 𝑡−1 ) √2𝜎 𝑡 2 )) . 𝑇 𝑡=1 (18)
Sementara  itu,  model  MA(1)-GARCH(1,1)  berdistribusi  SN  mempunyai  fungsi  log- likelihood sebagai berikut:
ℒ = ln 𝑓(𝐑|𝜇, 𝜓, 𝜔, 𝛼, 𝛽, 𝜆) = − 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ (𝑅 𝑡 −𝜇−𝜓𝑒 𝑡−1 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1
+ ∑ ln (1 + 𝐸𝑟𝑓 ( 𝜆(𝑅 𝑡 −𝜇−𝜓𝜀 𝑡−1 ) √2𝜎 𝑡 2 )) 𝑇 𝑡=1 . (19)
Ketika 𝑒 𝑡 berdistribusi ESN, model AR(1)-GARCH(1,1) mempunyai fungsi log- likelihood sebagai berikut:
ℒ = ln 𝑓(𝐑|𝜙, 𝜔, 𝛼, 𝛽, 𝜀) =
{ − 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ ( 𝑅𝑡−𝜙𝑅𝑡−1 1+𝜀 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 untuk (𝑅 𝑡 − 𝜙𝑅 𝑡−1 ) < 0, − 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ ( 𝑅𝑡−𝜙𝑅𝑡−1 1−𝜀 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 untuk (𝑅 𝑡 − 𝜙𝑅 𝑡−1 ) ≥ 0. (20)
Sementara itu, model MA(1)-GARCH(1,1) berdistribusi ESN mempunyai fungsi log- likelihood seperti berikut:
ℒ = ln 𝑓(𝐑|𝜙, 𝜔, 𝛼, 𝛽, 𝜀) =
{ − 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ ( 𝑅𝑡−𝜇−𝜓𝜀𝑡−1 1+𝜀 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 untuk (𝑅 𝑡 − 𝜇 − 𝜓𝜀 𝑡−1 ) < 0,
− 𝑇 2 ln(2𝜋) − 1 2 ∑ ln(𝜎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=1 − 1 2 ∑ ( 𝑅𝑡−𝜇−𝜓𝜀𝑡−1 1−𝜀 ) 2 𝜎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 untuk (𝑅 𝑡 − 𝜇 − 𝜓𝜀 𝑡−1 ) ≥ 0. (21)
Untuk  model  AR(1)-GARCH(1,1)  dengan 𝑒 𝑡 berdistribusi  Student- t ,  maka  fungsi  log- likehood untuk model dapat dinyatakan sebagai berikut:
ℒ = ln 𝑓(𝐑|𝜙, 𝜔, 𝛼, 𝛽, 𝜈) = 𝑇 ln Γ ( 𝜐+1 2 ) − 𝑇 ln Γ ( 𝜐 2 ) − 1 2 ∑ [𝜋𝜎 𝑡 2 ln(𝜐 − 2) + (𝜐 + 1) ln (1 + (𝑅 𝑡 −𝜃𝑅 𝑡−1 ) 2 𝜎 𝑡 2 (𝜐−2) )] 𝑇 𝑡=1 . (22)
Sementara itu, model MA(1)-GARCH(1,1) dengan 𝑒 𝑡 berdistribusi Student- t mempunyai fungsi log- likehood yang dinyatakan sebagai berikut:
ℒ = 𝑇 ln Γ ( 𝜐+1 2 ) − 𝑇 ln Γ ( 𝜐 2 ) − 1 2 ∑ [𝜋𝜎 𝑡 2 ln(𝜐 − 2) + (𝜐 + 1) ln (1 + (𝑅 𝑡 −𝜇−𝜓𝜀 𝑡−1 ) 2 𝜎 𝑡 2 (𝜐−2) )] 𝑇 𝑡=1 . (23)
5.3  Implementasi Metode Estimasi
Metode GRG Non-Linear di Solver Excel diaplikasikan dengan mengikuti langkah-langkah yang serupa dari [14]. Studi ini mengambil nilai awal untuk parameter-parameter model seperti berikut:
𝜙 = 0, 𝜔 = 0,005, 𝛼 = 0,2, 𝛽 =  0,7, 𝜇 = 0, 𝜓 = 0, 𝜈 = 10, 𝜆 = 0, 𝜀 = 0.
Pada spreadsheet Excel, untuk setiap waktu yang berkorespondensi dengan data return , nilai-nilai variansi 𝜎 𝑡 2 dan log- likelihood ℒ 𝑡 dihitung berdasarkan rumus (16)–(23) sesuai dengan model yang diperhatikan. Dicatat bahwa Solver Excel tidak memiliki syarat kendala yang tegas untuk tanda lebih  besar  (“>”)  atau  lebih  kecil  (“<”)  sehingga  hasil  estimasinya  mungkin  tidak  memenuhi kendala. Sebagai contoh, kasus tersebut muncul di [2] dimana terdapat kendala yang dilanggar, yaitu 𝛼 + 𝛽 = 1 , yang seharusnya 𝛼 + 𝛽 < 1 .
Untuk  melihat  kemampuan  Solver  Excel  dalam  mengestimasi  model,  metode  ARWM digunakan sebagai pembanding. Studi ini mengerjakan metode ARWM dalam algoritma MCMC dan diimplementasikan pada program Scilab dengan membuat kode pemrograman sendiri. MCMC dijalankan  untuk  6000  iterasi  yang  mana  1000  iterasi  pertama  dibuang  untuk  menghilangkan ketidakstasioneran  yang  disebabkan  oleh  nilai  awal  parameter.  Selanjutnya,  nilai-nilai  estimasi setiap parameter  dari 5000 iterasi yang tersisa digunakan untuk menghitung nilai-nilai statistik.
Algoritma MCMC diimplementasikan pada program Scilab dengan membuat kode pemrograman sendiri. Nilai-nilai awal yang digunakan adalah sama dengan nilai yang digunakan di Solver Excel. Karena  MCMC bekerja dalam kerangka  Bayesian,  maka  ini  dilengkapi dengan  distribusi prior, yaitu  parameter-parameter 𝜔, 𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝜇, 𝜓, 𝜆, 𝜀 berdistribusi 𝑁(0,1000) seperti  di  [24]  dan parameter 𝜈 berdistribusi eksp(0,01) seperti di [25].

## 5.4  Hasil Estimasi dari Metode GRG Non-Linear dan ARWM
Hasil estimasi parameter untuk  model-model  yang  dipelajari dilaporkan dalam Tabel 2–3 untuk indeks saham FTSE 100 dan Tabel 4–5 untuk indeks saham TOPIX. Ini ditunjukkan bahwa estimasi dari Solver Excel tidak ada yang melanggar kendala seperti di [2].  Lebih lanjut, ini dicatat bahwa  Solver  Excel  dan  Scilab  menghasilkan  nilai-nilai  estimasi  yang  saling  dekat.  Dari pengamatan tersebut, maka ini dapat dikatakan bahwa Solver Excel melalui metode GRG Non- Linier memiliki kemampuan yang handal dalam mengestimasi model meskipun fungsi tujuan atau log- likelihood mempunyai pernyataan yang rumit. Oleh karena itu, studi ini merekomendasikan Solver Excel untuk digunakan oleh praktisi keuangan yang tidak mempunyai kemampuan lebih dalam hal pemrograman komputer.
Tabel 2. Hasil estimasi untuk model-model berdistribusi Normal dan Student- t yang dicocokkan pada data saham FTSE100.
Parameter Distribusi Normal Distribusi Student- t GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) Solver Excel 𝜔 0,0063 0,0062 0,0061 0,0053 0,0053 0,0053 𝛼 0,0965 0,0971 0,0966 0,0914 0,0921 0,0916 𝛽 0,8982 0,8977 0,8983 0,9047 0,9040 0,9045 𝜙 –0,0340 –0,0272 𝜇 –0,0149 –0,0047 𝜓 –0,0365 –0,0287 𝜐 9,4187 9,6528 9,5781 𝛼 + 𝛽 0,9947 0,9949 0,9949 0,9961 0,9961 0,9960 Scilab 𝜔 0,0064 0,0066 0,0068 0,0064 0,0060 0,0060 𝛼 0,0975 0,0984 0,0991 0,0978 0,0940 0,0939 𝛽 0,8970 0,8959 0,8946 0,8968 0,9007 0,9009 𝜙 –0,0332 –0,0267 𝜇 –0,0149 –0,0050 𝜓 –0,0363 –0,0285 𝜐 9,9081 10,0586 10,0772 𝛼 + 𝛽 0,9945 0,9942 0,9909 0,9946 0,9947 0,9948
Tabel 3. Hasil estimasi untuk model-model berdistribusi SN dan ESN yang dicocokkan pada
data saham FTSE100. Parameter Distribusi SN Distribusi ESN GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) Solver Excel 𝜔 0,0063 0,0062 0,0067 0,0060 0,0059 0,0056 𝛼 0,0969 0,0975 0,0988 0,0971 0,0975 0,0976 𝛽 0,8979 0,8975 0,8957 0,8974 0,8972 0,8952 𝜙 –0,0363 –0,0410 𝜇 0,0719 0,0825 𝜓 –0,0423 –0,0506 𝜆 –0,0639 –0,0651 –0,2045 𝜖 0,0530 0,0539 0,1203 𝛼 + 𝛽 0,9947 0,9949 0,9945 0,9945 0,9947 0,9928 Scilab 𝜔 0,0068 0,0069 0,0073 0,0067 0,0063 0,0057 𝛼 0,0982 0,1006 0,1003 0,1007 0,0982 0,0954 𝛽 0,8955 0,8975 0,8934 0,8930 0,8959 0,8971 𝜙 –0,0363 –0,0406 𝜇 –0,0712 0,0802 𝜓 –0,0429 –0,0498 𝜆 –0,0644 –0,0647 –0,2029 𝜖 0,0532 0,0542 0,1178 𝛼 + 𝛽 0,9937 0,9936 0,9937 0,9937 0,9941 0,9925
Tabel 4. Hasil estimasi untuk model-model berdistribusi Normal dan Student- t yang dicocokkan pada data saham TOPIX.
Parameter Distribusi Normal Distribusi Student- t GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) Solver Excel 𝜔 0,0451 0,0445 0,0444 0,0379 0,0377 0,0375 𝛼 0,1092 0,1081 0,1099 0,0943 0,0946 0,0968 𝛽 0,8696 0,8708 0,8693 0,8866 0,8864 0,8847 𝜙 0,0516 0,0449 𝜇 0,3760 0,0459 𝜓 0,0496 0,0428 𝜐 11,5161 11,6723 11,.5212 𝛼 + 𝛽 0,9788 0,9790 0,9792 0,9810 0,9811 0,9815 Scilab 𝜔 0,0472 0,0481 0,0469 0,0387 0,0396 0,0393 𝛼 0,1099 0,1105 0,1124 0,0952 0,0960 0,0983 𝛽 0,8680 0,8667 0,8693 0,8856 0,8844 0,8824 𝜙 0,0516 0,0453 𝜇 0,0368 0,0461 𝜓 0,0501 0,0440 𝜐 12,1336 12,2100 12,1384 𝛼 + 𝛽 0,9778 0,9772 0,9781 0,9808 0,9804 0,9807
Tabel 5. Hasil estimasi untuk model-model berdistribusi SN dan ESN yang dicocokkan pada
data saham TOPIX. Parameter Distribusi SN Distribusi ESN GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) GARCH(1,1) AR(1)- GARCH(1,1) MA(1)- GARCH(1,1) Hasil Solver Excel 𝜔 0,0452 0,0446 0,0506 0,0455 0,0443 0,0420 𝛼 0,1093 0,1082 0,1171 0,1096 0,1088 0,1126 𝛽 0,8694 0,8707 0,8624 0,8687 0,8700 0,8628 𝜙 0,0515 0,0277 𝜇 0,3998 0,2696 𝜓 0,0397 0,0311 𝜆 –0,0113 –0,0100 –0,4326 𝜖 0,0304 0,0284 0,1424 𝛼 + 𝛽 0,9787 0.9789 0,9795 0,9783 0,9788 0,9754 Hasil Scilab 𝜔 0,0479 0,0480 0,0572 0,0506 0,0470 0,0446 𝛼 0,1149 0,1113 0,1210 0,1161 0,1159 0,1168 𝛽 0,8633 0,8661 0,8558 0,8602 0,8663 0,8576 𝜙 0,0518 0,0470 𝜇 0,4120 0,2729 𝜓 0,0398 0,0316 𝜆 –0,0106 –0,0102 –0,4523 𝜖 0,0310 0,0274 0,1441 𝛼 + 𝛽 0,9783 0,9774 0,9768 0,9763 0,9822 0,9744
Dicatat bahwa suatu kekurangan ketika menggunakan metode GRG Non-Linier di Solver Excel  yaitu  bahwa  signifikansi  dari  estimasi  parameter  tidak  bisa  diketahui,  artinya  nilai estimasinya  tidak  dapat  dikatakan  berbeda  atau  nyata  secara  statistik.  Sementara  itu,  metode ARWM  yang  dikerjakan  dalam  algoritma  MCMC  menghasilkan  suatu  rantai  Markov  sehingga lebih lanjut interval kepercayaan parameter bisa dihitung berdasarkan rantai tersebut.
Pertama  kali,  signifikansi  parameter  dari  proses  AR(1)  dan  MA(1)  diperhatikan.  Tabel  6 melaporkan 95% interval HPD untuk parameter-parameter 𝜙 , 𝜇 , dan 𝜓 . Untuk kasus model AR(1)- GARCH(1,1), hasil menunjukkan bahwa 95% interval HPD untuk parameter 𝜙 tidak memuat nol ketika distribusinya SN dan Student- t pada data FTSE100 dan ketika distribusinya SN, ESN, dan Student- t pada data TOPIX. Hasil tersebut mengindikasikan signifikansi parameter 𝜙 pada AR(1) untuk proses return , yang berarti bahwa data menyediakan dukungan terhadap proses regresi untuk return . Untuk model MA(1)-GARCH(1,1), 95% interval HPD mengindikasikan signifikansi untuk parameter 𝜓 (karena interval tidak memuat nol) untuk kasus distribusi SN pada data FTSE100 dan untuk semua kasus distribusi pada data TOPIX. Ini berarti bahwa penambahan MA di persamaan return memang  diperlukan.  Secara  khusus,  data  TOPIX  menyediakan  dukungan  sangat  kuat terhadap proses MA(1) untuk persamaan return .
Tabel 6. Interval HPD pada tingkat signifikansi 5% untuk parameter-parameter regresi.
Data Distribusi AR(1)-GARCH(1,1) MA(1)-GARCH(1,1)
𝜙
𝜇 𝜓 FTSE100 Normal ( –0,0591, 0.0261) (–0,0495, 0,0002) (–0,0660, 0,0240) SN (0,0004, 0,0330) (0,0264, 0,1120) (–0,0770, –0,0131) ESN (–0,0661, 0,0246) ( 0,0250, 0,1023) (–0,0756, 0,0092) Student- t (–0,0929, –0,0120) (–0,0339, 0,0100) (–0,0551, 0,0321) TOPIX Normal (– 0,0115, 0,0798) (–0,0279, 0,0679) (0,0212, 0,1092) SN ( 0,0190, 0,1010) (0,0144, 0,1100) (0,0177, 0,0952) ESN (0,0229, 0,1174) (0,2866, 0,5216) (0,0050, 0,0724) Student- t (0,0190, 0,1205) ( 0,2217, 0,3805) (0,0044, 0,0954) Tabel 7. Interval HPD pada tingkat signifikansi 5% untuk parameter-parameter distribusi
SN dan ESN. Distribusi 𝜆 𝜀 𝜆 𝜀 FTSE100 TOPIX AR(1)-GARCH(1,1) SN (–0,1330, –0,0328 ) (–0,0439, 0,0805) ESN (0,0237, 0,0682) (0,0123, 0,0682) MA(1)-GARCH(1,1) SN (–0,2895, –0,1022) (–0,5950, –0,3091) ESN (0,0634, 0,1396) (0,1189, 0,1987)
Berikutnya,  signifikansi  parameter  dari  distribusi  SN  dan  ESN  diperhatikan.  Tabel  7 menyajikan 95% interval HPD untuk parameter 𝜆 dan 𝜀 . Hasil menunjukkan bahwa parameter 𝜆 tidak signifikan hanya untuk kasus distribusi SN pada model AR(1)-GARCH(1) yang mengadopsi data TOPIX. Sementara itu, parameter 𝜀 dari distribusi ESN signifikan untuk setiap kasus model dan data pengamatan. Oleh karena itu, ini dapat dikatakan bahwa data memberikan dukungan yang kuat terhadap spesifikasi distribusi SN dan ESN untuk error dari return .

## 5.5  Pemilihan Model
Selain signifikansi parameter, kebaikan suatu model bisa dilihat berdasarkan beberapa uji kecocokan model. Studi ini secara khusus menggunakan uji LRT ( Log-likelihood Ratio Test ) [26] dan nilai statistik AIC ( Akaike Information Criterion ) [27]. Uji LRT hanya bisa digunakan ketika dua model  yang  dibandingkan  adalah bersarang, artinya  bahwa model yang satu bisa diperoleh atau sebagai suatu kasus khusus dari model yang lain. Untuk model sederhana 𝑀 𝑠 yang merupakan kejadian khusus dari model alternatif 𝑀 𝑎 , nilai statistik LRT dapat dihitung sebagai berikut:
LRT(𝑀 𝑠 , 𝑀 𝑎 ) = 2(ℒ(𝑀 𝑎 ) − ℒ(𝑀 𝑠 )) . (24)
Model 𝑀 𝑎 akan menyediakan pencocokan yang lebih baik daripada model 𝑀 𝑠 jika nilai LRT lebih besar  daripada  nilai  kritis.  Sesuai  dengan  kasus  pada  studi  ini,  nilai-nilai  kritis  untuk  derajat kebebasan  1  (selisih  banyaknya  parameter  antara  dua  model)  dari  Tabel  Chi-Square  yaitu  2,71 pada  tingkat  signifikansi  10%,  3,84  pada  tingkat  signifikansi  5%,  dan  6,64  pada  tingkat
signifikansi 1%. Sementara itu, nilai-nilai kritis untuk derajat kebebasan 2 yaitu 4,61 pada tingkat signifikansi 10%, 5,99 pada tingkat signifikansi 5%, dan 9,21 pada tingkat signifikansi 1%.
Tabel 8. Nilai-nilai statistik LRT
Data Model Distribusi LRT Normal (N) SN ESN N vs SN N vs ESN Solver Excel FTSE100 ( s ): GARCH(1,1) –5104,62 –5098,88  –5085,99 11,48 37,26 ( a 1 ): AR(1)-GARCH(1,1) –5095,97 –5090,03  –5076,78 11,88 38,38 ( a 2 ): MA(1)-GARCH(1,1) –5100,78 –5090,29  –5066,30 20,98 68,96 LRT (s) vs ( a 1 ) 17,30 17,70 18,42 LRT (s) vs ( a 2 ) 7,68 17,18 39,38 TOPIX ( s ): GARCH(1,1) –6040,86 –6040,71  –6035,76 0,30 10,19 ( a 1 ): AR(1)-GARCH(1,1) –6032,72 –6032,60  –6027,45 0,23 10,53 ( a 2 ): MA(1)-GARCH(1,1) –6034,78 –6013,32  –6000,36 42,92 68,83 LRT (s) vs ( a 1 ) 16,28 16,22 16,62 LRT (s) vs ( a 2 ) 12,16 54,78 70,80 Scilab FTSE100 ( s ): GARCH(1,1) –5104,63 –5098,88  –5086,11 11,48 37,05 ( a 1 ): AR(1)-GARCH(1,1) –5096,00 –5090,14  –5076,83 11,73 38,36 ( a 2 ): MA(1)-GARCH(1,1) –5100,90 –5093,20  –5066,35 15, 40 69,09 LRT (s) vs ( a 1 ) 17,26 17,48 18,56 LRT (s) vs ( a 2 ) 7,46 11,36 39,52 TOPIX ( s ): GARCH(1,1) –6040,89 –6040,84  –6035,98 0,09 9,82 ( a 1 ): AR(1)-GARCH(1,1) –6032,92 –6032,68  –6028,59 0,48 8,66 ( a 2 ): MA(1)-GARCH(1,1) –6034,82 –6016,35  –6000,45 36,94 68,75 LRT (s) vs ( a 1 ) 15,94 16,32 14,78 LRT (s) vs ( a 2 ) 12,14 48,98 71,06
Untuk  Uji  LRT,  ini  dibandingkan  antara  model  GARCH(1,1)  sebagai 𝑀 𝑠 dengan  AR(1)- GARCH(1,1) atau MA(1)-GARCH(1,1) sebagai 𝑀 𝑎 pada setiap kasus distribusi dan hanya antara distribusi Normal  sebagai 𝑀 𝑠 dengan  SN atau ESN sebagai 𝑀 𝑎 . Tabel  8  menyajikan  nilai-nilai statistik LRT dari perbandingan-perbandingan tersebut. Pertama kali ini diperhatikan bahwa nilai- nilai log- likelihood model yang dihasilkan oleh Solver dan Scilab adalah saling dekat. Selanjutnya, nilai-nilai  statistik  LRT  mengindikasikan  bahwa  model  AR(1)-GARCH(1,1)  dan  MA(1)- GARCH(1,1)  menampilkan  pencocokan  yang  lebih  baik  secara  signifikan  pada  tingkat  1% daripada  model  GARCH(1,1)  pada  setiap  kasus  distribusi  bertipe  Normal  dan  setiap  data pengamatan. Pengecualian hanya pada kasus MA(1)-GARCH(1,1) berdistribusi Normal pada data FTSE100  yang  memberikan  signifikansi  kebaikan  pada  tingkat  5%.  Hasil  tersebut  mendukung signifikansi parameter regresi yang sudah dibahas sebelumnya.
Selanjutnya,  spesifikasi  distribusi  SN  menyediakan  pencocokan  yang  lebih  daripada spesifikasi  distribusi  Normal  pada  tingkat  1%  ketika  diaplikasikan  pada  data  FTSE100  untuk setiap kasus model tetapi hanya untuk model MA(1)-GARCH(1,1) ketika diaplikasikan pada data TOPIX. Sementara itu, spesifikasi distribusi ESN menyediakan pencocokan yang lebih daripada
spesifikasi  distribusi  Normal  pada  tingkat  1%  untuk  setiap  kasus  model  dan  data  pengamatan. Hasil tersebut mengkonfirmasi signifikansi parameter 𝜆 dan 𝜀 pada hasil sebelumnya.
Karena Uji LRT terbatas pada dua model bersarang, maka selanjutnya AIC dapat digunakan untuk memilih model terbaik dari keseluruhan model yang diperhatikan, Nilai statistik AIC untuk suatu model dicari menggunakan rumus berikut:
𝐴𝐼𝐶 = 2𝑘 − 2ℒ , (25)
dimana k menyatakan banyaknya parameter yang diestimasi dari model. Kriterianya yaitu bahwa model terbaik mempunyai nilai AIC terkecil.
Tabel 9 menyajikan nilai AIC untuk semua model dengan superskrip menyatakan peringkat kebaikan pada perbandingan distribusi. Pertama kali ini dilihat bahwa nilai-nilai AIC dari hasil Solver Excel dan Scilab adalah saling dekat dan memberikan peringkat kebaikan yang sama. Data FTSE100  menyediakan bukti keunggulan  dari spesifikasi  distribusi  Student- t , yang diikuti  oleh distribusi  ESN,  SN,  dan  Normal  untuk  setiap  kasus  model.  Pada  setiap  kasus  distribusi,  model AR(1)-GARCH(1,1)  dan  MA(1)-GARCH(1,1)  lebih  baik  daripada  GARCH(1,1).  Pengecualian pada  kasus  model  MA(1)-GARCH(1,1)  berdistribusi  Student- t yang  tidak  lebih  baik  daripada model  GARCH(1,1)  berdistribusi  Student- t ,  yang  konsisten  dengan  ketidaksignifikanan  dari parameter-parameter  MA(1).  Model  terbaik  untuk  data  FTSE100  yaitu  model  AR(1)- GARCH(1,1) berdistribusi Student- t .

## Tabel 9. Nilai-nilai AIC
Model Distribusi Solver Excel Scilab FTSE100 TOPIX FTSE100 TOPIX GARCH(1,1) Normal 10215,24 4 12087,72 3 10215,27 4 12087,77 3 SN 10205,76 3 12089,42 4 10205,91 3 12089,68 4 ESN 10179,98 2 12079,53 2 10180,21 2 12079,95 2 Student- t 10131,34 1 12021,19 1 10132,05 1 12023,33 1 AR(1)-GARCH(1,1) Normal 10199,94 4 12073,43 3 10200,01 4 12073,83 3 SN 10190,06 3 12075,20 4 10190,28 3 12075,35 4 ESN 10163,56 2 12064,90 2 10163,65 2 12067,17 2 Student- t 10120,86 1 12010,00 1 10121,14 1 12010,15 1 MA(1)-GARCH(1,1) Normal 10211,56 4 12079,56 4 10211,80 4 12079,65 4 SN 10192,58 3 12038,64 3 10198,41 3 12044,86 3 ESN 10144,60 2 12012,73 1 10144,71 2 12012,90 1 Student- t 10131,80 1 12014,65 2 10132,10 1 12014,82 2
Untuk  data  TOPIX,  spesifikasi  distribusi  Student- t adalah  yang  paling  baik,  diikuti  oleh distribusi  ESN,  Normal,  dan  SN  untuk  kasus  model  GARCH(1,1)  dan  AR(1)-GARCH(1,1). Sementara  itu,  untuk  kasus  model  MA(1)-GARCH(1,1),  distribusi  terbaik  diberikan  oleh  ESN, diikuti oleh distribusi Student- t , SN, dan Normal. Setiap kasus distribusi menyediakan bukti bahwa
model  AR(1)-GARCH(1,1)  dan MA(1)-GARCH(1,1) lebih baik  daripada GARCH(1,1). Secara keseluruhan, model AR(1)-GARCH(1,1) berdistribusi Student- t adalah yang paling cocok untuk data TOPIX.

## 6 Simpulan dan Perluasan
Studi  ini  membahas  tentang  dua  perluasan  dari  model  GARCH(1,1),  yaitu  AR(1)- GARCH(1,1) dan MA(1)-GARCH(1,1), dengan mengasumsikan bahwa distribusi untuk error dari return adalah Normal, Skew Normal, Epsilon Skew Normal, dan Student- t . Model-model tersebut diaplikasikan  untuk return harian  dari  indeks  saham  FTSE100  dan  TOPIX.  Model  diestimasi menggunakan  metode  GRG  Non-Linier  di  Solver  Excel  dan  metode  ARWM  dalam  algoritma MCMC yang diimplementasikan di program Scilab. Hasil studi dapat diringkas sebagai berikut:
(i) Solver Excel  mempunyai  kemampuan yang baik untuk  mengestimasi parameter  model. Ini diindikasikan oleh tidak adanya pelanggaran terhadap kendala dan juga nilainya dekat dengan yang diperoleh menggunakan metode ARWM di Scilab.
(ii) Uji LRT atau AIC mengindikasikan bahwa distribusi ESN dan Student- t selalu lebih unggul daripada distribusi Normal dan SN. Pada setiap kasus distribusi, model dengan proses AR(1) dan  MA(1)  mengungguli  model  dasar  dan  secara  keseluruhan,  model  AR(1)-GARCH(1,1) berdistribusi Student- t menyediakan pencocokkan terbaik terhadap kedua data pengamatan.
Lebih  lanjut  studi  ini  dapat  diperluas  dengan  cara  mengambil  proses  ARMA(1,1)  untuk  proses return .

## 7 Ucapan Terima Kasih
Studi  ini  merupakan  bagian  dari  penelitian  yang  didanai  oleh:  (1)  Kemenristek-BRIN Indonesia melalui skema PDUPT tahun anggaran 2020 (No Kontrak
001/LL6/PG/SP2H/AMD/PL.1/2020)  dan  (2)  Universitas  Kristen  Satya  Wacana  melalui  Dana Penelitian Wajib Internal tahun anggaran Januari–Juni 2020 (SK Rektor No
102/Pen./Rek./2/V/2020)

## 8 Daftar Pustaka
[1] N.  G.  Emenogu,  M.  O.  Adenomon,  and  N.  O.  Nweze,  “On  the  volatility  of  daily  stock returns of Total Nigeria Plc: evidence from GARCH models, value-at-risk and backtesting,” Financ. Innov. , vol. 6, p. 18, 2020.
[2] D. B. Nugroho, B. Susanto, K. N. P. Prasetia, and R. Rorimpandey, “Modeling of returns
volatility using GARCH(1,1) model under Tukey transformations,” J. Akunt. dan Keuang. , vol. 21, no. 1, pp. 12–20, 2019.
[3] T. Bollerslev, “Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,” J. Econom. , vol. 31, no. 3, pp. 307–327, 1986.
[4] R. F. Engle, “Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation,” Econometrica , vol. 50, no. 4, pp. 987–1007, 1982.
[5] E.  Ferenstein  and  M.  Ga̧sowski,  “Modelling  stock  returns  with  AR-GARCH  processes,” Sort , vol. 28, no. 1, pp. 55–68, 2004.
[6] M.  E.  Hassan,  H.  Mwambi,  and  A.  Babikir,  “Volatility  Parameters  Estimation  and Forecasting of GARCH(1,1) Models with Johnson’s SU Distributed Errors,” in Time Series Analysis and Applications , InTech, 2018.
[7] T. Bollerslev, “A conditionally heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return,” Rev. Econ. Stat. , vol. 69, no. 3, pp. 542–547, 1987.
[8] A. Azzalini, “A class of distributions which includes the normal ones,” Scand. J. Stat. , vol. 12, no. 2, pp. 171–178, 1985.
[9] A.  Azzalini,  “Skew-normal  distribution,”  in International  encyclopedia  of  statistical science , M. Lovric, Ed. Springer Berlin Heidelberg, 2011.
[10]  G. S. Mudholkar and A. D. Hutson, “The epsilon-skew-normal distribution for analyzing near-normal data,” J. Stat. Plan. Inference , vol. 83, no. 2, pp. 291–309, 2000.
[11]  F. C. Salim, D. B. Nugroho, and B. Susanto, “Model volatilitas GARCH(1,1) dengan error Student-t untuk kurs beli EUR dan JPY terhadap IDR,” J. MIPA , vol. 39, no. 1, pp. 63–69, 2016.
[12]  D.  B.  Nugroho  and  B.  Susanto,  “Volatility  modeling  for  IDR  exchange  rate  through APARCH model with student- t distribution,” AIP Conf. Proc. , vol. 1868, no. August, 2017, doi: 10.1063/1.4995120.
[13]  D. B. Nugroho, “Comparative analysis of three MCMC methods for estimating GARCH models,” in IOP Conference Series: Materials Science and Engineering , 2018, vol. 403, no. 1, p. 012061.
[14]  D. B. Nugroho, B. Susanto, and M. M. M. Rosely, “Penggunaan MS Excel untuk Estimasi Model GARCH(1,1),” J. Mat. Integr. , vol. 14, no. 2, pp. 71–83, 2018.
[15]  D. B. Nugroho, D. Kurniawati, L. P. Panjaitan, Z. Kholil, B. Susanto, and L. R. Sasongko, “Empirical performance of GARCH, GARCH-M, GJR-GARCH and log-GARCH models for returns volatility,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1307, no. 1, p. 012003, 2019.
[16]  Student, “The probable error of a mean,” Biometrika , vol. 6, pp. 1–25, 1908.
[17]  L. A. Asimow and M. M. Maxwell, Probability and statistics with applications: A problem solving text . Connecticut: ACTEX Publication, Inc., 2010.
[18]  L. S. Lasdon, R. L. Fox, and M. W. Ratner, “Nonlinear optimization using the generalized reduced gradient method,” Rech. Opérationnelle , vol. 8, no. 3, pp. 73–103, 1974.
[19]  Y. F. Atchade and J. S. Rosenthal, “On adaptive Markov chain Monte Carlo algorithms,” Bernoulli , vol. 11, no. 5, pp. 815–828, 2005.
[20]  M.-H.  Chen  and  Q.-M.  Shao,  “Monte  Carlo  estimation  of  Bayesian  credible  and  HPD intervals,” J. Comput. Graph. Stat. , vol. 8, no. 1, pp. 69–92, 1999.
[21]  A.  M.  Raharjo  and  A.  M.  Haryanto,  “Analisis  pengaruh  EVA,  ROA,  DER,  volume perdagangan  dan  kapitalisasi  pasar  terhadap  harga  saham  (Studi  pada  perusahaan  umum yang terdaftar di BEI),” Diponegoro J. Manag. , vol. 4, no. 3, pp. 1–11, 2015.
[22]  F. Musbitul, Kapitalisasi Pasar Indonesia , 6th ed. Yogyakarta: BPFE, 2012.
[23]  TSE, “Tokyo Stock Exchange Index Guidebook,” 2012.
[24]  D.  Ardia  and  L.  F.  Hoogerheide,  “Bayesian  estimation  of  the  garch  (1,  1)  model  with student-t innovations,” R J. , vol. 2, no. 2, pp. 41–47, 2010.
[25]  P. J. Deschamps, “A flexible prior distribution for Markov switching autoregressions with Student-t errors,” J. Econom. , vol. 133, no. 1, pp. 153–190, 2006.
[26]  Q. Wu and P. Vos, “Inference and Prediction,” in Handbook of Statistics , vol. 38, V. N. Gudivada and C. R. Rao, Eds. Amsterdam: North-Holland, pp. 111–172, 2018.
[27]  M. Snipes and D. C. Taylor, “Model selection and Akaike Information Criteria: An example from wine ratings and prices,” Wine Econ. Policy , vol. 3, no. 1, pp. 3–9, 2014.