## FARABI Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika

## Analisis Pemetaan Isomorfisma Untuk Menentukan Dimensi Ruang Vektor Ł
Siti Mico Handaru 1 , I Made Arnawa 2 , Helma 3
1 SMA Negeri 1 Payakumbuh, Sumatera Barat
2 Universitas Andalas, Sumatera Barat
3 Universitas Negeri Padang, Sumatera Barat
Email: 1 handarumicositi@gmail.com , 2 arnawa1963@gmail.com ,
3 helma_mat@fmipa.unp.ac.id

## ABSTRAK
Dalam matematika, dimensi ruang vektor V dan W adalah jumlah vektor basis V dan W . Himpunan semua transformasi linier dari V ke W dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar menciptakan ruang vektor. Ruang vektor dari transformasi  linier biasanya dilambangkan dengan Ł ( V,W ) . Ł ( V,W ) ={T ∶ 𝐕 → 𝐖 |Transformasi  linier  T}.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  menentukan  dimensi  vektor  ruang Ł ( V,W )  melalui  pemetaan  isomorfisme.  Peneliti  melakukan  studi  pustaka  untuk  menentukan  dimensi  vektor ruang Ł ( V,W ) . Penelitian  menunjukkan  bahwa  ada  pemetaan  isomorfisme  dari Ł ( V,W )  ke M mxn Dapat disimpulkan  bahwa Ł ( V , W ) = {T: V → W |Transformasi  linier T} dengan  vektor ruang V yang  memiliki  n dimention  dan  vektor  spce  W  yang  memiliki  m  dimention  adalah  vektor  ruang  dimensi  terbatas.  Dim  ( Ł ( V,W )) dapat ditentukan dengan menunjukkan matriks standar M mxn merupakan basis, sehingga dim( M mxn ) = mn. Jika Ł (V,W) ≅ M mxn maka Dim ( Ł ( V , W ))= dim ( M mxn )
Kata kunci: Pemetaan isomorfisme, Dimensi, Vektor ruang, Transformasi linier.

## ABSTRACT
In mathematics, the dimension of a vector space  V and W is  the number of vectors of a basis of V and W. The  sets  of  all  linier  transformation  from  V  to  W  with  addition  operation  and  scalar  multiplication operations create a vector space. Vector space from linear transformations are usually denoted by  Ł (V,W). Ł (V,W) ={T ∶ 𝑽 → 𝑾 |T linear transform-ation}. The purpose of this study  was to  determine space vector dimension Ł (V,W) through isomorphism mapping. The researcher conducted literature studies To determine space vector dimension Ł (V,W).  The study showed that there was a isomorphism mapping from Ł (V,W) to 𝑀 𝑚𝑥𝑛 .  It can be concluded  that Ł (V,W) = {T: V → 𝑊 |T linear transformation} with space vector V which has 𝑛 dimention  and  spce  vector 𝑊 which  has 𝑚 dimention  are  limited  dimension  space  vectors.  Dim  (Ł (V,W)) can be determined by showing standar matrix of 𝑀 𝑚𝑥𝑛 constitute basis, so that dim( 𝑀 𝑚𝑥𝑛 ) = 𝑚𝑛 .  If Ł (V,W) ≅   𝑀 𝑚𝑥𝑛 then 𝐷𝑖𝑚 (Ł (V,W)) = 𝑑𝑖𝑚 ( 𝑀 𝑚𝑥𝑛 )
Keywords: Isomorphism mapping, Dimension, Space vector, Linear transformation.

## A. PENDAHULUAN
Dimensi  dari  ruang  vektor  merupakan bagian  penting  dalam  matematika.  Suatu pemetaan  isomorfisma  dapat  digunakan  untuk menentukan  dimensi  dari  ruang  vector  .  Jika 𝑽 dan 𝑾 adalah ruang vektor maka 𝑻 merupakan suatu  tranformasi  linear  sehingga 𝑻: 𝑽 → 𝑾 dikatakan  isomorfisma  jika 𝑻 satu-satu  dan pada  (into  and  onto).  Jika 𝑻: 𝑽 → 𝑾 suatu pemetaan  isomorfisma  maka  dimensi 𝑽 sama dengan dimensi 𝑾 .  Dengan  demikian  dengan
menggunakan  pemetaan  isomorfisma,  dapat menentukan dimensi dari ruang vektor.
Dimensi  merupakan  parameter  yang diperlukan  untuk  menggambarkan  posisi  dan sifat  benda  dalam  ruang.  Misalkan 𝑽 adalah sebuah  ruang  vektor  dan  mempunyai  basis dengan 𝑛 elemen  untuk 𝑛 suatu  bilang  asli maka 𝑽 dikatakan berdimensi 𝑛 . 𝑽 dikatakan  berdimensi 𝑛 maka 𝑽 mempunyai  basis  dengan 𝑛 ,  hal  ini  terjadi  jika 𝑽 adalah  sebuah  ruang  vektor.    Jika V dan 𝑾 adalah dua ruang vektor pada lapangan F , maka
himpunan  semua  transformasi  linier  dari V ke W dengan  operasi  penjumlahan  dan  operasi perkalian  skalar  membentuk  ruang  vektor. Ruang vektor dari transformasi linear ini sering dinotasikan dengan Ł ( V , W ). Ł ( V , W ) = {𝑇: 𝑽 → 𝑾|𝑇 transformasi linear} .
Berdasarkan  uraian  di  atas  penulis  ingin membahas  cara  menentukan  dimensi  ruang vektor Ł ( V , W ).
Untuk menentukannya, penulis menggunakan  pemetaan isomorfisma.
Misalkan V adalah  ruang  vektor, 𝒖 adalah  vektor  di V ,  dan k besaran  skalar,  maka 0 𝒖 = 0, (-1) u =  - u , k0 = 0 serta k 𝒖 = 0 , maka k = 0 atau u = 0 (Anton, 1988).  Jika 𝑽 adalah sebarang  vektor  dan S =  { 𝒗 1 , 𝒗 2 ,  .  .  .  , 𝒗 𝑟 } adalah  himpunan  vektor  berhingga  dalam V , maka S disebut basis dari V jika S bebas linier dan S membentuk V (Anton, 1988). V adalah sebuah  ruang  vektor  dan  mempunyai  basis dengan 𝑛 elemen-elemen  untuk 𝑛 suatu bilangan  asli  maka  dikatakan  bahwa V berdimensi 𝑛 (Jacob, 1990). Misalkan 𝑽 dan 𝑾 adalah  ruang  vektor  dengan  dimensi  berhingga dan 𝑇 ∶ 𝑽  → 𝑾 serta T adalah  isomorfisma, maka dim(𝑽) =  dim (𝑾) (Jacob, 1990).
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui  dimensi  ruang  vektor Ł dengan pemetaan  isomorfik.  Semoga  penelitian  ini dapat menambah wawasan penulis dan pembaca  pada umumnya tentang dimensi ruang vektor Ł .

## B. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini  adalah  metode  tinjauan  pustaka  dengan analisis  teoritis  terkait  dengan  permasalahan yang dibahas.
Dalam  melakukan  penelitian  ini  penulis mengawali  dengan  menelaah  permasalahan, mengumpulkan dan menghubungkan teori-teori yang  diperoleh  dengan  permasalahan  yang ditemui untuk membantu dalam
penyelesaiannya.
Proses  yang  dilakukan  dalam  menye- lesaikan  masalah  tersebut  meliputi  dua  tahap. Tahap pertama mengumpulkan literature berupa  buku  dan  sumber  terkait  masalah penelitian.  Kemudian  dikumpulkan,  diurutkan  , diklasifikasikan  serta  dikelompokkan,  sebagai konsep-konsep  landasan  penelitian.  Tahap kedua  mengurutkan  dan  mengklasifikasikan seluruh  konsep  yang  telah  dikumpulkan,  baru kemudian diilakukan analisis dengan
menuliskan  definisi  dari  Ruang  Vektor,  Bebas Linear,
Membangun, Basis, Dimensi, Tranformasi  Linear,  Tranformasi  Linear  Satu- Satu, Tranformasi Linier Pada dan Isomorfisma. Pengujian kebenaran pemetaan
isomorfisma untuk menentukan dimensi dimensi  ruang  vektor Ł ( V , W ).    dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Misalkan  diberikan  ruang  vektor V yang berdimensi 𝑛 dan  ruang  vektor W yang berdimensi 𝑚 .  Tunjukkan  bahwa Ł ( V , W ) suatu ruang vektor.
2. Tunjukkan  bahwa matrik 𝑀 yang berordo 𝑚 × 𝑛 adalah suatu ruang vektor atas F.
3. Tunjukkan  bahwa  ada  suatu  pemetaan isomorfisma dari Ł ( V , W ) ke 𝑀 𝑚𝑥𝑛 . 4. Tunjukkan bahwa
{[ 1 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , [ 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , … ,
[ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 1 ]}
sebanyak 𝑚 ∙ 𝑛 merupakan basis dari ruang vektor matriks 𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
5. Tunjukkan bahwa dim (𝑀 𝑚𝑥𝑛 ) = 𝑚𝑛

## C. PEMBAHASAN
Penentuan  dimensi Ł melalui  pemetaan isomorfisma  harus  memenuhi  pembuktian bahwa Ł merupakan ruang vektor, ruang vektor 𝑴 𝒎𝒙𝒏 , Isomorfisma  dari Ł ( V , W )  ke 𝑀 𝑚𝑥𝑛 , dimensi ruang vektor Ł
Ruang Vektor Ł
Misalkan diberikan ruang vektor V dan W yang berdimensi 𝑛 dan 𝑚 . Tunjukkan bahwa Ł ( V , W ) merupakan ruang vektor.
Penyelesaian:
Ł ( V , W )  = {𝑇: 𝑽 → 𝑾|𝑇 transformasi linier} Misalkan 𝑽 dan 𝑾 adalah dua ruang vektor atas lapangan  yang  sama 𝐹 .  Misalkan 𝑇 1 dan 𝑇 2 adalah  transformasi  linier  dari 𝑽 ke W .  Maka fungsi (T 1 + T 2 )  didefinisikan oleh (𝑇 1 + 𝑇 2 )(𝑥) =   𝑇 1 (𝑥) + 𝑇 2 (𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑽 adalah transformasi linier dari V ke W .
Selanjutnya, jika T merupakan transformasi  linier  dari V ke W maka  untuk skalar 𝛼 ,  fungsi (𝛼 ∙ 𝑇) didefinisikan (𝛼 ∙ 𝑇) = 𝛼 ∙ 𝑇(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑽 merupakan  transformasi linier dari V ke W.
Theorem  3.1.      Himpunan Ł ( V , W ) darisemua transformasi  linear  dari 𝑽 ke 𝑾 bersamaan dengan  operasi  penjumlahan  dan  operasi perkalian dengan bilangan scalar adalah ruang vektor atas lapanagn F.
B UKTI . Misalkan 𝑇 1 ,  T 2 adalah  transformasi linear  dari 𝑽 ke W dan  ( 𝑇 1 + 𝑇 2 )  didefinisikan sebagaimana di atas. Selanjutnya ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑽 dan α, β ∈ 𝐹. ( 𝑇 1 + 𝑇 2 ) (𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛽 ∙ 𝑦) = 𝑇 1 (𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛽 ∙ 𝑦)
+ 𝑇 2 (𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛽 ∙ 𝑦)
= 𝛼 ∙ 𝑇 1 (𝑥) + 𝛼 ∙ 𝑇 2 (𝑥)
+𝛽 ∙ 𝑇 1 (𝑦) + 𝛽 ∙ 𝑇 2 (𝑦)
[dengan assosiatif dan komutatif penjumlahan dalam W ] =  𝛼 ∙ [𝑇 1 (𝑥) + 𝑇 2 (𝑥)] + 𝛽 ∙ [𝑇 1 (𝑦) + 𝑇 2 (𝑦)] =  𝛼 ∙ [(𝑇 1 + 𝑇 2 )(𝑥)] + 𝛽 ∙ [(𝑇 1 + 𝑇 2 )(𝑦)] Dapat  ditunjukkan  bahwa (𝑇 1 + 𝑇 2 ) adalah suatu tranformasi linear.
Berikutnya,  jika 𝑇 adalah  suatu  trans- formasi linear, dan 𝛼 adalah suatu skalar ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑽 dan β, 𝛾  ∈ 𝐹 (𝛼 ∙ 𝑇)(𝛽 ∙ 𝑥 + 𝛾 ∙ 𝑦) = 𝛼 ∙ [𝛽 ∙ 𝑇(𝑥) + 𝛾 ∙ 𝑇(𝑦)]
[dengan sifat kelinearan pada 𝑇 ] = 𝛼 ∙ [𝛽 ∙ 𝑇(𝑥)] + 𝛼 ∙ [𝛾 ∙ 𝑇(𝑦)] = ( 𝛽𝛼) ∙ 𝑇(𝑥) + (𝛾𝛼) ∙ 𝑇(𝑦)
[dengan komutatif perkalian dalam 𝐹 ] = 𝛽 ∙ [𝛼 ∙ 𝑇(𝑥)] + 𝛾 ∙ [𝛼 ∙ 𝑇(𝑦)] = 𝛽 ∙ [(𝛼 ∙ 𝑇)(𝑥)] + 𝛾 ∙ [(𝛼 ∙ 𝑇)(𝑦)]
Menunjukkan  bahwa  (α  .  T)  adalah  sebuah transformasi  linear.    Sekarang  dengan  fakta bahwa  himpunan Ł ( 𝑽 , W )  dari  semua transformasi  linier  dari 𝑽 ke 𝑾 merupakan ruang  vektor  dengan  memperhatikan  operasi penjumlahan  dan  perkalian  dengan  skalar  di atas berdasarkan hal berikut:
(I) ( Ł ( 𝑽 , W ), +) adalah sebuah grup abelian, karena
(i) ∀ 𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 ∈ Ł ( 𝑽 , W ) dan ∀𝑥 ∈ 𝑽 . ((𝑇 1 + 𝑇 2 ) +   𝑇 3 )(𝑥) = (𝑇 1 + 𝑇 2 )(𝑥) +𝑇 3 (𝑥) = 𝑇 1 (𝑥) + 𝑇 2 (𝑥) + 𝑇 3 (𝑥) [ dengan assosiatif penjumlahan dalam W ] = 𝑇 1 (𝑥) + (𝑇 2 + 𝑇 3 )(𝑥) {𝑇 1 + 𝑇 2 } + 𝑇 3 = 𝑇 1 + {𝑇 2 + 𝑇 3 } Menunjukkan bahwa assosiatif penjumlahan  dalam Ł ( 𝑽 , W ) (ii) ∀ 𝑇 1 , 𝑇 2 ∈ Ł ( 𝑽 , W ) dan ∀𝑥 ∈ 𝑽 . (𝑇 1 + 𝑇 2 )(𝑥) =   𝑇 1 (𝑥) + 𝑇 2 (𝑥)
= T 2 ( x )  +  T 1 ( x )
[dengan komutatif penjumlahan 𝐹 ]
𝑇 1 + 𝑇 2 =   𝑇 2 + 𝑇 1 Yang berarti bahwa komutatif penjumlahan dalam Ł ( 𝑽 , W )
(iii) Transformasi nol disimbolkan dengan 0̂ dan  didefinisikan  dengan 0̂(𝑥) = 0, ∀ x ∈ 𝑽 dan bahwa
(𝑇 + 0̂) = (0̂ + T ) = T , ∀ 𝑇 ∈ Ł ( 𝑽 , W ) Oleh karena itu nol adalah ruang dari Ł ( 𝑽 , W ).
(iv) Berkorespondensi untuk setiap 𝑇 ∈ Ł ( 𝑽 , W ), ∃(−𝑇) ∈ Ł ( 𝑽 , W ). didefinisikan dengan (−𝑇)(𝑥) = −𝑇(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑽 dengan ( − T ) linear dan
T + ( − T ) = (−𝑇) + 𝑇 = 0̂
Sebuah transformasi linear (– 𝑇) adalah invers penjumlahan dari 𝑇
(II) Operasi  penjumlahan  dan  perkalian dengan  skalar  di  atas  berdasarkan  hal berikut:
(i) ∀ 𝑇 1 , 𝑇 2 ∈ Ł ( 𝑽 , W) ; 𝑥 ∈ 𝑽 dan α ∈ 𝐹. ( α ∙ (𝑇 1 +   𝑇 2 ))(𝑥) = α ∙ (𝑇 1 +   𝑇 2 )(𝑥) = α  ∙ [𝑇 1 (𝑥) +   𝑇 2 (𝑥)]
= α  ∙ 𝑇 1 (𝑥) +  α  ∙ 𝑇 2 (𝑥) = (α  ∙ 𝑇 1 +  α  ∙ 𝑇 2 )(𝑥) Oleh karena itu: α ∙ (𝑇 1 +   𝑇 2 ) =  α  ∙ 𝑇 1 +  α  ∙ 𝑇 2 Untuk setiap T 1 dan T 2 ∈ Ł (V, W) dan α ∈ F (ii) ∀ 𝑇 ∈ Ł ( 𝑽 , W ); 𝑥 ∈ 𝑽 dan α, 𝛽 ∈ 𝐹 ; ((α+β)∙T)(x) =α∙T(x)+β∙T(x) = (𝛼 ∙ 𝑇 + 𝛽 ∙ 𝑇)(𝑥)
Sehingga, (α + β) . T = α . T + β . T ∀ 𝑇 ∈ Ł ( 𝑽 , W ) dan α, 𝛽 ∈ 𝐹 (iii) ∀ 𝑇 ∈ Ł ( 𝑽 , W ); 𝑥 ∈ 𝑽 dan α, 𝛽 ∈ 𝐹 ; ((𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑇)(𝑥) = 𝛼 ∙ [ 𝛽 ∙ 𝑇(𝑥)]
= 𝛼 ∙ [β . T (x)]
= (𝛼 ∙ (𝛽 ∙ 𝑇)(𝑥)
Jadi, (𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑇 = 𝛼 ∙ (𝛽 ∙ 𝑇) , ∀ 𝑇 ∈ Ł ( 𝑽 , W ) dan α, ∈ 𝐹 .
(iv) Jika  1  adalah  identitas  dari 𝐹 ,  maka
∀ 𝑇 ∈ Ł ( 𝑽 , W ) ; 𝑥 ∈ 𝑽 (1 ∙ 𝑇)(𝑥) = 1 ∙ 𝑇(𝑥) = 𝑇(𝑥)
1 . T = T ∴ Teorema terbukti.
Contoh  3.2. Misalkan 𝐻 = {𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 } ,  dengan T 1 , T 2 ,  dan T 3 adalah  transformasi  linear 𝑹 𝟐 ke 𝑹 𝟐 dan 𝐻 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) .  Misalkan 𝛼, 𝛽
adalah  skalar. 𝑇 1 , 𝑇 2 , dan 𝑇 3 masing-masing didefinisikan dengan 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) = ( 2𝑥 𝑦 ) , 𝑇 2 ( 𝑥 𝑦) = ( 𝑥 𝑥 + 𝑦) , dan 𝑇 3 ( 𝑥 𝑦) = ( 𝑥 − 𝑦 𝑦 )
Apakah Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) adalah ruang vektor? Jawab: Misalkan 𝑇 1 , 𝑇 2 , dan 𝑇 3 adalah  transformasi linear .
Maka  fungsi  ( T 1 + T 2 ) didefinisikan  dengan
(𝑇 1 + 𝑇 2 ) ( 𝑥 𝑦) =   𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) + 𝑇 2 ( 𝑥 𝑦) , ∀ ( 𝑥 𝑦) ∈ R 2 adalah  transformasi  linear  dari 𝑹 𝟐
ke 𝑹 𝟐 .
Juga,  jika 𝑇 adalah  transformasi  linear dari 𝑹 𝟐 ke 𝑹 𝟐 maka untuk skalar 𝛼 , fungsi (𝛼 ∙
𝑇) didefinisikan (𝛼 ∙ 𝑇) =  𝛼 ∙ 𝑇 ( 𝑥 𝑦) , ∀ ( 𝑥 𝑦) ∈
𝑹 𝟐 adalah transformasi linear dari 𝑹 𝟐 ke 𝑹 𝟐 . Himpunan Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 )  dari  seluruh transformasi  linier  dari 𝑹 𝟐 ke 𝑹 𝟐 serta  operasi penjumlahan  dan  operasi  perkalian  dengan skalar merupakan ruang vektor atas lapangan 𝐹 jika memenuhi syarat-syarat berikut:
(I) ( Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ),  +)  adalah  sebuah  grup abelian, karena
(i) ∀ 𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) dan ∀ ( 𝑥 𝑦) ∈ 𝑹 𝟐 . ( ( T 1 + T 2 ) + T 3 ) ( 𝑥 𝑦) = (𝑇 1 + 𝑇 2 ) ( 𝑥 𝑦) +𝑇 3 ( 𝑥 𝑦)
[dengan assosiatif penjumlahan dalam W ] = 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) + {𝑇 2 ( 𝑥 𝑦) + 𝑇 3 ( 𝑥 𝑦)} = T 1 ( 𝑥 𝑦) + {(𝑇 2 + 𝑇 3 ) ( 𝑥 𝑦)} = (𝑇 1 + (𝑇 2 + 𝑇 3 )) ( 𝑥 𝑦)
Jadi { T 1 + T 2 } + T 3 = T 1 + { T 2 + T 3 }
Menunjukkan  bahwa  assosiatif  penjumlahan dalam Ł (ii) ∀ 𝑇 1 , 𝑇 2 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 )  dan ∀ ( 𝑥 𝑦) ∈ R 2 .
[dengan komutatif penjumlahan ]
= ( 𝑥 𝑥 + 𝑦) + ( 2𝑥 𝑦 ) = 𝑇 2 ( 𝑥 𝑦) + 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) = (𝑇 2 + 𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦) ∴ 𝑇 1 + 𝑇 2 =   𝑇 2 + 𝑇 1 Menunjukkan  bahwa  komutatif  pen- jumlahan dalam Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ).
(iii) Transformasi  nol  disimbolkan dengan 0̂ dan didefinisikan dengan
0̂ ( 𝑥 𝑦) = 𝟎 , ∀ ( 𝑥 𝑦) ∈ 𝑹 𝟐 dan bahwa (𝑇 1 + 0̂) ( 𝑥 𝑦) = 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) + 0 ̂ ( 𝑥 𝑦) = ( 2𝑥 𝑦 ) + ( 0 0 ) = ( 2𝑥 + 0 𝑦 + 0 ) = ( 0 + 2𝑥 0 + 𝑦 ) = ( 0 0 ) + ( 2𝑥 𝑦 ) = 0̂ ( 𝑥 𝑦) + 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) = (0̂ + 𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦) (*) (𝑇 1 + 0̂) ( 𝑥 𝑦) = 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) + 0 ̂ ( 𝑥 𝑦) = ( 2𝑥 𝑦 ) + ( 0 0 ) = ( 2𝑥 + 0 𝑦 + 0 ) = ( 2𝑥 𝑦 ) = 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) (**)
Dari (*) dan (**), berlaku
(𝑇 1 + 0̂) ( 𝑥 𝑦) = (0 ̂ + 𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦) = 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) , ∀ 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) ∈ Ł ( 𝑅 2 , 𝑅 2 ) Jadi T 1 + 0̂ = 0̂ + T 1 = 𝑇 1 € Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 )
Oleh karena itu nol adalah vektor ruang dari Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ).
(iv)  Berkorespondensi ∀ 𝑇 1 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ), ∃(−𝑇 1 ) ∈ Ł ( R 2 ,  R 2 ) didefinisikan dengan (−𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦) = (− ( 2𝑥 𝑦 )) = − ( 2𝑥 𝑦 ) (−𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦) = −𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) , ∴ 𝑇 1 + (−𝑇 1 ) = (−𝑇 1 ) + 𝑇 1 = 0̂ Sebuah  transformasi  linear (– 𝑇) adalah invers penjumlahan dari 𝑇
(II)  Operasi  penjumlahan  dan  perkalian dengan  aljabar  skalar  di  atas  didasarkan pada:
Oleh karena itu: α . ( T 1 + T 2 ) = α . T 1 + α . T 2 ∀ 𝑇 1 , 𝑇 2 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) dan α ∈ 𝐹.
(i) ∀ 𝑇 1 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) ; ( 𝑥 𝑦) ∈ 𝑹 𝟐 dan α, 𝛽 ∈ 𝐹 ; (( α + β ) . T 1 ) ( 𝑥 𝑦) = (𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) = (𝛼 + 𝛽) ∙ ( 2𝑥 𝑦 ) = ( 𝛼2𝑥 + 𝛽2𝑥 𝛼𝑦 + 𝛽𝑦 )
= ( 𝛼2𝑥 𝛼𝑦 ) + ( 𝛽2𝑥 𝛽𝑦 ) = 𝛼 ∙ ( 2𝑥 𝑦 ) + 𝛽 ∙ ( 2𝑥 𝑦 ) = 𝛼 ∙ 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) + 𝛽 ∙ 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) Sehingga, (𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑇 1 = 𝛼 ∙ 𝑇 1 + 𝛽 ∙ 𝑇 1 , ∀𝑇 1 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) dan α, 𝛽 ∈ 𝐹 (ii) ∀𝑇 1 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ); ( 𝑥 𝑦) ∈ 𝑹 𝟐 dan α, 𝛽 ∈ 𝐹 ;
((𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦) = (𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑇 1 = (𝛼 ∙ 𝛽) ∙ ( 2𝑥 𝑦 ) = 𝛼 ∙ ( 𝛽 ∙ 2𝑥 𝛽 ∙ 𝑦 ) = 𝛼 ∙ (𝛽 ∙ ( 2𝑥 𝑦 )) = 𝛼 ∙ [(𝛽 ∙ 𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦)] Jadi, ( α . β ).T 1 = α .(β.T 1 ) , ∀ 𝑇 1 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) dan α, 𝛽 ∈ 𝐹 .
(iv) Jika  1  adalah  identitas  dari 𝐹 ,  maka
∀ 𝑇 1 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) ; ( 𝑥 𝑦) ∈ 𝑹 𝟐 (1 . T 1 ) ( 𝑥 𝑦) = (1 ∙ ( 2𝑥 𝑦 )) = 1 ∙ ( 2𝑥 𝑦 ) (1 ∙ 𝑇 1 ) ( 𝑥 𝑦) = 1 ∙ 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) = 𝑇 1 ( 𝑥 𝑦) 1 ∙ 𝑇 1 = T 1 , ∀ 𝑇 1 ∈ Ł .
Himpunan Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 )  dari  semua  transformasi linear  dari 𝑹 𝟐 ke 𝑹 𝟐 memenuhi  syarat-syarat sehingga, 𝐻 = {𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 } , dengan 𝑇 1 , 𝑇 2 , dan 𝑇 3 adalah  transformasi  linear 𝑹 𝟐 ke 𝑹 𝟐 dan 𝐻 ∈ Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) adalah ruang vektor.
Ruang Vektor 𝑴 𝒎𝒙𝒏 Tunjukkan  bahwa  matriks 𝑀 berordo 𝑚 × 𝑛 adalah suatu ruang vektor atas F .
Penyelesaian: Ambil B , C ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 dan α ∈ 𝐹 𝐵 = ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) ,
𝐶 = ( 𝑐 11 𝑐 12 𝑐 21 𝑐 22 ⋮ ⋮ 𝑐 𝑚1 𝑐 𝑚2 ⋯ 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑐 𝑚𝑛 ) ,
untuk 𝑏 11 , 𝑏 12 , … , 𝑏 𝑚𝑛 , 𝑐 11 , 𝑐 12 , … , 𝑐 𝑚𝑛 ∈ 𝑹 . Didefinisikan  opersai + dan ∙ di 𝑀 𝑚𝑥𝑛 sebagai berikut:
=   ( 𝛼𝑏 11 𝛼𝑏 12 𝛼𝑏 21 𝛼𝑏 22 ⋮ ⋮
𝛼𝑏 𝑚1 𝛼𝑏 𝑚2 ⋯ 𝛼𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛼𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝑏 𝑚𝑛 )
𝑀 𝑚𝑥𝑛 membentuk  ruang  vektor  memenuhi syarat-syarat berikut:
(i) Untuk B , C , D ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 a. 𝐵 + 𝐶 = ( 𝑏 11 + 𝑐 11 𝑏 21 + 𝑐 21 ⋮ 𝑏 𝑚1 + 𝑐 𝑚1 ⋯ 𝑏 1𝑛 + 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 + 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 + 𝑐 𝑚𝑛 ) ∴  𝐵 + 𝐶 ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 b. 𝑂 + 𝐵 = ( 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ) + ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) = ( 0 + 𝑏 11 0 + 𝑏 21 ⋮ 0 + 𝑏 𝑚1
⋯ 0 + 𝑏 1𝑛 ⋯ 0 + 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 0 + 𝑏 𝑚𝑛 ) = ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) = B
B + (C + D) = ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) + ( ( 𝑐 11 𝑐 12 𝑐 21 𝑐 22 ⋮ ⋮ 𝑐 𝑚1 𝑐 𝑚2 ⋯ 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑐 𝑚𝑛 )    + ( 𝑑 11 𝑑 12 𝑑 21 𝑑 22 ⋮ ⋮ 𝑑 𝑚1 𝑑 𝑚2 ⋯ 𝑑 1𝑛 ⋯ 𝑑 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑑 𝑚𝑛 ) ) = ( 𝑏 11 + 𝑐 11 + 𝑑 11 𝑏 21 + 𝑐 21 + 𝑑 21 ⋮ 𝑏 𝑚1 + 𝑐 𝑚1 + 𝑑 𝑚1 ⋯ 𝑏 1𝑛 + 𝑐 1𝑛 + 𝑑 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 + 𝑐 2𝑛 + 𝑑 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 + 𝑐 𝑚𝑛 + 𝑑 𝑚𝑛 )
=
( (𝑏 11 + 𝑐 11 ) + 𝑑 11 (𝑏 21 + 𝑐 21 ) + 𝑑 21 ⋮ (𝑏 𝑚1 + 𝑐 𝑚1 ) + 𝑑 𝑚1 ⋯ (𝑏 1𝑛 + 𝑐 1𝑛 ) + 𝑑 1𝑛 ⋯ (𝑏 2𝑛 + 𝑐 2𝑛 ) + 𝑑 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ (𝑏 𝑚𝑛 + 𝑐 𝑚𝑛 ) + 𝑑 𝑚𝑛 ) = ( 𝑏 11 + 𝑐 11 𝑏 12 + 𝑐 12 𝑏 21 + 𝑐 21 𝑏 22 + 𝑐 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 + 𝑐 𝑚1 𝑏 𝑚2 + 𝑐 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 + 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 + 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 + 𝑐 𝑚𝑛 ) + ( 𝑑 11 𝑑 12 𝑑 21 𝑑 22 ⋮ ⋮ 𝑑 𝑚1 𝑑 𝑚2 ⋯ 𝑑 1𝑛 ⋯ 𝑑 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑑 𝑚𝑛 ) = ( B + C ) + D
(ii) Untuk semua B , C ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 dan α, 𝛽 ∈ 𝐹
a. 𝛼𝐵 = 𝛼 ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) =   ( 𝛼𝑏 11 𝛼𝑏 12 𝛼𝑏 21 𝛼𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝛼𝑏 𝑚1 𝛼𝑏 𝑚2 ⋯ 𝛼𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛼𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝑏 𝑚𝑛 ) ∴  𝛼𝐵 ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 b. 1 ∙ 𝐵 =  1 ∙ ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) = ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) = B c. 0 ∙ 𝐵 =  0 ∙ ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) = ( 0 0 0 0 ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ) = O
d. 𝛼(𝐵 + 𝐶) = 𝛼 ( ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) + ( 𝑐 11 𝑐 12 𝑐 21 𝑐 22 ⋮ ⋮ 𝑐 𝑚1 𝑐 𝑚2 ⋯ 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑐 𝑚𝑛 ) ) = 𝛼 ( 𝑏 11 + 𝑐 11 𝑏 21 + 𝑐 21 ⋮ 𝑏 𝑚1 + 𝑐 𝑚1 ⋯ 𝑏 1𝑛 + 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 + 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 + 𝑐 𝑚𝑛 ) = 𝛼 ( 𝑏 11 + 𝑐 11 𝑏 21 + 𝑐 21 ⋮ 𝑏 𝑚1 + 𝑐 𝑚1 ⋯ 𝑏 1𝑛 + 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 + 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 + 𝑐 𝑚𝑛 ) = ( 𝛼(𝑏 11 + 𝑐 11 ) 𝛼(𝑏 21 + 𝑐 21 ) ⋮ 𝛼(𝑏 𝑚1 + 𝑐 𝑚1 ) ⋯ 𝛼(𝑏 1𝑛 + 𝑐 1𝑛 ) ⋯ 𝛼(𝑏 2𝑛 + 𝑐 2𝑛 ) ⋮ ⋯ 𝛼(𝑏 𝑚𝑛 + 𝑐 𝑚𝑛 ) ) = ( 𝛼𝑏 11 + 𝛼𝑐 11 𝛼𝑏 21 + 𝛼𝑐 21 ⋮ 𝛼𝑏 𝑚1 + 𝛼𝑐 𝑚1 ⋯ 𝛼𝑏 1𝑛 + 𝛼𝑐 1𝑛 ⋯ 𝛼𝑏 2𝑛 + 𝛼𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝑏 𝑚𝑛 + 𝛼𝑐 𝑚𝑛 ) = ( 𝛼𝑏 11 𝛼𝑏 12 𝛼𝑏 21 𝛼𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝛼𝑏 𝑚1 𝛼𝑏 𝑚2 ⋯ 𝛼𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛼𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝑏 𝑚𝑛 ) + ( 𝛼𝑐 11 𝛼𝑐 12 𝛼𝑐 21 𝛼𝑐 22 ⋮ ⋮ 𝛼𝑐 𝑚1 𝛼𝑐 𝑚2 ⋯ 𝛼𝑐 1𝑛 ⋯ 𝛼𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝑐 𝑚𝑛 ) = 𝛼 ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) +𝛼 ( 𝑐 11 𝑐 12 𝑐 21 𝑐 22 ⋮ ⋮ 𝑐 𝑚1 𝑐 𝑚2 ⋯ 𝑐 1𝑛 ⋯ 𝑐 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑐 𝑚𝑛 ) = 𝛼𝐵 + 𝛼𝐶
e. (𝛼 + 𝛽)𝐵
=
( (𝛼 + 𝛽)𝑏 11 (𝛼 + 𝛽)𝑏 21 ⋮ (𝛼 + 𝛽)𝑏 𝑚1 ⋯ (𝛼 + 𝛽)𝑏 1𝑛 ⋯ (𝛼 + 𝛽)𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ (𝛼 + 𝛽)𝑏 𝑚𝑛 ) = ( 𝛼𝑏 11 + 𝛽𝑏 11 𝛼𝑏 21 + 𝛽𝑏 21 ⋮ 𝛼𝑏 𝑚1 + 𝛽𝑏 𝑚1 ⋯ 𝛼𝑏 1𝑛 + 𝛽𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛼𝑏 2𝑛 + 𝛽𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝑏 𝑚𝑛 + 𝛽𝑏 𝑚𝑛 ) = ( 𝛼𝑏 11 𝛼𝑏 12 𝛼𝑏 21 𝛼𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝛼𝑏 𝑚1 𝛼𝑏 𝑚2 ⋯ 𝛼𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛼𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝑏 𝑚𝑛 ) + ( 𝛽𝑏 11 𝛽𝑏 12 𝛽𝑏 21 𝛽𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝛽𝑏 𝑚1 𝛽𝑏 𝑚2 ⋯ 𝛽𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛽𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛽𝑏 𝑚𝑛 ) = 𝛼 ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) +𝛽 ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) = 𝛼𝐵 + 𝛽𝐵
f. 𝛼(𝛽𝐵) = 𝛼 ( 𝛽 ( 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑚1 𝑏 𝑚2 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋯ 𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑏 𝑚𝑛 ) ) = 𝛼 ( 𝛽𝑏 11 𝛽𝑏 12 𝛽𝑏 21 𝛽𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝛽𝑏 𝑚1 𝛽𝑏 𝑚2 ⋯ 𝛽𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛽𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛽𝑏 𝑚𝑛 ) = ( 𝛼𝛽𝑏 11 𝛼𝛽𝑏 12 𝛼𝛽𝑏 21 𝛼𝛽𝑏 22 ⋮ ⋮ 𝛼𝛽𝑏 𝑚1 𝛼𝛽𝑏 𝑚2 ⋯ 𝛼𝛽𝑏 1𝑛 ⋯ 𝛼𝛽𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝛼𝛽𝑏 𝑚𝑛 ) = ( (𝛼𝛽)𝑏 11 (𝛼𝛽)𝑏 21 ⋮ (𝛼𝛽)𝑏 𝑚1 ⋯ (𝛼𝛽)𝑏 1𝑛 ⋯ (𝛼𝛽)𝑏 2𝑛 ⋮ ⋯ (𝛼𝛽)𝑏 𝑚𝑛 ) = (𝛼𝛽)𝐵
Syarat 𝑀 𝑚𝑥𝑛 untuk  menjadi  ruang  vektor terpenuhi.
Isomorfisme dari Ł ke 𝑀 𝑚𝑥𝑛 Definisi  3.3.  (Jacob,  1990)  mengatakan  bahwa suatu transformasi linear 𝑇 ∶ 𝑽  → 𝑾 dikatakan  isomorfisma  jika 𝑇 satu-satu  dan pada. Apabila terdapat isomorfisma 𝑇 ∶ 𝑽  → 𝑾 dikatakan  bahwa  ruang  vektor 𝑽 dan 𝑾 adalah isomorfik.
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa ada suatu pemetaan isomorfisma dari Ł ( V , W ) ↦   𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
Misalkan 𝑽 dan 𝑾 adalah ruang vektor atas lapangan F yang berdimensi 𝑛 dan 𝑚 , Ł = {𝑇 ∶ 𝑽  → 𝑾|𝑇 transformasi linear} dan 𝑀 𝑚𝑥𝑛 adalah  matriks 𝑚𝑥𝑛 yang  entri-entrinya adalah  unsur-unsur  di F maka  tunjukkan bahawa Ł ( V , W ) isomorfik dengan 𝑀 𝑚𝑥𝑛 . Bukti:
Definisi  pemetaan 𝜑 dari Ł ( V , W )  ke 𝑀 𝑚𝑥𝑛 sebagai berikut:
𝜑 : Ł ( V , W ) → 𝑀 𝑚𝑥𝑛 T ↦ [𝑇] 𝐵𝐶 Tunjukkan (i) 𝜑 : linear (ii) 𝜑 : satu-satu (iii) 𝜑 : pada (i) 𝜑 : linear.
Ambil 𝑇 1 , 𝑇 2 ∈ Ł ( V , W ) dan 𝛼 ∈ 𝐹 B = { 𝒗 1 , 𝒗 2 , … , 𝒗 𝑛 } C = {𝒘 1 , 𝒘 2 , … , 𝒘 𝑚 } B basis dari V dan C basis dari W Akan ditunjukkan 1. 𝜑(𝑇 1 + 𝑇 2 ) = φ ( T 1 ) + φ ( T 2 )
2. φ (𝛼𝑇 1 ) = 𝛼 ∙  𝜑(𝑇 1 ) .
1. φ ( T 1 + T 2 ) = [ T 1 + T 2 ] BC = [ [(𝑇 1 + 𝑇 2 )(𝒗 1 )] 𝐶 … [(𝑇 1 + 𝑇 2 )(𝒗 𝑛 )] 𝐶 ] = [[𝑇 1 (𝒗 1 ) + 𝑇 2 (𝒗 1 )] 𝐶 … [ 𝑇 1 (𝒗 𝑛 ) +𝑇 2 (𝒗 𝑛 ) ] 𝐶 ] = [ [𝑇 1 (𝒗 1 )] 𝐶 + [𝑇 2 (𝒗 1 )] 𝐶 … [𝑇 1 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 + [𝑇 2 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 ] = [[ T 1 (𝒗 1 ) ] c …[ T 2 (𝒗 𝒏 ) ] c ] +[[𝑇 2 (𝒗 1 )] 𝐶 … [𝑇 2 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 ] = [𝑇 1 ] 𝐵𝐶 + [𝑇 2 ] 𝐵𝐶 = 𝜑(𝑇 1 ) + 𝜑(𝑇 2 ) 2. 𝜑(𝛼𝑇 1 ) = [𝛼𝑇 1 ] 𝐵𝐶 = [[𝛼𝑇 1 (𝒗 1 )] 𝐶 …  [𝛼𝑇 1 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 ] = [𝛼[𝑇 1 (𝒗 1 )] 𝐶 …  𝛼[𝑇 1 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 ] = 𝛼[[𝑇 1 (𝒗 1 )] 𝐶 …  [𝑇 1 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 ] = 𝛼[𝑇 1 ] 𝐵𝐶 = 𝛼 𝜑(𝑇 1 ) .
(ii) 𝜑 : satu-satu
Ambil 𝑇 1 , 𝑇 2 ∈ Ł ( V , W ) B = { 𝒗 1 , 𝒗 2 , … , 𝒗 𝑛 } C = {𝒘 1 , 𝒘 2 , … , 𝒘 𝑚 } B basis dari V dan C basis dari W Akan ditunjukkan bahwa 𝜑 pemetaan satu-satu, yaitu jika φ (T 1 ) = φ (T 2 ) maka 𝑇 1 =    𝑇 2 . Perhatikan bahwa: 𝜑(𝑇 1 ) = 𝜑(𝑇 2 )
[𝑇 1 ] 𝐵𝐶 = [𝑇 2 ] 𝐵𝐶 [[𝑇 1 (𝒗 1 )] 𝐶 … [𝑇 1 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 ] = [[𝑇 2 (𝒗 1 )] 𝐶 … [𝑇 2 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 ]
Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks maka: [𝑇 1 (𝒗 1 )] 𝐶 = [𝑇 2 (𝒗 1 )] 𝐶 , … , [𝑇 1 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 =
[𝑇 2 (𝒗 𝑛 )] 𝐶 𝑇 1 (𝒗 1 ) =   𝑇 2 (𝒗 1 ) 𝑇 1 (𝒗 2 ) =   𝑇 2 (𝒗 2 ) ⋮ 𝑇 1 (𝒗 𝑛 ) =   𝑇 2 (𝒗 𝑛 ) ∴ 𝑇 1 =    𝑇 2
(iii) 𝜑 : pada Akan  ditunjukkan  bahwa 𝜑 pemetaan  pada, yaitu  setiap [𝑇 1 ] 𝐵𝐶 ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 terdapat 𝑇 1 ∈ Ł ( V , W ) sehingga 𝜑(𝑇 1 ) = [𝑇 1 ] 𝐵𝐶 .
Ambil [𝑇 1 ] 𝐵𝐶 ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 sebarang.  Pilih 𝑇 1 ∈ Ł ( V , W ), maka 𝜑(𝑇 1 ) = [𝑇 1 ] 𝐵𝐶 .
Ini berarti 𝜑 merupakan pemetaan pada.
Berdasarkan  langkah-langkah  di  atas,  terbukti bahwa 𝜑 : Ł ( V , W ) → 𝑀 𝑚𝑥𝑛 dengan T ↦ [𝑇] 𝐵𝐶 merupakan pemetaan isomorfik. Basis 𝑀 𝑚𝑥𝑛 Tunjukkan bahwa { [ 1 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , [ 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , … , [ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 1 ] }
sebanyak 𝑚 ∙ 𝑛 merupakan  basis  dari  ruang vektor matriks 𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
Penyelesaian:
𝑀 𝑚𝑥𝑛 = { [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋯ 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 ]| 𝑎 𝑖𝑗 ∈ 𝑹, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 1, 2, … 𝑛}
𝑋 =
{ ( 1 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ) , ( 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ) , … ,
( 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 1 ) }
sebanyak 𝑚 ∙ 𝑛
Tunjukkan bahwa X basis dari 𝑀 𝑚𝑥𝑛 Pandang: Bebas linear
𝑟 1 ( 1 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ) + ⋯ +𝑟 𝑚𝑛 ( 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 1 ) = ( 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ) ∴ 𝑟 1 = 𝑟 1 = ⋯ = 𝑟 𝑚𝑛 = 0 Membangun Misalkan  matriks 𝐴 berordo m x n , maka
( 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋯ 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 ) = 𝑎 11 ( 1 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ) + ⋯ +𝑎 𝑚𝑛 ( 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 1 ) Terbukti bahwa 𝑋 =
{ [ 1 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , [ 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , … , [ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 1 ] }
sebanyak 𝑚 ∙ 𝑛 merupakan  basis  dari  ruang vektor matriks 𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
Dimensi 𝑀 𝑚𝑥𝑛 Tunjukkan bahwa dim (𝑀 𝑚𝑥𝑛 ) = 𝑚𝑛 Bukti:
Pada  pembahasan  4.3  telah  dibuktikan  bahwa ruang  vektor  matriks 𝑀 𝑚𝑥𝑛 yang  terdiri  dari seluruh  matriks 𝑚𝑥𝑛 ,  misalkan 𝑋 𝑖𝑗 adalah
matriks  dengan  elemen  ke-ij  1  dan  0  di  tempat lainnya,  maka  seluruh  matriks  seperti  ini membentuk basis dari 𝑀 𝑚𝑥𝑛 yang disebut basis standar dari 𝑀 𝑚𝑥𝑛 . Dengan demikian, dim (𝑀 𝑚𝑥𝑛 ) = 𝑚𝑛 .
Dimensi Ruang Vektor Ł ( V , W ) Teorema 4.6.1 (Khanna, 1993) Misalkan 𝑀 𝑚𝑥𝑛 adalah ruang vektor dari semua matrik 𝑚𝑥𝑛 dan Ł ( V , W )  adalah  ruang  vektor dari  semua  transformasi  linear  dari V ke W maka Ł ( V , W ) ≅   𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
Bukti: Definisi  pemetaan 𝜑 dari Ł ( V , W )  ke 𝑀 𝑚𝑥𝑛 sebagai berikut:
𝜑 : Ł ( V , W ) → 𝑀 𝑚𝑥𝑛 𝜑( T ) = [𝑇] 𝐵𝐶 Dengan B = { 𝒗 1 , 𝒗 2 , … , 𝒗 𝑛 } , C = {𝒘 1 , 𝒘 2 , … , 𝒘 𝑚 } adalah  basis terurut dari V , W . 𝜑 didefinisikan  sebagai [𝑇] 𝐵𝐶 yang  ditentukan secara  unik  oleh T .  Tidak  sulit  untuk mempelihatkan bahwa 𝜑 adalah sebuah transformasi linear.
Misal: 𝜑(𝑇 1 ) = 𝜑(𝑇 2 ) dengan T 1 , T 2 ∈ Ł ( V , W ) ⇒ [𝑇 1 ] 𝐵𝐶 = [𝑇 2 ] 𝐵𝐶 ⇒ (𝑎 𝑖𝑗 ) = (𝑏 𝑖𝑗 ) ⇒ 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑏 𝑖𝑗 untuk semua 𝑖, 𝑗
⇒ 𝑇 1 (𝒗 𝑗 ) =   ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝒎 𝒊=𝟏 𝒘 𝑖 = ∑ 𝑏 𝑖𝑗 𝒎 𝒊=𝟏 𝒘 𝑖 = 𝑇 2 (𝒗 𝑗 ) untuk semua 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 ⇒ 𝑇 1 =   𝑇 2 ⇒  𝜑 adalah satu-satu.
Misal: 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) 𝑚𝑥𝑛 ∈ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 , maka ada sebuah transformasi linear 𝑇 ∈ Ł ( V , W ). 𝑇(𝒗 𝑖𝑗 ) = ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝒎 𝒊=𝟏 𝒘 𝑖
untuk semua 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 ∴ 𝐴 = [𝑇] 𝐵𝐶 =  𝜑(𝑇) ⇒ 𝜑 adalah  pada. ∴  𝜑 adalah sebuah isomorfisma sehingga Ł ( V , W ) ≅ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 . Dengan demikian, dim Ł ( V , W ) = 𝑚𝑛 .
Berdasarkan  menurut  teorema  2.9.2 bagian  (v)  dapat  disimpulkan  bahwa  jika  ada suatu  pemetaan  isomorfisma  dari Ł ( V , W )  ke 𝑀 𝑚𝑥𝑛 maka dim  ( Ł ( V , W ))  =  dim  ( 𝑀 𝑚𝑥𝑛 ).  Dengan demikian,  untuk  menentukan  dimensi  ruang vektor Ł dengan V dan W masing-masing berdimensi 𝑛 dan 𝑚 , adalah dengan menentukan dimensi 𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
Untuk lebih jelasnya dapat diberikan beberapa  contoh  soal  dan  penyelesaian  sebagai berikut:
Contoh  3.4. Tentukanlah  dimensi  dari Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹) !
Penyelesaian: Dim (( 𝑹 𝟐 , 𝑹) ) = dim ( 𝑀 1𝑥2 ).
Untuk menentukan dim ( 𝑀 1𝑥2 ) akan ditunjukkan bahwa {(1 0), (0 1)}
merupakan  basis  dari  ruang  matriks 𝑀 1𝑥2 . {(1 0), (0 1)} merupakan basis jika:
(i) Bebas linear
𝑟 1 (1 0) + 𝑟 2 (0 1) = ( 0     0 ) ∴ 𝑟 1 = 0, 𝑟 2 = 0 (ii) Membangun Misalkan A = (𝑎 𝑏) (𝑎 𝑏) = 𝑎(1 0) + 𝑏(0 1)
Dari  (i)  dan  (ii)  maka {(1 0), (0 1)} merupakan basis dari 𝑀 1𝑥2 ,
sehingga dim ( 𝑀 1𝑥2 ) = 2 ∴ Dim (( 𝑹 𝟐 , 𝑹) ) = dim ( 𝑀 1𝑥2 ) = 2
Contoh  3.5. Tentukanlah  dimensi  dari Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) ! Penyelesaian: Dim (( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) ) = dim ( 𝑀 2𝑥2 ).
Untuk menentukan dim ( 𝑀 2𝑥2 ) akan ditunjukkan bahwa
{( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 1 )}
merupakan basis dari ruang matriks 𝑀 2𝑥2 .
{( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 1 )}
merupakan basis jika: (i)
Bebas linear
𝑟 1 ( 1 0 0 0 ) +   𝑟 2 ( 𝑂 1 0 𝑂 ) + r 3 ( 𝑂 𝑂 1 𝑂 ) +   𝑟 4 ( 𝑂 0 0 1 ) = ( 0 0 0 0 ) r 1 = 0, r 2 = 0, 𝑟 3 = 𝑂, dan 𝑟 4 = 0 (ii) Membangun
Misalkan A = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) = 𝑎 ( 1 0 0 0 ) +  b ( 0 1 0 0 ) + c ( 0 0 1 0 ) +  d ( 0 0 0 1 )
Dari (i) dan (ii) maka
{( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 1 )} merupakan  basis  dari 𝑀 1𝑥2 ,  sehingga  dim ( 𝑀 2𝑥2 ) = 4 ∴ Dim (( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟐 ) ) = dim ( 𝑀 2𝑥2 ) = 4
Contoh  3.6. Tentukanlah  dimensi  dari Ł ( 𝑹 𝟑 , 𝑹 𝟐 ) !
Penyelesaian:
Dim (( 𝑹 𝟑 , 𝑹 𝟐 ) ) = dim ( 𝑀 2𝑥3 ).
Untuk menentukan dim ( 𝑀 2𝑥2 ) akan ditunjukkan bahwa 𝑋 = { X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 } dengan
𝑋 1 = ( 1 𝑂 𝑂 𝑂 𝑂 𝑂 ) , 𝑋 2 = ( 0 1 0 0 0 0 ), 𝑋 3 = ( 0 0 1 0 0 0 ), 𝑋 4 = ( 0 0 0 1 0 0 ), X 5 = ( 𝑂 𝑂 𝑂 𝑂 1 𝑂 ) , 𝑋 6 = ( 0 0 0 0 0 1 )
merupakan basis dari ruang matriks 𝑀 2𝑥3 . 𝑋 merupakan basis jika:
(i) Bebas linear 𝑟 1 𝑋 1 + 𝑟 2 𝑋 2 + 𝑟 3 𝑋 3 + 𝑟 4 𝑋 4 +𝑟 5 𝑋 5 + 𝑟 6 𝑋 6 = 𝟎 𝑟 1 ( 1 0 0 0 0 0 ) + ⋯ + 𝑟 6 ( 0 0 0 0 0 1 ) =   ( 0 0 0 0 0 0 ) ∴ 𝑟 1 = 0, r 2 = O , r 3 = O, r 4 = O, r 5 = O dan r 6 = O (ii) Membangun Misalkan A = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 ) ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 ) = 𝑎 ( 1 0 0 0 0 0 ) +𝑏 ( 0 1 0 0 0 0 ) + 𝑐 ( 0 0 1 0 0 0 ) +𝑑 ( 0 0 0 1 0 0 ) + 𝑒 ( 0 0 0 0 1 0 ) +𝑓 ( 0 0 0 0 0 1 )
Dari  (i)  dan  (ii)  maka 𝑋 merupakan  basis  dari 𝑀 2𝑥3 , sehingga dim ( 𝑀 2𝑥3 ) = 6
∴ Dim (( 𝑹 𝟑 , 𝑹 𝟐 ) ) = dim ( 𝑀 2𝑥3 ) = 6
Contoh  3.7. Tentukanlah  dimensi  dari Ł ( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟑 ) ! Penyelesaian: Dim (( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟑 ) ) = dim ( 𝑀 3𝑥2 ).
Untuk menentukan dim ( 𝑀 3𝑥2 ) akan ditunjukkan bahwa 𝑋 =
{𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 4 , 𝑋 5 , 𝑋 6 } dengan
X 1 = ( 1 𝑂 0 0 𝑂 𝑂 ) , 𝑋 2 = ( 0 1 𝑂 𝑂 0 0 ), X 3 = ( 𝑂 𝑂 1 0 0 0 ) , 𝑋 4 = ( 0 𝑂 0 1 0 0 ) , 𝑋 5 = ( 0 0 0 0 1 0 ), 𝑋 6 = ( 0 0 0 0 0 1 ) merupakan  basis  dari  ruang matriks 𝑀 3𝑥2 . 𝑋 merupakan basis jika:
(i) Bebas linear 𝑟 1 𝑋 1 + 𝑟 2 𝑋 2 + 𝑟 3 𝑋 3 + 𝑟 4 𝑋 4
+𝑟 5 𝑋 5 + 𝑟 6 𝑋 6 = 𝟎 𝑟 1 ( 1 0 0 0 0 0 ) + 𝑟 2 ( 0 1 0 0 0 0 ) + ⋯ +𝑟 5 ( 0 0 0 0 1 0 ) + 𝑟 6 ( 0 0 0 0 0 1 ) = ( 0 0 0 0 0 0 ) ∴ 𝑟 1 = 0, 𝑟 2 = 0, 𝑟 3 = 0, 𝑟 4 = 0, 𝑟 5 = 0 dan 𝑟 6 = 0 (ii) Membangun
Misalkan 𝐴 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 ) ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 ) =  𝑎 ( 1 0 0 0 0 0 ) + 𝑏 ( 0 1 0 0 0 0 ) +𝑐 ( 0 0 1 0 0 0 ) + 𝑑 ( 0 0 0 1 0 0 ) +𝑒 ( 0 0 0 0 1 0 ) + 𝑓 ( 0 0 0 0 0 1 )
Dari  (i)  dan  (ii)  maka 𝑋 merupakan  basis  dari 𝑀 3𝑥2 , sehingga dim ( 𝑀 3𝑥2 ) = 6 ∴ Dim (( 𝑹 𝟐 , 𝑹 𝟑 ) ) = dim ( 𝑀 3𝑥2 ) = 6
Contoh  3.8. Tentukanlah  dimensi  dari Ł ( 𝑹 𝟑 , 𝑹 𝟑 ) !
Penyelesaian: Dim (( 𝑹 𝟑 , 𝑹 𝟑 ) ) = dim ( 𝑀 3𝑥3 ).
Untuk menentukan dim ( 𝑀 3𝑥2 ) akan ditunjukkan bahwa
𝑋 = {𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 4 , 𝑋 5 , 𝑋 6 , 𝑋 7 , 𝑋 8 , 𝑋 9 } dengan 𝑋 1 = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑋 2 = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ), 𝑋 3 = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑋 4 = ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) , 𝑋 5 = ( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) , 𝑋 6 = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) , 𝑋 7 = ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) , 𝑋 8 = ( 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ) , 𝑋 9 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) merupakan  basis  dari  ruang matriks 𝑀 3𝑥3 . 𝑋 merupakan basis jika:
(i) Bebas linear
𝑟 1 𝑋 1 + 𝑟 2 𝑋 2 + 𝑟 3 𝑋 3 + 𝑟 4 𝑋 4 +𝑟 5 𝑋 5 + 𝑟 6 𝑋 6 +𝑟 7 𝑋 7 + 𝑟 8 𝑋 8 + 𝑟 9 𝑋 9 = 𝟎 𝑟 1 ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) + 𝑟 2 ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 )
+ ⋯ + 𝑟 9 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ∴ 𝑟 1 = 0, 𝑟 2 = 0, 𝑟 3 = 0, 𝑟 4 = 0, 𝑟 5 = 0, 𝑟 6 = 0, 𝑟 7 = 0, 𝑟 8 = 0 dan 𝑟 9 = 0
(ii) Membangun Misalkan 𝐴 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 ) 𝐴 = 𝑎 ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) +𝑏  ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) + 𝑐 ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) +𝑑 ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) + 𝑒  ( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) +𝑓 ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) +𝑔 ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) +ℎ  ( 0 0 0 𝑂 𝑂 𝑂 0 1 0 ) + 𝑘 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 )
Dari  (i)  dan  (ii)  maka 𝑋 merupakan  basis  dari 𝑀 3𝑥3 , sehingga dim ( 𝑀 3𝑥3 ) = 9 ∴ Dim (( 𝑹 𝟑 , 𝑹 𝟑 ) ) = dim ( 𝑀 3𝑥3 ) = 9

## D. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  pembahasan  yang  dilakukan  telah
dibuktikan bahwa:
1. Ł (V,W) merupakan suatu ruang vektor.
2. Matriks 𝑀 meruapak ruang vektor atas F .
3. Ada  suatu  pemetaan  isomorfisma  dari Ł
( V , W ) ke 𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
4.
{ [ 1 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , [ 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ] , … , [ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ 1 ] }
sebanyak 𝑚 ∙ 𝑛 merupakan basis dari ruang vektor matriks 𝑀 𝑚𝑥𝑛 .
5. Dim (𝑀 𝑚𝑥𝑛 ) = 𝑚𝑛
Dengan  terbuktinya  lima  hal  di  atas,  maka dapat disimpulkan bahwa,
Ł (V,W)= {T: V → W |𝑇 transformasi  linier  } dengan 𝑽 dan 𝑾 ruang  vektor  masing- masing  berdimensi 𝑛 berdimensi 𝑚 adalah ruang vektor yang berdimensi berhingga.
Dim ( Ł (V,W)) dapat  ditentukan  dengan menunjukkan  bahwa  matriks  standar  dari 𝑀 𝑚𝑥𝑛 merupakan basis, sehingga dim (𝑀 𝑚𝑥𝑛 ) = 𝑚𝑛 .
Karena Ł (V,W) ≅ 𝑀 𝑚𝑥𝑛 maka 𝐷𝑖𝑚 ( Ł ( V , W )) = 𝑑𝑖𝑚 (𝑀 𝑚𝑥𝑛 ) .

## DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1988. Aljabar Linier .
Bandung. Erlangga
Anton,  H.  An  Rorres,  C.  2004. Aljabar  Linear Elementer . Jakarta: Erlangga
Cullen,  Charles  G.1993. Aljabar  Linear Dengan Penerapan . Jakarta: Gramedia.
Durbin,  J.  R.  2000. Modern  Algebra  An Introduction  Fourth  Edition .  New  York:
John Wiley & Sons, Inc
Jacob,  Bill.  1990. Lnear  Algebra .  New  York: W. H. Freeman And Company.
Khan,  Vijay  K.  1993. A  Course  In  Abstract Algebra .  New  Delhi:  Vikas  Publishing House PVT Ltd.
Lang,  Serge.  2004. Undergraduate  Algebra . New York: Springer.
Lay,  David  C.  2003. Linear  Algebra  An  Its Application .  New  York:  University  of Maryland.
Novel,  B  And  Daniel,  J.W.  1998. Applied Linear  Algebra .  New  Yersey:  Prentice Hall.
Schoum’s  2004 Aljabar  Linear .  Jakarta: Erlangga.
Stang,  Gilbert.  1993 Introduction  To  Linear Algebra . Wellesley: Cambridge Press.