Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.1 (Juni 2019) Hal. 1-12

## GRUP FAKTOR YANG DIBANGUN DARI SUBGRUP NORMAL FUZZY
Mahfuz Tarmizi 1 , Saman Abdurrahman 2 , M. Mahfuzh Shiddiq 3
1,2,3 Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani KM. 36, Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan
email : mahfuztarmizi@gmail.com

## ABSTRACT
A  Quotient  group  is  a  set  which  contains  coset  members  and  satisfies  group  definition.  These cosets are formed by group and its normal subgroup. A set which contains fuzzy coset members is also  called  a  quotient  group.  These  fuzzy  cosets  are  formed  by  a  group  and  its  fuzzy  normal subgroup.  The  purpose  of  this  research  is  to  explain  quotient  groups  induced  by  fuzzy  normal subgroups and isomorphic between them. This research construct sets which contain fuzzy  coset members,  define  an  operation  between  fuzzy  cosets  and  prove  these  sets  under  an  operation between fuzzy  coset satisfy group definition, and prove theorems relating to qoutient groups and homomorphism. The results of this research are 𝐺 𝜇 ⁄ = {𝜇 𝑥 |𝑥 ∈ 𝐺} is a qoutient group induced by  a  fuzzy  normal  subgroup,  where 𝜇 is  a  fuzzy  normal  subgroup  of  a  group 𝐺 , 𝜇 𝑥 is  a  fuzzy coset,  and  the  binary  operation  is  “ ∘ ”  where 𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑥𝑦 for  every 𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ .  An epimorphism 𝑓 from  a  group 𝐺 to  a  group 𝐺′ and  a  fuzzy  normal  subgroup 𝜇 of 𝐺 which  is constant on 𝑘𝑒𝑟𝑓 cause quotient goup 𝐺 𝜇 ⁄ and 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ are isomorphic.
Keywords: Quotient group, fuzzy normal subgroup, fuzzy coset, homomorphism

## ABSTRAK
Grup  faktor  adalah  himpunan  yang  beranggotakan  koset  dan  memenuhi  definisi  grup.  Koset tersebut  dibentuk  dari  grup  dan  subgrup  normalnya.  Himpunan  yang  beranggotakan  koset fuzzy dan memenuhi definisi grup juga disebut grup faktor. Koset fuzzy tersebut dibentuk dari grup dan subgrup  normal fuzzy dari  grup  tersebut.  Tujuan  penelitian  ini  adalah  menjelaskan  grup  faktor yang  dibangun  dari  subgrup normal fuzzy beserta  keisomorfikan  antara  dua  grup  faktor tersebut. Langkah  pada  penelitian  ini  adalah  membangun  himpunan  yang  beranggotakan  koset fuzzy , mendefinisikan  operasi  antar  koset fuzzy dan  membuktikan  himpunan  tersebut  terhadap  operasi antar  koset fuzzy memenuhi  definisi  grup,  dan  membuktikan  teorema-teorema  yang  berkaitan dengan grup faktor dan homomorfisma. Hasil penelitian ini adalah 𝐺 𝜇 ⁄ = {𝜇 𝑥 |𝑥 ∈ 𝐺} adalah  grup  faktor  yang  dibangun  dari  subgrup  normal fuzzy ,  dengan 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy dari grup 𝐺 , 𝜇 𝑥 adalah koset fuzzy , dan operasi binernya adalah “ ∘ ” dengan 𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑥𝑦 untuk setiap 𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ . Suatu epimorfisma 𝑓 dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′ dan subgrup normal fuzzy 𝜇 dari grup 𝐺 yang konstan pada ker 𝑓 mengakibatkan grup faktor 𝐺 𝜇 ⁄ isomorfik dengan grup faktor 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ .
Kata Kunci: Grup faktor, subgrup normal fuzzy , koset fuzzy , homomorfisma
1. PENDAHULUAN
Konsep  grup  adalah  konsep  yang  berperan  penting  dalam  bidang  aljabar.
Pada  Konsep  grup  terdapat  definisi  grup  faktor.  Suatu  grup  faktor 𝐺 𝑁 ⁄ = {𝑎𝑁 | 𝑎 ∈ 𝐺} merupakan  himpunan  yang  beranggotakan  koset  dan  memenuhi definisi grup, dengan himpunan 𝐺 dan 𝑁 adalah grup terhadap operasi biner yang sama, 𝑁 ⊆ 𝐺 adalah  subgrup  normal  dari 𝐺 dan 𝑎𝑁 merupakan  koset  kiri  [2]. Grup  faktor  biasanya  dibahas  bersama  dengan  fungsi  yang  merupakan homomorfisma.
Berjalannya waktu, konsep grup telah dipadukan dengan konsep subset fuzzy yang sekarang dikenal dengan konsep subgrup fuzzy . Bermula dari Zadeh (1965) yang memperkenalkan konsep dasar dari subset fuzzy [7]. Selanjutnya, Rosenfeld (1971)  menggunakan  konsep subset  fuzzy dan  memadukannya  dengan  konsep grup  untuk  memperkenalkan  konsep  subgrup fuzzy [6].  Telah  banyak  peneliti melakukan  penelitian  lebih  lanjut  mengenai  konsep  subgrup fuzzy .  Peneliti tersebut di antaranya Mukherjee & Bhattacharya (1984) meneliti tentang subgrup normal fuzzy dan koset fuzzy ,  yang  mana  dalam  penelitian  tersebut  terdapat pembahasan grup faktor yang dibangun dari subgrup normal fuzzy [5]. Lebih jauh, Liu (2004) meneliti tentang grup faktor yang dibangun dari subgrup normal fuzzy beserta pembahasannya dengan homomorfisma [3].
Hal  yang  menarik  perhatian  penulis  adalah  grup  faktor  yang  diteliti Mukherjee  dan  Bhattacharya  dan  Liu  seperti  grup  faktor  pada  umumnya,  yaitu himpunan  yang  memenuhi  definisi  grup.  Bedanya,  grup  faktor  tersebut  dari himpunan  yang  beranggotakan  koset fuzzy .  Berdasarkan  uraian  sebelumnya, penulis  melakukan  studi  literatur  untuk  mengkaji  ulang  tentang  grup  faktor tersebut dan pembahasannya dengan homomorfisma

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Operasi Biner dan Grup
Definisi 2.1.1 [2] Suatu  operasi  biner ∗ pada  himpunan  tidak  kosong 𝑀 merupakan  suatu  fungsi yang  memetakan 𝑀 × 𝑀 → 𝑀 ,  untuk  setiap (𝑚, 𝑛) ∈ 𝑀 × 𝑀 ,  elemen ∗ ((𝑚, 𝑛)) ∈ 𝑀 dinotasikan dengan 𝑚 ∗ 𝑛 .
Definisi 2.1.2 [2] Suatu himpunan tidak kosong 𝑀 terhadap operasi biner ∗ merupakan grup, ditulis dengan (𝑀,∗) , jika untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑀 berlaku:
1. Assosiatif, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) .
2. Terdapat elemen identitas 𝑒 ∈ 𝐺 , sehingga 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 .
3. Terdapat 𝑎 −1 ∈ 𝑀 , sedemikian sehingga 𝑎 ∗ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ∗ 𝑎 = 𝑒 .
Elemen 𝑎 −1 disebut invers dari 𝑎 .
Teorema 2.1.3 [2] Misalkan M adalah grup, maka 1. (𝑎 −1 ) −1 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑀 dan
2. (𝑎𝑏) −1 = 𝑏 −1 𝑎 −1 , ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀
Teorema 2.1.4 [2] Misalkan 𝑀 adalah  grup, maka terdapat  dengan tunggal  elemen 𝑎 −1 ∈ 𝑀 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 sedemikian sehingga 𝑎𝑎 −1 = 𝑎 −1 𝑎 = 𝑒.
2.2. Homomorfisma
Definisi 2.2.1 [2] Suatu fungsi ℎ dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′ merupakan homomorfisma jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , ℎ(𝑎𝑏) = ℎ(𝑎)ℎ(𝑏) .
Berikut merupakan jenis-jenis khusus homomorfisma.
1. Suatu homomorfisma bersifat injektif maka disebut monomorfisma.
2. Suatu homomorfisma bersifat surjektif maka disebut epimorfisma.
3. Suatu homomorfimsa bersifat bijektif maka disebut isomorfisma.
Selanjutnya, ℎ adalah  homomorfisma  dari  grup 𝐺 ke  grup 𝐺′ dinyatakan  dengan ℎ: 𝐺 → 𝐺′ adalah homomorfisma grup.
Teorema 2.2.2 [2] Misalkan ℎ: 𝐺 → 𝐺′ adalah homomorfisma grup, maka 1. ℎ(𝑒) = 𝑒 ′ ∈ 𝐺′ adalah elemen identitas dan
2. ℎ(𝑎 −1 ) = (ℎ(𝑎)) −1 , ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 .
Definisi 2.2.3 [2] Diberikan ℎ: 𝐺 → 𝐺′ merupakan  homomorfisma  grup  dan 𝑒′ merupakan  elemen identitas  di 𝐺′ .  Kernel  dari ℎ merupakan  subgrup  dari 𝐺 dinotasikan  dengan ker ℎ dan didefinisikan sebagai
ker ℎ = {𝑎 ∈ 𝐺 | ℎ(𝑎) = 𝑒 ′ }.
Definisi 2.2.4 [2] Grup 𝐺 dan grup 𝐺′ dikatakan isomorfik jika ada suatu isomorfisma dari 𝐺 ke 𝐺′ . Grup 𝐺 isomorfik dengan grup 𝐺′ , ditulis 𝐺 ≅ 𝐺′ .

## 2.3. Subgrup Fuzzy

## Definisi 2.3.1 [4]
Suatu  subset  fuzzy 𝜇 merupakan  suatu  fungsi  dari  himpunan  tidak  kosong 𝑍 ke 𝐼 = [0,1] . Himpunan dari semua subset fuzzy dari 𝑍 disebut fuzzy power set dari 𝑍 dan dinotasikan dengan
ℱ𝒫(𝑍) = {𝜇 | 𝜇: 𝑍 → 𝐼}.

## Definisi 2.3.2 [4]
Diberikan ℎ: 𝑉 → 𝑊 , 𝜇 ∈ ℱ𝒫(𝑉) dan 𝜈 ∈ ℱ𝒫(𝑊) .  Didefinisikan ℎ 𝜇 ∈ ℱ𝒫(𝑊) dan ℎ 𝜈 −1 ∈ ℱ𝒫(𝑉) , ∀ 𝑏 ∈ 𝑊
ℎ 𝜇 (𝑏) = { sup {𝜇(𝑎)|  𝑎 ∈ 𝑉, ℎ(𝑎) = 𝑏} 𝑗𝑖𝑘𝑎 ℎ −1 (𝑏) ≠ ∅ 0                                             𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 dan ∀ 𝑎 ∈ 𝑉 , ℎ 𝜈 −1 (𝑎) = 𝜈(ℎ(𝑎)) .
Definisi 2.3.3 [4] Diberikan 𝐺 adalah grup dan 𝜇 ∈ ℱ𝒫(𝐺) , maka 𝜇 merupakan subgrup fuzzy jika memenuhi
1. 𝜇(𝑎𝑏) ≥ min {𝜇(𝑎), 𝜇(𝑏)} , ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 dan
2. 𝜇(𝑎 −1 ) ≥ 𝜇(𝑎), ∀𝑎 ∈ 𝐺 . Koleksi dari semua subgrup fuzzy dari grup 𝐺 dinotasikan dengan ℱ(𝐺) .
Teorema 2.3.4 [1] Misalkan 𝜈 ∈ ℱ(𝐺) , maka ∀ 𝑚 ∈ 𝐺
1. 𝜈(𝑒) ≥ 𝜈(𝑚) dan 2. 𝜈(𝑚 −1 ) = 𝜈(𝑚) .
Teorema 2.3.5 [1] Misalkan 𝜈 adalah subset fuzzy dari grup 𝐺 , maka 𝜈 ∈ ℱ(𝐺) jika dan hanya jika 𝜈(𝑚𝑛 −1 ) ≥ min {𝜈(𝑚), 𝜈(𝑛)} untuk setiap 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐺 .
Teorema 2.3.6 [3] Misalkan 𝜇 ∈ ℱ(𝐺) dan 𝜇(𝑎𝑏 −1 ) = 𝜇(𝑒) untuk  setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ,  maka 𝜇(𝑎) = 𝜇(𝑏) .
Teorema 2.3.7 [5] Misalkan 𝜇 ∈ ℱ(𝐺) dan 𝑎 ∈ 𝐺 , maka 𝜇(𝑏𝑎) = 𝜇(𝑏) untuk setiap 𝑏 ∈ 𝐺 jika dan hanya jika 𝜇(𝑎) = 𝜇(𝑒) .
Definisi 2.3.8 [5] Diberikan 𝜇 adalah  subgrup  fuzzy  dari  grup 𝐺 ,  maka 𝜇 merupakan  subgrup normal fuzzy dari 𝐺 jika 𝜇(𝑚𝑛) = 𝜇(𝑛𝑚) untuk setiap 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐺 . Himpunan  yang  beranggotakan  semua  subgrup  normal fuzzy dari  grup 𝐺 dinotasikan sebagai ℱ𝒩(𝐺) .

## Teorema 2.3.9 [5]
Misalkan 𝜇 adalah  subgrup  fuzzy  dari  grup 𝐺 ,  maka 𝜇 adalah  subgrup  normal fuzzy dari 𝐺 jika dan hanya jika 𝜇(𝑚𝑛𝑚 −1 ) = 𝜇(𝑛) untuk setiap 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐺 .
Definisi 2.3.10 [5] Diberikan 𝜇 ∈ ℱ(𝐺) . Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 didefinisikan koset kanan fuzzy 𝜇 𝑥 dari 𝐺 , yaitu suatu pemetaan 𝜇 𝑥 : 𝐺 → 𝐼 , dengan 𝜇 𝑥 (𝑦) = 𝜇(𝑦𝑥 −1 ) untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐺 . Pendefinsian koset kiri fuzzy 𝜇 𝑥 analog dengan definisi 𝜇 𝑥 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 , 𝜇 𝑥 (𝑦) = (𝑥 −1 𝑦) .

## 3. METODE PENELITIAN
Prosedur pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membuktikan  bahwa  koset  kiri fuzzy yang  dibangun  dari  subgrup  normal fuzzy merupakan  koset  kanannya  atau  sebaliknya  membuktikan  koset  kanan yang dibangun dari subgrup normal fuzzy merupakan koset kirinya.
2. Membangun  himpunan  yang  beranggotakan  koset fuzzy dan  mendefinisikan kembali operasi antar koset fuzzy .
3. Membuktikan  operasi  antar  koset fuzzy merupakan  operasi  biner  terhadap himpunan  yang  beranggotakan  koset fuzzy dan  juga  membuktikan  bahwa himpunan tersebut memenuhi definisi grup.
4. Membangun dan membuktikan teorema kesamaan koset fuzzy .
5. Membuktikan teorema-teorema pendukung pembahasan homomorfisma yang dikaitkan dengan grup faktor.
6. Membuktikan keisomorfikan antara grup faktor yang bersesuaian.
.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Kontruksi Grup Faktor dan Teorema Terkait
Berikut  diberikan  pembuktian  bahwa  koset  kiri fuzzy yang  dibangun  dari subgrup  normal fuzzy merupakan  koset  kanannya  atau  sebaliknya  membuktikan koset kanan yang dibangun dari subgrup normal fuzzy merupakan koset kirinya.

## Teorema 4.1.1
Misalkan 𝜇 ∈ ℱ(𝐺) ,  maka 𝜇 ∈ 𝒩ℱ(𝐺) jika  dan  hanya  jika 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 . Bukti:
(⟹) Misalkan 𝜇 adalah  subgrup  normal fuzzy dari  grup 𝐺 .  Diambil  sembarang 𝑥 ∈ 𝐺 ,  maka  menurut  Definisi  2.3.10  koset  kiri fuzzy berlaku 𝜇 𝑥 (𝑦) = 𝜇(𝑥 −1 𝑦) untuk  setiap 𝑦 ∈ 𝐺 ,  sehingga  menurut  Definisi  2.3.8, 𝜇 𝑥 (𝑦) = 𝜇(𝑦𝑥 −1 ) . Selanjutnya,  menurut Definisi 2.3.10 koset kanan fuzzy , 𝜇 𝑥 (𝑦) = 𝜇 𝑥 (𝑦) . Akibatnya, diperoleh
𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑥 . (⟸) Misalkan 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 . Diambil sembarang 𝑦 ∈ 𝐺 , karena 𝐺 adalah grup, maka menurut Teorema 2.1.3(1) berlaku 𝜇(𝑥𝑦) = 𝜇((𝑥 −1 ) −1 𝑦), sehingga menurut Definisi 2.3.10 dan yang diketahui,
𝜇(𝑥𝑦) = 𝜇 𝑥 −1 (𝑦) = 𝜇 𝑥 −1 (𝑦) = 𝜇(𝑦(𝑥 −1 ) −1 ).
Akibatnya,  menurut  Teorema  2.1.3(1)  diperoleh 𝜇(𝑥𝑦) = 𝜇(𝑦𝑥) .  Jadi, menurut Definisi 2.3.8, 𝜇 merupakan subgrup normal fuzzy . ∎
Operasi antar koset fuzzy merupakan operasi biner terhadap himpunan yang beranggotakan  koset  fuzzy  dan  juga  akan  dibuktikan  bahwa  himpunan  tersebut memenuhi definisi grup.

## Teorema 4.1.2
Misalkan 𝜇 ∈ 𝒩ℱ(𝐺) ,  maka 𝐺 𝜇 ⁄ adalah  grup  terhadap  operasi  “ ∘ ”  yang didefinisikan dengan 𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑥𝑦 untuk setiap 𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ . Bukti:
Misalkan 𝜇 adalah  subgrup  normal fuzzy dari  grup 𝐺 ,  akan  ditunjukkan 𝐺 𝜇 ⁄ adalah grup terhadap operasi “ ∘ ”, maka menurut Definisi 2.1.2 akan dintunjukkan “ ∘ ”  adalah  operasi  biner  serta  terhadap  operasi  tersebut  berlaku  assosiatif, terdapat elemen identitas, dan terdapat elemen invers untuk setiap elemen.
i. Akan ditunjukkan “ ∘ ” merupakan operasi biner, maka menurut Definisi 2.1.1 akan  ditunjukkan “ ∘ ”  merupakan  fungsi ∘: 𝐺 𝜇 ⁄ × 𝐺 𝜇 ⁄ → 𝐺 𝜇 ⁄ .  Diambil sembarang (𝜇 𝑎 , 𝜇 𝑏 ), (𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ) ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ × 𝐺 𝜇 ⁄ .  Misalkan (𝜇 𝑎 , 𝜇 𝑏 ) = (𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ) , maka  berlaku 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑎 dan 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑏 ,  sehingga ∘ (𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ) = 𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑥𝑦 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ dan ∘ (𝜇 𝑎 , 𝜇 𝑏 ) = 𝜇 𝑎 ∘ 𝜇 𝑏 = 𝜇 𝑎𝑏 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ .  Akibatnya,  menurut  Definisi 2.3.10 untuk setiap 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku
𝜇 𝑥𝑦 (𝑧) = 𝜇(𝑧(𝑥𝑦) −1 ),
menurut Teorema 2.1.3(2) karena 𝐺 adalah grup, maka 𝜇 𝑥𝑦 (𝑧) = 𝜇(𝑧𝑦 −1 𝑥 −1 ) = 𝜇 𝑥 (𝑧𝑦 −1 ) = 𝜇 𝑎 (𝑧𝑦 −1 ), menurut Teorema 4.1.1 karena 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy , maka
𝜇 𝑥𝑦 (𝑧) = 𝜇 𝑎 (𝑧𝑦 −1 ) = 𝜇(𝑎 −1 𝑧𝑦 −1 ) = 𝜇 𝑦 (𝑎 −1 𝑧) = 𝜇 𝑏 (𝑎 −1 𝑧) = 𝜇 𝑏 (𝑎 −1 𝑧) = 𝜇(𝑏 −1 𝑎 −1 𝑧) = 𝜇((𝑎𝑏) −1 𝑧), menurut Definisi 2.3.8, maka 𝜇 𝑥𝑦 (𝑧) = 𝜇(𝑧(𝑎𝑏) −1 ) = 𝜇 𝑎𝑏 (𝑧),
sehingga diperoleh
𝜇 𝑥𝑦 = 𝜇 𝑎𝑏 𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑎 ∘ 𝜇 𝑏 ∘ (𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ) =∘ (𝜇 𝑎 , 𝜇 𝑏 ) .
Jadi,  berdasarkan  uraian  di  atas,  maka “ ∘ ”  adalah  fungsi ∘: 𝐺 𝜇 ⁄ × 𝐺 𝜇 ⁄ →
𝐺 𝜇 ⁄ . Dengan demikian, “ ∘ ” merupakan operasi biner.
ii. Untuk setiap 𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 , 𝜇 𝑧 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ , maka
(𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 ) ∘ 𝜇 𝑧 = 𝜇 𝑥𝑦 ∘ 𝜇 𝑧 = 𝜇 (𝑥𝑦)𝑧 .
Menurut sifat assosiatif di grup 𝐺 , maka (𝑥𝑦)𝑧 = 𝑥(𝑦𝑧) sehingga berlaku (𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 ) ∘ 𝜇 𝑧 = 𝜇 𝑥(𝑦𝑧) = 𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦𝑧 = 𝜇 𝑥 ∘ (𝜇 𝑦 ∘ 𝜇 𝑧 ).
Jadi, berlaku sifat assosiatif di 𝐺 𝜇 ⁄ .
iii. Diketahui 𝐺 adalah  grup,  maka  terdapat 𝑒 ∈ 𝐺 ,  sehingga 𝜇 𝑒 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ sedemikian berlaku
𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑒 = 𝜇 𝑥𝑒 = 𝜇 𝑥 dan 𝜇 𝑒 ∘ 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑒𝑥 = 𝜇 𝑥 .
Jadi, 𝜇 𝑒 adalah elemen identitas pada 𝐺 𝜇 ⁄ . iv. Untuk setiap 𝜇 𝑥 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ , maka 𝑥 ∈ 𝐺 . Diketahui 𝐺 adalah grup, maka terdapat 𝑥 −1 ∈ 𝐺 , sehingga 𝜇 𝑥 −1 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ sedemikian berlaku
𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑥 −1 = 𝜇 𝑥𝑥 −1 = 𝜇 𝑒 dan 𝜇 𝑥 −1 ∘ 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑥 −1 𝑥 = 𝜇 𝑒 .
Jadi, 𝜇 𝑥 −1 adalah elemen invers terhadap 𝜇 𝑥 .
Akibatnya,  berdasarkan  uraian  di  atas  menurut  Definisi  2.1.2, 𝐺 𝜇 ⁄ adalah  grup terhadap operasi “ ∘ ”. ∎
Teorema 4.1.3
Misalkan 𝐺 𝜇 ⁄ adalah grup, maka (𝜇 𝑥 ) −1 = 𝜇 𝑥 −1 untuk ∀ 𝜇 𝑥 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ . Bukti:
Misalkan 𝐺 𝜇 ⁄ adalah  grup,  maka  menurut  Definisi  2.1.2  untuk  setiap 𝜇 𝑥 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ , terdapat (𝜇 𝑥 ) −1 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ sedemikian  berlaku 𝜇 𝑥 (𝜇 𝑥 ) −1 = (𝜇 𝑥 ) −1 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑒 .  Pada langkah  pembuktian  Teorema  4.1.2  (IV)  diperoleh 𝜇 𝑥 −1 sebagai  elemen  invers untuk  setiap 𝜇 𝑥 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ ,  sehingga  menurut  Teorema  2.1.4  diperoleh (𝜇 𝑥 ) −1 = 𝜇 𝑥 −1 . ∎
Teorema 4.1.4
Misalkan 𝐺 𝜇 ⁄ adalah  grup  dan  untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 ,  maka 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 jika  dan hanya jika 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) = 𝜇(𝑒) . Bukti:
(⟹) Misalkan  untuk  sembarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 ,  berlaku 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 .  Karena 𝐺 𝜇 ⁄ adalah grup,  maka  menurut  Teorema  4.1.3  terdapat (𝜇 𝑦 ) −1 = 𝜇 𝑦 −1 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ , sehingga  dengan  mengoperasikan 𝜇 𝑦 −1 dari  kanan  ke  persamaan 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 diperoleh 𝜇 𝑥𝑦 −1 = 𝜇 𝑒 . Akibatnya, untuk setiap 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku
𝜇 𝑥𝑦 −1 (𝑧) = 𝜇 𝑒 (𝑧), menurut Definisi 2.3.10, 𝜇(𝑧(𝑥𝑦 −1 ) −1 ) = 𝜇(𝑧), menurut Teorema 2.3.7, 𝜇((𝑥𝑦 −1 ) −1 ) = 𝜇(𝑒), dan menurut Teorema 2.3.4(2) diperoleh 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) = 𝜇(𝑒).
(⟸) Misalkan 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) = 𝜇(𝑒) untuk  sembarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 ,  maka  menurut Teorema 2.3.4(2) karena 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy dari grup 𝐺 berlaku 𝜇((𝑥𝑦 −1 ) −1 ) = 𝜇(𝑒), sehingga menurut Teorema 2.3.7 untuk setiap 𝑤 ∈ 𝐺 , 𝜇(𝑤(𝑥𝑦 −1 ) −1 ) = 𝜇(𝑤), menurut Definisi 2.3.10,
𝜇 𝑥𝑦 −1 (𝑤) = 𝜇 𝑒 (𝑤),
karena berlaku untuk setiap 𝑤 ∈ 𝐺 , maka 𝜇 𝑥𝑦 −1 = 𝜇 𝑒 .
Akibatnya, dengan mengoperasikan 𝜇 𝑦 dari kanan ke persamaan 𝜇 𝑥𝑦 −1 = 𝜇 𝑒 diperoleh 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 . ∎
4.2. Homomorfisma

## Teorema 4.2.1
Misalkan ℎ: 𝐺 → 𝐺′ adalah  epimorfisma  grup    dan 𝜇 ∈ ℱ𝒩(𝐺) ,  maka ℎ 𝜇 ∈ ℱ𝒩(𝐺′) .
Bukti : Misalkan ℎ adalah  epimorfisma  dari  grup 𝐺 ke  grup 𝐺′ dan 𝜇 adalah  subgrup normal fuzzy dari 𝐺 , akan dibuktikan ℎ 𝜇 atau image 𝜇 terhadap ℎ adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺′ . Diambil sembarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺′ , karena ℎ adalah epimorfisma maka 𝑎 = ℎ(𝑥) dan 𝑏 = ℎ(𝑦) untuk  suatu 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 ,  sehingga  menurut  Definisi 2.3.2,
ℎ 𝜇 (𝑎𝑏 −1 ) = sup {𝜇(𝑧) | 𝑧 ∈ 𝐺, ℎ(𝑧) = 𝑎𝑏 −1 }
= sup {𝜇(𝑧) | 𝑧 ∈ 𝐺, ℎ(𝑧) = ℎ(𝑥)(ℎ(𝑦)) −1 },
menurut Teorema 2.2.2(2) karena ℎ adalah epimorfisma berlaku ℎ 𝜇 (𝑎𝑏 −1 ) = sup {𝜇(𝑧) | 𝑧 ∈ 𝐺, ℎ(𝑧) = ℎ(𝑥)ℎ(𝑦 −1 )}, sehingga menurut Definisi 2.2.1, ℎ 𝜇 (𝑎𝑏 −1 ) = sup {𝜇(𝑧) | 𝑧 ∈ 𝐺, ℎ(𝑧) = ℎ(𝑥𝑦 −1 )}, karena ℎ(𝑧) = ℎ(𝑥𝑦 −1 ) = 𝑎𝑏 −1 , maka 𝜇(𝑧) ≥ 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) , sehingga ℎ 𝜇 (𝑎𝑏 −1 ) ≥ sup {𝜇(𝑥𝑦 −1 ) | 𝑥, 𝑦 −1 ∈ 𝐺, ℎ(𝑥) = 𝑎, ℎ(𝑦 −1 ) = 𝑏 −1 }.
Menurut Definisi 2.3.3 karena 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy berlaku ℎ 𝜇 (𝑎𝑏 −1 ) ≥ sup {min {𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦 −1 )} | 𝑥, 𝑦 −1 ∈ 𝐺, ℎ(𝑥) = 𝑎, ℎ(𝑦 −1 ) = 𝑏 −1 }, sehingga menurut Teorema 2.3.4(2), ℎ 𝜇 (𝑎𝑏 −1 ) ≥ sup {min {𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} | 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, ℎ(𝑥) = 𝑎, ℎ(𝑦) = 𝑏} . = min {sup {𝜇(𝑥)|𝑥 ∈ 𝐺, ℎ(𝑥) = 𝑎} , sup {𝜇(𝑦)|𝑦 ∈ 𝐺, ℎ(𝑦) = 𝑏}} = min {ℎ 𝜇 (𝑎), ℎ 𝜇 (𝑏)}.
Akibatnya, menurut Teorema 2.3.5, ℎ 𝜇 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺′ . Selanjutnya, akan ditunjukkan ℎ 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy . Menurut Definisi 2.3.2 berlaku
ℎ 𝜇 (𝑎𝑏𝑎 −1 ) = sup {𝜇(𝑤) | 𝑤 ∈ 𝐺, ℎ(𝑤) = 𝑎𝑏𝑎 −1 }, karena 𝜇 adalah subgrup  normal fuzzy dan ℎ adalah  epimorfisma,  maka  menurut Teorema  2.3.9  berlaku 𝜇(𝑤) = 𝜇(𝑥 −1 𝑤𝑥) dan  menurut  Definisi  2.2.1  berlaku ℎ(𝑥 −1 𝑤𝑥) = ℎ(𝑥 −1 )ℎ(𝑤)ℎ(𝑥) = 𝑎 −1 (𝑎𝑏𝑎 −1 )𝑎 = 𝑏 , sehingga ℎ 𝜇 (𝑎𝑏𝑎 −1 ) = sup {𝜇(𝑥 −1 𝑤𝑥) | 𝑤 ∈ 𝐺, ℎ(𝑥 −1 𝑤𝑥) = 𝑏}, menurut Teorema 2.3.9, 𝜇(𝑥 −1 𝑤𝑥) = 𝜇(𝑤) . Akibatnya, ℎ(𝑥 −1 𝑤𝑥) =  ℎ(𝑤) = 𝑏 , sehingga
ℎ 𝜇 (𝑎𝑏𝑎 −1 ) = sup {𝜇(𝑤) | 𝑤 ∈ 𝐺, ℎ(𝑤) = 𝑏}
= ℎ 𝜇 (𝑏).
Jadi, menurut Teorema 2.3.9, ℎ 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺′ . ∎

## Teorema 4.2.2
Misalkan ℎ: 𝐺 → 𝐺′ adalah  homomorfisma  grup  dan 𝜈 ∈ ℱ𝒩(𝐺′) ,  maka ℎ 𝜈 −1 ∈ ℱ𝒩(𝐺) . Bukti:
Misalkan ℎ adalah  homomorfisma  dari  grup 𝐺 ke  grup 𝐺′ dan 𝜈 adalah  subgrup normal fuzzy dari 𝐺′ , akan dibuktikan ℎ 𝜈 −1 atau invers image 𝜈 terhadap ℎ adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺 . Diambil sembarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 , maka menurut Definisi 2.3.2
ℎ 𝜈 −1 (𝑥𝑦 −1 ) = 𝜈(ℎ(𝑥𝑦 −1 )).
Menurut Definisi 2.2.1 karena ℎ adalah homomorfisma berlaku
ℎ 𝜈 −1 (𝑥𝑦 −1 ) = 𝜈(ℎ(𝑥)ℎ(𝑦 −1 )), menurut Teorema 2.2.2(2), maka
ℎ 𝜈 −1 (𝑥𝑦 −1 ) = 𝜈 (ℎ(𝑥)(ℎ(𝑦)) −1 ) .
Menurut Definisi 2.3.3 karena 𝜈 adalah subgrup normal fuzzy, maka
ℎ 𝜈 −1 (𝑥𝑦 −1 ) ≥ min {𝜈(ℎ(𝑥)), 𝜈 ((ℎ(𝑦)) −1 )},
menurut Teorema 2.3.4(2), ℎ 𝜈 −1 (𝑥𝑦 −1 ) ≥ min {𝜈(ℎ(𝑥)), 𝜈(ℎ(𝑦))} = min {ℎ 𝜈 −1 (𝑥), ℎ 𝜈 −1 (𝑥)}.
Akibatnya, menurut Teorema 2.3.5, ℎ 𝜈 −1 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 . Selanjutnya, menurut Definisi 2.3.2 berlaku
ℎ 𝜈 −1 (𝑥𝑦) = 𝜈(ℎ(𝑥𝑦)) =  𝜈(ℎ(𝑥)ℎ(𝑦)).
Menurut Definisi 2.3.8 karena 𝜈 subgrup normal fuzzy , maka ℎ 𝜈 −1 (𝑥𝑦) = 𝜈(ℎ(𝑦)ℎ(𝑥)) =  𝜈(ℎ(𝑦𝑥)) = ℎ 𝜈 −1 (𝑦𝑥).
Jadi, menurut Definisi 2.3.8, ℎ 𝜈 −1 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺 . ∎
Teorema 4.2.3 Misalkan 𝑓: 𝐺 → 𝐺 ′ adalah homomorfisma grup, 𝜇 ∈ ℱ(𝐺) dan 𝜈 ∈ ℱ(𝐺 ′ ) . a. Jika 𝑓 adalah epimorfisma, maka 𝑓 𝑓 𝜈 −1 = 𝜈 b. Jika 𝜇 konstan pada 𝑘𝑒𝑟 𝑓 , maka 𝑓 𝑓 𝜇 −1 = 𝜇 .
Bukti: Misalkan 𝑓 adalah homomorfisma dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′ , 𝜇 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 dan 𝜈 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺′ . a. Jika 𝑓 adalah epimorfisma, maka untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐺′ terdapat 𝑥 ∈ 𝐺 sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑦 , sehingga menurut Definisi 2.3.2 berlaku
𝑓 𝑓 𝜈 −1 (𝑦) = sup {𝑓 𝜈 −1 (𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑓(𝑥) = 𝑦}
= sup {𝜈(𝑓(𝑥)) | 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑓(𝑥) = 𝑦}
= sup {𝜈(𝑦) | 𝑦 ∈ 𝐺 ′ }
= 𝜈(𝑦).
Akibatnya, karena berlaku untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐺′ , maka 𝑓 𝑓 𝜈 −1 = 𝜈 . b. Jika 𝜇 konstan pada ker 𝑓 . Menurut Definisi 2.3.2 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 berlaku 𝑓 𝑓 𝜇 −1 (𝑥) = 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑥))
= sup {𝜇(𝑦) | 𝑦 ∈ 𝐺, 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥)}.
Diketahui 𝐺′ adalah  grup,  maka (𝑓(𝑥)) −1 ∈ 𝐺′ ,  sehingga  dengan mengoperasikan (𝑓(𝑥)) −1 dari  kanan  ke  persamaan 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥) mengakibatkan 𝑦𝑥 −1 ∈ ker 𝑓 .  Diketahui 𝜇 konstan  pada ker 𝑓 ,  maka 𝜇(𝑦𝑥 −1 ) = 𝜇(𝑒) , sehingga menurut Teorema 2.3.6, 𝜇(𝑦) = 𝜇(𝑥) . Akibatnya, 𝑓 𝑓 𝜇 −1 (𝑥) = sup {𝜇(𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐺}
= 𝜇(𝑥).
Jadi, karena berlaku untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 , maka 𝑓 𝑓 𝜇 −1 = 𝜇. ∎

## Teorema 4.2.4
Misalkan 𝑓: 𝐺 → 𝐺′ adalah  epimorfisma  grup  dan 𝜇 ∈ ℱ𝒩(𝐺) yang  kontsan pada 𝑘𝑒𝑟 𝑓 , maka 𝐺 𝜇 ⁄ ≅ 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ .
Bukti: Misalkan 𝑓 adalah epimorfisma dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′ , 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺 dan 𝜇 konstan pada ker 𝑓 . Menurut Teorema 4.2.1, 𝑓 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺′ , sehingga menurut Teorema 4.1.2, 𝐺 𝜇 ⁄ dan 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ adalah grup faktor. Akan ditunjukkan terdapat isomorfisma dari 𝐺 𝜇 ⁄ ke 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ . Misalkan dibuat
pengaitan 𝜅: 𝐺 𝜇 ⁄ → 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ dengan 𝜅(𝜇 𝑥 ) = (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝜇 𝑥 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ .
i. Akan  ditunjukkan 𝜅 merupakan  fungsi,  yaitu  dengan  menunjukkan 𝜅 well defined. Diambil  sembarang 𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ .  Menurut  Teorema  4.2.3  karena 𝜇 konstan  pada ker 𝑓 ,  maka 𝑓 𝑓 𝜇 −1 = 𝜇 .  Misalkan 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 ,  maka  menurut Teorema 4.1.4 berlaku
𝜇(𝑥𝑦 −1 ) = 𝜇(𝑒) 𝑓 𝑓 𝜇 −1 (𝑥𝑦 −1 ) = 𝑓 𝑓 𝜇 −1 (𝑒),
sehingga menurut Definisi 2.3.2, 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑥𝑦 −1 )) = 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑒)) .
Menurut Definisi 2.2.1 karena 𝑓 homomorfisma berlaku
𝑓 𝜇 (𝑓(𝑥)𝑓(𝑦 −1 )) = 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑒)), menurut Teorema 2.2.2,
𝑓 𝜇 (𝑓(𝑥)(𝑓(𝑦)) −1 ) = 𝑓 𝜇 (𝑒′).
Akibatnya, menurut Teorema 4.1.4 diperoleh
(𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑥) = (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑦) 𝜅(𝜇 𝑥 ) = 𝜅(𝜇 𝑦 ).
Jadi, 𝜅 well defined .
ii. Akan  ditunjukkan 𝜅 adalah  homomorfisma.  Menurut  yang  diketahui  untuk sembarang 𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ , 𝜅(𝜇 𝑥 𝜇 𝑦 ) = 𝜅(𝜇 𝑥𝑦 ) = (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑥𝑦) .
menurut  Definisi  2.2.1  karena 𝑓 epimorfisma,  maka 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) sehingga 𝜅(𝜇 𝑥 𝜇 𝑦 ) = (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑥) (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑦) = 𝜅(𝜇 𝑥 )𝜅(𝜇 𝑦 ).
Akibatnya, menurut Definisi 2.2.1, 𝜅 merupakan homomorfisma.
iii. Akan  ditunjukkan 𝜅 bersifat  bijektif,  yaitu  dengan  menunjukkan 𝜅 bersifat injektif sekaligus surjektif. Misalkan 𝜅(𝜇 𝑥 ) = 𝜅(𝜇 𝑦 ) , maka
(𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑥) = (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑦) ,
sehingga menurut Teorema 4.1.4 berlaku
𝑓 𝜇 (𝑓(𝑥)(𝑓(𝑦)) −1 ) = 𝑓 𝜇 (𝑒′) .
Menurut Teorema 2.2.2 karena 𝑓 adalah efimorfisma, maka 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑥)𝑓(𝑦 −1 )) = 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑒)),
menurut Definisi 2.2.1, 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑥𝑦 −1 )) = 𝑓 𝜇 (𝑓(𝑒)), sehingga menurut Definisi 2.3.2
𝑓 𝑓 𝜇 −1 (𝑥𝑦 −1 ) = 𝑓 𝑓 𝜇 −1 (𝑒),
karena 𝑓 𝑓 𝜇 −1 = 𝜇 , maka
𝜇(𝑥𝑦 −1 ) = 𝜇(𝑒), dan menurut Teorema 4.1.4, 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑦 .
Akibatnya 𝜅 bersifat injektif.
Selanjutnya, karena 𝑓 adalah epimorfisma, maka 𝑓 bersifat surjektif sehingga untuk setiap (𝑓 𝜇 ) 𝑥 ′ ∈ 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ terdapat 𝑥 ∈ 𝐺 dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥′ dan
𝜅(𝜇 𝑥 ) = (𝑓 𝜇 ) 𝑓(𝑥) = (𝑓 𝜇 ) 𝑥 ′ .
Akibatnya, 𝜅 bersifat surjektif.
Dengan demikian, karena 𝜅 bersifat injektif dan surjektif, maka 𝜅 bijektif.
Jadi,  berdasarkan  uraian  di  atas,  maka 𝜅 adalah  isomorfisma  dari 𝐺 𝜇 ⁄ ke 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ , sehingga menurut Definisi 2.2.3.3, 𝐺 𝜇 ⁄ ≅ 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ . ∎

## Teorema 4.2.5
Misalkan 𝑓: 𝐺 → 𝐺′ adalah  epimorfisma  grup  dan 𝜈 ∈ ℱ𝒩(𝐺′) ,  maka 𝐺 𝑓 𝜈 −1 ⁄ ≅ 𝐺′ 𝜈 ⁄ .
Bukti: Misalkan 𝑓 adalah epimorfisma dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′ dan 𝜈 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺′ . Menurut Teorema 4.2.2, 𝑓 𝜈 −1 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺 , sehingga menurut Teorema 4.1.2, 𝐺 𝑓 𝜈 −1 ⁄ dan 𝐺′ 𝜈 ⁄ adalah grup.
Selanjutnya, karena 𝑓 adalah epimorfisma, maka menurut Teorema 4.2.3,
𝜈 = 𝑓 𝑓 𝜈 −1 . Misalkan 𝑥 ∈ ker 𝑓 , maka 𝑓(𝑥) = 𝑒 ′ = 𝑓(𝑒) dan 𝜈(𝑓(𝑥)) = 𝜈(𝑓(𝑒)),
sehingga menurut Definisi 2.3.2,
𝑓 𝜈 −1 (𝑥) = 𝑓 𝜈 −1 (𝑒).
Akibatnya 𝑓 𝜈 −1 konstan pada ker 𝑓 . Jadi, karena 𝑓 adalah epimorfisma dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′ , 𝑓 𝜈 −1 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺 , dan 𝑓 𝜈 −1 konstan pada ker 𝑓 , maka menurut Teorema 4.2.3.3,
𝐺 𝑓 𝜈 −1 ⁄ ≅ 𝐺 ′ 𝑓 𝑓 𝜈 −1 ⁄ = 𝐺 ′ 𝜈 ⁄ . ∎

## 5. KESIMPULAN
Grup  faktor  yang  dibangun  dari  subgrup  normal fuzzy adalah  himpunan yang  beranggotakan  koset fuzzy atau 𝐺 𝜇 ⁄ = {𝜇 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐺} dan  memenuhi  definisi grup,  dengan 𝜇 adalah  subgrup  normal fuzzy dari  grup 𝐺 , 𝜇 𝑥 adalah  koset fuzzy atau  koset  kanan fuzzy ,  dan  operasi  binernya  adalah  “ ∘ ”  dengan 𝜇 𝑥 ∘ 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑥𝑦 untuk setiap 𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 ∈ 𝐺 𝜇 ⁄ . Selanjutnya, misalkan 𝑓 adalah epimorfisma dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′ , 𝜇 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺 yang konstan pada ker 𝑓 dan 𝜈 adalah  subgrup  normal fuzzy dari 𝐺′ ,  maka  grup  faktor 𝐺 𝜇 ⁄ isomorfik  dengan grup faktor 𝐺′ 𝑓 𝜇 ⁄ dan 𝑓 𝜈 −1 adalah subgrup normal fuzzy dari 𝐺 yang konstan pada
ker 𝑓 sehingga grup faktor 𝐺 𝑓 𝜈 −1 ⁄ isomorfik dengan 𝐺′ 𝜈 ⁄ .

## REFERENSI
[1]  Abdurrahman, S. 2018. Interior Subgrup Fuzzy . Jurnal Fourier . Vol 7(1), pp. 13-21.
[2]  Fraleigh,  J.  B.  2003. A  First  Course  in  Abstract  Algebra,  6th  Edition . Addison-Wesley Company Inc., United States.
[3]  Liu, Y. L. 2004. Qoutient Groups Induced By Fuzzy Subgroups. Quasigroups and Related Systems . Vol.11:, pp. 71-78.
[4]  Mordeson,  J.  N.,  Kiran  R.  Bhutani,  dan  A.  Rosenfeld.  2010. Fuzzy  Group Theory . SpringerBerlin Heidelberg, Germany.
[5]  Mukherjee  N.  P.  dan  P.  Bhattacharya,  1984.  Fuzzy  Normal  Subgroups  and Fuzzy Cosets. Information Sciences . Vol 34(3), pp. 225-239.
[6]  Rosenfeld,  A.  1971.  Fuzzy  Groups. Journal  Of  Mathematical  Analysis  And Applications. 35 (3): 512-517.
[7]  Zadeh,  L.  A.  1965.  Fuzzy  Sets . Information  And Control .Vol,  8(3),  pp.338- 353.