https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index
Penyesuaian distribusi proses keberangkatan sepeda motor dari lahan parkir saat waktu puncak
(Fitting  distribution  of  the  motorcycle  departure  processes  from  the  parking  lot during peak time)

## Rifdatun Ni’mah*, Regita Putri Permata
Prodi Sains Data, Fakultas Teknologi Informasi dan Bisnis, Institut Teknologi Telkom Surabaya Surabaya, Jawa Timur 60231, Indonesia
*korespondensi: rifdatun@ittelkom-sby.ac.id
Received: 25-02-2023, accepted: 26-09-2023

## Abstract
The study aims to model the distribution of motorcycle departures from the parking lot at peak times with the Poisson process approach. This process involves a discrete number of departures and continuous inter-departure time. The probability distribution candidate was selected to model the data according to the data nature, the stochastic process, and the empirical observation of the departure process. Parameters are estimated using the Maximum Likelihood Estimation (MLE) method and the bootstrapping procedure to construct confidence intervals for the parameter. The goodness-of-fit test is applied to select the best probability distribution that matches empirical data.  Inferences  to  the  distribution  parameters  suggest  that  Weibull's  distribution  is  more appropriate  for  describing  the  motorcycle's  inter-departure  time.  The  number  of  motorcycle departures  fits  significantly  into  a  negative  binomial  distribution.  The  results  of  the  study concluded  that the  Poisson  process  applied  was  a  case  of  overdispersion,  with  the  motorcycle departure rate decreasing over time.
Keywords: Bootstrapping, departure, distribution, goodness-of-fit, Poisson
MSC2020: 60E05

## 1. Pendahuluan
Proses Poisson adalah proses pencacahan fundamental yang umumnya digunakan dalam memodelkan  proses  kedatangan  memasuki  suatu  sistem  [ 1 ].  Distribusi  dalam  proses kedatangan ada dua  yaitu distribusi untuk variabel jumlah kedatangan dan waktu antar kedatangan  [ 2 ].  Waktu  antar  kedatangan  dalam  proses  Poisson  harus  memiliki  sifat identik,  independen  dan  mengikuti  fungsi  distribusi  eksponensial  [ 3 ],  [ 4 ].  Jika  waktu antar  kedatangan  memenuhi  ketentuan  tersebut  maka  jumlah  kedatangan  sebagai  hasil dari  proses  pencacahan  kejadian  yang  diinginkan  dapat  didekati  dengan  distribusi Poisson.  Pencacahan  dalam  proses  kedatangan  dikatakan  mengikuti  proses  Poisson dengan asumsi memiliki nilai mean dan variansi yang sama [ 5 ].
Proses  Poisson  juga  dapat  digunakan  untuk  mendekati  proses  keberangkatan  [ 6 ],  [ 7 ]. Namun,  kondisi  nilai  mean  dan  variansi  yang  sama  dalam  proses  Poisson  jarang ditemukan dalam data nyata. Proses keberangkatan cenderung overdispersi (varians lebih besar dari mean) atau underdispersi (varians lebih kecil dari mean) [ 8 ]. Kasus overdispersi umumnya didekati menggunakan distribusi binomial negatif dengan memodelkan waktu antar  kedatangan  dalam  distribusi  gamma.  Distribusi  binomial  negatif  sendiri diinterpretasikan sebagai distribusi Poisson majemuk dengan variabel acak waktu antar kedatangan dipilih dari distribusi umum gamma [ 9 ]. Kasus underdispersi dengan waktu antar  kedatangan  independen  diakomodasi  dengan  distribusi  Weibull  [ 10 ],  [ 11 ].  Oleh karena  itu,  analisa  distribusi  waktu  antar  keberangkatan  perlu  dilakukan  untuk memverifikasi apakah proses Poisson dapat diterapkan dalam kejadian yang diinginkan.
Penelitian proses Poisson telah banyak diterapkan pada berbagai bidang seperti hidrologi, kesehatan,  ekonomi  hingga  transportasi.  Penerapan  dalam  bidang  hidrologi  dilakukan untuk menggambarkan proses meluapnya air hujan  [ 12 ]. Simulasi proses Poisson pada bidang kesehatan dilakukan untuk mendapatkan estimasi kedatangan pasien di Instalasi Gawat Darurat [ 13 ] serta jumlah kasus positif dan meninggal akibat Covid-19 [ 1 ], [ 14 ]. Waktu antar kedatangan dengan distribusi bukan eksponential untuk proses Poisson telah diteliti dalam memodelkan jumlah pinjaman tanpa pembayaran [ 15 ]. Contoh kasus yang diangkat  dalam  penelitian  terkait  proses  Poisson  dalam  bidang  transportasi  antara  lain mengidentifikasi  pola  perilaku  keberangkatan  penumpang  di  bandara  [ 4 ]  dan  pola kedatangan kendaraan pada gerbang tol Banyumanik [ 16 ]. Penelitian ini juga mengangkat kasus  proses  Poisson  pada  bidang  transportasi  yaitu  pola  keberangkatan  sepeda  motor dari lahan parkir.
Pola  keberangkatan  sepeda  motor  dari  lahan  parkir  akan  membantu  dalam  memahami perilaku bepergian manusia sebagai pengendara sepeda motor [ 4 ]. Proses keberangkatan sepeda motor dari lahan parkir dapat mempengaruhi kelancaran sistem antrean dari lahan parkir. Proses keberangkatan saat jam pulang kerja yang merupakan waktu puncak atau kejadian ekstrim dan menjadi salah satu penyebab laju dalam antrean keluar lahan parkir tersendat. Kemampuan untuk mengantisipasi proses keberangkatan pada waktu puncak akan membantu dalam tata kelola lahan parkir yang baik. Berdasarkan teori nilai ekstrim, frekuensi  dari  kejadian  ekstrim  relatif  tergantung  pada  perubahan  variabilitas  daripada rata-rata  [ 17 ]  yang  seringkali  ditemukan  kasus  overdispersi  [ 18 ].  Pencacahan  proses keberangkatan dapat digunakan untuk menghubungkan besarnya kejadian ekstrim dengan frekuensi kejadiannya dengan menggunakan distribusi probabilitas.
Penyesuaian  distribusi  probabilitas  secara  statistik  terdiri  dari  pemilihan  tipe  distribusi probabilitas, memodelkan data variabel acak ke dalam fungsi probabilitas yang dipilih, serta menemukan dugaan parameter untuk distribusi tersebut [ 17 ], [ 19 ]–[ 21 ]. Penentuan distribusi dilakukan dengan memilih dua atau lebih kandidat distribusi, membandingkan hasilnya,  dan  memilih  model  yang  paling  valid  melalui  pengujian  statistik  kesesuaian [ 22 ].  Kandidat  distribusi  yang  dipilih  tergantung  pada  sifat  data  probabilitas,  proses
stokastik  dan  pengamatan  empiris  dari  data  keberangkatan  yang  akan  dimodelkan dilengkapi  dengan  pendekatan  teoritis  dalam  proses  stokastik  yang  telah  dijelaskan sebelumnya.  Cullen  dan  Frey  [ 23 ]  menggunakan  ukuran  kurtosis  dan  skewness  untuk menggambarkan data empiris terhadap distribusi yang umum digunakan [ 24 ], [ 25 ] dalam menentukan  kandidat  distribusi.  Kandidat  distribusi  untuk  waktu  antar  keberangkatan yang bertipe kontinu adalah distribusi probabilitas kontinu. Beragam distribusi kontinu yang tersedia untuk  memodelkan distribusi  data waktu  dari suatu  kejadian  seperti  log- logistik, beta, gamma, Weibull, eksponensial dan lainnya [ 26 ]. Sementara untuk kandidat distribusi  probabilitas  dari  jumlah  keberangkatan  yang  bertipe  diskrit  dapat mempertimbangkan  distribusi  binomial,  Poisson  dan  distribusi  binominal  negatif  [ 10 ]. Perkiraan  parameter  dari  distribusi  probabilitas  didapatkan  dengan  metode  Maximum Likelihood Estimation (MLE) [ 27 ]. MLE dikenal sebagai metode estimasi  yang paling popular  dan  sering  digunakan  namun  bias  untuk  ukuran  sampel  kecil  [ 28 ].  Untuk meningkatkan  keandalan  dan  signifikansi  dari  perkiraan  parameter,  prosedur  bootsrap dapat digunakan dalam membangun interval kepercayaan bagi parameter [ 29 ]. Penjelasan terkait estimasi parameter dan prosedur bootstrap dapat dipelajari lebih lanjut pada [ 30 ].
Uji goodness-of-fit umum digunakan untuk mengetahui apakah distribusi data mengikuti sebuah distribusi teoritis tertentu ataukah tidak. Terdapat tiga pengukuran goodness-of- fit yang  dipertimbangkan  dalam  penelitian  ini  yaitu  melalui  plot,  kriteria  dan  statistik. Untuk distribusi  kontinu,  ada  tiga statistik  kesesuaian  yang diusulkan dengan beragam asumsi  yang mendasari  yaitu Cramer-von Mises [ 31 ], [ 32 ], Kolmogorov-Smirnov [ 33 ] dan Anderson-Darling [ 34 ]. Statistik Chi-kuadrat secara khusus direkomendasikan dalam uji  untuk  distribusi  diskrit  [ 35 ].  Akaike  Information  Criterion  (AIC)  dan  Bayesian Information Criterion (BIC) adalah dua kriteria pemilihan model yang umum digunakan untuk mengukur goodness-of-fit antara distribusi teoritis dan data empiris [ 36 ]. Ukuran kriteria goodness-of-fit digunakan  untuk  mencegah  kasus overfitting dan  memahami distribusi terbaik untuk data.
Penelitian  berfokus  untuk  memverifikasi  distribusi  waktu  antar  keberangkatan  dan jumlah keberangkatan dalam proses keberangkatan yang diangkat dalam topik ini dapat menerapkan  proses  Poisson.  Selanjutnya,  data  keberangkatan  sepeda  motor  dari  lahan parkir  pada  waktu  puncak  keberangkatan  akan  dimodelkan  pada  fungsi  distribusi probabilitas yang sesuai untuk mendapatkan perkiraan parameter. Penggunaan distribusi probabilitas dalam topik ini dapat membantu untuk mengestimasi kejadian keberangkatan sepeda motor dari lahan parkir. Estimasi tingkat keberangkatan sepeda motor dari lahan parkir dapat digunakan untuk mengembangkan rencana dan kebijakan dalam mengurangi risiko hambatan dalam sistem antrean keluar lahan parkir.

## 2. Metodologi
Penelitian menggunakan data primer proses keberangkatan kendaraan dari lahan parkir sepeda  motor  Institut  Teknologi  Telkom  (ITTelkom)  Surabaya  pada  tanggal  27  Juni hingga 1 Juli 2022 pada pukul 16.00 - 17.00 WIB. Waktu yang dipilih adalah jam pulang kerja  yang  merupakan  puncak  keberangkatan  pada  hari  kerja.  Terdapat  996  data keberangkatan sepeda motor yang terkumpul. Waktu antar keberangkatan dihitung dari selisih  waktu  antara  dua  keberangkatan  yang  berurutan.  Untuk  pencacahan  jumlah keberangkatan sepeda motor sendiri merupakan frekuensi keberangkatan sepeda motor dengan interval waktu setiap satu menit. Struktur model proses keberangkatan mengikuti struktur model antrean tunggal yang hanya terdapat satu pemberian layanan dalam setiap jenis layanan sehingga sepeda motor yang telah antre dapat langsung keluar (berangkat) dari  sistem  antrean  satu  persatu.  Layanan  diberikan  oleh  petugas  parkir  dalam  bentuk pemeriksaan  keamanan  dengan  menunjukkan  tiket  parkir  atau  bukti  kepemilikan kendaraan.

## Gambar 1. Alur metodologi penelitian
Tujuan dari penelitian ini dijawab dengan mengikuti alur metodologi yang disajikan pada Gambar 1. Langkah penyesuaian distribusi ke data waktu antar keberangkatan adalah:
1. Mendeskripsikan  data  menggunakan  ukuran  statistik  klasik  yaitu  minimum, maksimum, median, rata-rata, standar deviasi, skewness dan kurtosis.
2. Menerapkan prosedur bootstrap pada ukuran skewness dan kurtosis dan menyajikan hasil  pada  plot  skewness-kurtosis  untuk  membantu  memilih  kandidat  distribusi probabilitas yang sesuai dengan data.
3. Membuat plot fungsi distribusi kepadatan dan histogram empiris dan teoritis kandidat distribusi untuk membandingkan distribusi empiris dan kandidat distribusi.
4. Membuat plot goodness-of-fit yaitu plot fungsi kerapatan kumulatif, plot P–P dan Q– Q  untuk  menilai  kualitas  kesesuaian  distribusi  empiris  dan  teoretis.  Plot  Q-Q membantu menilai kesesuaian pada ekor distribusi sedangkan plot P-P untuk melihat kesesuaian di pusat distribusi.
5. Membandingkan ukuran statistik goodness-of-fit dalam mengukur jarak kesesuaian antara kandidat distribusi teoritis yang dipilih dengan distribusi empiris berdasarkan ukuran statistik yang sesuai.
6. Memilih distribusi terbaik dengan mempertimbangkan ukuran AIC dan BIC.
7. Mengestimasi parameter distribusi berdasarkan metode MLE dan prosedur bootstrap.
Untuk distribusi diskrit, langkah penyesuaian distribusi dilakukan sebagai berikut:
1. Membuat plot fungsi distribusi kumulatif dan histogram empiris dan teoritis kandidat distribusi untuk membandingkan distribusi empiris dan teoritis yang dipilih.
2. Membangun tabulasi frekuensi dari data empiris.
3. Menghitung  dan  membandingkan  statistik  Chi-kuadrat  untuk  setiap  kandidat distribusi dari tabulasi frekuensi yang sudah dibangun.
4. Memilih  distribusi  yang  paling  sesuai  dengan  mempertimbangkan  ukuran  kriteria informasi AIC dan BIC.
5. Mengestimasi parameter distribusi berdasarkan metode M LE dan prosedur bootstrap.
Pemrosesan  dan  visualisasi  data  yang  digunakan  untuk  penelitian  ini  menggunakan RStudio yang merupakan lingkungan pengembangan terpadu untuk bahasa pemrograman R. Paket pemrograman R fitdistrplus [19] digunakan dalam proses analisa penyesuaian distribusi ke data.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Analisa  proses  keberangkatan  sepeda  motor  dari  lahan  parkir  sepeda  motor  ITTelkom Surabaya  dibagi  untuk  variabel  acak  waktu  antar  keberangkatan  dan  jumlah keberangkatan. Untuk mengetahui apakah proses Poisson dapat diterapkan dalam kasus ini, langkah pertama adalah menganalisa karakteristik waktu antar keberangkatan.
Tabel 1. Ukuran statistik waktu antar keberangkatan (dalam menit)
Minimum Maksimum Rata-rata Median Simpangan Baku Skewness Kurtosis 0,0167 2,9500 0,2990 0,1667 0,3532 2,5437 12,9665
Tabel  1  mendeskripsikan  data  waktu  antar  keberangkatan  menggunakan  statistik. Variabel waktu antar keberangkatan sepeda motor dari lahan parkir ITTelkom Surabaya saat waktu puncak memiliki rata-rata 0,2990 menit dan median 0,1667 menit. Nilai rata- rata  yang  lebih  besar  daripada  median  menunjukkan  indikasi  ketidaksimetrisan  pada distribusi  empiris.  Hal  tersebut  dibuktikan  dengan  ukuran  skewness  sebesar  2,5437 menunjukkan distribusi empiris menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Distribusi  empiris  tergolong  leptokurtik  dengan  ukuran  kurtosis  lebih  besar  dari  3. Varians dari variabel acak ini adalah 0,1248 menit 2 .
Berdasarkan  statistika  deskriptif  yang  disajikan  pada  Tabel  1,  terdapat  kecenderungan data empiris  miring ke kanan dan leptokurtik, seperti distribusi  eksponensial,  Weibull,
dan  gamma.  Prosedur  bootstrap  dengan  1000  iterasi  dilakukan  untuk  menduga  nilai kurtosis  dan  skewness  yang  disajikan  pada  Gambar  2.  Hasil  bootstrapping  untuk mengestimasi nilai skewness dan kurtosis menyebar pada area di sekitar garis distribusi teoritis  gamma.  Beberapa  distribusi  teoritis  yang  terjangkau  nilai  bootstrap  adalah distribusi  eksponensial  dan  Weibull.  Oleh  karena  itu,  ketiga  distribusi  teoritis  tersebut dipilih  menjadi  kandidat  distribusi  teoritis  untuk  menyesuaikan  distribusi  waktu  antar kedatangan.
Gambar 2. Bootstrapping waktu antar keberangkatan pada grafik Cullen-Frey
Distribusi  empiris  yang  disajikan  pada  Gambar  3  menunjukkan  bahwa  waktu  antar keberangkatan  paling  banyak  pada  rentang  hingga  0,2  menit.  Frekuensi  data  terus menurun untuk waktu yang lebih lama. Distribusi positif terlihat dengan jelas dimana data mengumpul  pada  waktu  antar  keberangkatan  yang  lebih  kecil.  Nilai  probabilitas kumulatif juga meningkat lebih besar pada interval yang lebih pendek seperti yang dapat dilihat  dari  grafik  fungsi  distribusi  kumulatif  empiris.  Kurva  yang  terbentuk  pada histogram  dan  plot  CDF  dari  ketiga  kandidat  saling  berimpitan  mengikuti  distribusi empiris.
Ketiga kandidat distribusi teoritis membentuk pola linear terhadap probabilitas empiris pada P-P plot. Pola linearitas terbentuk pada kuantil pertama yang disajikan melalui plot Q-Q  (lihat  Gambar  4).  Namun  menuju  kuantil  kedua  dan  seterusnya  titik  plot menunjukkan pola yang menyimpang dari garis linear. Ketiga kandidat distribusi teoritis cukup baik dalam menggambarkan sisi ekor kiri dari distribusi empiris. Titik kuantil dari distribusi Weibull lebih menghimpit garis jika dibandingkan kandidat lain.

## Gambar 3. Histogram dan plot cdf waktu antar keberangkatan (dalam menit)
Gambar 4. Plot p-p dan q-q plot waktu antar keberangkatan
Tabel 2. Uji goodness-of-fit waktu antar keberangkatan Ukuran Goodness-of-Fit Distribusi Teoritis Gamma Exponensial Weibull Statistik Kolmogorov-Smirnov 0,0716 0,0958 0,0738 Cramer-von Mises 1,0624 2,0725 0,6475 Anderson-Darling 7,5602 12,7992 5,6647 Kriteria AIC -414,90 -408,84 * -424,55 BIC -405,10 -403,94 * -414,76
Perbandingan distribusi lebih lanjut dapat dilihat berdasarkan ukuran statistik dan kriteria kesesuaian  yang  disajikan  pada  Tabel  2.  Distribusi  teoritis  gamma  memiliki  ukuran statistik  Kolmogorov-Smirnov  terkecil.  Namun,  distribusi  teoritis  Weibull  lebih  sering memberikan ukuran statistik dan kriteria goodness-of-fit terkecil. Terdapat cukup bukti bahwa  distribusi  Weibull  cukup  menggambarkan  distribusi  empiris  data  jika dibandingkan dengan kandidat yang diberikan.
Tabel 3. Estimasi parameter distribusi Weibull untuk data waktu antar keberangkatan Parameter Median Interval Kepercayaan 2,5% 97,5% Bentuk 𝛽 0,9052 0,8652 0,9537 Skala 𝜆 0,2843 0,2647 0,3048
Estimasi parameter menggunakan metode kemungkinan maksimum menggunakan teknik bootstraps  mendapatkan  ukuran  median  dan  batas  interval  kepercayaan  95%  untuk parameter  yaitu  persentil  ke-2,5  dan  ke-97,5.  Hasil  pendugaan  dalam  bentuk  interval kepercayaan  untuk  parameter  distribusi  Weibull  dari  variabel  acak  waktu  antar keberangkatan  disajikan  pada  Tabel  3.  Distribusi  Weibull  sendiri  merupakan  keluarga distribusi umum gamma yang memiliki 3 parameter yaitu parameter skala λ, parameter bentuk  indeks  ekor  β  dan  parameter  gangguan  α  untuk 𝛼 = 1 .  Pendugaan  parameter distribusi  Weibull  dari waktu  antar  keberangkatan  mendapatkan 0,8652 < 𝛽 < 0,9537 dan 0,2647 < λ < 0,3048  pada  interval  kepercayaan  95%.  Parameter  bentuk 𝛽 yang memiliki nilai kurang dari 1 menunjukkan bahwa tingkat keberangkatan dalam kasus ini menurun  seiring  berjalannya  waktu.  Inferensi  parameter  skala  λ  menunjukkan  bahwa rata-rata  waktu  untuk  keberangkatan  dari  63,2%  sepeda  motor  yang  ada  lahan  parkir diperkiraan pada interval tersebut.
Gambar 5. Histogram dan fungsi distribusi kumulatif jumlah keberangkatan
Agar  proses  Poisson  dapat  diterapkan,  pencacahan  jumlah  keberangkatan  pada  proses keberangkatan  bernilai  non  negatif  integer  dan  dibawah  asumsi  memiliki  distribusi Poisson.  Pada  kasus  khusus  yang  telah  dijelaskan  pada  bagian  sebelumnya,  distribusi jumlah keberangkatan dapat didekati dengan menggunakan distribusi binomial negatif. Oleh karena itu, bentuk distribusi kandidat yang sesuai dengan data jumlah keberangkatan yaitu distribusi Poisson dan binomial negatif. Kurva yang terbentuk pada histogram dan plot CDF (lihat Gambar 5) menunjukkan bahwa distribusi empiris lebih mendekati bentuk distribusi  binomial  negatif.  Himpitan  yang  dibentuk  dari  distribusi  teoritis  binomial
negatif lebih kecil dibandingkan himpitan antara plot distribusi Poisson dengan distribusi empiris.
Tabel  4  menunjukkan  bahwa  probabilitas  jumlah  keberangkatan  pada  waktu  puncak dibawah  asumsi  hipotesa  mengikuti  distribusi  binomial  negatif  lebih  besar  daripada mengikuti distribusi Poisson berdasarkan pengujian statistik Chi-kuadrat. Perbandingan kriteria  goodness-of-fit  juga  memberikan  indikasi  yang  sama.  Kriteria  goodness-of-fit untuk distribusi binomial negatif lebih kecil dibanding distribusi Poisson. Terdapat cukup bukti  bahwa  distribusi  binomial  negatif  lebih  menggambarkan  distribusi  empiris  data jumlah keberangkatan dibandingkan dengan distribusi Poisson.
Tabel 4. Data faktual dan harapan jumlah keberangkatan berdasarkan distribusi kandidat
Jumlah Keberangkatan Frekuensi Frekuensi Harapan Poisson Binomial Negatif ≤ 1 59 36,3918 54,8962 ≤ 2 64 50,5223 49,9383 ≤ 3 38 59,9050 49,7584 ≤ 4 35 53,2727 41,7213 ≤ 5 32 37,8997 31,0292 ≤ 6 21 22,4691 21,1171 ≤ 8 17 16,4949 21,4911 > 8 14 3,0445 10,0485 p-value Chi-kuadrat 0,0000 0,0588* Kriteria: AIC 1256,060 1220,687* BIC 1259,695 1227,957*
Dugaan  parameter  untuk  distribusi  binomial  negatif  dengan  menggunakan  prosedur boostrap  disajikan  pada  Tabel  5.  Parameterisasi  dari  distribusi  binomial  negatif menggunakan parameter rata-rata μ dan ukuran r. Parameter untuk jumlah keberangkatan pada interval  kepercayaan 95% didapatkan 4,1823 < 𝑟 < 11,3131 dan 3,2822 < μ < 3,8247. Merujuk pada penjelasan dalam [11], proses Poisson dalam kasus ini merupakan kasus overdispersi karena parameter rata-rata lebih kecil dari varians yang sebesar 5,5790 dengan indeks dispersi 2,7641 dan level overdispersi 0,1592. Probabilitas sepeda motor berangkat dari lahan parkir saat waktu puncak dalam kasus ini adalah 0,6382.
Tabel 5. Estimasi parameter distribusi binomial negatif untuk data jumlah keberangkatan
Parameter Median Interval Kepercayaan 2,5% 97,5% Ukuran 𝑟 6,2812 4,1823 11,3131 Rata-rata 𝜇 3,5606 3,2822 3,8247

## 4. Kesimpulan
Hasil  yang  didapatkan  menunjukkan  bahwa    proses  keberangkatan  sepeda  motor  dari lahan parkir ITTelkom Surabaya saat waktu puncak merupakan proses Poisson dengan kasus overdispersi. Waktu puncak yang dipilih dalam pengumpulan data kasus ini adalah waktu terjadinya kejadian ekstrim. Hasil penelitian selaras dengan teori nilai ekstrim yang dijelaskan sebelumnya bahwa kejadian ekstrim seringkali ditemukan kasus overdispersi.
Analisa waktu antar keberangkatan sepeda motor pada waktu puncak memberikan cukup bukti bahwa distribusi Weibull lebih menggambarkan data empiris dibanding distribusi gamma dan  eksponensial.  Proses  pencacahan jumlah keberangkatan sepeda motor dari lahan parkir ITTelkom Surabaya saat waktu puncak menunjukkan bahwa terdapat cukup bukti  bahwa  distribusi  binomial  negatif  lebih  menggambarkan  distribusi  empiris  data daripada distribusi Poisson. Dengan kata lain, kasus overdispersi pada data ini didekati menggunakan distribusi  binomial negatif dengan memodelkan waktu  antar kedatangan dalam  distribusi  Weibull.  Pendugaan  parameter  distribusi  menunjukkan  bahwa  tingkat keberangkatan sepeda motor terus menurun seiring waktu dimana 63,2% sepeda motor memberikan rata-rata waktu antar keberangkatan sebesar 0,2843 menit. Pengelola lahan parkir dapat menyesuaikan tingkat pelayanan pada waktu puncak keberangkatan sepeda motor mengikuti tingkat keberangkatan. Jumlah petugas keamanan yang akan meberikan layanan keamanan dapat ditingkatkan pada awal waktu puncak keberangkatan yaitu pukul 16.00  WIB  sesuai  dengan  pola  distribusi  proses  keberangkatan  yang  dihasilkan  dari penelitian ini.
Untuk  penelitian  kedepan,  estimasi  parameter  dapat  dilakukan  dengan  menerapkan metode  momen  dan  estimasi  kesesuaian  maksimum  sebagai  alternatif  dengan mempertimbangkan  kepekaan  terhadap  outlier.  Selain  itu,  alternatif  kandidat  distribusi probabilitas  untuk  memodelkan  data  dapat  diperbanyak  lagi  mengingat  telah  banyak modifikasi distribusi probabilitas yang dikembangkan belakangan ini.

## Daftar Pustaka
[1]  R. Ashgi, S. Supian, and S. Subiyanto, “Prediction of the chances of death in covid- 19  data  using  the  poisson  process,” IJGOR ,  vol.  1,  no.  4,  pp.  151–159,  2020. [ CrossRef ]
[2]  M. Waris, I. Ridhayani, and Yusman, “Analisis sistem antrian penumpang di loket check-in  maskapai  penerbangan  pesawat  Garuda  Indonesia  Airways,” Bandar: Journal of Civil Engineering , vol. 1, no. 1, pp. 37–47,  2018. [ CrossRef ]
[3]  E. Harahap, Y. Permanasari, F.H. Badruzzaman, E. Marlina, D. Suhaedi, and M. Y. Fajar, “Analisis antrian lalu lintas pada persimpangan Buah Batu – Soekarno Hatta Bandung,” Teori  dan  Terapan  Matematika ,  vol.  17,  no.  2,  pp.  79-85,  2018.
[ CrossRef ]
[4]  Y. Wang, T. Liu, M. Hu, S. Alam, and V.N. Duong, “Temporal patterns underlying domestic  departure  passengers  behavior  in  the  airport,” IEEE  Access ,  vol.  8,  pp. 127969–127980, 2020. [ CrossRef ]
[5]  R. Baker and  T. Kharrat, “Event  count  distributions from  renewal  processes:  fast computation of probabilities,” IMA Journal of Management Mathematics , vol. 29, no. 4, pp. 415–433, 2018. [ CrossRef ]
[6]  R.G. Gallager, Discrete stochastic processes . dalam The Kluwer international series in engineering and computer science ; Communications and information theory, no. SECS 321. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1996.
[7]  F.V. Monteiro and P. Ioannou, “On-street parking prediction using real-time data,” dalam  2018  21 st  International  Conference  on  Intelligent  Transportation  Systems (ITSC) , Maui, HI: IEEE, Nov 2018, pp. 2478–2483, 2018. [ CrossRef ]
[8]  V.  Eminita,  A.  Kurnia,  dan  K.  Sadik,  “Penanganan  overdispersi  pada  pemodelan data cacah dengan respon nol berlebih (zero-inflated),” FBC , vol. 5, no. 1, pp. 71, 2019. [ CrossRef ]
[9]  R.I. Adisti and A.K. Mutaqin, “Perhitungan premi murni pada sistem bonus malus untuk frekuensi klaim berdistribusi binomial negatif dan besar klaim berdistribusi Weibull pada data asuransi kendaraan bermotor di Indonesia,” J.Gauss , vol. 10, no. 2, pp. 170–179, 2021. [ CrossRef ]
[10]  G.  Barmalzan,  H.  Saboori,  and  S.  Kosari,  “A  modified  negative  binomial distribution: properties, overdispersion and underdispersion:,” JSTA , vol. 18, no. 4, pp. 343, 2019. [ CrossRef ]
[11]  M. Zhou and L. Carin, “Negative binomial process count and mixture modeling,” IEEE  Trans.  Pattern  Anal.  Mach.  Intell. ,  vol.  37,  no.  2,  pp.  307–320,  2015. [ CrossRef ]
[12]  M. Baldeh, C. Samba, K. Tuffour, and A. Boya, “Poisson process and its application to the storm water overflows,” CWEEE , vol. 05, no. 02, pp. 47–53, 2016. [ CrossRef ]
[13]  L.  Bell  and  R.  Wagner,  “Modeling  emergency  room  arrivals  using  the  Poisson process,” The College Mathematics Journal , vol. 50, no. 5, pp. 343–350, 2019.
[14]  M. Alawiyah, D. A. Johar, and B. N. Ruchjana, “Homogeneous Poisson process in daily  case  of  covid-19,” J.  Phys.:  Conf.  Ser. ,  vol.  1722,  no.  1,  p.  012078,  2021. [ CrossRef ]
[15]  Y.-C.  Low  and  S.-H.  Ong,  “Modelling  of  loan  non-payments  with  count distributions arising from non-exponential inter-arrival times,” JRFM , vol. 16, no. 3, pp. 150, Feb 2023. [ CrossRef ]
[16]  Sugito, R. Rahmawati, and J.K. Wardhani, “Queue theory for triangular and weibull arrival distribution models (case study of Banyumanik toll),” J. Phys.: Conf. Ser. , vol. 1025, p. 012125, 2018. [ CrossRef ]
[17]  M.  Alam,  K.  Emura, C.  Farnham,  and  J. Yuan, “Best-fit probability  distributions and return periods for maximum monthly rainfall in Bangladesh,” Climate , vol. 6, no. 1, p. 9, 2018. [ CrossRef ]
[18]  S.  Valiquette,  F.  Mortier,  J.  Peyhardi,  and  G.  Toulemonde,  “Choice  of  mixture Poisson models based on Extreme value theory,” 2022. [ CrossRef ]
[19]  M.  L.  Delignette-Muller  and  C.  Dutang,  “fitdistrplus :  An R Package  for  fitting distributions,” J. Stat. Soft. , vol. 64, no. 4, 2015. [ CrossRef ]
[20]  P.K. Langat, L.Kumar, and R. Koech, “Identification of the most suitable probability distribution  models  for  maximum,  minimum,  and  mean  streamflow,” Water ,  vol. 11, no. 4, p. 734, 2019. [ CrossRef ]
[21]  A.  Narendra,  S.  Malkhamah,  and  B.M.  Sopha,  “Distribution  pattern  of  public transport  passenger  in  Yogyakarta,  Indonesia,”  dipresentasikan  pada  Engineering International  Conference  (EIC2017):  Proceedings  of  the  6th  International Conference  on  Education,  Concept,  and  Application  of  Green  Technology, Semarang, Indonesia, 2018, p. 020053. [ CrossRef ]
[22]  O.O.  Kevin,  J.  Matuya,  and  M.  Nganga,  “Fitting  wind  speed  to  a  probability distribution using minimum distance estimation technique,” AJTAS , vol. 10, no. 6, p. 226, 2021. [ CrossRef ]
[23]  A.C.  Cullen  and  H.C.  Frey,  “A  Handbook  for  Dealing  with  Variability  and Uncertainty  in  Models  and  Inputs,”  dalam Probabilistic  Techniques  in  Exposure Assessment , Springer New York, NY, 1999.
[24]  N. Redfern, “Modelling shot lengths of hollywood motion pictures with the dagum distribution,” Statistica , vol. Vol 80, pp. 81-99 Pages, 2020. [ CrossRef ]
[25]  M.M.  Zefreh  and  Á.  Török,  “Distribution  of  traffic  speed  in  different  traffic conditions: an empirical study in Budapest,” Transport , vol. 35, no. 1, pp. 68–86, 2020. [ CrossRef ]
[26]  A.B.S. Mastor, O. Ngesa, J. Mung’atu, N.M. Alfaer, and A.Z. Afify, “The extended exponential weibull distribution: properties, inference, and applications to real-life data,” Complexity , vol. 2022, pp. 1–13, 2022. [ CrossRef ]
[27]  M. Jeong, “A numerical method to obtain exact confidence intervals for likelihood- based parameter estimators,” Journal of Statistical Planning and Inference , vol. 226, pp. 20–29, 2023. [ CrossRef ]
[28]  A.A.  Al-Shomrani,  “An  improvement  in  maximum  likelihood  estimation  of  the gompertz distribution parameters,” J Stat Theory Appl , vol. 22, no. 1–2, pp. 98–115, 2023. [ CrossRef ]
[29]  H.  Cho  and  C.  Kirch,  “Bootstrap  confidence  intervals  for  multiple  change  points based on moving sum procedures,” Computational Statistics & Data Analysis , vol. 175, p. 107552, 2022. [ CrossRef ]
[30]  R.R.  Wilcox, Introduction  to  Robust  Estimation  And  Hypothesis  Testing ,  Fifth edition.  London,  United  Kingdom  San  Diego,  United  States  Cambridge,  MA Oxford, United Kingdom: Academic Press, an imprint of Elsevier, 2022.
[31]  R. Azaïs, S. Ferrigno, and M.-J. Martinez, “cvmgof: an R package for Cramér–von Mises  goodness-of-fit  tests  in  regression  models,” Journal  of  Statistical Computation and Simulation , vol. 92, no. 6, pp. 1246–1266, 2022. [ CrossRef ]
[32]  A.S. Dabye, Yu. A. Kutoyants, and E.D. Tanguep, “On APF test for Poisson process with shift and scale parameters,” Statistics & Probability Letters , vol. 145, pp. 28– 36, 2019. [ CrossRef ]
[33]  P.P.  Oktaviana  and  Irhamah,  “Kolmogorov-Smirnov  goodness-of-fit  test  for identifying  distribution  of  the  number  of  earthquakes  and  the  losses  due  to earthquakes in Indonesia,” J. Phys.: Conf. Ser. , vol. 1821, no. 1, p. 012045, 2021. [ CrossRef ]
[34]  M. Berlinger, S. Kolling, and J. Schneider, “A generalized Anderson–Darling test for the goodness-of-fit evaluation of the fracture strain distribution of acrylic glass,” Glass Struct Eng , vol. 6, no. 2, pp. 195–208, 2021. [ CrossRef ]
[35]  H.J.  Wattimanela,  “Analysis  of  types  of  foreshock  and  aftershock  earthquake distributions  in  2018  in  Lombok  Island  based  on  depth  using  the  Kolmogorov- Smirnov  and  Chi-Squared  test  approaches,”  dipresentasikan  pada  The  7th International Conference On Basic Sciences 2021 (ICBS 2021), Ambon, Indonesia, p. 050008, 2023. [ CrossRef ]
[36]  N.S.A.  Bakar,  Ab  H.  Jabrullah,  M.N.S.M.S.  Jefri,  M.N.  Sham,  and  J.A.  Syakira, “Count  data  models  for  outpatient  health  services  utilisation,” BMC  Med  Res Methodol , vol. 22, no. 1, p. 261, 2022. [ CrossRef ]