JURNAL GAUSSIAN, Volume 6, Nomor 4, Tahun 2017, Halaman 510-519 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian

## IMPLEMENTASI SUBSET AUTOREGRESSIVE MENGGUNAKAN PAKET FITAR
Tomi Ardi 1 , Rukun Santoso 2 , Alan Prahutama 3
1,2,3 Departemen Statistika FSM Universitas  Diponegoro rukunsantoso25@gmail.com

## ABSTRACT
Time series data analysis  is one of the important  points  in statistics that is a time -dependent analysis.  The  commonly  used  model  for  time  series  data  is  ARIMA  (Autoregressive Integrated  Moving  Average) or  often  also  called  the  Box-Jenkins  time  series  method.  A model  of ARIMA used in  time clock data forecasting is the AR subset (autoregressive). The AR  subset  model  is  suitable  for  a long  time  series  with  a more  than  5th  order  lag.  The statistical  software used  is  the  R. time  series AR  subset  approach  on  R  using  the  FitAR package.  The  main  function  of  the  FitAR  package  is SelectModel and FitAR . SelectModel function  to get the model  automatically  while FitAR is used to determine the temporary  suspect model.  Data used in  the form  of dataset contained  in package FitAR that is SeriesA. The SeriesA data is data about the chemical  concentration  process observed every 2 hours for 17 days. SeriesA is processed using  FitAR  package so that the best model is AR [1,2,7].
Keywords : Time  Series, Time Series Non-stasioner,  Subset AR, FitAR Package

## 1. PENDAHULUAN
Analisis  data runtun  waktu ( time series ) merupakan salah satu bahasan penting  dalam ilmu  statistika.  Data runtun  waktu merupakan jenis  data yang dikumpulkan  menurut  urutan waktu  dalam  suatu  rentang  waktu  tertentu.  Berdasarkan  penjelasan  sebelumnya  bisa dikatakan  bahwa data yang memiliki  urutan dan rentang waktu tertentu. Model  yang umum digunakan  untuk  data  runtun  waktu  adalah  ARIMA  ( Autoregressive Integrated Moving Average ) atau sering juga disebut  metode runtun  waktu Box-Jenkins.
Salah  satu model  dari  ARIMA yang  digunakan  dalam  peramalan  data runtun  waktu adalah  subset  AR  ( autoregressive ).  Berbeda  dengan  model  AR  biasanya,  model  ini merupakan  alternatif  sederhana dari  mdoel  ARMA yang  kompleks  dimana  secara khusus model  subset  AR  cocok  untuk  deret  waktu  yang  panjang  dengan  lag  orde  lebih  dari  5. Perbedaan model  AR dengan  subset  AR adalah  lag  yang  muncul  pada proses analisisnya. Pada umumnya  untuk  menentukan  model  AR dengan  melihat  lag  yang  muncul  pada  plot PACF. Apabila lag muncul  secara beurutan dan berhenti di lag 3 maka bisa dikatakan  model tersebut  model  AR(3),  namun  bila  lag  yang  muncul  secara acak misalkan  lag  1,3,5  maka bisa menggunakan  model  subset AR untuk  melakukan  analisisnya.
Dalam  perkembangannya  banyak software-software yang  digunakan  untuk menganalisis  metode statistik  dan satu di antaranya menggunakan software R . R merupakan salah satu software untuk  komputasi  statistik  dan grafik.  Sebagian  besar fungsinya  berasal dari  paket  yang  ada  pada software atau  tersedia  pada  situs  web  R.  Paket  adalah  suatu kumpulan  perintah  atau fungsi  yang digunakan  untuk  melakukan  analisis  tertentu.
Ada beberapa paket  yang  digunakan  untuk  analisis  runtun  waktu,  salah  satu paket yang  tersedia  adalah  FitAR.  Di  dalam  paket  ini  tersedia  analisis  runtun  waktu  khususnya untuk  model  AR dan juga  subset  AR dengan  dua  fungsi  utama yaitu SelectModel dan FitAR untuk  pemilihan  model  secara otomatis  dan  model  yang  cocok  setelah  dilakukan diagnosa.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 FitAR
Perbedaan R dengan  program  statistika  lain  seperti SAS System atau Minitab,  yaitu R  merupakan  bahasa  pemrogaman  interpreter  yang  artinya  akan  mengeksekusi  perintah setiap  kali  diketikkan  di  layar.  Kelebihan  dari  R  adalah  menyediakan  penanganan  dan penyimpanan  data,  mendukung  banyak  operator  perhitungan,  menyediakan  banyak  alat untuk  analisis  data, dan kemampuan  grafik yang baik  (www.r-project.org).
Paket FitAR menyediakan  pendekatan untuk subset time series AR ( autoregressive ). Dua  fungsi  utama  dalam  paket  ini  adalah SelectModel dan FitAR untuk  pemilihan model  secara otomatis  dan estimasi  model,  paket ini  menyediakan  analisis  untuk  model  AR biasa dan Subset AR.
Pada paket FitAR, fungsi  yang digunakan  yaitu:
1. Tahap seleksi  model
TimeSeriesPlot : digunakan  untuk  menampilkan  plot  Time Series acf : digunakan  untuk  menampilkan  plot  ACF pacf : digunakan  untuk  menampilkan  plot  PACF SelectModel : digunakan  untuk  menduga  model  awal BoxCox : digunakan  untuk menguji  kestasioneran data dalam varian 2. Tahap Estimasi  Model FitAR : digunakan  untuk  mengestimasi  model
3. Tahap Pemeriksaan Model JarqueBeraTest : digunakan  untuk  menguji  normalitas LjungBoxTest : digunakan  untuk menguji  korelasi  residual  antar lag
Dalam paket ini  mencakup fungsi  untuk  plot time series, pemeriksaan diagnostik,  Box-Cox analisis,  dan prosedur time series yang biasa digunakan.

## 2.2 Analisis Runtun Waktu
George  E.P.Box  dan  Gwilym  M.  Jenkins  dalam  Makridakis  et.al (1999) memperkenalkan  analisis  runtun  waktu,  yaitu  pengamatan  sekarang  ( Z t )  tergantung  pada satu atau beberapa pengamatan sebelumnya  ( Z t-k ). Metode peramalan yang sering digunakan antara lain  adalah  metode  ARIMA Box-Jenkins  yang  digunakan  untuk  mengolah  runtun waktu yang univariat.
Menurut  Wei  (2006),  suatu  runtun  waktu  harus memenuhi  syarat stasioneritas,  yaitu nilai  mean   ) ( t Z E dan varians     2 2      t t Z E Z Var konstan.
Uji  stasioneritas  data  dalam mean digunakan  Uji  Dickey  Fuller.  Pengujian stasioneritas  dalam mean juga  dapat dilakukan  dengan  beberapa cara (Rosadi,  2012),  yaitu menggunakan  plot time series , plot  fungsi  autokorelasi  (ACF) dan  plot  fungsi  autokorelasi parsial  (ACF)  apakah  data mengandung trend atau tidak.  Jika  data  tidak  stasioner  dalam mean  maka  dilakukan  differensi.  Sedangkan  untuk  mendeteksi  ketidakstasioneran  dalam varian  dapat digunakan  plot  ACF/PACF dari residual  kuadrat atau menggunakan  plot  Box- Cox.  Untuk  melihat  dan  mengatasi  ketidakstasioneran  dalam  varian  dapat  digunakan transformasi  Box-Cox (Wei,  2006).
𝑇(𝑍 𝑡 ) = 𝑍 𝑡 𝜆 − 1 𝜆
Salah  satu model  runtun  waktu non-musiman  adalah  ARIMA ( p,d,q ). Bentuk umum model  ini  sebagai berikut  :
t q t d p a B Z B B ) ( ) 1 )( (    
dimana ) ... 1 ( ) ( 1 p p B B B        merupakan operator  AR(p)  yang  stasioner  dan
) ... 1 ( ) ( 1 q q B B B        merupakan  operator  MA(q) yang invertible dengan  a t independen dan berditribusi  normal  dengan mean 0 dan varians 2 a  (Soejoeti,  1987).
Sedangkan  menurut  Zhang  & McLeod  (2006)  model  subset  AR  merupakan  bagian dari  model  AR yang  tergeneralisasi,  sehingga  tidak  dapat dinyatakan  dalam  bentuk  umum. Contoh  model  subset AR ([1,4]) dapat ditulis  sebagai :
𝑍 𝑡 = 1 − 𝜙 1 𝐵 − 𝜙 4 𝐵 4
Pemilihan  model  terbaik  didasarkan  pada  nilai  AIC  terkecil  pada  masing-masing model  yang diverifikasi  (Wei,  2006).

## 3. METODOLOGI PENELITIAN

## 3.1 Sumber Data
Data yang akan digunakan  pada  karya ilmiah  ini  berupa dataset yang ada pada paket FitAR  yaitu  SeriesA.  SeriesA  adalah dataset mengenai  proses  konsentrasi  kimia  yang diamati  tiap  2  jam  selama  17  hari.  Dalam  pengerjaannya  fungsi-fungsi  pada  paket  yang digunakan  yaitu:
Seleksi  Model : TimeSeriesPlot, acf, pacf, SelectModel, BoxCox Estimasi  Model : FitAR
Pemeriksaan Model  : JarqueBeraTest, LjungBoxTest

## 3.2 Teknik Pengolahan Data
1. Tahap Identifikasi
Pada tahap ini  dilakukan  pengujian  stasioner data dalam mean dengan menggunakan plot time  series dan  uji  formal  menggunakan  uji  Dickey-Fuller  serta  untuk  uji stasioner  dalam  varian  dengan  menggunakan  plot  Box-Cox.  Selanjutnya  membuat plot  ACF dan PACF untuk  menduga model  awal.
2. Tahap Estimasi Pada tahap  ini  dilakukan  estimasi  parameter berdasarkan  model  yang  telah  diduga pada  tahap  sebelumnya.  Parameter-parameter tersebut  diuji  dengan  menggunakan uji-t  apakah signifikan  atau tidak dalam model.  Model yang digunakan  adalah model yang semua parameternya signifikan.
3. Tahap Diagnosis Pada tahap ini  model  yang telah diperoleh  dilakukan  pengujian  asumsi-asumsi:
a. Uji  Independensi  ( Ljung-Box test ), dimana akan terpenuhi  jika tidak  ada korelasi residual antar lag.
b. Uji  Normalitas  ( Jarque-Bera  test ),  dimana  akan  terpenuhi  jika residual berdistribusi  normal.
c. Uji  Homoskedastisitas  ( ARCH-LM  test ),  dimana  akan  terpenuhi  jika  residual homogen.
4. Tahap Peramalan
Pada  tahap  ini  meramalkan  data  dengan  model  subset  AR  yang  memiliki  AIC terkecil.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1  FitAR
FitAR  merupakan  salah satu paket yang tersedia  dalam software R yang  mendukung untuk  analisis  data time  series . Menurut  McLeod  & Zhang  (2006),  tahapan-tahapan  yang digunakan  untuk melakukan  analisis time series subset AR bisa di implementasikan  kedalam program  atau paket FitAR.
Dalam  FitAR  pemilihan  model  dilakukan  secara  otomatis  menggunakan  fungsi SelectModel dan  melakukan  estimasi  model  menggunakan  fungsi FitAR .  Langkah awal  dalam  paket  FitAR  yaitu menghasilkan time  series plot dari  fungsi TimeSeriesPlot yang  digunakan  untuk  uji  stasioneritas  data.  Uji  stasioneritas merupakan  uji  asumsi  wajib  dalam  analisis time series . Apabila  data stasioner  maka dapat langsung  diolah  menggunakan  paket FitAR,  jika  data tidak  stasioner maka harus dilakukan perbaikan  data  menggunakan  differensi  atau  transformasi.  Kegunaan  paket  FitAR  yaitu untuk  mengolah  data time series model  AR ataupun subset AR.
4.2  Identifikasi Model
Perintah  plot time series pada Software R untuk  menampilkan  plot  data SeriesA dan merupakan langkah  awal dalam uji  stasioneritas.
TimeSeriesPlot(z, aspect = 0.50, xlab = "Nomor Pengamatan", ylab=NULL, main=”Plot Data SeriesA”) lines(lowess(time(z),z),lwd=2,col=”black”)

## Gambar  1 Plot Time Series Data SeriesA
Stasioneritas  dalam  mean  bisa  dilihat  pada  Gambar  1  yang  dihasilkan  dari  perintah TimeSeriesPlot . Pada plot tersebut dapat diduga data tidak stasioner karena runtun data tidak  berada  pada  nilai  tengah.  Kemudian  dilakukan  pengujian  secara formal  dilakukan dengan  menggunakan  perintah UnitRootTest, Perintah UnitRootTest itu  sendiri menggunakan  uji  Dickey-Fuller . Sehingga  Diperoleh  nilai  prob  (0.000999001)  >  α=5% maka data stasioner dalam mean .
Uji  untuk  melihat  kestasioneran  data dalam  varian  digunakan  uji  Box-Cox,  sehingga dihasilkan  plot  pada Gambar  2. Pada Gambar  2,  terlihat  bahwa nilai  λ =  -1 sehingga  data SeriesA tidak  stasioner  dalam  varian  karena syarat stasioner  dalam  varian  harus λ=1. Data yang tidak  stasioner dalam varian dilakukan  proses transformasi  1/ 𝑍 𝑡 .
Gambar  2 Plot Time Series Setelah di Transformasi Dapat  dilihat  pada  Gambar  3  bahwa  nilai  λ  sama  dengan  1  sehingga  dapat  disimpu lkan bahwa data sudah  stasioner.  Data SeriesA  dapat disimpulkan  bahwa data stasioner  dalam mean dan varian.
Gambar  3 Plot Box-Cox Gambar  4 Hasil Transformasi  Box-Cox Tahapan  selanjutnya  dalam  identifikasi  model time  series adalah  pendugaan  model awal time series dengan melihat  plot  ACF seperti pada Gambar  4 dan PACF pada Gambar 5. Plot  ACF pada Gambar  5 terlihat  turun  perlahan  secara eksponensial  dengan  nilai  ACF yang selalu positif.  Sedangkan plot  PACF pada Gambar 5 terdapat cut off pada lag ke-1, ke- 2 dan ke-7. Sehingga  dapat dikatakan  bahwa data SeriesA mempunyai  bentuk  umum  model AR.
Gambar  4 Plot ACF
Gambar  5 Plot PACF
Paket  FitAR  mempunyai  program  dalam  penentuan  pendugaan  model  awal  time series  selain  menggunakan  plot  ACF  dan  PACF,  yaitu  dengan  menggunakan  fungsi SelectModel .  Pada  fungsi SelectModel dapat  juga  ditambahkan  kriteria  yang diinginkan  misalnya  dengan menampilkan  beberapa model  awal yaitu  dengan perintah:
SelectModel(z,lag.max=10,ARModel="ARp", Best=2)
Sehingga  didapat model  awal dari data SeriesA yaitu  AR(1) dan AR([1,2,7]).

## 4.3  Estimasi Parameter Model
Dalam  paket FitAR,  untuk  mengestimasi  parameter model  digunakan  fungsi FitAR guna  mencari  nilai  MLE  dan  output  lainnya  yang  dibutuhkan  dalam  estimasi  parameter. Untuk  memunculkan  nilai  t digunakan  fungsi getT dimana  nilai  t akan digunakan  dalam uji  signifikansi  model.  Perintah yang digunakan  untuk memunculkan  nilai-nilai  dari estimasi parameter pada model  yaitu  sebagai berikut:
ans <- FitAR(S,p,ARModel=”ARp”) coef(ans) getT(ans)
kemudian  didapat  nilai  estimasi  pada tiap parameter pada Tabel 1.
Tabel 1 Estimasi Parameter Model Model Parameter  Estimasi Nilai  t Keputusan AR (1) 𝜙 1 0.57304 -7.3123 H 0 ditolak Subset AR ([1,2,7]) 𝜙 1 0.35887 -9.1306 H 0 ditolak 𝜙 2 0.22953 -10.9726 H 0 ditolak 𝜙 7 0.22406 -11.0505 H 0 ditolak dapat disimpulkan  bahwa  parameter pada model  penduga signifikan.

## 4.4  Pemeriksaan Diagnostik
Pada pemeriksaan  diagnostik  akan dilakukan  uji  independensi,  uji  homoskedastisitas residual,  dan uji  normalitas  residual.  Sebuah proses { 𝑎 𝑡 } dikatakan  bersifat white noise jika deret bersifat independen  atau tidak  terdapat korelasi  serial antar residual   dan berdistribusi normal  dengan mean sama dengan nol  dan  varians konstan (Tsay, 2005).
1. Uji  Independensi  Residual
Uji  yang digunakan  untuk  uji  independensi  residual  secara visual yaitu  menggunakan plot  Ljung-Box  dan  uji  secara  formal  menggunakan  uji  Ljung-Box  dengan  perintah sebagai berikut  :
ans <- FitAR(S,p,ARModel=”ARp”) res <- resid(ans) LjungBoxTest(res,k=0,lag.max=30,SquaredQ=FALSE) Plot(ans)
Gambar  6 Model Subset AR([1,2,7])
Gambar  7 Model AR(1)
Secara visual  Subset  AR([1,2,7])  terdapat korelasi  residual  antar lag dan AR(1) terdapat korelasi  residual  antar lag.
Uji  independensi  residual  secara formal  menggunakan  uji  Ljung-Box.  Fungsi  paket FitAR yang digunakan  adalah LjungBoxTest. Didapatkan  hasil  pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai statistik  Ljung-box Model Lag  Qm(Q-Stat)  P-Value AR([1,2,7]) 2 0.37 0.8312 12 4.21 0.9794 13 4.24 0.9883 14 7.26 0.9243 AR(1)
2
8.59 0.0136
12 26.81 0.0082 13 27.19 0.0117 14 34.12 0.0019
Untuk model  AR([1,2,7])  nilai  p-value  > 0.05 sehingga  dapat disimpulkan  bahwa model AR([1,2,7])  tidak  ada  korelasi  residual  antar  lag,  kemudian  untuk  model  AR(1)  ada beberapa nilai  p-value  < 0.05 sehingga  dapat disimpulkan  bahwa model  AR(1) terdapat korelasi  residual  antar lag dan untuk  model  AR(1) tidak  dapat digunakan  lagi.
2. Uji  Normalitas  Residual
Digunakan  untuk mengetahui  residual  berdistribusi  normal  atau tidak.  Uji  normalitas residual  dilakukan  menggunakan  uji Jarque Bera.

## JarqueBeraTest(z)
Diperoleh  hasil  p-value  (0.8245275)  > 0.05  sehingga  dapat disimpulkan  bahwa residual data SeriesA berdistribusi  normal.
3. Uji  Homoskedastisitas  Residual
Digunakan  untuk mengetahui  bahwa tidak  terdapat heteroskedastisitas  dalam residual model.  Uji  Homoskedastisitas  residual  menggunakan  uji Lagrange Multiplier (LM). Diperoleh  nilai LM = 82.65923  < χ (0.05;1950) 2 = (230.46)  maka dapat disimpulkan  bahwa residual  homogen.
Dari uji  signifikansi  parameter model dan pemeriksaan diagnostik  yang telah dilakukan  pada model  yang  telah  diidentifikasi  sebelumnya,  diperoleh  hasil  model  yang  parameternya signifikan,  memenuhi  asumsi  independensi  residual,  homoskedastisitas  residual,  dan normalitas  residual  adalah  model  subset  AR([1,2,7]).  Kemudian  dibentuk  model  subset AR([1,2,7])  dengan melihat  estimasi parameternya pada Tabel 3 yang akan digunakan  dalam proses peramalan.
Paramter  Estimate  Std. Error  Z-Ratio
𝜙 1 0.36462 0.07022 5.11098 𝜙 2 0.22351 0.06935 3.31004 𝜙 7 0.22505 0.00039 3.56565
Dengan  model  yang terbentuk  untuk  data SeriesA adalah sebagai berikut:
𝑍̂ 𝑡 = 𝑎 𝑡 1 − 0.36462𝐵 − 0.22351𝐵 2 − 0.22505𝐵 7

## 4.5  Peramalan
Dari  model  yang  telah  didapatkan,  selanjutnya  dilakukan  proses  peramalan.  Proses peralaman  dilakukan  sebanyak  10  langkah  kedepan.  Setelah  didapatkan  hasil  peramalan sebanyak  10  langkah  kedepan  kemudian  apakah  model  yang  didapatkan  baik  untuk dilakukan  proses peramalan secara menyeluruh.
Tabel 4 Hasil Peramalan No. Data aktual Data Peramalan 188 0.0575 0.0581 189 0.0575 0.0580 190 0.0588 0.0580 191 0.0556 0.0551 192 0.0549 0.0551 193 0.0568 0.0572 194 0.0562 0.0567 195 0.0565 0.0561 196 0.0581 0.0579 197 0.0575 0.0579 198 0.0580 199 0.0583 200 0.0584 201 0.0585 202 0.0586 203 0.0586 204 0.0586 205 0.0586 206 0.0586 207 0.0586
Perintah yang digunakan  untuk  melakukan  peramalan dengan menggunakan  software R:
ans <- SelectModel(S, ARModel="ARp", lag.max=24, Best=1) vans <- FitAR(S, ans, ARModel="ARp") out<-predict(vans, n.ahead=10) zf<-out$Forecasts zsd<-out$SDForecasts y<-cts(S, zf) y
Hasil  ramalan  data SeriesA Subset  AR([1,2,7])  untuk  10 langkah  kedepan  serta 10  hampir mendekati  aktual  seperti pada Tabel 4.
Kemudian  untunk  memunculkan  plot  data digunakan  perintah  : plot(window(y,start=190),type="n",ylab="Data SeriesA") y1<-window(y, start=190, end=197) lines.ts(y1,col="blue",type="o", lwd=2, pch=16) y2<-window(y, start=c(197,1)) lines.ts(y2,col="red",type="o",lwd=2, pch=16) legend(197,12,legend=c("observed","forecast"),col=c("red" ,"blue"),lwd=c(2,2),pch=c(16,16))
Gambar  10 Plot Data Hasil Peramalan

## 5. KESIMPULAN
Subset AR ( Autoregressive ) sangat cocok digunakan  apabila  dalam suatu analisis  data time series menemukan  kendala dimana  pada plot  PACF terdapat lag-lag  yang cut-off tidak secara berurutan sehingga penerapan pada metode AR yang biasa akan sulit untuk  dilakukan. Dalam pengerjaannya  fungsi-fungsi  pada paket yang digunakan  yaitu:
Seleksi  Model : TimeSeriesPlot, acf, pacf, SelectModel, BoxCox Estimasi  Model : FitAR, getT Pemeriksaan Model : JarqueBeraTest, LjungBoxTest
Model  terbaik  adalah  AR ([1,2,7])  dengan nilai  AIC -2625.8,  model  tersebut parameternya sudah  signifikan,  memenuhi  asumsi  independensi,  homoskedastisitas  residual  dan normalitas  residual.

## DAFTAR PUSTAKA
Makridakis,  S., Wheelwright,  S.C., and McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan . Jilid  satu edisi  kedua, Terjemahan Ir. Hari Suminto.Jakarta.  Bina Rupa Aksara. Rosadi,  D. 2012. Ekonometrika & Analisis Runtun Waktu Terapan dengan Eviews . Yogyakarta. Penerbit ANDI.
Soejoeti,  Z. 1987. Materi Pokok Analisis Runtun Waktu . Jakarta. Karunika. Tsay, RS. 2005. Analysis of Financial Time Series . John Wiley and Sons, Inc. Chicago.
Wei,  W.W.S.  2006. Time  Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods . Canada. Addison  Wesley Publishing  Company. Zhang,  Y and Mcleod A.I. 2008. Improved Subset Autoregression: With R Package. The American Statistical  Association  Volume  20,  Issue 2.