## KESTABILAN TITIK KESEIMBANGAN MODEL DUA PEMANGSA SATU MANGSA DENGAN KRITERIA ROUTH-HURWITZH

## STABILITY OF THE EQUILIBRIUM POINT  OF  TWO PREDATORS ONE PREY MODEL WITH ROUTH-HURWITZH CRITERIA
Andi Susanto 1§ , Budi Rudianto 2
1 Program Studi Matematika FST UIN Imam Bonjol Padang, Indonesia [andisusanto@uinib.ac.id]
2 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Andalas Padang, Indonesia [budialbarqy@fmipa.unand.ac.id]
Received Mei 2020; Accepted Juni 2020; Published Juni 2020;

## Abstrak
Tulisan ini membahas kestabilan titik equilibrium model dua pemangsa satu mangsa dengan mengunakan kriteria  kestabilan  Routh-Hurtwizt.  Simbiosis  komensalisme  diasumsikan  berlaku  di  antara  dua pemangsa. Studi kepustakaan adalah metode yang digunakan dalam menghasilkan tulisan ini. Model dua pemangsa  satu  mangsa  mempunyai  dua  titik  equilibrium  yaitu 1 : , , 0 ( 1) ( 1) x u Eq           
 tidak  stabil  dan
1 2 1 : , ln , * * * y x w x x w Eq u C w u R u R w y                                         
  yang stabil lokal.
Kata Kunci : Kriteria Routh-Hurwizth, Titik Equilibrium, Kestabilan

## Abstract
This  paper  discusses  the  stability  of  the  equilibrium  point  of  two  predator  one  prey  model  using  the Routh-Hurtwizt criteria. Commensalism symbiosis is assumed to apply to predators. The findings in this study  resulted  from  a  literature  review.This  model  is  known  to  have  two  equilibrium  points,  namely unstable 1 : , , 0 ( 1) ( 1) x u Eq             and local stable 1 2 1 : , ln , * * * y x w x x w Eq u C w u R u R w y                                            .
Keywords : Routh- Hurwizth Criteria, Equilibrium Point, Stability

## 1. Pendahuluan
Pemodelan  matematika  merupakan  suatu alat  yang  digunakan  oleh  matematikawan  dalam memahami  perilaku  atau  fenomena  alam  dengan bahasa  simbol  dalam  rangka  melaksanakan tugasnya  sebagai  khalifah  dimuka  bumi.  Salah
satu  fenomena  alam  yang  banyak  di  aplikasikan dalam  kehidupan  manusia  adalah  hubungan (simbiosis) perilaku seperti rantai makanan antara dua  populasi  yaitu  pemangsa  dan  mangsa [3,4,11].
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
Model  pemangsa-mangsa  merupakan contoh  bagaimana  matematikawan  memahami fenomena alam dengan memperhatikan hubungan perilaku  antara  pemangsa  dan  mangsa,  secara biologi  hubungan  ini  harus  tetap  terjaga  dengan seimbang  sehingga  kelangsungan  hidup  suatu species tertentu dapat bertahan atau survive .
Hubungan  paling  sederhana  antara pemangsa  dan  mangsa  di  ajukan  oleh  Lotka  dan Volterra  pada  tahun  tahun  1920  secara  terpisah [3,4,7,11]. Model ini berasumsi mangsa memiliki cadangan makanan berlebih dan pemangsa diberi makan oleh mangsa. Dalam suatu ekosistem yang komplek khususnya dalam  rantai makanan, tentu yang  terlibat  bukan  hanya  satu  mangsa  dan  satu pemangsa,  bisa  saja  pemangsa  memakan  lebih dari  satu  mangsa  atau  ada  beberapa  pemangsa yang memangsa satu mangsa tertentu. Disisi lain hubungan sesama pemangsa atau simbiosis perlu juga  diperhatikan,  bisa  saja  hubungan  antar pemangsa  yang  terjadi  adalah  mutualisme, komensalisme atau parasitisme.
Model pemangsa mangsa yang
mempertimbangkan  hubungan  sesama  pemangsa atau simbiosis ini diajukan oleh A.J.Mullen tahun 1984  dalam  jurnal  Mathematical  Biosciences[9].
Mullen  mengemukakan  simbiosis  yang  terjadi antar  pemangsa  berpengaruh  pada  pemangsaan mangsa,  dalam  tulisannya  Mullen  menyatakan simbiosis  yang  terjadi  adalah  komensalisme, yaitu  hubungan  satu  pemangsa  diuntungkan  dan pemangsa yang lain tidak dirugikan.
Model pemangsa mangsa disajikan dalam bentuk  sistem  persamaan  differensial  nonlinear, sering  disebut  sistem  nonlinear.  Dalam  Boyce,
1992 [2], menyatakan bahwa tidak semua sistem nonlinear dapat diselesaikan seperti sistem linear, padahal  dalam  banyak  terapan  pemodelan matematika  justru  ditemukan  dalam  bentuk sistem  nonlinear.  Dalam  membahas  sistem terapan matematikawan justru tertarik pada solusi kualitatif  dibanding  solusi  kuantitatif  seperti solusinya ada untuk t menuju takhingga, stabilitas sistem,  solusinya  terbatas  atau  tidak,  perioditas sistem dan sebagainya [1,5,6,7,10].
Salah  satu  cara  mempelajari  sistem nonlinear adalah dengan melakukan pelinearan di titik-titik tertentu solusinya. Menurut Finizio dan Ladas  yang diterjemahkan oleh Widiarti Santoso [7],  pelinearan  adalah  menghampiri  sistem persamaan  differensial  nonlinear  dengan  suatu sistem  persamaan  differensial  linear.  Pelinearan ini  dilakukan  di  sekitar  titik-titik  solusinya  yaitu titik  equilibrium.  Sistem  baru  yang  terbentuk disebut sistem hampir linear [1,5,6,7,10].
Salah  satu  kajian  dalam  sistem  hampri linear  yang  banyak  dibahas  adalah  kestabilan sistem,  Kestabilan  dalam  bahasa  sederhana diartikan  sebagai  suatu  keadaan  respon  dari sistem  dimana  setiap  gangguan  yang  diberikan pada  sistem  akan    cepat  hilang  atau  menuju  nol. Salah  satu  teori  kestabilan  yang  terkenal  adalah yang  dikemukakan  oleh  E.J  Routh  dan  A.
Hurwitzh [9,10,11,12,13,14].
Teori ini
memanfaatkan koefisien persamaan karakteristik, untuk  menyatakan  bahwa  akar-akar  karakteristik bernilai  negatif,  yang  menjadi  kriteria  stabilitas suatu sistem.
Tujuan dari tulisan ini adalah menyajikan perluasan  model  Lotka  –  Volterra  yang
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
diasumsikan  hubungan  dua  pemangsa  adalah komensalisme,  menyajikan  sistem  hampir linearnya,  menemukan  titik  keseimbangannya (titik  equilibrium)  dan  menyajikan  stabilitas  titik equilibrium tersebut.

## 2. LandasanTeori

## Pemodelan matematika dengan menggunakan
sistem  persamaan  differensial  nonlinear  hampir tak  dapat  dihindarkan,    terutama  untuk mengambarkan  laju  perubahan  yang  dipengaruhi waktu.
Diberikan  sistem    persamaan  diferensial nonlinear
) ( x f x   (1)
dengan n R E x   dan n n R R E f   : fungsi kontinu  pada E .  Sistem  (1)  disebut  juga  sistem mandiri  karena  secara  eksplisit  tidak  bergantung waktu.  Berikut  diberikan  definisi  tentang penyelesaian  sistem  (1)  dan  ketunggalan penyelesaiannya.
Definisi  2.1. [5] Diberikan
,  dengan E himpunan  terbuka  dan ( ) , n i ,..., 2 , 1  .
Dengan  C 1 (E)  merupakan  himpunan  semua fungsi diferensiabel  kontinu pada E. Vektor ) ( t x
disebut  penyelesaian  Sistem  (1)  pada  interval terbuka  I  jika ) ( t x diferensiabel  pada I   dan
)) ( ( t x f x   untuk setiap I t  , E t x  ) ( . Teorema 2.1. [5] Diberikan n R E  , E himpunan terbuka. Jika ( ) , n i ,..., 2
, 1  dan E x  0 ,  maka  terdapat 0  a sehingga masalah  nilai awal )) ( ( t x f x   dengan
0 ) 0 ( x
x  mempunyai penyelesaian tunggal ) ( t x
pada interval   a a ,  .
Perilaku  penyelesaian  dapat  di  pelajari  di titik  equilibrium  dengan Linearisasi .  Linearisasi adalah  menghampiri  persamaan  differensial nonlinear dengan persamaan differensial linear.
Definisi  2.2. [5] Titik disebut  titik
equilibrium Sistem (1)  jika ( ) . Definisi 2.3. [5] Diberikan fungsi   T n f f f f ,..., , 2 1  pada  Sistem  (1)  dengan
( ) , n i ,..., 2 , 1  . Matriks
                
                  n n n n n n x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f J ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ) (        (2)
dinamakan matriks Jacobian dari f di titik x .
Definisi  2.3. [1,5,6,7,10]
Diberikan  matriks Jacobian   ) ( x f J pada  Persamaan  (2).  Sistem
persamaan diferensial linear
̇    ( ( )) (3)
disebut  linearisasi  Sistem  (1)  di  sekitar  titik equilibrium .
Sistem  (3)  dapat  digunakan  mempelajari kestabilan  sistem  (1)  jika  titik  equilibrium hiperbolik.  Berikut  diberikan  definisi  titik equilibrium hiperbolik.
Definisi  2.4. [1,5,6,7,10] Titik  ekuilibrium disebut  titik  equilibrium  hiperbolik  dari  Sistem (3) jika tidak ada nilai eigen dari ( ( )) yang mempunyai bagian real nol.
Salah  satu  perilaku  penyelesaian  sistem  (3) yang  menarik  dipelajari  adalah  perilaku kestabilan  di  titik  equilibrium  berikut  diberikan teorema kestabilan titik equilibrium.
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
Teorema  2.2. [9,10,11,12,13,14] Diberikan matriks  Jacobian ( ( )) dari  Sistem  (3)
dengan nilai eigen  .
a. Jika semua bagian real  nilai eigen matriks
( ( )) berharga  negatif,  maka  titik
equilibrium dari  Sistem  (3)  stabil asimtotik lokal. b. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen
matriks ( ( )) yang  bagian  realnya positif,  maka  titik  ekuilibrium dari
Sistem (3) tidak stabil.
Sifat  kestabilan  sistem  (3)  hampir sepenuhnya  bergantung  dari  nilai  eigen,  berikut diberikan  cara  menentukan  tanda  nilai  eigen dengan  memanfaatkan  koefisien  persamaan karakteristiknya.
Definisi 2.5. [9,10,11,12,13,14]

## Diberikan
[ ] , adalah  matriks  Hurwitz  dari  polinomial  a 0 0 ... 2 2 1 1        n n n n a a a    .
Definisi 2.6. [9,10,11,12,13,14]
Determinan  matriks Hurwitz tingkat ke-k  adalah
1 1 a   , 2 3 1 2 1 a a a   , 3 4 5 1 2 3 1 3 0 1 a a a a a a a   ,...,
[ ]
1     n n n a .
Teorema 2. 3. [9,10,11,12,13,14]
Pembuat nol dari polinomial
a 0 0 ... 2 2 1 1        n n n n a a a   
mempunyai  bagian  real  negatif  jika  dan  hanya jika semua  determinan tingkat ke-k dari matriks H bernilai positif.
Sehingga menurut kriteria Routh-
Hurwitzh  dalam  teorema  3,  untuk  suatu k disebutkan bahwa titik keseimbangan ( x*, y*, z* ) stabil jika dan hanya jika  (untuk k = 2, 3, 4 ),
k = 2  b 1 > 0, b 2 > 0
k = 3  b 1 > 0, b 3 > 0, b 1 b 2 > b 3
k = 4  b 1 > 0, b 3 > 0, b 4 > 0,
b 1 b 2 b 3 > b 3 2 +  b 1 2 b 4
Untuk persamaan
a 0 0 ... 2 2 1 1        n n n n a a a   
kriteria Routh-Hurwitzh disajikan dalam teorema berikut :
Teorema 2.4. [9,10,11,12,13,14].
Misalkan A, B, C bilangan real, bagian real dari
setiap akar-akar karakteristik persamaan karakteristik,
 3 +  A  2 +  B  +  C  =  0
adalah negatif jika dan hanya jika A, B, C positif dan AB > C.
Bukti.
Misalkan :
P (  ) =  3 +  A  2 + B  +  C = (  -  1 ) (  -  2 )(  -  3 ), maka berdasarkan hubungan antara akar-akar dan koefisien dari suku banyak diperoleh :
A = -  1 -  2 -  3 (D1) B =  1  2 +  1  3 +  2  3 (D2)
C = -  1  2  3 (D3)
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…

## Perhatikan dua kasus berikut :
Kasus  1  :  Akar  karakteristik  1 real,  2 dan  3 kompleks.
Misalkan :  1 = a ,  2 = b + ci ,  3 = b – ci
dengan a, b, c semuanya bilangan real, maka :
A = - a – 2b (D4) B = 2ab + b 2 + c 2 (D5)
C = - a ( b 2 + c 2 )
(D6)
(  )   Misalkan a dan b negatif, akan dibuktikan bahwa A, B, C positif dan AB > C
Karena  a  dan  b  negatif,  maka  nilai A,  B,  C
adalah positif. Selanjutnya, perhatikan bahwa :
C – AB = - a ( b 2 + c 2 ) – (- a – 2b)
(2ab + b 2 + c 2 ) =  2b ( a 2 + 2 ab + b 2 + c 2 )
Karena a dan b negatif,  maka C  –  AB <  0 sehingga AB > C.
(  )   Misalkan A, B, C positif dan AB > C , akan dibuktikan bahwa a dan b negatif.
Dan  diketahui bahwa C = - a ( b 2 + c 2 ) > 0, maka haruslah a < 0 . Kemudian dari bentuk :
AB – C > 0 - 2b ( a 2 + 2 ab + b 2 + c 2 ) > 0
- 2b (( a + b ) 2 + c 2 ) > 0
maka haruslah b < 0.
Kasus  2  :  Semua  akar  karakteristiknya bilangan real.
Misalkan  1 = a ,  2 = b ,  3 = c , dengan a, b, c
  , maka diperoleh : A = - a – b – c (D7) B = ab + ac + bc (D8) C = - abc (D9) (  )   Misalkan a,b,c negatif akan dibuktikan bahwa A,B,C positif dan AB > C. Dengan a,
b,  c negatif  maka A,  B,  C akan  positif.

## Selanjutnya, untuk
AB – C = ( -a-b-c ) ( ab + ac + bc ) – ( -abc ) = -b ( a 2 + c 2 ) – a ( b 2 + c 2 ) – 2abc.
Karena a,  b,  c negatif  maka AB  –  C  >  0 sehingga AB > C .
(  )      Misalkan A, B,  C positif  dan AB  > C , akan dibuktikan ,
Karena C  =  -  abc    >  0 ,  maka  terdapat  dua kemungkinan yaitu :
1. a, b, c semuanya negatif.
2. Salah  satunya  bernilai  negatif  dan  yang lainnya positif.
Pada kemungkinan kedua, misalkan a < 0 dan b,c > 0 . Dan diketahui bahwa –a = A + b + c , maka, diperoleh,
B  =  a ( b+c ) + bc
=  - (A + b + c ) ( b+ c ) + bc
=  -A ( b+ c) – b 2 – c 2 –bc < 0
Ini  kontradiksi  dengan  premis  bahwa B harus positif.  Ini  berarti  kemungkinan  kedua  tidak berlaku,  sehingga  kemungkinan  pertama  yang harus  berlaku.  Jadi  terbukti  bahwa a,  b,  c semuanya harus negatif. Dari kedua kasus di atas, lengkaplah bukti teorema ini.

## 3. Hasil Dan Pembahasan
Perhatikan  dua  spesies,  dan  misalkan  salah satu  spesies  dari  spesies  itu,  disebut mangsa ,
mempunyai persediaan makanan berlebih sedangkan  spesies  lainnya  disebut pemangsa , diberi  makan  oleh  spesies  yang  pertama.  Kajian matematika  mengenai  ekosistem  semacam  ini diperkenalkan  oleh Lotka  dan  Volterra dalam pertengahan  tahun  1920  secara  terpisah  [7].
Misalkan P(t) dan Q(t) masing-masing
menyatakan  banyaknya  spesies  mangsa  dan
A  B
abc > bahwa a,b,c negatif.
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
pemangsa pada saat t .
Jika  spesies  terpisah  satu  sama  lain,  mereka akan  berubah  dengan  laju  berbanding  lurus dengan jumlah yang ada, yaitu :
ap dt dp 
(4) cq dt dq   (5)
Dalam  persamaan  (4)  di  atas, a  >  0 karena populasi mangsa mempunyai persediaan makanan berlebihan  dan  karena  itu  bertambah  banyak, sedangkan  pada  persamaan  (5)  – c<0 karena, populasi  pemangsa  tidak  mempunyai  makanan jadi berkurang jumlahnya.
Tetapi telah dimisalkan bahwa kedua populasi berinteraksi  sedemikian  sehingga,  populasi pemangsa memangsa populasi mangsa. Sehingga dapat  diasumsikan  bahwa,  jumlah  yang memangsa besarnya tiap satuan waktu berbanding lurus  dengan p dan q ,  yaitu pq .  Jadi  populasi mangsa  akan  berkurang  jumlahnya  sedangkan pemangsa  akan  bertambah  jumlahnya,  pada  laju yang  berbanding  lurus  dengan pq .  Sehingga kedua  populasi  yang  berinteraksi  memenuhi sistem persamaan diferensial taklinear :
(6) (7)
Pada  persamaan  (6) b adalah  konstanta positif,  yang  didefinisikan  sebagai  efisiensi pemangsaan  pemangsa.  Dan  pada  persamaan  (7)
d adalah  suatu  konstanta  positif  yang didefinisikan  sebagai  efisiensi  interaksi  mangsa sebagai makanan oleh mangsa.
Untuk perluasan model, ini misalkan ada satu spesies  pemangsa  lagi  yang  juga  memangsa p ,
misalkan z ,  maka  seperti  dengan  pemangsa q maka  pemangsa z akan  berubah  memenuhi persamaan diferensial taklinear berikut:
(8)
karena  pemangsa z juga  memangsa p maka,  laju perubahan p akan berubah dengan pemangsaan z memenuhi  persamaan  diferensial  taklinear berikut:
(9)
sehingga bila persamaan (7), (8), (9) digabungkan diperoleh  suatu  sistem  persamaan  diferensial taklinear berikut :
  ( )
( ) 10 ( ) dp p a bq fz
dt dq q c dp dt dz z e fp dt      

##   
dengan  penulisan  ulang,  model  interaksi  dua pemangsa-satu  mangsa  sistem  (10)  dapat dinyatakan dalam bentuk :
  ( ) ( )
11
( ) dR R u vC wH dt dC C vR x dt dH H wR y dt         
dengan,
R = banyaknya mangsa
H = banyaknya pemangsa inang
C = banyaknya pemangsa yang komensalis terhadap H (diasumsikan)
u = tingkat pertumbuhan mangsa R v = tingkat pemangsaan pemangsa C w = tingkat pemangsaan pemangsa H
 = efisiensi konversi C
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
 = efisiensi konversi H
x = tingkat kematian pemangsa C
y = tingkat kematian pemangsa H
R, C, H  0 dan u, v, w,  ,  , x, y > 0
Interaksi  antar  pemangsa C dan H dalam model ini adalah komensalisme. Dalam hal ini C
bersifat  komensalis  terhadap H ,  artinya  dengan interaksi  ini, C memperoleh  keuntungan  dan H sebagai  inang  tidak  dirugikan  atau  diuntungkan.
Sedangkan C dipengaruhi  oleh H dengan tingkat pemangsaan  pemangsa C yang  didefinisikan sebagai :   C H e v       .
Dengan  konstanta  ,  ,  >  0 .  Efisiensi konversi C yaitu  , adalah besarnya perkembangbiakan pemangsa komensalisme dengan  memangsa  satu  mangsa.  Sedangkan efisiensi  konversi H yaitu  , adalah  besarnya perkembangbiakan  pemangsa  inang  dengan memangsa  satu  mangsa.  Kemudian x adalah tingkat  kematian C ,  artinya  jika  banyaknya pemangsa  komensalisme  sebesar C maka pertumbuhannya  akan  berkurang  sebesar xC . Sedangkan y adalah  tingkat  kematian H artinya, jika  banyaknya  pemangsa  inang  sebesar H maka pertumbuhannya akan berkurang sebesar yH [9] . Selanjutnya akan diberikan titik
keseimbangan  dari  persamaan  (11),  titik keseimbangan (R*,  C*,  H*) didapatkan  dengan membuat  :
0 , 0 , 0    dt dH dt dC
dt dR
Sehingga diperoleh :
0 *) * ( *    wH vC u R (12)
(5) 0 ) * ( *   x vR
C  (13)
0 ) * ( *   y wR H  (14) diketahui bahwa :   * * C H e v       (8) dan C*  0 ,  sehingga  pada  persamaan  (13) diperoleh :
0 *   x vR 
Selanjutnya  andaikan R*  =  0 ,  maka  menurut persamaan di atas diperoleh x = 0 , ini kontradiksi dengan  asumsi  bahwa x  >  0 .  Sehingga  haruslah
R*  0 . Berdasarkan uraian di atas, maka terdapat dua kasus :
Kasus 1 : ( u-vC*-wH* ) = 0, (  vR*-x ) = 0 dan

## H* = 0
Kasus 2 : ( u-vC*-wH* ) = 0, (  vR*-x ) = 0 dan (  wR*-y ) = 0
Berdasarkan  dua  kasus  di  atas  diperoleh hasil yang disajikan dalam teorema berikut;
Teorema  3.1. Sistem  persamaan  diferensial nonlinear (11) mempunyai dua titik keseimbangan yaitu : 1. 1 : , ,0 ( 1) ( 1) x u Eq             2. 1 2 1 : , ln , * * * y x w x x w Eq u C w u R u R w y                                           
Selanjutnya  akan  disajikan  sistem  hampir linear dari persamaan(11) yaitu persamaan :
f(R,C,H)   = R (u-vC-wH)
g(R,C,H)  = C(  vR-x)
j(R,C,H)   = H(  wR-y) Bentuk persamaan diferensial yang
dilinearkan  dengan  membentuk  matriks  Jacobi berikut :
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
                   
               H H C R j C H C R j R H C R j H H C R g C H C R g R H C R g H H C R f C H C R f R H C R f J ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( dengan, ( , , ) ( ) ( ) H C f R C H R u vC wH Ru vRC wRH Ru e RC wRH              
Dengan  menggunakan  turunan  parsial  maka diperoleh :
  11 ( , , ) H C f R C H a R u e C wH       
    12 ( , , )
1 H C f R C H a C
H R e C                           13 ( , , ) H C f R C H a
H
R e w          Selanjutnya, ( , , ) ( ) ( ) H C
g R C H C vR x
vRC Cx
e RC Cx             
Dengan  menggunakan  turunan  parsial maka diperoleh :
  21 ( , , ) H C g R C H a R
C e          22 ( , , )
1 H C g R C H a
C
H
R e x C                         23 ( , , )
H C g R C H a H R e       


## Selanjutnya untuk,
( , , ) ( ) j R C H H wR y H wR Hy       Dengan menggunakan turunan parsial diperoleh :
w H R H C R j a      ) , , ( 31 y wR H H C R j a       ) , , ( 33
Maka  matriks  Jacobi  yang  diperoleh  dari sistem persamaan (1), (2), (3) adalah :
           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a
J (16)
Dengan a 11 ,  a 12 ,  …,  a 33 secara  berturut-turut diberikan pada persamaan di atas. Matriks Jacobi ini  disebut  sistem  hampir  linear  dari  persamaan (11).
Berikutnya kestabilan persamaan (11) disekitar titik  keseimbangannya  di  berikan  dalam  teorema berikut ;
Teorema  3.2. Persamaan  (11)  Model  dua pemangsa  satu  mangsa  mempunyai  satu  titik equilibrium yang tidak stabil yaitu
1 : , ,0 ( 1) ( 1) x u
Eq            
Dan  satu  titik  keseimbangan  yang  stabil  lokal yaitu ;
1
2 1 : , ln , * * * y x w x x w Eq u C w u R u R w y                                           

## Bukti.
Perhatikan  titik  keseimbangan  kasus  1  (Eq 1 )  : ( R*,C*,H* ) dengan :
0 ) , , ( 32     C H C R j a
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
0 * , ) 1 ( * , ) 1 ( *      H u C x R    
Pelinearan sistem persamaan diferensial pada titik keseimbangan Eq 1 menghasilkan matriks Jacobi :
*) *, *, ( 33 32 31 23 22 21 13 12 11 1 H C R T a a a a a a a a a J           
Dengan a ij seperti berikut ini :
* * * * 11 wH C e u a C H                
Dengan  mensubstitusikan  nilai R*,  C*,  H* diperoleh :
0 ) 1 ( ) 1 ( 11          u u a                    * * 12 * * 1 * C H e C H R a    
Dengan mensubstitusikan nilai R*, C*, H* maka diperoleh :
     x x a       ) 1 ( ) 1 ( 12             w e R a C H * * 13 *  
Dengan mensubstitusikan nilai R*, C*, H* maka diperoleh :
) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( 13               w x w x a            * * 21 * C H e C a   
Dengan  mensubstitusikan  nilai C*,  H* maka diperoleh :
     u u a     ) 1 ( ) 1 ( 21
x e C H R a C H                    * * 22 * * 1 *    
Dengan mensubstitusikan nilai R*, C*, H* maka diperoleh :
0 ) 1 ( ) 1 ( 22      x x a     * * 23 * C H e R a    
Dengan mensubstitusikan nilai R*, C*, H* maka diperoleh :
1 ) 1 ( 23          x x a w H a  * 31 
Dengan  mensubstitusikan  nilai H* maka diperoleh :
0 31  a , 0 32  a , y wR a   * 33 
Dengan  mensubstitusikan  nilai R* maka diperoleh :
y wx a    ) 1 ( 33   
Dan  persamaan  karakteristik  diperoleh  dari persamaan :
0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 1           a a a a a a a a a I J T atau 0 0 0 33 23 21 13 12        a a a a a atau 0 33 21 12 21 12 2 33 3     a a a a a a
  
Berdasarkan  Kriteria  kestabilan  Routh-Hurwitzh, kestabilan  akan  terjadi  jika  syarat  di  bawah  ini dipenuhi :
-a 33 > 0 (17)
a 12 a 21 a 33 > 0 (18) (-a 33 )( -a 12 a 21 ) > a 12 a 21 a 33
(19)
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
Akan tetapi ini tidak mungkin terpenuhi karena :
a 33 a 12 a 21 - a 12 a 21 a 33 = 0
Dengan demikian sistem persamaan (11) tidak stabil pada titik keseimbangan  Eq 1 .
Selanjutnya kestabilan di titik
keseimbangan Eq 2 : (R*, C*, H*) dengan :
w y R   * 1 * ln * *                 R x u w R u x C                   * 1 * C y w x u w H  
Pelinearan sistem persamaan diferensial pada titik keseimbangan  Eq 2 menghasilkan  matriks  Jacobi berikut :
*) *, *, ( 33 32 31 23 22 21 13 12 11 2 H C R T a a a a a a a a a J           
dengan,
* * * * 11 wH C e u a C H                 Dengan  mensubstitusikan  nilai * * H C e   dan  nilai
H* maka diperoleh :
0 11  a .
Untuk a 12 dan a 13 karena  nilai C* terpaut  pada nilai R* dan H* terpaut  pada  nilai C* maka a 12 dan a 13 ditulis dalam bentuk :
                 * * * * 1 * 12 C H e C H R a    
            w e R a C H * * 13 *              * * 21 * C H e C a   

## Dengan  mensubstitusikan  nilai
* * H C e   dan kemudian nilai v maka diperoleh :
v C a  * 21  x e C H e R a C H C H                       * * * * 22 * * *      Dengan  mensubstitusikan  nilai * * H C e   dan kemudian nilai R* maka diperoleh :
* * * * * 22 C H e R a C H       
Untuk nilai a 23 , a 31 dan a 32 diperoleh berikut ini :
* * * 23 C H e R a      w H a  * 31  0 32  a
Untuk nilai a 33 dengan mensubstitusikan nilai R* maka diperoleh :
0 33    y w y w a  
Dan  persamaan  karakteristik  diperoleh  dari persamaan :
0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 2      a a a a a a a a a I J T    atau 0 0 31 23 22 21 13 12        a a a a a a atau 0 ) ( )
( 23 12 13 22 31 31 13 21 12 2
22 3       a a a a a a
a a a a   
Sehingga  berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitzh, kondisi  kestabilan  akan  terjadi  jika  syarat  di bawah ini terpenuhi :
0 22   a (20)
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
0 ) ( 23 12 13 22 31   a a a a a
(21) ) ( )) ( )( ( 23 12 13 22 31 31 13 21 12 22 a a a a a a a a a a      (22)
Berikut  ini    diperiksa  kondisi  di  atas  pada titik keseimbangan Eq 2 .
Untuk kondisi a 22 perhatikan bahwa,
* * * * * 22 C H e R a C H       
Karena  , R*,  ,  , H*, C* dan fungsi  eksponen selalu  positif,  maka a 22 < 0 ,  atau  – a 22 > 0 , sehingga kondisi a 22 terpenuhi.
Untuk  kondisi 0 ) ( 23 12 13 22 31   a a a a a ,  perhatikan
bahwa,
w H a  * 31 
          w e R a C H * * * 13   * * * 23 C H e R a     
Karena  ,  w,  ,  R*,  ,  ,  H*,  C* dan  fungsi eksponen selalu positif, maka a 31 > 0, a 13 < 0 dan a 23 > 0.
Selanjutnya, klaim
                 * * * * 1 * 12 C H e C H R a    
adalah negatif.
Bukti klaim.
Dari hubungan H * dan C* diketahui bahwa :
               y w x C H     ln 1 * * .
atau
         y w x C H     ln
* *
Jika  kedua  ruas  ditambah  dengan  satu  maka diperoleh :
          y w x C H     ln 1 * * 1
Selanjutnya  jika  kedua  ruas  dikalikan  dengan
* * C H e   , maka diperoleh :
* * * * * * ln 1 * * 1 C H C H C H e e e C H                                   dan diketahui bahwa : y w x e C H        * * Misalkan q y w x e C H         * *
maka persamaan di atas dapat ditulis :
q q e C H C H )) ln( 1 ( * * 1 * *            
Selanjutnya, perhatikan fungsi :
q q q p )) ln( 1 ( ) (  
Nilai  maksimum  fungsi p terjadi  jika p’(q)  = 0 yaitu:
p(q)  = q – q ln q p’(q) = 1 –  ( ln q +1 ) = 1 – ln q – 1
= - ln q
maka p’(q)   = - ln q = 0 atau
- ln q = 0,
dengan  menggunakan  sifat  logaritma  maka diperoleh q  = 1 . Sehingga  untuk  setiap q, maka p(q)  1. Sehingga,
1 * * 1 * *          C H e C H  
Kemudian  berdasarkan  kriteria  agar  H*,  C*  ada yaitu  > 1, maka bentuk
* * * * 1 C H e C H            
Akan  bernilai  positif,  dengan  demikian a 12 negatif.
kedua  ruas
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
Karena a 22 a 13 bernilai  positif,  - a 12 a 23 bernilai positif dan a 31 positif, maka 0 ) ( 23 12 13 22 31   a a a a a
jadi kondisi 0 ) ( 23 12 13 22 31   a a a a a terpenuhi.
Sedangkan kondisi  terakhir akan berlaku jika,
0 ) ( ) ( 23 12 13 22 31 31 13 21 12 22     a a a a a a a a a a
atau 0 ) ( 31 23 22 21 12   a a a a a
Karena a 12 bernilai  negatif,  maka  kondisi  di  atas
akan berlaku jika, ) ( 31 23 22 21 a a a a  < 0 atau
0 * * * * * * * * * *
          w H e R C H e R v C C H C H          atau 0 ) ( * * * *    v w e R H C H
   
Karena  ,  ,  , H*, R* dan fungsi eksponen selalu positif, maka ketaksamaan di atas berlaku jika,
w v   
Sementara itu, pada T 2 , y w x v   
Sehingga kondisi akan terpenuhi jika,
w y w x    atau, x > y .
Dengan demikian, sistem persamaan (11) stabil di sekitar  titik  keseimbangan Eq 2 ,  jika  dan  hanya jika x > y.

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Berdasarkan hasil di atas dapat
disimpulkan  bahwa  model  dua  mangsa  satu mangsa  yang  di  asumsikan  simbiosis komensalisme  terjadi  di  antara  pemangsa memiliki  satu  titik  keseimbangan  yang  tidak
stabil  yaitu 1 : , ,0 ( 1) ( 1) x u Eq             , satu
titik  keseimbangan  yang  stabil  lokal  yaitu
1 2 1 : , ln , * * * y x w x x w Eq u C w u R u R w y                                            Kajian dalam tulisan ini dapat
disempurnakan  dengan  menampilkan  simulasi menggunakan  data  yang  tersedia  sesuai  bidang aplikasi  dalam  rekayasa.  Simulasi  data  dan menampilkan  potret  phase  dari  solusi  dapat membantu menyempurnakan tulisan ini.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Terima  kasih  kepada  guru  saya  bapak Budi  Rudianto yang  telah  membantu memberikan  masukan  dan  kritikan  pada penulisan ini.

## Daftar Pustaka
[1] Arrowsmith,  D.K.,  Place,  C.M.,  1992, Dynamical  System  Differential  Equations , Maps  and  Chaotic  Behaviour ,  Chapman  & Hall, London.
[2] Boyce,  W.  E  &  DePrima  R.C.  1992, ” Elementary  Differential  Equations  and Boundary  Value  Problem” ,  5 th edition,  Jhon Wiley & Sons.
[3] Brauer,  F.  and  Castilo-Chavez,  C.,  2001, Mathematical  Models  in  Population Biology and  Epidemiology ,  Springer-Verlag,  Inc., New York.
[4] Haberman,  Richard.,  1977,  Mathematical Models,  mechanical  Vibrations,  Population Dynamics,  and  Traffic  flow,  Prentice  Hall, New jersey.
[5] Khalil,  H.  Hassan.,  2002, Nonlinear  System , Third Edition, Prentice Hall, New Jersey.
[6] Kocak,  H.  dan  Hole,  J.  K.,  1991. Dynamic and  Bifurcation, Springer  –  Verlag.  New York.
Andi Susanto, Budi Rudianto                                                                                          Kestabilan titik keseimbangan model dua pemangsa…
[7] Ladas,  Finizio.  1988, “Persamaan  Difensial Biasa dengan Penerapan Modern” .
Terjemahan.  Dra.  Widiarti  Santoso.  Edisi  II.
Erlangga. Jakarta.
[8] Luenberger,  D.  G.,  1979, Introduction  to Dynamical  System  Theory,  Model  and Application ,  John  Willey  &  Son,  Inc.,
Canada
[9] Mullen, A. J. 1984, “ Autonomic Tuning of a
Two  Predator-One  Prey  System  Via
Commensalism”. Mathematical Biosciences. [10] Olsder,  G.  J,  1994, Mathematical  System Theory ,  Delft  University  of  Technology,
Netherlands
[11] Pielow,  E.C.  1977, “Mathematical  Ecology” . A.  Wiley-Interscience  Publication.  John Wiley and Sons. New York.
[12] Perko,  L.,  1991, Differential  Equations  and Dynamical  System ,  Springer-Verlag,  New York.
[13] Verhulst,  F.,  1990, Nonlinear  Differential Equations  and  Dynamical  System ,  Springer- Verlag, Germany.
[14] Wiggins,  S.,  1990, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  System  and  Chaos , Springer-Verlag, New York