## PELABELAN TOTAL TAK REGULER PADA GRAF BARBEL
Nugroho Arif Sudibyo 1 , Siti Komsatun 2
1,2 STMIK Duta Bangsa
Abstract: For example G (V, E) is a simple graph, a graph that do not contain of loops and parallel sides. Labeling of a graph is a mapping (function) that carries elements of a graph into positive or non-negative integers.  Labeling power of irregular total point of  a  graph  is  a  mapping f:  V  E  {1,  2,  3,  ...,  k} which  is  called  as  labeling  k  total irregular  point  (vertex  irregular  total  k-labeling)  in  G,  if  the  weight  of  each  different point at G is not the same, that is f(x) + 𝒇 𝒙𝒚 𝒙𝒚𝝐𝑬  f(u) + 𝒇(𝒖𝒗) 𝒖𝒗𝝐𝑬 for each of
the two points x and u that are different in G.Determination of exact value of irregular power  of  the  total  point  is  done  by  showing  the  value  of  lower  limit  and  upper  limit, both of them are proved to have equal value. The upper limit is decided by constructing a label, so that the largest label is obtained by minimum way. According to these two steps, a value for irregular power of the total point of a graph is obtained. In this paper, we will investigate irregular total labeling on barbell graph.
Keywords: Point Irregular Total Labeling, Barbell.

## PENDAHULUAN
Pada  tahun  1735,  teori  graf  pertama  kali  diperkenalkan  Leonhard  Euler  untuk menyelesaikan  permasalahan  jembatan  Konigsberg  pada  sungai  Pregel,  Rusia.  Solusi yang  diusulkannya  atas  permasalahan  tersebut  berupa  titik  dan  sisi  yang  kemudian dikenal sebagai graf Eulerian, yaitu suatu graf dengan karakteristik terhubung dan setiap titiknya  berderajat  genap.  Selanjutnya  teori  graf  berkembang  luas  dan  dapat  diterapkan pada  kehidupan  nyata.  Pelabelan  graf  merupakan  suatu  topik  yang  menarik  dalam  teori graf sehingga berbagai jenis pelabelan diteliti dan dikembangkan (Gallian, 2017).
Hingga  saat  ini  pelabelan  graf  dapat  diaplikasikan  pada  berbagai  bidang  antara lain  sistem  transportasi,  sistem  komunikasi,  navigasi  geografis,  radar,  dan  juga  sistem keamanan.  Sebagai  contoh  desain  dari  kode  untuk  sinyal  radar  dan  peluru  kendali ekuivalen dengan pelabelan pada graf lengkap, dimana setiap titik yang ada dihubungkan dengan  satu  sisi  yang  mempunyai  label  yang  selalu  berbeda.  Label  sisi  ini menggambarkan  jarak  antar  titik,  sedangkan  label  titiknya  merupakan  posisi  pada  saat sinyal dikirimkan.
Pelabelan  graf  adalah  suatu  pemberian  nilai  (dengan  bilangan  bulat)  pada  titik atau  sisi  dari  graf  atau  keduanya  sehingga  memenuhi  kondisi  tertentu.  Label  yang digunakan  berupa  bilangan  bulat  positif  atau  bilangan  asli.  Pelabelan  graf  pertama  kali diperkenalkan  pada  akhir  1960an  oleh  Rosa.  Selanjutnya,  pelabelan  yang  domainnya berupa himpunan titik, himpunan sisi, atau keduanya biasanya disebut dengan pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Hingga kini dikenal beberapa jenis pelabelan graf yang  dibahas,  antara  lain  pelabelan  graceful,  pelabelan  harmoni,  pelabelan  total  tak
beraturan,  pelabelan  ajaib,  pelabelan  radio,  pelabelan  anti  ajaib,  dan  masih  banyak pelabelan graf yang lain (Gallian, 2017).
Salah  satu  jenis  pelabelan  graf  yang  banyak  dikaji  dan  dikembangkan  adalah pelabelan total tak reguler. Ide pelabelan ini pertama kali Bača dkk.(2007). Misal G ( V,E ) adalah  graf  sederhana.Pemetaan f : V  E  {1,  2,  3,  ..., k }  disebut  pelabelan- k total  tak reguler titik( vertex irregular total k-labeling ) pada G, jika bobot setiap titik yang berbeda pada  G  tidak  sama,  yaitu f ( x )  + 𝑓 𝑥𝑦 𝑥𝑦𝜖𝐸  f ( u )  + 𝑓(𝑢𝑣) 𝑢𝑣𝜖𝐸 untuk  setiap  dua  titik x dan u yang  berbeda  pada G .  Penentuan  kekuatan  tak  regular  titik  total  suatu  graf  juga bukan  hal  yang  mudah  dilakukan  dan  sampai  saat  ini  belum  diperoleh  hasil  untuk  graf secara umum.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  kajian  ilmu  murni  yang  bersifat  studi  literatur.  Oleh karena  itu,  pendekatan  yang  digunakan  adalah  eksploratif  dan  adaptasi  yaitu memanfaatkan  pengetahuan  yang  penulis  miliki  dari  penelitian-penelitian  sebelumnya. Selain itu digunakan juga hasil-hasil penelitian yang telah ada di literatur.
1. Menelusuri  pustaka  yang  berupa  buku-buku  referensi,  jurnal,  artikel  dan  mengkaji konsep-konsep dasar yang berkaitan dengan graf, pelabelan pada graf dan khususnya pelabelan total tak reguler.
2. Mempelajari  dan  mengkaji  beberapa  hasil  penelitian  tentang  pelabelan  total  tak reguler titik.
3. Melakukan  penelitian  tentang  pelabelan  total  tak  reguler  titik  pada  ketiga  kelas  graf dan menentukan kekuatan tak reguler titik total ( tvs ( G )) pada graf-graf tersebut yang hasilnya disajikan dalam bentuk teorema.
4. Membuktikan  teorema  yang  diperoleh  di  langkah  3.  Untuk  hal  ini,  detil  langkahnya adalah sebagai berikut:
a. melakukan  simulasi  pelabelan  total  tak  reguler  titik  pada  graf  tersebut  di  langkah ke 3 dengan jumlah titik ( n ) tertentu.
b. menentukan  rumus  pelabelan  total  tak  regular  titik  untuk n sebarang  pada  graf tersebut ,
c. menentukan batas atas dan batas bawah untuk tvs ( G ).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Graf barbel berorder n  3, B n,n merupakan dua graf lengkap K n yang dihubungkan oleh bridge .Definisi ini  diambil  dari  Gosh  et  al.  (2006).  Diberikan  graf  barbel B n,n , n  3
dengan V ( B n,n )={ v 1 , v 2 ,…, v n , u 1 , u 2 , …, u n } dan himpunan egde (garis) E ( B n,n )={ v 1 u 1 ,u i u j , v i v j ; i,j=1,2, …,n }.
Teorema 1. Diberikan graf barbell B n,n , n  3 maka kekuatan total tak reguler titik totalnya adalah
𝑡𝑣𝑠 𝐵 𝑛,𝑛 = 3.
Bukti . Graf  barbell B n,n merupakan  graf  yang  memiliki  2 n titik.  Dengan  menggunakan Teorema  pada  Bača  dkk.(2007)  diperoleh  batas  bawah 𝑡𝑣𝑠 𝐵 𝑛,𝑛 ≥ 3. Selanjutnya  akan ditunjukkan bahwa 𝑡𝑣𝑠 𝐵 𝑛,𝑛 ≤ 3 . Misalkan himpunan titik V ( B n,n )={ v 1 , v 2 ,…, v n , u 1 , u 2 , …,  u n }  dan  himpunan egde (garis) E ( B n,n )={ v 1 u 1 ,u i u j ,  v i v j ;  i,j=1,2,  …,n }.  Pelabelan  titik dan pelabelan garis untuk titik 𝑣 𝑖 adalah sebagai berikut.
𝜆 𝑣 𝑖 = 1, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2
dan
𝜆 𝑣 𝑖 = 2, 𝑛 2 < 𝑖 ≤ 𝑛
dan untuk setiap 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ,
𝜆 𝑣 𝑖 𝑣 𝑗 = 1,
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 𝑖 + 1, 𝑖 ≠ 𝑗,
dan
𝜆 𝑣 𝑖 𝑣 𝑗 = 2,
𝑛 − 𝑖 + 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
Berikut ini adalah pelabelan titik dan pelabelan garis untuk titik 𝑢 𝑖 .
𝜆 𝑢 𝑖 = 2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2
dan
𝜆 𝑢 𝑖 = 3, 𝑛 2 < 𝑖 ≤ 𝑛
dan untuk setiap 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ,
𝜆 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 = 2,
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 𝑖 + 1, 𝑖 ≠ 𝑗,
dan
𝜆 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 = 3,
𝑛 − 𝑖 + 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
Untuk garis yang  menghubungkan diantara dua graf  lengkap K n yang dihubungkan oleh bridge pelabelannya sebagai berikut.
𝜆 𝑣 1 = 2, 𝜆 𝑢 1 = 3, 𝜆 𝑣 1 𝑢 1 = 3.
Oleh  karena bobot  setiap  titik  berbeda,  maka  terbukti  kekuatan  total tak  reguler titik totalnya adalah 𝑡𝑣𝑠 𝐵 𝑛,𝑛 = 3.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Kemenristek Dikti yang telah mendanai penelitian ini pada tahun 2018.

## SIMPULAN DAN SARAN
Kekuatan total tak reguler titik total dari graf barbel adalah 3.

## DAFTAR PUSTAKA
Bača, M., Jendrol, S., Miller, M. dan Ryan, J. (2007). On irregular total labeling. Discrete Mathematics 307, 1378-1388.
Gallian,  J.A.  (2017).A  Dynamic  Survey  of  Graph  Labeling .The  electronic  journal  of combinatorics, 18, #DS6.
Gosh,  A.,  S.  Boyd  and  A.  Saberi.(2006), Minimizing  Effective  Resistance  of  a  Graph ,
Proc 17 th International Symposium. Mathematics Theory, Network and Systems, Kyoto, Japan
Rosa, A. dan A. Kotzig. (1970). Magic Valuations of Finite Graphs , Canad. Math. Bull , 451-461