## ABSTRAK

## PENENTUAN HARGA OPSI EROPA DENGAN MODEL BINOMIAL
Djaffar Lessy, Dosen Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, IAIN Ambon 081343357498, E-mail: Djefles79@yahoo.om
Banyak  model  telah  ditemukan  untuk  menentukan  harga  opsi.  Model  binomial dianggap  sebagai  model  yang  paling  sederhana.  Model  ini  digunakan  dengan asumsi  bahwa  pergerakan  bahwa  harga  aset  hanya  memiliki  dua  kemungkinan kejadian,  yaitu  harga  aset  naik  atau  harga  aset  turun.  Untuk  menentukan  harga opsi Eropa dengan model binomial terbagi atas dua model, yaitu: model binomial dan model binomial kombinatorik. Dari hasil simulasi menunjukkan bahwa harga opsi  Eropa  dengan  model  binomial  konvergen  ke  harga  opsi  menurut  rumus Black-scholes.
Kata kunci : opsi Eropa, model binomial.

## PENDAHULUAN
Sekitar 30 tahun terakhir ini, derivatif telah berkembang pesat dalam dunia keuangan. Derivatif dapat didefinisikan sebagai instrumen keuangan yang nilainya bergantung  pada  (atau  diturunkan  dari)  nilai  aset  yang  mendasarinya  (seperti saham,  komoditas,  dan  mata  uang).  Saham  merupakan  suatu  aset  yang  beresiko, oleh  karena  itu  perlu  adanya  suatu  instrumen  keuangan  yang  berfungsi  untuk melindungi aset tersebut yaitu opsi . 1
Opsi adalah suatu kontrak antara writer dan holder yang memberikan hak, bukan  kewajiban  kepada holder untuk  membeli  atau  menjual  suatu  aset  pokok ( underlying  asset )  dengan  suatu  harga  tertentu  ( strike  price atau exercise  price ) pada  suatu  waktu  tertentu  dimasa  akan  datang  ( expiration  date atau maturity time ). Opsi yang terdapat pada  pasar keuangan ada bermacam-macam seperti opsi Amerika,  opsi  Eropa,  ada  juga  opsi  eksotik  ( exotic  option )  atau path  dependent option seperti  opsi  barrier,  opsi  Asia,  dan  lain-lain.  Hal  menarik  dalam  masalah opsi adalah menentukan harga yang pantas dibayar oleh holder kepada writer saat holder membeli sebuah opsi dari writer .
1 John C. Hull. Options, Futures, And Other Derivatives . (New Jersey : Pearson Derivatives, 2006), hlm. 1
Pada tahun 1970-an,   Fischer  Black, Myron Scholes, dan Robert Merton membuat  model  untuk  menghitung  harga  opsi.  Mereka  mengamati  pergerakan harga  aset  yang  berdistribusi lognormal dan  menurunkan  suatu  persamaan diferensial parsial yang menggambarkan harga opsi. 2
Banyak model telah ditemukan untuk menentukan harga opsi. Model yang paling  sederhana  adalah  model  binomial.  Model  ini  digunakan  dengan  asumsi bahwa  pergerakan  harga  aset  hanya  memiliki  dua  kemungkinan  kejadian,  yaitu harga  aset  naik  atau  harga  aset  turun.  Pada  tulisan  ini,  penulis  akan  mengkaji tentang penentuan harga opsi dengan model binomial, khususnya opsi Eropa.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Opsi
Opsi merupakan suatu surat berharga yang dapat diperdagangkan, nilainya tergantung pada suatu nilai dari aset pokok ( underlying asset ). Pada sebarang opsi, terdapat  dua  pihak  yang  terlibat,  yaitu holder (pihak  yang  memegang  opsi)  dan writer (pihak yang menerbitkan opsi).
Opsi  dapat  dikelompokkan  menjadi  dua  kategori  utama  berdasarkan  hak pemilik opsi, yaitu  opsi call dan opsi put . Opsi call adalah opsi untuk membeli sedangkan opsi put adalah opsi untuk menjual. Sebuah opsi call memberikan hak, bukan  kewajiban,  kepada  pemiliknya  ( holder )  untuk  membeli  sebuah  aset  dari writer dengan  harga  yang  telah  disepakati  ( strike  price atau exercise  price ),  dan hak  tersebut  berakhir  pada  waktu  yang  telah  ditentukan  ( expiration  date atau maturity  time ).  Sedangkan  opsi put memberikan  hak,  bukan  kewajiban,  kepada pemiliknya ( holder ) untuk menjual sebuah aset kepada writer dengan harga yang telah disepakati  ( strike price atau exercise price ), dan hak tersebut berakhir pada waktu yang telah ditentukan ( expiration date atau maturity time ). 3
Berdasarkan waktu pelaksanaan hak, terdapat dua jenis opsi standar,  yaitu opsi Eropa dan Opsi Amerika. Opsi Eropa hanya dapat di- exercise pada saat jatuh
2 Ibid. hlm. 281
tempo ( maturity time ) dari opsi. Sedangkan opsi Amerika dapat di- exercise setiap saat sebelum atau pada saat jatuh tempo ( maturity time ) dari opsi. 4
Opsi call Eropa  memberi  kesempatan  kepada  pemiliknya  untuk  membeli sebuah  aset  dari writer dengan  harga strike  price pada  saat maturity  time . Misalkan menyatakan  harga  aset  pada  saat  ,  dan    menyatakan maturity time .  Jika maka  opsi  akan  di- exercise dengan  keuntungan  sebesar ,  dan  jika maka  opsi  tidak  akan  di- exercise. Sehingga  nilai payoff dari  opsi call Eropa  pada  saat maturity  time adalah .
Untuk  opsi put Eropa  memberi  kesempatan  kepada  pemiliknya  untuk  menjual sebuah  aset  kepada writer dengan  harga strike  price pada  saat maturity  time . Misalkan menyatakan  harga  aset  pada  saat  ,  dan    menyatakan maturity time .  Jika maka  opsi  akan  di- exercise dengan  keuntungan  sebesar ,  dan  jika maka  opsi  tidak  akan  di- exercise. Sehingga  nilai payoff dari opsi call Eropa pada saat maturity time adalah
. 5

## 2. Model Binomial untuk Menentukan Harga Opsi Eropa
Model  ini  berangkat  dari  suatu  model  pergerakan  harga  aset  yang sederhana.  Selang  waktu dibagi  menjadi    sub  selang  yang  sama  panjang dengan titik-titik bagi
dengan
,   adalah maturity time , dan harga aset pada saat  . Harga aset dapat  bergerak  naik  dengan  faktor  sebesar    dan  dapat  bergerak  turun  dengan faktor sebesar
Asumsi :
1. Dalam selang waktu harga aset dapat naik atau turun menjadi atau dengan .
2. Peluang  harga  aset  naik  (naik)  =    dan  peluang  harga  aset  turun  (turun)  =
4 Ibid.
5 Desmond J. Higham. An Introduction to Financial Option Valuation. (New York : Cambridge University Press, 2004), hlm. 1-4.
3. Ekspektasi return harga  aset  besarnya  sama  dengan risk-free  interest  rate  .
Sehingga untuk harga saham yang bergerak secara acak dari pada saat menjadi pada saat ini berarti . 6 Nilai  parameter , dan akan  ditentukan  kemudian  dengan menggunakan  beberapa  persamaan  yang  menghubungkan  ketiga  persamaan tersebut atau menggunakan suatu asumsi tambahan.
Dari asumsi 1 dan 2 (model diskrit) diperoleh
Sehingga diperoleh persamaan pertama
(1) yang  memberikan Agar  dipenuhi maka  haruslah Untuk model kontinu terdapat hubungan
dengan
Untuk model diskrit kita mempunyai
Dengan menyamakan variansi untuk model diskrit dan model kontinu,  diperoleh persamaan kedua
(2)
Persamaan (1) dan (2) diatas memberikan dua hubungan  ,   dan  . Dibutuhkan persamaan  ketiga  untuk  dapat  menentukan  nilai  ketiga  parameter  tersebut. Persamaan  ketiga  dapat  dipilih.  Diantara  berbagai  pilihan  yang  mungkin  dua diantaranya :
,dan (3)
6 Rudiger Seydel. Tools for Computational Finance. (Berlin : Springler, 2002), hlm. 12-13.
Dari  tiga  persamaan  yang  diperoleh,  yaitu  persamaan  (1),  (2),  dan  (3)  di  atas, nilai-nilai  ,   dan   dapat ditentukan.
Solusi untuk pilihan diberikan oleh : , dan dengan Sedangkan solusi untuk pilihan diberikan oleh : , dan Selanjutnya  akan  ditentukan  harga  aset  dengan  menggunakan  parameter  yang telah  diketahui.  Misalkan harga  aset  adalah ,  maka  menurut  model binomial  ini,  harga  aset  pada  saat diberikan  oleh dan . Selanjutnya  pada  saat harga  aset  mengambil  salah  satu  dari , atau . Dengan  meneruskan  langkah  ini  maka  pada  saat akan  terdapat
harga aset akan mungkin terjadi, yang diberikan oleh
dengan menyatakan  harga  aset  pada  saat      dan  telah  terjadi  kenaikan  harga
aset sebanyak   kali serta penurunan harga aset sebanyak
kali, dihitung dari saat .  Pada  saat maturity  time terdapat harga  aset yang mungkin yaitu Jika menyatakan nilai-nilai payoff
pada  saat maturity  time untuk  sebuah  opsi call Eropa  dan
menyatakan  nilai-nilai payoff pada  saat maturity  time untuk  sebuah  opsi put Eropa, maka
Gambar. 1 Pohon binomial harga aset
Model  binomial  selanjutnya  bekerja  secara  mundur  (dalam  waktu)  untuk memperoleh  nilai  opsi  pada  saat
.  Nilai  opsi  saat  ,  yaitu ,  berkaitan dengan  nilai  aset  pada  saat  itu  yaitu ,  dihitung  secara  rata-rata  dari  nilai-nilai opsi dan pada pada saat . ( untuk call dan untuk put ).
Nilai diberikan oleh
Formula  diatas  memungkinkan  kita  untuk  melakukan  langkah  mundur  ke  saat dan mendapatkan nilai opsi ( call atau put ) Eropa yang diinginkan pada saat . Sehingga kita peroleh :
Untuk opsi call Eropa
(4) Untuk opsi put Eropa
(5)
Dari persamaan (4) dan (5) dapat  diturunkan formula lain (kombinatorik) untuk opsi call dan put Eropa. 7
Model 1 langkah
Gambar 2. Pohon binomial 1 langkah untuk opsi call
Dimana adalah  harga  opsi call pada  harga  aset  naik,  sedangkan adalah harga opsi call pada harga aset turun.
Model 2 langkah
Gambar 3. Pohon binomial 2 langkah untuk opsi call
7 http://users.aims.ac.za/ronnie/NMI&2Notes/Chap8.pdf . Pricing in The Binomial Model.
Model 3 langkah
Gambar 4. Pohon binomial 3 langkah untuk opsi call
Dari model 1 langkah, model 2 langkah, model 3 langkah, dan seterusnya, dapat dirumuskan formula model n langkah, untuk opsi call Eropa adalah
atau
Dengan  cara  yang  sama  dapat  diturunkan  juga  formula  untuk  opsi put Eropa, sehingga diperoleh
atau

## 4. Simulasi Penentuan Harga Opsi Eropa  dengan Model Binomial
Untuk menentukan harga opsi dilakukan simulasi dengan bantuan program MATLAB.  Penentuan  harga  opsi  Eropa  dengan  model  binomial  ditentukan dengan dua model, yaitu : model binomial dan model binomial kombinatorik.
Untuk  mengsimulasikam  kedua  model  ini,  terlebih  dahulu  diinput beberapa  parameter,  antara  lain  :  harga  aset  awal ; strike  price ; interest rate ;    waktu  jatuh  tempo  / maturity  time volatility ;  dan  banyaknya langkah .
Contoh simulasi : Nilai parameter yang iinput adalah :
Hasil yang diperoleh untuk simulasi ini adalah :
Harga opsi Eropa dengan model binomial : untuk opsi call dan untuk opsi put
Harga  opsi  Eropa  dengan  model  binomial  kombinatorik  :  untuk  opsi call dan untuk opsi put .
Sedangkan  harga  opsi call dan  opsi put menurut  rumus Black-scholes yang dijadikan  sebagai  nilai  patokan  (nilai  eksak)  adalah  :  untuk  opsi call dan untuk opsi put Model Opsi call Opsi put Metode Binomial 18.6178 11.1024 Metode Binomial Kombinatorika 18.6178 11.1024 Rumus Black-Scholes 18.6101 11.0947
Terlihat bahwa harga opsi Eropa dengan model binomial konvergen ke harga opsi menurut rumus Black-scholes.

## KESIMPULAN
Dari pembahasan di atas, ditarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan model binomial.
2. Penentuan harga opsi Eropa dengan model binomial  terbagi  atas dua model, yaitu : model binomial dan model binomial kombinatorik.
3. Harga  opsi  Eropa  dengan  model  binomial  konvergen  ke  harga  opsi  menurut rumus Black-scholes.

## DAFTAR PUSTAKA
Higham,  J.  Desmond  (2004). An  Introduction  to  Financial  Valuation Mathematics,  Stochastics  and  Computation .  Cambrige  University  Press, New York.
Hull,  John  C.  (2006). Options,  Futures,  and  Other  Derivatives. Pearson Derivatives, New Jersey.
Seydel, Rudiger. (2002). Tools for Computational Finance. Springler, Berlin.
http://users.aims.ac.za/ronnie/NMI&2Notes/Chap8.pdf.  Pricing  in  The  Binomial Model. (diakses Januari 2012).