DWIJACENDEKIA Jurnal Riset 1 (1) (2017) 19-33

## DWIJACENDEKIA
Jurnal Riset Pedagogik
https://jurnal.uns.ac.id/jdc
ANALISIS LEARNING  TRAJECTORY MATEMATIS  DALAM  KONSEP  PERKALIAN BILANGAN CACAH DI KELAS RENDAH SEKOLAH DASAR

## Ejen Jenal Mutaqin

## STKIP Garut
Sejarah Artikel Abstrak Diterima 11 Juli 2017 Disetujui 19 Juli 2017 Diterbitkan 1 Agustus 2017 Strategi  atau  cara  siswa  kelas  rendah  sekolah  dasar  dalam melakukan perkalian cukup variatif. Hal ini mendorong peneliti untuk  mengkaji  lebih  jauh  tentang Learning  Trajectory perkalian siswa kelas rendah sekolah dasar melalui penelitian. Fokus  penelitian  ini  adalah  berusaha  mengungkap  pola empirical  learning  trajectory konsep  perkalian  di  kelas  rendah sekolah  dasar.    Penelitian  ini  menggunakan  pendekatan kualitatif dengan metode studi kasus dimana subjeknya adalah siswa  kelas  rendah  sekolah  dasar.  Berdasarkan  hasil penelitian  disimpulkan  (1)  Secara  umum  terdapat  lima  pola empirical  learning trajectory perkalian bilangan cacah di kelas rendah  sekolah  dasar  yaitu:  pemodelan  dengan  benda konkret,  pemodelan  dengan  gambar,  penjumlahan, raraban , dan  pola  buku  teks  BSE. Hypothetical  learning  trajectory perkalian  dapat  disusun  berdasarkan  pola empirical  learning trajectory sehingga  dapat  digunakan  guru  sebagai  petunjuk dalam membagi tahapan pembelajaran dan dapat memberikan  berbagai  alternatif  strategi  ataupun scaffolding untuk  membantu  dan  mengatasi  siswa  yang  mengalami kesulitan  dalam  memahami  konsep  perkalian  bilangan  cacah di kelas rendah sekolah dasar.
Kata Kunci
Learning Tarajectory, Perkalian Bilangan Cacah, Siswa Kelas Rendah Sekolah Dasar

## Cara Mengutip
Mutaqin,  E.J.  (2017). Analisis  Learning  Trajectory  Matematis dalam  Konsep  Perkalian  Bilangan  Cacah  di  Kelas  Rendah Sekolah  Dasar . DWIJACENDEKIA  Jurnal  Riset  Pedagogik, 1(1), 19-33. Korespondensi Penulis: jenal86mutaqin@gmail.com p-ISSN 2581-1843 e-ISSN 2581-1835

## PENDAHULUAN
Mata  pelajaran  matematika  yang penuh  dengan  perhitungan  ini  dicap oleh sebagian orang sebagai
pelajaran  yang  sulit  dan  menyulitkan. Saleh (2009) menyebutkan salah satu faktor  yang  menyebabkan  pelajaran matematika tampak sulit karena banyaknya perhitungan yang melibatkan angka dan logika.
Perkalian  termasuk  salah  satu  topik dalam  matematika  di  sekolah  dasar yang  sulit  dipahami  oleh  sebagian siswa.
Perkalian merupakan
kompetensi
operasi
bilangan yang mulai diperkenalkan  kepada  siswa  kelas dua  semester  kedua.  Kompetensi tersebut  sebagaimana  diamanatkan dalam Standar Isi Sekolah Dasar/Madrasah  Ibtidaiyah  tentang Standar Kompetensi yaitu “Melakukan perkalian  dan  pembagian  bilangan sampai  dua  angka”  dan  Kompetensi Dasar  yaitu  “Melakukan  perkalian bilangan  yang  hasilnya    bilangan  dua angka” (Depdiknas, 2006).
Berdasarkan  hasil  observasi  dan wawancara  dengan  guru  mengenai hasil  evaluasi  yang  dilakukan  oleh guru  kepada  siswa  kelas  rendah, ternyata  dalam  mengerjakan  soal perkalian  tersebut  ada  yang  cepat, ada  yang  lambat,  ada  yang  masih kesulitan,  dan bahkan  ada  juga  siswa yang  masih  keliru  dalam  memahami konsep  perkalian.  Misalnya  saja, ketika  siswa  diperintahkan  untuk menyelesaikan  soal “Ada  tujuh  kotak berisi  kue.  Setiap  kotak  berisi  tiga buah  Kue.  Berapakah  banyak  kue seluruhnya?..”.
Dalam  menyelesaikan  soal  tersebut, beberapa  siswa  menggunakan  cara terbaiknya  dengan  menggunakan  alat
bantu  hitung  sebagai  model:  siswa menggambar 7 buah kotak yang berisi 3 bulatan kecil dalam setiap kotaknya, kemudian  membilang  satu-satu  (1,  2, 3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10,  11,  12,  13,  14, 15,  16,  17,  18,  19,  20,  21),   Ada  juga yang  membilang  tiga-tiga  (3,  6,  9,  12,
15, 18, 21) sehingga didapat  jawaban banyaknya bulatan-bulatan kecil dalam  seluruh  kotak  tersebut  adalah 21 . Seperti pada gambar dibawah ini:
Gambar 1. Jawaban Siswa 1
Dari  gambar  diatas,  beberapa  siswa melihat itu sebagai 3+3+3+3+3+3+3=21. Selanjutnya, siswa  lain  yang  telah  akrab  dengan perkalian,  menjawab  soal  tersebut dengan  7  x  3  =  21.Pada  kasus  yang lain,  ketika  siswa  diperintahkan  untuk menyelesaikan sebuah kalimat perkalian ... x ... = 28, umumnya siswa dapat  menjawab  pertanyaan  tersebut dengan  benar  yaitu  4x7=28,  7x4=  28, 1x28=28,  2x14=28.  Tetapi,  ketika diperintahkan  untuk  menggambarkan operasi  perkalian  4  x  7  =  28  siswa menjawab seperti pada gambar dibawah ini:

## Gambar 2. Jawaban Siswa 2
Strategi-strategi  atau  cara-cara  siswa tersebut  merupakan  salah  satu  tahap dari learning trajectory . Menurut
Simon 1995 learning trajectory merupakan  lintasan  atau  rute  belajar yang  memberikan  gambaran  tentang pengetahuan  prasyarat  yang  telah dimiliki  siswa  (sebagai  titik start )  dan setiap  langkah  dari  satu  titik  ke  titik berikutnya,  menggambarkan  proses berpikir  dan  metote  yang  siswa gunakan, ataupun tingkat-tingkat berpikir yang siswa tunjukkan.Mengingat pentingnya pendidikan  yang  berkesinambungan dari sisi konten dan proses,
Mathematical Learning Trajectory menjadi isu penting dalam
pembelajaran  matematika.  Untuk  itu, sebagai  praktisi  bidang  pendidikan dasar  penulis  tertarik  untuk  lebih  jauh mengamati learning  trajectory dalam proses penelitian. Proses ini berusaha mengungkap  arah  dan  pola  lintasan belajar  perkalian.  Dari  pola  tersebut kemungkinan  ada  cara  yang  efektif untuk mendukung kompetensi matematis berikutnya. Penelitian  ini  sekaligus  menjawab kebutuhan  dalam  studi  matematika tentang upaya yang
dapat menstimulasi para siswa untuk membangun dari pengalaman- pengalaman individual dan mengembangkan  kemampuan  siswa
untuk  berpikir  matematis.  (Wahyudin, 2010). Selain itu, guru dapat mempertimbangkan keragaman respon  siswa  atas  situasi  didaktis yang dikembangkan sehingga rangkaian situasi didaktis yang dikembangkan berikutnya sesuai dengan  keragaman  lintasan  belajar ( learning  trajectory )  masing-masing siswa (Suryadi, 2011).
Di  kelas  rendah  sekolah  dasar pembelajaran perkalian bilangan cacah dipilah menjadi dua tahap, yaitu perkalian  dasar  (perkalian  satu  digit) dan  perkalian  lanjut  (perkalian  multi digit).Ketika  anak  belajar  perkalian baik perkalian dasar maupun perkalian  lanjut,  mereka  mengikuti suatu  pola  tingkatan  alamiah,  yakni belajar  kemampuan-kemampuan  dan ide-ide  konsep  perkalian  dengan  cara mereka  sendiri.  Setiap  anak  memiliki alur yang berbeda untuk sampai pada konsep perkalian bilangan cacah, baik dalam perkalian dasar maupun perkalian lanjut. Oleh karena itu, maka yang  menjadi  fokus  dalam  penelitian ini  adalah  “Bagaimana  pola empirical learning  trajectory perkalian  bilangan cacah  di  kelas  rendah  sekolah dasar?”

## METODE PENELITIAN
Penelitian dilaksanakan di SDN Karangmulya 02 Subjek dalam
penelitian  ini  adalah  siswa  kelas rendah sekolah dasar mulai dari kelas 1  sampai  kelas  3.  Pemilihan  siswa yang  menjadi  sumber  data  dilakukan menggunakan purposive  sampling . Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif karena penelitian ini  berusaha  mengeksplorasi  secara mendalam  tentang  fenomena  sentral learning  trajectory perkalian  bilangan cacah  siswa  kelas  rendah  sekolah
dasar. Sedangkan metode yang dipilih adalah  metode  studi  kasus  dimana pada penelitian ini
berusaha mengungkap  pola empirical  learning trajectory perkalian. Untuk memperjelas tahapannya maka peneliti  mencoba  melukiskan  dalam bagan alur penelitian sebagai berikut:

## Gambar 3.Bagan Alur Penelitian
Instrumen  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  lembar  studi dokumen  RPP,  Lembar  wawancara tentang hypothetical learning trajectory , LKS dan Lembar Wawancara Klinis. Secara umum, ada dua  analisis  yang  dilakukan:  (1) analisis hypothetical learning trajectory berdasarkan data identifikasi HLT;  (2)  analisis  pola empirical learning  trajectory berdasarkan  data hasil  LKS  dan  Wawancara  Klinisnya. Data  hasil  analisis  berupa  arah  dan pola empirical  learning  trajectory
tersebut  kemudian  dikaji  hubungan antar  kelompok,  kemudian  dikaji  pula hubungan  dengan  literatur.  Bahkan jika  memungkinkan  bisa  menentukan learning  trajectory perkalian  yang efektif untuk kompetensi berikutnya.

## PEMBAHASAN
Salah  satu  teori belajar  matematika yang  berpengaruh  adalah  teori  dari Jean Piaget, seorang psikolog terkenal dari Swiss (Wahyudin, 2012:80).  Teori  Piaget  menjelaskan cara  orang  berfikir,  memahami  dan belajar. Piaget meyakini bahwa kecerdasan  adalah  proses  kognitif atau  mental  yang  yang  digunakan oleh anak untuk memperoleh pengetahuan.  Anak-anak  mengikuti suatu  pola  tingkatan  alamiah  ketika mereka belajar maupun dalam proses perkembangannya.  Sebagai  contoh, anak-anak  mengalami  pola  yang sama  pada  perkembangan  mereka dari  belajar  tengkureb,  merangkak, berdiri,  berjalan,  lalu  berlari,  dan melompat  dengan  kecepatan  dan kecekatan  yang  terus  meningkat seiring dengan perkembangan fisiknya.
Sama  halnya  dalam  proses  belajar mereka. Strategi atau cara para siswa menuju  situasi  belajar  dan  penalaran mereka  sangat  variatif.  M.  Suzanne
Donovan  dan  John  D.  Bransford (2005)  dalam  bukunya How  Students
Learn  History,  Mathematics,  and Science In The Classroom menggambarkan  ada  berbagai  alur atau proses berpikir ( learning trajectory) anak  yang  berbeda  dalam memahami matematika. Istilah learning trajectory (alur belajar) pertama  kali  digunakan  oleh  Simon (1995:136)  yang  mengajukan  konsep tentang hypothetical learning trajectory Learning trajectory yaitulintasan  atau  rute  belajar  yang memberikan gambaran
tentang pengetahuan  prasyarat  yang  telah dimiliki  siswa  (sebagai  titik  start)  dan setiap  langkah  dari  satu  titik  ke  titik berikutnya,  menggambarkan  proses berpikir  yang  siswa  gunakan,  metode yang  siswa  pakai,  ataupun  tingkat- tingkat berpikir yang siswa tunjukkan.
Salah  satu  konsep  matematika  yang dipelajari  di  sekolah  dasar  adalah perkalian.  Taylor  dan  Mills  (1961:69) mendefinisikan  “ Multiplication  is  the
shortened  process  of  finding  the  sum of  equal  addends  by  using  the addition  facts”. Perkalian  sebagai proses  pendek  untuk  menemukan jumlah    dari  bilangan-bilangan  yang sama  pada  setiap  sukunya  melalui penggunaan fakta-fakta penjumlahan.. Pada prinsipnya perkalian sama dengan  penjumlahan  bilangan  cacah secara berulang, dimanabilangan cacah  merupakan  bilangan-bilangan kardinal dari himpunan-himpunan yang  terhingga  atau  bilangan  0,  1,  2,
3,  4,  5,  dan  seterusnya  (Wahyudin,
2010). Oleh karena itu, prasyarat yang harus dimiliki siswa sebelum mempelajari perkalian adalah penguasaan konsep bilangan,penjumlahan bilangan cacah, dan  nilai  tempat  bilangan.  (Heruman, 2007:22).
Di sekolah dasar pembelajaran perkalian    dipilah    menjadi  2  (dua) tahap,    yaitu    perkalian  dasar  dan perkalian lanjut.Perkalian dasar adalah  perkalian  dari  dua  bilangan yang  masing-masing  terdiri  dari  satu angka (Marsudi Raharjo dkk, 2009:51),  seperti  perkalian  2x3=6, 6x7=42,  3x8=24  dan  sebagainya.
Sedangkan  Perkalian  lanjut  adalah perkalian yang melibatkan dua bilangan  selain  dua  bilangan  satu angka (Marsudi Raharjo dkk, 2009:51)..  Artinya  perkalian  dari  dua bilangan dengan salah satu
bilangannya  lebih  dari  satu  angka atau  kedua-duanya  lebih  dari  satu angka atau multi digit, seperti 7x66=462, 6x123=738, 9x5250=47250, 16x25=400, dan seterusnya.
Ketika  siswa  belajar  perkalian  baik perkalian  dasar  maupun  perkalian lanjut,  mereka  mengikuti  suatu  pola tingkatan alamiah, yakni belajar
kemampuan-kemampuan  dan  ide-ide perkalian dengan cara mereka sendiri. Secara  umum  pola learning  trajectory perkalian  yang  terungkap  ada  enam tipe yaitu:
1.  Pola  pemodelan  dengan  benda konkret Cara berfikir anak dalam menyelesaikan  soal  yang  diberikan pada  pola  ini  cenderung  berpikir  semi konseptual  (Zuhri,1998)  dimana  cara berpikir  anak  dalam  memecahkan masalah  menggunakan  konsep  atau skema yang telah dia miliki berdasarkan  hasil  pelajaran  yang pernah  dialami  tetapi  mungkin  karena pemahamannya terhadap konsep tersebut  belum  sepenuhnya  lengkap maka penyelesaiannya dicampur dengan cara penyelesaian yang menggunakan instuisi. Dalam  pola  ini  siswa  cenderung menggunakan  benda  konkrit  dalam menyelesaikan masalah yang diberikan. Kemudian dilanjutkan dengan  membilang  satu-satu.  Pola membilang  satu-satu  dilakukan  oleh beberapa siswa dan dilakukan dengan menggunakan benda konkrit. Membilang satu-satu melibatkan aktivitas  membilang  menaik  dimulai dari  satu  sampai  bilangan  terakhir yang  diucapkan.  Hasil  dari  pola  ini adalah  pembilangan  terakhir  yang diucapkan  merupakan  jumlah  dari semua bilangan yang dibilang. Artinya siswa tersebut sudah mampu membilang  dengan  benar  ( rational counting) dimanasiswa  sudah  bisa menyebutkan  jumlah  bilangan  sesuai dengan hasil membilang yang dilakukannya. Kemampuan membilang secara rasional merupakan  keterampilan  yang  sangat penting  untuk  anak  usia  sekolah dasar.  (Herman,  1999 ) .  Ketika  siswa membilang  banyak  benda  seperti
banyaknya permen, atau manik- manik, maka siswa mengambil benda- benda  tersebut  untuk  dibilang  berapa banyak benda seluruhnya. Karakteristik permen, biji  jagung,  atau kalung  manik-manik  adalah  konkret dan  mudah  dioperasikan  sehingga siswa tidak mengalami masalah berarti dalam membilang benda dengan  menggunakan  permen  atau kalung  manik-manik.  Sebagaimana dijelaskan  Piaget  (Wahyudin,  2010) bahwa untuk meningkatkan perkembangan  mental  anak  ke  arah yang  lebih  tinggi  dapat  dilakukan dengan memperkaya pengalaman anak  melalui  pengalaman  konkret, karena  dasar  perkembangan  mental anak melalui
pengalaman- pengalaman  aktif  melalui  benda- benda  konkret  yang  ada  di  sekitar anak.
Satu  hal  yang  perlu  diperhatikan ketika  anak  membilang  sampai  pada bilangan yang dinyatakan dengan dua digit  atau  lebih  seperti  sepuluh  (10), dua  belas  (12),  dua  puluh  satu  (21), seratus  (100),  dua  ratus  tiga  puluh satu (231) seribu (1000), dua ribu lima ratus  tujuh  puluh  enam  (2576),. Pertanyaan seperti “ kenapa  angka  12 dibaca  dua  belas  bukan  satu  dua?” , atau “152  dibaca  seratus  lima  puluh dua  bukan  satu  lima  dua?.” .  Dari  sini merupakan  sarana  yang  efektif  untuk memfasilitasi anak untuk
mengingatkan  kembali  konsep  nilai tempat  (satuan,  puluhan,  ratusan, ribuan). Wahyudin (2010) menyatakan bahwa  konsep  nilai  tempat  dapat menjadi sangat abstrak tetapi merupakan konsep yang sangat penting  sehingga  harus  dibangun dengan baik.
Untuk memberikan pemahaman konsep  nilai  tempat  kepada  anak,
dapat  dilakukan  dengan  memberikan banyak pengalaman dalam pengelompokan  benda-benda  hitung seperti  dua  belas  buah  permen kedalam kelompok satuan dan puluhan.  12 dapat  dinyatakan dengan sepuluh buah permen yang dibungkus menjadi  satu  kemudian  dimasukan kedalam satu kantong plastik puluhan dan dua buah permen yang dimasukan  kedalam  kantong  plastik satuan.  Plastik  transparan  dapat dimanfaatkan sebagai media pemahaman  konsep  nilai  tempat. Perbedaan harus dibuat antara sepuluh  kelompok  yang  terdiri  dari satu anggota dan satu kelompok yang terdiri dari sepuluh anggota,  sehingga anak menyadari bahwa tidak lebih dari sembilan biji hitung boleh ditempatkan di tempat satuan. Misalnya, menentukan  mana  yang  termasuk nilai  tempat  puluhan  dan  mana  yang menempati  nilai  satuan,  seperti  pada gambar berikut ini:

## Gambar 4. Contoh Penyajian Nilai Tempat Bilangan dengan Batang Korek
Api
Keadaan  ini  sesuai  dengan  teori
Piaget bahwa anak-anak dapat menampilkan  pikiran  logis,  dimana anak  memahami  konservasi  dan proses logis lainnya dengan memanipulasi obyek (Wahyudin, 2012). Dengan kata lain, pada pola ini merupakan permulaan berpikir rasional.  Ini  berarti  anak  memiliki operasi-operasi  logis  yang  dapat diterapkannya pada masalah-masalah yang konkret.
Oleh karena itu,  aktivitas belajar anak akan  melalui  tahap  skema,  adaptasi, disequilibrium dan equilibrium
(Haryanto;  Harahap;  Dahar,  2006). Menurut  Piaget,  setiap  anak  memiliki struktur  kognitif  yang  disebut  skema atau schemata yaitu  sistem  konsep yang  ada  dalam  pikiran  sebagai  hasil pemahaman terhadap objek yang ada dalam  lingkungannya.  Pemahaman tentang  objek  tersebut  berlangsung melalui proses adaptasi yaitu kecenderungan  untuk  menyesuaikan diri atau beradaptasi dengan lingkungan  mereka  (Dahar,  2006; Harahap). Pada tahap ini terdapat dua proses  kognitif  yang  saling  terkait yaitu asimilasi terjadi ketika anak memasukan  informasi  baru  ke  dalam skema  mereka  yang  sudah  ada sebelumnya,  dan akomodasi terjadi ketika  anak  menyesuaikan  skema mereka  agar  sesuai  dengan  informasi atau pengalaman baru mereka. Menurut Piaget (Suparno, 2001) unsur paling  penting  dalam  perkembangan pemikiran seorang anak adalah ekuilibrium.  Ekuilibrium  merupakan mekanisme  internal  yang  diajukan untuk  menjelaskan  bagaimana  anak- anak beralih dari satu tahap pemikiran ke tahap pemikiran berikutnya. Peralihan  ini  terjadi  ketika  anak-anak mengalami konflik kognitif atau ketidakseimbangan (disequilibrium) dalammemahami sesuatu. Konflik kognitif  inilah  yang  dapat  menantang anak  untuk  terus  melakukan asimilasi dan akomodasi terhadap  skema  awal yang  dimiliki  oleh  anak.  Kalau  sudah sampai  pada  keseimbangan  lagi, proses  dapat  diulang  lebih  lanjut dengan  pengajuan  masalah  yang dapat memfasilitasi kegiatan “konstruktif” dan dalam rangka terciptanya “disequilibrium”
serta penciptaan  “konflik  kognitif”  sehingga pembentukan  skema  baru  tentang konsep perkalian lebih bermakna. Dengan  cara  seperti  itu  secara bertahap  anak  dapat  membangun
pengetahuan melalui interaksi dengan lingkungannya. Sebagaimana dikemukakan  oleh  Vygotsky  (Dahar,
2006)  bahwa  orang  dewasa  (guru) sangat  berperan  dalam  membantu anak  belajar  dengan  menunjukkan benda-benda atau dengan mengajukan pertanyaan. Dengan kata lain,  orang dewasa menjadi perantara bagi anak dan dunia sekitarnya. Untuk mengatasi  anak  yang  mengalami kesulitan ketika menyelesaikan permasalahan  yang  diberikan,  orang dewasa  (guru)  dapat  memberikan petunjuk dengan mengajukan pertanyaan atau memberikan penjelasan  tambahan  sehingga  anak yang  mengalami  kesulitan  dapat melanjutkan  pada  tingkat  masalah yang baru. 2.  Pola pemodelan dengan gambar Cara berfikir anak dalam menyelesaikan  soal  yang  diberikan pada  pola  ini  cenderung  berpikir  semi konseptual  (Zuhri,1998),  akan  tetapi pada pola siswa sudah bisa membawa hal-hal yang konkrit menjadi  semi-abstrak,  dimana  siswa sudah  mampu  mengandaikan  bahwa gambar  tersebut  bisa  mewakili  benda nyata.  Artinya  dalam  pola  ini  sejalan dengan teori Brunner (dalam Hudoyo, 1990)  bahwa  siswa  sudah  mampu menemukan  keteraturan  dengan  cara mengotak-atik bahan-bahan yang berhubungan dengan keteraturan intuitif yang sudah dimiliki siswa.
Dalam  pola  ini  siswa  cenderung menggunakan  skema  yang  telah dimilikinya  berupa  prosedur-prosedur penyelesaian
soal dan
merepresentasikan  soal  ke  dalam bentuk  gambar,    artinya  anak  sudah tidak  terlalu  bergantung  pada  benda konkret. Pada tahap ini anak merepresentasikan soal menjadi sebuah gambar, kemudian
melanjutkan  dengan  membilang  satu- satu.  Membilang satu-satu melibatkan aktivitas  membilang  menaik  dimulai dari  satu  sampai  bilangan  terakhir yang  diucapkan.  Hasil  dari  pola  ini adalah  pembilangan  terakhir  yang diucapkan  merupakan  jumlah  dari semua bilangan yang dibilang. Artinya siswa tersebut sudah mampu membilang  dengan  benar  ( rational counting) dimanasiswa  sudah  bisa menyebutkan  jumlah  bilangan  sesuai dengan hasil membilang yang dilakukannya. Kemampuan membilang secara rasional merupakan  keterampilan  yang  sangat penting  untuk  anak  usia  sekolah dasar.  (Herman,  1999 ) .  Ketika  siswa membilang  maka  siswa  gambar  yang mewakili  benda  konkrit  tersebut  untuk dibilang berapa banyak benda seluruhnya.
Selanjutnya,  siswa  diarahkan  untuk mencari  cara  lain  sampai  terungkap dengan  melihat  kumpulan-kumpulan yang  ada  pada  gambar,  selanjutnya siswa  menuliskan  lambang  bilangan dan  operasi  penjumlahan,  kemudian menjumlahkan bilangan-bilangan tersebut  sampai  diketahui  jumlah seluruhnya. Dalam aktivitas menjumlahkan, beberapa siswa
melakukan  membilang  melanjutkan ( counting  on) dimana  pada  proses menjumlahkan  dan  setelah  diketahui hasil yang sebelumnya siswa melanjutkan membilang untuk mengetahui  hasil  yang  selanjutnya dengan  membilang  menggunakan  jari tangannya.
Dalam  aktivitas  belajar  belajar  siswa harus  terlibat  aktif  mentalnya  agar dapat  mengenal  konsep  dan  struktur yang  tercakup  dalam  bahan  yang sedang  dibicarakan,  dan  anak  akan memahami konsep yang harus
dikuasainya  itu.  Ini  menunjukkan bahwa konsep yang mempunyai suatu pola  atau  struktur  tertentu  yang  akan lebih  mudah  dipahami  dan  diingat anak.  Oleh  karena  itu,  pembelajaran konsep  perkalian  hendaknya  dimulai dengan  pengenalan  masalah  yang sesuai  dengan  situasi  yang  ada disekitar  siswa (contextual  problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual,  peserta  didik  secara bertahap  dibimbing  untuk  menguasai konsep perkalian.

## 3.  Pola penjumlahan
Dalam  pola  ini  siswa  cenderung menggunakan  skema  yang  telah dimilikinya  berupa  prosedur-prosedur penyelesaian  soal  perkalian.  Cara berfikir  anak  dalam  menyelesaikan soal  yang  diberikan  pada  pola  ini cenderung berpikir konseptual dimana  cara  berpikir  anak  dalam memecahkan  masalah  menggunakan konsep yang telah dia miliki berdasarkan  hasil  pembelajaran  yang telah  dialaminya,  adapun  indikator cara  berfikir  koseptual,  yaitu  dimana (1)  anak  mampu  mengungkapkan dengan  kalimat  sendiri  apa  yang diketahui  dan  ditanya  dalam  soal,  (2) anak mampu menghubungkan konsep yang  telah  dipelajari  terhadap  apa yang  ditanya  dalam  soal  (3)  dalam menjawab  cenderung  menggunakan konsep yang telah dipelajari (4) sudah dapat  menjelaskan  langkah-langkah dalam pemecahan masalah (Zuhri,1998).
Pola ini terdiri atas aktivitas menjumlahkan  bilangan  yang  sama secara  bersusun  sampai  diperoleh bilangan  baru  sebagai  hasil  dari penjumlahan bilangan seluruhnya. Selanjutnya, untuk mengarahkan siswa  memahami  konsep  perkalian dapat mengajukan
pertanyaan-
pertanyan  seperti: “Apakah  ada  cara lain  untuk  menjumlahkan  b  sebanyak a kali?“..Berapa kali
kamu menjumlahkan  b  sampai  kamu  tahu hasilnya  c? Sampai  siswa  memahami konsep perkalian dasar dengan benar dimana  ketika  siswa  melihat  bentuk penjumlahan “b+b+b+b  sebanyak  a kali” sama  dengan    axb=c  atau sebaliknya  ketika  siswa  menjumlah  a sebanyak  b  kali,  maka  itu  sama dengan bxa=c (Wahyudin, 2010).
Sebagaimana  teori  Piaget  (dalam Haryanto;  Harahap;  Dahar,  2006) aktivitas  belajar  anak  dalam  pola  ini akan  melalui  tahap  skema,  adaptasi, disequilibrium  dan  equilibrium.  Pada pola ini, anak cenderung menggunakan  skema  awal,  kemudian beradaptasi dengan asimilasi,
kemudian  terjadi  equilibrium  untuk membentuk skema baru.
4.  Pola raraban Raraban adalah  catatan  hapalan perkalian dasar (perkalian satu
sampai  dengan  sepuluh).    Ketika siswa  menemukan  soal  perkalian siswa  langsung  melihat  angka-angka yang  ada  di  dalam  soal  kemudian mengalikannya,  seperti  ketika  siswa melihat  ada  angka  3  dan  6  didalam soal,  tanpa  berfikir  lama  langsung menjawab  bahwa  itu  3x6  padahal yang  dimaksud  didalam  soal  itu sebagai  bentuk  6x3.  Cara  berfikir yang seperti ini, Zuhri (1998)
menyebutnya
sebagai berpikir
komputasional  dimana  cara  berpikir yang  pada  umumnya  menyelesaikan suatu  masalah  tidak  menggunakan konsep  yang  telah  dipelajari.  Siswa dapat  menjawab  soal  karena  dia hapal  bukan  karena  dia  paham  ( rote memorization) yaitu proses menghapal  informasi  atau  kaidah- kaidah tanpa suatu pemahaman
prinsip  atau  makna  yang  terkandung di  dalam  informasi  atau  kaidah  itu (Wahyudin, 2012:100). Herman dalam artikelnya  menyatakan  bahwa  jika tanpa  pemahaman  konsep,  siswa akan kesulitan dalam mengikuti perkembangan matematika, juga dalam  menyelesaikan  permasalahan- permasalahan  yang  sering  dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.
Untuk  mengatasi  hal  itu,  ketika memperkenalkan  perkalian  di  kelas dua  jangan  langsung  mendorong anak-anak untuk menghapalkan fakta- fakta  perkalian  dasar  (Wahyudin,
2010:27). Agar pembelajaran perkalian  menjadi    lebih  bermakna dan    dapat  memberikan    kecakapan hidup, sebaiknya pembelajaran perkalian  dasar  dilakukan  dengan memberikan  masalah  nyata  yang diambil    dari    cerita    yang    dekat dengan    konteks    kehidupan    siswa (contextual  problem) sehingga  siswa mengonstruksi konsep perkalian
sendiri di kepalanya.
Jika pembelajaran perkalian dilakukan secara  langsung  pada  tahap  formal, dimana  dalam  kegiatan  pembelajaran guru  langsung  menjelaskan  konsep secara  informatif,  memberikan  contoh soal,  kemudian  memberikan  soal-soal latihan.  Armanto  (dalam  Herman, 2006) menyebutkan kegiatan pembelajaran  yang  seperti  ini  tidak mengakomodasi pengembangan kemampuan  siswa  dalam  pemecahan masalah,  penalaran,  koneksi,  dan komunikasi matematis. Akibatnya, kemampuan  kognitif  tingkat  tinggi siswa  sangat  lemah  karena  kegiatan pembelajaran  yang  biasa  dilakukan hanya mendorong siswa untuk berpikir pada  tataran  tingkat  rendah  (Herman, 2006). Setelah anak memahami konsep perkalian dasar dengan benar,
raraban baru  diperkenalkan  kepada anak.
Dengan  menggunakan raraban ada beberapa  pola  yang  terungkap  untuk dijadikan dasar perkalian lanjut,
antara lain sebagai berikut:
a.  Setiap  bilangan  jika  dikalikan dengan  nol,  hasilnya  akan  nol. Contoh: 1x0=0, 2x0=0, dan seterusnya.
b.  Dengan melihat raraban 1 didapat , Setiap  bilangan  jika  dikalikan  satu hasilnya adalah bilangan itu sendiri (unsur  identitas).  1x2=2,  1x5=5, dan seterusnya.
c.  Dengan melihat raraban 2 didapat:
1)  Setiap  bilangan  ganjil  atau genap  jika  dikalikan  dengan  2, hasilnya adalah bilangan genap. Sehingga  perkalian  2  dapat digunakan menggenapkan bilangan. 2)  Istilah penggandaan, seperti dua kali lipat.
d.  Dengan  melihat  dua raraban, seperti raraban 3 dan 4 4x3=3x4=12,  atau  3x7=7x3=21
pada raraban  3  dan  7 .  didapat pola:  salah  satu  sifat  dalam operasi perkalian yaitu sifat komutatif (pertukaran).
e.  Dengan  melihat raraban  5 didapat pola:
1)  Setiap  bilangan  ganjil  jika dikalikan  5  hasilnya  adalah bilangan ganjil dan angka pada satuannya adalah 5.
2)  Setiap  bilangan  genap  jika dikalikan  5  hasilnya  adalah bilangan  genap  dan  angka pada satuannya adalah 0.
f.  Dengan  melihat  hasil  perkalian pada salah satu raraban , Misalnya pada raraban 5:  5x5=2x5+3x5 artinya  sama  dengan  25=10+15. Dan  setelah  beberapa  kali  dicoba ternyata  bisa  dilakukan  juga  pada
raraban  lain  (8x4=2x4+6x4,  atau 32=8+24).  Dari  situ  didapat  pola salah  satu  sifat  dalam  operasi perkalian yaitu sifat distributif (penyebaran) g.  Dengan melihat raraban 10 didapat pola: 1)  perkalian dengan 10 menghasilkan bilangan itu sendiri dengan menuliskan satu  angka  nol  dibelakangnya, seperti 3x10= (tulis) 3 ditambahkan  satu  angka  nol ditempat satuan jadi 30 2)  Jika mengalikan bilangan puluhan dengan puluhan seperti 10, 20, 30, dan seterusnya  tinggal  mengalikan bilangan  yang  paling  depan (yang  menempati  puluhan), hasilnya adalah hasil perkalian itu kemudian ditambahkan dua angka  nol  dibelakangya.  Atau dengan  cara  melihat  hasil perkalian pada raraban Seperti: 10x10= 1x1= 1 kemudian tulis dua nol dibelakangnya jadi 100, 20x40=2x4=8 ditambahkan dua  nol  dibelakangnya  jadi 800.

## 5.  Pola  buku  teks  BSE  (Buku Sekolah Elektronik)
Dalam  pola  ini  prosedur  perkalian yang  dihasilkan  dari  perilaku  meniru atau  mengulang  materi  yang  terakhir dipelajari  dari  buku  teks.  Cara  berfikir seperti  itu  disebut  Piaget  sebagai proses  atau  cara  berfikir  figuratif dimana pengetahuan yang didapatkan berasal dari hasil meniru atau mengulang materi yang terakhir dipelajari (Soeparno, 2001). i:
Gambar 5. Cara Perkalian Satu Digit dengan Dua Digit BSE
Untuk  menjembatani  anak  masuk  ke pola  yang ada dalam buku BSE,  guru dapat  menggunakan  pola  pemodelan benda konkret, pola pemodelan dengan  gambar,  pola  penjumlahan bersusun  panjang  dan  pola raraban sehingga  anak  dapat  memahami konsep  dan  berbagai  sifat  dalam operasi perkalian seperti sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat distributif,  unsur  identitas,  perkalian dengan 10, perkalian dengan nol, dan sebagainya.  Selain  itu,  fakta-fakta penjumlahan  dan  nilai  tempat  lebih diperluas  dengan  penjumlahan  lebih dari dua digit.
Pola-pola  yang  dipaparkan  diatas dapat  digunakan  dan  dimanfaatkan guru untuk menjembatani anak menuju konsep perkalian atau konsep matematika  lainnya  seperti  konsep geometri  dimana  dalam  mencari  luas, keliling  atau  volume.    Wahyudin (2011)  menyebutkan  bahwa  apabila siswa  mampu  mengkaitkan  ide-ide matematika maka pemahaman matematikanya  akan  semakin  dalam dan  bertahan  lama  karena  mereka mampu melihat keterkaitan antar topik dalam  matematika,  dengan  konteks selain matematika, dan dengan pengalaman hidup
sehari-hari.
Dengan kemampuan koneksi matematik, selain memahami manfaat matematika, siswa mampu memandang bahwa topik-topik matematika saling berkaitan (kemampuan koneksi matematis). Untuk memperoleh kemampuan mengaitkan antar  konsep,  antar  relasi konsep,  dan  antara  pengetahuan konseptual dengan pengetahuan prosedural,  guru  perlu  melatih  siswa untuk mengaitkan model-model dengan  simbol/  aturan/  prosedur. Untuk  mengaitkan  model  (sebagai representasi dari konsep) dan simbol/aturan/ prosedur masih diperlukan  kata-kata  (Utomo,  2010).
Jadi,  dalam  pembelajaran  perkalian, melatih  siswa  untuk  mengkoneksikan model,  simbol/aturan/prosedur  dan kata-kata adalah upaya untuk memperkuat  basis  pada  kemampuan pemecahan masalah. Berikut ini adalah contoh bagaimana mengkoneksikan model dengan simbol,  simbol  dengan  kata-kata,  dan kata-kata dengan model dalam pembelajaran perkalian.
Gambar 6. Koneksi : Kata-Kata – Model – Simbol - Kata-Kata
Strategi-strategi  atau  cara-cara  siswa tersebut  merupakan  salah  satu  tahap dari learning  trajectory .  Strategi  atau cara para siswa menuju situasi belajar dan penalaran mereka sangat variatif. M.  Suzanne  Donovan  dan  John  D. Bransford (2005) dalam bukunya How Students  Learn  History,  Mathematics, and Science InThe Classroom menggambarkan  ada  berbagai  alur atau  proses  berpikir  anak  yang
berbeda dalam memahami matematika.  Anak-anak  secara  jelas sangat bervariasi dalam pengembangan mental berhitung.
Sangat mungkin memperkenalkan mereka ke berbagai representasi yang akan membantu mengembangkan kelebihan  mereka  dan  mengakomodir keterbatasan  mereka.  Setiap  siswa telah  memperoleh  tingkat  pencapaian mereka  saat  ini  melalui  rute  yang berbeda-beda dalam membangun kecakapan  yang  mereka  miliki,  sikap- sikap  yang  mereka  tanamkan,  serta mode-mode  berpikir  yang  mereka jadikan sandaran. (Wahyudin, 2010:21). Aktivitas-aktivitas yang tidak
membatasi  jalan  keberhasilan  siswa pada  satu  rute  saja  merupakan  kunci untuk  merencanakan  pengalaman- pengalaman belajar yang merangsang berpikir siswa. (Wahyudin, 2010). Julie Sarama  dan  Douglas  H.  Clements
(2009) menegaskan
bahwa “Understanding the level of thinking of the  class  and  individuals  in  that  class is  key  inserving  the  needs  of  all children”.
Memahami tingkatan berpikir anak
di kelas merupakan
kunci dalam melayani kebutuhan semua anak. Pembelajaran  yang  efektif  menuntut guru  untuk  memenuhi  kebutuhan siswa  dan  membantu  membangun pengetahuan  yang  diketahui  siswa. Jadi, guru sebaiknya memahami learning  trajectories ,  cara anak  berfikir  dan  belajar  matematika, serta  bagaimana  membantu  anak belajar  lebih  baik.Pentingnya  alur belajardapat dianalogikan dengan perencanaan rute perjalanan. Jika kita memahami  rute-rute  yang  mungkin untuk  menuju  tujuan  kita  maka  kita bisa memilih rute yang baik. Selain itu, kita juga bisa menyelesaikan permasalahan yang kita hadapi dalam perjalanan  jika  kita  paham  rute tersebut.  Sebagai  contoh  adalah  kita bisa  mengantisipasi  kehabisan  bahan bakar jika kita tahu posisi pom bensin. Sedangkan  pengembangan  model sangat penting untuk membawa pengetahuan  informal  siswa  (modal awal  siswa  yang  terbentuk  melalui kegiatan berbasis pengalaman)
menuju  konsep  matematika  formal (sebagai  tujuan  akhir  pembelajaran matematika).

## SIMPULAN
Ketika  siswa  belajar  perkalian  baik perkalian  dasar  maupun  perkalian  lanjut, mereka  mengikuti  suatu  pola  tingkatan alamiah, yakni belajar kemampuan- kemampuan dan ide-ide perkalian dengan  cara  mereka  sendiri.  Keragaman pola empirical learning trajectory
perkalian  yang  terungkap  secara  umum sebagai berikut:
1.  Pada  perkalian  bilangan  satu  digit ada empat pola yang terungkap yaitu: a.  Pola 1: Pemodelan dengan benda
konkret, Dari model benda konkret tersebut  ada  tiga  tahap  yang dilakukan siswa yaitu:
1)  Siswa menggabung- gabungkan benda konkret 2)  Membilang satu-satu melibatkan aktivitas membilang menaik dimulai dari  satu  sampai  bilangan terakhir  yang  diucapkan.  Hasil dari pola ini adalah pembilangan terakhir yang diucapkan  merupakan  jumlah dari  semua  bilangan  yang dibilang. 3)  Siswa menulis lambang bilangan dan operasi penjumlahan, kemudian menjumlahkan bilangan- bilangan tersebut secara beruntun sampai diketahui jumlah seluruhnya.
b.  Pola  2:    Pemodelan  dengan gambar,  dimana  pada  tahap  ini siswa sudah mampu mengandaikan bahwa sebuah gambar  dapat  mewakili  benda konkret. Dari model gambar tersebut  ada  empat  tahap  yang dilakukan siswa yaitu: 1)  Siswa  membuat  pemodelan menjadi sebuah gambar 2)  Siswa  membilang  satu-satu sampai diketahui banyak benda  yang  ada  pada  gambar seluruhnya. 3)  Siswa membuat garis bilangan dengan angka nol sebagai titik awal.kemudian membilang loncat  dua-dua  atau  tiga-tiga (tergantung  gambar)  sampai pada bilangan loncatan terakhir sebagai jawaban banyak benda seluruhnya. 4)  Siswa menulis lambang bilangan dan operasi penjumlahan, kemudian menjumlahkan bilangan- bilangan tersebut secara beruntun sampai diketahui jumlah seluruhnya. c.  Pola  3:  Penjumlahan,  dimana pada  pola  ini  terdiri  atas  aktivitas menjumlahkan bilangan yang sama  secara  bersusun  sampai diperoleh  bilangan  baru  sebagai hasil  dari  penjumlahan  bilangan seluruhnya. d.  Pola raraban, yaituhapalan perkalian dasar. 2.  Pada  perkalian  bilangan  multi  digit ada dua pola yang terungkap yaitu:
a.  Pola Penjumlahan Bersusun Panjang,  dimana  pada  Pola  ini terdiri atas aktivitas menjumlahkan bilangan yang sama secara bersusun panjang kebawah sampai  diperoleh  bilangan  baru sebagai  hasil  dari  penjumlahan bilangan seluruhnya. Untuk mengatasi  hal  ini,  selanjutnya siswa  diarahkan  untuk  mencari cara lain yang lebih singkat/pendek dengan menggunakan sifat-sifat perkalian. Pola  Buku  Teks  BSE,  dimana  pada  pola ini  terdiri  dari  aktivitas  mengalikan  satu bilangan  dengan  dua  bilangan  atau  lebih dengan  cara  bersusun  panjang  atau bersusun pendek .

## DAFTAR PUSTAKA
BobPerry  and  SueDockett.  (2007).
Early Childhood Mathematics Education  Research:  What  is Needed Now? . Australia: Mathematics  Education  Research Group of Australasia. Clements and Sarama. (2009). Learning  Trajectories  in  Early Mathematics –  Sequences  of Acquisition and Teaching . Canada:  Canadian  Language  & Research Network Dahar, R.W. (2006). Teori-Teori Belajar dan Pembelajaran . Jakarta: Erlangga. Departemen Pendidikan Nasional.
(2006). LampiranPermendiknas Nomor22  Tahun  2006  Tentang Standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar . Jakarta: Depdiknas. Denzin, N.K,.and Lincoln Y. S. (2009). Handbook of Qualitative Research. Yogyakarta:  Pustaka Pelajar.
Donovan,  M.  S  dan  John  D.  B  (Eds).
(2005). How students learn: history, mathematics, and science in the classroom. Washington,  D. C:    The  National  Academies
Press Fajariyah,  N  dan  Triratnawati,  D. (2008). Cerdas Berhitung Matematika  untuk  SD/MI  Kelas  3. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas Freudenthal,  H.  (1991). Revisiting
Mathematics  Education:  China
Lectures . Dordrecht, The Netherlands:  Kluwer  Academics Publisher. Gravemeijer, K. (2004). “Local Instruction  Theories  as  Means  of Support  for  Teachers  in  Reform Mathematics Education”. Mathematical Thinking and Learning , 6(2), 105-128. Haryanto, (_____). Teori yang Melandasi Pembelajaran Konstruktivistik . [online]. Tersedia: http://staff.uny.ac.id/sites/default/fi les/131656343/TEORI%20KONS TRUKTIVISTIK.pdf [07/08/2012].
Harahap,  F.  (_____). Perkembangan Kognitif  Teori  Piaget .  [online]. Tersedia: http://staff.uny.ac.id/sites/default/fi les/pendidikan/Nanang%20Erma %20Gunawan,%20S.Pd./Teori%2 0perkembangan%20Kognitif%20P iaget%201.pdf [07/08/2012]. Herman,  T.  (1999).  “Mengajarkan Konsep  Prabilangan  di  Sekolah Dasar”.  Makalah  disajikan  dalam
Penyuluhan dan Diskusi Pembelajaran Matematika SD dan SLTP  di  Kecamatan  Tarogong
Kabupaten  Garut  Pada  Tanggal 14 Agustus 1999.
Herman, T. (_____). “Matematika dan
Pembelajaran  Matematika  di  SD dan SLTP: Suatu Refleksi Menyeluruh”. Artikel dipublikasikan  dalam  Repository Dosen Jurusan Pendidikan Matematika  FPMIPA  Universitas Pendidikan Indonesia. Heruman, (2007). Model Pembelajaran Matematika di
Sekolah  Dasar .  Bandung:  PT. Remaja Rosdakarya.
Holt,  J.  (2012). Bagaimana  Siswa Belajar . Jakarta: Erlangga
Hudoyo,  H.  (1990). Strategi  Mengajar Belajar  Matematika. Malang:  IKIP Malang. Hunting, R.P (1997). Clinical Interview Methods in Mathematics Education Research and Practice . Journal of Mathematical Behavior,  16(2), 145-165. Morrisson,  G.S.  (2012). Dasar-Dasar Pendidikan Anak Usia Dini (PAUD)  ”Edisi  Kelima” .  Jakarta:
PT. Indeks
Mousley,  J. Et  all .(2004).  “Alternative Learning  Trajectory”. Mathematics Education  Research  Group  of Australasia.  Conference  (27 th : 2004 : Townsville, Qld.), 374-381.
Mousley,  J. Et  all .(2009).Tasks  and Pedagogies that Facilitate Mathematical  Problem  Solving. Association of Mathematics Educators-National  Institute  of Education, Singapore . (p.15-48).
Mustoha,  A  dkk.  (2008). Senang Matematika  2  Untuk  SD/MI  Kelas 2. Jakarta:  Pusat  Perbukuan Depdiknas
Nurdin.  (2011).  “Trajectory  dalam Pembelajaran Matematika”. Edumatica .  01.  (01), 1-7 Prabawanto, S. (2003). Konstruktivisme dalam Pembelajaran Matematika di
Kelas  Satu  dan  Dua  Sekolah Dasar .  “Makalah  Disampaikan dalam  Rangka  Kegiatan  Magang Dosen  IKIP  PGRI  SEMARANG Pada Program D-2 PGSD FIP UPI 20 –  27  Maret  2003”.  Bandung:
UPI Putri, R.R.E .(2010). Pengaruh Permainan  Congklak  terhadap Kemampuan Membilang Anak TK .
Skripsi  pada  Prodi  PAUD  UPI.
Bandung: UPI.
Raharjo,  M  dkk.(2009). Pembelajaran Operasi  Hitung  Perkalian  dan
Pembagian  Bilangan  Cacah  di SD . P4TK Matematika Departemen Pendidikan Nasional.
Risnanosanti.  (2010). Kemampuan Berpikir  Kreatif  Matematis  dan Self Efficacy Terhadap Matematika Siswa Sekolah Menengah  Atas  (SMA)  dalam Pembelajaran  Inkuiri .  Disertasi pada Prodi Pendidikan Matematika UPI. Bandung: UPI. Robert  C.P Et.  all .  (2008). Classroom Effects on Children’s Achievement Trajectories in Elementary School .
Australia: MERGA.
Salimi,  M.  (2010). Model  Enactive, Iconic dan Simbolic untuk meningkatkan pemahaman konsep  perkalian  siswa  kelas  II SDN Pancasila Kabupaten Bandung  Barat .  Skripsi  pada Prodi PGSD UPI. Bandung: UPI. Santrock, John W. (2007). Perkembangan Anak Jilid 1
(Terjemahan) . Jakarta: Erlangga. Sarama  and  Clements.  (2009). Early Childhood Mathematics Education Research  :Learning  Trajectories for  Young  Children. New  York: Routledge.
Sarama and Clements. (2009).
Learning  and  Teaching  Early Math  :  The  Learning  Trajectories Approach. New York: Routledge.
Simon,  M.  A.  (1995).  Reconstructing Mathematics  Pedagogy  from  a ConstructivistPerspective. Journal for  Research  in  Mathematics Education, 26 (2), 114-145.
Stephens,  M  dan  Armanto,D.  (2010). How  to  Build  Powerful  Learning Trajectories for Relational Thinking  in  the  Primary  School Years . Australia: Mathematics Education  Research  Group  of Australasia Sugiyono. (2012). Memahami Penelitian Kualitatif . Alfabeta. Suparno, P. (2001). Teori Perkembangan Kognitif Jean
Piaget . Jogjakarta: Kanisius.
Suryadi,  D.  (2011). Didactical  Design Research (DDR) Dalam Pengembangan Pembelajaran Matematika. Makalah disajikan pada Joint-Conference UPI-
UTiM,  25  April  2011.  Bandung: UPI Taylor,  E.H.  and  Mills,  C.N.  (1961).
Arithmetic  for  Teacher-Training Classes. New York: Holt, Rinehart and Winston, Inc.
Thompson, I. (2000). “Teaching Place Value  in  the  UK:time  for  a reappraisal?”. Educational Review .
52. (3), 291-298.
UPI.  (2011). Pedoman  Penulisan Karya Ilmian UPI . Bandung: UPI. Utomo,  P.D.  (2010).  “Pengetahuan Konseptual dan Prosedural dalam Pembelajaran Matematika”. Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UniversitasMuhammadiyah Malang tanggal 30 Januari 2010. Wahyudin. (2010). MateriPembelajaran  Matematika Kelas Rendah. Bandung: Penerbit Mandiri. Wahyudin. (2011). MateriPembelajaran  Matematika Kelas  Tinggi. Bandung:  Penerbit Mandiri. Wahyudin. (2012). Filsafat dan Model- Model  Pembelajaran  Matematika. Bandung: Penerbit Mandiri. Zuhri, D. (1998). Proses Berpikir siswa Kelas  II  SMPN  16  Pekanbaru dalam  Menyelesaikan  Soal-Soal Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai. TesisMagister pada Program Pascasarjana UNESASurabaya:Tidak diterbitkan