JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 4, Tahun 2021, Halaman 508 - 517 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PENDEKATAN METODE MARKOWITZ UNTUK OPTIMALISASI PORTOFOLIO DENGAN RISIKO EXPECTED SHORTFALL (ES) PADA SAHAM SYARIAH DILENGKAPI GUI MATLAB
Umiyatun Muthohiroh 1* , Rita Rahmawati 2 , Dwi Ispriyanti 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *umiyatunm@gmail.com

## ABSTRACT
A portfolio is a combination of two or more securities as investment targets for a certain period of time with certain  conditions.  The  Markowitz  method  is  a  method  that  emphasizes  efforts  to  maximize  return expectations and can minimize stock risk. One method that can be used to measure risk is Expected Shortfall (ES).  ES  is  an  expected  measure  of  risk  whose  value  is  above  Value-at-Risk  (VaR).  To  make  it  easier  to calculate optimal portfolios with the Markowitz method and risk analysis with ES, an application was made using the Matlab GUI. The data used in this study consisted of three JII stocks including CPIN, CTRA, and BSDE  stocks.  The  results  of  the  portfolio  formation  with  the  Markowitz  method  obtained  an  optimal portfolio,  namely  the  combination  of  CPIN  =  34.7%  and  BSDE  =  65.3%  stocks.  At  the  95%  confidence level, the ES value of 0.206727 is greater than the VaR value (0.15512).
Keywords : Portfolio, JII, Markowitz, Expected Shortfall, GUI Matlab

## 1. PENDAHULUAN
Investasi  adalah  komitmen  atas  sejumlah  dana  atau  sumber  daya  lainnya  yang dilakukan  pada  saat  ini,  dengan  tujuan  untuk  memperoleh  sejumlah  keuntungan  di  masa yang  akan  dating  (Tandelilin,  2010).  Kegiatan  investasi  yang  dilakukan  investor  akan menghasilkan  keuntungan  ( return )  dan  sekaligus  menghadapi  risiko  ( risk ).  Strategi  yang dapat digunakan untuk mengurangi risiko investasi adalah dengan membentuk portofolio. Menurut Maruddani dan Purbowati (2009), portofolio adalah gabungan dua atau lebih aset yang terpilih sebagai target investasi dari investor pada kurun waktu tertentu dengan suatu ketentuan  tertentu,  misalnya  mengenai  proporsi  pembagian  dana  atau  modal  yang ditentukan.
Pembentukan  portofolio  akan membantu investor  dalam mengambil  keputusan  untuk memilih  portofolio  mana  yang  optimal  dan  memiliki  tingkat  return  yang  diharapkan. Menurut  Afriana  dkk.  (2017),  terdapat  tiga  metode  analisis  yang  dapat  digunakan  dalam membantu  pembentukan  portofolio  yang  optimal  yaitu  indeks  tunggal, Capital  Asset Pricing Model (CAPM), dan Markowitz. Metode markowitz merupakan salah satu metode yang  tepat  dalam  memilih  portofolio  yang  menekankan  pada  usaha  memaksimalkan ekspektasi return dan dapat meminimumkan ketidakpastian atau risiko saham.
Pada  hakekatnya  pembentukan  portofolio  adalah  untuk  mengurangi  resiko  dengan diversifikasi. Diversifikasi adalah salah satu cara yang digunakan untuk mengurangi risiko melalui  pembagian  dana  yang  dimiliki  ke  dalam  beberapa  aset.  Salah  satu  metode  yang dapat digunakan untuk mengukur risiko adalah Expected Shortfall (ES). Secara umum, ES merupakan ekspektasi ukuran risiko yang nilainya di atas Value-at-Risk (VaR). Sedangkan VaR merupakan kerugian (return negatif) maksimum yang mungkin terjadi selama periode waktu pada tingkat kepercayaan tertentu.
Bagi  masyarakat  awam,  menghitung  nilai  dan  risiko  portofolio  bukanlah  hal  yang mudah.  Pada  penelitian  ini  akan  dibahas pembentukan  portofolio  pada  data closing  price mingguan  saham Jakarta  Islamic  Index (JII)  periode  1  Januari  2018  sampai  28  Februari
2020  dengan  pendekatan  metode  Markowitz  dan  pengukuran  risiko  portofolio  dengan Expected Shortfall (ES) menggunakan GUI Matlab.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Return
Suatu  perusahaan  dapat  menjual  hak  kepemilikannnya  dalam  bentuk  saham (Maruddani, 2019). Saham adalah surat berharga sebagai bukti penyertaan atau pemilikan individu  maupun  institusi  yang  dikeluarkan  oleh  sebuah  perusahaan  yang  berbentuk Perseroan Terbatas (PT). Saham juga dapat didefinisikan sebagai modal yang dikeluarkan perusahaan atau  perseroan  terbatas  ke  masyarakat  agar  seseorang  atau  badan  usaha  dapat memiliki sebagian hak dari perusahaan tersebut.
Menurut  Maruddani  dan  Purbowati  (2009), return merupakan  salah  satu  faktor  yang memotivasi  investor  untuk  berinvestasi  karena  dari return investor  bisa  melihat  hasil investasi. Rumus untuk menghitung return adalah sebagai berikut:
𝑅 𝑖,𝑡 = 𝑙𝑛 ( 𝑃 𝑖𝑡 𝑃 𝑖(𝑡−1) ) (1)
𝑅 𝑖,𝑡 = Return aset ke-i pada waktu ke-t 𝑃 𝑖𝑡 = Harga aset ke-i pada waktu ke-t 𝑃 𝑖(𝑡−1) = Harga aset ke-i pada waktu ke-(t-1)

## 2.2 Koefisien Korelasi
Menurut  Husnan  (1982)  dalam  Afriana  dkk.  (2017),  salah  satu  faktor  yang mempengaruhi  risiko  portofolio  yaitu  korelasi.  Dalam  hal  ini,  korelasi  merupakan hubungan  antara  tingkat  keuntungan  dari  sekuritas-sekuritas  yang  terdapat  dalam portofolio tersebut. Rumus untuk menghitung koefisien korelasi adalah sebagai berikut:
𝜌 𝑖𝑗 = 𝑛 ∑ 𝑅 𝑖𝑡 𝑅 𝑗𝑡 −∑ 𝑅 𝑖𝑡 ∑ 𝑅 𝑗𝑡 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1,𝑗=1 √[𝑛 ∑ 𝑅 𝑖𝑡 2 −(∑ 𝑅 𝑖𝑡 𝑛 𝑖=1 ) 2 𝑛 𝑖=1 ][𝑛 ∑ 𝑅 𝑗𝑡 2 −(∑ 𝑅 𝑗𝑡 𝑛 𝑗=1 ) 2 𝑛 𝑗=1 ]
Dengan: 𝜌 𝑖𝑗 = koefisien korelasi antar return aset ke-i dengan aset ke-j 𝑅 𝑖𝑡 = return aset ke-i pada waktu ke-t 𝑅 𝑗𝑡 = return aset ke-j pada waktu ke-t 𝑛 = jumlah data return

## 2.3 Risiko
Dalam  bidang  finansial  risiko  sering  dihadapkan  dengan  volatilitas  atau penyimpangan/deviasi  dari  hasil  investasi  yang  akan  diterima  dengan  keuntungan  yang diharapkan (Maruddani, 2010). Jika terdapat n (jumlah observasi) return , maka ekspektasi return dapat diestimasi dengan rata-rata sampel (mean) return 𝜇 𝑖 = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑖𝑡 𝑛 𝑡=1 Return rata-rata  kemudian  digunakan  untuk  mengestimasi  varian  tiap  periode  yaitu kuadrat standar deviasi per periode disebut varian per periode karena besarnya tergantung pada panjang waktu ketika return diukur. 𝜎 𝑖 2 = 1 𝑛−1 ∑ (𝑅 𝑖𝑡 − 𝜇 𝑖 ) 2 𝑛 𝑡=1
Akar dari varian (standar deviasi) merupakan estimasi risiko dari harga saham yaitu
𝜎 𝑖 = √ 1 𝑛−1 ∑ (𝑅 𝑖𝑡 − 𝜇 𝑖 ) 2 𝑛 𝑡=1

## 2.4 Portofolio dengan Model Markowitz
Teori Portofolio Markowitz merupakan teori portofolio yang menekankan pada usaha memaksimalkan  ekspektasi  return  dan  meminimumkan  risiko  untuk  menyusun  portofolio yang  optimal.  Melalui  kosep  diversifikasi  (dengan  pembentukan  portofolio  saham  yang optimal),  investor  dapat  memaksimalkan  keuntungan  yang  diharapkan  dari  investasi dengan  tingkat  risiko  tertentu  atau  berusaha  meminimumkan  risiko  untuk  sasaran  tingkat keuntungan tertentu. Menurut Maruddani dan Purbowati (2009), permasalahan optimalisasi dapat diselesaikan dengan fungsi Lagrange yaitu:
𝐿 =   𝒘 𝑻 ∑ 𝒘 + 𝜆 1 (𝜇 𝑝 − 𝒘 𝑻 𝝁) + 𝜆 2 (1 − 𝒘 𝑻 𝟏 𝑵 ) Dimana, 𝐿 = fungsi Lagrange 𝜆 = faktor pengali Lagrange 𝜇 𝑝 = mean return portofolio
Untuk  kasus  portofolio  dengan  variansi  efisien,  tidak  ada  pembatasan  pada  mean portofolio ( 𝜆 1 = 0 ), sehingga pembobotan pada Mean Variance Efficient Portfolio dengan return X ~𝑁 𝑁 (𝝁, 𝚺) adalah:
𝒘 = 𝚺 −𝟏 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝑻 𝚺 −𝟏 𝟏 𝑵 Dimana 𝚺 −𝟏 = invers matriks variansi-kovariansi Menurut  Abdurrakhman  (2007)  dalam  Maruddani  (2019),  portofolio  yang  optimal adalah  portofolio  yang  dipilih  seorang  investor  dari  sekian  banyak  pilihan  yang  ada  pada kumpulan portofolio yang efisien.
Menurut Maruddani (2019), secara matematis return portofolio dari n aset pada waktu ke-t dapat ditulis sebagai berikut:
𝑅 𝑝,𝑡 = ∑ 𝑤 𝑖 . 𝑅 𝑖,𝑡 𝑛 𝑖=1 dengan, 𝑅 𝑝,𝑡 = return portofolio pada waktu ke-t
𝑅 𝑖,𝑡 = return aset ke-i pada waktu ke-t
𝑤 𝑖 = bobot setiap alokasi dana untuk aset Sedangkan nilai expected return portofolio dapat dituliskan sebagai berikut: 𝐸(𝑅 𝑝 ) = ∑ 𝑤 𝑖 𝜇 𝑖 𝑛 𝑖=1 Sehingga nilai variansi dan standar deviasinya dapat dicari sebagai berikut : Karena nilai 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜎 𝑗𝑖 maka didapatkan nilai varian: 𝜎 𝑝 2 = ∑ 𝑊 𝑖 2 𝜎 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 + 2 ∑ ∑ 𝑤 𝑖 𝑤 𝑗 𝜎 𝑖𝑗 ,     𝑖 ≠ 𝑗 𝑛 𝑗<𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜌 𝑖𝑗 𝜎 𝑖 𝜎 𝑗
Rumus standar deviasi adalah sebagai berikut: 𝜎 𝑝 = √𝜎 𝑝 2

## 2.5 Distribusi Normal Multivariat
Pengujian  asumsi  normal  multivariat  dapat  dilakukan  uji  kecocokan  distribusi Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut :
Hipotesis:
𝐻 0 : 𝐹(𝑑 𝑗 2 ) = 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) untuk semua nilai 𝑑 𝑗 2
𝐻 1 : 𝐹(𝑑 𝑗 2 ) ≠ 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) untuk sekurang-kurangnya sebuah nilai 𝑑 𝑗 2
Taraf Signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
𝐷 = 𝑠𝑢𝑝 𝑑 𝑗 2 |𝑆(𝑑 𝑗 2 ) − 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 )|
Dengan 𝑆(𝑑 𝑗 2 ) = fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari jarak mahalanobis.
𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) = fungsi peluang kumulatif dari distribusi Chi-Square. Kriteria Uji: 𝐻 0 ditolak jika D > D*( 𝛼) D*( 𝛼) merupakan nilai kritis yang diperoleh dari tabel Kolmogorov-Smirnov.

## 2.6 Value at Risk (VaR)
VaR diartikan  sebagai  estimasi  kerugian maksimum  yang  akan  dialami  pada  periode waktu dan tingkat kepercayaan tertentu (Jorion, 2002). Menghitung nilai VaR pada tingkat kepercayaan (1 − 𝛼) dalam periode waktu t hari yaitu VaR (1−𝛼) (𝑡) =   𝑊 0 𝑅 ∗ √𝑡 Dengan 𝑊 0 = investasi awal aset 𝛼    = tingkat kesalahan 𝑡    = holding period Dalam  mengestimasi  nilai Value  at  Risk (VaR)  baik  pada  aset  tunggal  maupun portofolio,  simulasi  Monte  Carlo  mempunyai  beberapa  jenis  algoritma  (Maruddani  dan Purbowati, 2009). Namun pada intinya adalah melakukan simulasi dengan membangkitkan bilangan  random  berdasarkan  karakteristik  dari  data  yang  akan  dibangkitkan,  yang kemudian  digunakan  untuk  mengestimasi  nilai  VaR - nya.  VaR  dengan  menggunakan metode simulasi Monte Carlo mengasumsikan bahwa return berdistribusi normal.

## 2.9 Expected Shortfall (ES)
Conditional  Value  at  Risk merupakan  suatu  ukuran  risiko  yang  memperhitungkan kerugian melebihi tingkat VaR (Rockafellar dan Uryasev, 2000). Conditional Value at Risk sering  juga  disebut Mean  Excess  Loss,  Expected  Shortfall ,  atau Tail VaR dan  dianggap sebagai ukuran risiko yang lebih konsisten dari VaR. Expected Shortfall digunakan sebagai alternatif dalam pengukuran risiko yang berfungsi untuk mengurangi masalah yang terjadi pada VaR.
Jika X merupakan  peubah  acak  return  yang  saling  bebas  dan  berdistribusi  identik normal  dengan  rata-rata 𝜇 dan  varian 𝜎 2 (McNeil  dan  Embrechts,  2005).  Peluang  nilai return akan kurang dari sama dengan VaR, dapat ditulis :
𝑃(𝑋 𝑡+1 ≤ 𝑉 1−𝛼 ) = 1 − 𝛼
VaR untuk 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) dengan 𝛼 ∈ (0,1) adalah 𝑃(𝑋 𝑡+1 ≤ 𝑉 1−𝛼 ) = 1 − 𝛼
𝑃 ( 𝑋 𝑡+1 − 𝜇 𝜎 ≤ 𝑉 1−𝛼 − 𝜇 𝜎 ) = 1 − 𝛼 ɸ ( 𝑉 1−𝛼 −𝜇 𝜎 ) = 1 − 𝛼
𝑉 1−𝛼 −𝜇 𝜎 = ɸ −1 (1 − 𝛼)
𝑉 1−𝛼 = 𝜇 + ɸ −1 (1 − 𝛼)𝜎 Selanjutnya, expected  shortfall untuk  distribusi  normal  dengan  rata-rata 𝜇 dan  varian 𝜎 2 adalah :
ES 1−𝛼 = 𝜇 + 𝜎 ( 1 𝛼 ∫ 𝑥𝑓 𝑉𝑎𝑅 (𝑥)𝑑𝑥 ∞ 𝑉 1−𝛼
)
ES untuk 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) dengan 𝛼 ∈ (0,1) adalah
ES 1−𝛼 = 𝜇 + 𝜎 ( 1 𝛼 . 1 𝜎√2𝜋 ∫ 𝑒𝑥𝑝 [ −𝑥 2 2 ] 𝑥𝑑𝑥 ∞ 𝑉 1−𝛼 )
ES 1−𝛼 = 𝜇 + 𝜎 ( 1 𝛼 . [ 1 2√2𝜋 𝑒𝑥𝑝 [− 𝑥 2 2 ]] 𝑉 1−𝛼 ∞ )
Sehingga prediksi expected shortfall sebagai berikut:
ES 1−𝛼 = 𝜇 + 𝜎 ɸ (𝑉̂ 1−𝛼 ) 𝛼 ɸ -1 dan ɸ adalah invers fungsi distribusi dan fungsi densitas normal standar. ES untuk  tingkat  kepercayaan  (1− 𝛼 )dan holding  periode t  hari  maka  dapat  ditulis dengan persamaan sebagai berikut:
ES 1−𝛼 = (𝜇 + 𝜎 ɸ(𝑉̂ 1−𝛼 ) 𝛼 ) . √𝑡

## 2.10 Graphic User  Interface (GUI)
GUI  pada  matlab  lebih  dikenal  dengan  nama  GUIDE.  GUI  pada  matlab  merupakan sebuah  aplikasi display dari  matlab  yang  mengandung  tugas,  perintah,  atau  komponen program  yang  mempermudah  pengguna  dalam  menjalankan  sebuah  program  dalam Matlab.

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder.  Data  ini  merupakan data closing  price mingguan  saham  anggota Jakarta  Islamic  Index (JII)  sebagai  dasar perhitungan  return  saham.  Periode  yang  digunakan  adalah  1 Januari  2018  sampai dengan 28  Februari  2020.  Data  tersebut  diunduh  dari  situs  penyedia  data  historis  saham  yaitu http://finance.yahoo.com .

## 3.2. Metode Analisis
Tahap-tahap  analisis  data  yang  dilakukan  untuk  pembentukan  portofolio  dengan metode Markowitz dan pengukuran risiko dengan Expected Shortfall (ES) adalah sebagai berikut:
1. Mengubah  data closing  price 30  saham  JII  menjadi  data return dengan  rumus 𝑅 𝑖𝑡 = ln [ 𝑃 𝑖𝑡 𝑃 𝑖(𝑡−1) ] , dimana 𝑃 𝑖𝑡 yaitu harga aset ke-i pada waktu ke-t.
2. Melakukan  uji  normalitas  multivariat  terhadap  data  nilai return dari  30  saham  JII. Return aset-aset  pembentuk  portofolio  diasumsikan  mengikuti  distribusi  normal multivariat.  Saham-saham  yang  memenuhi  uji  normal  multivariat  adalah  CPIN, CTRA, dan BSDE.
3. Menghitung koefisien korelasi saham CPIN, CTRA, dan BSDE.
4. Menghitung  return  rata-rata  ( expected  return ),  varian,  kovarian,  dan  standar  deviasi saham CPIN, CTRA, dan BSDE.
5. Menentukan bobot aset portofolio menggunakan metode Lagrange.
6. Penentuan portofolio optimal.
7. Mensimulasi  nila i  return dengan  membangkitkan  data  secara  random  menggunakan nilai estimasi parameter sebanyak 112 data return dan diulang sebanyak n kali.
8. Nilai return masing-masing  aset  pada  waktu t yaitu 𝑅 1𝑡 , 𝑅 2𝑡 yang  dihasilkan  pada langkah (7) digunakan untuk menghitung return portofolio pada waktu t yaitu 𝑅𝑝 𝑡 =   𝑤 1 𝑅 1,𝑡 + 𝑤 2 𝑅 2,𝑡 dengan 𝑅𝑝 𝑡 = return portofolio pada waktu t
𝑤 1 = besarnya komposisi atau proporsi aset ke-1 𝑤 2 = besarnya komposisi atau proporsi aset ke-2
9. Mengestimasi  kerugian  maksimum  pada  tingkat  kepercayaan  95%    dengan  mencari nilai  kuantil  ke-(1− 𝛼 )=0,95  dari  distribusi  empiris  return  portofolio  yang  dihasilkan pada langkah (8) yang dinotasikan dengan R*.
10. Menghitung  nilai  VaR  pada  tingkat  kepercayaan  95%  dalam  periode  waktu  1  hari yaitu:
VaR (1−𝛼) (t) = R* √𝑡 dengan
VaR : Potensi kerugian maksimal 𝛼 : tingkat kesalahan t
: holding period
11. Mengulangi  langkah  (7)  sampai  (10)  sebanyak  m  sehingga  mencerminkan  berbagai kemungkinan nilai VaR portofolio yaitu VaR 1 , VaR 2 ,...,VaR m
12. Menghitung  rata-rata  VaR  untuk  tingkat  kepercayaan  95%  untuk  menstabilkan  nilai karena nilai VaR yang dihasilkan oleh tiap simulasi berbeda
13. Menghitung  nilai Expected  Shortfall pada  tingkat  kepercayaan  95%  dalam  periode waktu 5 hari dengan rumus:
𝐸𝑆 1−𝛼 = (𝜇 + 𝜎 ɸ(𝑉̂ 1−𝛼 ) 𝛼 ) . √𝑡

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Uji Normalitas Multivariat pada Data Return
Pengujian asumsi normalitas multivariat untuk data return dapat dilakukan dengan Uji Kolmogorov-Smirnov berikut ini:
Hipotesis 𝐻 0 : 𝐹(𝑑 𝑗 2 ) = 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) untuk semua nilai 𝑑 𝑗 2
𝐻 1 : 𝐹(𝑑 𝑗 2 ) ≠ 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) untuk sekurang-kurangnya sebuah nilai 𝑑 𝑗 2
Taraf Signifikansi: 𝛼 Statistik Uji: 𝐷 = 𝑠𝑢𝑝 𝑑 𝑗 2 |𝑆(𝑑 𝑗 2 ) − 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 )|
 Untuk portofolio saham CPIN dan CTRA: D = 0,0643 dengan nilai p-value = 0,3962
 Untuk portofolio saham CTRA dan BSDE: D = 0,0658 dengan nilai p-value = 0,3789
 Untuk portofolio saham CPIN dan BSDE: D = 0,0734 dengan nilai p-value = 0,2993 Kriteria Uji: H 0 ditolak jika D>D*(α) atau p-value < α Keputusan:
Nilai  D*(0,05)  adalah  sebesar  0,1285.  Nilai  D*(0,05)  diperoleh  dari  perhitungan  1,36/√n dengan n=112 (jumlah data return ). Karena nilai D<D*(0,05) atau p-value > 0,05 maka H 0 diterima. Kesimpulan: Return portofolio  saham  CPIN  dan  CTRA,  CTRA  dan  BSDE,  serta  CPIN  dan  BSDE berdistribusi normal multivariat.

## 4.2 Penentuan Bobot Aset Portofolio
Penentuan  bobot  aset  portofolio  dihitung  menggunakan  metode Lagrange. Sebelum dilakukan pembobotan terlebih dahulu dilakukan perhitungan rata-rata, standar deviasi dan varian setiap return aset, serta kovarian antar return aset.
 Perhitungan rata-rata return CPIN
𝜇 𝑖 = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑖𝑡 𝑛 𝑡=1 = 1 112 (−0,1147 + 0,0979 + 0,0279 + ⋯ + (−0,1428))
= 0,4595
 Perhitungan varian return CPIN
𝜎 𝑖 2 = 1 𝑛−1 ∑ (𝑅 𝑖𝑡 − 𝜇 𝑖 ) 2 𝑛 𝑡=1 = 1 111 [(-0,1147-0,4595) 2 +  (0,0979-0,4595) 2 +  (0,0279- 0,4595) 2 + ...+ (-0,1428-0,4595) 2 ] = 0,0042
 Perhitungan standar deviasi return CPIN
𝜎 𝑖 = √ 1 𝑛−1 ∑ (𝑅 𝑖𝑡 − 𝜇 𝑖 ) 2 𝑛 𝑡=1 = √0,0042 = 0,0645
 Perhitungan kovarian antara return CPIN dan return CTRA
𝜎 𝑖𝑗 = 1 𝑛−1 (𝑅 𝑖𝑡 − 𝜇 𝑖 )(𝑅 𝑗𝑡 − 𝜇 𝑗 ) = 1 111 [(-0,1147-0,4595)(0,0391-(-0,1788)) + ( 0,0979-0,4595)(-0,0043-(-0,1788)) + ...+ (-0,1428-0,4595)(-0,0261-(-0,1788)) = 0,0007 Perhitungan  rata-rata,  standar  deviasi,  varian,  dan  kovarian  yang  lainnya  dilakukan dengan langkah yang sama. Secara lengkap disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Rata-Rata, Standar Deviasi, Varian, dan Kovarian Saham Rata-rata Standar Deviasi Varian dan Kovarian CPIN 0,4595 0,0645 0,0042 CTRA -0,1788 0,0647 0,0042 BSDE -0,5277 0,0517 0,0027 CPIN dan CTRA - - 0,0007 CTRA dan BSDE - - 0,0022 CPIN dan BSDE - - 0,0010
Setelah  didapat  nilai  varian  dan  kovarian,  maka  dilakukan  perhitungan  untuk mendapatkan  nilai  bobot  dengan metode Lagrange. Perhitungan  bobot  pada  saham  CPIN dan CTRA adalah sebagai berikut:
𝜮 −𝟏 𝟏 𝟐 =   [ 0,00416 0,00073 0,00073 0,00419] −1 [1 1 ] = [ 247,866 −43,09351 −43,09351 246,36755 ] [1 1 ] = [ 204,77249 203,27404]
𝟏 𝟐 𝑻 𝜮 −𝟏 𝟏 𝟐 = [1 1] [ 247,866 −43,09351 −43,09351 246,36755 ] [1 1 ] =   [408,04653]
𝒘 = 𝜮 −𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑻 𝜮 −𝟏 𝟏 𝟐 = [ 204,77249 203,27404] [408,04653] =   [0,50184

## 0,49816 ]
Perhitungan  untuk  portofolio  yang  lainnya  dapat  dilakukan  dengan  langkah  yang sama. Secara lengkap, bobot alokasi dana untuk 2 saham portofolio disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Bobot Alokasi Dana Kombinasi Portofolio Bobot (%) CPIN dan CTRA CTRA dan BSDE CPIN dan BSDE 50,2 : 49,8 18,5 : 81,5 34,7 : 65,3

## 4.3 Perhitungan Portofolio Optimal
Berikut  perhitungan  standar  deviasi  portofolio  terhadap  saham  CPIN  dan  CTRA, CTRA dan BSDE, serta CPIN dan BSDE menggunakan persamaan berikut:
𝜎 𝑝 2 = ∑ 𝑤 𝑖 2 𝜎 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 + 2 ∑ ∑ 𝑤 𝑖 𝑤 𝑗 𝜎 𝑖𝑗 ,     𝑖 ≠ 𝑗 𝑛 𝑗<𝑖 𝑛 𝑖=1 Dimana,
𝜎 𝑖𝑗 = 𝜌 𝑖𝑗 𝜎 𝑖 𝜎 𝑗 𝜎 𝑝 = √𝜎 𝑝 2
𝜎 𝑝 =   √𝑤 𝐶𝑃𝐼𝑁 2 𝜎 𝐶𝑃𝐼𝑁 2 + 𝑤 𝐶𝑇𝑅𝐴 2 𝜎 𝐶𝑇𝑅𝐴 2 + 2𝑤 𝐶𝑃𝐼𝑁 𝑤 𝐶𝑇𝑅𝐴 𝜌 𝐶𝑃𝐼𝑁,𝐶𝑇𝑅𝐴 𝜎 𝐶𝑃𝐼𝑁 𝜎 𝐶𝑇𝑅𝐴 = √ (0,502) 2 (0,06451) 2 + (0,498) 2 (0,06470) 2 + 2(0,502)(0,498)(0,17596)(0,06451)(0,06470)
= 0,0495
𝜎 𝑝 = √𝑤 𝐶𝑇𝑅𝐴 2 𝜎 𝐶𝑇𝑅𝐴 2 + 𝑤 𝐵𝑆𝐷𝐸 2 𝜎 𝐵𝑆𝐷𝐸 2 + 2𝑤 𝐶𝑇𝑅𝐴 𝑤 𝐵𝑆𝐷𝐸 𝜌 𝐶𝑇𝑅𝐴,𝐵𝑆𝐷𝐸 𝜎 𝐶𝑇𝑅𝐴 𝜎 𝐵𝑆𝐷𝐸
= √ (0,185) 2 (0,06470) 2 + (0,815) 2 (0,05165) 2 + 2(0,185)(0,815)(0,66444)(0,06470)(0,05165)
= 0,0508
𝜎 𝑝 =   √𝑤 𝐶𝑃𝐼𝑁 2 𝜎 𝐶𝑃𝐼𝑁 2 + 𝑤 𝐵𝑆𝐷𝐸 2 𝜎 𝐵𝑆𝐷𝐸 2 + 2𝑤 𝐶𝑃𝐼𝑁 𝑤 𝐵𝑆𝐷𝐸 𝜌 𝐶𝑃𝐼𝑁,𝐵𝑆𝐷𝐸 𝜎 𝐶𝑃𝐼𝑁 𝜎 𝐵𝑆𝐷𝐸 = √ (0,347) 2 (0,06451) 2 + (0,653) 2 (0,05165) 2 + 2(0,347)(0,653)(0,29396)(0,06451)(0,05165)
= 0,0456 Dari hasil perhitungan nilai standar deviasi portofolio diatas, didapatkan nilai standar deviasi terkecil dari kombinasi dua saham yaitu 0,0456 dengan bobot CPIN = 34,7% dan BSDE = 65,3% yang artinya portofolio optimal dari kombinasi dua saham tersebut adalah portofolio saham CPIN dan BSDE.

## 4.4 Analisis Perhitungan Value at Risk (VaR)
Pada  tingkat  kepercayaan  95%  dengan  600  kali  perulangan,  dihasilkan  rata-rata  nilai VaR sebesar  0,152606  (bernilai  positif  dengan  asumsi  bahwa  nilai  VaR kerugian  yang akan  diderita  investor  tidak  akan  melebihi  15,2606%).  Misalkan  dana  investasi  awal sejumlah  Rp  100.000.000,  maka  estimasi  kerugian  maksimal  yang  akan  diterima  oleh investor diperkirakan akan mencapai Rp 15.260.600.

## 4.5 Analisis Perhitungan Expected Shortfall (ES)
Perhitungan  ES  untuk  tingkat  kepercayaan  95%  dengan  menggunakan  persamaan berikut:
ES 1−∝ = (𝜇 + 𝜎 ɸ(𝑉̂ 1−∝ ) ∝ ) . √𝑡 ES 95% = (−0,00165 + 0,04564 0,1031 0,05 ) . √5 = 0,206727
Pada  tingkat  kepercayaan  95%  diperoleh  nilai  ES sebesar  0,206727  (bernilai  positif dengan  asumsi  bahwa  nilai  ES tetap  menunjukan  kerugian  yang  akan  diderita).  Nilai  ES (0,206727)  lebih  besar  dibandingkan  dengan  nilai  VaR (0,15512)  pada  taraf  signifikansi yang  sama.  Misalkan  dana  investasi  awal  sejumlah  Rp  100.000.000,  maka  estimasi
kerugian  maksimal  yang  bakal  diderita  oleh  investor  diperkirakan  akan  mencapai  Rp 20.672.700.

## 4.6 GUI Matlab
Tampilan GUI untuk portofolio optimal Metode Markowitz dan analisis risiko dengan Expected Shortfall (ES) dapat dilihat pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1. Tampilan Portofolio Optimal Metode Markowitz dan Perhitungan Risiko dengan ES

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa:
1. Dari  30  saham  JII  terpilih  3  saham  yang  memenuhi  asumsi  normalitas  multivariat untuk  dibentuk  portofolio  optimal  menggunakan  Metode  Markowitz,  yaitu  saham CPIN, CTRA, dan BSDE.
2. Hasil  portofolio  optimal  dari  kombinasi  tiga  saham  dengan  portofolio  2  saham menggunakan  bobot  Lagrange  adalah  0,0456  dengan  berinvestasi  ke  saham  CPIN  = 34,7% dan BSDE = 65,3%.
3. Hasil  perhitungan Expected  Shortfall (ES)  memperhitungkan  kerugian  diatas  nilai Value  at  Risk (VaR).  Hasil  perhitungan  nilai Expected  Shortfall (ES)  untuk  tingkat kepercayaan  95%  diperoleh  nilai  (0,206727)  lebih  besar  dibandingkan  dengan  nilai VaR (0,15512).

## DAFTAR PUSTAKA
Afriana, T., Tarno, dan Sugito. 2017. Analisis Pembentukan Portofolio pada Perusahaan yang  Terdaftar  Di  Lq45  dengan  Pendekatan  Metode  Markowitz  Menggunakan  Gui Matlab. Jurnal Gaussian. Vol. 6(2):251-260. Semarang: UNDIP Jorion, P., 2000. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk . Second Edition. The McGraw-Hill Companies: Inc. New York.
Maruddani, D.A.I. dan Purbowati, A., 2009. Pengukuran Value at Risk Pada Aset Tunggal dan  Portofolio  dengan  Simulasi  Monte  Carlo. Media  Statistika.  Vol.  2(2):93-104. Semarang: UNDIP.
Maruddani,  D.A.I.  2019. Value  at  Risk  untuk  Pengukuran  Risiko  Investasi  Saham  : Aplikasi dengan Program R . Jawa Timur: Wade Group.
McNeil, A. J., R. Frey dan P. Embrechts, 2005. Quantitative Risk Management. Pricenton University Press and Oxford.
Rockafellar,  R.T.,  and  Uryasev,  S.,  2000 .  Optimization  of  Conditional  Value  at  Risk . Journal of Risk, Vol. 2, No. 3.
Tandelilin,  E.  2010. Portofolio  dan  Investasi  Teori  dan  Aplikasi, Edisi  Pertama. Yogyakarta: Kanisius.
http://finance.yahoo.com . Diakses pada 15 Februari 2020.