## Jurnal Kajian Pembelajaran Matematika
VOLUME 4 NOMOR 2, OKTOBER 2020 ISSN: 2549 – 8584 (online). http://journal2.um.ac.id/index.php/jkpm

## PEMBELAJARAN PENEMUAN TERBIMBING UNTUK MENINGKATKAN PENALARAN MATEMATIS SISWA PADA MATERI PROGRAM LINEAR
Parida 1 , Toto Nusantara 2 , Abadyo 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
Email : paridahariyanto@yahoo.com , toto.nusantara.fmipa@um.ac.id , abadyo.fmipa@um.ac.id

## Abstract
This study describes the application of guided discovery which improves students' mathematical reasoning in the Linear Program material. This study uses a qualitative approach with the type of Classroom Action Research (PTK). This PTK is implemented in Class XI TPM 3 SMKN 1 Madiun. The application of guided discovery is carried out in four stages. Introduction and Review, namely the teacher conditions students to be ready to learn by conveying learning objectives, explaining the benefits, and reminding the prerequisite material. The Open Stage, in which the teacher sets the group, then the students observe the examples, ask questions, and write down the characteristics of the concept based on the observations.  Convergent  Stage,  where  the  teacher  presents  the  problem,  then  students  make  assumptions,  collect information, perform mathematical manipulation, conclude problem solving, re-examine problem solving, and present the results of the discussion. Closing and application, namely the teacher emphasizes important things, the teacher guides students to make conclusions and reflects, then the students work on the quiz. The results showed an increase in students' mathematical reasoning abilities in solving Linear Program problems. Students also gave positive responses to guided discovery learning.
Keywords : guided discovery, mathematical reasoning, Linear Program
Submit : Mei 2020, Publish: Oktober 2020

## PENDAHULUAN
Keterampilan membaca, menulis dan berhitung saja tidaklah cukup untuk menghadapi masalah yang semakin rumit (Kusumah, 2011). Seorang siswa harus memahami pula keterkaitan antara dua objek atau lebih, kemudian  membuat    kesimpulan  berdasarkan  aturan  dan  teorema.  Saat  dihadapkan  pada  masalah,  siswa menggunakan penalaran untuk menemukan solusi masalah serta alasan dari jawaban yang diberikan (Brodie, 2010; Bergqvist, dkk, 2008). Penalaran digunakan untuk memperoleh kesimpulan secara logis dari asumsi atau definisi  yang  ada  (Martin,  2009).  Kegiatan  penalaran  terfokus  pada  upaya  merumuskan  kesimpulan berdasarkan beberapa pernyataan yang dianggap benar.
Brodie  (2010)  menyatakan  penalaran  matematis  adalah  kemampuan  bernalar  tentang  objek matematika yang terdiri dari fakta, konsep, operasi, prinsip, dan lain-lain. Menurut  (Bjuland, 2007), penalaran merupakan lima proses dalam aktivitas berpikir matematis, meliputi merasionalisasi informasi (sense-making) , mengajukan  dugaan (conjecturing) ,  menerapkan  strategi  penyelesaian (convincing) ,  mengevaluasi  proses (reflecting) , dan merumuskan kesimpulan akhir (generalizing). Ball, dkk (dalam Widjaya, 2010) menyatakan penalaran  matematis  adalah  pondasi  untuk  membangun  pengetahuan  matematis.  Kemampuan  penalaran diperlukan  untuk  memahami  konsep,  menerapkan  ide  dan  prosedur  secara  luwes,  dan  merekonstruksi pengetahuan  sebelumnya  (Brodie,  2010).  Jadi  penalaran  matematis    merupakan  kemampuan  yang  penting dalam memahami isi matematika.
Penelitian ini dilatarbelakangi oleh banyaknya siswa yang mengalami kesulitan belajar Matematika. Kebanyakan  siswa  menyatakan  bahwa  Matematika  adalah  pelajaran  sulit.  Meskipun  sudah  dijelaskan  oleh guru,  siswa  tetap  saja  tidak  mengerti  dan  cepat  lupa  dengan  isi  materi.  Beberapa  siswa  menganggap Matematika sebagai pelajaran berat dan serius. Siswa lebih sering diajari rumus kemudian mengerjakan latihan soal, padahal siswa tidak paham darimana dan mengapa rumus tersebut digunakan. Hal ini berdampak siswa cenderung menunggu jawaban dari teman atau jawaban yang dituliskan oleh guru di papan tulis.
Kesulitan  belajar  siswa  salah  satunya  disebabkan  oleh  ketidaktepatan  guru  dalam  membelajarkan siswa. Hasil belajar siswa ditentukan oleh cara mengajar guru (Adedoyin, 2010). Berdasarkan pengamatan di lapangan, pembelajaran cenderung berpusat pada guru sehingga masih sedikit siswa yang berani mengajukan ide atau pendapat. Guru kurang memperhatikan kondisi di kelas, terutama intensitas interaksi belajar di antara siswa yang  masih rendah. Kadang-kadang guru membiarkan saat siswa membicarakan hal-hal diluar materi ajar sehingga siswa tidak fokus untuk belajar. Akibat dari kondisi ini adalah siswa tidak terbiasa mengajukan
dugaan,  tidak  dapat  menyatakan  masalah  dengan  menggunakan  simbol  matematika  secara  tepat,  siswa melakukan kesalahan dalam menggunakan rumus dan melakukan operasi hitung, dan kebanyakan siswa tidak dapat  menyimpulkan  suatu  konsep  dengan  benar.  Oleh  karena  itu,  siswa  memerlukan  model  pembelajaran yang dapat meningkatkan kemampuan bernalar mereka.
Pembelajaran yang dapat mengembangkan kemampuan bernalar adalah pembelajaran yang dirancang menurut pandangan konstruktivisme (Murata, 2006), yaitu siswa didorong untuk membangun konsep dengan kemampuan  sendiri  (Slavin,  2006;  Murata,  2006).  Salah  satu  model  pembelajaran  konstruktivis  adalah pembelajaran  penemuan  (Slavin  2006;  Mayer,  2004).  Bruner  (dalam  Balim,  2009)  menyatakan  belajar penemuan  sangat  mengutamakan  refleksi,  berpikir,  bereksperimen,  dan  mengeksplorasi.  Pembelajaran penemuan  adalah  salah  satu  model  pembelajaran  yang  dapat  membantu  siswa  memecahkan  masalah berdasarkan bukti-bukti (Eggen & Kauchak, 1996; Carin, 1993), dan menstimulasi penalaran matematis siswa (Arsefa, 2014). Jadi belajar melalui penemuan diyakini dapat meningkatkan kemampuan bernalar siswa.
Menurut  Bruner,  belajar  penemuan  merupakan  pendekatan  yang  berbasis  penyelidikan  (Prince  & Felder,  2006).  Siswa  diberi  pertanyaan  untuk  dijawab  atau  masalah  untuk  dipecahkan.  Selanjutnya  siswa melakukan  pengamatan  yang  mengarahkan  dirinya  untuk  melengkapi  tugas-tugas  dan  menarik  kesimpulan sesuai hasil temuan. Pada akhirnya, siswa dapat menemukan suatu konsep berdasarkan fakta-fakta (Prince & Felder,  2006).  Guru  berperan  sebagai  fasilitator  yaitu  mendorong  siswa  untuk  menemukan  konsep  dan membimbing siswa saat diperlukan. Guru menyediakan petunjuk secara sistematis yang terfokus pada tujuan pembelajaran (Mayer, 2004). Jadi guru berperan  memberi pertanyaan atau masalah kemudian  membimbing siswa melalui aktivitas penyelidikan.
Terdapat  beberapa alasan terkait  dipilihnya  penemuan  terbimbing  untuk  meningkatkan  kemampuan penalaran  matematis siswa. Penemuan terbimbing  lebih  efektif  daripada penemuan  murni dalam  membantu siswa  belajar  (Mayer,  2004).  Waktu  belajar  di  sekolah  adalah  terbatas,  siswa  masih  membutuhkan  konsep dasar untuk menemukan sesuatu, dan tidak semua siswa dapat menemukan sesuatu sendiri (Widdiharto, 2004: 4).  Penemuan  terbimbing  dapat  menghasilkan  memori  dan  transfer  jangka  panjang  lebih  baik  daripada pembelajaran ekspositori (Jacobsen, Eggen & Kauchak, 2009). Jadi penemuan terbimbing memiliki beberapa kelebihan dibandingkan dengan model pembelajaran yang lain.
Penelitian  yang  mendukung  penerapan  penemuan  terbimbing  untuk  meningkatkan  penalaran matematis siswa antara lain penelitian Ani (2015), Agustina (2014), dan Bani (2011). Pembelajaran penemuan terbimbing dapat meningkatkan kinerja siswa (Akanmu & Fajemidagba, 2013), keterampilan sosial (Moore, 2009),  sikap  positif  siswa  terhadap  Matematika  (Bani,  2011),  serta  motivasi  siswa  bahwa  ide-ide  mereka penting dan konstruktif (Germain, 2013). Hasil studi Kramarski & Mizrachi (2006) menemukan fakta bahwa siswa yang diberi kesempatan lebih luas untuk mendemonstrasikan ide matematis, berimbas pada peningkatan penalaran matematis secara signifikan.
Salah satu materi Matematika yang dianggap sulit oleh siswa serta membutuhkan kemampuan bernalar adalah Program Linear. Program Linear sering digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari  misalnya  di  bidang  industri,  perdagangan,  transportasi  dan  lain-lain  (Budiarto,  2004).  Program Linear  adalah  metode  matematis  dalam  mengalokasikan  sumber  daya  yang  terbatas  untuk  mencapai  suatu tujuan, seperti  memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya (Sultan, 1993).  Sumber daya yang dimaksud yaitu bahan baku, modal, peralatan, tempat, waktu, tenaga, dan lain-lain.
Berdasarkan  paparan  di  atas,  penelitian  ini  memfokuskan  pada  pembelajaran  penemuan  terbimbing yang dapat meningkatkan penalaran matematis siswa pada materi Program Linear.

## METODE
Penelitian  ini  merupakan  Penelitian  Tindakan  Kelas  (PTK)  dengan  pendekatan  kualitatif  deskriptif. PTK  ini  dilakukan  di  SMKN  1  Madiun.  Subjek  penelitian  adalah  siswa-siswa  Kelas  XI  TPM  3  SMKN  1 Madiun tahun pelajaran 2016/2017 sebanyak 30 orang. Jurusan TPM atau Teknik Pemesinan adalah salah satu Program Keahlian di SMKN 1 Madiun. Penelitian ini dilaksanakan mulai tanggal 26 September-14 November 2016.
Pada PTK ini, penelitian dikembangkan berdasarkan prosedur penelitian oleh Kemmis & McTaggart (2002). Penelitian diawali dengan tahap pra tindakan yang terdiri dari observasi pembelajaran dan pemberian tes awal. Tahap selanjutnya adalah tahap tindakan yang terdiri dari tahap perencanaan, pelaksanaan tindakan & pengamatan, dan refleksi.
Tahap  perencanaan  dilakukan  oleh  peneliti  dengan  mempersiapkan  segala  sesuatu  yang  diperlukan selama pelaksanaan tindakan, yaitu (1) menyusun perangkat pembelajaran yang terdiri dari RPP dan LKS, (2) menyusun  instrumen penelitian yang terdiri  dari lembar observasi aktivitas guru, lembar observasi aktivitas
siswa,  lembar  tes  akhir  siklus,  lembar  pedoman  wawancara,  dan  lembar  validasi,  (3)  menyusun  jadwal pelaksanaan tindakan, menentukan observer, dan menyusun kelompok siswa.
Validator kemudian  melakukan  validasi terhadap perangkat pembelajaran dan instrumen penelitian. Hasil validasi menunjukkan semua aspek yang divalidasi berada pada kriteria valid. Hal ini berarti perangkat pembelajaran  dan  instrumen  penelitian  tersebut  layak  digunakan  dalam  penelitian.  Hasil  validasi  ini  dapat dilihat pada Tabel 1 berikut ini.

## Tabel 1 Validasi Perangkat Pembelajaran dan Instrumen Penelitian
Perangkat Pembelajaran dan Instrumen Penelitian Hasil Validasi Kriteria RPP 83,09% Valid LKS 86,25% Valid Lembar Observasi Aktivitas Guru dan Siswa 84,72% Valid Lembar Tes Akhir Siklus 86,54% Valid Lembar Pedoman Wawancara 84,38% Valid
Tahap berikutnya adalah pelaksanaan tindakan dan pengamatan.  Peneliti berperan sebagai guru dan didampingi  oleh  observer.  Peneliti  melaksanakan  pembelajaran  penemuan  terbimbing,  sedangkan  observer mengamati aktivitas yang dilakukan oleh guru dan siswa. Peneliti juga melakukan pemberian tes akhir siklus dan kegiatan wawancara. Data-data yang dikumpulkan oleh peneliti pada tahap ini terdiri dari hasil observasi aktivitas guru, hasil observasi aktivitas siswa, lembar tes akhir siklus dan hasil wawancara. Data-data tersebut dianalisis  secara  kuantitatif  dan  kualitatif.  Peneliti  melakukan  analisis  kuantitatif  terhadap  hasil  observasi aktivitas  guru,  hasil  observasi  aktivitas  siswa  dan  hasil  tes  akhir  siklus.  Analisis  kualitatif  mengenai peningkatan penalaran matematis dilakukan oleh peneliti terhadap hasil pekerjaan siswa, saran-saran observer, dan hasil wawancara.
Tahap berikutnya adalah refleksi dan evaluasi. Kriteria keberhasilan dalam penelitian ini adalah hasil observasi aktivitas guru dan siswa mencapai kriteria minimal baik, nilai rata-rata tiap indikator kemampuan penalaran matematis siswa ≥ 75, dan hasil tes pada akhir siklus mencapai ketuntasan klasikal minimal 75% siswa  mendapat nilai ≥ 75. Selanjutnya, peneliti dan observer  mengevaluasi data-data yang telah dianalisis. Jika kriteria keberhasilan belum tercapai maka peneliti mencari penyebab kegagalan dan merencanakan siklus selanjutnya.  Siklus  diulang  sampai  hasil  tindakan  memenuhi  kriteria  keberhasilan  yang  telah  ditetapkan, selanjutnya peneliti menyusun laporan penelitian.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Kegiatan penelitian ini diawali dengan pra-tindakan yaitu observasi pembelajaran dan pemberian tes awal.  Berdasarkan  hasil  observasi  awal, terdapat  permasalahan  pembelajaran  yang  dialami  oleh  siswa  yang berkaitan  dengan  kemampuan  penalaran  matematis.  Hal  ini  disebabkan  oleh  ketidaktepatan  guru  dalam membelajarkan siswa. Kondisi awal menunjukkan nilai rata-rata untuk semua indikator penalaran matematis berada di bawah 75, selain itu ketuntasan penalaran matematis siswa secara klasikal hanya 43,33%. Ini berarti tingkat penalaran matematis siswa masih kurang.
Selanjutnya  guru  melaksanakan  kegiatan  pembelajaran  dengan  berpedoman  pada  RPP  yang  telah disusun  sebelumnya.  Pelaksanaan  tindakan  dilakukan  dalam  dua  siklus  yaitu  Siklus  I  dan  Siklus  II.  Setiap siklus  terdiri  dari  dua  pertemuan  tatap  muka  dan  diakhiri  dengan  tes  akhir  siklus.  Hasil  observasi keterlaksanaan pembelajaran penemuan terbimbing ditunjukkan pada Tabel 2 di bawah ini.
Tabel 2 Keterlaksanaan Aktivitas Guru dan Siswa Observasi Siklus I Siklus II Pertemuan ke-1 Pertemuan ke-2 Pertemuan ke-1 Pertemuan ke-2 Aktivitas Guru 73,21% 75,00% 78,87% 82,74% Kriteria Cukup Baik Baik Baik Aktivitas Siswa 69,64% 72,62% 76,79% 79,17% Kriteria Cukup Cukup Baik Baik
Berdasarkan  Tabel  2  diketahui  bahwa  aktivitas  guru  dalam  melaksanakan  langkah-langkah pembelajaran  yang  sesuai  dengan  RPP  pada  Siklus  I  dan  Siklus  II  selalu  meningkat.  Pada  akhir  siklus  II, aktivitas guru mencapai 82,74% dan mencapai kriteria baik. Aktivitas siswa pada akhir Siklus I berada pada kriteria  cukup,  tetapi  aktivitas  siswa  pada  akhir  II  dapat  memenuhi  kriteria  baik.  Ini  berarti  hasil  observasi aktivitas guru dan siswa telah memenuhi indikator keberhasilan dalam penelitian.
Selain hasil observasi pembelajaran, data yang dikumpulkan pada penelitian ini adalah hasil tes akhir siklus. Berdasarkan hasil tes diketahui kemampuan penalaran matematis siswa untuk tiap indikator mengalami peningkatan. Peningkatan kemampuan ini dapat diketahui berdasarkan hasil pada kondisi awal, Siklus I dan Siklus II yang ditunjukkan pada Tabel 3 berikut ini.
Tabel 3 Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematis tiap Indikator
Indikator Penalaran Matematis Nilai Rata-rata Kondisi Awal Siklus I Siklus II Menyajikan  pernyataan  matematika  secara tertulis, gambar, dan diagram 51,67 70,42 77,50 Mengajukan dugaan 67,50 81,67 83,33 Melakukan manipulasi matematika 63,33 75,00 79,58 Menarik  kesimpulan,  menyusun  bukti,  dan memberikan alasan terhadap kebenaran solusi 68,33 75,00 82,50 Memeriksa kesahihan suatu argumen 50,00 67,50 76,67
Data kondisi awal menunjukkan nilai rata-rata tiap indikator di bawah 75. Siklus I menunjukkan nilai rata-rata tiap indikator tidak semuanya mencapai 75. Pada Siklus I ini, nilai rata-rata pada indikator pertama adalah  70,42,  sedangkan  nilai  rata-rata  pada  indikator  kelima  adalah  67,50.  Berdasarkan  data  Siklus  II didapatkan nilai rata-rata untuk semua indikator kemampuan penalaran matematis melebihi 75, sehingga telah memenuhi indikator keberhasilan penelitian.
Selain  mempertimbangkan  nilai  rata-rata  tiap  indikator,  peneliti  juga  menganalisis    ketuntasan penalaran  matematis  siswa  secara  klasikal.  Peningkatan  ketuntasan  penalaran  siswa  disajikan  pada  Tabel  4 berikut ini.

## Tabel 4 Peningkatan Ketuntasan Penalaran Matematis Siswa
Kriteria Ketuntasan Kondisi Awal Siklus I Siklus II Nilai siswa ≥ 75 (% siswa tuntas) 13 siswa (43,33%) 20 siswa (66,67%) 25 siswa (83,33%) Nilai siswa < 75 (% siswa tidak tuntas) 17 siswa (56,67%) 10 siswa (33,33%) 5 siswa (16,67%)
Banyaknya  siswa  Kelas  XI  TPM  3  adalah  30  orang.  Pada  kondisi  awal,  ketuntasan  siswa  secara klasikal  hanya  43,33%.  Data  Siklus  I  menunjukkan  ketuntasan  penalaran  matematis  siswa  secara  klasikal menjadi  66,67%.  Data  Siklus  II  menunjukkan  ketuntasan  penalaran  matematis  secara  klasikal  mencapai 83,33%. Hasil ini telah memenuhi indikator keberhasilan penelitian yaitu minimal 75% siswa mendapat nilai minimal 75. Berdasarkan hasil ini, siswa yang tergolong tuntas mengalami peningkatan sebesar 20%.
Ketidakberhasilan Siklus I dapat dilihat dari hasil pekerjaan siswa pada tes akhir siklus I. Berikut ini hasil pekerjaan siswa saat menyelesaikan soal nomor 2.
2. Tunjukkan bahwa sistem pertidaksamaan linear
2 x + 7 y ≥ 14, x ≥ 0 dan y ≥ 0 mempunyai grafik himpunan penyelesaian seperti gambar di bawah ini, tuliskan alasanmu!
Jawaban Siswa:
Gambar 1 Hasil Pekerjaan Siswa untuk Soal Nomor 2 Siklus I
Berdasarkan Gambar 1, siswa tidak dapat menyajikan pernyataan matematika secara tertulis, gambar dan  diagram.  Siswa  hanya  memilih  satu  titik  saja  yaitu  (2,2),  kemudian  mensubstitusikan  titik  tersebut  ke pertidaksamaan 2𝑥  +  7𝑦  ≥  14, 𝑥  ≥  0 dan 𝑦  ≥  0 dan diperoleh pernyataan benar. Namun hal ini kurang tepat karena HP merupakan himpunan tak hingga dari titik-titik yang memenuhi SPtLDV, siswa tidak mungkin mengecek semua titik tersebut.
Pada Siklus I, siswa juga mengalami kesulitan dalam memeriksa kesahihan argumen. Hal ini tampak saat siswa diminta untuk mengerjakan soal nomor 4 berikut ini.

## Gambar 2 Hasil Pekerjaan Siswa untuk Soal Nomor 4 Siklus I
Berdasarkan Gambar 2, siswa tidak dapat menentukan koordinat titik potong garis pada sumbu 𝑋 dan sumbu 𝑌 dengan tepat. Kebanyakan siswa mengalami kesulitan dalam menentukan koordinat titik (𝑥, 𝑦), hal ini dikarenakan siswa sulit membedakan letak absis dan ordinat dari suatu titik. Akibatnya siswa melakukan kesalahan dalam menentukan persamaan garis-garis pembatas. Jadi siswa tidak mampu menyelidiki kebenaran suatu pernyataan secara tepat, disertai alasan yang benar.
Kemampuan penalaran matematis siswa pada Siklus II mengalami peningkatan. Peningkatan tersebut tampak pada hasil pekerjaan siswa untuk soal nomor 2 berikut ini.

## Gambar 3 Hasil Pekerjaan Siswa untuk Soal Nomor 2 Siklus II
Berdasarkan  Gambar  3,  siswa  mampu  memahami  isi  soal  sehingga  dapat  memilih  pernyataan  yang tepat  sesuai  maksud  dari  soal.  Siswa  membuat  pemisalan  untuk  variabel  keputusan,  kemudian  menuliskan kendala dan fungsi tujuan  dengan tepat. Jadi siswa dapat menyajikan pernyataan  matematika secara tertulis dengan tepat.
Pada  Siklus  II  ini,  kemampuan  siswa  memeriksa  kesahihan  suatu  argumen  juga  mengalami peningkatan. Hal ini tampak saat siswa menyelesaikan soal nomor 3 berikut ini.
Gambar 4 Hasil Pekerjaan Siswa untuk Soal Nomor 3 Siklus II
Berdasarkan  Gambar  4,  siswa  menyajikan  pernyataan  matematika  secara  tertulis,  gambar,  dan diagram; melakukan manipulasi matematika; dan memeriksa kesahihan suatu argumen secara tepat. Langkah- langkah  yang  dituliskan  oleh  siswa  ini  runtut  dan  benar.  Siswa  juga  dapat  menyimpulkan  suatu  pernyataan berdasarkan kondisi yang ada. Jadi siswa mampu menyelidiki kebenaran suatu pernyataan disertai alasan yang tepat.
Hasil yang didapat dalam penelitian ini merupakan dampak yang disebabkan oleh pemberian tindakan yaitu  penerapan  penemuan  terbimbing.  Tahap-tahap  pembelajaran  yang  dilakukan  oleh  guru  mengadaptasi tahap-tahap  penemuan  terbimbing  menurut  Eggen  &  Kauchak  (2012)  yaitu  pengenalan  dan review ,  tahap terbuka, tahap konvergen, dan penutup & aplikasi.  Berikut ini adalah paparan kegiatan yang dilakukan oleh guru pada setiap tahapan.

## Pengenalan dan Review
Langkah pertama dalam kegiatan pembelajaran adalah guru mengondisikan siswa untuk menciptakan suasana  belajar  yang  kondusif.  Siswa  yang  siap  untuk  belajar  mampu  belajar  lebih  banyak  dibandingkan dengan  siswa  yang  tidak  siap  (Orton,  1992).  Tahap  pengenalan  bertujuan  untuk  menarik  perhatian  siswa (Eggen & Kauchak, 2012). Guru menjelaskan manfaat dari mempelajari suatu konsep, misalnya manfaat dari Program Linear dan model matematika. Tahap pengenalan juga bertujuan untuk menetapkan fokus pelajaran (Eggen & Kauchak, 2012). Pada tahap ini, guru memberikan contoh permasalahan dalam kehidupan  sehari- hari. Guru kemudian  memperkenalkan  istilah-istilah penting  misalnya grafik HP, variabel keputusan, syarat non  negatif,  kendala,  fungsi  tujuan,  dan  lain-lain.  Siswa  menjadi  tidak  asing  dengan  istilah-istilah  tersebut sehingga  siswa  lebih  mudah  mengingat  dan  menyimpannya  di  dalam  memori  otak.  Hal-hal  yang  dilakukan guru ini diyakini efektif dalam memperkenalkan konten baru (Alfieri, 2011).
Guru kemudian menyampaikan tujuan pembelajaran. Kegiatan ini merupakan kesempatan guru untuk mengomunikasikan arah kegiatan dan menekankan kepada siswa untuk belajar secara mandiri dan serius. Guru menginformasikan  kepada  siswa  bahwa  di  akhir  pembelajaran,  siswa  harus  mengerjakan  soal  kuis  secara individu.  Siswa  mengetahui  arah  pembelajaran,  terpacu  untuk  belajar  dan  memperoleh  hasil  belajar  yang maksimal (Uno, 2008).
Kegiatan  selanjutnya  adalah review ,  yaitu  guru  menghidupkan  pengetahuan  atau  hasil  kerja sebelumnya (Eggen & Kauchak, 2012). Melalui diskusi kelas, guru memancing ingatan siswa terkait materi
prasyarat yaitu konsep-konsep yang telah dipelajari sebelumnya. Jika siswa mempunyai pengetahuan prasyarat yang  cukup  maka  siswa  dikatakan  siap  untuk  mempelajari  materi  selanjutnya.  Sebagai  contoh,  guru mengingatkan  kembali  cara  menggambar  garis  dengan  persamaan 𝑥  +  𝑦  =  3 . Siswa  melakukan  aktivitas bernalar  yaitu  menyajikan  pernyataan  matematika  secara  tertulis,  gambar,  dan  diagram.  Garis  dari  suatu persamaan linear  merupakan materi prasyarat untuk mempelajari grafik SPtLDV.
Contoh  lain  adalah  guru  mengingatkan  siswa  mengenai  metode  eliminasi  dan  substitusi  untuk menentukan koordinat titik potong dua garis. Siswa diminta untuk melakukan aktivitas manipulasi matematika. Metode eliminasi dan substitusi digunakan untuk menentukan titik potong dari dua garis pembatas. Salah satu dari titik-titik tersebut akan menjadi titik optimum. PCT ( Pedagogical Content Tool ) adalah alat isi pedagogis misalnya  grafik,  diagram,  persamaan  atau  pernyataan  verbal  yang  sengaja  digunakan  oleh  guru  untuk menghubungkan  pemikiran  siswa  saat  siswa  mempelajari  materi  selanjutnya  (Rasmussen  &  Marrongelle, 2006).
Saat  guru  tidak  mengingatkan  materi  prasyarat,  siswa  mengalami  kesulitan  di  tengah-tengah penyelesaian tugas. Sebagai contoh, beberapa kelompok mengalami kesulitan dalam menentukan  persamaan garis a x + b y = c yang melalui dua titik ( x 1 , y 1 ) dan ( x 2 , y 2 ). Hal ini disebabkan guru tidak mengingatkan siswa tentang rumus untuk mencari persamaan garis yang melalui dua titik. Siswa membangun ide atau konsep baru berdasarkan  pengalaman  dan  pengetahuan  sebelumnya  (Ercan  &Tasdere,  2011;  Kanselaar,  2002;  Delors, 1996).

## Tahap Terbuka
Kegiatan  selanjutnya  adalah  siswa  bekerja  dalam  kelompok.  Setiap  kelompok  beranggotakan  4-5 siswa  dengan  kemampuan  heterogen  berdasarkan  hasil  tes  awal.  Hal  ini  bertujuan  agar  setiap  anggota memberikan peran tersendiri untuk tiap tingkatan (Leikin & Zaslavsky, 1999). Guru kemudian membagikan LKS  kepada  masing-masing  kelompok.  Siswa  diberi  kesempatan  untuk  melakukan  interaksi  dan  berdiskusi dalam  memecahkan  masalah.  Siswa  tidak  hanya  bertanggung  jawab  atas  dirinya  sendiri  tetapi  juga bertanggung jawab atas keberhasilan kelompoknya (Arends, 2008).
Kegiatan  pembelajaran  dilanjutkan  dengan  guru  menyajikan  contoh-contoh.  Pemberian  contoh  dan bukan  contoh  dari  suatu  konsep  bertujuan  menstimulasi  siswa  dalam  memahami  konsep  tersebut  (Eggen  & Kauchak, 2012). Guru meminta siswa untuk membandingkan contoh-contoh yang diberikan. Pada pertemuan pertama, guru menyajikan contoh-contoh grafik himpunan penyelesaian (HP) dari SPtLDV. Pada pertemuan lain, guru menyajikan contoh-contoh SPtLDV berdasarkan grafik HP yang diketahui. Simbol, bagan, grafik, dan diagram merupakan metode yang sangat baik untuk menyajikan ide-ide dan hubungan dalam matematika (de  Walle,  2008).  Guru  memotivasi  siswa  untuk  mengajukan  pertanyaan  terkait  contoh-contoh  tersebut. Adanya  pertanyaan  yang  muncul  dari  siswa  adalah  indikasi  bahwa  siswa  merasa  tertarik,  dan  mempunyai keinginan  untuk  mengetahui  konsep  yang  terkandung  dari  contoh-contoh  itu.  Penemuan  terbimbing  dapat membangkitkan rasa ingin tahu dan memotivasi siswa untuk menemukan jawaban (Slavin, 2009; Balim, 2009).
Pada  pertemuan  awal,  sebagian  besar  siswa  bingung  dan  tidak  tahu  bagaimana  cara  membuat pertanyaan  karena  belum  terbiasa.  Oleh  karena  itu  guru  memotivasi  siswa  untuk  merumuskan  pertanyaan dengan  kalimat  siswa  sendiri.  Pada  kegiatan  ini,  siswa  melakukan  aktivitas  bernalar  yaitu  menyajikan pernyataan  matematika  secara  lisan  dan  tertulis.  Guru  menyampaikan  kepada  siswa  bahwa  ide-ide  mereka penting dan konstruktif (Germain, 2013).
Siswa menuliskan hasil pengamatan, kemudian menuliskan ciri-ciri spesifik suatu konsep berdasarkan hasil pengamatan. Saat berada pada situasi matematis, siswa mencoba merepresentasikan ide ke dalam simbol atau  bahasa  matematika  (Bjuland,  2007).  Siswa  juga  melakukan  adaptasi  yaitu  mengaitkan  informasi  baru dengan pengetahuan sebelumnya sehingga saling terhubung di dalam struktur kognitif siswa (Bjuland, 2007).

## Tahap Konvergen
Tahap konvergen diawali dengan guru menyajikan permasalahan utama. Guru menyediakan petunjuk secara sistematis yang terfokus pada tujuan pembelajaran (Mayer, 2004). Melalui lembar kerja, siswa dapat bekerja  mandiri dan bekerja sama karena telah tersedia uraian atau langkah-langkah secara bertahap (Choo, dkk, 2011). Siswa memanfaatkan media LKS untuk menyelesaikan masalah yang ditugaskan.
Saat dihadapkan pada masalah, siswa menggunakan penalaran untuk menemukan solusi masalah serta alasan  atas  jawaban  yang  diberikan  (Brodie,  2010;  Bergqvist,  dkk,  2008).  Langkah  pertama  dalam penyelesaian  masalah  adalah  menuliskan  dugaan.  Membuat  dugaan  merupakan  hal  yang  cukup  sulit  bagi siswa. Pada langkah ini, guru memberikan arahan dan bimbingan kepada siswa. Conjecturing adalah kegiatan memprediksi kesimpulan atau teori yang didasarkan pada fakta yang belum lengkap (Bjuland, 2007).
Kegiatan  selanjutnya  adalah  siswa  mengumpulkan  informasi  terkait  cara  menyelesaikan  masalah. Pada  kegiatan  ini,  siswa  menggali  informasi  dan  menstimulasi  pengalaman  yang  ada  untuk  membangun pengetahuan (Eggen & Kauchak, 2012). Sumber informasi dapat berasal dari buku paket atau internet. Siswa mengonstruksi pengetahuan berdasarkan informasi baru dan data yang dikumpulkan dalam lingkungan belajar yang eksploratif (de Jong & van Joolingen, 1998). Guru berperan sebagai fasilitator yang membimbing siswa saat diperlukan.
Penemuan terbimbing merupakan model pembelajaran yang relatif baru bagi siswa. Pada pertemuan awal, siswa tampak diam dan kurang aktif. Hal ini dikarenakan siswa terbiasa memakai rumus jadi. Beberapa siswa kurang memberikan kontribusi dalam penyelesaian tugas. Sebaliknya, siswa dengan kemampuan tinggi berperan dominan dan kurang mempedulikan teman yang berkemampuan rendah. Guru mengingatkan siswa untuk memperhatikan tujuan kelompok agar siswa dapat membagi tugas dan tanggung jawab (Burke, 2011). Melalui diskusi kelompok, siswa belajar melalui proses memberi dan menerima (Eggen & Kauchak, 2012).
Selanjutnya  siswa  melakukan  kegiatan convincing yaitu menerapkan  strategi  penyelesaian  untuk menyelesaikan masalah. Siswa didorong untuk berpikir sendiri, sedangkan bimbingan oleh guru dilakukan saat diperlukan  tergantung  kemampuan  siswa  (Markaban,  2008).  Guru  menggunakan  teknik  bertanya  untuk membantu siswa ketika siswa melakukan kesalahan (Moore & Hansen, 2010). Pada kegiatan ini siswa berlatih kemampuan  menyajikan  pernyataan  tertulis  dan  manipulasi  matematika.  Beberapa  kelompok  mengalami sedikit  perbedaan  pendapat.  Siswa  berdiskusi  dan  berargumentasi  dalam  mengasah  pengetahuan  (Slavin, 2005). Hal ini menunjukkan terjadi interaksi antara siswa dengan siswa yang lebih baik.
Aktivitas bernalar selanjutnya adalah menarik kesimpulan, menyusun bukti, dan memberikan alasan terhadap  kebenaran  solusi.  Siswa  harus  mampu  menyusun  kesimpulan  disertai  bukti-bukti  terstruktur,  serta menyampaikan  keputusan  yang  beralasan  (Martin,  2009:  4).  Setiap  kelompok  menyajikan  pernyataan matematika  dengan  menuliskan  kesimpulan  penyelesaian  masalah.  Kesimpulan  ini  diperoleh  berdasarkan langkah-langkah  penyelesaian  yang  dilakukan  oleh  siswa.  Siswa  kemudian  melakukan reflecting, yaitu memeriksa  kembali  penyelesaian  masalah  dengan  mengembalikan  jawaban  ke  permasalahan  awal.  Pada kegiatan  ini,  siswa  melakukan  aktivitas  bernalar  yaitu  memeriksa  kesahihan  suatu  argumen.  Guru  tidak memberikan  pengetahuan  melainkan  membantu  siswa  menemukan  kebenaran  informasi  (Akanmu  & Fajemidagba, 2013).
Pada pertemuan awal, guru menunjuk secara acak salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusi.  Guru  kemudian  meminta  kelompok  lain  untuk  bertanya  atau  menanggapi,  namun  kelompok  lain tampak pasif. Pada pertemuan berikutnya, guru memberikan kesempatan kepada salah satu kelompok untuk mempresentasikan  hasil  diskusi.  Hal  ini  berdampak  siswa  menjadi  lebih  berani  menyatakan  pendapat,  dan antusias  saat  berdiskusi.  Faktor  penting  yang  menentukan  keberhasilan  siswa  dalam  bernalar  adalah kesempatan untuk menjelaskan pemikiran dan terlibat dengan materi pembelajaran (Baig, 2006). Daya nalar dan pemahaman matematis siswa meningkat lebih baik melalui proses menjelaskan secara verbal (Ike, 2014).

## Penutup dan Aplikasi
Pada  tahap  penutup,  guru  membimbing  siswa  melakukan  g eneralizing. Guru  menegaskan  hal-hal penting  dari  konsep,  mendeskripsikan  keterkaitan  konsep,  dan  membimbing  siswa  untuk  membuat kesimpulan.  Hal  ini  bertujuan  agar  siswa  memahami  definisi  dan  karakteristik  suatu  konsep  (Eggen  & Kauchak,  2012).  Langkah  berikutnya  adalah  kegiatan  refleksi.  Pada  Siklus  I,  kegiatan  refleksi  tidak  dapat dilakukan karena jam pelajaran hampir berakhir. Sedangkan pada Siklus II, guru bersama siswa  melakukan refleksi pembelajaran. Refleksi memberikan kesempatan bagi siswa untuk berkomentar tentang proses diskusi dan hasil penemuan, kesulitan yang dialami, atau kejelasan konsep untuk menguatkan pemahaman siswa.
Kegiatan selanjutnya adalah aplikasi. Kegiatan aplikasi bertujuan agar siswa menerapkan pemahaman yang  telah  dibangun  ke  dalam  konteks  baru  (Eggen  &  Kauchak,  2012).  Guru  melaksanakan  kegiatan  ini melalui  pemberian  kuis.  Guru  memotivasi  siswa  untuk  mengerjakan  kuis  secara  mandiri.  Hal  ini  bertujuan agar  siswa  dapat  meningkatkan  pemahaman  konsep  (Germain,  2013).  Selain  itu,  siswa  memperoleh pengalaman belajar yang dapat mengasah kemampuan penalaran matematisnya.
Selain  melaksanakan  kegiatan  pembelajaran  dan  pemberian  tes,  peneliti  juga  melakukan  kegiatan wawancara.  Setelah  siswa  mengikuti  model  pembelajaran  ini,  siswa  merasa  antusias  dan  semangat  untuk belajar. Selain itu, siswa menjadi senang dan tidak takut lagi dengan pelajaran matematika. Siswa mendapatkan kegembiraan karena turut merasakan dan berbagi saat penyelidikan (Balim, 2009). Hasil ini mendukung hasil temuan sebelumnya bahwa pembelajaran penemuan terbimbing dapat meningkatkan kinerja siswa (Akanmu & Fajemidagba, 2013), keterampilan sosial (Moore, 2009), dan sikap positif siswa terhadap Matematika (Bani, 2011).  Dampak  positif  lain  adalah  intensitas  interaksi  antara  siswa  dengan  siswa,  serta  intensitas  interaksi antara siswa dengan guru menjadi lebih baik. Selain itu, siswa menyatakan lebih mudah untuk mengingat dan
memahami isi materi. Setelah siswa belajar dengan menemukan sendiri, hasil yang didapat akan tahan lama dalam ingatan (Hosnan, 2014).
Berdasarkan data nilai rata-rata tiap indikator, ketuntasan penalaran matematis siswa secara klasikal dan  hasil  wawancara,  peneliti  menyimpulkan  bahwa  kemampuan  penalaran  matematis  siswa  mengalami peningkatan. Hasil penelitian ini memperkuat hasil temuan Ani (2015), Agustina (2014), dan Bani (2011) yang menyatakan bahwa penerapan pembelajaran penemuan terbimbing dapat meningkatkan kemampuan penalaran matematis  siswa.  Oleh  karena  itu,  peneliti  menarik  kesimpulan  bahwa  penerapan  penemuan  terbimbing terbukti dapat meningkatkan penalaran matematis siswa pada materi Program Linear.

## PENUTUP
Penelitian  ini  mendeskripsikan  pembelajaran  penemuan  terbimbing  yang  dapat  meningkatkan penalaran  matematis  siswa  pada  materi  Program  Linear  dengan  tahap-tahap  sebagai  berikut  (1)  Pengenalan dan Review ,  yaitu  guru  mengondisikan  siswa  agar  siap  untuk  belajar  dengan  menyampaikan  tujuan pembelajaran,  memberikan  motivasi,  menjelaskan  manfaat,  dan  mengingatkan  materi  prasyarat;  (2)  Tahap Terbuka,  yaitu  guru  menetapkan  kelompok,  selanjutnya  siswa  mengamati  contoh-contoh,  mengajukan pertanyaan, dan menuliskan ciri-ciri konsep berdasarkan hasil pengamatan; (3) Tahap Konvergen, yaitu guru menyajikan  permasalahan  utama,  kemudian  siswa  membuat  dugaan,  mengumpulkan  informasi,  melakukan manipulasi matematika, menyimpulkan penyelesaian masalah, memeriksa kembali penyelesaian masalah, dan menyajikan  hasil  diskusi;  (4)  Penutup  dan  Aplikasi,  yaitu  guru  menegaskan  hal-hal  penting  terkait  konsep, guru membimbing siswa membuat kesimpulan, kegiatan refleksi dan pemberian kuis.
Berdasarkan  analisis  data  kuantitatif  dan  data  kualitatif,  hasil  penelitian  menunjukkan  terjadi peningkatan kemampuan penalaran matematis siswa. Pada akhir siklus II, nilai rata-rata untuk semua indikator melebihi  nilai  KKM.  Ketuntasan  siswa  secara  klasikal  pada  kondisi  awal  hanya  43,33%,  pada  Siklus  II meningkat menjadi 66,67%, sedangkan pada Siklus II mencapai 83,33%. Jadi banyaknya siswa tuntas secara klasikal  mengalami kenaikan 20%. Selain itu, siswa juga memberikan respon positif terhadap pembelajaran penemuan terbimbing.
Berdasarkan  kesimpulan  di  atas,  peneliti  mengemukakan  saran  sebagai  berikut  (1)  bagi  guru  agar menerapkan  penemuan  terbimbing  sebagai  salah  satu  upaya  meningkatkan  penalaran  matematis  siswa  dan mengonstruksi pemahaman konsep, (2) bagi peneliti selanjutnya agar mengkaji permasalahan pada PTK ini secara  lebih  mendalam  misalnya  pada  materi  matematika  yang  berbeda.  Hal  ini  dikarenakan  masih  banyak kekurangan yang dilakukan oleh peneliti.

## DAFTAR RUJUKAN
Adedoyin, O. 2010. An Investigation of the Effects of Teacher’s Classroom Questions on the Achievements of  Students  in  Mathematics:  Case  Study  of  Botswana  Community  Junior  Secondary  Schools. European Journal of Educational Studies , 2(3): 313-329.
Ani, A. 2015. Penerapan Metode Penemuan Terbimbing untuk Meningkatkan Penalaran Matematika Siswa Kelas X  SMK Kesehatan Al-Yasini Pasuruan. Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPs UM.
Agustina,  E.N.S.  2014. Penerapan  Pembelajaran  Penemuan  Terbimbing  Berbantuan  Media  Foto  untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran Siswa pada Materi Perbandingan di SMP Negeri 13 Malang . Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPs UM.
Akanmu, M.A. & Fajemidagba, M.O. 2013. Guided-Discovery Learning Strategy and Senior School Students Performance in Mathematics in Ejigbo, Nigeria. Journal of Education and Practice , 4(12).
Alfieri, L. 2011. Does Discovery-Based Instruction Enhance Learning? Journal of Educational Psychology . 103(1): 1-18.
Arends, R.I. 2008. Learning to Teach. New York: McGraw Hill.
Arsefa,  D.  2014.  Kemampuan  Penalaran  Matematika  Siswa  dalam  Pembelajaran  Penemuan  Terbimbing . Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika PPs STKIP Siliwangi Bandung. 1(2014). ISSN 2355-0473.
Baig,  2006.  Learning  Mathematical  Rules  with  Reasoning. Eurasia  Journal  of  Mathematics,  Science  and Technology Education, 2(2).
Balim,  A.G.  2009.  The  Effects  of  Discovery  Learning  on  Students’  Success  and  Inquiry  Learning  Skills. Eurasian Journal of Educational Research , 35: 1-20.
Bani, A. 2011. Meningkatkan Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematik Siswa Sekolah Menengah melalui  Pembelajaran  Penemuan  Terbimbing. Jurnal  Penelitian  dan  Pengembangan  Pendidikan, (Online) , Edisi  Khusus  No.  1,  Agustus  2011:  12-20,  (http://jurnal.upi.edu/file/2-Asmar_Bani.pdf), diakses 10 Oktober 2015.
Bergqvist,  T.,  Lithner,  J.  &  Sumpter,  L.  2008.  Upper  Secondary  Students’  Task  Reasoning. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 39(1): 1-12.
Bjuland,  R.  2007.  Adult  Students'  Reasoning  in  Geometry:  Teaching  Mathematics  through  Collaborative Problem Solving in Teacher Education. The Montana Mathematics Enthusiast, 4(1): 1-30.
Brodie, K. 2010. Teaching Mathematical Reasoning in Secondary School Classroom . New York: Springer.
Budiarto, M.T. 2004. Program Linear . Dirjen Dikdasmen Depdiknas. Jakarta: Depdiknas.
Burke, A. 2011. Group Work: How to Use Groups Effectively . The Journal of Effective Teaching , 11(2): 87- 95.
Carin, A. 1993. Teaching Science Through Discovery . New York: Macmillan Publishing Company.
Choo, S.S.Y., dkk. 2011. Effect of Worksheet Scaffolds on Student Learning in Problem-Based Learning. Adv in Health Sci Educ, 16:517–528
de  Jong,  T.  &  van  Joolingen,  W.R.  1998.  Scientific  Discovery  Learning  with  Computer  Simulations  of Conceptual Domains. Review of Educational Research, 68(2): 179-201.
de  Walle,  J.A.V.  2008. Matematika  Sekolah  Dasar  dan  Menengah:  Pengembangan  Pengajaran  Jilid  1 . Jakarta: Erlangga.
Delors, J. 1996. Learning: The Treasure Within . France: UNESCO Publishing.
Eggen, P. & Kauchak, D. 1996. Strategies for Teachers: Teaching Content and Thinking Skill (3rd Ed) Boston: Allyn and Bacon.
Ercan,  F.  &  Tasdere,  A.  2011.  Identification  of  Teacher  Candidates’Skills  in  Designing  Experiments  with Various Assessment Tools. Western Anatolia Journal of Educational Science. ISSN 1308-8971.
Germain, J. 2013. Guided Discovery: A Twentieth Century Model Proves Useful in the Twenty-First Century Classroom. (Online), ( http://www.usma.edu/cfe/literature/germain_13.pdf), diakses 1 Juli 2016.
Hosnan,  M.  2014. Pendekatan  Saintifik  dan  Kontekstual  dalam  Pembelajaran  Abad  21 .  Bogor:  Ghalia Indonesia.
Ike, G. 2014. The Effects of Inquiry Problems on Students Construction of Mathematical Reasoning and Viable Arguments. Honors  Projects. Paper  109.  (Online),  (http://scholarworks.bgsu.edu/honorsprojects), diakses 21 Desember 2016.
Jacobsen,  D.A.,  Eggen,  P.,  &  Kauchak,  D.  2009. Methods  for  Teaching:  Metode-metode  Pengajaran Meningkatkan  Belajar  Siswa  TK-SMA. Terjemahan  Achmad  Fawaid  &  Khoirul  Anam.  2009. Yogyakarta: Pustaka Belajar
Kanselaar,
G. 2002. Constructivism and Socio-Constructivism . (Online),
(http://edu.fss.uu.nl/medewerkers/gk/files/Constructivismgk.pdf), diakses 20 April 2016.
Kramarski, B. & Mizrachi, N. 2006. Discussion and Self-Regulated Learning: Effects of Instructional Methods on Mathematical Literacy. The Journal of Educational Research, 99(4): 218-230 .
Kusumah, Y.S. 2011. Literasi Matematis. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan MIPA FKIP Universitas Lampung, (2011): 9-19.
Leikin, R. & Zaslavsky, O. 1999. Cooperative Learning in Mathematics . The Mathematics Teachers-NCTM . (Online), 92(3): 240-246.
Martin, W.G. 2009. Focus in High School Mathematics: Reasoning and Sense Making. Reston, VA: NCTM.
Mayer, R.E. 2004. Should There Be a Three-Strikes Rule  Against Pure Discovery Learning? (The Case for Guided Methods of Instruction) . American Psychologist , 59(1): 14-19.
Moore,  K.D.  &  Hansen,  J.  2012.  Effective  Strategies  for  Teaching  in  K-8  Classrooms.  London:  Sage Publications.
Moore,  K.D. 2009. Effective  Instructional  Strategies: From  Theory  to  Practice . Thousand  Oaks,  CA:  Sage Publications, Inc.
Murata,  A.  2006.  Teaching  as  Assisting  Individual  Constructive  Paths  Within  an  Interdependent  Class Learning  Zone:  Japanese  First  Graders  Learning  to  Add  Using  10. Journal  for  Research  in Mathematics Education, 37(6): 421-455.
Orton, A. 2004. Learning Mathematics: Issues, Theory and Classroom Practice. London: Cassel Educational.
Pollock, P.H., Hamann, K., & Wilson, B.M. 2011. Learning through Discussions: Comparing the Benefits of Small-Group and Large-Class Settings. Journal of Political Science Education , 7(1): 48-64.
Prince, M.J. & Felder, R.M. 2006. Inductive Teaching and Learning Methods: Definitions, Comparisons, and Research Bases. Journal of Engineering Education , 95 (2): 123-138.
Rasmussen,  C.  &  Marrongelle,  K.  2006.  Pedagogical  Content  Tools:  Integrating  Student  Reasoning  and Mathematics in Instruction. Journal for Research in Mathematics Education , 37(5): 388-420.
Slavin, R.E. 2009. Psikologi Pendidikan: Teori dan Praktek . Jakarta: Macan Jaya Cemerlang.
Slavin, R.E. 2006. Educational Psychology: Theory and Practice. Boston: Pearson Education.
Slavin,  R.E.  2005. Cooperative  Learning: Teori,  Riset  dan  Praktik. Terjemahan  Narulita  Nusron.  Bandung: Nusa Media.
Sultan, A. 1993. Linear Programming: An Introduction with Applications . San Diego, CA: Academic Press, Inc.
Uno, H.B. 2006. Perencanaan Pembelajaran . Jakarta: Bumi Aksara.
Widdiharto,  R.  2004.  Model-Model  Pembelajaran  Matematika  SMP. Makalah  Disajikan  pada  Diklat Instruktur/Pengembangan Matematika SMP Jenjang Dasar . Yogyakarta: Depdiknas.
Widjaya,  W.  2010. Design  Realistic  Mathematics  Education  Lesson. Makalah  Disajikan  dalam  Seminar Nasional Pendidikan, PPS Universitas Sriwijaya, Palembang, 1 Mei 2010.