Comparison of Soft and Hard Clustering: A Case Study on Welfare Level in Cities on Java Island *
Analisis Cluster dengan Menggunakan Hard Clustering dan Soft Clustering untuk Pengelompokkan Tingkat Kesejahteraan Kabupaten/Kota di Pulau Jawa
Nurafiza Thamrin 1 and Arie Wahyu Wijayanto 2‡
1,2 Politeknik Statistika STIS, Indonesia
‡ corresponding author: ariewahyu@stis.ac.id
Copyright  ©  2021  Nurafiza  Thamrin  and  Arie  Wahyu  Wijayanto.    This  is  an  open-access  article distributed  under  the  Creative  Commons  Attribution  License,  which  permits  unrestricted  use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
The  National  Medium  Term  Development  Plan  2020-2024  states  that  one  of  the visions of national development is to accelerate the distribution of welfare and justice. Cluster analysis is analysis that grouping of objects into several smaller groups where the objects in one group have similar characteristics. This study was conducted to find the best clustering method and to classify cities based on the level of welfare in Java. In this  study,  the  cluster  analysis  that  used  was  hard  clustering  such  as  K-Means,  K- Medoids (PAM and CLARA), and Hierarchical Agglomerative as well as soft clustering such  as  Fuzzy  C  Means.  This  study  use  elbow  method,  silhouette  method,  and  gap statistics to determine the optimal number of clusters. From the evaluation results of the silhouette coefficient, dunn index, connectivity coefficient, and Sw/Sb ratio, it was found that the best cluster analysis was Agglomerative Ward Linkage which produced three clusters. The first cluster consists of 27 cities with moderate welfare, the second cluster consists  of  16  cities  with  high  welfare,  the  third  cluster  consists  of  76  cities  with  low welfare. With the best clustering results, the government of cities in Java shall be able to  make  a  better  policies  of  welfare  based  on  the  dominant  indicators  found  in  each cluster.
Keywords : agglomerative ward linkage, fuzzy c means, k-means, k-medoids, welfare.
* Received: Des 2020; Reviewed: Jan 2021; Published: Mar 2021

## 1.  Pendahuluan
Sasaran utama dari pembangunan di setiap negara adalah peningkatan kesejahteraan masyarakat.  Kesungguhan  pemerintah  dalam  usaha  mencapai  target  kesejahteraan tercantum dalam Rencana Pembangunan Jangka Menengah Nasional (RPJMN) 2020- 2024  yang  menyatakan  bahwa  salah  satu  visi  pembangunan  nasional  adalah mempercepat  keadilan  dan  pemerataan  (BAPPENAS,  2019).  Menurut  (BPS,  2018), jumlah  penduduk  miskin  di  Indonesia  tahun  2018  diperkirakan  sebesar  26,58  juta penduduk  atau  sebesar  10,12%  dari  total  penduduk.  Pada  Agustus  2018  tingkat pengangguran  terbuka  pada  semua  provinsi  di  pulau  Jawa  naik  sebesar  0,395% secara  rata-rata.  Jumlah  ini  akan  terus  meningkat  jika  strategi  penciptaan  lapangan kerja  tidak  berubah  dan  mempengaruhi  kesejahteraan  secara  tidak  langsung. Permasalahan  ini  mengindikasikan  kebijakan  yang  kurang  tepat  sasaran  dalam pelaksanaan  pembangunan  di  pulau  Jawa.  Sehingga  perlu  adanya  identifikasi karakteristik  pembangunan  berdasarkan  tingkat  kesejahteraan  masyarakat  masing – masing daerah untuk terciptanya kebijakan dan strategi yang tepat guna dalam proses percepatan  pembangunan.  Pengukuran  kesejahteraan  membutuhkan  beberapa indikator yang mendetail dari berbagai aspek. Indikator kesejahteraan rakyat adalah cerminan kualitas sumber daya manusia dari suatu negara yang mencakup indikator pola  konsumsi,  perumahan  dan  lingkungan,  kependudukan,  pendidikan,  gizi, kesehatan, pengeluaran dan ketenagakerjaan (BPS, 2018).
Beberapa  penelitian  telah  dilakukan  untuk  memilih  pengelompokkan  terbaik. Soemartini  &  Supartini  (2017)  melakukan clustering dengan  metode K-means clustering dengan menggunakan indikator kepadatan penduduk, angkatan kerja, laju pertumbuhan penduduk, rata-rata pengeluaran per kapita, angka harapan hidup dan rata-rata lama sekolah. Penelitian lain dari Alwi & Hasrul (2018) menggunakan metode Average  Linkage  clustering dengan  indikator  PDRB  tiap  kabupaten/kota,  jumlah penduduk  miskin,  kepadatan  penduduk,  daya  beli,  jumlah  angkatan  kerja,  angka melek  huruf,  angka  harapan  hidup,  angka  harapan  lama  sekolah,  rata-rata  lama sekolah, kepemilikan rumah sendiri, dan tingkat pengangguran terbuka. Hidayatullah (2014) juga menggunakan metode Average Linkage dengan indikator pengeluaran riil perkapita, PDRB perkapita, kepadatan penduduk, angka harapan hidup, dan rata-rata lama sekolah yang mempengaruhi tingkat kesejahteraan.
Analisis komponen utama dilakukan untuk mereduksi data yang awalnya memiliki dimensi  yang  tinggi  (banyak  variabel  penyusun)  menjadi  lebih  sedikit  dengan  tetap meminimalisasi  resiko  kehilangan  informasi.  Banyak  penelitian  yang  telah membuktikan bahwa penggunaan analisis komponen utama dapat meningkatkan dan mempercepat  kinerja  metode clustering .  Hal  ini  disebabkan  reduksi  dimensi  dapat menghilangkan  fitur  yang  tidak  sesuai  serta  mengurangi noise dan curse  of dimensionality (Izzuddin, 2015; Rahayu & Mustakim, 2017) .
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengelompokkan  kabupaten/kota  di  pulau  Jawa berdasarkan  karakteristik  indikator  tingkat  kesejahteraan  rakyat.  Dengan  adanya pengelompokkan ini, diharapkan pemerintah dapat menerapkan kebijakan yang tepat untuk terciptanya pemerataan kesejahteraan. Selain itu, penelitian ini juga bertujuan untuk  membandingkan  beberapa  metode clustering yang  dapat  digunakan  untuk mengelompokkan  wilayah  berdasarkan  tingkat  kesejahteraan  sehingga  didapat metode clustering terbaik untuk mengelompokkan kabupaten/kota di pulau Jawa.

## 2.  Pendahuluan

## 2.1 Bahan dan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik. Penelitian ini menggunakan indikator kesejahteraan rakyat yang didapat  dari  publikasi  indikator  kesejahteraan  rakyat  tahun  2018  dari  enam  provinsi yang  ada  di  pulau  Jawa.  Berdasarkan  literatur  rujukan,  maka  diputuskan  untuk menggunakan sebelas variabel (Tabel 1) yang mempengaruhi tingkat kesejahteraan masyarakat di suatu daerah.
Tabel 1: Variabel Penelitian No Variabel Tipe 1. Angka Harapan Hidup Kuantitatif 2. Angka Harapan Lama Sekolah Kuantitatif 3. Rata-rata Lama Sekolah Kuantitatif 4. Daya Beli (didekati dengan pengeluaran per kapita yang disesuaikan) Kuantitatif 5. Angka Melek Huruf Kuantitatif 6. PDRB Kabupaten/Kota Kuantitatif 7. Jumlah Angkatan Kerja Kuantitatif 8. Tingkat Pengangguran Terbuka Kuantitatif 9. Jumlah Penduduk Miskin Kuantitatif 10.  Kepadatan Penduduk Kuantitatif 11.  Kepemilikan Rumah Sendiri Kuantitatif

## 2.2 Metode Penelitian
Analisis data yang digunakan untuk pengelompokkan kabupaten/kota di pulau Jawa adalah  beberapa  analisis clustering yang  terdiri  dari hard  clustering ( K-Means , K- Medoids ,  dan Hierarchical  Agglomerative )  dan soft  clustering ( Fuzzy  C  Means ). Sebelum  melakukan  clustering,  dilakukan  pembentukan  komponen  utama  untuk mereduksi variabel yang digunakan.

## a.  Analisis Komponen Utama
Principal Component Analysis (PCA) adalah analisis yang berguna untuk reduksi variabel dan sering kali digunakan dalam analisis multivariat. Tujuan dari pembuatan komponen  utama  ini  adalah  untuk  mereduksi  data  yang  berdimensi  tinggi  menjadi lebih  sedikit  dengan  tetap  meminimalisasi  resiko  kehilangan  informasi.  Maka  untuk meningkatkan  efisiensi,  pada  penelitian  ini  akan  digunakan  metode  PCA  terhadap dataset  asli,  sehingga  variabel  yang  berkorelasi  akan  diubah  menjadi  komponen utama  yang  saling  independen.  Sebelum  melakukan  PCA,  dataset  harus dinormalisasi,  sehingga  skala  dari  semua  variabel  sama  dan  tidak  terjadi  dominasi antar  variabel.  Analisis  ini  juga  berperan  mengurangi  keberadaan outlier dan melepaskan  asumsi  multikolinieritas  (Clayman  et  al.,  2020;  Muntaner  et  al.,  2012). Pembentukan komponen didasarkan pada dua cara yaitu matriks korelasi dan matriks kovarian (Johnson & Wichern, 2002). Proses menentukan komponen utama dengan menggunakan matriks korelasi adalah sebagai berikut:
1.  Membuat matriks Z (n x p) yang merupakan hasil standarisasi variabel X.
2. Membuat  matriks  korelasi  dari  Z  (Z’Z).  Hal  pertama  yang  harus  dilakukan  pada proses reduksi komponen adalah mencari nilai eigen ( λ 1 , λ 2 , … , λ 𝑝 ) dari persamaan:
|𝑍 ′ (𝑝×𝑛) 𝑍 (𝑛×𝑝) − 𝜆 (𝑝×𝑝) 𝐼 𝑝×𝑝) | = 0
Keterangan : Z  : matriks hasil standarisasi variabel X. 𝜆 : matriks eigen yang merupakan matriks diagonal terssusun oleh eigen value.
𝐼 : matriks identitas berukuran n x p.
Jumlah komponen utama dipilih berdasarkan eigen value (λ) dimana jika λ > 1 maka komponen tersebut akan dipilih sebagai komponen utama (Supranto, 2010). Setelah asumsi terpenuhi selanjutnya dilakukan analisis cluster .

## b.  Analisis Cluster
Analisis cluster merupakan  pengelompokan  beberapa  objek  menjadi  beberapa kelompok dimana setiap kelompok yang terbentuk terdiri dari objek yang mirip di dalam kelompok  (Supranto,  2010).  Dalam clustering, digunakan  ukuran  yang  menjelaskan kemiripan  antar  objek  (data)  untuk  menerangkan  struktur  kelompok  yang  lebih sederhana dan berasal dari data yang lebih kompleks, yaitu ukuran similaritas dengan menggunakan jarak Euclidean (Johnson et al., 2002). Analisis cluster dibagi menjadi beberapa metode yaitu hard clustering yang terdiri dari metode hirarki dan non hirarki, serta soft clustering dengan menggunakan Fuzzy C Means .

## 1.  Analisis Hierarchical Clustering
Hierarchical  clustering adalah  analisis clustering dengan  pengelompokan  yang mereduksi kelompok secara sistematis dari 𝑛 kelompok, (𝑛 − 1) hingga satu kelompok (metode Divisive )  atau  sebaliknya  secara  berjenjang  dari  satu  kelompok,  lalu  dua kelompok  hingga n kelompok  (metode Agglomerative ).  Terdapat  beberapa  teknik metode Agglomerative diantaranya  metode Single  Linkage, Complete  Linkage, Average Linkage , dan Ward Linkage (Johnson et al., 2002).

## Single Linkage
Single  Linkage adalah  teknik clustering hierarki  dengan  menggabungkan objek pengamatan yang memiliki kesamaan terdekat. Metode ini sangat baik untuk melihat cluster bentuk non-elliptical, tapi sangat sensitif terhadap outlier (Govender & Sivakumar, 2020). Jika terdapat matriks jarak D = {d ij } dan objek koresponden adalah U, untuk membentuk cluster (UV), maka jarak antara (UV) dengan cluster lain misalnya W (Johnson et al., 2002) dapat dirumuskan dengan :
d (UV)W = min{d UW , d VW }
Keterangan : d UW : jarak antara objek U dan cluster W. d VW : jarak antara objek V dan cluster W. d (UV)W : jarak minimum antara cluster UV dan cluster W.

## Average Linkage
Average linkage adalah teknik clustering hierarki yang menggunakan jarak rata-rata antara seluruh pasangan objek dimana salah satu pasangan objek milik masing-masing cluster . Jika matriks D = {d ik } digunakan untuk menentukan objek. Misalnya  objek  U  dan  V  akan  bergabung  ke cluster (UV)  dengan  jarak  antara cluster UV dan cluster W (Johnson et al., 2002) adalah :
d (UV)W = ∑ ∑ d ik k i N (UV) N W
Keterangan : N (UV) : jumlah objek dalam cluster (UV).
N W : jumlah objek dalam cluster (W).

## Complete Linkage
Metode complete  linkage merupakan  metode clustering hierarki  yang mengelompokkan  variabel  berdasarkan  jarak/kesamaan  terjauh  (berlawanan dengan single  linkage ),  sehingga  dua  variabel  yang  memiliki  kemiripan  terkecil akan ditempatkan pada kelompok pertama dan seterusnya (Johnson et al., 2002). Metode ini menghasilkan cluster yang lebih padat dan lebih robust dibanding Single Linkage (Govender & Sivakumar, 2020).
d (UV)W = max{d UW , d VW }

## Ward Linkage
Dalam  metode Ward  Linkage ,  cluster  yang  terbentuk  memiliki  varians internal sekecil mungkin karena jarak antara dua cluster didasarkan pada sum of square dari kedua cluster yang terbentuk. Metode ini juga efektif sehingga sering digunakan  dibanding  metode  hierarki  lainnya  (Govender  &  Sivakumar,  2020). Proses clustering didasarkan pada varians minimum dalam cluster (Johnson et al., 2002). Metode ini biasa digunakan untuk objek dengan jumlah cluster kecil. Proses dalam ward linkage clustering adalah sebagai berikut :
1)  Menghitung sum square error antara dua cluster dengan rumus :
𝑆𝑆𝐸 𝑖𝑗 = 1 2 ∑ (𝑥 𝑖𝑘 − 𝑥 𝑗𝑘 ) 2 𝑝 𝑘=1
Keterangan : 𝑆𝑆𝐸 𝑖𝑗 : Sum Squares Error antar pasangan objek 𝑖 dan 𝑗 . 𝑥 𝑖𝑘 : nilai objek 𝑖 pada variabel ke- 𝑘 . 𝑥 𝑗𝑘 : nilai objek 𝑗 pada variabel ke- 𝑘 .
2)  Mencari  nilai SSE terkecil antara kedua cluster lalu menggabungkan menjadi satu  cluster.  Sehingga  dari  sebanyak  n  klaster  secara  sistematis  akan berkurang menjadi n-1 dan seterusnya.
3)  Mengulangi langkah (2) sampai diperoleh jumlah klaster minimum.

## Pemilihan Metode Hierarki Terbaik
Pemilihan  metode  hierarki  pada  penelitian  ini  menggunakan  koefisien agglomerative sebagai  ukuran  struktur  dari cluster hierarki.  Nilai  koefisien agglomerative yang mendekati 1 menunjukkan struktur yang lebih seimbang dan kuat (Kaufman & Rousseeuw, 2009). Nilai yang mendekati 0 menunjukkan cluste r yang  terbentuk  lebih  buruk.  Namun,  nilai  koefisien agglomerative cenderung meningkat seiring bertambahnya jumlah sampel, sehingga koefisien ini tidak bisa digunakan untuk membandingkan data dengan ukuran yang jauh berbeda.

## 2.  Analisis Non Hierarchical Clustering
Analisis clustering non  hierarki  adalah  metode  pengelompokan  objek  ke  dalam kelompok  sejumlah  k  yang  telah  ditentukan  sebelum  melakukan  analisis.  Pada penelitian kali ini menggunakan analisis K-means clustering dan K-medoids clustering untuk melihat kesesuaian metode dengan data yang digunakan.

## K-Means Clustering
K-Means clustering adalah  metode clustering non  hierarki  yang  paling sederhana dan membagi data ke dalam beberapa kelompok dimana data dengan kesamaan  karakteristik  dimasukkan  ke  dalam  satu  kelompok  dan  data  dengan karakteristik yang lebih berbeda dikelompokkan ke dalam cluster lain (Johnson et al., 2002). Proses dalam K-Means clustering adalah sebagai berikut :
1.  Menentukan jumlah cluster (k).
2.  Inisiasi secara random nilai centroid (pusat cluster ) sejumlah k.
3.  Menghitung jarak setiap data terhadap masing –masing centroid cluster dengan menggunakan jarak Euclidean . Jarak euclidean antara objek i dan j dirumuskan dengan :
𝑑 𝑖𝑗 = √∑ (𝑥 𝑖𝑘 − 𝑥 𝑗𝑘 ) 2 𝑝 𝑘=1
Keterangan : 𝑥 𝑖𝑘 : nilai objek ke- i pada variabel ke- k. 𝑥 𝑗𝑘 : nilai objek ke- j pada variabel ke- k.
𝑝 : banyak variabel yang diamati.
4.  Mengelompokkan data berdasarkan jarak terdekat antara setiap data terhadap centroid .
5.  Menentukan centroid baru  dengan  menghitung  rata-rata  seluruh  data  pada pusat cluster yang sama.
𝐶 𝑘𝑗 = 𝑥 1𝑗 +𝑥 2𝑗 +⋯+𝑥 𝑎𝑗 𝑎 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 Keterangan : 𝐶 𝑘𝑗
: Pusat cluster ke- k variabel ke- j. 𝑎 : banyak data pada cluster ke- k .
6.  Kembali ke tahap 3 dan terus melakukan iterasi hingga centroid cluster tetap dan anggota cluster tidak berpindah (konvergen).
K-Medoids Clustering
Metode K-Medoids adalah  pengembangan  dari  metode K-Means .  Seperti yang diketahui, ukuran mean bersifat sangat rentan terhadap keberadaan outlier . Nilai  ekstrim  pada outlier dapat  menggeser  rata-rata  sehingga  distribusinya menjadi  tidak  normal.  Menurut  Kaufman  &  Rousseeuw  (1990)  metode K-means sensitif  terhadap  data  yang  memiliki outlier akibat  penggunaan mean sebagai ukuran  pemusatannya.  Tidak  seperti  metode K-Means yang  sensitif  terhadap adanya pencilan, algoritma K-Medoids dapat mengatasi kelemahan tersebut (Arora et al., 2016) karena penggunaan jarak Manhattan yang lebih robust dibanding jarak Euclidian (Gupta  &  Panda,  2018).  Kedua  metode  ini  menghasilkan  sebanyak  k cluster yang dibentuk dengan mengukur jarak setiap objek dengan titik pusat, lalu objek dikelompokkan dalam satu cluster berdasarkan titik pusat terdekat.
Prinsip dasar algoritma K-Medoids clustering adalah menentukan k cluster dari n objek dengan menginisiasi objek random yang dianggap representatif untuk setiap cluster . Titik pusat setiap cluster pada metode ini disebut dengan medoid. Klaster disusun berdasarkan ukuran similarity antara medoid dengan objek selain medoid menggunakan jarak Manhattan . Jarak Manhattan antara objek i dan objek j dirumuskan dengan :
𝑑 𝑖𝑗 = ∑ |𝑥 𝑖𝑘 − 𝑥 𝑗𝑘 | 𝑝 𝑘=1
Proses di dalam algoritma K-Medoids (Gupta & Panda, 2018) yaitu : 1.  Inisiasi  secara random k  objek  dari  n  objek  sebagai medoid .  Misal  medoid dinyatakan dengan m i .
2.  Menghitung  jarak  antara  setiap  objek  terhadap medoid pada cluster terdekat dan menempatkan setiap objek ke cluster dengan medoid terdekat.
3.  Inisiasi secara random objek selain medoid sebagai o i . 4.  Menghitung total biaya ( cost ) dari pertukaran medoid O i dan O random . Dimana Total cost = ∑ d ij 5.  Jika S < 0 , maka tukar m i dengan o i untuk dijadikan sebagai medoid baru. Hal ini dilakukan secara iteratif sampai S bernilai konstan (0).
Dimana S = Total cost baru − Total cost lama Algoritma  yang  digunakan  dalam K-medoids  clustering adalah  PAM ( Partitioning Around Medoid ) dan CLARA ( Clustering Large Application ). Dimana kedua algoritma ini memiliki prinsip yang mirip. CLARA merupakan pengembangan dari PAM dengan mengandalkan proses pengambilan sampel. CLARA mengambil sampel  dari dataset ,  menerapkan  PAM  dalam  sampel  dan  mencari medoid dari sampel.  Untuk  pendekatan  lebih  baik,  CLARA  mengambil  banyak  sampel  dan memberikan output terbaik (Gupta & Panda, 2018).

## 3.  Fuzzy C-Means Clustering
Fuzzy  C-Means menghubungan  derajat  keanggotaan  dari  suatu  objek  terhadap jarak antara pusat kelompok terhadap objek tersebut. Kelemahan FCM adalah sensitif terhadap noise dan mudah terjebak pada lokal optimum (Izakian & Abraham, 2011). Keunggulan  dari Fuzzy  C-Means adalah  metode  ini robust dalam  meminimumkan fungsi objektif (Hadi, 2017; Izakian & Abraham, 2011). Fungsi objektif pada Fuzzy C- Means dirumuskan sebagai berikut.
𝐽 𝑚 (𝑈 ̃, 𝑣) = ∑ ∑ (𝜇 𝑖𝑘 ) 𝑚 (𝑑 𝑖𝑘 ) 2 𝑐 𝑖=1 𝑛 𝑘=1 𝑑 𝑖𝑘 = 𝑑(𝑥 𝑘 − 𝑣 𝑖 ) = [∑ (𝑥 𝑘𝑗 − 𝑣 𝑖𝑗 ) 1 2 𝑚 𝑗=1 ]
Keterangan 𝜇 𝑖𝑘 : nilai keanggotaan data ke- k cluster ke- i. 𝑑 𝑖𝑘 : jarak antara titik data ke-k dengan pusat cluster ke- i. 𝑥 𝑘 : data ke- k. 𝑣 𝑖 : pusat cluster ke- i. 𝑚 : fuzziness , parameter ukuran kesamaran hasil clustering (m > 1).
Fuzzy C-Means dapat dievaluasi dengan beberapa ukuran yaitu Partition Coefficient , Classification Entropy Index , Xie and Beni’s Index , Separation Index , dan Dunn Index (Wijayanto & Takdir, 2014).

## Partition Coefficient
Koefisien  ini  digunakan  untuk  mengukur  jumlah overlapping antar cluster (Grekousis  &  Thomas,  2012;  Wijayanto  &  Takdir,  2014). 𝜇 𝑖𝑗 adalah  derajat keanggotaan  titik  data  ke-j  di  dalam  kelompok  ke-i.  Model  terbaik  dinyatakan dengan nilai PC maksimal. Persamaannya adalah sebagai berikut :
𝑃𝐶 = 1 𝑁 ∑ ∑ 𝜇 𝑖𝑗 2 𝑁 𝑗=1 𝑐 𝑖=1

## Classification Entropy Index
Indeks  ini  mengukur  kesamaran  dari  partisi  dalam cluster (Grekousis  & Thomas,  2012;  Wijayanto  &  Takdir,  2014).  Model  terbaik  adalah  model  yang memiliki nilai CE minimum. Persamaannya dirumuskan sebagai berikut :
𝐶𝐸 = − 1 𝑁 ∑ ∑ 𝜇 𝑖𝑗 log 𝑎 (𝜇 𝑖𝑗 ) 𝑁 𝑗=1 𝑐 𝑖=1

## Xie and Beni’s Index
Indeks  ini  mengukur  rasio  total  varians within  cluster terhadap separation pada cluster . Model terbaik adalah model yang memiliki nilai XB minimum. Indeks ini dirumuskan sebagai berikut (Grekousis & Thomas, 2012) :
𝑋𝐵 = ∑ ∑ (𝜇 𝑖𝑗 ) 𝑚 ‖𝑥 𝑗 −𝑣 𝑖 ‖ 2 𝑁 𝑗=1 𝑐 𝑖=1 𝑁 min 𝑖,𝑗 ‖𝑥 𝑗 −𝑣 𝑖 ‖ 2

## Separation Index
Indeks  ini  mengukur  pemisahan  jarak  minimum  sebagai  validitas  partisi (Wijayanto & Takdir, 2014). Model terbaik dinyatakan dengan nilai indeks S yang minimum. Persamaannya dirumuskan sebagai berikut :
𝑆𝐼 = ∑ ∑ (𝜇 𝑖𝑗 ) 2 ‖𝑥 𝑗 −𝑣 𝑖 ‖ 2 𝑁 𝑗=1 𝑐 𝑖=1 𝑁 min 𝑖,𝑘 ‖𝑣 𝑘 −𝑣 𝑖 ‖ 2

## 4.  Penentuan jumlah cluster
Ada  beberapa  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  menentukan  jumlah cluster optimal  pada  proses clustering .  Dalam  penelitian  ini,  metode  yang  akan  digunakan adalah silhouette  method , elbow  method dan gap  statistic (Clayman  et  al.,  2020). Semua metode ini akan menampilkan plot untuk menentukan jumlah cluster optimal.

## Silhouette Method
Metode Silhouette digunakan untuk memilih jumlah cluster optimal dengan menggunakan  data  skala  rasio.  Ketika  diterapkan,  algoritma silhouette akan mengukur  jarak  rata-rata  dari  suatu  objek  terhadap  seluruh  objek  yang  terdapat pada cluster yang  sama  dengan  objek  di cluster lainnya.  Nilai Silhoutte yang mendekati 1 menunjukkan jumlah cluster yang optimal.

## Elbow Method
Metode Elbow digunakan  untuk  memilih  jumlah cluster berdasarkan  siku yang terbentuk pada suatu titik di grafik SSE dan didasarkan pada penurunan SSE yang besar. Jika nilai cluster sebelumnya (k-1) dengan nilai cluster selanjutnya (k) mengalami  penurunan  terbesar  maka  jumlah cluster tersebut  yang  tepat  (k).
Metode  ini  menggunakan  nilai Sum  of  Square  Error (SSE)  dari  masing-masing jumlah cluster .  Semakin  besar  jumlah cluster ,  maka  SSE  akan  terus  mengecil, sehingga jumlah cluster terbaik adalah jumlah cluster yang mengalami penurunan terbesar. Rumus SSE dapat dituliskan sebagai :
𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑐 𝑘 | 2 𝑋 𝑖 𝐾 𝐾=1
Keterangan: K  : cluster. 𝑥 𝑖 : data ke- i. 𝑐 𝑘 : pusat cluster ke- k.

## Gap Statistik
Gap statistik  merupakan  ukuran  yang  paling  konstan  untuk  menentukan jumlah cluster jika dibandingkan ukuran yang lain (Silvi, 2018). Jarak antara objek berpasangan di dalam cluster dirumuskan sebagai :
𝐷 𝑟 = ∑ 𝑑 𝑖𝑖 ′ 𝑖,𝑖 ′ 𝜖𝐶 𝑟 Dimana  d  adalah  kuadrat  dari  jarak euclidean .  Jumlah  kuadrat  di  dalam cluster dirumuskan sebagai berikut.
𝑊 𝑘 = ∑ 1 2𝑛 𝑟 𝐷 𝑟 𝑘 𝑟=1 𝐺𝑎𝑝 𝑛 (𝑘) = 𝐸 𝑛 ∗ {log(𝑊 𝑘 )} − log(𝑊 𝑘 )
Nilai gap merupakan hasil estimasi jumlah cluster optimum dengan menggunakan pendekatan standarisasi W k. Dimana 𝐸𝑛∗ adalah ekspektasi dari distribusi jumlah sampel.  Kriteria  jumlah cluster optimal  merupakan  jumlah  cluster  yang  memiliki nilai gap statistik  tertinggi  atau  jika  nilai gap selalu  naik  maka  jumlah cluster optimum adalah nilai yang mengindikasi kenaikan gap minimum (Silvi, 2018).

## 5.  Evaluasi Cluster
Evaluasi pada cluster terdiri dari evaluasi eksternal dan internal. Dimana evaluasi eksternal dapat dilakukan saat cluster tersebut memiliki label ( supervised ). Penelitian ini hanya menggunakan evaluasi internal karena data yang digunakan tidak berlabel. Evaluasi  internal  menggunakan  informasi  internal  pada  data  untuk  menilai  hasil clustering .  Evaluasi  internal  mencerminkan  kepadatan,  hubungan  dan  pemisahan partisi cluster . Evaluasi internal yang akan digunakan adalah Connectivity coefficient , Silhouette coefficient , dan Dunn Index . Selain evaluasi ini, digunakan juga rasio rata- rata simpangan baku within cluster terhadap simpangan baku between cluster .
Internal : Silhouette Coefficient
Silhouette  coefficient merupakan  ukuran  derajat  kepercayaan  dalam pengelompokkan suatu pengamatan dengan cluster. Cluster yang terbentuk akan dikategorikan baik jika koefisien yang dihasilkan mendekati 1 dan sebaliknya jika koefisien mendekati angka -1. Silhouette coefficient dihitung dengan cara :
• Menghitung rata-rata jarak antara sebuah objek ( i ) terhadap setiap objek pada cluster yang sama (kohesi).
𝑎(𝑖) = 1 |𝐴|−1 ∑ 𝑑(𝑖, 𝑗) 𝑗∈𝐴,𝑗≠𝑖
Dimana j adalah objek selain i dalam cluster yang sama yaitu A dan |A| adalah banyaknya anggota cluster A .
• Menghitung  rata-rata  jarak  antara  objek i dengan  setiap  objek  pada cluster lainnya lalu ambil jarak terkecil ( cluster tetangga terdekat).
𝑑(𝑖, 𝐶) = 1 |𝐴| ∑ 𝑑(𝑖, 𝑗) 𝑗∈𝐶 )
Dimana d(i,C) adalah jarak rata-rata antara objek i terhadap setiap objek pada cluster lain ( C ) dimana 𝐴 ≠ 𝐶 .
• Selanjutnya  menghitung  separation  yang  merupakan  jarak  dengan  cluster tetangga terdekat.
𝑏(𝑖) = min 𝐶≠𝐴 𝑑(𝑖, 𝑗)
• Hasil koefisien silhouette dirumuskan dengan :
𝑠(𝑖) = 𝑏(𝑖)−𝑎(𝑖0 max(𝑎(𝑖),𝑏(𝑖))

## Internal : Dunn Index
Dunn Index merupakan ukuran validasi hasil clustering yang didapat dengan mengukur jarak antara dua cluster dan diameter cluster . Dunn Index merupakan rasio dari jarak terbesar antara dua cluster terhadap jarak terkecil di dalam suatu cluster. Cluster yang terbentuk akan semakin baik saat nilai Dunn index semakin tinggi (Brock et al., 2011). Dunn Index dirumuskan sebagai :
𝐷𝐼 = { ( 𝑑𝑖𝑠𝑠(𝑐 𝑖 ,𝑐 𝑗 ) max m=1,…,k (𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑐 𝑚 )) ) 𝑗=𝑖+1,…,𝑘 𝑚𝑖𝑛 𝑖=1,..,𝑘 𝑚𝑖𝑛 Keterangan :
DI
: Dunn Index. ( 𝑐 𝑖 , 𝑐 𝑗 ) : jarak antara cluster i dan cluster j. ( 𝑐 𝑚 ) : diameter cluster i.

## Internal : Connectivity Coefficient
Kepadatan  berhubungan  dengan  mengevaluasi  homogenitas  dari cluster , biasa dilihat menggunakan varians intra- cluster . Hubungan ini menunjukkan posisi dari data observasi dalam sebuah cluster , yang disebut sebagai tetangga terdekat.
Nilai  kepadatan  tersebut  diukur  dengan  koefisien  konektivitas.  Nilai connectivity berada di antara nilai nol sampai ∞. Cluster yang terbentuk akan semakin baik saat nilai  koefisien connectivity semakin  rendah  (Brock  et  al.,  2011). Connectivity coefficient dirumuskan sebagai berikut :
𝐶𝐶 = ∑ ∑ 𝑥 𝑖,𝑛𝑛 𝑖(𝑗) 𝐿 𝑗=1 𝑁 𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖(𝑗) : tetangga terdekat objek j dari objek di i . 𝑥 𝑖,𝑛𝑛 𝑖(𝑗) : mendekati 0 bila objek i dan j dalam satu cluster dan 1 bila sebaliknya. L : parameter ukuran jumlah tetangga.
Rasio Rata-rata Simpangan Baku Within Cluster terhadap Simpangan Baku Between Cluster.
Metode clustering terbaik  juga dapat  ditentukan dengan menghitung rasio dari  rata-rata  simpangan  baku within terhadap  simpangan  baku between untuk melihat  homogenitas  pada cluster terbentuk  (Silvi,  2018).  Rata-rata  simpangan baku di dalam cluster (S w ) dan antar cluster (S b ) dirumuskan dengan :
𝑆 𝑤 = 1 𝑐 ∑ 𝑆 𝑘 𝑐 𝑘=1 𝑆 𝑏 = [ 1 𝑐−1 ∑ (𝑋̅ 𝑘 − 𝑋̅) 2 𝑐 𝑘=1 ] 1 2
Dimana  c  adalah  jumlah cluster dan  k  adalah cluster yang  akan  dihitung. Metode clustering dapat  dikatakan  baik  jika  nilai  S w semakin  kecil  dan  nilai  S b semakin  besar.  Metode  terpilih  memiliki  rasio 𝑆 𝑤 /𝑆 𝑏 terkecil  sehingga  metode tersebut memiliki homogenitas yang tinggi di dalam cluster .

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Pembentukan Komponen dengan PCA
Pembentukan komponen dengan PCA akan menghasilkan beberapa komponen yang merupakan  kombinasi  linear  dari  varabel-variabel  yang  digunakan  dalam  analisis. Komponen  yang  dapat  dilanjutkan  dalam  proses  analisis  adalah  komponen  yang memiliki nilai eigen value > 1.
Pada penelitian kali ini, terbentuk tiga komponen dengan eigen value lebih dari 1 (Tabel  2).  Kemudian  analisis  dilanjutkan  dengan  pemodelan clustering berbagai metode  dan  menggunakan  hasil  komponen  utama  sebagai  variabel  yang  akan
dianalisis.
Tabel 2: Hasil Komponen PCA Komponen Eigen value Komponen 1 1.7976787 Komponen 2 1.4722719 Komponen 3 1.1421801 3.2 Analisis Clustering dengan metode Hierarki.
Tahap pertama adalah menentukan jumlah cluster (k) optimal yang akan digunakan untuk clustering data  dengan  metode  hierarki agglomerative .  Penelitian  ini menggunakan Elbow  method dan Silhouette  method untuk  menentukan  jumlah  k optimal. Sehingga didapatkan plot seperti disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Elbow method dan Silhouette Method untuk Hierarki Agglomerative
Berdasarkan plot dari Elbow  Method, dapat  dilihat  bahwa  patahan  gradient terbesar terjadi saat jumlah kaster sebesar tiga. Silhouette method juga memberikan hasil yang sama. Sehingga selanjutnya dapat dilakukan perbandingan metode hierarki terbaik antara metode Single Linkage , Complete Linkage , Average Linkage , dan Ward Linkage dengan  beberapa  ukuran  evaluasi  ( Silhouette  Coefficient , Connectivity Coefficient , Dunn Index , dan Agglomerative Coefficient ).
Tabel 3: Evaluasi Metode Hierarki Evaluasi  Ward Single  Complete Average SC 0.3741 0.3078  0.3689 0.3737 CC 22.6563  6.0579  17.731 16.168 DI 0.1386 0.2234  0.1399 0.1450 AC 0.9687 0.8116  0.9182 0.8828
Dapat dilihat dari Tabel 3, Metode Ward Linkage unggul pada Silhouette Coefficient dan Agglomerative  Coefficient .  Sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  metode Ward Linkage adalah  metode clustering yang  memiliki  struktur  paling  seimbang  dan  kuat dibanding metode lainnya. Sedangkan menurut ukuran Dunn Index dan Connectivity Coefficient ,  metode  terbaik  adalah Single  Linkage .  Sehingga  perlu  dilihat  bentuk cluster yang dihasilkan untuk mendapatkan model terbaik.
Gambar 2. Dendogram Aglomerrative Metode Single Linkage dan Ward Linkage
Dapat  dilihat  bahwa  struktur dendogram seperti  yang  disajikan  pada  Gambar  2, metode Single Linkage memang tidak stabil seperti metode Ward Linkage . Sehingga untuk memperjelas metode terbaik, dilakukan visualisasi hasil cluster yang terbentuk.
Gambar 3. Clustering Aglomerrative Single Linkage dan Ward Linkage dengan k = 3
Menurut  hasil clustering ,  dapat  terlihat  lebih  jelas  bahwa Agglomerative metode Ward Linkage mengelompokkan wilayah berdasarkan tingkat kesejahteraan dengan lebih baik dibandingkan metode single karena ketiga cluster tergambar lebih baik dan jelas  batasannya  (Gambar  3).  Oleh  karena  itu  dapat  disimpulkan  bahwa  metode hierarki Agglomerative terbaik  yang  dapat  mengelompokkan  kesejahteraan berdasarkan  kabupaten/kota  di  pulau  Jawa  adalah  Metode  Hierarki Agglomerative Ward Linkage .

## 3.3 Analisis Clustering dengan metode K-Means.
Sama seperti analisis clustering dengan metode hierarki, langkah pertama yang harus dilakukan  adalah  menentukan  nilai  k  yang  tepat  untuk  proses clustering .  Pada clustering ini, peneliti menggunakan elbow method , silhouette method dan gap statistic untuk menentukan nilai k optimal.
Berdasarkan  plot  dari Elbow  method (Gambar  4),  dapat  dilihat  bahwa  patahan gradien terbesar saat jumlah cluster sebesar empat. Silhouette method menunjukkan bahwa  jumlah cluster optimal  adalah  dua,  tetapi  jumlah  ini  terlalu  sedikit  sehingga digunakan  nilai  terbesar  setelahnya  yaitu  empat cluster .  Berdasarkan plot dari gap statistic ditunjukkan bahwa jumlah cluster optimal sebesar satu, namun jumlah ini tidak sesuai tujuan penelitian sehingga nilai terbesar setelahnya yaitu empat cluster dipilih (Gambar 5).
Gambar 4. Elbow , Silhouette , dan Gap Statistic Method untuk K-Means

## 3.4 Analisis Clustering dengan metode K-Medoids.
Algoritma K-Medoids yang  digunakan  adalah  PAM  dan  CLARA.  Seperti  metode sebelumnya, hal pertama yang dilakukan adalah menentukan jumlah cluster optimal dengan metode Elbow dan Silhouette untuk algoritma PAM.
Gambar 5. Clustering K-Means dengan k = 4.
Gambar 6. Elbow Method dan Silhouette Method untuk PAM.
Plot dari Elbow Method (Gambar 6) menunjukkan bahwa patahan gradien terbesar terjadi  saat  jumlah cluster sebesar  empat.  Menurut  metode silhouette didapatkan bahwa  jumlah cluster terbaik  adalah  dua,  namun  jumlah  ini  terlalu  sedikit  sehingga jumlah cluster yang  digunakan  adalah  nilai  terbesar  selanjutnya  yaitu  saat  jumlah cluster sebesar  empat.  Jumlah cluster optimal  untuk  algoritma  CLARA  juga menunjukkan hasil yang sama dengan visualisasi yang sama persis seperti algoritma PAM  sehingga  tidak  ditampilkan.  Selanjutnya  dilakukan  proses clustering untuk melihat  hasil cluster yang  terbentuk  dengan K-Medoids algoritma  PAM  dan  CLARA (Gambar 7).
Gambar 7. Clustering K-Medoids algoritma PAM dan CLARA dengan k = 4.

## 3.5 Analisis Clustering dengan metode Fuzzy C-Means
Langkah  pertama  yang  harus  dilakukan  dalam  analisis clustering pada  umumnya adalah  menentukan  nilai  k.  Pada  metode Fuzzy  C-Means ,  sama  seperti  metode – metode sebelumnya akan digunakan elbow method dan silhouette untuk menentukan jumlah cluster optimal.
Gambar 8. Elbow Method dan Silhouette Method untuk Fuzzy C-Means
Berdasarkan output dari plot elbow  method (Gambar  8),  dapat  dilihat  bahwa patahan  gradien  terbesar  terjadi  saat  jumlah cluster empat  sehingga  jumlah cluster terbaik  menurut  elbow method adalah  empat.  Sementara silhouette  method menunjukkan bahwa jumlah cluster terbaik adalah dua, namun seperti yang dijelaskan sebelumnya jumlah cluster ini terlalu sedikit sehingga dipilih jumlah cluster dengan nilai silhouette terbesar  setelahnya  yaitu  empat.  Menentukan  jumlah cluster optimal  juga dapat  dilakukan dengan menggunakan ukuran-ukuran  evaluasi untuk  jumlah cluster terbaik.  Ukuran  yang  digunakan  adalah Partition  Coefficient , Classification  Entropy , Xie and Beni Index , Separation , Silhouette Coefficient dan Dunn Index .
Berdasarkan ukuran evaluasi seperti disajikan pada Tabel 4, dapat dilihat bahwa jumlah cluster optimal pada metode Fuzzy C Means adalah tiga cluster . Jika kembali melihat plot Silhouette , jumlah cluster tiga adalah nilai ketiga tertinggi setelah dua dan empat. Sehingga jumlah cluster yang digunakan untuk metode Fuzzy C Means adalah tiga.
Tabel 4: Perbandingan Validitas FCM untuk k = 3 sampai k= 6 dengan m = 1.5
k 3 4 5 6 PC  0.810  0.780  0.719  0.720 CE  0.353  0.422  0.550  0.564 XB  0.315  0.376  0.672  0.577 S 0.255  0.289  0.490  0.411 DI 0.082  0.062  0.056  0.072
Berbeda dengan metode lain yang langsung dilanjutkan dengan proses clustering. Pada  penelitian  ini,  digunakan threshold sebesar 10 −6 .  Pada Fuzzy  C-Means ini terdapat parameter m yang harus ditentukan. Sehingga akan digunakan beberapa nilai indeks untuk mengevaluasi m terbaik untuk model Fuzzy C-Means .
Tabel 5: Perbandingan Validitas FCM untuk m = 1.5 sampai m = 3.5 dengan k = 3
k 1.5 2 2.5 3 3.5 PC  0.810  0.565  0.453  0.398  0.370 CE  0.353  0.755  0.924  1.004  1.045 XB  0.315  0.453  0.369  0.306  0.267 S 0.255  0.453  0.623  0.919  1.421 DI 0.082  0.062  0.062  0.051  0.051
Menurut Tabel 5, dapat dilihat bahwa semakin tinggi nilai parameter m, ukuran PC, CE,  S,  dan Dunn  index memburuk.  Walaupun  pada  XB index model  terbaik  yang diidentifikasi adalah model Fuzzy C Means dengan m = 3,5. Tapi secara keseluruhan dapat  disimpulkan  bahwa  model  terbaik  adalah Fuzzy  C  Means dengan  m  =  1,5 (Gambar 9), sehingga model ini akan dilanjutkan untuk membentuk cluster .
Gambar 9: Hasil Clustering Fuzzy C Means dengan k = 3 dan m = 1.5

## 3.6 Hasil Evaluasi Seluruh Metode
Selanjutnya, evaluasi semua metode yang digunakan untuk mengelompokkan tingkat kesejahteraan  rakyat  berdasarkan  wilayah  kabupaten/kota  di  pulau  Jawa.  Ukuran evaluasi yang akan digunakan untuk membandingkan semua metode yang diajukan adalah sillhoute coefficient , dunn index , connectivity coefficient , dan rasio simpangan baku within cluster terhadap simpangan baku between cluster .
Tabel 6: Perbandingan Evaluasi Internal Berdasarkan Metode Metode SC DI CC 𝑆 𝑊 𝑆 𝑏 ⁄ Ward Linkage (k = 3) 0.374 0.139 22.656 0.548 K-Means (k=4) 0.348 0.062 43.578 0.549 PAM (k=4) 0.338 0.073 40.963 0.515 CLARA (k=4) 0.325 0.058 51.849 0.524 FCM (m= 1,5 dan k = 3) 0.543 0.082 41.695 0.552
Menurut  hasil  evaluasi  pada  Tabel  6,  dapat  disimpulkan  bahwa  metode  terbaik untuk pengelompokkan tingkat kesejahteraan rakyat berdasarkan wilayah kabupaten/ kota  di  pulau  Jawa  adalah  metode Agglomerative  Ward  Linkage dengan  nilai Dunn Index maksimum  sebesar  0,139  dan Connectivity  Coefficient minimum  sebesar 22,656. Sedangkan berdasarkan ukuran Silhouette Coefficient , metode terbaik yang bisa digunakan adalah metode Fuzzy C Means dengan m = 1,5. Rasio varians within dan between menunjukkan bahwa metode terbaik adalah metode K-Medoids dengan algoritma PAM. Sehingga interpretasi selanjutnya akan menggunakan hasil clustering dari metode Agglomerative Ward Linkage .

## 3.7 Interpretasi Hasil Cluster Metode Terbaik.
Hasil clustering dari  metode Agglomerative  Ward  Linkage membentuk  tiga cluster dengan kabupaten/kota yang terkelompok seperti disajikan pada Tabel 7. Berdasarkan output Tabel  7  dapat  disimpulkan  bahwa cluster 1  terdiri  dari  32  kabupaten/kota dengan  tingkat  kesejahteraan  yang  sedang. Cluster 2  terdiri  dari  17  kabupaten/kota yang  memiliki  tingkat  kesejahteraan  tinggi. Cluster 3  terdiri  dari  70  kabupaten/kota dengan  tingkat  kesejahteraan  rendah  ( cluster terbesar  diantara  ketiga cluster yang terbentuk).  Kategori  ini  disimpulkan  berdasarkan  komposisi  kabupaten/kota  yang terkelompok  di  dalam cluster .  Untuk  memastikan  hal  ini,  maka  harus  dilihat  secara univariat dengan menggunakan ukuran rata-rata (Tabel 8).
Cluster pertama adalah kelompok kabupaten/kota dengan harapan lama sekolah yang  tinggi  dan  penduduk  miskin  yang  rendah,  tidak  ada  indikator  lainnya  yang dominan di cluster ini. Berdasarkan hal ini, dapat dikatakan bahwa cluster ini adalah kelompok kabupaten/kota dengan tingkat kesejahteraan masyarakat sedang.
Cluster kedua  adalah  kelompok  kabupaten/kota  dengan  angka  harapan  hidup, rata-rata lama sekolah, daya beli, angka melek huruf, PDRB dan angkatan kerja yang tinggi  dimana  semua  ini  adalah  ciri  daerah  dengan  kesejahteraan  tinggi.  Namun cluster ini  juga  memiliki  tingkat  pengangguran  terbuka,  penduduk  miskin,  dan kepadatan  penduduk  yang  tinggi  (tipikal  wilayah  perkotaan  padat  penduduk). Berdasarkan  hal  ini  dapat  disimpulkan  bahwa cluster ini  adalah  kelompok kabupaten/kota dengan tingkat kesejahteraan masyarakat tinggi.
Tabel 7: Hasil Clustering Agglomerative Ward Linkage Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Kepulauan Seribu Bantul Kota Jakarta Selatan Sukabumi Kebumen Pekalongan Pasuruan Purwakarta Sleman Kota Jakarta Timur Cianjur Purworejo Pemalang Brebes Kota Bogor Kota Yogyakarta Kota Jakarta Pusat Garut Wonosobo Situbondo Jombang Kota Sukabumi Kota Kediri Kota Jakarta Barat Tasikmalaya Magelang Mojokerto Nganjuk Kota Cirebon Kota Blitar Kota Jakarta Utara Ciamis Boyolali Gunung Kidul Madiun Kota Cimahi Kota Malang Bogor Kuningan Klaten Bojonegoro Magetan Kota Tasikmalaya Kota Probolinggo Bandung Cirebon Wonogiri Ponorogo Ngawi Kota Banjar Kota Pasuruan Karawang Majalengka Sragen Trenggalek Pacitan Sukoharjo Kota Mojokerto Bekasi Sumedang Grobogan Tulungagung Tuban Karanganyar Kota Madiun Kota Bandung Indramayu Blora Pamekasan Malang Kudus Kota Batu Kota Bekasi Subang Rembang Bangkalan Gresik Kota Magelang Serang Kota Depok Bandung Barat Pati Lamongan Kediri Kota Surakarta Kota Cilegon Kota Semarang Pangandaran Jepara Lumajang Sampang Kota Salatiga Kota Serang Sidoarjo Cilacap Demak Temanggung Blitar Kota Pekalongan Kota Tangerang Selatan Kota Surabaya Banyumas Semarang Banyuwangi Sumenep Kota Tegal Tangerang Purbalingga Jember Bondowoso Tegal Kulonprogo Kota Tangerang Banjarnegara Kendal Pandeglang Lebak Batang Probolinggo Tabel 8: Rata-rata Variabel Hasil Clustering Agglomerative Ward Linkage Cluster X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 72.84 13.87 9.48 12784.28 97.92 24790.28 2 73.35 13.47 10.04 14387.94 98.34 206614.71 3 71.98 12.52 7.00 9548.44 92.90 27579.43 Jawa 72.41 13.02 8.10 11109.94 95.02 52405.87 Cluster X7 X8 X9 X10 X11 1 281898.00 5.66 38.65 5253.42 74.02 2 1303440.24 7.18 133.39 10310.07 65.25 3 632154.46 4.74 140.49 843.42 90.25 Jawa 633865.82 5.34 112.09 3249.63 82.31
Cluster ketiga adalah kabupaten/kota dengan indikator kesejahteraan rakyat yang rendah.  Walaupun  variabel  kepemilikan  rumah  dan  tingkat  pengangguran  terbuka menunjukkan hasil yang baik, variabel rata-rata lama sekolah, angka harapan hidup, harapan lama sekolah, daya beli, angka melek huruf, PDRB, angkatan kerja berada di bawah  rata-rata  pulau  Jawa.  Hal  ini  menunjukkan  capaian  yang  buruk  dalam kesejahteraan  masyarakat  di  kabupaten/kota  pada  kelompok  ini.  Sehingga  dapat
disimpulkan  bahwa cluster tiga  adalah  kelompok  kabupaten/kota  dengan  tingkat kesejahteraan masyarakat yang rendah.
Terdapat  beberapa  kabupaten/kota  yang  cukup  maju  dan  memiliki  industri  yang cukup banyak seperti kota Cilegon, kota Yogyakarta, dan kota Pekalongan serta kota yang metropolitan seperti Tangerang Selatan di cluster 1. Pada penelitian ini, adanya overlapping cukup berhasil diatasi dengan metode Fuzzy C Means tetapi berdasarkan hasil  evaluasi  model,  metode  terbaik  adalah Agglomerative  Ward  Linkage. Berdasarkan  capaian  indikator,  kota  Cilegon  memiliki  AHH  (66.43  tahun),  jumlah angkatan kerja (198809), dan persentase rumah milik sendiri (81.88%) di bawah rata- rata  pulau  Jawa  serta  indikator  TPT  (9.33%)  jauh  di  atas  rata-rata  pulau  Jawa. Sedangkan  kota  Yogyakarta  memiliki  PDRB  (26129  ribu  rupiah),  jumlah  angkatan kerja (239542), dan persentase rumah milik sendiri (39.93%) jauh di bawah rata-rata pulau  Jawa  serta  indikator  kepadatan  penduduk  (13359.31  penduduk  per  km 2 )  dan TPT (6.22%) diatas rata-rata pulau Jawa. Kota Pekalongan memiliki capaian harapan lama sekolah, jumlah angkatan kerja, persentase kepemilikan rumah milik sendiri dan PDRB di bawah rata –rata pulau Jawa serta indikator kepadatan penduduk dan TPT di atas rata-rata pulau Jawa. Berbeda dengan tiga kota sebelumnya, capaian buruk kota Tangerang Selatan adalah AHH (72.26) yang lebih rendah dari rata-rata pulau Jawa dan  kepadatan  penduduk  (11525  penduduk  per  km 2 )  di  atas  rata –rata  dan mengindikasikan  capaian  baik  pada  indikator  lainnya  tapi  terkena  efek overlapping yang  ada  pada  penelitian  ini.  Berdasarkan  hal  ini,  wajar  jika  kota  Cilegon,  kota Yogyakarta  dan  kota  Pekalongan  dikelompokkan  pada cluster pertama  (tingkat kesejahteraan sedang) tetapi kota Tangerang Selatan merupakan pengecualian yang disebabkan adanya overlapping pada hasil clustering (kurang crisp ) ditandai dengan tumpang tindihnya beberapa kota pada cluster terbentuk.

## 4.  Kesimpulan
Metode pengelompokkan yang sesuai untuk indikator tingkat kesejahteraan rakyat kabupaten/kota  di  Pulau  Jawa  adalah  metode Agglomerative  Ward  Linkage .  Hal  ini disebabkan metode ini memiliki struktur cluster yang kuat dan ukuran evaluasi yang lebih baik dibanding metode cluster lainnya ( K-means , K-Medoids algoritma PAM dan CLARA, dan Fuzzy C Means ). Metode Agglomerative Ward Linkage membentuk tiga cluster dengan rincian : Cluster 1 terdiri dari 32 kabupaten/kota yang memiliki tingkat kesejahteraan  sedang  dengan  angka  harapan  lama  sekolah  tinggi  dan  penduduk miskin  rendah, Cluster 2  terdiri  dari  17  kabupaten/kota  yang  memiliki  tingkat kesejahteraan tinggi dengan rata-rata lama sekolah, daya beli, angka harapan hidup, angka  melek  huruf,  PDRB  dan  angkatan  kerja  yang  tinggi  namun  tingkat pengangguran terbuka, penduduk miskin, dan kepadatan penduduk yang tinggi pula, dan Cluster 3  terdiri  dari  70  kabupaten/kota  yang  memiliki  tingkat  kesejahteraan rendah  dengan  variabel  AHH,  daya  beli,  AMH,  rata-rata  lama  sekolah,  PDRB, angkatan kerja, dan harapan lama sekolah berada di bawah rata-rata pulau Jawa.

## Daftar Pustaka
Alwi,  W.,  &  Hasrul,  M.  (2018).  Analisis  Klaster  Untuk  Pengelompokkan Kabupaten/Kota Di Provinsi Sulawesi Selatan Berdasarkan Indikator Kesejahteraan Rakyat. Jurnal MSA (Matematika Dan Statistika Serta Aplikasinya) , 6 (1), 35.
Arora,  P.,  Varshney,  S.,  &  others.  (2016).  Analysis  of  K-Means  and  K-Medoids algorithm for big data. Procedia Computer Science , 78 , 507 –512. BAPPENAS. (2019). Narasi RPJMN 2020-2024 . BAPPENAS. https://www.bappenas.go.id/files/rpjmn/Narasi%20RPJMN%20IV%202020-
2024_Revisi%2018%20Juli%202019.pdf
BPS.
(2018). Indikator Kesejahteraan Rakyat
2018 . BPS. https://www.bps.go.id/publication/2018/11/28/f6adb407ea72d9b66776a270/indika tor-kesejahteraan-rakyat-2018.html
Brock, G., Pihur, V., Datta, S., Datta, S., & others. (2011). ClValid, an R package for cluster validation. Journal of Statistical Software (Brock et al., March 2008) .
Clayman, C. L., Srinivasan, S. M., & Sangwan, R. S. (2020). K-means Clustering and Principal  Components  Analysis  of  Microarray  Data  of  L1000  Landmark  Genes. Procedia Computer Science , 168 , 97 –104.
Govender,  P.,  &  Sivakumar,  V.  (2020).  Application  of  k-means  and  hierarchical clustering  techniques  for  analysis  of  air  pollution:  A  review  (1980 –2019). Atmospheric Pollution Research , 11 (1), 40 –56.
Grekousis,  G.,  &  Thomas,  H.  (2012).  Comparison  of  two  fuzzy  algorithms  in geodemographic  segmentation  analysis:  The  Fuzzy  C-Means  and  Gustafson – Kessel methods. Applied Geography , 34 , 125 –136.
Gupta, T., & Panda, S. P. (2018). A comparison of k-means clustering algorithm and clara  clustering  algorithm  on  iris  dataset. International  Journal  of  Engineering  & Technology , 7 (4), 4766 –4768.
Hadi, B. S. (2017). Pendekatan Modified Particle Swarm Optimization dan Artificial Bee Colony pada Fuzzy Geographically Weighted Clustering (Studi Kasus pada Faktor Stunting  Balita  di  Provinsi  Jawa  Timur) [PhD  Thesis].  Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember.
Hidayatullah, K. H. (2014). Analisis Klaster Untuk Pengelompokan Kabupaten/Kota di Provinsi  Jawa  Tengah  Berdasarkan  Indikator  Kesejahteraan  Rakyat. Jurnal Statistika Universitas Muhammadiyah Semarang , 2 (1).
Izakian,  H.,  &  Abraham,  A.  (2011).  Fuzzy  C-means  and  fuzzy  swarm  for  fuzzy clustering problem. Expert Systems with Applications , 38 (3), 1835 –1838.
Izzuddin,  A.  (2015).  Optimasi  Cluster  pada  Algoritma  K-Means  dengan  Reduksi Dimensi  Dataset  Menggunakan  Principal  Component  Analysis  untuk  Pemetaan Kinerja Dosen. Energy , 5 (2), 41 –46.
Johnson,  R.  A.,  Wichern,  D.  W.,  &  others.  (2002). Applied  multivariate  statistical analysis (Vol. 5). Prentice hall Upper Saddle River, NJ.
Kaufman, L., & Rousseeuw, P. J. (1990). Partitioning around medoids (program pam). Finding Groups in Data: An Introduction to Cluster Analysis , 344 , 68 –125.
Kaufman, L., & Rousseeuw, P. J. (2009). Finding  groups in data: An  introduction to cluster analysis (Vol. 344). John Wiley & Sons.
Muntaner, C., Chung, H., Benach, J., & Ng, E. (2012). Hierarchical cluster analysis of labour market regulations and population health: A taxonomy of low-and middle- income countries. BMC Public Health , 12 (1), 286.
Rahayu,  G.,  &  Mustakim,  M.  (2017).  Principal  Component  Analysis  untuk  Dimensi Reduksi  Data  Clustering  Sebagai  Pemetaan  Persentase  Sertifikasi  Guru  di Indonesia. Seminar Nasional Teknologi Informasi Komunikasi Dan Industri , 201 – 208.
Silvi, R. (2018). Analisis Cluster dengan Data Outlier Menggunakan Centroid Linkage dan K-Means  Clustering untuk Pengelompokan Indikator  HIV/AIDS di Indonesia. JURNAL MATEMATIKA MANTIK , 4 (1), 22 –31.
Soemartini,  S.,  &  Supartini,  E.  (2017). Analisis  K-Means  Cluster  Untuk Pengelompokan  Kabupaten/Kota  di  Jawa  Barat  Berdasarkan  Indikator Masyarakat .
Supranto,  J.  (2010).  Analisis  Multivariat  Arti  dan  Interprestasi,  cet.  Kedua. Jakarta: Rineka Cipta .
Wijayanto,  A.  W.,  &  Takdir.  (2014).  Fighting  cyber  crime  in  email  spamming:  An evaluation  of  fuzzy  clustering  approach  to  classify  spam  messages. 2014 International  Conference  on  Information  Technology  Systems  and  Innovation (ICITSI) , 19 –24.