JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 3, Tahun 2020, Halaman 326 - 335 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
VALUE at RISK (VaR) DAN CONDITIONAL VALUE at RISK (CVaR) DALAM PEMBENTUKAN PORTOFOLIO BIVARIAT MENGGUNAKAN COPULA GUMBEL
Dina Rahma Prihatiningsih 1* , Di Asih I Maruddani 2 , Rita Rahmawati 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail (dinarahmaprihatiningsih@gmail.com)

## ABSTRACT
One way to minimize risk in investing is to form of portfolio by combining several stocks.Value at Risk (VaR) is a method for estimating risk but has a weakness that is VaR is incoherent because it does not have the subadditivity. To overcome the weakness of VaR, Conditional Value at Risk (CVaR) can use. Stock data  is  generally  volatile,  so  ARIMA-GARCH  is  used  to  model  it.  The  selection  of  ARIMA  models  on  R software  can  be  automatically  using  the auto.arima() function.  Then  Copula  Gumbel  is  a  method  for modeling joint distribution and flexible because it does not require the assumption of normality and has the best sensitivity to high risk so that it is suitable for use in stock data.The first step in this research is to modeling Copula Gumbel-GARCH with the aim to calculate VaR and CVaR on the portfolio of PT Bank Mandiri Tbk (BMRI) and PT Indo Tambangraya Megah Tbk (ITMG). At the confidence level 99%, 95%, and 90% obtained the  VaR  results  sequentially  amounted  to  3.977073%;  2.546167%;  and  1.837288%  and  the  CVaR  results sequentially amounted to 4.761437%; 3.457014%; and 2.779182%. The worst condition is a loss  with VaR and it is still possible if a worse condition occurs is a loss with CVaR so that investors can be more aware of the biggest loss that will be suffered.
Keywords : Value at Risk, Conditional Value at Risk, Auto ARIMA, Copula Gumbel.

## 1. PENDAHULUAN
Saat  ini  investasi  sudah  banyak  dilakukan  oleh  masyarakat  untuk  memperoleh keuntungan  di  masa  yang  akan  datang.  Salah  satu  bentuk  investasi  aset  keuangan  yang populer saat ini  yaitu saham. Setiap investor pasti mengharapkan return sebesar-besarnya dengan  risiko  tertentu  dalam  berinvestasi  saham.  Salah  satu  cara  untuk  meminimumkan risiko  serta  mengoptimalkan  tingkat return yang  diharapkan  adalah  dengan  membentuk portofolio saham. Portofolio saham berkaitan dengan bagaimana mengalokasikan beberapa saham ke dalam investasi sehingga menghasilkan keuntungan optimal.
Risiko-risiko  tidak  dapat  dihindari  namun  dapat  dikelola  dan  diperkirakan menggunakan suatu metode salah satunya yaitu Value at Risk (VaR). VaR merupakan suatu metode  yang  dapat  memperkirakan  besarnya  kerugian  maksimum  yang  terjadi  dengan tingkat kepercayaan dan dalam periode waktu tertentu. VaR memiliki kelemahan yaitu VaR hanya  mengukur  persentil  dari  distribusi  keuntungan  atau  kerugian  tanpa  memperhatikan setiap  kerugian  yang  melebihi  tingkat  VaR  (Saepudin,  2017).  Kelemahan  metode  VaR tersebut  dapat  diatasi  menggunakan  metode Conditional  Value  at  Risk (CVaR)  atau Expected Shortfall (ES). Menurut Rahmawati et al . (2019), CVaR memiliki makna besarnya nilai kerugian yang akan ditanggung, apabila terjadi kerugian yang nilainya melebihi VaR. Bagaimanapun, selalu ada kemungkinan bahwa kerugian yang terjadi lebih besar dari VaR yang sudah ditetapkan.
Secara umum, dalam mengukur risiko seringkali harus memenuhi berbagai asumsi di antaranya hubungan antar variabel linier dan berdistribusi normal. Pada kenyataannya data saham  banyak  ditemukan  tidak  berdistribusi  normal  sehingga  perhitungan  risiko  menjadi kurang  tepat.  Perhitungan  risiko  terhadap  saham-saham  yang  memiliki  hubungan ketergantungan  bukanlah  hal  yang  mudah,  karena  sangat  mungkin  tidak  ditemukannya distribusi bersama  yang cocok untuk memodelkannya. Untuk mengatasi masalah-masalah tersebut, maka digunakan suatu metode yaitu copula.
Copula merupakan suatu metode yang tepat untuk memodelkan distribusi bersama ( joint distribution )  karena  tidak  mensyaratkan  asumsi  normalitas  dan  dapat  menjelaskan dependensi yang tidak linier sehingga cukup fleksibel untuk berbagai data terutama untuk data saham. Copula Gumbel merupakan copula yang memiliki kesensitifan terbaik terhadap risiko yang tinggi (Damasari, 2015). Hal ini dikarenakan Copula Gumbel memiliki kelebihan dalam mengidentifikasi tail dependensi atas sehingga dapat mendeteksi nilai ekstrem yang berkaitan  dengan  nilai  residual return yang  tinggi  dan  berdampak  pada  nilai  risiko  yang tinggi pula.
Beberapa peneliti telah mengaplikasikan Copula-GARCH untuk menghitung nilai risiko dari portofolio saham. Damasari (2015) mengestimasi Value at Risk portofolio dua saham yang  tergabung  dalam  JII  menggunakan  Copula  Gumbel.  Handini  (2018)  mengestimasi Value  at  Risk portofolio  saham Blue  Chip dengan  menggunakan  Copula  Frank-GARCH serta simulasi Monte-Carlo. Lisnawati dan Subekti (2018) mengestimasi Conditional Value at Risk pada portofolio saham menggunakan copula bersyarat Clayton.
Berdasarkan uraian di atas, penelitian ini akan membahas estimasi nilai Value at Risk dan Conditional Value at Risk menggunakan metode GARCH ( Generalized Autoregressive Conditional  Heteroskedasticity )  untuk  memodelkan  data  yang  memiliki  volatilitas  tinggi dan  dilanjutkan  analisis  menggunakan  Copula  Gumbel  untuk  mengetahui  risiko  investasi pada portofolio  saham  PT Bank Mandiri Tbk (BMRI) dan PT  Indo Tambangraya Megah Tbk (ITMG).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Return Saham
Return adalah  tingkat  pengembalian  atau  hasil  yang  diperoleh  akibat  melakukan investasi (Maruddani, 2019).  Tsay (2010) menyatakan nilai return dapat dihitung dengan rumus Continuously Compounded Return (Log Return ) sebagai berikut:
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1 (1)
dengan 𝑃 𝑡 adalah  harga  saham  periode  sekarang  dan 𝑃 𝑡−1 adalah  harga  saham  periode sebelumnya.

## 2.2. Analisis Runtun Waktu

## a. Stasioneritas
Langkah awal yang dilakukan dalam analisis runtun waktu adalah dengan melakukan uji  stasioneritas  terhadap  data  runtun  waktu.  Suatu  data  disebut  stasioner  apabila  data tersebut memiliki nilai rata-rata dan varian yang konstan sepanjang waktu. Menurut Thomas (1996), stasioneritas secara umum dapat diuji dengan menggunakan uji akar unit Augmented Dickey-Fuller.
b. Pemodelan Runtun Waktu
Pemodelan data runtun waktu diperkenalkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1970. Berikut merupakan beberapa pemodelan data runtun waktu:
- Model Autoregressive (AR)
𝑍 𝑡 =  𝜙 1 𝑍 𝑡−1 +  𝜙 2 𝑍 𝑡−2 + ⋯ +  𝜙 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 (2)
- Model Moving Average (MA)
𝑍 𝑡 = 𝑎 𝑡 − 𝜃 1 𝑎 𝑡−1 − 𝜃 2 𝑎 𝑡−2 … − 𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞 (3)
- Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 = 𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡 (4)
dengan: 𝜙 𝑝 (𝐵) = operator AR( 𝑝 )
𝜃 𝑞 (𝐵) = operator MA( 𝑞 ) 𝜙 𝑗 = parameter autoregressive ke- 𝑗 , untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑝
𝜃 𝑘 = parameter moving average ke- 𝑘 , untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑞 𝑎 𝑡 = nilai residual pada saat ke- 𝑡 𝑎 𝑡−𝑘 = nilai residual pada saat 𝑡 − 𝑘 untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑞
Identifikasi  model  runtun  waktu  dapat  diimplementasikan  menggunakan  fungsi auto.arima() pada package forecast dalam bahasa pemrograman R. Pemilihan model ARIMA  pada software R  dapat  dilakukan  secara  otomatis  menggunakan  fungsi auto.arima() . Fungsi auto.arima() ini menggunakan variasi algoritma Hyndman- Khandakar  (Hyndman  &  Khandakar,  2008),  yang  menggabungkan  uji unit root dan minimalisasi AIC untuk mendapatkan model ARIMA.
Setelah  mengidentifikasi  model  ARIMA,  tahapan  pemodelan  ARIMA  selanjutnya yaitu  mengestimasi  parameter,  serta  melakukan  uji  diagnostik  model  ARIMA  dengan pengujian independensi residual, normalitas residual dan heteroskedastisitas residual.
2.3. Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) Proses  pembentukan  GARCH  dilakukan  ketika  residual  dari  model  ARIMA terindikasi  tidak  berdistribusi  normal.  Ketidaknormalan  pada  residual  ARIMA  bisa disebabkan  oleh  nilai  keragaman  residual  yang  tidak  konstan  yang  mengacu  pada  efek heteroskedastisitas. Model GARCH digunakan untuk mengatasi orde yang terlalu besar pada model ARCH. Menurut Tsay (2010) bentuk umum model GARCH( p,q ):
𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + ∑ 𝛼 𝑖 𝑎 𝑡−𝑖 2 𝑝 𝑖=1 + ∑ 𝛽 𝑗 𝜎 𝑡−𝑗 2 𝑞 𝑗=1 (5)
dengan: 𝜎 𝑡 2 = varian dari residual pada saat 𝑡 𝛼 0 = konstanta 𝛼 𝑖 = parameter dari ARCH, 𝑖 = 1,2, … , 𝑝 𝑎 𝑡−𝑖 2 = kuadrat dari residual pada saat 𝑡 − 𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑝 𝛽 𝑗 = parameter dari GARCH, 𝑗 = 1,2, … , 𝑞 𝜎 𝑡−𝑗 2 = varian dari residual pada saat 𝑡 − 𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑞

## 2.4. Copula Gumbel
Copula  merupakan  metode  yang  sangat  ampuh  untuk  memodelkan  distribusi bersama  karena  tidak  memerlukan  asumsi  nomalitas  bersama  dan  memungkinkan pemecahan fungsi distribusi bersama n dimensi ke dalam distribusi marginal n dan sebuah fungsi copula (Bob, 2013). Keluarga Copula Archimedean paling banyak digunakan dalam kasus  bivariat.  Copula  Archimedean  memiliki  3  kelompok  penting  yang  disebut  dengan keluarga  Gumbel,  Frank,  dan  Clayton.  Untuk  fungsi  Copula  Archimedean  pada  kasus bivariat dapat ditulis sebagai berikut:
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝜑 −1 (𝜑(𝑢 1 ) + 𝜑(𝑢 2 )) (6)
dengan:
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = fungsi distribusi copula bivariat 𝜑(𝑢) = fungsi generator copula 𝜑 −1 (𝑢) = invers fungsi generator copula
Langkah  pertama  yang  dilakukan  untuk  analisis  copula  adalah  melakukan transformasi  variabel  random ke domain uniform [0,1].  Transformasi data asli ke domain uniform [0,1]  dilakukan  dengan  membuat scatterplot transformasi uniform [0,1] menggunakan rank plot untuk setiap variabel random sebagai berikut:
(( 𝑅 1 (𝑗) 𝑛+1 ) , ( 𝑅 2 (𝑗) 𝑛+1 )) , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 (7)
dengan:
𝑅 1 (𝑗) = rank data 𝑋 1 ke − 𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑅 2 (𝑗) = rank data 𝑋 2 ke − 𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Copula  Gumbel  merupakan  copula  yang  memiliki  kesensitifan  terbaik  terhadap risiko yang tinggi (Damasari, 2015). Diketahui fungsi generator dari Copula Gumbel adalah:
𝜑(𝑢) = (− ln(𝑢)) 𝜃 , θ > 0 (8)
Generator di atas dapat diinverskan sehingga diperoleh:
𝜑 −1 (𝑦) =  𝑢 = 𝑒 −𝑦 1 𝜃 ⁄ (9)
Dengan  fungsi  generator  di  atas,  akan  menghasilkan  fungsi  distribusi  kumulatif  Copula Gumbel sebagai berikut:
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = exp (−[(−ln 𝑢 1 ) 𝜃 + (−ln 𝑢 2 ) 𝜃 ] 1 𝜃 ⁄ ) (10)
dengan: 𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = fungsi distribusi copula bivariat 𝜑(𝑢) = fungsi generator copula 𝜑 −1 (𝑦) = invers fungsi generator copula 𝜃 = parameter copula

## 2.5. Estimasi Copula Gumbel
Sebelum  dilakukan  estimasi  parameter  Copula  Gumbel,  terlebih  dahulu  akan dilakukan  uji  mutual  dependensi.  Uji  mutual  dependensi  dilakukan  untuk  mengetahui adanya dependensi di antara masing-masing variabel dalam pemodelan distribusi bersama. Selain  itu  nilai  korelasi  yang  diperoleh  nantinya  akan  digunakan  untuk  mengestimasi parameter Copula Gumbel. Dalam penelitian ini pengukuran dependensi dilakukan dengan menggunakan korelasi Tau-Kendall yang merupakan korelasi yang berbasis rank dan tidak memerlukan asumsi normalitas data.
Genest dan Favre (2007) mengatakan bahwa untuk mengkonstruksi parameter dari Copula Archimedean untuk kelas Gumbel dapat menggunakan nilai Korelasi Tau-Kendall. Khusus pada kasus Copula Archimedean nilai Korelasi Tau-Kendall dapat dihitung dengan persamaan berikut:
𝜏 = 1 + 4 ∫ 𝜑(𝑢) 𝜑′(𝑢) 1 0 𝑑𝑢 (11)
Kemudian didapatkan penyelesaian sebagai berikut:
𝜏  = 1 + 4 𝜃 (− 1 4 ) = 1 − 1 𝜃 = 𝜃 − 1 𝜃 (12)
Sehingga estimasi parameter dari Copula Gumbel adalah:
𝜃 = 1 1 − 𝜏 (13)

## 2.6 Mean Variance Efficient Portofolio (MVEP)
Salah  satu  metode  pembentukan  portofolio  yang  optimal  adalah Mean  Variance Efficient Portofolio (MVEP). MVEP dapat ditulis sebagai berikut (Maruddani, 2019):
𝐰 = 𝚺 −1 𝟏 𝑁 𝟏 𝑁 𝑇 𝚺 −1 𝟏 𝑁 (14)
dengan 𝚺 −1 = invers matriks variansi-kovariansi.

## 2.6. Value at Risk
VaR  dapat  diartikan  sebagai  kerugian  terburuk  dari  suatu  aset  pada  suatu  jangka waktu dan suatu tingkat kepercayaan tertentu. Menurut Maruddani (2019), menghitung nilai VaR pada tingkat kepercayaan (1 − 𝛼) dalam periode waktu t hari, yaitu:
𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑉 0 𝑅 ∗ √𝑡 (15)
dengan 𝑉 0 adalah dana investasi awal aset atau portofolio dan 𝑅 ∗ adalah nilai kuantil ke-α dari distribusi return
Terdapat  kemungkinan  bahwa  kerugian  sebenarnya  dapat  lebih  buruk,  sehingga keterbatasan  dari  VaR  adalah  tidak  dapat  menyatakan  apapun  tentang  seberapa  besar kerugian  yang  benar-benar  terjadi  dan  secara  definitif  tidak  menegaskan  kemungkinan kerugian yang paling buruk.

## 2.7. Conditional Value at Risk
Menurut Rahmawati et  al.  (2019), CVaR memiliki makna besarnya  nilai  kerugian yang akan ditanggung, apabila terjadi kerugian yang nilainya melebihi VaR. Bagaimanapun, selalu  ada  kemungkinan  bahwa  kerugian  yang  terjadi  lebih  besar  dari  VaR  yang  sudah ditetapkan.  CVaR  dikatakan  baik  dan  efektif  dibanding  VaR  karena  memenuhi  aksioma ukuran  risiko  koheren  di  antaranya Translational  Invariance , Subadditivity , Positive Homogenity , dan Monotonicity . Nilai CVaR dapat dinyatakan sebagai:
𝐶𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑋) = 𝐸(𝑋|𝑋 ≤ 𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑋)) (16)

## 2.8. Pengukuran Kinerja Portofolio
Menurut  Halim  dalam  Susilowati  (2016)  secara  sistematis  Indeks  Sharpe diformulasikan sebagai berikut:
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑆ℎ𝑎𝑟𝑝𝑒 = 𝑅𝑝 − 𝑅𝑓 𝑆𝑝 (17)
Dengan 𝑅𝑝 adalah  rata-rata return portofolio, 𝑅𝑓 adalah  rata-rata  bunga  investasi  bebas risiko, dan 𝑆𝑝 adalah standar deviasi dari return portofolio.

## 3. METODE PENELITIAN
Data saham yang digunakan meliputi 2 perusahaan yaitu PT Bank Mandiri Tbk (BMRI) dan PT Indo Tambangraya Megah Tbk (ITMG)  periode 1 Januari 2014 – 31 Desember 2019 yang  diperoleh  dari  www.finance.yahoo.com.  Selain  itu,  digunakan  data  BI rate periode Januari  2014  –  Desember  2019  yang  diperoleh  dari  Bank  Indonesia  dengan website www.bi.go.id.
Langkah  yang dilakukan dalam analisis data estimasi VaR dan CVaR dari portofolio kedua saham menggunakan metode Copula Gumbel-GARCH adalah sebagai berikut:
1. Menghitung nilai return dari kedua harga saham.
2. Menganalisis secara deskriptif dan menghitung korelasi kedua return saham.
3. Melakukan  pengujian  stasioneritas  masing-masing return saham  dengan menggunakan  uji Augmented Dickey-Fuller.  Jika  tidak  stasioner,  maka  dilakukan diferensi hingga data stasioner.
4. Melakukan pemodelan ARIMA masing-masing return saham menggunakan fungsi auto.arima() .
5. Melakukan estimasi dan pengujian signifikansi parameter model ARIMA.
6. Melakukan  uji  diagnostik  yang  meliputi  uji  independensi  residual,  uji  normalitas residual, dan uji heteroskedastisitas residual.
7. Jika model ARIMA terdapat efek heteroskedastis, maka lakukan identifikasi model ARIMA-GARCH.
8. Melakukan estimasi dan pengujian signifikansi parameter model ARIMA-GARCH.
9. Melakukan uji normalitas pada residual model ARIMA-GARCH .
10. Melakukan uji mutual dependensi dengan menggunakan nilai korelasi Tau-Kendall kedua residual return saham.
11. Mengestimasi parameter Copula Gumbel dan membentuk Copula Gumbel.
12. Menghitung  bobot  masing-masing  saham  dengan  MVEP  untuk  pembentukan portofolio bivariat.
13. Melakukan  estimasi  VaR  menggunakan  pembangkitan  data  dari  Copula  Gumbel dengan simulasi Monte-Carlo
14. Menghitung nilai Conditional Value at Risk pada tingkat kepercayaan (1 − 𝛼) dalam periode waktu t .
15. Pengukuran kinerja portofolio menggunakan Indeks Sharpe.
16. Membuat interpretasi dan kesimpulan dari hasil nilai VaR dan CVaR.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Karakteristik Return Saham
Gambar  1  menunjukkan  plot  runtun  waktu  saham  BMRI  dan  ITMG.  Berdasarkan Gambar 1, terlihat bahwa kedua perusahaan mengalami fluktuasi dari waktu ke waktu.
(a) (b)
Gambar 1. Plot Runtun Waktu Return Saham (a) BMRI (b) ITMG
Karakteristik return saham  dapat  diketahui  dengan  melakukan  analisis  deskriptif. Pada kedua return saham nilai kemencengan ( skewness ) tidak ada yang bernilai 0 dan nilai keruncingan (kurtosis) tidak sama dengan 3. Hal ini mengindikasikan bahwa kedua saham tidak berdistribusi normal.

## 4.2. Korelasi Return Saham
Diperoleh  hasil  korelasi  kedua return saham  dengan  korelasi  Tau-Kendall  sebesar 0,142866. Nilai korelasi tersebut mendekati 0 maka kedua saham cukup baik jika dibentuk portofolio sehingga dapat meminimalkan risiko.

## 4.3. Pemodelan ARIMA
Uji  stasioner  dilakukan  dengan  menggunakan  uji Augmented Dickey-Fuller.  Nilai ADF yang dihasilkan dari return saham BMRI sebesar -30,239 dengan p-value sebesar 0,01 dan return saham  ITMG  sebesar  -35,346  dengan p-value sebesar  0,01.  Sehingga  dapat disimpulkan bahwa data return saham BMRI dan ITMG stasioner.
Selanjutnya  akan  dilakukan  pemodelan  ARIMA  pada software R  yang  dapat dilakukan secara otomatis menggunakan fungsi auto.arima() . Berdasarkan hasil, untuk data return saham BMRI terpilih model ARIMA (1,0,2). Sedangkan untuk data return saham ITMG  terpilih  model  ARIMA  (1,0,0).  Kedua  model  ARIMA  memenuhi  uji  signifikansi parameter sehingga dapat dianalisis lebih lanjut.
Selanjutnya  dilakukan  uji  diagnostik  model  ARIMA  dengan  hasil  pengujian independensi residual terpenuhi (Tabel 1), normalitas residual tidak terpenuhi (Tabel 2), dan heteroskedastisitas residual terpenuhi (Tabel 3).
Tabel 1. Uji Ljung-Box Residual Model ARIMA
Saham Model Keputusan BMRI ARIMA (1,0,2) H 0 diterima ITMG ARIMA (1,0,0) H 0 diterima Tabel 2. Uji Jarque-Bera Residual Model ARIMA Saham Model p-value Keputusan BMRI ARIMA (1,0,2) < 2,2e-16 H 0 ditolak ITMG ARIMA (1,0,0) < 2,2e-16 H 0 ditolak Tabel 3. Uji Lagrange Multiplier Model ARIMA Saham Model p-value Keputusan BMRI ARIMA (1,0,2) 7,424e-06 H 0 ditolak ITMG ARIMA (1,0,0) 0,02649 H 0 ditolak

## 4.4. Pemodelan ARIMA-GARCH
Berdasarkan uji Lagrange Multiplier , diketahui bahwa pada kedua model ARIMA memiliki efek ARCH/GARCH sehingga perlu dibentuk  model ARIMA-GARCH. Setelah dilakukan  pemodelan  GARCH  dan  pengujian  signifikansi  parameter,  dapat  disimpulkan bahwa model data return saham BMRI yaitu ARIMA (1,0,2) GARCH (1,1) dan model data return saham  ITMG  yaitu  ARIMA  (1,0,0)  GARCH  (1,1)  dapat  digunakan  untuk  analisis lebih lanjut karena semua parameternya signifikan.
Selanjutnya  diperoleh  model  yang  dihasilkan  oleh  masing-masing return saham sebagai berikut:
a. BMRI
𝑍 𝑡 = 0,4604𝑍 𝑡−1 + 𝑎 𝑡 −0,4532𝑎 𝑡−1 −0,1175𝑎 𝑡−2 𝜎 𝑡 2 = 0,000004015 + 0,02972𝑎 𝑡−1 2 + 0,9570𝜎 𝑡−1 2
b. ITMG
𝑍 𝑡 = 0,09334𝑍 𝑡−1 + 𝑎 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 0,0001361 + 0,07484𝑎 𝑡−1 2 + 0,7345𝜎 𝑡−1 2
Setelah  didapatkan  model  dari  masing-masing  saham,  langkah  selanjutnya  yakni pengujian  normalitas  pada  residual  yang  dihasilkan  dari  masing-masing  model menggunakan uji Jarque-Bera dan didapatkan kesimpulan bahwa residual model ARIMA GARCH  (1,1)  pada  semua  saham  tidak  berdistribusi  normal  sehingga  dapat  dilanjutkan analisis menggunakan copula.

## 4.5. Copula

## a. Uji Mutual Dependensi
Korelasi Tau-Kendall digunakan untuk mengukur dependensi antar masing-masing residual  ARIMA-GARCH return saham  BMRI  dan  ITMG.  Berdasarkan  hasil,  dapat disimpulkan  bahwa  ada  korelasi  antara  residual  ARIMA-GARCH return saham  BMRI dengan ITMG sebesar 0,129481 sehingga dapat dilanjutkan membentuk distribusi gabungan dengan Copula Gumbel.

## b. Copula Gumbel
Data  residual  ARIMA-GARCH  yang  telah  diperoleh  dibuat  plot  terlebih  dahulu untuk melihat sebaran titik data seperti yang disajikan pada Gambar 2.
(a)                                                   (b)
Gambar 2. Scatterplot (a) Residual Model ARIMA-GARCH (b) Residual Model ARIMA- GARCH pada Transformasi Uniform [0,1]
Pada  Gambar  2(a)  terlihat  data  residual  masing-masing  indeks  saham  belum membentuk  sebuah  pola  yang  baik  karena  data  hanya  berkumpul  pada  satu  titik  sebaran, sehingga perlu dilakukan proses transformasi pada data residual tersebut ke domain uniform [0,1].
Pada  Gambar  2(b)  menunjukkan  bahwa  dependensi  antara  residual  ARIMA- GARCH return saham  setelah ditransformasikan hampir tidak terlihat  dikarenakan cukup kecilnya nilai korelasi antar keduanya.
Selanjutnya,  data  hasil  transformasi  ini  yang  akan  digunakan  untuk  menduga parameter  copula.  Estimasi  parameter  Copula  Gumbel  dilakukan  dengan  menggunakan pendekatan nilai korelasi Tau-Kendall (𝜏) antara residual ARIMA-GARCH return saham. Didapatkan estimasi parameter Copula Gumbel sebesar 𝜃 = 1,149 . model Copula Gumbel untuk residual GARCH antara return saham BMRI dan ITMG adalah sebagai berikut:
𝐶 1,149 𝐺𝑢 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = exp [−((−ln 𝑢 1 ) 1,149 + (−ln 𝑢 2 ) 1,149 ) 1 1,149 ⁄ ]
Jika  digambarkan  dalam  bentuk  grafik scatterplot dengan  parameter 𝜃 = 1,149 , pola dependensi kedua variabel adalah sebagai berikut:
Gambar 3. Scatterplot Copula Gumbel 𝜃 = 1,149 Pada Gambar 3 menunjukkan karakteristik dari Copula Gumbel, yaitu memiliki tail dependensi  atas  yang ditunjukkan oleh daerah ujung  atas scatterplot sebelah kanan. Pada daerah tersebut plot-plot sangat berdekatan dan saling menumpuk atau memiliki kerapatan lebih tinggi dibandingkan dengan daerah pada interval lain. Artinya antara residual model ARIMA-GARCH return saham BMRI dan ITMG memiliki korelasi yang lebih besar pada nilai maksimum.

## 4.6. Perhitungan Value at Risk
Sebelum dilakukan pembentukan portofolio dan perhitungan Value at  Risk (VaR), akan  dilakukan  perhitungan  bobot  portofolio  menggunakan Mean  Variance  Efficient Portofolio (MVEP) dan diperoleh bobot masing-masing saham yaitu BMRI sebesar 73,17% dan ITMG sebesar 26,83%.
Perhitungan VaR pada portofolio bivariat akan dilakukan dengan jangka waktu satu hari ke depan pada tingkat kepercayaan 99%, 95%, dan 90% dengan melakukan simulasi Monte-Carlo  yang  membangkitkan  sebanyak  1500  data  dan  pengulangan  sebanyak  1000
-0.05 0.00 0.05 -0 .10 -0 .05 0.0 0 0.0 5 0.1 0 0.1 5 Residual ARIM A-GARCH BMRI IT MG 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Residual ARIM A-GARCH T ransformasi Uniform BMRI IT MG 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Scatterplot Copula Gumbel BMRI IT MG
kali. Hasil perhitungan VaR pada portofolio bivariat saham BMRI dan ITMG diberikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Perhitungan VaR Saham BMRI dan ITMG Risiko Tingkat Kepercayaan 99% 95% 90% VaR -0,03977073 -0,02546167 -0,01837288
Pada tingkat kepercayaan 99%, dihasilkan nilai VaR sebesar -0,03977073 (tanda (-) menunjukkan kerugian). Hal ini dapat diartikan ada keyakinan 99% bahwa kerugian yang akan diderita investor tidak akan melebihi 3,977073% dalam jangka waktu  satu  hari atau dapat dikatakan ada kemungkinan sebesar 1% bahwa kerugian investasi sebesar 3,977073% atau lebih. Jika dimisalkan dana investasi awal sebesar Rp. 100.000.000,00 maka estimasi kerugian  maksimal  yang  akan  diderita  investor  diperkirakan  akan  mencapai  Rp. 3.977.073,00. Begitupun untuk tingkat kepercayaan lainnya.

## 4.7. Perhitungan Conditional Value at Risk
Setelah  melakukan  perhitungan  nilai Value  at  Risk (VaR),  selanjutnya  adalah melakukan  perhitungan Conditional  Value  at  Risk (CVaR)  untuk  masing-masing  tingkat kepercayaan.  Hasil  perhitungan  CVaR  pada  portofolio  bivariat  saham  BMRI  dan  ITMG diberikan pada Tabel 5.
Tabel 5. Perhitungan CVaR saham BMRI dan ITMG Risiko Tingkat Kepercayaan 99% 95% 90% CVaR -0,04761437 -0,03457014 -0,02779182
Pada  tingkat  kepercayaan  99%,  diperoleh  nilai  CVaR  sebesar  -0,04761437  yang melebihi nilai  VaR sebesar  -0,03977073 (tanda  (-) menunjukkan kerugian). Hal ini dapat diartikan ada keyakinan 99% bahwa kerugian yang akan diderita melebihi nilai VaR adalah sebesar  4,761437%  dalam  jangka  waktu  satu  hari  atau  investor  harus  menyiapkan  dana cadangan sebesar 0,784364% (selisih nilai VaR dan CVaR) untuk mewaspadai risiko yang lebih buruk. Jika dimisalkan dana investasi awal sebesar Rp. 100.000.000,00 maka estimasi kerugian  maksimal  yang  akan  diderita  investor  diperkirakan  akan  mencapai  Rp. 4.761.437,00. Begitupun untuk tingkat kepercayaan lainnya.
Untuk semua nilai CVaR dapat dilihat lebih besar daripada nilai VaR untuk masing- masing  tingkat  kepercayaan.  Sehingga  dapat  dikatakan  kondisi  terburuk  adalah  kerugian sebesar  VaR  dan  masih  memungkinkan  jika  terjadi  kondisi  yang  lebih  buruk  dengan kerugian sebesar CVaR. Investor harus menyiapkan dana cadangan sebesar selisih nilai VaR dan CVaR untuk mewaspadai risiko yang lebih buruk. Tentunya hasil perhitungan CVaR ini akan membuat investor lebih mewaspadai kerugian terbesar yang akan diderita.

## 4.8. Pengukuran Kinerja Portofolio
Portofolio  saham  BMRI  dan  ITMG  mempunyai  ukuran  kinerja  portofolio  sebesar 0,368720 atau 36,87%. Indeks Sharpe bernilai positif yang menandakan bahwa tingkat suku bunga  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  tingkat  pengembalian  portofolio.  Maka  dapat dikatakan pembentukan portofolio tersebut cukup baik dan akan mendapatkan keuntungan yang maksimal.

## 5. KESIMPULAN
Residual  ARIMA-GARCH  pada return saham  BMRI  dan  ITMG,  tidak  berdistribusi normal dan tidak diketahui distribusi marginalnya sehingga dilanjutkan dengan pemodelan
copula. Besar risiko yang diperoleh dengan metode Copula Gumbel-GARCH menggunakan simulasi Monte-Carlo untuk portofolio saham BMRI dan ITMG pada tingkat kepercayaan 99%,  95%,  dan  90%  diperoleh  hasil  perhitungan  VaR  secara  berurutan  adalah  sebesar 3,977073%;  2,546167%;  dan  1,837288%  serta  hasil  perhitungan  CVaR  secara  berurutan adalah sebesar 4,761437%; 3,457014%; dan 2,779182%. Pada kedua ukuran risiko baik VaR maupun CVaR dapat disimpulkan bahwa semakin besar tingkat kepercayaan, semakin pula besar risiko yang diderita. Semua nilai CVaR lebih besar daripada nilai VaR untuk masing- masing tingkat kepercayaan. Tentunya hasil perhitungan CVaR ini akan membuat investor lebih mewaspadai kerugian terbesar yang akan diderita.

## DAFTAR PUSTAKA
Bob,  N.K.  2013.  Value  at  Risk  Estimation  A  GARCH-EVT-Copula  Approach.
Mathematical Statistics . 106(91). Stockhlom University. Swedia. Damasari, A. 2015. Estimasi Value at Risk (VaR) dengan Metode Simulasi Monte Carlo – Copula Gumbel. Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga. Yogyakarta. Genest, C. dan Favre, A. C. 2007. Everything You Always Wanted to Know about Copula Modelling but Were Afraid to Ask. Journal of Hydrologic Engineering . 12(4): 347- 368.
Handini,  J.A.  2018. Copula  Frank  pada  Value  at  Risk  (VaR)  Pembentukan  Portofolio Bivariat . Universitas Diponegoro. Semarang.
Hyndman, R.J. dan Khandakar, Y. 2008. Automatic Time Series Forecasting: The Forecast Package for R. Journal of Statistical Software . 27(3). Lisnawati,  I  dan  Subekti,  R.  2018. Estimasi  Conditional  Value  at  Risk  (CVaR)  pada Portofolio  Menggunakan  Copula  Bersyarat .  Universitas  Negeri  Yogyakarta. Yogyakarta.
Maruddani, D.A.I. 2019. Value at Risk untuk Pengukuran Risiko Investasi Saham: Aplikasi dengan Program R . Ponorogo: Wade Group.
Rahmawati, R., Rusgiyono, A., Hoyyi, A., dan Maruddani, D.A.I. 2019. Expected Shortfall dengan Simulasi Monte-Carlo untuk Mengukur Risiko Kerugian Petani Jagung. Media Statistika . 12(1): 117-128. Saepudin, Y. 2017. Analisis Risiko Investasi Saham Tunggal Syariah dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES) . Universitas Diponegoro. Semarang. Susilowati,  M.  2016. Analisis  Kinerja  Portofolio  Optimal  dengan  Metode  Mean-Gini . Universitas Diponegoro. Semarang.
Thomas. R. L. 1996. Modern Econometrics . Inggris: Addison Wesley. Tsay, R.S. 2010. Analysis of Financial Time Series . 3rd Edition. Canada: John Wiley and Sons, Inc.