J. Math. and Its Appl.
E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 2, Nopember 2018, 151-166

## Konstruksi dan Analisis Dinamik Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan (Studi Kasus Pelabuhan Perikanan Nusantara Brondong)
Nailul Izzati 1 *, Imamatul Ummah 2
1,2 Fakultas Teknik Universitas Hasyim Asy’ari Jombang Indonesia e-mail: nailulizzati@unhasy.ac.id 1 , imamatulummah@unhasy.ac.id 2

## Abstrak
Penangkapan  ikan  berlebihan  di  Laut  Jawa  menyebabkan  populasi  ikan  terus  menurun.  Untuk menangani  hal  ini,  diperlukan  sosialisasi  dan  kajian  terkait  sistem  penangkapan  ikan.  Penelitian  ini bertujuan untuk mengkonstruksi model matematika sistem penangkapan ikan yang mengacu pada kondisi Pelabuhan  Perikanan  Nusantara  Brondong  Kabupaten  Lamongan.  Model  matematika  yang  telah dikonstruksi  kemudian  dianalisis  kestabilannya  dengan  menggunakan  kriteria  Routh-Hurwitz.  Analisis kestabilan menunjukkan bahwa model matematika yang dikonstruksi memiliki tiga titik kesetimbangan, yaitu  titik  kesetimbangan  trivial,  titik  kesetimbangan  tanpa  penangkapan  ikan  dan  titik  kesetimbangan bioekonomis.  Ketiga  titik  kesetimbangan  yang  diperoleh  bersifat  stabil  bersyarat.  Simulasi  numerik menunjukkan bahwa tanpa tindakan penangkapan, populasi ikan dapat menjadi tidak seimbang, sedangkan penangkapan  ikan  yang  tidak  terkondisikan,  yakni  yang  tidak  memenuhi  syarat  kestabilan  titik kesetimbangan bioekonomis, dapat mengakibatkan kepunahan ikan.
Kata Kunci : analisis kestabilan, kriteria Routh-Hurwitz, model penangkapan ikan.

## Abstract
Overfishing in Java Sea causes  a great decline of the fish population. To  deal with this problem, socialization  and  further  study  about  fish  harvesting  system  are  required.  The  objective  is  to  construct mathematical  model  of  fish  harvesting  system  that  refers  to  the  condition  of  Pelabuhan  Perikanan Nusantara  Brondong  Kabupaten  Lamongan.  The  constructed  model  are  analyzed  by  Routh-Hurwitz criteria.  The  results  showed  that  the  model  has  three  equilibriums,  i.e.  trivial,  non-harvesting  and bioeconomic ones. Those equilibriums are conditionally stable. Numerical simulations showed that without fish harvesting, the fish population could be unbalance, while the unconditioned fish harvesting could cause the fish extinction.
Keywords : fish harvesting model, stability analysis, Routh-Hurwitz criteria.

## 1 Pendahuluan
Laut Jawa memiliki potensi mencapai 836.000 ton per tahun. Eksploitasi terhadap potensi ikan di Laut Jawa dinilai berlebihan. Menurut Kepala Bidang Perikanan Tangkap Dinas Kelautan dan Perikanan Jawa Timur, Eryono, eksploitasi terhadap potensi ikan Laut Jawa telah mencapai 95 persen dari total populasi yang ada, sehingga hanya tersisa 5 persen bagi generasi yang akan
152       Konstruksi dan Analisis Dinamik Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan
datang  [1].  Di  Kabupaten  Lamongan,  data  kapal  bongkar  di  Pelabuhan  Perikanan  Nusantara Brondong mencatat setidaknya 65.373 ton ikan ditangkap pada tahun 2017 oleh nelayan setempat [2], jumlah ini belum termasuk hasil tangkapan daerah lain.
Salah  satu  upaya  pencegahan  eksploitasi  berlebihan  terhadap  sumber  daya  laut  dilakukan pemerintah  dengan  mengeluarkan  Peraturan  Menteri  Kelautan  dan  Perikanan  Nomor  2  Tahun 2015 tentang larangan penggunaan alat tangkap pukat hela dan pukat tarik, termasuk di dalamnya adalah alat tangkap cantrang yang digunakan oleh mayoritas nelayan yang berlabuh di Brondong. Hingga tahun 2018, peraturan tersebut belum sepenuhnya dapat diterapkan karena nelayan merasa dirugikan secara sosial dan ekonomi. Oleh karena itu, diperlukan sosialisasi dan studi lebih lanjut tentang dampak penangkapan ikan secara berlebihan dan kajian solusinya.
Penelitian  tentang  perlindungan  populasi  ikan  telah  dilakukan  dan  masih  terus dikembangkan  dengan  berbagai  sudut  pandang.  Mulai  dari  dinamika  kebijakan  perikanan  [3], dinamika oseanografi terhadap hasil tangkapan ikan  [4]  sampai pemodelan  matematika kondisi stok  ikan  di  perairan  [5]  dan  penangkapan  ikan.  Berangkat  dari  model predator-prey Lotka- Volterra [6] dapat dibangun berbagai model matematika tentang penangkapan ikan. Diantaranya adalah model penangkapan ikan dengan fungsi  respon  yang bergantung  pada prey [7], [8],  dan prey- dan- predator [8], model penangkapan ikan di area perairan dilindungi [9], [10], model reaksi dinamis sistem predator-prey dengan tingkatan usia pada predator [11], [12], model biomatematis dengan pemilihan ikan tangkap [10], dan dampak aturan maximum sustainable yield pada sistem predator-prey [13].
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  mengkonstruksi  sebuah  model  matematika  yang menggambarkan sistem penangkapan ikan dengan mempertimbangkan adanya interaksi predator- prey bertingkat pada populasi ikan, serta hasil tangkapan ikan oleh nelayan. Analisis kestabilan kemudian dilakukan untuk mengetahui perilaku variabel-variabel pada sistem. Terakhir, dilakukan simulasi numerik untuk mengetahui perilaku sistem.

## 2 Metode Penelitian
Tahap-tahap yang dilakukan pada penelitian ini adalah konstruksi model, analisis kestabilan, dan  simulasi  numerik.  Konstruksi  model  dilakukan  dengan  membentuk  sistem  persamaan diferensial  yang  merepresentasikan  sistem  penangkapan  ikan  oleh  nelayan  yang  berlabuh  di Pelabuhan Perikanan Nusantara  Brondong Kabupaten Lamongan. Analisis kestabilan dilakukan dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz [14]. Untuk melakukan  analisis kestabilan, mula- mula dicari titik kesetimbangan sistem dan matriks Jacobinya. Titik kesetimbangan yang diperoleh kemudian disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi sehingga didapatkan persamaan karakteristik.
Dari  koefisien-koefisien  persamaan  karakteristik  dibentuk  tabel  kriteria  Routh-Hurwitz.  Titik kesetimbangan sistem disebut stabil jika tidak terdapat perubahan tanda pada kolom pertama tabel kriteria Routh-Hurwitz.  Simulasi numerik dilakukan dengan metode Runge-Kutta Order Empat [15] dan menggunakan software MATLAB.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini dibahas konstruksi model, analisis kestabilan dan simulasi numerik model matematika  sistem  penangkapan  ikan  oleh  nelayan  yang  berlabuh  di  Pelabuhan  Perikanan Nusantara Brondong.

## 3.1 Konstruksi Model
Menurut  data  kapal  bongkar  Pelabuhan  Perikanan  Nusantara  Brondong,  terdapat  35  jenis ikan  hasil  tangkapan  nelayan  yang  menggunakan  alat  tangkap  cantrang.  35  jenis  ikan  tersebut adalah  Alu-alu/Kucul,  Togek/Ayam-ayam,  Balak/Beloso,  Banyar,  Baronang/Sadar,  Bawal Hitam/Dorang,  Bentol/Lencam,  Biji  Nangka/Jenggot,  Bukur/Jaket,  Cucut,  Cumi-cumi, Grobyak/Ikan  Sebelah,  Gulama/Tiga  Wajah/Tetet,  Kakap  Merah/Bambangan,  Kapasan, Kembung,  Kerapu,  Kerong-kerong/Kerok,  Kuniran,  Kurisi,  Kwee  Putihan,  Layang,  Layur, Lemadang,  Lemuru,  Manyung,  Mata  Besar/Swanggi,  Pari/Pe,  Peperek/Dodok,  Selar, Tembang/Juwi, Tenggiri, Tonang/Cendro/Remang, Tongkol, dan Campuran [16]. Jika jenis-jenis ikan  tersebut  diasumsikan  terbagi  menjadi  tiga  golongan,  yaitu prey , predator tingkat  I,  dan predator tingkat  II,  maka  posisi  ketiganya  dalam  rantai  makanan  dapat  diilustrasikan  dengan Gambar 1. Semua jenis ikan yang berada di tingkatan paling bawah rantai makanan diasumsikan sebagai prey , yaitu Togek, Balak, Banyar, Baronang, Bawal Hitam, Bentol, Biji Nangka, Bukur, Cumi-cumi,  Gulama,  Kapasan,  Kembung,  Kerong-kerong,  Kuniran,  Kurisi,  Kwee  Putihan, Layang,  Lemuru,  Mata  Besar,  Peperek,  Selar,  Tembang,  Tongkol,  dan  Campuran.  Sedangkan semua  jenis  ikan  yang  memangsa prey diasumsikan  sebagai predator tingkat  I,  yaitu  Grobyak, Kakap Merah, Kerapu, Layur, Lemadang, dan Manyung. Dan semua jenis ikan yang memangsa predator tingkat I adalah predator tingkat II, yaitu Alu-alu, Cucut, Pari, Tenggiri, dan Tonang.
Predator Tingkat I Predator Tingkat II Prey

## 154       Konstruksi dan Analisis Dinamik Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan

## Gambar 1 Piramida Rantai Makanan
Model yang dikonstruksi mempertimbangkan empat buah variabel, yaitu populasi prey ( P ), predator tingkat I ( Q ), predator tingkat II ( R ), dan hasil penangkapan ikan ( E ). Berdasarkan studi literatur,  pengumpulan  data  Pelabuhan  Perikanan  Nusantara  Brondong  dan  hasil  wawancara dengan nelayan sekitar, berikut adalah beberapa asumsi yang digunakan dalam konstruksi model:
1. Perubahan populasi prey dipengaruhi oleh persamaan logistik,
2. Prey adalah  mangsa  dari predator tingkat  I,  sedangkan predator tingkat  I  adalah  mangsa
dari predator tingkat II. Tidak terdapat kanibalisme dalam rantai makanan,
3. Terdapat kematian alami pada predator tingkat I dan tingkat II,
4. Ikan  yang  ditangkap  oleh  nelayan  adalah  semua  jenis  ikan  ( prey , predator tingkat  I,  dan predator tingkat II),
5. Laju  penangkapan  ikan  diasumsikan  sebagai  rasio  antara  total  tangkapan  ikan  per  tahun dengan potensi ikan Laut Jawa per tahun,
6. Hasil penangkapan ikan merupakan selisih dari hasil penjualan ikan dan biaya operasional yang dibutuhkan untuk melaut, kedua hal ini dipengaruhi oleh stiffness coefficient ,
7. Harga  jual  ikan  diperoleh  dari  nilai  rata-rata  harga  jual  dari  ketigapuluhlima  jenis  ikan tangkapan,
8. Biaya  operasional  dan  waktu  melaut  diasumsikan  sama  untuk  tiap  keberangkatan  kapal nelayan.
Gambar 2 Diagram Kompartemen Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan
Dengan  mempertimbangkan  asumsi-asumsi  tersebut,  dapat  dibangun  sistem  persamaan diferensial  yang  menggambarkan  sistem  penangkapan  ikan  oleh  nelayan  Lamongan  yang
P Q R
diberikan oleh sistem persamaan (1)-(4). Interaksi antara keempat variabel pada model disajikan dengan diagram kompartemen pada Gambar 2.
, 1 1 PE q PQ K P rP dt dP            (1) , 2 1 QE q QR Q d PQ dt dQ       (2) , 3 2 RE q R d QR dt dR     (3)     . 3 2 1 E c R q Q q P q p dt dE      (4)
dengan
r : laju kelahiran prey ,
K : carrying capacity ,
 : laju pemangsaan prey oleh predator tingkat I,
 : laju pemangsaan predator tingkat I oleh predator tingkat II,
 : stiffness coefficient ,
d 1 : tingkat kematian alami predator tingkat I,
d 2 : tingkat kematian alami predator tingkat II,
q 1 : laju penangkapan prey ,
q 2 : laju penangkapan predator tingkat I,
q 3 : laju penangkapan predator tingkat II,
p : harga jual ikan,
c : total biaya operasional yang dibutuhkan oleh nelayan untuk melaut.

## 3.2 Titik Kesetimbangan
Titik  kesetimbangan  dari  sistem  (1)-(4)  diperoleh  dengan  menyelesaikan  persamaan
. 0     dt dE dt dR dt dQ dt dP Penyelesaian persamaan 0     dt dE dt dR dt dQ dt dP menghasilkan  tiga
titik  kesetimbangan  dari  sistem  (1)-(4),  yaitu  titik  kesetimbangan  trivial   0 , 0 , 0 , 0 T ,  titik kesetimbangan  tanpa  tindakan  penangkapan  ikan   0 , , , 0 0 0 0 R Q P T dan  titik  kesetimbangan  bio- ekonomis   * * * * * , , , E R Q P T , dengan , 2 0        
  d r r K P , 2 0  d Q  , 1 1 2 0                d d r r K R    
156       Konstruksi dan Analisis Dinamik Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan
  , * 1 * 3 2 *           E q E q d r r K P   , * 3 2 *  E q d Q     , * 2 1 * 1 * 3 2 * E q d E q E q d r r K R                       . 2 2 2 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 * K q K q K q q p r c r d q Kd q r K q r d q d K q r K q p E                    
Titik kesetimbangan bioekonomis adalah titik kesetimbangan yang memungkinkan adanya aspek biologi  dan ekonomi. Dalam hal  ini, dimungkinkan adanya penangkapan  ikan, namun  populasi ikan tetap ada.

## 3.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Matriks Jacobian dari sistem persamaan (1)-(4) diberikan oleh matriks (5),
  , 0 0 , , , 4 3 2 1 3 3 2 2 1 1                   j E pq E pq E pq R q j R Q q Q j Q P q P j E R Q P J        (5) dengan , 2 1 1 1 E q Q K P r j            , 2 1 2 E q R d P j       , 3 2 3 E q d Q j         . 3 2 1 4 c R q Q q P q p j     
Untuk  menganalisa  kestabilan  titik  kesetimbangan,  maka  masing-masing  titik  kesetimbangan disubstitusikan ke matriks Jacobian.
Substitusi titik kesetimbangan trivial ke dalam matriks Jacobian (5) menghasilkan
  , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 , 0 , 0 2 1                  c d d r J Sehingga  dengan  menyelesaikan  persamaan   0 0 , 0 , 0 , 0   I J 
diperoleh  persamaan karakteristik (6).
      , 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 2 1 4                                d rcd c d d rcd rcd d rd c d c d d d rc rd rd c d d r (6)
Tabel kriteria Routh-Hurwitz dari persamaan karakteristik (6) adalah
4  0 A 2 A 4 A 3  1 A 3 A 2  1 B 4 A
1  1 C 0  4 A
dengan
, 1 0  A , 2 1 1  c d d r A      , 2 1 2 1 2 1 2    c d c d d d rc rd rd A        , 2 1 2 1 2 1 3    c d d rcd rcd d rd A      , 2 1 4  d rcd A   , 1 3 2 1 1 A A A A B    dan . 1 4 1 3 1 1 B A A A B C     Sehingga titik kesetimbangan trivial bersifat stabil jika 0 , 0 , 0 1 1 1    C B A dan . 0 4  A
Substitusi titik kesetimbangan   0 , , , 0 0 0 0 R Q P T ke dalam matriks Jacobian (5) menghasilkan matriks (7).
  , 0 0 0 0 0 0 , , , 4 0 1 2 3 3 0 1 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 0 0 0 0                                                               j d d r r K q j d d r r K d q d j d d r r K q d r r K j R Q P J                (7) dengan , 2 2 1 0   d r j    , 0 2 0  j , 0 3 0  j . 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 4 0                r cr r d pq Kd pq Kr pq r d pq Kd pq Kr pq j        Penyelesaian   0 0 , , , 0 0 0   I R Q P J  menghasilkan persamaan karakteristik (8).
  , 0 4 0 1 0 2 1 4 0 1 0 2 2 2 4 0 1 0 2 2 2 2 4 0 3 2 4 0 2 4 0 2 1 4 0 2 2 2 4 0 2 1 0 2 1 1 0 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 4 0 1 0 3 4 0 1 0 4                                     j j d d r j j Kd j j Kd r d Kj d Kj j d d r j Kd j Kd j d d j Kd r j Kd r Kd Kd d d r Kd Kd j j j j                         (8)
Tabel kriteria Routh-Hurwitz dari persamaan karakteristik (8) diberikan oleh tabel di bawah ini.
4  0 a 2 a 4 a 3  1 a 3 a
2  1 b 2 b 1  1 c 2 c 0  1 D
dengan
, 1 0  a , 4 0 1 0 1 j j a    , 1 2 2 2 2 2 2 1 4 0 1 0 2                      r d r d Kd d d j j a , 2 4 0 4 0 4 0 2 1 0 2 2 2 4 0 2 1 1 0 2 1 4 0 2 1 0 2 3                      r d j j r j d r j d Kd j d d j d d j Kd j Kd a , 1 2 2 4 0 1 0 2 4            d r Kd K j j d a        , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 3 3 2 2 5 3 2 2 2 4 3 3 2 3 2 3 2 2 4 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1                                                                          cr Kd d pq r Kd pq r d K pq r d K r d Kpq pq r d K r K pq d cr Kd r d Kd pq d K pq r d K pq r Kd pq d K pq r K d pq r cd r d d pq Kd pq r Kd pq r d pq Kd pq r Kd pq Kd r Kd r d d cr r d pq r Kd pq Kr pq r d pq r Kd pq Kr pq r b                                 , 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2                   cr r d pq Kd pq Kr pq r d pq Kd pq Kr pq r d r           , 4 0 1 0 2 1 4 0 1 0 2 2 2 4 0 1 0 2 2 j j d d r j j Kd j j Kd b             , 1 2 2 4 0 2 2 2 4 0 1 0 4 0 1 0 2 2 2 3 2 1 2 2 1             r r d j Kd r j j j j Kd r d d r Kd c                 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1                                 r cd r d d pq Kd pq r Kd pq r d pq Kd pq r Kd pq Kd r Kd r d d cr r d pq r Kd pq Kr pq r d pq r Kd pq Kr pq                   , 3 2 2 2 1 3 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 3 3 2 2 5 3 2 2 2 4 3 3 2 3 2 3 2 2 4 1 2 2 2 2 3 1                                          cr Kd d pq r Kd pq r d K pq r d K r d Kpq pq r d K r K pq d cr Kd r d Kd pq d K pq r d K pq r Kd pq d K pq r K d pq              
, 0 2  c . 4 0 1 0 2 1 4 0 1 0 2 2 2 4 0 1 0 2 1 j j d d r j j Kd j j Kd D      
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik kesetimbangan sistem tanpa adanya penangkapan ikan   0 , , , 0 0 0 0 R Q P T bersifat stabil jika pertidaksamaan (9), (10), (11) dan {(12) atau (13) atau (14)}
berikut ini dipenuhi.
. 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 2 1 2 2                  Kr pq r d pq Kr pq r d cr r d pq Kd pq Kd pq r         (9)           . 2 4 0 1 0 4 0 1 0 2 2 2 3 2 1 2 2 2 4 0 2 2              r j j j j Kd r d d r Kd r d j Kd        (10) . 0    
(11)
. 2 2   r d  (12)
. 2 1 3 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1               cr r d pq Kd pq Kd pq Kr pq r d pq Kr pq       (13)
. 1 2 2     r d Kd Kr   (14)
Sedangkan  substitusi  titik  kesetimbangan  bioekonomis   * * * * * , , , E R Q P T ke  matriks
Jacobian (5) menghasilkan matriks
  , , , , * 44 * 43 * 42 * 41 * 34 * 33 * 32 * 31 * 24
* 23 * 22 * 21 * 14 * 13 * 12 * 11 * * * *                j j j j j j j j j j j j j j j j E R Q P J (15) dengan , 2 1 * 1 * * * 11 E q Q K P r j              , * 1 * 3 2 * 12            E q E q d r r K j    , 0 * 13  j   , * 1 * 3 2 1 * 14            E q E q d r r K q j   , * 3 2 * 21    E q d j   , 0 * 22  j , * 3 2 * 23 E q d j    , * 3 2 2 2 * 24  E q q d q j    , 0 * 31  j   , * 2 1 * 1 * 3 2 * 32 E q d E q E q d r r K j                , 0 * 33  j
160       Konstruksi dan Analisis Dinamik Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan
  , * 3 2 1 3 * 1 * 3 2 3 * 34 E q q d q E q E q d r r K q j                        , 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 1 3 1 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 1 * 41 r q K q q K q r q q rK q q K q r c q r d Kd q r K q r d q d K q r K q pq j                                 , 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 1 3 1 2 2 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 2 * 42 r q K q q K q r q q rK q q K q r c q r d Kd q r K q r d q d K q r K q pq j                                 , 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 3 * 43 r q K q q K q r q q rK q q K q r c q r d Kd q r K q r d q d K q r K q pq j                                 . * 3 * 2 * 1 * 44 c R q Q q P q p j     
Kemudian  dari  penyelesaian  persamaan
  0 , , , * * * *   I E R Q P J  dihasilkan
persamaan karakteristik (16).
, 0 4 3 2 2 3 1 4 0               (16)
dengan
, 1 0     , * 44 * 11 1 j j     , * 41 * 14 * 21 * 12 * 43 * 34 * 32 * 23 * 42 * 24 * 44 * 11 2 j j j j j j j j j j j j        , * 42 * 21 * 14 * 41 * 24 * 12 * 44 * 21 * 12 * 44 * 32 * 23 * 43 * 32 * 24 * 42 * 34 * 23 * 43 * 34 * 11 * 32 * 23 * 11 * 42 * 24 * 11 3 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j           . * 41 * 32 * 23 * 14 *
43 * 32 * 21 * 14 * 43 * 34 * 21 * 12 * 41 * 34 * 23 * 12 * 44 * 32 * 23 * 11 * 43 * 32 * 24 * 11 * 42 * 34 * 23 * 11 4 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j        
Tabel kriteria Routh-Hurwitz untuk persamaan karakteristik (16) adalah sebagai berikut
4  0  2  4  3  1  3  2  1  2  1  1  2  0  1  dengan
  , * 44 * 11 1 j j     , * 42 *
21 * 14 * 41 * 24 * 12 * 44 * 21 * 12 * 44 * 32 * 23 * 43 * 32 * 24 * 42 * 34 * 23 * 43 * 34 * 11 * 32 * 23 * 11 * 42 * 24 * 11 * 44 * 41 * 14 * 44 * 21 *
12 * 44 * 43 * 34 * 44 * 32 * 23 * 44 * 42 * 24 2 * 44 * 11 * 41 * 14 * 11 * 21 * 12 * 11 * 43 * 34 * 11 * 32 * 23 * 11 * 42 * 24 * 11 * 44 2 * 11 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j                       , * 41 *
32 * 23 * 14 *
43 * 32 * 21 * 14 * 43 * 34 * 21 * 12 * 41 * 34 * 23 * 12 * 44 * 32 * 23 * 11 * 43 * 32 * 24 * 11 * 42 * 34 * 23 * 11 2 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j           , 1 2 2 1 3 1        , 0 2   . * 41 * 32 * 23 * 14 * 43 * 32 * 21 * 14 * 43 * 34 * 21 * 12 * 41 * 34 * 23 * 12 * 44 * 32 * 23 * 11 * 43 * 32 * 24 * 11 * 42 * 34 * 23 * 11 1 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j        
Dengan demikian, berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik kesetimbangan
  * * * * , , , E R Q P T  adalah stabil jika memenuhi pertaksamaan (17)-(20).
0. * 44 * 11   j j (17) . 0  
(18)
0. 2 2 1 3      (19) . * 43 * 32 * 21 * 14 * 41 * 34 * 23 * 12 * 44 * 32 * 23 * 11 * 41 * 32 * 23 * 14 * 43 * 34 * 21 * 12 * 43 * 32 * 24 * 11 * 42 * 34 * 23 * 11 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j      
(20)

## 3.4 Simulasi Numerik
Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi numerik disajikan dalam Tabel 1. Dengan menggunakan  nilai  parameter-parameter  tersebut,  diperoleh  titik  kesetimbangan  tanpa penangkapan ikan 0 T (0.9798, 6.2500e-004, 0.6111, 0) dan titik kesetimbangan bioekonomis * T (0.9126,  0.1378,  0.5234,  1.8292).  Melalui  perhitungan  MATLAB,  diketahui  bahwa  nilai parameter-parameter  pada  Tabel  1  tidak  memenuhi  syarat  kestabilan  titik  kesetimbangan  tanpa penangkapan  ikan  maupun  titik  kesetimbangan  bioekonomis.  Oleh  karena  itu,  perilaku  solusi sistem tidak akan stabil menuju titik kestabilan 0 T dan * T .
Tabel 1. Nilai Parameter dalam Simulasi Numerik
Parameter Nilai r 1.8 K 0.98
 0.5  0.8  0.25 d 1 0.001 d 2 0.0005 p 13
Tanpa adanya tindakan penangkapan ikan, tidak akan ada ikan  yang tertangkap dan tidak ada  biaya  operasional  yang  dikeluarkan  oleh  nelayan.  Oleh  karena  itu,  pada  simulasi  model pertumbuhan populasi ikan tanpa penangkapan, digunakan nilai parameter q 1 = q 2 = q 3 = c = 0. Pada  simulasi  tanpa  penangkapan  ikan,  digunakan  kondisi  awal  dari  populasi prey adalah  7.1, populasi predator tingkat I adalah 3.8, populasi predator tingkat II adalah 1.6, dan hasil tangkapan nelayan  adalah  0.  Gambar  3  menunjukkan  perilaku  solusi  sistem  (1)-(4)  tanpa  adanya penangkapan ikan. Tanpa adanya penangkapan ikan, populasi predator tingkat  I terus menurun sampai akhirnya mencapai nilai nol. Populasi predator tingkat II setelah mengalami peningkatan dari populasi awal menjadi 6.1322, mengalami penurunan sampai mencapai 6.0678. Populasi prey yang  setelah  mengalami  penurunan,  mengalami  peningkatan  dari  nilai  0.3307  menjadi  0.3399.
Sedangkan hasil tangkapan nelayan, konstan bernilai nol.
Perilaku solusi sistem pada Gambar 3 disebabkan oleh nilai parameter    . Oleh karena laju pemangsaan predator tingkat II terhadap predator tingkat I (  ) adalah lebih besar daripada laju pemangsaan predator I terhadap prey (  ). Maka tanpa adanya penangkapan ikan, populasi predator tingkat  II  sebagai  pemangsa  yang  menempati  posisi  paling  tinggi  pada  piramida makanan,  menjadi  maksimal.  Akibatnya,  populasi predator tingkat  I,  sebagai  mangsa  dari predator tingkat  II,  menjadi  semakin  menurun.  Dengan  penurunan  populasi predator tingkat  I, populasi prey mengalami peningkatan.
Gambar 3 Simulasi Pertumbuhan Populasi Ikan Tanpa Adanya Penangkapan
Dalam  simulasi  model  dengan  penangkapan  ikan,  digunakan  kondisi  awal  populasi prey , predator tingkat I, dan tingkat II yang sama, yaitu 7.1, 3.8, dan 1.6, tetapi dengan hasil tangkapan nelayan mula-mula yang berbeda, yaitu E 0 = 3, dan nilai parameter q 1 = 0.03, q 2 = 0.02, q 3 = 0.06, c = 0.8. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Simulasi Pertumbuhan Populasi Ikan Tanpa Penangkapan Waktu V a ri a b e l K e a d a a n P = Populasi Prey
Q = Populasi Predator Tingkat I R = Populasi Predator Tingkat II
E = Hasil Tangkapan Nelayan

## 164       Konstruksi dan Analisis Dinamik Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan
(a)
(b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 Simulasi Pertumbuhan Populasi Ikan dengan Penangkapan Waktu V a ri a b e l K e a d a a n P = Populasi Prey Q = Populasi Predator Tingkat I R = Populasi Predator Tingkat II
E = Hasil Tangkapan Nelayan
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 Simulasi Pertumbuhan Populasi Ikan dengan Penangkapan Waktu V a ri a b e l K e a d a a n P = Populasi Prey Q = Populasi Predator Tingkat I
R = Populasi Predator Tingkat II
E = Hasil Tangkapan Nelayan
Gambar  4  menunjukkan  perilaku  solusi  sistem  (1)-(4)  dengan  penangkapan.  Adanya penangkapan ikan oleh nelayan, dengan tingkat tertangkapnya ikan sebesar 3% untuk prey , 2% untuk predator tingkat I, dan 6% untuk predator tingkat II, mengakibatkan populasi semua ikan, baik prey , predator tingkat I dan II mengalami penurunan sampai akhirnya mencapai titik nol dan hasil tangkapan nelayan mencapai nilai tertinggi E = 24.6218. Ketiadaan stok ikan, mengakibatkan tidak  adanya  tangkapan  ikan.  Hal  ini  ditunjukkan  oleh  grafik  nilai E yang  terus  menurun  dan akhirnya mencapai titik nol.

## 4 Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa:
 Sistem  penangkapan  ikan  dengan  mempertimbangkan  interaksi predator-prey bertingkat dan pendapatan nelayan dapat dimodelkan secara matematis.
 Model  matematika  yang  dibangun  mempunyai  tiga  titik  kesetimbangan,  yaitu  titik kesetimbangan  trivial,  titik  kesetimbangan  tanpa  adanya  penangkapan  ikan  dan  titik kesetimbangan bioekonomis. Ketiga titik kesetimbangan bersifat stabil bersyarat.
 Hasil simulasi menunjukkan bahwa  tidak adanya  penangkapan ikan dapat  mengakibatkan ketidakseimbangan  populasi  ikan  yang  ditandai  oleh  kepunahan predator tingkat  I  yang mengakibatkan  kepunahan predator tingkat  II.  Sedangkan  penangkapan  ikan  yang  tidak terkondisikan,  yakni  yang  tidak  memenuhi  syarat  kestabilan  titik  kesetimbangan bioekonomis, dapat mengarah ke kepunahan seluruh populasi ikan.
 Penelitian  selanjutnya  dapat  membahas  strategi  penangkapan  ikan  yang  optimal  agar populasi ikan dapat terjaga dan berkembangbiak secara optimal. Selain itu, pada penelitian selanjutnya dapat digunakan parameter-parameter yang mengacu pada data sesungguhnya.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Ucapan terima kasih dihaturkan kepada Kepala Pelabuhan Perikanan Nusantara Brondong beserta staf, dan para nelayan pesisir Lamongan yang telah memberikan informasi terkait sistem penangkapan ikan, alat tangkap dan hasil tangkapan ikan di kawasan setempat.

## 6 Daftar Pustaka
[1] H.  Hazliansyah  dan  O.  Lukmansyah, Pemanfaatan  Potensi  Ikan  Laut  Jawa  Melampaui Batas. Dipetik 11 April 2017, dari Republika Online:
http://www.republika.co.id/berita/nasional/daerah/15/03/24/nlpkty-pemanfaatan-potensi-
166       Konstruksi dan Analisis Dinamik Model Matematika Sistem Penangkapan Ikan
ikan-laut-jawa-melebihi-batas, 24 Maret 2015.
[2] D. Sutisna, Profil Pelabuhan Perikanan Nusantara Brondong Tahun 2017 . PPN Brondong, 2018.
[3] S. K. Widodo, “Dinamika Kebijakan Tentang Perikanan dan Transformasi Budaya Nelayan Pantai Utara Jawa,” Sabda , vol. 6, no. 1, pp. 30-39, 2011.
[4] K. I. Suniada, F. Islamy, A. J. Saputra, S. Hadianti, R. M. P. Mahardhika, dan E. Susilo, “Dinamika Oseanografi Terhadap Hasil Tangkapan Ikan Pelagis PPN Pengambengan dari Data Satelit MODIS, ” Prosiding Seminar Nasional Penginderaan Jauh 2015 , 2015.
[5] S.  B.  Susilo,  “Kondisi  Stok  Ikan  Perairan  Pantai  Selatan  Jawa  Barat,” Jurnal  Ilmu-ilmu Perairan dan Perikanan Indonesia , vol. 16, no. 1, pp. 39-46, 2009.
[6] J. Murray, Mathematical Biology I: An Introduction . Springer, 2002.
[7] S.  Chakraborty,  S.  Pal,  dan  N.  Bairagi,  “Predator-Prey  Interaction  with  Harvesting: Mathematical Study with Biological Ramifications, ” Applied Mathematical Modelling 36 , pp. 4044-4059, 2012.
[8] N. C. Apreutesei. “An Optimal Control Problem for a Prey-Predator System with a General Functional Response,” Applied Mathematics Letters 22, pp. 1062-1065, 2009.
[9] L.  Yunfei,  R.  Yuan,  dan  Y.  Pei,  “A  Prey-Predator  Model  with  Harvesting  for  Fishery Resource with Reserve Area,” Applied Mathematical Modelling 37 , pp. 3048-3062, 2013.
[10]  B. Mondal, “Bio-mathematical Prey-Predator Model with Marine Protect Area (MPA) and Harvesting,” International Journal of Scientific & Engineering Research , vol. 5, issue 9, pp. 858-868, 2014.
[11]  S. K. Chattopadhyay dan T. K. Kar, “A Dynamic Reaction Model of a Prey-predator System with Stage-structure for Predator,” Modern Applied Science , pp. 183-195, 2010.
[12]  K.  Chakraborty,  M.  Chakraborty  dan  T.  K.  Kar,  “Optimal  Control  of  Harvest  and Bifurcation  of  a  Prey-Predator  Model  with  Stage  Structure,” Applied  Mathematics  and Computation 217 , pp. 8778-8792, 2011.
[13]  T. K. Kar dan B. Gosh, “Impacts of Maximum Sustainable Yield Policy to Prey-predator Systems,” Ecological Modelling 250 , pp. 134-142. 2013.
[14]  Subiono, Sistem Linear dan Kontrol Optimal. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2013.
[15]  D. K. Chaturvedi, Modeling and Simulation of Systems Using MATLAB and Simulink . CRC Press, 2010.
[16]  Tim  Rekap  Data  PPN  Brondong, Data  Kapal  Bongkar  Pelabuhan  Perikanan  Nusantara Brondong Januari 2018 (WPP 712) . PPN Brondong, 2018.