Vol. 10, No. 2,  82-91,  Januari  2014
MODEL SIR UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG
SYAMSUDDIN TOAHA 2 ,  KHAERUDDIN 3 , MANSYUR, A. R. 1
1

## Abstrak
Model  SIR  untuk  penyebaran  penyakit  flu  burung  merupakan  model  matematika  yang  menjelaskan interaksi  antara  kelompok  populasi  burung susceptible ( )  dan infected ( )  dengan  kelompok  populasi manusia susceptible ( ), infected ( ),  dan recovered ( ).  Titik  keseimbangan  model  meliputi  titik keseimbangan bebas penyakit ( ) dan titik keseimbangan endemik  ( ). Dari analisis kestabilan diperoleh bahwa kestabilan titik keseimbangan bergantung pada bilangan reproduksi dasar ( ). Titik keseimbangan stabil  jika sedangkan  titik  keseimbangan stabil  jika .  Simulasi  numerik  diberikan untuk melihat trayektori populasi di sekitar titik keseimbangan.
Kata Kunci : Titik keseimbangan, kestabilan, bilangan reproduksi dasar.

## Abstract
SIR  model  for  spread  of  avian  influenza  disease  is  a  mathematical  model  that  describes  interaction between susceptible bird population  ( ), infected bird population ( ) with susceptible human population ( ), infected human population ( ), and recovered human population ( ). The equilibrium points of the model include non endemic equilibrium point  ( ) and endemic equilibrium point ( ). From the  stability analyse,    we  found  that  the  stability  of  the  equilibrium  points  depend  on  the  basic  reproduction  number ( ). The equilibrium point is stable when and the equilibrium point is stable when . Numerical  simulation  is  presented  untuk  delineate  the  trajectories  of  populations  around  the  equilibrium points.
Keywords : Equilibrium point, stability, basic reproduction number.

## 1. Pendahuluan
Di Indonesia terdapat banyak peternak yang memelihara unggas. Ada yang membuat kandang unggas dalam pekarangan rumah ada juga yang di luar, di tempat yang  disediakan khusus. Kandang unggas dalam pekarangan rumah menyebabkan interaksi antara unggas dan pemiliknya  menjadi  sangat  tinggi  sedangkan  unggas  yang  dikandangkan  di  luar  rumah interaksinya lebih rendah dengan manusia.
Flu burung yang menyerang unggas menyebabkan penyakit ini menjadi sangat rawan di  Indonesia,  terlebih  diketahui  virus  ini  juga  menyerang  manusia.  Penularannya  dapat melalui  udara  ataupun  kontak  melalui  makanan,  minuman,  dan  sentuhan  yang  disebabkan oleh virus influenza tipe A dengan subtipe H5N1, [4] . Virus tipe A memiliki banyak subjenis selain H5N1 ada juga H1N1, H3N2, H7N7, dan beberapa jenis lainnya. Jenis yang terkenal dan sempat menimbulkan kepanikan di seluruh dunia adalah H1N1 yang dikenal dengan flu babi serta H5N1 atau flu burung, [3] .
1 „2‟3 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jln. Perintis Kemerdekaan Km. 10 Makassar 90245, Indonesia
Tulisan ini bertujuan untuk menentukan titik keseimbangan dan bilangan reproduksi dasar ( basic reproduction number ) serta melakukan simulasi numerik untuk melihat dinamika penyebaran penyakit flu burung pada manusia dan pada burung. 2

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Flu Burung
Flu burung yang dikenal dengan istilah avian flu atau avian influenza (AI) adalah penyakit  menular  yang  disebabkan  oleh  virus  influenza  tipe  A  dengan  diameter  90-120 nanometer. Secara normal virus tersebut hanya menginfeksi ternak unggas seperti ayam, kalkun,  dan  itik.  Namun  data  terakhir  menunjukkan  bahwa  virus  AI  bisa  menginfeksi ternak ruminansia terutama babi. Walaupun hampir semua jenis unggas dapat terinfeksi virus yang terkenal sangat ganas ini tetapi yang diketahui jauh lebih rentan adalah jenis unggas yang diternakkan secara massal seperti ayam, puyuh, dan itik, [2] .

## 2.2  Model Epidemiologi
Model  epidemiologi  pada  umumnya  berfokus  pada  dinamika  dari  transisi  atau perpindahan  karakter  antara  individu  dengan  individu,  populasi  dengan  populasi, komunitas  dengan  komunitas,  daerah  dengan  daerah,  bahkan  negara  dengan  negara. Karakter tersebut dapat berbentuk penyakit (malaria, tubercolosis , HIV, dan flu burung), karakteristik  genetik  (gender,  ras,  dan  penyakit  genetik)  dan  bentuk  lain  seperti  kultur (bahasa dan kepercayaan), [4] .
Salah  satu  istilah  dalam  model  epidemiologi  adalah  epidemik.  Epidemik merupakan  sebuah  fenomena  dimana  sebuah  penyakit  tiba-tiba  muncul  dalam  suatu populasi  dan  menjangkit  secara  cepat  sebelum  penyakit  tersebut  menghilang  dan kemudian  muncul  kembali  dalam  interval  waktu  tertentu.  Selain  epidemik  juga  dikenal istilah lain yaitu endemik. Endemik merupakan sebuah fenomena dimana suatu penyakit yang muncul akan selalu ada dalam suatu populasi, [10] .

## 2.3 Titik Keseimbangan Sistem
Titik keseimbangan adalah sebuah keadaan dari suatu sistem yang tidak berubah terhadap waktu. Jika sistem dinamika diuraikan dalam persamaan diferensial,  maka titik keseimbangan  dapat  diperoleh  dengan  mengambil  turunan  pertama  yang  sama  dengan nol, [6] . Definisi 2.1 [6] Titik ̅ disebut  titik  keseimbangan  ( equilibrium  point )  dari ̇ jika memenuhi ̅ , dimana
[ ] .
Dalam sistem epidemiologi dikenal titik keseimbangan bebas penyakit ( Disease- Free Equilibrium atau DFE ) dan titik keseimbangan endemik ( Endemic Equilibrium atau EE ).  Titik  keseimbangan  bebas  penyakit  adalah  suatu  kondisi  dimana  sudah  tidak  ada lagi penyakit yang menyerang. Titik keseimbangan endemik adalah suatu kondisi dimana penyakit selalu ada dalam populasi, [8] .
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## 2.4  Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan
Tinjau sistem PD non-linear orde n, sebagai berikut ̇
dimana Langkah  awal  penyelesaian  persamaan yakni  dengan  mencari  titik  keseimbangan. Misalkan  titik  keseimbangan  yang  diperoleh  adalah ̅ ̅ ̅ maka  langkah selanjutnya mencari matriks Jacobinya.
Misalkan maka  matriks  Jacobinya
adalah
( )
Selanjutnya  substitusi  titik  keseimbangan  pada  matriks  Jacobi,  maka  diperoleh  sistem yang linear sebagai berikut, [1]
̇ ̅ ̅ ̅
Penentuan  kestabilan  titik  keseimbangan  didapat  dengan  melihat  nilai-nilai eigennya, yaitu dengan
yang diperoleh dari :
Secara umum kestabilan suatu titik keseimbangan mempunyai 2 prilaku, yaitu:
1. Stabil, jika a) untuk setiap , atau b) Terdapat ( ) untuk  sebarang dan untuk  setiap . 2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu sehingga , [9] .

## 2.5  Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  adalah  jumlah  rata-rata  individu  infektif  sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible .
Secara umum bilangan mempunyai tiga kemungkinan yaitu:
1. Jika maka penyakit akan menghilang. 2. Jika maka penyakit akan menetap (endemis). 3. Jika maka penyakit akan meningkat menjadi wabah, [5] . 2.6  Model Dasar Penyebaran Penyakit Flu Burung
Model yang dimaksud adalah
(1)
dengan:
: Jumlah burung susceptible pada saat t .
:   Jumlah burung infected pada saat t .
S   : Jumlah manusia susceptible pada saat t .
: Jumlah manusia infected pada saat t . :   Jumlah manusia mutant pada saat t .
:   Jumlah manusia recovered pada saat t .
:   Pertambahan burung susceptible setiap satuan waktu.
:   Laju kematian alami burung susceptible atau burung infected .
: Laju  interaksi  burung susceptible dengan  burung infected yang  dapat mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
:   Laju kematian burung infected karena penyakit flu burung.
:   Pertambahan manusia susceptible setiap satuan waktu.
:   Laju kematian alami manusia susceptible , manusia infected , manusia exposed , atau manusia recovered .
:   Laju  interaksi  manusia susceptible dengan  burung infected yang  dapat mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
:   Laju  interaksi  manusia susceptible dengan  manusia exposed yang  dapat mengakibatkan manusia susceptible menjadi manusia exposed .
:   Laju kematian manusia infected karena penyakit flu burung.
:   Laju mutasi manusia infected .
:   Laju kematian manusia mutant karena penyakit flu burung.
:   Laju kekebalan manusia mutant, [7] .

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Model Epidemiologi Penyakit Flu Burung
Penyebaran  flu  burung  pada  populasi  burung  dibagi  menjadi  dua  kelompok. Pertama  adalah  populasi  yang  sehat  namun  rentan  terhadap  penyakit  yang  disebut susceptible .  Kedua  adalah  populasi  yang  terinfeksi  dan  dapat  menularkan  penyakit  ke populasi  lainnya  yang  disebut infected .  Jumlah  burung  yang susceptible dinyatakan dengan sedangkan jumlah burung yang infected dinyatakan dengan sehingga jumlah burung dalam suatu populasi adalah
.
Penyebaran  flu  burung  pada  populasi  manusia  dibagi  menjadi  tiga  kelompok. Pertama  adalah  populasi  yang  sehat  namun  rentan  terhadap  penyakit  yang  disebut susceptible .  Kedua  adalah  populasi  yang  terinfeksi  tetapi  tidak  dapat  menginfeksi  yang disebut infected ,  terlihat  perbedaan  antara  burung  yang infected dengan  manusia  yang infected ,  bahwa  burung  yang infected dapat  mengeinfeksi  populasi  lainnya  sedangkan manusia infected tidak.  Kelompok  populasi  ketiga  adalah  populasi  yang  telah  sembuh dari penyakit flu burung dan menjadi kebal sehingga tidak akan terinfeksi kembali oleh flu burung yang disebut recovered . Jumlah manusia yang s usceptible dinyatakan dengan ,  yang infected dinyatakan  dengan ,  sedangkan  yang recovered dinyatakan  dengan , sehingga jumlah manusia dalam populasi adalah
.
Skema  penyebaran  penyakit  flu  burung  dapat  digambarkan  dalam  model kompartemen sebagai berikut:

## Gambar 3.1 Diagram kompartemen model penyebaran penyakit flu burung
Secara  umum,  model  epidemiologi  penyebaran  penyakit  flu  burung  dapat dituliskan sebagai berikut:
(2)
dengan
: Jumlah burung susceptible pada saat . : Jumlah burung infected pada saat . : Jumlah manusia susceptible pada saat . : Jumlah manusia infected pada saat . : Jumlah manusia recovered pada saat .
: Pertambahan burung susceptible setiap satuan waktu.
: Laju kematian dan emigrasi burung susceptible dan infected.
: Laju  interaksi  burung susceptible dengan  burung infected yang  dapat mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
: Laju kematian burung infected yang disebabkan karena penyakit flu burung.
: Pertambahan manusia susceptible setiap satuan waktu.
: Laju kematian dan emigrasi manusia susceptible, infected, dan recovered.
: Laju  interaksi  manusia susceptible dengan  burung infected yang  dapat mengakibatkan penularan penyakit flu burung.
: Laju  manusia infected yang  kemudian  sembuh  dari  penyakit  flu  burung  dan menjadi manusia recovered .

## 3.2 Analisis Kestabilan Model
3.2.1 Titik Keseimbangan
Sesuai definisi 2.1, maka sistem persamaan (2) menjadi
(3)
(4)

## (5)
(6)
(7) Diperoleh  titik  keseimbangan yang  disebut  titik keseimbangan  bebas  penyakit  karena dan atau  tidak  mengandung individu yang infected baik burung maupun manusia.
Selanjutnya akan dicari titik keseimbangan yang lain, diperoleh
Jika  titik  keseimbangan adalah  titik  keseimbangan  endemik    maka harus dibuktikan bahwa , , , , dan , dalam hal ini
terdapat  populasi  burung susceptible ,  burung infected ,  manusia susceptible , manusia infected , dan manusia recovered . Karena , , , ,  dan dengan  syarat ,  maka  terbukti  titik  keseimbangan
adalah  titik keseimbangan endemik.

## 3.2.2 Kestabilan Titik Keseimbangan
Akan dicari nilai eigen dari tiap-tiap titik keseimbangan untuk mengetahui kestabilan  titik  keseimbangan  tersebut.  Nilai  eigen  yaitu merupakan  akar  dari persamaan karakteristik yang dibentuk dari
dengan adalah matriks Jacobi yang bersesuain.
Misalkan
Selanjutnya  akan  dibentuk  matriks  Jacobi  dengan  melakukan  linearisasi menggunkan turunan parsial. Berikut adalah bentuk matriks Jacobi yang dimaksud
[ ]
Selanjutnya  evaluasi  matriks  Jacobi  pada  titik  keseimbangan
, diperoleh persamaan karakteristik
0 μ) μ))(λ d (ε (λ μ) m))(λ (b b c ω b)(λ (λ A λ f(λ              I )
diperoleh
b λ 1   , b bm b       2 ωc m) (b b c ω λ 2 , μ λ 3   , μ) d (ε λ 4     , dan μ λ 5  
Selanjutnya  akan  dicek  nilai  dari  masing-masing  nilai  eigen  yang  telah diperoleh.
Karena  terdapat 0  i λ yaitu b bm b    2 ωc λ 2 maka  titik  keseimbangan
tidak stabil.
Selanjutnya akan dicek kestabilan titik keseimbangan . Evaluasi matriks Jacobi pada titik keseimbangan, kemudian dibentuk persamaan karakteristik terkait
                                                                     1 βA μ i λ m) (b m b ω i λ 1 ωA b i λ A i λ ) i f(λ  I                                  bm b m b m b 2 c ) ( ) (     β μ λ β 1 A μ λ μ) d (ε λ i i       ) ( 2 dengan , 0 m b bm b c                
            1 A 1 A m b ω ε 1 βA Diperoleh
) ( 2 1 m b bm b c m b               
,        d 2 ,     3 ,
                 3 4 2 4 2 2 12 2 4 3 12 4 4 8 2 2 ) ( 2 1 4 bm m c m b c b m b b m bc c c m b      
, dan
     
           3 4 2 4 2 2 12 2 4 3 12 4 4 8 2 2 ) ( 2 1 5 bm m c m b c b m b b m bc c c m b      
Selanjutnya  akan  dicek  nilai  dari  masing-masing  nilai  eigen  yang  diperoleh. Karena 0 1   , 0 2   , 0 3   , 0 4   , dan 0 5   sehingga dapat disimpulkan bahwa titik keseimbangan stabil.

## 3. 3 Bilangan Reproduksi Dasar
Dari bentuk titik keseimbangan endemik defenisikan
Sehingga jika: 1. maka  titik  keseimbangan  endemik  stabil  atau  penyakit  flu  burung akan mewabah. 2. maka  titik  keseimbangan  bebas  penyakit  stabil  atau  penyakit  flu burung akan menghilang.

## 3.4  Simulasi Numerik Model
Simulasi akan dilakukan dengan meninjau keadaan endemik dan  keadaan bebas penyakit, [7] .
Tabel 3.1 Nilai Parameter dalam Penyebaran Penyakit Flu Burung.
No.  Parameter Penjelasan Parameter (Satuan) Nilai Parameter 1. Pertambahan  burung susceptible setiap satuan waktu. (jumlah burung/hari) 26,5 2. Laju kematian dan emigrasi burung susceptible dan infected. (per hari) 5 3. Laju  interaksi  burung susceptible dengan burung infected yang  dapat  mengakibatkan penularan  penyakit  flu  burung.  (per  (hari  x jumlah burung)) 2 4. Laju  kematian  burung infected yang disebabkan karena penyakit flu burung. (per hari) 5 5. Pertambahan  manusia susceptible setiap satuan waktu. (jumlah manusia/hari) 3 6. Laju  kematian  dan  emigrasi  manusia susceptible,  infected, dan recovered. (per hari) 0,015 7. Laju  interaksi  manusia susceptible dengan burung infected yang  dapat  mengakibatkan penularan  penyakit  flu  burung.  (per  (hari  x jumlah manusia)) 0,2 8. Laju  manusia infected yang  kemudian sembuh  dari  penyakit  flu  burung  dan menjadi manusia recovered . (per hari) 0,001

## 3.4.1 Keadaan Endemik Sistem
Nilai  parameter  pada  Tabel  3.1  menghasilkan ,  berarti endemik  penyakit  flu  burung  telah  terjadi  dalam  populasi.  Akan  ditinjau  titik keseimbangan yang diperoleh yaitu dan . 1. dengan nilai eigen masing-masing adalah -5, -0.015, -0.015,  -1.016,  0.6.  Karena  terdapat  satu  nilai  eigen  dari yang  bernilai positif  maka  titik  keseimbangan merupakan  titik  keseimbangan  yang tidak stabil. 2. dengan nilai eigen masing-masing adalah -0.015, -1.016, -0.045, -0.644, -4.656. Karena semua nilai eigennya bernilai negatif  maka  titik  keseimbangan merupakan  titik  keseimbangan  yang stabil.
Dinamika  model  disimulasikan  dengan  menggunakan  titik  awal

## 3.4.2 Keadaan Bebas Penyakit
Pilih dan  nilai  parameter  yang  lainnya  sama  pada  Tabel  3.1, sehingga menghasilkan , berarti endemik penyakit flu burung tidak akan  terjadi  dan  lama  kelamaan  penyakit  akan  menghilang  dari  populasi.  Akan ditinjau  titik  keseimbangan  yang  diperoleh  yaitu dan .  Karena  pada  titik
keseimbangan bernilai negatif maka yang ditinjau hanya pada . dengan nilai eigen masing-masing adalah -5, -0.015, -0.015,
-1.016,  -2.  Karena  semua  nilai  eigen  dari bernilai  negatif  maka  titik
keseimbangan stabil.
Dinamika  model  disimulasikan  dengan  menggunkan  titik  awal .

## 4. Kesimpulan
1. Model SIR untuk penyebaran penyakit flu burung memiliki dua titik keseimbangan yaitu titik keseimbangan bebas penyakit dan titik keseimbangan endemik .
2. Titik  keseimbangan stabil  jika sedangkan  titik  keseimbangan  endemik stabil jika
.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton  H.,  1995,  “Aljabar  Linear  Elementer  (Edisi  ke-5)”, Terjemahan  Pantur  Silaban dan I Nyoman Susila, Erlangga, Jakarta .
[2] Balai  Karantina  Kelas  1  Semarang,  2013,  “Sekilas  Tentang  Flu  Burung”. http://karantinasemarang.org/inkehati-karantina-hewan, diakses pada tanggal 16-06-2013.
[3] Cigna, 2012,
“Waspadai
Berbagai Jenis Flu”, http://www.cigna.co.id/ id/html/customer_care/tips_and_advices/health_related_beware_influenza.html  ,  diakses pada tanggal 16-06-2013.
[4] Fred  B.,  Carlos-Chavez  C.,  2000,  “Mathematical  Models  in  Population  Biology  and Epidemiology”, Spinger, Vancouver, B. C., Canada.
[5] Giesecke J., 1994, “Modern Infectious Disease Epidemiology”, Oxford University Press, New York.
[6] Haberman  R.,  1997,  “Mathematical  Models:  An  Introduction  to  Applied  Mathematics”, Prentice-Hall, Inc., 1987.
[7] Iwami  S.,  Takeuchi  Y.,  Liu  X.,  2006,  “Avian-Human  Influenza  Epidemic  Model”, Elsevier.
[8] Tamrin H., 2007, “Model SIR Penyakit Tidak Fatal”,  http://wahid.web.ugm.ac.id/ download/paper/Model_SIR_Penyakit_Tidak_Fatal.pdf, diakses pada tanggal 15- 03-2013.
[9] Tu  PNV,  1994,  “Dynamical  System  :  An  Introduction  With  Applications  in  Economics and Biology”, New York: Springer-Verlag.
[10] UCSB, 2010, Lecture 10 Disease Models, http://www.lifesci.ucsb.edu/
~latto/bubonic2.pdf, diakses pada tanggal 25-03-2013.