## PENCERMINAN PADA DIMENSI TIGA
Anggit Dwi Kuncoro 1 , Ikrar Pramudya 2
1,2 Universitas Sebelas Maret
Abstract : The  concept  of  reflection  in  three-dimensional  is  almost  the  same  as  the concept of reflection in the two-dimensional. However, the mirror in three-dimensional is in the form of flat plane.  Reflection in three-dimensional is a function that maps each point in such a way to meet the following requirements:  distance between the prapeta point  and the  mirror  is  the  distance  between  the mirror to  the  mapping  result, the  line connecting prapeta point with the mapping must be perpendicular to the mirror, and the structure and its reflection  must be congruent. To get the reflection  function,  it can be carried  out  analytically.  First,  take  flat  plane  as  a  mirror  and  the  point  that  will  be reflected  in  three-dimensional.  A  straight  line  is  made  through  that  point  and  it  is perpendicular to the mirror, so the breakpoint can be determined. By utilizing shifts in three-dimensional,  translucent  point  can  be  shifted  in  line  with  vector 𝒂 = 𝒂 𝒕 − 𝒂 𝟎 where 𝒂 𝒕 is  the  point  and 𝒂 𝟎 is  the  starting  point.  So,  the  point  as  the  result  of mirroring  can  be  obtained.  The  results  of  this  study  reveal  that:  mirroring  in  three- dimensional  is  a  transformation  because  its  function  is  a  bijective.  Reflection  is involution which means that the results of twice multiplications are identity. Mirroring is not commutative. The result of twice parallel reflection composition can be called as reflection.  The  result  of  n  multiplication  of  mirroring  composition  parallel  to  the coordinate and there is a distance is called as reflection.
Keywords: Involution, Composition, Transformation.

## PENDAHULUAN
Geometri  merupakan  salah  satu  cabang  ilmu  matematika  yang  sangat  terkait dengan  bentuk,  ukuran,  dan  pemposisian.  Geometri  adalah  studi  hubungan  ruang. Geometri  transformasi  adalah  bagian  dari  geometri  yang  membicarakan  perubahan,  baik perubahan letak maupun bentuk. Geometri transformasi lebih sering disebut transformasi adalah  mengubah  setiap  koordinat  titik  (titik-titik  dari  suatu  bangun)  menjadi  koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan tertentu.
Materi  geometri  transformasi  baik  di  SMA  maupun  di  perguruan  tinggi  dibatasi hanya  pada  bidang  datar  (dimensi  dua).  Pada  dasarnya  konsep  transformasi  pada  bidang datar  (dimensi  dua)  hampir  sama  dengan  transformasi  pada  ruang  (dimensi  tiga). Perbedaanya  terletak  pada  cerminnya,  cermin  pada  dimensi  dua  berupa  suatu  garis  lurus sedangkan cermin pada dimensi tiga berupa bidang datar.
Dalam  buku Geometric  Modeling edisi  kedua  yang  dikarang  oleh  Michael  E. Mortenson  membahas  geometri  transformasi  pada  ruang  atau  dimensi  tiga.  Hanya  saja pembahasanya masih terbatas, yaitu pencerminan terhadap bidang-bidang koordinat. Pada buku tersebut belum dijelaskan sifat-sifat pencerminan seperti pada refleksi pada dimensi dua.
Berdasarkan  latar  belakang  yang  telah  diuraikan,  maka  dapat  dirumuskan masalahan  penelitian  sebagai  berikut:  (1)  Bagaimana  formula  pencerminan  terhadap
sebarang cermin pada dimensi tiga?, (2) Bagaimana sifat-sifat pencerminan pada dimensi tiga?,  dan  (3)  Bagaimana  komposisi  pencerminan  pada  dimensi  tiga?.  Tujuan  penelitian ini adalah : (1) Menemukan formula pencerminan terhadap sebarang cermin pada dimensi tiga,  (2)  Mendeskripsikan  sifat-sifat  refleksi  pada  dimensi  tiga,  dan  (3)  Mendeskripsikan sifat-sifat komposisi pencerminan pada dimensi tiga. Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan  manfaat  yaitu  :  (1)  Memberikan  informasi  atau  gambaran  bagi  pembaca mengenai  pencerminan  pada  dimensi  tiga,  dan  (2)  memberikan  sumbangan  penelitian pada bidang matematika, khususnya geometri.

## METODE PENELITIAN
Materi  pokok  yang  menjadi  bahan  dasar  penelitian  ini  adalah  karya  tulis  ilmiah hasil penelitian para pakar yang telah dimuat dalam buku atau jurnal baik yang termuat di media cetak maupun media elektronik. Adapun, metode penelitian yang digunakan adalah kajian  pustaka/studi  literatur.  Caranya  adalah  dengan  melakukan  kajian  secara  luas  dan mendalam  terhadap  sumber-sumber  referensi  yang  relevan  dengan  topik  penelitian  atau permasalahan  penelitian.  Selanjutnya,  berdasarkan  prinsip-prinsip  penarikan  simpulan yang  sesuai  dengan  kaidah  silogisma  matematika,  diiringi  dengan  menerapkan definisi/pengertian  dan  sifat/teorema  (bila  diperlukan),  kemudian  ditarik  serangkaian simpulan antara, dan akhirnya dapat ditarik simpulan yang sekaligus merupakan jawaban dari  masalah  penelitian.  Pada  umumnya,  hasil  penelitian  disajikan  dalam  bentuk definisi/pengertian, lema, akibat, sifat/teorema, atau masalah yang terselesaikan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pencerminan  terhadap  bidang  V,  yang  dinyatakan M V adalah  relasi  yang memenuhi
1. M V A =A, untuk A di V
2. M V B =B' , untuk B di luar V sedemikian sehingga BB′ ⊥ V dan d B,V =d(B ' ,V)
A. Fungsi Analitik Pencerminan
Pencerminan  terhadap  bidang  V:ax+by+cz+d=0a,b,c,d ∈ R; a,b,c,d ≠ 0,0,0,d , d≠0 yang memenuhi definisi pencerminan pada dimensi tiga sebagai berikut :
M V x y z = x- 2a ax+by+cz+d a 2 +b 2 +c 2 y- 2b ax+by+cz+d a 2 +b 2 +c 2
z- 2c ax+by+cz+d a 2 +b 2 +c 2
Bila cerminnya V 1 :x=k 1 ,V 2 :y=k 2 , danV 1 :z=k 3 dimana k 1 , k 2 , k 3 ∈ R, maka
M V 1 x y z = -x+2k 1 y z M V 2 x y z = x -y+2k 2 z M V 3 x y z = x y -z+2k 3 .

## B. Pencerminan adalah Transformasi
M fungsi analitik pencerminan pada dimensi tiga merupakan suatu transformasi karena memenuhi :
i. ∀ A,B ∈ R 3 ;A=B→M A =M(B)
ii. ∀ A ∈ R 3 ∃ B ∈ R 3 ∋ A=M(B)
iii. ∀ A,B ∈ R 3 ;M A =M(B)→ A=B
C. Pencerminan Bersifat Involusi
Transformasi pencerminan adalah involusi.
Artinya,
M v M v =M V 2 =I M M A =A , ∀𝐴 ∈ R 3

## D. Pencerminan tidak Bersifat komutatif
∀ 𝑀 1 , 𝑀 2 ∈ ℳ =  𝑀: 𝑅 3 ⟶ 𝑅 3 𝑀 pencerminan
ℳ komutatif ⟺ ∀ 𝑀 1 , 𝑀 2 ∈ ℳ ∋  𝑀 1 ∘ 𝑀 2 =   𝑀 2 ∘  𝑀 1 .
Pilih bidang datar 𝑉 1 : 𝑥 = 0 , 𝑉 1 : 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 , 𝐴 =  0,0,0
𝑀 𝑉 2 𝑀 𝑉 1 0 0 0 = −2 −2 0
𝑀 𝑉 1 𝑀 𝑉 2 0 0 0 = 2 −2 0
∃ 𝑀 1 , 𝑀 2 ∈ ℳ ∋  𝑀 1 ∘  𝑀 2 ≠   𝑀 2 ∘  𝑀 1 → ℳ tidak komutatif.
Penceminan tidak bersifat komutatif.
E. Komposisi Dua Pencerminan Sejajar
“Hasil kali dua pencerminan yang sejajar adalah suatu pencerminan.”
Misal
𝑉 1 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 1 = 0 𝑉 2 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 2 = 0
(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 1 , 𝑑 2 ) ≠ (0,0,0, 𝑑 1 , 𝑑 2 ) dengan 𝑑 1 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑑 2 ≠ 0, 𝑑 1 ≠ 𝑑 2
𝑀 𝑉 2 𝑀 𝑉 1 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑀 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 → 𝑉 1 ∥ 𝑉 2 ∥ 𝑉 𝑀 𝑉 2 𝑀 𝑉 1 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 − 2𝑎 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 2𝑐𝑧 + 3𝑑 1 − 𝑑 2
𝑅
𝑦 − 2𝑏 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 2𝑐𝑧 + 3𝑑 1 − 𝑑 2 𝑅 𝑧 − 2𝑐 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 2𝑐𝑧 + 3𝑑 1 − 𝑑 2
𝑅
= 𝑀 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧
Dengan
𝑉: 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 2𝑐𝑧 + 3𝑑 1 − 𝑑 2 = 0 atau
𝑉: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 3𝑑 1 −𝑑 2 2 =0
Jelas bahwa V 1 ∥ V 2 ∥ V
F. Komposisi n Pencerminan Sejajar Bidang Koordinat Berjarak Tetap
Diberikan bidang (cermin) yang sejajar dengan bidang XOZ
𝑉 𝑛 ∶ 𝑦 = 𝑎 +  𝑛 − 1 𝑏, 𝑛 ∈ ℕ
Formula  dari  hasil  n  kali  pencerminan  dari 𝑉 1 dilanjut  pencerminan 𝑉 2 dilanjut pencerminan dari 𝑉 3 sampai dengan pencerminan dari 𝑉 𝑛
𝑀 𝑉 𝑛 𝑀 𝑉 (𝑛 −1) …  𝑀 𝑉 4 𝑀 𝑉 3 𝑀 𝑉 2 𝑀 𝑉 1 𝐴       = 𝑥 𝑦 𝑛 𝑧
Untuk n ganjil, 𝑦 𝑛 = −𝑦 + 2𝑎 +  𝑛 − 1 𝑏 .
Untuk n genap, 𝑦 𝑛 = 𝑦 + 𝑛𝑏 .
komposisi n kali pencerminan terhadap bidang-bidang yang sejajar deng bidang YOZ.

## Misalkan bidang-bidang tersebut adalah
𝑉 𝑛 ∶ 𝑥 = 𝑎 +  𝑛 − 1 𝑏, 𝑛 ∈ ℕ
𝑀 𝑉 𝑛 𝑀 𝑉 (𝑛 −1) … 𝑀 𝑉 4 𝑀 𝑉 3 𝑀 𝑉 2 𝑀 𝑉 1 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑧
berlaku untuk setiap n bilangan asli.
Untuk n ganjil, 𝑥 𝑛 = −𝑥 + 2𝑎 +  𝑛 − 1 𝑏 .
Untuk n genap, 𝑥 𝑛 = 𝑥 + 𝑛𝑏 .
Komposisi untuk bidang-bidang yang sejajar dengan XOY Misalkan bidang-bidang tersebut adalah
𝑉 𝑛 ∶ 𝑧 = 𝑎 +  𝑛 − 1 𝑏, 𝑛 ∈ ℕ
𝑀 𝑉 𝑛 𝑀 𝑉 (𝑛 −1) … 𝑀 𝑉 4 𝑀 𝑉 3 𝑀 𝑉 2 𝑀 𝑉 1 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛
berlaku untuk setiap n bilangan asli.
Untuk n ganjil, 𝑧 𝑛 = −𝑧 + 2𝑎 +  𝑛 − 1 𝑏 .
Untuk n genap, 𝑧 𝑛 = 𝑧 + 𝑛𝑏 .

## SIMPULAN DAN SARAN
Suatu  relasi  yang  memenuhi  definsi  pencerminan  dimensi  tiga  sebagai berikut:Pencerminan terhadap bidang 𝑉: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
𝑀 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 − 2𝑎  𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑦 − 2𝑏  𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑧 − 2𝑐  𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
Sifat-sifat  pencerminan  pada  dimensi  tiga  dapat  disimpulkan  adalah  sebagai  berikut  :  (1) Pencerminan merupakan  transformasi, karena 𝑀 𝑉 adalah fungsi bijektif dari 𝑅 3 ke 𝑅 3 ,(2) Transformasi pencerminan bersifat involusi, artinya invers dari setiap pencerminan bidang adalah  pencerminan  bidang  itu  sendiri.,  (3)  Pencerminan  tidak  bersifat  komutatif,  (4) Komposisi  dua  pencerminan  yang  sejajar  adalah  suatu  pencerminan.  (5)  Komposisi  n pencerminan sejajar bidang-bidang koordinat berjarak sama adalah suatu pencerminan.
Dalam  makalah  ini  dibahas  fungsi  analitik  pencerminan  pada  dimensi  tiga, pencerminan  bersifat  involusi,  pencerminan  tidak  bersifat  komutatif,  komposisi  dua pencerminan yang sejajar, dan komposisi n kali pencerminan yang sejajar dengan bidang- bidang  koordinat  dan  berjarak  tetap.  Bagi  pembaca  yang  tertarik  dengan  materi pencerminan  pada  dimensi  tiga,  bisa  mengembangkan  untuk  komposisi  dua  cermin  yang membentuk suatu sudut, dan komposisi n kali cermin sebarang dengan jarak tetap.

## DAFTAR PUSTAKA
Mortenson, M. E. (1996). Geometric Modeling. New York: John Wiley & Sons, lnc.
Siswanto, & Wibowo, S. (2007). Buku Tutorial untuk Mata Kuliah Geometri 1. Surakarta: Matematika FMIPA UNS.
Suyono. (2008). Geometri Analitik Ruang. Surakarta: Sebelas Maret University Press.