Abstrak— Pembahasan mengenai teori ideal terus berkembang, salah  satunya  adalah  teori  ideal  pada  semiring  ternari.  Pada jurnal ini, dikaji mengenai karakteristik ideal-ideal pada semiring ternari ℤ 𝟎 − ×ℤ 𝟎 − yaitu  ideal  utama, 𝐐 -ideal,  ideal  subtraktif,  dan ideal perluasan subtraktif. Bentuk-bentuk ideal tersebut memiliki hubungan  dengan  bentuk-bentuk  ideal  pada  semiring ℤ 𝟎 + ×ℤ 𝟎 + . Selanjutnya  dengan  menggunakan  keterkaitan  antara  ideal perluasan subtraktif dengan 𝐐 -ideal, maka juga dikaji mengenai ideal  perluasan  subtraktif  terkecil  pada  semiring  ternari.  Selain itu,  juga  dikaji  mengenai  ideal  prima  pada  semiring  ternari terhadap semiring ternari faktor.
Kata Kunci— ideal perluasan subtraktif, ideal prima, semiring ternari, semiring ternari faktor.

## I. PENDAHULUAN
LJABAR  merupakan  salah  satu  bagian  dari  ilmu matematika  yang  mempelajari  tentang  sifat  dan  struktur pada suatu himpunan. Struktur aljabar membahas tentang himpunan tak kosong dengan satu operasi biner atau lebih dan memenuhi  aksioma  tertentu.  Salah  satu  struktur  aljabar  yang dipelajari adalah semiring. Konsep dari semiring diperkenalkan oleh  H.S  Vandiver  pada  tahun  1934  yang  sebelumnya  pada tahun  1932  Lehmer  telah  memperkenalkan  adanya  suatu operasi  terner  pada  struktur  aljabar.  Pada  tahun  1971,  W.G Lister  [1]  memperkenalkan  operasi  terner  pada  ring  yang kemudian disebut dengan ring ternari. Semiring pun mengalami perkembangan saat Dutta dan Kar [2] memperkenalkan macam- macam semiring ternari dan sifat-sifatnya pada tahun 2003.
Telah  banyak  penelitian  terdahulu  mengenai  konsep  ideal pada  semiring  ternari.    Dutta  dan  Kar  [2]  menyelidiki karakteristik  dari  ideal  pada  semiring  ternari.  S.Kar  [4] melakukan penelitian tentang teori ideal pada semiring ternari ℤ 0 − .  Chaudhari  dan  Ingale  [3]  juga  melakukan  penelitian mengenai  Q-ideal  dan  ideal  subtraktif  pada  semiring  ternari. Selain itu, Chaudhari dan Bonde [6] mengenalkan konsep ideal perluasan subtraktif pada semiring. Selanjutnya, Chaudhari dan Ingale  [5]  melakukan  penelitian  dengan  mengembangkan konsep  ideal  perluasan  subtraktif  pada  semiring  ke  dalam semiring  ternari.  Pada  bagian  analisis  dan  pembahasan  dalam jurnal  ini,  penulis  melakukan  kajian  mengenai  teori  ideal perluasan  subtraktif  pada  semiring  ternari  yang  dirujuk  dari penelitian  Chaudari  dan  Ingale  dengan  judul  “ Subtractive Extension of Ideals in Ternary Semirings ”[5].

## II. TINJAUAN PUSTAKA
Himpunan  tak  kosong 𝑆 terhadap  operasi  biner  pada penjumlahan (+) dan  operasi  terner  pada  perkalian (∙) dinamakan semiring ternari, apabila : a. Bersifat  asosiatif  dan  komutatif  terhadap  operasi  biner pada penjumlahan (+) .
b. Bersifat asosiatif terhadap operasi terner pada perkalian (∙ ) .
c. Terdapat elemen 0 ∈ 𝑆 yang memenuhi 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 dan 𝑎. 𝑏. 0 = 𝑎. 0. 𝑏 = 0. 𝑎. 𝑏 = 0 .
d. Bersifat distributif terhadap operasi biner pada penjumlahan dan operasi terner pada perkalian (∙) . Jika  terdapat 𝑒 ∈ 𝑆 yang  memenuhi 𝑒. 𝑒. 𝑥 = 𝑒. 𝑥. 𝑒 = 𝑥. 𝑒. 𝑒 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑆 ,  maka 𝑒 adalah  elemen  identitas  pada semiring  ternari.  Jika  untuk  setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 memenuhi 𝑎. 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑐. 𝑏 = 𝑐. 𝑎. 𝑏 , ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 ,  maka 𝑆 dinamakan semiring ternari komutatif .
Perbedaan antara semiring dan semiring ternari terletak pada banyaknya operasi yang berlaku. Semiring disertai dengan dua operasi  biner  yaitu  penjumlahan (+) dan  perkalian (∙) , sedangkan semiring ternari disertai dengan operasi biner pada penjumlahan (+) dan  operasi  terner  pada  perkalian (∙) .  Dari definisi  tersebut  diperoleh  bahwa  setiap  semiring  adalah semiring ternari dan tidak berlaku sebaliknya. Semiring (ℤ 0 + , +,∙ ) merupakan  contoh  semiring  ternari,  sedangkan  semiring ternari (ℤ 0 − , +,∙) bukan merupakan semiring. Sebab jika 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 0 − maka pada operasi biner perkalian 𝑎. 𝑏 ∉ ℤ 0 − .
Berikut  merupakan  definisi  mengenai  ideal  pada  semiring ternari:
Definisi 2.1[5]. 𝐼 merupakan ideal pada semiring ternari 𝑆 jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 dan 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑆 memenuhi:
(a) 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐼, dan
(b) 𝑟. 𝑠. 𝑎, 𝑟. 𝑎. 𝑠, 𝑎. 𝑟. 𝑠 ∈ 𝐼 .
Selanjutnya,  diberikan  definisi  dan  lemma  mengenai beberapa  jenis  ideal  yang  ada  pada  semiring  ternari  sebagai berikut :
Definisi  2.2[5].  Jika 𝑆 adalah  semiring  ternari  dan  untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝑆 yang  dinotasikan 〈𝑥〉 = {𝑚𝑛𝑥 | 𝑚, 𝑛 ∈  𝑆} , maka 〈𝑥〉 dikatakan ideal utama dari 𝑆 yang dibangun oleh 𝑥 .
Contoh  2.3. Himpunan 〈−3〉 = {−3𝑘|𝑘 ∈ ℤ 0 + } merupakan contoh ideal utama pada semiring ternari (ℤ 0 − , +,∙) .

## Kajian Teori Ideal Perluasan Subtraktif Pada Semiring Ternari
Nur Qomariah dan Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : dian_ws_math@matematika.its.ac.id
A
Definisi  2.4[5],[7].  Ideal 𝐼 dinamakan  ideal  subtraktif  pada semiring (semiring ternari) 𝑆 jika 𝑥, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐼 dan 𝑦 ∈ 𝑆 , maka 𝑦 ∈ 𝐼 .
Contoh 2.5. Ideal 〈−2〉 pada semiring ternari (ℤ 0 − , +,∙) adalah ideal  subtraktif.  Namun,  ideal 〈−2, −3〉 = ℤ 0 − − {−1} bukan merupakan  ideal  subtraktif  pada  semiring  ternari (ℤ 0 − , +,∙) sebab −2 + −1 = −3 ∈   〈−2, −3〉 tetapi −1  ∉   〈−2, −3〉 .
Definisi 2.6[5]. Ideal 𝐼 dinamakan ideal prima pada semiring ternari 𝑆 jika untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 yang memenuhi 𝑎. 𝑏. 𝑐 ∈ 𝐼 , maka 𝑎 ∈ 𝐼 atau 𝑏 ∈ 𝐼 atau 𝑐 ∈ 𝐼 .
Definisi  2.7[5].  Ideal 𝐼 dinamakan  Q-ideal  pada  semiring (semiring ternari) 𝑆 jika terdapat himpunan bagian Q pada 𝑆 sedemikian hingga :
(a) 𝑆 = ⋃{𝑞 + 𝐼 ∶  𝑞 ∈ 𝑄}
(b) Jika 𝑞 1 , 𝑞 2 ∈ 𝑄 ,  maka (𝑞 1 + 𝐼)⋂(𝑞 2 + 𝐼) ≠ ∅ ⟺ 𝑞 1 = 𝑞 2 .
Lemma  2.8[3].  Misalkan 𝐼 merupakan  ideal  dari  semiring ternari 𝑆 dengan 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑆 dan 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑆 sedemikian hingga 𝑎 + 𝐼 ⊆ 𝑥 + 𝐼 , maka:
(a) 𝑎 + 𝑟 + 𝐼 ⊆ 𝑥 + 𝑟 + 𝐼
(b) 𝑟. 𝑠. 𝑎 + 𝐼 ⊆ 𝑟. 𝑠. 𝑥 + 𝐼
(c) 𝑟. 𝑎. 𝑠 + 𝐼 ⊆ 𝑟. 𝑥. 𝑠 + 𝐼
(d) 𝑎. 𝑟. 𝑠 + 𝐼 ⊆ 𝑥. 𝑟. 𝑠 + 𝐼
Lemma  2.9[3].  Misalkan 𝐼 merupakan  Q-ideal  dari  semiring ternari 𝑆 . Jika 𝑥 ∈ 𝑆 , maka terdapat 𝑞 ∈ 𝑄 sedemikian hingga 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 + 𝐼 . Karenanya 𝑥 = 𝑞 + 𝑎 untuk beberapa 𝑎 ∈ 𝐼 .
Selanjutnya,  berikut  diberikan  definisi  mengenai  semiring ternari faktor.
Definisi  2.10[3].  Misalkan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring ternari 𝑆 ,  didefinisikan  dengan  operasi  biner ⊕ dan  operasi terner ⨀ pada 𝑆 𝐼 (𝑄) ⁄ = {𝑞 + 𝐼: 𝑞 ∈ 𝑄} berlaku :
(a) (𝑞 1 + 𝐼) ⊕ (𝑞 2 + 𝐼) = (𝑞 3 + 𝐼) dimana 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝐼 ⊆ 𝑞 3 + 𝐼 untuk  setiap (𝑞 1 + 𝐼), (𝑞 2 + 𝐼) ∈ 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) dan 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 ∈ 𝑄 , serta
(b) (𝑞 1 + 𝐼)⨀(𝑟 + 𝐼)⨀(𝑠 + 𝐼) = (𝑞 4 + 𝐼) dimana 𝑞 1 𝑟𝑠 + 𝐼 ⊆ 𝑞 4 + 𝐼 untuk  setiap (𝑞 1 + 𝐼), (𝑟 + 𝐼), (𝑠 + 𝐼) ∈ 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) dan 𝑞 1 , 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑄 .

## III. METODOLOGI PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  pengerjaan  tugas  akhir  ini terdapat beberapa tahapan, yaitu:

## A. Studi Literatur
Pada  tahap  ini,  akan  dilakukan  identiﬁkasi  permasalahan dengan mempelajari konsep mengenai definisi semiring ternari, ideal  pada  semiring  ternari,  dan    bentuk  –  bentuk  ideal  pada semiring  ternari.  Konsep  tersebut  dipelajari  lebih  mendalam melalui buku – buku literatur dan paper.
B. Mengkaji  Bentuk-bentuk  Ideal  pada  Semiring  Ternari ℤ 0 − ×ℤ 0 −
Pada tahap ini, akan dikaji mengenai bentuk ideal utama, 𝑄 - ideal,  ideal  subtraktif    dan  ideal  perluasan  subtraktif  pada semiring ternari ℤ 0 − ×ℤ 0 −

## C. Mengkaji  Ideal  Perluasan  Subtraktif  Terkecil  pada Semiring Ternari
Dalam  mengkaji  ideal  perluasan  subtraktif  terkecil  pada semiring  ternari  yang  selanjutnya  dikaji  mengenai  sifat-sifat yang berlaku di dalamnya.

## D. Mengkaji  Hubungan  Antara  Ideal  Prima    pada  Semiring Ternari dengan Semiring Ternari Faktor
Dalam tahap ini, dikaji mengenai ideal prima pada semiring ternari dengan semiring ternari faktor.

## E. Penarikan Kesimpulan
Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan berdasarkan hasil-hasil yang diperoleh dari tahap-tahap sebelumnya.

## IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini dibahas mengenai bentuk ideal pada semiring ternari ℤ 0 − ×ℤ 0 − , karakteristik ideal perluasan subtraktif terkecil pada semiring ternari dan hubungan ideal prima pada semiring ternari dengan semiring ternari faktor.
A. Bentuk Ideal pada Semiring Ternari ℤ 0 − ×ℤ 0 −
Dinotasikan ℤ 0 + ×ℤ 0 + = (ℤ 0 + , +,∙)×(ℤ 0 + , +,∙) adalah  semiring dengan  penjumlahan  dan  perkalian  pada  operasi  biner  dan ℤ 0 − ×ℤ 0 − = (ℤ 0 − , +,∙)×(ℤ 0 − , +,∙) merupakan  semiring  ternari dengan  penjumlahan  pada  operasi  biner  dan  perkalian  pada operasi  terner.    Untuk  sebarang 𝐴 ⊆ ℤ 0 − ×ℤ 0 − dengan 𝐴 ∗ = {(𝑛, 𝑚) ∶ (−𝑛, −𝑚) ∈ 𝐴} .
Berikut  merupakan  bentuk  ideal  pada  semiring  ternari ℤ 0 − ×ℤ 0 − :
Lemma  3.1.1.  Diberikan 𝐼 merupakan himpunan bagian  dari ℤ 0 − ×ℤ 0 − , dengan demikian :
(a) 𝐼 adalah ideal pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika dan hanya jika 𝐼 ∗ adalah ideal pada ℤ 0 + ×ℤ 0 +
(b) 𝐼 adalah 𝑄 - ideal  pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika  dan  hanya  jika 𝐼 ∗ adalah 𝑄 ∗ -ideal pada ℤ 0 + ×ℤ 0 + (c) 𝐼 adalah ideal subtraktif pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika dan hanya jika 𝐼 ∗ adalah ideal subtraktif pada ℤ 0 + ×ℤ 0 +
(d) Jika 𝐼 ⊆ 𝐴 adalah  ideal  pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − ,  maka 𝐴 adalah ideal  perluasan  subtraktif  dari 𝐼 pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika  dan hanya  jika 𝐴 ∗ adalah  ideal  perluasan  subtraktif    dari 𝐼 ∗ pada ℤ 0 + ×ℤ 0 + .
Berdasarkan  Lemma  3.1.1  dan  bentuk  ideal  pada ℤ 0 + ×ℤ 0 + , diperoleh akibat berikut :
Akibat  3.1.2[5].  Diberikan 𝐼 subset  dari ℤ 0 − ×ℤ 0 − ,  dengan demikian :
(a) 𝐼 adalah ideal pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika dan hanya jika 𝐼 = 𝐽 1 ×𝐽 2 dimana 𝐽 1 , 𝐽 2 adalah ideal pada ℤ 0 − .
(b) 𝐼 adalah ideal utama pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika dan hanya jika 𝐼 = 𝐽 1 ×𝐽 2 dimana 𝐽 1 , 𝐽 2 adalah ideal utama pada ℤ 0 − . (c) 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika  dan  hanya  jika 𝐼 = 𝐽 1 ×𝐽 2 dimana 𝐽 1 , 𝐽 2 adalah 𝑄 1 , 𝑄 2 -ideal  pada ℤ 0 − dengan 𝑄 = 𝑄 1 ×𝑄 2 .
(d) 𝐼 adalah ideal subtraktif pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − jika dan hanya jika 𝐼 = 𝐽 1 ×𝐽 2 dimana 𝐽 1 , 𝐽 2 adalah ideal subtraktif pada ℤ 0 − .
Dari  Lemma  3.1.1,  Akibat  3.1.2  dan  bentuk  ideal  pada ℤ 0 + ×ℤ 0 + , maka diperoleh akibat :
Akibat 3.1.3[5]. Diberikan 𝐼 adalah ideal dari ℤ 0 − ×ℤ 0 − , maka pernyataan berikut ekivalen :
(a) 𝐼 adalah ideal utama
(b) 𝐼 adalah 𝑄 -ideal
(c) 𝐼 adalah ideal subtraktif
Contoh 3.1.4. Misalkan himpunan 〈−3〉 dan 〈−4〉 merupakan ideal  pada ℤ 0 − ,  dimana 〈−3〉 = {−3𝑚 1 𝑚 2 |𝑚 1 , 𝑚 2 ∈ ℤ 0 − } = {−3𝑘 1 |𝑘 1 ∈ ℤ 0 + } dan 〈−4〉 = {−4𝑛 1 𝑛 2 |𝑛 1 , 𝑛 2 ∈ ℤ 0 − } = {−4𝑘 2 |𝑘 2 ∈ ℤ 0 + } dengan
𝑄 1 = {0, −1, −2} ,
𝑄 2 = {0, −1, −2, −3} .  Menurut Akibat 3.1.3 diperoleh : a. 𝐼 = 〈−3〉×〈−4〉 merupakan  ideal  utama  pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − dengan bentuk 𝐼 = 〈(−3, −4)〉 . b. 𝐼 = 〈−3〉×〈−4〉 merupakan 𝑄 -ideal  pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − dengan bentuk partisi (−𝑞 1 , −𝑞 2 ) + 〈−3〉×〈−4〉 , dimana 𝑞 1 ∈ 𝑄 1 , dan 𝑞 2 ∈ 𝑄 2 . c. 𝐼 = 〈−3〉×〈−4〉 adalah  ideal  subtraktif  pada ℤ 0 − ×ℤ 0 − dengan bentuk :
𝐼 = 〈−3〉×〈−4〉 = {(−3𝑘 1 , −4𝑘 2 )|𝑘 1 , 𝑘 2 ∈ ℤ 0 + } .
Selanjutnya,  dari  Lemma  3.1.1  (d)  dan  bentuk  ideal perluasan  subtraktif  pada  semiring ℤ 0 + ×ℤ 0 + ,  maka  diperoleh akibat :
Akibat 3.1.5[5]. Diberikan 𝐼 ⊆ 𝐴 adalah ideal pada semiring ternari ℤ 0 − ×ℤ 0 − . Maka 𝐴 adalah ideal perluasan subtraktif jika dan  hanya  jika 𝐴 = 𝐴 1 ×𝐴 2 dimana  ideal 𝐴 𝑖 adalah  ideal perluasan subtraktif dari 𝐽 𝑖 (𝑖 = 1,2) pada semiring ternari ℤ 0 − dengan 𝐼 = 𝐽 1 ×𝐽 2 .

## B. Ideal Perluasan Subtraktif Terkecil pada Semiring Ternari
Pada  penelitian  J.N  Chaudhari  dan  K.J.  Ingale  [5] diperkenalkan bentuk ideal baru yaitu ideal perluasan subtraktif terkecil.  Berikut  diberikan  beberapa  notasi  yang  berkaitan dengan ideal perluasan subtraktif terkecil pada semiring ternari.
Diberikan 𝐼, 𝐴 adalah  ideal  pada  semiring  ternari 𝑆 yang memenuhi 𝐼 ⊆ 𝐴 , maka :
1. 𝐴 𝐼 ̅̅̅ = {𝑥 ∈ 𝑆 |𝑥 + 𝑖 ∈ 𝐴 untuk  suatu 𝑖 ∈ 𝐼} dinamakan tertutup dari 𝐴 terhadap 𝐼 .
2. 𝐴̃ = {𝑥 ∈ 𝑆 | 𝑞 + 𝐼 ∈ 𝑆 𝐼 (𝑄) ⁄ dimana 𝑥 ∈ 𝑞 + 𝐼 dan (𝑞 +
𝐼)⋂𝐴 ≠ ∅} dinamakan  tertutup  dari 𝐴 terhadap 𝐼 (𝑄) dimana 𝐼 adalah 𝑄 -ideal pada 𝑆 .
3. 𝐴 ̅ = {𝑥 ∈ 𝑆 |𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴 untuk suatu 𝑦 ∈ 𝐴} dinamakan 𝑘 - tertutup dari 𝐴 .
Berikut diberikan sebagai contoh :
Contoh 3.2.1. Misalkan 𝐼 = 〈−3〉 = {−3𝑘|𝑘 ∈ ℤ 0 + } dan 𝐴 = 〈−3, −5〉 = ℤ 0 − − {−1, −2, −4, −7} adalah ideal pada semiring ternari ℤ 0 − ,  maka 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring  ternari ℤ 0 − dengan 𝑄 = {0, −1, −2} dan 𝐼 ⊆ 𝐴 . Sehingga berbentuk : a. 𝐼 + 0 = 𝐼 = {−3𝑘|𝑘 ∈ ℤ 0 + }
b. 𝐼 + −1 = {−3𝑘 − 1|𝑘 ∈ ℤ 0 + } c. 𝐼 + −2 = {−3𝑘 − 2|𝑘 ∈ ℤ 0 + } dan
a. 𝐼 + 0⋂𝐴 ≠ ∅ , maka 𝐼 + 0 ⊆ 𝐴 ̃
b. 𝐼 + −1⋂𝐴 = 𝐼 − 1⋂𝐴 ≠ ∅ , maka 𝐼 + 0 ⊆ 𝐴 ̃
c. 𝐼 + −2⋂𝐴 = 𝐼 − 2⋂𝐴 ≠ ∅ , maka 𝐼 + 0 ⊆ 𝐴 ̃
Sehingga diperoleh, 𝐼 + 0 ⋃ 𝐼 − 1 ⋃ 𝐼 − 2 = ℤ 0 − ⊆ 𝐴 ̃ , maka 𝐴 ̃ = ℤ 0 − .
Selanjutnya  diberikan  teorema  mengenai  ideal  perluasan subtraktif berikut :
Teorema  3.2.2.  Diberikan 𝐼 ⊆ 𝐴 adalah  ideal  pada  semiring ternari 𝑆 .  Maka 𝐴 𝐼 ̅̅̅ adalah  ideal  perluasan  subtraktif  terkecil dari 𝐼 yang memuat 𝐴 .
Bukti :
Untuk  membuktikan 𝐴 𝐼 ̅̅̅ adalah  ideal  perluasan  subtraktif terkecil pada 𝐼 yang memuat 𝐴 terdapat beberapa tahap, yaitu : 1. Akan  ditunjukkan  bahwa 𝐴 𝐼 ̅̅̅ adalah  ideal  pada  semiring ternari 𝑆 . Maka :
Ambil 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ dan 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑆 ,  terdapat 𝑖 1 , 𝑖 2 ∈ 𝐼 . Sedemikian hingga :
𝑥 1 + 𝑖 1 ,  𝑥 2 + 𝑖 2 ∈ 𝐴 Oleh  karena 𝐼 ⊆ 𝐴 adalah  ideal  pada  semiring  ternari 𝑆 , maka :
(𝑥 1 + 𝑥 2 ) + (𝑖 1 + 𝑖 2 ) = 𝑥 1 + 𝑖 1 + 𝑥 2 + 𝑖 2 ∈ 𝐴 dimana 𝑖 1 + 𝑖 2 ∈ 𝐼 .  Mengakibatkan 𝑥 1 + 𝑥 2 ∈ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ .  Dengan  cara yang sama terdapat 𝑖 1 , 𝑖 2 , 𝑖 3 ∈ 𝐼 sehingga :
(𝑟 + 𝑖 1 )(𝑠 + 𝑖 2 )(𝑥 1 + 𝑖 3 ) = (𝑟𝑠 + 𝑟𝑖 2 + 𝑖 1 𝑠 + 𝑖 1 𝑖 2 )(𝑥 1 + 𝑖 3 ) = 𝑟𝑠𝑥 1 + 𝑟𝑠𝑖 3 + 𝑟𝑖 2 𝑥 1 + 𝑟𝑖 2 𝑖 3 + 𝑖 1 𝑠𝑥 1 + 𝑖 1 𝑠𝑖 3 + 𝑖 1 𝑖 2 𝑥 1 + 𝑖 1 𝑖 2 𝑖 3 Karena 𝑟𝑠𝑖 3 + 𝑟𝑖 2 𝑥 1 + 𝑟𝑖 2 𝑖 3 + 𝑖 1 𝑠𝑥 1 + 𝑖 1 𝑠𝑖 3 + 𝑖 1 𝑖 2 𝑥 1 + 𝑖 1 𝑖 2 𝑖 3 tertutup terhadap 𝐼 , maka : 𝑟𝑠𝑥 1 + 𝑟𝑠𝑖 3 + 𝑟𝑖 2 𝑥 1 + 𝑟𝑖 2 𝑖 3 + 𝑖 1 𝑠𝑥 1 + 𝑖 1 𝑠𝑖 3 + 𝑖 1 𝑖 2 𝑥 1 + 𝑖 1 𝑖 2 𝑖 3 ∈ 𝐴 Mengakibatkan 𝑟𝑠𝑥 1 ∈ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ .  Karena  semiring  ternari bersifat komutatif maka 𝑟𝑥 1 𝑠,  𝑥 1 𝑠𝑟 ∈ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ . Maka terbukti 𝐴 𝐼 ̅̅̅ merupakan ideal pada semiring ternari 𝑆 .
2. Secara  jelas  diperoleh  bahwa 𝐴 ⊆ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ .  Selanjutnya  akan ditunjukkan  bahwa 𝐴 𝐼 ̅̅̅ adalah  ideal  perluasan  subtraktif pada 𝐼 . Maka :
Ambil 𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑥 + 𝑖 ∈ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ , 𝑥 ∈ 𝑆, terdapat 𝑖 ′ ∈ 𝐼 sedemikian hingga 𝑥 + 𝑖 + 𝑖 ′ ∈ 𝐴 .  Oleh  karena 𝑖 + 𝑖 ′ ∈ 𝐼 dan 𝑥 ∈ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ , maka  terbukti 𝐴 𝐼 ̅̅̅ merupakan  ideal  perluasan  subtraktif pada 𝐼 .
3. Selanjutnya,  misalkan 𝐽 adalah  ideal  perluasan  subtraktif pada 𝐼 yang  memuat 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ ,  terdapat 𝑖 ∈ 𝐼 sedemikian  hingga 𝑥 + 𝑖 ∈ 𝐴 ⊆ 𝐽 .  Oleh  karena 𝐽 merupakan  ideal  perluasan  subtraktif  pada 𝐼 maka  dalam hal ini terlihat jelas bahwa 𝑥 ∈ 𝐽, sehingga 𝐴 𝐼 ̅̅̅ ⊆ 𝐽 .
Dari  pembahasan  di  atas,  terbukti  bahwa 𝐴 𝐼 ̅̅̅ merupakan ideal perluasan terkecil pada 𝐼 yang memuat 𝐴 .
Berdasarkan Teorema 3.2.2, maka diperoleh akibat:
Akibat 3.2.3[5]. Diberikan 𝐼 ⊆ 𝐴 adalah ideal pada semiring ternari 𝑆 . Dengan demikian :
𝐴 𝐼 ̅̅̅ = ⋂{𝐽 ∶ 𝐽 adalah  ideal  perluasan  subtraktif  pada 𝐼 yang memuat 𝐴} .
Teorema  3.2.4.  Diberikan 𝐼, 𝐴, 𝐵 adalah  ideal pada semiring ternari 𝑆 , sedemikian hingga 𝐼 ⊆ 𝐴, 𝐵 . Dengan demikian :
(a) 𝐴 adalah ideal perluasan subtraktif pada 𝐼 ⟺ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ = 𝐴
(b) (𝐴 𝐼 ̅̅̅) 𝐼 ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 𝐼 ̅̅̅ .
(c) 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇒ 𝐴 𝐼 ̅̅̅ ⊆ 𝐵 𝐼 ̅̅̅ .
(d) (𝐴⋂𝐵) 𝐼 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 𝐼 ̅̅̅⋂𝐵 𝐼 ̅̅̅ .
(e) Jika 𝐴, 𝐵 adalah ideal perluasan subtraktif pada 𝐼 , maka 𝐴 ⋂ 𝐵 adalah ideal perluasan subtraktif pada 𝐼 (f) Jika 𝐽 adalah  ideal  pada  semiring  ternari 𝑆 ,  sedemikian hingga 𝐼 ⊆ 𝐽 ⊆ 𝐴 , maka 𝐴 𝐼 ̅̅̅ ⊆ 𝐴 𝐽 ̅̅̅.
Dari Teorema 3.2.4 diperoleh akibat:
Akibat  3.2.5[5].  Diberikan 𝐴, 𝐵 adalah  ideal  pada  semiring ternari 𝑆 . Maka 𝐴⋂𝐵 ̅̅̅̅̅̅ ⊆ 𝐴 ̅ ⋂𝐵 ̅ . Bukti :
Perhatikan  bahwa 𝐴⋂𝐵 ⊆ 𝐴 atau 𝐴⋂𝐵 ⊆ 𝐵 .  Dengan menggunakan  teorema  3.3  (c),  maka 𝐴⋂𝐵 ̅̅̅̅̅̅ = (𝐴⋂𝐵) (𝐴⋂𝐵) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊆
𝐴 (𝐴⋂𝐵) ̅̅̅̅̅̅̅̅ atau 𝐴⋂𝐵 ̅̅̅̅̅̅ = (𝐴⋂𝐵) (𝐴⋂𝐵)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊆ 𝐵 (𝐴⋂𝐵) ̅̅̅̅̅̅̅̅ . Dengan mengikuti teorema 3.3(f), maka diperoleh bahwa 𝐴 (𝐴⋂𝐵) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊆ 𝐴 𝐴 ̅̅̅̅ = 𝐴 ̅ atau 𝐵 (𝐴⋂𝐵) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊆ 𝐵 𝐵 ̅̅̅̅ = 𝐵 ̅ .  Akibatnya, 𝐴⋂𝐵 ̅̅̅̅̅̅ ⊆ 𝐴 ̅ atau 𝐴⋂𝐵 ̅̅̅̅̅̅ ⊆ 𝐵 ̅ . Dengan kata lain 𝐴⋂𝐵 ̅̅̅̅̅̅ ⊆ 𝐴 ̅ ⋂𝐵 ̅ .
Selanjutnya  diberikan  lemma  mengenai  hubungan  antara 𝐴 𝐼 ̅̅̅ dan 𝐴 ̃ .
Lemma  3.2.6.  Diberikan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring ternari 𝑆 dan 𝐴 adalah ideal pada 𝑆 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 . Maka 𝐴 𝐼 ̅̅̅ = 𝐴 ̃ .
Dari  Teorema  3.2.2  dan  Lemma  3.2.6,  maka  diperoleh akibat:
Akibat  3.2.7.  Diberikan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring ternari 𝑆 dan 𝐴 adalah  ideal pada 𝑆 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 . Maka 𝐴 ̃ adalah ideal perluasan subtraktif terkecil pada 𝐼 yang memuat 𝐴 .
Lemma  3.2.8.  Diberikan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring ternari 𝑆 dan 𝐴 adalah  ideal  pada 𝑆 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 .  Maka 𝐴
adalah ideal perluasan subtraktif pada 𝐼 jika dan hanya jika 𝐼 adalah 𝑄⋂𝐴 -ideal pada 𝐴 .

## C. Ideal pada Semiring Ternari
Hubungan  keterkaitan  antara  ideal  perluasan  subtraktif dengan 𝑄 -ideal tidak hanya ada pada semiring ternari, namun juga  dapat  diperluas  pada  semiring  ternari  faktor.  Berikut  ini diberikan beberapa teorema yang menjelaskan hubungan ideal – ideal tersebut.
Teorema  3.3.1. Diberikan 𝐼 ⊆ 𝐴 adalah  ideal  pada  semiring ternari 𝑆 dan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada 𝑆 .  Dengan  demikian pernyataan berikut ekivalen :
(a) 𝐴 adalah perluasan subtraktif dari 𝐼
(b) 𝐼 adalah 𝑄⋂𝐴 -ideal dari 𝐴
(c) 𝐴 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝐴) adalah ideal pada semiring ternari 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) .
Teorema  3.3.2. Diberikan 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring ternari 𝑆 .  Maka 𝐿 adalah  ideal  pada 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) jika  dan  hanya jika  terdapat 𝐴 adalah  ideal  pada 𝑆 sedemikian  hingga 𝐴 adalah ideal perluasan subtraktif dari 𝐼 dan 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ = 𝐿 .
Bukti : (⇒)
Diketahui 𝐿 adalah  ideal  pada 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) ,  maka  akan ditunjukkan  bahwa 𝐴 adalah  ideal  perluasan  subtraktif  dari 𝐼 dan 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ = 𝐿 .
Dinotasikan : 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑆|𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 + 𝐼 ∈ 𝐿 untuk suatu 𝑞 ∈ 𝑄}
Terlihat  jelas  bahwa 𝐴 ⊆ 𝑆 ,  selanjutnya  ambil  sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑆 .  Menurut  Lemma  1.9  terdapat  secara tunggal 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 ′ , 𝑞′′ ∈ 𝑄 yang  memenuhi 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 1 + 𝐼 ∈ 𝐿, 𝑦 + 𝐼 ⊆ 𝑞 2 + 𝐼 ∈ 𝐿 , 𝑟 + 𝐼 ⊆ 𝑞′ + 𝐼 ∈ 𝐿 dan 𝑠 + 𝐼 ⊆ 𝑞 ′′ + 𝐼 ∈ 𝐿 . Oleh karena telah diketahui  bahwa 𝐿 adalah  ideal  pada 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) , maka dengan demikian : a. (𝑞 1 + 𝐼) ⊕ (𝑞 2 + 𝐼) = (𝑞 3 + 𝐼) ∈ 𝐿 dimana 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝐼 ⊆ 𝑞 3 + 𝐼 untuk  suatu 𝑞 3 ∈ 𝑄 .  Dari 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 1 + 𝐼 dan 𝑦 + 𝐼 ⊆ 𝑞 2 + 𝐼 ,  diperoleh 𝑥 + 𝐼 + 𝑦 + 𝐼 ⊆ 𝑞 1 + 𝐼 + 𝑞 2 + 𝐼 . Dikarenakan 𝐼 adalah ideal pada semiring ternari 𝑆 maka didapat 𝑥 + 𝑦 + 𝐼 ⊆ 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝐼 .  Selanjutnya  perhatikan bahwa 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 0 ∈ 𝑥 + 𝐼 + 𝑦 + 𝐼 , sehingga diperoleh 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑥 + 𝑦 + 𝐼 ⊆ 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝐼 ⊆ 𝑞 3 + 𝐼 ∈ 𝐿 . Dengan demikian 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴 . b. (𝑞 ′ + 𝐼)⨀(𝑞 ′′ + 𝐼)⨀(𝑞 1 + 𝐼) = (𝑞 4 + 𝐼) ∈ 𝐿 dimana 𝑞 ′ 𝑞 ′′ 𝑞 1 + 𝐼 ⊆ 𝑞 4 + 𝐼 untuk suatu 𝑞 4 ∈ 𝑄 . Oleh karena 𝑟 + 𝐼 ⊆ 𝑞 ′ + 𝐼, 𝑠 + 𝐼 ⊆ 𝑞 ′′ + 𝐼 dan 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 1 + 𝐼 ,  maka (𝑟 + 𝐼)(𝑠 + 𝐼)(𝑥 + 𝐼) ⊆ (𝑞 ′ + 𝐼)(𝑞 ′′ + 𝐼)(𝑞 1 + 𝐼) . Dikarenakan 𝐼 adalah ideal pada semiring ternari 𝑆 , maka diperoleh 𝑟𝑠𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 ′ 𝑞 ′′ 𝑞 1 + 𝐼 .  Oleh  karena 𝑟𝑠𝑥 = 𝑟𝑠𝑥 + 0 ∈ 𝑟𝑠𝑥 + 𝐼 ,  sehingga 𝑟𝑠𝑥 ∈ 𝑟𝑠𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 ′ 𝑞 ′′ 𝑞 1 + 𝐼 ⊆ 𝑞 5 + 𝐼 ∈ 𝐿 . Dengan demikian 𝑟𝑠𝑥 ∈ 𝐴 . Dengan  menggunakan sifat komutatif,  maka  diperoleh  bahwa 𝑟𝑥𝑠, 𝑥𝑟𝑠 ∈ 𝐴 .  Oleh  karena memenuhi 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑟𝑠𝑥, 𝑟𝑥𝑠, 𝑥𝑟𝑠 ∈ 𝐴 untuk  sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑆 maka diperoleh bahwa 𝐴 adalah ideal pada semiring  ternari 𝑆 .  Selanjutnya  ambil  sebarang 𝑎 ∈ 𝐼 ,  maka diperoleh bahwa 𝑎 ∈ 𝑞 0 + 𝐼 ∈ 𝐿 dengan 𝑞 0 + 𝐼 adalah elemen nol  pada  ideal 𝐿 .  Sehingga 𝑎 ∈ 𝐴 dan  berakibat 𝐼 ⊆ 𝐴 .
Kemudian  ambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑦 ∈ 𝑆 , 𝑥 ∈ 𝑞 0 + 𝐼 dengan 𝑞 0 + 𝐼 adalah elemen nol di 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) . Karena 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴 , maka didapat 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑥 + 𝑦 + 𝐼 ⊆ 𝑞 6 + 𝐼 ∈ 𝐿 . Selanjutnya karena 𝑦 ∈ 𝑆 , maka menurut Lemma 1.9 diperoleh bahwa 𝑦 = 𝑦 + 0 ∈ 𝑦 + 𝐼 ⊆ 𝑞 7 + 𝐼 untuk  suatu 𝑞 7 ∈ 𝑄 . Perhatikan  bahwa 𝑥 + 𝑦 ∈ (𝑞 0 + 𝐼) ⊕ (𝑞 7 + 𝐼) = (𝑞 7 + 𝐼) ∈ 𝐿 dimana (𝑞 6 + 𝐼) ⋂(𝑞 7 + 𝐼) ≠ ∅ dan 𝑞 6 = 𝑞 7 .  Dengan demikian 𝑦 ∈ 𝑞 7 + 𝐼 = 𝑞 6 + 𝐼 ∈ 𝐿 dan  mengakibatkan 𝑦 ∈ 𝐴 . Sehingga  terbukti  bahwa 𝐴 adalah  ideal  perluasan  subtraktif dari 𝐼 .    Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ = 𝐿 . Didefinisikan  bahwa 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ = {𝑥 + 𝐼|𝑥 ∈ 𝑄⋂𝐴} .  Ambil sebarang 𝑥 + 𝐼 ∈ 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ dimana 𝑥 ∈ 𝑄⋂𝐴 ⊆ 𝐴 ,  maka dengan demikian 𝑥 ∈ 𝑥 + 𝐼 ⊆ 𝑞 8 + 𝐼 ∈ 𝐿 untuk suatu 𝑞 8 ∈ 𝑄 . Akibatnya 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ ⊆ 𝐿 . Di sisi lain, ambil sebarang 𝑞 9 + 𝐼 ∈ 𝐿 untuk  suatu 𝑞 9 ∈ 𝑄 ,  akan  ditunjukkan 𝑞 9 + 𝐼 ∈ 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ . Oleh  karena 𝑞 9 ∈ 𝑆 dan 𝑞 9 + 𝐼 ⊆ 𝑞 9 + 𝐼 ∈ 𝐿 ,  maka 𝑞 ∈ 𝐴 , akibatnya 𝑞 ∈ 𝑄⋂𝐴 sehingga 𝑞 9 + 𝐼 ∈ 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ . Dengan kata lain terbukti bahwa 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ = 𝐿 .
(⇐)
Akan ditunjukkan bahwa 𝐿 adalah ideal pada 𝑆 𝐼 (𝑄) ⁄ . Oleh karena 𝐴 adalah  ideal  perluasan  subtraktif  dari 𝐼 dan  berlaku bahwa 𝐴 𝐼 (𝑄⋂𝐴) ⁄ = 𝐿 , maka menurut Teorema 3.3.1, diperoleh bahwa 𝐿 adalah ideal pada 𝑆 𝐼 (𝑄) ⁄ .
Teorema 3.3.3. Diberikan 𝑆 adalah semiring ternari, 𝐼 adalah 𝑄 -ideal pada 𝑆 dan 𝑃 adalah ideal perluasan subtraktif dari 𝐼 , maka 𝑃 adalah  ideal  prima  pada 𝑆 jika  dan  hanya  jika 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) adalah ideal prima pada 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) .
Bukti :
(⇒)
Diketahui  bahwa 𝑃 adalah  ideal  prima  pada 𝑆 .  Akan ditunjukkan bahwa ideal 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) adalah ideal prima pada 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) .  Ambil  sebarang 𝑞 1 + 𝐼, 𝑞 2 + 𝐼, 𝑞 3 + 𝐼 ∈ 𝑆 𝐼 (𝑄) ⁄ dengan 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 ∈ 𝑄 ,  yang  memenuhi (𝑞 1 + 𝐼)⨀(𝑞 2 + 𝐼)⨀(𝑞 3 + 𝐼) = (𝑞 4 + 𝐼) ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) untuk  suatu 𝑞 4 ∈ 𝑄⋂𝑃 adalah elemen  tunggal,  sedemikian  hingga 𝑞 1 𝑞 2 𝑞 3 + 𝑖 1 = 𝑞 4 + 𝑖 2 ∈ 𝑃, untuk  suatu 𝑖 1 , 𝑖 2 ∈ 𝐼 .  Dikarenakan  ideal 𝑃 adalah  ideal perluasan subtraktif dari 𝐼 dan 𝑞 1 𝑞 2 𝑞 3 + 𝑖 1 ∈ 𝑃 maka diperoleh 𝑞 1 𝑞 2 𝑞 3 ∈ 𝑃 .  Selanjutnya,  oleh  karena  ideal 𝑃 adalah  ideal prima pada semiring ternari 𝑆 , maka diperoleh 𝑞 1 ∈ 𝑃 atau 𝑞 2 ∈ 𝑃 atau 𝑞 3 ∈ 𝑃 . Oleh karena itu 𝑞 1 ∈ 𝑄⋂𝑃 atau 𝑞 2 ∈ 𝑄⋂𝑃 atau 𝑞 3 ∈ 𝑄⋂𝑃 dan diperoleh bahwa 𝑞 1 + 𝐼 ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) atau 𝑞 2 + 𝐼 ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) atau 𝑞 3 + 𝐼 ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) .  Dengan  demikian terbukti  bahwa  ideal 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) adalah  ideal  prima  pada semiring ternari 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) .
(⇐)
Akan ditunjukkan bahwa ideal 𝑃 adalah ideal prima pada semiring ternari 𝑆 . Ambil sebarang 𝑎𝑏𝑐 ∈ 𝑃 dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 . Telah diketahui  bahwa 𝐼 adalah 𝑄 -ideal pada semiring ternari 𝑆 ,  dengan  demikian  terdapat  secara  tunggal 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 , 𝑞 4 ∈ 𝑄 yang  memenuhi 𝑎 ∈ 𝑞 1 + 𝐼 , 𝑏 ∈ 𝑞 2 + 𝐼 dan 𝑐 ∈ 𝑞 3 + 𝐼 dan 𝑎𝑏𝑐 ∈ (𝑞 1 + 𝐼) ⨀(𝑞 2 + 𝐼) ⨀(𝑞 3 + 𝐼) = (𝑞 4 + 𝐼) dimana 𝑞 1 𝑞 2 𝑞 3 + 𝐼 ⊆ 𝑞 4 + 𝐼 . Oleh karena 𝑎𝑏𝑐 ∈ 𝑞 4 + 𝐼 , maka berlaku 𝑎𝑏𝑐 = 𝑞 4 + 𝑖 untuk suatu 𝑖 ∈ 𝐼 . Selanjutnya, oleh karena 𝑎𝑏𝑐 ∈
𝑃 ,  maka  diperoleh 𝑞 4 + 𝑖 ∈ 𝑃 untuk  suatu 𝑖 ∈ 𝐼 .  Telah diketahui  sebelumnya  bahwa 𝑃 adalah  ideal  perluasan subtraktif dari 𝐼 , maka diperoleh bahwa 𝑞 4 ∈ 𝑃 , sehingga 𝑞 4 ∈ 𝑄⋂𝑃 dan berakibat 𝑞 4 + 𝐼 ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) . Dikarenakan ideal 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) adalah ideal prima pada semiring ternari 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) , maka (𝑞 1 + 𝐼) ⨀(𝑞 2 + 𝐼) ⨀(𝑞 3 + 𝐼) = (𝑞 4 + 𝐼) ∈  𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) . Dengan demikian, diperoleh 𝑎 ∈ 𝑞 1 + 𝐼 ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) atau 𝑏 ∈ 𝑞 2 + 𝐼 ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) atau 𝑐 ∈ 𝑞 3 + 𝐼 ∈ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) dimana 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 ∈  𝑄⋂𝑃 .  Sehingga  berlaku  bahwa 𝑎 = 𝑞 1 + 𝑖 1 atau 𝑏 = 𝑞 2 + 𝑖 2 atau 𝑐 = 𝑞 3 + 𝑖 3 untuk  suatu 𝑖 1 , 𝑖 2 𝑖 3 ∈ 𝐼 .  Di  sisi lain, oleh karena  ideal 𝑃 adalah  ideal pada  semiring ternari 𝑆 maka diperoleh 𝑞 1 + 𝑖 1 ∈ 𝑃 atau 𝑞 2 + 𝑖 2 ∈ 𝑃 atau 𝑞 3 + 𝑖 3 ∈ 𝑃 . Akibatnya, 𝑎 ∈ 𝑃 atau 𝑏 ∈ 𝑃 atau 𝑐 ∈ 𝑃 .  Sehingga  terbukti bahwa ideal 𝑃 adalah ideal prima pada semiring ternari 𝑆 .

## V. KESIMPULAN DAN SARAN

## A. Kesimpulan
Dari  analisis  dan  pembahasan  yang  telah  disajikan  pada bab  sebelumnya,  dapat  disimpulkan  beberapa  hal  sebagai berikut:
1. Bentuk-bentuk ideal pada semiring ternari ℤ 0 − ×ℤ 0 − yaitu : (a) Terdapat  hubungan  antara  bentuk  ideal,  ideal  utama, 𝑄 -ideal,  dan  ideal  subtraktif  pada ℤ 0 + ×ℤ 0 + dengan ℤ 0 − ×ℤ 0 − .
(b) Bentuk dari ideal utama, 𝑄 -ideal, ideal subtraktif, dan ideal perluasan subtraktif pada semiring ternari adalah ekivalen.
2. Karakteristik  mengenai  ideal  perluasan  subtraktif  terkecil pada semiring ternari yaitu:
(a) Jika 𝐼 ⊆ 𝐴 adalah ideal pada semiring ternari 𝑆 , maka 𝐴 𝐼 ̅̅̅̅ adalah  ideal  perluasan  subtraktif  terkecil  dari 𝐼 yang memuat 𝐴 .
(b) Jika 𝐼 adalah 𝑄 -ideal  pada  semiring  ternari 𝑆 dan 𝐴 adalah ideal pada 𝑆 dengan 𝐼 ⊆ 𝐴 , maka 𝐴 𝐼 ̅̅̅ = 𝐴 ̃ . 3. Jika 𝐼 adalah 𝑄 -ideal pada semiring ternari 𝑆 dan 𝑃 adalah ideal perluasan subtraktif dari 𝐼 , maka 𝑃 adalah ideal prima pada 𝑆 ⟺ 𝑃 ∕ 𝐼 (𝑄⋂𝑃) adalah ideal prima pada 𝑆 ∕ 𝐼 (𝑄) .

## B. Saran
Pada  jurnal  ini  hanya  membahas  tentang  semiring  ternari faktor pada ideal prima. Oleh karena itu, penulis menyarankan agar  penelitian  selanjutnya  bisa  melakukan  pembahasan terhadap  ideal  semiprima,  prima  lemah,  primari  dan  primari lemah,  ataupun  terhadap  bentuk  ideal  pada  semiring  ternari lainnya.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penyelesaian  dalam  kajian  ini  tidak  lepas  dari  orang-orang terdekat yang telah mendukung dan memotivasi penulis. Oleh sebab  itu,  penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  kedua orang  tua  penulis  yang  senantiasa  memberikan  dukungan  , motivasi dan do’a serta Kementerian Agama NKRI yang telah memberikan dukungan finansial melalui beasiswa Penerimaan Beasiswa  Santri  Berprestasi  tahun  2012-2016.  Penulis  juga
menyampaikan  ucapan  terima  kasih  kepada  seluruh  dosen pengajar  dan  karyawan  di  Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember, khususnya di Jurusan Matematika FMIPA ITS yang telah memberikan ilmu kepada penulis.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] W.G.  Lister.  (1971).  “Ternary  Rings”.  Transactions  of  The  American Mathematical Society Vol. 154, Hal.37-55..
[2] T.K. Dutta, S. Kar. (2003). ”On Regular Ternary Semirings”. Advances in Algebra Proceedings of The ICM Satellite Conference in Algebra and Related Topics, World Scientific, Hal. 343-355.
[3] J.N. Chaudhari, K.J. Ingale. (2011). “On Partioning and Subtractive Ideals of Ternary Semirings”. Kyungpook Math. Journal 51(1), Hal.69-76.
[4] S.  Kar.  (2011).  “Ideal  Theory  in  The  Ternary  Semirings ℤ 0 − ”.  Bull. Malays. Math. Scientific. Society (2) 34 (1), Hal.69-77.
[5] J.N Chaudhari, K.J. Ingale.  (2016). “Subtractive  Extension  of Ideals in Ternary Semirings”. Thai Journal of Mathematics.
[6] J.N Chaudhari, D.R Bonde (2014). “Ideal Theory in Quotient Semirings”. Thai Journal of Mathematics Vol. 12 (1), Hal.95-101.
[7] Atani,  S.E.  (2007).  “The  Ideal  Theory  in  Quotient  of  Commutative Semirings”. Glasnik Matematicki Vol. 42(62), Hal. 301-308.