## BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LORENZ

## Faisal
PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru

## ABSTRAK
Sistem  persamaan  Lorenz  merupakan  keluarga  dari  sistem  persamaan  Chen  dan  sistem persamaan  Lu.  Sistem  persamaan  Lorenz,  sistem  persamaan  Chen  dan  sistem  persamaan  Lu ketiganya mempunyai tiga parameter positif.
Perbedaan  modifikasi sistem persamaan  Lorenz dengan  ketiga sistem persamaan  yang lain  (sistem  persamaan  Lorenz,  sistem  persamaan  Chen,  sistem  persamaan  Lu)  masing-masing terletak pada persamaan  kedua. Modifikasi sistem persamaan  Lorenz  mempunyai dua parameter dengan salah satu parameter boleh bernilai negatif.
Pada  tulisan  ini  akan  dianalisa    ada  tidaknya  bifurkasi.  Hasil  dari  tulisan  ini menunjukkan system mempunyai bifurkasi Hopf subkritikal.
Kata kunci : Sistem persamaan Lorenz, Bifurkasi, Bifurkasi Hopf

## 1. PENDAHULUAN
Salah  satu  bentuk  dari  sistem  tak  liniear  adalah  sistem  Lorenz.  Sistem persamaan Lorenz  secara umum didefinisikan sebagai berikut[1]:
( ) ( ) x a y x
y c z x y z xy bz     
 
Dengan a= 10;  b =28 dan c =8/3 Sistem Chen didefinisikan sebagai berikut[2] :
( ) ( ) x a y x y c a x xz cy z xy bz
     
 
dengan a= 35;  b = 3 dan c = 28 .  Sistem Lu didefenisikan sebagai berikut[4] :
( ) x a y x y xz cy z xy bz  
    
dengan a  =  36;    b  =  3 dan c  =  20 .  Pada  tulisan  ini  akan  dibahas  sistem didefinisikan sebagai[4]:
( )
4 x a y x y ax axz
z xy bz       (1)
dengan a dan b adalah parameter, 0  a . Perbedaan dari ketiga sistem diatas yaitu pada  bagian  persamaan 4 y ax axz   ,  sistem  tersebut  hanya  memiliki  dua parameter.

## 2. TINJAUN PUSTAKA

## 2.1 Kestabilan
Untuk menentukan kestabilan titik setimbang (0,0,0) dari sistem tak linear digunakan  koefisien  Lyapunov  pertama  ( 1 (0) l ),  terlebih  dahulu  menentukan dinamika center manifold Jika didefinisikan[2,3] berikut :
2 2
2 3
0 20 02 11 21 1 1 1 (| | ) 2 2 2 w iw w g w g u g uw g uw O w      
maka koefisien Lyapunov pertama ( 1 (0) l ) adalah 1 0 Re( (0)) (0) C l w  dengan 2 ) 3 1 2 ( 3 2 ) 0 ( 21 2 02 2 11 11 20 g g g g g a i C     .
(2)
Kriteria kestabilan koefisien Lyapunov pertama ( 1 (0) l )[6]
a. jika 1 (0) l > 0, maka kestabilan titik setimbang stabil dan limit cicle tidak stabil
b. jika 1 (0) l < 0, maka kestabilan titik setimbang tidak stabil

## 2.2 Center Manifold

## Pandang suatu medan vektor
( , )
( , ) , ( , ) c s x Ax f x y y By g x y x y R x R      (3)
dengan
0 ) 0 , 0 ( , 0 ) 0 , 0 ( 0 ) 0 , 0 ( , 0 ) 0 , 0 (     Dg g Df f
(4)
Pada  persamaaan  (3)  matriks c x c A menyatakan  nilai  eigen  yang  bagian realnya  nol, s x s B menyatakan  nilai  eigen  yang  bagian  realnya  negatif  dan ). 2 ( ,   r C g f r
Definisi [5]
Suatu  manifold  invariant  disebut  center  manifold  jika  persamaan  (2)  dapat direpsentasikan sebagai berikut :
  0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , ), ( | ) , ( ) 0 (       Dh h x x h y xR R y x W s c c 
untuk  cukup  kecil.  Kegunaan  dari  Center  manifold  adalah    untuk  mereduksi dimensi  dari sistem dinamik.

## 3. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan di dalam penelitian ini adalah studi literatur.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Analisa Kestabilan  Lokal
Untuk  menentukan  kestabilan  dari  modifikasi  persamaan  (1)  dengan bentuk ( ) 4 x a y x y ax axz
z xy bz       (5)
terlebih  dahulu  ditentukan  titik  kesetimbangan  dengan  mengambil 0, 0 x y   dan 0, z  sehingga  diperoleh  nilai  masing-masing , 4 ,   z x y 1 2 y b  . dan 2 2 y b   .    Jadi  persamaan  (1)  mempunyai  tiga  titik  setimbang  yaitu
) 4 , 2 , 2 ( ), 0 , 0 , 0 ( b b S
O  dan ) 4 , 2 , 2 ( b b S   

## Teorema 1.
Titik setimbang O (0,0,0) untuk 0  a dari persamaan (1) tidak  stabil.
Selanjutnya akan ditinjau kestabilan titik setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  dan ) 4 , 2 , 2 ( b b
S    .  Dengan  melakukan  tranformasi     z y x z y x , , , ,    . Hasil  Transformasi  persamaan  (1)  invarian.  Oleh  karena  itu  cukup  ditentukan salah  satu  titik  setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  atau ) 4 , 2 , 2 ( b b S    .  Dipilih titik  setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  .  Untuk  memudahkan  menentukan  kestabilan, mula-mula  titik  setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  ditranformasikan(ditranslasikan) menjadi titik setimbang (0,0,0) , sehingga persamaan (1) sekarang menjadi ) ( X Y a X    aXZ Z b a Y    2  (6)
XY Z b Y X b Z     ) ( 2 
Persamaan  (6)  mempunyai  titik  setimbang (0,0,0) dan  ( 2 , 2 , 4) b b    , dengan  titik (0,0,0) adalah  titik  setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  yang  sudah
ditranslasikan.
Dari persamaan (6) diperoleh persamaan karakteristiknya adalah
0 8 5 ) ( 2 2 3      b a ab b a    (7)
Menurut kriteria Routh-Hurwitz, (7) mempunyai akar-akar dengan bagian realnya negatif semua jika dipenuhi syarat
a  +  b  > 0
b  >  0 ( 8) 0 ) 3 5 (   a b a
Berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema berikut

## Teorema 2.
Persamaan  (  4.4)  mempunyai  sebuah    akar  real  dan    sepasang    akar-akar imajiner  murni jika  b >0 dan  b = a 5 3 .
Teorema  3.
Jika b  > 0 dan a b 5 3  ,  titik setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  stabil netral.
Jika nilai 3 5 b a  disubtitusikan ke persamaan (6) akan diperoleh
(9)
Dengan  mengunakan  matriks  Jacobian  dari  persamaan  (9)  di  sekitar  titik setimbang (0,0,0), diperoleh akar-akar  karakteristik berikut
a 5 8 1    , 3 2 i a    dan 3 3 a i    (10)
Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3 titik setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  mempunyai  sepasang  nilai  eigen  yang  bagian  realnya  nol sehingga persamaan (1)  mempunyai titik setimbang dengan jenis center. Karena itu eksistensi orbit periodik dari persamaan (1) perlu dianalisa lebih lanjut.

## 4.2   Center manifold
Langkah  awal    untuk  mendapatkan center  manifold adalah  menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari sistem (9)
( ) 0 A I V    dengan 1 2 3 v V v v           1 2 3 0 0 3 0 2 0 5 0 3 3 3
2 2 5 5 5 a a v a a v v a a a a a       
       
                                 (11)
Subtitusikan persamaan (9) ke persamaan (11) untuk memperoleh   vektor eigen.

                   1 5 3 4 5 5 3 12 25 1 a a V  2 1 3 1 ( ) 2 5 5 1 2 5 1 a i a V i a                       Oleh karena nilai 2  merupakan konjugate dari nilai 3  maka diperoleh vektor
eigen 3 1 3 1 ( ) 2 5 5 1 2 5 1 a i a V i a                       
Dengan  memisahkan  bagian  real  dan  imajiner  dari  masing-masing  vektor  eigen
2 V  dan 3 V  diperoleh vektor eigen vektor eigen 2 3 2 V V W   dan ' 2 3 2 V V W   , dengan 1 3 2 5 0 1 a W               
  , dan 1 1 2 5 1 ' 2 5 0 a W a    
              
  .
Selanjutnya  dengan  menggunakan  vektor  eigen  -  vektor  eigen , ' W W dan 1 V  , persamaan (9) ditranformasikan dengan persamaan tranformasinya
                     1 1 1 Z Y X T Z Y X
atau                      
Z Y X T Z Y X 1 1 1 1 (12)
kemudian  masing-masing  peubah Y X , dan Z diturunkan  terhadap t akan diperoleh bentuk
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 25 193 1907 6
3 3 3 139 1112 3336 139
23 3275 139 2224 X aY aX Y aX Z aY Z aX
aY aZ       
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 40 2221
7 31
3 3 3 139 3336 1112 139 3 7325 3 3 139 6672 8 14 28 19 6
3 3 5 695 139 139 139
24 25 695 278 Y aX aX Y aX Z aY Z aX
aY aZ Z aZ aX Y aX Z aY Z aX
aY aZ              
  (13)
Dari persamaan (13) di sekitar titik setimbang (0,0,0) diperoleh nilai eigen
1 2 3 8 3, 3, 5 ai ai a
       .
Oleh  karena  terdapat  sepasang  nilai  eigen  yang  bagian  realnya  nol  (imajiner murni), maka menurut konsep invarian manifold koordinat 1 Z dipandang sebagai fungsi 1 X dan 1 Y , yang dituliskan ) , ( 1 1 1 Y X h Z  .  Hal ini berakibat  persamaan
(13) akan tereduksi menjadi dua dimensi yang selanjutnya disebut sebagai center manifold. Center  manifold lokal  dari  persamaan  (13)  disekitar  titik  setimbang
1 (0, 0, 0) O ditulis   3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( , , ) | ( , ) , 1 c loc W O X Y Z R Z h X Y X Y      dengan
0 ) 0 , 0 ( , 0 ) 0 , 0 ( 1     X h h , 0 ) 0 , 0 ( 1    Y h .
Sekarang  akan  diturunkan center  manifold dari  persamaan  (13). Subtitusikan ) , ( 1 1 1 Y X h Z  ke  persamaan  (13)  yang  teruduksi  menjadi  dua dimensi akan diperoleh:
3 6672 7325 3 139 3 3 139 31 1112 7 3 3336 2221 139 40 3 2224 3275 139 23 139 6 3 3336 1907 1112 193 3 139 25 3 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ah aY aX h aY h aX Y aX aX Y ah aY aX h aY h aX Y aX aY X                 
(14)
Berdasarkan
pengertian center manifold diasumsi bahwa ..... ) , ( 2 1 22 1 1 12 2 1 11 1 1 1      Y a Y X a X a Y X h Z
Misalkan 1 X w u   dan 1 ( ) Y i w u   (15)
dengan  menurunkan  terhadap t diperoleh ) ( , 1 1 u w i Y u w X           .  Jika dituliskan dalam variabel u dan w diperoleh
1 1 1 1 2 2 w X iY   ,         (16)       dan 1 1 1 1 2 2 u X iY   (17)
Subtitusikan  persamaan  (14)  dan  persamaan  (15)  ke  persamaan  (16)  dan persamaan (17) diperoleh
3 278 53 3 278 3 3 13344 7325 3 139 34 3 139 86 3 6625 314 278 57 278 23 4448 3275 139 29 278 25 1112 93 3 2 2 2 2 2 2 iaw iau iah iawu iahw iahu aw au ah auw ahw ahu iaw w               (18) 2 2 2 2 2 2 25 93 29 3275 57 23 3 278 1112 139 4448 278 278 86 314 34 7325 53 3 3 3 3 3 139 6672 139 13344 278 3 3 278 u iau ahu ahw auw ah au aw iahu iahw iawu iah iau iaw             

(19)
Untuk  menentukan  koefisien  persamaan center  manifold dapat diasumsikan 2 2 3 1 11 1 12 1 1 22 1 (| | ) Z a X a X Y a Y
O w     (20)
Dengan mensubtitusikan persamaan (15) ke persamaan (20) akan diperoleh
2 2 3 1 11 12 22 (| | )
Z N w N wu N u O w     (21)
dengan 11 N , 12 N dan 22 N adalah koefisen persamaan center manifold. Dengan menurunkan persamaan (21) ke peubah w dan u akan diperoleh u u N u w u w N w w N Z      22 12 11 1 2 ) ( 2    
(22)
Subtitusikan persamaan (18) dan (19) ke persamaan (21) akan diperoleh
) | (| 3 2 3 2 3 22 2 11 2 1 w O N iau N iaw Z    
(23)
Subtitusikan persamaan (21) dan persamaan (15) ke persamaan (13) pada bagian persamaan ketiga akan diperoleh koefisien persamaan center manifold
3 12649 163 12649 3 11 i N    , 278 3
12   N , 12649 3 3 12649 163 22    i N
(24)
Untuk  memperoleh  persamaan center  manifold subtitusikan  persamaan (24), ke persamaan (21) sehinnga diperoleh
) 12649 3 3 12649 163 ( 278 3 ) 12649 3 3 12649 163 ( 2 2      i u uw i w h (25)
Sedang  dinamika  dari center  manifold dapat  diperoleh  dengan  mensubtitusikan persamaan (25) ke persamaan (18) diperoleh
2 2 2 3 53 57 23 3
29 34 3 ( 3 ) ( 3) ( 3) 278 278 278 278 139 139 4 9 ( 3) (| | ) 10.000 1000 w iaw i aw i au i auw
i auw O w           Misalkan  dengan  mengambil  koefisien  dari 2 2 , , w uw u dan 2 w u yang  merupakan koefisien dinamika center manifold yaitu
20 02 11 21 53 57 23 3
2( 3 ) , 2( 3) 278 278 278 278 29 34 4 9 ( 3) , 2( 3) 139 139 10.000 1000
g i a g i a g i a g i a        
(26) Persamaan  (26)  akan  digunakan  untuk  menetukan  kestabilan  titik  setimbang ) 4 , 2 , 2 ( b b S  dengan  menggunakan  koefisien  Lyapunov  pertama  ( 1 (0) l ), persamaan  (26)  ke  persamaan  (2)  akan  diperoleh 1 0 Re( (0)) (0) C l
w  = 0,11403 0
3 a a  .  Karena 1 (0) 0, l  mengakibatkan  titik  setimbang O(0,0,0) dari persamaan  (6)  yang  merupakan  titik  setimbang (2 , 2 , 4) S b b  yang  sudah ditransformasikan  stabil,  juga  titik  setimbang (2 , 2 , 4) S b b  dari  persamaan
(1) stabil dengan limit cicle tidak stabil.

## 5. KESIMPULAN
Dengan  menggunakan  koefisien  dinamika center  manifold dapat ditentukan  nilai  koefisien  Lyapunov  pertama 1 0 Re( (0)) (0) C l
w  >  0,  yang
mengakibatkan  titik  setimbang
) 4 , 2 , 2 ( b b S  hasil  tranformasi  dari modifikasi sistem persamaan Lorenz stabil dengan limit cicle tidak stabil

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Lu,  J.(2001),  A  New  Chaotic  Attractor  Coined. International  Journal  of Bifurcation and chaos ,vol. 12, No. 3 (2002) 659-661
[2] Lu, J.(2001), Local bifucations of The Chen system. International Journal of Bifurcation and chaos ,vol. 12, No. 10 (2002) 2257-22702
[3] Mello, L.F. dan Braga, D.C.(2006), Stability and  Hopf  Bifurcation  in  the Water Governor System, Vol .1
[4] Tigan,G.(2005),  Bifurcation  and  Stability  in  A  System  Derived  from  the Lorenz system. Geometry Balkan Press . 3 . 265-272
[5] Wiggins,S.(1990), Introduction to Applied Non Linear Dynamical Systems and Chaos . Second Edition. Springer – Verlag. New York
[6] Yin,  J  dan  Tian,  L.(2006), Hopf  Bifurcation  Analysis  of  the  Energy Resource Chaotic System, Vol. 1, No.1 hal. 49-53