http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika

## Rancangan D-Optimal Model Gompertz dengan Maple
Tatik Widiharih 1 ,  Budi Warsito 2 1,2 Departemen Statistika Universitas Diponegoro.
e-mail : wiwied_t@undip.ac.id ; widiharih@gmail.com
DOI: 10.14710/medstat.10.1.1-12
Article Info: Received: 2 Maret 2017 Accepted: 14 Juni 2017 Available Online: 14 Agustus 2017

## Keywords:
D-optimal, Generalized Equivalence Theorem, Tchebysheff System, Minimally Supported, Uniform Weight .
Abstract: Gompertz  model  is  used  in  many  areas including  biological  growth  studies,  animal  and husbandry,  chemistry,  and  agricultural.  Locally  D- optimal  designs  for  Gompertz  models  with  three parameters  is  investigated.  We  used  the  Generalized Equivalence  Theorem  of  Kiefer  and  Wolvowitz  to determine  D-optimality  criteria.  Tchebysheff  system  is used  to  decide  that  the  D-optimal  design  is  minimally supported  design  or  nonminimally  supported  design. The  result,  D-optimal  design  for  Gompertz  model  is minimally  supported design  with uniform weight on its support.

## 1. PENDAHULUAN
Model  nonlinear  banyak  digunakan  untuk  menggambarkan  kurva  pertumbuhan. Model-model tersebut bisa berupa model eksponensial, sigmoidal atau kurva berbentuk S. Model  Gompertz  bisa  digunakan  sebagai  kurva  pertumbuhan  dengan  kurva  berbentuk huruf S. Pada awalnya model Gompertz digunakan pada bidang pertanian dan peternakan. Dalam perkembangannya model Gompertz dapat digunakan pada model uji data hidup ( life time test ).  Fungsi Gompertz dengan tiga parameter mempunyai bentuk sebagai berikut:
(1)
Model  fungsi  Gompertz  dengan  tiga  parameter  seperti  Persamaan  (1)  mempunyai kurva  berbentuk  huruf  S.  Kurva  dari  model  Persamaan  (1)  untuk pada beberapa nilai disajikan pada Gambar (1) .
Masalah  utama  yang  sering  muncul  dalam  merancang  suatu  percobaan  adalah bagaimana  menentukan  titik-titik  rancangan  yang  harus  dicobakan  sehingga  memenuhi kriteria  optimal  yang  telah  ditetapkan.  Kriteria  D-optimal  adalah  kriteria  keoptimalan dengan  tujuan  meminimumkan  variansi  dari  penduga  parameter,  sehingga  diharapkan parameter dalam model akan signifikan (hipotesis yang menyatakan bahwa nilai parameter sama  dengan  nol  ditolak).  Rancangan  optimal  digunakan  untuk  menentukan  titik-titik rancangan  beserta  proporsi  (ulangan)  yang  harus  dicobakan  sehingga  terpenuhi  kriteria optimal  yang  telah  ditetapkan.  Rancangan  optimal  ini  hanya  berlaku  untuk  model hubungan fungsional dari peubah faktor dan peubah respon yang telah ditetapkan.
Secara umum rancangan optimal dapat diterapkan pada perancangan percobaan dan analisis regresi. Wald (1943) mengenalkan suatu kriteria optimal yang penekanannya pada kualitas  estimator  dari  parameternya.  Selanjutnya  Kiefer  and  Wolfowitz  (1959) menamakan kriteria yang diperkenalkan oleh Wald ini dengan nama kriteria D-optimal.
Gambar 1 . Kurva Fungsi Gompertz Tiga Parameter dengan

## pada Beberapa Nilai
Kriteria  D-optimal  ini  juga  dikenal  dengan  kriteria  determinan.  Kriteria  D-optimal diperoleh  dengan  memaksimumkan  determinan  dari  matriks  informasi  Fisher.  Chernoff (1953)  menentukan  keoptimalan  dari  regresi  linear  sederhana  pada  kasus  variansi  error konstan.  Chernoff  menyatakan  bahwa  rancangan  optimal  lokal  diperoleh  dengan  cara memberikan  dugaan  terhadap  nilai  parameternya  kemudian  memaksimumkan  kriteria optimal berdasarkan dugaan nilai parameter yang diberikan. Selanjutnya rancangan optimal untuk  model  regresi  berkembang  setelah  Kiefer  and  Wolfowitz  (1960)  menemukan Teorema Equivalensi Tergenaralisasi ( Generalized Equivalence Theorem ), yang dipertegas oleh Kiefer (1961) dan  Kiefer (1974). Selanjutnya White (1973) menjeneralisasi Teorema Equivalensi Tergenaralisasi untuk model nonlinear. Penentuan rancangan D-optimal untuk model  nonlinear  relatif  lebih  sulit  dibandingkan  dengan  model  linier,  hal  ini  disebabkan karena  elemen-elemen  matriks  informasi  mengandung  parameter  yang  tidak  diketahui nilainya. Untuk mengatasi hal ini, peneliti seharusnya mempunyai informasi awal tentang nilai parameter model, sehingga rancangan D-optimal lokal dapat diperoleh.
Pada awalnya rancangan D-optimal digunakan pada model linier, khususnya model regresi  polinomial.  Pada  kasus  homoskedastik  telah  diteliti  (Fang  (2002),  Luoma, et  al. (2007), Boon (2007) dan Atkinson, et al. (2007)). Sedangkan pada kasus heteroskedastik penentuan rancangan D-optimal dengan menggunakan funsi bobot. Beberapa peneliti telah melakukan dengan menggunakan fungsi bobot yang berbeda-beda (Fang (2003), Huang, et al. (1995),  Antille, et  al. (2003),  Dette  and  Trampish  (2010)).  Widiharih, et  al. (2013a), menggunakan tiga macam fungsi bobot dan diaplikasikan pada regresi polinomial derajad tiga.
Rancangan  D-optimal  model  Eksponensial  juga  telah  diteliti  baik  pada  kasus homoskedastik  maupun  heteroskedastik.  Pada  kasus  homoskedastik  telah  diteliti  oleh Imhoff  (2001),  Hans  and  Chaloner  (2003),  Dette, et  al. (2006),  Dette  and  pepelyshev
(2008), dan Widiharih, et al. (2013b, 2014, 2016b). Li and Majumdar (2008) menemukan teorema  yang  digunakan  untuk  memutuskan  apakah  rancangan  minimal  ( minimally supported  desin )  yaitu  banyaknya  titik  rancangan  sama  dengan  banyaknya  parameter dengan  ulangan  sama  dapat  digunakan.  Dalam  makalah  ini  penulis  mengadopsi  Teorema (1)  dari  Li  and  Majumdar  (2008).  Beberapa  rancangan  D-optimal  untuk  model  kurva pertumbuhan  juga  telah  diteliti,  diantaranya  Chang  and  Lay  (2002),  Li and  Balakrishnan (2011). Rancangan D-optimal untuk model dengan kurva berbentuk  huruf S telah diteliti, khususnya  model  Michaelis  Menten  dan  Emax  (Widiharih, et  al. (2015)),  dan  model Morgan Mercer Flodin dengan tiga parameter (Widiharih, et al. (2016a)).
Pada  makalah  ini  dibahas  rancangan  D-optimal  model  Gompertz  dengan  tiga parameter sebagai berikut:
(2)
dengan diasumsikan berdistribusi normal, independen dengan rata-rata nol  dan variansi konstan.  Penulis  menggunakan  Teorema  Equivalensi  Tergeneralisasi  Kiefer  Wolfowitz (1960) dan Teorema 1 bagian 3 dari Li and Majumdar (2008). Konsep sistem Tchebysheff diperlukan untuk menentukan banyaknya akar dari fungsi variansi terstandar. Berdasarkan banyaknya akar dari fungsi variansi terstandar dan menggunakan Teorema 1 bagian 3 dari Li and Majumdar (2008) dapat diputuskan apakah rancangan minimal bisa digunakan.

## 2. DISKRIPSI TEORITIS
Model nonlinear yang digunakan dengan bentuk :
(3) dengan asumsi independen berdistribusi Normal dengan rata-rata 0 dan variansi konstan. Rancangan dengan p titik rancangan dinotasikan dengan :
(4)
dengan :
: banyaknya ulangan untuk titik rancangan
n : banyaknya pengamatan  dan
Rancangan seperti pada Persamaan (4),
merupakan titik-titik rancangan dan , merupakan  proporsi  untuk yang  bersesuaian.  Menentukan banyaknya  titik  rancangan  ( p )  sangat  sulit,  dengan  menggunakan  konsep  sistem Tchebysheff  dapat  ditentukan  apakah  dapat  digunakan  rancangan  minimal  ( minimally supported  design )  yaitu  banyaknya  titik  rancangan  sama  dengan  banyaknya  parameter dalam model dengan proporsi sama.
Matriks informasi dari rancangan (4) adalah :
merupakan matriks simetri berukuran kxk dengan k adalah banyaknya parameter dalam model, dengan :
.  Matriks informasi pada Persamaan
(5)  masih  mengandung  parameter.  Dalam  melakukan  percobaan,  peneliti  sebaiknya  telah mempunyai  informasi  tentang  nilai  parameter,  sehingga  bila  nilai  parameter  dimasukkan pada Persamaan (5), determinan dari matriks informasi merupakan fungsi dengan  peubah dalam x= ( x 1 ,  x 2 ,...,x p ).  Fungsi  dispersi  (variansi  terstandar)  yang  bersesuaian  dengan rancangan adalah :
(6)
Nilai  dari  variansi terstandar  untuk  rancangan D-optimal antara nol sampai dengan k ( k : banyaknya  parameter  dalam  model)  dan  maksimum  dari  variansi  terstandar  terjadi  pada titik-titik rancangan. Berikut definisi dari rancangan dengan kriteria D-optimal.
Definisi 2.1. [Atkinson et al (2007) ]
Kriteria  D-optimal  adalah kriteria yang  diperoleh  dengan  cara  meminimumkan dengan:
Berdasarkan  Definisi  2.1,  kriteria  D-optimal  diperoleh  dengan  cara  memaksimalkan . Untuk menunjukkan bahwa rancangan seperti pada Persamaan (4) memenuhi kriteria D-optimal digunakan  Teorema  Equivalensi  Tergeneralisasi  dari  Kiefer  and Wolfowitz (1960)  berikut.
Teorema 2.1, Teorema Equivalensi Tergeneralisasi Kiefer and Wolfowitz (1960)
Tiga kondisi berikut adalah equivalen      ;
1. Rancangan memaksimalkan
2. Rancangan meminimumkan
3.
, dengan k adalah banyaknya parameter dalam model.
Secara ringkas Teorema Equivalensi Tergeneral dapat dinyakan sebagi berikut :
Rancangan memaksimalkan (7)
Untuk menunjukkan bahwa rancangan seperti pada Persamaan (4) merupakan rancangan D-optimal dengan melakukan cheking bahwa terpenuhinya :
(8)
Konsep  sistem  Tchebysheff  diperlukan  untuk  mengetahui  tingkah  laku  dari  variansi terstandar .  Prinsip  yang  dipentingkan  adalah  banyaknya  akar-akar  dari
, dengan k banyaknya parameter dalam model.
Definisi 2. 2. [Karlin and Studden (1966)]
Suatu  himpunan  fungsi
dari  C(K)  adalah  suatu  sistem
Tchebysheff (disingkat sistem T) jika setiap polinomial:
dengan  tidak  semua  koefisien  sama  dengan  nol,  dan  mempunyai  paling banyak n akar yang berbeda dalam K.
Cara  lain  untuk  menunjukkan  bahwa
merupakan  sistem  Tchebysheff dengan menggunakan Lemma berikut:
Lemma 2.1. [Shadrin (2005)]
Kondisi berikut ekuivalen:
1. suatu sistem Tchebysheff.
2. Untuk sembarang n+1  titik  yang berbeda
,  determinan  berikut tidak nol ,
3. Jika titik-titik yang berbeda dari K dan sembarang bilangan, maka masalah interpolasi
mempunyai
penyelesaian tunggal untuk yang tidak diketahui.
Sedangkan  untuk  menunjukkan  bahwa  suatu  himpunan  fungsi  dengan  anggota  fungsi merupakan kombinasi linier dari  fungsi-fungsi yang  saling independen merupakan sistem Tchebysheff dengan menggunakan lemma berikut:

## Lemma 2.2. [Widiharih (2016)]
Jika
dengan merupakan  fungsi-fungsi  kontinu  dan saling  independen,  merupakan  k  buah  barisan  sistem  Tchebysheff,  maka juga merupakan sistem Tchebysheff.
Dengan  menggunakan  kosep  sistem  Tchebysheff  dan  Teorema  1  bagian  3  dari  Li  and Majumdar  (2008)  dapat  diputuskan  apakah  rancangan  minimal  (minimally  supported design)  dapat  digunakan.  Teorema  1  bagian 3  dari  Li and  Majumdar  (2008)  seperti  pada Teorema 2.2  berkut:
Teorema 2.2 [Li and Majumdar (2008)]
Untuk  daerah  rancangan ,  jika sehingga  setiap fungsi mempunyai paling banyak 2k-1 akar pada daerah  rancangan maka  rancangan  D-optimal  tersebut  merupakan rancangan minimal dan tunggal dan salah satu dari a atau b merupakan titik rancangan. Jika sehingga setiap fungsi
mempunyai paling banyak 2k-2 akar pada ruang rancangan maka a dan b merupakan titik rancangan dari rancangan D-optimal .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1    Rancangan D-optimal Model Gompertz
Model Gompertz yang digunakan mempunyai bentuk:
merupakan parameter dari model.
Dengan menggunakan  rancangan  seperti  Persamaan  (4)  dan , elemen matriks  informasi adalah:
Untuk menentukan rancangan D-optimal Model (2) digunakan teorema berikut:

## Teorema 3.1
Titik-titik  rancangan  D-optimal  Model  (2)  adalah
, merupakan titik yang memaksimumkan :
(9)
dengan:

## dan
Dinotasikan : merupakan elemen  baris ke i kolom ke j dari invers matriks informasi .
+ -2 + 2 - 2 2 2 2
merupakan sistem Tchebysheff, dan merupakan kombinasi linear dari .    Sehingga  sehingga setiap fungsi mempunyai paling banyak 2k-1=5 akar , dengan k=3 (banyaknya  parameter  dalam  model).    Mengacu  pada  Teorema  1  maka  rancangan yang  digunakan  merupakan  rancangan  minimal  dengan b merupakan  titik  rancangan. Diperoleh rancangan:
(10)
Berdasarkan  titik-titik  rancangan  seperti  pada  Persamaan  (10),  elemen matriks  informasi adalah:
Sehingga diperoleh:
dengan:
dan ▄
Berdasarkan  Teorema  3.1  yang  diperoleh  terlihat  bahwa  rancangan  D-optimal  model Gompertz merupakan rancangan minimal dengan batas atas daerah rancangan merupakan salah satu titik rancangan.

## 3.2  Program Maple Untuk Penentuan Titik-titik Rancangan D-optimal
Titik-titik merupakan titik-titik yang memaksimumkan seperti pada Persamaan  (9),  merupakan  bentuk  nonlinear  yang  sangat  rumit.  Metode  optimasi  yang digunakan adalah Modifikasi Newton ( modified Newton ).  Penentuan titik-titik rancangan D-optimal ini menggunakan program Maple 12 sebagai berikut:
> f := c exp(-exp(-a*x+b)) > y1 := diff(y, a) > y2 := diff(y, b) > y3 := diff(y, c)
> s1 := exp(-a*(x1+x2))*(x2-x1)
> s2 := exp(-a*(x3+x2))*(x3-x2) > s3 := exp(-a*(x1+x3))*(x1-x3)
> y := s1+s2+s3 > k := exp(2*(exp(-a*x1+b)+exp(-a*x2+b)+exp(-a*x3+b))) > dm := c^4*exp(4*b)*y^2/(27*a^2*k) > a:=                                \% masukkan nilai > b:=                                \% masukkan nilai > c:=                                 \% masukkan nilai > with(Optimization); Interactive(dm, {x1 = 0 .. ub, x2 = 0 .. ub, x3=0 .. ub}) \% masukkan ub adalah batas atas daerah rancangan > m11 := (1/3)*c^2*(r^2*(exp(-a*r+b))^2*(exp(-exp(-a*r+b)))^2+ s^2*(exp(-a*s+b))^2*(exp(-exp(-a*s+b)))^2 + t^2*(exp(-a*t+b))^2*(exp(-exp(-a*t+b)))^2) > m12 := -(1/3)*c^2*(s*(exp(-a*s+b))^2*(exp(-exp(-a*s+b)))^2+ r*(exp(-a*r+b))^2*(exp(-exp(-a*r+b)))^2+
t*(exp(-a*t+b))^2*(exp(-exp(-a*t+b)))^2)
> m22 := (1/3)*c^2*((exp(-a*r+b))^2*(exp(-exp(-a*r+b)))^2+ (exp(-a*s+b))^2*(exp(-exp(-a*s+b)))^2+
(exp(-a*t+b))^2*(exp(-exp(-a*t+b)))^2)
> m33 := 1/3*((exp(-exp(-a*s+b)))^2+(exp(-exp(-a*r+b)))^2+ (exp(-exp(-a*t+b)))^2)
> m13 := (1/3)*c*(r*exp(-a*r+b)*(exp(-exp(-a*r+b)))^2+ s*exp(-a*s+b)*(exp(-exp(-a*s+b)))^2+ t*exp(-a*t+b)*(exp(-exp(-a*t+b)))^2) > m23 := -(1/3)*c*(exp(-a*s+b)*(exp(-exp(-a*s+b)))^2+ exp(-a*r+b)*(exp(-exp(-a*r+b)))^2+ exp(-a*t+b)*(exp(-exp(-a*t+b)))^2) > with(LinearAlgebra) > s:=            \% masukkan s dengan  x1 output dari optimization > t:=            \% masukkan t dengan  x2 output dari optimization > r:=             \% masukkan r dengan x3 output dari optimization > M := <<m11, m12,m13>|<m12, m22, m23>|<m13,m23,m33>> > MI := MatrixInverse(M) >  d1  :=  (n11*y1+n12*y2+n13*y3)*y1  +  (n12*y1+n22*y2+n23*y3)*y2+ (n13*y1+n23*y2+n33*y3)*y3 > n11 :=    \% masukkan nij adalah elemen dari  MI, i,j=1,2,3 > n12 := > n13 := > n22 := > n23 := > n33 := > with(Optimization); Interactive(d1, {x = 0 .. ub})
Hasil  simulasi  dari  program  untuk  beberapa  nilai
dengan  daerah rancangan [0 , 25] seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Titik-titik Rancangan D-optimal Model (2) Pada Beberapa Nilai
dengan daerah rancangan [0 , 25] x 1 x 2 x 3 0,1 0,2 0,000 10,4795 25 0,2 0,2 0,000 6,8072 25 0,3 0,2 0,000 4,7073 25 0,4 0,2 0,000 3,5463 25 0,5 0,2 0,000 2,8385 25 0,5 0,1 0,000 2,7665 25 0,5 0,3 0,000 2,9158 25 0,5 1,0 1,000 4,0874 25 0,5 1,5 2,000 5,0872 25 0,5 2,0 3,000 6,0869 25
Setiap  pasangan  titik  yang  bersesuaian  dengan  nilai
pada  Tabel  1  tersebut memenuhi Teorema
Tergeneralisasi
Kiefer Wolvofitz (1960),
yaitu:
.  Sebagai  ilustrasi  untuk
,  diperoleh rancangan:
(11)
Matriks Informasi yang bersesuaian degan rancangan (11) adalah:
(12)
Invers dari matriks informasi (12) adalah:
(13)
Gambar 2 . Grafik Variansi Terstandar Model (2) dengan Rancangan Persamaan (11)
Variansi  terstandar  pada  titik-titik  Rancangan  (11)  ketiganya  adalah  2,99999  (diperoleh dari  output    program  baris  terakhir),  sehingga  memenuhi Teorema  Tergeneralisasi  Kiefer Wolvofitz  (1960),  yaitu:
.  Hal  ini  dapat  ditunjukkan  pada Gambar  2,  dimana  sumbu  mendatar  adalah  daerah  rancangan  dan  sumbu  tegak  nilai variansi terstandar.

## 4. KESIMPULAN
Penentuan  titik-titik  rancangan  D-optimal  tergantung  dari  informasi  awal  tentang nilai  dari  paramater  dalam  model.  Optimasi  dari  fungsi  determinan  matriks  informasi dilakukan  secara  numeris  dengan  metode  Newton  Termodifikasi.  Hasil  yang  diperoleh berupa Teorema 3.1, rancangan D-optimal model Gompertz merupakan rancangan minimal dengan batas atas daerah rancangan merupakan salah satu titik rancangan, proporsi masing- masing titik rancangan .  Diperlukan penelitian lebih lanjut tentang rancangan D-optimal model Gompertz ini pada kasus error bersifat heterokedastik.

## DAFTAR PUSTAKA
Atkinson,  A.C.,  Donev,  A.N.,  and  Tobias,R.D.,  2007. Optimum  Experimental  Designs, with SAS, OXFORD University Press.
Antille,  G  .,Dette,H.,and  Weinberg,  A.,  2003.  A  Note  On  Optimal  Designs  In  Weighted Polynomial Regression For The Classical Efficiency Functions, Journal of Statistical Planning and Inference , Vol.113,  pp 285-292.
Boon,  J.E.,  2007,  Generating  Exact  D-optimal  Designs  for  Polynomial  Models, Spring Sim , Vol.2 , pp 121-126
Chang, F.C., and Lay, C.F., 2002.  Optimal Designs for a Growth Curve Models, Journal of Statistical Planning and Inference , Vol.104,  pp 427-438.
Chernoff,  H.,  1953.  Locally  Optimal  Designs  for  Estimating  Parameters, The  Annals  of Statistics , Vol.24,  pp 586 - 602.
Dette,  H.,  Melas,  V.B.  and  Wong,  W.K.,  2006.    Locally  D-optimal  Designs  for Exponential Regression Models, Statistica Sinica , Vol.16, pp 789-803.
Dette, H and Pepelyshev, A., 2008. Efficient Experimental Designs for Sigmoidal Growth Models, Journal of Statistical Planning and Inference , Vol.138, pp 2-17.
Dette,  H  and  Trampisch  M.,  2010.  A  General  Approach  To  D-Optimal  Designs  For Weighted  Univariate  Polynomial  Regression  Models, Journal  of  The  Korean Statistical Society , Vol. 39, pp 1-26.
Fang,  Z.,  2002.    D-optimal  designs  for  polynomial  regression  model  through  origin, Statistics and Probability Letters , Vol.57,  pp 343-351.
Fang,  Z  .,  2003.  D-optimal  designs  for  weighted  polynomial  regression, Statistics  and Probability Letters , Vol.63, pp 205-213.
Han,  C.,  and  Chaloner,  K.,  2003.  D-and  c-optimal  Designs  for  Exponential  Regression Models  Used  in  Viral  Dynamics  and  other  Applications, Journal  of  Statistical Planning and Inference , Vol.115,  pp 585-601.
Huang Lo, M.N., Chang, F.C., and Wong, W.K., 1995.  D-optimal Designs for Polynomial Regression Without an Intercept, Statistica Sinica , Vol. 5, pp 441-458.
Imhof, L.A., 2001, Maximin Designs for Exponential Growth Models and  Heteroscedastic Polynomial Models, The Annals of Statistics , Vo. 29, No.2,  pp 561-576.
Karlin, S., and Studden, W.J., 1966. Tchebyshev System:With Application in Analysis and Statistics ,  Wiley, New York ,1966.
Kiefer, J., and Wolfowitz, J., 1959, Optimum Designs in Regression Problems, Annals of Mathematical Statistics ,  Vol.30,  pp 271-294.
Kiefer,  J.,  and  Wolfowitz,  J.,  1960. The  Equivalence  of  Two  Extremum  Problems, Can. Jnl. Math ,  Vol. 12,  pp 363-366.
Kiefer,  J.,  1961,  Optimum  Designs  in  Regression  Problems  II, Annals  of    Mathematical Statistics , Vol.32,  pp 298-325.
Kiefer, J.,1974, General Equivalence Theory for Optimum Designs (Approximate Theory), The Annals of Statistics ,Vol.2, No.5, pp 849-879
Li, G., and Majumdar, D., 2008.  D-optimal designs for logistic models with three and four parameters, Journal of Statistical Planning and Inference , Vol. 138, pp 190-1959.
Li, G., and Balakrishnan, N.,2011. Optimal Designs for Tumor Regrowth Models, Journal of Statistical Planning and Inference , Vol.141,  pp 644-654.
Luoma, A., Nummi, T., and Sinha, B.K., 2007.   Optimal Designs in Random Coeffisient Cubic Regression Models, Journal of Statistical Planning and Inference , Vol.137, pp 3611-3617.
Shadrin,  A.,  2005. Part  III-Lent  Term 2005,  Approximation  Theory-Lecture  6 ,    A  Short Course, http:www.damtp.cam.uk/user/na/na.html.
Wald,  A.,  1943.  On  The  Efficient  Design  of  Statistical  Investigations, Annals  of Mathematical Statistics , Vol.14,  pp 134-140.
White,L.,  1973.  An  Extension  of  the  general  equivalence  theorem  to  nonlinear  models, Biometrika , Vol. 60,  pp 345-348.
Widiharih,  T.,  2016.  Rancangan  D-optimal  Untuk  Model  Eksponensial  Tergenerlisasi, Eksponensial  Terboboti  dan  Morgan  Mercer  Flodin  (MMF),  (Disertasi  Ilmu Matematika UGM, tidak dipublikaskan)
Widiharih,  T.,  Haryatmi,S.,  dan  Gunardi.,  2013a.  D-optimal  Design  Untuk  Regresi Polinomial Terboboti, IndoMS Journal on Statistics ,  Vol.1, No.1,  pp 29-38
Widiharih,  T.,  Haryatmi,S.,  and  Gunardi.,  2013b.  D-optimal  designs  for  weighted exponential  and  generalized  exponential  models, Applied  Mathematical  Sciences , Vol.7 No.22,  pp 1067-1079
Widiharih,T.,  Haryatmi,S.,  dan  Gunardi.,  2014.    Rancangan  D-optimal  Untuk  Model Eksponensial Tergeneral, Media Statistika , Vol.7 No.2 , pp 71-76.
Widiharih,T.,  Haryatmi,S.,  and  Gunardi.,  2015.    D-optimal  designs  for  Morgan  Mercer Flodin  (MMF)  Models  without  Intercept, International  Journal  of  Applied Mathematics and Statistics , Vol.53, No.5, pp 163-171.
Widiharih,T.,  Haryatmi,S.,  and  Gunardi.,  2016a.    D-optimal  designs  for  Morgan  Mercer Flodin (MMF) Models With Three Parameters, Proceeding AIP, 1707, 080015 , pp 080015_1 – 080015_10
Widiharih,T.,  Haryatmi,S.,  and  Gunardi.,  2016b.  D-optmal  Designs  for  Modified Exponential  Models With Three Parameters, Journal Model Assisted Statistics and Application , Vol.11 ,  pp 153-169.