Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
DOI: doi.org/10.21009/SPEKTRA.033.01
TWO-DIMENSIONAL DYNAMICS OF SPHERICAL GRAIN FLOATING ON THE PROPAGATING WAVE FLUID SURFACE
Sparisoma Viridi 1,a) , Nurhayati 2,b) , Johri Sabaryati 3,c) , Dewi Muliyati 4,d)
1 FMIPA, Institut Teknologi Bandung, Bandung 40132, Indonesia
2 FST, Universitas Islam Negeri Ar-Raniry, Banda Aceh 23111, Indonesia
3 FKIP, Universitas Muhammadiyah Mataram,  Mataram 83127, Indonesia
4 FMIPA, Universitas Negeri Jakarta, Jakarta 13220, Indonesia
Email: a) dudung@gmail.com, b) firstnur1708@gmail.com, c) joyafarashy@gmail.com, d) dmuliyati@gmail.com

## Abstrak
Simulasi  dinamika  butiran  berbentuk  bola  pada  permukaan  fluida  yang  merambatkan  gelombang dilakukan  dengan  menggunakan  metode  dinamika  molekuler  yang  mengasumsikan  bahwa  superposisi gaya angkat dengan gaya gravitasi, yang diperlambat dengan gaya hambat fluida, menyebabkan benda dapat  begerak  dua-dimensi.  Hal  ini  berbeda  dengan  hasil  sebelumnya  di  mana  benda  hanya  dapat begerak dalam satu dimensi dikarenakan ukuran bola D b << λ f , sedangkan dalam pekerjaan ini D b < λ f sehingga arah gaya angkat perlu diperhatikan. Secara teori gerak dua-dimensi akan cenderung menjadi gerak satu-dimensi bila nilai D b / λ kurang dari nilai tertentu, dan tetap dua dimensi bila melampaui nilai tertentu.  Diperoleh  dalam  pengamatan  selama  20  s  bahwa  frekuensi  gelombang  dapat  mempengaruhi arah  perpindahan  benda  berbentuk  bola  tersebut,  menjadi  searah  atau  berlawanan  arah  dengan  arah rambat gelombang pada permukaan fluida.
Kata-kata kunci : butiran, simulasi, gaya angkat, gaya gravitasi, gaya hambat fluida.

## Abstract
Simulation of a spherical grain floating in fluid surface propagating sinusoidal wave is performed using molecular  dynamics  method  by  assuming  that  superposition  of  buoyant,  gravitational,  and  viscous forces will make the grain to move in two-dimension. It is different than previous result, where the grain can only move in one-dimension since size of the grain D b << λ f . In this work D b < λ f so that direction of buoyant force must be considered. It is predicted theoretically that the two-dimensional motion tends to be a one-dimensional motion when D b / λ less than a certain value, but it remains as a two-dimensional motion  when  more  than  that  value.  In  20  s  of  observation  frequency  of  the  sinusoidal  wave  can determine whether the grain will move in the same direction of the travelling wave or not.
Keywords : grains, simulation, buoyant force, gravitational force, viscous force.

## PENDAHULUAN
Observasi  obyek  yang  mengambang  telah  lama  menjadi  penelitian  yang  menarik,  baik  dari  sisi pembelajarannya  [1],  maupun  dari  sisi  penerapannya  terutama  terkait  dengan  distribusi  spasial- temporalnya  di  laut  [2],  yang  sebagian  besarnya  adalah  sampah  yang  jumlahnya  mencapai  5×10 12 potong dan massa keseluruhannya mencapai 2.5×10 5 ton [3], dan juga bagaimana obyek terbawa saat
Received: 03 August 2018 Revised: 31 August 2018
Accepted: 10 September 2018
Published: 30 December 2018
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
bendungan  pecah  [4].  Secara  lokal  teramati  pula  dalam  eksperimen  bahwa  posisi  awal  benda menentukan  bagaimana  geraknya  dalam  sebuah  vorteks  [5].  Pemodelan  sistem  yang  kompleks  ini dilakukan  dengan  simulasi  acak  untuk  membangkitkan  berbagai  ensembel  sebaran  polutan  yang mungkin  dan  kemudian  dirata-ratakan  untuk  memperkirakan  dispersi  spasialnya  [6].  Sistem  dapat pula  dibangun  dari  berbagai  sub-sistem  yang  saling  berinteraksi,  seperti  pemodelan  sirkulasi  arus, gelombang,  cuaca,  pantai,  dan  lainnya,  seperti  dalam  sistem  Poseidon  [7].  Dari  sisi  bahan  butiran pemodelan dapat dimulai dengan memodelkan obyek berbentuk bola yang berinteraksi dengan fluida, yang  untuk  ukuran  benda  yang  jauh  lebih  kecil  dari  panjang  gelombang  fluida,  dapat  dianggap sebagai sistem dinamis satu-dimensi [8], yang dalam hal ini masih mengabaikan peran dari tegangan permukaan  [9].  Dalam  tulisan  ini  perluasan  sistem  sebelumnya  dilakukan  sehingga  dapat  diperoleh dinamikanya sebagai sistem dua-dimensi, yang masih mengabaikan efek balik gerak benda terhadap gelombangnya [10] dan juga efek rotasinya [11].

## METODE
Terdapat  dua  bagian  dalam  sistem  yang  dibahas  dalam  tulisan  ini,  yaitu  permukaan  fluida  yang menggambarkan  perambatan  gelombang  sinusoidal  dan  partikel  berbentuk  bola  yang  mengambang pada permukaan fluida tersebut.

## Permukaan fluida
Permukaan  fluida  yang  merambatkan  gelombang  sinusoidal  diformulasikan  dengan  terlebih dahulu  mendefinisikan  sumber  vibrasi  yang  terdapat  di x = x 0 ,  sehingga  posisi  vertikal  permukaan fluida pada titik tersebut diberikan oleh
(1)
dan  posisi  vertikal  permukaan  fluida  di  sembarang  tempat x dan  waktu t diberikan  oleh  fungsi gelombang
, (2)
dengan ω adalah frekuensi angular, ϕ 0 adalah fasa awal, dan k adalah bilangan gelombang. Parameter pertama  dan  ketiga  terkait  dengan  frekuensi  gelombang f ,  periode  gelombang T ,  dan  panjang gelombang λ melalui
, (3) , (4)
sehingga cepat rambat gelombang dapat dituliskan menggunakan
. (5) Gaya gravitasi

## Partikel mengalami gaya gravitasi dalam bentuk
, (6)
dengan D b adalah diameter partikel, ρ b adalah massa jenis partikel dan   adalah percepatan gravitasi. Bentuk  partikel  telah  diasumsikan  berbentuk  bola  sehingga  parameter  yang  diperlukan  untuk menghitung volume V b dan kemudian massanya m b hanya diameternya D b .
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA

## Gaya apung
Dalam  studi  sebelumnya,  karena  gerak  dinamika  partikel  hanya  dalam  satu-dimensi,  maka  arah gaya  apung akan  searah  dengan
[5],  akan  tetapi  dalam  penelitian  ini  arahnya  dinyatakan dengan
. (7)
Besarnya gaya apung F A bergantung dari posisi vertikal permukaan fluida z f dalam bentuk
(8)
Persamaan (8) menggambarkan bahwa hanya volume benda yang tercelup V f yang berkontribusi pada gaya apung dengan ρ f adalah massa jenis fluida. Arah diilustrasikan dalam GAMBAR 1 yang akan diperoleh dengan memanfaatkan vektor
, (9)
dengan nilai-nilai z A dan z B diperoleh menggunakan Persamaan (2) dalam bentuk
(10)
dan . (11)
GAMBAR 1. Arah vektor   (arah gaya apung) dan hubungannya dengan (permukaan fluida).
Kurva berwarna biru dan merah berturut-turut menggambarkan permukaan fluida saat t = t 0 dan suatu saat kemudian t = t 0 + Δ t .
Posisi horisontal partikel adalah x yang akan memberikan posisi x A dan x B melalui (12)
dan
. (13) Selanjutnya dapat dituliskan kembali Persamaan (10) dan (11) secara eksplisit (14)
dan
, (15)
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
dengan selisih posisi vertikalnya adalah
, (16)
yang untuk D / λ << 10 –2 membuat Δ z ≈ 0, sehingga dalam tulisan ini dipilih 0.0125 < D / λ < 0.5. Dengan menggunakan Persamaan (14)-(16) serta nilai-nilai x A dan x B dapat diperoleh bahwa
(17)
dan
, (18)
sehingga
. (19)
Terdapat hubungan
(20)
sebagaimana  telah  disertakan  dalam  GAMBAR  1.  Selanjutnya,  sebagaimana  ditunjukkan  dalam GAMBAR 2 dapat diperoleh rumusan
. (21)
GAMBAR 2. Bagaimana cara menentukan vektor   (arah gaya apung) dengan (permukaan fluida).
Formulasi lengkap dari diberikan oleh
(22)
dengan menggunakan Persamaan (8) dan (21).
Gaya gesek fluida
Pada partikel berlaku gaya gesek fluida dalam bentuk
(23)
dengan ηf adalah viskositas fluida,   adalah kecepatan partikel, dan   adalah kecepatan fluida
. (24)
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  dinamika  molekuler  yang  menghitung percepatan  partikel  melalui  hukum  II  Newton  dan  melakukan  integrasi  numerik  dengan  metode Euler.

## Hukum II Newton

## Untuk gerak translasi berlaku bahwa
(25)
sehingga untuk sistem yang dibahas dalam tulisan ini dapat diperoleh
. (26)

## Metode Euler
Integrasi numerik dari percepatan   dengan syarat batas akan memberikan   melalui
, (27)
dan kemudian untuk   melalui integrasi numerik dari   dengan syarat batasnya akan memberikan
. (28)

## Diagram alir
Keseluruhan proses yang dilakukan dalam simulasi diberikan dalam GAMBAR 3.
GAMBAR 3. Diagram alir simulasi dinamika obyek berbentuk bola yang terapung pada permukaan fluida yang bergelombang secara sinusoida.
Simulasi dihentikan saat waktu akhir t = t end telah tercapai.
Beg
g , ρ f , η f , A, f, ϕ 0 , λ D b , ρ b , x (0), z (0) Δ t , t beg = 0, t end ,
t = t beg z ( x, t ) , F G , F A , F D
a =  ΣF / m 1 1 2 v x ( t + Δ t ) = v x ( t ) + a x Δ t v z ( t + Δ t ) = v z ( t ) + a z Δ t x ( t + Δ t ) = x ( t ) + v x ( t )Δ t z ( t + Δ t ) = z ( t ) + v z ( t )Δ t t > t end
t = t + Δ t 3 2 3 End t , x , z
Y N
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA

## HASIL DAN DISKUSI
Parameter yang digunakan dalam simulasi adalah seperti diberikan dalam TABEL 1 apabila tidak diberikan penjelasan tambahan.
TABEL 1. Parameter-parameter standar yang digunakan dalam simulasi.
Parameter Nilai Satuan Keterangan g 9.81 m·s -2 percepatan gravitasi ρ f 1000 kg·m -3 massa jenis fluida η f 1 Pa·s viskositas fluida T f 20 °C temperatur fluida A (1, 2.5, 5, 10, 20)×10 -2 m amplitudo gelombang fluida f 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2 Hz frekuensi gelombang fluida λ 0.1, 0.5, 1, 2, 4 m panjang gelombang fluida ϕ 0 0 rad fasa awal gelombang fluida Δ t 10 -3 s langkah waktu T data 0.1 s perioda data t beg , t end 0, 10 s waktu awal, akhir simulasi D b 0.05 m diameter benda ρ b 800 kg·m -3 massa jenis benda
Temperatur  fluida  dalam  tulisan  ini  belum  memberikan  arti  fisis.  Penerapan  dan  analisis  parameter ini dilakukan pada pekerjaan selanjutnya.

## Gerak partikel
Secara  umum  hasil  yang  diperoleh  adalah  seperti  dalam  GAMBAR  4  dan  5  untuk partikel  yang mengapung  pada  permukaan  fluida  yang  merambatkan  gelombang  sinusoidal.  Partikel  perlahan- lahan merambat ke kanan sesuai dengan arah rambat gelombang pada permukaan fluida.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
(h)
GAMBAR 4. Dinamika benda berbentuk bola dengan parameter simulasi A = 0.05 m, f = 0.5 Hz, λ =1 m, dan nilai standar lainnya  untuk berbagai saat t : (a) 0 s, (b) 2 s, (c) 4 s, (d) 6 s, (e) 8 s, (f) 10 s, (g) 12 s, dan (h) 14 s.
Saat t =  0  s  partikel  dianggap  tidak  memiliki  kecepatan  sehingga  dalam  GAMBAR  5  kanan digambarkan  sebagai  titik  di  tengah  grafik v z terhadap v x .  Setelah  beberapa  saat  terlihat  bahwa
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
partikel  memiliki  hubungan  fasa  tertentu  antara v z dan v x yang  merupakan  akibat  interaksi  antara partikel dengan gerak gelombang pada permukaan fluida.
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 -0.6 0 0.6 1.2 z x -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -0.3 -0.1 0.1 0.3 v z v x
GAMBAR 5. Dinamika partikel untuk A = 0.05 m, f = 0.5 Hz, λ =1 m, dan nilai standar lainnya: z terhadap x (kiri) dan v z terhadap v x (kanan).

## Pengaruh amplitudo
Berdasarkan TABEL 1 terdapat lima nilai amplitudo yang digunakan, yaitu 1, 2.5, 5, 10, 20 cm. Gerak partikel dikaitkan dengan nilai-nilai amplitudo tersebut diberikan dalam GAMBAR 6. Apabila dibandingkan dengan D b = 5 cm maka variasi dilakukan untuk A / D b bernilai 5, 2, 1, 0.5, 0.25.
GAMBAR 6. Dinamika partikel untuk f = 0.5 Hz, λ =1 m, dan nilai standar lainnya dengan variasi amplitudo A : x terhadap t (kiri) dan z terhadap t (kanan).
Dari GAMBAR  6 terlihat bahwa dengan semakin  besarnya amplitudo A partikel akan  semakin  laju bergerak  ke  kanan  (arah x positif)  searah  dengan  arah  rambat  gelombang  pada  permukaan  fluida. Arah vertikal (arah z ) partikel bergerak berosilasi sesuai dengan osilasi gelombang pada permukaan fluida.

## Pengaruh frekuensi
Terdapat  lima  macam  variasi  frekuensi  0.1,  0.2,  0.5,  1,  2  Hz  berdasarkan  TABEL  1.  Dinamika partikel dikaitkan dengan nilai-nilai tersebut diberikan dalam GAMBAR 7.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
GAMBAR 7. Dinamika partikel untuk A = 5 cm, λ =1 m, dan nilai standar lainnya dengan variasi frekuensi f : x terhadap t (kiri) dan z terhadap t (kanan).
Terdapat  hal  yang  menarik  bahwa  pada  arah  horisontal  arah  gerak  partikel  secara  keseluruhan, dengan mengabaikan gerak maju-mundurnya, bergantung pada frekuensi gelombang pada permukaan fluida.  Frekuensi  0.1,  0.2,  dan  0.5  Hz  membuat  partikel  bergerak  searah  arah  rambat  gelombang sedangkan frekuensi 1 dan 2 Hz membuat partikel bergerak pada arah yang berlawanan. Sedangkan untuk arah vertikal, secara umum, amplitudo gelombang setara dengan geraknya pada arah ini.

## Pengaruh panjang gelombang
Dalam  penelitian  ini  divariasikan  lima  nilai  panjang  gelombang  yaitu  0.1,  0.5,  1,  2,  dan  4  m, sebagaimana  telah  dicantumkan  dalam  TABEL  1.  Dinamika  partikel  akibat  nilai-nilai  tersebut disajikan dalam GAMBAR 8.
GAMBAR 8. Dinamika partikel untuk f = 0.5 Hz, A = 5 cm, dan nilai standar lainnya dengan variasi panjang gelombang λ : x terhadap t (kiri) dan z terhadap t (kanan).
Variasi  panjang  gelombang  selalu  membuat  partikel  bergerak  searah  dengan  arah  rambat gelombang pada permukaan fluida.

## Perpindahan
Bila  sumber  gelombang  pada  permukaan  fluida  dapat  disebabkan  oleh  suatu  gangguan  tertentu seperti angin, maka dapat diasumsikan bahwa parameter yang berpengaruh adalah amplitudo A dan frekuensi f sehingga  dua  parameter  ini  akan  divariasikan  untuk  melihat  pengaruhnya  terhadap perpindahan Δ x selama rentang pengamatan t = 20 s, sebagaimana diberikan dalam GAMBAR 9.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 Δ x f A = 1 cm A = 2 cm A = 3 cm A = 4 cm A = 5 cm
GAMBAR 9. Perpindahan horisontal Δx sebagai fungsi frekuensi f untuk berbagai nilai amplitudo A .
Untuk frekuensi antara 0.3 – 0.5 Hz terlihat bahwa dengan semakin bertambahnya amplitudo akan menyebabkan perpindahan horisontalnya semakin besar. Untuk nilai-nilai lain masih belum terdapat pola  yang  dapat  dijelaskan.  Selaini  pada  frekuensi  antara  1  dan  2  Hz  terlihat  adanya  persilangan untuk amplitudo 1 – 3 cm, yang kira-kira setara dengan setengah ukuran partikel yang dibahas.
Terdapatnya  perpindahan  yang  dapat  bernilai  positif  dan  negatif  ini  dapat  dimanfaatkan  untuk menggabungkan  partikel-partikel  yang  berbeda  apabila  gelombang  pada  masing-masing  tempat sumbernya memilki karakteristik yang berbeda.

## SIMPULAN
Simulasi  dinamika  benda  terapung  pada  permukaan  fluida  yang  merambatkan  gelombang sinosoidal telah dilakukan. Gerak dua dimensi dibatasi untuk nilai 0.0125 < D / λ < 0.5 dan teramati bahwa nilai frekuensi tertentu dapat menyebabkan gerak benda searah atau berlawanan arah dengan arah rambat gelombang.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Terima  kasih  kepada  skema  penelitian  P3MI  ITB  dalam  tahun  2018  atas  dukungannya  pada penelitian ini.

## REFERENSI
[1] J.  M.  Vitale,  M.  C.  Linn,  “Designing  virtual  laboratories  to  foster  knowledge  integration: buoyancy  and  density”  in Cyber-Physical  Laboratories  in  Engineering  and  Science Education , M. E. Auer et al . eds. Springer Int. Pub. AG, 2018, ch. 7, pp. 163-189.
[2] M. Thiel, I. A. Hinojosa, T. Joschko, L. Gutow,  “Spatio-temporal distribution of floating objects in the German Bight (North Sea),” J. Sea Res. , vol. 65 pp. 368-379, Apr. 2011.
[3] M.  Eriksen,  L.  C.  M.  Lebreton,  H.  S.  Carson,  M.  Thiel,  C.  J.  Moore,  J.  C.  Borerro,  F. Galgani,  P.  G.  Ryan,  J.  Reisser,  “Plastic  pollution  in  the  world’s  oceans:  More  than  5 trillion  plastic  pieces  weighing  over  250,000  tons  afloat  at  sea,” PLoS  one ,  vol.  9,  pp. e111913 (15 pages), Dec. 2014.
[4] G. Bilotta, A. Vorobyev, A. Hérault, D. Violeau, C. D. Negro, “SPH for the simulation of dam-break  with  floating  objects”  in Progress  in  Industrial  Mathematics  at  ECMI  2014 , Mathematics in Industry 22 G. Russo et al . eds. Cham: Springer, 2016, pp. 889-897.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
[5] A.  A.  Budnikov,  P.  V.  Zharkov,  Yu.  D.  Chashechkin,  “Experimental  modeling  of  the shifting of floating objects in ‘garbage islands’,” Mosc. Univ. Phys. Bull. , vol. 67, pp. 403- 408, Jul. 2012.
[6] C. C. Giarrusso, E. P. Carratelli, G. Spulsi, “On the effects of wave drift on the dispersion of floating pollutants,” Ocean Eng. , vol. 28, pp. 1339-1348, Oct. 2001.
[7] P. Annika, T. George, P. George, N. Konstantinos, D. Costas,  C. Koutitas, “The Poseidon operational tool for the prediction of floating pollutant transport,” Mar. Pollut. Bull. vol. 43 270-278, Jul.-Dec. 2001.
[8] S.  Viridi,  Nurhayati,  J.  Sabaryati,  “Dinamika  satu-dimensi  butiran  berbentuk  bola  yang terapung pada permukaan fluida,” in Simposium Nasional Inovasi dan Pembelajaran Sains , Bandung, Indonesia, 9-10 Juli 2018, pp. ( revised ).
[9] L. Wu, Y. Yang, G. Yang, X. Gui, “Statics of supporting leg for a water strider robot” in Proceedings  of  2013  Chinese  Intelligent  Automation  Conference ,  Lecture  Notes  in Electrical Engineering 255  Z. Sun et al . eds. Heidelberg:  Springer, 2013, ch. 39, pp. 349- 356.
[10] Y.  Shi,  S.  Li,  H.  Zhang,  S.  Peng,  H.  Chen,  R.  Zhou,  T.  Mao,  “Numerical  modeling  of floating oil boom motions in wave-currect coupling conditions,” J. Ocean Univ. China , vol. 16, pp. 602-608, Aug. 2017.
[11] L. Chen, L. Sun, J. Zang, A. J. Hillis, A. R. Plummer, “Numerical study of roll motion of a 2-D floating structure in viscous flow,” J. Hidrodynam. B , vol. 28, pp. 544-563, Aug. 2016.