## Model SIS Stokastik pada Penyakit Malaria Berdasarkan Distribusi Data Pasien
Darmawati* 1 , Wahyudin Nur 2 1,2 Universitas Sulawesi Barat e-mail: * 1 darmath@unsulbar.ac.id, 2 wahyudin.nur@unsulbar.ac.id

## Abstrak
Penyakit  Malaria  merupakan  salah  satu  penyakit  yang  paling  sering  mewabah  di daerah beriklim  tropis  seperti  Indonesia,  khususnya  daerah Sulawesi  Barat.  Salah  satu  faktor pendukung  dari  wabah  penyakit  ini  adalah  banyaknya  daerah  rawa  yang  merupakan  habitat alami  perkembang  biakan  dari  vektor,  yaitu  nyamuk  Anopheles  spp  yang  menularkan  Parasit Plasmodium spp ke tubuh inang yakni manusia. Dalam penelitian ini kami menggunakan model Susceptible  Infected  Susceptible  (SIS)  untuk  mengkaji  model  infeksi  penyakit  Malaria,  dimana laju infeksi penyakitnya dimodelkan oleh Distribusi  Poisson  dengan berdasarkan pada model distribusi  pasien.  Data  jumlah  pasien  akan  diperiksa  model  distribusinya  untuk  mengetahui model  stokastik  yang  akan  digunakan  dalam  memodelkan  laju  infeksi,  yang  kemudian  akan diaplikasikan  dalam  model  SIS  Stokastik  infeksi  Malaria  di  daerah  Kabupaten  Majene, Sulawesi  Barat.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  mendapatkan  model  dan  analisis matematika  untuk  menanggulangi  infeksi  Malaria,  agar  tidak  kembali  mewabah.  Hasil  yang diperoleh  menunjukkan  bahwa  model  matematika  yang  dibentuk  dapat  menunjukkan  dinamik dari penyakit Malaria tersebut.
Kata kunci : Malaria, Model SIS, Distribusi Poisson

## 1. PENDAHULUAN
Indonesia  sebagai  salah  satu  Negara  tropis  di  Asia  Tenggara  dengan  iklim  yang  cenderung hangat  merupakan  habitat  yang  disukai  oleh  nyamuk.  Sulawesi  Barat  khususnya  kabupaten Mamuju  merupakan  salah  satu  Provinsi  di  Indonesia  yang  beriklim  cukup  hangat  cenderung panas. Kondisi geografis kabupaten Mamuju yang masih memiliki banyak rawa dan hutan juga semakin  memungkinkan  untuk  nyamuk  berkembang-biak  dengan  cepat.  Sebagaimana  yang sudah  diketahui,  nyamuk  merupakan  salah  satu  vektor  penyakit  untuk  beberapa  penyakit menular  di  wilayah  tropis  maupun  subtropis.  Penyakit  menular  seringkali  disebut  sebagai wabah,  dan  apabila  wabah  tersebut  berada  dalam  lingkup  yang  lebih  luas  dan  terjadinya  lebih cepat  dari  perkiraan  sebelumnya,  maka  wabah  tersebut  dikenal  sebagai  epidemi  (Sari,  A.N., 2011).  Salah  satu  penyakit  yang  disebabkan  oleh  nyamuk  sebagai  vektornya  adalah  penyakit Malaria.  Berdasarkan  The  World  Malaria  Report  2015,  sebanyak  214  juta  kasus  baru  terjadi sepanjang  tahun  dengan  438  ribu  kasus  kematian  karena  infeksi  Malaria.  Di  Indonesia  sendiri khususnya  Provinsi  Sulawesi  Barat,  angka  kejadian  malaria  sendiri  cukup  tinggi.  Bahkan menurut  laporan  Dinas  Kesehatan  provinsi  Sulawesi  barat  tahun  2016,  di  beberapa  kabupaten masih  merupakan  daerah  endemik  malaria.  Dari  fakta-fakta  yang  diberikan,  penelitian  tentang Malaria semakin gencar dilakukan. Tidak hanya bagi kalangan kesehatan, tetapi juga dilakukan oleh praktisi bidang lain seperti Matematika.
Penyederhanaan  masalah  nyata  ke  dalam  bentuk  masalah  matematika  seringkali disalahpahami  sebagai  suatu  ketidakmungkinaan.  Penyederhanaan  masalah  nyata  ke  dalam
54
masalah  matematika  dikenal  sebagai  pemodelan  matematika,  dan  cabang  yang  meneliti keterkaitan  antara  penyebaran  penyakit  dengan  model  matematika  disebut  sebagai  matematika epidemiologi. Model matematika yang digunakan untuk mengetahui penyebaran suatu penyakit di daerah tertentu dikenal sebagai model epidemik. Pada tahun 1927, A. G. McKendrick dan W. O.  Kermarck  memperkenalkan  model  matematika  epidemik  modern  yang  memformulasikan model  deterministik  sederhana.  Model  epidemik  pertama  dikenalkan  oleh  Daniel  Bernoulli tentang  penyebaran  penyakit smallpox .  Selanjutnya,  model  epidemik  terus  berkembang  baik yang  bersifat  deterministik  maupun  model  yang  bersifat  stokastik  (Diekman,  O.  dan Heesterbeek, J.A.P 2000).
Model  SIS  ( Susceptible  Infective  Susceptible )  merupakan  model  penyebaran penyakit dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penyakit, kemudian sembuh  dengan  pengobatan  medis  ataupun  karena  proses  alami.  Akan  tetapi  kesembuhan individu  tersebut  tidak  menjamin  dirinya  kebal  terhadap  infeksi  tersebut,  dengan  kata  lain individu  tersebut  sewaktu-waktu  dapat  kembali  terinfeksi  oleh  penyakit  yang  sama.  Adapun contoh penyakit yang model penyebaran penyakitnya menggunakan model SIS adalah penyakit malaria  (Allen,  L.J.S.2008). Beberapa  penelitian  mengenai  pemodelan  penyakit  Malaria  sudah dilakukan, seperti oleh Sari,D.M. (2009),  Adetunde, I.A. dan Yawson, N. (2010), Gebremeskel, A.A  dan  Krogstad,  H.E.  (2015)  dan    Wairimu,  J.,  Gauthier,  S.,  dan  Ogana,  W.  (2014).  Akan tetapi sampai saat ini terkhususnya di  Indonesia belum  ada penelitian  yang menggunakan  data penderita penyakit Malaria sebagai tolak ukur dalam penentuan laju infeksi penyakit malaria.
Berdasarkan paparan di atas, kami ingin mengkaji model SIS penyakit Malaria dengan melibatkan jumlah kasus kejadiannya sehingga nantinya akan diperoleh kajian mengenai model SIS Stokastik yang didasarkan oleh data penderita penyakit Malaria.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  dengan  studi  literature  untuk mengetahui informasi-informasi yang berkaitan dengan penyakit Malaria, dan  juga mengambil referensi  dari  penelitian-penelitian  sebelumnya  mengenai  model  matematika  untuk  penyakit Malaria.  Langkah  selanjutnya  adalah  dengan  mengunjungi  instansi  terkait  dalam  hal  ini mengunjungi  Dinas  Kesehatan  Kabupaten  Majene  untuk  mendapatkan  data  penderita  penyakit Malaria,  dan  kemudian  akan  diperiksa  kecocokan  distribusinya  untuk  mengkonstruksi persamaan non-linier yang nantinya akan membangun model SIS stokastik.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model  SIS  deterministik  yang  telah  dimodifikasi  dengan  memperhatikan  rata-rata perekrutan manusia sebanyak A manusia per hari dan laju kematian per hari serta diasumsikan bahwa  tidak  ada  kematian  karena  infeksi  dan  penderita  yang  sembuh  akan  kembali  menjadi susceptible , maka diperoleh sistem persamaan diferensial yang baru, yaitu:
(1)
Untuk  mengkontruksi  model  SIS  Stokastik,  pertama  dilakukan  pemeriksaan  terhadap data untuk mengetahui kecocokan distribusinya. Penelitian ini awalnya akan menggunakan data Malaria  dari  Rumah  Sakit  Umum  Kabupaten  Mamuju,  Kota  Mamuju.  Akan  tetapi  setelah ditelusuri,  Rumah  Sakit  tersebut  ternyata  tidak  memiliki  data  penderita  dalam  rentang  waktu yang diharapkan. Pada akhirnya penelitian ini menggunakan data penderita Malaria tahun 2013- 2017  yang  diambil  dari  Dinas  Kesehatan  Kabupaten  Majene,  Kota  Majene  Provinsi  Sulawesi Barat.  Adapun  model  distribusi  yang  diperoleh  dari  data  penderita  Malaria  tersebut  disajikan dalam gambar berikut.

## Gambar 1 Bentuk distribusi Pasien penderita Malaria
Dari  hasil  pencocokan  kurva,  diperoleh  bahwa  data  dari  penderita  Malaria  tersebut ternyata  mengikuti  distribusi  Poisson.  Kemudian  model  SI  yang  sudah  disesuaikan  dengan asumsi yang digunakan yaitu pada persamaan (3.1) selanjutnya akan dikontruksi menjadi model SI Stokastik yang baru.
Dari  banyak  penelitian  yang  sudah  dilakukan  sebelumnya  untuk  kasus  Malaria  dengan menggunakan model pada persamaan (3.1), nilai yang digunakan untuk parameter laju infeksi dalam populasi   SI  hanyalah nilai perkiraan saja. Tidak ada standar baku untuk menentukan nilai  tersebut.  Pada  kenyataannya  nilai  yang  ada  untuk  kasus  Malaria  hanyalah  data  dari banyaknya  kasus  yang  terjadi,  dimana  jumlah  kasus  setiap  saatnya  bergantung  pada  jumlah kasus dan waktu sebelumnya.
Dari  fakta  ini,  jika  diasumsikan  laju  infeksi  dalam  populasi   SI  dari  data  Malaria mengikuti  distribusi  Poisson  dengan adalah  banyaknya  kasus  infeksi  baru  Malaria  yang terjadi  setiap  bulannya.  Maka  untuk  menggantikan  laju  infeksi  dalam  populasi   SI  pada persamaan  (3.1),  dapat  dituliskan  laju  infeksi  dalam  populasi  dari  data  yang  berdistribusi Poisson yaitu t  , dimana dimana
1 1      t t t y     .
Langkah  selanjutnya  adalah  mengestimasi  parameter-parameter  yang  berada  di  dalam yaitu , dan , dengan algoritma sebagai berikut:
1. Inisialisasi nilai awal ; 2. Input nilai , dan ;
3. Definisikan model;
Untuk mengestimasi parameter-parameter yang berada di dalam yaitu , dan , digunakan metode  Maximum  Likelihood  Estimation.  Fungsi  Likelihood  untuk  distribusi  Poisson  adalah sebagai berikut
56
dengan fungsi log-likelihoodnya adalah
Dengan demikian, t Y dengan diberikan laju t  akan diasumsikan berdistribusi Poisson ( t  ) atau  singkatnya  akan  dituliskan  dengan
dan
saling  bebas.  Maka  diperoleh  model  SI  baru  dari  data  penderita  Malaria  yang  berdistribusi Poisson sebagai berikut:
) ( ) ( ) ( t I t S A dt t dS t        ) ( ) ( t I dt t dI t     (2)

## 4. KESIMPULAN
Model  SIS  Stokastik  untuk  penderita  Malaria  dapat  dikontruksi  dengan  menggunakan data penderitanya. Adapun model yang berhasil dikonstruksi adalah
) ( ) ( ) ( t I t S A dt t dS t        ) ( ) ( t I dt t dI t    
Dimana adalah  ekspektasi  laju  infeksi  untuk  menggantikan
laju  infeksi pada  model  SIS  deterministik,  sehingga  parameter yang  tidak  mempunyai nilai tetap akan menjadi lebih realistis jika menggunakan model SIS berdasarkan data penderita Malaria.

## DAFTAR PUSTAKA
Adetunde, I.A. dan Yawson, N. 2010. Modelling the Epidemiology of Malaria: A Case Study of Wassa West District in the Western Region of Ghana. Research Journal of Mathematics and Statistic . 2(3): 105-111.
Allen,  L.J.S.  2008.  An  Introduction  to  Stochastic  Epidemic  Models-Part  I .  Summer  School  on Mathematical Modeling of Infectious Disease . 1-11 Mei 2008. University of Alberta. Diekman,  O  dan  Heesterbek,  J,A.P.  2000. Mathematical  Epidemiology  of  Infectious  Diseases . John Wiley and Sons Ltd, Chichester, New York.
Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Barat.  2016. Laporan  Akuntabilitas  Kinerja  Instansi Pemerintah Dinas Kesehatan Provinsi Sulawesi Barat Tahun 2015 . Mamuju.
57
Gebremeskel,  A.A  dan  Krogstad,  H.E.  2015.  Mathematical  Modelling  of  Endemic  Malaria Transmission. American Journal of Applied Mathematics . 3(2): 36-46.
Sari,  A.N.  2011. Analisis  Stabilitas  Matematika  dari  Penyebaran  penyakit  Menular  Melalui Transportasi Antar Dua Kota . Surabaya: Jurusan Matematika ITS. Wairimu, J., Gauthier, S., dan Ogana, W. 2014. Formulation of  a Vector SIS Malaria Model in a  Patchy  Environment  with  Two  Age  Classes. Scientific  Research .  Applied  Mathematics, 2014 (5): 1535-1545.
World Health Organization. 2015. World Malaria Report 2015. http://www.who.int/malaria/publications/world-malaria-report-2015/en/pdf.  Diakses  tanggal
23 Februari 2017.