Copyright © Authors. This is an open access article distributed under the Attribution-NonCommercial- ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## PERSEPSI MAHASISWA DALAM MEMVALIDASI BUKTI MATEMATIS

## Christi Matitaputty
Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Pattimura Jalan Ir.  Putuhena, Kampus Unpatti, Poka, Ambon, Indonesia Program Studi Pendidikan Matematika, Pascasarjana, Universitas Negeri Malang Jalan Semarang No.5, Sumbersari, Kec. Lowokwaru, Kota Malang, Jawa Timur, Indonesia
e-mail: chmatitaputty@gmail.com; Submitted: September 3, 2020 Revised: September 23, 2020 Accepted: September 28, 2020 corresponding author *

## Abstrak
Pentingnya menentukan persepsi mahasiswa dalam pembuktian matematis merupakan sebuah langkah awal dalam  membantu  siswa  mengatasi  kesulitan  menyusun  bukti  matematis.  Penelitian  ini  bertujuan mendeskripsikan  persepsi  mahasiswa  dalam  memvalidasi  bukti  matematis.  Persepsi  mahasiswa  ini diperhatikan  berdasarkan  jawaban  yang  diberikan  terhadap  pembuktian  sebuah  teorema.  Penelitian  ini adalah penelitian kualitatif. Subjek dalam penelitian ini adalah dua orang mahasiwa semester 2 program studi pendidikan matematika Universitas Negeri Malang. Subjek penelitian dipilih secara purposif dengan pertimbangan sebagai berikut: mahasiswa memiliki jawaban yang menarik dan keterampilan komunikasi yang baik sehingga peneliti dapat mengeksplorasi persepsi mahasiswa dalam menulis bukti matematis. Data dikumpulkan  dengan  menggunakan  instrument  soal  dan  kemudian  dianalisis  hasil  pekerjaan menyelesaiakan  masalah  serta  dilakukan  wawancara  mendalam.  Hasil  penelitian  menunjukan  bahwa mahasiswa memiliki persepsi bahwa dengan memberikan beberapa contoh maka bukti disebut valid, satu contoh  penyangkal  dapat  meverifiakasi  pernyataan  menjadi  tidak  valid  dan  dengan  menggunakan  bukti formal  sebuah  pernyataan  dapat  dibuktikan  valid.  Dengan  demikian  dosen  seharusnya  lebih  banyak memberikan  bimbigan,  latihan  dan  mendorong  mahasiswa  untuk  mengerjakan  pembuktian  matematis sehingga mahasiswa nantinya dapat membuat pembuktian yang valid
Kata Kunci : persepsi, validasi bukti matematis

## Abstract
This  study  aims  to  describe  the  perceptions  of  prospective  students  in  the  first  year  in  validating mathematical proof. This student's perception is discussed  based on the answers given to the proof of a theorem. This research  is a qualitative research. The subjects in this study  were three students  from the second semester mathematics education study program at a university in East Java. Research subjects were chosen deliberately with the following considerations: prospective teacher students who use examples in making  mathematical  proof  and  good  communication  skills  make  research  can  facilitate  students' perceptions  in  writing  mathematical  proof.  The  results  showed  that  students  had  perceptions  about  who gave  several examples so that the proof  was called valid, one example of denying it could prove it  was invalid and using formal proof that proved it could be proven valid
Keywords : perception, validation mathematical proof

## 1. Pendahuluan
Kemampuan  untuk  menyusun  bukti  dalam matematika  adalah  keterampilan  yang  penting untuk  setiap  matematikawan.  Kemampuan  ini sering  menjadi  tujuan  utama  pembelajaran matematika  tingkat  lanjut.  Namun,  kenyataanya kegagalan  dalam  menyusun  bukti  matematis merupakan  suatu  hal  umum  yang  sering  dialami oleh  mahasiswa  dalam  melalakukan  pembuktian matematika  tingkat  lanjut.  Sejumlah  penelitian
menunjukkan bahwa mahasiswa memiliki kesulitan  dalam  menulis  dan  menyusun  bukti matematis  oleh  karena  mereka  tidak  memiliki pengetahuan  yang  cukup  tentang  struktur  bukti matematika  (Almeida,  2000;  Moore,  1994; Stylianides, 2007; Stylianides et al., 2004; Weber, 2001).  Ada  berapa  sumber  utama  kesulitan  yang dialami  oleh  mahasiswa  universitas  dalam pengalaman pendidikan matematika dalam membangun  bukti  diantaranya  mahasiswa  sulit memahami konsep, bahasa dan notasi matematika
serta  memulai  sebuah  bukti.  Persepsi  mahasiswa tentang matematika dan bukti sangat mempengaruhi proses pembuktian yang dilakukan (Moore, 1994).
Dari  berbagai  masalah  diatas,  banyak peneliti  telah  mencoba  memberikan  solusi  agar kesalahan dapat diminimalisir. Pembuktian matematis  dapat  dilakukan  dengan  melakukan format  dua  kolom  untuk  membangun  ide-ide  dan bukti  sehingga  dapat  mengakomodir  proses pembuktian  sehingga  para  guru  diharapkan menunjukkan  dan  memperhatikan  kesalahan proses  pembuktian  (Herbst,  2002).  Selain  itu Hazzan  dan  Zazkis  (Hazzan  &  Zazkis,  2003) menggunakan  strategi  mimikri  bukti  dengan bantuan  computer  yang  bertujuan  membantu mahasiswa  mengurai  bukti  yang  kompleks  yang dapat  dimanipulasi  dengan  bantuan  komputer. Strategi  ini  diawali  dengan  diskusi  tentang kesulitan mahasiswa dengan bukti matematika dan memperkenalkan ide mimikri bukti dengan contoh numerik.  Dengan  demikian  mahasiswa  memiliki banyak  pengalaman  dalam  menyusun  bukti matematis.
Bukti  dan  pembuktian  merupakan  suatu aktifitas  yang  penting  bagi  matematikawan  dan pendidik  matematika.  Dengan  demikian  setiap mahasiswa matematika seharusnya mampu memahami  dan  membangun  bukti  matematika. Karena  mereka  akan  mendidik  selanjutnya generasi, ini menjadi sangat penting bagi seorang mahasiswa  (Basturk,  2010).  Penelitian-penelitian sebelumnya lebih berfokus pada pemahaman bukti matematika  tingkat  tinggi  pada  pembelajaran aljabar, analisis dan geometri. Namun kenyataannya  menyusun  bukti  matematis  masih menjadi  masalah  yang  dialami  oleh  mahasiswa ditahun  pertama  perguruan  tinggi.  Hal  ini  sesuai dengan  pengamatan  Ball,  dkk  (Ball  et  al.,  2003) bahwa  pengajaran  matematika  dasar  di  banyak negara  berfokus  pada  konsep  aritmatika  dari perhitungan,  dan  algoritma.  Dengan  demikian keadaan  ini  membuat  mahasiswa  mengalami adanya  perubahan  dalam  proses  berpikir  akibat transisi matematika sekolah ke pembuktian formal dalam matematika murni perguruan tinggi.  Dalam penelitian ini peneliti mencoba untuk menghadirkan masalah menyusun bukti matematis dari salah satu teorema yang berlaku pada bilangan bulat.
Masalah  yang  diberikan  sangat  sederhana dan  tidak  membutuhkan  proses  pembuktian  yang kompleks  karena  hanya  melibatkan  konsep bilangan  ganjil  dan  bilangan  genap  akan  tetapi peneliti  mengamati  bahwa  ada  kesalahan  yang terjadi  ketika  mahasiswa  melakukan  proses
pembuktian.  Padahal  mahasiswa  sudah  diajarkan bagaimana  menyusun  bukti  matematis  dengan berbagai  strategi  pembuktian  namun  mahasiswa masih memilih membuktikan dengan menggunakan contoh-contoh dan meyakini bahwa contoh-contoh tersebut adalah bukti yang valid.
Berdasarkan observasi, peneliti menemukan bahwa  masih  banyak  mahasiswa  yang  memiliki masalah  ketika  terlibat  dalam  penyusunan  bukti matematis. Peneliti memberikan dua masalah. Soal pertama,  apakah  kuadrat  suatu  bilangan  yang dikurangi  satu  akan  bernilai  genap  jika  bilangan tersebut  adalah  bilangan  ganjil?  Jika  benar,  apa yang  saudara  lakukan?  Soal  kedua,  apakah  jika jumlah dari dua bilangan bernilai ganjil maka salah satu bilangan tersebut adalah bilangan ganjil. Jika benar,  apa  yang  saudara  lakukan?  Hal  ini ditunjukan  dari  presentase  mahasiswa  yang menjawab benar untuk pertanyaan yang diberikan peneliti.  Hasilnya  menunjukan  bahwa  sebanyak 16% mahasiswa menjawab benar dalam pertanyaan pertama dan kedua.
Berdasarkan  pengamatan  ini  maka  peneliti menemukan bahwa mahasiswa mengalami kesulitan  jika  dihadapkan  dengan  masalah pembuktian.  Peneliti percaya bahwa masih banyak mahasiswa  yang  mengalami  kesalahan  dalam menyelesaikan  masalah  pembuktian.  Ketika mahasiswa mengalami kegagalan dalam menyusun bukti  matematis  maka  ada  kemungkinan  bahwa mereka  tidak  memiliki  pemahaman  konseptual yang  mendalam.  Jika  mereka  tidak  memiliki pemahaman  yang  kuat,  tentu  menjadi  masalah ketika  mereka  mulai  mengajar  sebagai  guru matematika, baik di sekolah dasar, menengah dan menengah. pentingnya membuktikan dalam pendidikan matematika tidak bisa diabaikan. Oleh karena  itu,  langkah  pertama  dalam  membantu siswa mengatasi kesulitan  tersebut adalah menentukan persepsi mereka tentang pembuktian. Penting  bagi  peneliti  untuk  melakukan  penelitian terkait dengan persepsi mahasiswa dalam menyusun  bukti  matematis  (Almeida,  2000; Anapa, 2010; Aylar, 2014; Basturk, 2010; Lesseig et al., 2019; Studies, 2016)
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk meneskripsikan  bagaimana  persepsi  mahasiswa dalam  memvalidasi  bukti  matematis.  Harapannya adalah  bahwa  penelitian  ini  dapat  digunakan sebagai refleksi, untuk mempersiapkan mahasiswa untuk  pemahaman  mendalam  mereka  tentang proses  menyusun  bukti  matematis.  Mahasiswa kemudian  menjadi  guru  matematika  di  sekolah, tentu  saja,  harus  memiliki  pemahaman  tentang bukti matematis yang mendalam sehingga mereka tidak mengalami banyak gangguan dalam
membangun konsep matematika. Oleh karena itu, pertanyaan  penelitian  ini  adalah  "bagaimana persepsi  mahasiswa  dalam  memvalidasi  bukti matematis.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian ini melibatkan 37 mahasiswa dari program  Pendidikan  Matematika  semester  kedua, tahun  akademik  2019/2020  Universitas  Negeri Malang. Semua mahasiswa diberikan dua masalah untuk  melihat  kemampuan  mahasiswa  dalam meyusun  bukti  matematis.  Soal  yang  diberiikan tidak  langsung  menuliskan  perintah  untuk membuktikan namun memberikan arahan bagaimana  mereka  harus  membuktikan  sebuah pernyataan atau teorema yang diberikan. Diharapkan  dari  kedua  soal  yang  diberikan mahasiswa  dapat  membuktikan  pernyataan  atau teorema  yang  diberikan  dengan  menggunakan metode pembuktian.
Peneliti memilih subjek dengan mempertimbangkan keterampilan komunikasi dan jawaban dengan beberapa tipe persepsi (Moralı et al.,  2006)  yaitu  mahasiswa  tipe  A  menerima  dan bekerja  dengan  bukti  formal  dan  menolak  bukti informal.  Tipe  B  lebih  memilih  menggunakan bukti  informal  untuk  menuju  bukti  formal; mahasiswa tipe C sebagaian besar lebih menyukai bukti  informal  ketika  dibandingkan  dengan  bukti formal  dan  mahasiswa  tipe  D  lebih  suka  bukti formal  tetapi  mereka  tidak  bisa  mencapai kesimpulan  karena  menyalahgunakan  bahasa matematika  dan  symbol.  Berdasarkan  kriteria  ini, peneliti  memperoleh  dua  subjek  penelitian.  Dari dua  mahasiswa  tersebut,  peneliti  melakukan wawancara  satu  per  satu  untuk  mengeksplorasi secara  mendalam  informasi  terkait  pekerjaan mereka dan untuk mengetahui bagaimana persepsi mahasiswa  dalam  memvalidasi  bukti  matematis. Pada akhirnya, peneliti dapat mengetahui persepsi mahasiswa tentang bukti matematis.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Ketika  peneliti  mengajukan  pertanyaan:  (1) apakah kuadrat suatu bilangan yang dikurangi satu akan  bernilai  genap  jika  bilangan  tersebut  adalah bilangan  ganjil?  Jika  benar,  apa  yang  saudara lakukan? (2) apakah jika jumlah dari dua bilangan bernilai  ganjil  maka  salah  satu  bilangan  tersebut adalah  bilangan  ganjil.  Jika  benar,  apa  yang saudara lakukan? Maka ada 84% mahasiswa salah menjawab.  Di  antara  kesalahan-kesalahan  ini, sebagian  besar  mahasiswa  menjawab  dengan
menggunakan  contoh-contoh  untuk  menyusun bukti dari pernyataan yang diberikan.
Mahasiswa  tahun  pertama  ini  sudah menempuh mata kuliah landasan matematika yang mana sudah diberikan cara dan metode menyusun bukti  matematis  bahkan  dalam  pembelajaran  pun mereka sudah diperingati untuk tidak menggunakan  contoh  dalam  menyusun  bukti matematis. Namun, kenyataannya peneliti menemukan  masih  banyak  yang  menggunakan contoh-contoh  dan  meyakini  contoh-contoh  ini sebagai  bukti  yang  valid.  Mahasiswa  memahami pernyataan  yang  diberikan  itu  benar  dan  berlaku untuk  untuk  beberapa  bilangan  genap  atau  ganjil yang dipilih.
a b Gambar 1. Pekerjaan Subjek AD soal no 1(a) soal no 2 (b)
Gambar 2. Pekerjaan Subjek EP
Pada  Gambar  1,  subjek  AD  memberikan gambaran bahwa bukti adalah sebuah sarana untuk membangun kebenaran matematika dan menunjukan hasilnya benar tanpa keraguan dalam pandangan  mereka.  Dengan  memisalkan  suatu bilangan ganjil dan menggunakan beberapa contoh bilangan maka  mahasiswa tersebut merasa bahwa proses  pembuktiannya  sudah  benar.  Selain  itu, mahasiswa  juga  memberikan  beberapa  contoh sehingga  memberi  keyakinan  bahwa  bukti  yang ditulis  sudah  cukup  dan  benar.  Begitupula  untuk masalah  kedua,  subjek  AD  masih  menggunakan beberapa  contoh  untuk  memverifikasi  pernyataan yang diberikan. Sementara di gambar 2 mahasiswa memiliki  persepsi  yang  lain,  subjek  EP  mampu menulisakan buki secara formal dengan memisalkan  atau  menuliskan  apa  yang  diketahui menuju  ke  kesimpulan  yang  akan  dibuat.  Subjek EP menuliskan defisini bilangan ganjil dan genap kemudian berangkat dari definisi menuju apa yang
akan  dibuktikan  yaitu  kuadarat  suatu  bilangan ganjil  yang  dikurangi  1  menghasilkan  bilangan genap.  Dari  interpretasi  jawaban  yang  diperoleh maka  peneliti  maka  peneliti  melakukan  wancara lebih lanjut untuk menelusuri apa yang menyebabkan  mahasiswa  tersebut  memberikan argument seperti itu.
Penggalan wawancara ditunjukan dalam wawancara 1 Dialog 1 Peneliti :  Mengapa anda menggunakan contoh untuk membuktikan pernyataan tersebut benar?
Subjek AD :  Yang ada dalam pikiran saya adalah menggunakan  contoh  bu  dan  saya rasa dengan contoh bilangan-
bilangan  yang  saya  tulis  itu  sudah cukup  untuk  membuktikan  bahwa pernyataan tersebut benar. Peneliti :  Apa  yang  anda  ketahui  tentang pembuktian? Subjek AD :  Sesuatu  yang  harus  dibuktikan kebenarannya. Peneliti :  Apa  yang kamu  maksudkan dengan sesuatu? Subjek AD :  Maksudnya,pernyataan bu. Peneliti :  Apa  maksud  kamu  menuliskan  saat x=1, 1 2 =1-1=0 (tidak terbukti)? Subjek AD :  Artinya saat saya  mensubtitusi nilai 1 yang dikuadaratkan dan dikurangi 1 itu bukan bilangan genap bu, tapi nol. Peneliti :  Berarti kamu menganggap pernyataan yang diberikan ini salah? Subjek AD :  Iya  bu,  salah  saat  dipilih  x=1  tapi benar untuk yang lain. Peneliti :  Mengapa disoal no 2 anda menjawab seperti itu? Subjek AD :  Karena saya piker dengan
memberikan beberapa contoh-
contoh bilangan yang sesuai dengan pernyataan  maka  itu  sudah  cukup dan benar bu.
Dari  wawancara  dalam  Dialog  1,  subjek memahami bahwa meyakini bahwa  contoh-contoh tersebut  berlaku  secara  umum  dan  diyakini  benar dapat membuktikan pernyataan dimaksud. Selanjutnya subjek memahami pembuktian sebatas pernyataan  yang  harus  dibuktikan  dan  belum didukung  alasan  yang  jelas.  Masalah  pembuktian jarang dikerjakan sehingga mahasiswa tidak punya pengetahuan yang luas tentang pembuktian. Dalam menyelesaikan  soal  no  2  subjek  masih  tetap berfokus  pada  menggunakan  contoh-contoh  dan diyakini  sebagai  bukti  yang  valid.  Hal  ini menunjukan  bahwa  mahasiswa  belum  memahami bagaimana memulai sebuah bukti dan menyatakan
bukti itu valid secara formal. Hal ini sejalan denga temuan (Aylar, 2014) bahwa mahasiswa lebih suka memverivikasi  bukti  denan  contoh  contoh  karena mereka mengalami kesulitan dalam memahami dan menerapkan ekspresi aljabar.   Temuan penelitian ini  mendukung  penelitian  sebelumnya  yang menemukan bahwa banyak mahasiswa yang salah dalam  menyusun  bukti  matematis  dan  meyakini contoh-contoh  sebagai  bukti  yang  valid  (Tuba  et al.,  2014)  selain  itu  pembuktian  dengan memberikan  contoh  penyanggah  juga  membuat pernyataan  menjadi  semakin  logis  (Aylar,  2014). Dengan  demikian  untuk  memahami  dan  menulis bukti matematis perlu dipahami definisi, sifat-sifat dan aturan-aturan dasar yang berlaku pada operasi bilangan sehingga dalam proses pembuktian dapat berjalan dengan baik (Velleman, 2006).
Peneliti  melakukan  wawancara  dengan Subjek  EP  mengenai  proses  pembuktian  yang dilakukan.  Kutipan  wawancara  seperti  yang ditunjukkan dalam Dialog 2.

## Dialog 1
Peneliti :  Mengapa kamu menuliskan seperti ini? Subjek EP :  Disini  saya  menuliskan  apa  yang  ada dipikiran saya, saya mencoba melakukan pembuktian langsung. Ketika  saya  memisalkan  bilangan ganjil 2k + 1 dan  bilangan  genap  itu 2k . bilangan berapapun yang dikalikan 2  akan  selalu  genap  dan  ketika ditambah 1 akan menghasilkan bilangan  ganjil.  Karena  dimnta  n kuadarat maka kedua
ruas dikuadaratkan.
Kemudian saya asumsikan kuadrat suatu bilangan yang dikurangi  satu  akan  menghasilkan bilangan genap.selanjutnya  n kuadarat dikurangi  1  akan  sama  sengan 4k 2 + 4k + 1 sehingga  diperoleh n 2 − 1 = 2p .  Jadi  kuadrat  suatu  bilangan  yang dikurangi  satu  akan  menghasilkan bilangan genap.
Peneliti :  Mengapa kamu menjawab seperti ini? Subjek EP :  Saya  menjawab  seperti  itu,  karena dengan  pembuktian  itu  akan  terlihat secara  logis  hasil  dari  pernyataan tersebut.
Peneliti :  Apa  yang  kamu  ketahui  tentang pembuktian? Subjek EP :  Pembuktian itu kan, untuk menyatakan atau mencari pertanyaan/dugaan mengenai  suatu  hal  yang  masih  patut dipertanyakan bu. So, dengan pembuktian  kita  bisa  menyatakan sesuatu  pernyataan  tersebut  bernilai salah atau benar.
Peneliti :  Apa  maksud  kata  pernyataan/dugaan, apakah  pernyataan  itu  sama  dengan dugaan? Mengapa
Subjek EP :  Maaf bu, tidak  sama bu,  maksud saya disini  pernyataan/dugaan  itu  adalah hypothesis bu. Peneliti :  Ok baik,
Subjek  EP  memiliki  persepsi  yang  berbeda dengan subjek DA. Jawaban subjek EP menyatakan bahwa bukti yang diberikan mengarah pada  verifikasi  pernyataan  yang  menjelaskan mengapa pernyataan itu benar dan dapat diterima dengan  logis  atau  masuk  akal.  Hal  ini  sesuai dengan  pernyataan  (Almeida,  2000)  bahwa  bukti matematis  dari  sebuah  pernyataan  yang  pada umumnya dipahami memiliki empat fungsi utama: (i) verifikasi pernyataan, (ii) penjelasan pernyataan, (iii) komunikasi kepada orang lain, (iv) sistematisasi  dari  pernyataan  ke  dalam  sistem deduktif.    Subjel  EP  sudah  memahami  soal  dan memulai dengan membuat pemisalan atas bilangan ganjil  dan  bilangan  genap.    Proses  membuktikan berkaitan  erat  dengan  pengetahuan  awal  yang dimiliki mahasiswa saat mahasiswa punya banyak pengalaman  dalam  membuktikan  pernyataan matematis  maka  mahasiswa  akan  dengan  mudah menggunakan  bukti  formal  sebagai  bukti  valid. Selain  itu,  hasil  penelitian  (Tuba  et  al.,  2014) menyatakan  bahwa  terdapat  beberapa  mahasiswa yang    lebih  menyukai  cara  formal  dalam  proses pembuktian.  Bukti  matematika  memberikan jaminan  untuk  pengetahuan  matematika  dan merupakan kegiatan penting dalam melakukan dan memahami matematika. Ketika proses pembuktian teorema  dianalisis,  ditentukan  bahwa  mahasiswa yang  diketik  lebih  suka  cara  formal  saat pembuktian.
Dengan  demikian  persepsi  mahasiswa terhadap bukti matematis ini memberikan gambaran  bahwa  siswa  kurang  memiliki  banyak pengalaman belajar dalam menyelesaikan soal-soal pembuktian, sehingga untuk meningkatkan persepsi  mahasiswa  dosen  secara  rutin  dapat memberikan  banyak  latihan  dan  bimbingan  bagi mahasiswa dalam mengerjakan soal-soal pembuktian.  Penelitian  ini  memiliki  keterbatasan dengan  hanya  memotret  persepsi  dari  dua  orang mahasiswa dan tidak dapat di generalisasi sehingga diperlukan penelitian lanjutan dengan memperhatikan  jumlah  subjek  penelitian  maupun kemampuan matematis lainnya.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  maka  dapat disimpulkan persepsi mahasiswa dalam menyusun bukti  matematis  yaitu  mahasiswa  memiliki persepsi  dalam  memverivikasi  bukti  matematis dengan  contoh  contoh  karena  mereka  mengalami
kesulitan  dalam  memahami  dan  menerapkan ekspresi  aljabar.  Selain  itu  pembuktian  dengan memberikan  contoh  penyanggah  juga  membuat pernyataan  menjadi  semakin  logis.  Persepsi mahasiswa  dalam  membangun  bukti  matematis diyakini dengan memahami notasi aljabar sebagai buktinya  dan  memiliki  kecenduruang  untuk melakukan  cara  formal  dalam  pembuktian matematis.

## Daftar Pustaka
Almeida,  D.  (2000).  A  survey  of  mathematics undergraduates’  interaction  with  proof :  some implications  for  mathematics  education.  31(6), 869–890.
Anapa,  P.  Õ.  (2010).  Investigation  of  undergraduate students ’ perceptions of mathematical proof. 2, 2700–2706.
https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2010.03.399 Aylar, E. (2014). A Study on the Forms of Perception of 7th  Grade  Students  towards  the  Concept  of Proof. Journal of Education and Future, 5, 39–56. Ball, D. L., Hoyles, C., Jahnke, H. N., & Movshovitz- Hadar,  N.  (2003).  The  teaching  of  proof.  III. http://arxiv.org/abs/math/0305021
Basturk,  S.  (2010).  First-year  secondary  school mathematics  students’  conceptions  of.  36(3), 283–298.
https://doi.org/10.1080/03055690903424964
Hazzan,  O.,  &  Zazkis,  R.  (2003).  Mimicry  of  proofs with  computers:  The  case  of  Linear  Algebra. International Journal of Mathematical Education in  Science  and  Technology,  34(3),  385–402. https://doi.org/10.1080/0020739031000108628 Herbst, P. G. (2002). Engaging  students  in proving:  A double bind on the teacher. Journal for Research in  Mathematics  Education,  33(3),  176–203. https://doi.org/10.2307/749724
Lesseig, K., Hine, G., & Na, G. S. (2019). Perceptions on  proof  and  the  teaching  of  proof :  A comparison across preservice secondary teachers in Australia, USA and Korea.
https://doi.org/10.1007/s13394-019-00260-7 Moore,  R.  C.  (1994).  Making  the  transition  to  formal proof*. 249–266.
Moralı,  S.,  Ugurel,  I.,  Türnüklü,  E.,  &  Yeşildere,  S. (2006).  The  views  of  the  mathematics  teachers on  proving.  Kastamonu  Education  Journal, 14(1), 147–160.
Studies, I. E. (2016). Preservice Mathematics Teachers’
Metaphorical  Perceptions  towards  Proof  and Proving. 9(7), 88–97. https://doi.org/10.5539/ies.v9n7p88 Stylianides,  A.  J.  (2007).  Proof  and  proving  in  school mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 38(3), 289–321.
Stylianides, A. J., Stylianides, G. J., & Philippou, G. N.
(2004).  Undergraduate  students’  understanding
of  the  contraposition  equivalence  rule  in symbolic and verbal contexts. 133–162.
Tuba,  F.,  Övez,  D.,  &  Özdemir,  E.  (2014).  The Investigation of Prospective Mathematics Teachers’  Proof  Writing  Skills  and  Proof  Self- Efficacy.  Procedia  -  Social  and  Behavioral Sciences, 116(2010), 4075–4079. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2014.01.893
Velleman,  D.  (2006).  How  to  Prove  It:  A  structed Approach  (Vol.  60,  Issue  4,  p.  1329). https://doi.org/10.2307/2275901
Weber,  K.  (2001).  Student  difficulty  in  constructing proofs:  The  need  for  strategic  knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48(1), 101– 119. https://doi.org/10.1023/A:1015535614355.