Penerapan Konsep Lagrangian-Eularian Dalam Pengembangan Dasar Model Matematika Hidraulika Aliran dan Transportasi Polutan: Sebuah
Kajian Literatur

## Ngakan Putu Purnaditya
Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
Email: purnaditya@untirta.ac.id

## ABSTRAK
Fenomena  aliran  fluida  dapat  dinyatakan  dalam  bahasa  matematika.  Konsep  Lagrangian  dan Eularian memberi perkembangan konsepsi apakah fluida dinyatakan sebagai satuan partikel atau sejumlah  tetap  yang melintasi titik tertentu.  Kombinasi  konsep  ini menghasilkan  suatu torema yaitu teorema Reynolds yang sangat berguna dalam menyusun persamaan dasar mekanika fluida. Persamaan dasar tersebut yaitu persamaan kekekalan massa, energi dan momentum. Fenomena aliran  saluran  terbuka  menggunakan  persamaan  kekekalan  massa  dan  momentum  untuk kuantifikasi variabel kedalaman dan kecepatan aliran. Di satu sisi, persamaan kekekalan energi diterapkan pada aliran saluran tertutup. Persamaan dasar mekanika fluida juga dapat diterapkan pada  penurunan  persamaan  dasar  adveksi-difusi  dalam  transportasi  polutan.  Persamaan- persamaan model matematika tersebut dapat dicari solusinya dengan metode numerik persamaan diferensial  parsial.  Namun  hal  terpenting  dalam  penyusunan  model  matematika  adalah menerapkan  variabel  fisika  yang  sesuai  dengan  kodisi  dan  teori  yang  berlaku  sehingga  akan dihasilkan model matematika yang benar.
Kata Kunci : Teorema Reynolds, Persamaan Kekekalan Massa, Energi dan Momentum

## ABSTRACT
The  fluid  flow  phenomena  are  commonly  stated  by  the  mathematical  description. Lagrangian and Eulerian concepts give the advance of the conception whether the fluid is viewed as the number of particles or fixed by boundary points. The combination results in the Reynolds transport theorem which convenient to governing the mass, energy, and momentum conservation equations as the fundamental laws of fluid mechanics. Open- channel hydraulics primarily applies the mass and momentum conservation equations to quantify the depth and velocity of fluid flow. In another hand, the energy conservation equation is applied in closed-channel flow (for example in the pipes system). The fluid mechanics  fundamental  laws  also  applicable  to  mathematical  explaining  of  advection- diffusion in the contaminant transport equation. Due to the mathematical models are in partial differential equation form; the numerical method provides their solution. The most important  thing  in  the  governing  equation  is  obeying  the  proper  physic  variables  and theories, hence it will become the correct mathematical model.
Keywords : Reynolds Transport Theorem, Mass, Energy and Momentum Conservation Equations

## 1. Pendahuluan
Studi  dan  analisis  aliran  fluida  baik aliran  yang  sederhana maupun  aliran  yang rumit,  sebenarnya  dapat  divisualkan  pola alirannya.  Visualisasi  pola  aliran  fluida tersebut  dapat  dikembangkan  dengan formulasi model matematika [1]. Sepanjang perkembangan pengetahuan mengenai aliran fluida, terdapat dua konsep pendekatan  dalam  memodelkan  aliran fluida  secara  matematika  yaitu  konsep Lagrangian dan Eularian [1].
Konsep  Lagrangian  yang  diusulkan oleh  Joseph.  L.  Lagrange  (1736-1813) berkonsep  pada  mekanika  partikel  fluida. Dalam  studi  mekanika  partikel  fluida, perhatian  lebih  difokuskan  pada  partikel individu  yang  pergerakan  tiap  partikel dinyatakan  dan  dibservasi  sebagai  fungsi waktu.  Hal  ini  dapat  dikatakan  bahwa posisi,  kecepatan  dan  percepatan  tiap-tiap partikel  fluida  dinyatakan  dalam  fungsi matematika , , , , , , , , dan , , , [1].  Konsep  ini memiliki  kelemahan  yaitu  sulitnya  untuk dieksekusi  meskipun  dalam  kasus  aliran fluida  sederhana  sekalipun.  Hal  ini dikarenakan  setiap  partikel  mempengaruhi artikel  lainnya  sehingga  hasil  yang  teliti membutuhkan  diskritasi  partikel  yang  luar biasa banyak [1]. Meskipun demikian, salah satu  penelitian  yang  mengaplikasikan konsep  Lagrangian  ini  yaitu  penelitian aliran  pada  saluran  berkelok  [2]  yang menggunakan  metode  Smoothed  Particle Hydrodynamics sebagai tools utama. Selain itu  terdapat  juga  simulasi  interaksi fluid- solid pada  kasus  erosi  pipa  [3]  yang  juga menerapkan konsep dinamika partikel.
Alternatif  dari  konsep  Lagrangian adalah  konsep  Eularian.  Konsep  yang
dikembangkan oleh Leonhard Euler (1707- 1783)  ini  mengidentifikasi  partikel  fluida secara terpisah dengan cara mengidentifikasi  suatu  lokasi/titik  pada fluida  secara  spasial  sehingga  dapat diobservasi kecepatan aliran yang melewati titik  observasi  tersebut.  Hal  ini  mencatat adanya perubahan kecepatan secara spasial ⁄ , ⁄ ,  dan ⁄ [1].  Konsep Eularian secara tidak langsung menyatakan kecepatan  fluida  sebagai  fungsi  ruang  dan waktu sehingga secara matematika diekspresikan sebagai = , , , [1]. Hal  ini  juga  berlaku  untuk  properti  fluida yang  lain  seperti  percepatan,  posisi  massa jenis dan sebagainya.
Pengembangan  model  matematika aliran  fluida  khususnya  untuk  pengukuran kualitas air tidak lepas dari kedua konsep di atas.  Artikel  ini  berfokus  pada  pembahasn mengenai beberapa aplikasi model matematika yang digunakan dalam hidraulika  aliran  dan  lingkungan,  dimana keseluruhan model  tersebut  berangkat  dari pendekatan  Lagrangian  dan  Eularian. Model  aliran  yang  dikembangkan  dewasa ini  meliputi  aliran  pada  saluran  terbuka, aliran pada media berpori, dan transportasi polutan  baik  pada  media  berpori,  media fractured serta muka air bebas.

## 2. Konsep Ruang Kontrol-Volume
Kombinasi konsep Lagrangian-
Eularian  menghasilakan  konsep  ruang kontrol-volume. Turunan ini diawali dengan konsep Lagrangian yang ditransformasikan  sebagai sistem yang tetap. Sistem yang  dimaksud  tersebut adalah  sekumpulan  partikel  fluida  dalam jumlah  yang  tetap  [1].  Sistem  tersebut menempati serta melewati suatu ruang atau titik-titik  observasi  secara  spasial  dimana
konsep  ini  merupakan  konsep  Eularian. Gambar  1. menjelaskan  sistem  berubah secara  temporal  pada  ruang  kontrol  yang tetap.
Gambar 1 . Sistem dan Ruang Kontrol- Volume [1]
Dari  gambar  tersebut  dapat  direnungkan bahwa  terdapat  dua  kondisi  yang  terjadi antara lain:
1. Kondisi  awal  pada  waktu  ,  dimana sistem  sepenuhnya  menempati  ruang kontrol-volume ( fixed control volume ).
2. Pada selang waktu ∆ berikutnya sistem bergerak  meninggalkan  ruang  kontrol- volume  sehingga  kini  sistem  pada waktu ∆ menempati daerah 2 dan
3.
Properti
fluida yang dapat
dikuantifikasi  sesuai  dengan Gambar.  1
cukup  bermacam-macam  seperti  massa,
gaya  hingga  energi.  Properti-properti tersebut  diterminologikan  sebagai  properti
ekstensif
. Dengan ruang kontrol yang
tetap  baik  dari  segi  lokasi serta ukurannya dan tersebut  bergerak  keluar  dan masuk ruang kontrol secara temporal, maka akan  ada  perubahan dalam  variable
waktu atau dalam bahasa matematika ditulis
⁄ . Bentuk
diferensial ini
sebenarnya  adalah  bentuk  dasar  limit sebagai
= lim ∆ →
∆ ∆ .           1 Jika mengacu pada Gambar. 1 , bentuk persamaan  (1)  dapat  diekspansi  lebih  jauh lagi dalam bentuk = lim ∆ → ! ∆ " ∆ # " $ # ∆ , 2
untuk kemudian menjadi
= lim ∆ → " ∆
$ ∆ " $ ∆ lim ∆ → ! ∆
$ ∆ ∆ .                 3 Jika mencermati persamaan (3) maka dapat  dikatakan  bahwa " ∆ $ ∆ merepresentasikan ruang kontrol-volume  pada ∆ dan  bentuk " $
merepresentasikan  ruang kontrol-volume  pada  .  Dengan  demikian persamaan  (3)  disederhanakan  kembali dalam notasi
= lim ∆ → '( ∆ '( ∆ lim ∆ → ! ∆ $ ∆ ∆ ,           4
atau
= * '( * lim ∆ → ! ∆ $ ∆ ∆ .           5
Suku  kedua  sisi  kanan  persamaan  (5) dapat diturunkan berdasarkan massa sistem yang  menempati  elemen  volume *∀ $ dan *∀ ! ( Gambar.  1 )  yang  jika  didetailkan akan  tampak  pada Gambar.  2 dan Gambar. 3.
Gambar 2 . Elemen Volume *∀ $ [1]
Gambar 3 . Elemen Volume *∀ ! [1]
Berdasarkan  kedua  gambar  di  atas,  untuk sistem  yang  masuk  ruang  kontrol-volume maka  memiliki  arah  vektor  negatif, sebaliknya  untuk  sistem  keluar  ruang kontrol-volume  memiliki  arah  vektor positif.  Mengingat  massa - dinyatakan dalam bentuk

## - = .∀,                        6
maka  massa  yang  menempati  elemen volume *∀ $ dan *∀ ! masing masing ditulis dalam bentuk
$
∆ = * 012. Δ *4 $ ,    7
dan
! ∆ = * 012. Δ *4 ! .     8
Jika  dinyatakan  dalam  bentuk  integral, persamaan  (7)  dan  persamaan  (8)  akan menjadi $ ∆ = 7 012. Δ *4 $ 8 9 ,    9
dan
!
∆ = 7 012. Δ *4 !
8 ; , 10 sehingga terbentuk hubungan ! ∆
$ ∆ = 7 012. *4 '= .             11 Persamaan (11) menggunakan variabel massa, sehingga bentuk '( pada persamaan (5) juga perlu dijabarkan sebagai massa dengan prinsip pada persamaan (6).
Hal tersebut menghasilkan bentuk
* '( * = * * 7 2.*∀ '( ,             7
atau * '( * = 7
'( 2.*∀.            8 Dengan  demikian  bentuk  akhir  dari persamaan (1) adalah dengan menjumlahkan persamaan (8) dan persamaan  (11)  dan  secara  matematika ditulis sebagai
= 7 '( 2.*∀ 7 012. *4
'= .     9
Persamaan (9) disebut sebagai persamaan Reynolds  transport  theorem
dimana persamaan ini merupakan transformasi  konsep  Lagrangian-Eularian aliran  fluida.  Pada  persamaan  (9)  terdapat komponen  properti  ekstensif dan properti  intensif 2 .  Hubungan  antara properti ekstensif dengan intensif dinyatakan dalam bentuk [4]
2 = lim >?→ ∆ ∆- .              10
Teorema Reynolds seperti yang ditunjukkan  pada  persamaan  (9)  menjadi titik awal pengembangan
model matematika  hidraulika  baik  hidraulika aliran maupun hidraulika lingkungan.

## 3. Hukum Dasar Mekanika Fluida
Model matematika hidraulika
didasarkan  pada  hukum-hukum  dasar mekanika  fluida.  Hukum-hukum  dasar tersebut  terdiri  atas  hukum  kekekalan massa, hukum kekekalan energi dan hukum kekekalan  momentum.  Massa,  energi  dan momentum  dinyatakan  sebagai  properti ekstensif yang  kemudian  dengan persamaan  (10)  dapat  ditentukan  properti intensifnya.

## Hukum Kekekalan Massa
Hukum  mekanika  fluida  pertama adalah  hukum  kekekalan  massa,  dimana dalam hal ini
= - sehingga berdasarkan  bentuk  persamaan  (10)  akan didapat 2 = 1 .  Dengan  kondisi  ini  maka persamaan  teorema  Reynolds  (persamaan (9)) ditulis kembali dalam bentuk
- = 7 '( .*∀ 7 01. *4
'= .            11
Hukum  kekekalan  massa  menyatakan bahwa dalam dalam suatu sistem yang tetap dan  dapat  ditentukan  volumenya  maka massa  sistem  tersebut  tidak  berubah menurut  waktu  [5]  atau
-⁄ = 0 . Dengan pernyataan tersebut akan
mengubah persamaan (11) dalam bentuk
0 = 7
'( .*∀ 7 01. *4
'= .                12
Persamaan (12) ini merupakan persamaan kekekalan massa .

## Hukum Kekekalan Energi
Hukum  kekekalan  energi  didasarkan dari  hukum  Termodinamika  I,  dimana persamaannya ditulis dalam bentuk

## @ A = ΔB.                    13
Energi B pada  persamaan  (13)  merupakan jumlah dari energi kinetik B C B C = 1 2 - " ,                  14 energi potensial B D
B D = -E ,                  15
dan energi internal B F
B F = -GH.                   16
Dengan demikian maka,
B = - I " 2 E
GHJ.       17
Dalam  persamaan  kekekalan  energi, properti  ekstensif  sesuai  persamaan  (13) adalah @ A dan properti intensif 2 sesuai persamaan  (17)  yang  diperlakukan  dalam persamaan (10) adalah K = L ( M " E GHN . Berdasarkan  hal  ini  maka  persamaan kekekalan energi ditulis dalam bentuk
@ A = 7 '( K.*∀
7 01K. *4
'= .             18
atau
@O AO = 7
'( K.*∀ 7 01K. *4 '= .       19
Terminologi  laju  usaha AO dalam persamaan (19) terdiri atas [1]: 1. Usaha/kerja hasil dari gaya-gaya tekan yang  bergerak  pada  dinding  ruang kontrol-volume, ditulis dalam bentuk
AO P = 7 01Q *4
'= .             20
2. Usaha/kerja  hasil  dari  rotasi  poros turbin atau pompa, AO = .
3. Usaha/kerja hasil dari gaya geser yang bekerja  pada  dinding  batas  ruang kontrol-volume, AO RSTU .
4. Usaha/kerja  yang  terjadi  Ketika  ruang kontrol-volume bergerak relative terhadap fixed reference frame . Hal ini dinyatakan dalam bentuk
AO V = 7 WXYO Ω[\
'= *4.       21
Dari terminologi laju usaha di atas, dapat disusun  kembali  persamaan  kekekalan energi dalam bentuk
@O 7 01Q *4
'=
AO = AO RSTU 7 WXYO Ω[\ '= *4 = 7 '( I " 2 E GHJ .*∀ 7 01 I " 2 E
'=
GHJ . *4.                  22
atau jika AO P dikumpulkan pada sisi kanan persamaan  (22)  akan  mejadi  bentuk  yang lebih sederhana sebagai
@O  AO = AO RSTU AO V = 7 '( I " 2 E GHJ .*∀
7 01 I " 2 E GH
'= Q .J . *4.                                                23 Pada  persamaan  (23)  terdapat  terminologi losses yaitu bentuk energi yang tidak dapat digunakan [1] dalam bentuk persamaan ]^__K_
= @O 7 GH.*∀
'(
7 GH
'=
. *4.                                             24
Dengan  demikian  maka  persamaan  energi akan menjadi AO = AO RSTU AO V = 7 '( I " 2 E J .*∀ 7 01 I " 2 E Q .J . *4
'= ]^__K_.                                                     25
Persamaan  (25)  ini  menjadi persamaan kekekalan energi .

## Hukum Kekekalan Momentum
Hukum  dasar  mekanika  fluida  yang terakhir adalah hukum kekekalan momentum  dimana  hukum  ini  berangkat dari hukum II Newton

## Σa = -b.                   26
Persamaan  (26)  jika  dinyatakan  sebagai persamaan  dalam  ruang  kontrol-volume, maka ditulis dalam bentuk
Σa = 7 . *∀.               27
Dalam  pengembangannya, persamaan (27) menjadi properti ekstensif sedangkan
dengan  perlakukan  pada  persamaan  (10) properti intensif 2 didapat 2 = sehingga persamaan momentum disusun menjadi
Σa = 7 '( .*∀ 7 01 . *4 '=
.        28 Pada  akhirnya  persamaan  (28)  tersebut menjadi persamaan kekekalan momentum .

## 4. Penerapan Model Matematika
Persamaan  dasar  mekanika  fluida yang  telah  disusun  (persamaan  (12), (25)  dan  (28))  dapat  diaplikasikan dalam  berbagai  model  matematika hidraulika  aliran  dan  lingkungan. Namun  demikian,  tidak  serta-merta  ketiga persamaan  tersebut  digunakan  pada  setiap model.  Beberapa  hanya  menggunakan  dua persamaan,  dan  beberapa  lainnya  cukup menggunakan satu persamaan saja.

## Persamaan  Dasar  Hidraulika  Saluran Terbuka
Pada fenomena aliran saluran terbuka, yang  menjadi  fokus  perhatian  adalah perilaku  aliran.  Perilaku  aliran  yang dimaksud adalah terkait dengan perubahan kecepatan  dan  kedalaman  aliran.  Kedua variabel tersebut merupakan variabel utama dalam  persamaan  dasar  hidraulika  saluran terbuka.  Dengan  demikian  dalam  hal  ini persamaan  dasar  mekanika  fluida  yang digunakan  adalah  persamaan  kekekalan massa dan momentum [6].
Penyelesaian integral persamaan kekekalan  massa  pada  persamaan  (12) dapat ditulis dalam bentuk
* * .∀ c 01 F . F 4 F F = 0.         29
Ruang  kontrol-volume  untuk  fenomena aliran  saluran  terbuka  dapat  dilihat  pada Gambar 4 .
Gambar 4 . Ruang Kontrol-Volume Aliran Saluran Terbuka [7]
Terminologi @ pada Gambar 4 menunjukkan kecepatan aliran F dikalikan dengan  luas  penampang  saluran 4 F . Perubahan  massa  pada Gambar  4 dalam selang waktu tertentu dijelaskan oleh suku pertama  pada  persamaan  (29)  yang ditransformasi menjadi
* * .∀ = . ∀ ∀ . .         30
Sedangkan  untuk  suku  kedua  persamaan (29) dikembangkan menjadi
c 01 F .@ F F
= 0,                    31
atau
c 01 F .@ F F = d.@ e .@ e ∆ 2 f d.@ e
.@ e ∆ 2 f.                          32
Bentuk  persamaan  (32)  menjadi  lebih sederhana dalam bentuk
c 01 F .@ F F = .@ e ∆ .         33 atau c 01 F .@ F F = . @ e ∆
@ e . ∆ .   34
Gabungkan  kembali  persamaan  (30)  dan (34)  ke  dalam  persamaan  (29)  sedemikian rupa sehingga
. ∀ ∀ . . @ e ∆ @ e . ∆ = 0.                                 35
Jika  pada Gambar  4 dikatakan  bahwa volume dari ruang kontrol-volume sebagai ∀= 4 e ∆ serta aliran dianggap
incompressible atau .⁄ = .⁄ = 0 maka persamaan (35) menjadi
4 e @ e = 0.                 36
Persamaan (36)  di  atas  adalah persamaan kekekalan massa aliran saluran terbuka. Persamaan  tersebut  dapat  digunakan  baik pada  penampang prismatic maupun non- prismatic dan  bentuk  persamaan  (36) merupakan persamaan  konservatif [8].
Namun  selain  dalam  bentuk  konservatif, persamaan  (36)  dapat  juga  ditransformasi sebagai persamaan non-konservatif dengan analogi 4 = dan @ = . Dengan konsep tersebut  maka persamaan  kekekalan massa  non-konservatif saluran  terbuka dapat ditulis sebagai
e e = 0.           37
Persamaan  dasar  saluran  terbuka berikutnya  adalah  persamaan  kekekalan momentum  berdasarkan  persamaan  (28). Penjelasan dari persamaan (28) adalah sisi kiri persamaan merupakan persamaan gaya Σa sedangkan  sisi  kanan  persamaan  (28) seabagai persamaan momentum. Lebih jauh lagi persamaan momentum pada sisi kanan
persamaan  (28)  terdiri  dari  dua  yaitu  suku pertama  sebagai momentum  storage dan suku kedua sebagai momentum outflow .
Momentum  outflow dalam  persamaan (28) dijabarkan dalam bentuk
7 01 . *4
'= = c 01 F . F @ F F ,     38
atau untuk arah-x
c 01 F . F @ F F = dg. e @ e g . e @ e ∆ 2 f dg. e @ e g . e @ e ∆ 2 f.          39
Parameter g pada persamaan (39) merupakan  koefisien  momentum  atau Boussinesq coefficient yang mengkalkulasi ketidakseragaman distribusi kecepatan aliran pada potongan melintang saluran [9]. Persamaan  (39)  kembali  disederhanakan menjadi
c 01 F . F @ F F = g . e @ e ∆ .      40
Pemekaran persamaan momentum storage mengikuti bentuk
7 '( .*∀= * * .∀ ,      41
dan  jika ∀= 4 e ∆ maka  persamaan  ini bertransformasi kembali menjadi
7 '( .*∀= * * .@ e ∆ .      42
Dengan  asumsi  yang  sama  dengan persamaan kekekalan massa (aliran incompressible )  maka  kembali  persamaan (42) menjadi lebih sederhana sebagai
* * .@ e ∆ = . @ e ∆ .          43
Setelah menyusun persamaan
momentum  outflow (persamaan  (40))  dan momentum storage (persamaan (43)) maka
Langkah terakhir dalam persamaan kekekalan  momentum  adalah  mengurai terminologi  gaya Σa .  Gaya-gaya  yang bekerja  pada  aliran  saluran  terbuka  terdiri atas [8]:
1. Gaya  gravitasi a h yang  dinyatakan dalam bentuk
a h = .E4 e Y ∆ .                44
2. Gaya friksi a i yang dibentuk dari
a i = .E4 e Y i ∆ .             45
3. Gaya kontraksi/gaya ekspansi a S
a S = .E4 e Y S ∆ .             46
4. Gaya angin pada muka air selebar j , a k a k = A i j.∆ ,              47
dengan A i adalah  faktor  gaya  geser angin.
5. Gaya tekan fluida a D
a D = .E4 e ∆ .           48
Dengan  demikian,  persamaan  (44)  hingga persamaan  (48)  dikumpulkan  kembali menjadi
Σa = .E4 e Y ∆ .E4 e Y i ∆ .E4 e Y S ∆
A i j.∆
.E4 e ∆ .                     49
Persamaan  kekekalan  momentum  pada persamaan (28) akan disusun dari persamaan  (40),  persamaan  (43)  dan persamaan (49) sedemikian rupa sehingga
. @ e ∆ g
. e @ e ∆ = .E4 e Y ∆ .E4 e Y i ∆ .E4 e Y S ∆ A i j.∆ .E4 e ∆ .                     50
Persamaan  (50)  perlu  disederhanakan  lagi dengan cara dibagi .Δ dan menggantikan e sebagai @ e 4 e ⁄ , sehingga
@ e g I @ e " 4 e J E4 e l Y Y i Y S m A i j
= 0.                                                                    51
Persamaan  (51)  di  atas  adalah  persamaan kekekalan  momentum  aliran  saluran terbuka . Selain itu bentuk persamaan (51) juga merupakan bentuk persamaan konservatif . Transformasi ke bentuk non- konservatif juga  dapat  dilakukan  dengan cara  yang  sama  seperti  pada  persamaan kekekalan massa, sehingga
e E l Y

## Y i m = 0. 52
Dari  hasil  penurunan  persamaan kekekalan  massa  dan  momentum  pada saluran terbuka, didapat terminologi kondisi  konservatif  dan  non-konservatif. Non-konservatif  artinya  hasil  perhitungan yang didapat adalah hasil untuk per satuan lebar  saluran.  Persamaan  kekekalan  massa dan momentum tersebut adalah persamaan dasar aliran saluran terbuka atau persamaan Saint-Venant.
Persamaan  Dasar  Hidraulika  Saluran Tertutup
Aliran pada saluran tertutup umumnya tidak  menggunakan  persamaan  kekekalan massa dan momentum namun menggunakan persamaan kekekalan energi.
Persamaan  kekekalan  energi  dijabarkan pada  persamaan  (25).  Jika  persamaan tersebut  diturunkan  dengan  mengabaikan work rate dari gaya geser dan inersia, maka
AO = = 7 '( I " 2 E J .*∀ 7 01 I " 2 E '= Q .J . *4 ]^__K_.                       53
Jika kemudian aliran dianggap steady maka n o o '( L ( M " E N .*∀= 0 sehingga  yang tersisa adalah
AO = = 7 01 I " 2 E Q .J . *4 '= ]^__K_.                       54
Solusi  integrasi  dari  persamaan  (54) tersebut adalah
AO = = l 1 2 " " E " Q " . " m . " " 4 " l 1 2 $ " E $ Q $ . $ m . $ $ 4 $
]^__K_,                       55
dan  jika . $ $ 4 $ = . " " 4 " merupakan fluks massa -O serta kembali disederhanakan  dengan  membagi  nilai E maka
AO = -EO = I " " 2E " Q " p " J I $ " 2E $ Q $ p $ J ]^__K_,                       56
dengan p adalah berat jenis fluida atau p = .E . Persamaan (56) merupakan persamaan umum  energi dan  dapat  diterapkan  pada aliran saluran tertutup dalam kondisi steady dan incompressible .
Sisi kiri persamaan (56)
diperhitungkan jika sistem saluran tertutup dilengkapi  dengan  pompa.  Sehingga  hal tersebut  memberi  tambahan head pada sistem atau
AO = -EO = AO = p@ = q D r ,            56. b
dengan q D adalah head tambahan  dari pompa dan r adalah efisiensi pompa.
Jika losses dan  rate  kerja  pada persaamaan  (56)  diabaikan  maka  akan menjadi
I $ " 2E $ Q $ p $ J = I " " 2E " Q " p " J.   57
yang  biasa  disebut  sebagai persamaan Bernoulli .

## Persamaan Dasar Transportasi Polutan
Transportasi polutan merupakan terminologi lain dari ilmu mekanika fluida lingkungan. Transportasi polutan
menjadikan  suatu konsentrasi  polutan s yang  memiliki  satuan  sama  seperti  massa jenis . sebagai  variabel  utama  dalam analisis.  Hukum  kekekalan  massa  menjadi satu-satunya  hukum  mekanika  fluida  yang digunakan.
Dalam  transportasi  polutan,  model persamaan  kekekalan  massa  ditulis  dalam bentuk [10], [11]
7 t*∀ 7 u '= *4 = 0
'( .      58
Solusi bentuk integral di atas dapat disusun berdasarkan kedua suku persamaan. Bentuk solusi suku pertama dapat ditulis sebagai
7 t*∀= * * t∀
'( ,        59
dan jika tidak ada perubahan volume dalam ruang  kontrol,  maka  persamaan  di  atas menjadi 7 t*∀= ∀ t
'( .           60
Setelah suku pertama persamaan (58) disusun,  maka  suku  kedua  persamaan tersebut diurai menjadi
7 u '= *4 = du e 4 e u e 4 e ∆ 2 f du e 4 e u e 4 e ∆ 2 f.                     61
atau
7 u '= *4 = u e 4 e ∆ .            62
Persamaan  tersebut  kembali  diekspansi menjadi
7 u '= *4 = 4 e ∆ u e .            63
Dengan demikian maka persamaan kekekalan massa untuk transportasi polutan disusun menjadi
∀ t 4 e ∆ u e = 0.         64
Jika  direnungkan  sedikit  lagi,  sebenarnya ∀= 4 e ∆ , sehingga
t u e = 0.                65
Persamaan  ini  menyatakan,  perubahan konsentrasi  polutan t dalam  selang  waktu tertentu  di  tambah  dengan  net  flux  pada ruang kontrol-volume adalah nol.
Fluks u pada  persamaan  (65)  secara mendasar terdiri atas transport adveksi dan difusi.  Transport  adveksi  terjadi  setelah adanya  aliran  fluida  sedangkan  transport difusi  terjadi  setelah  adanya  perbedaan konsentrasi/gradien konsentrasi [10]. Fluks total dinyatakan dalam [12]
u e = u Tvw u vFii ,             66
dimana, u Tvw adalah  fluks  adveksi  dan u vFii adalah  fluks  difusi  yang  didasarkan pada Difusi Fick’s. Secara singkat persamaan (66) ditransformasikan menjadi [12]
u e = e t l t m,         67
dengan adalah  koefisien  difusi  suatu polutan.
Dari  uraian  di  atas,  maka  persamaan
(65) disusun kembali berdasarkan persamaan (67) dalam bentuk
t x e t l t my = 0,    68 atau t e t l t m = 0.   69
Persamaan (69) tersebut merupakan persamaan  dasar  transportasi  adveksi- difusi suatu polutan.
Pekerjaan  berikutnya  adalah  mencari solusi  dari  model-model  matematika  di atas,  khususnya  pada  persamaan  Saint- Venant  dan  persamaan  adveksi-difusi. Solusi  dari  model  matematika  tersebut dapat diselesaikan secara numerik. Berbagai  cara/metode  numerik  persamaan diferensial  parsial  dapat  diterapkan  seperti metode  beda  hingga,  elemen  hingga  dan volume  hingga.  Beberapa  skema  metode beda  hingga dapat  dijadikan  pertimbangan seperti  skema  eksplisit,  implisit,  Crank- Nicholson  dan Alternating  Direction Implicit (ADI) [11], [13], [14].

## 5. Kesimpulan
Dari  keseluruhan  penjelasan  dalam tulisan  ini  dapat  ditarik  suatu  kesimpulan bahwa konsep Lagrangian-Eularian
berperan sebagai dasar penurunan fenomena  fisik  pada  hidraulika  aliran  dan transport  pencemar.  Konsep  tersebut menghasilkan  tiga  hukum  dasar  mekanika fluida yaitu hukum kekekalan massa, energi dan  momentum.  Pada  fenomena  aliran terbuka,  dihasilkan  persamaan Saint- Venant yang merupakan kombinasi hukum kekekalan  massa  dan  momentum  baik dalam  kondisi  konservatif  maupun  non- konservatif. Di sisi lain, Hukum kekekalan energi  menghasilkan  persamaan  umum energi  dan Bernoulli .  Penerapan  lainnya adalah dalam transportasi pencemar dimana kecepatan aliran dan massa jenis ditetapkan sebagai  fluks  pencemar u dan  konsentrasi pencemar t .
Hal  terpenting  dalam  menggunakan hukum-hukum dasar mekanika fluida yaitu pemahaman mengenai fenomena fisik yang terjadi.  Hal  ini  agar  setiap  suku-suku persamaan  dapat  dijabarkan  secara  benar dan  sesuai  serta  pengertiannya  dipahami. Jika fenomena fisik telah benar diterapkan pada setiap persamaan, maka tentunya akan mengahsilkan  model  matematika  yang benar  pula  dan  hasil  simulasi  secara numerik  dapat  mendekati  hasil  yang diharapkan.
Penerapan hukum-hukum dasar mekanika  fluida  lainnya  dalah  fenomena aliran  pada  media  berpori,  gelombang  air dan  sebagainya.  Dalam  hal  tersebut  perlu diperhatikan  fenomena-fenomena  khusus, misalnya  kecepatan  aliran  pada  media berpori  tentunya  berbeda  dengan  pada aliran saluran terbuka.

## 6. Referensi
[1]  M.  Potter,  D.  Wiggert,  and  B. Ramadan, Mechanics of Fluids , 4th ed. Boston: Cengage Learning, 2012.
[2]  D.  R.  Marthanty,  “Development  of Smoothed  Particle  Hydrodynamics Method  to  Simulate  Water  Flow  in  a Curved Channel,” in E-Proceedings of the 37th IAHR World Congress , 2017.
[3]  J.  Sjah  and  E.  Vincens,  “Fluid-Solid Interaction  in  the  Case  of  Piping Erosion:  Validation  of  SPH-ALE Code,” Int. J. Technol. , vol. 8, no. 6, pp. 1040–1049, 2017.
[4]  M. H. Chaudhry, Open-Channel Flow , 2nd  ed.  New  York:  Springer  Science and Bussiness Media, 2008.
[5]  H.  Soeryantono,  “Mekanika  Fluida Untuk  Terapan  Dalam  Ilmu  Keairan,” Depok, 2014.
[6]  Istiarto,  “Model  Hidrodinamika:  CFD Di Bidang Hidraulika Saluran Terbuka,”  2009.  [Online].  Available: https://istiarto.staff.ugm.ac.id/index.ph
p/2009/12/model-hidrodinamika/.
[Accessed: 09-Apr-2020].
[7]  X.  Litrico  and  V.  Fromion, Modeling and  Control  of  Hydrosystem .  London: Springer-Verlag, 2009.
[8]  V. Te Chow, D. Maidment, and L. W. Mays, Applied  Hydrology .  Singapore:
McGraw-Hill Education, 1988.
[9]  V. Te Chow, Open Channel
Hydraulics .  New  York:  McGraw-Hill, 1959.
[10]  H. Fischer, J. List, R. Koh, J. Imberger, and  N.  Brooks, Mixing  in  Inland  and Coastal  Waters .  London:  Academic
Press, inc, 1979.
[11]  N. P. Purnaditya, H. Soeryantono, D. R. Marthanty,  and  J.  Sjah,  “The  Finite- Difference  Model  of  Fully  Saturated Groundwater  Contaminant  Transport,”
Int.  J.  Eng.  Technol. ,  vol.  7,  no.  4.35, pp. 629–634, 2018.
[12]  N. P. Purnaditya, H. Soeryantono, and D. R. Marthanty,
“Proposing Mathematical  Model  for  Seawater Intrusion  Phenomena  in  the  Coastal
Aquifer,” MATEC Web Conf. , vol. 197, no. 10003, 2018.
[13]  N. P. Purnaditya, H. Soeryantono, D. R. Marthanty,  and  J.  Sjah,  “Alternating direction  implicit  scheme  as  Finite- Difference  method  to  solve  coupled groundwater  flow  and  contaminant transport model in the coastal aquifer,”
J.  Phys.  Conf.  Ser. ,  vol.  1218,  no. 012006, 2019.
[14]  N.  P.  Purnaditya,  “Stabilisasi  Model Numerik Intrusi Air Laut Pada Akuifer Terkekang,”  Universitas  Indonesia,
2018.