## PEMODELAN COPULA CLAYTON UNTUK PREDIKSI KLAIM PADA DATA
LONGITUDINAL DENGAN EXCESS ZEROS
Anaviroh 1 dan Adhitya Ronnie Effendie 2
1 Universitas Islam Darul ‘Ulum Lamongan, ana.math07@gmail.com
2 Universitas Gadjah Mada, adhityaronnie@yahoo.com
Abstract. This  papper discuss about longitudinal data models of claim counts  with excess-zeros, in  which time-dependence of  the claim counts is  modeled by  using a copula function. The copula approach extensively to model the serial dependence of the  claim  counts  in  car  insurance,  to  model  this  serial  dependence  of  the  claim counts (between the history and future claims). The maximum likelihood is applied to  estimate  the  parameters  of  the  discrete  copula  model.  A  two-step  procedure  is proposed to estimate the parameters and predict the claim counts of the next period using the estimated parameters.
Keywords : car insurance, longitudinal data, copula, excess zeros.
Abstrak . Model  longitudinal  diaplikasikan  untuk pemodelan banyak  klaim dengan data  yang  memiliki  nilai  nol  berlebihan  dan  dependensi  antar  waktu  klaim dimodelkan  menggunakan  fungsi copula .  Pendekatan copula digunakan  untuk memodelkan  serial  dependensi  banyak  klaim  asuransi  kendaraan  bermotor  (antara klaim  pada  waktu  yang  lalu  dan  klaim  pada  waktu  yang  akan  datang). Maximum likelihood diaplikasikan  untuk  mengestimasi  parameter  dari  model copula diskrit. Dua  langkah  yang  dilakukan  yaitu  mencari  nilai  estimasi  parameter  dan memprediksi  banyak  klaim  pada  periode  selanjutnya  menggunakan  nilai  parameter tersebut.
Kata Kunci: asuransi kendaraan bermotor, data longitudinal, copula, excess zeros.

## 1 Pendahuluan
Salah satu asuransi non jiwa yang populer dan banyak diminati masyarakat adalah asuransi  kendaraan  bermotor.  Di  berbagai  negara  suransi  kendaraan  bermotor merupakan  peraih  pendapatan  total  premi  yang  terbesar  [3].  Pada  asuransi kendaraan bermotor memungkinkan pemegang polis mengajukan klaim  berulang kali  dalam  satu  periode  pertanggungan. Banyaknya  klaim  asuransi  merupakan variabel  respon  diskrit  yang  diasumsikan  berdistribusi  Poisson.  Pada  konsep GLM,  metode analisis yang dapat digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel  respon  yang  berdistribusi  Poisson  dengan  variabel  penjelasnya  dikenal sebagai  model  regresi  Poisson  [4].  Pada  suatu  observasi,  banyaknya  klaim asuransi  yang  bernilai  nol  mungkin  muncul  dengan  jumlah  yang  banyak,  karena pemegang  polis  bisa  saja  tidak  mengajukan  klaim  pada  beberapa  periode pertanggungan.  Oleh  karena  itu,  jika  terjadi  overdispersi  akibat  adanya  terlalu banyak  nilai  nol  ( excess  zero )  pada  variabel  respon  maka  digunakan  distribusi Zero-Inflated Poisson (ZIP).
Pada  data  longitudinal,  selain  hubungan  antara  variabel  respon  dan  kovariat yang  diperhatikan,  juga  memperhatikan  hubungan  dependensi  antara  hasil observasi yang diperoleh secara berulang untuk individu yang sama [9] . Salah satu struktur  dependensi  yang  tersedia  dalam  analisis  data  longitudinal  adalah autoregressive order  satu  (AR1).  Model  ini  digunakan  untuk  mengukur dependensi  data  yang  memiliki  ketergantungan  terhadap  waktu.  Model autoregressive order  satu  (AR1)  menggunakan  informasi  respon  sebelumnya untuk  memodelkan  respon  sekarang,  yang  secara  umum  merupakan  prinsip  dari model Markov.
Copula adalah  suatu  fungsi  yang  dapat  menggabungkan  beberapa  distribusi marginal  menjadi  distribusi  gabungan,  dengan  asumsi  terdapat  hubungan dependensi  antara  distribusi  marginal-marginalnya  [5].  Metode  ini  memiliki fleksibilitas, dimana distribusi marginal dari variabel-variabelnya dapat dibedakan atau  bahkan  dapat  diperoleh  distribusi  gabungan  dari  distribusi  marginal  yang tidak  diketahui. Copula Archimedean  merupakan  salah  satu  kelas copula yang sangat  penting  dan  sering  digunakan  aplikasinya  pada  bidang  keuangan  dan asuransi.  Sesuai  model  dalam  [8], copula akan  digunakan  untuk  mendapatkan distribusi  kumulatif  gabungan  antara  banyak  klaim  periode  sekarang  dengan periode  sebelumnya,  yang  terdapat  pada  model  Markov  orde  satu,  selanjutnya diaplikasikan untuk prediksi.

## 2 Kajian Teori

## 2.1 Generalized Linear Models (GLM)
Terdapat  tiga  komponen  utama  yang  membentuk  GLM,  yaitu  asumsi  distribusi, komponen  sistematik,  dan  fungsi  penghubung  ( link  function )  [2].  Secara  umum, variabel  random  respon 1 ,...., m Y Y dengan    i i E Y  diasumsikan  mempunyai fungsi  densitas  dari  keluarga  Eksponensial.  Komponen  sistematik  dalam  GLM berbentuk  prediktor linear .  Prediktor linear menghubungkan  dan  memberi spesifikasi pengaruh variabel penjelas i X ke mean dari respon i Y dalam bentuk  i i X   yang  merupakan  kombinasi linear antara  koefisien  regresi  dengan kovariat.  Fungsi  penghubung  monoton g sedemikian  sehingga    i i g X  
merupakan  fungsi  yang  menghubungkan  mean  respon
  |
 i i i E Y X  dengan
kovariat i X  .  Misalkan 1 ,...., m Y Y adalah  variabel  random  independen,  suatu fungsi penghubung disebut fungsi penghubung kanonik apabila    i g   dengan
 adalah parameter kanonik dalam
 
    exp ,    
     i i i i i y f y c y   
  (1)
dengan   .  dan   . c merupakan  fungsi  yang  diketahui,  adalah  parameter skala,  dan   f y merupakan  fungsi  probabilitas  variabel  random Y yang termasuk dalam keluarga Eksponensial.

## 2.2  Rantai Markov
Proses  stokastik 𝑋 = {𝑋 𝑛 , 𝑛 = 0,1,2 … } mempunyai  ruang  status  berupa himpunan  berhingga  atau  himpunan  terbilang,  yang  secara  umum  dinotasikan sebagai himpunan {0,1, . . }. Jika pada waktu 𝑛 proses tersebut berada pada status
𝑖 , maka dinotasikan dengan 𝑋 𝑛 = 𝑖 [6].
Definisi  1. Suatu  proses  stokastik  waktu  diskrit {𝑋 𝑛 , 𝑛 = 0,1,2 … } disebut memiliki sifat markov jika untuk semua 𝑖 0 , … , 𝑖 𝑛−1 , 𝑖, 𝑗 dan semua 𝑛 > 0 berlaku 𝑃{𝑋 𝑛+1 = 𝑗|𝑋 𝑛 = 𝑖, … , 𝑋 0 = 𝑖 0 } = 𝑃{𝑋 𝑛+1 = 𝑗|𝑋 𝑛 = 𝑖}.
Dapat diartikan bahwa probabilitas perilaku tertentu di masa yang akan datang, hanya  bergantung  kondisi  pada  satu  langkah  sebelumnya  dan  tidak  bergantung pada informasi tambahan dimasa lalu.

## 2.3 Copula
Copula adalah  suatu  fungsi  yang  menggabungkan  beberapa  distribusi  marginal menjadi  distribusi  bersama. Copula merupakan  pendekatan  yang  berguna  untuk memahami dan mendeteksi  struktur dependensi  variabel  random.  Konsep copula pertama  kali  diperkenalkan  oleh  A.  Sklar  pada  tahun  1959.  Kelebihan  dari pendekatan copula adalah distribusi marginalnya tidak harus sama [5].
Definisi  2. Copula  berdimensi  n  yang  dinotasikan  dengan 𝐶 adalah  fungsi distribusi  multivariat 𝐹 dari  variabel-variabel  random 𝑋 1 , 𝑋 2 … , 𝑋 𝑛 dengan distribusi  marginalnya 𝐹 1 , 𝐹 2 … , 𝐹 𝑛 berdistribusi  uniform  standar  yaitu 𝑋 𝑖 ~𝑈𝑁𝐼𝐹 (0,1), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Fungsi  copula  ini  merupakan  fungsi  yang memiliki domain [0,1] 𝑛 dan range [0,1] , yang dilambangkan dengan 𝐶: [0,1] 𝑛 → [0,1].

## 2.4 Copula Archimedean
Copula Archimedean merupakan salah satu kelas dari copula yang spesial, karena beberapa  alasan  diantaranya  adalah copula ini  mudah  dikonstruksikan,  banyak variasi  keluarga copula yang  masuk  ke  dalam  kelas  ini,  dan  struktur dependensinya  bervariasi. Copula Archimedean  sering  digunakan  diberbagai bidang  aplikasi,  diantaranya  pada  bidang  keuangan  dan  bidang  asuransi.  Secara umum, bentuk copula Archimedean adalah
𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑 [−1] (𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣)), dengan 0 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 1. Dengan demikian, 𝐶(𝑢, 𝑣) adalah copula Archimedean dan 𝜑 merupakan fungsi pembangkit (generator) dari copula 𝐶 dengan 𝜑(0) = ∞ dan 𝜑(1) = 0 sehingga 𝜑 [−1] = 𝜑 −1 .

## 2.4.1 Copula Clayton
Copula Archimedean  satu  parameter  dibentuk  menggunakan  generator 𝜑 𝛾 (𝑡), dengan index parameter 𝛾. Dengan  memilih  satu  fungsi  generator,  maka  akan diperoleh  subkelas  bagian  atau  famili  dari copula Archimedean,  diantaranya
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
subfamili  Gumbel,  Clayton,  Frank,  dan  lain  sebagainya. Copula Clayton  di definisikan sebagai berikut: Untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ [0,1] 2
𝐶 𝛾 (𝑢, 𝑣) = (𝑢 −𝛾 + 𝑣 −𝛾 − 1) −1/𝛾 , 𝛾 > 0.                         (2)
Dengan fungsi generatornya adalah 𝜑 𝛾 (𝑡) = (𝑡 −𝛾 − 1),                                                               (3) dan fungsi inversnya adalah
𝜑 𝛾 −1 (𝑡) = (𝑡 + 1) − 1 𝛾 .                                                           (4)

## 2.5 Generalized Logistic Models
Regresi  logistik  merupakan  salah  satu  model  statistika  yang  dapat  digunakan untuk  menganalisis  pola  hubungan  antara  sekumpulan  variabel  independen dengan  suatu  variabel  dependen  bertipe  katagoris  atau  kualitatif.  Kategori  dari variabel dependen dapat  terdiri atas dua kemungkinan nilai ( dichotomus ), seperti ya/tidak,  sukses/gagal,  dan  lainnya,  atau  lebih  dari  dua  nilai  ( polychotomous ), seperti  sangat  tidak  setuju,  tidak  setuju,  setuju  dan  sangat  setuju.  Jika  variabel dependen  terdiri  dari  dua  kategori  (bivariat  dependen),  maka  disebut  dengan Generalized Logistic Models. Dalam [1], bentuk umum dari Generalized Logistic Models adalah
𝑃(𝑌 1 = 𝑘, 𝑌 2 = 𝑙) = exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 𝑘𝑙 ) exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 00 ) + exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 01 ) + exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 10 ) + exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 11 ) (5)
dengan 𝜅 00 = 0, 𝑘, 𝑙 = 0,1.

## 3 Pemodelan Dependensi Klaim dengan Copula

## 3.1  Model Spesifikasi
Terdapat  sebanyak 𝑛 polis,  yang  masing-masing  diamati  selama 𝑇𝑖 tahun. Lamanya  interval  waktu pada  suatu  observasi  adalah 𝑑 𝑖,𝑡 .  Variabel  random  yang menyatakan  banyaknya  klaim  yang  terjadi  dalam  setiap  tahun  observasi, dinotasikan  dengan 𝑁 𝑖,𝑡 dengan 𝑖  =  1,2 . . . , 𝑛 dan 𝑡  =  1, . . . , 𝑇𝑖 .  Informasi  lain yang  digunakan  dalam  model  adalah  variabel  penjelas,  yang  dinotasikan  dengan 𝒛 𝒊,𝒕 .  Secara  umum  pemodelan  banyak  klaim 𝑁 𝑖,𝑡 ,  untuk  pemegang  polis 𝑖 ,  pada waktu 𝑡 mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata frekuensi klaim 𝜆 𝑖,𝑡 :
Pr(𝑁 𝑖,𝑡 = 𝑛 𝑖,𝑡 ) = 𝜆 𝑖,𝑡 𝑛𝑖,𝑡 𝑛 𝑖,𝑡 ! exp (−𝜆 𝑖,𝑡 ) (6)
dengan 𝜆 𝑖,𝑡 = 𝑑 𝑖,𝑡 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑧 𝑖,𝑡 𝑇 𝛽) , menunjukkan hubungan antara banyak klaim dengan informasi kovariat.
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
3.2 Struktur Dependensi Autoregressive Order 1 ( AR 1 )
Sesuai  [7]  struktur  dependensi autoregressive order  1 pada  data  longitudinal dimodelkan sebagai model markov orde pertama, dengan modelnya sesuai dengan Definisi 2.1, yaitu
𝑃𝑟(𝑁 𝑖,𝑡 = 𝑛 𝑖,𝑡 |𝑛 𝑖,𝑡−1 , … , 𝑛 𝑖,1 ) = 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,𝑡 = 𝑛 𝑖,𝑡 |𝑛 𝑖,𝑡−1 ), yang dapat dituliskan sebagai:
𝑃𝑟(𝑁 𝑖,𝑡 = 𝑛 𝑖,𝑡 |𝑛 𝑖,𝑡−1 ) = 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡 |𝑛 𝑖,𝑡−1 ) − 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡 − 1|𝑛 𝑖,𝑡−1 ) (7)
Untuk  mengetahui  nilai  probabilitas  bersyarat  pada  Persamaan  7,  maka  harus diketahui  nilai  parameter-parameter  yang  terdapat  dalam  model.  Parameter diperoleh dari estimasi dengan metode Maximum Likelihood . Karena setiap polis diobservasi selama 𝑇 𝑖 tahun, maka fungsi likelihood untuk setiap polis 𝑖 adalah Pr(𝑁 𝑖,1 = 𝑛 𝑖,1 , … , 𝑁 𝑖,𝑡 = 𝑛 𝑖,𝑡 ) = 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,1 = 𝑛 𝑖,1 ) ∏ 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,𝑗 = 𝑛 𝑖,𝑗 |𝑁 𝑖,𝑗−1 = 𝑛 𝑖,𝑗−1 ). 𝑇 𝑖 𝑗=2
(8)
Karena  pemegang  polis  memungkinkan  tidak  mengajukan  klaim  pada  dua tahun  berturut-turut,  maka  Persamaan  8  mengakomodasi  nilai  nol  yang berlebihan.  Akibatnya,  hubungan  antara  banyak  klaim  dengan  kovariat  dari 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,1 = 𝑛 𝑖,1 ) pada  Persamaan  8,  dapat  dimodelkan  dengan Zero-Inflated Poisson (ZIP). Fungsi densitas dari distribusi ZIP adalah
𝑃(𝑁 𝑖,1 = 𝑛 𝑖,1 ) = { 𝜔 𝑖,1 + (1 − 𝜔 𝑖,1 )𝑒 −𝜆𝑖,1 ,                𝑛 𝑖,1 = 0
(1 − 𝜔 𝑖,1 )𝑒 −𝜆𝑖,1 𝜆 𝑖,1 𝑛𝑖,1 𝑛 𝑖,1 ! , 𝑛 𝑖,1 > 0,0  ≤ 𝜔 𝑖,1 ≤ 1                          (9)
dengan 𝜆 𝑖,1 = 𝑑 𝑖,1 𝑒 (𝒛 𝒊,𝟏 𝑻 𝜷) dan 𝑙𝑛 [ 𝜔 𝑖,1 1−𝜔 𝑖,1 ] = (𝒛 𝒊,𝟏 𝑻 𝜶).
Terdapat  empat  bentuk,  dari  definisi  likelihood  pada  Persamaan  8,  yang masing-masing  serupa  satu  sama  lain.  Sebagai  contoh,  CDF  gabungan  dari (𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡−1 , 𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡 ) dapat dinyatakan sebagai 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑡−1 , 𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑡 ) =                           𝑝 00 𝑖,𝑡 + 𝑝 01 𝑖,𝑡 𝐻 01 𝑖,𝑡 ( 𝑛 𝑖,𝑡 ) +
𝑝 10 𝑖,𝑡 𝐻 10 𝑖,𝑡 ( 𝑛 𝑖,𝑡−1 ) +𝑝 11 𝑖,𝑡 𝐻 11 𝑖,𝑡 ( 𝑛 𝑖,𝑡−1 , 𝑛 𝑖,𝑡 ) (10)
dengan
𝐻 01 𝑖,𝑡 ( 𝑛 𝑖,𝑡 ) = Pr(𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑡 |𝑁 𝑖,𝑡−1 = 0, 𝑁 𝑖,𝑡 > 0) (11) 𝐻 10 𝑖,𝑡 ( 𝑛 𝑖,𝑡 ) = Pr (𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑡−1 |𝑁 𝑖,𝑡 = 0, 𝑁 𝑖,𝑡−1 > 0) (12) 𝐻 11 𝑖,𝑡 ( 𝑛 𝑖,𝑡 ) = Pr (𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑡−1 , 𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑡 |𝑁 𝑖,𝑡−1 > 0, 𝑁 𝑖,𝑡 > 0) (13) 𝑝 00 𝑖,𝑡 = Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 = 0, 𝑁 𝑖,𝑡 = 0) (14) 𝑝 01 𝑖,𝑡 = Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 = 0, 𝑁 𝑖,𝑡 > 0) (15) 𝑝 10 𝑖,𝑡 = Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 > 0, 𝑁 𝑖,𝑡 = 0) (16)
𝑝 11 𝑖,𝑡 = Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 > 0, 𝑁 𝑖,𝑡 > 0) (17)

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Banyak  klaim  pada  waktu t mengikuti  distribusi  Poisson  dengan  rata-rata 𝜆 𝑖,𝑡 , dan  pada  waktu  ( t-1 )  berdistribusi  Poisson  dengan  rata-rata 𝜆 𝑖,𝑡−1 ,  maka Persamaan 11 dan Persamaan 12 dapat dinyatakan sebagai
H 01 it (𝑦) = 𝐹 𝑖,𝑡 (𝑦) − exp (−𝑑 𝑖,𝑡 𝑒 (𝒛 𝒊,𝒕 𝑻 𝜷) ) 1 − exp (−𝑑 𝑖,𝑡 𝑒 (𝒛 𝒊,𝒕 𝑻 𝜷) ) , 𝑦 ≥ 0 (18)
dan
H 10 it (𝑥) = 𝐺 𝑖,𝑡−1 (𝑥)−exp(−𝑑 𝑖,𝑡−1 𝑒 (𝑧𝑖,𝑡−1 𝑇 𝛽) )
1−exp(−𝑑 𝑖,𝑡−1 𝑒 (𝑧𝑖,𝑡−1 𝑇 𝛽) ) , 𝑥 ≥ 0. (19)
CDF gabungan H 11 i,t (𝑥, 𝑦) dengan marginalnya 𝐺̃ 𝑖,𝑡−1 (𝑥) dan 𝐹̃ 𝑖,𝑡 (𝑦) , dapat diperoleh dengan fungsi copula 𝐶 𝛾 (. , . ) , yaitu:
H 11 i,t (𝑥, 𝑦) = 𝐶 𝛾 (𝐺̃ 𝑖,𝑡−1 (𝑥),  𝐹̃ 𝑖,𝑡 (𝑦)) , x≥0, y≥0                      (20) dengan 𝐺̃ 𝑖,𝑡−1 (𝑥) adalah  distribusi modified Poisson  yang  didefinisikan  pada Persamaan 19, dan 𝐹̃ 𝑖,𝑡 (𝑦) didefinisikan pada Persamaan 20. Sementara 𝐺 𝑖,𝑡−1 (𝑥) dan 𝐹 𝑖,𝑡 (𝑦) ,  masing-masing  adalah  CDF  Poisson  dengan  rata-rata  yang dihubungkan dengan kovariat, yaitu
𝜆 𝑖,𝑡 = 𝑑 𝑖,𝑡 exp ( 𝑧 𝑖,𝑡 𝑇 𝛽) dan 𝜆 𝑖,𝑡−1 = 𝑑 𝑖,𝑡−1 exp ( 𝑧 𝑖,𝑡−1 𝑇 𝛽) .
Namun, 𝑝 00 𝑖,𝑡 , 𝑝 01 𝑖,𝑡 , 𝑝 10 𝑖,𝑡 , 𝑝 11 𝑖,𝑡 dapat  direparameter  menggunakan  model Generalized Logistic Model [1], yaitu
𝑝 𝑘𝑙 𝑖,𝑡 = exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 𝑘𝑙 ) exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 00 ) + exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 01 ) + exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 10 ) + exp(𝑥 𝑖 𝑇 𝜅 11 ) (21)
dengan 𝜅 00 = 0, 𝑘, 𝑙 = 0,1 merupakan koefisien kovariat yang harus diestimasi.

## 3.3 Estimasi Parameter dan Prediksi
Misalkan 𝑁 𝑖,𝑡 menyatakan banyaknya klaim yang dilaporkan pemegang polis ke- 𝑖 pada tahun -t dan 𝑧 𝑖,𝑡 adalah vektor kovariat dari pemegang polis ke- 𝑖 pada tahun 𝑡, dengan; 𝑖 = 1,2, … 𝑛 dan 𝑡 = 1,2, … 𝑇 𝑖 . Selanjutnya, didefinisikan status indikator kejadian sebagai berikut:
𝑐 00 𝑖,𝑡 = 𝐼(𝑁 𝑖,𝑡−1 = 0, 𝑁 𝑖,𝑡 = 0) , 𝑐 01 𝑖,𝑡 = 𝐼(𝑁 𝑖,𝑡−1 = 0, 𝑁 𝑖,𝑡 > 0) 𝑐 01 𝑖,𝑡 = 𝐼(𝑁 𝑖,𝑡−1 > 0, 𝑁 𝑖,𝑡 = 0) , 𝑐 11 𝑖,𝑡 = 𝐼(𝑁 𝑖,𝑡−1 > 0, 𝑁 𝑖,𝑡 = 0)
dengan I(A) menotasikan indikator dari kejadian A, sehingga 𝑐 00 𝑖,𝑡 + 𝑐 01 𝑖,𝑡 + 𝑐 10 𝑖,𝑡 + 𝑐 11 𝑖,𝑡 = 1. Misalkan ℒ 1 , ℒ 2 , ℒ 3 dan ℒ 4 adalah  kontribusi  likelihood  untuk  probabilitas kumulatif  gabungan  masing-masing  dari Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡−1 , 𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡 ), Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡−1 − 1, 𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡 ), Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡−1 , 𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡 − 1), dan Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡−1 − 1, 𝑁 𝑖,𝑡 ≤ 𝑛 𝑖,𝑡 − 1). Berdasarkan indikator kejadian maka ℒ 1 dapat dituliskan sebagai
ℒ 1 = [𝑝 00 𝑖,𝑡 ] 𝑐 00 𝑖,𝑡 [𝑝 01 𝑖,𝑡 𝐻 01 𝑖,𝑡 (𝑛 𝑖,𝑡 )] 𝑐 01 𝑖,𝑡 [𝑝 10 𝑖,𝑡 𝐻 10 𝑖,𝑡 (𝑛 𝑖,𝑡−1 )] 𝑐 10 𝑖,𝑡 [𝑝 11 𝑖,𝑡 𝐻 11 𝑖,𝑡 (𝑛 𝑖,𝑡−1 , 𝑛 𝑖,𝑡 )] 𝑐 11 𝑖,𝑡 .    (22)
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Sama  halnya  untuk ℒ 2 , ℒ 3 dan ℒ 4 ,  diperoleh  dengan  mengganti (𝑛 𝑖,𝑡−1 , 𝑛 𝑖,𝑡 ) dengan (𝑛 𝑖,𝑡−1 − 1, 𝑛 𝑖,𝑡 ) untuk ℒ 2 , (𝑛 𝑖,𝑡−1 , 𝑛 𝑖,𝑡 − 1) untuk ℒ 3 ,  dan (𝑛 𝑖,𝑡−1 − 1, 𝑛 𝑖,𝑡 − 1) untuk ℒ 4 .
Kontribusi  likelihood  secara  keseluruhan  dari (i,t) (pemegang  polis  – i ,  pada periode t), dinotasikan dengan (ℒ 1 − ℒ 2 − ℒ 3 + ℒ 4 ) 𝑖,𝑡 . Berdasarkan Persamaan 8, maka likelihood untuk pemegang polis i adalah Pr (𝑁 𝑖,1 = 𝑛 𝑖,1 , … , 𝑁 𝑖,𝑇 𝑖 = 𝑛 𝑖,𝑇 𝑖 ) = Pr(𝑁 𝑖,1 = 𝑛 𝑖,1 ) ∏ (ℒ 1 − ℒ 2 − ℒ 3 + ℒ 4 ) 𝑖,𝑡 Pr(𝑁 𝑖,𝑡−1 = 𝑛 𝑖,𝑡−1 ) 𝑇 𝑖 𝑡=2
(23)
dengan  nilai 𝑃𝑟(𝑁 𝑖,1 = 𝑛 𝑖,1 ) mengikuti Zero-Inflated  Poisson (ZIP),  yang didefinisikan pada Persamaan 9.
Nilai  prediksi  frekuensi  klaim  dapat  diperoleh  setelah  nilai  parameter- parameter  yang  terdapat  dalam  model  diestimasi.  Model  prediksi  dengan  copula yaitu
      1 , , 1 , 1 1 1 , Pr ,..., , Pr | ,..., Pr ,..., i i i T i T i T i iT i i i T n n n n n n n n   
Berdasarkan sifat Markov diperoleh
      1 ,1 1 2 , 1 1 ,1 1 2 Pr ( ) Pr |
Pr | ,...,
Pr ( ) Pr | T i i i it it t i T i iT T i i i it it t n n n n n n n n n          dengan , 1 , , Pr ( , ) Pr ( ) i i T i T i i T n n n   (24)
, 1 , Pr ( , ) i i T i T n n  , 1 , 1 , , , 1 , 1 , , , 1 , 1 , , , 1 , 1 , , Pr ( ,
) Pr ( 1, ) Pr ( , 1) Pr ( 1, 1). i i T i T i T i T i i T i T i T i T i i T i T i T i T i i T i T i T i T N n N n N n N n N n N n N n N n
   
   
               
Jadi  model  prediksi  dari  banyak  klaim  tersebut  merupakan  penurunan  langsung dari perumusan model Persamaan 7.

## 4 Studi Kasus

## 4.1   Deskripsi Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  klaim  asuransi  kendaraan bermotor  yang  diperoleh  dari  perusahaan  asuransi  “XYZ”.  Data  diperoleh  dari hasil  pengamatan  pada  tahun  2009  sampai  2011,  dari  pengamatan  terhadap  155 polis  sehingga terdapat  465 data  yang diamati.  Informasi  yang digunakan adalah banyaknya  klaim  yang  dilaporkan  oleh  setiap  pemegang  polis  yang  digunakan
sebagai  variabel  respon  dan  usia  kendaraan  yang  dipandang  sebagai  variabel penjelas. Data klaim yang diperoleh disajikan pada histogram berikut ini.
Gambar 1. Histogram banyak klaim asuransi kendaraan bermotor
Dari  histogram,  terlihat  bahwa  data  dengan  nilai  nol  lebih  banyak dibandingkan  nilai  yang  lain,  atau  data  dengan excess  zeros .  Statistik  deskriptif frekuensi klaim dan usia kendaraan ditampilkan pada tabel berikut ini.
Tabel 1 . Statistik deskriptif frekuensi klaim dan usia kendaraan

## 4.2 Estimasi Parameter  Model Copula dan Prediksi
Analisis dilakukan dengan memperhatikan hubungan antara banyak klaim dengan usia  kendaraan  yang  diasuransikan,  serta  hubungan  banyak  klaim  yang  diajukan pemegang  polis  antar  waktu.  Hubungan  antara  banyak  klaim  dengan  usia kendaraan dicari dengan menggunakan konsep GLM, sedangkan hubungan antara banyak klaim pada tahun sekarang dengan tahun sebelumnya dimodelkan dengan copula .
Berdasarkan  likelihoood  yang  diperoleh  pada  Persamaan  23,    model bergantung pada parameter-parameter, yaitu
𝑣 ′ = [𝛽, 𝜅 01 , 𝜅 10 , 𝜅 11 , 𝛾].
Hasil  estimasi  parameter  model copula dengan software R  adalah 𝛽 = −0,019013, 𝜅 01 = 0,154846 𝜅 10 = 0,225618 , 𝜅 11 = 0,376208 ,  dan 𝛾 =0,746566.  Parameter 𝛾 merupakan  parameter  dari copula Clayton,  yang digunakan untuk mendapatkan CDF gabungan dari banyak klaim pada tahun 2009 dengan banyak klaim pada tahun 2010, dan banyak klaim pada tahun 2010 dengan banyak klaim pada tahun 2011. Dari parameter tersebut, akan disimulasikan 1000 data,untuk  mengetahui  karakteristik  dari copula Clayton  dengan  parameter
Frekuensi klaim Usia kendaraan Tahun 2009 2010 2011  Total  2009 2010 2011 Total Mean 0,70 0,74 1,02 0,82 2,22 3,21 4,21 3,22 Minimum 0 0 0 0 1 2 3 2 Maksimum 4 3 4 4 9 10 11 11 Modus 0 1 1 0 1 2 3 3 Std. Deviasi  0,809  0,737  0,950  0,847  1,814  1,820  1,820  1,988
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
0,753429,  yang  diperoleh  dari  data.  Hasil  simulasi copula Clayton  untuk  1000 data dengan parameter  0,753429 sebagai berikut
Gambar 2. Scatter plot copula Clayton Pada Gambar 2, terlihat plot cenderung menyebar, tetapi ada sedikit  plot yang terkonsentrasi  pada  ujung  kiri  bawah scatter .    Jadi,  karakteristik copula Clayton dengan parameter sebesar 0,753429 sesuai jika digunakan untuk memodelkan data dengan plot yang menyebar, namun terkonsentrasi pada ujung kiri bawah scatter . Prediksi  dapat  diperoleh  dengan  mensubtitusikan  nilai  parameter  yang diperoleh  ke  model  prediksi  pada  Persamaan  24.  Ekspektasi  jumlah  klaim  yang akan diajukan pada tahun 2012, berdasarkan nilai parameter dari data adalah 160, 6832 klaim. Grafik prediksi jumlah klaim dapat dilihat sebagai berikut
Gambar 3. Grafik prediksi jumlah klaim

## 5 Kesimpulan
Berdasarkan uraian dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
1. Salah  satu  struktur  dependensi  yang  tersedia  dalam  analisis  data  longitudinal adalah  AR  1.  Model AR  1 memasukan  informasi  respon  sebelumnya  untuk memodelkan  respon  sekarang  yang  secara  umum  merupakan  prinsip  dari model Markov orde satu.
2. Data  pada  setiap  periode  observasi  merupakan  data  yang  memiliki  nilai  nol berlebihan  ( excess  zeros ),  sehingga  sebagai  asumsi  awal  data  dimodelkan dengan  distribusi Zero  Inflated Poisson  (ZIP),  yaitu  suatu  distribusi  yang digunakan  untuk  memodelkan  variabel  respon  yang  berupa  data  diskret  dan mengandung nilai nol yang berlebihan.
108 115 158 160.683 2 0 50 100 150 200 2009 2010 2011 2012 K lai m Tahun Jumlah klaim

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
3. Pada  analisis  data  longitudinal  dengan excess  zeros, copula digunakan  untuk mendapatkan  fungsi  distribusi  kumulatif  gabungan  antara  hasil  observasi periode sekarang dengan periode sebelumnya.
4. Model  yang  dikonstruksikan  merupakan  suatu  fungsi  yang  mengandung parameter,  sehingga  perlu  diestimasi  untuk  memperoleh  nilai  parameternya. Metode  estimasi  parameter  yang  digunakan  adalah  pendekatan  maksimum likelihood .
5. Nilai estimasi parameter yang diperoleh digunakan untuk mencari prediksi satu periode ke depan berdasarkan data observasi yang ada.

## Daftar Pustaka
[1]   Cox,  D.R.,  dan  Snell,  E.J.  1989. Analysis  of  Binary  Data  Second  Ed . Chapman and Hall. London.
[2]   Jong, P.D., dan Heller, G. Z. 2008. Generalized Linear Models for Insurance Data. Cambridge University Press. Cambridge.
[3]   Kaas,  R.,  Goovaerts,  M.,  Dhaene,  J.  ,  dan    Denuit,  M.  2001. Modern Actuarial Risk Theory . Kluwer Academic Publishers. Boston.
[4]   Lambert,  D.  1992.  Zero  Inflated  Poisson  Regression  an  Application  to Defects in Manufacturing. Technometri . 34.
[5]   Nelsen, B. 2006. An Introduction to Copula (2nd ed.) . Springer. New York.
[6]  Ross, S.M. 1996. Stochastic Processes second edition . John Wiley & Sons. New York
[7]   Vandenhende,  F.,    dan  Lambert,  P.  2000. Modeling  Repeated  Ordered Categorial  Data  Using  Copula. Discussion  Paper  00-25.  Institute  of Statistics, University Chatolique de Louvain. Belgium.
[8]  Zhao, X.,  dan Zhou, X. 2012. Copula Models for Insurance Claim Numbers with  Excess  Zeros  and  Time  Dependence . Insurance:  Mathematics  and Economic . 50:191-199.
[9]   Zeger, K.Y, Liang P.S., dan  Albert, S. 1988. Models for Longitudinal Data: A Generalized Estimating Equation Approuach. Biometric . 44: 1049-1060.