Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 11 No. 1, Juni 2019, hal. 59-68 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## STRUKTUR IMAGE DAN PRE-IMAGE HOMOMORFISMA PADA
TRANSLASI RING FUZZY INTUITIONISTIK

## Dian Pratama
Universitas Nahdlatul Ulama Purwokerto Email : d.pratama@unupurwokerto.ac.id
ABSTRACT. A set that is characterized by membership function and a non-membership function with the sum of both at intervals of 0 to 1 is called intuitionistik fuzzy set.. When it’s applied in ring’s theory, it will called intuitionistic fuzzy ring. In this research,if the topics  is  membership  fuction  and  non-membership  function  then  there  are  translates operator. This operator only changes the values of the membership and non-membership function while the properties are fixed. This journal discussed the structure of image ad pre-image homomorphism of translates on intuitionistic fuzzy rings. The result obtained that the structure of image and pre-image is also intuitionistic fuzzy rings.
Keywords : fuzzy set, intuitionistic fuzzy ring, translates operator, image  and pre-image.
ABSTRAK. Himpunan  yang  ditandai  dengan  adanya  fungsi  keanggotaan  dan  fungsi non-keanggotaan  yang  jumlahnya  pada  interval  0  sampai  1  disebut  himpunan  fuzzy intuitionistik.  Apabila  diaplikasikan  pada  teori  ring,  maka  dinamakan  ring  fuzzy intuitionistik.  Pada  penelitian  ini,  jika  dikaji  lebih  dalam  mengenai  fungsi  keanggotaan dan  non-keanggotaan  maka  terdapat  istilah  operator  translasi.  Operator  ini  hanya mengubah  nilai  dari fungsi  keanggotaan  dan  non-keanggotaan  sedangkan  sifatnya  tetap. Jurnal  ini  menguji  tentang  struktur  dari image dan pre-image homomorfisma  pada translasi  ring  fuzzy  intuitionistik.  Hasil  yang  diperoleh  bahwa  struktur  dari  image  dan pre-image juga merupakan ring fuzzy intuitionistik.
Kata  Kunci : himpunan  fuzzy,  ring  fuzzy  intuitionistik,  operator  translasi, image dan pre-image
1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Tahun 1965, Zadeh mendefinisikan himpunan fuzzy merupakan himpunan yang  ditandai  dengan  adanya  derajat  keaggotaan  (fungsi  keanggotaan)  untuk setiap  anggota.  Fungsi  keanggotaan  himpunan  fuzzy  adalah  suatu  fungsi  dari setiap  anggota  himpunan  ke  interval [   ] .  Himpunan  fuzzy dari adalah fungsi  dari ke  bilangan  riil  pada  interval [   ] dan  selanjutnya  dinamakan subset fuzzy.  Konsep  fuzzy  berkembang  dalam  bidang  aljabar  yang diawali oleh Rosenfeld (1971) yaitu grup fuzzy (subgrup fuzzy).
Pada perkembangannya, himpunan fuzzy mengalami perluasan untuk sifat derajat  keanggotaan.  Diawali  dengan  terbentuknya  fungsi  non-keanggotaan (komplemen  dari  fungsi  keanggotaan)  dan  sifat  dari  penjumlahan  dari  fungsi keanggotan  dan  non  keanggotaan  yang  kurang  dari  sama  dengan  1.  Kejadian tersebut  melatarbelakangi  struktur  baru  yaitu  himpunan  fuzzy  intuitionistik  oleh Atanassov  tahun  1986.  Pada  2011,  Sharma  membawa  struktur  tersebut  kedalam aljabar antara lain grup fuzzy intuitionistik dan ring fuzzy intuitionistik.
Souriar  (1993)  memperkenalkan  konsep  operator  pada  himpunan  fuzzy. Operator adalah suatu fungsi yang mengkaitkan antara fungsi keanggotaan dengan bilangan  ril  pada  interval [   ] .  Dalam  jurnal  ini,  operator  yang  dikaji  adalah operator  translasi  yang  dikenakan  pada  ring  fuzzy  intuitionistik.  Berdasarkan fenomena  yang  telah  dipaparkan  tersebut,  akan  dibahas  mengenai  sturktur  dari image dan pre-image pada translasi ring fuzzy intuitionistik.

## 1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan  latar  belakang  tersebut,  diperoleh  rumusan  masalah  sebagai berikut :
a. Bagaimana bentuk generalisasi grup fuzzy intuitionistik pada struktur ring ?
b. Bagaimana sifat-sifat bawaan translasi ring fuzzy intuitionistik?
c. Bagaimana  struktur image dan pre-image homomorfisma  pada  translasi  ring fuzzy intuitionistik?

## 1.3. Tujuan dan Manfaat
Tujuan dan manfaat dari penelitian ini :
a. Memberikan  informasi  tentang  struktur  himpunan  fuzzy  intuitionistik, intuitionistik, grup fuzzy intuitionistik, dan ring fuzzy intuitionistik.
b. Memberikan  infomasi  tentang  sifat-sifat  bawaan  translasi  pada  ring  fuzzy intuitionistik.
c. Memberikan  informasi  mengenai  struktur  dari image dan pre-image homomorfisma pada translasi ring fuzzy intuitionistik.
Struktur Image dan Pre-Image Homomorfisma                                                                 61

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  dilakukan  adalah  studi  literatur  dari  buku  dan  jurnal  ilmiah terutama  yang  berhubungan  dengan  ring  fuzzy  intuitionistik,  dan  translasi himpunan fuzzy. Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian yaitu :
1) Mendefinisikan  ring  fuzzy  intuitionistik  dengan  memperumun  definisi  ring fuzzy.
2) Mendefinisikan translasi pada ring fuzzy intuitionistik sebagai operator.
3) Membuktikan  struktur  himpunan  dari image dan pre-image pada  translasi ring fuzzy intuitionistik
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Ring Fuzzy Intuitionistik.
Pada  himpunan  fuzzy,  fungsi  keanggotaan merupakan  representasi dari derajat keanggotaan sehingga secara tidak langsung terdapat pula fungsi non- keanggotaan yang  merupakan  komplemen  dari .  Sifat  dari  keduanya jelas bahwa . Jika sifat tersebut diperumum, menjadi , maka
memunculkan  suatu  konsep  baru  yang  dinamakan  himpunan  fuzzy  intuitionistik seperti pada definisi berikut.
Definisi 3.1.1 (Atanassov, 1984) Diberikan himpunan tak kosong , himpunan A disebut himpunan fuzzy intuitionistik dari dan ditulis {〈 〉         } dengan  ketentuan [   ] dan
[   ] masing-masing  sebagai  fungsi  keanggotaan  dan  fungsi  non-keanggotaan dari yang memenuhi dan dinotasikan .
Untuk  selanjutnya  himpunan  fuzzy  intuitionistik  disebut  sebagai  subset fuzzy intuitionistik dan ditulis SFI. Berikut diberikan beberapa sifat subset fuzzy intuitionistik, didefinisikan {〈 〉         } dan {〈 〉         } merupakan SFI dari . Untuk setiap berlaku : 1. jika dan hanya jika dan . 2. {〈 〉         } dengan dan .
3. {〈 〉          } dengan { } dan { } . 4. {〈 〉        } dengan, { } dan { } . 6. { }         [   ] dengan
dan dinamakan cut-set dari .
Selain  itu  akan  dijelaskan  mengenai  definisi  pemetaan, image dan pre- image pada subset fuzzy intuitionistik sebagai berikut.
Definisi 3.1.2 (Sharma, 2011) Diketahui , himpunan SFI dan dari dan serta pemetaan
. Image dari terhadap pemetaan dinotasikan dan didefinisikan sebagai berikut:
(
)
dengan ketentuan,
{ } { } Pre-image  dari dinotasikan dan  didefiniskan  sebagai ( ) engan ketentuan (    ) dan (    ) atau ( (    ) (    ))
Hubungan  antara  himpunan cut-set dan  pemetaan  akan  diberikan  pada teorema berikut.
Teorema  3.1.3  (Sharma,  2011) Jika
dan  A,B  merupakan  SFI  dari
dan serta , maka berlaku sifat – sifat berikut.
1. ( )
2. ( )
Struktur Image dan Pre-Image Homomorfisma                                                                 63
Definisi  3.1.4  (Sharma,  2011) Diberikan  ring dan  SFI  A  dari . Himpunan disebut subring fuzzy intuitionistik dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku : i) { } dan { } . ii) { } dan { } . Untuk  selanjutnya  ring cukup  ditulis dan  subring  fuzzy  intuitionistik cukup ditulis sebagai SRFI. Diberikan  beberapa  teorema  yang  berhubungan dengan cut-set , image dan pre-image pada ring fuzzy intuitionistik.
Teorema  3.1.5  (Sharma,  2011) Diberikan  SFI dari  ring .  Himpunan merupakan SRFI dari jika dan hanya jika
subring  dari untuk setiap
[   ] yang  memenuhi dan dan elemen  identitas dari serta
.
Secara  umum,  ring  fuzzy  intuitionistik  merupakan  bentuk  umum  dari  struktur ring. Selanjutnya akan diberikan operator translasi pada ring fuzzy intuitionistik.

## 3.2 Translasi pada Ring Fuzzy Intuitionistik
Setelah  diberikan  definisi  ring  fuzzy  intuitionistik,  selanjutnya  akan diberikan definisi operator translasi pada subset fuzzy intuitionistik.
Definisi 3.2.1 (Souriar, 1993) Diberikan himpunan tak kosong , [   ] dan SFI  dari .  Operator  translasi dan didefinisikan sebagai berikut : ( ) ( ) dengan  ketentuan { } ,  dan {
} , { } , dan { }
Apabila diberikan sebarang SRFI dan [   ] , maka diperoleh bahwa dan juga merupakan SRFI seperti yang dijelaskan berikut.
Teorema 3.2.2 (Sharma, 2011) Jika SRFI dari ring maka dan SRFI dari ring untuk setiap [   ] .
Keadaan dari teorema 3.2.2 tidak berlaku sebaliknya, artinya jika sebarang operator dan merupakan  SRFI  maka  belum  tentu merupakan  SRFI. Hala  tersebut  perlu  diperhatikan  pada  nilai yang  diambil.  Hal  tersebut memunculkan akibat berikut.
Akibat 3.2.3 Diberikan SFI dari ring dan {
} ,
1. Jika SRFI dari dengan {          } , maka merupakan SRFI dari dengan  ketentuan { } dan { } . 2. Jika
SRFI dari dengan { } , maka merupakan SRFI dari dengan  ketentuan { } dan { } .

## 3.3 Homomorfisma pada Translasi Ring Fuzzy Intuitionistik
Berikut  ini  diberikan  pembahasan  sifat  translasi  pada  ring  fuzzy intuitionistik  terutama  pada  bentuk  dan  struktur image dan pre-image homomorfisma.  Pada  teorema  3.1.3,  apabila  bentuk  dari diganti  menjadi atau dan menjadi atau untuk  setiap [   ] .  Lebih  lanjut
diberikan  definisi  himpunan  baru  yaitu (( ) ) dan
dengan definisi :
(( ) )   { (    ) (    )    } ((    ) )   { } Definisi  himpunan  tersebut  juga  berlaku  untuk (( ) ) dan
. Pembentukan himpunan baru tersebut memberikan akibat berikut.
Struktur Image dan Pre-Image Homomorfisma                                                                 65
Akibat  3.3.1 Diberikan  sebarang [   ] dan
homomorfisma  dari ring ke  ring .  Jika adalah  SFI  dari dan merupakan translasi dari maka diperoleh, ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) )
untuk setiap [   ] dengan .
Teorema  3.3.2 Diberikan  sebarang [   ] dan
homomorfisma surjektif  dari  ring ke  ring .  Jika adalah  SFI  dari dan [ ] merupakan translasi dari maka diperoleh,
( ) ( ) ((    ) )
( ) ( ) ((    ) )
untuk setiap [   ] dengan
.
Selanjutnya  akan  diberikan  struktur image dan pre-image pada  translasi ring fuzzy intuitionistik.
Teorema 3.3.4 Diberikan homomorfisma surjektif ring dan [   ] .
Jika merupakan SRFI dari maka [ ] merupakan SRFI dari .
Bukti.
Pembuktian  pertama  untuk ,  sesuai  dengan  teorema  3.2.2  jika merupakan  SRFI  maka merupakan  SRFI  untuk  setiap [   ] .  Pada Teorema  3.1.5,  untuk  menunjukan
merupakan  SRFI  dengan  cara membuktikan bahwa
subring di untuk setiap [   ] dengan
.
Ambil sebarang
, diperoleh dan
Menurut  definisi  3.1.2  mengenai image dan pre-image ,  terdapat sedemikian sehingga
( )
dan dan { } dan { } Diketahui adalah SRFI dari , sehingga , dan , . Diperoleh dan sehingga dan .  Karena homomorfisma  ring diperoleh dan sehingga ( ) dan ( ) .  Dengan  demikian
( ) merupakan  subring  dari sehingga  mengakibatkan
merupakan  SRFI  dari .    Pembuktian  tersebut  analog  untuk
,  sehingga merupakan SRFI dari .
Pada teorema selanjutnya mengenai struktur dari pre- image homomorfisma pada translasi subring fuzzy intuitionistik.
Teorema 3.4.6 Diberikan homomorfisma ring
dan [   ] . Jika merupakan SRFI dari maka [ ] merupakan SRFI dari .
Bukti.
Pembuktian  pertama  untuk ,  sesuai  dengan  teorema  3.2.2  jika
merupakan  SRFI  maka
merupakan  SRFI  untuk  setiap [   ] .  Sama dengan  teorema  sebelumnya  cukup  membuktikan  dengan merupakan subring dari untuk setiap [   ] dengan . Ambil sebarang , diperoleh dan
( ) ( ) dan ( ) ( ) { } dan { } Diketahui adalah SRFI pada , sehingga
Struktur Image dan Pre-Image Homomorfisma                                                                 67
, dan , Hal  ini  menunjukan  bahwa dan . Karena homomorfisma  ring diperoleh dan atau dan. Dengan  demikian ( ) merupakan  subring dari sehingga mengakibatkan merupakan SRFI dari . Pembuktian tersebut analog untuk , sehingga merupakan SRFI dari .

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  penjelasan  yang  telah  diberikan,  diperoleh  kesimpulan  bentuk  dan struktur  dari image dan pre-image pada  translasi  ring  fuzzy  intuitionistik. Diberikan  homomorfisma  ring dari ke dengan dan masing-masing merupakan  SRFI  untuk dan .  Jika bersifat  surjektif,  maka image dari translasi ring fuzzy intuitionistik ditulis [ ] juga merupakan SRFI. Apabila tidak  perlu  surjektif,  maka pre-image dari  translasi  ring  fuzzy intuitionistik ditulis
[
] merupakan  SRFI.  Sebagai  saran, dapat  digunakan  berbagai  macam  struktur  aljabar  yang  lain  seperti  semigrup, ruang vektor, maupun modul.

## DAFTAR PUSTAKA
Atanassov,  K.  T., Intuitionistic  fuzzy  sets ,  Fuzzy  Sets  and  Systems, 20 (1984), 87-96.
Rosenfeld, A., Fuzzy Groups , J. Math.Anal. Appl., 35 (1971), 512-517.
Sharma,  P.  K., -Cut  of  Intuitionistic  Fuzzy  Groups ,  International Mathematical Forum, 6 (53) (2011), 2605-2614.
Sharma, P. K., Intuitionistic Fuzzy Groups ,  IFRSA  International  Journal  of Data Warehousing and Mining, 1 (1). (2011).
Souriar,  S., A  Study  of  Translates  of  Fuzzy  Subgroups ,  Department  of Mathematics  and  Statistics  Cochin  university  of  science  and  technology Cochin - 682 022, Kerala., 1993.
Zadeh, L.A., Fuzzy Sets, Information and Control , Vol. 8, 338-353., 1965.