## KADIKMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 2, Agustus 2022, Hal. 107-116 e-ISSN : 2686-3243 ; p-ISSN : 2085-0662 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/kadikma https://doi.org/10.19184/kdma.v13i2.32374

## PENERAPAN HIMPUNAN DOMINASI PADA GRAF UNTUK OPTIMALISASI PEMBOCORAN PIPA AIR MINUM DI KELURAHAN KALABAHI BARAT
Landerius Maro 1 *, Karo M. T. Djaha 1
1 Program Studi Matematika, Universitas Tribuana Kalabahi, Indonesia *E-mail: landeriusmaro@gmail.com
Article History: Received: 30-03-2022 ; Revised: 01-05-2022 ; Accepted: 06-06-2022

## ABSTRAK
Perkembangan  penduduk  yang  sangat  tinggi  berdampak  langsung  pada  kebutuhan  air  minum  di wilayah Desa Kalabahi Barat. Hal ini memicu terjadinya persaingan antar masyarakat dalam upaya mendapatkan air minum,  yaitu  dengan cara membocorkan  pipa  air minum  yang menjadi  tempat tinggal  masyarakat  tanpa  memperdulikan  satu  sama  lain.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk mengoptimalkan kebocoran pipa air minum pada jaringan perpipaan di wilayah Kelurahan Kalabahi Barat  dengan  menerapkan  pengaturan  dominasi  pada  graf.  Jaringan  perpipaan  yang  digunakan sesuai  dengan  kondisi  aktual  kemudian  diaplikasikan  ke  dalam  bentuk  graf  kemudian  dicari himpunan dominasi untuk mendapatkan dominasi minimum akhir. Hasil dari penelitian ini berupa total titik kebocoran pipa air minum yang optimum yaitu sebelumnya total titik kebocoran sebanyak 276  titik  yang  mendominasi  536  rumah  dan  setelah  menerapkan  himpunan  dominasi  total  titik kebocoran berkurang menjadi 177 titik yang mendominasi 536 rumah di Kelurahan Kalabahi Barat.
Keywords: Angka yang mendominasi, Kebocoran pipa air minum.

## ABSTRACT
The very high population development has a direct impact on the need for  drinking water in the West Kalabahi Village area. This triggers competition between communities in the effort to obtain drinking water, namely by leaking drinking water pipes that house the community without caring about each other. This study aims to optimize the leakage of drinking water pipes in the pipeline network in the West Kalabahi Village area by applying the domination setting on the graph. The piping  network  that is  used  according to  actual  conditions then  applied  to  the  graph  form  then looks for set dominance to get the final minimum domination. The results of this study are in the form of optimum total leak points for drinking water pipes that is previously the total leak points were 276 points which dominated 536 houses and after applying the domination set the total leak points were reduced to 177 points which dominated 536 houses in Kelurahan Kalabahi Barat.
Keywords: Dominating number, Drinking water pipe leaks.

## PENDAHULUAN
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek – objek diskrit dan hubungan antara objek – objek tersebut [6]. Teori graf menjadi salah satu  alat bantu yang banyak  digunakan  untuk  memberikan  gambaran  suatu  permasalahan  sehingga  dapat memudahkan untuk dimengerti, dipahami dan diselesaikan. Suatu graf 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) terdiri dari 2 himpunan berhingga yaitu : 𝑉(𝐺), adalah himpunan vertex atau simpul ( vertex ) , biasa dinotasikan dengan 𝑉 saja yaitu himpunan tak kosong dari simpul – simpul; dan 𝐸(𝐺) , adalah himpunan sisi ( edge ) , biasanya dinotasikan dengan 𝐸 saja yaitu himpunan (mungkin kosong) dari sisi yang menghubungkan sepasang simpul [2].
Salah  satu  konsep  yang  dipelajari  dalam  teori  graf  adalah  himpunan  dominasi. Himpunan  dominasi  merupakan  sebuah  himpunan  titik 𝐷  ⊆  𝑉 dalam  sebuah  graf 𝐺  = (𝑉, 𝐸) yang  memiliki  ketentuan  bahwa  setiap  titik 𝑣  ∈  𝑉  −  𝐷 bertetangga  dengan sekurang  –  kurangnya  satu  titik  di  dalam 𝐷 .  Bilangan  dominasi 𝛾(𝐺) adalah  kardinalitas minimum  dari  sebuah  himpunan  dominasi  dari 𝐺 [4].  Studi  tentang  himpunan  dominasi dimulai pada abad ke–19, dan sejak saat itu, himpunan dominasi digunakan untuk banyak aplikasi yang berbeda, diantaranya untuk memodelkan keterkaitan pada jaringan komunikasi komputer, teori jejaring sosial, dan masalah serupa lainnya. Pengkajian tentang himpunan dominasi  dari  graf  khusus  dan  graf  hasil  operasinya  telah  dilakukan  dan  memperoleh beberapa hasil, diantaranya   bilangan dominasi pada graf lintasan (𝑃 𝑛 ) , graf siklus (𝐶 𝑛 ) dan graf lengkap (𝐾 𝑛 ) , penjumlahan graf 𝐾 3 +   𝐶 𝑛 dan 𝐾 3 +   𝑃 𝑛 , perkalian graf 𝐶 𝑛 ×   𝑃 𝑛 , korona graf 𝐶 𝑛 ⊙   𝐾 𝑛 , dan shackle graf 𝐾 𝑛 , 𝑛 [1].
Penerapan  himpunan  dominasi  mencakup  banyak  aplikasi,  salah  satunya  adalah masalah jaringan perpipaan air minum. Air merupakan salah satu kebutuhan pokok makluk hidup yang penting, tanpa air semua makluk hidup akan mati. Dalam kehidupan sehari – hari manusia  membutuhkan  air.  Karena  itu,  perlu  adanya  sistem  penyediaan  air  minum  yang dapat memenuhi kebutuhan manusia dalam suatu wilayah. Air minum yang digunakan harus memenuhi standar kualitas agar air minum tersebut dapat dimanfaatkan. Sumber air dapat diperoleh dengan berbagai macam cara, salah satu cara yang digunakan masyarakat untuk memenuhi kebutuhan hidup adalah mengadakan jalur perpipaan air minum.
Persoalan pada air minum menjadi salah satu alternatif utama sekaligus menjadi salah satu permasalahan mendasar bagi wilayah atau kabupaten/kota yang sedang berkembang. Kalabahi Barat merupakan salah satu dari 16 desa dan kelurahan yang berada di Kecamatan Teluk Mutiara, Kabupaten Alor, Provinsi Nusa Tenggara Timur. Kalabahi Barat memiliki sumber  air  yang  ditransmisi  atau  disalurkan  melalui  jaringan  perpipaan.  Dalam menyalurkan  atau  mentransmisikan  air  melalui  jaringan  perpipaan,  terdapat  beberapa permasalahan  yang  mengakibatkan  debit  air  yang  disalurkan  di  setiap  rumah  tidak tersalurkan dengan baik.
Permasalahan – permasalahan pada penyaluran air minum melalui jaringan perpipaan dapat  dilihat  dan  dirasakan  langsung  oleh  warga  masyarakat  Kelurahan  Kalabahi  Barat. Permasalahan  –  permasalahan  tersebut  meliputi:  meluasnya  pemukiman  masyarakat sehingga  mengakibatkan  penyaluran  air  minum  tidak  merata,  terjadi  kebocoran  dan penyumbatan pada jaringan perpipaan baik itu secara disengaja maupun tidak disengaja. Hal  tersebut  mengakibatkan  masalah  kekurangan  air  bagi  masyarakat  yang  jauh  dari sumber air karena semakin jauh jarak rumah dengan sumber air atau semakin banyaknya cabang yang dilalui maka akan mempengaruhi jumlah pasokan air yang semakin kecil ke rumah – rumah masyarakat [8].
Sebagai  upaya  menyelesaikan  masalah  tersebut,  perlu  direncanakan  adanya penerapan  jalur  perpipaan  agar  sumber  air  yang  sudah  ada  dapat  tersalur  dengan  baik,
sehingga masyarakat dapat memenuhi kebutuhan air minum secara optimal. Salah satu cara untuk  melakukan  optimalisasi  jaringan  perpipaan  yaitu  dengan  menerapkan  teori  graf, khususnya penerapan himpunan dominasi  untuk mengoptimalkan titik pembocoran pipa air  minum.  Penerapan  ini  dilakukan  pada  satu  titik  sesuai  dengan  penerapan  himpunan dominasi, kemudian disalurkan ke titik – titik lain yang didominasinya, sehingga air yang disalurkan  melalui  jaringan  perpipaan  tidak  terbatas  pada  kebocoran  dan  semakin meluasnya pemukiman warga, namun dapat tersalur dengan baik di setiap rumah sehingga memberikan  dampak  positif  bagi  masyarakat,  yaitu  pemerataan  dan  optimalisasi penggunaan  air  minum  sehingga  tidak  terjadi  kesenjangan  baik  itu  dari  aspek  sosial maupun ekonomi.
Penelitian terkait optimalisasi jaringan perpipaan air minum telah banyak dilakukan di  antaranya:  “Aplikasi  algoritma  Kruskal  dalam  pengoptimalan  panjang  pipa”[7], “Aplikasi algoritma Kruskal dan pembuatan saluran air PDAM di wilayah KLU”[3], dan “Penerapan  konsep  himpunan  dominasi  pada  teori  graf  untuk  optimalisasi  jumlah kebocoran pipa air minum di Desa Mausamang, Kabupaten Alor” [5]. Ketiga penelitian tersebut berhasil menyelesaikan masalah optimalisasi jaringan perpipaan yang selanjutnya menjadi  rekomendasi  bagi  pemerintah  wilayah  atau  lembaga  yang  menjadi  objek penelitian. Kendati demikian, penelitian untuk menyelesaikan masalah jaringan perpipaan air minum di wilayah Keluarahan Kalabahi Barat belum pernah dilakukan, sehingga perlu adanya suatu penelitian untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Berdasarkan  uraian  masalah  tersebut,  maka  penelitian  ini  bertujuan  untuk mengoptimalisasi  jumlah  pembocoran  pipa  air  minum  di  wilayah  Kelurahan  Kalabahi Barat, sehingga adanya pemerataan dalam pembagian jalur perpipaan dan debit air akan terus bertahan bahkan sampai pada titik rumah masyarakat yang paling ujung dilewati jalur perpipaan tersebut.

## METODE PENELITIAN
Tempat pelaksanaan penelitian ini berlokasi di Kelurahan Kalabahi Barat, Kecamatan Teluk  Mutiara, Kabupaten Alor,  Provinsi  Nusa Tenggara Timur.  Metode yang digunakan dalam  penelitian  ini  adalah  metode  penelitian  deskriptif  kuantitatif.  Penelitian  deskriptif kuantitatif  merupakan  penelitian  yang  mempunyai  tujuan  untuk  mendeskripsikan  suatu fenomena, peristiwa, gejala, dan kejadian yang terjadi secara faktual, sistematis, serta akurat. Fenomena dapat berupa bentuk, aktivitas, hubungan, karakteristik, serta persamaan maupun perbedaan  antar  fenomena.  Metode  penelitian  deskriptif  kuantitatif  bertujuan  untuk menjelaskan    suatu  fenomena  dengan  menggunakan  angka  yang  menggambarkan karakteristik subjek yang diteliti. Adapun teknik yang akan dilakukan dalam penelitian ini diuraikan  dalam  langkah  –  langkah  berikut  ini:  1)  Menggambar  jaringan  perpipaan  air minum,  letak  rumah  masyarakat  terhadap  jaringan  perpipaan,  dan  jarak  antar  rumah masyarakat, 2) Menentukan ketetanggaan antar rumah masyarakat dengan syarat dua atau lebih rumah dikatakan bertetangga apabila jaraknya tidak lebih dari 7 meter (≤ 7 meter ) , 3) Merepresentasikan  jaringan  perpipaan  yang  diperoleh  ke  dalam  bentuk  graf  dengan mempertimbangkan  ketetanggan,  4)  Menentukan  himpunan  dominasi  dari  graf  yang terbentuk,  5)  Memastikan  bilangan  dominasi  dari  graf  tersebut.  6)  Membuat  solusi  dari permasalahan  dalam  bentuk  gambar  jaringan  perpipaan  dengan  mempertimbangkan himpunan dan bilangan dominasi yang diperoleh.
HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. Hasil

## 1. Jaringan Awal Perpipaan
Berdasarkan data peta distribusi jaringan perpipaan air  wilayah Kel. Kalabahi Barat dan  data  jaringan  pipa  yang  diperoleh  dari  Pemerintah  Kel.  Kalabahi  Barat  kemudian disusun gambar jaringan dari data tersebut dengan bantuan google earth . Dalam penelitian ini penyebaran jaringan hanya terbatas pada daerah yang telah ditentukan yaitu wilayah – wilayah di Kel. Kalabahi Barat yang memperoleh distribusi jaringan perpipaan yang masih berfungsi (proses  distribusi  air dalam keadaan normal). Berikut data yang telah diperoleh dapat dilihat pada gambar 1
Gambar 1. Peta Jaringan Perpipaan Kel. Kalabahi Barat
Berdasarkan gambar 1 di atas dan sesuai dengan hasil observasi di lapangan, diketahui terdapat  3 (tiga) jalur pipa air minum  (masing  – masing berwarna hijau, biru dan merah) dengan jumlah titik kebocoran pipa sebanyak 276 titik kebocoran.
2. Penerapan himpunan dominasi pada skema jaringan perpipaan
Skema jaringan perpipaan yang diperoleh  pada gambar 1 di atas kemudian dipotong menjadi bentuk – bentuk yang lebih kecil/sederhana dengan pertimbangan bahwa tidak ada rumah  pada  masing  –  masing  potongan  yang  bertetangga  dengan  rumah  pada  potongan lainnya (jaraknya > 7 meter). Skema distribusi jaringan perpipaan dapat dipotong menjadi 7 bagian (A1 – A7) dan disesuaikan dengan kondisi sebenarnya. Ketujuh potongan tersebut kemudian digambar ke dalam bentuk graf dan ditentukan titik dan bilangan dominasinya. Titik dan bilangan dominasi tersebut masing – masing merupakan titik dan jumlah minimum kebocoran  yang  diperoleh  pada  penelitian  ini.  Berikut  adalah  hasil  yang  diperoleh  untuk ketujuh potongan bagian tersebut.
Potongan A1
Gambar 2. Bagian Potongan A1 dengan 33 titik rumah (a), 23 titik kebocoran awal/ titik hijau (b), dan hasil peroleh titik dan bilangan dominasi dengan 9 titik kebocoran/ titik merah (c)
Potongan A2
Gambar 3. Bagian Potongan A2 dengan 55 titik rumah (a), 33 titik kebocoran awal/ titik hijau (b), dan hasil peroleh titik dan bilangan dominasi dengan 19 titik kebocoran/ titik merah (c)
a b c
Potongan A3
Gambar 4. Bagian Potongan A3 dengan 70 titik rumah (a), 48 titik kebocoran awal/ titik hijau (b), dan hasil peroleh titik dan bilangan dominasi dengan 26 titik kebocoran/ titik merah (c)
Potongan A4
Gambar 5. Bagian Potongan A4 dengan 90 titik rumah (a), 45 titik kebocoran awal/ titik hijau (b), dan hasil peroleh titik dan bilangan dominasi dengan 27 titik kebocoran/ titik merah (c)
a b c a b c
Potongan A5
Gambar 6. Bagian Potongan A5 dengan 96 titik rumah (a), 45 titik kebocoran awal/ titik hijau (b), dan hasil peroleh titik dan bilangan dominasi dengan 32 titik kebocoran/ titik merah (c)
Potongan A6
Gambar 7. Bagian Potongan A6 dengan 90 titik rumah (a), 38 titik kebocoran awal/ titik hijau (b), dan hasil peroleh titik dan bilangan dominasi dengan 24 titik kebocoran/ titik merah (c)
a b c a b c
Potongan A7
Gambar 8. Bagian Potongan A7 dengan 102 titik rumah (a), 45 titik kebocoran awal/ titik hijau (b), dan hasil peroleh titik dan bilangan dominasi dengan 40 titik kebocoran/ titik merah (c)

## B. Pembahasan
Implementasi dominating  set dari  hasil  penelitian  dengan  tujuan  untuk mengoptimalkan pembagian air melalui jaringan perpipaan dengan studi kasus di wilayah Kel.  Kalabahi  barat.  Hasil  penelitian  diperoleh  dari  proses  analisis  melalui  data  primer (observasi,  wawancara  dan  dokumentasi).  Dari  observasi  diperoleh  data  berupah  titik  – titik  kebocoran  dan  titik  –  titik  yang  dilalui  jaringan  perpipaan,  kemudian  wawancara dilakukan  terhadap  pemerintah  Kelurahan  untuk  memperoleh  skema  jaringan  perpipaan dan  dokumentasi  sebagai  rujukan  akhir  untuk  sebagai  bukti  yang  menunjang  hasil observasi dan wawancara. Data yang diperoleh kemudian dianalisis dengan langkah awal yaitu membuat jaringan perpipaan dengan bantuan google earth dan data skema jaringan perpipaan  yang  diperoleh  dari  pemerintah  Kelurahan , kemudian  dibuat  skema  jaringan perpipaan  untuk  memperoleh  data  awal  berdasarkan  peta  jaringan  perpipaan  dengan kondisi sebenarnya kemudian diterapkan ke dalam graf untuk memperoleh implementasi himpunan  dominasi . Dalam  analisisnya,  terdapat  simpul  pendominasi  yang  dapat mendominasi satu titik atau lebih disekitarnya, dengan rentang antar titik ( e 1 , e 2 ,e 3 … e n ≤ 7  meter ) dan  terdapat  juga  titik  –  titik  simpul  yang  terisolasi  ( e 1 ,  e 2 ,e 3 …  e n >  7meter ) , sehingga titik tersebut hanya dapat mendominasi diri sendiri. Data sebelum dan sesudah representasi graf dapat dilihat pada tabel 1.

## Tabel 1. Jumlah Titik Pembocoran Sebelum dan Sesudah Penerapan Himpunan Dominasi
Sebelum Penerapan Himpunan Dominasi Sesudah Penerapan Himpunan Dominasi Potongan Jumlah Rumah Jumlah Titik Kebocoran Potongan Jumlah Rumah Jumlah Titik Kebocoran A1 33 23 A1 33 9 A2 55 33 A2 55 19 A3 70 48 A3 70
26
a b c
Sebelum Penerapan Himpunan Dominasi Sesudah Penerapan Himpunan Dominasi A4 90 45 A4 90 27 A5 96 45 A5 96 32 A6 90 38 A6 90 24 A7 102 45 A7 102 40 Total 536 276 Total 536 177
Berdasarkan  tabel  1,  dapat  dijelaskan  bahwa  terdapat  minimalisasi  jumlah  titik kebocoran  sebelum  dan  sesudah  penerapan  himpunan  dominasi,  yaitu  dari  276  titik kebocoran  yang  mendominasi/  mengaliri  536  rumah  menjadi  177  titik  kebocoran  yang mendominasi/ mengaliri 536 rumah. Dengan berkurangnya titik kebocoran pipa ini, maka dapat  dimungkinkan semua rumah di  Kelurahan  Kalabahi  Barat  dapat  dialiri air dengan debit air yang semakin tinggi walaupun jarak rumah dengan bak penampung sangat jauh.
Dengan  demikian,  himpunan  dominasi  pada  teori  graf  dapat  diterapkan  untuk optimalisasi pembocoran pipa air minum di Kelurahan Kalabahi Barat, Kecamatan Teluk Mutiara, Kabupaten Alor. Kendati demikian, diharapkan pihak Kelurahan Kalabahi Barat untuk dapat memberikan pikiran atau pandangan bagi masyarakat terkait hasil penelitian ini sekaligus menyiapkan pipa tambahan ≥ 7meter untuk masing – masing rumah sehingga dapat digunakan untuk mengaliri air dari setiap titik dominasi terdekat.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  diperoleh  dari  penelitian  ini,  maka  dapat disimpulkan bahwa himpunan dominasi pada teori graf dapat diterapkan dalam optimalisasi titik pembocoran pipa air minum di Kelurahan Kalabahi Barat, Kecamatan Teluk Mutiara, Kabupaten Alor, Propinsi Nusa Tenggara Timur. Hasil yang diperoleh dari optimalisasi titik pembocoran  pipa  yaitu  adanya  pengurangan  titik  pembocoran  pipa  dari  dari  276  titik kebocoran  yang  mendominasi/  mengaliri  536  rumah    menjadi  177  titik  kebocoran  yang mendominasi/  mengaliri  536  rumah.  Adapun  saran  bagi  peneliti  selanjutnya  adalah  dapat mengembangkan  penelitian  ini  dengan  menghasilkan  program  komputer  guna  lebih mempermudah pemerintah Kelurahan dalam menentukan titik dominasi  pembocoran  atau dapat  melanjutkan  penelitian  ini  dengan  memperbesar  maupun  memperkecil  jarak ketetanggaan antar rumah penduduk.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Dafik,  &  Roifah,  M.  (2014). Kajian  Himpunan  Dominasi  pada  Graf  Khusus  dan Operasinya .
[2] Daniel, F., & Taneo, P. N. L. (2019). Teori Graf . Deepublish.
[3] Lastri, D., Masriani, Wulandari, N., Hidayatullah, P., Misuki, W. U., & Romdhini, M. U. (2019). Aplikasi Algoritma Kruskal dalam Pembuatan Saluran Air PDAM di. Eigen Mathematics
Journal , 2 (1). https://eigen.unram.ac.id/index.php/eigen/article/view/22/25
[4] Maro, L., Hasmawati, & Nurdin.  (2017). Penentuan Bilangan Dominasi Terkendali Pada Pn ⨀ Pn dan Kn ⨀ Kn .
[5] Maro, L., & Yopli, O. H. (2022). Penerapan Konsep Himpunan Dominasi pada Teori Graf  untuk  Optimalisasi  Jumlah  Kebocoran  Pipa  Air  Minum  di  Desa  Mausamang, Kabupaten Alor. Jurnal Saintek Lahan Kering , 4 (2), 16–18. https://doi.org/10.32938/slk.v4i2.1481
[6] Munir, R. (2012). Matematika Diskrit (Ketiga). Informatika Bandung.
[7] Wattimena,  A.  Z.,  &  Lawalata,  S.  (2013).  Aplikasi  Algoritma  Kruskal  dalam Pengoptimalan Panjang Pipa. Jurnal Barekeng , 7 (2), 13–18.
https://ojs3.unpatti.ac.id/index.php/barekeng/article/view/251
[8] Wulandari,  D.  A.  R.,  &  Arifin,  F.  N.  (2018).  Penentuan  Rute  Terpendek  Jalur Distribusi Air Artesis Menggunakan Kruskal. Jurnal Sains Komputer & Informatika (J-SAKTI) , 2 (2), 121–129. http://ejurnal.tunasbangsa.ac.id/index.php/jsakti/article/download/72/67