## ESTIMASI MODEL LINEAR PARSIAL DENGAN PENDEKATAN KUADRAT TERKECIL DAN SIMULASINYA MENGGUNAKAN  PROGRAM S-PLUS

## Nur Salam, Dewi Sri Susanti dan Dewi Anggraini
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung Mangkurat, Banjarbaru, 70714, Indonesia Email : nur_salam_2006@yahoo.com

## ABSTRAK
Model  linear  parsial  (model  semiparametrik)  merupakan  model  pendekatan  baru dalam  regresi  diantara  2  model  regresi  sudah  populer  yaitu  regresi  parametrik  dan regresi  nonparametrik.  Model  linear  parsial  merupakan  model  gabungan  yang  memuat komponen  parametrik  dan  komponen  nonparametrik.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk mempelajari  analisis  regresi  semiparametrik  serta  menentukan  estimasi  parameternya. Model  linear  parsial  mempunyai  bentuk  : 𝑌 𝑖 = 𝑿 𝑖 𝑇 𝜷 +  g( 𝑻 𝑖 )+ 𝜖 𝑖 dengan 𝑿 𝑖 dan 𝑻 𝑖 adalah  variabel  penjelas,  g  (.)  adalah  fungsi  yang  tidak  diketahui  (fungsi  smooth), 𝜷 adalah  parameter  fungsi  yang  tidak  diketahui, 𝑌 𝑖 variabel  respon  dan 𝜖 𝑖 adalah  error dengan mean ( 𝜖 𝑖 )= 0 dan variansinya 𝜎 𝑖 2 = 𝐸(𝜖 𝑖 2 ).
Hasil  penelitian menunjukan bahwa estimasi parameter model linear parsial dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dimana bagian nonparametriknya  menggunakan  pendekatan  kernel  dan  selanjutnya  hasil  estimasinya disubtitusi  ke  model  linier  parsialnya  untuk  diestimasi  bagian  parametriknya menggunakan metode kuadrat terkecil. Hasil estimasi linear parsial yang diperoleh adalah 𝑔 𝑛 (t) = 𝑊 𝑛𝑖 𝑛 𝑖=1 (Y i - 𝑿 𝑖 𝑇 + 𝜷 𝑛 ) dengan 𝜷 𝑛 = (𝒙 𝑻 𝒚 ) −𝟏 𝒙 𝑻 𝒚 .
Berdasarkan  hasil  simulasi  diperoleh  output  nilai  dan  grafik  yaitu  untuk  bagian parametrik,  tampilan  grafik  qqnorm  dan  qqline  estimator  beta  ( 𝛽) yaitu 𝛽 0 , 𝛽 1 dan 𝛽 2 dapat  terlihat  dengan  jelas,  dimana  jika  n  semakin  besar (𝑛 → ∞) dan  semakin  besar replikasi r  perulangan, maka titik-titik yang menyebar di sekitar garis lurus makin banyak dan  mendekati  garis  lurus.  Hal  ini  menunjukkan  makin  besar  n  dan  r,  maka  beta  ( 𝛽) semakin  mendekati  distribusi  normal.  Hasil  simulasi  estimator  bagian  nonparametrik dalam hal ini yang diambil sebagai contoh fungsi kernel normal nilainya mendekati g(T). Jadi  dapat  diambil  kesimpulan  singkatnya  yaitu  jika  n  semakin  besar (𝑛 → ∞) maka estimator bagian nonparametriknya semakin mendekati g(T).
Kata  Kunci : Regresi  semiparametrik,  regresi  nonparametrik,  fungsi  kernel  dan  metode kuadrat terkecil, simulasi .

## ABSTRACT
Partial linear  model (model semiparametric) is  a  new approach in  the regression models between the two regression models are already popular parametric regression and nonparametric  regression.  Partial  linear  model  is  a  model  that  includes  both  the combination  of  parametric  components  and  nonparametric  components.  This  study  uses literature  by  studying  semiparametric  regression  analysis,  finding  and  determining  the estimated parameters. Partial linear model has the form: : 𝑌 𝑖 = 𝑿 𝑖 𝑇 𝜷 + g( 𝑻 𝑖 )+ 𝜖 𝑖 with 𝑿 𝑖 and 𝑻 𝑖 are explanatory variables, g (.) is  an unknown function (smooth function), β is the parameter of unknown function, 𝑌 𝑖 response variable and 𝜖 𝑖 is an error with the mean ( 𝜖 𝑖 ) = 0  and variance 𝜎 𝑖 2 = 𝐸(𝜖 𝑖 2 ).
The results showed that  the partial linear model parameter  estimation can be  performed  using  the  least  squares  method  in  which  part  of  the  linear  model  using nonparametric kernel approach and subsequent estimation results are substituted into the partial linear model to estimate the parametric part of the model by using the linear least squares method. Results obtained partial linear estimation is 𝑔 𝑛 (t) = 𝑊 𝑛𝑖 𝑛 𝑖=1 (Y i - 𝑿 𝑖 𝑇 + 𝜷 𝑛 ) dengan 𝜷 𝑛 = (𝒙 𝑻 𝒚 ) −𝟏 𝒙 𝑻 𝒚 .
Based  on  the  simulation  results  obtained  output  values  and  graphs  are  for  the parametric,  graphical  display  and  qqline  qqnorm  estimator  beta  (β)  is    ( 𝛽) yaitu 𝛽 0 , 𝛽 1 and 𝛽 2 can  be  seen  clearly,  where  if  n  is  greater  (n  →  ∞)  and  the  greater  replication iteration  r  ,  then the points  are spread around the more  straight line  and  a straight line. This  indicates  the  greater  n  and  r,  the  beta  (β)  closer  to  the  normal  distribution. Nonparametric  estimator  simulation  results  in  this  section  are  taken  as  an  example  of  a normal kernel function values approaching g (T). So it can be concluded briefly that if the larger  n  (n  →  ∞),  the  estimator  of  the  nonparametric  part  closer  to  the  partial  linear model g (T).
Keywords : semiparametric regression, nonparametric regression, the kernel function and the least squares method, the simulation.

## 1. PENDAHULUAN
Pendekatan  parametrik  adalah  pendekatan  yang  dilakukan  jika  fungsi  regresinya diketahui  dan bergantung pada parameter, sehingga mengestimasi fungsi  regresinya sama dengan mengestimasi parameternya. Sedangkan pendekatan nonparametrik dilakukan jika fungsi  regresinya  tidak  diketahui  sehingga  mengestimasi  fungsi  regresinya  dilakukan dengan  mengestimasi  fungsi  regresi  yang  tidak  diketahui  tersebut  dengan  pendekatan estimator    kernel,  spline  atau  yang  lain.  Model  linear  parsial  (model  semiparametrik) merupakan  model  pendekatan  baru  dalam  regresi  diantara  dua    model  regresi  sudah populer  yaitu  regresi  parametrik  dan  regresi  nonparametrik.  Model  linear  parsial merupakan  model  gabungan  yang  memuat  keduanya  yaitu  komponen  parametrik  dan komponen    nonparametrik. Estimasi  model  linear  parsial    telah  dapat  dilakukan  dengan diberbagai metode yang ada misalnya metode kuadrat terkecil, metode likelihood , metode penalized  least  square, mean  square  error (MSE)    dan  lain-lain.  Namun  suatu  hal  yang cukup  menarik  adalah  bagaimana  membuat  suatu  simulasi  dari  estimasi  model  linear parsial  tersebut.  Oleh  karena  itu  pada  penelitian  ini  saya  akan  mengkaji  tentang  estimasi model  linear  parsial  dengan  pendekatan  kuadrat  terkecil  ( least  square )  dan  simulasinya menggunakan program S-Plus.
2.  TINJAUAN  PUSTAKA
2.1. Estimasi, Estimator dan Estimate. Definisi 2.1. (Walpole, 1995)
Sebarang nilai yang menjelaskan ciri populasi disebut parameter. Definisi 2.2. (Harinaldi, 2005)
Estimasi  adalah  keseluruhan  proses  yang  menggunakan  suatu  estimator  untuk menghasilkan suatu estimate (hasil estimasi) dari suatu parameter.
Definisi 2.3. (Harinaldi, 2005)
Estimator  adalah  setiap  statistik  (mean  sampel,  persentase  sampel,  variansi  sampel  dan lain-lain)  yang  digunakan  untuk  mengestimasi  suatu  parameter.  Jadi,  mean  sampel  ( 𝑥 ) adalah  estimator  bagi  mean  populasi  ( 𝜇 𝑥 ),  persentase  sampel  (p)  adalah  estimator  bagi persentase  papulasi( 𝜋 )  dan  variansi  sampel  (s 2 )  adalah  estimator  bagi  variansi  populasi ( 𝜎 𝑥 2 ). Definisi 2.4. (Harinaldi, 2005)
Estimate  (hasil  estimasi)  adalah  suatu  nilai  spesifik  atau  kuantitas  dari  suatu  statistik seperti nilai mean, persentase sampel atau variansi sampel.
Definisi 2.5. (Tirta, 2004)
Simulasi  adalah  tiruan  dari  proses  dunia  nyata  atau  sistem.  Simulasi  menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari proses untuk menarik kesimpulan dari sistem yang diwakili. (Banks [1]).
2.2. Metode  Kuadrat Terkecil ( Least Square ) Diberikan suatu model linear sederhana : Y = a +  bX +  ϵ dengan error E( 𝜖 ) = 0 dan variansi  Var ( 𝜖 ) = 𝜎 2 . Apabila  populasi    dari  suatu  pasangan  nilai    (X i ,Y i )    diketahui,  dapat  dihitung  nilai sebenarnya  dari  parameter  a,  b  dan  Var  ( 𝜖 ).  Dalam  prakteknya,  tidak  diketahui  nilai parameter  tersebut,  akan  tetapi  dapat  diestimasi  (diduga)  dengan  menggunakan  data empiris,  yakni  hasil  observasi  berdasarkan  sampel  yang  ditarik  dari  populasi  yang  tidak terbatas ( infinite population ). Data empiris tersebut sering berupa data deret berkala ( time series data ) : X 1 ,X 2 ,…,X i ,…,X n dan      Y 1 ,Y 2 ,…,Y i ,…,Y n. Untuk mengestimasi  nilai a dan  b  digunakan metode kuadrat terkecil yaitu : model sebenarnya : Y = a + bX +  ϵ dan model estimasi (pendugaan)   : Y = A + BX +  𝜀 , dengan A, B   dan 𝜀 estimator (penduga)  dari a, b dan 𝜖 .
Motode  kuadrat  terkecil  adalah  suatu  metode  untuk  menghitung  nilai  A  dan  B  sebagai estimator  dari  a  dan  b,  sedemikian  rupa  sehingga  jumlah  galat  memiliki  nilai  terkecil. Dengan bahasa matematika, dapat dinyatakan sebagai berikut :
Y = A + BX + ϵ i i = 1,2,…n. dengan ϵ i = Y i −  A + BX i = galat ( error ) sehingga dapat diperoleh : ϵ i 2 =     Y i −  A + BX i 2 = jumlah galat  kuadrat.
Jadi, metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung  A dan B sedemikian rupa sehingga ϵ i 2 = terkecil (minimum).

## 3.  METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  studi  literatur.  Metodologi  yang  digunakan adalah  mengumpulkan  bahan  tulisan  dari  buku-buku  dan  jurnal  maupun  makalah    yang
membahas  konsep  model  linear  parsial,  selanjutnya  dilakukan  analisa  dan  disusun  dalam bentuk laporan penelitian.

## 4.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1.   Regresi Linear Parsial
Bentuk dari  model regresi linear parsial (semiparametrik) didefiniskan :
Y i =   𝐗 i T 𝛃  +  g 𝐓 i + ϵ i ,   i = 1,2,…,n.
(1)
dengan  Y i adalah nilai variabel tak bebas ke-i, (bernilai skalar), X i =  (x i1 ,…, x ip ) T dan T i =  (t i1 ,…, t ip ) T masing-masing  merupakan  vektor  dari  variabel bebas, ( X i , T i ) adalah titik-titik desain random terdistribusi secara identik dan independen (fixed design points ), 𝛃 = ( β 1 ,…, β p ) T adalah vektor dari parameter yang tidak diketahui, g 𝐓 i adalah  suatu  fungsi  yang  tidak  diketahui  dari  R n ke    R 1 , ϵ i adalah error-error random (variabel galat)  independen  dengan mean ( ϵ i ) = 0 dan variansi σ i 2 = E(ϵ i 2 ).

## 4.1.1  Estimasi Model Linear Parsial
Dalam  model  linear  parsial  pada  persamaan  (1)  g  dan 𝛃 merupakan  fungsi  dan parameter  yang akan diestimasi  dari data. Estimasi  g  menggunakan  estimator kernel  dan estimasi parameter 𝛃 menggunakan metode kuadrat terkecil.  Jika 𝛃 merupakan parameter sebenarnya maka persamaan (5.10) dapat dinyatakan sebagai:
Y i - 𝐗 i T =  g 𝐓 i + ∈ i (2)
Jika Y i ∗ = Y i - 𝐗 i T 𝛃 , maka dengan menggunakan teori regresi diperoleh:
g(t) = E (Y ∗ T = t) = y ∗ f   t, y ∗ dy ∗ f t (3)
Untuk fungsi densitas bersama  g t, y ∗ diestimasi dengan  pergandaan kernel:
f h1h2 t, y ∗ = n −1 K hI n i=I t − T i K h2 y ∗ − Y i ∗ y ∗ f h 1 h 2 t, y ∗ dy ∗ = n −1 K hi n i=I t − T i y ∗ h 2 K y ∗ − Yi ∗ h 2 dy ∗ Jika y ∗ −Y i ∗ h 2 = S maka diperoleh y ∗ = Sh 2 + y 1 ∗ dan   dy * = dS, selanjutnya di peroleh : = n −1 K hi n i=I t − T i Sh 2 +  Y i ∗ K (s) ds
= n −1 K hi n i=I t − T i Y i ∗
sehingga diperoleh:
g n (t) = K h t − T i Y i ∗ n i=1 K h t − T j n i=1 = W n n i=1 (t)  Y i − X i T 𝛃 (4)
dengan :
W ni t  = K h (t − T i ) K h (t − T i ) n i=1 = K t − T i h K t − T i h n i=1
Selanjutnya g n t menggantikan    g(t)  persamaan    (5.10),  sehingga  didapat  model estimasi sebagai berikut : Y i =   𝐗 i T 𝛃  + g  𝐓 i + ϵ i (5)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No.2 Desember 2012 : 1-12
Berdasarkan  model  di  atas,  dengan  menggunakan  metode  kuadrat  terkecil  diperoleh estimasi 𝛃 dengan  meminimumkan  jumlah  kuadrat error nya  maka  diperoleh  keadaan sebagai berikut : ϵ i 2 = Y i − 𝐗 i T β + g n (𝐓 i ) 2 n i=1 = Y i − 𝐗 i T 𝛃 − W n i=1 nj T i (Y i − 𝐗 i T 𝛃 2 n i=1 = Y i − W n i=1 nj T i Y i −  𝐗 i T − W n i=1 nj T i 𝐗 i T 𝛃 2 n i=1 = Y i − 𝐗 i 𝛃 2 n i=1 = 𝐘  − 𝐗 𝛃 T (𝐘  − 𝐗 𝛃) = 𝐲 𝐓 𝐲 + 𝛃 𝐓 𝐱 𝐓 𝐲 − 𝐲 𝐓 𝐱 𝛃 + 𝛃 𝐓 𝐱 𝐓 𝐱 𝛃
Karena 𝛃 𝐓 𝐱 𝐓 𝐲 =   (𝛃 𝐓 𝐱 𝐓 𝐲 ) 𝐓 = 𝐲 𝐓 𝐱 𝛃 maka diperoleh persamaan menjadi : ∈ 𝐓 ∈ = 𝐲 𝐓 𝐲 + 2𝛃 𝐓 𝐱 𝐓 𝐲 + 𝛃 𝐓 𝐱 𝐓 𝐱 𝛃 ∂∈ 𝐓 ∈ ∂β =  0
maka diperoleh : −𝟐𝐱 𝐓 𝐲 + 𝟐𝐱 𝐓 𝐱 𝛃 n = 0 𝐱 𝐓 𝐲 =   𝐱 𝐓 𝐱 𝛃 n (6)
Persamaan (6)  di atas merupakan persamaan normal. Dengan asumsi 𝐱 mempunyai rank penuh ( fullrank ), maka persamaan (6) mempunyai persamaan tunggal : 𝜷 𝑛 = (𝐱 𝐓 𝐲 ) −𝟏 𝐱 𝐓 𝐲 Karena ∂ 2 ∈ 𝐓 ∈ ∂β ∂β T =  2 𝐱 𝐓 𝐱 merupakan  matriks  definit  positif  maka 𝜷 𝑛 merupakan estimator kuadrat terkecil untuk 𝜷 dengan : 𝐗 i = 𝐗 i T − W ni n i=1 T i 𝐗 i T 𝐘 i = Y i − W nj n i=1 T i Y i 𝐘 T = y 1, y 2, … . ., y n 𝐗 T = x 1, x 2, … . ., x n Setelah  mendapatkan 𝛃 n maka 𝛃 pada  persamaan  (5.13)  diganti  dengan 𝛃 n untuk menghitung g n t dan di peroleh g n (t) = W ni n i=1 Y i −  𝐗 i T 𝛃 n .
Berdasarkan  uraian  di  atas    maka  diperoleh    estimasi  model  linear  persial  dengan menggunakan metode kuadrat terkecil akan berbentuk :
g n (t) = W ni n i=1 Y i − 𝐗 i T 𝛃 n dengan 𝜷 𝑛 = (𝐱 𝐓 𝐲 ) −𝟏 𝐱 𝐓 𝐲 .

## 4.2.  Simulasi Estimasi Model Linear Parsial Menggunakan Program S-Plus.

## 4.2.1. Permasalahan dan Pembahasan Simulasi
Simulasi  estimasi  model  linear  parsial  dilakukan  dengan  mengambil  dengan mengambil  salah  satu  contoh  permasalahan  serta  membahasnya  yaitu  :  simulasikan estimasi  model    linear  parsial    Y  = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1 + 𝛽 2 𝑋 2 + 𝑔 𝑇  + 𝜖 dengan 𝑋 1 = 101 + 24 𝑈 0,1 , 𝑋 2 = 49 + 17𝑈 0,1 , 𝑔 𝑇  = sin 2𝜋𝑇 , 𝜖 ~𝑁 6,5 . Pembahasan  simulasi  estimasi dari masalah di atas adalah sebagai berikut :

## 4.2.1.1. Algoritma Program
Adapun  algoritma  program  simulasi  estimasi  model  linear  parsial  menggunakan program S-Plus, yaitu :
a. Estimasi  bagian  parametrik  yaitu  estimator    beta (𝛽) dan  b).    Estimasi  bagian nonparametrik yaitu estimator g(T) adalah sebagai berikut :
a                                                                                     b

## 4.2.1.2.  Membuat  Fungsi  Estimasi  Parameter    Pada  Bagian  Parametrik    Model Regresi Semiparametrik
Adapun estimasi pada bagian parametrik dari model regresi semiparametrik yaitu :
1. Estimasi Parameter Beta 0 (𝛽0)
Bentuk fungsi estimasi parameter beta0 (𝛽0) adalah sebagai berikut : > beta0<-function(n,r) + { + } > fix(beta0) function(n,r) {
Mulai 𝜷 = 𝒄(𝟏, 𝟐, 𝟑) u ~U(0,1) v ~U(0,1) w ~U(0,1) ϵ ~N(6,5) 𝑿 𝟏 = 𝟏𝟎𝟏 + 𝟐𝟒 𝑼 𝟎, 𝟏 𝝐 ~𝑵 𝟔, 𝟓
𝒀 = 𝜷𝑿 + 𝒈 𝑻  + 𝝐 𝜷 =  𝑿 ′ 𝑿 −𝟏 𝑿 ′ 𝒀 𝑿 𝟐 = 𝟒𝟗 + 𝟏𝟕𝑼 𝟎, 𝟏 𝒈 𝑻  = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝑻 T= sort(w)
Y = 𝜷 𝟎 + 𝜷 𝟏 𝑿 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝑿 𝟐 + 𝒈 𝑻  + 𝝐
qqnorm (𝜷) qqline (𝜷) Selesai Mulai 𝜷 = 𝒄(𝟏, 𝟐, 𝟑) u ~U(0,1) v ~U(0,1) w ~U(0,1) ϵ ~N(6,5) 𝑿 𝟏 = 𝟏𝟎𝟏 + 𝟐𝟒 𝑼 𝟎, 𝟏 𝑿 𝟐 = 𝟒𝟗 + 𝟏𝟕𝑼 𝟎, 𝟏 𝝐 ~𝑵 𝟔, 𝟓 𝒀 = 𝜷𝑿 + 𝒈 𝑻  + 𝝐 𝒀" = 𝒌𝒆𝒓𝒏𝒆𝒍 "𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍" 𝒅𝒂𝒓𝒊 𝒈(𝑻) 𝒈 𝑻  = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝑻 T= sort(w)
Y = 𝜷 𝟎 + 𝜷 𝟏 𝑿 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝑿 𝟐 + 𝒈 𝑻  + 𝝐
Bandwidth =0.05 Res = (Y-Y”) qqnorm (𝑹𝒆𝒔) qqline (𝑹𝒆𝒔) Selesai
x<-matrix(0,n,3) x[,1]<-rep(1,n) u<-runif(n) x[,2]<-100*x[,1]+25*u v<-runif(n) x[,3]<-50*x[,1]+16*v b<-c(1,2,3) beta0<-rep(0,r) for(i in 1:r) { e<-rnorm(n,5,2) w<-runif(n) h<-sort(w) gt<-sin(2*pi*h) y<-x%*%b+gt+e xt<-t(x) xtx<-solve(xt%*%x) xty<-xt%*%y beta<-xtx%*%xty beta0[i]<-beta[1] } qqnorm(beta0) qqline(beta0) }
> beta0(500,60) intercept    slope 6.42679 1.538664 > beta0(500,90) intercept    slope 5.512805 1.536441 > beta0(500,140) intercept    slope 4.573788 1.433025
> beta0(1700,60) intercept     slope 5.640636 0.9140424
> beta0(1700,90)
intercept     slope 5.906575 0.9756339 > beta0(1700,140) intercept    slope 5.725705 1.007656
> win.graph() > par(mfrow=c(4,3)) > beta0(100,60) intercept    slope 6.133159 3.922958 > beta0(100,90) intercept    slope 5.919716 5.117378 > beta(100,140) > beta0(100,140) intercept    slope 6.648221 4.304291
> beta0(1000,60) intercept    slope 6.209254 1.310699
> beta0(1000,90)
intercept     slope 5.308048 0.9806193 > beta0(1000,140) intercept    slope 4.778199 1.335617

## 2. Estimasi Parameter Beta1 (𝛽1)
Bentuk fungsi estimasi parameter beta1 (𝛽1) adalah sebagai berikut : > beta1<-beta0 > fix(beta1)
function(n, r) { x <- matrix(0, n, 3) x[, 1] <- rep(1, n) u <- runif(n) x[, 2] <- 100 * x[, 1] + 25 * u v <- runif(n) x[, 3] <- 50 * x[, 1] + 16 * v b <- c(1, 2, 3) beta1 <- rep(0, r) for(i in 1:r) { e <- rnorm(n, 5, 2) w <- runif(n) h <- sort(w) gt <- sin(2 * pi * h) y <- x %*% b + gt + e xt <- t(x) xtx <- solve(xt %*% x) xty <- xt %*% y beta <- xtx %*% xty beta1[i] <- beta[2] qqnorm(beta1) qqline(beta1)
> win.graph() > par(mfrow=c(4,3)) > beta1(100,60) intercept      slope 2.001763 0.03243128 > beta1(100,90) intercept      slope 2.020575 0.02947815 > beta1(100,140) intercept      slope 2.012777 0.02746861 > beta1(500,60) intercept      slope 1.99559 0.01198506 > beta1(500,90) intercept      slope 1.990491 0.01210625 > beta1(500,140) intercept      slope 1.998861 0.01252757 1.995953 0.008512038
> beta1(1000,60) intercept       slope 1.995953 0.008512038 > beta1(1000,90) intercept       slope 1.998538 0.009595129 > beta1(1000,140) intercept       slope 1.992354 0.007681676 > beta1(1700,60) intercept       slope 1.998964 0.006564065 > beta1(1700,90) intercept       slope 1.999104 0.006924665 > beta1(1700,140) intercept       slope 2.000598 0.007215749

## 3. Estimasi Parameter Beta2 (𝛽2)
Bentuk fungsi estimasi parameter beta2 (𝛽2) adalah sebagai berikut : > beta2<-beta0 > fix(beta2) >beta2 function(n, r) { x <- matrix(0, n, 3) x[, 1] <- rep(1, n) u <- runif(n) x[, 2] <- 100 * x[, 1] + 25 * u v <- runif(n) x[, 3] <- 50 * x[, 1] + 16 * v b <- c(1, 2, 3) beta2 <- rep(0, r) for(i in 1:r) { e <- rnorm(n, 5, 2) w <- runif(n) h <- sort(w) gt <- sin(2 * pi * h) y <- x %*% b + gt + e xt <- t(x) xtx <- solve(xt %*% x) xty <- xt %*% y beta <- xtx %*% xty beta2[i] <- beta[3] } qqnorm(beta2) qqline(beta2) }

## 4.2.1.3. Membuat Fungsi Estimasi Parameter pada Bagian Nonparametrik yaitu g(T) Model Regresi Semiparametrik
Adapun  estimasi  pada  bagian  nonparametrik  yaitu  g(T)  model  regresi semiparametrik yaitu : > gete<-function(n) + { + } > fix(gete) function(n) { x<-matrix(0,n,3) x[,1]<-rep(1,n) u<-runif(n) x[,2]<-101*x[,1]+24*u v<-runif(n) x[,3]<-49*x[,1]+17*v b<-c(1,2,3) e<-rnorm(n,5,2) w<-runif(n) h<-sort(w) gt<-sin(2*pi*h) y<-x%*%b+gt+e g<-ksmooth(h,y, ker = "normal", bandwidth = 0.05) gy<-g$y res<-(y-gy) qqnorm(res) qqline(res)
> win.graph() > par(mfrow=c(4,3)) > beta2(100,60) intercept      slope 3.019461 0.04276547 > beta2(100,90) intercept      slope 3.004528 0.04574629 > beta2(100,140) intercept      slope 2.988473 0.04374792 > beta2(500,60) intercept    slope 3.005658 0.019245 > beta2(500,90) intercept      slope 2.992396 0.02100095 > beta2(500,140) intercept      slope 3.005576 0.01996945
> beta2(1000,60) intercept      slope 2.998361 0.01243464 > beta2(1000,90) intercept      slope 2.999569 0.01546367 > beta2(1000,140) intercept      slope 3.00596 0.01553633 > beta2(1700,60) intercept      slope 3.000804 0.01023663 > beta2(1700,90) intercept       slope 2.999323 0.008055285 > beta2(1700,140) intercept      slope 2.99026 0.01136875
}

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka diperoleh hasil estimasi dan hasil simulasi output baik  berupa  nilai  maupun  grafik  dengan  program  S-Plus,  dapat  ditarik  beberapa kesimpulan yaitu :
1. Estimasi   model  linear  persial  dengan  menggunakan  metode  kuadrat terkecil  akan berbentuk :
g n (t) = W ni n i=1 Y i − 𝐗 i T 𝛃 n dengan 𝜷 𝑛 = (𝐱 𝐓 𝐲 ) −𝟏 𝐱 𝐓 𝐲 .
2. Bagian Parametrik
1. Nilai 𝜖 ~ 𝑁(5,4) hanya  mempengaruhi  estimator  beta  0 (𝛽 0 ) ,  dalam  program simulasi  ini  dimisalkan 𝛽 0 =  1,  sedangkan  hasil  estimasi 𝛽 0 berada  dalam interval  5.5 < 𝛽 0 < 7.3.  Sedangkan  untuk estimator beta 1 ( 𝛽 1 ) dan beta 2 ( 𝛽 2 ), nilai  yang  diperoleh  hampir  sama  dengan  nilai  yang  dimisalkan  di  dalam  list program S-Plus yaitu 𝛽 1 = 1 dan 𝛽 2 = 3. 2. Berdasarkan tampilan grafik qqnorm dan qqline estimator beta ( 𝛽) yaitu 𝛽 0 , 𝛽 1 dan 𝛽 2 dapat terlihat dengan jelas, dimana jika n semakin besar (𝑛 → ∞) dan semakin besar  replikasi  r    perulangan,  maka  titik-titik  yang  menyebar  disekitar  garis  lurus makin banyak dan mendekati garis lurus. Hal ini menunjukkan makin besar n dan r, maka beta ( 𝛽) semakin mendekati distribusi normal.
3. Bagian Nonparametrik
Berdasarkan hasil simulasi  berupa nilai  maupun grafik  program  S-Plus  terlihat  bahwa jika n diambil semakin membesar maka titik-titik semakin banyak menyebar disekitar garis  lurus  dan  jika  n  di  ambil  semakin  besar  lagi (𝑛 → ∞) maka  titik-titik  akan membentuk  lambang  integral  yaitu    ∫  .  Artinya  titik-titik  yang  berada  di  atas  dan  di bawah garis, baik jarak maupun jumlahnya relatif sama (sifat simetris), akibatnya nilai residunya  akan  cenderung  mendekati  nol  (0).  Hal  ini,  berarti  estimator  bagian nonparametrik dalam hal ini yang diambil sebagai contoh fungsi kernel normal nilainya mendekati g(T). Jadi  dapat  diambil kesimpulan singkatnya  yaitu jika n semakin besar (𝑛 → ∞) maka estimator bagian nonparametriknya semakin mendekati g(T).
> win.graph() > par(mfrow=c(3,2)) >gete(60) intercept    slope 1.495798 20.13909 > gete(90) intercept    slope -0.7991943 15.24517 > gete(140) intercept    slope -0.4320971 17.89737
> gete(500) intercept    slope 0.3542298 21.20898
> gete(1700)
intercept    slope -0.04457853 21.65917 > gete(2000) intercept    slope 0.4421019 22.30143

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton,  H.  1987. Aljabar  Linear  Elementer ,  Edisi  ke  5,  Terjemahan  Pantur  Silaban Erlangga, Jakarta.
[2] Draper,  R.  N.  and  Smith,  H.  1998. Applied  Regression  Analysis ,  Johan  Wiley  & Sons,INC.
[3] Hardle , W.  1990. Applied  Nonparametric  Regression ,  The  Syndicate  of  the Universitas of Cambridge.
[4] Hardle,  W,  Liang.  H  and  Gao.  J.  2000. Partially  Linear  Model ,  Physica-Verlag, Heidelberg.
[5] Harinaldi.  2005. Prinsip-prinsip  Statistika  Untuk  Teknik  dan  Sains ,  Penerbit Airlangga. Jakarta.
[6] Montgomery, C.D and Peck, E.A. 1982. Introduction to Linear Regression Analysis , John Wiley & Sons.
[7] Myers, H.R and Milton, S.J. 1991. A First Course in the Theory of Linear Statistical Models , PWS-KENT Publising Company, Boston.
[8] Tirta, I. M, 2003. Pengantar Metode Simulasi, Diterbitkan oleh Unit Penerbit FMIPA Universitas Jember.
[9] Wang, Q, Linton. O and Hardle, W. 2003. Semiparametric Regression Analysis with Missing  at  Random. Journal  of  American  Statistical  Association,  June  2004, Vol. 99, no. 466,