ANALISIS PROBLEMATIKA PERKULIAHAN ANALISIS REAL
Molli Wahyuni 
Dosen Tidak Tetap pada Universitas Pahlawan Tuanku Tambusai Mahasiswa S3 Program Studi Ilmu Pendidikan Orientasi Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Negeri Padang whykpr@gmail.com

## ABSTRAK
Artikel ini disusun bertujuan untuk menyajikan berbagai permasalahan yang terjadi pada  perkuliahan  analisis  real  pada  umumnya  yang  dialami  oleh  mahasiswa  program sarjana  matematika  dan  sarjana  pendidikan  matematika.  Mata  kuliah  Analisis  Real bertujuan  untuk  mendidik  peserta  kuliah  agar:  a)  memiliki  pengetahuan  dasar  analisis matematika,  khususnya  tentang  bilangan,  barisan,  fungsi,  limit,  dan  turunan,  b)  mampu bernalar  secara  logis  dan  mengekspresikan  hasil  pernalarannya  secara  tertulis,  sistematis dan  rigorous.  Analisis  real  merupakan  salah  satu  mata  kuliah  yang  sering  dianggap  oleh mahasiswa  yang kuliah pada program  studi matematika dan pendidikan matematika. Pada makalah  ini,  penulis  memaparkan  berbagai  alternatif  solusi  yang  disarankan  dapat dilakukan untuk membantu mahasiswa dalam menghadapi perkuliahan analisis real. Upaya perbaikan kualitas juga dapat dilakukan oleh dosen diantaranya dengan melakukan sejumlah intervensi,  menerapkan  Lesson  Study,  menerapkan  pendekatan  RME,  pengembangan  buku teks analisis real .
Kata Kunci : Analisis Real,  Lesson Study, RME

## ABSTRACT
This  article  was  compiled  aims  to  present  a  wide  range  of  problems  that  occur  in  the course of real  analysis is generally experienced  by undergraduate students in  mathematics and mathematics education scholars. Real Analysis courses aimed at educating participants courses  in  order  to:  a)  have  a  basic  knowledge  of  mathematical  analysis,  especially  about numbers,  sequences,  functions,  limits,  and  derivatives,  b)  is  able  to  reason  logically  and express the results in writing them reason, systematic and rigorous. Analysis estate is one of the subjects that are often considered by students who study on courses of mathematics and mathematics education. In this paper, the authors describe the various alternatives suggested solutions  can  be  done  to  help  students  in  the  face  of  real  analysis  lectures.  Quality improvement  efforts  can  also  be  conducted  by  lecturers  include  making  a  number  of interventions,  applying  Lesson  Study,  apply  the  RME  approach,  textbook  development  real analysis.
Keywords : Real analysis, LessonStudy, Realistik Mathematic Education (RME)
 Corresponding author:
Address  : Bankinang, Kabupaten Kampar, Riau
ISSN 2579-9258
Email   : whykur@gmail.com

## Pendahuluan
Proses pembelajaran matematika di perguruan tinggi membutuhkan
kemampuan kognitif tingkat tinggi, seperti kemampuan analisis, sintesis, dan evaluasi, tidak  hanya  sekedar  ingatan  pengetahuan faktual  ataupun  aplikasi  sederhana  dari berbagai  formula  atau  prinsip.  Mahasiswa diharapkan  mampu untuk bernalar dengan baik dan mengekspresikan hasil pernalarannya  secara  tertulis,  sistematis dan  ketat  ( Rigorous ) . Kemampuan  ini dapat diperoleh melalui kegiatan pembuktian. Mengingat pentingnya kemampuan pembuktian matematik
dalam pembelajaran  matematika  maka National Council  of  Teachers  of  Mathematics (NCTM) (2000) telah menekankan adanya pembuktian  dalam  matematika  sekolah, yang  juga  mencerminkan  pergeseran  ke arah  pemecahan  masalah  dan  berpikir kritis.  Tapi  untuk  mengkonstruksi  bukti yang lebih rumit diberikan pada perkuliahan di perguruan tinggi.
Kurikulum  matematika  harus  mencakup banyak  dan  beragam  pengalaman  yang memperkuat dan memperluas keterampilan penalaran  logis  siswa  sehingga  semua siswa  dapat:  (1)  mengenal  penalaran  dan pembuktian sebagai aspek-aspek fundamental  matematika,  (2)  membuat konjektur  dan  memeriksa  kebenaran  dari konjektur  itu,  (3)  mengembangkan  dan mengevaluasi  argumen  dan  pembuktian
matematik, dan (4) memilih dan menggunakan  bermacam-macam  jenis penalaran dan metode pembuktian.
Dalam  matematika,  pembuktian adalah  serangkaian  argumen  logis  yang menjelaskan  kebenaran  suatu  pernyataan. Pembuktian  adalah  penerapan  sejumlah berhingga  langkah-langkah  logis  dari  apa yang  diketahui  (aksioma,  prinsip-prinsip atau hasil yang telah dibuktikan sebelumnya)  dan  menerapkan  prinsip- prinsip logika, untuk menciptakan argumen  deduktif  yang  valid  guna mencapai  suatu  kesimpulan  menggunakan aturan  inferensi  yang  dapat  diterima. Argumen-argumen  ini  dapat  berasal  dari premis  pernyataan  itu  sendiri,  teorema- teorema  lainnya,  definisi,  dan  dapat  juga berasal  dari  postulat  dimana  sistem matematika tersebut berasal. Yang dimaksud  logis  di  sini,  adalah  semua langkah  pada  setiap  argumen  harus dijustifikasi oleh langkah sebelumnya.
Pembuktian  memegang  peranan yang  sangat  penting  dalam  matematika karena  pembuktian  merupakan  bagian yang  mutlak  dan  mendasar  dalam matematika  dan  bagian  yang  tidak terpisahkan  dari  matematika.  Karena merupakan  bagian  yang  esensial  dalam melakukan doing ,  komunikasi,  dan recording matematika.  Peran  pembuktian yaitu: 1) untuk memverifikasi bahwa suatu pernyataan itu benar, 2) untuk menjelaskan mengapa  suatu  pernyataan  itu  benar,  3)
untuk  mengkomunikasikan  pengetahuan matematika,  4)  untuk  menemukan  atau menciptakan  matematika  baru,  atau  5) mensistematiskan  pernyataan  menjadi sistem aksiomatis.
Untuk  itu  mahasiswa  matematika harus  memiliki  kemampuan  melakukan pembuktian
matematik.
Dalam
pembuktian  matematik  terdapat  dua kemampuan  yaitu  kemampuan  membaca bukti  dan  mengkonstruksi  bukti.  Maka berargumentasi  secara  matematik  dan melakukan  pembuktian  haruslah  menjadi bagian yang esensial bagi mahasiswa yang belajar matematika. Karena itu pengkajian tentang  pengajaran  dan  pembelajaran pembuktian adalah komponen kunci dalam peningkatan  pembelajaran  matematika secara  menyeluruh.  Ada  beberapa  alasan mengapa  perlu  diberikan  pengajaran pembuktian  yaitu:  1)  bukti  adalah  bagian yang  yang  integral  dalam  matematika,  2) untuk  verifikasi  dan  penemuan  fakta,  3) untuk pengembangan kemampuan berpikir logis dan kritis siswa, dan 4) mempercepat dan  meningkatkan  pemahaman  matematik siswa.
Salah  satu  mata  kuliah  yang mendukung  hal  tersebut  adalah  Analisis Real. Mata kuliah  Analisis Real diberikan pada  Program  Studi  Matematika  dan Pendidikan  Matematika  perguruan  tinggi di  Indonesia.  Mata  kuliah  Analisis  Real bertujuan  untuk  mendidik  peserta  kuliah
agar:  a)  memiliki  pengetahuan  dasar analisis  matematika,  khususnya  tentang bilangan,  barisan,  fungsi,  limit,  dan turunan,  b)  mampu  bernalar  secara  logis dan  mengekspresikan  hasil  pernalarannya secara  tertulis,  sistematis  dan rigorous. Melalui perkuliahan Analisis Real, mahasiswa  berlatih  untuk  memverifikasi bahwa  suatu  pernyataan  itu  benar, menjelaskan mengapa suatu pernyataan itu benar,  mengkomunikasikan  pengetahuan matematika,  dan  menuliskannya  dalam bahasa  yang  logis  dan  sistematis. Kemampuan  tersebut  dapat  ditingkatkan melalui  kegiatan  pembuktian.  Kegiatan pembuktian banyak dilakukan dalam mata kuliah  Analisis  Real  yang  sarat  dengan definisi,  lemma,  dan  teorema.  Agar mahasiswa dapat memahami Analisis Real dengan  baik  maka  mahasiswa  dituntut untuk  dapat  memahami  setiap  lemma  dan teorema  yang  dipelajari.  Salah  satu  syarat agar hal tersebut tercapai adalah mahasiswa  harus  mempunyai  kemampuan dalam  membuktikan  lemma  dan  teorema yang dipelajari dan beberapa permasalahan yang  terkait  dengan  penerapan  definisi, lemma,  dan  teorema.  Dengan  demikian, peningkatan pemahaman mahasiswa dalam Analisis  Real  dapat  dilakukan  melalui peningkatan kemampuam mahasiswa dalam  pembuktian.    Namun  dalam kenyataan ditemui bahwa banyak
mahasiswa  mengalami  kesulitan  dalam pembuktian.
Berdasarkan  pengalaman  mengajar
mata  kuliah  Analisis  Real  di  Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pahlawan Tuanku Tambusai Riau,
ditemukan  bahwa  mahasiswa  biasanya mengalami  kesulitan  dalam  beberapa  hal yaitu:  1)  menilai  kebenaran  dari  sebuah pernyataan,  2)  memahami  informasi,  3) menemukan ide, dan 4) menuliskan ide.
Yuslenita  Muda  (2017),  salah seorang  dosen  Universitas  Islam  Negeri Suska  Pekanbaru  yang  kini  sedang  kuliah di  University  of  Essex  Colchester  Inggris yang  sedang  mendalami  tentang  analisis real  mengungkapkan  bahwa  analisis  real dirasakan  sulit  oleh  mahasiswa  karena terlalu  abstrak,  meskipun  namanya  real. Mahasiswa  sering  tidak  paham  dari  mana proses pembuktian harus dimulai.
Beberapa  solusi  yang  pernah  ia  tempuh untuk  memperbaiki  kualitas  perkuliahan dan  membantu  mahasiswa  menyelesaikan permasalahan  analisis  real  antara  lain membimbing  mahasiswa  menyelesaikan masalah step by step, memberikan ilustrasi dalam  bentuk  gambar,  memberikan metode  terbaik  dan  dosen  juga  bertanya kepada rekan sejawat.
Kelemahan dan kesulitan
mahasiswa dalam pembuktian  matematika antara lain:
1. Mahasiswa tidak dapat menyatakan definisi dengan bahasanya sendiri.
2. Intuisi  pemahaman  terhadap  suatu konsep  yang  dimiliki  mahasiswa
sedikit. 3. Concept images untuk mengerjakan  pembuktian  tidak cukup.
4. Mahasiswa  tidak  dapat  dan  tidak berkeinginan  membuat  contoh sendiri.
5. Mahasiswa tidak mengetahui bagaimana  menggunakan  definisi
untuk
6. memperoleh  struktur  pembuktian yang menyeluruh.
7. Mahasiswa  tidak  dapat  memahami dan  menggunakan  bahasa  dan notasi
matematik.
8. Mahasiswa tidak mengetahui
bagaimana memulai pembuktian. Agar  dapat  membuat  pembuktian
matematik  dengan  baik,  mahasiswa dituntut memiliki pengetahuan- pengetahuan  prasyarat,  misalnya  logika matematika dan metode pembuktian dalam matematika. Dengan dimilikinya
pengetahuan  prasyarat  tidak  menjamin bahwa  mahasiswa  dapat  mengembangkan dan  mengkomunikasikan  suatu  bukti. Untuk dapat mengembangkan dan mengkomunikasikan  suatu  pembuktian matematika  dengan  baik,  mahasiswa dituntut untuk memiliki kreativitas, intuisi, dan  pengalaman.  Memiliki  intuisi  berarti memiliki  kemampuan  untuk  membuat
konjektur  yang  merupakan  bagian  yang sangat  penting  dalam  proses  pembuktian matematik.
Sedangkan memiliki kreativitas  berarti  memiliki  kemampuan untuk  menyatakan  persoalan  dalam
berbagai model yang operasional.
Kreativitas,  intuisi, dan pengalaman dapat dikembangkan  dan  disediakan  melalui pembelajaran.
Beberapa hasil
penelitian menunjukkan  bahwa  mahasiswa  sangat sulit mengkonstruksi bukti sekalipun bukti sederhana  atau  rutin  sekalipun.  Hasil- penelitian  tersebut  diantaranya  adalah pengantar  pembuktian  (Moore,  1994), analisis  real  (Bills  and  Tall,  1998)  dan  , aljabar  abstrak  (Weber  2001).  Mahasiswa pada  umumnya  tidak  menentukan  apa yang  dinyatakan  dalam  sebuah  bukti (Resio and Godino:  2001) dan  mahasiswa tidak dapat menentukan apakah suatu bukti valid atau tidak.
Berdasarkan latar belakang di atas, maka  dapat  dirumuskan  masalah  sebagai berikut :
a. Mengapa  mahasiswa  kesulitan  dalam mengkonstruksi  pembuktian  pada mata kuliah analisis real?
b. Bagaimana
upaya untuk meningkatkan  kemampuan  berfikir mahasiswa dalam mata kuliah

## Analisis Real?

## Kajian Teori
1. Kesulitan Belajar
Di  dalam  proses  pembelajaran maupun  perkuliahan  terdapat  beberapa faktor yang menjadi penghambat keberhasilan dalam proses belajar
mengajar. Kesulitan dalam belajar merupakan  salah  satu  faktor  penghambat dalam mencapai tujuan pembelajaran yang telah  ditetapkan.  Faktor-faktor  tersebut dapat  digolongkan  menjadi  dua  golongan, yaitu  faktor  intern  dan  faktor  ekstern. Faktor  intern  adalah  faktor  yang  ada  di dalam  diri  individu  yang  sedang  belajar, sedangkan  faktor  ekstern  adalah  faktor yang  ada  di  luar  individu  (Slameto, 2010:54). Kedua faktor tersebut mempunyai arti yang sangat penting dalam rangka  membantu  seseorang  dalam mencapai  prestasi  belajar  yang  sebaik- baiknya.
Adapun  faktor-faktor  intern  yang dimaksud terdiri dari (1) Faktor jasmaniah: faktor  kesehatan  dan  cacat  tubuh.  (2) Faktor  psikologis:  intelegensi,  perhatian, minat,  bakat,  motivasi,  kematangan,  dan kesiapan. (3) Faktor kelelahan. Sedangkan faktor  ekstern  yang  dimaksud  terdiri  dari (1)  Faktor  keluarga:  cara  orang  tua mendidik,  relasi  antaranggota  keluarga, suasana rumah, keadaan ekonomi keluarga,  pengertian  orang  tua,  dan  latar belakang  kebudayaan.  (2)  Faktor  sekolah: metode  mengajar,  kurikulum,  relasi  guru dengan  siswa,  relasi  siswa  dengan  siswa,
disiplin  sekolah,  alat  pelajaran  waktu sekolah,  standar  pelajaran  di  atas  ukuran, keadaan gedung, metode belajar, dan tugas rumah.  (3)  Faktor  masyarakat:  kegiatan siswa  dalam  masyarakat,  mass  media, teman  bergaul,  dan  bentuk  kehidupan masyarakat, (Slameto, 2010:54).

## 2. Miskonsepsi
Miskonsepsi dapat dipandang sebagai suatu pengertian yang tidak akurat terhadap konsep, penggunaan konsep yang salah,  klasifi  kasi  contoh-contoh  yang salah,  dan  hubungan  konsep-konsep  yang tidak  benar.  Bentuk  miskonsepsi  dapat berupa  kesalahan  konsep,  hubungan  yang tidak  benar  antar  konsep,  dan  gagasan intuitif  atau  pandangan  yang  keliru (Suparno, 2005) dalam Sastradi (2013).
Miskonsepsi terbentuk secara alami dan  tidak  terelakkan  dari  bagian  proses belajar.  Miskonsepsi  sering  dibawa  siswa dari  tingkat  sekolah  dasar  sampai  ke perguruan  tinggi.  Konsep  massa,  gaya berat, berat/beban, kelembaman massa dan massa  gravitasi  juga  merupakan  konsep yang paling sering menimbulkan miskonsepsi  di  dalam  ilmu  fi  sika  oleh para siswa, dari sekolah menengah hingga ke  universitas  (Gonen,  2008)  dalam Sastradi (2013).
Penyampaian informasi yang kurang  jelas  dan  kurang  lengkap  yang diterima  oleh  siswa  dalam  proses  belajar juga  diduga  sebagai  penyebab  terjadinya
miskonsepsi.  Bahkan  pemilihan  strategi pengajaran  yang  kurang  tepat,  misalnya penggunaan  analogi  yang  kurang  tepat, dapat  juga  mengganggu  proses  berpikir siswa  dan  mendapat  kesulitan  dalam memahami konsep-konsep yang dipelajari.
Miskonsepsi mahasiswa  dapat dideteksi  dengan  :  a)  memberi  tes diagnostik  pada  awal  perkuliahan  atau pada  setiap  akhir  pembahasan.  Bentuknya dapat  berupa  tes  obyektif  pilihan  ganda atau  bentuk  lain  seperti  menggambarkan diagram  fi  sis  atau  vektoris,  grafik,  atau penjelasan  dengan  kata-kata;  b)  memberi tugas-tugas  terstruktur  misalnya  tugas mandiri atau kelompok sebagai tugas akhir pengajaran atau tugas pekerjaan rumah ;c) memberi  pertanyaan  terbuka,  pertanyaan terbalik ( reverse question ) atau pertanyaan yang kaya konteks ( context-rich problem );
d)  mengoreksi  langkah-langkah  yang digunakan  siswa  atau  mahasiswa  dalam menyelesaikan soal-soal essai; e)mengajukan pertanyaan-pertanyaan terbuka  secara  lisan  kepada  siswa  atau mahasiswa;  f)  mewawancarai  misalnya dengan menggunakan kartu pertanyaan.

## 3. Kemampuan Matematik
Sumarmo dan Hendriana (2014:19),  kemampuan  matematik  dapat diklasifikasikan  dalam  lima  kompetensi utama  yaitu:  pemahaman  matematik,
pemecahan masalah, komunikasi matematik,  koneksi  matematik,  dan
penalaran  matematik.  Kemampuan  yang lebih tinggi diantaranya
adalah
kemampuan  berfikir  kritis  matematik  dan kemampuan berfikir kreatif matematik. a. Pemahaman Matematik Pemahaman
matematik
( mathematical understanding ) dalam
hal  ini  berbeda  dengan  pemahaman yang  terdapat  pada  taksonomi bloom. Pemahaman matematik memiliki  tingkat  kedalaman  tutunan kognitif  yang  berbeda.  Selain mengetahui suatu teorema, pemahaman  matematis  juga  akan memberikan kemampuan untuk menguasai aspek-aspek dalam membuktikan  serta  aplikasi  dari
teorema tersebut.
b. Pemecahan Masalah Matematik Pemecahan masalah matematik merupakan suatu proses memecahkan  masalah  tidak  secara
langsung  melainkan  harus  melalui cara lain terlebih dahulu.
c. Koneksi Matematik
Pentingnya  memiliki  kemampuan konseksi matematik (NCTM, 1989) : memahami konsep matematika, menjelaskna keterkaitan antarkonsep dan  mengaplikasikan  konsep  atau algoritma  secara  luwes,  akurat,
efisien
dan tepat dalam menyelesaikan masalah.

## d. Komunikasi Matematik
Komponen  tujuan  pembelajaran (NCTM, 1999): mengkomunikasikan gagasan  dengan  simbol,  tabel, diagram  atau  ekspresi  matematika untuk  memperjelas  keadaan  atau masalah dan memiliki sikap menghargai  kegunaan  matematika dalam  kehidupan,  sikap  rasa  ingin tahu,  perhatian  dan  minat  dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet  dan  percaya  diri  dalam menyelesaikan masalah.

## e. Penalaran Matematik
1) Penalaran  induktif.  Merupakan suatu penarikan kesimpulan berdasarkan pengamatan terhadap data  terbatas  sehingga  nilai kebenarannya bersifat probabilistik. 2) Penalaran  deduktif.  Merupakan penarikan kesimpulan berdasarkan aturan yang disepakati sehingga nilai kebenarannya bersifat mutlak.
f. Berfikir Kritis Matematik
Berfikir  kritis  merupakan  berfikir reflektif yang beralasan dan difokuskan  penetapan  apa  yang
dipercayai  atau  dilakukan.  Indikator kemampuan berfikir kritis adalah:
1) Memfokuskan diri pada pertanyaan 2) Menganalisis dan  mengklarifikasi
pertanyaan, jawaban dan argumen
3) mempertimbangkan  sumber  yang terpercaya
4) Mengamati  dan  menganalisis deduksi
5) Menginduksi  dan  menganalisis induksi
6) Merumuskan eksplanatori,
kesimpulan dan hipotesis
7) Menarik pertimbangan yang
bernilai
8) Menetapkan suatu aksi
9) Berinteraksi dengan orang lain.
10) Jika  dihubungkan  dengan
Taksonomi  Bloom  maka  berfikir kritis  sebanding  dengan  analisis, sintesis  dan  evaluasi  dari  suatu konsep.
g. Berfikir Kreatif Matematik
Ciri-ciri  komponen  berfikir  kreatif yaitu :
1) Ciri-ciri Fluency
a) Mencetuskan  banyak  ide, banyak  jawaban,  banyak
penyelesaian masalah, banyak  pertanyaan  dengan lancar b) Memberikan  banyak  cara atau  saran  untuk  melakukan berbagai hal
c) Selalu  memikirkan  lebih  dari satu hawaban
2) Ciri-ciri Flexibility
a) Menghasilkan gagasan,
jawaban  atau  pertanyaan yang  variasi,  dapat  melihat masalah  dari  sudut  pandang yang berbeda
b) Mencari  banyak  alternatif atau arah yang berbeda-beda
c) Mampu mengubah cara pendekatan atau cara pemikiran 3) Ciri-ciri Originality a) Mampu melahirkan
ungkapan baru yang unik
b) Memikirkan  cara  yang  tidak lazim  untuk  mengungkapkan diri
c) Mampu membuat kombinasi- kombinasi  yang  tidak  lazim dari bagian-bagian atau unsur-unsur.
4) Ciri-ciri Elaboration
a) Mampu  memperkaya  dan mengembangkan suatu gagasan atau produk
b) Menambah  atau  memerinci detail-detail dari  suatu objek,
gagasan,  atau  situasi  hingga menjadi lebih menarik.
Analisis dan Pemecahan Masalah
1.  Problematika  Perkuliahan  Analisis
Real
Dalam kehidupan sehari-hari individu  secara  normal  menggunakan argumentasi informal yang bersifat institusional  bergantung  konteks  dan suasana  emosionalnya  (Miller:  1991). Menurut   Fernandes  (Recio:  2002),  ciri utama  argumen  ini  adalah  :  (a) diaplikasikan  pada  issu  yang  relevan  oleh orang  yang  membuat  argumen,  (b) argumen  ini  dinamis  tergantung  konteks dan  situasi,  (c)  diaplikasikan  pada  tugas- tugas  terbuka,  samar,  dan  tidak  deduktif, (d)  menggunakan  bahasa  sehari-hari, bukan  bahasa  simbol  dan  formal,  (e) digunakan dalam semua ranah pengetahuan,  termasuk  dalam  matematika dan sains.  Miller-Jones (1991), mahasiswa memiliki
kesulitan membedakan argumentasi  intuitif  yang  mereka gunakan dalam  dalam  kehidupan  sehari-hari  dari pemikiran  deduktif  yang  dikehendaki dalam  perkuliahan.  Recio  dan  Godino (2001) menyebutkan bahwa banyak teknik bukti  yang  salah  justru  digunakan  dalam domain non-matematik. Misalnya, menarik konklusi  umum  dengan  menguji  beberapa kasus  khusus  biasanya  digunakan  dalam sains dan ilmu sosial.
Polya  (Recio  and  Godino:  2002) mempelajari  penalaran  intuitif  dalam matematika. Beliau memandang penalaran intuitif  sebagai  penalaran  yang  digunakan untuk memformulasikan dugaan matematika  dan  menamakannya palusible reasoning. Garuti (1998), terdapat kontinuitas  dalam  memproduksi  dugaan dan mengkonstruksi bukti, oleh karena itu argumen  matematika  informal  dapar mendasari level awal bukti matematika.
Faktor-faktor penyebab munculnya kesulitan  dalam  memproduksi  bukti  valid dikalangan  mahasiswa  telah  banyak diungkap  melalui  hasil-hasil  penelitian. Yackel  dan  Cobb  (1996)  menyelebutkan istilah sociomathematical norms untukmenyatakan  bagaimana  pengaruh lingkungan  seperti  buku  teks,  komentar guru,  dan  umpan  balik  tugas-tugasnya menentukan kepercayaan matematika mahasiswa termasuk tindakannya. Dreyfus (1999)  mengklaim  bahwa  “  apa  yang sebuat dengan justifikasi matematika yang diterima  “  adalah  suatu  contoh  dari sociomathematic  norm. Seperti  yang telah dikemukakan  di  atas,  perbedaan  karir akademik  mahasiswa,  perbedaan  tipe  dari justifikasi yang dibutuhkan dapat menyebabkan  kesulitan  mahasiswa  dalam membangun  bukti.  Tipe  justifikasi  mana yang  dibuthkan?  Hal  ini  jarang  dijelaskan
kepada  mahasiswa.  Terkadang  mahasiswa menerima informasi yang berbeda.
Rendahnya  perkembangan  kognitif mahasiswa  juga  merupakan  salah  satu penyebab  kesulitan  pemahaman  konsep bukti. Piaget mengklaim bahwa anak tidak membedakan  atau  engkonstruksi  argumen deduktif  hingga  mereka  sampai  pada tingkat operasi formal dalam perkembangan  kognitifnya.  Weber  (2001) meneliti perkembangan
kognitif mahasiswa  dan  menemukan   hanya  22% mahasiswa  yang  mencapai tingkat operasi formal  dalam  perkembangan  kognitifnya. Hal  serupa  ditemukan  oleh  Tall  (1991) dalam  observasinya  bahwa  menyebutkan bahwa  banyak  mahasiswa  (setidaknya awal tahun pertama) tidak dapat memahami bukti deduktif.
Faktor lain  yang  menjadi kesulitan dalam memproduksi bukti adalah kesulitan notasional.  Pada  kuliah  tingkat  lanjut, banyak  bukti  menggunakan  notasi  formal. Mahasiswa  menemukan  beberapa  aspek kesulitan  dari  notasi  ini  diantaranya adalah:  khususnya  penggunaan  multipel quantifier  yang  menyusahkan.  Selden (1995)  memintta  61  mahasiswa  dari pengantar  perkuliahan  untuk  mengubah pernyataan  informal  ke  dalam  bahasa kalkulus  predikatif.  Beliau  menemukan bahwa  mahasiswa  yang sukses pada tugas ini  kurang  dari  10%  dalam  waktu  yang telah ditentukan.
Penelitian
lain
(Dubinsky, 1988)
berhasil mengilustrasikan  bagaimana  mengekaksi makna   pernyataan  logika  berkuantor kelihatan  sangat  sulit  dan  merupakan proses  kompleks.  Penalaran  mahasiswa tentang pernyataan  multi quantified  hanya melibatkan bagian predikat pernyataan dan mengabaikan bagaimana variabel dikuantifikasi. (Pinto dan Tall: 1999).
Faktor-faktor penyebab munculnya kesulitan memproduksi bukti yang valid di kalangan mahasiswa yang diungkap d atas menunjukkan  kemungkinan  adanya  faktor internal  yang  dipengaruhi  oleh  faktor- faktor  :  jenis  buku  teks,  komentar  dosen, dan  umpan  balik  dosen  terhadap  tugas- tugas  mahasiswa,  kebiasaan  penalaran dalam   kehidupan  sosial  mahasiswa, perkembangan  kognitif  mahasiswa  dan, kesulitan pemehaman notasional.
Dalam  pembelajaran  matematika khususnya  pada  pembelajaran  matematika lanjut  yang  berorientasi  pembuktian,  kita memerlukan cara pandang tentang bagaimana  suatu  bukti  yang  dapat diterima?  kita  membutuhkan  pandangan tersebut,  karena  mahasiswa  bukanlah seorang  matematikawan,  tetapi  juga  kita mengupayakan  mereka  memiliki  konsep yang benar tentang bukti matematika. Bagi mahasiswa bukti haruslah dapat membantu memahami  mengapa  sesuatu  pernyataan itu benar.
Setelah  mengetahui  permasalahan- permasalahan  yang  dihadapi  mahasiswa dalam  melakukan  pembuktian  matematis pada  mata  kuliah  analisis  real,  dapat dirumuskan  intervensi-intervensi  yang perlu diberikan guna mengatasi permasalahan  yang  dihadapi  mahasiswa dalam  melakukan  pembuktian  matematis pada  mata kuliah analisis real. Perumusan intervensi-intervensi  tersebut  didasarkan pada  pengkajian  yang  dilakukan  oleh peneliti  terhadap  permasalahan  yang terjadi berdasarkan perspektif teori belajar yang  telah  dirumuskan  oleh  para  pakar yang  disesuaikan  dengan  karakteristik kemampuan  serta  kebiasaan  belajar  dan berpikir mahasiswa.
Sejumlah hasil penelitian menunjukkan  bahwa  permasalahan  yang terjadi  berkaitan  dengan  kemampuan pembuktian matematis mahasiswa disebabkan karena:
1)
lemahnya penguasaan  materi  pra  syarat  seperti himpunan,  sistem  bilangan,  sifat-sifat operasi  biner,  relasi  dan  fungsi,  limit  dan turunan  fungsi;  2)  kurangnya  intensitas latihan  dalam  pembuktian  matematis;  3) terlalu  banyaknya  definisi  dan  teorema yang  harus dipelajari  sehingga  mahasiswa kebingungan  dalam  menentukan  definisi atau  teorema  mana  yang  harus  digunakan untuk  membuktikan  permasalahan  yang berikan.

## 2. Alternatif Pemecahan Masalah
Berdasarkan dugaan dan pengkajian di atas, maka dalam merumuskan  intervensi  guna  mengatasi permasalahan yang terjadi, peneliti berpedoman pada teori belajar behaviorisme dan konstruktivisme, diantaranya teori penguatan
( reinforcement )  dari  B.F  Skinner,  teori pembiasaan  ( conditioning )  dari  Pavlov, dan  teori  belajar  interaksi  sosial  dari Vygotsky yang menekankan pada pemberian scaffolding . Adapun intervensi- intervensi  yang  dapat  dirumuskan  dari hasil  pengkajian  yang  telah  dilakukan peneliti  diantaranya  yaitu  dengan:  1) memberikan  penguatan  ( reinforcement ) terhadap  penguasaan  materi  pra  syarat,  2) melakukan  pembiasaan  ( conditioning ) melalui  kegiatan drill,  practice,  and exercise ,  dan  3)  memberikan scaffolding berupa  petunjuk  pembuktian  secara deduktif dengan menyertakan definisi atau teorema  untuk  melakukan  pembuktian matematis.
Di  samping  itu,  salah  satu  cara yang  dapat  ditempuh  untuk  memperbaiki kualitas  perkuliahan  analisis  real  yaitu melalui Lesson  study (Darmadi,  2011) . Lesson  study adalah  suatu  model pembinaan  profesi  pendidik  melalui pengkajian pembelajaran
secara kolaboratif dan berkelanjutan berlandaskan
prinsip-prinsip  kolegalitas  yang  saling belajar  untuk  membangun  masyarakat belajar.  Pada  kegiatan Lesson  Study , kolegalitas membicarakan praktik pembelajaran,  saling  mengobservasi  kelas pembelajaran,  membuat  gagasan  bersama mengenai  kelas,  dan  saling  mendorong satu  sama  lain  dalam  meningkatkan kualitas pembelajaran. Fungsi perencanaan antara lain penyusunan scenario
pembelajaran  beserta  perangkat  dan panduan observasinya yang dapat dipahami sesama dosen, pelatihan pembelajaran  dan  langsung  diterapkan  di kelas,  pengimbasan  pengetahuan  secara kolaboratif  dari  pakar  atau  sesama  dosen, penerapan suatu hasil penelitian pembelajaran  yang  telah  dilakukan,  dan penyusunan  awal  proposal  penelitian tindakan  kelas  jika  diperlukan. Lesson Study bukan suatu metode/model pembelajaran,  tetapi  merupakan  suatu model pembinaan profesi pendidik dengan kebersamaan  dan  saling  belajar  di  antara para  pendidik.  Para  dosen  bekerjasama secara kolaboratif dalam membuat perencanaan  ( Plan )  pembelajaran  yang meliputi  brieffing  singkat  tentang  rencana pembelajaran yang akan dilaksanakan oleh dosen model, menyiapkan lembar observasi, RPS, LKM, atau perangkat lain yang  diperlukan,  dan  memastikan  agar pada waktu pengamatan nanti tidak keluar
masuk  kelas,  karena  akan  mengganggu konsentrasi mahasiswa.
Pelaksanaan dan observasi ( Do dan See )  meliputi  seorang  dosen  model  dan dosen  lain  sebagai  observer.  Observer mengambil  tempat  sedemikian  hingga dapat  leluasa  mengamati  jalannya  proses pembelajaran  tanpa  mengganggu  aktivitas dan konsentrasi mahasiswa. Observer tidak diperkenankan  melakukan  intervensi  pada pembelajaran,  seperti  menegur  dosen  dan membantu atau bertanya kepada mahasiswa.  Fokus  observasi  ditekankan pada  aktivitas  belajar  mahasiswa,  baik secara  individual  maupun  kelompok, sesuai  dengan  pokok  permasalahan  yang diambil. Pengamat melakukan pengamatan secara  penuh  sejak  awal  sampai  akhir pembelajaran.  Selain  mengamati  siswa belajar, pengamat juga perlu memperhatikan  teknik  pengelolaan  kelas yang dilakukan dosen, teknik mengefektifkan pencapaian tujuan pembelajaran, pemanfaatan media pembelajaran,  dan  upaya  dosen  membuat mahasiswa  kreatif.  Dalam  diskusi  refleksi mempunyai tahapan:
1) refleksi penyaji/dosen  model  tentang  strategi pembelajaran  yang  telah  dilakukan;  2) tanggapan/usul/saran  dari  observer  yang difokuskan  pada  aktivitas  pembelajaran mahasiswa  sebagai  hasil  observasi  dan bukan  didasarkan  pada  opini/teori;  3) tanggapan balik dari penyaji/dosen model;
dan  4)  menarik  kesimpulan  dan  saran untuk perbaikan/perencanaan pembelajaran  pada  putaran  berikutnya. Melalui  kolegalitas  pada  kegiatan Lesson
Study diharapkan permasalahan- permasalahan yang ada pada pembelajaran analisis  real  dapat  dibahas  bersama  dan kualitas perkuliahan analisis real jadi lebih baik.
Somakim  (2007)    memaparkan bahwa  dalam  meningkatkan  kemampuan matematis  siswa  dalam    perkuliahan analisis  real  dapat  juga  dilaksanakan dengan penerapan pembelajaran
matematika realistik. Pembelajaran matematika  realistik  merupakan  teori belajar  mengajar  dalam  pendidikan matematika. Teori pembelajaran
matematika realistik pertama kali diperkenalkan  dan  dikembangkan  di Belanda  pada  tahun  1970  oleh  Institut Freudenthal.  Freudenthal  berpendapat bahwa  matematika  harus diartikan dengan realita dan matematika merupakan aktivitas manusia. Dari pendapat Freudenthal  memang  benar  alangkah baiknya  dalam  pembelajaran  matematika harus ada  hubungannya dengan kenyataan dan kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu manusia  harus  diberi  kesempatan  untuk menemukan  ide  dan  konsep  matematika dengan bimbingan orang dewasa.
Matematika  harus  dekat  dengan  anak  dan
kehidupan  sehari-hari.  Upaya  ini  dilihat dari  berbagai  situasi  dan  persoalan- persoala n “realistik”. Realistik ini dimaksudkan  tidak  mengacu  pada  realitas pada  realitias  tetapi  pada  sesuatu  yang dapat  dibayangkan.  Misalnya,  dengan memberikan mengarahkan siswa membuat poster  tentang  konvergen  yang  diawali dengan kondisi kehidupan sehari-hari.
Adapun menurut pandangan konstruktivis  pembelajaran  matematika adalah  memberikan  kesempatan  kepada siswa  untuk  mengkonstruksi  konsep- konsep  matematika  dengan  kemampuan sendiri  melalui  proses  internalisasi.  Guru dalam  hal  ini  berperan  sebagai  fasilitator. Dalam  pembelajaran  matematika  guru memang  harus  memberikan  kesempatan kepada  siswa  untuk  menemukan  sendiri konsep-konsep matematika dengan kemampuan  siswa  sendiri  dan  guru  terus memantau atau mengarahkan  siswa dalam pembelajaran walaupun siswa sendiri yang akan menemukan konsep-konsep matematika,  setidaknya  guru  harus  terus mendampingi  siswa  dalam  pembelajaran matematika. Harini, dkk (2014) mengungkapkan bahwa miskonsepsi mahasiswa  dapat  dieksplorasi  dengan pengembangan  buku  teks  analisis  real yang  bermuatan  peta  pikiran.    Cara  ini dinilai merupakan salah satu strategi untuk
mengetahui penyebab miskonsepsi
mahasiswa dalam pembuktian analisis real, sehingga  dapat  dilakukan  tindaklanjut
untuk membantu mahasiswa agar menggunakan konsep yang benar.
Beberapa  hal  yang  juga  perlu menjadi  perhatian  dalam  mendukung perkuliahan  analisis  real  adalah  dukungan lingkungan.  Dukungan  keluarga  sangat perlu dalam memotivasi mahasiswa dalam belajar. Dukungan dari sekolah antara lain penerapan  metode  pembelajaran  yang mendukung, menjaga hubungan yang baik antara  dosen  dan  mahasiswa  serta membina  mahasiswa  agar  dapat  menjaga hubungan  baik  sesama.  Dukungan  dari masyarakat  dapat  diwujudkan  salah satunya  dengan  memilih  teman  bergaul yang mendukung dalam pembelajaran.

## KESIMPULAN
Dari beberapa uraian di atas, maka dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut :
1. Analisis Real merupakan salah satu mata  kuliah  yang  diajarkan  pada program studi pendidikan matematika.  Mata  kuliah  ini membutuhkan kemampuan berfikir kritis  mahasiswa,  untuk  mampu membuat pembuktian dalam permasalahan yang diajukan. 2. Permasalahan yang paling menonjol dihadapi dalam perkuliahan  analisis  real  adalah
terjadinya  miskonseps  mahasiswa
terhadap materi sehingga menyulitkan dalam pembuktian. 3. Upaya  perbaikan  kualitas  juga dapat dilakukan oleh dosen diantaranya  dengan  melakukan sejumlah  intervensi,  menerapkan Lesson Study , menerapkan pendekatan  RME,  pengembangan buku teks analisis real.
4. Upaya lainnya yang dapat dilakukan  untuk  meningkatkan kualitas  perkuliahan  analisis  real adalah dengan melakukan pembenahan instrumental dan dukungan dari lingkungan.

## DAFTAR RUJUKAN
Bills, E & Tall, D.  1998. Overall Definitions in  Advanced  Mathematic s. The  Case of least Upper Bound in Proceeding of PME 22 (2),
Stellenbosch, South Africa.
Buschman,  L.  2004. Teaching  Problem Solving  in  Mathematics. NCTM Journal.  10  (6).  302.  Tersedia dalam: www.nctm.org.
Ernest, P. 1991. The Philosophy of Mathematics Education. Falmer Press tersedia dalam http://www.questia.com/libr ary/book/ .
Hanna,  G. & Janhke.  1996. Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical
and Educational
Perspectives. Tersedia dalam http://www.nap.edu/catalog/ 10126.html .
Hanna,  G.  and  Jahnke,  H.N.  1996,  ‘Proof and  proving’,  in  A.  Bishop,  K. Clements, C.
Marzano. 1988. Dimensions of Thinking: A Framework  for  Curriculum  and Instruction. Alexandria, Va: ASCD
Moore, R. C. 1994. Making the Transition to Formal Proof, dalam Journal of Educatinal  Studies in Mathematics. Springer Netherlands Volume  27(3)  Oktober   1994.  ISSN 0013-1954.
Movshovitz & Hadar,N. 2001. Institutiona l  and  Personal  Meanings  of
Mathematical Proof . Tersedia dalam www- didactique.imag.fr/preuve/preuveBi blio.html. Perkins,D.N. & Weber,R.J. 1992. Inventive  Mind:  Creative  in Technology. New  York:  University Press.
Recio, A. M . & Godino, J. D.
2001. Institutional  and  Personal
Meanings of Proof. Educational
Studies in Mathematics 48 (1), 83-99. Tersedia dalam http:// www.math . ntnu.Edu.t w
Sastradi, T. (2013) Pengertian Prakonsepsi dan Miskonsepsi . http://mediafunia.blogspot.com/201 3/03/pengertian-prakonsepsi-dan miskonsepsi.html.
Selden,  A. & Selden,  J.   2002. Validation  of Proofs  Written  as  Texts:  Can Undergraduates   Tell  whether  an Argument Proves a Theorem ? Journal for research in Mathematics
Education,  38  (1),  4-36.  Tersedia dalam http:// www.math .ntnu.Edu.tw .
Slameto.  2003. Belajar  dan  Faktor-faktor yang  Mempengaruhinya .  Jakarta: Rineka Cipta.
Slavin. 1997. Educational Psycology
Theory and Practice . Five Edition. Boston: Allin and Bacon.
Sumarmo,  U.  2005. Pengembangan Berpikir Matematika Tingkat Tinggi  Siswa  SMP  dan  SMU  serta Mahasiswa  S1  Melalui  Berbagai Pendekatan Pembelajaran. Laporan Hibah Pascasarjana Tahun Ketiga.  UPI  Bandung:  Tidak diterbitkan. Sumarmo, U & Hendriana, H. 2014. Penilaian Pembelajaran Matematika . Bandung: Refika Aditama. Tall,  D.  1991. The  Psychology  of Advanced Mathematical Thinking. In D. Tall (Ed.) Advanced  Mathematical  Thinking (pp. 3-23). Kluwer: The
Netherlands.
Weber,  K.  2001. Student  Difficulty  in Constructing Proof:  The  Need  for Strategies  Knowledge .  Educational Studies  in  Mathematics,  48  (1)  101- 119. Tersedia dalam http, www- math , ntnu. Edu.tw.