## MODEL GERAKAN PELURU DENGAN HAMBATAN LINIER ( Projectile Motion Modeling with Linear Resistance )

## Rusli Hidayat
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia
Abstract. When the projectile is shot into the air, the main force affecting the motion of projectile, other than gravity, is air resistance. This slowing down force is drag force, and it acts in a direction opposite to the velocity of the projectile. For the projectiles moving through the air at relatively low speeds, however, the drag force is proportional to the speed and so is called linear. The aim of this paper  is  to  discuss  the  projectile  motion  by  considering  air  friction  as  linear resistance. The results obtained show that the projectile motion model with linear resistance is more complex in formulating maximum height and range than the model without air friction force .
Keywords: Modeling, Projectile Motion, Linear Resistance Model MSC 2020 : 34A05

## 1. Pendahuluan
Ketika  sebuah  peluru  ditembakkan  keudara,  banyak  hal  yang  ingin  kita  ketahui berkenaan dengan  gerakan peluru tersebut  sehingga munculah beberapa  pertanyaan seperti: 1) Berapa jauh jarak tembak yang dapat dicapai oleh peluru? 2) Apakah peluru akan  mengenai  sasaran  dengan  tepat?  3)  Berapa  ketinggian  maksimum  yang  bisa dicapai  peluru  agar  jarak  tembakan  juga  maksimum?  4).  Berapa  lama  waktu  yang diperlukan oleh peluru untuk mencapai sasaran dan lain sebagainya yang kesemuanya itu  membutuhkan  akurasi  perhitungan  yang  tinggi.  Agar  semua  pertanyaan  diatas dapat dijawab, diperlukan suatu model gerakan peluru yang dapat mengaproksimasi gerakan  peluru  yang  ideal  serta  memperhitungkan  segala  hambatan  yang  mungkin muncul. Oleh karena itu pada tulisan ini, akan dibahas tentang bagaimana membangun model  gerakan  peluru  (derivasi)  tanpa  hambatan,  menentukan  ketinggian  peluru, menentukan  waktu  yang  diperlukan  peluru  diudara,  menghitung  jarak  tembakkan ( range ) dan membangun model gerakan peluru yang diberi hambatan linier.
Untuk mendeskripsikan gerak suatu objek matematika (dengan massa m ) dalam ruang tanpa  ukuran  dan  bentuk  objek,  dipergunakan  istilah partikel .  Posisi  suatu  partikel dalam  ruang  dapat  diketahui  dengan  membangun  sistem  koordinat.  Posisi  partikel untuk  sebarang  waktu  misalkan  dititik  P( z y x , , )  dinyatakan  dengan vektor  posisi
k j i z y x t r    ) ( yang dimulai dari titik asal (gambar 1). Kecepatan didefinisikan sebagai  rata-rata  perubahan  posisi  terhadap  waktu: dt dr t v  ) ( ,  dan percepatan (akselerasi) didefinisikan  sebagai  rata-rata  perubahan  kecepatan  terhadap  waktu:
2 2 ) ( dt r d dt dv t a   ([1] & [2]).
Gambar 1. Vektor posisi
Rata-rata  perubahan  momentum  dari  suatu  partikel  atau  benda  adalah  sebanding dengan gaya yang bekerja ([3]). Secara matematis diformulasikan sebagai:
F dt dv m mv dt d   ) ( (jika m konstan).
Sudut  elevasi atau sudut  tembakan (  )  adalah  sudut  yang  terbentuk  oleh  arah kecepatan  awal  peluru  terhadap  bidang  horizontal. Trajektori adalah  lintasan  yang terbentuk oleh gerakan peluru (lintasan peluru) dan Jarak Tembakan (Range ) adalah jarak  antara  titik  awal  tembakan  dengan  titik  dimana  trajektori  memotong  bidang horizontal ([4]).
Gaya-gaya dalam fisika yang bekerja menghambat suatu benda yang bergerak dalam fluida disebut gaya hambat. Gaya ini menyebabkan gerak benda menjadi melambat. Besar dari gaya hambat ini secara normal tergantung pada kecepatan benda. Jika benda bergerak jatuh melalui suatu medium maka selain gaya hambat terdapat gaya gravitasi bumi ([4]).

## 2. Hasil dan Pembahasan

## 2.1. Membangun Model Gerakan Peluru
Misalkan sebuah peluru ditembakkan keudara dengan kecepatan awal pada saat 0  t adalah 0 v dan posisi awal 0 r . Jika 0 v membentuk sudut dengan permukaan horizontal
sebesar  (sudut elevasi) maka 0 v dapat dinyatakan sebagai:
j i ) sin ( ) cos ( 0 0 0   v v v  
Karena  kecepatan 0 0  v ,  maka  notasi 0 v cukup  ditulis  dengan 0 v sehingga persamaan diatas menjadi:
j i ) sin ( ) cos ( 0 0 0   v v v   (1) Posisi awal peluru adalah 0 0 0 0    j i r (2)
Menurut hukum Newton II tentang gerak; gaya yang bekerja pada peluru adalah massa peluru  dikali  dengan  percepatan  peluru  ( 2 2 . dt r d m )  sama  dengan  total  gaya  ([4]), dimana r adalah vektor posisi dari peluru dan t adalah waktu. Jika gaya yang bekerja hanya  gaya  gravitasi  ( j g m .  )  maka 2 2 . dt r d m = j g m .  atau  dapat  disederhanakan
menjadi j g dt r d   2 2 (dalam hal ini hambatan seperti gesekan udara diabaikan).
Selanjutnya akan dicari r sebagai  fungsi dari t dengan menyelesaikan persamaan diferensial j g dt r d   2 2
.  Integrasikan  persamaan  tersebut  sehingga  diperoleh
c gt dt dr    j ., kemudian substitusikan nilai  awal  ( 0  t ) dimana posisi 0 r r  dan kecepatan 0 v dt dr  sehingga didapat 0 v c  dan persamaannya menjadi:
0 v gt dt dr    j (3)
Dengan mengintegrasikan sekali lagi persamaan (3), diperoleh 2 0 2 2 1 c t v gt r     j ,
dan untuk 0  t , 0 r r  maka 0 2 r c  dan diperoleh persamaan:
0 0 2 2 1 r t v gt r     j ,                                                 (4)
Dari  persamaan  (1)  dan  (4),  dimana  menurut  persamaan  (2)
0 0  r diperoleh persamaan vektor untuk gerakan peluru:
j i          2 0 0 2 1 ) sin ( ) cos ( gt t v t v r   (5)

## Gambar 2. Posisi, kecepatan dan percepatan setelah
0  t
Untuk 0  t ,  posisi  peluru j i y x r   (gambar  2.),  dengan x sebagai  komponen horizontal  dan y komponen  vertikal  (tinggi),  dimana t v x ) cos ( 0   dan
2 0 2 1 ) sin ( gt t v y    .
Sebagai  ilustrasi  misalkan  sebuah  peluru  ditembakkan  dengan  kecepatan  awal 500m/det  dan  sudut  elevasi  60 0 .  Dimanakah  posisi  peluru  setelah  10  detik?  Untuk menjawab  pertanyaan  ini  dapat  kita  gunakan  persamaan  (5)  dengan  nilai-nilai 2 0 0 det / 8 , 9 , 60 det, / 500 m g m v     dan
10  t detik. Hasil yang diperoleh adalah j i 3840 2500   r ,  hal  ini  menunjukkan  bahwa  setelah  10  detik  posisi  peluru mencapai ketinggian 3840 meter dari permukaan tanah dan 2500 meter pada posisi horizontal.

## 2.2. Ketinggian Maksimum dan Waktu Mencapai Ketinggian Maksimum
Ketinggian  maksimum  diperoleh  ketika  kecepatan  pada  komponen  vertikal  bernilai nol yaitu:
g v t gt v dt dy   sin 0 sin 0 0      .                                       (6)
Nilai t pada persamaan (6) adalah waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum,  dengan  nilai  tersebut  didapat  ketinggian  maksimum  yang  dicapai  oleh peluru adalah:
  g v g v g g v v y maks 2 sin sin 2 1 sin sin 2 0 2 0 0 0                    (7)

## 2.3. Jarak Maksimum dan Waktu Mencapai Jarak Maksimum
Untuk  mendapatkan  waktu  yang  diperlukan  peluru  ketika  mendarat  dipermukaan tanah, maka komponen vertikal harus sama dengan nol dan penyelesaian persamaan untuk mendapatkan waktu tersebut sebagai berikut:
g v t t gt v t gt t v    sin 2 , 0 0 2 1 sin 0 2 1 ) sin ( 0 0 2 0              .                                     (8)
Dari persamaan (8) diperoleh nilai 0  t dan g v t  sin
2 0  . Karena 0  t adalah waktu
penembakkan,  maka  haruslah g v t  sin 2 0  waktu  yang  diperlukan  peluru  untuk mencapai sasaran. Jarak maksimum  yang dapat dicapai oleh peluru (jarak dari titik asal ketitik sasaran tembak dipermukaan tanah) adalah:
  g v g v v t v x maks     2 sin sin 2 cos ) cos ( 2 0 0 0 0    (9)
Dari persamaan (9), maks x tercapai ketika
1 2 sin   atau 0 45   .

## 2.4. Trajektori
Trajektori dari gerakan peluru adalah berbentuk  parabola. Hal ini dapat dilihat dari
lintasan yang dibentuk oleh persamaan 2 0 2 1 ) sin ( gt t v y    .dan  cos 0 v x t  .yang
merupakan fungsi kuadrat berikut:
x x v g y ) (tan cos 2 2 2 2 0      .                                      (10) Persamaan  (10)  merupakan  persamaan  yang  berbentuk bx ax y   2 dan  grafiknya berbentuk parabola.
2.5. Posisi Penembakan Pada Ketinggian ) , ( 0 0 y x
Jika peluru ditembakan pada posisi ketinggian dititik
) , ( 0 0 y x sebagai titik asal seperti yang terlihat pada gambar 3. dengan sudut elevasi  dan kecepatan awal 0 v , maka persamaan  diferensial  dan  syarat  awal  untuk  kondisi  tersebut  adalah  seperti  yang dinyatakan oleh persamaan-persamaan berikut:
j g dt r d   2 2 , j i 0 0 0 y x r   dan j i ) sin ( ) cos ( 0 0 0   v v dt dr t    (11)
Dengan menyelesaikan persamaan (11), didapat vektor posisi untuk syarat awal yang diberikan seperti yang dinyatakan oleh (12):
  j i          2 0 0 0 0 2 1 ) sin ( ) cos ( gt t v y t v x r   (12)
Perhitungan ketinggian dan range dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada
seksi  3.2  dan  3.3  sehingga  untuk  posisi  penembakan  awal  di ) , ( 0 0 y x , diperoleh ketinggian dan waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum
  g v y y maks 2 sin 2 0 0    dan g v t  sin 0  Gambar 3. Penembakan pada posisi ) , ( 0 0 y x

## 2.6. Model Gerakan Peluru Dengan Hambatan Linier
Ketika  peluru  ditembakkan  keudara,  gaya  yang  bekerja  berlawanan  arah  dengan kecepatan selain gaya gravitasi adalah gaya gesek udara. Gaya ini sebanding dengan kecepatan sedemikian hingga jika k kerapatan udara, 0 v kecepatan awal dan  sudut elevasi maka model yang terbentuk adalah:
dt dr k g dt r d    j 2 2 , 0 0  r dan j i ) sin ( ) cos ( 0 0 0   v v dt dr t    (13)
Persamaan (13) merupakan masalah nilai awal dari persamaan diferensial biasa orde- 2 nonhomogen. Penyelesaian umum dari persamaan tersebut adalah
j t k g e c c t r kt     2 1 ) (
dimana k g e kc dt dr kt     2 .  Masukkan  nilai  awal  kedalam  2  persamaan  tersebut
diperoleh        2 0 1 k g k v c dan       2 0 2 k g k v c , sehingga vektor posisi untuk model ini adalah:
      j i                 kt kt kt e kt k g e k v e k v t r 1
1 sin 1 cos ) ( 2 0 0   (14)
Komponen horizontal dan komponen vertikal untuk vektor posisi yang diperoleh:
      kt kt kt e kt k g e k v y e k v x           1 1 sin 1 cos 2 0 0  
(15)

## 2.6.1. Ketinggian Maksimum dan Waktu
Analog  dengan  seksi  3.2,  ketinggian  maksimum  tercapai  ketika  kecepatan  pada komponen vertikal bernilai nol.
   
                       g g kv k t e k g k g e v dt dy e kt k g e k v y kt kt kt kt    sin ln 1 0 ) sin ( 0 1 1 sin 0 0 2 0
(16)
Jadi         g g kv k t  sin ln 1 0 adalah waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum. Dengan nilai t tersebut, didapat ketinggian maksimum:
                    g kv g g g kv k g g kv g k v y maks     sin ) sin ln( 1 sin 1 cos 0 0 2 0 0 (17)
Dapat  dilihat  dari  hasil  yang  diperoleh  pada  persamaan  (17)  bahwa  dengan memperhitungkan  gaya  gesek  udara,  formulasi  untuk  menghitung  ketinggian maksimum menjadi tidak sederhana.

## 2.6.2. Jarak Maksimum (Range) dan Waktu
Jarak maksimum terjadi ketika komponen vertikal bernilai nol:
    0 1 1 sin 2 0         kt kt e kt k g e k v y  atau   t e k g v kt           1 1 sin 0  (18)
Dengan  menggunakan  teknik  perpotongan  grafik  ganda  maka  nilai t yang memberikan harga 0  y adalah 0  t dan         k g v t 1 sin 0  . Karena 0  t adalah
waktu awal maka         k g v t 1 sin 0  merupakan waktu yang diperlukan peluru untuk
mencapai jarak tembakan.  Sehingga dengan memasukan nilai         k g v t 1 sin 0  ke
komponen horizontal diperoleh:
                  g g kv maks e k v x   sin 0 0 1 cos .

## 3. Kesimpulan
Gerakan  peluru  yang  ideal  bila  ditembakan  dengan  kecepatan  awal 0 v dan  sudut elevasi  tanpa ada hambatan udara, akan berlaku formulasi:
Ketinggian maksimum =   g v 2 sin 2 0  dengan waktu = g v  sin 0
Jarak Maksimum (Range) =   g v  2 sin 2 0 dengan waktu = g v  sin 2 0
Untuk model dengan memperhitungkan hambatan udara perhitungannya menjadi Ketinggian maksimum :
                    g kv g g g kv k g g kv g k v y maks     sin ) sin ln( 1 sin 1 cos 0 0 2 0 0 dengan waktu         g g kv k t  sin ln 1 0 , range =                  g g kv e k v   sin 0 0 1 cos , dan            waktu         k g v t 1 sin 0  .

## Daftar Pustaka
[1] Anton, Bivens, Davis, 2002. Calculus (Seventh Edition) ,  John-Wiley and Sons, New York
[2] Finney,  Weir,  Giordano,  2001. Thomas’Calculus  (Tenth  Edition) ,    Addison- Wesley Longman, New York
[3] Richard  Haberman,  1998. Mathematical  Models ,  Society  for  Industrial  and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia.
[4] Wu Yong Hong, 2002. Mathematical Modeling , Curtin University Press, Perth.