Komparasi Solusi Kasus Fluks Magnetik di Sekitar Kawat Berarus Listrik dengan Metode Analitik dan Komputasi
Comparation of Magnetic Flux Cases Solution in Around Electrified Wire between Analytical and Computational Methods
Ali Warsito * , Ady E.P Haning Jurusan Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana * E-mail: alifis.aw@gmail.com

## ABSTRACT
Have  analyzed  comparative  analytical  and  numerical  computation  solutions  in  the  case  of magnetic flux to the circular loop of radius R as far apart as H around the current I in the wire. The aim is to know how the methods used have an accurate solutions calculated based on relative error value.  The  analytical  method  use  taking  concept  of  polar  coordinates  and  the  computational method  using  the  function  of  analytic  equations  modified  based  on  Simpson  and  Monte  Carlo method.  Both  methods  are  aprroaches  in  numerical  integration.After  test  with variation  of combination  of  R=0.1  and  0.2  and  H=0.1  and  0.2,  the  Simpson  and  Monte  Carlo  indicate  the integration value corresponding to the exact or analytical solution value, the relative error value of the  Simpson  method  range  from  0,004% - 0,017%  and  the  relatif  error  value  for  Monte  Carlo method range from 0.056% - 3.4296%.
Keywords: magnetic flux, analytical, simpson, monte carlo, relative error

## PENDAHULUAN
Fluks  magnetik  adalah  keadaan  dimana sejumlah  garis  kuat  medan  magnetik  tertentu menembus  suatu  luas  permukaan  tertentu. Timbulnya  medan  magnetik  bisa  diakibatkan oleh beberapa sebab, seperti adanya arus listrik yang  mengalir  pada  suatu  kawat  ataupun kehadiran  dari  suatu  benda  magnetik.  Gejala fluks  magnetik  diamati  dengan  mengukur jumlah  induksi  medan  magnetik  yang menembus  suatu  luas  permukaan  tertentu. Sebagian  besar  peralatan  elektronik  yang  kita jumpai  dalam  kehidupan  sehari-hari  kita, bekerja pada prinsip fluks magnetik. Salah satu contoh  adalah  transformator,  yang  prinsip kerjanya  didasarkan  pada  fenomena  fluks magnetik.
Dalam  kajian  fisika  listrik  magnet ( electromagnetics /  electrodynamics ),  fluks magnetik  ( Φ )  dapat  diselesaikan  dengan metode  analitik  yang  sudah  umum  untuk mendapatkan  solusi  sejatinya  ( exact  solution ). Metode  analitik  adalah  metode  penyelesaian secara  matematis  dengan  rumus-rumus  aljabar yang sudah baku (Munir,2013). Cara yang lain dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan persamaan  fluks  magnetik  adalah  dengan menggunakan komputasi fisika.
Komputasi  fisika  adalah  integrasi  antara sains dan kemampuan komputer secara efektif untuk  menyelesaikan  kasus-kasus  fisis memanfaatkan  metode  numerik  dan  bahasa
pemrograman  (Warsito,  2009).  Menurut Chapra  (2011)  metode  numerik  adalah  teknik yang  digunakan  untuk  memformulasikan masalah matematis sehingga dapat diselesaikan dengan  operasi  aritmatika  dan  logika.  Karena perhitungan  menggunakan  komputer  berbasis pada  sistem  digital  sehingga  metode  numerik seringkali  dikenal  sebagai  matematika komputer  (komputasi).  Terdapat  beberapa alternatif  dalam  metode  komputasi  yang  bisa dipakai  untuk  mencari  solusi  masalah  nilai awal,  diantaranya  seperti  metode  diferensiasi dan  metode  integrasi.  Metode  integrasi numerik  secara  khusus  dipakai  untuk  mencari pendekatan  jawaban  kasus.  Metode  integrasi sendiri terdiri dari beberapa metode antara lain trapezoida  rule (kaidah  trapesium),  metode Simpson 1/3 dan 3/8 dengan tingkat kesalahan ( error )  yang  berbeda  untuk  masing – masing metode. Metode lain yang lebih kompleks dan biasa digunakan  dalam  pemodelan  fisika  adalah metode  Monte  Carlo.  Metode  Monte  Carlo menggunakan prinsip membangkitkan bilangan acak  ( random generator ) dengan  batasan  nilai awal  dan  akhir  untuk  mencari  pendekatan jawaban dari kasus.
Dalam  penelitian  ini  akan  dicari  solusi untuk menentukan nilai fluks magnetik total di sekitar  kawat  berarus  pada  permukaan  luasan berbentuk  lingkaran  menggunakan  metode khusus analitik dan metode komputasi numerik
(Simpson & Monte Carlo) dan membandingkan hasil dari metode anailitik dan komputasi  serta  menghitung  nilai error relatif dari  metode  komputasi  terhadap  metode analitik dalam menghitung nilai fluks magnetik di sekitar kawat berarus.

## Fluks Magnetik
Jika dalam suatu ruang terdapat medan magnet, jumlah garis gaya yang menembus permukaan dengan    luas  tertentu  bisa  berbeda-beda, tergantung pada kuat medan magnet dan sudut antara  medan  magnet  dengan  vektor permukaan.  Fluks  magnetik  mengukur  jumlah garis  gaya  yang  menembus  suatu  permukaan. Fluks magnetik didefinisikan sebagai berikut.
= ∫ ⃗ . ⃗ (1) = cos dengan adalah  sudut  antara  vektor ⃗ dan
⃗ .Dimana: B= induksi magnetik (Wb/m 2 ); A = luasan bidang (m 2 );Φ = fluks magnetik (Wb)
Gambar 1. Fluks magnetik menyatakan jumlah garis  gaya  yang  menembus permukaan  dalam  arah  tegak  lurus (Abdullah, 2006) Jika arah medan magnet sejajar dengan bidang, maka = 90° dan  fluks  magnetik  bernilai  0.
Jika  arah  medan  magnet  tegak  lurus  dengan bidang,  maka = 0° dan  fluks  magnetik bernilai (maksimum) (Serway, 2004). Metode Simpson Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok  bahasan  yang  mendasar  disamping turunan  ( derivative ).  Integral  mempunyai banyak  terapan  dalam  bidang  sains  dan rekayasa.Integral digunakan untuk memperoleh solusi analitik dan eksak dengan menggunakan integral  tak-tentu maupun integral  tentu. Integral tak-tentu dinyatakan sebagai: ∫ ( ) = ( ) + (2) Solusinya, F ( x ) , adalah  fungsi  menerus sedemikian sehingga F' ( x ) = f ( x ) , dan C adalah sebuah  konstanta.  Persoalan  integrasi  numerik ialah menghitung secara numerik integral tentu
yang  dalam  hal  ini a dan b batas-batas integrasi, f adalah fungsi yang dapat diberikan secara  eksplisit  dalam  bentuk  persamaan ataupun  secara  empirik  dalam  bentuk  tabel nilai. Aturan Simpson diperoleh dengan mengambil integral di bawah fungsi polinomial berpangkat  empat  dan  tiga.  Metode  Simpson yang digunakan terdiri dari dua, yaitu Simpson 1/3  dan  Simpson  3/8. Aturan Simpson  1/3 diperoleh  dari  fungsi polinomial  pangkat  2 yang  terbentuk  dari  3  titik  data  yang  tersebar dengan  interval  yang  sama. Sedangkan  aturan Simpson  3/8  diperoleh  dari  fungsi  polinomial pangkat 3 yang terbentuk dari 4 titik data yang tersebar dengan interval yang sama.
Dalam  penelitian  metode  yang  dipakai adalah  metode  Simpson  1/3  diperoleh  dari fungsi  polinomial  pangkat  2  disubtitusi  ke persamaan integral = ∫ ( ) ≅ ∫ ( ) (3)
Jika a dan b diketahui adalah x 0 dan x 2 dan f 2 (x) diperolehpersamaan berikut: ≅ [ ( ) + 4 ( ) + ( )] (4) dimana, ℎ = ( ) .  Simpson  1/3  dapat dituliskan menjadi: ≅ ( − ) ( ) ( ) ( ) (5) dengan, a  =  x 0 ,  b  =  x 2 ,  dan x 1 =  titik  tengah antara a dan b .

## Metode Monte Carlo
Metode Monte Carlo adalah salah satu metode matematika  dengan penyelesaian  secara numerik  untuk  menyelesaikan  kasus  dengan simulasi  yang  menggunakan  bilangan  acak. Metode  ini  muncul  pada  tahun  1940-an  yang dipakai  untuk  mempelajari  multiplikasi neutron,  hamburan,  dan  keperluan  dibidang nuklir  lainnya.  Stanislav  Ulam, Jhon  von Neumann  dan  Enrico  Fermi  menggagas  dan menyetujui Monte Carlo sebagai metode untuk penyelesaian praktis dari kasus, yang kemudian diikuti  dengan  diterbitkannya  jurnal  oleh Metropolis dan Ulam (Murthy, 2000). Metode Monte Carlo juga dapat digunakan untuk  menghitung  nilai  integral.    Umumnya sebuah  fungsi f ( x )  dapat  dicari  dengan menghitung  luas  daerah  dibawah  kurva,  yaitu dengan  mengalikan  nilai  batas  integral (a,b) dan nilai rata-rata fungsi <f> .Secara matematis dituliskan : ∫ ( ) = ( − )〈 〉 (6) Untuk  menghitung  nilai  rata-rata  dapat dilakukan dengan cara : 24
(Warsito, dkk) (Simpson & Monte Carlo) dan membandingkan hasil dari metode anailitik dan komputasi  serta  menghitung  nilai error relatif dari  metode  komputasi  terhadap  metode analitik dalam menghitung nilai fluks magnetik di sekitar kawat berarus.

## Fluks Magnetik
Jika dalam suatu ruang terdapat medan magnet, jumlah garis gaya yang menembus permukaan dengan    luas  tertentu  bisa  berbeda-beda, tergantung pada kuat medan magnet dan sudut antara  medan  magnet  dengan  vektor permukaan.  Fluks  magnetik  mengukur  jumlah garis  gaya  yang  menembus  suatu  permukaan. Fluks magnetik didefinisikan sebagai berikut.
= ∫ ⃗ . ⃗ (1) = cos dengan adalah  sudut  antara  vektor ⃗ dan
⃗ .Dimana: B= induksi magnetik (Wb/m 2 ); A = luasan bidang (m 2 );Φ = fluks magnetik (Wb)
Gambar 1. Fluks magnetik menyatakan jumlah garis  gaya  yang  menembus permukaan  dalam  arah  tegak  lurus (Abdullah, 2006) Jika arah medan magnet sejajar dengan bidang, maka = 90° dan  fluks  magnetik  bernilai  0.
Jika  arah  medan  magnet  tegak  lurus  dengan bidang,  maka = 0° dan  fluks  magnetik bernilai (maksimum) (Serway, 2004). Metode Simpson Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok  bahasan  yang  mendasar  disamping turunan  ( derivative ).  Integral  mempunyai banyak  terapan  dalam  bidang  sains  dan rekayasa.Integral digunakan untuk memperoleh solusi analitik dan eksak dengan menggunakan integral  tak-tentu maupun integral  tentu. Integral tak-tentu dinyatakan sebagai: ∫ ( ) = ( ) + (2) Solusinya, F ( x ) , adalah  fungsi  menerus sedemikian sehingga F' ( x ) = f ( x ) , dan C adalah sebuah  konstanta.  Persoalan  integrasi  numerik ialah menghitung secara numerik integral tentu
yang  dalam  hal  ini a dan b batas-batas integrasi, f adalah fungsi yang dapat diberikan secara  eksplisit  dalam  bentuk  persamaan ataupun  secara  empirik  dalam  bentuk  tabel nilai. Aturan Simpson diperoleh dengan mengambil integral di bawah fungsi polinomial berpangkat  empat  dan  tiga.  Metode  Simpson yang digunakan terdiri dari dua, yaitu Simpson 1/3  dan  Simpson  3/8. Aturan Simpson  1/3 diperoleh  dari  fungsi polinomial  pangkat  2 yang  terbentuk  dari  3  titik  data  yang  tersebar dengan  interval  yang  sama. Sedangkan  aturan Simpson  3/8  diperoleh  dari  fungsi  polinomial pangkat 3 yang terbentuk dari 4 titik data yang tersebar dengan interval yang sama.
Dalam  penelitian  metode  yang  dipakai adalah  metode  Simpson  1/3  diperoleh  dari fungsi  polinomial  pangkat  2  disubtitusi  ke persamaan integral = ∫ ( ) ≅ ∫ ( ) (3)
Jika a dan b diketahui adalah x 0 dan x 2 dan f 2 (x) diperolehpersamaan berikut: ≅ [ ( ) + 4 ( ) + ( )] (4) dimana, ℎ = ( ) .  Simpson  1/3  dapat dituliskan menjadi: ≅ ( − ) ( ) ( ) ( ) (5)
dengan, a  =  x 0 ,  b  =  x 2 ,  dan x 1 =  titik  tengah antara a dan b .

## Metode Monte Carlo
Metode Monte Carlo adalah salah satu metode matematika  dengan penyelesaian  secara numerik  untuk  menyelesaikan  kasus  dengan simulasi  yang  menggunakan  bilangan  acak. Metode  ini  muncul  pada  tahun  1940-an  yang dipakai  untuk  mempelajari  multiplikasi neutron,  hamburan,  dan  keperluan  dibidang nuklir  lainnya.  Stanislav  Ulam, Jhon  von Neumann  dan  Enrico  Fermi  menggagas  dan menyetujui Monte Carlo sebagai metode untuk penyelesaian praktis dari kasus, yang kemudian diikuti  dengan  diterbitkannya  jurnal  oleh Metropolis dan Ulam (Murthy, 2000). Metode Monte Carlo juga dapat digunakan untuk  menghitung  nilai  integral.    Umumnya sebuah  fungsi f ( x )  dapat  dicari  dengan menghitung  luas  daerah  dibawah  kurva,  yaitu dengan  mengalikan  nilai  batas  integral (a,b) dan nilai rata-rata fungsi <f> .Secara matematis dituliskan : ∫ ( ) = ( − )〈 〉 (6) Untuk  menghitung  nilai  rata-rata  dapat dilakukan dengan cara : 24
(Warsito, dkk) (Simpson & Monte Carlo) dan membandingkan hasil dari metode anailitik dan komputasi  serta  menghitung  nilai error relatif dari  metode  komputasi  terhadap  metode analitik dalam menghitung nilai fluks magnetik di sekitar kawat berarus.

## Fluks Magnetik
Jika dalam suatu ruang terdapat medan magnet, jumlah garis gaya yang menembus permukaan dengan    luas  tertentu  bisa  berbeda-beda, tergantung pada kuat medan magnet dan sudut antara  medan  magnet  dengan  vektor permukaan.  Fluks  magnetik  mengukur  jumlah garis  gaya  yang  menembus  suatu  permukaan. Fluks magnetik didefinisikan sebagai berikut.
= ∫ ⃗ . ⃗ (1) = cos dengan adalah  sudut  antara  vektor ⃗ dan
⃗ .Dimana: B= induksi magnetik (Wb/m 2 ); A = luasan bidang (m 2 );Φ = fluks magnetik (Wb)
Gambar 1. Fluks magnetik menyatakan jumlah garis  gaya  yang  menembus permukaan  dalam  arah  tegak  lurus (Abdullah, 2006) Jika arah medan magnet sejajar dengan bidang, maka = 90° dan  fluks  magnetik  bernilai  0.
Jika  arah  medan  magnet  tegak  lurus  dengan bidang,  maka = 0° dan  fluks  magnetik bernilai (maksimum) (Serway, 2004). Metode Simpson Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok  bahasan  yang  mendasar  disamping turunan  ( derivative ).  Integral  mempunyai banyak  terapan  dalam  bidang  sains  dan rekayasa.Integral digunakan untuk memperoleh solusi analitik dan eksak dengan menggunakan integral  tak-tentu maupun integral  tentu. Integral tak-tentu dinyatakan sebagai: ∫ ( ) = ( ) + (2) Solusinya, F ( x ) , adalah  fungsi  menerus sedemikian sehingga F' ( x ) = f ( x ) , dan C adalah sebuah  konstanta.  Persoalan  integrasi  numerik ialah menghitung secara numerik integral tentu
yang  dalam  hal  ini a dan b batas-batas integrasi, f adalah fungsi yang dapat diberikan secara  eksplisit  dalam  bentuk  persamaan ataupun  secara  empirik  dalam  bentuk  tabel nilai. Aturan Simpson diperoleh dengan mengambil integral di bawah fungsi polinomial berpangkat  empat  dan  tiga.  Metode  Simpson yang digunakan terdiri dari dua, yaitu Simpson 1/3  dan  Simpson  3/8. Aturan Simpson  1/3 diperoleh  dari  fungsi polinomial  pangkat  2 yang  terbentuk  dari  3  titik  data  yang  tersebar dengan  interval  yang  sama. Sedangkan  aturan Simpson  3/8  diperoleh  dari  fungsi  polinomial pangkat 3 yang terbentuk dari 4 titik data yang tersebar dengan interval yang sama.
Dalam  penelitian  metode  yang  dipakai adalah  metode  Simpson  1/3  diperoleh  dari fungsi  polinomial  pangkat  2  disubtitusi  ke persamaan integral = ∫ ( ) ≅ ∫ ( ) (3)
Jika a dan b diketahui adalah x 0 dan x 2 dan f 2 (x) diperolehpersamaan berikut: ≅ [ ( ) + 4 ( ) + ( )] (4) dimana, ℎ = ( ) .  Simpson  1/3  dapat dituliskan menjadi: ≅ ( − ) ( ) ( ) ( ) (5)
dengan, a  =  x 0 ,  b  =  x 2 ,  dan x 1 =  titik  tengah antara a dan b .

## Metode Monte Carlo
Metode Monte Carlo adalah salah satu metode matematika  dengan penyelesaian  secara numerik  untuk  menyelesaikan  kasus  dengan simulasi  yang  menggunakan  bilangan  acak. Metode  ini  muncul  pada  tahun  1940-an  yang dipakai  untuk  mempelajari  multiplikasi neutron,  hamburan,  dan  keperluan  dibidang nuklir  lainnya.  Stanislav  Ulam, Jhon  von Neumann  dan  Enrico  Fermi  menggagas  dan menyetujui Monte Carlo sebagai metode untuk penyelesaian praktis dari kasus, yang kemudian diikuti  dengan  diterbitkannya  jurnal  oleh Metropolis dan Ulam (Murthy, 2000). Metode Monte Carlo juga dapat digunakan untuk  menghitung  nilai  integral.    Umumnya sebuah  fungsi f ( x )  dapat  dicari  dengan menghitung  luas  daerah  dibawah  kurva,  yaitu dengan  mengalikan  nilai  batas  integral (a,b) dan nilai rata-rata fungsi <f> .Secara matematis dituliskan : ∫ ( ) = ( − )〈 〉 (6) Untuk  menghitung  nilai  rata-rata  dapat dilakukan dengan cara :
〈 〉 = ∑ ( ) (7) Dimana  perhitungan  nilai  rata-rata  ini memanfaatkan  pembangkitan  bilangan  acak dan N adalah  jumlah  pengulangan  yang digunakan (DeVries, 1984). ∫ ( ) ≈ ∑ ( ) (8) Ide  dasar  dari  Monte  Carlo  adalah  tidak mengevaluasi  integrasi  pada  tiap  titik  pada sejumlah besar titik-titik integrasi, tetapi hanya mengambil  beberapa  titik  acak  pada  sumbu absis,  sebagai  pengganti  dari  titik  integrasi. (Warsito, 2005).

## METODE
Analisis Analitik Kasus  yang  akan  dicari  solusinya  adalah  sebagai berikut: Sebuah lingkaran dengan diameter d dan jari-jari R di letakkan dekat dengan kawat panjang yang di aliri arus  listrik I .  Jarak  antara  kawat  dan  lingkaran adalah H . Tentukan Fluks  magnetik pada lingkaran yang  berada  dekat  dengan  kawat  yang  dialiri  arus listrik tersebut. Ilustrasi dari kasus dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 . Kasus  Fluks  Magnetik  pada  luasan berbentuk lingkaran
Fluks  magnetik  yang  menembus  luasan permukaan  benda  berbentuk  lingkaran  dapat diselesaikan  menggunakan  persamaan  dasar  untuk mencari  fluks  magnetik  dan  analisa  integral matematis  untuk  menghitung  luasan  suatu  bidang dengan menggunakan sistem koordibat polar. Solusi yang di gunakan dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Solusi Analitik
= . . ...(9) = ...(10) dimana nilai = + ℎ ℎ = − − = sehingga : = + −
− = + − − = + − ...(11) Dengan  subtitusi  persamaan  (9)  dan  (10)  ke persamaan (1). Diperoleh : = ∬ . .
... (12)
subtitusi  persamaan  (11)  ke  persamaan  (12). Diperoleh:
= ∬ ( ) , ,
...(13) Persamaan (13) diselesaikan menggunakan Software Wolfram Mathematica 10.3, menjadi
= 2 π ∫ .. ..(14)
= − ( ) 1 + − [ + ] ...(15) Analisis Komputasi Analisa  Komputasi  dalam  bentuk  perancangan flowchart (diagram  alir)  sebagai  alur  logika  dan algoritma  sebagai  landasan  dalam  menuliskan sintaks program. Procedure dalam  program  sesuai dengan  metode-metode  yang  digunakan  untuk analisa  komputasi.  Secara  umum flowchart penelitian yang dilakukan adalah Gambar 4.
Gambar 4. Flowchart penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Pengujian Solusi Analitik Penyelesaian  secara  analitik  diperoleh  dua bentuk  solusi  yang  dapat  digunakan.  Namun, solusi  analitik  yang  digunakan  untuk penyelesaian  kasus ini   menggunakan tinjauan luasan  pada  sistem  koordinat  polar  untuk menghitung  integral  dari  luasan  lingkaran dengan  jarak  tertentu  dari  kawat  berarus. Dengan  mengambil  irisan  pada  titik  sejauh r dari  pusat  lingkaran,  kemudian  dengan
Mulai
Hitung nilai Φ Tampilkan Φ & error Stop
Masukkan nilai batas ∫ Hitung nilai error relatif
〈 〉 = ∑ ( ) (7) Dimana  perhitungan  nilai  rata-rata  ini memanfaatkan  pembangkitan  bilangan  acak dan N adalah  jumlah  pengulangan  yang digunakan (DeVries, 1984). ∫ ( ) ≈ ∑ ( ) (8) Ide  dasar  dari  Monte  Carlo  adalah  tidak mengevaluasi  integrasi  pada  tiap  titik  pada sejumlah besar titik-titik integrasi, tetapi hanya mengambil  beberapa  titik  acak  pada  sumbu absis,  sebagai  pengganti  dari  titik  integrasi. (Warsito, 2005).

## METODE
Analisis Analitik Kasus  yang  akan  dicari  solusinya  adalah  sebagai berikut: Sebuah lingkaran dengan diameter d dan jari-jari R di letakkan dekat dengan kawat panjang yang di aliri arus  listrik I .  Jarak  antara  kawat  dan  lingkaran adalah H . Tentukan Fluks  magnetik pada lingkaran yang  berada  dekat  dengan  kawat  yang  dialiri  arus listrik tersebut. Ilustrasi dari kasus dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 . Kasus  Fluks  Magnetik  pada  luasan berbentuk lingkaran
Fluks  magnetik  yang  menembus  luasan permukaan  benda  berbentuk  lingkaran  dapat diselesaikan  menggunakan  persamaan  dasar  untuk mencari  fluks  magnetik  dan  analisa  integral matematis  untuk  menghitung  luasan  suatu  bidang dengan menggunakan sistem koordibat polar. Solusi yang di gunakan dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Solusi Analitik
= . . ...(9) = ...(10) dimana nilai = + ℎ ℎ = −
− = sehingga : = + −
− = + − − = + − ...(11) Dengan  subtitusi  persamaan  (9)  dan  (10)  ke persamaan (1). Diperoleh : = ∬ . .
... (12)
subtitusi  persamaan  (11)  ke  persamaan  (12). Diperoleh:
= ∬ ( ) , ,
...(13) Persamaan (13) diselesaikan menggunakan Software Wolfram Mathematica 10.3, menjadi
= 2 π ∫ .. ..(14)
= − ( ) 1 + − [ + ] ...(15) Analisis Komputasi Analisa  Komputasi  dalam  bentuk  perancangan flowchart (diagram  alir)  sebagai  alur  logika  dan algoritma  sebagai  landasan  dalam  menuliskan sintaks program. Procedure dalam  program  sesuai dengan  metode-metode  yang  digunakan  untuk analisa  komputasi.  Secara  umum flowchart penelitian yang dilakukan adalah Gambar 4.
Gambar 4. Flowchart penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Pengujian Solusi Analitik Penyelesaian  secara  analitik  diperoleh  dua bentuk  solusi  yang  dapat  digunakan.  Namun, solusi  analitik  yang  digunakan  untuk penyelesaian  kasus ini   menggunakan tinjauan luasan  pada  sistem  koordinat  polar  untuk menghitung  integral  dari  luasan  lingkaran dengan  jarak  tertentu  dari  kawat  berarus. Dengan  mengambil  irisan  pada  titik  sejauh r dari  pusat  lingkaran,  kemudian  dengan
Mulai
Hitung nilai Φ Tampilkan Φ & error Stop
Masukkan nilai batas ∫ Hitung nilai error relatif
〈 〉 = ∑ ( ) (7) Dimana  perhitungan  nilai  rata-rata  ini memanfaatkan  pembangkitan  bilangan  acak dan N adalah  jumlah  pengulangan  yang digunakan (DeVries, 1984). ∫ ( ) ≈ ∑ ( ) (8) Ide  dasar  dari  Monte  Carlo  adalah  tidak mengevaluasi  integrasi  pada  tiap  titik  pada sejumlah besar titik-titik integrasi, tetapi hanya mengambil  beberapa  titik  acak  pada  sumbu absis,  sebagai  pengganti  dari  titik  integrasi. (Warsito, 2005).

## METODE
Analisis Analitik Kasus  yang  akan  dicari  solusinya  adalah  sebagai berikut: Sebuah lingkaran dengan diameter d dan jari-jari R di letakkan dekat dengan kawat panjang yang di aliri arus  listrik I .  Jarak  antara  kawat  dan  lingkaran adalah H . Tentukan Fluks  magnetik pada lingkaran yang  berada  dekat  dengan  kawat  yang  dialiri  arus listrik tersebut. Ilustrasi dari kasus dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 . Kasus  Fluks  Magnetik  pada  luasan berbentuk lingkaran
Fluks  magnetik  yang  menembus  luasan permukaan  benda  berbentuk  lingkaran  dapat diselesaikan  menggunakan  persamaan  dasar  untuk mencari  fluks  magnetik  dan  analisa  integral matematis  untuk  menghitung  luasan  suatu  bidang dengan menggunakan sistem koordibat polar. Solusi yang di gunakan dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Solusi Analitik
= . . ...(9) = ...(10) dimana nilai = + ℎ ℎ = −
− = sehingga : = + −
− = + − − = + − ...(11) Dengan  subtitusi  persamaan  (9)  dan  (10)  ke persamaan (1). Diperoleh : = ∬ . .
... (12)
subtitusi  persamaan  (11)  ke  persamaan  (12). Diperoleh:
= ∬ ( ) , ,
...(13) Persamaan (13) diselesaikan menggunakan Software Wolfram Mathematica 10.3, menjadi
= 2 π ∫ .. ..(14)
= − ( ) 1 + − [ + ] ...(15) Analisis Komputasi Analisa  Komputasi  dalam  bentuk  perancangan flowchart (diagram  alir)  sebagai  alur  logika  dan algoritma  sebagai  landasan  dalam  menuliskan sintaks program. Procedure dalam  program  sesuai dengan  metode-metode  yang  digunakan  untuk analisa  komputasi.  Secara  umum flowchart penelitian yang dilakukan adalah Gambar 4.
Gambar 4. Flowchart penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Pengujian Solusi Analitik Penyelesaian  secara  analitik  diperoleh  dua bentuk  solusi  yang  dapat  digunakan.  Namun, solusi  analitik  yang  digunakan  untuk penyelesaian  kasus ini   menggunakan tinjauan luasan  pada  sistem  koordinat  polar  untuk menghitung  integral  dari  luasan  lingkaran dengan  jarak  tertentu  dari  kawat  berarus. Dengan  mengambil  irisan  pada  titik  sejauh r dari  pusat  lingkaran,  kemudian  dengan
Mulai
Hitung nilai Φ Tampilkan Φ & error Stop
Masukkan nilai batas ∫ Hitung nilai error relatif
mengubah integrasi ke dalam bentuk koordinat polar ( r, ) sehingga bentuk integrasi luasannya seperti  pada  persamaan  (9). Penentuan  nilai medan magnetik disekitar kawat menggunakan persamaan  (10)  dan  (11) sehingga  untuk menghitung  nilai  fluks  magnetik  dengan subtitusimasuk  ketiga  persamaan  tersebut  ke persamaan untuk mencari nilai fluks magnetik, diperoleh seperti pada persamaan (12). Persamaan  (13)  yang  digunakan  adalah bentuk  integrasi  lipat  dua.  Persamaan  tersebut diintegralkan terhadap sudut terlebih dahulu, kemudian  baru  diintegralkan  terhadap  jari-jari r .  Penyelesaian  solusi  dengan  persamaan  (13) ini  tidak  dapat  diselesaikan  secara analitik sehingga  penyelesaian  dilakukan  dengan menggunakan softwareWolfram  Mathematica
10.3. Diperoleh  persamaan  (14)  kemudian disederhanakan  menjadi  persamaan  (15). Solusi  ini  sebagai  solusi  eksak  (solusi  sejati) untuk pendekatan nilai dari solusi analitik yang dipakai  untuk  menyelesaikan  kasus  ini.
Sedangkan  untuk  pembuatan  program  dengan solusi analitik, menggunakan persamaan (14). Solusi  analitik  lain  yang  juga  telah  diuji menggunakan konsep dasar perhitungan luasan lingkaran  yang  diperoleh  dari  integral  keliling lingkaran  itu  sendiri.  Sehingga  untuk mendapatkan  luasan  lingkaran  dengan  cara menghitung  keliling  lingkaran  dari  jari-jari yang  terkecil  (nilai  batas  bawah  integrasi) hingga  jari-jari  yang  terbesar  (nilai  batas  atas integrasi).  Solusi  ini  merupakan  pendekatan sederhana yang dilakukan secara numerik. Analisis analitik yang dilakukan agar dapat diketahui  apakah  hasil  dari  solusi  yang digunakan  memiliki  nilai  presisi  dan  akurasi yang  baik  atau  tidak  diperlukan  sebuah  nilai standar  yang  dapat  dipakai  sebagai  hasil pembanding  atau  dapat  dipercayai  sebagai sebuah  nilai  kebenaran. Dengan  demikian digunakan solusi pembanding untuk menghitung  nilai  fluks  magnetik  disekitar kawat berarus pada luasan berbentuk lingkaran, yaitu  dengan  terlebih  dahulu  meninjau  fluks magnetik  pada  luasan  berbentuk  persegi  dan melakukan perbandingan grafis.
Pengambilan  data  secara  analitik  maupun dalam  pendekatan  menggunakan  komputasi selanjutnya  dilakukan  dengan  cara  mengubah- ubah nilai jari-jari lingkaran dengan R= 0,1 dan 0,2  m  serta  jarak  lingkaran  dari  kawat H =0,1 dam  0,2  m.  Sedangkan  kuat  arus  ( i )  dibuat tetap sebesar 10 A.
Hasil  perhitungan  fluks  magnetik  dengan mengggunakan  solusi  analitik  dapat  dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil perhitungan  Fluks  Magnetik menggunakan solusi analitik
Analitik ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb) Pembanding ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb)
Error Mutlak ( x 10 -7 ) 3,36544185 3,44964259 0,08420074 2,15495531 2,17648215 0,02152684 9,59498620 10, 10727009 0,51228389 6,73088371 6,89928517 0,16840146 Perhitungan fluks  magnetik  dengan  solusi analitik memperoleh hasil yang lebih kecil jika dibandingkan  dengan  hasil  dari  solusi pembanding  secara  grafis.  Dari  hasil  yang diperoleh  pada  tabel  diatas,  dapat  dikatakan bahwa  solusi  analitik  yang  dibuat  ini  dapat dipakai untuk perhitungan nilai fluks magnetik serta dalam pendekatan secara komputasi. Secara  teori,  fluks  yang  diperoleh  akan lebih  kecil  ketika  jarak  luasan  dari  lingkaran ( H ) dibuat semakin besar. Sedangkan jika jari- jari  luasan  dibuat  semakin  besar,  maka  nilai fluks  yang  menembus  bidang  akan  semakin besar  nilainya.  Dari  hasil  yang  diperoleh, diketahui  bahwa  nilai  fluks  magnetik  yang peroleh  memiliki  sifat  fisi  yang  sama  dengan teori.

## Komparasi Solusi Analitik dan Komputasi
Metode  komputasi  yang  digunakan  untuk menghitung  nilai  fluks  magnetik  total  pada luasan  adalah  metode  Simpson  dan  Monte Carlo.  Program  yang  dipakai  untuk  pengujian solusi  ini  dibuat  dengan  menggunakan  fungsi f(x) yang  diperoleh  dari  solusi  analitik  serta beberapa  deklarasi  yang  disesuaikan  terhadap bentuk  fungsi  yang  dipakai  pada  program. Pengujian  program  juga  dibuat  sama  dengan pengujian  secara  analitik  dengan  nilai  batas bawah  integral  dimulai  dari  0  dan  nilai  batas atas integral sesuai dengan nilai masukan jari- jari R .  Sedangkan  rogram  pendekatan  dengan metode  Monte  Carlo  dimulai  dengan pembangkitan  bilangan  acak  dengan  jumlah titik  sampel  sebanyak N sehingga  dapat merepresentasikan nilai luasan yang sebenarnya.  Jangkauan  bilangan  acak  yang dibangkitkan  adalah  sesuai  dengan  nilai  batas dari integral itu sendiri.
Hasil  pengujian  program  saat  program dijalankan dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5.  Hasil running program  metode Simpson Gambar 5 menampilkan  hasil  pengujian program  dengan  menggunakan  metode Simpson. Setelah  memasukan  nilai  batas bawah  dan  batas  atas  integral  serta  nilai  jarak luasan  dari  kawat H. Maka  program  akan menghitung secara otomatis dan pada tampilan hasil running program  dapat  dilihat  nilai  hasil integrasi,  nilai  flux  magnetik  total  dan error relatif.  Pengujian  dilakukan  seperti  yang  telah dijelaskan  dan  diperoleh  hasil  nilai  fluks magnet sebagai berikut.
Tabel 2. Hasil  Perhitungan  Fluks  Magnetik dengan metode Simpson
Analitik ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb) Simpson ( ϕ )
( x 10 -7 Wb) Error Mutlak (x 10 -7 ) 3,36544185 3,36485173 0,00059012 2,15495531 2,15459393 0,00036138 9,59498620 9,59544329 0,00045709 6,73088371 6,72970346 0,00118025 Pada Tabel  2 hasil  pengujian  program menggunakan  metode  komputasi  Simpson menunjukkan  bahwa  pendekatan  secara integrasi  simpson  mendekati  hasil  yang  telah diperoleh  secara  analitik.  Dari  hasil  ini  dapat dihitung  nilai error mutlak  dari  program terhadap  nilai  eksak  secara  analitik  dan diperoleh  nilai error mutlak  yang  kecil. Sehingga  hasil  pendekatan  dengan  metode
Simpson  dapat  diterima  serta  dapat  dikatakan bahwa  program  yang  dibuat  telah  berfungsi dengan  baik.  Sedangkan  pengujian  program dengan  menggunakan  metode  Monte  Carlo dapat dilihat pada Gambar 6.
Gambar 6.  Hasil running program  metode Monte Carlo
Tampilan  hasil  pengujian  program  dengan metode  Monte  Carlo  seperti  pada  gambar 6.
Pengujian  dilakukan  sama  seperti  yang pengujian  metode  Simpson  dan  analitik.  Hasil pengujian nilai  fluks  magnetik dengan  metode Monte  Carlo  secara  keseluruhan  dapat  dilihat pada Tabel 3. Tabel 3. Hasil perhitungan  Fluks  Magnetik dengan metode Monte Carlo (N=10000) Analitik ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb) Monte Carlo ( ϕ ) (x 10 -7 Wb)
Error Mutlak (x 10 -7 ) 3,36544185 3,36733332 0,001891 47 2,15495531 2,11808640 0,036868 91 9,5949862 9,47173540 0,123250 80 6,73088371 6,50003752 0,230846 19 Hasil  yang  ditampilkan  pada Tabel 3 ini adalah  hasil  yang  diambil  secara  acak  karena pada  setiap  perulangan  pengujian  program akan  menampilkan  hasil  pengujian  yang berbeda. Dalam setiap pengulangan, hasil yang muncul  selalu  mendekati nilai  yang dimasukkan dalam Tabel 3.
Pengujian  program  pendekatan  integrasi dengan  metode  Monte  Carlo  menggunakan jumlah  titik  acak  sebanyak  10.000  titik  juga memperoleh hasil yang mendekati dengan nilai perhitungan  menggunakan  metode  analitik. Namun, jika  dilihat  pada  hasil  diatas  nilai pendekatan  yang  diperoleh  masih  sedikit berbeda dengan nilai solusi eksak kasus. Nilai error mutlak  terhadap  nilai  eksak  secara analitik  pada  setiap  variasi  nilai  masukkan sedikit  meningkat  ketika  nilai  input  menjadi lebih besar.
Analisis Hasil dan Error Kesalahan absolut (E t ) adalah nilai sebenarnya ( x )dikurangi nilai  pendekatan  ( ̅ ), dinyatakan dengan (Warsito, 2005): = − ̅ (16) Sedangkan  perhitungan  nilai error relatif.
Menggunakan    nilai  kesalahan  absolut  dibagi dengan nilai sebenarnya dan di kalikan dengan 100%.  Dapat  dilihat  pada  persamaan  (Chapra, 2014) berikut:
= ̅ × 100% (17)
Perhitungan nilai error relatif dipakai untuk membandingkan  hasil  solusi secara  analitik yang  diperoleh  antara  solusi  pembanding  dan
Gambar 5.  Hasil running program  metode Simpson Gambar 5 menampilkan  hasil  pengujian program  dengan  menggunakan  metode Simpson. Setelah  memasukan  nilai  batas bawah  dan  batas  atas  integral  serta  nilai  jarak luasan  dari  kawat H. Maka  program  akan menghitung secara otomatis dan pada tampilan hasil running program  dapat  dilihat  nilai  hasil integrasi,  nilai  flux  magnetik  total  dan error relatif.  Pengujian  dilakukan  seperti  yang  telah dijelaskan  dan  diperoleh  hasil  nilai  fluks magnet sebagai berikut.
Tabel 2. Hasil  Perhitungan  Fluks  Magnetik dengan metode Simpson
Analitik ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb) Simpson ( ϕ )
( x 10 -7 Wb) Error Mutlak (x 10 -7 ) 3,36544185 3,36485173 0,00059012 2,15495531 2,15459393 0,00036138 9,59498620 9,59544329 0,00045709 6,73088371 6,72970346 0,00118025 Pada Tabel  2 hasil  pengujian  program menggunakan  metode  komputasi  Simpson menunjukkan  bahwa  pendekatan  secara integrasi  simpson  mendekati  hasil  yang  telah diperoleh  secara  analitik.  Dari  hasil  ini  dapat dihitung  nilai error mutlak  dari  program terhadap  nilai  eksak  secara  analitik  dan diperoleh  nilai error mutlak  yang  kecil.
Sehingga  hasil  pendekatan  dengan  metode Simpson  dapat  diterima  serta  dapat  dikatakan bahwa  program  yang  dibuat  telah  berfungsi dengan  baik.  Sedangkan  pengujian  program dengan  menggunakan  metode  Monte  Carlo dapat dilihat pada Gambar 6.
Gambar 6.  Hasil running
program  metode Monte Carlo
Tampilan  hasil  pengujian  program  dengan metode  Monte  Carlo  seperti  pada  gambar 6.
Pengujian  dilakukan  sama  seperti  yang pengujian  metode  Simpson  dan  analitik.  Hasil pengujian nilai  fluks  magnetik dengan  metode Monte  Carlo  secara  keseluruhan  dapat  dilihat pada Tabel 3. Tabel 3. Hasil perhitungan  Fluks  Magnetik dengan metode Monte Carlo (N=10000) Analitik ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb) Monte Carlo ( ϕ ) (x 10 -7 Wb)
Error Mutlak (x 10 -7 ) 3,36544185 3,36733332 0,001891 47 2,15495531 2,11808640 0,036868 91 9,5949862 9,47173540 0,123250 80 6,73088371 6,50003752 0,230846 19 Hasil  yang  ditampilkan  pada Tabel 3 ini adalah  hasil  yang  diambil  secara  acak  karena pada  setiap  perulangan  pengujian  program akan  menampilkan  hasil  pengujian  yang berbeda. Dalam setiap pengulangan, hasil yang muncul  selalu  mendekati nilai  yang dimasukkan dalam Tabel 3.
Pengujian  program  pendekatan  integrasi dengan  metode  Monte  Carlo  menggunakan jumlah  titik  acak  sebanyak  10.000  titik  juga memperoleh hasil yang mendekati dengan nilai perhitungan  menggunakan  metode  analitik. Namun, jika  dilihat  pada  hasil  diatas  nilai pendekatan  yang  diperoleh  masih  sedikit berbeda dengan nilai solusi eksak kasus. Nilai error mutlak  terhadap  nilai  eksak  secara analitik  pada  setiap  variasi  nilai  masukkan sedikit  meningkat  ketika  nilai  input  menjadi lebih besar.
Analisis Hasil dan Error Kesalahan absolut (E t ) adalah nilai sebenarnya ( x )dikurangi nilai  pendekatan  ( ̅ ), dinyatakan dengan (Warsito, 2005): = − ̅ (16) Sedangkan  perhitungan  nilai error relatif.
Menggunakan    nilai  kesalahan  absolut  dibagi dengan nilai sebenarnya dan di kalikan dengan 100%.  Dapat  dilihat  pada  persamaan  (Chapra, 2014) berikut:
= ̅ × 100% (17)
Perhitungan nilai error relatif dipakai untuk membandingkan  hasil  solusi secara  analitik yang  diperoleh  antara  solusi  pembanding  dan
Gambar 5.  Hasil running program  metode Simpson Gambar 5 menampilkan  hasil  pengujian program  dengan  menggunakan  metode Simpson. Setelah  memasukan  nilai  batas bawah  dan  batas  atas  integral  serta  nilai  jarak luasan  dari  kawat H. Maka  program  akan menghitung secara otomatis dan pada tampilan hasil running program  dapat  dilihat  nilai  hasil integrasi,  nilai  flux  magnetik  total  dan error relatif.  Pengujian  dilakukan  seperti  yang  telah dijelaskan  dan  diperoleh  hasil  nilai  fluks magnet sebagai berikut.
Tabel 2. Hasil  Perhitungan  Fluks  Magnetik dengan metode Simpson
Analitik ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb) Simpson ( ϕ )
( x 10 -7 Wb) Error Mutlak (x 10 -7 ) 3,36544185 3,36485173 0,00059012 2,15495531 2,15459393 0,00036138 9,59498620 9,59544329 0,00045709 6,73088371 6,72970346 0,00118025 Pada Tabel  2 hasil  pengujian  program menggunakan  metode  komputasi  Simpson menunjukkan  bahwa  pendekatan  secara integrasi  simpson  mendekati  hasil  yang  telah diperoleh  secara  analitik.  Dari  hasil  ini  dapat dihitung  nilai error mutlak  dari  program terhadap  nilai  eksak  secara  analitik  dan diperoleh  nilai error mutlak  yang  kecil.
Sehingga  hasil  pendekatan  dengan  metode Simpson  dapat  diterima  serta  dapat  dikatakan bahwa  program  yang  dibuat  telah  berfungsi dengan  baik.  Sedangkan  pengujian  program dengan  menggunakan  metode  Monte  Carlo dapat dilihat pada Gambar 6.
Gambar 6.  Hasil running
program  metode Monte Carlo
Tampilan  hasil  pengujian  program  dengan metode  Monte  Carlo  seperti  pada  gambar 6.
Pengujian  dilakukan  sama  seperti  yang pengujian  metode  Simpson  dan  analitik.  Hasil pengujian nilai  fluks  magnetik dengan  metode Monte  Carlo  secara  keseluruhan  dapat  dilihat pada Tabel 3. Tabel 3. Hasil perhitungan  Fluks  Magnetik dengan metode Monte Carlo (N=10000) Analitik ( ϕ ) ( x 10 -7 Wb) Monte Carlo ( ϕ ) (x 10 -7 Wb)
Error Mutlak (x 10 -7 ) 3,36544185 3,36733332 0,001891 47 2,15495531 2,11808640 0,036868 91 9,5949862 9,47173540 0,123250 80 6,73088371 6,50003752 0,230846 19 Hasil  yang  ditampilkan  pada Tabel 3 ini adalah  hasil  yang  diambil  secara  acak  karena pada  setiap  perulangan  pengujian  program akan  menampilkan  hasil  pengujian  yang berbeda. Dalam setiap pengulangan, hasil yang muncul  selalu  mendekati nilai  yang dimasukkan dalam Tabel 3.
Pengujian  program  pendekatan  integrasi dengan  metode  Monte  Carlo  menggunakan jumlah  titik  acak  sebanyak  10.000  titik  juga memperoleh hasil yang mendekati dengan nilai perhitungan  menggunakan  metode  analitik. Namun, jika  dilihat  pada  hasil  diatas  nilai pendekatan  yang  diperoleh  masih  sedikit berbeda dengan nilai solusi eksak kasus. Nilai error mutlak  terhadap  nilai  eksak  secara analitik  pada  setiap  variasi  nilai  masukkan sedikit  meningkat  ketika  nilai  input  menjadi lebih besar.
Analisis Hasil dan Error Kesalahan absolut (E t ) adalah nilai sebenarnya ( x )dikurangi nilai  pendekatan  ( ̅ ), dinyatakan dengan (Warsito, 2005): = − ̅ (16) Sedangkan  perhitungan  nilai error relatif.
Menggunakan    nilai  kesalahan  absolut  dibagi dengan nilai sebenarnya dan di kalikan dengan 100%.  Dapat  dilihat  pada  persamaan  (Chapra, 2014) berikut:
= ̅ × 100% (17)
Perhitungan nilai error relatif dipakai untuk membandingkan  hasil  solusi secara  analitik yang  diperoleh  antara  solusi  pembanding  dan
solusi pertama dan kedua serta membandingkan  nilai  kesalahan  dari  masing- masing metode komputasi yang digunakan. Dari hasil perhitungan nilai fluks magnetik secara  analitik  dan  metode  komputasi  diatas, dapat  dihitung  nilai error relatif  dari  setiap metode pendekatan yang digunakan pada Tabel 4. Tabel 4. Hasil perhitungan Error relatif menggunakan  metode Simpson  dan metode Monte Carlo Nilai Masukkan Simpson (%) Monte Carlo (%) R=0,1m;H=0,1m 0,017537771 0,056202724 R=0,1m;H=0,2m 0,016772534 1,710889772 R=0,2m;H=0,1m 0,004763615 1,284533374 R=0,2m;H=0,2m 0,017537920 3,429656490 Perbandingan  nilai error relatif  dengan menggunakan  metode  simpson  dan  Monte Carlo  pada Tabel 4 memakai  hasil  analitik sebagai  pembanding  untuk  membandingkan nilai pendekatan menggunakan program. Hasil pada Tabel  4 menunjukkan  bahwa  hasil pendekatan nilai fluks magnetik menggunakan metode  Simpson  memiliki  nilai  yang mendekati hasil dari solusi analitik dengan nilai error relatif  berkisar  antara  0,004763615 % - 0,017537920 %.  Sedangkan  untuk  hasil pendekatan  dengan  metode  Monte  Carlo diperoleh  perhitungan  nilai error relatif  pada kisaran 0,056202724 % - 3,429656490%. Metode  komputasi  baik  Simpson  maupun
Monte  Carlo  terbukti  memiliki  hasil  yang akurat dengan error relatif dibawah 5%. Secara komputasi  hasil  ini  sudah  sangat  baik. Error pendekatan  nilai  flux  magnetik  dengan menggunakan  metode  Monte  Carlo  terlihat sedikit lebih  besar  dibanding  dengan  metode Simpson.  Hal  tersebut  dapat  dipahami  karena Metode Simpson menggunakan dasar formulasi yang  sudah  stabil,  sementara  metode  Monte Carlo memanfaatkan bilangan acak yang dalam prosesnya  menyimpan  potensi  hasil  yang  juga acak .

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  dilakukan, dapat disimpulkan bahwa fluks magnetik pada luasan  berbentuk  lingkaran  di  sekitar  kawat berarus dapat dicari dengan solusi analitik pada persamaan  (8).  Hasil  perhitungan  dengan i  = 10A dan variasi kombinasi nilai R= 0,1 dan 0,2
serta H =0,1  dan  0,2  berturut-turut  adalah 3,36544185 x 10 -7 Wb; 2,15495531 x 10 -7 Wb;
9,59498620  x  10 -7 Wb;  6,73088371  x  10 -7 Wb.Hasil  implementasi  persamaan  (7)  pada program  komputasi  numerik  menggunakan metode  Simpson  dengan  variasi  kombinasi diatas  berturut-turut  adalah  3,36485173  x  10 -7 Wb; 2,15459393 x 10 -7 Wb; 9,59544329 x 10 -7 Wb; 6,72970346 x 10 -7 Wb. Sedangkan dengan metode  Monte  Carlo  hasilnya  berturut-turut adalah 3,36733332 x  10 -7 Wb; 2,11808640 x 10 -7 Wb; 9,47173540 x 10 -7 Wb; 6,50003752 x 10 -7 Wb.  Nilai error relatif  pada  variasi kombinasi  menggunakan  metode  Simpson berturut – turut  adalah 0,017537771%; 0,016772534 % ; 0,004763615 %; 0,017537920 %.  Sedangkan  dengan  metode Monte Carlo berturut-turut adalah 0,056202724 %; 1,710889772 %; 1,284533374 %; 3,429656490 %. Dari hasil pengujian dan nilai error relatif  diketahui  bahwa  nilai  pendekatan komputasi simpson lebih mendekati nilai eksak dibanding dengan pendekatan Monte Carlo.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdullah, M. 2006. Diktat Kuliah Fisika Dasar II . FMIPA-ITB : Bandung.
DeVries,  P.  L.  1994.
A  First  Course  in Computational  Physics .  John  Wiley  &
Sons, Inc. : New York.
Chapra,  S.C., &R.P.  Canale.  2014. Numerical
Methods  for  Engineers  7 th Edition .
McGraw-Hill Education : New York.
Munir, R. 2013.
Metode Numerik . Informatika : Bandung. Murthy,  K.P.N.  2000. An  Introduction  for
Monte  Carlo  Simulations  in  Statistical Physics .  Indira  Gandhi  Centre  for  Atomic Research : Kalpakkam. Satriawan,  M..  2012. Fisika  Dasar . http://mirza.staff.ugm.ac.id/fisdas/ FisdasbookI.pdf. Diakses tgl 16 Juni 2016 Serway, R.A., &J.W. Jewet. 2008. Physics for Scientists  and  Engineers  6 th Edition . Thomson Brooks/Cole : New York. Soegeng, R. 1996.
Komputasi Numerik dengan Turbo Pascal
. ANDI : Yogyakarta Spiegel,  M.R.,  S.  Lipschutz, &J.  Liu.  2009. Mathematical  handbook  of  Formulas  and Tables  3rd  Edition. McGraw-Hill  :  New York. Warsito,  A.  2009. Fisika  Komputasi .  Modul Bahan Ajar Fisika FST Undana.