## Penyelesaian Persamaan Diferensial Partial Dalam Simulasi Reservoir Berbasis Pembelajaran Mesin
A. Wahyudi 1 , T. Marhaendrajana 1 , Z. Syihab 1 , K.A. Sidarto 2
1 Teknik Perminyakan, Institut Teknologi Bandung, Bandung
2 Matematika, Institut Teknologi Bandung, Bandung

## ABSTRAK
Simulasi reservoir merupakan pemodelan matematis untuk menyelesaikan persamaan aliran flu- ida pada media berpori dalam bentuk  persamaan diferensial parabolik orde kedua. Dalam pen- dekatan simulasi reservoir klasik, persamaan ini diselesaikan menggunakan pendekatan metode numerik melalui langkah-langkah diskretisasi dan linierisasi. Pada umumnya linierisasi dilakukan dengan menerapkan Deret Taylor sehingga menyisakan galat pemotongan yang tetap tinggal pada penyelesaian.  Upaya  untuk  meminimasi  galat  pemotongan  dengan  menerapkan  ukuran  dis- kretisasi yang kecil akan meningkatkan ukuran matriks persamaan linier secara signifikan. Saat ini telah berkembang sebuah pendekatan baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial par- sial menggunakan metode pendekatan pembelajaran mesin yang dikenal sebagai Physics Informed Neural Network (PINN). PINN adalah sebuah framework untuk menyelesaikan persamaan diferen- sial yang memanfaatkan kemampuan general approximation dari suatu jaringan syaraf tiruan da- lam mendekati suatu fungsi yang tidak diketahui sekaligus memanfaatkan kemampuan automatic differentiaton dari pustaka deep learning. Implementasi PINN dalam penyelesaian persamaan ali- ran fluida pada media berpori disajikan dalam studi ini. Kasus yang diselesaikan adalah model reservoir homogen dengan fluida satu fasa dengan geometri satu dimensi. Dua buah kondisi batas dan satu kondisi inisial diintroduksikan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini dan salah satu  kondisi  batas  digunakan memodelkan  sink-source dari  model  reservoir.  Solusi  yang dihasilkan kemudian dibandingkan dengan solusi numerik dan memberikan kesesuaian yang san- gat baik antara kedua metode tersebut.
Kata kunci: simulasi reservoir, machine learning, neural network
aguswe@students.itb.ac.id

## 1. Pendahuluan
Persamaan  dasar  untuk  menggambarkan aliran fluida pada media berpori atau persa- maan difusivitas diturunkan dari tiga persa- maan  fisika  yaitu:  persamaan  kontinuitas, persamaan pergerakan aliran dan persamaan keadaan. Persamaan kontinuitas berasal dari prinsip hukum kekekalan massa dimana tidak
ada  massa  yang  hilang  dalam  proses  me- masuki  sistem  dan  keluar  dari  sistem,  yaitu jumlah massa yang masuk dikurangi jumlah massa  yang  keluar  adalah  massa  yang  tera- kumulasi  dalam  system.  Persamaan  perge- rakan  aliran  fluida  menghubungkan  ke- cepatan  dan  tekanan  dalam  volume  kontrol. Kecepatan aliran fluida dalam media berpori untuk kondisi satu fasa, laminar pada kondisi steady-state telah diturunkan secara empiris
Indonesian Journal of Energy and Mineral (2022) Vol. 2 No. 1 DOI: https://doi.org/10.53026/IJoEM/2022/2.1/998
oleh  Darcy.  Persamaan  keadaan  menghub- ungkan volume atau  densitas sebagai fungsi tekanan dan temperatur system [1].
Untuk  memecahkan  persamaan  diferen- sial parsial (PDP) secara numerik diperlukan solver  nonlinier  [2]  Metode  Newton  adalah pendekatan yang paling sering digunakan un- tuk  menyelesaikan  persamaan  nonlinier. Tingkat konvergensi yang tinggi dari metode Newton  cukup  meyakinkan  bagi  para  ilmu- wan untuk memecahkan berbagai PDP dalam bentuk  aljabar  secara  simultan.  Kinerja metode  Newton  sangat  bergantung  pada pembuatan tebakan awal yang tepat [3]. Ber- beda  dengan  solusi  analitik  yang  bersifat eksak,  pada  solusi  numerik  berlaku  solusi pendekatan  yang  mengandung  galat  pemo- tongan  dalam  diskretisasi  ( truncation  error ) dan  linierisasi.  Evaluasi  turunan  parsial, perhitungan inversi matriks Jacobian, terma- suk pada n×n sistem linier dengan sejumlah iterasi  tertentu  dalam  setiap  time  step,  me- nyebabkan biaya komputasi yang tinggi pada metode Newton [4].
Selain penyelesaian menggunakan metode analitik dan numerik baru-baru ini telah ber- munculan  kelas  baru  penyelesaian  bentuk umum PDP menggunakan pembelajaran me- sin. Dalam penelitian mekanika fluida, jarin- gan saraf konvolusional telah digunakan un- tuk  mendapatkan  medan  tekanan,  yang merupakan  langkah  paling  memakan  waktu dalam  menyelesaikan  persamaan  Navier- Stokes [5]. Pada aliran fluida di media berpori juga  dikembangkan  algortima  untuk  me- nyelesaikan  persamaan  diferensial  parsial (PDP)  orde  kedua  pada  simulasi  reservoir satu dimensi satu fasa gas [2].
Baru-baru  ini  pendekatan Physics  In- formed  Neural  Network (PINN)  telah  diu- jicoba  pada  beberapa  masalah  komputasi fisik, fokusnya pada kemungkinan JST untuk mempelajari solusi PDP. Sebenanrnya karya- karya  awal  di  bidang  ini  berasal  dari  tahun 1990-an  dengan  munculnya  metode  untuk menyelesaikan boundary  value  problems menggunakan  JST  [6]  dan  minat  pada  topik ini telah dihidupkan kembali dalam konteks arsitektur jaringan saraf modern [7],[8]. Pen- dekatan  ini  dirancang  untuk  mendapatkan solusi berbasis data dari bentuk umum PDP nonlinier.
Pada  metode  PINN,  informasi  fisik  dapat bertindak  sebagai  agen  regularisasi  untuk membatasi ruang solusi yang dapat diterima. Dalam masalah PDP bisa dijumpai dalam ma- salah  nilai  batas  atau  boundary  value  prob- lem, yang diatur oleh beberapa informasi ter- struktur terkait kondisi batas. Pengkodean in- formasi  terstruktur  tersebut  ke  dalam  algo- ritma  pembelajaran  memungkinkan  untuk membuat  algoritma  bergerak  ke  arah  solusi yang  tepat,  bahkan  ketika  hanya  beberapa contoh pelatihan yang tersedia. Dengan kata lain, machine learning yang selama ini belajar dari  data,  melalui  PINN  dapat  ditranforma- sikan  menjadi  mesin  yang  belajar  melalui hukum fisika yang melandasi fenomena yang diamati  beserta  dengan  data  dalam  jumlah yang minimal.
Penerapan  PINN  telah  digunakan  untuk untuk  solusi  PDP  hiperbolik  satu  dimensi yang menggambarkan transportasi fluida dua fase nonlinier dalam media berpori [9],[10]. Pendekatan ini mengkodekan persamaan ter- sebut ke dalam loss function dan mempelajari solusi  tanpa  data  berlabel  apa  pun – hanya menggunakan  pengetahuan  tentang  kondisi awal/batas dan PDP. Pendekatan lain adalah dengan  menggabungkan  PINN  dengan  data observasi dan hasilnya mengidikasikan pen- ingkatan akurasi [11].

## 2. Metode
Persamaan  aliran  fluida  untuk  satu  fasa maupun  multifasa  dihasilkan  dari  peng- gabungan  persamaan  Darcy  dengan  persa- maan kekekalan massa. Densitas fluida dapat didefinisikan secara eksplisit atau implisit se- bagai fungsi dari tekanan melalui suatu per- samaan  keadaan.  Jika  pori-pori  batuan  diisi sepenuhnya oleh fluida satu fasa maka persa- maan tersebut dapat ditulis sebagai
∇ ⋅ 𝜌𝑘 𝜇 (∇𝑝 − 𝛾∇𝑧) = 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌𝜙) 1
Jika  persamaan  diatas  dibagi  oleh 𝜌 𝑆𝑇𝐶 dan menggunakan definisi 𝐵 = 𝑉 𝑅𝐶 𝑉 𝑠𝑐 maka
∇ ⋅ [ 𝑘 𝜇𝐵 (∇𝑝 − 𝛾∇𝑧)] = 𝜕 𝜕𝑡 [ 𝜙 𝐵 ] 2
Pada  aliran  likuid  seringkali  diasumsikan bahwa kompresibilitas didefinisikan sebagai
𝑐 𝑓 = − 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑝 | 𝑇 = 1 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝑝 | 3
Jika  perubahan  volume  pori  terhadap tekanan cukup sigifikan maka
𝑐 𝑟 = 1 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝑝 4
dengan 𝑐 𝑟 = kompresibilitas  batuan.  Persa- maan  2  dapat  ditulis  berdasar  persamaan  3 dan 4 sebagai berikut
∇ ⋅ [𝜆(∇𝑝 − 𝛾∇𝑧)] = ( 𝜙𝑐 𝑡 𝐵 ) 𝜕𝑝 𝜕𝑡 5 𝑐 𝑡 = 𝑐 𝑓 + 𝑐 𝑟
Pada model reservoir homogen satu dimensi dengan aliran fluida satu fasa dan factor grav- itasi dibaikan maka persamaan dapat ditulis sebagai
𝑘 𝜇𝐵 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑝 𝜕𝑥 ) = 𝜙𝑐 𝑡 𝐵 𝜕𝑝 𝜕𝑡 6
Untuk  menyelesaikan  persamaan  6  minimal diperlukan satu kondisi inisial dan dua kon- disi batas. Untuk kondisi inisial diasumsikan bahwa tekanan seragam pada sepanjang ge- ometri model pada awal periode. Dua macam kondisi  batas  diterapkan  untuk  mewakili sink-source dan batas reservoir yaitu masing- masing laju alir konstan ( constant flow rate ) dan tanpa aliran ( no flow ). Secara matematis kondisi batas ini ditulis sebagai
Kondisi inisisal: 𝑝(𝑥, 0) = 𝑝 𝑖 Kondisi batas laju alir konstan: 𝑑𝑝 𝑑𝑥 = − 𝑞 𝐴 𝜇 𝑘
Kondisi batas tanpa aliran: 𝑑𝑝 𝑑𝑥 = 0
Gambar  1  adalah  model  aliran  satu  dimensi dan  diskretisasi.  Pada  solusi  numerik  dil- akukan  diskretisasi  terhadap  ruang  dan waktu,  dimana  domain  ruang  merupakan panjang reservoir dalam hal ini adalah sumbu 𝑥 untuk  memperoleh grid  block Δ𝑥 dan time level Δ𝑡 .  Pendekatannya adalah melalui deret Taylor.
Gambar 1. Model Aliran Satu Dimensi (Kiri) Dan Diskretisasi
𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑘 𝜇𝐵 𝜕𝑃 𝜕𝑥 ) = 2 ( 𝑘 𝜇𝐵 ) 1+ 1 2 (𝑃 𝑖+1 − 𝑃 𝑖 ) (Δ𝑥 𝑖+1 + Δ𝑥 𝑖 ) − 2 ( 𝑘 𝜇𝐵 ) 𝑖− 1 2 (𝑃 𝑖 − 𝑃 𝑖−1 ) (Δ𝑥 𝑖+1 + Δ𝑥 𝑖 ) Δ𝑥 𝑖 +𝑂(Δ𝑥) 7 Pendekatan Deret Taylor menggunakan back- ward  approximation pada  derivative  waktu diskret 𝑡 + Δ𝑡 akan  menghasilkan  formulasi implisit.
𝜕𝑝 𝜕𝑡 = 𝑝 𝑖 𝑡+Δ𝑡 − 𝑝 𝑖 𝑡 Δ𝑡 + 𝑂(Δ𝑡) 8
Sehingga persamaan aliran pada satu volume control adalah
𝑇𝑥 𝑖+ 1 2 (𝑝 𝑖+1 𝑡+Δ𝑡 − 𝑝 𝑖 𝑡+Δ𝑡 ) + 𝑇𝑥 𝑖+ 1 2 (𝑝 𝑖+1 𝑡+Δ𝑡 − 𝑝 𝑖 𝑡+Δ𝑡 ) − 𝑞 𝑖 ′ = 𝜙𝑐 𝑡 𝐵 (𝑝 𝑖 𝑡+Δ𝑡 − 𝑝 𝑖 𝑡 ) 9
Dengan transmissibility kearah 𝑥 positif dan 𝑥 negative masing-masing adalah
𝑇𝑥 𝑖+ 1 2 = 2 Δ𝑥 𝑖 (Δ𝑥 𝑖+1 + Δ𝑥 𝑖 ) ( 𝑘 𝜇𝐵 ) 𝑖+ 1 2 10 𝑇𝑥 𝑖− 1 2 = 2 Δ𝑥 𝑖 (Δ𝑥 𝑖−1 + Δ𝑥 𝑖 ) ( 𝑘 𝜇𝐵 ) 𝑖− 1 2 11
Pada  model  dengan  blok  sejumlah 𝑁 maka akan persamaan mempunyai 𝑁 variabel yang tidak  diketahui  yang  harus  diselesaikan secara simultan. Algoritma PINN ditunjukkan
pada Gambar 2 untuk menyelesaikan persa- maan difusi 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝜆 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 dengan beberapa kon- disi batas
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓 𝐷 (𝑥, 𝑡)  pada Γ D ⊂ Ω dan
𝜕𝑢 𝜕𝐧 (𝑥, 𝑡) = 𝑓 𝑅 (𝑢, 𝑥, 𝑡)  pada  Γ 𝑅 ⊂ 𝜕Ω
Gambar 2 Skema Penyelesaian PDP menggunakan [11]
Tahap-tahap dalam PINN dijelaskan dalam langkah-langkah  berikut  ini.  Langkah  per- tama  adalah  membangun  JST 𝑢̂(𝐱; 𝜃) untuk mewakili  penyelesaian 𝑢(𝐱) dengan  vector masukan 𝐱 dan vector luaran yang memeiliki dimensi sama dengan 𝑢 . Parameter jaringan 𝜃 = {𝑤 ℓ , 𝑏 ℓ } dengan 1 ≤ ℓ ≤ 𝐿 merupakan matriks bobot dan vector bias pada JST untuk fungsi  pendekatan 𝑢̂ .  Salah  satu  keunggulan dari  PINN  dengan  memilih  JST  sebagai  per- wakilan dari 𝑢 adalah bahwa turunan dari JST terhadap  vector  masukan 𝐱 dapat  dihitung . Hal ini dilakukan dengan menerapkan aturan rantai  untuk  menurunkan  fungsi  komposisi menggunakan  AD  yang  telah  terintegrasi dengan  module  Machine  Learning  semacam Tensorflow atau Pythorch.
Langkah berikutnya adalah membatasi JST agar  dapat  memenuhi  hukum-hukum  fisika yang dimiliki  oleh  PDP dan persamaan kon- disi batas. Di dalam praktek hal ini dilakukan dengan membatasi 𝑢̂ dengan input berupa ti- tik-titik  collocation  yang  menyebar  secara acak. Untuk mengukur perbedaan nilai antara
fungsi  pendekatan  JST 𝑢̂ dan  batasan-ba- tasannya dibuat loss function yang didefisikan sebagai penumlahan berbobot dari normal 𝐿 2 dari nilai residual untuk PDP dan kondisi ba- tas
ℒ(𝜃, 𝒯) = ℒ 𝑓 (𝜃, 𝒯 𝑓 ) + ℒ 𝑏 (𝜃, 𝒯 𝑏 ) 13
Pada  langkah  akhir,  dijalankan  prosedur untuk  mencari  nilai 𝜃 yang  baik  dengan meminimasi  loss ℒ(𝜃, 𝒯) yang  disebut  se- bagai  training.  Mempertimbangkan  fakta bahwa  loss  memiliki  sifat  non-linier  yang tinggi, umumnya langkah minimimasi ini dil- akukan  dengan  pengoptimasi  berbasis  gra- dien  seperti gradient  descent ADAM  dan  L- BFGS [13]. JST pada metode PINN merupakan fungsi  pendekatan  dari  distribusi  tekanan terhadap ruang dan waktu sebagai
𝑢̂(𝑡, 𝑥) ≅ 𝑝(𝑡, 𝑥) 14
Sedangkan PDP dan kondisi batas disusun da- lam bentuk loss function
ℒ 𝑃𝐷𝐸 = 𝜏 𝑥 𝜕𝑃 2 𝜕𝑥 2 − 𝜕𝑃 𝜕𝑡 15 ℒ 𝑖𝑛𝑖 = 𝑝 0 − 𝑢̂(𝑡 = 0, 𝑥) 16 ℒ 𝑤𝑏 = 𝜕𝑢̂ 𝜕𝑥 | 𝑥=0 + 𝜇𝑞 𝑘𝐴 17 ℒ 𝑒𝑏 = 𝜕𝑢̂ 𝜕𝑦 | 𝑥=𝐿 18
ℒ =
𝑀𝑆𝐸 ℒ 𝑃𝐷𝐸 + 𝑀𝑆𝐸 ℒ 𝑖𝑛𝑖 + 𝑀𝑆𝐸 ℒ 𝑤𝑏 +𝑀𝑆𝐸 ℒ 𝑒𝑏 19

## 3. Hasil Simulasi
Pada kasus ini dibuat model hipotetik res- ervoir  satu  dimensi  satu  fasa  homogen dengan  properti  seperti  tercantum  dalam Tabel 1.
Tabel  1.  Kasus  Model  Aliran  Satu  Dimensi Satu Fasa Properti Nilai Satuan Permeabilitas 100 𝑚𝐷 Porositas 0.2 Compresibili- tas total 5.3 × 10 −6 𝑝𝑠𝑖 −1 Viscositas 1 𝑐𝑝 Panjang 10 4 𝑓𝑡 Periode 100 𝑑 Laju produksi 2 × 10 −3 𝑏𝑙𝑝𝑑
Tekanan awal 2000 𝑝𝑠𝑖
Kasus di atas diselesaikan menggunakan pen- dekatan  numerik  dengan  dua  ukuran  dis- kretisasi untuk mewakili kondisi coarse grid dan fine  grid .  Untuk coarse  grid ukuran  dis- kretisai 𝑑𝑥 = 𝑙 100 dan 𝑑𝑡 = 𝑡/10 .  Sedangkan fine  grid memiliki  ukuran  diskretisai 𝑑𝑥 = 10 𝑓𝑡 dan 𝑑𝑡 = 1 𝑑 .  Pada penyelesaian PINN dilakukan scale down ukuran domain dan lu- aran fungsi pendekatan yaitu tekanan.  Uku- ran  domain  yang  besar  menyebabkan  pen- carian solusi memerlukan waktu yang lama. Skala  domain  diubah  untuk  mendapatkan ukuran domain antara 0 dan 1. Demikian juga pada  skala  luaran  fungsi  pendekatan  dis- esuaikan  dengan  nilai  fungsi  aktifasi 𝑡𝑎𝑛ℎ yaitu memiliki nilai antara -1 sampai dengan 1.
Tabel 2. Parameter Model Skala Normal Dan Diperkecil
Normal scale Down scale 𝑘 𝑥 100 1 𝜙 0.2 0.2 𝑐 𝑡 5.3 × 10 −6 5.3 × 10 −2 𝜇 1 1 𝑙 10 4 1 𝑡 100 1 𝑞 2 × 10 −3 2 × 10 −5 𝑃 0 2000 1

## 4. Pembahasan
Penyelesaian model pada down scale dapat disandingkan  dengan  penyelesaian  model skala  normal  sehingga  menghasilkan  kurva yang tepat saling berhimpitan. Hal ini menun- jukkan bahwa kedua skala saling berkesesuaian atau dengan kata lain domain skala normal  dapat didekati dengan domain dengan  skala  yang  lebih  kecil  dan  akan menghasilkan  kurva  distrubi  tekanan  yang sama.
Penyelesaian  menggunakan  pendekatan PINN  pada  skala  diperkecil  menghasilkan kurva distribusi tekanan yang serupa dengan solusi numeric seperti tampak dalam Gambar
3.  Namun  kurva  distribusi  tekanan  tersebut masih  memiliki  distorsi  pada  titik-titik  di sekitar kondisi inisial (𝑡 = 0) dan kondisi ba- tas  laju  alir  konstan (𝑥 = 0) .  Kemungkinan penyebab  distrosi  ini  adalah  model  PINN kesulitan  untuk  membentuk  parameter  JST (bobot dan bias) yang menghasilkan kondisi tekanan seragam (kondisi inisial) yang dalam waktu  yang  sama  sekaligus  terdapat  aliran (kondisi  batas  laju  alir  konstan).  Karena  se- bagaimana kita ketahui fluida dapat mengalir akibat  adanya  perbedaan  tekanan.  Sebagai tambahan  informasi  bahwa  selain  sebagai kondisi  batas  yang  merupakan  input  dalam
Indonesian Journal of Energy and Mineral (2022) Vol. 2 No. 1 DOI: https://doi.org/10.53026/IJoEM/2022/2.1/998
training, nilai tekana seragam ini juga meru- pakan  hasil  fungsi  pendekatan.  Fungsi  pen- dekatan model PINN dituntut untuk memeca- hkan distrinusi tekanan secara kontinu pada setiap titik di sepanjang domain bauik ruang Maupin waktu. Hal ini dapat kita bandingkan
dengan  kararteristik  penyelesaian  numerik dimana tekanan seragam pada kondisi inisial hanya  berlaku  sebagai  input  untuk menghasilkan  distribusi  tekanan  pada  time level berikutnya.

## Gambar 3. Kurva Distribusi Tekanan Normal Vs Down Scale
Sebagai  bentuk  pendekatan  maka  diberi- kan penyelesaian secara numerik dan mem- iliki galat pemotongan yang tetap tinggal da- lam solusi. Nilai galat ini salah satunya diten- tukan oleh ukuran diskretisasi, semakin kecil ukuran  diskretisasi  maka  galat  pemotongan semakin kecil. Pada Gambar 4, disajikan per- bandingan solusi PINN dengan dua solusi nu- merik,  yaitu coarse  grid dan fine  grid .  Pada overlay kurva solusi PINN dengan solusi nu- merik coarse grid terlahat perbedaan antara kedua  kurva  meskipun  selisih  nilai  relative kecil.  Sedangkan  pada  overlay  solusi  PINN dengan solusi fine grid terlihat kedua  kurva tepat  saling  berhimpitan.  Dengan  demikian
dapat disimpulkan bahwa solusi PINN mem- iliki akurasi yang cukup tinggi apabila traing yang dilakukan dapat mencapai nilai konver- gensi.
Penyelesaian menggunakan metode PINN memerlukan  pelatihan  JST  untuk  mem- peroleh solusi yang konevergen. Dimana da- lam  training  tersebut  dilakukan  minimasi nilai loss function secara terus terus menerus menggunakan  optimasi  orde  kedua  L-BFGS sampai diperoleh kondisi stopping rule sesuai dengan parameter optimizer. JST hasil train- ing  ini  masih  dapat  di-training  ulang menggunakan  optimizer  yang  sama,  baik dengan atau tanpa melakukan perubahan pa- rameter optimasi.
Gambar 4. Kurva Distribusi Tekanan solusi PINN Vs Numerik: (atas) Coarse Grid (bawah) Fine Grid
Gambar  5  dibawah  ini  menunjukkan  be- berapa pencapaian training pada saat traing ke-1, 10, 50, 250, 500 dan 750. Kurva distri- busi tekanan hasil training di-overlay dengan kurva  solusi  numerik  untuk  menujukkan akurasi dari solusi PINN pada setiap langkah perulangan training. Solusi PINN hasil train- ing pertama masih menghasilkan kurva yang terdistorsi  jika  dibandingkan  dengan  solusi numerik terutama pada 𝑡 < 0.6 dan semakin kecil  nilai 𝑡 distorsinya  makin  besar.  Se- dangkan  pada 𝑡 ≥ 0.6 tekah  menghasilkan
kuva  yang  cukup  baik.  Jika  training  diulang sampai perulangan ke-10 akan didapat kurva solusi  PINN  yang  sesuai  dengan  solusi  nu- merik  pada 𝑡 > 0.2 .  Pada  perulangan  ke-50 konvergensi yang dihasilkan cukup baik pada 𝑡 > 0.1 . Semakin kecil loss function maka laju konvergensi semakin lambat, terlihat pada ti- tik  disekitar 𝑥 = 0 dan 𝑡 = 0 masih  terjadi distorsi  bahkan  sampai  perulangan  ke-750. Kurva distribusi tekanan yang lebih detil pada 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.1 hasil  training  ke-750  disajikan pada Gambar 6.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Gambar 5. Kurva Distribusi Tekanan solusi PINN Vs Numerik pada beberapa training: (1) ke-1 (2) ke-5 (3) ke-50 (4) ke-250 (5) ke-500 (6) ke-700
Gambar 6. Kurva Distribusi Tekanan solusi PINN Vs Numerik pada 0 < 𝑡 < 0.1
Gambar 7. Kurva Distribusi Tekanan solusi PINN Vs Numerik pada 0 < 𝑡 < 2
Jaringan  syaraf  tiruan  umumnya  akan memberikan  solusi  pada  sepanjang  domain pelatihan  sehingga  model  dianggap  valid hanya pada domain tersebut, seperti tampak pada Gambar 6. Meskipun begitu pada kasus- kasus sederhana domainnya dapat diperluas diluar  domain  pelatihan  sepanjang  tidak melewati  kondisi  batas,  seperti  ditampilkan dalam  Gambar  7.  Dalam  kasus  ini  domain dapat  diperluas  pada  domain 𝑡 > 1 dengan tetap memberikan solusi yang relative masih dapat diterima tanpa dilakukan training pada domain waktu 𝑡 > 1 .

## 5. Kesimpulan
Salah satu aspek yang menantang dari sim- ulasi  reservoir  hidrokarbon  adalah  me- nangani fenomena aliran fluida yang biasanya digambarkan  dengan  PDE  nonlinier  orde kedua.  Pemahaman  yang  tepat  tentang bagaimana fluida mengalir dalam media ber- pori  dapat  diperoleh  secara  matematis  me- lalui  solusi  numerik  dari  PDE  yang  pada umumnya menerapkan solver nonlinier. Pen- dekatan klasik untuk kasus ini adalah dengan diskretisasi dan linierisasi yang
menghasilkan solusi yang mengandung galat pemotongan ( truncation error ). Berdasarkan studi  yang  dilakukan  untuk  menyelesaikan
PDE secara numerik, PINN telah diimplemen- tasikan  untuk  menyelesaikan  persamaan aljabar  simultan  yang  dihasilkan  oleh prosedur diskritisasi. Pendekatan
penyelesaian menggunakan PINN cukup baik dan stabil untuk menyelesaikan kasus simu- lasi reservoir satu fasa satu dimensi. Oleh ka- rena  itu,  sangat  disarankan  untuk  me- manfaatkan  metode  ini  untuk  mengem- bangkan  penyelesian  kasus  simulasi  dengan dimensi  yang  lebih  tinggi  pada  aliran  fluida multifasa.

## References
[1] Ahmed,  Tarek. “ Reservoir  Engineering Handbook”. Gulf Professional Publishing, Oxford, 337 – 339. 2010.
[2] Ebadi, M., Bezyan, Y., Zabihifar, S. H. dan Koroteev,  D. “An  Artificial  Intelligence - Based Nonlinear Solver for Hydrocarbon Reservoir  Simulations”. 82nd  EAGE
Conference and Exhibition, 1-13. 2020.
[3] Deb,  P.  K.,  Akter,  F.,  Imtiaz,  S.  A.  dan Hossain,  M.  E.  “Nonlinearity  and SolutionTechniques in Reservoir Simulation: A Review”. Journal of Natural Gas Science and Engineering, 46, 845 – 64. 2017.
[4] Younis,  R.,  Tchelepi,  H.  A.  dan  Aziz,  K. “Adaptively  Localized  C ontinuation-
Newton Method-Nonlinear Solvers That Converge  All  the  Time”,  Society  of Petroleum  Engineers  Journal,  15,  526 – 44. 2010.
[5] Tompson, J., Schlachter, K., Sprechmann, P.  dan  Perlin,  K.  “Accelerating  Eulerian
Fluid  Simulation  With  Convolutional Network s”.  Proceedings  of  the  34th International  Conference  on  Machine Learning, Sydney AU, PMLR, 3424 – 3433. 2017.
[6] Lagaris,  E.,  Likas,  A.  dan  Fotiadis,  D.  I. “Artificial  neural  networks  for  solving ordinary and partial differential
equations”,  Transactions  of  Neu ral Network, 9, 987 – 1000. 1998.
[7] Raissi, M., Perdikaris, P. dan Karniadakis, G. E. “Physics -informed neural networks: A  deep  learning  framework  for  solving forward and inverse problems involving nonlinear partial diff erential equations”.
Journal  of  Computational  Physics,  378,
686 – 707. 2019.
[8] Zhu, Y., Zabaras, N., Koutsourelakis, P. S. dan  Perdikaris,  P.  “Physics -constrained deep  learning  for  high-dimensional surrogate  modeling  and  uncertainty quantification  without  labeled  data”, Journal  of  Computational  Physics,  394, 56 – 81. 2019.
[9] Fuks,  Olga.  dan  Tchelepi,  H.  A. “Limitations  of  physics  informed machine  learning  for  nonlinear  two- phase  transport  in  porous  media”, Journal  of  Machine  Learning  for Modeling and Computing, 1,19 – 37. 2020.
[10] Almajid, M., dan Oma r M. A.  “Prediction of  Fluid  Flow  in  Porous  Media  using Physics  Informed  Neural  Networks”, International  Petroleum  Exhibition  & Conference, Abu Dhabi, UAE. 2020.
[11] Lu,  L.,  Meng, X.,  Mao,  Z., Karniadakis,  G. “DeepXDE:  A  deep  learning  library  for solving  diff erential  equations”,  Society for  Industrial  and  Applied  Mathematics Review, 63, 208-228. 2020.