MODEL EPIDEMIK CAMPAK DENGAN ADANYA VAKSIN PADA POPULASI RENTAN DAN SUPPORT PADA POPULASI TEREKSPOSE
Tri Puspa Lestari 1)
Yuni Yulida 2)
Aprida Siska Lestia 3)
1,2,3) Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Lambung Mangkurat E-mail: y_yulida@ulm.ac.id

## ABSTRACT
Measles is a highly contagious disease and often occurs in children due to malnutrition, especially children with vitamin A deficiency and a weakened immune system. In addition to vaccination, the role of parents is needed in the form of support to control the development of the virus in the body. This measles disease can be modeled through  a  mathematical  model,  especially  epidemic  model.  This  study  aims  to  explain  the  formation  of  a mathematical model of measles, determine the equilibrium point, basic reproduction number, stability analysis, and to perform numerical simulations on the model. The research procedure begins with construct a model using a system of nonlinear differential equations. The basic reproduction number can be determined using the next generation  matrix  method  and  analysis  of  model  stability  using  the  linearization  method.  While  numerical simulation  has  been  carried out  using  the  fourth  order  Runge  Kutta  method.  The  result  of  this  study  is  the formation  of  a  mathematical  model  of  measles  with  a  population  consisting  of  four  compartments,  namely Susceptible, Exposed, Infected and Recovered. Disease control is carried out in the model, namely vaccines in the  Susceptible  population  and  support  measures  in  the  Exposed  population.  From  the  model  formed,  two equilibrium points are obtained, namely the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point. Furthermore, the basic reproduction number formula and analysis of the stability of the model at the disease- free equilibrium point and endemic equilibrium point are also obtained. Finally, a simulation model is presented to support stability analysis and comparison of solutions for the Infected population before being given control support and after being given control support with variations in vaccine percentages.
Keywords: Measles disease, mathematical model, equilibrium point, stability analysis, numerical simulation.

## ABSTRAK
Penyakit campak merupakan penyakit yang sangat menular dan sering terjadi pada anak akibat kekurangan gizi, terutama anak-anak dengan defisiensi vitamin A dan sistem kekebalan yang menurun. Selain vaksinasi diperlukan peran orang tua berupa dukungan dan tindakan support untuk mengendalikan perkembangan virus di dalam tubuh. Penyakit ini dapat dikaji penyebarannya melalui model epidemik. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan  terbentuknya  model  matematika  penyakit  campak,  menentukan  titik  ekuilibrium,  bilangan reproduksi  dasar,  analisis  kestabilan,  dan  melakukan  simulasi  numerik  pada  model.  Prosedur  penelitian  ini diawali dengan pembentukan model menggunakan sistem persamaan diferensial nonlinear. Bilangan reproduksi dasar  diperoleh  menggunakan  metode next  generation  matrix dan  analisis  kestabilan  model  menggunakan metode linearisasi. Sedangkan untuk simulasi numerik menggunakan metode Runge Kutta orde empat. Hasil penelitian  ini  adalah  terbentuknya  model  matematika  penyakit  campak  dengan  populasi  terdiri  dari  empat kompartemen yaitu Susceptible, Exposed, Infected dan Recovered . Pada model diberi kontrol penyakit melalui vaksin pada populasi Susceptible dan tindakan support pada populasi Exposed . Dari model yang terbentuk diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Selanjutnya,
diperoleh juga rumus bilangan reproduksi dasar dan hasil analisis kestabilan model pada titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Terakhir, disajikan simulasi model untuk mendukung analisis kestabilan dan perbandingan solusi untuk populasi Infected sebelum diberikan kontrol support dan sesudah adanya kontrol support dengan variasi persentasi vaksin.
Kata Kunci: Penyakit campak, model matematika, titik ekuilibrium, analisis kestabilan, simulasi numerik.

## PENDAHULUAN
Penyakit campak merupakan penyakit yang sangat menular. Campak disebut juga morbili atau measles yang  berasal  dari  virus  campak  ( family  Paramyxovirus , genus  Morbilivirus) yang menyebabkan infeksi pada sistem pernapasan dengan gejala bercak merah pada kulit orang yang terinfeksi. Penyakit campak menular dari orang ke orang melalui udara dan air liur yang dikeluarkan penderita saat batuk atau bersin yang memiliki tingkat serangan lebih dari 90% di antara orang-orang yang rentan (Bakare et al., 2012). Campak menjadi penyebab penting kematian anak-anak di seluruh dunia. Campak sering terjadi pada anak akibat kekurangan gizi, terutama anak-anak dengan defisiensi vitamin A dan anak-anak yang sistem kekebalannya menurun karena HIV/AIDS atau penyakit berat lainnya (Kemenkes RI, 2018).
Dalam penelitian (Kholisoh et al., 2012), penyakit campak dapat dicegah  dengan melakukan vaksinasi. Namun cakupan vaksinasi di seluruh dunia dengan dosis vaksin pertama masih mencapai 85% saat ini. Vaksin tersebut masih belum mendekati 95% yang diusulkan oleh Organisasi Kesehatan Dunia  (WHO)  yang  dibutuhkan  untuk  mencegah  terjadinya  wabah.  Akibatnya,  banyak  orang  di beberapa  daerah  masih  berisiko  tertular  penyakit  campak.  Selain  vaksinasi,  penyembuhan  dan penanganan penyakit campak juga perlu didukung dengan pemberian asupan makanan yang bergizi, banyak mimum air putih, memakai masker saat keluar rumah, memandikan anak setelah demam turun, dan istirahat yang cukup. Makanan yang bergizi dan tinggi serat berfungsi sebagai pendukung sistem imunitas tubuh agar semakin kebal terhadap virus penyakit campak. Oleh karena itu, diperlukan peran orang tua berupa tindakan support untuk mengendalikan perkembangan virus di dalam tubuh anak agar tidak menyebar ke organ vital lain, seperti otak dan paru (Haryanugroho, 2019).
Penyakit campak ini, dapat dikaji melalui model matematika yaitu model epidemik. Salah satu model epidemik adalah model SIR yang dirumuskan pertama kali oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Model SIR membagi populasi total menjadi 3, yaitu Susceptible (𝑆) yang menyatakan populasi rentan, Infected (𝐼) yang menyatakan populasi terinfeksi, dan Recovered (𝑅) yang mewakili populasi sembuh. Penyakit campak memiliki periode laten atau masa inkubasi yang merupakan masa ketika seseorang terjangkit penyakit campak untuk pertama kalinya. Periode tersebut menyebabkan kelas baru terbentuk yaitu kelas Exposed (𝐸) , sehingga model yang akan dianalisis pada penyebaran penyakit campak ini adalah model SEIR.
Beberapa peneliti yang telah melakukan penelitian tentang penyakit campak di antaranya adalah penelitian (Momoh et al., 2013) membahas mengenai model SEIR dengan melihat efek tindakan pada populasi terekspose. Akibatnya, jika lebih banyak individu pada masa inkubasi melakukan pengobatan dan  terapi  sebelum  dapat  menularkan  kembali,  penyakit  tidak  akan  mengalami  kondisi  endemik. Penelitian (Edward, 2015), memodifikasi model SEIR dengan menambahkan kompartemen vaksinasi dengan  memperhatikan adanya  proporsi  imigran  yang  telah  divaksin,  proporsi populasi  yang telah divaksin  dua  kali,  dan  laju  efektivitas  vaksin  yang  pertama.  Kemudian,  (Sowole  et  al.,  2019) membentuk  model  SEIR  dengan  adanya  tingkat  support  untuk  mengontrol  penyebaran  penyakit campak  pada  populasi  terekspose.  Selanjutnya,  (Ahaya  et  al.,  2020),  memodifikasi  model  yang
diusulkan oleh (Sowole et al., 2019) menjadi model SVEIR dengan menambahkan kompartemen yang telah divaksinasi dan tingkat infeksi ketika individu rentan mengalami kontak dengan individu terinfeksi.
Pada artikel ini, penulis membahas model matematika SEIR penyakit campak dengan kontrol pada kompartemen rentan yang divaksinasi sehingga kebal dan individu yang terekspose diberikan tindakan  support  sebelum  dapat  menularkan  individu  lain.  Penelitian  ini,  mengacu  pada  penelitian (Sowole et al., 2020). Pada bagian penelitian tersebut, titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar dan analisis kestabilan pada model ditentukan dengan menggunakan keadaan awal vaksin (laju vaksinasi sama dengan nol). Selanjutnya, bilangan reproduksi dasar tanpa pengaruh vaksinasi diterapkan untuk data  pada  negara  Nigeria . Berdasarkan  hal  tersebut,  penulis  melanjutkan  tulisan  tersebut  dengan menyajikan secara khusus dalam penentuan titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar dan analisis kestabilan  yang  memuat  laju  vaksinasi.  Kemudian,  Penulis  melakukan  simulasi  model  untuk mendukung dan memberikan visualisasi pada analisis kestabilan, memperlihatkan simulasi variasi nilai bilangan  reproduksi  dasar,    serta  menyajikan  pengaruh  adanya  tindakan support dan  variasi  laju vaksinasi terhadap pertambahan jumlah infeksi pada populasi.
METODE
Penelitian ini merupakan kajian teori, dimulai dari mempelajari model-model penyakit campak dan penelusuran teori pendukung dalam pemodelan matematika epidemiologi. Selanjutnya, bentuk model  epidemik  penyebaran  penyakit  campak  yang  digunakan  adalah  Model  Matematika  yang dipaparkan  (Sowole et  al., 2020).   Dari  model  yang terbentuk,  ditentukan  titik  ekuilibrium  berupa solusi konstan dari model, dan bilangan reproduksi dasar ditentukan dengan metode matriks next generation (Driessche &  Watmough, 2008) , (Karim  & Yulida,  2021) . Kemudian , dilakukan  analisis kestabilan menggunakan metode linearisasi (menggunakan deret Taylor) di sekitar titik ekuilibrium dan diperoleh Matriks Jacobian (Taylor & Bhathawala, 2012), (Martcheva, 2015), (Jamil et al., 2023). Selanjutnya,  jika  nilai  eigen  Matriks  Jacobian  tersebut  sulit  ditentukan  secara  langsung  maka digunakan kriteria Routh Hurwizt (Khadijah et al., 2021). Terakhir disajikan simulasi yaitu solusi model dengan  menggunakan  metode  Runge  Kutta  orde  empat  (Zill  &  Cullen,  2009),  (Mulyono,  2016), (Lestari et al., 2021). Simulasi yang disajikan, pertama, menyajikan grafik bilangan reproduksi dasar dengan variasi kontrol, kedua menyajikan grafik solusi model dengan parameter yang digunakan memenuhi syarat pada analisis kestabilan, dan ketiga, menyajikan grafik perbandingan jumlah infeksi dengan adanya pengaruh tindakan support dan memberikan variasi laju vaksinasi.
Kajian  perkiraan  (estimasi)  bilangan  reproduksi  dasar  untuk  model  penyakit  campak  dapat dipelajari pada artikel (Guerra et al., 2017). Artikel tersebut memaparkan bahwa dari 18 literatur yang telah dikaji dapat disimpulkan bahwa terdapat 58 perkiraan untuk bilangan reproduksi dasar pada penyakit campak. Hasil perkiraan tersebut terdiri dari 10 literatur mengestimasi bilangan reproduksi dasar  dalam  kisaran  12 – 18  (nilai  ini  yang  sering  digunakan/dikutip);  16  literatur  mengestimasi bilangan  reproduksi  dasar  berada  di  atas  kisaran  12 – 18;  27  literatur  mengestimasi  bilangan reproduksi dasar berada di bawah kisaran 12 – 18, dan 5 literatur mengestimasi bilangan reproduksi dasar sesuai dengan yang dilaporkan oleh Anderson dan May dalam rentang 12.1-18. Artikel ini juga menjelaskan  bilangan  reproduksi  dasar  sangat  bervariasi  untuk  setiap  negara  sehingga  sangat penting untuk melakukan estimasi bilangan reproduksi dasar secara lokal untuk setiap negara atau daerah.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model matematika penyebaran penyakit campak dibangun berdasarkan kompartemen populasi sebagaimana  penjelasan  pada  Gambar  1.  Berdasarkan  penjelasan  gambar  tersebut,  maka  model matematika penyebaran penyakit campak mengikuti Model epidemik SEIR . Empat kompartemen pada model tersebut terdiri dari kompartemen rentan ( Susceptible ) adalah individu yang sehat tetapi rentan terjangkit  penyakit  campak  disimbolkan 𝑆(𝑡) ,  kompartemen  terekspose  ( Exposed )  adalah  individu yang terpapar dan belum bisa menularkan disimbolkan 𝐸(𝑡) , kompartemen terinfeksi (Infected) berisi individu yang telah terinfeksi virus campak dan dapat menularkan disimbolkan 𝐼(𝑡) , dan kompartemen sembuh dan kebal ( Recovered ), adalah individu yang telah sembuh dari infeksi dan individu yang kebal dari  virus  setelah  divaksin  disimbolkan 𝑅(𝑡) .  Dalam  rangka  mengurangi/menghambat  penularan penyakit campak dalam populasi dapat diberikan kontrol vaksin dan tindakan support pada model. Kontrol vaksin diberikan pada kompartemen rentan dan tindakan support diberikan pada populasi yang terekspose. Pemberian perlakuan kontrol pada model, diharapkan penyakit campak dapat diberantas dalam waktu lebih singkat . Parameter tindakan support pada dasarnya cukup sulit diukur, tetapi pada penelitian (Sowole et al., 2019) memberikan gambaran bahwa dalam memperhitungkan hal tersebut, Peneliti mengambil negara Senegal sebagai studi kasus, peneliti melihat efek tindakan support sebagai ukuran kontrol pada populasi terekspose. Jika lebih banyak orang pada periode terekspose diberikan tindakan support maka akan menurunkan penyebaran penyakit tersebut dan akan berkurang dalam waktu yang lebih singkat.
Diberikan diagram alir Model epidemik penyebaran penyakit campak pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1. Diagram alir Model epidemik penyebaran penyakit campak Sumber (Sowole et al., 2020)
Berdasarkan  diagram  alir  di  atas,  Model  matematika  penyakit  campak  dengan  kontrol  pada kompartemen rentan dan terekspose dinyatakan sebagai
𝑑𝑆 𝑑𝑡 =  𝑏 − 𝛽𝑆𝐼 − (𝑣 + 𝜇)𝑆
(1)
𝑑𝐸 𝑑𝑡 =  𝛽𝑆𝐼 − (𝜇 +  𝛼 + 𝜎)𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛼𝐸 − (𝜇 + 𝛾)𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑣𝑆 + 𝛾𝐼 + 𝜎𝐸 − 𝜇𝑅
dengan
𝑏 : laju kelahiran (diasumsikan konstan per satuan waktu)
𝑣 : laju individu rentan yang divaksinasi 𝜇 : laju kematian alami 𝛽 : laju penularan penyakit
𝛾 : laju kesembuhan
𝜎 : laju individu terekspose yang diberikan tindakan support
𝛼 : laju individu terekspose menjadi terinfeksi
𝑁 : total jumlah populasi yaitu 𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐸(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) dan semua nilai parameter 𝑏, 𝑣, 𝜇, 𝛽, 𝛾, 𝜎 , 𝛼 ≥ 0 . (Sowole et al., 2020)
Perubahan  total  populasi  terhadap  waktu  dapat  ditentukan  berdasarkan  Persamaan  (1) diperoleh
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝑑𝐸 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑏 − 𝜇𝑁 atau 𝑑𝑁 𝑑𝑡 + 𝜇𝑁 = 𝑏 (2)
Persamaan (2) merupakan Persamaan diferensial linier orde satu yang memiliki solusi berupa
𝑁(𝑡) = 𝑒 − ∫ 𝜇𝑑𝑡 (∫ 𝑏 𝑒 ∫ 𝜇𝑑𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 ∗ ) = 𝑒 −𝜇𝑡 ( 𝑏 𝜇 𝑒 𝜇𝑡 + 𝐶 ∗ ) = 𝑏 𝜇 + 𝐶 ∗ 𝑒 −𝜇𝑡 dengan 𝐶 ∗ konstanta
Jika pada saat 𝑡 = 0 (total populasi 𝑁(0) ) maka dapat diperoleh nilai 𝐶 ∗ = 𝑁(0) − 𝑏 𝜇 , sehingga Solusi  Persamaan  (2)  menjadi 𝑁(𝑡) = 𝑏 𝜇 + (𝑁(0) − 𝑏 𝜇 ) 𝑒 −𝜇𝑡 = 𝑁(0)𝑒 −𝜇𝑡 + 𝑏 𝜇 (1 − 𝑒 −𝜇𝑡 ) . Berdasarkan  solusi  ini,  maka  total  populasi  tidak  bernilai  konstan  (berubah  terhadap  waktu 𝑡) . Selanjutnya, untuk 𝑡 → ∞ diperoleh bahwa lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = 𝑏 𝜇 , (total populasi konvergen ke 𝑏 𝜇 ). Artinya jika total populasi awal yang diketahui lebih dari 𝑏 𝜇 maka dari waktu ke waktu total populasi akan turun dan akhirnya konvergen ke 𝑏 𝜇 . Kemudian, jika total populasi awal yang diketahui kurang dari 𝑏 𝜇 maka dari waktu ke waktu total populasi akan naik dan akhirnya konvergen ke 𝑏 𝜇 .

## Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar
Titik  ekuilibrium  pada  Persamaan (1) dapat  ditentukan  dengan  cara  menyelesaikan  Sistem 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0 atau ditulis menjadi
𝑏  −  𝛽𝑆𝐼  −   (𝑣  +  𝜇)𝑆 = 0 (3)
𝛽𝑆𝐼  −   (𝜇  +  𝛼  +  𝜎)𝐸 = 0 𝛼𝐸 − (𝜇 + 𝛾)𝐼 = 0 𝑣𝑆 + 𝛾𝐼 + 𝜎𝐸 − 𝜇𝑅 = 0

## Jika Sistem (3) diselesaikan maka diperoleh
1. Titik 𝑃 0 = (𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑅 0 ) , dengan 𝑆 0 = 𝑏 𝑣+𝜇 , 𝐸 0 = 𝐼 0 = 0 dan 𝑅 0 = 𝑣𝑏 𝜇(𝑣+𝜇) , selanjutnya titik ini kita sebut sebagai titik ekuilibrium bebas penyakit.
2. Titik 𝑃 1 = (𝑆 1 , 𝐸 1 , 𝐼 1 , 𝑅 1 ), dengan 𝑆 1 = (𝜇+𝛾)(𝜇+𝛼+𝜎) 𝛽𝛼 , 𝐸 1 = 𝑏 𝜇+𝛼+𝜎 [1 − 1 𝑅 𝑣 ] , 𝐼 1 = 𝛼𝑏
(𝜇+𝛾)(𝜇+𝛼+𝜎) [1 − 1 𝑅 𝑣 ] dan 𝑅 1 = 𝑣(𝜇+𝛾)(𝜇+𝛼+𝜎) 𝜇𝛽𝛼 + 𝑏 𝜇(𝜇+𝛼+𝜎) ( 𝛼𝛾 𝜇+𝛾 + 𝜎) [1 − 1 𝑅 𝑣 ] , selanjutnya titik ini kita sebut titik ekuilibrium endemik .
Nilai 𝑅 𝑣 merupakan  bilangan  reproduksi  dasar  dengan  adanya  pengaruh  vaksinasi  dari Persamaan  (1).  Langkah-langkah  menentukan  rumusan 𝑅 𝑣 menggunakan  Metode matriks  next generation sebagai berikut.
a. Pada  Persamaan  (1),  populasi 𝒙 = [ 𝐸 𝐼 ] ∈ ℝ 2 yaitu  populasi  yang  telah  terinfeksi  dan 𝒚 =
[ 𝑆 𝑅 ] ∈ ℝ 2 yaitu  populasi  yang  tidak  terinfeksi.  Pada  Persamaan  (1)  yang  merupakan  kelas populasi yang terinfeksi penyakit campak adalah
𝑑𝒙 𝑑𝑡 = [ 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝐼 𝑑𝑡 ] = 𝓛 − 𝓜 , dengan 𝓛 = [ 𝛽𝑆𝐼 0 ] dan 𝓜 = [ (𝜇 + 𝛼 + 𝜎)𝐸 (𝜇 + 𝛾)𝐼 − 𝛼𝐸 ]
b. Matriks Jacobian dari 𝓛 dan 𝓜 di sekitar titik ekuilibrium 𝑃 0 dinyatakan secara berturut-turut
𝑳 = [ 0 𝛽 𝑏 𝑣+𝜇 0 0 ] dan 𝑴 = [ (𝜇 + 𝛼 + 𝜎) 0 −𝛼 (𝜇 + 𝛾) ]
c. Matrix next generation dinyatakan dengan matriks 𝑵 , yaitu
𝑵 = 𝑳𝑴 −𝟏 = [ 𝑏𝛼𝛽
(𝑣 + 𝜇)(𝜇 + 𝛼 + 𝜎)(𝜇 + 𝛾)
𝑏𝛽 (𝑣 + 𝜇)(𝜇 + 𝛾) 0 0 ]
d. Nilai eigen dari Matriks 𝑵 adalah 𝜆 1 = 0 dan 𝜆 2 = 𝑏𝛼𝛽 (𝑣+𝜇)(𝜇+𝛼+𝜎)(𝜇+𝛾) .
e. Bilangan reproduksi dasar (dengan adanya vaksinasi, 𝑣 > 0 ) merupakan nilai eigen dominan dari matriks 𝑵 yaitu 𝑅 𝑣 = 𝑏𝛼𝛽 (𝑣+𝜇)(𝜇+𝛼+𝜎)(𝜇+𝛾) . Selanjutnya,  bilangan  reproduksi  dasar  tanpa melibatkan vaksinasi (𝑣 = 0) dapat dinyatakan sebagai 𝑏𝛼𝛽
𝜇(𝜇+𝛼+𝜎)(𝜇+𝛾) .

## Analisis Kestabilan Model
Analisis  kestabilan  pada  Persamaan  (1)  dilakukan  menggunakan  metode  linearisasi  karena model tersebut merupakan Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier. Matriks Jacobian yang diperoleh melalui linearisasi Persamaan (1) sebagai berikut.
𝑱 = [ −𝛽𝐼 − (𝑣 + 𝜇) 0 −𝛽𝑆 𝛽𝐼 −(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) 𝛽𝑆 0 𝑣 𝛼 𝜎 −(𝜇 + 𝛾) 𝛾 0 0 0 −𝜇 ] (4)
Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (4) diperoleh matriks Jacobian di titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu
𝑱(𝐸 0 ) = [ −(𝑣 + 𝜇) 0 −𝛽 𝑏 𝑣 + 𝜇 0 0 −(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) 𝛽 𝑏 𝑣 + 𝜇 0
0 𝑣 𝛼 𝜎 −(𝜇 + 𝛾)       0 𝛾 −𝜇]
(5)
Persamaan karakteristik (Anton et al., 2019) dari Persamaan (5) diperoleh
| | −(𝑣 + 𝜇) − 𝜆 0 −𝛽 𝑏 𝑣 + 𝜇 0 0 −(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) − 𝜆 𝛽 𝑏 𝑣 + 𝜇 0
0 𝑣 𝛼 𝜎 −(𝜇 + 𝛾) − 𝜆           0 𝛾             −𝜇 − 𝜆 | | = 0 (6)
Akar-akar  persamaan  karakteristik  dari  Persamaan  (6)  ditentukan  menggunakan  ekspansi kofaktor diperoleh 𝜆 1 = −𝜇 , 𝜆 2 = −(𝑣 + 𝜇) , sedangkan 𝜆 3 dan 𝜆 4 diperoleh melalui Persamaan (7) berikut
𝑎 0 𝜆 2 + 𝑎 1 𝜆 + 𝑎 2 = 0 (7)
dengan 𝑎 0 = 1, 𝑎 1 = (𝜇 + 𝛼 + 𝜎) + (𝜇 + 𝛾) > 0 dan 𝑎 2 = (𝜇 + 𝛼 + 𝜎)(𝜇 + 𝛾)(1 − 𝑅 𝑣 ) > 0 jika 𝑅 𝑣 < 1 .  Persamaan  (7)  dapat  dibentuk  matriks  Hurwizt  dan  dapat  diselidiki  bahwa ∆ 1 = |𝑎 1 | > 0 dan ∆ 2 = | 𝑎 1 0 𝑎 0 𝑎 2 | = 𝑎 1 𝑎 2 > 0 (karena ∆ 1 > 0 dan 𝑎 2 > 0 ). Selanjutnya, berdasarkan Kriteria Routh Hurwizt, Persamaan (7) memiliki 𝑅𝑒(𝜆 3,4 ) < 0 dan disimpulkan bahwa, titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 0 stabil asimtotik lokal jika 𝑅 𝑣 < 1 .
Berdasarkan Persamaan (4), Matriks Jacobian di titik ekuilibrium endemik sebagai berikut.
𝑱(𝐸 1 ) = [ −(𝜇 + 𝑣)𝑅 𝑣 0 − (𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) 𝛼 0
(𝜇 + 𝑣)(𝑅 𝑣 − 1) −(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) (𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) 𝛼 0
0 𝑣 𝛼 𝜎 −(𝜇 + 𝛾)              0 𝛾                  −𝜇 ] (8)
Persamaan karakteristik dari Persamaan (8) adalah
| | −(𝜇 + 𝑣)𝑅 𝑣 − 𝜆
0 − (𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) 𝛼 0
(𝜇 + 𝑣)(𝑅 𝑣 − 1) −(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) − 𝜆 (𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) 𝛼 0
0 𝑣 𝛼 𝜎 −(𝜇 + 𝛾) − 𝜆      0 𝛾             −𝜇 − 𝜆 | | = 0 (9)
Akar-akar persamaan karakteristik dari Persamaan (9) ditentukan menggunakan ekspansi kofaktor dan diperoleh 𝜆 1 = −𝜇 , sedangkan untuk 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 ditentukan melalui Persamaan (10) berikut.
𝑎 0 𝜆 3 + 𝑎 1 𝜆 2 + 𝑎 2 𝜆 + 𝑎 3 = 0 (10)
dengan
𝑎 0 = 1, 𝑎 1 = (𝜇 + 𝑣)𝑅 𝑣 + (𝜇 + 𝛾) + (𝜇 + 𝛼 + 𝜎) > 0, 𝑎 2 = (𝜇 + 𝑣)𝑅 𝑣 [(𝜇 + 𝛾) + (𝜇 + 𝛼 + 𝜎)] > 0 dan 𝑎 3 = 𝛽𝛼𝑏 (1 − 1 𝑅 𝑣 ) jika 𝑅 𝑣 > 1 .
Persamaan (10) dapat dibentuk matrik Hurwizt dan dapat diselidiki bahwa
a. ∆ 1 = |𝑎 1 | = (𝜇 + 𝑣)𝑅 𝑣 + (𝜇 + 𝛾) + (𝜇 + 𝛼 + 𝜎) > 0
b. ∆ 2 = | 𝑎 1 𝑎 3 1 𝑎 2 | = 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 = (𝜇 + 𝑣) 2 𝑅 𝑣 2 [(𝜇 + 𝛾) + (𝜇 + 𝛼 + 𝜎)] + (𝜇 + 𝑣)𝑅 𝑣 [(𝜇 + 𝛾) + (𝜇 + 𝛼 + 𝜎)] 2
+ (𝜇 + 𝑣)(𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛼 + 𝜎) > 0
c. ∆ 3 = | 𝑎 1 𝑎 3 𝑎 5 𝑎 0 𝑎 2 𝑎 4 0 𝑎 1 𝑎 3 | = 𝑎 3 (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 ) = 𝑎 3 ∆ 2 > 0 (karena ∆ 2 > 0 dan 𝑎 3 > 0 maka ∆ 3 > 0) .
Jadi  terbukti  bahwa ∆ 1,2,3 > 0 .  Selanjutnya,  berdasarkan  Kriteria  Routh  Hurwizt,  Persamaan  (10) memiliki 𝑅𝑒(𝜆 2,3,4 ) < 0 dan disimpulkan bahwa titik ekuilibrium endemik 𝐸 1 stabil asimtotik lokal jika 𝑅 𝑣 > 1 .

## Simulasi Numerik
Diberikan  nilai  awal  untuk  populasi Susceptible 𝑆(0) = 100 ,  populasi Exposed 𝐸(0) = 40 , populasi Infected 𝐼(0) = 15 , dan populasi Recovered 𝑅(0) = 10 . Selanjutnya, diberikan Tabel 1 merupakan nilai-nilai parameter yang digunakan dalam simulasi sebagai berikut.
Tabel 1. Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi Parameter Nilai Sumber 𝑏 2.03691 diasumsikan 𝑣 0; 0.25; 0.5; 0.75 diasumsikan 𝜇 0,01241 (Sowole et al., 2020) 𝛽 0,09091 (Sowole et al., 2020) 𝛾 0,14286 (Trottier & Philippe, 2012) 𝜎 0; 0,25; 0.5; 0.75 diasumsikan 𝛼 0,125 (Trottier & Philippe, 2012)
Berikut ini disajikan Gambar 2, pengaruh nilai parameter kontrol terhadap bilangan reproduksi dasar.
Gambar 2. Diagram batang bilangan reproduksi dasar dengan variasi kontrol
Pada Gambar 2, warna biru adalah bilangan reproduksi dasar yang dihitung menggunakan variasi tingkat vaksinasi (0; 0.25; 0.5; 0.75) dan menggunakan kontrol support yang tetap yaitu 25%. Jika pemberian vaksin ditingkatkan maka bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Kemudian warna abu-abu adalah bilangan reproduksi dasar yang dihitung menggunakan variasi tingkat support (0; 0.25; 0.5; 0.75) dan menggunakan kontrol vaksinansi yang tetap yaitu 25%. Jika tingkat support ditingkatkan  maka  bilangan  reproduksi dasar  semakin  menurun.  Tetapi,  jika  dilihat dari  perubahan bilangan reproduksi dasar, maka pemberian vaksin (yang meningkat) akan lebih efektif menyebabkan penurunan bilangan reproduksi dasar dibanding dengan pemberian tingkat support. Gambar 2 ini juga menjelaskan bahwa nilai bilangan reproduksi dasar cukup bervariasi sesuai kontrol yang diberikan pada  populasi,  khususnya  jika  kita  lihat  dari  pemberian  kontrol  vaksinasi.  Hal  ini  sejalan  dengan penjelasan pada artikel (Guerra et al., 2017) yang menyatakan bahwa jika kita ingin melihat seberapa besar  bilangan  reproduksi  dasar  untuk  penyakit  campak  maka  sangat  penting  untuk  melakukan estimasi bilangan reproduksi dasar sesuai data yang disajikan pada suatu negara/daerah.
Selanjutnya, disajikan simulasi model melalui grafik solusi pada Gambar 3, 4, 5 dan 6.  Simulasi model ini menggunakan nilai parameter pada Tabel 1 dengan memperhatikan syarat pada nilai 𝑅 𝑣 dan adanya  kontrol,  sebagai  visualisasi  dari  analisis  kestabilan  di  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dan endemik.
31.007 1.466 0.751 0.505 4.134 1.466 0.891 0.640 0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 0 0.25 0.5 0.75 Bi lan gan R e p ro d u ksi D asar nilai parameter kontrol Rv (dengan kontrol support 25%)
Rv (dengan kontrol vaksin 25%)
Gambar 3 . Simulasi di titik ekuilibrium 𝑃 1 , 𝑅 𝑣 = 1.466 > 1 , ketika 𝑣 = 0.25 dan 𝜎 = 0.25
Gambar 4. Simulasi di titik ekuilibrium 𝑃 0 , 𝑅 𝑣 = 0.751 < 1, 𝑣 = 0.5 dan 𝜎 = 0.25
Gambar 5 . Simulasi di titik ekuilibrium 𝑃 1 , 𝑅 𝑣 = 4.134 > 1 , ketika 𝑣 = 0.25 dan 𝜎 = 0
Gambar 6. Simulasi di titik ekuilibrium 𝑃 0 , 𝑅 𝑣 = 0.505 < 1, 𝑣 = 0.75 dan 𝜎 = 0.25
Pada Gambar 3 dan Gambar 5, diberikan kontrol dengan laju vaksin yang lebih rendah dibanding pada Gambar 4 dan Gambar 6. Simulasi pada Gambar 3 dan Gambar 5, menunjukkan bahwa jumlah individu dalam populasi terekspose dan terinfeksi selalu ada dalam populasi. Kemudian pada Gambar 3, 𝑅 v ≈ 1.5 artinya rata-rata satu individu yang telah terinfeksi dapat menghasilkan satu koma lima individu baru yang terinfeksi campak, dan pada Gambar 4, 𝑅 v ≈ 4 artinya rata-rata satu individu yang telah  terinfeksi  dapat  menghasilkan  empat  individu  baru  yang  terinfeksi  campak.  Nilai 𝑅 𝑣 > 1 menjelaskan  bahwa  infeksi  campak  dalam  populasi  akan  meningkat  dan  bertahan  dalam  populasi (grafik solusi model konvergen ke titik ekuilibrium endemik 𝑃 1 ). Pada Gambar 3, jika 𝑡 → ∞ maka nilai 𝑆, 𝐸, 𝐼 dan 𝑅 berturut-turut  konvergen  ke 𝑆 1 = 5.29 , 𝐸 1 = 1.67 , 𝐼 1 = 1.34 dan 𝑅 1 = 155.82 . Jadi dari waktu ke waktu total populasi konvergen ke 𝑁(𝑡) = 𝑏 𝜇 ≈ 164 individu. Hal ini juga berlaku pada Gambar 5.
Sedangkan simulasi pada Gambar 4 dan Gambar 6, menunjukkan bahwa, peningkatan laju vaksin pada  model  menyebabkan  jumlah  populasi recovered akan  meningkat,  populasi  terekspose  dan terinfeksi mengalami penurunan dan akhirnya menuju nol. Pada Gambar 4 dan Gambar 6, nilai 𝑅 𝑣 adalah 0.751 dan 0.505 berturut-turut kurang dari satu, hal ini dapat diartikan bahwa rata-rata satu individu yang telah terinfeksi menghasilkan kurang dari satu individu baru yang terinfeksi. Nilai 𝑅 𝑣 <
1 menjelaskan bahwa infeksi campak dalam populasi akan berkurang dan populasi akan terbebas dari penyakit campak (grafik solusi model konvergen ke titik ekuilibrium bebas penyakit 𝑃 0 ). Pada Gambar 4, jika 𝑡 → ∞ maka nilai 𝑆, 𝐸, 𝐼 dan 𝑅 berturut-turut konvergen ke 𝑆 0 = 3.98 , 𝐸 0 = 0 , 𝐼 0 = 0 dan 𝑅 0 = 160.13 . Jadi dari waktu ke waktu total populasi konvergen ke 𝑁(𝑡) = 𝑏 𝜇 ≈ 164 individu. Hal ini juga berlaku pada Gambar 6.
Berikut  diberikan  Gambar  7,  simulasi  model  tanpa  adanya  tindakan support pada  populasi terekspose dan diberikan laju vaksinasi yang bervariasi. Kemudian pada Gambar 8, simulasi model dengan adanya kontrol tindakan support sebebasr 25% dan diberikan laju vaksinasi yang bervariasi.
Gambar 7. Simulasi model untuk 𝜎 = 0 Gambar 8. Simulasi model untuk 𝜎 = 0.25
Berdasarkan  Gambar  7  dapat  dijelaskan  bahwa,  jika  tidak  diberikan  tindakan support pada populasi terekpose dan semakin tinggi vaksin yang diberikan pada populasi rentan, berakibat dapat menekan jumlah individu yang terinfeksi dari waktu ke waktu. Sedangkan dari Gambar 8 terlihat bahwa, jika 25% dari populasi terekpose diberikan tindakan support dan semakin tinggi tingkat vaksin yang diberikan pada populasi rentan, maka terjadi penurunan jumlah populasi terinfeksi yang lebih besar dibandingkan pada saat tidak diberikan tindakan support pada Gambar 7.

## SIMPULAN
Model matematika penyebaran penyakit campak yang dikemukakan merupakan model epidemik SEIR  dengan  adanya  kontrol  vaksin  pada  populasi  rentan  dan  tindakan support pada  populasi terkespose.  Dari  model  tersebut,  diperoleh  dua  titik  ekuilibrium  terdiri  dari  titik  ekuilibrium  bebas penyakit stabil asimtotik dengan syarat bilangan reproduksi dasar kurang dari satu dan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu. Jika tindakan support pada populasi terekspose tidak diberikan dan besar persentasi vaksin yang diberikan pada populasi rentan semakin besar maka dapat menyebabkan semakin berkurangnya jumlah populasi terinfeksi. Jadi, jika semakin tinggi laju kontrol (vaksin dan support ) yang diberikan maka jumlah populasi terekspose dan terinfeksi akan semakin berkurang sehingga populasi dapat terbebas dari penyakit campak dari waktu ke waktu.

## REFERENSI
Ahaya, S. O. S. P., Rahmi, E., & Nurwan, N. (2020). Analisis dinamik model SVEIR pada penyebaran penyakit  campak. Jambura  Journal  of  Biomathematics  (JJBM) , 1 (2),  57 – 64. https://doi.org/10.34312/jjbm.v1i2.8482
Anton, H., Rorres, C., & Kaul, A. (2019). Elementary Linear Algebra Applications Version (12th ed.).
Wiley.
Bakare, E. A., Adekunle, Y. A., & Kadiri, K. . (2012). Modelling and simulation of the dynamics of the transmission of measles. International Journal of Computer Trends and Technology , 3 (1), 174 – 178.
Driessche,  P.  Van  Den,  & Watmough,  J.  (2008).  Further  notes  on  the basic  reproduction  number.
Lecture Notes in Mathematics , 1945 , 159 – 178. https://doi.org/10.1007/978-3-540-78911-6_6 Edward, S. (2015). A Mathematical Model for Control and Elimination of the Transmission Dynamics
of Measles. Applied and Computational Mathematics , 4 (6), 396.
https://doi.org/10.11648/j.acm.20150406.12
Guerra, F. M., Bolotin, S., Lim, G., Heffernan, J., Deeks, S. L., Li, Y., & Crowcroft, N. S. (2017). The basic  reproduction  number  (R0)  of  measles:  a  systematic  review. The  Lancet  Infectious Diseases , 17 (12), e420 – e428. https://doi.org/10.1016/S1473-3099(17)30307-9 Haryanugroho, S. O. (2019). Perilaku orang tua terhadap penanganan penyakit campak pada anak- anak . https://doi.org/https://doi.org/10.31227/osf.io/qfe3s
Jamil, A. K., Yulida, Y., & Karim, M. A. (2023). Analisis Kestabilan dan Solusi Numerik pada Model SEIR untuk Penyakit Tuberkulosis. Epsilon: Jurnal Matematika Murni Dan Terapan , 17 (1), 14 – 29.
Karim, M. A., & Yulida, Y. (2021). Analisis Kestabilan dan Sensitivitas pada Model Matematika SEIRD dari  Penyebaran  Covid-19:  Studi  Kasus  di  Kalimantan  Selatan. Media  Bina  Ilmiah , 16 (5), 7003 – 7012.
Kemenkes  RI.  (2018). Situasi  Campak  dan  Rubella  di  Indonesia .  chrome- extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://d3v.kemkes.go.id/storage/download/pu sdatin/infodatin/imunisasi campak 2018.pdf
Khadijah, M., Yulida, Y., & Susanti, D. S. (2021). Model Mangsa-Pemangsa dengan Fungsi Respon Holling dan Pemanenan. Epsilon: Jurnal Matematika Murni Dan Terapan , 15 (2), 93 – 104. Kholisoh,  S.,  Waluya, S.  B.,  &  Kharis,  M.  (2012).  Model  epidemi  SEIR pada  penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi. Unnes Journal of Mathematics , 1 (2), 110 – 117.
Lestari, S. M., Yulida, Y., Lestia, A. S., & Karim, M. A. (2021). Stability analysis of a smoking behavior model. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 2106 (1). https://doi.org/10.1088/1742- 6596/2106/1/012025
Martcheva,  M.  (2015). An  Introduction  to  Mathematical  Epidemiology .  Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4899-7612-3
Momoh, A. A., Ibrahim, M. O., Uwanta, I. J., & Manga, S. B. (2013). Mathematical Model for Control of Measles Epidemiology. International Journal of Pure and Applied Mathematics , 87 (5), 707 – 718.
Mulyono.  (2016).  Kajian  Sejumlah  Metode  untuk  Mencari  Solusi  Numerik  Persamaan  Diferensial. Konferensi Nasional Penelitian Matematika Dan Pembelajarannya .
Sowole, S. O., Ibrahim, A., Sangare, D., & Lukman, A. O. (2020). Mathematical model for measles disease  with  control  on  the  susceptible  and  exposed  compartments. Open  Journal  of Mathematical Analysis , 4 (1), 60 – 75. https://doi.org/10.30538/psrp-oma2020.0053
Sowole, S. O., Sangare, D., & Ibrahim, A. A. (2019). On the existence, uniqueness, stability of solution and  numerical  simulations  of  a  mathematical  model  for  measles  disease. Adv-Math.Com ,
2019 (4), 84 – 111. http://adv-math.com/wp-content/uploads/2019/07/adv-manuscript.pdf.pdf Taylor, M. R., & Bhath awala, P. H. (2012). Linearization of Nonlinear Differential Equation by Taylor’s Series  Expansion  and  Use  of  Jacobian  Linearization  Process. International  Journal  of Theoretical and Applied Science , 4 (1), 36 – 38.
Trottier,  H.,  &  Philippe,  P.  (2012).  Deterministic  Modeling  Of  Infectious  Diseases:  Applications  To Measles And Other Similar Infections. The Internet Journal of Infectious Diseases , 2 (1), 1 – 10. https://doi.org/10.5580/89b
Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2009). Differential Equations with Boundary-Value Problems (Seventh, Issue C). Brooks/Cole Publishing Company, USA