## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i2.10136
Penghitungan Premi Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Generalized Linear Models dengan Distribusi Tweedie
Tri Andika Julia Putra 1 , Donny C. Lesmana 2* , I Gusti Putu Purnaba 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, IPB University, Jalan Meranti, Kampus IPB Dramaga 16680, Jawa Barat, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: donnylesmana@apps.ipb.ac.id

## ABSTRAK 1
Seorang  aktuaris  mempunyai  tugas  penting  dalam  menentukan  harga  premi  yang  sesuai untuk  setiap  nasabah  dengan  risiko  dan  karakteristik  yang  berbeda.  Banyak  variabel  yang dapat  mempengaruhi  harga  premi.  Oleh  karena  itu,  aktuaris  harus  mengetahui  variabel- variabel yang berpengaruh signifikan terhadap premi. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan  variabel  yang  dapat  mempengaruhi  besaran  premi  murni  menggunakan distribusi  campuran  dalam  menentukan  besarnya  premi  melalui Generalized  Linear  Models (GLM) serta menentukan model harga premi yang sesuai berdasarkan variabel-variabel yang mempengaruhinya.  Salah  satu  analisis  statistik  yang  dapat  digunakan  untuk  memodelkan premi asuransi adalah Generalized Linear Models . GLM merupakan perluasan dari model regresi klasik yang dapat mengakomodasi fleksibilitas untuk menggunakan beberapa distribusi data tetapi  terbatas  pada  distribusi  keluarga  eksponensial.  Dalam  model  GLM,  premi  diperoleh dengan  mengalikan  nilai  ekspektasi  bersyarat  dari  frekuensi  klaim  dan  biaya  klaim. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan diketahui bahwa frekuensi klaim dan besarnya klaim  mengikuti  distribusi  Tweedie.  Dari  kedua  model  tersebut  diketahui  bahwa  variabel yang  mempengaruhi  premi  murni  adalah  jumlah  anak,  pendapatan  per  bulan,  status pernikahan,  pendidikan,  pekerjaan,  penggunaan  kendaraan,  besarnya bluebook yang dibayarkan,  dan  jenis  kendaraan  nasabah.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model  GLM merupakan model yang representatif dan berguna bagi perusahaan asuransi.
Kata Kunci:
Premi Asuransi; Generalized Linear Models ; Frekuensi Klaim; Biaya Klaim; Distribusi Tweedie

## ABSTRACT
It is an important task for an actuary in determining the appropriate premium price for each customer with different risks and characteristics. Many variables can affect the premium price. Therefore, actuaries must  determine  the  variables  that  significantly  affect  the  premium.  The  purpose  of  this  study  is  to determine  the  variables  that  can  affect  the  amount  of  pure  premium  using  a  mixed  distribution  in determining  the  amount  of  premium  through  Generalized  Linear  Models  (GLM)  and  determine  the appropriate premium price model based on the variables that influence it. One of the statistical analyzes that can be used to model insurance premiums is the Generalized Linear Models. GLM is an extension of  the  classic  regression  model  that  can  accommodate  the  flexibility  of  its  users  to  use  multiple  data distributions but is limited to the exponential family distribution. In the GLM model, the premium is obtained by multiplying the conditional expected value of the frequency of claims and the cost of claims.
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 T. A. J. Putra, D. C. Lesmana, I. G. P. Purnaba | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 1 March 2021 | Accepted: 1 May 2021 | Online: 4 May 2021
Based on the research that has been done, it is known that the frequency of claims and the size of claims follow the Tweedie distribution. From the two models, it is known that the variables affecting the pure premium are the number of children, monthly income, marital status, education, occupation, vehicle use, the number of bluebooks paid, and the type of vehicle from the customer. This shows that the GLM model is a representative and useful model for the insurance company business.
Keywords:
Premiums of Insurance; Generalized Linear Models; Frequency of Claims; Cost of Claim; Tweedie Distribution
Format Sitasi:
T. A. J. Putra, D. C. Lesmana and I. G. P. Purnaba , “ Penghitungan Premi Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Generalized Linear Models dengan Distribusi Tweedie ,” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 2, pp. 115-127, 2021

## 1.  Pendahuluan
Asuransi  atau  pertanggungan  adalah  satu  perjanjian,  dengan  mana  seseorang penanggung mengikatkan diri pada tertanggung dengan menerima suatu premi, untuk memberikan  penggantian  kepadanya  karena  suatu  kerugian,  kerusakan  atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang mungkin akan dideritanya karena suatu peristiwa  yang  tak  tertentu  [1].  Peran  mendasar  dari  asuransi  adalah  memberikan perlindungan  finansial,  dimana  perlindungan  yang  diberikan  berupa  benefit  yang diperoleh dari premi yang dibayarkan oleh nasabah setiap satuan waktu selama masa tanggungan.  Berdasarkan  hal  tersebut  maka  menjadi  tugas  penting  bagi  seorang aktuaris untuk menentukan harga premi yang sesuai untuk nasabahnya sesuai dengan risiko dan karakteristiknya.
Salah satu metode yang dapat dilakukan dalam penentuan tarif premi adalah dengan mengalikan  nilai  harapan  bersyarat  dari  frekuensi  klaim  dengan  besarnya  klaim, dengan  mempertimbangkan  karakteristik  risiko  yang  diamati.  Klaim  adalah  sebuah permintaan  resmi  kepada  perusahaan  asuransi  untuk  meminta  pembayaran berdasarkan  ketentuan  perjanjian  [2].  Di  dalam  konteks  asuransi,  tertanggung  harus mengajukan  klaim  pada  pihak  penanggung  (perusahaan  asuransi)  pada  saat  terjadi kegagalan risiko. Namun, sebelum melakukan klaim kepada pihak penanggung, peserta asuransi diwajibkan untuk membayarkan premi.  Premi merupakan biaya yang harus dibayarkan  peserta  asuransi  kepada  perusahaan  asuransi  sesuai  dengan  polis  yang disepakati [3].
Penelitian  mengenai  frekuensi  klaim  dan  besarnya  klaim  sebagai  dasar  untuk menentukan besarnya premi asuransi kendaraan bermotor serta penggunaan distribusi tweedie  dengan generalized  linear  models telah  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti,  di antaranya,  Shi  [4]  menytakan  bahwa  frekuensi  klaim  secara  independen  mengikuti sebaran  tweedie  dan  memberikan  hasil  yang  baik  dengan  menggunakan generalized linear models . Frees [5] menyatakan bahwa pada perusahaan asuransi skor klaim yang diperoleh  dari  frekuensi  klaim  dan  besarnya  klaim  adalah  alat  yang  berguna  untuk menilai risiko kewajiban ketika terjadi kecelakaan pada asuransi kendaraan bermotor. David  [6]  memberikan  gambaran  umum  dalam  penggunaan generalized  linear  models untuk menghitung besarnya premi murni dari hasil perkalian nilai harapan frekuensi klaim dan nilai harapan dari besarnya klaim, dengan distribusi yang digunakan adalah distribusi Poisson untuk frekuensi klaim dan distribusi gamma untuk besarnya klaim. Iyit  [7]  memperlihatkan  penggunaan generalized  linear  models pada  bidang  yang  lain,
yaitu pada penentuan pasokan, transformasi dan konsumsi, impor dan ekspor bahan bakar  padat,  minyak,  gas,  listrik,  dan  energi  terbarukan  negara-negara  Uni  Eropa. Garrido  [8]  memeperlihatkan  bahwa  asusmsi  independensi  frekuensi  klaim  dengan besarnya klaim dapat dilonggarkan  dengan  pendekatan generalized  linear  models serta memasukan rating variable kadalam model sebagai modfikasi model yang digunakan. Fitrianti  [9]  menyatakan  bahwa  kesadaran  dan  kepedulian  masyarakat  terhadap banyaknya kecelakaan kendaraan sepeda motor merupakan faktor yang mempengaruhi banyaknya kecelakaan seperda motor menggunakan generalized linear models . Bonat [10] menyatakan bahwa perluasan berbentuk distribusi Poisson-Tweedie dapat membantu mengatasi dispersi pada data terhitung, dimana dispersi terjadi dikarenakan banyaknya angka  nol  yang  muncul  pada  data.  Sukono  [11]  memberikan  gambaran  penggunaan metode bayes untuk menghitung besarnya premi murni dengan menggunakan harapan frekuensi  klaim  dan  nilai  harapan  dari  besarnya  klaim,  dengan  distribusi  yang digunakan adalah distribusi Poisson untuk frekuensi klaim dan distribusi gamma untuk besarnya klaim. Debrabant [12] melakukan identifikasi terhadap titik hitam atau titik- titik dimana terjadi kecelakaan yang tidak biasa pada suatu daerah dengan menggunaan model  Poisson-tweedie,  yang  dapat  digunakan  untuk  mengambil  keputusan  dalam pencegahan  kecelakaan  di  masa  depan.  Saha  [13]  menerapkan  distribusi  Poisson- Tweedie dalam mengembangkan model frekuensi tabrakan, Distribusi Poisson-Tweedie menawarkan  kerangka  kerja  terpadu  untuk  memodelkan  data  jumlah  yang  terlalu menyebar, kurang tersebar, nol-inflasi, spasial, dan membujur, serta beberapa variabel respons  dari  jenis  yang  sama  atau  campuran.  Saha  juga  menyatakan  bahwa  pada distribusi  Tweedie  dengan  variabel  dispersi  yang  lebih  beragam  akan  menghasilkan hasil yag lebih baik jika menggunakan metode bayes. Li [14] menyatakan bahwa untuk data  yang  berukuran  besar, generalized  linear  models masih  bersifat  konsisten  dalam pemilihan variabel atau dapat dikataka bahwa generalized linear models dapat digunakan untuk data yang berukuran besar.
Pada studi sebelumnya  masih menggunakan variabel-variabel penjelas dan distribusi yang lazim digunakan dalam penentuan besarnya premi, sehingga minimnya justifikasi terhadap  variabel-variabel  yang  mempengaruhi  besarnya  premi.  Oleh  karena  itu, penelitian  ini  akan  menentukan  variabel-variabel  lain  yang  berpengaruh  terhadap besarnya premi, menggunakan distribusi campuran dalam menentukan besarnya premi melalui Generalized Linear Models (GLM) serta menentukan model harga premi yang sesuai  berdasarkan  variabel-variabel  yang  mempengaruhinya.  Penghitungan  harga premi dilakukan dengan cara mengalikan nilai ekspektasi dari frekuensi klaim dan nilai ekspektasi dari besarnya klaim. Penggunaan GLM dalam penentuan variabel-variabel yang  berpengaruh  didasari  karena  pada  praktiknya,  perusahaan  asuransi  akan menangani  volume  data  yang  besar  dan  perlu  diatasi  dengan  cara  yang  seefisien mungkin. Model aktuaria dapat membantu perusahaan asuransi untuk mengatasi data yang sangat banyak [15]. Selain dari itu, GLM merupakan pengembangan dari regresi linier,  sehingga  memungkinkan  pemodelan  perilaku  non  linier  tanpa  harus memperhatikan beberapa asumsi yang memberatkan sesuai dengan data yang ada [16]. Aspek ini sangat berguna untuk analisis asuransi umum, dikarenakan frekuensi klaim dan besarnya klaim tentunya dapat mengikuti sebaran distribusi yang lebih beragam. Dalam  penentuan  distribusi  dari  masing-masing  variabel  respon  seringkali  hanya dibatasi pada distribusi diskret untuk variabel frekuensi klaim, dan distribusi kontinu untuk variabel besarnya klaim. Namun pada nyatanya, pada perusahaan asuransi data yang diperoleh tidak hanya terpaut pada dua jenis distribusi tersebut saja, akan tetapi
memungkinkan  setiap  variabel  mengikuti  distribusi  campuran,  yang  terdiri  atas distribusi diskret dan distribusi kontinu. Dengan demikian, perlu dilakukan pembaruan dengan melakukan uji kecocokan distribusi campuran terhadap variabel respon yang digunakan  dan  melakukan  pemodelan  dengan  perilaku  non  linear  dalam  penentuan besarnya  premi,  agar  tercapainya  premi  yang  sesuai  dengan  masing-masing karakteristik nasabah.

## 2.  Metode
Pada  bagian  ini  dipaparkan  langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam  pelaksanaan penelitian. Penelitian diawali dengan melakukan rekapitulasi data dari variabel respon serta variabel penjelas yang akan digunakan. Setelah data dari kedua variabel diperoleh terlebih  dahulu  akan  dilakukan  pengujian  distribusi  untuk  masing-masing  variabel respon  yang  digunakan,  dimana  dalam  penentuan  distribusi  yang  mengikuti  data variabel  respon  akan  diperkuat  dengan  melakukan  uji  kesesuaian  distribusi. Berdasarkan  informasi  mengenai  distribusi  data  variabel  respon  akan  dilakukan pemodelan untuk masing-masing variabel respon. Model yang dihasilkan dari proses pembentukan  model  selanjutnya  akan  ditentukan  estimasi  parameter  dari  masing- masing  model,  lalu  diuji  signifikansi  parameter  dari  masing-masing  model.  Setelah model lengkap dengan setiap parameternya, maka model dari besarnya premi dapat ditentukan. Proses penelitian dilanjutkan dengan memberikan interpretasi dari model besarnya  premi  yang  diperoleh  dengan  tujuan  untuk  menarik  kesimpulan  dari penelitian yang telah dilakukan.

## 2.1. Generalized Linear Models (GLM)
Analisis regresi linier merupakan pemodelan dengan pendekatan secara statistik untuk menentukan  hubungan  linier  antara  variabel  satu  dengan  variabel  lainnya,  yaitu variabel  respon  (variabel  yang  dipengaruhi)  dengan  variabel  penjelas  (variabel penyebab). Pendekatan regresi secara teori mendapatkan hasil yang baik ketika variabel respon  berdistribusi  normal  dan  varians  data  (keragaman  data)  bernilai  konstan. Generalized  Linear  Models  (GLM)  dapat  mengatasi  ketika  variabel  respon  tidak berdistribusi  normal  dan  keragaman  data  bernilai  konstan  [16].  GLM  didefinisikan sebagai  perluasan  dari  regresi  linier  dengan  menggunakan  distribusi  keluarga eksponensial. Tujuan dari model GLM ini adalah untuk mengestimasi variabel respon (𝑌) yang bergantung pada penjelasan dari variabel-variabel penjelas (𝑋) .
Variabel  pengamatan 𝑌 yang  berdistribusi  keluarga  eksponensial  memiliki  fungsi peluang sebagai berikut [17]:
𝑓(𝑦|𝜃, 𝜙) = exp ( 𝑦𝜃 − 𝑏(𝜃) 𝜙 + c(𝑦, 𝜙)) ,   𝑦 ∈ 𝑆 (1)
dengan 𝑦 adalah  variabel  respon, 𝜃 adalah  parameter  kanonik, 𝜙 adalah  parameter skala, dan 𝑆 adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan asli (ℕ) atau bilangan real (ℝ) . Sedangkan 𝑏(𝜃) dan 𝑐(𝑦, 𝜙) adalah suatu fungsi yang diketahui. Pada distribusi keluarga eksponensial  berlaku: 𝐸(𝑦) = 𝑏 ′ (𝜃) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑦) = 𝜙𝑏"(𝜃) [17].
Penghitungan Premi Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Generalized Linear …
GLM  memiliki  tujuan  yang  sama  dengan  regresi  linier  pada  umumnya,  yaitu menentukan  nilai  harapan  bersyarat  dari  variabel  respon dengan  menggunakan data pengamatan  yang  sudah  ada.  Dalam  hal  ini,  akan  ditentukan  parameter 𝛽 1 , 𝛽 2 , … , 𝛽 𝑛 melalui fungsi hubung dari nilai rata-rata variabel penjelas (𝜇 𝑖 ) , yang dapat dituliskan sebagai kombinasi linier dari variabel penjelas 𝑥 𝑖 seperti berikut:
𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝛽 0 + ∑ 𝛽 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 = 𝒙 𝒊 𝑻 𝜷 = 𝜂 𝑖 ,   𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (2)
dengan 𝜷 = ( 𝛽 0 𝛽 1 … 𝛽 𝑛 ) adalah  vektor  kolom  yang  berukuran ((𝑛 + 1) × 1) , 𝒙 𝒊 = ( 1 𝑥 𝑖1 … 𝑥 𝑖𝑛 ) adalah  vektor  kolom  yang  berukuran ((𝑛 + 1) × 1) , 𝑛 adalah  banyaknya  variabel penjelas, 𝑚 adalah banyaknya amatan. Fungsi yang menghubungkan prediktor linier 𝜂 𝑖 dengan nilai 𝜇 𝑖 adalah fungsi 𝑔 , dengan 𝑔 adalah fungsi yang monoton dan terturunkan. Pada GLM (𝑔) disebut sebagai fungsi hubung. Pada penelitian ini, fungsi hubung yang digunakan adalah fungsi hubung kanonik 𝑔 , yaitu fungsi yang memenuhi persamaan 𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝜃 𝑖 [17].

## 2.2.  Distribusi Tweedie
Pada  distribusi  keluarga  eksponensial  juga  mencakup  distribusi  yang  merupakan campuran komponen diskret dan kontinu. Tweedie (1984) menyatakan bahwa dalam pemodelan klaim asuransi, distribusi campuran yang paling banyak digunakan adalah distribusi  Tweedie.  Distribusi  Tweedie  berguna  untuk  memodelkan  variabel  respon 𝑦 ≥ 0 [18].  Variabel  respon  yang  memiliki  distribusi  Tweedie  yang  termasuk  dalam keluarga  eksponensial  dapat  dimodelkan  dengan  menggunakan  pendekatan  GLM. Varian dari variabel respon terdistribusi Tweedie adalah
𝑉𝑎𝑟(𝑌) =  𝜙𝜇 𝑝 (3)
dengan 𝐸(𝑌) = 𝜇 adalah mean dari variabel respon, 𝜙 adalah parameter dispersi dan 𝑝 adalah  parameter  daya  varian  ekstra  di  atas mean dalam  varian  variabel  respon. Keluarga Tweedie dikenal sebagai kelas distribusi campuran [19]. Secara spesifik nilai parameter 𝑝 pada persamaan 3 diberikan dalam Tabel 1.
Tabel 1. Kasus khusus distribusi Tweedie 𝑝 Distribusi 𝑝 = 0 Normal 𝑝 = 1 Poisson 1 < 𝑝 < 2 Tweedie 𝑝 = 2 Gamma 𝑝 = 3 Inverse Gaussian Sumber: [20]
Distribusi Tweedie untuk 1  < 𝑝 < 2 adalah kasus khusus dari keluarga Tweedie dan kurang  terkenal dibandingkan  dengan  distribusi  lain  [21].  Fungsi  kepekatan  peluang distribusi Tweedie sebagai berikut:
𝑓 𝑆 (𝑦) = exp [ −1 𝜙 ( 𝜇 2−𝑝 2 − 𝑝 + 𝑦 (𝑝 − 1)𝜇 𝑝−1 ) + 𝑐(𝑦, 𝜙)] (4)
dengan 𝑐(𝑦, 𝜙) tidak memiliki bentuk analitik. Berdasarkan persamaan di atas diperoleh juga nilai harapan dan varian sebagai berikut:
𝐸(𝑌) = 𝜇      dan      𝑉𝑎𝑟 (𝑌) = 𝜙𝜇 𝑝 [22] [5]. (5)

## 2.3.  Penduga Kemungkinan Maksimum
Variabel  pengamatan 𝑌 yang  berdistribusi  keluarga  eksponensial  memiliki  fungsi peluang 𝑓(𝑦|𝜃, 𝜙) , sehingga diperoleh fungsi kemungkinannya sebagai berikut [17]:
𝐿(𝜃, 𝜙) = ∏ 𝑓(𝑦 𝑖 |𝜃, 𝜙) 𝑛 𝑖=1 = ∏ exp ( 𝑦 𝑖 𝜃 − 𝑏(𝜃) 𝜙 + 𝑐(𝑦 𝑖 , 𝜙)) 𝑛 𝑖=1
(6)
serta fungsi log-likelihood nya sebagai berikut:
𝐿𝐿(𝜃, 𝜙) = ln(𝐿(𝜃, 𝜙)) = 𝑛(𝑦̅𝜃 − 𝑏(𝜃)) 𝜙 + ∑ ln 𝑐(𝑦 𝑖 , 𝜙) 𝑛 𝑖=1 . (7)
Penduga kemungkinan maksimum dari 𝜃 dapat diperoleh dengan mencari 𝜃 dengan 𝑏′(𝜃) ≡ 𝜇 sama  dengan  rata-rata  sampel 𝑦̅ .  Jadi  untuk  setiap  distribusi  keluarga eksponensial berlaku 𝜇̂ = 𝑦̅ [17].

## 2.4.  Penghitungan Premi Murni Agregat
Premi murni adalah nilai harapan biaya klaim tahunan yang dinyatakan oleh pemegang polis  dan  diperoleh  dengan  mengalikan  nilai  harapan  frekuensi  klaim  dengan  nilai harapan  besarnya  klaim.  Perkiraan  frekuensi  klaim  dengan  besarnya  klaim  dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝐸 [∑ 𝐶 𝑖 𝑁 𝑖=1 ] = 𝐸[𝑁] × 𝐸[𝐶 𝑖 ] (8)
untuk besarnya klaim (𝐶 1 , 𝐶 2 , … , 𝐶 𝑁 ) yang saling bebas terhadap banyaknya klaim (𝑁) [8].

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1.  Implementasi Data
Pada  penelitian  ini  data  yang  digunakan  adalah  data  dari  salah  satu  perusahaan asuransi di Amerika Serikat. Data diperoleh dari situs kaggle.com, yang diunduh pada
tanggal  22  Oktober  2020.  Data  berisikan  mengenai  hal-hal  yang  berkaitan  dengan nasabah,  dengan  jumlah  data  sebanyak  10.302.  Namun,  ada  sebanyak  1663  data tersensor. Data tersensor adalah data yang diperoleh dari amatan yang tidak secara utuh [23],  sehingga  analisis  hanya  dilakukan  terhadap  8639  data.  Variabel-variabel  yang dianalisis  pada  penelitian  ini  adalah  jumlah  anak  nasabah,  umur  nasabah,  tahun menjadi nasabah, pendapatan per bulan, status pernikahan (2 kategori), jenis kelamin (2 kategori),  pendidikan  (5  kategori),  pekerjaan  (9  kategori),  lama  waktu  kendaraan digunakan,  penggunaan  kendaraan  (2  kategori),  pungutan  legal bluebook ,  umur kendaraan, mobil merah (2 kategori), dan tipe kendaraan (6 kategori).

## 3.2.  Pemodelan Frekuensi Klaim
Data frekuensi klaim diduga mengikuti salah satu distribusi diskret, akan tetapi setelah dilakukan fitting  distribution terhadap  distribusi  diskret  dengan  menggunakan  uji Anderson-Darling(A-D), data tidak mengikuti salah satu distribusi diskret. Berdasarkan hal tersebut dilakukan fitting distribution terhadap distribusi campuran Tweedie, dengan bantuan fungsi “tweedie.profile” pada software R.  Setelah dilakukan pengujian distribusi terhadap  data  frekuensi  klaim  dengan  bantuan software R,  diperoleh  nilai 𝑝 yaitu 1,132653.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  nilai 𝑝 berada  di  antara  1  dan  2,  atau  dapat dikatakan  bahwa  variabel  respon  frekuensi  klaim  mengikuti  sebaran  Tweedie. Selanjutnya dilakukan penentuan fungsi hubung terbaik, fungsi hubung terbaik adalah fungsi  hubung  dengan  hasil  AIC  terkecil.  Berdasarkan  uji  yang  dilakukan  diperoleh bahwa  fungsi  hubung log merupakan  fungsi  hubung  terbaik  dengan  nilai  AIC  = 20270,65.
Dengan menggunakan fungsi hubung log maka diperoleh model frekuensi klaim sebagai berikut:
𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝒙 𝒊 𝑻 𝜷 ↔    ln 𝜇 𝑖 = 𝒙 𝒊 𝑻 𝜷 ↔   𝜇 𝑖 = 𝑒 𝒙 𝒊 𝑻 𝜷 (9)
Dari  model  frekuensi  klaim  pada  persamaan  9  akan  diuji  kebaikan  model.  Uji yang digunakan  untuk  melihat  kebaikan  model  adalah  uji partial  likelihood  rasio. Uji  dilakukan dengan  menggunakan  bantuan software R,  hasil  pengujian  signifikansi  model  secara keseluruhan menunjukkan bahwa model signifikan dan layak digunakan karena p-value = 2,2 × 10 −16 < 0.05. Sedangkan  untuk  pengujian  secara  parsial,  dilakukan  uji  wald. Berdasarkan uji yang dilakukan,  variabel  jumlah  anak  nasabah,  pendapatan  per  bulan, status  pernikahan,  pendidikan,  pekerjaan,  penggunaan  kendaraan,  besarnya bluebook , dan  tipe  kendaraan  secara  signifikan  mempengaruhi  frekuensi  klaim.  Estimasi parameter dari masing-masing variabel disajikan pada Tabel 2.
Dari hasil uji wald yang tertera pada Tabel 2 diperoleh model frekuensi klaim sebagai berikut:
𝐸[𝑁 𝑖 ] = 𝜇 𝑓 = exp (𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 1 𝑖 + 𝛽 4 𝑥 4 𝑖 + 𝛽 5 𝑥 5 𝑖 + 𝛽 7 𝑥 7 𝑖 + ∑ 𝛽 8,𝑗 𝑥 8,𝑗 𝑖 9 𝑗=1 + 𝛽 10 𝑥 10 𝑖 + 𝛽 11 𝑥 11 𝑖 + ∑ 𝛽 12,𝑗 𝑥 12,𝑗 𝑖 6 𝑗=1 )
(10)
dengan 𝛽 0 adalah intercept , dan 𝛽 1 adalah parameter dari variabel jumlah anak, 𝑥 1 𝑖 adalah variabel jumlah anak nasabah ke- 𝑖 , 𝛽 4 adalah parameter dari variabel pendapatan per bulan, 𝑥 4 𝑖 adalah variabel perndapatan nasabah ke- 𝑖 (dalam $), 𝛽 5 adalah parameter dari variabel status pernikahan, 𝑥 5 𝑖 adalah variabel biner untuk status pernikahan nasabah ke- 𝑖 , dengan status pernikahan sudah menikah bernilai 0 dan untuk status pernikahan belum  menikah  bernilai 1 , 𝛽 7 adalah  parameter  dari  variabel  pendidikan, 𝑥 7 𝑖 adalah variabel  jenjang  pendidikan  nasabah  ke- 𝑖 ,  dengan  nasabah  yang  menempuh  jenjang pendidikan magister bernilai 1 dan yang lainnya bernilai 0 , 𝛽 8,𝑗 adalah parameter dari variabel pekerjaan untuk kategori ke- 𝑗 , 𝑥 8,𝑗 𝑖 adalah variabel jenis pekerjaan nasabah ke- 𝑖, dengan 𝑗 = 4, 6, dan 9 berturut-turut adalah pengacara, professional /ahli, dan pekerjaan lainnya bernilai 1 , sedangkan untuk nilai 𝑗 lainnya bernilai 0 , 𝛽 10 adalah parameter dari variabel penggunaan kendaraan, 𝑥 10 𝑖 variabel biner untuk jenis penggunaan mobil oleh nasabah ke- 𝑖 , dengan penggunaan komersial bernilai 0 dan pengunaan pribadi bernilai 1 , 𝛽 11 adalah  parameter  dari  variabel  besarnya bluebook , 𝑥 11 𝑖 adalah  variabel  besaran bluebook yang  dibayarkan  oleh  nasabah  ke- 𝑖 (dalam  $), 𝛽 12,𝑗 adalah  parameter  dari variabel tipe kendaraan untuk kategori ke- 𝑗 dan 𝑥 12,𝑗 𝑖 adalah variabel tipe mobil dari nasabah ke- 𝑖 , dengan 𝑗  =  2,4 dan 6 berturut-turut adalah panel truck , mobil sports , dan SUV bernilai 1, dan yang lainnya bernilai 0 .
Tabel 2 . Estimasi parameter model frekuensi klaim Sumber 𝜷 Std. Error p-value Intercept 0,0528166 0,1342234 0,693962 Jumlah anak 0,1186674 0,0290391 4,42e-05 Pendapatan per bulan -0,0010793 0,0003843 0,004989 Status pernikahan: belum menikah 0,2060592 0,0319151 1,13e-10 Pendidikan: Magister -0,2036201 0,0957677 0.033516 Pekerjaan: Pengacara 0,2147868 0,0985116 0,029261 Pekerjaan: Professional 0,1326934 0,0661551 0,044910 Pekerjaan: lainnya 0,3698516 0,1029445 0,000329 Penggunaan kendaraan: pribadi -0,2482142 0,0502653 8,04e-07 Bluebook -0,0098818 0,0027120 0,000270 Tipe kendaraan: Panel truck 0,1979704 0,0848804 0,019705 Tipe kendaraan: Sports car 0,3915279 0,0678376 8,13e-09 Tipe kendaraan: SUV 0,2379924 0,0585604 4,87e-05

## 3.3.  Pemodelan Besarnya Klaim
Sama halnya dengan frekuensi klaim, data besarnya klaim diduga mengikuti  salah satu distribusi kontinu, akan tetapi setelah dilakukan fitting distribution terhadap distribusi kontinu  dengan  menggunakan  uji  khi-kuadrat,  data  tidak  mengikuti  salah  satu distribusi  kontinu.  Berdasarkan  hal  tersebut  dilakukan fitting  distribution terhadap distribusi campuran Tweedie, dengan bantuan fungsi “tweedie.profile” pada software R. Setelah dilakukan pengujian distribusi terhadap data frekuensi klaim dengan bantuan software R, diperoleh nilai 𝑝 yaitu 1,757143. Hal ini menunjukkan bahwa variabel respon besarnya klaim mengikuti sebaran Tweedie. Selanjutnya dilakukan penentuan fungsi hubung terbaik, fungsi
Penghitungan Premi Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Generalized Linear …
hubung  terbaik  adalah  fungsi  hubung  dengan  hasil  AIC  terkecil.  Berdasarkan  uji  yang dilakukan diperoleh bahwa fungsi hubung log merupakan fungsi hubung terbaik dengan nilai AIC = 50428,61.
Dengan menggunakan fungsi hubung log maka diperoleh model frekuensi klaim sebagai berikut:
𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝒙 𝒊 𝑻 𝜸 ↔    ln 𝜇 𝑖 = 𝒙 𝒊 𝑻 𝜸 ↔   𝜇 𝑖 = 𝑒 𝒙 𝒊 𝑻 𝜸 (11)
Dari model frekuensi klaim pada persamaan 10 akan diuji kebaikan model. Uji yang digunakan untuk  melihat  kebaikan  model  adalah  uji partial  likelihood  rasio. Uji  dilakukan  dengan menggunakan  bantuan software R,  hasil  pengujian  signifikansi  model  secara  keseluruhan menunjukkan bahwa model signifikan dan layak digunakan karena p-value = 2,67 × 10 −9 < 0,05. Sedangkan  untuk  pengujian  secara  parsial,  dilakukan  uji  wald.  Berdasarkan  uji  yang dilakukan,  variabel  jumlah  anak  nasabah,  status  penikahan,  besarnya bluebook ,  dan  tipe kendaraan secara signifikan mempengaruhi besarnya klaim, yaitu variabel dengan nilai p-value kurang dari 0,05 . Estimasi parameter dari masing-masing variabel disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 . Estimasi parameter model besarnya klaim Sumber 𝜸 Std. Error p-value Intercept 3,3582030 0,4727858 1,32e-12 Jumlah anak 0,2849244 0,1041721 0,00625 Status menikah: belum menikah 0,3546937 0,1133211 0,00175 Bluebook -0,0286070 0,0095318 0,00270 Tipe kendaraan: Panel truk 0,8903729 0,3032908 0,00334 Tipe kendaraan: Pickup 0,5714183 0,1845274 0,00196 Tipe kendaraan: Sports car 0,5255360 0,2411837 0,02936 Tipe kendaraan: Van 0,6916264 0,2366763 0,00348 Tipe kendaraan: SUV 0,5538445 0,2015019 0,00600
Dari hasil uji wald yang tertera pada Tabel 3 diperoleh model frekuensi klaim sebagai berikut:
𝐸[𝐶 𝑖𝑘 ] = 𝜇 𝑐 = exp (𝛾 0 + 𝛾 1 𝑥 1 𝑖 + 𝛾 5 𝑥 5 𝑖 + 𝛾 11 𝑥 11 𝑖 + ∑ 𝛾 12,𝑗 𝑥 12,𝑗 𝑖 6 𝑗=1 ) (12)
dengan 𝛾 0 adalah intercept , dan 𝛾 1 adalah parameter dari variabel jumlah anak, 𝑥 1 𝑖 adalah variabel jumlah anak nasabah ke- 𝑖 , 𝛾 5 adalah parameter dari variabel status pernikahan, 𝑥 5 𝑖 adalah variabel biner untuk status pernikahan nasabah ke- 𝑖 , dengan status pernikaan sudah menikah bernilai 0 dan untuk status pernikahan belum menikah bernilai 1 , 𝛾 11 adalah  parameter  dari  variabel  besarnya  bluebook, 𝑥 11 𝑖 adalah  variabel  besaran bluebook  yang  dibayarkan  oleh  nasabah  ke- 𝑖 (dalam  $), 𝛾 12,𝑗 adalah  parameter  dari variabel tipe kendaraan untuk kategori ke- 𝑗 dan 𝑥 12,𝑗 𝑖 adalah variabel tipe mobil dari nasabah ke- 𝑖 , dengan 𝑗  =  2,3,4,5 dan 6 berturut-turut adalah panel truck , pickup , mobil sports , van dan SUV bernilai 1, dan yang lainnya bernilai 0 .

## 3.4.  Penghitungan Premi Murni Agregat
Penghitungan premi murni diperoleh dengan mengalikan nilai harapan dari frekuensi klaim dengan nilai harapan besarnya klaim, mengikuti persamaan berikut:
𝐸 [∑ 𝐶 𝑖𝑘 𝑁 𝑖 𝑘=1 ] = 𝐸[𝑁 𝑖 ] × 𝐸[𝐶 𝑖𝑘 ] = exp(𝜷 𝒕 𝒙) × exp(𝜸 𝒕 𝒙) = exp((𝜷 𝒕 + 𝜸 𝒕 )𝒙) (13)
Estimasi parameter untuk premi murni disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4 . Estimasi parameter model premi murni Sumber 𝜷 𝜸 𝜷 + 𝜸 Intercept 0,0528166 3,3582030 3,4110196 Jumlah anak 0,1186674 0,2849244 0,4035918 Pendapatan per bulan -0,0010793 - -0,0010793 Status menikah: belum menikah 0,2060592 0,3546937 0,5607529 Pendidikan: Magister -0,2036201 - -0,2036201 Pekerjaan: Pengacara 0,2147868 - 0,2147868 Pekerjaan: Professional 0,1326934 - 0,1326934 Pekerjaan: lainnya 0,3698516 - 0,3698516 Penggunaan kendaraan: pribadi -0,2482142 - -0,2482142 Bluebook -0,0098818 -0,0286070 -0,0384888 Tipe kendaraan: Panel truck 0,1979704 0,8903729 1,0883833 Tipe kendaraan: Pickup - 0,5714183 0,5714183 Tipe kendaraan: Sports car 0,3915279 0,5255360 0,9170639 Tipe kendaraan: Van - 0,6916264 0,6916264 Tipe kendaraan: SUV 0.2379924 0,5538445 0,7918369
Berdasarkan estimasi parameter premi murni yang dipaparkan pada Tabel 4 diperoleh model premi murni sebagai berikut:
𝐸 [∑ 𝐶 𝑖𝑘 𝑁 𝑖 𝑘=1 ] = exp ((𝛽 0 +   𝛾 0 ) + (𝛽 1 + 𝛾 1 )𝑥 1 𝑖 + 𝛽 4 𝑥 4 𝑖 + (𝛽 5 + 𝛾 5 )𝑥 5 𝑖 + 𝛽 7 𝑥 7 𝑖 + ∑ 𝛽 8,𝑗 𝑥 8,𝑗 𝑖 9 𝑗=1 + 𝛽 10 𝑥 10 𝑖 + (𝛽 11 + 𝛾 11 )𝑥 11 𝑖 + ∑(𝛽 12,𝑗 + 𝛾 12 , 𝑗)𝑥 12,𝑗 6 𝑗=1 ) (12)
dengan (𝛽 0 +   𝛾 0 ) adalah intercept , dan (𝛽 1 + 𝛾 1 ) adalah parameter dari variabel jumlah anak, 𝑥 1 𝑖 adalah variabel jumlah anak nasabah ke- 𝑖 , 𝛽 4 adalah parameter dari variabel pendapatan per bulan, 𝑥 4 𝑖 adalah variabel pendapatan nasabah ke- 𝑖 (dalam $), 𝛽 5 adalah parameter  dari  variabel  status  pernikahan, 𝑥 5 𝑖 adalah  variabel  biner  untuk  status pernikahan nasabah ke- 𝑖 , dengan status pernikahan sudah menikah bernilai 0 dan untuk status  pernikahan  belum  menikah  bernilai 1 , 𝛽 7 adalah  parameter  dari  variabel
Penghitungan Premi Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Generalized Linear …
pendidikan, 𝑥 7 𝑖 adalah variabel jenjang pendidikan nasabah ke- 𝑖 , dengan nasabah yang menempuh  jenjang  pendidikan  magister  bernilai 1 dan  yang  lainnya  bernilai 0 , 𝛽 8,𝑗 adalah parameter dari variabel pekerjaan untuk kategori ke- 𝑗 , 𝑥 8,𝑗 𝑖 adalah variabel jenis pekerjaan  nasabah  ke- 𝑖, dengan 𝑗 = 4, 6, dan 9 berturut-turut  adalah  pengacara, professional /ahli,  dan  pekerjaan  lainnya  bernilai 1 ,  sedangkan  untuk  nilai 𝑗 lainnya bernilai 0 , 𝛽 10 adalah parameter dari variabel penggunaan kendaraan, 𝑥 10 𝑖 variabel biner untuk  jenis  penggunaan  mobil  oleh  nasabah  ke- 𝑖 ,  dengan  penggunaan  komersial bernilai 0 dan pengunaan pribadi bernilai 1 , (𝛽 11 + 𝛾 11 ) adalah parameter dari variabel besarnya bluebook , 𝑥 11 𝑖 adalah variabel besaran bluebook yang dibayarkan oleh nasabah ke- 𝑖 (dalam  $), (𝛽 12,𝑗 + 𝛾 12, 𝑗) adalah  parameter  dari  variabel  tipe  kendaraan  untuk kategori  ke- 𝑗 dan 𝑥 12,𝑗 𝑖 adalah  variabel  tipe  mobil  dari  nasabah  ke- 𝑖 ,  dengan 𝑗  = 2, 3, 4, 5 dan 6 berturut-turut  adalah panel  truck , pickup ,  mobil sports ,  van  dan  SUV bernilai 1, dan yang lainnya bernilai 0 .
Dari persamaan 12 dan Tabel 4 dapat dilihat bahwa jumlah anak nasabah, nasabah yang belum  menikah,  pekerjaan  dari  nasabah  dan  tipe  kendaraan  nasabah  akan mengakibatkan penambahan besarnya premi yang harus dibayarkan, dengan besarnya penambahan premi masing-masing kategori adalah exp(0,4035918) dari jumlah anak nasabah,  jika  nasabah  belum  menikah  maka  penambahan  besarnya  premi  sebesar exp(0,5607529) ,  pada  kategori  pekerjaan,  jika  nasabah  bekerja  sebagai  pengacara, proffesional, atau  pekerjaan  lainnya  akan  terjadi  penambahan  masing-masing  sebesar exp(0,2147868) , exp(0,1326934) atau exp(0,3698516) .  Sedangkan  pada  kategori  tipe kendaraan  nasabah,  akan  terjadi  penambahan  besarnya  premi  untuk  tipe panel  truck sebesar exp(1,0883833) , pickup sebesar exp(0,5714183) , sports  car sebesar exp(0,9170639) , Van sebesar exp(0,6916264) dan SUV sebesar exp(0,7918369) . Disisi lain variabel lainnya seperti pendapatan per bulan, pendidikan, penggunaan kendaraan dan  besarnya bluebook yang  dibayarkan  nasabah  akan  mengakibatkan  penurunan besarnya  premi  yang  akan  dibayarkan.  Besarnya  penurunan  dari  masing-masing variabel  dapat  dilihat  dari  masing-masing  kategori  variabel,  dimana  besarnya penurunan premi berdasarkan pendapatan perbulan adalah sebesar exp(−0,0010793) , untuk  nasabah  dengan  pendidikan  magister  akan  mengalami  penurunan  sebesar exp(−0,2036201) , untuk nasabah yang menggunakan kendaraannya sebagai kendaraan pribadi akan mengalami penurunan sebesar exp(−0,2482142) dan setiap pembayaran 1 satuan  pembayaran bluebook oleh  nasabah  akan  mengalami  penurunan  sebesar exp(−0,0384888) , dengan setiap satuan penambahan atau penurunan besarnya premi adalah dollar ($).

## 4.  Kesimpulan
Premi murni dari asuransi kendaraan bermotor dipengaruhi oleh beberapa faktor risiko, diantaranya  yaitu  seperti  jumlah  anak,  pendapatan  per  bulan,  status  pernikahan, pendidikan,  pekerjaan,  penggunaan  kendaraan,  besarnya bluebook yang  dibayarkan serta tipe kendaraan dari nasabah. Dengan demikian, untuk menentukan premi nasabah yang  baru,  perusahaan  asuransi  dapat  memperhatikan  faktor  risiko  tersebut  dalam menentukan besaran premi yang akan diberikan dengan sistem penghitungan besaran premi dapat ditentukan melalui model GLM, mengikuti Persamaan 12.

## Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya atas pendanaan penelitian
ini  kepada  Direktorat  Penelitian  dan  Pengabdian  kepada  Masyarakat,  Direktorat Jenderal  Pendidikan  Tinggi  Kementerian  Pendidikan  Nasional  Republik  Indonesia, melalui Hibah Penelitian Tesis Nomor 2822/IT3.L1/PN/2020.

## Referensi
[1] B. H. dan H. B. U. A. M. Agung-RI, [KUHD] Kitab Undang-undang Hukum Dagang Tahun  2009  Bab  9  Pasal  246  Tentang  Asuransi  atau  Pertanggungan  Seumurnya . Bhuana Ilmu Populer, 2017.
[2] S. Asmussen and M. Steffensen, Probability Theory and Stochastic Modelling: Risk and insurance . Switzerland: Springer, 2020.
[3] P. R. Kongstvedt, Health Insurance and Managed Care , 5 th. Burlington: Jones And Bartlett Learning, 2020.
[4] P.  Shi,  X.  Feng, and  A.  Ivantsova, “Dependent  frequency -severity  modeling  of insurance  claims,” Insur.  Math.  Econ. ,  vol.  64,  pp.  417 – 428,  2015,  doi: 10.1016/j.insmatheco.2015.07.006.
[5] E.  Frees,  G.  Lee,  and  L.  Yang,  “Multivariate  Frequency -Severity  Regression Models in I nsurance,” Risks , vol. 4, no. 1, p. 4, 2016, doi: 10.3390/risks4010004.
[6] M.  David,  “Auto  insurance  premium  calculation  using  generalized  linear models,” Procedia  Econ.  Financ. ,  vol.  20,  no.  15,  pp.  147 – 156,  2015,  doi: 10.1016/S2212-5671(15)00059-3.
[7] N. Iyit, H. Yonar, and A. Genc, “Generalized Linear Models for European Union Countries  Energy  Data,” Acta  Phys.  Pol.  A ,  vol.  130,  no.  1,  2016,  doi: 10.12693/APhysPolA.130.397.
[8] J. Garrido, C. Genest, and J. Schulz, “Generalized linear models for dependent frequency and severity of insurance claims,” Insur. Math. Econ. , vol. 70, pp. 205 – 215, 2016, doi: 10.1016/j.insmatheco.2016.06.006.
[9] H.  Fitrianti,  “Model  Faktor -Faktor  Banyaknya  Kecelakaan  Lalu  Lintas  Pada Kendaraan  Sepeda  Motor  Dengan  Pendekatan  Generalized  Linear  Model,” Magistra , vol. 4, no. 2, pp. 94 – 104, 2017.
[10] W.  H.  Bonat,  B.  Jorgensen,  C.  Kokonendji,  and  J.  Hinde,  “Extended  Poisson  – Tweedie : Properties and Regress ion Models for Count Data,” Stat. Modelling , pp.
1 – 26, 2017.
[11]  S. Sukono, R. Riaman, E. Lesmana, R. Wulandari, H. Napitupulu, and S. Supian, “Model  estimation  of  claim  risk  and  premium  for  motor  vehicle  insurance  by using Bayesian method,” IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Eng. , vol. 300, no. 1, 2018, doi: 10.1088/1757-899X/300/1/012027.
[12]  B.  Debrabant,  U.  Halekoh,  W.  H.  Bonat,  D.  L.  Hansen,  J.  Hjelmborg,  and  J. Lauritsen,  “Identifying  traffic  accident  black  spots  with  Poisson -Tweedie models,” Accid.  Anal.  Prev. ,  vol.  111,  pp.  147 – 154,  2018,  doi: 10.1016/j.aap.2017.11.021.
[13] D.  Saha,  P.  Alluri,  E.  Dumbaugh,  and  A.  Gan,  “Application  of  the  Poisson - Tweedie distribution in analyzing crash frequency data,” Accid. Anal. Prev. , vol. 137, no. January, p. 105456, 2020, doi: 10.1016/j.aap.2020.105456.
[14] N. Li, X. Peng, E. Kawaguchi, M. A. Suchard, and G. Li, “A scalable surrogate L0 sparse regression method for generalized linear models with applications to large scale  data,” J.  Stat.  Plan.  Inference ,  vol.  213,  pp.  262 – 281,  2020,  doi:
10.1016/j.jspi.2020.12.001.
[15]  S. A. Klugman, H. H. Panjer, and G. E. Willmot, Loss Models From Data ro Decisions , 5 th., vol. 6, no. 1. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2019.
[16]  A. Agresti, Foundations Linear Generalized Linear Models . Cambridge: John Wiley & Sons, Inc., 2015.
[17]  G. Z. Jong, P D, Heller, Generalized Linear Models for Insurance Data . Cambridge: Cambridge University Press, 2008.
[18] M.  Tweedie,  “An  Index  Which  Distinguishes  Between  Some  Import ant Exponential Families. The Statistics: Applications and New Directions,” 1984.
[19] U. Simsekli, A. T. Cemgil, and B. Ermis, “Learning Mixed Divergences in Coupled Matrix  and  Tensor  Factorization  Models,”  in The  Acoustics,  Speech  and  Signal Processing (ICASSP) , 2015, pp. 2120 – 2124.
[20] O. Oznur and N. Iyit, “Modelling the US Diabetes Mortality Rates via Generalized Linear  Model  with  the Tweedie  Distribution,” Int.  J.  Sci. Res. ,  vol.  7,  no. 2,  pp. 1326 – 1334, 2018, doi: 10.21275/ART2018368.
[21]  A. A. Kha lin and E. B. Postnikov, “A wavelet -based approach to revealing the Tweedie distribution type in sparse data,” Phys. A Stat. Mech. its Appl. , vol. 553, p. 124653, 2020, doi: 10.1016/j.physa.2020.124653.
[22]  E.  W.  Frees, Regression  Modeling  with  Actuarial  and  Finansial  Applications . Cambridge: Cambridge University Press, 2010.
[23]  E.  T.  Lee  and  J.  W.  Wang, Statistical  Methods  for  Survival  Data  Analysis ,  4  rd.
Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2013.
This  article  is  an  open-access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics, Universitas  Negeri Gorontalo, Jln. Prof.  Dr.  Ing.  B.J. Habibie, Moutong, Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.