## PERBANDINGAN METODE BISEKSI DAN METODE NEWTON RAPHSON DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR
Rachmawati Dwi Estuningsih * , Tita Rosita
Program Studi Analisis Kimia, Politeknik AKA Bogor Jl. Pangeran Sogiri No.283, Tanah Baru, Bogor Utara, Kota Bogor, Jawa Barat 16154
Email: rachmawati@kemenperin.go.id
(Received : 1 November 2019; Accepted: 30 November 2019; Published: 1 Desember 2019)

## Abstrak
Beberapa  masalah  sehari-hari  dapat  disimulasikan  dengan  menggunakan  pemodelan  matematika.  Salah satu  bentuk  pemodelan  matematika  dengan  menggunakan  persamaan  non  linear.  Persamaan  non  linear dapat  diselesaikan  dengan  beberapa  metode  diantaranya  metode  biseksi  dan  metode  Newton  raphson. Dalam  penelitian  ini,  akan  dibandingkan  metode  biseksi  dan  metode  Newton  Raphson  untuk menyelesaikan  persamaan  non  linear.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  metode  Newton  Raphson lebih cepat konvergen daripada metode biseksi. Namun metode biseksi tidak memerlukan turunan pertama dalam pencarian akar persamaan.
Kata kunci : metode biseksi, metode Newton Raphson, Persamaan Non Linear

## Abstract
Many  daily  problems  can  be  simulated  by  using  mathematical  modeling.  One  type  of  mathematical modeling  is  non  linear  equation.  Non  linear  equation  can  be  solved  by  using  bisection  method  and Newton Raphson method. In this paper, we will compare bisection method and Newton Raphson method in  resolving  non  linear  equation.  The  result  showed  that  the  Newton  Raphson  method  converges  faster than the bisection method. But the bisection method does not require the firt derivative in the search for the roots of the equation.
Keywords: bisection method, Newton Raphson method, Non Linear Equation

## PENDAHULUAN
Seiring dengan perkembangan teknologi,  banyak  persoalan  sehari-hari  yang melibatkan  model  matematika  dalam  berbagai disiplin  ilmu  pengetahuan.  Tidak  semua  model matematika  tersebut  dapat  diselesaikan  dengan model analitik, sehingga diperlukan penyelesaian secara pendekatan numerik. Pendekatan  numerik  ini  sering  disebut  metode numerik.  Metode  numerik  adalah  suatu  teknik yang  digunakan  untuk  memformulasikan  model matematika  sehingga  dapat  dipecahkan  dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa.
Metode numerik selalu dapat menyelesaikan  permasalahan,  namun  nilai  yang diperoleh  adalah  nilai  pendekatan.  Jadi  selain hasil  yang  diperoleh  maka  akan  ada  nilai kesalahan  dari  perhitungan  tersebut.  Selain  itu, metode  numerik  akan  lebih  mudah  dan  cepat dihasilkan  dengan  bantuan  perhitungan  dengan komputer.
Model  matematika  terkadang  disajikan dalam  bentuk  persamaan  non  linear.  Persamaan non linear adalah suatu persamaan yang mempunyai peubah dengan pangkat terkecil adalah 1  (satu).  Semakin  tinggi  pangkat  peubah  tersebut maka  semakin  sulit  mencari  penyelesaiannya. Dengan  menggunakan  metode  numerik,  hal tersebut  lebih  mudah  dilakukan.  Dua  metode  yang sering  digunakan  dalam  penyelesaian  persamaan non  linear  adalah  metode  biseksi  dan  metode Newton Raphson.
Dalam  makalah ini, persamaan  non linear akan  diselesaikan  dengan  metode  biseksi  dan metode  Newton  Raphson.  Kedua  metode  tersebut menggunakan  program  matlab.  Hasil  dari  kedua metode  tersebut  dibandingkan  untuk  mengetahui kelebihan dan kekurangan masing-masing metode.

## METODE PENELITIAN
Penulisan  makalah  ini  merupakan  kajian pustaka  mengenai  metode  numeric.  Metode numeric  yang  akan  dibahas  adalah  metode  biseksi
dan  metode  Newton  Raphson.  Kedua  metode tersebut  dibandingkan  untuk  menyelesaikan persamaan  non  linear.  Metode  biseksi  dan metode  Newton  Raphson  akan  diolah  dengan menggunakan software Matlab.

## METODE BISEKSI
Metode  biseksi  adalah  metode  tertutup untuk  menentukan  solusi  dari  persamaan  non linear.  Ide  awal  dari  metode  biseksi  adalah metode  tabel  dimana  areanya  dibagi  menjadi  N bagian.  Metode  biseksi  membagi  range  menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang  mengandung  akar  penyelesaian  dan membuang  bagian  yang  tidak  mengandung  akar penyelesaian.  Hal  ini  dilakukan  berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan.
Algoritma  metode  biseksi  adalah  sebagai berikut: 1. Fungsi yang akan dicari akarnya
2. Tentukan batas bawah dan batas atas
dengan syarat
3. Tentukan  nilai  toleransi dan  iterasi maksimum N dengan
4. Hitung dan
5. Hitung hampiran akar
6. Hitung
7. Jika maka .  Jika maka . Jika maka  akar=   dan  proses berhenti.
8. Jika atau  telah  mencapai  iterasi maksimum  maka  proses  dihentikan  dan diperoleh nilai perkiraan akar persamaan.

## METODE NEWTON RAPHSON
Metode  Newton  Raphson  merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal  dan  mendekatinya  dengan  menggunakan gradien  pada  titik  tersebut.  Metode  ini  diawali dengan  mencari  garis  singgung  kurva  pada  titik
.  Perpotongan  garis  singgung  dengan sumbu    yaitu akan  menjadi  nilai    yang baru.  Cara  ini  dilakukan  berulang-ulang  sampai diperoleh akar persamaan.
Algoritma  metode  Newton  Raphson sebagai berikut:
1. Fungsi yang akan dicari akar persamaannya, 2. Tentukan titik awal dan nilai toleransi  ,
3. Tentukan  turunan  pertama  dari  fungsi
.
Jika
maka  metode  ini  tidak  dapat dilanjutkan,
4. Hitung nilai
dan , 5. Hitung nilai ,
6. Hitung  nilai  kesalahan
dan
bandingkan  dengan  nilai  toleransi  .  Jika
maka dipilih  sebagai
akar  persamaan.  Jika maka
iterasi dilanjutkan,
7. Akar  persamaannya  adalah  nilai yang
terakhir diperoleh HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan  non  linear  yang  digunakan adalah
fungsi
. Selanjutnya  dengan  menggunakan  metode  biseksi dan  metode  Newton  Raphson  akan  dicari  akar persamaan
. Untuk mempermudah menentukan  titik  awal  maka  dibuat  grafik  fungsi
seperti pada Gambar 1. Gambar 1. Grafik fungsi pada interval
[-5,5]
Dari  Gambar  1  dapat  dilihat  bahwa  akar persamaan berada  pada  interval  [-4,-3] dan [0,1]. Dalam makalah ini dipilih interval [0,1] sebagai titik awal untuk mencari akar persamaannya.
Penggunaan  metode  biseksi  dan  Newton Raphson  dibantu  dengan  program  Matlab.  Pada metode biseksi dipilih jumlah iterasi adalah 20 dan nilai  toleransi  adalah  0,5e-006.  Dalam  Tabel  1 disajikan  hasil  dari  metode  biseksi  dengan menggunakan Matlab.
Pada  Tabel  1  diperoleh  hasil  akar persamaan  dengan  menggunakan  metode  biseksi adalah  sebesar  0,79129  dengan  nilai  kesalahan 4,7684e-007.  Hasil  dengan  metode  biseksi  mulai konvergen pada iterasi ke-17.
Selanjutnya dengan menggunakan metode Newton  Raphson  akan  dicari  akar  pesamaan .  Dalam  metode  ini  juga  dipilih  jumlah iterasi adalah 20 dan nilai toleransi 0,5e-006. Hasil metode Newton Raphson dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 1. Hasil Metode Biseksi Iterasi Perkiraan akar kesalahan 0 0,5 0,5 1 0,75 0,25 2 0,875 0,125 3 0,8125 0,0625 4 0,78125 0,03125 5 0,79688 0,015625 6 0,78906 0,0078125 7 0,79297 0,0039063 8 0,79102 0,0019531 9 0,79199 0,00097656 10 0,79150 0,00048828 11 0,79126 0,00024414 12 0,79138 0,00012207 13 0,79132 6,1035e005 14 0,79129 3,0518e-005 15 0,79128 1,5259e-006 16 0,79128 7,6294e-006 17 0,79129 3,8147e-006 18 0,79129 1,9073e-007 19 0,79129 9,5367e-007 20 0,79129 4,7684e-007 Tabel 2. Hasil metode Newton Raphson Iterasi Perkiraan akar Kesalahan 0 0 3 1 0,5 0,625 2 0,69231 0,13655 3 0,76847 0,02409 4 0,78934 0,0018837 5 0,79127 1,6362e-005 6 0,79129 1,2796e-009 7 0,79129 -8,8818e-016 Pada  Tabel  2,  diperoleh  hasil  akar persamaan dengan menggunakan metode Newton  Raphson  adalah  sebesar  0,79129 dengan  nilai  kesalahan  -8,8818e-016.  Hasil dengan metode Newton Raphson mulai konvergen pada iterasi ke-6.
Berdasarkan  pencarian  akar  persamaan dengan  menggunakan  kedua  metode  tersebut maka  dapat  dilihat  bahwa  metode  Newton Raphson  lebih  cepat  konvergen  dibandingkan metode  biseksi  karena  jumlah  iterasi  yang dibutuhkan lebih sedikit. Namun metode biseksi tidak  memerlukan  turunan  pertama  dalam perhitungannya.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  percobaan  diperoleh  nilai akan persamaan dari
adalah  0,79129. Dengan  menggunakan  metode biseksi diperoleh nilai  kesalahan  sebesar    4,  7684e-007  dan dengan metode Newton Raphson diperoleh nilai kesalahan    sebesar  -8,8818e-016.  Metode Newton  Raphson  lebih cepat  konvergen daripada metode biseksi. Namun metode biseksi tidak  memerlukan  turunan  pertama  dalam pencarian akar persamaan.

## DAFTAR PUSTAKA
Chapra,  S.C.,  Canale,  R.P.  (1991). Metode Numerik  Jilid  1 .  Diterjemahkan  oleh  I Nyoman Susila. Erlangga. Jakarta. Chapra,  S.C.,  Canale,  R.P.  (2006). Numerical Methods  for  Engineers .  McGraw-Hill. New York. Arhami,  M.,  Desiani,  A.  (2005). Pemrograman Matlab . Andi. Yogyakarta.