Vol. 20, No. 2, January 2024, pp. 301-310 DOI: 10.20956/j.v20i2.30067

## Actuarial Measures for Inverse Gaussian Distributed Claim Severity
Ukuran-Ukuran Aktuaria untuk Data Besar Klaim Berdistribusi

## Inverse Gaussian
Fauziah Rahmayanti 1* , Aceng Komarudin Mutaqin 2*  Departement of Statistics, Universitas Islam Bandung, Indonesia Email: 1 fauziahrahmayanti14@gmail.com, 2 aceng.k.mutaqin@gmail.com

## Abstract
An  insurance  company  must  be  able  to  manage  risks  in  the  form  of  claims  submitted  by policyholders. There are several risk measures or actuarial measures that can be used to predict future risks and help companies prepare reserves. These actuarial measures are Value at Risk (VaR), Tail Value at Risk (TVaR), Tail Variance (TV), and Tail Variance Premium (TVP). In this  article,  we  will  discuss  these  actuarial  measures  for  inverse  Gaussian  distributed  claim severity.  The  Kolmogorov-Smirnov  test  is  used  to  test  the  fit  of  the  inverse  Gaussian distribution. The maximum likelihood estimator is used as a method to estimate the parameters of the inverse Gaussian distribution. The data used in this article is data on partial loss claims for  motor  vehicle  insurance  insurance  company  PT.  ABC  in  2019  Category 1  in  all  regions. However, after testing the goodness of fit of the distribution using the Kolmogorov-Smirnov test for region 3, it did not come from a population with an inverse Gaussian distribution. So the data used to proceed to the actuarial measures estimation stage is only region 1 and region 2. Based on the results of calculating the actuarial measures for inverse Gaussian distributed claim severity, it can be concluded that the value of losses expected by a company can be calculated by taking into account the actuarial measures for claim severity on motor vehicle insurance in Indonesia.
Keywords: Inverse  Gaussian  Distribution,  Kolmogorov-Smirnov  Test,  Maximum Likelihood, Value at Risk,

## Abstrak
Suatu  perusahaan  asuransi  harus  mampu  mengelola  risiko  berupa  klaim  yang  diajukan pemegang polis. Ada beberapa ukuran risiko atau ukuran aktuaria yang dapat digunakan untuk memprediksi  risiko  di  masa  yang  akan  datang  dan  membantu  perusahaan  mempersiapkan cadangan.  Ukuran-ukuran  aktuaria  tersebut  adalah Value  at  Risk (VaR), Tail  Value  at  Risk (TVaR), Tail Variance (TV), dan Tail Variance Premium (TVP). Dalam artikel ini akan dibahas ukuran-ukuran  aktuaria  tersebut  untuk  data  besar  klaim  berdistribusi inverse  Gaussian .  Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan  untuk  menguji  kecocokan  distribusi inverse  Gaussian .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
Penaksir  kemungkinan  maksimum  digunakan  sebagai  metode  untuk  menaksir  parameter distribusi inverse  Gaussian .  Data  yang  digunakan  dalam  artikel  ini  adalah  data  besar  klaim partial loss asuransi kendaraan bermotor perusahaan asuransi PT. ABC tahun 2019 Kategori 1 pada  semua  wilayah. Namun,  setelah  dilakukan  uji  kecocokan  distribusi  menggunakan  uji
Kolmogorov-Smirnov untuk  wilayah  3  tidak  berasal  dari  populasi  yang  berdistribusi inverse Gaussian . Dengan demikian, data yang digunakan untuk melakukan penaksiran ukuran aktuaria hanya wilayah 1 dan wilayah 2. Berdasarkan hasil dari perhitungan ukuran risiko atau ukuran aktuaria pada data besar klaim berdistribusi inverse Gaussian , dapat disimpulkan bahwa nilai kerugian  yang  diharapkan  oleh  suatu  perusahaan  dapat  dilakukan  dengan  memperhitungkan ukuran-ukuran aktuaria untuk data besar klaim asuransi kendaraan bermotor di Indonesia.
Kata  kunci: Distribusi  Inverse  Gaussian,  Uji  Kolmogorov-Smirnov,  Metode Penaksiran Kemungkinan Maksimum, Value at Risk

## 1.  PENDAHULUAN
Berdasarkan  data  dari  Badan  Pusat  Statistik  pada  tahun  2023,  menunjukkan  adanya penambahan  jumlah  kendaraan  bermotor  pada  tahun  2021  mencapai  141,99  juta  unit,  jika dibandingkan  dengan  tahun  2020  yaitu  136,13  juta  unit.  Disamping  meningkatnya  jumlah pengguna kendaraan bermotor, pada tahun 2021 terjadi 103.645 kasus kecelakaan dengan korban meninggal dunia sebanyak 25.266 jiwa. Meningkatnya jumlah kasus kecelakaan dari tahun 2020 dan  2021  menunjukkan  bahwa  hal  tersebut  dapat  terjadi  dikarenakan  faktor  internal  (kelalaian personal)  maupun  eksternal  (takdir/musibah).  Dalam  hal  ini  perlu  adanya  suatu  mitigasi  atau perencanaan terhadap kejadian-kejadian di luar dugaan (risiko). Adapun hal yang dapat dilakukan untuk mengantisipasi risiko tersebut terjadi yaitu dengan memiliki asuransi.
Premi asuransi adalah biaya yang dibayarkan oleh tertanggung kepada penanggung untuk biaya risiko.  Apabila  tertanggung  mengambil  risiko,  maka  penanggung  mengganti  kerugian  sesuai dengan kesepakatan (kontrak tertulis) yang tertuang dalam polis, yang disebut dengan klaim. Suatu klaim dapat terjadi kapan saja, sehingga terjadinya klaim dalam jumlah yang besarpun dapat terjadi. Berdasarkan  hasil  keputusan  menteri  nomor  48/KMK.017/1999  menyatakan  bahwa  klaim dikategorikan sebagai risiko dari suatu perusahaan asuransi. Selain dikatakan sebagai risiko bagi perusahaan asuransi, klaim dapat dikatakan sebagai suatu kejadian ekstrim [7]. Hal ini dikarenakan klaim  asuransi  terjadi  untuk  waktu  yang  tidak  dapat  ditentukan  serta  terdapat  kemungkinan terjadinya klaim dengan jumlah yang besar dan sangat berisiko bagi perusahaan asuransi. Sehingga, perlu adanya usaha untuk mengendalikan risiko tersebut dengan cara mengukur besar risiko yang akan terjadi.
Asuransi  kendaraan  bermotor  memiliki  dua  jenis  pertanggungan  yaitu Total  Loss  Only dan Comprehensive . Dimana Total Loss Only memberikan jaminan ganti rugi pada kendaraan bermotor apabila  biaya  kerusakannya  mencapai  lebih  dari  atau  sama  dengan  75%  dari  nilai  kendaraan. Sedangkan Comprehensive memberikan  jaminan  risiko  pada  kendaraan  bermotor  dengan  dua kemungkinan yaitu total loss yang hanya dapat diajukan sekali dan partial loss dengan kurang dari 75% nilai klaimnya dari nilai kendaraan tetapi dapat diajukan lebih dari sekali.
Distribusi  kerugian  pada  data  keuangan  biasanya  memiliki  ekor  kanan  yang  tebal  ( heavy- tailed )  [2].  Salah  satu  distribusi  yang  tepat  untuk  memodelkan  data  tersebut  adalah  distribusi inverse Gaussian yang merupakan anggota dari keluarga Pareto. Distribusi ini merupakan distribusi kontinu  dengan  2  parameter  serta  dapat  menggunakan  metode  kemungkinan  maksimum  untuk estimasi  parameter.  Pada  penelitian-penelitian  sebelumnya  yang  dilakukan  oleh  [1,  8]  terdapat beberapa ukuran risiko atau ukuran aktuaria, yaitu Value at Risk (VaR), Tail Value at Risk (TVaR), Tail Variance (TV), dan Tail Variance Premium (TVP). VaR digunakan untuk mengukur potensi

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
risiko  dan  untuk  mempersiapkan  cadangan  perusahaan.  Kemudian  TVaR  digunakan  untuk menghitung  nilai  yang  diharapkan  dari  kerugian  yang  diberikan  bahwa  suatu  peristiwa  di  luar tingkat  probabilitas  tertentu  telah  terjadi.  Selanjutnya  TV  digunakan  untuk  mengukur penyimpangan  kerugian  dari  rata-rata  di  sepanjang  ekor  distribusi.  Serta  TVP  yang  dianggap semacam  generalisasi  dari  premi  varian  populer.  Berdasarkan  penelitian  tersebut,  maka  dalam makalah  ini  akan  dibahas  ukuran-ukuran  aktuaria  untuk  data  besar  klaim  berdistribusi inverse Gaussian .

## 2. METODE

## Bahan dan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder hasil pencatatan yang diperoleh dari perusahaan asuransi di Indonesia, yakni tentang data besar klaim Partial Loss pada perusahaan asuransi  PT.  ABC  tahun  2019  di  semua  wilayah  (wilayah  1  untuk  Sumatera  dan  kepulauan  di sekitarnya,  wilayah  2  untuk  DKI  Jakarta,  Jawa  Barat,  dan  Banten,  serta  wilayah  3  untuk  selain wilayah 1 dan wilayah 2)   Kategori 1 yang merupakan jenis kendaraan non bus dan non truk.

## Metode Penelitian
Metode  dalam  menaksir  nilai risiko menggunakan  ukuran-ukuran  aktuaria.  Salah  satu tugas utama  lembaga  ilmu  aktuaria  adalah  memprediksi  risiko  pasar  dalam  portofolio  instrumen. Terdapat empat ukuran aktuaria diantaranya:
1) Value at Risk (VaR)
VaR  biasanya  digunakan  untuk  mengukur  potensi  risiko  dan  untuk  mempersiapkan cadangan  perusahaan  [5].  Dalam  kata  lain,  VaR  menetapkan  kerugian  maksimum  yang dapat dialami investasi dalam jangka waktu tertentu. Jika X mengikuti distribusi inverse Gaussian , maka VaR-nya adalah 𝑥 𝑞 (0 < 𝑞 < 1) sedemikian sehingga:
∫ 𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜆) 𝑑𝑥 𝑥 𝑞 0 = 𝑞 (2.1) 2) Tail Value at Risk (TVaR)
TVaR  adalah  ukuran  risiko  yang  terkait  dengan  nilai  risiko  yang  lebih  umum  yang digunakan untuk menghitung nilai yang diharapkan dari kerugian yang diberikan bahwa suatu  peristiwa  di  luar  tingkat  probabilitas  tertentu  telah  terjadi  [3].  Jika  X  mengikuti distribusi inverse Gaussian , maka TVaR-nya adalah:
𝑇𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) = 𝐸 (𝑋|𝑋 > 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋)) (2.2)
𝑇𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) = 1 1−𝑞 ∫ 𝑥𝑓(𝑥; µ, 𝜆) 𝑑𝑥 ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) 𝑇𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) = 1 1−𝑞 ∫ 𝑥√ 𝜆 2𝜋𝑥 3 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜆(𝑥−µ) 2 2µ 2 𝑥 ) ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) 𝑑𝑥
3) Tail Variance (TV)
TV  didefinisikan  sebagai  nilai  yang  mendeskripsikan  seberapa  besar  data tersebar dari nilai rerata ekor. TV digunakan untuk mengukur penyimpangan kerugian dari rata-rata  di  sepanjang  ekor  distribusi  [3].  Jika  X  mengikuti  distribusi inverse  Gaussian , maka TV-nya adalah:
𝑇𝑉 𝑞 (𝑋) = 𝐸 (𝑋 2 |𝑋 > 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋)) − (𝑇𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋)) 2 (2.3) 𝑇𝑉 𝑞 (𝑋) = ( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥 2 𝑓(𝑥; µ, 𝜆) 𝑑𝑥 ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) ) − ( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥𝑓(𝑥; µ, 𝜆) 𝑑𝑥 ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) ) 2

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
𝑇𝑉 𝑞 (𝑋) = 1 1−𝑞 ∫ 𝑥 2 √ 𝜆 2𝜋𝑥 3 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜆(𝑥−µ) 2 2µ 2 𝑥 ) ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) 𝑑𝑥 − ( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥√ 𝜆 2𝜋𝑥 3 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜆(𝑥−µ) 2 2µ 2 𝑥 ) ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) 𝑑𝑥) 2
4) Tail Variance Premium (TVP)
TVP dibangun di atas ekspektasi bersyarat ekor dan memperhitungkan beban risiko, yang sebanding dengan  varian  bersyarat  dari  risiko  [4].  Oleh  karena itu,  karena  definisi  TVP adalah  untuk  memberikan  penilaian  risiko  dalam  situasi  ketika  manajer  risiko  prihatin dengan  risiko  yang  melebihi  ambang  tertentu  (polis  dengan deductible dan  kontrak reasuransi  dapat  dipertimbangkan).  Jika  X  mengikuti  distribusi inverse  Gaussian ,  maka TVP-nya adalah: 𝑇𝑉𝑃 𝑞 (𝑋) = 𝑇𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) + 𝛿𝑇𝑉 𝑞 (𝑋) ; 0 < 𝛿 < 1 (2.4)
𝑇𝑉𝑃 𝑞 (𝑋) = 𝐸 (𝑋|𝑋 > 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋)) + 𝛿 (𝐸(𝑋 2 |𝑋 > 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋)) − (𝑇𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋)) 2 )
𝑇𝑉𝑃 𝑞 (𝑋) = ( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥𝑓(𝑥; µ, 𝜆) 𝑑𝑥 ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) ) + 𝛿 (( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥 2 𝑓(𝑥; µ, 𝜆) 𝑑𝑥 ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) ) − ( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥𝑓(𝑥; µ, 𝜆) 𝑑𝑥
∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) ) 2 ) 𝑇𝑉𝑃 𝑞 (𝑋) = 1 1−𝑞 ∫ 𝑥√ 𝜆 2𝜋𝑥 3 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜆(𝑥−µ) 2 2µ 2 𝑥 ) ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) 𝑑𝑥 + 𝛿 ( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥 2 √ 𝜆 2𝜋𝑥 3 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜆(𝑥−µ) 2 2µ 2 𝑥 ) ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) 𝑑𝑥 − ( 1 1−𝑞 ∫ 𝑥√ 𝜆 2𝜋𝑥 3 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜆(𝑥−µ) 2 2µ 2 𝑥 ) ∞ 𝑉𝑎𝑅 𝑞 (𝑋) 𝑑𝑥) 2 )
Tahapan penelitian yang dilakukan yaitu sebagai berikut:
1) Deskripsi data besar klaim produk asuransi kendaraan bermotor.
2) Uji  kecocokan  distribusi inverse  Gaussian untuk  data  besar  klaim  menggunakan  uji Kolmogorov-Smirnov.
3) Menaksir ukuran-ukuran aktuaria pada data besar klaim berdistribusi inverse Gaussian.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Tabel 3.1. Statistik Deskriptif Data Besar Klaim Tiap Wilayah Wilayah Rata-Rata Simpangan Baku Minimum Maksimum 1 3.772.329 4.533.155 211.500 27.300.000 2 4.081.410 5.624.492 87.200 68.800.000 3 4.452.103 4.074.984 100.950 23.200.000
Berdasarkan Tabel  3.1 data besar klaim untuk rata-rata terbesar berada di Wilayah 3 sebesar Rp.4.452.103  sedangkan  rata-rata  terkecil  berada  di  Wilayah  1  sebesar  Rp.3.772.329.  Nilai simpangan baku terbesar berada di Wilayah 2 sebesar Rp.5.624.492 sedangkan simpangan baku terkecil berada di Wilayah 3 sebesar Rp.4.074.984. Kemudian diperoleh besar klaim terkecil dan terbesar terdapat pada Wilayah 2 secara berturut-turut sebesar Rp.87.200 dan Rp.68.800.000.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
Selain deskriptif pada Tabel 3.1 disajikan juga deskriptif dalam bentuk histogram dari data besar klaim asuransi kendaraan bermotor PT. ABC tahun 2019 Kategori 1 untuk setiap Wilayah.
Gambar 3.1. Histogram Data Besar Klaim Comprehensive Partial Loss Wilayah 1
Gambar 3.2. Histogram Data Besar Klaim Comprehensive Partial Loss Wilayah 2
Gambar 3.3. Histogram Data Besar Klaim Comprehensive Partial Loss Wilayah 3 Berdasarkan  Gambar  3.1,  3.2  dan  3.3  dapat  dilihat  pada  data  besar  klaim  asuransi  kendaraan bermotor PT.ABC tahun 2019 untuk Kategori 1 Wilayah 1, 2, dan 3 bahwa sebaran dari distribusi datanya miring ke kanan, karena ekor dari sebarannya berada di sebelah kanan.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin

## Taksiran Parameter Distribusi Inverse Gaussian
Dalam  bagian  ini  akan  dilakukan  penaksiran  parameter  distribusi inverse  Gaussian .  Penaksiran parameter  dilakukan  dengan  menggunakan metode penaksiran  kemungkinan  maksimum  dengan cara memaksimumkan fungsi log - likelihood [6]. Dimana penaksir dari parameter 𝜇 yaitu 𝜇̂ = 𝑋̅ = ∑ 𝑋 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 dan parameter 𝜆 yaitu 𝜆̂ = 𝑛 ∑ ( 1 𝑋𝑖 − 1 𝑋 ̅ ) 𝑛 𝑖=1 , sehingga didapatkan nilai parameter untuk distribusi inverse Gaussian yaitu terdapat pada Tabel 2 sebagai berikut:
Tabel 3.2. Nilai Taksiran Parameter untuk Tiap Wilayah Wilayah µ 𝝀 1 3.772.329 1.902.950 2 4.081.410 2.504.393 3 4.452.103 2.685.555

## Pengujian Kecocokan Distribusi Inverse Gaussian
Uji  kecocokan  distribusi inverse  Gaussian pada  data  besar  klaim  asuransi  kendaraan  bermotor PT.ABC tahun 2019 menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov . Hipotesis untuk pengujian tersebut adalah:
𝐻 0 : Data besar klaim asuransi kendaraan bermotor PT.ABC tahun 2019 berasal dari populasi yang berdistribusi inverse Gaussian .
𝐻 1 : Data besar klaim asuransi kendaraan bermotor PT.ABC tahun 2019 bukan berasal dari populasi yang berdistribusi inverse Gaussian .
Dengan menggunakan taksiran parameter yang telah diketahui, maka dapat diperoleh taksiran nilai fungsi  distribusi  kumulatif  dari  distribusi inverse  Gaussian untuk  data  besar  klaim  asuransi kendaraan  bermotor  PT.  ABC  tahun  2019  Kategori  1  setiap  Wilayah.  Sehingga  diperoleh  nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov , yaitu sebagai berikut:
Wilayah 1:
𝐷 = 𝑚𝑎𝑥 1≤𝑖≤𝑛 |𝐹 𝑛 (𝑥 𝑖 ) − 𝐹 ∗ (𝑥 𝑖 )| = 0,1305
Wilayah 2:
𝐷 = 𝑚𝑎𝑥 1≤𝑖≤𝑛 |𝐹 𝑛 (𝑥 𝑖 ) − 𝐹 ∗ (𝑥 𝑖 )| = 0,0630
Wilayah 3:
𝐷 = 𝑚𝑎𝑥 1≤𝑖≤𝑛 |𝐹 𝑛 (𝑥 𝑖 ) − 𝐹 ∗ (𝑥 𝑖 )| = 0,1064
Dengan  taraf  nyata 𝛼 = 0,05 maka  dilihat  nilai  kritis  berdasarkan  tabel  nilai  kritis  uji Kolmogorov-Smirnov yang mana disajikan untuk setiap wilayah dalam Tabel 3.3 sebagai berikut:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
Tabel 3.3. Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov untuk Tiap Wilayah
Wilayah 1 2 3 Nilai Kritis 1,36 √𝑛 = 1,36
√80
= 0,1521
1,36 √𝑛 = 1,36
√263 = 0,0839
1,36 √𝑛 = 1,36 √180 = 0,1014
Terlihat  nilai  statistik  uji Kolmogorov-Smirnov untuk  Wilayah  1  dan  Wilayah  2  lebih  kecil dibandingkan  nilai  kritisnya,  maka  hipotesis  nol  diterima.  Sedangkan  nilai  statistik  uji Kolmogorov-Smirnov untuk Wilayah 3 lebih besar dibandingkan nilai kritisnya, maka hipotesis nol ditolak. Kesimpulannya bahwa data besar klaim asuransi kendaraan bermotor Kategori 1 Wilayah 1 dan Wilayah 2 berasal dari populasi berdistribusi inverse Gaussian , sedangkan Wilayah 3 bukan berasal dari populasi berdistribusi inverse Gaussian .

## Penaksiran Ukuran-Ukuran Aktuaria
1) Value at Risk (VaR)
Penaksiran  nilai  ukuran  risiko  atau  ukuran  aktuaria  yang  pertama  yaitu  VaR,  untuk penaksirannya menggunakan Persamaan (2.1) melalui bantuan software Matlab pada tiap wilayah disajikan dalam Tabel 3.4 sebagai berikut:
Tabel 3.4. Nilai Taksiran VaR 𝑽𝒂𝑹 𝒒 Wilayah 1 (Rupiah) 2 (Rupiah) 𝑞 1 = 0,9 8.888.377 9.407.442 𝑞 2 = 0,9 5 13.370.798 13.726.880 𝑞 3 = 0,9 9 26.487.658 25.971.073
Berdasarkan hasil pada Tabel  3.4 dengan  menggunakan 𝑞 = 0,9;  0,95;  dan 0,99, diperoleh  nilai  VaR  dari  masing-masing  wilayah.  Untuk  Wilayah  1  dengan penggunaan tingkat keyakinan 90%, 95%, dan 99% kerugian secara bertutur-turut tidak  akan  melebihi  Rp.8.888.377,  Rp.13.370.798,  dan  Rp.26.487.658  dalam beberapa hari ke depan. Dalam hal ini, maka penentuan nilai 𝑞 untuk menaksir nilai kerugian  maksimum  suatu  perusahaan  dapat  menetapkan  nilai 𝑞 sesuai  dengan kebutuhan agar nilai kerugian yang diprediksi tidak terlalu rendah dan tidak terlalu tinggi. Begitupun untuk Wilayah 2 .
2) Tail Value at Risk (TVaR)
Berikutnya  penaksiran  ukuran  risiko  atau  ukuran  aktuaria  untuk  TVaR,  dimana penaksirannya menggunakan Persamaan (2.2) melalui bantuan software Matlab pada tiap wilayah disajikan dalam Tabel 3.5 sebagai berikut:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
Tabel 3.5. Nilai Taksiran TVaR
𝑻𝑽𝒂𝑹 𝒒 Wilayah 1 (Rupiah) 2 (Rupiah) 𝑞 1 = 0,9 16.233.030 16.356.499 𝑞 2 = 0,9 5 21.661.010 21.449.108 𝑞 3 = 0,9 9 36.413.975 35.026.783
Berdasarkan hasil Tabel 3.5 diatas serta rumus pada Persamaan 2.2 bahwa nilai TVaR  merupakan  nilai  yang  diharapkan  dari  kerugian  yang  akan  terjadi  diluar daripada nilai taksiran VaR. Sehingga, dengan penggunaan 𝑉𝑎𝑅 0,9 pada Wilayah 1 yaitu lebih kecil dibandingkan Wilayah 2. Namun dengan penggunaan 𝑉𝑎𝑅 0,95 dan 𝑉𝑎𝑅 0,99 hasil yang diperoleh Wilayah 1 lebih besar dibandingkan Wilayah 2.
3) Tail Variance (TV)
Kemudian  penaksiran  ukuran  risiko  atau  ukuran  aktuaria  untuk  TV,  dimana penaksirannya menggunakan Persamaan (2.3) melalui bantuan software Matlab pada tiap wilayah disajikan dalam Tabel 3.6.
Tabel 3.6. Nilai Taksiran TV 𝑻𝑽 𝒒 Wilayah 1 (Rupiah) 2 (Rupiah) 𝑞 1 = 0,9 73.645.515.622.645 63.272.503.460.378 𝑞 2 = 0,9 5 86.741.619.919.971 73.166.573.010.865 𝑞 3 = 0,9 9 112.169.901.305.986 92.156.626.338.455
Berdasarkan hasil pada Tabel 3.6 diperoleh nilai taksiran dari TV dengan q = 0,9; 0,95; dan  0,99.  Dimana  dalam  hal  ini  menunjukkan  bahwa  varians  dari  nilai-nilai  yang  lebih besar  dari  VaR  yang  tersebar  dari  nilai  reratanya  atau  dapat  diartikan  sebagai  besaran penyimpangan  kerugian  dari  VaR  (maksimum  kerugian)  pada  Wilayah  1  lebih  besar dibandingkan dengan Wilayah 2.
4) Tail Variance Premium (TVP)
Kemudian penaksiran ukuran risiko atau ukuran aktuaria untuk TVP pada tiap wilayah. Sebagai pembanding hasil, maka δ yang digunakan ada tiga yaitu 0,1; 0,2; dan 0,3 dengan menggunakan Persamaan (2.4) maka diperoleh nilai  taksiran TVP yang disajikan dalam Tabel 3.7, Tabel 3.8, dan Tabel 3.9 sebagai berikut:
Tabel 3.7. Nilai Taksiran TVP delta 0,1
Wilayah

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
𝑻𝑽𝑷 𝒒 1 (Rupiah) 2 (Rupiah) 𝑞 1 = 0,9 7.364.567.795.294 6.327.266.702.537 𝑞 2 = 0,9 5 8.674.183.653.007 7.316.678.750.194 𝑞 3 = 0,9 9 11.217.026.544.574 9.215.697.660.628 Tabel 3.8. Nilai Taksiran TVP delta 0,2 𝑻𝑽𝑷 𝒒 Wilayah 1 (Rupiah) 2 (Rupiah) 𝑞 1 = 0,9 14.729.119.357.559 12.654.517.048.575 𝑞 2 = 0,9 5 17.348.345.645.004 14.633.336.051.281 𝑞 3 = 0,9 9 22.434.016.675.172 18.431.360.294.474 Tabel 3.9. Nilai Taksiran TVP delta 0,3 𝑻𝑽𝑷 𝒒 Wilayah 1 (Rupiah) 2 (Rupiah) 𝑞 1 = 0,9 22.093.670.919.823 18.981.767.394.612 𝑞 2 = 0,9 5 26.022.507.637.001 21.949.993.352.367 𝑞 3 = 0,9 9 33.651.006.805.771 27.647.022.928.319
Berdasarkan  hasil  pada  tabel  di  atas,  diperoleh  dengan  asumsi  bahwa  pengaruh  TV sangat besar, terdapat beberapa q optimal dalam hal ini yaitu mendekati 1 dan karenanya 𝑥 𝑞 kuantil  yang  meminimalkan  nilai  TVP.  Perusahaan  dapat  meminimalkan  risikonya dengan memilih 𝑥 𝑞 di atas sebagai tingkat retensi dalam konteks kontrak reasuransi. Dan jika dilihat pada tabel tersebut, Pada Wilayah 1 dengan menggunakan nilai δ sebesar 0,1 didapat taksiran TVP sebesar Rp. 7.364.567.795.294 dimana merupakan generalisasi premi atau  prinsip  premi  baru  yang  diusulkan  untuk  memperhitungkan  biaya  risiko  yang sebanding  dengan  TV  yang  digunakan  untuk  besar  klaim  ketika  nilai  besar  klaim  lebih besar dari nilai kuantil 0,9. Dibandingkan dengan penggunaan nilai delta 0,2 dan 0,3 yang hasil  TVPnya  lebih  tinggi.  Maka  dalam  hal  ini  perusahaan  dapat  menetapkan  nilai  δ serendah mungkin sehingga nilai biaya risiko rata-rata premi yang akan digunakan tidak terlalu tinggi.

## 3.  KESIMPULAN DAN SARAN
Distribusi statistik sangat berguna untuk memodelkan kumpulan data keuangan dan aktuaria. Diantaranya yaitu distribusi berekor berat. Salah satu distribusi berekor berat yang sangat menonjol untuk  pemodelan  keuangan  yaitu  distribusi inverse  Gaussian .  Ukuran  aktuaria  dapat  digunakan untuk  memperkirakan  suatu  risiko  dari  model  yang  berdistribusi inverse  Gaussian. Penerapan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Fauziah Rahmayanti, Aceng Komarudin Mutaqin
distribusi inverse  Gaussian diilustrasikan  dengan  menggunakan  kumpulan  data  asuransi  dan menunjukkan bahwa model yang diusulkan pada data wilayah 1 dan 2 terbukti cocok melalui uji kecocokan Kolmogorov-Smirnov .
Berdasarkan    penelitian  yang  telah  dilakukan,  terdapat  saran    yang  dapat  diberikan  yaitu disarankan bagi perusahaan asuransi PT. ABC untuk dapat melalukan perhitungan ukuran risiko atau  ukuran aktuaria  yang mencakup Value  at  Risk,  Tail  Value  at  Risk,  Tail  Variance, dan Tail Variance  Premium karena  dapat  memprediksi  risiko  pasar  dalam  bidang  keuangan  serta memperkirakan  ukuran  risiko  dalam  menjual  dan  membeli  produk  dengan  memperhatikan  nilai kuantil dan delta yang agar dapat memperoleh hasil yang baik, yang sesuai dengan kebutuhan dari suatu perusahaan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Ahmad, Z., Mahmoudi, E., Hamedani, G. G., & Kharazmi, O., 2020. New Methods to Define Heavy-Tailed  Distributions  with  Applications  to  Insurance  Data .  Journal  of  Taibah University For Science, Vol. 14, No. 1, Hal. 359-382.
[2]  Chhikara,  R.  S.  &  Folks,  J.  L.,  1978. The  Inverse  Gaussian  Distribution  and  its StatisticalApplication —A Review. J. R. Statist. Soc. B, 40, No. 3, pp. 263-289
[3]  Eini,  E.  J.  &  Khaloozadeh,  H.,  2020. Tail  Variance  for  Generalized  Skew-Elliptical Distributions. Journal Taylor & Francis Online, Vol. 51, Issue. 2.
[4]  Furman, E. & Landsman, Z., 2006. Tail Variance Premium With Applications for Elliptical Portofolio of Risks . Artikel. Astin Bulletin 36(2):433-462.
[5]  Putri,  I.  &  Syuhada,  K.  I.  A.,  2017. Ukuran  Risiko  Cre-VaR . Prosiding  Seminar  Nasional Metode Kuantitatif. ISBN No.978-602-98559-3-7.
[6]  Mutaqin, A. K., 2001. Distribusi Inverse Gaussian Sebagai Salah Satu Distribusi Kegagalan. Jurnal Statistika Unisba Vol.1, No.1.
[7]  Sukmayani,  S.  P.,  2015.  Analisis  Pengukuran  Risiko  Menggunakan  Generalized  Pareto Distribution Pada Klaim Asuransi Jiwa PT. Y . Surabaya
[8]  Zhao, J., Ahmad, Z., Mahmoudi, E., Hafez, E. H., & El-Din, M. M. M., 2021. A New Class of  Heavy-Tailed  Distributions:  Modeling  and  Simulating  Actuarial  Measures .  Journal  of Hindawi Complexity, Vol. 2021, Article ID 5580228, Hal. 18.