## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Submit: 19 Mei 2022, Diterima: 15 Juni 2022, Online: 20 Juni 2022 Copyright ©2022 by R. Hidayat, M. Sam, R. Y. Wardi, M. I. Iskandar Diterbitkan oleh: Jurusan Matematika Universitas Negeri Gorontalo | Under the licence CC BY-NC 4.0

## Pemodelan Survival Pasien Covid-19 dengan Hazard Non-Proporsional
Rahmat Hidayat 1 *, Marwan Sam 2 , Ridha Yulyani Wardi 3 , M. Ishaq Iskandar 4
1 Program Studi Magister Pendidikan Matematika , FKIP, Universitas Cokroaminoto Palopo, Palopo 91921, Indonesia
2 Program Studi Matematika, FAINS, Universitas Cokroaminoto Palopo, Palopo 91921, Indonesia
3 Program Studi Biologi, FAINS, Universitas Cokroaminoto Palopo, Palopo 91921, Indonesia
4 Gugus Tugas Covid-19 Kota Palopo, Indonesia *Penulis Korespondensi. dayatmath@gmail.com

## Abstrak
Artikel  ini  membandingkan  dua  model  survival  yaitu  Extended  Cox  dan  Stratified  Cox.  Kedua model  survival  ini  merupakan  model  alternatif  jika  asumsi  proporsional  pada  model  Cox proporsional  hazard  tidak  dipenuhi.  Perbandingan  model  dilakukan  dengan  menggunakan  data ketahanan pasien Covid-19 di Kota Palopo Sulawesi Selatan.  Setelah dilakukan pemodelan dengan menggunakan  model  Extended  Cox  dan  Stratified  Cox,  nilai  AIC  dibandingkan  untuk  melihat model yang lebih baik. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa, memodelkan ketahanan pasien Covid-19 di Kota Palopo lebih lebih baik dengan menggunakan Stratified Cox.
Kata Kunci: Survival; Cox; Covid-19; Extended; Stratified

## Abstract
This  article  compares  two  survival  models  namely  Extended  Cox  and Stratified  Cox.  These  two survival  models  are  alternative  models  if  the  proportional  assumption  of  the  Cox  proportional hazard model is not met. The comparison of the models was carried out using data on the resilience of Covid-19 patients in Palopo City, South Sulawesi. After modeling using the Extended Cox and Stratified Cox  models,  the AIC values are compared  to see a better model.  The results obtained indicate that modeling the resilience of Covid-19 patients in Palopo City is better by using Stratified Cox.
Keywords: Survival; Cox; Covid-19; Extended; Stratified

## 1. Pendahuluan
Prosedur  statistika  dimana  variabel  responnya  berupa  waktu  ketahanan  beserta  variabel- variabel  yang  mempengaruhinya  disebut  analisis  ketahanan  [1][2].  Waktu  awal  kejadian  sampai akhirnya peristiwa atau event yang dianggap menrik terjadi disebut waktu ketahanan. Secara garis besar dapat dikatakan bahwa, waktu ketahanan adalah suatu peristiwa yang diukur berdasarkan titik awal  tertentu  sampai  sebuah  peristiwa  yang  dianggap  menarik  terjadi.  Peristiwa  atau  event  yang diamaksud dalam hal ini berupa kematian, lama ketahanan baterai hingga rusak, lama suatu mesin rusak dan lainnya. Tidak hanya berupa peristiwa negatif,  namun juga berupa hal positif, misalkan waktu tunggu pasien dari sakit hingga akhirnya sembuh.
Ada banyak manfaat yang dapat diperoleh dari analisis ketahanan ini, diantaranya adalah dalam bidang medis, seorang ahli farmasi ingin mengetahui efektif atau tidak obat yang mereka buat, atau arsitektur  yang  ingin  mengetahui  ketahanan  rancangan  bangunan  yang  mereka  ciptakan.  Alasan mengapa  analisis  survival  ini  lebih  cocok  digunakan  untuk  beberapa  kasus  tertentu  dibandingkan dengan analisis lain digambarkan dalam narasi berikut [3]. Seorang tertarik untuk meneliti ketahanan seorang yang sakit dimana penyakit tersebut belum ditemukan obatnya. Hal yang tentu saja menarik
untuk diteliti adalah apa saja faktor-faktor yang mempengaruhi lama kesembuhan pasien tersebut, atau bahkan pasien tersebut meninggal. Jika dilihat dari model kasus tersebut, maka tentu saja kita berpikir bahwa kita bisa saja menggunakan regresi logistik. Meskipun demikian, regresi logistik tidak memperhitungkan lama waktu ketahanan pasien. Lama waktu ketahanan pasien satu bulan atau tiga bulan, dalam regresi logistic bisa saja dianggap sama. Sehingga penggunaan analisis Survival lebih tepat digunakan.
Dalam penelitian ini digunakan data ketahanan pasien Covid-19 di Kota Palopo. Asal muasal dari  mana  awal  virus  ini  berkembang  adalah  Wuhan-China.  Penyebanaran  virus  ini  sangat  cepat, bahkan  menyerang  hampir  seluruh  negara  di  dunia.  Di  Kota  Palopo  sendiri,  jumlah  pasien  yang terinfeksi virus ini sudah banyak, bahkan Kota Palopo sempat masuk ke zona merah penularan virus Covid-19.  Tentu  penyebaran  dari  Covid-19  ini  memberikan  dampak  baik  dari  segi  ekonomi  dan sosial.
Berdasarkan  penjelasan  di  atas,  maka  perlu  dilakukan  penelitian  terkait  dengan  Covid-19. Penelitian ini memodelkan tentang ketahanan pasien Covid-19. Berdasarkan model yang diperoleh, dapat  dilihat  bagaimana  pengaruh  faktor  yang  digunakan  terhadap  kesembuhan  pasien  Covid-19. Hasil  penelitian  yang  diperoleh  diharapkan  dapat  menjadi  masukan  bagi  pemerintah  Kota  Palopo untuk menurunkan angka penyebaran Covid-19.

## 2. Metode Penelitian

## 2.1 Fungsi Survival
Secara  matematis,  fungsi survival merupakan  probabilitas individu  atau  suatu objek  tertentu untuk tetap bertahan setelah melewati suatu satuan waktu. Persamaan matematikanya dapat disajikan pada persamaan berikut
( ) = ( > ).
= 1 − ( ≤ ) = 1 − ( ) (1)
dengan ( ) = ( ≤ ). Jika  fungsi  kepekatan  peluang ( ) diintegralkan,  maka  juga  diperoleh persamaan fungsi Survival.
( ) = ( > ) = ∫ ( ) .

## 2.2 Fungsi Kepekatan Peluang
Limit  dari  perubahan  waktu  terhadapat  probabilitas  suatu  objek  penelitian  dalam  interval t sampai akan menghasilkan fungsi kepekatan peluang.
( ) = lim → ( ) (2)

## 2.3 Fungsi Hazard
Pada  tahun  1972,  Cox  mendefinisaikan  fungsi  hazard.  Menurutnya  fungsi  hazard  adalah probabilitas suatu objek mengalami kegagalan misalkan kematian dan lainnya pada waktu t dengan syarat bahwa objek tersebut telah bertahan pada waktu t :
ℎ( ) = lim → ( | ) (3)
Berdasarkan pemaparan dari dua persamaan di atas, maka hubungan anatar fungsi survival dan fungsi hazard dapat digambarkan secara matematis berikut:
ℎ( ) = lim → ( ≤ ≤ + | ≥ )
= lim → ( ≤ ≤ + )/ ( ≥ ) = lim → ( ≤ ≤ + ) 1 − ( ) = ( ) 1 − ( ) . ℎ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = − ( ) (4)
Persamaan di atas diintegralkan dari 0 sampai t dengan (0) = 1 [4], yaitu
− ℎ( ) = ( )
( ) = −   ( ) ( ) = exp[− ( )] (5)

## 2.4 Fungsi Likelihood
Untuk menjelaskan tentang fungsi likelihood , maka dipilih peubaha acak dari fungsi kepadatan peluang ( , ). dalam  hal  ini  merupakan  suatu  parameter.  Peluang  bersama  dari  semua  fungsi kepadatan peluang inilah yang dinamakan fungsi likelihood . Atau secara matematis disajikan sebagai berikut [5]
( ) = ( , ) ( , ) … ( , ) = ∏ ( , ) (6)
Parameter   diperoleh dengan penyelesaian persamaan berikut
( ) = 0 ∑ ( , ) = 0. (7)

## 2.5 Model Regresi Stratified Cox
Salah satu model dalam analisis survival yang banyak digunakan karena memiliki model yang cukup sederhana adalah Cox proporsional. Namun demikian terkadang diperoleh suatu kasus dimana asumsi  proporsioanl  ini  tidak  dipenuhi.  Jika  demikian  maka  diperlukan  suatu  pendekatan  yang mampu memodelkan data yang tidak proporsioanl. Salah satunya adalah Stratified Cox. Jika dilihat dari bentuk matematisnya, maka terlihat bahwa Stratified Cox adalah hasil modifikasi dari model Cox proporsioanl  hazard.  Ide  dasar  dari  model  ini  adalah  dengan  melakukan  pengelompokan  tertentu terhadap  variabel  yang  gagal  memenuhi  asumsi  proporsioanal.  Variabel  yang  digunakan  nantinya akan  dibagi  menjadi  dua,  yakni  yang  memenuhi  asumsi  proporsoional  dan  tidak.  Variabel  yang memenuhi asumsi proporsioanal akan masuk ke dalam model, sedangkan yang tidak memenuhi akan membuat kelompok tertentu [6][7].
Narain et al. [8] mendefinisikan bentuk hazard dari stratified Cox adalah sebagai berikut:
ℎ ( ,  ) = ℎ 0 ( ) [ 1 1 + 2 2 + ⋯ + ]                                      (8)
dengan
s = strata yang didefinisikan dari ∗ , = 1,2, . . . , ∗ ℎ ( ) = fungsi dasar hazard untuk setiap strata
1 , 2 , … , = parameter regresi

## 2.6 Model Regresi Extended Cox
Selain Stratified Cox, model Extended Cox juga merupakan model dalam analisis survival yang dapat digunakan jika  asumsi proporsional tidak terpenuhi . Model ini digunakan pada umunya jika ada  variabel  yang  bergantung  terhadapa  waktu,  dan  hal  ini  membat  sehingga  asumsi  proporsional tidak  terpenuhi.  Tidak  berbeda  jauh  dengan Stratified  Cox ,  model Extended  cox juga  merupakan perluasan dari Cox proporsioanl hazard . Bentuk umumnya adalah menggabungkan antara variabel yang memenuhi asumsi proporsional ditambahakan dengan variabel yang tidak proporsioanal. Dalam model ini yang dimaksud dengan tidak memenuhi asumsi proporsional adalah variabel yang berkaitan dengan waktu. Model regresi Cox Extended didefinisikan sebagai berikut: ℎ , ( ) = ℎ ( ) ∑ + ∑ + ∑ (9)

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Kurva Survival Kaplan-Meier dan Uji Log Rank
Guna  menaksir  fungsi  survival,  maka  digunakan  analisis  Kaplan-Meier  [9].  Sebagai  alat analisis secara visual, fungsi survival Kaplan-Meier digambarkan dalam suatu kurva. Kurva ini akan memberikan  informasi  terkait  dengan  gambaran  hubungan  antara  waktu  survival  dan  fungsi survivalnya.  Dalam  hal  kesembuhan  pasien  Covid-19  ini,  maka  akan  dilihat  probabilitas  seorang pasien Covid-19 akan sembuh setelah terpapar untuk pertama kali dalam jangka waktu 14 hari yang dipengaruhi  faktor  jenis  kelamin,  usia,  dan  penyakit  bawaan.  Kurva  survival  Kaplan-Meier berdasarkan kasus kesembuhan pasien Covid-19 disajikan sebagai berikut:
Gambar 1. Kurva Survival Kaplan-Meier Lama Sembuh Pasien Covid-19
Berdasarkan Gambar di atas terlihat bahwa di awal periode waktu, ketahanan pasien Covid-19 terbilang cukup tinggi dalam kisaran rentan waktu satu sampai empat belas hari. Namun demikian, setelah  meleati  fase  tersebut,  ketahanan  pasien  akan  perlahan-lahan  menurun.  Penurunan  drastis terjadi  pada  kisaran  waktu  25  sampai  30  hari.  Ini  menandakan  bahwa  pada  masa  tersebut  banyak pasien yang mengalami penurunan kesehatan yang drastis bahkan sampai meninggal.
Setelah melihat kurva survival Kaplan-Meier untuk semua faktor secara simultan, maka akan dilihat lagi kurva survival Kaplan-Meier secara  parsial untuk masing-masing faktor jenis kelamin, usia, dan penyakit pembawa. Hasil analisisnya disajikan sebagai berikut:
a. Faktor Jenis Kelamin
Salah satu faktor yang diduga berpengaruh terhadap ketahanan pasien Covid-19, adalah jenis kelamin.  Akan  dilihat  apakah  jenis  kelamin  laki-laki  memiliki  ketahanan  yang  lebih  tinggi dibandingkan dengan pasien yang berjenis kelamin perempuan ataupun sebaliknya. Kurva Kaplan- Meier berikut menampilkan ketahanan pasien Covid-19 berdasarkan jenis kelamin.
Gambar 2. Kurva Survival Kaplan-Meier Faktor Jenis Kelamin
Berdasarkan grafik di atas terlihat bahwa kurva ketahanan pasien laki-laki maupun perempuan cenderung berimpit dari awal priode sampai beberapa waktu setelahnya. Kurva dengan warna hitam mennjukkan  probabilitas  ketahanan  untuk  pasien  laki-laki  sedangkan  kurva  dengan  warna  merah menunjukkan ketahanan pasien berjenis kelamin perempuan. Sehingga berdasarkan gambar tersebut diduga bahwa tidak ada pengaruh jenis kelamin terhadap ketahanan pasien Covid-19, atau dengan kata lain baik perempuan maupun laki-laki memiliki ketahanan terhadap Covid-19 yang relatif sama. Menggunakan  metode  grafik  dalam  menarik  kesimpulan  seringkali  kurang  objektif,  sehingga dilakukan uji Log rank untuk memastikan hal tersebut. Hasil uji log Rank dapat disajikan pada tabel di bawah ini.
Tabel 1. Output uji Log Rank Jenis Kelamin Log Rank df P-Value 1,4213 1 0,1274
Tabel  1  di  atas  menampilkan  hasil  uji  Log  Rank  terhadap  ketahanan  pasien  Covid-19 berdasarkan faktor jenis kelamin. Hasil uji Log Rank memberikan nilai statistik uji sebesar 1,4213 dengan  nilai  signifikansi  0,1274.  Dengan  menggunakan  alpha  sebesar  0,05,  maka  hasil  tersebut memberikan kesimpulan bahwa tidak ada perbedaan ketahanan signifikan antara pasien laki-laki dan pasien perempuan. Hal ini sekaligus memvalidasi dugaan awal dengan menggunakan metode grafik sebelumnya.
b. Faktor Usia
Selain jenis kelamin, faktor yang juga diduga berpengaruh terhadap ketahanan pasien Covid- 19 adalah usia. Kurva ketahanan berdasarkan faktor usia disajikan pada Gambar 3 berikut:
Gambar 3. Kurva Survival Kaplan-Meier Faktor usia
Untuk memudahkan melihat ketahanan pasien Covid-19 berdasarkan faktor usia, maka faktor usia ini dibedakan atas tiga jenjang, yakni pasien dengan usia dibawah 20 tahun, usia 20 sampai 35 tahun,  serta  pasien  dengan  usia  di  atas  35  tahun.  Grafik  hitam  merupakan  ketahanan  pasien  yang usianya di bawah 20 tahun, grafik hijau menjelaskan ketahan pasien dengan rentang usia 20 sampai 35 tahun, sedangkan grafik merah adalah pasien dengan usia lebih dari 35 tahun. Jika diperhatikan dari kurva di atas, maka terlihat di awal priode ketiga kelompok tersebut cenderung saling berimpit, yang artinya di semua jenjang usia memiliki ketahanan yang relatif sama. Namun demikian, seiring bertambahnya  waktu,  terlihat  pasien  dengan  usia  antara  20  sampai  35  tahun  cenderung  memiliki ketahanan  lebih  tinggi.  Jika  diperhatikan  lebih  jauh  lagi,  maka  kita  akan  menemukan  ada ketidakkonsistenan  ketahanan  untuk  ketiga  jenjang  usia  tersebut.  Ketidakkonsistenan  yang dimasksud adalah terkadang kurva yang satu dan lainnya saling berpotongan atau juga berimpit satu sama lain, artinya bahwa ketahanan pasien untuk faktor usia ini tidak selalu sama sepanjang waktu. Jika ditinjau dari segi prporsioanal, maka peristiwa ini menandakan peristiwa yang melanggar asumsi proporsioanl.
Agar secara statistik dugaan tersebut dapat diprtanggung jawabkan, maka dilanjutkan dengan melakukan uji log rank. Hasil dari uji log rank untuk faktor usia disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Uji Log Rank Faktor usia Log Rank df P-Value 5,2278 2 0,0686
Tabel  2  di  atas  menampilkan  hasil  uji  Log  Rank  terhadap  ketahanan  pasien  Covid-19 berdasarkan faktor usia.  Hasil ini akan memberi  justifikasi secara statistik terkait dengan  ada atau tidaknya  perbedaan  ketahanan  pasien  Covid-19  berdasarkan  faktor  usia.  Hasil  uji  Log  Rank memberikan  nilai  statistik  uji  sebesar  5,2278  dengan  nilai  signifikansi  sebesar  0,0686.  Dengan menggunakan nilai alpha  sebesar 0,05, maka hasil tersebut memberikan kesimpulan bahwa tidak ada perbedaan  ketahanan  yang  signifikan  antara  ketiga  jenjang  usia  yang  diteliti.  Hal  ini  sekaligus memvalidasi dugaan awal dengan menggunakan metode grafik sebelumnya.

## c. Faktor Penyakit Bawaan
Faktor  terakhir  dalam  penelitian  ini  yang  diduga  berpengaruh  terhadapa  ketahanan  pasien Covid-19  adalah  penyakit  bawaan.  Akan  dilihat  apakah  jika  ada  penyakit  bawaan  maka  akan menurunkan ketahanan pasien Covid-19. Berikut kurva ketahanan Kaplan-Meier berdasarkan faktor penyakit bawaab.
Gambar 4. Kurva Survival Kaplan-Meier faktor penyakit bawaan
Gambar  4  menjelaskan  secara  visual  perbedaan  ketahanan  pasien  Covid-19  jika  dilihat berdasarkan  ada  tidaknya  penyakit  bawaan  atau  penyakit  penyerta  pada  pasien.  Kurva  hitam menggambarkan  ketahanan  pasien  Covid-19  tanpa  adanya  penyakit  penyerta,  sedangkan  kurva dengan warna merah merupakan ketahanan pasien Covid-19 dengan penyakit penyerta. Dapat kita lihat pada gambar bahwa ketahanan pasien Covid-19 tanpa disertai penyakit bawaan cenderung lebih tinggi.  Namun  demikian,  berjalannya  waktu  terlihat  bahwa  kedua  kurva  saling  berimpit.  Artinya adalah  semakin  lama  baik  ada  penyakit  bawaan  ataupun  tidak,  ketahana  pasien  pun  akan  terus menurun jika masa sakit melewati dua pekan. Agar kesimpulan dapat dipertanggung jawabkan secara statistik, maka dilakukan uji Log rank. Hasilnya disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Uji Log Rank Faktor penyakit bawaan Log Rank df P-Value 0,7751 1 0,3786
Tabel  3  di  atas  menampilkan  hasil  uji  Log  Rank  terhadap  ketahanan  pasien  Covid-19 berdasarkan faktor penyakit bawaan. Hasil ini akan memberi justifikasi secara statistik terkait dengan ada atau tidaknya perbedaan ketahanan pasien Covid-19 berdasarkan faktor penyakit bawaan. Hasil uji Log Rank memberikan nilai statistik uji sebesar 0,7751 dengan nilai signifikansi sebesar 0,3786. Dengan menggunakan nilai alpha  sebesar 0,05, maka hasil tersebut memberikan kesimpulan bahwa terdapat perbedaan ketahanan yang signifikan antara pasien dengan penyakit bawaan dan pasien tanpa penyakit  bawaan.  Hal  ini  sekaligus  membantah  dugaan  awal  dengan  menggunakan  metode  grafik sebelumnya.

## 3.2. Pengujian Asumsi Proportional Hazard (PH)
Salah  satu  model  dalam  analisis  survival  yang  banyak  digunakan  adalah  Cox  proporsional hazard. Alasan mengapa model ini cukup populer karena tidak memerlukan asumsi terkait dengan bentuk  kurva  survivalnya.  Namun  demikian,  merupakan  suatu  hal  yang  penting  sebelum menggunakan model Cox proporsional hazard adalah menguji asumsi proporsional [10] . Sebab jika asumsi ini dilanggar, maka pastinya pemodelan akan memberikan bias yang besar pula.
Ada dua  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  uji  asumsi  proporsional  yakni  dengan metode grafik dan uji statistik. Meskipun ada dua metode ini, namun metode grafik sering kali memberikan penafsiran berbeda anatara tiap orang sehingga pendekatan lain yang dapat digunakan adalah dengan menggunakan kriteria Goodness of Fit (GOF). Tabel 4 menampilkan hasil uji Goodness of Fit (GOF) untuk semua faktor.
Tabel 4. Pengujian Asumsi Proportional Variabel Korelasi P-Value Keputusan Jenis kelamin 0,00176 0,8623 Gagal tolak H 0 Usia 0,04261 0,0763 Tolak H 0 Penyakit bawaan 0,01452 0,5371 Gagal tolak H 0
Pada Tabel 4 terihat bahwa, dari ketiga faktor yang digunakan, satu diantanya gagal memenuhi asumsi proporsional yakni faktor usia, sedangkan dua faktor lainnya memenuhi asumsi proporsional. Hal tersebut dapat dilihat dari nilai signifikansinya. Dengan menggunakan nilai alpha sebesar 0,05, hanya satu nilai signifikansi yang nilainya kurang dari nilai alpha yakni  usia. Hal ini menunjukka bahwa secara statitik memang faktor usia tidak memenuhi asumsi proporsonal. Selain menggunakan uji Goodness  of  Fit (GOF),  proporsionalnya  suatu  faktor  sebenarnya  juga  dapat  diduga  dengan melihat grafik survival yang dipaparkan pada bagian sebelumnya. Jika pada grafik survivalnya saling berpotongan, maka mengindikasikan asumsi proporsional tidak dipenuhi.
Berdasarkan  hasil  uji  tersebut,  maka  pemodelan  ketahanan  pada  pasien  Covid-19  di  Kota Palopo akan menggunakan perluasan pada model Cox proporsioanl hazard. Ada dua model alternatif, yakni  model  Stratified  Cox  dan  Extended  Cox.  Kedua  model  ini  pada  dasarnya  merupakan pengembangan  dari  model  Cox  proprosioanl  hazard,  namun  dapat  digunakan  jika  ada  faktor  yang melanggar  asumsi  proporsional.  Berikut  disajikan  pemodelan  dengan  menggunakan  kedua  model tersebut.

## 3.3. Pembentukan Model Regresi Stratified Cox
Pada  bagian  sebelumnya  telah  dilakukan  uji  terhadap  asumsi  proporsional  untuk  masing- masing  faktor.  Berdasarkan  hasil  uji  diperoleh  bahwa  satu  faktor  yang  tidak  memenuhi  asumsi proporsional yakni usia. Oleh sebab itu digunakan model Stratified Cox yang mampu memodelkan waktu survival jika ada faktor yang tidak memenuhi asumsi proporsional. Ide dasar dari Stratified Cox  adalah  dengan  membentuk  stratifiasi  atau  kelompok  terhadap  faktor  yang  tidak  memenuhi asumsi proporsional. Meskipun demikian, faktor lain pun akan tetap digunakan dalam pemodelan. Berdasarkan  uji  asumsi  sebelumnya  diperoleh  bahwa  faktor  usialah  yang  tidak  memenuhi  asumsi proprosional. Selanjutnya dilakukan estimasi parameter dengan menggunakan model Stratified Cox. Estimasi  parameter  ini  sendiri  nantinya  akan  digunakan  dalam  membentuk  model  survival berdasarkan  data  pasien  Covid-19  di  Kota  Palopo  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini.  Secara lengkap, hasil estimasi parameter untuk model Stratified Cox dapat dilihat pada tabel 5 berikut:
Tabel 5. Estimasi Parameter Model Regresi Stratified Cox dengan strata usia Variabel Estimasi Parameter Chi-Square p-value Keputusan Jenis kelamin (X 1 ) -0,04134 0,7742 0,4154 Gagal tolak H 0 Usia (1) (X 2 (1)) 0,1467 2,1136 0,1517 Gagal tolak H 0 Usia (2) (X 2 (2)) 0,08621 1,8221 0,1862 Gagal tolak H 0 Penyakit bawaan (X 3 ) 0,07721 0,5144 0,0472 Tolak H 0 Likelihood Ratio 11,9721 0,0141 Tolak H 0
Berdasarkan hasil  estimasi  parameter,  diperoleh  model  regresi stratified Cox  tanpa interaksi adalah sebagai berikut.
ℎ ( ) = ℎ ( ) exp(-0,04134 X 1 + 0,1467 X 2 (1) + 0,08621 X 2 (2) + 0,07721 (X 3 )

## 3.4. Model Regresi Extended Cox
Model  dalam  analisis  survival  lain  selain  Stratified  Cox  yang  dapat  digunakan  jika  terdapat variabel  yang  tidak  memenuhi  asumsi  proporsional  adalah  Extended  Cox.  Sebagaimana  halnya dengan  Stratified  Cox,  model  dasar  Extended  Cox  ini  juga  berasal  dari  Cox  proporsional  hazard. Namun  yang  membedakan  dari  segi  fungsi  matematisnya  adalah  ada  penambahan  fungsi  waktu. Sehingga  jika  ada  variabel  yang  sifat  ketahanannya  berubaubah  sepanjang  waktu,  maka  dapat diakomodir  dengan  penambahan  fungsi  waktu  tersebut.  Penambahan  fungsi  waktu  tersebut  dapat berbagai  macam.  Dalam  penelitian  ini  akan  digunakan  fungsi  waktu  dengan  tipe heaviside. Hasil estimasi parameter dengan model Extended cox ini disajikan pada tabel 6 berikut.
Tabel 6. Estimasi Parameter Model Regresi Extended Cox Variabel Estimasi Parameter Chi_ Square p-value Keputusan Jenis kelamin (X 1 ) -0,04231 0,7352 0,3873 Gagal tolak H 0 Usia (1) (X2(1)) 0,16523 2,5321 0,1083 Gagal tolak H 0 Usia (2) (X2(2)) 0,10080 2,0788 0,1603 Gagal tolak H 0 Penyakit bawaan (X3) -0,04977 0,5511 0,0453 Tolak H 0 Usia ×  1( ) (HV1) 0,35661 3,9167 0,0123 Tolak H 0 Usia ×  2( ) (HV2) -0,35674 4,4221 0,0381 Tolak H 0 Likelihood Ratio 37,8721 <0,0001 Tolak H 0
Langkah  berikutnya  setelah  dilakukan  estimasi  parameter  adalah  membentuk  model matematisnya berdasarkan model Extended Cox.
ℎ ( ,  ( )) = ℎ ( ) exp   (-0,04231   X 1 +   0,16523   X 2 (1)   +   0,10080   X 2 (2)   -
0,04977 X 3 + 0,35661 HV1-0,35674 HV2
Dengan melihat nilai likelihood ratio , dapat dilihat hasil uji serentak. Dari tabel 6 di atas terlihat bahwa nilai p-value yang dihasilkan adalah 0,0001 yang artinya jika dibandingkan dengan taraf alpha 0,05 maka dapat dibuat kesimpulan bahwa terdapat variabel yang berpengaruh signifikan terhadap ketahanan pasien Covid-19.
Untuk melihat variabel mana saja yang berpengaruh maka, maka dapat dilihat dari nilai chi- square.  Berdasarkan  tabel  6,  dapat  disimpulkan  bahwa  terdapat  dua  variabel  yang  berpengaruh signifikan, yakni penyakit bawaan dan usia.

## 3.5. Pemilihan Model Terbaik
Dua model pengembangan dari model Cox proporsioanal hazard telah dilakukan pada bagian sebelumnya. Model yang dimaksud adalah Stratified Cox dan Extended Cox. Secara umum, kedua model tersebut dapat digunakan untuk pemodelan survival jika terdapat pelanggaran terhadap asumsi proporsional. Meskipun demikian, diperlukan untuk memilih model terbaik sehingga jika digunakan dalam pengambilan kebijakan dapat meminimalisir kesalaan. Untuk memilih model terbaik,  maka akan digunakan kriteria perbandingan nilai AIC. Kriteria AIC mengisyaratkan bahwa jika dilakukan perbandingan model, maka model dengan AIC kecil merupakan model yang lebih baik [11], [12].
Tabel 7. Nilai AIC Model Regresi Stratified dan Extended Cox Stratified Extended AIC 32561,726 25611,731
Dari tabel 7 dapat terlihat nilai AIC dari masing-masing model. Terlihat bahwa nilai AIC model Extended Cox lebih kecil jika  dibandingakn dengan model Stratified Cox. Nilai AIC  untuk model Extended Cox adalah sebesar 25611,73, sedangkan untuk model Stratified Cox meberikan nilai AIC sebesar 32561,726.   Hal ini juga sesuai dengan hasil yang diperoleh oleh [13]–[15] meskipun dengan kasus berbeda.

## 4.  Kesimpulan
Model  pengembangan  dari  Cox  proporsional  hazard  dalam  analisis  survival  telah  dilakukan untuk kasus ketahanan pasien Covid-19 di Kota Palopo. Kedua model ini mampu memodelkan kasus ketahanan jika terdapat variabel yang tidak memenuhi asumsi proporsional. Berdasarkan nilai AIC, disimpulkan  bahwa  model  ketahanan Extended Cox  lebih  baik  digunakan  dalam  pemodelan ketahanan pasien Covid-19 di kota Palopo. Berdasarkan model Extended Cox, terdapat dua variabel yang  berpengaruh  secara  signifikan  terhadap  ketahan  pasien,  yakni  usia  dan  penyakit  bawaan. Meskipun  demikian  bukan  berarti  dalam  segala  kasus Extended Cox  lebih  baik  untuk  digunakan. tentu hasil yang berbeda akan ditemukan untuk kasus yang berbeda pula.

## Referensi
[1]  R. Hidayat, “Bias Comparison of Parameter Estimates in Cox Proportional Hazard and Logistic Regression,” p. 13, 2015.
[2]  G.  Salinas-Escudero,  M.  F.  Carrillo-Vega,  V.  Granados-García,  S.  Martínez-Valverde,  F. Toledano-Toledano,  and  J.  Garduño-Espinosa,  “A  survival  analysis  of  COVID-19  in  the Mexican  population,” BMC  Public  Health ,  vol.  20,  no.  1,  p.  1616,  Dec.  2020,  doi: 10.1186/s12889-020-09721-2.
[3]  J. M. Dennis, A. P. McGovern, S. J. Vollmer, and B. A. Mateen, “Improving Survival of Critical Care Patients With Coronavirus Disease 2019 in England: A National Cohort Study, March to June  2020*,” Critical  Care  Medicine ,  vol.  49,  no.  2,  pp.  209–214,  Feb.  2021,  doi: 10.1097/CCM.0000000000004747.
[4]  R. Hidayat, H. Sumarno, and E. H. Nugrahani, “Survival Analysis in Modeling the Birth Interval of  the  First  Child  in  Indonesia,” OJS ,  vol.  04,  no.  03,  pp.  198–206,  2014,  doi: 10.4236/ojs.2014.43019.
[5]  D.  G.  Kleinbaum  and  M.  Klein, Survival  Analysis:  A  Self-Learning  Text .  New  York,  NY: Springer New York, 2012. doi: 10.1007/978-1-4419-6646-9.
[6]  M. Nadjib Bustan, Arman, M. K. Aidid, F. A. Gobel, and Syamsidar, “Cox Proportional Hazard Survival Analysis to Inpatient Breast Cancer Cases,” J. Phys.: Conf. Ser. , vol. 1028, p. 012230, Jun. 2018, doi: 10.1088/1742-6596/1028/1/012230.
[7]  A.  Neumann-Podczaska et  al. ,  “Clinical  Characteristics  and  Survival  Analysis  in  a  Small Sample of Older COVID-19 Patients with Defined 60-Day Outcome,” IJERPH , vol. 17, no. 22, p. 8362, Nov. 2020, doi: 10.3390/ijerph17228362.
[8]  S. Narain et al. , “Comparative Survival Analysis of Immunomodulatory Therapy for COVID- 19 ‘Cytokine Storm’: A Retrospective Observational Cohort Study,” p. 17.
[9]  W. Lu et al. , “Survival Analysis and Risk Factors in COVID-19 Patients,” Disaster med. public health prep. , pp. 1–6, Mar. 2021, doi: 10.1017/dmp.2021.82.
[10]  G. Aprilicia et al. , “Survival COVID-19 in Adult Patients with Liver Cirrhosis,” InaJGHE , vol. 22, no. 2, pp. 124–129, Sep. 2021, doi: 10.24871/2222021124-129.
[11]  T. Singhal, “A Review of Coronavirus Disease-2019 (COVID-19),” Indian J Pediatr , vol. 87, no. 4, pp. 281–286, Apr. 2020, doi: 10.1007/s12098-020-03263-6.
[12]  C. Lin et al. , “Asymptomatic novel coronavirus pneumonia patient outside Wuhan: The value of CT images in the course of the disease,” Clinical Imaging , vol. 63, pp. 7–9, Jul. 2020, doi: 10.1016/j.clinimag.2020.02.008.
[13]  A. Di Castelnuovo et al. , “Common cardiovascular risk factors and in-hospital mortality in 3,894 patients  with  COVID-19:  survival  analysis  and  machine  learning-based  findings  from  the multicentre Italian CORIST Study,” Nutrition, Metabolism and Cardiovascular Diseases , vol. 30, no. 11, pp. 1899–1913, Oct. 2020, doi: 10.1016/j.numecd.2020.07.031.
[14]  P.  Q.  Thai et  al. ,  “Factors  associated  with  the  duration  of  hospitalisation  among  COVID-19 patients  in  Vietnam:  A  survival  analysis,” Epidemiol.  Infect. ,  vol.  148,  p.  e114,  2020,  doi: 10.1017/S0950268820001259.
[15]  Y.C. Wu, C.-S. Chen, and Y.-J. Chan, “The outbreak of COVID-19: An overview,” Journal of the  Chinese  Medical  Association ,  vol.  83,  no.  3,  pp.  217–220,  Mar.  2020,  doi: 10.1097/JCMA.0000000000000270.