Model Perubahan Sub Populasi (Menikah Dan Tidak Menikah) Dalam Populasi Manusia
Syamsuddin Toaha †

## Abstrak
Pada  tulisan  ini  dibahas  suatu  model  perubahan  populasi  manusia.  Populasi  manusia dibagi  dalam  tiga  sub  populasi  yaitu;  populasi  pria  yang  tidak  menikah,  populasi  wanita yang tidak  menikah dan populasi  yang  menikah.  Perubahan  masing-masing  sub populasi dipengaruhi  oleh  jumlah  sub  populasi  lainnya.  Beberapa  asumsi  dibuat  untuk  keperluan pemodelan. Model perubahan sub populasi itu dikonstruksi dan dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Syarat kewujudan suatu titik keseimbangan positif diberikan. Kestabilan titik keseimbangan positif dari model dianalisis dengan melinearkan model  di  sekitar  titik  keseimbangan  dan  dengan  memeriksa  nilai  eigen  dari  persamaan karakteristik.  Analisis  kestabilan  menunjukkan  bahwa  mungkin  wujud  suatu  titik keseimbangan  positif  yang  bermakna  bahwa  masing-masing  jumlah  sub  populasi  akan menuju ke suatu nilai positif tertentu.
Keywords: Model  deterministik,  populasi  manusia,  kestabilan,  uji  kestabilan Hurwitz, nilai eigen.

## 1.  Pendahuluan
Banyak problem yang telah dikenali ternyata melibatkan perubahan kuantitas secara kontinu  seperti  kecepatan,  percepatan  dan  peluruhan.  Tetapi  banyak  juga  fenomena  yang berubah  secara  gradual  (tidak  kontinu  terhadap  waktu)  seperti  perubahan  jumlah  populasi manusia, perubahan jumlah pohon dalam suatu hutan, jumlah populasi binatang dalam suatu habitat tertentu dan sebagainya. Walaupun perubahan suatu kuantitas berubah secara diskrit, tetapi jika jumlahnya cukup besar, itu dapat dipandang sebagai suatu perubahan yang kontinu. Dalam  bidang  matematika  biologi  misalnya,  perubahan  populasi  manusia  dapat  dipandang sebagai  sesuatu  yang  kontinu  terhadap  waktu.  Model  populasi  Malthus  dan  model  Logistik yang  merupakan  model  kontinu,  telah  digunakan  untuk  memodel  pertumbuhan  populasi manusia. Model Logistik yang dikaji oleh P.F Verhults pada akhir tahun 1830-an (Haberman, 1998)  digunakan  untuk  memprediksi  jumlah  penduduk  Amerika  Serikat  (Lipkin  dan  Smith, 2006).
Dalam  Drayer  (1993)  telah  dibahas  suatu  model  pertumbuhan  populasi  dimana populasi tersebut dikelompokkan dalam 3 sub populasi yaitu populasi pria yang tidak kawin, populasi  wanita  yang  tidak  kawin  dan  populasi  manusia  yang  kawin.  Dalam  model  itu  laju pertumbuhan masing-masing sub populasi hanya proporsional dengan jumlah populasi dalam sub populasi tersebut dan sub populasi lainnya. Model itu tidak mempertimbangkan pengaruh interaksi  antara  sub  populasi  maupun  pengaruh  interaksi  dalam  sub  populasi  itu  pada pertumbuhan masing-masing sub populasi.
Dalam  tulisan  ini  perubahan  ketiga  sub  populasi  akan  di  kaji  lebih  jauh  dengan mempertimbangkan pengaruh interaksi antara sub populasi tersebut terhadap masing-masing perubahan  sub  populasi.  Pertama-tama  akan  dipertimbangkan  suatu  model  yang  cukup kompleks  dan  selanjutnya  karena  kompleksitas  model  tersebut  dibuat  beberapa  asumsi  dan penyederhanaan sehingga diperoleh suatu model baru. Dari model kedua itu, diberikan suatu
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Syamsuddin Toaha
syarat kewujudan titik keseimbangan yang positif dan untuk analisis kestabilannya digunakan uji  kestabilan Hurwitz dan nilai eigen.

## 2. Model Perubahan Sub Populasi Dalam Suatu Populasi
Dalam  paper  ini  akan  dibahas  laju  pertumbuhan  jumlah  populasi  manusia  dalam masing-masing sub populasi manusia dengan mempertimbangkan pengaruh interaksi masing- masing sub populasi pada laju pertumbuhan masing-masing sub populasi. Misalkan populasi manusia dibagi dalam tiga sub populasi, yaitu (i) populasi pria yang tidak kawin (ii) populasi wanita yang tidak kawin, dan (iii) populasi manusia yang kawin.
Untuk  keperluan  pemodelan  perubahan  masing-masing  sub  populasi,  beberapa asumsi diberikan.
1.  Perkawinan adalah monogami.
2.  Bagi  yang  pernah  kawin  tapi  menjadi  single  karena  cerai  atau  karena  kematian pasangannya, dikategorikan sebagai individu yang tidak kawin.
3.   Kelahiran hanya terjadi dari populasi orang yang kawin.
Populasi yang kawin melahirkan anak-anak yang tidak/belum kawin dan sebaliknya, orang  yang  tidak  kawin  berkeinginan  untuk  kawin.  Dengan  demikian  perubahan  jumlah masing-masing dalam tiga sub populasi tersebut saling berhubungan. Untuk mengkonstruksi model perubahan masing-masing sub populasi, didefinisikan beberapa variabel
) ( t p = jumlah pria yang tidak kawin dalam populasi pada saat waktu t ,
) ( t w = jumlah wanita yang tidak kawin dalam populasi pada saat waktu t , dan
) ( t k = jumlah individu yang kawin dalam populasi pada saat waktu t . Laju  perubahan  pada  populasi ) ( t p bergantung  pada:  (i)  laju  kematian 1 a pada populasi pria yang tidak kawin, (ii) laju kelahiran 1 c pada  pria (tentunya tidak kawin) yang berasal dari kelompok pasangan yang kawin, (iii) laju kematian 1 d pada wanita yang kawin (menghasilkan  pria  yang  jadi  duda),  (iv)  interaksi  antara  sesama  pria  yang  tidak  kawin, dengan  interaksi  ini  akan  memberikan  pengaruh  kepada  pria  yang  tidak  kawin  untuk melangsungkan  perkawinan,  (v)  interaksi  antara  pria  dan  wanita  yang  tidak  kawin,  dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada pria yang tidak kawin untuk melangsungkan perkawinan, (vi) interaksi antara pria yang tidak kawin dengan kelompok orang  yang kawin, dengan  interaksi  ini  akan  memberikan  pengaruh  kepada  pria  yang  tidak  kawin  untuk melangsungkan  perkawinan.  Dengan  itu  diperoleh  laju  perubahan  untuk  populasi  pria  pada waktu t sebagai berikut
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 2 1 1 1 1 t k t p b t w t p b t p b t k d c t p a dt t dp       
Laju  perubahan  pada  populasi ) ( t w bergantung  pada:  (i)  laju  kematian 2 a pada populasi wanita yang tidak kawin, (ii) laju kelahiran 2 c pada  wanita (tentunya tidak kawin) yang  berasal  dari  kelompok  pasangan  yang  kawin,  (iii)  laju  kematian 2 d pada  pria  yang kawin (menghasilkan wanita yang jadi janda), (iv) interaksi antara sesama wanita yang tidak kawin,  dengan  interaksi  ini  akan  memberikan  pengaruh  kepada  wanita  yang  tidak  kawin untuk  melangsungkan  perkawinan,  (v)  interaksi  antara  wanita  dan  pria  yang  tidak  kawin, dengan  interaksi  ini  akan  memberikan  pengaruh  kepada  wanita  yang  tidak  kawin  untuk melangsungkan perkawinan, (vi) interaksi antara wanita yang tidak kawin dengan kelompok orang yang kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh kepada wanita yang tidak

## Syamsuddin Toaha
kawin untuk melangsungkan perkawinan. Dengan itu diperoleh laju perubahan untuk populasi wanita pada waktu t berikut
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 2 1 2 2 2 t k t w e t p t w e t w e t k d c t w a dt t dw        Laju perubahan pada populasi ) ( t k bergantung pada: (i) laju 3 a pada populasi pria yang tidak  kawin untuk kawin, (ii) laju 4 a pada  populasi wanita yang kawin untuk  kawin,
(iii) interaksi antara pria dan wanita yang tidak kawin, dengan interaksi ini akan memberikan pengaruh  kepada  pria  dan  wanita  yang  tidak  kawin  untuk  melangsungkan  perkawinan,  (iv) interaksi  antara  pria/wanita  yang  tidak  kawin  dengan  kelompok  orang  yang  kawin,  dengan interaksi  ini  akan  memberikan  pengaruh  kepada  pria/wanita  yang  tidak  kawin  untuk melangsungkan  perkawinan  (v)  laju  kematian 3 d pada  kelompok  pria  yang  kawin
(menghasilkan  janda,  tidak  kawin),  dan  (vi)  laju  kematian 4 d pada  kelompok  wanita  yang kawin (menghasilkan duda, tidak kawin). Dengan itu diperoleh laju perubahan untuk populasi individu yang kawin pada waktu t
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 3 2 1 4 3 t k d d t k t w f t k t p f t w t p f t w a t p a dt t dk       
Dari  uraian  di  atas,  selanjutnya  diperoleh  suatu  model  perubahan  sub  populasi manusia dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 3 2 1 4 3 3 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 t k d d t k t w f t k t p f t w t p f t w a t p a dt t dk t k t w e t p t w e t w e t k d c t w a dt t dw t k t p b t w t p b t p b t k d c t p a dt t dp                      (1)
Matriks Jacobian untuk model (1) adalah
                                4 3 3 2 3 1 4 2 1 3 3 2 2 3 2 1 2 2 3 1 1 2 3 2 1 1 1 2 2
d d w f p f k f p f a k f w f a w e d c k e p e w e a w e p b d c p b k b w b p b a J
Dari  model  (1)  diperoleh  titik  keseimbangan     0 , 0 , 0 , , 0 0 0  k w p ,  sementara  syarat kewujudan  suatu  titik  keseimbangan  positif  tidak  mudah  untuk  ditentukan  secara  eksplisit karena sangat kompleks. Walaupun demikian, untuk model di atas kewujudan dan kestabilan titik keseimbangan positif akan diberikan dalam suatu simulasi.
Contoh  1 .  Diberikan  nilai  parameter  untuk  model  (1)  dengan  nilai 0011 . 0 1  a , 0012 . 0 2  a , 00011 . 0 3  a , 00012 . 0 4  a , 12 . 0 1  c , 11 . 0 2  c , 0013 . 0 1  d , 0011 . 0 2  d , 0051 . 0 3  d , 0042 . 0 4  d , 0011 . 0 1  b , 0013 . 0 1  e , 0012 . 0 2  b , 0013 . 0 2  e , 00011 . 0 3  b , 00015 . 0 3  e , 00012 . 0 1  f , 00011 . 0 2  f dan 00013 . 0 3  f .  Dengan  nilai  parameter  ini,  diperoleh  tiga  titik  keseimbangan  tidak  negatif dan kestabilannya seperti diberikan pada Tabel 1.

## Syamsuddin Toaha
Tabel 1. Titik Keseimbangan Model (1) dan Kestabilannya
No. Titik Keseimbangan Nilai Eigen Kestabilan 1 ) 0 , 0 , 0 ( 00100 . 0 , 00102 . 0 , 01102 . 0   Titik pelana 2   06265 . 0 , 52823 . 1 , 54933 . 1 00068 . 0 , 00411 . 0 , 01520 . 0    Stabil Asimptot
3   0384 . 10 , 0860 . 19 , 9972 . 22 00148 . 0 , 04859 . 0 , 09698 . 0   Titik pelana
Dari  Contoh  1  didapati  ada  tiga  titik  keseimbangan  yang  tidak  negatif,  namun  untuk  nilai parameter  yang  lain,  mungkin  hanya  didapati  dua  titik  keseimbangan  yang    tidak  negatif. Titik keseimbangan yang pertama tidak stabil dengan dua nilai eigen yang bernilai negatif dan satu nilai eigen yang bernilai positif. Hal ini bermakna bahwa jika jumlah awal sub populasi cukup dekat dengan nol, maka dua sub populasi akan menuju ke nilai nol sementara satu sub populasi  lainnya  akan  bertambah  secara  eksponensial.  Titik  keseimbangan  yang  ketiga dengan  dua  nilai  eigen  bernilai  negatif  dan  satu  bernilai  positif,  juga  tidak  stabil.  Dengan bertambahnya  waktu,  dua  sub  populasi  jumlahnya  menuju  ke  titik  keseimbangan  tersebut, sementara  satu  sub  populasi  yang  lain  jumlahnya  malah  menjauhi  titik  keseimbangan tersebut. Titik keseimbangan yang kedua adalah stabil asimptotik dan merupakan suatu node. Hal  ini  bermakna  bahwa jika  jumlah awal  masing-masing  sub  populasi  cukup  dekat  dengan populasi  keseimbangan,  maka  jumlah  masing-masing  sub  populasi  selanjutnya  menuju  ke populasi  keseimbangan.  Dengan  demikian,  dengan  nilai parameter  yang  diberikan  seperti  di atas  dan  jumlah  masing-masing  sub  populasi  dekat  dengan  nilai  populasi  keseimbangan, maka  ketiga  sub  populasi  tersebut  akan  tetap  wujud,  dan  tidak  akan  ada  sub  populasi  yang akan  punah  ataupun  berkembang  tanpa  batas.  Pada  keadaan  ini  jumlah  populasi  dan perbandingannya cenderung tetap

## 3. Penyederhanaan Model
Model  perubahan  sub  populasi  seperti  yang  diberikan  pada  model  (1)  sangat kompleks  sehingga  titik  keseimbangan  model  tidak  mudah  untuk  diperoleh  secara  umum. Dengan  itu,  kita  menyederhanakan  model  dengan  mengabaikan  beberapa  faktor  yang membangun  model  tersebut.  Dengan  mengasumsikan  bahwa 0 1  b , 0 3  b , 0 1  e ,
0 3  e , 0 1  f , 0
2  f , 0
3  f , 1 1 1 d c r   , 2 2 2 d c r   , dan 4 3 3 d d r   ,  model (1)
dapat ditulis sebagai
). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 4 3 2 2 2 2 1 1 t k r t w a t p a dt t dk t p t w e t k r t w a dt t dw t w t p b t k r t p a dt t dp            (2)
Matriks Jacobian untuk model (2) adalah
       
          3 4 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 r a a r p e a w e r p b w b a J

## Syamsuddin Toaha
Dari model (2) diperoleh titik keseimbangan     0 , 0 , 0 , , 0 0 0  k w p dan
         BC AD C A B A k w p , , , , 1 1 1 , dengan 2 1 3 2 4 1 2 3 1 a r a r a a a r a A     , 1 3 2 2 2 3 3 1 1 r a e b r a r a e B    , 2 4 2 2 3 2 4 1 2 r a b a r b a r e C    dan 1 2 4 2 2 3 a e a a b a D   . Titik keseimbangan   1 1 1 , , k w p berada pada oktan pertama jika 0  A , 0  B dan 0  C .
Dalam  analisis  ini,  kita  fokus  pada  analisis  titik  keseimbangan   1 1 1 , , k w p karena
titik  keseimbangan  ini  lebih  menarik  untuk  di  analisis  ketimbang  titik  keseimbangan
  0 0 0 , , k w p . Pada titik keseimbangan   1 1 1 , , k w p diperoleh matriks Jacobian
                  3 4 3 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 3 r a a r p e a w e r p b w b a J (3)
Untuk  analisis  kestabilan  titik  keseimbangan   1 1 1 , , k w p akan  digunakan  uji kestabilan  Hurwitz  (Jeffries,  1989;  Willems,  1970).  Persamaan  karakteristik  untuk  matriks Jacobian (3) adalah
0 1 2 2 3 ) ( p p p f         dengan , 3 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 2 1 2 3 4 1 1 2 3 2 1 2 2 1 3 4 2 1 4 2 1 2 0 r a a r p e a p e r a r p b a a r w e r a w b a r a a r a a r w b p           4 2 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 a -r r a a w b r w b a a r a p e a r p e r -a p         dan 3 1 2 2 1 2 1 2 +r p +e +a w +b a p

## 
Dengan  menggunakan  uji  kestabilan  Hurwitz,  yaitu  jika 0 0  p , 0 1  p , 0 2  p dan 0 0 1 2   p p p maka titik keseimbangan   1 1 1 , , k w p stabil asimptotik. Contoh 2 . Diberikan nilai parameter untuk model (2) dengan nilai 051 . 0 1  a , 052 . 0 2  a , 00015 . 0 3  a , 00014 . 0 4  a , 11 . 0 1  r , 12 . 0 2  r , 00012 . 0 3  r , 00013 . 0 2  b ,  dan 00014 . 0 2 
e .  Dengan  nilai  parameter  ini  diperoleh  dua  titik  keseimbangan  yang  tidak negatif  yaitu     0 , 0 , 0 , , 0 0 0  k w p dan    1 1 1 , , k w p , 14607 . 1783 , 83085 . 1574 ( 87564 . 4048 ).  Nilai  eigen  yang  berhubungan  dengan  titik  keseimbangan  pertama  adalah 0.051226 - , 0.000520 , 0.052414 - .  Untuk  titik  keseimbangan  yang  kedua  diperoleh 66 0.00000139 0  p , 39 0.02598369 1  p , 1 .555405308 0 2  p dan 50 0.01443008 0 1 2   p p p .  Dengan  menggunakan  uji  kestabilan  Hurwitz  disimpulkan bahwa  titik  keseimbangan   87564 . 4048 , 14607 . 1783 , 83085 . 1574 adalah  stabil
asimptotik.  Lebih  lanjut  lagi  diperoleh  nilai  eigen 0.503839 - , 0.051512 - , 0.000054 - .

## Syamsuddin Toaha
Dengan  demikian  titik  keseimbangan  yang  kedua  stabil  asimptotik  dan  merupakan  suatu node.
Dari contoh 2 didapati bahwa titik keseimbangan yang pertama tidak stabil dengan dua nilai eigen yang bernilai negatif dan satu nilai eigen yang bernilai positif. Hal ini bermakna bahwa jika jumlah awal sub populasi cukup dekat dengan nol, maka dua sub populasi akan  menuju ke  nilai  nol  sementara  satu  sub  populasi  lainnya  akan  bertambah  secara  eksponensial. Sementara titik  keseimbangan  yang  kedua  stabil  asimptotik  dan  merupakan  suatu  node.  Hal ini  bermakna  bahwa  jika  jumlah  awal  masing-masing  sub  populasi  cukup  dekat  dengan populasi  keseimbangan,  maka  jumlah  masing-masing  sub  populasi selanjutnya akan  menuju ke populasi keseimbangan. Dengan demikian, dengan nilai parameter yang diberikan seperti di  atas  dan  jumlah  masing-masing  sub  populasi  dekat  dengan  nilai  populasi  keseimbangan, maka  ketiga  sub  populasi  tersebut  akan  tetap  wujud  dan  tidak  akan  ada  sub  populasi  yang punah  ataupun  berkembang  tanpa  batas.  Pada  keadaan  ini  jumlah  populasi  akan  menuju  ke suatu nilai konstan 7406.852564 dengan perbandingan antara populasi pria yang tidak kawin, populasi  wanita  yang  tidak  kawin  dan  populasi  yang  kawin  cenderung  tetap,  yaitu 1574.83085 : 1783.14607 : 4048.87564.

## 4. Kesimpulan
Dengan  mempertimbangkan  pengaruh  interaksi  antara  masing-masing  sub  populasi pada  model  pertumbuhan  masing-masing  sub  populasi,  diperoleh  suatu  model  yang  sangat mendekati  fenomena  sebenarnya.  Namun  model  yang  terhasil  sangat  kompleks  sehingga kewujudan  titik  keseimbangan  tidak  mungkin  lagi  didapati  secara  eksplisit.  Meskipun demikian,  dengan  membuat  suatu  simulasi,  yaitu  dengan  mencoba  nilai-nilai  parameter, diperoleh  suatu  titik  keseimbangan  yang  positif  dan  stabil.  Dengan  simulasi  ini  dapat disimpulkan bahwa jika suatu model populasi manusia mengikuti model (1), maka  mungkin wujud suatu populasi keseimbangan yang positif dan stabil.
Pada  model  yang  kedua,  yaitu  penyederhanaan  dari  model  (1),  didapati  dua  titik keseimbangan  yang  mungkin tidak negatif, yaitu titik  keseimbangan     0 , 0 , 0 , , 0 0 0  k w p dan  titik  keseimbangan   1 1 1 , , k w p .  Titik  keseimbangan  yang  kedua  ini  mungkin  berada pada  oktan  pertama,  bergantung  pada  nilai-nilai  parameter  model.  Selanjutnya  dengan menggunakan  uji  kestabilan  Hurwitz  didapati  bahwa  titik  keseimbangan  ini  mungkin  stabil. Dengan  demikian  dapat  disimpulkan  bahwa  pada  model  (2)  mungkin  didapati  suatu  titik keseimbangan yang positif dan stabil yang bermakna bahwa ketiga-tiga sub populasi manusia tersebut  dapat  wujud  untuk  selamanya  dengan  jumlah  populasi  manusia  menuju  ke  nilai konstan 1 1 1 k w p   dengan perbandingan populasi pria yang tidak  kawin, populasi wanita yang tidak kawin dan populasi yang kawin adalah
1 1 1 : : k w p .

## Daftar Pustaka
[1]   Drayer, T.P., 1993, “ Modelling with Ordinary Differential Equations ”. CRC Press, Inc.,
Boca Rotan.
[2]  Haberman,  R.,  1998, “Mathematical  Models:  Mechanical  Vibrations,  Population Dynamics, and Traffic Flow ”. SIAM, Philadelphia.
[3]  Jeffries, C., 1989, “ Mathematical Model in Ecology ”. Birkhauser, Boston.
[4]  Lipkin, L., dan Smith, D., 2006, “Logistic growth model”,
http://www.math.duke.edu/ education/ccp/materials/diffeq/logistic/logi1.html.
[19 April 2006]
[5]  Willems, J.L., 1970, “ Stability Theory of Dynamical System ”. Thomas Nelson & Sons , London.