## METODE NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN DIRECTION DAN NORMRERATA ARITMATIKA
Rukmono Budi Utomo Universitas Muhammadiyah Tangerang Email: rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id

## Abstract
This  research  is  investigating  of  Steepest  Descent  numerical  method  with  direction  and  norm arithmetic  mean.  This  research  is  begin  with  try  to  understand  what  Steepest  Descent Numerical is and its algorithm. After that, we constructing the new Steepest Descent numerical method  using  another  direction  and  norm  called  arithmetic  mean.  This  paper  also  containing numerical counting examples using both of these methods and analyze them self.
Keywords : Steepest Descent Methods, Gradient, Direction, Norm Arithmetic Mean

## PENDAHULUAN
Tidak  selamanya  solusi  analitik dari  suatu  permasalahan  matematika khususnya  masalah  optimisasi  dapat dengan  mudah  ditemukan.  Terkadang ditemukan  kendala  yang  cukup  rumit sehingga solusi analitik dari
permasalahan  optimisasi  tersebut  tidak mudah  ditemukan.  Berdasarkan  hal tersebut  solusi  numerik  merupakan sesuatu  hasil  yang  cukup  baik  untuk dicari meski hasilnya merupakan hampiran  atau  pendekatan.  Metode numerik  merupakan  suatu  metode pendekatan  ( approximation )  dari  solusi sejati,  dan  berdasarkan  hal  tersebut terdapat  besarnya  angka  kesalahan ( eror) yang dihasilkan oleh perhitungan numerik.  Kesalahan  ini  lebih  sering diakibatkan  baik  karena  pemotongan suku  atau  pembulatan  nilai  (Rinaldi, 2008).  Masalah  optimisasi  merupakan persoalan  yang  banyak  menggunakan metode  numerik  dalam  mencari  solusi penyelesaian tatkala solusi analitik sulit ditemukan. Menurut kendalanya
( constrain) ,  masalah  optimisasi  dibagi dua  yakni  masalah  optimisasi  dengan kendala  dan  tanpa  kendala,  sedangkan menurut  variabel  bebasnya  masalah
optimisasi  juga  dibagi  atas  dua,  yakni masah  optimisasi  dengan  satu  variabel bebas dan banyak variabel
bebas.Masalah  optimisasi  juga  dibagi atas dua bagian berdasarkan banyaknya fungsi  objektif  yang  dioptimalkan, yakni  masalah  optimisasi  dengan  satu fungsi  objektif  dan  banyak  fungsi objektif.
Metode numerik untuk menyelesaikan masalah optmisasi
dengan  kendala  dapat  menggunakan metode  Kuhn-Tucker  atau  pengali Lagrange,  sedangkan  untuk  masalah optimisasi  tanpa  kendala  dengan  satu variabel  bebas  dapat  menggunakan metode Golden Rasio, Fibonacci,
Biseksi,  Dichotomus  dan  Secant.  Lebih lanjut  untuk  menyelesaikan  masalah optmisasi  dengan  lebih  dari  satu variabel  bebas  dapat  menggunakan metode  Aksial,  Newton,  Hook  and
Jeeves, Stepest Descent, Arah Konjugasi,  dan  Rosenberg  (Bazaraa, 2006).  Untuk  menyelesaikan  masalah optimisasi dengan banyak fungsi objektif  dapat  menggunakan  program linear multi objektif, namun hal tersebut tidak dibahas dalam tulisan ini Makalah ini membahas mengenai  metode  numerik Steepest
Descent dengan arah pencarian
(direction) dan keputusan berhenti (norm) berupa rerata aritmatika. Makalah  Metode  numerik  Stepest Descent dengan rerata aritmatika sebenarnya  sudah  dibahas  oleh  penulis dan  dibawakan  pada  seminar  nasional matematika  UM  malang,  namun  pada makalah  tersebut  keputusan  berhenti iterasi  (norm)  masih  menggunakan
  , 1, 2, k Z X k      . Dalam tulisan  kali  ini  bentuk  keputusan berhenti  suatu  iterasi  (norm)  juga merupakan rerata aritmatika atau
dengan kata lain
  1 , 1, 2, k k k Z X k k        Diketahui bahwa metode Steepest Descent pada umumnya menggunakan  arah  pencarian  gradien biasa   k k d Z X   ,  sedangkan  pada penelitian ini
arah pencarian
dimodifikasi  menjadi  rerata  aritmatika
  1 k k k k Z X d k     
. Tidak hanya arah pencarian ( direction) yang berupa rereta aritmatika,  namun  keputusan  berhenti satu  iterasi  mestinya  juga  berupa  rerata aritmatika.  Berdasarkan  hal  tersebut dalam  tulisan  ini  didefinisika  norm
  1 , 1, 2, k k k Z X k k        . Penelitian dilakukan dengan
memahami  terlebih  dahulu  mengenai metode  numerik Steepest  Descent dengan  arah  pencarian  gradien  biasa kemudian  menyusunalgoritma  untuk metode Steepest  Descent dengan  arah pencarian direction dan keputusan berhenti norm rerata  aritmatika  Dalam tulisan    ini  juga  akan  diberikan  contoh perhitungan  numerik  untuk  metode Steepest  Descent dengan  kedua  arah
pencarian  tersebut  beserta  analisis  dan perbandingan  keakuratan  solusi  antara keduanya.

## KAJIAN TEORI Definisi Ruang Vektor (Anton, 1991)
Himpunan  tak  kosong V merupakan ruang  vektor  apabila , , x y z V   dan , a b R  sedemikian  hingga  memenuhi
aksioma-aksioma sebagai berikut:
i. x y V   ii. x y y x    iii.     x y z x y z     
iv. 0 V   sehingga 0 0 0 V V    
v. x V   sehingga   0 x x   
vi. ax V  vii.   a x y ax ay    viii.   a b x ax bx    ix.     ab x a bx  x. 1 x x 
Definisi Norm (Anton, 1991) Diberikan , X Y dua  vektor.  Sembarang
bilangan riil || || X dinamakan norm dari X apabila memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut
i. | || 0 X  ii. | || 0 0 aX X    iii. || || | ||| ||, aX a X a R   iv. | || || || || || X Y X Y   

## Definisi Ruang Bagian (Anton, 1991)
Himpunan  bagian W dari V disebut ruang  bagian  dari V jika W ruang vektor  dengan  operasi  jumlah  dan  kali sama seperti
Definisi  Kombinasi  Linear  (Anton, 1991)
Misalkan i X , 1 i m   vektor-vektor di V maka X disebut  kombinasi  linear dari vektor-vektor i X jika
1 m i i i X a X   
Definisi Bebas Linear (Anton, 1991)
Vektor i X , 1 i m   anggota-anggota V disebut  tak  bebas  linear  jika  dan hanya  jika  terhadap  bilangan-bilangan riil tak semuanya nol sedemikian hingga
1 0 m i i i a X    .  Apabila  pembuat  nol
hanya 0 i a  , maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear.
Definisi  Basis  Ortonormal  (Salmah, 2011)
Basis  ortonormal  di 2  didefinisikan sebagai   1 1, 0 T l  dan
  2 0,1 T l  ,
sedangkan  untuk n  basis  ortonormal didefinisikan dengan       1 2 1, 0, , 0 , 0,1, , 0 , , 0, 0, ,1 T T T n l l l        Definisi Hubungan Dua Vektor (Salmah, 2011) Diberikan dua buah vektor , X Y dengan 1 2 { , ,..., } n X x x x  dan 1 2 { , ,..., } n
Y y y y  .  Pernyataan  berikut dapat dibuktikan benar
i. X Y  jika  dan  hanya  jika
i i x y  , 1, 2,..., i i n  
ii. X Y  jika  dan  hanya  jika i i x y  , 1, 2,..., i i n  
iii. X Y  jika  dan  hanya  jika i i x y  , 1, 2,..., i i n  

## Definisi Bola Terbuka (Salmah, 2011)
Diberikan 0 n x   serta 0   .
Himpunan     0 0 , n B x x x x       
merupakan  persekitaran  dari 0 x atau
disebut  bola  terbuka  dengan  pusat 0 x dan radius  .
Definisi Titik Dalam (Salmah, 2011)
Titik 0 n x X    disebut titik dalam ( interior  point )  dari  himpunan X jika
0    sehingga   0 , B x X   Definisi Titik Batas (salmah, 2011)
Titik 0 n x X    disebut  titik  batas ( boundary  point )  dari  himpunan X jika setiap sekitar  dari 0 x memuat beberapa  titik  yang  berada  di X dan
beberapa titik yang tidak berada di X Definisi  Himpunan  Terbuka(Salmah, 2011)
Himpunan X disebut himpunan terbuka jika  setiap  titik  dari X merupakan  titik dalam    dari X .  Lebih  lanjut  himpunan Y merupakan  himpunan  tertutup  jika komplemen dari himpunan terbuka.
Definisi Himpunan Tertutup(Salmah, 2011)
Himpunan X disebut himpunan tertutup jika  himpunan  tersebut  memuat  semua titik batasnya.
Definisi  Bentuk  Kuadratik  (Chong,
2001) 2 2 2 11 1 2 2 12 1 2 1,3 1 3 23 2 3 ( ) 2 ... ... ... nn n F X c x c x c x c x x c x x c x x     
    dengan ij c R  , 1 i  , j n  disebut fungsi  bentuk  kuadratik  dengan n variabel bebas 1 2 , ,..., n x x x

## Definisi Fungsi Definit (Chong, 2001)
Bentuk kuadratik T X AX disebut positif (negatif) definit jika ( )0 T X AX   untuk semua 0 X  dan terdapat sekurangnya  satu  vektor  tak  nol sedemikian  hingga 0
T X AX  .  Apabila tidak memenuhi keduanya, maka bentuk  kuadratik  tersebut  dikatakan indefinite
Teorema  Fungsi  Definit  (Chong,
2001)
Suatu matriks A dikatakan
a.  Positif definit jika  dan  hanya  jika 0 i   b.  Negatif definit jika  dan  hanya  jika 0 i   c.  Positif  semi definit jika  dan  hanya
jika 0 i   d.  Negatif  semi definit jika  dan  hanya jika 0 i   dengan i  merupakan  nilai-nilai  eigen dari  matriks A dan  ketidaksamaan dicapai  untuk  sekurang-kurangnya  satu
j . Lebih  lanjut  apabila
i  tidak memenuhi  i,ii,iii,iv    maka  matriks A disebut indefinite Definisi  Minimum  Global  (Chong,
2001) Fungsi ( ) F x dikatakan
memiliki
minimum  global  di 0 x dalam S jika
0 ( ) ( ) f x f x 
Definisi  Minimum  Lokal  Relatif (Chong, 2001) Fungsi ( ) F x dikatakan memiliki
minimum  lokal  di 0 x dalam S jika terdapat  sekitar  dari 0 x sehingga
0 ( ) ( ) f x f x  untuk  setiap x di  dalam persekitaran tersebut.
Definisi  Deret  Taylor  (Sawaragi, 1985) Deret Taylor untuk fungsi ( ) F X dengan
1 2 { , ,..., } n X x x x  didefinisikan sebagai
' ( ) 3 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) X F X x F X F X X H X x            dengan 3  merupakan  suku  berderajat besar,  dan ( ) H X merupakan  metrik

## Hessian yang didefinisikan sebagai
2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 .. . . . n n n n n F F F x x x x x F F F H x x x x x F F F x x x x x
                                               
Syarat  perlu  agar X merupakan  titik ekstrim dari fungsi ( ) F X adalah ( ) 0 F X   dengan 1 2 ( ) , ,..., n F F F F X x x x               Algoritma Stepest Descent (Bazaraa,2006) Diberikan 2 2 ( ) ( , ,., ) n Z F X F x x x   dan akan  ditentukan  nilai 1 2 { , ,., } n X x x x 
yang  meminimalkan  fungsi ( ) F X tersebut i. Ambil 1 1 2 { , ,., } n n X x x x R   yang merupakan sembarang titik awal dan 0  ò yang  merupakan  suatu konstanta positif yang menyatakan  besarnya  kesalahan eror yang ditoleransi. ii. Dibentuk fungsi gradient
  1 2 , , , n Z Z Z Z X x x x                dan
tentukan   1 Z X  dan lakukan
untuk   k Z X  iii. Apabila   k Z X    , maka iterasi berhenti, sebaliknya iterasi dilanjutkan iv. Tentukan k  dengan cara mencari titik ekstrim
  k k k Z X d   yakni dengan
cara menderivatifkan fungsi   k k k Z X d   dan menyamadengankan nol  dengan  arah  pencarian   k k d Z X   v. Nilai k X ditentukan  dengan
1 1 1 k k k k X X d      

## METODE PENELITIAN
Metode untuk melakukan penelitian ini  adalah  studi  literatur,  yakni  dengan membaca  dan  memahami  konsep  teori metode  numerik  untuk  menyelesaikan
masalah  optimisasi  khususnya  Stepest Descent.  Buku  yang  digunakan  untuk melakukan  penelitian  ini  antara  lain buku-buku  seperti, An  Introduction  to Optimization karya  Edwin  K.P.Chong dan  Stanislaw  H  Zak, Theory  of Multiobjective Optimization karya Yoshikazu Sawaragi, Hirotaka Nakayama dan Tetsuzo Tanino,
Nonlinear  Programming  Theory  and Algorithm karya  Mochtar  S  Bazaraa, Hanif  D  Sherali  dan  C.M  Shetty, Metode  Numerik karya  Rinaldi  Munir  ,
Diktat  kuliah  Optimisasi  karya  Salmah, Prosiding  Rukmono  pada  semnas  UM yang berjudul Metode Numerik Stepest Descent  dengan  Arah  Pencaraian Rerata  Aritmatika dan  materi  kuliah metode numerik program studi
pendidikan  matematika  UMT    yang penulis tulis sendiri.
Setelah memahami metode numerik
Stepest  Descent  dengan  arah  pencarian gradien   k k d Z X   dikembangkan metode numerikStepest Descent dengan arah  pencarian  rerata  aritmatika  dan
didefinisikan  dengan
  1 k k k k Z X d k     
dengan norm
  1 , 1, 2, k k k Z X k k        . Terakhir
dilakukan simulasi perhitungan  mencari  solusi  numerik dari  masalah  optimisasi  dua  variabel dengan  cara  metode  numerik  Stepest Descent dengan arah pencarian gradient biasa  dengan  rerata  aritmatika  beserta analisis perhitungannya.

## HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan algoritma Stepest
Descent  dngan  arah  pencarian  gradien
  k k d Z X   ,  akan  dikembangkan suatu  metode  Stepest  Descent  dengan arah pencarian rerata aritmatika.
Algoritma  Stepest  Descent  Dengan Arah Pencaraian Rerata Aritmatika
Diberikan fungsi 2 2 ( ) ( , ,., ) n Z F X F x x x   dan akan ditentukan 1 2 { , ,., } n X x x x  yang meminimalkan fungsi ( ) F X tersebut} i. Ambil 1 1 2 { , ,., } n n X x x x R  
titik  sembarang  titik  awal  dan
0  ò suatu konstanta positif yang menyatakan besarnya kesalahan eror yang ditolerasnsi. ii. Dibentuk
  1 2 , , , n Z Z Z Z X x x x             
 
kemudian tentukan untuk   1 Z X  serta   k Z X  iii. Apabila   k Z X    , maka iterasi berhenti, sebaliknya iterasi dilanjutkan
iv. Cari k  dengan  cara  mencari
titik ekstrim   k k k Z X d  
yakni dengan cara menderivatifkan   k k k Z X d   dan  menyamadengankan  nol serta  arah  pencarian  direction
  1 k k k k Z X d k      dan keputusan
berhenti iterasi norm
  1 , 1, 2, k k k Z X k k        v. Apabila  nilai 1 k k X X   ,  maka
hal  ini  disebut Rounding atau berputar  putar,  sehingga  tidak mungkin dilakukan iterasi selanjutnya.  Berdasarkan  hal tersebut, perhitungan harus dihentikan dan diambil kesimpulan bahwa nilai numerik
dari  suatu  masalah  optimisasi tanpa  kendala  adalah k X atau
1 k X  .  Nilai  hampiran  ini  dapat berupa nilai analitik atau memang  hanya  berupa  nilai pendekatan. Contoh Numerik 1 (Rukmono, 2016) Tentukan nilai 1 2 { , } X x x  yang
meminimalkan 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) 2 3 Z x x x x x x     dengan menggunakan  metode  Stepest  Descent dengan toleransi kesalahan 0.03  ò Solusi  Stepest  Descent  dengan  Arah Pencarian Gradien Ambil sebarang titk awal 2 1 1 2 { 1, } X R    . Berdasarkan masalah
optimisasi  di  atas  dapat  ditentukan     1 7, 0 Z X    .Karena norm
  1 7 Z X 
   maka iterasi dilanjutkan  dengan  arah  pencarian     1 1 7,0 d Z X    dan berdasarkan hal
tersebut dapat diperoleh 1 1 4   . Apabila dicari lebih lanjut, akandiperoleh  nilai 2 3 1 , 4 2 X        dengan
nilai gradien     2 0, 0 Z X   dan norm   2 0 Z X     .  Berdasarkan  hal
tersebut  iterasi  berhenti  sehingga  nilai   1 2 2 , X x x  yang meminimalkan
masalah  optimisasi  di  atas  adalah
2 3 1 , 4 2 X        .
Karena   2 0 Z X     hal ini
mengindikasikan  bahwa  solusi  numerik ini  sama  dengan  solusi  analitiknya. Pada  penyelesaian  masalah  optimisisasi tanpa  kendala  di  atas,  terlihat  bahwa untuk  nilai  awal 2 1 1 2 { 1, } X R    dan
arah  pencarian   k k d Z X  
,  solusi numerik  yang  dihasilkan  sama  dengan solusi  analitik  yakni 3 1 , 4 2 X        dan langkah pengerjaannya hanya menbutuhkan dua iterasi. Solusi  Stepest  Descent  dengan  Arah Pencarian dan Norm Rerata Aritmatika Tetap  diambil  sebarang  titk  awal 2 1 1 2 { 1, } X R    . Berdasarkan masalah  optimisasi  di  atas  dapat ditentukan     1 7, 0 Z X 
  .
Karena norm   1 7 Z X     maka iterasi dilanjutkan dengan arah pencarian     1 1 7, 0 d Z X    dan berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh
1 1 4   .  Apabila  dicari  lebih  lanjut,
akan  diperoleh  nilai 2 3 1 , 4 2 X        dengan
    1 2 7 2 Z X Z X     
dan  dengan  arah  pencarian  rerata sebagai berikut
      2 1 2 1 7 2 2 , 0 2 k k Z X Z X Z X d k                     
.  Berdaarkan  hal  tersebut  diperoleh
2 0   sehingga 2 3 3 1 , 4 2 X X         .
Perhatikan bahwa nilai 2 3 3 1 , 4 2 X X        
,  berdasarkan  hal  tersebut  terjadi
Rounding sehingga bagaimanapun perhitungan diberhentikan. Berdasarkan hal  tersebut  nilai  numerik  diambil
2 3 1 , 4 2 X        yang  kebetulan  juga merupakan  nilai  analitiknya.  Dengan
demikian, solusi yang ditemukan dengan metode ini sesuai dengan solusi aslinya.

## Contoh Numerik 2 (Rukmono, 2016)
Pandang  kembali  contoh  numerik1. Apabila diambil 2 1 { 1,1} X R    , penyelesaian  akan  coba  dilakukan dengan metode Steepest Descent dengan kedua jenis arah pencarian.
Solusi  Stepest  Descent  dengan  Arah Pencarian Gradien
Berdasarkan  hal  tersebut  diperoleh     1 7,1 Z X
   dengan
norm   1 50 Z X 
   .  Karena  norm  masih
lebih  besar  dari  ,  maka  iterasi dilanjutkan.
Arah pencarian
    1 1 7, 1 d Z X     dan  berdasarkan
hal  tersebut  dapat  diperoleh 1 50 198   . Apabila dicari, diperoleh
2 76 74 , 99 99 X        dengan     2 0.070,0.494 Z X 
 dan  nilai  norm   2 0.498 Z X     , berdasarkan hal tersebut iterasi dilanjutkan. Dengan cara analog, diperoleh
    2 2 0.070, 0.494 d Z X      sehingga
berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh
2 0.49
  .  Lebih  lanjut  diperoleh  niali
  3 0.732, 0.504 X  dengan  nilai  gradien
    3 0.072,0.008 Z X
   dan  nilainorm adalah   3 0.07 Z X     . Proses dilanjutkan  sehingga  diperoleh  arah pencarian    
3 3 0.072, 0.008 d Z X     dan
3 0.25
  .Berdasarkan hal tersebut
diperoleh 4 3 1 , 4 2 X        dengan  nilai
gradien     4 0, 0 Z X   dan
  4 0 Z X    
sehingga iterasi
berhenti  dan  solusi  numeriknya  juga merupakan solusi analitik
Solusi  Stepest  Descent  dengan  Arah Pencarian dan Norm Rerata Aritmatika Diambil 2 1 { 1,1} X R    sebarang  nilai awal. Berdasarkan hal tersebut diperoleh nilai gradient
    1 7,1 Z X 
  dengannorm
  1 50 Z X     .  Karena  norm  masih lebih  besar  dari  ,  maka  iterasi dilanjutkan.  Karena  arah  pencarian     1 1 7, 1 d Z X     maka
berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh
1 50 198   . Apabila dicari, maka akandiperoleh nilai 2 76 74 , 99 99 X     
 
dengan nilai gradien     2 0.070,0.494 Z X   dan norm     1 2 3.544 2 Z X Z X      .
Nilai  arah  pencarian 2 d ditentukan dengan
        2 1 2 1 2 3.465, 0.747 2 2 k k Z X Z X Z X d                 
.Berdasarkan  hal  tersebut  diperoleh
2 0.002538
 
sehingga dapat
ditemukan  nilai   3 0.7764, 0.7455 X  .
Lebih  lanjut     3 0.1056,0.4911 Z X   dengan   3 1 2.369 i i Z X       .  Karena
norm  masih  lebih  besar  dari  ,  maka iterasi  dilanjutkan.  Dengan  cara  yang sama akan diperoleh   3 2.274, 0.6617
d   dengan 3 0.00039   sehingga dapat
ditemukan   4 0.7853,0.7429 X  dengan
    4 0.1412,0.4858 Z X   dan norm   5 4 1 1.781 i Z X       . Iterasi
dilanjutkan sehingga diperoleh
  4 1.6708, 0.6172 d   dan
4 0.0053   . Berdasarkan hal demikian diperoleh nilai
  5 0.794, 0.739 X  dengan
    5 0.176,0.478 Z X   dan   5 1.428 Z X     . Berdasarkan
perhitungan  ini  terdapat  dua  hipotesa yang dapat diambil yakni Pertama nilai 2 1 x   semakin  menjauhi  nilai  aslinya yakni 1 0.75 x  namun  untuk 2 2 x   terlihat  mendekati  nilai  aslinya  yakni
2 2 0.5 x    dan suatu saat akan berhenti  ketika  akan  tetap  berhenti  saat
  1 n k i Z X n      . Kedua pada saat nilai 2 x
kemungkianan  mencapai  0.5,  iterasi tetap  tidak  dapat  berhenti  dikarenakan ada  kemungkinan  untuk  nilai  norm
  1 n k i Z X n   
t iba  –tiba  berbalik  lebih
besar dari  . Hal demikian dapat terjadi
karena  salah  satu  bagian  dari  nilai
  1 n k i Z X n    semakin positif atau semakin membesar.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  penelitian  yang  telah  dilakukan, terdapat  beberapa  hal  yang  dapat disimpulkan:
i. Dalam  suatu masalah  optimisasi dua  variabel  tanpa  kendala dengan  nilai  awal  tertentu 1 X , solusi  numerik    Stepest  Descent dengan  arah  pencarian  negtif gradien biasa akan menghasilkan solusi yang identik  dengan  solusi  analitik pada  masalah  optimisasi  yang dibahas dalam tulisan ini. Begitu pula  dengan  solusi  numerik yang  dihasilkan  oleh  metode Stepest  Descent  dengan  arah pencarian dan norm rerata aritmatika. Solusi yang dihasikan  identik  dengan  solusi asli meskipun hal ini diakibatkan karena Rounding ii. Solusi masalah optimisasi dengan metode Steepest Descent dengan  arah  pencarian  dan normrerata  aritmatika  dengan titik awal yang lain menghasilkan  salah  satu  nilai dari , 1,2 i x i  yang  menjauhi
nilai  aslinya.  Untuk  metode Steepest  Descent dengan  arah
pencarian
  1 k k k k Z X d k      menghasilkan nilai 2 x yang semakin  akurat  dengan  solusi asli  namun  tidak  sama  halnya dengan 1 x yang  justru  menjauhi nilai  aslinya.  Meski  demikian
masih  perlu  diperiksa  apakah iterasi  benar  benar  berhenti  atau suatu  saat  nlai  norm  justru malah  berbalik  membesar  lebih dari  nilai  Hal  demikian  dapat terjadi  karena  salah  satu  bagian
dari  nilai   1 n k i Z X n    semakin
positif atau semakin membesar
Adapun saran dalam penelitian ini adalah  perlu  dikonstrusi  arah  pencarian rerata  aritmatika  yang  pas  agar  baik nilai 1 x maupun 2 x yang  dihasilkan dapat menuju pada nilai yang seharusnya,  yakni  mendekati  atau  sama dengan  solusi  asalitiknya  dan  tidak memiliki  kemungkinan  menghasilkan nilai  norm  yang  justru  akan  membesar. Lebih  lanjut  perlu  diselidiki  untuk masalah  optimisasi  yang  lain  dengan nilai  awal 1 X tertentu  agar  ditemukan kesimpulan  umum  mengenai  kecepatan iterasi  menemukan  solusi  pada  metode numeric Steepest  Descent dengan  arah pencarian gradient biasa dengan gradient dan norm rerata aritmatika.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton,  Howard.  1991. Aljabar  Linier .
Penerjemah PanturSilaban. Jakarta: Erlangga Bazaraa.  S.  Mochtar.  2006. Nonlinear Programming Theory and Algorithms . London: Willey Interscience K.P.Chong,, Edwin..2001. An IntroductionTo Optimization . USA: John Wiley & Sons, Inc.
Munir,  Rinaldi.  2008. Metode  numerik . Bandung:Informatika
Salmah. 2011. Diktat Optimisasi .
Yogyakarya: FMIPA UGM
Sawaragi,  Yoshikazu .  1985.  Theory ofmultiobjective optimization . London: Academic Press Inc. Utomo, Rukmono. Budi. 2016. MetodeNumerik  Stepest  Descent Dengan  Arah  Pencarian  Rerata Aritmatika, Prosiding  Semnas
Matematika UM. Utomo,  Rukmono.  Budi.  2016.  Materi Ajar  Metode  Numerik  FKIP UMT. http://www.fkip- umt.ac.id/downloads diunduh 18 Mei 2016