ELKOMIKA | ISSN (p): 2338-8323  | ISSN (e): 2459-9638
Deteksi Sinyal : Overview Model Parametrik menggunakan Kriteria Neyman-Pearson

## FIKY YOSEF SURATMAN, ALOYSIUS ADYA PRAMUDITA, DHARU ARSENO
School of Electrical Engineering Telkom University Email: fysuratman@telkomuniversity.ac.id
Received 11 September 2018 | Revised 26 September 2018 | Accepted 20 Oktober 2018

## ABSTRAK
Deteksi  sinyal  banyak  diimplementasikan  dalam  sistem  pengolahan  sinyal  yang sangat kompleks. Sebagai contoh digunakan pada sub sistem pengolahan sinyal radar  pengintai  yang  berfungsi  untuk  deteksi  dan  pelacakan  target.  Salah  satu implementasi  terbaru  dari  deteksi  sinyal  adalah  untuk  fungsi  spectrum  sensing pada Cognitive Radio. Deteksi sinyal dapat didefinisikan sebagai binary hypothesis testing,  yaitu  memutuskan  satu  dari  dua  keadaan:  hanya  derau  atau  tidak  ada sinyal    (null  hypothesis),  dan  ada  sinyal  (alternative  hypothesis).  Teori  deteksi sinyal  merupakan  bidang  yang  cukup  luas,  sehingga  paper  ini  fokus  pada pendekatan  parametrik  dengan  Teorema  Neyman-Pearson.  Kedua  hypothesis dimodelkan dengan variabel acak dengan distribusi rapat kemungkinan yang sama tetapi mempunyai parameter yang berbeda. Ditunjukkan penurunan test statistic untuk  dua  skenario,  yaitu  distribusi  dengan  diketahui  sebagian  dan  diketahui penuh.  Bagian  simulasi  menunjukkan  kinerja  detektor  sinyal  secara  analitis mempunyai hasil yang serupa dengan simulasi Monte Carlo.
Kata  kunci :  deteksi  sinyal,  Neyman-Pearson,  hypothesis  testing,  spectrum sensing, radar.

## ABSTRACT
Signal detection has been used in many sophisticated signal processing systems, such as for signal processing in surveillance radar which is to detect and to track a radar  target.  Recently,  signal  detection  is  widely  used  for  spectrum  sensing  in Cognitive Radio. Signal detection is a binary hypothesis testing problem which is to choose  one  out  of  two  conditions,  i.e.,  noise  only  or  signal  absence  (null hypothesis), and signal presence (alternative hypothesis). Since signal detection theory  is  a  wide  area,  this  paper  only  focuses  on  parametric  approach  using Neyman-Pearson theorem. The two hypotheses are modeled by random variables having  the  same  distribution  but  different  parameters.  The  derivations  of  test statistics  (detectors)  are  shown  for  two  scenarios,  i.e.,  partially  known  and perfectly known distributions. Analytical results and Monte Carlo simulations of the derived detectors show similar performances.
Keywords :  signal  detection,  Neyman-Pearson,  hypothesis  testing,  spectrum sensing, radar.

## 1. PENDAHULUAN
Teori deteksi sinyal memiliki peran yang fundamental dalam desain sistem pengolahan sinyal untuk  membuat  keputusan  maupun  ekstraksi  informasi  seperti  pada  Radar,  Sonar,  Sistem Komunikasi, Speech, Image Processing, Biomedicine, Control dan Seismology (Kay, 1998) . Sistem-sistem  tersebut  memiliki  kesamaan  tujuan,  yaitu  membuat  keputusan  ( decision making) ketika sebuah event of interest  terjadi, dan kemudian menentukan informasi lebih jauh tentang event tersebut. Decision making, merupakan fokus utama yang dibahas pada paper ini, yang secara luas biasa disebut dengan teori deteksi ( detection theory). Dalam hal ini event of interest adalah keberadaan sinyal informasi, sehingga disebut dengan teori deteksi sinyal ( signal detection theory).
Contoh  penerapan deteksi  sinyal  adalah  pada radar  pengintai dalam  menentukan  ada atau tidaknya target pesawat yang  sedang terbang pada  jarak  tertentu. Untuk  mencapai  tujuan tersebut, radar mentransmisikan pulsa elektromagnetik yang dapat dipantulkan kembali ( echo) dan kemudian diterima oleh perangkat penerima radar (Richards, 2014) . Jika target pesawat ada,  sinyal  terima  pada  radar  terdiri  dari  sinyal echo  dan  derau  akibat  radiasi  sekitar  dan perangkat elektronik penerima. Sebaliknya, jika tidak ada target maka hanya derau yang ada pada  perangkat  penerima  radar.  Oleh  sebab  itu,  penerima  radar  membutuhkan  perangkat detektor sinyal untuk memutuskan salah satu dari dua keadaan tersebut.
Aplikasi terkini yang membutuhkan penerapan deteksi sinyal adalah spectrum sensing pada Cognitive  Radio  (CR),  atau  lebih  tepatnya  disebut  Dynamic  Spectrum  Access  (DNA).  DNA dianggap sebagai solusi dimasa depan untuk meningkatkan utilisasi spectrum band nirkabel yang saat ini cukup rendah akibat manajemen spektrum dengan command and control model (Hossain,  2009) .  Pada  konsep  DNA, Primary  User  (PU)  sebagai  pemegang  lisensi penggunaan spektrum mempunyai prioritas tertinggi dalam menggunakan sebuah spectrum band, sedangkan Secondary User  (SU) yang tak berlisensi dapat menggunakan spectrum band apabila  tidak  sedang  digunakan  oleh  PU.  Oleh  sebab  itu  SU  memerlukan  fungsi spectrum sensing  untuk  mengetahui  apakah  sebuah  spectrum  band  sedang  digunakan  oleh  PU  atau tidak (Axell,  2012) .  SU  akan  menerima  sinyal  transmisi  dari  PU  plus  derau  saat  sebuah spectrum  band  sedang  dipakai,  sedangkan  derau  saja  saat  spectrum  band    tidak  sedang dipakai oleh Primary User.
Paper ini tidak ditujukan untuk memberikan kebaruan dalam teori deteksi sinyal. Tetapi dapat dijadikan  sebagai overview  atau  pengenalan  teori  deteksi  sinyal  dengan  pendekatan parametrik menggunakan teorema Neyman-Pearson. Materi pada paper dapat digunakan oleh para  mahasiswa/peneliti  yang  mempunyai  ketertarikan  riset  pada  pengolahan  sinyal  radar maupun  komunikasi  nirkabel.  Paper  ini  juga  diharapkan  dapat  menjadi  solusi  bagi  para mahasiswa/peneliti yang mengalami kesulitan untuk menterjemahkan aspek teoritis deteksi sinyal ke dalam algoritma perangkat lunak baik untuk implementasi maupun simulasi. Paper dilengkapi lampiran secara terpisah sebagai suplemen yang dapat diminta melalui email ke penulis pertama.

## 2. VARIABEL ACAK
Konsep mengenai variabel acak sangat penting dalam teori deteksi sinyal, khususnya untuk metode yang menggunakan model parametrik. Pada bagian ini akan dijelaskan secara singkat konsep variabel acak terutama yang berhubungan dengan fungsi distribusi.
Variabel acak ( random variable) adalah fungsi yang memetakan luaran dari eksperimen acak ke bilangan real (Garcia, 1994) . Dalam kasus deteksi sinyal, setiap sampel dari sinyal yang diobservasi adalah sebuah variabel acak. Sebagai contoh, jika sebuah penerima melakukan observasi dengan melakukan sampling sebanyak N sampel yang dinyatakan dengan sebuah urutan sampel acak 𝒙 𝑵 , dimana :
𝒙 𝑵 = [𝑥(0)  𝑥(1) …  𝑥(𝑁 − 1)] , maka setiap sampel 𝑥(𝑖) dapat dianggap sebuah realisasi dari sebuah variabel acak 𝑋 . Karena 𝑥(𝑖) kontinyu pada rentang −∞ < 𝑥(𝑖) < ∞ , 𝑋 adalah variabel acak kontinyu.
Hal  yang  paling  penting  dalam  karakterisasi  variabel  acak  adalah  menentukan  probabilitas harga-harga yang mungkin diambil oleh variabel acak tersebut. Pada variabel acak kontinyu, probabilitas tersebut dinyatakan dengan fungsi distribusi kumulatif atau disebut Cumulative Distribution Function (CDF). CDF 𝐹(𝑥) dari sebuah variabel acak 𝑋 dapat didefinisikan sebagai probabilitas kejadian {𝑋 ≤ 𝑥} , secara formal dapat dituliskan sebagai fungsi berikut :
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥),
(1)
dimana 𝑃(𝐴) menyatakan  probabilitas  kejadian 𝐴 .  Fungsi  lain  sebagai  alternatif  untuk karakterisasi sebuah variabel acak adalah fungsi rapat kemungkinan, atau Probability Density Function (PDF), yang didefinisikan sebagai turunan dari CDF.
𝑝(𝑥) = 𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 . (2)
PDF menyatakan kemungkinan variabel acak 𝑋 berada pada interval di sekitar 𝑥 , yaitu 𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + ℎ , dimana ℎ sangat kecil. Sehingga, untuk menyatakan bahwa probabilitas sebuah sampel dari sinyal observasi mempunyai harga pada rentang (𝑎, 𝑏) dapat dinyatakan dengan Persamaan (3).
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). (3)
PDF untuk sebuah urutan  acak 𝒙 𝑵 yang melibatkan sejumlah N variabel  acak  disebut joint Probabiltiy Density Function (joint PDF) yang dinyatakan dengan simbol 𝑝(𝒙 𝑵 ) . Untuk kasus dimana  antar  sampel  bebas  ( independent),  joint  PDF  merupakan  perkalian  masing-masing ( marginal) PDF dari setiap variabel acak sampel, yaitu :
𝑝(𝒙 𝑵 ) = 𝑝 𝑥(0) 𝑝 𝑥(1) … 𝑝 (𝑥(𝑁))
(4)
Contoh PDF yang sering dipergunakan adalah PDF Gaussian (biasa disebut juga PDF normal). PDF Gaussian untuk variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai Persamaan (5).
𝑝(𝑥) = 1 √2𝜋𝜎 𝑒𝑥𝑝 − 1 2𝜎 (𝑥 − 𝜇) , (5)
yang  ditentukan  oleh  dua  parameter  yaitu mean 𝜇 dan  variansi 𝜎 .  Pada  paper  ini  akan digunakan simbol seperti pada Persamaan (6).
𝑥~𝑁(𝜇, 𝜎 ) , (6)
Untuk menyatakan bahwa variabel acak 𝑋 terdistribusi (PDF) Gaussian dengan mean 𝜇 dan variansi 𝜎 .  Berdasarkan  Persamaan  (4), joint  PDF  urutan  acak 𝒙 𝑵 dengan  masing-masing sampel 𝑥(𝑖) terdistribusi  Gaussian  dengan  parameter mean  dan  variansi  yang  sama, 𝑥(𝑖)~𝑁(𝜇, 𝜎 ), 𝑖 = 1,2, … , 𝑁, dan  saling  bebas  antar  sampel  dapat  dinyatakan  dengan Persamaan (7).
𝑝(𝒙 𝑵 ; 𝜇, 𝜎 ) = ( ) / exp − ∑ (𝑥(𝑖) − 𝜇) . (7)

## 3. TEORI DETEKSI SINYAL DENGAN MODEL PARAMETRIK

## 3.1 Binary Hypothesis Testing
Metode statistik yang paling fundamental dalam teori deteksi sinyal adalah hypothesis testing (Poor, 1988) . Untuk memahami hypothesis testing, ada baiknya meninjau sebuah contoh kasus deteksi sinyal pada radar pengintai ( surveillence radar) (Richard, 2014) . Sistem radar pengintai dirancang untuk menentukan ada tidaknya target pesawat pada daerah jangkauan radar.  Untuk  mencapai  tujuan  tersebut  antena  pengirim  radar  mengirimkan  gelombang elektromagnetik  yang  kemudian  akan  dipantulkan  kembali  (sinyal echo)  sebagian  menuju antena  penerima  radar  apabila  ada  target  pesawat  yang  bergerak.  Pada  kondisi  tersebut, antena  penerima  radar  tidak  hanya  menerima  sinyal echo  tetapi  ditambah  dengan  derau ( noise) yang pasti ada di setiap perangkat penerima. Sedangkan saat tidak ada target maka radar hanya akan mendeteksi derau. Pada kasus radar tersebut  terdapat dua hypothesis, yaitu saat  target  tidak  ada    (derau  saja)  dan  saat  target  ada  (sinyal echo  dan  derau).  Kedua hypothesis tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
𝐻 : Target tidak ada (derau) 𝐻 : Target ada (sinyal 𝑒𝑐ℎ𝑜 + derau) ,
Dimana 𝐻 disebut  dengan null  hypothesis  dan 𝐻 disebut  dengan alternative  hypothesis. Karena terdapat dua kondisi ( binary) yang akan dipilih, masalah deteksi sinyal disebut juga binary  hypothesis  testing.  Lebih  jauh,  jika  sebuah  penerima  melakukan  observasi  dengan melakukan sampling sebanyak N sampel yang dinyatakan dengan sebuah urutan sampel acak 𝒙 𝑵 = [𝑥(0)  𝑥(1) …  𝑥(𝑁 − 1)] , maka  kedua hypothesis  dapat  dituliskan  juga  sebagai Persamaan (8).
𝐻 : 𝑥(𝑛) = 𝑤(𝑛) 𝐻 : 𝑥(𝑛) = 𝑠(𝑛) + 𝑤(𝑛), 𝑛 = 0, 1,2, … , 𝑁 − 1 (8)
Dimana 𝑥(𝑛) menyatakan sinyal yang diterima oleh antena penerima, 𝑠(𝑛) adalah sinyal echo dan 𝑤(𝑛) adalah  derau.  Berdasarkan  sinyal  terima 𝑥(𝑛) maka  pendeteksi  sinyal  (detektor) akan menentukan apakah 𝑥(𝑛) mengandung 𝑠(𝑛) atau tidak.
Jika diasumsikan bahwa data 𝒙 𝑵 berasal dari distribusi (PDF) tertentu, model parametrik dapat  digunakan  pada  deteksi  sinyal.  Pada  kasus  ini,  sensor  atau  antena  diasumsikan menerima  sinyal  acak  yang  mengikuti  famili  distribusi  yang  sama  dan  dapat  didefinisikan dengan  menggunakan  sejumlah  parameter  distribusi  yang  terbatas  ( finite),  baik  pada  null hypothesis 𝐻 maupun pada alternative hypothesis 𝐻 . Sehingga, masalah binary hypothesis testing pada model parametrik secara formal dapat dinyatakan dengan Persamaan (9).
𝐻 : 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟎 )
𝐻 : 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟏 ) (9)
Dimana 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝒊 ) menyatakan joint PDF dari 𝒙 𝑵 saat 𝐻 , 𝑖 = 0,1 , dengan parameter 𝜽 𝒊 , 𝑖 = 0,1. Untuk kasus joint PDF Gaussian, maka 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝒊 ) mengikuti persamaan (7), dimana mean dan variansi ( 𝜇 , 𝜎 ) adalah fungsi dari parameter 𝜽 𝒊 .
Pada beberapa aplikasi, 𝒙 𝑵 tidak dapat diasumsikan berasal dari distribusi tertentu sehingga model  non-parametrik untuk binary  hypothesis  testing  harus  digunakan.  Deteksi  sinyal model non-parametrik di luar cakupan paper ini, dan pembaca dapat mengacu pada (Gibson, 1996) .
Berdasarkan sinyal yang diterima, detektor akan membuat keputusan ( decision) 𝐷 , 𝑖 = 0,1, di antara dua hypothesis yang ada. Dalam membuat keputusan tersebut ada empat kondisi yang mungkin  terjadi  seperti  yang  terlihat  pada  Tabel  1.  Keputusan  dapat  berarti  betul  (sesuai dengan kenyataan), dan dapat berarti salah (tidak sesuai dengan kenyataan).

## Tabel 1. Empat Kondisi yang Mungkin saat Detektor Memutuskan
Kenyataan Keputusan Tidak ada sinyal ( 𝐷 0 ) Ada sinyal ( 𝐷 )
Tidak ada sinyal ( 𝐻 0 𝑡𝑟𝑢𝑒)
Keputusan betul dengan probabilitas P( 𝐷 0 / 𝐻 0 )
Keputusan salah ( false alarm ) dengan probabilitas P( 𝐷 / 𝐻 0 )
Ada sinyal ( 𝐻 1 𝑡𝑟𝑢𝑒) Keputusan salah ( miss detection )
dengan probabilitas
P( 𝐷 0 / 𝐻 1 )
Keputusan betul dengan probabilitas P( 𝐷 1 / 𝐻 1 )
Ukuran kinerja dari detektor biasanya dinyatakan dengan probabilitas kondisi masing-masing akan terjadi yaitu: P( 𝐷 /𝐻 ), P( 𝐷 /𝐻 ) , P( 𝐷 /𝐻 ) , dan P( 𝐷 /𝐻 ) , dimana  P( 𝐷 /𝐻 ) + P( 𝐷 /𝐻 ) = 1 dan P( 𝐷 /𝐻 ) + P(𝐷 /𝐻 ) = 1.

## 3.2 Detektor Sinyal
Terdapat banyak pendekatan yang dapat dipilih untuk menentukan detektor sinyal pada binary hypothesis  testing.  Dua  di  antaranya  yang  populer  pada  model  parametrik  adalah menggunakan kriteria Bayes ( Bayes criterion) dan kriteria Neyman-Pearson (Neyman-Pearson Criterion) (Poor, 1988) . Dengan pertimbangan bahwa kriteria Neyman-Pearson (NP) lebih banyak digunakan dibanding kriteria Bayes  pada konsep deteksi  sinyal radar  dan spectrum sensing, maka fokus dari paper ini adalah penentuan detektor sinyal menggunakan kriteria NP. Selain itu kesulitan dalam menentukan cost-function yang sesuai dengan skenario yang ada dan  tidak  diketahuinya  probabilitas  a-priori  ( a-priori  probability)  untuk  kemunculan  sinyal, menjadi alasan mengapa kriteria Bayes relatif jarang digunakan dibanding kriteria NP (Kay, 1998) .

## Kriteria Neyman-Pearson
Jika diasumsikan penerima melakukan observasi dengan melakuan sampling urutan acak 𝒙 𝑵 = [𝑥(0)  𝑥(1) …  𝑥(𝑁 − 1)] dan 𝑇(𝒙 𝑵 ) adalah test statistic yang merupakan fungsi dari data hasil sampling 𝒙 𝑵 , maka detektor generik dapat dinyatakan sebagai berikut :
𝑇(𝒙 𝑵 ) > 𝜏,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 )
(10)
Dimana 𝜏 menyatakan threshold yang memisahkan daerah keputusan 𝑅 (terima 𝐻 ) dan 𝑅 (terima 𝐻 ). Karena 𝑇(𝒙 𝑵 ) adalah fungsi dari variabel-variabel acak sampel, maka 𝑇(𝒙 𝑵 ) juga merupakan variabel acak yang mempunyai PDF.
Gambar 1. PDF dari Test Statistic
Mengacu pada Gambar 1, kemungkinan untuk membuat error dalam memutuskan seperti pada Tabel 1, dapat didefinisikan kembali sebagai berikut:
Probability of False Alarm
𝑃 = 𝑃(𝐷 /𝐻 ) = 𝑃(𝑇(𝒙 𝑵 ) > 𝜏/𝐻 ) = 𝑝(𝑇(𝒙 𝑵 )/𝐻 ) 𝑑𝑇(𝒙 𝑵 ) (11)

## Probability of missed detection
𝑃 = 𝑃(𝐷 /𝐻 ) = 𝑃(𝑇(𝒙 𝑵 ) < 𝜏/𝐻 ) = 𝑝(𝑇(𝒙 𝑵 )/𝐻 ) 𝑑𝑇(𝒙 𝑵 ). (12)
Sebagai catatan, tidak mungkin untuk mengurangi kedua error  pada Persamaan (11) dan (12) secara  bersamaan.  Oleh  sebab  itu,  untuk  mendapatkan  detektor  sinyal  yang  optimal, pendekatan  yang  logis  adalah  membuat  satu  probabilitas error  tetap  dan  meminimalkan probabilitas error yang lain.
Dalam  paper  ini  ukuran  kinerja  yang  digunakan  adalah probability  of  false  alarm    dan probability of detection ( 𝑃 ), dimana
𝑃 = 1 − 𝑃 = 𝑝(𝑇(𝒙 𝑵 )/𝐻 ) 𝑑𝑇(𝒙 𝑵 ) (13)
Kriteria NP menyatakan bahwa sebuah detektor optimal jika test statistic 𝑇(𝒙 𝑵 ) dan threshold 𝜏 dipilih  sehingga probability  of  missed  detection 𝑃 minimum  ( probability  of  detection maksimum) dengan memberikan batasan probability of false alarm 𝑃 ditetapkan sebelumnya sama  dengan  harga  nominal  tertentu 𝑃 = 𝛼 .  Dengan  menggunakan  pendekatan Lagrange
Multiplier  sebagai  solusi  permasalahan  optimasi, maka  diperoleh  bahwa  test  statistic  untuk binary hypothesis testing pada persamaan (8) adalah likelihood ratio (Kay, 1998) .
𝑇(𝒙 𝑵 ) = 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟏 ) 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟎 ) > 𝜏,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) , (14)
Dimana threshold 𝜏 ditentukan dari Persamaan (15).
𝑃 = 𝑝(𝑇(𝒙 𝑵 )/𝐻 ) 𝑑𝑇(𝒙 𝑵 ) = 𝛼. (15)
Detail penurunan menggunakan Lagrange Multiplier dapat dilihat di (Kay, 1998) untuk kasus satu detektor dan (Varshney, 1997) untuk banyak detektor.
Terdapat  dua  kasus  umum  pada  metode  deteksi  sinyal  dengan  model  parametrik.  Jika parameter  distribusi,  yaitu 𝜽 𝟎 , 𝜽 𝟏 atau  keduanya  diketahui  maka  disebut  dengan simple hypothesis. Desain detektor sinyal menjadi lebih sulit ketika PDF mempunyai parameter yang tidak diketahui ( unknown parameter). Kasus terakhir ini disebut dengan composite hypothesis. Bagian 4, Contoh Kasus Deteksi Sinyal, akan memberikan gambaran untuk memahami lebih lanjut kedua kasus tersebut.

## Generalized Likelihood Ratio Test (GLRT)
Pada  bagian  sebelumnya,  ketika  menurunkan  detektor  optimal  telah  diasumsikan  bahwa masing-masing PDF saat tidak ada sinyal ( 𝐻 ) dan ada sinyal ( 𝐻 ) diketahui secara menyeluruh ( completely known). Dalam kenyataannya pendekatan tersebut bisa jadi tidak praktis, dimana satu atau lebih parameter distribusi tidak diketahui. Sebagai contoh pada deteksi target oleh radar, daya sinyal echo yang dipantulkan target dan diterima radar biasanya tidak diketahui. Demikian juga ketika derau diasumsikan terdistribusi Gaussian, tetapi variansi atau daya derau sulit untuk diketahui. Dengan kata lain, baik null maupun alternative hypothesis kedua-duanya termasuk  kategori composite  hypothesis.  Oleh  sebab  itu,  menjadi  hal  yang  penting  untuk mendesain detektor yang baik ketika PDF saat tidak ada sinyal ( 𝐻 ) dan ada sinyal ( 𝐻 ) tidak diketahui  secara  menyeluruh  ( incompletely  known).  Pada  kasus  ini,  harus  dilakukan pendekatan sub-optimum.
Salah  satu  pendekatan  yang  paling  populer  untuk composite  hypotheses  testing  adalah Generalized  Likelihood  Ratio  Test  (GLRT).  Konsep  dari  GRLT  adalah  mengganti  semua parameter  distribusi  yang  tidak  diketahui  dengan  hasil  estimasi  masing-masing  parameter tersebut menggunakan metode Maximum Likelihood Estimator (MLE) (Kay, 1993) . Secara umum, GLRT mempunyai bentuk seperti pada Persamaan (16).
𝑇(𝒙 𝑵 ) = 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟏 ) 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟎 ) > 𝜏,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) , (16)
Dimana 𝜽 𝟎 adalah  MLE  untuk  parameter 𝜽 𝟎 dengan  asumsi 𝐻 adalah  betul  terjadi  ( true), sedangkan 𝜽 𝟏 adalah MLE untuk parameter 𝜽 𝟏 dengan asumsi 𝐻 adalah betul terjadi. MLE secara formal diperoleh dari Persamaan (17).
𝜽 𝒊 = 𝐚𝐫𝐠 𝐦𝐚𝐱 𝜽 𝒊 𝐥𝐧(𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝒊 )). (17)
Deteksi Sinyal: Overview untuk Model Parametrik menggunakan Kriteria Neyman-Pearson
Threshold 𝜏 ditentukan berdasarkan nominal probability of false alarm yang diinginkan 𝑃 = 𝛼, seperti pada Persamaan (15).

## 4. CONTOH KASUS DETEKSI SINYAL
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  dua  contoh  cara  untuk  mendesain  detektor  dengan menggunakan pendekatan kriteria NP. Kasus pertama adalah jika distribusi diketahui secara menyeluruh ( completely known) dan pada kasus kedua distribusi diketahui sebagian (partially known).
Dimisalkan terdapat permasalahan deteksi sinyal DC dengan amplitudo A pada derau Additive White Gaussian Noise (AWGN) yang dapat dituliskan pada Persamaan (18).
𝐻 : 𝑥(𝑛) = 𝑤(𝑛) 𝐻 : 𝑥(𝑛) = 𝐴 + 𝑤(𝑛), 𝑛 = 0, 1,2, … , 𝑁 − 1, (18)
Dimana 𝑤(𝑛) adalah terdistribusi Gaussian dengan mean dan variansi berturut-turut 𝜇 dan 𝜎 .

## Distribusi Diketahui
Pada  contoh  ini  diasumsikan  amplitudo 𝐴 ,  dimana 𝐴 > 0 ,  dan  variansi  derau 𝜎 keduanya diketahui. Sehingga pada saat tidak ada sinyal 𝑥(𝑛) akan terdistribusi Gaussian dengan mean 𝜇 = 𝐴 = 0 dan variansi 𝜎 , sedangkan pada saat ada sinyal, 𝑥(𝑛) akan terdistribusi Gaussian juga dengan mean 𝜇 = 𝐴 > 0 dan variansi 𝜎 . Permasalahan binary hypothesis menjadi :
𝐻 : 𝑥~𝑁(0, 𝜎 ) 𝐻 : 𝑥~𝑁(𝐴, 𝜎 ). (19)
Persamaan (19) menyatakan bahwa saat tidak ada sinyal ( 𝐻 ) maka parameter distribusi 𝜽 𝟎 diketahui,  yaitu {𝜇 = 0 , 𝜎 } ,  dan  pada  saat  ada  sinyal  ( 𝐻 )  maka  parameter  distribusi 𝜽 𝟏 diketahui yaitu {𝜇 = 𝐴 , 𝜎 } . Sehingga null dan alternative hypothesis termasuk kategori simple hypothesis (Poor, 1988) .
Berdasarkan  Persamaan  (7)  dan  (14),  dan  menggunakan  pendekatan  kriteria  NP,  maka diperoleh likelihood ratio pada Persamaan (20).
𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟏 ) 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝜽 𝟎 ) = 1 (2𝜋𝜎 ) exp − 1 2𝜎 ∑ (𝑥(𝑖) − 𝐴)
1 (2𝜋𝜎 ) exp − 1 2𝜎 ∑ 𝑥 (𝑖) > 𝜏,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) (20)
Dengan mengambil logaritmik kedua sisi Persamaan (20) maka akan diperoleh Pesamaan (21).
− 1 2𝜎 −2𝐴 𝑥(𝑖) + 𝑁𝐴 > ln 𝜏 ,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < ln 𝜏 ,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) . (21)
Selanjutnya Persamaan (21) dapat disederhanakan menjadi Persamaan (22).
− 𝐴 𝜎 𝑥(𝑖) ⎩ ⎨ ⎧> ln 𝜏 + 𝑁𝐴 2𝜎 ,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < ln 𝜏 + 𝑁𝐴 2𝜎 ,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) . (22)
Karena asumsi 𝐴 positif, maka dari Persamaan (22) akan diperoleh Persamaan (23).
𝑥̅ = 1 𝑁 𝑥(𝑖) > 𝜏 , ,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏 , ,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) , (23)
dimana threshold dinyatakan dengan Persamaan (24).
𝜏 , = 𝜎 𝑁𝐴 ln 𝜏 + 𝐴 2 . (24)
Detektor  pada  Persamaan  (23)  adalah  detektor  optimal  untuk  masalah binary  hypothesis testing  Persamaan  (19).  Optimal  mempunyai  pengertian  untuk 𝑃 yang  sama,  tidak  ada detektor lain yang akan menghasilkan 𝑃 yang lebih besar dari detektor pada Persamaan (23).
Dari  persamaan  (23)  maka  detektor  membandingkan  rata-rata  sampel  ( sample  mean) 𝑥̅ dengan threshold 𝜏 , . Hal ini cukup logis karena PDF pada kedua hypothesis berbeda hanya pada mean (0 dan A), dan 𝑥̅ dapat dianggap sebagai estimator dari 𝐴 . Jika hasil estimasi 𝑥̅ besar dan positif maka sinyal DC kemungkinan besar ada. Besarnya harga hasil estimasi ketika memutuskan  ada  sinyal  akan  tergantung  pada  seberapa  besar  perhatian  kita  terhadap kemungkinan  derau  menghasilkan  energi  cukup  besar  yang  akan  menyebabkan  keputusan salah ( false alarm). Oleh sebab itu diperlukan mengatur threshold 𝜏 , sehingga probability of false alarm 𝑃 dapat dikontrol. Threshold yang lebih besar akan menghasilkan 𝑃 yang lebih kecil, tetapi secara bersamaan akan memperkecil probability of detection 𝑃 . Sehingga harus dicari  hubungan  antara 𝑃 terhadap 𝑃 ,  yang  disebut  dengan  kurva Receiver  Operating Characteristics (ROC). ROC merupakan kurva yang sering digunakan untuk memperlihatkan dan membandingkan kinerja detektor.
Untuk menurunkan kinerja detektor secara analitis, diperlukan distribusi test statistic 𝑇(𝒙 𝑵 ) = 𝑥̅ saat tidak ada sinyal 𝐻 maupun ada sinyal 𝐻 . Karena 𝑥(𝑖), 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1 masing masing terdistribusi Gaussian dengan mean dan variansi yang sama, maka 𝑇(𝒙 𝑵 ) yang merupakan penjumlahan  variabel acak  tersebut akan terdistribusi Gaussian saat 𝐻 dan 𝐻 . Mean dan variansi dari distribusi 𝑇(𝒙 𝑵 ) saat 𝐻 dan 𝐻 harus ditentukan.
Saat tidak ada sinyal 𝐻 , maka mean 𝜇 ditentukan dengan Persamaan (25)
𝜇 = 𝐸 {𝑇(𝒙 𝑵 )} = 𝐸 1 𝑁 𝑥(𝑖) = 1 𝑁 𝐸 {𝑤(𝑖)} = 0. (25)
Sedangkan saat ada sinyal 𝐻 , mean 𝜇 dapat ditentukan dengan Persamaan (26).
𝜇 = 𝐸 {𝑇(𝒙 𝑵 )} = 𝐸 1 𝑁 𝑥(𝑖) = 𝐸 1 𝑁 𝑤(𝑖) + 𝐸 1 𝑁 𝐴 = 𝐴, (26)
Dimana 𝐸 {·} menyatakan ekspektasi dari variabel acak saat 𝐻 dan asumsi sampel-sampel dari derau independen. Sedangkan variansi saat tidak ada sinyal 𝜎 ,
𝜎 = var{𝑇(𝒙 𝑵 )} = var 1 𝑁 𝑥(𝑖) = 1 𝑁 var{𝑤(𝑖)} = 𝜎 𝑁 (27)
Saat ada sinyal :
𝜎 = var{𝑇(𝒙 𝑵 )} = var 1 𝑁 𝑥(𝑖) = 1 𝑁 var{𝐴} + 1 𝑁 var{𝑤(𝑖)} = 𝜎 𝑁 . (28)
Oleh sebab itu, maka distribusi test statistic 𝑇(𝒙 𝑵 ) dapat dinyatakan dengan Persamaan (29).
𝑇(𝒙 𝑵 ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑁 0, 𝜎 𝑁 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝐻 𝑁 𝐴, 𝜎 𝑁 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝐻 . (29)
Dengan demikian probability of  false  alarm 𝑃 dihitung  dari  distribusi 𝑇(𝒙 𝑵 ) saat tidak  ada sinyal dinyatakan dengan Persamaan (30).
𝑃 = 𝑃 (𝑇(𝒙 𝑵 ) > 𝜏 , ) = 𝑝 𝑇(𝒙 𝑵 ) 𝑑𝑇(𝒙 𝑵 ) , = 𝑄 ⎝ ⎛ 𝜏 , 𝜎 𝑁⎠ ⎞, (30)
Dimana  fungsi 𝑄(∙) adalah Complementary  Cumulative  Distribution  Function  (CCDF)  untuk distribusi normal 𝑁(0,1) dinyatakan dengan Persamaan (31).
𝑄(𝑥) = 1 √2𝜋 𝑥 𝑒𝑥𝑝 − 1 2 𝑥 . (31)
Sedangkan untuk menentukan probability of detection 𝑃 dihitung dari distribusi 𝑇(𝒙 𝑵 ) saat ada sinyal menggunakan Persamaan (32).
𝑃 = 𝑃 (𝑇(𝒙 𝑵 ) > 𝜏 , ) = 𝑝 𝑇(𝒙 𝑵 ) 𝑑𝑇(𝒙 𝑵 ) , = 𝑄 ⎝ ⎛ 𝜏 , − 𝐴 𝜎 𝑁⎠ ⎞. (32)
Hubungan antara 𝑃 dan 𝑃 dapat ditentukan dari Persamaan (29) dan (31). Karena fungsi 𝑄 adalah monoton turun, maka fungsi 𝑄 mempunyai inverse yang disimbolkan dengan 𝑄 .
Berdasarkan Persamaan (30), threshold dapat ditentukan dengan Persamaan (33).
𝜏 , = 𝜎 𝑁 𝑄 𝑃 , (33)
Setelah disubstitusi ke Persamaan (32), maka akan diperoleh Persamaan (34).
𝑃 = 𝑄 ⎝ ⎛ 𝜎 𝑁 𝑄 𝑃 − 𝐴 𝜎 𝑁 ⎠ ⎞ = 𝑄 𝑄 𝑃 − 𝑁𝐴 𝜎 . (34)
Persamaan  (34)  menyatakan  hubungan  antara 𝑃 dan 𝑃 (kurva  ROC).  Sebagai  catatan, penurunan kinerja detektor dengan kurva ROC secara analitis tidak selalu dapat dilakukan. Hal ini tergantung apakah bentuk tertutup ( closed form) PDF dari test statistic dapat ditentukan atau  tidak,  baik  secara  eksak  ataupun asymptotic  menggunakan  central  limit  theorem (Serfling, 2009) . Apabila PDF tidak dapat ditentukan secara tertutup maka kinerja detektor dapat dievaluasi dengan cara simulasi Monte Carlo (Suratman, 2010) .

## Distribusi Diketahui Sebagian
Selanjutnya, akan dipertimbangkan masalah binary hypothesis testing pada Persamaan (19) dengan  kondisi  dimana  amplitudo 𝐴 ≠ 0 dan  tidak  diketahui,  sedangkan  variansi noise 𝜎 diketahui.  Permasalahan  ini  dapat  dipecahkan  dengan  GLRT,  dimana  amplitudo 𝐴 harus diestimasi terlebih dahulu dengan menggunakan MLE.
Berdasarkan Persamaan (17) MLE dari amplitudo 𝐴 adalah dengan memaksimalkan fungsi log- likelihood  PDF saat ada sinyal 𝐻 , sehingga diperoleh Persamaan (35).
ln 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝐴) = ln 1 (2𝜋𝜎 ) exp − 1 2𝜎 (𝑥(𝑖) − 𝐴) . (35)
Harga A yang memaksimalkan fungsi Persamaan (35) dapat dicari dengan menurunkan fungsi tersebut terhadap 𝐴 dan ditentukan sama dengan nol, seperti pada Persamaan (36).
𝜕 ln 𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝐴)
𝐴 = 1 𝜎 (𝑥(𝑖) − 𝐴) = 0, (36)
Maka 𝐴 sebagai MLE dari parameter 𝐴 akan diperoleh sama dengan mean sampel 𝑥 melalui Persamaan (37).
𝐴 = 𝑥 = 1 𝑁 𝑥(𝑖). (37)
Kita tidak perlu melakukan estimasi parameter dari PDF saat tidak ada sinyal 𝐻 , karena semua parameter distribusi telah diketahui yaitu 𝜇 = 0 dan variansi 𝜎 .
Deteksi Sinyal: Overview untuk Model Parametrik menggunakan Kriteria Neyman-Pearson
Selanjutnya detektor dicari dengan menggunakan GLRT, yaitu menggunakan Persamaan (38).
𝑝 (𝒙 𝑵 ; 𝐴) 𝑝 (𝒙 𝑵 ) = 1 (2𝜋𝜎 ) exp − 1 2𝜎 ∑ (𝑥(𝑖) − 𝑥)
1 (2𝜋𝜎 ) exp − 1 2𝜎 ∑ 𝑥 (𝑖)
> 𝜏,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) . (38)
Dengan  menerapkan  logaritma  pada  kedua  sisi  Persamaan  (38)  maka  akan  diperoleh Persamaan (39).
− 1 2𝜎 𝑥 (𝑖) − 2𝑥 𝑥(𝑖) + 𝑁𝑥 − 𝑥 (𝑖) > ln 𝜏 ,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < ln 𝜏 ,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) (39)
Setelah dilakukan penyederhanaan terhadap Persamaan (39) akan diperoleh Persamaan (40).
− 1 2𝜎 −2𝑁𝑥 + 𝑁𝑥 > ln 𝜏 ,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < ln 𝜏 ,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) . (40)
Sehingga, test statistic  dapat ditulisakan sebagai Persamaan (41).
𝑇(𝒙 𝑵 ) = 𝑥 = 1 𝑁 𝑥(𝑖) > 𝜏 ,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏 ,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) , (41)
Dimana 𝜏 = ln 𝜏 . Test statistic 𝑇(𝒙 𝑵 ) , dapat juga dituliskan sebagai Persamaan (42).
𝑇(𝒙 𝑵 ) = |𝑥| = 1 𝑁 𝑥(𝑖) > 𝜏 ,   𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  ( 𝐷 ) < 𝜏 ,    𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝐻  (𝐷 ) . (42)
Distribusi  (PDF)  dari test  statistic 𝑇(𝒙 𝑵 ) saat  tidak  ada  sinyal 𝐻 dan  ada  sinyal 𝐻 dapat diturunkan,  seperti  yang  telah  dicontohkan  pada  kasus  distribusi  diketahui  seluruhnya. Berdasarkan kedua distribusi tersebut, akan diperoleh persamaan kurva ROC secara analitis menggunakan Persamaan (43) (Kay, 1998).
𝑃 = 𝑄 𝑄 𝑃 2 − 𝑁𝐴 𝜎 + 𝑄 𝑄 𝑃 2 + 𝑁𝐴 𝜎 . (43)

## 5. HASIL SIMULASI
Bagian ini akan menunjukkan kinerja detektor yang telah dijelaskan pada bagian 4, yaitu untuk kasus distribusi diketahui menyeluruh menggunakan test statistic Persamaan (21). Ada dua tujuan  utama  dari  simulasi  ini.  Pertama  adalah  menunjukkan  bahwa  kinerja  detektor  yang diturunkan secara analitis pada Persamaan (34) dan dengan simulasi Monte Carlo (MC), akan menghasilkan  kinerja  serupa.  Kedua,  menunjukkan  pengaruh  dua  parameter  penting  yaitu Signal  to  Noise  Ratio  (SNR)  dan  jumlah  sampel 𝑁 terhadap  kinerja  detektor.  SNR  dalam
simulasi  ini  didefinisikan  sebagai 𝑆𝑁𝑅 = 10 log ( ) ,  dimana  daya noise  ditetapkan 𝜎 = 1 untuk keseluruhan simulasi. Hasil simulasi diperoleh dengan melakukan pengulangan Monte Carlo sebanyak 1000 kali. Kurva akan semakin mendekati hasil analitis jika pengulangan Monte Carlo  diperbanyak.  Pengulangan  1000  kali  sengaja  diambil  agar  hasil  simulasi  dan  analitis dapat dibedakan secara visual.
Gambar 2.a menunjukkan distribusi test statistic Persamaan (23) saat tidak ada sinyal ( 𝐻 ) dan ada sinyal ( 𝐻 ) , baik secara analitis pada Persamaan (29) maupun dengan simulasi MC. Gambar  tersebut  memperlihatkan  distribusi test  statistic  secara  analitis  dan  simulasi mempunyai  hasil  serupa.  Ketika  SNR  naik,  distribusi test  statistic  saat 𝐻 akan  bergeser menjauh  ke  sebelah  kanan  dari  distribusi test  statistic  saat 𝐻 .  Sehingga  kinerja  detektor berupa probability  of  detection,  untuk  probability  of  false  alarm  tertentu,  akan  semakin membaik (membesar), seperti yang ditunjukkan Gambar 2.(b).
(a) (b)
Gambar 2. (a) PDF dari Test Statistic (b) Kurva Receiver Operating Characteristics (ROC) sebagai Parameter Kinerja untuk Nilai SNR yang Berbeda
(a) (b)
Gambar 3. Kinerja Detektor dengan Parameter Probability of Detecion 𝑷 𝒅 (a) sebagai Fungsi Jumlah Sampel N (b) sebagai Fungsi SNR
P ro b. o f D et e ct io n , P d P ro b . o f D e te ct io n , P d P ro b. o f D et ec tio n , P d
Deteksi Sinyal: Overview untuk Model Parametrik menggunakan Kriteria Neyman-Pearson
Kinerja detektor sebagai fungsi dari jumlah sampel N untuk SNR yang berbeda ditunjukkan pada Gambar 3.a. Sesuai dengan dugaan bahwa jumlah sampel N semakin besar maka kinerja detektor dengan parameter probability of detection akan semakin naik. Karena dengan sampel yang  semakin  banyak  detektor  mempunyai  jumlah  informasi  yang  lebih  banyak  untuk mengambil  keputusan  secara  benar  berdasarkan  observasi  yang  dilakukan.  Sedangkan Gambar 3.b. menunjukkan probability of detection  semakin baik untuk SNR yang semakin besar, karena daya sinyal semakin dominan dibandingkan dengan daya derau. Hal tersebut memberikan kemudahan untuk detektor dalam menentukan keberadaan sinyal yang diinginkan bersama derau. Kedua gambar dihasilkan dengan probability of false alarm diset 𝑃 = 0,05 . Karena  terbatasnya  halaman  paper  ini,  hasil  simulasi  kinerja  detektor  dengan  distribusi diketahui sebagian bisa didapat dari lampiran suplemen yang dapat diminta melalui email ke penulis pertama.
Catatan. Paper ini merupakan penjelasan sebagian kecil dari teori deteksi yang sudah banyak berkembang,  yang  didukung  oleh  perkembangan  teori  statistik,  terutama  menyangkut hypothesis  testing.  Banyak  metode  untuk  deteksi  sinyal  selain  menggunakan  pendekatan Neyman-Pearson, misalkan dengan pendekatan statistik Bayesian (Varshney, 1998) . Pada kasus  deteksi  sinyal  untuk  kondisi  SNR  yang  sangat  kecil  dapat  digunakan  metode Locally Optimum  Detection (Kassam,  1988)(Suratman,  2010) .  Banyak  kasus  dimana  distribusi dari test statistic tidak dapat ditentukan dalam bentuk tertutup, sehingga bergantung dengan statistik  aproksimasi,  misalkan  dengan  teorema central  limit  atau  teorema  large  number (Serfling, 2009) . Tetapi untuk jumlah sampel yang kecil, hasil analitis pendekatan statistik aproksimasi akan berbeda cukup jauh dari hasil simulasi. Untuk mengatasi hal tersebut dapat digunakan Bootstrapping  (Zoubir,  2004) . Bootstrapping  juga  dapat  dilakukan  untuk deteksi sinyal secara adaptif, tidak bergantung pada asumsi distribusi sinyal yang digunakan (Suratman,  2013) .  Teori  deteksi  sekuensial  dimana  jumlah  sampel  dibuat random  dapat dilihat    pada (Suratman,  2014) .  Deteksi  sekuensial  diturunkan  berdasarkan  teorema sequential  analysis (Wald,  1945) .  Deteksi  sekuensial  mempunyai  dua  keuntungan,  yaitu: Probability of false alarm dan miss detection dapat dikontrol sekaligus pada saat bersamaan, dan menghasilkan jumlah rata-rata sampel yang lebih kecil dibanding metode Neyman-Pearson dengan  jumlah  sampel  tetap.  Deteksi  sinyal  dapat  juga  dilakukan  secara  kolaboratif  oleh banyak  detektor  secara  bersamaan  yang  disebut  dengan  deteksi  terdistribusi  ( distributed detection). Cara tersebut dapat dilihat di (Varshney, 1998) dan (Suratman, 2011) . Deteksi sinyal  yang  menggabungkan  teknik  sekuensial  dan multiple  testing  procedure  yang diimplementasikan untuk multiband spectrum sensing dapat dilihat di (Suratman, 2014) .

## 6. KESIMPULAN
Overview  mengenai  deteksi  sinyal  menggunakan  model  parametrik  Neyman-Pearson dipresentasikan pada paper ini. Contoh penurunan metode Neyman-Pearson untuk desain test statistic  telah  diberikan  dengan  menggunakan  model  distribusi  Gaussian  dengan  skenario kondisi distribusi diketahui penuh dan diketahui sebagian. Hasil eksperimen kinerja detektor secara  analitis  dan  simulasi  telah  diperlihatkan  dan  menunjukkan  kinerja  yang  serupa. Diharapkan paper ini dapat dijadikan sebagai dasar bagi para peneliti maupun mahasiswa yang tertarik  untuk  mempelajari  teori  deteksi  sinyal  untuk  berbagai  aplikasi. Teori  deteksi sinyal yang lebih kompleks  dapat ditemukan pada referensi-referensi yang dicantumkan pada paper ini.

## DAFTAR RUJUKAN
Axell, E., Leus, G., Larsson, E.G., & Poor, H.V. (2012). Spectrum sensing for cognitive radio:
State-of-the-art and recent advances. IEEE Signal Processing Magazine, 29(3), 101–
116.
Garcia,  R.L.  (1994). Probability  and  Random  Processes  for  Electrical  Engineering.  Addison- Wesley Publishing Company.
Gibson, J.D. & Melsa, J.L. (1996). Introduction to nonparametric detection with applications.
New York: IEEE Press.
Hossain,  E.,  Niyato,  D.,  &  Han,  Z.  (2009). Dynamic  Spectrum  Access  and  Management  in Cognitive Radio Networks. Cambridge University Press.
Kassam, S.A. (1988). Signal detection in non-Gaussian noise. Springer-Verlag.
Kay, S.M. (1993). Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Prentice
Hall, Inc.
Kay, S.M. (1998). Fundamentals of Statistical Signal Processing: Detection Theory. Prentice
Hall, Inc.
Poor, V.H. (1988). An introduction to signal detection and estimation. Springer-Verlag.
Richards,  M.A  (2014). Fundamentals  of  Radar  Signal  Processing.  New  York:  McGraw  Hill Education.
Serfling, R.J. (2009) Approximation theorems of mathematical statistics. John Wiley & Sons,
Inc.
Suratman, F.Y., Chakhchoukh, Y., & Zoubir, A.M. (2010). Locally Optimum Detection in Heavy- Tailed Noise for Spectrum Sensing in Cognitive Radio. The 2nd International Workshop on Cognitive Information Processing (CIP), (pp. 134-139).
Suratman, F.Y. and Zoubir, A.M. (2013). Bootstrap Based Sequential Probability Ratio Tests.
The  IEEE    International  Conference  on  Acoustics,  Speech  and  Signal  Processing (ICASSP), (pp. 6352-6356).
Suratman, F.Y. & Zoubir, A.M. (2014). Multiple Testing for Sequential Probability Ratio Tests with Application to Multiband Spectrum Sensing, in The IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), (pp. 3444-3448).
Wald,  A.  (1945).  Sequential  tests  of  statistical  hypotheses. The  Annals  of  Mathematcal Statistics.(pp.117–186).
Varshney, P.K. (1997) Distributed detection and data fusion. Springer.
Zoubir, A.M. (2004). Bootstrap techniques for signal processing. Cambridge University Press.