J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 1, Maret 2018, 31-40

## Analisis Kestabilan Model Penurunan Sumber Daya Hutan Akibat Industri
Indira Anggriani 1 , Sri Nurhayati 2 , Subchan 3
1,2 Institut Teknologi Kalimantan, Balikpapan email: indira.anggriani@itk.ac.id
3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya email: subchan@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Pertumbuhan populasi penduduk karena perkembangan industri di Indonesia memberikan dampak  negatif  terhadap  sumber  daya  hutan.  Pada  penelitian  ini  bertujuan  untuk menganalisis kerusakan hutan dengan adanya pengaruh laju pertumbuhan penduduk karena faktor migrasi penduduk. Permasalahan tersebut kemudian diformulasikan ke dalam bentuk model  matematika  dan  dianalisis  kestabilan  sistemnya.  Persamaan  model  matematika  ini merupakan  sistem  persamaan  diferensial  nonlinier.  Kestabilan  sistem  diperoleh  dengan menganut  kriteria  Routh-Hurwitz.  Selanjutnya,  dari  titik  kesetimbangan  yang  diperoleh dilakukan  simulasi  numerik.  Pada  hasil  numerik  menunjukkan  terjadinya  peningkatan kesetimbangan  dari  populasi  penduduk  dan  industrialisasi  yang  mengakibatkan  tingkat kesetimbangan  biomassa  hutan  mengalami  penurunan.  Populasi  memiliki  dampak  besar terhadap ekologi stabilitas sehingga dilakukan pengendalian terhadap pertumbuhan populasi atau untuk melindungi sumber daya hutan dari kepunahan.
Katakunci: Analisis Kestabilan, Sumber Daya Hutan, Industri

## Abstract
Population growth due to industrial development in Indonesia has a negative impact on forest resources. In this study aims to analyze the damage to the forest with the influence of population growth due to migration. The problem was then formulated into a mathematical model and analyzed the stability of the system. The equation of this mathematical model is a system of nonlinear differential equations. The stability of the system is obtained by adopting the criteria of Routh-Hurwitz. Furthermore, from the equilibrium point obtained numerical simulation. The numerical results indicate an increase in equilibrium of the population and industrialization resulting in a decline in forest biomass equilibrium. The population has a major  impact  on  the  ecology  of  stability  so  as  to  control  population  growth  or  to  protect forest resources from extinction.
Keywords: Analysis of Stability, Forest Resources, Industry

## 1    Pendahuluan
Hutan  merupakan  sumber  daya  yang  sangat  penting  keberadaannya  bagi  makhluk  hidup. Sumber  daya  hutan  merupakan  sumber  daya  alam  yang  memiliki  peranan  penting  dalam
kehidupan  dari  berbagai  aspek.  Penebangan  hutan  yang  terjadi  seperti  perluasan  lahan, penggundulan  hutan,  dan  terkait  industrialisasi  yang  tidak  diimbangi  dengan  regenerasi  hutan menyebabkan penurunan kualitas sumber daya hutan.
Indonesia termasuk salah satu negara di dunia yang memiliki luas hutan alam yang terluas di  dunia.  Kekayaan  sumber  daya  hutan  menyebabkan  masyarakat  menggantungkan  hidup  dan mata  pencahariannya  dari  hutan,  seperti  mengumpulkan  berbagai  jenis  hasil  hutan  untuk memenuhi  kebutuhan  hidup.  Indonesia  merupakan  negara  dengan  kepadatan  penduduk  yang tinggi sehingga tingginya tingkat pertumbuhan penduduk disertai pertambahan penduduk akibat migrasi  menuntut  lahan  pekerjaan  yang  luas.  Hal  tersebut,  menyebabkan  semakin  banyak  alih guna  lahan  untuk  kawasan  perindustrian,  perumahan,  maupun  infrastuktur  penunjang  lainnya. Mengingat bahwa kapasitas hutan yang terbatas untuk memenuhi kebutuhan manusia, sehingga dapat  terjadi  penebangan  pohon  secara  besar  untuk  memenuhi  kebutuhan  hidup.  Dengan demikian,  semakin  tingginya  populasi  manusia  dan  tekanan  akibat  pertumbuhan  penduduk menjadikan  kawasan  hutan  saat  ini  mengalami  penipisan.  Pada  akhirnya,  hutan  memiliki kemungkinan  terjadi  kepunahan.  Berdasarkan  permasalahan  tersebut,  dapat  disimpulkan  bahwa terdapat  keterkaitan  antara  degradasi  hutan  yang  diprakarsarai  oleh  kepadatan  penduduk  dan kepadatan industrialisasi [1].
Pengembangan  ilmu  di  bidang  matematika  turut  memberikan  peranan  penting  dalam mencegah  masalah  ekologi.  Penelitian  pertama  Dubey  dkk  mempelajari  masalah  efek industrialisasi  dan  populasi  terhadap  hutan  [2].  Pada  tahun  2010,  Dubey  dan  Narayana mengemukakan  model  matematika  mengenai  pengaruh  industrialisasi,  populasi,  dan  polusi terhadap pengurangan sumber daya terbaharui  [3]. Pada model  yang dikemukakan oleh Dubey, dkk., dijelaskan mengenai pengaruhnya penipisan kawasan hutan yang disebabkan bertambahnya industrialisasi terhadap tekanan kepadatan populasi (tekanan pertumbuhan penduduk yang sangat signifikan).  Model  tersebut  menggambarkan  sumber  daya  hutan  yang  akan  menuju  kepunahan seiring  bertambahnya  sektor  industri,  sehingga  dibutuhkan  langkah  pencegahan  pada pertumbuhan  industri  [4].  Menganut  pada  penelitian  Dubey,  dkk.,  penelitian  terbaru  telah dikemukakan  oleh  V.  Ramdhani,  Jaharuddin,  E.  H.  Nugrahani  dengan  melihat  kepadatan industrialisasi dan penambahan kontrol pada kepadatan industri [5].
Berdasarkan  penelitian  yang  dikemukakan  oleh  Ramdhani,  dkk.  kemudian  dilakukan rekontruksi  model  dengan  mempertimbangkan  faktor  migrasi  sebagai  pertambahan  penduduk. Permasalahan  tersebut  kemudian  diformulasikan  ke  dalam  bentuk  model  matematika  dan dianalisis  kestabilan  sistemnya.  Analisis  kestabilan  yang  dilakukan  dengan  menggunakan analisis  kestabilan  lokal  yang  bertujuan  untuk  mengetahui  kestabilan  di  sekitar  titik
kesetimbangannya. Hasil dari analisis kestabilan kemudian dilakukan simulasi numerik sehingga dapat  diketahui  perubahan  sumber  daya  hutan  terhadap  kepadatan  populasi  manusia  dengan adanya sektor industri.

## 2 Formulasi Penurunan Sumber Daya Hutan
Pada  bab  ini  akan  dijelaskan  mengenai  asumsi  yang  digunakan  dan  pembentukan  model matematika analisis kestabilan penurunan sumber daya hutan akibat industri.

## 2.1 Asumsi Model Matematika
Asumsi  yang  digunakan  pada  model  matematika  analisis  kestabilan  penurunan  sumber daya hutan akibat industri adalah:
1. Kepadatan sumber daya hutan dan populasi manusia berbentuk persamaan logistik.
2. Pertambahan penduduk berupa migrasi dipengaruhi oleh industrialisasi.
3. Penurunan  sumber  daya  hutan  merupakan  efek  dari  peningkatan  populasi  manusia  dan industrialisasi.
4. Tekanan populasi penduduk sebagai akibat dari kepadatan penduduk.
5. Sektor  industri  terfokus  pada  penggunaan  hasil  hutan  secara  langsung  dan  bangunan penunjang lainnya.

## 2.2 Model Matematika
Model matematika dari permasalahan hutan ini melibatkan empat variabel, yaitu biomassa sumber  daya  hutan ,  populasi  penduduk ,  tekanan  kepadatan  penduduk
,  dan industrialisasi maka dapat diformulasikan dalam persamaan sistem berikut:
(1)
dengan:
: laju pertumbuhan intrinsik sumber daya hutan
: laju kerusakan alami sumber daya hutan
: laju kerusakan sumber daya hutan disebabkan perkembangan industri
: laju pertumbuhan industri disebabkan tersedianya sumber daya hutan yang memadai
: laju pertumbuhan industri karena meningkatnya tekanan kepadatan penduduk
: laju kematian populasi secara alami
: laju pertumbuhan intrinsik populasi penduduk
: laju pertumbuhan populasi karena adanya sumber daya hutan yang mendukung kehidupan
: laju kerusakan sumber daya hutan akibat meningkatnya kepadatan populasi
: laju kerusakan sumber daya hutan akibat penumpukan industri
: laju pertumbuhan tekanan kepadatan populasi
: laju penurunan tekanan kepadatan populasi secara alami
: tingkat penurunan tekanan kepadatan populasi akibat meningkatnya industri
: koefisien kontrol pengendalian industrialisasi oleh pemerintah
: Daya dukung lingkungan terhadap hutan
: Daya dukung lingkungan terhadap populasi
: Laju pertumbuhan penduduk akibat migrasi penduduk karena tersedianya industri
Bentuk  model  tersebut  dinyatakan  dalam  bentuk  persamaan  diferensial  tak  linier,  yang memenuhi  kondisi  awal  dari  setiap  variabel  adalah  positif.
dimana dan   berupa peluang yang berada pada selang , [5].

## 3 Hasil dan Pembahasan Simulasi Penurunan Sumber Daya Hutan
Pada  bab  ini  akan  dibahas  tentang  kestabilan  titik  kesetimbangan  dan  hasil  simulasi numerik.
3.1 Titik Kesetimbangan Model
Pada  subbab  ini,  dicari  titik  kesetimbangan  dari  model  seperti  pada  sistem  (1).  Titik setimbang diperoleh ketika keadaan dari:
sehingga diperoleh sistem persamaan, yaitu:
(2)
(3)
(5)
Dari model tersebut dihasilkan empat titik kesetimbangan tak negatif, yaitu dan Titik  kesetimbangan  yang pertama merupakan suatu kondisi dimana tidak terjadi pengaruh apapun dari adanya industri,  populasi,  dan  tekanan  kepadatan  populasi  terhadap  keadaan  hutan.    Selanjutnya,  akan diberikan sebagai berikut:
(6)
.
Dari  uraian  dalam  menetukan  titik  kesetimbangan  di  atas,  selanjutnya  dari  setiap  titik kesetimbangan  yang  diperoleh  akan  dilihat  sifat  kestabilannya  serta  jenis  dari  kestabilan  setiap titik.

## 3.2 Kestabilan Titik Kesetimbangan Model
Titik kesetimbangan dan dianalisis menggunakan metode pelinearan. Mula- mula  dilakukan  linearisasi  sistem  Persamaan  (1)  dengan  ekspansi  deret  Taylor,  sehingga diperoleh matriks  Jacobi dari  sistem persamaan tersebut.  Berikutnya, dari matriks  Jacobi  untuk masing-masing titik kesetimbangan, dilihat jenis kestabilan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobiannya.  Sedangkan,  untuk  titik dan diterapkan  kriteria  Routh-Hurwitz  untuk memperoleh  sifat  kestabilannya.  Perlakuan  yang  diberikan  pada  titik  kesetimbangan dan untuk  menganalisis  kestabilannya  dikarenakan  sulit  untuk  secara  langsung  mendapatkan  akar dari persamaan karakteristiknya.
3.2.1 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Linearisasi  terhadap  sistem  persamaan  (1)  untuk  titik  kesetimbangan
,  dimana saat dan dihasilkan matriks Jacobi berikut [6].
Persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobi ditentukan  oleh  persamaan dimana Dengan  demikian,  nilai  eigen yang  diperoleh bernilai positif, sehingga titik setimbang tidak stabil. Jika terpenuhi,  maka  dapat  disimpulkan  bahwa  titik
kesetimbangan
adalah tidak stabil dengan jenis saddle point atau pelana [7].

## 3.2.2 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Linearisasi  terhadap  sistem  persamaan  (1)  untuk  titik  kesetimbangan dihasilkan matriks Jacobi berikut [6].
Persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobi ditentukan  oleh  persamaan dimana Selanjutnya,  diperoleh  nilai  eigen
yang  diperoleh
bernilai positif sehingga titik setimbang tidak stabil. Jika
terpenuhi,  maka  dapat  disimpulkan  bahwa  titik  kesetimbangan adalah  tidak  stabil  dengan jenis stabil pelana atau saddle point [7].

## 3.2.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Linearisasi  terhadap  sistem  persamaan  (4.1)  untuk  titik  kesetimbangan dihasilkan matriks Jacobi berikut [6].
Persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobi ditentukan  oleh  persamaan
dimana Persamaan karakteristik dapat ditulis sebagai berikut:
Menurut  kriteria  Routh  Hurwitz,  titik  kesetimbangan  dikatakan  stabil  jika  setiap koefisiennya bernilai sama, yaitu jika koefisien bernilai positif dimana
dan ,  hingga  seterusnya.  Dari  perolehan
nilai
menunjukaan titik tidak stabil jika memenuhi
karena  terjadi  perbedaan  tanda  dimana bernilai  negatif  sedang positif  sehingga  syarat kestabilan  tidak  memenuhi  pada  titik  kesetimbangan .  Dengan  kata  lain,
merupakan titik kesetimbangan yang tak stabil [7].
3.2.4 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Sifat kestabilan titik kesetimbangan
sulit untuk dianalisa secara eksplisit sebagaimana  ketiga  titik  kesetimbangan  sebelumnya.  Itu  sebabnya,  dalam  menentukan  sifat kestabilan  dari  titik akan  dijelaskan  dengan  cara  yang  berbeda.  Sifat  kestabilan  dari  titik kesetimbangan  tersebut  akan  dianalisis  berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz.  Hal  tersebut  akan dijelasakan pada uraian berikut.
Dilakukan hal yang sama seperti ketiga titik sebelumnya, yaitu dengan linearisasi terhadap sistem  persamaan  (1)  untuk  titik  kesetimbangan
.  Sehingga  diperoleh  matriks Jacobi pada titik adalah
Nilai  eigen  dari  matriks  Jacobi ditentukan  oleh  persamaan
dimana
Hasil dari determinan matriks diatas dihasilkan nilai eigen dari persamaan karakterikstik yang dapat ditulis sebagai berikut:
Semua akar tersebut bernilai negatif pada bagian realnya jika dan hanya jika elemen-elemen dari kolom pertama pada tabel (1) mempunyai tanda yang sama. Maka dari itu, titik bisa dikatakan stabil jika
(Lenhart, 2007).
Analisis model menunjukkan terdapat empat titik kesetimbangan dari sistem, yaitu dan merupakan titik kesetimbangan yang tak stabil dengan jenis pelana dengan syarat kondisi tertentu  yang  harus  tepenuhi.  Selain  itu,  diperoleh  titik yang  memenuhi  syarat  kestabilan sehingga titik merupakan titik kesetimbangan yang stabil asimtotik. Sehingga, diperoleh titik
kesetimbangan dengan dan .

## 3.3 Hasil Simulasi Model
Pada  simulasi  selanjutnya  diidentifikasi  hal-hal  yang  mungkin  terjadi  terhadap  dinamika sistem.  Untuk  itu,  pemberian  variasi  parameter  yang  digunakan  dalam  model  pada  sistem Persamaan  (1)  menganut  nilai  parameter  milik  Dubey  dkk.  tahun  2010  seperti  berikut,
,
.
Berdasarkan  parameter  yang  diberikan  di  atas,  maka  diperoleh  titik  kesetimbangan dengan, Dengan kondisi  kestabilan  Routh-Hurwitz  terpenuhi,  ini  menunjukkan  bahwa  titik  kesetimbangan adalah stabil asismtotik.
Gambar 1 . Laju perubahan biomassa hutan dengan variasi parameter
Grafik  yang  ditunjukkan  seperti  pada  Gambar  1  mengalami  kenaikan  lalu  turun  hingga menuju  titik  setimbangnya.  Kenaikan  yang  terjadi  hingga  titik  puncaknya  karena  adanya  laju pertumbuhan hutan. Laju intrinsik hutan ini bertambah lebih banyak daripada laju kematiannya ( dan ).  Keadaan  setimbang  dari  sumber  daya  hutan  dipengaruhi  dari  besaran .  Semakin besar kerusakan hutan  yang terjadi akibat populasi manusia maka semakin cepat hutan tersebut menuju keadaan stabilnya.
Gambar 2 . Laju perubahan populasi dengan variasi parameter
Dinamika  dari  populasi  penduduk yang  ditujukkan  oleh  Gambar  2  mengalami peningkatan  hingga  mencapai  tingkat  kesetimbangannya  seiring  peningkatan  nilai .  Adanya pengaruh besaran yang merupakan laju pertumbuhan populasi seiring tersediannya biomassa hutan terhadap jumlah populasi penduduk. Berdasarkan tampilan Gambar 2 dapat dilihat bahwa dari model degradasi hutan mempunyai solusi yang konvergen menuju titik kesetimbangan yang sama. Hal itu berarti berapapun besarnya manusia dapat bertambah akan terbatasi dengan kondisi hutan yang memadai.

## 4 Simpulan
Berdasarkan  analisis  dan  pembahasan  yang  telah  disajikan  pada  bab  sebelumnya,  dapat disimpulkan bahwa:
1. Menurut  analisis  dari  hasil  simulasi,  didapatkan  pernyataan  bahwa  meningkatnya  laju pertumbuhan  dari  populasi  penduduk  dan  industrialisasi  menyebabkan  penurunan terhadap tingkat setimbang dari jumlah biomassa hutan.
2. Berdasarkan  hasil  simulasi,  jika  didapatkan  kondisi  kestabilan  model  telah  terpenuhi, maka pergerakan sistem selalu menuju titik kesetimbangannya.

## 5 Daftar Pustaka
[1] S. Sundar, N. Swaroop, and R. Naresh, “Modeling the Effect of Population and Population Augmented Industrialization on Forestry Resources,” Eur. J. Eng. Res. Sci. , vol. 2, no. 1, p. 65, 2017.
[2] B. Dubey, S. Sharma, P. Sinha, and J. B. Shukla, “Modelling the depletion of forestry resources by population and population pressure augmented industrialization,” Appl. Math. Model. , vol. 33, no. 7, pp. 3002–3014, 2009.
[3] B. Dubey and A. S. Narayanan, “Modelling effects of industrialization, population and pollution on a renewable resource,” Nonlinear Anal. Real World Appl. , 2010.
[4] B. Bubey, J. Hussain, S. Raw, and R. Upadhyay, “Modelling the effect of pollution on biological species: a socio-ecological problem,” Comput. Ecol. Softw. , vol. 5, no. 2, pp. 152–174, 2015.
[5] V. Ramdhani and E. H. Nugrahani, “Dynamical System of Modelling the Depletion of Forestry Resources Due to Crowding by Industrialization,” Appl. Math. Sci. , vol. 9, no. 82, pp. 4067–4079, 2015.
[6] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems . 2001.
[7] S. Lenhart and J. T. Workman, Optimal Control Applied to Biological Models . 2007.