Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 15 No. 2, Desember 2023, hal. 73-82 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422
Info Artikel : dikirim 15 April 2023; direvisi 11 Sept. 2023; diterima 29 Des. 2023.

## KONTROL OPTIMAL MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI PREDATOR DAN PERLINDUNGAN PADA PREY

## Moh. Nurul Huda*
Jurursan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Mulawarman muh.nurulhuda@fmipa.unmul.ac.id

## Sri Wigantono
Jurursan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Mulawarman sriwigantono@fmipa.unmul.ac.id

## Syaripuddin
Jurursan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Mulawarman syarif92@yahoo.co.id

## Rizal Furqan Ramadhan
Jurusan Manajemen Bisnis Syariah Universitas Islam Negeri Sayyid Ali Rahmatullah Rizalfurqann@gmail.com
ABSTRACT. This paper studied the Leslie-Gower predator-prey model with the effects of prey refuge and linear harvesting on predator populations. Prey populations grow as a logistic  model  when  there  is  no  interaction  with  predators.  The  predator  population  is assumed  to  have  economic  value.  Analysis  of  Bionomic  and  Harvesting  Control  have been studied further. The results showed that the protective effect of prey had an effect on harvesting  activity  in  the  population  so  that  it  affected  profits  in  predatory  harvests. Simulation of several calculations is given to purchase the analysis results..
Keywords : Linear harvesting, Leslie-Gower Model, Binomics , prey refuge.
ABSTRAK. Artikel  ini  membahas  model  predator-prey  Leslie-Gower  dengan  efek perlindungan  prey  dan  pemanenan  linear  pada  populasi  predator.  Populasi  prey  tumbuh sebagai  model  logistik  ketika  tidak  ada  interaksi  dengan  predator.  Populasi  predator diasumsikan mempunyai nilai ekonomi. Analisis Bionomik dan Kontrol pemanenan telah dikaji  lebih  lanjut.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  efek  perlindungan  prey mempengaruhi terhadap aktivitas pemanenan pada populasi sehingga mempengaruhi laba pada pemanenan predator. Beberapa simulasi perhitungan diberikan untuk mengkonfirmasi hasil analisis.
Kata  Kunci :  Pemanenan  linear,  Leslie-Gower  Model,  Bionomik,  Perlindungan prey.

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  pemodelan  ekologi,  pemanenan  merupakan  salah  satu  faktor  kunci yang  menarik  perhatian  para  peneliti  karena  pentingnya  dalam  pengelolaan sumber  daya  dari  sudut  pandang  biologis  dan  ekonomi.  Ada  dua  hal  penting terkait  model  predator- prey dengan  pengaruh  pemanenan.  Pertama  yaitu  secara alami menarik minat bagi industri komersial dalam aktivitas pemanenan terhadap suatu  sumber  daya  ekologi  karena  kekhawatiran  eksploitasi  berlebihan,  dan kepunahan spesies yang dipanen. Menurut [1] Pemanenan memiliki dampak yang kuat pada evolusi dinamis suatu populasi. Pemanenan populasi secara umu dapat diaplikasikan dalam pengelolaan kehutanan, perikanan dan satwa liar. Oleh karena itu, keterlibatan komponen pemanenan akan meningkatkan signifikansi model .
Beberapa  penelitian  terkait  efek  pemanena  pada  model  predator- prey telah banyak  dikaji  beberapa  tahun  ini.  [2]  mempelajari  pemanenan  bioekonomi  dari model  perikanan prey -predator  berdasarkan  konsep catch-per-unit-effort pada ikan  mangsa  dan  ikan  predator.  Konsep  yang  sama  digunakan  oleh  [3]  and  [4] untuk  mempelajari  model prey -predator  melalui  strategi  pemanenan  mandiri dengan  mengasumsikan  mangsa  dan  predator  memiliki  nilai  ekonomi  masing- masing  sehingga  dipanen  dengan  upaya  yang  berbeda.  Namun,  dalam  dunia ekologi,  beberapa  spesies prey mempunyai  kemampuan  dalam  melindungi  diri nya  dari  spesies  predator.  Seperti  halnya  pada  penelitian  [5]  mempertimbangkan efek pelindungan pada prey dan pemanenan pada model predator- prey tipe Leslie- Gower.  Namun,  pada  penelitian  [5]  belum  dikaji  tentang  kajian  bionomik  dan kontrol  pemanenan  yang  optimal.  Oleh  karena  itu,  pada  penelitian  ini  akan melengkapi  dari  kajian    [5]  dalam  segi  pembahasan  bionomik  dan  kontrol pemanenannya.

## 2. MODEL MATEMATIKA
Model  yang  dikonstruksi  berasal  dari  model  Garcia  (2023)  dengan menambahkan pembahasan tentang bionomik  dan kontrol pemanenan. Model  ini menggambarkan  interaksi  dan  pertumbuhan  antara  dua  spesies,  dengan kemungkinan  yang  sama  untuk  dikonsumsi  atau  dipanen.  Fungsi  respon  pada
predator  adalah  linier  atau  Fungsi  Holling  tipe  I,  artinya  bahwa  predator mengkonsumsi prey meningkat  ketika  ukuran  populasi  prey  meningkat  yang ditentukan oleh tangkapan predator atau tingkat serangan . Jika adalah  ukuran  populasi prey dan  predator,  maka  kedua  populasi  diukur  dalam jumlah individu, biomassa atau kepadatan per satuan luas atau volume setiap saat
. Predator dapat dipanen untuk semua
, dengan adalah koefisien panen dan adalah upaya panen. Model ini diasumsikan bahwa pertumbuhan prey bergantung pada daya dukung lingkungan
dan pertumbuhan predator di  bawah  kualitas  pemanfaatan prey yang  dikonsumsi  yaitu
.  Alternatif makanan  populasi  predator  yang  tersedia  di  lingkungan  yaitu
Sedangkan adalah  tingkat  pertumbuhan  intrinsik prey dan  predator.  Tingkat perlindungan prey terhadap  serangan  predator  adalah
Model matematika  yang  menggambarkan  dinamika  prilaku prey dan  predator
dalam penelitian ini sebagai berikut,
( )
( )
(1)

## 3. KESEIMBANGAN BIONOMIK
Kesetimbangan  bionomik  merupakan  kesetimbangan  yang  terjadi  ketika kesetimbangan  sistem  biologi  dan  keseimbangan  secara  ekonomi  saling berintegrasi. Keseimbangan biologi diperoleh ketika populasi berada pada kondisi dan .  Titik  keseimbangan  ini  diperoleh  dengan  menyelesaikan sistem  persamaan  (1).  Kesetimbangan  secara  ekonomi  dikatakan  tercapai  ketika total  pendapatan  total  (TR  /  Total  Revenue)  yang  diperoleh  dari  penjualan  stok (populasi)  yang  dipanen  sama  dengan  biaya  total  (TR  /  Total  Cost)  dari  usaha yang dilakukan dalam pemanenan populasi, artinya haruslah TR = TC.
Fungsi keuntungan dari usaha pemanenan populasi adalah
Total pendapatan (TR) diperoleh dari harga perunit biomassa dikalikan dengan laju  pemanenan
.  Sedangkan  untuk  total  biaya  (TC)  sebanding  dengan biaya pemanenan per unit usaha dikalikan dengan usaha yang dirumuskan [6]:
Karena itu, persamaan fungsi keuntungan dengan pemanenan yang dilakukan pada populasi predator dan prey adalah sebagai berikut:

## Kesetimbangan Bionomik terjadi ketika
( ) (2)
( ) (3) (4)
Jika berarti biaya pemanenan ikan (predator) akan melebihi pendapatan atau  menderita  kerugian,  maka  usaha  pemanenan  ikan  harus  dihentikan  atau
.  Jadi  dalam  hal  ini  kesetimbangan  bionomik  tidak  akan  terjadi.  Jika dapat  diartikan  sebagai  biaya  pendapatan  untuk  memanen  ikan (predator) melebihi harga jualnya, maka eksistensi kesetimbangan bionomik tetap ada atau .
Dari persamaan (4), didapatkan
(5)
Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan (2), didapatkan
(6)
Subtitusikan persamaan (5) dan (6) ke persamaan (3), sehingga didapatkan
( )
Jadi titik kesetimbangan bionomik pada model (2-4) adalah
.

## 4. KONTROL OPTIMAL PEMANENAN
Hasil  berkelanjutan  yang  optimal  dalam  dunia  perikanan  yang  memiliki nilai  komersial  merupakan elemen penting untuk  berkontribusi pada pengelolaan sumber daya perikanan yang berkelanjutan [7],[8]. Oleh karena itu, penelitian ini mempelajari  hasil  pemanenan  yang  optimal  dari  model  perikanan  intraguild  (1) dengan  memanfaatkan  konsep time  discounting melalui  prinsip  Pontryagin maksimum.  Tingkat  pemanenan  ikan  predator  yang  optimal  dapat  ditentukan dengan memaksimalkan fungsi optimalisasi keuntungan moneter:

## ∫ [ ]
Di sini, mewakili biaya sewa ekonomi seperti yang diberikan dalam Persamaan (4) dan adalah tingkat diskonto perikanan [9]. Dalam model ini, berfungsi
sebagai  variabel  kontrol  yang  dibatasi  oleh  batasan dengan
keadaan
yang  sesuai.  Dengan  prinsip  maksimum,  fungsi  Hamiltonian untuk masalah tersebut diberikan oleh
(   ( )             ) (   ( )      )
(7)
dengan dan sebagai  variabel  costate.  Fungsi switching untuk  pemanenan ikan predator nonlinier dapat ditentukan sebagai
Fungsi Hamilton pada persamaan (7) merupakan persamaan linear dalam variabel kontrol  / costate .  Kontrol  optimal  harus  merupakan  kombinasi  dari  kontrol bang-bang  dan  kontrol  singular.  Pada  kontrol  bang-bang,  kebijakan  pemanenan yang optimal dalam variabel kontrolnya harus memenuhi
{
k sus singul r
atau
{
jik m k jik m k jik m k Adapun merupakan  harga  bayangan  ( shadow  price )  dari  pemanenan,
sementara merupakan pendapatan bersih dari setiap unit pemanenan ikan.
Dalam  model  ini,  ada  beberapa  kemungkinan  kasus.  Pertama  jika  harga bayangan  lebih  besar  dari  pada  pendapatan  bersih  per  unit  pemanenan  maka kegiatan  pemanenan  harus  dihentikan  supaya  tidak  terjadi  kerugian.  Kedua,  jika harga bayangan lebih kecil dari pada pendapatan bersih per unit pemanenan maka kegiatan pemanenan harus ditingkatkan.
Menurut  Prinsip  Pontryagin,  fungsi  Hamilton  mencapai  solusi  optimal  jika berlaku persamaan state , costate serta kondisi stasioner :
1. Persamaan state :
( ) ( )
2. Persamaan c ostate :
(  ( )            ) ( )
(8)
(  ( )     ) (9)
Dari persamaan (3) diperoleh
( )
(10)
Eliminasi
dengan  mensubtitusikan  persamaan  (8)  ke  persamaan  (9), kemudian subtitusi persamaan (10) ke persamaan (9) sehingga didapatkan
(11)
dengan
( ) ( ) (  ( )            ) (  ( )                )
Solusi persamaan (21) adalah
dan adalah konstantan sembarang. Hal ini dapat dilihat bahwa variable adjoin terbatas jika hanya jika
, sehingga (12)
3. Kondisi Stasioner :
Sementara itu kondisi stasioner dituliskan sebagai berikut
(13)
Subtitusikan persamaan (12) ke (13), kemudian didapatkan
(14)
Dari  persamaan  (4)  atau  bagian  persamaan  keuntungan  ekonomi  dan persamaan (14) yaitu
Jika maka ,  artinya  bahwa  jika  tingkat  diskonto  tahunan ditambah menuju tak hingga maka keuntungan  ekonomi akan menurun .
Sebaliknya  jika maka meningkat.  Dengan  kata  lain,  keuntungan bergantung  kepada  laju  diskonto.  Aktivitas  pemanenan  akan  berhenti  jika  laju diskonto meningkat. Sementara itu, jika laju diskonto menuju nol atau berkurang maka akan memberikan maksimum dari keuntungan ekonomi,
Solusi  kesetimbangan  optimal  untuk  sistem  persamaan  (2)-(3)  dan  (14) dalam  bentuk diperoleh  dari  kombinasi  persamaan  (13)  dengan sistem  persamaan  (2)  dan  (3).  Kemudian,  Parameter-parameter  yang memperlihatkan  kesetimbangan  bionomic  dan  persamaan  ekonomi  adalah
Solusi kesetimbangan  optimal  dengan  hadirnya  perlindungan prey adalah  (0.9906047,
0.08455694, 0.02401215), sedangkan tanpa efek perlindungan prey yaitu
.  Hasil  kesetimbangan  bionimik  dengan
variasi  parameter  laju  perlindungan prey disajikan  pada  tabel  4.1.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  kesetimbangan  optimal  dapat  eksis  pada  kedua  kasus  (ada dan  tanpa  ada  perlindungan prey ).  Kemudian,  efek  perlindungan prey mempengaruhi terhadap aktivitas pemanenan pada populasi predator. Pada kasus tanpa  ada  perlindungan prey aktivitas  pemanenan  lebih  tinggi  dari  pada    kasus dengan adanya perlindungan prey .
Tabel 4.1. Kesetimbangan bionomik pada model
dengan pengaruh perlindungan pada prey No Laju perlindungan Pada Prey Titik Kesetimbangan Bionomik . Fungsi Keuntungan 1 0 (2.34285, 0.08571, 0.03318) 0.09292 2 0.35 (2.34285, 0.08571, 0.03222) 0.09022 3 0.5 (2.34285, 0.08571, 0.03140) 0.08793 4 0.75 (2.34285, 0.08571, 0.02792) 0.07820 5 0.9 (2.34285, 0.08571, 0.01817) 0.05088

## 5. KESIMPULAN DAN SARAN
Dalam  penelitian  ini,  model  predator-predator  tipe  Leslie-Gower  dengan perlinfungan prey dan  pemanenan  predator  telah  diusulkan  dan  dipelajari.  Dari hasil analisis, parameter pemanenan predator nonlinier merupakan faktor krusial yang  mempengaruhi  dinamika  sistem  (1).  Pembahasan  kontrol  optimal
pemanenan  yang  dibahas  dalam  penelitian  ini  dapat  dianggap  sebagai  pelengkap literatur  yang  ada  pada  refrensi  [5].  Efek  perlindungan prey mempengaruhi terhadap  aktivitas  pemanenan  pada  populasi  predator.  Jadi,  dengan  mempelajari model  predator- prey dua  spesies  yang  menggabungkan  pemanenan  nonlinier Michaelis-Menten,  model  ini  ditemukan  efek  perlindungan  pada  populasi prey mempengaruhi laba pada pemanenan predator.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  S. Kum r  nd H. Kh rb nd , “Ch otic beh vior of pred tor-prey model with group  defense  and  non-line r  h rvesting  in  prey,” Chaos,  Solitons  and Fractals , vol. 119, pp. 19–28, 2019.
[2]  M.  N.  Hud ,  F.  D.  T.  AMIJAYA,   nd  I.  Purn m s ri,  “the  Effect  of Harvesting  Activities  on  Prey-Predator  Fishery  Model  With  Holling  Type  Ii in  Toxic nt  Aqu tic  Ecosystem,” Aust.  J.  Math.  Anal.  Appl. ,  vol.  17,  no.  2, pp. 1–11, 2020.
[3]  T. K. Ang  nd H. M. S fu n, “H rvesting in   toxic ted intr guild pred tor– prey  fishery  model  with  v ri ble  c rrying  c p city,” Chaos,  Solitons  and Fractals , vol. 126, pp. 158–168, 2019.
[4]  M.  N.  Hud ,  Q.  Q.  A’yun,  S.  Wig ntono,  H.  S ndariria,  I.  Raming,  and  A. Asm idi,  “Effects  of  h rvesting   nd  pl nktivorous  fish  on  bioeconomic phytoplankton-zooplankton  models  with  ratio-dependent  response  functions nd time del ys,” Chaos, Solitons and Fractals , vol. 173, no. June, p. 113736,
2023.
[5]  C.  Cortés  G rcí ,  “Imp ct  of  prey  refuge  in     discontinuous  Leslie-Gower model with harvesting and alternative food for predators and linear functional response,” Math. Comput. Simul. , vol. 206, pp. 147–165, 2023.
[6]  L.  Pr stiwi,  “M ngs -Pemangsa  Dengan  W ktu  Tund ,”  no.  November,  pp. 21–25, 2012.
[7]  B.  R.  Soukaina,  A.  Imane,  R.  Mostafa,  A.  Naceur,  and  E.  F.  Youssef, “Optim l  control  of     phytopl nkton-zooplankton  spatiotemporal  discrete bioeconomic  model,” Chaos,  Solitons  and  Fractals ,  vol.  158,  p.  112020,
2022.
[8]  T.  D s,  R.  N.  Mukherjee,   nd  K.  S.  Ch udhuri,  “H rvesting  of     prey- pred tor  fishery  in  the  presence  of  toxicity,” Applied  Mathematical Modelling , vol. 33, no. 5. pp. 2282–2292, 2009.
[9]  S.  Lenhart  and  J.  T.  Workman, Optimal  Control  Applied  to  Biological Models . 2007.