Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 12 No. 1, Juni 2020, hal. 15-24 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## TEORI TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN QUASI-KONTRAKSI YANG DIPERUMUM PADA RUANG BERMODULAR
Afifah Hayati
Universitas Nahdlatul Ulama Purwokerto afifahhayati.mail@gmail.com

## Dian Pratama
Universitas Nahdlatul Ulama Purwokerto

## Noor Sofiyati
Universitas Nahdlatul Ulama Purwokerto
ABSTRACT. In the metric spaces, a generalized quasi-contraction mapping is defined as a  generalization  of  quasi-contraction  mappings.  In  this  article  we  give  a  fixed  point theorem for generalized quasi-contraction mappings in modular spaces.
Keywords: fixed  point  theorem,  generalized  quasi-contraction  mappings,  modular spaces.
ABSTRAK . Pada ruang metrik, didefinisikan pemetaan quasi-kontraksi yang diperumum dari  pemetaan  quasi-kontraksi.  Pada  artikel  ini,  akan  dibahas  mengenai  teori  titik  tetap untuk pemetaan quasi-kontraksi yang diperumum pada ruang bermodular.
Kata  Kunci: Teori  titik  tetap,  pemetaan  quasi-kontraksi  yang  diperumum,  ruang bermodular.

## 1. PENDAHULUAN
Dewasa ini, perumuman dari teorema titik tetap berkembang pesat karena teorema ini memiliki cukup banyak aplikasi. Salah satu aplikasi teorema tersebut adalah  untuk  membuktikan  eksistensi  penyelesaian  suatu  sistem  persamaan diferensial.    Jenis  pemetaan  yang  dibicarakan  dalam  teorema  titik  tetap  pada jurnal  ini adalah pemetaan quasi-kontraksi  yang  diperumum sebagai  perumuman dari pemetaan quasi-kontraksi pada ruang bermodular.
Penyusunan artikel ini bertujuan untuk  mengetahui  perumuman pemetaan quasi-kontraksi,  yaitu  pemetaan  quasi-kontraksi  yang  diperumum  pada  ruang bermodular.  Selain  itu,  artikel  ini  juga  bertujuan  untuk  mengetahui  teorema  titik tetap untuk pemetaan quasi-kontraksi yang diperumum pada ruang bermodular.
Dalam  mempelajari  titik  tetap,  diperlukan  beberapa  konsep  dalam  ruang metrik  maupun  bernorma  yang  dijelaskan  oleh  Berberian  (1961).  Ćirić  (1974) memperkenalkan  konsep  pemetaan  quasi  kontraksi  pada  ruang  metrik  dan  teori titik  tetap  untuk  pemetaan  tersebut.  Sementara  itu,  F.  Kiany  dan  A.  Amini- Harandi (2013) memperkenalkan pemetaan quasi-kontraksi yang diperumum pada ruang  metrik  dan  teori  titik  tetap  untuk  pemetaan  tersebut.  Musielak  (1983) memperkenalkan suatu fungsional yang lebih umum daripada norma yang disebut modular.  Selanjutnya,  Khamsi  (2008)  melakukan  penelitian  mengenai  pemetaan quasi-kontraksi  serta  teorema  titik  tetap  untuk  pemetaan  tersebut  pada  ruang bermodular.  Selain  membutuhkan  konsep-kosep  tersebut,  diperlukan  pula  sifat- sifat ruang bermodular yang dibahas oleh Musielak (1983) dan sifat barisan pada ruang bermodular dibahas oleh Khamsi (2008).

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian  ini  diawali  dengan  membaca  literatur-literatur  hasil  penelitian terkait  ruang  bermodular  dan  pemetaan  quasi-kontraksi  yang  diperumum  yang menjadi  dasar  untuk  mempelajari  perumuman  pemetaan  quasi-kontraksi  yang diperumum  pada  ruang  bermodular.  Adapun  langkah  yang  digunakan  adalah sebagai berikut
1. Memberikan definisi ruang bermodular beserta sifat-sifatnya;
2. Mendefinisikan pemetaan quasi-kontraksi yang diperumum pada ruang bermodular dan teorema titik tetap untuk pemetaan tersebut.
Beberapa  definisi  dan  teorema  dibutuhkan  untuk  membuktikan  teorema titik  tetap  untuk  pemetaan  quasi-kontraksi  yang  diperumum  pada  ruang bermodular.
Definisi 1. Diketahui ruang metrik. Pemetaan disebut pemetaan quasi  kontraksi  yang  diperumum  jika  terdapat  pemetaan [    ]   [ sehingga untuk setiap
berlaku
(          )    (       )
(       )   (       )   (       )
Pada  tahun  2013,  F.  Kiany  dan  A.  Amini-Harandi,  memberikan  teorema titik  tetap  untuk  pemetaan  quasi-kontraksi  yang  diperumum  pada  ruang  metrik yang  diperumum  dengan  metrik dapat  bernilai  tak  terbatas.  Berikut adalah teorema tersebut.
Teorema  2. Diketahui
ruang  metrik  lengkap  yang  diperumum  dan merupakan  pemetaan  quasi-kontraksi  yang  diperumum  dengan  barisan terbatas, utnuk suatu serta (       ) , untuk setiap . Jika ,  untuk  setiap [ ,  maka mempunyai  titik tetap ̅ dan
̅ .  Lebih  lanjut,  jika ̅ titik  tetap ,  maka ̅   ̅ atau ̅    ̅ .
Selanjutnya,  akan  dibahas  mengenai  teorema  titik  tetap  untuk  pemetaan quasi-kontraksi  yang  diperumum  pada  ruang  bermodular.  Oleh  karena  itu,  akan dibahas terlebih dahulu mengenai ruang bermodular.
Definisi 3. Diberikan ruang vektor atas lapangan . Fungsional [    ]
disebut modular jika untuk setiap berlaku (i) jika dan hanya jika , (ii) , dan (iii) , untuk setiap dan . Jika (iii) diganti dengan (iv) , untuk setiap dan ,
maka disebut modular konveks.
Selanjutnya,  ruang  vektor yang  dilengkapi  dengan  modular disebut ruang  bermodular  dan  dinotasikan  dengan .    Salah  satu  subruang  vektor
penting  pada  ruang  bermodular
adalah .
Pada pembahasan selanjutnya, yang dimaksud ruang bermodular adalah
.
Seperti  halnya  pada  ruang  metrik,  dapat  didefinisikan  pula  barisan konvergen dan barisan Cauchy pada ruang bermodular.
Definisi 4. Diberikan ruang bermodular.
(i) Barisan
dikatakan -konvergen  ke jika  untuk  setiap terdapat dengan berlaku . Selanjutnya, disebut -limit barisan
dan barisan yang -konvergen ke dapat dituliskan dengan , untuk . (ii) Barisan disebut  barisan -Cauchy  jika  untuk  setiap terdapat dengan berlaku .  Selanjutnya, barisan yang  merupakan  barisan -Cauchy  dapat  dituliskan  dengan , untuk .
Pada ruang metrik, setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy. Namun, hal  tersebut  tidak  berlaku  pada  ruang  bermodular.  Oleh  karena  itu,  perlu  syarat tambahan agar hal tersebut berlaku pada ruang bermodular, yaitu kondisi yang akan dijelaskan sebagai berikut.
Definisi  5. Diberikan ruang  vektor  atas .  Modular pada dikatakan memenuhi  kondisi jika  terdapat sehingga  untuk  setiap
berlaku
.
Definisi  6. Ruang  bermodular dikatakan -lengkap  jika  setiap  barisan -
Cauchy di dalam merupakan barisan -konvergen di dalam .
Berikut  ini  akan  diberikan  definisi  quasi-kontraksi  yang  diperumum  pada ruang bermodular.
Definisi  7. Diberikan ruang  bermodular  dan himpunan  tak  kosong.
Pemetaan
disebut  pemetaan -quasi-kontraksi  yang  diperumum  jika
terdapat pemetaan [    ] sehingga untuk setiap berlaku
(           )    (       )
(       )   (       )   (       ) .
Pada pembuktian teorema titik tetap untuk pemetaan quasi-kontraksi yang diperumum  pada  ruang  bermodular,  diperlukan  beberapa  definisi  dan  lemma sebagai berikut.
Definisi  8. Modular pada dikatakan  memenuhi  sifat  Fatou  jika  untuk  setiap barisan yang -konvergen ke berakibat . Definisi  9. Diberikan ruang  bermodular, himpunan  tak  kosong,  dan
pemetaan -quasi-kontraksi. Untuk setiap didefinisikan dan (    )        ( ) . Selanjutnya, dan
berturut-turut  disebut  orbit  dari dan -diameter dari .
Lemma  10. Diberikan ruang  bermodular, himpunan  tak  kosong,  dan merupakan  pemetaan -quasi-kontraksi  yang  diperumum.  Jika
, untuk setiap [ dan dengan , maka terdapat sehingga  untuk  setiap berlaku ( ) . Lebih  lanjut,  untuk  setiap dan berlaku ( ) .
Lemma  11. Diberikan ruang  bermodular  dengan modular  yang  memenuhi sifat  Fatou,
himpunan  tak  kosong  yang -lengkap,  serta
merupakan pemetaan -quasi-kontraksi  yang diperumum. Jika
,  untuk  setiap [ dan dengan ,  maka  barisan
-konvergen ke . Lebih lanjut, untuk setiap berlaku
.
Berikut  merupakan  teorema  titik  tetap  untuk  pemetaan  quasi-kontraksi yang diperumum pada ruang bermodular.
Teorema 12. Diberikan ruang bermodular dengan modular yang memenuhi sifat  Fatou, himpunan  tak  kosong  yang -lengkap  dengan (
) ,  untuk  setiap ,  dan
merupakan  pemetaan -quasi- kontraksi yang diperumum. Jika , untuk setiap [ dan dengan , maka -limit barisan merupakan titik tetap dengan . Lebih lanjut, jika titik tetap pada dan
, maka .
Bukti. Berdasarkan  Lemma  11 , cukup  jelas  bahwa  terdapat sehingga
barisan -konvergen ke atau -limit barisan
. Selanjutnya, tinggal  membuktikan merupakan  titik  tetap .  Sebelumnya,  dengan  induksi matematika,  akan  dibuktikan  bahwa  untuk  setiap terdapat
sehingga ( ) (        )
.
Untuk  membuktikan  pernyataan  tersebut,  perlu  dibuktikan  bahwa  terdapat sehingga untuk setiap berlaku ( ( )) (1) Andaikan terdapat subbarisan {  ( ( ))}
sehingga ( ( )) .  Karena  barisan - konvergen  ke ,  maka  subbarisan -konvergen  ke .
Dengan  kata  lain, ( ) ,  untuk atau
( ) .  Akibatnya, ( ( )) .  Terjadi  kontradiksi  dengan ,  untuk  setiap [ ,  yang
berarti  pengandaian  salah.  Jadi,  pernyataan  (1)  terbukti.  Karena merupakan pemetaan -quasi-kontraksi  yang  diperumum,  maka  terdapat  pemetaan
[    ] sehingga
(i) Untuk , diperoleh
( )    (          )
( )   (       )   ( ) Dari  Pernyataan  (1),  diperoleh (           ) .  Selanjutnya, bersadarkan Lemma 10 , diperoleh ( )
dan berdasarkan  Lemma  11 , diperoleh dan
. Diambil
, maka diperoleh ( ) , ( ) , dan . Karena , maka .
Akibatnya,
( )
(           )                   ( ) (        )   ( )
{ (           (           ))}
(        ) .
(ii) Diasumsikan  benar  bahwa  untuk
berlaku ( )
(        ) . Akan dibuktikan pernyataan untuk berlaku ( ) (        ) . Diperhatikan bahwa untuk , diperoleh (        )   ( ) .
Dari Pernyataan (1), diperoleh . Selanjutnya, berdasarkan Lemma  10 , diperoleh ( ) dan  berdasarkan Lemma  11 , diperoleh dan ( ) .  Diambil ,  maka  diperoleh , ( ) , ( ) . Karena , maka . Akibatnya, ( )
(        )   ( ) (        )
(        )
(        ) (           ) (        ) (        ) (           ) (        ) (           ) Terbukti benar untuk terdapat sehingga ( ) (        ) .
Akibatnya,
(        ) Karena  modular memenuhi  sifat  Fatou  dan  barisan - konvergen ke , maka (        ) .
Diperhatikan  bahwa
,  maka (        ) .  Karena dan ( ) ,  maka (        ) atau .  Jadi,
benar  bahwa titik  tetap .  Lebih  lanjut,  diambil  sebarang
titik  tetap
dengan .  Diperhatikan  bahwa titip  tetap berarti sehingga
( ) (        )
, ( )
( )
( )
Karena ( ) dan
( ) , maka atau .

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  pembahasan  di  atas  dapat  disimpulkan  bahwa  pemetaan  quasi- kontraksi  yang  diperumum  di  ruang  bermodular dengan modular  yang memenuhi  sifat  Fatou  memiliki  titik  tetap  tunggal  dengan  pemberian  syarat pemetaan  quasi-kontraksi  yang  diperumum  tersebut  terbatas  terhadap serta pemetaan yang memenuhi  pemetaan quasi-kontraksi  yang diperumum tersebut memiliki  limit  superior  kurang  dari  satu.  Mengingat  masih  banyak  jenis  ruang selain  ruang  metrik  dan  ruang  bermodular,  maka  tidak  menutup  kemungkinan pemetaan quasi-kontraksi yang diperumum dapat didefinisikan di ruang yang lain tersebut serta dapat dikembangkan teorema titik tetapnya.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakat Universitas  Nahdlatul  Ulama  Purwokerto  yang  telah  memberikan  kontribusi penting  pada  pendanaan  dan  pelaksanaan  penelitian  serta  penulisan  artikel  ini serta pihak-pihak lain yang telah membantu hingga terselesaikannya artikel ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Berberian,  S.  K., Introduction  to  Hilbert  Spaces ,  Oxford  University  Press,  Inc., USA, 1961.
Ćirić, L. B., A Generalization of Banach’s Contraction Principle , Proceedings of The American Mathematical Society 1974 , USA, 1974, 267-273.
Khamsi,  M.  A., Quasicontraction  Mappings  in  Modular  Spaces  without - Condition , Fixed Point Theory and Applications, 916187 (2008).
Kiany,  F.  dan  Amini-Harandi,  A., Fixed  Point  Theory  for  Generalized  Ćirić Quasi-Contraction  Maps  in  Metrics  Spaces ,  Fixed  Point  Theory  and Applications, 26 (2013).
Mongkolkeha,  C.,  dkk., Fixed  Point  Theorems  for  Contraction  Mappings  in Modular Metric Spaces , Fixed Point Theory and Applications, 93 (2008). Musielak, J., Orlicz Spaces and Modular Spaces , Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany, 1983.
Sastry, K. P. R. dan Naidu, S. V. R., Fixed Theorems for Generalized Contraction Mappings , Yokohama Mathematical Journal, 28 (1980), 15-19.