## Kestabilan Model Epidemi Seir dengan Matriks Hurwitz
Stability of a SEIR Epidemic Model with Hurwitz Matrices
Roni Tri Putra 1) , Sukatik 1) & Sri Nita 2)
1) Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang, 25163. Telp 0751-72590 Fax 0752-72576 Email: putra_tryronny@yahoo.co.id dan atik_wiryosentono@yahoo.co.id
2) Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang, 25163. Telp 0751-72590 Fax 0752-72576 Email: srinita0610@gmail.com

## Abstract
In  this  paper,  it  will  be  studied  local  stability  of  equilibrium  points  of    a  SEIR  epidemic  model  with infectious force in latent, infected and immune period. From the model it will be found investigated the existence and  its  stability  of  points  its  equilibrium  by  Hurwitz  matrices.  The  local  stability  of  equilibrium  points  is depending on the value of the basic reproduction number If the disease free equilibrium is local asymptotically stable.
Keyword : stability, equilibrium points, Hurwitz matrices

## PENDAHULUAN
Penerapan  model  matematika  dan teknik matematika untuk mendalami masalah biosciences dipelajari dalam mathematical biosciences . Salah satu cabang mathematical  biosciences adalah mathematical epidemiology , yang mempelajari tentang penyebaran dan pengendalian penyakit.
Epidemik  merupakan  suatu  keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular  dalam  populasi  pada  suatu  tempat yang  melebihi  perkiraan  kejadian  yang normal  dalam  periode  yang  singkat.  Bila penyakit  tersebut  selalu  terdapat  dalam suatu  tempat  begitupun  dengan  faktor penyebabnya maka dikatakan endemik.
Ada    berbagai  model  matematika epidemi  yang  dikenal    berdasarkan    sifat atau  ciri-ciri  penyakitnya.  Misalnya dan berturut-turut menunjukkan Susceptible  (kelas  populasi  yang  rentan), Exposed  (kelas  populasi  yang  laten), Infectious  (kelas  populasi  yang  terinfeksi) dan  Recovered  (kelas  populasi  yang sembuh).
Dengan  berbagai  asumsi,  dikenal berbagai  model  epidemi,  diantaranya  SIR,
SIRS,  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS.  Dalam model SIR, individu yang sembuh mempunyai  kekebalan  sehingga  tidak  lagi menjadi  rentan,  sedangkan  untuk  model SIRS  individu  yang  sudah  sembuh  tidak memiliki  kekebalan  terhadap  penyakit tersebut sehingga dapat menjadi rentan lagi.
Berbagai  macam  penyakit  epidemik seperti  campak  ( measles ), tubercolosis , malaria dan Human  Immunodeficiency Virus (HIV)  mempunyai  periode  laten. Periode  laten  adalah  selang  waktu  dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit.  Dalam  model  SEIR,  SEIRS  dan SEIS  individu  yang  rentan  melalui  masa laten  setelah  terinfeksi  sebelum  menjadi terjangkit.
Dalam tulisan ini hanya akan dibahas model SEIR. Untuk menganalisa kestabilan titik  ekuilibrium  pada  model  matematika epidemi,  dilakukan  dengan  menganalisa kestabilan  matriks,  kriteria  Routh-Hurwitz dan  kemudian  mengaplikasikannya  dalam model epidemi SEIR.
Kriteria  kestabilan  Routh-Hurwitz adalah suatu metode  yang digunakan untuk menunjukkan  kestabilan  sistem  dengan memperhatikan  koefisien  dari  persamaan karakteristik  tanpa  menghitung  akar-akar
secara  langsung.  Jika  persamaan  polinom adalah  persamaan  karakteristik,  maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan  kestabilan  dari  suatu  sistem. Kriteria Routh-Hurwitz tidak dapat menjelaskan bagaimana menstabilkan sistem  tak  stabil,  tetapi  dapat  digunakan untuk  menentukan  batas  penguatan  suatu sistem agar masih stabil.
Sejalan  dengan  masalah  yang  akan dibahas,  penelitian  ini  mempunyai  tujuan sebagai berikut :
1. Membentuk model matematika
epidemi SEIR pada populasi manusia 2. Menentukan  titik-titik  ekuilibrium model tersebut
3. Menyelidiki  kestabilan  titik-titik ekuilibrium model tersebut
4. Mengaplikasikan  kriteria  kestabilan matriks Hurwitz pada model epidemi SEIR.
Hasil penelitian ini diharapkan dapat :
1. Secara  umum  diharapkan  dapat memberikan manfaat dan sumbangan terhadap ilmu pengetahuan, serta untuk menambah wawasan  khususnya  dalam  bidang matematika terapan.
2. Secara  khusus  diharapkan  dapat memberikan gambaran tentang
model epidemi SEIR dengan kemampuan  infeksi  pada  kelas laten, infeksi dan sembuh.
Kermack  dan  McKendrick  (1927) telah  memperkenalkan  model  epidemi. Dalam    penelitian  ini    dipertimbangkan    4 kelas  populasi  yaitu   (rentan),   (laten), (infeksi) dan   (sembuh). Anderson (1979) mempertimbangkan  masalah  ini  dalam suatu tikus-tikus percobaan. Pearl dan Reed
(1920) memperkenalkan
model pertumbuhan logistik. Perko (1991)
menjelaskan  pengertian  titik  ekuilibrium pada  sistem  persamaan  diferensial  dan menjelaskan definisi nilai dan vektor eigen.
Arrowsmith (1992)
menjelaskan transformasi  dengan  matriks  Jordan  dan
sistem  persamaan  diferensial  linear  dengan matriks berukuran
. Finizio (1998) menjelaskan
pengertian  macam-macam  potret  fase, selanjutnya  Kocak  (1991)  menjelaskan matriks  Jacobian  suatu  fungsi  dari  sistem non  linear.  Perko  (1991)  juga  menjelaskan tentang  linearisasi  sistem  non  linear.  Pada bukunya, Olsder (1994) memberikan penjelasan tentang kestabilan titik ekuilibrium ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian.  Pease  (1965)  membahas  tentang kriteria Routh– Hurwitz.

## METODOLOGI
Metode  penelitian  dalam  tulisan  ini adalah  dengan  mempelajari  jurnal-jurnal dan  buku-buku    yang  berhubungan  dengan penyakit  epidemi,  khususnya  model  SEIR. Oleh  karenanya  materi  yang  diteliti sebagian  besar  bersumber  dari  hasil  karya ilmiah para pakar matematika dalam bentuk buku.  Prosedur  penelitian  diawali  dengan pemisalan, menentukan asumsi dan mendefinisikan  parameter  yang  digunakan pada  model.  Setelah  itu,  dibuat  diagram transfer    model  epidemi  SEIR  dan berdasarkan  diagram  transfer  tersebut dituliskan  model  matematika  epidemi SEIR.
Selanjutnya,  menentukan  titik-titik ekuilibrium model tersebut dengan menggunakan  definisi  titik  ekuilibrium suatu sistem persamaan diferensial. Langkah  selanjutnya  menyelidiki  sifat kestabilan  lokal  titik-titik  ekuilibrium model tersebut. Untuk menyelidiki kestabilan  lokal  dilakukan  linearisasi  pada sistem dengan menentukan matriks Jacobian di titik ekuilibrium. Sifat kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium  dapat ditentukan asalkan titik tersebut  hiperbolik. Selanjutnya  menentukan  nilai  eigen  dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan definisi polinomial
karakteristik suatu matriks.
Salah satu alternatif menentukan nilai eigen  dari  polinomial  karakteristik  suatu matriks  digunakan  juga  Teorema  Routh-
Hurwitz. Analisis kestabilan Routh-Hurwitz dilakukan  dengan  cara  melihat  tanda  pada akar-akar  polinomial  karakteristik  dengan matriks Jacobian  yang dievaluasi  pada titik kesetimbangan.
Konsep  fungsi  yang  diferensiabel kontinu  pada  suatu  domain,  mendasari semua  pembahasan  dalam  tulisan  ini.  Oleh karena  itu,  konsep  tersebut  dipaparkan paling  awal.  Berikut  ini  diberikan  definisi suatu fungsi diferensiabel di suatu titik.

## Definisi 1
Diberikan  fungsi n n R R f  : ,  dengan   n T n R f f f f   ,..., , 2 1 . Fungsi
f dikatakan  diferensiabel  di n R x  0 jika terdapat transformasi linear     n R L x
Df  0 dengan   n R L menyatakan himpunan  semua  operator  linear  pada n
R
sehingga       0 lim 0 0 0 0      h h x Df x f h x f h .
  0 x Df disebut turunan f  di 0 x  dan
n R h  .
Jika  suatu  fungsi  diketahui  diferensiabel maka turunan parsialnya selalu ada. Berikut secara formal diberikan teoremanya.

## Teorema 1
Diberikan R R E f n i   : , n i ,..., 2 , 1  , dan n n R R E f   : , dengan   E f f f f T n   ,..., , 2 1 dan E himpunan terbuka.  Jika  fungsi  f   diferensiabel  di
E x  0 , maka j i x f   , n j i ,..., 2 , 1 ,  ada di 0 x
dan untuk setiap
E x  0 berakibat          n j j j x x x f x x Df 1 0 0 , dengan T j n j j j x f x f x f x f               
 
..., , , 2 1 .

## Teorema 2
Diberikan , himpunan
terbuka.  Fungsi    dikatakan  diferensiabel kontinu  pada    jika  dan  hanya  jika ,
ada dan kontinu pada  .

## Sistem Persamaan Diferensial
Diberikan sistem persamaan diferensial :
(2.1)
dengan R R E f n i   : , n i ,..., 2 , 1  ,  dan   n n R E x x x   ,..., , 2 1 . Kemudian
diberikan  kondisi  awal  Sistem  (2.1)  yaitu   0 0 i i x t x  , n i ,..., 2 , 1  .  Sistem  (2.1)  dapat ditulis sebagai
) ( x f x   (2.2)
dengan   n n R E x x x x    ,..., , 2 1 ,   n T n R f f f f   ,..., , 2 1 dan  kondisi  awal   E x x x x t x n    0 20 10 0 0 ,..., , ) ( . Selanjutnya, notasi ) , ( ) ( 0 t x x t x  merupakan solusi Sistem (2.2) yang dimulai dari 0 x .
Berikut diberikan definisi dan teorema yang menunjukkan  eksistensi  dan  ketunggalan solusi Sistem (2.2).

## Definisi 2
Diberikan n R E  ,  dengan E himpunan terbuka dan ) ( ' E C f i  , n i ,..., 2 , 1  .
Vektor ) ( t x disebut solusi Sistem (2.2) pada interval  I  jika ) ( t x diferensiabel  pada I dan )) ( ( t x f x   untuk  setiap I t  ,
E t x  ) ( .
Teorema 3 Jika terbuka, dan maka  terdapat sehingga  masalah nilai awal dengan
mempunyai penyelesaian tunggal pada interval .
Berikut  didefinisikan  titik  ekuilibrium Sistem (2.2) dan kestabilan titik ekuilibrium Sistem (2.2).
Definisi 3 Titik disebut  titik  ekuilibrium Sistem (2.2) jika . Definisi 4 Titik  ekuilibrium Sistem  (2.2) dikatakan a. Stabil  jika  untuk  setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap solusi Sistem (2.2) yang memenuhi berakibat untuk setiap . b. Stabil  asimtotik  lokal  jika  titik ekuilibrium stabil  dan terdapat bilangan sedemikian  sehingga  untuk  setiap solusi yang memenuhi berakibat .
c. Tidak  stabil  jika  titik  ekuilibrium tidak memenuhi (a).
Definisi 5
Titik  ekuilibrium n R x  ˆ pada  Sistem  (2.2) dikatakan stabil asimtotik global jika untuk sebarang  nilai  awal ) ( 0 t x yang  diberikan, setiap solusi Sistem (2.2) yaitu ) ( t x dengan   t menuju titik ekuilibrium x ˆ .
Kestabilan  Titik  Ekuilibrium  Sistem Persamaan Diferensial
Berikut  ini  diberikan  sistem  persamaan diferensial linear
1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ...
...
... n n n n n n n nn n x a x a x a x
x a x a x a x x a x a x a x
   
        (2.3)
dengan
  n n R E x x x   ,..., , 2 1 .  Sistem  (2.3)  dapat ditulis dalam bentuk
Ax x   dengan E x  dan A matriks ukuran n n  . Selanjutnya, diberikan sistem
) ( x f x   (2.4)
dengan n R E x   dan n n R R E f   : fungsi kontinu pada E .
Definisi 6 Diberikan  fungsi pada Sistem (2.4) dengan . Matriks (2.5)
dinamakan matriks Jacobian  dari   di  titik
.

## Definisi 7
Diberikan  matriks  Jacobian pada
Sistem  (2.5). Sistem  linear
disebut  linearisasi  Sistem  (2.4)  di  sekitar titik  .

## Definisi 8
Titik ekuilibrium   disebut titik ekuilibrium hiperbolik  jika  semua  nilai  eigen mempunyai bagian real tidak nol.

## Definisi 9
Vektor tak nol disebut vektor eigen dari    jika , untuk suatu  skalar  .
Skalar   disebut nilai eigen dari  .
Definisi 10 Polinomial karakteristik
dari didefinisikan sebagai
.

## Persamaan
disebut    persamaan    karakteristik    dari matriks  .

## Teorema 4
Diberikan    matriks    Jacobian dari
Sistem (2.4) dengan nilai eigen  .
1. Jika matriks Jacobian
mempunyai untuk ,  maka    dari  Sistem (2.4) stabil asimtotik lokal.
2. Jika  terdapat  nilai  eigen  matriks Jacobian yang  mempunyai bagian  real  positif,  maka  titik ekuilibrium    dari  Sistem  (2.4)  tak stabil.

## Kriteria Routh-Hurwitz
Berdasarkan  Teorema  (4)  bahwa untuk  menguji  sifat  kestabilan  diperlukan perhitungan  untuk  menentukan  nilai-nilai eigen  dari  matriks  Jacobian  di  titik ekuilibrium. Sebagai alternatif untuk menentukan  nilai  eigen  tersebut  digunakan Teorema Routh-Hurwitz .
Teorema 5 Jika pembuat nol pada persamaan
(2.6)
mempunyai  bagian  real  negatif,  maka
(2.7) Selanjutnya,  tanpa  mengurangi  keumuman diambil positif  sehingga  seluruh koefisien  dari  Polinomial  (2.6)  bertanda sama, sehingga dapat dibentu Misalkan Misalkan
…
. dengan dan Jika , maka Jika , maka

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model SEIR diterapkan pada penyakit yang  memiliki  masa  inkubasi  cukup  lama. Pada  umumnya  selama  masa  laten  tersebut individu  tidak  bisa  menularkan  penyakit, tetapi  pada  beberapa  penyakit  seperti malaria,  individu  yang  berada  dalam  masa laten,  infeksi  dan  sembuh  mempunyai kemungkinan untuk menularkan penyakit. Pada  pemodelan  yang  akan  dibentuk, digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut :
a. Populasi terbuka
b. Individu  yang  berada  dalam  kelas laten, infeksi dan sembuh
mempunyai  kemungkinan  untuk menularkan penyakit c. Penyakit  menyebabkan  kematian (fatal)
d. Masa inkubasi cukup lama.
Definisi  dari  parameter  –  parameter  yang digunakan pada model adalah menyatakan konstanta rekruitmen dari menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode laten
menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode infeksi
menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode sembuh menyatakan laju kematian alami menyatakan  laju  kematian  karena penyakit pada kelas
menyatakan  laju  kematian  karena penyakit pada kelas
menyatakan laju dari kelas   ke kelas
menyatakan laju kesembuhan.
Formulasi modelnya adalah :

## (1)
(2) (3) (4) Diberikan menyatakan ukuran populasi pada saat  , maka .
Berdasarkan  Sistem  (1)  s.d  (4)  dan
Persamaan maka . kemudian pada saat  individu  manusia  yang laten  dan  terinfeksi  nol  maka  laju  populasi manusia menjadi (5) Misalkan dan ,  maka solusi umum persamaan (5) adalah Jika disubstitusikan syarat awal maka diperoleh , sehingga solusinya menjadi Jika    membesar  maka ,
artinya  jumlah  populasi  manusia  akan menuju  kapasitas  batas      .  Jika
maka turun monoton menuju kapasitas  batas      dan  jika maka naik  monoton menuju kapasitas batas .  Untuk  menyederhanakan  Sistem  (1)  s.d (4) dimisalkan atau maka Sistem (1) s.d (4) menjadi (5) (6) (7) (8) dengan dan .

## Titik Ekuilibrium
Titik  ekuilibrium  Sistem  (5)  s.d  (8) diperoleh  dengan  menjadikan  ruas  kanan masing-masing  persamaan  sama  dengan nol, yaitu
(9) (10) (11) (12) Jika ,  maka  dari  Persamaan  (11) diperoleh . Dari  Persamaan  (12)  diperoleh ,  dan dari Persamaan (9) diperoleh
Jadi  diperoleh  titik  ekuilibrium  bebas penyakit
Kestabilan  Titik  Ekuilibrium  Bebas Penyakit

## Teorema 1

## Misalkan
Jika maka  Sistem  (5)  s.d  (8)
mempunyai  satu  titik  ekuilibrium  bebas penyakit yaitu

## Teorema 2
Misalkan Jika ,  maka  titik  ekuilibrium  bebas penyakit pada  Sistem  (5)  s.d
(8) adalah stabil asimtotik lokal.

## Bukti
Matriks  Jacobian  di  titik  ekuilibrium
adalah Polinomial karakteristik adalah = . Persamaan karakteristiknya adalah (13) Persamaan (13) dapat ditulis menjadi (14) dengan Salah  satu  nilai  eigen  dari  persamaan  (14) adalah ,  nilai-nilai  eigen  yang  lain merupakan akar-akar dari polinomial berikut
(15) Perhatikan bahwa Karena maka (16) (17) Jadi (18) Selanjutnya Dari  (17)  diketahui  bahwa ,
dan dari (16) diketahui bahwa Perhatikan bahwa Dari (16) diketahui
akibatnya , sehingga
. Jadi (19) Selanjutnya . Karena
, maka Jadi (20) Selanjutnya akan ditunjukkan . Karena dan maka jelas Selanjutnya  karena dan maka , jadi cukup ditunjukkan bahwa . Perhatikan bahwa (21)
Dari  Persamaan  (18),  (19),  (20)  dan  (21) diperoleh bahwa dan .
Berdasarkan  nilai  koefisien  polinomial pada Persamaan (15) diperoleh
.
Dari  nilai  diatas,  dapat  dibentuk  matriks Hurwitz sebagai berikut
. Berdasarkan  matriks  Hurwitz  diatas  dapat ditentukan determinan Hurwitz yaitu
. Berdasarkan  nilai dan  ,  maka  dapat ditentukan bahwa 1. Karena nilai maka 2. Karena  nilai dan , maka 3. Karena  nilai dan , maka . Karena  nilai dan , maka polinomial Q mempunyai pembuat  nol  yang  bagian  realnya  negatif. Hal  ini  berakibat  semua  bagian  real  nilai eigen  pada  matriks bernilai  negatif untuk .  Jadi  titik  ekuilibrium stabil asimtotik lokal.

## SIMPULAN
Model  matematika  epidemi  SEIR dengan  adanya  kemampuan  infeksi  pada periode laten, infeksi dan sembuh adalah
(1) Jika maka  model  (1)  mempunyai
satu  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit
.  Titik  ini  menyatakan  bahwa
semua  individu  dalam  keadaan  sehat.  Jika maka titik ekuilibrium
stabil  asimtotik  lokal,  ini  menunjukkan bahwa  dalam  jangka  waktu  yang  panjang individu  yang  ada  dalam  populasi  menuju titik atau  tidak  terdapat individu yang terjangkit penyakit.

## SARAN
Karena berbagai keterbatasan, penulis menyadari  penelitian  dan  tulisan  ini  masih banyak  kekurangannya.  Banyak  hal  yang belum  tercakup  dalam  penelitan  ini.  Perlu dikaji  lebih  lanjut  kestabilan  global  titik ekuilibrium  endemik  atau  generalisasinya untuk  masalah  model  epidemi  lainnya  atau pada bidang ilmu lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton  H,  dan  Rorres,C.,2004. Aljabar Linear  Elementer  Versi  Aplikasi ,  Edisi Kedelapan, alih bahasa
oleh
Indriasari,R  dan  Harmaen,I.,  Erlangga,
Jakarta.
Arrowsmith,  D.R.  dan  Place,  C.M.,  1992,
Dynamical System Differential Equation, Maps  and  Chaotic Behaviour , Chapman & Hall
Mathematic, London.
Capazzo,  V., Mathematical  Structures  of Epidemic  Systems ,  Springer-Verlag, Heidelberg, 2008.
Gantmacher,  F.R.,  1959, The  Theory  of Matrices , Chelsea Publishing Company, New    York Hanh, Wolfgang, 1967, Stability of Motion , Springer – Verlag, New York.
Hirsch,  M.W.,  dan  Smith, Monotone Dynamical  Systems ,  University  of California, Berkeley, 2004.
Luenberger,  G.D.,  1979, Introduction  to Dynamic  System  Theory ,  Models  & Aplication,  John  Wiley  &  Sons,  New York.
Olsder,  G.J.,  1994, Mathematical  System Theory ,
Delftse Uitgevers Maatschappij,    Netherlands.
Perko  L.,  1991, Differential  Equations  and Dynamical  Systems ,  Springer-Verlag,
New York.
Verhultz,  Ferdinand,  1990, Nonlinear Differential  Equations  and  Dynamical Systems ,   Springer–Verlag,Berlin.
Wiggins  S,  1990, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  Systems  and Chaos ,    Springer–Verlag, New York.