## Kontrol Tracking Fuzzy-Optimal untuk Sistem Pendulum-Kereta
Adenia Rahma Putri dan Trihastuti Agustinah Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail : trihastuti@elect-eng.its.ac.id
Abstrak—Sistem pendulum-kereta memiliki karakteristik yang tidak stabil dan nonlinear. Makalah  ini membahas desain sistem  kontrol  tracking  pada sistem pendulum-kereta  dengan metode  kontrol  Fuzzy-Optimal  agar  sistem pendulum kereta mampu  bergerak mengikuti sinyal referensi dengan tetap mempertahankan batang pendulum dalam posisi terbaliknya. Sinyal referensi yang digunakan adalah sinyal step,  square-wave dan sinus. Model nonlinear sistem pendulum-kereta direpresentasikan dalam model  fuzzy  Takagi-Sugeno untuk beberapa titik kerja, kemudian kontroler  state feedback  disusun dengan konsep Parallel Distributed Compensation (PDC) menggunakan teknik kontrol  optimal. Hasil simulasi serta implementasi menunjukkan bahwa sistem pendulum-kereta mampu mengikuti sinyal referensi  dan tetap mempertahankan sudut pendulum di sekitar 0 rad.
Kata Kunci— Fuzzy-optimal  kontrol, model  fuzzy  Takagi- Sugeno (T-S), tracking , sistem pendulum-kereta.

## I. PENDAHULUAN
ISTEM  pendulum-kereta  merupakan sistem yang  tidak stabil dan nonlinear, sehingga untuk mengontrolnya diperlukan teknik kontrol  yang tidak mudah dibandingkan dengan teknik kontrol  pada sistem yang linear dan stabil. Secara umum sistem pendulum-kereta  banyak  digunakan sebagai plant nyata dalam suatu sistem kontrol. Sistem kontrol dibutuhkan untuk menstabilkan dan membuat batang pendulum pada posisi equilibriumnya yaitu pada sudut nol radian. Sistem pendulum-kereta memiliki beberapa permasalahan  kontrol  diantaranya swing-up , stabilisasi dan tracking [1].
Swing-up merupakan kondisi sistem pendulum-kereta dalam mengayunkan batang pendulum dari posisi menggantung menjadi terbalik. Selanjutnya kondisi sistem pendulum-kereta  dalam mempertahankan posisi batang pendulum dalam keadaan terbalik disebut dengan  stabilisasi. Sedangkan untuk tracking , kereta di kontrol  agar mengikuti sinyal referensi yang diberikan  dengan mempertahankan batang pendulum pada posisi terbalik.
Persoalan tracking pada  sistem  pendulum-kereta tersebut  telah banyak diselesaikan menggunakan berbagai macam metode.    Metode kontrol fuzzy Takagi-Sugeno sudah banyak digunakan pada sistem pendulum-kereta  dan berhasil diterapkan pada permasalahan kontrol tracking [2] . Permasalahan tracking juga bisa diselesaikan melalui pendekatan Linear Matrix Inquality (LMI) seperti pada [3].

## II. MODEL MATEMATIKA
Sistem pendulum-kereta  merupakan modul percobaan dari Feedback Instrumentation® yang digunakan untuk mendemonstrasikan pengendalian sistem Single Input Multiple Output (SIMO).  Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 1. Tersusun atas sebuah kereta yang dapat bergerak pada suatu trek dengan sumbu horizontal, dan sepasang  batang pendulum berputar  pada porosnya dari bawah ke atas sepanjang rel yang tersedia pada modul. Motor DC menggerakkan kereta pada Sistem  Pendulum  Kereta  yang dihubungkan melalui belt . Sensor posisi mendeteksi posisi kereta pada trek melalui positional encoder dan limit  switch . Limit switch digunakan sebagai penahan kereta supaya tidak keluar lintasan pada akhir trek. Angle encoder memantau posisi sudut batang pendulum.
S
Permasalahan tracking juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode kontrol optimal yaitu Linear Quadratic Tracking (LQT). Metode kontrol  optimal ini juga berbasis fuzzy Takagi-Sugeno (T-S).  Model fuzzy T-S digunakan untuk membentuk plant pendulum. Masing-masing ruang state yang berbeda pada model fuzzy dinyatakan dalam model linear. Model sistem secara keseluruhan dicapai melalui kontrol fuzzy dari model linear. Hasil desain kontroler akan diuji melalui simulasi dan percobaan pada plant nyata pendulum. Berdasarkan hasil pengujian diperoleh bahwa sistem  dapat mengontrol kereta bergerak mengikuti sinyal referensi dan mempertahankan kestabilan batang pendulum pada posisi terbalik [4].
Pada makalah ini akan dilakukan perancangan kontrol tracking dengan menggunkan metode kontrol  optimal yaitu LQT dengan fuzzy T-S dimana sinyal referensi  yang digunakan adalah sinyal step, square-wave dan sinus. Hasil yang diharapkan dari metode ini adalah  meminimalisasi kesalahan performansi tracking sekecil mungkin sehingga akan didapatkan keluaran yang diinginkan berhasil mengikuti sinyal referensi yang diberikan.
Simulasi dan Implementasi dilakukan untuk menguji desain dari teori kontrol  tersebut. Simulasi dilakukan dengan simulink MATLAB. Implementasi dilakukan dengan menggunakan simulink MATLAB  dan Real Time Workshop- Real Time Windows Target .
Gambar. 1. Diagram Fisik Sistem Pendulum Kereta.
Gambar. 2. Gaya-gaya pada Sistem Pendulum Kereta.
Seperti yang ada pada Gambar 2 gaya-gaya yang bekerja pada bidang horizontal adalah gaya kontrol u dan gaya gesek T c . Massa keseluruhan sistem ( m ) adalah jumlah massa kereta ( m c ) dan massa pendulum ( m p ). Gaya-gaya yang bekerja pada bidang vertikal adalah gaya normal V dan gaya berat sistem, yaitu ( m c + m p )g.  Sistem pendulum-kereta memiliki empat state yaitu x 1 , x 2 , x 3 dan x 4 . Dengan x 1 adalah posisi  kereta  (jarak  terhadap  pusat  lintasan), x 2 adalah jarak  sudut  antara  vertikal  tegak  dengan  jatuhnya  posisi batang pendulum,  x 3 adalah  kecepatan  kereta  dan  x 4 adalah  kecepatan  sudut batang pendulum.
Model matematika dalam bentuk persamaan state dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑥𝑥̇ 1 = 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥̇ 2 = 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥̇ 3 = 𝑎𝑎 ( 𝑢𝑢 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝑥𝑥 4 2 sin 𝑥𝑥 2 ) + 𝑙𝑙 cos 𝑥𝑥 2 �𝜇𝜇𝜇𝜇 sin 𝑥𝑥 2 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 𝑥𝑥 4 � 𝐽𝐽 + 𝜇𝜇𝑙𝑙 sin 2 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥̇ 4 = 𝑙𝑙 cos 𝑥𝑥 2 ( 𝑢𝑢 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝑥𝑥 4 2 sin 𝑥𝑥 2 ) + 𝜇𝜇𝜇𝜇 sin 𝑥𝑥 2 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 𝑥𝑥 4 𝐽𝐽 + 𝜇𝜇𝑙𝑙 sin 2 𝑥𝑥 2 (1)
dengan:
𝑎𝑎 = 𝑙𝑙 2 + 𝐽𝐽 𝑚𝑚 𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 𝑝𝑝 𝜇𝜇 = �𝑚𝑚 𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 𝑝𝑝 �𝑙𝑙

## III. OPTIMAL FUZZY TRACKING KONTROL
Kontroler Fuzzy -Optimal  menggunakan  kontroler fuzzy T-S  dapat diilustrasikan dalam model fuzzy T-S yang memiliki aturan model plant yang dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut.
Aturan plant ke- i :
If 𝑧𝑧 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹 𝑖𝑖 1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 … 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑧𝑧 𝑗𝑗 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹 𝑖𝑖𝑗𝑗 Then 𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀 𝑖𝑖 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁 𝑖𝑖 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) 𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐂𝐂 𝑖𝑖 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑟𝑟 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑝𝑝
dengan r sebagai jumlah aturan fuzzy , dan p adalah jumlah himpunan fuzzy dalam satu aturan, dan F sebagai himpunan fuzzy ,  dengan vektor state  x ( t ) ∈ R n ,  vektor kontrol  masukan u ( t ) ∈ R m , dan vektor keluaran sistem y ( t ) ∈ R q , sedangkan z ( t ) ∈ R j merupakan variabel pada bagian premis. Model fuzzy T-S secara keseluruhan dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � [ 𝐀𝐀 𝒊𝒊 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁 𝒊𝒊 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (2)
𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 ) = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � [ 𝐂𝐂 𝑖𝑖 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (3)
dengan
𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � = 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � ∑ 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 ; 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � = � 𝐹𝐹 𝑖𝑖𝑗𝑗 �𝑧𝑧 𝑗𝑗 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑝𝑝 𝑗𝑗 =1 (4)
Pembobot 𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � dan derajat keanggotaan 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � memiliki sifat sebagai sebagai berikut [5]:
𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � ≥ 0  ; � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � = 1 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (5)
𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � ≥ 0  ; � 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � > 0 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (6)
Kontroler state  feedback dapat disusun dengan konsep Parallel Distributed Compensation (PDC).  Dalam konsep PDC, tiap aturan kontroler dirancang berdasarkan aturan model plant linear yang bersesuaian dengan himpunan fuzzy yang sama. Untuk setiap aturan, gain kontroler dapat diperoleh dengan menggunakan teknik desain kontrol linear.
Dari aturan plant yang ada, dapat disusun aturan kontroler fuzzy dengan konsep PDC sebagai berikut [6].
Aturan kontroler ke- i : If 𝑧𝑧 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹 𝑖𝑖 1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 … 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑧𝑧 𝑗𝑗 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹 𝑖𝑖𝑗𝑗 Then 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) = −𝐊𝐊 𝑖𝑖 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑟𝑟 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑝𝑝
Secara keseluruhan, keluaran dari kontroler fuzzy dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � [ −𝐊𝐊 𝑖𝑖 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 )] 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (7)
Maka, model fuzzy T-S dapat dituliskan menjadi sistem lup tertutup sebagai berikut:
𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = � � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) �𝑤𝑤 𝑗𝑗 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) ���𝐀𝐀 𝑖𝑖 − 𝐁𝐁 𝑖𝑖 𝐊𝐊 𝑗𝑗 �𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑟𝑟 𝑗𝑗 =1 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (8)
𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 ) = � � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) �𝑤𝑤 𝑗𝑗 �𝑧𝑧 ( 𝑡𝑡 ) � [ 𝐂𝐂 𝑖𝑖 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 )]                       (9) 𝑟𝑟
𝑗𝑗 =1 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 1 𝑙𝑙
Dengan mengacu pada Persamaan (5) dan (6), maka model  (8) dan (9) dapat disederhanakan menjadi  persamaan (10) dan (11). 𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = �𝐀𝐀 𝑖𝑖 − 𝐁𝐁 𝑖𝑖 𝐊𝐊 𝑗𝑗 �𝐱𝐱 (t)                                 (10) 𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐂𝐂 𝑖𝑖 𝐱𝐱 (t)                                                    (11) 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑟𝑟 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑝𝑝
Nilai state feedback K untuk masing-masing titik kerja didapatkan melalui teknik kontrol  optimal.  Untuk sebuah sistem linear yang dinyatakan dalam Persamaan (12)
𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) 𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐂𝐂 𝑖𝑖 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 )                                           (12)
dan sinyal referensi diberikan dalam model (13) [7],
𝐳𝐳 ̇ = 𝐅𝐅𝐳𝐳 𝑦𝑦 𝑑𝑑 = 𝐇𝐇𝐳𝐳 (13)
Sinyal referensi yang akan diberikan adalah berupa penjumlahan  antara sinyal step dan sinyal sinus dengan amplitudo 0,1 m dan frekuensi 0,1 Hz. Dalam bentuk persamaan matematis (14) berikut:
𝒓𝒓 ( 𝑡𝑡 ) = u( 𝑡𝑡 )                                            (14)
Sedangkan bentuk persamaan matematis (23) sinyal sinus yaitu:
𝒓𝒓 ( 𝑡𝑡 ) = A sin(2 𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 )                                (15)
Transformasi Laplace untuk sinyal step dan sinyal sinus adalah:
𝓛𝓛 [ 𝑢𝑢 ( 𝑖𝑖 )] = 1 𝑖𝑖 (16)
dan
𝓛𝓛 [sin 𝜔𝜔𝑡𝑡 ] = 𝜔𝜔 𝑖𝑖 2 + 𝜔𝜔 2 (17)
Setelah memperoleh bentuk laplace dari sinyal tersebut maka akan didapat persamaan laplace sinyal referensi pada persamaan (18).
𝓛𝓛 [ 𝒓𝒓 ( 𝒔𝒔 )] = 0,0628
𝑖𝑖 3 + 0,3948 s                         (18) dengan
𝐅𝐅 = � 0 1 0 0 0 1 0 −ω 2 0 � = � 0 1 0 0 0 1 0 − 0.3948 0 �
𝐇𝐇 = [1 0 0]                                  (19)
Pada  model (13), persamaan  sinyal referensi  (18)  dan (19) dengan representasi dalam ruang state dinyatakan sebagai berikut:
� 𝑧𝑧̇ 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑧𝑧̇ 2 ( 𝑡𝑡 ) 𝑧𝑧̇ 3 ( 𝑡𝑡 ) � = � 0 1 0 0 0
1 0 − 0.3948 0 � � 𝑧𝑧 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑧𝑧 2 ( 𝑡𝑡 ) 𝑧𝑧 3 ( 𝑡𝑡 ) �
𝑦𝑦 𝑑𝑑 = [1 0 0] � 𝑧𝑧 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑧𝑧 2 ( 𝑡𝑡 ) 𝑧𝑧 3 ( 𝑡𝑡 ) � (20)
Sehingga  bentuk augmented sistem seperti Persamaan (21) berikut:
𝐱𝐱�̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀� 𝑖𝑖 𝐱𝐱� ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁� 𝑖𝑖 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 )                           (21) 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑟𝑟 dengan
𝐀𝐀� 𝑖𝑖 = �𝐀𝐀 𝑖𝑖 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐅𝐅� ; 𝐁𝐁� 𝑖𝑖 = �𝐁𝐁 𝑖𝑖 𝟎𝟎 � ; 𝐱𝐱� = �𝐱𝐱𝐳𝐳�
Error tracking sistem dinyatakan sebagai berikut [6]:
𝑦𝑦� = 𝑦𝑦 𝑑𝑑 − 𝑦𝑦 (22)
Adapun indeks performansi kuadratik secara matematis dinyatakan sebagai [6]:
𝐽𝐽 = ��𝑦𝑦� 𝑇𝑇 ( 𝑡𝑡 ) 𝐐𝐐𝑦𝑦� ( 𝑡𝑡 ) + 𝑢𝑢 𝑇𝑇 ( 𝑡𝑡 ) 𝐑𝐑𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) � ∞ 0 𝑑𝑑𝑡𝑡 (23)
Dengan mensubstitusi Persamaan (21) ke (22), maka indeks performansi akan menjadi seperti berikut:
𝐽𝐽 = ��𝐱𝐱� 𝑇𝑇 ( 𝑡𝑡 ) 𝐐𝐐�𝐱𝐱� ( 𝑡𝑡 ) + 𝑢𝑢 𝑇𝑇 ( 𝑡𝑡 ) 𝐑𝐑�𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) � ∞ 0 𝑑𝑑𝑡𝑡 (24)
dengan:
𝐐𝐐� = � 𝐂𝐂 𝐓𝐓 𝐐𝐐𝐂𝐂 −𝐂𝐂 𝐓𝐓 𝐐𝐐𝐇𝐇 −𝐇𝐇 𝐓𝐓 𝐐𝐐𝐂𝐂 𝐇𝐇 𝐓𝐓 𝐐𝐐𝐇𝐇 � ; 𝐑𝐑� = 𝐑𝐑
Solusi kontrol optimal pada dasarnya adalah mendapatkan nilai gain K yang mampu meminimalkan indeks performansi (22). Gain tersebut didapatkan melalui perhitungan persamaan aljabar  Riccati.  Dari  sistem  Simulasi dan Implementasi Kontrol  Tracking Fuzzy-Optimal  untuk Sistem Pendulum-Kereta, model sistem disusun atas model plant sistem pendulum-kereta dan model referensi. Model plant yang digunakan adalah model matematika nonlinear  sistem pendulum-kereta  pada Persamaan (1)  yang dilinearisasi pada beberapa titik kerja. Titik kerja yang digunakan adalah x 2 *=0 rad, x 2 *=+0,3 rad dan x 2 *=+0,5 rad.
Untuk titik kerja pertama:
𝐱𝐱 ∗ =  [0 0 0 0] 𝑇𝑇 dan 𝑢𝑢 ∗ = 0 sehingga didapatkan:
𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀 𝟏𝟏 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁 𝟏𝟏 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 )                                       (25) dengan
𝐀𝐀 𝟏𝟏 = � 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0,25256 0 − 0,0001 0 15,04211 0 − 0,0079 � ; 𝐁𝐁 𝟏𝟏 = � 0 0
0,8272 1,2369 �
Untuk titik kerja kedua:
𝐱𝐱 ∗ =  [0 ±0,3 0 0] 𝑇𝑇 dan 𝑢𝑢 ∗ = 0
didapatkan 𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀 𝟐𝟐 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁 𝟐𝟐 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 )                             (26) dengan
𝐀𝐀 𝟐𝟐 = � 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0,2069 0 − 0,0001
0 14,2737 0 − 0,0079 � ; 𝐁𝐁 𝟐𝟐 = � 0 0 0,8254 1,1791 �
Untuk titik kerja ketiga:
𝐱𝐱 ∗ =  [0 ±0,5 0 0] 𝑇𝑇 dan 𝑢𝑢 ∗ = 0
didapatkan
𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀 𝟑𝟑 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁 𝟑𝟑 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 )                            (27)
dengan
𝐀𝐀 𝟑𝟑 = � 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0,1334 0 − 0,0001 0 12,9686 0 − 0,0079 � ; 𝐁𝐁 𝟑𝟑 = � 0 0 0,8224 1,0792 �
Matriks keluaran dan matriks transmisi langsung untuk titik kerja tersebut adalah:
𝐂𝐂 𝟏𝟏 = 𝐂𝐂 𝟐𝟐 = 𝐂𝐂 𝟑𝟑 = [1 0 0 0]                      (28)
Persamaan (24) hingga (26) merupakan model linear dari sistem pendulum-kereta    di sekitar titik kerja x 2 *=0 rad, x 2 *=+0,3  rad dan x 2 *=+0,5  rad.  Dari hasil linearisasi Sistem Pendulum  Kereta, dapat disusun model fuzzy T-S. Dengan melinearisasi pada tiga titik kerja, yaitu x 2 *=0 rad, x 2 *=+0,3 rad dan x 2 *=+0,5 rad, maka model fuzzy T-S yang digunakan memiliki tiga aturan dengan satu variabel premis, yaitu sudut pendulum. Dengan menggunakan model linear pada (18) hingga (20), maka model fuzzy T-S dibentuk dengan aturan pada persamaan (30), (31) dan (32).
Aturan plant ke-1:
If x 2 = M 1 (sekitar 0 rad)
Then 𝐱𝐱 ̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀� 𝟏𝟏 𝐱𝐱� ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁� 𝟏𝟏 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) y( 𝑡𝑡 ) = 𝐂𝐂 𝟏𝟏 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 )                                                         (29)
Aturan plant ke-2: If x 2 = M 2 (sekitar + 0,15 rad)
Then 𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀� 𝟐𝟐 𝐱𝐱� ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁� 𝟐𝟐 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) y( 𝑡𝑡 ) = 𝐂𝐂 𝟐𝟐 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 )                                                          (30)
Aturan plant ke-3:
If x 2 = M 3 (sekitar + 0,3 rad) Then 𝐱𝐱̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐀𝐀� 𝟑𝟑 𝐱𝐱� ( 𝑡𝑡 ) + 𝐁𝐁� 𝟑𝟑 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) y( 𝑡𝑡 ) = 𝐂𝐂 𝟑𝟑 𝐱𝐱 ( 𝑡𝑡 )                                                          (31)
Gambar. 3. Fungsi keanggotaan M 1 , M 2 dan M 3.
Dengan menggunakan konsep PDC, dapat disusun aturan kontroler fuzzy yang berseuaian dengan aturan plant menjadi sebagai berikut:
Aturan kontroler ke-1: If x 2 = M 1 (sekitar 0 rad) Then 𝑢𝑢 1 = −𝐊𝐊 𝟏𝟏 𝐱𝐱� (t)                                                         (32)
Aturan kontroler ke-2: If x 2 = M 2 (sekitar + 0,3 rad) Then 𝑢𝑢 2 = −𝐊𝐊 𝟐𝟐 𝐱𝐱� (t)                                                                   (33)
Aturan kontroler ke-3: If x 2 = M 3 (sekitar + 0,5 rad) Then 𝑢𝑢 3 = −𝐊𝐊 𝟑𝟑 𝐱𝐱� (t)                                                         (34)
Fungsi  keanggotaan M 1 , M 2 dan M 3 diperlihatkan pada Gambar  3.  Dengan representasi persamaan state sistem yang telah didapatkan sebelumnya, matriks pembobot dipilih berbeda untuk setiap model linear.  Matriks pembobot yang dipilih adalah sebagai berikut:
𝐐𝐐� 𝒊𝒊 = � 𝐂𝐂 𝐓𝐓 𝐐𝐐 𝒊𝒊 𝐂𝐂 −𝐂𝐂 𝐓𝐓 𝐐𝐐 𝒊𝒊 𝐇𝐇 −𝐇𝐇 𝐓𝐓 𝐐𝐐 𝒊𝒊 𝐂𝐂 𝐇𝐇 𝐓𝐓 𝐐𝐐 𝒊𝒊 𝐇𝐇 � ; 𝐑𝐑� = 𝐑𝐑 (35)
i =1,2,3 dengan
𝐐𝐐 𝟏𝟏 = 10000; 𝐐𝐐 𝟐𝟐 = 15800; 𝐐𝐐 𝟑𝟑 = 16900; 𝐑𝐑 = 1
Berdasarkan perhitungan yang dilakukan, diperoleh nilai gain Kalman, sebagai berikut : 𝐊𝐊 𝟏𝟏 = [ − 100  237.8 − 67.85  61.9  100.0  65.41  22.38  ] 𝐊𝐊 𝟐𝟐 = [ − 125  291.8 − 84.78  77.9  125.7  81.71  27.77  ] 𝐊𝐊 𝟑𝟑 = [ − 128  317.3 − 89.83  88.6  128.8  86.34  30.34  ]

## IV. PENGUJIAN DAN ANALISIS
Simulasi dan implementasi kontrol tracking pada  sistem pendulum-kereta  dikatakan baik apabila respon posisi kereta mampu mengikuti sinyal referensi yang diberikan serta tetap mempertahankan posisi sudut pendulum pada sudut 0 rad. Refrensi posisi kereta diberikan nilai sebesar 0,1meter dan kondisi awal sudut x0 sebesar 0,2 rad. Kondisi awal tersebut terletak pada blok integrator yang ada pada sinyal refrensi. Sinyal refrensi yang diberikan adalah sinyal step, square-wave dan sinyal sinus.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 D er aj at K ean gg ot aan ( m yu ) M1 M2 M3 M1 M2 M3 M 3 M 2 M 2 M 1 M 3

## A. Simulasi
Berikut ini dilakukan simulasi pengujian dengan memberikan gangguan pada sistem. Gangguan diberikan pada sinyal  kontrol  dengan amplitudo +17/5 N. Hasil Respon sistem di tunjukkan pada Gambar 4, 5 dan 6.  Simulasi dengan gangguan ini dilakukan untuk beberapa sinyal referensi yaitu, sinyal step, sinyal square-wave dan sinyal sinus. Gangguan yang diberikan pada sinyal step menyebabkan pergeseran selama 4 detik sebesar 0,04 dengan undershoot 0,05 meter dan overshoot sebesar 0,11 meter.
Begitu pula pada sinyal square-wave , gangguan juga mempengaruhi  Respon  posisi kereta, tetapi pergeseran yang dihasilkan  Respon  lebih kecil dibandingkan sinyal step. Pergeseran hasil Respon  terjadi selama 2 detik sebesar 0,01 meter dengan undershoot -0,17 meter dan overshoot sebesar 0,17 meter. Sinyal sinus diberikan gangguan dengan sinyal 17/5 N maka, akan terjadi pergeseran selama 3,5 detik sebesar 0,3 meter dengan nilai overshoot pada saat 3 detik 0,09 meter. Respon  posisi juga menghasilkan overshoot pada saat detik ke-12 dengan 0,11 meter. Pada saat detik ke-12,2 terjadi undershoot sebesar  0,09 meter. Gangguan diberikan hanya dalam waktu 15 detik dalam sistem.
B. Implementasi
Implementasi berikut dilakukan dengan memberi gangguan pada sistem seperti yang telah dilakukan pada simulasi.  Sistem dijalankan dengan memberikan gangguan pada  amplitudo  +3 N. Gangguan diberikan pada interval 3-6 detik dan 12-15 detik.  Sinyal referensi yang diberikan yaitu sinyal step, sinyal square-wave dan sinyal sinus. Hasil Respon implementasi masing-masing akan dianalisa sesuai dengan tampilan grafik. Hasil Respon implementasi ditunjukkan pada Gambar 7, 8 dan 9.
Respon posisi kereta yang dihasilkan pada sinyal step memiliki nilai undershoot pada  -0,056 meter. Nilai undershoot yang dihasilkan pada implementasi tanpa gangguan lebih kecil dibandingkan implementasi dengan gangguan. Perbedaan nilai undershoot tersebut disebabkan karena pemberian kondisi awal pada implementasi dilakukan secara manual sehingga hasilnya tidak pasti. Osilasi yang dihasilkan pada implementasi di sinyal step sekitar 0,01 meter. Sedangkan pergeseran antara hasil implementasi dengan gangguan dan tanpa gangguan terdapat di 0,04 meter.
Sinyal referensi sinus juga diberikan gangguan pada implementasi yang dilakukan. Nilai undershoot yang dihasilkan pada saat ada gangguan yaitu -0,06 meter. Pergeseran yang dihasilkan akibat adanya gangguan sebesar 0,04 meter selama 3 detik. Pada detik ke-24 pergeseran terjadi sebesar 0,02 meter.
Pada saat implementasi plant secara nyata dapat dilihat posisi kereta mampu men- track sesuai sinyal referensi yaitu sinyal step, square-wave dan sinus yang diberikan, walaupun hasilnya tidak semulus seperti pada simulasi. Dengan nilai 𝐐𝐐 yang sama dengan berbagai kondisi awal dan  referensi yang berbeda-beda ternyata respon posisi kereta pada implementasi dapat terlihat perbedaan yang cukup signifikan dibandingkan pada simulasi.
Gambar. 4. Hasil Respon Posisi Kereta Sinyal Step dengan Gangguan  .
Gambar.  5.  Hasil  Respon  Posisi Kereta Sinyal Square-wave dengan Gangguan.
Gambar. 6. Hasil Respon Posisi Kereta Sinyal Sinus dengan Gangguan.
Sedangkan posisi sudut pendulum jauh berbeda dengan hasil simulasi berada disekitar sudut nol rad  dengan osilasi yang kecil disekitar ± 0,03 rad atau sekitar ± 0,17  derajat. Hasil Respon nilai undershoot dan overshoot yang ada implementasi lebih kecil dibandingkan pada simulasi. Tetapi pada implementasi selalu terdapat osilasi, sedngkan pada simulasi tidak ada osilasi. Hal tersebut terjadi karena plant yang digunkan pada saat implementasi adalah plant nyata.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Waktu (detik) P o si si K er et a ( m et er ) Sinyal Referensi Tanpa Gangguan Dengan Gangguan 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 X: 3.15 Y: -0.1733 Waktu (detik) P o si si K er et a ( m et er ) Sinyal Referensi Tanpa Gangguan Dengan Gangguan 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 P o si si K er et a ( m et er ) Waktu (detik) Sinyal Referensi Tanpa Gangguan Dengan Gangguan
Gambar. 7. Hasil Implementasi Sinyal Step dengan Gangguan.
Gambar. 8. Hasil Implementasi Sinyal Square-wave dengan Gangguan.
Gambar. 9. Hasil Implementasi Sinyal Sinus dengan Gangguan.
Hasil implementasi dengan kontroler fuzzy-optimal mampu membuat posisi kereta dapat mengikuti sinyal referensi step maupun sinus  yang diberikan dengan baik dan mulus, meskipun masih ada keterlambatan waktu antara sinyal referensi  dan sinyal output -nya.  Sedangkan posisi sudut pendulum juga mampu bertahan disekitar nol rad  dengan osilasi yang lebih kecil. Implementasi menggunakan sinyal referensi square-wave diberikan sinyal  gangguan  sebesar ± 3N. Hasil respon implementasi tersebut menunjukkan bahwa posisi kereta tidak dapat mendekati sinyal referensi yang diberikan.  Sama halnya dengan simulasi sistem, pemilihan pembobot 𝐐𝐐 sangatlah mempengaruhi output plant , karena 𝐐𝐐 mempengaruhi nilai dari gain feedback K . Jadi perlu dicari nilai 𝐐𝐐 yang benar-benar dapat menghasilkan sinyal kontrol yang optimal sehingga error yang terjadi sekecil mungkin.

## V. KESIMPULAN
Setelah melakukan perancangan, simulasi dan implementasi tentang sistem kontrol  untuk  sistem pendulum-kereta menggunakan  kontroler Linear Quadratic Tracking dengan fuzzy Takagi  -  Sugeno, maka diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
1. Performansi sistem kontrol Linear Quadratic Tracking dipengaruhi oleh nilai pembobot matrik 𝐐𝐐 dan 𝐑𝐑 . Nilai pembobot matrik 𝐐𝐐 dan 𝐑𝐑 yang mendekati nilai yang diinginkan akan memberikan respon yang lebih baik.
2. Hasil simulasi menunjukkan bahwa posisi kereta sudah cukup mampu mengikuti atau men- track sinyal referensi step dan sinus yang diberikan  kecuali sinyal square- wave .
3. Posisi pendulum dengan sinyal referensi step dan sinus dapat tetap mempertahankan sudut pendulum di sekitar 0 rad dengan osilasi sebesar ± 0,006 rad sekitar ( 0,34 º) dan posisi kereta pada implementasi dengan osilasi 0,0063 meter.
4. Hasil uji implementasi dan simulasi linear Quadratic Tracking menunjukkan bahwa semakin besar nilai 𝐐𝐐 yang diberikan maka semakin besar pula sinyal kontrol yang dihasilkan. Hasil Respon  paling baik apabila menggunakan sinyal referensi sinus.
5. Struktur kontrol LQT menggunakan fuzzy optimal tidak cocok untuk sinyal referensi square-wave karena terdapat penyimpangan  sangat jauh antara hasil respon dan referensi sebesar 0,0895 meter dan overshoot sudut ± 0,01 rad sekitar (0,57 º ).
Untuk perkembangan berikutnya,  dapat diujikan menggunakan sinyal referensi square-wave , step dan sinus dengan  kontroler lain sehingga mendapatkan hasil Respon yang baik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Agustinah, T, Jazidie, A, Nuh, M,  “Fuzzy Tracking Kontrol Design Using Observer-based Stabilizing Compensator for Nonlinear Systems”, IEEE  International Conference on System  and Engineering , pp. 275-280., 2010.
[2]
Slotine,J., Li,Weiping, “ Applied Nonlinear Control ”, Prentice-Hall, New Jersey, 1991.
[3] Tanaka, K., Wang, Hua O., “ Fuzzy  Control System Design and Analysis: A Linear Matrix Inequality Approach ”,  John Wiley & Sons, Inc., ISBNs: 0-471-32324-1 (Hardback); 0-471-22459-6 (Electronic), Ch.2, 2001.
[4] Tiara F.,  “Kontrol Tracking pada Sistem Pendulum-Kereta Menggunakan Fuzzy-Integral Sliding Mode Control,” Tugas  Akhir, Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember,  Surabaya,  2013.
[5] Ogata K. , " Modern  Control  Engineering 3rd ed. ",  Prentice-Hall, New Jersey, Ch. 3, 1997.
[6] Naidu, Subbaram D, “ Optimal Control Systems ”, CRC Press, Idaho, Ch.3-4, 2002 .
[7] Hutajulu, O. P. , “Performansi  Tracking  H-Inf  Menggunakan Model  Fuzzy  Takagi-Sugeno  pada  Sistem  Pendulum  Terbalik”, Tugas  Akhir,  Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember,  Surabaya, 2010.
[8] Pang, Hai-Ping and Yang, Qing, “Optimal Sliding Mode Output Tracking Control for Linear Systems with Uncertainties”, Proc. Of Ninth Int. Conf. on Machine Learning and Cybernetics IEEE ,  pp. 942-946, ISBN 978-1-4244-6527-9, Qingdao, July, 2010.
0 5 10 15 20 25 30 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Waktu (detik) P o si si K er et a ( m et er ) Sinyal Referensi Dengan Gangguan Tanpa Gangguan 0 5 10 15 20 25 30 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Waktu (detik) P o si si K er et a ( m et er ) Sinyal Referensi Dengan Ganguan Tanpa Gangguan 0 5 10 15 20 25 30 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Waktu (detik) P o si si K er et a ( m et er ) Sinyal Referensi Dengan Gangguan Tanpa Gangguan