Abstrak —Perkembangan  penelitian  mengenai  energi  sangat diperlukan.  Efisiensi  penggunaan  energi  dapat  membantu untuk menghemat sumber daya alam. Fluida merupakan salah satu  studi  ilmu  yang  membahas  mengenai  energi.  Namun penelitian  secara  fisik  membutuhkan  biaya  yang  besar.  Oleh karena itu digunakan pemodelan matematika untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Penelitian ini mengkaji mengenai  magnetohidrodinamik  fluida  micropolar  yang melewati  bola  berpori  dengan  pengaruh  magnet  dan  konveksi paksa.  Digunakan  persamaan  pembangun  yang  didapat  dari persamaan  kontinuitas,  persamaan  momentum,  persamaan momentum  angular,  dan  persamaan  energi.  Persamaan pembangun  berbentuk  persamaan  parsial  dua  dimensi. Persamaan dimensional ditransformasikan kedalam persamaan non  dimensional,  kemudian  dirubah  kedalam  persamaan similaritas dan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan skema Keller-Box. Hasil simulasi  menunjukkan bahwa  profil  kecepatan  menurun  ketika  parameter  magnetik meningkat.  Profil  mikro  rotasi  dan  temperatur  meningkat seiring meningkatnya parameter magnetik.
Kata  Kunci —Magnetohidrodinamik,  Fluida micropolar ,  Bola berpori bermagnet, Keller-Box.

## I. PENDAHULUAN
NERGI merupakan salah satu kebutuhan pokok manusia. Akan  tetapi  sumber  daya  alam  semakin  lama  semakin menipis  dan  dapat  menyebabkan  kelangkaan,  terutama sumber  daya  yang  tidak  dapat  diperbarui  seperti  gas  alam. Saat  ini  penelitian  mengenai  energi  menarik  untuk dikembangkan.  Kemajuan  teknologi  dan  juga  industri mendorong  peneliti  untuk  mengoptimalkan  pemanfaatan energi.  Dalam  proses  manufaktur  industri  kerap  kali digunakan prinsip perpindahan panas pada fluida contohnya yaitu lembaran logam dan polimer [1]. Fluida merupakan zat yang  dapat  berubah  bentuk  secara  kontinu  jika  dikenai tegangan geser [2]. Pada kenyataannya penelitian mengenai fluida  secara  fisik  membutuhkan fasilitas  yang canggih dan biaya  yang  mahal.  Oleh  karena  itu  dibutuhkan  studi  ilmu yang  dapat  merepresentasikan  permasalahan  tersebut.  Studi ilmu  yang  membahas  mengenai fluida  salah satunya adalah pemodelan  matematika.    Dalam  bidang  matematika, perpindahan panas pada suatu permukaan benda telah banyak banyak  diteliti,  dimana  salah  satunya  yaitu  dengan memanfaatkan magnet [3].
Magnetohidrodinamik  merupakan  studi  ilmu  yang mempelajari  tentang  aliran  fluida  penghantar  arus  listrik akibat  adanya  pengaruh  medan  magnet  [4].  Berdasarkan tegangan  gesernya  fluida  dibagi  menjadi  dua  yaitu  fluida
Newtonian  dan  non-Newtonian  [5].  Fluida micropolar merupakan salah satu contoh dari fluida non-newtonian yang memiliki karakteristik yaitu berstruktur mikro, bersifat kaku dan  dapat  berotasi  secara  acak  atau  yang  disebut  dengan mikro  rotasi  [6].  Dalam  bidang  teknik,  keunikan  fluida micropolar memiliki potensi yang tinggi untuk dikembangkan [7].
Penelitian  mengenai  fluida micropolar telah  dilakukan oleh Zainul Haque [8] pada tahun 2011. Dalam penelitiannya Zainul  mengkaji  mengenai  efek  dari  parameter  terhadap kecepatan,  mikro  rotasi,  suhu,  dan  medan  konsentrasi  pada fluida yang diberi magnet dengan konveksi bebas. Pada tahun 2015  Anggriani  [9]  mengembangkan  penelitian  mengenai magnetohidrodinamik  pada  fluida micropolar yang  diberi magnet.  Aliran  fluida micropolar melewati  bola  berpori. Dalam  penelitian  tersebut  dikaji  mengenai  pengaruh parameter  magnetik  dan  parameter  permeabilitas  terhadap laju  kecepatan  fluida  dan  mikro  rotasi.  Hasil  penelitian menunjukkan bahwa semakin besar parameter magnetik yang diberikan  maka  kecepatan  mikro  rotasi  pada  aliran  pekat semakin menurun, sedangkan pada aliran agak pekat semakin meningkat.
Penelitian  yang  telah  dilakukan  untuk  saat  ini  masih terbatas  pada  pemberian  magnet  pada  fluida.  Oleh  karena Pada penelitian ini akan dikembangkan mengenai magnetohidro-dinamik pada fluida micropolar yang melalui bola  berpori  yang  mengandung  magnet  dengan  pengaruh konveksi paksa. Konveksi paksa yang diberikan berupa panas dan  menyebar  dari segala arah. Berikut  merupakan ilustrasi dari permasalahan.
Gambar 1. Model aliran fluida micropolar yang melalui bola berpori dengan konveksi paksa.
Dalam  penelitian  ini  akan  dikaji  mengenai  pengaruh parameter  magnetik  terhadap  kecepatan,  mikro  rotasi,  dan temperatur.  Model  matematika  yang  terbentuk  diselesaikan secara numerik dengan menggunakan skema Keller-Box

## Magnetohidrodinamik Fluida Micropolar yang Mengalir Melalui Bola Berpori dengan Pengaruh Magnet
Rahayu Oktavia P., Basuki Widodo, dan Nur Asiyah Departemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : b_widodo@matematika.its.ac.id, nora@matematika.its.ac.id
E

## II. MODEL MATEMATIKA
Fluida mengalir dari bawah ke atas dan kemudian melewati bola berpori yang dalam keadaan diam.
Gambar 2. Model aliran fluida micropolar yang melalui bola berpori dengan koordinat 3 dimensi.
Gambar  2  menunjukkan  koordinat  3  dimensi  pada  bola. Fluida  yang  mengalir  mendekati  bola  akan  mendapat pengaruh  gaya  magnet  yang  terdapat  pada  bola.  Selain  itu tumbukan  yang  terjadi  antara  fluida  dan  permukaan  bola mengakibatkan  gesekan  yang  kemudian  membentuk  suatu lapisan  tipis  disepanjang  permukaan  bola.  Lapisan  ini dinamakan dengan lapisan batas [5].

## A. Persamaan Dimensional
Persamaan  pembangun  yang  digunakan  didapat  dari persamaan  kontinuitas,  persamaan  momentum,  persamaan momentum  angular,  dan  persamaan  energi.  Persamaan Kontinuitas  didapat  dari  Hukum  Konservasi  Massa  yang menyatakan  bahwa  laju  perubahan  massa  terhadap  waktu sama  dengan  nol  [10].  Persamaan  momentum  didapat  dari Hukum  II  Newton  yang  menyatakan  bahwa  besarnya  laju perubahan momentum sama dengan jumlah semua gaya yang bekerja pada sistem. Persamaan momentum angular didapat dari  Hukum  Kekekalan  momentum  angular,  sedangkan persamaan  energi  didapat  dari  Hukum  Termodinamika  I. Berikut merupakan persamaan pembangun yang didapatkan Persamaan Kontinuitas 𝜕𝑟̅𝑢̅
𝜕𝑥̅ + 𝜕𝑟̅𝑣̅ 𝜕𝑦̅ + 𝜕𝑟̅𝑤 ̅ 𝜕𝑧̅ = 0                                                          (1)
Persamaan Momentum Searah sumbu-x
𝜌 [ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ + 𝑤 ̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑧̅ ] =   − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥̅ + (𝜇 + 𝜅) [ 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕𝑦̅ 2 + 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕𝑧̅ 2 ] + 𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑥 + 𝜅 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ + 𝜎𝐵 0 2 𝑢̅ + 𝜇 𝐾 ∗ 𝑢̅                                                                           (2)

## Searah sumbu-y
𝜌 [ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑦̅ + 𝑤 ̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑧̅ ] =   − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑦̅ + (𝜇 + 𝜅) [ 𝜕 2 𝑣̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑣̅ 𝜕𝑦̅ 2 + 𝜕 2 𝑣̅ 𝜕𝑧̅ 2 ] + 𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑦 − 𝜅 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝜎𝐵 0 2 𝑣̅ + 𝜇 𝐾 ∗ 𝑣̅                                                                              (3)

## Searah sumbu-z
𝜌 [ 𝜕𝑤 ̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑤 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑤 ̅ 𝜕𝑦̅ + 𝑤 ̅ 𝜕𝑤 ̅ 𝜕𝑧̅ ] =   − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑧̅ + (𝜇 + 𝜅)
[ 𝜕 2 𝑤 ̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑤 ̅ 𝜕𝑦̅ 2 + 𝜕 2 𝑤 ̅ 𝜕𝑧̅ 2 ] + 𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑧 + 𝜇 𝐾 ∗ 𝑤 ̅                                             (4)
Persamaan Momentum Angular
𝜌𝚥 [ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ + 𝑤 ̅ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑧̅ ] = −𝛾 [ 𝜕 2 𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ 2 + 𝜕 2 𝑁 ̅ 𝜕𝑧 2 ] −𝜅 [2𝑁 ̅ + 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ − 𝜕𝑤 ̅ 𝜕𝑦̅ − 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ − 𝜕𝑤 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑧̅ + 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑧̅ ]                                               (5)
Persamaan Energi
𝜌𝑐 𝑝 [ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑦̅ + 𝑤 ̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑧̅ ] = 𝑐 [ 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑦̅ 2 + 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑧̅ 2 ]                                         (6)
Dengan kondisi batas 𝑡 < 0 ∶ 𝑢̅ = 𝑣̅ = 𝑤 ̅ = 𝑁 ̅ = 0, 𝑇̅ = 𝑇 ∞ untuk setiap 𝑥̅, 𝑦̅, 𝑧̅ 𝑡 ≥ 0 ∶ 𝑢̅ = 𝑣̅ = 𝑤 ̅ = 0, 𝑁 ̅ =   −𝑛 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ , 𝑇̅ = 𝑇 𝑤 untuk 𝑦̅ = 0 𝑢̅ = 𝑢̅ 𝑒 (𝑥̅), 𝑁 ̅ = 0, 𝑇̅ = 𝑇 ∞ untuk 𝑦̅ → ∞
Dengan 𝑢̅, 𝑣̅, dan 𝑤 ̅ merupakan  kecepatan  fluida, 𝜌 merupakan  densitas  fluida, 𝑝̅ merupakan  tekanan, 𝜇 adalah viskositas  dinamik, 𝜅 adalah vortex , 𝛽 adalah  koefisien ekspansi panas, 𝑇̅ adalah suhu, 𝑔 merupakan gaya gravitasi, 𝑁 ̅ adalah mikro rotasi, dan 𝛾 adalah spin gradien.
Pada  penelitian  ini  permasalahan  yang  akan  dikaji  salah satunya  adalah  kecepatan  aliran  fluida.  Oleh  karena  itu permukaan bola yang terlihat adalah 2 dimensi dimana sumbu z diabaikan. Berikut merupakan koordidat bola 2 dimensi
Gambar 3. Model aliran fluida micropolar yang melalui bola berpori dengan koordinat 2 dimensi.
Persamaan  pembangun  dimensional  2  dimensi  yang terbentuk adalah Persamaan Kontinuitas 𝜕𝑟̅𝑢̅
𝜕𝑥̅ + 𝜕𝑟̅𝑣̅ 𝜕𝑦̅
= 0                                                                                             (7) Persamaan Momentum
Searah sumbu-x
𝜌 [ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ ] =   − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥̅ + (𝜇 + 𝜅) + [ 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕𝑦̅ 2 ]
+𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑥 + 𝜅 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ + 𝜎𝐵 0 2 𝑢̅ + 𝜇 𝐾 ∗ 𝑢̅                                              (8)
Searah sumbu-y
𝜌 [ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑦̅ ] =   − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑦̅ + (𝜇 + 𝜅) + [ 𝜕 2 𝑣̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑣̅ 𝜕𝑦̅ 2 ] +𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑦 + 𝜅 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝜎𝐵 0 2 𝑢̅ + 𝜇 𝐾 ∗ 𝑣̅                                              (9)
Persamaan Momentum Angular
𝜌𝚥 [ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ ] = 𝛾 [ 𝜕 2 𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ 2 ] − 𝜅 [2𝑁 ̅ + 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ − 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ ]                                                                             (10)
Persamaan Energi
𝜌𝑐 𝑝 [ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑦̅ ] = 𝑐 [ 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑦̅ 2 ]                    (11)
Dengan kondisi batas 𝑡 < 0 ∶ 𝑢̅ = 𝑣̅ = 𝑁 ̅ = 0, 𝑇̅ = 𝑇 ∞ untuk setiap 𝑥̅, 𝑦̅ 𝑡 ≥ 0 ∶ 𝑢̅ = 𝑣̅ = 0, 𝑁 ̅ =   −𝑛 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ , 𝑇̅ = 𝑇 𝑤 untuk 𝑦̅ = 0 𝑢̅ = 𝑢̅ 𝑒 (𝑥̅), 𝑁 ̅ = 0, 𝑇̅ = 𝑇 ∞ untuk 𝑦̅ → ∞

## B. Persamaan Non-Dimensional
Pada persamaan dimensional terdapat satuan dari masing- masing  besaran  yang  dapat  mempersulit  penyelaian  karena perbedaan  aturan  pada  setiap  wilayah.  Oleh  karena  itu persamaan  dimensional  ditransformasikan  kedalam  bentuk non  dimensional.  Persamaan  non-dimensioanal  didapat dengan  menggunakan  variabel  non  dimensional  dan parameter non dimensional. Berikut merupakan variabel dan perameter yang digunakan [11]:
𝑥 = 𝑥̅ 𝑎 , 𝑦 = 𝑅𝑒 1 2 𝑦̅ 𝑎 , 𝑟(𝑥) = 𝑟̅(𝑥̅) 𝑎 , 𝑡 = 𝑈 ∞ 𝑡̅ 𝑎 , 𝑢 = 𝑢̅ 𝑈 ∞ , 𝑣 = 𝑅 𝑒 1 2 𝑣̅ 𝑈 ∞ 𝑝 = 𝑝̅ 𝜌𝑈 ∞ 2 , 𝑇 = 𝑇̅ − 𝑇 ∞ 𝑇 𝑤 − 𝑇 ∞ , 𝑁 = 𝑅𝑒 1 2 𝑎𝑁 ̅ 𝑈 ∞ , 𝑔 𝑥 =   −𝑔𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥̅ 𝑎 ), 𝑔 𝑦 = 𝑔 cos ( 𝑥̅ 𝑎 )                                      (12)
Dengan parameter non-dimensional :
𝑀 = 𝑎𝜎𝐵 0 2 𝜌𝑈 ∞ , 𝛼 = 𝐺𝑟 𝑅𝑒 , 𝐺𝑟 = 𝑔𝛽(𝑇 𝑤 − 𝑇 ∞ )𝑎 3 𝜈 2 , Pr = 𝜈𝜌𝐶 𝑝 𝑐 𝜙 = 𝑎𝜇 𝜌𝑈 ∞ 𝐾 ∗ , 𝐾 = 𝜅 𝜇 (13)
Dengan 𝑀 adalah parameter magnetik, 𝛼 adalah konveksi paksa, 𝐺𝑟 adalah  bilangan  Grashof, 𝑃𝑟 adalah  bilangan prandtl, 𝜙 adalah  parameter  porositas,  dan 𝐾 adalah parameter micropolar.
Kemudian untuk mendapatkan persamaan non- dimensional  maka  dilakukan  substitusi  Persamaan  (12)  dan (13)  ke  Persamaan  (7)  –  (11).  Persamaan  non-dimensional yang diperoleh adalah sebagai berikut Persamaan Kontinuitas 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0                                                                                          (14)
Persamaan Momentum
Searah sumbu-x
[ 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 ] =   − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + (1 + 𝐾) 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 + (1 + 𝐾) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 − 𝛼𝑇𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝐾 𝜕𝑁 𝜕𝑦 + (𝑀 + 𝜙)𝑢                                         (15)
Searah sumbu-y
1 𝑅𝑒 [ 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ] =   − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + (1 + 𝐾) 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑥 2 + (1 + 𝐾) 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑦 2 + 𝛼𝑇𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐾 𝜕𝑁 𝜕𝑥 + (𝑀 + 𝜙)𝑣                                        (16)
Persamaan Momentum Angular
[ 𝜕𝑁 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑁 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑁 𝜕𝑦 ] = (1 + 𝐾 2 ) [ 1 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑁 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑁 𝜕𝑦 2 ] −𝐾 [2𝑁 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 − 1 𝑅𝑒 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ]                                                                               (17) Persamaan Energi
[ 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑇 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ] = 1 Pr 1 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑥 2 + 1 Pr 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑦 2 (18)
Dengan kondisi batas : 𝑡 < 0 ∶ 𝑢 = 𝑣 = 𝑁 = 𝑇 = 0 untuk setiap 𝑥, 𝑦 𝑡 ≥ 0 ∶ 𝑢 = 𝑣 = 0, 𝑁 =   −𝑛 𝜕𝑢 𝜕𝑦 , 𝑇 = 1 ketika 𝑦 = 0 𝑢 = 𝑢 𝑒 (𝑥), 𝑁 = 𝑇 = 0 ketika 𝑦 → ∞

## C. Pendekatan Lapisan Batas dan Fungsi Alir
Pada  penelitian  ini  aliran  fluida  melewati  bola  pada permukaan 𝑥 = 0 sehingga  digunakan  pendekatan  lapisan batas  dimana  diasumsikan  bahwa 𝑅𝑒 = 0 .  Selanjutnya diperkenalkan teori potensial 2 dimensi dengan 𝑤 = 0 . Maka untuk menghubungkan kecepatan pada dua sumbu digunakan fungsi alir dengan variabel sebagai berikut :
𝑢 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 , 𝑣 =   − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥 (19)
Dengan  menggunakan  Persamaan  (19)  akan  didapatkan fungsi alir untuk model matematika pada sistem. Persamaan (19) disubstitusikan ke dalam Persamaan (14) – (18) sehingga di dapatkan Persamaan sebagai berikut Persamaan Momentum
1 𝑟 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑡𝜕𝑦 + 1 𝑟 2 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 1 𝑟 3 𝜕𝑟 𝜕𝑥 ( 𝜕𝜓 𝜕𝑦 ) 2 − 1 𝑟 2 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑦 2 = 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 𝑢 𝑒
− (𝑀 + 𝜙) (𝑢 𝑒 − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 ) + (1 + 𝐾) 𝑟 𝜕 3 𝜓 𝜕𝑦 3 − 𝛼𝑇𝑠𝑖𝑛(𝑥) +𝐾 𝜕𝑁 𝜕𝑦 (20)
Persamaan Momentum Angular
𝜕𝑁 𝜕𝑡 + 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕𝑁 𝜕𝑥 − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕𝑁 𝜕𝑦 = (1 + 𝐾 2 ) + 𝜕 2 𝑁 𝜕𝑦 2 −𝐾  (2𝑁 + 1 𝑟 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑦 2 )                                                                   (21)
Persamaan Energi 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕𝑇 𝜕𝑥 − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕𝑇 𝜕𝑦 = 1 𝑃𝑟 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑦 2 (22)
Dengan kondisi batas
𝑡 < 0 ∶ 𝜓 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝑁 = 𝑇 = 0 untuk setiap 𝑥, 𝑦 𝑡 ≥ 0 ∶ 𝜓 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 0, 𝑁 =   −𝑛 𝜕2𝜓 𝜕𝑦2 , 𝑇 = 1 ketika 𝑦 = 0 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝑢 𝑒 (𝑥), 𝑁 = 𝑇 = 0 ketika 𝑦 → ∞

## D. Persamaan Similaritas
Persamaan  dengan  menggunakan  fungsi  alir  kemudian dirubah  menjadi  persamaan  similaritas.  Adapun  untuk mendapatkan  persamaan  similaritas  dilakukan  dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Pada Persamaan small time (𝑡 ≤ 𝑡 ∗ ) dilakukan pemisalan dengan menggunakan
𝜕𝑓 𝜕𝜂 = 𝑓 ′ , 𝜕𝑠 𝜕𝜂 = 𝑠 ′ , 𝜕ℎ 𝜕𝜂 = ℎ ′ (23) dan
𝜓 = 𝑡 1 2 𝑢 𝑒 (𝑥)𝑟(𝑥)𝑓(𝑥, 𝜂, 𝑡)
𝑇 = 𝑠(𝑥, 𝜂, 𝑡)
𝜂 = 𝑦 𝑡 1 2 𝑁 = 𝑡 − 1 2 𝑢 𝑒 (𝑥)ℎ(𝑥, 𝜂, 𝑡) }
(24)
Dengan  mensubstitusi  Persamaan  (23)  dan  (24)  kedalam Persamaan  (20)  -  (22)  maka  didapatkan  persamaan  sebagai berikut :
Persamaan Momentum
(1 + 𝐾)𝑓 ′′′ + 𝜂 2 𝑓 ′′ + 𝐾ℎ ′ + (𝑀 +  𝜙)𝑡(𝑓 ′ − 1) + 2 3 𝛼𝑡𝑠 + 3
2 (1 − (𝑓 ′ ) 2 + 𝑓 ⋅ 𝑓 ′′ ) = 𝑡 𝜕𝑓′ 𝜕𝑡 (25)

## Persamaan Momentum Angular
( 1 + 𝐾 2 ) ℎ ′′ + 𝜂 2 ℎ ′ + 1 2 ℎ + 3 2 𝑡(𝑓ℎ ′ − ℎ𝑓 ′ ) = 𝑡 𝜕ℎ 𝜕𝑡 (26)
Persamaan Energi
1
2 𝜂 Pr 𝑠 ′ + 𝑠 ′′ + 3 2 Pr 𝑓 𝑠 ′ = Pr 𝑡 𝜕𝑠 𝜕𝑡 (27)
Dengan kondisi batas
𝑡 < 0 ∶ 𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝜂 = ℎ = 𝑠 = 0 untuk setiap 𝑥, 𝜂
𝑡 ≥ 0 ∶ 𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝜂 , ℎ =   −𝑛 𝜕2𝑓 𝜕𝜂2 , 𝑠 = 1 ketika 𝜂 = 0
𝜕𝑓 𝜕𝜂 = 1 , ℎ = 0 , 𝑠 = 0 ketika 𝜂 → ∞

## E. Keller-Box
Penyelesaian  numerik  dengan  menggunakan  Keller-Box dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Merubah  Persamaan  orde  tinggi  menjadi  Persamaan orde pertama dengan cara menyelaraskan notasi.
2. Diskritisasi  dengan  menggunakan  metode  numerik beda hingga Keller-Box.
3. Melinierisasi  model  dengan  menggunakan  metode Newton.
4. Membentuk matriks tridiagonal dengan menggunakan teknik eliminasi blok.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Peny elesaian  numerik  dari  pengaruh  parameter  magnetik dapat  diselesaikan  dengan  cara  memasukkan  beberapa  nilai pada parameter magnetik. Pada simulasi ini diberikan kondisi awal dengan nilai partisi 𝜂 = 60 , partisi waktu 𝑡 = 20 , Δ𝜂 = 𝑙 𝑗 = 0.1 , Δ𝑡 = 𝑘 𝑛 = 0.05 , 𝑡 = 20 , dan konsentrasi 𝑛 = 0,1 . Pemilihan  parameter  didapat  dari  bahan  yang  akan digunakan. Berikut merupakan daftar bahan yang digunakan dalam  mencari  nilai  parameter  dengan  menggunakan  nilai 𝐵 0 = 0.1 , 𝑈 ∞ = 1 , dan 𝑎 = 0.1 .
Tabel 1.
Perhitungan Parameter Magnetik Bahan 𝜌 ( 𝑘𝑔 𝑚 3 ) 𝜎 M Besi 7870 1,04 ⋅ 10 7 1,3 Baja 8860 1,6 ⋅ 10 7 1,8 Kuningan 8400 1,6 ⋅ 10 7 1,9
Berikut merupakan hasil simulasi pada profil kecepatan:
Gambar  4.  Pengaruh  variasi  parameter  magnetik  terhadap  kecepatan dengan 𝐾  =  1 , 𝜙 = 1 , 𝑃𝑟 = 1 , dan 𝛼 = 0 .
Gambar  4  menunjukkan  pemberian  variasi  parameter magnetik mengakibatkan pada saat 0 ≤ 𝜂 ≤  4.4 aliran fluida mengalami  perbedaan  penurunan  kecepatan.  Berdasarkan rumus  matematis  dari  parameter  magnetik  diketahui  bahwa
parameter  magnetik sebanding dengan  kuadrat  gaya  Lorenz (𝐵 0 ) dan berbanding terbalik dengan densitas fluida ( 𝜌 ). Hal ini  menunjukkan  bahwa  semakin  bertambahnya  nilai parameter  magnetik  maka  gaya  Lorenz  yang  bekerja  pada bola berpori akan semakin besar. Sedangkan densitas fluida akan semakin kecil. Medan magnet yang terdapat pada bola berpori menyebabkan gaya tolak terhadap aliran fluida. Oleh karena itu semakin besar parameter magnetik yang diberikan kecepatan fluida akan semakin menurun.
Gambar 5. Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap mikro rotasi dengan 𝐾  =  1 , 𝜙 = 1 , 𝑃𝑟 = 1 , dan 𝛼 = 0
Gambar  5  menunjukkan  bahwa  terjadi  kenaikan  dan penurunan  profil  mikro  rotasi.  Ketika 1,5 ≤ 𝜂 ≤ 4,5 terjadi kenaikan pergerakan mikro rotasi. Akan tetapi ketika berada pada 1,5 < 𝜂 ≤ 0 terjadi penurunan pergerakan mikro rotasi. Pertambahan  parameter  magnetik  mengakibatkan  densitas fluida  semakin  menurun  sehingga  kerapatan  molekul  pada fluida  semakin  berkurang.  Penurunan  densitas  fluida mengakibatkan  pergerakan  partikel  mikro  memiliki  ruang yang semakin luas sehingga pergerakan partikel lebih leluasa. Oleh  karena  itu  semakin  bertambah  parameter  magnetik maka semakin meningkat pergerakan mikro rotasi. Selain itu hasil simulasi menunjukkan bahwa pada titik stagnasi 𝑥 = 0 dengan  konsentrasi  bahan 𝑛 = 0,1 ketika  aliran  fluida mengenai bola masih terjadi pergerakan mikro rotasi.
Gambar 6. Pengaruh variasi parameter magnetik terhadap temperatur dengan 𝐾  =  1 , 𝜙 = 1 , 𝑃𝑟 = 1 , dan 𝛼 = 0 .
Gambar  6  menunjukkan  bahwa  semakin  bertambah parameter  magnetik  maka  profil  temperatur  semakin meningkat. Kurva temperatur mengalami penurunan dari 𝑠 = 1 sampai 𝑠 ≈ 0 .  Ketika 0 ≤ 𝜂 ≤ 3,4 pemberian  variasi parameter magnetik menyebabkan  profil  temperatur meningkat  seiring  meningkatnya  nilai  parameter  magnetik. Hal  ini  terjadi  karena  energi  internal  fluida  menurun  akibat
adanya  pengaruh  medan  magnet.  Oleh  karena  itu  profil temperatur meningkat ketika parameter magnetik meningkat.
IV. KESIMPULAN
1. Persamaan pembangun model matematika dari magnetohidrodinamik  fluida micropolar yang  mengalir melalui  bola  berpori  dengan  pengaruh  magnet  didapat dari  persamaan  kontinuitas,  persamaan  momentum, persamaan  momentum  angular,  dan  persamaan  energi. Dalam  persamaan  momentum  bola  berpori  yang mengandung  magnet  mengakibatkan  persamaan  pada gaya  magnet  bernilai  negatif  yang  menunjukkan  bahwa medan  magnet  menolak  aliran  fluida.  Persamaan pembangun  dimensional  ditransformasikan  kedalam bentuk non-dimensional, kemudian dilakukan pendekatan lapisan  batas,  fungsi  alir,  dan  dirubah  kedalam  bentuk persamaan similaritas.
2. Penyelesaian numerik dari model matematika
magnetohidrodinamik  fluida micropolar yang  mengalir melalui bola berpori dengan pengaruh magnet dilakukan dengan  mengubah  persamaan  orde  tinggi  menjadi  orde pertama.  Kemudian  melakukan  diskritisasi  persamaan similaritas dengan menggunakan skema Keller-Box beda hingga  pusat.  Selanjutnya  melinierkan  model  yang didapat dengan Metode Newton, dan dilanjutkan dengam pembentukan matriks blok tridiagonal.
3. Meningkatnya parameter magnetik mengakibatkan profil kecepatan  fluida  menurun,  mikro  rotasi  meningkat,  dan temperatur meningkat.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]
T.  Abbas,  Z.,  dan  Hayat,  “Radiation  effects  on  MHD  flow  in  a porous  space,” Internatonal  J.  Heat  Mass  Transf. ,  vol.  51,  pp. 1024–1033, 2008.
[2] G.  Elseth,  “An  Experimental  Study  of  Oil/Water  Flow  in Horizontal Pipes,” University College, 2001.
[3] S. A. Khuzaimah, S. S., Yusof, Z. M., Aziz, A. S. A., dan Kechil, “Magnetohydrodynamics Boundary Layer Flows over s Stretching Surface  with  Radiation  Effeact  and  Embedded  in  Porous Medium,” Int. J. Phys. Math. Sci. , vol. 6, no. 8, 2012.
[4] B.  Widodo,  D.  A.  Khalimah,  F.  D.  S.  Zainal,  and  C.  Imron, “Numerical Solution of Heat Transfer Unsteady Boundary Layer Magnetohydrodynamics in Micropolar Fluid Past a Sphere,” Int. J.
Far East J. Math. Sci. Publ. House-India , 2015. [5] B. Widodo, Pemodelan Matematika . ITSPress, 2012.
[6] A.  R.  M.  Kasim,  “Convective  Boundary  Layer  Flow  of Viscouselastic Fluid,” University Technology Malaysia, 2014.
[7] A. C. Eringen, “Theory of micropolar fluidas,” 1965.
[8] A.  Haque,  MD.  Z.,  Alam,  MD.  M.,  Ferdows,  M.,  Postelnicu, “Steady  MHD  Free  Convection  And  Mass  Transfer  Flow  With Constant  Heat  And  Mass  Fluxes,  Joule  Heating  And  Viscous Dissipation,” J. King Saud  Univ.  Eng.  Sci. ,  vol.  24,  pp. 71 –  84,
2011.
[9] C.  Anggriani,  Indira.,  Widodo,  B.,  Imron,  “The  Unsteady  Flow Magnetohydrodynamics  in  Micropolar  Fluid  through  Porous Sphere,” in Proceeding of The Annual Basic Science International Conference , 2015.
[10] B.  H.  Potter,  M. C.,  Wiggert,  D.C.,  and  Ramadan, Mechanics of Fluids 4^th Edition . USA, 2015.
[11] N. F. Mohammad, “Unsteady Magnetohydrodynamic Convective Boundary  Layer  Flow  Past  a  Sphere  In  Viscous  and  Micropolar Fluids,” University Teknologi Malaysia, 2014.