L L P P 2 2 M M S S T T M M I I K K N N U U R R D D I I N N H H A A M M Z Z A A H H J J A A M M B B I I

## PENCARIAN AKAR KOMPLEKS POLINOMIAL DENGAN PEMROGRAMAN DELPHI MENGGUNAKAN METODE BAIRSTOWS
Oleh :
Ezrifal Sany 1) , Lucy Simorangkir 1)
1) Jurusan Teknik Informatika STMIK Nurdin Hamzah Jambi, Jambi 36121 E-mail : jazzcoupe@gmail.com
Abstract -  In  the  field  of  Engineering  and  physics  often  encountered  in  the  form  of  mathematical  models  of complex  roots  of  equations.  In  the  completion  of  the  complex  roots  of  the  equation  often  appears  that  the problem  can  not  be  processed,  and  therefore  need  much  to  solve  the  equations  that  determine  the  roots  of  a complex equation. In  making this system  using the  method Bairstows. By using this system known  how  many methods  theuseof  efficiencyof  inconducting  settlement  Bairstows  equation  has  complex  roots  elements.  This system  can  be  used  as  a  means  of  calculating  the  completion  of  a  complex  system  of  equations  that  has  an element of the real numbers.
Keywords : roots of equations, real numbers

## I. PENDAHULUAN
Teknologi  Komputer  yang  semakin  luas penggunaanya,  banyak  hal  dapat  diselesaikan  dengan mudah  dan  cepat.  Demikian  juga  pemecahan  – pemecahan  yang  sulit  dan  rumit,  penggunaan teknologi komputer menjadi sangat penting peranannya.  Dalam  pemecahan  soal  ini  ada  beberapa tahap yang harus dilakukan, yang pertama perumusan ( formulation), dalam  tahap  ini  diperlukan  data masukan  ( Input  Data ),  pengujian  –  pengujian  yang mencukupi  ( Udequate  Check )  dan  jenis  serta  jumlah hasil pengolahan ( Output ).
Untuk  mencari  akar  kompleks  polinomial dapat  dilakukan  dengan  berbagai  cara  seperti  metode Newton, metode Iterasi dan beberapa metode lainnya. Dalam  penyelesaian  dalam  pemrograman,  metode  ini hanya  tepat  atau  dapat  dengan  mudah  dilakukan dengan  bahasa  pemrograman  fortran.  Karena  Fortran mempunyai kemampuan dalam penggunaan aritmatika kompleks. Disamping itu Fortran juga memiliki notasi yang  memudahkan  dalam  penulisan  rumus-rumus matematis.  Sedangkan  untuk  bahasa  pemrograman terkenal lainnya  seperti bahasa basic dan pascal tidak mendukung penyediaan aritmatik kompleks. Biasanya bahasa  pemrograman  tersebut  hanya  dapat  digunakan untuk  mencari  akar-akar  real  saja  hal  ini  karna  sulit dalam  pengkodeannya.  Jika  variabelnya  bukan bilangan  real  untuk  mencari  akar  polynomial kompleks, sehingga bahasa pemrograman pascal dapat digunakan,  Metode  yang  digunakan  adalan  metode Bairstows.  Namun  sekarang  dengan  perkembangan teknologi  khususnya  dalam  bidang  perangkat  lunak maka  pemrograman  yang  digunakan  adalah  bahasa pemrograman Delphi.

## II. Metode Penelitian

## 2.1 Teori Polinomial
Polinomial  digunakan  sebagai  alat  pokok  untuk pendekatan  dalam  hamper  semua  bidang  analisis numerik,  misalnya  digunakan  dalam  penyelesaian persamaan dan dalam pendekatan fungsi dari integral- integral  dan  turunan-turunan,  dalam  penyelesaian persamaan  integral  dan  dalam  persamaan  differensial dan  sebagainya.  Karena  strukturnya  yang  berbeda sehingga  memudahkan  untuk  menyusun  pendekatan- pendekatan yang efektif dan kemudian menggunakannya.
2.1.1 Bentuk-Bentuk Polinomial
2.1.1.1 Bentuk Pangkat
Polinomial  P(x)  berderajat  ≤  n,  menurut definisi adalah suatu fungsi dari suatu bentuk :
P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 1 + … + a n x n
Polinomial  ini  mempunyai  derajat  tepat sebesar n, jika  koefesien penuntunnya a n ≠ 0. a 0  , … , a n merupakan bilangan real atau kompleks, maka P(x) paling  sedikit  mempunyai  satu  akar  yang  akan terdapat  suatu  bilangan  kompleks  ξ  sedemikian  rupa sehingga  P(ξ)  =0.  Kelebihan  bentuk  pangkat  adalah dapat digunakan untuk mendiferensiasi atau mengintegralkan suatu polynomial. Disamping kelebihan  bentuk  pangkat  ini  juga  mempunyai kelemahan  yaitu  dapat  mengakibatkan  hilangnya signifikasi atau kondisi buruk.

## 2.1.1.2 Bentuk Pangkat Yang Bergeser
P(x) = a 0 + a 1 (x-c) + a 2 (x-c) 2 + … + a n (x-c) n
Bentuk pangkat ini digunakan untuk mengatasi  kehilangan  signifikasi  dalam  bentuk pangkat.  Bentuk  ini  juga  mempunyai  peranan  utama dalam penyusunan polynomial  interpolasi, serta dapat tereduksi dalam bentuk pangkat jika semua pusat c 1 … c n = 0.
L L P P 2 2 M M S S T T M M I I K K N N U U R R D D I I N N H H A A M M Z Z A A H H J J A A M M B B I I

## 2.1.1.3 Bentuk Bersarang
P(x) = a 0 +(x-c 1 )a 1 +(x-c 2 )[a 2 +(x-c 3 )(a 3 +…+(x-c n-1 )(a n- 1 +(x-c)a n )…)]
Bentuk  ini  memerlukan  2n  penjumlahan  dan n perkalian. Manfaat bentuk bersarang adalah :
1. Untuk menghasilkan nilai polynomial pada setiap titik Z tertentu secara otomatis.
2. Dapat  mengubah  dari  bentuk  Newton  yang  satu ke yang lainnya.
3. Penggunaan  berulang  dari  algoritma  perkalian bersarang bermanfaat dalam mengevaluasi turunan-turunan suatu polynomial yang diberikan.

## 2.2 Bilangan Real dan Bilangan Kompleks
2.2.1 Bilangan Real
Bilangan  real  adalah  suatu  bilangan  yang  dihasilkan dari  perkawinan  antara  bilangan  terukur  ( Rasional  )  misalnya √   √ .  Penyusunan bilangan  real  (R)  secara  acak,  mendasari  system dengan sepuluh aksioma di bawah ini:
1. Bila  a&b  dua  bilangan  real  maka  terdapatlah dengan  tunggal  bilangan  real  a+b  yang  disebut jumlah  a&b,  dan  terdapat  dengan  tunggal bilangan real a•b, disebut hasi kali a dan b.
2.  a+b = b+a
3.  a•b = b•a
4.  a+(b+c) = (a+b)+c
5.    Terdapat  bilangan  nol  sedemikian  hingga  a+0  =  a untuk semua a ε R.
6.  Untuk sembarang bilangan real α terdapat dengan tunggal bilangan real-
Untuk  sembarang  bilangan  real  yang  tidak  sama dengan 0 terdapat dengan tungal bilangan real a -1 kebalikan a, a•a -1=1
Dalam pembedaan bilangan positif dan negative, maka bilangan  real  dapat  dibahas  dalam  hubungan pertidaksamaan sebagai berikut :
a  <  b,  berarti  “a  lebih  kecil  dari  b”  terjadi  bila  b-a positif.
Dalam hal sebaliknya : b > a, berarti “b lebih besar daripada a” a ≤ b, artinya a < b atau a = b b ≥ a, artinya b > a atau b = a
Beberapa sifatnya :
1. Bila a < b & b < c maka a < c
2. Bila a < b maka a + c < b+c dan a-c < b-c untuk sembarang c
3. Bila a < b dan c > 0 maka a•c < b•c

## 2.2.2 Bilangan Kompleks
Bilangan  Kompleks  dapat  ditulis  sebagai  Z  =  a  +  bi dengan a,b real
i = √ ( atau i 2 = -1 ) satuan khayal a = bagian real
bi= bagian khayal
Dua bilangan kompleks Z = a+ bi & ̅ = a – bi disebut saing bersekawan (konjugaasi).
Bila b = 0, bilangan kompleks menjadi real Bila a = 0, bilangan kompleks disebut khayal murni. a 1 + b 1 i = a 2 + b 2 jika dan hanya jika a 1 = a 2 & b 1 = b 2

## 2.3 Metode Bairstows
Meskipun  banyak  metode  yang  dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan polynomial, tetapi tidak semua persamaan polynomial dapat  diselesaikan  dengan  baik.  Untuk  itu  penulis akan  memperkenalkan  suatu  metode  yang  dapat mempermudah  dalam  suatu  akar  polynomial  yang tidak  hanya  untuk  derajat  atau  pangkat  yang  kecil tetapi  juga  untuk  derajat  dan  pangkat  yang  besar. Metode  Bairstows  adalah  suatu  skema  perulangan untuk mendapat suatu factor kuadratik dari persamaan polynomial  dalam  tiap  aplikasi.  Melalui  aplikasi perulangan  metode  bairstows  semua  factor  kuadratik dari suatu polynomial dihitung. Penyelesaian persamaan  polynomial  dengan  menggunakan  metode bairstows cukup kompleks, terutama untuk penyelesaian  persamaan  polynomial  orde  atau  tingkat tinggi.  Sedangkan  kelebihan  dari  metode  Bairstows adalah :
1. Akar  –  akar  persamaan  polynomial  dapat dicari secara bersamaan atau sekaligus.
2. Dapat mencari akar kompleks ( imajiner )
3. Proses Iterasinya cepat
Proses  pencarian  akar-akar  persamaan  polynomial tingkatan adalah menentukan :
1. Faktor  kuadrat  x 2 –  rx  –  s  (biasanya  nilai  r atau s yang dipilih adalah 1 atau -1)
2. Mencari  koefisien  –  koefisien  b 1 , b 2 , b 3 , … , b n+1 dengan persamaan sebagai berikut : b 1 = a 1 b 2 = a 2 + rb 1 b 3 = a 3 + rb 2 + sb 1 b 4 = a 4 + rb 3 + sb 2 b 5 = a 5 + rb 4 + sb 3 . . . B n+1 = a n+1 + rb n + sb n Dan  mencari  nilai  koefisien  bantu  c 1 ,  c 2 ,  c 3 , …  ,  c n+1 dengan  aturan  persamaan  sebagai berikut : c 1 = b 1
c 2 = b 2 + rc 1 c 3 = b 3 + rc 2 + sc 1 c 4 = b 4 + rc 3 + sc 2 c 5 = b 5 + rc 4 + sc 3 . . . c n+1 = b n+1 + rc n + sc n
L L P P 2 2 M M S S T T M M I I K K N N U U R R D D I I N N H H A A M M Z Z A A H H J J A A M M B B I I

## 3. Mencari  nilai  Δr  dan  Δs  dengan  aturan Cramer sebagai berikut :
|
|
| | | |
[ ]
4. Mencari  nilai  r  dan  s  yang  baru  dengan persamaan :
r baru = r lama + s baru = s lama +
5. Melakukan  proses  iterasi  dengan  mengulang langkah  kedua  dan  ketiga  sampai  didapatkan nilai dan nol atau mendekati nol.
6. Mencari  akar  –  akar  persamaan  polynomial dengan bantuan rumus ABC sebagai berikut :

## √

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada tahap ini akan diujikan beberapa persamaan dengan langkah sebagai berikut :
Persamaan pertama adalah : + 6
Penyelesaian  dengan  perhitungan  manual  adalah sebagai berikut :
+  6  dengan  nilai  r  dan  s adalah 1
Mencari nilai B dan C : b 1 = 1 b 2 = -2 + (1)(1) = -1 b 3 = -5 + (1)(-1) + (1)(1) = -5 b 4 = 6 + (1)(-5) + (1)(-1) = 0 c 1 = 1 c 2 = -1+(1)(1) = 0 c 3 = -5 + (1)(0) + (1)(1) = -4 c 4 = 0+(1)(-4) + (1)(0) = -4
Mencari nilai dan
| |
| |
| | | |
Maka didapat r dan s yang baru : r baru = 1 + 0 = 1 s baru = 1 + 5 = 6
Dari  nilai  r  dan  s  yang  baru  diproses  ke  rumus ABC : Nilai A = 1 Nilai B = -r Nilai C = -s
Maka didapat nilai X1 dan X2 adaah X1 = 3 X2 = -2
Untuk nilai X3 diambil dari niai –B2 dibagi B1 : X3 = 1
Penyelesaian  ke  dalam  program  adalah  sebagai berikut :
+ 6 Penginputan  r,  s  dan  persamaan  kemudian  klik tombol proses
Maka akan didapat hasil seperti ini
x 4 + 2x 3 – 39x 2 – 8x + 140
Penginputan  r,s  dan  persamaan  kemudian  klik tombol proses
L L P P 2 2 M M S S T T M M I I K K N N U U R R D D I I N N H H A A M M Z Z A A H H J J A A M M B B I I
Hasil Perhitungan :
x 5 + 5x 4 – 3x 3 -29x 2 +2+24 Penginputan r,s dan persamaannya kemudian klik tombol proses
Hasil Perhitungan x 10 + 3x 9 + 4x 8 + 2x 7 + 6x 6 – 4x 2 + 8x 4 + 7x 3 – 3x 2 + 2x + 4 Penginputan r,s dan persamaannya kemudian klik tombol proses
Hasil Perhitungannya

## IV. KESIMPULAN DAN SARAN

## 4.1 Kesimpulan
Berdasarkan  uji  coba  system  dan  hasil  analisis dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Dari  hasil  pengujian  bahwa  dalam  pencarian akar dari polynomial dengan     menggunakan metode bairstows ini sangat dipengaruhi oleh pencarian dan .
2. Metode  Bairstow  dapat  digunakan  untuk pencarian  akar-akar  persamaan  karena  dapat menyelesaikan akar-akar kompleks.

## 4.2  Saran
Untuk  meningkatkan  dan  mengembangkan hasil  pembahasan  ini  maka  dapat  dilakukan langkah berikut :
1. Jika  akar  persamaan  mengandung  akar kompleks maka gunakanlah metode bairstows, tetapi jika tidak maka dapat digunakan metode Newton.

## DAFTAR REFERENSI
[1] Budi  Sutedjo,Skom;  Algoritma  dan  Teknik Pemrograman, Andi Offset, 1997
[2] Chapra and Canale, R.P, Numerical Methods For Engineers, McGraw-Hill,1998
[3] Steven Chapra, Metode Numeric, Erlangga 1996
[4] Kadir,  Abdul.  2005. Pemrograman  Database dengan  Delphi  7  Menggunakan  ACCESS  dan
ADO . Yogyakarta: ANDI Offset.
DAFTAR RIWAYAT HIDUP PENULIS Nama : Ezrifal Sany,S.T, M.Kom TTL : Jambi, 01 Juni 1981 NIK/NIDN : 10.066/1001068103 Pend Terakhir : S2(Magister Ilmu Komputer) Bidang Keahlian        : Komputer Grafik
Jabatan Fungsional    : Asisten Ahli