Vol.16, No. 1, 107-113, July 2019 doi: 10.20956/jmsk.v%vi%i.6594
*Program studi Matematika, Universitas Negeri Medan Email : 1 willyamsihotang@gmail.com, 2 ceriaclarasimbolon@gmail.com,
3 Julyhartiny11@gmail.com, 4 desrinawatitindaon@gmail.com, 5 lazer_integral@yahoo.com

## Analisis Kestabilan Model SEIR Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Imunisasi dan Vaksin MR
Willyam Daniel Sihotang* 1 Ceria Clara Simbolon* 2 July Hartiny* 3
Desrinawati Tindaon *4 Lasker Pangarapan Sinaga *5

## Abstract
Measles  is  a  contagious  infectious  disease  caused  by  a  virus  and  has  the  potential  to  cause  an outbreak. Immunization and vaccination are carried out as an effort to prevent the spread of measles. This study aims to analyze and determine the stability of the SEIR model on the spread of measles with  the  influence  of  immunization  and  MR  vaccines.  The  results  obtained  from  model  analysis, namely  there  are  two  disease  free  and  endemic  equilibrium  points.  If  the  conditions  are  met,  the measles-free  equilibrium  point  will  be  asymptotically  stable  and  the  measles  endemic  equilibrium point will be stable. Numerical solutions show a decrease in the rate of spread of measles due to the effect of immunization and the addition of MR vaccines.
Keywords: Model of Measles, Stable Equilibrium Point, MR Vaccine.

## Abstrak
Penyakit  campak  adalah  penyakit  infeksi  menular  yang    disebabkan  oleh  virus  dan  berpotensi menimbulkan  wabah.  Imunisasi  dan  vaksinasi  dilakukan  sebagai  upaya  mencegah  meluasnya penyebaran  penyakit  campak.  Penelitian  ini  bertujuan    untuk  menganalisis  dan  menentukan kestabilan  model  SEIR  pada  penyebaran  penyakit  campak  dengan  pengaruh  imunisasi  dan  vaksin MR. Hasil yang diperoleh dari analisis model, yaitu terdapat dua titik kesetimbangan bebas penyakit dan  endemik.  Jika  syarat  terpenuhi  maka  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  campak  akan  stabil asimtotik  dan  titik  kesetimbangan  endemik  penyakit  campak  akan  stabil.  Solusi  numerik menunjukkan  adanya  penurunan  laju  penyebaran  penyakit  campak  akibat  pengaruh  pemberian imunisasi dan penambahan vaksin MR.
Kata kunci: Model Penyakit Campak, Titik Kesetimbangan Stabil, Vaksin MR .

## 1. Pendahuluan
Penyakit  campak  dikenal  juga  sebagai Morbili atau Measles ,  merupakan  penyakit  yang sangat menular (infeksius) dari genus Morbilivirus dan termasuk golongan virus RNA. Manusia diperkirakan  satu-satunya  yang  mampu  menularkan  penyakit  campak,  walaupun  monyet  dapat terinfeksi  tetapi  tidak  berperan  dalam  penularan  [3].  Campak  sangat  berpotensi  menimbulkan wabah. Sebelum imunisasi campak dipergunakan secara luas di dunia, hampir setiap anak dapat terinfeksi campak. Indonesia adalah negara keempat terbesar di dunia yang memiliki angka 1 juta per tahun dengan 30.000 kematian, yang menyebabkan Indonesia termasuk dalam salah satu dari 47 negara prioritas yang diidentifikasi WHO dan UNICEF untuk melaksanakan akselerasi dalam
Willyam Daniel Sihotang, Ceria Clara Simbolon, July Hartiny,
Desrinawati Tindaon , Lasker Pangarapan Sinaga
mencapai  eliminasi  campak  [2].  Perkembangan  ilmu  pengetahuan  memberikan  peranan  penting dalam  mencegah  penyebaran  penyakit  campak.  Model  matematika  adalah  salah  satu  alat  yang berperan  dalam  mempelajari  penyebaran  penyakit  campak.  Model  tersebut  dapat  membantu untuk memprediksi dan pengendalian penyakit campak di masa mendatang. Model dasar tentang penyebaran  penyakit  dirumuskan  oleh  Kermack  pada  tahun  1927.  Model  tersebut  yaitu  SIR dimana  populasi  total  menjadi  3  kelas,  yaitu Susceptible (S)  adalah  populasi  sehat  tetapi  rentan penyakit, Infected (I)  adalah  jumlah  individu  yang  terinfeksi  dan  dapat  menularkan  penyakit kepada  yang  sehat,  dan Recovered (R)  menyatakan  individu  yang  sembuh  dan  kebal  dari penyakit.  Penyakit  campak  memiliki  periode  laten  dengan  adanya  selang  waktu  individu  yang terinfeksi sampai munculnya suatu penyakit. Periode tersebut menyebabkan kelas baru terbentuk yaitu Exposed (E).  Penambahan  tersebut  menjadi  model  SEIR  [1].  Penelitian  yang  dilakukan Maesaroh Ulfa dkk., (2013) [5] meneliti tentang kontrol campak dengan menggunakan vaksinasi. Peneliti  tersebut  menjelaskan  pengaruh  efektivitas  vaksinasi  terhadap  suatu  penyakit  dengan tingkat  kandungan  yang  berbeda.  Siti  Khosiloh  dkk.,  (2012)  mengkaji  model  matematika penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi. Analisis yang dilakukan menghasilkan angka  rasio  reproduksi  dasar 0 R .  Pada min p p  vaksinasi  yang  dilakukan  belum  berhasil membuat  penyakit  menghilang.  Saat  kondisi min p p  berhasil  membuat  penyakit  menghilang dari  populasi  [4].  Dani  Suandi  (2018)  menjelaskan  model  penyebaran  penyakit  campak  dengan vaksin permanen. Hasil penelitian menunjukkan pengaruh terhadap penurunan populasi manusia yang terinfeksi penyakit campak.[6]
Berdasarkan  beberapa  penelitian  yang  dijelaskan,  maka  faktor  penting  untuk mengendalikan  penyebaran  penyakit  campak  yaitu  dengan  vaksinasi.  Pada  penelitian  ini  akan dilakukan  pengembangan  model  dengan  meninjau  faktor-faktor  penting  pada  penelitian sebelumnya.  Penelitian  ini  akan  mengkaji  pengaruh  imunisasi  dan  vaksin  MR  pada  penyebaran penyakit campak. Penelitian ini berjudul “Analisis Kestabilan Model SEIR Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Imunisasi dan Vaksin MR.”

## 2. Model Matematika
Model SEIR adalah pengembangan dari model SIR secara umum populasi total menjadi tiga kelas, yaitu Susceptible (S) adalah populasi sehat tetapi rentan penyakit, Infected (I) adalah jumlah  individu  yang  terinfeksi  dan  dapat  menularkan  penyakit  kepada  yang  sehat,  dan Recovered (R) menyatakan individu yang sembuh dan kebal dari penyakit (Chasnov, 2009) [1]. Penyakit  campak  memiliki  periode  laten  dengan  adanya  selang  waktu  individu  yang  terinfeksi sampai  munculnya  suatu  penyakit.  Periode  tersebut  menyebabkan  kelas  baru  terbentuk  yaitu Exposed (E). Total jumlah individu dinyatakan dalam proporsi yang diberikan sebagai berikut:
N R r N I i N E e N S s     , , , (1)
1          N N N R N I N E N S r i e s (2)
Oleh karena itu, persamaan tersebut ekuivalen dengan
    s i p dt ds          1
  e si dt de        
(3)
Willyam Daniel Sihotang, Ceria Clara Simbolon, July Hartiny,
Desrinawati Tindaon , Lasker Pangarapan Sinaga
  i e dt di           r i e p dt dr          
Variabel dan parameter yang digunakan disajikan pada Tabel 1
Tabel 1. Keterangan Variabel dan Parameter Model dalam Sistem (3) .
Variabel/ Parameter Keterangan s Jumlah individu rentan e Jumlah individu laten i Jumlah individu terinfeksi r Jumlah individu sehat  Laju kelahiran dan kematian tiap individu  Peluang laju transfer infeksi ke sembuh  Peluang laju transfer rentan ke laten  Penambahan vaksin MR p Proporsi imunisasi

Peluang laju kesembuhan tiap individu
Gambar 1. Diagram Skema Model Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Imunisasi dan Vaksin MR.
Pada penelitian sebelumnya, diperoleh hasil bahwa beberapa upaya yang dapat dilakuan untuk  mencegah  terjadinya  wabah  yaitu  dengan  melakukan  vaksinasi  pada  semua  individu. Asumsi yang digunakan pada model penyebaran penyakit campak dan vaksinasi sebagai berikut:
a. Jumlah populasi dangat besar
b. Laju kelahiran dan kematian diasumsikan sama
c. Populasi diasumsikan tertutup
d. Penyakit campak memiliki periode laten
e. Populasi bercampur secara homogen γ S µ γ δ + γ µ µ σ βsi E I R µ Kelahiran
Willyam Daniel Sihotang, Ceria Clara Simbolon, July Hartiny,
Desrinawati Tindaon , Lasker Pangarapan Sinaga
f. Vaksin diberikan pada setiap individu
g. Keampuhan vaksinasi 100 %
h. Kekebalan terjadi bersifat permanen.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  Sistem  (3)  akan  dianalisis  dengan  menentukan  titik  kestabilan  bebas penyakit  dan  endemik.  Keadaan  setimbang  dalam  model  terpenuhi  pada  saat  sistem
0     dt dr dt di dt de dt ds . Titik kesetimbangan bebas penyakit merupakan keadaan saat individu laten dan terinfeksi bernilai nol sehingga diperoleh titik kesetimbangan sebagai berikut:
                   p p r i e s E o , 0 , 0 , 1 , , ,    (4)
Linearisasi  dilakukan  dengan  masing-masing  fungsi  diturunkan  secara  parsial  terhadap  variabel pada fungsi tersebut sehingga diperoleh matriks jacobian dari Sistem (3), yaitu
(5)
Mencari  nilai  eigen  dari  matriks  jacobian  dengan  menyelesaikan
. 0   J I  Nilai  eigen kemudian diperoleh menggunakan ekspansi kofaktor, sehingga didapat persamaan
       0 2 2 2 2 2 2                                         0           r dengan   0 1 2 2 a a a r       (6)
diperoleh nilai
Berdasarkan  Persamaan  (6)  diperoleh  nilai 1  dan , 2  yaitu 0 ) ( 1        dan . 0 2      Nilai-nilai  eigen  lainnya  terdapat  pada  polinomial ). (  r Jadi,  kestabilan  titik kesetimbangan  individu  bebas  laten  ditentukan  oleh  nilai  eigen  pada  polinomial ). (  r Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, diperoleh bahwa Polinomial (8) memiliki nilai eigen dengan
   
                                                                             
             ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 s i s i r f i f e f s f r f i f e f s f r f i f e f s f r f i f e f s f J                            2 2 2 1 2 2 0 1 2 a a a
Willyam Daniel Sihotang, Ceria Clara Simbolon, July Hartiny,
Desrinawati Tindaon , Lasker Pangarapan Sinaga
bagian  real  negatif  karena , 2 a , 1 a dan 1 b bertanda  positif  sehingga  titik  kesetimbangan  0 E dikatakan stabil asimtotik.
Titik kesetimbangan endemik merupakan keadaan individu terkena penyakit campak dan menyebar pada individu yang lain. Titik kesetimbangan endemik yang diperoleh adalah   * * * * 1 , , , r i e s E   dengan                 s                                   p e 1
                                              p i
1
                                                p r                                                   p p 1 1 2
dengan melakukan linearisasi dan mencari nilai eigen diperoleh
               0 2 2 1                                                  p (7)
Berdasarkan Persamaan (7) diperoleh nilai untuk , , 3 , 2 1    dan , 4  yaitu          0 1 1                                p , . 0 2      ’ 0 3   ,  dan             2 2 4 .
Nilai tersebut menunjukkan titik kesetimbangan  1 E dalam keadaan stabil.
Solusi numerik dilakukan dengan metode Forward-Euler dibantu program matlab. Sistem (3) diubah menjadi persamaan numerik dengan metode Forward-Euler. Simulasi dinamik model penyebaran  penyakit  campak  pada  masing-masing  jumlah  individu  dilakukan  dengan memvariasikan  parameter  yang  mempengaruhi  model  tersebut.  Simulasi  ini  menggunakan  rasio jumlah  penduduk  awal , 8 . 0  s e  = 0.1, i =  0.1,  dan r =  0  termasuk  nilai  parameter  lain  telah ditentukan dari penelitian sebelumnya [4].
Willyam Daniel Sihotang, Ceria Clara Simbolon, July Hartiny,
Desrinawati Tindaon , Lasker Pangarapan Sinaga
Gambar 2. Perilaku Solusi terhadap garis kesetimbangannya dengan 1 . 0   , 8 . 0   , 1 . 0   , 04 . 0   , 5 . 0   , 1 . 0  p
Berdasarkan  Gambar  2,  populasi  individu  rentan  mengalami  penurunan  akibat penambahan vaksin MR    pada imunisasi. Penambahan vaksin MR berhasil membuat penyakit menghilang  dari  setiap  populasi.  Solusi  numerik  menunjukkan  penyebaran  penyakit  campak dapat dicegah dengan imunisasi dan penambahan vaksin MR.

## 4.   Kesimpulan
Berdasarkan penelitian tersebut, dapat disimpulkan titik kesetimbangan model matematika penyebaran  penyakit  campak  dengan  pengaruh  imunisasi  dan  vaksin  MR  diperoleh  dua  titik kesetimbangan  yaitu  0 E bersifat  stabil  asimtotik  dan  1 E bersifat  stabil.  Simulasi  numerik menunjukkan  penambahan  vaksin  MR    saat  imunisasi  berpengaruh  terhadap  penurunan penyebaran penyakit campak dengan berkurangnya populasi individu rentan, laten, dan terinfeksi. Populasi  tersebut  berubah  menjadi  individu  yang  kebal  terhadap  penyakit  campak  setelah melakukan imunisasi dan vaksin MR. Bagi individu yang melakukan imunisasi sangat disarankan untuk menambah vaksin MR agar terbebas dari penyakit campak.

## Daftar Pustaka
[1]  Chasnov,  Jeffrey  R.,  2009. Introduction  to  Differential  Equations  and  Boundary Value Problems . JohnWiley and Sons, New York.
[2]  Dirjen  P2PL.,  Kemenkes  RI.  2013. Petunjuk  Teknis  Introduksi  Imunisasi  DPT-HB-Hib (Pentavalen) pada Bayi dan Pelaksanaan Imunisasi Lanjutan pada Anak Balita . Jakarta.
[3]  Kementerian  Kesehatan  R.I.,  2018. Situasi  campak  dan  Rubella  di  Indonesia. Jakarta: Kementerian Kesehatan R.I.
Willyam Daniel Sihotang, Ceria Clara Simbolon, July Hartiny,
Desrinawati Tindaon , Lasker Pangarapan Sinaga
[4]  Kholisoh  S.  dkk.,  2012. Model  Epidemi  SEIR  Pada  Penyebaran  Penyakit  Campak  dengan Pengaruh Vaksinasi. Unnes Journal of Mathematics , Vol. 1, No 2, hal. 110-117.
[5]  Maesaroh U., Sugiyanto.,  2013. Model Matematika  Untuk Kontrol Campak Menggunakan Vaksinasi. Fourier ,  Vol.2,  hal.  97-110.  Fakultas  Sains  dan  Teknologi,  Universitas  Islam Negeri Sunan Kalijaga, Yogyakarta.
[6]  Suandi  Dhani.,  2018.  Analisis  Dinamik  pada  Model Penyebaran  Penyakit  Campak  dengan Pengaruh Vaksin Permanen. Jurnal Kubik, Vol. 2, No. 2, hal. 1-10.
[7]  Tu, P.N.V.,  1994. Dinamycal System an Introduction with Applications in Economics and Biology. Second Revision and Enlarged Edition. Springer-Verlag., New York.