http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika
Metode Nonlinear Least Square (NLS) untuk Estimasi Parameter Model Wavelet Radial Basis Neural Network (WRBNN)
Rukun Santoso 1 dan Sudarno Sudarno 1
1 Departemen Statistika FSM Undip
e-mail : rukunsantoso@undip.ac.id
DOI: 10.14710/medstat.10.1.49-59
Article Info: Received: 31 Mei 2017 Accepted: 14 Juni 2017 Available Online: 14 Agustus 2017

## Keywords:
Wavelet, Radial Basis, Heteroscedastic Model, Neural Network Model.
Abstract: The  use  of  wavelet  radial  basis  model  for forecasting nonlinear time series is introduced in this paper.  The  model  is  generated  by  artificial  neural network  approximation  under  restriction  that  the activation  function  on  the  hidden  layers  is  radial basis.  The  current  model  is  developed  from  the multiresolution  autoregressives  (MAR)  model,  with addition of radial basis function in the hidden layers. The  power  of  model  is  compared  to  the  other nonlinear  model existed before, such as MAR model and Generalized Autoregressives Conditional Heteroscedastic  (GARCH)  model.  The  simulation data  which  be  generated  from  GARCH  process  is applied  to  support  the  aim  of  research.  The sufficiency of model is  measured by  sum squared of error  (SSE).  The  computation  results  show  that  the proposed  model  has  a  power  as  good  as  GARCH model to carry on the heteroscedastic process.

## 1. PENDAHULUAN
Aktivitas  ekonomi  seperti  pasar  modal,  pasar  komoditas,  dan  kurs  mata  uang memiliki  ukuran  kuantitas  yang  dapat  dinyatakan  sebagai  suatu  variabel  random. Contoh  dari  kuantitas-kuantitas  dimaksud  adalah  keuntungan  saham,  index  harga saham, jumlah  produk komoditas, jumlah  permintaan  komoditas,  harga komoditas, nilai tukar  antar  mata  uang,  dan  lain-lain.  Jika  kuantitas  tersebut  diukur  menurut  periode waktu tertentu maka hasil pengukurannya akan membentuk data runtun waktu. Metode analisis  runtun  waktu  terus  berkembang  sejak  Box  dan  Jenkins  (1976)  mengawali pembahasannya  dalam Time  Series  Analysis:  Forecasting  and  Control .  Metode  Box- Jenkins dapat bekerja dengan baik jika data sampel diambil dari proses yang stasioner atau dapat  dibawa  ke  bentuk  stasioner  (Wei,  1994).  Model  yang  terbentuk  termasuk  dalam kelas model linier.
Pada  perkembangannya  ditemukan  fakta  bahwa  data  ekonomi  pada  umumnya memiliki sifat nonlinear serta varian yang berubah dari waktu ke waktu (heteroskedastik). Dalam  kondisi  ini  metode  Box-Jenkins  mungkin  memberikan  jawaban  yang  kurang memuaskan.  Beberapa  metode  untuk  mengatasi  masalah  nonlininearitas  dalam  data
antara  lain  model  TAR  ( Threshold  Autoregressives ),  model  SETAR  ( self-exiciting TAR),  model  STAR  ( smoth  transition  aoutoregressives )  dan  lai-lain.  Model  TAR  dan SETAR  antara  lain  dibahas  oleh  Tong  (1990)  sedangkan  model  STAR  diusulkan  oleh Terasvirta  (1994).  Engel  (1982)  mengusulkan  model  runtun  waktu  yang  dapat mengakomodasi masalah heteroskedastik dalam data. Model tersebut diberi nama model Autoregressives  Conditional  Heteroskedasticity (ARCH).  Generalisasi  model  ARCH diusulkan  oleh  Bolerslev  (1986)  dan  diberi  nama  model Generalized ARCH  (GARCH). Secara umum model ARCH dan GARCH memiliki dua bagian model yaitu model  mean dan  model  varian.  Sebagai  model  parametrik,  model  ARCH  dan  GARCH mengasumsikan  bahwa  sesatan  model  berdistribusi  normal  dengan  varian  yang  berubah bergantung waktu.
Model  non-parametrik  terkini  sebagai  alternatif  lain  di  antaranya  model Neural Network (NN)  atau  Jaringan  Syaraf  Tiruan  (JST)  dapat  ditemukan  pada  Haykin (1999)  dan  Samarasinghe  (2006),  model wavelet (Murtagh,  et  al.  2004;  Rukun,  dkk. 2011),  model  fuzzy  dan  model  gabungan  (hibrid)  seperti  model wavelet -jaringan  syaraf tiruan  (Renaud, et  al. 2003;  Starck, et  al. 2007),  dan  model wavelet - fuzzy (Popoola, 2007). Metode non-parametrik tidak be rgantung pada asumsi distribusi random variabel tertentu  tetapi  bekerja  berdasarkan  data,  sehingga  analisisnya  tidak  terlalu  rumit. Kelemahan  metode  non-parametrik  pada  umumnya  adalah  melibatkan  perhitungan numerik yang banyak. Dengan pesatnya perkembangan teknologi komputer hal ini tidak menjadi  kendala  yang  berarti.  Uji  keberadaan  sifat nonlinear dalam  data  merupakan bagian  awal  sebelum  membangun  model nonlinear .  Uji  dimaksud  antara  lain  dibahas oleh  Teraesvirta,  Lin  dan  Granger  (1993) yang  mengusulkan  uji  nonlinearitas  dengan pendekatan model jaringan syaraf tiruan. Metode pendekatan  JST  juga diusulkan oleh Lee, White dan Granger (1993) dengan nilai awal bobot random.
Tulisan ini mengusulkan model baru yang diberi nama model Wavelet Radial Basis Neural Network (WRBNN). Wavelet telah dikenal sebagai tools untuk mengurangi noise dalam  data  (Ogden,  1997). Radial  basis telah  dikenal  sebagai  fungsi  pembangkit pendekatan nonlinear yang  dapat  mengakomodasi  kondisi  lokal  (Orr,  1996).  Jaringan syaraf  tiruan  telah  banyak  digunakan  untuk  melakukan  klasifikasi  dan  mencari  nilai pendekatan  fungsi.  Keunggulan  metode  ini  adalah  kemampuannya  untuk  melakukan perbaikan  model  sehingga  dapat  dicapai  keadaan  optimal  (Samarasinghe,  2006).  Model WRBNN  sebagai  interaksi wavelet , radial  basis dan  jaringan  syaraf  tiruan  diharapkan membentuk  model  hibrida  yang  lebih  baik.  Perangkat  lunak  komputer  yang  memadai juga  diperlukan  dalam  penelitian  ini.  Hal  ini  didasarkan  atas  kebutuhan  perhitungan dan analisis data yang khas, rumit dan banyak. Salah satu perangkat lunak yang memadai adalah  paket  program  R  (R  Core  Team,  2016)  dan  didukung  modul  tambahan  fGarch (Wuertz dan Chalabi, 2016) dan wavelets (Aldrich, 2009).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Model Runtun Waktu Nonlinear
Box  dan  Jenkins  (1976)  adalah  pelopor  yang  memodelkan  runtun  waktu  secara matematis, dengan nama model Autoregressives Moving Average (ARMA). Metode Box- Jenkins  dapat  bekerja  dengan  baik  pada  proses  yang  stasioner.  Model  yang  terbentuk termasuk  dalam  kelompok  model  linear.  Tahapan  kerja  metode  ini  meliputi  tahap persiapan  data,  pemilihan  model,  pendugaan  parameter,  pemeriksaan  model  dan
peramalan.  Persiapan  data  termasuk  diferensi  dan  transformasi  dilakukan  agar stasioneritas proses terpenuhi. Model umum ARMA dapat dilihat pada Persamaan (1).
, (1)
Fakta  membuktikan  bahwa  ketergantungan  runtun  waktu  terhadap  informasi historis tidak selalu linear. Hal ini  menjadikan  inspirasi  untuk  mengkaji  model runtun waktu nonlinear .  Salah  satu  bentuk  hubungan nonlinear adalah  adanya  sifat heteroskedastik,  yaitu  varian  proses  yang  berubah  bergantung  waktu.  Model heteroskedastik yang pertama diperkenalkan oleh Engle (1982) yang diberi nama model Autoregressives  Conditional  Heteroscedasticity (ARCH).  Ide  dasarnya  adalah mengasumsikan bahwa suku sesatan dari Persamaan (1) berpola nonlinear terhadap sesatan yang lampau, seperti dimodelkan pada Persamaan (2) dan (3).
, , (2) (3)
Bollerslev  (1986)  mengembangkan  model  ARCH  pada  Persamaan  (3)  menjadi model Generalized ARCH (GARCH) seperti pada Persamaan (4).
(4)
Keberadaan  sifat  heteroskedastik  dapat  diketahui  dengan  uji  Multiplikator  Lagrange (LM test) yang  dikemukakan  oleh Lee et al. (1993). Model nonlinear dapat pula berupa ketergantungan terhadap  pengamatan terdahulu, seperti  dituliskan  dalam persamaan (5).
(5)
dengan  Φ  fungsi nonlinear seperti  fungsi  logistik,  fungsi  eksponensial,  fungsi polinomial,dan  fungsi radial basis . Pembahasan  khusus dalam hal Φ  merupakan  fungsi radial basis dapat ditemukan pada Orr dan Haykin.

## 2.2. Model Runtun Waktu Berbasis Wavelet
Daubhechies  (1992)  menjelaskan Wavelet ( mother wavelet )  sebagai  fungsi gelombang pendek yang  dapat membangun basis orthonormal pada ruang L2(R). Setiap jenis wavelet memiliki pasangan fungsi skala ( father wavelet ) yang khas. Biasanya wavelet disimbolkan dengan sedangkan fungsi skala disimbolkan dengan . Untuk membangun basis  pada  L2(R) wavelet membentuk  keluarga wavelet berupa  bentuk  dilatasi  dan translasi seperti yang tertulis pada Persamaan (6)
, (6)
Ide  pembentukan  basis wavelet untuk  ruang  L2(R)  terilhami  oleh  pembentukan basis  untuk  ruang menggunakan  fungsi  sines  dan  kosines  (Ogden,  1997). Dalam hal ini setiap fungsi dalam
dapat  dinyatakan sebagai kombinasi linear dari  fungsi  sines  dan  kosines.  Bentuk  ini  dikenal  sebagai  deret  Fourier.  Seperti  halnya fungsi  sines  dan  cosines, wavelet memiliki  sifat-sifat  yang  mendukung  sebagai pembangkit basis seperti tertulis pada Persamaan (7).
,
(7)
Wavelet dan fungsi skala bersama-sama dapat membangun ruang multiresolusi, sehingga  setiap  fungsi dapat  dinyatakan  sebagai  kombinasi  linier  dari wavelet dan fungsi skala seperti disajikan pada Persamaan (8).
(8)
Ruang multiresolusi yang memuat Persamaan (8) pada tingkat dapat dituliskan dengan Persamaan (9).
(9)
dengan ⊕ menyatakan  operasi jumlahan ortogonal dua ruang vektor.  Koefisien- koefisien pada persamaan (8) dapat dihitung menggunakan Persamaan (10).
, (10)
2.2.1.  Transformasi Wavelet Diskrit
Transformasi wavelet akan menghasilkan bagian Smooth (S) dan Detil (D) . Bagian S menggambarkan  pola  utama  dari  data  sedangkan  bagian D menggambarkan pola fluktuasinya.  Dari  suatu wavelet terdapat  sebanyak  berhingga  genap  nilai-nilai  dengan sifat  istimewa.  Himpunan  nilai-nilai  dimaksud  disebut  filter wavelet ,  (Percival  dan Walden,  2000)  yang  biasa  dituliskan  seperti  pada  Persamaan  (11)  dengan  sifat  seperti dituliskan pada Persamaan (12).
(11) yang memenuhi sifat-sifat berikut , , (12)
Sebagai pasangan dari filter wavelet terdapat filter skala yang dituliskan sebagai
Antara h dan g terdapat hubungan seperti dituliskan pada Persamaan (13).
(13)
Filter  yang  diulas  pada  paragraf  sebelumnya  adalah  filter  pada  tingkat  pertama, selanjutnya  dinotasikan  dengan .  Sebelum  membangun  filter  pada  tingkatan  yang lebih  tinggi  terlebih  dulu  dibentuk up-sampled dari  filter  tingkat  sebelumnya  yaitu dengan  cara  menyisipkan  0  di  antara  nilai  filter  yang  tidak  sama  dengan  0.  Jadi up- sampled dari (11) adalah seperti tercantum pada Persamaan (14)
(14)
Filter pada tingkat ke-2 dibentuk dengan rumus pada Persamaan (15).
(15)
dengan ∗ menyatakan operasi konvolusi. Secara umum filter wavelet dan filter skala pada tingkat dibentuk dengan rumus pada Persamaan (16).
(16)
Filter wavelet dan  filter  skala  secara  bersama-sama  dapat  membangun  matriks
transformasi wavelet diskrit.  Akibatnya  setiap  realisasi  diskrit  dari  fungsi  dalam dengan jeda waktu kontan dapat didekomposisi (dipecah) ke dalam  bagian  halus (S) dan bagian-bagian detil (D). Proses untuk memperoleh S dan D disebut transformasi wavelet diskrit  ( Discrete  Wavelet  Transform =  DWT).  Misalkan
suatu  runtun  waktu dengan dan untuk  suatu .  Transformasi wavelet diskrit  pada  tingkat dapat dituliskan seperti pada Persamaan (17).
(17)
adalah matriks transformasi tingkat ke- berukuran N × N dan D adalah hasil dekomposisi yang disebut sebagai matriks koefisien dengan ukuran N × 1.
Baris pertama samapai dengan baris ke- dari matriks
adalah bentuk periodisai dua langkah dari
seperti tersaji dalam matriks pada Persamaan (18)
(18) Baris ke- sampai baris ke- pada matriks merupakan bentuk periodisasi dua langkah dari
seperti tertera dalam matriks pada persamaan (19).
(19) Matriks  transformasi dibangun dengan  cara  mendekomposisikan  (memecah)  matriks menjadi  matriks dan yang  masing-masing  merupakan  bentuk  periodisasi  4 langkah  dari  filter wavelet dan  filter  skala  tingkat  2.  Proses  dapat  dilanjutkan  sampai dengan tingkat  ke- , untuk . Dalam hal ini dan masing-masing  merupakan bentuk periodisasi langkah dari filter wavelet dan  filter skala  tingkat . Lebih lanjut persamaan (17) dapat dituliskan kembali seperti pada Persamaan (20).
(20)
2.2.2.  Transformasi Wavelet Diskrit Tak Menurun
Transformasi wavelet tak menurun ( Undecimated  Wavelet Transform =UDWT) dipandang memiliki keunggulan  dibandingkan  dengan DWT untuk analisis data  runtun waktu  (Percival  dan  Walden,  2000).  Keunggulan  tersebut  antara  lain,  ukuran  sampel tidak  harus  berbentuk dan  banyaknya  koefisien wavelet yang  didapat  pada  setiap tingkat  dekomposisi  adalah  tetap  yaitu  sama  banyak  dengan  ukuran  sampelnya. Diberikan notasi untuk filter wavelet dan filter skala untuk UDWT berturut-turut adalah dan . Antara filter DWT dan filter UDWT terdapat hubungan sebagai berikut, dan
Rumusan UDWT dapat ditulis seperti pada Persamaan (21)
(21)
Pada  transformasi  tingkat matriks
berukuran
.  Selanjutnya
dinotasikan baris pertama dari dengan , N baris berikutnya dengan , proses dilanjutkan  sehingga  pada  tingkat diperoleh ,  dan  N  baris  terakhir  dinotasikan dengan .  Untuk  setiap  indeks ,  sub  matriks dan masing-masing  merupakan bentuk  periodisasi  satu  langkah  filter wavelet dan  filter  skala  tingkat .  Sebagai  contoh sub matriks dapat disajikan dengan persamaan (22)
(22)
Dengan cara yang sepadan akan diperoleh sebagai bentuk periodisasi satu langkah dari filter skala. Pada UDWT tingkat 2, sub matriks akan terpecah menjadi dan yang masing-masing  merupakan  bentuk periodisasi satu langkah  filter wavelet dan filter  skala tingkat  2.  Lebih  lanjut  cara  yang  sepadan  dengan  Persamaan  (20)  untuk  menuliskan proses UDWT adalah seperti tertulis pada Persamaan (23).

## 2.2.3.  Model Peramalan Runtun Waktu dengan UDWT
Umumnya peramalan merupakan tujuan utama dari pemodelan. Terdapat banyak cara  melakukan  peramalan,  dari  model  sederhana  ( naive  model )  hingga  model  yang rumit.  Tulisan  ini  terinspirasi  penggunaan  hasil  transformasi wavelet diskrit  untuk peramalan  runtun  waktu  yang  dibahas  oleh  Murtagh  (2004).  Pembahasan  lain  dapat ditemukan  dalam  Renaud et al .  (2003),  dan  Ciancio  (2007).  Murtagh  mengasumsikan peramalan  satu langkah ke depan dipengaruhi hasil UDWT data sebelumnya. Model dari Murtagh lazim disebut sebagai model wavelet , seperti dinyatakan pada Persamaan (24)
(24)
Tingkat dekomposisi tertinggi dinyatakan  dengan . Banyaknya koefisien yang  dipilih pada tingkat dinyatakan  dengan . Sebagai contoh jika diambil dan untuk maka Persamaan (24) dinyatakan sebagai Persamaan (25) (25)
Penduga  parameter  dari  Persamaan  (25)  dapat  dihitung  dengan  metode  kuadrat terkecil, dan jika distribusi diketahui maka dapat  dihitung dengan metode likelihood maksimum.

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  bertujuan  menghasilkan  model  secara  eksplortif  dan  simulasi.  Data yang digunakan dibangkitkan secara random, sebagai realisasi dari runtun waktu univariat nonlinear seperti  pada  Persamaan  (37).  Langkah-langkah  penelitian  dapat  dijelaskan dengan uraian berikut ini.

## 3.1. Eksplorasi Model Wavelet Radial Basis Neural Network
Fungsi  aktivasi radial  basis telah  digunakan  pada  lapisan  tersembunyi  dari jaringan  syaraf  tiruan,  antara  lain  telah  dibahas  oleh  Orr  (1996),  Haykin  (1999),  dan Samarasinghe (2006). Input yang dekat dengan pusat radial basis akan menghasilkan nilai fungsi yang besar, dan sebaliknya. Akibatnya fungsi radial basis berperan sebagai pemilah input  ke  dalam  kelompok-kelompok  yang  lebih  homogen.  Variabel input X  pada radial basis , biasanya dinyatakan  dalam bentuk baku relatif terhadap  parameter  lokasi   dan parameter skala seperti pada Persamaan (26)
(26)
Fungsi radial basis Gaussian dapat  dilihat pada Persamaan (27), fungsi Multiquadric pada (28), dan Fungsi Multiquadric invers pada  (29).
Φ (27) Φ (28) Φ (29)
Penggunaan  fungsi radial  basis pada  model  JST  atau  NN  sebagai  aktivasi nonlinear antara  lain  dibahas  oleh  Orr  (1996)  dan  Haykin  (1999).  Hal  ini  memberikan pemikiran untuk mengembangkan  model Persamaan (24) menjadi model Wavelet Radial Basis  Neural  Network (WRBNN).  Ide  dasarnya  adalah  menggunakan  hasil  UDWT sebagai variabel input serta penggunaan fungsi nonlinear radial basis sebagai fungsi aktivasi  pada  lapis  tersembunyi,  sebagai  antisipasi  adanya  sifat nonlinear pada  hasil transformasi wavelet . Model yang dihasilkan dapat digunakan untuk menyelidiki adanya sifat nonlinear sekaligus untuk peramalan.
Tanpa  mengurangi  keumuman,  akan  dibangun  model  WRBNN  dengan  input koefisien  hasil  transformasi wavelet tak  menurun  pada  tingkat dan untuk  semua level (lihat Persamaan  (25)). Tahap-tahap pembentukan model WRBNN adalah sebagai berikut,
1. Mengelompokan
ke  dalam cluster dengan  pusat , dan deviasi  standar .  Metode k-means dapat  digunakan  untuk  kepentingan tersebut.
2. Melakukan transformasi UDWT terhadap (diambil tingkat transformasi  )
3. Membentuk  matrix  input dari  hasil  transformasi  yang  terpilih  seperti  pada  bagian 3.3. Elemen baris ke- dari untuk dapat dituliskan sebagai
4. Merancang model linear
, dengan parameter
5. Merancang  model  pada hidden  unit , dengan , 6. Merancang model penduga pada lapis output Φ
dengan
Bentuk  rancang  bangun  model  WRBNN  dapat  ditunjukan  dengan  Gambar  1.  Secara matematis model populasinya dapat dituliskan selaras dengan hasil langkah ke-6 yaitu
Φ (30)
Untuk  menyederhanakan  pembahasan  tanpa  mengurangi  keumuman  masalah, akan ditinjau untuk dengan fungsi radial basis gaussian sehingga model penaksir yang sesuai dengan Persamaan (30) dengan penyesuaian indeks dapat dituliskan dengan Persamaan (31).
Φ Φ (31)
Parameter-parameter model diduga sedemikian hingga meminimumkan fungsi objektif pada Persamaan (32) berikut ini,
(32) dengan dianggap sebagai fungsi nonlinear dari dengan adalah vektor koefisien  pada model penduga.

## Gambar 1. Rancang Bangun dari Model WRBNN
Agar  metode  kuadrat  terkecil  dapat  digunakan  maka  fungsi  nonlinear pada  persamaan  (32)  diekspansikan  ke  dalam  deret  Taylor.  Metode  ini  disebut  sebagai metode  kuadrat  terkecil nonlinear atau Nonlinear  Least Square (NLS).  Persamaan  (33), (34)  dan  (35)  masing-masing  merupakan  hasil  ekspansi  Taylor  dari dan di sekitar  titik  awal yang  dipotong  pada  suku  derajat  satu.  Pemotongan  dilakukan dengan  asumsi  suku-suku  derajat  tinggi  pada  ekspansi  Taylor  cukup  kecil  sehingga dapat diabaikan.
(33)
Φ Φ (34)
Φ Φ (35)
Penjumlahan  dari  Persamaan  (33),  (34)  dan  (35)  merupakan  ekspansi  Taylor di sekitar .  Karena  model  yang  terbentuk  linear  dalam maka  penaksir  yang meminimumkan  Persamaan  (32)  dapat  dicari  dengan  metode  LSE.  Selanjutnya dilakukan perbaikan terhadap setiap
menggunakan Persamaan (36)
(36)

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data runtun waktu nonlinear diperlukan untuk memberikan gambaran penggunaan metode  WRBNN.  Cara  memperoleh  data  dengan  sifat  tertentu  adalah  melalui pembangkitan  data  random  dengan  simulsi  komputer.  Cara  simulasi  dipilih  dalam eksplorasi model WRBNN karena lebih menjamin tersedianya sifat nonlinear dalam data. Pada  Bagian  2  telah  dibahas  bahwa  runtun  waktu  heteroskedastik  merupakan  salah  satu perwujudan  dari  sifat nonlinear . Secara  simulatif  data  dimaksud  dapat  dibangkitkan dengan library fGarch.  Data  hasil  pembangkitan  dari  model  ARMA-GARCH  akan digunakan  untuk  membangun  model  WRBNN.  Penentuan  model  simulatif  seperti  pada Persamaan  (37)  tidak  memeiliki  tujuan  lain  kecuali  menyediakan  data  runtun  waktu heteroskedastik.
(37) Tabel 1 . Estimasi Parameter Model ARMA+GARCH Parameter Estimasi Nilai t Prob. µ γ 1 α 0 α 1 β 1
1 0.4951 0 0.1267 0.7859 2952.948 2229.454 2.040 3.441 11.704 0 0 0.041395 0.000579 0 Table 2 . Estimasi Parameter Model Wavelet Variabel Koefisien  Nilai t Prob. d 1,t
d 3,t d 5,t d 7,t c 9,t c 10,t − 16 0.07472 0.08022 0.08201 0.09631 0.06513 0.06513 6.195 6.569 7.342 4.201 12.025 3.330 0 0 0 0 0 0.000925
Enam  ratus  titik  sampel  telah  diambil  dan  hasilnya  disajikan  pada  Lampiran  1. Input  model  WRBNN  adalah  hasil  UDWT  dari  data  hasil  simulasi.  Proses  UDWT  dapat dilakukan menggunakan paket wavelets dalam program R (Aldrich, 2009). Hasil estimasi
parameter model ARMA dan GARCH pada Persamaan (37) dapat disajikan dalam Tabel 1. Hasil  estimasi  parameter  model  yang  tercantum  pada  Tabel  1  nampak  telah  mendekati parameter  model  pada  Persamaan  (37).  Hasil  estimasi  parameter  model  wavelet  dengan data  simulasi  untuk  Persamaan  (37)  disajikan  dalam  Tabel  2  yang  memuat  6  penduga parameter  model  wavelet  yang  signifikan  dari 10  parameter  seperti  yang  tercntum  dalam Persamaan  (25). Hasil  estimasi  parameter  model  WRBNN  dengan  pencocokan  pada  data simulasi Persamaan (37) disajikan dalam Tabel 3 yang memperlihatkan bahwa 6 variabel terpilih  pada  model  wavelet  masih  dapat  dipertahankan  sebagai  bagian  linear  dari  model WRBNN,  meskipun  ada  penurunan  signifikansi  pada  d_(7,t)  dan  c10,t-16  .  Model  yang terbentuk  hanya  memuat  satu  fungsi  radial  basis  sebagai  bagian  nonlinear  dari  model WRBNN.  Kode  listing  program  R  untuk  mendapatkan  nilai  penduga  koefisien  model WRBNN  tersaji  pada  Lampiran  2.  Hasil  perhitungan  jumlah  sesatan  kuadarat  (SSE)  dari model  GARCH,  Wavelet  dan  WRBNN  serta  hasil  uji  normalitas  Kolmogorov-Smirnov disajikan pada Tabel 4.
Table 3 . Estimasi Parameter Model WRBNN Variabel Koefisien  Nilai t Prob. d 1,t d 3,t d 5,t d 7,t c 9,t c 10,t−16 Φ 1 0.502293 0.500346 0.596003 0.317993 0.839897 0.167675 -0.016140 6.635 6.225 7.305 3.151 12.345 2.494 -2.725 0 0 0 0.00171 0 0.01291 0.00662 Table 4 . SSE dan Uji Normalitas K-S Model SSE N σ 2 Prob K-S GARCH Wavelet WRBNN 0.006808593 0.006785685 0.006704714 600 583 583 0.000011364 0.00001165925 0.00001152013 0.6099 0.4264 0.4567

## 5.  KESIMPULAN
Hasil  estimasi  parameter  model  GARCH, Wavelet dan  WRBNN  menunjukkan bahwa ketiganya memberikan hasil jumlah sesatan kuadrat yang tidak jauh berbeda untuk kasus data heteroskedastik. Penyelidikan terhadap jumlah node dan nilai bobot awal yang optimal  dalam  arsitektur  jaringan  masih  perlu  dikembangkan  lebih  lanjut,  untuk mendapatkan  perbandingan  yang  lebih  menyeluruh.  Disamping  itu,  sebagai  tindak  lanjut penyelidikan simulatif perlu dikembangkan penyelidikan aspek teoritik  menyangkut  sifat matematis dari model Wavelet dan WRBNN. Aspek teoritik tersebut menyangkut sifat- sifat baik dari penduga parameter yang terkait dengan model tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Aldrich,  E.,  2009,  A  package  of  Functions  for  Computing  Wavelet  Filters,  Wavelet Transforms and Multiresolution Analyses, http://www.ealdrich.com/wavelets/.
Bollerslev,  T.,  1986,  Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroskedasticity ,  J.  Of Econometrics , Vol. 31, pp. 307-27.
Box, G.E.P. and Jenkins, G.M., 1976, Time Series Analysis: Forecasting and Control (San Francisco: Holden-Day).
Ciancio,  A.,  2007.  Analysis  of  Time  Series  with  Wavelets, Int.  J.  of  Wavelets, Multiresolution and Information Processing , Vol. 5(2), pp. 241-56. Daubhechies, I., 1992. Ten Lecture on Wavelets (Philadelphia: SIAM ).
Engel, R.F., 1982. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity With Estimates Of The Variance Of United Kingdom Inflation, J. Econometrica ,  Vol. 50, pp. 987-1008. Haykin, S., 1999. Neural Networks: A Comprehensive Foundation , Prentice Hall.
Lee, T. H., White, H. dan Granger,  J. W. J., 1993. Testing for Neglected Nonlinearity in Time  Series  Models:  A  Comparison  of  Neural  Network  Methods  and  Alternative Tests. J. of Econometrics , Vol. 56, pp. 269–290.
Murtagh,  F.,  Starck,  J.L.  and  Renaud,  O.,  2004.  On  Neuro  Wavelet  Modeling, Decision Support System , Vol. 37, pp. 475-90. Ogden,  R.  T.,  1997. Essential  wavelets  for  statistical  applications  and  data  analysis . Birkhauser, Berlin
Orr, M. J. L., 1996. Introduction to Radial Basis Function Networks. Centre for Cognitive Science , University of Edinburgh.
Percival,  D.B.  and  Walden,  A.T.,  2000. Wavelet  Methods  for  Time  Series  Analysis (Cambridge: CU Press ).
Popoola,  A.  O.,  2007. Fuzzy-wavelet  method  for  time  series analysis .  PhD  thesis,  Surey University  Disertasi  submitted  for  the  degree  of  doctor  of  philosophy  in  Surey University.
R  core  team.,  2016. R:  A  Language  and  environment  for  statistical  computing .  R Foundation  for  Statistical  Computing,  Vienna,  Austria  URL:  http://www.R- project.org/.
Renaud,  O.,  Starck,  J.  L.,  dan  Murtagh,  F.,  2003.  Prediction  Based  on  a  Multiscale Decomposition, Int. J. of Wavelets Multiresolution and Information Processing , Vol. 1 (2), pp. 217–232.
Santoso,  R.,  Subanar,  Rosadi,  D.,  and  Suhartono,  2011,  Heteroscedastic  Time  Series Model by Wavelet Transform, Proc. of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” Samarasinghe, S., 2006, Neural Network for Applied Science and Engineering (New York: Auerbach Pub)
Starck, J.L., Jalal, F. and Murtagh, F., 2007, The Undicimated Wavelet Decomposition and Its Reconstruction, IEEE on Image Processing 16(2), pp 297-309.
Terasvirta.  T.,  1996,  Power  Properties  of  Linearity  Tests  for  Time  Series, Studies  in Nonlinear Dynamics and Econometrics , Vol. 1(1).
Terasvirta,  T.,  Lin,  C.  F.,  dan  Granger,  C.  W.  J.,  1993,  Power  of  The  Neural  Network Linearity Test, J. of Time Series Analysis , Vol. 14(2) pp. 209–220. Tong,  H.,  1990, Nonlinear  Time  Series:  A  Dynamic  System  Approach, Clarendon  Press, Oxford.
Wei, W.W.S., 1994, Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods (Canada: Addison-Wesley)
Wuertz,  D.  dan  Chalabi,  Y.,  2016,  fGarch:  Rmetrics  Autoregressive  Conditional Heteroskedastic  Modelling.  R  package  version  3010.82.1.  https://CRAN.R- project.org/package=fGarch.