## KODE SELF-DUAL SIKLIK ATAS RING RANTAI BERHINGGA
Juli Loisiana Butar-Butar
Dosen Fakultas Keguruan dan Ilmu Pengetahuan (FKIP), Universitas Quality Berastagi Email : julois.butrz@gmail.com

## Abstrak
Kode siklik self-dual adalah kode siklik dimana dualnya sama dengan kode siklik tersebut. Pada penelitian ini akan dibahas syarat perlu dan cukup untuk eksistensi non-trivial dari kode siklik self-dual atas  ring  rantai  berhingga.  Dengan  syarat  perlu  dan  cukup  ini,  disusun  algoritma tentang kontruksi kode siklik self-dual atas ring rantai berhingga dengan panjang 𝑛. Faktorisasi polinomial 𝑥 𝑛 − 1 atas  lapangan  hingga 𝔽 𝑞 diperlukan  dalam  tahapan  algoritma  ini.  Hal  ini karena  setiap  pembangun  kode  siklik self-dual atas  ring  rantai  berhingga  berkoresponden dengan suatu ideal dari ring hingga ring 𝔽 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) yang merupakan faktorisasi dari 𝑥 𝑛 − 1 atas lapangan hingga 𝔽 𝑞 .
Kata kunci: Kode siklik self-dual , ring rantai berhingga

## Abstract
The self-dual cyclic code is a cyclic code where its dual is the same as the cyclic code. This paper will discuss the necessary and sufficient conditions for the non-trivial existence  a self- dual  cyclic  code  over  a  finite  chain  ring.  With  this  necessary  and  sufficient  conditions,  an algorithm is constructed about the construction of a self-dual cyclic code over a finite chain ring with length n. The polynomial factorization 𝑥 𝑛 − 1 over finite field 𝔽 𝑞 is required in this algorithm  steps.  This  is  because  each  generator  element  of  cyclic  self-dual  code  over  finite chain ring corresponds to an ideal from ring to ring 𝔽 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) which is a factorization from 𝑥 𝑛 − 1 over finite field to 𝔽 𝑞 .
Keywords: Self-Dual Cyclic Code, Finite Chain Ring.

## Pendahaluan
Sudah cukup umum pembahasan mengenai kode  siklik  adalah  atas  lapangan  hingga 𝔽 𝑞 = 𝔽 𝑝 𝑘 dengan  bilangan  prima 𝑝 karateristik lapangan dan 𝑘 ∈ ℕ . Kode atas ring  rantai  merupakan  generalisasi  dari kode  atas  lapangan  (Batoul,  Guenda,  & Gulliver,  2014).  Suatu  ring  dikatakan  ring rantai  jika  semua  idealnya  membentuk suatu  rantai  secara  inklusi.  Ring  rantai berhingga  merupakan  ring  lokal  berhingga yang  ideal  maksimalnya  merupakan  ideal utama.
Dimisalkan 𝐶 adalah  kode  linear.  Elemen dari  kode  linear 𝐶 adalah  pasangan  terurut 𝑛 yang  dinotasikan  dengan (𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛 ) dengan 𝑐 𝑖 ∈ 𝔽 𝑞 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 .  Kode linear 𝐶 dikatakan kode siklik ( cyclic code ) jika  untuk  setiap (𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛 ) ∈ 𝐶 ,  maka (𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛 , 𝑐 1 ) ∈ 𝐶 .
Struktur  kombinasi  kode  siklik  dengan panjang 𝑛 dapat  dikonversi  menjadi  suatu bentuk  aljabar  yang  berhubungan  dengan faktorisasi polinomial 𝑥 𝑛 − 1 .
Kode  siklik 𝐶 atas  lapangan  hingga 𝔽 𝑞 mempunyai  bentuk  dual  yang  disimbolkan dengan 𝐶 ⊥ dan didefinisikan sebagai 𝐶 ⊥ = {𝑣 ∈ 𝑅 𝑛 |[𝑣, 𝑤] = 0, ∀ 𝑤 ∈ 𝐶}.
Kode yang memenuhi 𝐶 = 𝐶 ⊥ disebut self- dual .
Adapun  yang  menjadi  tujuan  penelitia  ini adalah mengkontruksi kode siklik self-dual non-trivial  atas  ring  rantai  berhingga.  Hal
ini dimotivasi berdasarkan (Batoul, Guenda, &  Gulliver,  2014)  pada  struktur  kode self- dual atas ring  dan memberikan syarat perlu dan cukup untuk eksistensi non-trivial dari kode siklik self-dual atas ring rantai hingga. Motivasi yang lain yang mendasari kode siklik self-dual adalah karateristik dari bilangan bulat 𝑛 yang mana 𝑝 𝑖 ≠ −1 untuk semua 𝑖 dan 𝑝 adalah  ganjil.  Hal  ini diperlukan  untuk  menentukan  kode  siklik self-dual non-trivial  yang  disebutkan  oleh (Dinh & López-Permouth, 2004).
Seperti  halnya,  kode  siklik  yang berasosiasi  dengan  faktorisasi  polynomial 𝑥 𝑛 − 1 , demikian juga halnya dengan kode siklik self-dual. Faktorisasi  atas  lapangan hingga 𝔽 𝑝 telah  dibahas  (Butar-butar  & Sinuhaji,  2019).  Faktorisasi  ini  menjadi salah  satu  langkah  dalam  algoritma mengkontruksi  kode  siklik self-dual non- trivial atas ring rantai berhingga.

## Metode Penelitian
1. Ring Rantai Berhingga
Suatu  ring  komutatif  dikatakan suatu  ring  rantai  jika  struktur  dari  semua idealnya  membentuk  suatu  rantai  (Liu  & Liu, 2015). Ring 𝑅 disebut ring lokal jika 𝑅 memiliki  ideal  maksimal  yang  unik.  Ring komutatif  berhingga  adalah  ring  rantai berhingga jika dan hanya jika itu adalah ring ideal utama lokal (Dinh & López-Permouth, 2004).  Untuk  kelas  dari  ring  rantai komutatif  berhingga,  perhatikan  kondisi ekuivalen berikut.
Proposisi 2.1.1. Untuk suatu ring komutatif berhingga 𝑅 kondisi berikut ekuivalen:
i) 𝑅 adalah ring lokal  dan ideal maximal
𝑀 dari 𝑅 adalah utama; ii) 𝑅 adalah ring ideal utama lokal;
iii) 𝑅 adalah ring rantai.
Bukti.
i) ⇒ ii).  Andaikan 𝐼 ideal  dari 𝑅 .  Jika 𝐼 = 𝑅 ,  maka 𝐼 dibangun  oleh  identitas  1.  Jika 𝐼 ⊊ 𝑅 ,  maka 𝐼 ⊆ 𝑀 .  Karena 𝑅 adalah  ring lokal    dan  ideal  maximal 𝑀 dari 𝑅 adalah utama, maka 𝑀 dibangun oleh satu elemen, katakan 𝑀 = 〈𝑎〉 .  Oleh  karenanya, 𝐼 =
〈𝑎 𝑘 〉 untuk 𝑘 ∈ ℤ .  Dengan  demikian, 𝑅 adalah ring ideal utama lokal.
ii) ⇒ iii). Karena 𝑅 adalah ring ideal utama lokal,  maka 𝑅 memiliki  ideal  maksimal 𝑀 = 〈𝑎〉 , dan 𝐴, 𝐵 adalah ideal sejati sejati 𝑅 .  Akibatnya, 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑀 ,  yang  mana terdapat 𝑙, 𝑚 sedemikan  hingga 𝐴 = 〈𝑎 𝑙 〉 , 𝐵 = 〈𝑎 𝑚 〉 dengan 𝑙, 𝑚 lebih kecil atau sama dengan  kenilpotenan  dari 𝑎 .  Akibatnya, hanya  berlaku  salah  satu 𝐴 ⊆ 𝐵 atau 𝐵 ⊆ 𝐴 . Dengan demikian, 𝑅 adalah ring rantai.
iii) ⇒ ii).  Karena 𝑅 adalah  ring  komutatif rantai berhingga, maka jelas bahwa 𝑅 lokal. Selanjutnya  untuk  membuktikan  ideal maksimal 𝑀 dari 𝑅 adalah  utama,  dengan pengandaian 𝑀 dibangun  lebih  dari  satu elemen. Dimisalkan 𝑏, 𝑐 terdapat di elemen pembangun  dari 𝑀 dan 𝑏 ∉ 𝑐𝑅 ,  dan 𝑐 ∈ 𝑏𝑅 .  Akibatnya, 〈𝑏〉 ⊈ 〈𝑐〉 dan 〈𝑐〉 ⊈ 〈𝑏〉 , kontradiksi dengan asumsi bahwa 𝑅 adalah ring  rantai.  Dengan  demikian, 𝑀 adalah utama. ∎
Untuk selanjutnya, dianggap 𝑅 ring rantai  komutatif  berhingga  dan  akan memanfaatkan kondisi dari Proposisi 2.1.1 Dimisalkan 𝑎 adalah pembangun dari ideal maksimal 𝑀 sehingga 𝑎 adalah  nilpotent dan  indeks  kenilpotenannya 𝑒 ∈ ℤ .  Ideal- ideal dari 𝑅 berbentuk rantai
〈0〉 = 〈𝑎 𝑒 〉 ⊊ 〈𝑎 𝑒−1 〉 ⊊ ⋯ ⊊ 〈𝑎〉 ⊊ 〈𝑎 0 〉 = 𝑅.
Diberikan 𝑅[𝑥] adalah  ring  dari semua  polinomial  atas  ring 𝑅 dengan intermedian 𝑥 .  Dimisalkan 𝑅̅ = 𝑅/𝑀 dengan ̅ : 𝑅[𝑥] → 𝑅̅[𝑥] didefinisikan sebagai homomorfisma natural yang memetakan 𝑟 ↦ 𝑟 + 𝑀 dan  intermedian 𝑥 ke 𝑥 .
2. Struktur  Kode  Siklik  atas  Ring Rantai Hingga
Perlu  diketahui  bahwa  dalam  teori Ring  dasar, 𝔽 𝑝 [𝑥]/〈𝑥 𝑛 − 1〉 merupakan ring  polinomial  dengan  setiap  faktor  tak tereduksi dari 𝑥 𝑛 − 1 merupakan pembangun  dari  ideal  di 𝔽 𝑝 [𝑥]/〈𝑥 𝑛 − 1〉 . Karena setiap faktor tak tereduksi dari 𝑥 𝑛 − 1 merupakan  pembangun  dari  ideal  di 𝔽 𝑝 𝑟 [𝑥]/〈𝑥 𝑛 − 1〉 ,  maka  setiap  faktor  dari
𝑥 𝑛 − 1 berkorespondesi  dengan  setiap unsur  pembangun  dari  kode  siklik 𝐶 .  Atau dengan  kata  lain,  pembentukan  himpunan kode  siklik 𝐶 dengan  panjang  kode 𝑛 berhubungan dengan faktorisasi dari polinomial 𝑥 𝑛 − 1 .
Dimisalkan 𝑅 ring  rantai  hingga dengan  ideal  maksimal,  dan  menjadi nilpotensi 𝑎 . Berdasarkan Proposisi 2.2 dari (Dinh  &  López-Permouth,  2004),  terdapat bilangan  prima 𝑝 dan  bilangan  bulat 𝑙 sedemikian  hingga |𝑅̅| = 𝑝 𝑙 , |𝑅| = 𝑝 𝑙𝑡 , karateristik dari 𝑅 dan 𝑅̅ adalah perpangkatan  dari 𝑝 .  Pada  bagian  ini, asumsikan 𝑛 ∈ ℕ yang tidak habis dibagi 𝑝 sehingga 𝑛 tidak  habis  dibagi  karateristik dari  lapangan  residu 𝑅̅ sehingga 𝑥 𝑛 − 1 polinomial square-free di 𝑅̅[𝑥] . Akibatnya, 𝑥 𝑛 − 1 mempunyai  faktorisasi tunggal  dan saling  prima  relatif  di 𝑅[𝑥] Proposisi  2.7. dari (Dinh & López-Permouth, 2004).
Lebih  lanjut,  jika 𝑓(𝑥) adalah faktor  dari 𝑥 𝑛 − 1 ,  dinotasikan 𝑓̂(𝑥) = 𝑥𝑛−1 𝑓(𝑥) .
Teorema  2.2.1 Andaikan 𝑅 adalah  ring rantai  berhingga  dengan  ideal  maksimal 〈𝑎〉 ,  dan 𝑡 adalah  kenilpotenan  dari 𝑎 .  Jika 𝑥 𝑛 − 1 = 𝑓 1 𝑓 2 … 𝑓 𝑟 adalah  hasil  kali  dari faktor tak tereduksi yang saling prima relatif dari 𝑥 𝑛 − 1 di 𝑅[𝑥] ,  maka  sebarang  ideal di 𝑅[𝑥] 〈𝑥𝑛−1〉 adalah  jumlahan  dari  ideal-ideal berbentuk
〈𝑎 𝑗 𝑓̂ 𝑖 + 〈𝑥 𝑛 − 1〉〉 ,
dimana 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 .

## Bukti.
Berdasarkan  Teorema  Sisa  Cina  (CRT) diperoleh
𝑅[𝑥] 〈𝑥 𝑛 − 1〉 = 𝑅[𝑥] ⋂ 〈𝑓 𝑖 〉 𝑟 𝑖=1 ≅⊕ ∑ 𝑅[𝑥] 〈𝑓 𝑖 〉 𝑟 𝑖=1 .
Dengan  demikian,  sebarang  ideal 𝐼 dari 𝑅[𝑥] 〈𝑥 𝑛 −1〉 adalah  berbentuk ⊕ ∑ 𝐼 𝑖 𝑟 𝑖=1 ,  dimana
𝐼 𝑖 adalah  ideal  dari 𝑅[𝑥] 〈𝑓 𝑖 〉 .  Berdasarkan
Lemma 3.1 pada (Dinh & López-Permouth, 2004)  untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 , 𝐼 𝑖 = 0 atau 𝐼 𝑖 =
〈𝑎 𝑘 𝑓̂ 𝑖 + 〈𝑥 𝑛 − 1〉〉 di 𝑅[𝑥] 〈𝑥 𝑛 −1〉 .  Akibatnya, 𝐼 adalah  penjumlahan  dari  ideal-ideal  yang berbentuk 〈𝑎 𝑘 𝑓̂ 𝑖 + 〈𝑥 𝑛 − 1〉〉 . ∎ Untuk selanjutnya, untuk mempermudah  penotasian,  cukup  hanya menulis 𝑟 0 + 𝑟 1 𝑥 + ⋯ + 𝑟 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 untuk untuk  koset  yang  berkoresponden  dengan 𝑟 0 + 𝑟 1 𝑥 + ⋯ + 𝑟 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 〈𝑥 𝑛 − 1〉 di 𝑅[𝑥]
〈𝑥𝑛−1〉 .

## 3. Kode Siklik Dual
Kode self - dual atas  ring  dan lapangan  adalah  salah  satu  bagian  yang paling  penting  dan  banyak  dipelajari  teori pengkodean (Dougherty, Gildea, Taylor, & Tylyshchak, 2016). Pada bagian ini,  hanya membahas  kode self - dual siklik  atas  ring rantai  berhingga  dan  kontruksi  kode  siklik self-dual atas ring rantai berhingga dibahas dalam (Dougherty S. T., 2010). Diberikan 𝑅 adalah ring rantai berhingga dan dimisalkan 𝑀 adalah ideal  maksimal  dari 𝑅 .  Karena 𝑅 adalah utama, terdapat generator 𝛾 ∈ 𝑅 dari 𝑀 .  Sehingga 𝛾 nilpoten  dengan  indeks nilpotensi  bilangan  bulat 𝑒 .  Ideal 𝑅 terbentuk seperti rantai berikut
〈0〉 = 〈𝛾 𝑒 〉 ⊊ 〈𝛾 𝑒−1 〉 ⊊ ⋯ ⊊ 〈𝛾〉 ⊊ 𝑅.
Karenanya  nilradikal 𝑅 adalah 〈𝛾〉 , sehingga  semua  elemen  dari 〈𝛾〉 adalah nilpotent. Karena itu elemen 𝑅 〈𝛾〉 adalah unit.
Karena 〈𝛾〉 ideal  maksimal,  maka  ring residu 𝑅 〈𝛾〉 adalah lapangan yang dinotasikan dengan 𝐾 .  Morfisma  ring  surjektif  natural didefinisikan sebagai (−) sebagai berikut
−: 𝑅 → 𝐾
𝑎 ↦ 𝑎̅ = 𝑎(mod 𝛾)
Misalkan |𝑅| adalah  nilai  cardinal dari 𝑅 ,  dan 𝑅 ∗ adalah  grup  perkalian  dari semua  unit  di 𝑅 .  Karena 𝐾 lapangan  dan ideal  maksimal 〈𝛾〉 ⊊ 𝑅 ,  maka  karateristik 𝐾 adalah  bilangan  prima 𝑝 sehingga |𝐾| = 𝑞 = 𝑝 𝑟 untuk  suatu 𝑟 bilangan  bulat. Akibatnya, |𝑅| = |𝐾| ⋅ |〈𝛾〉| = |𝐾| ⋅ |𝐾| 𝑒−1 = |𝐾| 𝑒 = 𝑝 𝑒𝑟 .
Suatu  kode 𝐶 dengan  panjang 𝑛 atas 𝑅 adalah  subset  dari 𝑅 .  Kode 𝐶
diasumsikan linear. Menggunakan
perkalian inner [𝒗, 𝒘] = ∑ 𝑣 𝑖 𝑤 𝑖 . Kode dual 𝐶 ⊥ dari 𝐶 didefiniskan sebagai 𝐶 ⊥ = {𝑣 ∈ 𝑅 𝑛 |[𝑣, 𝑤] = 0, ∀ 𝑤 ∈ 𝐶}. Kode 𝐶 dikatakan self-dual jika 𝐶 = 𝐶 ⊥ . Untuk  polinomial 𝑓(𝑥) berderajat 𝑟
dimisalkan 𝑓 ∗ (𝑥) menunjukkan  polinomial resiprokal 𝑥 𝑟 𝑓(𝑥 −1 ) .  Teorema  berikut memberikan  struktur  dual  dari  kode  siklik pada ring rantai berhingga.

## Teorema 2.3.1 (Teorema Struktur Dual)
Diberikan 𝑅 ring  rantai  berhingga  dengan karateristik 𝑝 , ideal maksimal 𝛾 , dan indeks nilpoten 𝑒 .  Dimisalkan 𝑛 bilangan  bulat sehingga gcd(𝑝, 𝑛) = 1 dan 𝑓 1 𝑓 2 ⋯ 𝑓 𝑙 adalah  hasil  kali  faktorisasi  tak  tereduksi dari 𝑥 𝑛 − 1 . Jika 𝐶 = 〈𝐹̂ 1 , 𝛾𝐹̂ 2 , … , 𝛾 𝑒−1 𝐹̂ 𝑒 〉 dengan 𝐹̂ 𝑗 = 𝑥𝑛−1 𝐹𝑗 untuk 0 < 𝑗 ≤ 𝑒 adalah  kode  siklik dengan  panjang 𝑛 atas  ring 𝑅 ,  maka 𝐶 ⊥ = 〈𝐹̂ 0 ∗ , 𝛾𝐹̂ 𝑒 ∗ , … , 𝛾 𝑒−1 𝐹̂ 2 ∗ 〉 , dimana
𝐹 0 , 𝐹 1 , ⋯ , 𝐹 𝑒−1 adalah  polinomial  yang saling prima relatif yang membagi 𝑥 𝑛 − 1 . Bukti
Karena |𝐾| = | 𝑅 〈𝛾〉 | = 𝑝 𝑟 untuk  suatu 𝑟 bilangan  bulat  dan |𝑅| = 𝑝 𝑒𝑟 ,  maka berdasarkan  Proposisi  2.2  pada  (Dinh  & López-Permouth, 2004) diperoleh
|𝐶| = (|𝐾|) ∑ (𝑒−𝑖) deg 𝐹 𝑖+1 𝑒−1 𝑖=0 = 𝑝 𝑟 ∑ (𝑒−𝑖) deg 𝐹 𝑖+1 𝑒−1 𝑖=0 .
Berdasarkan  proposisi  2.11  pada  (Dinh  & López-Permouth,  2004)  terdapat 𝑙 dengan 𝑙 + 𝑒𝑟 = 𝑒𝑟𝑛 sehingga
𝑙 + 𝑟 ∑(𝑒 − 𝑖) deg 𝐹 𝑖+1 𝑒−1 𝑖=0 = 𝑒𝑟𝑛. Oleh karenanya, 𝑙 = 𝑒𝑟𝑛 − 𝑟 ∑(𝑒 − 𝑖) deg 𝐹 𝑖+1 𝑒−1 𝑖=0 = 𝑟 ∑ 𝑖 deg 𝐹 𝑖+1 𝑒 𝑖=1 . Dinotasikan
𝐶 ∗ = ⟨𝐹̂ 0 ∗ , 𝛾𝐹̂ 𝑒 ∗ , … , 𝛾 𝑒−1 𝐹̂ 2 ∗ ⟩. Untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1, ⋯ , 𝑒 − 1} . Ada  dua  kemungkinan,  yaitu 𝑖 + 1 = 𝑒 − 𝑗 + 1 dan 𝑖 + 1 ≠ 𝑒 − 𝑗 + 1.
 Jika 𝑖 + 1 = 𝑒 − 𝑗 + 1 atau 𝑖 = 𝑒 − 𝑗 , maka (𝛾 𝑖 𝐹̂ 𝑖+1 )(𝛾 𝑗 𝐹̂ 𝑒−𝑗+1 ∗ ) ∗ = 0 .
 Jika 𝑖 + 1 ≠ 𝑒 − 𝑗 + 1 atau 𝑖 ≠ 𝑒 − 𝑗 , maka
(𝑥 𝑛 − 1)|(𝛾 𝑖 𝐹̂ 𝑖+1 )(𝛾 𝑗 𝐹̂ 𝑒−𝑗+1 ∗ ) ∗ . Akibatnya, (𝛾 𝑖 𝐹̂ 𝑖+1 )(𝛾 𝑗 𝐹̂ 𝑒−𝑗+1 ∗ ) ∗ = 0 di 𝑅[𝑥]
〈𝑥𝑛−1〉 . Karenanya, 𝐶 ∗ ⊆ 𝐶 ⊥ . Karena |〈𝐹̂ 0 ∗ 〉| = (|𝐾|) 𝑒 deg 𝐹 0 dan  untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑒 − 1 , diperoleh
|𝛾 𝑗 𝐹̂ 𝑒−𝑗+1 ∗ | = ( |𝑅| |〈𝛾 𝑒−𝑖 〉| ) 𝑛−deg 𝐹̂ 𝑒+1−𝑖 ∗
= ( |𝐾| 𝑒 |𝐾| 𝑖 ) deg 𝐹̂ 𝑒+1−𝑖 ∗
= (|𝐾|) (𝑒−𝑖) deg 𝐹 𝑒+1−𝑖 .
Akibatnya,
|𝐶 ∗ | = |〈𝐹̂ 0 ∗ 〉| ⋅ |〈𝛾𝐹̂ 𝑒 ∗ 〉| ⋯ |〈𝛾 𝑒−1 𝐹̂ 2 ∗ 〉| = (|𝐾|) 𝑒 deg 𝐹 0 (|𝐾|) (𝑒−1) deg 𝐹 𝑒 ⋯ (|𝐾|) deg 𝐹 2 = (|𝐾|) ∑ 𝑖 deg 𝐹 𝑖+1 𝑒 𝑖=1 = (𝑝 𝑟 ) ∑ 𝑖 deg 𝐹 𝑖+1 𝑒 𝑖=1 = |𝐶 ⊥ |.
Karena 𝐶 ∗ ⊆ 𝐶 ⊥ dan |𝐶 ∗ | = |𝐶 ⊥ | ,  maka 𝐶 ∗ = 𝐶 ⊥ . ∎
Sifat berikut ini memberikan kondisi yang  memenuhi  syarat  perlu  dan  cukup untuk eksistensi dari kode self-dual siklik.
Teorema  2.3.2 Diberikan 𝑅 ring  rantai berhingga dengan ideal maksimal 𝛾 , indeks nilpoten 𝑒 genap,  dan  lapangan  residu 𝐾 dimana |𝑅| = 𝑝 𝑒𝑟 dan |𝐾| = 𝑝 𝑟 .  Kode siklik self-dual non-trivial  dengan  panjang 𝑛 atas 𝑅 ada  jika  dan  hanya  jika (𝑝 𝑟 ) 𝑖 ≠ −1(mod 𝑛) untuk semua bilangan positif 𝑖 .
Bukti.
Dimisalkan 𝐶 𝑣 dinotasikan  sebagai  koset siklotomik modulo 𝑛 yang memuat 𝑣 dan 𝛼 adalah  akar  ke- 𝑛 primitive  dari  unit. Misalkan 𝑔(𝑥) adalah  faktor  tak  tereduksi dasar  monik  dari 𝑥 𝑛 − 1 .  Akibatnya, terdapat suatu koset siklotomik 𝐶 𝑢 sedemikan sehingga
𝑔(𝑥) = ∏(𝑥 − 𝛼 𝑖 ) 𝑖∈𝐶 𝑢 sehingga
𝑔 ∗ (𝑥) = ∏ 𝛼 𝑖 𝑖∈𝐶 𝑢 ∏ (𝑥 − 𝛼 𝑖 ) 𝑖∈𝐶 𝑢−𝑛 = 𝑢 ∏ (𝑥 − 𝛼 𝑖 ) 𝑖∈𝐶 𝑢−𝑛
dimana 𝑢 = ∏ 𝛼 𝑖 𝑖∈𝐶 𝑢 adalah  suatu  elemen invertibel  di 𝑅 .  Karenanya,  berdasarkan Proposisi  4.3  pada  (Batoul,  Guenda,  & Gulliver,  2014),  kode  siklik self-dual nontrivial  dengan  panjang 𝑛 ada  jika  dan hanya  jika  terdapat  faktor  tak  tereduksi dasar 𝑓(𝑥) dari 𝑓(𝑥) dari 𝑥 𝑛 − 1 sedemikian  hingga 𝑓(𝑥) , 𝑓 ∗ (𝑥) tidak berasosiasi, jika dan hanya jika 𝐶 𝑢 ≠ 𝐶 𝑛−𝑢 untuk  semua  kode  siklotomik 𝐶 𝑢 ,  jika  dan hanya  jika 𝑝 𝑖 ≢ −1(mod 𝑛) untuk  semua 𝑖 . ∎
Berdasarkan (Chen, Ling, & Zhang, 2014), jika indeks nilpotensi 𝑒 genap, maka kode siklik self-dual 〈∏ 𝑓 𝑖 𝑒 2 𝑖∈𝐼 〉 disebut kode self-dual trivial.
Namun  hasil  berikut  menyediakan kriteria  sederhana  untuk  eksistensi  dari kode siklik self-dual non-trivial.
Teorema  2.3.2 Diberikan 𝑅 ring  rantai berhingga dengan ideal maksimal 𝛾 , indeks nilpoten 𝑒 genap,  dan  lapangan  residu 𝐾 dimana |𝑅| = 𝑝 𝑒𝑟 dan |𝐾| = 𝑝 𝑟 .  Kode siklik self-dual nontrivial dengan panjang 𝑛 ganjil  atas 𝑅 ada  jika  dan  hanya  jika 𝑜𝑟𝑑 𝑛 (𝑝 𝑟 ) adalah ganjil.

## Bukti
⇐) Dibuktikan  dengan  mengadaikan  tidak terdapat  kode  siklik self-dual nontrivial.
Karena tidak terdapat kode  siklik self-dual nontrivial, maka berdasarkan Teorema 2.3.2 terdapat bilangan bulat 𝑖 sedemikian hingga (𝑝 𝑟 ) 𝑖 ≡ −1 (mod 𝑛) . Akibatnya
berdasarkan  bagian  (i)  pada  Lemma  4.5 pada  (Batoul,  Guenda,  &  Gulliver,  2014) diperoleh 𝑜𝑟𝑑 𝑛 (𝑝 𝑟 ) genap.
⇒) Karena  terdapat  kode  siklik self-dual nontrivial,  maka  berdasarkan  Teorema  4
tidak terdapat bilangan 𝑖 sedemikian hingga 𝑝 𝑟𝑖 ≡ −1 (mod 𝑛) .  Akan  ditunjukkan bahwa 𝑜𝑟𝑑 𝑛 (𝑝 𝑟 ) adalah  ganjil  dengan menggasumsikan kasus berikut.
(i) Jika 𝑛 adalah  prima  ganjil,  maka berdasarkan  bagian  (ii)  Lemma  4.5 pada  (Batoul,  Guenda,  &  Gulliver, 2014)  diperoleh 𝑜𝑟𝑑 𝑛 (𝑝 𝑟 ) adalah ganjil.
(ii) 𝑛 = 𝑞 𝛼 ,  asumsikan 𝑜𝑟𝑑 𝑞 𝛼 (𝑝 𝑟 ) adalah genap, pertama akan dibuktikan implikasi berikut
𝑜𝑟𝑑 𝑞 𝛼 (𝑝 𝑟 ) adalah genap ⇒ 𝑜𝑟𝑑 𝑞 (𝑝 𝑟 )
adalah genap
Asumsikan 𝑜𝑟𝑑 𝑞 𝛼 (𝑝 𝑟 ) genap  dan 𝑜𝑟𝑑 𝑞 (𝑝 𝑟 ) ganjil.  Akibatnya  terdapat 𝑖 > 0 ganjil  sedemikian  hingga 𝑝 𝑟𝑖 ≡ 1 (mod 𝑞) ⇔ 𝑝 𝑟𝑖 = 1 + 𝑘𝑞 .  Karena (1 + 𝑘𝑞) 𝑞 𝛼−1 ≡ 1 + 𝑘𝑞 𝛼 (mod 𝑞 𝛼+1 ) , maka 𝑝 𝑟𝑖𝑞 𝛼−1 = (1 + 𝑘𝑞) 𝑞 𝛼−1 ≡ 1 (mod 𝑞 𝛼 ) . Oleh karenanya,
𝑝 𝑟𝑖𝑞 𝛼−1 ≡ 1 (mod 𝑞 𝛼 ) (1)
Keadaan  pada  persamaan  (1)  terjadi hanya  jika 𝑖 ganjil  dan 𝑞 𝛼−1 ganjil, maka 𝑜𝑟𝑑 𝑞 𝛼 (𝑝 𝑟 ) ganjil  karena 𝑖𝑞 𝛼−1 habis dibagi 𝑜𝑟𝑑 𝑞 𝛼 (𝑝 𝑟 ) . Namun, hal ini kontradiksi  dengan  asumsi 𝑜𝑟𝑑 𝑞 𝛼 (𝑝 𝑟 ) genap. Dengan demikian, asumsi salah. Seharusnya, 𝑜𝑟𝑑 𝑞 𝛼 (𝑝 𝑟 ) ganjil.
(iii) Jika 𝑛 = 𝑝 1 𝑝 2 dengan gcd(𝑝 1 , 𝑝 2 ) = 1 , maka karena 𝑜𝑟𝑑 𝑛 (𝑝) = lcm(𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 (𝑝 𝑟 ), 𝑜𝑟𝑑 𝑝 2 (𝑝 𝑟 )) genap,  maka  salah  satu
dari 𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 (𝑝 𝑟 ) atau 𝑜𝑟𝑑 𝑝 2 (𝑝 𝑟 ) haruslah genap. Asumsikan
𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 (𝑝 𝑟 ) .  Akibatnya,  terdapat 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 (𝑝 𝑟 ) sedemikian  hingga 𝑝 𝑟𝑘 ≡ −1 (mod 𝑝 1 ) . Akibatnya, 𝑝 𝑟𝑘 (𝑛 − 𝑝 2 ) ≡ −(𝑛 − 𝑝 2 )mod 𝑛 dengan 𝑘 ≤ 𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 (𝑝 𝑟 ) . Oleh karenanya, 𝐶 𝑛−𝑝 2 dapat  dibalikkan. Namun hal ini tidak mungkin berdasarkan Teorema 2.3.2. (iv) Jika
𝑛 = 𝑝 1 𝛼 1 𝑝 2 𝛼 2 dengan gcd(𝑝 1 , 𝑝 2 ) = 1 , maka karena
𝑜𝑟𝑑 𝑛 (𝑝 𝑟 ) = lcm (𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 𝛼1 (𝑝 𝑟 ), 𝑜𝑟𝑑 𝑝 2 𝛼2 (𝑝 𝑟 )). Jika 𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 𝛼1 𝑝 2 𝛼2 (𝑝 𝑟 )
genap, maka salah satu dari 𝑜𝑟𝑑 𝑝 1 𝛼1 (𝑝 𝑟 ) atau 𝑜𝑟𝑑 𝑝 2 𝛼2 (𝑝 𝑟 ) haruslah genap. Seperti pada kasus (iii), hal ini tidak mungkin. ∎
Berdasarkan  sifat-sifat  di  atas  kode siklik self-dual non-trivial  atas  ring  rantai berhingga  dapat  dikontruksi.  Kontruksi kode  siklik self-dual non-trivial  dapat dilihat dalam algoritma berikut.
Algoritma  :  kontruksi  kode  siklik self- dual non-trivial atas ring rantai berhingga
Input : 𝑛 = panjang kode siklik self-dual
𝐾 = lapangan residu ring dari rantai berhingga  dengan  karateritik  prima 𝑝 sehingga |𝐾| = 𝑝 𝑟 untuk 𝑟 bilangan bulat atau 𝐾 = 𝔽 𝑝 𝑟 .
Output : 𝐶 = kode siklik self-dual
1. Hitung 𝑡 = 𝑜𝑟𝑑 𝑛 (𝑝) . 2. Jika 𝑡 genap,  maka  tidak  ada 𝐶 kode siklik self-dual. Lanjut ke langkah 8.
Jika  tidak,  maka 𝐶 kode  siklik self-dual ada. Lanjut ke langkah 3.
3. Faktorisasi  polinomial 𝑥 𝑛 − 1 atas 𝔽 𝑝 𝑟 ke  bentuk  perkalian  polinomial  tak tereduksi  dasar  atas 𝔽 𝑝 𝑟 sehingga 𝑥 𝑛 − 1 = 𝑓 1 (𝑥)𝑓 2 (𝑥) ⋯ 𝑓 𝑙 (𝑥) . 4. Cari  beberapa 𝑓 𝑗 ∗ dari 𝑓 𝑗 untuk 𝑗 ∈
{1,2, ⋯ , 𝑙}.
5. Jika 𝑓 𝑗 ∗ = 𝑓 𝑖 untuk 𝑖 ∈ {1,2, ⋯ , 𝑙}\{𝑗} , maka 𝑓 𝑗 tidak self resiprokal.
6. Bentuk 𝑔 = ∏ 𝑓 𝑚 𝑙 𝑚=1 𝑚≠𝑗 .
7. Bentuk  kode  siklik self-dual
𝐶 = {𝑓 𝑗 ∗ 𝑔, 𝑡𝑓 𝑗 𝑓 𝑗 ∗ } .
8. Selesai.
Proses  kontruksi  ini  bertujuan  untuk mengetahui  eksitensi  kode  siklik self-dual dan unsur pembangunnya. Untuk lebih jelas perhatikan beberapa contoh kode siklik self- dual non-trivial.
Contoh  1. Kode  siklik  dengan  panjang  13 atas 𝔽 9 .
Diperoleh 𝑡 = 𝑜𝑟𝑑 13 (3) = 3 adalah  ganjil. Faktorisasi 𝑥 13 − 1 atas 𝔽 9 adalah
𝑥 13 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 + 8)
(𝑥 3 + 7𝑥 2 + 3𝑥 + 8) (𝑥 3 + 4𝑥 2 + 7𝑥 + 8) (𝑥 3 + 2𝑥 2 + 7𝑥 + 8).
Misalkan 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 + 8) sehingga diperoleh
𝑓 ∗ (𝑥) = 𝑥 3 𝑓(𝑥 −1 ) = 𝑥 3 (𝑥 −3 + 6𝑥 −2 + 2𝑥 −1 + 8) = 1 + 6𝑥 + 2𝑥 2 + 8𝑥 3 = −(𝑥 3 + 7𝑥 2 + 3𝑥 + 8).
Misalkan 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 1)(𝑥 3 + 4𝑥 2 + 7𝑥 + 8)(𝑥 3 + 2𝑥 2 + 7𝑥 + 8)
sehingga 𝑥 13 − 1 = 𝑓(𝑥)𝑓 ∗ (𝑥)𝑔(𝑥) . Sehingga kode siklik self-dual adalah
𝐶 = 〈𝑓 ∗ 𝑔, 3𝑓𝑓 ∗ 〉 = ⟨17𝑥 10 + 8𝑥 9 + 6𝑥 8 + 24𝑥 7 + 15𝑥 6 + 20𝑥 5 + 9𝑥 4 + 4𝑥 3 +𝑥 2 + 7𝑥 + 14, 24𝑥 6 + 2𝑥 4 + 15𝑥 3 + 2𝑥 2 + 24⟩
atau dengan kode angka adalah
𝐶 = ⟨ [ 0 0 17
8 6 24 15 20 9
4 1 7 14] , [ 0 0 0 0 0 0 0 24 0 2 15
2 24] ⟩.
Kedua  vektor  di  atas  merupakan  unsur pembangun dari kode siklik self-dual .
Contoh  2. Kode  siklik  dengan  panjang  6 atas 𝔽 49 .
Diperoleh 𝑡 = 𝑜𝑟𝑑 6 (7) = 1 adalah  ganjil. Faktorisasi 𝑥 6 − 1 atas 𝔽 49 adalah
𝑥 6 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 18)(𝑥 − 18)
(𝑥 + 19)(𝑥 − 19).
Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 18 = 𝑥 + 31 dengan 𝑓 ∗ (𝑥) = −18(𝑥 − 19) = 31(𝑥 + 30) = 31𝑥 + 48 sehingga
𝑥 6 − 1 = 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑓 ∗ (𝑥)
dengan
𝑔(𝑥) = −18(𝑥 − 1)(𝑥 + 18)(𝑥 + 19) = 31(𝑥 + 48)(𝑥 + 18)(𝑥 + 19) .
Sehingga kode siklik self-dual adalah
𝐶 = 〈𝑓 ∗ 𝑔, 7𝑓𝑓 ∗ 〉 = ⟨31𝑥 4 + 19𝑥 3 + 18𝑥 + 30,31𝑥 2 + 29𝑥 + 18⟩
atau dengan kode angka adalah
𝐶 = ⟨ [ 0 0
31 19 18 30] , [ 0 0 0 31 29 18] ⟩.
Kedua  vektor  di  atas  merupakan  unsur pembangun dari kode siklik self-dual .

## Kesimpulan
Kode  siklik  atas  ring  rantai  berhingga dengan lapangan residu merupakan lapangan  hingga 𝔽 𝑝 𝑘 dapat  diperoleh  dari faktorisasi  polinomial 𝑥 𝑛 − 1 dengan 𝑛 adalah panjang kode siklik. Dengan adanya syarat  perlu  dan  syarat  cukup  dari  kode siklik self-dual sehingga  dapat  diketahui eksistensinya. kode siklik self-dual. Proses kontruksi  kode  siklik self-dual non-trivial atas  ring  rantai  berhingga  untuk  mencari unsur pembangun kode siklik self-dual .

## Daftar Pustaka
Batoul,  A.,  Guenda,  K.,  &  Gulliver,  T. (2014).  On  self-dual  cyclic  codes over  finite  chain  rings. Designs, codes  and  cryptography,  70 (3),
347-358.
Butar-butar,  J.  L.,  &  Sinuhaji,  F.  (2019).  . Faktorisasi Polinomial Square-Free dan bukan Square-Free atas Lapangan Hingga Zp. Jurnal Teori
dan  Aplikasi  Matematika  (JTAM), 3 (2), 132-142. Chen,  B.,  Ling,  S.,  &  Zhang,  G.  (2014). Self-dual  cyclic  codes  over  finite chain rings. arXiv preprint arXiv:1405.2602. , 1-15. Dinh,  H.,  &  López-Permouth,  S.  (2004). Cyclic  and  negacyclic  codes  over finite chain rings. IEEE Transactions on Information Theory, 50 (8), 1728-1744. Dougherty,  S.  T.  (2010).  Constructions  of self-dual codes over finite commutative  chain  rings. IJICoT, 1 (2), 171-190. Dougherty,  S.,  Gildea,  J.,  Taylor,  R.,  & Tylyshchak, A. (2016). Constructions  of  self-dual  and formally  self-dual  codes  from group rings. arXiv preprint arXiv:1604.07863. , 1-20.
Jia, Y., Ling, S., & Xing, C. (2011). On self-
dual cyclic codes over finite fields.
IEEE  Transactions  on  Information Theory, 57 (4), 2243-2251.
Liu, X., & Liu, H. (2015). LCD codes over finite chain rings. Finite Fields and Their Applications, 34 , 1-19.