Abstrak— Human  Immunodeficiency  Virus (HIV)  merupakan salah  satu  virus  yang  menyebabkan  penyakit  AIDS,  suatu kondisi  pada  manusia  dimana  sistem  kekebalan  tubuh  mulai menurun  dan  menyebabkan  infeksi  oportunistik.  Virus  ini menyerang  sel 𝑪𝑫𝟒 + 𝑻 dalam  tubuh,  semakin  berkurangnya jumlah sel 𝑪𝑫𝟒 + 𝑻 dalam tubuh maka akan semakin cepat virus ini berkembang  menjadi penyakit AIDS.  Tidak ada obat yang benar-benar  menyembuhkan,  yang  dapat  dilakukan  hanyalah menghambat  penyebaran  virus  sehingga  dapat  meningkatkan masa  hidup  orang  yang  terinfeksi.  Dan  untuk  mengatasi permasalahan  tersebut,  pada  penelitian  ini  akan  dilakukan pemberian  kendali  optimal  berupa  terapi  antiretroviral  yaitu Reverse  transcriptase  inhibitor (𝜼 𝒓 ) dan protease  inhibitor (𝜼 𝒑 ) pada  model  penyebaran  virus  HIV.  Dengan  menerapkan prinsip  maksimum  pontryagin,  hasil  simulasi  menunjukkan bahwa  jumlah  sel 𝑪𝑫𝟒 + 𝑻 meningkat  hingga  20%  dimana eﬁsiensi  sebuah  pengontrol  berupa  terapi  antiretoviral (𝜼 𝒓 ) adalah  99%  dalam  memblokir  infeksi  baru  dan (𝜼 𝒑 ) adalah 100% dalam menghambat produksi virus baru .
Kata  Kunci — HIV,  sel 𝑪𝑫𝟒 + 𝑻 ,  Reverse  transcriptase  inhibitor, protease inhibitor.

## I. PENDAHULUAN
AKTERI
patogen adalah organisme atau mikroorganisme  yang  menyebabkan  penyakit  pada organisme  lain.  Bakteri  patogen  ini  bekerja  dengan  cara menginfeksi organisme dan akibatnya, muncul gejala-gejala abnormal  yang  biasa  disebut  dengan  tanda-tanda  penyakit. Sebagian dari bakteri patogen ini tidak terasa di tubuh, namun tidak  jarang  pula  yang  menyebabkan  penyakit  serius semacam HIV. HIV merupakan retrovirus yang menginfeksi sel-sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 dan  makrofag  dari  sistem  kekebalan  tubuh. Virus  HIV  akan  memperburuk  sistem  kekebalan  tubuh seseorang  saat  infeksi  berkembang.  Tahap  utama  infeksi memakan  waktu  sekitar  10-15  tahun  untuk  berkembang menjadi penyakit AIDS [1].
Dari data GHO pada tahun 2014 yang paling baru tentang HIV/AIDS  yang  diterbitkan  oleh  WHO  menyatakan  bahwa sekitar 78 juta orang telah terinfeksi virus HIV dan sekitar 39 juta orang telah meninggal karena virus HIV. Dalam kasus ini sekitar  35,0  juta  orang  hidup  dengan  HIV  secara  global. Namun  demikian,  beban  HIV  dapat  bervariasi  tergantung pada wilayah geografis, misalnya seperti Sub-Sahara Afrika adalah  wilayah  yang  paling  terkena  dampak  yang memberikan  kontribusi  hampir  70%  dari beban  global  HIV [2].
Sampai saat ini, belum ada pengobatan yang benar-benar dapat menyembuhkan atau menghilangkan virus HIV, namun
ada langkah-langkah preventif yang dapat membantu dalam mengendalikan infeksi dan meningkatkan masa hidup orang yang  terinfeksi  yaitu  dengan  memanfaatkan  peran  respon imun dan  melakukan terapi antiretroviral. Terapi ini berupa pemberian  obat  antiretroviral  yang  dapat  mengendalikan infeksi  dan  bekerja  berdasarkan  tahapan  siklus  hidup  virus dengan cara yang berbeda [3].
Banyak  peneliti  yang  mengembangkan  model  dinamika infeksi  virus  HIV  dengan  segala  permasalahannya,  salah satunya  adalah  Wang  dkk  [4]  yang  mengkonstruksi  model dinamika infeksi  virus HIV dengan  menggabungkan respon imun  dan  kombinasi  terapi,  kemudian  dikembangkan kembali oleh Preety Dubey dkk  [1] dengan mengkonstruksi model  dinamika  infeksi  virus  HIV  yang  melibatkan  peran antibodi  dalam  mengendalikan  virus.  Serta  penelitian  yang dikembangkan  oleh  Nastitie  [5]  berupa  pemberian  kendali optimal  untuk  pengobatan  kanker  dengan  menggabungkan kombinasi terapi dalam meminimalkan ukuran kanker, yang dapat diterapkan untuk penelitian yang akan dilakukan pada makalah  ini  yaitu  analisis  perilaku  sistem  dan  memperoleh kontrol  optimal  dengan  menggunakan  Prinsip  Maksimum Pontryagin  (PMP)  dari  model  penyebaran  virus  HIV. Penelitian  ini  bertujuan  untuk  meningkatkan  jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 dengan  biaya  pemberian  obat  terapi  antiretroviral yang  minimum  sehingga  dapat  menekan  penyebaran  virus HIV dan mengurangi jumlah sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang terinfeksi, cara ini  dilakukan  agar  dapat  meningkatkan  masa  hidup  orang yang terjangkit virus HIV tiap tahunnya. Model Preeti Dubey dkk  [1]  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  melibatkan  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang tidak terinfeksi, sel yang terinfeksi, virus HIV, respon  imun  yang  didapat  yaitu cytotoxic  T  lymphocyte (CTL)  dan  respon  kekebalan  tubuh  (antibodi).  Dengan asumsi bahwa stimulasi diri dari CTL terjadi karena adanya sel yang terinfeksi virus serta respon dalam menghadapi sel terinfeksi  dan  stimulasi  diri  dari  antibodi  terjadi  karena adanya  virus  bebas.  Selanjutnya,  perilaku  sistem  akan direpresentasikan  dalam  bentuk  simulasi  menggunakan software MATLAB R2013a.

## II. DASAR TEORI
A. Human Immunodeficiency Virus (HIV)
Human  Immunodeficiency  Virus (HIV)  adalah  retrovirus yang  menginfeksi  sel-sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang  normalnya digunakan untuk pengenalan antigen tetapi digunakan untuk pengikatan  dan  menyerang  sistem  kekebalan  tubuh  dengan menghancurkan atau mengganggu fungsinya. HIV

## Analisis dan Kontrol Optimal pada Model Penyebaran Virus HIV dengan Peran Respon Imun dan Terapi Antiretroviral
Sinta Armadi Putri, Hariyanto, dan Nur Asiyah Depatemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember
e-mail : sintarmadiputri@yahoo.com
B
merupakan agen penyebab AIDS, menyerang salah satu jenis dari sel-sel darah putih yang bertugas menangkal infeksi. HIV merupakan suatu virus yang didalamnya terdapat protein inti yang  dikelilingi  2  molekul  RNA  rantai  tunggal,  dan melakukan replikasi menggunakan sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 sebagai alat untuk  memperbanyak  diri  dan  menyebar  ke  seluruh  tubuh dengan mengandalkan enzim reverse transcriptase [6].
Sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 mempercepat  produksi  antibodi  oleh  sel  B, serta  dapat  menghasilkan  zat-zat  yang  mengaktifkan  sel  T sitotoksik  dan  sel-sel  darah  putih  yang  dikenal  sebagai makrofag.  Sel-sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 ditargetkan  oleh  HIV  sebagai inang  dan  menghancurkannya  dengan  memicu  sinyal  yang mengakibatkan kematian sel. Sel T sitotoksik terlibat dalam penghancuran  langsung  sel-sel  yang  telah  menjadi  kanker atau  terinfeksi  virus.  Sel  T  sitotoksik  mengandung  butiran (kantung  yang  berisi  enzim  pencernaan  atau  zat  kimia lainnya) sehingga mereka memanfaatkannya untuk menyebabkan  sel  target  pecah  dalam  proses  yang  disebut apoptosis. Sel T menyerang jaringan organ asing saat organ transplantasi  diidentifikasi  sebagai  jaringan  yang  terinfeksi. Respon  sel  sitotoksik  menghambat  replikasi  virus  dan berperan  penting  dalam  kontrol  awal  infeksi  HIV  dan mengendalikan setpoint virus [7].
Antibodi  adalah  suatu  glikoprotein  yang  dihasilkan  oleh sel  B  limfosit  dan  merupakan  sistem  pertahanan  tubuh melalui sistem kekebalan tubuh (imunitas) untuk membunuh dan  menetralisir  zat-zat  asing  yang  masuk  ke  dalam  tubuh yang dapat membahayakan tubuh, seperti bakteri, virus atau zat  kimia  lainnya.  Antibodi  dapat  menghentikan  aktivitas antigen  yang  merusak  dengan  cara  mengikatkan  antibodi pada  antigen  sehingga  permukaannya  menjadi  lebih  mudah menempel  pada  makrofag  dan  menjauhkan  antigen  tersebut dari  sel  yang  ingin  dirusak.  Antibodi  juga  mempersiapkan antigen untuk dimakan oleh makrofag [8].
Pengobatan  yang  dapat  dilakukan  untuk  penderita  HIV saat  ini  adalah  menggunakan  Terapi  Antiretroviral  (ART). Terapi ini berupa obat HIV yang digunakan untuk mengatasi infeksi HIV dengan cara menghambat HIV pada tahap siklus hidupnya.  Ada  berbagai  kelas  obat  HIV,  setiap  kelas mempunyai  cara  yang  berbeda  untuk  melawan  HIV.  Setiap harinya,  pasien  HIV  menggunakan  kombinasi  obat  HIV setidaknya  2  kelas  obat  HIV yang  berbeda.  Konsumsi  rutin dari obat-obatan HIV dapat membantu penderita HIV hidup lebih lama dan lebih sehat [3].
B. Model Matematika
Model matematika dikonstruksi berdasarkan pada interaksi antara sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang tidak terinfeksi 𝑥(𝑡), sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang terinfeksi 𝑦(𝑡), virus 𝑣(𝑡) dan kedua komponen dari respon imun  yang  diperoleh  yaitu  sel  sitotoksik  (CTL) 𝐶(𝑡) dan antibodi 𝐴(𝑡) .  Model  persamaan  differensial  biasa  lima dimensi diberikan sebagai [1] :
𝑥̇ =  𝜔 + 𝑟𝑥  (1 − 𝑥 𝑥 𝑚 ) − 𝜔 0 𝑥 − 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣 𝑦̇ = 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣 − 𝛿 0 𝑦 − 𝑘 1 𝐶𝑦 𝑣̇ = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑦 −   𝛿 1 𝑣  − 𝑘 2 𝐴𝑣                                       (1) 𝐶̇ = 𝛼 1 𝑦 + 𝜇 1 𝐶𝑦 − 𝜇 10 𝐶 𝐴̇ =   𝜇 2 𝑣𝐴 − 𝜇 20 𝐴 𝑥(0) > 0,   𝑦(0) ≥ 0,   𝑣(0) ≥ 0,   𝐶(0) ≥ 0,   𝐴(0) ≥ 0. dengan nilai parameter sebagai berikut [1]:
Tabel 1 Variabel Keadaan dan Nilai Parameter Model Penyebaran Virus HIV
Variabel Keadaan Variabel Keadaan Deskripsi 𝑥 Sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang tidak terinfeksi 𝑦 Sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang terinfeksi 𝑣 Virus Bebas 𝐶
Sel Sitotoksik
𝐴 Antibodi Nilai Parameter Parameter Deskripsi Nilai 𝜔 Masuknya sel yang tidak terinfeksi 10/ 𝑚𝑚 3 hari 𝜔 0 Tingkat kematian sel yang tidak terinfeksi 0.055/hari 𝛿 0 Tingkat kematian sel yang terinfeksi 0.2575/hari 𝛿 1 Tingkat pembersihan virus 3/hari 𝛽 Tingkat infeksi 0.002 𝑚𝑚 3 /hari 𝛼 1 Stimulasi sel sitotoksik akibat adanya sel yang terinfeksi 0.0205 𝑚𝑚 3 /hari
𝜇 1 Responsif sel sitotoksik 0.03 𝑚𝑚 3 /hari 𝜇 2 Responsif antibodi
0.01 𝑚𝑚 3 /hari 𝜇 10 Berkurangnya sel sitotoksik 0.755/hari 𝜇 20 Berkurangnya antibodi 0.1 /hari 𝑘 1 Tingkat keefektifan sel sitotoksik 0.05 𝑚𝑚 3 /hari 𝑘 2 Tingkat keefektifan antibodi
0.5 𝑚𝑚 3 /hari 𝑁 Jumlah partikel virus 100 virus/sel 𝑥 𝑚 Jumlah maksimum sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang tidak terinfeksi 1500 / 𝑚𝑚 3 𝑟 Tingkat pertumbuhan sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 0.3 𝑚𝑚 3 /hari

## C. Analisis Dinamika Penyebaran Virus HIV
Analisis  dinamika  model  dilakukan  untuk  mengetahui perilaku sistem pada model dinamik penyebaran virus HIV. Pada  penelitian  ini  akan  dianalisis  mengenai  kestabilan  di sekitar titik kesetimbangan dan keterkontrolan sistem.

## 1) Titik Kestimbangan
Diberikan suatu persamaan differensial:
𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡)),          𝑥(𝑡 𝑜 ) = 𝑥 0 (2) dengan 𝑥(𝑡) ∈ 𝑅 𝑛 , vektor 𝑥̅ yang memenuhi 𝑓(𝑥̅) = 0 . Definisi 1 [9]
Titik 𝑥̅ ∈ ℝ 𝑛 disebut  titik  kesetimbang  dari  suatu  sistem jika 𝑓(𝑥̅) = 0.
2) Kestabilan Sistem
Matriks  Jacobian 𝐽(𝑓(𝑥̅)) dapat  digunakan  untuk mengidentifikasi  sifat  kestabilan  sistem  nonlinier  disekitar titik  ekuilibrium 𝑥̅ asalkan  titik  kesetimbangan  tersebut hiperbolik.  Berikut  diberikan  definisi  tentang  matriks jacobian dan titik kesetimbangan hiperbolik.
Definisi 2 [9]
Diberikan fungsi 𝑓 = (𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 ) dengan 𝑓 𝑖 ∈ 𝐶 1 (𝐸), 𝐼 = 1,2,3, … , 𝑛, 𝐸 ⊆ ℝ 𝑛 dan E himpunan terbuka. Matriks dinamakan matriks Jacobian dari 𝑓 pada titik 𝑥̅
𝐽(𝑓(𝑥̅)) =
( 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 ⋯ 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 ⋮ ⋮ ⋱  ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 ) Definisi 3 [9]
Titik  kesetimbangan 𝑥̅ dikatakan  hiperbolik  jika  semua nilai eigen matriks Jacobian 𝐽(𝑓(𝑥̅)) mempunyai bagian real tak nol.
Berikut diberikan definisi mengenai sifat kestabilan suatu sistem  nonlinier  yang  ditinjau  dari  nilai  eigen  matriks Jacobian.
Definisi 4 [9]
Suatu  titik  kesetimbangan 𝑥̅ pada  sistem  persamaan diferensial̇ 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) dikatakan
1. Stabil,  jika  semua  nilai  eigen  matriks  Jacobian J( 𝑓(𝑥̅) ) mempunyai bagian real negatif,
2. Tidak stabil, jika ada nilai eigen matriks Jacobian J( 𝑓(𝑥̅) ) mempunyai bagian real positif.
Dalam beberapa permasalahan tertentu kestabilan dari titik setimbang tidak dapat diamati karena tanda bagian real dari nilai  eigen  tidak  mudah  ditentukan.  Oleh  karena  itu dibutuhkan metode yang dapat digunakan untuk menentukan tanda  bagian  real  dari  akar-akar  persamaan  karakteristik tanpa  mencari  akar-akar  persamaan  karakteristik  terlebih dahulu.  Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  adalah kriteria Routh-Hurwitz.
Teorema 5 [10] :
Diberikan persamaan karakteristik 𝑞(𝑠) = 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑠 + 𝑎 0 𝑎 𝑛 ≠ 0 Kemudian disusun tabel sebagai berikut:
𝑠 𝑛 𝑠 𝑛−1 𝑠 𝑛−2 𝑠 𝑛−3 ⋮ 𝑠 0 | | 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑏 1 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛−3 𝑏 2 𝑐 1 ⋮ 𝑞 𝑐 2 𝑎 𝑛−4 𝑎 𝑛−5 𝑏 3 … … 𝑐 3
dimana 𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … dan 𝑞 secara rekursif didapat dari:
𝑏 1 = 𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2−𝑎𝑛𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−1 , 𝑏 2 = 𝑎𝑛−1𝑎𝑛−4−𝑎𝑛𝑎𝑛−5 𝑎𝑛−1 , …
𝑐 1 = 𝑏1𝑎𝑛−3−𝑏2𝑎𝑛−1 𝑏1 , 𝑐 2 = 𝑏1𝑎𝑛−5−𝑏3𝑎𝑛−1 𝑏1 , …
1. Jika banyaknya perubahan tanda dalam kolom pertama pada tabel diatas maka sistem tidak stabil.
2. Jika  pada  kolom  pertama  dalam  tabel  tidak  ada perubahan  tanda  (semuanya  bertanda  positif  atau semuanya  bertanda  negatif),  maka  semua  akar polinomial 𝑞(𝑠) bagian  realnya  adalah  tak  positif  dan sistem bersifat stabil.
3) Keterkontrolan Sistem
Analisis  Keterkontrolan  sistem  sangat  perlu  dilakukan karena  pada  dasarnya  untuk  memperoleh  solusi  dari  suatu permasalahan kontrol optimal haruslah sistem tersebut dapat dikontrol  jika  tidak  maka  kontrol  optimal  tidak  akan didapatkan.
Teorema 6 [10] :
Jika terdapat persamaan matriks state sebagai berikut:
𝑥̇(𝑡)   =  𝐴𝑥(𝑡)   +  𝐵𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡)   =  𝐶𝑥(𝑡)
Maka syarat perlu dan cukup sistem terkontrol adalah:
𝑀 𝑐 = [𝐵| 𝐴𝐵 | 𝐴 2 𝐵 | … |𝐴 𝑛−1 𝐵]
Mempunyai rank sama dengan 𝑛 .

## D. Kendali Optimal
Pada  umumnya  masalah  kontrol  optimal  bertujuan  untuk mencari  kontrol 𝑢(𝑡) yang  akan  diproses  dalam  sistem dinamik dan dapat mengoptimalkan indeks performansi [11]. Adapun masalah formulasi kendali optimal terdiri dari:
1. Mendeskripsikan  secara  matematis  dari  model  (dalam bentuk variabel state ).
2. Menentukan fungsi objektif ( performance index ).
3. Menentukan  kendala  dan  kondisi  batas  yang  harus  di penuhi .
Fungsi  objektif  ( performance  index )  dapat  diformulasikan sebagai berikut :
𝐽 = 𝑆(𝑥(𝑡 𝑓 ), 𝑡 𝑓 ) + ∫ 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 𝑡𝑓 𝑡0 (3)
dengan kendala:
𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)                                                             (4) dan  kondisi  batas 𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 dan 𝑥(𝑡 𝑓 ) = 𝑥 𝑓 , 𝑡 0 dan 𝑡 𝑓 masing-masing  adalah  waktu  awal  dan  akhir. 𝑆, 𝑉, 𝑑𝑎𝑛 𝑓 adalah fungsi skalar.
Serta  kontrol 𝑢 ∗ (𝑡) merupakan  kontrol  optimal,  jika disubstitusikan  ke  dalam  sistem  (4)  akan  memperoleh keadaan  yang  optimal 𝑥 ∗ (𝑡) dan  pada  saat  yang  sama  juga dapat mengoptimalkan indeks performansi (3).
E. Prinsip Maksimum Pontryagin
Prinsip  Maksimum  Pontryagin  adalah  metode  untuk memperoleh  penyelesaian  kendali  optimal.  Secara  umum langkah-langkah  penyelesaian  kendali  optimal  dapat diuraikan sebagai berikut [11]:
1. Bentuk fungsi Pontryaginnya (Hamilton)
𝐻 (𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑡)
= 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) +  𝑔(𝑡) 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)                  (5)
2. Maksimumkan 𝐻 terhadap semua vektor kendali 𝑢(𝑡) 𝜕𝐻 𝜕𝑢 = 0                                                                                 (6)
dan diperoleh,
𝑢 ∗ (𝑡) = ℎ(𝑥 ∗ (𝑡),  𝑔 ∗ (𝑡), 𝑡)                                            (7)
3. Gunakan  hasil  dari  langkah  2  ke  dalam  langkah  1  dan tentukan 𝐻 ∗ yang optimal 𝐻 ∗ (𝑥 ∗ (𝑡), ℎ(𝑥 ∗ (𝑡),  𝑔 ∗ (𝑡), 𝑡) , 𝑔(𝑡), 𝑡) = ℎ(𝑥 ∗ (𝑡),  𝑔 ∗ (𝑡), 𝑡)                         (8) 4. Selesaikan persamaan state dan costate
𝑥 ∗ (𝑡) =   + 𝜕𝐻 𝜕𝜆 dan 𝑔 ∗ (𝑡) =   + 𝜕𝐻 𝜕𝑥 (9) dengan  kondisi  awal 𝑥 0 dan  kondisi  transversality. Kondisi batas transversality dibedakan menjadi lima tipe berdasarkan  perbedaan  antara 𝑡 𝑓 dan  state  pada  waktu dan akhir 𝑥(𝑡 𝑓 ) , antara lain:
 Waktu  akhir  dan  state  saat  waktu  akhir  telah ditentukan atau diketahui
𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 , 𝑥(𝑡 𝑓 ) = 𝑥 𝑓
 Waktu akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan  state  saat  waktu  akhir  telah  ditentukan  atau diketahui
𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 , 𝑥(𝑡 𝑓 ) = 𝑥 𝑓 , ( 𝐻 ∗ + 𝜕𝑠 𝜕𝑡 ) 𝑡𝑓
 Waktu  akhir  telah  ditentukan  atau  diketahui sedangkan  state  saat  waktu  akhir  belum  diketahui atau ditentukan
𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 , 𝑔
∗ (𝑡 𝑓 ) = ( 𝜕𝑠 𝜕𝑡 ) ∗𝑡𝑓
 Waktu  akhir  belum  ditentukan  dan  state  saat  akhir belum  ditentukan,  serta  nilainya  bergantung  pada sesuatu
𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 , 𝑥(𝑡 𝑓 ) = 𝜑(𝑡 𝑓 ) ( 𝐻 ∗ + 𝜕𝑠 𝜕𝑡 + (( 𝜕𝑠 𝜕𝑡 ) ∗ −  𝑔 ∗ (𝑡)) , 𝜑(𝑡)) 𝑡𝑓 = 0
 Waktu akhir belum ditentukan dan state akhir belum ditentukan,  tapi  nilainya  tidak  bergantung  pada sesuatu 𝛾𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 ( 𝐻 ∗ + 𝜕𝑠 𝜕𝑡 ) 𝑡𝑓 = 0 , (( 𝜕𝑠 𝜕𝑡 ) ∗ −  𝑔 ∗ (𝑡) ) 𝑡𝑓 = 0
5. Untuk memperoleh kendali optimal, substitusikan solusi 𝑥 ∗ (𝑡),  𝑔 ∗ (𝑡) dari  langkah  4  ke  dalam  ekspresi  optimal 𝑢 ∗ kendali pada langkah 2.

## III. METODOLOGI PENELITIAN
Langkah-langkah analisis yang akan dilakukan berdasarkan  tujuan  dalam  penelitian  ini  adalah  sebagai berikut:
1. Model penyebaran virus HIV.
2. Analisis sistem model penyebaran virus HIV.
a. Mencari  titik  setimbang  dari  sistem  model penyebaran virus HIV.
b. Melakukan linearisasi dengan matriks jacobi
c. Menganalisis  kestabilan  sistem  di  sekitar  titik setimbang.
d. Menganalisis keterkontrolan.
3. Menyusun  fungsi  tujuan  dan  memperoleh  kendali optimal menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin.
4. Melakukan simulasi menggunakan MATLAB 2013a. a. Menganalisis hasil simulasi sebelum diberi kontrol
b. Menganalisis hasil simulasi setelah diberi kontrol
c. Menarik kesimpulan dari hasil simulasi.
5. Menarik  kesimpulan  dari  hasil  penelitian  yang  telah diperoleh

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. Model Penyebaran Virus HIV
Model matematika dikonstruksi berdasarkan pada interaksi antara sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang tidak terinfeksi 𝑥(𝑡), sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang terinfeksi 𝑦(𝑡), virus 𝑣(𝑡) dan kedua komponen dari respon imun  yang  diperoleh  yaitu  sel  sitotoksik  (CTL) 𝐶(𝑡) dan antibodi 𝐴(𝑡) .  Dengan  mengasumsikan  bahwa  penyebaran virus  terjadi  dalam  tubuh,  sel  sitotoksik  terstimulasi  karena adanya sel yang terinfeksi virus pada tingkat 𝛼 1 serta respon dalam menghadapi sel terinfeksi pada tingkat 𝜇 1 dan antibodi terstimulasi  karena  adanya  virus  bebas  pada  tingkat 𝜇 2 . Dalam  model  penyebaran  virus  HIV  tersebut  terdapat beberapa hal yang dapat menambah jumlah sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 tidak terinfeksi  yaitu  masuknya  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 pada  tingkat 𝜔 dan perkembangbiakan  sel  pada  tingkat 𝑟𝑥  (1 − 𝑥 𝑥𝑚 ) .  Dan jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 tidak  terinfeksi  dapat  berkurang  karena
kematian pada tingkat 𝜔 0 dan terinfeksi virus (𝛽𝑥𝑣) dengan tingkat infeksi 𝛽 adalah konstan, sehingga dapat menambah jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 tidak  terinfeksi.  Jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 terinfeksi  dapat  berkurang  karena  keefektifan  sel  sitotoksik dalam membunuh sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 terinfeksi pada tingkat 𝑘 1 dan matinya  sel  pada  tingkat 𝛿 0 ,  yang  akan  menghasilkan  virus baru  pada  tingkat 𝑁𝛿 0 𝑦 melalui  proses  lisis.  Jumlah  virus bebas  dapat  berkurang  karena  keefektifan  antibodi  dalam membunuh virus pada tingkat 𝑘 2 dan kematian pada tingkat 𝛿 1 . Jumlah sel sitotoksik dan antibodi dapat berkurang karena habisnya  sel  sitotoksik  pada  tingkat 𝜇 10 dan  habisnya antibodi pada tingkat 𝜇 20 .
Dengan menggabungkan semua permasalahan yang dapat menyebabkan penyebaran virus HIV terjadi, didapatkan hasil persamaan  yang  disebut  dengan  model  Preety  Dubey  dkk dengan persamaan sebagai berikut [1]:
𝑥̇ =  𝜔 + 𝑟𝑥  (1 − 𝑥 𝑥 𝑚 ) − 𝜔 0 𝑥 − 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣               (10) 𝑦̇ = 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣 − 𝛿 0 𝑦 − 𝑘 1 𝐶𝑦                                        (11) 𝑣̇ = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑦 −   𝛿 1 𝑣  − 𝑘 2 𝐴𝑣                                   (12) 𝐶̇ = 𝛼 1 𝑦 + 𝜇 1 𝐶𝑦 − 𝜇 10 𝐶                                                      (13) 𝐴̇ = 𝜇 2 𝑣𝐴 − 𝜇 20 𝐴                                                                   (14) 𝑥(0) > 0,   𝑦(0) ≥ 0,   𝑣(0) ≥ 0,   𝐶(0) ≥ 0,   𝐴(0) ≥ 0.

## B. Analisis Sistem Model Penyebaran Virus HIV
Keadaan setimbang merupakan kondisi dimana perubahan jumlah  populasi  sepanjang  waktu  adalah  0.  Berdasarkan Definisi  (1) ,  model  penyebaran  virus  HIV  dikatakan setimbang jika 𝑥̇ = 𝑦̇ = 𝑣̇ = 𝐶̇ = 𝐴̇ = 0 sehingga diperoleh tiga titik setimbang yaitu:
a. Titik setimbang non endemik, 𝐸 0 (𝑥 𝑎 , 0,0,0,0)
𝐸 0 ( 𝑥𝑚 2𝑟 [(𝑟 − 𝜔 0 ) + √ 4𝑟 𝑥𝑚 𝜆 + (𝑟 − 𝜔 0 ) 2 ] , 0,0,0,0)
b. Titik setimbang bebas imun, 𝐸 1 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑣 ∗ , 0,0) 𝐸 1 ( 𝛿 1 𝛽𝑁(1 − 𝜂 𝑟 )(1 − 𝜂 𝑃 ) , 1 𝛿 0 (𝜔 + (𝑟 − 𝜔 0 ) 𝛿 1 𝛽𝑁(1 − 𝜂 𝑟 )(1 − 𝜂 𝑃 ) − 𝑟 𝑥 𝑚 ( 𝛿 1 𝛽𝑁(1 − 𝜂 𝑟 )(1 − 𝜂 𝑃 ) ) 2 ) , ( 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 ) 𝛿 1 ) 1 𝛿 0 (𝜔 + (𝑟 − 𝜔 0 ) 𝛿 1 𝛽𝑁(1 − 𝜂 𝑟 )(1 − 𝜂 𝑃 ) − 𝑟 𝑥 𝑚 ( 𝛿 1 𝛽𝑁(1 − 𝜂 𝑟 )(1 − 𝜂 𝑃 ) ) 2 ) , 0,0,0)
Setelah  diperoleh  titik  setimbang  dari  sistem  dinamik model  penyebaran  virus  HIV,  langkah  selanjutnya  adalah menganalisis  kestabilan  dari  sistem  tersebut.  Berdasarkan persamaan  (10)  –  (14)  terlihat  bahwa  model  matematika penyebaran  virus  HIV  merupakan  sistem  PD  autonomous yang  tak  linear,  maka  untuk  mendapatkan  kestabilan  akan dilakukan linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobi.
Persamaan (10) – (14) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel 𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝐶 𝑑𝑎𝑛 𝐴 , sehingga persamaan tersebut dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut :
𝑥̇ = 𝜔 + 𝑟𝑥  (1 − 𝑥 𝑥 𝑚 ) − 𝜔 0 𝑥 − 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣 = 𝑓 1 (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝐶, 𝐴)  (15) 𝑦̇ = 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣 − 𝛿 0 𝑦 − 𝑘 1 𝐶𝑦 = 𝑓 2 (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝐶, 𝐴)                           (16) 𝑣̇ = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑦 −  𝛿 1 𝑣  − 𝑘 2 𝐴𝑣 = 𝑓 3 (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝐶, 𝐴)                      (17) 𝐶̇ = 𝛼 1 𝑦 + 𝜇 1 𝐶𝑦 − 𝜇 10 𝐶 = 𝑓 4 (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝐶, 𝐴)                                         (18) 𝐴̇ = 𝜇 2 𝑣𝐴 − 𝜇 20 𝐴 = 𝑓 5 (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝐶, 𝐴)                                                     (19)
c. Titik setimbang endemik, 𝐸 2 (𝑥̅, 𝑦̅ , 𝑣̅, 𝐶̅, 𝐴̅)
𝐸 2 ( 𝑥 𝑚 2𝑟 [(𝑟 − 𝜔 0 − 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 ) ( 𝜇 20 𝜇 2 )) + √ 4𝑟 𝑥 𝑚 𝜔 + (𝑟 − 𝜔 0 − 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 ) ( 𝜇 20 𝜇 2 )) 2 ], ( 𝜇 10 𝑚 2 + √𝑚 2 2 + 4𝑚 1 𝑚 3 2𝑚 1 𝛼 1 + 𝜇 1 𝑚 2 + √𝑚 2 2 + 4𝑚 1 𝑚 3 2𝑚 1 ) , 𝜇 20 𝜇 2 ,
𝑚 2 + √𝑚 2 2 + 4𝑚 1 𝑚 3 2𝑚 1 , 𝜇 2 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 ) ( 𝜇 10 𝑚 2 + √𝑚 2 2 + 4𝑚 1 𝑚 3 2𝑚 1 𝛼 1 + 𝜇 1 𝑚 2 + √𝑚 2 2 + 4𝑚 1 𝑚 3 2𝑚 1 ) − 𝛿 1 𝜇 20 𝑘 2 𝜇 20
)
berdasarkan Definisi  (2), maka  matriks  Jacobian  dari persamaan (6) – (10) adalah:
𝐽 =
( −𝑍 1 0 −𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 0 0 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 −𝑍 2 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 −𝑘 1 𝑦 0 0 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 ) −𝑍 3 0 −𝑘 2 𝑣 0 𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶 0 −𝑍 4 0 0 0 𝜇 2 𝐴 0 −𝑍 5 )
dengan 𝑍 1 = 2𝑟𝑥 𝑥𝑚 + 𝜔 0 + 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 − 𝑟,    𝑍 2 = 𝛿 0 + 𝑘 1 𝐶 , 𝑍 3 = 𝛿 1 + 𝑘 2 𝐴,           𝑍 4 = 𝜇 10 − 𝜇 1 𝑦,         𝑍 5 = 𝜇 20 − 𝜇 2 𝑣.
1) Kestabilan lokal titik setimbang non endemik 𝐸 0 (𝑥 𝑎 , 0,0,0,0)
𝐽(𝐸 0 ) = ( −𝑍 1 0 −𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 𝑎 0 0 0 −𝛿 0 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 𝑎 0 0 0 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 ) −𝛿 1 0 0 0 𝛼 1 0 −𝜇 10 0 0 0 0 0 −𝜇 20 ) dengan 𝑍 1 = 2𝑟𝑥𝑎 𝑥𝑚 + 𝜔 0 − 𝑟 .
Persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobian  tersebut dapat dicari dengan menggunakan |𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )| = 0 , sehingga diperoleh :
(𝜆 + 𝜇 20 )(𝜆 + 𝜇 10 )(𝜆 + 𝑍 1 )(𝜆 2 + 𝑏 𝜆 + 𝑐) = 0 dengan 𝑏 = 𝛿 0 + 𝛿 1 dan 𝑐 = 𝛿 0 𝛿 1 − 𝛽𝑥 𝑎 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 ) dan diperoleh nilai eigen dari matriks 𝐽(𝐸 0 ) adalah 𝜆 1 = −𝜇 20 𝜆 2 = −𝜇 10 𝜆 3 = −𝑍 1 = − ( 2𝑟𝑥𝑎 𝑥𝑚 + 𝜔 0 − 𝑟) dan 𝜆 4,5 = −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −(𝛿 0 + 𝛿 1 ) ± √(𝛿 0 + 𝛿 1 ) 2 − 4(𝛿 0 𝛿 1 − 𝛽𝑥 𝑎 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 ))
2 Berdasarkan Definisi  4 , dapat  dilihat  dari  persamaan karakteristik  tersebut  bahwa  nilai  eigen 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 < 0 karena  semua  parameter  bernilai  positif  dan 𝜆 5 < 0 jika 𝛽𝑥𝑎𝑁(1−𝜂𝑃)(1−𝜂𝑟) 𝛿1 < 1 .
Jadi dapat disimpulkan bahwa titik setimbang non endemik stabil jika 𝛽𝑥𝑎𝑁(1−𝜂𝑃)(1−𝜂𝑟) 𝛿1 < 1 atau dapat ditulis 𝑅 0 < 1 . Hal ini  merepresentasikan bahwa  pada awal infeksi jika 𝑅 0 < 1 (jumlah  infeksi  baru  rata-rata  kurang  dari  1)  maka  infeksi
tidak  akan  meningkat  dan  sistem  akan  menjadi  bebas penyakit.
2) Kestabilan lokal titik setimbang bebas imun 𝐸 1 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑣 ∗ , 0,0)
𝐽(𝐸 1 ) = (
−𝑍 1 0 −𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 ∗ 0 0 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 ∗ −𝛿 0
𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 ∗ −𝑘 1 𝑦 ∗ 0 0 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 ) −𝛿 1 0 −𝑘 2 𝑣 ∗ 0 𝛼 1 0 −𝑍 2 0 0 0 0 0 −𝑍 3 )
dengan 𝑍 1 = 2𝑟𝑥∗ 𝑥𝑚 + 𝜔 0 + 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 ∗ − 𝑟 𝑍 2 = 𝜇 10 − 𝜇 1 𝑦 ∗ ,   𝑍 3 = 𝜇 20 − 𝜇 2 𝑣 ∗ .
Persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobian  tersebut dapat dicari dengan menggunakan |𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 1 )| = 0 , sehingga diperoleh :
(𝜆 + 𝑍 3 )(𝜆 4 + 𝜆 3 𝑛 1 + 𝜆 2 𝑛 2 + 𝜆𝑛 3 + 𝑛 4 )   = 0 dengan 𝑛 1 = 𝑍 1 + 𝛿 0 + 𝛿 1 + 𝑍 2 𝑛 2 = 𝑍 2 (𝑍 1 + 𝛿 0 + 𝛿 1 ) + 𝑍 1 𝛿 0 + 𝛿 1 (𝑍 1 + 𝛿 0 ) + 𝑘 1 𝑦 ∗ 𝛼 1 − 𝛽𝑥 ∗ 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 ) 𝑛 3 = 𝑍 2 (𝑍 1 𝛿 0 + 𝛿 1 (𝑍 1 + 𝛿 0 ) − 𝛽𝑥 ∗ 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 )) + 𝛽𝑥 ∗ 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 )(𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 ∗ − 𝑍 1 ) + 𝑘 1 𝑦 ∗ 𝛼 1 (𝑍 1 + 𝛿 1 ) + 𝑍 1 𝛿 0 𝛿 1 𝑛 4 = 𝑍 2 (𝑍 1 𝛿 0 𝛿 1 + 𝛽𝑥 ∗ 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 )(𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 ∗ − 𝑍 1 )) + 𝑘 1 𝑦 ∗ 𝛼 1 𝑍 1 𝛿 1 Berdasarkan Definisi  4 ,  dapat  dilihat  dari  persamaan karakteristik tersebut bahwa nilai eigen 𝜆 1 < 0 dengan syarat 𝜇 2 𝑣 ∗ < 𝜇 20 .  Selanjutnya  akan  dicari  kestabilan  dari persamaan (𝜆 4 + 𝜆 3 𝑛 1 + 𝜆 2 𝑛 2 + 𝜆𝑛 3 + 𝑛 4 ) = 0 menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Perhitungan kriteria Routh-Hurwitz 𝑠 4 1                                       𝑛 2 𝑛 4 0      0 𝑠 3 𝑛 1 𝑛 3 0         0 𝑠 2 𝑛 1 𝑛 2 −   𝑛 3 𝑛 1 𝑛 4 0 𝑠 1 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 3 −   𝑛 3 2 − 𝑛 1 2 𝑛 4 𝑛 1 𝑛 2 −   𝑛 3 0 𝑠 0 𝑛 4 Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  persamaan (𝜆 4 + 𝜆 3 𝑛 1 + 𝜆 2 𝑛 2 + 𝜆𝑛 3 + 𝑛 4 ) = 0 stabil  jika 𝑛 1 , 𝑛 4 > 0 , 𝑛 1 𝑛 2 > 𝑛 3 dan 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 3 > 𝑛 3 2 + 𝑛 1 2 𝑛 4 .
Dari  uraian  di  atas  dapat  disimpulkan  bahwa  titik setimbang  bebas  imun  stabil  jika 𝜇 2 𝑣 ∗ < 𝜇 20 , 𝑛 1 , 𝑛 4 > 0 , 𝑛 1 𝑛 2 > 𝑛 3 dan 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 3 > 𝑛 3 2 + 𝑛 1 2 𝑛 4 . Hal ini merepresentasikan bahwa dengan tidak adanya respon imun, infeksi  berlanjut  di  zona  endemik  dalam  keadaan  stabil  di bawah  kondisi 𝜇 2 𝑣 ∗ < 𝜇 20 , 𝑛 1 , 𝑛 4 > 0 , 𝑛 1 𝑛 2 > 𝑛 3 dan 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 3 > 𝑛 3 2 + 𝑛 1 2 𝑛 4 .
3) Kestabilan lokal titik setimbang endemik 𝐸 2 (𝑥̅, 𝑦̅ , 𝑣̅, 𝐶̅, 𝐴̅)
𝐽𝐸 2 = ( −𝑍 1 0
−𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥̅ 0 0 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣̅ −𝑍 2 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥̅ −𝑘 1 𝑦̅ 0 0 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 ) −𝑍 3 0 −𝑘 2 𝑣̅ 0 𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶̅ 0 −𝑍 4 0 0 0 𝜇 2 𝐴̅ 0 0 )
dengan 𝑍 1 = 2𝑟𝑥̅ 𝑥𝑚 + 𝜔 0 + 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣̅ − 𝑟,    𝑍 2 = 𝛿 0 + 𝑘 1 𝐶̅ ,
𝑍 3 = 𝛿 1 + 𝑘 2 𝐴̅,        𝑍 4 = 𝜇 10 − 𝜇 1 𝑦̅.
Persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobian  tersebut dapat dicari dengan menggunakan |𝜆𝐼 − 𝐽𝐸 2 | = 0 , sehingga diperoleh :
(𝜆 5 + 𝜆 4 𝑠 1 + 𝜆 3 𝑠 2 + 𝜆 3 𝑠 3 + 𝜆𝑠 4 + 𝑠 5 )   = 0                      (20)
dengan 𝑠 1 = 𝑍 1 + 𝑍 2 + 𝑍 3 + 𝑍 4 𝑠 2 = 𝑍 4 (𝑍 1 + 𝑍 2 + 𝑍 3 ) + 𝑍 1 𝑍 2 + 𝑍 3 (𝑍 1 + 𝑍 2 ) + 𝑘 1 𝑦̅(𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶̅) − 𝛽𝑥̅𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 ) + 𝑘 2 𝑣̅𝜇 2 𝐴̅ 𝑠 3 = 𝑍 4 (𝑍 1 𝑍 2 + 𝑍 4 (𝑍 1 + 𝑍 2 ) − 𝛽𝑥̅𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 )) +𝛽𝑥̅𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 )(𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣̅ − 𝑍 1 ) +𝑘 1 𝑦̅(𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶̅)(𝑍 1 + 𝑍 3 ) + 𝑍 1 𝑍 2 𝑍 3 +𝑘 2 𝑣̅𝜇 2 𝐴̅(𝑍 1 + 𝑍 2 + 𝑍 4 ) 𝑠 4 = 𝑍 4 (𝑍 1 𝑍 2 𝑍 3 + 𝛽𝑥̅𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )(1 − 𝜂 𝑟 )(𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣̅ − 𝑍 1 )) +𝑘 1 𝑦̅(𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶̅)𝑍 1 𝑍 3 +𝑘 2 𝑣̅𝜇 2 𝐴̅(𝑍 1 𝑍 4 + 𝑍 1 𝑍 2 + 𝑍 2 𝑍 4 + 𝑘 1 𝑦̅(𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶̅)) 𝑠 5 =   𝑍 1 𝑘 2 𝑣̅𝜇 2 𝐴̅(𝑍 2 𝑍 4 + 𝑘 1 𝑦̅(𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶̅))
Akan dicari kestabilan dari persamaan (20) menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Perhitungan kriteria Routh-Hurwitz dari persamaan (20) 𝑠 5 1                                                  𝑠 2 𝑠 4 0        0        0 𝑠 4 𝑠 1 𝑠 3 𝑠 5 0         0
𝑠 3 𝑠 1 𝑠 2 −   𝑠 3 𝑠 1 𝑠 1 𝑠 4 −   𝑠 5 𝑠 1 0           0 𝑠 2 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 3 −   𝑠 3 2 − 𝑠 1 2 𝑠 4 + 𝑠 1 𝑠 5 𝑠 1 𝑠 2 −   𝑠 3 𝑠 5 0
𝑠 1 (𝑠 1 𝑠 4 − 𝑠 5 ) 𝑠 1 − 𝑠 5 (𝑠 1 𝑠 2 −   𝑠 3 ) 2 𝑠 1 (𝑠 1 𝑠 2 𝑠 3 −   𝑠 3 2 − 𝑠 1 2 𝑠 4 + 𝑠 1 𝑠 5 ) 0
𝑠 0 𝑠 5
Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  persamaan  (20)  stabil jika 𝑠 1 , 𝑠 5 > 0, 𝑠 1 𝑠 2 >   𝑠 3 , 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 3 +   𝑠 1 𝑠 5 > 𝑠 1 2 𝑠 4 + 𝑠 3 2 , dan 𝑠 1 𝑠 4 > 𝑠 5 + 𝑠 5 (𝑠 1 𝑠 2 −   𝑠 3 ) 2 .
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa titik setimbang endemik  stabil  jika 𝑠 1 , 𝑠 5 > 0, 𝑠 1 𝑠 2 >   𝑠 3 , 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 3 +   𝑠 1 𝑠 5 > 𝑠 1 2 𝑠 4 + 𝑠 3 2 ,  dan 𝑠 1 𝑠 4 > 𝑠 5 + 𝑠 5 (𝑠 1 𝑠 2 −   𝑠 3 ) 2 .  Hal  ini merepresentasikan bahwa jumlah sel-sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang tidak terinfeksi  dengan  adanya  respon  imun  lebih  besar  daripada tidak  adanya  respon  imun.  Begitu  juga  dengan  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang tidak terinfeksi dalam kasus titik setimbang bebas virus ketika tidak ada infeksi di dalam tubuh.
Selanjutnya,  akan  dilakukan  analisis  keterkontrolan, dengan matriks 𝐴̅ diperoleh dari sistem yang telah dilinierkan menggunakan matriks Jacobi yaitu
𝐴̅ =
[
−𝑍 1 0
−𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 0 0
𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 −𝑍 2 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥 −𝑘 1 𝑦 0 0 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 ) −𝑍 3 0 −𝑘 2 𝑣 0 𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶 0 −𝑍 4 0 0 0 𝜇 2 𝐴 0 −𝑍 5 ] dengan
𝑍 1 = 2𝑟𝑥 𝑥 𝑚 + 𝜔 0 + 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 − 𝑟
𝑍 2 = 𝛿 0 + 𝑘 1 𝐶 ,
𝑍 3 = 𝛿 1 + 𝑘 2 𝐴 𝑍 4 = 𝜇 10 − 𝜇 1 𝑦
𝑍 5 = 𝜇 20 − 𝜇 2 𝑣 dan matriks 𝐵̅ diperoleh:
𝐵̅ = [
𝛽𝑥𝑣 0 −𝛽𝑥𝑣 0 0 −𝑁𝛿 0 𝑦
0 0 0 0 ]
Berdasarkan Teorema 6 dapat disusun matriks keterkontrolan (𝑀 𝑐 ) sebagai berikut :
(𝑀 𝑐 ) = (𝐵̅|𝐴𝐵 ̅̅̅̅|𝐴 2 𝐵 ̅̅̅̅̅|𝐴 3 𝐵 ̅̅̅̅̅|𝐴 4 𝐵 ̅̅̅̅̅)
dan diperoleh matriks 𝑀 𝐶 keterkontrolan  seperti berikut :
𝑀 𝐶 =
[ 𝛽𝑥𝑣 0 −𝛽𝑥𝑣 0 0 −𝑁𝛿 0 𝑦 0 0 0 0 | | 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 −𝑐 2 𝑐 4 𝑐 5 𝑐 6 0 0 𝑐 7 | | 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 𝑑 4 𝑑 5 𝑑 6 𝑑 7 𝑑 8 𝑑 9 𝑑 10 | | 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 𝑒 4 𝑒 5 𝑒 6 𝑒 7 𝑒 8 𝑒 9 𝑒 10 | | 𝑓 1 𝑓 2 𝑓 3 𝑓 4 𝑓 5 𝑓 6 𝑓 7 𝑓 8 𝑓 9 𝑓 10 ] dimana,
𝑐 1 = −𝑍 1 (𝛽𝑥𝑣) 𝑐 2 = 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑁𝛿 0 𝑦 𝑐 3 = (𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑣 + 𝑍 2 )(𝛽𝑥𝑣) 𝑐 4 = −𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝛽𝑥𝑣
𝑐 5 = 𝑍 3 𝑁𝛿 0 𝑦 𝑐 6 = −(𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝛽𝑥𝑣 𝑐 7 = −𝜇 2 𝐴𝑁𝛿 0 𝑦 𝑑 1 = −𝑍 1 𝑐 1 − 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑐 4 𝑑 2 = −𝑍 1 𝑐 2 − 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑐 5 𝑑 3 = 𝛽𝑣(1 − 𝜂 𝑟 )𝑐 1 −𝑍 2 𝑐 3 + 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑐 4 − 𝑘 1 𝑦𝑐 6 𝑑 4 = (𝛽𝑣(1 − 𝜂 𝑟 )+𝑍 2 )𝑐 2 + 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑐 5 𝑑 5 = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑐 3 − 𝑍 3 𝑐 4
𝑑 6 = −𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑐 2 − 𝑍 3 𝑐 5 − 𝑘 2 𝑣𝑐 7 𝑑 7 = (𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝑐 3 −𝑍 4 𝑐 6 𝑑 8 = −(𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝑐 2 𝑑 9 = 𝜇 2 𝐴𝑐 4
𝑑 10 = 𝜇 2 𝐴𝑐 5 − 𝑍 5 𝑐
7 𝑒 1 = −𝑍 1 𝑑 1 − 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑑 5 𝑒 2 = −𝑍 1 𝑑 2 − 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑑 6 𝑒 3 = 𝛽𝑣(1 − 𝜂 𝑟 )𝑑 1 −𝑍 2 𝑑 3 + 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑑 5 − 𝑘 1 𝑦𝑑 7 𝑒 4 = 𝛽𝑣(1 − 𝜂 𝑟 )𝑑 2 −𝑍 2 𝑑 4 + 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑑 6 − 𝑘 1 𝑦𝑑 8 𝑒 5 = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑑 3 − 𝑍 3 𝑑 5 − 𝑘 2 𝑣𝑑 9 𝑒 6 = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑑 4 − 𝑍 3 𝑑 6 − 𝑘 2 𝑣𝑑 10 𝑒 7 = (𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝑑 3 −𝑍 4 𝑑 7 𝑒 8 = (𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝑑 4 −𝑍 4 𝑑 8 𝑒 9 = 𝜇 2 𝐴𝑑 5 − 𝑍 5 𝑑 9 𝑒 10 = 𝜇 2 𝐴𝑑 6 − 𝑍 5 𝑑 10 𝑓 1 = −𝑍 1 𝑒 1 − 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑒 5 𝑓 2 = −𝑍 1 𝑒 2 − 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑒 6 𝑓 3 = 𝛽𝑣(1 − 𝜂 𝑟 )𝑒 1 −𝑍 2 𝑒 3 + 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑒 5 − 𝑘 1 𝑦𝑒 7 𝑓 4 = 𝛽𝑣(1 − 𝜂 𝑟 )𝑒 2 −𝑍 2 𝑒 4 + 𝛽𝑥(1 − 𝜂 𝑟 )𝑒 6 − 𝑘 1 𝑦𝑒 8 𝑓 5 = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑒 3 − 𝑍 3 𝑒 5 − 𝑘 2 𝑣𝑒 9 𝑓 6 = 𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑒 4 − 𝑍 3 𝑒 6 − 𝑘 2 𝑣𝑒 10 𝑓 7 = (𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝑒 3 −𝑍 4 𝑒 7 𝑓 8 = (𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝑒 4 −𝑍 4 𝑒 8 𝑓 9 = 𝜇 2 𝐴𝑒 5 − 𝑍 5 𝑒 9 𝑓 10 = 𝜇 2 𝐴𝑒 6 − 𝑍 5 𝑒 10
Dengan didapatkannya matriks keterkontrolan diatas dapat diamati  bahwa  rank 𝑀 𝐶 = 5 ,  dengan  demikian  sistem dinamik dari penyebaran penyakit HIV bersifat terkontrol.

## C. Kontrol Optimal Penyebaran Virus HIV
Teori kontrol optimal akan digunakan untuk menganalisis perilaku model penyebaran virus HIV setelah diberi kontrol (terapi  antiretroviral).  Masalah  kontrol  optimal  untuk penyebaran  virus  HIV  adalah  menentukan  fungsi  kontrol yang  optimal  sedemikian  sehingga  jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 meningkat. Didefinisikan fungsi tujuan sebagai berikut:
𝐽(𝜂 𝑟 , 𝜂 𝑝 ) = ∫ (𝑥(𝑡) + 𝐶(𝑡) + 𝐴(𝑡) − ( 𝐵 1 𝜂 𝑟 2 2 + 𝐵 2 𝜂 𝑝 2 2 )) 𝑡𝑓 𝑡0 𝑑𝑡
Konstanta  positif 𝐵 1 dan 𝐵 2 merupakan  parameter  bobot yang  dikenakan  pada  kontrol,  dan  dimana  kontrol 𝜂 𝑟 mewakili efisiensi terapi obat RTI dalam menghambat infeksi baru.  Kontrol 𝜂 𝑝 mewakili  efisiensi  terapi  obat  PI  dalam menghambat produksi virus. Jika 𝜂 𝑝 , 𝜂 𝑟 = 1
penghambatannya  100%  efektif  namun  ketika 𝜂 𝑝 , 𝜂 𝑟 = 0 penghambatannya  tidak  ada.  Tujuan  dari  penyelesaian kontrol  optimal  pada  penelitian  ini  adalah  untuk meningkatkan  jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 𝑥(𝑡) ,  sel  sitotoksik 𝐶(𝑡) , dan  antibodi 𝐴(𝑡) dengan  meminimalkan  biaya  pengobatan terapi  antiretroviral.  Dengan  demikian  masalah  kontrol optimal dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐽 (𝜂 𝑟∗ , 𝜂 𝑝∗ ) = max    𝐽(𝜂 𝑟 , 𝜂 𝑝 )
Selanjutnya  akan  diperoleh  kontrol  optimal  menggunakan Prinsip  Maksimum  Pontryagin  dengan  langkah-langkah sebagai berikut:
1. Bentuk fungsi Hamiltonian
𝐻 = 𝑥(𝑡) + 𝐶(𝑡) + 𝐴(𝑡) − ( 𝐵 1 𝜂 𝑟 2 2 + 𝐵 2 𝜂 𝑝 2 2 ) +𝑔 1 (𝜔 + 𝑟𝑥  (1 − 𝑥 𝑥 𝑚 ) − 𝜔 0 𝑥 − 𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣)
+𝑔 2 (𝛽(1 − 𝜂 𝑟 )𝑥𝑣 − 𝛿 0 𝑦 − 𝑘 1 𝐶𝑦) +𝑔 3 (𝑁𝛿 0 (1 − 𝜂 𝑃 )𝑦 −   𝛿 1 𝑣  − 𝑘 2 𝐴𝑣 ) +𝑔 4 (𝛼 1 𝑦 + 𝜇 1 𝐶𝑦 − 𝜇 10 𝐶) + 𝑔 5 (𝜇 2 𝑣𝐴 − 𝜇 20 𝐴)      (21) 2. Menentukan kondisi stasioner dari persamaan (21) untuk mendapatkan persamaan kontrol optimal, dan diperoleh
a. 𝜂 𝑟 = 𝛽𝑥𝑣(𝑔1−𝑔2) 𝐵1 (22)
Karena  batasan  nilai 𝜂 𝑟 adalah 0 < 𝜂 𝑟 < 1 ,  maka diperoleh beberapa kemungkinan hasil yang di dapat yaitu
𝜂 𝑟 { 𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 ) 𝐵 1 ,   𝑗𝑖𝑘𝑎 0 < 𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 ) 𝐵 1 < 1 0,                  𝑗𝑖𝑘𝑎 𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 ) 𝐵 1 ≤ 0 1,                  𝑗𝑖𝑘𝑎 𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 ) 𝐵 1 ≥ 1
Dari beberapa kemungkinan diatas, maka pengontrol yang optimal adalah
𝜂 𝑟 = min {𝑚𝑎𝑥 {0, 𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 ) 𝐵 1 } , 1} b. 𝜂 𝑝 = −𝑁𝛿0𝑦𝑔3 𝐵2 (23)
Karena  batasan  nilai 𝜂 𝑝 adalah 0 < 𝜂 𝑝 < 1 ,  maka diperoleh beberapa kemungkinan hasil yang di dapat yaitu
𝜂 𝑝 { −𝑁𝛿 0 𝑦𝑔 3 𝐵 2
,           𝑗𝑖𝑘𝑎 0 < −𝑁𝛿 0 𝑦𝑔 3 𝐵 2 < 1 0,                  𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑁𝛿 0 𝑦𝑔 3 𝐵 2 ≤ 0 1,                  𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑁𝛿 0 𝑦𝑔 3 𝐵 2 ≥ 1
Dari beberapa kemungkinan diatas, maka pengontrol yang optimal adalah
𝜂 𝑝 = min {𝑚𝑎𝑥 {0, −𝑁𝛿 0 𝑦𝑔 3 𝐵 2 } , 1} 3. Menentukan 𝐻 ∗ yang optimal
Dengan  mensubtitusikan  persamaan  (22)  dan  (23)  ke dalam persamaan (21) sehingga diperoleh:
𝐻 ∗ = 𝑥(𝑡) + 𝐶(𝑡) + 𝐴(𝑡)
− ( (𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 )) 2 2𝐵 1 + (𝑁𝛿 0 𝑦𝑔 3 ) 2 2𝐵 2 )
+𝑔 1 (𝜔 + 𝑟𝑥  (1 − 𝑥 𝑥 𝑚 ) − 𝜔 0 𝑥 − 𝛽 (1 − 𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 ) 𝐵 1 ) 𝑥𝑣) +𝑔 2 (𝛽 (1 − 𝛽𝑥𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 ) 𝐵 1 ) 𝑥𝑣 − 𝛿 0 𝑦 − 𝑘 1 𝐶𝑦) +𝑔 3 (𝑁𝛿 0 (1 + 𝑁𝛿 0 𝑦𝑔 3 𝐵 2 ) 𝑦 −   𝛿 1 𝑣  − 𝑘 2 𝐴𝑣 ) +𝑔 4 (𝛼 1 𝑦 + 𝜇 1 𝐶𝑦 − 𝜇 10 𝐶) + 𝑔 5 (𝜇 2 𝑣𝐴 − 𝜇 20 𝐴)      (24)
4. Menyelesaikan  persamaan  state  dan  costate  untuk memperoleh sistem yang optimal
a. Persamaan State
𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔 1 = 𝜔 + 𝑟𝑥  (1 − 𝑥 𝑥 𝑚 ) − 𝜔 0 𝑥 − 𝛽𝑥𝑣(1 − 𝜂 𝑟 ) 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔 2 = 𝛽𝑥𝑣(1 − 𝜂 𝑟 ) − 𝛿 0 𝑦 − 𝑘 1 𝐶𝑦 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔 3 = 𝑁𝛿 0 𝑦(1 − 𝜂 𝑝 ) −   𝛿 1 𝑣  − 𝑘 2 𝐴𝑣 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔 4 = 𝛼 1 𝑦 + 𝜇 1 𝐶𝑦 − 𝜇 10 𝐶 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑔 5 = 𝜇 2 𝑣𝐴 − 𝜇 20 𝐴
b. Persamaan costate
𝜕𝑔 1 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑥 = − (1 + (𝑟 − 2𝑟𝑥 𝑥 𝑚 − 𝜔 0 ) 𝑔 1 − 𝛽𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 )(1 − 𝜂 𝑟 )) 𝜕𝑔 2 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑦 = −(𝑁𝛿 0 𝑔 3 (1 − 𝜂 𝑝 ) − (𝛿 0 + 𝑘 1 𝐶)𝑔 2 + (𝛼 1 + 𝜇 1 𝐶)𝑔 4 ) 𝜕𝑔 3 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑣 = −(−𝛽𝑣(𝑔 1 − 𝑔 2 )(1 − 𝜂 𝑟 ) − ( 𝛿 1 + 𝑘 2 𝐴)𝑔 3 + 𝜇 2 𝐴𝑔 5 ) 𝜕𝑔 4 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝐶 = −(1 − 𝑘 1 𝑦𝑔 2 + (𝜇 1 𝑦 − 𝜇 10 )𝑔 4 ) 𝜕𝑔 5 𝜕𝑡 = 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝐴 = −(1 − 𝑘 2 𝑣𝑔 3 + (𝜇 2 𝑣 − 𝜇 20 )𝑔 5 )

## D. Hasil Simulasi
Pada  sub bab  ini  akan  dianalisis  mengenai  hasil  simulasi yang  membandingkan  dinamika  masing  masing  populasi sebelum  dan  setelah  pemberian  kendali  optimal  ke  dalam sistem dengan model penyebaran virus HIV yang ditunjukkan melalui  grafik,  dengan  menginputkan  nilai  nilai  parameter yang disajikan dalam Tabel 1 . Dengan menggunakan ODE45 pada  MATLAB2013a,  akan  ditunjukkan  kondisi  sistem model penyebaran virus HIV sebelum dan setelah pemberian kendali optimal dalam grafik, dengan nilai awal 𝑥(𝑡) = 50 , 𝑦(𝑡) = 3 , 𝑣(𝑡) = 50 , 𝐶(𝑡) = 20 , dan 𝐴(𝑡) = 30
Gambar 1. Populasi sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 tidak terinfeksi 𝑥(𝑡)
Gambar 2. Populasi sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 terinfeksi 𝑦(𝑡) Gambar 3. Populasi virus HIV 𝑣(𝑡)
Gambar 5. Populasi Antibodi 𝐴(𝑡)
Untuk  simulasi  ini,  akan  digunakan  nilai  parameter  yang diberikan  pada  Tabel  1.  Grafik  dari  simulasi  model penyebaran virus HIV yang diberikan seperti gambar diatas dapat  membantu  membandingkan  sel  yang  tidak  terinfeksi, sel  yang  terinfeksi,  virus  HIV,  sel  sitotoksik  dan  antibodi sebelum  dan  sesudah  pemberian  kontrol  berupa  obat antiretroviral.
Gambar 1 menunjukkan bahwa setelah pemberian kontrol, populasi sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 tidak terinfeksi tumbuh secara signifikan hingga 20% yang meningkatkan kualitas hidup pasien. Pada Gambar  2,  jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang  terinfeksi  pada  waktu akhir tf = 20 (hari) adalah 0,005 dalam kasus dengan kontrol dan  18,45  tanpa  kontrol,  dan  total  kasus  dalam  memblokir infeksi baru pada akhir program kontrol adalah 18,445 , maka eﬁsiensi  terapi  obat  dalam  memblokir  infeksi  baru  adalah 99%. Gambar 3 menunjukkan bahwa setelah  diberi kontrol, virus  HIV  menurun  ke  nol.  Jumlah  virus  bebas  dengan kontrol  pada  waktu  akhir  adalah  0  dan  tanpa  kontrol berjumlah  8,1,  dan  jumlah  total  dalam  memblokir  produksi virus pada akhir program kontrol adalah  8,1, maka eﬁsiensi terapi  obat  dalam  menghambat  produksi  virus  bebas  100%. Gambar 4 dan 5 menunjukkan bahwa respon imun yaitu sel sitotoksik dan antibodi ketika ada peningkatan infeksi maka akan  diikuti  oleh  peningkatan  respon  imun,  yang  kemudian berfungsi  untuk  menghilangkan  infeksi  dengan  membunuh sel yang terinfeksi dan virus dalam tubuh. Begitu infeksinya rendah, respon imun tidak diperlukan pada level yang tinggi dan inilah mengapa respon imun ikut turun.
Gambar 6 dan 7 yang diberikan dibawah ini menunjukkan kontrol optimal 𝜂 𝑟 dan 𝜂 𝑝 dalam memblokir infeksi baru dan menghambat produksi virus.
Gambar 7. Kontrol 𝜂 𝑝 (𝑡)

## V. KESIMPULAN
Dari  hasil  pembahasan  yang  telah  disajikan  pada  bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa:
1. Sistem  dinamik  pada  model  penyebaran  virus  HIV diperoleh 3 titik kesetimbangan yaitu:
a. Titik setimbang non endemik 𝐸 0 (𝑥 𝑎 , 0,0,0,0) , stabil asimtotis lokal jika 𝑅 0 = 𝛽𝑥𝑎𝑁(1−𝜂𝑃)(1−𝜂𝑟)
𝛿1 < 1
b. Titik  setimbang  non  endemik 𝐸 1 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑣 ∗ , 0,0) , stabil  asimtotis  lokal  jika 𝜇 2 𝑣 ∗ < 𝜇 20 , 𝑛 1 , 𝑛 4 > 0 , 𝑛 1 𝑛 2 > 𝑛 3 dan 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 3 > 𝑛 3 2 + 𝑛 1 2 𝑛 4 ,
c. Titik setimbang non endemik 𝐸 2 (𝑥̅, 𝑦̅, 𝑣̅, 𝐶̅, 𝐴̅) , stabil asimtotis lokal jika 𝑠 1 , 𝑠 5 > 0, 𝑠 1 𝑠 2 >   𝑠 3 , 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 3 + 𝑠 1 𝑠 5 > 𝑠 1 2 𝑠 4 + 𝑠 3 2 ,  dan 𝑠 1 𝑠 4 > 𝑠 5 + 𝑠 5 (𝑠 1 𝑠 2 − 𝑠 3 ) 2 . 2. Kendali optimal yang diperoleh pada upaya pemaksimalan  atau  peningkatan  jumlah  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 dengan  menerapkan  Prinsip  Maksimum  Pontryagin didapat pengendali berupa obat antiretroviral yaitu RTI
(𝜂 𝑟 ) yang  akan  optimal  jika  nilai 𝜂 𝑟 = 𝛽𝑥𝑣(𝑔1−𝑔2) 𝐵1 dan
PI (𝜂 𝑝 ) yang akan optimal jika nilai 𝜂 𝑝 = −𝑁𝛿0𝑦𝑔3 𝐵2 . 3. Hasil simulasi sistem awal setelah pemberian kontrol dari model penyebaran virus HIV menunjukkan bahwa, populasi 𝐶𝐷4 + 𝑇 tumbuh secara  signifikan  yang  dapat  meningkatkan kualitas  hidup  pasien,  populasi  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang  terinfeksi
dapat  turun  hingga  18,445  yang  berarti  eﬁsiensi  terapi  obat dalam  memblokir  infeksi  baru  adalah  99%,  jumlah  virus bebas dapat turun hingga 8,1 yang berarti eﬁsiensi terapi obat dalam menghambat produksi virus bebas 100%, serta respon imun  yaitu  sel  sitotoksik  dan  antibodi  juga  ikut  turun mendekati nol mengikuti sel yang terinfeksi dan virus dalam tubuh. Hasil simulasi sistem awal setelah pemberian kontrol dari  model  penyebaran  virus  HIV  menunjukkan  bahwa, populasi 𝐶𝐷4 + 𝑇 tumbuh  secara  signifikan  yang  dapat meningkatkan  kualitas  hidup  pasien,  populasi  sel 𝐶𝐷4 + 𝑇 yang  terinfeksi  dapat  turun  hingga  18,445  yang  berarti eﬁsiensi  terapi  obat  dalam  memblokir  infeksi  baru  adalah 99%, jumlah virus bebas dapat turun hingga 8,1 yang berarti eﬁsiensi terapi obat dalam menghambat produksi virus bebas 100%, serta respon imun yaitu sel sitotoksik dan antibodi juga ikut  turun  mendekati  nol  mengikuti  sel  yang  terinfeksi  dan virus dalam tubuh.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] B.  Dubey,  P.,  Dubey,  U.S.,  dan  Dubey,  “Modeling  the  role  of acquired  immune  response  and  antiretroviral  therapy  in  the dynamics of HIV,” 2017.
[2] WHO,  “Global  health  observatory  (GHO)  data, in:  HIV/AIDS,” WHO Press , 2014.
[3] Y. Spiritia, “Terapi Antiretroviral: Web Yayasan Spiritia,” 2014. [Online]. Available: http://spiritia.or.id/li/bacali.php?lino=403.
[4] D. Wang, Y., “Viral dynamics model with CTL immune response incorporating antiretroviral therapy,” J. Math.Biol , vol. 67, no. 4, pp. 901–934, 2013.
[5] D.  .  Nastitie  dan  Arief,  “Analysis  and  Optimal  Control  in  the Cancer  Treatment  Model  by  Combining  Radio  and  Anti- angiogenic Therapy,” Int. J. Comput. Sci. Appl. Math. , vol. 3, no. 2, 2017.
[6] A. Hamid, Ensiklopedia Biokimia dan Biologi Molekul . 2004.
[7] Sudarman, “Jenis sel T dan fungsinya: Artikel Top,” 2017.
[8]
AhaBlogweb,  “Antibodi:  Pengertian,  Fungsi,  Struktur,  Jenis: AhaBlogweb,”
2016. [Online]. Available:
http://www.ilmudasar.com/2016/10/pengertian-fungsi-dan-jenis- jenis.html. .
[9] L.  Perko, Differential  Equations  and  Dynamical  Systems .  USA, 2001.
[10] Subiono, “Sistem Linier dan Kendali Optimal. Versi 2.2.1,” ITS, 2013.
[11] D.  S.  Naidu, Optimal  Control  Systems .  USA:  CRC  Press  LLC, 2002.