SQUARE : Journal of Mathematics and Mathematics Education
Volume 4, No. 1, 2022, pp. 1-7 http://dx.doi.org/10.21580/square.2022.4.1.9480

## Profil Mikrorotasi dan Temperatur Aliran Magnetohidrodinamik Fluida Mikrokutub pada Bola Bermagnet
Mufatin Fauziyah 1* , Basuki Widodo 2 , Dieky Adzkiya 3 1, 2, 3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember
* Mufatin.fauziyah@gmail.com

## ABSTRAK
Fluida mikrokutub adalah fluida dengan struktur mikro, yang terdiri dari partikel kaku yang berorientasi secara acak pada media kental yang memiliki kemampuan mikrorotasi. Penelitian ini difokuskan pada profil mikrorotasi dan  temperatur  aliran  magnetohidrodinamik  fluida  mikrokutub  pada  bola  bermagnet. Model  dari  permasalahan dibangun  persamaan  dimensional  yang  terdiri  dari  persamaan  kontinuitas,  persamaan  momentum,  persamaan momentum angular, dan persamaan energi. Model berdimensi tersebut ditransformasikan ke model tak berdimensi menggunakan variabel tak berdimensi. Selanjutnya model tak berdimensi diubah menjadi persamaan similaritas dengan  menggunakan  variabel  similaritas.  Persamaan  similaritas  diselesaikan  secara  numerik  menggunakan metode  beda  hingga  dengan  skema  implisit  Euler.  Hasil  simulasi  menunjukkan  temperatur  fluida  naik  seiring dengan meningkatnya parameter bahan mikrokutub. Sebaliknya, temperatur semakin turun dengan bertambahnya bilangan  Prandtl.  Profil  mikrorotasi  turun  saat  parameter  bahan  mikrokutub  lebih  besar  sampai  titik  tertentu, kemudian berbalik semakin naik.  Profil mikrorotasi semakin meningkat seiring dengan bertambahnya bilangan Prandtl.
Kata Kunci : fluida mikrokutub, magnetohidrodinamik, skema implisit Euler.

## ABSTRACT
Micropolar fluids are fluid with microstructure, consisting of rigid, randomly oriented particles suspended in a viscous  medium  that  have  microrotation.  This  research  examine  microrotaion  profile  and  temperature  of magnetohydrodynamics micropolar fluids flow pass a magnetic sphere. Mathematics model for this problem are developed by dimensional equations consist of continuity equation, momentum equation, angular equation, and energy equation.  These  dimensional  models  are  transformed  to  non  dimensional model  using  non  dimensional variables.  These  non  dimensional  equations  are  further  converted  into  similarity  equations  using  similarity variables.  These  equations  are  solved  numerically  by  using  Euler  implicit  scheme.  The  result  shows  that temperature  became  greater  with  the  increasingly  micropolar  parameter.  Whereas  temperature  will  decreases when Prandtl number increase. Microrotation profile increase when micropolar parameter decreases on a point, then  microrotation  profile  will  decreases  with  increasing  micropolar  parameter.  When  microrotation  profile increases, Prandtl number increases.
Keywords: micropolar fluid, magnetohydrodynamics, Euler implicit scheme.

## 1. PENDAHULUAN
Zat  yang  apabila  diberikan  tegangan  geser  akan  berubah  bentuk  secara  kontinu dinamakan  fluida  (Widodo,  2012).  Fluida  fase  cair  dibagi  dua,  yaitu  fluida  Newtonian  dan fluida  non-Newtonian.  Penelitian  ini  menggunakan  fluida  mikrokutub.  Berdasarkan viskositasnya,  fluida  mikrokutub  merupakan  fluida  non-Newtonian.  Teori  tentang  fluida mikrokutub dikenalkan oleh Eringen pada tahun 1965. Fluida mikrokutub adalah fluida dengan struktur mikro, yang terdiri dari partikel kaku yang berorientasi secara acak pada media kental yang memiliki kemampuan mikrorotasi (Lukazzewics, 1999). Contoh dari fluida mikrokutub adalah  darah  hewan,  liquid  crystal,  dan  cairan  polimer  (polimer  adisi).  Partikel  kaku  yang terkandung di dalam elemen volume kecil yang dapat memutar pusat volume dijelaskan oleh vektor mikrorotasi (Narayana et al , 2013).
Magnetohidrodinamik  (MHD)  mempelajari  konduksi  fluida  elektrik  yang  dipengaruhi oleh medan magnet. Magnetohidrodinamik dapat diartikan sebagai dinamika atau pergolakan yang terjadi pada fluida yang bersifat konduktor yang dipengaruhi medan magnet. Penelitian aliran magnetohidrodinamik penting kaitannya dalam bidang teknik dan industri material maju. Penelitian sebelumnya mengenai karakteristik aliran lapisan batas pada magnetohidrodinamik yang melewati bola pejal dilakukan oleh Basuki Widodo (Widodo et al, 2016). Penelitian ini mengkaji  pengaruh  medan  magnet  terhadap  distribusi  kecepatan,  mikrorotasi  dan  koefisien gesekan pada aliran fluida mikrokutub. Pada tahun 2017, Pratomo (Pratomo , 2017 ) mengkaji mengenai pengaruh parameter magnetik dan parameter bahan terhadap kecepatan aliran fluida dan kecepatan mikrorotasi. Kedua penelitian tersebut menggunakan metode beda hingga skema Keller-Box.
Pada  penelitian  ini  akan  dikaji  profil  mikrorotasi  dan  temperatur  aliran magnetohidrodinamik fluida mikrokutub tak tunak yang dipengaruhi oleh konveksi campuran dengan  variasi  parameter  bahan  mikrokutub  dan  bilangan  Prandtl.  Adapun  metode  yang digunakan  untuk  menyelesaikan  adalah  metode  beda  hingga  dengan  skema  implisit  Euler. Daerah yang diamati difokuskan pada titik stagnasi bagian bawah pada lapisan batas.

## 2. METODE

## 2.1. Jenis Penelitian
Penelitian tentang profil mikrorotasi dan temperatur aliran magnetohidrodinamik fluida mikrokutub pada bola bermagnet ini merupakan penelitian kualitatif.

## 2.2. Prosedur Penelitian

## Studi Literatur
Pada tahap ini akan dikumpulkan beberapa referensi yang mendukung penelitian baik dari buku maupun jurnal ilmiah.

## Pembangunan Model
Pada tahap ini, dilakukan langkah-langkah berikut:
i. Penurunan persamaan konversi massa dan hukum-hukum fisika yang berkaitan dengan permasalahan.
ii. Penentuan kondisi batas.
iii. Mengubah persamaan menjadi model dimensional dan non-dimensional.
iv. Persamaan non-dimensional yang diperoleh diubah ke persamaan similaritas.

## Penyelesaian Model
Persamaan non-dimensional yang diperoleh diselesaikan dengan skema implisit Euler

## Tahap Simulasi
Pada  tahap  ini,  algoritma  dari  model  yang  diperoleh,  diimplimentasikan  dalam  bentuk program  dengan  menggunakan  program  MATLAB.  Program  yang  telah  dibuat  dijalankan dengan memasukkan inputan.

## Analisis dan Pembahasan
Tahap ini berisi analisis dan pembahasan dari hasil simulasi untuk mengetahui pengaruh konveksi campuran dan medan magnet dalam aliran magnetohidrodinamik fluida mikrokutub terhadap  profil  mikrorotasi  partikel  dan  temperatur  fluida  pada  lapisan  batas  dengan  variasi parameter magnetik.

## Finalisasi
Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam  penelitian  ini,  fluida  miktokutub  mengalir  melalui  bola  pejal  bermagnet  pada lapisan  batas.  Lapisan  batas  terbentuk  dari  hasil  gesekan  antara  fluida  dan  pemukaan  bola. Gambaran sistem fisis dari lapisan batas tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Sistem Fisis Fluida yang Melewati Bola Pejal
Model  dibangun  dengan  penurunan  hukum  konservasi  massa,  prinsip  konservasi momentum  dan  momentum  angular,  serta  hukum  termodinamika  I.  Dari  hukum-hukum tersebut  dapat  dibangun  persamaan  dimensional  yang  meliputi  persamaan  kontinuitas, persamaan momentum, persaman momentum angular, dan persamaan energi. Persamaan Kontinuitas
𝜕𝑟̅𝑢̅ 𝜕𝑥̅ + 𝜕𝑟̅𝑣̅ 𝜕𝑦̅ = 0 (1)
Persamaan Momentum Persamaan momentum sumbu- 𝑥
𝜌 ( 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ ) = − 𝜕𝜌 ̅ 𝜕𝑥̅ − 𝛽𝜌(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑥̅ + (𝜇 + 𝑘) ( 𝜕 2 𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ 2 ) + 𝜎𝐵 0 2 𝑢̅ + 𝑘 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ (2)
Persamaan momentum sumbu- 𝑦
4 | Mufatin Fauziyah, Basuki Widodo, Dieky Adzkiya - Profil Mikrorotasi dan Temperatur Aliran Magnetohidrodinamik Fluida ….
𝜌 ( 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑦̅ ) = − 𝜕𝜌̅ 𝜕𝑦̅ − 𝛽𝜌(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑦̅ + (𝜇 + 𝑘) ( 𝜕 2 𝑣̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑣̅ 𝜕𝑦̅ 2 ) + 𝜎𝐵 0 2 𝑣̅ + 𝑘 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ (3)
Persamaan Momentum Angular
𝜌𝚤 ( 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ ) = 𝛾 ( 𝜕 2 𝑁 ̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑁 ̅ 𝜕𝑦̅ 2 ) − 𝑘(2𝑁 ̅ + 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ − 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ ) (4)
Persamaan Energi
𝜕𝑇̅ 𝜕𝑡̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑦̅ = 𝑐 𝜌𝐶 𝑝 ( 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑥̅ 2 + 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑦̅ 2 ) (5)
Dengan kondisi batas sebagai berikut: 𝑡̅ = 0: 𝑢̅ = 𝑣̅ = 𝑁 ̅ = 0, 𝑇̅ = 𝑇 ∞ , untuk 𝑥̅, 𝑦̅ 𝑡̅ > 0: 𝑢̅ = 𝑣̅ = 0, 𝑁 ̅ = −𝑛 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ , 𝑇̅ = 𝑇 𝑤 , 𝑦̅ = 0
𝑢̅ = 𝑢̅ 𝑒 (𝑥̅) , 𝑁 ̅ = 0, 𝑇 ̅ = 𝑇 ∞ as 𝑦̅ → ∞
Persamaan  dimensional  tersebut  ditransformasikan  menjadi  bentuk  non-dimensi.  Berikut adalah variabel-variabel tak berdimensi (Mohammad, 2014) yang digunakan dalam penelitian ini.
𝑥 = 𝑥̅ 𝑎 , 𝑦 = 𝑅𝑒 1 2 𝑦̅ 𝑎 , 𝑡 = 𝑢 ∞ 𝑡̅ 𝑎 , 𝑢 = 𝑢 ̅ 𝑢 ∞ , 𝑟 = 𝑟̅ 𝑎 , 𝑣 = 𝑅𝑒 1 2 𝑣̅ 𝑢 ∞ , 𝑝 = 𝑝̅ 𝜌𝑢 ∞ , 𝑟(𝑥) = 𝑟̅(𝑥̅) 𝑎 , 𝑁 = 𝑅𝑒 − 1 2 𝑎𝑁 ̅ 𝑢 ∞ , 𝑇 = 𝑇̅−𝑇 ∞ 𝑇 𝑤 −𝑇 ∞ , 𝑔 𝑥̅ = 𝑔 sin( 𝑥̅ 𝑎 ) = −𝑔 sin 𝑥̅ , 𝑔 𝑦̅ = 𝑔 cos( 𝑥̅ 𝑎 ) = 𝑔  cos 𝑦̅ Parameter -parameter  tak  berdimensi  yang  digunakan  untuk  mendapatkan  persamaan  non- dimensional antara lain:
𝑀 = 𝑎𝜎𝐵 0 2 𝜌𝑈 ∞ , 𝛼 = 𝐺𝑟 𝑅𝑒 , 𝐺𝑟 = 𝑔𝛽(𝑇 𝑤 − 𝑇 ∞ )𝑎 3 𝜈 2 , Pr = 𝜈𝜌𝐶 𝑝 𝑐 , 𝐾 = 𝜅 𝜇
Dengan subtitusi variabel dan parameter non-dimensional, dioeroleh persamaan non-dimensional sebagai berikut.
Persamaan Kontinuitas
𝜕𝑟𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑟𝑣 𝜕𝑦 = 0 (6)
Persamaan Momentum Persamaan momentum sumbu- 𝑥
𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝜌 𝜕𝑥 + 𝛼 T sin 𝑥 + 1 + 𝐾 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 + (1 + 𝐾) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 + 𝑀𝑢 + 𝐾 𝜕𝑁 𝜕𝑦 (7)
Persamaan momentum sumbu- 𝑦
𝜕𝑣 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = − 𝜕𝜌 𝜕𝑦 − 𝛼 𝑅𝑒 1 2 𝑇𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 + 𝐾 𝑅𝑒 2 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑥 2 + ( 1 + 𝐾 ) 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑦 2 + 𝑀𝑣 𝑅𝑒 + 𝐾 𝑅𝑒 𝜕𝑁 𝜕𝑥 (8)
Persamaan Momentum Angular
𝜕𝑁 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑁 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑁 𝜕𝑦 = (1 + 𝐾 2 ) ( 1 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑁 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑁 𝜕𝑦 2 ) − 𝐾(2𝑁 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 − 1 𝑅𝑒 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ) (9)
Persamaan Energi
𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑇 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑇 𝜕𝑦 = 1 Pr 𝑅𝑒 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑥 2 + 1 𝑃𝑟 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑦 2 (10)
Lapisan  batas  yang  terbentuk  dari  aliran  magnetohidrodinamik  fluida  mikrokutub  tak  tunak yang  mengalir  melalui  bola  adalah  sebuah  lapisan  yang  sangat  tipis  dan  bilangan  Reynolds mendekati tak hingga, 𝑅𝑒 → ∞ atau 1 𝑅𝑒 → 0 . Selanjutnya persamaan non-dimensional diubah
ke persamaan fungsi alir dengan menggunakan fungsi alir komponen 𝑢 dan 𝑣 sebagai berikut (White, 2009).
𝑢 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑣 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥
Persamaan  fungsi  alir  selanjutnya  diubah  ke  dalam  variabel-varibel  similaritas  berikut (Mohammad, 2012).
𝜓 = 𝑡 1 2 𝑢 𝑒 (𝑥)𝑟(𝑥)𝑓(𝑥, 𝜂, 𝑡),          𝜂 = 𝑦 𝑡 1 2 ⁄ ,        𝑁 = 𝑡 1 2 𝑢 𝑒 (𝑥)ℎ(𝑥, , 𝜂, 𝑡)         𝑇 = 𝑠(𝑥, 𝜂, 𝑡)
Sehingga diperoleh persamaan berikut.
Persamaan momentum:
(1 + 𝐾)𝑓 ′′′ + 𝐾ℎ ′ + 𝜂 2 𝜕 2 𝑓 𝜕𝜂 2 + 𝑀𝑡(1 − 𝑓 ′ ) + 2 3 𝛼𝑠𝑡 + 3 2 𝑡(1 + 𝑓𝑓 ′′ − (𝑓 ′ ) 2 ) = 𝑡 ( 𝜕𝑓′ 𝜕𝑡 ) (11)
Persamaan momentum angular:
(1 + 𝐾 2 ) ℎ ′′ + 𝜂 2 ℎ ′ + ℎ 2 + 3 2 𝑡(𝑓ℎ ′ − ℎ𝑓 ′ ) = 𝑡 𝜕ℎ 𝜕𝑡 + 𝐾𝑡(2ℎ + 𝑓 ′′ ) (12)
Persamaan Energi
𝑠′′ + 𝑃𝑟 𝜂 2 𝑠′ + 𝑃𝑟𝑡𝑓 3 2 cos 𝑥 𝑠′ = 𝑃𝑟𝑡( 𝜕𝑠 𝜕𝑡 + 3 2 sin 𝑥 ( 𝜕𝑓 𝜕𝜂 𝜕𝑠 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝜂 − 𝑓 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝜂 ) (13)
dengan kondisi batas: 𝑡 = 0: 𝑓 = 𝑓′ = ℎ = 𝑠 = 0, untuk 𝑥, 𝜂 𝑡 > 0: 𝑓 = 𝑓′ = 0, ℎ = −𝑛 𝑓′′ , 𝑠 = 1 , 𝜂 = 0 𝑓′ = 1, ℎ = 𝑠 = 0 as 𝜂 → ∞
Pada penelitian ini dilakukan simulasi terhadap fluida mikrokutub menggunakan software MATLAB.  Simulasi  dilakukan  dengan  memvariasikan  parameter  bahan  ( 𝐾 )  dan  bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 ). Variasi parameter bahan ( 𝐾 ) dilakukan dengan inputan 𝐾 = 1, 𝐾 = 2, 𝐾 = 3, 𝐾 = 4 , dengan  inputan parameter yang  lain parameter magnetik 𝑀 = 1,3 , bilangan Prandtl 𝑃𝑟 = 4,41 , konsentrasi fluida 𝑁 = 0,5 , dan parameter konveksi campuran 𝛼 = 18,6 .
Gambar 2. Kurva Temperatur dengan Variasi Parameter Bahan Mikrokutub
Gambar  2  menunjukkan  pengaruh  parameter  bahan  terhadap  temperatur  fluida  pada lapisan  batas.  Pada  saat  fluida  bersentuhan  dengan  bola  atau 𝜂 = 0 ,  temperatur  fluida  sama dengan satu dan berangsur turun menuju nol. Dari kurva tersebut juga dapat diketahui bahwa
semakin besar nilai parameter bahan mikrokutub, semakin tinggi pula temperatur fluida. Hal ini terjadi karena adanya gaya gesekan antara partikel bahan dan fluida.
Gambar 3. Kurva Profil Mikrorotasi dengan Variasi Parameter Bahan
Gambar  3  diatas  menunjukkan  pengaruh  parameter  bahan  mikrokutub  terhadap mikrorotasi.  Di  dekat  bola,  semakin  besar  parameter  bahan  semakin  rendah  mikrorotasi. Sebaliknya, semakin menjauh dari bola, fluida dengan parameter bahan lebih besar memiliki mikrorotasi lebih tinggi.
Gambar 4. Kurva Temperatur dengan Variasi Bilangan Prandtl
Gambar 5. Kurva Profil Mikrorotasi dengan Variasi Bilangan Prandtl
Pengaruh bilangan Prandtl terhadap temperatur fluida terlihat pada Gambar 4 dan Gambar 5. Inputan yang dilakukan dengan memberi nilai parameter 𝑀 = 1,3, 𝛼 = 1, 𝑛 = 0,5, dan 𝐾 = 1 .  Sedangkan  parameter  bilangan  Prandtl 𝑃𝑟 = 4,41; 6,83; 7,26; dan 18,05 .  Berdasarkan Gambar  4,  pada  posisi  yang  sama  terhadap  bola,  fluida  dengan  bilangan  Prandtl  lebih  kecil memiliki temperatur yang lebih tinggi. Sebaliknya, fluida dengan bilangan Prandtl lebih besar memiliki  temperatur  lebih  rendah.  Hal  ini  terjadi  karena  semakin  besar  bilangan  Prandtl, semakin turun difusivitas termalnya. Gambar 5 menunjukkan pengaruh variasi bilangan Prandtl terhadap  kecepatan  mikrotasi  fluida  mikrokutub.  Semakin  besar  bilangan  Prandtl,  semakin cepat mikrorotasi partikel dalam fluida mikrokutub.

## 4. SIMPULAN
Temperatur  fluida  naik  seiring  dengan  meningkatnya  parameter  bahan  mikrokutub. Sebaliknya,  semakin  besar  bilangan  Prandtl,  semakin  turun  temperatur  fluida.  Profil mikrorotasi turun saat parameter bahan mikrokutub lebih besar sampai titik tertentu, kemudian berbalik  semakin  naik.  Profil  mikrorotasi  semakin  meningkat  seiring  dengan  bertambahnya bilangan Prandtl.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Lukaszewicz,  G.  (1999). Micropolar  fluids  theory  and  applications. New  York:  Springer Science+Business Media.
Mohammad, N. F., Mohd Kasim, A. R., Ali A. & Shafi, S. (2012). Unsteady Mixed Convection Boundary Layer Flow Past a Sphere in a Micropolar Fluid. American Institute of Physics Conference Series, vol. 1450, 211-217.
Narayana Satya, P. V., Venkateswarlu, B.,& Venkatramana, S. (2013). Effects of Hall Current and Radiation Absorption in MHD Micropolar Fluid in Rotating in a Rotating System. Ain Sham Enginering Journal , vol. 5,843-854.
Pratomo,  R.  V.  (2017). Magnetohidrodinamik  yang  Tak  Tunak  Pada  Lapisan  Batas  yang Mengalir Melalui Bola Di Dalam Fluida Mikrokutub Di Bawah Pengaruh Medan Magnet (Tesis tidak dipublikasikan). Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.
Widodo B. (2012). Pemodelan Matematika . Surabaya, Indonesia: ITSPress Surabaya
Widodo,  B.,  Anggraini,  I.,  Khalimah,  D.  A.,  Zainal,  F.  D.  S.,&  Imron.  C.  (2016).  Unsteady Boundary Layer Magnetohydrodynamics in Micropolar Fluid Past A Sphere. International Journal of Far East Journal of Mathematical Sciences , vol. 100, no. 2, 291-299.