JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 1, Tahun 2023, Halaman 20 - 29 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PERBANDINGAN MODEL ARIMA DENGAN MODEL NONPARAMETRIK POLINOMIAL LOKAL DAN SPLINE TRUNCATED UNTUK PERAMALAN HARGA MINYAK MENTAH WEST TEXAS INTERMEDIATE (WTI)

## DILENGKAPI GUI R
Salsabila Rizkia Gusman 1* , Suparti 2 , Agus Rusgiyono 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail : rgsalsabil@gmail.com
DOI: 10.14710/j.gauss.12.1.20-29
Article Info: Received: 2022-09-06 Accepted: 2022-11-11 Available Online: 2023-05-4

## Keywords:
Crude oil; WTI; Local Polynomial; Spline Truncated; ARIMA; GUI.
Abstract: Crude oil as one of the most important  natural resources experiences price fluctuations from time to time, even the spot price of West  Texas  Intermediate  (WTI)  world  crude  oil on  20th  April  2020 reached  -36,98  USD/barrel  due  to  the  Covid-19  pandemic.  WTI  oil price data was modeled using the ARIMA method, local polynomial, and  spline  truncated  nonparametric  regression  then  compared  and obtained the best model and formed R Graphical User Interface (GUI). The ARIMA model and nonparametric time series models can be used to  model  time  series  data,  but  in  the  ARIMA  model  there  are assumptions that must be fulfilled. Nonparametric time series models, which include local polynomial model and truncated spline do not need to  fulfill  these  assumptions.  The  ARIMA  model  obtained  did  not fulfilled the assumptions of normality and residual homoscedasticity, so the modeling was stopped and modeling was only carried out using nonparametric  regression  methods.  Based  on  the  minimum  MSE criteria,  the  best  nonparametric  model  was  obtained,  namely nonparametric truncated spline model with degrees 3 and 3 knot points which was categorized as a strong model based on R-squared in sample value and having a very good forecasting ability based on MAPE out sample value.

## 1. PENDAHULUAN
Minyak  mentah  sebagai  salah  satu  sumber  daya  alam  yang  sangat  penting  berperan sangat  besar  pada  sektor  perdagangan.  Pencapaian  dari  perdagangan  minyak  mentah mencapai 10% dari total perdagangan di dunia (Faozi dan Sulistijanti, 2016). Minyak mentah dunia  mengalami  fluktuasi  harga  seiring  berjalannya  waktu  bahkan  minyak  mentah West Texas Intermediate (WTI) mencapai -36,98 USD/barel pada 20 April 2020 karena pandemi Covid-19. Pemodelan dari harga minyak mentah dunia perlu dilakukan karena fluktuasinya dapat memberikan imbas yang signifikan bagi perekonomian suatu negara.
Metode ARIMA dan metode regresi nonparametrik dapat digunakan untuk melakukan pemodelan  dengan  data time  series .  Metode  parametrik  ARIMA  harus  memenuhi  asumsi yaitu stasioneritas data, normalitas, nonautokorelasi, dan homoskedastisitas residual. Model time  series nonparametrik  yang  diantaranya  terdapat  model  polinomial  lokal  dan spline truncated tidak  harus  memenuhi  asumsi-asumsi  tersebut.  Menurut  Suparti et  al .  (2018), regresi nonparametrik cocok digunakan untuk data yang berpola naik turun atau fluktuatif dan tidak membentuk pola hubungan tertentu.
Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan model terbaik untuk memodelkan data time series harga  minyak  mentah  WTI  dari  metode-metode  yang  digunakan  yaitu  metode parametrik ARIMA dan dua metode time series nonparametrik yaitu polinomial lokal dan spline truncated .  Pembentukan Graphical  User  Interface (GUI)  R  dilakukan  dengan package Shiny  untuk  pemodelan  nonparametrik  polinomial  lokal  dan spline  truncated
sehingga aplikasi pemodelan menjadi lebih mudah dan praktis dengan tampilan web yang interaktif.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Minyak mentah sebagai sumber energi utama kendaraan merupakan salah satu produk penggerak  perekonomian  yang  paling  penting  di  suatu  negara. West  Texas  Intermediate (WTI)  adalah  salah  satu  jenis  minyak  mentah  yang  dijadikan  sebagai  tolak  ukur  dari penentuan  harga  minyak  mentah  dunia.  Minyak  mentah  WTI  ringan  dan  manis  sehingga memiliki kualitas yang bagus untuk diolah menjadi bensin. Kualitas minyak mentah WTI yang tinggi ini menjadikannya sebagai salah satu harga standar minyak dunia  (Ramadani, 2021).
Model Autoregressive  Integrated  Moving  Average (ARIMA)  adalah  model  ARMA yang  distasionerkan  dengan  melakukan differencing pertama  atau  lebih.  Menurut  Wei (2006), model ARIMA(p,d,q) adalah:
𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑖 = 𝜃 𝑞 (𝐵)𝜀 𝑖 (1)
Proses AR(p) atau ARIMA(p,0,0) dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑍 𝑖 = 𝜙 1 𝑍 𝑖−1 + 𝜙 2 𝑍 𝑖−2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑍 𝑖−𝑝 + 𝜀 𝑖 (2)
Proses MA(q) atau ARIMA(0,0,q) dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑍 𝑖 = 𝜀 𝑖 − 𝜃 1 𝜀 𝑖−1 − 𝜃 2 𝜀 𝑖−2 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝜀 𝑖−𝑞 (3)
dengan 𝜀 𝑖 ~𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎 2 ).
Model  subset  ARIMA  adalah  bagian  dari  model  ARIMA  yang  tergeneralisasi  dan merupakan  bagian  dari  model  ARIMA  dengan  beberapa  parameternya  sama  dengan  nol (Tarno,  2013).  Pemodelan  ARIMA  memerlukan  terpenuhinya  stasioneritas  data  dan  juga terpenuhinya asumsi normalitas, nonautokorelasi, dan homoskedastisitas residual data.
Estimasi kurva dengan pendekatan nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi karena  data  mencari  sendiri  bentuk  estimasi  kurva  regresinya  (Eubank,  1999).  Secara matematis, model regresi nonparametrik adalah sebagai berikut.
𝑦 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 ,    𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (4)
dengan 𝑦 𝑖 merupakan  variabel  respon  pada  pengamatan  ke- i , 𝑓(𝑥 𝑖 ) adalah  fungsi  regresi nonparametrik  yang  tidak  diketahui  bentuk  kurvanya, 𝑥 𝑖 adalah  variabel  prediktor  pada pengamatan ke - i , dan 𝜀 𝑖 adalah error pada pengamatan ke - i yang diasumsikan terdistribusi identik, independen, dengan mean 0 dan varians 𝜎 2 .
Regresi  nonparametrik  polinomial  lokal  merupakan  salah  satu  metode  regresi nonparametrik  dengan  menaksir  fungsi  regresi 𝑚(𝑥) dengan  bentuk  polinomial. Penggunaan metode Weighted Least Square (WLS) sebagai metode estimasi memerlukan fungsi Kernel sebagai pembobot. Berikut adalah beberapa jenis fungsi kernel, diantaranya (Hardle, 1991):
1. Kernel Gaussian
𝐾(𝑥) = 1 √2𝜋 𝑒 −𝑥 2 /2 , untuk |𝑥| < ∞

## 2. Kernel Epanechnikov
𝐾(𝑥) = { 0,75(1 − 𝑥 2 ), |𝑥| ≤ 1 0, 𝑥 lainnya
3. Kernel Segitiga
𝐾(𝑥) = { 1 − |𝑥|, |𝑥| ≤ 1
0, 𝑥 lainnya
4. Kernel Uniform
𝐾(𝑥) = { 1 2 , untuk |x| ≤ 1
0, x lainnya
Wu  dan  Zhang  (2006)  memberikan  persamaan  model  regresi  nonparametrik  yang dapat didekati secara lokal oleh polinomial berderajat m oleh deret Taylor di sekitar 𝑥 = 𝑥 0 dengan 𝛽 𝑟 = 𝑓 (𝑟) (𝑥 0 ) 𝑟! , dan  𝑟 = 0,1,2, … , 𝑚 sebagai berikut. 𝑓(𝑥) ≈ 𝛽 0 (𝑥 0 ) + (𝑥 − 𝑥 0 )𝛽 1 (𝑥 0 ) + ⋯ + (𝑥 − 𝑥 0 ) 𝑚 𝛽 𝑚 (𝑥 0 ) (5)
Fan  dan  Gijbels  (1996)  mendefinisikan  model  regresi  polinomial  lokal  derajat m sebagai berikut:
𝑦 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 (6)
dengan 𝑓(𝑥 𝑖 ) = ∑ 𝛽 𝑟 𝑚 𝑟=0 (𝑥 𝑖 − 𝑥 0 ) 𝑟 dan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 . Persamaan (6) dalam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai berikut.
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺
(7) dengan
𝒀 = [ 𝑦 1 𝑦 2 ⋮ 𝑦 𝑛 ] ; 𝐗 = [ 1 (𝑥 1 − 𝑥 0 ) (𝑥 1 − 𝑥 0 ) 2 ⋯ (𝑥 1 − 𝑥 0 ) 𝑚 1 (𝑥 2 − 𝑥 0 ) (𝑥 2 − 𝑥 0 ) 2 ⋯ (𝑥 2 − 𝑥 0 ) 𝑚 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 (𝑥 𝑛 − 𝑥 0 ) (𝑥 𝑛 − 𝑥 0 ) 2 ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥 0 ) 𝑚 ] ; 𝜷 = [ 𝛽 0 𝛽 1 ⋮ 𝛽 𝑚 ] ; 𝜺 = [ 𝜀 1 𝜀 2 ⋮ 𝜀 𝑛 ]
Estimasi parameter 𝜷 pada persamaan regresi nonparametrik polinomial lokal adalah: 𝛃 ̂ = (𝐗 𝐓 𝐖𝐗) −𝟏 𝐗 𝐓 𝐖𝐘 (8)
Sedangkan estimasi model regresi nonparametrik polinomial lokal adalah sebagai berikut.
𝐘 ̂ = 𝐟̂(𝐗) = 𝐗(𝐗 𝐓 𝐖𝐗) −𝟏 𝐗 𝐓 𝐖𝐘 = 𝐇𝐘 (9)
dengan 𝐇 = 𝐗(𝐗 𝐓 𝐖𝐗) −𝟏 𝐗 𝐓 𝐖 adalah  matriks  hat  berukuran (𝑛 × 𝑛) untuk  pemodelan polinomial dengan kuadrat terkecil (Takezawa, 2006).
Keakuratan dari estimasi kurva regresi polinomial lokal dipengaruhi oleh bandwidth h , derajat  polinomial,  dan  bobot  Kernel  yang  digunakan.  Menurut  Suparti et  al .  (2018), pemilihan fungsi Kernel dan derajat polinomial yang akan digunakan untuk pemodelan tidak terlalu penting dibandingkan pemilihan bandwidth karena jika terlalu besar estimasi kurva regresi yang diberikan akan menjadi oversmooth dan juga sebaliknya jika terlalu kecil akan menjadi undersmooth .
Spline merupakan  sebuah  fungsi  berupa  potongan  ( truncated )  polinomial  tersegmen yang  kontinu. Titik  knot tersebut adalah titik  perpaduan  bersama  saat  terdapat  perubahan perilaku  pada  selang  yang  berlainan  (Budiantara,  2005).  Bentuk  umum  regresi spline truncated derajat m dengan titik knot (𝜉 1 , 𝜉 2 , … , 𝜉 𝑘 ) satu variabel prediktor adalah: 𝑦 = ∑ 𝛽 𝑗 𝑥 𝑗 𝑚 𝑗=0 + ∑ 𝛽 𝑗+𝑚 (𝑥 − 𝜉 𝑗 ) + 𝑚 𝑘 𝑗=1 + 𝜀 (10)
dengan (𝑎 < 𝜉 1 < 𝜉 2 < ⋯ < 𝜉 𝑘 < 𝑏) , a adalah nilai minimum dari 𝑥 dan b nilai maksimum dari 𝑥 dan fungsi truncated : (𝑥 − 𝜉 𝑗 ) + 𝑚 = { (𝑥 − 𝜉 𝑗 ) 𝑚 ;  𝑥 − 𝜉 𝑗 ≥ 0 0                      ;  𝑥 − 𝜉 𝑗 < 0 Persamaan (10) dalam bentuk matriks dengan data amatan n dapat ditulis sebagai berikut. 𝒀 = 𝑿 𝟏 𝜹 𝟏 + 𝑿 𝟐 𝜹 𝟐 + 𝜺 (11)
dengan 𝒀 = [ 𝑦 1 𝑦 2 ⋮ 𝑦 𝑛 ] ; 𝑿 𝟏 = [ 1 𝑥 1 ⋯ 𝑥 1 𝑚 1 𝑥 2 ⋯ 𝑥 2 𝑚 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑥 𝑛 ⋯ 𝑥 𝑛 𝑚 ] ; 𝜹 𝟏 = [ 𝛽 0 𝛽 1 ⋮ 𝛽 𝑚 ] ; 𝜹 𝟐 = [ 𝛽 𝑚+1 𝛽 𝑚+2 ⋮ 𝛽 𝑚+𝑘 ] ; 𝜺 = [ 𝜀 1 𝜀 2 ⋮ 𝜀 𝑛 ] 𝑿 𝟐 = [ (𝑥 1 − 𝜉 1 ) + 𝑚 (𝑥 1 − 𝜉 2 ) + 𝑚 … (𝑥 1 − 𝜉 𝑘 ) + 𝑚 (𝑥 2 − 𝜉 1 ) + 𝑚 (𝑥 2 − 𝜉 2 ) + 𝑚 … (𝑥 2 − 𝜉 𝑘 ) + 𝑚 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ (𝑥 𝑛 − 𝜉 1 ) + 𝑚 (𝑥 𝑛 − 𝜉 2 ) + 𝑚 … (𝑥 𝑛 − 𝜉 𝑘 ) + 𝑚 ]
Estimasi parameter 𝛽 adalah sebagai berikut. 𝜷 ̂ 𝚷 = (𝑿 𝚷 𝑻 𝑿 𝚷 ) −𝟏 𝑿 𝚷 𝑻 𝒀 (12)
Sedangkan fungsi penduga dari 𝑓(𝑥) adalah:
𝑓̂ Π = 𝑿 Π 𝜷 ̂ 𝚷 = 𝑿 𝚷 (𝑿 𝚷 𝑻 𝑿 𝚷 ) −𝟏 𝑿 𝚷 𝑻 𝒀 = 𝑯 𝚷 𝒀 (13)
dengan 𝑯 𝚷 = 𝑿 𝚷 (𝑿 𝚷 𝑻 𝑿 𝚷 ) −𝟏 𝑿 𝚷 𝑻 dan
𝑿 𝚷 = [ 1 𝑥 1 𝑥 1 𝑚 (𝑥 1 − 𝜉 1 ) + 𝑚 … (𝑥 1 − 𝜉 𝑘 ) + 𝑚 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑚 (𝑥 2 − 𝜉 1 ) + 𝑚 … (𝑥 2 − 𝜉 𝑘 ) + 𝑚 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑚 (𝑥 𝑛 − 𝜉 1 ) + 𝑚 … (𝑥 𝑛 − 𝜉 𝑘 ) + 𝑚 ]
Penentuan bandwidth optimum untuk model nonparametrik polinomial lokal maupun titik knot optimum untuk model nonparametrik spline truncated dapat menggunakan metode Generalized  Cross  Validation (GCV).  Sedangkan Mean  Square  Error (MSE)  digunakan untuk  mendapatkan  model  terbaik  dengan  membandingkan  model  optimum  dari  ketiga model yang digunakan. Fungsi dari GCV adalah sebagai berikut.
𝐺𝐶𝑉 = 𝑀𝑆𝐸 ( 1 𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒[𝑰−𝑯]) 2 (14)
dengan
𝑀𝑆𝐸 = 1 𝑛 ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 (15)
dan n : banyak pengamatan; 𝐈 : matriks identitas; 𝑯 = 𝑿(𝑿 𝑻 𝑿) −𝟏 𝑿 𝑻 ; y i : data aktual ke-i; dan ŷ i : data estimasi ke-i.
Pemodelan  data time  series dengan  metode  regresi  nonparametrik  berdasarkan  lag paling  signifikan  pada  plot Partial  Autocorrelation  Function (PACF),  sehingga  model regresi nonparametrik time series mengacu pada persamaan (2) dan (4) jika data signifikan pada lag ke- p dapat didefinisikan sebagai berikut.
𝑦 𝑖 = 𝑓(𝑦 𝑖−𝑝 ) + 𝜀 𝑖 ,    𝑖 = (𝑝 + 1), (𝑝 + 2), … , 𝑛 (16)
Koefisien  determinasi  ( 𝑅 2 ) yang  diaplikasikan  pada  data in  sample metode  regresi nonparametrik  digunakan  untuk  mengukur  seberapa  besar  proporsi  variasi  variabel dependen dijelaskan oleh variabel independen. Berikut adalah rumus koefisien determinasi.
R 2 = 1 − ∑ (y i −y ̂ i ) 2 n i=1 ∑ (y i −y ̅) 2 n i=1 (17)
dengan y̅ adalah rata-rata data aktual. Kriteria 𝑅 2 adalah jika 𝑅 2 < 0,30 maka model lemah, jika 0,30 ≤ 𝑅 2 < 0,60 maka model cukup kuat, dan jika 𝑅 2 ≥ 0,60 maka model kuat (Sanchez, 2013).  Nilai  dari  koefisien  determinasi  yang  kecil  memberi  arti  kemampuan  variabel independen dalam menjelaskan variasi variabel dependen sangat terbatas dan sebaliknya jika nilai  koefisien  determinasi  mendekati  1  maka  variabel  independen  dapat  memberikan hampir semua informasi yang dibutuhkan dalam memprediksi variabel dependen.
MAPE ( Mean Absolute Percentage Error ) data out sample dapat memberikan petunjuk tentang ketepatan peramalan dari suatu model yang dirumuskan sebagai berikut.
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ | 𝑦𝑖−𝑦̂𝑖 𝑦𝑖 | 𝑛 𝑛 𝑖=1 × 100%
(18)
Kriteria  MAPE  adalah  jika  MAPE  <  10%  maka  kemampuan  peramalan  sangat  baik,  jika 10% ≤  MAPE <20% maka baik, jika 20% ≤ MAPE < 50% maka cukup, dan jika MAPE ≥ 50%  maka  kemampuan  peramalan  buruk  (Chen et  al .,  2003).  Penggunaan  MAPE diaplikasikan pada data out sample untuk melihat evaluasi kinerja model yang telah dibuat dengan data in sample.
Graphical User Interface (GUI) adalah pengembangan yang dilakukan untuk membuat R dapat diakses melalui menu grafis sehingga lebih ramah untuk pengguna dibandingkan dengan R yang berbasis Command Line Interface (CLI) yang lebih cocok digunakan untuk para  pengembang.  Aplikasi  Shiny  dilengkapi  dengan  berbagai widget sehingga  dapat membentuk user  interface yang  interaktif  dan  juga  cepat.  Perancangan default dalam
aplikasi  Shiny  efektif  dan  sangat  mudah  dalam  hal  pengembangan  dan  pengintegrasian aplikasi Shiny dengan konten web menggunakan HTML dan CSS (Beeley, 2013).

## 3. METODE PENELITIAN
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder  yang  diambil  dari website US  Energy  Information  Administration (www.eia.gov).  Data  yang  diambil merupakan data harian harga minyak mentah West Texas Intermediate (WTI) mulai pada tanggal 4 Januari 2021 sampai dengan 31 Desember 2021. Data kemudian dibagi dengan proporsi 80:20 menjadi data in sample sebanyak 201 data (4 Januari 2021 - 19 Oktober 2021) dan out sample sebanyak 50 data (20 Oktober 2021 - 31 Desember 2021). Metode regresi nonparametrik menggunakan variabel respon data pada waktu ke- i 𝑌 𝑖 dan variabel prediktor yang  digunakan  merupakan  data  pada  waktu  ke-( i-p ) 𝑌 𝑖−𝑝 dengan  p  yang  ditentukan berdasarkan lag paling signifikan dari plot Partial Autocorrelation Function (PACF) data in sample.
Pada  penelitian  ini,  digunakan software RStudio  dengan package Shiny  untuk pembuatan Graphical  User  Interface (GUI).  Langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat desain user interface (ui.R) dan menyusun sintaks pada server (server.R) pada interface GUI R.
2. Membagi data menjadi data in sample dan out sample.
3. Menganalisis statistik deskriptif dari data in sample .
4. Melakukan pemodelan dengan metode parametrik ARIMA dengan data in sample .
5. Pengujian asumsi model ARIMA. Jika semua asumsi terpenuhi dilanjutkan mencari model  optimum  dengan  kriteria  MSE  dan  jika  asumsi  tidak  terpenuhi  pemodelan ARIMA diselesaikan.
6. Menentukan  variabel  prediktor  metode  nonparametrik  berdasarkan  lag  paling signifikan pada plot PACF data in sample. Jika plot PACF signifikan pada lag ke- p maka variabel prediktor adalah 𝑌 𝑖−𝑝 .
7. Membuat plot data 𝑌 𝑖−𝑝 dan 𝑌 𝑖 dari penentuan variabel prediktor sebelumnya.
8. Mencari  kombinasi  derajat  (antara  1,  2,  3,  dan  4), bandwidth minimum  dan maksimum untuk mencapai bandwidth optimum dengan kriteria GCV untuk model time series polinomial lokal optimum.
9. Mencari kombinasi derajat (antara 1, 2, 3, dan 4) dan titik knot (antara 1, 2, dan 3) dengan kriteria GCV untuk model time series spline truncated optimum.
10. Menghitung MSE dari model optimum yang didapatkan.
11. Melakukan perbandingan model optimum dengan kriteria MSE minimum sehingga diperoleh model terbaik.
12. Melakukan  evaluasi  dan  pengukuran  kebaikan  model  terbaik  dengan  MAPE out sample dan R-squared in sample .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data  harga  minyak  mentah  WTI  dibagi  dengan  perbandingan  80:20  untuk  data in sample dan out sample , data in sample sebanyak 201 data dari 4 Januari 2021 sampai dengan 19 Oktober 2021 dan data out sample sebanyak 50 data dari 20 Oktober 2021 sampai dengan 31 Desember 2021. Statistik deskriptif  dan plot data in sample harga minyak mentah WTI terdapat pada Tabel 1 dan Gambar 1 berikut.
Tabel 1. Statistik Deskriptif Data In Sample Minimum Maksimum Rata-rata Varian 47,47 83,19 66,02 55,12 Gambar 1. Plot Data In Sample Harga Minyak WTI Pemodelan data dengan metode ARIMA diawali dengan pengecekan stasioneritas data dalam hal mean dan varian. Stasioneritas dalam hal varian belum dipenuhi maka dilakukan transformasi  yang  bersesuaian  yaitu 𝑍 𝑖 2 .  Data  hasil  transformasi  kemudian  diuji kestasioneran  dalam  hal mean dan  didapatkan  data  belum  stasioner  maka  dilakukan differencing satu kali. Identifikasi model ARIMA dilakukan dari plot ACF dan PACF data yang  telah  stasioner  dan  didapatkan  model  yang  terbentuk  adalah  model  subset ARIMA([18],1,0),  ARIMA([18],1,[26]),  dan  ARIMA(0,1,[26]).  Ketiga  model  ARIMA tersebut kemudian diuji asumsi dan didapatkan hasil bahwa ketiga model tidak memenuhi asumsi  normalitas  dan  homoskedastisitas  residual  yang  diperlukan,  maka  pemodelan ARIMA  dihentikan  dan  hanya  dilakukan  pemodelan  dengan  model time  series nonparametrik.
Pemodelan dengan metode regresi nonparametrik diawali dengan menentukan variabel respon  dan  prediktor  dari  plot  PACF  data.  Plot  PACF  data  menunjukkan  bahwa  lag  1 memiliki korelasi yang kuat dan signifikan maka variabel prediktor menggunakan data pada waktu ke-( i-1 ) 𝑌 𝑖−1 dan variabel respon menggunakan data pada waktu ke- i 𝑌 𝑖 . Pembentukan  model time  series nonparametrik  polinomial  lokal  mengkombinasikan derajat  polinomial, bandwidth minimum  dan  maksimum  untuk  mencapai bandwidth optimum dengan kriteria Generalized Cross Validation (GCV) dengan bantuan komputasi dari program RStudio. Pengolahan data menggunakan RStudio mencobakan titik lokal 𝑦 0 dengan  interval  (nilai  minimum  data  +  1)  sampai  dengan  (nilai  maksimum  data  -  1) sedangkan fungsi kernel menggunakan kernel Gaussian, bandwidth dicobakan dari 1 sampai dengan 100, dan derajat yang dicobakan adalah derajat 1, 2, 3, dan 4.
Berdasarkan hasil pencarian model polinomial lokal dengan kriteria GCV, didapatkan model  optimum  dengan  GCV  sebesar  1,709126  adalah  model time  series nonparametrik polinomial lokal dengan bandwidth optimum 100, derajat 2, dan titik lokal 70,47. Berikut adalah estimasi model optimum polinomial lokal.
𝑦̂ 𝑖 = 70,51397 + 1,002454(𝑦 𝑖−1 − 70,47) + 0,001965(𝑦 𝑖−1 − 70,47) 2 (19)
Pencarian  model  nonparametrik spline truncated diawali  dengan  mengkombinasikan derajat dan jumlah titik knot yang akan digunakan dengan bantuan komputasi pada GUI R. Kombinasi  derajat  yang  digunakan  adalah  menggunakan  derajat  1  sampai  dengan  4  dan jumlah titik knot yang digunakan adalah 1 sampai dengan 3 titik knot. Berdasarkan kriteria GCV, didapatkan model optimum spline truncated GCV sebesar 0,7984775 adalah model
dengan derajat 3 dan 3 titik knot di titik 53,08; 55,67; dan 64,55, berikut adalah hasil estimasi modelnya.
𝑦̂ 𝑖 = 3055,816 − 172,8674 𝑦 𝑖−1 + 3,295137 𝑦 𝑖−1 2 − 0,02079916 𝑦 𝑖−1 3
+ 0,02004963 (𝑦 𝑖−1 − 53,08) + 3 + 0,002012863 (𝑦 𝑖−1 − 55,67) + 3
− 0,00160743 (𝑦 𝑖−1 − 64,55) + 3 (20)
Pemodelan  dengan  metode  parametrik  ARIMA  yang  telah  dilakukan  menghasilkan kesimpulan  bahwa  model  tidak  memenuhi  asumsi  normalitas  dan  homoskedastisitas residual,  melainkan  hanya  memenuhi  asumsi  nonautokorelasi.  Pemodelan  ARIMA diselesaikan dan hanya dilakukan pemodelan dengan metode regresi nonparametrik untuk data runtun waktu sebagai alternatif dari tidak terpenuhinya asumsi-asumsi yang ketat dan harus  dipenuhi  dalam  pemodelan  dengan  metode  parametrik  ARIMA.  Metode  regresi nonparametrik  yang  digunakan  adalah  polinomial  lokal  dan spline truncated. Model optimum yang telah diperoleh yaitu model time series nonparametrik polinomial lokal dan spline truncated akan dilakukan perbandingan dengan kriteria MSE data in sample . Berikut adalah tabel perbandingan MSE dari model optimum yang didapatkan.
Tabel 2. Perbandingan Model Optimum Model Optimum MSE Time series nonparametrik polinomial lokal 1,658237 Time series nonparametrik spline truncated 1,630406
Tampilan  perbandingan  model  optimum  polinomial  lokal  dan spline  truncated pada GUI adalah sebagai berikut.
Gambar 2. Tab Perbandingan GUI untuk Pemodelan Harga Minyak Mentah WTI Hasil running program RStudio untuk evaluasi kinerja dan pengukuran kebaikan model terbaik spline truncated yang outputnya terlihat pada GUI ditunjukkan pada Gambar 3.
Output yang ditampilkan pada GUI R Gambar 3 menunjukkan R-squared data in sample untuk  model  terbaik  nonparametrik spline truncated adalah  sebesar  0,969463.  Nilai R- squared sebesar  0,969463  yang  terletak  pada  kategori 𝑅 2 ≥ 0,60 sehingga  dapat diinterpretasikan bahwa model kuat. Model terbaik tersebut juga menghasilkan MAPE out sample sebesar  1,920149%  yang  terletak  pada  kategori  MAPE  <  10%  sehingga  dapat diinterpretasikan bahwa model tersebut memiliki kemampuan peramalan yang sangat baik.
Gambar 3. Evaluasi Kinerja dan Pengukuran Kebaikan Model Terbaik Spline Truncated
Gambar 4. Plot Data Out Sample dan Estimasinya dengan Model Terbaik Spline Truncated Derajat 3 dan 3 Titik Knot di Titik  53,08; 55,67; dan 64,55
Penelitian ini dilengkapi dengan Graphical User Interface (GUI) yang dibuat dengan package Shiny  pada software RStudio  untuk  pemodelan time  series nonparametrik polinomial lokal dan spline truncated . User Interface (UI) sebagai komponen GUI dibagi menjadi  enam  tabPanel,  diantaranya  adalah  petunjuk  penggunaan  GUI  sebagai  tampilan utama,  tab  data  untuk  menginput  data  dan  statistika  deskriptif,  tab  plot,  tab  pemodelan polinomial lokal, tab pemodelan spline truncated , dan tab perbandingan. Aplikasi GUI akan muncul ketika fungsi ‘shinyApp(ui,server)’ dijalankan dengan tampilan utama seperti pada Gambar 5 sebagai berikut.
Gambar 5. Tampilan Utama GUI

## 5. KESIMPULAN
Pada  pemodelan  dengan  menggunakan  metode  parametrik  ARIMA  untuk  data  harga minyak  mentah West  Texas  Intermediate (WTI),  model  yang  terbentuk  yaitu ARIMA([18],1,0),  ARIMA([18],1,[26]),  dan  ARIMA(0,1,[26])  tidak  memenuhi  asumsi normalitas  dan  homoskedastisitas  residual  yang  diperlukan,  maka  pemodelan  dialihkan menggunakan metode alternatif regresi nonparametrik yang tidak ketat akan terpenuhinya asumsi-asumsi  seperti  pada  pemodelan  dengan  metode  parametrik.  Pemodelan  minyak mentah  WTI  dengan  menggunakan  metode  regresi  nonparametrik  polinomial  lokal menghasilkan  model  optimum  dengan  bobot  fungsi  kernel  Gaussian  derajat  2  dengan bandwidth optimum  100  dan  titik  lokal  70,47.  Pemodelan  minyak  mentah  WTI  dengan menggunakan metode regresi nonparametrik spline truncated menghasilkan model optimum dengan derajat 3 dan 3 titik knot di titik 53,08; 55,67 dan 64,55.
Perbandingan model-model optimum yang telah didapatkan yaitu model optimum dari regresi nonparametrik polinomial lokal dan spline truncated , diperoleh model terbaik dengan kriteria  MSE  adalah  model  time  series  nonparametrik spline  truncated .  Model  tersebut termasuk  kategori  model  kuat  berdasarkan R-squared data in  sample (0,969463)  dan kategori  model  yang  dapat  memberikan  kemampuan  peramalan  sangat  baik  berdasarkan MAPE out sample (1,92015%).
Pembangunan Graphical  User  Interface (GUI)  dengan  program  RStudio  dilakukan untuk tampilan pemodelan dan perbandingan metode regresi nonparametrik polinomial lokal dan spline truncated . GUI R yang telah dibuat dapat membuat pengguna lebih mudah dalam menggunakannya  untuk  mengolah  dan  menganalisis  data  dengan  tampilan  yang  lebih menarik dan tidak perlu menuliskan sintaks kembali.

## DAFTAR PUSTAKA
Beeley, C. (2013). Web application with R using Shiny . Birmingham: Packt Publishing Ltd.
Budiantara, I. N. (2005). Model Keluarga Spline Polinomial Truncated dalam Regresi Semiparametrik . Berkala Ilmiah MIPA, 15(3), 55–61. Chen, R. J. C., Bloomfield, P., dan Fu, J. S. (2003). An evaluation of alternative forecasting methods to recreation visitation . Journal of Leisure Research, 35(4), 441– 454.
Eubank, R. L. (1999). Nonparametric Regression and Spline Smoothing Second Edition . New York: Marcel Dekker, Inc.
Fan, J., dan Gijbels, I. (1996). Local Polynomial Modelling and Its Applications . London: Chapman & Hall. Faozi, S., dan Sulistijanti, W. (2016). Peramalan Harga Minyak Mentah Standar West Texas Intermediate dengan Pendekatan Metode ARIMA . Seminar Nasional
Pendidikan Sains dan Teknologi, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Muhammadiyah Semarang, 308–316.
Hardle, W. (1991). Smoothing Techniques With Implementation in S . New York: Springer- Verlag.
Ramadani, K. (2021). Pemodelan Harga Minyak West Texas Intermediate Menggunakan Model ARIMA, ARFIMA, Fuzzy Time Series Markov Chain dan Hybrid ARIMA- FTSMC . PhD Thesis. Universitas Andalas Padang. Sanchez, G. (2013). PLS Path Modeling with R . Berkeley: R Package Notes .
Suparti, Santoso, R., Prahutama, A., dan Devi, A. R. (2018). Regresi Nonparametrik . Ponorogo: Wade Group.
Takezawa, K. (2006). Introduction to Nonparametric Regression . New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
Tarno. (2013). Kombinasi Prosedur Pemodelan Subset Arima Dan Deteksi Outlier Untuk Prediksi Data Runtun Waktu . Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Diponegoro, 1970, 583–592.
Wei, W. W. S. (2006). Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods Second Edition . New York: Pearson Education, Inc. Wu, H., dan Zhang, J. T. (2006). Nonparametric Regression Methods for Longitudinal Data Analysis. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.