## PROBABILITAS BERSYARAT, INDEPENDENSI DAN TEOREMA BAYES DALAM MENENTUKAN PELUANG TERJADINYA SUATU PERISTIWA

## Lian G. Otaya
Institut Agama Islam Negeri Sultan Amai Gorontalo

## Abstrak
Probabilitas  hanyalah  suatu  sistematika  ilmu  untuk  mempelajari  ketidakpastian.    Seakurat- akuratnya model probabilitas yang digunakan, tetap saja ketidakpastiaan itu masih ada walau dengan kadar yang rendah.  Ketidakpastiaan yang  rendah itu pada gilirannya dapat menghasilkan hasil yang ekstrim.  Jadi  penting  memahami  apa  yang  bisa  diberikan  oleh  teori probabilitas  dan    turunan- turunannya,  termasuk  dalam  memahami  teori  probabilitas  bersyarat  dan  independensi  dalam  suatu peristiwa.  Masalah  yang  sering  muncul  dalam  kehidupan  sehari-hari  adalah  menentukan  peluang akan  terjadinya  suatu  kejadian,  bila  kejadian  lain  telah  terjadi.  Peluang  seperti  ini  disebut probabilitas  bersyarat. Dua peristiwa dikatakan bersyarat adalah jika terjadinya peristiwa yang satu akan  mempengaruhi  atau  merupakan  syarat  terjadinya  peristiwa  yang  lain.  Jika  peristiwa  X  dan  Y merupakan  peristiwa  dependen  (probabilitas  bahwa  Y  akan  terjadi  jika  diketahui  bahwa  X  telah terjadi) P(X  ∩  Y)  =  P(X)  x  P(Y/X).  Sementara  dua  peristiwa  dikatakan  independen  (bebas)  jika terjadinya  atau  tidak  terjadinya  peristiwa  satu  tidak  mempengaruhi  atau  tidak  dipengaruhi  oleh peristiwa yang lain. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa yang independen, maka probabilitas untuk terjadinya kedua peristiwa tersebut adalah : P(X ∩ Y) = P(X) x P(Y).

## A. Pendahuluan
Kehidupan  sehari-hari  sulit  untuk mengetahui  dengan  “pasti”  apa  yang  akan terjadi  pada  waktu  yang  akan  datang,  baik dalam  jangka  pendek  maupun  jangka  panjang. Oleh  karena  itu,  manusia  sering  menghadapi suatu yang sering disebut sebagai “ketidakpastian”.
Ketidakpastian terjadi akibat
keterbatasan  manusia  itu  sendiri  di  dalam dunianya dalam mengukur menghitung, menalar,  meramal  suatu  hal  baik  yang  akan datang  maupun  yang  ada  di  depan  mata, termasuk  yang  telah  terjadi.  Sudah  sejak  awal zaman,  ketidakpastian  diantisipasi  manusia dengan  berbagai  cara.  Ada  cara  yang bersifat prophecy dan  supranatural,  ada  pula yang  lebih  rasional  dengan  mempelajari periodisitas  (pengulangan)  gejala  alam  untuk mengurangi tingkat ketidakpastian itu mungkin menjadi faktor pemicu dinamika roda kehidupan  itu  sendiri.  Dengan kata lain, walau ketidakpastian  itu  seringkali  menjadi  sumber kesulitan,  tetapi  juga  sekaligus  merupakan blessing .
Teori  probabilitas  dapat  dikatakan merupakan  salah  satu  ilmu  untuk  “mengukur” ketidakpastian  hingga  ke  tingkat  yang  lebih
manageable dan predictable . Teori probabilitas digunakan bukan hanya untuk hal- hal  yang  praktis, bahkan  juga  untuk  hal-hal yang  teoritis  ketika  model-model  matematis tidak  dapat  lagi  disusun  secara  komprehensif untuk  memecahkan  suatu  masalah.  Apalagi dunia pendidikan yang pada umumnya memerlukan  pertimbangan  yang  lebih  singkat dan  pragmatis  sangat  mengandalkan  konsep- konsep teori probabilitas.
Statistika  adalah  “wajah”  dari  teori probabilitas. Statistika digunakan untuk melakukan pengukuran kuantitatif yang aproksimatif akan suatu hal. Konsep metodologis yang digunakan didalam statistika dikembangkan  berdasarkan teori probabilitas. Dalam penggunaanya, hasil pengukuran statisti ka  sudah  dapat  dianggap  memadai.  Namun, untuk memahami apa yang ada                       di balik angka-angka hasil penghitungan statistika tersebut  memerlukan  pemahaman  mengenai model  probabilitas  yang  digunakannya,  yang artinya  perlu  kembali  ke  teori  probabilitas. Tanpa pemahaman tersebut, seringkali statistika  digunakan  untuk  elegitimasi  suatu kebohongan  (dikenal  sebagai  kebohongan statistika)  ketika  statistia  digunakan  sementara model  dasar  probabilitas  yang  terkait  tidak sesuai/relevan dengan situasi yang sebenarnya.

## B. Konsep Probabilitas
Probabilitas adalah salah satu alat yang amat  penting  karena  probabilitas  banyak digunakan untuk menaksir derajat ketidakpastian dan oleh karenanya mengurangi resiko.  Probabilitas  ialah  suatu  nilai  yang digunakan  untuk  mengukur  tingkat  terjadi suatu kejadian yang acak.
Kata probabilitas sering disebut peluang  dan  kemungkinan.  Secara  umum Probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu terjadi.  Secara  lengkap  didefinisikan  sebagai berikut:  “Probabilitas”  ialah  suatu  nilai  yang digunakan  untuk  mengukur  tingkat  terjadinya suatu  kejadian  yamg  acak.  Agus  Irianto (2009  :  73)  mengemukakan  teori  probabilitas berkembang dari permainan gamblang, dimana setiap tebakan mengandung unsur kemungkinan keluar maupun
tidak persoalannya terletak pada pilihan itu mengandung  kemungkinan  keluar  lebih  besar daripada kemungkinan tidak keluar atau tidak.
Contoh 1.   Mata uang koin Rp. 100.- mempunyai  dua  sisi.  Sisi  pertama bergambar  rumah  Minangkabau (RM),  dan  sisi  lain  bergambar gunung  wayah  (GW).  Jika  koin tersebut  kita  lemparkan  ke  atas sekali  maka  ada  kemungkinan keluar RM dan ada pula kemungkinan keluar (GW).
Kemungkinan keluar RM = Kemungkinan  keluar  GW.  Setiap sisi  mempnyunyai  probabilitas keluar ½. Jumlah probabilitas RM adalah  1.  Hal  ini  merupakan hukum  dalam  probabilitas  dari masing-masing elemen pasti.
Ramachandran,  K.M  &  Chris  P. Tsokos (2009 : 54) mengemukakan bahwa:
Probability theory provides a mathematical  model  for  the  study  of randomness  and  uncertainty.  The concept  of  probability  occupies  an important  role  in  the  decision-making process,  whether  the  problem  is  one faced  in  business,  in  engineering,  in government,  in  sciences,  or  just  in one’s  own  everyday  life.  Most decisions  are  made  in  the  face  of uncertainty.  The  mathematical  models of probability theory enable us to make
predictions about certain mass phenomena from the necessarily incomplete  information  derived  from sampling techniques. It is the probability  theory  that  enables  one  to proceed  from  descriptive  statistics  to inferential statistics. In fact, probability theory is the most important tool in statistical inference .
Pendapat  di  atas,  menjelaskan  bahwa teori probabilitas merupakan model matematika untuk studi keacakan dan ketidakpastian. Konsep probabilitas menempati peran  penting  dalam  proses  pengambilan keputusan,  apakah  masalah  yang  dihadapi dalam  bisnis,  teknik,  dalam  pemerintahan, dalam  ilmu,  atau  hanya  dalam  masalah  yang dihadapi dalam kehidupan sehari-hari.
Sebagian  besar  keputusan  yang  dibuat  dalam menghadapi ketidakpastian. Model matematika dalam  teori  probabilitas  memungkinkan  kita untuk  membuat  prediksi  tentang  fenomena massal  tertentu  dari  informasi  yang  tidak lengkap  yang  berasal  dari teknik  sampling.  Ini adalah  teori  probabilitas  yang  memungkinkan untuk  melanjutkan  dari  statistik  deskriptif  ke statistik  inferensial.  Bahkan,  teori  probabilitas adalah  sebagai  alat  yang  paling  penting  dalam statistik inferensial.
Asal  usul  teori  probabilitas  dapat ditelusuri  ke  pemodelan  permainan  peluang seperti  berurusan  dari  setumpuk  kartu,  atau roda  roulette  berputar.  Hasil  awal  dari probabilitas muncul dari kolaborasi yang hebat matematika terkemuka Blaise Pascal dan Pierre Fermant  dan  penjudi,  Chevalier  de  Mere. Mereka  tertarik  pada  apa  yang  tampaknya menjadi kontradiksi antara matematika perhitungan dan permainan sebenarnya kesempatan, seperti melempar dadu, melempar koin, atau roda  roulette  berputar.  Misalnya,  melempar sebuah  dadu,  ia  mengamati  bahwa  setiap nomor,  1  sampai  6,  muncul  dengan  frekuensi sekitar  1/6.  Namun,  jika  dua  dadu  digulung, jumlah  angka  menunjukkan  pada  dua  dadu, yaitu,  2  sampai  12,  tidak  muncul  sama  sering. Hal itu kemudian diakui bahwa, karena jumlah melempar  meningkat,  frekuensi  hasil  ini mungkin  bisa  diprediksi  dengan  mengikuti beberapa  aturan  sederhana.  Percobaan  dasar yang  sama  dilakukan  dengan  menggunakan permainan kesempatan lain, yang mengakibatkan  pembentukan  berbagai  aturan
dasar probabilitas. Teori probabilitas dikembangkan  semata-mata  untuk  diterapkan pada  permainan  kesempatan  sampai  abad  ke- 18,  ketika  Pierre  Laplace  dan  Karl  F.  Gauss diterapkan  aturan  probabilistik  dasar  untuk masalah  fisik  lainnya.    Teori  probabilitas modern  dikembangkan  pada  tahun  1933 Yayasan  publikasi  Teori  Probabilitas  oleh Rusia ahli matematika Andrei N. Kolmogorov. Dia  mengembangkan  teori  probabilitas  dari titik pandang aksiomatik (Ramachandran, K.M & Chris P. Tsokos, 2009 : 54).
Menurut David Hume apabila mempergunakan  argumen  yang  disusun  atas dasar  pengelaman  kita  dimasa  lampau  sebagai dasar  pertimbangan  untuk  membuat  ramalan dimasa  mendatang  maka  argument  ini  hanya merupakan  kemungkinan  (Probabilitas).  Jadi probabilitas  merupakan  pernyataan  yang  berisi ramalan  tentang  tingkatan  keyakinan  tentang terjadinya sesuatu dimasa yang akan datang.
Tingkatan keyakinan ini bisa dinyatakan  dengan  angka  atau  tanpa  dengan angka. Seperti  contoh untuk mengukur kemungkinan  keluarnya  sisi  mata  uang  ketika diputar,  karena  sisi  mata  uang  ada  dua  maka kemungkinan  keluarnya  sebuah  sisi  mata  uang bias ditulis dengan angka yaitu ½, yang artinya terdapat 1 kemungkinan dari  2 kemungkinan.
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal  juga  sebagai  probabilitas  adalah  cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan  bahwa  suatu  kejadian  akan berlaku atau telah terjadi. Probabilitas suatu kejadian adalah angka
yang menunjukkan  kemungkinan  terjadinya  suatu kejadian.  Nilainya  diantara  0  dan  1.  Kejadian yang  mempunyai  nilai  probabilitas  1  adalah kejadian  yang  pasti  terjadi  atau  sesuatu  yang telah  terjadi.  Misalnya matahari yang  masih terbit  di timur sampai  sekarang.  Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas  0  adalah  kejadian  yang  mustahil atau  tidak  mungkin  terjadi.  Misalnya  seekor kambing melahirkan seekor sapi.
Probabilitas/Peluang
suatu kejadian A terjadi  dilambangkan  dengan  notasi P( A ), p( A ), atau Pr( A ). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A , atau probabilitas suatu  kejadian A tidak  akan  terjadi,  adalah  1- P( A ).
Berpengaruh atau tidaknya suatu
probabilitas  atau  kejadian  terhadap  kejadian yang lain, kejadian-kejadian dibedakan menjadi dua, yaitu sebagai berikut.
a. Probabilitas  Dependen  (Tidak  bebas  atau tergantung)  dua  kejadian  disebut  dependen apabila  terjadi  atau  tidaknya  suatu  kejadian “berpengaruh”  pada  probabilitas  kejadian yang  lain.  Apabila  dua  kejadian  dependen, konsep  “probabilitas  bersyarat”  digunakan untuk menentukan probabilitas dari kejadian yang  berkaitan.  Lambang  dari  probabilitas bersyarat  adalah  P(A|B)  yang  menyatakan bahwa:  “Probabilitas  kejadian  A,  dengan ketentuan  kejadian  B  terlebih  dahulu terjadi”.
Probabilitas  independen  (Bebas  atau tidak tergantung) dua kejadian disebut independen  apabila  terjadi  atau  tidaknya  suatu kejadian “tidak berpengaruh” pada probabilitas kejadian yang lain.
C. Konsep Probabilitas Bersyarat dan Independensi Sehubungan dengan konsep probabilitas  bersyarat,  Feller  (1968)  dalam Carmen  Díaz  &  Carmen  Batanero  (2009:  21) menyarankan  bahwa:  “Gagasan  probabilitas bersyarat  adalah  alat  dasar  teori  probabilitas”. Definisi  umum  dari  probabilitas  bersyarat adalah  sebagai  berikut:  P  (B)  >  0  misalkan sebuah  peristiwa  B,  dalam  ruang  sampel. Dalam  hal  ini,  untuk  setiap  peristiwa  A  dalam ruang sampel yang sama, probabilitas bersyarat dari  A  mengingat  bahwa  B  terjadi.  Teori-teori filsafat  telah  menjelaskan  sebab-akibat.  Salah satu  ketentuan  umum  diterima  (meskipun bukan  satu-satunya  ketentuan)  adalah  bahwa jika  suatu  peristiwa  A  adalah  penyebab  lain peristiwa  B,  setiap  kali  A  terjadi  ,  B  juga terjadi, dan oleh karena itu menyatakan bahwa P=  (  B|A)=1.  Sebaliknya  P=  (  B|A)=1, jika   maka  tidak  benar  bahwa  A  adalah penyebab  B  meskipun  keberadaan  bersyarat hubungan  menunjukkan  bahwa  hubungan kausal  mungkin.  Dalam  beberapa  kasus hubungan  kondisional  tidak  berarti  sebab- akibat.
Pengertian di atas menjelaskan hubungan  kedua  peristiwa  A  dan  peristiwa  B yang terdapat antara peristiwa adalah hubungan bersyarat. Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan  bersyarat  jika  peristiwa  yang  satu menjadi  syarat  terjadinya  peristiwa  yang  lain. Peristiwa  tersebut  ditulis  dengan  A|B  untuk menyatakan  peristiwa  A  terjadi  dengan didahului  terjadinya  peristiwa  B.  Peluangnya ditulis  P(A|B)  yang  disebut  peluang  bersyarat.
Jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa B tidak  mempengaruhi  terjadinya  peristiwa  A, maka  A  dan  B  disebut  peristiwa  peristiwa bebas  atau  independent.  Untuk  menyatakan kedua  peristiwa  terjadi  maka  ditulis  A  dan  B atau P(A dan B) = P(A) . P(B) Ronald  E.  Walpole  et.al  (2007:  58) “ The probability of an event B occurring wdien it  is  known  that  some  event  A  has  occurred  is called a conditional probability and is denoted by P(P|A). The symbol P(P| A) is usually read "the  probability  that  B  occurs  given  that  A occurs"  or  simply  "the  probability  of  B,  given A ."  (probabilitas  s uatu  peristiwa  B  terjadi  jika diketahui  bahwa  beberapa  peristiwa  A  telah terjadi  disebut  probabilitas  bersyarat  dan dilambangkan  dengan  P (P  |  A).  Simbol  P  (P  | A)  biasanya  dibaca  “probabilitas  bahwa  B terjadi mengingat bahwa A terjadi” atau hanya “probabilitas B,  diberikan A”.
Probabilitas  bersyarat terjadi  jika peristiwa  yang  satu  mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas  bahwa  B  akan  terjadi  bila diketahui  bahwa  A telah terjadi  ditulis  sebagai berikut.
P( B | A)
Dengan  demikian  probabilitas  bahwa  A  dan  B akan terjadi dirumuskan sebagai berikut.
P(A∩B) = P(A) x P(B/A)
Sedang  probabilitas  A  akan  terjadi  jika diketahui  bahwa  B  telah  terjadi  ditulis  sebagai berikut.
P (A/B)
Maka  probabilitas  B  dan  A  akan  terjadi dirumuskan sbb :
Contoh :
Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas pertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi  3  bola  putih  dan  5  bola  hitam.  Jika sebuah  bola  diambil  dari  masing-masing  tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa :
a. Keduanya bola putih
b. Keduanya bola hitam
c. Satu bola putih dan satu bola hitam
Jawab
Misalnya A 1 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A 2 menunjukkan  peristiwa  terambilnya  bola  putih di tas kedua, maka :
P(A 1 ∩A 2 )  =  P(A 1 )  x  P(A 2 /A 1 )  =  4/6  X  3/8  = 1/4
Misalnya  A1  menunjukkan  peristiwa  tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya  bola  hitam)  dan  A2  menunjukkan peristiwa tidak terambilny7a bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka: P(A 1 ∩A 2 )  =  P(A 1 )  x  P(A 2 /A 1 )      =  2/6  x  5/8  = 10/48 = 5/24 Probabilitas yang dimaksud adalah : P(A 1 ∩B 2 ) U P(B 1 ∩A 2 )
Menurut  Carmen  Díaz  &  Inmaculada de  la  Fuente  (2007:  130)  pada  probabilitas bersyarat  diketahui  bahwa  jika  suatu  peristiwa B adalah penyebab dari peristiwa lain A , maka setiap  kali  B  hadir  adalah  A  juga  hadir  dan karena P (A / B ) = 1 . Sebaliknya , P ( A / B ) = 1 tidak berarti bahwa B adalah penyebab A , meskipun  adanya  hubungan  bersyarat  tersebut menunjukkan  kemungkinan  hubungan  sebab- akibat.  Dari  sudut  pandang  psikologis,  orang yang menilai bersyarat probabilitas P ( A / B ) mungkin menganggap berbagai jenis hubungan antara A dan B tergantung pada konteks. Jika B dianggap  sebagai  penyebab  A  ,  P  (  A  /  B  ) dipandang sebagai hubungan kausal, dan jika A dianggap sebagai kemungkinan penyebab B , P (  A  /  B  )  dipandang  sebagai  hubungan diagnostik  .  Pada  bagian  tertentu    dua probabilitas  P  (  A  /  B  )  dan  P  (  B  /  A  )  ini menimbulkan kebingungan, sehingga kebingungan itu disebut kesalahan dan dialihkan  menjadi  bersyarat.  Hasil  yang  sama yang  ditemukan  oleh  Gras  dan  Totohasina
(1995) yang mengidentifikasi dua kesalahpahaman yang berbeda tentang probabilitas  bersyarat  dalam  survei  dari  siswa sekolah menengah tujuh puluh lima 17 sampai 18 tahun:
1. Kronologis kejadian konsepsi di mana siswa menafsirkan probabilitas bersyarat P (A / B) sebagai hubungan temporal; yaitu, peristiwa B harus selalu mendahului peristiwa A.
2. Hubungan  konsepsi  dimana  siswa menafsirkan bersyarat probabilitas
P  (A  /  B)  sebagai  hubungan  kausal implisit;  yaitu,  pendingin  acara  B adalah  penyebabnya  dan  A  adalah konsekuensi.
P (A ∩ B) = P(B) x P(A/B)
Dari sudut pandang psikologis, orang yang menilai probabilitas bersyarat P= (A | B) mungkin menganggap berbagai jenis hubungan antara A dan B tergantung pada konteksnya (Tversky & Kahneman 1982a).
1. Jika B dianggap sebagai penyebab A, dipandang P= (A | B) sebagai hubungan kausal, dan) (B | AP
2. Jika A dianggap sebagai kemungkinan penyebab B, dipandang                     P= (A | B) sebagai hubungan diagnostik.
Hubungan  ini  berbeda  menyangkut penilaian  probabilitas  bersyarat.  Dampak  dari data kausal pada penilaian probabilitas konsekuensi  biasanya  lebih  besar  dari  dampak data diagnostik pada penghakiman kemungkinan  penyebab.  Untuk  alasan  ini, orang  cenderung  melebih-lebihkan  kausal dirasakan  probabilitas  bersyarat  sementara mereka  mengabaikan  diagnostik  bersyarat probabilitas.  Selain  itu,  beberapa  orang bingung diagnostik dan kausal probabilitas; ini adalah sebuah
kasus  tertentu  membingungkan  dua  arah pengkondisian,  dan  disebut  sebagai  kesalahan dari bersyarat dialihkan.
Sifat-sifat probabilitas bersyarat:
a. Bila  A1  dan  A2  dua  kejadian  yang saling  asing  maka  P(A1 ∪ A2|B)  = P(A1|B) + P(A2|B).
b. Bila A0 menyatakan kejadian bukan A maka P(A|B) = 1 − P(A 0 |B).
c. Bila A1 dan A2 dua kejadian sebarang maka  P(A1 ∪ A2|B)  =  P(A1|B)  + P(A2|B) − P(A1 ∩ A2|B).
d. Untuk  dua  kejadian  A  dan  B  berlaku P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A).
Robert B. Ash (2008: 33)
mengemukakan  sekelompok  orang  dipilih secara  acak  dan  tinggi  badannya  dicatat  .  Jika A  adalah  tingginya  lebih  dari  6  kaki  ,  dan  B adalah  peristiwa  yang  digit  adalah  >  7,  mak intuitif, A dan B yang "independen" dalam arti bahwa  pengetahuan  tentang  terjadinya  atau tidak terjadinya salah satu peristiwa seharusnya tidak mempengaruhi kejadian tentang peristiwa yang  lain.  Contohnya  sebuah  uang  logam misalnya  salah  satu  sisinya  disimbolkan dengan sisi A, dan sisi yang lain adalah sisi B, lalu  dilempar  2  kali  secara  acak.  Kejadian  sisi A  maupun  kejadian  sisi  B  pada  lemparan
pertama  TIDAK  akan  mempengaruhi  hasil lemparan kedua, baik di bagian atas sisi A atau sisi B. Kejadian-kejadian ini disebut independen karena tidak saling tergantung.
Dua  kejadian  atau  lebih  dikatakan merupakan  kejadian  bebas  apabila  terjadinya kejadian  tersebut  tidak  saling  mempengaruhi. Dua  kejadian  A  dan  B  dikatakan  bebas,  kalau kejadian  A  tidak  mempengaruhi  B  atau sebaliknya.  Jika  A  dan  B  merupakan  kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B) B) = P(A) P(B) = P(B) P(A)  P(A
Contoh :
Satu  mata  uang  logam  Rp.  50  dilemparkan  ke atas  sebanyak  dua  kali.  Jika  A 1 adalah lemparan  pertama  yang  mendapat  gambar burung(B), dan A 2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan  gambar  burung(B),  berapakah P(A 1 A  2 )!
Penyelesaian  :  Karena  pada  pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan P(A 1 ) = P(B) = 0,5 dan P(A 2 )  =  P(B)  =  0,5,  maka  P(A 1 A  2 )  =  P(A 1 ) P(A 2 ) = P(B) P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25.

## D. Pembahasan
Probabilitas  terjadinya  suatu  kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut  probabilitas  bersyarat  dan  dinyatakan dengan  P(B|A).    Lambang  P(B|A)  biasanya dibaca  “ peluang  B  terjadi  bila  diketahui  A terjadi ”  atau  lebih  sederhana  lagi  “ peluang  B, bila A diketahui ”.
Definisi 1 :
Peluang  bersyarat  B  bila  A  diketahui, dinyatakan  dengan  P(B|A),  ditentukan oleh :
0 P(A) jika , P(A) B) P(A A) | P(B   

## CONTOH  :
1. Probabilitas suatu penerbangan yang telah terjadual  teratur  berangkat  tepat  waktu P(B)  =  0,83;  probabilitas  sampai  tepat waktu  P(S)  =  0,82;  dan  probabilitas berangkat  dan  sampai  tepat  waktu  P(B  S)  =  0,78.    Carilah  probabilitas  bahwa pesawat:
a.    sampai  tepat  waktu  apabila  diketahui berangkat tepat waktu,
b.    berangkat  tepat  waktu  jika  diketahui sampai tepat waktu.
Jawab :
a. Probabilitas  pesawat  sampai  tepat waktu  jika  diketahui  berangkat  tepat waktu adalah :
. 94 , 0
83 , 0 78 , 0 ) B ( P ) S B ( P ) B | S ( P    
b. Probabilitas  pesawat  berangkat  tepat waktu  apabila  diketahui  sampai  tepat waktu adalah :
. 95 , 0 82 , 0 78 , 0 ) S ( P ) S B ( P ) S | B ( P    

## Definisi 2 :
Dua  kejadian  A  dan  B  bebas  jika  dan hanya jika :
P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A). Jika  tidak  demikian,  maka  A  dan  B  tak bebas. CONTOH:
Misalkan  diberikan  suatu  percobaan  yang berkaitan  dengan  pengambilan  2  kartu  yang diambil  berturutan  dari  sekotak  kartu  dengan pengembalian.  Kejadian ditentukan sebagai :
A  =  kartu  pertama  yang terambil as,
B  =  kartu  kedua  sebuah  skop ( spade ).
Karena  kartu  pertama  dikembalikan,  ruang sampel  untuk  kedua  pengambilan  terdiri  dari 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop.  Jadi
, 4 1 52 13 A) | P(B   dan . 4 1 52 13
P(B)  
Jadi,  P(B|A)  =  P(B).    Apabila  ha      l  ini benar,  maka  kejadian  A  dan  B  dikatakan bebas ( independent ).

## Definisi 3 :
Bila dalam suatu percobaan A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :
P(A  B) = P(A) P(B  A) P(A  B) = P(B) P(A  B)

## CONTOH:
Suatu  kantong  berisi  4  bola  merah  dan  3  bola hitam,  dan  kantong  kedua  berisi  3  bola  merah dan  5  bola  hitam.    Satu  bola  diambil  dari kantong  pertama  dan  dimasukkan  tanpa melihatnya  ke  kantong  kedua.    Berapakah probabilitas  apabila  sekarang  diambil  bola hitam dari kantong kedua ?
Jawab :
Misalkan  H 1 ,  H 2 ,  dan  M 1 masing-masing menyatakan  mengambil  1  bola  hitam  dari kantong  1,  1  bola  hitam  dari  kantong  2, dan  1  bola  merah  dari  kantong  1.    Ingin diketahui gabungan dari kejadian mutually exclusive H 1  H 2 dan M 1  H 2 .  Berbagai kemungkinan dan probabilitasnya diperlihatkan pada Gambar di bawah ini.

## Selanjutnya,
      
           . 63 38 9 5 7 4 9 6 7 3 M | H P M P H | H P H P H M P H H P H M atau H H P 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1                             
     
Definisi 4 :
Bila 2 kejadian A dan B bebas, maka :

## P(A  B) = P(A) P(B)
CONTOH :
Suatu  kota  kecil  mempunyai  sebuah  mobil pemadam  kebakaran  dan  sebuah  ambulans untuk  keadaan  darurat.    Probabilitas  mobil pemadam kebakaran siap setiap waktu diperlukan  adalah  0,98;  probabilitas  mobil ambulans  siap  setiap  waktu  dipanggil  adalah 0,92.    Jika  dalam  kejadian  ada  kecelakaan karena  kebakaran  gedung,  maka  carilah probabilitas keduanya siap.
Jawab :
Misalkan  A  dan  B  masing-masing menyatakan  Kejadian  mobil  pemadam kebakaran  dan  ambulans  siap.    Oleh karena itu,
P(A  B)  =  P(A)  P(B)  = (0,98)(0,92)  = 0,9016.

## Definisi 5 :
Bila  dalam  suatu  percobaan  kejadian- kejadian A 1 , A 2 , …, A k dapat terjadi, maka
:
Kantong 1 4M,     3H Kantong 2 3M,     6H Kantong 2 4M,     5H H 3/7 M 4/9 M 4/7 M 3/9 H 6/9 H 5/9
P(A 1  A 2  …  A k ) = P(A 1 ).P(A 2  A 1 ).P(A 3  A 1  A 2 ). P(A k  A 1  A 2  …  A k-1 ) CONTOH:
Tiga  kartu  diambil  satu  persatu  tanpa pengembalian  dari  sekotak  kartu  (yang  berisi 52 kartu).  Carilah probabilitas bahwa kejadian
A 1  A 2  A 3 terjadi,  apabila  A 1 kejadian bahwa  kartu  pertama  as  berwarna  merah,  A 2 kejadian  bahwa  kartu  kedua  10  atau  jack,  dan A 3 kejadian bahwa kartu ketiga lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil dari 7.
Jawab :
Diketahui bahwa :
A 1 : kartu pertama as berwarna merah,
A 2 : kartu kedua 10 atau jack,
A 3 :  kartu  ketiga  lebih  besar  dari  3 tetapi lebih kecil dari 7.
Selanjutnya,
52 2 ) A ( P 1  51 8 ) A | A ( P 1 2  50 12 ) A A | A ( P 2 1 3  
sehingga diperoleh bahwa :
      . 5525 8 50 12 51 8 52 2 A A | A P A | A P A P ) A A A ( P 2 1 3 1 2 1 3 2 1                        
Definisi 5 :
Bila A 1 , A 2 , …, A k saling bebas, maka : P(A 1  A 2  …  A k ) = P(A 1 ).P(A 2 ).P(A 3 ) … P(A k ) Teorema :
Bila  kejadian  B 1 ,  B 2 ,  …,  B k merupakan partisi dari ruang sampel S dengan P(B i )  0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk setiap kejadian A anggota S :
) B | A ( P ) B ( P ) A B ( P ) A ( P i k 1 i i k 1 i i        atau P(A) = P(B 1 )P(A  B 1 ) + P(B 2 )P(A  B 2 ) +… + P(B k )P(A  B k ) BUKTI :
Perhatikan    diagram  Venn  pada    Gambar di bawah ini.    Terlihat bahwa kejadian A merupakan  gabungan    dari    sejumlah kejadian    yang mutually  exclusive B 1  A,  B 2  A, …, B k  A, yaitu :
A  =  (B 1  A)  (B 2  A) 
…  (B k  A).
Dengan  menggunakan  pernyataan  yang mengatakan bahwa :
Apabila  E 1 ,  E 2 ,…,  E k kejadian  yang disjoint ,    maka    P(E 1  E 2  …  E k )  = P(E 1 ) + P(E 2 ) + … + P(E k ).
serta
Apabila    kejadian    E 1 dan    E 2 dapat terjadi  pada  suatu  percobaan,    maka  P(E 1  E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 | E 1 ).
Sehingga diperoleh :
P(A) = P[(B 1  A)  (B 2  A)  … (B k  A)]
= P(B 1  A) + P(B 2  A) + … + P(B k  A) = ). B | A ( P ) B ( P ) A B ( P i k 1 i i k 1 i i      
CONTOH  :
Tiga  anggota  koperasi  dicalonkan  menjadi ketua.  Probabilitas Pak Ali terpilih adalah 0,3; probabilitas  Pak  Badu  terpilih  adalah  0,5; sedangkan  probabilitas  Pak  Cokro  adalah  0,2. Apabila  Pak  Ali  terpilih,  maka  probabilitas
kenaikan  iuran  koperasi  adalah  0,8.    Apabila Pak  Badu  atau  Pak  Cokro  yang  terpilih,  maka probabilitas  kenaikan  iuran  adalah  masing- masing  0,1  dan  0,4.    Berapakah  probabilitas iuran akan naik ?
Jawab :
Perhatikan kejadian sebagai berikut.
A    =  Orang  yang  terpilih  menaikkan iuran
B 1 = Pak Ali yang terpilih
B 2 = Pak Badu yang terpilih
B 3 = Pak Cokro yang terpilih.
Berdasarkan  teorema  jumlah  probabilitas, maka diperoleh :
P(A) = P(B 1 )P(A|B 1 )+ P(B 2 )P(A|B 2 )+ P(B 3 )P(A|B 3 )
Dengan  melihat  diagram  pohon  pada Gambar  di  bawah  ini,  terlihat  bahwa ketiga cabang mempunyai probabilitas
P(B 1 )P(A|B 1 ) = (0,3)(0,8) = 0,24
P(B 2 )P(A|B 2 ) = (0,5)(0,1) = 0,05
P(B 3 )P(A|B 3 ) = (0,2)(0,4) = 0,08.
A B 1 B 2 B k B 3 B 4
Jadi   P(A) = 0,24 + 0,05 + 0,08 = 0,37.

## KAIDAH TEOREMA BAYES
Misalkan  kejadian  B 1 ,  B 2 ,  …,  B k merupakan suatu partisi dari ruang sampel S dengan  P(B i )  0  untuk  i  =  1,  2,  …,    k.    Misalkan  A  suatu kejadian sebarang dalam S dengan    P(A)  0, maka :
) B | A ( P ) B ( P ) B | A ( P ) B ( P ) A B ( P ) A B ( P ) A | B ( P i k 1 i i r r k 1 i i r r        
untuk r = 1, 2, …, k.
BUKTI :
Menurut definisi probabilitas bersyarat :
) A ( P ) A B ( P ) A | B ( P r r  
selanjutnya,
     k 1 i i r r ) A B ( P ) A B ( P ) A | B ( P sehingga diperoleh :
   k 1 i i i r r r ) B | A ( P ) B ( P ) B | A ( P ) B ( P ) A | B ( P .
CONTOH  :
Kembali  ke  contoh  sebelumnya,  apabila seseorang merencanakan masuk menjadi anggota  koperasi  tersebut,  tetapi  menundanya beberapa  minggu  dan  kemudian  mengetahui bahwa iuran telah naik,  berapakah  probabilitas Pak Cokro terpilih menjadi ketua ?
Jawab :
Dengan  menggunakan  Kaidah  Bayes, diperoleh bahwa :
) B | A ( P ) B ( P ) B | A ( P ) B ( P ) B | A ( P ) B ( P ) B | A ( P ) B ( P ) A | B ( P 3 3 2 2 1 1 3 3 3   
Selanjutnya, masukkan probabilitas yang telah  dihitung  pada  contoh  sebelumnya, sehingga diperoleh :
. 37 8 08 , 0 05 ,
0 24 , 0 08 , 0 ) A | B ( P 3    
Berdasarkan  kenyataan  bahwa  iuran telah naik, maka hasil ini menunjukkan bahwa
B 2 P(B 2 )=0,5 A B 3 P(A|B 2 )=0,1 P(A|B 3 )=0,4 P(A|B 1 )=0,8 B 1 A A P(B 1 )=0,3 P(B 3 )=0,2
kemungkinan  besar  bukan  Pak  Cokro  yang sekarang menjadi ketua koperasi tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Agus,  Irianto.  (2009). Statistik  Konsep  Dasar dan  Aplikasinya .  Jakarta:  Prenada Media Group.
Carmen  Díaz  &  Inmaculada  de  la  Fuente.
(2007). Assessing Students’ Difficulties With Conditional Probability And Bayesian Reasoning .
International  Electronic  Journal  of Mathematics Education, 2, 128-148.
Carmen  Díaz  &  Carmen  Batanero.  (2009). University  students’  Knowledge  and Biases  In  Conditional  Probability
Reasoning .  International  Electronic Journal of Mathematics Education, 4, 21-52.
Ramachandran, K.M,  Chris  P.  Tsokos.  (2009).
Mathematical Statistics with Applications . California: Elsevier
Academic Press.
Robert  B.  Ash.  (2008). Basic  Probability Theory .  Mineola,  New  York:  Dover Publications, Inc.
Ronald E. Walpole, et.al (2007). Probability & Statistics for Engineers &; Scientists . Eighth  Edition.  Canada:  Pearson Prentice Hall.