J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 2, Nov 2006, 81–93

## Kajian Integral Cavalieri-Wallis dan Integral Porter-Wallis serta Kaitannya dengan Integral Riemann

## Ratna Sari Dewi dan Sunarsini
Jurusan Matematika ITS Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
sunarsini@matematika.its.id

## Abstrak
Integral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis adalah suatu konsep baru dalam Matematika, dibangun berdasarkan konsep indivisible yang dikembangkan oleh Cavalieri dan Wallis. Metode indivisible adalah pemikiran tentang area di bawah kurva sebagai jumlah dari seluruh garis vertikal yang sejajar, yang ada di bawah kurva. Integral Cavalieri-Wallis dan Porter-Wallis dibangun melalui pendekatan limit dari jumlahan tinggi kurva pada masing-masing subinterval. Pada makalah ini dikaji bagaimana membangun integral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis dan sifat- sifatnya, serta keterkaitan antara kedua integral tersebut dengan integral Riemann. Dalam kenyataannya, setiap fungsi yang terintegral Riemann pasti terintegral Cavalieri-Wallis dan Porter-Wallis.
Kata Kunci: integral Cavalieri-Wallis, integral Porter-Wallis, integral Rie- mann, metode indivisible.
Kajian Integral Cavalieri-Wallis ...

## 1. Pendahuluan
Integral Riemann adalah integral yang paling banyak digunakan untuk menyele- saikan persoalan matematika, baik dalam matematika murni maupun aplikasinya. Akan tetapi terdapat kekurangan pada integral Riemann, yaitu terdapat kelas fungsi terintegral Riemann yang relatif kecil, karena dibatasi oleh kekontinuan atau kekontinuan sepotong-sepotong dan operasi limit sering kali menemui kesuli- tan yang tidak dapat ditangani. Hal ini menyebabkan munculnya banyak teori integral yang baru. Bronislaw Czarnocha dan Vunda Prabhu dalam ”Indivisi- bles in Contemporary Calculus”[ ? ], memunculkan suatu integral baru yang belum banyak dibahas, yaitu integral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis. Dalam kedua integral itu, penghitung-an luas area dilakukan dengan metode indivisible. Metode Indivisible adalah suatu pemikiran tentang area di bawah kurva sebagai jumlah dari seluruh garis vertikal yang sejajar, yang ada di bawah kurva.

## 2. Integral Riemann
Sebelum di bahas mengenai kaitan antara integral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis dengan integral Riemann, terlebih dahulu akan di bahas mengenai integral Riemann.
Integral Riemann adalah integral dengan fungsi terbatas f yang didefinisikan pada interval tertutup terbatas [ a, b ]. Partisi dari [ a, b ] adalah P yaitu koleksi terbatas dari titik-titik di [ a, b ] sedemikian hingga a = x 0 < x 1 < · · · < x k = b . Titik-titik ini membagi [ a, b ] menjadi sub interval I k = [ x k − 1 , x k ], k = 1 , 2 , · · · , n . Diberikan f : I → R adalah fungsi terbatas pada I dan P := ( x 0 , x 1 , · · · , x k ) adalah partisi dari I . Untuk k = 1 , 2 , · · · , n , didefinisikan
m k = inf { f ( x ) : x ∈ [ x k − 1 , x k ] } M k = sup { f ( x ) : x ∈ [ x k − 1 , x k ] }
Jumlahan bawah (lower sum) dari f terkait dengan P partisi didefinisikan sebagai
L ( P ; f ) := n X k =1 m k ( x k − x k − 1 )
Jumlahan atas (upper sum) dari f terkait dengan P partisi didefinisikan seba- gai
U ( P ; f ) := n X k =1 M k ( x k − x k − 1 )
Misal P ( I ) menotasikan koleksi semua partisi dari interval I . Jika f : I → R terbatas, maka masing-masing partisi P dalam P ( I ) menentukan dua bilangan yaitu jumlahan bawah L ( P ; f ) dan jumlahan atas U ( P ; f ).
Berikut ini akan diberikan definisi integral atas dan integral bawah.
Definisi 2.1 [1] (R.G. Bartle dan D.R. Sherbert, hal.233) Diberikan I := [ a, b ] dan f : I → R adalah fungsi terbatas. Integral bawah dari f pada I adalah
L ( f ) := sup { L ( P, f ) : P ∈ P ( I ) }
Integral atas dari f pada I adalah
U ( f ) := sup { U ( P, f ) : P ∈ P ( I ) }
Definisi 2.2 [1] (R.G. Bartle dan D.R. Sherbert, hal.234) Diberikan I := [ a, b ]
dan f : I → R adalah fungsi terbatas, maka f dikatakan terintegral Riemann pada I jika L ( f ) = U ( f ) . Integral Riemann dari f pada I didefinisikan sebagai nilai dari L ( f ) = U ( f ) , dan dinotasikan oleh
b Z a f atau b Z a f ( x ) dx .
Kaitan antara integral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis dengan in- tegral Riemann akan dicari melalui jumlahan Riemann. Oleh karena itu di bawah ini akan diberikan definisi dan teorema mengenai jumlahan Riemann.
Definisi 2.3 [1] (R.G. Bartle dan D.R. Sherbert, hal.262) Diberikan I := [ a, b ] dan f : I → R adalah fungsi terbatas. Jika P := ( x 0 , x 1 , · · · , x n } adalah partisi dari I dan jika ( ξ 1 , ξ 2 , · · · , ξ n ) adalah titik-titik di dalam interval I sedemikian hingga x k − 1 ≤ ξ k ≤ x k untuk k = 1 , 2 , · · · , n , maka jumlahan
S ( P ; f ) := n X k =1 f ( ξ k )( x k − x k − 1 )
disebut jumlahan Riemann ( Riemann sum) dari yang terkait dengan partisi dan nilai antara .
Teorema 2.4 [1] (R.G. Bartle dan D.R. Sherbert, hal.263) Diberikan I := [ a, b ] dan f : I → R adalah fungsi terintegral pada I . Jika diberikan ε > 0 , terdapat P ε partisi dan jika S ( P ; f ) adalah jumlahan Riemann, maka ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ S ( P ; f ) − b Z a f ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < ε
b R
a f dalam Teorema 2.4 dapat ditulis sebagai
b Z a f = lim n →∞ S ( P ; f )

## 3. Integral Cavalieri-Wallis dan Integral Porter- Wallis
Integral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis adalah teori yang dibangun berdasarkan konsep indivisible dari Cavalieri dan Wallis.
Dengan menggunakan prinsip indivisible , Bonaventura Cavalieri membentuk metode untuk menghitung luas daerah segitiga. Luas segitiga adalah setengah dari luas persegi empat yang mempunyai panjang dan lebar yang sama dengan panjang alas dan tinggi segitiga tersebut. Cavalieri mendekati daerah segitiga dengan persegi empat-persegi empat kecil, seperti pada Gambar 1. Pada saat lebar (alas) persegi empat itu semakin kecil, maka persegi empat tersebut akan berubah menjadi garis-garis vertikal dan membentuk segitiga
Gambar 1:
Gambar 2:
Gambar 1 adalah gambar sebuah persegi empat dengan panjang 6 satuan dan lebar 5 satuan. Luas persegi panjang pada Gambar 1 adalah . Untuk menghitung luas daerah yang diarsir yang ada didalam persegi panjang adalah dengan men- jumlahkan luas seluruh persegi panjang yang kecil. Jika dibandingkan antara luas daerah yang diarsir dengan luas persegi panjang, yang selanjutnya akan disebut sebagai rasio, maka diperoleh
Luas daerah yang diarsir Luas daerah persegi panjang = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5
5 × 6 = 15 30 = 1 2
Dengan cara yang sama pada persegi panjang yang lebih besar, diperoleh rasio
Luas daerah yang diarsir Luas daerah persegi panjang = P i =0 ni n ( n + 1) = 1 2 n ( n + 1) n ( n + 1) = 1 2 , n ∈ N
Kemudian Cavalieri mengembangkan metode untuk menghitung luas area di bawah kurva y = x 2 . Gambar 2 adalah gambar kurva y = x 2 , x ≥ 0. Pada Gambar 2 terlihat bahwa masing-masing persegi panjang kecil mempunyai panjang alas (lebar) 1 satuan di sepanjang sumbu-x, dan tinggi (panjang) x 2 di sepanjang sumbu-y. Sedangkan luas persegi panjang yang besar mempunyai panjang alas (lebar) m + 1 dan tinggi (panjang) m 2 , sehingga diperoleh rasio
Luas m persegi panjang Luas yang dibatasi persegi panjang = 0 2 + 1 2 + 2 2 + · · · + m 2 ( m + 1) m = 1 3 + 1 6 m
Pada saat m semakin besar mendekati tak hingga, maka
lim m →∞ µ 1 3 + 1 6 m ¶ = 1 3
Wallis menggunakan indivisibles seperti yang dilakukan oleh Cavalieri untuk menghitung rasio luas daerah di bawah kurva y = x 2 pada [0 , 1] dengan luas daerah persegi panjang yang mengelilinginya. Untuk menghitung rasio dari luas daerah di bawah kurva dengan persegi panjang yang mengelilinginya, Wallis memberikan rasio dari kurva dengan interval adalah x 2 : 1 2 . Wallis menghitung rasio dari jumlahan n subinterval dengan interval, sehingga diperoleh
( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 + · · · + ( n n ) 2 1 2 + 1 2 + 1 2 · · · + 1 2 = ( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 + · · · + ( n n ) 2 ( n n ) 2 + ( n n ) 2 + ( n n ) 2 + · · · + ( n n ) 2
untuk n ∈ N .
Pada saat n semakin besar atau n mendekati tak hingga, diperoleh
lim n →∞ ( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 + · · · + ( n n ) 2 1 2 + 1 2 + 1 2 · · · + 1 2 = lim n →∞ ( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 + · · · + ( n n ) 2 ( n n ) 2 + ( n n ) 2 + ( n n ) 2 + · · · + ( n n ) 2
Karena
( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 + · · · + ( n n ) 2 1 2 + 1 2 + 1 2 · · · + 1 2 = 1 3 + 1 6 n maka lim n →∞ ( 0 n ) 2 + ( 1 n ) 2 + ( 2 n ) 2 + · · · + ( n n ) 2 1 2 + 1 2 + 1 2 · · · + 1 2 = lim n →∞ 1 3 + 1 6 n = 1 3
Teknik Cavalieri-Wallis adalah suatu teknik untuk mengukur luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 pada [0 , 1], yang berdasarkan pada kerja Bonaventura
Cavalieri dan John Wallis (metode Indivisible). Rasio Cavalirieri-Wallis ( CW n ) dibentuk dari Metode Wallis kedalam bentuk pendekatan limit dari jumlahan, yang dapat ditulis sebagai
CW 1 = 0 2 + 1 2 1 2 + 1 2 = 1 2 = 1 3 + 1 6 × 1 CW 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 = 5 12 = 1 3 + 1 6 × 2 CW 3 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 3 2 + 3 2 + 3 2 + 3 2 = 14 36 = 1 3 + 1 6 × 3 .. . = .. . CW n = 0 2 + 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 n 2 + n 2 + n 2 + · · · + n 2 = 1 3 + 1 6 × n , n ∈ N
Bentuk CW n dapat diekspresikan dengan fungsi f ( x ) = x 2 pada [0 , 1] yang dibagi menjadi n interval yang sama.
CW n = 0 2 + 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 n 2 + n 2 + n 2 + · · · + n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 n 2 ( n + 1) = 0 2 n 2 + 1 2 n 2 + 2 2 n 2 + · · · + n 2 n 2 ( n + 1) = n X i =0 µ i n ¶ 2 n + 1 = n X i =0 f µ i n ¶ 1 × ( n + 1)
dengan f max = 1, sehingga diperoleh
CW n = n X i =0 f µ i n ¶ f max ( n + 1)
Jika f fungsi yang terbatas pada interval [0 , 1] maka M = f max , sehingga CW n bisa ditulis
CW n = n X i =0 f µ i n ¶ M ( n + 1) (1)
dengan x i = a + ( b − a ) i n untuk n ∈ N dan M adalah supremum dari fungsi f .
Jika n semakin besar mendekati tak hingga, maka ∆ x i = x i +1 − x i untuk i = 1 , 2 , · · · akan semakin kecil dimana
∆ x i = µ a + ( b − a )( i + 1) n ¶ − µ a + ( b − a ) i ) n ¶ = b − a n
sehingga
lim n →∞ b − a n = 0
Dengan demikian persegi empat yang digunakan untuk mendekati luas daerah di bawah kurva, akan menjadi garis-garis vertikal yang sejajar di bawah kurva ( indivisible ).
Selanjutnya akan diberikan definisi integral Cavalieri-Wallis.
Definisi 3.1 Diberikan f : [ a, b ] → R fungsi terbatas. Integral Cavalieri-Wallis dari fungsi f pada [ a, b ] didefinisikan sebagai CW R b a f ( x ) dx = lim n →∞ CW n atau
CW R b a f ( x ) dx = lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) M ( n +1) , dengan x i = a + ( b − a ) i n dan M adalah supre- mum dari fungsi f .
Suatu fungsi terbatas f : [ a, b ] → R dikatakan terintegral Cavalieri-Wallis jika
lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) M ( n +1) ada.
Setelah mengetahui definisi integral Cavalieri-Wallis, berikut ini akan diberikan definisi integral Porter-Wallis. Akan tetapi sebelumnya akan diberikan terlebih dahulu mengenai jumlahan rata-rata tinggi ( P W n ).
Diberikan suatu fungsi terbatas f : [ a, b ] → R , untuk setiap n ∈ N maka jumlahan rata-rata tinggi ( P W n ) didefinisikan sebagai
P W n = n X i =0 f ( x i ) M ( n + 1) (2)
dengan x 0 = a , x 1 = a + b − a n , · · · , x n = a + n ( b − a ) n = b .
Definisi 3.2 Diberikan f : [ a, b ] → R adalah fungsi terbatas dan untuk setiap
n , didefinisikan jumlahan rata-rata tinggi P W n = n X i =0 f ( x i )
n +1 , dengan x 0 = a ,
x 1 = a + b − a n , · · · , x n = a + n ( b − a ) n = b . Integral Porter-Wallis didefinisikan sebagai
( b − a ) lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) ( n +1) atau ( b − a ) lim n →∞ P W n ( f ) dan ditulis sebagai P W Z b a f ( x ) dx .

## 4. Kaitan antara Integral Cavalieri- Wallis dan In- tegral Porter-Wallis dengan Integral Riemann
Dari Definisi 2.2 akan dibahas mengenai keterkaitan integral Cavalieri-Wallis dengan jumlahan Riemann.
Jika f fungsi terbatas maka M = f max , sehingga
CW Z b a f ( x ) dx = lim n →∞ n X i =0 f µ a + ( b − a ) n i ¶ f max ( n + 1) = lim n →∞ f ( a ) f max ( n + 1) + lim n →∞ n X i =1 f µ a + ( b − a ) n i ¶ f max ( n + 1) = lim n →∞ f ( a ) f max ( n + 1) + lim n →∞ n ( n + 1) A r R n = lim n →∞ n ( n + 1) A r R n (3)
dengan R n = n X i =1 f µ a + b − a n i ¶ µ b − a n ¶ adalah jumlahan Riemann dan A r = f max ( b − a ) adalah luas area persegi empat dengan panjang alas ( b − a ) dan tinggi f max .
Untuk mendapatkan hubungan antara integral Cavalieri-Wallis dengan integral Porter-Wallis yang merupakan bentuk kasus tertentu dari integral Cavalieri-Wallis, akan diuraikan Definisi 2.3.
P W Z b a f ( x ) dx = ( b − a ) lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) ( n + 1) = ( b − a ) M lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) M ( n + 1) = ( b − a ) M lim n →∞ CW n (4)
Selanjutnya akan diberikan teorema mengenai keterkaitan antara integral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis dengan integral Riemann.
Teorema 4.1 Kelas dari fungsi terintegral Riemann berada di dalam kelas fungsi terintegral Cavalieri-Wallis atau Porter-Wallis.

## Bukti:
Untuk membuktikan Teorema di atas, akan ditunjukkan bahwa
lim n →∞ (( b − a ) × M × CW n ) = lim n →∞ R n +1
R n +1 adalah jumlahan Riemann dengan n +1 partisi. Misalkan f fungsi terintegral Riemann pada [ a, b ] dan adalah supremum dari f , maka terdapat partisi P n +1 dari [ a, b ], dengan
x 0 = a, x 1 = a + b − a n + 1 , x 2 = a + 2( b − a ) n + 1 , · · · x n = a + n ( b − a ) n + 1 , x n +1 = a + ( n + 1)( b − a ) n + 1
Jika ( ξ 0 , ξ 1 , ξ 2 , · · · , ξ n +1 ) adalah suatu bilangan sedemikian hingga untuk x + k − 1 ≤ ξ k ≤ x k untuk k = 1 , 2 , · · · , ( n + 1), maka
lim n →∞ R n +1 = ( b − a ) lim n →∞ n +1 X k =1 f ( ξ k ) n + 1
Misalkan diambil ξ k sedemikian hingga ξ k = ξ k − 1 , sehingga diperoleh
lim n →∞ R n +1 = ( b − a ) lim n →∞ n +1 X k =1 f ( x k − 1 ) M ( n + 1)
Dari Persamaan (1), CW n , x 0 = a , x n = b dan M adalah supremum dari fungsi f . Oleh karena itu untuk n yang sangat besar berlaku b − a n = b − a n +1 , maka
lim n →∞ R n +1 = ( b − a ) M lim n →∞ CW n
Hal ini berarti bahwa jika f fungsi terintegral Riemann maka f juga terintegral Cavalieri-Wallis. Karena integral Porter-Wallis merupakan bentuk kasus tertentu dari integral Cavalieri-Wallis (Persamaan (4), maka teorema ini berlaku juga untuk integral Porter-Wallis.
Di bawah ini akan diberikan Teorema Fundamental Kalkulus untuk integral Porter-Wallis.
Teorema 4.2 (Teorema Fundamental Kalkulus untuk Integral Porter-Wallis) Diberikan f : [ a, b ] → R . Jika f 0 kontinu pada [ a, b ] dengan a dan b anggota bilangan real, maka:
P W b Z a f 0 ( x ) dx = f ( b ) − f ( a )
Bukti: f 0 kontinu pada [ a, b ], menurut Teorema 2.4 f 0 kontinu seragam pada [ a, b ]. Menu- rut Teorema 4.2 terintegral Riemann. Misalkan P := ( x 0 , x 1 , · · · , x n ) partisi yang sama dari [ a, b ], maka
P W b Z a f 0 ( x ) dx = ( b − a ) lim n →∞ P W n ( f 0 ) = ( b − a ) lim n →∞ n X i =0 f 0 ( x i ) ( n + 1)
Untuk n yang sangat besar, maka untuk t i ∈ [ x i − 1 , x i ], dengan i = 1 , 2 , · · · , n berlaku f 0 ( x i ) ≈ f 0 ( t i ), berdasarkan Teorema Nilai Tengah, diperoleh
P W b Z a f ( x ) dx = ( b − a ) lim n →∞ 1 n + 1 n X i =0 f ( x i ) − f ( x i − 1 ) x i − x i − 1 P W b Z a f 0 ( x ) dx = ( b − a ) lim n →∞ 1 n + 1 n X i =0 f ( x i ) − f ( x i − 1 ) ( b − a ) n = ( b − a ) lim n →∞ n n + 1 ( f ( b ) − f ( a )) = f ( b ) − f ( a ) ¤
Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat integral Cavalieri-Wallis dan in- tegral Porter-Wallis.
Teorema 4.3 (Sifai-sifat Integral Cavalieri-Wallis dan Porter-Wallis) Diberikan f : [ a, b ] → R fungsi terintegral Cavalieri-Wallis, untuk α ∈ R , mak dan f + g terintegral Cavalieri-Wallis serta
i. CW b Z a αf ( x ) dx = α ( CW ) b Z a f ( x ) dx ii. CW b Z a ( f ( x ) + g ( x )) dx = CW b Z a f ( x ) dx + CW b Z a g ( x ) dx
iii. Jika f ( x ) ≥ 0 untuk semua x ∈ I , maka CW b R a f ( x ) dx ≥ 0
iv. Jika f ( x ) ≤ g ( x ) untuk semua x ∈ I , maka CW b R a f ( x ) dx ≤ CW b R a g ( x ) dx
Bukti:
i. Akan dibuktikan bahwa
CW b Z a αf ( x ) dx = α ( CW ) b Z a f ( x ) dx, ∀ α ∈ R • Jika α = 0, maka αf = 0, sehingga CW b Z a αf ( x ) dx = 0
• Jika α > 0, maka
CW b Z a αf ( x ) dx = α lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) M ( n + 1) = α ( CW ) b Z a f ( x ) dx
• Jika α < 0, maka
CW b Z a αf ( x ) dx = α lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) M ( n + 1) = α ( CW ) b Z a f ( x ) dx ¤
ii. Akan dibuktikan bahwa
CW b Z a ( f ( x ) + g ( x )) dx = CW b Z a f ( x ) dx + CW b Z a g ( x ) dx
Karena ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ), maka
CW b Z a ( f ( x ) + g ( x )) dx = lim n →∞ n X i =0 ( f + g )( x i ) M ( n + 1) = lim n →∞       n X i =0 f ( x i ) M ( n + 1) + n X i =0 g ( x i ) M ( n + 1)       = CW b Z a f ( x ) dx + CW b Z a g ( x ) dx ¤
iii. Akan dibuktikan jika f ( x ) ≥ 0 untuk semua x ∈ I , maka CW b R a f ( x ) dx ≥ 0
Karena f ( x ) ≥ 0 untuk semua x ∈ I , maka f ( x i ) ≥ 0 untuk semua x i dan
M supremum dari f . Karena f ( x i ) ≥ 0, maka n X i =0 f ( x i ) M ( n + 1) ≥ 0, sehingga
lim n →∞ n X i =0 f ( x i ) M ( n + 1) = CW b Z a f ( x ) dx ≥ 0 ¤
iv. Akan dibuktikan jika f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀ x ∈ I , maka CW b R a f ( x ) dx ≤ CW b R a g ( x ) dx
Jika f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀ x ∈ I , maka g ( x ) − f ( x ) ≥ 0, dengan menggunakan Sifat iii dan ii, diperoleh
CW b Z a ( g ( x ) − f ( x )) dx = CW b Z a g ( x ) dx − CW b Z a f ( x ) dx
sehingga
CW b Z a f ( x ) dx ≤ CW b Z a g ( x ) dx ¤
Sifat-sifat ini juga berlaku untuk integral Porter-Wallis.

## 5. Penutup
Berdasarkan pembahasan di atas dapat diketahui bahwa setiap fungsi yang terin- tegral Riemann maka fungsi tersebut juga terintegral Cavalieri-Wallis dan Porter- Wallis. Akibatnya kelas fungsi terintegral Riemann termasuk dalam kelas fungsi terintegral Cavalieri-Wallis dan integral Porter-Wallis. Perlu penelitian lebih lan- jut mengenai contoh suatu fungsi yang terintegral Cavalieri-Wallis dan Porter- Wallis tetapi tidak terintegral Riemann. Demikian juga dengan keterkaitan antara integral Cavalieri-Wallis dan Porter-Wallis dengan integral Lebesgue.

## Pustaka
[1] Bartle, Robert.G. dan Sherbet, Donald.R., (1994), Introduction To Real Analy- sis, John Wiley and sons. Singapore.
[2] Czarnocha, B. dan Vrunda Prabhu. Indivisibles in Contemporary Calculus, NSF Grant #0126141, ROLE.
[3] Czarnocha, B., Dubinsky, E., Loch, S., Prabhu, V. dan Vidakowic, D., (2001), Conception of Area: In Student and In history, College Mathematics Journal v.32, #3.
[4] Prabhu, V., Porter, J. dan Czarnocha, B., (2004), Research into Learning Calculus, History of Mathematics and Mathematical Analysis, ICME-10, e- proceedings.