## DISKRETISASI MODEL LORENZ

## DENGAN ANALOGI PERSAMAAN BEDA
Siti Shifatul Azizah
Politeknik Kota Malang e-mail: shifa_1902@yahoo.ac.id

## ABSTRAK
Diskretisasi  model  merupakan  prosedur  transformasi  model  kontinu  ke  model  diskret. Diskretisasi dilakukan dengan metode analogi persamaan beda, yaitu dengan menganalogikan persamaan diferensial  yang  menggunakan  aturan  limit,  dengan  persamaan  beda  yang  menggunakan  beda antar titik  waktu  diskret.  Model  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  model Lorenz yang merepresentasikan  aliran  konveksi  udara  di  atmosfer  yang  terjadi  karena  perbedaan  suhu.  Tujuan  dari penelitian  ini  adalah  mengkonstruksi  model  diskret Lorenz dan  membandingkan  perilaku  antar  model diskret  dan  model  kontinu.  Langkah  yang  dilakukan  terdiri  dari  tiga  tahap,  yaitu  konstruksi diskret, diskretisasi masing-masing persamaan dan validasi model diskret dengan membandingkan hasil simulasi grafik  kontinu  dan  diskret.    Hasil  dari  penelitian  ini  didapatkan  model  diskret Lorenz dalam  bentuk umum:
1 (1 ) m m m X h X hY σ σ + = − + , 1 ( ) (1 ) m m m m Y r Z hX h Y + = − + − , 1 (1 ) m m m m Z bh Z hX Y + = − + dengan dan
0 .  Perbandingan  perilaku  setiap  variabel  pada  model  kontinu  dan  diskret  diamati  saat 0.1; 0.01; 0.001 , 0.0001 dengan parameter 10, dan 28 dan nilai awal
, , 1,1,1 . Untuk semakin kecil perbedaan antara model kontinu dan diskret akan semakin sedikit pula. Dari hasil simulasi diskret, efek chaos terjadi pada 15 menit. Saat 10 , model diskret yang dibentuk dapat mengimplementasikan  perilaku  variabel  kontinu  dan  gejala  kekacauan  ( chaos )  di  sekitar  titik kesetimbangan.
Kata Kunci: Diskretisasi, Model Lorenz, Persamaan Beda, Model Kontinu, Model Diskret, Chaos

## ABSTRACT
Discretization of model is transformation a model in continuous form to be a discrete one. It can be  done  by  using  difference  equation  analogy  method.  It  analogues  a  differential  equation  that  use  limit rules with difference equation that use difference between the points of discrete time. The model  in this research  is Lorenz model.  This  model  represents  a  convection  motion  in  atmosphere  that  occurs  due  to temperature  difference.The  purpose  of  research  is  show  construction  the  discrete  version  of Lorenz model and know comparison of discrete Lorenz behavior and continuous one. This research was done by three  steps.  First,  construct  time for  discrete  case.  Second,  discretization  each  of  equations  in Lorenz system, and  third, validation the discrete model that is obtained, by simulating its graphics and compare it  with  continuous  one.  The  results  of  this  research  obtain  a  discrete Lorenz model    in  general  form:
1 (1 ) m m m X h X hY σ σ + = − + , 1 ( ) (1 ) m m m m Y r Z hX h Y + = − + − , 1 (1 ) m m m m Z bh Z hX Y + = − + with and 0 . Comparison  of  the  behavior  of  each  variables  on  a  continuous  and  discrete  model  is  observed  when 0.1; 0.01; 0.001 , 0.0001 with the parameter 10, and 28 and initial value , , 1,1,1 .  For  smaller , the  difference  between  continuous  and  discrete  model  will  be  less  too.  From, simulation  of  discrete  graphics,  chaotic  behavior  can  be  shown  from 15 minutes.  When 0.001 , discrete  model  can  implement  the  behavior  of  continuous  variables  and  chaotic  behavior  around equilibrium point.
Keywords: Discretization, Lorenz Model, Difference Equation, Continuous Model, Discrete Model, Chaos

## PENDAHULUAN
Menurut Liu dan Hussain (2012), diskretisasi  merupakan  proses  kuantisasi  sifat- sifat kontinu. Kuantisasi diartikan sebagai proses pengelompokan  sifat-sifat  kontinu  pada  selang- selang  tertentu  ( step  size ).  Kegunaan  diskretisasi adalah  untuk  mereduksi  dan  menyederhanakan
data, sehingga didapatkan data diskret yang lebih mudah dipahami, digunakan dan dijelaskan. Oleh karena  itu,  hasil  pembelajaran  dengan  bentuk diskret  dipandang  Dougherty  (1995)  sebagai hasil  yang  cepat  dan  akurat  dibandingkan  hasil dari bentuk kontinu. Diskretisasi dapat dilakukan dengan  berbagai  metode,  salah  satunya  yaitu metode analogi persamaan beda.
Menurut  Kamus  Bahasa  Indonesia  (2008), analogi merupakan persesuaian atau penyetaraan dari dua hal yang berlainan. Adapun konsep  analogi  persamaan  beda  muncul  dari pengertian  persamaan  kontinu  dan  diskret. Meyer  (1985)  menjelaskan  bahwa  persamaan kontinu  merupakan  persamaan  yang  mencakup perubahan sesaat dan secara matematis dinyatakan dengan persamaan diferensial ( differential  equation ).  Sedangkan  persamaan diskret  menggambarkan  perubahan  yang  tidak sesaat  dan  dinyatakan  dalam  persamaan  beda ( difference  equation ).  Dari  pengertian-pengertian ini,  diketahui  bahwa  analogi  persamaan  beda merupakan  penyesuaian  persamaan  diferensial dengan persamaan beda.
Persamaan  beda  adalah  persamaan  yang menghubungkan  nilai  fungsi ! yang  diketahui, dan satu atau lebih beda ∆!, ∆ # !, … , ∆ % ! , dengan ∆!&  !& '  ( !& ,  untuk  setiap  nilai & anggota  himpunan  bilangan  yang  memuat selesaian dari fungsi (Goldberg, 1958).
Tirtana (2008) menunjukkan bahwa analogi  persamaan  beda  di  samping  memiliki kesederhanaan  algoritma,  juga  terbukti  memiliki kemampuan  yang  baik  dalam  menghasilkan model  diskret  yang  merepresentasikan  model kontinunya.  Dalam  penelitiannya,  dilakukan diskretisasi  model AIDS dengan  persamaan  beda sehingga  menghasilkan  model  diskret AIDS yang dapat  menjelaskan  pola  perkembangan  variabel pada  model  kontinunya  dengan  sangat  baik, Untuk  menunjukkan  bahwa  metode  tersebut aplikatif  untuk  model  lain,  maka  penelitian  ini mengembangkannya  pada  model  lain,  yaitu model Lorenz. Secara matematis, model
Lorenz
didefinisikan  sebagai  struktur  tiga  dimensi berbentuk persamaan diferensial biasa nonlinear (Robinson, 2004):
X X Y Y rX Y XZ Z bZ XY σ σ  = − +  = − −   = − +  ɺ ɺ ɺ (1.2)
Dalam bidang meteorologi, model Lorenz digunakan  untuk  memodelkan  aliran  konveksi yaitu  pergerakan  udara  (angin)  di  atmosfer  yang mengalami pergolakan karena perbedaan temperatur,  dengan adalah  intensitas  gerakan konveksi, besar perbedaan temperatur horizontal  antara  arus  naik  dan  turun,  dan besar  perbedaan    suhu  vertikal  (Dalmedico, 2001).  Parameter adalah  bilangan Prandtl , merupakan  hasil  bagi  dari  viskositas  dan konduktivitas  termal,  parameter menunjukkan perbedaan  suhu  pada  lapisan  yang  dipanaskan, dan  parameter bergantung  pada  keadaan geometri  dari  lapisan  fluida  (O.  Knill,  2012). Warmer  Turker,  membuktikan  bahwa  pada  saat
nilai  parameter 10, dan 28 maka sistem Lorenz memiliki  ketergantungan  sensitif terhadap  kondisi  awal  dan  memiliki  gejala chaos (Robinson, 2004). Berdasarkan temuan ini, maka penelitian  ini  menggunakan  nilai  parameter tersebut  dalam    mengamati  gejala chaos pada model Lorenz kontinu dan diskret.
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkonstruksi  model  diskret Lorenz dan membandingkan  perilaku  dinamik  model Lorenz kontinu  dengan  model Lorenz diskret.  Untuk  itu, dilakukan proses pendiskretisasian model, simulasi grafik model kontinu dan model diskret, dan  analisis  perbandingan  perilaku  dan  gejala chaos setiap  variabel  yang  ditunjukkan  oleh kedua jenis grafik.

## KAJIAN TEORI

## 1. Persamaan Diferensial
Persamaan  diferensial  adalah  persamaan yang  mengandung  turunan  dari  satu  atau  lebih peubah tak bebas dengan satu atau lebih peubah bebas  (Ross,  1984:  3).  Turunan  sebuah  fungsi ) adalah  fungsi  lain )* (dibaca  “f  aksen”)  yang nilainya  pada  sebarang  bilangan + didefinisikan sebagai:
) , +  lim 0 )+ '  ( )+ (2.1)
asal limit ini ada (Purcell dan Vanberg, 2003) Suatu  sistem  yang  memuat 1 buah persamaan  diferensial,  dengan 1 buah  fungsi yang  tidak  diketahui,  di  mana 1  2 disebut sistem  persamaan  diferensial  (Finizio  dan  Ladas, 1982).  Bentuk  umum  dari  sistem 1 persamaan orde pertama adalah sebagai berikut:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , ,..., ) ( , , ,..., ) ( , , ,..., ) n n n n n dx g t x x x dt dx g t x x x dt dx g t x x x dt  =    =      =  ⋮ (2.2) dengan 23 4 25 turunan  fungsi & % terhadap , 6 % adalah  fungsi  yang  bergantung  pada  variabel & 7 , & # , … . , & % dan .
Jika  suatu  sistem  persamaan  diferensial berbentuk:
( , , )
( , , ) ( , , ) d x F x y z d t d y G x y z d t d z H x y z d t  =    =    =   (2.3)
dengan  fungsi 8, 9, : secara  eksplisit  tidak dipengaruhi  oleh  variabel  waktu ,  maka  (2.3) disebut sistem autonomus (Boyce, 1986).

## Titik Kesetimbangan
Titik  kritis  sistem  (2.3)  adalah  titik
( , , ) x x y z = sehingga ( ) ( ) ( ) 0 F x G x H x = = = . Titik  kritis x merupakan  solusi-solusi  sistem (2.9)  yang  bernilai  konstan,  sebab  pada x , 0 , 0
d x d y d t d t = = dan 0 d z dt = .  Keadaan  yang
menyebabkan 0, 0 dx dy d t dt = = dan 0 dz dt = disebut  keadan  setimbang,  sehingga  titik  kritis tersebut  disebut  juga  titik  kesetimbangan (Edward dan Penney, 2001 dalam Sazali, 2001).

## Kestabilan
Menurut  Hariyanto  (1992)  sifat  dan  jenis kestabilan  hampir  seluruhnya  bergantung  pada akar-akar karakteristik. Kestabilan titik kesetimbangan  suatu  sistem  dinamik  diberikan pada Teorema 1 berikut:

## Teorema 1:
a. Titik kesetimbangan dari sistem (2.3) bersifat stabil  asimtotik ,  jika  nilai  eigen 1 λ dan 2 λ
pada  persamaan  karakteristiknya  adalah  real dan  negatif  atau  mempunyai  bagian  real negatif.
b. Titik kesetimbangan dari sistem (2.3) bersifat stabil tetapi  tidak  stabil  asimtotik,  jika  nilai eigen 1 λ dan 2 λ pada persamaan
karakteristiknya adalah imaginer murni.
c. Titik kesetimbangan dari sistem (2.3) bersifat tak  stabil ,  jika  nilai  eigen 1 λ dan 2 λ pada persamaan  karakteristiknya  adalah  real  dan juga  positif  atau  mempunyai  bagian  yang positif.

## 2. Persamaan Beda
Persamaan  beda  adalah  persamaan  yang menghubungkan  nilai  fungsi ! yang  diketahui, dan  satu  atau  lebih  beda ∆!, ∆ # !, … , ∆ % ! ,  untuk setiap  nilai & anggota  suatu  himpunan  bilangan (Goldberg,  1958).  Meyer  (1985)  menuliskan bentuk  umum  dari  persamaan  beda  adalah sebagai berikut:
&; ' 1 ( &;  !&;, ;
(2.4) atau ditulis: & <=7 ( & < !& < , ; (2.5) ;  0,1,2, … 1 , 1 .
Analogi  antara  Kalkulus  Beda  dan  Kalkulus Diferensial
Fakta  bahwa  turunan  sebuah  fungsi didefinisikan  sebagai  limit  dari  hasil  bagi  beda menghasilkan  banyak  analogi  menarik  antara kalkulus  beda  hingga  dan  kalkulus  diferensial. Untuk  sebuah  fungsi ! yang  diberikan,  maka
fungsi  baru >! yang  memiliki  nilai  di & dinyatakan sebagai:
0 0 ( ) ( ) ( )
( ) lim lim h h y x h y x y x Dy x h h → → + − ∆ = =
Jika limitnya ada maka fungsi baru di atas disebut turunan. > adalah  operator  diferensiasi  yang menghasilkan  turunan  fungsi. ∆?3
0 adalah kemiringan dari
garis lurus yang menghubungkan  titik-titik  pada  kurva ! di & dengan ! di & ' . Dengan menggunakan notasi ini, kalkulus diferensial dapat diinyatakan dengan beberapa  analogi  formula  kalkulus  beda  berikut (Goldberg, 1958).
Tabel 1. Analogi Kalkulus Diferensial dengan Persamaan Beda Kalkulus Beda Kalkulus Diferensial ∆@A @A ' B ( @A >!& lim 0 !& '  ( !& lim 0 ∆!& ∆ C @A  ∆∆ CD @ , C  D, E, … > % !  >> %7 ! 1  1,2, …
∆F@  F∆@
>+!  +>!
Sumber: (Goldberg, 1958)

## Pendekatan  Persamaan  Diferensial  dengan
Persamaan Beda
Berdasarkan  hubungan  antara  operator beda  “ ∆ ”  dengan  operator  diferensial > yang telah  disinggung  pada  bagian  sebelumnya, didapatkan beberapa hubungan antara persamaan beda dan persamaan diferensial. Pada bagian  ini  akan  ditunjukkan  kemungkinan mendapatkan solusi persamaan diferensial sebagai solusi limit yang tepat dengan persamaan beda.    Ambil  sebuah  fungsi ! yang  terdefinisi  di setiap &  G pada  interval H  & ,  yang memenuhi persamaan diferensial berikut
( )
( ) ( ) , dy x
Dy x Ay x B a x b dx = = + ≤ ≤ (2.6)
dengan I dan J adalah sebarang konstan dengan I K 0 .  Diasumsikan  nilai ! di &  H ditentukan sebagai nilai awal !H  ! (Goldberg, 1958). Untuk  mendekati  persamaan  diferensial dengan  persamaan  beda,  pertama  dilakukan penggantian  interval  kontinu H  & dengan himpunan diskret dari nilai & yang memungkinkan  persamaan  beda  terdefinisi  pada himpunan tersebut. Ambil 1 bilangan bulat positif yang  membagi  interval H sampai dalam 1 bagian  yang  sama,  dengan  panjang  masing- masing interval:
b a h n − =
(2.7)
pembagian  interval  ini  menghasilkan  titik-titik diskret pada selang LH, M berikut:
0 1 2 , , 2 , ..., n x a x a h x a h x a n h b = = + = +
= + =
Sehingga  setiap  titik  diskret & % , N 1  0,1,2, … akan berkorespondensi dengan:
0 ( ) ( ) n n y y x y x nh = = + (2.8)
ingat bahwa:
0 ( ) ( )
lim ( ) k k k k h Dy x Ay x B y Ay x B h → = + ∆ = + (2.9)
dengan  menggunakan  persamaan  beda,  maka persamaan (2.9) dapat dinyatakan dengan:
1 1 1 ( ) ( )
(1 ) , 0,1, 2,..., 1 k k k k k k k k k k y Ay x B h y y Ay B h y y h Ay B y hA y Bh k n + + + ∆ = + − = + = + + = + +
= −
! <=7 dapat ditentukan nilainya setelah diterapkan nilai awal fungsi ! (Goldberg, 1958).
3. Model Lorenz Persamaan Lorenz dikembangkan  dari sistem persamaan yang digunakan oleh Saltzman untuk  mempelajari  proses  termodinamika  yang dikenal  dengan  istilah  konveksi.  Konveksi menciptakan gaya yang bertanggungjawab untuk gerakan  atmosfer  bumi.  Jika  diberikan  suatu fluida,  konveksi  akan  terjadi  ketika  fluida dipanaskan dari bawah dan didinginkan dari atas. Perbedaan  suhu  fluida  antara  bagian  atas  dan bawah atmosfer dijangkau fluida dalam gulungan-gulungan silinder (Danforth, 2001).
Sel
konveksi digunakan untuk mensimulasikan perilaku atmosfer secara kualitatif.  Matahari  yang  memanaskan  atmosfer dan  permukaan  bumi,  menyediakan    sumber energi panas yang besar. Laut dan ruang angkasa mengalirkan  energi  tersebut    keluar  atmosfer. Udara  hangat  dari  permukaan  bumi  naik  ke angkasa,  sampai  menjangkau  titik-titik  embun yang  akan  berkondensasi  membentuk  awan. Pada  lapisan  terluar  atmosfer  udara  didinginkan oleh ruang angkasa, sehingga menjadi lebih padat dan  jatuh  ke  bagian  bawah.  Dengan  cara  ini, konveksi  yang  merupakan  aliran  udara  dingin dan hangat  terjadi di atmosfer dan menimbulkan pengaruh  pada  cuaca  (Danforth,  2001).  Sel konveksi ditunjukkan dalam Gambar 1 berikut.
Gambar 1. Sel Konveksi (Sumber:Danforth, 2001)
Persoalan konveksi ini sebenarnya melibatkan  dua  fenomena  yaitu  fenomena  gerak dan fenomena difusi termal. Pada dasarnya untuk membahas  keseluruhan  fenomena  ini  adalah dengan  mencari  solusi  dari  persamaan Navier- Stokes (gerak)  dan  persamaan  difusi  termal. Kedua  persamaan  tersebut  diekspansi  oleh Lorenz sehingga  dapat  digunakan  dalam  kasus nonlinier.  Solusi  yang  dipelajari Lorenz dibentuk dalam model berikut (Sulaiman, 2000):
X X Y Y rX Y XZ Z bZ XY σ σ = − + = − − = − + ɺ ɺ ɺ (2.10)
Titik  menyatakan  turunan  terhadap  non dimensi  waktu O  P # : # 1 ' H # ;, dengan ; 7 Q adalah bilangan Prandtl , G R 7 G dan 41 ' H # 7 .  Persamaan    (2.10)    adalah persamaan  konveksi  yang  dikenal  dengan  sistem persamaan Lorenz atau  model Lorenz (Sulaiman, 2000).
Paramater model Lorenz terdiri dari , , . Parameter adalah  bilangan
Prandtl yang merupakan hasil bagi viskositas dan konduktivitas  termal,  suatu  nilai  atau  harga untuk  menentukan  distribusi  temperatur  pada suatu  aliran.  Parameter merupakan  nilai  yang menunjukkan  ekspansi  termal.  Dan  parameter sebagai  bilangan Rayleigh yang  didefinisikan sebagai  rasio  dari  bilangan Rayleigh kritis  dan bilangan Rayleigh awal.  Bilangan Rayleigh mengindikasikan  keberadaan  dan  kekuatan konveksi pada suatu fluida.
Sifat  model Lorenz adalah  nonlinier  yang ditunjukkan  oleh  suku dan ,  simetri  yang berarti  bahwa  persamaan  invariant  terhadap ,   (, ( , oleh karena itu, jika , , adalah solusi persamaan , maka (, ( , juga  merupakan  solusi  dari persamaan tersebut (Anonim, 2012).
4. Kekacauan ( chaos ) Chaos adalah suatu perilaku evolusi jangka panjang  yang  menunjukkan  kekacauan  dan memenuhi  kriteria  matematika  tertentu  serta terjadi  pada  sistem  nonlinear  deterministik (Williams,  1997). Chaos bersifat  aperiodik  dan memiliki  ketergantungan  pada  kondisi  awal (Ipek, 2009).
Sifat chaos aperiodik,  yakni  suatu  kondisi yang  tidak  beraturan  dan  dalam  grafik  tidak ditemukan  perulangan  ke  bentuk  awal  grafik. Tampilan  grafik  yang  acak  tersebut  adalah bentuk dari respon sistem terhadap kondisi awal yang  diberikan.  Perbedaan  pemberian  nilai  awal, akan  menyebakan  perbedaan  hasil  yang  sangat besar pada sistem chaos . Jika adalah  titik  kesetimbangan model, dan diberikan gangguan dengan nilai yang sangat  dekat  dengan  titik  tersebut,  sehingga
dapat  dikatakan ' T ,  di  mana T  0 , misal T  10 7U maka chaos akan  menghasilkan efek  kekacauan  yang  sangat  tidak  terduga. Pemberian gangguan ini dapat diilustrasikan oleh Gambar 2 berikut (Anonim, 2012).
Gambar 2. Gangguan T di Sekitar Titik
Kondisi  pada  Gambar  2  dapat  diterapkan  pada sebuah model dalam rangka mengetahui kesensitivan terhadap kondisi awal.

## PEMBAHASAN
1. Konstruksi Bentuk Diskret Model Lorenz Model Lorenz kontinu  adalah  sebagai berikut:
1 2 3 : : : f X X Y f Y rX Y XZ f Z bZ XY σ σ  = − +  = − −   = − +  ɺ ɺ ɺ
(3.1)
Konstruksi  bentuk  diskret  (diskretisasi)  dari model Lorenz yang  berbentuk  sistem  persamaan tiga  dimensi  dilakukan  dengan  mentransformasi satu  per  satu  persamaannya.  Proses  diskretisasi diawali  dengan  penggantian  interval  kontinu
V dengan  himpunan diskret  yang memungkinkan  persamaan  beda  terdefinisi  pada himpunan tersebut.
Konstruksi W Diskret Pada  kasus  diskret,  variabel  pada  model Lorenz berubah seiring dengan perubahan waktu yang  bergerak  dengan  beda  sebesar ∆ . Perubahan  nilai  variabel  untuk diskret diilustrasikan oleh Gambar 3.
Gambar 3. Skema Perubahan Diskret
Skema  di  atas  menjelaskan  bahwa  interval kontinu V diubah  ke  dalam  bentuk diskret yang berupa himpunan , 7 , … . , V .
Dengan  mengambil bilangan  asli  yang
membagi  interval V dalam bagian yang  sama,  diperoleh  interval  antar  titik  diskret berikut:
V (
,   1,2,3, … , ; ;  ;
(3.2)
secara  rekursif,  titik-titik  diskret  dalam  interval L , V M dapat ditentukan sebagai berikut:
1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 2 3 3 ( 1) ( 1) m m t t t t h
t t t t h t t t t h t t m t t mh t t m t t m h + = + ∆ = + = + ∆ = + = + ∆ = + = + ∆ = + = + + ∆ = + + ⋮ sehingga  fungsi 7 , # , … , V ; 7 , # , … , V dan 7 , # , … , V dapat dinyatakan sebagai berikut:
1 0 2 0 3 0 0 1 0 ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( ( 1) ) m m X X t h X X t h X X t h X X t mh X X t m h + = + = + = + = + = + + ⋮
Dengan  cara  yang  sama,  dapat  ditentukan  pula bahwa V ' dan V ' . Jika  diasumsikan V ' maka V , V dan V dapat ditulis menjadi:
( ) ( )
( ) m m m X X t Y Y t Z Z t = = = (3.3)
Saat V=7 '  ' 1 , maka dapat diperolehkondisi berikut:
1 0 0 0 ( 1) ( ) m t t m h t mh h t mh h t h + = + + = + + = + + = + (3.4) Sehingga  didapatkan V=7 , V=7 dan V=7 berikut:
1 1 1 ( )
( ) ( ) m m m X X t h Y Y t h Z Z t h + + + = + = + = + (3.5)
Persamaan  (3.3)  dan  (3.5)  selanjutnya  akan digunakan  dalam  diskretisasi  masing-masing persamaan ) 7 , ) # , ) .
Diskretisasi Y D Diberikan ) 7 :
X X Y σ σ = − + ɺ (3.6)
tanda  titik  pada menyatakan  turunan  pertama fungsi terhadap  waktu .  Berdasarkan  definisi turunan,  maka  (3.6)  dapat  dinyatakan  sebagai berikut,
0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) t dX X Y dt X t t X t X t Y t t σ σ σ σ ∆ → = − + + ∆ − = − + ∆ (3.7)
dengan  menggunakan  persamaan  beda,  maka persamaan (3.7) dapat dinyatakan sebagai:
( ) ( )
( ) ( ) X t t X t X t Y t t σ σ + ∆ − = − + ∆ (3.8)
karena ∆ maka  ruas  kiri  persamaan  (3.8) dapat ditulis kembali sebagai,
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) X t h X t h X t Y t X t h X t hX t hY t σ σ σ σ + − = − + + − = − + (3.9)
Selanjutnya,  persamaan  (3.9)  ditransformasi  ke dalam  fungsi  diskret  dengan diskret  yang diberikan  pada  persamaan  (3.3)  dan  (3.5). Sehingga, persamaan (3.9) menjadi,
1 1 1 (1 ) m m m m m m m m m m m X X hX hY X X hX hY X h X hY σ σ σ σ σ σ + + + − = − + = − + = − + (3.10)
Diskretisasi Y E Diberikan ) # sebagai berikut,
Y rX Y XZ = − − ɺ (3.11)
tanda  titik  pada menyatakan  turunan  pertama fungsi terhadap  waktu .  Berdasarkan  definisi turunan,  maka  (3.11)  dapat  dituliskan  sebagai berikut,
0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) t dY rX Y XZ dt Y t t Y t rX t Y t X t Z t t ∆ → = − − +∆ − = − − ∆
(3.12)
dengan  menggunakan  persamaan  beda,  dan dengan ∆ maka  persamaan  (3.12)  dapat dinyatakan sebagai
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y t t Y t rX t Y t X t Z t t Y t h Y t rX t Y t X t Z t h Y t h Y t h rX t Y t X t Z t Y t h Y t hrX t hY t hX t Z t +∆ − = − − ∆ + − = − − + − = − − + − = − − (3.13)
Selanjutnya,  persamaan  (3.13)  ditransformasi  ke dalam  fungsi  diskret  dengan diskret  yang diberikan  pada  persamaan  (3.3)  dan  (3.5). Sehingga, persamaan (3.13) menjadi,
1
1 1 1 ( ) (1 ) m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m Y Y hrX hY hX Z
Y hrX Y hY hX Z Y hrX hX Z Y hY Y r Z hX h Y + + + + − = − − = + − − = −
+ − = − + − (3.14)
Diskretisasi Y Z Diberikan ) sebagai berikut,
Z bZ XY = − + ɺ (3.15)
dengan  menguraikan  ruas  kiri  sesuai  dengan definisi  turunan terhadap ,  dan  dengan memberikan ∆ , maka (3.15) menjadi,
0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) t dZ bZ XY dt Z t t Z t bZ t X t Y t t ∆ → = − + +∆ − = − +
∆ (3.16)
dengan menggunakan persamaan beda,
persamaan (3.16) dapat ditulis
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Z t t Z t bZ t X t Y t t + ∆ − = − + ∆ (3.17)
dengan  mensubstitusi ∆ ,  maka  persamaan
(3.17) menjadi
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
Z t h Z t bZ t X t Y t h Z t h Z t h bZ t X t Y t Z t h Z t bhZ t hX t Y t + − = − + + − = − +
+ − = − + (3.18)
Selanjutnya  persamaan  (3.18)  dianalogikan dengan menggunakan persamaan (3.3) dan (3.5), sehingga menjadi,
1 1 1 (1 ) m m m m m m m m m m m m m m Z Z bhZ hX Y
Z Z bhZ hX Y Z bh Z hX Y + + + − = − + = − + = − + (3.19)
Dari uraian di atas, maka diperoleh bentuk diskret  dari  persamaan ) 7 , ) # dan ) yang  dapat disusun  dalam  sistem  persamaan Lorenz diskret berikut,
1 1 1 (1 ) ( ) (1 ) (1 ) m m m m m m m m m m m X h X hY Y r Z hX h Y Z bh Z hX Y σ σ + + + = − +
  = −
+ −   = − +  (3.20)
di mana 1,2,3, … , ; dengan ; , dan 0 .
2. Analisis  Perbandingan  Perilaku  Variabel pada Model Kontinu dan Diskret Lorenz
Setelah  dilakukan  diskretisasi  model, langkah selanjutnya adalah validasi model diskret dengan  membandingkan  grafik  model  diskret yang telah dikonstruksi dengan model kontinunya. Sebuah grafik kontinu dengan selang waktu  tertentu  akan  didekati  oleh  grafik  diskret
yang  membagi  selang  tersebut  dengan    titik-titik diskret  berinterval tetap . Besar  interval mendekati  nol,  dalam penelitian ini diberikan: 0.1; 0.01; 0.001 , 0.0001 dengan  tiga  selang  waktu  kontinu  yang  berbeda, yaitu 0    1 menit, 0    10 menit  dan 0    30 menit.  Dengan    nilai  parameter
10, ,   28 ,  dan  nilai  awal
1 , 1, dan
1 .  Model Lorenz kontinu  pada persamaan  (3.1)  dan  model Lorenz diskret  pada persamaan  (3.20),  dapat  ditunjukkan  oleh Gambar 4.
Gambar 4. Grafik Kontinu Model Lorenz dalam 0    1 Menit
Intensitas dari gerak
konveksi ( X ) ditunjukkan dalam X(t) gerakan, besar perbedaan temperatur  horizontal  ( Y )  dan  perbedaan temperatur  vertikal  ( Z )  diukur  dalam  derajat Fahrenheit  (F),  sedangkan  waktu dalam  satuan menit.
Pada  saat  kontinu,  perkembangan  variabel akan  terlihat  sebagaimana  Gambar  4  Terdapat beberapa  pola  perilaku  dari  setiap  variabel  yang ditunjukkan.  Perkembangan X menunjukkan bahwa  dalam  selang 0    1 menit,  kuantitas gerak konveksi akan mengalami kenaikan sampai dengan  mendekati  20  gerakan  pada  saat  0,35 menit  pertama.  Perkembangan  ini  sebanding dengan Y yang  menunjukkan  perbedaan  suhu horizontal,  dalam  0,30  menit  pertama  selalu mengalami  kenaikan  sampai  mendekati  25 0 F. Sedangkan  perbedaan  suhu  secara  vertikal meningkat  lebih  besar  pada  saat  mendekati  0,38 menit  pertama,  yaitu  sampai  dengan  mendekati 50 0 F.  Perilaku , , sebanding  satu  sama  lain, kenaikan satu variabel akan diikuti oleh kenaikan variabel lainnya.
Perilaku  ini  akan  dibandingkan  dengan dengan  perilaku  variabel  pada  model  diskret. Grafik model diskret ditunjukkan oleh Gambar 5.
Grafik Diskret
(a) (b) (c) (d)
Gambar  5. Grafik  Diskret  Model  Lorenz  dalam
0    1 Menit  dalam yang bervariasi: (a) 0.1 , (b) 0.01 , (c) 0.001 , dan (d) 0.0001
Gambar  5  menunjukkan  bahwa  untuk 0.1 model  diskret  dalam  selang 0    1 menit belum mewakili pola perkembangan model kontinu  yang  ditunjukkan  oleh  Gambar  3.  Nilai , , yang  terlampau  besar  saat 0.1 mengakibatkan  10  titik  waktu  tidak  dapat mendekati  interval  nilai  fungsi  kontinu  yaitu (20  , ,   50 .  Semakin  kecil ,  yaitu diambil 0.01 menunjukkan  grafik  diskret mendekati  lintasan  grafik  kontinu.  Dengan mengambil  lebih  kecil ,  yaitu 0.001 ,  titik diskret akan semakin banyak dan rapat, sehingga
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 x 10 4 t X ,Y ,Z X Y Z 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 t X ,Y ,Z X Y Z 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z
sebagaimana  terlihat  pada  Gambar  5(c),  model kontinu  telah  dapat  diwakili  oleh  model  diskret, dengan pola perilaku variabel yang hampir sama. Selanjutnya,  kembali  di  ambil 0.0001 . Ditunjukkan bahwa grafik diskret tetap mempertahankan bentuknya, yaitu menunjukkan kesamaan dalam menggambarkan pola perkembangan  model  kontinu.    Sehingga  untuk selang 0 1 menit,  dapat  dinyatakan  bahwa model  diskret  menunjukkan  pola  perilaku  yang sama dengan model kontinu saat 0.001 . Selanjutnya,  untuk  menunjukkan  bahwa model  diskret  mampu  mewakili  pola  perilaku model  kontinu  saat 0.001 berlaku  untuk interval  lain,  maka  akan  dilakukan  uji  dengan interval  yang  lebih  panjang,  yaitu 0 1 menit . Grafik
kontinu untuk interval
0    1 menit , ditunjukkan oleh Gambar 6.
Pola  perkembangan  setiap  variabel  dalam interval 0    1 menit adalah
mulai
menunjukkan  fluktuasi.  Grafik  berosilasi  dengan setimbang di sekitar titik , ,   (8, (8, 27 . Analisis  titik  kesetimbangan  ini  akan  dibahas lebih detail pada sub bab selanjutnya.
Gambar 6. Grafik Kontinu Model Lorenz dalam 0    10 Menit
Pola  perilaku  variabel  pada  grafik  kontinu di  atas  akan  dibandingkan  dengan  pola  perilaku grafik diskret pada Gambar 7.
Dalam  selang 0    10 menit,  grafik diskret  dengan 0.1 kembali    menunjukkan adanya keterbatasan kemampuan dalam merepresentasikan  grafik  kontinu.  Interval yang  sedemikian  besar,  menyebabkan  fungsi bernilai  besar  dan  tidak  terdefinisi  pada  selang fungsi (20  , ,   50 .  Dengan 0.01 , grafik  diskret  mulai  memperlihatkan  osilasinya, walaupun  lintasan  masing-masing  plot  variabel diskret  masih  menyebar  dan  bergeser  dari lintasan  kontinu.  Pola  perkembangan  setiap variabel  diskret  sangat  mendekati  keadaan kontinu,  yaitu  berfluktuasi  secara  terus  menerus dan  menunjukkan  adanya  kestabilan  pada  saat 0.001 .  Demikian  pula  saat 0.0001 , kembali  ditunjukkan  bahwa  keadaan  diskret tidak  mengalami  perubahan  yang  besar  dari keadaan  diskret  saat 0.001 . Sehingga  secara umum,  untuk  selang 0    10 menit,  model
kontinu Lorenz dapat diwakili oleh model diskret dengan 0.001 . Grafik Diskret (a) (b) (c) (d)
Gambar  7. Grafik  Diskret  Model  Lorenz  dalam
0    10 Menit  dalam yang bervariasi: (a) 0.1 , (b) 0.01
,
(c) 0.001
, dan (d) 0.0001 Selanjutnya,
untuk memperumum kesimpulan  bahwa  grafik  diskret  model Lorenz dapat
mengimplementasikan perilaku kontinunya  saat 0.001 ,  maka  kembali dilakukan  uji  untuk  selang  waktu  pengamatan yang  lebih  besar,  yaitu 0    30 menit.  Grafik kontinu  untuk  selang  waktu  tersebut  diberikan pada Gambar 8.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 2 4 6 8 10 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z
Gambar 8. Grafik Kontinu Model Lorenz dalam 0    30 Menit
Keadaan  kontinu  pada  interval 0    30 menit  menunjukkan  adanya  gejala chaos yang ditandai  dengan  keacakan  osilasi  grafiknya.  Pola perilaku  setiap  variabel  pada  saat  kontinu, berfluktuasi secara aperiodik dalam lintasan yang sama dengan lintasannya. Perkembangan X dan Y bergerak dalam interval
(20  ,   25 , sedangkan Z berfluktuasi dalam interval
0    50 .
Keadaan  diskret  untuk  interval 0    30 menit dapat dilihat pada Gambar 9 berikut.
Grafik Diskret Gambar  9. Grafik  Diskret  Model  Lorenz  dalam 0    30 Menit  dalam yang bervariasi,  berturut-turut  dari  atas adalah grafik diskret dengan 0.1 , 0.01 , 0.001 ,  dan 0.0001
Model  diskret  dengan 0    30 menit dan 0.1 menunjukkan perilaku variabel yang cenderung  tidak  berbeda  dengan  perilaku  saat diuji  dengan  dua  selang  sebelumnya  yaitu menunjukkan  galat  yang  besar  karena  nilainya yang  terlampau  besar  dalam  mendekati  model kontinu.  Untuk 0.01 ditunjukkan  bahwa perkembangan  variabel  masih  terlalu  lebar  dari lintasan.  Hal  ini  dikarenakan  jumlah  titik-titik yang  membagi  selang  tersebut  belum  cukup mewakili  perkembangan  semua  titik  di  saat kontinu. Selanjutnya saat 0.001 , pola perkembangan  lebih  mendekati  pola  kontinu. Namun  saat diambil  lebih  kecil  lagi  yaitu 0.0001 ,  grafik  yang  sebelumnya  pada  saat 0    1 menit dan 0    10 menit cenderung tidak menunjukkan
perubahan pola perkembangan lagi untuk 0.001 , pada selang waktu  yang  lebih  besar  yaitu 0    30 menit menunjukkan  adanya  perubahan  yang  signifikan mulai menit ke-15. Namun
tetap mempertahankan bentuknya, dalam arti,
perkembangan setiap variabel masih berada pada lintasan
masing-masing, walaupun
perkembangannya  telah  sedikit  berbeda  dengan kondisi kontinunya. Hal ini menunjukkan adanya efek  kekacauan  ( chaos )  yang  oleh  banyak  teori disebutkan  dimiliki  oleh  sistem  persamaan
0 5 10 15 20 25 30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z
Lorenz ini.  Analisis  kekacauan Lorenz akan diuraikan lebih detail pada bagian berikutnya.
Dari  uji  validitas,  yang  dilakukan  dengan membandingkan  grafik  diskret  dan  grafik kontinu  pada  tiga  selang  waktu,  yaitu 0    1 menit, 0    10 menit  dan 0    30 menit serta  interval  untuk  titik  diskret  yang  bernilai 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, dapat diketahui secara  umum  bahwa  perilaku  setiap  variabel menunjukkan  perbedaan  yang  signifikan  saat model  diskret  menggunakan 0.1 , dengan memperkecil nilai menjadi 0.01 didapatkan model  diskret  yang  lebih  mendekati  pola perkembangan kontinu yang menunjukkan adanya  fluktuasi  grafik  dengan  lintasan  yang lebih  lebar  daripada  lintasan  kontinu.  Semakin kecil maka  diperoleh  perilaku  diskret  yang semakin  mendekati  perilaku  kontinu,  yaitu  saat 0.001 . Apabila kembali diperkecil, perilaku grafik  diskret  memunculkan  dua  kemungkinan, pertama  yaitu  mempertahankan  keadaannya sebagaimana  ditunjukkan  pada  saat 0.001 , dan  kedua  mengalami  sedikit  perubahan  dalam lintasannya.  Kemungkinan  kedua  ini,  terjadi untuk  selang  pengamatan  pada    menit-menit yang  cukup  besar,  yaitu 15 menit.  Namun secara  umum,  keadaan  kontinu  telah  dapat dicapai  saat  model  diskret  dikonstruksi  dengan 0.001.
Dari  kedua  grafik,  baik  kontinu  maupun diskret  dengan 0.001 menunjukkan  bahwa kuantitas  gerak  konveksi  berkembang  sebanding dengan perkembangan perbedaan suhu horisontal,  keduanya  berkembang  dalam  kisaran nilai  yang  tidak  jauh  berbeda.  Sedangkan  untuk perbedaan suhu vertikal, meskipun memiliki pola perkembangan  dengan  fluktuasi  yang  sebanding, tetapi  nilainya jauh lebih tinggi dari dua variabel lainnya.
3. Analisis Perbandingan Perilaku Kekacauan ( chaos )  pada  Model  Kontinu  dan  Diskret
Lorenz
Perilaku chaos pada  model  kontinu  dan diskret dapat diamati di sekitar titik kesetimbangannya. Untuk menunjukkan kekacauan yang menyebabkan  sistem mengalami perubahan  yang  signifikan,  maka  diberikan gangguan berupa T dengan besar T  0 di sekitar titik  kesetimbangan.    Dalam  hal  ini,  besar gangguan  yang  diberikan  dipilih  sangat  kecil, yaitu T  10 _ yang  diterapkan  pada  salah  satu variabel, yaitu . Langkah untuk membandingkan gejala chaos pada  model  kontinu  dan  diskret diawali  dengan  analisis  titik  kesetimbangan model kontinu, analisis kekacauan di sekitar titik kesetimbangan  model  kontinu,  dan  analisis kekacauan  di  sekitar  titik  kesetimbangan  model diskret.  Dalam  hal  ini,  dipilih  model  diskret
dengan 0.001 yaitu 0.001, 0.0001 yang pada  pembahasan  sebelumnya  telah  ditunjukkan dapat mendekati model kontinu dengan baik, dan dari  tiga  interval  waktu  yang  diberikan,  dipilih interval  waktu 0    30 menit  karena  pada pembahasan  sebelumnya  dinyatakan  bahwa kekacauan  grafik  terlihat  pada 15 menit. Berikut akan ditunjukkan analisis titik kesetimbangan  model Lorenz sebelum  mendapat gangguan.
Titik  kesetimbangan  sistem  persamaan Lorenz (3.1)  diperoleh  saat  sistem  berada  dalam keadaan  setimbang,  yang  terjadi  saat 2` 25 0 , 2a
25 0 dan 2b 25 0 .  Sehingga  didapatkan  sistem berikut
1 2 3 : 0 :0 : 0 f X Y f rX Y XZ f bZ XY σ σ = − +   = − −   = − +  (3.21) Dari ) 7 diketahui bahwa
, yang menyebabkan ) # menjadi 0
0 ( 1 ) rX X XZ X r Z = − − = − −
(3.22)
Persamaan  (3.22)  menyebabkan 0 atau ( 1 .  Pilih 0 sehingga 0 .  Nilai  ini mengakibatkan pada ) juga  bernilai 0 . Dengan  demikian  titik  kesetimbangan  pertama dari sistem (3.1) adalah
c , c , c 0,0,0
Selanjutnya akan ditentukan titik kesetimbangan  kedua.  Ingat  bahwa  dari ) 7 , didapatkan dan  dari ) # didapatkan ( 1 , yang mengakibatkan ) menjadi
2
0 ( 1)
( 1)
( 1) b r X X b r Y b r = − − + = ± − = ± − Karena  model Lorenz memiliki  sifat  simetri,  di mana persamaan akan invariant pada ,   (, ( , maka d ( 1 , d ( 1 , r ( 1 sebagai titik
kesetimbangan
sistem mengakibatkan (d ( 1 , (d ( 1 , r ( 1 juga  akan menjadi  titik  kesetimbangan  sistem.  Sehingga secara umum, titik kesetimbangan yang tidak nol untuk  sistem  persamaan Lorenz dapat  dituliskan sebagai berikut,
f = c , c , c = d ( 1 , d ( 1 , r ( 1 f c , c , c
(d ( 1 , (d ( 1 , r ( 1
(3.23)
Untuk  nilai  parameter  yang  dibatasi  pada dan 28 ,  maka  titik  kesetimbangan  pada persamaan  (3.23)  dapat  diberikan  sebagai berikut,
f g g8,48; g8,48;  27
Selanjutnya  akan  dianalisis  kestabilan  dari  titik kesetimbangan  yang  telah  diperoleh.  Untuk  titik tetap  pertama,  matriks  Jacobi  di  sekitar 0,0,0 adalah
h 7,, i ( 0 (1 0 0
0 ( j
Dapat  ditentukan  nilai  eigen  yang  memenuhi |h ( lm|  0 dengan m matriks  identitas,  sebagai berikut.
n ' l 0
1 ' l 0
0 0 ' l n  0
Sehingga  diperoleh  persamaan  karakteristik berikut
l ' l # ' 1 ' l ' 1 (   0
Dengan demikian, didapatkan nilai eigen,
1 2 2 2 3 (1 ) (1 ) 4 (1 ) 2 (1 )
(1 ) 4 (1 ) 2 b r r λ σ σ σ λ σ σ σ λ = − − + − + − − = − + + + − − =
Untuk  nilai
, 10 dan 28 ,  nilai eigennya adalah
1 2
3 2.67 22,82 11,82 λ λ λ = − = − =
Karena  terdapat l 7,# o 0 dan l p 0 maka berdasarkan  Teorema  1,  titik  kesetimbangan pertama tidak stabil.
Selanjutnya  akan  dianalisis  kestabilan  titik kesetimbangan tak nol, yaitu f g g8,48; g8,48;  27 . Matriks  Jacobi  di  sekitar  titik g8,48; g8,48;  27 dengan  nilai  parameter  yang  telah  diberikan adalah
h q g g,r; g,r; #s i (10 10 0 1 (1 t8,48 g8,48 g8,48 (2,67 j
Persamaan karakteristiknya adalah
l ' 13,67l # ( 42,67l ( 138,67  0
Sehingga nilai eigennya:
1 2
3
13,85
0.09 10,19 0.09 10,19 i i λ λ λ = − = + = −
Karena l 7 o 0 dan  unsur  real  dari l #, p 0 maka titik  kesetimbangan  tak  nol  untuk  model Lorenz adalah tidak stabil.
Selanjutnya akan diamati gejala kekacauan ( chaos ) yang terjadi di sekitar titik
kesetimbangan  model  kontinu Lorenz .  Dengan memberikan  gangguan T  0 pada  variabel , maka titik kesetimbangan baru adalah c ' T, c , c .  Titik  kesetimbangan  pertama sebelum  dan  sesudah  mendapat  gangguan  dapat ditunjukkan oleh Gambar 10.
(a)
(b)
Gambar  10. (a)  Grafik  Model  Kontinu  dengan titik  kesetimbangan c , c , c 0,0,0 sebelum mendapat gangguan. (b)  Grafik  Model  Kontinu  dengan titik  kesetimbangan c , c , c 10 _ , 0,0 sesudah mendapat gangguan.
Berdasarkan  Gambar  10(a)  dan  10(b), diketahui  bahwa  gangguan  yang  sangat  kecil pada  variabel menyebabkan  perubahan  yang signifikan  pada  sistem Lorenz. Fakta  ini menandakan  bahwa  sistem  sensitif  terhadap pemberian nilai awal, dan penerimaan input yang sederhana  pada  sistem  telah  menghasilkan keluaran  yang  kompleks.  Gejala  ini  merupakan bukti  bahwa  sistem  memiliki  gejala chaos di sekitar titik kesetimbangan pertama.
Keadaan ini tidak diikuti oleh titik kesetimbantak nol. Gangguan diberikan di sekitar titik kesetimbangan  tak  nol,  keadaan  grafik  sebelum dan  sesudah  diberikan  gangguan  di  sekitar  titik kesetimbangan  tak  nol,  ditampilkan  dalam Gambar 11.
0 5 10 15 20 25 30 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z

## Sebelum dan sesudah
Mendapat Gangguan
(a) Sebelum Mendapat Gangguan
(b)Sesudah Mendapat Gangguan
Gambar  11. Grafik  Model Lorenz Kontinu sebelum  dan  sesudah  diberikan  gangguan di  sekitar  titik  kesetimbangan.  (a)  Titik Kesetimbangan
f (8,48; (8,48;  27 ,
(b)  Titik  Kesetimbangan f (8,48 '
10 _ ; (8,48; 27 )
Pada  saat  titik  kesetimbangan f = 8,48; 8,48;  27 ,  pemberian  gangguan  di  sekitar titik kesetimbangan ditunjukkan oleh Gambar 12.
(a) Sebelum Mendapat Gangguan
(b) Sesudah Mendapat Gangguan Gambar  12. Grafik  Model Lorenz Kontinu sebelum dan sesudah diberikan gangguan  di  sekitar  titik  kesetimbangan.
(a) Titik Kesetimbangan
f =
8,48; 8,48;  27
(b)  Titik  Kesetimbangan f = 8,48 ' 10 _ ; 8,48;  27 Berikut akan
ditunjukkan titik kesetimbangan  model  diskret  dengan 0.001
sebelum  dan  sesudah  diberikan  gangguan T  10 _ di  sekitar  titik c , c , c 0,0,0
oleh Gambar 13.
(a) (b)
Gambar  13. (a)  Titik  Kesetimbangan  Model Diskret  dengan
0.001 Lorenz di c , c , c 0,0,0 , (b) Titik Kesetimbangan  Model  Diskret Lorenz dengan 0.001 di c ' T, c , c 10 _ , 0,0
Keadaan  serupa  Gambar  13  di  atas  juga ditunjukkan oleh model diskret dengan
0.0001 .  Perubahan  sebelum  dan  sesudah pemberian gangguan di sekitar titik kesetimbangan  pada  model  diskret 0.0001 diberikan pada Gambar 14.
Dari  Gambar  13  (a)  dan  (b)  dan  Gambar 14  (a)  dan  (b),  dapat  ditunjukkan  bahwa  dalam keadaan  diskret  juga  terjadi  perubahan  yang signifikan  sebelum  dan  sesudah  diberikan gangguan  di  sekitar  titik  kesetimbangan.  Hal  ini menunjukkan bahwa sistem diskret juga memiliki sensitivitas  terhadap  pemberian  nilai  awal. Dengan sistem diskret juga memiliki efek chaos di sekitar titik kesetimbangan c , c , c 0,0,0 . Selanjutnya  gejala chaos pada  kondisi diskret  dibandingkan  dengan chaos dalam kondisi kontinu. Untuk itu, dibandingkan Gambar 13  (b)  dan  14  (b)  yang  mewakili  gejala chaos pada  kondisi  diskret  dan  Gambar  12  (b)  untuk gejala chaos pada kondisi kontinu. Kedua gambar
0 5 10 15 20 25 30 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z
ini  menunjukkan  bahwa  osilasi  grafik  yang mengandung chaos baik  dalam  kondisi  kontinu maupun  diskret,  menunjukkan  pola  yang  serupa, yakni  berfluktuasi  dalam  lintasan  yang  sama secara aperiodik saat 15 menit.
(a) (b)
Gambar  14. (a)  Titik  Kesetimbangan  Model
Diskret  dengan
0.0001
Lorenz di c , c , c 0,0,0 , (b) Titik Kesetimbangan  Model  Diskret Lorenz dengan 0.001 di c ' T, c , c 10 _ , 0,0
Berdasarkan hasil pengamatan yang dilakukan,  dapat  ditunjukkan  bahwa  model kontinu Lorenz dengan  parameter 10, dan 28 memiliki  gejala chaos di  sekitar  titik kesetimbangan c , c , c 0,0,0 . Keadaan ini dapat direpresentasikan dengan baik oleh  model diskret Lorenz dengan 0.001 .

## PENUTUP
Berdasarkan hasil penelitian, dapat disimpulkan  bahwa  konstruksi  bentuk  diskret model Lorenz dengan  menggunakan  analogi persamaan  beda  dilakukan  dengan  tiga  tahap, tahap  pertama  adalah  konstruksi  waktu untuk kasus  diskret,  tahap  kedua  adalah  diskretisasi masing-masing  persamaan  penyusun  sistem persamaan Lorenz dan  tahap  ketiga  adalah validasi  dengan  simulasi  perbandingan  grafik. Bentuk  diskret  model Lorenz yang  dihasilkan adalah
1 1 1 (1 ) ( ) (1 ) (1 ) m m m m m m m m m m m X h X hY Y r Z hX h Y Z bh Z hX Y σ σ + + + = − + = − + − = − + dengan
dan 0 .
Perbandingan  perilaku  setiap  variabel pada  model  kontinu  dan  diskret  diamati  saat 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 dengan  parameter 10, dan 28 dan  nilai  awal , , 1,1,1 .  Untuk semakin  kecil perbedaan  antara  kedua  model  akan  semakin sedikit  pula.  Mulai 0.001 perilaku  variabel pada  model  diskret  hampir  tidak  menunjukkan perbedaan  dengan  model  kontinu.  Dari  hasil simulasi  diskret,  efek chaos terjadi  pada 15 menit.  Saat 0.001 ,  model  diskret  yang dibentuk  dapat  mengimplementasikan  perilaku variabel kontinu dan  gejala  kekacauan ( chaos ) di sekitar titik kesetimbangannya.
Bagi  penelitian  selanjutnya,  disarankan untuk  melanjutkan  studi  diskretisasi  model Lorenz ini  dengan  menggunakan  nilai  parameter yang  berbeda  dan  bervariasi,  agar  dapat  dilihat keakuratan  model  diskret  yang  telah  dibangun untuk  nilai  parameter  yang  lain.  Penelitian selanjutnya  juga  dapat  mengembangkan  metode diskretisasi lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Anonim .  TT.  Three  Dimensional  Systems Lecture 6: The Lorenz Equations.
www.atm.ox.ac.uk/user/read/chaos/lect6.p df diakses tanggal 5 Desember 2011
[2] Dalmedico,  A.  D.  2001.  History  and Epistemology  of  Models:  Meteorology (1946-1963)  as  a  Case  Study. Arch.  Hist. Exact  Sci. 55  (2001)  395–422. Springer- Verlag 2001.
[3] Danforth,  C.  A.  2001. Why  the  Weather  is Unpredictable, An Experimental and Theoritical  Study  of  The  Lorenz  Equations . Lewiston:  The  Faculty  of  The  Department of  Mathematics  ang  The  Department  of Physics Bates College.
[4] Goldberg, S. 1958. Introduction to Difference Equations . New York: John Wiley
& Son.
[5] Hariyanto, dkk. 1992. Persamaan Diferensial  Biasa .  Malang:  Universitas Terbuka
[6] Liu  &  Hussain.  TT. Discretization:  An Enabling  Technique. Arizona:  Departement of  Computer  Science  and  Enginering- Arizona State University
0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z 0 5 10 15 20 25 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 t X ,Y ,Z X Y Z
[7] Meyer, W. J. 1985. Concept of Mathematical Modeling. New  York:  McGraw-Hill  Book Company.
[8] O.Knill. TT. The Lorenz System. www.math.harvard.edu/.../118r.../ lorentz 2. pdf . diakses tanggal 5 Desember 2011.
[9] Ross,  S.  L.  1984. Differential  Equations Third Edition. New York: John Wiley & Son.
[10] Sazali,  M.  2009. Analisis  Kestabilan  pada
Persamaan Lorenz . Skripsi Tidak
Diterbitkan.  Malang:  Jurusan  Matematika FMIPA UM.
[11] Tim  Penyusun.  2008. Kamus  Bahasa Indonesia. Jakarta: Pusat Bahasa
[12] Tirtana,  M.  A.  2008. Diskretisasi  Model Dinamik Kontinu . Skripsi Tidak Diterbitkan. Bandung: Departemen Matematika
Fakultas F-MIPA Institut Pertanian Bogor.
[13] Varberg  &  Purcell,  E.  J.  2003. Calculus  8 th Edition. Terjemahan  I  Nyoman  Susila. Jakarta: Erlangga
[14] Williams,  G.  P.  1997. Chaos  Theory  Tamed. London: Tailor and Francis