Vol. 16, No. 4, December 2023, pp. 323xx ~ 331xx eISSN: 2502-339X, pISSN: 1979-276X, DOI: 10.30998/faktorexacta.v16i4.19670 10.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx  323
Journal homepage : http://journal.lppmunindra.ac.id/index.php/Faktor_Exacta

## Analisis Model Matematika dan Simulasi Pada Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut di Indonesia
Rifki Ristiawan 1 , Farrell Wahyudi 2 , Noni Selvia 3 1,3 Department of Informatic, Universitas Indraprasta PGRI, Indonesia
2 Department of Mathematics, Institut Sains & Teknologi Nasional, Indonesia
Article Info

## ABSTRACT
Article history: Received Aug 08, 2023 Revised Dec 20, 2023 Accepted Dec 28, 2023
Acute  Non-HepA-E  Hepatitis  is  a  disease  that  causes  symptoms  of  severe hepatitis without a definite cause. This research uses literature study methods and information collection to determine assumptions and distribution models, then  analyzes  the  models  and  carries  out  numerical  simulations.  To  see  the spread  of  the  disease,  in  this  article  a  mathematical  model  of  the  spread  of Acute  Non-HepA-E  Hepatitis  is  built.  The  mathematical  model  is  studied analytically and numerical simulations are carried out. Analytical studies are carried  out  to  determine  the  existence  of  an  equilibrium  point  and  its  local stability, as well as to obtain the basic reproduction number 𝑅 0 . By carrying out  numerical  simulations,  information  was  obtained  that  to  suppress  the spread of Acute Non-HepA-E Hepatitis, efforts that can be made are to limit contact between susceptible individuals and individuals who are exposed and infected. Keywords:
Hepatitis Non HepA-E Equilibrium Point Basic Reproduction Number
Copyright © 2023 Universitas Indraprasta PGRI. All rights reserved.

## Corresponding Author:
Rifki Ristiawan, Department of Informatic, Universitas Indraprasta PGRI, Jl. Nangka No. 58 C, Tanjung Barat, Jagakarsa, Jakarta Selatan. Email: rifki2889@gmail.com

## 1. PENDAHULUAN
Saat  ini  dunia  sudah  tidak  asing  lagi  terhadap  ancaman  kesehatan  seperti  pandemi  dan  epidemi. Mengingat  bahwa  saat  ini  dunia  baru  saja  mengalami  pandemi  global Covid-19 dan  masih  berjuang  untuk mengatasinya. Kita kemudian mempelajari bahwa untuk mengatasi sebuah pandemi global akan memakan waktu bertahun-tahun  dimulai  dari  kasus-kasus  awal  hingga  perkembangan  vaksin  atau  pengobatan  lainnya  jika memungkinkan.  Dengan  pandemi Covid-19 yang  sudah  mulai  mereda  pemerintah  di  seluruh  dunia  mulai merelaksasikan social  distancing  dan  prosedur  kesehatan  lainnya. Namun,  pada  pertengahan tahun 2022 dunia kesehatan  kembali  digemparkan  oleh  sebuah  penyakit  yaitu  hepatitis  akut.  Etiologi  kasus  hepatitis  akut  masih belum  diketahui  dan  sedang  dalam  proses  penyelidikan  dengan  memeriksa  agen  biologis,  kimiawi,  dan  agen lainnya pada kasus yang telah teridentifikasi. Pada 26 Mei 2022, WHO menerima laporan 650 kasus probable dari 33 negara di  lima wilayah WHO [1]. Hepatitis akut non hepA-E sudah menjadi wabah baru yang menginfeksi anak-anak  di  sejumlah negara.  Setelah dilakukan pemeriksaan  laboratorium  diketahui  bahwa penyakit tersebut tidak disebabkan oleh virus hepatitis A, B, C, D maupun tipe E.
Indonesia pertama kali melihat kasus penyakit ini pada akhir April 2022 dengan meninggalnya 3 pasien anak dari hepatitis akut yang tidak diketahui penyebab nya di RSUPN Dr. Ciptomangunkusumo Jakarta, dalam kurun waktu yang berbeda dengan rentang dua minggu terakhir hingga 30 April 2022 [2].  Kementerian Kesehatan Indonesia sebelumnya melalui Dirjen Pencegahan dan Pengendalian Penyakit mengeluarkan Surat Edaran Nomor HK.02.02/C/2515/2022 Tentang Kewaspadaan terhadap Penemuan Kasus Hepatitis Akut yang Tidak Diketahui Etiologinya ( Acute Hepatitis of Unknown Aetiology ) tertanggal 27 April 2022. Surat Edaran tersebut dimaksudkan untuk meningkatkan dukungan Pemerintah Daerah, fasilitas pelayanan kesehatan, Kantor Kesehatan Pelabuhan,
 DOI:
10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx
Faktor Exacta, Vol. 1 63 , No. 41 , DecMarch 202 30 : 323xx - 331xx
324
sumber  daya  manusia  (SDM)  kesehatan,  dan  para  pemangku  kepentingan  terkait  kewaspadaan  dini  penemuan kasus Hepatitis Akut yang Tidak Diketahui Etiologinya [3]. Pada 24 Juni 2022 Kementerian Kesehatan Indonesia total melaporkan 16 kasus probable dan 14 kasus pending untuk hepatitis yang tidak diketahui penyebabnya di Indonesia.  Pemeriksaan  dilakukan  untuk  menemukan  patogen-patogen  yang  ada  pada  pasien-pasien  tersebut. Patogen  yang  paling  banyak  ditemukan  pada  pasien probable adalah Cytomegalovirus  (CMV)  yakni 4 dari 15 pasien yang diperiksa. Kemudian 9 dari 16 pasien probable yang telah diperiksa PCR dan metagenomik terdeteksi virus  dari  famili herpesviridae yakni  CMV,  HSV1,  HHV-  6A,  HHV1,  EBV.  Selanjutnya  1  pasien  positif enterovirus dan 1 pasien positif adenovirus [4]. Kasus baru Hepatitis Akut yang belum diketahui penyebabnya bertambah. Data  per 29 September 2022 pukul 16.00 WIB,  kasus probable Hepatitis  Akut  bertambah 3  kasus sehingga totalnya menjadi 38 orang, kasus pending bertambah 5 orang total 12 orang, sementara kasus discarded tetap  di  49  kasus.    Dengan  demikian  total  kasus  Hepatitis  Akut  di  Indonesia  menjadi  99  kasus.[5].    Karena penyebabnya yang misterius dunia kesehatan sepakat untuk  menamai penyakit ini Acute Non HepA-E Hepatitis atau Hepatitis Non HepAE Akut [6].
Fenomena penyebaran Hepatitis Non HepA-E  Akut  yang terjadi saat  ini  dapat  digambarkan ke  dalam bentuk  pemodelan  matematika  yang  mana  akan  membuat  sebuah  persamaan  matematis  dengan  parameter- parameter yang dibutuhkan untuk menggambarkan sejauh dan selama apa penyakit Hepatitis Non HepA-E Akut ini akan mewabah baik di dunia, khususnya di  Indonesia.  Karena penyakit Hepatitis Non HepA-E Akut masih relatif  baru  maka  penelitian  terhadap  penyakit  ini  secara  spesifik  masih  relatif  sedikit.  Penelitian  mengenai penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut perlu dilakukan untuk memahami bagaimana penyakit ini menyebar di dalam suatu  populasi dan bagaimana cara yang tepat untuk menanganinya berdasarkan analisis parameter  sebaran. Maka dari itu, penelitian ini akan mengembangkan model matematika penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut di Indonesia.  Salah  satu  model  matematika  yang  dapat  diterapkan  dalam  simulasi  penyebaran  penyakit  ini  dalah model  epidemi  kompartemental seperti model  SIR ( Susceptible-Infected-Recovered ). Model epidemi  SIR telah banyak diterapkan untuk memprediksi pola perilaku penyakit menyebar pada manusia terhadap waktu dalam suatu daerah.  Model  SIR  juga  tersedia  dalam  bentuk  modifikasi  yang  disesuaikan  dengan  keadaan  yang  akan disimulasikan  [7].    Modifikasi  model  yang  digunakan  pada  artikel  ini  adalah  model  SEIR  karena  dapat menggambarkan sifat laten dari penyakit Hepatitis Non HepA-E Akut.  Model ini mengasumsikan bahwa individu rentan yang terpapar oleh patogen penyebab penyakit Hepatitis Non HepA-E Akut akan menjadi terinfeksi setelah sekian  waktu.  Selain  itu,  individu  terpapar  dan  individu  terinfeksi  memiliki  peluang  yang  berbeda  untuk menularkan penyakitnya kepada individu rentan yang sehat. Dari model tersebut akan dicari titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik untuk masing-masing kompartemen serta bilangan reproduksi dasar untuk mengidentifikasikan  apakah penyakit menjadi endemik atau tidak. Selanjutnya akan dilakukan simulasi model, dengan nilai-nilai parameter yang diambil dari berbagai sumber. Kemudian akan dibandingkan pengaruh berbagai parameter dalam model terhadap nilai bilangan reproduksinya.

## 2. METODE
Penelitian yang dilakukan  ini termasuk dalam  jenis penelitian pemodelan dan simulasi ( modelling and simulation ). Metode yang digunakan adalah studi literatur dan pengumpulan informasi untuk menentukan asumsi dan model penyebaran, kemudian dilakukan analisis terhadap model tersebut dan melakukan simulasi numerik[8]. Pada langkah pembentukan model, dilakukan studi literatur untuk mengumpulkan informasi yang terkait dengan pola penyebaran penyakit hepatitis akut non hepA-E untuk selanjutnya menentukan model matematika yang sesuai dengan  permasalahan  yang  diteliti. Dalam tahap  ini  juga  ditentukan diagram alur  kelas  dan merancang  sistem persamaan  diferensial  yang akan dibangun dari  model. Pada tahap analisis model,  dicari  titik  ekuilibrium  dari sistem  yang telah  dibentuk,  dan  ditentukan pula  bilangan reproduksi  dasarnya. Dari  bilangan reproduksi  dasar yang sudah ditemukan maka dianalisis parameter yang paling berpengaruh dalam  penyebaran dan parameter apa yang akan dimanipulasi untuk menangani penyebaran tersebut. Dari model yang sudah dibentuk dan dianalisis, maka  ditentukan  nilai  parameter  dari  model  tersebut  untuk  selanjutnya  dilakukan  simulasi  numerik.  Simulasi numerik ini dilakukan untuk melihat pola sebaran dari penyakit tersebut untuk beberapa tahun kedepan.
Pada artikel ini data yang digunakan didapatkan dari WHO yang terkumpul dari negara-negara anggota melalui IHR Focal point  ke WHO Regional IHR Focal Point [9]  dan sebaran data hepatitis akut nonhepA-E di Indonesia  dari  kementrian  kesehatan.  Dari  data  yang  terkumpul  dilakukan  simulasi  numerik  terhadap  model matematika yang sudah dikonstruksi menggunakan software Mathematica 12.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1   Formulasi Model
Faktor Exacta DOI: 10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx
 Analisis Model Matematika dan Simulasi Pada Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut di Indonesia Title of manuscript is short and clear, implies research results ( First AuthorRifki Ristiawan )
325
Model adalah suatu bentuk representasi realita ide dari seorang pemodel atau dengan kata lain jembatan antara dunia nyata ( real world ) dengan dunia berpikir ( thinking world ) untuk memecahkan suatu masalah. Proses penjabaran  atau  merepresentasikan  ini  disebut  sebagai modelLing atau  pemodelan  yang  tidak  lain  merupakan proses berpikir melalui sekuen yang logis [10].  Model matematika penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut ini didasari dari studi literatur mengenai penyebaran penyakit Hepatitis Non HepA-E Akut dan dengan asumsi sebagai berikut:
1. Model  yang  digunakan  untuk  penyebaran  Hepatitis  Non  HepA-E  Akut  adalah  model  SEIR (Suspected/Exposed/Infected/Recovered) .  Model  ini  membagi  populasi  menjadi  empat  kelas  yaitu; Susceptible (S)  yaitu  individu  yang  rentan untuk  tertular  penyakit, Exposed (E)  yaitu  individu  yang  sudah terpapar penyakit dan dapat menularkan penyakit namun belum menunjukkan gejala, Infected yaitu individu yang sudah terpapar, sudah menunjukkan gejala dan dapat menularkan penyakit, Recovered (R) yaitu individu yang telah sembuh dari penyakit.
2. Populasi diasumsikan tertutup, artinya tidak ada individu yang keluar dari dan masuk ke dalam populasi.
3. Laju kelahiran dan kematian alami per satuan waktu diasumsikan sama.
4. Individu  terpapar  memiliki  peluang  yang  berbeda  dengan  individu  terinfeksi  untuk  menularkan  penyakit kepada individu rentan.
5. Individu rentan dapat terpapar penyakit karena berinteraksi dengan individu terpapar dan individu terinfeksi.
6. Individu terpapar pasti akan menjadi individu terinfeksi setelah periode waktu tertentu.
7. Individu terinfeksi dapat meninggal dari penyakit.
8. Individu terinfeksi dapat sembuh dari penyakit.
9. Individu  yang  telah  sembuh  diasumsikan  akan  kebal  terhadap  penyakit  dan  tidak  akan  kembali  menjadi individu rentan. Alur model penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut digambarkan sebagai berikut:
Gambar 1. Diagram Alur Kompartemen Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut
Variabel dan parameter yang digunakan dalam model penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut dengan disajikan dalam Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1. Daftar Variabel Model Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut Variabel Deskripsi 𝑁(𝑡) Jumlah populasi individu pada waktu ke-t. 𝑆(𝑡) Jumlah individu rentan pada waktu ke-t. 𝐸(𝑡) Jumlah individu terpapar pada waktu ke-t. 𝐼(𝑡) Jumlah individu terinfeksi pada waktu ke-t. 𝑅(𝑡) Jumlah individu yang telah sembuh pada waktu ke-t.
Model matematika penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − 𝜇𝑆 − 𝛽𝑆(𝐼 + 𝛿𝐸) 𝑁 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆(𝐼 + 𝛿𝐸) 𝑁 − (𝜇 + 𝜎)𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸 − (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌)𝐼
(1)
 DOI:
10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx
Faktor Exacta, Vol. 1 63 , No. 41 , DecMarch 202 30 : 323xx - 331xx
326 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = (𝛾 + 𝜌)𝐼 − 𝜇𝑅
Dengan 𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐸(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡)
Tabel 2. Daftar Parameter Model Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut
Parameter Deskripsi 𝜇 Laju kelahiran dan kematian alami. 𝛽 Laju perpindahan dari individu rentan menjadi individu terpapar. 𝛿
Peluang untuk individu terpapar dapat menularkan penyakit ke individu rentan.
𝜎 Laju perpindahan dari individu terpapar menjadi individu terinfeksi. 𝛼 Laju kematian karena penyakit tanpa pengobatan. 𝜔 Laju kematian karena penyakit dengan pengobatan. 𝛾 Laju  perpindahan  dari  indivdu  terinfeksi  menjadi  individu  sembuh  tanpa pengobatan. 𝜌 Laju  perpindahan  dari  individu  terinfeksi  menjadi  individu  sembuh  dengan pengobatan.
Untuk  mempermudah  proses  analisis  model,  maka  terlebih  dahulu  dilakukan  proses  penskalaan  pada sistem  (1).  Perhatikan  bahwa  karena  adanya  kematian  dari  penyakit  maka 𝑁̇ ≠ 0 sehingga 𝑁 tidak  konstan.
Misalkan 𝑠 = 𝑆 𝑁 , 𝑒 = 𝐸 𝑁 , 𝑖 = 𝐼 𝑁 , 𝑟 = 𝑅 𝑁 . Sistem (1) dapat diskalakan menjadi: 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝜇 − 𝜇𝑠 − 𝛽𝑠(𝑖 + 𝛿𝐸)
𝑑𝑒 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠(𝑖 + 𝛿𝑒) − (𝜇 + 𝜎)𝑒 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝜎𝑒 − (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌)𝑖
𝑑𝑟 𝑑𝑡 = (𝛾 + 𝜌)𝑖 − 𝜇𝑟 (2)

## 3.2   Analisis Model
Dalam bidang epidemiologi, Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi dan masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan [11]. Nilai 𝑅 0 diperoleh untuk mengetahui apakah penyakit akan tetap ada dan menyebar di dalam populasi atau apakah penyakit akan hilang dari populasi seiring berjalan nya waktu. Untuk mendapatkan rumus 𝑅 0 untuk  model  penyebaran  Hepatitis  Non  HepA-E  Akut  digunakan  metode next  generation  matrix yang dikembangkan oleh Diekmann et al [12] yaitu matriks yang menghubungkan jumlah individu yang baru terinfeksi ke populasi yang berbeda secara berurutan sesuai sistem yang ada. Berdasarkan sistem persamaan (2), bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 adalah nilai eigen yang terbesar dari −𝐹𝑉 −1 untuk 𝐸 0 (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑟) = (1,0,0,0) didapat :
𝐹 = [ 𝛽𝛿𝑠 𝛽𝑠 0 0 ] dan 𝑉 = [ −(𝜇 + 𝜎) 0 𝜎 −𝑔 ]
−𝐹𝑉 −1 = [ 𝛽𝛿𝑠 𝜇+𝜎 + 𝛽𝑠𝜎 (𝜇+𝜎)𝑔 𝛽𝑠 𝑔 0 0 ]
Dengan susbtitusi 𝑠 = 1 maka 𝑅 0 = 𝛽𝛿 𝜇+𝜎 + 𝛽𝜎 (𝜇+𝜎)𝑔 , dengan 𝑔 = 𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌 .
Selanjutnya  dilakukan  analisis  terhadap  model  matematika  pada  sistem  (2)  untuk  menentukan  titik ekuilibrium. Untuk menentukan titik ekuilibriumnya, masing-masing persamaan pada sistem (2) dibuat menjadi nol.
Faktor Exacta DOI: 10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx

Analisis Model Matematika dan Simulasi Pada Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut di Indonesia Title of manuscript is short and clear, implies research results ( First AuthorRifki Ristiawan )
327 𝜇 − 𝜇𝑠 − 𝛽𝑠(𝑖 + 𝛿𝐸) = 0 𝛽𝑠(𝑖 + 𝛿𝑒) − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0 𝜎𝑒 − (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌)𝑖 = 0
(𝛾 + 𝜌)𝑖 − 𝜇𝑟 = 0
(3)
Titik ekuilibrium bebas penyakit didapat ketika tidak ada penyakit dalam populasi. Agar memenuhi titik ekuilibrium bebas penyakit, maka tidak ada satupun individu yang terinfeksi atau terpapar sehingga 𝑖 = 𝑒 = 0 . Dari persamaan pertama sistem (3) diperoleh:
𝜇 − 𝜇𝑠 − 𝛽𝑠(𝑖 + 𝛿𝑒) = 0 ⇔ 𝜇 − 𝜇𝑠 − 𝛽𝑠((0) + 𝛿(0)) = 0 ⇔ 𝜇 − 𝜇𝑠 = 0
𝑠 = 𝜇 𝜇 = 1
(4)
Dari persamaan keempat sistem (3) didapat:
(𝛾 + 𝜌)𝑖 − 𝜇𝑟 = 0 ⇔ (𝛾 + 𝜌)(0) − 𝜇𝑟 = 0
𝑟 = 0
(5)
Dengan demikian diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu:
𝐸 0 (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑟) = (1,0,0,0)
Selanjutnya dapat ditentukan titik ekuilibrium endemic dari model tersebut. Titik ekuilibrium endemik adalah titik ekuilibrium saat 𝑖 ≠ 0 dan 𝑒 ≠ 0 atau kondisi saat penyakit menyebar dalam suatu populasi [13]. Titik ekuilibrium endemik di dalam populasi dapat diinterpretasikan sebagai suatu kondisi dimana dalam suatu populasi yang dianggap konstan selalu terdapat individu yang terserang penyakit,  dengan melakukan manipulasi aljabar dan  divalidasi  menggunakan  Wolfram  Mathematica  diperoleh  titik  ekuilibrium  endemik  adalah 𝐸 ∗ = (𝑠 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑟 ∗ ) , dimana :
𝑠 ∗ = (𝜇 + 𝜎) (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎 𝛽 (1 + 𝛿(𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎 )
𝑒 ∗ = 𝜇 − 𝜇 ( (𝜇 + 𝜎) (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎 𝛽 (1 + 𝛿(𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎 ) ) (𝜇 + 𝜎) 𝑖 ∗ = 𝜇 − 𝜇 ( (𝜇 + 𝜎) (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎
𝛽(1 + 𝛿(𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎 ) )
(𝜇 + 𝜎) (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌)
𝜎
𝑟 ∗ = (𝛾 + 𝜌)1 − ( (𝜇 + 𝜎) (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎
𝛽(1 + 𝛿(𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎 ) ) (𝜇 + 𝜎) (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 𝜎
Analisis  kestabilan  ditentukan  berdasarkan  nilai  eigen  dari  matriks  Jacobian  yang  diperoleh  melalui metode linearisasi sistem di sekitar titik-titik ekuilibrium dari sistem (2). Jika terdapat nilai eigen dengan bilangan riil positif, maka titik ekuilibrium tidak stabil dan jika semua nilai eigen bernilai negatif, maka titik ekuilibrium stabil. Nilai eigen sendiri didapat dari akar persamaan karakteristik suatu matriks Jacobi.
Teorema 1. Titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 0 stabil asimtotik lokal jika R 0 < 1 dan tidak stabil jika 𝑅 0 > 1 .
Bukti:
 DOI:
10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx
Faktor Exacta, Vol. 1 63 , No. 41 , DecMarch 202 30 : 323xx - 331xx
328
Untuk  mendapatkan  persamaan  karakteristik  yang  sesuai,  ditentukan  matriks  Jacobi  dari    sistem  (2). Matriks  Jacobi  dari sistem tersebut adalah sebagai berikut:
𝐽 = [ −𝜇 − 𝛽(𝑖 + 𝛿𝑒)
−𝛽𝑠𝛿 −𝛽𝑠 0 𝛽(𝑖 + 𝛿𝑒) 𝛽𝑠𝛿 − (𝜇 + 𝜎) 𝛽𝑠 0 0 𝜎 −(𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 0 0 0 𝛾 + 𝜌 −𝜇 ]
Selanjutnya  untuk  mencari  kestabilan  titik  ekulibrium  bebas  penyakit,  dilakukan  subtitusi  nilai 𝐸 0 (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑟) = (1,0,0,0) pada matriks Jacobi 𝐽 , sehingga diperoleh 𝐽(𝐸 0 ) sebagai berikut:
𝐽(𝐸 0 ) = [ −𝜇 −𝛽𝛿 −𝛽
0 0 𝛽𝛿 − (𝜇 + 𝜎) 𝛽 0 0 𝜎 −(𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌) 0 0 0 𝛾 + 𝜌
−𝜇 ]
Untuk mendapatkan nilai eigen 𝜆 dari matriks 𝐽(𝐸 0 ) , digunakan persamaan (𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )) = 0 , sehingga dari 𝑑𝑒𝑡[𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )] = 0 diperoleh persamaan karakteristik berikut:
(𝜆 + 𝜇)(𝜆 + (𝜇 + 𝜎) − 𝛽𝛿)(𝜆 + (𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌))(𝜆 + 𝜇) = 0
(6)
Berdasarkan persamaan (6) didapatkan  nilai-nilai eigen (𝜆) dari matriks 𝐽 : 𝜆 1 = −𝜇 𝜆 2 = 𝛽𝛿 − (𝜇 + 𝜎) 𝜆 3 = −(𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌 ) 𝜆 4 = −𝜇 Untuk 𝑅 0 < 1 𝑅 0 < 1
𝛽𝛿 𝜇+𝜎 + 𝛽𝜎 (𝜇+𝜎)𝑔 < 1 𝛽𝛿𝑔 + 𝛽𝜎 < (𝜇 + 𝜎)𝑔 𝑔(𝛽𝛿 − (𝜇 + 𝜎)) + 𝛽𝜎 < 0 𝑔(𝜆 2 ) + 𝛽𝜎 < 0 Dengan 𝑔 = 𝛼 + 𝜇 + 𝜔 + 𝛾 + 𝜌 maka semua akarnya bernilai negatif. Hal ini berarti bahwa sistem tersebut stabil asimtotik lokal pada titik 𝐸 0 . Dan jika 𝑅 0 > 1 maka terdapat akar yang bernilai negatif dan positif, ini mengindikasikan bahwa sistem tersbut stabil asimtotik lokal pada titik ekuilibrium 𝐸 0
3.3  Simulasi Numerik Kestabilan Saat 𝑹 𝟎 > 𝟏

## Tabel 3. Nilai-nilai parameter titik ekuilibrium endemik
Parameter Nilai 𝜇 0.00625 𝛽 0.14 𝛿 0.2 𝜎 0.1429 𝛼 0.000044 𝜔 0.000011 𝛾 0.005555 𝜌 0.03333
Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 3 maka diperoleh bilangan reproduksi dasar dari sistem (2) adalah 𝑅 0 = 3.15574 . Karena 𝑅 0 > 1 maka penyakit akan menyebar atau dengan kata lain akan terjadi endemik. Titik ekuilibrium endemik adalah 𝐸 ∗ = (𝑠 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑟 ∗ ) = (0.316883 , 0.0286254, 0.0905135, 0.563182) . Hasil  simulasi  di  titik  ekuilibrium  endemik 𝐸 ∗ menggunakan  program  Wolfram  Mathematica  11.3 berdasarkan  parameter  pada  Tabel  3  dan  dengan  sembarang  nilai  awal 𝑠(0) = 0.5, 𝑒(0) = 0.25, 𝑖(0) = 0.25, 𝑟(0) = 0 , ditampilkan dalam Gambar 2.
Faktor Exacta DOI: 10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx

Analisis Model Matematika dan Simulasi Pada Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut di Indonesia Title of manuscript is short and clear, implies research results ( First AuthorRifki Ristiawan )
329
Pada Gambar 2 terlihat bahwa dari hasil simulasi numerik untuk 𝑅 0 > 1 yang dilakukan menunjukan jumlah individu pada kelas 𝑖 mengalami peningkatan dalam rentang waktu kurang dari 50 hari dan stabil menuju titik ekuilibrium nya pada kurun waktu lebih dari 350 hari. Gambar 2 juga menunjukkan bahwa penyakit akan tetap ada di dalam populasi ketika 𝑅 0 > 1 , meski hanya sedikit.
3.4  Simulasi Numerik Kestabilan Saat 𝑹 𝟎 < 𝟏
Jika nilai parameter 𝛽 diperkecil dari nilai sebelumnya menjadi 𝛽 = 0.025 , dengan demikian diperoleh nilai-nilai parameter seperti berikut:
Tabel 4. Nilai-nilai parameter titik ekuilibrium bebas penyakit
Parameter Nilai 𝜇 0.00625 𝛽 0.025 𝛿 0.2 𝜎 0.1429 𝛼 0.000044 𝜔 0.000011 𝛾 0.005555 𝜌 0.03333
Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 4 maka diperoleh bilangan reproduksi dasar dari sistem (2) adalah 𝑅 0 = 0.563526 . Karena 𝑅 0 < 1 maka penyakit tidak akan menyebar, dengan kata lain seiring berjalan nya waktu populasi akan bebas dari penyakit. Titik ekuilibrium bebas penyakit adalah (𝐸 0 ) = (1,0,0,0) . Maka titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil asimtotik lokal.
Hasil simulasi di titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 0 menggunakan program Wolfram Mathematica 11.3 berdasarkan parameter pada Tabel 4 dan dengan sembarang nilai awal 𝑠(0) = 0.2 , 𝑒(0) = 0.3 , 𝑖(0) = 0.2 , 𝑟(0) =
0.3 , ditampilkan pada Gambar 3.
Gambar 12 . Simulasi model saat 𝑅 0 > 1
 DOI:
10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx
Faktor Exacta, Vol. 1 63 , No. 41 , DecMarch 202 30 : 323xx - 331xx
330 Berdasarkan  Gambar  3  terlihat  bahwa  dari  hasil  simulasi  numerik  untuk 𝑅 0 < 1 yang  dilakukan menunjukan adanya kecenderungan dari sistem menuju titik ekuilibrium bebas penyakit. Hal ini sesuai dengan analisis kestabilan yang telah dilakukan bahwa titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal untuk 𝑅 0 < 1 .
3.5.  Penekanan Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut dan Nilai 𝑹 𝟎 Berikut  akan  diinterpretasikan  hasil  simulasi  numerik  yang  sudah  dilakukan  untuk  melihat  pengaruh berbagai  parameter  ( 𝛽, 𝛿, 𝜎 )  yang  ada  pada  sistem  (2)  terhadap  nilai 𝑅 0 .  Mengetahui  parameter  yang  paling berpengaruh akan memberi  petunjuk  bagaimana  cara  yang  paling efektif untuk menekan  penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut. Menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 4 dan kemudian mengubah nilai parameter- parameter  yang  ingin  dilihat  pengaruhnya  ( 𝛽, 𝛿, 𝜎 )  dari  nilai  awal 𝛽 = 𝛿 = 𝜎 = 0 hingga 𝛽 = 𝛿 = 𝜎 = 1 , diperoleh hasil sebagai berikut:
Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa parameter yang secara signifikan paling berpengaruh terhadap nilai 𝑅 0 adalah parameter 𝛽 . Oleh karena itu, untuk menekan penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut dan nilai 𝑅 0 akan jauh  lebih  efektif  jika  yang  ditekan  adalah  parameter 𝛽 yaitu  laju  penularan.  Hal  ini  dapat  dilakukan  dengan meminimalkan  kontak  antara  individu  rentan  dengan  individu  terpapar  dan  individu  terinfeksi.  Jadi,  semakin dibatasi kontak antara individu rentan dengan individu terpapar dan individu terinfeksi maka akan semakin cepat penyakit menghilang dari populasi.

## 4. PENUTUP
Pada artikel  ini  model  penyebaran  hepatitis akut  non hepA-E telah  dikonstruksi.  Kajian analitik  yang dilakukan adalah analisis titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik, dan  penentuan bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 . Dan sudah dilakukan simulasi numerik untuk melihat pengaruh beberapa parameter terhadap penyebaran hepatitis akut non hepA-E.
Dari  model  didapatkan  dua  titik  ekuilibrium  yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit 𝐸 0 (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑟) = (1,0,0,0) yang bersifat stabil asimtotik lokal saat 𝑅 0 < 1 dan titik ekuilibrium endemik 𝐸 ∗ = (𝑠 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑟 ∗ ) yang terlihat  bersifat  stabil  asimtotik  lokal  saat 𝑅 0 > 1 . Berdasarkan  hasil  simulasi  pengaruh  parameter  ( 𝛽, 𝜎, 𝛿 ) terhadap nilai 𝑅 0 , diketahui bahwa parameter yang paling berpengaruh terhadap nilai 𝑅 0 adalah parameter (𝛽) yaitu laju penularan penyakit Hepatitis Non HepA-E Akut, yang artinya semakin tinggi nilai parameter (𝛽) maka akan  semakin  tinggi  juga  nilai 𝑅 0 dan  semakin  cepat  penyakit  menyebar  di  dalam  populasi. Oleh  karena  itu, langkah yang dapat dilakukan untuk menekan penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut adalah dengan mengurangi kontak  antara  individu  terpapar (𝐸) dan  individu  terinfeksi (𝐼) dengan  individu  rentan (𝑆) yang  mana  akan mengurangi nilai parameter (𝛽) dan secara langsung nilai 𝑅 0 . Dengan cara ini penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut akan terkendali dan terminimalis.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Q. M. Cantika, “Perkembangan kasus hepatitis akut yang tidak diketahui etiologinya di indonesia : kajian
Gambar 23 . Simulasi model saat 𝑅 0 < 1
Gambar 34 . Simulasi pengaruh parameter ( 𝛽, 𝛿, 𝜎 ) terhadap nilai 𝑅 0
Faktor Exacta DOI: 10.30998/faktorexacta.v16i4.1967010.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx

Analisis Model Matematika dan Simulasi Pada Penyebaran Hepatitis Non HepA-E Akut di Indonesia Title of manuscript is short and clear, implies research results ( First AuthorRifki Ristiawan )
331
literatur,” Res. Gate , no. June, 2022.
[2] Kemenkes  RI,  “Masyarakat  Agar  Waspada  Setelah  3  Pasien  Anak  Dengan  Hepatitis  Akut  Meninggal Dunia,” Kemenkes  RI ,  2022.  https://www.kemkes.go.id/article/view/22050200001/masyarakat-agar- waspada-setelah-3-pasien-anak-dengan-hepatitis-akut-meninggal-dunia.html (accessed Apr. 01, 2023).
[3] Direktorat Jendral Pencegahan Dan Pengendalian Penyakit, “E Dirjen P2P No. HK.02.02-C-2515-2022 Tentang Kewaspadaan Terhadap Penemuan Kasus Hepatitis Akut Yang Tidak Diketahui Etiologinya,” Infeksiemerging ,  2022.  https://infeksiemerging.kemkes.go.id/document/se-dirjen-p2p-no-hk-02-02-c- 2515-2022-tentang-kewaspadaan-terhadap-penemuan-kasus-hepatitis-akut-yang-tidak-diketahui- etiologinya/view (accessed Mar. 31, 2023).
[4] Kemenkes  RI,  “Patogen  Ini  Paling  Banyak  Ditemukan  pada  Pasien  Hepatitis,”  2022.
https://sehatnegeriku.kemkes.go.id/baca/rilis-media/20220624/5240316/patogen-ini-paling-banyak-
ditemukan-pada-pasien-hepatitis/#:~:text=Hepatitis di Indonesia saat ini,ditemukan adalah Cytomegalovirus (CMV). (accessed Mar. 27, 2023).
[5] K. K. RI, “Kasus Probable Hepatitis Akut Bertambah 3 Orang, Total Jadi 99 Kasus,” Kemkes.go.id , 2022. https://www.kemkes.go.id/article/view/22100100002/kasus- probable -hepatitis-akut-bertambah-3-orang- total-jadi-99-kasus.html (accessed Apr. 01, 2023).
[6] M. Sallam, A. Mahafzah, and G. Ö. Şahin, “Hepatitis of Unknown Origin and Etiology (Acute Non HepA- E Hepatitis) among Children in 2021/2022: Review of the Current Findings,” Healthc. , vol. 10, no. 6, pp. 3–6, 2022, doi: 10.3390/healthcare10060973.
[7] L. I. Setiawan and S. Mungkasi, “Penyelesaian Model Epidemi SIR Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat Dan Metode Adams-Bashforth-Moulton,” vol. 18, no. 2, pp. 55–61, 2021.
[8] R.  Ristiawan  and  A.  U.  Solihah,  “Model  Matematika  pada  Penyebaran  Penyakit  Covid-19  dengan
Pengaruh  Vaksinasi  di  DKI  Jakarta,” Fakt.  Exacta ,  vol.  15,  no.  4,  pp.  234–242,  2022,  doi: 10.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx.
[9] WHO, “ Bringing hepatitis care closer to you ,” 2023. https://www.who.int/ (accessed Jul. 21, 2023).
[10] U. Pagalay, Mathematical Modelling . Malang: UIN Maliki Press, 2017.
[11] J. Giesecke, Modern Infectious Disease Epidemiology Third Edition . New York: Taylor & Francis Group, 2017.
[12] O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, and M. G. Roberts, “The construction of next-generation matrices for compartmental  epidemic  models,” J.  R.  Soc.  Interface ,  vol.  7,  no.  47,  pp.  873–885,  2010,  doi:
10.1098/rsif.2009.0386.
[13] A. D. B. Aez-s, “Tema,” 2020, doi: 10.5540/tema.2020.021.03.0409.