## Jurnal Ilmiah Matematika Realistik (JI-MR)
Vol. 4, No. 1, Juni 2023, 48-57 E-ISSN : 2723-6153 Tersedia: http://jim.teknokrat.ac.id/index.php/pendidikanmatematika/index
PENERAPAN PECAHAN BERSAMBUNG DALAM MELAKUKAN APROKSIMASI BILANGAN IRASIONAL MENUJU BILANGAN RASIONAL
Haves Qausar 1 , Munzir Absa 2 , Amam Taufiq Hidayat 3 , Zainul Mujtahid 4
Universitas Malikussaleh 1,2,3,4
haves@unimal.ac.id
Received: 4 April 2023 Accepted : 29 Mei 2023 Published : 23 Juni 2023

## Abstract
This  research  aims  to  find  a  rational  approximation  of  an  irrational  number  with  more  accurate accuracy  using  continued  fractions.  The  method  used  in  this  research  is  a  literature  study  on  the properties of number theory related to continued fractions. The first stage of research is to collect data related to the research topic from books and international journals through internet search results on Google Scholar. Then data analysis was carried out through three stages, namely data reduction which is  a  process  of  simplifying,  focusing  and  abstraction,  data  display  which  is  compiling  a  set  of information  so  that  the  presentation  of  data  does  not  deviate  from  the  subject  matter  and conclution/verifying is an attempt to find or understand the meaning, regularity of explanatory patterns. The result of this research is a detailed discussion related to the properties and application of continued fractions that can approach irrational numbers to rational numbers with the desired level of accuracy so  that  later  rational  numbers  can  be  obtained  that  can  approach  irrational  numbers  with  high accuracy.  The  conclusion  is  that  every  rational  number  can  be  written  in  PBSH  form  and  every irrational number can be written in PBST form. The error of the 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ approximation for 𝑥 is < 1 𝑞 𝑛 2 ⁄ and 𝑞 𝑛 increases  as 𝑛 increases.  As the  value  of 𝑛 increases, 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ converges  closer  to 𝑥 and  the rational approximation 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ for 𝑥 is better than all fractions 𝑎 𝑏 ⁄ for any positive denominator 𝑏 ≤ 𝑞 𝑛 .
Keywords: continued fractions, approximation, irrational numbers, rational numbers

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mencari  aproksimasi  rasional  dari  suatu  bilangan  irasional  dengan ketelitian  yang  lebih  akurat  menggunakan  pecahan  bersambung.  Metode  yang  digunakan  pada penelitian ini berupa studi literatur mengenai sifat-sifat pada teori bilangan yang terkait dengan pecahan bersambung.  Tahapan  peneltian  yang  pertama  yaitu  dilakukan  pengumpulan  data  terkait  topik penelitian  dari  buku  dan  jurnal  internasional  melalui  hasil  penelusuran  menggunakan  internet  pada Google Scholar. Kemudian dilakukan analisis data melalui tiga tahapan yaitu data reduction (reduksi data) yang merupakan proses penyederhanaan, pemfokusan dan abstraksi, data display (penyajian data) yaitu menyusun sekumpulan informasi agar sajian data tidak menyimpang dari pokok permasalahan dan conclution/verifying (penarikan  kesimpulan)  merupakan  usaha  untuk  mencari  atau  memahami makna,  keteraturan  pola-pola  penjelasan.  Hasil  dari  penelitian  ini  adalah  berupa  pembahasan  secara mendetail terkait dengan sifat-sifat dan penerapan pecahan bersambung yang dapat mendekati bilangan irasional menuju bilangan rasional dengan tingkat ketelitian yang diinginkan sehingga nantinya dapat diperoleh bilangan rasional yang mampu mendekati bilangan irasional dengan ketelitian yang tinggi. Kesimpulannya adalah setiap bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk PBSH dan setiap bilangan irasional dapat ditulis dalam bentuk PBST. Galat pada pendekatan 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ untuk 𝑥 adalah < 1 𝑞 𝑛 2 ⁄ dan 𝑞 𝑛 semakin  membesar  dengan  membesarnya 𝑛 .  Semakin  besar  nilai 𝑛 ,  konvergen 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ semakin mendekati 𝑥 dan pendekatan rasional 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ untuk 𝑥 lebih baik dari semua pecahan 𝑎 𝑏 ⁄ untuk setiap penyebut positif 𝑏 ≤ 𝑞 𝑛 .
Kata Kunci: pecahan bersambung, aproksimasi, bilangan irasional, bilangan rasional

## Sitasi artikel ini:
Qausar,  H.,  Absa,  M.,  Hidayat,  A.T.,  &  Mujtahid,  Z.  (2023).  Penerapan  Pecahan  Bersambung  dalam  Melakukan  Aproksimasi  Bilangan Irasional Menuju Bilangan Rasional. Jurnal Ilmiah Matematika Realistik , 4 1), 48-57.

## PENDAHULUAN
Menentukan bilangan rasional 𝑎 𝑏 ⁄ yang “paling dekat” dengan suatu bilangan riil 𝑥 merupakan masalah penting didalam matematika. Masalah ini dikenal dengan sebutan pendekatan Diophantine (Schmidt, 2022). Tentu saja 𝑎 𝑏 ⁄ dapat dipilih sedekat apapun yang diinginkan dengan cara memperbesar penyebut 𝑏 , jadi yang dimaksud dengan “paling dekat” adalah dalam artian: Diberikan 𝑥 ∈ ℝ (himpunan semua bilangan riil) dan penyebut 𝑏 ∈ ℤ + ≝ {1,2, … } , tentukan pembilang 𝑎 ∈ ℤ + ≝ {0, ±1, ±2, … } sehingga
|𝑥 − 𝑎 𝑏 | < |𝑥 − 𝑠 𝑡 | (1)
untuk setiap pecahan 𝑠 𝑡 ⁄ yang tidak sama dengan 𝑎 𝑏 ⁄ dengan 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 . Dengan kata lain, 𝑎 𝑏 ⁄ paling dekat 𝑥 untuk  semua  pecahan  lain  yang  berpenyebut  positif  dan  lebih  kecil  atau  sama  dengan 𝑏 (Aka,  et  al.,  2018). Pendekatan ini seringkali disebut juga pendekatan rasional (Koukoulopoulos, 2021).
Contoh kasus, pendekatan 22 7 ⁄ untuk 𝜋 ≈ 3.14159265. Mudah diperiksa bahwa
|𝜋 − 22 7 | < |𝜋 − 𝑠 𝑡 | (2)
untuk semua pecahan 𝑠 𝑡 ⁄ yang berpenyebut (positif) lebih kecil atau sama dengan 7. Pendekatan lain untuk 𝜋 yang cukup fenomenal secara historis adalah 355/113 (didapatkan pada abad ke 5 oleh Tsu Chung-Chih) sebab 355/113 bukan  hanya  paling  dekat  dengan 𝜋 untuk  semua  pecahan  yang  berpenyebut  lebih  kecil  atau  sama dengan 113, namun juga untuk semua penyebut yang lebih kecil atau sama dengan 16600 (Azarian, 2019). Sangat sulit  dipercaya  Tsu  mendapatkan 355/113 untuk 𝜋 dengan  cara memeriksa  semua  pecahan  berpenyebut  lebih kecil atau sama dengan 16600 satu per satu (cara ini disebut brute-force didalam pemrograman) (Zhang, et al., 2020), bahkan untuk era modern pun super-komputer tidak dapat (secara efisiensi waktu) melakukan brute-force untuk  memeriksa  ketaksamaan  (1)  untuk  semua  pecahan 𝑠/𝑡 yang  berpenyebut  lebih  kecil  atau  sama  dengan 16600 (Moe, et al., 2018).
Ada berbagai cara untuk menjawab permasalahan pendekatan Diophantine; tiga buah metode yang sering dipakai adalah: Farey’s sequence (Sukhoy, et al., 2021), Dirichlet’s Approximation Theorem (Kim & Liao, 2019), dan pecahan bersambung (Wall, 2018). Cara pertama memerlukan pengetahuan logika khusus tentang konstruksi ℝ dari ℕ ≝ {0,1,2, … } (Cox,  et  al.,  2021),  sedangkan  cara  kedua  memerlukan  pengetahuan  mendalam  tentang analisis (Heil, 2019). Dalam tulisan ini akan dibahas cara ketiga, yakni pendekatan rasional dengan menggunakan pecahan bersambung, yaitu kuantitas yang berbentuk
𝑎 0 + 𝑏 0 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 3 + 𝑏 3 ⋱ (3)
dengan  setiap 𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ∈ ℝ .  Bila  setiap 𝑏 𝑖 = 1, 𝑎 0 ∈ ℤ dan 𝑎 𝑘 ∈ ℤ + untuk 𝑘 ≥ 1, kuantitas  itu  disebut  pecahan bersambung sederhana yang selanjutnya disingkat sebagai PBS.

## METODE PENELITIAN
Pada  penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur, yang melibatkan pengumpulan data dari  berbagai  sumber  literatur  seperti  buku  dan  jurnal.  Tujuan  dari  penelitian  studi  literatur  adalah  untuk membandingkan hasil-hasil penelitian yang berbeda satu sama lain, serta untuk mendapatkan landasan teori yang mendukung pemecahan masalah yang sedang diteliti. Penelitian ini juga bertujuan untuk mengungkapkan teori- teori  yang  relevan  dengan  kasus  yang  sedang  dikaji.  Secara  spesifik,  peneliti  mengkaji  penerapan  pecahan bersambung dalam pendekatan bilangan irasional menuju bilangan rasional (Manzilati, 2017).
Selanjutnya,  dilakukan  pengumpulan  data  terkait  topik  penelitian.  Data  tersebut  diperoleh  melalui pencarian menggunakan kata kunci " Continued fraction ", " Continued fraction approximation ", dan " Continued fraction  number  theory "  di Google  Scholar ,  yang  menghasilkan  sebanyak  20  tulisan  berupa  buku  dan  jurnal
internasional. Semua tulisan tersebut dikumpulkan dalam sebuah folder dan diurutkan agar memudahkan analisis. Analisis  data  merupakan  proses  untuk  menyederhanakan  data  menjadi  bentuk  yang  lebih  mudah  dibaca  dan diimplementasikan.  Tujuan  analisis  data  adalah  untuk  menyampaikan  informasi  yang  terkandung  dalam  data secara jelas. Dalam penelitian ini, terdapat tiga tahap analisis data, yaitu Reduksi Data ( Data Reduction ), Penyajian Data ( Data Display ), dan Penarikan Kesimpulan ( Conclution/Verifying ), yang dapat dijelaskan sebagai berikut: Reduksi data adalah proses penyederhanaan, pemfokusan, dan abstraksi data. Caranya dilakukan dengan membuat ringkasan  atau  uraian  singkat,  menggolongkan  data  ke dalam  pola-pola  tertentu,  dan  membuat  tabel  penelitian untuk mempertegas data serta membuang yang tidak relevan. Penyajian data adalah pengorganisasian informasi menjadi bentuk yang terstruktur sehingga memungkinkan penarikan kesimpulan dan pengambilan tindakan yang sesuai. Tujuannya adalah agar penyajian data tidak menyimpang dari inti permasalahan yang diteliti. Penarikan kesimpulan merupakan upaya untuk menemukan dan memahami makna serta pola-pola penjelasan. Kesimpulan yang ditarik dalam analisis data adalah isi yang terdapat dalam jurnal, yang tampak dan tersurat, bukan makna yang dirasakan oleh peneliti. Hal ini bertujuan untuk menjawab pertanyaan dan tujuan penelitian (Yansyari, 2019).

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Keterbagian
Dalil 1 (Algoritma Pembagian). Diberikan 𝑎 dan 𝑏 , dengan 𝑏 > 0 , ada 𝑞 dan 𝑟 yang tunggal sehingga 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 , dengan 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 . Bilangan 𝑞 disebut hasil bagi dan 𝑟 disebut sisa dari pembagian 𝑎 dengan 𝑏 (Gallian, 2021). Bukti : untuk membuktikan keberadaan dari 𝑞 dan 𝑟 , tinjau himpunan
𝐻 =   {𝑎 − 𝑥𝑏 ≥ 0: 𝑥 ∈ ℤ}
(4)
yang beranggotakan semua bilangan bulat tak-negatif berbentuk 𝑎 − 𝑥𝑏 . Himpunan 𝐻 tidak kosong, sebab dengan memilih 𝑥 =   −|𝑎| diperoleh
𝑎 − 𝑥𝑏 = 𝑎 − (−|𝑎|)𝑏 = 𝑎 + |𝑎|𝑏 ≥ 𝑎 + |𝑎| ≥ 0 , (5)
yaitu 𝑎 − (−|𝑎|)𝑏 ∈ 𝐻 . Menurut WOP, 𝐻 memiliki unsur terkecil, sebut 𝑟 (Kowalski & Soundararajan, 2021). Dari  definisi 𝐻 jelas  bahwa 𝑟 ≥ 0 dan 𝑟 berbentuk 𝑟 = 𝑎 − 𝑞𝑏 untuk  suatu 𝑞 .  Untuk  membuktikan 𝑟 < 𝑏 , asumsikan sebaliknya bahwa 𝑟 ≥ 𝑏 , maka hubungan
0 ≤ 𝑟 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑞𝑏 − 𝑏 = 𝑎 − (𝑞 + 1)𝑏
(6)
mengatakan  bahwa 𝑟 − 𝑏 ∈ 𝐻 .  Tetapi 𝑟 − 𝑏 < 𝑟 ,  bertentangan  dengan 𝑟 sebagai  unsur  terkecil  dari 𝐻 .  Jadi haruslah 𝑟 < 𝑏 . Tinggal dibuktikan ketunggalan dari 𝑞 dan 𝑟 . Untuk membuktikannya, asumsikan
𝑞𝑏 + 𝑟 = 𝑎 = 𝑞 1 𝑏 + 𝑟 1 (7)
untuk suatu 𝑞 1 dan 𝑟 1 dengan 0 ≤ 𝑟 1 < 𝑏 . Jika 𝑞 1 ≠ 𝑞 maka |𝑞 1 − 𝑞| ≥ 1 sehingga
|𝑟 − 𝑟 1 | = |𝑏(𝑞 1 − 𝑞)| = 𝑏|𝑞 1 − 𝑞| ≥ 𝑏 , (8)
padahal −𝑏 < 𝑟 − 𝑟 1 < 𝑏 . Jadi haruslah 𝑞 = 𝑞 1 dan ini mengakibatkan 𝑟 = 𝑟 1 (Freud & Gyarmati, 2020).
Definisi  1.  Bilangan 𝑏 disebut  kelipatan 𝑎 ≠ 0 bila  ada 𝑐 sehingga 𝑏 = 𝑎𝑐 dan  ini  dinotasikan  dengan 𝑎 | 𝑏 . Negasinya dinotasikan dengan 𝑎 ∤ 𝑏 . Istilah lain untuk 𝑎 | 𝑏 adalah “ 𝑎 membagi 𝑏 ” atau “ 𝑏 habis dibagi 𝑎 ” (Iliev, et al., 2020).
Definisi  2.  Diberikan 𝑎 dan 𝑏 ,  dengan 𝑎 ≠ 0 atau 𝑏 ≠ 0 ,  faktor  persekutuan  terbesar  (FPB)  dari 𝑎 dan 𝑏 , dinotasikan dengan gcd (𝑎, 𝑏) , adalah bilangan asli 𝑑 yang memenuhi:
• 𝑑 | 𝑎 dan 𝑑 | 𝑏 . • Jika 𝑐 | 𝑎 dan 𝑐 | 𝑏 maka 𝑐 | 𝑑 .
Jika gcd(𝑎, 𝑏) = 1 , maka 𝑎 dan 𝑏 disebut saling prima (Iliev, et al., 2018).
Dalil 2 (Lemma Euclid). Jika 𝑎 | 𝑏𝑐 dan 𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1 , maka 𝑎 | 𝑐 (Dolgov, 2018).

## Algoritma Euclid
Diberikan 𝑎 dan 𝑏 ≠ 0 ,  cara  yang  paling  umum  untuk  menentukan gcd (𝑎, 𝑏) adalah  dengan menggunakan  Algoritma  Euclid  (Rosenthal,  2018).  Algoritma  ini  pada  dasarnya  berupa terapan  dari  Lemma  1 berikut.
Lemma 1. Jika 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 , maka 𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑔𝑐𝑑 (𝑏, 𝑟) (Iliev, et al., 2018). Bukti : Jika 𝑐 | 𝑎 dan 𝑐 | 𝑏 maka 𝑐 membagi 𝑎 − 𝑏𝑞 = 𝑟 . Sebaliknya jika 𝑐 | 𝑏 dan 𝑐 | 𝑟 maka 𝑐 membagi 𝑏𝑞 + 𝑟 = 𝑎 .  Jadi  pasangan (𝑎, 𝑏) dan  pasangan (𝑏, 𝑟) memiliki  pembagi  sekutu  yang  sama,  akibatnya gcd(𝑎, 𝑏) = gcd (𝑏, 𝑟) . Pertama terapkan Algoritma Pembagian untuk 𝑎 dan 𝑟 0 = 𝑏 sehingga diperoleh
𝑎 = 𝑞 1 𝑟 0 + 𝑟 1 ,        0 ≤ 𝑟 1 < 𝑟 0 . (9)
Jika 𝑟 1 > 0 , maka terapkan kembali Algoritma Pembagian pada 𝑟 0 dan 𝑟 1 untuk mendapatkan 𝑞 2 dan 𝑟 2 sehingga
𝑟 0 = 𝑞 2 𝑟 1 + 𝑟 2 ,        0 ≤ 𝑟 2 < 𝑟 1 . (10)
Proses serupa terus dilakukan sampai ditemukan indeks 𝑛 sehingga 𝑟 𝑛 = 0 . Jadi proses ini dapat dituliskan sebagai berikut (Effinger & mullen, 2021)
𝑎 = 𝑞 1 𝑟 0 + 𝑟 1 ,             0 < 𝑟 1 < 𝑟 0 , 𝑟 0 = 𝑞 2 𝑟 1 + 𝑟 2 ,             0 < 𝑟 2 < 𝑟 1 , 𝑟 1 = 𝑞 3 𝑟 2 + 𝑟 3 ,             0 < 𝑟 3 < 𝑟 2 ,
𝑟 𝑛−2 = 𝑞 𝑛 𝑟 𝑛−1 + 𝑟 𝑛 ,        0 < 𝑟 𝑛 < 𝑟 𝑛−1 ,
⋮ 𝑟 𝑛−1 = 𝑞 𝑛+1 𝑟 𝑛 + 0. (11)
Perhatikan bahwa bilangan 𝑛 yang demikian itu dijamin ada sebab
𝑟 0 > 𝑟 1 > 𝑟 2 > ⋯ ≥ 0 (12)
berupa barisan turun dari bilangan bulat yang berbatas bawah oleh nol. Sekarang dengan menggunakan lemma di atas secara beruntun diperoleh
𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑟 0 ) = 𝑔𝑐𝑑(𝑟 0 , 𝑟 1 ) = ⋯ = 𝑔𝑐𝑑(𝑟 𝑛−1 , 𝑟 𝑛 ) = 𝑔𝑐𝑑(𝑟 𝑛 , 0) = 𝑟 𝑛 (13)

## Sifat-sifat PBS
Telah dijelaskan bahwa PBS adalah kuantitas yang berbentuk
𝑎 0 + 1 𝑎 1 + 1 𝑎 2 + 1 𝑎 3 + 1 ⋱ (14)
dengan 𝑎 0 ∈ ℤ dan 𝑎 𝑖 ∈ ℤ + untuk setiap 𝑖 ≥ 1 . Karena ada tak-hingga buah 𝑎 𝑖 , tidak jelas apakah kuantitas di atas memiliki nilai atau tidak, namun nanti akan dibuktikan bahwa nilainya (dalam artian Definisi 4) selalu ada. Untuk menghemat penulisan, PBS di atas ditulis dengan
[𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … ] . (15)
Definisi 3. PBS
[𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … , 𝑎 𝑛 ] = 𝑎 0 + 1 𝑎 1 + 1 𝑎 2 + 1 𝑎 3 + 1 ⋱ + 1 𝑎 𝑛 (16)
dikatakan hingga (selanjutnya disingkat dengan PBSH) dengan panjang 𝑛 .
Jelas bahwa PBSH selalu memiliki nilai yang berupa bilangan rasional. Sebaliknya, diberikan bilangan rasional 𝑎 𝑏 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 > 0 , ia dapat dinyatakan sebagai PBSH sebagai berikut: Pertama terapkan Algoritma Euclid untuk mencari gcd dari 𝑎 dan 𝑟 0 = 𝑏; diperoleh
𝑎 = 𝑟 0 𝑎 0 + 𝑟 1 ,                 0 < 𝑟 1 < 𝑟 0 , 𝑟 0 = 𝑟 1 𝑎 1 + 𝑟 2 ,                 0 < 𝑟 2 < 𝑟 1 , 𝑟 1 = 𝑟 2 𝑎 2 + 𝑟 3 ,                 0 < 𝑟 3 < 𝑟 2 ,
𝑟 𝑛−2 = 𝑟 𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑟 𝑛 ,        0 < 𝑟 𝑛 < 𝑟 𝑛−1 ,
⋮ 𝑟 𝑛−1 = 𝑟 𝑛 𝑎 𝑛 + 0. (17)
Karena
𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑟 0 = 𝑎 0 + 𝑟 1 𝑟 0 = 𝑎 0 + 1 𝑟 0 𝑟 1 , 𝑟 0 𝑟 1 = 𝑎 1 + 𝑟 2 𝑟 1 = 𝑎 1 + 1 𝑟 1 𝑟 2 , 𝑟 1 𝑟 2 = 𝑎 2 + 𝑟 3 𝑟 2 = 𝑎 2 + 1 𝑟 2 𝑟 3 , ⋮ 𝑟 𝑛−1 𝑟 𝑛 = 𝑎 𝑛 , (18)
Maka
𝑎 𝑏 = 𝑎 0 + 1 𝑟 0 𝑟 1 = 𝑎 0 + 1 𝑎 1 + 1 𝑟 1 𝑟 2 = 1 𝑎 1 + 1 𝑎 2 + 1 𝑟 2 𝑟 3 (19)
dan seterusnya sampai akhirnya didapatkan
𝑎 𝑏 = 𝑎 0 + 1 𝑎 1 + 1 ⋱ + 1 𝑎 𝑛−1 + 1 𝑎 𝑛 = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 ]. (20)
Perhatikan  bahwa  bilangan  bulat 𝑎 1 , 𝑎 2 ,…  semuanya  positif  sebab  setiap 𝑟 𝑖 positif,  sedangkan 𝑎 0 bisa  positif, negatif atau nol bergantung pada nilai 𝑎 . Meskipun setiap 𝑎 𝑖 tunggal, PBSH dari 𝑎/𝑏 tidak tunggal tergantung pada 𝑎 𝑛 = 1 atau 𝑎 𝑛 > 1 . Jika 𝑎 𝑛 > 1 maka 𝑎 𝑛 − 1 ≥ 1 dan
1 𝑎 𝑛 = 1 (𝑎 𝑛 − 1) + 1 1 (21)
Sehingga
[𝑎 0 ; 𝑎 1 , … . , 𝑎 𝑛 ] = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , … . , 𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛 − 1,1] (22)
Perhatikan bahwa PBSH dari 𝑎/𝑏 pada ruas kiri memiliki panjang 𝑛 , sedang pada ruas kanan panjangnya adalah 𝑛 + 1 . Jika 𝑎 𝑛 = 1, maka 𝑎 𝑛−1 + 1 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 1 , jadi
[𝑎 0 ; 𝑎 1 , … . , 𝑎 𝑛 ] = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , … . , 𝑎 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−1 + 1] (23)
yang masing-masing memiliki panjang 𝑛 dan 𝑛 − 1. Pembahasan di atas merupakan bukti dalil berikut. Dalil 3. Sembarang bilangan rasional dapat ditulis sebaai PBSH dan panjangnya selalu dapat dibuat genap ataau ganjil, tergantung apa yang dikehendaki.

## Definisi 4. Diberikan PBS
[𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … ] (24)
notasikan 𝐶 0 = 𝑎 0 dan
𝐶 𝑖 = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑖 ],    𝑖 ≥ 1. (25)
Untuk setiap 𝑘 ≥ 0 , pecahan 𝐶 𝑘 disebut konvergen ke- 𝑘 dari PBS [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … ] . Nilai dari PBS [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … ] didefinisikan sebagai lim 𝐶 𝑘 asalkan limit itu ada. Jadi [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … ] = 𝐿 , jika diberikan 𝜖 ∈ ℝ + , berapapun kecilnya, ada 𝑁 ∈ ℤ + sehingga |𝐿 − 𝐶 𝑘 | < 𝜖 untuk setiap 𝑘 ≥ 𝑁. Akan diselidiki kekonvergenan dari barisan ( 𝐶 𝑘 ) . Berdasarkan beberapa informasi
𝐶 0 = 𝑎 0 = 𝑎 0
1 𝐶 2 = 𝑎 0 + 1 𝑎 1 + 1 𝑎 2 = 𝑎 2 (𝑎 1 𝑎 0 + 1)𝑎 0 𝑎 2 𝑎 1 + 1 𝐶 1 = 𝑎 0 + 1 𝑎 1 = 𝑎 1 𝑎 0 + 1 𝑎 1 𝐶 3 = 𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 = 𝑎 3 [𝑎 2 (𝑎 1 𝑎 0 + 1) + 𝑎 0 ] + (𝑎 1 𝑎 0 ) + 1 𝑎 3 (𝑎 2 𝑎 1 + 1) + 𝑎 1 𝐶 0 = 𝑝 0 𝑞 0 𝐶 2 = 𝑝 2 𝑞 2 = 𝑎 2 𝑝 1 + 𝑝 0 𝑎 2 𝑞 1 + 𝑞 0 𝐶 1 = 𝑝 1 𝑞 1 𝐶 3 = 𝑝 3 𝑞 3 = 𝑎 3 𝑝 2 + 𝑝 1 𝑎 3 𝑞 2 + 𝑞 1 didapat sebuah pola yang akan dibuktikan kebenarannya bahwa:
Dalil 4. Diberikan PBS [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … ], didefinisikan
𝑝 −1 = 1, 𝑝 0 = 𝑎 0 , 𝑝 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑝 𝑖−1 + 𝑝 𝑖−2 bila 𝑖 ≥ 1, 𝑞 −1 = 0, 𝑞 0 = 1 , 𝑞 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑞 𝑖−1 + 𝑞 𝑖−2 bila 𝑖 ≥ 1, (26)
maka
𝐶 𝑘 = 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘 𝑘 ≥ 0. (27)
Bukti. Telah diperiksa (28) berlaku untuk 𝑘 = 0 dan 𝑘 = 1 . Asumsikan (28) berlaku untuk suatu 𝑘 = 𝑚 ≥ 1, jadi
𝐶 𝑚 = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑚 ] = 𝑝 𝑚 𝑞 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑝 𝑚−1 + 𝑝 𝑚−2 𝑎 𝑚 𝑞 𝑚−1 + 𝑞 𝑚−2 , (28)
Karena nilai 𝑝 𝑚−1 , 𝑝 𝑚−2 , 𝑞 𝑚−1 , 𝑞 𝑚−2 hanya bergantung pada 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑚−1 dan tidak bergantung pada 𝑎 𝑚 , maka
𝐶 𝑚+1 = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑚−1, 𝑎 𝑚 + 1 𝑎𝑚+1 ] = (𝑎𝑚+ 1 𝑎𝑚+1 ) 𝑝𝑚−1+𝑝𝑚−2
(𝑎𝑚+ 1 𝑎𝑚+1 )𝑞𝑚−1 +𝑞𝑚−2 = 𝑎𝑚+1(𝑎𝑚𝑝𝑚−1+𝑝𝑚−2)+𝑝𝑚−1 𝑎𝑚+1(𝑎𝑚𝑞𝑚−1+𝑞𝑚−2)+𝑞𝑚−1
(29)
= 𝑎 𝑚+1 𝑝 𝑚 + 𝑝 𝑚−1 𝑎 𝑚+1 𝑞 𝑚 + 𝑞 𝑚−1 = 𝑝 𝑚+1 𝑞 𝑚+1 dan (28) terbukti secara induksi.
Contoh 1. Ketelitian untuk 𝜋 dalam 8 desimal adalah
𝜋 ≈ 3.14159265  =  314159265/10 8 .
Penerapn Algoritma Euclid untuk 314159265 dan 10 8 = 100000000 memberikan
314159265 = 3 ∙ 100000000 + 14159265 100000000 = 7 ∙  14159265 + 885145
14159265 = 15 ∙ 885145 + 882090
885145 = 1 ∙ 882090 + 3055 882090 = 288 ∙ 3055 + 2250 3055 = 1 ∙ 2250 + 805 2250 = 2 ∙ 805 + 640 805 = 1 ∙ 640 + 165 640 = 3 ∙ 165 + 145 165 = 1 ∙ 145 + 20 145 = 7 ∙ 20 + 5 20 = 4 ∙ 5
sehingga
3.14159265 = [3; 7,15,1, 288, 1, 2, 1, 3, 1, 7, 4]
(atau = [3; 7,15,1, 288, 1, 2, 1, 3, 1, 7, 3, 1] bila panjang yang diinginkan genap). Untuk menghitung 𝐶 𝑘 digunakan aturan rekursif (27):
𝑝 −1 = 1, 𝑝 1 = 7 ∙ 3 + 1 = 22, 𝑝 3 = 1 ∙ 333 + 22 = 355 ,
𝑝 0 = 3,
𝑝 2 = 15 ∙ 22 + 3 = 333 ,
𝑝 4 = 288 ∙ 355 + 333 = 102573, …. 𝑞 −1 = 0, 𝑞 1 = 7 ∙ 1 + 0 = 7, 𝑞 3 = 1 ∙ 106 + 7 = 113 , 𝑞 0 = 1 , 𝑞 2 = 15 ∙ 7 + 1 = 106 , 𝑞 4 =  288 ∙ 113 + 106 = 32650, ….
maka 𝐶 0 , 𝐶 1 , … , 𝐶 4 = 3 1 . 22 7 . 333 106 , 355 113 , 102573 3265 berturut turut.
Definisi 5. Nilai PBST [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . ] didefinisikan sebagai 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . ] .

## PBS dari Bilangan Irasional
Dalam menyatakan pecahan 𝑥 0 = 𝑎 𝑏 ⁄ kebentuk PBSH [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . ] terlihat bahwa 𝑎 0 yang didapatkan adalah berupa bagian bulat dari 𝑥 0 , yaitu
𝑎 0 = ⌊𝑥 0 ⌋ (30)
Dengan simbol ⌊𝑠⌋ didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan 𝑠 . Sebagai contoh
⌊3.99⌋ = 3,
⌊5⌋ = 5,   ⌊−5⌋ = −5,   ⌊−5,01⌋ = −6
Jurnal Ilmiah Matematika Realistik (JI-MR) , Vol: 4, No: 1,  48-57
Kemudian 𝑎 1 juga didapatkan dengan cara mengambil bilangan bulat, namun kali ini pada bilangan baru 𝑥 1 = 𝑏 𝑟 1 ⁄ . Jadi 𝑎 1 = ⌊𝑥 1 ⌋ dan
𝑥 1 = 𝑏 𝑟 1 = 𝑏 𝑎 − 𝑏𝑎 0 = 1 𝑎 𝑏 − 𝑎 0 = 1 𝑥 0 − 𝑎 0 (31)
Begitu seterusnya untuk mendapatkan 𝑎 2 , 𝑎 3 , … secara rekursif. Metode serupa bisa diterapkan meskipun bilangan 𝑥 0 yang diberikan irasional. Ini dirangkum didalam:
Dalil 5. Misalkan 𝑥 0 bilangan irasional. Untuk setiap 𝑘 ≥ 0 didefinisikan
𝑎 𝑘 = ⌊𝑥 𝑘 ⌋ dan 𝑥 𝑘+1 = 1 𝑥𝑘−𝑎𝑘 (32)
maka [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . ] = 𝑥 0 . Bukti: Sebelum membuktikan PBST [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . ] konvergen ke 𝑥 0 perlu dipastikan dahulu bahwa 𝑎 0 bulat dan setiap 𝑎 1 , 𝑎 2 , .. bilangan asli. Untuk setiap 𝑘 ≥ 0 jelas bahwa 𝑥 𝑘+1 irasional bila 𝑥 𝑘 irasional. Karena 𝑥 0 irasional, maka secara induktif 𝑥 𝑘 irasional. Jadi 0 < 𝑥 𝑘 − 𝑎 𝑘 < 1 , atau
𝑥 𝑘+1 = 1 𝑥 𝑘 − 𝑎 𝑘 > 1 (33)
Yang berakibat setiap 𝑎 𝑘+1 = ⌊𝑥 𝑘+1 ⌋ bilangan asli. Namun 𝑎 0 bisa bernilai negatif atau 0 bergantung pada 𝑥 0 < 0 atau 0 < 𝑥 0 < 1 . Akan ditunjukan 𝑥 0 = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . ] . Dari rekursif (42) diperoleh
𝑥 0 = 𝑎 0 + 1 𝑥 1 = 𝑎 0 + 1 𝑎 1 + 1 𝑥 2 = ⋯ = [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ]   = 𝑥 𝑛+1 𝑝 𝑛 + 𝑝 𝑛−1 𝑥 𝑛+1 𝑞 𝑛 + 𝑞 𝑛−1 (34)
Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝛧 + . Karena
𝑥 0 − 𝐶 𝑛 = 𝑥 𝑛+1 𝑝 𝑛 + 𝑝 𝑛−1 𝑥 𝑛+1 𝑞 𝑛 + 𝑞 𝑛−1 − 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 = (−1)𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−1 − 𝑞 𝑛 𝑝 𝑛−1 (𝑥 𝑛+1 𝑞 𝑛 + 𝑞 𝑛−1 )𝑞 𝑛 = (−1) 𝑛 (𝑥 𝑛+1 𝑞 𝑛 + 𝑞 𝑛−1 )𝑞 𝑛 (35)
dengan 𝑥 𝑛+1 > 1 dan 𝑞 𝑘 ≥ 𝑘 untuk setiap 𝑘 ≥ 1 , maka
𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑥 0 − 𝐶 𝑛 ) = 0 (36)
Sehingga [𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . ] = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝐶 𝑛 = 𝑥 0
Akibat 1. Jika 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘 ⁄ adalah konvergen ke n dari bilangan irasional 𝑥 , maka
|𝑥 − 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 | < 1 𝑞 𝑛+1 𝑞 𝑛 < 1 𝑞 𝑛 2 (37)
Contoh 2. Bilangan √37 bisa ditulis ke dalam bentuk PBST sebagai berikut:
𝑥 0 = √37 = 6 + (√37 − 6) , 𝑎 0 = 6,
𝑥 1 = 1 𝑥 0 − ⌊𝑥 0 ⌋ = 1 √37 − 6 = √37 + 6 = 12 + (√37 − 6) 𝑎 1 = 12.
Karena 𝑥 2 = 𝑥 1 ; maka 𝑥 𝑗 = 𝑥 1 untuk  setiap 𝑗 ≥ 2 ,  jadi 𝑎 𝑗 = 12 untuk  setiap 𝑗 ≥ 2. Jadi √37 = [6; 12,12, … ]. Untuk menghitung 𝐶 𝑘 digunakan rekursif (27);
𝑝 −1 = 1,
𝑝 1 = 12 ∙ 6 + 1 = 73, 𝑝 3 = 12 ∙ 882 + 73 = 10657 ,
𝑝 0 = 6 , 𝑝 2 = 12 ∙ 73 + 6 = 882 ,
𝑝 4 = 12 ∙ 10657 + 882 = 128766, ….
𝑞 −1 = 0, 𝑞 1 = 12 ∙ 1 + 0 = 12, 𝑞 3 = 12 ∙ 145 + 12 = 1752 ,
𝑞 0 = 1 , 𝑞 2 = 12 ∙ 12 + 1 = 145 ,
𝑞 4 =  12 ∙ 1752 + 145 = 21169, ….
maka 𝐶 0 , 𝐶 1 , … , 𝐶 4 = 6 1 . 73 12 . 882 145 , 10657 1752 , 128766 21169 berturut turut. Contoh diatas tidak hanya mendekatkan pendekatan rasional untuk √37 namun bisa menjawab pertanyaan: “Nyatakan √37 dalam bentuk desimal dengan ketelitian r desimal”. Sebagai gambaran, karena
|√37 − 128766 21169 | < 1 21169 2
dan log 21169 2 = log 448 126 561  ≈  8, jadi pendekatan
128766 21169 ≈ 6.08276253011
untuk √37 memiliki ketelitian 8 desimal. Perhatikan bahwa
128766
21169 ≈ 6.08276253011 100 000 000 000
namun pendekatan menggunakan pecahan bersambung menghasilkan pecahan dengan penyebut yang jauh lebih kecil (penyebut 21169 jauh lebih <  100 000 000 000 ). Secara umum, bilangan irasional pn dapat ditentukan bentuk desimalnya sampai berapapun yang diinginkan.
Contoh 3. Mencari pendekatan untuk konstanta Euler 𝑒 digunakan fakta yang cukup dikenal bahwa
𝑒 − 1
2 = [0; 1,6,10,14, … ].
Untuk menghitung 𝐶 𝑘 digunakan rekursif (27)
𝑝 −1 = 1, 𝑝 1 = 1 ∙ 0 + 1 = 1, 𝑝 3 = 10 ∙ 6 + 1 = 61 , 𝑝 0 = 0 , 𝑝 2 = 6 ∙ 1 + 0 = 6 ,
𝑝 4 = 14 ∙ 61 + 6 = 860, ….
𝑞 −1 = 0, 𝑞 1 = 1 ∙ 1 + 0 = 1, 𝑞 3 = 10 ∙ 7 + 1 = 71,
𝑞 0 = 1 ,
𝑞 2 = 6 ∙ 1 + 1 = 7 ,
𝑞 4 =  14 ∙ 71 + 7 = 1001, ….
maka 𝐶 0 , 𝐶 1 , … , 𝐶 4 = 0 1 . 1 1 . 6 7 , 61 71 , 860 1001 berturut turut. Akibat 1 mengatakan bahwa
| 𝑒 − 1 2 − 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 | < 1 𝑞 𝑛 2 .
Untuk konvergen ke-4,
| 𝑒 − 1 2 − 860 1001 | < 1 1001 2
sehingga
|𝑒 − 1 − 1720 1001 | = |𝑒 − 2721 1001 | < 2 1001 2 = 2 1002001 .
Karena log 1002001 2 = log 501000.5 ≈ 6, maka pendekatan rasional 2721 1001 untuk 𝑒 meiliki ketelitian 6 desimal.

## SIMPULAN
Jika tidak dinyatakan secara khusus, maka 𝑥 adalah bilangan irasional dan 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ adalah konvergen ke- 𝑛 dari PBST 𝑥 . Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat  diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut: a) setiap bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk PBSH dan setiap bilangan irasional dapat ditulis dalam bentuk PBST; b) galat pada pendekatan 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ untuk 𝑥 adalah < 1 𝑞 𝑛 2 ⁄ dan 𝑞 𝑛 semakin membesar dengan membesarnya 𝑛 ; c) semakin besar nilai 𝑛, konvergen 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ semakin mendekati 𝑥. Pendekatan rasional 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛 ⁄ untuk 𝑥 lebih baik dari semua pecahan 𝑎 𝑏 ⁄ untuk setiap penyebut positif 𝑏 ≤ 𝑞 𝑛 .

## REFERENSI
Aka, M., Breuillard, E., Rosenzweig, L., & Saxcé, d. N. (2018). Diophantine approximation on matrices and Lie groups. Geom. Funct. Anal. 28(1), 1–57. https://doi.org/10.1007/s00039-018-0436-0
Azarian,  M.  K.  (2019).  An  Overview  of  Mathematical  Contributions  of  Ghiyath  al-Din  Jamshid  Al-Kashi  [Kashani]. Mathematics Interdisciplinary Research, 4(1), 11-19. https://doi.org/10.22052/mir.2019.167225.1110 Cox,  D.,  Ghosh,  S.,  &  Sultanow,  E.  (2021).  The  Farey  Sequence  and  the  Mertens  Function. arXiv . https://doi.org/10.13140/RG.2.2.12856.26880
Dolgov, D.A. (2018). Polynomial Greatest Common Divisor as a Solution of System of Linear Equations. Lobachevskii J Math . 39(7), 985–991. https://doi.org/10.1134/S1995080218070090 Effinger, G., & Mullen, G. L. (2021). Elementary number theory . Boca Raton: CRC Press Freud, R., & Gyarmati, E. (2020). Number theory (Vol. 48). Rhode Island: American Mathematical Soc. Gallian, J. A. (2021). Contemporary abstract algebra (10 th Edition). New York: Chapman and Hall/CRC. Heil, C. (2019). Introduction to real analysis (Vol. 280). Switzerland: Springer.
Iliev, A., & Kyurkchiev, N. (2018). A Note on Euclidean and Extended Euclidean Algorithms for Greatest Common Divisor for Polynomials. International Journal of Pure and Applied Mathematics , 118(3), 713-721. https://doi.org/10.12732/ijpam.v118i3.18
Iliev, A., Kyurkchiev, N., & Rahnev, A. (2018). A New Improvement Euclidean Algorithm for Greatest Common Divisor. I. Neural, Parallel, and Scientific Computations , 26(3), 355-362. https://doi.org/10.12732/npsc.v26i3.10
Iliev,  A.,  Kyurkchiev,  N.,  &  Rahnev,  A.  (2020).  New  Extended Algorithm  for  Finding  Greatest  Common  Divisor. Neural, Parallel, and Scientific Computations , 28(1), 89-95. https://doi.org/10.12732/npsc.v28i1.10 Kim, D. H., & Liao, L. (2019). Dirichlet uniformly well-approximated numbers. International Mathematics Research Notices , 2019(24), 7691-7732. https://doi.org/10.48550/arXiv.1508.00520
Koukoulopoulos, D. (2021). Rational approximations of irrational numbers. arXiv :2109.11003. https://doi.org/10.48550/arXiv.2109.11003
Kowalski, E., & Soundararajan, K. (2021). Equidistribution from the Chinese remainder theorem. Advances in Mathematics , 385, 107776. https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107776
Manzilati, A. (2017). Metodologi Penelitian Kualitatif: Paradigma, Metode dan Aplikasi. Malang: UB Press.
Moe,  K.  S. M.,  &  Win,  T.  (2018).  Enhanced  honey  encryption  algorithm  for  increasing  message  space  against  brute  force attack. In 2018 15th international conference on electrical engineering/electronics, computer, telecommunications and information technology (ECTI-CON) , 86-89. https://doi.org/10.1109/ECTICon.2018.862005 Rosenthal, D., Rosenthal, D., Rosenthal, P., Rosenthal, D., Rosenthal, D., & Rosenthal, P. (2018). The Euclidean Algorithm and Applications. A Readable Introduction to Real Mathematics , 49-61. https://doi.org/10.1007/978-3-030-00632-7_7 Schmidt,  W.  M..  (2022).  On  simultaneous  Diophantine  approximation. Monatsh  Math .  198(3),  641-650. https://doi.org/10.1007/s00605-021-01661-2
Sukhoy, V., & Stoytchev, A. (2021). Formulas and algorithms for the length of a Farey sequence. Scientific reports , 11(1), 22218. https://doi.org/10.1038/s41598-021-99545-w
Wall, H. S. (2018). Analytic theory of continued fractions . New York: Courier Dover Publications.
Yansyari,  N.  (2019).  Studi  Literatur  Tentang  Hubungan  Intensitas  Penggunaan  Media  Sosial  Dengan  Kualitas  Tidur  Pada Remaja. Malang: UB Press.
Zhang,  S.,  Xie,  X.,  &  Xu,  Y.  (2020).  A  brute-force  black-box  method  to  attack  machine  learning-based  systems  in cybersecurity. IEEE Access , 8, 128250-128263. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2020.3008.