## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646

## Pewarnaan harmonis pada beberapa kelas graf berarah
1 Nurul Jannah, 2 Nilamsari Kusumastuti, 3 Meliana Pasaribu
1,2,3 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Tanjungpura Email: nilamsari@math.untan.ac.id
Abstrak
Pewarnaan graf merupakan suatu pemetaan dari elemen pada suatu graf 𝐺 ke himpunan  semua  bilangan  asli ℕ sedemikian  sehingga  setiap  elemen  yang bertetangga  tidak  dipetakan  ke  bilangan  yang  sama.  Pada  pewarnaan  graf, image  dari  elemen  suatu  graf  disebut  warna.    Dimisalkan 𝑣 1 dan 𝑣 2 adalah simpul-simpul  pada 𝐺 dan 𝑎 serta 𝑏 adalah  warna.  Jika  simpul 𝑣 1 diwarnai dengan 𝑎 dan  simpul 𝑣 2 diwarnai  dengan 𝑏 maka  pasangan  warna  yang dihasilkan  adalah  pasangan  warna (𝑎, 𝑏) .  Pewarnaan  harmonis  menerapkan konsep  pewarnaan  simpul  dalam  mewarnai  suatu  graf  dengan  syarat  satu pasang  warna  muncul  paling  banyak  satu  kali.  Banyak  warna  yang  paling minimum  yang  digunakan  dalam  pewarnaan  harmonis  disebut  bilangan kromatik  harmonis.  Dalam  penelitian  ini,  konsep  pewarnaan  harmonis  akan diterapkan  pada  beberapa  kelas  graf  berarah  untuk  melihat  pola  bilangan kromatik  dari  masing-masing  kelas  tersebut.  Seperti  diketahui,  pada  graf berarah 𝐺 ⃗ , pasangan warna (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎) sehingga proses pewarnaan tersebut menjadi  lebih  kompleks.  Adapun  kelas  graf  yang  dibahas  adalah  graf  lili berarah 𝑙 𝑛 , graf komplit berarah 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 dan graf kipas berarah 𝐹 𝑛 . Didapat bilangan kromatik  harmonis  pada  graf  lili  berarah 𝑙 𝑛 adalah 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝑖𝑛 (𝑣), 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣)} + 1 dengan 𝑛 ≥ 2 ; bilangan kromatik harmonis pada graf komplit berarah 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 adalah 𝑛 . Sedangkan bilangan kromatik harmonis pada pewarnaan graf kipas berarah 𝐹 𝑛 berada pada selang ∆ + 1 ≤ 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) ≤ 𝑞 .
Kata kunci: bilangan kromatik harmonis; pasangan warna; pewarnaan simpul

## Abstract
Graph  colouring  is  a  mapping  from  an  element  in  a  graph  G  to  the  set  of  all natural numbers N such that every pair of adjacent elements is not assigned to the same number. In graph colouring, the image of the element of a graph is called colour. Let 𝑣 1 and 𝑣 2 be the vertices of G, and a and b are colours. If 𝑣 1 is coloured with a and 𝑣 2 is coloured with b, then the resulting colour pair is a colour pair (𝑎, 𝑏) . Harmonic colouring applies the concept of vertex colouring in colouring a graph with the condition that one colour pair appears at most once. The minimum number of colours used in harmonic colouring is called the harmonic chromatic number. In this study, the concept of harmonic colouring will be applied to several classes of directed graphs to see the chromatic number pattern of each class. In the  directed  graph 𝐺 ⃗ ,  the  colour  pairs (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎) .  And  then  the  colouring process becomes more complex. The classes of graphs discussed are directed lily graph 𝑙 𝑛 , directed complete graph 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 , and directed fan graph 𝐹 ⃗ 𝑛 . The harmonic chromatic number in the directed lily graph 𝑙 𝑛 is 𝑚𝑎𝑥{𝑑_𝑖𝑛 (𝑣), 𝑑_𝑜𝑢𝑡 (𝑣)} + 1 with 𝑛 ≥ 2 ;  the  harmonic  chromatic  number  in  a  directed  complete  graph 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 is 𝑛 . Meanwhile, the harmonic chromatic number for directed fan graph 𝐹 ⃗ 𝑛 is in the range ∆ + 1 ≤ 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) ≤ 𝑞 .
Keywords : colour pair; harmonic chromatic number; vertex colouring

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646

## A. Pendahuluan
Pewarnaan  graf  pertama  kali  diterapkan  oleh  Francis  Guthrine  pada tahun 1852. Francis Guthrine mencoba memberi warna pada daerah-daerah yang terdapat pada peta Inggris dengan syarat dua daerah yang berbatasan langsung  tidak  boleh  diwarnai  dengan  warna  yang  sama.  Pewarnaan  graf adalah  pemetaan  elemen  graf  ke  himpunan  bilangan  asli  sedemikian sehingga  tidak  terdapat  dua  elemen  yang  bertetangga  pada  graf  tersebut yang berwarna sama (Afriantini dkk., 2019). Elemen yang dimaksud dalam pewarnaan  graf  adalah  simpul  ( vertex )  dan  sisi  ( edge ).  Oleh  karena  itu, pewarnaan graf dibagi menjadi pewarnaan simpul dan pewarnaan sisi serta terdapat pula pewarnaan wilayah. Pewarnaan simpul merupakan pemetaan himpunan simpul ke himpunan warna yang dinotasikan dengan himpunan bilangan {1, 2, 3, . . , 𝑘} dalam suatu graf dengan memperhatikan simpul yang bertetangga sehingga simpul yang bertetangga tidak berwarna sama (Munir, 2010).  Pada  penelitian  ini  dibahas  penerapan  pewarnaan  simpul  sebagai dasar pewarnaan harmonis.
Pewarnaan  harmonis  merupakan  pewarnaan  graf  yang  menggunakan konsep pewarnaan simpul dengan syarat setiap pasang warna paling banyak muncul  satu  kali.  Pada  pewarnaan  harmonis  terdapat  bilangan  kromatik harmonis yang menyatakan minimum warna yang dapat digunakan dalam pewarnaan  suatu  graf.  Bilangan  kromatik  harmonis  dinotasikan  dengan 𝜒 𝐻 (𝐺) (Edwards, 2013).
Graf berarah merupakan graf yang setiap sisinya diberi orientasi arah yang dinotasikan 𝐺 . Sisi pada graf berarah disebut busur. Himpunan busur dinotasikan  dengan 𝐴(𝐺 ) .  Misalkan  terdapat  busur  yang  menghubungkan simpul 𝑣 1 ke 𝑣 2 ,  busur  tersebut  dapat  dinotasikan  dengan 𝑣 1 𝑣 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .  Jika 𝑣 1 dipetakan ke 𝑎 dan 𝑣 2 dipetakan ke 𝑏 maka pasangan warna yang dihasilkan adalah (𝑎, 𝑏) . Pada pewarnaan harmonis pada graf berarah, pasangan warna (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎) (Kusumastuti dkk., 2021)
Beberapa  penelitian  yang  membahas  pewarnaan harmonis  antara  lain (Indriani & Budayasa, 2020) telah membahas pewarnaan harmonis pada graf berarah dan diperoleh bilangan kromatik harmonis harmonis pada graf cycle berarah ( 𝐶 𝑛 ) dan graf lintasan berarah ( 𝑃⃗ 𝑛 ) . Sedangkan (Robiandi dkk., 2021) membahas pewarnaan harmonis pada graf sederhana dan diperoleh bilangan kromatik  harmonis  pada  pada  graf  lili  dan  graf  pertemanan.  Selain  itu, definisi  graf  kipas  diperoleh  dari  penelitian  yang  ditulis  oleh  (Maro  & Banabera,  2020)  yang  meneliti  tentang  pewarnaan  titik  pada  korona  graf kipas dengan graf kipas dan graf  buku segitiga dengan graf buku segitiga berorder sama.
Pada penelitian sebelumnya telah dibahas pewarnaan harmonis untuk graf sederhana sedangkan pada penelitian ini dibahas pewarnaan harmonis pada graf berarah yang lebih kompleks. Graf yang diteliti pada penelitian ini adalah graf baru yang dihasilkan dari operasi graf. Pewarnaan harmonis

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
pada  graf  berarah  dipengaruhi  oleh  arah  dari  setiap  busurnya.  Selain  itu pewarnaan  harmonis  pada  graf  berarah  harus  memperhatikan  berbagai kemungkinan  arah  dari  setiap  busurnya.  Dengan  demikian,  penelitian  ini bertujuan menganalisis pewarnaan harmonis pada graf lili berarah (𝑙 𝑛 ), graf komplit  berarah  ( 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ),  dan  graf  kipas  berarah  ( 𝐹 𝑛 );  menganalisis  bilangan kromatik  harmonis 𝑙 𝑛 , 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ,  dan 𝐹 𝑛 ;  serta  merumuskan  bilangan  kromatik harmonis 𝑙 𝑛 dan 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 .

## B. Metode Penelitian
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur (kajian teori) dari beberapa buku dan artikel yang terkait sebagai landasan teori.  Seperti  teori  graf  secara  umum  dan berlanjut  pada  teori  pewarnaan graf,  khususnya  pewarnaan  graf  harmonis  pada  graf  berarah.  Konsep tersebut diterapkan pada 𝑙 𝑛 , 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 , dan 𝐹 𝑛 .
Secara umum, langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari bilangan kromatik harmonis graf 𝑙 𝑛 , 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 , dan 𝐹 𝑛 sebagai berikut:
1. Mendefinisikan graf 𝑙 𝑛 , 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 , dan 𝐹 𝑛 serta menganalisis karakteristik dari masing-masing graf tersebut.
2. Menganalisis berbagai kemungkinan arah busur dari graf 𝑙 𝑛 , 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 , dan 𝐹 𝑛 .
3. Membentuk fungsi-fungsi pewarnaan pada graf 𝑙 𝑛 , 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 , dan 𝐹 𝑛 .
4. Membuktikan bahwa fungsi-fungsi perwarnaan yang dibentuk tersebut merupakan pewarnaan harmonis.
5. Mencari  bilangan  kromatik  harmonis  untuk  beberapa  nilai 𝑛 ,  dan merumuskan dugaan sementara dari pola bilangan kromatik harmonis pada graf-graf berarah tersebut.
6. Membuktikan  dugaan  pola  bilangan  kromatik  harmonis  yang  telah dirumuskan.

## C. Hasil dan Pembahasan

## 1. Pewarnaan Harmonis pada Graf Berarah
Definisi tentang pewarnaan harmonis pada graf berarah dijelaskan pada Definisi 1.
Definisi 1 (Edwards, 2013) Diberikan graf berarah 𝐺 dengan 𝑞 simpul dan 𝑟 busur dengan 𝑞 ∈ ℕ dan 𝑟 ∈ ℤ + . Fungsi 𝑓: 𝑉(𝐺 ) → {1, 2, 3, . . . , 𝑘} dengan 𝑘 ≤ 𝑞 dikatakan pewarnaan harmonis pada 𝐺 jika untuk setiap busur dari simpul 𝑢 ke simpul 𝑣 berlaku
i. 𝑓(𝑢) ≠ 𝑓(𝑣) , dan

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
ii. Untuk setiap pasangan warna (𝑎, 𝑏) terdapat paling banyak satu busur dari simpul 𝑢𝑣 ⃗⃗⃗⃗ sedemikian sehingga 𝑓(𝑢) = 𝑎 dan 𝑓(𝑣) = 𝑏 . Contoh 2 Diberikan graf berarah 𝐺 dengan 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 ∈ 𝑉(𝐺 ) .
(a) (b)
Gambar 1. (a) Graf 𝐺 (b) pewarnaan harmonis pada graf 𝐺 Pewarnaan graf berarah 𝐺 pada Gambar 3 dapat diwarnai dengan 4 warna misal 1, 2, 3, 4 .  Jika  simpul 𝑣 1 diwarnai  dengan  warna 1 ,  maka  simpul 𝑣 2 diwarnai berbeda dari simpul 𝑣 1 katakan warna 2 . Begitu pula pada simpul 𝑣 3 diberi warna berbeda dari simpul 𝑣 1 dan 𝑣 2 , katakan warna 3 . Lebih lanjut, simpul 𝑣 4 diberi  warna  berbeda  dari  simpul 𝑣 2 dan 𝑣 3 ,  katakan  warna 4 . Derajat simpul pada graf berarah dibedakan menjadi derajat masuk 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) dan derajat keluar 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) . Dalam pewarnaan harmonis, simpul pada graf berarah  pada  dapat  diwarnai  berdasarkan  derajat  maksimum  dari  semua simpul. Selanjutnya akan dijelaskan pada Teorema 3.
Teorema 3 (Hegde & Castelino, 2015) Jika 𝐺 adalah graf berarah dengan 𝑞 simpul dan ∆= 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝑖𝑛 (𝑣 𝑖 ), 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣 𝑖 )|𝑣 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺 )} , maka ∆ + 1 ≤ 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) ≤ 𝑞 Bukti Misalkan graf berarah 𝐺 dengan 𝑞 simpul dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺 ) sedemikian hingga ∆= 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝑖𝑛 (𝑣 𝑖 ), 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣 𝑖 )|𝑣 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺 )} .
a) Kasus 1
Jika 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣 𝑖 ) ≥ 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣 𝑖 ) , dalam hal ini ∆= 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣 𝑖 ) . Untuk pewarnaan harmonis pada 𝐺 maka simpul 𝑣 𝑖 dan semua simpul yang langsung ke 𝑣 𝑖 di 𝐺 harus diwarnai dengan warna berbeda. Sehingga diperlukan lebih dari atau sama dengan ∆ + 1 warna.
b) Kasus 2
Jika 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣 𝑖 ) ≥ 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣 𝑖 ) , dalam hal ini ∆= 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣 𝑖 ) untuk pewarnaan harmonis pada 𝐺 maka simpul 𝑣 𝑖 dan semua simpul yang berhubungan langsung ke 𝑣 𝑖 di 𝐺 harus diwarnai dengan warna berbeda. Sehingga diperlukan lebih dari atau sama dengan ∆ + 1 warna. Dari ilustrasi diatas diperoleh
𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) ≥ ∆ + 1 (1)
Jika semua simpul di 𝐺 diwarnai dengan warna berbeda dan banyak simpul 𝐺 adalah 𝑞 , maka.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) ≤ 𝑞 (2)
Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa
∆ + 1 ≤ 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) ≤ 𝑞 . ∎
2. Pewarnaan Harmonis pada Graf Lili Berarah (𝒍 𝒏 )
Gambar 2. Graf lili 𝑙 𝑛
Graf  lili  berarah  memiliki |𝑉(𝑙 𝑛 )| = 4𝑛 − 1 .  Pada  Gambar  2  dapat diketahui bahwa graf lili memiliki simpul pusat 𝑎 yang bertetangga dengan simpul 𝑡 1 , 𝑢 1 , 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 dan 𝑤 1 , … , 𝑤 𝑛 .  Selanjutnya,  simpul 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 dan 𝑤 1 , … , 𝑤 𝑛 disebut  cabang  karena  bertetangga  dengan  simpul 𝑎 (Samuel  & Kalaivani, 2017). Pada penelitian ini, graf lili berarah diwarnai dari simpul pusatnya. Penjelasan mengenai pewarnaan harmonis pada graf lili berarah terdapat pada Teorema 4.
Dalam penelitian ini diasumsikan bahwa dua busur berbeda dikatakan searah jika dua busur tersebut memiliki arah yang sama, misalnya kedua busur  yang  berbeda  memiliki  arah  masuk  ke  simpul 𝑎 atau  keduanya memiliki arah keluar dari simpul 𝑎 . Sedangkan dua busur berbeda dikatakan berlawanan  arah  jika  kedua  busur  tersebut  memiliki  arah  yang  berbeda, misalnya salah satu busurnya memiliki arah masuk ke simpul 𝑎 dan simpul lainnya memiliki arah keluar dari simpul 𝑎 .
Pewarnaan harmonis pada graf berarah dapat menggunakan warna yang sama  jika  arah  busur  dari  simpul  awal  dan  simpul  tujuannya  berbeda. Dengan  demikian,  terdapat  dua  pasangan  warna  yang  menggunakan  dua warna yang sama. Misalnya dua busur dengan arah yang berbeda di warnai dengan  warna 𝑢 dan 𝑣 , sehingga  warna  yang  dihasilkan  adalah (𝑢, 𝑣) dan (𝑣, 𝑢) . Selanjutnya pembuktian pewarnaan harmonis pada graf lili berarah

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
dalam  penelitian ini  banyak  pasang  warna  yang  menggunakan (𝑢, 𝑣) dan (𝑣, 𝑢) dimisalkan dengan 𝑗 .
Pewarnaan harmonis pada suatu graf memiliki syarat setiap simpul yang bertetangga  harus  diberi  warna  berbeda.  Pada  penelitian  ini,  warna  yang digunakan berupa bilangan yakni himpunan bilangan asli. Sehingga dalam mewarnai  simpul,  misalnya  simpul 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 dengan  memperhatikan  arah busurnya,  simpul 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 dapat  diwarnai  dengan 1, 2, 3, … , 𝑘 .  Selanjutnya untuk meminimalisir warna yang digunakan, dengan memperhatikan arah busurnya,  simpul 𝑤 1 , … , 𝑤 𝑛 dapat  diwarnai  dengan  bilangan  yang  sama dengan simpul 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 sehingga terdapat pasangan warna (𝑢, 𝑣) dan (𝑣, 𝑢) atau  diwarnai  menggunakan  bilangan  selanjutnya  dari  bilangan  terbaru yang digunakan.
Gambar 3. Pewarnaan harmonis pada graf 𝑙 3 dari beberapa kemungkinan arah
Teorema 4 Bilangan kromatik harmonis pada graf lili berarah 𝑙 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2 adalah 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝑙 𝑛 ) = ∆ + 1.
Bukti Diberikan 𝑙 𝑛 adalah graf lili berarah untuk 𝑛 ≥ 2 dan diasumsikan ∆ adalah  derajat  maksimum  dari  semua  simpul  pada  suatu  graf.  Untuk membuktikan  bahwa ∆ + 1 adalah  bilangan  kromatik,  akan  dibuktikan

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
selanjutnya bahwa graf lili berarah memenuhi definisi pewarnaan harmonis pada graf berarah.
1. Diberikan fungsi 𝑓: 𝑉(𝑙 𝑛 ) → {1,2,3, … 𝑘} dengan
𝑓(𝑎) = 1 𝑓(𝑣 𝑖 ) = 2, jika 𝑖 = 1 . 𝑖 + (1 − 𝑗), jika 𝑎𝑣 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗  searah dengan 𝑎𝑣 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 .
2 + 𝑗, jika 𝑎𝑣 𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗  berlawanan arah dengan 𝑎𝑣 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑓(𝑤 𝑖 ) =
𝑖 + 𝑝 − 𝑗 + 1, jika 𝑎𝑤 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  searah dengan busur yang memiliki simpul dengan bilangan dari warna terbaru .
2 + 𝑗, jika  𝑎𝑤 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  berlawanan arah dengan busur yang memiliki simpul dengan bilangan dari warna terbaru .
𝑓(𝑢 𝑖 ) = 𝑗 + 1, jika 𝑖 = 1 dan berlawanan arah dengan 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
ℓ + 1, jika 𝑖 = 1 searah dengan 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 .
𝑖 + 2, jika 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 − 1 .
𝑗 = banyak pasang warna (𝑢, 𝑣) dan (𝑣, 𝑢) yang telah digunakan, dimana 𝑗 = 0,1,2, …
𝑝 = banyaknya cabang 𝑣 𝑖 dan 𝑤 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ℓ = bilangan dari warna terbaru yang digunakan
Akan dibuktikan bahwa fungsi tersebut merupakan pewarnaan harmonis
(i) Untuk 𝑓(𝑢) ≠ 𝑓(𝑣) .
dengan warna yang telah digunakan pada pewarnaan 𝑓(𝑣 𝑛 ) dan 𝑓(𝑤 𝑛 ) . Terbukti bahwa 𝑓(𝑢) ≠ 𝑓(𝑣) .
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap simpul bertetangga tidak diwarnai dengan warna yang sama dan dipetakan tepat satu ke {1,2, … , 𝑘} .
𝑓(𝑡 𝑖 ) = ℓ + 1, jika 𝑖 = 1 dan searah dengan busur yang memiliki simpul dengan bilangan dari warna terbaru .
𝑗 + 1, jika 𝑖 = 1 dan berlawanan arah dengan busur yang memiliki simpul dengan bilangan dari warna terbaru .
𝑖 , jika 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 − 1 .

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646

## 1) Untuk simpul 𝑎
Diketahui 𝑎 merupakan simpul pusat 𝑙 𝑛 dengan 𝑓(𝑎) = 1 . Sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 2 simpul 𝑎 selalu dipetakan ke 1 . Jadi 𝑓(𝑎) dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} .
1) Untuk simpul 𝑣 𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 Kasus 1 : Jika 𝑖 = 1
Karena 𝑣 1 terhubung  langsung  dengan 𝑎 ,  dengan  demikian 𝑣 1 dapat diwarnai dengan warna 2 . Sehingga 𝑣 1 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} Kasus 2 : Jika 𝑎𝑣 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ searah dengan 𝑎𝑣 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Simpul 𝑣 𝑖 bertetangga  dengan  simpul 𝑎 .  Dengan  demikian,  jika 𝑎𝑣 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ searah  dengan 𝑎𝑣 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka  simpul 𝑣 𝑖 diwarnai  dengan  warna  berbeda. Sehingga, 𝑣 𝑖 diwarnai dengan warna 𝑖 + (1 + 𝑗) dengan 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 𝑗 = 0,1, . . , 𝑘 . Jadi 𝑣 𝑖 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} . Kasus 3 : Jika 𝑎𝑣 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah dengan 𝑎𝑣 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Simpul 𝑣 𝑖 bertetangga dengan simpul 𝑎 . Sehingga, jika 𝑎𝑣 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah  dengan 𝑎𝑣 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka  simpul 𝑣 𝑖 dapat  diwarnai  dengan  warna 2 + 𝑗 dengan = 0,1, . . , 𝑘 . Jadi, 𝑣 𝑖 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘}.
2) Untuk simpul 𝑤 𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 Kasus 1 : Jika 𝑎𝑤 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ searah  dengan  busur  yang  memiliki  simpul  dengan warna terbaru Simpul 𝑤 𝑖 terhubung  langsung  dengan  simpul 𝑎 .  Sehingga, 𝑎𝑤 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ yang searah dengan busur yang memiliki simpul dengan warna terbaru diberi warna berbeda. Karena simpul dengan warna terbaru pasti terhubung langsung dengan simpul 𝑎 , akibatnya 𝑤 𝑖 diwarnai dengan warna 𝑖 + 𝑝 − 𝑗 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 𝑗 = 0,1, . . , 𝑘 .  Jadi, 𝑤 𝑖 dipetakan  tepat  satu  ke {1, 2, … , 𝑘} . Kasus 2 : Jika 𝑎𝑤 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah dengan busur yang memiliki simpul dengan warna terbaru.
Simpul 𝑤 𝑖 terhubung  langsung  dengan  simpul 𝑎 ,  jadi 𝑎𝑤 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ yang berlawanan  arah  dengan  busur  yang  memiliki  simpul  dengan  warna terbaru  diwarnai  dengan  warna 2 + 𝑗 dengan 𝑗 = 0,1, . . , 𝑘 . Sehingga, 𝑤 𝑖 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} .
3) Untuk simpul 𝑡 𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
Kasus  1 :  Jika 𝑖 = 1 dan  searah  dengan  busur  yang  memiliki  simpul dengan warna terbaru Simpul 𝑡 1 terhubung langsung dengan simpul 𝑎 . Jika 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ searah dengan busur  yang  memiliki  simpul  dengan  warna  terbaru,  maka  simpul 𝑡 1

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
diwarnai dengan warna baru yaitu ℓ + 1 . Sehingga 𝑡 1 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} .
Kasus 2 : Jika 𝑖 = 1 dan berlawanan arah dengan busur yang memiliki simpul dengan warna terbaru Simpul 𝑡 1 terhubung  langsung  dengan  simpul 𝑎 .  Jika 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah dengan busur simpul yang memiliki warna terbaru maka simpul 𝑡 1 diwarnai  dengan  warna 𝑗 + 1 .  Sehingga 𝑡 1 dipetakan  tepat  satu  ke
{1, 2, … , 𝑘} . Kasus 3 : Jika 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1
Karena 𝑡 𝑖 dengan 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 tidak  bertetangga  dengan  simpul 𝑎 , dengan  demikian 𝑡 𝑖 dengan 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dapat  diwarnai  dengan warna 𝑖 . Sehingga 𝑡 𝑖 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} .
4) Untuk simpul 𝑢 𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 Kasus 1 : Jika 𝑖 = 1 dan berlawanan arah dengan 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Karena  simpul 𝑢 1 terhubung  langsung  dengan  simpul 𝑎 ,  dengan demikian jika 𝑎𝑢 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah dengan 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka simpul 𝑢 1 diwarnai dengan warna 𝑗 + 1 . Sehingga 𝑢 1 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} . Kasus 2 : Jika 𝑖 = 1 dan searah dengan 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Karena  simpul 𝑢 1 terhubung  langsung  dengan  simpul 𝑎 ,  dengan demikian jika 𝑎𝑢 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ searah dengan 𝑎𝑡 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka simpul 𝑢 1 diwarnai dengan warna ℓ + 𝑖 . Sehingga 𝑢 1 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} . Kasus 3 : Jika 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1
Karena  simpul 𝑢 𝑖 tidak  terhubung  langsung  dengan  simpul 𝑎 ,  dengan demikian simpul 𝑢 𝑖 dapat diwarnai dengan 𝑖 + 2 dengan 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 . Sehingga 𝑢 𝑖 dipetakan tepat satu ke {1, 2, … , 𝑘} .
ii) Pasangan  simpul (𝑎, 𝑣 1 ), (𝑎, 𝑣 2 ), … , (𝑎, 𝑣 𝑛 ) hanya  diwarnai  dengan  satu pasang warna. Karena pada graf berarah (𝑢, 𝑣) ≠ (𝑣, 𝑢) , dengan demikian jika  arah  busur  pada  simpul 𝑤 1 , … , 𝑤 𝑛 berlawanan  dengan  arah  busur pada  simpul 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ,  maka  simpul 𝑤 1 , … , 𝑤 𝑛 dapat  diwarnai  dengan warna  yang  sama  seperti  warna  pada  simpul 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 .  Sama  halnya dengan pewarnaan pada simpul 𝑡 1 dan 𝑢 1 . Untuk pewarnaan 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑛−1 dan 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛−1 , pasangan warna yang dihasilkan dapat diperoleh dengan mewarnai  simpul 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑛−1 dan 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛−1 dengan  warna  yang  telah digunakan dengan memperhatikan arah dari busur yang menghubungkan  antar  simpul.  Terbukti  bahwa  setiap  pasang  simpul hanya diwarnai dengan satu pasang warna.
Dengan demikian, pewarnaan pada graf 𝑙 𝑛 adalah pewarnaan harmonis.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
2. Misalkan  terdapat  sebanyak 𝑔 busur 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) dan ℎ busur 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) yang terhubung  langsung  dengan 𝑎 dimana 𝑎 adalah  simpul  pusat  dari 𝑙 𝑛 . Selanjutnya  misalkan 𝐼 adalah  himpunan  busur 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) dan 𝐽 adalah himpunan  busur 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) .  Sehingga, |𝐼| = 𝑔 dan |𝐽| = ℎ .  Simpul 𝑎 merupakan  simpul  pusat  dari 𝑙 𝑛 .  Pewarnaan  simpul  yang  terhubung langsung dengan simpul 𝑎 dilihat dari arah busur yang menghubungkan antar  simpul  tersebut.  Berdasarkan  Definisi  1  simpul  yang  terhubung langsung  dengan  simpul 𝑎 adalah 𝑡 1 , 𝑢 1 , 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 , 𝑤 1 , … , 𝑤 𝑛 .  Misalkan 𝑓(𝑎) = 1 .  Berdasarkan  Definisi  3  pada  graf  berarah  berlaku (𝑢, 𝑣) ≠ (𝑣, 𝑢) .  Jika  busur 𝑡 1 diwarnai  dengan 1 maka  dapat  ditinjau  untuk 𝑢 1 diwarnai  dengan  warna  yang  sama  jika  arah  busurnya  berlawanan dengan busur 𝑡 1 dan diwarnai dengan warna berbeda jika arah busurnya sama  dengan  busur 𝑡 1 .  Dengan  cara  yang  sama,  simpul 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 dan 𝑤 1 , … , 𝑤 𝑛 diwarnai  sesuai  arah  busurnya.  Untuk  simpul  yang  belum diwarnai  diberi  warna  dengan  warna  yang  sudah  ada  tanpa  adanya penambahan warna.  Sehingga diperoleh warna minimum sebanyak 𝑔 + 1 warna  apabila 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) > 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) dan  diwarnai  dengan ℎ + 1 apabila 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) < 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) .  Dengan  demikian  dapat  disimpulkan  bahwa  bilangan kromatik harmonis graf lili berarah adalah 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝑙 𝑛 ) = ∆ + 1 . Dengan demikian, Teorema 4 terbukti. ∎
Sebagai contoh, diberikan pewarnaan harmonis graf lili berarah 𝑙 3 pada Gambar 3.
3. Pewarnaan Harmonis pada Graf Komplit Berarah (𝑲 ⃗⃗⃗ 𝒏 )
Graf komplit (𝐾 𝑛 ) memiliki |𝑉(𝐾 𝑛 )| = 𝑛 dan |𝐸(𝐾 𝑛 )| = 𝑛(𝑛−1) 2 . Pewarnaan graf komplit berarah dapat diwarnai dengan 𝑛 warna harmonis. Lebih lanjut dijelaskan pada Teorema 5.
Teorema 5 Jika 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 adalah graf komplit berarah, maka 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) = 𝑛 .

## Bukti
1. Diberikan fungsi 𝑓: 𝑉(𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) → {1,2,3, … , 𝑘} dengan 𝑓(𝑢 𝑖 ) = 𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 𝑛 ≥ 2 .  Akan  dibuktikan  bahwa  fungsi  tersebut  merupakan pewarnaan harmonis.
Akan dibuktikan bahwa 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2 adalah pewarnaan harmonis.
(i) Untuk 𝑓(𝑢) ≠ 𝑓(𝑣) .
Graf  komplit  terdiri  dari 𝑛 simpul  yang  saling  terhubung.  Dengan demikian  setiap  simpul  pada  graf  komplit  diwarnai  dengan  warna
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
berbeda.  Misalkan  jika  simpul  graf 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 dinotasikan  dengan
𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 … , 𝑢 𝑛 ,  maka  simpul  pada  graf 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 dapat  diwarnai  dengan 𝑓(𝑢 𝑖 ) =  𝑖 , dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 . Sehingga 𝑢 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dipetakan tepat satu ke {1,2,3, … , 𝑘} .
(ii) Simpul graf 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 saling terhubung sehingga setiap simpulnya diwarnai dengan  warna  berbeda.  Dengan  demikian,  pasangan  warna  pada simpul (𝑢 1 , 𝑢 2 ), (𝑢 2 , 𝑢 3 ), … , (𝑢 1 , 𝑢 𝑛 ) hanya terdapat satu pasang warna sehingga  warna  yang  digunakan  dapat  dikatakan  warna  paling minimal.
Dengan demikian, pewarnaan pada graf 𝑙 𝑛 adalah pewarnaan harmonis 2. Misalkan 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 adalah  graf  komplit  berarah  yang  memiliki 𝑛 simpul. Berdasarkan  Teorema  2 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) ≤ 𝑛 ,  sehingga 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) ≤ 𝑛 .  Andaikan 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) < 𝑛 . Karena 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ bilangan bulat, maka 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) ≤ 𝑛 − 1 . Berdasarkan Definisi  1  berarti  ada  pewarnaan  harmonis.  Katakan  pewarnaan 𝑑 . Karena  simpul 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 sebanyak 𝑛 ,  akibatnya  ada  dua  simpul 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 yang berwarna  sama,  misalnya 𝑎 dan 𝑏 .  Karena 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉(𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) dan 𝑎𝑏 ⃗⃗⃗⃗  ∈ 𝐴(𝐾⃗⃗ 𝑛 ) atau 𝑏𝑎 ⃗⃗⃗⃗  ∈ 𝐴(𝐾⃗⃗ 𝑛 ) dan  menurut  Definisi  1  setiap  dua  simpul  yang terhubung  langsung  tidak  boleh  diberi  warna  sama,  maka  kontradiksi bahwa 𝑑 pewarnaan harmonis. Sehingga 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) = 𝑛 .
Dengan demikian, Teorema 5 terbukti. ∎
Sebagai contoh, pewarnaan graf komplit berarah terdapat pada Gambar 4.
Gambar 4. Pewarnaan Harmonis pada 𝐾 ⃗⃗ 4

## 4. Analisis Bilangan Kromatik Harmonis pada Graf Kipas Berarah
(𝑭 ⃗⃗ 𝒏 )
Graf kipas (𝐹 𝑛 ) memiliki |𝑉(𝐹 𝑛 )| = 𝑛 + 1 dan |𝐸(𝐹 𝑛 )| = 2𝑛 − 1 untuk 𝑛 ≥ 2 . Misalkan 𝐹 𝑛 adalah sebuah graf hasil orientasi dari 𝐹 𝑛 . Tidak seperti graf lili berarah  dan  graf  komplit  berarah  yang  memiliki  pola  bilangan  kromatik harmonisnya,  bilangan  kromatik  harmonis  pada  graf  berarah  memiliki beberapa pola bergantung pada arah busur dari simpul pusatnya. Meskipun

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
demikian,  bilangan-bilangan  kromatik  harmonis  dari  graf  kipas  memenuhi setiap  kasus  pada  pertidaksamaan  yang  terdapat  pada  Teorema  2.  Berikut diberikan beberapa kondisi pada graf kipas berarah yang memenuhi masing- masing kasus pada Teorema 2.
a) 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) = ∆ + 1
Diberikan graf kipas berarah 𝐹 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2 , dimana 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) =  𝑠 dan 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) = 𝑡 . Selanjutnya misalkan 𝐵 adalah himpunan busur yang berarah masuk ke simpul 𝑣 1 dan 𝐶 adalah himpunan busur yang berarah keluar dari simpul 𝑣 1 . Sehingga, |𝐵| = 𝑠 dan |𝐶| = 𝑡 . Berdasarkan  Definisi  1  pada  graf berarah berlaku (𝑢, 𝑣) ≠ (𝑣, 𝑢) . Misalkan 𝑓(𝑣 1 ) = 1 , simpul yang terhubung langsung  dengan  simpul 𝑣 1 yaitu 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛+2 diwarnai  berdasarkan  arah busurnya. Simpul 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛+2 dapat memiliki derajat paling maksimum yaitu ∆= 3 untuk 𝐹 2 .  Dengan  demikian  untuk 𝐹 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 dapat  dilihat  dari derajat  simpul 𝑣 1 .  Jika 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) > 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) maka 𝐹 𝑛 dapat  diwarnai  dengan warna paling minimum sebanyak 𝑠 + 1 warna. Jika 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) < 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) maka 𝐹 𝑛 dapat diwarnai dengan warna paling minimum sebanyak 𝑡 + 1 warna. Jika 𝑑 𝑖𝑛 (𝑣) = 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣) maka 𝐹 𝑛 dapat diwarnai sebanyak 𝑠 + 1 atau 𝑡 + 1 warna.
Gambar 5. Graf kipas berarah dengan 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 3 ) = ∆ + 1
b) 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) = 𝑞
Pewarnaan harmonis pada graf kipas berarah tidak hanya memperhatikan arah  busur  yang  terhubung  langsung  dengan  simpul 𝑣 1 ,  melainkan memperhatikan  busur  yang  terhubung  antar  simpul 𝑣 2 , 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛+2 .  Pada kondisi 𝐹 2 dimana dua busur berarah masuk dan satu busur lainnya berarah keluar atau sebaliknya, serta memiliki cycle dengan panjang 3 , pewarnaan harmonis  pada  graf  kipas  berarah  hanya  dapat  diwarnai  dengan  warna paling minimum sebanyak jumlah simpulnya. Contoh pewarnaan harmonis graf kipas dengan 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) = 𝑞 terdapat pada Gambar 6.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646
Gambar 6. Graf Kipas berarah dengan 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ ( 𝐹 2 ) = 𝑞
c) ∆ + 1 < 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) < 𝑞
Menurut  Teorema  2,  pada  pewarnaan  graf  terdapat ∆ + 1 < 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) < 𝑞 . Bilangan kromatik harmonis pada graf kipas berarah tidak selalu bernilai ∆ + 1 atau 𝑞 untuk 𝐹 𝑛 dengan 𝑛 yang sama. Misalnya pada pewarnaan 𝐹 4 dua busur berarah masuk dan busur lainnya berarah keluar serta memiliki cycle dengan  panjang  minimum 3 dapat  diwarnai  dengan  minimum 4 warna. Contoh pewarnaan harmonis graf kipas dengan ∆ + 1 < 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) < 𝑞 terdapat pada Gambar 7.
Gambar 7. Graf Kipas berarah dengan ∆ + 1 < 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 3 ) < 𝑞

## D. Simpulan
Jika 𝐺 adalah  graf  berarah  dengan 𝑛 simpul  dan ∆= 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝑖𝑛 (𝑣 𝑖 ), 𝑑 𝑜𝑢𝑡 (𝑣 𝑖 )|𝑣 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺 )} , maka ∆ + 1 ≤ 𝜒 ℎ
⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) ≤ 𝑞 .
Setelah menerapkan pewarnaan harmonis pada beberapa graf berarah yaitu graf lili berarah 𝑙 𝑛 ,  graf  komplit  berarah 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 dan  graf  kipas  berarah 𝐹 𝑛 ,  dengan demikian  diperoleh  bilangan  kromatik  dari  graf-graf  tersebut  antara  lain 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝑙 𝑛 ) = ∆ + 1 untuk graf lili berarah ( 𝑙 𝑛 ) dan 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ) = 𝑛 untuk graf komplit berarah ( 𝐾 ⃗⃗ 𝑛 ). Selain itu, bilangan kromatik harmonis pada graf kipas berarah yaitu 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) = ∆ + 1 , 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) = 𝑞 dan ∆ + 1 < 𝜒 ℎ ⃗⃗⃗⃗ (𝐹 𝑛 ) < 𝑞 .

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1 April 2023 e-ISSN 2579-7646

## E. Daftar Pustaka
Afriantini, Fran, F., & Helmi. (2019). Pewarnaan Simpul, Sisi, Wilayah Pada Graf  Dan  Penerapannya. Bimaster:  Buletin  Ilmiah  Matematika,
Statistika dan Terapannya , 8 (4), 773 – 782. https://doi.org/10.26418/bbimst.v8i4.36037
Edwards,  K.  J.  (2013).  Harmonious  chromatic  number  of  directed  graphs. Discrete Applied Mathematics , 161 (3), 369 – 376.
Hegde, S. M., & Castelino, L. P. (2015). Harmonious colorings of digraphs .
Indriani, S., & Budayasa, I. K. (2020). Bilangan Pewarnaan Harmonis pada Graf Berarah. Mathunesa: Jurnal Ilmiah Matematika , 8 (1), 45 – 54.
Kusumastuti, N., Raventino, & Fran, F. (2021). The diachromatic number of double  star  graph. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 2106 (1), 012024. https://doi.org/10.1088/1742-6596/2106/1/012024
Maro, L., & Banabera, C. (2020). Pewarnaan Titik pada Korona Graf Kipas dengan Graf Kipas dan Graf Buku Segitiga dengan Graf Buku Segitiga Berorder Sama. Jurnal Axiomath: Jurnal Matematika Dan Aplikasinya ,
2 (2), 16 – 20.
Munir, R. (2010). Matematika diskrit (3 ed.). Informatika Bandung.
Robiandi, Nilamsari, K., & Fran, F. (2021). Pewarnaan Harmonis pada Graf Lili  dan  Graf  Pertemanan. Bimaster:  Buletin  Ilmiah  Matematika, Statistika dan Terapannya , 10 (3), 317 – 322.
Samuel,  A.  E.,  &  Kalaivani,  S.  (2017).  Square  sum  labeling  for  some  lilly related  graphs. International  Journal  of  Advanced  Technology  and Engineering Exploration , 4 (29), 68.