JURNAL GAUSSIAN, Volume 8, Nomor 1, Tahun 2019, Halaman 127 - 138 Online di: http://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian

## PEMBENTUKAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN METODE RESAMPLED EFFICIENT FRONTIER UNTUK PERHITUNGAN VALUE AT RISK
DILENGKAPI APLIKASI GUI MATLAB
Henny Setyowati 1 , Abdul Hoyyi 2 , Di Asih I Maruddani 3 1,2,3 Departemen Statistika FSM Universitas Diponegoro e-mail : hennysetyowati28@gmail.com

## ABSTRACT
The purpose of investors in investing is to get a return, but investors also have to bear the risks that might exist. There are 3 types of investors in investment based on their preference for risk, namely risk aversion (risk averter), moderate risk takers (risk moderate), and high risk takers (risk takers). To obtain an optimal portfolio for each type of investor, the Resampled Efficient Frontier Method is  used  with  Monte  Carlo  Simulation  as  much  as  700  times,  to  obtain  more  parameter  estimates. The results of the Resampled Efficient Frontier from Efficient Frontier will take 51 efficient points to  determine  the  optimal  portfolio  for  each  type  of  investor.  The  efficient  point  taken  is  the  1st, 26th  and  51st  efficient  points  for  the  investor  risk  averter  type,  risk  moderate,  and  risk  taker.  To determine  the  estimated  loss  in  investment,  the  VaR  value  is  calculated  based  on  the  monthly return data of BBNI, UNTR, INKP, and KLBF shares for the period February 2013 to March 2017, with a capital allocation of Rp 100,000,000.00, a holding period of 20 days, and a level of trust of 95%. The Matlab GUI is used to facilitate users in processing data.
Keywords : Efficient Frontier, Monte-Carlo Simulation, Normal Distribution, VaR, Matlab GUI

## 1. PENDAHULUAN
Investasi di pasar modal dalam bentuk portofolio memberikan ekspektasi keuntungan ( expected  return )  namun  juga  mengandung  risiko  yang  mungkin  akan  dihadapi  investor ( expected  risk ).  Untuk  itu,  Investor  layak  memperhatikan  penggunaan  strategi  investasi tertentu  dalam  rangka  mencapai  investasi  yang  optimal,  yaitu  investasi  yang  dapat memberikan return tertentu  dengan  kandungan  risiko  yang  dapat  ditekan  seminimal mungkin. Salah satu strategi yang dapat digunakan adalah dengan portfolio strategy . Portofolio  merupakan  kumpulan  dari  instrumen  investasi  yang  dibentuk  untuk memenuhi  suatu  sasaran  umum  investasi.  Dalam  kondisi  seperti  itu,  maka  investor  harus mampu  membentuk  portofolio  yang  efisien  yaitu  melakukan  investasi  dalam  instrumen yang  memberikan  keuntungan  yang  diharapkan  ( expected  return )  tertentu  dengan  tingkat risiko tertentu ( expected risk ) tertentu  yang rendah atau  yang bersedia investor tanggung. Portofolio efisien tersebut sering disebut dengan efficient frontier. Resampled Efficient Frontier adalah hasil dari menghitung rata-rata dari bobot tiap aset  dalam Mean  Variance  Efficient  Portfolio dengan  tingkat return tertentu. Resampled Efficient  Frontier lebih  memberikan  investasi  yang  aman  dan  reliabel  (Michaud  dan Michaud,  2008).  Untuk  memperbanyak  input  proses resampling digunakan  metode Simulasi Monte-Carlo dengan menyesuaikan karakteristik informasi dari data historis yang tersedia  dari  data  historis  yang  sesungguhnya.  Untuk  mengukur  risiko  dalam  investasi digunakan Value  at  Risk (VaR).  VaR  merupakan  perkiraan  besarnya  kerugian  dan besarnya  kemungkinan  terjadinya  kerugian  dalam  investasi.  GUI  MATLAB  digunakan untuk  mempermudah  pengambilan  keputusan  dari  hasil  perhitungan  bobot-bobot  yang optimal serta risiko portofolio.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Saham
Menurut Bursa Efek Indonesia (BEI) tahun 2018, Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan modal seseorang atau pihak (badan usaha) dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas.

## 2.2. Pasar Modal
Menurut Usman (1989), pasar modal adalah pelengkap di sektor keuangan terhadap dua  lembaga  lainnya  yaitu  bank  dan  lembaga  pembiayaan.  Pasar  modal  memberikan jasanya yaitu menjembatani hubungan antara pemilik modal dalam hal ini disebut sebagai pemodal (investor) dengan  pinjaman  dana  dalam  hal  ini  disebut  dengan  nama emiten (perusahaan yang go public ).
2.3. Return Aset Menurut Ang (1995), return (kembalian) adalah tingkat keuntungan yang dinikmati oleh pemodal atas suatu investasi yang dilakukannya.  Menurut Amenc dan Sourd (2003), untuk mempermudahkan perhitungan, maka diasumsikan tidak ada dividen yang dibagikan selama  periode  investasi.  Perhitungan return secara  geometri  dapat  menggunakan persamaan berikut:
𝑅 𝑖𝑡 = ln ( 𝐻 𝑖𝑡 𝐻 𝑖𝑡−1 )
Untuk perhitungan secara aritmetiknya menggunakan persamaan berikut:
𝑅 𝑖𝑡 = ( 𝐻 𝑖𝑡 − 𝐻 𝑖𝑡−1 𝐻 𝑖𝑡−1 )
Jika terdapat n (jumlah observasi) return , maka ekspektasi return dapat diestimasi dengan rata-rata sampel (mean) return :
𝐸(𝑅 𝑖 ) = 𝑅̅ 𝑖 = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑖𝑡 𝑛 𝑡=1 𝐻 𝑖𝑡 : harga saham i pada periode t 𝐻 𝑖𝑡−1 : harga saham i pada periode t-1 𝑅 𝑖𝑡 : return saham i pada periode t 𝑅̅ 𝑖 : rata-rata return saham i ( expected return )
2.4. Return Portofolio
Menurut Fabozzi (1999), pengembalian aktual dari suatu portofolio yang terdiri dari a  aset  sepanjang  periode  waktu  tertentu  secara  langsung  dapat  diperhitungkan  sebagai berikut:
𝑅 𝑝 = 𝑤 1 𝑅 1 + 𝑤 2 𝑅 2 + 𝑤 3 𝑅 3 + ⋯ + 𝑤 𝑎 𝑅 𝑎
𝑅 𝑝 : return portofolio selama periode berjalan
𝑅 𝑖 : return saham i selama periode berjalan
𝑤 𝑖 : bobot saham i dalam portofolio i    : 1, 2, … , a

## 2.5. Varian dan Standar Deviasi
Varian dari return suatu aset adalah ekspektasi nilai atas deviasi kuadrat dari return yang diharapkan. Sedangkan standar deviasi dari return suatu aset adalah akar dari varian
return (Bodie, et al . 2006). Menurut Maruddani dan Purbowati (2009), varian dan standar deviasi tiap aset, perhitungannya adalah sebagai berikut:
𝑆 𝑖𝑖 = 𝑆 𝑖 2 = 1 𝑛 − 1 ∑(𝑅 𝑖𝑡 − 𝑅̅ 𝑖 ) 2 𝑛
𝑡=1
Menurut  Fabozzi  (1999),  bagi  portofolio  dengan  jumlah  saham  sebanyak  a,  varian portofolionya adalah:
var (𝑅 𝑝 ) = ∑ 𝑤 𝑖 2 var (𝑅 𝑖 ) 𝑎 𝑖=1 + ∑ ∑ 𝑤 𝑖 𝑤 𝑗 𝑎 𝑗=1 𝑎 𝑖=1 𝑐𝑜𝑣 (𝑅 𝑖 , 𝑅 𝑗 ) = 𝒘 𝑻 𝑺 𝒘 𝑆 𝑖𝑖 : varian return saham i 𝑆 𝑖 : standar deviasi return saham i
𝑺 : matriks varian kovarian return saham dalam portofolio
𝒘 : vektor bobot saham dalam portofolio

## 2.6. Risiko Portofolio
Menurut  Tandelilin  (2010),  risiko  portofolio  ditentukan  lewat  kontribusi  aset-aset individual  yang  tergabung  dalam  portofolio  terhadap  risiko  portofolio.Dengan menggunakan ukuran kovarian, bisa dihitung besarnya risiko portofolio, baik yang terdiri dari dua buah sekuritas maupun n sekuritas.

## 2.7. Kovarian
Menurut  Tandelilin  (2010),  kovarian  adalah  ukuran  absolut  yang  menunjukkan hubungan  atau  keeratan  dua  variabel  yang  memiliki  kecenderungan  bergerak  bersama- sama. Suatu nilai positif kovarian mengindikasikan return sekuritas cenderung bergerak ke arah  yang  sama.  Sedangkan  kovarian  negatif  mengindikasikan  kecenderungan return bergerak berlawanan.

## 2.8. Diversifikasi
Diversifikasi  portofolio  diartikan  sebagai  pembentukan  portofolio  sedemikian  rupa sehingga  dapat  mengurangi  risiko  portofolio  tanpa  mengorbankan  pengembalian  yang dihasilkan.  Para  investor  yang  mengkhususkan  diri  dalam  investasi  saham,  menganggap perlu  dilakukan  diversifikasi  portofolio.  Yang  dimaksud  dengan  diversifikasi  portofolio dalam hal ini adalah seluruh dana yang ada seharusnya tidak diinvestasikan ke dalam satu saham tetapi portofolio harus terdiri dari banyak saham perusahaan (Fabozzi, 1999).

## 2.9. Tipe Investor
Menurut  Samsul  (2006),  dilihat  dari  kesediaannya  menanggung  risiko  investasi, investor dapat dikategorikan menjadi 3 kelompok atau tipe, yaitu :
1. Tipe  investor  yang  berani  mengambil  risiko,  yang  disebut risk  taker .  Tipe risk  taker akan merasa sangat senang apabila ditawari saham yang memiliki gejolak harga yang tinggi.
2. Tipe  investor  yang  takut  atau  enggan  menanggung  risiko,  yang  disebut risk  averter . Tipe risk  averter akan  merasa  senang  apabila  ditawari  saham  yang  memiliki  risiko rendah.
3. Tipe  investor  yang  netral  terhadap  risiko,  yang  disebut risk  moderate atau moderate investor .  Tipe  investor  ini  hanya  berani  menanggung  risiko  yang  sebanding  dengan return yang akan diperolehnya.

## 2.10. Distribusi Normal Multivariat
Fungsi densitas normal multivariat a dimensi untuk vektor random 𝑿 = [𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , … , 𝑿 𝒂 ]′ adalah :
𝑓(𝑥) = 1
(2𝜋) 𝑎 2 |𝑺| 1 2 exp(− 1 2 (𝒙 − 𝒙̅)(𝑺) −1 (𝒙 − 𝒙̅))
dengan −∞ < 𝑥 𝑖 < ∞
Pengujian  asumsi  normal  multivariat  juga  dapat  dilakukan  dengan  uji  kecocokan distribusi  Kolmogorov-Smirnov  yang  dikemukakan  Daniel  (1989).  Pengujian  dilakukan dengan memeriksa apakah jarak mahalanobis ( 𝑑 𝑗 2 ) berdistribusi 𝑋 2 dengan derajat bebas a atau tidak. Berikut langkah pengujian asumsi normal multivariat : Hipotesis:
𝐻 0 : 𝐹(𝑑 𝑗 2 ) = 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) untuk semua nilai 𝑑 𝑗 2
𝐻 1 : 𝐹(𝑑 𝑗 2 ) ≠ 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) untuk sekurang-kurangnya sebuah nilai 𝑑 𝑗 2

## Tingkat Signifikansi: α
Statistik Uji:
𝐷 = 𝑠𝑢𝑝 𝑑 𝑗 2 |𝑆(𝑑 𝑗 2 ) − 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 )|
dengan 𝑆(𝑑 𝑗 2 ) = fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari jarak mahalanobis.
𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) = fungsi peluang kumulatif dari distribusi  Chi-Square.
Apabila  kedua  fungsi  tersebut  disajikan  secara  grafik  maka 𝐷 adalah  supremum  antara 𝑆(𝑑 𝑗 2 ) dan 𝐹 0 (𝑑 𝑗 2 ) . Kriteria Uji: 𝐻 0 ditolak jika D > D*(α) D*(α) merupakan nilai kritis yang diperoleh dari tabel Kolmogorov-Smirnov.
2.11. Resampled Efficient Frontier Resampled  Efficient  Frontier secara  optimal  dapat  mendefinisikan  fungsi  utilitas yang  menggambarkan  karakteristik  dari  preferensi risk-return investor. Resampled Efficient  Frontier tidak  begitu  bergantung  pada  karakteristik  variabel  input. Resampled Efficient  Frontie r  menggambarkan  bobot  portofolio  yang  tidak  ekstrim  dibandingkan dengan Mean Varian Efficiency (Michaud dan Michaud, 2008)

## 2.12. Simulasi Monte-Carlo
Ketidakstabilan  dan  sensitivitas  yang  tinggi  dari  hasil  optimasi  telah  membawa manajer-manajer  aset  menambahkan  metodologi  lain  dalam  perhitungan  optimasi portofolio  dalam  bentuk  Simulasi  Monte  Carlo.  Dalam  kasus  pengoptimalan  portofolio, r eturn tiap  aset  disimulasikan  berdasarkan  distribusi  probabilitas return yang  ditentukan dengan menguji distribusi empiris return historis (Rasmussen, 2003).
Menurut  Rubinstein  dan  Melamed  (1998),  algoritma  pembangkitan  data  normal multivariat dari a variabel sebanyak n data adalah sebagai berikut :
1. Membangkitkan 𝒁 𝟏 , 𝒁 𝟐 , … , 𝒁 𝒂 dari distribusi N(0,1)
2. Menentukan matriks C , dimana matriks C adalah matriks segitiga bawah.
Matriks C dihitung dengan persaman berikut :
𝑐 𝑖𝑗 = 𝑆 𝑖𝑗 −∑ 𝑐 𝑖𝑘 𝑗−1 𝑘=1 𝑐 𝑗𝑘 (𝑆 𝑗𝑗 −∑ 𝑐 𝑗𝑘 2 𝑗−1 𝑘=1 ) 1/2 ;     1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑖 ≤ 𝑎
Dengan ketentuan bahwa :
∑ 𝑐 𝑖𝑘 𝑗−1 𝑘=1 𝑐 𝑗𝑘 = 0 ;     untuk   𝑗 = 1
3. Menghitung variabel baru hasil pembangkitan
V = CZ ⊛ 𝒙̅
Operator ⊛ menyatakan  penjumlahan  setiap  kolom  dari  hasil  perkalian CZ dengan 𝒙̅ .  Dalam hal ini 𝒙̅ adalah vektor mean, 𝑺 adalah matriks varian kovarian, dan V adalah matriks dari variabel hasil pembangkitan.

## 4. Langkah 1-3 diulangi sampai Q kali.

## 2.13. Pembentukan Bobot dengan Meminimalkan Variansi
Menurut  Rasmussen  (2003),  portofolio  dengan  varian  minimum  adalah  portofolio yang  menghasilkan  risiko  terkecil  berdasarkan  karakteristik  input  tiap  aset. Konstrain/batasan  yang  berlaku  dalam  portofolio ini  hanya  jumlah  bobot aset  yang  harus sama dengan satu. Selanjutnya dapat dibentuk fungsi Lagrange L, dan akan dicari w yang meminimalkan fungsi tersebut.
meminimalkan 𝒘 𝑻 𝑺 𝒘 dengan syarat 𝒘 𝑻 𝟏 = 1
𝐿 = 𝒘 𝑻 𝑺𝒘 − 𝜆(𝒘 𝑻 𝟏 − 1)
Untuk  portofolio  dengan  varian  efisien,  tidak  ada  batasan  pada  mean  portofolio ( 𝜆 =0), sehingga pembobotan pada Mean Variance Efficient Portofolio adalah :
𝒘 = 𝑺 −𝟏 𝟏 𝟏 𝑻 𝑺 −𝟏 𝟏
Turunan kedua dari L terhadap 𝒘 adalah sebagai berikut :
𝜕 2 𝐿 𝜕𝒘 𝑻 𝜕𝒘 = 2𝑺
Dapat ditunjukkan  bahwa w yang diperoleh benar-benar akan meminimalkan nilai L,  dengan  syarat  matriks S merupakan  definit  positif dan w yang  diperoleh  akan memberikan risiko yang minimal dibandingkan dengan w yang lain.
2.14. Meminimalkan Risiko pada Tingkat Return Tertentu
Menurut  Rasmussen  (2003),  proses  pembentukan  bobot  untuk  portofolio  dengan varian minimum pada tingkat return tertentu mensyaratkan dua batasan yaitu :
1. spesifikasi awal dari expected return 𝑟̅ = 𝒘 𝑻 𝑹 ̅
2. Jumlah bobot atau proporsi dari portofolio yang dibentuk harus sama dengan 1, yakni 𝒘 𝑻 𝟏 =1
Selanjutnya  dapat  dibentuk  fungsi  Lagrange  L,  untuk  meminimalkan  varian  guna mendapatkan bobot w . meminimalkan 𝒘 𝑻 𝑺 𝒘 dengan syarat 𝒘 𝑻 𝟏 = 1 dan 𝑟̅ = 𝒘 𝑻 𝑹 ̅ 𝐿 = 𝒘 𝑻 𝑺 𝒘 - 𝜆 1 (𝒘 𝑻 𝑹 ̅  − 𝑟̅ )– 𝜆 2 ( 𝒘 𝑻 𝟏 − 1)
Terdapat  dua  kendala  pada  persamaan  diatas  yakni 𝑟̅ = 𝒘 𝑻 𝑹 ̅ dan 𝒘 𝑻 𝟏 =1  dengan derivatif parsial pertama L untuk masing-masing ( 𝒘, 𝜆 1 , 𝜆 2 ), diperoleh solusi untuk fungsi L sebagai berikut :
𝒘 𝒆𝒇 = 1 𝐾 𝟒 [(𝐾 𝟑 . 𝑺 −1 𝟏 − 𝐾 𝟏 . 𝑺 −1 𝑹 ̅ ) + (𝐾 𝟐 . 𝑺
−1 𝑹
̅ − 𝐾 𝟏
. 𝑺 −1 𝟏). 𝑟̅ ]
Dengan
𝐾 𝟏 = 𝟏 𝑻 𝑺 −1 𝑹 ̅ ; 𝐾 𝟐 = 𝟏 𝑻 𝑺 −1 𝟏 ; 𝐾 𝟑 = 𝑹 ̅ 𝑻 𝑺 −1 𝑹 ̅  ; 𝐾 𝟒 = 𝐾 𝟑 . 𝐾 𝟐 − 𝐾 𝟏 2
𝒘 : vektor bobot tiap saham dalam portofolio
S : matriks varian kovarian return saham
𝑹 ̅ : vektor rata-rata return saham dalam portofolio
𝑟̅ : expected return portofolio 𝟏 : vektor satuan dengan dimensi a x 1

## 2.15. Value at Risk (VaR)
Menurut Dowd (2002), VaR didefinisikan sebagai jumlah kerugian maksimum yang mungkin  akan  diterima  selama  periode  waktu  tertentu  pada  tingkat  kepercayaan  tertentu. Perhitungan VaR sangat  bergantung  pada  dua  parameter  yaitu  periode  waktu hp dan tingkat kepercayaan ( 𝛼 𝑐𝑙 ). Kemudian menurut Best (1998), perhitungan VaR alokasi dana untuk portofolio sebesar 𝑃 maka VaR dengan holding period hp dan tingkat kepercayaan cl adalah:
𝑉𝑎𝑅(ℎ𝑝, 𝑐𝑙) = −(𝛼 𝑐𝑙 √ℎ𝑝 √𝒘 𝑻 𝑺 𝒘 ) ∗ 𝑃 hp : jangka waktu investasi (holding period) 𝛼 𝑐𝑙 : nilai kuantil pada distribusi Normal Standar pada tingkat kepercayaan cl 𝑃 : alokasi dana/modal untuk portofolio

## 2.16. GUI MATLAB
Matlab  merupakan  sebuah  singkatan  dari Matrix  Laboratory. Menurut  Pusadan (2014),  GUI  pada  Matlab  merupakan  sebuah  aplikasi display dari  Matlab  yang mengandung  tugas,  perintah,  atau  komponen  program  yang  mempermudah user atau pengguna dalam menjalankan sebuah program dalam Matlab.

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1 Jenis dan Sumber Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder  yang  diunduh  pada tanggal  2  November  2018  dari  situs  penyedia  data  historis  saham  yaitu http://finance.yahoo.com .

## 3.2 Variabel Penelitian
Variabel  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  harga  saham  dari  4  saham anggota LQ45 periode Maret 2013 sampai Maret 2017. Saham yang dipilih adalah saham PT Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk, PT United Tractors Tbk, PT Indah Kiat Pulp & Paper Tbk, dan  PT Kalbe Farma Tbk.
3.3 Metode Analisis Data
Metode  analisis  yang  digunakan  dalam  penelitian  in  adalah  metode Resampled Efficient Frontier dengan menggunakan Software Microsoft Excel 2010, Matlab R2015b, dan R i386 3.2.5. Berikut langkah-langkah yang dilakukan untuk menganalisis data dalam penelitian ini:
1. Mengumpulkan  data  observasi  berupa  harga  bulanan  historis a aset  saham  sebanyak n+1 data.
2. Menghitung return tiap  aset  saham  berdasarkan  harga  saham  bulanan  sehingga didapatkan sebanyak n data return untuk tiap aset saham.
3. Melakukan uji normal multivariat dari a return saham. Jika uji normal multivariat ini tidak terpenuhi maka kembali melakukan langkah 1-3.
4. Menentukan jumlah titik efisien yang akan diobservasi, yaitu M titik efisien.
5. Mengestimasi  parameter  dari  data return historis.  Dalam  hal  ini  parameter  yang dibutuhkan adalah mean return dan matriks varian-kovarian return dari a aset saham.
6. Membangkitkan return baru  menggunakan  simulasi  Monte  Carlo  berdasarkan parameter data return historis.
7. Mengestimasi  nilai  mean return dan  matriks  varian-kovarian return yang  baru berdasarkan hasil simulasi.
8. Mengulangi langkah 6 dan 7 sebanyak Q kali untuk melakukan pembangkitan sehingga akan didapatkan estimasi mean return dan matriks varian-kovarian return sebanyak Q.
𝑹 ̅̂ 1 = [ 𝑅 ̅ 1 ⋮ 𝑅 ̅ 𝑎 ] , ……. , 𝑹 ̅̂ 𝑄 = [ 𝑅 ̅ 1 ⋮ 𝑅 ̅ 𝑎 ] 𝑺̂ 1 = [ 𝑆 11 … 𝑆 1𝑎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑆 𝑎1 … 𝑆 𝑎𝑎 ] , ……, 𝑺̂ 𝑄 = [ 𝑆 11 … 𝑆 1𝑎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑆 𝑎1 … 𝑆 𝑎𝑎 ]
9. Menghitung  bobot  varian  minimum  untuk  setiap  skema  Monte  Carlo  (setiap perulangan).
𝒘 𝒒𝒎𝒊𝒏 = 𝑺̂ 𝑞 −1 𝟏 𝟏 𝑻 𝑺̂ 𝑞 −𝟏 𝟏
10. Mengestimasi  nilai return portofolio  minimum  berdasarkan  bobot  varian  minimum untuk setiap Skema Monte Carlo.
𝑟̅ 𝑞𝑚𝑖𝑛 = 𝒘 𝒒𝒎𝒊𝒏 𝑻 𝑹 ̅̂ 𝑞 11. Mengestimasi return portofolio  maksimum  dari  aset-aset  saham  yang  dimasukkan  ke dalam portofolio.
𝑟̅ 𝑞𝑚𝑎𝑥 = max {𝑹 ̅̂ 𝑞 𝑻 𝜹 (𝟏) , … . , 𝑹 ̅̂ 𝑞 𝑻 𝜹 (𝒂) }
Dengan 𝛿 merupakan canonical basis vektor sebagai berikut :
𝜹 (𝟏) = (1,0, . . ,0) 𝑇
⋮ 𝜹 (𝒂) = (0,0, . . ,1) 𝑇
12. Menentukan  interval return portofolio  dari return portofolio  minimum  sampai return portofolio  maksimum.  Banyaknya return yang  dihitung  dalam  interval  tersebut sebanyak M titik untuk setiap skema Monte Carlo.
𝑟̅ 𝑞 (1) = 𝑟̅ 𝑞𝑚𝑖𝑛 𝑟̅ 𝑞 (𝑀) = 𝑟̅ 𝑞𝑚𝑎𝑥 𝑟̅ 𝑞 (𝑚) = 𝑟̅ 𝑞𝑚𝑖𝑛 + 𝑟̅ 𝑞𝑚𝑎𝑥 − 𝑟̅ 𝑞𝑚𝑖𝑛 𝑀 − 1 (𝑚 − 1)
dengan  m : 1,2,3, …, M q : 1,2,3, …, Q 13. Menentukan bobot dari tiap titik efisien pada setiap skema Monte Carlo.
𝒘 𝒒 (𝒎) = 𝑚𝑖𝑛 𝒘 𝑻 𝑺̂ 𝒒 𝒘
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡  𝒘 𝑻 𝟏 = 1 𝑑𝑎𝑛  𝒘 𝑻 𝑹 ̅̂ 𝑞 = 𝑟̅ 𝑞 (𝑚)
14. Menghitung  bobot  akhir Resampled  Efficient  Frontier sebagai  rata-rata  bobot portofolio di setiap titik efisien.
𝒘 𝒓𝒔 (𝒎) = 1 𝑄 ∑ 𝒘 𝒒 (𝒎) 𝑄 𝑞=1 M: 1,2,3, .. , M 15. Menentukan rentang waktu investasi ( holding period )
16. Menentukan  tingkat  kepercayaan  untuk  mendapatkan  nilai  kuantil  ( 𝛼 𝑐𝑙 ) pada  tingkat kepercayaan cl dari distribusi normal.
17. Menghitung  nilai VaR distribusi  normal  multivariat  pada  tingkat  kepercayaan cl dan lama periode investasi hp dengan alokasi modal P yaitu :
𝑉𝑎𝑅(ℎ𝑝, 𝑐𝑙) = − (𝛼 𝑐𝑙 √ℎ𝑝 √𝒘 𝑻 𝑺𝒘 ) ∗ 𝑃
4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Pengujian Normalitas Return
Pengujian asumsi normal multivariat dari return adalah sebagai berikut: Hipotesis : H 0 = Jarak Mahalanobis berdistribusi Chi Square (data return berdistribusi normal multivariat)
H 1 = Jarak Mahalanobis tidak berdistribusi Chi Square (data return tidak berdistribusi normal multivariat) Taraf Signifikansi : 5%. Statistik Uji : D = 0,17033 dengan nilai p-value = 0,05166 Kriteria Uji :
H 0 ditolak jika D > D* (  ) atau p-value <  Keputusan : Nilai D *(0.05) = 0,19429. Nilai D < D* (0.05) dan p-value > 0.05 maka H 0 diterima. Kesimpulan Return BBNU, UNTR, INKP dan KLBF berdistribusi normal multivariat.

## 4.2. Resampled Efficient Frontier
Metode Resampling  Efficient  Frontier dalam  penulisan  Tugas  Akhir  ini  di  bawah asumsi  normal,  sesuai  dengan  prosedur Resampled  Efficient  Frontier yang  dikemukakan oleh  Michaud  dan  Michaud  (2008).  Untuk  membangkitkan  data return aset  berdistribusi normal  secara  bersama-sama,  parameter  yang  digunakan  adalah  mean  dan  varian  data return historis. Berikut nilai mean dan varian tiap saham dari data return historis: Tabel 1 . Mean dan Varian Return tiap Saham Saham  Mean Return Varian BBNI 0,0048 0,0074 UNTR 0,008 0,0051 INKP 0,0176 0,0254 KLBF 0,005 0,0042 Efficient frontier hasil Resampled Efficient Frontier menggunakan simulasi sebanyak 700  kali  dengan  51  titik  efisien.  Penentuan  jumlah  titik  efisien  sebanyak  51  mengikuti penelitian  yang  dilakukan  oleh  Michaud  dan  Michaud  (2008).  Tiap  titik  efisien menggambarkan portofolio efisien dengan tingkat return dan risiko tertentu yang ada pada efficient  frontier .  Selanjutnya  dari  51  portofolio  efisien,  diambil  portofolio  yang disesuaikan dengan karakteristik investor terhadap return dan risiko.
Tabel 2 . Portofolio yang Disesuaikan dengan Karakteristik Investor
Tipe Investor Titik Efisien ke- Bobot Return Portofolio Risiko Portofolio BBNI UNTR INKP KLBF Risk averter 1 10,83%  39,69% 8,14% 41,33% 0,0072003 0,04996 Moderate investor 26 10,42%  42,11%  19,67% 27,79% 0,016031 0,063462 Risk taker 51 10,01%  44,54%  31,20% 14,25% 0,024861 0,090061
Portofolio pada titik efisien pertama adalah portofolio yang tepat untuk risk averter Untuk tipe risk moderate , portofolio yang tepat adalah portofolio pada titik efisien ke-26. Sedangkan untuk risk taker portofolio yang tepat adalah portofolio pada titik efisien ke-51. Gambaran  portofolio  efisien  pada  tiap  titik  efisien  disajikan  dalam  kurva  efisien  pada gambar 1.
Gambar 1 . Efficient Frontier dari REF
4.3. Value at Risk (VaR)
Dari  portofolio  optimal  sebelumnya  dihitung  nilai VaR -nya  untuk  menggambarkan nilai  kerugian  maksimal  yang  mungkin  akan  diterima  investor.  Dengan  masa  investasi selama 20 hari, tingkat kepercayaan 95% dan alokasi modal Rp 100,000,000.00 gambaran proporsi alokasi modal tiap portofolio beserta VaR -nya adalah sebagai berikut:
Tabel 3 . Alokasi Modal dan VaR untuk Portofolio Berisiko Minimum Saham Bobot Modal Alokasi Modal Risiko Portofolio VaR BBNI 10,83% 100.000.000,00 10.830.000,00 0,04996 -36.780.406,00 UNTR 39,69% 39.690.000,00 INKP 8,14% 8.140.000,00 KLBF 41,33% 41.330.000,00 Tabel 4 . Alokasi Modal dan VaR untuk Portofolio Berisiko Menengah Saham Bobot Modal Alokasi Modal Risiko Porotofolio VaR BBNI 10,42% 100.000.000,00 10.420.000,00 0,063462 -46.686.599,00 UNTR 42,11% 42.110.000,00 INKP 19,67% 19.670.000,00 KLBF 27,79% 27.790.000,00
Tabel 7 . Alokasi Modal dan VaR untuk Portofolio Berisiko Maksimum
Saham Bobot Modal Alokasi Modal Risiko Portofolio VaR BBNI 10,01% 100.000.000,00 10.010.000,00 0,090061 -66.255.072,00 UNTR 44,54% 44.540.000,00 INKP 31,20% 31.200.000,00 KLBF 14,25% 14.250.000,00
Untuk  portofolio  berisiko  minimum,  besaran  risiko  yang  didapat  dalam  bentuk standar  deviasi  sebesar  0.064996  dengan  nilai VaR sebesar  Rp  36.780.406,00.  Untuk portofolio  berisiko  menengah,  besaran  risiko  yang  didapat  dalam  bentuk  standar  deviasi sebesar 0.063462 dengan nilai VaR sebesar Rp 46.686.599,00. Sedangkan untuk portofolio berisiko tinggi, besaran risiko yang didapat dalam bentuk standar deviasi sebesar 0.090061 dengan nilai VaR sebesar Rp 66.255.072,00.
4.4. Prosedur Penggunaan Aplikasi GUI Matlab
Komputasi  pemograman Resampled  Efficient Frontier  untuk  perhitungan Value  at Risk pada  software  Matlab  dilakukan  dalam  penelitian  ini. Software Matlab  yang digunakan dalam penelitian ini adalah Matlab versi R2015b. Pemaparan tampilan dan cara penggunaan  program  GUI  Matlab Resampled  Efficient  Frontier untuk  perhitungan Value at Risk sebagai berikut:
1. Tampilan Home GUI Matlab Resampled Efficien Frontier untuk perhitungan Value at Risk dapat dilihat pada Gambar2.
Gambar 2 .  Tampilan Home GUI Matlab Resampled Efficient Frontier untuk Perhitungan Value at Risk
2. Bagian dalam GUI Matlab Resampled Efficien Frontier untuk perhitungan Value at Risk dapat ditampilkan dengan melakukan klik pada tombol “Next”, sehingga akan muncul tampilan seperti pada Gambar 3.
Gambar 3 . Tampilan Analisis data GUI Matlab
3. Penginputan data beserta analisis data dilakukan dengan klik tombol “Browse”. Data yang dimasukkan adalah data return dari data closing price data saham. Data dan hasil output -nya akan muncul pada tabel yang telah tersedia seperti pada Gambar 4.
Gambar 4 . Tampilan Tombol Input Data Sekaligus Run Data
4. Cara  mengakhiri  program  yaitu  dengan  melakukan  klik  pada  tombol  “Quit”  seperti pada Gambar 4.

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan analisis  yang telah dilakukan terhadap empat saham anggota  LQ45  yaitu BBNI, UNTR, INKP dan KLBF dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Berdasarkan  metode Resampled  Efficient  Frontier dengan  menggunakan  51  titik efisien, didapatkan portofolio optimal bagi risk averter berada di titik efisien ke-1, lalu untuk risk moderate berada pada titik efisien ke-26 dan bagi risk taker berada pada titik efisien ke-51.
2. Dengan mengalokasikan modal Rp 100,000,000.00 pada ketiga portofolio optimal dengan holding period 20 hari dan tingkat kepercayaan 95%, Value at Risk untuk portofolio  optimal  bagi risk  averter adalah  sebesar  Rp  36.780.406,00.  Sedangkan VaR dari portofolio optimal risk moderate dan risk taker masing-masing sebesar Rp 46.686.599,00 dan Rp 66.255.072,00.

## Daftar Pustaka
Ang, R. 1995. Buku Pintar Pasar Modal Indonesia. Jakarta: Media Staff Indonesia. Bodie,  Z.,  Kane,  A.,  dan  Marcus,  A.J.  2006. Investasi .  Zuliani  Dalimunthe  dan  Budi Wibowo, penerjemah. Jakarta: Salemba Empat. Terjemahan dari: Investments Sixth Edition .
Dowd,  K.  2002. An  Introduction  to  Market  Risk  Measurement .  England:  John  Wiley  & Sons Ltd.
Fabozzi,  F.J.  1999. Manajemen  Investasi .  Tim  Penerjemah  Salemba  Empat,  penerjemah. Jakarta: Salemba Empat. Terjemahan dari: Investment Managemant .
Maruddani, D.A.I., dan Purbowati, A. 2009. Pengukuran Value at Risk Pada Aset Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo. Media Statistika . Vol 2(2) : 93-104. Semarang.
Michaud, R.O. dan Michaud, R.O. 2008. Efficient Asset Management . New York: Oxford University Press, Inc.
Pusadan,  M.  Y.  2014. Pemrograman  MATLAB  pada  Sistem  Pakar  Fuzzy. Yogyakarta: Deepublish.
Rasmussen,  M.  2003. Quantitative  Portfolio  Optimisation  Asset  Allocation  and  Risk Management . New York: Palgrave Macmillan.
Rubinstein,  R.Y.  dan  Melamed,  B.  1998. Modern  Simulation  and  Modeling. New  York: John Wiley & Sons, Inc.
Samsul, M. 2006. Pasar Modal dan Manajemen Portofolio . Jakarta: PT Erlangga. Tandelilin,  E.  2010. Portofolio  dan  Investasi  Teori  dan  Aplikasi, Edisi  Pertama. Yogyakarta: Kanisius.
Usman,  M.  1989. Pasar  Modal  Sebagai  Piranti  untuk  Mengalokasikan  Sumberdaya Ekonomi Secara Optimal Management & Usahawan Indonesia. No. 10 Thn XVIII.