Pembuatan Program Aplikasi Untuk Analisis Persamaan Nonlinier Sine Gordon pada Long Josephson Junction Bahan Superkonduktor dengan Menggunakan Metode Finite Difference
Wellya Sari, Hidayati, Hufri Jurusan Fisika, Universitas Negeri Padang Jln. Prof. Dr. Hamka Kampus FMIPA UNP Air Tawar Barat Padang wellya87@ymail.com

## ABSTRACT
Josephson  junction  consists  of  two  superconductor  materials  seperated  by  a  thin  isolator.  Electricity  current from juction can be explained by Sine-Gordon equation. From the equation, it will be obtained model of fluxon’s wave that is one of soliton. This research’s type is desriptive which use numerical approach by finite diffrence methode.  It  is  designed  a  program  that  use  Matlab  R.2010  software  to  solve  nonlinear  equation  and  to  get soliton’s solution.  From the solution,  fluxon and anti fluxon wave property on Long Josephson Junction can be analised. The solution show soliton characteristics, that a fluxon can move for long distance without any shape changed. If there is a fluxon  or antifluxon collision,  they will preserve ordinary shape.  When a fluxon reach end  of  junction,  fluxon  will  be  transformed  to  antifluxon,  and  vice  versa.  If  current  density  jc  is  small  then voltage is small too.
Keywords : Superconductors, Long Josephson Junction, fluxon

## PENDAHULUAN
Gejala  nonlinier  telah  lama  dikenal  dalam  fisika  seperti dalam kasus hidrodinamika yang ditemukan pertama kali oleh John  Scott  Russell  (1808-1882).  Dia  mengamati  gerak gelombang  soliter  sepanjang  kanal  Edinburg-Glosgow.  Ide soliton  bermula  ketika  John  Scott  Russel  fisikawan Skotlandia,  mengamati  fenomena  gelombang  air  sepanjang kanal  di  Edinburg-Glasgow.  John  Scott  Russell  mengamati suatu  gerak  gelombang  tunggal  yang  bergerak  sepanjang kanal tanpa mengalami perubahan bentuk maupun pengurangan  laju  lambat  gelombang.  Berdasarkan  hasil pengamatan tersebut Russel mampu menghasilkan gelombang serupa  dalam  satu  eksperimen  dan  mendapatkan  bahwa  laju gelombang  tersebut  sebanding  dengan  amplitudonya.  Russel memaparkan  hasil  pengamatannya  yang  diterbitkan  dalam Report  of  the  British  Association  for  the  Advancement  of Science .  Ia  menyebut  fenomena  ini  sebagai  "Gelombang Translasi Besar". [1]
Gelombang  nonlinier  dapat  merambat  tanpa  mengalami perubahan bentuk dan kecepatan yang disebut dengan soliton. Keunikan  soliton  ini  adalah  mampu  mempertahankan  bentuk dan  strukturnya  setelah  bertumbukan  dengan  soliton  lainnya dan soliton tunggal dapat menjalar pada jarak yang jauh tanpa ada  perubahan  profil [2] .  Setelah  interaksi,  soliton  muncul kembali,  mempertahankan  cirinya  dengan  kecepatan  dan bentuk  yang  sama.  Konsep  soliton  banyak  digunakan  seperti pada  model  partikel  subatomik,  transfer  energi  pada  sistem syaraf  manusia,  fluxon  pada Josephson  Junction ,  solaron
pada fisika zat padat, bipolaron pada superkonduktor bersuhu tinggi.
Analisis  terhadap  persamaan  Sine-Gordon  pada Long Josephson Junction bahan superkonduktor dapat diselesaikan secara  analitik  namun  membutuhkan  waktu  lama  dan  tidak dapat melihat bentuk tumbukan antara soliton dengan soliton lainnya.  Namun  pada  analisis  numerik  dapat  melihat tumbukan  antara  soliton  dengna  soliton  lainnya.  Model matematis  persamaan  gelombang  nonlinier  Sine-Gordon menggambarkan terbentuknya fluxon dalam bahan superkonduktor
Permodelan  fluxon  pada Long  Josephson  Junction dilakukan  melalui  perhitungan  parameter-parameter  dalam bahan superkonduktor dengan pendekatan numerik. Persamaan  Sine  Gordon  pada  dasarnya  adalah  persamaan differensial  parsial  orde  2.  Metode  numerik  yang  dapat digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  differensial  pada persamaan  Sine-Gordon  tersebut,  salah  satunya  adalah metode  beda  hingga  ( Finite  Difference  Methods ).  Metode Finite  Difference merupakan  suatu  metode  yang  digunakan untuk  mendekati  harga  turunan  fungsi  pada  setiap  titik domain  solusi  dari  persamaan  differensial [3] .  Penelitian  ini menerapkan  metode finite  difference untuk  menyelesaikan persamaan Sine-Gordon pada Long Josephson Junction yang menghasilkan solusi berupa fluxon-fluxon.
Long Josephson
Junction adalah dua bahan superkonduktor  yang  dipisahkan  oleh  bahan  isolator  tipis. Pada  sambungan  ini  akan  terdapat  arus  DC  yang  mengalir walaupun  tanpa  diberi  arus  luar.  Jika  diberi  arus  luar
walaupun sangat kecil maka akan timbul arus bolak balik AC dengan frekuensi yang sangat tinggi.
Mekanika  kuantum  memprediksikan  bahwa  elektron- elektron pada logam sebenarnya memiliki kemungkinan kecil untuk  ditemukan  di  luar  material  atau  logam.  Hal  ini membuka  kemungkinan  penerobosan  ( tunneling )  elektron. Jika  dua  logam  didekatkan  tetapi  masih  memiliki  ruang diantaranya  terdapat  kemungkinan  sebuah  elektron  dari sebuah  logam  satu  ditemukan  pada  logam  lainnya.  Jika diantara dua logam diberikan beda potensial, maka arus dapat mengalir  dari  satu  logam  ke  logam  lain  meskipun  terdapat isolator diantaranya. Efek ini disebut juga efek Josephson . Efek Josephson terjadi  jika  dua  superkonduktor didekatkan satu sama lain, seperti terlihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Skema Josephson Junction [6]
Pada  dua  superkonduktor,  seluruh  elektron  terkondensasi  ke keadaan  superkonduktor  dengan  membentuk  pasangan- pasangan cooper. Karena seluruh pasangan-pasangan elektron berada  pada  keadaan  kuantum  yang  sama,  dapat  dijelaskan sebagai  fungsi  gelombang  tunggal.  Fungsi  gelombang elektron  pada  superkonduktor  bagian  kiri  dilambangkan dengan dan fungsi gelombang sebelah kanan
dilambangkan dengan .
Gambar 2. Dua Superkonduktor yang dipisah Isolasi Tipis [7]
Persamaan  Schroodinger  untuk  sistem  ini  adalah  sebagai berikut:
(1) (2)
Sebuah  gelombang  dalam  fungsi  komplek,  dapat  dituliskan sebagai berikut:
(3) (4)
Amplitudo  fungsi  gelombang  adalah  akar  dari  kerapatan pasangan dengan beda fase antara kedua fungsi gelombang:
(5)
Pada Josephson  Junction arus  dapat  mengalir walaupun tanpa diberi beda potensial. Ini disebut dengan efek Josepshon DC .
(6)
Pada  persamaan  (6)  tersebut  variabel menunjukkan  beda fase antara kedua elektroda superkonduktor. menunjukkan aliran supercurrent maksimum  yang  melewati  sambungan yang  merupakan  arus  kritis.  Jika  arus  dialirkan  melewati lapisan  sambungan  tersebut  maka  akan  dihasilkan  tegangan jatuh  listrik.  Jika  beda  fase  antara  superkonduktor  sama dengan  0  (nol)  maka  tidak  akan  terjadi  aliran  arus  pada sambungan.
Pada kondisi lain, jika beda fase sebesar + maka arus kritis  akan  tercapai.  Efek Josephson DC  menunjukkan  arus DC  mengalir  melalui  isolator  tanpa  beda  potensial  luar.  Hal ini sangat berbeda dengan penerobosan ( Tunneling ) arus biasa dimana  beda  potensial  diperlukan  untuk  mendapatkan  arus dari  satu  logam  ke  logam  lain.  Selain  itu,  bahkan  jika  arus yang  sangat  kecil  diberikan  pada  sambungan  akan menghilangkan  arus  DC  ini.  Perbedaan  fase akan meningkat  terhadap  waktu  dan  karenanya  akan  menjadi  arus AC yang berosilasi dengan cepat dengan voltase diantara dua elektroda sebagai berikut:
(7) (8) Dengan h/2e  yang  merupakan  besar  fluks  magnetik kuantum Wb).  Karena  perbedan  fase
penting,  maka  tidak  akan  mungkin  untuk  menjelaskan fenomena ini dengan teori fisika klasik . Untuk  memahami  persamaan Long  Josephson  Junction banyak  model  yang  digunakan.  Salah  satunya  dengan menganalisa Long    Josephson    Junction seperti  pada Gambar 3.
Long  Josephson  Junction pada  Gambar  3  didefenisikan sebagai  sambungan  kecil  dengan  panjang  L. menyatakan seberapa  jauh  medan  magnet  dapat  masuk  ke  dalam Long Josephson Junction . Model  yang  paling  umum  digunakan  adalah  RCSJ ( Resistively  and  Capasityvely  Shunted  Junction ).  Sedangkan untuk  model  yang  lebih  sederhana  adalah  CSJ  model ( Capasityvely  Shunted  Junction )  dengan  menganggap  tidak ada  sama  sekali  hambatan  pada  permukaan  superkonduktor dan  isolator.  Pada  penelitian  ini  hanya  difokuskan  pada  CSJ Model.  Sambungan  dimodelkan  sebagai  bagian  kecil kapasitor keping sejajar sepanjang yang terhubung secara paralel  melalui  induktor  satu  sama  lain.  Elektroda  pada superkonduktor dimodelkan sebagai hubungan paralel sebuah induktor  dan  kapasitansi  kapasitor.  Pada  setiap  titik  di sambungan, terdapat arus yang mengalir sepanjang sambungan, seperti ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Model CSJ dimodifikasi pada Long Josephson  Junction
Berdasarkan  hukum  Kirchoff  untuk  arus  yang  melewati titik A berlaku:
(9) Selanjutnya dihitung arus untuk setiap bagian , (10)
untuk perubahan arus pada indukor memiliki persamaan:
(11)
untuk perubahan arus pada kapasitor memiliki persamaan:
(12)
subsitusikan  persamaan  (11)  dan  (12)  ke  persamaan  (10) sehingga diperoleh
(13)
Selanjutnya dengan membagi persamaan (13) dengan maka kita akan memperoleh persamaan:
(14)
Dari  persamaan  (14)  diperoleh  beberapa  besaran  yaitu kedalaman medan magnet mempengaruhi Josephson Junction
( ,  Frekuensi  plasma Josephson ( dan  cepat  rambat gelombang elektromagnetik ( , (15) (16) (17)
Selanjutnya  subsitusi  persamaan  (15),  (16)  dan  (17)  ke persamaan (14) diperoleh:
(18)
Persamaan  (18)  merupakan  persamaan  Sine  Gordon  pada Long  Josephson  Junction .  Persamaan  ini  dapat  diselesaikan secara analitik yang memberikan hasil yaitu:
(19)
Persamaan  (19)  dapat  diselesaikan  secara  numerik  dengan menggunakan  metode  beda  hingga  ( Finite  Difference Method )  dengan  batas  tanpa  fluks  dapat  dinyatakan  sebagai berikut.Pada interval dengan kondisi awal: (20) dan dengan syarat batas tanpa fluks (21) Dalam  metode finite  difference persamaan  (19)  dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:
(22) (23)
Persamaan  (22)  dan  (23)  disubsitusikan  ke  persamaan  (18) maka akan diperoleh
(24) Dengan  memisalkan maka  persamaan  (24)  akan
menjadi
(25)
dengan i = 0, 1, 2,3,...,M  dan  j = 0, 1, 2, 3,...,T.
Persamaan (25) merupakan bentuk persamaan (18) dalam bentuk  numerik  yang  akan  diselesaikan  dengan  metode metode  hingga.  Penelitian  yang  telah  dilakukan  bertujuan untuk  menganalisa  gelombang  nonlinier  Sine-Gordon  pada Long  Josephson  Junction ideal,  memperlihatkan  permodelan gelombang  nonlinier  pada Long  Josephson  Junction ,  serta menganalisa  bentuk  variasi  permodelan  gelombang  nonlinier Sine Gordon dalam bentuk satu soliton dan dua soliton.
Berdasarkan  Gambar  5  dan  Gambar  6  dengan  mengatur nilai  Kerapatan  Arus  ( j c ),  Kedalaman  Penetrasi  Medan Magnet ,  dan  Frekuensi  plasma Josephson ( .  Sehingga didapatkan  solusi  berupa  soliton  (kink)  dan  anti  soliton  (anti kink) [4]
Gambar 5. Soliton (Kink) Anti Soliton (Anti Kink) [5]
Gambar  5  merupakan  bentuk  penjalaran  gelombang  soliton pada  posisi  lintang  dan  bujur.  Penjalaran  gelombang  soliton dan  anti  soliton  sebagai  gelombang  nonlinier  mendapatkan solusi berupa persamaan Sine-Gordon.
Profil  gelombang  soliton  juga  dapat  dilihat  dalam  bentuk 3  dimensi.  Simulasi  dari  kontur  ini  menunjukkan  solusi soliton terhadap jarak dan waktu. Pada analisis numerik dapat di lihat pada Gambar 6
Gambar 6.(a) Soliton dan (b) Anti Soliton [5]
Gambar  6  menunjukkan  bentuk  kontur  yang  disertai  dengan arah  gelombang  soliton.  Secara  umum,  bentuk  kontur merupakan  profil  sirkular.  Tahapan  yang  dilakukan  pada penelitian  ini  adalah  membuat  perhitungan  numerik berdasarkan  persamaan  Sine-Gordon.  Perhitungan  numerik tersebut  menghasilkan  matriks  yang  membentuk plotting model 3 dimensi menggunakan Matlab.R.2010

## METODE  PENELITIAN
Jenis  penelitian  yang  dilakukan  untuk  menyelesaikan penelitian  ini  adalah  penelitian  deskriptif.  Penelitian  ini dilaksanakan  di  Laboratorium  Fisika  Komputasi  Jurusan Fisika  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam Universitas Negeri Padang.
Pelaksanaan  penelitian  dalam  perencanaannya,  dibagi menjadi beberapa tahap yaitu: Tahap Persiapan, hal-hal yang dilakukan  antara  lain  menelusuri  kepustakaan,  kajian  teori, dan  analisis  kebutuhan,  serta  perancangan flowchart untuk program yang akan dibuat. Tahap pelaksanaan dengan mudah dilakukan  yaitu  membuat  program  berdasarkan flowchart yang  telah  dibuat  dan  menguji  kelayakan  program.  Untuk menguji  kebenaran  hasil  program,  dilakukan  analisis  data dengan cara membandingkan hasil yang didapat dari program aplikasi  dengan  referensi  yang  ada  seperti  terlihat  pada Gambar 5 dan Gambar 6.

## HASIL
Dengan  membandingan  persentase  kesalahan  pengukuran antara solui analitik dan solusi  numerik pada persamaan (19) dan persamaan (25)  diperoleh persentase kesalahn  antara 0% sampai  2.88%.  Sehingga  bentuk  grafik  untuk  solusi  analitik dan numerik menghasilkan bentuk grafik yang sama.
Sehingga  metode  numerik  dapat  digunakan  untuk menyelesaikan  persamaan  nonlinier  pada Long  Josephson Junction ,  hanya  saja  pada  solusi  analitik  tidak  dapat  melihat sifat  dan  interaksi  tumbukan  antara  fluxon,  sedangkan  untuk melihat  interaksi  fluxon  pada Long  Josephson  Junction dilakukan dengan pendekatan menggunakan solusi numerik Berdasarkan persaamaan (19) diperoleh solusi positif dan negatif  untuk  persamaan  nonlinier  Sine-Gordon  pada Long Josephson Junction yang menyatakan fluxon dan anti fluxon. Solusi  ini  mempunyai  sifat  yang  luar  biasa,  yaitu  jika  dua fluxon  bertumbukan,  fluxon  akan  tetap  mempertahankan bentuknya  semula.  Persamaan  ini  mengambarkan  fluxon  dan interaksinya pada Long  Josephson Junction. Solusi persamaan  nonlinier  Sine-Gordon  pada Long  Josephson Junction pada  saat  variasi  variabel  kerapatan  arus
,  kedalaman  penetrasi  medan  magnet (d=1760 ),  dan  perbandingan  antara  cepat  rambat gelombang  elektromagnetik  ( swihart  velocity )  dan  kecepatan ruang hampa ( ) untuk fluxon dan dengan t yang berbeda:
(a)
(b)

## (c)
Gambar 7. Grafik Animasi Solusi Numerik Persamaan Sine Gordon pada
Fluxon untuk t yang Berbeda
Gambar 8. Grafik 3D Solusi Numerik Persamaan Sine Gordon pada Fluxon
Berdasarkan  Gambar  7,  pada  Gambar  (a)  dengan  ( dan ),  Gambar  (b)  pada  saat  ( , )  dan  Gambar  (c)  ( , )  memperlihatkan  bentuk  animasi  pada penjalaran  fluxon  dari  solusi  persaman  nonlinier  Sine Gordon,    fluxon  tunggal  akan  menjalar  dengan  jarak  yang cukup  jauh  tanpa  mengalami  perubahan  bentuk.  Apabila fluxon  bertumbukan  dengan  ujung  sambungan  maka  fluxon akan  dipantulkan  kembali  sehingga  menjadi  anti  fluxon seperti Gambar (c). Gambar 8 merupakan bentuk tiga dimensi solusi  solusi  numerik  dari Long  Josephson  Junction dengan arah pergerakan putaran fluxon ke kanan .
a. Solusi  Fluxon dengan Kerapatan Arus yang Berbeda Kerapatan arus ×      ,     =    × yang  berbeda, kedalaman  penetrasi  medan  magnet  (d=1760 ),  dan perbandingan antara cepat rambat gelombang elektromagnetik  ( swihart  velocity )  dan  di  ruang  hampa 1) Fluxon
(a)
2) Fluxon pada saat j c2 = 1000 x 10 4 (b) 3) Fluxon pada saat j c3 = 1570 x 10 4

## (c)
Gambar 9. Grafik Animasi dan 3D Solusi Numerik Persamaan Sine Gordon pada Fluxon dengan Variasi .
Berdasarkan  Gambar  9  seperti  terlihat  pada  Gambar  (a), Gambar (b) dan Gambar (c) untuk solusi fluxon dapat dilihat bahwa arah pergerakan fluxon bergerak ke arah kanan dengan perbedaan  tingkat  kemiringan  dari  grafik,  kemiringan  grafik menyatakan voltase pada Long Josepson Junction . Jika rapat arus  pada Long  Josepson  Junction kecil  maka  tingkat kemiringan  dari  grafik  sangat  besar  sehingga  voltase  yang dihasilkan  kecil  dan  arus  yang  mengalir  juga  kecil,  begitu juga sebaliknya jika rapat arus pada Long Josepson Junction diberikan besar maka grafik akan terlihat lebih tegak sehingga voltase  yang  dihasilkan  juga  besar  dan  arus  yang  mengalir juga besar.
b. Variasi Tumbukan untuk Interaksi Fluxon
Interaksi tumbukan antara fluxon, dengan kerapatan arus ( j c = 1570  x 10 4 ), kedalaman penetrasi  medan  magnet (d=1760 ),  dan  rasio  antara  cepat  rambat  gelombang elektromagnetik  ( swithart  velocity )  dan    kecepatan  ruang hampa
1) Interaksi antara Fluxon dengan Fluxon
(a) (b)

## (c)
Gambar 10. Grafik Animasi Solusi Numerik Persamaan Sine Gordon pada Interaksi Fluxon-Fluxon
Gambar  10  terlihat  interaksi  antara  fluxon  dengan  fluxon. Gambar  (a)  memperlihatkan  sebelum  terjadinya  tumbukan, Gambar  (b)  saat  terjadi  tumbukan  dan  Gambar  (c) memperlihatkan interaksi antara fluxon dengan fluxon setelah terjadi tumbukan, Interaksi fluxon dengan fluxon akan terjadi reaksi  tolak  menolak  dari  kedua  fluxon  tanpa  mengalami perubahan  bentuk.  Sehingga  reaksinya  berubah  menjadi tumbukan  antara  anti  fluxon  dengan  anti  fluxon.  Hal  ini sesuai  dengan  ciri  soliton,  dimana  soliton  mampu mempertahankan bentuk dan strukturnya setelah bertumbukan dengan soliton lainnya.

## PEMBAHASAN
Jenis-jenis dari solusi persamaan Sine-Gordon  pada Long Josepkson  Junction yaitu  fluxon  dan  anti  fluxon.  Jika  dipilih hasil positif dari maka solusinya adalah fluxon, jika
hasil negatif yang dipilih maka solusi yang didapatkan adalah anti fluxon. Solusi ini mempunyai sifat yang luar biasa, yaitu jika dua fluxon bertumbukan, fluxon akan tetap mempertahankan  bentuknya  semula.  Dengan  kata  lain  jika satu  fluxon  membawa  informasi,  maka  setelah  tumbukan dengan  fluxon  yang  lain  maka  tidak  akan  ada  kehilangan energi. Hasil permodelan gelombang soliton merupakan hasil penyelesaian  persamaan  differensial  nonlinier.  Persamaan  ini mengambarkan fluxon dalam Long Josephson Junction . Berdasarkan  hasil  penelitian,  pada Long  Josephson Juntion dapat  diamati  adalah  keberadaan  fluxon.  Fluxon adalah arus yang berputar melewati isolator.
Fuxon  dapat  bergerak  jika  diberikan  arus  bias  pada superkonduktor  atas  dari  sebuah  sumber  arus.  Arus  akan mengalir  sepanjang  permukaan  atas  superkonduktor  dan kemudian  mengalir  secara  vertikal  ke  bawah  pada sambungan. Hali ini akan mempengaruhi fluxon.
Sebuah  fluxon  dapat  diamati  dalam  pengukuran  karena fluxon  dapat  menaikkan  voltase  lokal  ketika  melewati sambungan. Karena fluxon-fluxon bergerak dengan kecepatan tinggi maka fluxon dapat mencapai ujung sambungan dengan cepat. Pada tumbukan dengan ujung sambungan beberapa hal dapat  terjadi,  tergantung  dari  kondisi  batas.  Fluxon  dapat
dipantulkan  menjadi  anti  fluxon  yang  juga  merupakan  arus yang  berputar  namun  dengan  arah  yang  berkebalikan.  Oleh karena  itu,  anti  fluxon  akan  bergerak  dengan  arah  yang belawanan  sehingga  anti  fluxon  menjauhi  ujung  sambungan, ketika  anti  fluxon  mencapai  ujung  yang  lain.  Anti  fluxon berkemungkinan dipantulkan menjadi sebuah fluxon kembali.
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari hasil program yang dirancang  dengan  menggunakan  variasi  variabel  Kerapatan Arus  ( j c1 =  524  x  10 4 , j c2 =  1000  x  10 4
, j c3 =
1570  x  10 4
),  Kedalaman  Penetrasi  Medan  Magnet (d=1760 ),  dan  perbandingan  antara  cepat  rambat gelombang  elektromagnetik  ( swihart  velocity )  dengan Kecepatan  ruang  hampa  ( ).  Bentuk  model gelombang  pada  Gambar  1  dan  Gambar  2  untuk  persamaan sine-Gordon  murni  dengan  model  gelombang  fluxon  pada Long Josephson  Junction ideal  menghasilkan  bentuk  solusi yang sama, dimana solusi yang didapatkan berupa fluxon dan anti  fluxon.  Pada  model Long  Josephson  Junction ideal , jika diberikan  nilai  rapat  arus
maka  akan  diperoleh  voltase ( ) yang kecil dimana arus yang mengalir juga sangat kecil, begitu  juga  sebaliknya  jika  diberikan  nilai  rapat  arus maka  akan  diperoleh  voltase  ( )  yang  besar  dan  arus  yang sangat besar pula.
Pada  analisa  satu  maupun  tiga  dimensi  terlihat  bahwa pemenuhan  syarat-syarat  untuk  pembentukan  soliton  untuk persoalaan  persamaan  Sine-Gordon  pada Long  Josephson Junction membawa  kepada  persoalan  nonlinieritas  yang cukup  komplek. Dimana dari  hasil pembahasan di atas dapat kita  ketahui  bahwa  fluxon  tunggal  dapat  melaju  pada  jarak yang  cukup  jauh  tanpa  mengalami  perubahan  bentuk,  fluxon dapat  mempertahankan  bentuk  dan  srukturnya  ketika bertumbukan dengan fluxon yang lainnya.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisa numerik dan pembahasan yang telah dilakukan menghasilkan kesimpulan sebagai berikut : 1. Solusi  numerik  dapat  memperlihatkan  bentuk  interaksi antara fluxon dengan fluxon, yaitu fluxon tunggal mampu menjalar  pada  jarak  yang  cukup  jauh  tanpa  mengalami perubahan  bentuk.  Jika  dua  fluxon  bertumbukan,  fluxon akan tetap mempertahankan bentuknya semula.
2. Hasil  permodelan  dari  solusi  persamaan  Sine-Gordon pada Long  Josephson  Junction yaitu  fluxon  dan  anti fluxon.  Jika  dipilih  hasil  positif  maka  solusinya  adalah
fluxon,  jika  hasil  negatif  yang  dipilih  maka  solusi  yang didapatkan adalah anti fluxon.
3. Pada model Long Josephson Junction, jika diberikan nilai rapat  arus
maka  akan  diperoleh  voltase  ( )  yang kecil  arus  yang  dihasilkan  juga  kecil,  begitu  juga sebaliknya jika diberikan nilai rapat arus maka akan diperoleh  voltase  ( )  yang  besar  maka  arus  yang dihasilkan juga sangat besar.
4. Perbandingan  antara  solusi  numerik  dan  solusi  analitik dengan memberikan nilai yang sama pada setiap variabel, diperoleh  persentase  kesalahan  antara  0%  sampai  dengan 2.88%

## DAFTAR  RUJUKAN
[1]  Drazin,  P.G.  1992.  “ Soliton  an  introduction” .  New York: Cambridge University Press
[2]  Maudin.  Lufsy.  “ Dinamika  Soliton  dalam  Bahan Feromagnetik ”.  Jurnal  Fisika  Indonesia,  Nomor  18, vol.VI, Edsi Agustus 2002 ISSN : 1410-2994, hal 11-26
[3]   Supriyanto  Suparno.  2008. Komputasi  untuk  Sains  dan Teknik . Jakarta : Departemen Fisika-FMIPA UI
[4]  Barone, Antonio.1939. “Physics and Applications of the Josephson Effect”. New York: Universita di Napoli [5]  http://pauli.uni- muenster.de/tp/fileadmin/lehre/NumMethoden/WS0910/ ScriptPDE/SineGordon.pdf
[6]  Pfeiffer,  Judith.  2010. “Fractional  Vortices  in Josephson  Tunnel  Junctions  with  a  Ferromagnetic Interlayer”. Disertation.  Zur  Erlangung  des  Grades eines Doktors der Naturwissenschaften der Fakult¨at f¨ur Mathematik und Physik der Eberhard-Karls-Universit¨at zu T¨ubingen
[7]   Visser,  Timco.  2002. “Modeling  and  Analysis  of  Long Josephson Junctions”. Tesis. University of Twente.
[8]  Krane, Kenneth S. “Fisika  Modren” . Jakarta: Universitas InSdonesia (UI-Press)
[9]   Marlianto,  Eddy.  2008.  “ Studi  Ultrasonik  pada  Bahan Superonduktor  Suhu  TinggiI ”.  Medan  :  Universitas Sumatra Utara.
[10]  M.  Bunjamin.  “ Gejala Gelombang Taklinear: Soliton” : FMIPA Universitas Indonesia dan Universitas Nasional [11]  Yuliati, Tatik.  2010.  “ Sintesis Superkonduktor BPSCCO/Ag Menggunakan Metode Padatan ”. Surakarta: Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret.