Pemrograman  Nonlinear  Meminimumkan  Biaya  Pemasangan  Keramik  Musholla Gapang  Sabang  dengan  Menggunakan  Metode  Karush  Kuhn-Tucker  (Studi  Kasus: CV. Muerika Teknologi)

## T. Murdani Saputra
Program Studi Matematika, Universitas Syiah Kuala, tmurdanisaputra@usk.ac.id (korespondensi)

## Siti Rusdiana
Program Studi Matematika, Universitas Syiah Kuala, siti.rusdiana@usk.ac.id

## T. Mohd. Raja Maulana
Program Studi Matematika, Universitas Syiah Kuala

## Intan Syahrini
Program Studi Matematika, Universitas Syiah Kuala, intansyahrini@usk.ac.id

## Mahmudi
Program Studi Matematika, Universitas Syiah Kuala, mahmudi@usk.ac.id

## Radhiah
Program Studi Matematika, Universitas Syiah Kuala, radhiah@usk.ac.id
ABSTRAK , Musholla merupakan tempat beribadah umat islam.  Musholla  mengalami  perkembangan  pesat,  baik dalam  pembangunan  maupun  fungsi  dan  peranannya. Membuat musholla yang nyaman identik dengan bangunan yang  luas  dan  biaya  pembangunan  yang  besar,  oleh karena  itu  perlu  suatu  cara  agar  masalah  biaya  tersebut dapat  diminimalkan.  Proses  meminimumkan  biaya tersebut  dapat  menggunakan  matematika.  Permasalahan tersebut  merupakan  masalah  yang  terkait  optimasi  suatu permasalahan.  Program  linier  merupakan  salah  satu metode  optimasi  yang  digunakan  untuk  meminimumkan atau  memaksimumkan.  Permasalahan  di  dunia  nyata dapat  dimodelkan  dalam  bentuk  persamaan  linier  atau nonlinier. Pada penelitian ini yang peneliti lakukan yaitu mencari  biaya  minimum  dari  pemasangan  keramik  pada Musholla  yang  mana  bentuknya  merupakan  bentuk nonlinier.  Metode  yang  akan  untuk  mencari  biaya minimumnya yaitu dengan menggunakan metode Karush- Kuhn-Tucker  (KKT).  Metode  KKT  merupakan  salah  satu metode yang digunakan untuk menentukan titik minimum dari suatu fungsi tujuan dan kendala tanpa memperhatikan sifat  linier  atau  nonlinear.  Berdasarkan  hasil  penelitian, biaya  minimum  pemasangan  keramik  Musholla  Gapang Sabang sebesar Rp. 19.211.800, lebih kecil dari biaya RAB yang ada yaitu sebesar Rp. 22.651.584.
Kata  Kunci:  Karush-Kuhn-Tucker(KKT),  Musholla, Minimum, keramik, optimasi.

## 1. PENDAHULUAN
Program  linier  merupakan  suatu  model umum  yang  terdiri  dari  sebuah  fungsi  tujuan linier  dan  sistem  kendala  linier  yang  dapat digunakan dalam pemecahan masalah
pengalokasian  sumber-sumber  terbatas  secara optimal.  Program  linier  juga  bisa  dikatakan sebagai  metode  matematika  yang  memiliki hubungan  dengan  masalah  optimasi,  dimana tujuannya  yaitu  untuk  memaksimalkan  atau meminimalkan  suatu  permasalaha.  Masalah optimasi  terbagi  menjadi  dua  kategori  yaitu optimasi berkendala dan optimasi tanpa kendala [1].
Masalah  optimasi  yang  berkendala  terdiri dari  beberapa  bentuk  yaitu  bentuk  linier  dan bentuk  nonliner.  Permasalahan  yang  berkaitan dengan bentuk linier untuk masalah fungsi multi variabel  yang  kendalanya  bentuk  persamaan dapat  menggunakan  metode  pengali Lagrange . Permasalahan optimasi yang kendalanya berupa pertidaksamaan,  salah  satu  metode  yang  dapat digunakan  yaitu  metode  Karush  Kuhn-Tucker (KKT) [2].  [3] mengungkapkan bahwa metode Karush  Khun  -Tucker  merupakan  suatu metode mencari solusi optimum dari suatu fungsi tujuan tanpa  memandang  sifat  dari  fungsi  tersebut apakah linier atau non linier. Permasalahan yang diselesaikan  menggunakan  metode  KKT  adalah masalah  convex  dimana  solusinya  berupa optimum global [4].  Masalah convex quadratic dapat direduksi menjadi masalah komplementaritas  linier  menggunakan  kondisi KKT  sebagai  syarat  dalam  menentukan  titik optimum suatu permasalahan [5].
Beberapa  penelitian  sebelumnya  yang menggunakan  metode  KKT  di  antaranya  oleh [2],  [6],  [7],  [8],  [9].  Permasalahan  yang dilakukan oleh peneliti tersebut yaitu permasalahan  yang  menyangkut  program  linier dimana  fungsinya  dalam  bentuk  linier  dan non linier  baik  tujuan  dan  kendalanya.  Hasil menunjukkan  bahwa  metode  KKT  dapat memaksimukan  keuntungan  dan  mendapatkan hasil  yang  baik.  Selain  masalah  pencarian keuntungan  produksi,  metode  KKT  juga  dapat digunakan untuk optimalisasi sistem alokasi dan penjadwalan  serta  hasil  peneltian  tersebut, didapat bahwa keuntungan maksimal [10].
Penelitian  ini,  akan  dilakukan  proses pencarian masalah optimasi menyangkut dengan biaya  minimum  pada  pemasangan  keramik  di musholla Gapang Sabang yang datanya diperoleh dari  CV.  Meurika  Teknologi.  Pencarian  solusi biaya  minimum  pada  penelitian  ini  dengan menggunakan metode Karush-Kuhn-Tucker (KKT),  selanjutnya  akan  dibandingkan  juga dengan  biaya  pemasangan  keramik  pada  RAB pembangunan musholla Gapang Sabang.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Pemograman linier dan nonlinier
Pemrograman linier adalah teknik pemodelan  matematika  yang  dirancang  untuk mengoptimalkan penggunaan sumber daya yang terbatas.  Penggunaan  pemrograman  linier  yang berhasil ada di bidang militer, industri, pertanian, transportasi,  ekonomi,  sistem  kesehatan,  dan ilmu sosial  [10].  Bentuk  umum  untuk permasalahan  program  linier  didefinisikan sebagai berikut [12]:
Fungsi Tujuan (Maksimum atau minimum)
𝑍 = 𝑐 1 𝑥 1 + 𝑐 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 (2.1) fungsi pembatas 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢  ≥ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢  ≥ 𝑏 2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎 𝑘1 𝑥 1 + 𝑎 𝑘2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑘𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢  ≥ 𝑏 𝑘
⋯ ⋯ ⋯ 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢  ≥ 𝑏 𝑚 Syarat variabel 𝑥 𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 Dimana: 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 = variabel keputusan
Z = fungsi tujuan 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛 =  koefisien  dari  variabel  keputusan pada fungsi tujuan.
Pemrograman  nonlinier  adalah  model matematika  yang  fungsi  objektif  dan  fungsi kendalanya  nonlinier.  Permasalahan  optimasi disebut  nonlinier  apabila  fungsi  tujuan  dan kendalanya  berbentuk  nonlinier  pada  satu  atau keduanya  [14].    Pemrograman  linier  dan nonlinier yang kompleks umumnya menggunakan  bantuan  komputer  untuk  mencari solusi nya [15].

## Metode Pengali Lagrange
Metode pengali lagrange merupakan salah satu  metode  untuk  mencari  permasalahan  titik ekstrim.  Metode  pengali  lagrange  ini  bentuk umumnya  yaitu  fungsi  tujuan  dijumlahkan kendalanya yang dikalikan dengan konstanta ( 𝜆 ). Metode ini dapat dituliskan sebagai berikut [6]:
𝐿(𝑥, 𝜆) = 𝑓(𝑥) +   ∑ 𝜆 𝑖 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑚 𝑖=1 (2.2)
bentuk  fungsi Lagrange yang  permasalahan optimasi  dengan  satu  kendala  dapat  ditulis, sebagai berikut:
𝐿(𝑥, 𝜆) = 𝑓(𝑥) +  𝜆(𝑔(𝑥) − 𝑏) (2.3) Dari persamaan (2.3), akan dicari nilai dari 𝑥 dan 𝜆 dengan  melakukan  pencarian  turunan  parsial dari 𝐿 . Bentuk turunannya seperti berikut: 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝑖 = 0 untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 (2.4) 𝜕𝐿 𝜕 𝜆 𝑖 = 0 untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 (2.5)

## Metode Karush-Kuhn-Tucker (KKT)
Metode KKT merupakan salah satu metode dalam  penyelesaian  program  linier  berkendala baik  fungsi  tujuannya  berbentuk  linier  maupun tak  linier  [3].  Dalam  mencari  solusinya  dari masalah  optimasi,  ada  beberapa  langkah  yang dilakukan diantaranya [6]:
a. Kendala  yang  berbentuk  pertidaksamaan diubah menjadi ketaksamaan dengan menambahkan slack variabel tak negatif (𝑆 𝑖 2 ) . b. Bentuk  fungsi  tujuan  dan  fungsi  kendala diubah  menjadi  bentuk  fungsi lagrange , bentuk  fungsinya  didefinisikan  sebagai berikut;
𝐿(𝑥, 𝜆, 𝑆) = 𝑓(𝑥) + ∑ 𝜆 𝑖 (𝑔 𝑖 (𝑥) − 𝑏 + 𝑆 𝑖 2 ) 𝑚 𝑖=1 (2.5)
Pemrograman Nonlinear Meminimumkan Biaya Pemasangan Keramik Musholla Gapang Sabang dengan Menggunakan Metode Karush Kuhn-Tucker (Studi Kasus: CV. Muerika Teknologi) • 66
c. Merubah persamaan (2.5) menjadi persamaan KKT, sehingga menghasilkan persamaan yang didefinisikan sebagai berikut:
𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝑖 (𝑥, 𝜆, 𝑆) = 0 , dimana 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (2.6)
𝜕𝐿 𝜕𝜆 𝑖 (𝑥, 𝜆, 𝑆) = 0, dimana 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (2.7)
𝜕𝐿 𝜕𝑆 𝑖 (𝑥, 𝜆, 𝑆) = 0, dimana 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (2.8).
Turunan  pertama  dari  persamaan  di  atas, merupakan turunan parsial dari fungsi tujuan terhadap variabel 𝑥, 𝜆 dan 𝑆 . d. Hasil  turunan  pertama  diperoleh  nilai  dari variabel 𝑥 𝑖 , 𝜆 𝑖 dan 𝑆 𝑖 yang  dimana  harus memenuhi syarat perlu dan syarat cukup dari metode  KKT.  Syarat-syarat  tersebut  terdapat pada artikel [6].
e. Langkah  selanjutnya,  menghitung  biaya minimal  dari  masing-masing  variabel  yang telah di peroleh ke fungsi Lagrange berikut: 𝐿(𝑥 𝑖 , 𝜆 𝑖 , 𝑆 𝑖 ) = 𝑓(𝑥) + ∑ 𝜆 𝑖 𝑚 𝑖 [𝑔 𝑖 (𝑥) + 𝑆 𝑖 2 ] + ∑ 𝜆 𝑖 𝑚 𝑖=𝑚+1 [𝑔 𝑖 (𝑥) + 𝑆 𝑖 2 ] + ∑ 𝜆 𝑖 [𝑔 𝑖 (𝑥) + 𝑝 𝑖=𝑛 𝑆 𝑖 2 ] (2.9)
f. Setelah  diperoleh,  maka  langkah  terakhir menyimpulkan dari hasil yang diperoleh dari langkah sebelumnya.

## 3. METODOLOGI
Penelitian  ini  berfokus  pada  pencarian solusi minimum dari biaya pemasangan keramik pada  pembangunan  musholla  di  Gampong Gapang Sabang dengan menggunakan pemrograman non linier  dengan  menggunakan metode KKT. Biaya pemasangan diperoleh dari perusahaan perusahaan CV. Muerika Teknologi yang  berlokasi  di  Banda  Aceh  yang  mana  data tersebut  merupakan  data  sekunder.  Data sekunder adalah data yang diperoleh dari sumber kedua  atau  sumber  sekunder  dari  data  yang dibutuhkan [15].  Berikut ini merupakan rincian biaya pemasangan keramik di Musholla Gapang Sabang:
Tabel 1. Data Biaya Pemasangan Keramik Musholla Gapang Sabang
Pengerjaan Tempat Wudhu 1 Tempat Wudhu 2 Teras Utama Ukuran Keramik 25  × 25 𝑐𝑚 25  × 25 𝑐𝑚 60  × 60 𝑐𝑚 60  × 60 𝑐𝑚 Biaya Keramik (per 𝒎 𝟐 ) Rp. 280.000,00 Rp. 280.000,00 Rp. 270.000,00 Rp. 240.000,00 Satu Keramik Rp. 17.500,00 Rp. 17.500,00 Rp. 80.500,00 Rp. 80.500,00

## Desain musholla Gapang Sabang diperlihatkan pada gambar di bawah ini
Gambar 1. Desain Musholla Gapang Sabang
Gambar  1  merupakan  desain  ukuran  masing- masing dari setiap area, ukuran permintaan dari
perusahaan  tersebut  yang  terdiri  panjang,  lebar dan luas. Ukuran tersebut di tunjukkan pada tabel dibawah ini:
Tabel 2 Permintaan ukuran panjang, lebar dan luas setiap  ruang pada Musholla
Nama Ruangan Panjang Lebar Luas Luas Bangunan 13,35 m 7,8 m 103,13 𝑚 2 WC dan Tempat Wudhu (Pria) 5,24 m 1,37 m 7,2 𝑚 2 WC dan Tempat Wudhu (Wanita) 5,24 m 1,37 m 7,2 𝑚 2 Teras 2,87 m 1,44 m 4,1 𝑚 2 Mihrab 2,87 m 1,50 m 4,3 𝑚 2 Ruang Salat 7,87 m 7,87 m 61,9 𝑚 2

## 4. PEMBAHASAN

## Membentuk  Model  dari  Desain  Musholla Gapang Sabang
Model  yang  akan  dibentuk  berdasarkan desain  pada  gambar  1,  untuk  memudahkan pembentukan model maka dibutuhkan pendefinisian variabel keputusan.  Fungsi  tujuan dari  permasalahan  ini  nantinya  akan  berbentuk nonlinier dan kendala berbentuk linier. Pendefinisiannya  disajikan  pada  gambar  2. Berdasarkan  gambar  2,  dapat  dilihat  bahwa terdapat  ukuran  dari  masing-masing  dari  setiap area  dalam  musala  tersebut.  Selanjutnya,  akan dibentuk  model  nonlinier  dan  berikut  ini disajikan model nonliniernya:

## Fungsi Tujuan
Biaya  Kontruksi  Minimum  =  (luas  WC  dan tempat  wudhu  1)*biaya  pemasangan  keramik WC dan tempat wudhu 1 + (luas WC dan tempat  wudhu  2)*biaya  pemasangan  keramik WC dan tempat wudhu 2 + (luas mihrab)*biaya pemasangan  keramik  mihrab  +  (luas  ruang utama)*biaya pemasangan keramik ruang utama)+ (luas teras)*biaya pemasangan keramik teras
𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑥 7 , 𝑥 8 , 𝑥 9 ) = (𝑥 1 + 𝑥 2 )(𝑥 6 ) × 280.000 + (𝑥 4 + 𝑥 5 )(𝑥 6 ) × 280.000 + (𝑥 3 )(𝑥 6 + 𝑥 7 ) × 240.000 + (𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 )(𝑥 8 ) × 240.000 + (𝑥 3 )(𝑥 9 ) × 270.000 . (4.1)
Kendala 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥ 5,24 (panjang WC dan tempat wudhu 1) 𝑥 6 ≥ 1,37 (lebar WC dan tempat wudhu 1 dan 2) 𝑥 4 + 𝑥 5 ≥ 5,24 (panjang WC dan tempat wudhu 2) 𝑥 3 ≥ 2,87 (panjang teras) 𝑥 9 ≥ 1,44 (lebar teras) 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 ≥ 7,87 (panjang  mihrab  dan  ruang salat)_ 𝑥 6 + 𝑥 7 ≥ 1,50 (lebar mihrab) 𝑥 8 ≥ 7,87 (lebar ruang salat)
𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑥 7 , 𝑥 8 , 𝑥 9 ≥ 0
Keterangan: 𝑥 1 , 𝑥 2 dan 𝑥 6 = luas WC dan tempat wudhu 1 𝑥 4 , 𝑥 5 dan 𝑥 6 = luas WC dan tempat wudhu 2 𝑥 3 , 𝑥 6 dan 𝑥 7 = luas mihrab 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 dan 𝑥 8 = luas ruang utama
𝑥 3 dan 𝑥 9 = luas teras.
Gambar 2. Keterangan variabel pada desain Musholla Gapang Sabang

## Solusi  Menggunakan  Metode  Karush-Kuhn- Tucker (KKT)
Metode  KKT  merupakan  metode  yang digunakan  dalam  menyelesaikan  permasalah pada  penelitian  ini.  Model  nonlinier  yang  telah dituliskan  diatas,  selanjutnya  akan  diselesaikan dengan metode KKT. Solusi dari metode tersebut merupakan  nilai  dari  masing-masing  variabel keputusan, selanjutnya nilai tersebut disubtitusikan  ke  persamaan lagrange untuk mendapatkan biaya minimum dari pembangunan Musholla Gapang Sabang. Solusi dari permasalahannya  diselesaikan  menggunakan langkah-langkah metode KKT, langkah- langkahnya disajikan sebagai berikut:
a. Menambahkan variabel slack
Kendala  yang  berbentuk  pertidaksamaan diubah  menjadi  bentuk  persamaan  dengan menambahkan  variabel slack tak  negatif  ( 𝑆 2 ), persamaannya sebagai berikut:
𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑆 1 2 = 5,24 (4.2) 𝑥 6 + 𝑆 2 2 = 1,37 (4.3) 𝑥 4 + 𝑥 5 + 𝑆 3 2 = 5,24 (4.4) 𝑥 3 + 𝑆 4 2 = 2,87 (4.5) 𝑥 6 + 𝑥 7 + 𝑆 5 2 = 1,50 (4.6) 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑆 6 2 = 7,87 (4.7) 𝑥 8 + 𝑆 7 2 = 7,87 (4.9) 𝑥 9 + 𝑆 8 2 = 1,44 (4.9)
b. Membentuk Persamaan Lagrange
Fungsi lagrange merupakan bentuk penambahan  antara  fungsi  tujuan  (4.1)  dan kendala yang telah ditambahkan dengan variabel slack yaitu  persamaan  (4.2  –  4.9)  .    Fungsi lagrange nya sebagai berikut:
𝐿(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑥 7 , 𝑥 8 , 𝑥 9 , 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 , 𝜆 5 , 𝜆 6 , 𝜆 7 , 𝜆 8 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 , 𝑆 6 , 𝑆 7 , 𝑆 8 ) = (𝑥 1 + 𝑥 2 )(𝑥 6 )   × 280.000 +   (𝑥 4 + 𝑥 5 )(𝑥 6 )   × 280.000 + (𝑥 3 )(𝑥 8 )   × 270.000 +   (𝑥 3 )(𝑥 8 ) × 270.000 + (𝑥 3 )(𝑥 6 ) × 240.000 + (𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 )(𝑥 7 )   × 240.000 + 𝜆 1 (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑆 1 2 − 5,24) + 𝜆 2 (𝑥 6 +𝑆 2 2 − 1,37) + 𝜆 3 (𝑥 4 + 𝑥 5 +𝑆 3 2 − 5,24) + 𝜆 4 (𝑥 3 +𝑆 4 2 − 2,87) + 𝜆 5 (𝑥 6 + 𝑥 7 +𝑆 5 2 − 1,50) + 𝜆 6 (𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 +𝑆 6 2 − 7,87) + 𝜆 7 (𝑥 8 +𝑆 7 2 − 7,87) + 𝜆 8 (𝑥 9 +𝑆 8 2 − 1,44) .                                    (4.10) c. Turunan  pertama  fungsi lagrange terhadap variabel 𝑥, 𝜆 dan 𝑆 , dituliskan sebagai berikut: Turunan terhadap 𝒙 𝜕𝑙 𝜕𝑥 1 = 280.000𝑥 6 + 𝜆 1 = 0 (4.11)
𝜕𝑙 𝜕𝑥 2 = 280.000𝑥 6 + 240.000𝑥 8 + 𝜆 1 + 𝜆 6 = 0 (4.12) 𝜕𝑙 𝜕𝑥 3 = 270.000𝑥 9 + 240.000𝑥 6 + 240.000𝑥 8 + +𝜆 4 + 𝜆 6 = 0 (4.13) 𝜕𝑙 𝜕𝑥 4 = 280.000𝑥 6 + 240.000𝑥 8 + 𝜆 3 + 𝜆 6 = 0 (4.14) 𝜕𝑙 𝜕𝑥 5 = 280.000𝑥 6 + 𝜆 3 = 0 (4.15)
𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 𝑥 7 𝑥 8 𝑥 9 WC dan tempat wudhu 1 7,2 𝑚 2 Mihrab 4,3 𝑚 2 Ruang salat 61,9 𝑚 2 Teras 4,1 𝑚 2
𝜕𝑙 𝜕𝑥 6 = 280.000𝑥 1 + 280.000𝑥 2 + 240.000𝑥 3 + 280.000𝑥 4 + 280.000𝑥 5 + 𝜆 2 + 𝜆 5 = 0 (4.16) 𝜕𝑙 𝜕𝑥 7 = 280.000𝑥 3 + 𝜆 5 = 0 (4.17)
𝜕𝑙 𝜕𝑥 9 = 280.000𝑥 3 + 𝜆 8 = 0 (4.18)
Turunan pertama terhadap lamda ( 𝝀 ) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 1 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑆 1 2 − 5,24 = 0 (4.19) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 2 = 𝑥 6 +𝑆 2 2 − 1,37 = 0 (4.20) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 3 = 𝑥 4 + 𝑥 5 +𝑆 3 2 − 5,24 = 0 (4.21) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 4 = 𝑥 3 +𝑆 4 2 − 2,87 = 0 (4.22) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 5 = 𝑥 6 + 𝑥 7 +𝑆 5 2 − 1,50 = 0 (4.23) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 6 = 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 +𝑆 6 2 − 7,87 = 0 (4.24) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 7 = 𝑥 8 +𝑆 7 2 − 7,87 = 0 (4.25) 𝜕𝑙 𝜕𝜆 8 = 𝑥 9 +𝑆 8 2 − 1,44 = 0 (4.26)
Turunan pertaman terhadap variabel slack
𝜕𝑙 𝜕𝑆 1 = 2𝜆 1 𝑆 1 = 0 (4.27) 𝜕𝑙 𝜕𝑆 2 = 2𝜆 2 𝑆 2 = 0 (4.28) 𝜕𝑙 𝜕𝑆 3 = 2𝜆 3 𝑆 3 = 0 (4.29) 𝜕𝑙 𝜕𝑆 4 = 2𝜆 4 𝑆 4 = 0 (4.30) 𝜕𝑙 𝜕𝑆 5 = 2𝜆 5 𝑆 5 = 0 (4.31) 𝜕𝑙 𝜕𝑆 6 = 2𝜆 6 𝑆 6 = 0 (4.32) 𝜕𝑙 𝜕𝑆 7 = 2𝜆 7 𝑆 7 = 0 (4.33) 𝜕𝑙 𝜕𝑆 8 = 2𝜆 8 𝑆 8 = 0 .         (4.34)
d. Menentukan variabel keputusan
Variabel  keputusan  diperoleh  dengan  cara menentukan terlebih dahulu nilai dari variabel 𝑆 1 sampai 𝑆 8 .  Variabel  tersebut  diperoleh    dari persamaan (4.27) –  (4.34).  Berdasarkan persamaan  tersebut  diperoleh  dapat  ditentukan bahwa nilai 𝑆 1 sampai 𝑆 8 sama dengan nol dan selanjutnya nilai variabel tersebut disubstitusikan ke  persamaan  (4.19)  sampai  (4.26)  sehingga diperoleh bentuk persamaan:
𝑥 1 + 𝑥 2 − 5,24 = 0 (4.35) 𝑥 6 − 1,37 = 0 (4.36) 𝑥 4 + 𝑥 5 − 5,24 = 0 (4.37)
𝑥 3 − 2,87 = 0 (4.38) 𝑥 6 + 𝑥 7 − 1,50 = 0 (4.39) 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 − 7,87 = 0 (4.40) 𝑥 8 − 7,87 = 0 (4.41) 𝑥 9 − 1,44 = 0 .         (4.42) Dari persamaan di atas, dapat dilihat bahwa nilai 𝑥 3 = 2,87; 𝑥 6 = 1,37; 𝑥 8 = 7,87 dan 𝑥 9 = 1,44 .  Nilai  variabel  keputusan  yang  sudah diperoleh  di  atas  disubstitusikan  ke  persaman (4.35,  4.37,  4.39  dan  4.40)  sehingga  diperoleh diperoleh  nilai  dari  variabel  keputusan  lainnya yaitu 𝑥 1 = 2,74; 𝑥 2 = 2,50; 𝑥 4 = 2,50, ; 𝑥 5 = 2,74; dan 𝑥 7 = 0,13 .
Berdasarkan  dari  nilai  variabel  keputusan diatas,  selanjutnya  yaitu  mencari  nilai  lamda. Nilai  variabel 𝑥 1 sampai 𝑥 9 disubstitusikan  ke persamaan (4.11) sampai (4.18), maka diperoleh persamaan:
383.600 + 𝜆 1 = 0 (4.43) 2.272.400 + 𝜆 2 +𝜆 6 = 0 (4.44)
2.606.400 + 𝜆 4 +𝜆 6 = 0 (4.45)
2.272.400 + 𝜆 3 +𝜆 6 = 0 (4.46)
383.600 + 𝜆 3 = 0 (4.47) 3.623.200 + 𝜆 2 +𝜆 5 = 0 (4.48)
688.800 + 𝜆 5 = 0 (4.49)
1.888.800+ 𝜆 7 = 0 (4.50)
774.900 + 𝜆 8 = 0 (4.51) Persamaan 4.43 sampai 4.51 merupakan bentuk sistem  persamaan  linier,  dengan  menggunakan metode substitusi akan diperoleh nilai variabel 𝜆 1 sampai 𝜆 8 .  Nilai  variabel  tersebut  disajikan sebagai berikut: 𝜆 1 = −383.600 𝜆 2 = −4.312.200 𝜆 3 = −383.600 𝜆 4 = −5.262.400 𝜆 5 = −688.800 𝜆 6 = −2.656.000 𝜆 7 = −1.888.800 𝜆 8 = −774.900 .
e. Biaya minimum dari permasalahan
Biaya minimum diperoleh dari nilai variabel- variabel  keputusan  ( 𝑥 1 − 𝑥 9 ),  lamda  ( 𝜆 1 − 𝜆 8 ) dan slack ( 𝑆 1 − 𝑆 9 ) disubstitusikan ke persamaan (4.10) sehingga diperoleh biaya minimum:
𝐿(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑥 7 , 𝑥 8 , 𝑥 9 , 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 , 𝜆 5 , 𝜆 6 , 𝜆 7 , 𝜆 8 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 , 𝑆 6 , 𝑆 7 , 𝑆 8 ) = (2,74 + 2,50)(1,37) × 280.000 + (2,74 +
2,50)(1,37) × 280.000 + (2,87)(1,44) ×
270.000 + (2,87)(1,37 + 0,13) × 240.000 +
(2,50 + 2,87 + 2,50)(7,87) × 240.000 −
383.600(2,74 + 2,50 + 0 − 5,24) − 4.312.600(1,30 + 0 − 1,37) − 383.600(2,74 + 2,50 + 0 − 5,24) − 5.262.400(2,87 + 0 − 2,87) − 688.800(1,37 + 0,13 + 0 − 1,50) − 2.656.000(2,50 + 2,87 + 2,50 + 0 − 7,87) − 1.888.800(7,87 + 0 − 7,87) − 774.900(1,44 + 0 − 1,44) = 19.211.800
Berdasarkan  langkah  di  atas,  diperoleh  biaya minimum  menggunakan  metode  KKT.  Biaya minimum dari pemasangan keramik di mushola Gapang Sabang, biayanya sebesar Rp. 19.211.800.

## 5. KESIMPULAN
Metode  KKT  telah  digunakan  untuk meminimumkan biaya pembangunan di Musholla  Gapang  Sabang  yang  mana  biayanya adalah Rp. 19.211.800,00. Biaya yang diperoleh lebih  kecil  daripada  biaya  yang  ada  pada  RAB pembangunan  musholla  Gapang  Sabang  yaitu sebesar Rp. 22.651.584,00 dan hasil dari metode ini menunjukkan bahwa metode dapat menyelesaikan permasalahan optimasi. Nilai dari variabel  keputusan  diperoleh  dengan  rincian dimensi  masing-masing  ruangan  diantaranya WC  dan  tempat  wudu  pria  serta  wanita dengan panjang  5,24  m  dan  lebar  1,37  m,  teras dengan panjang 2,87 m dan lebar 1,44 m, mihrab dengan panjang  2,87  m  dan  lebar  1,50  m  serta  ruang shalat dengan panjang dan lebar 7,87 m.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]      Moengin,  P.  (2011). “Metode  Optimasi” . Bandung: CV. Muara Indah.
[2]    Putra, I. G. A. J. P., Asih, N.M., & Widana, I.  N.  (2015). “Optimalisasi  Penjualan Kain Endek dengan Metode Karush-Kuhn- Tucker  (KKT)” .  E-Jurnal  Matematika, 4(4), 158-162.
[3]  Sinha,  A.,  Soun,  T.,  &  Deb,  K.  (2019). " Using  Karush-Kuhn-Tucker  proximity measure  for  solving  bilevel  optimization
problems ”.  Swarm  and  Evolutionary Computation, Vol 44, 496 –510.
[4]  Umami,  A.,  Nababan,  E.,  &  Sawaluddin. (2015). " KKT Conditions and Branch and Bound Methods on Pure Integer Nonlinear Programming ".  International  Journal  of
Mathematical  Analysis  and  Applications, Vol 2(4), 62-67. [5]  Friedman, J. (1998). Linear Complementarity and Mathematical
(Nonlinear) Programming. UBC.
[6]  Safitri,  E.,  Basriati,  S.,  Zahara,  Amelia.
2019. "Optimalisasi Hasil Produksi
Menggunakan Metode Kuhn-Tucker (Studi Kasus:  Toko  Baju  Mitra  Pekanbaru)" . Jurnal  Sains  Matematika  dan  Statistika, 5(1).
[7]  Mardiyanti,  Narendra,  R.,  Sanwidi,  A.
2021. “Penerapan Program Linier Dalam
Pengoptimasian  Keuntungan  Produksi  di Home Industry Comod Cookies Menggunakan Metode Kuhn-Tucker” . Barekeng:  Jurnal  Ilmu  Matematika  dan Terapan, 15(3), (427 – 440).
[8]  Asih,  Ni  Made.  2012.  " Aplikasi  Metode Khun-Tucker  dalam  Penjualan  Oli  Mobil ( Studi Kasus: PT. Anugrah Mitra Dewata )". Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1,
Juni 2012 ISSN 1693-1394, h.57-68.
[9]    Agustina,  E.,  Sufri,  Rozi,  S.  " Optimasi Keuntungan Menggunakan Metode Karush-Kuhn-Tucker ( Studi  Kasus:  Mi Aceh Pattimura Di Jambi )". Focus Action of  Research  Mathematic,  Vol  3  No.  2,  h. 83-98.
[10]  Sikas,  O.R.,  Binsasi,  E.  " Optimalisasi
Sistem  Alokasi  dan  Penjadwalan  pada Rantai  Pasokan  dengan  Menggunakan Metode Karush-Khun-Tucker ( KKT )". Jurnal Saintek Lahan Kering, Vol 4 No. 1, h.9-11.
[11]  Taha  Hamdy  A.  (1997),  Operations Research  an  Introduction,  Prentice-Hall International, New Jersey.
[12]  Zulyadaini.  (2017).  “ Seri  Pembelajaran Program  Linier ”.    Yogyakarta:  Tangga Ilmu.
[13]   Lukananto, J.  (2000). Pengantar Optimasi NonLinier. http://luk.staff.ugm.ac.id/-
optimasi/pdf/  nonlinier2003.  [10  Maret 2014].
[14]  Banerjee,  S.  K.,  Alsaadi,  N.  A.  (2021). Nonlinear Mathematical Model for Design
Optimization of Construction. International Journal of Advanced Scientific and Technical Research,11(4).
[15]  Rahmadi.  (2011).  “ Pengantar  Metodologi Penelitian ”. Banjarmasin: Antasari Press.