## MODEL MATEMATIKA SEIRS-SEI PADA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN PENGARUH SUHU

## SEIRS-SEI MATHEMATIC MODEL ON THE SPREAD OF DENGUE HEMORRHAGIC FEBER WITH TEMPERATURE EFFECT
La Ode Sabran 1§ , Miftahul Jannah 2
1 Jurusan Matematika Universitas Halu Oleo, Indonesia [Ld.sabran@uho.ac.id]
2 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang, Indonesia [Miftahuljannah@uinib.ac.id] § Corresponding Author
Received November 2020; Accepted November 2020; Published Desember 2020;

## Abstrak
Penyakit  Demam  Berdarah  (DBD)  adalah  penyakit  menular  yang  disebabkan  oleh  virus dengue dan ditularkan  melalui  gigitan  nyamuk.  Penyakit  ini  banyak  berkembang  di  daerah  tropis  dan  sub-tropis seperti Indonesia. Ada dua populasi makhluk hidup yang terlibat dalam penyebaran penyakit DBD yaitu manusia yang disebut host dan nyamuk Aedes Aegypti betina yang disebut sebagai vector pembawa virus dengue .  Oleh  karena  itu,  penyebaran  penyakit  DBD  dapat  dimodelkan  mengikuti  model host-vector. Keberadaan  vektor  nyamuk Aedes  Aegypti ,  sangat  mempengaruhi  penyebaran  dan  jumlah  kasus terjadinya  penyakit  DBD.  Suhu  atau  temperatur  udara  merupakan  salah  satu  faktor  lingkungan  yang mempengaruhi kehidupan nyamuk Aedes Aegypti . Dalam penelitian ini akan dilakukan konstruksi model transmisi  penyebaran penyakit Demam Berdarah dengan Model SEIR-SEI  yang dipengaruhi oleh suhu. Selanjutnya dilakukan analisis dinamik dari model transmisi penyakit DBD yang dipengaruhi oleh suhu dari nyamuk ke manusia. Dengan menggunakan software matematika Maple 17 , diperoleh hasil simulasi numerik Model SEIRS-SEI menunjukkan bahwa suhu sangat mempengaruhi penurunan atau peningkatan populasi nyamuk terhadap penyebaran penyakit demam berdarah.
Kata Kunci : Demam Berdarah Dengue , Model SEIRS-SEI, Suhu

## Abstract
Dengue  Fever  (DHF)  is  a  contagious  disease  caused  by  the  dengue  virus  and  transmitted  through mosquito bites. This disease develops in many tropical and sub-tropical areas such as Indonesia. There are two populations of living things that are involved in the spread of dengue, namely humans, called the host and female Aedes aegypti mosquitoes, which are known as vectors of the dengue virus. Therefore, the spread of dengue can be modeled following the host-vector model. The existence of the Aedes Aegypti mosquito  vector  greatly  affects  the  spread  and  number  of  cases  of  dengue  fever.  Temperature  or  air temperature is one of the environmental factors that affect the life of the Aedes Aegypti mosquito. In this study,  the  construction  of  a  model  of  transmission  of  the  spread  of  Dengue  Fever  with  the  SEIR-SEI Model which is one of the environmental factors that affect the life of the Aedes Aegypti mosquito. In this study,  the  construction  of  a  model  of  transmission  of  the  spread  of  Dengue  Fever  with  the  SEIR-SEI Model  which is influenced by temperature will  be constructed. Furthermore, a dynamic analysis of  the dengue transmission model which is influenced by temperature from mosquitoes to humans is carried out.
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
By using the Maple 17 mathematical software, the numerical simulation results of the SEIRS-SEI Model show that temperature greatly affects the decline or increase in mosquito populations against the spread of dengue fever.
Keywords : Dengue Hemorrhagic Fever, Model SEIRS-SEI , Temperature

## 1. Pendahuluan
Salah  satu  jenis  penyakit  yang  sangat berbahaya dan dapat menyebabkan kematian bagi sang penderita adalah penyakit Demam Berdarah (DBD).Penyakit  DBD  adalah  penyakit  menular yang disebabkan oleh virus dengue dan ditularkan melalui  gigitan  nyamuk  yang  ditandai  dengan demam mendadak pada penderita antara 2 sampai 7  hari  tanpa  penyebab  yang  jelas,  lesu,  gelisah, nyeri  ulu  hati,  bintik  pada  kulit,  ruam,  kadang mimisan dan kesadaran menurun [6].
Penyakit  ini  banyak  berkembang  di  daerah tropis dan sub-tropis seperti Indonesia. Terhitung sejak  tahun  1968  hingga  tahun  2009, World Health  Organization  (WHO) mencatat  negara Indonesia  sebagai  negara  dengan  kasus  DBD tertinggi di Asia Tenggara. Jumlah penderita dan luas  daerah  penyebarannya  semakin  bertambah seiring dengan meningkatnya kepadatan penduduk [1].
Penyakit  DBD  disebarkan  melalui  gigitan nyamuk.  Di  Indonesia  vektor  utama  penyakit DBD  adalah  nyamuk Aedes  aegypti dan  vektor sekundernya adalah Aedes albopictus . Kepadatan vektor  ini  di  lingkungan  manusia  menyebabkan meningkatnya  probabilitas  penularan  virus dengue terhadap  manusia  [3].  Menurut  data Direktorat Jenderal Pengendalian dan Penyehatan Lingkungan  pada  tahun  2009  dilaporkan  data kasus  DBD  di  Indonesia  sebesar  158.912  kasus [1].
Belum  ditemukan  pengobatan  khusus  dan
vaksin  untuk  DBD.  Saat  ini,  pengembangan vaksin  sedang  dilakukan  dan  analisis  efektivitas diselidiki  [4].  Tanpa  ketersediaan  obat  dan vaksin,  satu-satunya  cara  untuk  mencegah penularan virus dengue yaitu membasmi nyamuk yang  menjadi  pembawa  virus dengue [5]. Keberadaan vektor nyamuk Aedes Aegypti , sangat mempengaruhi  penyebaran  dan  jumlah  kasus terjadinya  penyakit  ini.  Jumlah  populasi  vektor sangat di tentukan oleh suhu.
Suhu atau temperatur udara merupakan salah satu  faktor  lingkungan  yang  mempengaruhi kehidupan  nyamuk Aedes  Aegypti .  Nyamuk Aedes  Aegypti akan  meletakkan  telurnya  pada suhu udara sekitar 20 o C – 30 o C. Nyamuk dapat hidup  pada  suhu  rendah  tetapi  proses metabolismenya  menurun  atau  bahkan  berhenti apabila  suhu  turun  sampai  di  bawah  suhu  kritis. Pada  suhu  lebih  tinggi    dari  35 o C  juga mengalami perubahan dalam arti lebih lambatnya proses-proses  fisiologi,  rata-rata  suhu  optimum untuk  pertumbuhan  nyamuk  adalah  25  –  27 o C. Pertumbuhan  nyamuk  akan  berhenti  sama  sekali pada suhu kurang dari 10 o C atau lebih dari 40 o C. Kecepatan  perkembangan  nyamuk  tergantung dari kecepatan proses metabolismenya [6].
Yang HM dan Ferreira [7] menyatakan bahwa pengetahuan  tentang  bagaimana  jumlah  populasi nyamuk  berubah  sesuai  dengan  perubahan  suhu yang  terjadi  sangat  membantu  dalam  pemilihan strategi  yang  tepat  dalam  pengendalian  penyakit
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
Demam  Berdarah  Dengue  (DBD).  Suhu  sangat mempengaruhi  penurunan  atau  peningkatan populasi  nyamuk.  Secara  luas,  temperatur  atau suhu  berdampak  pada  seluruh  siklus  kehidupan nyamuk  yang  meliputi  telur,  larva,  kepompong dan nyamuk dewasa. Telur yang diletakan dalam air  akan  menetas  1  sampai  3  hari  pada  suhu  30 o C,  tetapi  pada  temperatur  16 o C  dibutuhkan waktu selama 7 hari agar telur menetas [6].
Meskipun  suhu  berpengaruh  pada  seluruh siklus  kehidupan  nyamuk,  namun  perhatian utama yang menjadi kajian dalam artikel ini lebih dikhususkan  pada  pengaruh  suhu  terhadap kematian harian nyamuk dalam kaitannya dengan dampaknya  terhadap  penularan  penyakit  Demam Berdarah (DBD) dari nyamuk kepada manusia.

## 2. Landasan Teori

## 2.1. Demam Berdarah dan Suhu
Sejak  pertama  ditemukannya  penyakit Demam  Berdarah  hingga  saat  ini,  terdapat  4 serotipe  virus  penyebab  DBD  yaitu  DEN-1, DEN-2, DEN-3, dan DEN-4 [8]. Penularan DBD kepada  manusia  terjadi  melalui  hewan  perantara nyamuk Aedes  Aegypti betina.  Kasus  DBD diklasifikasikan  dalam  3  kasus  yaitu Dengue tanpa  tanda  bahaya  ( Dengue  without  warning signs ), Dengue dengan  tanda  bahaya  ( Dengue with  warning  signs ),  dan Dengue berat  ( severe Dengue ) [5].
Kriteria Dengue tanpa tanda bahaya adalah mual, muntah, ruam, sakit dan nyeri, uji torniket positif,  serta  lekopenia.  Pada dengue dengan tanda bahaya gejalanya sama dengan gejala DBD tanpa  tanda  bahaya  diikuti  dengan  nyeri  perut,
muntah  berkepanjangan,  terdapat  akumulasi cairan,  pendarahan  mukosa,  letargi,  lemah, pembesaran hati > 2 cm dan kenaikan hematokrit seiring dengan penurunan jumlah trombosit yang relatif  cepat.  Sedangkan,  kriteria  kasus Dengue berat  yaitu  kebocoran  plasma  berat  yang  dapat menyebabkan shock ( Dengue shock syndrome/DSS ), akumulasi cairan dengan distress pernafasan, pendarahan hebat (sesuai
pertimbangan  klinis),  gangguan  kesadaran, gangguan  hati  dan  organ  berat  lainnya  yang ditandai dengan Aspartat Aminotranferase (AST) atau  Alanin  Aminotranferase  (ALT) 1000  [5]. ALT akan dikeluarkan apabila sel hati mengalami kerusakan,  sedangkan  jika  AST  keluar  maka bukan hanya sel hati yang mengalami kerusakan, tetapi juga sel pada organ jantung.
Ada  dua  populasi  makhluk  hidup  yang terlibat  dalam  penyebaran  penyakit  Demam Berdarah (DBD) yaitu manusia yang disebut host dan  nyamuk Aedes  Aegypti betina  yang  disebut sebagai vector pembawa  virus  dengue.  Oleh karena  itu,  penyebaran  penyakit  DBD  dapat dimodelkan mengikuti model host-vector.
Penularan  penyakit  DBD  pada  manusia yang  selanjutnya  disebut host ,  terjadi  melalui gigitan  nyamuk  ( vector )  yang  terinfeksi. Host yang  sehat  tidak  akan  sakit  selama  tidak  ada interaksi dengan vector terinfeksi. Pada umumnya host akan  mengalami  masa  inkubasi  setelah  10 kali  digigit  oleh vector terinfeksi  virus  dengue [10]. Host akan mengalami masa inkubasi selama 7  –  10  hari  [11].  Pada  masa  inkubasi,  virus berkembang  dalam  tubuh host ,  namun  belum mampu  menginfeksi vector yang  menggigitnya.
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
Lalu muncul gejala-gejala DBD yang menandakan  bahwa  virus Dengue sudah  beredar di  dalam  darah host .  Pada  masa  ini host disebut sedang  mengalami  sakit  DBD  yang  berlangsung sekitar 7 – 14 hari dan mampu menularkan virus Dengue pada vector yang  menggigitnya  (masa vireumia ).  Masa recovery biasanya  dimulai  pada hari  ke-8  setelah  muncul  gejala  pertama  dan berlangsung  sekitar  satu  minggu.  Kesembuhan dari penyakit DBD akan menyebabkan kekebalan
terhadap jenis virus Dengue yang
menginfeksinya,  tetapi  malah  menyebabkan host lebih  rentan  terhadap  jenis-jenis  virus Dengue lainnya [12, 13]. Berdasarkan proses yang dilalui host ,  maka host dapat  dibagi  menjadi  4 kompartemen yaitu susceptible host ( S h ), exposed host ( E h ), infected  host ( I h )  dan recovered  host ( R h ).

## 2.2.  Kompartemen Manusia dan Nyamuk
Populasi  manusia  dibagi  kedalam  empat kompartemen yaitu:
a. Populasi manusia sehat dan rentan /
Jumlah  manusia  yang  sehat  dan  tergolong rentan  terserang  virus Dengue (penyakit  demam berdarah)  bertambah  karena  adanya  rata-rata kelahiran  manusia  sebanyak manusia persatuan  waktu  dan  jumlah  manusia  yang sembuh  sebesar manusia  persatuan  waktu.
Kemudian  berkurang  karena  adanya  kematian alami  sebanyak manusia  persatuan  waktu. Jumlah  manusia  yang  terinkubasi  adalah sebanyak manusia  persatuan  waktu  yang
selanjutnya disebut e xposed .
b. Populasi manusia inkubasi /
Manusia  inkubasi  adalah  manusia  yang terinfeksi tetapi belum dapat menginfeksi nyamuk sehat  dan  rentan.  Populasi  manusia  inkubasi ( exposed )  bertambah  karena  adanya  transmisi virus dari nyamuk kemanusia yang terjadi karena adanya gigitan nyamuk terinfeksi kepada manusia sehat dan rentan. Banyaknya manusia terinkubasi adalah sebesar manusia persatuan waktu.
c. Populasi manusia terinfeksi /
Populasi  manusia  terinfeksi  dan  dapat menginfeksi,  bertambah  karena  hasil  transmisi alami  dari  manusia  terinkubasi  menjadi  manusia terinfeksi  dengan  laju persatuan  waktu  atau sebanyak manusia persatuan waktu.
d. Populasi  manusia  sembuh  dan  kebal sementara ( recovered ) /
Populasi  manusia  recovered  bertambah karena  hasil  transmisi  dari  manusia  terinfeksi yang  mengalami  kesembuhan  dan  kebal sementara  dengan  laju persatuan  waktu  atau sebanyak
manusia  persatuan  waktu.
Populasi  ini  berkurang  karena  telah  habisnya masa  kekebalan  sehingga  menjadi  sehat  dan rentan  dengan  laju persatuan  waktu  atau sebanyak manusia persatuan waktu.

## 3. Hasil Dan Pembahasan

## 3.1. Konstruksi Model Matematika
Manusia susceptible yang  tertular  virus dengue akan mengalami masa inkubasi selama 7 –  10  hari  sebelum  menjadi  manusia  infected. Demikian  pula,  nyamuk susceptible akan mengalami  masa  inkubasi  selama  4  –  7  hari
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
setelah  menggigit  manusia infected [11].
Kesembuhan  manusia  dari  penyakit  DBD menyebabkan  kekebalan  terhadap  jenis  virus dengue yang  menginfeksinya  tetapi  malah menyebabkan  lebih  rentan  terhadap  jenis  virus dengue lainnya [12, 13].
Berdasarkan  fakta-fakta  di  atas,  model
Esteva dan Vargas kemudian penulis
kembangkan  menjadi  model  SEIRS  –  SEI, ( Susceptible,  Exposed,  Infected  and  Recovered ) untuk  manusia ( host ) dan ( Susceptible, Eksposed and  Infected )  untuk  nyamuk  ( vector )  dengan adanya  pengaruh  suhu  yang  mempengaruhi kematian  nyamuk.  Interaksi  yang  terjadi  antara host  dan  vector  selanjutnya  dimodelkan  secara matematika dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu  untuk  menyederhanakan  model,  dengan tetap merepresentasikan keadaan yang
sebenarnya.
Asumsi-asumsi  yang  digunakan  adalah sebagai berikut:
1. Tingkat  kelahiran  populasi  manusia  dan populasi nyamuk bersifat konstan.
2. Manusia  merupakan  sumber  makanan  satu- satunya bagi nyamuk. Hal ini berarti nyamuk mendapatkan  makanan  (darah)  dengan  cara menggigit  manusia,  dan  bukan  dari  hewan atau makhluk hidup lainnya.
3. Setiap  nyamuk Aedes  aegypti hanya mentrasmisikan satu jenis virus dengue .
4. Infeksi  pada  manusia  hanya  terjadi  jika nyamuk terinfeksi menggigit manusia susceptible .  Demikian  pula  sebaliknya, infeksi  pada  nyamuk  hanya  terjadi  jika
manusia  terinfeksi  digigit  oleh  nyamuk susceptible .
5. Manusia  yang  telah  sembuh  diasumsikan kebal  untuk  sementara  waktu,  kemudian kembali menjadi individu susceptible.
6. Tidak  ada  proses  bebas  dari  virus  pada nyamuk.
7. Tidak  ada  kematian  karena  penyakit  DBD pada  manusia.  Kematian  yang  terjadi diasumsikan karena kematian alami.
8. Tidak ada kematian karena virus Dengue pada nyamuk.  Kematian  yang  terjadi  adalah kematian yang dipengaruhi oleh temperatur.
Melengkapi  skenario  dan  asumsi-asumsi  di atas,  perlu  didefenisikan  kompartemen  dan parameter yang diperlukan. Agar memiliki makna biologi,  nilai-nilai  dari  kompartemen  dan parameter berikut ini ditetapkan non negatif.
Variabel  yang  digunakan  sebagai  nama  dari kompartemen untuk mengkonstruksi model dapat dilihat pada Tabel 3.1 berikut:

## Tabel 1. Variabel dari kompartemen yang digunakan pada model
Variabel Deskripsi Kompartemen Satuan Manusia Susceptible Manusia Manusia Exposed Manusia Manusia Infected Manusia Manusia Recovered Manusia Nyamuk Susceptible Ekor Nyamuk Exposed Ekor Nyamuk Infected Ekor Parameter yang digunakan untuk
mengkosntruksi  model  dapat  dilihat  pada  Tabel 4.2 berikut:
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
Tabel  2.  Daftar parameter model transmisi demam berdarah Parameter Keterangan Satuan Rata-rata kelahiran manusia susceptible persatuan waktu Manusia/satua n waktu Rata-rata banyak gigitan nyamuk persatuan waktu Banyak gigitan /satuan waktu Peluang  kontak sukses mentrasmisikan  virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia sehat - Total populasi manusia Manusia Laju transisi dari manusia recovered menjadi manusia Susceptible 1/satuan waktu Laju  kematian  alami pada manusia persatuan waktu 1/satuan waktu Laju transisi dari manusia exposed menjadi manusia infected . 1/satuan waktu Laju transisi dari manusia infected menjadi manusia recovered . 1/satuan waktu Rata-rata kelahiran nyamuk susceptible persatuan waktu Nyamuk/satua n waktu Peluang  kontak sukses mentrasmisikan  virus dari manusia terinfeksi kepada nyamuk sehat. 1/satuan waktu Fungsi peluang kematian harian nyamuk 1/satuan waktu Laju transisi dari nyamuk exposed menjadi nyamuk infected . 1/satuan waktu
Transmisi  virus Dengue (penyebaran penyakit DBD) terjadi melalui interaksi antara (manusia  sehat  dan  rentan),
(manusia terinkubasi), (manusia  terinfeksi)  dan (manusia recovery) dengan (nyamuk sehat dan
rentan tertular virus), (nyamuk terinfeksi virus namun  masih  dalam  masa  inkubasi)  dan (nyamuk terinfeksi). Transmisi penyakit DBD ini digambarkan dalam diagram interaksi berikut:

## Gambar 3.  Diagram kompartemen transmisi host-vektor DBD
Model host-vektor seperti pada Gambar 4.1 di atas, populasi , , , , , dan adalah
suatu  fungsi  terhadap  waktu  t.  Pada  awalnya berinteraksi  dengan , sehingga ketika transmisi virus DBD berhasil maka menjadi . Selama periode waktu tertentu, akan berubah menjadi .  Selanjutnya
berpindah  menjadi ( recovery ).  Pada  selang  waktu  tertentu, diasumsikan  kehilangan  kekebalannya  dan menjadi populasi sehat yang rentan terinveksi lagi oleh  virus,  sehingga  masuk  kembali  ke kompartemen .  Sedangkan  pada ,  transmisi terjadi ketika berinteraksi dengan , sehingga
ketika  transmisi  virus  DBD  berhasil  maka akan  menjadi .  Selanjutnya,  selama  periode
waktu tertentu, akan berubah menjadi .
Populasi  nyamuk  dibagi  kedalam  3 kompartemen yaitu:
a. Populasi nyamuk sehat dan rentan /
Jumlah  nyamuk  yang  sehat  dan  tergolong rentan  terserang  virus  bertambah  karena  adanya rata-rata kelahiran nyamuk sebanyak nyamuk persatuan waktu.
b. Populasi nyamuk inkubasi /
Nyamuk  inkubasi  adalah  nyamuk  terinfeksi tetapi  belum  dapat  menginfeksi  manusia  sehat
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑣 ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑣 ℎ 𝑣 ℎ 𝑣 𝑣 ℎ ℎ 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑣 𝑣 𝑣
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
dan  rentan.  Banyak  nyamuk  terinkubasi  adalah sebesar nyamuk persatuan waktu.

## c. Populasi nyamuk terinfeksi /
Populasi  nyamuk  terinfeksi  dan  dapat menginfeksi,  bertambah  karena  transmisi  alami dari  nyamuk  terinkubasi  menjadi  nyamuk terinfeksi  dengan  laju persatuan  waktu  atau sebanyak nyamuk persatuan waktu.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  dapat dikonstruksi model matematika perubahan jumlah populasi manusia dan nyamuk untuk setiap satuan waktu pada setiap kompartemen host-vector yaitu sebagai berikut:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Diasumsikan  semua  nilai  parameter  adalah positif, dapat ditulis sebagai berikut:
Demikian  pulan  nilai  fungsi
adalah
. Untuk menyederhanakan perhitungan, maka
permasalahan  model  akan  ditinjau  pada  nilai populasi  manusia dan  populasi  nyamuk yang  konstan.  Dapat  dituliskan  sebagai
berikut:

## dan
Dengan mengasumsikan laju kelahiran pada manusia  sama  dengan  laju  kematiannya  (
.
Demikian pula, laju kelahiran pada nyamuk sama dengan  laju  kematiannya  yang  dipengaruhi  oleh temperatur  ( .  Sehingga  banyak  rata-rata kelahiran pada manusia dan nyamuk adalah: dan ,
Ekivalen dengan:
dan Titik Kesetimbangan Model SEIRS – SEI Saat
Konstan
Pada  suhu  Konstan,  sistem  (1)  –  (7) memiliki dua titik kesetimbangan:
1. Titik  Kesetimbangan  Non  Endemik  /  Disease Free Equilibrium (DFE)
Titik  kesetimbangan  DFE  menggambarkan suatu keadaan populasi yang bebas dari penyakit atau  infeksi.  Pada  titik  kesetimbangan  DFE, dan bernilai  nol  sehingga  pada  titik  tersebut dicapai keadaan bebas infeksi.
{ } Eksistensi titik kesetimbangan non-endemik terjamin  apabila  tidak  terdapat  populasi  di kompartemen terinfeksi ( ). Sedangkan,  populasi  di  kompartemen  sehat bernilai positif ( ).
2. Titik Kesetimbangan Endemik
Titik kesetimbangan endemik terjadi saat nilai dan positif. Didefenisikan:
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
, , ,
, dan
.
Sehingga  diperoleh  titik  kesetimbangan endemik sebagai berikut:
( ) ( )
( )
( )
Eksistensi  titik  kesetimbangan  endemik ini  terjamin  apabila  seluruh  populasi  pada  setiap kompartemen  bernilai  positif  yaitu
dan . Oleh karena itu, persamaan (4.1) – (4.7) memiliki titik  kesetimbangan  endemik  yang  terjamin  ada apabila dipenuhi syarat atau ekivalen dengan . 3.2.  Analisis  Kestabilan  Non-Endemik  Model SEIRS-SEI Saat Konstan Pada suhu konstan, kestabilan titik kesetimbangan Desease  Free  Equilibrium (DFE) dapat  ditentukan  berdasarkan  nilai  karakteristik
dari matriks jacobi hasil pelinearan sistem (4.1) –
(4.7) yang dievaluasi di sekitar titik kesetimbangan  DFE.  Matriks  jacobi  yang dihasilkan yaitu:
Nilai eigen dari matriks jacobian di atas: Nilai eigen selanjutnya yaitu , , dan dapat diperoleh dengan mencari nilai akar-akar dari persamaan: (8) Dengan, Diperoleh nilai eigen , , dan adalah bernilai  negatif.  Selanjutnya,  jika  akar-akar  dari persamaan  (8)  bernilai  negatif  ( dan )  maka  titik  kesetimbangan
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
non-endemik bersifat stabil.
Pada  persamaan  (8),  agar  akar-akar  yang diperoleh bernilai negatif ( dan
) maka mesti dipenuhi kondisi berikut:
1.
2. 3. 4. karena nilai dan maka syarat  perlu  agar  titik  kesetimbangan  non- endemik  stabil  adalah .  Sehingga  kondisi nilai  eigen dan akan memenuhi kondisi: 1. 2. 3.
4.
Karena , diperoleh: Ekivalen dengan: . Jadi, titik kesetimbangan non-endemik akan stabil jika .
3.3. Next  Generation  Matrix dan Basic

## Reproduction  Number Model  SEIRS-SEI
Saat Konstan
Pada  suhu  konstan,  matriks  NGM  untuk sistem (4.1) – (4.7) di atas adalah sebagai berikut:
Nilai-nilai  entri  pada  matriks  NGM  di  atas memberikan gambaran sebagai berikut:
1. Entri menginterprestasikan  bahwa sebesar bertransisi  menjadi  manusia terinfeksi ( ) selama periode waktu . 2. Entri menginterprestasikan  bahwa sebesar bertransisi  menjadi  nyamuk terinfeksi ( ) selama periode waktu . 3. Entri menginterprestasikan  bahwa  satu nyamuk  terinfeksi  ( )  dapat  menghasilkan sebanyak inkubasi baru pada kompartemen  manusia  terinkubasi  ( ) selama periode waktu . 4. Entri menginterprestasikan bahwa  satu  manusia  terinveksi  ( )  dapat menghasilkan  sebanyak inkubasi
baru  pada  kompartemen  nyamuk  terinkubasi
( ) selama periode waktu . Polinomial karakteristik dari matriks NGM :
Dengan  demikian  nilai  eigen  terbesar  yang menyatakan yaitu:
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …

## √

## 3.4. Simulasi Numerik Model SEIRS – SEI
Nilai  parameter  yang  digunakan  dapat  dilihat pada Tabel 4. berikut:
Tabel 4. Nilai parameter simulasi numerik
Nilai awal yang dipilih dapat dilihat pada tabel 5 berikut.
Tabel 5. Nilai awal untuk setiap kompartemen
300 150 50 15 10 5 100
 Hasil simulasi perubahan populasi manusia
(a).  Manusia Susceptible
(b). Manusia Eksposed

## (c). Manusia Infected

## (d). Manusia Recovered
Gambar 6. Perubahan populasi manusia terhadap waktu
Gambar 6. memperlihatkan tentang perubahan populasi manusia dengan adanya perubahan suhu yang  ditunjukkan  grafik  berwarna  merah  dan pada suhu konstan  yaitu 34 o C  yang ditunjukkan grafik  berwarna  hitam.  Berdasarkan  nilai parameter  yang  dipilih  terlihat  grafik  laju perubahan  jumlah  populasi  manusia  dengan adanya  variasi  perubahan  suhu,  manusia susceptible pada gambar 1.(a) berfluktuasi antara 130 – 150 orang, manusia eksposed gambar 1.(b) berfluktuasi  antara  80  –  90  orang,  manusia infected pada  gambar  3.(c)  berfluktuasi  antara
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
170  –  190  orang    dan  jumlah  populasi  untuk
manusia recovered pada
gambar 4.(d) berfluktuasi  antara  100  –  120.  Akan  tetapi  pada suhu  konstan  yaitu  34 o C  manusia susceptible menjadi  lebih  banyak  yaitu  stabil  di  250  orang.
Manusia exposed lebih  sedikit  yaitu  stabil  di  60 orang.  Manusia infected juga  lebih  sedikit  yaitu stabil  di  120  orang.  Demikian  pula  manusia recovered stabil  di  85  orang.  Meningkatnya manusia susceptible dan  menurunnya  manusia eksposed,  infected serta recovered disebabkan karena  pada  suhu  34 o C  banyak  nyamuk  yang mati sehingga manusia teringkubasi dan terinfeksi akan lebih sedikit.
 Hasil simulasi perubahan populasi nyamuk

## Gambar 7. Perubahan populasi nyamuk terhadap waktu
Gambar 7. memperlihatkan tentang perubahan populasi nyamuk dengan adanya perubahan suhu yang  ditunjukkan  grafik  berwarna  merah  dan pada suhu konstan  yaitu 34 o C  yang ditunjukkan grafik  berwarna  hitam.  Berdasarkan  nilai parameter  yang  dipilih  terlihat  grafik  laju perubahan  jumlah  populasi  nyamuk  dengan adanya  variasi  perubahan  suhu,  nyamuk susceptible pada gambar 2.(a) berfluktuasi antara
400  –  500  ekor,  nyamuk eksposed gambar  2.(b) berfluktuasi  antara  140  –  150  ekor  dan  jumlah nyamuk infected pada  gambar  2.(c)  berfluktuasi antara  350  –  450  ekor.  Akan  tetapi  pada  suhu konstan yaitu 34 o C nyamuk susceptible menjadi lebih  banyak  yaitu  stabil  di  700  orang.  Nyamuk exposed lebih sedikit yaitu stabil di 130 ekor dan nyamuk infected juga lebih sedikit yaitu stabil di 150 ekor. Perubahan populasi nyamuk susceptible pada  suhu  34 o C  menjadi  lebih  banyak disebabkan karena pada suhu ini manusia infected menjadi  lebih sedikit,  sehingga nyamuk ekspose, dan infected berkurang  yang  mengakibatkan nyamuk susceptible menjadi lebih banyak.
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Berdasarkan hasil penelitian model
matematika  SEIRS-SEI  pada  penyebaran penyakit  demam  berdarah  dengan  pengaruh suhu diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Dari  fenomena  yang  ada,  diperoleh konstruksi  model  matematika  perubahan jumlah  populasi  manusia  dan  nyamuk untuk  setiap  satuan  waktu  pada  setiap kompartemen host-vector berupa  sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
2. Dari  hasil  simulasi  numerik  model  SEIRS-
SEI untuk  perubapan populasi manusia, pada
suhu 34 o C banyak nyamuk yang mati. Hal ini mengakibatkan manusia susceptible
meningkat  dan  manusia eksposed,  infected , serta recovered menurun.  Begitu  juga  untuk hasil  simulasi  perubahan  populasi  nyamuk, pada  suhu  34 o C  manusia infected sedikit, sehingga  populasi  nyamuk eksposed dan infected berkurang  yang  mengakibatkan nyamuk susceptible menjadi lebih banyak.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Pada kesempatan kali ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak terkait  yang telah membantu  dalam penyelesaian penelitian ini.

## Daftar Pustaka
[1]  U.Fachmi, dkk. Buletin Jendela Epidemiolgi: Demam  Berdarah  Dengue ,  Pusat  Data  dan Surveilans Epidemiologi Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, Vol. 2. 2010. [2]  WHO.  Fact  Sheet  No.  177: Dengue Guidelines  For  Diagnosis,  Treatment, Prevention, and Control , 2009. [3]  C.  A.  Purnomo. Dinamika  Penularan Penyakit  Demam  Berdarah  Dengue  Di Kecamatan  Duren  Sawit  Kota  Madya Jakarta Timur Tahun 2010 . Tesis. Universitas Indonesia. 2010. [4]  D.  S.  Sephard,  J.  A.  Suaya,  S.  B.  Halstead, M. B. Nathan, D. J. Gubler, R. T. Mahoney,
D.  N.  C.  Wang,  dan  M.  I.  Meltzer, Cost- effectiveness  of  a  pediatric  dengue vaccine.Vaccine 22 , 1275-1280. 2004.
[5]  WHO, WHO  Fact  sheet  No.  117,  2009: Dengue  and  dengue  haemorrhagic  fever,
WHO, New York, 2009. [6]  A.  Sitio. Hubungan  Perilaku  Tentang Pemberantasan Sarang Nyamuk dan Kebiasaan  Keluarga  Dengan  Kejadian Demam  Berdarah  Dengue  Di  Kecamatan Medan  Perjuangan  Kota  Medan  Tahun 2008 . Tesis. Universitas Diponegoro. 2008.
[7]  H.  M.  Yang,  M.  L.  G.  Macoris,  K.  C. Galfani,  M.  T.  M.  Andri  Ghetti,  dan  D.  M. V.  Wanderley. Assesing  The  Effects  of Temperature  on  The  Population  of  Aedes Aegypti,  The  Vector  of  Dengue .  Cambridge University Press. 2009.
[8]  WHO, WHO  Fact  sheet  No.  117.  Dengue and severe dengue . 2015.
[9]  Indrawan. Mengenal dan Mencegah Demam Berdarah . Bandung. Pioner Jaya. 2001.
[10] D.  Aldila. Model  Matematika  Demam
Berdarah: Kajian Pengendalian dan Penanggulangan . Disertasi. Institut
La Ode Sabran, Miftahul Jannah                                                                                                             Model Matematika SEIRS-SEI Pada …
Teknologi Bandung. 2014.
[11]  Y.  Yaacob,  S.  H.  Yeak,  R.  S.  Lim,  dan  E. Soewono. A  Delay  Differential  Equation Model  for  Dengue  Transmission  with Regular  Visits  to  a  Mosquito  Breeding Site.AIP  Conference  Proceedings . 1651 ,
153. 2015.
[12]  N. Nuraini, E. Soewono, dan K. A. Sidarto. Mathematical  Model  of  Dengue  Disease Transmission With Severe DHF Compartment . Bull. Malay. Math. Sci. Soc. 30, 143 – 157. 2007.
[13]  N.  Nuraini  dan  H.  Tasman. Simulation Model  For  Dengue  Infection .  International Jurnal  Of  Basic  And  Applied  Sciences IJBAS – IJENS Vol: 12 No: 01. 2012.
[14]  M.  Zevika. Model  Molekular  Penyebaran Demam  Berdarah  Dengue. Tesis.  Institut Teknologi Bandung. 2015.
[15]  J.  Helmersson. Mathematical  Modeling  Of
Dengue – Temperatur  Effect  On  Vectorial Capacity . Master Thesis. UMEA Universitet. 2012. [16]  M. N. Nabie. Studies On The Development And Survival Of Anopheles Gambiae Sensu Stricto  At  Various  Temperatures  And Relative  Humidities .  Durham  E-Theses. Durham University. 2001.
[17]  V.  Elmert,  A.  H.  Fink,  A.  E.  Jones,  A.  P. Morse. Development  Of A New Version Of The  Liverpool  Malaria  Model.  I.  Refining The  Parameter  Settings  And  Mathematical Formulation Of Basic Processes Based On A  Literature  Review .  Malaria  Journal,
10 :35. 2011.
[18]  L.  Esteva  dan  C.  Vargas.  Analaysis  Of  A Dengue  Disease  Transmission  Model. Math. Biosci., 150, 130 – 151. 1998.