Estimator Nadaraya-Watson dengan Pendekatan Cross Validation dan Generalized Cross Validation untuk Mengestimasi Produksi Jagung
Febriolah Lamusu 1 , Tedy Machmud 2 , Resmawan 3 1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Gorontalo
febriolarol@gmail.com
Abstract. Nadaraya-Watson Estimator with kernel approach depends on two- parameter, those are kernel function and bandwidth choice. However, between the  two  of  them,  bandwidth  choice  gave  a  huge  impact on the  result  of  the estimation.  By  minimizing  the  value  of  Mean  Square  Error  (MSE),  Cross- Validation (CV) and Generalized Cross-Validation (GCV) gave the optimal bandwidth  value.  In  this  research,  corn  production  was  considered  as  the dependent variable, while the planted area, harvested area, and the fertilizer as the independent variable. The result of this research showed that Nadaraya- Watson  Estimator  with  Generalized  Cross-Validation  gives  a  better  corn production  estimation  with  optimal  bandwidth  value  742392,2,  with
, 400 , 400 2 1 = = h h and % 99 , 99 2 = R with MSE 202583,9.
Keywords: kernel, estimator Nadaraya-Watson, cross validation, generalized cross validation.

## 1. Pendahuluan
Regresi  nonparametrik  merupakan  metode  pendugaan  model  yang  dilakukan berdasarkan pendekatan  yang  tidak terikat  asumsi  bentuk  kurva  regresi tertentu, dimana kurva  regresi  hanya  diasumsikan  mulus  [1].  Beberapa  metode  pendekatan  yang  paling popular digunakan dalam regresi nonparametrik adalah spline [2], Fourier [3], wavelet [4] dan  kernel.  Pada  penelitian  ini  menggunakan  kernel  karena  memiliki  kemampuan  yang baik dalam memodelkan data yang tidak mempunyai pola tertentu [5]. Selain itu regresi kernel lebih fleksibel, bentuk matematisnya mudah, dan dapat mencapai tingkat konvergen yang  relatif  cepat  [6].  Regresi  kernel  memiliki  beberapa  fungsi,  diantaranya  fungsi Gaussian, fungsi Epanechnikov , fungsi triangle , fungsi uniform , fungsi cosinus , dan fungsi kuadratik [7]. Fungsi kernel yang biasa digunakan adalah fungsi Gaussian, karena fungsi Gaussian lebih umum digunakan dan lebih smooth dibandingkan dengan fungsi kernel yang lain  [8].  Pada  regresi  kernel  salah  satu  estimator  yang  sering  digunakan  yaitu  estimator Nadaraya-Watson.  Beberapa  penelitian  sebelumnya  tentang  estimator  Nadaraya-Watson telah dilakukan oleh Nurul dkk. [9], Ida [10], dan Tiani dkk. [11].
Estimator  Nadaraya-Watson  dengan  pendekatan  kernel  tergantung  pada  dua
Volume 3  No 2  November 2020
parameter  yaitu  fungsi  kernel  dan  pemilihan bandwidth yang  digunakan  [7].  Namun diantara  keduanya  pemilihan bandwidth memiliki  pengaruh  yang  paling  kuat  terhadap estimasi yang dihasilkan [6]. Metode yang digunakan untuk mendapatkan bandwidth yang optimal  adalah  dengan  menggunakan  metode Cross  Validation (CV)  dan Generalized Cross-Validation (GCV) [12].
Provinsi Gorontalo dikenal sebagai salah satu sentra produksi jagung nasional yang mampu memenuhi kebutuhan komoditas di pasar dalam negeri, maupun untuk melakukan ekspor. Menurut dinas pertanian Provinsi Gorontalo produksi jagung di Provinsi Gorontalo terus tajam dari 692.000 ton pada tahun 2016, menjadi 1,5 juta ton pada tahun 2018. Bahkan dari  total  ekspor jagung  380.000  ton  pada  tahun  2018,  sebanyak  113.000 tonnya  adalah hasil  produksi  petani  Provinsi  Gorontalo.  Namun,  pada  tahun  2019  terjadi  penurunan produksi jagung di Provinsi Gorontalo [13]. Terdapat sekitar 4.405 hektar lahan pertanian padi dan jagung yang mengalami puso [14]. Oleh karena itu, perlu dilakukan upaya agar produksi jagung di Provinsi Gorontalo tetap terjaga. Salah satu upaya yang dapat dilakukan adalah dengan melakukan pemodelan untuk memprediksi dan mengetahui produksi jagung di  Provinsi  Gorontalo.  Data  produksi  jagung  adalah  data  yang  berfluktuatif  dan  tidak membentuk suatu pola hubungan tertentu yang tidak diketahui bentuk fungsinya. Sehingga pendekatan  nonparametik  adalah  pendekatan  yang  paling  tepat  untuk  digunakan.  Hasil pemodelan  ini  diharapkan  dapat  membantu  pihak  terkait  dalam  melakukan  langkah- langkah strategis agar tidak mengalami kerugian yang signifikan.

## 2. Landasan Teori
Perbandingan  metode  yang  digunakan  untuk  penelitian  ini  yaitu  metode  Cross Validation  (CV)  dan  Generalized  Cross  Validation  (GCV)  menggunakan  estimator Nadaraya-Watson.
2.1.  Metode Cross-Validation (CV). Salah satu metode untuk menentukan nilai bandwidth adalah Cross  Validation (CV).  Metode Cross  Validation atau  sering  disebut  CV  adalah metode pendugaan data untuk menunjukkan apa yang harus dilakukan jika pengulangan observasi  tersedia.  Pada  pemilihan bandwidth yang  optimum  didasarkan  nilai  CV yang minimum [9].
 =  − = n i i i X m y n h CV 1 2 )] ( [ 1 ) ( 
dengan
CV : Cross Validation h : Bandwidth
y i : Variabel dependen ke- i
x m  : Nilai estimasi
2.2.  Metode Generalized Cross Validation (GCV). Metode Generalized Cross Validation (GCV) dalam regresi kernel adalah satu metode untuk memilih bandwidth optimal dengan meminimalkan fungsi GCV. Optimasi GCV adalah memilih h optimal yang meminimalkan nilai GCV [7]:
2 1 2 1 } / ) ( ( 1 { ] ˆ [ ) ( n h H tr y y n h GCV n i i i − − =  = −
dengan
GCV( h )
: nilai GCV pada bandwidth h
n : GCV pada bandwidth h y i : data aktual subjek ke- i
i y ˆ : hasil estimasi subjek ke- i
tr ( H ) : jumlah dari elemen diagonal utama matriks penghalus 𝑛 x 𝑛
2.3. Estimator Nadaraya-Watson . Estimator Nadaraya-Watson diperkenalkan pada tahun 1964 oleh Nadaraya dan Watson. Estimator ini untuk memperkirakan m sebagai rata-rata tertimbang secara lokal dengan menggunakan kernel sebagai fungsi pembobotan [15].
) ( ) ( 1 ) , ( ˆ ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 1 i n i h i h i i X x K X x K X Y n X X m − − − =  =  
dalam [16] dituliskan bahwa
 = − − = = h j i j h i j h i i i X X K X X K X X X 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( 2 1      dengan
𝐾 : fungsi kernel
ℎ : nilai bandwidth
𝑋 𝑖 : nilai amatan variabel prediktor ke- i
𝑦 𝑖 : nilai amatan variabel respon ke- i
𝑥 : nilai random variabel X atau nilai tertentu dari variabel X

## 3. Hasil dan Pembahasan
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder.  Data  tersebut
adalah data produksi jagung, luas panen, luas tanam dan pupuk yang didapat dari Dinas Pertanian Kabupaten Boalemo, Dinas Pertanian Kabupaten Gorontalo dan Dinas Pertanian Kabupaten  Bone  Bolango  pada  tahun  2019.  Pengolahan  data  pada  penelitian  ini menggunakan software R.
3.1. Scatter Plot. Dalam menentukan model regresi nonparametrik kernel, langkah awal yang  dilakukan  adalah  membuat scatter  plot antara  variabel  dependen  dan  variabel independen.
Gambar 1. Plot Produksi Jagung dengan Luas Tanam, Luas Panen dan Pupuk
Gambar 1 menunjukkan hubungan X 1 dan Y membentuk garis lurus. Akan tetapi data banyak terkumpul pada titik awal, sedangkan data lainnya bernilai cukup jauh berbeda sehingga terdapat beberapa data pencilan yang terlihat pada Gambar 1. Begitupun dengan hubungan X 2 dan Y membentuk garis lurus namun data banyak terkumpul di titik awal dan data lainnya berada cukup jauh sehingga terdapat beberapa data pencilan. Pada Gambar 1 hubungan X 3 dan Y diketahui tidak membentuk pola apapun. Data menyebar secara acak sehingga  tidak  jelas  hubungan X 3  dan Y .  Ada  juga  beberapa  data  pencilan  yang  terlihat pada Gambar 1. Oleh karena itu, pola data seperti ini sangat cocok untuk didekati dengan pendekatan regresi nonparametrik.
3.2. Analisis Korelasi. Uji analisis korelasi dalam regresi nonparametrik kernel dilakukan untuk  mengetahui  variabel-variabel  independen  yang  berpengaruh  terhadap  variabel dependen. Dibawah ini merupakan hasil uji korelasi yang disajikan dalam Tabel 1.
Tabel 1. Analisis Korelasi Variabel Nilai Sig Nilai Korelasi Luas Tanam 0,00 0,907 Luas Panen 0,00 0,947 Pupuk 0,00 0,734
Tabel 1 menunjukkan nilai signifikan dari ketiga variabel 0,00 < α =0,05 artinya variabel
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 50000 100000 150000 200000 Plot Hubungan X1 dan Y Luas Tanam (X1) Ju m la h P ro d u ksi Ja g u n g ( Y ) 0 10000 20000 30000 40000 0 50000 100000 150000 200000 Plot Hubungan X2 dan Y Luas Panen (X2) Ju m la h P ro d u ksi Ja g u n g ( Y ) 0 500 1000 1500 2000 2500 0 50000 100000 150000 200000 Plot Hubungan X3 dan Y Pupuk (X3) Ju m la h P ro d u ksi Ja g u n g ( Y )
luas  tanam,  luas  panen,  dan  pupuk  berpengaruh  signifikan  terhadap  variabel  produksi jagung.
3.3.  Pemilihan  Bandwidth  Optimum  dengan  Cross-Validation  (CV) .  Pemilihan bandwidth optimum sangat penting dalam regresi kernel, karena nilai bandwith memiliki pengaruh yang paling kuat terhadap hasil estimasi. Berikut adalah nilai bandwidth optimum menggunakan metode CV dengan software R disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai bandwidth dengan CV
Tabel 2 menunjukkan bandwidth optimum berdasarkan kriteria CV adalah bandwidth yang memiliki  nilai  CV  terkecil  yaitu  65176849  dengan  nilai  MSE  sebesar  8931740  dan bandwidth optimum adalah h 1 = 1500, h 2 = 1500, h 3 = 1500. Plot nilai bandwidth h 1 , h 2 , dan h 3 dengan CV dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Nilai Bandwidth dengan CV
Gambar 2 menunjukkan nilai bandwidth optimum CV h 2 berada pada titik 1500, bandwidth optimum CV h 2 berada pada titik 1500 dan bandwidth optimum CV h 3 berada pada titik 1500.
3.4. Pemilihan Bandwidth Optimum dengan Generalized Cross Validation (GCV) . Nilai bandwidth optimum menggunakan metode GCV dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai Bandwidth dengan GCV
Tabel 3 menunjukkan bandwidth optimum berdasarkan kriteria GCV adalah yang memiliki nilai GCV terkecil yaitu 742392.2 dengan MSE sebesar 202583.9 dan bandwidth optimum
0 1000 2000 3000 4000 6 .5 e + 0 7 7 .5 e + 0 7 8 .5 e + 0 7 Plot Nilai CV dan Bandwidth h1 bandwidth (h1) n ila i C V 0 1000 2000 3000 4000 6 .5 e + 0 7 7 .5 e + 0 7 8 .5 e + 0 7 Plot Nilai CV dan Bandwidth h2 bandwidth (h2) n il a i C V 0 1000 2000 3000 4000 6 .5 e + 0 7 7 .5 e + 0 7 8 .5 e + 0 7 Plot Nilai CV dan Bandwidth h3 bandwidth (h3) n il a i C V h 1 h 2 h 3 CV MSE 1500 1500 1500 65176849 8931740 h 1 h 2 h 3 GCV MSE 400 400 400 742392,2 202583,9
Volume 3  No 2  November 2020
adalah h 1 = 400, h 2 = 400, h 3 = 400. Plot nilai bandwidth h 1 , h 2 , dan h 3 dengan GCV dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Plot Bandwidth GCV
Gambar  3  menunjukkan  nilai bandwidth optimum  GCV h 1 berada  pada  titik  400, bandwidth optimum GCV h 2 berada pada titik 400 dan bandwidth optimum GCV h 3 berada pada titik 400.
3.5. Estimasi Nadaraya-Watson dengan Metode Cross Validation (CV) . Berdasarkan perhitungan bandwidth optimum Cross Validation model regresi kernel Gaussian dengan estimator Nadaraya-Watson menghasilkan persamaan untuk memprediksi produksi jagung sebagai berikut:
𝑚 ̂(𝑋 (1) , 𝑋 (2) , 𝑋 (3) )
= − 1 (1500)(1500)(1500) ∑ 𝑦 𝑖 𝜑̂𝑋 𝑖 (1) 𝜑̂𝑋 𝑖 (2) 44 𝑖=1 𝐾( 𝑥 (1) − 𝑋 𝑖 (1) 1500 )𝐾( 𝑥 (2) − 𝑋 𝑖 (2) 1500 )𝐾( 𝑥 (3) − 𝑋 𝑖 (3) 1500 )
dengan
𝜑̂(𝑋 𝑖 ) = 𝜑̂(𝑋 𝑖 1 )𝜑̂(𝑋 𝑖 2 )𝜑̂(𝑋 𝑖 3 ) = ∑ 𝐾 1500 (𝑋 𝑗 (1) − 𝑋 𝑖 (1) 44 𝑗=1 )𝐾 1500 (𝑋 𝑗 (2) − 𝑋 𝑖 (2) )𝐾 1500 (𝑋 𝑗 (3) − 𝑋 𝑖 (3) )
3.6.  Estimasi  Nadaraya-Watson  dengan  Metode  Generalized  Cross-Validation (GCV) .  Berdasarkan  perhitungan bandwidth optimum Generalized  Cross-Validation model  regresi  kernel  Gaussian  dengan  estimator  Nadaraya-Watson  menghasilkan
0 1000 2000 3000 4000 0 e + 0 0 1 e + 0 7 2 e + 0 7 3 e + 0 7 4 e + 0 7 Plot Nilai GCV dan Bandwidth h1 bandwidth (h1) n ila i G C V 0 1000 2000 3000 4000 0 e + 0 0 1 e + 0 7 2 e + 0 7 3 e + 0 7 4 e + 0 7 Plot Nilai GCV dan Bandwidth h2 bandwidth (h2) n il a i G C V 0 1000 2000 3000 4000 0 e + 0 0 1 e + 0 7 2 e + 0 7 3 e + 0 7 4 e + 0 7 Plot Nilai GCV dan Bandwidth h3 bandwidth (h3) n ila i G C V
Volume 3  No 2  November 2020

## persamaan untuk memprediksi produksi jagung:
𝑚 ̂(𝑋 (1) , 𝑋 (2) , 𝑋 (3) )
= − 1 (400)(400)(400) ∑ 𝑦 𝑖 𝜑̂𝑋 𝑖 (1) 𝜑̂𝑋 𝑖 (2) 44 𝑖=1 𝐾( 𝑥 (1) − 𝑋 𝑖 (1) 400 )𝐾( 𝑥 (2) − 𝑋 𝑖 (2) 400 )𝐾( 𝑥 (3) − 𝑋 𝑖 (3) 400 )
dengan
𝜑 ̂ (𝑋 𝑖 ) = 𝜑̂(𝑋 𝑖 1 )𝜑̂(𝑋 𝑖 2 )𝜑̂(𝑋 𝑖 3 ) = ∑ 𝐾 400 (𝑋 𝑗 (1) − 𝑋 𝑖 (1) 44 𝑗=1 )𝐾 400 (𝑋 𝑗 (2) − 𝑋 𝑖 (2) )𝐾 400 (𝑋 𝑗 (3) − 𝑋 𝑖 (3) )
Kurva  data  aktual  produksi  jagung  dan  data  estimasi  menggunakan  metode  pendekatan Cross  Validation (CV)  dan Generalized  Cross  Validation (GCV)  di  Provinsi  Gorontalo dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4. Plot Estimasi Data Aktual dengan CV dan GCV
Gambar 4 menunjukkan bahwa kurva data aktual dan prediksi data menggunakan estimator Nadaraya-Watson  dengan  metode  CV  dan  GCV memiliki  pola  yang  sama  dan  saling berhimpit. Akan tetapi diantara kedua metode, GCV lebih mendekati data aktual.
3.7. Perbandingan Model . Untuk menentukan metode terbaik dalam melakukan estimasi produksi jagung di Provinsi Gorontalo dapat membandingkan nilai koefisien determinasi dan MSE yang dihasilkan. Hasil perhitungan nilai koefisien dan MSE dari metode CV dan GCV ditunjukkan pada Tabel 4.
Tabel 4. Nilai R - Square dan MSE Metode Nilai R - Square MSE Cross Validation 0,995349 8931740,0 Generalized Cross Validation 0,9998944 202583,9 0 10 20 30 40 0 50000 100000 150000 200000 Model Regresi Kernel Terbaik Index Y CV GCV aktual
Volume 3  No 2  November 2020
Tabel 4 memperlihatkan nilai R - Square dari GCV sebesar 0,9998944, lebih besar daripada nilai R - Square CV sebesar 0,995349 sehingga metode GCV lebih baik daripada metode CV. Nilai MSE GCV sebesar 202583,9 lebih kecil daripada MSE CV sebesar 8931740,0. Oleh karena itu metode yang lebih baik untuk mengestimasi produksi jagung di Provinsi Gorontalo adalah metode GCV.
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa metode Generalized Cross-Validation (GCV)  lebih  baik  daripada  metode Cross-Validation (CV)  untuk mengestimasi  data  produksi  jagung  di  Provinsi  Gorontalo.  Metode  GCV  menghasilkan nilai bandwidth optimum sebesar 742392,2 dengan 400 1 = h , 400 2 = h , dan 400 3 = h , nilai koefisien determinasi sebesar 0,9998944, dan MSE = 202583,9.

## Daftar Pustaka
[1] Eubank,  R.  L. Nonparametric    Regression  and  Spline  Smoothing .  Second  Edition. Marcel Dekker Inc. New York. 1999.
[2] Lestari, B., Chamidah, N., Saifudin, T. Estimasi Fungsi Regresi dalam Model Regresi Nonparametric  Birespon  Spline  Menggunakan  Estimator  Smoothing  Spline  dan Estimator Kernel. Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi (JMSK) , Vol. 15 No.
2. 20-24. 2019.
[3] Khairunnisa,  L.R.,  Prahutama,  A.,  dan  Santoso,  R.  Pemodelan  Regresi Semiparametrik dengan Pendekatan Deret Fourier. Jurnal Gaussian , Vol. 9 No 1. 50- 63. 2020.
[4] Suparti, Rezzy, E.C., Warsito, B., dan Yasin, H. The Shift Invariant Discrete Wavelet Transform (SIDWT) With Inflation Time Series Application. Jurnal of Mathematics , 8 (4). 2016.
[5] Hardle,  W. Applied  Nonparametric  Regression ,  Cambridge  University  Press,  New York. 1994.
[6] Hardle,  W. Applied  Nonparametric  Regression ,  Cambridge  University  Press,  New York. 1990.
[7] Suparti, Santoso,  R., Prahutama, A., dan Devi, A.R. Regresi Nonparametrik . Wade Group. Ponorogo. 2018.
[8] Komang,  G.  dan  Gusti,  A.  Estimator  Kernel  dalam  Model  Regresi  Nonparametrik. Jurnal Matematika , Vol. 2 No. 1. 19-30. 2012.
[9] Nurul,  A.,  Noami,  N.D.,  dan  Shantika,  M.  Estimasi  Model  Regresi  Nonparametrik Kernel Menggunakan Estimator Nadaraya-Watson. Jurnal Matematika, Statistika dan Terapannya , Vol. 8 No. 4, 633-638. 2019.
[10] Purwanti,  I.  Regresi  Nonparametrik  Kernel  Menggunakan  Estimator  Nadaraya- Watson dalam Data Time Series. Jurnal Penelitian , Vol. 1 No. 1. 49-56. 2019.
[11] Tiani, W. U., Martyana, P., and Vega, Z. V. Kernel Nonparametric Regression for The Modelizing  of  The  Productivity  Wetland  Paddy. Jurnal  International  Seminar
Education and Development of Asia . 2018.
[12] Ogden,  R.T. Essential  Wavelets  for  Statistical  Applications  and  Data  Analysis . Boston. Birkhauser. 1997.
[13] Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Provinsi  Gorontalo. Provinsi  Gorontalo  Dalam  Angka 2019 . Gorontalo: BPS Provinsi Gorontalo. 2019.
[14] Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Provinsi  Gorontalo. Statistik  Hortikultura  Provinsi Gorontalo 2018 . Gorontalo: BPS Provinsi Gorontalo. 2018
[15] Saputra,  J.  A.,  dan  Listyani,  E.  Pemilihan  Bandwidth  pada  Estimator  Nadaraya- Watson  dengan  Tipe  Kernel  Gaussian  pada  Data  Time  Series. Jurnal  Pendidikan Matematika dan Sains , Vol. 1 No. 1. 1–7. 2016.
[16] Bontemps, C., Robin, J., and Van den Berg, G. Equilibrium Search with Continuous Productivity  Dispersion:  Theory  and  Non  Parametric  Estimation. International Economic Review , 41, 305-358. 2000.