## DINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED)
Amir Tjolleng 1) , Hanny A. H. Komalig 1) , Jantje D. Prang 1)
1) Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sam Ratulangi Jl. Kampus Unsrat, Manado 95115 e-mail : tjollengamir@ymail.com; hanny07@yahoo.com ;  jantjedprang@yahoo.com

## ABSTRAK
Telah  dilakukan  penelitian  untuk  mengetahui  dinamika  perkembangan  HIV/AIDS  di  Sulawesi Utara  menggunakan  model  persamaan  diferensial  nonlinear  SIR.    Data  yang  digunakan  adalah data jumlah penderita HIV/AIDS dan jumlah penduduk di Sulawesi Utara tahun 2007-2008 dari Badan  Pusat  Statistik  dan  Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Utara.    Hasil  analisis  kestabilan berdasarkan  nilai  eigen  matriks  Jacobi  memperoleh  satu  titik  tetap  bebas  penyakit  yaitu yang bersifat semi stabil karena fenomena ambang batas dengan nilai- nilai  eigen dan .    Bilangan  reproduksi  dasar  penyakit  HIV/AIDS  di  Sulut sebesar  4,155.  Hasil  ini  menunjukkan  bahwa  akan  terjadi  epidemi  penyakit  HIV/AIDS  dalam kurun waktu hingga 100 tahun ke depan.
Kata kunci : Bilangan Reproduksi Dasar, HIV/AIDS, Kestabilan, Model SIR

## THE DEVELOPMENT DYNAMIC OF HIV/AIDS IN NORTH SULAWESI USING NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATION MODEL OF SIR
(SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED)

## ABSTRACT
The research has been conducted to determine the dynamics of the development of HIV/AIDS in North Sulawesi using SIR nonlinear differential equation model. The data is used on the number of  people  of  HIV/AIDS  and  the  number  of  residents  in  North  Sulawesi  in  2007-2008  from  the Central  Bureau of  Statistics  and  the  Health  Official  of  North  Sulawesi.  Stability  analysis  results based  on  the  eigenvalues  of  the  Jacobi  matrix  obtained  disease  free  equilibrium  point  is that are semi stable due to the threshold phenomenon with eigenvalues and . The basic reproductive number of HIV/AIDS in North Sulawesi at 4,155. These results indicate the HIV/AIDS epidemic will cause within a period of up to 100 years into the future.
Keywords : Basic Reproductive Number,  HIV/AIDS, Stability, SIR Model

## PENDAHULUAN
Dewasa ini epidemi Human
Immunodeficiency  Virus (HIV)  secara  global masih menjadi masalah kesehatan yang serius sehingga  menimbulkan  kekhawatiran  bagi manusia  di  belahan  bumi.  Epidemi  HIV  di Indonesia  merupakan  epidemi  yang  tercepat pertumbuhannya  di  Asia.    Pada  tahun  2004 hanya  16  dari  33  provinsi  yang  dilaporkan memiliki  kasus  infeksi  HIV.    Selanjutnya,  di penghujung  tahun  2009  kasus  AIDS  yang
dilaporkan  telah  menyebar  di  33  provinsi  di Indonesia (Komisi AIDS Nasional, 2009).
Sulawesi  Utara  adalah  daerah  yang memiliki tingkat kasus AIDS tertinggi kelima di Indonesia yakni sebesar 24,54 (557 kasus) atau sekitar 2,2 kali angka nasional.  Proporsi ini diperkirakan akan terus meningkat hingga beberapa tahun ke depan (Kemkes, 2011).
Penyakit  HIV/AIDS  dengan  prediksi perkembangan jumlah penderita yang terinfeksi dapat dimodelkan dengan menggunakan model matematis epidemiologi
yaitu  model  persamaan  diferensial  nonlinear SIR (Susceptible,  Infectious  and  Recovered ). Model  tersebut  pertama  kali  diperkenalkan pada  tahun  1927  oleh  Kermack  dan McKendrick (Murray, 2002).
Dalam  penelitian  ini,  model  epidemi SIR  digunakan  untuk  mengetahui  dinamika perkembangan,  titik  kesetimbangan  dan bilangan  reproduksi  dasar  dari  penyakit HIV/AIDS di Sulawesi Utara.

## TINJAUAN PUSTAKA

## Model Epidemi SIR
Murray  (2002)  dan  Chaharborj et  al. (2010)  menjelaskan  bahwa  model  epidemi SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack  dan  McKendrick  pada  tahun  1927. Model tersebut terdiri dari tiga kategori yaitu: susceptible (S)  atau  individu  yang  rentan terserang  penyakit, infected (I)  atau  individu yang  terinfeksi  dan  dapat  menyebarkan penyakit  tersebut  kepada  individu  yang rentan  dan recovered (R)  atau  individu  yang diasumsikan  telah  sembuh  atau  kekebalan tubuhnya  telah  kembali  normal  sehingga kebal terhadap penyakit.
Model  epidemi  SIR  diasumsikan sebagai berikut :
(1) (2) (3)
dimana : jumlah  individu  yang  rentan  dalam populasi pada waktu jumlah  individu  yang  terinfeksi  dalam populasi pada waktu jumlah  individu  yang  sembuh  dalam populasi pada waktu laju kesembuhan dari infectious menjadi recovered laju  penularan  penyakit  dari susceptible menjadi infectious
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Suatu  persamaan  diferensial  biasa nonlinear  adalah  persamaan  diferensial  biasa yang  tak  linear.    Misalkan  suatu  sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai :
(4)
dengan
dan
adalah  fungsi  tak  linear  dalam
Sistem persamaan (4) disebut sistem persamaan diferensial biasa nonlinear (Braun,
1983).

## Linearisasi
Misalkan diberikan sistem persamaan  diferensial    biasa  nonlinear berikut: (5) dengan adalah    suatu    fungsi bernilai    vektor    dalam    dan adalah  suatu  fungsi  mulus  yang  terdefinisi pada  subhimpunan . Dengan menggunakan ekspansi
Taylor  di  sekitar  titik  tetap  ,  maka  sistem persamaan  (5)  dapat  ditulis  sebagai  berikut  :
(6) dengan J adalah  matriks  Jacobi  yang dinyatakan sebagai berikut : dan adalah  suku  berorde  tinggi  yang bersifat dengan
. pada  sistem  persamaan  (6) disebut  pelinearan  sistem  persamaan  (5) (Tu, 1994).

## Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan  matriks  koefisien  konstan berukuran dan  sistem  persamaan
diferensial  biasa  homogen .  Suatu  vektor  tak  nol di  dalam disebut  vektor  eigen  dari jika  untuk suatu skalar berlaku: (7) Nilai  skalar    dinamakan  nilai  eigen  dari  .
Untuk  mencari  nilai    dari  ,  maka sistem persamaan (7) dapat ditulis:
(8) dengan    adalah  matriks  identitas.  Sistem persamaan (8) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika (9) Persamaan (9) merupakan persamaan karakteristik matriks   (Anton, 1995).

## Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial  biasa  sebarang . Titik    disebut  titik  tetap  jika . Titik  tetap  disebut  juga  titik  kritis  atau  titik kesetimbangan (Tu, 1994). Misalkan  terdapat  sistem  persamaan diferensial linear dengan mempunyai persamaan karakteristik dimana dan .  Nilai eigen dari   adalah : (10) Kestabilan  titik  tetap dapat ditentukan dengan  memperhatikan nilai-nilai eigen,  yaitu dimana yang
diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara  umum,  kestabilan  titik  mempunyai perilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika :
a) Setiap  nilai  eigen  real  adalah  negatif ( untuk semua i)
b) Setiap komponen bagian real dari nilai eigen  kompleks,  lebih  kecil  atau  sama dengan  nol  ( untuk  semua 2. Tidak stabil, jika :
a. Terdapat  nilai  eigen  real  yang  positif untuk suatu i .
b. Ada  komponen  bagian  real  dari  nilai eigen  kompleks,  lebih  besar  dari  nol ( untuk suatu 3. Sadel atau pelana, jika perkalian dua buah nilai  eigen  real  sembarang  adalah  negatif ( untuk i dan j sembarang).  Titik tetap  sadel  ini  bersifat  tak  stabil  (Tu, 1994).
4.  Jika  salah  satu  nilai  eigen  yang  diperoleh bernilai  nol  ( maka  titik tetapnya  akan  berada  dalam  suatu  garis. Jika maka semua solusi yang tidak dimulai  dari  titik  tetap  ini  cenderung untuk bergerak menuju garis tersebut. Dan
sebaliknya,  jika maka  akan
bergerak  menjauhi  garis tersebut (Farlow,
1994).

## Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar
merupakan  bilangan  yang  menunjukkan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit  yang  disebabkan  oleh  satu  individu terinfeksi. Bilangan reproduksi dasar dilambangkan  dengan
dan  dinyatakan dengan persamaan (11) berikut :
(11)
Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu : 1. Jika
, maka penyakit akan menghilang. 2. Jika , maka penyakit akan menetap. 3. Jika , maka penyakit akan meningkat  menjadi  wabah  (Giesecke, 1994).

## METODOLOGI PENELITIAN

## Data
Penelitian  ini  menggunakan  data sekunder tentang jumlah penderita
HIV/AIDS  dan  jumlah  penduduk  di  Provinsi Sulawesi  Utara  tahun  2007-2008  yang diperoleh  dari  Badan  Pusat  Statistik  (BPS) dan  Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi Utara.

## Prosedur Penelitian
Adapun prosedur yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Menaksir parameter laju perubahan individu pada subpopulasi S (Susceptible) , I (Infected) dan R (Recovered) .
2. Menentukan titik tetap model.
3. Melakukan  analisis  kestabilan  dengan metode linearisasi.
4. Menentukan  bilangan  reproduksi  dasar ( ).
5. Membuat plot subpopulasi S, I dan R serta potret  fase  sistem  dengan  menggunakan software Maple 12.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Penentuan Parameter Model SIR
Data yang digunakan untuk menentukan  parameter  tersebut  adalah  data
jumlah penderita AIDS dan jumlah penderita yang meninggal pada tahun 2007-2008.
Tabel 1.   Jumlah Penderita HIV/AIDS di
Sulawesi Utara Tahun 2007-2008 Tahun Jumlah Kasus yang Ditemukan HIV AIDS Meninggal 2007 29 43 11 2008 55 93 20 Dari tabel di atas diperoleh : dimana menyatakan  jumlah  penduduk Sulawesi  Utara  pada  tahun  2007  yang berjumlah 2.186.810 jiwa. Dengan mensubstitusi  semua  variabel  di  atas  pada solusi khusus subpopulasi S yakni diperoleh . Dengan asumsi laju kesembuhan atau kematian seorang penderita HIV/AIDS dalam 10  tahun  sebesar diperoleh dan .  Artinya  laju kesembuhan dari individu terinfeksi HIV/AIDS  menjadi  sembuh  atau  meninggal di Sulawesi Utara berdasarkan data 2007-2008  sebesar
dan  laju  penularan penyakit  dari  individu  rentan  menjadi terinfeksi sebesar .

## Penentuan Titik Tetap
Setelah  dilakukan  penurunan  dan perhitungan  diperoleh  titik  tetap  model yaitu
.
Titik tetap yang diperoleh merupakan titik  tetap  bebas  penyakit (diseases  free equilibrium) atau suatu keadaan dimana tidak terjadi  penyebaran  penyakit  menular  dalam populasi  karena  jumlah  subpopulasi  individu terinfeksi pada waktu t sama dengan nol.

## Analisis Kestabilan Titik Tetap
Berdasarkan  nilai  eigen  dari  matriks Jacobi yang diperoleh dari metode linearisasi diperoleh nilai eigen yang bernilai dan . Nilai eigen menunjukkan arah
kestabilan  yang  netral  sepanjang  sumbu  titik
tetap. Sedangkan untuk nilai eigen terdapat  dua  kondisi  yang mungkin yakni : 1. akan  bernilai  positif  jika 2. akan  bernilai  negatif  jika
Jika  nilai  parameter  dan  variabel yang  telah  diperoleh  melalui  analisis  data disubsitusikan  ke maka  akan didapatkan  nilai  eigen  yang  bernilai  positif yaitu . Jika  salah  satu  nilai  eigen  yang diperoleh  bernilai nol  ( maka
pada  kondisi  tersebut,  titik  tetapnya  berada dalam  suatu  garis.  Karena  nilai maka  semua  solusi  yang  tidak  dimulai  dari titik  tetap  akan  cenderung  untuk  bergerak menjauhi  garis  tersebut.  Titik  tetap  bebas penyakit yang  diperoleh bersifat semi stabil.
Potret fase dari titik tetap   disajikan seperti pada gambar 1 berikut ini.
Gambar 1. Potret fase subpopulasi S dan I
Melalui  gambar  1  dapat  dilihat bahwa  beberapa  segmen  garis    berwarna merah yang menunjukkan kemiringan (slope) dari  penyelesaian  di  setiap  titik bergerak menjauhi garis sepanjang titik tetap (sumbu S) ketika seiring bertambahnya waktu.  Keadaan  titik  tetap  dalam  daerah ini  akan  bersifat  tidak  stabil  karena menghasilkan  salah  satu  nilai  eigen  yang bernilai
. Selanjutnya, beberapa segmen garis yang lain akan bergerak mendekati garis titik  tetap  ketika .  Keadaan  titik  tetap dalam  daerah akan  bersifat  stabil
karena  menghasilkan  salah  satu  nilai  eigen
yang  bernilai .  Ini  berarti  dalam  daerah
stabil,  jumlah  individu  rentan  dan  terinfeksi tidak akan berubah secara signifikan. Gambar  1  juga  menunjukkan  suatu
fenomena ambang batas (threshold phenomenon) . Jika jumlah individu
subpopulasi rentan pada waktu awal ( memiliki  nilai  lebih  kecil  dari
maka  tidak  akan  terjadi epidemi penyakit, begitu pun sebaliknya. Jumlah  individu  subpopulasi  rentan HIV/AIDS  di  Sulut  pada  tahun  2007 )
sebanyak 2.186.810. Jumlah ini ternyata lebih besar  dari  nilai  parameter  kritis  yaitu .  Hasil  ini  menunjukkan
bahwa penyakit HIV/AIDS di Sulawesi Utara akan meningkat menjadi wabah atau menyebabkan  terjadinya  epidemi  dalam kurun  waktu  tertentu  di  masa  yang  akan datang.

## Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar yang diperoleh  yaitu .  Ini  berarti  satu individu terinfeksi (infectious) rata-rata dapat menularkan  penyakit  kepada  empat  hingga lima  individu  rentan (susceptible) dalam populasi.  Nilai  bilangan  reproduksi  dasar ( )  yang  diperoleh  lebih  besar  dari  1.  Ini menunjukkan  bahwa.  penyakit  HIV/AIDS  di Sulawesi  Utara  akan  meningkat  menjadi wabah dalam kurun waktu tertentu.

## Plot  Perubahan  Subpopulasi  S,  I  dan  R Terhadap Waktu
Plot  perubahan  subpopulasi  S,  I  dan R  menggunakan nilai parameter dan variabel yang diasumsikan sebagai berikut :
; ; ; ; Model dinamika penyebaran HIV/AIDS  di  Sulut  dapat  diasumsikan sebagai berikut :
; ;
Gambar 2. Proporsi subpopulasi S, I dan R untuk Gambar  2  menjelaskan  bahwa  pada waktu tahun, jumlah individu rentan semakin berkurang sedangkan jumlah individu terinfeksi dan meninggal mengalami kenaikan  seiring  berjalannya  waktu.  Hal  ini disebabkan  karena  individu  yang  berada dalam  subpopulasi  rentan  telah  terinfeksi penyakit  dan  berpindah  pada  kategori subpopulasi individu terinfeksi.
Gambar 3. Proporsi subpopulasi S, I dan R untuk
Gambar  3  menunjukkan  bahwa  pada saat tahun, jumlah individu subpopulasi  rentan,  terinfeksi  dan  meninggal tidak  mengalami  perubahan  yang  signifikan. Kondisi ini disebut dengan kondisi stabil dari sistem.  Kondisi  stabil  tersebut  dicapai  oleh sistem  saat .  Oleh
karena  itu,  penyakit  HIV/AIDS  di  Sulawesi Utara  akan  bersifat  endemik  dalam  kurun waktu 100 tahun ke depan.

## KESIMPULAN
Hasil model dinamika perkembangan HIV/AIDS  di  Sulawesi  Utara  menggunakan model  SIR  diperoleh  parameter-parameter sebagai berikut :
, dan . Melalui analisis kestabilan berdasarkan  nilai  eigen  matriks  Jacobi diperoleh  satu  titik  tetap  bebas  penyakit (diseases free equilibrium) yaitu yang bersifat semi stabil karena fenomena ambang batas dengan nilai-nilai eigen dan . Bilangan  reproduksi  dasar  penyakit HIV/AIDS  di  Sulawesi  Utara  sebesar .
Hasil  ini  menunjukkan  bahwa  penyakit HIV/AIDS di Sulawesi Utara akan meningkat menjadi  wabah atau  menyebabkan terjadinya epidemi dalam kurun waktu hingga 100 tahun ke depan.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1995. Aljabar Linier   Elementer.
Edisi ke-5. Terjemahan Pantur
Silababan    dan  I  Nyoman  Susila.
Erlangga, Jakarta.
Braun,  M.  1983. Differential  Equations  and Their  Applications .  Springer  Verlag,
New York.
Chaharborj,  S.  S., et  al .  2010.  Behavior Stability  in  Two  SIR-Style  Models for HIV. Int.  Journal  of  Math  Analysis . 4(9) : 427-434.
Farlow,  S.  J.  1994. An  Introduction  to Differential Equations  and Their Applications . Mc. Graw-Hill, Inc.
Giesecke, J. 1994. Modern Infectious Disease
Epidemiology . Oxford University Press, New York. Kementerian Kesehatan R.I., Dirjen Pengendalian Penyakit dan Penyehatan Lingkungan. 2011. Laporan Situasi Perkembangan HIV & AIDS di Indonesia sampai dengan Juni
2011. Jakarta Pusat
Komisi  AIDS  Nasional.  2009. Republic  of Indonesia  Country  Report  on  the Follow  up  to  the  Declaration  of Commitment on HIV/AIDS (UNGASS):
Reporting Period  2008-2009. Jakarta.
Murray, J. D. 2002. Mathematical  Biology : An Introduction. Third Edition. Springer-Verlag,  New  York    Berlin Heidelberg.
Tu,  P.N.V.  1994. Dynamical  System  :  An Introduction with  Applications in Economics  and  Biology. Springer- Verlag, New York.