PELABELAN 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 AJAIB SUPER DARI GRAF 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛
Ganesha Lapenangga Putra 1* , Erika Feronika Br Simanungkalit 2
1 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana, Kupang-NTT, Indonesia
2 Program Studi Pendidikan Ekonomi, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Nusa Cendana, Kupang-NTT, Indonesia
*Penulis Korespondensi : ganesha2373@gmail.com

## Abstrak
Graf 𝐺 didefinisikan  sebagai  pasangan  terurut  himpunan  titik  dan  sisi, dinotasikan dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) . Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dan 𝐻 = (𝑉 ′ , 𝐸 ′ ) suatu graf. Hasil kali sisir antara graf 𝐺 dan 𝐻 , dinotasikan dengan 𝐺 ⊳ 𝐻 , yaitu graf yang diperoleh dengan mengambil satu salinan graf 𝐺 dan salinan sebanyak |𝑉| dari graf 𝐻 dan mengidentifikasikan salinan ke- 𝑖 dari graf 𝐻 ke titik ke- 𝑖 pada graf 𝐺 . Misalkan 𝐺 suatu graf terhubung yang memuat selimut- 𝐻 . Suatu pelabelan 𝐻 -ajaib  dari  graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah  suatu  fungsi  bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) → {1,2,3, … , |𝑉(𝐺)| + |𝐸(𝐺)|} , sehingga 𝑓(𝐻 ′ ) = ∑ 𝑓(𝑣) 𝑣∈𝑉′ + ∑ 𝑓(𝑒) 𝑒∈𝐸′ = 𝑘 , untuk semua subgraf 𝐻′ yang isomorfik dengan 𝐻 dengan 𝑘 suatu konstanta. Selanjutnya,  graf 𝐺 disebut 𝐻 -ajaib  super  jika 𝑓(𝑉) = {1,2,3, … , |𝑉(𝐺)|} .  Pada jurnal  ini,  diberikan  pelabelan 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 ajaib  super  dari  graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 dengan metode multi himpunan seimbang.
Kata  kunci:  Graf,  Pelabelan 𝐻 -ajaib  super,  hasil  kali  sisir,  multi  himpunan seimbang.

## 1. PENDAHULUAN
Suatu graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan (𝑉, 𝐸) dimana 𝑉 adalah  himpunan  takkosong  dari  semua  titik  dan 𝐸 adalah  himpunan  sisi yang  menghubungkan  dua  titik . Himpunan  titik  pada  graf  biasanya dinotasikan  dengan 𝑉(𝐺) sedangkan  himpunan  sisi  pada  graf  adalah 𝐸(𝐺) . Banyaknya titik dan sisi pada graf 𝐺 secara berturut-turut dinotasikan sebagai 𝑉(𝐺) dan 𝐸(𝐺) [1].
Selanjutnya, diberikan definisi hasil ali sisir pada graf. Misalkan graf 𝐺 dan 𝐻 adalah  graf  terhubung  yang  memuat 𝑜 sebagai  salah  satu  titik  pada  graf 𝐻 . Hasil kali sisir antara graf 𝐺 dan 𝐻 , dinotasikan 𝐺  ⊳ 𝐻 , merupakan graf yang diperoleh  dengan  mengambil  satu  salinan  dari  graf 𝐺 dan  salinan
sebanyak │𝑉(𝐺)│ dari  graf 𝐻 ,  kemudian  menyatukan  titik 𝑜 pada  graf 𝐻 ke- 𝑖 dengan titik ke- 𝑖 pada graf 𝐺 [2].
Suatu graf 𝐺  =   (𝑉, 𝐸) dikatakan memuat selimut 𝐻 jika untuk setiap sisi pada graf 𝐺 termuat pada suatu subgraf yang isomorfik terhadap 𝐻 [3]. Selanjutnya graf 𝐺 yang memuat selimut- 𝐻 dikatakan 𝐻 -ajaib jika terdapat fungsi bijektif 𝑓: 𝑉 ∪  𝐸 → {1, 2, . . . , |𝑉| +   |𝐸|} sehingga  untuk  setiap  subgraf 𝐻′ dari 𝐺 yang isomorfik dengan 𝐻 berlaku 𝑓(𝐻′)   =   ∑ 𝑓(𝑣) (𝑣∈𝑉) +   ∑ 𝑓(𝑒) (e∈E) =  𝑘 dengan 𝑘
adalah bilangan ajaib [2].
Selanjutnya, graf 𝐺 disebut 𝐻 -ajaib super jika 𝑓(𝑉)   =   {1, 2, . . . , |𝑉|} [3].
Nirmalasari  Wijaya,  Ryan  dan  Kalinowski  [4]  membuktikan  bahwa  untuk 𝑛 ganjil dan sebarang 𝑘 , graf kembang api 𝐹 𝑘,𝑛 merupakan graf 𝐹 2,𝑛 -ajaib super. Selanjutnya, Maryati, Salman, dan Baskoro [5] telah mengkarakterisasi semua graf 𝐺 sehingga gabungan terpisah dari graf 𝐺 merupakan graf 𝐺 - ajaib super. Mereka  juga  telah  membuktikan  bilangan  ajaib  untuk  gabungan  dari  graf lintasan, yakni 𝑚𝑃 𝑛 untuk sebarang 𝑚 dan 𝑛 . Melanjutkan hasil yang sudah ada, maka  penulis  hendak  memaparkan  hasil  mengenai  pelabelan 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 ajaib super dari graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 .

## 2. MULTI HIMPUNAN SEIMBANG
Multi himpunan merupakan modifikasi himpunan yang mengijinkan unsur yang sama muncul lebih dari satu kali [6]. Berikut diberikan notasi-notasi yang digunakan terkait multi himpunan.
∑𝑋                = ∑ 𝑥 𝑥∈𝑋 [𝑝, 𝑞]             = {𝑥 | 𝑝 ≤ 𝑥 ≤ 𝑞, 𝑥 ∈ ℤ} (2.1)
{𝑝} ⊎ {𝑝, 𝑞} = {𝑝, 𝑝, 𝑞}
4{𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠}   = {𝑝, 𝑝, 𝑝, 𝑝, 𝑞, 𝑞, 𝑞, 𝑞, 𝑟, 𝑟, 𝑟, 𝑟, 𝑠, 𝑠, 𝑠, 𝑠}
Suatu multi himpunan 𝑋 dikatakan 𝑚 -seimbang jika terdapat himpunan 𝑋 1 , 𝑋 2 , … 𝑋 𝑚 yang merupakan subhimpunan 𝑋 dan untuk setiap 𝑘 ∈ [1, 𝑚] berlaku
|𝑋 𝑘 | = |𝑋| 𝑚 ∑𝑋 𝑘 = ∑𝑋 𝑚 (2.2)
⊎ 𝑘=1 𝑚 𝑋 𝑘 = 𝑋 𝑋 𝑘 disebut subhimpunan seimbang dari 𝑋 [6]. Berikut diberikan lema terkait multi himpunan seimbang.
Lema  2.1.1  Diberikan , m n N 
, 3 m  .  Jika n ganjil  dan 𝑦 genap  maka 𝑋 = (𝑚 − 1) {{1} ⊎ (𝑚 − 1){⊎ 𝑦=2 3𝑛−1 [𝑦(𝑚 + 1), 𝑦(𝑚 + 1) + 1]}} ⊎ [1,3𝑚𝑛 + 3𝑛 + 𝑚] merupakan multi himpunan 𝑚 - seimbang.

## Bukti:
Pertama, untuk setiap 𝑘 ∈ [1, 𝑚] bentuk
𝑋 𝑘 = { 𝑓(𝑏 𝑘 ), 𝑓(𝑎 1 ), 𝑓(𝑎 𝑘+1 ), 𝑓(𝑐 1 1 ), … , 𝑓(𝑐 1 𝑛 ), 𝑓(𝑐 𝑘+1 1 ), … , 𝑓(𝑐 𝑘+1 𝑛 ), 𝑓(𝑑 1 1 ), … , 𝑓(𝑑 1 2𝑛−1 ),
𝑓(𝑑 𝑘+1 1 ), … , 𝑓(𝑑 𝑘+1 2𝑛−1 ) } dengan
𝑓(𝑎 𝑖 ) = 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1 𝑓(𝑏 𝑘 ) = 3𝑛(𝑚 + 1) + (𝑚 + 1) − 𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚
𝑓(𝑐 𝑖 𝑗 ) = { 𝑗(𝑚 + 1) + (𝑚 + 1) + 1 − 𝑖;  1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑗 ganjil 𝑗(𝑚 + 1) + 𝑖;                               1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑗 genap (2.3) 𝑓(𝑑 𝑖 𝑙 ) = { (𝑙 + 𝑛)(𝑚 + 1) + 𝑖;                 1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1, 𝑙 ganjil (𝑙 + 𝑛 + 1)(𝑚 + 1) + 1 − 𝑖; 1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1, 𝑙 genap
Perhatikan bahwa untuk setiap 𝑘 ∈ [1, 𝑚] , |𝑋 𝑘 | = 6𝑛 + 1 dan ∑𝑋 𝑘 = 𝑓(𝑏 𝑘 ) + 𝑓(𝑎 1 ) + 𝑓(𝑎 𝑘+1 ) + 𝑓(𝑐 1 1 ) + 𝑓(𝑐 1 2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑐 1 𝑛 ) + 𝑓(𝑐 𝑘+1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑐 𝑘+1 𝑛 ) +               𝑓(𝑑 1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑑 1 2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑑 𝑘+1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑑 𝑘+1 2𝑛−1 ) = 9𝑚𝑛 2 + 9𝑛 2 + 3𝑚𝑛 + 6𝑛 + 1 . (2.4)
Perhatikan nilai ∑𝑋 berikut.
∑𝑋 = (𝑚 − 1) + (𝑚 − 1) ( 2(𝑚 + 1) + 2(𝑚 + 1) + 1 + 4(𝑚 + 1) + 4(𝑚 + 1) + 1 + ⋯ + (3𝑛 − 1)(𝑚 + 1) + 1 ) +
(3𝑚𝑛+3𝑛+𝑚)(3𝑚𝑛+3𝑛+𝑚+1)
2
= 9𝑚 2 𝑛 2 + 6𝑚𝑛 + 9𝑚𝑛 2 + 3𝑚 2 𝑛 + 𝑚 (2.5)
Berdasarkan persamaan (2.4) dan (2.5) , diperoleh ∑𝑋 𝑚 = 9𝑚 2 𝑛 2 +6𝑚𝑛+9𝑚𝑛 2 +3𝑚 2 𝑛+𝑚 𝑚 = 9𝑚𝑛 2 + 6𝑛 + 9𝑛 2 + 3𝑚𝑛 + 1 = ∑𝑋 𝑘 ⊎ 𝑖=1 𝑚 𝑋 𝑘 = 𝑋 (2.6)
|𝑋 𝑘 |        = |𝑋| 𝑚 Jadi, 𝑋 adalah multi himpunan 𝑚 -seimbang.
Lemma  2.1.2:  Diberikan 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑚 ≥ 3 .  Jika 𝑚, 𝑛, 𝑦 genap,  maka 𝑋 = (𝑚 − 1) { 𝑚 2 + 1,3𝑛(𝑚 + 1)} ⊎ (𝑚 − 1){⊎ 𝑦=1 3𝑛−2 [𝑦(𝑚 + 1), 𝑦(𝑚 + 1) + 1]} ⊎ [1,3𝑚𝑛 + 3𝑛 + 𝑚] merupakan multi himpunan 𝑚 - seimbang.
Bukti:
Pertama, untuk setiap 𝑘 ∈ [1, 𝑚] bentuk
𝑋 𝑘 = { 𝑓(𝑎 1 ), 𝑓(𝑎 𝑘+1 ), 𝑓(𝑏 𝑘 ), 𝑓(𝑐 1 1 ), … , 𝑓(𝑐 1 𝑛 ), 𝑓(𝑐 𝑘+1 1 ), … , 𝑓(𝑐 𝑘+1 𝑛 ), 𝑓(𝑑 1 1 ), … , 𝑓(𝑑 1 2𝑛−1 ), 𝑓(𝑑 𝑘+1 1 ), … , 𝑓(𝑑 𝑘+1 2𝑛−1 ) } dengan
𝑓(𝑎 𝑖 ) = { 𝑖 2 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1, 𝑖 genap
𝑚 2 + 𝑖+1 2 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1, 𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
𝑓(𝑏 𝑘 ) = { 3𝑛(𝑚 + 1) + 𝑚 2 + 𝑘+1 2 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 𝑘 ganjil
3𝑛(𝑚 + 1) + 𝑘 2 , 𝑘 genap
(2.7)
𝑓(𝑐 𝑖 𝑗 ) = { 𝑗(𝑚 + 1) + (𝑚 + 1) + 1 − 𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑗 ganjil 𝑗(𝑚 + 1) + 𝑖                            ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑗 genap
𝑓(𝑑 𝑖 𝑙 ) = { (𝑙 + 𝑛 + 1)(𝑚 + 1) + 1 − 𝑖;  1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1, 𝑙 ganjil (𝑙 + 𝑛)(𝑚 + 1) + 𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1, 𝑙 genap
Perhatikan bahwa untuk setiap 𝑘 ∈ [1, 𝑚] , |𝑋 𝑘 | = 6𝑛 + 1 . Selanjutnya, berdasarkan nilai 𝑘 , bukti dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1. 𝑘 ganjil ∑𝑋 𝑘 = 𝑓(𝑏 𝑘 ) + 𝑓(𝑎 1 ) + 𝑓(𝑎 𝑘+1 ) + 𝑓(𝑐 1 1 ) + 𝑓(𝑐 1 2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑐 1 𝑛 ) + 𝑓(𝑐 𝑘+1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑐 𝑘+1 𝑛 ) + 𝑓(𝑑 1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑑 1 2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑑 𝑘+1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑑 𝑘+1 2𝑛−1 ) = 9𝑚𝑛 2 + 9𝑛 2 + 3𝑚𝑛 + 6𝑛 + 𝑚 Kasus 2. 𝑘 genap
∑𝑋 𝑘 = 𝑓(𝑏 𝑘 ) + 𝑓(𝑎 1 ) + 𝑓(𝑎 𝑘+1 ) + 𝑓(𝑐 1 1 ) + 𝑓(𝑐 1 2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑐 1 𝑛 ) + 𝑓(𝑐 𝑘+1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑐 𝑘+1 𝑛 ) + 𝑓(𝑑 1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑑 1 2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑑 𝑘+1 1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑑 𝑘+1 2𝑛−1 ) = 9𝑚𝑛 2 + 9𝑛 2 + 3𝑚𝑛 + 6𝑛 + 𝑚 Perhatikan nilai ∑𝑋 berikut.
∑𝑋 = (𝑚 − 1) ( 𝑚 2 + 1) + (𝑚−1) 2 ( 3𝑛 2 ) [2(𝑚 + 1) + 3𝑛(𝑚 + 1)]
+ (𝑚−1) 2 ( 3n−2 2 ) [2(𝑚 + 1) + 1 + (3𝑛 − 2)(𝑚 + 1) + 1]
+ 3𝑚𝑛+3𝑛+𝑚 2 [3𝑚𝑛 + 3𝑛 + 𝑚 + 1]
= 9𝑚 2 𝑛 2 + 9𝑚𝑛 2 + 3𝑚 2 𝑛 + 6𝑚𝑛 + 𝑚 2
(2.8)
Berdasarkan persamaan (2.4) dan (2.5) , diperoleh ∑𝑋 𝑚 = 9𝑚 2 𝑛 2 +9𝑚𝑛 2 +3𝑚 2 𝑛+6𝑚𝑛+𝑚 2 𝑚 = 9𝑚𝑛 2 + 9𝑛 2 + 3𝑚𝑛 + 6𝑛 + 𝑚 = ∑𝑋 𝑘
⊎ 𝑖=1 𝑚 𝑋 𝑘 = 𝑋 (2.9)
|𝑋 𝑘 |        = |𝑋| 𝑚 Jadi, 𝑋 adalah multi himpunan 𝑚 -seimbang.

## 3. HASIL UTAMA
Graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 adalah graf yang diperoleh dengan mengambil satu salinan graf bintang dan m salinan dari graf kipas 𝐹 𝑛 , kemudian menempelkan titik ke- 𝑖 dari  graf  kipas  ke  titik  pada  graf  bintang 𝑆 𝑚 ,  untuk 1, 2,3, , i m  
.  Berikut diberikan himpunan sisi dan titik dari graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 . 𝑉(𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 ) = {𝑣 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 |1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1} 𝐸(𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 ) = {𝑒 𝑘 |1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚} ∪ {𝑒 𝑖 𝑙 |1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1}
Berikut merupakan teorema tentang pelabelan 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 − ajaib super pada graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 .
Teorema 3.1. Graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 merupakan graf 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 -ajaib super untuk a. 𝑚 ≥ 3, 𝑛 ≥ 3, 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 bilangan ganjil
b. 𝑚 ≥ 3, 𝑛 ≥ 3, 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚, 𝑛 bilangan genap Bukti:
Bukti dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1: 𝑛 ganjil
Berikut diberikan fungsi pelabelan graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 untuk 𝑛 ganjil 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 . 𝑓(𝑣 𝑖 ) = 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1 𝑓(𝑒 𝑘 ) = 3𝑛(𝑚 + 1) + (𝑚 + 1) − 𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚
𝑓(𝑣 𝑖 𝑗 ) = { 𝑗(𝑚 + 1) + (𝑚 + 1) + 1 − 𝑖;  1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑗 ganjil 𝑗(𝑚 + 1) + 𝑖;                               1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 𝑗 genap (3.1) 𝑓(𝑒 𝑖 𝑙 ) = { (𝑙 + 𝑛)(𝑚 + 1) + 𝑖;                 1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1, 𝑙 ganjil (𝑙 + 𝑛 + 1)(𝑚 + 1) + 1 − 𝑖; 1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1, 𝑙 genap
dengan 𝑓(𝑣 𝑖 ) merupakan  fungsi  pelabelan  titik  pada  graf  bintang, 𝑓(𝑒 𝑘 ) merupakan  fungsi  pelabelan  sisi  pada  graf  bintang, 𝑓(𝑣 𝑖 𝑗 ) merupakan  fungsi pelabelan titik pada graf kipas, dan 𝑓(𝑒 𝑖 𝑙 ) merupakan fungsi pelabelan sisi pada graf  kipas.  Berdasarkan  Lema  2.1.1,  diperoleh 𝑓(𝑎 𝑖 ) = 𝑓(𝑣 𝑖 ) , 𝑓(𝑏 𝑘 ) = 𝑓(𝑒 𝑘 ) , 𝑓(𝑐 𝑖 𝑗 ) = 𝑓(𝑣 𝑖 𝑗 ) , dan 𝑓(𝑑 𝑖 𝑙 ) = 𝑓(𝑒 𝑖 𝑙 ) . Perhatikan bahwa 𝑋 𝑘 merupakan label titik dan  sisi  dari  subgraf 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 ke- 𝑘 pada  graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 .  Menurut  Lema  2.1.1, jumlahan  label  titik  dan  sisi  dari  setiap  subgraf 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 bernilai  sama,  yakni 9𝑚𝑛 2 + 9𝑛 2 + 3𝑚𝑛 + 6𝑛 + 1 . Selanjutnya, ditunjukkan bahwa fungsi pelabelan yang diberikan merupakan fungsi bijektif. Perhatikan daerah hasil dari partisi masing-masing fungsi f berikut. 𝑓({𝑣 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1}) = [1, 𝑚 + 1]
𝑓({𝑣 𝑖 𝑗 |1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1}) = [𝑚 + 2, 𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛 + 1] (3.2)
𝑓({𝑒 𝑖 𝑗 |1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 − 1,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1}) = [𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛 + 2,3𝑚𝑛 + 3𝑛] 𝑓({𝑒 𝑘 |1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚}) = [3𝑚𝑛 + 3𝑛 + 1,3𝑚𝑛 + 𝑚 + 3𝑛]
Daerah  asal  dan  daerah  hasil  dari  partisi  masing-masing  fungsi berjumlah sama. Selanjutnya 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2, … , |𝑉| + |𝐸|} . Banyaknya unsur di daerah  asal  fungsi f adalah |𝑉 ∪ 𝐸| = 3𝑚𝑛 + 𝑚 + 3𝑛 ,  sedangkan  banyaknya unsur pada daerah kawan sama dengan banyaknya unsur pada daerah hasil, yakni 3𝑚𝑛 + 𝑚 + 3𝑛 . Akibatnya, f fungsi bijektif.
Kasus 2: 𝑚 dan 𝑛 genap.
Untuk  kasus  2,  dengan  menggunakan  Lema  2.1.2  dan  cara  yang  sama  pada kasus 1, maka dapat diperoleh fungsi pelabelan yang bijektif dengan jumlahan label titik dan sisi yang sama pada setiap subgraf 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 , yakni = 9𝑚𝑛 2 + 9𝑛 2 + 3𝑚𝑛 + 6𝑛 + 𝑚 .
Berdasarkan kedua kasus di atas, diperoleh bahwa graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 merupakan graf
𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 ajaib super untuk 𝑚 ≥ 3 , 𝑛 ≥ 3 dengan (a) 𝑛 ganjil dan (b) 𝑚, 𝑛 genap. ∎
Gambar 3.1. Pelabelan 𝑷 𝟐 ⊳ 𝑭 𝟑 ajaib super pada graf 𝑺 𝟓 ⊳ 𝑭 𝟑

## 4. SIMPULAN
Berdasarkan hasil di atas, disimpulkan bahwa graf 𝑆 𝑚 ⊳ 𝐹 𝑛 merupakan graf 𝑃 2 ⊳ 𝐹 𝑛 ajaib  super  untuk 𝑚 ≥ 3, 𝑛 ≥ 3, 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ dengan  (a) 𝑛 ganjil  dan  (b) 𝑚, 𝑛 genap. Selanjutnya,  penulis  menyarankan  untuk  memeriksa  pada  kasus 𝑚 ganjil  dan 𝑛 genap.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  G. Chartrand and P. Zhang, A First Course in Graph Theory. Dover Publications, 2012. [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=ocIr0RHyI8oC
[2]  W.  S.  Suhadi,  M.  Novi,  and  A.  P.  Ira,  “The  Metric  Dimension  of  Comb  Product Graphs.,” MATEMATIK VESNIK, vol. 69, no. 4, pp. 248–258, 2017.
[3]  J.  A.  Galian,  “A  Dynamic  Survey  of  Graph  Labeling,”  Electronic  Journal  of Combinatorics, 2020.
[4]  R.  W.  N.  Wijaya,  A.  S.  Fenovcikova,  J.  Ryan,  and  T.  Kalinowski,  “H-Supermagic Labelings  for  Firecrackers,  Banana  Tress  and  Flower,”  vol. 69,  no.  3,  pp.  442–451, 2017.
[5]  T. K. Maryati, E. T. Baskoro, and A. N. M. Salman, “P_h- (super) magic labelings of some  trees,”  Journal  of  Combinatorial  Mathematics  and  Combinatorial  Computing,  vol. 65, pp. 197–204, 2008.
[6]  T.  K.  Maryati,  A.  N.  M.  Salman,  E.  T.  Baskoro,  J.  Ryan,  and  R.  Miller,  “On  H- supermagic labelings for certain schakles and amalgamations of a connected graph, Util. Math., 83, 333-342.,” Util. Math., vol. 83, pp. 333–342, 2010.