Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 1, Maret 2023, 1-10 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i1.6376

## Konvergensi Barisan dan Kelengkapan pada Ruang Metrik Parsial Rectangular
Mohamad Ilham Dwi F 1 *, Erna Apriliani 2 , Mahmud Yunus 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Analitika Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Jawa Timur, Indonesia
e-mail: syah3946@gmail.com * , aprilmath12@gmail.com, yunusm@matematika.its.ac.id
Diajukan: 3 Januari 2020, Diperbaiki: 26 Desember 2022, Diterima: 26 Maret 2023

## Abstrak
Ruang  metrik  merupakan salah satu objek  yang dikaji dalam analisis fungsional. Ruang metrik mengalami banyak perkembangan diantaranya adalah ruang metrik parsial dan ruang metrik rectangular. Perbedaan antara ruang metrik dengan ruang metrik parsial terletak pada jarak suatu titik dengan dirinya sendiri. Pada ruang metrik selalu bernilai nol, sedangkan pada ruang metrik parsial tidak selalu nol. Disisi lain perbedaan antara ruang metrik dengan ruang metrik rectangular dapat dilihat pada sifat pertidaksamaan yang digunakan. Pada ruang metrik menggunakan pertidaksamaan segitiga, sedangkan pada ruang metrik rectangular menggunakan pertidaksamaan segiempat. Sukhla  pada tahun 2014  mengemukakan  ruang metrik  parsial rectangular  yaitu  menggabungkan konsep ruang  metrik  parsial dengan ruang metrik rectangular. Pada paper ini dibahas  sifat-sifat dari ruang metrik parsial rectangular antara lain konvergensi barisan, barisan Cauchy dan  kelengkapan ruang di dalam  ruang metrik parsial rectangular.
Kata Kunci : konvergensi barisan, barisan Cauchy, kelengkapan ruang, ruang metrik parsial rectangular, titik tetap.

## Abstract
The metric space is one of the objects studied in functional analysis. The metric space has undergone many developments, some eHamples of which are partial metric spaces and rectangular metric spaces. The difference between the metric space and the partial metric space can be seen in the distance of a point from itself. In the metric space, it is always equal to zero, while in the partial metric space it is not equal to zero. On the other hand, the difference between a metric space and a metric rectangular space can be seen in the inequalities used. In the metric space we use triangular inequalities, while in the metric rectangular space we use rectangular inequalities.  Shukla in 2014 presents the development of another metric space called  rectangular partial metric space, which combines the concept of  partial metric space with  rectangular metric space. This research we discusses the problem of the properties of the rectangular partial metric space, including convergence sequences, Cauchy sequences, and completeness of space in the rectangular partial metric space.
Keywords : convergence sequences, Cauchy  sequences, completeness space, rectangular partial metric space.

## 1 Pendahuluan
Ruang  metrik  biasanya disimbolkan dengan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) dengan 𝑋𝑋 merupakan himpunan tak kosong sedangkan 𝑑𝑑 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 merupakani metrik atau  fungsi jarak. Ruang metrik  pertama kali

## 2
ditemukan oleh ilmuan asal Prancis bernama M. Frechet pada tahun 1906 [1]. Seiring dengan berkembangnya jaman, ruang metrik mengalami banyak perkembangan, beberapa contoh jenis- jenis perkembangan ruang metrik antara lain ruang metrik parsial, ruang b-metrik, ruang metrik rectangular, ruang metrik fuzzy, dan lain sebagainya. Lebih lengkap mengenai ruang-ruang metrik tersebut dapat dilihat pada [1]–[10].
Ruang metrik parsial pertama kali dikenalkan oleh Matthews [11], ruang tersebut memiliki perbedaan dengan ruang metrik yang dikenalkan oleh Frechet, dapat dilihat dari jarak suatu titik ke dirinya sendiri. Dalam ruang metrik jarak titik ke dirinya sendiri bernilai nol, sedangkan dalam ruang metrik parsial tidak selalu bernilai nol. Matthews mengembangkan konsep ruang metrik parsial sebagai bagian dari penelitian mengenai notasi jaringan dataflow dan menunjukkan bahwa prinsip kontraksi Banach dapat berlaku  dalam ruang metrik parsial sebagai aplikasi dalam verifikasi program. Seiring berkembangan waktu, pada tahun 2000, Branciari mengenalkan konsep ruang metrik rectangular [9]. Hal menonjol yang membedakan ruang metrik rectangular dengan ruang metrik biasa dapat dilihat dari jenis pertidaksamaan yang digunakan. Dalam ruang metrik yang dikemukakan oleh Frechet,  pertidaksamaan yang digunakan adalah pertidaksaman segitiga, sedangkan dalam ruang metrik rectangular pertidaksamaan yang digunakan adalah pertidaksamaan segiempat  (rectangular).  Pada penelitian tersebut, Branciari juga menjelaskan bahwa teorema titik tetap kontraksi Banach juga berlaku dalam ruang metrik rectangular.
Pada tahun 2014, Sukhla mengenalkan jenis ruang metrik baru dengan menggabungkan konsep ruang metrik parsial dan ruang metrik rectangular yang disebut ruang metrik parsial rectangular [12]. Dalam penelitian tersebut dijelaskan bahwa, fungsi metrik parsial rectangular dapat dikonstruksi dari fungsi metrik rectangular, begitu pula sebaliknya. Berdasarkan sifar pengonstruksian tersebut, terdapat sifat menarik berkaitan tentang sifat konvergensi barisan dan sifat barisan Cauchy dari masing-masing ruang tersebut. Berbicara mengenai sifat konvergensi barisan, salah satu aplikasinya  adalah tentang sifat titik tetap pemetaan di dalam ruang tersebut. Pada paper ini, dikaji kembali lebih lanjut mengenai ruang metrik parsial rectangular, khususnya sifat-sifat konvergensi barisan, sifat barisan Cauchy, dan sifat kelengkapan dalam ruang metrik parsial rectangular.

## 2  Metode Penelitian
Pada bagian ini diberikan metode atau langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian. 2.1  Studi literatur
Pada tahap ini diberikan beberapa referensi yang berkaitan tetang ruang metrik parsial rectangular. Referensi yang dimaksud dapat berupa buku atau jurnal yang berkaitan dengan topik

## 3
pada paper. Bagian referensi yang mendukung dalam paper ini meliputi definisi, teorema, contoh- contoh yang berkaitan dengan ruang metrik, ruang metrik parsial, ruang metrik rectangular, dan ruang metrik parsial rectangular.
2.2  Mengkaji ruang metrik parsial rectangular.
Pada tahap ini, diberikan definisi dari ruang metrik parsial rectangular berdasarkan literatur yang diperoleh. Kemudian dikonstruksi contoh baru himpunan dan fungsi yang memenuhi sifat ruang metrik parsial rectangular.  Tteorema yang menunjukkan  hubungan ruang metrik parsial rectangular dengan ruang metrik, ruang metrik parsial, dan ruang metrik rectangular dibahas pada tahap ini.
2.3  Mengkaji sifat konvergensi barisan, barisan Cauchy, dan sifat kelengkapan.
Pada  tahap  ini, diberikan definisi dari konvergensi barisan, barisan Cauchy ,dan sifat kelengkapan dalam ruang metrik parsial rectangular beserta contohnya. Kemudian berikan teorema dan proposisi yang menunjukkan kaitan sifat-sifat barisan dan kelengkapan antara ruang metrik parsial rectangular dengan ruang metrik parsial dan ruang metrik rectangular.

## 3  Hasil dan Pembahasan

## 3.1  Ruang metrik parsial rectangular
Pada bagian ini diberikan  definisi ruang metrik parsial [11] dan ruang metrik rectangular [9] berserta contohnya sebagai perbandingan dengan definisi ruang metrik parsial rectangular. Definisi 1. Diberikan himpunan tak kosong 𝐻𝐻 dan 𝑑𝑑 𝑝𝑝 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ + ∪ {0} .  Fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝 disebut metrik parsial pada 𝐻𝐻 jika untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 ∈ 𝐻𝐻 maka berlaku
(MP1) 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 ) ⇔ 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 ;
(MP2) 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ;
(MP3) 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑣𝑣 , 𝑢𝑢 ) ;
(MP4) 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑤𝑤 , 𝑣𝑣 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑤𝑤 , 𝑤𝑤 ) .
Pasangan terurut ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ) disebut ruang metrik parsial.
Contoh 2. Misalkan 𝐻𝐻 = ℝ dan konstanta 𝛼𝛼 1 ∈ ℝ + didefinisikan 𝑑𝑑 𝑝𝑝 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ dengan
𝑑𝑑 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = � 𝛼𝛼 1 + 1, 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢 ≠ 𝑣𝑣 1 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣
untuk 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝐻𝐻 .  Dapat ditunjukkan bahwa fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝 memenuhi Definisi 1, sehingga ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ) adalah  ruang metrik parsial.
Definisi  3. Diberikan himpunan tak kosong 𝐻𝐻 dan 𝑑𝑑 𝑟𝑟 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ .  Fungsi 𝑑𝑑 𝑟𝑟 disebut metrik parsial pada 𝐻𝐻 jika untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝐻𝐻 maka berlaku

## 4
(MR1) 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≥ 0 ;
(MR2) 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 0 ⇔ 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 ;
(MR3) 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 , 𝑢𝑢 ) ;
(MR4) 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 ) untuk 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ∈ 𝐻𝐻 ∖ { 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 } .
Pasangan terurut ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) disebut ruang metrik rectangular.
Berikut ini diberikan contoh himpunan dan fungsi di dalamnya  sehingga  merupakan ruang metrik rectangular [10].
Contoh 4. Misalkan 𝐻𝐻 = { 𝑥𝑥 𝑖𝑖 | 𝑗𝑗 = 1,2, ⋯ ,7} ⊆ ℝ dan 𝑑𝑑 𝑝𝑝 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ dengan
𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑗𝑗 � = � 0, 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 ,
1.5,                       | 𝑗𝑗 − 𝑗𝑗 | = 1, 7, 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 5, 3.5 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗𝑢𝑢𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑗𝑗𝑢𝑢 ,
Pasangan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) merupakan ruang metrik rectangular.
Selanjutnya  diberikan definisi ruang metrik parsial rectangular yang merupakan penggabungan konsep ruang metrik parsial dan ruang metrik rectangular berserta contoh-contohnya [12].
Definisi 5. Diberikan himpunan tak kosong 𝐻𝐻 dan 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ . Fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 disebut metrik parsial rectangular  pada 𝐻𝐻 jika untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝐻𝐻 maka berlaku (MPR1) 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≥ 0
(MPR2) 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 ) ⇔ 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 ;
(MPR3) 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ;
(MPR4) 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 , 𝑢𝑢 ) ;
(MPR5) 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑤𝑤 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ) untuk 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ∈ 𝐻𝐻 ∖ { 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 } .. Pasangan terurut ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) disebut ruang metrik parsial rectangular.
Dari  Definisi 5, diperoleh lemma sebagai berikut.
Lemma 6. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) ruang metrik parsial rectangular, jika untuk 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻 berlaku 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 0 maka 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 .
Bukti. Dengan menggunakan  sifat (MPR1) dan (MPR3) didapat 0 ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 0 artinya 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 0 untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝑋𝑋 . Dari sifat (MPR2) diperoleh 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 .
. Berikut dikonstruksi contoh-contoh  himpunan dan fungsi yang merupakan ruang metrik parsial rectangular.
Contoh 7. Misalkan 𝐻𝐻 1 = � 1 3𝑛𝑛 : 𝑢𝑢 ∈ ℕ� ⊆ ℝ , 𝐻𝐻 2 = {0,3} dan 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻 1 ∪ 𝐻𝐻 2 . Jika 𝜀𝜀 > 0 suatu konstanta  dan fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 : 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → ℝ dengan

## 5
𝑑𝑑 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = � 𝜀𝜀 , 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 , 𝑢𝑢 + 𝜀𝜀 , 𝑢𝑢 ∈ 𝑋𝑋 1 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑢𝑢 𝑣𝑣 ∈ 𝑋𝑋 2 , 𝑣𝑣 + 𝜀𝜀 , 𝑢𝑢 ∈ 𝑋𝑋 2 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑢𝑢 𝑣𝑣 ∈ 𝑋𝑋 1 ,
1 + 𝜀𝜀 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 𝑦𝑦𝑗𝑗𝑢𝑢𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑗𝑗𝑢𝑢 , (1)
maka pasangan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) merupakan ruang metrik rectangular. Namun bukan  ruang metrik rectangular sebab 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) ≠ 0 untuk 𝑢𝑢 ∈ 𝑋𝑋 . Pasangan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) juga bukan ruang metrik parsial sebab
𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 (0,3) = 1 + 𝜀𝜀 > 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 � 0, 1 6 � + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 � 1 6 , 3 � − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 � 1 6 , 1 6 � = � 1 6 + 𝜀𝜀� + � 1 6 + 𝜀𝜀� − 𝜀𝜀 = 1 3 + 𝜀𝜀 Contoh  8. Misalkan 𝐴𝐴 = � 1 2𝑛𝑛 : 𝑢𝑢 ∈ ℕ� dan 𝐻𝐻 = 𝐴𝐴 ∪ {0} . Didefinisikan fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ dengan
𝑑𝑑 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = � 0, 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 , 𝑢𝑢 = 0, 𝑣𝑣 ∈ 𝐴𝐴 ,
1 + 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 2 𝑢𝑢 ≠ 𝑣𝑣 , 𝑢𝑢 ∈ 𝐻𝐻 ∖ {0},
untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝐴𝐴 . Pasangan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) merupakan ruang metrik rectangular.
Berdasarkan Definisi 5 dan Contoh 8 dapat disimpulkan bahwa setiap ruang metrik parsial dan ruang metrik rectangular merupakan  ruang metrik parsial rectangular, namun tidak berlaku sebaliknya. Selanjutnya  diberikan teorema-teorema yang menjelaskan bahwa  suatu metrik parsial rectangular dapat dikonstruksi melalui  metrik rectangular, begitu pula sebaliknya [12].
Teorema 9. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) ruang metrik parsial  rectangular, jika didefinisikan suatu fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ dengan
𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 , 𝑣𝑣 ) (2)
untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝐻𝐻 , maka ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) adalah ruang metrik  rectangular.
Teorema 10. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) ruang metrik rectangular dan konstanta 𝜀𝜀 > 0 , jika didefinisikan suatu fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ dengan
𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 𝑑𝑑 𝑟𝑟 + 𝜀𝜀 (3)
untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝐻𝐻 maka ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) adalah ruang metrik parsial rectangular.
Terinspirasi dari Teorema 9  dan Teorema 10,  berikut    ini  dikonstruksi metrik parsial rectangular baru dengan menggunakan  metrik rectangular.
Proposisi 11. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) ruang metrik rectangular dengan 𝐻𝐻 ⊆ ℝ , jika didefinisikan suatu fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 : 𝐻𝐻 × 𝐻𝐻 → ℝ dengan
𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = | 𝑢𝑢 | + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) + | 𝑣𝑣 | 2 (4)
untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝐻𝐻 , maka ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) adalah ruang metrik parsial rectangular.

## 6
Bukti. Untuk sifat (MPR1)-(MPR4) dapat dengan mudah untuk dibuktikan. Selanjutnya akan ditunjukkan untuk sifat (MPR5). Berdasarkan Persamaan (3), untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝑋𝑋 dan 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ∈ 𝐻𝐻 ∖ { 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 } diperoleh beberapa persamaan .
2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = | 𝑢𝑢 | + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) + | 𝑣𝑣 |, (5)
2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) = | 𝑢𝑢 | + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + | 𝑤𝑤 |, (6)
2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) = | 𝑤𝑤 | + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) + | 𝑧𝑧 |, (7)
2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 ) = | 𝑧𝑧 | + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 ) + | 𝑣𝑣 |, (8)
Berdasarkan Definisi 3, dengan mensubtitusi Persamaan (5)-(8) ke pertidaksamaan rectangular (sifat MR4) maka diperoleh
𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 )
⇔ 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) − | 𝑢𝑢 | − | 𝑣𝑣 |
≤ 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) − | 𝑢𝑢 | − | 𝑤𝑤 | + 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) − | 𝑤𝑤 | − | 𝑧𝑧 | + 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑣𝑣 ) − | 𝑤𝑤 | − | 𝑣𝑣 | ⇔ 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≤ 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) + 2 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 ) − 2| 𝑤𝑤 | − 2| 𝑧𝑧 | ⇔ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 ) − | 𝑤𝑤 | − | 𝑧𝑧 | ⇔ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑤𝑤 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑣𝑣 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑤𝑤 , 𝑤𝑤 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ) sehingga sifat (MPR5) terpenuhi. Jadi terbukti bahwa ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) ruang metrik parsial rectangular.
3.2  Konvergensi barisan dan barisan Cauchy pada ruang metrik parsial rectangular.
Shukla dalam [12],  mendefinisikan  barisan konvergen,  barisan Cauchy dan kelengkapan dalam ruang metrik parsial rectangular.
Definisi 12. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) merupakan ruang metrik parsial rectangular. Barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) di 𝑋𝑋 dikatakan konvergen ke 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 jika lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ) , dengan kata lain untuk setiap 𝜀𝜀 > 0 terdapat 𝑁𝑁 𝜀𝜀 ∈ ℕ sehingga  untuk setiap 𝑢𝑢 ≥ 𝑁𝑁 𝜀𝜀 berlaku �𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ) � < 𝜀𝜀 .
Definisi 13. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) merupakan ruang metrik parsial rectangular. Barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) di 𝐻𝐻 disebut dengan barisan Cauchy jika lim 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) ada dan berhingga.
Definisi 14. Ruang metrik parsial rectangular ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) disebut lengkap jika untuk setiap barisan Cauchy ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) di 𝐻𝐻 konvergen ke 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻 , atau dapat dituliskan
lim 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) =  lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 )
Berbeda dengan ruang metrik, barisan pada ruang metrik parsial rectangular mempunyai sifat kekonvergenan yang tidak selalu tunggal. Hal ini dapat dilihat pada Contoh 15 dan Contoh 16.
Contoh 15. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) ruang metrik parsial rectangular dengan himpunan 𝐻𝐻 dan fungsi 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 merujuk pada Contoh 6. Misalkan diberikan barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) di 𝐻𝐻 dengan 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 1 3𝑛𝑛 untuk 𝑢𝑢 ∈ ℕ . Mudah ditunjukkan   bahwa 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 0) = 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ � 1 3𝑛𝑛 + 𝜀𝜀� = 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 (0,0), sedangkan disisi lain diperoleh 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 3) = 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ � 1 3𝑛𝑛 + 𝜀𝜀� = 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 (3,3),
Sehingga diperoleh kesimpulan bahwa barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) konvergen ke 0 dan 3 .
Contoh 16. Diberikan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) ruang metrik parsial rectangular dengan 𝐻𝐻 = ℝ ∪ {0} dan 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) = 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑥𝑥 { 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 } untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝑋𝑋 . Diberikan barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) di 𝐻𝐻 dengan 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 1 𝑛𝑛 untuk 𝑢𝑢 ∈ ℕ . Mudah ditunjukkan bahwa
𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑥𝑥 � 1 𝑢𝑢 , 𝑥𝑥� = 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑥𝑥 {0, 𝑥𝑥 } = 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 } = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 )
Hal tersebut dapat disimpulkan bahwa ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) konvergen ke untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻 dengan kata lain ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) mempunyai tak hingga titik kekonvergenan di ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) .
Selanjutnya, diberikan Proposisi baru yang menunjukkan bagaimana syarat cukup sifat ketunggalan konvergensi barisan di ruang metrik parsial rectangular. Sebelum itu diberikan definisi berikut [13].
Definisi 17. Misalkan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) merupakan ruang metrik parsial rectangular.
1) Suatu barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } ⊂ 𝐻𝐻 disebut barisan  0-Cauchy jika 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) = 0 .
2) Ruang ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) disebut 0-complete jika untuk setiap barisan 0-Cauchy ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) terdapat 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻 sehingga berlaku
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ) = lim 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) = 0
Proposisi  18. Jika ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) ruang metrik parsial rectangular 0-complete maka  barisan konvergen { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } di 𝐻𝐻 mempunyai konvergensi tunggal.
Bukti. Misalkan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } ⊂ 𝐻𝐻 konvergen ke 𝑥𝑥 1 dan 𝑥𝑥 2 di 𝐻𝐻 . Perhatikan bahwa
𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) + 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 2 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) − 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) untuk nilai 𝑢𝑢 , 𝑙𝑙 → ∞ diperoleh bahwa 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ) = 0 . Berdsarkan Lemma 6 diperoleh bahwa 𝑥𝑥 1 = 𝑥𝑥 2 .
Berdasarkan Teorema 9,  menyatakan bahwa   sifat  fungsi  metrik rectangular yang dikonstruksi melalui fungsi metrik parsial rectangular menyebabkan adanya sifat kelengkapan ruang yang dipertahankan [12].

## 8
Teorema 19. Misalkan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) sembarang ruang metrik rectangular yang dikonstruksi melalui ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) ruang metrik parsial rectangular berdasarkan Persamaan (2).. Ruang metrik rectangular ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) lengkap jika dan hanya jika ruang metrik parsial rectangular ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) lengkap.
Terinspirasi dari Teorema 19, berikut ini  diberikan hubungan sifat konvergensi barisan, sifat barisan Cauchy, sifat kelengkapan ruang dari ruang metrik parsial rectangular dengan ruang metrik rectangular yang dikonstruksi berdasarkan Teorema 10.
Proposisi 20. Misalkan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) sembarang ruang metrik parsial rectangular yang dikonstruksi melalui ruang metrik rectangular ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) dengan metrik 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 dikonstruksi menggunakan metrik 𝑑𝑑 𝑟𝑟 berdasarkan persaman (3). Barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } di 𝑋𝑋 konvergen di ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) jika dan hanya jika konvergen di ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ).
Bukti. ( ⇒ ) Asumsikan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) konvergen ke 𝑥𝑥 di    ruang ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) diperoleh lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 0 sehingga diperoleh
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = lim 𝑛𝑛→∞ ( 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) + 𝛼𝛼 ) = 𝛼𝛼 = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 )
Diperoleh bahwa ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) konvergen di 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻 terhadap ruang ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) . ( ⇐ ) Asumsikan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } konvergen ke 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻 terhadap ruang ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) , diperoleh lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ) berdasarkan Persamaan (3) didapat
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = lim 𝑛𝑛→∞ ( 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) + 𝛼𝛼 ) = lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) + 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ) = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 )
⇒ lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 0
Diperoleh bahwa ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) konvergen di 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 terhadap ruang ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) .
Proposisi 21. Misalkan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) sembarang ruang metrik parsial rectangular yang dikonstruksi melalui ruang metrik rectangular ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) dengan metrik 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 dikonstruksi menggunakan metrik 𝑑𝑑 𝑟𝑟 berdasarkan persaman (3). Jika barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) barisan Cauchy  di ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ), maka { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } merupakan Cauchy  di ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 )
Bukti. Diketahui barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) barisan Cauchy di ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) artinya lim 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) = 0 sehingga diperoleh bahwa
lim 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) = lim 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ ( 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) + 𝛼𝛼 ) = 𝛼𝛼
Karena lim 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚→∞ 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) ada dan berhingga, akibatnya barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) merupakan barisan Cauchy di ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) .
Berdasarkan Proposisi 20 dan Proposisi 21, diperoleh akibat sebagai berikut.
Akibat 22. Misalkan ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) sembarang ruang metrik parsial rectangular yang dikonstruksi melalui ruang metrik rectangular ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) dengan metrik 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 dikonstruksi menggunakan metrik 𝑑𝑑 𝑟𝑟 berdasarkan persaman (3). Jika ruang ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) lengkap maka ruang ( 𝐻𝐻 , 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟 ) lengkap

## 4  Simpulan
Suatu metrik  parsial rectangular dapat dikonstruksi oleh sembarang  metrik  rectangular, begitu juga sebaliknya. Hal tersebut dapat mempertahankan  sifat kelengkapan dalam masing- masing ruang tersebut. Secara umum, konvergensi barisan dalam ruang metrik parsial rectangular tidak selalu tunggal.  Syarat cukup agar suatu barisan dalam ruang metrik parsial rectangular bersifat tunggal, yaitu ruang tersebut harus 0-complete.

## 5  Ucapan Terimakasih
Terimakasih kepada pengulas atas segala kritik, saran, dan komentar yang berharga untuk perbaikan  penelitian ini.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications . 1976.
[2]  O. Kaleva and S. Seikkala, “On fuzzy metric spaces,” Fuzzy Sets Syst , vol. 12, no. 3, pp. 215–229, 1984.
[3]  S. Czerwik, “Contraction mappings in b-metric spaces,” 1993.
[4]  A. Branciari, “A fixed point theorem of Banach-Caccioppoli type on a class of generalized metric spaces,” 2000.
[5]  Y. Zhou, “Fixed point in fuzzy metric spaces,” in Bio-Inspired Computing-Theories and Applications , Springer, 2014, pp. 659–663.
[6]  R. I. Sabri, M. RASHEED, O. Alabdali, S. SHIHAB, and T. RASHID, “On Some Properties in Fuzzy Metric Space,” Journal of Al-Qadisiyah for Computer Science and Mathematics , vol. 13, no. 1, p. Page-55, 2021.
[7] Z. D. Mitrović, “On an o pen problem in rectangular b-metric space,” The Journal of Analysis , vol. 25, no. 1, pp. 135–137, 2017.
[8]  R. George, S. Radenovic, K. P. Reshma, and S. Shukla, “Rectangular b-metric space and contraction principles,” J. Nonlinear Sci. Appl , vol. 8, no. 6, pp. 1005–1013, 2015.
[9]  A. Branciari, “A fixed point theorem of Banach-Caccioppoli type on a class of generalized metric spaces,” 2000.

## 10
[10]  J. R. Roshan, V. Parvaneh, and Z. Kadelburg, “New fixed point results in b-rectangular metric spaces,” Nonlinear Analysis: Modelling and Control , vol. 21, no. 5, pp. 614–634, 2016.
[11]  S. G. Matthews, “Partial Metric Topology,” 1994.
[12]  S. Shukla, “Partial rectangular metric spaces and fixed point theorems,” The Scientific World Journal , vol. 2014, 2014, doi: 10.1155/2014/756298.
[13]  N. van Dung and V. Thi Le Hang, “A Note on Partial Rectangular Metric Spaces,” 2014.