DEKOMPOSISI GRAF MATAHARI ( 𝑪 𝒏 ⨀ 𝑲 𝟏 )
Putri Rizqi Musthofa 1 , Yemi Kuswardi 2
1,2 Prodi Pendidikan Matematika, FKIP, UNS
Abstract: Graph  theory  is  a  branch  of  mathematics  that  facilitates  problem  solving. There  are  a  lot of  researches  which  concern  on  this  issue.  Various  kinds  of  terms  are introduced,  one  of  them  is  graph  decomposition.  Graph  decomposition  is  sub  graphs collection of non-empty G graph {Hi} until Hi = 〈 Ei 〉 for non-empty sub graph Ei of
E  (G),  where  {Ei}  is  a  partition  of  E  (G).  Sub  graph  Hi  in  decomposition  G  do  not contain  of  isolated  points.  If  {Hi}  is  a  decomposition  of  G,  it  is  denoted  by 𝑮 = 𝑯 𝟏  𝑯 𝟐  𝑯 𝟑 …  𝑯 𝒊 .The  discussion  of  graph  decomposition  can  be  developed  in graph decomposition through various types. One of the types is decomposition of sun graphs. Sun graph is a graph formed from a circle Cn in which each vertex on a circle graph is given one additional vertex with a degree. So, each vertex in sun graph has 3 degrees,  except  the  edge  of  cortex  which  only  have  1  degree.  The  sun  graph  is  the result  of  corona  between  two  graphs,  namely  a  circular  graph  with  n  vertex  and complement  of  a  complete  graph  with  1  number  of  vertex (𝑲 𝟏 ) .  The  sun  graph  is denoted  by 𝑪 𝒏 ⨀𝑲 𝟏 where  n  is  the  number  of  vertex  in  circle  graph.    If  the  vertex naming  refers  to  one  vertex  (with  clockwise  rules)  and    additional  vertex  naming connected to a circle vertex graph (vi), where the additional vertex has a degree of one, then the rule of naming is 𝒗 𝒊+𝒏 and sun graph is partitioned into a sub graph H_i = 〈 Ei 〉 in the form of K 2 where i ≠ j so that H_i∩H_j = ∅ , for i = 1,2,3, ..., n with sub graph 𝑯 𝒊 =    𝒗 𝒊 , 𝒗 𝒊+𝒏 ,  𝒗 𝒊+𝟏 , 𝒗 𝒊+𝟐 . If every i + 1, i + 2> n has an implicit + 1 and i + 2 will  be  expressed  as  an  integers  1,2,3,  ...,  n  (mod  n),  then  the  sun  graph  is  2K 2- decomposition. So, for sun graph 𝑪 𝒏 ⨀𝑲 𝟏 n ≥3 is 2K2-decomposition. Keywords: Decomposition, Sun Graph.

## PENDAHULUAN
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang banyak digunakan untuk mempermudah suatu penyelesaian masalah. Teori graf merupakan pokok  bahasan yang muncul pertama kali pada tahun 1736, yakni ketika Leonhard Euler mencoba untuk mencari solusi dari permasalahan yang sangat terkenal yaitu Jembatan Konigsberg.
Teori  ini  sudah  mengalami  berbagai  pengembangan  baik  dari  sisi  teori  maupun terapannya.  Beberapa  masalah  dalam  dunia  nyata  dapat  diselesaikan  menggunakan konsep-konsep  dalam  teori  graf,  misal  masalah  jaringan  di  bidang  ilmu  komputer,  riset operasi, komunikasi, dan ilmu-ilmu sosial atau ilmu pengetahuan alam (Chartrand (1977), Deo (1980)).
Pada teori graf, kita mengenal bahwa sebuah graf G dinyatakan sebagai pasangan terurut dua himpunan, yaitu himpunan hingga tak kosong V(G) yang elemen – elemennya disebut  titik  dan  himpunan  berhingga  yang  mungkin  kosong 𝐸 ( 𝐺 )  yang  elemen  – elemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen dalam 𝐸 ( 𝐺 ) merupakan pasangan tak  berurutan  dari  titik  –  titik  di 𝑉 ( 𝐺 ).  ( 𝐺 )  disebut  himpunan  titik  dari  graf  G  dan  ( 𝐺 ) disebut himpunan sisi dari graf 𝐺 (Suryanto, 1986). Dalam teori ini, ada beberapa bentuk
graf antara lain yang banyak dikenal adalah graf bentuk bintang (star), lingkaran (cycle), lintasan  (path),  roda  (wheel),  gir  (gear),  helm,  firecracker,  banana  tree,  kipas  (fan),  dan lain-lain (Wallis, 2001).
Pada  teori  ini  pula,  diperkenalkan  istilah  dekomposisi  untuk  sebuah  graf.
Dekomposisi  graf  merupakan  koleksi  subgraf  dari  graf G yang  tak  kosong 𝐻 𝑖 sedemikian  hingga 𝐻 𝑖 = 𝐸 𝑖 untuk  suatu  subgraf  tak  kosong E i dari E(G), dimana 𝐸 𝑖 adalah  partisi  dari E(G). Subgraf 𝐻 𝑖 pada  dekomposisi  G  tidak  memuat  titik  terisolasi.
Jika 𝐻 𝑖 adalah sebuah dekomposisi dari G, maka dinotasikan
dengan 𝐺 = 𝐻 1  𝐻 2  𝐻 3 … . .  𝐻 𝑖 .  Penelitian  tentang  dekomposisi  telah  dibahas dibeberapa  artikel  maupun  skripsi.  Salah  satu  artikel  yang  ditulis  oleh  Nur  Rahmawati pada tahun 2014 dengan judul “ Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda, Graf Gir dan Graf Persahabatan” menerangkan bagaimana cara mencari dekomposisi dari empat graf yang dipilih  tersebut  dan  teorema  apa  saja  yang  berlaku  pada  masing-masing  graf  yang didekomposisi.  Pembahasan  tentang  dekomposisi  graf  masih  dapat  dilanjutkan  pada dekomposisi  graf  yang  lain  seperti  graf  matahari.  Graf  matahari  merupakan  graf  yang dibentuk  dari  suatu  graf  lingkaran 𝐶 𝑛 dimana  setiap  vertex  pada  graf  lingkaran  tersebut diberi tambahan satu vertex berderajat satu sedemikian sehingga setiap vertex pada graf matahari memiliki derajat 3, kecuali pada vertex ujung-ujungnya yang memiliki derajat 1. Graf  matahari  sendiri  adalah  hasil  produk  korona  antara  dua  graf,  yaitu  graf  lingkaran dengan n vertex dan komplemen dari graf lengkap dengan jumlah vertex satu (𝐾 1 ) . Graf matahari dinotasikan dengan 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 , dengan n menyatakan banyaknya  vertex pada graf lingkaran.  Berdasarkan  hal  tersebut,  maka  pada  makalah  ini  akan  dibahas  mengenai “Dekomposisi Graf Matahari (𝑪 𝒏 ⨀𝑲 𝟏 ) ”. .

## METODE PENELITIAN

## Definisi 1
Sebuah  graf 𝐺 didefinisikan  sebagai  pasangan  terurut  dua  himpunan,  yaitu  himpunan hingga tak kosong V(G) yang elemen  – elemennya disebut titik atau simpul( vertex ) dan himpunan  berhingga  yang  mungkin  kosong 𝐸 ( 𝐺 )  yang  elemen  –  elemennya  disebut  sisi ( edge ) sedemikian  hingga  setiap  elemen  dalam 𝐸 ( 𝐺 ) merupakan  pasangan tak  berurutan dari titik – titik di 𝑉 ( 𝐺 ). Vertex adalah sekumpulan titik, representasi dari suatu graf yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (edge). Sedangkan edge adalah segmen garis yang menghubungkan dua vertex.Sisi e = (u,v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. 𝑉 ( 𝐺 ) disebut himpunan titik dari graf G dan 𝐸 ( 𝐺 ) disebut himpunan sisi dari graf 𝐺.
(Suryanto. 1986:1.3)

## Definisi 2
Sebuah  graf H didefinisikan  sebagai  graf  bagian  atau  subgraf  dari  graf G ( 𝐻 ⊆ 𝐺 )  jika dan hanya jika tiap-tiap titik V(H) merupakan anggota himpunan V(G) dan tiap-tiap sisi E(H) merupakan anggota himpunan E(G).
(Rahmawati, 2014: 65)

## Definisi 3
Jika 𝐻 ⊆ 𝐺 dan 𝑉 𝐻  = 𝑉(𝐺) maka  H  disebut  graf  bagian  rentang  (spanning  subgraf) dari graf 𝐺 .
(Hasmawati, 2015:17)

## Definisi 4
Misalkan 𝐺 adalah  suatu  graf  dan 𝑣 titik  di 𝐺 .  Derajat  titik 𝑣 di 𝐺 ,  ditulis 𝑑𝑒𝑟 𝐺 (𝑣) (degree)  adalah  banyaknya  sisi  di 𝐺 yang  terkait  langsung  dengan 𝑣 .  Jadi 𝑑𝑒𝑟 𝐺 (𝑣) adalah banyaknya titik yang terhubung langsung dengan 𝑣 , sedangkan titik yang berderajat satu disebut titik ujung.
(Lipschutz dan Lipson, 2002:7)

## Definisi 5
Misalkan 𝐺 adalah  suatu  graf  dimana  setiap  vertex  berderajat 𝑘 ,  maka 𝐺 dikatakan  graf beraturan-k.
(Lipschutz dan Lipson, 2002:31)

## Definisi 6
Sebuah graf F dikatakan komplemen graf G, jika 𝑉(𝐹)   =  𝑉(𝐺) dan 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐹) jika dan hanya jika 𝑢𝑣 ∉ 𝐸(𝐺) . Komplemen dari graf G dinotasikan menjadi 𝐺 .
(Hasmawati, 2015:13).

## Definisi 7
Graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyailoop dan sisi rangkap. Sisi rangkap dari suatu  graf  adalah  jika  dua  titik  yang  dihubungkan  oleh  lebih  dari  satu  sisi.  Sedangkan yang  disebut  dengan loop adalah  suatu  sisi  yang  menghubungkan  suatu  titik  dengan dirinya sendiri.
(Fatkhiyah, 2010: 10).

## Definisi 8
Graf  komplit adalah  graf  dengan  setiap  pasang  titik  yang  berbeda  dihubungkan  oleh satu  sisi. komplit dengan n titik dinotasikan sebagai K n .
(Mandailina, 2009:18)

## Definisi 9
Untuk  suatu  bilangan  bulat 𝑛 ≥ 1 ,  lintasan 𝑃 𝑛 adalah  suatu  graf  yang  memiliki  order n dan  ukuran 𝑛 − 1 yang  vertexnya  dapat  dinotasikan  dengan 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 dan  sisinya dengan 𝑒 𝑖 =  𝑣 𝑖 𝑣 𝑖+1 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1 .
(Addinnitya, 2012: 8).

## Definisi 10
Graf sikel  (Cycle  Graph) merupakan  graf  sederhana yang  setiap  titiknya  berderajat  dua.
Graf  sikel  dengan 𝑛 titik  dilambangkan  dengan 𝐶 𝑛 .Banyak  sisi  pada  sebuah  graf  sikel yang terdiri dari 𝑛 buah titik adalah 𝑛 .
(Rahmawati, 2014: 65)
Definisi 11
Graf  matahari (𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 ) merupakan  graf  yang  dibentuk  dari  suatu  graf  lingkaran 𝐶 𝑛 dimana setiap vertex pada graf lingkaran tersebut diberi tambahan satu vertex berderajat satu  sedemikian  sehingga  setiap  vertex  pada  graf  matahari  memiliki  derajat  3,  kecuali pada  vertex  ujung-ujungnya  yang  memiliki  derajat  1.  Graf  matahari  sendiri  adalah  hasil produk korona antara dua graf, yaitu graf lingkaran dengan n vertex dan komplemen dari graf lengkap dengan jumlah vertex satu (𝐾 1 ) . Graf matahari dinotasikan dengan 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 , dengan n menyatakan banyaknya vertex pada graf lingkaran.
Pada makalah ini, pemberian nama vertex pada graf matahari dimulai dari salah satu vertex dengan aturan searah jarum jam. Dan untuk penamaan vertex tambahan yang terhubung  dengan  suatu  vertex  graf  lingkaran (𝑣 𝑖 ) dimana  vertex  tambahan  tersebut berderajat  satu,  maka  aturan  penamaan  tersebut  berlaku 𝑣 𝑖+𝑛 .(Addinnitya,  2012: 10).Contoh:

## Gambar 1. Graf Matahari
Definisi 12
Operasi  korona  dari  dua  graf,  misalnya  graf 𝐺 dan 𝐻 didefinisikan  sebagai  graf  yang diperoleh dengan mengambil sebuah graf 𝐺 dan graf H yang diduplikasi sebanyak 𝑉 𝐺
𝐶 3 ⨀𝐾 1 𝐶 4 ⨀𝐾 1 𝐶 5 ⨀𝐾 1 𝐶 6 ⨀𝐾 1
yaitu 𝐻 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,  𝑉 𝐺  , kemudian  menghubungkan  titik  ke −𝑖 dari 𝐺 ke  setiap  titik di 𝐻 𝑖 .
(Mursyidah dan Rahmawati, 2017: 1)

## Definisi 13
Titik  terisolasi  (isolated  vertex)  adalah  titik  yang  tidak  satupun  berhubungan  langsung dengan titik – titik yang lainnya.
(Rahmawati, 2014: 65)
Definisi 14
Dua graf 𝐺 1 dan 𝐺 2 dikatakan isomorfik jika ada korespondensi satu-satu antara titik-titik 𝐺 1 dan  titik-titik  dari 𝐺 2 sedemikian  hingga  banyaknya  rusuk  yang  menghubungkan sebarang  dua  titik  dari 𝐺 1 sama  dengan  banyaknya  rusuk  yang  menghubungkan  kedua titik yang bersesuaian dari 𝐺 2 .
(Suryanto. 1986:1.20)

## Definisi 15
Graf 𝐺 dikatakan  dapat  difaktorkan  ke  dalam  faktor-faktor 𝐺 1 , 𝐺 2 , . . . . , 𝐺 𝑡 .  jika  faktor- faktor  tersebut  merupakan  sisi  yang  saling  lepas  untuk  setiap  pasangan  sisi  dan E  G i = E (G) 𝑡 𝑖=1 .
Jika 𝐺 difaktorkan  kedalam 𝐺 1 , 𝐺 2 , . . . . , 𝐺 𝑡 maka  dituliskan  dengan 𝐺 = 𝐺 1 ⊕ 𝐺 2 ⊕. . .⊕ 𝐺 𝑡 dan disebut sebagai faktorisasi 𝐺 .
Jika terdapat faktorisasi dari graf 𝐺 sedemikian hingga untuk setiap faktor adalah k-faktor  (  k-faktor  adalah  graf  bagian  rentang  beraturan-k),  maka 𝐺 dikatakan  k-faktor. Jika 𝐺 adalah graf k-faktor, maka 𝐺 adalah graf beraturan-r untuk bilangan bulat r yang merupakan kelipatan k.
Jika  graf 𝐺 dapat  difaktorkan  kedalam 𝐺 1 , 𝐺 2 , . . . . , 𝐺 𝑡 di  mana 𝐺 𝑖 = 𝐻 untuk sebuah graf 𝐻 untuk setiap bilangan bulat i (1 ≤ i ≤ t), maka kita katakan bahwa 𝐺 adalah terfaktorisasi− 𝐻 dan 𝐺 memiliki faktor yang isomorfik dengan 𝐻 .
Contoh:
Gambar 2. Graf K 4
Bentuk faktorisasi graf K 4 adalah sebagai berikut:
v 1 v 2 v 3
v 4
Gambar 3. Bentuk faktorisasi graf komplit 𝐺
(Rahmawati, 2014: 65)

## Definisi 16
Dekomposisi graf G adalah koleksi subgraf dari G tak kosong 𝐻 𝑖 sedemikian hingga 𝐻 𝑖 = 𝐸 𝑖 untuk  suatu  subgraf  tak  kosong E i dari E(G), dimana 𝐸 𝑖 adalah  partisi  dari E (G). subgraf 𝐻 𝑖 pada dekomposisi G tidak memuat titik terisolasi. Jika 𝐻 𝑖 adalah sebuah dekomposisi  dari  G,  maka  dinotasikan  dengan 𝐺 = 𝐻 1  𝐻 2  𝐻 3 … . .  𝐻 𝑖 sama  seperti pada  faktorisasi  dan G didekomposisikan  ke  dalam  subgraf 𝐻 1 , 𝐻 2 … . . ,𝐻 𝑡 dimana |{𝐻 𝑖 }|   =  𝑡. Dengan  kata  lain,  jika 𝐺 = 𝐻 1  𝐻 2  𝐻 3 … . .  𝐻 𝑖 merupakan  dekompisisi dari graf G. Jika 𝐻 𝑖 adalah dekomposisi graf G dimana untuk sebuah graf H dan setiap i berlaku 𝐻 𝑖 =  𝐻 untuk  sebuah  garf H dan  untuk  setiap i ,  maka  G  dikatakan  H- dekomposisi. Jika 𝐺 merupakan  graf H- dekomposisi, maka  dinotasikan 𝐻|𝐺 sehingga 𝐻 dapat dikatakan pembagi banyaknya sisi di G dan G merupakan kelipatan dari 𝐻 . Dengan kata lain untuk setiap graf (tak kosong) merupakan 𝐾 2 −dekomposisi.
Contoh :
Perhatikan graf G berikut ini:
Gambar 4. Graf G
Partisi sisi-sisi dari  graf G tersebut adalah:
V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3
𝑣 4 𝐻 1
𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3
𝑣 4
𝐻 2
𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 𝑣 4 𝐻 3

## Gambar 5. Partisi Sisi-Sisi Graf G
Dari  Gambar  5  terlihat  bahwa  diperoleh  6  partisi  dari  E(G),  yaitu 𝐻 1 , 𝐻 2 , 𝐻 3, 𝐻 4, 𝐻 5, 𝐻 6 dengan  masing-masing  partisi  terdiri  dari  2  sisi.  Karena 𝐺 = 𝐻 1  𝐻  𝐻 3  𝐻 4  𝐻 5  𝐻 6 maka G dikatakan dapat didekomposisikan.
Sebuah graf G didekomposisikan ke dalam subgraf 𝐻 1 , 𝐻 2 , 𝐻 3, 𝐻 4, … , 𝐻 𝑛 jika ada dua subgraf H 1 dan H i yang tidak memiliki sisi yang sama dan dimana setiap subgrafnya isomorfis serta penjumlahan semua subgraf H i adalah graf G.
Suatu  graf  terhubung  beraturan-2  disebut graf  lingkaran ( cycle  graph ).  Graf lingkaran  dengan n vertex, 𝑛  ≥  3 dinyatakan  sebagai 𝐶 𝑛 .  Dalam  graf  lingkaran 𝐶 𝑛 berlaku | 𝑉(𝐶 𝑛 ) |   =   | 𝐸(𝐶 𝑛 ) | .
(Rahmawati, 2014: 66)

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebuah  graf 𝐺 di  dekomposisikan  ke  dalam  subgraf 𝐻 1 , 𝐻 2 , … , 𝐻 𝑛 jika  ada  dua subgraf 𝐻 𝑖 dan 𝐻 𝑗 yang  tidak  mempunyai  sisi-sisi  yang  sama  dan  dimana  setiap subgrafnya isomorfis serta penjumlahan semua subgraf 𝐻 𝑖 adalah graf 𝐺 .
Misalkan  diambil  graf  matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 dengan 3 ≤ 𝑛 ≤ 9 ,  kemudian  graf matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 dipartisi  menjadi  subgraf 𝐻 𝑖 berupa 𝐾 2 ,  maka  dekomposisi  dari  graf matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 dapat dilihat pada tabel berikut ini.
H 1 V 1 V 7 V 2 V 3 H 2 V 6 V 7 V 5 V 4 H 3 V 2 V 3
V 7 V 4 H 4 V 1 V 7 V 5 V 6 H 5 V 6 V 7
V 4 V 5 H 6 V 1 V 2 V 7 V 3
Tabel 1  Dekomposisi dari graf Matahari 𝑪 𝒏 ⨀𝑲 𝟏 Graf Matahar i Dekomposisi H- dekomposisi Banyaknyatitik dan sisi 𝐶 3 ⨀𝐾 1 𝐶 3 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 (3 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 =  𝑉 𝐻 3 = 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 =  𝐸 𝐻 3 = 2
𝐶 4 ⨀𝐾 1 𝐶 4 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 ⨁𝐻 4 (4 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 =  𝑉 𝐻 3 =  𝑉 𝐻 4 = 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 =  𝐸 𝐻 3 =  𝐸 𝐻 4 = 2 𝐶 5 ⨀𝐾 1 𝐶 5 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 ⨁𝐻 4 ⨁𝐻 5 (5 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 =  𝑉 𝐻 3 =  𝑉 𝐻 4 =  𝑉 𝐻 5 = 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 =  𝐸 𝐻 3
=  𝐸 𝐻 4 =  𝐸 𝐻 5 = 2 𝐶 6 ⨀𝐾 1 𝐶 6 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 ⨁𝐻 4 ⨁𝐻 5 ⨁𝐻 6 (6 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 =  𝑉 𝐻 3
=  𝑉 𝐻 4 =  𝑉 𝐻 5 =  𝑉 𝐻 6
= 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 =  𝐸 𝐻 3 =  𝐸 𝐻 4 =  𝐸 𝐻 5 =  𝐸 𝐻 6 = 2 𝐶 7 ⨀𝐾 1 𝐶 7 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 ⨁𝐻 4 ⨁𝐻 5 ⨁𝐻 6 ⨁𝐻 7 (7 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 =  𝑉 𝐻 3
=  𝑉 𝐻 4 =  𝑉 𝐻 5 =  𝑉 𝐻 6
=  𝑉 𝐻 7 = 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 =  𝐸 𝐻 3 =  𝐸 𝐻 4 =  𝐸 𝐻 5 =  𝐸 𝐻 6
=  𝐸 𝐻 7 = 2
𝐶 8 ⨀𝐾 1 𝐶 8 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 ⨁𝐻 4 ⨁𝐻 5 ⨁𝐻 6 ⨁𝐻 7 ⨁𝐻 8 (8 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 =  𝑉 𝐻 3 =  𝑉 𝐻 4 =  𝑉 𝐻 5 =  𝑉 𝐻 6 =  𝑉 𝐻 7 =  𝑉 𝐻 8 = 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 =  𝐸 𝐻 3 =  𝐸 𝐻 4 =  𝐸 𝐻 5 =  𝐸 𝐻 6 =  𝐸 𝐻 7 =  𝐸 𝐻 8 = 2
𝐶 9 ⨀𝐾 1 𝐶 9 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 ⨁𝐻 4 ⨁𝐻 5 ⨁𝐻 6 ⨁𝐻 7 ⨁𝐻 8 ⨁𝐻 9 (9 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 =  𝑉 𝐻 3 =  𝑉 𝐻 4 =  𝑉 𝐻 5 =  𝑉 𝐻 6 =  𝑉 𝐻 7 =  𝑉 𝐻 8 =  𝑉 𝐻 9 = 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 =  𝐸 𝐻 3 =  𝐸 𝐻 4 =  𝐸 𝐻 5 =  𝐸 𝐻 6 =  𝐸 𝐻 7 =  𝐸 𝐻 8 =  𝐸 𝐻 9 = 2 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁ … ⨁𝐻 𝑛 ( 𝑛 partisi) 𝐻 𝑖 = 2𝐾 2 𝑉 𝐻 1 =  𝑉 𝐻 2 = ⋯ =  𝑉 𝐻 𝑛 = 4 𝐸 𝐻 1 =  𝐸 𝐻 2 = ⋯ =  𝐸 𝐻 𝑛 = 2
Berdasarkan Tabel 1 diatas, maka diperoleh teorema sebagai berikut:

## Teorema
Graf Matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 , 𝑛 ≥ 3 merupakan 2𝐾 2 -dekomposisi.
Bukti:
Ambil sebarang graf matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1
Misal, 𝑉 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛 , 𝑣 𝑛+1 , … , 𝑣 2𝑛 ) dan
𝐸 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 = {𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , … , 𝑒 𝑛 , 𝑒 𝑛+1 , … 𝑒 2𝑛 )
Partisi  graf  matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 menjadi  subgraf 𝐻 𝑖 =  𝐸 𝑖 yang  berupa 𝐾 2 dimana 𝑖 ≠ 𝑗 maka 𝐻 𝑖 ∩ 𝐻 𝑗 = ∅ .
Misalkan 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1  𝐻 2  𝐻 3 … . .  𝐻 𝑛 .
Partisi graf matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 sebagai berikut:
Untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 .
Subgraf 𝐻 𝑖 =    𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+𝑛 ,  𝑣 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+2 ,  dimana  setiap 𝑖 + 1, 𝑖 + 2 > 𝑛 maka 𝑖 + 1 dan 𝑖 + 2 dinyatakan sebagai bilangan bulat 1,2,3, … , 𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑛 .
Untuk  menunjukkan  setiap  subgraf  saling  lepas  dimana 𝑖 ≠ 𝑗 maka 𝐻 𝑖 ∩ 𝐻 𝑗 = ∅ . Andaikan 𝐻 𝑖 ∩ 𝐻 𝑗 = ∅ ,  maka ∃𝑒 𝑘 ∈ 𝐻 𝑖 ∩ 𝐻 𝑗 , 𝑘 ∈ ℕ .  Hal  ini  berarti  bahwa 𝑒 𝑘 ∈ 𝐻 𝑖 dan 𝑒 𝑘 ∈ 𝐻 𝑗 .  Jika 𝑒 𝑘 ∈ 𝐻 𝑖 berdasarkan  definisi  maka 𝑒 𝑘 =    𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+𝑛 atau 𝑣 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+2 dan 𝑒 𝑘 ∈ 𝐻 𝑗 berdasarkan definisi maka 𝑒 𝑘 =    𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑗 +𝑛 atau 𝑣 𝑗 +1 , 𝑣 𝑗 +2 .
Akibatnya 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+𝑛 =    𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑗 +𝑛 dan 𝑣 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+2 =  𝑣 𝑗 +1 , 𝑣 𝑗 +2 sedemikian  sehingga 𝑖 = 𝑗 .  Jika 𝑖 = 𝑗 maka  setiap 𝑖 + 1, 𝑖 + 2 > 𝑛 dinyatakan  sebagai  bilangan  bulat 1,2, ,3, … , (𝑛 − 1)( 𝑚𝑜𝑑 𝑛) sehingga tidak ada sisi yang sama pada setiap subgraf. Oleh karena  itu  diperoleh 𝑖 ≠ 𝑗, 𝐻 𝑖 ∩ 𝐻 𝑗 = ∅ kontradiksi  dengan  pengandaian.  Dengan demikian  untuk  setiap 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 ,  dan 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1  𝐻 2  𝐻 3 … . .  𝐻 𝑛 maka 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 merupakan 2𝐾 2 -dekomposisi.
Contoh:
Diberikan graf matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 ; 𝑛 = 4
Misal 𝐺 = 𝐶 4 ⨀𝐾 1
Dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 6. Graf 𝑮 =  𝑪 𝟒 ⨀𝑲 𝟏
Titik – titik dari 𝐺 adalah 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 , 𝑣 5 , 𝑣 6 , 𝑣 7 , 𝑣 8
𝑣 1 𝑣 2
𝑣 3
𝑣 4
𝑣 5
𝑣 6
𝑣 7 𝑣 8
Untuk 𝑖 = 1,2,3,4 maka 𝐻 1 =    𝑣 1 , 𝑣 5 ,  𝑣 2 , 𝑣 3 𝐻 2 =    𝑣 2 , 𝑣 6 ,  𝑣 3 , 𝑣 4 karena 𝑖 + 2 > 𝑛 ,  maka  untuk  titik 𝑣 5 yaitu  bilangan  5  diambil  sebagai  1  ( 𝑚𝑜𝑑 4)  sehingga 𝐻 3 =    𝑣 3 , 𝑣 7 ,  𝑣 4 , 𝑣 1
Dengan cara yang sama maka akan diperoleh : 𝐻 4 =    𝑣 4 , 𝑣 8 ,  𝑣 1 , 𝑣 2
Sehingga dekomposisi dari 𝐺= 𝐶 4 ⨀𝐾 1
Gambar 7. Dekomposisi graf 𝑪 𝟒 ⨀𝑲 𝟏
Karena 𝐺 = 𝐻 1 ⨁𝐻 2 ⨁𝐻 3 ⨁𝐻 4 dimana setiap subgraf 𝐻 𝑖 didekomposisi sebanyak 2 yang berupa 𝐾 2 . Sehingga 𝐶 4 ⨀𝐾 1 merupakan 2𝐾 2 − dekomposisi.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  pada  pembahasan  pada  bab  sebelumnya,  diambil  kesimpulan sebagai berikut:
1. Graf  matahari (𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 ) merupakan  graf  yang  dibentuk  dari  suatu  graf  lingkaran 𝐶 𝑛 dimana  setiap  vertex  pada  graf  lingkaran  tersebut  diberi  tambahan  satu  vertex berderajat satu sedemikian sehingga setiap vertex pada graf matahari memiliki derajat 3, kecuali pada vertex ujung-ujungnya yang memiliki derajat 1. Jika penamaan vertex mengacu  pada  salah  satu  vertex,  dengan  aturan  searah  jarum  jam,  dan  penamaan vertex  tambahan  yang  terhubung  dengan  suatu  vertex  graf  lingkaran (𝑣 𝑖 ) dimana vertex  tambahan  tersebut  berderajat  satu,  maka  aturan  penamaan  tersebut  berlaku 𝑣 𝑖+𝑛 ,  dan  graf  matahari  dipartisi  menjadi  subgraf 𝐻 𝑖 =  𝐸 𝑖 berupa 𝐾 2 dimana 𝑖 ≠ 𝑗
sehingga 𝐻 𝑖 ∩ 𝐻 𝑗 = ∅
untuk
𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 dengan subgraf
𝐻 𝑖 =    𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+𝑛 ,  𝑣 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+2 apabila  untuk  setiap 𝑖 + 1, 𝑖 + 2 > 𝑛 berakibat 𝑖 + 1
𝑣 1 𝑣 2
𝑣 3
𝑣 5 𝐻 1
𝐻 2 𝑣 2 𝑣 3 𝑣 4 𝑣 6 𝐻 3 𝑣 1 𝑣 3 𝑣 4 𝑣 7 𝐻 4 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 4
𝑣 8
dan 𝑖 + 2 akan  dinyatakan  sebagai  bilangan  bulat 1,2,3, … , 𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , maka  graf matahari merupakan 2𝐾 2 -dekomposisi.
2. Teorema  yang  berlaku  pada  Graf  Matahari 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 yang  dipartisi  menjadi  subgraf 𝐻 𝑖 berupa 2𝐾 2 untuk  setiap 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 ,  dan 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 = 𝐻 1  𝐻 2  𝐻 3 …  𝐻 𝑛 maka 𝐶 𝑛 ⨀𝐾 1 merupakan 2𝐾 2 -dekomposisi.

## DAFTAR PUSTAKA
Addinnitya,  Arief.  (2012). Pelabelan  Jumlah  Eksklusif  pada  Graf  Matahari,  Graf Korona, dan Graf Hairycycle dengan Banyak Simpul Lingkaran Genap . Hlm. 8- 10. LIB UI.
Asmiati. (2016). Graf dan Aplikasinya pada Jarak Terpendek . Yogyakarta: Matematika.
Fatkhiyah,  Lutfiana.  (2010). Bilangan  Clique  dan  Faktorisasi  pada  Perkalian  Graf Komplit . Hlm. 10. ETHESES UIN Malang.
Hasmawati,  Prof.  M.Si.  (2015). Bahan  Ajar  Teori  Graf .  Hlm.  13-17.  Universitas Hasanuddin.
Lipschutz, S. Dan Lipson, M.L. (2002). Matematika Diskrit 2. Terj. Tim Editor Penerbit Salemba Teknika. Jakarta: Salemba Teknika.
Mandailina,  Vera.  (2009). Faktorisasi  pada  Graf  Komplit .  Hlm.  18.  ETHESES  UIN Malang.
Mursyidah, H. dan Rahmawati, S. (2017). Dominating Number Dari Graf Hasil Operasi Korona  Graf  Lintasan  Dengan  Graf  Sikel 𝑃 𝑛 ⨀ 𝐶 𝑚 dan  Sebaliknya 𝐶 𝑚 ⨀ 𝑃 𝑛 .
Hlm. 1. ITS.
Rahmawati,  Nur.  (2014).    Dekomposisi  Graf  Sikel,  Graf  Roda,  Graf  Gir  dan  Graf Persahabatan. Jurnal UNESA. 3(3), 64-71.
Suryanto.  (1986). Materi  Pokok  Pengantar  Teori  Graph .  Jakarta:  Karunika  Universitas Terbuka.