Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 11 No. 1, Juni 2019, hal. 33-44 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422
SIFAT ISOMORFIK PADA OPERASI TENSOR, BINTANG,

## CARTESIUS, DAN MODULAR DUA GRAF FUZZY

## Triyani
Universitas Jenderal Soedirman Email : trianisr@yahoo.com.au

## Bambang Hendriya Guswanto
Universitas Jenderal Soedirman

## Nurhayati
Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This article discusses about some isomorphic properties of  tensor, star, Cartesius, and modular product operations of two fuzzy graphs. The results of  research are  the  tensor  product  of  two  fuzzy  graphs    is  isomorphic, and  if 1 G   and 2 G   are complete fuzzy graphs then 1 2 2 1 G G G G    , 1 2 2 1 G G G G    , 1 2 2 1 G G G G   and 1 2 2 1 G G G G   .
Keywords : isomorphic properties, modular product, star product, tensor product, two fuzzy graphs,.
ABSTRAK. Artikel  ini  membahas  sifat-sifat  isomorfik  pada  operasi  perkalian  tensor, bintang,  Cartesius,  dan  modular  dua  graf fuzzy .  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa perkalian tensor dua graf fuzzy bersifat isomorfik, dan jika 1 G serta 2 G graf fuzzy lengkap
maka 1 2 2 1 G G G G    , 1 2 2 1 G G G G    , 1 2 2 1 G G G G   , dan
1 2 2 1 G G G G   .
Kata  Kunci : dua  graf fuzzy ,  perkalian  tensor,  perkalian  bintang,  perkalian  modular, sifat-sifat isomorfik.

## 1. PENDAHULUAN
Graf fuzzy merupakan  pasangan  fungsi  yang  menyatakan  himpunan  titik fuzzy dan himpunan sisi fuzzy yang dilengkapi dengan derajat keanggotaan. Titik fuzzy dan sisi fuzzy memiliki derajat keanggotaan bilangan riil  yang berada dalam interval  0  sampai  dengan  1.  Berbeda  dengan  graf fuzzy ,  pada  graf  klasik  setiap titik  dan  sisi  memiliki  derajat  keanggotaan  0  atau  1.  Apabila  terdapat  sisi  yang
menghubungkan  dua  buah  titik  maka  derajat  keanggotaan  sisi  tersebut  1  dan apabila  tidak  ada  sisi  yang  menghubungkan  dua  buah  titik  maka  derajat keanggotaan sisi tersebut nol.
Banyak  konsep  pada  graf  klasik  yang  digeneralisasi  ke  dalam  graf fuzzy .
Yeh  dan  Bang  (1975)  memperkenalkan  keterhubungan  pada  graf fuzzy .  Sunitha dan  Kumar  (2002)  mendefinisikan  operasi  union  dan  join,  perkalian  Cartesius, komposisi  pada  dua  graf fuzzy .  Nagoorgani  dan  Malarvizhi  (2008)  membahas tentang  homomorfik  dan  isomorfik  pada  graf fuzzy beserta  sifat-sifatnya  yang berkaitan dengan orde, ukuran, derajat titik dan relasi ekuivalensi. Selain itu juga dijelaskan  syarat  cukup  dan  perlu  untuk  menyatakan  duagraf fuzzy isomorfik.
Nirmala dan Vijaya (2012) menjelaskan derajat titik pada graf fuzzy hasil operasi komposisi,  perkalian  Cartesius,  perkalian  tensor  dan  perkalian  normal  pada  graf fuzzy . Selanjutnya, Nagoorgani dan Latha (2014) menjelaskan sifat isomorfik pada operasi  komposisi  dan  operasi  perkalian  Cartesius  dua  graf fuzzy lengkap. Kemudian,  Triyani  dkk.  (2017)  menjelaskan  bahwa  hasil  operasi  perkalian modular dua  graf fuzzy bersifat  isomorfik .Pada  artikel ini, penulis tertarik  untuk menyelidiki sifat-sifat isomorfik pada operasi perkalian tensor, perkalian bintang, perkalian Carteisus,dan perkalian modular dua graf fuzzy .
Tujuan  dari  penulisan  artikel  ini  adalah  menyelidiki  sifat-sifat  isomorfik pada  operasi  perkalian  tensor,  perkalian  bintang,  perkalian  Cartesius,  dan perkalian  modular  dua  graf fuzzy .  Graf  yang  digunakan  adalah  graf fuzzy yang tidak memiliki sisi ganda fuzzy dan tidak memiliki loop fuzzy .
Definisi yang digunakan dalam artikel ini diambil dari Mordeson dan Nair (2000), Malarvizhi  (2010),  Sunitha  dan  Kumar  (2002),  Nagoorgani  dan  Malarvizhi (2008), dan Dogra (2015).
Definisi  1.1  Graf Fuzzy . Misalkan  V adalah  himpunan  titik  tak  kosong.  Graf fuzzy ( , ) G    terdiri atas sepasang fungsi
(i)   : 0,1 V  
(0,4) (0,3) 0,4 0,3 0,2 0,2 0,2 (0,6) 0,2 (ii)   : 0,1 V V    yang merupakan relasi fuzzy simetris sedemikian sehingga
        , min , , , i j i j i j
v v v v v v V       .
Notasi  ( ) i v  menyatakan derajat keanggotaan titik i v dan notasi   , i j v v 
menyatakan derajat keanggotaan sisi yang menghubungkan titik fuzzy i v dan j v . Pada artikel ini, graf fuzzy yang digunakan adalah graf fuzzy yang tidak memiliki sisi  ganda fuzzy dan loop  fuzzy sehingga   , 0 i i v v   untuk  setiap i v V  .
Selanjutnya, derajat keanggotaan sisi dengan notasi   , i j v v  dapat ditulis dengan   i j v v
 . Gambar 1 merupakan graf fuzzy .
Definisi 1.2 Graf Dasar dari Graf Fuzzy. Graf dasar dari graf fuzzy   ,
G   
dinotasikan  sebagai   * , G V E  dengan  himpunan  titik  tak  kosong  V dan
E V V   adalah graf fuzzy dengan setiap titik dan sisi di
  , G    mempunyai derajat keanggotaan 1.
Definisi 1.3 Graf Fuzzy Lengkap. Misalkan diberikan himpunan titik tak kosong V  dan  
    supp | 0 k k v V v      . Graf fuzzy ( , ) k k K    dinamakan graf fuzzy  lengkap  jika  memenuhi ( ) ( ) ( ) k i j k i k j v v v v      untuk  setiap , i j v v pada
  supp k  . (0,5) (0,2)
Gambar 1. Graf fuzzy
Definisi  1.4  Komplemen  Graf Fuzzy. Misalkan  diberikan  himpunan  titik  tak
kosong  V   dan  graf  fuzzy ( , ) G    .  Komplemen  graf  fuzzy ( , ) G    dinotasikan  dengan ( , ) G    ,  adalah  pasangan  fungsi    dan         uv u v uv
       untuk setiap , u v V  .
Definisi  1.5  Operasi  Perkalian  Cartesius. Misalkan  graf   1 1 1 , G    dan  graf
2 2 2 ( , ) G    adalah  graf  fuzzy  dengan  graf  dasarnya  secara  berurutan
  * 1 1 1 , G V E  dan   * 2 2 2 , G V E  .  Hasil  perkalian  Cartesius 1 G dan 2 G adalah pasangan  fungsi   1 2 1 2 ,       dengan  himpunan  titik  dan  himpunan  sisinya didefinisikan oleh
            1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ( , ) | , , , , , , , V u v u V dan v V E u u v v u v u v E u u v v u v u v E         
yang masing-masing memiliki derajat keanggotaan:
                         1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) , dan ;
,  jika dan ( ) , , .
,  jika dan i u v u v u V v V u u v u v u v E ii u u v v u u v u v u denga E n v      
   
               
Definisi  1.6  Operasi  Perkalian  Tensor. Misalkan  graf   1 1 1 , G    dan  graf   2 2 2 , G    adalah  graf  fuzzy  dengan  graf  dasarnya  secara  berurutan
  * 1 1 1 , G V E  dan   * 2 2 2 , G
V E  . Perkalian  tensor 1 G dan 2 G adalah  pasangan fungsi   1 2 1 2 ,       dengan  himpunan  titik  dan  himpunan  sisinya
didefinisikan oleh
         1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , | , , , | , V u v u V dan v V E u u v v u v E u v E       .
yang masing-masing memiliki derajat keanggotaan:
                     1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 . ,
, , ; . , , , jika dan . i u v u v u V v V ii u v u v u u v v u u V v v V                     Definisi  1.7  Operasi  Perkalian  Bintang. Misalkan  graf   1 1 1 , G    dan  graf   2 2 2 , G    adalah  graf  fuzzy  dengan  graf  dasarnya  secara  berurutan
  * 1 1 1 , G V E  dan   * 2 2 2 , G V E  . Hasil  perkalian  bintang 1 G dan 2
G adalah
pasangan  fungsi   1 2 1 2 ,
      dengan  himpunan  titik  dan  himpunan  sisinya
didefinisikan oleh
              1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , | , , , | , , , | , , V u v u V dan v V E u u v v u v u v E u u v v u v E u v E         
yang masing-masing memiliki derajat keanggotaan:
                           1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ,
, , ; dan ( ) , , . , dan i u v u v u V v V u u v u v u v E ii u u v v u v u v u v E u v E
      
                         
Definisi  1.8  Operasi  Perkalian  Modular. Misalkan  graf   1 1 1 , G    dan  graf
  2 2 2 , G    adalah  graf  fuzzy  dengan  graf  dasarnya  secara  berurutan
  * 1 1 1 , G V E  dan   * 2 2 2 , G V E  . Hasil  perkalian  modular 1 G dan 2 G adalah
pasangan fungsi   1 2 1 2 ,     dengan
himpunan titik dan himpunan sisinya didefinisikan oleh
              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , | , , , | , , , | , V u v u V dan v V E u u v v u v E u v E u u v v u v E u v E   
     
yang masing-masing memiliki derajat keanggotaan:
                        
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 ( ) , , , ;
( ) ( ) ( , , , , . , , ) ii i u v u v u V v V
u v u v u v E u v E u u v v u u v v u v E u v E    
                             
Definisi  1.9  Isomorfik. Misalkan  graf  fuzzy ( , ) G    dan ( , ) G      
diberikan  dengan  masing-masing  graf  dasarnya  secara  berurutan  adalah
* ( , ) G V E  dan * ( , ) G V E     . Graf fuzzy ( , ) G    isomorfik dengan graf fuzzy ( , ) G       atau  dapat  ditulis  G G   apabila  terdapat  pemetaan  bijektif
: h V V   yang memenuhi
              ( ) , ; ( )
, , . i i i i j i j i j i v h v v V ii v v h v h v v v V        
   
Triyani, dkk. (2017) menjelaskan bahwa hasil operasi perkalian modular dua graf fuzzy bersifat isomorfik. Berikut adalah teorema yang telah dibuktikan.
Teorema 1. Jika 1 G  dan 2 G  adalah graf fuzzy maka 1 2 2 1 G G G G 

## 2. METODE PENELITIAN
Tahapan-tahapan yang dilakukandalampenelitianiniadalahsebagaiberikut:
1. Menyelidiki sifat-sifat isomorfik pada operasi perkalian tensor dua graf fuzzy ;
2. Menyelidiki  sifat-sifat  isomorfik  padaoperasi  perkalian  bintang  dua  graf fuzzy ;
3. Menyelidiki  sifat-sifat  isomorfik  pada  operasi  perkalian  Cartesius  dua  graf fuzzy ;
4. Menyelidiki  sifat-sifat  isomorfik  padaoperasi  perkalian  modular  dua  graf fuzzy .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Selanjutnya,  penulis  memperoleh  beberapa  sifat  isomorfik  pada  operasi perkalian tensor, bintang, Cartesius, dan modular dua graf fuzzy .Beberapa teorema yang diperoleh adalah sebagai berikut.
Teorema1. Misalkan  diberikan  graf  fuzzy 1 1 1 ( , ) G    dan  graf  fuzzy
2 2 2 ( , )
G    .  Hasil  operasi  perkalian  tensor  graf  fuzzy 1 G dan  graf  fuzzy 2 G isomorfik dengan hasil operasi perkalian tensor graf fuzzy 2 G dan graf fuzzy 1 G
Bukti .  Misalkan  diberikan  graf fuzzy 1 1 1 ( , ) G    dan  graf fuzzy 2 2 2 ( , ) G   
dengan  graf  dasarnya  secara  berurutan  adalah * 1 1 1 ( , ) G V E  dan * 2 2 2 ( , ) G V E  . Diambil sembarang titik   1 2 , u v V V   .Derajat keanggotaan setiap titik dari graf
fuzzy 1 2 G G  adalah                     1 2 1 2 2 1 1 2 , , u v u v v u v u      
      
            2 1 , (i) h u v  
Selanjutnya, diambil sembarang sisi    1 2 1 2 1 2 , , u u v v E E   . Derajat keanggotaan
setiap sisi dari graf fuzzy 1 2 G G  adalah                       1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 , , , , u u v v u v u v u v u v u u v v           
 
              2 1 1 2 1 2 , , (ii) h u u h v v    
Berdasarkan persamaan (i) dan (ii), terbukti bahwa untuk setiap graf fuzzy 1 G dan
2 G berlaku 1 2 2 1 . G G G G   
Teorema 2. Jika 1 G  dan 2 G adalah graf fuzzy lengkapmaka 1) 1 2 2 1 G G G G    2) 1 2 2 1 G G G G    3) 1 2 2 1 G G G G   4) 1 2 2 1 G G G G  
Misalkan 1 1 1 ( , ) G    dan 2 2 2 ( , ) G    adalah  graf fuzzy lengkap.  Graf  dasar
dari  graf fuzzy 1 G dan 2 G secara  berurutan  adalah * 1 1 1 ( , ) G V E  dan
* 2 2 2 ( , ). G V E 
Bukti .
1).  Diambil  sembarang  titik   1 2 , u v V V   .  Derajat  keanggotaan  setiap  titik  dari
graf fuzzy 1 2 G G  adalah                     1 2 1 2 2 1 2 1 , , u v u v v u
v u            
           2 1 , (iii) h u v    
Selanjutnya,  diambil  sembarang  sisi    1 2 1 2 1 2 , , u u v v E E   .  Derajat
keanggotaan setiap sisi dari graf fuzzy 1 2 G G  adalah                       1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 , , , , u u v v u v u v u v u v u u v v         
  

              2 1 1 2 1 2 , , (iv) h u u h v v    
Berdasarkan  persamaan  (iii)  dan  (iv),  terbukti  bahwa  jika 1 G dan 2 G graf fuzzy lengkap maka 1 2 2 1 G G G G    .
2).  Diambil  sembarang  titik   1 2 , . u v V V
  Derajat  keanggotaan  setiap  titik  dari
graf fuzzy 1 2 G G  adalah                           1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , , , u v u v u v v u
v u        
     
  
          2 1 , (v) h u v    
Selanjutnya, diambil sembarang sisi    1 2 1 2 1 2 , , u u v v E E   . Berikut terdapat 6  kasus  dari  himpunan  sisi 1 2 E E  dituliskan  secara  berurutan  dari  kasus  1 sampai dengan kasus 6.
                       1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 , , | dan , , | dan , , | dan , , | dan ,
, | d E E u u v v u v u v E u u v v u v u v E u u v v u v E u v u u v v u v E u v E u u v v u v E           
           2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 an , , | dan . u v E u u v v u v E u v E    
Kemudian,  setiap  sisinya  dicari  derajat  keanggotaannya.  Untuk  kasus  1:
1 1 2 2 2 dan u v u v E   dan  kasus  2: 2 2 1 1 1 dan u v u v E   ,  derajat  keanggotaan sisinya adalah
                          1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 , , , , , , (vi) u u v v u u v v h u u h v v       
 
 
Untuk kasus 3 sampai dengan kasus 6, derajat keanggotaan sisinya adalah
       1 2 1 2 1 2 , , 0. u u v v    
Berdasarkan persamaan (v) dan (vi), makadapatdikatakanbahwajika 1 G dan 2 G
graf fuzzy lengkap maka 1 2 2 1 G G G G    .
3).  Diambil  sembarang  titik   1 2 , . u v V V   Derajat  keanggotaan  titik  dari  graf
fuzzy 1 2 G G  adalah
           
              1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , , , u v u v u v v u
v u             
             2 1 , (vii) h u v   
Selanjutnya, diambil sembarang sisi    1 2 1 2 1 2 , , u u v v E E   . Berikut terdapat 6 kasus dari himpunan sisi 1 2 E E  dan dtuliskan secara beerurutan dari kasus 1 sampai dengan kasus 6.
                       1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 , , | dan , , | dan , , | dan , , | dan , , | E E u u v v u v E u v E u u v v u v u v E u u v v u v E u v E u u v v u v E u v u u v v u v           
  


     1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 dan , , | dan . E u v E u u v v u v E u v E     
Selanjutnya dicari derajat keanggotaanmasing-masing sisinya. Untuk kasus 1:
1 1 1 2 2 2 dan u v E u v E   , derajat keanggotaan sisinya adalah
                          1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 , , , , , , (viii) u u v v u u v v h u u h v v         
Untuk  kasus  2  sampai  dengan  kasus  6,  derajat  keanggotaan  sisinya  adalah
       1 2 1 2 1 2 , , 0 u u v v     .
Berdasarkan  persamaan  (vii)  dan  (viii)  terbukti  bahwa  jika 1 G dan 2 G graf fuzzy lengkap maka 1 2 2 1 G G G G   .
4).  Diambil  sembarang  titik   1 2 , u v V V  .  Derajat  keanggotaan  titik  dari  graf fuzzy 1 2 G G adalah
                    1 2 1 2 2 1 2 1 2 , = , u v u v v u v u
     
      
           1 , (ix) h u v 
Selanjutnya,  diambil  sembarang  sisi    1 2 1 2 1 2 , , u u v v E E  .  Derajat keanggotaan setiap sisi dari graf fuzzy 1 2 G G adalah
                      1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 , , , , u u v v u v u v u v u v u u v v          
                2 1 1 2 1 2 , , (x) h u u h v v    
Berdasarkan persamaan (ix) dan (x), maka dapat dikatakan bahwa jika 1 G dan 2 G adalah graf fuzzy lengkap maka 1 2 2 1 . G G G G  

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat diambil kesimpulan bahwa hasil operasi  perkalian  tensor  dua  graf fuzzy bersifat  isomorfik,  jika 1 G dan 2 G merupakan  graf fuzzy lengkap  maka 1 2 2 1 G G G G    , 1 2 2 1 G G G G    ,
1 2 2 1 G G G G   ,  dan 1 2 2 1 G G G G   .  Saran  untuk  penelitian  selanjutnya adalah  untuk  menyelidiki  sifat-sifat  isomorfik  pada  operasi  perkalian  tensor, perkalian bintang, perkalian Cartesius, dan perkalian modular tiga graf fuzzy .

## DAFTAR PUSTAKA
Dogra,  S., Different  Types  of  Product  of  Fuzzy  Graph ,  Progress  in  Nonlinear Dynamics and Chaos, 3 (1) (2015), 41-56.
Malarvizhi,  J., A  Study  on  Isomorphism  and  Special  Types  of  Fuzzy  Graphs ,
Tesis,  PG  and  Research  Departement  of  Mathematics,  Bharathidasan University. Tamil Nadu, 2010.
Mordeson,  J.N.  dan  Nair,  P.  S., Fuzzy  Graphs  and  Hyperfuzzy  Graphs .
Heidelberg: Physica-Verlag, 2000.
Nagoorgani, A. dan Latha, S.R., Some Properties on Operations of Fuzzy Graph , Advances in Fuzzy Sets and Systems, 19 (1) (2014), 1-24.
Nagoorgani,  A.  dan  Malarvizhi,  J., Isomorphism  on  Fuzzy  Graphs ,  International Journal  of  Computational  and  Mathematical  Sciences, 2 (4)  (2008),  200- 206.
Nirmala, G. dan Vijaya, M., Fuzzy Graphs on Composition, Tensor and  Normal Products ,  International  Journal  of  Scientific  and  Research  Publication, 2 (2012), 1-7.
Sunitha,  M.S.,  dan  Kumar,  A.V., Complement  of  a  Fuzzy  Graph , Indian  J.  pure appl. Math., 33 (9) (2002), 1451-1464.
Triyani,  Baskoro,  C.,  Larasati,  N.,  dan  Wardayani,  A., Sifat-sifat  Operasi Perkalian Modular pada Graf Fuzzy , Seminar Matematika dan Pendidikan
Matematika  2017, UniversitasNegeri  Yogyakarta,  Yogyakarta,  2017,  13-
18.