JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 4, Tahun 2023, Halaman 539 - 548 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PEMODELAN JUMLAH KASUS PNEUMONIA PADA BALITA DI JAWA TIMUR MENGGUNAKAN METODE REGRESI POISSON INVERSE GAUSSIAN DILENGKAPI GUI-R
Krisdiana Nur Utami 1* , Sugito 2 , Rukun Santoso 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail : krisdiananur@gmail.com
DOI: 10.14710/J.GAUSS.12.4.539-548 Article Info:
Received: 2023-02-14 Accepted: 202 4 -0 6 -2 6 Available Online: 2024-03- 29
Keywords:
Poisson Inverse Gaussian
Regression; Overdipersion; Pneumonia; GUI-R
Abstract : Reducing  toddler  mortality  is  one  of  the  desire  of sustainable  development  programs. Modeling  count  data  may  be analyzed  the  usage  of  Poisson  regression.The  assumption  that  must be  met  in  Poisson  regression  is  that  the  mean  and  variance  values must  be  equal,  often  in  count  data  there  is  a  violation  of  this assumption. This is indicated by the variance value which is greater than  the  mean  value  (overdispersion).  Poisson  Inverse  Gaussian (PIG)  regression  is  one  form  of  mixed  Poisson  regression  to  model data  that experience overdispersion  cases. The MLE method is used to  estimate  the  PIG  regression  parameters  and  hypothesis  testing using the MLTR method. The best model of the PIG regression form is based on the smallest AIC value. The results of hypothesis testing concluded that the percentage of under-fives who received exclusive breast  feeding  had  a  significant  effect  on  the  number  of  pneumonia cases  among  toddler.  Data  modeling  using  the  PIG  regression method in this study is complemented by the creation of a Graphical User  Interface  (GUI)  that  can  facilitate  the  process  of  selecting  the best model.

## 1. PENDAHULUAN
Sustainable Development  Goals  atau pembangunan berkelanjutan diharapkan  mampu tercapai pada waktu mendatang. Target yang harus dicapai pada tahun 2030 yaitu mampu menurunkan  angka  kematian  balita.  Pneumonia  adalah  penyakit  pada  saluran  pernafasan yang  menjadi  penyebab  utama  kematian  anak  usia  balita  yang  kemungkinan  akan memberikan  dampak  negatif  di  usia  dewasa  (Riskesdas,  2013).  Data  jumlah  kasus pneumonia  merupakan  salah  satu  data  cacahan.  Data  cacahan  tidak  cocok  dimodelkan dengan  regresi  klasik,  sebab  akan  melanggar  asumsi  yaitu,  bersifat  homokedastisitas  dan tidak  berdistribusi  normal  (Widiari,  2016). Generalized  Linear  Models atau GLM  adalah bentuk perluasan dari model regresi klasik yang biasa disebut sebagai alternatif untuk data yang tidak berdistribusi normal (De Jong dan Heller, 2008). Bentuk dari pemodelan GLM adalah  regresi  poisson , yang  digunakan  untuk  memodelkan  data  cacahan  yang  telah memenuhi asumsi equidispersi.
Data jumlah kasus pneumonia pada balita pada penelitian ini mengalami overdispersi. Keadaan suatu  data dengan nilai  varians lebih besar daripada means akan mengakibatkan kesimpulan  yang  diperoleh  tidak  valid  serta  hilangnya  informasi  penting  karena underestimate pada  pendugaan  standar  error.  Suatu  data  yang  mengalami  overdispersi tidak dapat diselesaikan dengan model regresi Poisson. Cara mengatasi overdispersi adalah membentuk  beberapa  pemodelan  yang  merupakan  kombinasi  dari distribusi  poisson dengan  beberapa  distribusi  baik  diskret  maupun kontinu  ( mixed  poisson  distribution ). Model  regresi mixed poisson  sangat  berguna  dalam  mengatasi  overdispersi  (Dean et  al .,
1989).  Salah  satu mixed  poisson  distribution yang  digunakan  dalam  penelitian  adalah distribusi Poisson Inverse Gaussian (PIG) dengan random efek distribusi inverse gaussian.
Penelitian  ini  dikembangkan  dengan  mengidentifikasi  faktor-faktor  yang  memiliki pengaruh  terhadap  jumlah  kasus  pneumonia  pada  balita  di b Provinsi b Jawa  Timur berdasarkan  prinsip backward  elimination .  Bertujuan b untuk  mendapatkan b model  dan mampu  menentukan b faktor b yang b diduga  berpengaruh  secara  signifikan  terhadap  jumlah kasus pneumonia pada balita di Jawa Timur.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Pneumonia merupakan salah satu  penyakit yang  menyerang saluran pernapasan yang disebabkan  oleh  bakteri,  jamur,  dan  virus. Streptococcus  pneumoniae dan Haemophilus influenzae merupakan bakteri penyebab pneumonia khususnya menyerang usia balita (Sari dan  Cahyati,  2019).  Balita  yang  pernah  terjangkit  pneumonia  akan  memiliki  konsekuensi jangka panjang yang akan kambuh di usia dewasa, seperti gangguan fungsi paru-paru dan saluran pernafasan lainnya. Pneumonia masih menjadi masalah kesehatan masyarakat yang belum teratasi (Riskesdas, 2013). Pasien penderita pneumonia memiliki jaringan paru-paru (alveoli)  yang  berisi  nanah  dan  cairan,  yang  membuat  pernapasan  menjadi  menyakitkan dan  mengakibatkan  penderita  kekurangan  oksigen.  Pneumonia  menimbulkan  jumlah kematian yang tinggi, karena sedikitnya perhatian yang diberikan untuk penyakit tersebut (Said,  2010).  Sepanjang  tahun  2021  Provinsi  Jawa  Timur  menempati  urutan  paling  atas dengan  cakupan  penemuan  kasus  pneumonia  usia  balita  sebesar  3.330.329  dan diperkirakan  148.200  balita  yang  terjangkit  pneuomonia  (Kementerian  Kesehatan  RI, 2021).
Distribusi Poisson adalah distribusi diskret yang peluang kejadiannya relatif kecil serta bergantung  pada  interval  waktu  tertentu  ataupun  pada  wilayah  tertentu  (Walpole,1995). Suatu variabel random diskrit 𝑌 akan berdistribusi Poisson apabila memiliki bentuk fungsi kepadatan peluang diskrit oleh (Myers, 1990) pada persamaan (1) :
𝑓(𝑦, 𝜇) = 𝑒 −𝜇 𝜇 𝑦 𝑦! dengan y  =  0, 1, 2, … dan μ > 0 . (1)
Rataan dan variansi pada distribusi poisson mempunyai nilai yang sama ditunjukkan pada persamaan (2) :
𝐸(𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜇 (2)
Distribusi  Inverse  Gaussian  merupakan  salah  satu  distribusi  kontinu  yang  termasuk  ke dalam Generalized  Linier  Models (GLM)  dengan  variabel  respon  berdistribusi  Inverse Gaussian. Karena Inverse Gaussian merupakan salah satu distribusi GLM, maka komponen utama  distribusi  Inverse  Gaussian yaitu  komponen  random,  komponen  sistematik  dan fungsi  link.  Variabel  respon  pada  Distribusi  Inverse  Gaussian merupakan  variabel  non negatif dengan  fungsi  kepadatan  peluang  yang  dinotasikan  sebagai 𝑌 ~𝐼𝐺(𝜇, 𝜎 2 ) ,  (Jong dan Heller, 2008) :
𝑓(𝑦) = (2𝜋𝑦 3 𝜎) −0,5 𝑒 −(𝑦−𝜇) 2 /(2𝑦𝜇 2 𝜎 2 ) , y > 0, 𝜇 > 0, 𝜎 2 > 0 (3)
Rata-rata dan varian dari distribusi Inverse Gaussian adalah  :
𝐸(𝑌) =  𝜇 dan 𝑉𝑎𝑟 (𝑌) =   𝜎 2 𝜇 3 (4)
dan 𝜎 2 adalah  parameter disperse, paramater disperse adalah  parameter  yang menunjukkan keadaan overdispersi pada data.
Overdispersi  merupakan  keadaan  suatu  data  yang  memiliki  nilai  varians  lebih  besar dari  pada  nilai  rata-rata {𝑉𝑎𝑟(𝑌) > 𝐸(𝑌))} .  Data  yang  mengalami  overdispersi akan menyebabkaan kesalahan fatal dalam interpretasi model, terutama pada estimasi parameter
model  karena  dapat  menaksir standard  error yang  terlalu  rendah  dan  dapat  memberikan kesimpulan yang keliru tentang signifikan atau tidaknya parameter regresi yang terlibat.
Pengujian  overdispersi  pada  data  dengan  statistik  uji The  Variance  Test (𝑉𝑇) yang ditunjukkan pada persamaan (5) :
𝑉𝑇 = ∑ (𝑦−𝑦̅) 2 𝑦̅ 𝑛 𝑖=1 = (𝑛 − 1) 𝑠 2 𝑦̅ (5)
Nilai Variance  Test (VT) merupakan  indeks  disperse.  Dengan  ketentuan  nilai  VT  yang kurang  dari  1  maka  data  mengalami  underdispersi,  apabila  nilai  VT  lebih  dari  1  maka terjadi overdispersi (Karlis dan Xekalaki, 2000).
Distribusi  Poisson  Inverse  Gaussian  merupakan  salah  satu  distibusi mixed poisson. Distribusi PIG mempunyai dua parameter yaitu rata-rata  (μ) yang disebut juga parameter lokasi dan parameter dispersi (τ) atau disebut parameter bentuk. Fungsi kepadatan peluang distribusi PIG pada persamaan (6) (Zha et al ., 2014) :
P(Y = y |μ, 𝜏) = μ y 1 eτ 𝑦 𝑖 ! ( 2 πτ ) 1 2 (2μτ + 1) −( y− 1 2 2 ) K y− 1 2 ( 1 τ √2πτ + 1) , y  >  0, 𝜇 > 0, 𝜏 > 0 (6)
Rumus rataan dari distribusi PIG adalah :
𝐸 ( 𝑌 )= 𝜇 (7)
Rumus variansi dari distribusi PIG pada persamaan (7):
𝑉𝑎𝑟 ( 𝑌 ) = 𝜇 + 𝜏𝜇 2 (8)
Model regresi PIG dapat dituliskan pada persamaan (9): 𝑙𝑛(𝜇 𝑖 ) = 𝐱 𝑖 𝑇 𝜷 atau
𝐸(𝑌 𝑖 |𝑋 𝑖 ) = 𝜇 𝑖 = 𝑒𝑥𝑝(𝐱 𝑖 𝑇 𝜷) (9)
𝐸(𝑌 𝑖 |𝑋 𝑖 ) = 𝜇 𝑖 = 𝑒𝑥𝑝(𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 1𝑖 +…+ 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘𝑖 ) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Parameter β yang  sesuai  dengan  model  regresi  PIG  pada  persamaan  (9)  dapat diestimasi  menggunakan Maximum  Likelihood  Estimation. Model  dari  regresi PIG  dapat dilakukan mengikuti langkah-langkah pada persamaan (10) :
𝐿(𝜷; 𝜏) = 𝚷 i=1 n 𝑃(𝑌 = 𝑦 𝑖 |𝒙 𝒊 ; 𝜷; 𝜏) 𝐿(𝜷; 𝜏) =   ∏ { 𝑒 𝛽𝑦𝑖 𝒙𝒊 𝑇 𝑒 1 𝜏 𝑦 𝑖 ! ( 2 𝜋𝜏 ) 1 2 (2𝜇 𝑖 𝜏 + 1) − (𝑦𝑖− 1 2 ) 2 𝐾 𝑠𝑖 (𝑍 𝑖 )} 𝑛 𝑖=1 (10)
Fungsi  likelihood  tersebut  diubah  bentuk  logaritma  natural  (ln)  sehingga  pada  persamaan (10) dapat dinyatakan dalam persamaan (11) :
𝐿(𝜷; 𝜏) = ln 𝐿(𝜷; 𝜏)
= ∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝒙 𝑖 𝑇 𝜷 + 𝑛 𝜏 − 𝑙𝑛(∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 !) + 𝑛 2 𝑙𝑛 ( 2 𝜋 ) - 𝑛 2 ln 𝜏 (11) − ∑ ( 2𝑦 𝑖 −1 4 ) 𝑛 𝑖=1 ln(2𝒙 𝑖 𝑇 𝜷𝝉 + 1) + ∑ 𝑙𝑛𝐾 𝑠𝑖 𝑛 𝑖=1 ( 𝑧 𝑖 )
Fungsi dimaksimumkan dengan bantuan algoritma Fisher Scoring oleh Smyth (2002) untuk menentukan penaksir maksimum likelihood parameter 𝜽 = [𝜷 𝑇 𝜏] 𝑇 dengan persamaan (12) :
𝜽 ̂ (𝑟+1) = 𝜽 ̂ (𝑟) + 𝑰 −1 (𝜽 ̂ (𝑚) )𝑫(𝜽 ̂ (𝑚) ) . (12)
dengan
𝜽 ̂ = (𝜷 ̂, 𝜏̂ ) 𝑇
𝑫(𝜃̂) = ( 𝜕𝑙 𝜕𝜏̂ , 𝜕𝑙 𝜕𝜷 ̂ 𝑇 ) 𝑇
𝑰(𝜃̂ (𝑚) ) = −𝐸[𝑯(𝜽 ̂ (𝑚) )]
𝑯(𝜃̂ (𝑚) ) (𝑘+1)(𝑘+1) = [ 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜏̂ 2 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜏̂𝜕𝜷 ̂ 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜷 ̂𝜕𝜏̂ 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜷 ̂𝜕𝜷 ̂ 𝑇 ] 𝜃=𝜃 𝑚
Sehingga 𝑰(𝜽 ̂ (𝒎) ) ∶ −𝑬 [ 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜏̂ 2 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜏̂𝜕𝜷 ̂ 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜷 ̂𝜕𝜏̂ 𝜕 2 𝑙 𝜕𝜷 ̂𝜕𝜷̂ 𝑇 ]
Langkah-langkah pengerjaan dengan menggunakan Fisher Scoring Algorithm yaitu : 1. Menentukan vektor awal parameter 𝜽 ̂ 0 dengan mengasumsikan data memenuhi model regresi linier berganda (McCullagh dan Nelder, 1989) :
𝒀 ∗ = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 1𝑖 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘𝑖 + 𝜀 𝑖 ; 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛
dengan metode kuadarat terkecil diperoleh: 𝜷 ̂ 0 = (𝐗 𝐓 𝐗) −𝟏 𝐗 𝐓 𝐘 ∗
2. Membentuk vektor gradien 𝑫(𝜽 ̂ (0) ).
3. Membentuk matriks hessian 𝑯(𝜽 ̂ (0) ) .
4. Membentuk matrik informasi Fisher 𝑰(𝜽 ̂ (0) ) .
5. Memasukkan nilai 𝜽 ̂ 0 sehingga diperoleh vektor gradien 𝑫(𝜽 ̂ (0) ) dan matriks hessian 𝑯(𝜽 ̂ (0) ) .
6. Memulai dari 𝑚 = 0 dilakukan iterasi pada 𝜽 ̂ (𝑟+1) = 𝜽 ̂ (𝑟) + 𝐈 −1 (𝜽 ̂ (𝑚) )𝑫(𝜽 ̂ (𝑚) ) , nilai (𝜽 ̂ (𝑚) ) merupakan sekumpulan penaksir parameter yang konvergen saat iterasi ke-m.
7. Jika  belum  diperoleh  penaksiran  parameter  yang  konvergen  saat  iterasi  ke-m,  maka dilanjutkan kembali ke langkah 5 sampai iterasi ke- m+1. Itersai akan berhenti apabila nilai dari ‖𝜽 ̂ (𝑚+1) − 𝜽 ̂ (𝑚) ‖ ≤  𝜀 , 𝑑𝑎𝑛 𝜀  > 0 .
Pengujian  parameter  model  regresi  PIG  dilakukan  secara  serentak  dengan  bantuan metode Maximum  Likelihood  Ratio  Test (MLRT)  atau  berdasarkan  nilai  statistik  uji 𝐺 (Mc. Cullagh dan Nelder, 1989). Hipotesis pengujian secara serentak yaitu : 𝐻 0 : b = 𝛽 1 = 𝛽 2 … = 𝛽 𝑘 = 0 𝐻 1 : b minimal ada satu b 𝛽 𝑖 ≠ 0, dengan b i = 1, 2, …, k.
Statistik b Uji :
𝐺 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = −2 ln ( 𝐿(𝜔 ̂ ) 𝐿(Ω ̂) ) (13)
dengan:
L(ω ̂) : model likelihood tanpa variabel prediktor L(Ω ̂) : model likelihood dengan variabel prediktor Nilai 𝐺 tersebut  mengikuti  distribusi chi  square dengan  derajat  bebas 𝑣 .  Kriteria pengujian  parameternya  adalah  menolak 𝐻 0 ketika  nilai 𝐺 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝜒 2 (α, 𝑣 ),  maka minimal terdapat satu parameter yang diduga mempunyai pengaruh yang signifikan.
Hasil dari penaksiran parameter model regresi PIG belum tentu menunjukkan adanya pengaruh yang signifikan  terhadap model  secara parsial,  maka perlu dilakukan uji parsial pada parameter β dan parameter τ. Hipotesis pengujian secara parsial untuk masing-masing parameter yaitu :

## Parameter β
Hipotesis b :
𝐻 0 : 𝛽 𝑖 = 0, i = 1, 2, …,k (variabel prediktor ke-i tidak berpengaruh terhadap variabel respon)
𝐻 1 : 𝛽 𝑖 ≠ 0, i = 1, 2, …,k (variabel prediktor ke-i berpengaruh terhadap variabel respon) Statistik uji parsial parameter β Statistik uji parsial terhadap parameter 𝛽 menurut Nakaya et al . 2005 adalah :
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = β ̂ i Se(β ̂ i ) (14)
Kriteria pengujian adalah tolak 𝐻 0 apabila |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝒕( 𝜶 𝟐 , 𝒏 − 𝒌) , atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒  < 𝛼, dengan α adalah tingkat signifikasi yang digunakan, 𝑆𝑒(𝛽̂ 𝑖 ) = √𝑣𝑎𝑟 ̂ (β̂ i ) dengan 𝑣𝑎 ̂𝑟(𝛽 𝑖 ) diperoleh dari elemen diagonal ke (m+1) dari matriks 𝑰(𝜽 ̂ (𝒎) ) = −𝑬 ( (𝑯 −𝟏 (𝜽 ̂ ) ) .
Parameter τ Hipotesis : 𝐻 0 : τ = b 0 (variabel respon tidak mengalami overdispersi) 𝐻 1 : τ ≠ b 0 (variabel respon mengalami overdispersi) Statistik uji parsial parameter τ :
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝜏 ̂ 𝑆𝑒(𝜏) ̂ (15)
Kriteria  pengujian  adalah  tolak 𝐻 0 apabila |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝒕( 𝜶 𝟐 , 𝒏 − 𝒌) ,  atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒  < 𝛼, dengan  α  adalah  tingkat  signifikasi  yang  digunakan, 𝑆𝑒(𝜏̂) = √𝑣𝑎𝑟 ̂ (𝜏̂) dengan 𝑣𝑎 ̂ 𝑟(𝜏̂) diperoleh dari elemen diagonal ke (m+1) dari matriks 𝑰(𝜽 ̂ (𝒎) ) = −𝑬 ( (𝑯 −𝟏 (𝜽 ̂ ) ) .
Kriteria  yang    digunakan  untuk  mendapatkan  model  terbaik  dapat  didasarkan  pada perolehan  nilai Akaike  Information  Criterion (AIC).  Nilai  AIC  dapat  dirumuskan  dalam persamaan (16):
𝐴𝐼𝐶 =  2𝑘 − 2ln  (𝐿(𝜃̂)) (16) dengan 𝐿(𝜃̂) adalah  estimasi  fungsi likelihood dan 𝑘 merupakan  banyaknya  parameter yang  ditaksir  dalam  suatu  model  regresi.  Jika  terdapat  banyak  model  dalam  suatu  data penelitian, model dengan nilai AIC terkecil adalah model terbaik (Akaike, 1978).
Tidak  adanya  gejala  multikolinearitas  antara  variabel  prediktor  merupakan  prasyarat untuk  terciptanya  model  regresi  yang  baik.  Pendekteksian  adanya  kasus  multikolinieritas dapat diketahui yaitu  :
1. Jika  koefisien  korelasi  Pearson (𝑟 𝑖𝑗 ) antar  variabel  prediktor  lebih  tinggi  dari  0,95 maka terdapat korelasi antar variabel tersebut.
2. Nilai  VIF  ( Varian  Inflation  Factor )  lebih  besar  dari  10  menunjukkan  adanya multikolinieritas antar variabel prediktor. Nilai VIF dinyatakan dalam persamaan (17):
𝑉𝐼𝐹 𝑗 = 1 (1−𝑅 𝑗 2 ) (17)
Nilai 𝑅 𝑗 2 merupakan    koefisien  determinasi  antara  satu  variabel  prediktor  dengan variabel prediktor lainnya (Hocking,  1996).

## 3. METODE PENELITIAN
Data  sekunder  dari  profil  Dinas  Kesehatan  Jawa  Timur  tahun  2021  pada  website https://dinkes.jatimprov.go.id  merupakan  jenis  data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini. Terdapat  38  kabupaten  dan  kota  di  Jawa  Timur  sebagai  jumlah  dari  observasi.  Variabel penelitian disajikan dalam Tabel 1 :
Tabel  1 . Variabel Penelitian Variabel Keterangan Y Jumlah Kasus Pneumonia 𝑋 1 Persentase Balita Kurang Gizi 𝑋 2 Persentase Pemberian ASI Ekslusif 𝑋 3 Persentase Pemberian Imunisasi Campak 𝑋 4 Persentase Pemberian Imunisasi DPT HB-HIB 𝑋 5 Persentase Cakupan Pelayanan Kesehatan Balita
Pada penelitian ini penulis menambahkan tampilan Grapical  User  Interface (GUI)  R dari  paket Shiny sebagai alat pengolah data. Langkah dalam analisis data yaitu :
1. Mempersiapkan aplikasi GUI R yang sesuai dengan keperluan analisis.
2. Mengumpulkan  data  dan  berbagai  sumber  informasi  ilmiah  yang  mendukung  proses penelitian.
3. Mendeskripsikan  karakteristik  data  jumlah  kasus  pneumonia  dan  faktor-faktor  yang mempengaruhinya.
4. Pemeriksaan multikolinieritas berdasarkan nilai koefisien korelasi dan nilai VIF.
5. Pengujian overdispersi.
6. Pemodelan dengan regresi Poisson Inverse Gaussian (PIG).
7. Mencari model terbaik berdasarkan kriteria nilai AIC terkecil.
8. Membuat interpretasi hasil pemodelan.
9. Menyusun kesimpulan berdasarkan analisis yang telah dilakukan.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  akhir  tahun  2021,  sebaran  kasus  pneumonia  di  Provinsi  Jawa  Timur  sebanyak 61.345  kasus  per  kabupaten  atau  kota.  Seluruh  kabupaten  dan  kota  di  Jawa  Timur  telah terjangkit  pneumonia,  dengan  jumlah  kasus  terbanyak  ditemukan  di  Kabupaten  Sidoarjo 9.308  kasus  dan  terendah  di  Kabupaten  Pacitan  sebanyak  63  kasus.  Gambar  1 menggambarkan  sebaran  jumlah  kasus  pneumonia  pada  balita  di  Jawa  Timur  pada  tahun 2021.
Gambar b 1. Persebaran Jumlah Kasus Pneumonia pada Balita di Jawa Timur tahun 2021
Hasil dari statistika deskriptif data dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel b 2 . Statistika Deskriptif Variabel Respon dan Variabel Prediktor N Minimun Maximum Mean Std. Deviation Variance 𝑌 38 63,0 9308,0 1614.34 1771.908 3139659.420 𝑋 1 38 0,8 14,8 7,650 3,2337 10,457 𝑋 2 38 42,1 92,2 72,812 14,3211 205,094 𝑋 3 38 13,9 100,6 83,784 18,3446 336,525 𝑋 4 38 29,8 141,1 77,958 18,6929 349,425 𝑋 5 38 35,6 102,6 87,195 13,1086 171,835
Tabel 2 menunjukkan bahwa rata-rata jumlah kasus pneumonia pada balita di Provinsi Jawa  Timur  pada  tahun  2021  terdapat  1614.34  ≈  1615  kasus.  Jumlah  kasus  tertinggi sebanyak  9308  kasus,  dan  terendah  sebanyak  63  kasus.  Langkah  selanjutnya  perlu dilakukan pemeriksaan multikolinieritas terlebih dahulu. Hasil pemeriksaan multikolinieritas berdasarkan nilai koefisien korelasi pada Tabel 3.
Tabel 3. Koefisien Korelasi Variabel Respon dan Variabel Prediktor
𝑋 1 b 𝑋 2 𝑏 𝑋 3 b 𝑋 4 b 𝑋 2 𝑏 -0,099 𝑋 3 𝑏 0,019 0,3450 𝑋 4 𝑏 -0,009 0,0543 0,5162 𝑋 5 𝑏 -0,014 0,1593 0,0351 0,1495
Nilai  koefisien  korelasi  Pearson  ( 𝑟 𝑖𝑗 )  semua  variabel  prediktor  memiliki  koefisien korelasi Pearson yang kurang dari 0,95 berarti tidak terdapat kasus multikolinieritas. Cara lain untuk mengetahui adanya kasus multikolinieritas  adalah berdasarkan nilai VIF. Nilai  VIF  dari  setiap  variabel  prediktor  yang  menunjukkan  nilai  kurang  dari  10,  maka disimpulkan tidak terdapat kasus multikolinieritas.
Tabel 4. Hasil Uji Multikolinieritas
Variabel b 𝑋 1 𝑏 𝑋 2 b 𝑋 3 𝑏 𝑋 4 b 𝑋 5 b VIF 1,015167 1,220860 1,610095 1,446846 1,061856
Regresi Poisson Inverse Gaussian merupakan model yang cocok diterapkan pada data yang  memiliki  distribusi  sangat  menceng  dan  mengalami  overdipersi  atau  data  yang memiliki nilai varians (variance) lebih besar dari rata-rata ( means).
Tabel  5 .Uji Overdispersi 𝑦̅ 𝑠 𝑉𝑇 1614.34 1771.908 71959,65
Pengujian  overdispersi  berdasarkan  Tabel  5  diperoleh  nilai (VT)  sebesar  71959,65.
Hasil  VT  yang  didapatkan melebihi  nilai  1,  sehingga  pemodelan  dengan  regresi  Poisson Inverse Gaussian dapat dilakukan.
Metode  yang  digunakan  untuk  menentukan  model  terbaik  adalah backward elimination yang  didasarkan  pada  nilai Akaike  Information  Criterion (AIC)  dengan beberapa  variabel  prediktor  yang  ada  pada  penelitian  ini  akan  dieliminasi  untuk mendapatkan  nilai  AIC  terkecil.  Lima  variabel  prediktor  yang  digunakan  menghasilkan tiga  kombinasi  model  yang  sudah  konvergen,  selanjutnya  dicari  model  terbaiknya.  Tiga kombinasi model regresi Poisson Inverse Gaussian yang sudah konvergen adalah :
Tabel  6. Nilai AIC pada  Kemungkinan Model regresi Poisson Inverse Gaussian
Variabel dari model AIC 𝑋 1, 𝑋 2, 𝑋 3 𝑋 4, 𝑋 5 647,9986 𝑋 1, 𝑋 2, 𝑋 3, 𝑋 5 646,0374 𝑿 𝟏, 𝑿 𝟐, 𝑿 𝟓 645,2935
Nilai  AIC  dari  model  regresi  Poisson  Inverse  Gaussian  berdasarkan  Tabel  6  dapat dilihat  bahwa  model  ketiga  merupakan  model  yang  memiliki  nilai  AIC  terkecil  yaitu 645,2935 dengan variabel yang terkandung adalah 𝑋 1, 𝑋 2, 𝑋 5 . Oleh karena itu model ketiga yang dipilih sebagai model terbaik.
Tabel  7. Penaksiran Parameter Model Regresi PIG pada Jumlah Kasus Pneumonia di
Jawa Timur Parameter Taksiran Standart Error 𝐭 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 P-Value 𝛽 0 7,76881 1,37295 5,658 0,00000264 𝛽 1 -0,07912 0,05287 -1,497 0,1440 𝛽 2 -0,02229 0,01079 -2,066 0,0468 𝛽 5 - 0,0203 0,01359 1,474 0,1499 𝜏 0,4588 0,3107 1,477 0,149
Penaksiran  parameter  model  regresi  berdasarkan  Tabel  7  diperoleh  informasi  bahwa persentase  balita  yang  mendapatkan  ASI  ekslusif  ( 𝑋 2 )  adalah  variabel  prediktor  yang berpengaruh  secara  signifikan  terhadap  kasus  pneumonia  pada  balita.  Nilai p-value dari ( 𝑋 2 ) sebesar 0,0468 yang berarti kurang dari 𝛼 = 0,05 sehingga 𝐻 0 ditolak. Nilai p-value pada  parameter 𝜏 yang  kurang  dari 𝛼 = 0,05 dan  menunjukkan  bahwa  data  mengalami kasus overdispersi.
Langkah  selanjutnya  adalah  melakukan  pengujian  parameter  model  regresi  Poisson Inverse  Gaussian. Pengujian  parameter  secara  serentak  dilakukan  pada  kemungkinan model  yang  sesuai dengan  model  regresi  PIG.  Hasil  pengujian  parameter  secara  serentak seperti yang disajikan dalam Tabel 7:
Tabel 8 . Pengujian Parameter Regresi PIG Secara Serentak Variabel dari model Statistik G db 𝝌 (𝜶,𝒅𝒃) 𝟐 Keputusan
𝑋 1, 𝑋 2, 𝑋 5 635.2935 35 49,8018 Tolak 𝐻 0
Nilai statistik  uji  G  yang  lebih  besar  dari  nilai 𝜒 (𝛼,𝑑𝑏) 2 untuk  semua  model  yang mungkin, menunjukkan bahwa setidaknya terdapat satu parameter memiliki pengaruh yang signifikan terhadap model.
Pengujian  parameter  secara  parsial  dapat  dilihat  dari  nilai p-value dan  t-hitung. Kriteria penolakan pengujian secara parsial adalah apabilla nilai p - 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 atau |𝑡 ℎ𝑖𝑡 | > 𝑡( 𝛼 2 , 𝑛 − 𝑘 − 1) =  2,036  maka 𝐻 0 ditolak.  Berdasarkan  nilai p-value pada  Tabel  6 menunjukkan  bahwa  variabel  yang  signifikan  dalam  model  adalah 𝛽 2 . Sehingga  model regresi  Poisson  Inverse  Gaussian  (PIG)  yang  terbentuk  adalah 𝜇̂ =exp( 7,76881 − 0,07912𝑋 2 − 0,02229 − 0,0203𝑋 5 ). Intepretasi dari model regresi yang terbentuk adalah nilai  konstanta  ( 𝛽 0 ) sebesar  7,76881  menyatakan  jika  semua  variabel  prediktor  tidak diperhatikan maka rata-rata kasus pneumonia balita di Provinsi Jawa Timur adalah sebesar exp(7,76881)=  2365,65  atau  kurang  lebih  2366  kasus.  Parameter 𝛽 1 sebesar  -0,07912 menyatakan  bahwa  setiap  penambahan  1%    persentase  balita  kurang  gizi  maka  akan
sebanding  dengan  penurunan  rata-rata  kasus  penumonia (𝑌) sebesar  exp( −0,07912 )  = 0,92329  kali  dari  rata-rata  semula  dengan  variabel  lainnya  tetap.  Parameter 𝛽 2 sebesar  - 0,02229  menyatakan  bahwa  setiap  penambahan  1%    persentase  balita  yang  mendapatkan ASI ekslusif ( 𝑋 2 ) maka akan sebanding dengan penurunan rata-rata kasus penumonia (𝑌) sebesar exp( −0,02229 ) = 0,97795 kali dari rata-rata semula dengan variabel lainnya tetap. Parameter 𝛽 5 sebesar  -0,0203  menyatakan  bahwa  setiap  penambahan  1%  persentase cakupan pelayanan kesehatan balita ( 𝑋 5 ) maka akan sebanding dengan penurunan rata-rata kasus  penumonia (𝑌) sebesar  exp( −0,0203 )  =  0,9799  kali  dari  rata-rata  semula  dengan variabel lainnya tetap.
Penelitian  ini  dilengkapi  aplikasi Graphical  User  Interface (GUI)  R.  Pembuatan aplikasi GUI R digunakan untuk mempermudah pemodelan menggunakan metode regresi Poisson  Inverse  Gaussian  dengan  cara  menginput  data.  Pembuatan  aplikasi  GUI  R diperlukan package R salah satunya yaitu Shiny . Dua komponen utama dalam pembuatan aplikasi  GUI  R    terdiri    dari User    Interface (UI)    dan Server .  Proses  pengolahan    data yang    dijalankan    oleh    GUI    akan    didefinisikan    dalam server ,    input  yang  telah dimasukkan  akan  dipanggil  menggunakan  identitas  yang  telah  dibuat  dalam  objek  UI. Tampilan  GUI  regresi  Poisson  Inverse  Gaussian  yang  telah  dijalankan  seperti  pada Gambar 2.
Gambar  2 . Tampilan Awal GUI R Pemodelan Regresi Poisson Inverse Gaussian

## 5. KESIMPULAN
Lima daerah dengan jumlah kasus pneumonia pada balita terbanyak di Provinsi Jawa Timur  tahun  2021  yaitu  Kabupaten  Sidoarjo,  Kabupaten  Malang,  Kabupaten  Gresik, Kabupaten Jombang, serta Kabupaten Bangkalan, sebagaimana ditentukan dari analisis dan pembahasan  pemodelan  kasus  pneumonia  pada  balita  menggunakan  regresi  Poisson Inverse Gaussian. Dengan range jumlah kasus pneumonia tertinggi berkisar antara 3000  - 10.000  kasus  pada  wilayah  tersebut.  Terbukti  jumlah  kasus  pneumonia  di  Provinsi  Jawa Timur pada tahun 2021 berlebihan.Sebab itu penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode regresi PIG. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut untuk model regresi Poisson Inverse Gaussian  pada jumlah kasus pneumonia pada usia balita yaitu 𝜇̂ =exp( 7,76881 − 0,07912𝑋 1 − 0,02229𝑋 2 − 0,0203𝑋 5 ). Persentase balita yang mendapatkan ASI ekslusif ( 𝑋 2 )  merupakan  faktor  yang  berpengaruh  signifikan  terhadap  jumlah  kasus  pneumonia pada balita di Provinsi Jawa Timur pada tahun 2021.

## DAFTAR PUSTAKA
Akaike, H. (1978). A Bayesian Analysis of The Minimum AIC Procedure . Annals  of the Institute of Statistical Mathematics, Part A Hal. 914
Dean,  C.,  Lawless,  J.  F.  dan  Willmot,  G.E.  (1989). A  Mixed  Poisson-inverse Gaussian Regression Model. The Canadian Journal of Statistics , Vol. 17,  No. 2, hal. 171-181.
De Jong, P. dan Heller, G.Z. (2008), “ Generalized Linear Model for Insurance Data” , 1st edition, Cambridge University, Press, New York.
Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur. (2022). Profil Kesehatan Provinsi Jawa   Timur 2021.
Karlis, D. dan Xekalaki, E. (2000). A Simulation Comparison of Several   Procedures  for Testing the Poisson Assumption. The Statistician. Vol. 49,   No. 3, hal. 355-382.
Kementerian  Kesehatan  RI.  (2021). Profil  Kesehatan  Indonesia  2021 .  Kementrian Kesehatan Republik Indonesia. https://pusdatin.kemkes.go.id/
McCullagh,  P.,  dan  J.  A.  Nelder,  (1989),  Generalized  Linear  Models,  2nd  Ed., Chapman and Hall, New York.
Myers.  R.  H.,  (1990). Classical  and  Modern  Regression  with  Applicaton. Boston: PWS-KENT Publishing Company.
Nakaya, T., Fotheringham, A. S., Brunsdon, C., dan Charlton, M. (2005).   Geographically weighted Poisson regression for disease association  mapping. Statistics In medicine . 24 (17), 2695-271.
Said,  M.  (2010). Pengendalian  Pneumonia  Anak  Balita  dalam  Rangka  Pencapaian MDG4 . Buletin Jendela Epidemilogi. 3: 16-21. Sari, M.P. dan Cahyati, W. H. (2019). Tren Pneumonia Balita di Kota Semarang   Tahun 2012-2018. Jurnal HIGEIA. 3(3): 407-416. Smyth,  G.  K.  (2002). Optimation .  In  Shaarawi,  A.H.E.,  &  Piegorsch,  W.W.  (Ed). Encyclopedia of Environmetrics , Vol. 3, (pp. 1481-1487), Chicester: John Wiley & Sons
Riset  Kesehatan  Dasar  (Riskesdas).  (2013).  Badan  Penelitian  dan  Pengembangan Kesehatan Kementerian RI tahun 2013. Diakses 2 September 2022.
Walpole,  R.E.  (1995). Pengantar  Metode  Statistika. Ahli  Bahasa:  Ir.  Bambang Sumantri, Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.
Widiari,  S,  M.  (2016). Penaksiran  Parameter  dan  Statistik  Uji  dalam  Model  Regresi Poisson Inverse Gaussian (PIG). Tesis. Institut Teknologi   Sepuluh Nopember.
Zha,  L.,  Lord,  D.  dan  Zou,  Y.  (2014),  “ The  Poisson  Inverse  Gaussian  (PIG)
Generalized Linear Regression Model for Analyzing Motor Vehicle Crash Data”. Journal of Transportation Safety and Security . DOI:
10.1080/19439962.2014.977502.