Vol. 12, No. 2,  153-159,  Januari  2016
Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Firman 

## Abstrak
Misalkan adalah  operator  linier  dengan adalah  ruang  Hilbert.  Pada  operator linier  dikenal  istilah  operator  Adjoint  beserta  sifat-sifatnya.  Salah  satu  jenis  operator  adjoint adalah  operator  self  adjoint.  Berdasarkan  sifat-sifat  operator  adjoint,  maka  dalam  tulisan  ini akan dibahas mengenai sifat-sifat operator self adjoint dalam ruang hilbert.
Kata Kunci: Ruang  hasil  kali  dalam,  ruang  Hilbert,  operator  linier,  operator Self Adjoint.

## 1. Pendahuluan
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  beberapa  definisi,  teorema,  dan  lemma  yang  akan digunakan untuk menjelaskan mengenai sifat operator self adjoin dalam ruang Hilbert.
Definisi 1. Ruang  metrik  adalah  pasangan (    ) ,  dimana adalah  suatu  himpunan  tak  kosong  dan adalah  metrik  pada ,  yaitu  fungsi  yang  didefinisikan  pada
sedemikian  sehingga  untuk setiap memenuhi:
a. (    )
b. (    ) jika dan hanya jika
c. (    )    (    )
d. (    )    (    )    (    )
Definisi 2. Misalkan ( ) adalah  barisan  di  ruang  metrik (    ) .  Barisan ( ) dalam  ruang  metrik (    ) dikatakan  barisan  Cauchy  jika  untuk  setiap terdapat ( ) sedemikian sehingga ( ) , untuk semua
Ruang dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di konvergen ke , dimana
.
Definisi 3. Misalkan adalah ruang vektor atas lapangan Norm pada adalah suatu fungsi bernilai real pada yang dinotasikan dengan ‖ ‖ sehingga untuk semua memenuhi sifat-
sifat berikut:
a. ‖ ‖ ,
b. ‖ ‖ jika dan hanya jika ,
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Hasanuddin
Firman
c. ‖  ‖   | |‖ ‖ ,
d. ‖     ‖       ‖ ‖   ‖ ‖ (ketaksamaan segitiga).
Suatu ruang bernorm atas adalah pasangan ( ‖  ‖ ) dimana adalah ruang vektor atas dan ‖ ‖ adalah norm pada .
Definisi 4.
Misalkan adalah ruang vektor atas lapangan . Misalkan . dikatakan operator linier jika memenuhi: a. ( )    ( )    ( )
b. (  )     ( ) .
Definisi 5. Misalkan adalah  ruang  bernorm.  Misalkan ( ) adalah  operator  linier,  dengan ( ) .  Operator  T  dikatakan  terbatas  jika  terdapat sedemikian  sehingga ‖  ‖ ‖ ‖ ,     untuk semua ( ) .
Definisi 6. Misalkan adalah ruang vektor atas lapangan . Ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor bersama dengan hasil kali dalam yang terdefinisi di , dimana, hasil kali dalam pada adalah sebuah fungsi 〈   〉 , sedemikian sehingga memenuhi aksioma berikut:
a. 〈        〉   〈    〉   〈    〉
b. 〈     〉    〈    〉 . c. 〈    〉   〈    〉 ̅̅̅̅̅̅̅ . d. 〈    〉 〈    〉 .
Hasil kali dalam pada didefinisikan sebagai norm pada dengan ‖ ‖   √〈    〉 . Ruang hasil kali dalam yang lengkap disebut dengan ruang Hilbert .
Contoh 1. Misalkan adalah  himpunan  bilangan  real  berdimensi .  Ruang  vektor dengan  hasil  kali dalam  didefinisikan  sebagai 〈    〉 ,  dimana ( )   ( ) dan ( )   ( ㄴ ) adalah suatu ruang hasil kali dalam lengkap.
Definisi 7. (Kreyszig, 1978) Misalkan adalah  operator  linier  terbatas,  dimana
ruang  Hilbert,  maka
operator  Adjoint  Hilbert  dari yang  disimbolkan  dengan adalah  operator sedemikian sehingga untuk setiap , 〈     〉     〈 〉 Teorema 1. Misalkan
adalah  operator  linier,  dan adalah  operator  adjoint  Hilbert    dari ,
maka ada, tunggal dan merupakan operator  linier terbatas dengan ‖ ‖   ‖ ‖ .
Lemma 1. Misalkan dan ruang hasil kali dalam dan operator linier terbatas. Maka jika dan hanya jika 〈     〉 untuk semua
.
Teorema 2.
Misalkan adalah  ruang  Hilbert,  dengan dan operator  linier terbatas, dan sebarang scalar, maka a. 〈 〉   〈     〉
( )
b. 〈     〉 c. (  ) ̅ d. ( ) e. ‖ ‖     ‖ ‖     ‖ ‖ f. g. (  )
( dengan asumsi ).

## 2.  Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Definisi 8.
Misalkan adalah operator linier terbatas pada ruang Hilbert . dikatakan Self-adjoint jika .
Berdasarkan  definisi  operator  adjoint  dalam  ruang  Hilbert,  berlaku 〈     〉   〈 〉 untuk semua . Karena , maka untuk semua berlaku 〈     〉   〈     〉 . Dalam hal adalah  suatu  ruang  Hilbert  atas  lapangan  kompleks,  operator  linier
yang  self adjoint disebut juga operator hermitian.

## Sifat 1.
Misalkan adalah  operator  linier  pada  ruang  Hilbert 𝛨 .  Jika adalah  self-adjoint, maka 〈     〉 adalah real untuk setiap .
Bukti : Jika adalah self-adjoint, maka diperoleh
〈     〉     〈     〉
〈     〉 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Karena 〈     〉 sama  dengan  kompleks  konjugatnya,  maka 〈     〉 bernilai  real  untuk  setiap
. 
Sifat 2.
Misalkan
adalah operator linier pada ruang Hilbert. Jika 𝛨 adalah ruang Hilbert atas lapangan kompleks dan 〈     〉 untuk setiap , maka operator adalah self-adjoint.
Bukti : Jika 〈     〉 adalah real untuk setiap maka
〈     〉      〈     〉
̅̅̅̅̅̅̅̅̅     〈 〉
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅     〈 〉
karena itu, 〈     〉   〈 〉 atau 〈( 〉 . Klaim: Jika ,  dimana  H  adalah  ruang  Hilbert  atas  lapangan  kompleks  dan 〈     〉 untuk setiap , maka . Bukti klaim: Misalkan , dan berdasarkan asumsi 〈     〉 , maka
〈 (      )  (      )〉
〈 (      )    〉   〈 (      )   〉

## Firman
〈       〉   〈      〉   〈      〉   〈     〉
̅〈     〉    ̅〈     〉    〈     〉   〈     〉 〈     〉    ̅〈     〉 . Jika , maka 〈     〉   〈     〉 . Jika
maka ̅ , dan 〈     〉   〈     〉 .
Dengan  menjumlahkan  kedua  persamaan  di  atas,  diperoleh 〈     〉 yang  mengakibatkan
. Berdasarkan bukti klaim, maka sehingga . Jadi operator adalah self adjoint.  Sifat 3.
Misalkan
adalah dua operator linier self adjoint pada ruang Hilbert . Hasil  kali  kedua  operator  tersebut  adalah  self  adjoint  jika  dan  hanya  jika  operator  komutatif,
.
Bukti:
Misalkan adalah  operator  self adjoint,  maka
. Jika  hasil  kali  kedua
operator adalah self adjoint, maka
(  ) .
Jadi  operator  self  adjoint  komutatif  terhadap  perkalian.  Jika  perkalian  dua  operator  adalah komutatif, maka
((  ) ) ( ) (  ) .
Jadi jika dua operator komutatif terhadap perkalian,  maka hasil kali dua operator tersebut adalah self adjoint. 
Sifat 4. Jika adalah  operator  linier  self  adjoint  pada  ruang  Hilbert,  maka
adalah self adjoint.
Bukti : Karena dan self adjoint, maka . Misalkan , maka 〈(     )    〉   〈   (     ) 〉   〈   ( ) 〉   〈   ( ) 〉 . Jadi adalah self adjoint.  Sifat 5. Jika
adalah  operator  linier  self  adjoint,  maka adalah  self  adjoint,  untuk  setiap
.
Bukti : Karena self adjoint, maka . Misalkan , maka 〈(  )    〉   〈   (  ) 〉   〈 ( ̅ ) 〉   〈   (  ) 〉 .
Jadi adalah self adjoint. 
Akibat 1. Misalkan adalah  operator  linier  self  adjoint  terbatas  pada  ruang Hilbert. Jika adalah real, maka adalah self adjoint. Bukti: Misalkan adalah operator self adjoint maka . Berdasarkan Sifat 5 dan adalah self adjoint, untuk setiap , dan dari Sifat 4 maka diperoleh juga self adjoint.  Sifat 6. Misalkan dan 가 adalah operator linier terbatas pada ruang Hilbert. Jika self adjoint, maka adalah self adjoint.
Bukti: Karena self adjoint, maka
. Misalkan . Akan ditunjukkan bahwa 〈     〉   〈     〉 dimana .
Perhatikan bahwa
〈     〉   〈 〉     〈       〉      〈 〉     〈     〉 . Jadi adalah self adjoint. 
Sifat 7.
Jika adalah barisan operator self adjoint yang konvergen ke operator , maka merupakan operator self adjoint.
Bukti:
merupakan  barisan  operator  self  adjoint  yang  konvergen  ke  operator yang  mengakibatkan dan
‖ ‖ Perhatikan ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖       ‖( ) ‖ ‖ ‖       ‖ ‖ ‖ ‖ .
Karena ‖ ‖ konvergen ke-0, maka untuk setiap ‖ ‖ ⁄ .
Jadi ‖ ‖ , . Akibatnya ‖ ‖ atau . 
Sifat 8.
Misalkan
operator linier self adjoint  pada ruang Hilbert, maka semua nilai eigen dari (jika ada) adalah real.
Bukti: Misal adalah sebuah operator self adjoint pada . Misalkan sebarang nilai eigen   dari dan vektor  tidak  nol  dalam sehingga
.  Maka 〈    〉   〈     〉   〈     〉   〈     〉 〈     〉    ̅〈    〉 .
Karena , maka 〈    〉   ‖ ‖
dan jika kedua ruas dibagi dengan 〈    〉 mengakibatkan ̅ . Sebab itu adalah real. 
Akibat 2. Misalkan
operator linier self adjoint pada ruang Hilbert, dengan ( ) , maka mempunyai nilai eigen real.
Bukti: Polinom  karakteristik (      ) berderajat ,  jadi  mempunyai akar  kompleks.  Masing- masing  akar  ini  adalah  nilai  eigen  dari  operator  yang  self  adjoint,  dan  menurut  Sifat  8  masing- masing nilai eigen ini adalah bilangan real. Jadi T memiliki nilai eigen real. 
Contoh 2.
Misalkan dengan , dimana [ ] hermitian. det (      )         [ ] (     )(     )   (      )(     ) ( )   ( )
(     )(     ) . Nilai  eigen  dari yakni  solusi  dari  polinom  det (      ) ,  yaitu .  Jadi memiliki 2 nilai eigen real.

## 3. Kesimpulan
Berikut kesimpulan yang diperoleh dari hasil kajian ini, yaitu operator self-adjoint pada ruang Hilbert kompleks jika dan hanya jika 〈     〉 adalah real untuk setiap . Hasil kali dua operator yang self adjoint adalah self adjoint jika dan hanya jika bersifat komutatif. Semua nilai eigen dari operator self adjoint adalah real, dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda adalah ortogonal.

## Daftar Pustaka
[1] Anton, H. & Chris, R., Elementary Linear Algebra , Edisi 7. Drexel University. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane-Toronto.
[2] Bierens, H. J., 2007, Introduction to Hilbert Spaces, Pennsylvania State University.
[3] Brown, A.L and Page, A., 1970, Elements of Functional Analysis, London: Van Nostrand reinhold Company.
[4] Green, W.L., 2008, Spectral Theory with an Introduction to Operator Means.
[5] Green,  W.L.  and  Andrew,  A.D.,  2002, Spectral  Theory  of  Operators  on  Hilbert  Space, Atlanta: School of Mathematics Georgia Institute of Technology.
[6] Kreyszig,  E.,  1978, Introductory  Functional  Analysis  with  Applications ,  New  York: John Wiley & Sons, Inc.
[7] Landsman,  N.P.,  2004, Lecture  Notes  on  Hilbert  Spaces  and  Quantum  Mechanics, Department of Mathematics Radboud University Nijmegen.
[8] Siregar, R., 2002, Proyeksi Orthogonal Pada Ruang Hilbert, Fakultas Mipa Universitas Sumatera Utara Press