Estimasi: Journal of Statistics and Its Application e-ISSN: 2721-3803, p-ISSN: 2721-379X http://journal.unhas.ac.id/index.php/ESTIMASI

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Momen Diperumum
Grace Oktavia Yusuf 1* , Andi Kresna Jaya 2 , Nirwan Ilyas 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia
* Corresponding author, email: grcoktaviayusuf@gmail.com

## Abstract
Logistic  regression  is  a  regression  model  that  is  often  used  in  modeling  to  data  categories,  but  in determining the  model  sometime  can  not  be  solved  in the  normal  way  because  the  variable  response  is categorical  following  the  Bernoulli  distribution.  So  in  determining  the  model  needed  a  parameter estimation to get the information about the population parameters. The Generalized method of moments (GMM) is one method of the parameter estimation used to exploit the information on the condition of a population  moment  which  is  an  extension  of  the  moment  method.  By  using  the  GMM  parameter estimation,  it  is  obtained  that  using  the  same  moment  condition  with  the  generally  moment  method produces  the  same  estimation  with  the  moment  method  or  OLS  estimation.  In  estimating  the  logistic regression parameters, an algorithm is needed to solve its nonlinear form, so that it is used the iteration of the reweighted least square whose weight changes every time it is invented.
Keywords :  Binary  Logistic  Regression,  Generalized  Method  of  Moments,  Reweighted  Least  Square Iteration .

## Abstrak
Regresi logistik merupakan model regresi yang sering digunakan dalam pemodelan data kategori, namun dalam menentukan modelnya terkadang tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa dikarenakan variabel respon  yang  bersifat  kategorikal  mengikuti  distribusi  bernoulli.  Sehingga  dalam  menentukan  model diperlukan suatu estimasi parameter untuk  mendapatkan informasi mengenai parameter populasi. Metode momen  diperumum  (Generalized  method  of  moments/GMM)  adalah  salah  satu  metode  estimasi parameter  yang  digunakan  untuk  mengeksploitasi  informasi  bentuk  kondisi  momen  populasi  yang merupakan  perluasan  dari metode  momen.  Dari penggunaan  estimasi  parameter  GMM  diperoleh  bahwa dengan menggunakan  kondisi  momen  yang  sama  dengan metode  momen  pada  umumnya  menghasilkan estimasi  yang  sama  dengan  metode  momen  ataupun  dengan  estimasi  OLS.  Dalam  mengestimasi parameter  regresi  logistik  pun  diperlukan  suatu  algoritma  untuk  menyelesaikan  bentuk  nonlinear-nya, sehingga digunakan iterasi Reweighted least square yang pembobotnya berubah setiap pengiterasian.
Kata Kunci : Regresi Logistik Biner, Metode Momen Diperumum, Iterasi Reweighted Least Square .

## 1. Pendahuluan
Regresi  logistik  adalah  model  regresi  yang  menggambarkan  hubungan  antara variabel bebas dengan variabel terikat biner yaitu variabel yang diasumsikan mempunyai 2  nilai  (0  atau  1)  yang  seringkali  diartikan  gagal  atau  sukses.  Variabel  Y  biasanya merupakan simbol dari variabel terikat, sedangkan variabel bebas disimbolkan dengan X. Pada  regresi  linear  variabel  terikatnya  diasumsikan  berdistribusi  normal,  sedangkan

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan...
Grace Oktavia Yusuf, Andi Kresna Jaya, Nirwan Ilyas
untuk  variabel  terikat  pada  regresi  logistik  bersifat  kategorikal,  dimana  variabel  terikat tersebut mengikuti distribusi Bernoulli. Distribusi  dari variabel terikat ini  yang  menjadi pembeda antara regresi logistik dengan regresi linear [1].
Dalam  analisis  regresi,  estimasi  parameter  merupakan  tujuan  penting  untuk mendapatkan estimator. Estimasi yang baik adalah estimasi yang dapat menggambarkan kuantitas populasi melalui kuantitas sampel. Dalam menentukan penaksir terbaik sangat dipengaruhi  oleh  penggunaan  metode.  Penaksiran  parameter  dapat  dilakukan  dengan metode  maksimum  likelihood  [2].  Selanjutnya  Taurif  (2014)  meenjelaskan  bahwa metode momen  merupakan salah satu metode yang digunakan untuk memperoleh suatu estimator  untuk  parameter 𝛽 dengan  ide  dasar  berupa  menyamakan  antara  momen- momen  populasi  dengan  momen-momen  sampel.  Dari  metode  momen  tersebut diperkenalkan  suatu  estimator  yang  lain  yaitu  Metode  Momen  Diperumum  atau Generalized  Method  of  Moments (GMM).  Metode  Momen  Diperumum (GMM) merupakan  salah  satu  metode  yang  diperkenalkan  oleh  Hansen  sebagai  estimasi parameter  yang  meminimalkan  bentuk  kuadrat  dari  kondisi  momen  sampel  yang terboboti.  GMM  merupakan  metode  penaksiran  parameter  perluasan  dari  metode momen, dengan cara menyamakan momen kondisi dari populasi dengan momen kondisi dari  sampel  [3].  Sebagai  metode  estimasi  yang  bersifat  umum  (generalisasi),  metode GMM  jauh  lebih  fleksibel  karena  hanya  memerlukan  beberapa  asumsi  yang  disebut dengan moment  conditions populasi  yang  dikembangkan  dari  asumsi  model  [4].  Kadir (2018) dan Kuan (2010) menyatakan bahwa estimasi parameter menggunakan GMM dan metode  momen  atau  OLS  menghasilkan  hasil  estimasi  yang  sama  dengan  penggunaan kondisi  momen  yang  sama  pula,  namun  GMM  menghasilkan  nilai  standar  eror  yang lebih kecil dibandingkan  dengan  metode momen ataupun OLS, sehingga penggunaanya lebih optimal [5,6].
Pada  penelitian  kali  ini  akan  digunakan  estimasi  GMM  dalam  mengestimasi parameter dari  model regresi  logistik.  Namun, pada umumnya estimasi parameter suatu fungsi tidak dapat diselesaikan secara analitik jika diperoleh bentuk nonlinear, sehingga pada  penelitian  ini  digunakan  suatu  algoritma  untuk  memperoleh  nilai  penduga pembobot (𝑊 ̂ ) yaitu  algoritma Iterative  Reweighted  Least  Square (IRLS).  Dari penggunaan  metode-metode  tersebut  akan  diperoleh  model  regresi  logistik  yang  tepat dengan  penggunaan  estimasi  parameter  GMM  yang  lebih  fleksibel  dan  optimal,  dan penyelesaian  bentuk  nonlinear-nya  menggunakan Iterative  Reweighted  Least  Square (IRLS).

## 2. Material dan Metode

## 2.1. Analisis Regresi Berganda
Analisis  regresi  berganda  merupakan  analisis  untuk  menjelaskan  hubungan  antara dua variabel atau lebih. Analisis regresi berganda dalam statistika merupakan salah satu metode yang bertujuan menentukan hubungan sebab-akibat antara satu variabel dengan

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan...
Grace Oktavia Yusuf, Andi Kresna Jaya, Nirwan Ilyas
variabel-variabel lainnya, menelusuri pola hubungan pada model yang belum diketahui secara  sempurna  sebagai  alat  statistik  secara  eksploratif.  Penerapan  analisis  regresi dapat secara luas pada berbagai bidang seperti kesehatan, ekonomi, teknik, manajemen, ilmu pertanian, sosial, dan sebagainya.
Bentuk umum model regresi berganda untuk 𝑝 variabel bebas dengan notasi sebagai berikut:
𝑌 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 1 + 𝛽 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝛽 𝑝 𝑥 𝑝 + 𝜀 (1)
dengan 𝜀 adalah  eror, 𝛽 0 , 𝛽 1 , 𝛽 2 , … , 𝛽 𝑝 adalah  parameter,  Y  adalah  variabel  terikat (respon) dan 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑝 adalah  variabel  bebas. Dalam  matriks ditulis sebagai  berikut [6]:
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 , dimana 𝜀~𝑁(0, 𝜎 2 𝐼) (2)

## 2.2. Regresi Logistik Biner
Model  regresi  logistik    biner    adalah    suatu  model    yang    menggambarkan hubungan antara beberapa variabel bebas dengan sebuah variabel respon (terikat) biner. Menurut  Agresti  (2002)  variabel  respon  pada  model  regresi  logistik  dikatakan  biner karena  terdiri  dari  dua  kategori  yaitu  0  dan  1  [1].  Dengan  bentuk  spesifik  dari  model regresi logistik sebagai berikut:
𝜋(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) 1 + 𝑒 𝑔(𝑥) 𝜋(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝛽 0 +𝛽 1 𝑥 1 +⋯+𝛽 𝑝 𝑥 𝑝 ) 1+𝑒𝑥𝑝(𝛽 0 +𝛽 1 𝑥 1 +⋯+𝛽 𝑝 𝑥 𝑝 ) (3)
dengan variabel respon Y dituliskan sebagai 𝑦 = 𝜋(𝑥) + 𝜀 , dimana 𝜀 mempunyai salah satu  dari  kemungkinan  dua  nilai,  yaitu  apabila 𝑦 = 1 maka 𝜀 = 1 − 𝜋(𝑥) dengan peluang 𝜋(𝑥) dan  jika 𝑦 = 0 maka 𝜀 = −𝜋(𝑥) dengan  peluang 1 − 𝜋(𝑥) .  Sehingga distribusi  erornya  mempunyai  mean  sama  dengan  nol  dan  variansi  ( 𝜋(𝑥) ( 1 − 𝜋(𝑥))), yang mengikuti distribusi bernoulli.

## 2.3. Ordinary Least Square (OLS)
Salah satu  metode yang digunakan untuk menaksir parameter  model regresi  linear adalah  metode  Ordinary  Least  Square  (OLS).  Metode  ini  bertujuan  untuk meminimalkan  jumlah  kuadrat  galat.  Misalkan  diberikan  sampel  Y,  maka  aturan  main yang  memungkinkan  pemakaian  sampel  untuk  mendapatkan  taksiran  dari 𝛽 adalah dengan  membuat 𝜺 = 𝒀 − 𝑿𝜷 sekecil  mungkin.  Maka  perlu  memilih  parameter 𝛽 sehingga 𝑆 seminimal mungkin dengan 𝑆 adalah:
𝑆 = 𝜀 ′ 𝜀
= 𝒀 ′ 𝒀 − 𝟐𝜷 ′ 𝑿 ′ 𝒀 + 𝜷′𝑿′𝑿𝜷 Untuk  meminimumkan  fungsi S dapat  diperoleh  dengan  melakukan  turunan  parsial pertama 𝑆 terhadap 𝛽

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan...
𝜕(𝑆)
𝜕𝛽 | 𝛽 = 𝛽̂ = 0 = −𝑿 ′ 𝒀 ′ + 𝑿 ′ 𝑿𝜷 ̂
Selanjutnya diperoleh penaksir 𝛽̂ yaitu:
𝑿 ′ 𝑿𝜷 ̂ = 𝑿 ′ 𝒀 ′
𝛽̂ 𝑂𝐿𝑆 = (𝑿′𝑿) −𝟏 (𝑿 ′ 𝒀) (4)

## 2.4. Metode Momen
Metode  momen  merupakan  salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk  memperoleh suatu  estimator  untuk  parameter 𝛽 dengan  ide  dasar  berupa  menyamakan  antara momen-momen  populasi  dengan  momen-momen  sampel.  Menurut  Chausse  (2010) metode momen memerlukan beberapa asumsi tentang apa yang disebut momen kondisi ( moment  condition ),  dengan  kata  lain  faktor  penting  dalam  asumsi  metode  momen adalah momen kondisi populasi yang dikembangkan dari asumsi model [4]:
1. 𝑣𝑎𝑟(𝜀 𝑖 ) = 𝜎 2
2. 𝐸[𝑥 𝑖 (𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑖 𝛽)] = 𝐸[𝑥 𝑖 𝜀 𝑖 ] = 0 3. 𝐸[𝜀 𝑖 𝜀 𝑗 ] = 0 ; 𝑖 ≠ 𝑗
Penaksiran parameter model regression digunakan asumsi pada poin (2) yaitu:
𝑔(𝛽) = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 (𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑖 𝛽) 𝑛 𝑖=1 = 0 = 1 𝑛 (𝑿′(𝒀 − 𝑿𝜷)) = 0
Selanjutnya parameter 𝛽̂ dapat diperoleh dengan menyelesaikan fungsi 𝑔(𝛽) = 0 yaitu:
1 𝑛 (𝑿′(𝒀 − 𝑿𝜷)) = 0
1 𝑛 𝑿 ′ 𝒀 − 1 𝑛 𝑿′𝑿𝜷  = 0 1 𝑛 𝑿 ′ 𝒀 = 1 𝑛 𝑿′𝑿𝜷 𝛽̂ 𝑀𝑀 = (𝑿′𝑿) −𝟏 (𝑿′𝒀) = 𝛽̂ 𝑂𝐿𝑆

## 2.5. Metode Momen Diperumum
Metode  momen  diperumum  (GMM)  merupakan  metode  penaksiran  parameter perluasan  dari  metode  momen.  GMM  menyamakan  momen  kondisi  dari  populasi dengan  momen  kondisi  dari  sampel.  Metode  GMM  didapat  dengan  cara meminimumkan  jumlah  kuadrat  terboboti  dari  momen  kondisi  sampel.  Matriks pembobot 𝑊 ̂ merupakan suatu matrik simetris definit positif  yang bukan  fungsi dari 𝛽 dengan notasi sebagai berikut:
𝐽(𝛽) = ‖𝑔̅(𝛽)‖ 𝑊 ̂ 2 = 𝑔̅(𝛽)′𝑊 ̂ 𝑔̅(𝛽) (5)

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan...
Grace Oktavia Yusuf, Andi Kresna Jaya, Nirwan Ilyas
Dalam  pengaplikasiannya  GMM  menjadi  lebih  optimal  dari  penggunaan  teknik estimasi yang lain karena merupakan bentuk diperumum dari metode momen.  Sehingga estimasi  GMM  dapat  diaplikasikan  pada  bentuk  momen  yang  disebut  “ moment condition ” dengan teknik estimasi yang lainnya.

## 2.6. GMM Interpretasi dari Estimasi OLS
Untuk model regresi linear adalah sebagai berikut:
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 (6) Dengan mengikuti asumsi momen kondisi populasi, yaitu: 𝐸[𝑿𝜺] = 𝐸[𝑿(𝒀 − 𝑿𝜷)] = 0 (7) Selanjutnya diperoleh estimasi parameter sebagai berikut: 𝛽̂ 𝑀𝑀 = (𝑿′𝑿) −𝟏 (𝑿′𝒀) = 𝛽̂ 𝑂𝐿𝑆
(8)
Kuan (2010) menjelaskan bahwa kondisi ini sama dengan momen kondisi pertama untuk  estimasi  OLS.  Karena  hal  tersebut  penaksir  OLS  yang  diselesaikan  dari  kondisi momen  sampel  diatas  dapat  dianggap  sebagai  penaksir  GMM,  dengan  penerapan  teori asimtotik untuk estimasi GMM [6], yaitu:
1. 𝑊 = Ω −1 (𝛽) dengan Ω(𝛽) = 𝜎 𝜀 2 𝐸(𝑿𝑿′) = 𝜎 𝜀 2 𝑄 (9)
2. 𝜕𝐽(𝛽) 𝜕𝛽 =   −𝐸(𝑿𝑿′) = −𝑄

## 2.7. Iterasi Reweighted Least Square
Karena  fungsi  logistik  merupakan  fungsi  nonlinear  maka  proses  perhitungannya dapat didekati dengan metode Iteratively Reweighted Least Square (IRLS). Pada iterasi ini pembobot  berubah setiap iterasi, adapun penduga WLS adalah sebagai berikut:
𝛽̂ 𝑊𝐿𝑆 = [(𝑿 ′ )𝑾(𝑿)] −𝟏 (𝑿 ′ )𝑾(𝒀) (10)
Dengan  melakukan pendugaan parameter dilakukan pengiterasian pada  iterasi ke-t dalam proses iterasi t= 0, 1, 2 ,... adalah sebagai berikut:
𝛽̂ 𝑡+1 = 𝛽̂ 𝑡 + ( 𝜕 2 𝐽(𝛽) 𝜕 2 𝛽 ) −1 (−𝐸 ( 𝜕𝐽(𝛽) 𝜕𝛽 )) (11)
dengan:
𝛽̂ 𝑡 : vektor untuk 𝛽 pada iterasi ke-t
𝜕 2 𝐽(𝛽) 𝜕 2 𝛽
: turunan kedua dari fungsi kriteria 𝐽(𝛽) 𝜕𝐽(𝛽) 𝜕𝛽
: turunan pertama dari fungsi kriteria 𝐽(𝛽)
Proses  iterasi  berhenti  sampai  diperoleh  penduga  parameter  yang  konvergen  yaitu ∑ |𝑒 𝑔(𝑥) | 𝑛 𝑖=1 konvergen dimana ∑ |𝜀 𝑖 𝑚 − 𝜀 𝑖 𝑚−1 | 𝑛 𝑖=1 < 0.001 [7].

## 2.8. Uji Signifikansi Parameter
Dalam  pembentukan  model  regresi  perlu  diketahui  apakah  parameter  yang  telah diestimasi  mempengaruhi  variabel respon  model. Untuk mengetahui pengaruh  variabel

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan...
bebas  terhadap  variabel  terikat  secara  bersama-sama  di  dalam  model,  dapat menggunakan Uji Likelihood Ratio. Hipotesisnya adalah sebagai berikut:
𝐻 0 : 𝛽 1 = 𝛽 2 = ⋯ = 𝛽 𝑝 = 0 (tidak  ada  pengaruh  variabel  bebas  secara  simultan terhadap variabel terikat).
𝐻 1 : Minimal ada satu 𝛽 𝑗 ≠ 0 (ada pengaruh paling sedikit satu variabel bebas terhadap variabel terikat).
Untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 . Statistik uji yang digunakan adalah:
𝐺 2 = −2𝑙𝑛 [ ( 𝑛1 𝑛 ) 𝑛1 ( 𝑛0 𝑛 ) 𝑛0 ∏ [𝜋 ̂ 𝑖 ] 𝑦𝑖 [1−𝜋 ̂ 𝑖 ] 1−𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ] (12)
Dengan : 𝑛 1 = ∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 , 𝑛 0 = ∑ (1 − 𝑦 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 , 𝑛 = 𝑛 0 + 𝑛 1 .
Statistik 𝐺 2 ini  mengikuti  distribusi Chi-Square dengan  derajat  bebas 𝑝 sehingga hipotesis  ditolak  jika 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 <  α  atau 𝐺 2 > 𝜒 (𝑎,𝑝) 2 ,  yang  berarti  variabel  bebas  X secara bersama-sama mempengaruhi variabel terikat Y.

## 3. Hasil dan Diskusi
Metode  Momen  Diperumum  didapat  dengan  cara  meminimumkan  jumlah  kuadrat terboboti dari momen kondisi sampel, dengan suatu matriks bobot ( W ) yang merupakan suatu matriks definit positif dengan notasi pada persamaan (5) sebagai berikut:
𝐽(𝛽) = ‖𝑔̅(𝛽)‖ 𝑊 2 = 𝑔̅(𝛽)′𝑊𝑔̅(𝛽)
Dengan mengacu pada model regresi logistik biner yaitu:
𝑌 = 𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷)
1 + 𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷) + 𝜀 𝑖 = 𝜋(𝑥) + 𝜀
Kondisi momen populasi:
𝐸[𝑿𝜺] = 0 Dengan mensubtitusikan bentuk galat 𝐸[𝑿(𝒀 − 𝝅(𝒙))] = 0 Sehingga kondisi momen sampel menjadi
[𝑛 −1 ∑ 𝑥 𝑖 (𝑦 𝑖 − 𝜋(𝑥 𝑖 )) 𝑛 𝑖=1 ] = [𝑛 −1 ∑ 𝑔 𝑖 (𝛽) 𝑛 𝑖=1 ] = 𝑔̅(𝛽) (13)
Untuk  mengestimasi  parameter  dengan  menggunakan  GMM,  dilakukan  dengan cara memimumkan fungsi kriteria berikut:
𝜕𝐽(𝛽)
𝜕𝛽 | 𝛽 = 𝛽̂ = 0 𝜕𝑔̅(𝛽)′𝑊𝑔̅(𝛽) 𝜕𝛽 | 𝛽 = 𝛽̂ = 0 2 𝜕𝑔̅(𝛽)′ 𝜕𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ 𝑊𝑔̅(𝛽̂) = 0 (14)
Dengan teori asimtotik untuk estimasi GMM diketahui pada persamaan (9) dimana:
𝑊 = 𝜎 𝜀 2 𝐸(𝑿𝑿′) = 𝜎 𝜀 2 1 𝑛 𝑿𝑿′ (15)

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan...
Dengan  demikian  jika  persamaan  (13)  dan  (15)  disubtitusikan  ke  persamaan  (14) diperoleh:
2 𝜕𝑔̅(𝛽)′
𝜕𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ 𝑊𝑔̅(𝛽̂) = 0
2 ( 𝜕 𝜕𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ [𝑿𝒀 − 𝑿𝝅(𝒙)]) (𝜎 𝜀 2 1 𝑛 𝑿𝑿′ ) −1 (𝑿𝒀 − 𝑿𝝅 ̂(𝒙)) = 0 2 ( 𝜕 𝜕𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ [𝑿𝒀 − 𝑿(𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷)) 1+𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷) ]) (𝜎 𝜀 2 1 𝑛 𝑿𝑿′) −1 (𝑿𝒀 − 𝑿𝝅 ̂(𝒙)) = 0 −2 (𝑿𝑿′ (𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷 ̂))
1+𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷 ̂) 1 1+𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷 ̂) ) ( 1 𝑛 𝑿𝑿′) −1 (𝜎 𝜀 2 ) −1 (𝑿𝒀 − 𝑿𝝅 ̂(𝒙)) = 0
−2 (𝑿𝑿′(𝝅 ̂(𝒙))(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))) ( 1 𝑛 𝑿𝑿′) −1 (𝜎 𝜀 2 ) −1 (𝑿𝒀 − 𝑿𝝅 ̂(𝒙)) = 0
Diketahui  varians  dari  regresi  logistik  adalah 𝜎 𝜀 2 = 𝑑𝑖𝑎𝑔[(𝝅 ̂(𝒙))(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))] , sehingga:
−2 (𝑿𝑿′(𝝅 ̂(𝒙))(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))) (𝑿𝑿′) −𝟏 ((𝝅 ̂(𝒙))(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))) −𝟏 (𝑿𝒀 − 𝑿𝝅 ̂(𝒙)) = 0
−2(𝑿𝑿′)(𝝅 ̂(𝒙))(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))(𝑿𝑿′) −𝟏 ((𝝅 ̂(𝒙))(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))) −𝟏 (𝑿𝒀 − 𝑿𝝅 ̂(𝒙)) = 0
−2(𝑿𝒀 − 𝑿𝝅 ̂(𝒙)) = 0 atau −2 (𝑿𝒀 − 𝑿 (𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷 ̂))
1+𝑒𝑥𝑝(𝑿𝜷 ̂) ) = 0 (16)
Dengan  berdasar  pada  momen  kondisi  dan  penduga  parameter  menggunakan GMM,  akan  dilakukan  metode  iterasi  untuk  menyelesaikan  bentuk  nonlinear  dari regresi  logistik  biner.  Berdasarkan  persamaan  11  perlu  dilakukan  turunan  kedua  untuk memenuhi  persamaan  tersebut.  Maka  dengan  melakukan  turunan  kedua  pada  fungsi kriteria 𝐽(𝛽) diperoleh:
𝜕 2 𝐽(𝛽) 𝜕 2 𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ = 𝜕 𝜕𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ [−2 ∑ ( −𝑥 𝑖 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂)) 1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂) + 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 ] = 2 ∑ ( 𝜕 𝜕𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ ( 𝑥 𝑖 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂)) 1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ ) )) 𝑛 𝑖=1
Selanjutnya  menyelesaikan  turunan  keduanya,  digunakan  aturan  fungsi  sebagai berikut:
Misalkan: 𝑢 = 𝑥 𝑖 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽̂)) dan 𝑣 = 1 + 𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽̂) maka
𝑢′ = 𝑥 𝑖 2 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽̂)) dan 𝑣′ = 𝑥 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽̂)) sehingga
𝜕 2 𝐽(𝛽) 𝜕 2 𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ = − ∑ ( 𝑢 ′ 𝑣−𝑢𝑣 ′ 𝑣 2 ) 𝑛 𝑖=1 = 2 ∑ ( 𝑥 𝑖 2 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂))(1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ ))−𝑥 𝑖 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ ))(𝑥 𝑖 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ ))) (1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ )) 2 ) 𝑛 𝑖=1 = 2 ∑ ( 𝑥 𝑖 2 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂))+𝑥 𝑖 2 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂))𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂)−𝑥 𝑖 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂))𝑥 𝑖 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ )) (1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂)) 2 ) 𝑛 𝑖=1
= 2 ∑ ( 𝑥 𝑖 2 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂)) (1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ )) 2 ) 𝑛 𝑖=1 = 2 ∑ (𝑥 𝑖 2 (𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ ))
1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ ) 1 1+𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑖 𝛽 ̂ ) ) 𝑛 𝑖=1 = 2 ∑ (𝑥 𝑖 2 𝜋̂(𝑥 𝑖 )(1 − 𝜋̂(𝑥 𝑖 ))) 𝑛 𝑖=1 = 2 ∑ (𝑥 𝑖 2 𝑊 ̂ 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis:
𝜕 2 𝐽(𝛽) 𝜕 2 𝛽 | 𝛽=𝛽 ̂ = 2(𝑿′𝑾 ̂𝑿) (17)
dengan 𝑊 ̂ = 𝑑𝑖𝑎𝑔[𝝅 ̂(𝒙)(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))]
Berdasarkan  persamaan  (16)  dan  (17),  maka  persamaan  (11)  dapat  dituliskan sebagai berikut:
𝛽̂ 𝑡+1 = 𝛽̂ 𝑡 + ( 𝜕 2 𝐽(𝛽) 𝜕 2 𝛽 ) −1 (−𝐸 ( 𝜕𝐽(𝛽) 𝜕𝛽 )) = 𝛽̂ 𝑡 + (2(𝑿′𝑾 ̂𝑿)) −1 (−𝐸(−𝟐𝑿′(𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙))))
= 𝛽̂ 𝑡 + (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 (𝑿′(𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙)))
Untuk  memperoleh  pendugaan  parameter 𝛽̂ 𝑗 maka 𝜕𝑔̅(𝛽) 𝜕𝛽 = 0 .  Karena 𝜋̂(𝑥) merupakan  fungsi  nonlinear  maka  penyelesaian  fungsi  tersebut  didekati  dengan menggunakan metode IRLS. Dengan penduga WLS yaitu:
𝛽̂ 𝑊𝐿𝑆 = (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 (𝑿′𝑾 ̂𝒀̂)
Maka persamaan dapat ditulis kembali menjadi:
𝛽̂ 𝑡+1 = 𝛽̂ 𝑡 + (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 (𝑿′(𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙))) = (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 (𝑿′𝑾 ̂𝑿𝜷 ̂ 𝒕 ) + (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 (𝑿′(𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙))) = (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 [(𝑿′𝑾 ̂𝑿𝜷 ̂ 𝒕 ) + (𝑿′(𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙)))] = (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 [(𝑿′𝑾 ̂𝑿𝜷 ̂ 𝒕 ) + (𝑿′𝑾 ̂𝑾 ̂ −𝟏 (𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙)))] = (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 𝑿′𝑾 ̂ [(𝑿𝜷 ̂ 𝒕 ) + (𝑾 ̂ −𝟏 (𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙)))]
= (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 𝑿′𝑾 ̂ [𝒍𝒏 𝝅 ̂(𝒙) 𝟏−𝝅 ̂(𝒙) + (𝑾 ̂ −𝟏 (𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙)))]
= (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 𝑿′𝑾 ̂𝒛̂
Dengan 𝒛̂ = [𝑙𝑛 𝝅 ̂(𝒙) 𝟏−𝝅 ̂(𝒙) + (𝑾 ̂ −𝟏 (𝒀 − 𝝅 ̂(𝒙)))]
Dari  iterasi  tersebut  akan  diperoleh  penduga  GMM  untuk 𝛽 dan 𝑊 yang dinotasikan 𝛽̂ 𝐺𝑀𝑀 dan 𝑊 ̂ , yaitu:
𝜷 ̂ 𝑮𝑴𝑴 = 𝜷 ̂ = (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 𝑿′𝑾 ̂𝒛̂

## Pemodelan Regresi Logistik Biner Menggunakan...
dengan 𝑾 ̂ = 𝑑𝑖𝑎𝑔[𝝅 ̂(𝒙)(𝟏 − 𝝅 ̂(𝒙))]

## 4.   Kesimpulan
Pendugaan  parameter  pada  model  regresi  logistik  dengan  metode  GMM  dengan menggunakan  kondisi  momen  yang  sama  dengan  metode  momen  menghasilkan  hasil estimasi  parameter  yang  sama  pula.  Sehingga  estimasi  GMM  menjadi  lebih  fleksibel penggunaannya dengan berpacu pada momen kondisi yang digunakan. Kemudian pada pendugaan  parameter  dengan  model  regresi  logistik  tidak  dapat  diselesaikan  secara analitik  sehingga  dibutuhkan  suatu  algoritma  iterasi  untuk  menyelesaikan  fungsi tersebut.  Sehingga  dalam  jurnal  ini  unuk  menduga  estimasi  parameter  pada  regresi logistik  biner  digunakan  estimasi  GMM  dan  pengiterasian  IRLS,  dan  menghasilkan estimasi sebagai berikut:
𝜷 ̂ 𝑮𝑴𝑴 = 𝜷 ̂ = (𝑿′𝑾 ̂𝑿) −𝟏 𝑿′𝑾 ̂𝒛̂

## Daftar Pustaka
[1]   Agresti,  A. Categorical  Data  Analysis .  New  York:  A  John  Wiley  and  Sons  Inc, 2002.
[2]  Islamiyati, A. Estimasi Parameter Model Regresi Logistik Biner Komponen Utama Non  Linear  dengan  Maksimum  Likelihood. Jurnal  Matematika,  Statistika  dan Komputasi , Vol 11, No. 2: 122-128, 2015.
[3]  Taurif,  M. Estimation  Of  Generalized  Method  Of  Moment  In  Logistic .  Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 2014.
[4]  Chausse,  P. Computing  Generalized  Method  of  Moments  and  Generalized Empirical Likelihood with R . Journal of Statistical Software , 2010.
[5]   Kadir  S.  Perbandingan  Estimasi  Model  Respon  Kualitatif  Menggunakan  Metode OLS, GMM dan Maximum Likelihood.  Palembang: Universitas Sriwijaya, 2018.
[6]   Kuan,  C.  M. Generalized  Method  of  Moment. Taiwan:  Department  of  Finance  & CRETA National Taiwan University, 2010.
[7]   Muliati,  A.  Pendugaan  Parameter  Model  Regresi  Logistik  dengan  Metode  Ridge . Makassar: Statistika Universitas Hasanuddin, 2018.