J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 4, No. 2, November 2007, 45–51

## KONSTRUKSI RUANG 2-NORM SEBAGAI LUASAN YANG DIRENTANG OLEH DUA VEKTOR
Sadjidon 1 , H. Gunawan 2
1 Jurusan Matematika, 2 Departemen Matematika
1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
2 Institut Teknologi Bandung, Bandung
2 hgunawan@dns.math.itb.ac.id
Abstrak Pada paper
ini akan dikaji
tentang
pengkonstruk- sian ruang 2-norm yang didasari oleh sifat-sifat or- thogonalitas dari dua vektor
sehingga diperoleh
pen- definisikan ruang 2-norm, khususnya
untuk
ruang ` 2 . Katakunci: Ruang ` 2 , orthogonalitas, ruang 2-norm.

## 1. Pendahuluan
Ruang ` 2 yang dilengkapi dengan inner product h x, y i = P j x j y j , merupak- an ruang inner product. Begitu juga ruang ` 2 yang dilengkapi dengan nor- ma k x k = ∞ P k =1 | x k | 2 1 2 merupakan ruang Banach. Selanjutnya dual dari ruang ` 2 yaitu himpunan dari semua fungsional linier kontinu pada ruang ` 2 yang dinotasikan dengan ` 2 ∗ adalah ruang ` 2 juga. Jika f ∈ ` 2 ∗ ,
maka f ∈ ` 2 dan dapat diinterpretasikan untuk f ( x ) = P j x j z j = h x, z i , dengan x ∈ ` 2 , z ∈ ` 2 ∗ = ` 2 .
Sekarang pandang S himpunan semua barisan bilangan real dan meru- pakan ruang vektor atas field R . Setiap subruang vektor S juga merupakan ruang barisan. Untuk X subruang S didefinisikan suatu fungsi bernilai real k• , ..., •k pada X n yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. k x 1 , x 2 , ..., x n k = 0, jika dan hanya jika x 1 , x 2 , ..., x n dependen linier
2. k x 1 , x 2 , ..., x n k invarian terhadap permutasi
3. k x 1 , x 2 , ..., αx n k = | α | k x 1 , x 2 , ..., x n k untuk setiap α ∈ R
4. k x 1 , x 2 , ..., x n − 1 , y + z k ≤ k x 1 , x 2 , ..., x n − 1 , y k + k x 1 , x 2 , ..., x n − 1 , z k
disebut n -norma pada X dan pasangan ( X, k• , ..., •k ) disebut ruang n - norma.
Pada [2], [3] telah dikonstruksi dan dijabarkan tentang 2-norma, yang disebut sebagai 2-norma standar, selanjutnya dengan memperhatikan sifat- sifat orthogonalitas dari [1], [4], maka dikonstruksi 2-norma sehingga dipe- roleh pendefinisian ruang 2-norm.
2. Ruang ` 2 dan n -norma Standarnya
Sebelum menjabarkan n-norma dijelaskan untuk 2-norma pada ruang ` 2 yang diberikan sebagai berikut :
k x, y k = Sup ( h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i : z, w ∈ ` 2 , k z k , k w k ≤ 1 ) .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i ≤ h x, x i h x, y i h y, x i h y, y i 1 2 h z, z i h z, w i h w, z i h w, w i 1 2 ≤ h x, x i h x, y i h y, x i h y, y i 1 2 .
Hasil ini menunjukkan bahwa h x, x i h x, y i h y, x i h y, y i
1
2 merupakan batas atas dari him-
punan h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i : z, w ∈ ` 2 , k z k , k w k ≤ 1 dan ini berarti bahwa :
Sup h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i : z, w ∈ ` 2 , k z k , k w k ≤ 1 ≤ h x, x i h x, y i h y, x i h y, y i 1 2 (1)
Selanjutnya untuk z = x k x k ; w = y − αx k y − αx k = y 0 k y 0 k dengan z dan y 0 orthogonal, juga memenuhi k z k , k w k ≤ 1, maka diperoleh
h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i = D x, x k x k E D y, x k x k E D x, y 0 k y 0 k E D y, y 0 k y 0 k E = h x, x i h y, x i h x, y 0 i h y, y 0 i k x k k y 0 k = h x, x i h y, x i h x, y i h y, y i k x k k y 0 k .
dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan sifat-sifat inner product diperoleh juga bahwa
h x, x i h y, x i h x, y i h y, y i 1 2 = h x, x i h y, x i h x, y 0 i h y, y 0 i 1 2 = h x, x i h y
0 , x i h x, y 0 i h y 0 , y 0 i 1 2 = k x k k y 0 k sehingga
h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i = k x k k y 0 k h x, x i h y, x i h y, x i h y, y i 1 2 k x k k y 0 k = h x, x i h y, x i h x, y i h y, y i 1 2 .
Hasil ini menunjukkan bahwa
h x, x i h y, x i h x, y i h y, y i 1 2 = h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i ≤ Sup h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i : z, w ∈ ` 2 , k z k , k w k ≤ 1 (2)
Dengan demikian dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) diperoleh 2-norma pada ruang ` 2 adalah
k x, y k = Sup h x, z i h y, z i h x, w i h y, w i : z, w ∈ ` 2 , k z k , k w k ≤ 1 = h x, x i h x, y i h y, x i h y, y i
1 2
dan 2-Norma k x, y k tidak lain adalah luasan yang direntang oleh vektor-vektor x dan y . Selanjutnya akan dijabarkan untuk n-normanya dalam ruang ` 2 yang dikenal sebagai ruang inner product dengan inner product h x, y i = P j x j y j , dapat dilengkapi dengan n -normanya
k x 1 , x 2 , ..., x n k = h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i .. .. .. h x n , x 1 i ... h x n , x n i
1 2
merupakan ruang n -norma standar sehingga ruang ` 2 merupakan ruang n -norma. Khususnya jika n = 2 , maka 2-norma standar untuk ruang ` 2 adalah :
k x, y k = h x, x i h x, y i h y, x i h y, y i 1 2 .
Untuk n -norma pada ruang ` p khususnya ruang ` 2 , penjabarannya dan pengem- bangannya dalam [2].
Sekarang akan dijabarkan n -norma pada ruang ` 2 menurut pendefinisian [1] dengan n -norma nya sebagai berikut :
k x 1 , ..., x n k = Sup    f 1 ( x 1 ) ... f 1 ( x n ) .. ... .. f n ( x 1 ) ... f n ( x n ) : f 1 , ..., f n ∈ ` 2 ∗ = ` 2 , k f 1 k , ..., k f n k ≤ 1   
atau dapat dituliskan
k x 1 , ..., x n k = Sup    h x 1 , z 1 i ... h x 1 , z n i .. ... .. h x n , z 1 i ... h x n , z n i : z 1 , ..., z n ∈ ` 2 , k z 1 k , ..., k z n k ≤ 1    .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz didapatkan
h x 1 , z 1 i ... h x 1 , z n i
.. ...
..
h x n , z 1 i ... h x n , z n i ≤ h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i .. ... .. h x n , x 1 i ... h x n , x n i 1 2 h z 1 , z 1 i ... h z 1 , z n i .. ... .. h z n , z 1 i ... h z n , z n i 1 2 . ≤ h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i
.. ...
.. h x n , x 1 i ... h x n , x n i
1 2
ini menunjukkan
h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i .. ... .. h x n , x 1 i ... h x n , x n i
1 2 batas atas dari himpunan
   h x 1 , z 1 i ... h x 1 , z n i .. ... .. h x n , z 1 i ... h x n , z n i : z 1 , ..., z n ∈ ` 2 , k z 1 k , ..., k z n k ≤ 1   
berarti bahwa
k x 1 , ..., x n k = Sup    f 1 ( x 1 ) ... f 1 ( x n ) .. ... .. f n ( x 1 ) ... f n ( x n ) : f 1 , ..., f n ∈ ` 2 ∗ = ` 2 , k f 1 k , ..., k f n k ≤ 1    ≤ h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i .. ... .. h x n , x 1 i ... h x n , x n i 1 2 .
Selanjutnya untuk { z 1 , z 2 , ..., z n } yang merupakan hasil proses orthonormalisasi Gram-Schmidt terhadap { x 1 , x 2 , ..., x n } , juga memenuhi k z 1 k , k z 2 k , ....., k z n k = 1, maka diperoleh
h x 1 , z 1 i ... h x 1 , z n i .. ... .. h x n , z 1 i ... h x n , z n i = h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i .. ... .. h x n , x 1 i ... h x n , x n i 1 2
Hasil ini menunjukkan bahwa
h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i
.. ...
..
h x n , x 1 i ... h x n , x n i 1 2 = h x 1 , z 1 i ... h x 1 , z n i ..
... .. h x n , z 1 i ... h z n , z n i ≤ Sup    h x 1 , z 1 i ... h x 1 , z n i .. ... .. h x n , z 1 i ... h x n , z n i : z 1 , ..., z n ∈ ` 2 , k z 1 k , ..., k z n k ≤ 1   
Dengan demikian dapat diperoleh
k x 1 , ..., x n k = Sup ( h x 1 , z 1 i ... h x 1 , z n i .. ... .. h x n , z 1 i ... h x n , z n i : z 1 , ..., z n ∈ ` 2 , k z 1 k , ..., k z n k ≤ 1 ) = h x 1 , x 1 i ... h x 1 , x n i
..
... ..
h x n , x 1 i ... h x n , x n i
1 2
Sekarang diberikan fungsional linier pada ` 2 × ` 2 yang diberikan
f ( u ) = ∞ X k =1 x 1 k + x 2 k w k = h x 1 , w i + h x 2 , w i
dengan u = ( x 1 , x 2 ) ∈ ` 2 × ` 2 dan w ∈ ` 2 ∗ = ` 2 dan k u k = k x 1 k + k x 2 k Maka
2-Norma pada ruang ` 2 × ` 2 didefinisikan menurut [1] dapat disajikan dengan
k u, v k = Sup f ( u ) f ( v ) f ( v ) g ( v ) , f, g ∈ ` 2 ∗ = ` 2 , k f k , k g k ≤ 1
dengan u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ). Sehingga dapat dituliskan dengan
k u, v k = Sup h x 1 + x 2 , w i h y 1 + y 2 , w i h x 1 + x 2 , z i h y 1 + y 2 , z i , w, z ∈ ` 2 ∗ = ` 2 , k w k , k z k ≤ 1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
h x 1 + x 2 , w i h y 1 + y 2 , w i h x 1 + x 2 , z i h y 1 + y 2 , z i ≤ k x 1 , y 1 k + k x 1 , y 2 k + k x 2 , y 1 k + k x 2 , y 2 k = k u k k v k
Hasil ini menunjukkan bahwa k u k k v k batas atas dari himpunan
h x 1 + x 2 , w i h y 1 + y 2 , w i h x 1 + x 2 , z i h y 1 + y 2 , z i , w, z ∈ ` 2 ∗ = ` 2 , k w k , k z k ≤ 1
dengan demikian
k u, v k = Sup h x 1 + x 2 , w i h y 1 + y 2 , w i h x 1 + x 2 , z i h y 1 + y 2 , z i , w, z ∈ ` 2 ∗ = ` 2 , k w k , k z k ≤ 1
≤ k u k k v k
Dari hasil yang dijabarkan diatas tentang 2-norma pada ` 2 × ` 2 dapat dilanjutkan 2-norma untuk ruang ` 2 n = ` 2 × ..... × ` 2 . Untuk itu dalam ` 2 × ` 2 apakah suatu luasan yang dibentang dari jumlahan vektor yaitu ( x 1 + x 2 ) dan ( y 1 + y 2 ), begitu juga dalam ` 2 n = ` 2 × ..... × ` 2 .apakah luasan yang dibentang oleh jumlahan dari vektor.

## Pustaka
[1] C.R. Diminnie, A New Orthogonality Relation for Normed Linear Spaces ,
Math.Nachr.114 (197-203), 1983.
[2] H. Gunawan dan M. Mashadi, On n-normed spaces, Int.J.Math.Sci , (to ap- pear).
[3] H. Gunawan, The space of p-Summable sequences and its natural n-Norm , Bull.Austral.Math.Soc, Vol.64(137-147), 2001.
[4] J.R Partington, Orthogonality in Normed Spaces , Bull.Austral.Math.Soc.33 (449-455), 1986.
[5] Kreyszig, Introductory Fuctional Analysis with Applications , John Wiley and Son. Inc, 1978.