## Penerapan Metode GARCH-Vine Copula untuk Estimasi Value at Risk (VaR) pada Portofolio

## Herida Okta Pintari dan Retno Subekti
Program Studi Matematika, Universitas Negeri Yogyakarta, Jl. Colombo No. 1, Caturtunggal, Depok, Sleman, Yogyakarta 55281, Indonesia
Korespondensi; Herida Okta Pintari, Email: heridaokta14@gmail.com; Retno Subekti, Email: retnosubekti@uny.ac.id

## Abstrak
Salah  satu  alat  ukur  yang  digunakan  untuk  menghitung  risiko  portofolio  adalah Value  at  Risk  (VaR).  Beberapa metode  pengukuran  VaR  mengasumsikan  return  berdistribusi  normal  dan  ukuran  dependensi  antar  saham menggunakan korelasi linear. Faktanya, asumsi normalitas pada data finansial jarang terpenuhi dan terdapat indikasi adanya  heteroskedastisitas.  Selain  itu,  kebergantungan  antar  saham  yang  non-linear  tidak  sesuai  apabila  diukur dengan  korelasi  linear.  Penyimpangan  ini  menyebabkan  tidak  validnya  estimasi  VaR.  Tujuan  dari  penelitian  ini adalah untuk mengetahui penerapan metode GARCH-Vine Copula untuk estimasi VaR pada portofolio. Vine Copula adalah fungsi distribusi multivariat yang menggabungkan distribusi marginal return univariat dalam portofolio, dan dapat menggambarkan struktur kebergantungan non-linearnya. Vine Copula dapat dilakukan dengan menentukan dekomposisi  Vine  Copula  dan  fungsi  keluarga  copulanya.  Dekomposisi  Vine  Copula  dilakukan  dengan menggunakan C-Vine dan D-Vine Copula. Kemudian dengan menggunakan fungsi copula keluarga Archimedean, yaitu  Clayton,  Gumbel,  dan  Frank  dapat  ditentukan  distribusi  bersamanya. Pembentukan  distribusi  marginal menggunakan model GARCH berdistribusi Student-t digunakan untuk mengatasi adanya heteroskedastisitas. Hasil penerapan dari tiga saham perbankan, yaitu BBNI, BBRI, dan BMRI periode 26 Agustus 2013 hingga 20 November 2017 diperoleh model D-Vine Copula dengan fungsi copula Frank adalah model terbaik untuk memodelkan data, dengan nilai VaR sebesar 1,86%, 2,56%, dan 4,49% dari dana investasi pada tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%.
Kata Kunci Value at Risk ; Vine Copula; GARCH; Portofolio

## Abstract
One of the measurement instrument that are used to calculate the risk of portfolio is Value at Risk (VaR). Several methods of measuring VaR assumes normal and the size of dependencies return between the stock using a linear correlation. Basically, the assumption normal in financial data is violated and the possibility of heteroscedasticity is indicated. In addition, dependences non-linear is not appropriate when measured with a linear correlation. This deviation causes invalidity VaR estimation. The purpose of this research is to know the application of GARCH-Vine Copula method for estimation of VaR on portfolio. Vine Copula is a multivariate distribution function that combines the univariate marginal distribution of return in portfolio, and it can describe the structure of dependencies non- linear. Vine Copula can be done by determining the decomposition of Vine Copula and its copula family function. Vine  Copula  decomposition  is  using  C-Vine  and  D-Vine  Copula.  Then  by  using  the  copula  function  of  the Archimedean family, namely Clayton, Gumbel, and Frank can be determined the joint distribution. The facts, the formation  of  the  marginal  distribution  of  GARCH  model  using  the  student-t  distribution  used  to  overcome  the presence of heteroscedasticity. The result of the application of these stocks namely BBNI, BBRI, and BMRI from 26 August 2013 to 20 November 2017 has shown model D-Vine Copula copula functions with Frank is the best one to model the data. So, the VaR estimation at 90%, 95%, and 99% confidence levels are 1,86%, 2,56%, and 4,49% respectively of the invested funds.
Keywords Value at Risk ; Vine Copula; GARCH; Portfolio

## Pendahuluan
Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset baik berupa aset riil maupun aset  finansial  yang  dimiliki  oleh  investor  (Halim,  2005).  Pengukuran  risiko  atas  suatu  portofolio merupakan  hal  yang  sangat  penting  agar  investor  dapat  memperoleh  keuntungan  maksimal  dengan risiko seminimal mungkin. Salah satu alat ukur yang dapat digunakan untuk menghitung risiko terbesar pada  portofolio  adalah Value  at  Risk  (VaR).  VaR  adalah  estimasi  kerugian  maksimum  yang  akan diperoleh selama periode waktu tertentu pada tingkat kepercayaan tertentu (Jorion, 2002).
Salah  satu  metode  perhitungan  VaR  yang  banyak  digunakan  adalah  metode  variansi-kovariansi. Metode ini mengasumsikan return berdistribusi normal dan kebergantungan antar saham dapat diukur dengan korelasi linear. Pada dasarnya data finansial memiliki dua sifat penting, yaitu bersifat fat tails yang ditandai dengan kurtosis bernilai positif, dan adanya volatility clustering (Bollerslev, 1994). Selain itu, asumsi normalitas pada data finansial jarang dipenuhi dan struktur kebergantungan antar saham merupakan kebergantungan yang non-linear. Penyimpangan ini mengakibatkan tidak validnya estimasi VaR sehingga risiko yang diperoleh lebih besar dari risiko yang ditetapkan. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, diperkenalkan suatu fungsi yaitu copula.
Copula merupakan suatu fungsi yang dapat menggabungkan beberapa distribusi marginal menjadi distribusi  bersama  (Suharto,  2017).  Pada  analisis  statistika  multivariat,  copula  digunakan  sebagai pendekatan yang berguna untuk mempelajari kebergantungan tak linear antar kejadian dalam kasus multivariat.  Sehingga  copula  dapat  memodelkan  struktur  kebergantungan  antar  saham  dan  cukup fleksibel  untuk  memodelkan  data  return  finansial  yang  tidak  memenuhi  sifat-sifat  distribusi  normal. Beberapa peneliti telah mengaplikasikan Copula untuk menghitung nilai risiko dari portofolio saham yang  cenderung  memiliki  volatilitas  tinggi.  Dharmawan  (2014)  mengaplikasikan  t-Copula  untuk mengestimasi VaR portofolio yang terdiri dari indeks Jakarta Stock Exchange dan indeks Kuala Lumpur Stock Exchange. Kemudian  Renggani, Pintari, dan  Subekti  (2017) mengestimasi nilai VaR portofolio menggunakan  Elliptical  Copula  untuk  portofolio  bivariat  dari  indeks  saham  LQ45  yaitu,  PTBA  dan BBRI.
Pemodelan dengan Copula memiliki beberapa kelemahan, yaitu pada kasus multivariat, penentuan fungsi copula sulit untuk dilakukan dan keluarga yang dapat digunakan terbatas. Selain itu, copula hanya dapat memodelkan struktur kebergantungan yang terlalu sederhana (Geidosch, 2016). Untuk itu, apabila  struktur  ketergantungan  antar  saham  lebih  kompleks  dan  lebih  mengeksplorasi  adanya ketergantungan berpasangan antar saham pada portofolio multivariat maka dapat digunakan perhitungan VaR  dengan  menggunakan  Vine  Copula.  Vine  Copula  merupakan  fungsi  distribusi  multivariat  yang menggabungkan  distribusi  marginal,  sekaligus  dapat  menggambarkan  struktur  kebergantungan  non- linearnya. Konsep dari Vine Copula adalah mendekomposisi fungsi copula multivariat menjadi fungsi copula berpasangan (copula bivariat). Fungsi copula berpasangan ini diperoleh dari keluarga copula bivariat (Joe, 1997). Model Vine Copula memerlukan distribusi marginal sebelum menggabungkannya menjadi distribusi bersama. Umumnya, data finansial mengindikasikan adanya sifat heteroskedastisitas, sehingga pada pembentukan distribusi marginal dilakukan dengan menggunakan metode GARCH untuk menghilangkan efek heteroskedastisitas tersebut.
Berdasarkan paparan tersebut, maka penelitian ini bertujuan untuk menerapkan perhitungan Value at  Risk  pada  portofolio  menggunakan  metode  GARCH-Vine  Copula,  khususnya  pada  portofolio multivariat. Sehingga investor dapat mengetahui risiko yang akan diperoleh apabila berinvestasi pada suatu portofolio.

## Landasan Teori
Return
Return  merupakan  salah  satu  faktor  yang  memotivasi  investor  untuk  berinvestasi  karena  dapat menggambarkan secara nyata perubahan harga. Rumus return (𝑅 𝑡 ) dari aset tunggal dapat dihitung dengan rumus berikut (Tsay, 2005)..
𝑅 𝑡 = 𝑃 𝑡 −𝑃 𝑡−1 𝑃 𝑡−1 (1)
dengan 𝑃 𝑡 adalah harga saham periode sekarang dan 𝑃 𝑡−1 adalah harga saham periode sebelumnya. Sehingga persamaan return portofolio ( 𝑅 𝑝 ) yang terdiri dari 𝑛 saham adalah sebagai berikut:
𝑅 𝑝 = ∑ 𝑤 𝑡 𝑅 𝑡 𝑛 𝑡=1 (2)
dengan 𝑤 𝑡 adalah bobot masing-masing saham.
Uji Kolmogorov Smirnov
Uji  Kolmogorov  Smirnov  dapat digunakan untuk  menguji kenormalan data  (Siegel, 1990).  Hipotesis pada uji Kolmogorov Smirnov adalah sebagai berikut
𝐻 0 : Data berasal dari populasi berdistribusi normal 𝐻 1 : Data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal
Statistik Uji:
𝐷 = 𝑆𝑢𝑝 𝑥 |𝑆 (𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)| (3)
Dengan,
𝑆 (𝑥) : nilai distribusi kumulatif sampel
𝐹 0 (𝑥) : nilai distribusi kumulatif distribusi normal 𝑆𝑢𝑝 𝑥 : nilai supremum untuk semua 𝑥 dari |𝑆 (𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)|
Apabila nilai 𝐷 ℎ𝑖𝑡 > 𝐷 (1−𝛼),𝑛 maka diambil keputusan tolak 𝐻 0 dengan 𝐷 (1−𝛼),𝑛 merupakan nilai tabel Kolmogorov-Smirnov pada kuantil (1-α) dan n merupakan banyaknya observasi.
Proses Autoregressive Moving Average (ARIMA)
Model Autoregressive (AR) dengan order 𝑝 dinotasikan dengan AR (𝑝) atau ARIMA (𝑝, 0,0) . Menurut (Wei, 2006) bentuk umum AR (𝑝) dapat dinotasikan sebagai:
𝑌 𝑡 = 𝜙 1 𝑌 𝑡−1 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑌 𝑡−𝑝 + 𝜀 𝑡 (4)
Bentuk umum model Moving Average pada tingkat order 𝑞 yang dapat dituliskan MA (𝑞) atau ARIMA (0,0, 𝑞) didefinisikan sebagai:
𝑌 𝑡 = 𝜀 𝑡 − 𝜃 1 𝜀 𝑡−1 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝜀 𝑡−𝑞 (5)
Model Autoregressive  Moving  Average  (ARMA)  merupakan  suatu  bentuk  kombinasi  antara  proses autoregressive dan moving average yang sering disebut dengan proses ARMA dengan ordo 𝑝 dan 𝑞 yang ditulis ARMA (𝑝, 𝑞) atau ARIMA (𝑝, 0, 𝑞) . Bentuk umum model ini adalah :
𝑌 𝑡 = 𝜙 1 𝑌 𝑡−1 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑌 𝑡−𝑝 + 𝜀 𝑡 − 𝜃 1 𝜀 𝑡−1 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝜀 𝑡−𝑞 (6)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan model ARMA (𝑝, 𝑞) yang tidak stasioner. Bentuk umum model ARIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) adalah:
(1 − 𝐵) 𝑑 (𝑌 𝑡 − 𝜙 1 𝑌 𝑡−1 − ⋯ − 𝜙 𝑝 𝑌 𝑡−𝑝 ) = 𝜀 𝑡 − 𝜃 1 𝜀 𝑡−1 − ⋯ + 𝜃 𝑞 𝜀 𝑡−𝑞 (7)
Identifikasi model ARIMA dapat dilakukan melalui pemeriksaan plot ACF yang menunjukkan order 𝑞 dan PACF yang menunjukkan order 𝑞 .
Pengujian signifikansi parameter dapat dilakukan melalui tahapan berikut.
1. Hipotesis AR ( Autoregressive)
𝐻 0 ∶ 𝜙 = 0 vs 𝐻 1 ∶ 𝜙 ≠ 0 MA ( Moving Average) 𝐻 0 ∶ 𝜃 = 0 vs 𝐻 1 : 𝜃 ≠ 0
2. Statistik Uji
𝑡 ℎ𝑖𝑡 (𝐴𝑅) = 𝜙 ̂ 𝑆𝐸(𝜙 ̂ ) (8)
𝑡 ℎ𝑖𝑡 (𝑀𝐴) = 𝜃 ̂ 𝑆𝐸(𝜃 ̂) (9)
dengan 𝜙̂ adalah estimator dari 𝜙 , 𝜃̂ adalah estimator dari 𝜃 , 𝑆𝐸(𝜙̂) adalah standar error yang diestimasi dari 𝜙 , dan 𝑆𝐸(𝜃̂) adalah standar error yang diestimasi dari 𝜃 .
3. Kriteria keputusan: Tolak 𝐻 0 jika |𝑡 ℎ𝑖𝑡 | > 𝑡 𝛼 2 ;𝑑𝑓=𝑛−𝑛 𝑝 atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼
Uji Ljung Box dan Uji Lagrange Multiplier
Setelah model runtun waktu diperoleh, maka perlu dilakukan pemeriksaan untuk mengetahui apakah residual yang dihasilkan bersifat white noise atau tidak dengan menggunakan uji Ljung-Box ( 𝑄 ) yang dihitung dengan nilai residual 𝑟 𝑘 dengan hipotesis sebagai berikut.
𝐻 0 : 𝑟 1 = 𝑟 2 = ⋯ = 𝑟 𝐾 = 0 vs 𝐻 1 : minimal ada satu 𝑟 𝑘 ≠ 0 untuk 𝑘 = 1,2, , . . 𝐾
Statistik Uji:
𝑄 = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ 𝑟 𝑘 2 𝑛−𝑘 𝐾 𝑘=1 (10)
dengan 𝑛 adalah banyak observasi, 𝑘 adalah banyak lag yang diuji, dan 𝑟 𝑘 adalah sampel ACF dari residual  lag- 𝑘 (Hanke, 2005).  Keputusan  terhadap hipotesis autokorelasi  residual  didasarkan  apabila nilai 𝑄 ≤ 𝑥 [𝛼:𝑑𝑏] 2 tabel dengan derajat bebas (𝑑𝑏) adalah 𝐾 dikurangi banyak parameter pada model atau p-value  dari  statistik  uji 𝑄 lebih  besar  dari  nilai 𝛼 ,  maka  terima 𝐻 0 yang  artinya  residual memenuhi asumsi white noise.
Uji Lagrange  Multiplier  adalah  pengujian  untuk  mengetahui  keberadaan  ARCH  atau  keberadaan heteroskedastisitas  dalam  runtun  waktu.  Langkah  pertama  dari  uji  ini  adalah  mengestimasi  model ARIMA dari data dan mendapatkan errornya. Langkah selanjutnya dilakukan dengan meregresikan error kuadrat dengan menggunakan konstanta dan nilai error sampai lag ke- 𝑚 , 𝜀 𝑡−1 2 , 𝜀 𝑡−2 2 , … , 𝜀 𝑡−𝑚 2 sehingga membentuk persamaan regresi sebagai berikut:
𝜀 𝑡 2 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝜀 𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼 𝑚 𝜀 𝑡−𝑚 2 ; 𝑡 = 𝑚 + 1, … , 𝑇 (11)
Nilai 𝑚 dapat ditentukan dengan melihat plot PACF residual kuadrat (Tsay, 2005). Hasil regresi ini akan menghasilkan nilai yang akan digunakan untuk menguji hipotesis berikut:
1. Hipotesis:
𝐻 0 : 𝛼 1 = ⋯ = 𝛼 𝑚 = 0 (tidak  terdapat  unsur ARCH)  vs 𝐻 1 : minimal  ada  satu 𝛼 𝑚 ≠ 0 (terdapat unsur ARCH). 2. Statistik Uji:
𝐹 = (𝑆𝑆𝑅 0 −𝑆𝑆𝑅 1 )/𝑚 𝑆𝑆𝑅 1 /(𝑇−2𝑚−1) (12)
dengan 𝑆𝑆𝑅 0 = ∑ (𝜀 𝑡 2 − 𝜔 ̅) 2 𝑇 𝑡=𝑚+1 , 𝑆𝑆𝑅 1 = ∑ 𝜀̂ 𝑡 2 𝑇 𝑚+1 , 𝜔 ̅ adalah  rata-rata  sampel  dari 𝜀 𝑡 2 dengan 𝜔 ̅ = 1 𝑛 (∑ 𝜀 𝑡 2 𝑇 𝑡−1 ) , dan 𝜀̂ 𝑡 adalah error kuadrat terkecil.
3. Kriteria keputusan: Apabila 𝐹 > 𝜒 𝑚 2 (𝛼) atau nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 dari 𝐹 lebih kecil dari 𝛼 , maka 𝐻 0 ditolak  yang  mengindikasikan  error  data  memiliki  efek  ARCH/GARCH  atau  bersifat heteroskedastisitas.
Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH)
Model GARCH ( 𝑝, 𝑞 ) memiliki persamaan umum sebagai berikut [13].
𝜎 𝑡 2 = 𝜔 + ∑ 𝛽 𝑖 𝜎 𝑡−𝑖 2 𝑞 𝑖=1 + ∑ 𝛼 𝑗 𝜀 𝑡−𝑗 2 𝑝 𝑗=1 (13)
dengan 𝑝 ≥ 0, 𝑞 > 0 , 𝜔 > 0, 𝛼 i ≥ 0, untuk 𝑖 = 1, … , q , dan 𝛽 𝑗 ≥ 0, untuk 𝑗 = 1, … , 𝑝 . Diasumsikan  semua  parameter  adalah  positif.  Bila 𝑝 = 𝑞 = 1 ,  maka  diperoleh estimator  GARCH (1,1) dengan  masing-masing  distribusi  adalah  normal  standar  (GARCH-n)  atau Student- 𝑡 standar (GARCH-t), maka model didefinisikan sebagai berikut:
𝑟 𝑡 =  𝜇 +   𝜀 𝑡 (14)
𝜀 𝑡 = 𝑧 𝑡 𝜎 𝑡 (15)
𝜎 𝑡 2 = 𝜔 +   𝛼 1 𝜀 𝑡−1 2 +   𝛽 1 𝜎 𝑡−1 2 (16)
Uji Dependensi
Dalam  kondisi  hubungan  non  linear  antar  variabel,  korelasi  Kendall  Tau  dapat  digunakan  sebagai ukuran dependensi alternatif (Matteis, 2001). Uji korelasi Tau Kendall dilakukan dengan hipotesis yang digunakan adalah:
𝐻 0 : 𝜏 = 0 (dua variabel independen) vs 𝐻 1 : 𝜏 ≠ 0 (dua variabel tidak independen)
Statistik Uji:
𝑍 = √ 9𝑛(𝑛−1) 2(2𝑛+5) |𝜏| (17)
Dengan
𝜏 = 𝑐−𝑑 𝑐+𝑑 = 𝑐−𝑑 ( 𝑛 2 ) (18)
𝑐 menyatakan  banyak  pasangan konkordan  dan 𝑑 menyatakan  banyak  pasangan diskordan  dengan kriteria keputusan apabila 𝑍 > 𝑍 𝛼 2 maka 𝐻 0 ditolak.

## Copula
Copula merupakan suatu fungsi distribusi multivariat dengan fungsi distribusi marginalnya (univariat) adalah  uniform  standar  [0,1]  (Nelson,  2006).  Fungsi  copula  memiliki  konsep  sebagai  alat  untuk mempelajari kebergantungan tak linear antara kejadian dalam kasus multivariat. Copula semakin banyak digunakan  pada  pemodelan  distribusi  multivariat  karena  tidak  memerlukan  asumsi  normalitas  pada marginalnya sehingga cukup fleksibel dalam berbagai data terutama untuk data finansial yang tidak memenuhi sifat-sifat distribusi normal.
Pada umumnya keluarga copula  yang sering digunakan terdiri atas Copula Elliptical dan Copula Archimedean. Pada penelitian ini keluarga copula yang digunakan adalah Copula Archimedean, yaitu Copula Clayton, Gumbel, dan Frank, sehingga fungsi Copula Archimedean didefinisikan sebagai berikut.

## 1. Copula Clayton
Fungsi generator Copula Clayton adalah:
𝜑(𝑢) = 𝑢 −𝛾 − 1 (19)
sehingga fungsi copula clayton berdimensi dua adalah:
𝐶 𝐶𝑙𝑎𝑦 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = (𝑢 1 −𝛾 + 𝑢 2 −𝛾 − 1) − 1 𝛾 (20)
dengan 𝛾 ∈ [−1, ∞)\{0} .
2. Copula Gumbel
Fungsi generator dari Copula Gumbel adalah:
𝜑 (𝑢) = (−ln 𝑢) 𝛾 (21)
sehingga fungsi Copula Gumbel berdimensi dua adalah:
𝐶 𝐺𝑢 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = exp{ −[ (− ln 𝑢 1 ) 𝛾 + (− ln 𝑢 2 ) 𝛾 ] 1 𝛾 } (22)
dengan 𝛾 ∈ [1, ∞) .
3. Copula Frank Fungsi generator dari Copula Frank adalah:
𝜑(𝑢) = ln [ 𝑒 −𝛾𝑢 −1 𝑒 −𝛾 −1 ] (23)
sehingga fungsi copula clayton berdimensi dua adalah:
𝐶 𝐹𝑟 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) =   − 1 𝛾 ln (1 + (𝑒 (−𝛾𝑢1) −1)(𝑒 −𝛾𝑢2 −1) (𝑒 −𝛾 −1) ) (24)
dengan 𝛾 ∈ ℝ{0} .
Vine Copula
Konstruksi  dari  fungsi  distribusi  multi-dimensi  menjadi  semakin  rumit  ketika  dimensinya  semakin bertambah. Vine Copula atau yang dikenal juga dengan Pair copula (copula berpasangan) memberikan cara yang lebih fleksibel dalam mengkonstruksi distribusi multivariat. Ide pokok dari pair copula yaitu menjelaskan bahwa copula multivariat dapat didekomposisikan menjadi pasangan copula bivariate.
Vine  copula  diterapkan  jika  sedikitnya  3  dimensi  peubah  acak  yang  ingin  diketahui  fungsi bersamanya.  Dengan  vine  copula,  fungsi  densitas  d  dimensi  dapat  diperoleh  dengan  melakukan dekomposisi  sehingga  diperoleh  hasil  kali  dari  densitas  marginalnya  dengan  densitas  copula berpasangan.  Dalam  melakukan  pemilihan  model  yang  tepat  haruslah  menentukan  struktur  ( tree), keluarga copula, dan menduga parameter copula. Untuk menentukan struktur ( tree), pada penelitian ini dibahas 2 jenis vine copula, yaitu C-vine copula, dan D-vine copula.
1. D-Vine Copula
D-vine  copula  memiliki  struktur  grafik  dengan  setiap tree  merupakan  suatu  path.  Jika  terdapat  d dimensi, maka banyaknya tree adalah 𝑑 − 1 . Misal, untuk 3 dimensi, maka diperoleh dua tree sebagai berikut:
Gambar 1. D-Vine Copula 3 Dimensi (a) Pohon 1 (b) Pohon 2
Sehingga fungsi densitas D-Vine menurut dekomposisi pada Gambar 1 adalah:
𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = f 1 (x 1 ). f 2 (x 2 ). f 3 (x 3 )c 12 (F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )) . 𝑐 23 (𝐹 2 (𝑥 2 ), 𝐹 3 (𝑥 3 )). 𝑐 13|2 (𝐹(𝑥 1 |𝑥 2 ), 𝐹(𝑥 3 |𝑥 2 )) (25)
Secara umum fungsi densitas, D-Vine berdimensi 𝑑 adalah
𝑓(𝑥 1 , … , 𝑥 𝑑 ) = ∏ 𝑓(𝑥 k ) 𝑑 k=1 ∏ ∏ 𝑐 𝑖,i+j|i+1,…,i+j−1 𝑑−j 𝑖=1 𝑑−1 j=1
. (𝐹(𝑥 𝑖 |𝑥 𝑖+1 , … , 𝑥 𝑖+𝑗−1 )𝐹(𝑥 𝑖+𝑗 |𝑥 𝑖+1 , … , 𝑥 𝑖+𝑗−1 )) (26)
2. C-Vine Copula C-vine copula memiliki struktur grafik ( tree) dengan setiap tree memiliki node yang unik yaitu yang dihubungkan ke seluruh node. Jika terdapat d dimensi, maka banyaknya tree adalah d−1. Misal, untuk 3 dimensi, maka diperoleh 2 tree sebagai berikut:
Gambar 2. C-Vine Copula 3 dimensi (a) Pohon 1; (b) Pohon 2.
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa variabel 1 bertindak sebagai variabel kunci dalam C-Vine yang berinteraksi  dengan  seluruh  variabel  dalam  data.  Oleh  karena  itu,  pembentukan  C-Vine  akan menguntungkan ketika suatu variabel telah diketahui sebagai variabel kunci. Selanjutnya variabel kunci ini menjadi akar dari struktur C-Vine (Liu, 2011).
Sehingga fungsi densitas C-Vine menurut dekomposisi pada Gambar 2 adalah:
𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = f 1 (x 1 ). f 2 (x 2 ). f 3 (x 3 )c 12 (F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )) . 𝑐 13 (𝐹 1 (𝑥 1 ), 𝐹 3 (𝑥 3 )). 𝑐 23|1 (𝐹 2 (𝑥 2 |𝑥 1 ), 𝐹 3 (𝑥 3 |𝑥 1 )) (27)
Secara umum fungsi densitas, C-Vine berdimensi 𝑑 adalah
𝑓(𝑥 1 , … , 𝑥 𝑑 ) = ∏ 𝑓(𝑥 k ) 𝑑 k=1 ∏ ∏ 𝑐 𝑗,𝑗+𝑖 |1,…,𝑗−1 𝑑−j 𝑖=1 𝑑−1 j=1 (𝐹(𝑥 𝑗 |𝑥 1 , … , 𝑥 𝑗−1 ), 𝐹(𝑥 𝑗+𝑖 |𝑥 1 , … , 𝑥 𝑗−1 )) (28)
Estimasi Parameter Estimasi parameter copula dapat diperoleh dengan menggunakan metode maksimum likelihood (MLE). Pada  bagian  ini  akan  dijelaskan  estimasi  parameter  dari  densitas  C-Vine  dan  D-Vine  dengan  MLE. Asumsikan terdapat 𝑑 variabel pada 𝑇 titik waktu, estimasi parameter dapat dilakukan secara simultan terhadap distribusi marginal dan pasangan copula metode MLE. Namun, komputasi dengan metode ini akan  semakin  kompleks  seiring  bertambahnya  dimensi  variabel  (Liu,  2011).  Oleh  karena  itu,  pada pembahasan ini digunakan metode Inference Function for Margins (IFM) dimana estimasi parameter dilakukan dalam dua tahap dan dasar dari tiap tahapnya menggunakan pendekatan log likelihood (Joe, 1996). Pada tahap pertama metode IFM, dilakukan estimasi parameter dari distribusi marginal.
Berdasarkan densitas C-Vine dan D-Vine yang telah dibentuk pada persamaan (26) dan (28) maka dapat diperoleh fungsi log likelihood untuk C-Vine yaitu:
𝑙 𝐶−𝑉𝑖𝑛𝑒 (𝑥; 𝛾) = ∑ ∑ log(𝑓(𝑥 𝑘 )) 𝑇 𝑡=1 3 𝑘=1
+ ∑ ∑ ∑ log(𝑐 𝑗,𝑗+1|1,…,𝑗−1 (𝐹(𝑥 𝑗,𝑡 |𝑥 1,𝑡 , … , 𝑥 𝑗−1,𝑡 ), 𝐹(𝑥 𝑗+𝑖,𝑡 |𝑥 1,𝑡 , … , 𝑥 𝑗 ′ −1,𝑡 ))) 𝑇 𝑡=1 3−𝑗 𝑖=1 2 𝑗=1 (29)
dan fungsi log likelihood untuk D-Vine yaitu:
𝑙 𝐶−𝑉𝑖𝑛𝑒 (𝑥; 𝛾) = ∑ ∑ log (𝑓(𝑥 𝑘 )) 𝑇 𝑡=1 3 𝑘=1
+ ∑ ∑ ∑ log(𝑐 𝑖,𝑖+𝑗|𝑖+1,…,𝑖+𝑗−1 𝑇 𝑡=1 3−𝑗 𝑖=1 2 𝑗=1 ((𝐹(𝑥 𝑖,𝑡 |𝑥 𝑖+1,𝑡 , … , 𝑥 𝑖+𝑗−1,𝑡 ), 𝐹(𝑥 𝑖+𝑗,𝑡 |𝑥 𝑖+1,𝑡 , … , 𝑥 𝑖+𝑗−1,𝑡 ))) (30)

## Value at Risk (VaR)
VaR  merupakan  alat  ukur  yang  dapat  menghitung  besarnya  kerugian  terburuk  yang  dapat  terjadi dengan  mengetahui  posisi  asset,  tingkat  kepercayaan  akan  terjadinya  risiko,  dan  jangka  waktu penempatan asset (time horizon) (Jorian, 2002).
VaR pada tingkat kepercayaan (1 − 𝛼) dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑅 =   𝑊 0 𝑍 1−𝛼 𝜎(𝑅𝑝) (31)
dengan 𝑊 0 merupakan nilai awal investasi, dan 𝜎(𝑅 𝑝 ) adalah standar deviasi return.

## Metode Penelitian
Sumber Data Pada penelitian ini digunakan data harga penutupan ( closed price) saham harian mulai 26 Agustus 2013 sampai dengan  20 November 2017  yang terdiri dari  1038  observasi  dan  diperoleh dari situs www.yahoo-finance.com  khususnya  saham  sektor  perbankan  LQ45  yaitu,  BBNI,  BBRI,  dan  BMRI. Sedangkan bobot yang digunakan dalam pembentukan portofolio pada penelitian ini diasumsikan sama untuk setiap saham yaitu 1 𝑛 , sehingga menurut persamaan (2) diperoleh persamaan return portofolio sebagai berikut:
𝑅 𝑝 = 1 3 𝑅 𝐵𝐵𝑁𝐼 + 1 3 𝑅 𝐵𝐵𝑅𝐼 + 1 3 𝑅 𝐵𝑀𝑅𝐼 (32)
Langkah-Langkah Analisis Langkah-langkah  dalam  menentukan  estimasi Value  at  Risk  (VaR)  dengan  menggunakan  metode GARCH-Vine Copula dikembangkan dari Flow Chart perhitungan VaR menggunakan metode Elliptical Copula dari Renggani dkk (2017) sebagai berikut:
1. Menghitung return harga saham.
2. Mendeskripsikan dan mengidentifikasi karakteristik data.
3. Pemodelan Marginal dengan GARCH
a. Melakukan pengujian kestasioneran data. Setelah data dinyatakan stasioner terhadap mean dan varians, dapat dilanjutkan dengan menentukan ordo model ARIMA menggunakan plot ACF dan PACF, kemudian menentukan model ARIMA terbaik dengan kriteria AIC.
b. Melakukan  pengujian  efek  ARCH  terhadap  residual  ARIMA  untuk  mengetahui  ada  tidaknya heteroskedastisitas.
c. Membentuk model marginal GARCH menggunakan metode maksimum likelihood untuk mengatasi masalah  heteroskedastisitas  kemudian  menggunakan  distribusi Student-t  pada  residual  GARCH dan mengidentifikasi struktur kebergantungan model marginal.
4. Membentuk distribusi gabungan dari model marginal ketiga saham dengan Vine Copula.
a. Menentukan dekomposisi Vine Copula yang digunakan.
b. Mengestimasi parameter Vine Copula
c. Memilih copula terbaik berdasarkan kriteria AIC.
5. Melakukan estimasi VaR.
6. Membuat kesimpulan hasil analisis VaR berdasarkan pemilihan model copula terbaik.

## Hasil dan Pembahasan

## Karakteristik Data
Sebelum dilakukan estimasi nilai VaR, terlebih dahulu dilakukan analisa deskriptif untuk mengetahui karakteristik masing-masing saham yang dianalisa yaitu BBNI, BBRI, dan BMRI. Dalam menganalisis keseluruhan data perangkat lunak yang digunakan adalah perangkat lunak pemrograman R 3.3.1. Gambar 3 menunjukkan bahwa nilai return saham menunjukkan adanya variabilitas data yang relatif tinggi pada suatu waktu dan terjadi kecenderungan yang sama dalam kurun waktu selanjutnya dan sebaliknya.  Fenomena  ini  disebut  dengan volatility  clustering  yang  menandakan  adanya  kasus heterokedastisistas.  Setelah  melihat  pola  penyebaran  data,  analisis  statistik  deskriptif  juga  dilakukan untuk  melihat  karakteristik  data  return  masing-masing  aset.  Tabel  1  menyajikan  ringkasan  deskripsi statistik dari data return indeks saham BBNI, BBRI, dan BMRI.
Gambar 3. Plot time series return saham BBNI, BBRI, dan BMRI.
Tabel 1. Analisis deskriptif saham BBNI, BBRI, dan BMRI.
Statistik BBNI BBRI BMRI Mean 0,00092 0,00174 0,000893 Std. Deviasi 0,01950 0,019756 0,019132 Skewness 0,37595 0,449172 0,614406 Kurtosis 3,62979 3,720852 4,502484 Minimum -0,0779 -0,073710 -0,073395 Maksimum 0,12329 0,118056 0,136691
Tabel 1 menunjukkan ketiga return saham memiliki nilai rata-rata return bernilai positif yang berarti ketiga  saham  ini  akan  cenderung  memberikan  keuntungan  kepada  investor.  Nilai  varians  tertinggi dimiliki  oleh  saham  BBRI  yaitu  sebesar  0,0198,  yang  menunjukkan  bahwa  saham  BBRI  memiliki potensi risiko paling besar dibandingkan saham lainnya.
Nilai skewness (nilai kemencengan) pada ketiga indeks saham bernilai positif, yang menunjukkan distribusi data return tidak simetris atau memiliki ekor kanan yang lebih panjang dibanding ekor kiri ( long right tail). Nilai kurtosis (keruncingan) pada ketiga saham memiliki nilai lebih dari tiga, hal ini menunjukkan  kurva  data  return  ketiga  saham  tersebut  memiliki  kurva leptokurtic  (bagian  tengah distribusi data memiliki puncak meruncing). Kedua hal diatas dapat menjelaskan adanya dugaan data return ketiga  saham  tidak  berdistribusi  normal.  Selanjutnya  untuk  menunjukkan  ketidaknormalan distribusi, dilakukan pengujian distribusi normal terhadap return saham BBNI, BBRI, dan BMRI dengan uji Kolmogorov Smirnov dengan hasil sebagai berikut.
Tabel 2. Pengujian distribusi normal.
Saham 𝑫 𝒉𝒊𝒕 p-value Keputusan BBNI 0,4728 < 2,2 × 10 −16 Tolak 𝐻 0 BBRI 0,4727 < 2,2 × 10 −16 Tolak 𝐻 0 BMRI 0,4738 < 2,2 × 10 −16 Tolak 𝐻 0
Pada Tabel 2 menunjukkan apabila nilai p- value ketiga return saham kurang dari nilai 𝛼 sehingga 𝐻 0 ditolak. Jadi, pada tingkat signifikansi 0,05 dapat disimpulkan bahwa ketiga return saham tidak berdistribusi normal.
-0 .0 5 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 B B N I -0 .0 5 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 B B R I -0 .0 5 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 200 400 600 800 1000 B M R I Periode Plot Return Indeks

## Pemodelan ARIMA
Dalam  pemodelan  ARIMA,  langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  memeriksa  kestasioneran  data. Gambar 3 menunjukkan bahwa secara visual data telah stasioner dalam rata-rata karena cenderung berada  di  sekitar  nilai  rata-rata.  Tren  data  pada  Gambar  3  mengindikasikan  data  tersebut  bersifat stasioner.  Setelah  asumsi  kestasioneran  terpenuhi,  maka  selanjutnya  dilakukan  pendugaan  model ARIMA.  Penentuan  orde  AR  dan  orde  MA  dalam  identifikasi  model  menggunakan  plot  fungsi autoregresif (ACF) dan fungsi autoregresif parsial (PACF). Tabel 3 menunjukkan model dugaan ARIMA beserta estimasi parameter dari masing-masing saham telah signifikan. Setelah itu, dilakukan uji white noise.
Tabel 3. Estimasi dan uji signifikansi parameter model ARIMA.
Saham Model Parameter Estimasi p- value BBNI ARIMA (1,0,2) 𝜙 1 𝜃 1 𝜃 2 0,8108 -0,7640 -0,0772 2,418e-14 2,679e-12 0,01327 ARIMA (2,0,1) 𝜙 1 𝜙 2 𝜃 1 0,8908 -0,0777 -0,8428 <2e-16 0,01343 <2e-16 ARIMA (2,0,2) 𝜙 1 𝜙 2 𝜃 1 𝜃 2
-0,0644 -0,9963 0,0605 0,9835 <2,2e-16 <2,2e-16 1,319e-09 <2,2e-16
BBRI
ARIMA (2,0,0) 𝜙 1 𝜙 2 0,0862 -0,0894 0,005299 0,003873 ARIMA (0,0,2) 𝜃 1 𝜃 2 0,0815 -0,0852 0,009157 0,008746 ARIMA (1,0,1) 𝜙 1 𝜃 1 -0,4247 0,5213 0,01736 0,00183 ARIMA (1,0,2) 𝜙 1 𝜃 1 𝜃 2 0,7860 -0,7073 -0,1432 <2,2e-16 <2,2e-16 1,365e-05 ARIMA (2,0,1) 𝜙 1 𝜙 2 𝜃 1 0,9310 -0,1308 -0,8594 <2,2e-16 3,579e-05 <2,2e-16
ARIMA
(3,0,4) 𝜙 1 𝜙 2 𝜙 3 𝜃 1 𝜃 2 𝜃 3 𝜃 4 0,9345 0,9386 -0,9242 -0,8544 -1,0583 0,8364 0,1232 <2,2e-16 <2,2e-16 <2,2e-16 <2,2e-16 <2,2e-16 <2,2e-16 0,0004821
BMRI
ARIMA (1,0,2) 𝜙 1 𝜃 1 𝜃 2 0,6570 -0,6352 -0,1115 0,0001105 0,0001842 0,0014347 ARIMA (2,0,1) 𝜙 1 𝜙 2 𝜃 1 0,7306 -0,1084 -0,7102 0,003358 0,005687 0,004810 ARIMA (4,0,1) 𝜙 1 𝜙 2 𝜙 3 𝜙 4 𝜃 1 -0,6343 -0,0832 -0,1280 -0,0830 0,6590 0,004278 0,025435 0,002557 0,008732 0,002862
Tabel 4. Uji White Noise model dugaan ARIMA.
Saham Model Lag 6 12 18 24 36 BBNI ARIMA (1,0,2) 0,70   0,71  0,53 0,50 0,45 ARIMA (2,0,1) 0,71 0,71 0,52 0,49 0,45 ARIMA (2,0,2) 0,20 0,40 0,42 0,26 0,59 BBRI ARIMA (2,0,0) 0,37 0,33 0,09 0,09 0,06 ARIMA (0,0,2) 0,35 0,33 0,08 0,09 0,06 ARIMA (1,0,1) 0,21 0,24 0,07 0,08 0,08 ARIMA (1,0,2) 0,98 0,78 0,42 0,38 0,26 ARIMA (2,0,1) 0,91 0,71 0,36 0,34 0,23 ARIMA (3,0,4) 0,67 0,50 0,22 0,21 0,38 BMRI ARIMA (1,0,2) 0,09 0,46 0,76 0,52 0,22 ARIMA (2,0,1) 0,89 0,44 0,74 0,49 0,19 ARIMA (4,0,1) 0,97 0,55 0,84 0,59 0,25
Tabel  4  menunjukkan  p- value  dari  masing-masing  model  dugaan  ARIMA  lebih  besar  dari  0,05. Oleh karena itu, 𝐻 0 diterima dan dapat disimpulkan bahwa residual model dugaan ARIMA pada ketiga saham memenuhi asumsi White Noise. Setelah itu, dilakukan pemilihan terbaik model dugaan ARIMA.
Tabel 5. Pemilihan model terbaik pada model ARIMA.
Saham Model AIC BBNI ARIMA(1,0,2) -5226,74 ARIMA(2,0,1) -5226,85 ARIMA(2,0,2) -5230,41 ARIMA(2,0,0) -5208,97 BBRI ARIMA(0,0,2) -5208,84 ARIMA(1,0,1) -5205,88 ARIMA(1,0,2) -5215,3 ARIMA(2,0,1) -5214,16 ARIMA(3,0,4) -5214,02 BMRI ARIMA(1,0,2) -5275,98 ARIMA(2,0,1) -5275,66 ARIMA(4,0,1) -5272,66 ARIMA(4,0,2) 5282,04
Pada Tabel 5 menunjukkan nilai AIC dari masing-masing model dugaan dengan mempertimbangkan nilai AIC terkecil, sehingga diperoleh model terbaik untuk saham BBNI adalah ARIMA (2,0,1), saham BBRI adalah ARIMA (1,0,2), dan saham BMRI adalah ARIMA (4,0,2).

## Uji Efek ARCH
Uji Lagrange  Multiplier  (LM)  digunakan  untuk  mengetahui  ada  tidaknya  efek  ARCH/GARCH  pada residual model ARIMA. Hasil pengujiannya disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6. Uji LM pada residual BBNI, BBRI, dan BMRI
Order BBNI BBRI BMRI LM p-value LM p-value LM p-value 4 933,1 0 967 0 1090 0 8 342,2 0 421 0 429 0 12 168,1 0 230 0 185 0 16 118,6 0 166 0 140 0 20 115,9 6,66e-16 146 0 126 0 24 91,6 3,88e-10 119 7,11e-15 104 2,51e-12
Berdasarkan Tabel 6 diperoleh nilai p-value ketiga saham pada setiap order memiliki nilai lebih dari 𝛼 yaitu 0,05, maka dapat disimpulkan bahwa terdapat efek ARCH pada residual kuadrat ( 𝜀 2 ) dan ketidakstabilan  varians  pada  ketiga  return  saham,  sehingga  dapat  dilanjutkan  dengan  menggunakan pemodelan GARCH.

## Pemodelan GARCH
Dalam  penelitian  ini  digunakan  model  GARCH  (1,1)  untuk  mengatasi  masalah  heteroskedastisitas dengan residual yang disyarati dengan inovasi distribusi Student-t. Hasil estimasi model GARCH untuk saham BBNI, BBRI, dan BMRI disajikan pada tabel 7.
Tabel 7. Estimasi dan uji signifikansi parameter model GARCH.
Saham Model Parameter Estimasi p- value BBNI GARCH (1,1) 𝛼 1 𝛽 1 𝑣 0,1224 0,8362 4,801 0,000691 <2e-16 4,66e-10 BBRI GARCH (1,1) 𝛼 1 𝛽 1 𝑣 0,1316 0,8794 3,590 0,00521 <2e-16 1,33e-15 BMRI GARCH (1,1) 𝛼 1 𝛽 1 𝑣 0,2185 0,7525 3,904 0,000178 <2e-16 1,29e-14
Pada tabel 7 dapat dilihat bahwa pada model GARCH (1,1) masing-masing saham memiliki nilai p-value  yang  lebih  kecil  dari 𝛼 = 0,05 ,  sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  model  GARCH-t  (1,1) pada saham BBNI, BBRI, dan BMRI signifikan.

## Pemodelan Vine Copula
Setelah memodelkan masing-masing return saham dengan model GARCH, untuk memodelkan dengan Vine  Copula  langkah  selanjutnya  adalah  menyelidiki  dependensi  diantara  ketiga  pasangan  variabel. Untuk mengetahui dependensi antar variabel, dilakukan pengujian dependensi dengan menggunakan uji Kendall Tau. Berikut adalah hasil pengujian dependensi antar saham.
Tabel 8. Uji kebergantungan saham.
Kombinasi Saham Korelasi Z p-value BBNI dan BBRI 0,3663 17,671 <2,2e-16 BBNI dan BMRI 0,3528 17,02 <2,2e-16 BBRI dan BMRI 0,4201 20,266 <2,2e-16
Tabel 8 menyajikan hasil pengujian kebergantungan antar saham. Nilai p-value hasil pengujian ini pada sebesar <2,2e-16 yang artinya ada kebergantungan antar saham-saham tersebut.
Setelah dinyatakan terdapat ketergantungan antar saham-saham, kemudian akan dilakukan estimasi parameter untuk masing-masing copula dengan metode maximum likelihood. Copula yang digunakan adalah  C-Vine  dan  D-Vine  Copula  dari  keluarga  Archimedean  yaitu  Copula  Clayton,  Gumbel,  dan Frank. Estimasi parameter dilakukan dengan prinsip pasangan copula bivariat pada setiap level. Berikut adalah hasil estimasi parameter Vine Copula.
Tabel  9  menunjukkan  hasil  estimasi  parameter  C-Vine  dan  D-Vine  Copula  dari  berbagai  model copula.  Nilai  log  likelihood  yang  dihasilkan  oleh  dekomposisi  C-Vine  dan  D-Vine  cenderung  tidak berbeda secara signifikan di setiap keluarga copula. Hal ini dapat menandakan bahwa model yang dihasilkan dengan kedua dekomposisi relatif sama baiknya. Untuk menentukan copula terbaik dalam memodelkan data untuk studi kasus ini, dapat digunakan nilai AIC terkecil dari masing-masing model. Dapat dilihat Frank D-Vine Copula memiliki nilai AIC terkecil yaitu -1112,63. Oleh karena itu, dapat disimpulkan  bahwa  Frank  D-Vine  Copula  adalah  copula  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk memodelkan data dalam kasus ini.
Tabel 9. Estimasi parameter C-Vine dan D-Vine Copula.
Vine Copula  Copula Pair Parameter AIC
C-Vine
Clayton 1,2 1,3 2,3;1 𝜌 12 = 1,55 𝜌 13 = 1,41 𝜌 23|1 = 0,74 -971,8 Gumbel 1,2 1,3 2,3;1 𝜌 12 = 1,96 𝜌 13 = 1,85 𝜌 23|1 = 1,46
-1073,2 Frank 1,2 1,3 2,3;1 𝜌 12 = 5,62 𝜌 13 = 5,22 𝜌 23|1 = 3,83
-1120
D-Vine
Clayton 1,2 2,3
1,3;2 𝜌 12 = 1,55 𝜌 13 = 1,93 𝜌 23|1 = 0,32
-1003,2 Gumbel 1,2 2,3 1,3;2 𝜌 12 = 1,96 𝜌 13 = 2,15 𝜌 23|1 = 1,20
-1092,7 Frank 1,2 2,3 1,3;2 𝜌 12 = 5,62 𝜌 13 = 6,67 𝜌 23|1 = 2,17 -1112,6
Tabel  9  menunjukkan  hasil  estimasi  parameter  C-Vine  dan  D-Vine  Copula  dari  berbagai  model copula.  Nilai  log likelihood  yang  dihasilkan  oleh  dekomposisi  C-Vine  dan  D-Vine  cenderung  tidak berbeda secara signifikan di setiap keluarga copula. Hal ini dapat menandakan bahwa model yang dihasilkan dengan kedua dekomposisi relatif sama baiknya. Untuk menentukan copula terbaik dalam memodelkan data untuk studi kasus ini, dapat digunakan nilai AIC terkecil dari masing-masing model. Dapat dilihat Frank D-Vine Copula memiliki nilai AIC terkecil yaitu -1112,63. Oleh karena itu, dapat disimpulkan  bahwa  Frank  D-Vine  Copula  adalah  copula  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk memodelkan data dalam kasus ini.
Perhitungan Value at Risk (VaR)
Model Frank D-Vine Copula digunakan dalam proses pembangkitan data untuk menghitung nilai VaR. Tabel  10  menyajikan  hasil  perhitungan  VaR  dengan  membangkitkan  1038  data  dengan  100  kali pengulangan pada tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%.
Tabel 10. Estimasi VaR dengan Vine Copula.
Keluarga Copula Tingkat Kepercayaan 𝑽𝒂𝑹 𝜶
(Std. Error) D-Vine Frank 90% 0,01856018 (3,909566e-05) 95% 0,02562304 (5,475796e-05) 99% 0,0448919 (0,0001442081)
Tabel 10 menunjukkan pada tingkat kepercayaan 99% nilai VaR portofolio lebih besar dibanding nilai VaR pada tingkat kepercayaan 90% dan 95% yaitu sebesar 4,49% dari dana investasi. Berdasarkan hal  tersebut dapat disimpulkan bahwa  semakin besar tingkat kepercayaan yang digunakan, estimasi nilai VaR yang dihasilkan juga semakin besar. Dari Tabel 10 dapat diketahui pula estimasi VaR dari tiap model menghasilkan standard error yang sangat kecil.
Apabila diilustrasikan seorang investor melakukan investasi sebesar Rp 50 juta, menggunakan metode copula  diperoleh  ringkasan  nilai  kerugian  maksimum  yang  mungkin  diperoleh  satu  hari  kedepan disajikan dalam Tabel 11 berikut:
Tabel 11. Estimasi nilai kerugian maksimum.
Keluarga Copula Tingkat Kepercayaan Nilai Kerugian D-Vine Frank 90% Rp 928.009 95% Rp 1.281.152 99% Rp 2.244.595
Nilai dalam Tabel 11 menunjukkan nilai kerugian yang mungkin akan diperoleh satu hari ke depan pada  masing-masing  tingkat  kepercayaan.  Hasil  tersebut  dapat  diinterpretasikan  sebagai  estimasi kerugian  maksimum  yang  mungkin  diperoleh  satu  hari  ke  depan  oleh  portofolio  yang  terdiri  dari saham BBNI, BBRI, dan BMRI dengan tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%.

## Kesimpulan
Penerapan metode GARCH-Vine Copula untuk estimasi Value at Risk (VaR) pada saham perbankan LQ45,  yaitu  BBNI,  BBRI,  dan  BMRI  periode  26  Agustus  2013  sampai  dengan  20  November  2017 menghasilkan estimasi VaR dengan copula terbaik adalah Frank D-Vine Copula sebesar 1,86%; 2,56%, dan 4,49% dari dana investasi pada tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%. Apabila diilustrasikan seorang  investor  melakukan  investasi  sebesar  Rp  50.000.000,00  nilai    kerugian    maksimum  yang mungkin  diperoleh  satu  hari  kedepan  pada  tingkat  kepercayaan  90%,  95%,  dan  99%  tidak  akan melebihi sebesar Rp 928.009, Rp 1.281.152 dan Rp 2.244.595.
Penelitian  ini  terbatas  pada  penggunaan  keluarga  Copula  Archimedean,  yaitu  Copula  Clayton, Gumbel,  dan  Frank,  sehingga  untuk  penelitian  selanjutnya  dapat  dikembangkan  perhitungan  VaR menggunakan  keluarga  Copula  Archimedean  yang  lain  seperti  Joe  Copula  atau  keluarga  Copula Elliptical. Selain itu pada penelitian ini diasumsikan ketiga saham memiliki bobot yang sama yaitu 1 𝑛 , sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat digunakan metode pembobotan yang berbeda.

## Referensi
[1] Bollerslev, T. , Engle, R., Nelson, D. 1994. ARCH Models. Econometrics. (31): 307-327.
[2] Dharmawan,  K.  2014. Estimasi  Nilai  Value  at  Risk  Portofolio  Menggunakan  Metode  t-Copula.  Jurnal  Matematika, Saint, dan Teknologi.
[3] Geidosch, M., Fischer, M. 2016. Application of Vine Copula to Credit Portfolio Risk Modelling. Jurnal of Risk and Financial Management.
[4] Halim, A. 2005. Analisis Investasi (Edisi Kedua). Jakarta, Salemba Empat.
[5] Hanke, J. E., Wichern, D. W. 2005. Business Forecasting (8 th ed.). New Jersey, Pearson Prentice Hall.
[6] Joe, H. 1997. Multivariate Models and Dependence Concept. London, Chapman and Hall.
[7] Joe, H., Xu, J. J. 1996. The Estimation Method of Inference for Multivariate Models. Technical Report 166.
[8] Jorion, P. 2002. Value at Risk : The New Benchmark for Managing Financial Risk (2 nd ed.). New York, Macmillan.
[9] Liu,  J.  2011. Extreme  Value  Theory  and  Copula  Theory  :  A  Risk  Management  Application  with  Energy  Futures. University of Victoria, Victoria.
[10] Matteis, R. D. 2001. Fitting Copulas to Data. Thesis. University of Zurich, Zurich.
[11] Nelsen, R. B. 2006. An Introduction to Copulas (2 nd ed.). New York, Springer.
[12] Renggani, P., Pintari, H. O., Subekti R. 2017. Estimasi Value at Risk (VaR) pada Portofolio dengan Metode Elliptical Copula. Prosiding, Seminar Matematika dan Pendidikan Matematika 2017. FMIPA UNY, 11 November 2017: 89-96.
[13] Rosadi, D. 2014. Analisis Runtun Waktu dan Aplikasinya dengan R. Yogyakarta, Gadjah Mada University Press.
[14] Siegel, S. 1990. Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-ilmu Sosial (Terjemahan Zanzawi Suyuti dan Landung Simatupang). Jakarta, PT Gramedia Pustaka Utama.
[15] Suharto, A. A. P., Dharmawan, K., Sumarjaya, I. 2017. Estimasi Nilai VaR Portofolio Menggunakan Fungsi Copula Archimedean. E-Jurnal Matematika 6. (1): 15-21.
[16] Tsay, R. S. 2005. Analysis of Financial Time Series (2 nd ed.). New York, John Wiley & Sons, Inc.
[17] Wei, W. W. 2006. Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods (2 nd ed.). New York, Addison Weasley.