JURNAL FOURIER | April 2022, Vol. 11, No. 1, 17-21

## Luas Permukaan Selimut Tabung dan Bola Terpotong
Burhanuddin Latif 1 ,
1 Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan, Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281, Indonesia
Korespondensi; Burhanuddin Latif, Email: burhanuddin.latif@uin-suka.ac.id

## Abstrak
Pada artikel ini ditunjukkan bahwa suatu bola dengan radius 𝒂 dan suatu tabung dengan radius alas 𝒂 dan tinggi 𝟐𝒂 , pada saat bola dan tabung tersebut secara bersama - sama dipotong oleh sebuah bidang horizontal 𝒛 = 𝒉, 𝒉 ≠ 𝟎 yang paralel dengan 𝒛 = 𝟎 ,  maka  luas  permukaan  bola  terpotong  dan  luas  permukaan  selimut  tabung  yang  berada  pada 𝒛 ≥ 𝒉 memiliki nilai yang sama. Begitu pula luas permukaan bola terpotong dan luas permukaan selimut tabung yang berada pada 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒉 memiliki nilai yang juga sama. Pada saat bola dan tabung tersebut secara bersama - sama dipotong oleh dua buah bidang horizontal 𝒛 = 𝒉 𝟏 dan 𝒛 = 𝒉 𝟐 dengan 𝒉 𝟏 , 𝒉 𝟐 ≠ 𝟎 yang paralel dengan 𝒛 = 𝟎 maka luas permukaan bola  terpotong  dan  luas  permukaan  selimut  tabung  yang  berada  pada 𝒉 𝟏 ≤ 𝒛 ≤ 𝒉 𝟐 memiliki  nilai  yang  juga  sama. Sehingga bagaimanapun suatu luas permukaan bola dan luas selimut tabung dengan ukuran tersebut bersama - sama dipotong secara horizontal akan memperoleh nilai yang sama yaitu sebesar 𝟐𝝅𝒂𝒉 .
Kata Kunci : Bola, Tabung, Bola Terpotong, Selimut Tabung, Luas Permukaan

## Abstract
In this article it is shown that a sphere with radius 𝒂 and a cylinder with a radius 𝒂 and height 𝟐𝒂 , since the sphere and cylinder were cut together by a horizontal plane 𝒛 = 𝒉, 𝒉 ≠ 𝟎 which is parallel to 𝒛 = 𝟎 , then the surface area of the hemisphere and the surface area of the circumscribing cylinder at 𝒛 ≥ 𝒉 have the same value. Likewise, the surface area of the hemisphere and the surface area of the circumscribing cylinder at 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒉 have the same value. When the sphere and cylinder are simultaneously cut by two horizontal planes 𝒛 = 𝒉 𝟏 and 𝒛 = 𝒉 𝟐 with 𝒉 𝟏 , 𝒉 𝟐 ≠ 𝟎 which are parallel to 𝒛 = 𝟎 , the surface area of the hemisphere and the surface area of the circumscribing cylinder is at 𝒉 𝟏 ≤ 𝒛 ≤ 𝒉 𝟐 m have the same value. So that somehow the surface area of the hemisphere and the circumscribing cylinder with those sizes simultaneously are cut horizontally and will get the same value, which is equal to 𝟐𝝅𝒂𝒉 .
Keywords : Sphere, Cylinder, Hemisphere, Circumscribing Cylinder, Surface Area

## Pendahuluan
Sebuah bola dengan radius 𝑎 dan suatu tabung dengan radius alas 𝑎 dan tinggi 2𝑎 . Luas permukaan bola  tersebut  adalah 4𝜋𝑎 2 [1][2]  seperti  menurut  Archimedes  dalam  [3]  bahwa  luas  permukaan sebarang  bola  adalah  empat  kali  lipat  luas  lingkaran  terbesarnya.  Dengan  pendekatan  luas  daerah bidang datar lainnya, diperloeh luas permukaan bola adalah 4𝜋𝑎 2 [4], [5]. Sementara luas permukaan tabung tersebut perbandingannya dnegan luas permukaan bola adalah dua banding tiga [6] sehingga luas  permukaan  tabung  tersebut  dengan  adalah 6𝜋𝑎 2 .  Jika  tutup  dan  alas  tabung  tersebut  tidak diikutsertakan, maka akan diperoleh luas permukaan selimut tabung dengan besar 4𝜋𝑎 2 [7]. Sehingga sebuah bola yang jika dimasukkan ke dalam suatu tabung, seluruh sisi tabung bersinggungan dengan bola, maka luas permukaan bola sama dengan luas permukaan selimut tabung. Jika kita potong secara
horizontal tepat di tengah tengah bola, akan diperoleh luas permukaan yang sama antara permukaan setengah bola dengan permukaan selimut setengah tabung yaitu sebesar 2𝜋𝑎 2 [8][9][10]. Bagaimana jika kedua bangun ruang tersebut dipotong secara horizontal bukan oleh bidang 𝑧 = 0 , melainkan oleh bidang paralel dengan bidang 𝑧 = 𝑘, 𝑘 ≠ 0 , , baik itu dipotong sekali, maupun dipotong dua kali?
Gambar 1. Bola dan Silinder dengan diameter yang sama

## Landasan Teori
Berikut  ini  beberapa  landasan  teori  yang  diperlukan  untuk  membahas  mengenai  luas  permukaan tabung dan bola yang terpotong.
Definisi  2.1 Menurut  Euclid  dalam  Elements[11],  bola  atau  sphere  adalah  bangun  tertutup,  dengan suatu  diameter  suatu  setengah  lingkaran  tidak  bergerak,  setengah  lingkaran  tersebut  diputar mengelilingi diameter tersebut hingga kembali ke tempat semula. Titik pusat bola sama dengan titik pusat setengah lingkaran. Diameter bola adalah segmen garis yang melalui titik pusat bola dan dibatasi oleh permukaan bola.
Definisi 2.2 Tabung atau silinder adalah bangun tertutup, dengan suatu paralelogram bersudut siku- siku diputar mengelilingi salah satu sisi paralelogram tersebut hingga Kembali ke tempat semula. Alas dan tutupnya adalah suatu lingkaran.[11]
Teorema 2.1 Jika daerah himpunan 𝐵 ⊂ 𝐷 berada di atas himpunan 𝐶 ⊂ 𝑆 maka 𝐴(𝐵) = ∫ √1 + |𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦)| 2 𝐶 𝑑𝐴 [12]
Teorema  2.2 Jika  permukaan  diparametrisasi  dalam 𝑥 dan 𝑦 sehingga 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ,  maka  luas permukaan suatu daerah 𝐷 adalah
𝐴(𝐷) = ∬ √1 + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ) 2 + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ) 2 𝑆 𝑑𝑥𝑑𝑦 (1)
Dengan 𝑆 adalah proyeksi daerah 𝐷 terhadap bidang 𝑥𝑦 . [1][13][14][15]

## Hasil dan Pembahasan
Berikut  adalah  beberapa  teorema  yang  berkaitan  dengan  luas  permukaan  selimut  tabung  dan  bola terpotong
Teorema 3.1. Misalkan sebuah bola dengan radius 𝑎 dan titik pusat di 𝑂 . Jika bola dipotong dengan dua bidang  parallel  yang  masing  masing  berjarak 𝑐 dan 𝑏 dari  bidang  xy,  maka  luas  permukaan  bola terpotong 𝐷 adalah
2𝜋𝑎(−√𝑎 2 − 𝑐 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 ) (2)
Bukti: Misalkan  bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎 2 , 𝑧 ≥ 0 dengan  merubah  bentuk  dalam  bentuk 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) maka, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 = √𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 .  Sementara 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = − 𝑥 √𝑎 2 −𝑥 2 −𝑦 2 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = − 𝑦 √𝑎 2 −𝑥 2 −𝑦 2 .  Sehingga dengan menggunakan (1)
𝐴(𝐷) =   ∬ √1 + 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑆 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐴(𝐷) = ∬ √ 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑆 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐴(𝐷) = ∬ √ 𝑎 2 𝑎 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆
𝐴(𝐷) = ∫ ∫ 𝑎 √𝑎 2 − 𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑐 𝑏 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐴(𝐷) = ∫ 𝑎 (−√𝑎 2 − 𝑟 2 ) 2𝜋 0 | 𝑐 𝑏 𝑑𝜃
𝐴(𝐷) = ∫ 𝑎 2𝜋 0 (−√𝑎 2 − 𝑐 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 ) 𝑑𝜃
𝐴(𝐷) = 𝑎𝜃 (−√𝑎 2 − 𝑐 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 ) | 2𝜋 0
𝐴(𝐷) = 2𝜋𝑎(−√𝑎 2 − 𝑐 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 ) .
Teorema 3.2. Jika suatu tabung dengan radius 𝑎 dan tinggi 𝑎 bersama sama dengan sebuah bola dengan radius 𝑎 dipotong oleh dua bidang 𝑧 = ℎ 1 dan 𝑧 = ℎ 2 paralel dengan bidang xy, maka luas permukaan bola terpotong 𝐷 sama dengan luas permukaan selimut tabung terpotong.
Bukti: Perhatikan penampang setengah bola secara horizontal,
Gambar 2. Penampang setengah bola secara horizontal
Karena 𝑎 2 = ℎ 1 2 + 𝑏 2 dan 𝑎 2 = ℎ 2 2 + 𝑐 2 maka
𝐴(𝐷) = 2𝜋𝑎(−ℎ 2 + ℎ 1 ) = 2𝜋𝑎ℎ (3)
Sementara  luas  permukaan  selimut  tabung  dengan  radius  alasnya 𝑎 dan  tinggi  tabungnya ℎ adalah 2𝜋𝑎ℎ . Sehingga luas permukaan bola terpotong dan luas selimut tabung memiliki besar yang sama.
Akibat 3.1 Jika setengah bola dengan radius 𝑎 dan tabung dengan radius alasnya 𝑎 dan tinggi 𝑎 dipotong oleh sebuah bidang 𝑧 = ℎ 1 yang parallel dengan bidang 𝑥𝑦 , maka luas permukaan bola terpotong pada 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ 1 sama dengan luas permukaan selimut tabung terpotong. Bukti: karena setengah bola dipotong oleh suatu bidang 𝑧 = ℎ 1 yang parallel dengan bidang 𝑥𝑦 maka 𝑐 = 𝑎 sehingga ℎ 2 = 0 dan ℎ 1 = ℎ , akibatnya
𝐴 = 2𝜋𝑎 (−√𝑎 2 − 𝑐 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 )
𝐴 = 2𝜋𝑎 (−√𝑎 2 − 𝑎 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 ) 𝐴 = 2𝜋𝑎ℎ 1
𝐴 = 2𝜋𝑎ℎ
Akibat 3.2 Jika setengah bola dengan radius 𝑎 dan tabung dengan radius alasnya 𝑎 dan tinggi 𝑎 dipotong oleh sebuah bidang 𝑧 = ℎ 2 yang parallel dengan bidang 𝑥𝑦 , maka luas permukaan bola terpotong ℎ 2 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎 sama dengan luas permukaan selimut tabung terpotong.
Bukti: karena setengah bola dipotong oleh suatu bidang 𝑧 = ℎ 2 yang parallel dengan bidang 𝑥𝑦 maka 𝑏 = 0 maka ℎ 1 = 𝑎 sehingga
𝐴 = 2𝜋𝑎 (−√𝑎 2 − 𝑐 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 ) 𝐴 = 2𝜋𝑎 (−ℎ 2 + √𝑎 2 )
𝐴 = 2𝜋𝑎(−ℎ 2 + 𝑎) 𝐴 = 2𝜋𝑎(−ℎ 2 + ℎ 1 ) 𝐴 = 2𝜋𝑎ℎ
Akibat 3.3 Jika setengah bola dengan radius 𝑎 dan tabung dengan radius alasnya 𝑎 dan tinggi 𝑎 , maka luas permukaan setengah bola yang sama dengan luas permukaan selimut tabung.
Bukti: Jika 𝑏 = 0 dan 𝑐 = 𝑎 maka ℎ 2 = 0, ℎ = ℎ 1 = 𝑎
𝐴 = 2𝜋𝑎 (−√𝑎 2 − 𝑐 2 + √𝑎 2 − 𝑏 2 )
𝐴 = 2𝜋𝑎 (−√𝑎 2 − 𝑎 2 + √𝑎 2 )
𝐴 = 2𝜋𝑎(0 + 𝑎)
𝐴 = 2𝜋𝑎ℎ .

## Kesimpulan
Bagaimanapun suatu luas permukaan bola dengan radius 𝑎 dan luas selimut tabung dengan radius alas 𝑎 dan tinggi 2𝑎 bersama - sama dipotong secara horizontal oleh sebuah atau dua buah bidang yang sejajar dengan bidang 𝑧 = 0 akan memperoleh nilai yang sama yaitu sebesar 2𝜋𝑎ℎ , dengan ℎ adalah tinggi bola dan tabung yang terpotong.

## Referensi
[1] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics . New York: John Wiley & Sons, 2011.
[2] T. L. Heath, The Works of Archimedes, Edited in Modern Notation with Introductory Chapters . Cambridge: Cambridge University Press, 1897.
[3] K.  Saito and  P.  D.  Napolitani , “Reading the Lost Folia of the Archimedean Palimpsest: The Last Proposition of the Method,” in From Alexandria, Through Baghdad , Berlin, Heidelberg: Springer, 2014, pp. 199 –225.
[4] E. Ladyawati, “Mengkonstruksi Luas Selimut Bola,” Didaktis: Jurnal Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan , vol. 16, no. 3, 2016.
[5] D. Triwahyuningtyas and I. K. Suastika, “Teaching ‘surface area of a sphere and volume of a ball’ using an inquiry approach,” J Phys Conf Ser , vol. 1402, no. 7, p. 077103, Dec. 2019, doi: 10.1088/1742-6596/1402/7/077103.
[6] D.  Pengelley,  “Sums  of  numerical  powers  in  discrete  mathematics:  Archimedes  sums  squares  in  the  sand.” Mathematical Association of America, 2008.
[7] P. Roy, “Approximate Measurements of The Surface Area of Sphere,” International Research Journal of Modernization in Engineering Technology and Science , vol. 3, no. 10, pp. 211 –221, Oct. 2021.
[8] T. M. Apostol, Calculus, Volume II . New York: John Wiley & Sons, 1969.
[9] P. J. Olver, “Vector Calculus in Three Dimensions.” University of Minnesota, 2013.
[10] A. Bowers, J. Bunn, and M. Kim, “Efficient Methods to Calculate Partial Sphere Surface Areas for a Higher Resolution Finite  Volume  Method  for  Diffusion- Reaction  Systems  in  Biological  Modeling,” Mathematical  and  Computational Applications , vol. 25, no. 1, p. 2, Dec. 2019, doi: 10.3390/mca25010002.
[11] R. Fitzpatrick, “Euclid’s Elements of Geometry, The Greek text of J.L. Heiberg,” https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf , May 22, 2022.
[12] W. Fleming, Functions of Several Variables , 2nd ed. Berlin: Springer, 1928.
[13] R. A. Adams, Calculus, A Complete Course . Ontario: Pearson Education Canada, 2010.
[14] J. Marsden and A. Weinstein, Calculus III . New York: Springer, 1985.
[15] G. J. Tee, Surface Area of Ellipsoid Segment . New Zealand: Department of Mathematics, The University of Auckland, 2005.