## Model Epidemik Tuberkulosis Seir dengan Terapi pada Individu Terinfeksi

## Alfensi Faruk
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Sriwijaya, Indonesia
Abstract: The  spread  of  tuberculosis  (TB)  among  individuals  in  the  population  can  be  described  by  the epidemic 𝑆𝐸𝐼𝑅 model, which is a mathematical model that divides the population into four subpopulations i.e. susceptible  ( 𝑆 ),  exposed  ( 𝐸 ),  infected  ( 𝐼 ),  and  recovered  ( 𝑅 ).  The  objective  of  this  research  is  to  build  an epidemic 𝑆𝐸𝐼𝑅 model for TB transmission by involving total therapy rate ( 𝑟 0 ) in infected subpopulation.  To illustrate  the  effects  of 𝑟 0 ,  a  numerical  simulation    with  different  values  of 𝑟 0 was  also  carried  out  using  R software. The results showed that the greater value of the total therapy rate, the decrease in the number of in- dividuals in infected subpopulation  became faster.
Keywords: the spread of tuberculosis, SEIR model, total therapy rate
Email: alfensifaruk@unsri.ac.id

## 1 PENDAHULUAN
enyebaran  penyakit  tuberkulosis  (TB)  dapat dideskripsikan  oleh  model  matematika,  yaitu dengan  membagi  populasi  ke  dalam  beberapa subpopulasi  (Brauer  dan  Castillo-Chavez,  2012). Salah  satu  contohnya  adalah  model 𝑆𝐸𝐼𝑅 ,  yang populasinya  dibagi  menjadi  empat  subpopulasi, yaitu  rentan  atau susceptible ( 𝑆 ),  terpapar  atau exposed ( 𝐸 ), terinfeksi atau infected ( 𝐼 ), dan sembuh atau recovered ( 𝑅 ). Setiap individu pada subpopulasi sembuh 𝑅 biasanya diasumsikan memiliki kekebalan yang  permanen  terhadap  penyakit  yang  pernah dialami  (Allen  dan  Burgin,  2000).  Akan  tetapi, asumsi  tersebut  dapat  disesuaikan  dengan  karak- teristik dari penyakit TB, dimana individu yang telah sembuh  masih  memiliki  kemungkinan  untuk  kem- bali terinfeksi (Nainggolan et al ., 2013).
Salah satu cara untuk mengurangi resiko tertular penyakit TB  adalah dengan pemberian vaksin  BCG ( Baccillus  Calmete  Guerin )  terhadap  bayi-bayi  yang baru lahir. Namun pada kenyataannya, kemampuan dari  vaksin  yang  diberikan  tidak    dapat  bertahan seumur  hidup.  Sebagai  contoh,  vaksin  BCG  hanya efektif pada masa anak-anak namun kekebalan akan berkurang  seiring  dengan  bertambahnya  usia, akibatnya  tetap  diperlukan  usaha  penyembuhan melalui  pengobatan  atau  terapi  bagi  pasien  TB (Crofton, 2009).
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memformulasikan model  penyebaran  penyakit  TB  dengan  penam- bahan  tingkat  terapi  pada  model 𝑆𝐸𝐼𝑅 .  Penggu- naan model 𝑆𝐸𝐼𝑅 karena dipandang sesuai dengan karakterisrik  dasar  dari  bakteri Mycobacterium
tuberculosis (Mtb) yang memiliki fase dorman ketika masuk  ke  dalam  tubuh  manusia  (Crofton,  2009). Dalam  model,  individu-individu  dengan  TB  pada fase  dorman  dikelompokkan  ke  dalam  subpopulasi terpapar  ( 𝐸 ).  Kemudian,  untuk  mengetahui  bagai- mana  pengaruh  tingkat  terapi  yang  diberikan terhadap pertumbuhan jumlah individu pada setiap subpopulasi  dilakukan  juga  simulasi  numerik dengan bantuan software R dan Maple.

## 2 KAJIAN LITERATUR

## Tuberkulosis (TB)
Tuberkulosis  adalah  penyakit  menular  kronik  pada paru  yang  disebabkan  oleh  bakteri Mycobacterium tuberculosis  (Mtb). Penyakit  ini  biasanya  ditularkan melalui inhalasi percikan ludah ( droplet ) dari orang ke  orang  yang  terinfeksi  oleh Mtb .  Bakteri  juga dapat masuk ke dalam tubuh melalui saluran cerna, ingesti susu tercermar yang tidak dipasteurisasi, atau kadang-kadang  melalui  lesi  kulit.  Gejala  seseorang merupakan suspect TB  antara  lain  batuk-batuk selama  3  minggu  atau  lebih,  batuk  dengan  disertai dahak  yang  disertai  darah,  sakit  di  dada  selama  3 minggu  atau  lebih,  serta  demam  selama  3  minggu atau lebih (Crofton,  2009).

## Model Matematika Tuberkulosis
Model-model matematika  epidemik penyakit tuber- kulosis  yang  telah  dikembangkan pada  umumnya berdasarkan  pada  model 𝑆𝐼𝑅 yang  telah  dimo- difikasi  dan  disesuaikan  dengan  dinamika  sifat  dan karakteristik  penyakit  TB  (A’maludin et  al .,  2016).
P
Bhunu et al. (2008) mengembangkan model 𝑆𝐼𝑅 TB dengan  menambah  satu  subpopulasi  terpapar  ( 𝐸 ) ke  dalam  sistem  sehingga  diperoleh  model 𝑆𝐸𝐼𝑅 . Rafei et  al. (2012)  mengunakan  model  Markov tersembunyi ( Hidden Markov Model ) untuk mempe- lajari  sifat-sifat  tak  beraturan  dan  perubahan  dari kejadian  penyakit  TB.  Model  TB  dalam  populasi yang  tertutup  dikembangkan  oleh  Takahashi et  al. (2010),  sedangkan  model  tuberkulosis  dalam populasi  yang  semi-tertutup  dikembangkan  oleh Herrera et al. (2013).

## Model Epidemik
𝑺𝑬𝑰𝑹
Untuk  setiap  waktu 𝑡 ,  terdapat  empat  kelompok individu  dalam  model 𝑆𝐸𝐼𝑅 ,  yaitu  individu  pada kelompok rentan 𝑆(𝑡) , terpapar 𝐸(𝑡) , terinfeksi 𝐼(𝑡) , dan sembuh 𝑅(𝑡) . Banyaknya seluruh individu pada waktu 𝑡 dilambangkan  dengan 𝑁(𝑡) ,  yang  nilainya adalah 𝑁 𝑡  = 𝑆 𝑡  + 𝐸 𝑡  + 𝐼 𝑡  + 𝑅(𝑡) .
Individu dalam populasi rentan ( 𝑆 ) memiliki ting- kat  kontak  terhadap  individu  terinfeksi  sebesar 𝜆 = 𝛽𝑐  𝐼 𝑁 , dengan 0 < 𝛽 ≤ 1 adalah peluang individu rentan tertular oleh individu terinfeksi, 𝑐 > 0 adalah tingkat kontak per kapita, 𝐼 adalah  jumlah individu yang  terinfeksi,  dan 𝑁 = 𝑁(𝑡) adalah  jumlah  indi- vidu pada populasi yang diasumsikan nilainya tetap.
Tingkat  rekrutmen  dalam  subpopulasi  rentan dilambangkan  dengan Λ .  Individu  rentan 𝑆 𝑡 da- pat  terpapar  oleh Mycobacterium tuberculosis (Mtb) dan berpindah ke subpopulasi 𝐸 𝑡 pada tingkat 𝑓𝜆 , dengan 0 < 𝑓 ≤ 1 adalah    peluang  individu  terin- feksi  menjadi  individu  terpapar.  Individu  rentan yang tertular  virus Mtb dapat terinfeksi tanpa men- jadi individu yang terpapar terlebih dahulu dengan tingkat sebesar (1 − 𝑓)𝜆 . Individu yang terpapar da- pat menjadi TB aktif  akibat  reaktifasi endogen pada tingkat 𝑘 > 0 dan  akibat    reaktifasi  eksogen  pada tingkat 𝛿 1 𝜆 ,  dengan 𝛿 1 ∈ (0,1) .  Individu  terinfeksi dapat sembuh secara alami pada tingkat 𝑝 > 0 dan berpindah ke subpopulasi 𝑅(𝑡) . Individu yang sem- buh dapat kembali kambuh dan berpindah ke sub- populasi  terpapar 𝐸 𝑡 pada  tingkat 𝛿 2 𝜆 ,  dengan 𝛿 2 ∈ (0,1) , serta dapat kambuh dan berpindah kem- bali  ke  subpopulasi 𝐼(𝑡) pada  tingkat 𝑞 ,  dengan 𝑞 > 0 adalah tingkat kekebalan parsial akibat infeksi sebelumnya. Individu terinfeksi 𝐼(𝑡) memiliki  resiko kematian  akibat  penyakit  TB  yaitu  pada  tingkat 𝑑 > 0 ,  sedangkan  tingkat  kematian  secara  alami pada setiap subpopulasi adalah 𝜇 > 0 .
Struktur dari model 𝑆𝐸𝐼𝑅 tanpa terapi ini ditulis- kan dalam sistem persamaan diferensial berikut
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Λ − 𝜆𝑆 − 𝜇𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑓𝑆 + 𝛿 2 𝑅  −  𝑘 + 𝜇 + 𝛿 1 𝜆 𝐸 +   𝛿 2 𝜆𝑅 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =  1 − 𝑓 𝜆𝑆 +  𝑘 + 𝛿 1 𝜆 𝐸 −  𝜇 + 𝑑 + 𝑝 𝐼 + 𝑞𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑝𝐼 −  𝜇 + 𝑞 𝑅 −    𝛿 2 𝜆𝑅. (1)
Sistem (1) memiliki  syarat  awal 𝑆 0  ≥ 0 , 𝐸 0  ≥ 0 , 𝐼 0  ≥ 0 , dan 𝑅 0  ≥ 0 .  Oleh karena itu, sistem (1) dianalisa  pada  suatu  ruang  Ω ⊂ ℝ + 4 ,  yang  dapat dituliskan sebagai
Ω =   𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅  ∈ ℝ + 4 : 𝑆 + 𝐸 + 𝐼 + 𝑅 = 𝑁 ≤ Λ 𝜇 , (2)
dimana ruang (2) ini positif invarian terhadap sistem (1).  Sistem  persamaan  diferensial  (1)  dapat  juga direpresentasikan oleh suatu bagan alir (gambar 1).
Gambar 1. Model SEIR Tanpa Terapi
Dalam  model  epidemik  TB,  terdapat  suatu  pa- rameter yang memiliki peran  yang sangat penting, yaitu  bilangan  reproduksi  dasar  ( basic  reproduction number ), ℛ 0 ,  yang  dapat  didefinisikan  sebagai jumlah rata-rata individu yang tertular TB oleh indi- vidu  yang  terlebih  dahulu  terinfeksi  dalam  suatu populasi  yang    semuanya  anggotanya  rentan.  Apa- bila ℛ 0 >  1 ,  maka  dapat  diinterpretasikan  bahwa penyakit  TB  telah  mewabah  (terjadi  endemik),  se- dangkan  jika  nilai ℛ 0 <  1 maka    diprediksikan bahwa  penyakit  TB  akan  hilang  dari  populasi (Brauer dan Castillo-Chavez, 2012).
Menggunakan matriks Jacobian, bilangan repro- duksi dasar ℛ 0 dari sistem (1) adalah
ℛ 0 = 𝜇 +𝑘 𝑝𝑞 +𝑘𝑓𝛽𝑐 (𝜇 +𝑞) 𝜇 +𝑘  𝜇 +𝑞 (𝜇 +𝑑+𝑝− 1−𝑓 𝛽𝑐 ) . (3)
Bilangan ℛ 0 ini  adalah  titik  batas  terjadi  atau tidaknya  endemik  pada  suatu  populasi,  jika 𝜇 +𝑘 𝑝𝑞 +𝑘𝑓𝛽𝑐 (𝜇 +𝑞) 𝜇 +𝑘  𝜇 +𝑞 (𝜇 +𝑑+𝑝− 1−𝑓 𝛽𝑐 ) > 1 maka pada waktu 𝑡 pe- nyakit  TB  telah  menjadi  endemik  di  dalam  suatu populasi.

## 3 METODE PENELITIAN
Prosedur  yang  dilakukan  dalam  penelitian  adalah sebagai berikut:
1. Formulasi model.
Langkah-langkah yang dilakukan adalah:
a. Menentukan  sistem  persamaan  diferensial linier  berdasarkan  laju  pertumbuhan  persa- tuan  waktu  setiap  subpopulasi 𝑆, 𝐸, 𝐼, dan 𝑅 dengan  melibatkan  parameter  tingkat  terapi total 𝑟 0 . b. Menentukan  bentuk  umum  bilangan  repro- duksi dasar ℛ 0 dan bilangan reproduksi dasar dengan terapi ℛ 𝑇 .
2. Simulasi Numerik.
Pada  tahap  ini,  dilakukan  simulasi  numerik  dengan tiga nilai tingkat terapi total 𝑟 0 yang berbeda dengan tujuan  untuk  mengetahui  bagaimana  pengaruh perubahan  tersebut  terhadap  model  yang  dikem- bangkan.

## 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

## Model TB dengan Terapi pada Individu Terinfeksi
Terdapat  empat  kategori  terapi  bagi  penderita  TB aktif.  Kategori  pertama  adalah  jika  hasil  tes  dahak BTA  (Basil  Tahan  Asam)  dari  seorang  penderita baru  positif  atau  jika  tes  BTA  negatif  namun  hasil ronsen  menunjukkan  lesi  luas.  Pada  kasus  kategori kedua,  dibagi menjadi 3 jenis yaitu terapi bagi pa- sien kambuh,  terapi bagi pasien gagal pengobatan, dan  terapi  bagi  pasien  TB  paru  yang  putus  obat ( defaulted atau drop out ). Kategori ketiga adalah ka- sus  baru TB paru dengan hasil uji dahak BTA nega- tif  dan  hasil  ronsen  memperlihatkan  lesi  yang  mi- nimal. Pada kategori keempat, terapi dibagi menjadi dua  jenis  yaitu  terapi  bagi  pasien  kronis  dan  terapi bagi  pasien  yang  resisten  obat  atau  MDR  ( Multi Drugs Resistance ) TB.
Misalkan  proporsi  individu    yang  baru  terinfeksi (kasus  baru)  diterapi  dengan  terapi  kategori  I  di- lambangkan  dengan 𝜃 1 dan  proporsi  individu  dite- rapi  dengan  terapi  kategori  III  adalah 𝜃 2 .  Apabila individu  pada  terapi  kategori  I  dan  III  tersebut  be- lum  sembuh,  maka  sesuai  dengan  historis  dan  pe- nyebab  belum  sembuh  tersebut  baik  individu    dari terapi kategori I dan terapi kategori III akan  diterapi pada  terapi  kategori  ke  II.  Karena  terdapat  3  jenis terapi  kategori  II,  maka  terapi  akibat  kambuh  di- lambangkan dengan IIa, terapi  akibat gagal pengo- batan  dilambangkan  dengan  IIIb,  dan  terapi  akibat putus obat dilambangkan dengan IIIc.
Proporsi individu kategori I dan III yang menda- pat  terapi  kategori  IIa  berturut-turut  dilambangkan dengan 𝜙 1 dan 𝜙 2 .    Simbol 𝜑 1 dan 𝜑 2 berturut- turut  adalah  lambang  untuk  proporsi  individu kategori  I  dan  III  berpindah  untuk  mendapatkan
terapi kategori IIb. Proporsi individu  kategori I dan III  mendapat  terapi  kategori  IIIc  berturut-turut  di- lambangkan  dengan 𝜔 1 dan 𝜔 2 .  Apabila  setelah diterapi dengan terapi II ada individu-individu yang belum  sembuh,  maka  masih  terdapat  dua  jenis  te- rapi lagi yang dapat diberikan yaitu terapi bagi indi- vidu  kronis  yang  dilambangkan  sebagai  terapi  IVa. Proporsi  individu  kategori  IIa,  IIb,  dan  IIIc mendapatkan  terapi  kategori  IVa  secara  berturut- turut dilambangkan dengan 𝜓 𝑎 , 𝜓 𝑏 , dan 𝜓 𝑐 .
Uji  resistensi  penyakit  dapat  dilakukan  di  awal- awal ditemukan kasus baru TB, sehingga pada saat mendapatkan terapi kategori I atau III pasien sudah mengetahui  apakah  tubuhnya  resisten  terhadap obat  anti  tuberkulosis  atau  tidak,  seandainya  positif maka  pasien  yang  bersangkutan  harus  mendapat terapi  MDR  TB  atau  terapi  kategori  IVb.  Proporsi individu    kategori  terapi  I,  III,    IIa,  IIb,  dan  IIc mendapat terapi dengan kategori IVb secara bertu- rut-turut  dilambangkan  dengan 𝛼 1 dan 𝛼 2 , 𝛼 3 , 𝛼 4 , dan 𝛼 5 . Berbagai jenis terapi yang diberikan kepada pasien TB dapat dideskripsikan dalam gambar 2.
Berdasarkan sistem (1) dan prosedur terapi yang telah dibahas, maka model matematika penyebaran penyakit  TB  dengan  empat  jenis  terapi  dapat dituliskan sebagai berikut
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Λ − 𝜆𝑆 − 𝜇𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑓𝑆 + 𝛿 2 𝑅  −  𝑘 + 𝜇 + 𝛿 1 𝜆 𝐸 +   𝛿 2 𝜆𝑅 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =  1 − 𝑓 𝜆𝑆 +  𝑘 + 𝛿 1 𝜆 𝐸 −  𝜇 + 𝑑 + 𝑝 + 𝑟 0 𝐼 + 𝑞𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑝𝐼 −  𝜇 + 𝑞 𝑅 −    𝛿 2 𝜆𝑅 , (4)
dengan
𝑟 0 = 𝜃 1 + 𝜃 2 +  𝜙 1 +  𝜑 2 + 𝜔 1 + 𝜔 2 + 𝜓 𝑎 +   𝜓 𝑏 + 𝜓 𝑐 + 𝛼 1 +   𝛼 2 + 𝛼 3 +   𝛼 4 +𝛼 5 , dan nilai 𝑟 0 terletak  pada  interval [0,1] .  Bilangan 𝑟 0 adalah tingkat  tingkat  terapi  total  yang  diberikan  kepada individu  pada  subpopulasi  terinfeksi.  Nilai  awal  sis- tem  (4)  adalah 𝑆 0  ≥ 0 , 𝐸 0  ≥ 0 , 𝐼 0  ≥ 0 ,  dan 𝑅 0  ≥ 0 . Bagan alir dari model SEIR dengan terapi (4) ini diperlihatkan dalam gambar 3.
Gambar 2. Kategori terapi TB
Gambar 3. Model SEIR dengan Terapi

## Bilangan reproduksi dasar
Keseimbangan  bebas  penyakit  merupakan  suatu keadaan ketika jumlah individu terinfeksi tidak ada, yaitu pada saat 𝐼 = 𝐼 𝑜 = 0 .  Nilai titik keseimbangan bebas penyakit dari sistem (4) adalah
𝐸𝑞 𝑜 =  𝑆 𝑜 , 𝐸 𝑜 , 𝐼 𝑜 , 𝑅 𝑜 = Λ 𝜇 , 0,0,0 . (5)
Apabila  bilangan  reproduksi  dasar  yang didapatkan  dari  (5)  dilambangkan  oleh ℛ 𝑇 ,  maka dapat  ditentukan  bentuk  umum  dari ℛ 𝑇 dengan cara  menganalisa  kestabilan  lokal ℛ 𝑇 seperti  yang ditunjukkan oleh teorema 1 berikut.
Teorema  1. Jika ℛ 𝑇 < 1 ,  maka  keseimbangan bebas  penyakit  stabil  lokal  asimtot  dan  tidak  stabil lokal asimtot  untuk ℛ 𝑇 > 1 .
Bukti:
Berdasarkan  sistem  (1)  dan  prosedur  terapi  yang telah dibahas, maka model matematika penyebaran penyakit  TB  dengan  empat  jenis  terapi  dapat dituliskan sebagai berikut
Matriks Jacobian di sekitar titik
𝐸𝑞 𝑜 =  𝑆 𝑜 , 𝐸 𝑜 , 𝐼 𝑜 , 𝑅 𝑜 = Λ 𝜇 , 0,0,0 adalah
J 𝐸𝑞  =
−𝛽𝑐 𝐼 𝑁 − 𝜇 0 −𝛽𝑐 𝑆 𝑁 0 𝑓𝛽𝑐 𝐼 𝑁 −𝛿 1 𝛽𝑐 𝐼 𝑁 − (𝜇 + 𝑘)      𝑓𝛽𝑐 𝑆 𝑁 −  𝛿 1 𝛽𝑐 𝐸 𝑁 +  𝛿 2 𝛽𝑐 𝑅 𝑁 𝛿 2 𝛽𝑐 𝐼 𝑁 (1 − 𝑓)𝛽𝑐 𝐼 𝑁 𝛿 1 𝛽𝑐 𝐼 𝑁 + 𝑘        1 − 𝑓 𝛽𝑐 𝑆 𝑁 +  𝛿 1 𝛽𝑐 𝐸 𝑁 −  𝜇 + 𝑑 + 𝑝 + 𝑟 0 𝑞 0                                     0                                𝑝 + 𝑟 0 −𝛿 2 𝛽𝑐 𝑅 𝑁 −𝛿 2 𝛽𝑐 𝐼 𝑁 −(𝜇 + 𝑞) ,
Dievaluasikan matriks J di titik 𝐸𝑞 𝑜 , diperoleh
J 𝐸𝑞 0 = −𝜇 0                               −𝛽𝑐 0
0 −(  𝜇 + 𝑘)                                   𝑓𝛽𝑐 0 0 𝑘 1 − 𝑓 𝛽𝑐 −  𝜇 + 𝑑 + 𝑝 + 𝑟 0 𝑞 0                   0                            𝑝 + 𝑟 0 −(𝜇 + 𝑞)

## sehingga didapatkan
𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒 J 𝐸𝑞 0 = −(4𝜇 +  𝑘  + 𝑑 +  𝑝 + 𝑟 0 + 𝑞 − 1 − 𝑓 𝛽𝑐) , yang bernilai negatif untuk 1 − 𝑓 𝛽𝑐 < 𝜇 + 𝑑 + 𝑝 + 𝑟 0 . Det J 𝐸𝑞 0 bernilai lebih dari nol pada saat 𝑞 𝑝+𝑟0  𝜇 +𝑘 −𝑓𝛽𝑐𝑘  𝜇 +𝑞 𝜇 +𝑞  𝜇 +𝑘  𝜇 +𝑑+𝑝+𝑟0− 1−𝑓 𝛽𝑐 < 1.
Jadi,  diperoleh  bilangan  reproduksi  dasar dengan terapi yang berbentuk
ℛ 𝑇 = 𝑞 𝑝+𝑟0  𝜇 +𝑘 −𝑓𝛽𝑐𝑘  𝜇 +𝑞 𝜇 +𝑞  𝜇 +𝑘  𝜇 +𝑑 +𝑝+𝑟0− 1−𝑓 𝛽𝑐 , (6)
sehingga Det  J 𝐸𝑞 0 > 0 untuk ℛ 𝑇 < 1 . Semua nilai eigen dari Det  𝐽 𝐸𝑞 0 − 𝜆  = 0 memiliki bagian ber- nilai  negatif pada saat ℛ 𝑇 < 1 .  Berdasarkan hal ini, terbukti  bahwa  titik  keseimbangan  bebas  penyakit 𝐸𝑞 0 stabil  lokal  asimtot  untuk ℛ 𝑇 < 1 .  Bilangan  re- produksi dasar  (6) dapat dituliskan kembali menjadi
ℛ 𝑇= 𝑞 𝑝+𝑟0
𝜇 +𝑞  𝜇 +𝑑+𝑝+𝑟0− 1−𝑓 𝛽𝑐 + 𝑓𝛽𝑐𝑘 𝜇 +𝑘  𝜇 +𝑑+𝑝+𝑟0− 1−𝑓 𝛽𝑐 (7)

## Pengaruh Terapi Terhadap
𝓡 𝑻
Secara  umum,  terdapat  dua  kasus  kemungkinan pemberian  terapi  pada  individu  di  subpopulasi  te- rinfeksi 𝐼 , yaitu:
Kasus  1. Semua  individu  teinfeksi  adalah  kasus baru TB.
Apabila semua individu terinfeksi adalah kasus baru TB, maka  terdapat tiga jenis terapi yang dapat ter- jadi, yaitu kategori I, III, dan IVb . Jadi,   tingkat te- rapi  total  adalah 𝑟 0 = 𝑟 1 =   𝜃 1 +   𝜃 2 + 𝛼 1 + 𝛼 2 ,  aki- batnya nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅 𝑇 menjadi lim (𝜙1,𝜙2,𝜑1,𝜑2,𝜔1,𝜔2, 𝜓𝑎 ,𝜓𝑏 ,𝜓𝑐 ,𝛼3,𝛼4,𝛼5)→0 ℛ 𝑇 = ℛ 𝑇1 =
𝑞 𝑝+𝑟1 𝜇 +𝑞  𝜇 +𝑑 +𝑝+𝑟1− 1−𝑓 𝛽𝑐 +
𝑓𝛽𝑐𝑘 𝜇 +𝑘  𝜇 +𝑑+𝑝+𝑟1− 1−𝑓 𝛽𝑐 ,
(8)
dengan ℛ 𝑇1 adalah  bilangan  reproduksi  dasar  dari sistem (4)  yang dihasilkan akibat adanya terapi I, III, dan IVb .
Kasus  2. Tidak  semua  individu  terinfeksi  adalah kasus baru TB.
Pada kasus ini, terdapat sebagian individu di dalam subpopulasi terinfeksi yang bukan merupakan kasus baru  TB.  Hal  ini  berarti  bahwa  individu-individu
tersebut  sudah  lama  menderita  TB,  setidaknya  se- lama 30 hari. Individu terinfeksi dimungkinkan telah mendapatkan semua  atau  sebagian jenis terapi, se- hingga tingkat terapi total 𝑟 0 = 𝑟 1 +   𝑟 2 = 𝜃 1 +   𝜃 2 + 𝜙 1 + 𝜙 2 +   𝜑 1 + 𝜑 2 𝜔 1 +    𝜔 2 +  𝜓 𝑎 +    𝜓 𝑏 + 𝜓 𝑐 + 𝛼 1 + 𝛼 2 + 𝛼 3 𝛼 4 + 𝛼 5 ,  dan  nilai  bilangan  reproduksi dasar 𝑅 𝑇 menjadi
ℛ 𝑇 =  ℛ 𝑇2 = 𝑞 𝑝+𝑟1+𝑟2 𝜇 +𝑞  𝜇 +𝑑+𝑝+𝑟1+𝑟2− 1−𝑓 𝛽𝑐
+ 𝑓𝛽𝑐𝑘 𝜇 +𝑘  𝜇 +𝑑+𝑝+𝑟1− 1−𝑓 𝛽𝑐 , (9)
dengan ℛ 𝑇2 adalah  bilangan  reproduksi  dasar  dari sistem  (4)  yang  dihasilkan  akibat  pengaruh  dari tingkat terapi I, IIa, IIb, IIc, III, IVa, dan  IVb .

## Simulasi Numerik
Simulasi numerik dilakukan untuk melihat pengaruh tingkat  terapi  total  pada  jumlah  individu  di  setiap subpopulasi  menggunakan  nilai-nilai  parameter dalam  tabel  1,  yang  nilainya  berdasarkan  paper yang  ditulis  oleh  Bhunu et.  al. (2008).  Model  yang disimulasikan  adalah  sistem  (4)  dengan  nilai  awal 𝑆 0  = 0.06 , 𝐸 0  = 0 , 𝐼 0  = 0.001 , dan 𝑅 0  = 0 . Skema  numerik  yang  digunakan  adalah  metode Runge-Kutta  orde  4  dengan  bantuan  perangkat lunak R.
Tabel 1. Nilai-Nilai Parameter yang Digunakan dalam Simulasi Parameter Simbol  Nilai (/thn) Tingkat rekrutment Λ 0.03 Tingkat kematian alami 𝜇 0.01 Tingkat kontak 𝑐 80 Tingkat kematian akibat tuberkulosis 𝑑 0.3 Peluang tertular tuberkulosis 𝛽 0.35 Tingkat terjangkitnya individu terpapar akibat reaktifasi endogen 𝑘 0.00013 Parameter modifikasi 𝛿 1 0.7 Parameter modifikasi 𝛿 2 0.9 Tingkat kambuh kembali terinfeksi 𝑞 0.00001 Peluang seseorang yang terinfeksi kembali ke status terpapar 𝑓 0.99 Tingkat kesembuhan alami 𝑝 0.2
Terdapat  3  nilai  tingkat  terapi  total  yang disimulasikan pada sistem (4), yaitu 𝑟 0 = 0 , 𝑟 0 = 0.4 , dan 𝑟 0 = 0.8 . Nilai tingkat terapi total sama dengan nol  berarti  dalam  model  diasumsikan  tidak  ada tingkat  terapi  sehingga  sistem  (4)  sama  dengan sistem  (1).  Pada  saat  tingkat  terapi  total 𝑟 0 = 0.4 , diasumsikan  bahwa  terapi  yang  diberikan  adalah kasus 1, sehingga 𝑟 0 = 𝑟 1 . Sedangkan, ketika 𝑟 0 = 0.8
diasumsikan  bahwa  terapi  yang  diberikan  adalah seperti pada kasus 2, oleh karena itu 𝑟 0 = 𝑟 1 +   𝑟 2 .
Menggunakan  persamaan  (3)  dan  nilai 𝑟 0 = 0 didapatkan  bilangan  reproduksi  dasar ℛ 0 = 0.355935 .  Selanjutnya,  menggunakan  persamaan (8)  dan  persamaan  (9)  dengan  nilai  tingkat  terapi totalnya  masing-masing  adalah 𝑟 0 = 0.4 dan 𝑟 0 = 0.8 , diperoleh secara berturut-turut bilangan repro- duksi  dasar ℛ 𝑇1 = 0.356334 dan ℛ 𝑇2 = 0.356734 . Terlihat  bahwa  ketiga  bilangan  reproduksi  dasar yang diperoleh nilainya di bawah satu, yang berarti bahwa  dengan  ketiga  nilai  tingkat  terapi  total  yang diberikan  penyakit  tuberkulosis  tidak  akan  menjadi endemik  di dalam populasi tersebut, bahkan ketika nilai 𝑟 0 mencapai  maksi-mum  yaitu  ketika 𝑟 0 = 1 nilai bilangan reproduksi dasarnya adalah 0.356934 yang  artinya  tidak  terjadi  endemik  TB  dalam populasi.  Diperoleh  juga  bahwa  dengan  semakin tinggi  tingkat  terapi,  maka  bilangan  reproduksi dasar  juga  akan  semakin  tinggi  yang  ditunjukkan oleh nilai-nilai ℛ 0 <  ℛ 𝑇1 < 𝑅 𝑇2 .
Pengaruh  beberapa  tingkat  terapi  total  yang diberikan  kepada  subpopulasi  terinfeksi  terhadap jumlah individu rentan tidak terlihat adanya perbe- daan, bahkan kurva yang terbentuk saling berhimpit dan  sama-sama  naik  secara  linier  (gambar  4).  Hal ini terjadi karena di dalam model diasumsikan tidak ada tingkat perpindahan  individu dari subpopulasi terpapar,  terinfeksi,  dan  sembuh  ke  subpopulasi rentan.
Perbedaan  yang  cukup  signifikan  terhadap  per- ubahan jumlah individu subpopulasi setelah adanya pemberian  terapi  adalah  pada  ketiga  subpopulasi selain  rentan.  Jumlah  individu  terpapar  dan  sem- buh akan semakin cepat meningkat dengan semakin besarnya tingkat terapi total (Gambar 5 dan gambar 6).  Dalam  gambar  7,  diperlihatkan  bahwa  tingkat terapi total yang semakin  besar dapat menurunkan jumlah individu yang terinfeksi dengan lebih cepat.
Gambar 4. Subpopulasi Rentan
: 𝑟 0 = 0
: 𝑟 0 = 0.4
: 𝑟 0 = 0.8
Gambar 5. Subpopulasi Terpapar
Gambar 6. Subpopulasi Sembuh
Gambar 7. Subpopulasi Terinfeksi

## 5 KESIMPULAN
Penambahan  parameter  tingkat  terapi  pada  model 𝑆𝐸𝐼𝑅 awal  menghasilkan  dua  model 𝑆𝐸𝐼𝑅 dengan formula  umum  yang  berbeda,  lebih  khusus  lagi dibedakan  oleh  dua  bentuk  bilangan  reproduksi dasar 𝑅 𝑇 .  Bilangan  reproduksi  dasar  yang  pertama adalah 𝑅 𝑇1 sebagai kasus ketika semua individu tein- feksi  adalah  kasus  baru  TB,  sedangkan  yang  kedua adalah 𝑅 𝑇2 sebagai kasus ketika hanya sebagian dari
individu  terinfeksi  yang  merupakan  kasus  baru  TB. Kedua  kasus  tersebut  memiliki  tingkat  terapi  total yang  berbeda,  yaitu 𝑟 0 = 𝑟 1 dan 𝑟 0 = 𝑟 1 +   𝑟 2 , dengan 𝑟 0 ∈  0,1 dan 𝑟 1 <   𝑟 2 .
Berdasarkan simulasi numerik yang telah dilaku- kan  dengan  tiga  nilai  tingkat  terapi  total 𝑟 0 yang berbeda  dapat  disimpulkan  bahwa  semakin  besar tingkat  terapi  total 𝑟 0 yang  diberikan  pada  sub- populasi  terinfeksi,  maka  penurunan  jumlah  indi- vidu  pada  subpopulasi  terinfeksi  tersebut  akan semakin cepat. Selain itu, peningkatan tingkat terapi total  juga  mengakibatkan  peningkatan  dari  nilai bilangan  reproduksi  dasar ℛ 𝑇 walaupun  pening- katan  yang  terjadi  tidak  terlalu  besar  dan  tetap mempertahankan tidak terjadinya endemik tuberku- losis di dalam populasi.

## REFERENSI _____________________________
Allen, L., J.. S., and Burgin, A., M. 2000, Comparison of Deterministic and Stochastic SIS and SIR Models in Discrete Time, Mathematical Biosciences , 163 (1): 1-33 A’maludin, H., Faruk, A., Cahyono, E. S. 2016, Analisis Kestabilan Model Epidemik SIR untuk Penyakit Tuberkulosis. Prosiding SEMIRATA Bidang MIPA 2016, 207-213
Bhunu, C., P., Gariraa,  W., Mukandavirea, Z., and Zimbab, M. 2008, Tuberculosis Transmission Model with Chemoprophylaxis and Treatment. Bulletin of Mathematical Biology , 70(4): 1163–1191
Brauer, F., and Castillo-Chavez, C. 2012, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology 2 nd Edi- tion , New York: Springer Crofton, S., J. 2009, Crofton's Clinical Tuberculosis 3 rd Edition , Oxfords: Macmillan Publishers Limited
Herrera, M., Bosch, P., Nájera, M., Aguilera, X., 2013. Modeling the Spread of Tuberculosis in Semiclosed Communities. Computational and Mathematical Methods in Medicine , 2013: -- Nainggolan, J., Supian, S.,  Supriatna, A. K.,  and Anggriani, N. 2013, Mathematical Model Of Tubercu- losis Transmission With Reccurent Infection And Vac- cination, Journal of Physics: Conference Series , 423(2013): 1-8
Rafei, A.,  Pasha, E.,  Orak, R. J., 2012. Tuberculosis Surveillance Using a Hidden Markov Model. Iranian Journal Public Health , 41 (10): 87-96 Takahashi, A., Spreadbury, J., Scotti, J., 2010. Modeling the Spread of Tuberculosis in a Closed Population . Laporan Hasil Penelitian Sudoyo, A., W. 2006, Buku Ajar Ilmu Penyakit Dalam Jilid II . Jakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia ______________________________________
: 𝑟 0 = 0 : 𝑟 0 = 0.4 : 𝑟 0 = 0.8 : 𝑟 0 = 0 : 𝑟 0 = 0.4 : 𝑟 0 = 0.8 : 𝑟 0 = 0 : 𝑟 0 = 0.4 : 𝑟 0 = 0.8