Jurnal Matematika Murni dan Terapan “ psilon” Vol. 07, No.02, Hal 26-33

## TEKNIK PERAMALAN MENGGUNAKAN METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS

## Siti Nur Hamidah, Nur Salam,  Dewi Sri Susanti
Program Studi Matematika  Fakultas MIPA ULM Jl. A. Yani Km 36 Kampus Unlam Banjarbaru, Kalsel

## Abstrak
Peramalan deret waktu merupakan suatu metode yang dipakai untuk dapat mengetahui kejadian ataupun peristiwa yang mungkin akan terjadi dimasa yang akan datang berdasarkan sumber informasi yang diperoleh dimasa lampau. Salah satu metode yang digunakan dalam peramalan data deret waktu adalah metode pemulusan eksponensial Holt-Winters. Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters ini dapat digunakan pada data deret waktu yang memuat unsur trend serta musiman sekaligus. Metode ini didasarkan pada tiga persamaan pemulusan, yaitu untuk pemulusan keseluruhan, komponen trend dan komponen musiman. Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters terdiri atas model musiman multiplikatif dan model musiman aditif. Penelitian ini dilakukan dengan metode studi literatur yaitu dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi-referensi pendukung yang berkaitan dengan teknik peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters kemudian menerapkannya ke dalam suatu data. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif dapat digunakan bilamana suatu data menunjukkan adanya kenaikan jangka panjang serta fluktuasi musiman yang semakin membesar seiring bertambahnya periode waktu pengamatan. Pola data seperti ini menunjukkan ketidakstasionerannya baik dalam rata-rata maupun ragamnya. Sedangkan untuk model musiman aditif dapat digunakan bilamana suatu data menunjukkan adanya kenaikan jangka panjang serta fluktuasi musiman yang relatif konstan seiring bertambahnya periode waktu pengamatan. Pola data seperti ini menunjukkan ketidakstasionerannya dalam rata-rata. Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif diterapkan pada data total pengeluaran produksi listrik di Jerman (sumber data: A First Course on Time Series Analysis ) diperoleh nilai konstanta pemulusan terbaik yaitu α = 0,712, b = 0 dan γ = 0. Sedangkan penerapan model musiman aditif pada data total produk makanan (sumber data: Economic Time Series Page ) diperoleh nilai konstanta pemulusan α = 0,8, b = 0,291 dan γ = 0 sebagai nilai konstanta pemulusan terbaik.
Kata Kunci:  Peramalan, Deret Waktu, Pemulusan Eksponensial Holt-Winters,
Musiman Multiplikatif, Musiman Aditif, Stasioner.

## Abstract
Time series forecasting is a method used to determine what might happen in the future based on information obtained in the past. One method used in time series forecasting is a Holt-Winters exponential smoothing method. This method can be used for time series data with trend and seasonality components. This method is based on three smoothing equations: overall smoothing, trend, and seasonal components. Holt-Winters exponential smoothing method consists of multiplicative and additive seasonality models. The method of this research is literature study by collecting and studying references that are relevant to the idea of this research, and then applying the Holt-Winters exponential smoothing method into data. The results of this research show that the multiplicative seasonality model of Holt-Winters exponential smoothing method can be used if data represent an increase in long-term and seasonal fluctuations which is the increasingly bigger with the increasing of observation time periods. These patterns identify the non-stationary of mean and variance. While, the additive seasonality model can be used if data show an increase in long- term and seasonal fluctuations that are relatively constant with the increasing of observation time
Siti Nur Hamidah, Nur Salam,  Dewi Sri Susanti - Teknik Peramalan Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters
periods. These patterns indicate the  non-stationary of mean. Holt-Winters exponential smoothing method multiplicative seasonality model is applied to data about the total expenditure of electricity production in Germany (data source: A First Course on Time Series Analysis ). The results show that the best smoothing constants of α , b and γ are  0,712; 0 and 0, respectively. While, the additive seasonality model is applied to overall food products data (data source: Economic Time Series Page ). The results show that the smoothing constants values of α , b and γ are 0,8; 0,291; 0,  respectively as the best smoothing constants.
Keywords: Forecasting, Time Series, Exponential Smoothing Holt-Winters, Multiplicative Seasonality, Additive Seasonality, Stationary .

## 1. PENDAHULUAN
Peramalan merupakan suatu metode yang dipakai untuk mengetahui kejadian ataupun peristiwa yang mungkin akan terjadi di masa yang akan datang berdasarkan sumber informasi yang diperoleh di masa lampau. Peramalan berdasarkan sifatnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu peramalan kualitatif dan peramalan kuantitatif. Metode peramalan kuantitatif dapat dibagi menjadi dua bagian yaitu metode peramalan deret waktu dan metode kausal, sedangkan peramalan kualitatif dibagi menjadi metode eksploratoris dan  normatif. Salah satu model peramalan kuantitatif deret waktu adalah metode pemulusan yaitu dengan pembobotan sederhana terhadap data masa lalu dalam suatu deret waktu untuk memperoleh ramalan masa mendatang. Metode pemulusan ini sendiri terbagi menjadi metode perataan ( Average ) dan metode pemulusan eksponensial ( Exponential Smoothing ). Metode pemulusan eksponensial merupakan metode yang menunjukkan pembobotan menurun secara eksponensial terhadap nilai pengamatan yang lebih lama [4]. Jika suatu data memuat trend sekaligus musiman, maka metode yang dapat digunakan untuk peramalannya adalah dengan pemulusan eksponensial Holt-Winters [3].
Tujuan Penelitian ini adalah menjelaskan sifat-sifat dari pola data agar dapat diterapkan pada metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif dan aditif serta mengaplikasikan sistem kerja dari metode tersebut pada suatu data yang berbeda untuk setiap model tersebut.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur yaitu dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi-referensi pendukung yang berkaitan dengan teknik peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensial Holt- Winters kemudian menerapkannya ke dalam suatu data.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Holt-Winters didasarkan atas tiga persamaan pemulusan, yaitu persamaan pemulusan keseluruhan, persamaan pemulusan komponen trend dan persamaan pemulusan komponen musiman. Terdapat dua model berbeda dalam metode Holt-Winters, hal ini didasarkan atas bagaimana model musimannya, yaitu model multiplikatif dan aditif.

## 3.1 Metode  Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Model Musiman Multiplikatif
Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif digunakan untuk data yang memuat unsur trend serta musiman, dimana unsur musimannya bersifat multiplikatif. Dengan kata lain, model ini digunakan apabila suatu data menunjukkan adanya perkembangan kenaikan serta fluktuasi musiman yang semakin membesar seiring bertambahnya periode waktu pengamatan  (seperti terlihat pada gambar 1.c). Pola data tersebut menunjukkan ketidakstasionerannya baik dalam mean /rata-rata maupun dalam varians /ragam. Gambar 1 berikut merupakan beberapa contoh pola data yang memuat unsur musiman.
Gambar 1. Pola data yang mengandung unsur musiman
Persamaan pertama yaitu persamaan pemulusan untuk keseluruhan/level. Persamaan ini dapat dituliskan sebagai berikut:
) )( 1 ( 1 1 − − − + − + = t t s t t t b L S Y L α α (3.1)
Kedua adalah persamaan untuk pemulusan trend.
1 1 ) 1 ( ) ( − − − + − = t t t t b L L b b b (3.2)
Persamaan ketiga adalah persamaan untuk pemulusan komponen musiman yang dituliskan:
s t t t t S L Y S − − + = ) 1 ( γ γ (3.3)
Bagian terakhir adalah menentukan fungsi peramalan untuk m periode ke depan, dimana:
m s t t t m t S m b L F + − + + = ) ( (3.4)
Untuk menginisialisasi komponen pada metode peramalan Holt-Winters model musiman multiplikatif diperlukan paling sedikit satu data musiman lengkap (yakni s periode). Sehingga kita dapat menginisialisasi level pada periode s menggunakan persamaan:
( ) s s Y Y Y s L + + + =  2 1 1 (3.5)
Untuk nilai inisialisasi trend
Siti Nur Hamidah, Nur Salam,  Dewi Sri Susanti - Teknik Peramalan Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters
    − + + − + − = + + +
s Y Y s Y Y s Y Y s b s s s s s s ... 1 2 2 1 1 (3.6)
Terakhir inisial untuk indeks musiman, yaitu:
s s s s s L Y S L Y S L Y S = = =  , , 2 2 1 1 (3.7)

## 3.2 Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Model Musiman Aditif
Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman aditif digunakan  untuk  data  yang  memuat  unsur  trend  serta  musiman,  dimana  unsur musimannya bersifat aditif. Dengan kata lain, model ini digunakan apabila suatu data menunjukkan adanya perkembangan kenaikan serta fluktuasi musiman yang relatif konstan seiring bertambahnya periode waktu pengamatan (seperti terlihat pada gambar 1.b). Pola data tersebut menunjukkan ketidakstasionerannya dalam mean /rata-rata, tetapi cenderung stasioner dalam varians /ragamnya.
Pertama persamaan untuk pemulusan keseluruhan. Persamaan ini dapat dituliskan sebagai berikut:
) )( 1 ( ) ( 1 1 − − − + − + − = t t s t t t b L S Y L α α
(3.8)
Yang kedua adalah menentukan persamaan untuk pemulusan trend. Persamaan (3.9) untuk trend model musiman aditif ini sama dengan persamaan (3.2) untuk trend model musiman multiplikatif. Hal ini dikarenakan untuk metode pemulusan eksponensial Holt-Winters baik model musiman multiplikatif maupun aditif, diasumsikan bahwa trend tersebut hanya bersifat linier/aditif saja yaitu dengan persamaan:
1 1 ) 1 ( ) ( − − − + − = t t t t b L L b b b (3.9)
Kemudian selanjutnya adalah persamaan pemulusan untuk komponen musiman atau yang disebut juga sebagai indeks musiman.
s t t t t S L Y S − − + − = ) 1 ( ) ( γ γ (3.10)
Bagian terakhir adalah persamaan (3.11) yang digunakan sebagai ramalan untuk m periode ke depan.
m s t t t m t S m b L F + − + + + = (3.11)
Metode  pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman aditif ini juga memerlukan nilai inisial dari setiap komponennya. Persamaan inisial untuk level dan trend model musiman aditif sama dengan persamaan inisial level dan trend pada model musiman multiplikatif.  Terdapat perbedaan persamaan untuk inisial indeks musiman, yaitu:
s s s s s L Y S L Y S L Y S − = − = − =  , , 2 2 1 1
(2.12)

## 3.3. Identifikasi Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Model
Musiman Multiplikatif dan Musiman Aditif
Untuk mendeteksi adanya model pemulusan eksponensial Holt-Winters musiman multiplikatif pada data, dapat dilihat melalui:
1. Plot data yang menunjukkan adanya kenaikan/trend dalam data yakni sebaran data yang tidak berada disekitar nilai rata-ratanya, serta terdapat faktor musiman yaitu berupa fluktuasi berulang yang sama untuk selang waktu periode tertentu. Fluktuasi berulang ini akan semakin membesar seiring dengan bertambahnya waktu pengamatan (contoh pola data seperti pada gambar 1.c). Hal seperti ini menunjukkan bahwa data tersebut merupakan salah satu jenis data yang tidak stasioner baik dalam rata-rata maupun ragam.
2. Plot autokorelasi yang memperlihatkan pola yang turun secara perlahan, dengan nilai autokorelasi yang tidak hanya signifikan pada lag pertama dan kedua, tetapi juga pada beberapa selisih waktu berikutnya serta akan membentuk pola plot autokorelasi yang cenderung menurun bergelombang.
Untuk mendeteksi adanya model pemulusan eksponensial Holt-Winters musiman aditif pada data, dapat dilihat melalui:
1. Plot data yang menunjukkan adanya kenaikan/trend dalam data yang nampak dari sebaran data trend yang tidak datar (tidak sejajar sumbu waktu), serta terdapat faktor musiman yaitu berupa fluktuasi yang berulang yang sama secara periodik pada selang waktu tertentu. Fluktuasi berulang ini akan cenderung konstan/stabil seiring dengan bertambahnya waktu pengamatan (contoh  pola data seperti pada gambar 1.b). Plot data yang seperti ini menunjukkan bahwa data tersebut merupakan salah satu jenis data yang tidak stasioner dalam rata-rata.
2. Plot autokorelasi yang menunjukkan bahwa data tidak stasioner dengan plot autokorelasi yang juga memperlihatkan pola yang turun perlahan, dengan nilai autokorelasi yang tidak hanya signifikan pada lag pertama dan kedua, tetapi juga pada beberapa lag selanjutnya dan akan membentuk pola plot autokorelasi yang cenderung menurun secara teratur.

## 3.4 Aplikasi Sistem Kerja Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Aplikasi Model Musiman Multiplikatif
Penerapan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif pada data total pengeluaran produksi listrik di Jerman (sumber data: A First Course on Time Series Analysis ) dimulai pada Januari 1955 sampai dengan Desember 1979.
Gambar 2. Plot data deret waktu dari produksi listrik
Siti Nur Hamidah, Nur Salam,  Dewi Sri Susanti - Teknik Peramalan Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters
Berikut merupakan gambar plot fungsi autokorelasi untuk data total pengeluaran produksi listrik di Jerman.
Gambar 3. Plot fungsi autokorelasi dari data produksi listrik
Melacak nilai konstanta pemulusan α , b , dan γ yang optimum berdasarkan ukuran uji MSE dan MAPE terkecil dengan menggunakan bantuan perhitungan komputerisasi pada metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif untuk data total  pengeluaran  produksi listrik  di Jerman, diperoleh nilai konstanta pemulusan terbaik yaitu dengan nilai α = 0,712, b = 0 dan γ = 0.
Persamaan peramalan untuk m periode kedepan dengan menggunakan data pengamatan terakhir, yakni pengamatan periode ke-300 adalah:
m m m S m S m b L F + + + + = + = 288 288 300 300 300 ] ) ( 58,924 28542,321 [ )] ( [
Tabel 2. Nilai peramalan data produksi listrik untuk 12 periode mendatang
Periode ( t ) Bulan /Tahun Ramalan Perkiraan Produksi Listrik (dalam Jutaan Kilowatt/jam) 301 Januari 1980 29030,263 29.030 302 Februari 1980 26596,637 26.597 303 Maret 1980 29437,070 29.437 304 April 1980 26331,885 26.332 305 Mei 1980 26558,822 26.559 306 Juni 1980 25861,799 25.862 307 Juli 1980 26783,180 26.783 308 Agustus 1980 28056,260 28.056 309 September 1980 29247,073 29.247 310 Oktober 1980 32161,243 32.161 311 Nopember 1980 32926,867 32.927 312 Desember 1980 34251,058 34.251

## 3.5. Aplikasi Model Musiman Aditif
Penerapan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman aditif pada data total produk makanan, nilai pengiriman antara Januari 1992 sampai dengan Desember 2000 (sumber data: Economic Time Series Page ), dengan jumlah 108 pengamatan.
To ta l Year Time 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan 500000 480000 460000 440000 420000 400000 380000 360000 Time Series Plot of Total Manufacturing (1992-2000)
Gambar 4. Plot data deret waktu dari produk makanan
Berikut merupakan gambar plot fungsi autokorelasi untuk data total produk makanan, nilai pengiriman dimulai Januari 1992 sampai dengan Desember 2000.
Gambar 5. Plot fungsi autokorelasi dari data produk makanan
Dengan menggunakan bantuan perhitungan komputerisasi pada metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman aditif untuk data total produk makanan diperoleh nilai konstanta pemulusan α = 0,8, b = 0,291 dan γ = 0 sebagai  nilai konstanta pemulusan terbaik. Kemudian persamaan peramalan untuk m periode kedepan dengan menggunakan data pengamatan terakhir, yakni pengamatan periode ke-108 adalah:
m m m S m S m b L F + + + + + = + + = 96 96 108 108 108 ) ( 594,582 479919,836 ) (
Tabel 4. Nilai peramalan data total produk makanan untuk 12 periode kedepan
Periode ( t ) Bulan /Tahun Ramalan Perkiraan Total Produk Makanan (dalam Jutaan Dollar) 109 Januari 2001 477950,501 477.951 110 Februari 2001 481302,083 481.302 111 Maret 2001 480973,665 480.974 112 April 2001 483392,247 483.392 113 Mei 2001 485464,830 485.465 114 Juni 2001 481467,412 481.467 115 Juli 1980 485028,994 485.029 116 Agustus 2001 490066,576 490.067 117 September 2001 486637,159 486.637 118 Oktober 2001 487808,741 487.809 119 Nopember 2001 488865,911 488.866 120 Desember 2001 478305,563 478.306
Siti Nur Hamidah, Nur Salam,  Dewi Sri Susanti - Teknik Peramalan Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters

## 4. KESIMPULAN
Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif digunakan pada suatu data yang menunjukkan adanya kenaikan/trend serta fluktuasi musiman yang semakin membesar seiring bertambahnya periode waktu  pengamatan. Pola data ini menunjukkan ketidakstasioneran baik pada mean /rata-rata dan varians /ragam. Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman aditif digunakan untuk suatu data yang menunjukkan adanya kenaikan/trend serta fluktuasi musiman yang relatif konstan seiring bertambahnya periode waktu pengamatan. Pola data ini menunjukkan ketidakstasioneran pada mean /rata-rata. Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman multiplikatif diterapkan pada data total pengeluaran produksi listrik di Jerman, dan diperoleh nilai konstanta pemulusan terbaik yaitu α = 0,712, b = 0 dan γ = 0. Sedangkan metode pemulusan eksponensial Holt-Winters model musiman aditif diterapkan pada data total produk makanan diperoleh nilai konstanta pemulusan α = 0,8, b = 0,291 dan γ = 0 sebagai nilai konstanta pemulusan terbaik.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1]. ---,  Series Title: Manufacturing: Total Manufacturing: Total Inventories: Millions of Dollars: NSA, between 1992 and 2000. http://www.economagic.com/em-cgi/data.exe/cenm3/u11svs Diakses tanggal 22 Mei 2010.
[2]. ---,  The Total Annual Output of Electricity Production in Germany  between 1955 and 1979 in Millions of Kilowatt-Hours . http://statistik.mathematik.uni- wuerzburg.de/timeseries/data/rawdata/electric.txt Diakses tanggal 3 Mei 2010.
[3]. Makridakis, S., S.C. Wheelwright, & R.J. Hyndman. 1998. Forecasting Methods and Application Third Edition . John Willey & Sons Inc. New York.
[4]. Makridakis, S., S.C. Wheelwright, & V.E. McGee,. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan Jilid 1 . Alih Bahasa:  Untung Sus Andriyanto, Abdul Basith. Erlangga. Jakarta.
[5]. Mulyana. 2004. Buku Ajar Analisis Data Deret Waktu . Universitas Padjadjaran Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Statistika. Bandung.