Abstrak —Pembentukan suatu portofolio investasi dan pengukuran risiko adalah cara yang dapat dilakukan oleh para investor untuk mengurangi tingkat risiko portofolio investasi. Maka, dalam penelitian ini dilakukan dua hal, yaitu dilakukan pembentukan model optimasi portofolio investasi yang dikembangkan dengan menggunakan teknik Lagrangian Multiplier untuk menentukan proporsi aset yang akan diinvestasikan dan melakukan perhitungan estimasi risiko menggunakan expected shortfall . Kemudian pada penelitian ini dilakukan perluasan dengan menambahkan aset bebas risiko ke dalam portofolio. Hasil yang diperoleh dari perhitungan proporsi portofolio optimal terdiri dari lima aset saham yaitu saham EXCL = 0.0137, ANTM = 0.3288 TBIG = 0.5032, UNVR = 0.1441 dan CPIN = 0.0102. Sedangkan, portofolio terdiri dari lima aset saham dan satu aset bebas risiko (10%) didapatkan perhitungan proporsi saham EXCL = 0.0136, ANTM = 0.2893 TBIG = 0.4431, UNVR = 0.1433 dan CPIN = 0.0107. Berdasarkan hasil perhitungan expected shortfall diperoleh bahwa portofolio investasi dari lima aset saham dengan satu aset bebas risiko dapat meminimalisasi risiko dibandingkan portofolio investasi dari lima aset saham.
Kata Kunci —Portofolio Investasi , Expected Shortfall, Optimasi, Risiko.

## I. PENDAHULUAN
NVESTASI  adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa datang. Istilah investasi bisa berkaitan dengan berbagai macam aktivitas. Menginvestasikan sejumlah dana pada asset real (tanah, emas, mesin atau bangunan) maupun asset finansial (deposito, saham ataupun obligasi) merupakan aktivitas investasi yang umumnya dilakukan.
Minat investasi di dalam area keuangan ( finance) cukup menarik minat bagi kebanyakan investor, baik investor lembaga maupun perorangan, hal ini disebabkan oleh perkembangan teknologi dan internet yang memudahkan investor untuk melakukan transaksi investasi. Proses keputusan investasi didasari oleh hubungan antara pengembalian ( return) yang diperoleh dari hasil investasi yang diharapkan atau biasa disebut ekspektasi return dengan risiko suatu investasi. Hubungan ekspektasi return dan risiko suatu investasi merupakan hubungan yang linier, yaitu semakin besar tingkat return yang diharapkan, maka semakin besar pula risiko yang ditanggung.
Dalam pembentukkan portofolio, investor selalu mencari portofolio yang efisien yaitu, portofolio yang menawarkan risiko terendah dengan tingkat return tertentu. Untuk membentuk portofolio, mengetahui perilaku seorang investor dalam pembuatan keputusan investasi yang akan diambilnya sangatlah penting. Sedangkan portofolio optimal adalah portofolio yang dipilih oleh investor dari sekian banyak
pilihan yang ada pada kumpulan portofolio efisien. Jelas bahwa portofolio yang dipilih investor adalah portofolio yang sesuai dengan preferensi investor bersangkutan terharap return maupun terhadap risiko yang bersedia ditanggungnya. Dalam pemilihan portofolio yang optimal diperlukan adanya kendali optimal dalam optimasi portofolio dalam manajemen investasi. Tujuan dari permasalahan optimasi portofolio ini adalah untuk mendapatkan tambahan modal yang dimiliki oleh investor.
Dalam berinvestasi, investor bisa memilih menginvestasikan dananya baik hanya pada aset risiko atau hanya pada aset bebas risiko, ataupun kombinasi dari kedua aset. Pilihan investor atas aset-aset tersebut, tergantung dari sejauh mana preferensi investor terhadap risiko [1]. Beberapa peneliti menggunakan Expected Shortfall sebagai alternatif ukuran risiko dari Value-at-Risk.  Pada tahun 2000, Rockafellar pertama kali memperkenalkan Expected Shortfall  untuk meminimalkannya dalam optimalisasi [2]. Menurut Embrecths (1999) untuk mengukur dan mengelola suatu risiko, diperlukan alat ukur yang dapat digunakan untuk mengukur risiko yang ada. Salah satu alat ukur yang dapat digunakan untuk mengukur risiko adalah Expected Shortfall (ES). Secara umum, Expected Shortfall didefinisikan sebagai ekspektasi ukuran risiko yang nilainya di atas Value-at-Risk (VaR) [3].
Dari latar belakang tersebut, penelitian yang akan dilakukan adalah melakukan estimasi risiko Expected Shortfall untuk menyelesaikan permasalahan dalam optimasi portofolio pada manajemen portofolio investasi saham dan dilakukan perluasan dengan memasukkan aset bebas risiko. Selanjutnya secara numerik dianalisis pula perbandingan antara optimasi portofolio investasi saham dan optimasi portofolio investasi saham dengan aset bebas risiko pada portofolio investasi yang telah ditentukan. Diharapkan penelitian ini bermanfaat untuk menambah literatur model optimasi investasi dan dijadikan sebagai tambahan referensi penelitian lanjutan, serta dijadikan sebagai salah satu alternatif bagi investor dalam melakukan optimasi portofolio investasi.

## II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Aset Risiko dan Bebas Risiko Dalam berinvestasi, investor bisa memilih menginvestasikan dananya pada berbagai aset, baik aset yang berisiko maupun aset yang bebas risiko, ataupun kombinasi dari kedua aset tersebut. Aset berisiko adalah aset-aset yang tingkat return aktualnya di masa depan masih mengandung ketidakpastian. Sedangkan aset bebas risiko merupakan aset yang tingkat return-nya di masa depan sudah bisa dipastikan

## Model Optimasi Portofolio Saham dengan Aset Bebas Risiko dan Estimasi Risiko dengan Menggunakan Expected Shortfall
Erlyne Nadhilah Widyaningrum, Hariyanto, dan Suhud Wahyudi Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail: hariyanto@matematika.its.ac.id
I
pada saat ini dan ditunjukkan oleh varian return yang sama dengan nol. Pilihan investor atas aset-aset tersebut akan tergantung dari sejauh mana preferensi investor terhadap risiko. Semakin enggan seorang investor terhadap risiko (risk averse), maka pilihan lebih banyak pada aset yang bebas risiko [1].

## B. Portofolio Optimal
Portofolio optimal merupakan pilihan dari berbagai sekuritas yang berasal dari portofolio efisien. Portfolio optimal dapat ditentukan dengan memilih tingkat ekspektasi return tertentu dan menentukan nilai tingkat risiko minimum, atau memaksimumkan return ekspektasi nya dan menentukan tingkat risiko tertentu.
Untuk pemilihan portofolio efisien menurut Ruppert (2004) dapat dilakukan dengan cara memaksimalkan nilai portofolio sebagai berikut [4]: Maksimumkan :
2 𝜏𝜏𝜇𝜇 𝑝𝑝 − 𝜎𝜎 𝑝𝑝 2
dengan syarat:
� 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 𝜏𝜏 ≥ 0 ,

## C. Tingkat Return Saham
Tingkat pengembalian aset (Return on Asset) adalah rasio keuangan perusahaan yang terkait dengan potensi keuntungan mengukur kekuatan perusahaan membuahkan keuntungan atau juga laba pada tingkat pendapatan, aset dan juga modal saham spesifik [5].  Terdapat dua jenis return dalam manajemen investasi, yaitu return yang telah terjadi (realized return) yang dihitung berdasarkan data historis dan return yang diharapkan (ekspektasi return) oleh investor di
masa yang akan datang [6].  Return suatu saham dapat dihitung berdasarkan historis menggunakan rumus sebagai berikut [6]:
𝑅𝑅 𝑖𝑖 , 𝑡𝑡 = 𝑃𝑃 𝑖𝑖 , 𝑡𝑡 − 𝑃𝑃 𝑖𝑖 , 𝑡𝑡−1 𝑃𝑃 𝑖𝑖 , 𝑡𝑡−1 Dengan ekspektasi return saham:
𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 ) = ∑ 𝑅𝑅 𝑖𝑖 , 𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

## D. Tingkat Return Portofolio
Portofolio adalah kumpulan dari instrument investasi yang dibentuk untuk memnuhi suatu sasaran umum investasi, jika seorang investor berkeinginan untuk memaksimumkan keuntungan yang diharapkan maka dana sebaiknya diletakkan dalam sekuritas yang mempunyai harapan keuntungan yang maksimum [7].  Jumlah proporsi dari investasi ( 𝑊𝑊 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛 ) pada suatu portfolio sama dengan satu, atau jika ditulis secara matematis [8]:
� 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 Untuk rumus return portofolio adalah:
𝑅𝑅 𝑝𝑝 = 𝑤𝑤 1 𝑅𝑅 1 + 𝑤𝑤 2 𝑅𝑅 2 + ⋯ + 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑅𝑅 𝑛𝑛 = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑅𝑅 𝑖𝑖
Selain perhitungan proporsi masing masing, perhitungan ekspektasi return juga diperlukan sebagai tingkat keuntungan yang diharapkan dari masing masing saham pada portofolio [4-5]. Perhitungan e kspektasi return dilakukan menggunakan rumus:
𝜇𝜇 𝑝𝑝 = 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑝𝑝 � = 𝑤𝑤 1 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 1 ) + 𝑤𝑤 2 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 2 ) + ⋯ + 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 𝑛𝑛 )
Tabel 1.
Statistik Deskriptif Return Saham EXCL, ANTM, UNVR , TBIG dan CPIN EXCL ANTM TBIG UNVR CPIN Max  0.248227  0.248366  0.229050  0.193833  0.166271 Min - 0.090909 - 0.151020 - 0.131818 - 0.069231 - 0.117647 𝜁𝜁 1.045 1.524 1.349 2.446 0.347 K 5.69 6.39 8.09 22.81 1.97 Tabel 2.
Ekspektasi Return dan Varian dari Masing Masing Saham EXCL ANTM TBIG UNVR CPIN EXCL  0.000979  0.000495  0.000293  0.000288  0.000383 ANTM  0.000495  0.001559  0.000430  0.000201  0.000441 TBIG  0.000293  0.000430  0.001109  0.000226  0.000352
UNVR  0.000288  0.000201  0.000226  0.000402  0.000263 CPIN  0.000383  0.000441  0.000352  0.000263  0.001120
Tabel 3. Kovarian Antar Saham No Kode Saham Ekspektasi return Varian 1 EXCL 0.000245 0.000979 2 ANTM 0.002746 0.001559 3 UNVR 0.000534 0.001109 4 TBIG 0.002561 0.000402
5 CPIN 0.000293 0.001120 Gambar 1. Plot time series return saham EXCL, ANTM, UNVR, TBIG dan CPIN. Gambar 2. Perbandingan efficient frontier.
Gambar 3. Perbandingan rasio portofolio investasi.
0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0004 0.0003 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 Varian Eksp ekta si R etur n Investasi Saham Investasi Saham dengan Aset Bebas Risiko Variable Perbandingan Efficient Frontier
= 𝑤𝑤 1 𝑅𝑅 1 ��� + 𝑤𝑤 2 𝑅𝑅 2 ��� + ⋯ + 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝑅𝑅 𝑛𝑛 ���� = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑅𝑅 𝚤𝚤 � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

## E. Expected Shortfall
Expected Shortfall pada tingkat kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) dinotasikan oleh 𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 ( 𝑅𝑅 ) dan difenisikan sebagai nilai ekspektasi return yang sama atau lebih besar dari 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 yang dapat ditulis sebagai berikut [9]:
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 ( 𝑅𝑅 ) = 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 | 𝑅𝑅 ≥ 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 ( 𝑅𝑅 ))
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 ( 𝑅𝑅 ) = ∫ 𝑥𝑥 ∞ 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑃𝑃 ( 𝑅𝑅≥𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 ( 𝑅𝑅 ) = ∫ 𝑥𝑥 ∞ 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 ( 𝑅𝑅 ) = 1 𝛼𝛼 � 𝑥𝑥𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 dimana ,
𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �− 1 2 � 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 𝜎𝜎 � 2 �
Tabel 4.
Hasil Simulasi Perhitungan Proporsi pada Portofolio Investasi Saham Menggunakan Program Matlab No 𝜏𝜏 EXCL ANTM TBIG UNVR CPIN 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 1 0.00 0.0624 0.0664 0.1127 0.6889 0.0697 1 2 0.01 0.0593 0.0828 0.1371 0.6548 0.0659 1 3 0.02 0.0563 0.0992 0.1615 0.6208 0.0622 1 4 0.03 0.0533 0.1156 0.1859 0.5867 0.0585 1 5 0.04 0.0502 0.1320 0.2103 0.5527 0.0548 1 6 0.05 0.0472 0.1484 0.2347 0.5186 0.0511 1 7 0.06 0.0441 0.1648 0.2591 0.4846 0.0474 1 8 0.07 0.0411 0.1812 0.2835 0.4505 0.0436 1 9 0.08 0.0380 0.1976 0.3079 0.4165 0.0399 1 10 0.09 0.0350 0.2140 0.3323 0.3825 0.0362 1 11 0.10 0.0320 0.2304 0.3568 0.3484 0.0325 1 12 0.11 0.0289 0.2468 0.3812 0.3144 0.0288 1 13 0.12 0.0259 0.2632 0.4056 0.2803 0.0251 1 14 0.13 0.0228 0.2796 0.4300 0.2463 0.0214 1 15 0.14 0.0198 0.2960 0.4544 0.2122 0.0176 1 16 0.15 0.0168 0.3124 0.4788 0.1782 0.0139 1 17 0.16 0.0137 0.3288 0.5032 0.1441 0.0102 1 18 0.17 0.0107 0.3452 0.5276 0.1101 0.0065 1 19 0.18 0.0076 0.3616 0.5520 0.0760 0.0028 1 20 0.19 0.0046 0.3780 0.5764 0.0420 -0.0009 1 Tabel 5. Hasil Simulasi Perhitungan Proporsi pada Portofolio Investasi Saham dengan Aset Bebas Risiko Menggunakan Program Matlab No 𝜏𝜏 EXCL ANTM TBIG UNVR CPIN 𝒘𝒘 𝟎𝟎 + 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 1 0.00 0.0561 0.0598 0.1014 0.6200 0.0627 1 2 0.01 0.0531 0.0762 0.1258 0.5859 0.0590 1 3 0.02 0.0501 0.0925 0.1503 0.5519 0.0553 1 4 0.03 0.0470 0.1089 0.1747 0.5178 0.0515 1 5 0.04 0.0440 0.1253 0.1991 0.4838 0.0478 1 6 0.05 0.0409 0.1417 0.2235 0.4498 0.0441 1 7 0.06 0.0379 0.1581 0.2479 0.4157 0.0404 1 8 0.07 0.0348 0.1745 0.2723 0.3817 0.0367 1 9 0.08 0.0318 0.1909 0.2967 0.3476 0.0330 1 10 0.09 0.0288 0.2073 0.3211 0.3136 0.0292 1 11 0.10 0.0257 0.2237 0.3455 0.2795 0.0255 1 12 0.11 0.0227 0.2401 0.3699 0.2455 0.0218 1 13 0.12 0.0196 0.2565 0.3943 0.2114 0.0181 1 14 0.13 0.0166 0.2729 0.4187 0.1774 0.0144 1 15 0.14 0.0136 0.2893 0.4431 0.1433 0.0107 1 16 0.15 0.0105 0.3057 0.4675 0.1093 0.0070 1 17 0.16 0.0075 0.3221 0.4919 0.0752 0.0032 1 18 0.17 0.0044 0.3385 0.5163 0.0412 -0.0005 1 Tabel 6. Hasil Perhitungan Expected Shortfall dari Saham EXCL, ANTM, TBIG, UNVR, CPIN EXCL ANTM TBIG UNVR CPIN 𝑤𝑤 0 ES (95%) 0.0138 0.3281 0.5017 0.1456 0.0108 0 0.0345 0.0136 0.2888 0.4418 0.1446 0.0112 0.1 0.0306 Tabel 7. Hasil Perhitungan Expected Shortfall dari Portofolio Investasi EXCL ANTM TBIG UNVR CPIN 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 ) 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 𝐹𝐹 𝐶𝐶𝐶𝐶 −1 ( 𝛼𝛼 )
-0.62355 -0.83165 -1.64956 -8.15763 0.90650 𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 0.085158 0.081907 0.011339 0.000534 0.059222
Sehingga, Model Expected Shortfall untuk 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 (0,1) dengan 𝛼𝛼 ∈ (0,1) dapat ditulis secara matematis sebagai berikut [9]:
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 � 1 𝛼𝛼 � 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 �
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 � 1 𝛼𝛼 � 1 √ 2 𝜋𝜋 ∞ 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �− 𝑥𝑥 2 2 � 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥� 𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 � 1 𝛼𝛼 � lim 𝑎𝑎→∞ � 1 √ 2 𝜋𝜋 𝑎𝑎 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �− 𝑥𝑥 2 2 � 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥� � 𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 � 1 𝛼𝛼 � lim 𝑎𝑎→∞ − 1 √ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �− 𝑥𝑥 2 2 �� 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 𝑎𝑎 �
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 � 1 𝛼𝛼 �− 1 √2𝜋𝜋 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �− 𝑥𝑥 2 2 �� ∞ 𝑉𝑉 1−𝛼𝛼 �
Data keuangan sering menunjukkan sifat skewness dan kurtosis berlebih (leptokurtis) yang menunjukkan penyimpangan dari normalitas. Dengan Skewness dan kelebihan kurtosis maka diperlukan untuk  menggunakan Cornish-Fisher Expansion dalam menghitung ES diperoleh rumusan sebagai berikut:
𝐹𝐹 𝐶𝐶𝐶𝐶 −1 ( 𝛼𝛼 ) = 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 ) + 𝜁𝜁 6 ([ 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 )] 2 − 1) + 𝑘𝑘−3 24 � [ 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 )] 3 − 3 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 ) � − 𝜁𝜁 2 36 � 2[ 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 )] 3 − 5 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 ) �
Sehingga ES pada persamaannya  dapat dijabarkan menjadi:
𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 𝛼𝛼√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 − �𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 −1 ( 𝛼𝛼 ) � 2 2
Keterangan: 𝐸𝐸𝐸𝐸 1−𝛼𝛼 : Expected Shortfall tingkat kepercayaan ( 1 − 𝛼𝛼 ) 𝜇𝜇 :  Rat a rata dari return Saham 𝜎𝜎 :  Nilai standar deviasi dari return saham
𝜁𝜁 :  Skewness 𝑘𝑘 :  Kurtosis 𝜙𝜙 −1 ( 𝛼𝛼 ) :  Kuantil 𝛼𝛼 dari distribusi normal ( 𝑍𝑍 𝛼𝛼 ) F. Metode Pengali Lagrange
Metode Lagrange merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan fungsi objektif dari suatu
permasalahan yang langsung dikaitkan dengan fungsi kendalanya.  Misalnya untuk mencari ekstrim suatu fungsi 𝑥𝑥 satu variabel, terhadap satu kendala 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 1 ) = 0 persamaan Lagrangian nya adalah [10]:
𝐿𝐿𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥 1 , 𝜆𝜆 ) = 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 1 ) + 𝜆𝜆𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 1 ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 1 ) = 0
Suatu solusi optimal dari masalah optimasi dengan multivariabel dapat ditentukan dengan memenuhi syarat perlu dan syarat cukup keoptimalan yaitu sebagai berikut [10]:

## 1) Syarat Perlu
Jika 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) memiliki nilai ekstrim (maksimum atau minimum) pada 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ∗ dan jika turunan parsial pertama dari 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) ada pada 𝑥𝑥 ∗ maka, 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 ( 𝑥𝑥 ∗ ) = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜆𝜆 ( 𝑥𝑥 ∗ ) =  0

## 2) Syarat Cukup
Syarat Cukup untuk titik stasioner 𝑥𝑥 ∗ menjadi nilai ekstrim adalah matriks Hessian dimana setiap elemennya dibentuk dari turunan parsial kedua dari 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) dievaluasi pada 𝑥𝑥 ∗ sebagai berikut: a) Definit positif ketika 𝑥𝑥 ∗ adalah titik minimum global b) Definit negatif ketika 𝑥𝑥 ∗ adalah titik maksimum global Diberikan 𝑯𝑯 matriks persegi 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , berlaku: (a) Matriks 𝑯𝑯 disebut definit positif ↔ ∀ nilai eigen ( 𝜆𝜆 ) bernilai positif. (b) Matriks 𝑯𝑯 disebut definit negatif ↔ ∀ nilai eigen ( 𝜆𝜆 ) bernilai negatif. Dengan | 𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝑯𝑯 | = 0 . Dimana matriks Hessian dari 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 ) adalah:
𝑯𝑯 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕𝜕 2 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 2 𝜕𝜕 2 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝜆𝜆 𝜕𝜕 2 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝜆𝜆 𝜕𝜕 2 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜆𝜆 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

## G. Indeks Treynor
Treynor sebagai salah satu indeks yang digunakan untuk mengukur kinerja portofolio, Indeks Treynor mengamsumsikan bahwa portofolio sudah terdiversifikasi dengan baik atau dikenal dengan istilah Reward to Volatility Ratio (RVOR) sehingga risiko yang dianggap relevan adalah risiko sistematis (yang diukur dengan beta).  Indeks kinerja Treynor dihitung dengan formula berikut:
𝑇𝑇 𝑝𝑝 = 𝑅𝑅 𝑝𝑝 − 𝑅𝑅 𝑓𝑓 𝛽𝛽 𝑝𝑝 dengan,
𝛽𝛽 𝑖𝑖 = ∑ ( 𝑅𝑅 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 − 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 𝑖𝑖 ))( 𝑅𝑅 𝑚𝑚 , 𝑗𝑗 − 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ))/ 𝑛𝑛 𝑁𝑁 𝑗𝑗=1 𝜎𝜎 𝑚𝑚 2
𝛽𝛽 𝑝𝑝 = � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 Keterangan: 𝑇𝑇 𝑝𝑝 ∶ Indeks kinerja Treynor 𝑅𝑅 𝑝𝑝 ∶ Return portofolio 𝑅𝑅 𝑓𝑓 ∶ Return bebas risiko 𝛽𝛽 𝑝𝑝 ∶ Beta portofolio
Tabel 8. Nilai Kovarian Return Saham-Return Market dan Beta Saham
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ( 𝑅𝑅 𝑖𝑖 , 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) 𝜎𝜎 𝑚𝑚 2 𝛽𝛽 𝑖𝑖 EXCL 0.000383 0.000172 2.23 ANTM 0.000441 0.000172 2.56 TBIG 0.000352 0.000172 2.04 UNVR 0.000263 0.000172 1.53 CPIN 0.001120 0.000172 6.51 Tabel 9. Perhitungan Indeks Treynor pada Portofolio Investasi Saham No Portofolio Investasi 𝛽𝛽 𝑝𝑝 Treynor 1 Saham 2.187 0.000247 2 Saham dengan Aset Bebas Risiko 1.966 0.000154
𝑥𝑥 𝑖𝑖 : Proporsi saham ke- 𝑖𝑖 𝛽𝛽 𝑖𝑖 : Beta Saham ke- 𝑖𝑖 𝑛𝑛 : Banyaknya Data

## III. M ETODOLOGI PENELITIAN

## A. Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data harga penutupan saham (closing price) dari lima perusahaan yang terdaftar pada IDX30 dengan periode 1 Maret 2019 sampai dengan 1 Maret 2021. Lima perusahaan tersebut dipilih dengan kriteria Price Earning Ratio  (PER)  yang tertinggi. Data-data tersebut diperoleh dari https://finance.yahoo.com/ . Kemudian, data investasi aset bebas risiko yang digunakan adalah nilai fixed return sebesar 8.25 % dari obligasi dengan kode seri ORI015.

## B. Perhitungan Return, Ekspektasi Return, Varian dan Kovarian Saham
Setelah dilakukan pemilihan 5 data saham dengan kriteria nilai PER (Price Earning Ratio) tertinggi maka akan dilakukan perhitungan return  masing masing saham. Selanjutnya menghitung ekspektasi return, varian dan kovarian saham dari masing-masing saham perusahaan dalam objek penelitian ini.

## C. Pembentukan Model Portofolio Investasi Saham dan Dengan Aset Bebas Risiko
Pembentukan portofolio investasi dengan menerapkan pengali lagrange untuk menyelesaikan permasalahan kendali optimal pada optimasi portofolio saham.  Selanjutnya,  akan dilakukan perluasan dengan menambahkan aset bebas risiko sehingga menghasilkan model portofolio saham dengan aset bebas risiko.

## D. Optimasi Portofolio Investasi
Akan dilakukan optimasi berdasarkan persamaan  dari proporsi saham yang sudah ditemukan dari proses pengali lagrange dengan bantuan software Matlab.  Proses optimasi terus berjalan dengan menggunakan toleransi risiko 𝜏𝜏 ≥ 0 .

## E. Perhitungan Kinerja Portofolio
Melakukan perhitungan Indeks Treynor sebagai tolak ukur pengukuran kinerja portofolio investasi saham dan porotofolio saham dengan aset bebas risiko.

## IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN

## A. Identifikasi Data
Setelah dilakukan perhitungan Price Earning Ratio (PER) untuk mem  ilih lima saham yang akan dijadikan objek penelitian.  Maka, dapat ditentukan lima saham yang akan dijadikan objek penelitian pada penelitian ini yaitu saham EXCL, ANTM, UNVR, TBIG dan CPIN. Hasil perhitungan return harian dari lima perusahaan pada periode Maret 2019 – Maret 2021 dapat dilihat melalui plot return saham EXCL, ANTM, UNVR, TBIG dan CPIN yang mengalami fluktuasi dari waktu ke waktu pada Gambar 1.
Kemudian, data  return  masing-masing saham dianalisis menggunakan statistika deskriptif untuk mengetahui
gambaran umum data return. Berikut merupakan hasil dari statistik deskriptif dari saham EXCL, ANTM, TBIG, UNVR dan CPIN dengan menggunakan bantuan SPSS pada Tabel 1.
Dari Tabel 1 didapatkan nilai skewness maupun kurtosis dari kelima saham  yang  menunjukkan penyimpangan dari distribusi normal. Sehingga, nantinya untuk menghitung expected shortfall akan menggunakan ekspansi  Cornish- Fisher dengan memasukkan nilai skewness maupun kurtosis yang diperoleh.
B. Perhitungan Ekspektasi Return, Varian dan Kovarian Saham
Dari lima saham terpilih, selanjutnya dengan menggunakan bantuan software Excel ditentukan ekspektasi return, varian pada Tabel 2. Sedangkan untuk perhitungan kovarian disajikan pada Tabel 3.
C. Pembentukan Model Portofolio Investasi Saham Misalkan 𝑤𝑤 𝑖𝑖 menyatakan proporsi (bobot) asset yang diinvestasikan pada saham dalam pembentukan portofolio, dengan demikian ekpektasi  return  portofolio diperoleh sebagai berikut:
𝜇𝜇 𝑝𝑝 = 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑝𝑝 � = 𝝁𝝁 𝑻𝑻 𝒘𝒘 = 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝝁𝝁
Dan varian portofolio dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝜎𝜎 𝑝𝑝 2 = 𝐸𝐸 ��𝑅𝑅 𝑝𝑝 − 𝑅𝑅 𝑝𝑝 ������ 2 = 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝑽𝑽𝒘𝒘
Untuk mendapatkan portofolio optimal,  maka  dilakukan substitusi ke dalam persoalan optimisasi portofolio sebagai berikut:
Maksimumkan:
2 𝜏𝜏𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝝁𝝁 − 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝑽𝑽𝒘𝒘 dengan syarat:
𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 = 1 = 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝒘𝒘
𝜏𝜏 ≥ 0
Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi lagrange dan  dapat dinyatakan sebagai berikut:
ℒ ( 𝑤𝑤 , 𝜆𝜆 ) = (2 𝜏𝜏𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝝁𝝁 − 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝑽𝑽𝒘𝒘 ) + 𝜆𝜆 ( 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 − 1) dengan menggunakan syarat perlu teorema Kuhn-Tucker
𝜕𝜕ℒ 𝜕𝜕𝒘𝒘 = 0, 𝜕𝜕ℒ 𝜕𝜕𝜆𝜆 = 0 𝜕𝜕ℒ 𝜕𝜕𝒘𝒘 =  2 𝜏𝜏𝝁𝝁 − 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒘𝒘 + 𝜆𝜆𝒆𝒆 = 0
𝜕𝜕ℒ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 − 1 = 0
Persamaan dikalikan 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 dan dinyatakan ke dalam bentuk 𝒘𝒘 sehingga menjadi sebagai berikut:
𝒘𝒘 = 𝜕𝜕 2 𝒆𝒆𝑽𝑽 −𝟏𝟏 + 𝜏𝜏𝝁𝝁𝑽𝑽 −𝟏𝟏
Persamaan di atas dikalikan dengan 𝒆𝒆 𝑻𝑻 , setelah dilakukan penyelesaian didapat sebagai berikut:
𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝒘𝒘 = 𝜕𝜕 2 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 + 𝜏𝜏𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁
Maka diperoleh besarnya nilai 𝜕𝜕 2 = 1− 𝜏𝜏𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 , dan jika nilai 𝜕𝜕 2 disubstitusikan ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh persamaan 𝒘𝒘 sebagai berikut:
𝒘𝒘 = 𝝉𝝉 �𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁 − � 𝜏𝜏𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 � 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆� + � 1 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 � 𝒆𝒆𝑽𝑽 −𝟏𝟏

## D. Pembentukan Model Portofolio Investasi Saham Dengan Aset Bebas Risiko
Misalkan investor dalam pembentukan portofolio investasi, menyisihkan sebagian proporsi modalnya sebesar 𝑤𝑤 0 untuk diinvestasikan pada aset bebas risiko, dimana aset bebas risiko tersebut memberikan return tetap sebesar 𝑟𝑟 0 per satuan waktu.
Dengan demikian return portofolio  dengan aset bebas risiko diperoleh sebagai berikut:
𝑟𝑟 𝑝𝑝 = 𝑤𝑤 0 𝑅𝑅 0 + � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑅𝑅 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
Sehingga, ekpektasi return  portofolio  dengan aset bebas risiko diperoleh sebagai berikut:
𝜇𝜇 𝑝𝑝 = 𝑅𝑅 𝑝𝑝 ���� = 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑝𝑝 � = 𝑤𝑤 0 𝜇𝜇 0 + 𝒘𝒘 𝑇𝑇 𝝁𝝁
Dan varian portofolio dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝜎𝜎 𝑝𝑝 2 = 𝐸𝐸 ��𝑅𝑅 𝑝𝑝 − 𝑅𝑅 𝑝𝑝 ������ 2 = 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝑽𝑽𝒘𝒘
Untuk mendapatkan portofolio optimal, maka persamaan di atas di substitusi ke dalam persoalan optimisasi portofolio sebagai berikut:
Maksimumkan:
2 𝜏𝜏𝑤𝑤 0 𝜇𝜇 0 + 𝒘𝒘 𝑇𝑇 𝝁𝝁 − 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝑽𝑽𝒘𝒘 dengan syarat:
𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 = 1 = 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝒘𝒘 𝜏𝜏 ≥ 0 ,
Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi lagrange dari masalah optimasi tersebut dimana 𝜆𝜆 merupakan pengali lagrange dapat dinyatakan sebagai berikut:
ℒ ( 𝒘𝒘 , 𝜆𝜆 ) = (2 𝜏𝜏𝑤𝑤 0 𝜇𝜇 0 + 𝒘𝒘 𝑇𝑇 𝝁𝝁 − 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝑽𝑽𝒘𝒘 ) + 𝜆𝜆 ( 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 − 1) dengan menggunakan syarat perlu teorema Kuhn-Tucker
𝜕𝜕ℒ 𝜕𝜕𝒘𝒘 =  2 𝜏𝜏𝝁𝝁 − 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒘𝒘 + 𝜆𝜆𝒆𝒆 = 0 𝜕𝜕ℒ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑤𝑤 0 + 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 − 1 = 0
Persamaan di atas dikalikan 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 dan dinyatakan ke dalam bentuk 𝒘𝒘 sehingga menjadi sebagai berikut:
𝒘𝒘 = 𝜆𝜆 2 𝒆𝒆𝑽𝑽 −𝟏𝟏 + 𝜏𝜏𝝁𝝁𝑽𝑽 −𝟏𝟏
Persamaan di atas dikalikan dengan 𝒆𝒆 𝑻𝑻 , setelah dilakukan penyelesaian didapat sebagai berikut:
𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝒘𝒘 = 𝜕𝜕 2 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 + 𝜏𝜏𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁
Persamaan 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝒘𝒘 = 𝒘𝒘 𝑻𝑻 𝒆𝒆 = 1 − 𝑤𝑤 0 jika disubstitusikan ke persamaan,  maka diperoleh besarnya nilai 𝜕𝜕 2 = 1− 𝑤𝑤 0 − 𝜏𝜏𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 , dan diperoleh persamaan 𝒘𝒘 sebagai berikut:
𝒘𝒘 = 𝝉𝝉 �𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁 − � 𝜏𝜏𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝝁𝝁 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 � 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆� + � 1 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 � 𝒆𝒆𝑽𝑽 −𝟏𝟏 − � 𝑤𝑤 0 𝒆𝒆 𝑻𝑻 𝑽𝑽 −𝟏𝟏 𝒆𝒆 � 𝒆𝒆𝑽𝑽 −𝟏𝟏

## E. Proses Optimasi Portofolio Investasi
Kemudian, persamaan  akan disimulasikan dengan menggunakan bantuan software Matlab untuk menghasilkan kombinasi proporsi portofolio investasi saham. Proses optimasi akan dihentikan apabila terdapat salah satu nilai 𝒘𝒘 yang bernilai negatif.
Setiap  nilai proporsi  yang diperoleh, digunakan untuk menghitung ekspektasi return  portofolio  dan  menghitung varian. Kemudian  rasio  terbesar  antara ekspektasi return terhadap  varian  portofolio  digunakan untuk memilih portofolio optimal dan diperoleh rasio terbesar yaitu 3.17195 pada iterasi ke 17 dengan proporsi investasi saham EXCL = 0.0137, ANTM = 0.3288 TBIG = 0.5032, UNVR = 0.1441 dan CPIN = 0.0102.
Setiap nilai proporsi yang diperoleh digunakan untuk menghitung ekspektasi return portofolio dan menghitung varian. Kemudian rasio terbesar antara ekspektasi return terhadap varian portofolio digunakan untuk memilih portofolio optimal dan diperoleh rasio terbesar yaitu 3.56691 dengan proporsi investasi saham EXCL = 0.0136, ANTM = 0.2893, TBIG = 0.4431, UNVR = 0.1433 dan CPIN = 0.0107 (Tabel 4 dan Tabel 5).

## F. Perhitungan Estimasi Risiko Expected Shortfall
Dalam perhitungan digunakan Cornish-Fisher Expansion, karena skewness dan kurtosis yang menunjukkan penyimpangan dari normalitas. Tingkat kepercayaan yang digunakan untuk menghitung ES adalah sebesar 95% dengan return 497 hari transaksi. Hasil perhitungan expected shortfall untuk masing masing saham dapat dilihat pada Tabel 6.
Setelah itu, perhitungan expected shortfall pada Tabel 6 akan di kalikan dengan proporsi investasi saham yang telah diperoleh dari proses simulasi sebelumnya. Perhitungan expected shortfall dari tiap portofolio dapat dirangkum pada Tabel 7.
Dari Tabel 7 diatas diperoleh nilai expected shortfall pada portofolio investasi saham optimal yang telah dipilih yaitu 0,0345, artinya apabila dimisalkan untuk investor melakukan investasi sebesar Rp. 2.000.000.000 yang berarti bahwa pada tingkat kepercayaan  95% seorang investor yang menginvestasikan uangnya dalam  portofolio saham yang terdiri dari saham EXCL, ANTM, TBIG, UNVR dan CPIN akan mengalami kerugian maksimal sebesar Rp 68.902.285. Sedangkan, dengan menambahkan aset bebas risiko diperoleh nilai expected shortfall  pada  portofolio investasi saham  dengan aset  bebas risiko optimal yang telah dipilih yaitu  0.0306,  artinya apabila dimisalkan untuk investor melakukan investasi sebesar Rp. 2.000.000.000 dengan tingkat kepercayaan 95% yang berarti bahwa pada tingkat keyakinan 95% seorang investor yang menginvestasikan uangnya dalam portofolio saham yang terdiri dari saham EXCL, ANTM, TBIG, UNVR,  CPIN dan saatu aset bebas
risiko (obligasi) akan mengalami kerugian maksimal sebesar Rp 61.114.753.

## G. Kinerja Portofolio
Dalam mengevaluasi kinerja portofolio, pada penelitian ini menggunakan Indeks  Treynor atau sering disebut sebagai Reward to Volatility Ratio (RVOR), menggunakan beta sebagai tolak ukur risiko. Beta menunjukkan besar kecilnya perubahan return suatu portofolio saham terhadap perubahan market return karena pada umumnya fluktuasi harga saham dipengaruhi oleh fluktuasi pasar.  Perhitungan beta saham dirangkum melalui Tabel 8.
Setelah mendapatkan beta dari masing masing saham selanjutnya dilakukan perhitungan beta portofolio yang digunakan untuk menghitung Indeks Treynor,  didapatkan hasil perhitungan Indeks Treynor pada Tabel 9.
Menurut  pengukuran Treynor, semakin tinggi nilai indeksnya berarti semakin baik.  Kinerja  portofolio Berdasarkan Tabel 9 diperoleh portofolio saham dengan aset bebas risiko memiliki indeks treynor sebesar 0.000154 dan portofolio investasi saham memiliki indeks treynor sebesar 0.000247.
Setiap pasangan antara ekspektasi return  dan varian portofolio dapat membentuk sebuah titik portofolio efisien. Himpunan titik-titik portofolio efisien  tersebut digunakan untuk membentuk grafik permukaan efisien (eficient frontier) dari masing masing model portofolio investasi pada Gambar 2. Selain itu, dapat dibentuk kurva perbandingan pada rasio ekspektasi  return  terhadap varian dari kedua portofolio seperti pada Gambar 3.
Jika memperhatikan Gambar 3, maka tampak bahwa kurva portofolio dengan aset bebas risiko lebih tinggi dibandingkan portofolio saham. Dalam hal ini menggambarkan bahwa rasio antara ekspektasi return terhadap varian yang dimiliki oleh portofolio dengan aset bebas risiko lebih besar dibandingkan pada portofolio saham.

## V. KESIMPULAN
Hasil penerapan model optimasi yang dibentuk melalui pengali Lagrange menghasilkan proporsi portofolio optimal untuk portofolio investasi yang terdiri dari lima saham
dengan proporsi saham EXCL = 0.0137, ANTM = 0.3288 TBIG = 0.5032, UNVR = 0.1441 dan CPIN = 0.0102. Sedangkan proporsi portofolio optimal yang terdiri dari lima aset saham dan satu aset bebas risiko (10%) yaitu dengan proporsi saham EXCL = 0.0136, ANTM = 0.2893 TBIG = 0.4431, UNVR = 0.1433 dan CPIN = 0.0107.
Penilaian kinerja portofolio investasi dihasilkan Indeks Treynor pada portofolio investasi yang terdiri dari lima saham dan satu aset bebas risiko (10%) sebesar 0.000154 dengan nilai estimasi risiko expected shortfall sebesar Rp 61.114.753. Sedangkan, pada portofolio investasi yang terdiri dari lima saham memiliki Indeks Treynor sebesar 0.000247 dengan estimasi risiko expected shortfall sebesar Rp 68.902.285. Berdasarkan estimasi risiko expected shortfall yang diperoleh menunjukkan bahwa portofolio investasi yang mengkombinasikan dengan aset bebas risiko dapat meminimalisasi jumlah kerugian dibandingkan dengan portofolio investasi tanpa aset bebas risiko yang hanya menginvestasikan pada saham.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  E. Tandelilin, Portofolio dan Investasi: Teori dan Aplikasi , 1st ed. Yogyakarta: Kanisius, 2010.
[2]  R. T. Rockafellar, S. Uryasev, and others, “Optimization of conditional value-at-risk,” J. risk , vol. 2, pp. 21–42, 2000.
[3]  P. Embrechts, A. McNeil, and D. Straumann, “Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls,” Risk Manag. value risk beyond , vol. 1, pp. 176–223, 2002.
[4]  D. Ruppert, Statistics and Finance: An Introduction , 1st ed. New York: Springer-Verlag, 2014.
[5]  N. Fadilah, “Optimisasi Portofolio Mean-Expected Shortfall (Mean- ES) pada Saham Sektor Energi dan Pertambangan,” Universitas Padjajaran, 2020.
[6]  J. Hartono, Teori Portofolio dan Analisis Investasi , 11th ed. Jakarta: BPFE, 2017.
[7]  H. Markowitz, J. Guerard, G. Xu, and B. Beheshti, “Financial anomalies in portfolio construction and management,” J. Portf. Manag. , vol. 47, no. 6, pp. 51–64, 2021.
[8]  F. Caccioli, I. Kondor, and G. Papp, “Portfolio optimization under expected shortfall: Contour maps of estimation error,” Quant. Financ. , vol. 18, no. 8, pp. 1295–1313, 2018.
[9]  Y. Saepudin, H. Yasin, and R. Santoso, “Analisis risiko investasi saham tunggal syariah dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES),” J. Gaussian , vol. 6, no. 2, pp. 271–280, 2017.
[10]  D. Luknanto, Pengantar Optimasi Non Linier , 1st ed. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada, 2000.