Liek Wilardjo
ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG :
KEPANGGAHANNYA DENGAN PENGGETAR

## SELARAS RATAH

## Liek Wilardjo
Program Studi Teknik Elektro, Fakultas Teknik – UKSW Jalan Diponegoro 52-60, Salatiga 50711

## INTISARI
Ditunjukkan bahwa eigennilai Hamiltonan Penggetar Selaras Linear ( Linear Harmonic Oscillator ) ialah ω h ) ( 2 1 + = n E n , dengan tenaga keadaan dasarnya,
ω h 2 1 = o E ,  yang  dapat  juga  diperoleh  dengan  menerapkan asas ketakpastian Heisenberg.

## 1. PENGANTAR
Dalam  Mikroelektronika  dipakai  untai  terangkun  yang  disebut IC ( integrated circuit ).  Untai  terangkun  itu  berupa  cebis  renik  ( microchip )  yang  disusun  dari gerbang-gerbang  logika  dengan  arsitektur  tertentu,  sehingga  sistem  itu  dapat melakukan  fungsi  yang  sesuai  dengan  rancangannya.    Dalam  rangkunan  berskala sangat  besar  (VLSI),  cebis  berukuran  satu  inci  persegi  dapat  memuat  ratusan  ribu gerbang.  Komponen  utama  dari  gerbang  itu  berupa  peranti  ( device )  yang  disebut transistor  efek  medan  semipenghantar-oksida  logam  (TEMSOL)  atau MOSFET ( Metal-Oxide  Semiconductor  Field  Effect  Transistor ).  Berfungsinya  TEMSOL ditentukan  oleh  sifat-sifat  bahan-bahan penyusunnya dan perlakuan  yang dikenakan pada  bahan-bahan  itu.  Ini  semua  ditelaah  dalam  Fisika  yang  didasarkan  pada Mekanika Kuantum.

## 2. ASAS KETAKPASTIAN
Salah  satu  asas  yang  paling  penting  dalam  Mekanika  Kuantum  ialah  Asas Ketakpastian.  Asas  ini  menyatakan  bahwa  pasangan  amatan  sekawan  ( conjugate observables )  tidak  dapat  kedua-duanya  ditentukan  dengan  pasti.  Pasangan  amatan, misalnya P dan Q , disebut sekawan kalau komutatornya memenuhi persamaan
I Q P ij j i i δ h − = ] . [ ............ (1)
Komutator  dari  pengandar-pengandar P dan Q ,  yakni [ P , Q ] = PQ – QP , dapat ditentukan  dengan  memakai  representasi Schroedinger, dengan Q i ∂ ∂ − = h P dan Q = Q :
[ P , Q ] ψ = PQ ψ - QP ψ ) ( ) ( Q i Q Q Q ih ∂ ∂ − − ∂ ∂ − = ψ ψ h ) ) ( Q Q i Q Q ih ∂ ∂ + ∂ ∂ + − = ψ ψ ψ h
= − i h ψ = − i h I ψ .
Jadi, [ P , Q ] = − i h I atau lebih jelas lagi,
[ P k , Q l ] = − i δ k l I .
Dapat  juga  komutator  itu  diperoleh  dari  kurung  Poissonnya, via Asas Kebersesuaian ( Correspondence Principle ) Bohr.
Secara matematis, Asas Ketakpastian ditulis
h 2 1 ≥ ∆ ⋅ ∆ q p ............ (2)
Dalam (2), ∆ p dan ∆ q berturut-turut ialah ketakpastian hasil pengukuran pusa ( momentum ) p ,  dan  ketakpastian  hasil  pengukuran  kedudukan  (posisi) q .  Kalau p diketahui dengan pasti,  berarti ketakpastiannya ∆ p = 0, maka menurut (2) ∆ q = ∞ , artinya  posisi  zarah  yang  pusanya  diketahui  dengan  pasti  itu  bisa  di  mana  saja; dengan kata lain, sama sekali tidak dapat ditentukan.
Liek Wilardjo
Asas  Ketakpastian  ditemukan  oleh  Werner  Heisenberg.  Albert  Einstein,  yang meyakini  bahwa  Fisika  itu  deterministik,  menentang  Mekanika  Kuantum. Pernyataannya yang terkenal ialah: "Tuhan tidak main dadu." Sebaliknya, Niels Bohr yakin  benar  bahwa  Fisika  itu  indeterministik,  apa  lagi  di  dunia  renik  ( in  the microworld ). Konon Bohr  menjawab Einstein dengan mengatakan: "Tuhan memang tidak main dadu, tetapi kadang-kadang Ia melemparkan dadu ke arah yang tidak kita ketahui."  Dalam  debat  antara  kubu  Einstein  dan  kubu  Bohr,  akhirnya  diputuskan bahwa  yang  menang  ialah kubu Bohr. Einstein mengakui bahwa kubu lawannya itu memang  lebih  panggah  (konsisten).  Ia  mengaku  kalah  dalam  sebuah  pertempuran, tetapi  "perang  belum  usai".    "Perang"  itu  sampai  sekarang  masih  berkecamuk, dengan  Roger  Penrose  sebagai  "jendral"nya  kubu  Einstein  dan  Stephen  Hawking sebagai "komandan"nya kubu Bohr.
Meskipun  berseberangan  paham  dengan  ilmuwan-ilmuwan  di  kubu  Mekanika Kuantum, Einstein jugalah yang bersama dengan Bohr mengusulkan Heisenberg dan Erwin  Schroedinger  (yang  juga  perintis  Mekanika  Kuantum)  sehingga  mereka mendapat  hadiah  Nobel.  Padahal  sejak  masih  menjadi  guru  besar  di  Universitas Jerman  di  Praha,  Einstein  sinis  sekali  terhadap  para  fisikawan  yang  meng ugemi Mekanika Kuantum.
Seperti P dan Q ,  amatan  atau  pengandar  ( operator )  tenaga  total,  yakni Hamiltonan H , dan pengandar waktu T juga merupakan pasangan yang sekawan:
[ ] I T H l l h k k i δ − = ............ (3)
sehingga, menurut asas ketakpastian Heisenberg,
h 2 1 . ≥ ∆ ∆ t E ............
(4)
Asas Ketakpastian Heisenberg dapat diturunkan dengan memakai komutator dan sifat-sifat  serta  hubungan  antar  pengandar-pengandar  Hermite-an.  Penurunan  atau pembuktiannya  secara  matematis  ada  di  semua  buku  Mekanika  Kuantum,  seperti bukunya  Merzbacher,  bukunya  Newing  dan  Cunningham,  bukunya  Messiah,  dsb. Powel  dan  Craseman  (1961)  membuktikannya  dengan  memakai  representasi Schroedinger.  Di  sini  hanya  akan  ditunjukkan  bahwa  penggunaan  asas  itu  dalam
Penggetar  Selaras  Linear  memberikan  tenaga  keadaan  dasar  ( ground  state  energy ) yang  sama  dengan  yang  diperoleh  dengan  menyelesaikan  persamaan  Schroedinger. Cara  untuk  meyakinkan  kebenaran  asas  ketakpastian  Heisenberg  ini  sesuai  untuk diberikan kepada pemula dalam Mekanika Kuantum, yakni para mahasiswa semester kedua dalam program S 1 , sebab mereka sudah cukup akrab dengan penggarapan soal penggetar selaras linear secara klasik. Pemanfaatan keakraban dengan Fisika Klasik, khususnya  tentang  gelombang  tegak  ( standing  wave )  juga  dipakai  untuk mendapatkan aras-aras tenaga ( energy levels ) atom Hidrogen, tanpa harus menerima postulat  Bohr  tentang  pencatuan  (kuantisasi)  pusa  sudut  ( angular  momentum )nya, yang dalam teori Bohr itu terasa sebagai ketentuan yang ditambahkan secara ad hoc (Wilardjo, 2001).

## 3. PENGGETAR SELARAS LINEAR
massa m ,  dapat  bergetar  pada  arah ± x .  Kalau  pengaruh  gesekan  diabaikan, getarannya selaras. Sistem semacam itulah yang disebut penggetar selaras linear. Menurut hukum Newton II,
x m F & & = ............
(5)
dan menurut hukum Hooke
kx F − = ............
(6)
Maka
x m kx & & = − ,   atau 0 ) / ( = + x m k x & & ............ (7)
Penyelesaian persamaan diferensial (7) ialah
) ( exp t i x ω ± ∝ ,
yang dapat kita tulis:
t A x ω sin = ............ (8) x k            m O
Sistem  berupa  pegas  yang  tetapan kekakuan  ( stiffness  constant )nya k dan pangkalnya  tertambat  ( fixed )  di  posisi x = 0, sedang di ujungnya yang bebas terdapat
dengan m k / = ω ............ (9)
Tenaga gerak sistem ini ialah
m p x m K 2 / 2 2 2 1 = = & ............ (10)
sedang tenaga potensialnya
2 2 1 x k V = yang dengan (9) menjadi
2 2 2 1 x m V ω = ............
(11)
sehingga tenaga totalnya
2 2 2 1 2 2 / x m m p E ω + = ............
(12)
Tenaga  total  atau  Hamiltonan  klasik  ini  diungkapkan  dalam  Mekanika  Kuantum sebagai pengandar Hamilton:
2 2 2 1 2 2 / X P H ω m m + = ............ (13)
Eigennilai H tidak negatif, sebab dalam suatu eigenkeadaan ψ n
0 H 2 2 2 1 2 2 1 ≥ + = = X P ω m E m n
Kalau E n ialah eigennilai H , maka demikian pula E n ± h ω , asalkan E n − h ω ≥ 0. Berikut ini bakatnya:
[ ] [ ] [ ] P X P P P H , , , 2 2 2 1 2 2 1 ω m m + = = ) ( 0 2 2 2 2 1 PX XPX XPX P X − + − + ω m = ) ( 2 2 2 2 1 PX XPX XPX P X − + − ω m = ) ] , [ ] , [ ( 2 2 1 X P X P X X + ω m = ] , [ 2 2 2 1 P X X ⋅ ω m
yang dengan (1) menjadi m ω 2 . i h X .
Jadi,
[ H, P ] = i h m ω 2 X .
Dengan cara yang sama dan memakai (1) lagi, kita dapatkan:
[ H, X ] = − ( i h / m ) P .
Maka,
[ H, P ± im ω X ]   =  [ H, P ] ± im ω [ H , X ] = i h m ω 2 X ± im ω ( − i h /m ) P = i h m ω 2 X ± h ω P = ± h ω ( P ± im ω X )      .......... (14)
Karena
[ H, P ± im ω X ]   = H (P ± im ω X ) − ( P ± im ω X ) H ,
maka H ( P ± im ω X ) ψ n = ± h ω (P ± im ω X ] ψ n + ( P ± im ω X ) H ψ n , = ± h ω (P ± im ω X ] ψ n + ( P ± im ω X ) E n ψ n , =  ( E n ± h ω ) ( P ± im ω X ) ψ n . Jadi, H( P ± im ω X ) ψ n = ( E n ± h ω ) ( P ± im ω X ) ψ n .     .......... (15)
Persamaan  (15)  menunjukkan  bahwa (  P ± im ω X ) ψ n adalah  eigenkeadaan  dari pengandar H yang bersangkutan dengan eigennilai ( E n ± h ω ). Maka E n = E 0 + n h ω ; di  sini E 0 ialah  nilai  tenaga  yang  paling  rendah,  yakni  tenaga  keadaan  dasar,  dan n ialah sebuah bilat (bilangan bulat) positif.

## Kita tinjau sekarang
H( P − im ω X ) ψ 0 =    ( E 0 ± h ω ) ( P − im ω X ) ψ 0 ( P − im ω X ) ψ 0 mustahil merupakan eigenkeadaan tenaga yang terendah. Karena itu, persamaan di atas hanya dipenuhi kalau ( P − im ω X ) ψ 0 = 0.
Maka ( P + im ω X ) ( P − im ω X ) ψ 0 = 0 ( P 2 + im ω X P − im ω PX + m 2 ω 2 X 2 ) ψ 0 = 0 ( P 2 + im ω [ X , P ] + m 2 ω 2 X 2 ) ψ 0 = 0 (2 m ( P 2 / 2 m +  m ω 2 X 2 ) + im ω [ X , P ] ) ψ 0 = 0
[2 m H + im ω ( i h I )] ψ 0 = 0 (2 m H − m h ω I ) ψ 0 = 0 (2 H − h ω I ) ψ 0 = 0 2 H ψ 0 = h ω I ψ 0 = h ω ψ 0 ,
sehingga
H ψ 0 = 2 1 h ω ψ 0 = E 0 ψ 0
Karena E n = E 0 + n h ω , maka
E n = ( n + 2 1 ) h ω .......... (16)
dengan n =  0, 1, 2, ..........
Persamaan  (16)  memberikan  eigennilai-eigennilai  dari  pengandar  Hamilton  yang bersangkutan  dengan  eigenkeadaan-eigenkeadaan  penggetar  selaras  linear.  Dengan kata lain, E n ialah aras tenaga ke- n dari penggetar selaras linear, sedang E 0 = 2 1 h ω ialah aras tenaganya yang paling rendah, yang juga disebut tenaga keadaan dasar.

## 4. KEPANGGAHAN DENGAN ASAS KETAKPASTIAN
Bahwa tenaga keadaan dasar itu 2 1 h ω , dan bukan 0, panggah (konsisten) dengan asas ketakpastian Heisenberg, sebab kalau nol, maka pusanya juga nol, berarti tidak bergerak,  alias  posisinya  tertentu  dan  tidak  berubah-ubah.  Tetapi  kalau  pusa  dan posisinya  (kedua-keduanya)  pasti,  ini  melanggar  asas  ketakpastian  Heisenberg. Dengan argumen " reductio ad absurdum " ini sudah kita tunjukkan bahwa persamaan (16) konsisten dengan persamaan (2).
Untuk  lebih  meyakinkan  kepanggahan  ini,  akan  ditunjukkan  bahwa  tenaga keadaan  dasar E o = 2 1 h ω itu  dapat diperoleh dengan  menerapkan asas ketakpastian (2).
Untuk penggetar selaras linear klasik persamaan (8) memberikan posisi di saat t , yakni
x = A sin ω t . Maka x 2 = A 2 sin 2 ω t , dan rerata waktunya :
        = ∫ T t d t T A x 0 2 2 2 sin 1 ω         − = ∫ T t d t T A 0 2 1 2 ) 2 cos 1 ( 1 ω T t t T A 0 2 2 sin 2 1 2     − = ω ω ) 0 ( 2 2 − = T T A 2 2 1 A = Dari (8) diperoleh t A x ω ω cos = & , sehingga t A m x m p ω ω cos = = & dan t A m p ω ω 2 2 2 2 2 cos = , ) cos 1 ( 0 2 2 2 2 2 ∫ = T dt t T A m p ω ω 2 2 2 2 1 ω A m .
Tenaga  total  =  tenaga  gerak  +  tenaga  potensial.  Di  saat  simpangan  penggetar  itu maksimum            ( x m =    A ),  tenaga  geraknya  nol,  sehingga  tenaga  total  =  tenaga potensial maksimum = 2 2 2 1 A m ω . Jadi 2 2 2 1 A m E ω = .
Bila dinyatakan dengan E ini, kita dapatkan bahwa
2 2 ω m E x = dan m E p = 2 , sehingga
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ω ω E m E m E p x = =
Untuk getaran kecil, ruas kiri dapat ditafsirkan sebagai ( ∆ x ) 2 ( ∆ p ) 2 . Maka ω ω E E p x = = ∆ ⋅ ∆ 2 2 Tetapi menurut Heisenberg, h 2 1 ≥ ∆ ⋅ ∆ p x ,
berarti nilainya paling rendah (untuk keadaan dasar, E o )
ω 0 2 1 E p x = = ∆ ⋅ ∆ h .
Dari sini kita dapatkan :
ω h 2 1 0 = E ( Q.E.D ;  quod erat demonstrandum )

## 5. SIMPULAN
Asas ketakpastian Heisenberg dijelaskan artinya tetapi hanya diberikan ungkapan matematisnya, tanpa penurunan. Dengan menggunakan pengandar pusa P , pengandar posisi X ,  dan  pengandar  Hamilton H serta  hubungan  mereka,  diperoleh  aras-aras tenaga  penggetar  selaras  linear, termasuk  aras tenaganya  yang paling rendah,  yakni tenaga keadaan dasar, ω h 2 1 0 = E . Kemudian ditunjukkan kepanggahan antara asas
ketidakpastian  Heisenberg  dan  aras-aras  tenaga  penggetar  selaras  linear,  dengan mendapatkan  tenaga  keadaan  dasarnya  dengan  menerapkan  asas  Heisenberg  pada penggetar selaras linear klasik.

## ACUAN
1.  Powell,  John  L.  &  Bernd  Craseman: Quantum  Mechanics ,  Addison-Wesley,
Reading (Mass.), 1961, p.72-73
2.  Wilardjo, L.: " Using Standing-Wave Pattern to Explain Quantization ", Proc. 1 st Kentingan Physics Forum , July 23 rd – 24 th , 2001
3.  Young, Hugh D. & Robert A. Freedman: University Physics , 12 th ed., Addison- Wesley, San Francisco, 2007, Chapters 40 & 41