JURNAL FOURIER | Oktober 2017, Vol. 6, No. 2, 45-54

## Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Chikungunya Dengan Dua Jenis Nyamuk Ades

## ( Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus )

## Farida Amanati dan Muhammad Wakhid Musthofa
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Farida Amanati, Email: amanatifarida@gmail.com

## Abstrak
Demam  Chikungunya  adalah  penyakit  yang  disebabkan  oleh  nyamuk Aedes  Aegepty dan Aedes  Albopictus. Pengobatan  untuk  demam  Chikungunya  hanya  dengan  pengobatan  secara  simptomatik  yaitu  hanya  mengurangi gejalanya saja seperti penurun panas, gejala nyeri sendi. Dalam tulisan ini mempelajari tentang model matematika penyebaran virus Chikungunya dengan dua jenis Nyamuk Aedes pembawa virus Chikungunya berdasarkan asumsi –  asumsi  yang  telah  dibuat.  Dalam  model  ini  dihasilkan  titik  ekulibrium  bebas  penyakit  dan  endenik, basic reproduction ratio, dan analisis kestabilan model di sekitar titik ekuilibrium. Kestabilan titik ekuilibrium dijelaskan secara analisis dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Simulasi diberikan sebagai bentuk pendekatan model terhadap nilai – nilai parameter yang diberikan.
Kata Kunci Demam Chikungunya; model matematika; basic reproduction ratio; titik ekulibrium; kriteria Routh- Hurwitz

## Abstract
Chikungunya  fever  is  a  disease  caused  by Aedes  Aegepty and Aedes  Albopictus mosquitoes.  Treatment  for Chikungunya  fever  only  with  symptomatic  treatment  that  only  reduces  symptoms  such  as  fever,  painful  joint symptoms. In this paper learn about the mathematical model of Chikungunya virus spread with two types of Aedes mosquito  carrying  Chikungunya  virus  based  on  assumptions  that  have  been  made.  In  this  model  the  resulting disease-free endenic ends, the basic reproduction ratio, and the model stability analysis around the equilibrium point. The stability of the equilibrium point is explained analytically by using Routh-Hurwitz criteria. The simulation is given as a model approach to the given parameter values.
Keywords Chikungunya fever, mathematical model, basic reproduction ratio, equilibrium point, Routh-Hurwitz criterion

## Pendahuluan
Demam Chikungunya adalah suatu jenis penyakit menular  yang disebabkan oleh virus Chikungunya (CHIK) yang termasuk dalam famili Togaviridae, genus Alphavirus. Penyebaran virus ini dapat ditularkan melalui gigitan nyamuk Aedes yaitu Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus  (Depkes RI , 2003). Penyakit demam Chikungunya menyerang semua usia, baik usia anak dewasa maupun lanjut usia.Virus CHIK menyerang manusia dan hewan, namn nyamuk Aedes ini lebih menyukai darah manusia dari pada binatang (Suripstiastuti, 2007).
Penelitian ini bertujuan untuk menyajikan bentuk kerangka model matematika dan memformulasikan ke dalam persamaan matematika setiap vektor penyebar demam Chikungunya. Beberapa konsep yang dipakai  dalam  penelitian  ini  adalah  operasi  matriks,  ruang  vektor,  nilai  eigen  dan  vektor  eigen, persamaan diferensial, integral, sistem dinamik, titik ekuilibrium dan kestabilan titik ekuilibrium, matriks jacobian, linearisasi sistem, kriteria Routh-Hurwitz, basic reproduction ratioi. Konsep – konsep tersebut bermanfaat untukk menyelesaikan masalah di dunia nyata.
Berdasarakan  uraian  diatas  maka  penulis  tertarik  untuk  mengangkat  jurnal“Model  Matematika Penyebaran Penyakit Demam Chikungunya dengan Dua Jenis Nyamuk Ades (Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus).
Berdasarakan latar belakang diatas maka permasalahan yang timbul adalah a). Bagaimana model matematika pada penyebaran penyakit demam Chikungunya b). Bagaimana cara melakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium keseimbangan c). Bagaimana cara melakukan simulasi model.

## Pembahasan
Gejala  umum  yang  terkena  demam  Chikungunya  adalah  demam  mendadak  tinggi  biasanya sampai 39 o C  -  40 o C,  menggigil,  muka  kemerahan,  mual,  muntah,  nyeri  kepala  dan  timbul  bintik  –  bintik kemerahan terutama di daerah badan. Gejala khas dari demam Chikungunya yaitu nyeri sendi terutama di sendi siku, lutut, pergelangan tangan dan kaki yang berlangsung beberapa hari sampai satu minggu (Suharto, 2003).
Demam Chikungunya termasuk Self Limiting Disease atau penyakit yang sembuh dengan sendirinya. Belum ada vaksin maupun obat khusus untuk penyakit ini. Pengobatan yang diberikan hanya dengan menghilangkan segala gejalanya yaitu dengan menggunakan obat  turun panas dan obat penghilang rasa ngilu. Nyamuk Aedes lebih menyukai darah manusia dari pada binatang.  Darahnya diperlukan untuk mematangkan telur jika dibuahi oleh nyamuk jantan sehingga menetas (Suriptiastuti, 2007). Virus Chikungunya ditularkan dari orang sakit demam Chikungunya ke orang sehat melalui gigitan nyamuk Aedes Aegepty (Depkes RI, 2003).
Penularan Chikungunya ditularkan melalui tusukan nyamuk Aedes Aegepty atau Aedse Albopictus. Nyamuk  dapat  menjadi  berpotensi  menularkan  penyakit  bila  pernah  menusuk  penderita  demam Chikungunya.  Nyamuk  yang  terinfeksi  virus  Chikungunya  akan  menularkan  penyakit  bila  menusuk yang sehat. Chikungunya bersifat sporadis artinya di berbagai tempat timbul serangan berskala kecil, misalnya  mengenai  beberapa  desa,  sehingga  penyebaran  tidak  merata. Meskipun penyakit  ini  tidak menyebabkan kematian, akan tetapi sangat meresahkan masyarakat karena penularan virus ini dapat menyebarkan  dengan  cepat  pada  masyarakat  sekitar  dalam  waktu  singkat  (Depkes  RI,  2008).  Oleh karena itu perlu diupayakan pengendalian penyebaran virus Chikungunya secara baik.

## Model Matematika Penyebaran Demam Chikungunya
Berdasarkan penjabaran informasi tentang demam Chikungunya yang ada selanjutnya diberikan asumsi – asumsi dalam pembentukan model. Berikut asumsi – asumsi yang dibuat dalam pembentukan modelnya a. Total popolasi manusia konstan.
b. Total populasi nyamuk Aedes (Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus) konstan.
c. Laju kelahiran dan laju kematian dianggap sama.
d. Dalam satu wilayah hanya terdapat populasi manusia dan nyamuk.
e. Populasi nyamuk dalam satu wilayah yang membawa virus Chikungunya yaitu Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus.
f. Setiap individu yang terdapat pada populasi memiliki kemungkinan tergigit
g. Tingkatan gigitan nyamuk terinfeksi lebih tinggi dari pada nyamuk rentan.
h. Individu nyamuk yang terkena virus tidak dapat disembuhkan.
i. Virus  Chikungunya  dapat  ditularkan  dari  orang  sakit  (individu  terinfeksi)  kepada  orang  sehat (individu rentan) melalui gigitan nyamuk.
j. Terjadi penyembuhan dari individu terinfeksi, yang kemudian tidak kembali lagi ke kelas rentan.
Model yang mendekati informasi - informasi yang ada dan asumsi yang diberikan adalah  Model matematika  penyebaran  penyakit  demam  chikungunya  dengan  dua  jenis  nyamuk Ades.  Digram transnsfernya diberikan pada gambar 1.
Gambar 1 Diagram Transfer Penyebaran Demam Chikungunya dengan Dua Jenis Nyamuk Aedes (Aedes Aegepty dan Aedes Albopictus).
Populasi  manusia  dibagi  menjadi  tiga  bagian  yaitu  populasi  manusia  kelas  rentan  dilambangkan dengan  ( 𝑆 ℎ ),  populasi  manusia  kelas  terinfeksi  dilambangkan  dengan  ( 𝐼 ℎ ),  populasi  manusia  kelas sembuh dilambangkan dengan ( 𝑅 ℎ ).
Populasi nyamuk pembawa virus Chikungunya dibagi menjadi dua kelas yaitu nyamuk pada kelas rentan  dan  nyamuk  pada  kelas  terinfeksi.  Populasi  nyamuk Aedes  Aegepty  pada  kelas  rentan dilambangkan  dengan  ( 𝑆 𝑚1 ),  populasi  nyamuk Aedes  Albopictus  pada  kelas  rentan  dilambangkan dengan  ( 𝑆 𝑚2 ).  Populasi  nyamuk Aedes  Aegepty  pada  kelas  terinfeksi  dilambangkan  dengan  ( 𝐼 𝑚1 ), Populasi nyamuk Aedes Albopictus pada kelas terinfeksi dilambangkan dengan ( 𝐼 𝑚2 ).
Total populasi manusiadilambangkan dengan 𝑁 ℎ . Total populasi nyamuk dilambangkan dengan 𝑁 𝑚 yaitu jumlah total dari populasi nyamuk Aedes Aegepty ( 𝑁 𝑚1 ) dan populasi nyamuk Aedes Albopictus ( 𝑁 𝑚2 ).
Parameter – parameter yang digunakan yaitu 𝜇 ℎ sebagai laju kematian manusia, 𝜇 𝑚1 sebagai laju kematian nyamuk Aedes Aegepty, 𝜇 𝑚2 sebagai laju kematian nyamuk Aedes Albopictus. 𝜆 ℎ sebagai laju kelahiran manusia. 𝐴 1 sebagai laju perekrutan nyamuk Aedes Aegepty. 𝐴 2 sebagai laju perekrutan nyamuk Aedes Albopictus. 𝛾 ℎ sebagai laju transmisi virus Chikungunya dari manusia pada nyamuk Aedes. 𝛾 𝑚1 sebagai laju transmisi virus Chikungunya dari nyamuk Aedes Aegepty pada manusia. 𝛾 𝑚2 sebagai laju transmisi virus Chikungunya dari nyamuk Aedes Albopictus  pada manusia. 𝑟 ℎ sebagai laju penyembuhan manusia.
Model matematika dari diagram transfer diatas merupakan sistem persamaan difernsial biasa dengan 7 variabel yaitu 𝑆 ℎ , 𝐼 ℎ , 𝑅 ℎ , 𝑆 𝑚1 , 𝐼 𝑚1 , 𝑆 𝑚2 , 𝐼 𝑚2 . Sistem persamaan diferensial dari gambar 1 tersebut diberikan di bawah ini
𝑑𝑆̅ ℎ 𝑑𝑡 = 𝜆 ℎ 𝑁 ℎ − (𝛾 𝑚1 𝐼̅ 𝑚1 + 𝛾 𝑚2 𝐼̅ 𝑚2 )𝑆̅ ℎ − 𝜇 ℎ 𝑆̅ ℎ (1a)
𝑑𝐼̅ ℎ 𝑑𝑡 = (𝛾 𝑚1 𝐼̅ 𝑚1 + 𝛾 𝑚2 𝐼̅ 𝑚2 )𝑆̅ ℎ − 𝜇 ℎ 𝐼̅ ℎ − 𝑟 ℎ 𝐼̅ ℎ (1b)
𝑑𝑅̅ ℎ 𝑑𝑡 = 𝑟 ℎ 𝐼̅ ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅̅ ℎ (1c)
𝑑𝑆̅ 𝑚1 𝑑𝑡 = 𝐴 1 − 𝛾 ℎ 𝐼̅ 𝑚1 𝑆̅ 𝑚1 − 𝜇 𝑚1 𝑆̅ 𝑚1 (1d)
𝑑𝐼̅ 𝑚1 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐼̅ ℎ 𝑆̅ 𝑚1 − 𝜇 𝑚1 𝐼̅ 𝑚1 (1e)
𝑑𝑆̅ 𝑚2 𝑑𝑡 = 𝐴 2 − 𝛾 ℎ 𝐼̅ 𝑚2 𝑆̅ 𝑚2 − 𝜇 𝑚2 𝑆̅ 𝑚2 (1f)
𝑑𝐼̅ 𝑚2 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐼̅ ℎ 𝑆̅ 𝑚2 − 𝜇 𝑚2 𝐼̅ 𝑚2 (1g)
Dari persamaan diatas terdapat persamaan (1c), (1d), (1f) dihapus dengan asumsi bahwa populasi manusia dan nyamuk adalah konstan, serta 𝑅̅ ℎ = 𝑁 ℎ − 𝑆̅ ℎ − 𝐼̅ ℎ , 𝑆̅ 𝑚1 = 𝑁 𝑚1 − 𝐼̅ 𝑚1 , 𝑆̅ 𝑚2 = 𝑁 𝑚2 − 𝐼̅ 𝑚2 . Jumlah variabel dependen (yang memepengaruhi atau terikat) diturunkan menjadi empat,, yaitu 𝑆 ℎ , 𝐼 ℎ , 𝐼 𝑚1 , 𝐼 𝑚2 . Untuk menganalisis model dengan menormalkan persamaan (1a  –  1g) dan mendefinisikan variabel baru pada persamaan – persamaan berikut:
𝑆 ℎ = 𝑆̅ ℎ 𝑁 ℎ , 𝐼 ℎ = 𝐼̅ ℎ 𝑁 ℎ , 𝑅 ℎ = 𝑅̅ ℎ 𝑁 ℎ 𝑆 𝑚1 = 𝑆̅ 𝑚1 𝑁 𝑚1 = 𝑆̅ 𝑚1 𝐴 1 (𝜇 𝑚1 ) ⁄ , 𝐼 𝑚1 = 𝐼̅ 𝑚1 𝑁 𝑚1 = 𝐼̅ 𝑚1 𝐴 1 (𝜇 𝑚1 ) ⁄ (2a)
𝑆 𝑚2 = 𝑆̅ 𝑚2 𝑁 𝑚2 = 𝑆̅ 𝑚2 𝐴 2 (𝜇 𝑚2 ) ⁄ , 𝐼 𝑚2 = 𝐼̅ 𝑚2 𝑁 𝑚2 = 𝐼̅ 𝑚2 𝐴 2 (𝜇 𝑚2 ) ⁄
Karena total populasi manusia dan  nyamuk konstan, kemudian laju perubahan populasi manusia selama selang waktu sama dengan zero, diperoleh persamaan 𝑑𝑆̅ ℎ 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼̅ ℎ 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = 0 𝛾 ℎ→𝑚1 ( 𝛾 𝑚1 ) adalah tingkat penularan virus chikungunya dari manusia terinfeksi ke populasi nyamuk Aedes Aegepty yang rentan. Tingakat gigitan nyamuk ( 𝑏 ) yang kemungkinan bahwa akan tertular virus chikungunya dari populasi manusia ke populasi nyamuk Aedes Aegepty yaitu 𝑏𝛽 ℎ→𝑚1 dibagi dengan total populasi nyamuk (𝑁 𝑚 ) .
𝛾 ℎ→𝑚1 = 𝑏𝛽 ℎ→𝑚1 𝑁 𝑚 (2b)
𝛾 ℎ→𝑚2 ( 𝛾 𝑚2 ) adalah tingkat penularan virus chikungunya dari manusia terinfeksi ke populasi nyamuk Aedes Albopictus yang rentan. Tingakat gigitan nyamuk ( 𝑏 ) yang kemungkinan bahwa akan tertular virus chikungunya dari populasi manusia ke populasi nyamuk Aedes Albopictus yaitu 𝑏𝛽 ℎ→𝑚2 dibagi dengan total populasi nyamuk (𝑁 𝑚 ) .
𝛾 ℎ→𝑚2 = 𝑏𝛽 ℎ→𝑚2 𝑁 𝑚 (2c)
Diasumsikan bahwa tingkat transmisi (penularan) virus chikungunya dari populasi manusia terinfeksi ke populasi kedua nyamuk adalah sama.
𝛾 ℎ→𝑚1 = 𝛾 ℎ→𝑚2 = 𝛾 ℎ dan 𝑁 𝑚 = 𝑁 𝑚1 + 𝑁 𝑚2 (2d)
Model yang diturunkan adalah menggambarkan persamaan yang dirinci sebagai berikut:
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ (1 − 𝑆 ℎ ) − 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 (𝜇 𝑚1 ))𝐼 𝑚1 ⁄ 𝑆 ℎ − 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 (𝜇 𝑚2 ))𝐼 𝑚2 ⁄ 𝑆 ℎ (3a)
𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 (𝜇 𝑚1 ))𝐼 𝑚1 ⁄ 𝑆 ℎ + 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 (𝜇 𝑚2 ))𝐼 𝑚2 ⁄ 𝑆 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝑟 ℎ )𝐼 ℎ (3b)
𝑑𝐼 𝑚1 𝑑𝑡 =   𝛾 ℎ 𝐼 ℎ 𝑁 ℎ (1 − 𝐼 𝑚1 ) − 𝜇 𝑚1 𝐼 𝑚1 (3c)
𝑑𝐼 𝑚2 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐼 ℎ 𝑁 ℎ (1 − 𝐼 𝑚2 ) − 𝜇 𝑚2 𝐼 𝑚2 (3d)

## Analisa Model
Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Suatu  keadaan  dimana  titik  tidak  terjadi  penyebaran  virus  dalam  populasi.  Titik  ekuilibrium  dapat dicari dengan cara turunan pertamanya atau persamaan (3a) – (3d) sama dengan nol. Untuk keadaan ini pada saat 𝐼 ℎ = 0 , 𝐼 𝑚1 = 0 , 𝐼 𝑚2 = 0 .
Sehingga diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit sebagai berikut 𝐸 0 = (1,0,0,0) .
Titik Ekuilibrium Endemik
Suatu  keadaan  dimana  titik  terjadi  keseimbangan  pada  saat  penyebaran  virus  di  dalam  populasi, dengan keadaan 𝐼 ℎ ≠ 0 , 𝐼 𝑚1 ≠ 0 , 𝐼 𝑚2 ≠ 0 . Sehingga diperoleh titik – titiknya di bawah ini
𝐼 ℎ ∗ = 𝑀 2 𝑃 1 +𝑀 1 𝑃 2 𝑃 1 +𝑃 2 , 𝐼 𝑚1 ∗ = 𝑀 2 𝑃 1 +𝑀 1 𝑃 2 𝑀 2 𝑃 1 +𝑀 1 𝑃 2 +𝑀 1 (𝑃 1 +𝑃 2 ) , 𝐼 𝑚2 ∗ = 𝑀 2 𝑃 1 +𝑀 1 𝑃 2 𝑀 2 𝑃 1 +𝑀 1 𝑃 2 +𝑀 2 (𝑃 1 +𝑃 2 ) , 𝑆 ℎ ∗ =
𝑀 11 𝑀 22 𝑁 11 𝑀 22 +𝑀 11 𝑁 22 +𝑀 11 𝑀 22 .
Dengan:
𝑃 1 = 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝜇 ℎ 𝜇 𝑚1 , 𝑃 1 = 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝜇 ℎ 𝜇 𝑚2 , 𝑀 1 = 𝛾 𝑚1→ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 ℎ , 𝑀 2 = 𝛾 𝑚2→ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 ℎ , 𝑀 11 =  𝑀 1 𝑃 2 +𝑀 2 𝑃 1 + 𝑀 1 (𝑃 1 + 𝑃 2 ) , 𝑀 22 =  𝑀 1 𝑃 2 +𝑀 2 𝑃 1 + 𝑀 2 (𝑃 1 + 𝑃 2 ) 𝑁 11 = 𝑃 1 (𝑃 1 𝑀 2 +  𝑀 1 𝑃 2 ) , 𝑁 22 = 𝑃 2 (𝑃 1 𝑀 2 +  𝑀 1 𝑃 2 ) .
Sehingga diperoleh titik ekuilibrium endemiknya yaitu 𝐸 1 = (𝑆 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝐼 𝑚1 ∗ , 𝐼 𝑚1 ∗ ) .

## Basic Reproduction Ratio
Basic  reproduction ratio atau disebut bilangan reprodusi dasar, dinotasikan dengan 𝑅 0 , merupakan suatu ukuran potensi penyebaran dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar didefiniikan sebagai nilai  harapan  banyaknya  populasi  rentan  yang  menjadi  terinfeksi  dan  selama  terinfeksi berlangsung. 𝑅 0 mempunyai nilai batas 1, sehingga jika : a). 𝑅 0 < 1 maka individu yang terinfeksi oleh penyakit kemungkinan tidak ada dalam populasi b). 𝑅 0 > 1 maka individu yang terinfeksi ada dalam populasi atau penyakit atau penyakit akan menyabar ke populasi.
Metode  yang  digunakan  untuk  menentukan  nilai 𝑅 0 adalah  metode  matriks  generasi  berikutnya (next generation method). Selanjutnya 𝑅 0 didefinisikan sebagai radius spektral dari matriks generasi berikutnya (Driessche dan Watmough, 2002). Dimulai dengan
𝑥̇ = 𝐹(𝑥) − 𝑉(𝑥) (4)
Didefinisikan  matriks F  merupakan  matriks  infeksi  baru  pada  populasi.  Kemudian  didefinisikan matriks  perpindahan  individu  dari  kelas  yang  satu  ke  kelas  yang  lain  dimibolkan  dengan V.  x merupakan matriks yang dikontruksi dari sub – sub populasi ( 𝑆 ℎ , 𝐼 ℎ , 𝐼 𝑚1 , 𝐼 𝑚1 ) yang menyebabkan infeksi saja.
𝑋 = [ 𝑆 ℎ 𝐼 ℎ 𝐼 𝑚1 𝐼 𝑚2 ] , 𝐹 =
[ 0 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 (𝜇 𝑚1 ))𝐼 𝑚1 ⁄ 𝑆 ℎ 𝑁 ℎ + 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 (𝜇 𝑚2 ))𝐼 𝑚2 ⁄ 𝑆 ℎ 𝑁 ℎ 0 0 ] , 𝑉 = [ −𝜇 ℎ + 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ + 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 (𝜇 𝑚1 ))𝐼 𝑚1 ⁄ 𝑆 ℎ + 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 (𝜇 𝑚2 ))𝐼 𝑚2 ⁄ 𝑆 ℎ (𝜇 ℎ + 𝑟 ℎ )𝐼 ℎ −𝛾 ℎ 𝐼 ℎ 𝑁 ℎ + 𝛾 ℎ 𝐼 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 𝑚1 + 𝜇 𝑚1 𝐼 𝑚1 𝛾 ℎ 𝐼 ℎ 𝑁 ℎ + 𝛾 ℎ 𝐼 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 𝑚2 + 𝜇 𝑚1 𝐼 𝑚2
] .
Selanjutnya 𝐴 = [ 𝜕𝐹 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 (𝐸)] , 𝐵 = [ 𝜕𝑉 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 (𝐸)] untuk semua i,j = 1,2,3,4 adalah matriks jacobian 𝐹 pada saat 𝐸 dan 𝑉 pada saat 𝐸.
Radius spektral dari matriks generasi berikutnya 𝐴𝐵 −1 merupakan bilangan reproduksi dasar untuk sistem (4) pada  titik  ekuilibrium 𝐸 sehingga  diperoleh 𝑅 0 = 𝜌(𝐴𝐵 −1 ) , nilai eigen non-negatif dari matriks 𝐴𝐵 −1 yaitu radius spektral.
Untuk model diatas , matriks jacobian diperoleh
𝐴(𝐸 0 ) = [ 0 0
0 0 0 0 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 (𝜇 𝑚1 )) ⁄ 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 (𝜇 𝑚2 )) ⁄ 0 0 0 0 0 0 0 0 ] 𝐵(𝐸 0 ) = [ 𝜇 ℎ 0 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) ⁄ 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 𝜇 𝑚2 ) ⁄ 0 𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ 0                                          0 0 0 −𝛾 ℎ 𝑁 ℎ −𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝜇 𝑚1 0 0 𝜇 𝑚2 ]
Matriks invers pada 𝐵(𝐸 0 )
𝐵 −1 (𝐸 0 ) =
[ 1 𝜇 ℎ − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) ⁄ 𝜇 ℎ (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ )𝜇 𝑚1 − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 𝜇 𝑚2 ) ⁄ 𝜇 ℎ (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ )𝜇 𝑚2 − 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) ⁄ 𝜇 ℎ 𝜇 𝑚1 − 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 𝜇 𝑚2 ) ⁄ 𝜇 ℎ 𝜇 𝑚2
0 1 𝑟 ℎ +𝜇 ℎ
0                     0
0 0 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝜇 𝑚1 (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ ) 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝜇 𝑚2 (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ ) 1 𝜇 𝑚1 0 0
1 𝜇 𝑚2 ] 𝐴𝐵 −1 (𝐸 0 ) = [ 0 0 0                   0 0 − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) ⁄ (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ )𝜇 𝑚1 − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 𝜇 𝑚2 ) ⁄ (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ )𝜇 𝑚2 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) ⁄ 𝜇 𝑚1 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 𝜇 𝑚2 ) ⁄ 𝜇 𝑚2 0 0 0 0 0 0 0 0 ] .
Kemudian diperoleh nilai eigen non – negatif dari matriks 𝐴𝐵 −1 (𝐸 0 ) yaitu 𝜌(𝐴𝐵 −1 (𝐸 0 )) , artinya 𝑅 0 = 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚1→ℎ (𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) ⁄ (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ )𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚2→ℎ (𝐴 2 𝜇 𝑚2 ) ⁄ (𝑟 ℎ +𝜇 ℎ )𝜇 𝑚2 .

## Teorema 1
Diberikan 𝐸 0 merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit dari sitem 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) , maka titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 0 stabil aismtotik, jika 𝑅 0 = 𝜌(𝐴𝐵 −1 (𝐸 0 )) < 1 dan tidak stabil jika 𝜌(𝐴𝐵 −1 (𝐸 0 )) > 1.

## Analisis Kestabilan Tititk Ekuilibrium
Kestabilan dari suatu titik ekuilibrium dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen dapat dicari dari persamaan karakteristik (Anton H, 2004) yang merupakan dari determinan matriks jacobian (Olsder, 1994).
Matriks jacobian dari sistem persamaan diferensial (3a) – (3d) disekitar titik ekulibrium.

## Teorema 2
Diberikan sistem persamaan diferensial 𝑥̇ = 𝐴𝑥 dengan suatu matriks 𝑛 × 𝑛 yang mempunyai k nilai eigen berbeda 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑘 dengan 𝑘 ≤ 𝑛
a) Titik ekuilibrium 𝐸 dikatakan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika bagian real 𝜆 𝑖 < 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑘.
b) Titik  ekuilibrium 𝐸 dikatakan  stabil  jika  dan  hanya  jika  bagian  real 𝜆 𝑖 ≤ 0 untuk  setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑘.
c) Titik ekuilibrium 𝐸 dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu bagian real 𝜆 𝑖 > 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑘.
Matriks jacobian model matematika penyebaran demam Chikungunya disekitar titik ekulibrium bebas penyakit 𝐸 0 adalah
𝐽(𝐸 0 ) = [ −𝜇 ℎ 0 − 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝜇 𝑚1 − 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝜇 𝑚2 0 −(𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ ) 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝜇 𝑚1 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝜇 𝑚2 0 0 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ −𝜇 𝑚1 0 0 −𝜇 𝑚2
]
Nilai eigen dapat dicari dengan menyelesaikan det ( 𝐽(𝐸 0 ) − 𝜆𝐼) = 0 . Sehingga diperoleh persamaan karakteristik
(𝜆 + 𝜇 ℎ )(𝜆 3 + 𝑎 1 𝜆 2 + 𝑎 1 𝜆 + 𝑎 3 ) = 0
dengan, 𝑎 1 = 𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚1 + 𝜇 𝑚2 𝑎 2 = (𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜇 𝑚1 + 𝜇 𝑚2 ) + 𝜇 𝑚1 𝜇 𝑚2 − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝜇 𝑚1 − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝜇 𝑚2 𝑎 3 = (𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜇 𝑚1 + 𝜇 𝑚2 ) + 𝜇 𝑚1 𝜇 𝑚2 − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝜇 𝑚2 𝜇 𝑚1 − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝜇 𝑚1 𝜇 𝑚2
Salah satu nilai eigen yang diperoleh adalah 𝜆 1 = −𝜇 ℎ , sehingga 𝜆 1 > 0 . Untuk tiga nilai eigen yang  lain  adalah  solusi  persamaan  kubik.  Tiga  nilai  eigen  dari  persamaan  tersebut  bernilai  negatif dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz (Olsder, 1994) akan stabil asimtotiki lokal ketika koefisen – koefisien diatas memenuhi kondisi
𝑎 1 > 0 , 𝑎 3 > 0 , 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3 .
Matriks  jacobian  model  matematika  penyebaran  demam  Chikungunya  disekitar  titik  ekulibrium Endemik 𝐸 1 adalah
𝐽(𝐸 1 ) =
[ −𝜇 ℎ − 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 − 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2 0 − 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚1 − 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚2 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 + 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2 −(𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ ) 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚1 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚2 0 0 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 𝑚1 ∗ 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 𝑚2 ∗ −𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ −𝜇 𝑚1 0 0 −𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ − 𝜇 𝑚2 ]
Nilai eigen dapat dicari dengan menyelesaikan det ( 𝐽(𝐸 1 ) − 𝜆𝐼) = 0 . Sehingga diperoleh persamaan karakteristik
𝜆 4 + 𝑏 1 𝜆 3 + 𝑏 2 𝜆 2 + 𝑏 3 𝜆 + 𝑏 4 = 0 dengan,
𝑏 1 = 𝑟 ℎ + 2𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚1 + 𝜇 𝑚2 + 2𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ + 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 + 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2
𝑏 2 = (𝜇 𝑚2 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )(𝜇 𝑚1 + 𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )(𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) −(𝛾 ℎ 𝑁 ℎ )(1 − 𝐼 𝑚1 ∗ ) ( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚1 ) − (𝛾 ℎ 𝑁 ℎ )(1 − 𝐼 𝑚2 ∗ ) ( 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚2 ) + (𝜇 ℎ + 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 + 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2 ) (𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚1 + 𝜇 𝑚2 + 2𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) 𝑏 3 = (𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )(𝜇 𝑚2 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) − (𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )(𝛾 ℎ 𝑁 ℎ )(1 − 𝐼 𝑚2 ∗ ) ( 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚2 ) − (𝜇 𝑚2 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )(𝛾 ℎ 𝑁 ℎ )(1 − 𝐼 𝑚1 ∗ ) ( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚1 ) − (𝜇 ℎ + 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 + 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2 )   × {−(𝜇 𝑚2 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )(𝜇 𝑚1 + 𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) − (𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) + (𝛾 ℎ 𝑁 ℎ ) [(1 − 𝐼 𝑚2 ∗ ) ( 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚2 ) + (1 − 𝐼 𝑚1 ∗ ) ( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚1 )]} − ( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 + 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2 )(𝛾 ℎ 𝑁 ℎ ) [(1 − 𝐼 𝑚2 ∗ ) ( 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚2 ) + (1 − 𝐼 𝑚1 ∗ ) ( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝑆 ℎ ∗ 𝜇 𝑚1 )] 𝑏 4 = −(𝜇 ℎ + 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 + 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2 ) {−(𝑟 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )(𝜇 𝑚2 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ )   +
𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝑆 ℎ ∗ [(1 − 𝐼 𝑚1 ∗ )(𝜇 𝑚2 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) ( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) + (1 − 𝐼 𝑚2 ∗ )(𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) ( 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝜇 𝑚2 )]} −
( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝐼 𝑚1 ∗ 𝜇 𝑚1 + 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝐼 𝑚2 ∗ 𝜇 𝑚2 )𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝑆 ℎ ∗ [(1 − 𝐼 𝑚1 ∗ )(𝜇 𝑚2 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) ( 𝛾 𝑚1→ℎ 𝐴 1 𝜇 𝑚1 ) + (1 − 𝐼 𝑚2 ∗ )(𝜇 𝑚1 + 𝛾 ℎ 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ ∗ ) ( 𝛾 𝑚2→ℎ 𝐴 2 𝜇 𝑚2 )]
Untuk empat nilai eigen adalah solusi persamaan karakteristiknya. Empat nilai eigen dari persamaan tersebut  bernilai  negatif  dengan  menggunakan  kriteria  Routh-Hurwitz  (Olsder,  1994),  akan  stabil asimtotiki lokal ketika koefisen – koefisien diatas memenuhi kondisi
𝑏 1 > 0 , 𝑏 3 > 0 , 𝑏 4 > 0 , 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 > 𝑏 3
2 + 𝑏 1 2 𝑏 4 .

## Simulasi Model
Simulasi dilakukan untuk  memberikan nilai  –  nilai untunk  masing –  masing parameter sesuai dengan kondisi 𝑅 0 dan kestimbangan ekuilibrium 𝐸
Dengan  teorema  yang  telah  diberikan  diatas.  Simulasi  dilakukan  untuk  memberikan  gambaran geometris dari teorema kestabilan titik ekuilibrium.
Berikut ini tabel nilai-nilai parameter model untuk penyebaran penyakit demam Chikungunya
Table 1 Nilai-nilai parameter model untuk penyebaran penyakit demam Chikungunya.
Parameter Nilai Parameter Nilai 𝜇 ℎ 1 65 × 365 ⁄ 𝛾 𝑚2→ℎ 0,003 𝑁 ℎ 20000 𝛾 ℎ 0,00001 𝐴 1 90 𝑟 ℎ 0,5 𝐴 2 100
𝜇 𝑚1 1 5 ⁄
𝛾 𝑚1→ℎ 0,0002 𝜇 𝑚2 1 7 ⁄
Nilai 𝑅 0 pada  Teorema  1  disebutkan  bahwa 𝑅 0 < 1 maka  stabil  asimtotik.  Pada  teorema  2 disebutkan  titik  ekuilibrium  stabil  asimsotik  jika  dan  hanya  jika  bagian  real  dari  setiap  nilai  eigen 𝜆 𝑖 < 0 .
Kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit, salah satu nilai eigennya yaitu 𝜆 1 = −0,0004 . Untuk niali  eigen  yang  lain  memenuhi  kondisi  kriteria  Routh-Hurwitz  yaitu 𝑎 1 = 0,84757 > 0 , 𝑎 3 = 0,08657 > 0 , 𝑎 1 𝑎 2 = 0,162988 > 0,08657 = 𝑎 3 . Sehingga  akar  –  akar  persamaan  karakteristik
tersebut  bernilai  negatif,  maka  titik  ekuilibrium  stabil  asimtotik.  Sedangkan  nilai 𝑅 0 = 0,00055 , menurut teorema 1 𝑅 0 < 1 maka stabil.
Kestabilan titik ekuilibrium endemik untuk nilai eigen yang memenuhi kondisi kriteria Routh-Hurwitz yaitu 𝑏 1 = 0,855123 > 0 , 𝑏 3 = 0,0984627 > 0 , 𝑏 4 = 0,00529 > 0 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 = 1,449938 > 0,74622 = 𝑏 3 2 + 𝑏 1 2 𝑏 4 . Sehingga akar – akar persamaan karakteristik tersebut bernilai negatif, maka titik ekuilibrium stabil asimtotik.
Gambar grafik dibawah ini menunjukkan penyebaran penyakit Chikungunya.
A B C D
Gambar 2 A. Populasi Individu Kelas Rentan dan Terinfeksi; B. Laju vektor Penyebaran Infeksi kelas Nyamuk Aedes ; C. Jumlah Individu kelas terinfeksi; D. Jumlah Individu kelas terinfeksi 𝐴 1 = 500 dan 𝐴 2 = 1000 .

## Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil yaitu Tingkat penyebaran virus Chikungunya yang paling berpotensi untuk  mentransfer  ke  populasi  manusia  yaitu  nyamuk Aedes  Albopictus.  Wabah  dari  penyakit Chikungunya akan hilang dengan berjalannya waktu dan pada saat 𝑅 0 < 1 dengan kondisi tertentu
wabah  dari  penyakit  Chikungunya  tidak  akan  hilang  dalam  hal  populasi  masih  ada  individu  yang terinfeksi penyakit Chikungunya.

## Referensi
[1] Anton, H. 2004. Aljabar Linear Elementer, Edisi Kedelapan. Jakarta : Erlangga
[2] Depkes RI. 2003. Pencegahan dan Penanggulangan Penyakit Demam Chikungunya dan Demam Berdarah Dengue. Jakarta : Depkes RI. (http://www.depkes.go.id), diakses pada 10 Oktober 2015
[3] Depkes  RI.  2008. Chikungunya  Tidak  Menyebabkan  Kematian  atau  Kelumpuhan .  Jakarta:  Depkes  RI.
(http://www.depkes.go.id), diakses pada 10 Oktober 2015.
[4] Driessche  Van  den  .P  Watmough.  2002. Reproduction  numbers  and  sub-threshold  endemic  equilibria  for compartemental models of disease transmission vol: 29- 48 . Canada: Elseiver (Mathematical Biosciences).
[5] Joko P, M Kharis, Wuryanto. 2012. Model Matematika pada Penyakit Chikungunya dengan Menggunakan Treatment pada Individu yang Sakit . Semarang: UNNES Juornal of Mathematics.
[6] Naowarat Surapol, Ming. I Tang. 2013. Transmission Model Of Chikungunya FeverIn The Presence Of Two Species Of Aedes Mosquitoes . USA: Science Publication.
[7] Olsder G.J,Van Der Woude. 1994. Mathematical System Theory . Belanda: Deflt University Press
[8] Perko,Lawrwnce. 2001 . Differential Equations and Dynamical Systems . NewYork: Springer-Verlag
[9] Purcell, Varberg. 2008. Kalkulus Edisi Kelima . Jakarta: Erlangga.
[10] Ross, Shepley. L. 1984. Introduction to Ordionary Differential Equations . USA: John Wiley and Sons.
[11] Santoso, Fitri. 2011 . Analisis Faktor yang Berhubungan dengan Kejadian Chikungunya di wilayah Kerja Puskesmas Gunungpati Kota Semarang Tahun 2010 . Semarang: UNNES.
[12] Suharto. 2003. Chikungunya Pada Orang Dewasa . Surabaya: Airlangga University Press.
[13] Suriptiastuti. 2007. Re-emergence of Chikungunya Epidemilogy and Roles of Vektor in Tranmission of The Disease [Vol 26 - No,2] . Universitas Trisakti: Universa Mecina.
[14] Sutimin, Widowati. 2007. Bahan Ajar Pemodelan Matematika . Semarang: UNDIP