## Analisis Sensitivitas Model SEIV pada Kasus Penularan Penyakit Polio
Venthy Angelika 1 , Joko Harianto 2
1 Program Studi Sarjana Kedokteran, Fakultas Kedokteran, Universitas Cenderawasih, Jalan Raya Abepura-Sentani, Jayapura 99351, Papua, Indonesia
2 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Cenderawasih, Jalan Kampwolker Waena, Jayapura 99358, Papua, Indonesia
Korespondensi; Joko Harianto, Email: joharijpr88@gmail.com

## Abstrak
Trend kasus penularan polio sampai tahun 2023 masih fluktuatif dan belum cenderung monoton turun. Kejadian tersebut menjadi penting untuk dibahas terutama yang terkait dengan faktor-faktor yang mempengaruhi kasus penularan polio. Salah  satu  kajian  yang  digunakan  untuk  mendeskripsikan  kejadian  penularan  polio  yaitu  melalui  analisis  model matematika.  Salah satu model matematika yang digunakan untuk merepresentasikan kejadian penularan polio adalah model dinamik dengan kompartemen Susceptible-Exposed-Infected-Vaccinated (SEIV). Model SEIV yang dianalisis dalam penelitian ini melibatkan tujuh parameter. Jika nilai setiap parameter fluktuatif, maka akan berpengaruh terhadap kasus penularan polio. Oleh karena itu, tujuan penelitian ini adalah menganalisis pengaruh setiap parameter dalam model SEIV terhadap kasus penularan polio. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode studi literatur. Data sekunder pada penelitian ini digunakan untuk membuat simulasi model SEIV. Temuan penelitian ini adalah terdapat dua parameter yang paling berpengaruh terhadap kasus penularan polio. Parameter laju transmisi infeksi menjadi parameter yang paling berpengaruh dalam hal peningkatan kasus penularan polio karena nilai indeks sensitivitasnya paling tinggi diantara enam parameter  lainnya.  Sedangkan  parameter  laju  kematian  alami  menjadi  parameter  yang  paling  berpengaruh  terhadap penurunan kasus penularan polio. Hal ini dikarenakan berdasarkan nilai indeks sensitivitas, parameter  laju kematian memiliki nilai indeks sensitivitas paling terendah diantara enam parameter lainnya.
Kata Kunci : Model SEIV, Analisis sensitivitas, Bilangan reproduksi dasar

## Abstract
The trend of polio transmission cases until 2023 is still fluctuating and does not tend to decrease  monotonically. This incident is important to discuss, especially in relation to the factors that influence cases of polio transmission. One of the studies  used  to  describe  the  incidence  of  polio  transmission  is  through  mathematical  model  analysis.  One  of  the mathematical models used to represent the incidence of polio transmission is a dynamic model with the Susceptible- Exposed-Infected-Vaccinated (SEIV) compartment. The SEIV model analyzed in this study involves seven parameters. If the value of each parameter fluctuates, it will affect cases of polio transmission. Therefore, the aim of this research is to analyze  the  influence  of  each  parameter  in  the  SEIV  model  on  cases  of  polio  transmission.  The  method  used  in  this research is the literature study method. Secondary data in this study was used to create a SEIV model simulation. The findings of this research are that there are two parameters that have the greatest influence on cases of polio transmission. The  infection  transmission  rate  parameter  is  the  most  influential  parameter  in  terms  of  increasing  cases  of  polio transmission because the sensitivity index value is the highest among the other six parameters. Meanwhile, the natural death rate parameter is the parameter that has the most influence on reducing cases of polio transmission. This is because based on the sensitivity index value, the death rate parameter has the lowest sensitivity index value among the other six parameters.
Keywords : SEIV Model, Sensitivity analysis, Basic reproduction number

## Pendahuluan
Sebanyak 415 Kabupaten/Kota di 30 provinsi di Indonesia masuk dalam kriteria risiko tinggi polio karena rendahnya imunisasi, untuk itu Pemerintah gencarkan upaya Imunisasi. Polio sangat berbahaya pada anak-anak karena dapat melumpuhkan dan tidak ada obatnya, namun mudah dicegah dengan vaksinasi polio lengkap dan rutin. Pencegahan juga dilakukan dengan menerapkan pola hidup bersih dan sehat, seperti buang air besar pada jamban yang sesuai standar, mencuci tangan dengan sabun, dan minum air matang. Pada mesin pencari, yaitu google trends pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa topik terkait polio pada tanggal 2-8 April 2023 kurvanya naik hingga pada angka 100. Hal ini menunjukkan sampai saat ini masalah penularan polio masih terus dibahas karena sebarannya fluktuatif.
Gambar 1. Trend topik polio dari Google trends diakses pada tanggal 11-05-2023
Kejadian  penularan  polio  dapat  dideskripsikan  dengan  menggunakan  pendekatan  matematis melalui  konsep  pemodelan  matematika.  Pemodelan  matematika  adalah  cara  merepresentasikan masalah  kompleks  dalam  bentuk  persamaan  matematika  atau  sistem  persamaan  (buku  meksianis). Konstruksi  model  untuk  permasalahan  penularan  suatu  penyakit  umumnya  dikaitkan  dengan kompartemen  yang dikategorikan  dalam  populasi.  Populasi  manusia  dalam  wilayah  yang  terdampak suatu penyakit dapat dibagi menjadi empat kompartemen, yaitu Susceptible (S), Exposed (E), Infected (I)  dan  Vaccinated  (V).  Model  tersebut  kemudian  disebut  sebagai  model  berbasis  SEIV [1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8].
Penelitian dalam negeri terkait model berbasis SEIV dibahas oleh Gunawan  pada tahun 2016 [9]. Penelitian tersebut membahas konstruksi model, eksistensi titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar dan bifurkasi. Model berbasis SEIV pertama kali diterapkan untuk masalah penularan penyakit polio dibahas  dalam  [10].  Penelitian  terkait  model  tersebut  kemudian  terus  dikembangkan  disesuaikan dengan faktor-faktor  yang  mempengaruhi  kejadian penularan pada  saat  itu.  Okuonghae  et.  al.  pada tahun  2015  mengembangkan  model  dengan  melibatkan  dua  jenis  vaksin.  Penelitian  tersebut menunjukkan  hasil  analisis  kestabilan  global  titik  ekuilibrium  modelnya  [11].  Denes  &  Szekely  pada tahun  2017  membahas  model  penularan  polio  dengan  mempertimbangkan  adanya  imigran  yang divaksin  dengan  tingkat  rendah.  Model  ini  mendeskripsikan  kemunculan  penularan  polio  akibat datangnya imigran yang divaksin dengan tingkat rendah [12]. Pada tahun 2021, Alrawajeh membahas analisis  numerik  dengan  mebandingkan  beberapa  metode  untuk  simulasi  model  yang  dibahas  oleh Agarwal [13].
Penelitian  terbaru  tentang  model  matematika  berbasis  SEIV  untuk  masalah  penularan  polio dibahas  dalam  [14],[15].  Xuan  dan  Iqbal  menggunakan  pendekatan  fraksional  untuk  persamaan diferensial  pada  model  berbasis  SEIV.  Naved  et  al.  melibatkan  faktor  tundaan  waktu  pada  model penularan polio [16], [17]. Penelitian dalam negeri terkait model penularan polio dibahas dalam artikel yang ditulis oleh Umam dkk. pada tahun 2016. Model yang dikonstruksi diasumsikan populasinya tidak konstan dan tidak ada kematian karena terjangkit polio [18]. Seseorang masih ada kemungkinan dapat
terjangkit kembali oleh polio pasca divaksin jika vaksin yang diperolehnya hanya dalam tingkat  yang rendah  [12].  Berdasarkan  pada  artikel  [10]  dan  [18],  saat  ini  Harianto  dan  Seru  membahas  analisis kestabilan lokal untuk model yang dimodifikasi. Modifikasi yang dilakukan yaitu menambahkan faktor re-infected  (terjangkit  kembali)  setelah  divaksin  dan  faktor  kematian  akibat  terjangkit  polio. Pembahasan  tersebut  difokuskan  pada  kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium  model  sedangkan  analisis sensitivitas setiap parameternya belum dibahas.
Analisis sensitivitas penting untuk dikaji agar dapat diketahui parameter yang paling berpengaruh secara signifikan terhadap laju penularan penyakit [19]. Oleh karena itu, tujuan pembahasan ini adalah menganalisis pengaruh setiap parameter dalam model terhadap kejadian penularan polio.

## Hasil dan Pembahasan
Penularan  polio  terjadi  dalam  populasi  manusia.  Populasi  manusia  dikelompokkan  menjadi  empat kompartemen  dengan  karakteristik  yang  berbeda.  Empat  kompartemen  tersebut  antara  lain kompartemen  rentan,  terpapar,  terinfeksi  dan  divaksin.  Jumlah  individu  dalam  populasi  bergantung pada waktu sehingga populasi merupakan suatu fungsi terhadap waktu. Jumlah individu yang rentan terhadap polio pada saat t dinotasikan dengan S(t) . Jumlah individu yang terpapar polio pada saat t dinotasikan  dengan E(t) .  Jumlah  individu  yang  terinfeksi  polio  pada  saat t dinotasikan  dengan I(t) . Jumlah individu yang divaksin polio pada saat t dinotasikan dengan V(t) . Asumsi-asumsi yang dilibatkan dalam konstruksi model ini antara lain populasi berkembang mengikuti pertumbuhan logistik, kematian bukan  karna  polio terjadi  pada  setiap  kompartemen dengan  laju yang  sama,  vaksin  hanya diberikan kepada individu yang rentan polio, vaksin memberikan kekebalan secara sempurna sehingga orang yang telah divaksin tidak akan terpapar dan terinfeksi polio. Transmisi polio terjadi karena adanya kontak antara seseorang yang terpapar atau terinfeksi dengan orang yang rentan polio. Berikut ini diberikan diagram skematik model matematika penularan polio.

## Gambar 2. Diagram skematik model matematika penularan polio
Gambar  2  mengilustrasikan  alur perubahan  jumlah  individu  pada  setiap kompartemen  untuk permasalahan  penularan  polio.  Gambar  2  menunjukkan  kompartemen  rentan  akan  meningkat populasinya  karena  adanya  pertumbuhan  logistik Γ dengan Γ = rS (1 − S K ) dan  kompartemen  ini populasinya  dapat  berkurang  karena  faktor  transmisi  polio  sebesar β 1 SE + β 2 SI .  Kompartemen terpapar  bertambah  karena  masuknya  faktor  transmisi  polio  sebesar β 1 SE + β 2 SI .  Kompartemen terpapar berkurang karena adanya individu yang terinfeksi polio sebesar γE dan terjadi kematian alami sebesar μE .  Kompartemen  terinfeksi  bertambah  karena  masuknya  individu-individu  terinfeksi  polio sebesar γE dan kompartemen ini berkurang karena adanya kematian alami sebesar μI . Kompartemen
divaksin  bertambah  karena  masuknya  individu-individu  yang  telah  divaksin  sebesar αS dan kompartemen  ini  berkurang  karena  adanya  kematian  alami  sebesar μV .  Perubahan  jumlah  individu pada setiap kompartemen per satuan waktu dirumuskan dalam persamaan diferensial berikut ini:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑟𝑆 (1 − 𝑆 𝐾 ) − 𝛽 1 𝑆𝐸 − 𝛽 2 𝑆𝐼 − 𝛼𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝑆𝐸 + 𝛽 2 𝑆𝐼 − (𝛾 + 𝜇)𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛾𝐸 − 𝜇𝐼
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆 − 𝜇𝑉                                              }
(1)
Perubahan jumlah individu rentan polio per satuan waktu dinyatakan dengan dS dt . Perubahan jumlah individu terpapar polio per satuan waktu dinyatakan dengan dE dt . Perubahan jumlah individu terinfeksi polio per satuan waktu dinotasikan dengan dI dt . Perubahan jumlah individu yang telah divaksin polio per satuan  waktu  dinotasikan  dengan dV dt .    Parameter-parameter  yang  digunakan  dalam  Persamaan  (1) dideskripsikan pada Tabel 1.

## Tabel 1. Deskripsi parameter pada model
Parameter Deskripsi r Laju pertumbuhan intrinsik β 1 Laju transmisi dengan individu terpapar β 2 Laju transmisi dengan individu terinfeksi
α Laju pemberian vaksin pada individu-individu rentan
γ Laju infeksi
μ
Laju kematian alami K Ambang batas total individu
Semua titik ekuilibrium Sistem (1) merupakan solusi dari sistem persamaan berikut ini
𝑟𝑆 (1 − 𝑆 𝐾 ) − 𝛽 1 𝑆𝐸 − 𝛽 2 𝑆𝐼 − 𝛼𝑆  = 0
𝛽 1 𝑆𝐸 + 𝛽 2 𝑆𝐼 − (𝛾 + 𝜇)𝐸  = 0 𝛾𝐸 − 𝜇𝐼  = 0 𝛼𝑆 − 𝜇𝑉 = 0 }
(2)
Salah satu titik ekuilibrium yang sering disebut sebagai titik ekuilibrium bebas penyakit diperoleh saat I = 0 . Titik ekuilibrium Sistem (1) dinotasikan dengan P , yaitu P(S 0 , E 0 , I 0 , V 0 ) = P ( K(r−α) r , 0,0, αK(r−α) rμ ) .  Selanjutnya,  bilangan  reproduksi  dasar  model  ini  ditentukan  dengan menggunakan the next generation matrix [20]. Matriks non-negatif F dan non-singular 𝒱 dari Sistem (1) adalah
F = ( β 1 S 0 β 2 S 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 𝒱 = ( γ + μ 0 0 −γ μ 0 0 0 μ )
Sehingga diperoleh
F𝒱 −1 = ( β 1 S 0 γ + μ + β 2 γS 0 μ(γ + μ) β 2 S 0 μ 0 0 0 0
0 0 0 ).
Bilangan reproduksi dasar model ini adalah radius spektral dari matriks F𝒱 −1 , yaitu
R 0 = β 1 μ + β 2 γ μ(γ + μ) S 0 = (β 1 μ + β 2 γ)K(r − α) rμ(γ + μ) .
Analisis  sensitivitas digunakan untuk  menentukan parameter  yang  paling  berpengaruh dalam  model [21]. Berikut ini ditentukan indeks sensitivitas setiap parameter yang terlibat dalam bilangan reproduksi dasar dari model penyebaran penyakit polio. Indeks sensitivitas suatu parameter p dinotasikan dengan I p R 0 dirumuskan sebagai berikut
I p R 0 = ∂R 0 ∂p . p R 0
Ada 7 parameter  dalam model  ini  yang  akan dihitung  indeks  sensitivitasnya,  yaitu r, K, α, γ, β 1 , β 2 , μ . Indeks sensitivitas 7 parameter tersebut diberikan pada persamaan berikut ini.
I r R 0 = (β 1 μ + β 2 γ)K rμ(γ + μ) − (β 1 μ + β 2 γ)K(r − α) r 2 μ(γ + μ) I μ R 0 = β 1 K(r − α) rμ(γ + μ) − (β 1 μ + β 2 γ)K(r − α) rμ 2 (γ + μ) − (β 1 μ + β 2 γ)K(r − α) rμ(γ + μ) 2 I r R 0 I γ R 0 = β 2 K(r − α) rμ(γ + μ) − (β 1 μ + β 2 γ)K(r − α) rμ(γ + μ) 2 I β 1 R 0 = K(r − a) r(γ + μ) I β 2 R 0 = γK(r − a) rμ(γ + μ) I K R 0 = (β 1 μ + β 2 γ)(r − α) rμ(γ + μ) I a R 0 = − (β 1 μ + β 2 γ)K rμ(γ + μ)
Berdasarkan tujuh persamaan tersebut dapat diperhatikan bahwa indeks sensitivitas parameter β 1 , β 2 dan K selalu positif sehingga perubahan parameter ini berbanding lurus dengan R 0 . Sebaliknya, indeks sensitivitas parameter a selalu negatif sehingga perubahan parameter ini berbanding terbalik dengan R 0 .
Pada bagian ini berikan simulasi model. Simulasi yang dilakukan dibedakan menjadi dua kondisi, yaitu  kondisi  tanpa  penularan  polio  dan  kondisi  saat  terjadi  penularan  polio.  Simulasi  dilakukan menggunakan  software  MAPLE  dengan  memasukkan  nilai  awal  untuk  setiap  kompartemen.  Kondisi
tanpa  penularan  polio  terjadi  ketika  tidak  ada  individu  penyebar  polio,  dengan  kata  lain  tidak  ada penularan polio (R 0 < 1) . Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai parameter model penularan polio
Parameter Nilai R 0 < 1 R 0 > 1 r 0,6 0,6 K 10.000 10 6 α 0,2 0,3 γ 0,5 0,45 β 1 2.10 −7 2.10 −7 β 2 10 −7 1,5.10 −7 μ 0,004 0,004
Berdasarkan  Tabel  2  untuk  kasus R 0 < 1 diperoleh R 0 = 0,17 dengan P 0 (6.666; 0; 0; 333.333) . Simulasi  numerik  saat  tidak  terjadi  penularan  polio  dengan  nilai  awal S(0) = 500.000, E(0) = 350.000, I(0) = 100.000, V(0) = 200.000 diberikan pada Gambar 3.
Gambar 3. Dinamika populasi saat R 0 < 1 .
Dari  Gambar  3  dapat  diperhatikan  bahwa  jumlah  individu  pada  seluruh  kompartemen cenderung  konvergen  ke  titik  keseimbangan  non-endemik  model.  Selain  itu,  jumlah  individu  pada kompartemen  rentan  turun  karena  adanya  pemberian  vaksin  sehingga  jumlah  individu  pada kompartemen  vaksinasi  cenderung  meningkat  karena  tidak  adanya  penularan.  Kemudian,  jumlah
individu yang terpapar dan terinfeksi akan cenderung menurun hingga akhirnya habis. Penularan polio terjadi jika ada seseorang yang tertular kemudian menularkannya ke orang lain. Berdasarkan Tabel 2 untuk kasus R 0 > 1 diperoleh R 0 = 24,4 dengan P 1 (20.044; 12.714; 1.430.332; 1.503.311) . Simulasi numerik saat tidak terjadi penularan polio dengan nilai awal S(0) = 500.000, E(0) = 350.000, I(0) = 100.000, V(0) = 200.000 diberikan pada Gambar 4.
Gambar 4. Dinamika populasi saat R 0 > 1
Dari  Gambar  4  dapat  diperhatikan  bahwa  jumlah  individu  setiap  kompartemen  cenderung konvergen ke titik ekuilibrium endemik model. Selain itu, jumlah individu terinfeksi polio cenderung meningkat sebelum akhirnya berada dalam kondisi konstan pada angka 1,4 juta jiwa.
Tabel 3. Indeks sensitivitas setiap parameter dalam model penularan polio
Parameter Indeks sensitivitas r 0,14 K 0,000017 α -0,42 γ -0,003 β 1 13227 β 2 1653439 μ -41,7
Berdasarkan  Tabel  3  indeks  sensitivitas  parameter r sebesar  0,14  artinya  nilai R 0 akan  meningkat sebesar 1,4% jika laju pertumbuhan intrinsik meningkat sebesar 10%. Indeks sensitivitas parameter K
sebesar  0,000017  artinya  nilai R 0 akan  meningkat  sebesar  0,00017%  jika  ambang  batas  meningkat sebesar 10%. Indeks sensitivitas parameter α sebesar -0,42 artinya nilai R 0 akan menurun sebesar 4,2% jika  laju  pemberian  vaksin  meningkat  sebesar  10%.  Indeks  sensitivitas  parameter γ sebesar  -0,003 artinya nilai R 0 akan menurun sebesar 0,03% jika laju infeksi meningkat sebesar 10%.  Indeks sensitivitas parameter β 1 sebesar 13227 artinya nilai R 0 akan meningkat sebesar 1,3% jika laju transmisi terpapar meningkat sebesar 0,0001%. Indeks sensitivitas parameter β 2 sebesar 1653439 artinya nilai R 0 akan meningkat sebesar 1,6% jika laju transmisi terinfeksi meningkat sebesar 0,000001%. Indeks sensitivitas parameter μ sebesar  -41,7  artinya  nilai R 0 akan  menurun  sebesar  4,17%  jika  laju  kematian  alami meningkat sebesar 10%.

## Kesimpulan
Hasil analisis sensitivitas menunjukkan bahwa adanya sedikit perubahan nilai parameter pada model akan  mempengaruhi  bilangan  reproduksi  dasar.  Pengaruh  akibat  perubahan  nilai  setiap  parameter berbeda-beda.  Parameter  yang  paling  berpengaruh  terhadap  peningkatan  penularan  polio  adalah parameter laju transmisi infeksi polio (β 2 ) . Parameter laju transmisi infeksi polio menjadi parameter paling berpengaruh dalam hal peningkatan penularan polio karena nilai indeks sensitivitasnya paling tinggi  diantara  enam  parameter  lainnya.  Sebaliknya,  parameter  laju  kematian  alami (μ) menjadi parameter  yang  sangat  berpengaruh  terhadap  penurunan  penularan  polio.  Hal  ini  dikarenakan berdasarkan nilai indeks sensitivitas, parameter laju kematian alami memiliki nilai indeks sensitivitas paling  terendah  diantara  enam  parameter  lainnya.  Dengan  demikian,  jika  nilai  parameter  transmisi infeksi polio meningkat maka bilangan reproduksi akan meningkat pula artinya kasus penularan polio meningkat. Sedangkan, jika nilai parameter laju kematian alami meningkat maka bilangan reproduksi dasar justru akan menurun artinya kasus penularan polio menurun.

## Referensi
[1] L. M. Cai and X. Z. Li, “Analysis of a SEIV epidemic model with a nonlinear incidence rate,” Appl. Math. Model. , vol. 33, no. 7, 2009.
[2] O. Adebimpe, O. Abiodun, O. Oludoun, and B. Gbadamosi, “Analysis of an SEIV Epidemic Model with Temporary Immunity and Saturated Incidence Rate,” in 2020 International Conference in Mathematics, Computer Engineering and Computer Science, ICMCECS 2020 , 2020.
[3] M.  Bai  and  L.  Ren,  “An  SEIV  epidemic  model  for  childhood  diseases  with  partial  permanent immunity,” Comput. Math. Methods Med. , vol. 2015, 2015.
[4] E. Renald, D. Kuznetsov, and K. Kreppel, “Sensitivity Analysis and Numerical Simulation of a SEIV Basic Dog-Rabies Mathematical Model with Control,” Int. J. Adv. Sci. Res. Eng. , vol. 05, no. 09, 2019.
[5] O. Adebimpe, “Stability Analysis of a SEIV Epidemic Model with Saturated Incidence Rate,” Br. J. Math. Comput. Sci. , vol. 4, no. 23, 2014.
[6] Z. Li, J. Hong, C. Yu, and Z. Sun, “Awareness design and analysis upon two infectious states based on susceptible-exposed-infected-vigilant (SEIV) model,” in 2017 Asian Control Conference, ASCC 2017 , 2018, vol. 2018-January.
[7] G. A. Joseph and S. Balamuralitharan, “Global stability analysis of human SEIV-mosquitoes SEI model for malaria transmission,” in AIP Conference Proceedings , 2020, vol. 2277.
[8] L.  Wang,  Z.  Liu,  C.  Guo,  Y.  Li,  and  X.  Zhang,  “New  global  dynamical  results  and  application of
several SVEIS epidemic models with temporary immunity,” Appl. Math. Comput. , vol. 390, 2021.
[9] Gunawan, “Bifurkasi Mundur pada Model Epidemi SEIV dengan Laju Insidensi Nonlinear,” J. Mat.
Murni dan Terap. “Epsilon,” vol. 10, no. 1, pp. 1–13, 2016.
[10]  M. Agarwal and A. S. Bhadauria, “Modeling Spread of Polio with the Role of Vaccination,” Appl. Appl. Math. An Int. J. MSC , vol. 6, no. 2, 2011.
[11]  D.  Okuonghae,  A.  B.  Gumel,  and  M.  A.  Safi,  “Dynamics  of  a  two-strain  vaccination  model  for polio,” Nonlinear Anal. Real World Appl. , vol. 25, 2015.
[12]  A.  Dénes  and  L.  Székely,  “Global  dynamics  of  a  mathematical  model  for  the  possible  re- emergence of polio,” Math. Biosci. , vol. 293, 2017.
[13]  F. A. Alrawajeh et al. , “Bio-Inspired Computational Methods for the Polio Virus Epidemic Model,” Comput. Mater. Contin. , vol. 72, no. 2, 2022.
[14]  X. Liu et al. , “FRACTIONAL MATHEMATICAL MODELING TO THE SPREAD OF POLIO WITH THE ROLE OF VACCINATION UNDER NON-SINGULAR KERNEL,” Fractals , vol. 30, no. 5, 2022.
[15]  M.  S.  iqbal et  al. ,  “Analysis  of  the  fractional  polio  model  with  the  Mittag-Leffler  kernels,” Alexandria Eng. J. , vol. 64, 2023.
[16]  M. Naveed, D. Baleanu, A. Raza, M. Rafiq, and A. H. Soori, “Treatment of polio delayed epidemic model via computer simulations,” Comput. Mater. Contin. , vol. 70, no. 2, 2022.
[17]  M. Naveed, D. Baleanu, M. Rafiq, A. Raza, A. H. Soori, and N. Ahmed, “Dynamical behavior and sensitivity analysis of a delayed coronavirus epidemic model,” Comput. Mater. Contin. , vol. 65, no. 1, 2020.
[18]  Y. C. Umam, M. Kharis, and Supriyono, “Model Epidemi SEIV Penyebaran Penyakit Polio pada Populasi Tak-Konstan,” Unnes J. Math. , vol. 5, no. 2, 2016.
[19]  H.  S.  Rodrigues,  M.  T.  T.  Monteiro,  and  D.  F.  M.  Torres,  “Sensitivity  Analysis  in  a  Dengue Epidemiological Model,” Conf. Pap. Math. , 2013.
[20]  P. Driessche van den, “Reproduction numbers of infectious disease models,” Infect. Dis. Model. , vol. 2, no. 3, pp. 288–303, 2017.
[21]  R. U. Hurint, M. Z. Ndii, and M. Lobo, “Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR,” Nat. Sci. J. Sci. Technol. , vol. 6, no. 1, 2017.