## FUNGSI WRIGHT SEBAGAI SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN DIFUSI-GELOMBANG FRAKSIONAL PADA MEDIA VISKOELASTIS
Ray Novita Yasa 1 ∗ , Agus Yodi Gunawan 2
1 Politeknik Siber dan Sandi Negara
2 Institut Teknologi Bandung *Email Korespondensi: 1 ray.novita@poltekssn.ac.id
Abstract. A fractional diffusion-wave equations in a fractional viscoelastic media can be constructed by using equations of motion and kinematic equations of viscoelastic material in fractional order. This article concerns the fractional diffusion-wave equa- tions in the fractional viscoelastic media for semi-infinite regions that satisfies sig- nalling boundary value problems. Fractional derivative was used in Caputo sense. The analytical solution of the fractional diffusion-wave equation in the fractional viscoelas- tic media was solved by means of Laplace transform techniques in the term of Wright function for simple form solution. For general parameters, Numerical Inverse Laplace Transforms (NILT) was used to determine the solution.
Keywords: diffusion-wave, viscoelastic, Scott-Blair model, wright function, NILT.
Abstrak. Dengan menggunakan persamaan gerak dan persamaan kinematik material viskoelastis dalam orde fraksional, dapat dikonstruksi persamaan difusi-gelombang berorde fraksional dalam media viskoelastis tersebut. Dalam artikel ini secara khusus akan dibahas mengenai persamaan difusi-gelombang fraksional pada media viskoe- lastis fraksional untuk daerah semi infinit yang memenuhi nilai batas signalling . Tu- runan fraksional yang digunakan turunan fraksional tipe Caputo. Solusi analitik dari persamaan diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, serta penggu- naan fungsi Wright untuk mengarahkan solusi kedalam bentuk yang sederhana. Untuk parameter yang umum, metode Numerical Invers Laplace Transforms (NILT) digu- nakan untuk menentukan solusinya.
Kata Kunci: difusi-gelombang, viskoelastis, model Scott-Blair, fungsi wright, NILT.

## I. PENDAHULUAN
Reologi dapat dipandang sebagai ilmu yang mempelajari tentang deformasi dan aliran ma- terial yang terjadi akibat adanya interaksi antara tegangan dan regangan pada material. Prak- tisnya, reologi berhubungan dengan perluasan mekanika untuk mengkarakterisasi aliran dari material yang menunjukkan sifat antara elastis sekaligus viskos, yang selanjutnya disebut seba- gai material viskoelastis. Untuk menjelaskan bagaimana deformasi dan aliran material secara mekanik dibangunlah model viskoelastis yang linear, tetapi pada umumnya model linear ini efektif untuk diterapkan pada material dengan deformasi yang kecil, yaitu pada tegangan yang mengakibatkan regangan dibawah nilai 5 × 10 − 2 .
Hasil observasi Nutting [1] pada banyak material, disimpulkan bahwa formula umum un- tuk menyatakan hubungan tegangan σ ( t ) , regangan ( 4 S ) , dan waktu adalah σ ( t ) ∼ C 4 S.t − α dengan α ∈ (0 , 1) dan C konstan, dan nilai α dekat ke 1 2 pada banyak material. Hasil terse-
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
19
but mendasari terbentuknya konsep model viskoelastis fraksional, dengan tujuan untuk mene- mukan hubungan tegangan dan regangan secara tepat pada kelas-kelas material yang lebih luas [2]. Model ini ternyata berhasil diterapkan untuk mendeskripsikan sifat-sifat Reologi dari ma- terial seperti organic glasses , elastomers , polyurethane , polyisobutylene , dan solid amorphous polymer [3].
Seiring banyaknya penggunaan material viskoelastis dalam kehidupan serta berkembangnya ilmu tentang material ini, semakin banyak pula masalah yang dapat dikaji. Salah satunya peneli- tian tentang persamaan difusi-gelombang berorde fraksional (selanjutnya ditulis difusi-gelombang fraksional) pada media viskoelastis berorde fraksional. Permasalahan elekromagnetik, akustik, dan respon mekanik suatu material dapat dimodelkan secara akurat menggunakan persamaan difusi-gelombang [4]. Karena itu penelitian dengan topik persamaan difusi-gelombang frak- sional menjadi sangat bermanfaat. Penelitian dengan topik ini juga memiliki potensi untuk berkembang menjadi penemuan solusi analitik dengan parameter yang tidak dibatasi.
Beberapa penelitian terdahulu dilakukan oleh Mainardi, Luchko, dan Pagnini [5] yang membangun persamaan difusi fraksional (dalam ruang dan waktu), dengan tujuan mencari solusi umumnya yang memenuhi kondisi batas Cauchy. Konsep turunan fraksional yang di- gunakan adalah turunan fraksional tipe Caputo. Teknik yang digunakan untuk mendapatkan solusi umum adalah dengan transformasi Fourier-Laplace, penggunaan Green function serta merepresentasikannya dalam bentuk integral Mellin-Barnes. Penelitian lanjutan dengan topik yang sama juga dilakukan, tetapi menggunakan teknik yang berbeda dalam mencari solusinya yaitu dengan fungsi Fox-H [6]. Pengkajian dilanjutkan oleh Povstenko yang membahas per- samaan difusi-gelombang fraksional pada sebuah tabung yang cukup panjang dengan koordi- nat r, ϕ , dan z , kondisi batas yang digunakan adalah kondisi batas Dirichlet dan kondisi batas Neumann. Solusi dari persamaan tersebut diperoleh hanya dengan menggunakan transformasi Laplace, kemudian mengarahkan solusi kedalam bentuk fungsi generalisai Mittag-Leffler [7]. Selain menggunakan teknik transformasi Laplace, permasalahan difusi-gelombang fraksional dapat diselesaikan dengan menggunakan metode diskritisasi seperti pada [8] dan dapat juga diselesaikan dengan metode elemen hingga seperti pada [9].
Penelitian sebelumnya mengkaji difusi-gelombang fraksional pada media yang secara spe- sifik tidak viskoelastis. Dalam penelitian ini persamaan difusi-gelombang fraksional yang se- cara khusus dikaji pada media viskoelastis fraksional dengan mengunakan konsep turunan frak- sional Caputo. Nilai batas yang akan digunakan adalah nilai batas signalling . Media viskoe- lastis fraksional yang dipandang adalah yang homogen antar elemennya dan dimodelkan oleh model Scott-Blair.
Solusi analitik dari persamaan difusi-gelombang fraksional umumnya dicari menggunakan teknik transformasi Laplace. Penyelesaian dari persamaan yang diperoleh dalam penelitian ini akan diarahkan pada penggunakan fungsi Wright untuk parameter tertentu yang dibatasi. Fungsi Wright sudah banyak diterapkan misalkan pada penelitian yang terdapat pada [10]. Untuk parameter yang umum akan digunakan metode generalisasi Numerical Invers Laplace Transforms (NILT). Perbandingan antara solusi analitik dan solusi numerik disajikan dengan menggunakan grafik.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
20

## II. TURUNAN FRAKSIONAL, FUNGSI KHUSUS TERKAIT, DAN MODEL SCOTT-BLAIR

## 2.1. Turunan Fraksional
Definisi 1 [11] Sebuah fungsi f ( t ) , t > 0 , dikatakan berada pada ruang fungsi C µ , µ ∈ R jika terdapat bilangan real p > µ sehingga f ( t ) = t p f 1 ( t ) dimana f 1 ( t ) ∈ C (0 , ∞ ) , dan dikatakan berada pada ruang fungsi C m µ jika f m ∈ C µ , m ∈ N .
Contoh 1 Misalkan f ( t ) = t 4 − 3 t yang didefinisikan pada daerah t > 0 , fungsi ini berada pada ruang fungsi C − 1 karena dapat ditulis menjadi f ( t ) = t 1 ( t 3 − 3) dengan 1 > − 1 , dimana f 1 ( t ) = ( t 3 − 3) ∈ C (0 , ∞ ) , dengan kata lain t 3 − 3 t kontinu sepanjang daerah t > 0 .
Definisi 2 [11] Turunan fraksional Caputo dari fungsi f ( t ) ∈ C m − 1 , m ∈ N , t > 0 , didefinisikan sebagai
0 D β t f ( t ) = ( 0 I m − β d m dt m f ( t ) , jika m − 1 < β < m , d m dt m f ( t ) , jika β = m .
Definisi (2) menjelaskan bahwa turunan fraksional Caputo bagi fungsi yang memenuhi f ( t ) ∈ C m − 1 , m ∈ N , t > 0 , adalah sebagaimana turunan biasa seperti yang dikenal umum- nya. Apabila turunan β bernilai fraksional dengan kondisi m − 1 < β < m maka turunan 0 D β t f ( t ) = 0 I m − β d m dt m f ( t ) dengan 0 I m − β d m dt m f ( t ) = 1 Γ( m − β ) R 0 t f ( m ) ( τ ) ( t − τ ) β +1 − m dτ [12].
Definisi 3 [11] Misalkan L adalah operator Laplace, dan L { f ( t ); s } = e f ( s ) untuk t ≥ 0 dan s ∈ C , transformasi Laplace untuk turunan dengan orde bilangan asli n dari fungsi f ( t ) adalah
L { f n ( t ); s } = s n e f ( s ) − n − 1 X k =0 s n − k − 1 f k (0) . (1)
Dengan menggunakan persamaan (1), untuk m − 1 < α < m mudah untuk ditunjukkan bahwa berlaku persamaan (2) yang selanjutnya akan digunakan sebagai persamaan transfor- masi Laplace bagi turunan fraksional.
L { 0 D α t f ( t ); s } = s α e f ( s ) − m − 1 X k =0 s α − k − 1 f k (0) . (2)

## 2.2. Fungsi Khusus Terkait
Definisi 4 [13] Fungsi Mittag-Leffler merupakan sebuah fungsi kompleks yang bergantung pada dua parameter kompleks α dan β , yang direpresentasikan oleh deret yang konvergen pada keseluruhan bidang kompleks sebagai
E α,β ( z ) := ∞ X n =0 z n Γ( αn + β ) , Re ( α ) > 0 , β > 0 , z ∈ C .
e α,β ( t ; λ ) := t β − 1 E α,β ( − λt α ) , Re ( α ) > 0 , β > 0 , λ ∈ C , t ≥ 0 , sebagai fungsi khusus dari

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
21
fungsi Mittag-Leffler.
Transformasi Laplace pada e α,β ( t ; λ ) akan menghasilkan
L { e α,β ( t ; λ ) , s } = s α − β s α + λ . (3)
Wright (1940) membangun suatu generalisasi dari fungsi Bessel untuk orde lebih dari 1, yang kemudian diperluas untuk orde yang lebih besar dari 1 [14].
Definisi 5 [12] Fungsi Wright adalah fungsi kompleks yang direpresentasikan oleh deret
W λ,µ ( z ) := ∞ X n =0 z n n !Γ( λn + µ ) , λ > − 1 , µ ∈ C .
Dari bentuk pendefinisiannya, jelas bahwa fungsi Wright merupakan fungsi menyeluruh. Representasi integral dari fungsi ini adalah
W λ,µ ( z ) := 1 2 πi Z Ha e σ + zσ − λ dσ σ µ , λ > − 1 , µ ∈ C ,
dimana Ha menotasikan lintasan integrasi Hankel. Sifat-sifat fungsi Wright, teorema yang menyertai, dan beberapa penerapannya merujuk pada [18][10].
Selanjutnya akan disajikan teorema yang menjamin kewujudan dan ketunggalan solusi dari sebuah persamaan diferensial fraksional yang buktinya dapat dilihat pada [13].
Teorema 1 [13] Pandang masalah nilai awal berikut
0 D σ n t y ( t ) = f ( t, y ) 0 D σ k − 1 t y ( t ) t =0 = b k , k = 1 , 2 , ..., n σ k = k X j =1 a j , j = 1 , 2 , ..., n 0 < a j ≤ 1 .
Misal f ( t, y ) adalah sebuah fungsi kontinu yang terdefinisi pada domain G , yang memenuhi kondisi Lipschitz di G terhadap variabel y , yaitu | f ( t, y 1 ) − f ( t, y 2 ) | ≥ A | y 1 − y 2 | , sehingga | f ( t, y ) | ≤ M < ∞ , ∀ ( t, y ) ∈ G . Misalkan juga K ≥ M h σn − σ 1+1 Γ(1+ σ n ) , maka akan ada sebuah solusi tunggal y ( t ) dalam region R ( h, K ) dari masalah nilai awal tersebut.
Persamaan difusi-gelombang fraksional yang akan dikonstruksi dan diselesaikan dalam penelitian ini menggunkan nilai batas Signalling . Dalam [15] nilai batas ini adalah masalah persamaan diferensial dengan kondisi batas
r (0 + , t ) = r 0 ( t ) , lim x →∞ r ( x, t ) = 0 , t > 0 , (4a)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
22
dan kondisi awal
r ( x, 0 + ) = ∂ ∂t r ( x, t ) | t =0 + = 0 , x > 0 . (4b)
Ketika melakukan invers transformasi Laplace untuk fungsi yang rumit, biasanya sulit untuk dapat menemukan solusi analitiknya. Salah satu metode yang dapat membantu menda- patkan invers transformasi Laplace adalah metode NILT. Metode ini didasarkan pada invers langsung transformasi laplace dengan kernel e st dalam integral Bromwich, serta diikuti pen- dekatan numerik untuk melakukan pengintegralan. Metode NILT dipilih berdasarkan hasil [16] yang mengatakan bahwa algoritma metode NILT efektif dan reliabel untuk masalah persamaan diferensial fraksional, dan sangat mudah digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan diferensial berorde fraksional rumit.
Misalkan L { f ( t ) } = F ( s ) , t > 0 , s ∈ C , metode NILT akan menghasilkan
f ( t ) = e Re ( z ) t mt F ( Re ( z )) 2 + ∞ X k =1 Re ( F ( z )) cos ( kπ m ) − sin ( kπ m ) Im ( F ( z )) ! (5)
dengan z = p + i kπ mt , sebagai hampiran numerik dari invers transformasi Laplace dari F ( s ) den- gan metode NILT. Galat untuk metode ini yaitu ( pt, m ) ≈ M e − 2 mpt , M adalah nilai maksi- mum mutlak dari f ( t ) pada domainnya [19]. Untuk mengetahui lebih lanjut bagaimana metode NILT dibangun beserta contoh-contoh penerapannya terdapat pada [17].

## 2.3. Model Scott-Blair
Model Scott-Blair didasari oleh adanya model Hooke dan model Newton yang masing- masing terdiri dari elemen spring ( σ ( t ) = E ε ( t ) ) dan dashpot ( σ ( t ) = η ˙ ε ( t ) ). Elemen yang digunakan untuk mendeskripsikan material viskoelastis fraksional disebut elemen fraksional. Model Scott-Blair memiliki bentuk seperti pada (Gambar 1.). Dengan E adalah parameter kon- stan dari elemen fraksional, η adalah konstanta viskositas material, τ = η E , waktu relaksasi, α adalah orde fraksional dari operator derivatif terhadap waktu.
Gambar 1. Model Scott-blair yang elemennya merupakan modifikasi dari elemen spring dan elemen dashpot pada model linear

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
23
Hubungan tegangan dan regangan dari sebuah elemen fraksional dinyatakan oleh
σ ( t ) = E τ α d α dt α ε ( t ) , 0 < α < 1 (6)
Perhatikan bahwa, elemen fraksional menjadi elemen linier spring apabila parameter α = 0 dan menjadi elemen linier dashpot apabila parameter α = 1 .

## 2.4. Konstruksi Persamaan Untuk Model Scott-Blair
Model ini hanya memiliki satu elemen fraksional, akibatnya hubungan tegangan dan re- gangan akan sama dengan persamaan (6). Dengan menuliskan ulang persamaannya yaitu
σ ( t ) = E τ α d α dt α ε ( t ) , 0 < α < 1 .
Transformasi Laplace pada persamaan (6) menghasilkan e σ ( s ) = E τ α s α e ε ( s ) . Pada [12] hubun- gan tegangan dan regangan dalam transformasi Laplace dituliskan dengan e ε ( s ) = s e J ( s ) e σ ( s ) dan e σ ( s ) = s e G ( s ) e ε ( s ) . Dengan mensubstitusikan persamaan hubungan tegangan ke dalam persamaan (6) akan diperoleh e σ ( s ) = E τ α s α +1 e J ( s ) e ε ( s ) . Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan bahwa σ ( t ) 6 = 0 , sehingga e σ ( s ) 6 = 0 . Akibatnya e J ( s ) = 1 Eτ α s α +1 , sehingga diper- oleh e G ( s ) = Eτ α s α − 1 . Invers Laplace pada e J ( s ) dan e G ( s ) menghasilkan fungsi material untuk model ini yaitu
J ( t ) = t α Eτ α Γ(1 + α ) , (7a)
G ( t ) = Eτ α t − α Γ(1 − α ) . (7b)

## III. KONSTRUKSI PERSAMAAN DIFUSI-GELOMBANG FRAKSIONAL
Saat t > 0 difusi-gelombang berorde fraksional terjadi pada sebuah batang viskoelastis semi-infinite , yang homogen dengan massa jenis ρ . Notasikan input gangguan pada ujung batang ( x = 0 + ) sebagai r 0 ( t ) , dan output pada posisi x saat t sebagai r ( x, t ) . Kondisi semi- infinite mengakibatkan masalah fraksional difusi-gelombang dipandang sebagai masalah nilai batas signalling [15]. Hubungan tegangan dan regangan dengan fungsi r ( x, t ) disajikan pada [12] yaitu ∂ ∂x σ ( x, t ) = ρ ∂ 2 ∂t 2 r ( x, t ) dan ε ( x, t ) = ∂ ∂x r ( x, t ) . Dengan menuliskan keduanya dalam bentuk turunan fraksional Caputo diperoleh
∂ ∂x σ ( x, t ) = ρ ∂ ν ∂t ν r ( x, t ) , 0 < ν ≤ 2 (8a)
sebagai persamaan gerak, dan
ε ( x, t ) = ∂ ∂x r ( x, t ) (8b)
sebagai persamaan kinematik.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020)
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id 24
Dalam suatu persamaan difusi-gelombang berorde fraksional, kecepatan rambat gelombang ( c ) , dapat diperoleh dengan menggunakan formula c = 1 √ ρJ (0 + ) . Dapat ditunjukkan bahwa J (0 + ) = 0 untuk semua model, akibatnya nilai c akan menuju takhingga. Karena sulit un- tuk memahami pergerakan gelombang dalam material yang berdeformasi ketika kecepatannya menuju tak hingga, maka c diasumsikan berhingga. Berdasarkan hal tersebut maka dalam pem- bahasan selanjutnya c diasumsikan berhingga.

## 3.1. Konstruksi Persamaan Difusi-Gelombang Pada Model Scott-Balir
Akan dituliskan kembali hasil konstruksi model fraksional Scott-Blair yaitu
σ ( x, t ) = Eτ α ∂ α ∂t α ε ( x, t ) , 0 < α < 1 . (9)
Turunkan kedua ruas terhadap x , sehingga diperoleh
∂ ∂x σ ( x, t ) = Eτ α ∂ α ∂t α [ ∂ ∂x ε ( x, t )] . (10)
Substitusi persamaan (8a) dan (8b) ke persamaan (10), diperoleh
∂ ν ∂t ν r ( x, t ) = Eτ α ρ ∂ α ∂t α [ ∂ 2 ∂x 2 r ( x, t )] , 0 < α < 1 , 0 < ν ≤ 2 . (11)
Persamaan (11) adalah Persamaan Difusi-Gelombang Pada Model Scott-Blair dengan kon- disi batas (4a) dan kondisi awal (4b).

## 3.2. Solusi Persamaan Difusi-Gelombang Pada Model Scott-Balir
Dengan menggunakan persamaan (2), transformasi Laplace dari ruas kiri persamaan (11) untuk 0 < ν ≤ 1 akan diperoleh
L ∂ ν ∂t ν r ( x, t ) , s = s ν e r ( x, s ) − s ν − 1 r ( x, 0 + ) .
Persamaan (4b) memberikan informasi bahwa r ( x, 0 + ) = 0 , maka
L ∂ ν ∂t ν r ( x, t ) , s = s ν e r ( x, s ) . (12)
Untuk 1 < ν ≤ 2
L ∂ ν ∂t ν r ( x, t ) , s = s ν e r ( x, s ) − s ν − 1 r ( x, 0 + ) − s ν − 2 ∂ ∂t r ( x, t ) | t =0 + . (13)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
25
Persamaan (4b) memberikan informasi bahwa r ( x, 0 + ) = ∂ ∂t r ( x, t ) | t =0 + = 0 , maka persamaan (13) akan menjadi bentuk
L ∂ ν ∂t ν r ( x, t ) , s = s ν e r ( x, s ) .
Dengan demikian untuk 0 < ν ≤ 2 juga akan berlaku
L ∂ ν ∂t ν r ( x, t ) , s = s ν e r ( x, s ) .
Mengunakan konsep yang sama, untuk 0 < α < 1 diperoleh
L ∂ α ∂t α ( ∂ 2 ∂x 2 r ( x, t )) = s α ∂ 2 ∂x 2 e r ( x, s ) .
Akibatnya transformasi Laplace pada persamaan (11) adalah
∂ 2 ∂x 2 e r ( x, s ) − ρ s ν Eτ α s α e r ( x, s ) = 0 (14)
Karena e r (0 + , s ) = e r 0 ( s ) dan lim x →∞ e r ( x, s ) = 0 , diperoleh
e r ( x, s ) = e r 0 ( s ) e − x √ ρ Eτ α s ν − α 2 . (15)
Misal e G ( x, s ) = e − x √ ρ Eτ α s ν − α 2 , maka solusi r ( x, t ) diperoleh
r ( x, t ) = r 0 ( t ) ∗ ( G ( x, t )) , (16)
notasi ∗ merupakan notasi konvolusi Laplace.
Dalam artikel ini, solusi analitik diperoleh dengan membatasi parameter ν dan α yang menemuhi α < ν < α + 2 . Untuk parameter α dan ν yang lain akan digunakan pendekatan numerik dengan metode NILT untuk menghampiri solusi r ( x, t ) .
3.3. Solusi r ( x, t ) untuk α < ν < α + 2
Dengan menuliskan e G ( x, s ) = e − x √ ρ Eτ α s ν − α 2 , invers transformasi Laplace dari e G ( x, s ) dalam bentuk integral Bromwich adalah
G ( x, t ) = 1 2 πi Z Br e st e − x √ ρ Eτ α s ν − α 2 ds. (17)
Metode Nigmatullin untuk persamaan diferensial fraksional akan diterapkan pada persamaan (17) melalui permisalan ϕ = st , p = ν − α 2 , z = x p ρ Eτ α t − p , sehingga persamaan (17) dapat

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
26
ditulis ulang menjadi
G ( x, t ) = 1 2 πi 1 t Z Ha e ϕ − zϕ p dϕ, 0 < p < 1 = 1 t 1 2 πi Z Ha e ϕ − zϕ p dϕ = 1 t W − p, 0 ( − z ) .
Dengan mensubstitusi balik permisalan ϕ, p , dan z , diperoleh
G ( x, t ) = 1 t W α − ν 2 , 0 ( − x r ρ Eτ α t α − ν 2 ) . (18)
Substitusi persamaan (18) ke persamaan (16), jadi diperoleh
r ( x, t ) = r 0 ( t ) ∗ 1 t W α − ν 2 , 0 ( − x r ρ Eτ α t α − ν 2 ) . (19)
Selanjutnya akan dibuktikan dengan menggunakan teorema integral Cauchy bahwa r ( x, t ) = 0 untuk t < x c , dengan c kecepatan rambat gelombang yang diasumsikan berhingga. Untuk membuktikan hal ini pandang kembali persamaan (15), dengan invers transformasi Laplacenya diperoleh
r ( x, t ) = 1 2 πi Z Br e st r 0 ( s ) exp ( − x c r ρ Eτ α s ν − α
2 c ) ds. (20)
Lintasan Bromwich dapat dipilih dari p − i ∞ sampai p + i ∞ dengan p sebarang bilangan real sedemikian sehingga singularitas dari integran seluruhnya berada di sebelah kiri garis Re ( s ) = p .
Kasus t < x c , maka t + a = x c untuk suatu a > 0 , sehingga (20) ditulis menjadi
r ( x, t ) = 1 2 πi Z p + i ∞ p − i ∞ e st r 0 ( s ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α s ν − α 2 c ds. (21)
Untuk menghitung integral pada persamaan (21), dapat digunakan integrasi dengan kontur seperti yang ada pada Gambar (2.) Gambar tersebut akan memvisualisasikan proses pengin- tegralan Cauchy dengan membangun suatu lintasan tertutup dalam daerah definisinya dengan jari-jari R menuju takhingga dan lintasan C sebagai lintasan pengintegralannya. Lintasan C merupakan gabungan dari tiga lintasan kecil yang dijelaskan pada gambar.
Melalui penerapan teorema integral Cauchy pada lintasan tertutup Gambar (2.) akan diper- oleh hasil pada persamaan (22), hal ini sesuai sebab tidak terdapat singularitas r ( x, t ) dalam lintasan tertutup tersebut.
1 2 πi Z C e st r 0 ( s ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α s ν − α 2 c ds = 0 . (22)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
27
Gambar 2. Kontur Pengintegralan
Integral pada persamaan (22) dapat dipartisi menjadi tiga lintasan seperti pada persamaan (23).
lim R →∞ Z 0 − iR e ( y + p ) t r 0 ( y + p ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α ( y + p ) ν − α 2 c dy + Z iR 0 e ( y + p ) t r 0 ( y + p ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α ( y + p ) ν − α 2 c dy + Z − π 2 π 2 e ( P + Re iθ ) t r 0 ( P + Re iθ ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α ( P + Re iθ ) ν − α 2 c iRe iθ dθ = 0 (23)
Langkah selanjutnya dengan menjumlahkan dua suku pertama persamaan (23) kemudian pisahkan menjadi dua sisi seperti pada persamaan (24).
Z p + i ∞ p − i ∞ e st r 0 ( s ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α s ν − α 2 c ds = lim R →∞ Z π 2 − π 2 e ( P + Re iθ ) t r 0 ( P + Re iθ ) × e − ( t + a ) √ ρ Eτ α ( P + Re iθ ) ν − α 2 c iRe iθ dθ. (24)
Dengan demikian integral pada persamaan (21) adalah nilai dari ruas kanan persamaan (24)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
28 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
saat R → ∞ . Perhatikan bahwa
lim R →∞ Z π 2 − π 2 e ( P + Re iθ ) t r 0 ( P + Re iθ ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α ( P + Re iθ ) ν − α 2 c iRe iθ dθ = Z π 2 − π 2 lim R →∞ e ( P + Re iθ ) t r 0 ( P + Re iθ ) e − t √ ρ Eτ α ( P + Re iθ ) ν − α 2 c × lim R →∞ e − a √ ρ Eτ α ( P + Re iθ ) ν − α 2 c iRe iθ dθ. (25)
Untuk menyelesaikan persamaan (25), pandang pengambilan limit berikut
lim R →∞ e − a √ ρ Eτ α ( P + Re iθ ) ν − α 2 c iRe iθ = lim R →∞ iRe iθ P ∞ n =0 ( a p ρ Eτ α ) n ( P + Re iθ ) ( ν − α ) n 2 = 0 . (26)
Substitusikan hasil persamaan (26) pada persamaan (24) sehingga dihasilkan
r ( x, t ) = 1 2 πi Z p + i ∞ p − i ∞ e st r 0 ( s ) e − ( t + a ) √ ρ Eτ α s ν − α 2 c ds = 0 . (27)
Dengan demikian diperoleh persamaan (28) sebagai solusi dari persamaan (11) dengan kondisi batas (4a) dan kondisi awal (4b).
r ( x, t ) = ( r 0 ( t ) ∗ 1 t W α − ν 2 , 0 ( − x p ρ Eτ α t α − ν 2 ) , t ≥ x c 0 , t < x c (28)
notasi ∗ merupakan notasi konvolusi Laplace.
3.4. Solusi r ( x, t ) untuk parameter 0 < α < 1 dan 0 < ν ≤ 2 dengan menggunakan metode NILT
Konstanta real p dan bilangan bulat m dipilih sehingga e r ( x, s ) holomorfik pada region Re ( s ) > p , dengan kata lain e r ( x, s ) tidak memiliki singularitas pada p ataupun pada region di sebelah kanan garis vertikal Re ( s ) = p . Dengan menerapkan formula hasil hampiran metode NILT pada persamaan (5) diperoleh
r ( x, t ) ≈ e r ( x, Re ( z )) e Re ( z ) t 2 mt + e Re ( z ) t mt ∞ X k =1 Re ( e r ( x, z )) cos kπ m − e Re ( z ) t mt ∞ X k =1 Im ( e r ( x, z )) sin kπ m (29)
dengan z = p + i kπ mt , dan galat ( pt, m ) ≈ M e − 2 mpt , M adalah nilai maksimum mutlak dari r ( x, t ) pada domainnya.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020)
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id 29

## 3.5. Contoh
Dari data eksperimen, parameter material dari polimer Poly (ethylene-co-butene) 64 adalah τ = 1 s , E = 3 N s 2 − ν m 2 , α = 0 , 4 , dengan massa jenis ρ = 1 , 5 kg m 3 yang dimodelkan oleh model fraksional Scott-Blair. Kondisi batas diketahui r (0 , t ) = δ ( t ) , lim x →∞ r ( x, t ) = 0 , t > 0 , dan kondisi awal r ( x, 0 + ) = ∂ ∂t r ( x, t ) | t =0 + = 0 , x > 0 . Solusi analitik diperoleh dengan mensubstitusi parameter yang diketahui ke persamaan (28) yaitu
r ( x, t ) = ( δ ( t ) ∗ 1 t W 0 . 4 − ν 2 , 0 ( − x √ 2 t 0 , 4 − ν 2 ) , t ≥ x c 0 , t < x c . (30)
Untuk solusi analitik dengan metode NILT gunakan persamaan (29), dengan melihat singulari- tas dari integran menggunakan invers langsung diperoleh singularitasnya di s = 0 , maka dapat dipilih p = 0 , 25 , dan m = 2 sehingga
r ( x, t ) ≈ e r ( x, Re ( z )) e Re ( z ) t 2 mt + e Re ( z ) t mt ∞ X k =1 Re ( e r ( x, z )) cos kπ m − e Re ( z ) t mt ∞ X k =1 Im ( e r ( x, z )) sin kπ m (31)
dengan z = 0 , 25 + i kπ 2 t .
Misal dipilih ν = 1 , 5 , plot perbandingan solusi analitik dengan solusi numerik untuk t = 1 , t = 2 , dan t = 3 dengan menggunakan MATLAB disajikan pada (Gambar 3.) Pada [19] diperoleh galat untuk metode NILT adalah sebesar ( pt, m ) ≈ M e − 2 mpt , M adalah nilai maksimum mutlak dari r ( x, t ) . Dari Gambar (3.) untuk tiga nilai t , amplitudo difusi- gelombang menurun (meredam) seiring dengan bertambahnya nilai t , hal ini sesuai dengan sifat material viskoelastis yang segera kembali kebentuk semula atau mempertahankan ben- tuknya. Dengan demikian amplitudo gelombang pada r ( x, t ) ketika t = 1 dapat dipilih men- jadi nilai M , yaitu M = 0 , 3 . Karena p = 0 , 25 dan m = 2 , maka akan diperoleh untuk t = 1 , ≈ 0 , 3 e − 2(2)(0 , 25)(1) = 0 , 11 , untuk t = 2 , ≈ 0 , 3 e − 2(2)(0 , 25)(2) = 0 , 04 , untuk t = 3 , ≈ 0 , 3 e − 2(2)(0 , 25)(3) = 0 , 015 . Nilai akan bertambah kecil ketika t semakin besar, hal ini menunjukkan bahwa ketika t membesar solusi NILT akan menghampiri solusi analitik dengan sangat baik. Pada contoh kasus ini dapat dilihat bahwa untuk x > 10 nilai r ( x, t ) ham- pir seluruhnya nol untuk t nilai berapapun, sesuai dengan solusi analitik yang diperoleh pada persamaan (30).

## IV. KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN
Solusi analitik persamaan difusi-gelombang fraksional pada media viskoelastis yang memenuhi nilai batas Signalling dapat diselesaikan dengan mengarahkan solusi ke fungsi Wright. Solusi analitik diperoleh untuk parameter α < ν < α + 2 dengn 0 < α < 1 , diluar nilai tesebut digunakan metode NILT. Menemukan solusi persamaan difusi-gelombang secara analitik san- gat efektif mengingat belum tersajinya solusi analitik unuk persamaan disufi-gelombang dalam bidang teknik. Penelitian lanjutan yang dapat dilakukan adalah membuat perumuman solusi persamaan difusi-gelombang tanpa adanya pembatasan parameter.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
30
Gambar 3. Plot r ( x, t ) dengan ν = 1 , 5 untuk t = 1 , t = 2 , dan t = 3 .

## REFERENSI
[1] Nutting, P.G. 1921: A new general law of deformation, Journal of The Franklin Institute , Vol. 191 , Edisi 5, 679-685
[2] Blair, G. dan Reiner, M.. (1951). The rheological law underlying the Nutting equation. Flow Turbulence and Combustion - Flow Turbul Combust. 2. 225-234. 10.1007/BF00411984.
[3] Rogosin, S. dan Mainardi, F. 2014: George William Scott Blair the pioneer of fractional calculus in rheology. Communications in Applied and Industrial Mathematics , Vol. 6 , No. 1.-481; ISSN 2038-0909; DOI: 10.1685/journal.caim.481.
[4] Nigmatullin, R. R. 1986: The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry, Physica Status Solidi B , 133 , 425430; DOI:

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
31 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
10.1002/pssb.2221330150.
[5] Mainardi, F., Luchko, Y., dan Pagnini, G. 2001: The fundamental solution of the space- time fractional diffusion equation, An International Journal for Theory and Applications , Vol. 4 , No. 2, 153-192; ISSN 1311-0454.
[6] Mainardi, F., dan Pagnini, G. 2003: The wright function as solutionsof the time-fractional diffusion equation, Applied Mathematics and Computation , Vol. 141 , Edisi 1, 51-62; dx.doi.org/10.1016/S0096-3003(02)00320-X.
[7] Povstenko, Y. 2011: Non-axisymmetric solutions to time-fractional diffusion-wave equa- tion in an infinite cylinder, Fractional Calculus and Applied Analysis , Vol. 14 , No. 3, 418-435; DOI: 10.2478/s13540-011-0026-4.
[8] A. Bradji, A new analysis for the convergence of the gradient discretization method for multidimensional time fractional diffusion and diffusion-wave equations, Computers and Mathematics with Applications (2019),https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.11.001.
[9] Y.Zheng, Z. Zhao, The time discontinuous space-time finite element meth- ode for fractional diffusion-wave equation, Appl. Numer. Math . (2019), https://doi.org/10.1016/j.apnum.2019.09.007
[10] Tramontana V, et al. An application of Wright functions to the photon propagation. J Quant Spectrosc Radiat Transfer (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.jqsrt.2013.03.008
[11] Elsaid, A., Latief, M.S.A, Maneea, M. 2016: Similarrity Solutions for Multiterm Time- Fractional Diffusion Equation, Advances in Mathematical Physics , Hindawi Publishing Corporation, http://dx.doi.org/10.1155/2016/7304659.
[12] Mainardi, F. 2010: Fractional calculus and wave in liear viscoelasticity, An introduction to mathematical models, ISBN-101-84816-329-0, London, Imperial College Press.
[13] Podlubny, I. 1999: Fractional differential equation, Mathematics in Science and Engineer- ing , Vol. 198 , ISBN 0-12-558840-2, San Diego, California, Academic Press.
[14] Wong, R. dan Zhao, Y.-Q. 1999: Smoothing of Stokes’ discontinuity for the generalized Bessel function, Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 455 , 1381-1400; DOI: 10.1098/rspa.1999.0365.
[15] Choksi, H., dan Timol, M.G., 2014: Similarity solution for partial differential equation of fractional order, International Journal of Engineering and Innovative Technology (IJEIT) , Vol. 4 , Edisi 2, ISSN 2277-3754.
[16] Sheng, H., Li, Y., dan Chen, Y.-Q. 2010: Application of numerical inverse Laplace trans- form algorithms in fractional calculus, Journal of The Franklin Institute , 348 , 315-330; DOI: 10.1016/j.jfranklin.2010.11.009.
[17] Rani, D., Mishra, V., Numerical Inverse Laplace Transform based on Bernoulli Polynomi- als Operational Matrix for Solving Nonlinear Differential Equations, Results in Physics (2019), doi: https://doi.org/10.1016/j.rinp.2019.102836
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
32
[18] N.U. Khan, T. Usman and M. Aman, Some properties concerning the analysis of gener- alized Wright function, Journal of Computational and Applied Mathematics (2020), doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.112840.
[19] Brancik, L., dan Smith, N. 2015: Two approaches to derive approximate formulae of NILT method with generalization, IEEE , DOI: 10.1109/MIPRO.2015.7160256.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
33