Abstrak—Fungsi  Lyapunov  adalah  salah  satu  fungsi  yang dikonstruksi  untuk  memeriksa  kestabilan  global  dari  suatu sistem  nonlinier.  Pada  penelitian  ini  digunakan  metode Variabel  Gradien,  Kravoskii  dan  Energi  Casimir  dalam mengkonstruksi fungsi Lyapunov. Berdasarkan hasil perhitungan  dan  simulasi  yang  dilakukan  menggunakan metode variabel gradien dan metode Energi Casimir diperoleh fungsi  Lyapunov  untuk  sistem  Lorenz  pada  semua  titik kesetimbangan. Sedangkan metode Kravoskii belum menghasilkan  fungsi  Lyapuno  untuk  sistem  Lorenz  pada semua titik kesetimbangan.
Kata Kunci—Fungsi Lyapunov, Variabel Gradien, Krasovkii, Energi-Casimir, Sistem Lorenz.

## I. PENDAHULUAN
ATEMATIKA  merupakan  disiplin  ilmu  yang  dapat diterapkan  dalam  berbagai  ilmu  pengetahuan  dan dapat  memberikan  interpretasi  solusi  analitis  yang  lebih rinci.  Permasalahan  yang  terjadi  dalam  kehidupan  sehari- hari kebanyakan merupakan sistem dinamik. Sistem dinamik yaitu  suatu  sistem  persamaan  yang  dipengaruhi  oleh perubahan gerak dan waktu. Salah satu kajian penting dalam permasalahan  sistem  dinamik  yakni  bagaimana  keadaan sistem, apakah sistem tersebut merupakan sistem yang stabil atau tak stabil.
Aleksander Mikhailovich Lyapunov dalam tesisnya yang berjudul  A  general  task  about  the  stability  of  motion mengembangkan dua metode untuk menganalisis kestabilan dari  suatu  kesetimbangan,  yang  dikenal  dengan  metode Lyapunov langsung ( The Second Method of Lyapunov ) dan metode Lyapunov tak langsung ( First Method ).
Penyelesian  kestabilan  sistem  dinamik  dengan  metode Lyapunov langsung mensyaratkan suatu fungsi, yang disebut sebagai  fungsi  Lyapunov.  Yaitu  fungsi  skalar  yang memenuhi  beberapa  syarat  diantaranya  jika  ada  sebuah fungsi definit positif sedemikian sehingga turunan dari yaitu semidefinit negatif [1]. Metode Lyapunov langsung banyak diterapkan untuk menganalisis kestabilan  baik sistem  linier maupun  sistem  nonlinier,  sistem  time-invariant  dan  juga sistem time-varrying.
Pada  penelitian  ini  dibahas  mengenai  mengkonstruksi fungsi Lyapunov untuk menganalisis kestabilan pada sistem nonli\-nier  dengan  menggunakan  metode  variabel  gradien, metode  Krasovkii,  dan  metode  Energi-Casimir  dan  hasil konstruksi  fungsi  Lyapunov  akan  diterapkan  pada  contoh- contoh sistem dinamik nonlinier yaitu sistem Lorenz.

## II. DASAR TEORI

## A. Sistem Lorenz
Sistem  persamaan  diferensial  biasa  dari  sistem  Lorenz sebagai berikut:
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝜎(𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑟𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝑥𝑦  − 𝛽𝑧
Keadaan  atmosfer  dalam  model  ini  dapat  digambarkan secara  utuh  dengan  tiga  buah  variabel  bergantung  waktu yaitu:  laju  konveksi 𝑥 ,  distribusi  temperature  horizontal 𝑦 , dan distribusi temperature vertikal 𝑧 , dengan tiga parameter yang menjelaskan karakter dari model tersebut yaitu: 𝜎 (rasio viskositas  tehadap  konduktivitas  termal), 𝑟 (perbedaan temperature  antara  bagian  atas  dan  bagian  bawah  lapisan), dan 𝛽 (perbandingan luas dan ketebalan.

## B. Kestabilan dan Titik Kesetimbangan
Setiap sistem memiliki keadaan setimbang yang berbeda- beda.  Keadaan  setimbang  suatu  sistem  dapat  terjadi  pada suatu  titik  yang  disebut  titik  kesetimbangan.  Titik kesetimbangan  adalah  suatu  titik  saat  sistem  tidak mengalami  perubahan  sepanjang  waktu.  Sebuah  titik 𝑥 𝑒 ∈ ℝ 𝑛 adalah sebuah titik kesetimbangan dari sistem persamaan diferensial 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) jika memenuhi 𝑓(𝑥 𝑒 ) = 0 .[5]

## C. Fungsi Lyapunov
Fungsi Lyapunov adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga pernyataan berikut ini.
Definsi 2.1 [6] Diberikan fungsi 𝑉: 𝒟 ∈ ℝ 𝑛 > ℝ dan 𝑥 𝑒 ∈ 𝒟 titik  kesetimbangan  sistem  persamaan  diferensial nonlinier. Fungsi 𝑉 disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi pernyataan berikut:
a. Fungsi 𝑉 kontinu  dan  mempunyai  turunan  parsial pertama yang kontinu pada 𝒟 .
b. Fungsi 𝑉(𝑥) > 0 untuk 𝑥 ∈ 𝒟 dengan 𝑥 ≠ 𝑥 𝑒 dan 𝑉(𝑥 𝑒 ) = 0 dengan 𝑥 = 𝑥𝑒 (dengan titik kesetimbangan 𝑥 𝑒 merupakan titik minimum global).
c. Fungsi 𝑉̇(𝑥) ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝒟 .

## D. Metode Variabel Gradien
Diberikan 𝑉 ∶ 𝒟 → ℝ adalah  fungsi  diferensial  kontinu

## Konstruksi Fungsi Lyapunov untuk Menentukan Kestabilan
Reni Sundari dan Erna Apriliani Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : april@matematika.its.ac.id
M
dan 𝑔(𝑥) = ( 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ) 𝑇 . Derivatif dari 𝑉(𝑥) sepanjang trayektori diberikan oleh
𝑉(𝑥) = ∑ 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑥̇ 𝑖 = ∫ 𝑑(𝜎𝑔 𝑖 (𝜎𝑥)) 𝑑𝜎 1 0 𝑑𝜎 = 𝑔 𝑖 (𝑥)
Kemudian, mengkonstruksi 𝑔(𝑥) sedemikian sehingga 𝑔(𝑥) adalah  gradien  dari  fungsi  definit  positif  dan 𝑉̇(𝑥) = 𝑔 𝑇 (𝑥)𝑓(𝑥) < 0, 𝑥 ∈ 𝒟, 𝑥 ≠ 0 .  Fungsi 𝑉(𝑥) bisa  dihitung dengan integral
𝑉(𝑥) = ∫ 𝑔 𝑇 (𝜎𝑥) 1 0 𝑥𝑑𝜎  = ∫ ∑ 𝑔 𝑗 (𝜎𝑥)𝑥 𝑗 𝑑𝜎 𝑛 𝑗=1 1 0 E. Metode Kravoskii
Proposisi  2.2 Fungsi 𝑓, 𝑔 ∶ ℝ 𝑛 → ℝ 𝑛 adalah  fungsi diferensial  kontinu  sedemikian  sehingga 𝑓(0) = 0 .  Maka untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ 𝑛 terdapat 𝛼 ∈ [0,1] sedemikian sehingga
𝑔 𝑇 (𝑥)𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑇 (𝑥) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝛼𝑥)𝑥
Teorema 2.2 (Teorema Krasovskii) Diberikan 𝑥(𝑡) = 0 adalah titik kesetimbangan untuk system dinamika nonlinier
𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡)), 𝑥(0) = 𝑥 0 , 𝑡 ≥ 0
Dimana 𝑓: 𝒟 → ℝ 𝑛 adalah  diferensial  kontinu  dan 𝐷 adalah himpunan buka dengan 0 ∈ 𝒟 . Diasumsikan terdapat matrik definit positif 𝑃 ∈ ℝ 𝑛𝑥𝑛 dan 𝑅 ∈ ℝ 𝑛𝑥𝑛 sedemikian [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝑥)] 𝑇 𝑃 + 𝑃 [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝑥)] ≤ −𝑅, 𝑥 ∈ 𝒟, 𝑥 ≠ 0
Maka solusi  nol 𝑥(𝑡) = 0 adalah kesetimbangan tunggal stabil asymptotis dengan fungsi lyapunov 𝑉(𝑥) = 𝑓 𝑇 (𝑥)𝑃𝑓(𝑥) . Jika 𝒟 ≡ ℝ 𝑛 , maka solusi nol 𝑥(𝑡) = 0 adalah ketimbangan tunggal stabil asymptotis global.
F. Metode Energi Casimir
Diberikan fungsi 𝐶: 𝒟 → ℝ dan didefinisikan
(𝑥) ≡ ̂ ∑ 𝜇 𝑖 𝐶 𝑖 (𝑥) 𝑟 𝑖=1
Untuk 𝜇 𝑖 ∈ 𝑟, 𝑖 = 1, … , 𝑟 . Teorema  2.3  (Teorema  Energi-Casimir) dengan menganggap  sistem  dinamika  nonlinier  dimana 𝑓: 𝒟 → ℝ 𝑛 adalah  lipschitz  kontinu  pada 𝒟 .  Diberikan 𝑥 𝑒 ∈ 𝒟 adalah titik kesetimbangan dari suatu sistem dan diberikan 𝐶 𝑖 : 𝒟 → ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑟 menjadi  fungsi Casimir. Diasumsikan bahwa vektor 𝐶 𝑖 ′ (𝑥 𝑒 ), 𝑖 = 2, … , 𝑟 adalah bebas linier dan andaikan terdapat 𝜇 = [𝜇 1 , … , 𝜇 𝑟 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑟 sedemikan    hingga 𝜇 1 ≠ 0, 𝐸 ′ (𝑥 𝑒 ) = 0 dan 𝑥 𝑇 𝐸 ′′ (𝑥 𝑒 )𝑥 > 0, 𝑥 ∈ ℳ , dimana ℳ ≡ ̂ {𝑥 ∈ 𝒟: 𝐶 𝑖 ′ (𝑥 𝑒 )𝑥 = 0, 𝑖 = 2, … 𝑟} . Maka terdapat 𝛼 ≥ 0 sedemikian sehingga
𝐸 ′′ (𝑥 𝑒 ) + 𝛼 ∑ ( 𝜕𝐶 𝑖 𝜕𝑥 (𝑥 𝑒 )) 𝑇 𝑟 𝑖=2 ( 𝜕𝐶 𝑖 𝜕𝑥 (𝑥 𝑒 )) > 0
Kemudian,  solusi  kesetimbangan 𝑥(𝑡) ≡ 𝑥 𝑒 dari  sistem dinamika  nonlinier  adalah  stabil  lyapunov  dengan  fungsi lyapunov.
𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥) − 𝐸(𝑥 𝑒 ) + 𝛼 2 ∑[𝐶 𝑖 (𝑥) − 𝐶 𝑖 (𝑥 𝑒 )] 2 𝑟 𝑖=2

## III. PEMBAHASAN

## A. Titik Kesetimbangani
Jika 𝑟 > 1 maka  terdapat  dua  titik  kesetimbangan  yaitu (√𝑏(𝑟 − 1), √𝑏(𝑟 − 1), 𝑟 − 1) dan
(−√𝑏(𝑟 − 1), −√𝑏(𝑟 − 1), 𝑟 − 1) ,  sedangkan 𝑟 < 1 terdapat satu titik kesetimbangan yaitu pada titik (0,0,0) .

## B. Kestabilan Lokal
Metode  yang  digunakan  untuk  mentransformasi  sistem nonlinier menjadi sistem linier adalah metode matrik Jacobi.
Matrik Jacobi yang dibentuk dari sistem diatas adalah
𝐽 = [ −𝜎 𝜎 0 𝑟 − 𝑧 −1 −𝑥 𝑦 𝑥 −𝑏 ]
Titik  kesetimbangan  nol 𝑇 1 = (0,0,0) ,  diperoleh persamaan karakteristik yaitu
(𝜆 + 𝑏)(𝜆 2 + (𝜎 + 1)𝜆 + 𝜎(1 − 𝑟)) = 0 Karena 𝑏, 𝜎 dan 𝑟 adalah konstanta positif, maka akar-akar persamaan  karakteristik  yang  diperoleh  adalah 𝜆 1 = −𝑏, 𝜆 2,3 = − 1 2 (𝜎 + 1) ± 1 2 √𝜎 2 − (2 + 4𝑟)𝜎 + 1 .
Untuk 𝑟 < 1 ,  kondisi  didalam  akar  kuadrat  kurang  dari (𝜎 − 1) 2 , menjadikan 𝜆 < 0 sehingga  nilai  eigen  bernilai negatif  dan  riil.  Oleh  karena  itu,  titik  kesetimbangan  pada titik (0,0,0) bersifat stabil.
Sedangkan  pada  dua  titik  yang  lain (𝑇 2 𝑑𝑎𝑛 𝑇 3 ) , persamaan karakteristik yang didapatkan yaitu 𝜆 3 + (𝑏 + 𝜎 + 1)𝜆 2 + (𝜎𝑏 + 𝑏𝑟)𝜆 + 2𝑏𝜎(𝑟 − 1) = 0
Dengan  menggunakan  Routh-Hurwitz,  maka  dua  titik kesetimbangan jika 1 < 𝑟 < 𝜎(𝜎+𝑏+3) 𝜎−𝑏−1 ,maka 𝑇 2,3 =
(±√𝑏(𝑟 − 1), ±√𝑏(𝑟 − 1), 𝑟 − 1) bersifat stabil.

## C. Metode Variabel Gradien
Dengan dimisalkan
∇𝑉(𝑥) = [ ℎ 11 𝑥 ℎ 12 𝑦 ℎ 13 𝑧 ℎ 21 𝑥 ℎ 22 𝑦 ℎ 23 𝑧 ℎ 31 𝑥 ℎ 32 𝑦 ℎ 33 𝑧 ]

## Maka fungsi Lyapunov adalah
1. Titik Kesetimbangan nol Fungsi Lyapunov yang diperoleh 𝑉 = ∫ ∇𝑉(𝑥) 𝑑𝑥 1
0 = ∫ γ(𝑥 2 + 𝑦 2 − 0,3𝑧 2 + 𝑦𝑧)𝑑 1 0 γ
= 1 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 − 0,3𝑧 2 + 𝑦𝑧)

## 2. Titik Kesetimbangan pada dua titik yang lain
𝑉 = 1 2 ((𝑥 − 𝑥 ∗ ) 2 + (𝑦 − 𝑦 ∗ ) 2 ) −0,3(𝑧 − 𝑧 ∗ ) 2 + (𝑦 − 𝑦 ∗ )(𝑧 − 𝑧 ∗ ))

## D. Metode Kravoskii
1. Titik Kesetimbangan nol Titik kesetimbangan yaitu 𝑇 1 = (0,0,0) disubstitusikan ke matriks 𝐽 . Selanjutnya
mendapatkan matriks 𝑃 yaitu
𝑃 = [ 10𝑟 − 11 − 𝑟 2 220(𝑟 − 1)
−(𝑟 − 1) 22(𝑟 − 1) 0 −(𝑟 − 1) 22(𝑟 − 1) (𝑟 − 1) 22(𝑟 − 1) 0
0 0 3 16]
Fungsi Lyapunov adalah
𝑉 = 𝑓 𝑇 (𝑥)𝑃𝑓(𝑥)
= 10𝑟 − 11 − 𝑟 2
220(𝑟 − 1) (𝜎(𝑦 − 𝑥)) 2 − 2(𝑟 − 1)
22(𝑟 − 1) 𝜎(𝑦 − 𝑥)(𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦)
+ (𝑟 − 1) 22(𝑟 − 1) (𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦) 2 + 3
16 (𝑥𝑦 − 𝛽𝑧) 2 2. Titik kesetimbangan pada 𝑇 2 = (√𝑏(𝑟 − 1), √𝑏(𝑟 − 1), 𝑟 − 1)

## Fungsi Lyapunov yang diperoleh
𝑉 = 0,1346(𝜎(𝑦 − 𝑥)) 2
+0,3391𝜎(𝑦 − 𝑥)(𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦)
+0,1726𝜎(𝑦 − 𝑥)(𝑥𝑦 − 𝛽𝑧) +0,4694(𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦) 2
−0,1026(𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦)(𝑥𝑦 − 𝛽𝑧) + 0,3381(𝑥𝑦 − 𝛽𝑧) 2
3. Titik Kesetimbangan 𝑇 3 =
(−√𝑏(𝑟 − 1), −√𝑏(𝑟 − 1), 𝑟 − 1)
Fungsi Lyapunov yang diperoleh
𝑉 = −5,6421(𝜎(𝑦 − 𝑥)) 2
−14,8311𝜎(𝑦 − 𝑥)(𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦) +11,3256𝜎(𝑦 − 𝑥)(𝑥𝑦 − 𝛽𝑧)
−27,2288(𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦) 2
−11,8564(𝑥(𝑟 − 𝑧) − 𝑦)(𝑥𝑦 − 𝛽𝑧) − 17,2255(𝑥𝑦 − 𝛽𝑧) 2

## E. Metode Energi Casimir
1. Titik Kesetimbangan nol
Fungsi Lyapunov yang diperoleh
𝑉 = 1 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 1 4 𝑦 4
2. Titik Kesetimbangan pada dua titik yang lain
Fungsi Lyapunov yang diperoleh
𝑉 = 𝑏 2 (𝑦 2 − 𝑦 ∗2 ) + 𝑑 2 (𝑧 2 − 𝑧 ∗2 )
−(𝑦 − 𝑦 ∗ ) − (𝑧 − 𝑧 ∗ ) + 1 2 ( 𝑑 2 (𝑧 2 − 𝑧 ∗2 ) −(𝑧 − 𝑧 ∗ ) ) 2
Dengan 𝑏 = ± 1 √𝛽(𝑟−1) dan 𝑑 = 1 𝑟−1 .

## IV. SIMULASI DAN ANALISIS

## A. Titik Kesetimbangan nol
Nilai parameter yang digunakan adalah 𝜎 = 10 , 𝛽 = 8/ 3. Berikut  ini  adalah  hasil  penyelesaian  dari  fungsi Lyapunov beserta turunannya
Gambar    1.  Grafik  Fungsi  Lyapunov  dengan  Metode  Variabel  Gradien, r=0.5
Gambar  2. Grafik Turunan Fungsi Lyapunov
Berdasarkan  gambar  1  dan  2,  terlihat  bahwa  fungsi Lyapunov  dengan  metode  variabel  gradien  semua  berada pada nilai positif dan bergerak menuju nol. Dan turunannya dimana semua nilai berada pada bagian negatif dan bergerak menuju  titik  nol.Hal  ini  menunjukkan  bahwa  Fungsi Lyapunov  dapat  dikonstruksi  dengan  metode  Variabel gradien  untuk  sistem  Lorenz  pada  titik  kesetimbangan  nol dengan parameter 𝑟 = 0 , 5 .
Gambar  3. Grafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Kravokii, r=0,5
Gambar  4. Grafik Turunan
Berdasarkan  gambar  3  dan  4  terlihat  bahwa  fungsi Lyapunov dengan metode Kravoskii semua berada pada nilai positif  dan  bergerak  menuju  nol.  Dan  turunan  dimana sebagian nilai berada pada bagian positif dan sebagian  nilai berada  pada  bagian  negatif  bergerak  menuju  titik  nol juga.Hal  ini  menunjukkan  bahwa  Fungsi  Lyapunov  tidak dapat  dikonstruksi  dengan  metode  Kravoskii  untuk  sistem Lorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameter 𝑟 < 1 .
Gambar  5. Grafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Energi Casimir
Gambar  6. Grafik Turunannya
Berdasarkan gambar 5 dan 6 terlihat bahwa fungsi Lyapunov dengan  metode  Energi  Casimir  semua  berada  pada  nilai positif  dan  bergerak  menuju  nol.  Dan  turunannya  dimana semua nilai berada pada bagian negatif dan bergerak menuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi  dengan  metode  Energi-Casimir  untuk  sistem Lorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameter 𝑟 = 0 . 5 .
Gambar  7. Grafik Fungsi lyapunov dengan metode Variabel
Gambar  8. Grafik turunan dari gambar 7
Berdasarkan  gambar  7  dan  8,  terlihat  bahwa  fungsi Lyapunov    semua  berada  pada  nilai  positif  dan  bergerak menuju nol. Dan turunannya dimana semua nilai berada pada bagian  negatif  dan  bergerak  menuju  titik  nol.Hal  ini menunjukkan  bahwa  Fungsi  Lyapunov  dapat  dikonstruksi dengan  metode Variabel gradien untuk sistem Lorenz pada titik  kesetimbangan 𝑟 2 dengan  parameter 𝑟 = 24 .  Sistem Lorenz pada titik kesetimbangan 𝑟 2 bersifat stabil.
Gambar  9.Grafik Fungsi Lyapunov dengan metode Kravokii

## Gambar  10. Grafik Turunan dari gambar 9
Berdasarkan  gambar  9  dan  10  terlihat  bahwa  fungsi Lyapunov  semua  berada  pada  nilai  negatif  dan  bergerak menuju titik nol. Dan turunannya dimana nilai berada pada bagian  positif  dan  bergerak  menuju  titik  nol.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  Fungsi  Lyapunov  belum  dapat dikonstruksi dengan metode Kravoskii untuk sistem Lorenz pada titik kesetimbangan
Gambar  11. Grafik Fungsi Lyapunov dengan metode Energi Casimir
Gambar  12.Grafik turunan gambar 11
Berdasarkan  gambar  11  dan  12  terlihat  bahwa  fungsi Lyapunov  semua  berada  pada  nilai  positif  dan  bergerak menuju  titik  nol.  Dan  turunan  dimana  semua  nilai  berada pada  bagian  negatif  dan  bergerak  menuju  titik  nol.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  Fungsi  Lyapunov  dapat  dikonstruksi dengan  metode  Energi-Casimir  untuk  sistem  Lorenz  pada dua titik kesetimbangan yang lain. Sistem tersebut pada titik kesetimbangan 𝑇 2 bersifat stabil jika 1 < 𝑟 <  24.7 .

## V. PENUTUP

## A. Kesimpulan
1. Sistem pada titik kesetimbangan pada (0,0,0)
bersifat stabil local jika 𝑟 < 1 dan pada dua titik kesetimbangan yang lain bersifat stabil jika 1 < 𝑟 < 𝜎(𝜎+𝛽+3) 𝜎−𝛽−1 .
2. Sistem  Lorenz  pada  titik  kesetimbangan (0,0,0)
diperoleh
a. Fungsi  Lyapunov  dapat  dikonstruksi dengan metode variabel gradien. b. Fungsi Lyapunov belum dapat dikonstruksi dengan menggunakan metode Kravoskii.
c. Fungsi  Lyapunov  dapat  dikonstruksi dengan metode Casimir.
3. Sistem pada dua titik kesetimbangan yang lain.
a. Fungsi  Lyapunov  dapat  dikonstruksi dengan  metode  variabel  gradien.  Sistem Lorenz  bersifat  stabil  jika 1 < 𝑟 <
𝜎(𝜎+𝛽+3) 𝜎−𝛽−1 b. Fungsi Lyapunov belum dapat dikonstruksi dengan menggunakan metode Kravoskii. c. Fungsi  Lyapunov  dapat  dikonstruksi dengan  metode  Casimir.  Sistem  Lorenz
bersifat stabil jika 1 < 𝑟 < 𝜎(𝜎+𝛽+3) 𝜎−𝛽−1

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Riyanto,  Andi  (2015).” Analisis  Kestabilan  Sistem  Suspensi  Mobil Seperempat Kendaraan Dengan Metode Lyapunov Langsung ”. Skripsi S1, Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
[2] Khalil,  H.  (2002).” Nonlinear  System  Third  Edition ”.  New  Jersey:
Pearson Prentice Hall