## Solusi Umum Persamaan Diferensial Eksak Empat Variabel
Hasrul Harahap 1 , Nur Ainun Lubis 2
1 Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika FMIPA USU Email: Has.harahap@gmail.com
2 STAIN Gajah Putih Takengon, Aceh Tengah, Aceh. Email:ainunlubis123@gmail.com
Abstrak .  Tinjau  persamaan  diferensial  eksak  empat  variabel:
.  Dalam  tulisan  ini  akan  dicari  suatu  metode  dalam  menentukan solusi  umum  dari  persamaan  diferensial  eksak  empat  variabel  dan  jika  persamaannya  tidak  eksak,  maka akan ditentukan suatu metode dalam menentukan faktor integrasi dari persamaan diferensial empat variabel yang tidak eksak tersebut, sehingga persamaannya menjadi persamaan diferensial eksak empat variabel.
Kata kunci : eksak, persamaan diferensial, empat variabel.

## Pendahuluan
1. Latar belakang
Peranan  matematika  sebagai  suatu ilmu pada dasarnya tidak dapat dipisahkan dari  ilmu  lainnya.  Dalam  ilmu  fisika, kimia, bidang industri, ekonomi, keuangan,  tehnik  sipil,  peran  matematika terlibat  di  dalamnya.  Satu  hal  yang membuat  ilmu  matematika  berperan  di dalamnya  adalah  mengenai  pemodelan matematika.  Banyak  fenomena  di  dunia nyata  yang  sangat  kompleks  sehingga dibutuhkan  penyederhanaan  dari  masalah tersebut.
Persamaan diferensial  adalah salah satu  ilmu  matematika  yang  banyak digunakan  untuk  menjelaskan  masalah- masalah  fisis.  Masalah-masalah  fisis tersebut  dapat  dimodelkan  dalam  bentuk persamaan diferensial. Jika model matematika berbentuk persamaan diferensial maka masalahnya adalah bagaimana menentukan solusi (penyelesaian)  persamaan  diferensial  itu.
Misalnya  untuk  persamaan  diferensial eksak dengan dua variabel yang berbentuk:
yang  mempunyai  solusi  umum  berbentuk dengan :

## ∫
dan  persamaan  diferensial  eksak  tiga variabel yang berbentuk :
yang  solusi  umumnya  berbentuk dengan :

## ∫ ∫

## ∫
yang  masing-masing  dari  persamaan diferensial eksak tersebut dalam penentuan dan mempunyai metode dan  pola  yang  berbeda  dalam  setiap jumlah  variabel  yang  berbeda,  sehingga jika  persamaan  diferensial  eksak  empat variabel yang berbentuk :

## Jurnal As-Salam, 1(1) Januari - April 2017
(Print ISSN 2528-1402, Online ISSN 2549-5593)
Hasrul Harahap, Nur Ainun Lubis
yang  mempunyai  solusi  umum berbentuk dalam penentuan mempunyai metode dan pola yang berbeda dengan dua dan  tiga  variabel  jadi  masalahnya  adalah bagaimana  metode  dalam  penentuan sehingga  solusi  umum  dari  persamaan diferensial  eksak  empat  variabel  dapat ditentukan.  Namun,  harus  disadari  juga bahwa  tidak  semua  model  matematika yang  berbentuk  persamaan  diferensial mempunyai solusi.
2. Tujuan dan manfaat penelitian
a. Tujuan Penelitian Tujuan dari tulisan ini adalah untuk menentukan  suatu  metode  dalam mencari  solusi  umum  persamaan diferensial  eksak  empat  variabel dan  bagaimana  mencari  faktor integrasi agar persamaan diferensial  tidak  eksak  menjadi eksak.
b. Manfaat Penelitian
Manfaat  dari  tulisan  ini  adalah untuk dapat menambah dan memperdalam pengetahuan pembaca mengenai persamaan diferensial,  khususnya  persamaan diferensial eksak dan dapat diaplikasikan  dalam  bidang  ilmu lainnya,  misalkan  dalam  bidang ilmu  kimia,  teknik  industri  dan bidang ilmu lainnya.

## Landasan Teori
1. Persamaan diferensial
Persamaan  diferensial  adalah  suatu persamaan  yang  menyatakan  hubungan antara  variabel  bebas,  variabel  takbebas dan  turunan  variabel  takbebas  terhadap variabel bebas.
a. Persamaan  diferensial  eksak  dua variabel
Suatu  persamaan  diferensial  dengan bentuk :
(1) disebut  persamaan  diferensial  eksak,  jika ada  suatu  fungsi yang  diferensial totalnya sama dengan
, yaitu:
(2)
b. Metode  menentukan  solusi  umum persamaaan  diferensial  eksak  dua variabel
Langkah-langkah  yang dapat  dilakukan untuk menentukan solusi umum persamaan  diferensial  eksak  dua  variabel, yaitu:
1) Ubah  persamaan  diferensial  orde  satu ke bentuk : = 0 2) Uji apakah  persamaan  diferensial tersebut  eksak  dengan  menunjukkan
3) Jika  eksak,  integralkan  fungsi terhadap atau terhadap , sebagai contoh pilih
terhadap
:
∫              ∫

## ∫
4) Untuk menentukan fungsi : a. Turunkan terhadap , sehingga ∫ ∫ b. Integralkan untuk menentukan
5) Ubah  solusi  implisit  dari  persamaan orde satu :
6) Hitunglah  konstanta  C,  jika  kondisi inisialnya diketahui.
c. Persamaan  diferensial  eksak  tiga variabel
Persamaan  diferensial  orde  satu  tiga variabel yang berbentuk :
disebut  eksak  apabila  terdapat  fungsi yang  diferensial  totalnya  sama dengan
, yaitu
2. Metode  menentukan  solusi  umum persamaan diferensial eksak tiga variabel
Persamaan  diferensial  eksak  tiga varibel  ini  dapat  diselesaikan  dengan teorema berikut ini :
Teorema 1 : Pandang persamaan diferensial eksak berikut : Misalkan terdapat fungsi-fungsi sebagai berikut : 1. dengan = 0,
dengan = 0, 2. dan ∫
Maka  solusi  umum  persamaan  diferensial adalah :
, dengan
∫ ∫

## ∫

## Pembahasan
1. Definisi persamaan diferensial
eksak empat variabel Sebuah fungsi empat variabel yang  mempunyai  persamaan
diferensial total, yaitu :
Misalkan :
sehingga,  persamaan  diferensial  totalnya dapat dituliskan :
Defenisi  1:  Persamaan  diferensial  orde satu empat variabel yang berbentuk :
disebut eksak, apabila terdapat yang  diferensial  totalnya sama dengan , yaitu
Teorema 2:
Jika
kontinu  pada  turunan parsial orde satu dan jika persamaan
Hasrul Harahap, Nur Ainun Lubis
adalah eksak, maka : , , , , ,
Bukti: Persamaan
diferensial adalah eksak, maka :
1. Jika  P  diturunkan  terhadap maka diperoleh Jika  Q  diturunkan  terhadap , diperoleh Sehingga  hasil  dari  kedua  turunan tersebut adalah sama, maka . 2. Jika  P  diturunkan  terhadap maka diperoleh Jika  R  diturunkan  terhadap , diperoleh Sehingga  hasil  dari  kedua  turunan tersebut adalah sama, maka . 3. Jika  P  diturunkan  terhadap maka diperoleh Jika  S  diturunkan  terhadap , diperoleh Sehingga  hasil  dari  kedua  turunan tersebut adalah sama, maka . 4. Jika  Q  diturunkan  terhadap maka diperoleh
Jika  R  diturunkan  terhadap , diperoleh Sehingga  hasil  dari  kedua  turunan tersebut adalah sama, maka .
5. Jika  Q  diturunkan  terhadap maka
diperoleh Jika S diturunkan terhadap , diperoleh Sehingga  hasil  dari  kedua  turunan tersebut adalah sama, maka . 6. Jika  R  diturunkan  terhadap maka diperoleh Jika S diturunkan terhadap , diperoleh Sehingga  hasil  dari  kedua  turunan tersebut adalah sama, maka .
Teorema  2  ini  dapat  digunakan  untuk menguji  apakah  persamaannya  diferensial eksak atau tidak eksak.
2. Metode  menentukan  solusi  umum persamaan  diferensial  eksak  empat varibel
Untuk menentukan solusi umum persamaan diferensial eksak empat variabel dapat diselesaikan dengan mengelompokkan suku-suku menjadi beberapa  sukusuku,  satu  kelompok  suku- suku  dari  bentuk , , dan serta  lainnya  adalah suku-suku  sisanya  dan  mengetahui  bahwa masing-masing kelompok (menurut kenyataan)  adalah  suatu  diferensial  total dari suatu fungsi. Beberapa fungsi persamaan diferensial total yang digunakan, yaitu : 1. 2.
3.
4. ( )
5. ( )
6. ( )
Contoh  1  : Tentukanlah solusi  umum  dari persamaan diferensial berikut ini
Penyelesaian  : Dari  persamaan  didapat, yaitu :
Didapat :
Sehingga  persamaan  tersebut  merupakan persamaan eksak, dikarenakan , ,
, , ,
Maka,  dengan  mengelompokkan  suku- suku dari persamaan diferensialnya,
dengan bentuk
Dan  mengetahui  bahwa  diferensial  total dari
Sehingga didapat persamaannya menjadi
dengan mengintegralkannya, diperoleh
Jadi, solusi umum persamaan
diferensialnya adalah :
Contoh  2  : Tentukanlah  solusi  umum Persamaan diferensial Penyelesaian : Tulis diperoleh
Sehingga  persamaan  tersebut  merupakan persamaan eksak, dikarenakan , ,
, , ,
Maka,  dengan  mengelompokkan  suku- suku dari persamaan diferensialnya,
dengan bentuk
dan  mengetahui  bahwa  diferensial  total dari , , , ,
Hasrul Harahap, Nur Ainun Lubis
sehingga
= 0 Dengan mengintegralkannya, diperoleh = C
Jadi, solusi umum persamaan
diferensialnya adalah :
= C 3. Menentukan faktor integrasi persamaan  diferensial  eksak  empat variabel Misalkan Persamaan diferensial tidak  eksak.  Fungsi disebut faktor integrasi jika persamaan diferensial menjadi  eksak.  Dalam  tulisan  ini  akan dicari fungsi tersebut. Misal ∫ , dengan berupa  fungsi  konstan  atau fungsi , berupa fungsi konstan atau fungsi , berupa  fungsi  konstan atau fungsi dan berupa  konstan  atau fungsi . Karena persamaan diferensial :
Adalah eksak, maka berlaku :
1. - =
…………………………………(1)
2.
- = …………………………………(2)
3. -
=
…………………………………(3)
4. - =
…………………………………(4)
5. -
=
…………………………………(5)
6.
- = …………………………………(6) Persamaan  ini  dapat  dibagi  menjadi empat kasus, yaitu : 1. Jika a = 0, b = 0 dan c = 0, maka dari persamaan (1),(2) dan (4) diperoleh
- , - , -
dan dari persamaan (3), (5), dan (6)
diperoleh
- = , - = , - = sehingga
Jadi faktor integrasi ∫
2. Jika a = 0, b = 0 dan d = 0, maka dari persamaan (1),(3) dan (5) diperoleh
- , - , -
dan dari persamaan (2), (4), dan (6) diperoleh
- = , - =
, -
= sehingga
Jadi faktor integrasi ∫ 3. Jika a = 0, c = 0 dan d = 0, maka dari persamaan (2),(3) dan (6) diperoleh
- - , -
dan dari persamaan (1), (4), dan (5) diperoleh
- = , - = , -
= , sehingga
Jadi faktor integrasi
∫
4. Jika b = 0, c = 0 dan d = 0, maka dari persamaan (4),(5) dan (6) diperoleh
- - , -
dan dari persamaan (1), (2), dan (3)
diperoleh
- = , - = , - =
, sehingga Jadi faktor integrasi ∫
Contoh  3  :    Tinjau  persamaan  diferensial berikut :
Penyelesaian  :  Dari  bentuk  persamaan
, diperoleh : , sehingga
Persamaan  diferensial  diatas  tidak  eksak, dikarenakan
Maka, Jika , , ,
maka  faktor  integrasinya  adalah
∫ dengan
Hasrul Harahap, Nur Ainun Lubis
Sehingga  didapat  factor  integrasinya menjadi ∫ ∫ dan persamaan diferensial semula berubah menjadi
[ ] ⇔ ( ) dari persamaan ini, berarti bahwa Dikarenakan , ,
, , , sehingga persamaan diferensialnya menjadi eksak.
Kesimpulan dan Saran
Kesimpulan Solusi umum persamaan diferensial  eksak  empat  variabel  dapat ditentukan  dengan  cara  tersebut  diatas yaitu dengan cara mengelompokkan suku- suku  menjadi  beberapa  suku-suku,  satu kelompok suku-suku dari bentuk , , dan serta lainnya adalah  suku-suku  sisanya  dan  mengetahui bahwa masing–masing
kelompok (menurut kenyataan) adalah suatu diferensial total dari suatu fungsi.
Untuk menentukan faktor integrasi persamaan diferensial tidak eksak menjadi eksak empat variabel dapat dicari dengan :
1. Jika - , - , - , maka faktor integrasinya adalah ∫ dengan 2. Jika - , - , - , maka
faktor integrasinya adalah ∫
dengan
3. Jika - - , - , maka
faktor integrasinya adalah ∫
dengan
4. Jika - - , - , maka faktor integrasinya adalah ∫
dengan

## Saran
Pada  tulisan  ini  penulis  hanya membahas  tentang  persamaan  diferensial eksak  empat  variabel.  Bagi  para  pembaca yang  berminat  untuk  meneliti,  mungkin dapat  melanjutkan  penelitian  ini  dengan membuat  sebuah  teorema  yang  dapat menjamin  bahwa  solusi  dari  persamaan diferensial  eksak  empat  variabel  tersebut adalah benar dan dapat menentukan solusi umum  dari  persamaan  diferensial  eksak yang lebih dari empat variabel.

## Referensi
Finizio,  N.  dan  Ladas,  G.  1988. Ordinary
Differential  Equation . edition.
Terjemahan  Dra.  Widiati  Santoso. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Iwan  Sugiarto.  dan  Mario  Marcellus.
2002. Persamaan Diferensial
Eksak Tiga Variabel . Jurnal Integral: Universitas Katolik
Parahyangan. hal. 63-69.
Kartono.  1994. Persamaan  Diferensial .
Yogyakarta: Andi Offset.
Mittal,  P.  K.  1995. Differential  Equation . New
Delhi:
Har-Anand
Publications Pvt Ltd.
Philip,  E.  B.  dan  Earl  D.  R.  1989.
Elementary  Differential  Equation .
edition.  New  York:  Collier Macmillan Publishers.
Purcell  dan  Edwin,  J.  1994. Kalkulus  dan Geometri Analitik , Jakarta: Erlangga.