Alifmatika: Jurnal Pendidikan dan Pembelajaran Matematika e-ISSN: 2715-6109  |  p-ISSN: 2715-6095
Vol. 3, No. 2, Desember 2021
https://journal.ibrahimy.ac.id/index.php/Alifmatika DOI: 10.35316/alifmatika.2020.v3i2.122-132
Content from this work may be used under the terms of the Creative Commons Attribution-
ShareAlike  4.0  International  License that  allows  others  to  share  the  work  with  an acknowledgment of the work's authorship and initial publication in this journal.
Copyright (c) 2021 Alifmatika: Jurnal Pendidikan dan Pembelajaran Matematika

## PEMODELAN MATEMATIKA TERHADAP PENYEBARAN VIRUS KOMPUTER DENGAN PROBABILITAS KEKEBALAN
Neni Nur Laili Ersela Zain 1* , Pardomuan Robinson Sihombing 2 1 Program Studi Matematika Universitas Airlangga, Indonesia
2 Badan Pusat Statistik, Indonesia
1 * neni.nur.laili-2014@fst.unair.ac.id , 2 robinson@bps.go.id
Received: July 21, 2021 Revised: August 28, 2021 Accepted: September 6, 2021

## Abstract :
The  increase  in  the  number  of  computer  viruses  can  be  modeled  with  a  mathematical  model  of  the spread of SEIR type of diseases with immunity probability. This study aims to model the pattern of the spread  of  computer  viruses.  The  method  used  in  this  research  is  the  analytical  method  with  the probability of mathematical immunity. Based on the analysis of the model, two equilibrium points free from disease E1 and endemic equilibrium points E2 were obtained. The existence and local stability of the  equilibrium  point  depends  on  the  basic  reproduction  number  R0.  Equilibrium  points  E1  and  E2 tend to be locally stable because R0<1 which means there is no spread of disease. While the numerical simulation results shown that the size of the probability of immunity will affect compartment R and the minimum size of a new computer and the spread of computer viruses will affect compartments S and  E  on  the  graph  of  the  simulation  results.  The  conclusion  obtained  by  the  immune  model  SEIR successfully shows that increasing the probability of immunity significantly affects the increase in the number of computer hygiene after being exposed to a virus .
Keywords: virus, model  SEIR, kestabilan, simulasi .
How to Cite : Zain, N. N. L., & Sihombing, P. R.. (2021). Pemodelan Matematika Terhadap Penyebaran Virus  Komputer  dengan  Probabilitas  Kekebalan. Alifmatika:  Jurnal  Pendidikan  dan  Pembelajaran Matematika , 3(2), 122-132. https://doi.org/10.35316/alifmatika.2021.v3i2.122-132

## PENDAHULUAN
Perkembangan internet menimbulkan  beberapa  tantangan  dan  salah  satu tantangannya  adalah  keamanan cyber .  Sebuah  sistem  pertahanan cyber harus dapat  diandalkan,  oleh  karena  itu  dibutuhkan  usaha  perlindungan  terhadap informasi penting yang tersimpan pada sistem dan informasi yang transit (keluar masuk).  Untuk  mencapai  tujuan  ini,  perlu  adanya  hal-hal  yang  harus  dimengerti dan dipelajari secara mendasar tentang berbagai bentuk dari entitas jahat seperti virus,  trojan,  dan  worm,  serta  yang  lainnya pada  skala  yang  lebih  luas.  Selain  itu juga  perlu  adanya  hal-hal  yang  harus  dimengerti  tentang  bagaimana  mereka menyebar  sepanjang  jaringan  komputer  (Khan,  2014).  Virus  komputer  sendiri merupakan  kode  atau  program  berbahaya  yang  dapat  mereplika  dirinya  dan menyebar melalui kabel atau tanpa kabel dalam sebuah jaringan. Virus komputer telah  menjadi  ancaman  besar  dalam  pekerjaan  dan  kehidupan  sehari-hari, ditambah lagi dengan  adanya Internet of Things (IoT), ancaman ini akan menjadi semakin serius. Maka diperlukan suatu kemampuan untuk memahami bagaimana
Pemodelan Matematika Terhadap Penyebaran Virus Komputer dengan .....
virus  komputer  tersebut  menyebar,  sehingga  dapat  mengatasinya  masalah penyebarannya.  Untuk  mencapai  tujuan  ini,  dan  mengingat  fakta  bahwa penyebaran  virus  antar  komputer  menyerupai  penyebaran  virus  secara  biologis dalam  suatu  populasi,  maka  pemodelan  yang  dinamis  untuk  dapat menggambarkan  penyebaran  virus  komputer  di  seluruh  internet  dengan memodifikasi  model  epidemi  secara  tepat  sangat  mendukung  untuk  dilakukan (Yang,  2012).  Hal  yang  sama  juga  dilakukan  oleh  Pemungkas  dkk  (2019)  dalam mengembangan model epidemik untuk penyebaran virus pada jaringan komputer.
Pada  umumnya  model  epidemiologi  yang  ada  adalah  versi  modifikasi  dari model  SIR  yang  di  pelopori  oleh  Kermack  dan  Kendrick  (1927).  Model  SIR merupakan  singkatan  dari susceptible (S), infected (I)  dan recovered (R).  Contoh pengembangan model SIR adalah penelitian yang dilakukan oleh Hethcote (1976) yang  mengusulkan  model  SIR  dengan  asumsi  bahwa  jumlah  penduduk  adalah tetap.  Akan  tetapi  pada  kenyataannya  populasi  akan  berubah  seiring  dengan waktu.  Dengan  demikian,  model  ini  kemudian  diperbaiki  oleh  Diekmann  dan Heersterbeek  (2000)  dengan  asumsi  bahwa  :  ukuran  populasi  berubah  sesuai dengan  tren  demografis  eksponensial,  individu  yang  terinfeksi  tidak  dapat bereproduksi  dan  individu  memperoleh  kekebalan  permanen  terhadap  infeksi lebih  kuat  ketika  dikeluarkan  dari  kelas  yang  terinfeksi  (Juhari,  2015).  Ketika model SIR klasik diimplementasikan pada jaringan kecil, ternyata model SIR tidak mampu menangkap sifat realistis dari perambatan virus dalam jaringan komputer. Sehingga  diperlukan  pertimbangan  jaringan  bebas  skala  yang  lebih  realistis. Kemudian  pembenaran  matematis  mengikuti  pengenalan  model  SEIRS  telah membahas  kondisi  matematika  untuk  keseimbangan  bebas  infeksi  dengan  hasil validasi  aspek  skalabilitas  dari  model  yang  diusulkan  dan  harapan membandingkannya  dengan  SEIRS  klasik  model  (Khan,  2014).  Model  ini  secara umum  identik  dengan  penurunan  model  SIR,  hanya  mengalami  penambahan sebuah  variabel exposed (E),  yaitu  individu  yang  telah  terpapar  oleh  penyakit namun  belum  sepenuhnya  terinfeksi.  Dalam  hal  ini  populasi  dibagi  menjadi  4 kelompok, yaitu susceptible (S), exposed (E), infected (I), dan recovered (R). Melalui  beberapa  penelitian  kestabilan  model  SEIR  telah  diuji  seperti  pada penelitian yang dilakukan oleh Safi dan Garba (2012) dimana hasil akhir penelitian menunjukkan bahwa; i) Model SEIR memiliki DFE (disease-free-equilibrium) yang stabil secara lokal untuk setiap nomor reproduksi yang kurang dari satu, ii) Model DFE pada SEIR terbukti bahwa stabil asimtotik secara umum saat R0 < 1, iii) Model pada SEIR persisten dengan seragam pada D, jika dan hanya jika R0 > 1, iv) Titik setimbang endemik pada modifikasi model SEIR dengan parameter zeta = 0, dapat dinyatakan bahwa secara umum bersifat stabil asimtotik. Model SEIR sendiri telah banyak  digunakan  dalam  berbagai  penelitian,  seperti  pada  penelitian  yang dilakukan oleh Etbaigha, dkk (2018), Sihotang (2019), dan Godio, dkk (2020).
Berdasarkan  beberapa  kelemahan  model  SIR  yang  telah  disebutkan  di  atas, peneliti  akan  memfokuskan  pada  model  SEIR  untuk  dikaji  lebih  lanjut.  Hal  ini berdasarkan  asumsi  komputer  yang  telah  sembuh  dari  terinveksi  virus  sudah mempunyai proteksi untuk tidak terinfeksi lagi.

## Neni Nur Laili Ersela Zain & Pardomuan Robinson Sihombing

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  penelitian kepustakaan atau studi literatur. Adapun  metode yang digunakan adalah metode analitik. Langkah-langkah yang dilakukan dalam untuk menyelesaikan Pemodelan Matematika terhadap penyebaran virus komputer dengan probabilitas kekebalan menggunakan model  SEIR dapat diliat pada bagan berikut ini :

## Gambar 1. Bagan Penelitian
Pada  Gambar  1  terlihat  bahwa  penelitian  diawali  dengan  penentuan  studi kasus,  lalu  diuji  asumsi  pada  data  yang  digunakan.  Selanjutnya  dilakukan pembuatan diagran dan pembuatan bilangan dasar reproduksi dan dibuat sebuah model  matematika.  Langka  selanjutnya  adalah  aanlisi  titik  seimbang  sehingag didapa  egen  titik  keseimbangan  untuk  dilakukan  simulasi  model.  Dan  langkah akhir adalah intrepetasi hasil simulasi.

## Matriks
Dalam  pembentukan  analisia  model  titik  setimbang  akan  ditentukan  nilai eigen agar tercapai titik seimbang. Nilai eigen tersebut di dapat dari matrik yang dibentuk  sehingga  langkah  awal  perlu  didefenisikan  terkait  matriks  untuk mendapatkan nilai eigen.

## Penentuan Studi Kasus
Pengadaan Asumsi
Pembuatan Diagram Transmisi Pembuatan Model
Matematika Analisa Titik Setimbang Model Perhitungan Bilangan Dasar Reproduksi
Menghitung Nilai Eigen Titik Setimbang Model
Menghitung Nilai Eigen Titik Setimbang Model Simulasi Model dengan Kontrol nilai Probabilitas
Interpretasi Hasil Simulasi
Pemodelan Matematika Terhadap Penyebaran Virus Komputer dengan .....
Definisi 1 Misalkan A adalah matriks n x n dengan komponen bilangan real. Vector tak nol x di dalam atau   disebut vektor eigen dari A, jika Ax dapat dinyatakan sebagai kelipatan scalar dari x, yakni:
(2.1)
Untuk  suatu  skalar    dinamakan  nilai  eigen  dari  A  dan  x  dikatakan  vektor eigen yang bersesuaian dengan  .
Teorema 1 Jika A adalah matriks n x n, dan   adalah nilai eigen bernilai real dari A, maka pernyataan berikut ekuivalen (Anton, 2005) :
1. Nilai eigen dari A adalah  .
2. Sistem persamaan mempunyai pemecahan tak trivial.
3. Ada vektor tak nol x di dalam sehingga . 4. Pemecahan dari persamaan karakteristik adalah  .
Matriks  Jacobian adalah  matriks  yang  elemen-elemennya  merupakan turunan parsial pertama dari beberapa fungsi(Perko, 2001).
Definisi 2 Matriks jacobian dari sistem persamaan:
adalah

## 1. Sistem Persamaan Deferensial
Definisi 2 Sistem persamaan diferensial orde satu dalam tiga persamaan disebut sebagai  sistem  autonomous  jika  dapat  ditulis  kedalam  bentuk  (Jones  &  Sleeman, 2003):

## Neni Nur Laili Ersela Zain & Pardomuan Robinson Sihombing
dengan fungsi  ,  , dan   atas variabel
tidak tergantung pada waktu (t) atau dengan kata lain variabel t tidak muncul secara eksplisit.
Definisi  3 Pandang  persamaan  diferensial  yang  autonomous .  Titik dikatakan titik setimbang jika memenuhi .

## 2. Kestabilan Sistem Linear
Definisi 4 Sistem linear dikatakan stabil asimtotis jika
dengan x(t) adalah solusi dari sistem tersebut.
Teorema 2 Sistem linear adalah stabil asimtotis jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A, yakni , dengan mempunyai bagian real  yang  negative  dan  dinotasikan  sebagai (Olsder  &  Woude,
2003).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam penelitian ini menggunakan data simulasi. Terdapat empat populasi yang digunakan dalam peneltian dengan rincian sebagai berikut:
1. Populasi komputer yang rentan terkena virus (S)
2. Populasi komputer yang telah terkena virus namun tidak bisa menularkan (E)
3. Populasi komputer yang terkena virus dan dapat menularkan (I)
4. Populasi komputer yang telah bersih dari virus (R)
Adapun parameter-parameter yang digunakan dalam model adalah : laju penambahan komputer baru laju penyebaran virus komputer laju kerusakan komputer laju komputer yang terinfeksi virus laju komputer yang bersih probabilitas kekebalan virus
Berikut adalah diagram transmisi dari model matematika penyebaran virus komputer dengan probabilitas kekebalan:
Gambar 2 Diagram Transmisi Model Penyebaran Virus Komputer dengan Probabilitas Kekebalan
S R I E
Pemodelan Matematika Terhadap Penyebaran Virus Komputer dengan .....
Berdasarkan  diagram  transmisi  tersebut  maka  didapatkan  model matematika  penyebaran  virus  komputer  dengan  probabilitas  kekebalan  sebagai berikut :
dengan N(t) jumlah total keseluruhan populasi,
.

## 1. Titik Setimbang Model
Berdasarkan Definisi  3, model  matematika  penyebaran  virus  komputer dengan  probabilitas  kekebalan  akan  memiliki  titik  setimbang  jika  memenuhi .  Selanjutnya  dari  hasil  perhitungan  didapatkan  dua jenis  titik  setimbang  yaitu  titik  setimbang  bebas  virus  dan  titik  setimbang terjangkit virus.

## 2.1. Titik Setimbang Bebas Virus
Titik  setimbang  bebas  virus  terjadi  jika  tidak  ada  komputer  yang  terkena virus. Sehingga nilai dan . Misalkan ,  dengan adalah  titik  setimbang  bebas  virus. Perhitungannya sebagai berikut : Ketika , maka
Ketika
, maka

## Neni Nur Laili Ersela Zain & Pardomuan Robinson Sihombing
Substitusikan nilai dan didapatkan

## Didapatkan titik setimbang bebas virus

## 2.2. Titik Setimbang Terjangkit Virus
Titik  setimbang  bebas  virus  terjadi  jika  terdapat  komputer  yang  terkena virus. Sehingga nilai . Misalkan , dengan adalah  titik  setimbang  terjangkit  virus,  dengan  menggunakan perhitungan yang sama seperti 3.2.1 maka akan didapatkan :

## 2.3. Reproduction Number (Ro)
Melalui  prosedur  berikut  akan  didapatkan  nilai Reproduction  Number dari model matematika penyebaran virus komputer dengan probabilitas kekebalan : 1. Hitung titik setimbang bebas virus  .
2. Buat matriks dan dengan pisahkan dan . 3. Hitung dan ,  dengan    adalah  jacobian dan adalah jacobian . 4. Hitung dan , dengan memasukkan titik setimbang bebas virus kedalam F dan V.
5. Hitung yang merupakan invers dari V.
6. Hitung kemudian cari semua nilai eigen dari .
7. Pilih nilai eigen maksimanum yang nantinya akan menjadi Ro. Setelah mengikuti seuruh prosedur yang ada didapatkan:
Pemodelan Matematika Terhadap Penyebaran Virus Komputer dengan .....
Titik setimbang bebas virus  model matematika penyebaran virus komputer dengan  probabilitas  kekebalan  akan  stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika memenuhi nilai ambang batas . Sehingga populasi komputer akan bebas virus jika yaitu .

## 2.4. Analisa Kestabilan Endemik Virus
Untuk mengetahui kestabilan titik setimbang terjangkit virus maka dilakukan perhitungan
yang  akan  menghasilkan  nilai  eigen  dari
persamaan  diferensial model matematika penyebaran virus komputer dengan probabilitas  kekebalan.  Dengan  J  adalah  matriks  jacobian  dari  model  dan adalah titik setimbang terjangkit virus. Dalam perhitungannya digunakan Maple untuk  membantu  dalam  melakukan  proses  analitik  yang  sangat  panjang  yang menghasilkan 4 nilai eigen negatif yang berarti titik setimbang   adalah stabil asimtotik.

## 2.5. Simulasi Numerik Model
Sebagaimana dalam Khan (2014) dinyatakan bahwa dengan menurunkan nilai laju penambahan  komputer  baru  dan  laju  penyebaran  virus  komputer ,  serta kontrol  nilai  probailitas  maka  didapatkan  hasil  simulasi  dengan  Maple  sebagai berikut :
1. Simulasi  pertama  dengan , , , , , (S(t) : hitam, E(t) : Kuning, I(t) : Merah, R(t) : Biru).

## Gambar 2 Simulasi Model dengan
Dengan menggunakan nilai parameter pada simulasi pertama didapatkan R 0 = 0.2747252747  yang  artinya  terdapat  penyebaran  virus  pada  sistem  namun bersifat non endemik.

## Neni Nur Laili Ersela Zain & Pardomuan Robinson Sihombing
2. Simulasi kedua dengan , , , , ,
(S(t) : hitam, E(t) : Kuning, I(t) : Merah, R(t) : Biru).

## Gambar 3 Simulasi Model dengan
Dengan menggunakan nilai parameter pada simulasi pertama didapatkan R 0 = 0.1479289941.
3. Simulasi ketiga dengan , , , , ,
(S(t) : hitam, E(t) : Kuning, I(t) : Merah, R(t) : Biru).

## Gambar 4 Simulasi Model dengan
Dengan menggunakan nilai parameter pada simulasi pertama didapatkan R 0 = 0.08361204013.

## 2.6. Interpretasi Hasil
Berdasarkan  hasil  simulasi  dengan  pemberian  kontrol  probabilitas  senialai 0.2, 0.5, dan 1. Maka dapat diketahui bahwa semakin tinggi probabilitas kekebalan komputer terhadap virus jumlah komputer yang bersih setelah terinfeksi semakin
Pemodelan Matematika Terhadap Penyebaran Virus Komputer dengan .....
banyak.  Kemudian  seiring  dengan  bertambahnya  waktu  didapatkan  bahwa populasi komputer yang telah terkena virus namun tidak bisa menularkan (E) dan populasi komputer yang terkena virus dan dapat menularkan (1) mendekati nol(0) dalam  hal  ini  akan  terjadi  kepunahan  atau  keadaan  tersebut  menghilang  dari sistem. Hal senada juga dapat dilihat dari penelitian (Setiawan, 2017) dan (Batista, 2018).
Model  SEIRS yang diteliti oleh Khan (2014) menyebutkan bahwa komputer mengalami kerusakan(mati total) yang diakibatkan oleh virus dan kerusakan yang disebabkan  oleh  hal  lainnya.  Yaitu  ketika  ada  komputer  yang  mengalami  infeksi oleh virus maka komputer akan mendapatkan dua kemungkinan yaitu (i) pulih dan menjadi  kebal  dengan  probabilitas  kekebalan  sementara  ,  atau  (ii)  meninggal karena infeksi dengan probabilitas  . Sedangkan dalam penelitian ini model lebih disederhanakan  menjadi  SEIR  dengan  asumsi  besar  kecilnya  nilai  probabilitas kekebalan tetap memberikan dampak naiknya jumlah kebersihan komputer yang bergantung  pada  waktu,  dan  komputer  yang  telah  bersih  dianggap  tidak  akan tertular virus yang serupa dilain waktu. Adapun perbedaan yang dapat dicermati adalah  SEIR  memiliki  R 0 = 0.08361204013  untuk  probabilitas  kekebalan  penuh ( sedangkan  SEIRS  memiliki  R 0 = 7.77  untuk  probabilitas  kekebalan  yang sama.

## KESIMPULAN
Model  matematika  penyebaran  virus  komputer  dengan  probabilitas kekebalan SEIR  berhasil  menunjukkan  bahwa  penambahan  probabilitas kekebalan  berpengaruh  secara  signifikan  terhadap  naiknya  jumlah  kebersihan komputer  setelah  terkena  virus.  Ini  berarti  semakin  baik  antivirus  dalam mengenali  virus  yang  menjangkit  akan  memberikan  probabilitas  kekebalan  yang semakin  baik.  Hal  ini  terbukti  dari  semakin  kecilnya  bilangan  reproduksi  dasar setelah  kontrol  probabilitas  kekebalan  dinaikkan.  Kemudian  untuk  mendapatkan kestabilan sistem yang baik maka dilakukan perubahan dua nilai parameter yang menggambarkan  bahwa  dalam  sistem  yang  diteliti  nilai  penambahan  komputer sangat kecil dan laju penyebaran virus sangat lambat. Diharapkan untuk penelitian selanjutnya yang bertolak dengan penelitian ini untuk dapat memberikan kontrol yang  lebih  baik  terhadap  sistem  dengan  kemungkinan  laju  penularan  virus  yang cepat.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. (2005). Elementary Linear Algebra Ninth Edition. USA: John and Sons, Inc.
Batista, F. K. (2018). A SEIR Model for Computer Virus Spreading Based on Cellular Automatic. International  JointConference  SOCO’17-ICEUTE’17  Leon, Proceedings,  Advance  in  Intelligent  Systems  and  Computing. 64. Springer International Publication.

## Neni Nur Laili Ersela Zain & Pardomuan Robinson Sihombing
Diekmann,  O.,  &  Heesterbeek,  J.  (2000).  Mathematical  epidemiology  of  infectious diseases: Model building, analysis and interpretation. International Journal of Epidemiology , 303-310.
Etbaigha, F., Willms, A. R., & Poljak, Z. (2018). An SEIR Model of Influenza A Virus Infection and Reinfection within A Farrow-to-Finish Swine Farm. PLOS One, 13 (9).
Godio,  A.,  P.  F.,  &  Vergnano,  A.  (2020).  SEIR  Modeling  of  the  Italian  Epidemic  of SARS-CoV-2 Using Computational Swarm Intelligence. International Journal of Enviromental Research and Public Health, 17 .
Hethcote,  H.  W.  (1976).  Qualitative  Analyses  of  Communicable  Disease  Models. Mathematical Biosciences, 28 , 335-356.
Jones, D., & Sleeman, B. ( 2003). Differential Equations and Mathematical Biology.
New York: CRC Press.
Juhari.  (2015). Modul  Praktikum  Pemrograman  Komputer  2  (Pemrograman  Java). Malang: UIN Malang.
Kermack, W., & McKendrick, A. (1927). A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. Proc. R. Soc, 115 , 700-721.
Khan,  M.  (2014).  A  Computer  Virus  Propagation  Model  Using  Delay  Differential Equations  with  Probabilistic  Contagion  and  Immunity.  I.  Vol.6,  No.5. nternational Journal of Computer Network & Communocations (IJCNC), 6 (5), 111-128.
Olsder,  G.  J.,  &  Woude,  J.  W.  (2003). Mathematical  System  Theory. Netherland: VVSD.
Pemungkas,  P.  P.,  Sutrisno,  &  Sunarsih.  (2019).  Pengembangan  model  epidemik sira  untuk  penyebaran  virus  pada  jaringan  komputer. Journal  of fundamental mathematics and applications (jfma), 2 (1), 13-21.
Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical System: Third Edition. New York: : Springer-Verlag.
Safi,  M.  A.,  &  Garba,  S.  M.  (2012).  Global  Stability  Analysis  of  SEIR  Model  with Holling  Type  II  Incidence  Function.  .  Volume  2012,  Article  ID  826052.  . Computational and Mathematical Methods in Medicine .
Setiawan, N. F. (2017). Analisis Dan Simulasi Model Sitr Pada Penyebaran Penyakit Tuberkulosis di Kota Makassar. Makassar: Universitas Makasar.
Sihotang.  (2019).  Analisis  Kestabilan  Model  SEIR  Penyebaran  Penyakit  Campak dengan Pengaruh Imunisasi dan Vaksin MR. Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi, 16 (1), 107-113.
Yang,  L.-X.  (2012).  A  Computer  Virus  Model  with  Graded  Cure  Rates. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 14 , 414-422.