PERHITUNGAN TAMPANG LINTANG DIFERENSIAL  HAMBURAN ELASTIK ELEKTRON-ARGON PADA 10,4 EV  DENGAN ANALISIS GELOMBANG PARSIAL
Paken Pandiangan (1) , Suhartono (2) , dan A. Arkundato (3) ( (1) PMIPA FKIP Universitas Terbuka,
(2) & (3) FMIPA Universitas Negeri Jember) e-mail: pakenp@ut.ac.id

## ABSTRACT
It has been calculated theoretically using the partial wave methods for the elastic scattering differential cross-section of electron-argon at 10.4 eV.  The wave function from Schrodinger equation  was computed by the Numerov integration methods.  For simplicity of scattering system , the Gaussian potential form has been employed.  For comparison between theoretical and experimental approach then we used the test. The  for this research is 2.386 that shows this calculation is good.
Key words:  Elastic scattering, elastic, Schrödinger equation, phase shift, cross-section, partial wave methods.

## PENDAHULUAN
Sejumlah besar data tampang lintang diferensial (TLD-Diffrential Cross-section) untuk hamburan elastik elektron-argon baik ditinjau dari segi teoretik dan eksperimen ataupun sebaliknya telah diperoleh sampai saat ini. Hasil-hasil yang dihitung dan diukur biasanya dibandingkan dengan menampilkan grafik hubungan tampang lintang diferensial (TLD) terhadap sudut hamburan dengan rentang tertentu dan pada energi elektron yang sudah ditentukan. Secara eksperimen, Vuskovic dan Kurepa (1976) telah mengukur TLD untuk energi elektron antara 60 eV sampai dengan 150 eV dengan rentang sudut 5o sampai dengan 150o. William dan Willis (1975) mengukur TLD untuk energi elektron antara 20 eV sampai dengan 400 eV dengan rentang sudut hamburan 20o sampai dengan 150o. Panajotovic et al (1997) mengukur TLD untuk energi elektron antara 10 eV sampai dengan 100 eV dengan rentang sudut hamburan 20o sampai 150o. DuBois dan Rudd (1975) mengukur TLD dengan rentang sudut kecil antara 5o sampai dengan 150o dengan rentang energi 20eV sampai dengan 800 eV. Perhitungan tampang lintang diferensial (TLD) untuk hamburan elektron-argon secara teoretik pernah dilakukan orang dengan menggunakan potensial efektif yang diturunkan melalui prosedur Hartree-Fock multi-konfigurasi. Rentang sudut  yang digunakan adalah antara 5o sampai dengan 180o dengan  rentang energi antara 50 eV sampai dengan 1000 eV. Nilai energi yang digunakan sebagai pembanding antara hasil perhitungan TLD secara teoretik dengan hasil perhitungan secara eksperimen adalah sebesar  200 eV dan 800 eV. Hasil perhitungan TLD yang dilaporkan menunjukkan adanya kesesuaian yang cukup baik dengan perhitungan eksperimen. Data- data tampang lintang hamburan elastik elektron-atom memiliki peranan penting dalam menentukan struktur-struktur internal atom dan gaya-gaya yang bekerja di dalam sistem hamburan dua partikel tersebut. Untuk mendesain reaktor nuklir data-data tampang lintang reaksi fisi maupun tampang lintang reaksi fusi diperlukan sekali.
Tujuan utama dalam riset ini adalah untuk menghitung tampang lintang diferensial pada hamburan elastik elektron-argon secara numerik dengan menggunakan metoda analisis gelombang
parsial. Dalam eksperimen, hamburan atom argon dipilih karena memiliki beberapa keunggulan, diantaranya sangat stabil (gas mulia) dan cukup mudah diperoleh.

## TINJAUAN PUSTAKA
Dekomposisi gelombang parsial yang standar untuk fungsi gelombang hamburan dapat dirumuskan sebagai (Koonin dan Meredith, 1990)

## (1)
Selanjutnya persamaan (1) disubtitusikan ke dalam persamaan Schrödinger:
(2)
Maka fungsi gelombang radial yang diperoleh memenuhi persamaan diferensial radial berikut ini
(3)
Meskipun persamaan (2) ini sama seperti yang dipenuhi oleh fungsi gelombang bound state, syarat-syarat batas yang dimiliki adalah berbeda. Nilai fungsi radial R l = 0 pada titik asal (r = 0), namun pada jarak r yang jauh (asimtotik) fungsi radial memberikan persamaan:
(4)
dimana j l dan n l adalah fungsi Bessel bola dan fungsi Neumann bola dengan orde l. Simbol dalam persamaan (2) adalah beda fase yang hadir karena adanya potensial yang untuk atom berarti potensial Coulomb sentral V(r) yang hanya bergantung pada posisi r dan bersifat simetri bola. Beda fase di atas bisa diperoleh dengan cara mencocokan (fitting) nilai fungsi gelombang terhambur di dua titik berbeda yang berdekatan dengan menggunakan persamaan (3) seperti di bawah ini.
dan

## (6)
Dengan penurunan rumus yang agak panjang,  maka diperoleh
(7)
dimana
, dan seterusnya. Tanda (1) dan (2) menunjukkan dua titik yang dipilih untuk r asimtotik.
Di dalam pemecahan masalah hamburan elastik dengan menggunakan metoda analisis gelombang parsial, tampang lintang diferensialnya merupakan kuadrat amplitudo hamburan yang dimutlakkan,
, (8)
persamaan (8) dapat dituliskan hanya dalam bentuk bilangan real sebagai
(9)
dengan
(10)
dan
(11)
Simbol P l adalah untuk polinomial Legendre.

## METODE PENELITIAN
Untuk mendapatkan perhitungan tampang lintang diferensial hamburan elastik elektron-argon secara numerik (teoretik), langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut: a.  Persamaan Schrödinger pada persamaan (3) dipecahkan dengan  metode integrasi Numerov :

## (12)
dengan
,
 adalah massa reduksi electron- argon, dan indeks n pada R l digunakan untuk menentukan nilai fungsi gelombang radial R l yang ke- n . Besarnya E dalam perhitungan ditentukan sebesar 10,4 eV agar dapat dibandingkan dengan hasil eksperimen. Konstanta Secara analitis harga l bernilai dari nol sampai dengan tidak berhingga, namun untuk praktisnya nilai l ditentukan sampai batas tertentu. Dalam riset ini l max ditentukan sebesar 5.
b.  Potensial V ( r ) yang digunakan di dalam pemecahan persamaan Schrödinger adalah potensial Gaussian berbentuk
(13)
Bentuk pers. (13) berupa distribusi Normal, yang mengandung arti fisis bahwa potensial akan berharga nol ketika r berharga maksimum, sebab jika r > r max , maka harga dari 𝑒 −𝑟 2 akan mendekati harga nol. Sebaliknya untuk harga r < r max , maka harga 𝑒 −𝑟 2 akan terdistribusi menurut kurva gaussian.
Nilai V o dalam perhitungan ini ditentukan sebesar 8,65 eV. Nilai sebesar ini merupakan nilai pilihan terbaik yang digunakan pada penelitian ini. Sedangkan r max ditentukan sebesar 3 Angstrom. Perkiraan nilai-nilai dalam orde ini sering digunakan  dalam perhitungan hamburan inti atom( Koonin dan Meredith, 1990 ).
c.  Perhitungan beda fase dilakukan dengan menggunakan persamaan (7).
d.  Perhitungan  polinomial  Legendre  secara  numerik  dilakukan  dengan  menggunakan  hubungan  rekursif ( Thankkapan,1985 ):
(14)
e.  Tampang lintang diferensial dihitung dengan menggunakan  persamaan (9).
f.  Hasil perhitungan tampang lintang diferensial dibandingkan dengan hasil eksperimen dengan menggunakan  2 –test ( Bevington, 1969 dan McCarthy, 1968 ). Secara matematis  analisis  2 dapat dituliskan;
c 2 = ( T I - E i ) 2 / E i 2 , (15)
dimana T I mewakili nilai tampang lintang diferensial teoretik dalam riset ini, dan E I mewakili nilai tampang lintang diferensial eksperimen.
g.  Diagram alir perhitungan tampang lintang:

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Perhitungan tampang lintang diferensial untuk hamburan elektron-argon dengan kenaikan sudut hamburan antara 20 o sampai dengan 75 o menunjukkan penurunan yang lembut (smooth), ini berarti bahwa peluang terhamburnya partikel elektron pada rentang sudut tersebut relatif konstan (Gambar.1). Bentuk kurva yang khas untuk hubungan tampang lintang diferensial terhadap sudut hamburan ini dapat digunakan sebagai uji yang sensitif terhadap hasil perhitungan secara teoretik maupun eksperimen.
Harga awal  ,E,Vo,r_max,error Integrasi numerik Pers. Schrodinger Hitung Beda Fase dengan di
“matching point=r_max”
Hitung tampang lintang
STOP
Gambar 1. Tampang lintang diferensial untuk hamburan elastik elektron-argon.
Berdasarkan gambar.1 tersebut pada rentang sudut 20 o sampai dengan 75 o , nilai tampang lintang hamburan diferensial menunjukkan kesesuaian yang cukup baik antara hasil perhitungan teoretik dan hasil perhitungan eksperimen. Namun untuk sudut 75 o ke atas nilainya menyimpang tidak terlalu jauh dengan hasil perhitungan eksperimen. Penyimpangan yang tidak terlalu besar ini kemungkinan disebabkan oleh adanya faktor dimana potensial Gaussian nilainya merosot lebih cepat daripada potensial yang memiliki faktor 1/r. Disamping itu pula parameter-parameter masukan seperti r max , step integrasi dr, jumlah titik integrasi, dan besarnya potensial V o dapat juga mempengaruhi perhitungan tampang lintang diferensial secara teoretik (numerik).
Analisa secara keseluruhan perhitungan tampang lintang diferensial dengan metode analisis gelombang parsial untuk hamburan elastik elektron-argon dengan energi 10,4 eV sudah menunjukkan kesesuaian yang cukup baik dengan hasil eksperimen dalam riset ini. Ini didukung dengan perhitungan  2 yang diperoleh sebesar 2,386 sedangkan dari tabel distribusi  2 diperoleh sebesar 2,453 dengan selang kepercayaan 99,9 % untuk 16 derajat kebebasan.

## KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang detail di atas dapat disimpulkan bahwa perhitungan tampang lintang diferensial (TLD) untuk hamburan elastik elektron-argon dengan metode analisis gelombang parsial dapat dibandingkan dengan hasil eksperimen yang menunjukkan adanya kesesuaian yang cukup baik dengan analisa perhitungan  2 . Melaui perhitungan  2 ini diperoleh nilai yang lebih kecil daripada nilai tabel. Energi elektron yang digunakan  sebagai partikel datang sebesar 10,4 eV. Perhitungan solusi persamaan Schrödinger digunakan metode integrasi Numerov dengan kehadiran potensial Gaussian. Perbandingan perhitungan tampang lintang hamburan diferensial (TLHD)  untuk rentang sudut 20 o sampai dengan 75 o secara teoretik dan eksperimen menunjukkan adanya kesesuaian yang cukup baik. Namun pada sudut 75 o ke atas menunjukkan penyimpangan yang tidak terlalu jauh dengan hasil eksperimen. Ini kemungkinan disebabkan oleh jenis potensial interaksi yang
dipilih dan kemungkinan disebakan oleh parameter-parameter input yang mempengaruhi dalam perhitungan secara numerik.

## DAFTAR PUSTAKA
Vuskovic, L. dan M.V. Kurepa (1976). “ Differential Cross Section of 60-150 eV Electron Elastically scattered in Argon “. Dalam Journal of Physics B: Atomic, Molecular, and Optical Physics. p. 837- 842. (April, 9).
William, J. F dan B. A. Willis (1975). ” The Scattering of Electron from Inert Gases . I. Absolute differential Elastic Cross Section for Argon Atoms”. Dalam Journal of Physics B: Atomic,
Molecular, and Optical Physics. (July, 8).
R Panajotoviĉ et al (1997). “ Critical Minima in Elastic Electron Sacttering by Argon”. Dalam Jounal of Physics B : Atomic, Molecular and Optical physics. (September, 30). Printed in the UK.
DuBois, R. D dan M. E. Rudd (1975). “ Absolute Differential Cross Section for 20-800 eV Electrons Elastically Scattered from Argon” . Dalam Journal of Physics B: Atomic and MolecularPhysics.
Koonin, S. E. and D. C. Meredith. 1990. Computational Physics Fortran Version. Canada : Addison- Wesley Publishing Company.
Thankkapan, V.K. 1985. Quantum Mechanics . India: Wiley Eastern Limited.  Chap.7.
Bevington, P. R. 1969. Data Reduction and Error Analysis for The Physical Sciences. NY: McGraw- Hill Book Company.
McCarthy, I. E. 1968. Introduction to Nuclear Theory. NY & London: John Wiley & Sons, Inc. http://electron6.phys.utk.edu/qm2/numerical/program3.htm http://electron6.phys.utk.edu/qm2/numerical/crossar.txt http://electron6.phys.utk.edu/qm2/numerical/program_4.htm