## MODUL -INJEKTIVE
Suprapto 1 , Sri Wahyuni 2 ,
Indah Emilia Wijayanti 2 , Irawati 3
1 SMP 1 Banguntapan, Bantul, Yogyakarta
1 Mahasiswa S3 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta email : suprapto_72@yahoo.com 2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta email : swahyuni@ugm.ac.id ; ind_wijayanti@yahoo.com 3 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung email : irawati@math.itb.ac.id

## Abstract
Let R be a ring with unit and let N be a left R -module. Then N is said linearly independent to R (or N is R -linearly independent) if there is monomorphisma
By the definition of
R -linearly independent, we may be able to generalize linearly independent relative to the R -module M . Module N is said M -linearly independent if there is monomorphisma
.
The module Q is said M -sublinearly independent if Q is a factor module of modules which is M -linearly independent. The set of  modules M -sublinearly  independent denoted by
Can be shown  easily  that
is  a  subcategory  of  the  category R -Mod.  Also  it  can  be  shown  that  the submodules, factor modules and external direct sum of modules in
is also in the . The module Q is called P -injective if for any morphisma Q defined on L submodules of P can  be  extended  to  morphisma Q with ,  where is  the  natural inclusion mapping. The module Q is called -injective if Q is P -injective, for all modules P in .
In  this  paper,  we  studiet  the  properties  and  characterization  of
-injective.  Trait  among others that the direct summand of a module that is -injective also -injective. A module is
-injective if and only if the direct product of these modules also are
-injective.
Key words : Q ( )-projective, P ( )-injective.

## PENDAHULUAN
Ring R yang kita maksud dalam makalah ini adalah ring asosiative ring dengan unit dan modul  yang  dimaksud  adalah R -modul  kiri.  Diberikan N adalah R -modul  kiri,  maka N dikatakan linearly  independent  terhadap R (atau N adalah R -linearly  independent)  jika  terdapat monomorphisma
Dari  definisi  tersebut  kita  dapat  men-generalisasi  istilah  linearly independent yang relative terhadap R -modul M . N dikatakan M -linearly independent jika terdapat monomorphisma
.
Module Q disebut M -sublinearly independent jika Q adalah modul factor dari modul yang M - linearly independent. Himpunan modul-modul yang bersifat M -sublinearly independent dinotasikan
dengan Dapat ditunjukkan bahwa adalah subkategori dari kategori R -Mod. Lebih jauh bahwa submodul, modul factor dan external direct sum dari modul di dalam juga berada di dalam
Modul Q disebut P -injective  jika  untuk  sebarang  morphisma Q yang  didefinisikan pada L submodul  dari P dapat  diperluas  ke  morphisma
Q dengan ,  dimana
adalah pemetaan inclusi natural inclusion. Modul Q disebut
-injective jika Q adalah
P -injective, untuk semua modul P di dalam . Dalam makalah ini dibahas sifat-sifat dan karakterisasi dari modul-modul yang -injective. Sifat  tersebut  antara  lain  bahwa  direct  summand  dari  modul  yang  bersifat -injective  juga -injective. Suatu modul bersifat -injective jika dan hanya jika direct product dari modul tersebut juga bersifat -injective.

## MODUL INJECTIVE
Definisi  2.1. Diberikan P , Q adalah R -modul  kiri.  Module Q dikatakan P -injective  jika  untuk sebarang  morphisma Q yang  didefinisikan  pada L submodul  dari P dapat  diperluas  ke morphisma Q dengan ,  dimana adalah  pemetaan  inclusi  natural,  atau
diagram berikut ini komutative :
Definisi  2.2. Diberikan P , Q adalah R -modul  kiri.  Modul P dikatakan Q -projective  jika  untuk sebarang morphisma yang didefinikan pada V modul factor dari Q dapat diperluas ke morphisma Q dengan , dimana Q
adalah pemetaan natural, atau diagram berikut ini komutative :
Q P L 0 f i P Q
V
0
p
Definisi  di  atas  menunjukkan  bahwa  injectivitas  dan  projectivitas  adalah  istilah  yang  saling dual.  Sekarang  kita  tunjukkan  sifat-sifat  yang  saling  berkaitan  antara  modul  injective  dan  modul projective.
Proposisi 2.3. Diberikan P , Q adalah R -modul kiri.
i. Jika Q adalah P -injective dan setiap submodul dari P adalah Q -projective, maka setiap modul factor dari Q adalah P -injective.
ii. Jika P adalah Q -projective  dan  setiap  modul  factor  dari Q adalah P -injective,  maka  setiap submodul dari P adalah Q -projective.
Bukti :
i. Diambil  sebarang L submodul  dari P dan  sebarang V modul  factor  dari Q .  Diberikan morphisma
dan perhatikan diagram berikut:
Karena L adalah Q -projective, maka terdapat morphisma yang memenuhi :
…………………………….….    (1)
Juga karena Q adalah P -injective, maka terdapat morphisma
yang memenuhi :
……….........................…..…      (2)
Dari (1) dan (2) kita peroleh :
. Hal  ini  berakibat  bahwa  untuk  sebarang  morphisma ,  terdapat  morphisma
yang memenuhi :
Q p
0 V 0 i P L f Q p 0 V 0 i P L f Q p 0 V 0 i P L
f
.
Ini berarti V adalah P -injective.
ii. Diambil  sebarang L submodul  dari P dan  sebarang V modul  factor  dari Q .  Diberikan morphisma from
dan perhatikan diagram berikut :
Karena V adalah P -injective, maka terdapat morphisma yang memenuhi : …………………………….……    (3)
Juga karena P adalah Q -projective, maka terdapat morphisma
yang memenuhi :
……….........................…..…      (4)
Dari (3) dan (4) kita peroleh :
.
Hal  ini  berakibat  untuk  sebarang  morphisma
,  terdapat  morphisma
Q yang memenuhi :
.
Ini berarti L adalah Q -projective.
Sekarang  kita  pelajari  mengenai  direct  sum  dari  suatu  modul.  Diberikan adalah keluarga R -modul. Maka notasi
disebut direct sum kuat atau direct sum lengkap atau
Q p
0 V 0 i P L Q p 0 V 0 i P L Q p 0 V 0 i P L
direct  product  dengan  asumsi  tidak  ada  komponen  atau  anggota  yang  noll.  Jika I finite,  maka .
Proposisi di bawah ini adalah sifat injectivitas direct summand dari suatu modul.
Proposisi 2.4. Diberikan Q , P adalah R -modul kiri. Modul Q adalah P -injective jika dan hanya jika untuk setiap K direct summand dari Q , maka K adalah P -injective.
Bukti :
Diambil sebarang L submodul dari P dan  sebarang K direct summand dari Q . Diberikan morphisma dan perhatikan diagram berikut ini :
Karena Q adalah P -injective, maka terdapat morphisma Q yang memenuhi :
Juga  karena K adalah  direct  summand  dari Q ,  maka  terdapat  morphisma sedemikian
sehingga 0 i P L
i 0 K 0 p 0 i P L i 0
K
0
p
Ini  berarti,  untuk  setiap  morphisma
,  terdapat  morphisma yang
memenuhi :
.
Dengan kata lain K is  -injective.
Untuk setiap K submodul dari Q adalah P -injektif, maka Q adalah P -injektif.
Proposisi  2.5. Diberikan Q i , P adalah R -modul  kiri  dan adalah  keluarga  dari  modul injective. Maka pernyataan berikut ini ekuivalen :
i.
adalah P -injective.
ii. adalah P -injective.
Bukti :
Diambil sebarang L submodul dari P with P dan 𝒬 adalah  direct  product  dari Q i . Diberikan adalah morphisma dan perhatikan diagram berikut ini :
Karena adalah P -injective,  maka  untuk  setiap  morphisma
,  terdapat  morphisma
yang memenuhi :
………………….………….     (5) Selanjutnya kita mempunyai product morphisma
dengan
dan kita memiliki (5), yang berakibat :
. 0 i P L 0 0 i P L 0 0 i P L
Dengan kata lain
is P -injective.
Diambil  sebarang L submodul  dari P dan 𝒬 adalah  direct  product  dari Q i .
Diberikan sebarang morphisma dari
dan perhatikan diagram berikut ini :
Karena 𝒬 adalah P -injective, maka untuk setiap morphisma , terdapat morphisma yang memenuhi: ………………….………….     (6) Selanjutnya kita mempunyai product morphisma
dengan
dan kita memiliki (6), yang berakibat :
.
Dengan kata lain is P -injective.
Akibat  2.6. Modul Q adalah  injective  jika  dan  hanya  jika Q adalah  direct  summand  dari  setiap modul yang memuat Q .
0 i P L 0 0 i P L 0 0 i P L

## MODUL -INJECTIVE
Pada bagian ini, kita definisikan -injective dan -projective modul, serta mempelajari
sifat-sifat yang berlaku.
Definisi 3.1. Diberikan M , Q , P adalah R- modul kiri.
i. Modul Q disebut modul injective jika Q adalah M -injective, untuk semua modul M di dalam R- Mod.
ii. Modul Q disebut  modul -injective  jika Q adalah P -injective,  untuk  semua  modul P di dalam .
Definisi 3.2. Diberikan M , Q , P adalah R- modul kiri.
i. Modul P disebut modul projective jika P adalah Q -projective, untuk semua modul Q di dalam R- Mod.
ii. Modul P disebut modul -projective jika P adalah Q -projective, untuk semua modul Q di dalam .
Berikut ini adalah sifat-sifat injectivitas modul-modul di dalam kategori .
Lemma 3.3. Untuk R -modul kiri P di dalam , maka :
i. Jika P adalah -injective dan setiap submodul dari Q adalah P -projective untuk sebarang Q di dalam , maka setiap modul factor dari P adalah
-injective.
ii. Jika P adalah -projective  dan  setiap  modul  factor  dari Q adalah P -injective  untuk sebarang Q di dalam , maka setiap submodul dari P adalah -projective.
Bukti :
i. Karena adalah subkategori dari kategori R -Mod, maka R -Mod. Jadi setiap sifat yang berlaku di dalam R-Mod pasti berlaku di
. Dengan mengambil sebarang V submodul dari Q dan sebarang L modul factor dari P di dalam , maka menurut proposisi 2.3.( i ), P adalah -injective.
ii. Dengan mengambil sebarang K submodul dari P dan sebarang W modul factor dari Q di dalam , maka menurut proposisi 2.3.( ii ), P adalah -projective.
Proposisi  3.4. Diberikan R -modul  kiri P .  Jika P adalah -injective  jika  dan  hanya  jika  untuk setiap V adalah direct summand dari Q
, maka K adalah
-injective.
Bukti :
Dengan mengambil sebarang L submodul dari P dan  sebarang V direct summand dari Q di dalam
, maka menurut proposisi 2.4, V adalah -injective.
Proposisi 3.5. Diberikan P adalah R -modul kiri di dalam dan adalah keluarga dari modul injective. Maka pernyataan berikut ini ekuivalen :
i. adalah -injective.
ii.
adalah
-injective.
Bukti :
Dengan  mengambil  sebarang L submodul  dari P with P dan 𝒬
adalah  direct product dari Q i di dalam , maka menurut proposisi 2.5. , adalah -
injective.
Dengan  mengambil sebarang L submodul dari P dan 𝒬 adalah direct product
dari Q i di dalam
, maka menurut proposisi 2.5.
, adalah -injective. Theorema 3.6. Untuk setiap Q
. Modul M adalah N -projective jika dan hanya jika Q adalah -injective.
Bukti :
Perhatikan diagram di bawah ini:
Karena Q , maka terdapat morphisma
yang memenuhi :
Dengan kata lain: Modul M adalah N -projective.
Dari persamaan :
Diperoleh :
Dengan kata lain Q adalah -injective.
N p 0 Q=N/K 0 i M K N p 0 Q=N/K 0 i M K

## KESIMPULAN
Pada  makalah  ini  telah  dibahas  modul-modul  injective  yang  dikaitkan  dengan  modul-modul projective di dalam kategori . Telah ditunjukkan pula bahwa sifat injectivitas dan projectivitas modul adalah benar-benar saling dual.
Sifat  dasar  yang  penting  ditunjukkan  bahwa  submodul-submodul  yang  bersifat  projective sangat  erat  kaitannya  dengan  modul  factor-modul  factor  yang  bersifat  injective.  Kenyataan  ini memberi  peluang  kepada  kita  untuk  melakukan  kajian  lebih  jauh  mengenai  herediter  modul (submodul-submodul  yang  bersifat  projective)  dengan  koharediter  modul  (modul  factor-modul factor yang bersifat injective).

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Adkins,  W.  And  Weintraub,  S.H.  ,  1992, Algebra ,  Springer-Verlag  New  York  Berlin Heidelberg.
[2] Arifin, A., 2000, Pengantar Aljabar Abstrak , Jurusan Matematika, FMIPA, ITB, Bandung.
[3] Anderson,  F.W.  And  Fuller,  K.R.  ,  1992, Rings  and  Category  of  Modules ,  2 nd edition, Springer-Verlag.
[4] Beachy, J. A., M-injective Modules and Prime M-ideals , Article,----
[5] Bland, P.E., 2011, Ring and Their Modules, Walter de Gruyter, Berlin/New York.
[6] Garminia,  H.,  Astuti,  P.  ,  2006, Journal  of  The  Indonesian  Mathematical  Society , Karakterisasi Modul -koherediter, Indonesian Mathematical Society.
[7] Garminia,  H.,  2009,  Struktur  Herediter  dan  Koherediter,  Disertasi  Program  Doktor,  Institut Teknologi Bandung.
[8] Hungerford, T.W., 1974, Algebra, Spinger-Verlag, New York – Berlin.
[9] Maclane, S. And Birkhoff, G. , 1979, Algebra , MacMillan Publishing CO., INC., New York.
[10] Passman, S. Donald, 1991, A Course in Ring Theory , Wadsworth & Brooks, Pacific Grove, California.
[11] Suprapto,  dkk,  2009, On  Category  of  Factor  Module  of  Linearly  Independent  Modules ,  A paper  presented  in  The  Research  Workshop  on  Algebra,  Gadjah  Mada  University, Yogyakarta, Indonesia.
[12] Suprapto,  dkk,  2011,  On -Cohereditary  Modules, Jurnal  Ilmu  Dasar ,  FMIPA  UNEJ, volume 12 (2): 184-190.
[13] Suprapto,  dkk,  2011, On -linearly  independent  Modules ,  paper  dipresentasikan  pada International  Conference  on  Mathematics  and  Its  Applications,  SEAMS-GMU,  Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, tanggal 12-15 Juli 2011.
[14] Wisbauer,  R.,  1991, Foundations  of  Module  and  Ring  Theory ,  University  of  Dűsseldorf, Germany, Gordon and Breach Science Publishers.