Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 1 - 1 3

## BIFURKASI MUNDUR PADA MODEL EPIDEMI SEIV DENGAN LAJU INSIDENSI NONLINEAR

## Gunawan
Program Studi Pendidikan Teknologi Informasi STKIP PGRI Banjarmasin
Jl. Sultan Adam Komp. H. Iyus No. 18 Banjarmasin Email : gunawan.stkipbjm@gmail.com

## ABSTRAK
Pada  penelitian  ini, dibentuk model epidemi SEIV pada penyebaran penyakit mematikan dengan  memperhatikan  vaksinasi, transmisi penyakit secara horizontal dan vertikal, serta laju insidensi nonlinear. Analisis bifurkasi pada model dilakukan dengan memperhatikan bilangan reproduksi dasar R 0 .  Model yang dibentuk menunjukkan adanya kemungkinan terjadi bifurkasi mundur yang ditandai dengan munculnya dua titik ekuilibrium endemik saat nilai R 0 < 1.
Kata Kunci : bifurkasi mundur, model epidemi SEIV, laju insidensi nonlinear .

## ABSTRACT
In this research, an SEIV epidemic model with vaccination, horizontal and vertical transmission, and nonlinear incidence rate is formulated. Local stability and bifurcation analysis in this model is presented in terms of the basic reproduction number R 0 . This model exhibits a backward bifurcation possibility, that is, the appearance of  two  endemic equilibria  although the basic reproduction number R 0 is less than the threshold 1.
Keywords : backward bifurcation, SEIV epidemic model, nonlinear incidence rate.

## 1. PENDAHULUAN
Terdapat  berbagai jenis penyakit yang dapat menular tidak hanya secara horizontal, namun juga menular secara vertikal. Penularan penyakit secara horizontal dapat terjadi melalui kontak langsung maupun tidak langsung, sedangkan penularan secara vertikal dari ibu ke bayi dapat terjadi melalui plasenta pada saat bayi berada dalam kandungan atau menular ke bayi yang baru lahir pada saat proses kelahiran normal. Beberapa penyakit bahkan dapat bersifat fatal atau menyebabkan kematian bagi penderita jika tidak diberikan pencegahan atau pengobatan, khususnya pada bayi yang baru lahir. Oleh karena itu, diperlukan suatu upaya untuk mengendalikan penularan penyakit, antara lain dengan memberikan vaksin.  Penularan penyakit  dapat dipelajari dengan menggunakan model matematika, dalam hal ini disebut dengan model epidemi. Dengan menggunakan model epidemi, dapat ditentukan langkah apa saja yang dapat dilakukan untuk menanggulanginya.  Dengan mempertimbangkan karakteristik penyakit di atas, peneliti dalam penelitian ini menggunakan model epidemi SEIV yang merupakan pengembangan dari  penelitian yang telah dilakukan oleh Long dan Xiang (2011)  dan Gunawan (2014)  dengan menambahkan asumsi bahwa penyakit yang dimodelkan adalah penyakit yang mematikan.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 1 - 1 3
Perilaku dinamik model SEIV yang akan diselidiki adalah keberadaan (eksistensi) titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik, dan kemungkinan terjadinya bifurkasi pada nilai parameter tertentu. Analisis bifurkasi dilakukan untuk melihat apakah perubahan nilai parameter tertentu menyebabkan perubahan perilaku dinamik dari model epidemi yang dibentuk.
Terkait eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik, serta analisis bifurkasi pada model epidemi SEIV yang dibentuk, perlu diperhatikan bilangan reproduksi dasar 𝑅𝑅 0 . Pada beberapa kasus model epidemi, pada saat 𝑅𝑅 0 < 1 , titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik dan tidak ada titik ekuilibrium endemik, sedangkan pada saat 𝑅𝑅 0 > 1 , titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil dan muncul titik ekuilibrium endemik yang stabil asimtotik. Fenomena seperti ini yang terjadi pada model epidemi disebut dengan bifurkasi maju. Selanjutnya perlu diselidiki pula kemungkinan terjadinya bifurkasi mundur yang ditandai munculnya titik ekuilibrium endemik pada saat 𝑅𝑅 0 < 1 . Jika bifurkasi mundur terjadi maka penyakit belum tentu akan menghilang meskipun 𝑅𝑅 0 < 1 [1].
Adapun salah satu faktor yang mempengaruhi perilaku dinamik dari model epidemi yang dibentuk adalah laju insidensi yang digunakan. Laju insidensi adalah laju munculnya infeksi baru [8]. Pada model epidemi sering kali digunakan laju insidensi bilinear 𝛽𝛽𝛽𝛽 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) , dengan S ( t ) dan I ( t ) berturut-turut menyatakan jumlah individu yang rentan penyakit dan jumlah individu yang terinfeksi sekaligus memiliki kemampuan untuk menginfeksi individu lain pada saat t . Laju insidensi bilinear 𝛽𝛽𝛽𝛽 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) menunjukkan kenaikan laju kontak 𝛽𝛽 sebanding dengan kepadatan populasi [6]. Selanjutnya Liu dkk (dalam [8]) memperkenalkan laju insidensi 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑝𝑝 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 𝑞𝑞 ( 𝑡𝑡 ) dengan mempertimbangkan adanya faktor kejenuhan atau adanya pajanan ( exposure ) jamak sebelum terjadinya infeksi. Pajanan adalah peristiwa yang menimbulkan risiko penularan [14]. Pajanan berkaitan erat dengan bagaimana virus atau bakteri penyebab penyakit masuk ke dalam tubuh. [12] mengkombinasikan kedua bentuk laju insidensi di atas dan memperkenalkan laju insidensi nonlinear 𝛽𝛽𝛽𝛽 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 )[1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 𝑝𝑝−1 ( 𝑡𝑡 )] , dengan 𝛽𝛽 > 0 , 𝛼𝛼 > 0 dan 𝑝𝑝 ≥ 1 . Pada penelitian ini, model epidemi SEIV yang dibentuk menggunakan laju insidensi nonlinear 𝛽𝛽𝛽𝛽 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 )[1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 𝑝𝑝−1 ( 𝑡𝑡 )] dengan p = 2 yang memasukkan faktor  naiknya laju insidensi yang diakibatkan oleh pajanan ganda dalam waktu yang singkat. Infeksi baru yang diakibatkan oleh pajanan ganda muncul dengan laju 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛽𝛽 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 2 ( 𝑡𝑡 ) , sedangkan infeksi baru yang diakibatkan oleh kontak tunggal muncul dengan laju 𝛽𝛽𝛽𝛽 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) [12].

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Model epidemi SIR pertama kali dikembangkan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Selanjutnya model epidemi SIR dikembangkan menjadi model epidemi lain seperti SIS, SIRS, SEIR, SEIRS dan SEIV. Adapun model epidemi yang digunakan dalam penelitian ini adalah model epidemi SEIV yang terkait dengan masa laten dan pemberian vaksin. Pada model epidemi SEIV yang dibentuk, digunakan laju insidensi nonlinear 𝛽𝛽𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 𝑝𝑝−1 ) dengan 𝛽𝛽 > 0 , 𝛼𝛼 > 0 dan 𝑝𝑝 = 2 yang dijelaskan [12].
Perlu diketahui bahwa model epidemi SEIV disusun ke dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Oleh karena itu, terlebih dahulu perlu dijamin eksistensi dan ketunggalan solusi dari sistem persamaan diferensial nonlinear
yang dibentuk, termasuk  eksistensi titik (solusi) ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial yang dibentuk. Teorema yang menjamin eksistensi dan ketunggalan solusi dari sistem persamaan diferensial diberikan oleh [11]. Adapun pada model  epidemi SEIV yang dibentuk  diselidiki eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Pada penelitian  ini, titik ekuilibrium endemik merupakan akar dari suatu persamaan polinom sehingga eksistensi titik ekuilibrium endemik diselidiki dengan menggunakan Aturan Tanda Descartes yang dijelaskan oleh [13].
Adapun definisi mengenai himpunan invarian dijelaskan oleh Wiggins [13]. Definisi matriks Jacobian dari suatu fungsi di titik tertentu pada domainnya dan nilai eigen dari suatu matriks diberikan oleh Luenberger [10]. Sehubungan dengan pencarian  nilai eigen, ditemui bentuk polinomial karakteristik, multiplisitas aljabar dari nilai eigen, nilai eigen sederhana, vektor eigen kanan dan vektor eigen kiri yang dijelaskan oleh Luenberger [10]. Selanjutnya, Wiggins [13] menjelaskan mengenai tes Routh-Hurwitz untuk menentukan banyaknya pembuat nol dari suatu persamaan polinom yang memiliki bagian real negatif. Hal ini terkait dengan identifikasi nilai eigen untuk mengetahui apakah titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal atau tidak stabil.
Pada umumnya, eksistensi dari titik ekuilibrium endemik berkaitan dengan bilangan reproduksi dasar yang definisinya diberikan oleh Diekmann dan Heestterbeek [3], sedangkan eksistensi dari titik ekuilibrium bebas penyakit tidak bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Castillo-Chavez, dkk [2] menjelaskan mengenai metode untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar.
Salah satu bagian yang sangat penting untuk diteliti adalah kemungkinan terjadinya bifurkasi mundur pada model epidemi. Castillo-Chavez dan Song [1] menjelaskan mengenai bifurkasi mundur yang terjadi pada titik ekuilibrium nonhiperbolik saat diperoleh nilai eigen sederhana 0. Adapun definisi mengenai bifurkasi diberikan oleh Kuznetsov [7].

## 3. METODE
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dengan mengumpulkan bahan literatur serta bahan pustaka sebagai referensi untuk mempelajari model penularan penyakit SEIV.  Langkah pertama adalah menentukan asumsi-asumsi yang berkaitan dengan model epidemi SEIV sesuai dengan karakteristik penyakit yang dimodelkan, kemudian dilanjutkan dengan membuat diagram transfer berdasarkan asumsi yang telah dibuat dan disajikan menjadi model matematika dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear.
Pada model epidemi SEIV yang telah dibentuk, diselidiki mengenai eksistensi  titik ekuilibrium bebas penyakit serta eksistensi, ketunggalan dan batasan solusi pada  sistem persamaan diferensial nonlinear  yang digunakan. Selain itu, dicari pula bilangan reproduksi dasar dan pengaruhnya terhadap eksistensi titik ekuilibrium. Selanjutnya dilakukan analisis bifurkasi.

## 4. PEMBAHASAN
4.1 Pembentukan Model
Model epidemi SEIV ( susceptible , exposed , infectious , vaccinated ) digunakan untuk memodelkan penularan penyakit yang memiliki masa inkubasi
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 1 - 1 3
yang tidak singkat dan adanya pemberian vaksin pada suatu populasi. Populasi dibagi ke dalam 4 kelas, yaitu kelas S ( susceptible / rentan) yang menyatakan kelas individu yang rentan tertular penyakit, kelas E ( exposed/ laten) yang menyatakan kelas individu yang sudah terinfeksi namun belum memiliki kemampuan menularkan penyakit kepada individu yang berada di kelas S , kelas I ( infectious / infeksi) yang menyatakan kelas individu yang telah terinfeksi dan memiliki kemampuan menularkan penyakit kepada individu yang berada di kelas S , dan kelas V ( vaccinated / vaksin) yang menyatakan kelas individu yang memiliki kekebalan terhadap penyakit yang sedang dibicarakan yang diperoleh melalui vaksin maupun pengobatan. Pada model ini, S ( t ), V ( t ), E ( t ), I ( t ) dan N ( t ) berturut- turut menyatakan jumlah individu pada kelas rentan, kelas vaksin, kelas laten, kelas infeksi dan jumlah individu dalam populasi pada saat t , dengan N ( t ) = S ( t ) + V ( t ) + E ( t ) + I ( t ). Pada pembahasan lebih lanjut, N ( t ), S ( t ), V ( t ), E ( t ) dan I ( t ) berturut-turut cukup ditulis N , S , V , E dan I . Pada model epidemi SEIV dalam penelitian  ini, penyakit yang dibicarakan adalah penyakit mematikan  yang menular secara horizontal dan vertikal. Selain itu, kekebalan yang diperoleh  dari vaksin yang diberikan tidak bersifat permanen.
Penularan penyakit secara horizontal yang terjadi karena adanya kontak antara individu pada kelas S dan individu pada kelas I diasumsikan menggunakan laju insidensi nonlinear 𝛽𝛽𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) .  Penggunaan laju insidensi 𝛽𝛽𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) dilakukan dengan mempertimbangkan faktor naiknya laju insidensi yang diakibatkan oleh pajanan ( exposure ) ganda dalam waktu yang singkat. Adapun asumsi-asumsi lain yang digunakan pada model ini adalah sebagai berikut:
1. Jumlah individu dalam populasi tidak konstan. Ada rekrutmen yang berasal dari kelahiran dan imigrasi yang masuk ke dalam kelas S, dinotasikan dengan A .
2. Vaksin diberikan kepada bayi yang baru lahir maupun imigran yang masuk ke dalam populasi yang tidak tertular penyakit  (rekrutmen) dengan proporsi sebesar b .
3. Individu yang baru terinfeksi tidak dapat langsung menularkan penyakit dan masuk ke kelas E .
4. Individu yang baru terinfeksi akan menjadi individu yang mampu menularkan penyakit dan masuk ke kelas I dengan laju σ . Nilai 1 𝜎𝜎 menyatakan masa inkubasi penyakit.
5. Ada kelahiran pada kelas I dan dapat terjadi penularan vertikal. Bayi yang baru lahir merupakan individu yang rentan tertular penyakit dengan proporsi p , sedangkan sisanya merupakan individu yang terinfeksi dan mampu menularkan penyakit.
6. Ada kematian alami yaitu kematian yang tidak diakibatkan oleh penyakit yang sedang dibicarakan, terjadi pada setiap kelas.  Laju kematian alami dinotasikan dengan 𝜇𝜇 .
7. Penyakit  bersifat  fatal, yang berarti ada kematian yang diakibatkan oleh penyakit yang dimodelkan, terjadi pada kelas I . Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit dinotasikan dengan 𝛾𝛾 .
8. Laju kelahiran sama dengan laju kematian alami, dinotasikan dengan 𝜇𝜇 . Nilai 1 𝜇𝜇 menyatakan rata-rata angka harapan hidup.
9. Individu yang menularkan penyakit diberikan pengobatan dengan laju τ
sehingga mendapat kekebalan sementara dan masuk ke kelas V . Nilai 1 τ menyatakan masa infeksi saat suatu individu yang terinfeksi mampu menularkan penyakit.
10. Kekebalan yang diperoleh dari vaksin bersifat tidak permanen, yang berarti individu yang telah diberikan vaksin dapat kembali menjadi rentan tertular penyakit. Kekebalan yang diperoleh dari vaksin menghilang dengan laju 𝜔𝜔 .
Nilai 1 𝜔𝜔 menyatakan masa kekebalan tubuh terhadap suatu penyakit yang diperoleh dari pemberian vaksin maupun pengobatan.
Dari asumsi-asumsi di atas dapat dibentuk diagram transfer sebagai berikut:

## Gambar 1. Diagram transfer pada model epidemi SEIV
Kemudian, berdasarkan diagram transfer di atas, dibentuk suatu model matematika yang berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:
Semua parameter pada Sistem (1) bernilai positif dengan:
A :   jumlah rekrutmen yang masuk ke dalam populasi (diasumsikan rentan), b :  proporsi rekrutmen yang diberikan vaksin,
β :   laju kontak antara kelas rentan ( S ) dengan kelas infeksi ( I ), 𝛼𝛼 :  faktor naiknya laju insidensi akibat pajanan ganda dalam waktu singkat,
μ :   laju kelahiran, sama dengan laju kematian alami,
𝛾𝛾 :  laju kematian yang diakibatkan oleh penyakit,
σ :   laju perpindahan individu dari kelas laten ( E )  ke kelas infeksi ( I ),
𝛽𝛽𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑏𝑏𝑏𝑏
𝜎𝜎𝜎𝜎
(1 − 𝑏𝑏 ) 𝑏𝑏 − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝐼𝐼 𝜏𝜏𝐼𝐼 𝜇𝜇𝜔𝜔 𝜇𝜇𝛽𝛽 𝜇𝜇𝜎𝜎 𝜇𝜇𝐼𝐼 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝐼𝐼 S I E V 𝑑𝑑𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑡𝑡 = (1 − 𝑏𝑏 ) 𝑏𝑏 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) − 𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝐼𝐼
𝑑𝑑𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝜇𝜇𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜏𝜏𝐼𝐼 𝑑𝑑𝜎𝜎 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛽𝛽𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) − 𝜇𝜇𝜎𝜎 − 𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝜎𝜎 − 𝜏𝜏𝐼𝐼 − 𝑝𝑝𝜇𝜇𝐼𝐼 − 𝛾𝛾𝐼𝐼 . (1) 𝛾𝛾𝐼𝐼 5
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 1 - 1 3
τ :   laju pengobatan yang diberikan kepada individu pada kelas infeksi ( I ), ω :   laju kehilangan kekebalan yang diperoleh dari vaksin, dan
p :   proporsi keturunan yang rentan tertular penyakit yang berasal dari kelahiran pada kelas infeksi ( I ).
Dengan mempertimbangkan bahwa jumlah individu pada masing-masing kelas tidak negatif, maka diberikan nilai awal
𝛽𝛽 (0) ≥ 0, 𝜔𝜔 (0) ≥ 0, 𝜎𝜎 (0) ≥ 0, 𝐼𝐼 (0) ≥ 0.

## 4.2 Eksistensi Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Titik ekuilibrium bebas penyakit merepresentasikan kondisi populasi yang bebas dari penyakit, yang berarti tidak ada individu yang terinfeksi di dalam populasi tersebut dan akan terus berada dalam kondisi bebas dari penyakit sepanjang waktu. Oleh karena itu, E = 0 dan I = 0. Teorema 1 Sistem (1) selalu memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit
𝐏𝐏 𝟎𝟎 = � 𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) 𝑏𝑏𝑏𝑏 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) 0 0 � 𝑇𝑇 .
Untuk pembahasan selanjutnya, Sistem (1) dapat ditulis menjadi: 𝑑𝑑𝐗𝐗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐟𝐟 ( 𝐗𝐗 ) dengan 𝐗𝐗 = [ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4 ] 𝑇𝑇 = [ 𝛽𝛽 𝜔𝜔 𝜎𝜎 𝐼𝐼 ] 𝑇𝑇 dan 𝐟𝐟 = [ 𝑓𝑓 1 𝑓𝑓 2 𝑓𝑓 3 𝑓𝑓 4 ] 𝑇𝑇 .
Dengan demikian, matriks Jacobian dari f di 𝐗𝐗 = [ 𝛽𝛽 𝜔𝜔 𝜎𝜎 𝐼𝐼 ] 𝑇𝑇 adalah
𝐽𝐽𝐟𝐟 ( 𝐗𝐗 ) = � −𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) − 𝜇𝜇 𝜔𝜔 0 −𝛽𝛽𝛽𝛽 (1 + 2 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇 0
−𝜇𝜇 − 𝜔𝜔 0 𝜏𝜏 𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) 0 −𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 𝛽𝛽𝛽𝛽 (1 + 2 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) 0 0 𝜎𝜎
−𝜏𝜏 − 𝑝𝑝𝜇𝜇 − 𝛾𝛾 � .
4.3 Eksistensi, Ketunggalan dan Batasan Solusi
Diberikan himpunan
Σ = {( 𝛽𝛽 , 𝜔𝜔 , 𝜎𝜎 , 𝐼𝐼 )| 𝛽𝛽 > 0, 𝜔𝜔 > 0, 𝜎𝜎 ≥ 0, 𝐼𝐼 ≥ 0} .
Diperhatikan bahwa interior Σ = {( 𝛽𝛽 , 𝜔𝜔 , 𝜎𝜎 , 𝐼𝐼 )| 𝛽𝛽 > 0, 𝜔𝜔 > 0, 𝜎𝜎 > 0, 𝐼𝐼 > 0} merupakan himpunan terbuka di ℝ 4 . Selanjutnya karena diketahui
𝐷𝐷𝐟𝐟 ( 𝐗𝐗 ) = � 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑗𝑗 ( 𝐗𝐗 ) � 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗=1 , 2 , 3 , 4 , dengan 𝐗𝐗 = [ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4 ] 𝑇𝑇 = [ 𝛽𝛽 𝜔𝜔 𝜎𝜎 𝐼𝐼 ] 𝑇𝑇
= 𝐽𝐽𝐟𝐟 ( 𝐗𝐗 ) = � −𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) − 𝜇𝜇 𝜔𝜔 0 −𝛽𝛽𝛽𝛽 (1 + 2 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇 0 −𝜇𝜇 − 𝜔𝜔 0 𝜏𝜏 𝛽𝛽𝐼𝐼 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) 0 −𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 𝛽𝛽𝛽𝛽 (1 + 2 𝛼𝛼𝐼𝐼 ) 0 0 𝜎𝜎 −𝜏𝜏 − 𝑝𝑝𝜇𝜇 − 𝛾𝛾 � ,
jelas bahwa derivatif parsial 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑗𝑗 , dengan 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1,2,3,4 , ada dan kontinu pada interior Σ . Akibatnya, fungsi 𝐟𝐟 ∈ 𝐶𝐶 1 ( interior Σ ) . Oleh karena 𝐟𝐟 ∈ 𝐶𝐶 1 ( interior Σ ) , maka  untuk setiap nilai awal 𝛽𝛽 (0) > 0 , 𝜔𝜔 (0) > 0 , 𝜎𝜎 (0) > 0 dan 𝐼𝐼 (0) > 0 yang diberikan, Sistem (1) memiliki solusi tunggal pada interior Σ untuk setiap 𝑡𝑡 ≥ 0 . Dengan demikian, untuk setiap nilai awal yang diberikan pada himpunan Σ , Sistem (1) memiliki solusi tunggal pada himpunan Σ untuk setiap 𝑡𝑡 ≥ 0 .
Perlu diingat bahwa himpunan semua titik ekuilibrium merupakan himpunan invarian. Oleh karena itu, jelas bahwa himpunan Σ di atas merupakan himpunan invarian positif pada Sistem (1).
Selanjutnya, dengan menjumlahkan semua persamaan pada Sistem (1) diperoleh:
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝛽𝛽 + 𝜔𝜔 + 𝜎𝜎 + 𝐼𝐼 ) = 𝜇𝜇 � 𝑏𝑏 𝜇𝜇 − ( 𝛽𝛽 + 𝜔𝜔 + 𝜎𝜎 + 𝐼𝐼 ) � − 𝛾𝛾𝐼𝐼 ≤ 𝜇𝜇 � 𝑏𝑏 𝜇𝜇 − ( 𝛽𝛽 + 𝜔𝜔 + 𝜎𝜎 + 𝐼𝐼 ) �
dan lim sup 𝑑𝑑→∞ ( 𝛽𝛽 + 𝜔𝜔 + 𝜎𝜎 + 𝐼𝐼 ) ≤ 𝐴𝐴 𝜇𝜇 . Oleh karena itu, jelas bahwa
Σ 1 = � ( 𝛽𝛽 , 𝜔𝜔 , 𝜎𝜎 , 𝐼𝐼 )| 𝛽𝛽 > 0, 𝜔𝜔 > 0, 𝜎𝜎 ≥ 0, 𝐼𝐼 ≥ 0, 𝛽𝛽 + 𝜔𝜔 + 𝜎𝜎 + 𝐼𝐼 ≤ 𝑏𝑏 𝜇𝜇�
merupakan  himpunan invarian positif dari Sistem (1). Untuk pembahasan selanjutnya, perilaku dinamik dari Sistem (1) yang diselidiki hanya dibatasi pada himpunan Σ 1 .

## 4.4 Bilangan Reproduksi Dasar
Untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar 𝑅𝑅 0 , digunakan metode yang dikembangkan oleh Castilo-Chavez dkk (2001). Sistem (1) dituliskan kembali ke dalam bentuk sebagai berikut: 𝑑𝑑𝐗𝐗 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐟𝐟 ([ 𝐗𝐗 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) 𝑑𝑑𝑌𝑌 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑔𝑔 ([ 𝐗𝐗 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) 𝑑𝑑𝑍𝑍 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ℎ ([ 𝐗𝐗 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) (2)
dengan 𝐗𝐗 = [ 𝑋𝑋 1 𝑋𝑋 2 ] 𝑇𝑇 = [ 𝛽𝛽 𝜔𝜔 ] 𝑇𝑇 ∈ ℝ 2 , 𝑌𝑌 = 𝜎𝜎 ∈ ℝ dan 𝑍𝑍 = 𝐼𝐼 ∈ ℝ .
Akibatnya
𝑑𝑑𝐗𝐗 𝑑𝑑𝑡𝑡 = � 𝑑𝑑𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑡𝑡 � = 𝐟𝐟 ([ 𝐗𝐗 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) = � (1 − 𝑏𝑏 ) 𝑏𝑏 − 𝛽𝛽𝑋𝑋 1 𝑍𝑍 (1 + 𝛼𝛼𝑍𝑍 ) − 𝜇𝜇𝑋𝑋 1 + 𝜔𝜔𝑋𝑋 2 − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝑍𝑍 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝜇𝜇𝑋𝑋 2 − 𝜔𝜔𝑋𝑋 2 + 𝜏𝜏𝑍𝑍 � , 𝑑𝑑𝑌𝑌
𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝜎𝜎 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑔𝑔 ([ 𝐗𝐗 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) = 𝛽𝛽𝑋𝑋 1 𝑍𝑍 (1 + 𝛼𝛼𝑍𝑍 ) − 𝜇𝜇𝑌𝑌 − 𝜎𝜎𝑌𝑌 , 𝑑𝑑𝑍𝑍 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ℎ ([ 𝐗𝐗 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) = 𝜎𝜎𝑌𝑌 − 𝜏𝜏𝑍𝑍 − 𝑝𝑝𝜇𝜇𝑍𝑍 − 𝛾𝛾𝑍𝑍 .
Jelas bahwa ℎ ([ 𝐗𝐗 0 0] 𝑇𝑇 ) = 0 .
Titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem (2) di atas adalah 𝐔𝐔 𝟎𝟎 = [ 𝐗𝐗 ∗ 0 0] 𝑇𝑇 ∈ ℝ 4 , dengan
𝐗𝐗 ∗ = [ 𝛽𝛽 ∗ 𝜔𝜔 ∗ ] 𝑇𝑇 = � 𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) 𝑏𝑏𝑏𝑏 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) � 𝑇𝑇 ,
yang memenuhi 𝐟𝐟 ([ 𝐗𝐗 ∗ 0 0] 𝑇𝑇 ) = 𝟎𝟎 , 𝑔𝑔 ([ 𝐗𝐗 ∗ 0 0] 𝑇𝑇 ) = 0 dan ℎ ([ 𝐗𝐗 ∗ 0 0] 𝑇𝑇 ) = 0.
Selanjutnya, diperoleh 𝑔𝑔 ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) = 0 secara implisit menyatakan suatu fungsi 𝑌𝑌 = 𝑔𝑔� ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) . Selanjutnya, karena ℎ ([ 𝐗𝐗 𝑌𝑌 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) = 𝜎𝜎𝑌𝑌 − 𝜏𝜏𝑍𝑍 − 𝑝𝑝𝜇𝜇𝑍𝑍 − 𝛾𝛾𝑍𝑍 , maka ℎ ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑔𝑔� ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) = 𝛽𝛽 ∗ 𝛽𝛽 ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 ) 𝑍𝑍 (1 + 𝛼𝛼𝑍𝑍 ) − 𝜏𝜏𝑍𝑍 − 𝑝𝑝𝜇𝜇𝑍𝑍 − 𝛾𝛾𝑍𝑍
dan
𝐷𝐷 𝑍𝑍 ℎ ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑔𝑔� ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) 𝑍𝑍 ] 𝑇𝑇 ) = 𝛽𝛽 ∗ 𝛽𝛽 ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 ) (1 + 2 𝛼𝛼𝑍𝑍 ) − ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ).
Misalkan 𝑏𝑏 = 𝐷𝐷 𝑍𝑍 ℎ ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑔𝑔� ([ 𝐗𝐗 ∗ 0] 𝑇𝑇 ) 0] 𝑇𝑇 ) , maka
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 1 - 1 3
𝑏𝑏 = 𝛽𝛽 ∗ 𝛽𝛽 ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 ) − ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) ⇔ 𝑏𝑏 = 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 ) − ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ).
Karena 𝑏𝑏 = 𝐷𝐷 𝑍𝑍 ℎ ([ 𝐗𝐗 ∗ 𝑔𝑔� ([ 𝐗𝐗 ∗ 0] 𝑇𝑇 ) 0] 𝑇𝑇 ) dapat  dituliskan  dalam  bentuk A = K – D , yaitu:
𝑏𝑏 = 𝐾𝐾 − 𝐷𝐷 = 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 ) − ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 )
diperoleh:
𝐾𝐾 = 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )       dan 𝐷𝐷 = ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ),
dengan invers dari D adalah 𝐷𝐷 −1 = 1 ( 𝜏𝜏+𝑝𝑝𝜇𝜇+𝛾𝛾 ) .
Dengan demikian, diperoleh: 𝐷𝐷 −1 = 𝛽𝛽𝜎𝜎𝐴𝐴 [ 𝜇𝜇 ( 1−𝑏𝑏 ) +𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇+𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏+𝑝𝑝𝜇𝜇+𝛾𝛾 ) .
Bilangan reproduksi dasar 𝑅𝑅 0 adalah radius spektral dari 𝐾𝐾𝐷𝐷 −1 . Jadi, bilangan reproduksi dasar 𝑅𝑅 0 dari Sistem (1) di atas adalah
𝑅𝑅 0 = 𝜌𝜌 ( 𝐾𝐾𝐷𝐷 −1 ) = 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ).
Untuk pembahasan selanjutnya mengenai analisis bifurkasi, didefinisikan:
𝑅𝑅 1 = 2�𝛼𝛼𝜇𝜇𝛽𝛽𝛼𝛼 [ 𝛼𝛼−𝜔𝜔𝜎𝜎𝜏𝜏+𝜇𝜇𝜎𝜎 ( 1−𝑝𝑝 )( 𝜇𝜇+𝜔𝜔 )] 𝛼𝛼𝜇𝜇𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 [ 𝛼𝛼−𝜔𝜔𝜎𝜎𝜏𝜏+𝜇𝜇𝜎𝜎 ( 1−𝑝𝑝 )( 𝜇𝜇+𝜔𝜔 )] 𝛼𝛼𝜇𝜇𝛼𝛼 , 𝑅𝑅 2 = 𝛽𝛽 [ 𝑀𝑀 − 𝜔𝜔𝜎𝜎𝜏𝜏 + 𝜇𝜇𝜎𝜎 (1 − 𝑝𝑝 )( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )] 𝛼𝛼𝜇𝜇𝑀𝑀
dengan 𝑀𝑀 = ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) > 0.
Jelas bahwa 𝑅𝑅 1 = 2 �𝑅𝑅 2 − 𝑅𝑅 2 dan 𝑅𝑅 2 > 0 .
Selanjutnya diberikan lemma sebagai berikut. Lemma 2 Diberikan bilangan 𝑅𝑅 1 dan 𝑅𝑅 2 seperti yang telah didefinisikan sebelumnya, maka diperoleh kondisi sebagai berikut.
(i) 𝑅𝑅 1 ≤ 1 .
(ii) 𝑅𝑅 2 ≤ 1 jika dan hanya jika 𝑅𝑅 2 ≤ 𝑅𝑅 1 .

## 4.5 Analisis Bifurkasi
Pada model epidemi, arah bifurkasi menentukan ada atau tidaknya titik ekuilibrium endemik pada saat nilai 𝑅𝑅 0 < 1 . Teorema  3 Saat 𝑅𝑅 0 = 1 , Sistem (1) mengalami bifurkasi mundur untuk 𝑅𝑅 2 < 1 dan bifurkasi maju untuk 𝑅𝑅 2 > 1 . Bukti:
Untuk menentukan arah bifurkasi, digunakan teorema  dan lemma yang dikembangkan oleh Castilo-Chavez dan Song (2004).
Saat 𝑅𝑅 0 = 1 diperoleh:
𝑅𝑅 0 = 1 ⇔ 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) = 1 ⇔ 𝛽𝛽 = 𝛽𝛽 ′ = 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] .
Selanjutnya, diperoleh matriks Jacobian dari 𝐟𝐟 di 𝐏𝐏 𝟎𝟎 dengan nilai 𝛽𝛽 = 𝛽𝛽 ′ yaitu:
𝐽𝐽𝐟𝐟 ([ 𝐏𝐏 𝟎𝟎 𝛽𝛽 ′ ] 𝑇𝑇 ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡−𝜇𝜇 𝜔𝜔 0 − ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎 − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇 0 −𝜇𝜇 − 𝜔𝜔 0 𝜏𝜏
0 0 −𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎 0 0 𝜎𝜎 −𝜏𝜏 − 𝑝𝑝𝜇𝜇 − 𝛾𝛾 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dengan nilai-nilai eigennya adalah 𝜆𝜆 1 = −𝜇𝜇 , 𝜆𝜆 2 = −𝜇𝜇 − 𝜔𝜔 , dan akar-akar dari:
𝜆𝜆 2 + ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜆𝜆 = 0,
yaitu 𝜆𝜆 3 = − ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) dan 𝜆𝜆 4 = 0 . Dengan demikian, matriks 𝐽𝐽𝐟𝐟 ([ 𝐏𝐏 𝟎𝟎 𝛽𝛽 ′ ] 𝑇𝑇 ) memiliki nilai eigen sederhana 0.
Selanjutnya, dicari vektor eigen kanan yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆𝜆 4 = 0 , dinotasikan dengan 𝐰𝐰 = [ 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 𝑤𝑤 3 𝑤𝑤 4 ] 𝑇𝑇 . Vektor eigen kanan 𝐰𝐰 memenuhi
𝐽𝐽𝐟𝐟 ([ 𝐏𝐏 𝟎𝟎 𝛽𝛽 ′ ] 𝑇𝑇 ) 𝐰𝐰 = 0 ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡−𝜇𝜇 𝜔𝜔 0 − ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎 − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇 0 −𝜇𝜇 − 𝜔𝜔
0 𝜏𝜏
0 0 −𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎 0 0 𝜎𝜎 −𝜏𝜏 − 𝑝𝑝𝜇𝜇 − 𝛾𝛾 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ � 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 𝑤𝑤 3 𝑤𝑤 4 �
= 0.
Dengan demikian diperoleh: 𝑤𝑤 4 = 𝜎𝜎 ( 𝜏𝜏+𝑝𝑝𝜇𝜇+𝛾𝛾 ) 𝑤𝑤 3 .
Dengan mengambil 𝑤𝑤 3 = 1 , diperoleh: 𝑤𝑤 4 = 𝜎𝜎 ( 𝜏𝜏+𝑝𝑝𝜇𝜇+𝛾𝛾 ) .
Selanjutnya, juga diperoleh:
𝑤𝑤 2 = 𝜏𝜏𝜎𝜎 ( 𝜇𝜇+𝜔𝜔 )( 𝜏𝜏+𝑝𝑝𝜇𝜇+𝛾𝛾 ) dan 𝑤𝑤 1 = 𝜔𝜔𝜏𝜏𝜎𝜎−𝛼𝛼− ( 𝜇𝜇+𝜔𝜔 )( 1−𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝜎𝜎 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+𝜔𝜔 )( 𝜏𝜏+𝑝𝑝𝜇𝜇+𝛾𝛾 ) .
Jadi, vektor eigen kanannya adalah 𝐰𝐰
= � 𝜔𝜔𝜏𝜏𝜎𝜎 − 𝑀𝑀 − ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )(1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝜎𝜎 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜏𝜏𝜎𝜎 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 1 𝜎𝜎 ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) � 𝑇𝑇 .
Selanjutnya dicari vektor eigen kiri yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆𝜆 4 = 0 , dinotasikan dengan 𝐯𝐯 = [ 𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 2 𝑣𝑣 3 𝑣𝑣 4 ] . Vektor eigen kiri v memenuhi: 𝐯𝐯 𝐽𝐽𝐟𝐟 ([ 𝐏𝐏 𝟎𝟎 𝛽𝛽 ′ ] 𝑇𝑇 ) = 0 ⇔ [ 𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 2 𝑣𝑣 3 𝑣𝑣 4 ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡−𝜇𝜇 𝜔𝜔 0 − ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎 − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇 0 −𝜇𝜇 − 𝜔𝜔 0 𝜏𝜏 0 0 −𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎 0 0 𝜎𝜎 −𝜏𝜏 − 𝑝𝑝𝜇𝜇 − 𝛾𝛾 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 0.
Dengan demikian diperoleh 𝑣𝑣 1 = 0, 𝑣𝑣 2 = 0 , dan 𝑣𝑣 3 = 𝜎𝜎 𝜇𝜇+𝜎𝜎 𝑣𝑣 4 .
Selanjutnya dicari v yang memenuhi 𝐯𝐯 ∙ 𝐰𝐰 = 1 , sehingga diperoleh:
𝑣𝑣 3 = ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ).
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 1 - 1 3
Dengan demikian diperoleh:
𝐯𝐯 = � 0 0 ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 ) 𝜎𝜎 ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) � .
Diperhatikan kembali bahwa Sistem (1) dapat ditulis menjadi
𝑑𝑑𝐗𝐗
𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐟𝐟 ( 𝐗𝐗 )
dengan 𝐗𝐗 = [ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4 ] 𝑇𝑇 = [ 𝛽𝛽 𝜔𝜔 𝜎𝜎 𝐼𝐼 ] 𝑇𝑇 dan 𝐟𝐟 = [ 𝑓𝑓 1 𝑓𝑓 2 𝑓𝑓 3 𝑓𝑓 4 ] 𝑇𝑇 , sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut.
Turunan parsial tingkat dua dari 𝑓𝑓 𝑘𝑘 untuk k = 1, 2, 3, 4 di 𝐏𝐏 𝟎𝟎 yaitu sebagai berikut: 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = −𝛽𝛽 , 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝛽𝛽 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = 0,
𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 2 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = − 2 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) , 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 𝜕𝜕𝛽𝛽 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = − 𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) , 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = 𝛽𝛽 , 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝛽𝛽 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = 0,
𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 2 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = 2 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) , 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 𝜕𝜕𝛽𝛽 ( 𝐏𝐏 𝟎𝟎 ) = 𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ) .
Akibatnya, diperoleh koefisien c dan d , yaitu
𝑐𝑐 = � 𝑣𝑣 𝑘𝑘 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑗𝑗 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑗𝑗 ([ 𝐏𝐏 𝟎𝟎 𝛽𝛽 ′ ] 𝑇𝑇 ) 4 𝑘𝑘 , 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗=1 = 2 𝛽𝛽𝜎𝜎 [ 𝜔𝜔𝜏𝜏𝜎𝜎 − 𝑀𝑀 − ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )(1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝜎𝜎 + 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑏𝑏 ( 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 )] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 )
dan
𝑑𝑑 = � 𝑣𝑣 𝑘𝑘 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝛽𝛽 ([ 𝐏𝐏 𝟎𝟎 𝛽𝛽 ′ ] 𝑇𝑇 ) 4 𝑘𝑘 , 𝑖𝑖=1 = 𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) > 0.
Jika 𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 ′ = 𝛼𝛼−𝜔𝜔𝜏𝜏𝜎𝜎+𝜎𝜎𝜇𝜇 ( 1−𝑝𝑝 )( 𝜇𝜇+𝜔𝜔 ) 𝜎𝜎𝐴𝐴 ( 𝜇𝜇 ( 1−𝑏𝑏 ) +𝜔𝜔 ) , maka 𝑐𝑐 = 0 . Jika 𝛼𝛼 < 𝛼𝛼 ′ , maka 𝑐𝑐 < 0 dan sebaliknya, 𝛼𝛼 > 𝛼𝛼 ′ , maka 𝑐𝑐 > 0 . Selanjutnya, karena diketahui
𝑅𝑅 2 = 𝛽𝛽 [ 𝑀𝑀 − 𝜔𝜔𝜎𝜎𝜏𝜏 + 𝜇𝜇𝜎𝜎 (1 − 𝑝𝑝 )( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )] 𝛼𝛼𝜇𝜇𝑀𝑀 ⟺ 𝑅𝑅 2 𝛼𝛼𝜇𝜇𝑀𝑀𝛽𝛽 [ 𝛼𝛼
′ 𝜎𝜎𝑏𝑏 ( 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 )]
dan pada saat kondisi 𝑅𝑅 0 = 1 , yaitu: 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) = 1 ⟺ 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] = 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 )
𝑑𝑑𝑥𝑥 1 𝑑𝑑𝑡𝑡 = (1 − 𝑏𝑏 ) 𝑏𝑏 − 𝛽𝛽𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 4 (1 + 𝛼𝛼𝑥𝑥 4 ) − 𝜇𝜇𝑥𝑥 1 + 𝜔𝜔𝑥𝑥 2 − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝑥𝑥 4 ≔ 𝑓𝑓 1 ,
𝑑𝑑𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝜇𝜇𝑥𝑥 2 − 𝜔𝜔𝑥𝑥 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥 4 ≔ 𝑓𝑓 2 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛽𝛽𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 4 (1 + 𝛼𝛼𝑥𝑥 4 ) − 𝜇𝜇𝑥𝑥 3 − 𝜎𝜎𝑥𝑥 3 ≔ 𝑓𝑓 3 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 3 − 𝜏𝜏𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝𝜇𝜇𝑥𝑥 4 − 𝛾𝛾𝑥𝑥 4 ≔ 𝑓𝑓 4 , (3)
⟺ 𝛽𝛽𝜎𝜎𝑏𝑏 [ 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 ] = 𝜇𝜇𝑀𝑀 , diperoleh
𝑅𝑅 2 𝛼𝛼𝜇𝜇𝑀𝑀 = 𝛽𝛽 [ 𝛼𝛼 ′ 𝜎𝜎𝑏𝑏 ( 𝜇𝜇 (1 − 𝑏𝑏 ) + 𝜔𝜔 )] ⟺ 𝑅𝑅 2 𝛼𝛼𝜇𝜇𝑀𝑀 = 𝛼𝛼 ′ 𝜇𝜇𝑀𝑀 ⟺ 𝑅𝑅 2 𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 ′ . Dengan demikian, jika 𝛼𝛼 > 𝛼𝛼 ′ , maka 𝑐𝑐 > 0 ekuivalen dengan pernyataan jika 𝑅𝑅 2 < 1 maka 𝑐𝑐 > 0 . Sebaliknya jika 𝛼𝛼 < 𝛼𝛼 ′ , maka 𝑐𝑐 < 0 ekuivalen dengan jika 𝑅𝑅 2 > 1 , maka 𝑐𝑐 < 0 . Jadi, saat 𝑅𝑅 0 = 1 terjadi bifurkasi mundur jika 𝑅𝑅 2 < 1 dan bifurkasi maju jika 𝑅𝑅 2 > 1 .
Dengan kata lain, jika 𝑅𝑅 0 = 1 dan 𝑅𝑅 2 > 1 , maka tidak ada titik ekuilbrium endemik pada saat 𝑅𝑅 0 < 1 . Sebaliknya, jika 𝑅𝑅 0 = 1 dan 𝑅𝑅 2 < 1 ,  maka terdapat lebih dari 1 titik ekuilibrium endemik meskipun nilai 𝑅𝑅 0 < 1 (Castilo-Chavez dan Song, 2004). Selain itu, diperhatikan bahwa dengan mencari turunan parsial dari koefisien bifurkasi c terhadap b , diperoleh
𝜕𝜕𝑐𝑐
𝜕𝜕𝑏𝑏 = − 2 𝛼𝛼𝛽𝛽𝜇𝜇𝜎𝜎 2 𝑏𝑏 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 )( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 + 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) < 0.
Jadi, koefisien bifurkasi c adalah fungsi turun terhadap b .
4.6 Eksistensi Titik Ekuilibrium Endemik
Berikut diberikan teorema yang menunjukkan pengaruh nilai 𝑅𝑅 0 , 𝑅𝑅 1 dan 𝑅𝑅 2 terhadap eksistensi titik ekuilibrium endemik Sistem (1).
Teorema 4 1. Saat 𝑅𝑅 2 < 1 . Sistem (1) tidak memiliki titik ekuilibrium endemik untuk 𝑅𝑅 0 < 𝑅𝑅 1 , memiliki 2 titik ekuilibrium endemik untuk 𝑅𝑅 1 < 𝑅𝑅 0 < 1 dan 1 titik ekuilibrium endemik untuk 𝑅𝑅 1 = 𝑅𝑅 0 < 1 dan 𝑅𝑅 0 ≥ 1 . 2. Saat 𝑅𝑅 2 > 1 . Sistem (1) tidak memiliki titik ekuilibrium endemik untuk 𝑅𝑅 0 ≤ 1 dan memiliki 1 titik ekuilibrium  endemik untuk 𝑅𝑅 0 > 1 . Bukti: Dimisalkan 𝐏𝐏 ∗ = [ 𝛽𝛽 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝜎𝜎 ∗ 𝐼𝐼 ∗ ] 𝑇𝑇 titik ekuilibrium endemik Sistem (1).
Titik ekuilibrium endemik Sistem (1) adalah
𝐏𝐏 ∗ = � ( 𝜇𝜇 + 𝜎𝜎 )( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝜎𝜎𝛽𝛽 (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ∗ ) 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝜏𝜏𝐼𝐼 ∗ 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ( 𝜏𝜏 + 𝑝𝑝𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 ) 𝐼𝐼 ∗ 𝜎𝜎 𝐼𝐼 ∗ � 𝑇𝑇 ,
dengan 𝐼𝐼 ∗ yang merupakan akar-akar positif dari persamaan
(1 − 𝑏𝑏 ) 𝑏𝑏 − 𝛽𝛽𝛽𝛽 ∗ 𝐼𝐼 ∗ (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ∗ ) − 𝜇𝜇𝛽𝛽 ∗ + 𝜔𝜔𝜔𝜔 ∗ − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝐼𝐼 ∗ = 0.
Jelas bahwa 𝛽𝛽 ∗ , 𝜔𝜔 ∗ dan 𝜎𝜎 ∗ positif untuk 𝐼𝐼 ∗ positif.
Diperhatikan bahwa
(1 − 𝑏𝑏 ) 𝑏𝑏 − 𝛽𝛽𝛽𝛽 ∗ 𝐼𝐼 ∗ (1 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 ∗ ) − 𝜇𝜇𝛽𝛽 ∗ + 𝜔𝜔𝜔𝜔 ∗ − (1 − 𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝐼𝐼 ∗ = 0
dapat ditulis menjadi
𝑎𝑎 1 𝐼𝐼 ∗2 + 𝑎𝑎 2 𝐼𝐼 ∗ + 𝑎𝑎 3 = 0 ,                                       (4) dengan: 𝑎𝑎 1 = 𝛼𝛼𝛽𝛽 ( 𝜔𝜔𝜎𝜎𝜏𝜏 − 𝑀𝑀 ) − 𝜇𝜇𝜎𝜎𝛼𝛼𝛽𝛽 (1 − 𝑝𝑝 )( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ), 𝑎𝑎 2 = 𝑀𝑀 ( 𝜇𝜇𝛼𝛼𝑅𝑅 0 − 𝛽𝛽 ) + 𝜔𝜔𝜎𝜎𝛽𝛽𝜏𝜏 − 𝜇𝜇𝜎𝜎𝛽𝛽 (1 − 𝑝𝑝 )( 𝜇𝜇 + 𝜔𝜔 ), 𝑎𝑎 3 = 𝜇𝜇𝑀𝑀 ( 𝑅𝑅 0 − 1).
Selanjutnya, diperoleh:
(i) 𝑎𝑎 1 < 0 ,
(ii) 𝑎𝑎 2 > 0 jika dan hanya jika 𝑅𝑅 0 > 𝑅𝑅 2 ,
(iii) 𝑎𝑎 3 > 0 jika dan hanya jika 𝑅𝑅 0 > 1 , (iv) 𝑎𝑎 2 2 − 4 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 3 ≥ 0 jika dan hanya jika 𝑅𝑅 0 ≥ 𝑅𝑅 1 ,
Oleh karena (i) terpenuhi, maka menurut aturan tanda Descartes, Persamaan (4) memiliki 1 akar positif jika 𝑎𝑎 3 > 0 . Selanjutnya karena juga diketahui (iii), maka Sistem (1) memiliki 1 titik ekuilibrium endemik saat 𝑅𝑅 0 > 1 .

## 5. KESIMPULAN
Model yang dibentuk menunjukkan adanya kemungkinan terjadi bifurkasi mundur yang ditandai dengan munculnya dua titik ekuilibrium endemik saat nilai 𝑅𝑅 0 kurang dari 1. Jika bifurkasi mundur terjadi, penyakit tetap ada di dalam populasi meskipun nilai 𝑅𝑅 0 kurang dari 1. Diperlukan menurunkan nilai 𝑅𝑅 0 di bawah nilai 𝑅𝑅 1 agar penyakit akan menghilang dari populasi. Sebaliknya jika bifurkasi maju terjadi, menurunkan nilai 𝑅𝑅 0 agar kurang dari 1 dapat menghilangkan penyakit. Adapun nilai 𝑅𝑅 0 dapat diturunkan dengan berbagai cara sebagai berikut.
1. meningkatkan laju penanganan/ pengobatan terhadap individu yang terinfeksi dan memiliki kemampuan untuk menularkan penyakit,
2. meningkatkan proporsi rekrutmen yang diberikan vaksin,
3. mengurangi jumlah rekrutmen yang masuk ke dalam populasi, dan
4. mengurangi laju kontak antara individu yang rentan penyakit dengan individu yang terinfeksi dan memiliki kemampuan untuk menularkan penyakit yang dapat mengakibatkan penularan penyakit. Misalnya dengan menghindari aktivitas atau interaksi yang berisiko memicu terjadinya penularan penyakit. Selain itu, karena koefisien bifurkasi c adalah fungsi turun terhadap b, maka meningkatkan nilai b atau proporsi  rekrutmen yang diberikan vaksin juga dapat menurunkan kemungkinan terjadinya bifurkasi mundur sehingga dapat meringankan upaya pengendalian penularan penyakit di dalam populasi.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Castillo-Chavez, C. dan Song, B., 2004, Dynamical Models of Tuberculosis and Their Applications, Mathematical Biosciences and Engineering, 1, 2, 361 – 404.
[2]. Castillo-Chavez, C., Feng, Z., Huang W., 2001, On the Computation of R 0 and its Role on Global Stability, http://math.la.asu.edu/~chavez/CCCPUB/ , diakses pada tanggal 26 Nopember 2012.
[3]. Diekmann, O. dan Heesterbeek, J.A.P., 2000, Mathematical Epidemiology of Infectioun Diseases: Model Building, Analysis and Interpretation , Wiley, New York.
[4]. Gunawan, 2014, Analisis Kestabilan Lokal dan Bifurkasi pada Model Epidemi SEIV dengan Vaksinasi dan Penularan Penyakit secara Vertikal, Tesis tidak diterbitkan , Yogyakarta: Pascasarjana Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada.
[5]. Gunawan, 2015, Analisis Bifurkasi pada Model Epidemi SEIV dengan Laju Insidensi Nonlinear pada  Penyakit  Mematikan yang Menular secara Horizontal dan Vertikal, Laporan Penelitian  tidak dipublikasikan , Banjarmasin: STKIP PGRI Banjarmasin.
[6]. Hethcote, H.W., 2000, The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review , 42, 4, 599 – 653.
[7]. Kuznetsov, Y.A., 1998, Elements of Applied Bifurcation Theory , Second Edition, Springer-Verlag, New York.
[8]. Li, L., Sun, G., Jin, Z., 2010, Bifurcation and Chaos in an Epidemic Model with Nonlinear Incidence Rates, Applied Mathematics and Computation , 216, 1226 - 1234
[9]. Long, D. dan Xiang, Z., 2011, On the study of an SEIV epidemic model concerning vaccination and vertical transmission, Journal of Applied Mathematics & Bioinformatics , 1, 1, 21 – 30.
[10]. Luenberger, D.G., 1979, Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models and Applications , John Wiley & Sons, New York.
[11]. Perko, L., 2001, Differential Equations and Dynamical System, Third Edition , Springer-Verlag, New York.
[12]. Van den Driessche, P. dan Watmough, J., 2000, A Simple SIS Epidemic Model with a Backward Bifurcation. J. Math. Biol . 40, 525–540.
[13]. Wiggins, S., 2003, Introduction of Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition , Springer-Verlag, New York.
[14]. Yayasan Spiritia, 2013, Profilaksis Pascapajanan, http://www.spiritia.or.id/li/ bacali.php?lino=156 , diakses pada tanggal 30 Desember 2013.