OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN MENGGUNAKAN PEMPROGRAMAN KUADRATIK (Portfolio Optimization by Quadratic Programming)

## Wahyu Rianingsih, Mohammad Hasan dan Agustina Pradjaningsih
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia Email: hasan.fmipa@unej.ac.id, agustina.fmipa@unej.ac.id
Abstract. Portfolio  is  amount  of  investment.  It  determines  proportion  of  fund  that should be allocated in each investment in order to increase a certain profit with a certain risk. This research has aim to achieve an optimal result of portfolio case. Examaning this case is use quadratic programming, and then finishing with Wolfe method.
Keywords: Portfolio, Quadratic Programming, Wolfe Method, Investment, Devident MSC 2020: 90C20

## 1. Pendahuluan
Dalam  kehidupan  perekonomian,  pasar  modal  memiliki  peranan  yang  sangat  penting terutama  pada  proses  alokasi  penyebaran  dana,  dalam  rangka  pemenuhan  kebutuhan investasi. Selain itu, pasar modal juga memungkinkan bagi para pemodal untuk membentuk portofolio  sesuai  dengan  resiko  yang  bersedia  ditanggung  dan  tingkat  keuntungan  yang diharapkan.
Dalam optimasi portofolio, para pemodal ingin mengetahui seberapa besar dana yang akan dialokasikan pada tiap-tiap investasi agar tingkat keuntungan yang diharapkan lebih besar daripada atau sama dengan suatu jumlah terendah yang dapat diterima dengan tingkat resiko yang kecil, tetapi pemodal tidak tahu dengan pasti tingkat keuntungan yang akan diperoleh.
Pemrograman kuadratik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah program tak linier dengan fungsi tujuan berbentuk kuadrat dan kendala berbentuk linier. Pemrograman kuadratik  dapat  diaplikasikan  pada  masalah-masalah  dalam  bidang  industri  maupun investasi.  Salah  satu  contoh  yaitu  masalah  optimasi  portofolio  yang  dikembangkan  oleh Harry Markowitz tahun 1956 [2]. Penyelesaian Pemrograman kuadratik, untuk mendapatkan nilai  optimal  dari  fungsi  tujuan,  dilakukan  dengan  menyajikan  masalah  pemrograman kuadratik  kedalam  pemrograman  linier.  Selanjutnya,  pemrograman  linier  tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Wolfe.
Permasalahan  yang akan dibahas adalah bagaimana mendapatkan hasil yang optimal dari masalah portofolio yaitu menentukan proporsi dana yang harus dialokasikan pada tiap-tiap investasi agar diperoleh hasil yang optimal. Tujuan penelitian ini untuk mendapatkan hasil
yang optimal dari suatu portofolio dengan menggunakan pemrograman kuadratik.
Metode Pengali Lagrange digunakan untuk mencari titik optimum dari suatu fungsi dengan kendala  berbentuk  persamaan.  Masalah  minimisasi  dari  fungsi  kontinu  dengan  kendala persamaan mempunyai bentuk
minimumkan f = f ( X ) , X ) , , , ( 2 1 n x x x   T
dengan kendala (1.1) i g (X) = 0 , i = 1,2 ,...,m.
Masalah  minimisasi  pada  persamaan  (1.1)  dapat  diselesaikan  dengan  langkah  awalnya menyusun fungsi Lagrange sebagai berikut:
  m , 2 1 n 2 1 ..., , , x ,..., x , x    L = f (X) +   m i i i g 1  (X) (1.2)
dengan m i i ,..., 3 , 2 , 1 ,   disebut pengali Lagrange dan m adalah banyaknya kendala.
Kondisi  Kuhn-Tucker  merupakan  pengembangan  dari  Metode  Lagrange.  Kondisi  Kuhn- Tucker digunakan untuk optimasi fungsi dengan kendala pertidaksamaan sebagai berikut:
minimumkan f (X) dengan kendala
(1.3)
i g (X) ≤ 0 , i = 1,2 ,...,m.
Masalah  di  atas  merupakan  masalah  minimisasi.  Namun  demikian,  kondisi  Kuhn-Tucker juga dapat diterapkan untuk masalah maksimisasi [6].
Kendala  pertidaksamaan  di  atas  dapat  diubah  menjadi  kendala  persamaan  dengan menambahkan variabel slack tak negatif 2 i y sebagai berikut
i g (X) + 2 i y = 0 , i = 1,2 ,...,m. (1.4)
Kendala  pada  persamaan  (2.4)  telah  berbentuk  persamaan  sehingga  dapat  disusun  fungsi Lagrange
L(X,Y,λ) = f (X) +   m i i 1  [ i g (X) + 2 i y ] (1.5)
dengan m i i ,..., , 2 , 1 ,   adalah  pengali  Lagrange  dan m ,..., , i
, y i 2 1
2  adalah  vektor variabel slack.
Kondisi  Kuhn-Tucker  yang  diperlukan  pada  titik  minimum X * dapat  dinyatakan  sebagai berikut:
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 17  Nomor 2  2017, 67 - 78 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669
                   0 0 0 0 1 i i i i m i j i i j g g x g x f    (1.6) dengan m i ,..., 2 , 1  dan n j ,..., 2 , 1  .
Pemrograman  kuadratik  digunakan  untuk  memaksimumkan  atau  meminimumkan  fungsi tujuan yang berbentuk kuadrat. Fungsi kuadratik didefinisikan sebagai
DX X X T      n 1 i n 1 j ) ( j i ij x x d f
dengan   n T x x x ,..., , 2 1  X dan D adalah matriks simetris [5].
Bentuk umum masalah  pemrograman kuadratik adalah:
minimumkan
DX X X C X T T f 2 1 ) (  
(1.7)
dengan kendala
B AX  (1.8)
0  X (1.9)
dengan C , X dan B adalah  vektor  kolom, D dan A adalah  matriks.  Fungsi DX X T 2 1
mendefinisikan bentuk kuadratik dengan matriks D yang bersifat semi definit positif dan simetris. Untuk masalah maksimisasi maka fungsi tujuan dikalikan dengan –1.
Solusi  masalah  minimisasi  pemrograman  kuadratik  pada  persamaan  (1.7)  sampai  dengan persamaan  (1.9)  dapat  diperoleh  dengan  menerapkan  kondisi  Kuhn-Tucker  dan  metode Pengali Lagrange, kemudian nilai optimal diperoleh dengan menggunakan metode Wolfe.
Pada persamaan (1.8), kendala dalam bentuk pertidaksamaan sehingga harus diubah menjadi bentuk  persamaan  dengan  menambahkan  variabel slack m i
y i ,..., 2 , 1
, 2  dan  variabel
tambahan n j t j ,..., 2 , 1 , 2  pada persamaan (1.9). Misalkan j c adalah unsur-unsur dari C dan ij d adalah  unsur-unsur  dari D sehingga  masalah  pemrograman  kuadratik  yang  diberikan pada persamaan (1.7) sampai (1.9) dapat dituliskan dalam bentuk berikut: minimumkan
f ( X )    n j j j x c 1 + 2 1    n i n j j i ij x x d 1 1 (1.10)
dengan kendala
i i j ij b y x a   2 dan 0 2    j j t x (1.11)
Kendala telah berbentuk persamaan sehingga dapat disusun fungsi Lagrange
  i i j ij m i i n i n j j i ij n j j b y x a x x d x c j             2 1 1 1 1 2 1  θ) λ, T, Y, L(X,
(1.12)
dengan i  , i = 1,2, ..., m dan j  , j = 1,2, ..., n adalah pengali Lagrange yang berhubungan dengan kedua himpunan kendala pada persamaan (1.11).
Kondisi  Kuhn  –Tucker  yang  merupakan  kondisi  perlu  yang  harus  dipenuhi  untuk mendapatkan titik minimum lokal dari L adalah sebagai berikut
0 1 1            j m i ij i n i i ij j j a x d c x   L (1.13) 0 2     i i i y y  L
(1.14)
0 2     j j j t t  L
(1.15)
0 2       i i j ij i b y x a  L (1.16)
0 2      j j j x t  L
(1.17)
0 0 0 0       j i i , , Y , X (1.18)
Dengan mendefinisikan variabel baru 0 2   i i y Y maka persamaan (1.16) menjadi
i i j ij b Y x a   . (1.19)
Kalikan persamaan (1.14) dengan i y dan persamaan (1.15) dengan j t , sehingga diperoleh
0 2   i i i i Y y   (1.20)
dan
. 0 2  j j t  (1.21)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1.17) ke persamaan (1.21), diperoleh
. 0  j j x  (1.22)
Dengan demikian, kondisi perlu yang harus dipenuhi pada titik minimum lokal adalah seperti yang diberikan pada persamaan (1.13), (1.18), (1.19) dan dengan kondisi  tambahan pada persamaan  (1.20)  dan  (1.22).  Bila  ada  nilai  dari  ruas  kanan  yang  negatif  maka  kalikan persamaan itu dengan –1.
Jadi penyelesaian dari masalah  pemrograman kuadratik dapat diperoleh dengan menemukan
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 17  Nomor 2  2017, 67 - 78 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669
penyelesaian  tak  negatif  dari  himpunan m+n persamaan  linier  yang  diberikan  pada persamaan  (1.13)  dan  (1.19),  dan  memenuhi  kondisi  tambahan  yang  diberikan  pada persamaan (1.20) dan (1.22).
Solusi  dari  persamaan  (1.13),  (1.18),  (1.19),  (1.20)  dan  (1.22)  dapat  diperoleh  dengan menggunakan metode Wolfe. Langkah-langkah metode Wolfe adalah sebagai berikut:
(1) menambahkan variabel buatan tak negatif j z ke persamaan (1.13) sehingga      diperoleh
j j j m i ij i n i ij i c z a d x            1 1 . (1.23)
Penambahan variabel  buatan j z pada persamaan (1.23) dilakukan jika persamaan itu belum memiliki penyelesaian dasar yang layak.
(2)  meminimumkan  variabel  buatan  tak  negatif j z .  Dengan  demikian,  masalah pemrograman kuadratik menjadi
minimumkan
   n j j z w 1
(1.24)
kendala 
        n i m i j j j ij i ij i c z a d x 1 1   0 0 0 0         j i i i i j ij , , Y , b Y x a X dengan kondisi tambahan 0  i i Y  dan 0   j j x .
(3)  mendapatkan  nilai  optimal  dengan  menggunakan  metode  simpleks  yang  sudah dimodifikasi.  Modifikasi  itu  antara  lain  adanya  aturan  pemilihan  variabel  dasar  dari kondisi tambahan yang diberikan. Bila i Y sudah terpilih menjadi variabel dasar maka pasangan komplementernya ) ( i  tidak dapat dipilih sebagai variabel dasar, dan jika j x sudah terpilih menjadi variabel dasar maka pasangan komplementernya ) ( j  tidak dapat dipilih sebagai variabel dasar .
Portofolio  adalah  sekumpulan  investasi.  Dalam  investasi,  tujuan  seorang  investor  tidak hanya  meraih  keuntungan  yang  sebesar-besarnya  tetapi  harus  memperhatikan  adanya kemungkinan  menderita  rugi  atau  menanggung  resiko.  Sehingga  dengan  membentuk portofolio, dapat diperoleh suatu kombinasi yang mendominir saham tertentu [3]. Artinya, dapat  diperoleh  suatu  investasi  yang  memberikan  tingkat  keuntungan  yang  sama  dengan resiko yang lebih kecil, atau dengan resiko yang sama memberikan tingkat keuntungan yang lebih besar.
Masalah dalam portofolio adalah menentukan berapa banyak dana yang harus dialokasikan pada tiap-tiap investasi agar tingkat keuntungan yang diharapkan lebih besar daripada atau
sama dengan suatu jumlah terendah yang dapat diterima dengan tingkat resiko yang kecil [1]. Untuk keperluan ini, data yang digunakan adalah rasio pembayaran dividen ( devidend payout  ratio).  Devidend  payout  ratio menyatakan  berapa  bagian  pendapatan  yang  harus dibayarkan  sebagai  dividen  [4].  Dividen  merupakan  salah  satu  komponen  dalam  laporan keuangan  perusahaan  yang  sekaligus  sebagai  salah  satu  pemikat  bagi  investor  dalam mengambil  keputusan  investasinya. Devidend  Payout  Ratio ini  dapat  diperoleh  dengan menggunakan rumus:
, share per Earning share per Devidend ratio payout Dividend  (1.25)
dengan devidend per share adalah dividen per lembar saham dan earning per share adalah laba per lembar saham.
Telah  dijelaskan  di  atas  bahwa  tujuan  investasi  bukan  hanya  mendapatkan  keuntungan sebesar-besarnya  tetapi  juga  harus  memperhatikan  adanya  unsur  resiko.  Resiko  dapat diartikan sebagai unsur ketidakpastian, karena pemodal tidak mengetahui dengan pasti hasil yang  akan  diperoleh  dari  investasi  yang  akan  dilakukannya  [3].  Karena  investasi  yang dilakukan  mempunyai  unsur  ketidakpastian,  pemodal  hanya  bisa  mengharapkan  tingkat keuntungan  yang  akan  diperoleh.  Ketidakpastian  atas  investasi  tersebut  diukur  dengan penyebaran nilai tingkat keuntungan disekitar tingkat keuntungan yang diharapkan. Ukuran penyebaran yang digunakan sebagai ukuran resiko ini disebut sebagai standar deviasi    atau variance ( 2  ).
Misalkan j x menunjukkan jumlah dana yang akan dialokasikan pada investasi ke- j , dengan j =  1,2,  ..., n dan jk x menunjukkan  dividen  (  keuntungan  yang  akan  dibayarkan  )  dari investasi  ke- j selama  selang  waktu  ke- k di  masa  lalu,  dengan k =  1,2,  …, p .  Tingkat keuntungan yang diharapkan dari investasi ke- j adalah
p x E p k jk j    1 , (1.26)
dengan p adalah  selang waktu.
Hasil yang diharapkan dari gabungan semua investasi adalah
. ... 2 2 1 1 n n x E x E x E E    
(1.27)
Tingkat resiko diberikan oleh
f ( X ) =   . ... 1 2 2 2 1 1 p E x x x x x x p k n nk k k       (1.28)
Resiko  yang  diberikan  pada  persamaan  (1.28)  disebut  sebagai  varians.  Dengan mensubstitusikan persamaan (1.27) ke persamaan (1.28), diperoleh
f ( X ) =             
       n i n j j i ij p k n n nk k k x x x E x x E x x E x p 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 ... 1  (1.29)
dengan kovarias   ij  diberikan oleh
  ij                               p k jk p k ik p k jk ik j jk p k i ik x x p x x p E x E x p 1 1 2 1 1 1 1 1
(1.30)
Dari  persamaan  (1.29)  dapat  diketahui  bahwa f ( X ) tak  negatif  untuk  semua  harga   n x x x ,..., , 2 1 . Ini berarti bahwa matriks   ij  pada persamaan (1.30) yang disebut matriks kovarians  adalah  semi  definit  positif.  Bila  dikaitkan  dengan  bentuk  umum  pemrograman kuadratik maka matriks   ij  di atas adalah matriks D .
Dengan  demikian,  masalah  portofolio  dapat  dimodelkan  dengan  pemrograman  kuadratik berikut:
minimumkan
f ( X )     n i n j j i ij x x 1 1  (1.31)
dengan kendala
F x x x n     ... 2 1 (1.32)
E x E x E x E n n     ... 2 2 1 1 (1.33)
0  j x (1.34)
dengan F adalah jumlah total proporsi dana yang akan dialokasikan, dan E adalah tingkat keuntungan yang diharapkan.

## 2. Metodologi
Pengkajian mengenai masalah portofolio, dalam rangka mendapatkan hasil yang optimal, menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
(1) mengumpulkan data berupa data sekunder yang diperoleh dari Indonesian Capital Market Directory selama periode 1998-2002;
(2) dari data tersebut, dibuat  masalah optimasi portofolio menjadi model pemrograman kuadratik seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.31) sampai (2.34);
(3) menerapkan  metode  Wolfe  untuk  mendapatkan  hasil  yang  optimal  dari  masalah minimisasi pemrograman kuadratik tersebut.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Data
Data yang diperoleh berbentuk daftar pembayaran dividen ( Devidend Per Share ) dan laba per saham ( Earning Per Share ) dari perusahaan manufaktur yang terdaftar di Bursa Efek Jakarta  tahun  1998-2002.  Nama-nama  perusahaan  itu  adalah  PT  Mustika  Ratu  Tbk,  PT Unilever  Indonesia  Tbk,  PT  Gudang  Garam  Tbk  dan  PT  Good  Year  Indonesia  Tbk. Perusahaan-perusahaan  tersebut  melakukan  pengumuman  dividen  (tunai)  dan  laba  per saham tahun 1998-2002.
Data dividen per share (DPS) dan e arning per share (EPS) disajikan dalam Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1 Data Dividend Per Share (dalam rupiah) Tahun 1998-2002 Nama Perusahaan 1998 1999 2000 2001 2002 PT Mustika Ratu Tbk 80 69 150 254 36 PT Unilever Indonesia Tbk 400 2500 690 350 500 PT Gudang Garam Tbk 260 500 500 300 300 PT Good Year Indonesia Tbk 500 700 100 120 150 Tabel 2 Data Earning Per Share (dalam rupiah) Tahun 1998-2002 Nama Perusahaan 1998 1999 2000 2001 2002 PT Mustika Ratu Tbk 238 197 294 340 48 PT Unilever Indonesia Tbk 2666 6986 1066 1162 1262 PT Gudang Garam Tbk 564 1182 1166 1065 1085 PT Good Year Indonesia Tbk 1227 2150 508 286 401

## 3.2 Perumusan Portofolio ke dalam Pemrograman Kuadratik
Masalah dalam portofolio adalah menentukan proporsi dana yang harus dialokasikan pada tiap-tiap  investasi  dengan  suatu  tingkat  keuntungan  tertentu  dan  resiko  tertentu.  Untuk keperluan ini, data  yang digunakan adalah data devidend payout ratio . Hasil perhitungan dari data devidend payout ratio disajikan pada Tabel 3.
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 17  Nomor 2  2017, 67 - 78 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669
Tabel 3 Data Dividend Payout Ratio Tahun 1998-2002 k k x 1 k x 2 k x 3 k x 4 1 0.3361 0.15 0.461 0.4075 2 0.3503 0.3579 0.4227 0.3256 3 0.5102 0.6473 0.4288 0.1969 4 0.7471 0.3012 0.2817 0.4196 5 0.7500 0.3962 0.2765 0.3741
Keterangan:
k x 1 = dividend payout ratio PT Mustika Ratu pada tahun ke- k ;
k x 2 = dividend payout ratio PT Unilever pada tahun ke- k ;
k x 3 = dividend payout ratio PT Gudang Garam pada tahun ke- k ;
k x 4 = dividend payout ratio PT Good Year pada tahun ke- k ;
k = 1, 2,3,4,5 masing-masing menyatakan tahun1998,1999,2000,2001, 2002.
Tujuan  dari  optimasi  portofolio  adalah  meminimumkan  resiko  dalam  portofolio  dengan beberapa kendala. Parameter yang digunakan adalah dari data dividend payout ratio tahun 1998-2002  yang diberi notasi jk x , dan tingkat keuntungan  yang diharapkan dari masing- masing investasi ( j E ). Dari Tabel 3 diperoleh prosentase tingkat keuntungan masing-masing
investasi yaitu
% 47 . 34 %, 41 . 37 %, 05 . 37 %, 87 . 53 4 3 2 1     E E
E E , varians
( j i ij  ,  ) yaitu 0065 . 0 , 0062 . 0 , 0262 . 0 , 0331 . 0 44 33 22 11         beserta  kovarians
( j i ij  ,  ) dengan ji ij    sebagai berikut
0034 . 0 , 01365 . 0 , 00605 . 0 41 14 31 13 21 12              00265 . 0 , 0118 . 0 , 00015 . 0 43 34 42 24 32 23               
Dalam perhitungan ini, pemilihan E didasarkan pada nilai terkecil dari prosentase tingkat keuntungan  masing-masing  investasi  ( E j ).  Dari  Prosentase  tingkat  keuntungan  masing- masing  investasi  yang  teleh  diperoleh,  diketahui  bahwa  nilai E j terkecil  terdapat  pada perusahaan Good Year  yaitu sebesar 34.47 %, sehingga E yang diambil sebesar 34.47%. Dengan demikian, masalah portofolio dapat dimodelkan kedalam pemrograman kuadratik berikut:
minimumkan
2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 0121 . 0 0065 . 0 0062 . 0 0262 . 0 0331 . 0 ) ( x x x x x x X f      4 2 3 2 4 1 3 1 0236 . 0 0003 . 0 0068 . 0 0273 . 0 x x x x x x x x     4 3 0053 . 0 x x  dengan kendala 1 4 3 2 1     x x x x 3447 . 0 3447 . 0 3741 . 0 3705 . 0 5387 . 0 4 3 2 1     x x x x
0 , 0 , 0 , 0 4 3 2 1     x x x x .
Keterangan:
1 x = proporsi dana yang akan dialokasikan pada PT Mustika Ratu;
2 x =proporsi dana yang akan dialokasikan pada PT Unilever Indonesia;
3 x =proporsi dana yang akan dialokasikan pada PT Gudang Garam;
4 x =proporsi dana yang akan dialokasikan pada PT Good Year Indonesia.

## 3.3 Pembahasan
Masalah  pemrograman  kuadratik  di  atas  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan  metode Wolfe. Hasilnya adalah 0 1  x , 2397 0 2 . x  , 2328 0 3 . x  dan 5275 0 4 . x  . Ini artinya tidak ada  dana  yang  diinvestasikan  pada  PT  Mustika  Ratu,  sedangkan  dana  yang  harus diinvestasikan pada PT Unilever Indonesia sebesar 23.97 %, pada PT Gudang Garam sebesar 23.28 % dan pada PT Good Year Indonesia sebesar 52.75 %. Jadi dana terbesar yang harus diinvestasikan adalah pada PT Good Year Indonesia dengan keuntungan yang diharapkan sebesar 34.47 %.
Untuk  tingkat  keuntungan    yang  berbeda,  dihasilkan  portofolio-portofolio  seperti  yang disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4 Portofolio-portofolio dengan tingkat keuntungan, proporsi dana dan  resikonya
Portofolio E Proporsi Dana Resiko x 1 x 2 x 3 x 4 1 0.0 2 0 0.2397 0.232 8 0.527 5 0 2 0.3 5 0 0.2397 0.232 8 0.527 5 0 3 0.3 577 0 0.2397 0.232 8 0.527 5 0 4 0.3 6 0.010 5 0.2298 0.249 3 0.510 3 0.000633 5 0.3 8 0.103 66 0.1427 4 0.391 41 0.362 19 0.005523 6 0.4 1 0.243 38 0.0121 1 0.604 52 0.135 99 0.011084
Dari Tabel 4, dapat dilihat terdapat dua karakteristik dari beberapa portofolio yang dihasilkan dengan tingkat keuntungan yang berbeda. Pertama, distribusi dana yang diinvestasikan pada masing-masing perusahaan memiliki proporsi yang sama  untuk tingkat keuntungan kurang dari sama dengan 35.77 %, sedangkan untuk tingkat keuntungan lebih dari 35.77 %, distribusi dana  pada  masing-masing  perusahaan  bervariasi.  Hal  ini  dapat  terjadi  karena  dipengaruhi oleh kondisi masing-masing perusahaan pada saat itu (misalnya keadaan aktiva yang baik,
kondisi  perekonomian,  dll).  Kedua,  situasi  yang  hampir  sama  juga  terjadi  antara  tingkat keuntungan terhadap resiko. Hubungan antara tingkat keuntungan terhadap resiko ini dapat dijelaskan melalui Gambar 1.
Gambar 1 Grafik Tingkat Keuntungan terhadap Resiko Keterangan: Pengambilan E (tingkat keuntungan) tidak hanya berhenti pada E = 41 % tetapi sesuai dengan tingkat keuntungan yang diharapkan.
Gambar 1 menjelaskan bahwa terdapat dua daerah yaitu daerah yang bebas resiko investasi dan daerah yang beresiko. Daerah bebas resiko ditunjukkan untuk tingkat keuntungan yang diharapkan kurang dari sama dengan % 77 . 35 . Dengan demikian portofolio dengan tingkat keuntungan  35.77  %  merupakan  portofolio  yang  oprimal  bagi  investor  yang  takut mengambil  resiko.  Bagi  investor  yang  berani  mengambil  resiko,  dimungkinkan  untuk mendapatkan keuntungan di atas 35.77%. Resiko yang akan dihadapi proporsional terhadap besarnya keuntungan yang diharapkan. Hasil ini sesuai dengan teori  yang dijelaskan oleh Husnan (1994), bahwa dalam portofolio dapat diperoleh suatu investasi yang memberikan keuntungan  yang  lebih  besar  dengan  resiko  yang  sama,  dan  semakin  tinggi  tingkat keuntungan yang diharapkan, resiko yang dihadapi semakin tinggi.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  dapat  disimpulkan  bahwa  portofolio  yang optimal tanpa resiko investasi diperoleh pada tingkat keuntungan yang diharapkan sebesar 35.77 %. Resiko investasi akan muncul jika seorang investor mengharapkan keuntungan di atas 35.77 %.
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.0200 0.3500 0.3577 0.3600 0.3800 0.4100 R es iko Tingkat Keuntungan

## Daftar Pustaka
[1] Bronson,  R.  Teori  dan  Soal-Soal  Operations  Research.  Seri  Buku  Schaum’s.  Alih Bahasa oleh Hans J. Wospakrik. Jakarta: Erlangga
[2] Dias, F.S. Tanpa Tahun. Quadratic Programming Aplied to Modern Portfolio Selection. http://www.ime.usp.br
[3] Husnan, S., (1994), Dasar-Dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas. Yogyakarta: UPP-AMP YKPN
[4] Martin, John D, et.al, (1999), Basic Financial Management Fifth Edition. Alih Bahasa oleh Haris Munandar. Jakarta: Rajawali Pers
[5] Mital,  K.V.,  (1976),  Optimization  Methods  in  Operations  Research  and  System Analysis. New Delhi: Wiley Eastern Limited
[6] Rao, S.S., (1984), Optimization Theory and Applications. San Diego: Eastern Limited