Vol. 9, No.1,  33-38,  Juli  2012

## Estimasi Hazard Rate Temporal Point Process
Nurtiti Sunusi 1

## Abstrak
Point    process adalah  suatu  model  stokastik  yang  dapat  menerangkan  fenomena  alam  yang sifatnya  acak  baik  dalam  ruang  maupun  waktu.  Point  process  dikarakterisasikan  oleh intensitas bersyaratnya ( conditional Intensity ). Pada penelitian ini intensitas bersyarat proses titik  temporal  ( temporal  point  process )    dipandang  sebagai  proses  pembaruan  ( renewal process )  dimana  selisih  waktu  sejak  kejadian  terakhir  tidak  tergantung  pada  selang sebelumnya. Intensitas bersyarat yang bersesuaian pada model ini disebut hazard rate. Untuk mengestimasi  parameter    hazard  rate  digunakan  metode Hazard  Rate  Single  Decrement (HRSD)  yang  diadaptasi    dari  metode  estimasi  dalam  studi  aktuaria  yang  dipakai  dalam pembentukan  tabel  mortalita.  Pada  metode  ini,  satu  individu  diasosiasikan  dengan  satu kejadian.  Jika  informasi  yang  digunakan  pada  pembentukan  tabel  mortalita  adalah  tanggal lahir  dan  tanggal  meninggal,  maka  pada temporal  point  process digunakan  informasi  waktu mulai  dan  berakhirnya  suatu  kejadian.  Selanjutnya  pada  bagian  akhir,    ditinjau  dua  kasus yaitu  estimasi  hazard  rate  dengan  waktu  antar  kejadian  berdistribusi  uniform  dan eksponensial.
Kata Kunci: Point process, hazard rate, intensitas bersyarat, eksponensial .

## Abstract
Point process is a stochastic model that can explain the natural phenomena that are random in both  space  and  time.  Point  process  characterized  by  the  conditional  Intensity.  In  this  study, the  conditional  intensity  of  temporal  point  process  is  seen  as  a  renewal  process  with  is  the elapsed time since the last occurrence does not depend on the previous interval.  Conditional intensity  corresponding  to  the  model  is  called  the  hazard  rate.To  estimate  the  hazard  rate parameters, we use hazard rate single decrement method which is adapted from the method in actuarial  studies  that  used  to  formation  the  mortality  table.  In  this  method,one  individual associated with an event. If the information is used to the formation of mortality table is date of birth and date of death, then information of event time when start and finally in temporal point process is considered. Furthermore, at the end of this research, we reviewed two cases, namely hazard rate with inter event time is uniform and exponentially distributed.
Keywords : Point process, hazard rate, intensitas bersyarat, eksponensial .

## 1. Pendahuluan
Point    process adalah  suatu  model  stokastik  yang  dapat  menerangkan  fenomena  alam yang  sifatnya  acak  baik  dalam  ruang  maupun  waktu. Point  process dikarakterisasikan  oleh intensitas  bersyaratnya  ( conditional  Intensity ).  Dalam point  process ,  fungsi  intensitas  bersyarat yang  didefinisikan  sebagai  turunan  dari  perubahan  peluang  kemunculan  kejadian  memegang peranan yang sangat penting seperti yang dikemukakan oleh Ogata pada tahun 1999 [4]. Hal ini disebabkan  karena  fungsi  intensitas  bersyarat  ( Conditional  Intensity )  disingkat  CI mengkarakterisasikan point  process yang  bersesuaian.  Misalnya,  jika  intensitas  bersyarat  hanya
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin ,email:ntitisanusi@gmail.com
bergantung  pada  waktu  atau  kejadian  sekarang,  maka  bentuk  intensitas  bersyarat  seperti  ini mengkarakterisasikan  proses  Poisson  tak  stasioner.  Sedangkan  untuk  intensitas  bersyarat  yang bergantung  hanya  pada  selisih  waktu  sejak  waktu  kemunculan  kejadian  terakhir,  maka  hal  ini merupakan  proses  pembaruan.  Intensitas  bersyarat  yang  bersesuaian  dengan  proses  ini  disebut hazard rate . Hazard rate didefinisikan sebagai peluang munculnya suatu kejadian sesaat setelah pada selang waktu
dan diketahui belum ada kejadian hingga saat  .
Umumnya hazard rate gempa diestimasi menggunakan persamaan likelihood proses titik [2], [5], [6]. Persamaan tersebut merupakan persamaan non linear yang tidak mudah diselesaikan secara analitik sehingga seringkali diselesaikan secara numerik. Persamaan likelihood pada kasus waktu tunggu berdistribusi eksponensial  dapat diselesaikan secara analitik. Namun, untuk kasus waktu  tunggu  lainnya  diselesaikan  secara  numerik.  Selain  itu,  metode  ini  masih  terbatas  pada estimasi  hazard  rate  dalam  selang  waktu  observasi.  Dengan  demikian,  metode  ini  belum  dapat digunakan untuk memprakirakan peluang kemunculan gempa pada tiap satu periode berikutnya. Hazard  rate merupakan  kunci  dalam  teori  likelihood point  process ,  jika hazard  rate diketahui maka simulasi proses yang bersesuaian dapat dilakukan. Oleh karena itu, perlu untuk memperoleh model paramerik yang akurat untuk hazard rate .

## 2. Estimasi Hazard Rate Single Decrement
Pada  bagian  ini  dikemukakan  suatu  metode  untuk  estimasi hazard  rate  temporal  point process yang  disebut  HRSD.  HRSD  meliputi  estimasi likelihood  single  decrement dan estimasi momen single decrement [3], [6]. Mengingat di aktuaria, hazard rate disimbolkan dengan , maka untuk pembahasan selanjutnya digunakan symbol . Misalkan
menyatakan  waktu  tunggu  hingga  kemunculan  gempa berikutnya, jika diketahui selisih waktu t 0 sejak kemunculan kejadian gempa yang terakhir dan T adalah  waktu  kemunculan  kembali  antara  kemunculan  dua  gempa.  Misal berturut-
turut  menyatakan hazard  rate, fungsi  ketahanan  ( survival  function ),  dan  fungsi  kepadatan peluang. Hazard rate dapat dinyatakan sebagai [1]:
(1) Dengan  mengintegralkan dengan  batas  dari sampai ,  diperoleh bahwa  peluang  belum  ada  kejadian  hingga
jika  diketahui  belum  ada  kejadian  hingga saat  , adalah [1]:
(2) Misalkan
, yaitu sesaat setelah terjadi gempa, diperoleh
(3) dimana adalah fungsi ketahanan.  Distribusi waktu kemunculan kembali T suatu kejadian dan  waktu  tunggu  hingga  kemunculan  kejadian  berikutnya
masing-masing  dinyatakan sebagai berikut [1]:
dan
(5) Dalam  ekspresi  ini, merupakan  peluang  bahwa  suatu  kejadian  muncul  antara dan jika diketahui belum ada kejadian hingga saat  , dan (6)

## 3. Estimasi Likelihood dalam Single Decrement
Estimasi hazard  rate menggunakan  pendekatan single  decrement melalui  metode Maximum  Likelihood  Estimate (MLE)  membutuhkan  informasi exit  time ,  yaitu waktu  pada  saat timbul kejadian. Misalkan menyatakan jumlah kejadian yang terjadi pada selang dan
menyatakan jumlah kejadian pada selang
dan menyatakan jumlah kejadian setelah  . Karena waktu untuk masing-masing kejadian berbeda, maka kejadian dipandang  secara  sendiri-sendiri  dan  mengambil  perkalian  kontribusi  masing-masing  kejadian pada fungsi likelihood.  Likelihood L untuk  kejadian  ke- i pada  selang
diberikan oleh
pdf untuk kemunculan kejadian pada selang tersebut jika diketahui tidak ada kejadian hingga saat . Hal  ini dapat dinyatakan sebagai berikut
(7)
Yaitu kontribusi kejadian ke- i pada L . Jika dimisalkan
adalah waktu kejadian ke- i dalam selang , dengan , maka (8) Kontribusi  banyaknya  kejadian pada L adalah .  Kontribusi kejadian  yang  muncul  setelah adalah dimana
merupakan  banyaknya kejadian yang muncul pada saat   atau setelahnya. Dengan demikian likelihood total L adalah
(9)
Untuk  menyelesaikan  persamaan  (9)  untuk diperlukan  asumsi  bahwa  distribusi
dinyatakan dalam bentuk .
Berikut ini ditinjau dua kasus, yakni jika yang menyatakan jumlah kejadian setelah diasumsikan  berdistribusi  linear  dan  eksponensial  yang  diperlukan  untuk  menyatakan
Kasus I. Asumsi Linear
Jika menyatakan jumlah kejadian setelah merupakan fungsi  linear, maka (10) Untuk , diperoleh , dan untuk diperoleh . Dengan demikian, dari persamaan (10) diperoleh (11) dengan menyatakan jumlah kejadian pada dan (12)
Untuk asumsi linear
dan (13) Karena ,  maka dan . Jadi (14)
Dari persamaan (9) dan (10) diperoleh bahwa
(15)
Log likelihood ℓ untuk persamaan (15) diperoleh:
(16)
Dengan menyelesaikan persamaan berikut
(17)
Dapat diperoleh
(18)
Dari persamaan (17) diperoleh
(19) Karena , dan positif,  maka .  Jadi persamaan (18)
merupakan solusi MLE untuk persamaan (15).
Kasus II. Asumsi Eksponensial
Jika menyatakan  jumlah  kejadian  setelah merupakan  suatu  fungsi  eksponensial, maka
(20) Untuk s  =  0 diperoleh .    Sehingga .    Dari  persamaan  di  atas  (20)
diperoleh
(21) Atau ditulis (22)
Dengan demikian
(23)
dan
.  Selanjutnya, (24)
Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (23) dan (24) diperoleh total likelihood sebagai berikut:
(25)
Log likelihood untuk persamaan (25) adalah
(26) Solusi persamaan adalah
(27)
Karena berkorespondensi satu-satu dengan  , maka dari persamaan (27) dapat diperoleh:
(28)
yang merupakan estimator maksimum likelihood untuk .

## 4. Kesimpulan
Dari  hasil  uraian  yang  diberikan  di  atas,  diperoleh  bahwa  estimasi hazard  rate  single decrement menggunakan asumsi waktu tunggu berdistribusi eksponensial serupa dengan estimasi hazard  rate menggunakan  asumsi  waktu  tunggu  berdistribusi  uniform.  Di  samping  itu,  solusi yang  menggunakan  asumsi  eksponensial  lebih  informatif  dibandingkan  dengan  solusi  yang menggunakan  asumsi  linear  (uniform).  Hal  ini  dapat  dilihat  bahwa  hasil  estimasi  yang menggunakan  asumsi  eksponensial  mengandung  informasi  waktu  kejadian,  banyak  kejadian pada selang waktu tunggu , dan banyak kejadian setelah .

## Daftar Pustaka
[1]      Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C.,  Jones D.A., and Nesbitt C. J., 1986. Actuarial Mathematics . The Society of Actuaries.
[2] Daley D.J. and Vere-Jones D., 2003. An Introduction to the Theory of Point Processes . Springer, Berlin.
[3] Darwis S., Sunusi N., Triyoso W., dan Mangku I.W., 2009. Single Decrement Approach for  Estimating  Earthquake  Hazard  Rate. Advances  and  Applicationsin  Statistica ,  11(2), 229–237.
[4] Ogata Y., 1999. Seismicity Analysis Through Point Process Modeling: A Review. Pure and Applied Geophysics , 155, 471–507.
[5] Sunusi  N.,    Darwis  S.,  dan  Triyoso  W.,  2008.  Estimating  Intensity  of  Point  Processes Models  Applied  to  Earthquake  Prediction. Mathematics  Journal  University  Teknologi Malaysia , 2, 405–411.
[6] Sunusi  N.,  Darwis  S.,  Triyoso  W.,  dan  Mangku  I.W.,  2010.  Study  of  Earthquake Forecast  through  Hazard  Rate  Analysis. International  Journal  of  Applied Mathematics and Statistics (IJAMAS), 17(J10), 96–103.