## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
Pemodelan Data Time Series dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik B-Spline
1 Zulaiha Rahasia, 2 Resmawan Resmawan, 3 Dewi Rahmawaty Isa
1,2,3 Fakultas Matematika dan IPA, Universitas Negeri Gorontalo zulaiharahasia@gmail.com

## Abstrak
Spline  merupakan  salah  satu  pendekatan  nonparametrik  kearah  pencocokan data agar model yang dihasilkan memiliki fleksibilitas yang baik. Penelitian ini bertujuan  untuk  memodelkan  data  time  series  berupa  nilai  tukar  mata  uang dengan  pendekatan  nonparametrik  B-spline.  Dalam  pemodelan  B-spline, terdapat  kriteria  yang  harus  diperhatikan yaitu  penentuan  orde untuk  model, banyaknya  knot dan letak penempatan  knot.  Model  B-spline terbaik diperoleh berdasarkan  pemilihan  titik  knot  optimal  dengan  kriteria  Generalized  Cross Validation (GCV) minimum. Pemodelan menggunakan data nilai tukar rupiah terhadap Dollar Amerika periode Januari 2014 - Desember 2018. Model B-spline terbaik  diperoleh  dengan  pendekatan  2  titik  knot  yang  terletak  pada  titik 11935,10 dan 12438,29 dengan nilai GCV sebesar 55683,09.
Kata kunci: Regresi Nonparametrik; B - Splin e ; Generalized Cross Validation

## Abstract
Spline is one of the nonparametric approach, to adjust data so the final model has good flexibility. The purpose of this research is to model the time series data in  the  form  of  currency  exchange  rates  by  using  the  nonparametric  B-spline approach. In B-spline modelling, determination of the order for the model, and the number and the placement of the knot are the criteria that must be considered. The best B-spline model obtained based on the selection of the optimal knot points with minimum Generalized Cross Validation (GCV) criteria.  The modelling in this research use data on the exchange rate of the rupiah toward the US dollar in the period January 2014 - December 2018. The best B-spline model obtained by the  2  point  knot  approach,  at  points  11935.10  and  12438.29,  with  GCV  value equals to 55683.09.
Keywords: Nonparametric Regression; B - Splin e ; Generalized Cross Validation

## A. Pendahuluan
Time series merupakan salah satu jenis data yang  biasanya digunakan pada analisis ekonomi, meliputi analisis terhadap perilaku didalam series itu sendiri (Ekananda, 2014). Pada hakikatnya data time series adalah data yang merekam  perilaku  ekonomi  berupa  harian,  mingguan,  bulanan,  ataupun tahunan,  sehingga  peneliti  dapat  melakukan  penyesuaian  dalam menganalisis data time series (Ekananda, 2015).
Salah  satu  analisis  statistika  yang  sering  digunakan  pada  pemodelan data time  series adalah  analisis  regresi  (Suparti,  Santoso,  Prahutama,  & Devi,  2018).  Analisis  ini  dilakukan  untuk  mencari  bentuk  hubungan  dari data, kemudian akan dinyatakan sebagai fungsi yang dapat mengeksplorasi

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
informasi yang terkandung dalam data (Makridakis, Wheelwright, & McGee, 1998).  Untuk  mengestimasi  fungsi  regresi,  terdapat  dua  pendekatan  yang biasa digunakan yaitu pendekatan parametrik dan nonparametrik (Hardle, 1990). Pendekatan parametrik merupakan pendekatan yang digunakan jika bentuk  hubungan  regresinya  diketahui  dan  diasumsikan  mengikuti  pola data regresi (Suparti et al., 2018).
Beberapa  penelitian  yang  telah  dilakukan  menggunakan  pendekatan parametrik  dapat  dilihat  pada  (Ningsih  &  Dukalang,  2019)  dan  (Ndangi, Resmawan,  &  Djakaria,  2019).  Adapun  pendekatan  nonparametrik merupakan  metode  pendugaan  yang  tidak  terikat  asumsi  regresi,  dimana kurva regresi hanya diasumsikan mulus (smooth) (Eubank, 1999). Terdapat beberapa pendekatan nonparametrik yang dapat digunakan untuk data time series yaitu estimator Kernel dan regresi Spline. Estimator Kernel memiliki kemampuan yang baik dalam memodelkan data yang tidak mempunyai pola tertentu, selain itu estimator kernel lebih fleksibel (Hardle, 1990). Adapun keunggulan  dari spline adalah  mampu  mengestimasi  perilaku  data  yang cenderung berbeda pada interval yang berlainan (Eubank, 1999). Beberapa penulis  ternama  seperti  (Hardle,  1990)  dan  (Wahba,  1990)  mengusulkan bahwa  penggunaan  regresi spline sebagai  alternatif  pendekatan nonparametrik agar model yang dihasilkan memiliki fleksibilitas yang baik.
Pada regresi spline , terdapat suatu basis fungsi yang biasa digunakan yaitu basis fungsi truncated dan basis fngsi B-spline (Eubank, 1999). Spline merupakan  potongan (truncated) polinomial  tersegmen  yang  kontinu sehingga data mampu menyesuaikan diri lebih efektif dari karakteristik data (Suparti  et  al.,  2018).  Kelemahan  dari  basis  fungsi truncated adalah  pada saat orde tinggi, jumlah knot bertambah, dan letak knot terlalu dekat, akan berakibat pada matrik yang hampir singular, sehingga persamaan akan sulit diselesaikan (Eubank, 1999).
Basis B-spline merupakan  basis  alternatif  bagi  basis  fungsi  polinomial truncated .  Basis B-spline banyak  memberikan  keuntungan  baik  dari  sifat- sifat B-spline itu sendiri maupun dari aspek komputasinya, sehingga lebih mudah  didapatkan  dan  lebih  bersifat  atraktif  (Eubank,  1999).  Namun, kesulitan dari basis B-spline hanya dapat didefinisikan secara rekursif dan karenanya  tidak  dapat  dievaluasi  secara  langsung  (Devi,  Mukid,  &  Yasin, 2014).
Dalam  pemodelan  regresi B-spline, ada  beberapa  kriteria  yang  harus dipenuhi  yaitu  penentuan  orde  untuk  model,  banyaknya  knot  dan  letak penempatan  knot.  Model  terbaik  diperoleh  dengan  meminimumkan Generalized  Cross  Validation  (GCV) (Eubank,  1999).  Beberapa  penelitian yang  dilakukan  menggunakan  pendekatan  nonparametrik spline dapat dilihat pada (Devi et al., 2014) yang membahas tentang "Analisis Inflasi Kota Semarang  Menggunakan  Metode  Regresi  Nonparametrik  B-Spline"  dan (Katijaya,  Suparti,  &  Sudarno,  2013)  yang  membahas  tentang  "Regresi

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
Spline  Sebagai  Alternatif  dalam  Pemodelan  Kurs  Rupiah  terhadap  Dollar Amerika Serikat". Kedua penelitian tersebut masing-masing menunjukkan bahwa  model spline terbaik  pada  saat  menggunakan  orde  2  dengan pendekatan 2 titik knot dan 3 titik knot.
Pada  penelitian  ini,  dilakukan  pengembangan  dari  regresi  spline  yang digunakan  dalam  menganalisis  data time  series .  Fungsi spline yang digunakan relevan dengan penelitian (Devi et al., 2014) yaitu memuat suatu basis fungsi B- spline . Dengan menggunakan regresi nonparametrik B-spline , dapat diperoleh model data time series berupa nilai tukar rupiah terhadap Dollar Amerika periode Januari 2014 - Desember 2018.

## B. Metode Penelitian

## 1. Variabel Penelitian
Pada penelitian ini, variabel yang digunakan adalah nilai tukar Rupiah per-bulan  yang  diambil  pada  interval  Januari  2014  -  Desember  2018. Penggunaan  nilai  tukar  Rupiah  didasarkan  pada  pergerakan  nilai  tukar yang semakin melemah sehingga berdampak pada stabilitas perekonomian Indonesia.

## 2. Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder berupa time series untuk nilai tukar mata uang rupiah (IDR) terhadap Dollar (USD). Data tersebut didapat dari Bank Sentral Indonesia melalui official website https://bi.go.id

## 3. Populasi dan Sampel
Populasi  yang  digunakan  dalam  penilitian  ini  adalah  data  nilai  tukar Rupiah per-bulanan periode Januari 2014 - Desember 2018. Adapun sampel yang diambil sebanyak jumlah populasi yang digunakan.

## 4. Teknik Penarikan Sampel
Pada  penelitian  ini,  teknik  penarikan  sampel  yang  digunakan  adalah sampling  jenuh .  Sampling  jenuh  merupakan  teknik  penentuan  sampel dimana  semua  anggota  populasi  digunakan  sebagai  sampel  (Kholid  & Achmadi, 2008).

## 5. Teknik Analisis Data
Langkah-langkah  analisis  data  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini adalah:
a. Menganalisis data time series .
b. Memodelkan data time series .

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
c. Menentukan pendugaan model berdasarkan titik knot optimal pada Orde 2 (linier).
d. Menentukam  model B-spline terbaik  berdasarkan  kriteria  GCV minimum.
e. Menentukan  uji  kelayakan  model  berdasarkan  nilai 𝑅 2 model B- spline.
Untuk  memudahkan  dalam  hal  komputasi,  analisis  data  dilakukan dengan bantuan software R untuk.

## C. Hasil dan Pembahasan

## 1. Deskripsi Data
Penelitian  ini  menggunakan  data  nilai  tukar  rupiah  terhadap  Dollar Amerika. Data tersebut merupakan data time series univariat 𝑥 𝑖 . Plot data time series nilai tukar rupiah terhadap Dollar Amerika (USD) disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Data nilai tukar rupiah terhadap Dollar Amerika (USD) Januari 2014 - Desember 2018
Gambar 1 menunjukkan pergerakan nilai tukar rupiah terhadap Dollar Amerika  (USD)  selama  5  tahun  terahir  mengalami  fluktuasi.  Nilai  tukar minimum sebesar 11427,05 terjadi pada bulan Maret 2014, sedangkan nilai tukar  maksimum  sebesar  5178.87  terjadi  pada  bulan  Oktober  2018.  Pada penelitian  ini,  data  time  series  dimodifikasi  menjadi  data  cross  section dengan  bentuk 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 .  Hubungan  antara  kedua  variabel  disajikan  pada Gambar 2.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
Gambar 2. Plot data nilai tukar dengan bentuk 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖
Berdasarkan Gambar 2 dapat dilihat bahwa variabel 𝑥 𝑖 dan 𝑦 𝑖 memiliki pola linier. Untuk mendapatkan model spline optimal, diperlukan pemilihan titik-titik knot yang optimal pula. Metode yang digunakan dalam penentuan letak  titik  knot  optimal  adalah Generalized  Cross  Validation  (GCV) .  Pada penelitian  ini,  perhitungan  GCV  dilakukan  menggunakan spline orde  2 (linier) yang memiliki satu samapi tiga titik knot.

## 2. Model B-Spline
Model umum untuk estimator spline menggunakan basis B-spline linier adalah sebagai berikut:
𝑦̂ = ∑ 𝑏̂ 𝜆𝑗 𝑁 𝑗−2,2 (𝑥) 2+𝑘 𝑗=1
dengan 𝑏̂ 𝜆𝑗 diperoleh dari 𝑏̂ 𝜆𝑗 = (𝑁 𝜆 𝑇 𝑁 𝜆 ) −1 𝑁 𝜆 𝑇 𝑦. Nilai GCV minimum untuk masing-masing kombinasi knot yang didapat melalui running menggunakan software R, hasilnya disajikan dalam Tabel 1.
Tabel 1. GCV terkecil dari  masing-masing knot pada B-spline orde linier Orde Jumlah Knot Titik Knot GCV Linier 1 11427,05 56641,61 2 11935,10  12438,29 55683,09 3 11890,77  11935,10  12158,30  56345,37
Tabel  1  menunjukkan  pendugaan  model B-spline linier  dengan pendekatan 1 sampai 3 knot, model terbaik diperoleh dari model B-spline 2 titik knot, yaitu pada titik 11935,10 dan 12438,29 dengan nilai GCV sebesar

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
55683,09. Estimasi model B-spline linier pada regresi nonparametrik dengan penduga  parameter running menggunakan software R ,  hasilnya  yaitu 12167,15 ;11721,09 ; 12595,20 dan 15054,97. Dari hasil estimasi, maka model regresi B-spline linier dengan 2 titik knot dapat disajikan dalam persamaan berikut:
𝑦̂ = 12179,65 𝑁 −1,2 (𝑥) +   11488,04 𝑁 0,2 (𝑥) +   14904,76 𝑁 1,2 (𝑥) + 14696,86 𝑁 2,2 (𝑥)
Untuk membangun fungsi B-spline orde linier dengan 2 knot, terlebih dahulu didefinisikan basis fungsi B-spline secara rekursif dimana,
𝑁 𝑖,2 (𝑥) = 𝑥 − 𝜉 𝑖 𝜉 𝑖+1 − 𝜉 𝑖 𝑁 𝑖,1 (𝑥) + 𝜉 𝑖+2 − 𝑥 𝜉 𝑖+2 − 𝜉 𝑖+1 𝑁 𝑖+1,1 (𝑥)
dengan,
𝑁 −1,2 (𝑥) = { 11935,10 − 𝑥 508,06 0 𝑁 0,2 (𝑥) = { 𝑥 − 11427,05 508,005 12438,29 − 𝑥 503,19 0 𝑁 1,2 (𝑥) = { 𝑥 − 11935,10 503,19 15178,87 − 𝑥 2740,58 0 𝑁 2,2 (𝑥) = { 𝑥 − 12438,29 2740,58 0
Setelah mendapatkan nilai estimasi parameter menggunakan model B- spline linier dengan 2 titik knot, langkah berikutnya yang dilakukan adalah prediksi  data.  Informasi  mengenai  kurs  prediksi  apabila  nilainya dibandingkan  dengan  nilai  kurs  aktualnya,  ketika  hasil  prediksi  tersebut dikembalikan terhadap waktu disajikan pada Gambar 3.
; 11427,05 < 𝑥  ≤ 11935,10
; lainnya
; 11427,05 < 𝑥  ≤ 11935,10
; 11935,10 < 𝑥  ≤ 12438,29
; lainnya
; 11935,10 < 𝑥  ≤ 12438,29
; 12438,29 < 𝑥  ≤ 15178,87
; lainnya
; 12438,29 < 𝑥  ≤ 15178,87
; lainnya

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
Gambar 3. Kurs aktual dan prediksi pada B-spline linier
Titik-titik  hitam  pada  Gambar  3  merupakan  nilai  kurs  aktual  { 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 } sedangkan garis merah merupakan nilai kurs eestimasi { 𝑥̂ 𝑖 , 𝑦̂ 𝑖 }, 𝑖 = 1,2, … ,60. Meskipun grafik menunjukkan bahwa nilai prediksi kurs tidak sama persis dengan  nilai  aktual  kurs,  tetapi  pergerakan  kurva  prediksi  memiliki kecenderungan mengikuti pergerakan kurs aktual. Sehingga model regresi B-spline yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengetahui indikasi naik- turunnya nilai kurs yang akan terjadi.

## 3. Uji Kelayakan Model
Untuk  mengetahui  seberapa  jauh  kemampuan  model  dalam menerangkan pengaruh variabelnya, dapat dilihat pada nilai 𝑅 2 dari data. Berdasarkan  hasil  perhitungan,  didapatkan  nilai 𝑅 2 sebesar  1,00  sehingga dapat dikatakan bahwa kinerja model sangat akurat.
Berdasarkan  hasil  tersebut,  maka  dapat  disimpulkan  bahwa  model regresi B-spline yang  dihasilkan  dapat  digunakan  untuk  mengetahui indikasi naik-turunnya nilai kurs yang akan terjadi.

## D. Simpulan
Model B-spline terbaik  pada  data  nilai  tukar  Rupiah  (IDR)  terhadap Dollar Amerika (USD) disajikan dalam persamaan:
𝑦̂ = 12179,65 𝑁 −1,2 (𝑥) +   11488,04 𝑁 0,2 (𝑥) +   14904,76 𝑁 1,2 (𝑥) + 14696,86 𝑁 2,2 (𝑥)
Kemampuan  model  dalam  menerangkan  pengaruh  variabel  di- tunjukkan dengan nilai 𝑅 2 sebesar 1,00 artinya model regresi B-spline yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengetahui indikasi naik-turunnya nilai kurs yang akan terjadi.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646

## E. Daftar Pustaka
Devi, A. R., Mukid, M. A., & Yasin, H. (2014). Analisis Inflasi Kota Semarang Menggunakan  Metode  Regresi  Nonparametrik  B-Spline. Jurnal Gaussian , 3 (2), 193 – 202.
Ekananda,  M.  (2014). Analisis  Data  Time  Series .  Jakarta:  Mitra  Wacana Media.
Ekananda, M. (2015). Ekonometrika Dasar . Jakarta: Mitra Wacana Media. Eubank, R. L. (1999). Nonparametric Regression and Spline Smoothing (2nd ed.). New York: Marcel Dekker Inc.
Hardle, W. (1990). Applied Nonparametric Regression . New York: Cambridge University Press.
Katijaya,  S.  S.,  Suparti,  S.,  &  Sudarno,  S.  (2013).  Regresi  Spline  sebagai Alternatif  dalam  Pemodelan  Kurs  Rupiah  terhadap  Dollar  Amerika Serikat. Jurnal Gaussian , 2 (3), 229 – 238.
Kholid,  N.,  &  Achmadi,  A.  (2008). Metodologi  Penelitian .  Jakarta:  Bumi Aksara.
Makridakis, S., Wheelwright, C., & McGee, V. E. (1998). Forecasting Method and Applications (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons Inc.
Ndangi,  W.  R.  A.,  Resmawan,  R.,  &  Djakaria,  I.  (2019).  Perbandingan Analisis  Diskriminan  dan  Regresi  Logistik  Multinomial. Jambura Journal of Mathematics , 1 (2), 54 – 63.
https://doi.org/10.34312/jjom.v1i2.2100
Ningsih, S., & Dukalang, H. H. (2019). Penerapan Metode Suksesif Interval pada  Analsis  Regresi  Linier  Berganda. Jambura  Journal  of Mathematics , 1 (1), 43 – 53. https://doi.org/10.34312/jjom.v1i1.1742 Suparti,  S.,  Santoso,  R.,  Prahutama,  A.,  &  Devi,  A.  R.  (2018). Regresi Nonparametrik . Ponorogo: Wade Group.
Wahba, G. (1990). Spline models for observational data . Pennsylvania: SIAM.