BEBERAPA SIFAT ( 𝑹𝑹 , 𝑺𝑺 ) -SUBMODUL

## PRIMA- 𝜶𝜶 GABUNGAN
Dian Ariesta Yuwaningsih 1* , Rusmining 2 , Puguh Wahyu Prasetyo 3
1,2,3 Pendidikan Matematika Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta Email: 1* dian.ariesta@pmat.uad.ac.id
Abstract. Let 𝑅𝑅 and 𝑆𝑆 be commutative rings. The primeness of rings has evolved into a module structure. However, the definition of primeness so far only focuses on the scalar multiplication operation in the module. The 𝛼𝛼 -prime submodule is one of the generalizations of  prime submodules which involves additive operations and scalar multiplication operations in the module.  In this article, a generalization of 𝛼𝛼 -prime submodules into the ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -module structure is presented, hereinafter referred to as jointly 𝛼𝛼 -prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodules.  Next, some properties of jointly 𝛼𝛼 -prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodules are presented. Some of these properties include the necessary and sufficient conditions for an ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodule to be jointly 𝛼𝛼 -prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodules; properties of jointly 𝛼𝛼 -prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodules related to homomorphisms ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -module; as well as the necessary and sufficient conditions for a factor ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodules to be jointly 𝛼𝛼 - prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodules. Some of the jointly 𝛼𝛼 -prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodule properties were obtained from the development of primeness properties in the module structure. Keywords: 𝛼𝛼 -prime submodules, ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modules, jointly prime submodules
Abstrak. Misalkan 𝑅𝑅 dan 𝑆𝑆 merupakan ring komutatif. Keprimaan pada suatu ring telah mengalami perkembangan ke dalam struktur modul. Namun, definisi keprimaan yang ada selama ini hanya berfokus pada operasi pergandaan skalar di dalam modul. Submodul prima- 𝛼𝛼 merupakan salah satu perumuman dari submodul prima yang melibatkan operasi aditif dan pergandaan skalar di dalam modul. Pada artikel ini disajikan generalisasi dari submodul prima- 𝛼𝛼 ke dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, yang selanjutnya disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan. Selanjutnya, disajikan beberapa sifat dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan. Beberapa sifat tersebut diantaranya adalah syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan;  sifat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan yang berkaitan dengan homomorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul; serta syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul faktor membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan. Beberapa sifat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan tersebut diperoleh dari pengembangan sifat keprimaan dalam struktur modul. Kata Kunci: submodul prima- 𝛼𝛼 , ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, submodul prima gabungan

## I. PENDAHULUAN
Penelitian terkait keprimaan pada suatu modul pertama kali diperkenalkan oleh [1]. Hasil dalam penelitian  [1]  selanjutnya menjadi dasar bagi  penelitian-penelitian lanjutan tentang keprimaan pada suatu modul hingga saat ini. Beberapa hasil pengembangan dari definisi submodul prima diantaranya adalah submodul semiprima [1], submodul endoprima [2], [3], submodul koprima [4], [5], dan submodul prima lemah [6]–[8]. Namun, beberapa perumuman
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dari submodul prima tersebut hanya berfokus pada operasi pergandaan skalar di dalam modul. Padahal modul juga memiliki operasi penjumlahan yang dibawa dari struktur grupnya. Submodul prima- 𝛼𝛼 merupakan salah satu generalisasi dari submodul prima yang melibatkan semua operasi dari struktur modulnya, tidak hanya operasi perkalian skalarnya saja. Konsep terkait submodul prima- 𝛼𝛼 ini diperkenalkan oleh [9]. Apabila diberikan submodul 𝐻𝐻 di dalam suatu modul 𝑀𝑀 , maka didefinisikan himpunan 𝛼𝛼 ( 𝐻𝐻 ) = { ℎ ∈ 𝑀𝑀 ∣ ℎ + ℎ ∈ 𝐻𝐻 } . Selanjutnya, suatu submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut submodul prima- 𝛼𝛼 jika untuk setiap elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan elemen 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) ∈ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑚𝑚 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Lebih lanjut,  [9]  juga menyajikan beberapa sifat terkait submodul prima- 𝛼𝛼 hingga himpunan perkalian multiplikatifnya.
Berdasarkan [10] dan [11], suatu modul telah mengalami proses perumuman menjadi suatu bimodul. Dan bimodul sendiri telah diperumum menjadi struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Konsep terkait ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul ini pertama kali diperkenalkan oleh [12]. Dalam papernya, [12] juga telah mengenalkan pendefinisian beberapa keprimaan di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, yaitu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima penuh dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan disertai dengan beberapa sifat-sifatnya.
Penelitian terkait submodul prima- 𝛼𝛼 yang disajikan dalam paper [9] merupakan suatu hal yang baru. Konsep terkait submodul prima- 𝛼𝛼 ini belum dikembangkan  ke dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Selama ini peneliti berusaha mengembangkan konsep keprimaan di dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dengan cara mengamati perkembangan di seputar topik ini. Oleh karena itu, pada penelitian kali ini peneliti telah mengembangkan konsep terkait submodul prima- 𝛼𝛼 pada suatu modul ke dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Telah dikonstruksikan pendefinisian ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan dan telah diselidiki beberapa sifat dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan  dengan mengembangkan sifat-sifat submodul prima- 𝛼𝛼 dalam  [9]  dan mengembangkan sifat-sifat submodul prima lainnya dalam [1] dengan tetap memperhatikan konsep struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dalam [12].
II. ( 𝑹𝑹 , 𝑺𝑺 ) -SUBMODUL PRIMA- 𝜶𝜶 GABUNGAN
Dalam keseluruhan tulisan  ini, ring 𝑅𝑅 dan ring 𝑆𝑆 masing-masing merupakan ring komutatif  tanpa elemen satuan, kecuali apabila dinyatakan selain itu. Merujuk pada [12], berikut disajikan suatu sifat dasar di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.
Proposisi  1 [12] Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , himpunan tak kosong 𝑋𝑋 ⊆ 𝑅𝑅 , dan himpunan tak kosong 𝑌𝑌 ⊆ 𝑆𝑆 . Jika 𝑀𝑀 memenuhi sifat 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 , maka:
a). Jika ( 𝑅𝑅𝑋𝑋 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 maka 𝑋𝑋𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 .
𝑋𝑋𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ ( 𝑋𝑋𝑅𝑅 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆
b). Jika 𝑅𝑅𝑀𝑀 ( 𝑌𝑌𝑆𝑆 ) ⊆ 𝑁𝑁 maka 𝑅𝑅𝑀𝑀𝑌𝑌 ⊆ 𝑁𝑁 . 𝑅𝑅𝑀𝑀𝑌𝑌 ⊆ 𝑅𝑅𝑀𝑀 ( 𝑆𝑆𝑌𝑌 )
c). 𝑊𝑊 ⊆ 𝑅𝑅𝑊𝑊𝑆𝑆 untuk setiap himpunan tak kosong 𝑊𝑊 di 𝑀𝑀 . Lebih lanjut, jika 𝑊𝑊 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 maka 𝑊𝑊 = 𝑅𝑅𝑊𝑊𝑆𝑆 .
Berdasarkan pada [12], di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul juga dikenal adanya himpunan annihilator. Untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 didefinisikan himpunan
( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) = { 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ∣ 𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 }.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Karena 𝑅𝑅 dan 𝑆𝑆 dalam  [12]  merupakan ring sebarang, maka diperoleh bahwa himpunan ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ini hanya merupakan subgrup aditif dari ring 𝑅𝑅 . Namun, jika ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 memenuhi sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , maka himpunan ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ini membentuk suatu ideal di 𝑅𝑅 . Merujuk pada [12] apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan apabila untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 , 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 , dan 𝑏𝑏 ∈ 𝑆𝑆 dengan ( 𝑎𝑎𝑅𝑅 ) 𝑚𝑚 ( 𝑆𝑆𝑏𝑏 ) ∈ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑏𝑏 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 . Selanjutnya, berikut diberikan definisi dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan yang melibatkan himpunan annihilator.
Definisi 1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan jika untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑆𝑆 ∈ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 .
Sebelum mendefinisikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan, berikut disajikan definisi dari himpunan 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 beserta sifatnya merujuk pada [9].
Definisi 2 [9] Diberikan grup ( 𝐺𝐺 , +) dan himpunan bagian 𝐻𝐻 di 𝐺𝐺 . Didefinisikan:
a). 𝛼𝛼 ( 𝐻𝐻 ) = { ℎ ∈ 𝐺𝐺 ∣ ℎ + ℎ ∈ 𝐻𝐻 }
b). 𝛽𝛽 ( 𝐻𝐻 ) = { ℎ + ℎ ∣ ℎ ∈ 𝐻𝐻 } Merujuk [9] , jika diketahui 𝑁𝑁 merupakan ideal di 𝑅𝑅 , maka himpunan 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) dan himpunan 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) masing-masing juga merupakan ideal di 𝑅𝑅 . Sifat ini juga dapat dikembangkan untuk kasus 𝑁𝑁 yang merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , seperti yang disajikan pada proposisi berikut ini.
Proposisi 2 Jika 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) dan 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) masing-masing juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 .
Bukti:
a). Akan dibuktikan bahwa 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 . a. Karena 0 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) , maka jelas bahwa 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) ≠ ∅ .
b. Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) , maka 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑀𝑀 dan memenuhi 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁 serta 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 ∈ 𝑁𝑁 . Akibatnya, diperoleh
( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) + ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) = ( 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ) − ( 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 ) ∈ 𝑁𝑁 . Jadi, diperoleh 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) .
c. Diambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) , 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 , dan 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 , maka 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 dan memenuhi 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁 . Akibatnya, karena 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 maka diperoleh 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑠𝑠 + 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ) 𝑠𝑠 ∈ 𝑁𝑁
Jadi, diperoleh bahwa 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑠𝑠 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) .
Dengan demikian, terbukti bahwa 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 .
b). Akan dibuktikan bahwa 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 .
a. Karena 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 maka 0 ∈ 𝑁𝑁 dan 0 + 0 ∈ 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) . Dengan demikian diperoleh bahwa 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ≠ ∅ .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
b. Diambil sebarang 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 ∈ 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) , maka 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑁𝑁 . Akibatnya, karena 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 maka diperoleh 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ∈ 𝑁𝑁 dan memenuhi:
( 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ) − ( 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 ) = ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) + ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) ∈ 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ).
c. Diambil sebarang 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ∈ 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) , 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 , dan 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 , maka 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁 . Akibatnya, karena 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 maka diperoleh 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑠𝑠 ∈ 𝑁𝑁 dan memenuhi:
𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ) 𝑠𝑠 = 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑠𝑠 + 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑠𝑠 ∈ 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ).
Dengan demikian, terbukti bahwa 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 . □
Dengan membawa definisi submodul prima- 𝛼𝛼 [9]  ke dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, berikut disajikan definisi dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Definisi 3 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan jika untuk setiap 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 .
Berikut diberikan suatu sifat yang merupakan definisi lain dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Proposisi 3 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan jika dan hanya jika untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Bukti : ( ⇒ ). Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊈ 𝑃𝑃 . Diambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼 dan 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 maka diperoleh 𝑥𝑥 ( 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∉ 𝑃𝑃 . Karena diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Dengan kata lain, terbukti bahwa 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . ( ⇐ ). Diambil sebarang 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 . Diperhatikan bahwa 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑅𝑅 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ⊆ 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 , sehingga 𝑅𝑅𝑟𝑟 ( 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 2 = 𝑅𝑅𝑟𝑟 ( 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari sini, maka diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑟 + 𝑅𝑅𝑟𝑟 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari 𝑅𝑅𝑟𝑟 + 𝑅𝑅𝑟𝑟 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , maka diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 .  Karena untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka diperoleh 𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , sehingga diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya, untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka dari 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 diperoleh 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 .Jadi, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . □ Contoh 1 Diberikan ℤ sebagai ( 2ℤ , 3ℤ ) -modul. Dapat ditunjukkan bahwa 6ℤ merupakan ( 2ℤ , 3ℤ ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di ℤ . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 = (2 𝑘𝑘 ) ℤ di 2ℤ dan ( 2ℤ , 3ℤ ) -submodul 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚ℤ di ℤ , untuk suatu 𝑘𝑘 , 𝑚𝑚 ∈ ℕ . Apabila diketahui 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 = (2 𝑘𝑘 ) ℤ ( 𝑚𝑚ℤ + 𝑚𝑚ℤ ) 3ℤ = (2 𝑘𝑘 ) ℤ (2 𝑚𝑚ℤ ) 3ℤ = (12 𝑘𝑘𝑚𝑚 ) ℤ ⊆ 6ℤ dan 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚ℤ + 𝑚𝑚ℤ = 2 𝑚𝑚ℤ ⊈ 6ℤ , maka untuk berapapun nilai 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 = � (2 𝑘𝑘 ) ℤ + (2 𝑘𝑘 ) ℤ�ℤ ( 3ℤ ) = (4 𝑘𝑘 ) ℤℤ ( 3ℤ ) = 12 𝑘𝑘ℤ ⊆ 6ℤ . Dengan demikian, terbukti bahwa 6ℤ merupakan ( 2ℤ , 3ℤ ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di ℤ .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Seperti yang telah diketahui, pada teori modul diketahui bahwa suatu modul merupakan modul prima apabila submodul nolnya merupakan submodul prima. Berdasakan definisi modul prima, berikut diberikan definisi ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Definisi 4 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan apabila {0} merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 .
Merujuk pada [1] diketahui bahwa syarat perlu dan syarat cukup suatu modul faktor 𝑀𝑀 𝑋𝑋 � mmbentuk modul prima adalah apabila 𝑋𝑋 merupakan submodul prima. Berdasarkan sifat tersebut, berikut diberikan syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul faktor membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Proposisi 4 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan jika dan hanya jika 𝑀𝑀 / 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Bukti: ( ⇒ ). Diketahui 𝑋𝑋 merupakan merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Jelas bahwa 𝑀𝑀 / 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
( ⇐ ). Diketahui 𝑀𝑀 / 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan, berarti 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . □
Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan  seperti yang dijelaskan dalam proposisi berikut ini.
Proposisi 5 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan di 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Bukti: Misal, diambil sebarang ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . Akan ditunjukkan bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan maka 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 . Selanjutnya karena 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , maka ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) merupakan ideal di 𝑅𝑅 , sehingga 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . □
Contoh 2 Diberikan ring 𝑅𝑅 = ��𝑎𝑎 𝑏𝑏 0 0 �� 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ 2ℤ� dan ring 𝑆𝑆 = ��𝑎𝑎 0 𝑏𝑏 0 �� 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ 2ℤ� . Berdasarkan  [12]  diketahui bahwa 𝑀𝑀 = ��𝑎𝑎 0 𝑏𝑏 𝑐𝑐�� 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 ∈ 2ℤ� merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Dapat ditunjukkan bahwa ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 dengan 𝑋𝑋 = ��𝑥𝑥 0 0 𝑦𝑦�� 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 2ℤ� merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan di 𝑀𝑀 . Berdasarkan Proposisi 5, maka diperoleh bahwa 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 .

## III. BEBERAPA SIFAT ( 𝑹𝑹 , 𝑺𝑺 ) -SUBMODUL PRIMA- 𝜶𝜶 GABUNGAN
Sifat pertama dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan disajikan pada Proposisi 1 berikut ini. Sifat ini menyajikan beberapa syarat perlu dan syarat cukup agar suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Proposisi 1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . Pernyataan-pernyataan di bawah ini adalah ekuivalen.
(a). 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 .
(b). Untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑁𝑁 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) .
(c). Untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝑎𝑎𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑁𝑁 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) .
(d). Untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑚𝑚 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) .
(e). Untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑎𝑎𝑅𝑅 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑚𝑚 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) .
(f). Untuk setiap 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 jika 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 maka 𝛼𝛼� ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) � = 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) .
Bukti: ( 𝑎𝑎 ) ⇒ ( 𝑏𝑏 ). Diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑁𝑁 ⊈ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Akan dibuktikan bahwa 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Diambil sebarang elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝐼𝐼 dan 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 dengan 𝑛𝑛 ∉ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Diperoleh 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∉ 𝑃𝑃 dan 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∈ 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) . Karena diketahui 𝐼𝐼𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka diperoleh 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 dan 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∉ 𝑃𝑃 maka diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Jadi, diperoleh 𝑟𝑟 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Karena pengambilan elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝐼𝐼 sebarang, maka terbukti bahwa 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . ( 𝑏𝑏 ) ⇒ ( 𝑐𝑐 ). Diambil sebarang elemen 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝑎𝑎𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 maka diperoleh 𝑅𝑅𝑎𝑎𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑎𝑎𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑅𝑅 ( 𝑎𝑎𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 . Karena 𝑅𝑅 merupakan ring komutatif, maka jelas bahwa 𝑅𝑅𝑎𝑎 merupakan ideal di 𝑅𝑅 . Berdasarkan ( 𝑏𝑏 ) diperoleh 𝑅𝑅𝑎𝑎 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑁𝑁 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Diperhatikan bahwa karena 𝑅𝑅𝑎𝑎 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) maka diperoleh 𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑎𝑎 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sehingga 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau dituliskan 𝑅𝑅𝑎𝑎 ( 𝑀𝑀 + 𝑀𝑀 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Selanjutnya, karena untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 maka diperoleh 𝑎𝑎 ( 𝑀𝑀 + 𝑀𝑀 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau dituliskan 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari sini diperoleh 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) , sehingga 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑁𝑁 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . ( 𝑐𝑐 ) ⇒ ( 𝑑𝑑 ). Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan elemen 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑚𝑚 ∉ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Akan dibuktikan bahwa 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Diambil sebarang elemen 𝑎𝑎 ∈ 𝐼𝐼 . Selanjutnya, dibentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul siklik 〈𝑚𝑚〉 . Jelas bahwa elemen 𝑚𝑚 ∈ 〈𝑚𝑚〉 . Oleh karena 𝑚𝑚 ∉ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) maka 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝛽𝛽 ( 〈𝑚𝑚〉 ) . Karena 𝐼𝐼 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka diperoleh 𝑎𝑎𝛽𝛽 ( 〈𝑚𝑚〉 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , sehingga 𝑎𝑎𝛽𝛽 ( 〈𝑚𝑚〉 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Berdasarkan ( 𝑐𝑐 ) dan karena 𝑚𝑚 ∉ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) maka diperoleh 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . ( 𝑑𝑑 ) ⇒ ( 𝑒𝑒 ). Diambil  sebarang elemen 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑎𝑎𝑅𝑅 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Oleh karena 𝑅𝑅 merupakan ring komutatif, maka 𝑎𝑎𝑅𝑅 jelas merupakan ideal di 𝑅𝑅 . Akibatnya, dari ( 𝑑𝑑 ) diperoleh 𝑎𝑎𝑅𝑅 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑚𝑚 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Selanjutnya, dari 𝑎𝑎𝑅𝑅 ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) maka diperoleh 𝑎𝑎𝑅𝑅 + 𝑎𝑎𝑅𝑅 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau dapat dituliskan 𝑎𝑎𝑅𝑅𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑎𝑎𝑅𝑅𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑅𝑅 komutatif, maka dapat dituliskan 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Oleh karena untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka dari persamaan 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 diperoleh 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari sini
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
diperoleh 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sehingga 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Jadi, terbukti bahwa 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) atau 𝑚𝑚 ∈ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . ( 𝑒𝑒 ) ⇒ ( 𝑓𝑓 ). Diambil sebarang 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 , berarti 𝑚𝑚 ∉ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) maka 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Akibatnya, diperoleh 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau dapat dituliskan ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) 𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka diperoleh 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) . Jadi, 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 )) sehingga terbukti 𝛼𝛼� ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) � ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 )) . Selanjutnya, diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 )) maka diperoleh 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) . Akibatnya, diperoleh ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) 𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau dapat dituliskan 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , sehingga 𝑎𝑎 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Diperhatikan bahwa karena diketahui 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , maka diperoleh 𝑎𝑎𝑅𝑅 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎𝑅𝑅 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 ( 𝑅𝑅 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 . Dengan demikian, berdasarkan ( 𝑒𝑒 ) , karena 𝑚𝑚 ∉ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) maka diperoleh 𝑎𝑎 ∈ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Jadi, terbukti bahwa 𝛼𝛼� ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) � ⊆ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝛼𝛼� ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) � = 𝛼𝛼� ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) � . ( 𝑓𝑓 ) ⇒ ( 𝑎𝑎 ). Diambil sebarang elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 . Andaikan 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∉ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) , maka 𝑟𝑟 ∉ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )) . Oleh karena berdasarkan ( 𝑓𝑓 ) diketahui 𝛼𝛼� ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) � = 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 )) , maka 𝑟𝑟 ∉ 𝛼𝛼 (( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 )) . Akibatnya, diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∉ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) . Dengan kata lain, 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊈ 𝑃𝑃 atau dituliskan 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊈ 𝑃𝑃 . Kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi, diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . □ Sebelum membahas sifat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan selanjutnya, berikut diberikan suatu lemma yang akan digunakan dalam pembuktian sifat berikutnya.
Lemma 1 Diberikan 𝜓𝜓 : 𝑀𝑀 1 → 𝑀𝑀 2 merupakan homomorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 1 ( 𝑀𝑀 2 ) memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 1 , dan 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 2 . (a). Jika 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dan 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 1 ) , maka 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ), 𝑀𝑀 2 ) .
(b). Jika 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝐾𝐾 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 2 ) maka 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ): 𝑅𝑅 𝑀𝑀 1 ) .
Bukti: (a) Diketahui bahwa 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dan 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 1 ) , maka ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀 1 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Diambil sebarang 𝑚𝑚 2 ∈ 𝑀𝑀 2 . Karena 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma, maka terapat 𝑚𝑚 1 ∈ 𝑀𝑀 1 sedemikian sehingga memenuhi 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 1 ) = 𝑚𝑚 2 . Akibatnya, diperoleh ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑚𝑚 1 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari sini diperoleh ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑚𝑚 2 𝑆𝑆 = ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 1 ) 𝑆𝑆 = 𝜓𝜓� ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑚𝑚 1 𝑆𝑆� ⊆ 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) . Karena pengambilan elemen 𝑚𝑚 2 ∈ 𝑀𝑀 2 sebarang, maka diperoleh ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀 2 𝑆𝑆 ⊆ 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ): 𝑅𝑅 𝑀𝑀 2 ) .  (b)  Diketahui bahwa 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝐾𝐾 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 2 ) , maka ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀 2 𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 . Diambil sebarang 𝑚𝑚 1 ∈ 𝑀𝑀 1 . Karena diketahui 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma, maka diperoleh 𝜓𝜓� ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑚𝑚 1 𝑆𝑆� = ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 1 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 . Dari sini diperoleh ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑚𝑚 1 𝑆𝑆 ⊆ 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ) . Karena pangambilan elemen 𝑚𝑚 1 ∈ 𝑀𝑀 1 sebarang, maka diperoleh ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟
) 𝑀𝑀 1 𝑆𝑆 ⊆ 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ): 𝑅𝑅 𝑀𝑀 1 ) . □
Berikut disajikan sifat selanjutnya dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan yang berkaitan dengan homomorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Proposisi  2 Diberikan 𝜓𝜓 : 𝑀𝑀 1 → 𝑀𝑀 2 merupakan homomorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 1 ( 𝑀𝑀 2 ) memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
(a). Jika 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dan 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 1 yang memuat 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑟𝑟 ( 𝜓𝜓 ) , maka 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 2 . (b). Jika 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 2 , maka 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 1 .
Bukti: (a) Diketahui bahwa 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dan 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 1 yang memuat 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑟𝑟 ( 𝜓𝜓 ) . Akan dibuktikan bahwa 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 2 . Diambil sebarang elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 2 sedemikian sehingga memenuhi 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) . Oleh karena 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma maka terdapat 𝑛𝑛 ∈ 𝑀𝑀 1 dan 𝑝𝑝 ∈ 𝑃𝑃 sehingga memenuhi 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 = 𝜓𝜓 ( 𝑝𝑝 ) dan 𝜓𝜓 ( 𝑛𝑛 ) = 𝑚𝑚 . Akibatnya, diperoleh:
𝜓𝜓 ( 𝑝𝑝 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 = 𝑟𝑟�𝜓𝜓 ( 𝑛𝑛 ) + 𝜓𝜓 ( 𝑛𝑛 ) �𝑆𝑆 = 𝑟𝑟�𝜓𝜓 ( 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ) �𝑆𝑆 = 𝜓𝜓 ( 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ) 𝑆𝑆 )
Dari sini diperoleh 𝜓𝜓 ( 𝑝𝑝 − 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ) 𝑆𝑆 ) = 0 , sehingga diperoleh 𝑝𝑝 − 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ) 𝑆𝑆 ∈ 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑟𝑟 ( 𝜓𝜓 ) . Oleh karena 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑟𝑟 ( 𝜓𝜓 ) ⊆ 𝑃𝑃 , maka 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan maka diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 1 ) atau 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∈ 𝑃𝑃 . Karena 𝜓𝜓 epimorfisma, maka berdasarkan Lemma 1a) diperoleh bahwa 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ): 𝑅𝑅 𝑀𝑀 2 ) atau 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 2 .  (b) Diketahui 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 2 . Akan dibuktikan bahwa 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 1 . Diambil sebarang 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 sedemikian sehingga memenuhi 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ) . Dari sini berarti diperoleh 𝜓𝜓 ( 𝑟𝑟 ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ) 𝑆𝑆 ) ⊆ 𝐾𝐾 , sehingga 𝑟𝑟�𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 ) + 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 ) �𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 . Oleh karena 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 2 , maka diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝐾𝐾 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 2 ) atau 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 ) + 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 ) ∈ 𝐾𝐾 . Oleh karena 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma, maka berdasarkan Lemma 1b) diperoleh bahwa 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ): 𝑅𝑅 𝑀𝑀 1 ) atau 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 1 . □
Sebelum ke pembahasan sifat selanjutnya, diperhatikan kembali bahwa menurut [13], suatu homomorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝜓𝜓 : 𝑀𝑀 → 𝑀𝑀 𝐾𝐾 � dengan definisi 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 + 𝐾𝐾 , untuk setiap 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 merupakan suatu epimorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dengan 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑟𝑟 ( 𝜓𝜓 ) = 𝐾𝐾 . Selanjutnya, sifat berikut ini menjelaskan syarat perlu suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul faktor membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan dengan melibatkan sifat homomorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Akibat 1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 . (a). Jika 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 dan 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul di 𝑀𝑀 yang termuat di 𝑃𝑃 , maka 𝑃𝑃 𝐾𝐾 � merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 𝐾𝐾 � .
(b). Jika 𝐾𝐾′ merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 𝑁𝑁 � , maka 𝐾𝐾 ′ = 𝐾𝐾 𝑁𝑁 � untuk suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan 𝐾𝐾 di 𝑀𝑀 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Bukti: (a) Diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 dan 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 yang termuat di 𝑃𝑃 . Dibentuk homomorfisma natural ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝜓𝜓 : 𝑀𝑀 → 𝑀𝑀 𝐾𝐾 � dengan definisi 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 + 𝐾𝐾 , untuk setiap 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 . Merujuk [13], diketahui bahwa 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dengan 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑟𝑟 ( 𝜓𝜓 ) = 𝐾𝐾 . Berdasarkan Proposisi 2a), maka diperoleh bahwa 𝜓𝜓 ( 𝑃𝑃 ) = 𝑃𝑃 𝐾𝐾 � merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 𝐾𝐾 � .  (b)  Diketahui 𝐾𝐾′ merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 𝑁𝑁 � . Dibentuk homomorfisma natural ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝜓𝜓 : 𝑀𝑀 → 𝑀𝑀 𝑁𝑁 � dengan definisi 𝜓𝜓 ( 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 + 𝑁𝑁 , untuk setiap 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 . Berdasarkan Proposisi 2b), maka diperoleh bahwa 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ′ ) merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Selanjutnya, berdasarkan  [13]  diketahui bahwa 𝜓𝜓 merupakan epimorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Akibatnya, 𝜓𝜓 −1 ( 𝐾𝐾 ′ ) = 𝐾𝐾 dan untuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾′ di 𝑀𝑀 𝑁𝑁 � terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 di 𝑀𝑀 sedemikian sehingga memenuhi 𝐾𝐾 ′ = 𝐾𝐾 𝑁𝑁 � . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝐾𝐾 ′ = 𝐾𝐾 𝑁𝑁 � untuk suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan 𝐾𝐾 di 𝑀𝑀 . □
Pada teori modul, suatu submodul sejati 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 disebut submodul maksimal apabila tidak terdapat subodul sejati lain di 𝑀𝑀 yang memuat 𝑋𝑋 . Berdasarkan definisi tersebut, berikut disajikan definisi ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul maksimal.
Definisi 1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul maksimal di 𝑀𝑀 apabila tidak terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati lain di 𝑀𝑀 yang memuat 𝑁𝑁 .
Seperti halnya pada modul, ternyata setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul maksimal juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Proposisi 3 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul maksimal di 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Bukti: Diambil 𝐾𝐾 yaitu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul maksimal di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 tetapi 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊈ 𝐾𝐾 . Karena 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊈ 𝐾𝐾 , maka diperoleh 𝑁𝑁 ⊈ 𝐾𝐾 . Karena 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul maksimal di 𝑀𝑀 maka 𝑀𝑀 = 𝐾𝐾 + 𝑁𝑁 . Dari sini diperoleh ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 = ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 )( 𝐾𝐾 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 = ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝐾𝐾𝑆𝑆 + ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 . Dengan demikian, diperoleh 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝐾𝐾 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Jadi, terbukti bahwa 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . □
Berikut diberikan sifat selanjutnya yang menjelaskan bahwa irisan dari suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul dengan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submoduk prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Proposisi 4 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 . Jika 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 , maka 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑁𝑁 .
Bukti: Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐿𝐿 di 𝑁𝑁 dengan 𝐼𝐼𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 . Dari sini diperoleh bahwa 𝐼𝐼𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑁𝑁 , maka 𝐾𝐾 juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 . Akibatnya, karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 , maka dari 𝐼𝐼𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 diperoleh 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼� ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) � atau 𝐿𝐿 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑃𝑃 ) . Dari sini diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Dengan kata lain, 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 dan 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 .  Akibatnya, diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 , sehingga 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼� ( 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑁𝑁 ) � . Selanjutnya, karena 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑁𝑁 , maka diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑁𝑁 . Akibatnya, diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 , sehingga 𝐿𝐿 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 ) . Dengan demikian, dari 𝐼𝐼𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 berakibat 𝐼𝐼 ⊆ 𝛼𝛼� ( 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑁𝑁 ) � atau 𝐿𝐿 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 ) . Jadi terbukti bahwa 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑁𝑁 . □
Berikut diberikan syarat cukup himpunan ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) membentuk ideal prima di 𝑅𝑅 untuk suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . Proposisi 5 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . Jika 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 maka ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) merupakan ideal prima di 𝑅𝑅 . Bukti: Diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 dan 𝐽𝐽 di 𝑅𝑅 dengan 𝐼𝐼𝐽𝐽 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) tetapi 𝐼𝐼 ⊈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Dari 𝐼𝐼𝐽𝐽 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) diperoleh 𝐼𝐼𝐽𝐽𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , maka diperoleh 𝐼𝐼 ( 𝐽𝐽𝑀𝑀𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , sehingga diperoleh 𝐼𝐼 ( 𝐽𝐽𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝐽𝐽𝑀𝑀𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 maka diperoleh 𝐽𝐽𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝐽𝐽𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, diperoleh 𝐽𝐽𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , sehingga terbukti 𝐽𝐽 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) merupakan ideal prima di 𝑅𝑅 . □ Dengan menggunakan Proposisi 5, berikut disajikan syarat cukup himpunan (0: 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) membentuk ideal prima di 𝑅𝑅 . Proposisi 6 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan maka (0: 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) merupakan ideal prima di 𝑅𝑅 .
Sebelum ke pembahasan sifat selanjutnya, berikut diberikan definisi dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan minimal.
Definisi 2 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan minimal apabila 𝑋𝑋 minimal di dalam himpunan semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 , yaitu tidak terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan lain di 𝑀𝑀 yang termuat di dalam 𝑋𝑋 .
Berikut diberikan suatu sifat yang menjelaskan syarat perlu suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Proposisi 7 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 , maka 𝑃𝑃 memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan minimal di 𝑀𝑀 .
Bukti: Misalkan dibentuk himpunan ℑ yaitu himpunan semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 yang termuat di dalam 𝑃𝑃 . Jelas bahwa ℑ ≠ ∅ karena 𝑃𝑃 ∈ ℑ . Dengan menggunakan Lemma Zorn alan dibuktikan bahwa ℑ memiliki elemen minimal. Ekuivalen dengan menunjukkan bahwa setiap rantai tak kosong di ℑ memiliki batas bawah di ℑ . Diambil sebarang rantai tak kosong ℋ ⊆ ℑ . Dibentuk himpunan 𝑄𝑄 = ⋂ 𝐾𝐾 𝐾𝐾∈ℋ , maka jelas bahwa 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 dan 𝑄𝑄 ⊆ 𝑃𝑃 . Akan dibuktikan bahwa 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Diambil ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑄𝑄 tetapi 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊈ 𝑄𝑄 . Akan dibuktikan bahwa 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑄𝑄 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Karena 𝑁𝑁 +
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑁𝑁 ⊈ 𝑄𝑄 , maka 𝑁𝑁 ⊈ 𝑄𝑄 . Diambil sebarang 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 ∖ 𝑄𝑄 , maka terdapat 𝐾𝐾 ′ ∈ ℋ sedemikian sehingga 𝑛𝑛 ∉ 𝐾𝐾′ . Karena 𝐾𝐾′ merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 , maka dari 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑄𝑄 ⊆ 𝐾𝐾′ bearkibat ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾′ , atau ditulis 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝐾𝐾 ′ : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya diambil 𝐿𝐿 ∈ ℋ . Karena ℋ merupakan rantai di ℑ , maka berlaku 𝐾𝐾 ′ ⊆ 𝐿𝐿 atau 𝐿𝐿 ⊆ 𝐾𝐾′ . Jika 𝐾𝐾 ′ ⊆ 𝐿𝐿 , maka ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 ′ ⊆ 𝐿𝐿 , Jika 𝐿𝐿 ⊆ 𝐾𝐾′ maka 𝑛𝑛 ∉ 𝐿𝐿 . Karena 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 , maka dari 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑄𝑄 ⊆ 𝐿𝐿 berakibat ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝐿𝐿 atau ditulis 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝐿𝐿 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Jadi, diperoleh ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝐿𝐿 untuk setiap 𝐿𝐿 ∈ ℋ . Akibatnya, diperoleh ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑄𝑄 atau dengan kata lain 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑄𝑄 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . Karena 𝑄𝑄 ⊆ 𝑃𝑃 , maka 𝑄𝑄 ∈ ℑ dan 𝑄𝑄 merupakan batas bawah untuk ℋ . Jadi terbukti bahwa setiap rantai tak kosong di ℑ memiliki batas bawah di ℑ . Oleh karena itu, berdasarkan Lemma Zorn maka terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan 𝑃𝑃 ∗ ∈ ℑ yang minimal diantara semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di ℑ . Dengan demikian, terbukti bahwa ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan 𝑃𝑃 memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan minimal 𝑃𝑃 ∗ di 𝑀𝑀 . □
Sebelum ke pembahasan sifat selanjutnya, berikut diberikan suatu proposisi tentang himpunan annihilator dari suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul faktor.
Proposisi 8 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . Jika 𝐾𝐾 / 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 / 𝑃𝑃 , maka berlaku ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) . Bukti: Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) , maka 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝐾𝐾 / 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul di 𝑀𝑀 / 𝑃𝑃 , maka 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 . Akibatnya, diperoleh 𝑎𝑎𝐾𝐾𝑆𝑆 ⊆ 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) . Jadi, terbukti bahwa ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) . □
Berikut diberikan suatu sifat yang merupakan syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul sejati 𝑋𝑋 membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Proposisi 9 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 jika dan hanya jika untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol 𝐾𝐾 / 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 / 𝑋𝑋 memenuhi sifat ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) = ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) .
Bukti: ( ⇒ ). Diambil sebarang ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol 𝐾𝐾 / 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 / 𝑋𝑋 , maka jelas bahwa ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ⊆ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) . Selanjutnya, diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) , maka diperoleh 𝑎𝑎𝐾𝐾𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 . Karena 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 , maka diperoleh ( 𝑎𝑎𝑅𝑅 ) 𝐾𝐾𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 ( 𝑅𝑅𝐾𝐾𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎𝐾𝐾𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 . Dari sini diperoleh ( 𝑎𝑎𝑅𝑅 )( 𝐾𝐾 + 𝐾𝐾 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 . Karena 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 maka diperoleh 𝐾𝐾 + 𝐾𝐾 ⊆ 𝑋𝑋 atau 𝑎𝑎𝑅𝑅 + 𝑎𝑎𝑅𝑅 ⊆ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Karena 𝐾𝐾 / 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol, maka 𝐾𝐾 ≠ 𝑋𝑋 , sehingga hanya diperoleh 𝑎𝑎𝑅𝑅 + 𝑎𝑎𝑅𝑅 ⊆ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Akibatnya, diperoleh 𝑎𝑎𝑅𝑅𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑎𝑎𝑅𝑅𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 . Karena sifat 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 . Dengan demikian, diperoleh bahwa 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sehingga 𝑎𝑎 ∈ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Jadi diperoh ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) ⊆ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sehingga terbukti bahwa ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) = ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . ( ⇐ ). Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 tetapi 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊈ 𝑋𝑋 . Karena 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊈ 𝑋𝑋 maka diperoleh 𝑁𝑁 ⊈ 𝑋𝑋 , sehingga ( 𝑁𝑁 + 𝑋𝑋 )/ 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol di 𝑀𝑀 / 𝑋𝑋 . Menurut hipotesis, maka diperoleh ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑁𝑁 + 𝑋𝑋 ) = ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya, dari 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 diperoleh 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑋𝑋 . Dengan demikian, diperoleh 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑁𝑁 + 𝑋𝑋 ) . Karena ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑁𝑁 + 𝑋𝑋 ) = ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) maka diperoleh 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sehingga

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
diperoleh 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑋𝑋 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Jadi terbukti bahwa 𝑋𝑋 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . □
Dengan menggunakan Proposisi 9, berikut disajikan syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan.
Proposisi  10 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Modul 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul prima- 𝛼𝛼 gabungan jika dan hanya jika untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol 𝐾𝐾 di 𝑀𝑀 memenuhi (0: 𝑅𝑅 𝐾𝐾 ) = (0: 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) .
Berikut disajikan suatu sifat yang merupakan syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul faktor membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan. Sifat ini merupakan sifat terakhir dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan yang disajikan dalam artikel ini.
Proposisi 11 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑃𝑃 dan 𝐴𝐴 di 𝑀𝑀 dengan 𝐴𝐴 ⊂ 𝑃𝑃 . Submodul 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 jika dan hanya jika 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 . Bukti: ( ⇒ ). Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 di 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 + 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 . Dari sini diperoleh ( 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 )/ 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 , sehingga 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Akibatnya, diperoleh 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 maka diperoleh 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Dari sini diperoleh 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sehingga diperoleh 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 atau ( 𝐼𝐼𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝐴𝐴 )/ 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 . Karena ( 𝐼𝐼𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝐴𝐴 )/ 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 ( 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 , maka diperoleh ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 )( 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 atau dengan kata lain 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 ) . Karena 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 maka diperoleh 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 + 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 . Dengan demikian diperoleh 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 + 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 atau 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 ) . Jadi, terbukti bahwa 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 . ( ⇐ ). Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari sini diperoleh ( 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 + 𝐴𝐴 ) ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 , sehingga 𝐼𝐼� ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 + 𝐴𝐴 )/ 𝐴𝐴�𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 . Karena 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 maka diperoleh ( 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 + 𝐴𝐴 )/ 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 atau 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 ) . Dengan kata lain, diperoleh 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 + 𝑁𝑁 / 𝐴𝐴 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 atau ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 )( 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 . Hal ini ekuivalen dengan 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , sehingga diperoleh 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Jadi, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan di 𝑀𝑀 . □

## IV. KESIMPULAN
Seiring perkembangan suatu ring menjadi modul serta perkembangan modul menjadi ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, definisi keprimaan di dalamnya juga mengalami perkembangan. Para peneliti telah mendefinisikan beberapa pendefinisian keprimaan di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, diantaranya adalah ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima penuh. Adapun sifat-sifat terkait berbagai pendefinisian keprimaan di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul ini mengacu pada sifat-sifat submodul prima pada suatu modul. Di sisi lain, definisi submodul prima pada modul juga telah mengalami perkembangan. Para peneliti sebelumnya telah mendefinisikan perumuman dari submodul prima, diantaranya adalah submodul semiprima, submodul endoprima, submodul koprima, dan submodul prima lemah. Namun, beberapa perumuman dari submodul prima tersebut hanya fokus pada perkalian skalar di dalam modul. Submodul prima- 𝛼𝛼 merupakan salah satu generalisasi dari submodul prima yang melibatkan semua operasi dari struktur

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
modulnya, tidak hanya operasi perkalian skalarnya saja. Pada artikel ini, definisi submodul prima- 𝛼𝛼 telah dibawa ke dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, yang selanjutnya disebut dengan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan.  Di samping itu, disajikan pula beberapa sifat dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan yang merupakan generalisasi dari sifat keprimaan di dalam struktur modul  dengan menambahkan beberapa syarat tertentu. Lebih lanjut, hasil dari penelitian terkait ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan dapat digunakan sebagai referensi dalam penelitian terkait ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan lemah dan radikal prima- 𝛼𝛼 gabungan beserta sifat-sifatnya.

## REFERENSI
[1]  J. Dauns, “Prime Modules,” J. fur die reine und Angew. Math. , vol. 298, pp. 156–181, 1978.
[2]  A. Haghany and M. R. Vedadi, “Endoprime Modules,” Acta Math. Hungar , vol. 106, no. 1–2, pp. 89–99, 2005.
[3]  I. E. Wijayanti, “Endo-prime Submodules in Endo-multiplication Module,” Int. Math. Forum , vol. 9, no. 27, pp. 1321–1332, 2014.
[4]  I. E. Wijayanti and R. Wisbauer, “Coprime Modules and Comodules,” Commun. Algebr. , vol. 37, no. 4, 2009.
[5]  J. Y. Abuhlail, “Zariski Topologies for Coprime and Second Submodules,” Algebr. Colloq. , 2011.
[6]  A. Azizi, “Weakly Prime Submodules and Prime Modules,” Glas. Math. J. , no. 48, pp. 343–346, 2006.
[7]  A. Azizi, “On Prime and Weakly Prime Submodules,” Vietnam J. Math. , vol. 36, no. 3, pp. 315–325, 2008.
[8]  A. K. Jabbar, “A Generalization of Prime and Weakly Prime Submodules,” Pure Math. Sci. , vol. 2, no. 1, pp. 1–11, 2013.
[9] T. Khumprapussorn, “On α - Prime and Weakly α -Prime Submodules,” Eur. J. Pure Appl. Math. , vol. 11, no. 3, pp. 293–306, 2018.
[10]  W. A. Adkins, Algebra “An Approach via Module Theory.” USA: Springer-Verlag New York, Inc., 1992.
[11]  R. Wisbauer, Modules and Algebras: Bimodule Structure and Group Actions on Algebras . Essex: Addison Wesley Longman Ltd., 1996.
[12]  T. Khumprapussorn, S. Pianskool, and M. Hall, “( R , S ) -Modules and their Fully and Jointly Prime Submodules,” vol. 7, no. 33, pp. 1631–1643, 2012.
[13]  D. A. Yuwaningsih, I. E. Wijayanti, and P. W. Prasetyo, “On (R, S)-Module Homomorphisms,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1188, no. 1, 2019, doi: 10.1088/1742- 6596/1188/1/012114.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 2 (NOV 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id