Jurnal Geocelebes Vol. 4 No. 1, April 2020, 1 – 6

## SIMULASI DISTRIBUSI TEKANAN INJEKSI PADA RESERVOIR MENGGUNAKAN METODE FINITE DIFFERENCE
Jamaluddin 1* , Nuruddin Kafy El-Ridlo 2 , Hamriani Ryka 1 , Maria 3
1 Program Studi Teknik Geologi, Sekolah Tinggi Teknologi Migas Balikpapan, Indonesia.
2 Program Studi Teknik Perminyakan, Sekolah Tinggi Teknologi Migas Balikpapan, Indonesia.
3 Departemen Geofisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Makassar, Indonesia.
*Corresponding author. Email: jamaluddin@sttmigas.ac.id
Manuscript received: 30 August 2019; Received in revised form: 28 November 2019; Accepted: 11 December 2019

## Abstrak
Pemodelan  persebaran  tekanan  injeksi  reservoir  sangat  penting  dilakukan  untuk  mengetahui manajemen  reservoir,  terutama  pada  memperkirakan  mekanisme  pendorongan.  Pemodelan  distribusi tekanan  injeksi  reservoir  dilakukan  dengan  menerapkan  persamaan  analitik  aliran  fluida  pada  media berpori  dari  Hukum  Darcy dan  ditransformasikan  ke  persamaan  numerik finite  difference yang kemudian  menggunakan Neumann  boundary  conditions .  Adapun  parameter  yang  digunakan  dalam pemodelan  tersebut  antara  lain:  permeabilitas,  ketebalan  lapisan  rata-rata,  porositas,  percepatan gravitasi, viskositas, dan luas daerah. Berdasarkan hasil pemodelan, daerah distribusi tekanan injeksi semakin menurun setiap adanya peningkatan laju tekanan injeksi. Penurunan ini terjadi akibat adanya ketidakseimbangan  antara  volume  fluida  reservoir  yang  dihasilkan  dengan  volume  air  dari  aquifer yang  menggantikan  pada  reservoir  tersebut  sehingga  terjadi  pengosongan.  Dari  hasil  pemodelan tersebut dapat diketahui jumlah produksi minyak yang diperoleh dari cadangan minyak sisa terhadap perolehan minyak mula-mula di reservoir setelah dilakukan proses pressure maintenance .
Kata kunci : Hukum Darcy; finite difference ; reservoir; simulasi; tekanan injeksi.

## Abstract
The  modeling  of  reservoir  injection  pressure  distribution  is  very  important  to  perceive  reservoir management,  especially  in  estimating  the  pushing  mechanism.  The  modeling  of  reservoir  injection pressure  distribution  was  carried  out  by  applying  the  analytic  equation  of  fluid  flow  to  the  porous media  of  Darcy's  law  and  transformed  to  a  finite  difference  numerical  equation  which  then  used Neumann  boundary  conditions.  The  parameters  used  in  the  modeling  were:  permeability,  average layer thickness, porosity, acceleration of gravity, viscosity, and area’s width. Based on the results of modeling, the injection pressure distribution area decreased as injection pressure rate increased. This decrease occurred due to an imbalance between the volume of reservoir fluid produced by the volume of  water  from  the  aquifer  that  replaced  the  reservoir,  caused  emptying.  From  the  results  of  the modelling  the  amount  of  oil  production,  obtained  from  the  remaining  oil  reserves  to  the  initial  oil acquisition in the reservoir after the process of pressure maintenance, could be found.
Keywords: Darcy’s law; finite difference; injection pressure; reservoir; simulation.

## Pendahuluan
Dalam industri minyak dan gas, pemodelan  reservoir  sangat  penting  untuk dilakukan  sebagai  tahap  awal  yang bertujuan meningkatkan estimasi cadangan dan membuat keputusan mengenai pengembangan  lapangan,  memprediksi produksi  di  masa  depan,  menempatkan sumur  tambahan,  dan membuat  rancangan skenario pengelolaan reservoir.
Batuan  reservoir  adalah  batuan  bawah permukaan yang mampu menjadi perangkap  gas,  minyak,  air  dan  fluida reservoir  lainnya  sehingga  dibutuhkan suatu  metode  yang  dapat  mengalirkan fluida  tersebut  ke  lubang  sumur  untuk kemudian diangkat ke permukaan (Essley, 1965).
Reservoir  fluida  terdiri  dari  batuan  yang berongga  atau  berpori,  fluida  akan mengalir melalui pori-pori batuan tersebut. Aliran fluida dipengaruhi oleh sifat – sifat batuan  reservoir  dan  sifat  fluida  pada reservoir (Dake, 1994).
Ada beberapa tujuan dilakukan pemodelan dan  simulasi  dalam  manajemen  reservoir, antara  lain  sebagai  berikut  (Craft  dan Hawkins, 1991):
1. Mengidentifikasi  dan  mendefinisikan suatu reservoir;
2. Menentukan sifat – sifat fisik reservoir;
3. Memperkirakan mekanisme pendorongan;
4. Memperkirakan kinerja reservoir;
5. Menentukan jumlah minyak dan tingkat perolehan; dan
6. Menentukan kontrol operasi dan waktu yang tepat.
Pemodelan  reservoir  dilakukan  dengan mengambil  bentuk  geometri  reservoir. Dengan  menerapkan  persamaan  analitik aliran  fluida  pada  media  berpori  dari Hukum  Darcy  dan  ditransformasikan  ke persamaan  numerik finite  difference yang kemudian menggunakan Neumann
boundary  conditions. Persamaan  Hukum Darcy  menjadi  faktor  utama  dalam simulasi ini (Bear dan Bachmat, 1991).
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui sebaran  distribusi  tekanan  injeksi  aliran fluida  sehingga  dapat  berperan  dalam membuat  keputusan  sebelum  dilakukan pengeboran.  Hal  ini  dilakukan  untuk meminimalisir biaya produksi.

## Tinjauan Pustaka
Untuk  memodelkan  reservoir  minyak  dan gas  bumi  maka  dibutuhkan  persamaan yang  terkait  dengan  keadaan  reservoir. Darcy  menemukan  bahwa  kecepatan  alir fluida  di  dalam  suatu  medium  berbanding lurus dengan gradien tekanan dan karakteristik dari media berpori.
Karakteristik  media  tersebut  dinyatakan dengan 𝑘 , yang menggambarkan kemampuan media tersebut untuk mengalirkan  fluida  seperti  terlihat  pada persamaan (1) (Bear dan Bachmat, 1991).
𝑄 = − 𝑘𝐴 𝜇 ∇𝑃 ℎ (1)
dengan,
𝑄 :  total  debit  dalam  satuan  volume  per detik (m 3 /s) ∇𝑃 ℎ : perubahan tekanan (Pa m -1 ) 𝜇 : viskositas (Pa s) 𝑘 : permeabilitas (mD) 𝐴 : satuan luas (m 2 )
Metode finite difference adalah merupakan salah  satu  bentuk  metode  numerik  yang dapat  digunakan  untuk  memecahkan  dan menyelesaikan suatu persamaan diferensial secara diskrit untuk persamaan – persamaan  diferensial  parsial  yang  sulit atau tidak bisa diselesaikan secara analitik (Chaudry, 2008).
Konsep  dasar  yang  digunakan  dalam metode finite difference adalah membentuk  petak  –  petak (grid) yang digunakan sebagai acuan untuk
menemukan solusi pada koordinat parameter  yang  diuji,  yang  disimbolkan sebagai  titik  pada  petak  –  petak (grid) tersebut.  Suatu  fungsi  dari  suatu  variabel bebas 𝑓 dan dapat diturunkan hingga 𝑛 kali didalam  interval [𝑥 0 − ℎ 1 𝑥 0 + ℎ 0 ] dimana 𝑥 cukup  kecil  sehingga  dapat  diuraikan dalam bentuk deret teorema Taylor sebagai berikut:
𝑓(𝑥 0 + ℎ) = 𝑓(𝑥 0 ) + ℎ𝑓 ′ (𝑥 0 ) + ℎ 2 2! 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) + … + ℎ 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑛 (𝑥 0 ) (2)
𝑓(𝑥 0 − ℎ) = 𝑓(𝑥 0 ) − ℎ𝑓 ′ (𝑥 0 ) + ℎ 2 2! 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) − … + (−1) ℎ 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑛 (𝑥 0 ) (3)
Persamaan  (2)  dan  (3)  diatur  kembali sehingga diperoleh:
𝑑𝑓(𝑥 0 ) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥 0 + ℎ) − 𝑓(𝑥 0 ) ℎ − ℎ 2! 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) − ⋯ − ℎ 𝑛−1 𝑛! 𝑓 𝑛 (𝑥 0 ) (4)
𝑑𝑓(𝑥 0 ) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥 0 ) − 𝑓(𝑥 0 − ℎ) ℎ + ℎ 2! 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) − ⋯ − (−1) ℎ 𝑛−1 𝑛! 𝑓 𝑛 (𝑥 0 ) (5)
Pendekatan  turunan  pertama 𝑓(𝑥) di  titik 𝑥 0 , maka persamaan (4) dan (5) menjadi :
𝑑𝑓(𝑥 0 ) 𝑑𝑥 ≈ 𝑓(𝑥 0 +ℎ)−𝑓(𝑥 0 ) ℎ (6) 𝑑𝑓(𝑥 0 ) 𝑑𝑥 ͌ 𝑓(𝑥 0 )−𝑓(𝑥 0 −ℎ) ℎ (7)
Menggunakan  persamaan  (4)  dan  (5) digunakan  untuk  memperoleh  bentuk pendekatan  turunan  pertama  yang  lain, yaitu  pendekatan  beda  maju (forward difference):
𝑑𝑓(𝑥 0 ) 𝑑𝑥 ͌ 𝑓(𝑥 0 +ℎ)−𝑓(𝑥 0 ) ℎ (8)

## Metode Penelitian
Penelitian  dilakukan  dengan  menerapkan Hukum  Darcy.  Persamaan  analitik  aliran fluida  pada  media  berpori  dari  Hukum Darcy ditransformasikan kepersamaan numerik finite  difference yang  kemudian menggunakan Neumann boundary conditions .  Penelitian  ini  memodelkan suatu area dengan ukuran 30 km x 30 km.
Adapun beberapa parameter yang digunakan  untuk  memodelkan  reservoir minyak bumi yaitu permeabilitas, porositas,  dan  viskositas  dan  laju  tekanan injeksi.  Keuntungan  dari  metode finite difference seperti  yang  dinyatakan  oleh Abbas  F  (2000)  meliputi  kesederhanaan, kemudahan  perpanjangan  dari  1D  ke  2D dan  3D,  dan  kompatibilitasnya  dengan aspek  fisika  dari  aliran  dua  dan  tiga  fasa. Hukum Darcy pada 2D menjadi:
(𝑣 𝑥 + 𝑣 𝑦 ) = ∇ (− 𝑘 𝑛𝜇 ( 𝜕𝑃 ℎ 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 ℎ 𝜕𝑦 )) (9)
(𝑣 𝑥 + 𝑣 𝑦 ) = − 𝑘 𝑛𝜇 ( 𝜕 2 𝑃 ℎ 𝜕𝑥 2 − 𝜕 2 𝑃 ℎ 𝜕𝑦 2 ) (10)
−𝑘 ( 𝜕 2 𝑃 ℎ 𝜕𝑥 2 − 𝜕 2 𝑃 ℎ 𝜕𝑦 2 ) = 𝑅 (11)
Gambar 1. Aliran fluida tak-termapatkan (incompressible) dan aliran tak berolak (irrotational)
Berdasarkan  gambar  1,  persamaan  aliran fluida yang keluar dari suatu volume:
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑉 = 𝜌𝑉𝑑𝑦(𝑣(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑥, 𝑦))𝑑𝑡 + 𝜌𝑉𝑑𝑥(𝑣(𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦) − 𝑣(𝑥, 𝑦))𝑑𝑡
(12) Aliran tak-termapatkan (Incompressible) Alirantakberolak (irrotational)
nilai 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑉 = 0 , persamaan (12) merupakan aliran fluida pada system fluida tak-termapatkan (incompressible)
𝜌(𝑣 𝑥 + 𝑣 𝑦 ) = 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ) = 0 (13)
Aliran  fluida  saat  tidak  ada  sirkulasi  atau rotasi  dapat  dijelaskan  dengan curl kecepatan. Curl 2D (𝑢, 𝑣) adalah 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑦 . Volume 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑇 pada  luasan  A  dan densitas ρ 𝜌𝐴𝑑𝑦(𝑦(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑥, 𝑦))𝑑𝑡 + 𝜌𝐴𝑑𝑥(𝑣(𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦) − 𝑣(𝑥, 𝑦))𝑑𝑡 (14)
Keadaan  irrotasi 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑉 = 0 ,  persamaan (14) menjadi
𝜌(𝑣 𝑥 + 𝑣 𝑦 ) = 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ) = 0 (15)
Nilai R:
𝑅 = 𝜌 ( 𝜕𝑥 𝜕𝑡 − 𝜕𝑦 𝜕𝑡 ) (16)
Subtitusi persamaan (16) ke (11):
−𝐾 ( 𝜕 2 𝑃 ℎ 𝜕𝑥 2 − 𝜕 2 𝑃 ℎ 𝜕𝑦 2 ) = 𝜌 ( 𝜕𝑥 𝜕𝑡 − 𝜕𝑦 𝜕𝑡 ) (17)
𝜕𝑥 𝜕𝑡 = − 𝐾 𝜌 ( 𝜕 2 𝑃 𝜕𝑥 2 − 𝜕 2 𝑃 𝜕𝑦 2 ) + 𝜕𝑦 𝜕𝑡 (18)

## Hasil dan pembahasan
Data  yang  dibutuhkan  untuk  melakukan simulasi  dapat  diperoleh  dari  berbagai sumber data yang memungkinkan. Pemilihan  sumber  data  serta  pengolahan juga sangat berpengaruh terhadap kesiapan data  itu  sendiri,  yang  pada  akhirnya  juga berpengaruh terhadap hasil simulasi secara keseluruhan. Ada pun data yang digunakan dalam  pemodelan  tersebut  adalah  sebagai berikut:
Tabel 1. Parameter fisik reservoir.
Parameter fisik Nilai Permeabilitas (K) 10mD Ketebalan Lapisan rata-rata (h) 100 ft Porositas (Φ) 25% Konstanta gravitasi (g) 9.8 m/s 2 Viskositas (μ) 6.27 x 10 -14 Pa.s Luas daerah (A) (30,30) Km
𝜕𝑥 𝜕𝑡 = − 𝐾 𝜌 ( 𝜕 2 𝑃 𝜕𝑥 2 − 𝜕 2 𝑃 𝜕𝑦 2 ) + 𝜕𝑦 𝜕𝑡 (18)
Data  yang  dibutuhkan  untuk  melakukan simulasi  dapat  diperoleh  dari  berbagai sumber data yang memungkinkan.
Pemilihan  sumber  data  serta  pengolahan juga sangat berpengaruh terhadap kesiapan data  itu  sendiri,  yang  pada  akhirnya  juga berpengaruh terhadap hasil simulasi secara keseluruhan. Ada pun data yang digunakan dalam  pemodelan  tersebut  adalah  sebagai berikut:
Tabel 1. Parameter fisik reservoir. Parameter fisik Nilai Permeabilitas (K) 10mD Ketebalan Lapisan rata-rata (h) 100 ft Porositas (Φ) 25% Konstanta gravitasi (g) 9.8 m/s 2 Viskositas (μ) 6.27 x 10 -14 Pa.s Luas daerah (A) (30,30) Km
Minyak dan gas bumi yang berada di dalam reservoir  bergerak  menuju  lubang  sumur akibat  beberapa  proses  baik  proses  alamiah maupun buatan. Proses buatan dapat berupa pendorongan  melalui  injeksi  di  sumur  lain yaitu  pemberian  tenaga  dorong  tambahan. Proses  alamiah  dapat  diakibatkan  oleh  (a) ekspansi  fluida,  (b)  pendorongan  fluida,  (c) gravitasi, dan (d) keadaan kapilaritas.
Ketika  laju  tekanan  injeksi  yang  diberikan sebesar  1000  ton,  maka  area  sebaran  laju tekanan  injeksi  juga  semakin  luas  maka kecepatan  fluida  yang  mengalirakan  lebih besar pula melalui media yang berpori akan tetapi  daerah  distribusi  laju  tekanan  injeksi akan  semakin  kecil  atau  distribusi  tekanan mengalami penurunan ketika tekanan injeksi juga  mengalami  peningkatan  (Gambar  2). Penurunan ini terjadi akibat adanya ketidakseimbangan  antara  volume  fluida reservoir yang dihasilkan dengan volume air dari  akuifer  yang  menggantikan  pada reservoir tersebut sehingga terjadi pengosongan (Kristanto, 2015).
Prinsip  dasar  mekanika  fluida  dari  media berpori  adalah  bahwa  vektor  kecepatan makroskopik  fluida  selalu  normal  terhadap permukaan  ekuipotensial  dan  besarnya vektor  ini  berbanding  lurus  dengan  gradien potensial. Karena distribusi potensial didalam fluida menentukan kecepatan makroskopis  fluida  dan  juga  keseluruhan aliran.  Apabila  terjadi  penurunan  tekanan reservoir,  biasanya  gas  yang  terlarut  akan terbebaskan dari minyak, dan akan membentuk free gas di dalam reservoir.
Hasil dan P embahasan
Gambar 2 . Sebaran tekanan pada area (30, 30) km dengan laju tekanan injeksi (a). 1000 ton, (b). 5000 ton, (c) 10.000 ton.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan  oleh  Ermawati  (2018),  simulasi distribusi  tekanan  hidrolik  berdasarkan Hukum  Darcy  yang  diterapkan  pada  suatu pemodelan reservoir, ada beberapa asumsi yang  diterapkan  seperti incompressible
dan irrotational untuk  menyederhanakan suatu  pemodelan  reservoir.  Pemodelan reservoir  suatu  lapangan  itu  sangat bervariasi  tergantung  dari  kondisi  daerah lapangan tersebut.
b ) . c ) . kPa
a .
Ada  beberapa  yang  harus  diperhatikan dalam  penentuan  pola  sumur  injeksi produksi seperti:
a) Tingkat  keseragaman  formasi,  yaitu penyebaran permeabilitas kearah lateral maupun kearah vertikal;
b) Struktur  batuan  reservoir  meliputi patahan, kemiringan, dan ukuran;
c) Sumur-sumur  yang  sudah  ada  (lokasi dan penyebaran);
d) Topografi;
e) Ekonomi;

## Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  pemodelan  yang  telah dilakukan  pada  suatu  reservoir  dengan dengan laju tekanan injeksi 1000 ton, 5000 ton,  dan  10.000  ton.  Dalam  pemodelan tersebut, distribusi tekanan injeksi semakin menurun disetiap peningkatan laju tekanan injeksi  dan  luasan  distribusi  tekanan tersebut  semakin  berkurang.  Apabila terjadi penurunan tekanan reservoir, biasanya gas yang terlarut akan terbebaskan  dari  minyak,  dan  akan membentuk free gas di dalam reservoir.

## Daftar Pustaka
Abbas,  F.  2000. Thermodynamics  of Hydrocarbon  Reservoirs .  Mc  Graw- Hill. Bear, J. dan Bachmat, Y. 1991.
Introduction  to  Modeling  of  Transport Phenomena in Porous Media . Dordrecht  (NL):  Kluwer  Academic Publisher.
Chaudry, M.H. 2008. Open-Channel  Flow .
2 nd ed., Springer, New York, NY. Craft,  B.C.,  Hawkins,  M.  1991. Applied
Petroleum Reservoir Engineering .
Revised  by  Terry  R.E.,  Prentice  Hall,
Englewood Cliffts, NJ.
Dake, L.P. 1994. The practice of Reservoir Engineering .  Elsevier  Science  B.V., Amsterdam: Netherlands. Ermawati, E.  2018. Solusi  numerik
Pemodelan Reservoir 2 Dimensi
Menggunakan Metode Finite Difference . Skripsi. IPB.
Essley,  P.  L.  Jr.  1965. What  is  reservoir engineering .  Journal  of  Petroleum Technology.
Kristanto,  D.  2015. Evaluasi  penggunaan injeksi air untuk pressure maintenance pada  reservoir  lapangan  minyak . Skripsi. UPN Veteran Yogyakarta.