## Mengeksplorasi Kemampuan Siswa Dalam Berpikir Fungsional Melalui Soal Cerita
Suci Yuniati 1 , Suparjono 2
1 Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, Universitas Islam Negeri Suska Riau
2 Program Studi Manajemen Dakwah, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, Universitas Islam Negeri Suska Riau, Jl. Hr. Subrantas No. 55 Panam, Riau, Indonesia suci.yuniati@uin-suska.ac.id

## Abstract
The  shift  about  students  'ability  to  solve  arithmetic  with  numerical  operations  to  students'  ability  to  solve algebra  by  operating  on  unknown  numbers  often  experiences  difficulties.  Thus,  to  overcome  these  student difficulties, it is necessary to exercise and stimulate students' abilities, one of which is by training students in functional thinking. Functional thinking is a relationship between two quantities which are generalized into a function.  This  study  aims  to  explore  students'  ability  to  think  functionally  through  story  problems.  This research is a qualitative descriptive exploratory research. The research subjects were 3 students from 45 high school  students  (SMA).  The  research  instruments  were  student  answer  sheets  and  interview  guidelines.  The results  showed  that  students  in  functional  thinking  through  3  stages,  namely  students  determining  recursive patterns  using 𝑏 = 𝑈 𝑛 − 𝑈 (𝑛−1) ,  students  determining  correspondence  relationships,  namely  determining changes  in  values  between  the  independent  variables  and  the  dependent  variable,  and  students  determining correspondence.  by  using  the  arithmetic  sequence  formula.  Thus  it  can  be  concluded  that  the  given  story problem can explore students in functional thinking.
Keywords: Functional Thinking, Story problem, Function.

## Abstrak
Pergeseran  tentang  kemampuan  siswa  dalam  memecahkan  aritmetika  dengan  operasi  angka  ke  kemampuan siswa  dalam  memecahkan  aljabar  dengan  operasi  pada  bilangan  yang  tidak  diketahui  sering  mengalami kesulitan.  Dengan  demikian  untuk  mengatasi  kesulitan  siswa  tersebut,  maka  perlu  adanya  latihan  dan rangsangan  terhadap  kemampuan  siswa  yaitu  salah  satunya  dengan  melatih  siswa  dalam  berpikir  fungsional. Berpikir  fungsional  merupakan  hubungan  antara dua  kuantitas  yang digeneralisasikan ke  dalam  suatu  bentuk fungsi.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengeksplorasi  kemampuan  siswa  berpikir  fungsional  melalui  soal cerita.  Penelitian  ini  merupakan  penelitian  kualitatif  yang  bersifat  deskriptif  eksploratif.  Subjek  penelitian adalah  3  siswa  dari  45  siswa  Sekolah  Menengah  Atas  (SMA).  Instrumen  penelitian  adalah  lembar  jawaban siswa dan pedoman wawancara. Hasil penelitian menunjukan bahwa siswa dalam berpikir fungsional melalui 3 tahap  yaitu  siswa  menentukan  pola  rekursif  dengan  menggunakan 𝑏 = 𝑈 𝑛 − 𝑈 (𝑛−1) ,  siswa  menentukan hubungan korespondensi yaitu menentukan perubangan nilai antara variabel bebas dengan variabel terikat, dan siswa  menentukan  korespondesi  dengan  menggunakan  rumus  barisan  aritmatika . Dengan  demikian  dapat disimpulkan bahwa soal cerita yang diberikan dapat mengeksplorasi siswa dalam berpikir fungsional.
Kata Kunci: Berpikir fungsional, Soal cerita, Fungsi.
Copyright (c) 2021 Suci Yuniati, Suparjono
 Corresponding author: Suci Yuniati Email Address: suci.yuniati@uin-suska,.ac.id  (Jl. H.R Soebrantas, No 55, Panam, Riau) Received 20 Januari 2021, Accepted 29 Januari 2021, Published 14 Februari 2021

## PENDAHULUAN
Kebanyakan  pendidik  pada  umumnya  percaya  bahwa aritmetika merupakan  dasar  dari  aljabar yang  perlu  diajarkan  di  sekolah.  Pernyataan  tersebut  tercermin  dalam  kurikulum  matematika  bahwa aritmetika  diajarkan  terlebih  dahulu  di  sekolah  dasar  kemudian  aljabar.  Namun,  Carpenter  &  Levi (2000)  menyatakan  bahwa pemisahan  aritmetika  dan aljabar  pada  skema  pemikiran  anak  di  sekolah dasar  akam  membuat  siswa  kesulitan  dalam  belajar  aljabar  di  tahun-tahun  berikutnya.  Dengan  kata lain  bahwa  siswa  yang  terbiasa  pada  kerangka  acuan  aritmetika  akan  cenderung  pada  perhitungan
tanpa melihat aspek relasional dari operasi. Seharusnya siswa mulai bergeser dari pengetahuan dalam memecahkan  aritmetika  dengan  operasi  angka  ke  pengetahuan  dalam  memecahkan  aljabar  dengan operasi  pada  bilangan  yang  tidak  diketahui.  Dengan  demikian  perlu  dikembangkan  cara  berpikir aljabar.  Berpikir  aljabar  adalah  kemampuan  mengoperasikan  kuantitas  yang  seolah-olah  tidak diketahui  kuantitasnya  atau  didefinisikan  sebagai  kapasitas  untuk  mewakili  situasi  kuantitatif sehingga hubungan antar variabel akan terlihat (Driscoll, 2003). Menurut Kaput (2000) dan Blanton, et  al.  (2015)  dalam  mengidentifikasi  berpikir  aljabar  ada  lima  komponen  yaitu  1)  generalisasi  dan memformalisasikan  pola  dan  constraints,  2)  memanipulasi  formalisasi,  3)  menggunakan  bahasa natural  untuk  mengartikulasikan  struktur  abstrak,  4)  mempelajari  fungsi,  hubungan  dan  joint variation,  dan  5)  menggunakan  bahasa  dalam  pemodelan  dan  pemodelan  matematika.  Berdasarkan komponen-komponen  di  atas,  maka  yang  menjadi  fokus  dalam  penelitian  ini  adalah  berpikir fungsional.
Berpikir  fungsional  (functional  thinking)  merupakan  jenis  berpikir  yang  merepresentasikan hubungan antar dua (atau lebih) variasi kuantitas Smith (Markworth, 2010). Blanton & Kaput (2005) menyatakan  bahwa  berpikir  fungsional  merupakan  hubungan  antar  kuantitas  tertentu  yang  dapat disebut sebagai aturan “korespondensi”. Di sisi lain Blanton, dkk. (2015) menyatakan bahwa berpikir fungsional merupakan generalisasi hubungan antar variasi kuantitas, penalaran dan merepresentasikan hubungan  tersebut  melalui  bahasa  natural,  notasi  aljabar  (simbol),  tabel,  dan  grafik.  Blanton,  dkk. (2015) memberikan contoh tugas berpikir fungsional yaitu tentang “pemotongan tali: hubungan antara banyak  pemotongan  tali  dan  banyak  potongan  tali  yang  dihasilkan”,  maka  tipe  fungsi  yang  dapat dibentuk y = x + 1 ,  dimana x = banyak  pemotongan  tali  dan y = banyak  potongan  tali  yang dihasilkan.  Dengan  demikian,  berpikir  fungsional  merupakan  hubungan  antara  dua  kuantitas  yang digeneralisasikan ke dalam suatu bentuk fungsi yang sesuai.
Blanton & Kaput (2011) dan Tanişli (2011) dalam penelitiannya menggunakan tiga komponen berpikir  fungsional,  yaitu  (1)  recursive  patterning  meliputi  penemuan  variasi  dalam  suatu  barisan nilai, (2) covariational thinking yang didasarkan pada analisis bagaimana dua variasi kuantitas secara simultan  dan  memahami  bahwa  perubahan  sebagai  suatu  yang  eksplisit  dan  bagian  dinamis  serta deskripsi fungsi, dan (3) hubungan korespondensi didasarkan pada korelasi antara variabel. Misalnya siswa diminta menentukan bilangan kesepuluh dari pola bilangan 2, 4, 6, 8. Dalam hal ini siswa telah melakukan  berpikir  fungsional,  yaitu  mengaitkan  bilangan  pertama  dipasangkan  dengan  2,  bilangan kedua  dipasangkan  dengan  bilangan  4,  bilangan  ketiga  dipasangkan  dengan  bilangan  6,  dan seterusnya,  akhirnya  sampai  pada  bilangan  kesepuluh  dengan  bilangan  20,  dan  pada  bilangan  ke-  n dengan bilangan 2 × n .
Berpikir fungsional telah dikaji oleh banyak peneliti diantaranya: Blanton, dkk, 2016; Blanton, dkk, 2015; Blanton & Kaput, 2004; Brizuela, dkk., 2015; Cooper, 2006; Muir & Livy, 2015; Tanıs, 2011;  Warren  &  Cooper,  2012;  Warren  &  Cooper,  2005.  Secara  umum  hasil  penelitian  tersebut menunjukan  bahwa  siswa  mampu  memahami  hubungan  antara  variasi  kuantitas  dan  mulai  berpikir
secara fungsional. Misalnya Blanton, dkk. (2015) menemukan 8 level kemapuan siswa dalam berpikir fungsional. Blanton & Kaput (2005); Doorman, dkk (2012); Stephens (2017); Stephens, dkk (2017); Warren, dkk (2006); Wilkie (2004); Wilkie (2015); Wilkie & Clarke (2015); Wilkie & Clarke (2016) merancang  pembelajaran  yang  dapat  meningkatkan  peserta  didik  dalam  berpikir  fungsional. Kemudian,  Mceldoon  (2010)  mengembangkan  penilaian  tentang  kemampuan  peserta  didik  Sekolah Dasar dalam berpikir fungsional, khususnya pada kemampuan peserta didik dalam menemukan aturan korespondensi dalam tabel fungsi. Allday (2017) melakukan penelitian tentang perilaku siswa dalam berpikir  fungsional  yang  dapat  membantu  para  guru  untuk  membuat  keputusan  dalam  menentukan intervensi  yang  lebih  baik.  Wilkie  (2014)  melakukan  penelitian  kepada  105  guru  sekolah  dasar tentang bagaimana membelajarkan siswa berpikir fungsional dan menunjukan bahwa dua pertiga guru mengetahui  konten  tentang  tugas  generalisasi  pola  untuk  sekolah  dasar  yang  dapat  mengeksplorasi berpikir  fungsional.  Berdasarkan  penelitian-penelitian  tersebut  diatas,  maka  belum  ada  penelitian yang  mengeksplorasi kemampuan berpikir fungsional dengan menggunakan soal cerita.
Soal  cerita  merupakan  soal  matematika  yang  berbentuk  soal  cerita  dan  menggunakan  kalimat sehari-hari. Menurut Koedinger & Nathan (2004) dan Yuniati & Suparjono (2019) penyelesaian soal memerlukan  keterampilan  dalam  memahami  masalah,  menentukan  metode  yang  tepat,  dan membangun  model  abstrak.  Menurut  Machmurotun  (2014)  soal  cerita  merupakan  soal  yang  dibuat dalam  bentuk  cerita  pendek  atau  kalimat  sederhana  yang  bermakna  dan  dikaitkan  dalam  kehidupan sehari-hari.  Penyelesaian  soal  cerita  yang  diperlukan  bukan  hasil  penyelesaian,  melainkan  proses penyelesaian sehingga proses berpikir siswa dapat terlihat. Proses berpikir siswa tersebut merupakan kemampuan siswa yang akan dikaitkan dengan beberapa komponen berpikir fungsional.

## METODE
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  kualitatif  yang  bersifat  deskriptif  eksploratif.  Subjek penelitian  adalah  3  siswa  dari  45  siswa  Sekolah  Menengah  Atas  (SMA).  Subjek  penelitian  dipilih secara purposive  sampling yaitu  siswa  yang  menyelesaikan  secara  benar  lembar  tes  dan  memiliki kemampuan komunikasi yang lancar . Instrumen penelitian adalah lembar jawaban siswa dan pedoman wawancara.  Wawancara  digunakan  untuk  mendalami  dan  mengklarifikasi  berpikir  fungsional  siswa yang  belum  terungkap  ketika  siswa  menyelesaikan  masalah  dan  yang  tidak  tertulis  pada  lembar jawaban. Adapun roadmap dalam penelitian ini dapat dilihat pada Diagram 1.
Diagram 1. Roadmap Penelitian
Bentuk  soal  yang  digunakan  adalah  soal  yang  disusun  berdasarkan  suatu  kasus  atau  kejadian  untuk mengeksplor siswa dalam berpikir fungsional. Dalam soal tersebut terdapat variabel independen yang
Pemberian tes
kepada siswa 6 Oktober 2017 Lembar jawaban benar & Komunikasi lancar Wawancara 17 Oktober 2017 Subjek penelitian
diwakili oleh “banyak baris” dan variabel dependen diwakili oleh “banyak meja dan banyak kursi”. Lembar soal yang diberikan ke siswa dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Lembar Soa l
Pada  tahap  analisis  data,  kegiatan  yang  dilakukan  adalah  1)  mengumpulkan  semua  lembar jawaban siswa; 2) menganalisis semua lembar jawaban siswa dan membuang data yang tidak sesuai (lembar  jawaban  salah) ;  dan  3)  kesimpulan,  pada  tahap  ini  peneliti  menyimpulkan  hasil penelitian (Creswell 2012).

## HASIL DAN DISKUSI
Penelitian  ini  mengeksplorasi  kemampuan  siswa  dalam  berpikir  fungsional.  Komponen berpikir  fungsional  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  1)  menentukan  pola  rekursif;  2) menentukan  hubungan  kovariasional;  dan  3)  menentukan  korespondensi.  Komponen  berpikir fungsional  tersebut  diadopsi  dari  penelitian  Tanişli  (2011)  dan  Blanton  &  Kaput  (2011).  Temuan penelitian yang diperoleh peneliti adalah sebagai berikut:

## Menentukan Pola Rekursif
Subjek S1 menjelaskan pola bilangan pada banyak meja pada baris pertama sampai baris ketiga secara  berurutan  dituliskan  4,  5,  6  dimana  suku  pertamanya  4,  suku  keduanya  5,  suku  ketiganya  6. Dari pola bilangan tersebut subjek S1 mencari banyaknya meja merupakan kelipatan 1. Kemudian S1 menjelaskan pola bilangan pada banyak kursi pada baris pertama sampai baris ketiga secara berurutan dituliskan  8,  10,  12  dimana  suku  pertamanya  8,  suku  keduanya  10,  suku  ketiganya  12.  Dari  pola
bilangan  tersebut  subjek  S1  mencari  banyaknya  kursi  merupakan  kelipatan  2  atau  mencari  beda dengan menggunakan rumus 𝑏 = 𝑈 𝑛 − 𝑈 𝑛−1 . Hal tersebut diperkuat oleh hasil lembar jawaban subjek S1 dalam menentukan pola rekursif seperti pada Gambar 2.
Gambar 2. Subjek S1 dalam Menentukan Pola Rekursif

## Menentukan Hubungan Kovariasional
Dalam  menentukan  hubungan  kovariasional,  subjek  S2  menentukan  perubahan  nilai  antara letak  suatu  item  dengan  item  itu  sendiri  yaitu  jika  letak  baris  meja  mengalami  perubahan  1  maka banyak meja terdapat perubahan nilai sebanyak 1, jika letak baris kursi mengalami perubahan 1 maka banyak kursi terdapat perubahan nilai sebanyak 2. Hal tersebut diperkuat dengan petikan wawancara peneliti dan subjek S5 berikut.
P : Coba perhatikan pola bilangan ini…jika kita lihat dari hubungan antar banyak baris dengan banyak meja, adakah perubahan nilai dari hubungan banyak baris dengan banyak meja?
S2   : Ada bu…
P : Berapa perubahan nilainya?
S2  : Jika banyak baris bertambah 1 maka banyak meja bertambah 1.
P : Terus…kalau hubungan banyak baris dengan banyak kursi, berapa perubahan nilainya? S2  : Jika banyak baris bertambah 1 maka banyak kursi bertambah 2.

## Menentukan Korespondensi
Dalam  menentukan  korespondensi,  subjek  S3  menggunakan  rumus  aritmatika 𝑈 𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 untuk menentukan suku ke- n . Sehingga diperoleh 𝑈 𝑛 untuk banyak meja adalah 𝑈 𝑛 = 𝑛 + 3 ; 𝑈 𝑛 untuk  banyak  kursi  adalah 𝑈 𝑛 = 2𝑛 + 6 .  Hal  tersebut  diperkuat  oleh  hasil  lembar  jawaban subjek S3 dalam menggeneralisasikan hubungan antar kuantitas yang disajikan pada Gambar 3.
Gambar 3. Hasil Kerja Subjek S3 dalam Menentukan Korespondensi
Berdasarkan temuan penelitian, subjek menentukan pola rekursif dengan menuliskan data 1 dan data  2  secara  berurutan  dan  membentuk  suatu  pola  bilangan.  Pola  tersebut  dicari  dengan menggunakan  rumus 𝑏 = 𝑈 𝑛 − 𝑈 (𝑛−1) ,  dimana 𝑏 = beda, 𝑈 𝑛 = suku  ke n ,  dan 𝑈 (𝑛−1) = suku sebelum n .  Hal  ini  sesuai  dengan  pendapat  Blanton  &  Kaput  (2011)  dan  Tanişli  (2011)  yang menyatakan  bahwa  pola  rekursif  adalah  aktivitas  mental  dalam  menentukan  pola  berdasarkan  nilai sebelumnya.  Kemudian  pola  rekursif  dari  data  1  dan  data  2  dijadikan  patokan  subjek  untuk menentukan  hubungan  kovariasional  yaitu  perubangan  nilai  antara  variabel  bebas  dengan  variabel terikat.  Hal  ini  sesuai  dengan  pendapat  Carlson,  dkk.  (2002);  Blanton  &  Kaput  (2011);  Subanji (2011); Tanişli (2011) yang menyatakan bahwa hubungan kovariasional adalah aktivitas mental dalam mengkoordinasikan  dua  kuantitas  (variabel  bebas  dan  variabel  terikat)  yang  berkaitan  dengan perubahan  nilai  dari  satu  kuantitas  terhadap  kuantitas  yang  lain.  Dalam  menentukan  korespondensi subjek menggeneralisasikan data 1 dan menggeneralisasikan data 2 dengan menggunakan rumus dari barisan  aritmatika  yaitu 𝑈 𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 . Namun,  representasi  yang  digunakan  subjek  dalam menggeralisasikan  hubungan  antar  variasi  kovarian  (korespondensi)  menggunakan  repersentasi aljabar.  Hal  ini  sesuai  dengan  temuan  penelitian  Yuniati,  dkk,  (2019)  bahwa  siswa  dalam menggeneralisasikan  hubungan  antar  kuantitas  (korespondensi)  kebanyakan  menggunakan representasi aljabar.

## KESIMPULAN
Berdasarkan temuan dan hasil penelitian, maka dapat  disimpulkan bahwa kemampuan siswa  dalam  berpikir  fungsional  melalui  soal  cerita  adalah  sebagai  berikut:  tahap pertama , siswa  menentukan  pola  rekursif  dengan  menggunakan 𝑏 = 𝑈 𝑛 − 𝑈 (𝑛−1) ,  dimana 𝑏 = beda, 𝑈 𝑛 = suku  ke n ,  dan 𝑈 (𝑛−1) = suku  sebelum n .  Tahap kedua ,  siswa  menentukan  hubungan korespondensi  yaitu  perubangan  nilai  antara  variabel  bebas  dengan  variabel  terikat.  Tahap ketiga ,  siswa  menggeneralisasikan  hubungan  antar  variasi  kuantitas  (korespondesi)  dengan menggunakan  rumus  dari  barisan  aritmatika  yaitu 𝑈 𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 . Bagi  penelitian
berikutnya  yang  berminat  melakukan  penelitian  tentang  berpikir  fungsional  dengan melakukan  analisis  kesalahan  apa  saja  yang  muncul  ketika  siswa  melakukan  berpikir fungsional.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Saya ucapkan terimakasih kepada guru bidang studi matematika yang telah memberikan ijin kepada  peneliti  untuk  mengambil  data  dan  kepada  siswa  SMA  di  salah  satu  Sekolah  di  Kota Pekanbaru yang telah bersedia dalam menyelesaikan soal yang saya berikan.

## REFERENSI
Allday,  R.  A.  (2017).  Functional  Thinking  for  Managing  Challenging  Behavior. Intervention  in School and Clinic . 1–7. https://doi.org/10.1177/1053451217712972
Blanton,  M.,  Brizuela,  B.  M.,  Gardiner,  A.  M.,  Sawrey,  K.,  Newman-owens,  A.,  Blanton,  M., Gardiner, A. M., & Newman-owens, A. (2016). A Learning Trajectory in 6-Year-Olds’ Thinking About Generalizing Functional Relationships. Journal for Research in Mathematics Education.
46(5), 511–558. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.46.5.0511
Blanton,  M.  L.,  &  Kaput,  J.  J.  (2004).  Elementary  Grades  Students’  Capacity  For  Functional Thinking. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. 2. 135-142.
https://www.emis.de/proceedings/PME28/RR/RR033_Blanton.pdf
Blanton, M. L., & Kaput, J. J. (2005). Helping Elementary Teachers Build Mathematical Generality into Curriculum and Instruction. ZDM. 37(1). https://doi.org/10.1007/BF02655895
Blanton,  M.  L.  and  James  J.  K.  (2011)  .  Functional  Thinking  as  a  Route  Into  Algebra  in  the Elementary Grades. https://page-one.springer.com/pdf/preview/10.1007/978-3-642-17735-4_2
Blanton,  M.,  Stephens,  A.,  Knuth,  E.,  Gardiner,  A.  M.,  Isler,  I.,  Kim,  J.,  Blanton,  M.,  Knuth,  E., Gardiner, A. M., & Kim, J. (2015). The Development of Children ’ s Algebraic Thinking : The Impact of a Comprehensive Early Algebra Intervention in Third Grade. Journal for Research in Mathematics Education . 46(1), 39-87. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.46.1.0039
Brizuela,  B.  M.  (2015).  Children’s  Use  of  Variables  and  Variables  Notation  to  Represent  Their Algebraic Ideas. Mathematical Thinking and Learning , 1–30. https://doi.org/10.1080/10986065.2015.981939
Carlson,  M.,  Sally  J.,  Edward  C.,  Sean  L.,  and  Eric  H.  (2002).  Applying  Covariational  Reasoning While  Modeling  Dynamic  Events:  A  Framework  and  a  Study. Journal  for  Research  in Mathematics Education 33(5):352–78. https://www.jstor.org/stable/4149958
Carpenter,  T.  P.,  &  Levi,  L.  (2000).  Developing  conceptions  of  algebraic  reasoning  in  the  primary grades. Wisconsin Center for Educational Research. 21.
https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED470471.pdf
Cooper,  T.  O.  M.  (2006).  Using  Repeating  Patterns  to  Explore  Functional  Thinking.  11(1):9–14. https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ793907.pdf
Creswell. (2012). Educational Research Fourth Edition . Pustaka Pelajar. ISBN 978-602-229-474-0
Doorman, M., Drijvers, P., Gravemeijer, K., Boon, P., & Reed, H. (2012). Tool use and Development of  the  Function  Concept:  from  Repeated  Calculations  to  Functional  Thinking. International Journal  of  Science  and  Mathematics  Education .  1243–1267.  https://doi.org/10.1007/s10763- 012-9329-0
Driscoll. M. (2003). Fostering algebraic thinking. A guide for teachers grades 6–10. Portsmouth, NH: Heinemann. https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED476802.pdf
Kaput,  J.  (2000).  Teaching  and  learning  a  new  algebra.  In  E.  Fennema,  &  T.  Romberg  (Eds.), Mathematics  classrooms  that  promote  understanding  (pp.  133–155).  Mahwah,  NJ:  Lawrence Erlbaum Associates.
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/DA/DA-TEXTOS/Kaput_99AlgUnd.pdf
Koedinger,  K.  R.  and  Nathan,  M.  J.  (2004).  The  Real  Story  Behind  Story  Problems :  Effects  of Representations  on  Quantitative  Reasoning. The  Journal  of  the  Learning  Sciences .  13(2):129– 64.
https://www.researchgate.net/profile/Kenneth_Koedinger2/publication/280786796_The_Real_St ory_behind_Story_Problems_Effects_of_Representations_on_Quantitative_Reasoning/inline/js Viewer/568bdda308ae8445f58dbd11?inViewer=1&pdfJsDownload=1&origin=publication_deta il&previewAsPdf=false
Machmurotun,  S.  (2014).  The  Thinking  Ability  of  Students  in  Solving  Mathematics. Journal Pendidikan Matematika. 2(2): 237–48. http://seminar.uny.ac.id/icriems/sites/seminar.uny.ac.id.icriems/files/proceeding2018/ME86_Eva %20Dwi%20Minarti.pdf
Markworth,  K.  A.  (2010).  Growing  and  Growing:  Promoting  Functional  Thinking  With  Geometric Growing Patterns. A Dissertation Submitted to the Faculty of the University of North Carolina at Chapel Hill in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy in the School of Education. Chapel Hill
Mceldoon,  K.  L.,  and  Rittle-Johnson.  (2010).  Assessing  Elementary  Students  Functional  Thinking Skills.The Case of Function Tables
https://peabody.vanderbilt.edu/docs/pdf/PRO/ATME_McEldoonandRittle-JohnsonPME- NApaper_2010.pdf
Muir, T. & Livy, S. (2015). Two of Everything Developing Functional Thinking in Primary Grades Through Children’s Literature. In APMC . Vol. 20 (1). https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1093237.pdf
Stephens,  A.,  Blanton,  M.,  Strachota,  S.,  Knuth,  E.,  &  Gardiner,  A.  (2017).  The  Interplay  between Students’ Understandings of Proportional and Functional Relationships. Proceedings of the 39th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of  Mathematics  Education.  Indianapolis,  IN  Hoosier  Association  of  Mathematics  Teacher Educators. 251–258. https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED581309.pdf
Stephens, A. C., Blanton, M. L., Knuth, E. J., Marum, T., & Gardiner, A. M. (2011). From Recursive Pattern  To  Correspondence  Rule:  Developing  Students’  Abilities  To  Engage  in  Functional Thinking.  Proceedings  of  the  34th  Annual  Meeting  of  the  North  American  Chapter  of  the International  Group  for  the  Psychology  of  Mathematics  Education.  Kalamazoo,  MI:  Western Michigan University.
https://www.researchgate.net/profile/Isil_Isler- Baykal/publication/304526974_From_recursive_pattern_to_correspondence_rule_Developing_s tudents%27_abilities_to_engage_in_functional_thinking/inline/jsViewer/5772691508aeef01a0b 62a99?inViewer=1&pdfJsDownload=1&origin=publication_detail&previewAsPdf=false
Stephens, A. C., Fonger, N., Strachota, S., Isler, I., Blanton, M., Knuth, E., & Murphy Gardiner, A. (2017).  A  Learning  Progression  for  Elementary  Students  ’  Functional  Thinking  A  Learning Progression for Elementary Students’ Functional. Mathematical  Thinking  and Learning ,  19(3),
143–166. https://doi.org/10.1080/10986065.2017.1328636
Subanji. (2011). Teori Berpikir Pseudo Penalaran Kovariasional . Universitas Negeri Malang. ISBN: 979.495.963.4
Tanişli,  D.  2011.  “Functional  Thinking  Ways  in  Relation  to  Linear  Function  Tables  of  Elementary School Students.” Journal of Mathematical Behavior 30(3):206–23
Tanıs,  D.  (2011).  Functional  Thinking  Ways  in  Relation  to  Linear  Function  Tables  of  Elementary School Students. Journal of Mathematical
Behavior , 30(3), 206–223. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2011.08.001
Warren, E. A., & Cooper. (2012). Exploring Young Students Functional Thinking. Proceeding of the 35th  Conference  of  the  International  Group  for  the  Psychology  of  Mathematics  Education.  4. 75–84. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4268866.pdf
Warren,  E.  A.,  Cooper,  T.  J.,  &  Lamb,  J.  T.  (2006).  Investigating  Functional  Thinking  in  the Elementary Classroom : Foundations of Early Algebraic Reasoning. Mathematical Behavior . 25, 208–223. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2006.09.006
Warren, E., & Cooper, T. O. M. (2005). Introducing Functional Thinking in Year 2: a Case Study of Early  Algebra  Teaching.  In  Contemporary  Issues  in  Early  Childhood.  6(2),  150–162. https://doi.org/10.2304/ciec.2005.6.2.5
Wilkie,  K.  J.  (2004).  Learning  to  like  Algebra  through  Looking. APMC .  19(4). https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1093277.pdf
Wilkie,  K.  J.  (2014).  Upper  Primary  School  Teachers’  Mathematical  Knowledge  for  Teaching Functional  Thinking  in  Algebra. Journal  of  Mathematics  Teacher  Education .  17(5). https://doi.org/10.1007/s10857-013-9251-6
Wilkie,  K.  J.  (2015).  Learning  to  Teach  Upper  Primary  School  Algebra  :  Changes  to  Teachers’ Mathematical Knowledge for Teaching Functional Thinking. Mathematics Education Research Journal . 28 (2). 245-275. https://doi.org/10.1007/s13394-015-0151-1
Wilkie, K. J., & Clarke, D. M. (2015). Developing Students’ Functional Thinking in Algebra Through Different  Visualisations  of  a  Growing  Pattern’s  Structure. Mathematics  Education  Research Journal , 223–243. https://doi.org/10.1007/s13394-015-0146-y
Yuniati,  S.,  Nusantara,  T.,  Subanji,  &  Made  S.,  I.  (2019).  The  use  of  Multiple  Representation  in Functional  Thinking. International  Journal  of  Recent  Technology  and  Engineering ,  8(1C2), 672–678. https://www.ijrte.org/wp-content/uploads/papers/v8i1C2/A11120581C219.pdf
Yuniati,  S.,  &  Suparjono.  (2019).  Model  Representasi  Matematis  Siswa  Kelas  IV  dalam Menyelesaikan Soal Cerita. MaPan 7(2):249–60.
https://www.researchgate.net/publication/338508181_MODEL_REPRESENTASI_MATEMAT IS_SISWA_KELAS_IV_DALAM_MENYELESAIKAN_SOAL_CERITA/inline/jsViewer/5e1 876ba299bf10bc3a109bb?inViewer=1&pdfJsDownload=1&origin=publication_detail&preview AsPdf=false