## METODE BUCKLEY-JAMES UNTUK ESTIMASI MODEL REGRESI LINIER PADA DATA TERSENSOR KANAN
Muhammad Bayu Nirwana Sekolah Tinggi Ilmu Kesehatan Muhammadiyah Kudus Email : mbnirwana@stikesmuhkudus.ac.id

## ABSTRAK
Data  tersensor  merupakan  permasalahan  yang  sering  dihadapi  pada  penelitian  yang berhubugan  dengan  lama  waktu  terjadinya  suatu  kejadian. Penggunaan  analisis statistika  tanpa  memperhatikan  komponen  tersensor  dapat  mengakibatkan  bias  pada hasil  analisis  data  yang  diperoleh.  Dalam  analisis  regresi  linier,  di  mana  variabel dependen  adalah  variabel  yang  mengandung  data  tersensor,  analisis  data tanpa memperhatikan  komponen  tersensor  dapat  mengakibatkan  koefisien  model  regresi yang  diperoleh  tidak  tepat.  Hal  tersebut  akan  menjadikan  model  regresi  yang diperoleh  tidak  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  dan  memprediksi  data  dengan baik. Metode  Buckley-James adalah salah satu metode  yang dapat digunakan untuk mengatasi  permasalahan  tersebut.  Estimasi  dari  metode  Buckley-James  mengubah titik tersensor pada data  tersensor ke nilai ekspektasinya. Selanjutnya model regresi linier diestimasi dengan memberikan bobot pada metode least square menggunakan estimator Kaplan-Meier.
Kata kunci : Regresi Linear, Data Tersensor, Kaplan-Meier, Least Square.

## PENDAHULUAN
Karakteristik  dari penelitian  yang berhubungan dengan lama waktu terjadinya suatu kejadian adalah munculnya  data  dengan  pengamatan yang  tidak  lengkap.  Salah  satu  dari  jenis data  dengan  pengamatan  yang  tidak lengkap  adalah  data  tersensor. Data tersensor  banyak  muncul  dalam  berbagai bidang penelitian. Dalam bidang kesehatan,  analisis  untuk  data  tersensor sering  disebut  dengan  analisis  survival atau  analisis  tahan  hidup.  Di  bidang ekonomi  disebut  dengan  analisis  durasi, dan  pada  bidang  teknik  disebut  dengan analsis reliabilitas.
Sebagai  contoh,  terdapat  beberapa pasien kanker darah yang diamati selama periode  waktu  tertentu  sampai  pasien tersebut  meninggal  dunia  karena  kanker
darah.  Jika  pasien  masih  hidup  sampai akhir  periode  penelitian,  maka  waktu tahan hidup dari pasien tersebut merupakan  data  tersensor,  karena  waktu tahan  hidup  sampai  pasien  meninggal tidak diperoleh secara lengkap. Demikian pula jika ternyata pasien pasien meninggal dunia setelah periode penelitian  berakhir,  maka  data  yang diperoleh  juga tidak  lengkap  karena periode  penelitian  sudah  berakhir.  Selain itu,  apabila  dalam  periode  penelitian pasien  tidak  melanjutkan  penelitian, maka  data  yang  diperoleh  oleh  peneliti untuk pasien tersebut juga tidak lengkap. Waktu  tahan  hidup  pasien  kanker  darah baru dikatakan lengkap atau teramati jika pasien  meninggal  dunia  di  waktu  antara awal  periode  penelitian  sampai  akhir periode penelitian.
Penentuan suatu pengamatan termasuk pengamatan  tidak  lengkap  berupa  data tersensor,  perlu  memperhatian  waktu awal  penelitan (origin) dan akhir penelitian (end  point),  serta  definisi kejadian (event) yang jelas. Kriteria suatu pengamatan  termasuk  data  tersensor kanan yaitu penelitian berakhir, sehingga kemungkinan terdapat subjek yang belum mengalami kejadian (study  ends, no event). Selain  itu,  data  tersensor  juga dapat terjadi karena subjek tidak melanjutkan  mengikuti  penelitian  ketika periode  penelitian  masih  berjalan (lost), dan  subjek  dikeluarkan  dari  penelitian (withdraw).
Selain  data  tersensor  kanan,  terdapat pula  data  terssensor  kiri  dan  tersensor interval.  Data  tersensor  kiri  terjadi apabila  subjek  telah  mengalami  kejadian sebelum  periode  waktu  tertentu  atau sebelum penelitian dimulai. Data tersensor interval jika informasi
mengenai  terjadinya  suatu  kejadian  tidak diketahui  secara  pasti,  hanya  diketahui terjadi pada suatu interval waktu tertentu.
Analisis  statistik  untuk  data  tersensor harus  memperhatikan  juga  informasi mengenai  tersensornya  data.  Data  yang tersensor  tidak  bisa  diabaikan  dalam analisis  data.  Oleh  karena  itu  diperlukan metode statistik
yang dapat
mengakomodaisi  informasi  dari  data tersensor. Estimasi fungsi survival merupakan  salah  satu  metode  agar  dapat menangani  informasi  tersensornya  data dengan baik.
Fungsi  survival  dinotasikan  dengan ( ) S t yaitu  probabilitas  suatu  individu atau  subjek    akan  bertahan lebih  lama dari  waktu t . Bertahan  artinya  adalah subjek  tersebut  dalam  kondisi  belum mengalami  suatu    kejadian (event). Fungsi  survival  dapat  diestimasi  secara parametrik  maupun  nonparametrik.  Dari estimasi  fungsi  survival  yang  diperoleh, selanjutnya dapat dihitung rata-rata tahan hidup (mean  time  to  failure) subjek- subjek yang diamati.
Hubungan  sebab  akibat  juga  tidak lepas  dari  munculnya  data  tersensor. Dalam  analisis  survival  dikenal  model regresi  Cox  dan  model  uji  hidup dipercepat (accelerated  failure  time, AFT) untuk  menangani  data  tersensor pada variabel dependen. Namun, pemodelan dalam model regresi Cox dan AFT  adalah  memodelkan  fungsi  survival atau fungsi hazard dari variabel dependen,  bukan  nilai  dari  variabel dependen  itu  sendiri.  Akibatnya,  tidak diperoleh  hubungan  yang  linier  antara variabel dependen dengan variabel independen.  Hubungan  linier  antara variabel dependen dan variabel independen dapat diperoleh menggunakan  analisis  regresi  linier.
Namun  analisis  regresi  linier  tidak  dapat menangani  masalah  ketika  data  tersensor muncul. Penelitian ini membahas tentang metode Buckley-James [1] untuk estimasi  model  regresi  linier  dengan variabel  dependen mengandung  data
tersensor.
Fungsi  survival  merupakan  peluang suatu  subjek  bertahan  lebih  lama  dari waktu t [4], yaitu
    S t P T t   (1)
Dengan ( ) S t bernilai  antara  nol sampai satu,  sedangkan t bernilai  antara  nol sampai  tak  hingga. Fungsi survival ( ) S t merupakan fungsi non-increasing
terhadap waktu t dengan sifat karakteristik-karakteristik yaitu:
1.Semakin  besar t maka ( ) S t semakin kecil.
2.Untuk 0 t  maka     0 1 S t S   .
3.Untuk t   maka     0 S t S    . Fungsi  survival  dapat  diestimasi secara parametrik maupun nonparametrik.  Estimasi  fungsi survival secara parametrik dapat dilakukan melalui hubungan fungsi survival dengan fungsi distribusi kumulatif yaitu
   
1 S t F t   (2)
Gambar 1. Grafik fungsi survial.
Rata-rata  waktu  tahan  hidup  (mean time  to  failure,  MTTF)  dari  fungsi survival adalah luas area di bawah kurva ( )
S t yang dapat dihitung dengan rumus
    0 MTTF E T S t dt     (3)
Salah  satu  metode  estimasi  fungsi survival  secara  nonparametrik  yaitu dengan  menggunakan  metode  Kaplan- Meier. Estimator  Kaplan-Meier  atau sering  disebut  sebagai Product-Limit Estimator,  merupakan  salah  satu  metode nonparametrik  yang  dapat  digunakan untuk  fungsi  survival ( )
S t .  Estimator
Kaplan-Meier didefinisikan  untuk  semua nilai dalam rentang waktu t , ditunjukkan dengan:
   1 1 ; 1 ; i i i t t i t t S t d t t Y                  (4)
dimana i d adalah  banyaknya event dan i Y adalah  banyaknya individu  yang beresiko mengalami event [4]. Variansi dari  estimator  Kaplan-Meier  dihitung menggunakan Greenwood’s Formula
        2 i i t t i i i d Var S t S t Y Y d      
  (5)
Estimasi fungsi survival dengan estimator  Kaplan-Meier  bernilai  konstan pada  setiap  interval  waktu  di  mana  data lengkap  diperoleh (piecewise-constant).
Hal  ini  membuat  grafik  dari  estimator Kaplan-Meier  membentuk  kurva  anak tangga (step function).
Gambar 2. Grafik estimasi Kaplan-Meier.

## METODE PENELITIAN

## Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data  yang  digunakan  adalah  data sekunder  yang  diambil  dari  penelitian dengan data penderita
Karsinoma Nesofaring (KNF) yang  terdaftar  di bagian  Telinga  Hidung  Tenggorok – Kepala  Leher  RSUP  dr.  Sardjito  pada tahun  2008-2010  yang  dilakukan  oleh [3].
Analisis  dimulai  pada  saat  pasien pertama  kali  terdiagnosis  KNF  (tercatat di bagian rekam medis) dan diakhiri pada tanggal 1 Januari 2014. Pasien dinyatakan hidup apabila tanggal kematian  pasien  lebih  dari  atau  sama dengan 36 bulan setelah tanggal pertama kali  terdiagnosis,  atau  masih  hidup sampai  penelitian  berakhir  yaitu  tanggal 1 Januari 2014.

## Metode Analisis
Simulasi bertujuan untuk membandingkan  performa  antara  regresi linier  sederhana  dengan  regresi  Buckley- James  dalam  menangani  data  tersensor.
Simulasi
dilakukan dengan
membangkitkan  data  berdasarkan  model regresi  linear  dengan  satu  variabel independen.  Variabel  independen x dan
error e dibangkitkan  secara  random, selanjutnya  ditentukan  koefisien  regresi a dan b sehingga  diperoleh  nilai  dari variabel dependen y .
Selanjutnya  dilakukan  sensor  secara random  sehingga  variabel  dependen y menjadi  variabel  yang  mengandung  data tersensor.  Kemudian  diestimasi  model regresi  untuk  variabel  dependen y dan variabel independen x
untuk memperoleh  koefisien a dan b untuk model  regresi  linier  dan  model  regresi
Buckley-James dengan
beberapa replikasi.  Koefisien a dan b yang diperoleh  pada  masing-masing  model dibandingkan untuk mengetahui
estimator  yang  memberikan  koefisen regresi a dan b yang dekat dengan nilai a dan b yang  ditentukan  di  awal simulasi.

## HASIL PENELITIAN
Estimasi model Regresi Buckley-James Metode  Buckley-James  [1]  digunakan untuk  mengestimasi  model  regresi  linier pada  data  tersensor  kanan.  Estimasi dengan
metode Buckley-James
berdasarkan  pada  penyelesaian  iteratif pada  persamaan  least  square  yang  telah dimodifikasi  untuk  mengakomodasi  data tersensor kanan pada variabel dependen.
Estimasi metode Buckley-James untuk suatu  sampel  sejumlah n individu  atau subjek pada persamaan regresi linier
i i i Y X      
Selanjutnya  dinotasikan i  adalah indikator  tersensor  pada  subjek i ,  di mana  jika 1 i   menunjukkan  bahwa
data pengamatan lengkap atau mendapatkan kejadian, dan 0 i   menunjukkan bahwa data tersensor kanan pada  suatu  nilai i T ,  diperoleh  hubungan antara i Y , i T , dan i 
0 ; 1 ; i i i i i Y T Y T       
Kemudian dibentuk i Z dengan rumus
  min , i i i Z Y T  (6)
Distribusi  residual i  pada (4) tidak ditentukan  mengikuti  suatu  distribusi parametrik  tertentu.  Estimasi  distribusi dari  residual i  dilakukan  secara nonparametrik  menggunakan  estimator Kaplan-Meier (2).
Untuk mengakomodasi data tersensor, variabel  dependen  dimodifikasi  dengan mengubah titik  tersensor pada  data tersensor  dengan  nilai  ekspektasinya [5], yaitu
  | i i i E Y Y T  (7)
Sehingga  dengan  memberikan  bobot pada  variabel  dependen i Y berdasarkan status  tersensornya  dan  menggunakan (7),  diperoleh  nilai  baru  dari i Y yang sudah  mengakomodasi  data  tersensor,   * i Y b , yaitu
      * | 1 i i i i i i i Y b Y E Y Y T       (8)
Notasi   b pada   * i Y b di ruas kiri dari (8),  menunjukkan  bahwa  nilai * i Y bergantung  pada  koefisien  regresi b . Nilai * i Y akan terus diganti sesuai dengan koefisien regresi b ,   hingga b mencapai kekonvergenan.
Dapat ditunjukkan bahwa.
    * i i i
E Y b E Y X          (9)
Untuk 0 i   [2], bagian ekspektasi pada ruas kanan dari (9) menjadi
    | | i i i i i i i i E Y Y T X E
T X  
           (10)
Berdasarkan  estimasi   | i i i E Y Y T 
pada (10), nilai   * i Y b pada (8) menjadi
              * | 1 i i i i i i i i Y b X b E b b c b           
      (1)
dengan   i i i b Y X       dan   i i i c b T X      . Estimasi       | i i i E b b c b        merupakan jumlahan terbobot dari residual  data  tidak  tersensor  yang  lebih besar  dari   i c b .  Bobot  yang  diberikan berasal  dari  estimator  Kaplan-Meier    S t yang dihitung dari residual   i i i e b Z X      dengan i Z seperti pada (6). Pembobotan  dilakukan  dengan terlebih dahulu mengurutkan nilai i e dari nilai terkecil ke nilai terbesar.
Selanjutnya  diperoleh  estimasi  dari
      | i i i E b b c b        yaitu
           1 | n i i i ik k k E b b c b w b e b           (2)
Di mana              1 0 k k i ik i f e b k i w b S e b k i    
       (3)
dengan     k f e b merupakan  massa
probabilitas pada k e dari fungsi
 1 F S   dan      i S e b merupakan estimasi
Kaplan-Meier pada residual   i e b . Setelah  nilai   * i Y b untuk  masing- masing  subjek  diperoleh,  dilakukan estimasi least  square untuk  memperoleh estimasi  dari b   .  Estimasi  slope b merupakan  solusi  iterasi,  karena  variabel   * i Y b bergantung  pada  nilai  estimasi b [5]. Nilai awal (initial value) dari slope b
, dinotasikan dengan   0 b . Hasil   0 b yang telah  diperoleh  digunakan  kembali  untuk
mengestimasi  nilai   * i Y b .  Lebih  lanjut,
estimasi dari b yaitu
      * ( ) * ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 ˆ n n n m m i i i i m i i i n n i i i i n x y b x y b b
n x x        
            (11)
Di  mana 0,1, 2, 3,.... m  dan ( ) m b
adalah  estimasi  untuk  iterasi  ke-m. Iterasi  dilakukan  sampai  konvergensi diperoleh, yaitu     1 m m b b   cukup
kecil. Estimasi b didapatkan ketika (11) telah mencapai kekonvergen, dan dinotasikan  dengan * b .  Selanjutnya,  dari
* b dapat dihitung estimasi a   yaitu   * * * 1 ˆ n i i i y b b x a n     (12)
Dengan   * * i y b adalah  nilai  akhir  dari ekspektasi   * i y b setelah  melalui  proses iterasi.

## Simulasi model Regresi Buckley-James
Langkah-langkah  dalam simulasi data untuk  membandingkan  performa  regresi linier  dengan  regresi  Buckley-James dalam mengakomodasi data tersensor:
1. Bangkitkan x dengan   5,15 x Unif .
2. Bangkitkan 1 e dengan 1 (0, 2) e N . 3. Hitung y berdasarkan model
1 i i i y x e      ,  dengan 0, 5   dan 2   .
4. Bangkitkan 2 e dengan   2
0, 2 e N . 5. Hitung d berdasarkan model
2 i i i d x e      ,  dengan 0, 5   dan 2   .
6. Ambil nilai z dengan syarat   min , i i i z y d  z_i= min(y_i; d_i).
7. Bentuk indikator tersensor 1 i   jika i i z y  dan 0 i   jika i i z d  .
8. Estimasi nilai a dan b dari:
a. RegresiLinear x mempengaruhi z .
b. Regresi Buckley-James x mempengaruhi z .
9. Lakukan replikasi untuk langkah ke-2 sampai ke-8.
10. Buat  boxplot  dari  hasil  langkah  ke-9 untuk  membandingkan  hasil  ketiga estimator.
Hasil boxplot estimasi dengan menggunakan regresi linear (linear model)  dengan estimasi  dengan regresi Buckley-James.
Gambar 3. Boxplot koefisien intersep model regresi linier dan regresi Buckley-James.
Gambar 4. Boxplot koefisien slope model regresi linier dan regresi Buckley-James.
Gambar  3 dan  Gambar 4 di  atas menunjukan  boxplot  estimasi koefisien a dan b dari simulasi data antara regresi linier  klasik  dengan  regresi Buckley- James.
Regresi  linear klasik  kurang  baik untuk  mengestimasi  data  jika  terdapat data  tersensor.  Terlihat  dari  boxplot untuk a dan b di  atas, nilai  median koefisien a dan b yang  diestimasi regresi  linier,  jauh  dari  nilai  parameter yang  telah  ditetapkan  sebelumnya  yaitu 0,5 a  dan 2 b  .
Sedangkan pada boxplot hasil estimasi dengan  menggunakan  regresi  Buckley- James,  sangat  baik  digunakan  untuk memodelkan  data  tersensor  karena nilai median hasil  estimasi  koefisien  regresi sangat dekat dengan nilai parameter yang ditetapkan  sebelumnya  yaitu 0,5 a  dan 2 b  . Tabel 1. Rata-rata dan variansi dari replikasi koefisien regresi hasil simulasi Rata-Rata Variansi Koef  a regresi linier 0,2588 0,1145 Koef  b regresi linier 2,0173 0,0010 Koef  a regresi BJ 0,4967 0,1430 Koef  b regresi BJ 2,0002 0,0012
Tabel  1 menyajikan  rata-rata  dan variansi  dari  replikasi  hasil  simulasi koefisien  regresi  linier  dan  regresi Buckley-James. Dari tabel 1 dapat dilihat bahwa  rata-rata  hasil  simulasi  untuk koefisien  intersep  pada  regresi  linier sebesar  0,2588  relatif  jauh  dari  nilai intersep yang ditentukan di awal simulasi yaitu  0,5.  Namun  untuk  koefisien  slope, sebesar  2,0173  sudah  mendekati  nilai simulasi yang ditentukan di awal yaitu 2.
Sedangkan untuk rata-rata koefisien hasil simulasi  dari  regresi  Buckley-James, masing-masing  untuk  intersep  sebesar 0,4967  dan  slope  sebesar  2,0002  sudah mendekati  nilai  intersep  dan  slope  yang ditentukan  di  awal  simulasi.  Dari  rata- rata  hasil  simulasi  juga  diperoleh  bahwa regresi Buckley-James dapat
mengakomodasi  adanya  data  tersensor dengan baik.

## Studi Kasus dan Analisis Data
Studi  kasus dan  analisa  data  pada bagian ini menggunakan data dari penelitian  [3]. Dalam  studi  kasus  ini diambil  variabel  waktu  (dalam  bulan) sebagai  variabel  dependen,  dan  usia (dalam tahun) sebagai variabel independen.  Diperoleh  hasil  sebagai berikut Tabel 2. Estimasi  koefisien  regresi  Buckley- James Koef S.E. Koef Wald Z Pr (>|Z|) Intercep 72,579 8,990 8,07 <0,0001 Usia -0,901 0,177 -5,09 <0,0001
Tabel 2 menyajikan  hasil  estimasi model  regresi  Buckley-James. Sehingga model  regresi  buckley-james  untuk  data penderita KNF yaitu:
72,579  0,901* tim ia e Us  
Nilai  signifikansi  untuk koefisien intersep  dan  usia  berada  di  bawah  nilai
0,05 sehingga koefisien intersep dan usia dapat masuk ke dalam model regresi. Pada model tersebut,
dapat disimpulkan  bahwa  waktu  sampai seseorang mengalami kematian karena serangan  jantung,  dipengaruhi  oleh usia. Bertambahnya 1 satuan usia akan semakin meningkatkan resiko mengalami  event  (meninggal), yaitu kenaikan  1  satuan  usia  pada  pasien KNF, akan mengurangi angka harapan hidup sebesar 0,901 bulan. Singkatnya semakin  tua  seseorang  semakin  cepat pula  seorang  pasien  akan  mengalami event (meninggal).

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan,  dapat  disimpulkan  sebagai
berikut :
1. Regresi  linier  kurang  baik  jika digunakan  untuk  memodelkan  data tersensor. 2. Regresi Buckley-James dapat memodelkan  data tersensor  dengan baik.  Selain  itu  regresi  Buckley-
James  memodelkan  variabel  depeden dan  variabel  independen  secara  linier Sehingga interpretasi regresi Buckley-James lebih mudah dipahami.
3. Dari  hasil  simulasi  terlihat  bahwa model  regresi  Buckley-James  dapat mengestimasi  data  tersensor  dengan baik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Buckley,  J., dan  James,  I., 1979, Linear regression with censored data. Biometrika, Vol. 66, 429-436.
[2] Cui, J., 2005, Buckley-James method for  analyzing  censored  data,  with  an application to a cardiovascular disease and  an HIV/AIDS study, The Stata Journal, Vol. 5, 517-526.
[3] Haroen, R. F., 2014, Angka Ketahanan  Hidup  3  Tahun  Pasien Karsinoma Nasofarings yang Mendapat Nonconcurrent Chemoradiotherapy di Bagian Telinga  Hidung  Tenggorok – Kepala Leher  RSUP  dr.  Sardjito  pada  Tahun 2008-2010, Skripsi, Fakultas Kedokteran, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
[4] Kleinbaum,  D.  G.,  dan  Klein,  M., 2005, Survival  Analysis  :  A  Self- Learning Text, Springer, New York.
[5] Smith, P. J. 2002. Analysis of Failure and  Survival  Data.  Boca  Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC.