## JMP : Vol. 9 No. 1, Juni 2017, hal. 61-68            ISSN 2085-1456

## STUDI SIMULASI : PERBANDINGAN UJI WELCH DAN UJI COHRAN- COX PADA MASALAH BEHRENS-FISHER
Sudartianto
Departemen Statistika, FMIPA UNPAD sudartianto@unpad.ac.id
Yudhi Andriyana
Departemen Statistika, FMIPA UNPAD y.andriyana@unpad.ac.id

## Riaman

## Departemen Matematika, FMIPA UNPAD
riaman@unpad.ac.id
ABSTRACT. Behrens-Fisher problem  has a lot  of  test, two of  them are Cohran-Cox test and Welch test. This study will examine the stability of both tests by comparing the significance levels of both tests to a specific (given) significance level. The result shows that  the  Welch  test  is  more  stable  than  the  Cochran-Cox  test  which  means  that theoretically Welch test is better than Cochran-Cox test.
Keywords : Behrens-Fisher problem, Cochran-Cox test, Welch  test.
ABSTRAK. Masalah  Behrens-Fisher  mempunyai  banyak  sekali    uji,  dua  di  antaranya adalah  uji  Cohran-Cox  dan  uji  Welch.  Penelitian  ini  akan  mengkaji  kedua  uji  tersebut, dengan  melihat  kestabilan  nilai  taraf  signifikansi,  dari  kedua  uji  tersebut,  kemudian dibandingkan dengan taraf signifikansi nominal yang kita kehendaki, untuk melihat mana yang  mempunyai  taraf  signifikansi  yang  lebih  stabil.  Hasilnya  terlihat  bahwa  uji  welch lebih stabil dibandingkan dengan uji Cochran-Cox, itu berarti secara teori uji Welch lebih baik dari pada uji Cochran-Cox.
Kata Kunci : Masalah Behren-Fisher, Uji Cochran-Cox, Uji Welch.

## 1. PENDAHULUAN
Salah  satu  masalah  yang  sering  timbul  bagi  para  peneliti  yang menggunakan  statistika,  adalah  membandingkan  rata-rata  dari  dua  populasi. Ketika  membandingkan  rata-rata    dari  dua  populasi  kadang-kadang  timbul persoalan, yaitu jika varians dari kedua populasi tersebut tidak sama, masalah ini sering disebut sebagai masalah Behrens-Fisher (Behren,1964) dan (Fisher, 1941), selain  itu  dalam  menguji  kesamaan  dua  rata-rata  juga  ada  asumsi  bahwa  kedua populasi tersebut mengikuti distribusi normal, sedangkan kedua sampel acak yang diambil dari masing-masing populasi  adalah bebas.
62                                                                                                              Sudartianto d.k.k.
Karena banyaknya pengujian untuk masalah Behrens-Fisher ini, maka kita perlu  mencari  yang  manakah  dari  pengujian-pengujian  tersebut  yang  merupakan pengujian  terbaik,  caranya  dengan  melihat  kestabilan  dari  ukuran  daerah  kritis untuk masing-masing pengujian, yang terbaik adalah pengujian yang mempunyai ukuran  daerah  kritis  yang  lebih  stabil  (Lee  A.F.S.  and  Gurland  J.  1975). Selanjutnya  juga  dari  ukuran-ukuran  daerah  kritis  yang  stabil  kita  akan bandingkan  kuasa  uji  dari  pengujian,  untuk    lebih  meyakinkan  kita  mana  yang merupakan  pengujian  terbaik,  di  dalam  makalah  ini  kami  ingin  membandingkan dua uji dalam masalah Behrens-Fisher yang banyak dipakai karena kesederhanaan dan kemudahannya dalam pemakaian, yaitu uji Cochran-Cox dan uji Welch.
Selanjutnya,  tujuan  dari  penelitian  ini  yang  ingin  dicapai  yaitu    ingin diketahui  dari  kedua  metode  tersebut,  metode  manakah  yang  merupakan  metode terbaik untuk masalah Behrens-Fisher.

## 2. METODE UNTUK MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA
Misalkan kita mempunyai dua populasi yang masing-masing berdistribusi normal  dengan  rata-rata µ 1 dan µ 2 serta    variansnya σ 1 2 dan σ 2 2 . Dari  tiap populasi  diambil  sampel  acak  yang  saling  bebas,  misalkan  sampel  acak  yang diambil  dari  populasi  kesatu  berukuran n 1 , dengan  rata-rata ̅ 1 dan    varians S 1 2 , sedangkan yang diambil dari populasi kedua berukuran n 2 dengan rata-rata ̅ 2 dan  varians S 2 2 .  Berdasarkan  sampel  tersebut  kita  akan  menguji  kesamaan  rata- rata  dari dua populasi.  Pada umumnya σ 1 2 dan σ 2 2 tidak diketahui, oleh sebab itu  harganya  ditaksir  oleh S 1 2 dan S 2 2 . Untuk  menguji  kesamaan  dua  rata-rata dari dua populasi normal dengan varians tidak sama digunakan statistik uji yaitu :
t’  = ( ̅ ̅ ) ( )
( ) (1)
Statistik  uji  ini  merupakan  statistik  uji  pendekatan  sebagai  solusi  dari  masalah Behrens-Fisher  karena  tidak  ada  yang  eksak.  Yang  menjadi  persoalan  adalah bagaimana  menentukan  distribusi  dari t’ seperti  pada  Persamaan    (1).    Untuk memudahkan pembahasan selanjutnya  digunakan notasi sebagai berikut :
n i = Ukuran sampel dari populasi ke i (i =1,2) .
̅ i = Rata-rata sampel dari populasi ke i.
d   = ̅ 1 – ̅ 2 = Selisih rata-rata sampel dari populasi ke 1 dengan rata-rata sampel dari populasi ke 2.
S i 2 = varians sampel dari populasi ke i f i =  n i – 1 = derajat kebebasan dari sampel ke i.
S d 2 = /n 1 + /n 2 = Gabungan varians dari sampel.
d 2 = 1 2/ n 1 + 2 2 /n 2 = Gabungan varians populasi.
δ= µ 1 - µ 2 = Selisih antara rata-rata populasi ke-1 dengan rata-rata populasi ke 2. Berdasarkan  notasi-notasi  di  atas,  maka  Persamaan  (1),    dapat  disederhanakan menjadi :
t' =  ( d- δ )/sd (2)

## 2.1 Uji Cochran-Cox
Cara  yang  sering  digunakan  untuk  menguji  hipotesis  tersebut  di  atas dikemukakan  oleh  Cochran  dan  Cox, dalam  (Hogg  and  Craig,  1978)  yang penjelasannya adalah sebagai berikut : titik kritisnya merupakan rata-rata dengan bobot untuk t (1-α/2 ; f1) dan t (1-α/2 ; f2) dalam hal ini bobotnya adalah λ 1 s 1 2 dan λ 2 s 2 2 , untuk λ i = 1/n i ; i = 1, 2  yakni :
V = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) (3)
Yang dalam hal ini, t (1-α/2  ;  f1) dan t (1-α/2  ;  f2) masing-masing merupakan nilai  yang diperoleh dari tabel  distribusi  student t dengan  derajat  kebebasan f 1 = n 1 - 1 dan f 2 = n 2 – 1 dengan  peluang 1-α/2. Dengan  demikian,  kriteria pengujiannya adalah : Terima H 0 jika –V ≤ t’ ≤ V, tolak H 0 dalam keadaan yang lainnya (Lauer G. N., 1971).

## 2.2 Uji Welch
Jika X 11 ,  X 12 ,  ...  X 1 n 1 dan X 21 ,  X 22,  ... X 2 n 2 merupakan  dua  sampel  acak yang saling bebas dari masing-masing populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata µ 1 dan µ 2 serta  variansnya σ 1 2 dan σ 2 2 , maka  berdasarkan uji  Welch
64                                                                                                              Sudartianto d.k.k.
dalam  (Welch,  B.L.  1949)  kriteria  uji  untuk  uji  Welch  adalah  terima  H 0 jika -t(1-α/2 ; ̂ ) ≤ t ‘ ≤ t(1- α/2 ; ̂ ) dan tolak H 0 dalam keadaan yang lainnya, untuk
̂ = ( ⁄ ) ( ) ( ) (4)
Uji Welch ini menurut (Derrick B. , Toher D., and White P. 2016) merupakan uji yang robust.

## 3. CARA MENCARI UKURAN DAERAH KRITIS  DAN KUASA UJI
Bila  R= diketahui  ukuran  daerah  kritis  dari  uji  yang  tergantung pada  R  yaitu  S(R)  dapat  dicari  (Lauer  G.N.,  1971),  untuk  kemudahan  kita gunakan uji pihak kanan,
S(R) = P[Tolak Ho │δ=0, R] = P[V 2 > [ ] 2 │ δ = 0, R]
dengan  w1 = : w2 = ; t 1 = ( ) dan t 2 = ( ) . Bila R diketahui,
S(R) dapat dicari.  Sudah diketahui bahwa :
~ x 2 (fi) ;  i = 1, 2
( ̅ ̅ ) ~ ( )
Semua di atas saling bebas
S(R) = P[ ( )
(  )
(  ) > ( (  ) (  ) )]
dengan
c= + ; = ; = ( (  ) (  ) ) = [ (  ) (  ) (  ) (  ) ] 2
Sehingga  bila  diketahui
dan  R  maka  ukuran  daerah  kritis  dari  uji Cochran-Cox  dapat  dicari,  sedangkan  power  dari  suatu  uji  dapat  ditulis  sebagai suatu  fungsi  dari  R,  dengan  pola  yang  sama  dengan  ukuran  daerah  kritis, ditunjukan oleh  P(R,  ) telihat sebagai bentuk
P(R,  ) = P[ Tolak H0 │ δ ]
= P [ (  ) (  ) (  ) > ( (  ) , (  ) ,  )]
Dimana
(  ) menggambarkan  peubah  acak
non  central  dengan  dk  =  1 dan parameter noncentralitas  , mudah dibuktikan bahwa ;
 = = ( ) 2 ( )
Sedangkan untuk uji Welch, untuk mencari ukuran daerah kritis dan kuasa ujinya hanya mencari nilai peluang dari : P[Tolak H0│ δ ] = P( t’ > t(1- α/2; ̂ )) dengan cara menggunakan interpolasi linier apabila diketahui nilai-nilai n 1 , n 2 , α dan R.

## 4. PERBANDINGAN UJI COCHRAN-COX DAN UJI WELCH
Sesuai  dengan  teori  statistika  diketahui  bahwa  pengujian  terbaik  adalah pengujian  yang  mempunyai  kuasa  uji  yang  terbesar  untuk  ukuran  daerah  kritis atau taraf signifikansi α hitung yang sama. Berdasarkan kriteria pengujian terbaik di  atas,  ternyata  dalam  hal  ini  kita  memperoleh  dua  pengujian  dengan  nilai  α hitung  yang  berbeda  oleh  sebab  itu  diambillah  perubahan  kriteria  yaitu  kita mencari nilai α hitung yang stabil untuk berbagai nilai n 1 , n 2, α dan R (Lee, A.F.S. and Gurland J. 1975) sehingga diperoleh hasil seperti Tabel 1. berikut :
Tabel 1. Perbandingan Ukuran Daerah Kritis antara Uji Cochran-Cox dan Uji Welch
n 1 n 2 α = 0.01 ; R = 1 α = 0.01 ;  R = 4 Uji Cohran-Cox Uji Welch Uji Cohran-Cox Uji Welch 3 3 0,0009 0,0009 0,0009 0,0009 3 5 0,0015 0,0016 0,0037 0,0038 3 7 0,0029 0,0030 0,0065 0,0066 3 9 0,0042 0,0042 0,0083 0,0083 5 3 0,0015 0,0016 0,0012 0,0014 5 5 0,0018 0,0019 0,0028 0,0030 5 7 0,0025 0,0026 0,0046 0,0047 5 9 0,0033 0,0035 0,0060 0,0062
66                                                                                                              Sudartianto d.k.k.
Lanjutan Tabel 1.
n 1 n 2 α = 0.05 ; R = 1 α = 0.05 ;  R = 4 Uji Cohran-Cox Uji Welch Uji Cohran-Cox Uji Welch 3 3 0,0126 0,0127 0,0171 0,0171 3 5 0.0204 0,0205 0,0317 0,0318 3 7 0,0265 0,0265 0,0388 0,0389 3 9 0,0310 0,0311 0,0425 0,0427 5 3 0.0204 0,0205 0,0190 0,0191 5 5 0,0241 0,0242 0,0301 0,0302 5 7 0,0281 0,0283 0,0364 0,0365 5 9 0,0312 0,0314 0,0401 0,0402
n 1 n 2
α = 0.10 ; R = 1 α = 0.10 ;  R = 4 Uji Cohran-Cox Uji Welch Uji Cohran-Cox Uji Welch 3 3 0,0432 0,0432 0,0537 0,0539 3 5 0,0577 0,0579 0,0756 0,0757 3 7 0,0668 0,0670 0,0844 0,0845 3 9 0,0728 0,0729 0,0888 0,0889 5 3 0,0577 0,0579 0,0566 0,0567 5 5 0,0656 0,0658 0,0750 0,0752 5 7 0,0716 0,0718 0,0832 0,0834 5 9 0,0758 0,0760 0,0876 0,0879
Dari hasil di atas, tampak terlihat bahwa uji Welch memiliki nilai α hitung  yang lebih stabil yang nilainya mendekati nilai α nominal sebesar 0.01, 0,05, 0,10 bila R =1 dan R=4, untuk memperkuat kesimpulan ini, kita lihat bagaimana kuasa uji untuk kedua uji tersebut, hasilnya seperti Tabel 2 berikut ini.
Tabel 2. Perbandingan Kuasa Uji Antara Uji Cochran-Cox Dengan Uji Welch
n 1 n 2 λ δ/σ 2 Uji Cochran- Cox Uji Welch 3 3 3,5 9,0 24,0 1,53 2,45 4,00 0,105 0,286 0,695 0,109 0,288 0,698 3 5 4,2 15,0 30,0 1,50 2,83 4,00 0,201 0,621 0,877 0,199 0,630 0,879 3 7 4,8 15,0 3,50 1,51 2,67 4,08 0,254 0,626 0,906 0,256 0,630 0,917 3 9 5,1 15,0 35,0 1,51 2,58 3,94 0,277 0,621 0,899 0,278 0,631 0,899 5 3 9,5 7,0 20,0 1,15 1,93 3,27 0,123 0,328 0,739 0,126 0,337 0,747 5 5 2,6 8,0 20,0 1,02 1,79 2,83 0,180 0,545 0,937 0,189 0,554 0,947 5 7 2,8 7,0 20,0 0,98 1,55 2,62 0,219 0,528 0,954 0,228 0,536 0,962 5 9 3,0 8,0 90,0 0,97 1,58 2,49 0,247 0,606 0,955 0,255 0,611 0,960
Berdasarkan  hasil  tersebut  di  atas  terlihat  bahwa  kuasa  uji  untuk  uji  Welch mempunyai nilai yang lebih besar dibandingkan dengan uji Cochran-Cox, dengan demikian dapat dikatakan secara teori uji Welch lebih baik dibandingkan dengan uji Cochan-Cox.

## 5. KESIMPULAN
Dari  uraian  yang  telah  diberikan    untuk  masalah  Behrens-Fisher  maka dengan ini dapat diambil beberapa kesimpulan .
a. Masalah  Behrens-Fisher  pada  umumnya  dipergunakan  jika  kedua  varians tersebut  berbeda  dan  tidak  diketahui.  Sedangkan  statistik  uji  untuk  masalah Behrens-Fisher sampai sekarang merpakan statistik uji pendekatan.
b. Untuk  mencari  pengujian  terbaik  dalam  masalah  Behrens  -Fisher,  maka  kita perlu mencari pengujian yang mempunyai taraf signifikansi atau ukuran daerah kritis dari  pengujian yang stabil dan kuasa ujinya cukup tinggi.
68                                                                                                              Sudartianto d.k.k.
c. Dari  hasil  di  atas  terlihat  bahwa  uji  Welch  lebih  baik  dari  pada  uji  Cochran- Cox.

## DAFTAR PUSTAKA
Aspin, A. A., An Examination and Further Development of a Formula Arising in the Problem of Comparing Two Mean Values , Biometrika , 35 (1983), 88- 96.
Behrens,  W.  U., The  Comparison  of  Means  of  Independent  Normal Distribution with Different Variances , Biometrics, 20 (1964), 16-27. Derrick, B., Toher, D., dan White, P., Why Welch’s Test is Type I Error Robust , The Quantitative Methoda for Psychology, 2016, 30-38.
Ekiz,  M.  dan  Gamgam  H., On  The  Comparison  of  The  Welch  Test  and  The Single-state Test : Simulation Study , Commun. Fac. Sci. Univ. Ank Series A1. 56 (2) (2007), 51-61.
Fisher, R. A., The Asymptotic to Behrens Integral, with Further Tables for the d Test of Significance , Annal Eugenics , 11 (2) (1941), 141-172.
Hogg,,  R.  V.  dan  Craig,  A.  T., Introduction  to  Mathematical  Statistics ,  Fourth Edition, Macmillan Publishing Co. Inc., New York, , 1978.
Lauer G. N., Power of Cochran’s Test in Behrens-Fisher Problems , Dissertation, Iowa State University, 1971.
Lee, A. F. S. dan Gurland J., Size and Power of Tests for Equality of Means  of Two  Normal  Population  with  Unequal  Variances ,  Journal  of-  American Statistical Association, 70 (1975), 933-941.
Wang  Y.  Y., Probabilities  of  the  Type  I  Errors  of  the  Welch  Tests  for  the Behrens-Fisher Problem, Journal  of American Statistical  Association , 66 (1971), 605-608.
Welch, B.  L., The Generalization of 'Students' Problem  When Several   Different Population Variances Are Involved , Biometrika, 36 (1949), 293-296.