## MODEL MATEMATIKA PADA PENYEBARAN MALARIA DI KALIMANTAN SELATAN

## Rahmi Hidayati, Faisal, Yuni Yulida *
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat *Email: y_yulida@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Malaria adalah penyakit menular yang disebabkan plasmodium melalui gigitan nyamuk Anopheles betina . Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan terbentuknya model penyebaran malaria di Kalimantan Selatan, menganalisis dan menginterpretasi tingkat infeksinya. Penelitian ini dilaksanakan dengan  mencari data kasus malaria kemudian  mengkaji model SIR, menentukan asumsi yang diperlukan, membentuk model SIR, menentukan kestabilan model dan menganalisis tingkat infeksi malaria dengan model matematika. Model penyebaran malaria di Kalimantan Selatan merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier. Pada model ini diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu bebas penyakit dan titik ekulibrium endemik.  Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik. Setelah dianalisis tingkat infeksi di Kalimantan Selatan untuk setiap kabupaten menggunakan model tersebut, diperoleh tingkat infeksi malaria paling rendah terjadi di Banjarmasin dan paling tinggi terjadi  di Kabupaten Balangan. Infeksi malaria mengalami penurunan setiap tahunnya sehingga infeksinya akan hilang seiring berjalannya waktu hal ini menjelaskan bahwa Kalimantan Selatan akan bebas dari infeksi malaria.
Kata Kunci : malaria, model SIR, titik ekuibrium, kestabilan, bilangan   reproduksi dasar

## 1. PENDAHULUAN
Pemberantasan malaria selalu dilakukan dan pencapaiannya sudah mengalami peningkatan, namun masih menjadi suatu masalah dan perlu upaya yang lebih keras untuk mencapai target bebas malaria 2020  [4]. Salah satu cara untuk memberantas penyakit yaitu dengan mengendalikanya. Pengendalian tersebut dapat dilakukan melalui pemodelan matematika. Ross pertama kali memodelkan penyebaran penyakit malaria menggunakan model matematika. Kemudian Kermack  &  McKendrick mengenalkan salah satu model epidemik dasar yaitu SIR  ( Susceptible, Infected, Recovered )[7].  Tingkat infeksi malaria dapat dianalisis dengan memodelkan penyebaran penyakit malaria menggunakan model SIR dan  melalui  bilangan reproduksi dasar  [8].  Bilangan reproduksi dasar merupakan parameter yang biasa digunakan dalam masalah penyebaran penyakit adalah Rasio Reproduksi Numbers atau Basic Reproduksi Numbers . Rasio Reproduksi merupakan rasio yang menunjukkan jumlah individu susceptible yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected [11].  Oleh karena itu, model yang akan dibahas pada penelitian ini  juga menggunakan model SIR dengan tujuan untuk menganalisa tingkat infeksinya untuk daerah Kalimantan Selatan.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier
Bentuk sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu sebagai berikut :
𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝑓 1 ( 𝑡 , 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 = 𝑓 2 ( 𝑡 , 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) ⋮ ... (1)
𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑛 ( 𝑡 , 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 )
dengan 𝑓 𝑗 ( 𝑡 , 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) ≠ 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 merupakan fungsi nonlinear yang kontinu pada interval 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 .
Persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut: 𝑑𝐱 𝑑𝑡 = 𝒇
( 𝑡 , 𝐱 ) ... (2)

## 2.2 Titik Ekuilibrium
Definisi 2.1.1[9] Titik 𝒙� ∈ ℝ 𝑛 disebut titik ekuilibrium jika pada persamaan (1) 𝒇 ( 𝑡 , 𝒙 ) = 𝟎 .
2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.2.1[6] 𝜆 disebut nilai eigen dari matriks A brukuran nxn jika terdapat x vektor tak nol maka,
𝑨𝒙 = 𝜆𝒙 ...(3)
dengan 𝒙 disebut sebagai vektor eigen dari matriks 𝑨 . Nilai eigen dan vektor eigen diperoleh dari 𝑨𝒙 = 𝜆𝒙 = 𝜆𝐼𝑥
( 𝑨 − 𝜆𝑰𝑰 ) 𝒙 = 𝟎 ... (4)
dengan 𝑰𝑰 merupakan matriks identitas. Persamaan (4) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
𝑑𝑒𝑡 ( 𝑨 − 𝜆𝑰𝑰 ) = 0 | 𝑨 − 𝜆𝑰𝑰 | = 0 ...(5)
Persamaan (5) disebut persamaan karakteristik dari matriks 𝑨 .
2.3 Linierisasi
Diberikan sistem persamaan diferensial biasa nonlinier  pada persamaan (2) tersebut, untuk melinierisasi sistem digunakan matriks Jacobian.
𝑱 = 𝜕𝑓 ( 𝑥� ) 𝜕𝑥 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 𝑛 ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 1 ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 2 ⋱ … ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 𝑛 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
... (6)
dengan 𝑱 adalah matriks Jacobian [3]
Teorema 2.3.1 [3] Jika 𝜆 𝑖 merupakan nilai eigen dari matriks Jacobian 𝑛 𝑥 𝑛 di titik kesetimbangan 𝒙� dan 𝑅𝑒 ( 𝜆 𝑖 ) merupakan bagian riil dari 𝜆 𝑖 maka:
1. Untuk setiap 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 , 𝑅𝑒 ( 𝜆 𝑖 ) < 0 maka 𝒙� stabil asimtotik
2. Jika terdapat 𝑅𝑒 ( 𝜆 𝑖 ) > 0 untuk suatu 𝑖 maka 𝒙� tidak stabil.

## 2.4 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar ( 𝑅 0 ) berfungsi untuk menginformasikan terjadinya penyebaran penyakit dan dapat menjadi parameter dalam memberikan strategi untuk
pengendalian penyakit. Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan dalam masalah penyebaran penyakit adalah Rasio Reproduksi Numbers atau Basic Reproduksi Numbers . Rasio Reproduksi merupakan rasio yang menunjukkan jumlah individu susceptible yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected .  Penyakit akan menyebar jika laju pertumbuhan Infected terhadap waktu lebih dari nol dan penyakit tidak akan menyebar jika laju pertumbuhan Infected (kelompok yang terinfeksi) terhadap waktu kurang dari nol [5, 11].

## 2.5 Malaria
Malaria disebabkan oleh parasit dari spesies Plasmodium . Parasit ditularkan ke manusia melalui gigitan nyamuk Anopheles betina.  Setelah  menggigit  manusia parasit berubah melalui siklus hidup yang kompleks. Parasit berkembang biak dalam hati dan aliran darah manusia. Setelah 10 sampai 15 hari nyamuk membawa parasit dan dapat menginfeksi orang baru. Sekitar 9 sampai 14 hari setelah digigit, akan muncul gejala malaria  [10].  Di Indonesia, secara umum terdapat 4 spesies  yaitu Plasmodium falcifarum dan Plasmodium vivax , Plasmodium  malariae , dan Plasmodium ovale dan pernah ditemukan kasus malaria yang disebabkan oleh Plasmodium ovale yang dilaporkan dari Flores [1].

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan dengan cara mengumpulkan referensi pendukung yang berkaitan dengan malaria, model SIR, titik ekuilibrium,  kestabilan,  bilangan reproduksi dasar  serta pengambilan data. Referensi tersebut dipelajari, dibahas dan dianalisis tingkat infeksi malarianya.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Penyebaran Malaria
Adapun asumsi-asumsi yang digunakan pada model penyebaran malaria sebagai berikut:
1. Populasi diasumsikan terbuka sehingga ada populasi yang bertambah (masuk) maupun berkurang (keluar) dari populasi tersebut.
2. Kelahiran dan kematian alami konstan.
3. Hanya terdapat penyakit malaria dalam populasi.
4. Penyakit menyebar melalui kontak antara individu dengan nyamuk.
5. Setiap individu yang lahir langsung masuk dalam kelompok susceptible .
6. Invividu yang terinfeksi malaria dapat sembuh dari penyakit dan dapat mengalami kematian  karena penyakit maupun secara alami.
7. Individu yang terinfeksi malaria dapat sembuh karena siklus malaria yang singkat dan adanya kekebalan tubuh alami.
Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah ditentukan, maka dibentuk diagram alir penyebaran malaria sebagai berikut :
Gambar 1. Alur Penyebaran Penyakit Malaria Dari kompartemen di atas, parameter-parameter yang digunakan pada model penyebaran malaria didefinisikan sebagai berikut :
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝐵 − 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝑆 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼 − 𝜇𝑅 ...(7)
Persamaan (7)  disebut sebagai model penyebaran malaria.  Model ini merujuk pada Model Malaria yang dipaparkan oleh Momoh, A.A., dkk. 2012. Berikut keterangan untuk variabel dan parameter yang digunakan pada Model.
S : Jumlah populasi yang rentan terhadap penyakit malaria
I : Jumlah populasi yang sakit (terinfeksi) penyakit malaria R : Jumlah populasi yang sembuh dari penyakit malaria 𝐵 : jumlah kelahiran individu (konstan) 𝛽 : laju penularan penyakit malaria 𝛼 : laju kesembuhan penyakit malaria
𝜇 : laju kematian alami
𝑚 : laju kematian karena penyakit malaria

## 4.2 Titik Ekuilibrium Model Penyebaran Malaria
Model penyebaran malaria ini mempunyai dua titik ekuilibrium yaitu 𝐸 0 = � 𝐵 𝜇 ,0,0 � dan 𝐸 1 = � ( 𝛼+𝑚+𝜇 ) 𝛽 , 𝐵𝛽−𝜇 ( 𝛼+𝑚+𝜇 ) 𝛽 ( 𝛼+𝑚+𝜇 ) , 𝐵𝛽𝛼−𝜇𝛼 ( 𝛼+𝑚+𝜇 ) 𝛽𝜇 ( 𝛼+𝑚+𝜇 ) � .

## 4.3 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar ( 𝑅 0 ) adalah suatu parameter yang digunakan untuk mengetahui penyebaran penyakit. 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 = 𝛽 ( 𝛼+𝑚+𝜇 ) ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝑆𝐼 − 𝐼 ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 )
misal 𝑅 0 = 𝛽 ( 𝛼+𝑚+𝜇 ) 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑅 0 ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝑆𝐼 − 𝐼 ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 )
nilai 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = [ 𝑅 0 𝑆 − 1] 𝐼 ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) < 0 = [ 𝑅 0 𝑆 − 1] 𝐼 ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) < 0 karena ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) > 0, 𝐼 > 0 maka 𝑅 0 𝑆 − 1 <  0
𝑩𝑩 𝝁𝝁 𝑺𝑺 𝝁𝝁 𝑹𝑹 𝜷𝜷 𝒎𝒎 𝝁𝝁 𝑰𝑰 𝜶𝜶
𝑅 0 𝑆 <  1 𝑅 0 < 1 𝑆 ...(8)
dengan 𝑆 adalah jumlah populasi yang rentan. Dari persamaan (8), jelas bahwa 𝑅 0 < 1 𝑆 artinya  tingkat infeksi penyakit akan hilang seiring waktu.

## 4.4 Kestabilan di Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
𝑱 = � −𝛽𝐼 − 𝜇 −𝛽𝑆 0 𝛽𝐼 𝛽𝑆 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 )   0 0 𝛼 −𝜇 � | 𝑱 − 𝝀𝑰𝑰 | = 0 𝑱 = � −𝛽𝐼 − 𝜇 − 𝜆 −𝛽𝑆 0 𝛽𝐼 𝛽𝑆 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) − 𝜆 0 0 𝛼 −𝜇 − 𝜆 � = ( −𝛽𝐼 − 𝜇 − 𝜆 )[ 𝛽𝑆 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) − 𝜆 ]( −𝜇 − 𝜆 ) − 𝜇𝛽 2 𝐼𝑆 − 𝜆𝛽 2 𝐼𝑆 = 0 ...(9)
substitusi 𝐸 0 = � 𝐵 𝜇 , 0,0 � ke persamaan (9) sehingga diperoleh :
𝜆 1 , 2 = −𝜇 atau 𝜆 3 = 𝛽 𝐵 𝜇 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 )
Berdasarkan  Teorema 2.3.1 titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik  jika 𝑅 0 < 𝜇 𝐵 .

## 4.5 Analisis Tingkat Infeksi Malaria di Kalimantan Selatan
Analisis tingkat infeksi malaria dilakukan menggunakan sebuah parameter 𝑅 0 , untuk mendapatkan parameter tersebut dilakukan perhitungan sebagai berikut. Jumlah populasi terinfeksi akan bernilai konstan jika 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0
Sehingga diperoleh
𝑑𝐼
𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 = 𝛽 ( 𝛼 + 𝑑 + 𝜇 ) ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝑆𝐼 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 = 𝑅 0 ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝑆𝐼 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 ⟺ [ 𝑅 0 𝑆 − 1] ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 = 0 karena ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 ≠ 0 maka
𝑅 0 𝑆 − 1 = 0 ⇔ 𝑅 0 𝑆 = 1 ⇔ 𝑅 0 = 1 𝑆 ...(10)
Tingkat infeksi akan menurun ketika 𝑅 0 < 1 𝑆 . Pada persamaan (10)  dan  persamaan (8)  dapat dimisalkan 𝑅 0 = 𝐾 𝑆 dengan
0 < 𝐾 ≤ 1 . 𝐾 adalah  nilai kemungkinan agar populasi tetap konstan atau tidak menyebar.  Jika 𝑅 0 > 1 𝑆 maka penyakit akan mewabah.
Selanjutnya pada Model (7), karena Sub Populasi yang sembuh dari penyakit malaria ( R ) tidak mempengaruhi Populasi  Terinfeksi ( 𝐼 ) dan  dan Rentan ( 𝑆 )  maka
analisa berikut tidak menampilkan populasi yang sembuh ( R ) . Berikut data penyakit malaria di Kalimantan Selatan.
Tabel 1. Jumlah Populasi yang Terinfeksi ( 𝐼 ) dan Rentan ( 𝑆 ) Tahun 2012-2016 [2]
No. Kabupaten/Kota Populasi Tahun 2012 Tahun 2013 Tahun 2014 Tahun 2015  Tahun 2016 𝐼 𝑆 𝐼 𝑆 𝐼 𝑆 𝐼 𝑆 𝐼 𝑆 1 Tanah Laut 1013  307497  450  313275  291  318807  119  324164  74  329212 2 Kotabaru 1416  301566  1447  307283  1122  313370  297  319911  174  325653 3 Banjar 651  526544  652  535676  578  544819  179  554264  176  562886 4 Barito Kuala 466  285129  227  289768 88 294021  44  298238  18  302286 5 Tapin 357  173512  406  176062  204  178962  111  181667  101  184229 6 Hulu Sungai Selatan 441  218456  308  221306  213  224261  71  227082  42  229847 7 Hulu Sungai Tengah 227  250478  182  253686  187  256920  114  260178  65  263311 8 Hulu Sungai Utara  155  215825  78  219132 66 222248  44  225342  38  228490 9 Tabalong 1278  226436  1139  230579  1711  234066  1711  237882  938  242539 10  Tanah Bumbu 3332  291700  1586  304599  451  315364  256  324859  166  334148 11  Balangan 79 117009  119  119052  251  121067  309  123140  299  125235 12  Banjarmasin 52 647351  40  656738 31 666192 7 675433 3  684180 13  Banjarbaru 274  213737  162  220533 74 227426  139  234232 8  241361
Berdasarkan Data pada Tabel 1 dan rumusan nilai 𝑅 0 menggunakan persamaan (10) maka penyebaran  tingkat infeksi  malaria di Kalimantan Selatan disajikan sebagai berikut.
Gambar 2. Penyebaran tingkat infeksi malaria untuk 𝐾 = 1 (populasi terinfeksi tetap ada dalam populasi tetapi tidak mewabah )
0,00000000 0,00000100 0,00000200 0,00000300 0,00000400 0,00000500 0,00000600 0,00000700 0,00000800 0,00000900 B il anga n R ep ro d uks i D as ar Kabupaten/Kota Tahun 2012 Tahun 2013 Tahun 2014
Tahun 2015 Tahun 2016
Gambar 3. Penyebaran tingkat infeksi malaria untuk 𝐾 = 0,5 (populasi terinfeksi semakin menurun)
Berdasarkan gambar 2 dan 3  dengan nilai 𝐾 yang semakin kecil maka nilai 𝑅 0 pada setiap Kabupaten/Kota juga semakin kecil setiap tahunnya.  Berdasarkan nilai 𝑅 0 yang diperoleh memberikan informasi bahwa tingkat infeksi malaria paling rendah terjadi di Kota Banjarmasin karena nilai 𝑅 0 paling kecil  sedangkan tingkat infeksi malaria paling tinggi terjadi di Kabupaten Balangan karena nilai 𝑅 0 paling besar.

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat ditarik dari hasil penelitian adalah sebagai berikut :
1. Model penyebaran malaria di Kalimantan Selatan sebagai berikut : 𝑑𝑆
𝑑𝑡 = 𝐵 − 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝑆 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − ( 𝛼 + 𝑚 + 𝜇 ) 𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼 − 𝜇𝑅
2. Tingkat infeksi malaria paling rendah terjadi  di Kota Banjarmasin karena nilai bilangan reproduksi dasarnya paling kecil. Sedangkan tingkat infeksi malaria paling tinggi terjadi di Kabupaten Balangan karena nilai bilangan reproduksi dasarnya paling besar.
3. Infeksi malaria  di Kalimantan Selatan  mengalami penurunan setiap tahunnya berdasarkan  nilai bilangan reproduksi dasar  yang semakin kecil setiap tahun yang diamati.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Arsin, A.A. 2012. Malaria di Indonesia Tinjauan Aspek Epidemiologi . Masagena Press, Makassar.
[2] Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Kalimantan Selatan. https://kalsel.bps.go.id/linkTableDinamis/view/id/874
(diakses tanggal 15 Februari 2017)
0,00000000 0,00000100 0,00000200 0,00000300 0,00000400 0,00000500 B il anga n R ep ro d uks i D as ar Kabupaten/Kota Tahun 2012 Tahun 2013 Tahun 2014
Tahun 2015 Tahun 2016
[3] Bellomo, N.& L. Preziosi. 1995. Modelling Mathematical Method and Scientific Computation . CRC press, Florida.
[4] Dinas Kesehatan Kalimantan Selatan. 2016. Rencana Strategis Dinas Kesehatan Provinsi Kalimantan Selatan . Dinkes Kalsel, Banjarmasin.
[5]  Driessche, P & Watmough, J  .2005. Reproduction Numbers and Sub-Threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission . Mathematical Bioscience.
[6] Edward, C.H & Penny, D,E. 2005. Differential Equation & Linear Algebra Edisi Kedua . Peason Prentice Hall, Amerika.
[7] Kermack, W. O. & McKendrick, A.G. 1927 . Contributions to the Mathematical Theory of Epidemics . Pross. Royal Soc.A. 115. 700-721.
[8]  Momoh, A.A., dkk. 2012. Mathematical Modelling of Malaria Transmission in North Senatorial Zone of Taraba State Nigeria . IOSR Journal of Matematics. 3.7-13.
[9]  Perko, L. 1991. Differential Equation an Dynamical systems . Text in Apllied Mathematic vol 7. Springer-Verlag, New York, USA.
[10]Rollback.  2010. Mathematical Modelling to Support Malaria Control and Elimination . WHO Library Cataloguin, Switzerland.
[11] Yulida, Y., Faisal dan Anggraini, D.  2011. Model Epidemik Dua Penyakit Dalam Satu Populas i. Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Vol.5 No.1 Hal.31-42.