Vol. 14, No. 1,  28-36,  Juli  2017
Model Matematika Kecanduan Terhadap Rokok

## Kasbawati 

## Abstrak
Makalah ini mengangkat masalah tentang model matematika untuk kasus kecanduan terhadap rokok.  Masalah  ini  sebelumnya  telah  diteliti  oleh  Castillo-Garsow,  Jordan-Salivia  dan Rodriguez-Herrera  (2000),  tetapi  tanpa  mempertimbangkan  faktor gender .  Dalam  tulisan  ini penelitian  dibatasi  dalam  populasi  tertutup  dan  populasi  dibagi  berdasarkan  faktor  gender, yaitu populasi pria dan wanita. Tiap populasi dibagi menjadi tiga sub populasi, yaitu perokok potensial, perokok (perokok berat) dan perokok yang berhenti merokok. Analisis kualitatif dan kuantitatif  dilakukan  untuk  mengetahui  kelakuan  solusi  model,  dan  seberapa  cepat  laju perubahan jumlah perokok jika dilakukan kontrol dan jika tidak dilakukan kontrol.
Kata Kunci : Model SIR, basic reproductive number.

## 1. Pendahuluan
Model  kecanduan  terhadap  rokok  dibentuk  menggunakan  model  dasar  dalam matematika epidemiologi yaitu model SIR ( Susceptible, Infective, Removed ), dimana model SIR tersebut  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Kermack  dan  McKendrick  pada  tahun  1927  [2,4]. Model  untuk  masalah  kebiasaan  merokok  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Castillo-Garsow, Jordan-Salivia  dan  Rodriguez-Herrera  ([3])  yang  melakukan  simulasi  pada  model  ini  dengan menggunakan data perokok di Swedia. Model yang diperkenalkan tersebut tidak meninjau faktor gender  yang  ada  dalam  populasi  perokok.  Pada  tulisan  ini  model  tersebut  akan  dikembangkan dengan  memasukkan  faktor  gender.  Analisis  kualitatif  dan  kuantitatif  akan  dilakukan  untuk mengetahui  kelakukan  solusi  model  dan  mengkaji  lebih jauh  faktor-faktor  yang  dapat  dikontrol untuk mengurangi jumlah perokok.

## 2.  Pembentukan Model
Mengingat  banyaknya  faktor  penyebab  seseorang  kecanduan  untuk  merokok  maka diperlukan  beberapa  asumsi  untuk  menyederhanakan  masalah.  Berikut  asumsi-asumsi  yang dipergunakan untuk memodelkan masalah kebiasaan merokok tersebut.
1. Populasi  dalam  sistem  dibagi  menjadi  dua  sub  populasi  yaitu,  populasi  pria  ( male ) dilambangkan dengan m , populasi wanita ( female ) dilambangkan dengan f .
2. Sub  populasi  pria  dibagi  menjadi  tiga  kelas  populasi,  pria  potensial  yaitu  pria  yang  jarang merokok atau belum pernah merokok dan berpotensi menjadi perokok aktif jika berinteraksi dengan  pria  perokok  aktif,  dilambangkan  dengan m P ~ ;  pria  perokok  aktif  yaitu  pria  yang merokok  setiap  hari  dan  menjadi  penyebab  bertambahnya  jumlah  perokok,  dilambangkan dengan m S ~ ; dan pria yang berhenti merokok dilambangkan dengan m R ~ . Begitupula dengan
 Staf Pengajar pada Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar ;
e-mail : kasbawati_sains_98@yahoo.com

## Kasbawati
sub  populasi  wanita,  dibagi  menjadi  tiga  kelas  populasi,  wanita  potensial  yaitu wanita  yang jarang  merokok  atau  belum  pernah  merokok  dan  berpotensi  menjadi  perokok  aktif  jika berinteraksi dengan pria perokok aktif, dilambangkan dengan f P ~ , wanita perokok aktif tetapi tidak  berpotensi  untuk  menyebabkan  pertambahan  jumlah  perokok,  dilambangkan  dengan
f S ~ , dan wanita yang berhenti merokok dilambangkan dengan f R ~ .
3. Banyaknya  populasi, N ( t ),  setiap  saat  dianggap  konstan  sehingga  rata-rata  jumlah  populasi yang masuk ke dalam sistem ( N  ) akan sama dengan rata-rata jumlah populasi yang keluar dari tiap kelas ( R ~ , S ~ , P ~    ), dengan  1 menyatakan waktu rata-rata seseorang akan berada dalam sistem. Diasumsikan pula bahwa      f m .
4. Seseorang  akan  menjadi  perokok  aktif  hanya  jika  berinteraksi  dengan  pria  perokok  aktif. Dengan  kata  lain,  jika  seseorang,  pria  atau  wanita  potensial,  bergaul  dengan  pria  perokok aktif  maka  orang  tersebut  akan  menjadi  perokok  pula  karena  dipicu  oleh  keinginan  untuk mencoba.  Akibatnya  ada  dua  parameter  yang  mempengaruhi  interaksi  tersebut  yaitu parameter  kontak  ( c )  didefinisikan  sebagai  rata-rata  banyaknya  interaksi  secara  acak  yaitu berupa  pergaulan  antara  pria  perokok  aktif  dengan  pria  atau  wanita  potensial  per  satuan waktu  dengan  peluang  berhasilnya  kontak  sebesar  (konstan).  Interaksi  ini  dapat digambarkan dalam bentuk perkalian antara P dan S dengan hanya melibatkan suku linier dari masing-masing P dan S yaitu 5.
m m N S ~ m m P ~ ~  dan m m N S ~ f f P ~ ~ 
dengan m m m c ~    dan f f f c ~    .
6. Pria  atau  wanita  perokok  yang  berhenti  merokok  ( recover )  tidak  dapat  dimasukkan  dalam kelas  potensial  karena  dianggap  bahwa  kebiasaan  merokok  tersebut  dapat  kambuh  kembali walaupun  tanpa  berinteraksi  dengan  pria  perokok  aktif.  Ini  digambarkan  oleh m m S ~ ~  dan
f f S ~ ~  ,  dengan  ~ / 1 merupakan  waktu  rata-rata  seseorang  akan  berhenti  merokok.
Diasumsikan  pula  bahwa  kebiasaan  merokok  tersebut  tidak  akan  kambuh  kembali  karena adanya kesadaran seseorang pada efek rokok bagi kesehatan.
Berdasarkan  asumsi-asumsi  di  atas  maka  model  dapat  dideskripsikan  oleh  diagram skematik dalam Gambar 1 berikut.
Gambar 1. Diagram Skematik Model Kecanduan terhadap Rokok. Untuk  memudahkan  pada  pembahasan  selanjutnya  kita  akan  membuat  model  yang  tidak bergantung pada dimensi. Definiskan peubah
Kasbawati
        t , R , S , P , R , S , P f f f f f f m m m m m m N R ~ f N S ~ f N P ~ f N R ~ m N S ~ m N P ~ m (1)
dan parameter-parameter
      ~ ~ ,   (2)
Model  matematika  tak  berdimensi  berdasarkan  diagram  skematik  pada  Gambar  1  untuk  peubah (1), dan parameter (2) diberikan oleh sistem persamaan diferensial:
(3)
Persamaan (3) dilengkapi dengan kondisi awal
, ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( 0 0 0 0 f f m m m m m m P P R R S S P P     0 0 ) 0 ( , ) 0 ( f f f f R R S S   dengan 1 0 0 0    m m m R S P dan 1 0 0 0    f f f R S P

## 3. Analisis dan Hasil

## 3.1. Titik Tetap Tak Endemik dan Analisis Kestabilan
Pada bagian ini, analisis akan difokuskan pada populasi pria perokok  karena populasi ini  yang  mengakibatkan  munculnya  kasus  kedua  dalam  hal  ini  munculnya  perokok  aktif  baru. Titik  tetap  tak  endemik  merupakan  salah  satu  solusi  kesetimbangan  sistem  yang  memberikan makna bahwa untuk jangka waktu yang lama lingkungan atau komunitas tertentu akan bebas dari perokok  aktif.  Titik  tersebut  adalah ) 0 , 0 , 1 ( ) , , ( * * *  m m m
R S P .  Kestabilan  titik  tetap  tak  endemik ini dapat ditentukan melalui analisis kestabilan linear yang dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema 1.
Misalkan ) 0 , 0 , 1 ( ) , , ( * * *  m m m R S P adalah  titik  tetap  tak  endemic  dari  sistem ( 3.1 )-( 3.3 ). Titik tetap tak endemik tersebut stabil asimtotik secara lokal jika dan hanya jika 1 0  R , dengan nilai
1 0     m m R .
Bukti:
 

## 
Pelinieran  sistem  (3.1)-(3.3)  di  sekitar  titik  tetap
) 0 , 0 , 1 ( ) , , ( * * *  m m m R S P menghasilkan  matriks Jacobi:
Nilai eigen matriks Jacobi tersebut dapat diperoleh dari solusi persamaan karakteristiknya, yaitu
Dari persamaan karakteristik di atas diperoleh nilai eigen
1 , 1 , 1 3 2 1             m m
Karena  diketahui  bahwa  titik  tetap  sistem  stabil  asimtotik  secara  lokal  maka 3  juga  bernilai negatif yaitu
0 1
3        m m
atau
1 1     m m
Jika didefinisikan
1 : 0     m m R , maka diperoleh nilai 1 0  R , dengan nilai 1 0     m m R . Jadi
terbukti bahwa jika titik tetap tak endemik stabil asimtotik secara lokal, maka
1 0  R . ¤

##   
Tinjau persamaan karakteristik di atas. Dari persamaan karakteristik tersebut diperoleh nilai eigen 1 , 1 , 1 3 2 1             m m .  Agar  titik  tetap  sistem stabil  maka  nilai  eigen 3 
haruslah  bernilai  negatif.  Misalkan
1 0    
m m R .  Karena  diketahui 1 0  R maka 0 1      m m .  Jadi  diperoleh 0 1 3        m m .  Karena  ketiga  nilai  eigen  negatif, akibatnya  sistem  akan  stabil  asimtotik  secara  lokal.  Jadi  terbukti  bahwa  jika 1 0  R maka  titik tetap tak endemik sistem stabil asimtotik secara lokal. ¤.

## 3.2. Titik Tetap Endemik dan Analisis Kestabilan
Titik  tetap  endemik  juga  merupakan  solusi  kesetimbangan  sistem  yang  memberikan makna bahwa untuk jangka waktu yang lama, dalam lingkungan atau komunitas tertentu, populasi perokok  akan  selalu  ada  dan  berpeluang  untuk  menyebabkan  orang  lain  menjadi  perokok  aktif pula.
Dengan membuat persamaan (3.1) - (3.3) sama dengan nol, maka diperoleh titik tetap yang  kedua  berupa  titik  tetap  endemik,  yaitu
  m m m R R R m m m R S P       ) 1 ( ) 1 ( 1 * * * * * * 0 0 0 , , ) , , ( dengan
1 0     m m R .  Seperti  halnya  dengan  titik  tetap  tak  endemik,  syarat  kestabilan  titik  endemik dapat ditentukan melalui analisis kestabilan linier yang dituangkan dalam teorema berikut.

## Teorema 2
Misalkan ) , , ( * * * * * * m m m R S P adalah  titik  tetap  endemik  dari sistem  (3.1)-(3.3).  Titik  tetap  endemik tersebut  akan  stabil  asimtotik  secara  lokal  jika  dan  hanya  jika  R 0 > 1 ,  dengan  nilai
1 0     m m R .
Bukti:
 

## 
Pelinieran sistem (3.1)-(3.3) di sekitar titik tetap
) , , ( * * * * * * m m m R S P menghasilkan matriks Jacobi:
Nilai eigen matriks Jacobi tersebut dapat diperoleh dari solusi persamaan karakteristiknya yaitu
Dari persamaan karakteristik di atas diperoleh nilai eigen
1 1    dan persamaan kuadrat 0 2      b a (4)
Kasbawati
dengan 0 ) 1 ( , 0 0 R m R b R a     .  Persamaan  kuadrat  tersebut    akan  mempunyai  dua  akar  real yang  negatif,  atau  dua  akar  kompleks  dengan  bagian  real  yang  negatif  jika  dan  hanya  jika koefisien    a,  b  >  0.  Karena  diketahui  bahwa  titik  tetap  endemik  sistem  stabil  asimtotik  secara lokal,  maka  dua  nilai  eigen  lainnya  bernilai  negatif.  Atau  dengan  kata  lain  koefisien  dari persamaan  kuadrat  tersebut,  a,  b  >  0.  Akibatnya  diperoleh  nilai  R 0 >  1,  dengan 1 0     m m R .
Jadi terbukti bahwa jika titik tetap endemik sistem stabil asimtotik secara local maka R0 > 1.¤,
  
Tinjau  persamaan  karakteristik  di  atas  dengan  nilai  eigen 1 1    ,  dan  persamaan  kuadrat  (4) dengan
0 ) 1 ( , 0 0 R m R b R a     .    Agar  titik  tetap  endemik  stabil  maka  dua  nilai  eigen  lainnya
haruslah bernilai negatif. Karena diketahui R0 > 1, dengan nilai
1 0    
m m R maka nilai a>0 dan b>0.  Akibatnya  persamaan  kuadrat  (4)  menghasilkan  dua  akar  real  yang  negatif  atau  dua  akar kompleks  dengan  bagian  real  yang  negatif.  Karena  ketiga  nilai  eigen  negatif  maka  titik  tetap endemik akan stabil asimtotik. Jadi terbukti bahwa jika  R0 > 1 maka titik tetap endemik sistem stabil asimtotik secara lokal.¤

## 3.3. Basic Reproductive Number ( R 0 )
Dalam  masalah  kebiasaan  merokok, R 0 dapat  dinyatakan  sebagai  rata-rata  banyaknya kasus  kedua  (kasus  sekunder)  yang  dihasilkan  oleh  seorang  perokok  aktif,  pada  saat  ia berinteraksi dalam sebuah populasi yang potensial. Nilai R 0 sistem dapat diperoleh melalui syarat kestabilan  titik  tak  endemik  atau  titik  endemik,  karena  stabil  atau  tidaknya  kedua  titik  tersebut ditentukan  melalui  besar  kecilnya  nilai R 0 .  Tinjau  nilai R 0 yang  telah  diperoleh  dari  syarat kestabilan kedua titik tetap yaitu
1 0     m m R (5)
dengan m  adalah rata-rata kontak, dan 1 1   m adalah periode terjadinya kontak. Secara umum, R 0 sistem  bergantung  pada  parameter m  dan m  .  Besar  kecilnya  nilai R 0 dapat  ditentukan dengan cara mengetahui ambang batas dari tiap parameter atau kebergantungan antara parameter m  dengan m  .  Jika R 0 =  1,  yang  merupakan  titik  bifurkasi  sistem  ( turning  point ),  maka diperoleh  persamaan 1     m m .  Gambar  berikut    memperlihatkan    hubungan    antara parameter m  dengan m  untuk nilai R 0 = 1.
m  m  1 1 0  R 1 0  R Gambar 2. Grafik m  terhadap m  , dengan nilai R 0 = 1.
Endemik terjadi jika R 0 > 1 dan tak endemik jika R 0 < 1.
Dari Gambar 2 di atas dapat dilihat bahwa jika nilai m  < 1 maka nilai R 0 akan selalu kecil dari 1, untuk setiap nilai m  > 0. Sebaliknya, jika nilai m  cukup besar, maka R 0 akan kecil dari 1 jika dan hanya jika nilai m  juga besar. Ini berarti bahwa jika terjadi kontak yang cukup besar antara pria  perokok  aktif  dengan  subpopulasi  potensial  maka  rata-rata  jumlah  populasi  yang  berhenti merokok juga harus besar sehingga untuk jangka waktu yang lama endemik tidak terjadi dalam sistem. Tetapi jika kontak yang terjadi cukup kecil maka untuk jangka waktu yang lama endemik tidak akan terjadi dalam sistem. Jadi pada kondisi yang stasioner jika nilai R 0 cukup besar dalam hal ini  kontak dengan pria perokok aktif ( m  ) cukup besar, maka jumlah orang yang  merokok akan bertambah banyak sehingga endemik akan terjadi. Tetapi jika kontak dengan pria perokok cukup  kecil,  maka  jumlah  orang  yang  merokok  akan  berkurang  sehingga  endemik  dalam  suatu populasi tidak akan terjadi.

## 4. Simulasi Numerik
Pada  bagian  ini,  akan  dilakukan  simulasi  dengan  menggunakan  nilai  parameter  yang telah diperoleh di [5] untuk simulasi, yaitu 072 . 2 , 018 . 3 , 072 . 1 , 145 . 1
        f m f m .
Nilai tersebut merupakan hasil estimasi yang menggunakan data perokok di Great Briatin.
Dengan  menggunakan  nilai  parameter  tersebut  diperoleh R 0 =1.406,  yang  berarti  titik tetap tak endemik tidak stabil dan titik tetap endemik stabil asimtotik secara lokal, sehingga untuk waktu  yang  cukup  besar  solusi  model  akan  menuju  ke  titik  tetap  endemik  tersebut.  Kelakuan solusinya dapat dilihat dalam Gambar 3 berikut.
Gambar 3.  Grafik Solusi dengan Nilai Awal Pm (0) = 0.26, Sm (0) = 0.51,
1 2 3 4 5 t 0.2 0.4 0.6 0.8 R 0 1.406 1 Rf t Sf t Pf t Rm t Sm t Pm t
Rm (0) = 0.23, Pf (0) = 0.48, Sf (0) = 0.41, Rf (0) = 0.11
Dari  gambar  di  atas  dapat  dilihat  bahwa  untuk  waktu  yang  stasioner  jumlah  pria  dan  wanita perokok selalu ada. Hal ini juga dapat dilihat dengan jelas dalam bidang fase antara sub populasi pria dan wanita perokok berikut.
Gambar 4. Bidang Fase antara Sub populasi Pria dan Wanita Perokok.
Jika  nilai m  diturunkan  sebesar  10%,  yaitu  menjadi  0.3018,  maka  akan  diperoleh  nilai R 0 =0.1406, yang berarti bahwa titik tetap tak endemik akan stabil asimtotik secara lokal dan titik tetap endemik tidak stabil sehingga untuk t yang cukup besar, solusi model akan menuju ke titik tetap tak endemik tersebut. Jadi untuk waktu yang stasioner jumlah pria perokok aktif akan hilang sama sekali dari populasi sehingga endemik tidak akan terjadi. Kelakuan solusinya dapat dilihat dalam Gambar 5 berikut.
Gambar 5.   Grafik Solusi dengan Nilai Awal Pm (0) = 0.26, Sm (0) = 0.51,
Rm (0) = 0.23, Pf (0) = 0.48, Sf (0) = 0.41, Rf (0) = 0.11 dan Nilai
m  yang Diturunkan Sebesar 10%, dari 3.018 Menjadi 0.3018.
1 2 3 4 5 t 0.2 0.4 0.6 0.8 1 R 0 0.1406 1 Rf t Sf t Pf t Rm t Sm t Pm t

## 5. Kesimpulan
Dari  hasil  analisis  di  atas  dapat  disimpulkan  bahwa  jika  rata-rata  kontak  antara  pria potensial atau wanita potensial dengan pria perokok aktif per individu per tahun dapat dikontrol maka untuk kondisi yang stasioner endemik dalam suatu populasi tidak akan terjadi, yang berarti bahwa populasi perokok dapat direduksi dari sistem yang kita amati.

## Daftar Pustaka
[1] W.  E.  Boyce  &  R.C.  DiPrima.  1992. Elementary  Differential  Equations  and  Boundary Value Problems . Fifth Edition. John Wiley & Sons, Inc, New York.
[2] F.  Brauer  &  Castillo,  Carlos-Chavez.  2001. Mathematical  Models  in  Population  Biology and Epidemologi . Springer-Verlag Inc., New York.
[3] C.  Castillo-Garsow,  S.G.  Jordan,  R.A.  Herrera.  2000.  Mathematical  models  for  the dynamics  of  tobacco  use,  recovery  and  relapse. Technical  Report  Series ,  BU-1505-M. Cornell University.
[4] O. Diekmann, J.A.P. Heesterbeek. 2000. Mathematical Epidemiology of Infectious Disease . John Wiley & Sons Ltd., Chicester.
[5] Kasbawati,  A.Y.  Gunawan.  2007.  A  dynamical  model  for  controlling  the  increase  the smoker population. Submit to MIHMI .
[6] J.D.  Murray.  1993. Mathematical  Biology,  Biomathematics  Texts .  Second,  Corrected Edition. Springer-Verlag Inc., New York.
[7] http://home.student.uu.se/vear8023/STS/ModelForGivingUpSmoking.pdf.