JURNAL GAUSSIAN, Volume 11, Nomor 2, Tahun 2022, Halaman 218 - 227 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PEMODELAN KURS DOLLAR AMERIKA SERIKAT TERHADAP RUPIAH MENGGUNAKAN REGRESI PENALIZED SPLINE DILENGKAPI GUI R
Gina Wangsih 1* , Suparti 2 , Sudarno 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *email: ginawangsih25@gmail.com

## ABSTRACT
United  States  Dollar  (USD)  exchange  rate  movement  against  Rupiah  is  the  main  guideline  for economic  actors  in  making  decisions.  Exchange  rate  movement  of  USD  against  Rupiah  is  a  time series data. One of the statistical methods that can be used for modelling time series data is ARIMA. ARIMA method  data  must be  stationery  and residuals  must be  normally  distributed,  independent, and constant variance, which means an alternative model is needed so that it is not bound by any assumptions, namely a nonparametric penalized spline regression model. Selling rate data of USD against Rupiah is modeled using nonparametric penalized spline regression because the assumptions in  the  ARIMA  model  are  not  fulfilled.  Penalized  spline  regression  modeling  is  using  full  search algorithm in determining knot points. Lambda values are tested from 0 to 100000 on order 2, 3, and 4. Optimal penalized spline model is a model with minimum GCV value. R GUI facilitate the process of selecting the best model. Data is divided into 2 parts, namely in sample data for model formation and out sample data for evaluating the best model performance based on MAPE value.  Penalized spline  regression  modeling produces  the  best  model,  namely  optimal  penalized  spline  model  with minimum GCV value achieved on 3rd order with 35 knot points and lambda value = 2007. 96,20% value of R Squared model indicates the model is a strong model. In the evaluation of the best model, the  MAPE  data  out  sample  value  is  0.65%.  MAPE  value  indicates  the  model  has  very  good forecasting ability.
Keywords : Exchange Rate, Penalized Spline, ARIMA, GCV, GUI

## 1. PENDAHULUAN
Pergerakan  nilai  tukar  mata  uang  (kurs)  merupakan  indikator  penting  yang  perlu diperhatikan dalam kegiatan perdagangan internasional. Perbedaan maupun pergerakan nilai tukar mata uang suatu negara (kurs) pada prinsipnya ditentukan oleh besarnya permintaan dan penawaran mata uang serta kebijakan pemerintah dari negara tersebut (Sukirno, 1994). Mata  uang  Dollar  Amerika  Serikat  (USD)  merupakan  salah  satu  mata  uang  yang  dinilai sebagai  mata  uang  kuat  dunia  dikarenakan  besarnya  permintaan  serta  penawarannya. Pergerakan kurs USD terhadap Rupiah menjadi pedoman utama bagi pelaku ekonomi yang terlibat kegiatan perdagangan internasional dalam mengambil keputusan.
Pergerakan kurs USD terhadap Rupiah lebih mudah dipahami oleh pelaku ekonomi jika disajikan dalam suatu model statistika. Salah satu metode statistika yang dapat digunakan untuk pemodelan adalah ARIMA. Namun, ARIMA terikat oleh beberapa asumsi yang harus dipenuhi,  meliputi  normalitas  residual,  nonautokorelasi  residual,  dan  homoskedastisitas residual, sehingga diperlukan pemodelan alternatif yang tidak terikat oleh asumsi apapun, yaitu pemodelan dengan regresi nonparametrik.
Salah satu metode regresi nonparametrik yang dapat digunakan adalah regresi penalized spline .  Estimator  regresi penalized  spline diperoleh  dengan  meminimumkan  fungsi Penalized Least Square (PLS) (Ruppert et al ., 2003). Titik knot pada regresi penlized spline terletak pada nilai kuantil data tunggal dari variabel prediktor yang banyaknya ditentukan berdasarkan algoritma full search . Adapun kemulusan fungsi dalam regresi penlized spline
ditentukan  oleh  parameter  lambda  yang  nilai  optimalnya  diperoleh  berdasarkan  nilai Generalized Cross Validation (GCV) minimum. Pemilihan model terbaik regresi penlized spline membutuhkan proses yang panjang dan cukup  rumit,  sehingga  diperlukan  bantuan software dalam  perhitungannya.  Salah  satu software yang  dapat  digunakan  adalah software R.  Pembuatan Graphical  User  Interface (GUI) untuk membantu proses pemodelan dengan regresi penlized spline merupakan salah satu pengembangan dalam penelitian ini yang dapat memudahkan proses analisis data dan mejadikan output yang dihasilkan lebih menarik.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Kurs ( exchange rate ) adalah harga sebuah mata uang dari satu negara yang diukur atau dinyatakan  dalam  mata  uang  lainnya  (Krugman,  1994).  Kurs  memiliki  peranan  penting dalam  pengambilan  keputusan  pada  pelaksanaan  perdagangan  internasional  (impor  dan ekspor)  dari  suatu  negara.  Macam-macam  kurs  yang  sering  ditemui  di  bank  atau  tempat penukaran uang asing ( money changer ) terdiri dari:
1. Kurs beli, yaitu kurs  yang digunakan bank saat membeli valuta asing.
2. Kurs jual, yaitu kurs yang digunakan bank saat menjual valuta asing. Model ARIMA ( Autoregressive Integrated Moving Average) adalah model parametrik yang terdiri dari AR, MA, ARMA, dan ARIMA.
1. Model Autoregressive (AR)
Bentuk umum proses Autoregressive orde p:
𝑍 𝑖 = 𝜙 1 𝑍 𝑖−1 + 𝜙 2 𝑍 𝑖−2 +   … + 𝜙 𝑝 𝑍 𝑖−𝑝 + 𝜀 𝑖 (1)
dengan 𝜀 𝑖 ~𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎 2 ) . 2. Model Moving Average (MA) Bentuk umum proses Moving Average orde q: (Wei, 1989).
𝑍 𝑖 = 𝜀 𝑖 − 𝜃 1 𝜀 𝑖−1 − 𝜃 2 𝜀 𝑖−2 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝜀 𝑖−𝑞 (2)
dengan 𝜀 𝑖 ~𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎 2 ) .
3. Model ARIMA(p,d,q)
Bentuk umum model ARIMA(p,d,q) yang melibatkan proses AR(p), MA(q), dan tingkat differencing (d):
𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑖 = 𝜃 𝑞 (𝐵)𝜀 𝑖 (3)
dengan 𝐵 adalah  operator backward  shift , 𝜙 𝑝 (𝐵) = 1 − 𝜙 1 𝐵 − 𝜙 2 𝐵 2 − ⋯ − 𝜙 𝑝 𝐵 𝑝 , 𝜃 𝑞 (𝐵) = 1 − 𝜃 1 𝐵 − 𝜃 2 𝐵 2 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝐵 𝑞 , dan 𝜀 𝑖 ~𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎 2 ) .
Identifikasi  model  ARIMA  dapat  dilakukan  dengan  bantuan  plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial  Autocorrelation  Function (PACF).  Pemilihan  model  terbaik ARIMA  yang teridentifikasi  diawali  dengan  uji  asumsi  yang  terdiri  dari  uji  normalitas residual, nonautokorelasi residal, dan homoskedastisitas residual. Jika terdapat asumsi yang tidak terpenuhi, maka model ARIMA tidak dapat digunakan.
Analisis  regresi  nonparametrik  merupakan  metode  statistika  yang  digunakan  untuk memodelkan suatu data apabila bentuk kurva regresinya tidak diketahui. Selain itu, regresi nonparametrik juga dapat digunakan dalam pemodelan data yang mengalami pelanggaran asumsi  dalam  regresi  parametrik.  Secara  umum  model  regresi  nonparametrik  dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑦 𝑖 =  𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 𝑖 =  1,2, … , 𝑛 (4)
dengan 𝑦 𝑖 : nilai pengamatan ke-i dari variabel respon 𝑓 : fungsi regresi yang tidak diketahui bentuk kurvanya 𝑥 𝑖 : nilai pengamatan ke-i dari variabel prediktor 𝜀 𝑖 : nilai residual pada pengamatan ke-i, dimana 𝜀 𝑖 ~𝐼𝐼𝐷(0, 𝜎 2 )
Fungsi  regresi 𝑓 diasumsikan  mulus  sehingga  lebih  menjamin  fleksibilitas  dalam mengestimasi fungsi regresinya (Eubank, 1999).
Spline merupakan  potongan  polinomial  tersegmen  yang  dihubungkan  oleh  titik-titik knot  yang  menjelaskan  karakteristik  data.  Menurut  Ruppert et  al .  (2003),  bentuk  fungsi spline polinomial truncated dengan orde m dan r titik knot dapat dirumuskan sebagai berikut: 𝑓(𝑥) =   ∑ 𝛽 𝑞 𝑥 𝑞 𝑚−1 𝑞=0 + ∑ 𝛽 𝑞+𝑚−1 (𝑥 − 𝑘 𝑞 ) + 𝑚−1 𝑟 𝑞=1 (5)
dengan fungsi truncated,
(𝑥 − 𝑘 𝑞 ) + 𝑚−1 = { (𝑥 − 𝑘 𝑞 ) 𝑚−1 , 𝑥  ≥   𝑘 𝑞 0 , 𝑥  <   𝑘 𝑞 (6)
dimana 𝑎 < 𝑘 1 < 𝑘 2 < . . . < 𝑘 𝑟 < 𝑏 , dengan a merupakan nilai minimum dari x dan b nilai maksimumm dari x.
Pemilihan  banyak  dan  letak  titik  knot  dalam  regresi spline  truncated membutuhkan waktu  yang  cukup  lama  dan  memori  yang  cukup  besar  dalam  menentukan  model  yang optimal, sehingga diperlukan alternatif dalam mengatasi masalah ini, yaitu regresi penalized spline dimana knot terletak di titik-titik kuantil dari nilai unique (tunggal) variabel prediktor (Ruppert et al ., 2003). Estimasi regresi penalized spline diperoleh dengan meminimumkan Penalized Least Square (PLS) berikut:
𝑃𝐿𝑆 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑓( 𝑥 𝑖 )) 2 + 𝜆  ∑ 𝛽 𝑞+𝑚−1 2 𝑟 𝑞=1 𝑛 𝑖=1 (7)
dengan 𝑓( 𝑥 𝑖 ) diperoleh  dari  Persamaan  (5)  dan 𝜆 merupakan  nilai  parameter  penghalus. Apabila ditulis dalam bentuk matriks Persamaan 7 menjadi:
𝑷𝑳𝑺 = (𝒀 𝑻 𝒀 − 2𝜷 𝑻 𝑿 𝑻 𝒀 + 𝜷 𝑻 𝑿 𝑻 𝑿𝜷) + 𝜆𝜷 𝑻 𝑫𝜷 (8)
dengan,
𝑿 = [ 1 𝑥 1 𝑥 1 2 … 𝑥 1 𝑚−1 1 𝑥 2 𝑥 2 2 … 𝑥 2 𝑚−1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 2 … 𝑥 𝑛 𝑚−1 (𝑥 1 − 𝑘 1 ) + 𝑚−1 (𝑥 2 − 𝑘 1 ) + 𝑚−1 ⋮ (𝑥 𝑛 − 𝑘 1 ) + 𝑚−1 (𝑥 1 − 𝑘 2 ) + 𝑚−1 (𝑥 2 − 𝑘 2 ) + 𝑚−1 ⋮ (𝑥 𝑛 − 𝑘 2 ) + 𝑚−1 … … ⋱ … (𝑥 1 − 𝑘 𝑟 ) + 𝑚−1 (𝑥 2 − 𝑘 𝑟 ) + 𝑚−1 ⋮ (𝑥 𝑛 − 𝑘 𝑟 ) + 𝑚−1 ] ; 𝒀 = [ 𝑦 1 𝑦 2 ⋮ 𝑦 𝑛 ] ;
dan 𝜷 = [ 𝛽 0 𝛽 1 ⋮ 𝛽 (𝑚−1)+𝑟 ]
Dengan  menghitung  nilai  turunan  parsial PLS terhadap β ,  diperoleh  nilai  estimasi parameter 𝜷 ̂ dari Persamaan (7) sebagai berikut:
𝜷 ̂ = (𝑿 𝑻 𝑿 + 𝜆𝑫) −1 𝑿 𝑻 𝒀 (9)
Berdasarkan Persamaan (9), diperoleh etimasi model dengan regresi penalized spline : 𝒇̂(𝑿) = 𝑿 𝜷 ̂ = 𝑿(𝑿 𝑻 𝑿 + 𝜆𝑫) −1 𝑿 𝑻 𝒀 = 𝒇̂(𝑿) =  𝑯(𝜆)𝒀 (10) dengan 𝑯(𝜆) merupakan matriks hat yang dirumuskan sebagai berikut:
𝑯(𝜆) = 𝑿(𝑿 𝑻 𝑿 + 𝜆𝑫) −1 𝑿 𝑻 (11)
Parameter  penghalus 𝜆 mempunyai  pengaruh  yang  sangat  besar  dalam model  regresi penalized  spline (Ruppert et al ., 2003). Jika 𝜆 besar maka estimasi fungsi  yang diperoleh akan  semakin  mulus,  sedangkan  jika 𝜆 kecil  maka  estimasi  fungsi  yang  diperoleh  akan semakin  besar  atau  fungsi-fungsi  menjadi  semakin  fluktuatif.  Salah  satu  metode  untuk mendapatkan 𝜆 optimal  adalah  dengan  menghitung  nilai Generalized  Cross  Validation (GCV) yang dirumuskan sebagai berikut:
𝐺𝐶𝑉(𝜆) = 𝑀𝑆𝐸(𝜆)
( 1 𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒[𝐼−𝐻(𝜆)]) 2 (12)
dengan 𝑀𝑆𝐸(𝜆) = 𝑛 −1 ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑓( 𝜆 𝑖 )) 2 𝑛 𝑖=1 dan  matriks  hat 𝑯(𝜆) dapat  dihitung  dengan Persamaan (11), dimana trace merupakan jumlah dari setiap elemen pada diagonal utama matriks.
Dalam regresi penalized spline , titik knot terletak pada sampel kuantil dari nilai unique (tunggal)  variabel  independen {𝑥 𝑖 } 𝑖=1 𝑛 .  Artinya  jika  terdapat  beberapa  nilai 𝑥 𝑖 yang  sama, hanya akan dihitung sebanyak satu kali (Ruppert & Carroll, 2000). . Jika digunakan r buah titik  knot,  maka  nilai  kuantil  yang  menjadi  titik  knot  adalah  kuantil  yang  membagi  data menjadi r + 1 bagian yang sama, yaitu kuantil ke- 𝑘 𝑟+1 , dimana 𝑘 = 1,2, … , 𝑟 .
Salah  satu  algoritma  yang  digunakan  untuk  menentukan  banyak  titik  knot  optimal adalah algoritma full-search . Dalam algoritma full-search , nilai GCV dihitung untuk setiap titik  knot  sebanyak 𝑟 = 1,2,3, … sampai  banyak  knot  tertentu  yang  dicobakan,  dengan ketentuan 𝑟 < (𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 − 𝑚 − 1) ,  dimana 𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 adalah  banyaknya  nilai unique dari variabel  prediktor  dan  m  adalah  orde  polinomial.  Kemudian  dipilih  banyak  knot  yang memiliki nilai GCV terkecil (Ruppert et al ., 2003).
Jika  salah  satu  dari  asumsi-asumsi  model  ARIMA  tidak  terpenuhi  maka  penarikan kesimpulan model ARIMA(p,d,q) dapat menyesatkan. Sehingga dapat digunakan alternatif pemodelan  dengan  regresi  nonparametrik time  series .  Dalam  penggunaan  model  runtun waktu  nonparametrik  data  dimodelkan  berdasarkan  signifikan  lag  pada Partial Autocorrelation  Function (PACF).  Jika  data  signifikan  pada  lag  ke-p,  maka  model time series adalah AR(p).  Mengacu pada Persamaan (1) dan (4), model regresi nonparametrik penalized spline runtun waktu dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝑍 𝑖 = 𝑓(𝑍 𝑖−𝑝 ) + 𝜀 𝑖 , 𝑖 = (𝑝 + 1), (𝑝 + 2), … , 𝑛 (13)
dengan 𝑓(𝑍 𝑖−𝑝 ) = ∑ 𝛽 𝑞 𝑍 𝑖−1 𝑞 𝑚−1 𝑞=0 + ∑ 𝛽 𝑞+(𝑚−1) 𝑟 𝑞=1 (𝑍 𝑖−1 − 𝑘 𝑞 ) + 𝑚−1 + 𝜀 𝑖
Koefisien  determinasi  dapat  digunakan  untuk  memilih  model  terbaik  yang menunjukkan seberapa  besar  variabel  prediktor  dapat  menjelaskan  variabel  responnya. Koefisien determinasi dirumuskan sebagai berikut:
𝑅 2 = 1 − ∑ (𝑍 𝑖 −𝑍̂ 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 ∑ (𝑍 𝑖 −𝑍̅) 2 𝑛 𝑖=1 (14)
Nilai 𝑅 2 berada diantara 0 sampai 1, jika nilai 𝑅 2 sama dengan 1 maka variabel respon dapat  dijelaskan  oleh  variabel  prediktor  sepenuhnya,  jika  nilai 𝑅 2 sama  dengan  0  maka variabel respon tidak dapat dijelaskan oleh variabel prediktor (Hair et al ., 2017). Evaluasi kinerja model terbaik diukur melalui nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari data out sample yang dirumuskan sebagai berikut:
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ | 𝑍𝑖−𝑍̂𝑖 𝑍𝑖 | 𝑛 𝑛 𝑖=1 × 100% (15)
Kriteria nilai MAPE dibagi menjadi empat tingkatan, yaitu MAPE < 10% berarti model memiliki  kemampuan  peramalan  yang sangat  baik,  10%  ≤  MAPE  <  20%  berarti  model memiliki kemampuan peramalan yang baik, 20% ≤ MAPE < 50% berarti model memiliki kemampuan peramalan cukup baik, dan MAPE > 50% berarti model memiliki kemampuan peramalan yang buruk (Chang et al ., 2007)
Pembuatan  GUI dengan R dapat dilakukan dengan bantuan suatu package /paket, yaitu Shiny yang dapat digunakan untuk membangun web apps yang interaktif. Shiny terdiri dari tiga komponen yaitu User Interface (UI), Server , dan ShinyApp . User Interface merupakan fungsi yang mendefinisikan tampilan aplikasi yang memuat seluruh input dan output . Server merupakan fungsi  yang mendefinisikan program inti untuk pengolahan data pada aplikasi tersebut.  Bagian Server didukung  oleh  berbagai  prosedur  dan  analisis  data  yang  pada umumnya telah tersedia pada berbagai paket R  (Tirta, 2014). ShinyApp merupakan fungsi dari aplikasi yang memanggil UI dan Server untuk menjalankan aplikasi.

## 3. METODE PENELITIAN
Data digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data historis kurs  jual  mata  uang  Dollar Amerika Serikat (USD) terhadap Rupiah pada hari aktif yang bersumber dari website resmi Bank Indonesia . Data dibagi menjadi dua, yaitu data in sample dari tanggal 1 Juli 2021 sampai 6 Oktober 2021 dan data out sample dari 7 Oktober 2021 sampai 29 Oktober 2021. Adapun variabel yang digunakan adalah data harian kurs jual USD terhadap Rupiah (Z).
Penelitian  ini menggunakan  bantuan software R  4.1.2  dan  RStudio  dengan  bantuan GUI R dari Shiny package . Adapun tahapan analisis data sebagai berikut:
1. Menyiapkan aplikasi GUI R sesuai dengan kebutuhan analisis.
2. Menentukan  data in  sample dan out  sample serta  melakukan  analisis  deskriptif  dan eksplorasi data in sample .
3. Identifikasi dan estimasi parameter model ARIMA.
4. Cek asumsi model ARIMA kemudian menguji signifikansi parameter model ARIMA jika semua asumsi terpenuhi. Jika asumsi tidak terpenuhi model tidak dapat digunakan.
5. Menentukan  model  terbaik  dengan Mean  Square  Error (MSE)  dan  menghitung  nilai koefisien determinasi dari model terbaik ARIMA.
6. Menentukan  lag  maksimum  signifikan  (p)  data in  sample melalui  plot  PACF  untuk menentukan variabel prediktor pada model regresi penalized spline .
7. Membuat plot data 𝑍 𝑖−𝑝 dan 𝑍 𝑖 yang ditentukan berdasarkan lag signifikan pada PACF.
8. Menghitung nilai GCV model penalized spline pada kombinasi orde 2, 3, dan 4, banyak titik knot berdasarkan algoritma full search , dan nilai lambda 0 sampai dengan 100000.
9. Memilih model terbaik penalized spline dengan nilai GCV minimum.
10. Menghitung nilai koefisien determinasi dari model terbaik penalized spline .
11. Membandingkan model ARIMA dengan penalized spline berdasarkan nilai R 2 . 12. Menentukan kinerja model terbaik dengan nilai MAPE out sample .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pembuatan  GUI  dimulai  dengan  mengatur  struktur  tampilan  GUI  pada  bagian User Interface (UI) dalam penempatan input dan output menggunakan perintah ui<-fluidPage(). Setiap input yang  dimasukkan  melalui  bantuan  perintah-perintah  dalam  UI  harus  diberi identitas.  Pada  proses  pengelohan  dalam  objek server ,  semua input yang  telah dilakukan  akan  dipanggil  menggunakan  identitas  yang  telah  dibuat  dalam  objek  UI. Tampilan program UI dan server penyusun GUI dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Tampilan program UI dan Server penyusun GUI R
Setelah objek UI dan server selesai dibentuk, aplikasi GUI dapat diluncurkan dengan menggunakan fungsi shinyApp(ui,server). Tampilan GUI regresi nonparametrik penalized spline runtun waktu yang telah dijalankan dapat dilihat pada Gambar 2
Gambar 2. Tampilan GUI R Penalized Spline
Statistik deskriptif data in sample dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Statistik Deskriptif Data In Sample Rata-Rata Maksimum  Minimum  Rentang Varian 14452,71 14636,82 14265,98 370,84 12068,32
Berdasarkan  Tabel  6,  dapat  diketahui  nilai  rata-rata  kurs  jual  USD  terhadap  Rupiah periode  1  Juli  2021  sampai  dengan  6  Oktober  2021  sebesar  Rp14.452,71  dengan  varian sebesar 12068,32,  nilai maksimum Rp14.636,82 terdapat pada data ke-3 atau tanggal 5 Juli 2021 dan nilai minimum Rp14.265,98 terdapat pada data ke-47 atau tanggal 8 September 2021. Dengan menghitung selisih nilai minimum dan maksimum diperoleh nilai rentang data sebesar 370,84. Plot data runtun waktu in sample dapat dilihat pada Gambar 3.

## Gambar 3. Plot Data Runtun Waktu In Sample
Berdasarkan Gambar 3, terlihat data terus mengalami penurunan disertai fluktuasi mulai tanggal  23  Juli  2021  sampai  dengan  tanggal  8  September  2021,  yaitu  data  ke-16  sampai dengan  data  ke-47.  Pada  titik  terendahnya,  nilai  data  kurs  jual  USD  terhadap  Rupiah mencapai Rp14.265,98. Selanjutnya data menunjukkan kenaikan sampai dengan tanggal 1
Oktober 2021 atau data ke-64 dan cenderung turun kembali sampai dengan 6 Oktober 2021 atau data ke-67.
Sebelum  melakukan  pemodelan,  data  perlu  dicek  kestasionerannya  dalam  mean  dan varian.  Dengan  menghitung  nilai  lambda  pada  transformasi  Box-Cox,  data  dinyatakan stasioner dalam varian setelah dilakukan lima kali transformasi Box-Cox agar diperoleh nilai lambda sama dengan satu.  Selanjutnya, untuk mencapai kestasioneran dalam mean, data di- differencing sebanyak dua kali . Differencing dilakukan karena ditemui adanya akar unit ( unit root )  pada  data  berdasarkan  hasil  uji  Augmented  Dickey  Fuller  yang  dilakukan.  Setelah dilakukan  identifikasi  model  berdasarkan  plot  ACF  dan  PACF,  diperoleh  model ARIMA yang  teridentifikasi  adalah  ARIMA(4,2,0),  ARIMA(4,2,2),  dan  ARIMA(0,2,2).  Nilai estimasi parameter dari masing-masing model ARIMA dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Estimasi Parameter Model ARIMA Model Parameter Estimasi ARIMA(4,2,0) 𝜙̂ 1 -0,65244 𝜙̂ 2 -0,73634 𝜙̂ 3 -0,47875
𝜙̂ 4 -0,38109
ARIMA(4,2,2) 𝜙̂ 1 -0,48618 𝜙̂ 2 -0,18854 𝜙̂ 3 -0,13937 𝜙̂ 4 -0,12756 𝜃̂ 1 -0,36927 𝜃̂ 2 -0,63067 ARIMA(0,2,2) 𝜃̂ 1 -0,79795 𝜃̂ 2 -0,20206
Dengan dilakukan uji asumsi, didapati bahwa seluruh model ARIMA tidak memenuhi asumsi homoskedastisitas residual. Oleh karena itu, model ARIMA tidak dapat digunakan dalam pemodelan data kurs jual USD terhadap Rupiah pada penelitian ini. Sebagai alternatif pemodelan dilakukan dengan regresi nonparametrik penalized spline runtun waktu. Plot PACF data runtun waktu kurs USD terhadap Rupiah in sample signifikan pada lag 1, sehingga variabel predioktor pada regresi nonparametrik penalized spline adalah 𝑍 𝑖−1 dan variabel responnya adalah 𝑍 𝑖 . Pemilihan model penalized spline terbaik dilakukan melalui pemodelan  data  dengan  dengan  kombinasi  orde  2,3,dan  4,  banyak  titik  knot  maksimal berdasarkan algoritma full search untuk masing-masing orde yang dicobakan adalah 60, 59, dan 58 , serta nilai lambda yang dicobakan mulai dari 0 sampai dengan 100000.
Terpilih  model penalized  spline terbaik  adalah  model  dengan  nilai Generalized  Cros Validation (GCV)  minimum  sebesar  579,1364.  Model  tersebut  adalah  model penalized spline orde 3 dengan 35 buah titik knot (14302,16; 14309,69; 14316,48; 14321,25; 14323,01; 14327,78;  14329,79;  14332,31;  14339,6;  14345,37;  14353,16;  14377,53;  14384,57; 14394,12;  14418,73;  14440,85;  14448,89;  14455,42;  14460,19;  14462,96;  14477,28; 14486,58;  14497,13;  14528,28;  14535,82;  14547,38;  14559,19;  14563,46;  14566,22; 14571,49;  14574,01;  14580,54;  14594,86;  14613,2;  14622,25)  dan  nilai  lambda  =  2007. Nilai R squared model sebesar 96,20% menunjukkan model termasuk kategori model kuat. Nilai estimasi parameter model terbaik ini dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Estimasi Parameter Model Penalized Spline terbaik Parameter Hasil Estimasi Parameter Hasil Estimasi 𝛽̂ 0 -1,854177 𝛽̂ 19 -0,2910777 𝛽̂ 1 1,344836 𝛽̂ 20 0,007909526 𝛽̂ 2 -2,398953 × 10 -5 𝛽̂ 21 0,1751102 𝛽̂ 3 -0,1873012 𝛽̂ 22 0,1607256 𝛽̂ 4 0,3204766 𝛽̂ 23 -0,3067652 𝛽̂ 5 0,01779991 𝛽̂ 24 -0,1862522 𝛽̂ 6 -0,01195589 𝛽̂ 25 0,546163 𝛽̂ 7 -0,03937367 𝛽̂ 26 -0,0666728 𝛽̂ 8 -0,1079184 𝛽̂ 27 -0,4414176 𝛽̂ 9 -0,101067 𝛽̂ 28 0,2830565 𝛽̂ 10 -0,09509231 𝛽̂ 29 0,1424357 𝛽̂ 11 0,2038475 𝛽̂ 30 0,004657613 𝛽̂ 12 0,1921286 𝛽̂ 31 -0,09884163 𝛽̂ 13 -0,2196144 𝛽̂ 32 -0,08335265 𝛽̂ 14 0,05370835 𝛽̂ 33 0,04583991 𝛽̂ 15 0,1575786 𝛽̂ 34 0,09494967 𝛽̂ 16 -0,3262914 𝛽̂ 35 -0,2728511 𝛽̂ 17 0,2595178 𝛽̂ 36 0,1932867 𝛽̂ 18 -0,02384009 𝛽̂ 37 0,09733958
Model penalized spline runtun waktu yang terbentuk adalah:
𝑍̂ 𝑖 = −1,854177 + 1,344836 𝑍 𝑖−1 − 2,398953 × 10 −5 𝑍 𝑖−1 2 − 0,187301(𝑍 𝑖−1 − 14302,16) + 2 + 0,320477(𝑍 𝑖−1 − 14309,69) + 2 + ⋯ + 0,097340(𝑍 𝑖−1 + 14622,25) + 2 Plot data modifikasi dan plot data asli terhadap masing-masing nilai estimasinya dapat dilihat pada Gambar 4.
(a) (b)
Gambar 4. (a) Plot Data Modifikasi dan Estimasinya (b) Plot Data Asli dan Estimasinya
Berdasarkan Gambar 4, terlihat data aktual modifikasi dan data asli dapat didekati oleh data  estimasinya  dengan  baik.  Hal  ini  membuktikan  bahwa  model penalized  spline dapat digunakan dalam pemodelan data kurs jual USD terhadap Rupiah. Plot data out sample dan estimasinya dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5. Plot Data Out Sample dan Estimasinya
Berdasarkan Gambar 5, terlihat plot data aktual out sample dapat didekati dengan baik oleh  data  hasil  estimasinya  dan  diperoleh  nilai  MAPE  out  sample  sebesar  0,65%.  Nilai MAPE ini kurang dari 10%, sehingga dapat dikatakan bahwa model memiliki kemampuan peramalan yang sangat baik.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dibahas sebelumnya dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Pemodelan data kurs jual USD terhadap Rupiah menggunakan metode ARIMA tidak dapat  dilakukan  karena  terdapat  pelanggaran  asumsi  homoskedastisitas  residual, sehingga  diperlukan  alternatif  pemodelan  menggunakan  regresi  nonparametrik penalized spline . Model terbaik yang didapatkan adalah model dengan orde 3, banyak titik knot 35, dan nilai lambda 2007 yang memiliki nilai GCV sebesar 579,1364, MSE sebesar 442,8695, dan R squared sebesar 96,20% dan nilai MAPE sebesar 0,65%.
2. Pembuatan Graphical User Interface (GUI) R  sebagai pengembangan dari penelitian sebelumnya  yang  menggunakan  komputasi  berbasis Command  Line  Interface (CLI) mempermudah  pengguna  dalam  melakukan  pemodelan  data  runtun  waktu  dengan regresi nonparametrik penalized spline .

## DAFTAR PUSTAKA
Chang, P.-C., Wang, Y.-W., & Liu, C.-H. (2007). The Development of A Weighted Evolving Fuzzy Neural Network for PCB Sales Forecasting. Expert Systems with Application, 32(88–89).
Eubank,  R.  L.  (1999). Nonparametric  Regression  and  Spline  Smoothing .  Departement  of Statistics Southern Methodist Dallas University.
Hair, J. F., Hult, G., Ringle, C. M., & Sartedt, M. (2017). A Primer on Partial Least Squares Structural Equation Model (PLS-SEM) (2nd ed.). USA: SAGE Publications, Inc. Krugman,  P.  (1994).  R  &  Maurice  Obstfeld.  1994. Ekonomi  Internasional:  Teori  dan Kebijakan . Jakarta: PT. Raja Grafindo Persada Ruppert,  D.,  &  Carroll,  R. J.  (2000). Theory  &  Methods: Spatially ‐ adaptive  Penalties  for Spline Fitting. Australian & New Zealand Journal of Statistics, 42(2), 205–223.
Ruppert, D., Wand, M. P., & Carroll, R. J. (2003). Semiparametric Regression (Issue 12). Cambridge: Cambridge University Press.
Sukirno, S. (1994). Pengantar Teori Ekonomi Makro . Jakarta: PT. Raja Grafindo Tirta, I. M. (2014). Pengembangan E-Modul Statistika Terintegrasi dan Dinamik dengan R- Shiny dan mathJax . Prosiding Seminar Nasional Matematika Universitas Jember, 223– 232.
Wei, W. W. (1989). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate  Methods . Canada: Addison Wesley Publishing Company.