Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 13 No. 2, Desember 2021, hal. 27-44 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## IMPLEMENTASI PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLE DENGAN METODE QUINE McCLUSKEY

## Alfatah Hidayat
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,  Universitas Jenderal Soedirman alfatah215@gmail.com

## Siti Rahmah Nurshiami
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,  Universitas Jenderal Soedirman siti.nurshiami@unsoed.ac.id

## Mashuri
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,  Universitas Jenderal Soedirman mashuri@unsoed.ac.id
ABSTRACT. Quine  McCluskey  method  is  one  method  that  can  be  used  to  simplify  the Boolean function. The Quine McCluskey method has several advantages including having simpler, more systematic steps than other methods and it is easier to simplify the Boolean function with a large number of variables. This study discusses the design of a  Boolean function simplification program for the Quine McCluskey method using Visual Basic 6.0. The  resulting program  can  simplify  the  Boolean function  with  many variables less  than equal  to  26  variables  and  able  to  simplify  the  Boolean  function  in  the  form  of  Sum  of Product (SOP), Product of Sum (POS), and don't care.
Keywords: Boolean  function, Boolean  function  simplification , Quine  McCluskey , Visual Basic 6.0, Sum of  Product, Product of Sum, don’t care.
ABSTRAK. Metode Quine  McCluskey merupakan  salah  satu  metode  yang  dapat digunakan  untuk  menyederhanakan  fungsi  Boole.  Metode Quine  McCluskey memiliki beberapa keunggulan  diantaranya memiliki langkah-langkah penyederhanaan  yang  lebih sistematis dibanding metode lain dan lebih mudah untuk menyederhanakan fungsi Boole dengan  jumlah  variabel  besar.  Penelitian  ini  membahas  perancangan  program penyederhanaan fungsi Boole metode Quine McCluskey menggunakan Visual Basic 6.0. Program yang dihasilkan mampu menyederhanakan fungsi Boole dengan jumlah variabel kurang dari sama dengan 26 variabel dan mampu menyederhanakan fungsi Boole dalam bentuk Sum  of  Product (SOP), Product  of  Sum (POS),  maupun  dengan  kondisi don’t care.
Kata kunci: fungsi Boole, penyederhanaan fungsi Boole, Quine McCluskey , Visual Basic 6.0, Sum of Product, Product of Sum, don’t care .

## 1. PENDAHULUAN
Aljabar  Boole  diperkenalkan  pertama  kali  oleh  seorang  matematikawan yang berasal dari Inggris, George Boole pada tahun 1854. Saat ini Aljabar Boole digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian saklar, rangkaian digital, dan rangkaian integrated  circuit (IC)  komputer.  Rangkaian-rangkaian  tersebut  dapat direpresentasikan ke dalam fungsi Boole. Fungsi Boole adalah pemetaan 𝑓: 𝐵 𝑛 → 𝐵 dengan 𝐵 𝑛 himpunan  yang  beranggotakan  pasangan  terurut  ganda- n (Munir, 2010).  Elemen-elemen  dari 𝐵 𝑛 berupa  pasangan-pasangan  terurut  ganda- n yang merupakan  semua  kombinasi  dari  elemen B =  {0,1}.  Suku-suku  dalam  fungsi Boole n variabel 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 dikatakan minterm jika  muncul  dalam  bentuk perkalian dari variabel 𝑥 𝑖 atau 𝑥 𝑖 ′ dengan i = 1, 2, ..., n . Minterm dilambangkan dengan m berindeks.  Indeks  menyatakan  basis  desimal  dari string  biner yang mempresentasikan  suku  tersebut.  Suku-suku  dalam  fungsi  Boole n variabel 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 dikatakan maxterm jika  muncul  dalam  bentuk  penjumlahan  dari variabel 𝑥 𝑖 atau 𝑥 𝑖 ′ dengan i =  1,  2,  ..., n . Maxterm dilambangkan  dengan M berindeks (Rosen, 2012). Pada minterm, setiap variabel yang bernilai 0 dinyatakan dalam  bentuk  komplemen,  sedangkan  variabel  yang  bernilai  1  dinyatakan  tanpa komplemen. Sebaliknya, pada maxterm , setiap variabel yang bernilai 1 dinyatakan dalam  bentuk  komplemen,  sedangkan  variabel  yang  bernilai  0  dinyatakan  tanpa komplemen. Sebagai contoh, 𝐴’𝐵𝐶’ merupakan minterm ke-2 atau m 2 , sedangkan 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ′ merupakan maxterm ke-1 atau M 1 .
Fungsi  Boole  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk    penjumlahan  dari  satu minterm atau  lebih  ( Sum  of  Product/SOP )  ataupun  dapat  dinyatakan  sebagai perkalian  dari  satu maxterm atau  lebih  ( Product  of  Sum/POS ).  Fungsi  Boole 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = 𝐴 ′ 𝐵𝐶 ′ + 𝐴𝐵𝐶 ′ + 𝐴𝐵𝐶 merupakan  fungsi  Boole  dengan  3  variabel dalam bentuk SOP, sedangkan 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ′ )(𝐴 + 𝐵 ′ + 𝐶 ′ )(𝐴 ′ + 𝐵 + 𝐶)(𝐴 ′ + 𝐵 + 𝐶) merupakan  fungsi  Boole  dengan  3  variabel  dalam bentuk POS.
Fungsi  Boole  dapat  direpresentasikan  ke  dalam  suatu  rangkaian  digital. Fungsi  Boole  dengan  variabel  yang  sangat  banyak  dan  memuat  operasi-operasi yang  berlebihan  akan  rumit  dalam  mengimplementasikan  ke  dalam  suatu
rangkaian  digital,  sehingga  perlu  dilakukan  penyederhanaan  fungsi  Boole. Penyederhanaan fungsi Boole atau minimisasi fungsi merupakan pencarian bentuk fungsi  lain  yang  ekuivalen  tetapi  dengan  jumlah  operasi  yang  lebih  sedikit, sederhana  dan  efisien,  sehingga  lebih  mudah  untuk  membuat  suatu  rangkaian digital dan biaya yang dikeluarkan lebih sedikit (Nugroho, 2021). Penyederhanaan fungsi  Boole  secara  aljabar  merupakan  penyederhanaan  fungsi  Boole  dengan menggunakan  sifat-sifat  aljabar  Boole,  seperti  komutatif,  distributif,  assosiatif, identitas,  idempoten,  dan  penyerapan.  Sebagai  contoh,  fungsi  Boole  dengan  4 buah variabel, 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) = 𝐴𝐵𝐷 + 𝐴𝐵𝐷 ′ + 𝐴 ′ 𝐶 + 𝐴 ′ 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 dapat disederhanakan  menjadi  fungsi  Boole 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) = 𝐴𝐵 + 𝐴 ′ 𝐶 .  Fungsi  Boole dapat  disederhanakan  dengan  beberapa  cara  diantaranya  dengan  penyederhanaan secara aljabar, Karnaugh Map (K-Map) , dan metode tabulasi.
Metode  tabulasi  atau  lebih  dikenal  dengan  metode Quine  McCluskey dikembangkan oleh W.V. Quine dan E.J. McCluskey pada tahun 1950. Metode ini merupakan  metode  terbaik  dan  efisien  dalam  penyederhanaan  fungsi  Boole dengan 6 variabel atau lebih apabila dibandingkan dengan metode Karnaugh Map (Widianto,  2014).  Hal  ini  dikarenakan  metode Karnaugh  Map tidak  dapat  untuk menggambarkan  realisasi  rangkaian  secara  pasti  sehingga  tidak  dapat  menjamin untuk  mendapatkan  hasil  yang  terbaik.  Selain  itu,  pada  metode Karnaugh  Map ada  hal-hal  tertentu  yang  bisa  dikatakan  sangat  subyektif,  yaitu  hal-hal  yang sangat  dipengaruhi  oleh  intuisi  pribadi.  Hal  ini  dapat  dilihat  dalam  langkah- langkah  pembuatan  suatu  program  komputer,  dimana  antara  satu  orang  dengan yang lainnya tidak sama; demikian juga dalam Langkah-langkah penyederhanaan suatu  rangkaian dengan  metode Karnaugh Map (Polosoro, 2009).  Metode Quine McCluskey mempunyai  dua  kelebihan  dibandingkan  dengan  metode Karnaugh Map .  Pertama,  metode Quine  McCluskey merupakan  metode  yang  sistematis untuk  menyederhanakan  fungsi  Boole.  Kedua,  metode Quine  McCluskey lebih mudah untuk menyederhanakan fungsi Boole dengan jumlah variabel yang cukup banyak.  Selain  itu,  metode Quine  McCluskey efektif  dalam  menyederhanakan suatu  rangkaian  digital  dari  8 IC yang  semula  dibutuhkan  menjadi  3 IC (Purba, 2021).
Penelitian  sebelumnya  mengenai  program  penyederhanaan  fungsi  Boole dengan  metode Quine  McCluskey diantaranya  menggunakan  pemrograman  Java dan fungsi yang disederhanakan hanya memiliki 4 variabel  (Tomaszewski, et al. , 2003),  menggunakan  pemrograman  C++  dan  fungsi  Boole  yang  disederhanakan memiliki  3  –  5  variabel  (Joshi,  2020).  Kemudian  penyederhanakan  fungsi  Boole dengan    10  variabel  (Ismayanto    Sukmaindrayana,  2018),  (Saputra,  2015), penyederhanaan  fungsi Boole dengan 2 variabel sampai 26 variabel (Wamiliana, et  al., 2013).  Namun  keempat  penelitian  tersebut  hanya  untuk  menyederhanakan fungsi  Boole  dalam  bentuk  kanonik Sum  of  Product (SOP).  Selanjutnya penyederhanaan  fungsi  Boole  dengan  bentuk  kanonik  SOP  dan Product  of  Sum (POS) dilakukan oleh (Sipayung, 2020) menggunakan pemrograman Visual Basic dan  (Nugroho,  2021)  menggunakan  modifikasi  metode Quine  McCluskey dan metode Petrick .  Pada  penelitian  ini  akan  membahas  penyederhanakan  fungsi Boole  dengan  2  variabel  sampai  26  variabel  menggunakan  metode Quine McCluskey dan  metode Petrick .  Fungsi  Boole  yang  digunakan  dalam  bentuk kanonik SOP, POS, dan kondisi don’t care . Implementasi penyederhanaan fungsi Boole yang dilakukan menggunakan Visual Basic 6.0.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah studi literatur.  Langkah  awal  yang  dilakukan  menganalisa  tahapan -tahapan  dalam penyederhanaan  fungsi  Boole  menggunakan  metode  Quine  McCluskey.  Kemudian merancang  dan  mengembangkan  aplikasi  berdasarkan  hasil  analisa.  Langkah terakhir  melakukan  uji  coba  aplikasi.  Berikut  merupakan  algoritma  program penyederhanaan  fungsi  Boole  menggunakan  metode Quine  McCluskey yang disajikan dalam bentuk flowchart seperti terlihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Flowchart penyederhanaan fungsi Boole metode Quine McCluskey

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Metode Quine McCluskey
Selain  secara  aljabar,  penyederhanaan  fungsi  Boole  dapat  dilakukan dengan  menggunakan  metode Quine  McCluskey .  Metode Quine  McCluskey mengubah sebuah fungsi Boole menjadi sebuah implikan prima ( prime implicant ), dimana  sebanyak  mungkin  peubah  dieliminasi  (dihilangkan)  secara  maksimal, hingga  didapat  fungsi  Boole  yang  paling  sederhana.  Ini  dapat  dilakukan  dengan
Mulai
Masukkan Jumlah Variabel
Pilih bentuk fungsi Boolean (m/M)
Masukkan minterm / maxterm
Konversi minterm / maxterm ke dalam bentuk biner dengan panjang n
Kelompokkan minterm / maxterm berdasarkan banyaknya bit “1”
Kombinasikan minterm / maxterm dengan kelompok lain yang berbeda tepat 1 bit
Apakah minterm/maxterm dapat dikombinasikan? Konversi hasil dalam bentuk biner menjadi bentuk variabel Tampilkan hasil dalam bentuk variabel Selesai Ya Tidak Menentukan hasil penyederhanaan fungsi
melakukan  perulangan  penggunaan  hukum  komplemen,  a  +  a’  =  1  (Nasution, 2016).
Adapun  langkah-langkah  dalam  penyederhanaan  fungsi  Boole  bentuk kanonik SOP/POS menggunakan metode Quine McCluskey adalah sebagai berikut
1. Nyatakan  tiap minterm/maxterm dengan don’t  care atau  tidak,  dalam n variabel menjadi string n - bit.
2. Kelompokkan  tiap minterm/maxterm dan don’t care berdasarkan  banyaknya angka "1” yang dimiliki.
3. Kombinasikan minterm/maxterm dan don’t  care dalam n variabel  dengan kelompok  lain  yang  jumlah  angka  “1’nya  berbeda  tepat  satu,  sehingga diperoleh  implikan  prima  ( prime  implicant )  yang  terdiri  dari n – 1 variabel.
Minterm/maxterm yang dikombinasikan diberi tanda “√”
4. Kombinasikan minterm/maxterm dan don’t care dalam n – 1 variabel dengan kelompok  lain  yang  jumlah  angka  “1’nya  berbeda  tepat  satu,  sehingga diperoleh implikan prima ( prime implicant ) yang terdiri dari n – 2 variabel.
5. Teruskan langkah 4 sampai diperoleh implikan prima yang paling sederhana.
6. Buat  tabel  yang  memperlihatkan minterm/maxterm dari  fungsi  Boole  yang dicakup  oleh  implikan  prima  yang  tidak  diberi  tanda  “√”.  Setiap maxterm yang  dicakup  oleh  masing-masing  implikan  prima  diberi  tanda  “ × ”.  Setiap minterm/maxterm harus mencakup paling sedikit satu buah implikan prima.
7. Pilih implikan  prima  yang  memiliki  jumlah  literal  paling  sedikit  namun mencakup  sebanyak  mungkin minterm/maxterm dari  fungsi  Boole  awal dengan cara menandai kolom-kolom yang mempunyai satu tanda “ × ”dengan tanda “ ∗ ”, lalu beri tanda “ √ ” di sebelah kiri implikan prima yang berasosiasi dengan tanda “ ∗ ”.
8. Untuk setiap  yang ditandai dengan “ √ ”,  beri  tanda minterm/maxterm yang dicakup oleh implikan prima tersebut dengan tanda “ √ ” di baris bawah.
9. Periksa  apakah  masih  ada minterm/maxterm yang  belum  tercakup  oleh implikan prima terpilih. Jika ada, pilih dari  tersisa yang mencakup sebanyak mungkin minterm/maxterm .  Beri  tanda  “ √ ”    yang  dipilih  beserta
minterm/maxterm yang dicakupinya. Lakukan sampai semua minterm/maxterm tercakup oleh implikan prima terpilih.
10. Apabila setiap kolom memiliki lebih dari satu tanda “×” dan tidak ada baris yang  mendominasi,  maka  pilih  salah  satu  (utamakan  pilih  implikan  prima yang  lebih  banyak  mencakup minterm/maxterm yang  belum  tercakup  oleh implikan prima yang sudah terpilih sebelumnya).
11. Konversi string  biner kedalam bentuk kanonik SOP, “0” dinyatakan dengan variabel  komplemen,  “1”  dinyatakan  dengan  variabel  bukan  komplemen, sedangkan “-“ dinyatakan dengan tidak ada variabel.

## 3.2 Kondisi Don’t Care
Kondisi don’t care merupakan suatu kondisi dimana nilai yang dihasilkan oleh  suatu  fungsi  Boole  tidak  akan  mempengaruhi  hasil  output. Don’t  care bisa diasumsikan dengan 1 atau 0 yang biasanya dinotasikan dengan X atau d. Dalam penyedehanaan  fungsi  Boole  metode Quine  McCluskey, kondisi don’t  care dilibatkan  dalam  langkah  pertama  sampai  langkah  ke-5,  namun  tidak  dilibatkan pada langkah ke-6 sampai terakhir baik dalam bentuk kanonik SOP maupun POS .

## Contoh 1
Misal diberikan fungsi Boole 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸)   = ∏ 𝑀(3,5,10,11,12,14) . Fungsi Boole tersebut akan disederhanakan menggunakan metode Quine McCluskey.
1. Menkonversi maxterm ke  dalam string  biner dengan  panjang n dan mengelompokkan maxterm berdasarkan banyaknya angka 1 pada string biner,
seperti terlihat pada Tabel 1 .
Tabel 1. Pengelompokan maxterm Banyaknya 1  Term A B C D E
2
3 0 0 0 1 1 5 0 0 1 0 1 10 0 1 0 1 0 12 0 1 1 0 0
3
11 0 1 0 1 1 14 0 1 1 0 1
2. Mengkombinasikan kelompok maxterm yang satu dengan yang lainnya yang memiliki perbedaan tepat satu string biner .
Term  A  B  C D E
⇒
Term A B C D E 3 0 0 0 1 1 √ 3,11 0 - 0 1 1 5 0 0 1 0 1 10,11  0 1 0 1 - 10 0 1 0 1 0 √ 10,14  0 1 - 1 0 12 0 1 1 0 0 √ 12,14  0 1 1 - 0 11 0 1 0 1 1 √ 14 0 1 1 1 0 √
3. Langkah  di  atas  sudah  diperoleh  bentuk  prima  paling  sederhana,  maka langkah berikutnya membuat tabel implikan prima.
Tabel 2. Implikan prima Implikan prima Maxterm 3* 5* 10 11  12*  14 √ 5 × √ 3,11 × × 10,11 × × 10,14 × × √ 12,14 × × √ √ √ √ √
Bentuk prima terpilih pada langkah 7 belum mencakum maxterm 10, sehingga perlu dipilih lagi bentuk prima yang mencakup maxterm 10. Dalam kasus  ini terdapat  dua  bentuk  prima  yang  mencakup maxterm 10  dan  memiliki  jumlah literal sama sehingga dapat dipilih salah satunya. Implikan prima yang terpilih adalah
5 yang bersesuaian dengan 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ′ + 𝐷 + 𝐸′
3,11 yang bersesuaian dengan 𝐴 + 𝐶 + 𝐷′ + 𝐸′
12,14 yang bersesuaian dengan 𝐴 + 𝐵′ + 𝐶 ′ + 𝐸
Jadi bentuk sederhana dari fungsi Boole
𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸)   = ∏ 𝑀(3,5,10,11,12,14)
dalam bentuk POS adalah
𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸)
= (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ′ + 𝐷 + 𝐸′)(𝐴 + 𝐶 + 𝐷 ′ + 𝐸 ′ )(𝐴 + 𝐵 ′ + 𝐶 ′ + 𝐸)(𝐴 + 𝐵′ + 𝐶 + 𝐷′)
atau
𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸) = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ′ + 𝐷 + 𝐸 ′ )(𝐴 + 𝐶 + 𝐷 ′ + 𝐸 ′ )(𝐴 + 𝐵 ′ + 𝐶 ′ + 𝐸)(𝐴 + 𝐵 ′ + 𝐷 ′ + 𝐸).

## 3.3 Implementasi
Algoritma atau langkah-langkah penyederhanaan fungsi Boole menggunakan  metode Quine  McCluskey dapat  diimplemetasikan  kedalam pemrograman Visuial  Basic sehingga  dihasilkan  suatu  program  yang memudahkan  untuk  menyederhanakan  fungsi  Boole.  Berikut  adalah  beberapa interface program  penyederhanaan  fungsi  Boole  menggunakan  metode Quine McCluskey.

## Gambar 2. Interface program
Penjelasan fungsi/kegunaan dari masing-masing komponen pada Interface sebagai berikut:
1. Tombol Bersihkan, digunakan untuk kembali ke interface awal.
2. TextBox variabel, digunakan untuk memasukkan jumlah variabel pada fungsi Boole.
3. ComboBox  fungsi, digunakan  untuk  memilih  jenis  fungsi  Boole  SOP  atau POS. Apabila fungsi Boole dalam bentuk SOP maka memilih m atau minterm , sedangkan fungsi Boole dalam bentuk POS memilih M atau maxterm .
4. TextBox  term, digunakan  untuk  memasukkan minterm/maxterm dari  fungsi Boole.
5. Tombol  Proses,  digunakan  untuk  menyederhanakan  fungsi  Boole  yang  telah dimasukkan.
6. TextBox step, digunakan untuk menampilkan langkah-langkah penyederhanaan fungsi Boole menggunakan metode Quine McCluskey.
7. TextBox  hasil, digunakan  untuk  menampilkan  hasil  penyederhanaan  fungsi Boole dalam bentuk POS maupun SOP.
8. Peringatan apabila fungsi yang dimasukkan tidak sesuai.
Adapun  cara  menggunakan  program Quine  McCluskey  Calculator untuk menyederhanakan fungsi Boole adalah sebagai berikut
1. Masukkan jumlah variabel pada TextBox variabel.
2. Tentukan  bentuk  kanonik  fungsi  Boole  dengan  cara  memilih  m/M  pada ComboBox  fungsi ,  “m”  untuk  bentuk  kanonik  SOP  dan  “M”  untuk  bentuk kanonik POS.
3. Masukkan minterm/maxterm pada TextBox  term dengan  cara  menuliskan indeks  dari minterm/maxterm ,  memberi  tanda  koma  (,)  untuk  memisahkan term yang  satu  dengan  yang  lainnya  dan  tanda plus (+)  untuk  memisahkan kondisi don’t care dengan yang bukan don’t care. Kondisi don’t care ditulis setelah tanda plus (+).
4. Klik  tombol  Proses  untuk  menampilkan  langkah-langkah  penyederhanaan fungsi  Boole  menggunakan  metode Quine  McCluskey dan  hasil penyederhanaan.
5. Klik tombol Bersihkan untuk mengembalikan ke interface awal.

## 3.4 Hasil Pengujian
Pengujian  dilakukan  dengan  menyederhanakan  fungi  Boole  dengan  dua contoh berbeda yaitu bentuk POS, dan fungsi Boole dengan kondisi don’t care .
Misal  diberikan fungsi Boole 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸) =   ∏ 𝑀 (3,5,10,11,12,14). Berikut hasil penyederhanaan fungsi Boole menggunakan metode Quine McCluskey.
Langkah  1,  mengkonversi maxterm menjadi string  biner dan  mengurutkannya bedasarkan banyaknya angka 1 pada string biner.
Gambar 3. Tahap 1 penyederhanaan fungsi Boole bentuk kanonik POS
Langkah 2, mengkombinasikan maxterm satu dengan yang lainnya yang memiliki perbedaan  tepat  1  digit  sehingga  diperoleh  bentuk  prima  dengan  panjang string n -1.
Gambar 4. Tahap 2 penyederhanaan fungsi Boole bentuk kanonik POS
Langkah  3,  menampilkan  bentuk  implikan  prima  yang  tidak  memiliki  pasangan kombinasi.
Gambar 5. Bentuk implikan prima yang diperoleh
Langkah 4, hasil penyederhanaan fungsi Boole
Gambar 6. Hasil penyederhanaan fungsi Boole bentuk kanonik POS
Hasil  penyederhanaan  fungsi  Boole 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸)   =   ∏ 𝑀 (3,5,10,11,12,14) dalam bentuk POS adalah
𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸) = (𝐴 + 𝐶 + 𝐷′ + 𝐸′ )(𝐴 + 𝐵 + 𝐶′ + 𝐷 + 𝐸′ )(𝐴 + 𝐵′ + 𝐶′ +
𝐸) (𝐴 + 𝐵 ′ + 𝐶 + 𝐷′) .
Selanjutnya, misal diberikan fungsi Boole
𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷)   = ∑ 𝑚(2,3,7,9,11,13) + ∑ 𝑑(1,10,15) .
Berikut  hasil  penyederhanaan  fungsi  Boole  dengan  menggunakan  metode Quine McCluskey.
Langkah  1,  mengkonversi minterm menjadi string  biner dan  mengurutkannya bedasarkan banyaknya angka 1 pada string biner.
Gambar 7. Tahap 1 penyederhanaan fungsi Boole dengan kondisi don’t care
Langkah 2, mengkombinasikan minterm satu dengan yang lainnya yang memiliki perbedaan tepat 1 digit sehingga diperoleh bentuk implikan prima dengan panjang string n -1.
Gambar 8. Tahap 2 penyederhanaan fungsi Boole dengan kondisi don’t care
Langkah 3, mengkombinasikan bentuk prima dengan panjang string n -1 sehingga diperoleh bentuk implikan prima dengan panjang sting n- 2.
Gambar 9. Tahap 3 penyederhanaan fungsi Boole dengan kondisi don’t care
Langkah  4,  menampilkan  bentuk  implikan  prima  yang  tidak  memiliki  pasangan kombinasi.
Gambar 10. Bentuk implikan prima hasil penyederhanaan fungsi Boole dengan kondisi don’t care
Langkah 5, hasil penyederhanaan fungsi Boole
Gambar 11. Hasil penyederhanaan fungsi Boole bentuk  SOP dengan don’t care

## Hasil penyederhanaan dari fungsi Boole
𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷)   = ∑ 𝑚(2,3,7,9,11,13) + ∑ 𝑑(1,10,15)
dalam bentuk SOP dengan kondisi don’t care menggunakan pemrograman Visual Basic adalah 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) = 𝐵 ′ 𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 .

## 3 KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan mengenai penyederhanaan fungsi Boole menggunakan metode Quine McCluskey didapatkan suatu  program  aplikasi  yang dapat menyederhanakan fungsi Boole. Aplikasi yang dihasilkan berfungsi dengan baik  dalam  menyederhanakan  fungsi  Boole  dalam  bentuk  kanonik  SOP,  POS, maupun dengan kondisi don’t care dengan n variabel, 2 ≤ n ≤ 26. Pada penelitian sebelumnya aplikasi yang diperoleh hanya untuk fungsi Boole dalam bentuk SOP dan  POStanpa  memperhatikan  kondisi don’t  care .  Dalam  penggunaan  program ini, pengguna hanya perlu menginputkan jumlah variabel. Kemudian pilih bentuk kanonik  fungsi  Boole,  “m”  untuk  bentuk  kanonik  SOP  sedangkan  “M”  untuk bentuk kanonik POS. Setelah itu masukkan minterm/maxterm dan beri tanda plus (+)  untuk  memisahkan  dengan  kondisi don’t  care. Program  akan  menampilkan
tahapan-tahapan  penyederhanaan  fungsi  Boole  dengan  metode Quine  McCluskey sampai diperoleh hasil penyederhanaan.

## DAFTAR PUSTAKA
Ismayanto,    Sukmaindrayana,  A., Penyederhanaan  Fungsi  Boolean  dengan Metode Quine McCluskey , Jumantaka, 1 (1) (2018), 231 - 240.
Joshi,  M.  S.,  Formulation  of  C++ program  for  Quine–McCluskey  Method  of Boolean  Function  Minimization, Machine  Learning,  Advanced  in Computing,  Renewable  Energy  and  Communications ,  India,  2020,  341- 346.
Munir,  R., Matematika  Diskrit ,  Edisi  Keempat,  Informatika  Bandung,  Bandung, 2010.
Nasution,  A., Implementasi  Fungsi  Boolean  Dengan  Metode  Quine-McCluskey . Kultura, 17 (1) (2016), 5786 - 5792.
Nugroho,  E.  D., Development  of  Applications  for  Simplification  of  Boolean Functions  using  Quine-McCluskey  Method ,  Telematika  :  Jurnal Informatika dan Teknologi Informasi, 18 (1) (2021), 27-36.
Polosoro, E., Sistem Digital, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2009.
Purba,  D.  P., Efisiensi  Komponen  Rangkaian  Logika  dengan  Menggunakan Metode  Penyederhanaan  Quine-McCluskey ,  Citra  Sains  Teknologi,  1(1) (2021), 43-49.
Rosen, K. H., Discrete  Mathematics and Its Applications , 7 th Edition, Mc. Graw Hill, New York City, 2012.
Saputra,  H., Penerapan  Metode  Quine-Mc  Cluskey  untuk  Menyederhanakan Fungsi Boolean , Jurnal Teknologi dan Sistem Informasi , 2 (1) (2015), 31- 41.
Sipayung,  L.  Y., Perancangan  Perangkat  Lunak  Pembelajaran  Untuk Penyederhanaan  Fungsi  Boolean  dengan  Metode  Quine-McCluskey . Jurnal Sains dan Teknologi ISTP, 13 (1) (2020),  50 - 57.
Tomaszewski,  S.  P.,  Ilgas  U.,  C.,  George  E,  A., www-based  Boolean  Function Minimization , Applied Mathematics and Computer Sciences, 13 (4) (2003), 577 - 583.
Wamiliana,  Ossy  D,  E.,  Shara  S,  Z., Pengembangan  Aplikasi  Penyederhanaan Aljabar  Boolean  dengan  Menggunakan  Metode  Quine  Mccluskey  dalam Bentuk Sum-Of-Product , Jurnal Komputasi, 1 (2) (2013), 50-58.
Widianto, E. D., Sistem Digital : Analisis, Desain dan Implementasi, Graha Ilmu,
Yogyakarta, 2014.