## WAKIL UNSUR PEMBANGUN IDEAL
DARI BILANGAN BULAT GAUSS MODULO (ℤ 𝒎 [𝒊])

## Hastri Rosiyanti
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Jakarta hastrirosiyanti@yahoo.com

## Abstrak
Telah  diketahui  bahwa ℤ[𝒊] merupakan  daerah  Euclid  maka ℤ[𝒊] juga merupakan  daerah  ideal  utama.  Misalkan 𝑚 𝜖 ℤ + dan I ideal  dari ℤ 𝒎 [𝒊] . Lebih  lanjut, I dibangun  secara  berhingga  dapat  dinyatakan  banyaknya unsur  pembangun  dari I dapat  direduksi.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk menyatakan  bahwa  setiap  ideal  di ℤ 𝒎 [𝒊] dibangun  oleh  suatu  wakil  unsur pembangun ideal.
Kata  kunci : Bilangan  bulat  Gauss (ℤ[𝐢]) ,  Ideal  Utama   I ,  Bilangan  Bulat Gauss Modulo (ℤ 𝐦 [𝐢]) .

## PENDAHULUAN
Gelanggang bilangan bulat Gauss  merupakan salah satu  sistem matematika  yang dibentuk  dari  gelanggang  bilangan  bulat.  Himpunan  bilangan  bulat  Gauss  dipelopori oleh  Carl  Friedrich  Gauss  pada  tahun  1832.  Dia  memperoleh  Teorema  Resiprositas Kuartik  melalui  pendekatan  “whole  complex  numbers”.  Whole  complex  number didefinisikan oleh Carl Freidrich Gauss sebagai a bi  dengan 𝒂, 𝒃 𝝐 ℤ . Pada saat itulah whole complex number,  yang sekarang ini dinamakan himpunan bilangan bulat Gauss ℤ[𝒊] .
Himpunan  bilangan  bulat  Gauss  didefiniskan ℤ[𝒊] = {𝒂 + 𝒃𝒊|𝒂, 𝒃𝝐ℤ} dengan 1 i   . Jelas bahwa himpunan bilangan bulat Gauss tersebut tertutup terhadap operasi tambah  dan  kali.  Dapat  ditunjukkan  bahwa ℤ[𝒊] merupakan  daerah  integral  (Muchlis dan Astuti, 2007:8.3). Himpunan bilangan bulat Gauss merupakan daerah integral yang
memenuhi  algoritma  pembagian,  yang  dikenal  sebagai  daerah  Euclid  (Irving, 1952:248).
Himpunan  bilangan  bulat  Gauss  merupakan  daerah  integral  yang  memenuhi algoritma  pembagian,  yang  dikenal  sebagai  daerah  euclid.  Dalam  menelaah  struktur daerah euclid dari diperlukan fungsi norm N yang didefinisikan sebagai berikut.
𝑁: ℤ [ 𝒊 ] − { 𝟎 } → ℤ 𝟎 = { 𝟎, 𝟏, 𝟐, … } 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑎 2 + 𝑏 2 .
Telah diketahui  bahwa ℤ[𝒊] merupakan daerah Euclid maka ℤ[𝒊] juga merupakan daerah  ideal  utama(Muchlis  dan  Astuti,  2007:  11.8).  Sehingga,  setiap  ideal  dari ℤ[𝒊] dibangun oleh satu unsur(Muchlis dan Astuti, 2007: 10.4). Artinya jika I ideal dari ℤ[𝒊] maka I n  untuk suatu 𝑛 𝜖 ℤ[𝒊] .
Misalkan 𝑚 𝜖 ℤ + ,  gelanggang  bilangan  bulat  Gauss  modulo (ℤ[𝒊]) 𝒎 merupakan salah  satu  gelanggang  yang  dikontruksi  dari ℤ[𝒊] .  Himpunan  bilangan  bulat  Gauss modulo dapat didefinisikan sebagai       | , m i a bi a b    dengan 1 i   . Jelas bahwa himpunan     m i tertutup terhadap operasi tambah dan kali. Dapat ditunjukkan pula bahwa     m i merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan   m i dengan m   yang  juga  merupakan  sistem  matematika  yang dikonstruksi  dari   i .  Himpunan  ini  didefnisikan  sebagai
    | , m i a bi a b   
dengan 1 i   .  Himpunan   m i dilengkapi  dengan  operasi  tambah  dan  kali  yang didefinisikan sebagai berikut. Untuk setiap   , m v w i  , dengan , v a bi w c di     ,
        : a bi c di a c b d i        dan        : a bi c di ac bd ad bc i       .
Jelas  bahwa  himpunan   m i tertutup  terhadap  operasi  tambah  dan  kali.  Dapat ditunjukkan  bahwa   m i merupakan  gelanggang  komutatif.  Dimiliki  bahwa Gelanggang   m i isomorf dengan gelanggang     m i .
Misalkan m   dan I ideal  dari [ ] m i .  Karena [ ] m i berhingga  maka banyaknya unsur di I berhingga. Sehingga ideal I dibangun secara hingga. Lema 1.1 menyatakan  bahwa  banyaknya  unsur  pembangun  dari I dapat  direduksi.  Akibatnya ideal dari [ ] m i dapat dibangun oleh satu unsur.
Lema  1.1. Misalkan I ideal  dari [ ]
m i .  Jika 1 2 1 , ,..., , n n I x x x x   dengan 2 n  maka 1 2 2 , ,..., , ' n I x x x t  
untuk  suatu  ' [ ] m t i  .  Lebih  jauh I dibangun  oleh  satu unsur. (Rosiyanti, 2014).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan I x  ideal  dari [ ] m i dengan , 0 , x a bi a b m     .  Jika
x a bi   faktor  dari m maka x dinamakan  wakil  unsur  pembangun  ideal.  Teorema 2.1  menyatakan  bahwa  setiap  ideal  di [ ] m i dibangun  oleh  suatu  wakil  unsur pembangun ideal.  Cara pembuktian yang dilakukan didapat sendiri dan berbeda dengan hasil yang sama yang ditulis  dalam artikel lain.
Teorema  2.1. Jika I ideal  dari [ ] m i maka  terdapat  wakil  unsur  pembangun  ideal n a bi   , sehingga I n  dengan   0 , dan faktor dari a b m a bi m    .
Bukti. Misalkan I ideal dari [ ] m i . Berdasarkan Lema 1.1, diperoleh I n  dengan n a bi   . Pandang hubungan antara a bi  dan m di  [ ] i sebagai berikut.
(1) Jika | a bi m  maka n a bi   adalah wakil unsur pembangun ideal.
(2) Jika  asumsikan | a bi m  .  Misalkan   gcd , a bi m t   dengan 1 2 t t t i   .
Karena   2 N t m  maka 1 2 , t m t m   .  Akibatnya  terdapat 1 2 ' ' ' t t t i   ,
dengan 1 2 0 ', ' t t m   ,  sehingga   gcd , ' a bi m t   .  Menurut  Teorema  Bezout terdapat   , x y i  ,  sehingga  dapat  ditulis   ' a bi x my t
   .  Pandang  di
[ ] m i sehingga   ' a bi x t   . Akibatnya ' t a bi   . Karena  
gcd , ' a bi m t   maka  ' | t a bi  dan  ' | t m , sehingga     ' a bi m t v w     ,
untuk  suatu   , v w i  .  Pandang  di [ ] m i ,  diperoleh     ' a bi t v w    .
Akibatnya ' a bi t   .  Jadi ' I t  dengan ' t merupakan  wakil  unsur pembangun ideal. 
Sebagai  contoh  dari  Teorema  2.1,  perhatikan  bahwa  ideal  dari 4 [ ] i adalah 1 , 0 , 2 , 2 2 , 1 i i   .  Hasil penelitian ini bermanfaat guna menambah referensi mengenai  ideal  bilangan  bulat  Gauss  modulo  dan  sebagai  referensi  pada  matakuliah aljabar abstrak.

## DAFTAR PUSTAKA
Irving, R.S. (2000). Integers, Polynomials and Rings. New York: Springer.
Muchlis, A dan Astuti, Pudji. (2007). Aljabar 1 . Jakarta: Universitas Terbuka.
Rosiyanti,  Hastri.  (2014).  “Pembangun  Bilangan  Bulat  Gauss  Modulo”. BIAStatistics . Departemen  Statistika  Fakultas  Matematika  Ilmu  Pengetahuan  Alam  Universitas Padjajaran. ISSN 1907-6274.