## PENURUNAN MODEL TRAFFIC FLOW BERDASARKAN HUKUM-HUKUM KESETIMBANGAN
Binti Tsamrotul Fitria 1 , Mohammad Jamhuri 2
1 Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 2 Dosen jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Maulana Ibrahim Malang E-mail: binti_tsamrotulfitria@yahoo.com , m.jamhuri@live.com

## ABSTRAK
Penelitian ini membahas tentang penurunan model makroskopis masalah traffic flow berdasarkan hukum-hukum  kesetimbangan,  yaitu  hukum  kesetimbanganmassa  dan  hukum  kesetimbangan momentum.Asumsi  yang  digunakan  adalah  bahwa  sepanjang  interval  jalan  tidak  ditemukan persimpangan  yang  menyebabkan  perubahan  jumlah  kendaraan.Langkah-langkah  dalam  penurunan model  persamaan  tersebut  adalah:  (1)menurunkan  persamaan  kontinuitas  dan  persamaan  momentum sebagai  persamaan  pengatur,  (2)  menentukan  variabel-variabel  yang  mempengaruhi traffic  flow yaitu kepadatan,  kecepatan  dan  fluks  kendaraan,  (3)  menurunkan  model  berdasarkan  hukum-hukum kesetimbangan tersebut.
Model yang dihasilkan dalam skripsi ini dikenal sebagai persamaan Transport, dimana  persamaan tersebut menyatakan kepadatan kendaraan per satuan luas jalan yang dipengaruhi oleh kecepatan. Untuk kecepatan kendaraan yang konstan, maka model tersebut menjadi model linier. Sedangkan bila kecepatan kendaraan bergantung pada kepadatan kendaraan maka persamaan tersebut menjadi non linier. Bentuk non  linier  dari  persamaan  traffic  flow  ini  dikenal  sebagai  persamaan  Burger.Solusi  dari  model  yang dihasilkan  didapat  dengan  menggunakan  metode  finite  differenceskema  FTBS  untuk  bentuk  yang  linier dan menggunakan metode Lax Wendroffskema FTCS untuk bentuk yang non linier.
Kata Kunci: traffic flow , model makroskopis, hukum kesetimbangan, metode Lax Wendroff

## ABSTRACT
This  study  discusses  the  derivation  of  macroscopic  model  of  traffic  flow  problems  based  on  the laws  of  Conservation,  those  are  Conservation  law  of  mass  and    Conservation  law  of  momentum.  The asumtionused is that in the whole of intervals there is no junction which causes the number of vehiclesto change.  The  steps  in  the  derivation  of  the  equation  model  are:  1.  Derivingcontinuity  equation  and momentum  equation  as  the  regulator  equation,  2.  Determining  variables  which  influencetraffic  flow, namely density, velocity and flux of vehicle, 3. Deriving model based on the laws of Conservation.
The  resulting  modelin  this  thesisis  known  as  the  Transport  equation,  speed  of  vehicle  where,  the equation  states  the  vehicle  density  per  unit  area  which  is  affected  by  the  speed  road.  For  a  constant vehicle speed, the model becomes linear. While, when the speed of the vehicle depends on the density of the vehicle, then the equation becomes nonlinear. Nonlinear form of the traffic flow equation is known as the  Burger  equation.  The  solution  of  the  resulting  model  is  obtained  by  using  the  method  of  finite difference  implementing  FTBS  scheme  for  linear  form  and  using  the  method  of  Lax  Wendroff implementing FTCS scheme for non-linear form.
Key Words : traffic flow, macroscopic model, the conservation law, Lax Wendroff method.

## PENDAHULUAN
Arus  lalu  lintas  kendaraan  masih  menjadi masalah yang cukup serius. Kepadatan kendaraan  yang  terus  bertambah  membuat kemacetan  yang  terjadi  di  kota  besar  semakin parah , t erutama  pada  ruas  jalan  yang  sempit, bercabang,  dan  naik  turun.  Perencanaan  dan desain  pembangunan  jalan  sangat  penting peranannya  dalam  pengaturan  lalu  lintas.  Agar terciptanya  jalur  lalu  lintas  yang  teratur,  lancar,
dan bebas hambatan sehingga membuat  nyaman bagi pengendara maupun penumpang lainnya.
Untuk  membangun  jalan  raya  perlu memperhatikan  luas  jalan  yang  harus  dibangun dan  peletakan  rambu-rambu  lalu  lintas  atau traffic  light. Untuk  mengatur  tata  letak  kota tersebut  perlu  didukung  oleh  teori traffic  flow. Nagel  [1]  menjelaskan  teori traffic  flow adalah suatu teori yang membahas masalah transportasi, yang  menghubungkan  antara  tiga  variabel fundamental  yaitu  kecepatan,  kepadatan,  dan
flow dari  kendaraan  itu  sendiri.  Solusi  dari hubungan  tersebut,  dengan  kondisi  awal  dan masalah  batasnya  mungkin  bisa menjadi informasi  yang  berguna  pada  perencanaan  dan optimalisasi masalah traffic flow.
Lebih  dari  setengah  abad  yang  lalu,  para ahli
Matematika
dan teknik telah menggabungkan  teori  dinamika  fluida  dengan masalah  transportasi.  Dimulai  pada  tahun  1950- an ketika Lighthill dan Witham mengenalkan One- Dimensional  Method mengenai traffic  flow yang menyatakan  bahwa  masalah  transportasi  bisa dipelajari  dan  dimodelkan  dengan  menggunakan metode  dinamika  fluida  [2].  Sejak  saat  itu pembahasan  mengenai traffic  flow menjadi  topik yang menarik untuk diteliti sehingga banyak para ilmuwan  mengembangkan  teori  tersebut  seperti Daganzo [3] dan Rascle [4] yang mengembangkan model  makroskopis  dari traffic  flow yang  telah ditemukan oleh Lighthill dan Whitam [5].
Model dari arus lalu lintas, terbagi menjadi mikroskopis dan makroskopis. Sedangkan Immers dan Logghe [6]  menjelaskan  bahwa makroskopis adalah pendekatan yang mengamati kendaraan  secara  keseluruhan  dan  sangat bergantung  pada  kepadatan  di  suatu  ruas  jalan, sedangkan  mikroskopis  adalah  pendekatan  yang mengamati  kendaraan  secara  terpisah,  sehingga lebih  menekankan  pada  jarak  dan  hubungan antar dua kendaraan yang saling berdekatan.

## TINJAUAN PUSTAKA

## 1. Persamaan pengatur
Persamaan  pengatur  adalah  persamaan yang diturunkan melalui hukum-hukum kesetimbangan.  Adapun  persamaan  pengatur dalam penelitian ini adalah:
Persamaan Kontinuitas Sebuah sistem didefinisikan sebagai kumpulan  dari  isi  yang  tidak  berubah.  Prinsip kekekalan massa berbunyi, laju perubahan massa terhadap  waktu  sama  dengan  nol.  Olson  [7] mengatakan  bahwa  pada  persamaan  kontinuitas mensyaratkan bahwa massa fluida harus bersifat kekal,  yakni  tidak  dapat  diciptakan  atau dimusnahkan.
Bentuk  dari  persamaan  kontinuitas  yang diturunkan  melalaui  hukum  kekekalan  massa sebagai berikut
𝜕𝜌 𝜕𝑡 = − 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 − 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑦 − 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧
sedangkan
[ 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 , 𝜕 𝜕𝑧 ] = ∇.
Sehingga persamaan (2.5) di atas dapat ditulis 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 𝜌(𝑞̅ ∇)

## a. Persamaan Momentum
Bentuk  dari  persamaan  momentum  yang diturunkan  berdasarkan  hukum  kesetimbangan adalah sebagai berikut
𝜕𝑞 𝜕𝑡 + 𝑞𝛻𝑞 = − 1 𝜌 𝛻𝑝 +  𝑔𝛻𝑧
dimana 𝑞̅ = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
[ 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥 , 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑦 , 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑧 ] = 1 𝜌 ( 𝜕𝑝 𝜕𝑥 , 𝜕𝑝 𝜕𝑦 , 𝜕𝑝 𝜕𝑧 ) = 1 𝜌 ∇p
(𝑢, 𝑣, 𝑤) [ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 , 𝜕𝑣 𝜕𝑦 , 𝜕𝑤 𝜕𝑧 ] = 𝑞∇𝑞

## 2.  Variabel Makroskopis

## a. Ukuran Interval
Interval  S  didefinisikan  sebagai  daerah yang  terletak  pada  ruang 𝑡 − 𝑥 seperti  yang dijelaskan
pada gambar
berikut:
Gambar 1. Ukuran Interval 𝑆 1 dan 𝑆 2 𝑆 1 merupakan  daerah  interval  tertutup yang berbentuk segiempat ini mewakili ruas jalan sepanjang ∆𝑥 dengan  waktu  sekecil-kecilnya yaitu 𝑑𝑡 . 𝑆 2 merupakan  daerah  segiempat  ini mewakili  daerah  dimana  jarak  yang  sekecil- kecilnya  dalam  waktu  yang  berbeda. 𝑆 3 adalah ukuran interval yang  berubah-ubah sesuai ruang dan  waktu.  Seperti  yang  dijelaskan  melalui gambar berikut
Gambar 2. Ukuran Interval 𝑆 3

## b. Kepadatan Kendaraan
Kepadatan  yang  dinotasikan  dengan  ( 𝜌) menyatakan  jumlah  kendaraan  per  kilometernya di  jalan  (Immers  dan  Logghe,  2002).  Dalam interval  satuan  waktu  tertentu,  misalnya  daerah
𝑆 1 , 𝜌 dapat dicari dengan menghitung banyaknya kendaraan  per  partisi  panjang  jalan  sebesar ∆𝑥 , secara matematis dapat ditulis
𝜌 = 𝑛 ∆𝑥
dengan 𝑛 merupakan  jumlah  kendaraan  yang melintas sepanjang interval jalan ∆𝑥 .

## c. Laju Alir Kendaraan (Fluks)
Laju  alir  merupakan  jumlah  kendaraan yang  melintas  suatu  ruas  jalan  pada  interval waktu  tertentu  (Immers  dan  Logghe,  2002). Misalnya pada interval waktu ∆𝑇 dan pada lokasi 𝑥 2 maka laju alirnya bisa dicari dengan
𝑞 = 𝑚 ∆𝑇
Indeks 𝑚 merupakan  jumlah  kendaraan yang melintas pada lokasi 𝑥 2 .
d. Kecepatan
Kecepatan 𝑣 adalah  hasil  bagi  antara  laju  alir dengan  kepadatan.  Dengan  kata  lain,  kecepatan adalah  fungsi  atas  lokasi,  waktu  dan  ukuran intervalnya [6]. Secara matematis dapat ditulis
𝑣 = 𝑞 𝜌 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑛𝑑𝑎𝑟𝑎𝑎𝑛 𝑑𝑖 𝑆 2 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

## e. Hubungan Antara Ketiga Variabel Makroskopis
Untuk memberikan gambaran tersebut akan diberikan  beberapa  kasus  di  antaranya  adalah jika  dipunyai  pergerakan  kendaraan  dengan kecepatan  konstan 𝑣 dengan  kepadatan (𝜌) . Karena setiap kendaraan melaju dengan kecepatan yang sama, maka jarak antara masing- masing  kendaraan  akan  menyisakan  konstan. Sehingga  kepadatan  lalu  lintas  tidak  berubah. Untuk  mengukur  aliran traffic pada  saat 𝑡 jam, kita  ingat  kembali  rumus 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 = 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛  × 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢. sehingga  pada  saat 𝑡 jam  setiap kendaraan  akan  menempuh  jarak 𝑣𝑡 ,  sehingga jumlah  kendaraan  yang  lewat  dan  diamati sebanyak 𝑡 jam  merupakan  sejumlah  kendaraan pada jarak 𝑣𝑡 .
Karena 𝜌 adalah  sejumlah  kendaraan perkilometer  dan  jarak  sebenarnya  berupa 𝑣𝑡 kilometer,  maka 𝜌𝑣𝑡 adalah  sejumlah  kendaraan yang  lewat  dan  teramati  sepanjang 𝑡 jam.
Sehingga  sejumlah  kendaraan  per  jam  yang disebut aliran lalu lintas 𝑞 adalah 𝑞 = 𝜌𝑣
Karena  variabel  lalu  lintas  bergantung pada jarak dan waktu, maka dapat ditulis 𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝜌𝑣

## PEMBAHASAN
1. Penurunan Model Traffic Flow
Pada bagian ini akan dijelaskan penurunan model traffic  flow berdasarkan  hukum-hukum kesetimbangan. Hukum kekekalan massa mensyaratkan  bahwa  perubahan  massa  per satuan waktu yaitu 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 − 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 Jika 𝑚 menunjukkan  jumlah  kendaraan yang  melintasi  suatu  ruas  jalan, 𝜌 menunjukkan kepadatan dan 𝑞 adalah fluks kendaraan, dimana 𝑞| 𝑥 menunjukkan fluks kendaraan yang memasuki  suatu  ruas  jalan  sedangkan 𝑞| 𝑥+∆𝑥 adalah  fluks  kendaraan  yang  keluar  dari  ruas jalan maka dapat dinyatakan sebagai 𝜕𝑚
𝜕𝑡 = 𝑞| 𝑥 − 𝑞| 𝑥+∆𝑥 (1)
Berdasarkan rumus dari massa jenis ( 𝜌 )
𝜌 = 𝑚 𝑉 Untuk 𝑚 = massa dan 𝑉 = volume Sehingga 𝑚 = 𝜌𝑉
Oleh karena itu persamaan (1) dapat ditulis 𝜕𝜌𝑉 𝜕𝑡 = 𝑞| 𝑥 − 𝑞| 𝑥+∆𝑥 (2)
Karena objek pembahasannya  adalah  jalan  raya dan  hanya  berdimensi  satu,  maka  volume  yang dimaksud  adalah  panjang  interval  jalan  sebesar ∆𝑥 . Sehingga persamaan (2) menjadi 𝜕𝜌 ∆𝑥
𝜕𝑡 = 𝑞| 𝑥 − 𝑞| 𝑥+∆𝑥
Dengan membagi kedua ruas dengan ∆𝑥 maka 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 𝑞| 𝑥 − 𝑞| 𝑥+∆𝑥 ∆𝑥 bila ∆𝑥 → 0
lim ∆𝑥→0 𝑞| 𝑥 − 𝑞| 𝑥+∆𝑥 ∆𝑥 = − 𝜕𝑞 𝜕𝑥 sehingga
𝜕𝜌 𝜕𝑡 = − 𝜕𝑞 𝜕𝑥 karena 𝑞 = 𝜌𝑣 ,  dimana 𝑣 adalah  kecepatan, maka
𝜕𝜌 𝜕𝑡 = − 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑥 atau 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑥 = 0 (3)

## 2. Hubungan Kepadatan dengan Kecepatan
Pada  penelitian  ini  diasumsikan  bahwa kepadatan adalah faktor yang paling mempengaruhi  kecepatan.  Sedangkan  untuk faktor lain diabaikan. Sehingga dapat ditulis
𝑣 = 𝑣(𝜌)
Jika  tidak  terdapat  kendaraan  lain  atau tidak ada mobil lain yang melewati interval (𝑎, 𝑏) artinya 𝜌 = 0 maka  kendaraan  akan  berjalan dengan  kecepatan  maksimum,  yaitu 𝑣 𝑚𝑎𝑥 , akan tetapi jika terdapat peningkatan kepadatan maka laju kecepatannya menjadi pelan, sehingga dapat ditulis

## 𝑣(𝜌) ≤ 0
Sedangkan  bila  kepadatan  kendaraan menjadi  maksimum (𝜌 maks ) ,  maka  kondisi  jalan menjadi bumper  to  bumper ,  dalam  keadaan  ini kendaraan  tidak  dapat  berjalan  atau  berhenti. Bila dipaksakan maka kendaraan akan bertabrakan,  karena  sudah  tidak  ada  ruang  lagi untuk bergerak. Sehingga dapat ditulis
𝑣(𝜌 maks ) = 0 Sehingga 𝜌 maks = 1 𝐿 dengan  L  adalah panjang  kendaraan.  Oleh  karena  itu  hubungan antara kepadatan dan kecepatan dapat digambarkan sebagai berikut

## Gambar 3. Hubungan kepadatan dengan kecepatan
Berdasarkan  Gambar  3  di  atas  didapatkan 2  buah  titik  yaitu (0, 𝑣 𝑚𝑎𝑘𝑠 ) dan (𝜌 𝑚𝑎𝑘𝑠 , 0) sehingga  bentuk  persamaan  garisnya  dapat dituliskan
𝑣 − 𝑣 𝑚𝑎𝑘𝑠 −𝑣 𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝜌 − 𝜌 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜌 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑣 = −𝜌 𝑣 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜌 𝑚𝑎𝑘𝑠 + 𝑣 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑣 = 𝑣 maks (1 − 𝜌 𝜌 maks )
Ansgar  Jungel  [8]  menyatakan  model kecepatan  yang  bergantung  kepadatan  dalam bentuk persamaan
𝑣(𝜌) = 𝑣 maks (1 − 𝜌 𝜌maks ) , 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌 maks
(4)
Kemudian  persamaan  (4)  disubstitusikan  pada model traffic flow pada persamaan (4.3) menjadi
𝜌 𝑡 + [𝑣 maks 𝜌 (1 − 𝜌 𝜌 maks )] 𝑥 = 0 𝜌 𝑡 + [𝑣 maks 𝜌 − 𝑣 maks 𝜌 maks 𝜌 2 ] 𝑥 = 0 (5)
Dengan  mensubstitusikan  data-data  yang sudah didapatkan bisa ditentukan suatu persamaan  garis  lurus  yang  menggambarkan hubungan  antar  kecepatan  dengan  kepadatan lalu lintasnya.
Observasi  yang  dilakukan  menghasilkan data 𝑣 𝑚𝑎𝑥 = 27. 8 𝑚/𝑑𝑡 pada  saat  kepadatan mendekati  0,  sedangkan 𝑣 ≈ 0 pada  saat 𝜌 𝑚𝑎𝑥 = 0.67 . Sehingga didapatkan 2 titik (0, 𝑣) dan (𝜌, 0) yaitu (0,27. 89) dan (0.67,0) .
Gambar 4. Persamaan Garis
dengan  mensubstitusikan  data  di  atas  ke persamaan (4) maka didapatkan
𝑣(𝜌) = 𝑣 maks (1 − 𝜌 𝜌 maks )
𝑣(𝜌) = 27.89 (1 − 𝜌 0.67 )

## 3. Penskalaan
Skala  adalah  perbandingan  ukuran  pada model dengan ukuran sebenarnya. Baik mengubah ke ukuran yang lebih kecil, maupun ke ukuran  yang  lebih  besar  dengan  tanpa menghilangkan karakteristiknya. Selanjutnya kita kenalkan    variabel  lain  dengan  mengikuti penelitian sebelumnya [8] yaitu 𝜃 dan 𝜏 dimana 𝜃 menyatakan  jarak  dan 𝜏 waktu,  bila 𝜃 𝜏 = 𝑣 maks maka akan ada 𝑥 𝑠 = 𝑥 𝜃 , 𝑡 𝑠 = 𝑡 𝜏 dan 𝑢 = 1 − 2𝜌 𝜌maks
sehingga
𝜌 𝑡 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑠 ∙ 𝜕𝑡 𝑠 𝜕𝑡 karena 𝑢 = 1 −
2𝜌 𝜌maks Maka 𝜌 = 𝜌maks 2 (1 − 𝑢) sehingga
𝜌 𝑡 = [ 𝜌 maks 2 (1 − 𝑢)] 𝑡𝑠 1 𝜏 𝜌 𝑡 = 1 𝜏 [ 𝜌 maks 2 (1 − 𝑢)] 𝑡𝑠 𝜌 𝑡 = − 𝜌 maks 2𝜏 𝑢 𝑡𝑠 (6)
sedangkan untuk
𝜌 𝑥 = 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝑠 ∙ 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝜌 𝑥 = [ 𝜌 maks 2 (1 − 𝑢)] 𝑥𝑠 1 𝜃 𝜌 𝑥 = 1 𝜃 [ 𝜌 maks 2 (1 − 𝑢)] 𝑥𝑠 𝜌 𝑥 = − 𝜌 maks 2𝜃 𝑢 𝑥𝑠 (7)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (6) dan (7) ke persamaan (5) maka
𝜌 𝑡 + [𝑣 maks 𝜌 − 𝑣 maks 𝜌 maks 𝜌 2 ] 𝑥 = 0 𝜌 𝑡 + 𝑣 maks 𝜌 x − 𝑣 maks 𝜌 maks (2𝜌𝜌 x ) = 0 − 𝜌maks 2𝜏 𝑢 𝑡𝑠 + 𝑣 maks (− 𝜌maks 2𝜃 𝑢 𝑥𝑠 ) − 𝑣maks 𝜌maks (2 ( 𝜌maks 2 (1 − 𝑢)) (− 𝜌maks 2𝜃 𝑢 𝑥𝑠 )) = 0 − 𝜌maks 2𝜏 𝑢 𝑡𝑠 + 𝑣 maks (− 𝜌maks 2𝜃 𝑢 𝑥𝑠 ) +
𝑣 maks 𝜌maks 2𝜃 ((1 − 𝑢) 𝑢 𝑥𝑠 ) = 0
Karena 𝜃 𝜏 = 𝑣 maks maka − 𝜌 maks 2𝜏 𝑢 𝑡𝑠 − 𝜃 𝜏 𝜌 maks 2𝜃 ( 𝑢 𝑥𝑠 −  𝑢 𝑥𝑠 + 𝑢 𝑢 𝑥𝑠 ) = 0 − 𝜌 maks 2𝜏 𝑢 𝑡𝑠 − 𝜌 maks 2𝜏 (𝑢 𝑢 𝑥𝑠 ) = 0
Bila  kedua  ruas  dibagi  dengan − 𝜌maks 2𝜏 maka menjadi
𝑢 𝑡𝑠 + 𝑢 𝑢 𝑥𝑠 = 0
Model tersebut dikenal sebagai model traffic flow. Untuk selanjutnya 𝑡 𝑠 akan ditulis sebagai 𝑡 dan 𝑥 𝑠 akan  ditulis  sebagai 𝑥 . Sehingga    modelnya menjadi 𝑢 𝑡 + 𝑢 𝑢 𝑥 = 0 (8)
4.  Solusi dan Simulasi
a.  Model Linier dari Persamaan Traffic Flow
Pada  persamaan  (3)  bila 𝑣(𝜌) merupakan suatu  konstanta  maka  persamaan  tersebut menjadi  persamaan  transport  linier.  Sehingga persamaan (3) dapat dituliskan
𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝑥 = 0 (9)
dengan
𝜌(0, 𝑡) = 3
𝜌(1680, 𝑡) = 2
𝜌(𝑥, 0) = −𝑥 1680 + 3
Kondisi  awal 𝜌 diperoleh  dengan mengasumsikan  jarak 𝑥 berada  pada  selang interval (0,1680) yang  akan  didapatkan  suatu persamaan garis lurus yang menghubungkan 𝜌 di batas kiri dengan 𝜌 di batas kanan. Melalui rumus persamaan garis lurus akan didapatkan
𝜌 − 3 2 − 3 = 𝑥 1680 (𝜌 − 3) = 𝑥 1680 (−1) 𝜌 = −𝑥
1680 + 3
Dengan menggunakan metode beda hingga skema FTBS ( forward time backward space ) yaitu aproksimasi  dengan  menggunakan  skema  beda maju  untuk  waktu  dan  skema  beda  mundur untuk ruang, maka akan diperoleh bentuk diskrit seperti berikut
𝜌 𝑡 = 𝜌 𝑗 𝑛+1 − 𝜌 𝑗 𝑛 ∆𝑡 𝜌 𝑥 = 𝜌 𝑗 𝑛 − 𝜌 𝑗−1 𝑛 ∆𝑥 sehingga persamaan (9) menjadi
𝜌 𝑗 𝑛+1 − 𝜌 𝑗 𝑛 ∆𝑡 + 𝑣 𝜌 𝑗 𝑛 − 𝜌 𝑗−1 𝑛 ∆𝑥 = 0 𝜌 𝑗 𝑛+1 = 𝜌 𝑗 𝑛 − 𝑣 ∆𝑡 ∆𝑥 [𝜌 𝑗 𝑛 − 𝜌 𝑗−1 𝑛 ] (10)
Selanjutnya  akan  dilakukan  simulasi  dari persamaan  (10),  dengan  menggunakan  program MATLAB.  Dengan  mengambil ∆𝑥 = 0.99 m  dan ∆𝑡 = 0.099 satuan  waktu,  dan  mengambil 𝑣 = 3 𝑚 per  satuan  waktu.  Sehingga  perubahan kepadatan  kendaraan  dapat  dilihat  sebagai berikut

## Gambar 5. Simulasi kasus 1
Dari Gambar 5 di atas dapat dilihat bahwa sepanjang waktu 𝑡 pada  batas  kiri  kepadatannya sebesar  3  kendaraan  per  satuan  luas  dan  pada batas  kanan  kepadatannya  2  kendaraan  per
satuan  luas.  Hal  ini  menunjukk a n  bahwa  pada posisi 𝑥 = 0 selalu  terdapat  3  kendaraan,  dan pada  posisi 𝑥 = 1680 selalu  terdapat  2 kendaraan. Sedangkan untuk mengetahui kondisi kepadatan di setiap posisi 𝑥 pada saat 𝑡 tertentu maka digambarkan pada grafik berikut

## Gambar 6.  Simulasi Kasus 1 dengan Waktu Berbeda
Berdasarkan  gambar  6  tersebut  dapat diketahui
bahwa
pada saat
𝑡 = 0 kepadatan kendaraan sebesar 2 kendaraan per  satuan  luas,  setelah 𝑡 = 49.95 kendaraan mulai  bertambah.  Karena  jumlah  kendaraan  di batas  kiri  lebih  banyak  daripada  batas  kanan, sehingga kendaraan menumpuk di titik-titik awal. Dan  untuk 𝑡 menuju  tak  hingga  kepadatan  di sepanjang  jalan  besarnya  sama,  yaitu  3 kendaraan  per  satuan  luasnya,  tetapi  di  ujung jalan tetap ada 2 kendaraan per satuan luasnya.
Simulasi pada kasus kedua, bila diasumsikan  bahwa  kepadatan  kendaraan  di daerah  batas  berkebalikan  dengan kasus pertama.  Jika  terdapat  2  kendaraan  di batas  kiri dan  terdapat  3  kendaraan  maka  dengan melakukan  hal  yang  sama  akan  didapat  grafik kepadatannya sebagai berikut
Gambar 7. Simulasi Kasus 2
Pada kasus kedua ini, kepadatan kendaraan  di  batas  kiri  sebanyak  2  kendaraan per  satuan  luas,  sedangkan  kepadatan  di  batas kanan  sebanyak  3  kendaraan  per  satuan  luas, sehingga  dapat  diketahui  bahwa  penumpukan kendaraan  terjadi  di  ujung  interval  yang  akan berdampak  pada  kemacetan.  Tetapi  setelah 𝑡 = 1000 kondisi  jalan  telah  mencapai  kepadatan
yang seimbang, artinya, sepanjang jalan kepadatannya  sama;  yaitu  2  kendaraan  per satuan  luas  jalan.  Seperti  yang  ditunjuk k an  pada gambar berikut
Gambar 8. Simulasi Kasus 2 dengan Waktu Berbeda
Selanjutnya  dengan  menggunakan  metode karakteristik  bisa  didapatkan  solusi  analitik  dari model linier
𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝑥 = 0 𝜌(𝑥, 0) = −𝑥 1680 + 3
Persamaan 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝑥 = 0 adalah turunan berarah dari 𝜌 dalam  suatu  vektor  dengan  arah 𝕍 = [1, 𝑣] = 𝑖 + 𝑣𝑗 dimana  kurva  dari  persamaan tersebut memiliki gradien
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 1 = 𝑣
Dalam  hal  ini  selalu  bernilai  0  atau 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑐 dalam  arah 𝕍 .  Vektor [𝑣, −1] adalah orthogonal  terhadap 𝕍 .  Sedangkan  garis  yang sejajar dengan 𝕍 adalah −𝑥 = 𝑐 , dan persamaan ini  disebut  persamaan  karakteristik.  Solusi  PDP di  atas  selalu  konstan  dalam  masing-masing karakteristik  ini,  sehingga  tergantung  hanya pada 𝑣𝑡 − 𝑥 . Dengan demikian solusinya adalah

## 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑣𝑡 − 𝑥)
Atau  bisa  dengan  menggunakan  metode koordinat. Dalam sistem koordinat 𝑡, 𝑥 dapat kita transportasikan ke dalam sistem
Gambar 9. Transportasi Sistem Koordinat
Misal  ditetapkan 𝑡 ′ = 𝑡 + 𝑣𝑥 dan 𝑥 ′ = 𝑣𝑡 − 𝑥 dengan  aturan  turunan  rantai  maka turunan 𝜌(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) terhadap 𝑥 dan 𝑦 adalah
0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 49.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 249.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 399.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 999.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 49.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 249.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 399.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 999.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( p )
𝜌 𝑡 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡′ ∙ 𝜕𝑡′ 𝜕𝑡 + 𝜕𝜌 𝜕𝑥′ ∙ 𝜕𝑥′ 𝜕𝑡 = 𝜌 𝑡′ + 𝑣𝜌 𝑥′ 𝜌 𝑥 = 𝜕𝜌 𝜕𝑥 = 𝜕𝜌 𝜕𝑥′ ∙ 𝜕𝑥′ 𝜕𝑥 + 𝜕𝜌 𝜕𝑡′ ∙ 𝜕𝑡′ 𝜕𝑥 = −𝜌 𝑥′ + 𝑣𝜌 𝑡′ = 𝑣𝜌 𝑡′ −𝜌 𝑥′
Selanjutnya  substitusikan  ke  dalam  persamaan 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝑥 = 0 sehingga 𝜌 𝑡′ + 𝑣𝜌 𝑥′ + 𝑣(𝑣𝜌 𝑡′ −𝜌 𝑥′ ) = 0 𝜌 𝑡′ + 𝑣𝜌 𝑥′ + 𝑣 2 𝜌 𝑡′ − 𝑣𝜌 𝑥′ = 0 𝜌 𝑡′ + 𝑣 2 𝜌 𝑡′ = 0 (1 + 𝑣 2 )𝜌 𝑡′ = 0 untuk (1 + 𝑣 2 ) ≠ 0 maka 𝜌 𝑡′ = 0 ∫ 𝜌 𝑡′ 𝑑𝑡 ′ = ∫ 0 𝑑𝑡 ′
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 ′ ) sehingga 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑣𝑡 − 𝑥) merupakan  solusi analitiknya.
Dengan  mensubstitusikan  nilai  awal  ke model (9) sedangkan untuk 𝑣 = 3 maka
𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(3.0 − 𝑥) 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(−𝑥) 𝑓(−𝑥) = −𝑥 1680 + 3 sehingga 𝑓(3𝑡 − 𝑥) = (3𝑡 − 𝑥) 1680 + 3 maka solusi analitiknya
𝜌(𝑥, 𝑡) = (3𝑡 − 𝑥) 1680 + 3
𝜌(𝑥, 𝑡) = (3𝑡 − 𝑥) 1680 + 3 Solusi analitik digunakan untuk membandingkan keakuratan dari metode numerik  yang  dipakai  dalam  skripsi  ini.  Untuk mengetahui galat pada solusi numerik dari model linier  tersebut  akan  dilakukan  simulasi  dengan mengambil  domain 0 < 𝑥 < 1 dan 0 < 𝑡 < 1 dengan ∆𝑥 = ∆𝑡 = 025 .  Sedangkan  untuk  solusi numeriknya  yaitu  persamaan  (10)  dengan kondisi batasnya
𝜌 𝑗 𝑛+1 = 𝜌 𝑗 𝑛 − 𝑣 ∆𝑡 ∆𝑥 [𝜌 𝑗 𝑛 − 𝜌 𝑗−1 𝑛 ]
𝜌(0, 𝑡) = 3𝑡 1680 + 3 𝜌(1, 𝑡) = 3𝑡 − 1
1680 + 3

## Maka didapatkan solusi sebagai berikut:
Tabel 1. Perbandingan Solusi Analitik dan Solusi Numerik x T Analitik Numerik galat 0 0 3.0000 3.0000 0 0 0.25 3.0004 3.0004 0 0 0.5 3.0009 3.0009 0 0 0.75 3.0013 3.0013 0
0 1 3.0018 3.0018 0 0.25 0 2.9999 2.9999 0 0.25 0.25 3.0003 3.0003 0 0.25 0.5 3.0007 3.0007 0.0444 x 10 -14 0.25 0.75 3.0012 3.0012 -0.0888 x 10 -14 0.25 1 3.0016 3.0016 0.1776 x 10 -14 0.5 0 2.9997 2.9997 0 0.5 0.25 3.0001 3.0001 0 0.5 05 3.0006 3.0006 0 0.5 0.75 3.0010 3.0010 0.0444 x 10 -14 0.5 1 3.0015 3.0015 -0.3553 x 10 -14 0.75 0 2.9996 2.9996 0 0.75 0.25 3.0000 3.0000 0 0.75 0.5 3.0004 3.0004 0 0.75 0.75 3.0009 3.0009 0.0444 x 10 -14 0.75 1 3.0013 3.0013 0.0444 x 10 -14 1 0 2.9994 2.9994 0 1 0.25 2.9999 2.9999 0 1 0.5 3.0003 3.0003 0 1 0.75 3.0007 3.0007 0 1 1 3.0012 3.0012 0
Dari  hasil  solusi  di  atas  dapat  diketahui bahwa  galat  maksimumnya  sebesar  0.1776  x  10 - 14 pada saat 𝑥 = 0.25 dan 𝑡 = 1 . Sedangkan untuk yang  lain  galatnya  sangat  kecil  bahkan  hampir keseluruhan  galatnya 0. Hal  ini  bisa  dikatakan bahwa  metode  FTBS  ini  sudah  cukup  baik  untuk mengaproksimasi  model  tersebut.  Adapun  untuk grafik solusi bisa dilihat di bawah ini
Table 2. Grafik Solusi untuk Solusi Analitik dan Numerik
Solusi analitik Solusi numerik
b.  Model Non Linier Persamaan Traffic Flow Pada persamaan (3) di atas jika kecepatannya bergantung pada kepadatan kendaraan  yang  berbeda  di  setiap  posisi,  maka persamaan  tersebut  menjadi  persamaan  non linier.  Persamaan  (10)  adalah  persamaan  (3) yang telah diskalakan sehingga menjadi persamaan Burger.
Misal  diasumsikan  pada  batas  interval
(0,1680) adalah 𝑥 = 0 batasnya 3 kendaraan dan 𝑥 = 1680 batasnya  2  kendaraan.  Artinya  pada posisi 𝑥 = 0 selalu  terdapat  3  kendaraan  per satuan  luas.  Dan  pada  posisi 𝑥 = 1680 selalu terdapat 2 kendaraan per satuan luas. Persamaan (10)  beserta  kondisi  batasnya  dapat  dituliskan sebagai berikut
𝑢 𝑡 + 𝑢𝑢 𝑥 = 0 , 𝑡 > 0 dan 0 < 𝑥 < 1680 dengan 𝑢(0, 𝑡) = 3
𝑢(1680, 𝑡) = 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 2.999 3 3.001 3.002 3.003 posisi Grafik solusi analitik waktu k e p a d a ta n 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 2.999 3 3.001 3.002 3.003 posisi (x) Solusi Numerik waktu (t) k e p a d a ta n k e n d a ra a n ( u )
𝑢(𝑥, 0) = −𝑥 1680 + 3
Selanjutnya  akan  dilakukan  pendiskritan  pada persamaan  (10)  tersebut  dengan  menggunakan metode Lax  Wendroff skema  FTCS  ( forward  time center  space) dengan  mensubstitusikan 𝑢 𝑡 ke bentuk 𝑢 𝑥 .  Sehingga  bentuk  diskritnya  sebagai berikut
𝑢 𝑡 + 𝑢𝑢 𝑥 = 0 𝑢 𝑡 = −𝑢𝑢 𝑥 𝑢 𝑡𝑡 = −(𝑢𝑢 𝑥 ) 𝑡 𝑢 𝑡𝑡 = −  𝑢 𝑡 𝑢 𝑥 − 𝑢𝑢 𝑥𝑡 Berdasarkan ekspansi Taylor
𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝑈 𝑗 𝑛 + ∆𝑡 𝑢 𝑡 | 𝑗 𝑛 + 1 2 ∆𝑡 2 𝑢 𝑡𝑡 | 𝑗 𝑛 + ⋯
𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝑢 𝑗 𝑛 + ∆𝑡 (−𝑢 𝑢 𝑥 )| 𝑗 𝑛 + 1 2 ∆𝑡 2 (−  𝑢 𝑡 𝑢 𝑥 − 𝑢 𝑢 𝑥𝑡 )| 𝑗 𝑛 (11)
Karena  pada  persamaan  (11)  ruas  kanan  masih terdapat unsur 𝑢 𝑡 maka
(−  𝑢 𝑡 𝑢 𝑥 − 𝑢𝑢 𝑥𝑡 ) = (−(−𝑢𝑢 𝑥 )𝑢 𝑥 ) − 𝑢𝑢 𝑥𝑡
= (𝑢𝑢 𝑥 )𝑢 𝑥 − 𝑢(𝑢 𝑡 ) 𝑥 = 𝑢(𝑢 𝑥 ) 2 − 𝑢(−𝑢𝑢 𝑥 ) 𝑥 = 𝑢(𝑢 𝑥 ) 2 + 𝑢(𝑢 𝑥 𝑢 𝑥 + 𝑢𝑢 𝑥𝑥 ) = 𝑢(𝑢 𝑥 ) 2 + 𝑢(𝑢 𝑥 ) 2 + 𝑢 2 𝑢 𝑥𝑥 = 2𝑢(𝑢 𝑥 ) 2 + 𝑢 2 𝑢 𝑥𝑥 (12)
Selanjutnya  substitusi  persamaan  (11)  ke persamaan (12) 𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝑢 + ∆𝑡 (−𝑢𝑢 𝑥 )| 𝑗 𝑛 + 1 2 ∆𝑡 2 (2. 𝑢(𝑢 𝑥 ) 2 + 𝑢 2 𝑢 𝑥𝑥 )| 𝑗 𝑛
𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝑢 𝑗 𝑛 − ∆𝑡 (𝑢𝑢 𝑥 )| 𝑗 𝑛 + ∆𝑡 2 (𝑢(𝑢 𝑥 ) 2 + 1 2 𝑢 2 𝑢 𝑥𝑥 )| 𝑗 𝑛
𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝑢 𝑗 𝑛 − ∆𝑡 (𝑢 𝑗 𝑛 [ 𝑢 𝑗+1 𝑛 − 𝑢 𝑗−1 𝑛 2∆𝑥 ]) + ∆𝑡 2 (𝑢 𝑗 𝑛 [ 𝑢 𝑗+1 𝑛 − 𝑢 𝑗−1 𝑛 2∆𝑥 ] 2 + 1 2 𝑢 2 [ 𝑢 𝑗+1 𝑛 − 2𝑢 𝑗 𝑛 + 𝑢 𝑗−1 𝑛 ∆𝑥 2 ]) 𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝑢 𝑗 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 𝑗 𝑛 [𝑢 𝑗+1 𝑛 − 𝑢 𝑗−1 𝑛 ]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥 2 (𝑢 𝑗 𝑛 [𝑢 𝑗+1 𝑛 − 𝑢 𝑗−1 𝑛 ] 2 ) + ∆𝑡 2 2∆𝑥 2 ((𝑢 𝑗 𝑛 ) 2 [𝑢 𝑗+1 𝑛 − 2𝑢 𝑗 𝑛 + 𝑢 𝑗−1 𝑛 ]) (13)
Selanjutnya  pada  kasus  ketiga  ini  akan dilakukan  simulasi  untuk  model  non  linier dengan kondisi batas dirichlet . Dengan
mengambil ∆𝑥 dan ∆𝑡 sama  seperti  kasus sebelumnya  maka  kepadatan  kendaraan  pada kasus ini dapat dilihat sebagai berikut

## Gambar 10. Simulasi Kasus 3
Dari  Gambar  10  dapat  dilihat  bahwa  pada batas kiri kepadatannya sebesar 3 dan pada batas kanan kepadatannya 2. Gambar tersebut menunjukkan hubungan antara kepadatan berdasarkan  ruang  dan  waktu.  Sedangkan  untuk mengamati  perubahan  kepadatan  di  tiap  waktu tertentu  maka  disajikan  dalam  bentuk  plot berikut
Gambar  11. Simulasi Kasus 3 dengan Waktu yang Berbeda
Dari  Gambar  11  tersebut  bisa  diamati perubahan kepadatan di beberapa waktu. Pada 𝑡 awal  kepadatan  kendaraan  terjadi  di  daerah batas  kiri,  tetapi  lama-lama  terjadi  penumpukan kendaraan  sampai  ujung  interval.  Hal  ini dikarenakan  jumlah  kendaraan  yang  bisa melewati  batas  kanan  hanya  2  kendaraan, sehingga  terjadi  antrian  di  sepanjang  interval jalan.  Pada  kasus  ketiga  ini  model  yang digunakan  adalah  model  non  linier,  sehingga kepadatan  sepanjang  ruas  jalan  pun  akan mengalami fluktuasi pada posisi tertentu. Seperti pada gambar di bawah ini
0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 49.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 249.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 399.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 999.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t = 99.999 posisi k e p a d a ta n
Pada  Gambar  12  tersebut  dapat  diketahui bahwa pada saat 0 < 𝑥 < 30 kepadatan kendaraan  sudah  mengalami  fluktuasi  dari  awal, hal  ini  karena  model  yang  digunakan  adalah model  non  linier  yang  bergantung  pada kecepatan dan kepadatan kendaraan.
Simulasi  keempat  dilakukan  pada  model yang  sama  dengan  kasus  ketiga  di  atas,  yaitu dengan  model  non  linier.  Akan  tetapi  kondisi batas yang digunakan berbalik, yaitu posisi 𝑥 = 0 terdapat  2  kendaraan  dan  posisi 𝑥 = 1680 terdapat  3  kendaraan.  Dengan  langkah-langkah yang sama dengan kasus ketiga maka didapatkan hubungan  kepadatan  berdasarkan  ruang  dan waktunya sebagai berikut
Gambar 13. Simulasi Kasus 4
Pada  kasus  keempat  ini  kepadatan  lebih fluktuatif.  Dapat  dilihat  dari  gambar  tersebut bah w a fluktuasi kepadatan sudah terjadi saat 𝑥 = 3 . Tetapi kepadatan kendaraan terjadi ujung jalan karena  adanya  penumpukan  kendaraan  di  ujung interval  jalan.  Lebih  jelasnya  bisa  dilihat  pada gambar di bawah ini
Gambar 14. Simulasi Kasus 4 dengan Waktu Berbeda
Selanjutnya  bila  diasumsikan  pada  posisi 𝑥 = 0 terdapat  3  kendaraan  yang  masuk  pada interval,  dan  pada 𝑥 = 1680 terdapat  2 kendaraan  yang  keluar  pada  interval,  maka
persamaan (4.10) beserta kondisi batasnya dapat dituliskan sebagai berikut
𝑢 𝑡 + 𝑢𝑢 𝑥 = 0 dengan kondisi
Sedangkan bila kita mendiskritkan kondisi batas (14) dan (15) dengan menggunakan skema beda pusat menjadi:
𝑢 𝑗+1 𝑛 − 𝑢 𝑗−1 𝑛 2∆𝑥 = 3
untuk 𝑗 = 1 𝑢 2 𝑛 − 𝑢 0 𝑛 2∆𝑥 = 3 𝑢 0 𝑛 = 𝑢 2 𝑛 − 6∆𝑥 (16)
Dan untuk  batas kanan
𝑢 𝑗+1 𝑛 − 𝑢 𝑗−1 𝑛 2∆𝑥 = 2
Untuk 𝑗 = 𝑙 𝑢 𝑙+1 𝑛 − 𝑢 𝑙−1 𝑛 2∆𝑥 = 2 𝑢 𝑙+1 𝑛 = 4∆𝑥+𝑢 𝑙−1 𝑛 (17)
Sehingga bila kita substitusikan (16) dan (17) ke skema  (13) akan  didapatkan  kondisi  batas  kiri sebagai berikut 𝑢 1 𝑛+1 = 𝑢 1 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 1 𝑛 [𝑢 2 𝑛 − 𝑢 0 𝑛 ]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 1 𝑛 [𝑢 2 𝑛 − 𝑢 0 𝑛 ] 2 ) + ∆𝑡 2 2∆𝑥2 ((𝑢 1 𝑛 ) 2 [𝑢 2 𝑛 − 2𝑢 1 𝑛 + 𝑢 0 𝑛 ]) 𝑢 1 𝑛+1 = 𝑢 1 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 1 𝑛 [𝑢 2 𝑛 −𝑢 2 𝑛 + 6∆𝑥]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 1 𝑛 [𝑢 2 𝑛 − 𝑢 2 𝑛 + 6∆𝑥] 2 ) + ∆𝑡 2 2∆𝑥2 ((𝑢 1 𝑛 ) 2 [𝑢 2 𝑛 − 2𝑢 1 𝑛 + 𝑢 2 𝑛 + 6∆𝑥])
𝑢 1 𝑛+1 = 𝑢 1 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 1 𝑛 [6∆𝑥]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 1 𝑛 [6∆𝑥] 2 ) + ∆𝑡 2 2∆𝑥2 ((𝑢 1 𝑛 ) 2 [2𝑢 2 𝑛 − 2𝑢 1 𝑛 + 6∆𝑥])
dan kondisi batas kanan sebagai berikut 𝑢 𝑙 𝑛+1 = 𝑢 𝑙 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 𝑙 𝑛 [𝑢 𝑙+1 𝑛 − 𝑢 𝑙−1 𝑛 ]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 𝑙 𝑛 [𝑢 𝑙+1 𝑛 − 𝑢 𝑙−1 𝑛 ] 2 ) + ∆𝑡 2 2∆𝑥2 ((𝑢 𝑙 𝑛 ) 2 [𝑢 𝑙+1 𝑛 − 2𝑢 𝑙 𝑛 + 𝑢 𝑙−1 𝑛 ]) 𝑢 𝑙 𝑛+1 = 𝑢 𝑙 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 𝑙 𝑛 [4∆𝑥+𝑢 𝑙−1 𝑛 − 𝑢 𝑙−1 𝑛 ]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 𝑙 𝑛 [4∆𝑥+𝑢 𝑙−1 𝑛 − 𝑢 𝑙−1 𝑛 ] 2 ) + ∆𝑡 2 2∆𝑥2 ((𝑢 𝑙 𝑛 ) 2 [4∆𝑥+𝑢 𝑙−1 𝑛 − 2𝑢 𝑙 𝑛 + 𝑢 𝑙−1 𝑛 ]) 𝑢 𝑙 𝑛+1 = 𝑢 𝑙 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 𝑙 𝑛 [4∆𝑥]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 𝑙 𝑛 [4∆𝑥] 2 ) +
∆𝑡 2 2∆𝑥2 ((𝑢 𝑙 𝑛 ) 2 [4∆𝑥+2𝑢 𝑙−1 𝑛 − 2𝑢 𝑙 𝑛 ])
0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 49.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 249.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 399.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 999.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 𝑢 𝑥 (0, 𝑡) = 3
(14)
𝑢 𝑥 (1680, 𝑡) = 2 (15)
𝑢(𝑥, 0) = −𝑥 1680 + 3
Simulasi  untuk  kasus  kelima  ini  dilakukan untuk  model  non  linier  dengan  batas  Neuman. Dengan cara yang sama dengan kasus sebelumnya  maka  didapatkan  bentuk  grafik kepadatan  berdasarkan  ruang  dan  waktu  adalah sebagai berikut
Gambar 15. Simulasi Kasus 5
Dari  Gambar  15  di  atas  dapat  dilihat bahwa  penumpukan  kendaraan  terjadi  di  waktu pertama.  Setelah 𝑡 waktu  kemudian  kepadatan menurun.  Artinya  berdasarkan    model  ini  jalan bisa  dikatakan  sepi.  Penumpukan  jumlah kendaraan terjadi ujung interval yang menyebabkan  kepadatan  di  ujung  mencapai  4 kendaraan  persatuan  luas.  Hal  ini  menunjukkan di  ujung  jalan  terjadi  kemacetan  yang  parah. Berikut  disajikan  grafik  pada  beberapa  waktu pengamatan yang berbeda

## Gambar 16. Simulasi Kasus 5 dengan Waktu Berbeda
Gambar  16  di  atas  menunjukkan  kondisi jalan  di  beberapa  waktu  yang  berbeda.  Dari beberapa  posisi  yang  diamati,  dapat  diketahui bahwa  pada  waktu  mula-mula  kepadatan kendaraan  sangatlah  tinggi,  akan  tetapi,  lama- lama  kepadatannya  menurun  meski  terjadi fluktuasi sepanjang interval jalan.
Simulasi  keenam  adalah  simulasi  yang dilakukan  den g an  model  yang  sama  dengan simulasi  kelima.  Yaitu  dengan  menggunakan persamaan  burger  dan  kondisi  batas  Neumann. Akan  tetapi  kondisi  batas  yang  dipakai berkebalikan  dengan  simulasi  sebelumnya.
Persamaan  beserta  kondisi  batasnya  adalah sebagai berikut
𝑢 𝑡 + 𝑢𝑢 𝑥 = 0 dengan kondisi 𝑢 𝑥 (0, 𝑡) = 2
𝑢 𝑥 (1680, 𝑡) = 3 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥 1680 + 2
Dengan  cara  yang  sama  dengan  kasus kelima, maka didapatkan kondisi batas kiri
𝑢 1 𝑛+1 = 𝑢 1 𝑛 −
∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 1 𝑛 [4∆𝑥]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 1 𝑛 [4∆𝑥] 2 ) + ∆𝑡 2 2∆𝑥2 ((𝑢 1 𝑛 ) 2 [2𝑢 2 𝑛 − 2𝑢 1 𝑛 + 4∆𝑥])
dan kondisi batas kanan sebagai berikut 𝑢 𝑙
𝑛+1 = 𝑢 𝑙 𝑛 − ∆𝑡 2∆𝑥 (𝑢 𝑙 𝑛 [6∆𝑥]) + ∆𝑡 2 4∆𝑥2 (𝑢 𝑙 𝑛 [6∆𝑥] 2 ) +
∆𝑡 2
2∆𝑥2 ((𝑢 𝑙 𝑛 ) 2 [6∆𝑥+2𝑢 𝑙−1 𝑛 − 2𝑢 𝑙 𝑛 ])
Sehingga hasil simulasi dengan menggunakan MATLAB sebagai berikut

## Gambar 17. Simulasi Kasus 6
Grafik  yang  dihasilkan  tidak  jauh  berbeda dengan  kasus  kelima.  Keduanya  memiliki kepadatan di waktu yang pertama dan kemudian kepadatannya menurun setelah 𝑡 waktu. Sehingga  bisa  dikatakan  untuk  model  non  linier dengan  batas  Neumann  kepadatan  kendaraan  di sepanjang  ruas  jalan  rendah  (tidak  ada kemacetan),  sehingga  memungkinkan  para pengemudi  untuk  memaksimalkan  kecepatan kendaraannya.  Untuk  perubahan  kepadatan  per satuan waktu bisa dilihat dari gambar berikut
0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 49.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 249.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 399.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 999.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u )
Gambar 18. Simulasi Kasus 6 dengan Waktu Berbeda

## PENUTUP
Berdasarkan  pembahasan  di  atas  dapat disimpulkan  bahwa  model traffic  flow yang diturunkan  dari  hukum-hukum  kesetimbangan adalah sebagai berikut
𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑥 = 0
dimana 𝜌 menyatakan  kepadatan  kendaraan, 𝑣 merupakan kecepatan kendaraan. Bila  kecepatan 𝑣 dalam  model  tersebut  adalah  konstan,  maka model traffic  flow tersebut  menjadi  persamaan Transport (linier) 𝜌 𝑡 + 𝑣𝜌 𝑥 = 0 Sedangkan  bila  kecepatan 𝑣 merupakan  suatu fungsi yang bergantung pada kepadatan kendaraan di setiap ∆𝒙 nya maka model tersebut menjadi persamaan Burger (tansport non linier), dan dapat dituliskan sebagai 𝑢 + 𝑢𝑢 𝑥 = 0 Sedangkan  untuk  mencari  solusi  dari kedua  model  yang  telah  dihasilkan,  dilakukan dengan menggunakan me t ode beda hingga skema FTBS untuk persamaan transport, dan metode lax wendroff skema  FTCS  untuk  persamaan  Burger. Berdasarkan  hasil  solusi  numeriknya  dapat diketahui  bahwa  model  linier  tersebut  stabil dengan  syarat 0 ≤ 𝑣 ∆𝑡 ∆𝑥 ≤ 1 ,  sedangkan  model non  liniernya  stabil  bila  dilihat  dari  grafiknya, akan  tetapi  perlu  adanya  analisis  konvergensi untuk  mengetahui  kestabilan  dan  kekonsistenan dari model non linier tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  K. Nagel, “Particle hopping vs. fluid- dynamical models for traffic flow,” LA UR , p. 4018, 1995.
[2]  D. S. & J. LV, “In-Depth Analysis of Traffic Congestion using Computational Fluid Dynamic (CFD) Modelling Method,” J. Mod.
Transp. , vol. 19, no. 1, pp. 58–67, 2011.
[3]  C. F. Daganzo, “Requiem for second-order fluid approximations of traffic flow,” Transp. Res. Part B Methodol. , vol. 29, pp. 277–286, 1995.
[4]  A. Aw and M. Rascle, “Resurrection of ‘Second Order’ Models of Traffic Flow,” SIAM Journal on Applied Mathematics , vol. 60. pp. 916–938, 2000.
[5]  G. Whitham, Linier and Non Linier Waves . Canada: A WILEV-IMTERSCIENCE SERIES,
1974.
[6]  Immers dan Logghe, Traffic Flow Theory , no. May. Heverlee Belgium: A WILEV-
IMTERSCIENCE SERIES, 2002.
[7]  R. M. Olson, Dasar Dasar Mekanika Fluida Teknik . 1993.
[8]  A. Jungel, “Modeling and Numerical Approximation of Traffic Flow Problems,” 2002.
0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 49.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 249.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 399.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u ) 0 500 1000 1500 0 1 2 3 4 5 t = 999.95 posisi (x) k e p a d a ta n ( u )