## PENGGUNAAN INTERPOLASI HERMITE KUBIK DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN STURM - LIOUVILLE DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

## Dwi Maryono

## Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNS

## ABSTRAK
Penerapan  matematika  dalam  bidang  fisika  sering  menghasilkan  suatu  masalah  nilai  eigen,  khususnya persamaan  Sturm-Liouville.  Dari  persamaan  ini  dapat  dibentuk  syarat  batas  Dirichlet  atau  campuran  yang homogen. Untuk mendapatkan penyelesaian pendekatan nontrivial dapat digunakan metode elemen hingga. Tujuan  dari  penulisan  ini  adalah  menentukan  penyelesaian  pendekatan  (nilai  eigen  dan  fungsi  eigen pendekatan)  dari  persamaan  Sturm-Liouville  dengan  metode  elemen  hingga  khususnya,  dengan  interpolasi Hermite kubik. Hasil secara numerik menunjukkan bahwa metode tersebut cukup baik untuk menyelesaikan persamaan  Sturm  Liouville,  di  mana  error  yang  dihasilkan  sangat  tergantung  pada  panjang  elemen  yang diambil dan juga tergantung pada indeks nilai/fungsi eigennya.
Kata kunci : elemen hingga, Sturm-Liouville, Hermite kubik, nilai eigen

## ABSTRACT
Eigenvalue problems especially Sturm-Liouville equations often occur in physics. Homogenous Dirichlet or mixed boundary value problems can be constructed from these equations. The nontrivial solution from these equations can be obtained  using finite element methods. The purpose of this research is to obtain the details of  the  construction  of  finite  element  method  using  cubic  Hermite  interpolation  in    solving  Sturm-Liouville equations. The result shows that the solutions of the finite element method using cubic Hermite interpolation is  good  enough  in  solving  Sturm  Liouville  equation.  Based  on  the  example,  its  error  depends  on  the element’s length and the index of the eigenvalue or eigen function.

## PENDAHULUAN
Penerapan  matematika  dalam  bidang fisika  sering  menghasilkan  suatu  bentuk khusus dari masalah syarat batas yang dikenal dengan  masalah  nilai  eigen.  Masalah  syarat batas  seperti  ini  pada  umumnya  berbentuk persamaan Sturm-Liouville, seperti persamaan berikut.
, 0 , ) ( ) ( L x u u x q dx du x p dx d             (1)
dengan p  (x) , p ( x )  0, q ( x ),  dan w ( x )  0  adalah fungsi  yang kontinu pada domain  =(0, L ) dan  adalah suatu parameter.
Dari    persamaan    (1)  dapat  dibentuk  syarat batas 1. Dirichlet : , 0 ) ( ) 0 (   L u u (2a)
2. Campuran: 0 ) ( ' ) 0 (   L u u atau . 0 ) ( ) 0 ( '   L u u (2b)
Persamaan  (1)  dengan  syarat  batas  (2a) dan  (2b)  mempunyai  penyelesaian 0  u
(penyelesaian trivial). Persamaan (1)
mempunyai  penyelesaian  nontrivial  jika  dan hanya jika parameter  berharga tertentu  yang disebut  dengan  nilai  eigen.  Penyelesaian u yang  terkait  dengan  eigen  disebut  fungsi eigen. Penyelesaian (1) dapat diperoleh dengan metode  beda  hingga  (Gerald  dan  Wheatley, 1994)  dan  metode  elemen  hingga  (Reddy, 1984).  Metode  beda  hingga  lebih  sederhana dibandingkan  dengan  metode  elemen  hingga tapi  fungsi  eigen  pendekatan  yang  diperoleh tidak  berbentuk  fungsi  tapi  hanya  nilai-nilai pendekatan dari fungsi eigen eksak di titik-titik yang  ditentukan  sehingga  untuk  mendapatkan nilai  pendekatan  di  titik  lain  diperlukan perhitungan lagi dari awal. Sedangkan dengan metode elemen hingga, hasilnya berupa fungsi,
yang  diperoleh  dari  interpolasi  terhadap  nilai- nilai pasangan di antara domainnya.
Dalam  metode  elemen  hingga,  fungsi pendekatan diperoleh dari polinomial interpolasi,  biasanya  menggunakan  interpolasi Lagrange.  Hasil  dari  metode  elemen  hingga dengan  menggunakan  interpolasi  Lagrange akan  menghasilkan  fungsi  pendekatan  yang merupakan  keluarga  dari  kelas  himpunan
C 0 (  ) dengan
} pada kontinu ,..., ' , / ), ( { ) ( ) (      m m u u u x x u C
Menurut Carey dan Oden [1983], untuk kasus  dengan  orde  yang  lebih  tinggi  atau dengan  menggunakan  metode  variasional seperti kolokasi diperlukan fungsi penyelesaian  pendekatan  yang  merupakan keluarga dari kelas himpunan yang lebih tinggi dari C 0 (  ). Interpolasi tersebut adalah interpolasi  Hermite  kubik.  Untuk  itu  penulis
mencoba mengaplikasikannya
dalam
menentukan
penyelesaian
pendekatan
persamaan  Sturm-Liouville  dengan  metode elemen hingga.

## PEMBAHASAN

## Formulasi  Variasional  dan  Pendekatan Galerkin
Secara  umum  persamaan  diferensial dapat dinyatakan dengan
Au = f pada  (3)
dengan A adalah operator linear atau nonlinear dari  suatu  ruang  hasilkali  dalam U ke  suatu ruang  hasilkali  dalam V dan  domain  dari persamaan  diferensial  (Reddy,  1984).  Jika A
adalah  operator    linear  simetris  dan  definit
positif  pada  ruang  Hilbert H maka  dapat dibentuk fungsional kuadratik
H H v f v Av v I , 2 , ) (   .
dengan  ,  adalah hasil kali dalam. Jika fungsi u adalah  penyelesaian  dari  (3)  maka  menurut Reddy  [1986], u akan  meminimumkan I ( v ).
Menurut  Strang  dan  Fix  [1973],  jika u adalah minimum dari I ( v ) maka u memenuhi
H H v f v Au , ,  untuk setiap v  H (4)
Persamaan
(4) disebut sebagai formulasi  variasional  dari  persamaan  (3). Fungsi u dalam  (4)  disebut  fungsi trial dan fungsi v disebut fungsi tes. Dengan menerapkan (4) terhadap (3) maka domain dari penyelesaian u dapat  diperluas  menjadi  ruang yang lebih besar daripada H . Ruang ini disebut ruang admissibel ,  dinotasikan  dengan H A .
Dengan  demikian,  formulasi  variasionalnya menjadi
H H v f v Au , ,  untuk setiap v  H A atau
) ( ) , ( v l v u B  untuk setiap v  H A (5)
dengan B : H A  H A  adalah fungsi bilinear dan l adalah fungsional linear.
Pendekatan  Galerkin  dari  persamaan  (3) diperoleh  dengan  membawa  persamaan  (5)  ke dalam  subruang  berdimensi  hingga h H  H A sehingga pendekatan Galerkin u h memenuhi
) ( ) , ( v l v u B h  untuk setiap v  h H  H A .
Untuk masalah nilai eigen
Au =  u , (6)
digunakan metode variasional
v u v Au , ,   untuk setiap v  H A atau dapat disajikan
v u v u B , ) , (   untuk setiap v  H A (7)
dengan B : H A  H A  adalah fungsi bilinear dan H A adalah ruang fungsi admissibel.
Pendekatan  Galerkin  dari  persamaan  (6) diperoleh  dengan  membawa  persamaan  (7)  ke dalam  subruang  berdimensi  hingga h H  H A sehingga pendekatan Galerkin u h memenuhi
v u v u B h h , ) , (   untuk setiap v  H h .
Interpolasi Hermite
Misalkan  diberikan  domain  =[ x i  1, x i ].
Untuk menerapkan interpolasi Hermite,
domain  ditransformasikan  secara  linear  ke domain ] 1 , 1 [ ˆ    oleh pemetaan
 =[2 x  ( x i  1 + x i )] / ( x i  x i  1 ). Menurut Carey dan
Oden  [1983],  polinomial  Hermite  kubik mempunyai bentuk
           2 1 2 1 1 0 ) ( ˆ ' ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ j j j j j j u u U dengan fungsi-fungsi basis adalah . 4 / ) 1 )( 1 ( ) ( ˆ , 4 / ) 2 )( 1 ( ) ( ˆ , 4 / ) 1 )( 1 ( ) ( ˆ , 4 / ) 2 )( 1 ( ) ( ˆ 1 2 0 2 1 1 0 1                            
Dengan pemetaan  x dapat diperoleh basis-
basis 0 j  ,  dan 1 j  pada  domain  sehingga
polinomial Hermite menjadi
         2 1 2 1 1 0 ) ( ' 2 ) ( ) ( j j j j j j x u h x u U
dengan h = x i  x i  1 adalah panjang domain 
Metode Elemen Hingga
Kelemahan  dari  metode  variasional adalah  sulitnya  mencari  fungsi  trial u dalam persamaan  (4).  Penyelesaian  pendekatan  yang diperoleh dari interpolasi fungsi kurang efektif jika  digunakan  pada  interval  yang  besar. Berdasarkan hal tersebut, pendekatan Galerkin diharapkan  berhasil  dengan  baik  jika  domain  dibagi  menjadi  subdomain-subdomain  yang lebih  kecil.  Teknik  seperti  ini  disebut  dengan metode elemen hingga.
Secara garis besar langkah-langkah dasar metode elemen hingga menurut Reddy [1984], Carey  dan  Oden  [1983],  dan  Gerald  dan Wheatley [1994] untuk menyelesaikan masalah  syarat  batas  pada  domain ) , 0 ( L  
adalah sebagai berikut
1. Pembagian domain ] , 0 [ L       ,
dengan  batas dari  menjadi subdomain
e  , E e ..., , 2 , 1  yang  disebut  dengan elemen-elemen  hingga  sesuai  dengan ketentuan  yang  diberikan  Griffin  dan
Reddy (1988) sebagai berikut.
a) Setiap e  tertutup dan tak kosong
b)      j e , untuk j  e c)  E e e 1     .
2. Mengkonstruksikan  fungsi  bentuk e i  , i = 1,  2,  ..., N e untuk  tiap e  sedemikian sehingga  fungsi  pendekatan h u dapat ditulis dalam bentuk
      e N j e j e j h e E e x u 1 . ,..., 2 , 1 , ) (
3. Menerapkan  metode  variasional  dengan
fungsi  pendekatan  yang  yang  telah
diperoleh  dari  langkah  2  sehingga  dapat diperoleh  sistem  persamaan  linear  untuk masing-masing elemen.
4. Mengkombinasikan sistem persamaan linear yang diperoleh dari tiap elemen.
5. Menerapkan  syarat  batas  yang  diberikan dan    menyelesaikan  sistem  persamaan akhirnya.

## Formulasi  Variasional untuk Persamaan

## Sturm-Liouville
Pandang persamaan Sturm-Liouville
L x u u x q dx du x p dx d Au              0 , ) ( ) ( (8)
dengan  syarat  batas  (2a)  dan  (2b)  dan p  ( x ),
p ( x )  0, q ( x )  0  adalah  fungsi  kontinu  pada domain  = (0, L ).
Dari  persamaan  (8)  dapat  dilihat bahwa  penyelesaian u adalah  di  dalam  ruang
Sobolev H 2 (  ). Dengan menggunakan hasilkali dalam
   dx x v x u v u ) ( ) ( , ,
diperoleh formulasi variasional
v u v Au , ,   untuk semua v  H A (9)
dengan H A adalah  ruang  fungsi admissible
yang  memuat u dan v .  Kemudian  dapat diperoleh
            
         L L L dx du p v vdx quv dx dv dx du p vdx qu dx du p dx d v Au 0 0 0 ) ( ] [ , (10)
Dari persamaan (10) dapat dilihat bahwa ruang fungsi admissibel yang  sesuai  berada  dalam
ruang Sobolev H 1 (  ). Carey dan Oden [1983] menambahkan  bahwa  fungsi  trial  dan  fungsi tes harus memenuhi syarat batas essensial dari masalah  yang  diberikan,  yaitu    syarat  batas yang  memberikan  nilai-nilai  turunan  dengan orde 0, 1, 2, …, m  1 dengan m adalah derajat dari  ruang  fungsi  admissibel,  dalam  hal  ini adalah  ruang  Sobolev.  Dengan  demikian, berdasarkan  syarat  batas  (2a)  dan  (2b)    dapat diperoleh
 ) , ( v u B    L vdx quv dx dv dx du p v Au 0 ] [ ,
sehingga (9) menjadi
v u v u B , ) , (   untuk semua v  H A . (11)

## Metode Elemen Hingga untuk Persamaan Sturm-Liouville
Dalam  metode  elemen  hingga  pertama dibentuk  domain      dari  =  (0, L ) dengan  adalah    batas  dari  .  Selanjutnya domain  dibagi  menjadi  berhingga E subdomain e  , e = 1, 2, …, E sesuai dengan ketentuan  sebelumnya.  Untuk  menerapkan interpolasi Hermite dibentuk elemen
] , [ 2 1 e e e x x   .  Panjang  tiap  elemen  adalah
h e = x 2 e  x 1 e dan berlaku x 2 e = x 1 e +1 .
Langkah selanjutnya adalah dikonstruksikan fungsi bentuk , e i  i = 1, 2, …, N e untuk tiap- tiap elemen e  sehingga fungsi pendekatan u h dapat disajikan dengan
, 1      e N j e j e j h e u . ,..., 2 , 1 E e 
Dengan menggunakan interpolasi
Hermite  kubik  dapat  diperoleh  penyelesaian pendekatan untuk tiap elemen e  , yaitu
        2 1 2 1 1 0 ) ( ' 2 ) ( ) ( j j e j e j e e j e j e h x u h x u x u (12)
dengan fungsi–fungsi bentuk pada elemen e 
adalah
. / )] ( ) ( 2 [ ) ( , / )] ) ( 2 ( ) [( ) ( , / )] ( ) ( 2 [ ) ( , / )] ) ( 2 ( ) [( ) ( 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 0 2 3 1 2 2 1 1 3 1 2 2 0 1 e e e e e e e e e e e e e e e e e e h x x x x h h x x x x h x x x x x h h x x x x x                      (13)
Karena x 2 e = x 1 e+ 1 maka u 2 e = u 1 e+ 1 dan ( du / dx) 2 e = ( du / dx ) 1 e+ 1 . Hubungan ini digunakan dalam perakitan sistem dari seluruh sistem  persamaan  linear  yang  diperoleh  dari tiap elemen.
Jika  digunakan  formulasi  variasional
(9) dalam elemen e  maka diperoleh
, 0 ) ( ) ( ] [ 2 2 1 1 2 1 2 1         e e e e x x e x x e x v Q x v Q uvdx dx uv q dx dv dx du p e e e e
(14)
dengan e x e e u p Q 1 ) ' ( 1  dan
e x e e u p Q 2 ) ' ( 2   .
Dengan menggunakan polinomial
Hermite (12), diperoleh penyelesaian
pendekatan
        2 1 2 1 1 0 ) ( ' 2 ) ( ) ( j j e j e j e e j e j e h x u h x u x u
     4 1 ) ( j e j e j x , (15)
dengan e e u 1 1   , e e e u h 1 2 ' 2   , e e u 2 3   , e e e u h 2 4 ' 2   , e e 0 1 1    , e e 1 1 2    e e 0 2 3    , dan
e e 1 2 4    .  Subtitusi  (15)  ke  dalam  (14)  dan
dipilih e i v   , i = 1, 2, 3, 4 diperoleh
0 1 1           e i N j e ij e j N j e ij e j r m k dengan dx q p k e e x x e j e i e e j e i e e ij ] )' ( )' ( [ 2 1        ,
dx m e e x x e j e i e ij     2 1 , dan ) ( ) ( 2 2 1 1 e e i e e i e i x Q x Q r   
 .
Untuk selanjutnya dapat disajikan sebagai persamaan matriks
K e u e =  M e u e + r e (17)
dengan K e =[ k ij e ], M e =[ m ij e ], r e =[ r i e ],  dan u e =[  j e ].  Persamaan  (17)  dapat  disajikan dalam  bentuk G e u e = r e dengan  entri-entri
g ij e = k ij e  m ij e .  Untuk  elemen  ke- E dapat diperoleh persamaan matriks
. 0 0 2 1 4 3 2 1 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11                                                E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Q Q g g g g g g g g g g g g g g g g
Dari  pembagian  domain  diperoleh  hubungan antar elemen 1 1 2   e e u u dan 1 1 2 ' '   e e u u sehingga berlaku 1 1 3     e e dan 1 2 4   
 e e .  Dengan
demikian  dapat  dinyatakan 1 1 1 U   ,
2 1 2 U   , 2 1 3 1 3     U , 2 2 4 1 4     U , 3 1 5 2 3     U ,
..., E E E U 1 1 2 1 3       , E E E U 2 2 1 4      ,
1 2 3    E E U , 2 2 4    E E U sehingga  diperoleh hasil  perakitan  semua  persamaan  tiap  elemen yang  disajikan  dalam  bentuk  persamaan matriks
GU = r ,
dengan matriks G , vektor U dan r seperti
pada persamaan 18.
Selanjutnya karena 1 1 2   e e x x , maka 0 1 1 2    e e Q Q , e =  1,  2,  ..., E sehingga diperoleh
  0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 E Q Q   r .
Penerapan  syarat  batas  (2a  )  dan  (2b) adalah sebagai berikut berikut

## 1. Syarat batas Dirichlet
Penerapan syarat batas Dirichlet adalah u (0)=0 dan u ( L )= 0 menghasilkan persamaan matriks (19).
2. Syarat batas Campuran
a) Penerapan  syarat  batas  campuran
u (0)=0  dan u  ( L )=0  menghasilkan persamaan matriks (20).
b) Penerapan  syarat  batas  campuran
u  (0)=0  dan u ( L )=0  menghasikan persaamaan matriks (21).
Untuk  mendapatkan U  0  harus  dicari  sehingga  det  ( K -  M )  =  0.  Akar-akar  dari persamaan ( K -  M ) = 0 adalah nilai-nilai eigen
pendekatan  dan  penyelesaian U yang  terkait adalah  dengan  nilai  eigen  tersebut  digunakan untuk  memperoleh  fungsi  eigen  pendekatan pada persamaan (15).
, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 1 44 21 1 43 14 13 12 1 34 11 1 33 3 22 2 44 3 21 2 43 2 42 2 41 3 12 2 34 3 11 2 33 2 32 2 31 2 24 2 23 2 22 1 44 2 21 1 43 1 41 1 41 2 14 2 13 2 12 1 34 2 11 1 33 1 32 1 31 1 24 1 23 1 22 1 21 1 14 1 13 1 12 1 11                

                                    E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g G                        , 2 2 1 2 2 1 2 6 5 4 3 2 1 T E E E U U U U U U U U U U      U dan   T E E E Q Q Q Q Q Q Q Q 0 0 0 0 0 2 1 1 2 3 1 2 2 2 1 1 2 1       r (18) . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 2 6 5 4 3 2 44 42 41 24 22 1 44 21 1 43 14 12 1 34 11 1 33 3 22 2 44 3 21 2 43 2 42 2 41 3 12 2 34 3 11 2 33 2 32 2 31 2 24 2 23 2 22 1 44 2 21 1 43 1 42 2 14 2 13 2 12 1 34 2 11 1 33 1 32 1 24 1 23 1 22             

           
 
             
                             
                          
                         E E E E E E E E E E E E E E E E U U U U U U U U g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g
Dari  langkah-langkah    yang  telah diberikan  di  atas  maka  metode  ini  dapat digunakan untuk menyelesaikan contoh berikut.
Contoh 1:
Perhatikan persamaan Sturm - Liouville
, 2 2 2 u u dx u d     0  x  (22)
dengan syarat batas  campuran u (0) = u  (  )=0.
Penyelesaian eksak dari persamaan (22) adalah
 i = ( i  0.5) 2 + 2 dan
         x i Sin c x u i ) 2 1 ( 2 ) (
dengan c konstanta dan i = 1, 2, 3, ….
Untuk  menyelesaikan    masalah  (22) dengan  menggunakan  elemen  hingga  Hermite kubik,  terlebih  dahulu  domain  dibagi menjadi  berhingga  banyak  elemen,  misalkan
E .  Dapat  ditentukan  misalkan  elemen  ke- e
adalah   he e h e ), 1 (    dengan 2    e h h
untuk e = 1, 2, .., E .
Selanjutnya  dapat  ditentukan  fungsi eigen  pendekatan  untuk  tiap-tiap  elemen seperti  dalam  persamaan  (15).  Misalkan ditentukan  banyaknya  elemen  adalah  2,  maka diperoleh elemen
           , 2 / dan 2 / , 0 2 1 dan 2 /   h .
Dengan menerapkan (17) dan syarat batasnya, diperoleh persamaan
. 0 0 0 0 0.583 - 1.930 0.097 - 0.067 0.201 - 0.360 - 0 0.097 - 0.067 0.119 - 0.918 0 0.044 0.174 - 0.201 - 0.360 - 0 1.166 - 3.861 0.097 - 0.067 0 044 0 174 0 097 0 067 0 059 0 459 0 5 4 3 2
                                       U U U U . . - . - . . - .            
Untuk  mendapatkan  penyelesaian  nontrivial, maka dicari nilai  yang memenuhi
. 0 0.583 - 1.930 0.097 - 0.067 0.201 - 0.360 - 0 0.097 - 0.067 0.119 - 0.918 0 0.044 0.174 - 0.201 - 0.360 - 0 1.166 - 3.861 0.097 - 0.067 0 044 0 174 0 097 0 067 0 059 0 459 0
det                                          . . - . - . . - . (23)
Dari persamaan (23) diperoleh nilai-nilai eigen pendekatan h 1  =  2.25, h 2  =  4.25417, h 3  = 8.38806, h 4  =  15.8836  dan  fungsi–fungsi eigen pendekatan
. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 6 5 4 3 2 33 32 31 23 22 1 44 21 1 43 13 12 1 34 11 1 33 3 22 2 44 3 21 2 43 2 42 2 41 3 12 2 34 3 11 2 33 2 32 2 31 2 24 2 23 2 22 1 44 2 21 1 43 1 42 2 14 2 13 2 12 1 34 2 11 1 33 1 32 1 24 1 23 1 22
           
                         
             
             
 
                                                  E E E E E E E E E E E E E E E E U U U U U U U U g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g
(20) . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 2 6 5 4 3 1 44 42 41 24 22 1 44 21 1 43 14 12 1 34 11 1 33 3 22 2 44 3 21 2 43 2 42 2 41 3 12 2 34 3 11 2 33 2 32 2 31 2 24 2 23 2 22 1 44 2 21 1 43 1 41 2 14 2 13 2 12 1 34 2 11 1 33 1 31 1 14 1 13 1 11                                                                                                                             E E E E E E E E E E E E E E E E U U U U U U U U g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g (21)
                  , 2 ), 0.0075 0.0593 0.5966 (-0.0543 2 0 ), 0182 0 0037 0 5010 0 ( ) ( 3 2 3 2 1 x x x x c x x . x . x . c x u h                  , 2 ), 0.417 2.590 3.903 - (0.651 2 0 ), 0.173 0.469 (-1.615 ) ( 3 2 3 2 2 x x x x c x x x x c x u h                  , 2 ), 1.922 14.406 33.599 - (23.974 2 0 ), 0.796 3.850 (3.634 ) ( 3 2 3 2 3 x x x x c x x x x c x u h
                 , 2 , ) 3.594 28.115 70.213 - (55.5594 2 0 ), 8.678 21.568 (-12.016 ) ( 3 2 3 2 4 x x x x c x x x x c x u h
untuk c suatu konstanta.
Hasil penghitungan nilai eigen pendekatan  dengan  elemen  hingga  Hermite kubik untuk nilai E = 2, 4, dan 8  tampak pada
Tabel  1.  Dari  Tabel  1,  dapat  dilihat  bahwa error  nilai  eigen  pendekatan  akan  semakin bagus  jika  jumlah  elemen  semakin  banyak (panjang  elemennya  semakin  kecil).  Akan tetapi,  error  semakin  besar  seiring  dengan semakin  besarnya  indeks  nilai  eigen.  Hal  ini juga berlaku pada fungsi eigen pendekatan.
Tabel 1. Nilai eigen pendekatan dari contoh soal yang telah dihitung dengan Mathematica untuk jumlah
elemen E = 2, 4, 8, dan 16 Eigen E = 2 E = 4 E = 8 Eksak  1 2.25 2.25 2.25 2.25  2 4.25417  4.25013  4.25 4.25  3 8.38806  8.25488  8.25014    8.25
 4 15.8836  14.2965  14.2516    14.25  5 - 22.5112  22.2595  22.25  6 - 33.3742  32.2873  32.25  7 - 48.287 44.3638  44.25  8 - 66.2227  58.5422  58.25
Jika error fungsi eigen dihitung dengan
menggunakan norm kuadrat rata-rata berikut,
2 1 0 2 0           dx u u u u L h i i h i i dengan h i i u u dan , adalah  fungsi  eigen  eksak dan pendekatan yang telah dinormalkan, maka diperoleh error seperti pada Tabel 2.
Tabel 2. Error fungsi eigen pendekatan dari contoh soal yang telah dihitung dengan Mathematica untuk jumlah elemen E = 2, 4, dan 8.
Fungsi Eigen
0 h i i u u  E = 2 E = 4 E = 8 u 1 2.9611×10 -4 2.0733×10 -5 1.3373×10 -6 u 2 0.0125014 1.2807×10 -3 9.9900×10 -5 u 3 0.0630196 6.9964×10 -3 6.7065×10 -4 u 4 0.3646037 0.0215540 2.1762×10 -3 u 5 - 0.0436230 4.9927×10 -3 u 6 - 0.0955514 9.4676×10 -3 u 7 - 0.0215540 0.0163075 u 8 - 0.0436230 0.0323568
Dari  Tabel  2,  dapat  dilihat  bahwa fungsi  eigen  pendekatan  yang  dihasilkan cukup  baik.  Seperti  halnya  pada  nilai  eigen pendekatan, norm error ini akan semakin kecil jika  jumlah  elemennya  semakin  bertambah, tapi  error  semakin  besar  seiring  dengan besarnya  indeks  dari  fungsi  eigennya.  Hasil yang  kurang  lebih  sama  dapat  dilihat  pada contoh berikut.
Contoh 2:
Perhatikan persamaan Sturm-Liouville
, 2 2 u dx u d    0  x  1 (24)
dengan  syarat  batas  Dirichlet u (0)  = u (1)  =  0.
Nilai eigen eksak dari persamaan (4.17) adalah
 i = i 2  2 dan  fungsi  eigen  eksaknya  adalah
  x i Sin c x u i   ) ( .
Dengan  metode  yang  sama  diperoleh  hasil nilai eigen dan fungsi eigen pendekatan seperti pada Tabel 3 dan Tabel 4.
Tabel 3 Nilai eigen pendekatan untuk Contoh 2 menggunakan elemen hingga Hermite kubik dengan E =
2, 4, 8, 16 Eigen E = 2 E = 4 E = 8 Eksak  1 9.87218 9.86967 9.86961 9.8696  2 40.0 39.4887 39.4787 39.4784  3 94.2509 88.9912 88.8317 88.8264  4 168.0 160.0 157.955 157.914  5 - 252.19 246.933 246.74  6 - 377.004 355.965 355.306  7 - 548.143 485.466 483.611  8 - 672.0 640.0 631.655
Tabel 4 Error fungsi eigen pendekatan untuk
Contoh 2 menggunakan elemenhingga Hermite kubik dengan E = 2, 4, 8.
Error E = 2 E = 4 E = 8 h u u 1 1 
0.0034002 0.0002961  0.0000207
h u u 2 2  0.0380198  0.0034002  0.0002961
h u u 3 3 
0.1483822  0.0125014  0.0012807
h u u 4 4  0.1308460  0.0380198  0.0034002
h u u 5
5  -
0.0630196  0.0069963
h u u 6 6  -
0.1483822  0.0125014
h u u 7 7 
- 0.3646037  0.0215540
h u u 8 8  - 0.
Sebagaimana  pada  Contoh  1,  error  baik  nilai eigen dan fungsi eigen pendekatan cukup baik, di  mana  keduanya  sangat  dipengaruhi  oleh panjang  elemen  yang  digunakan  dan  indek nilai  atau  fungsi  eigen  yang  dihitung.  Namun demikian karena beberapa keterbatasan, pembahasan  secara  detail  mengenai  perilaku error  nilai  eigen  dan  fungsi  eigen  pendekatan akan  dijadikan  topik  untuk  penulisan  makalah berikutnya.

## PENUTUP
Dari  hasil  di  atas  disimpulkan  bahwa metode  elemen  hingga  Hermite  kubik  dapat diterapkan  dengan  baik  untuk  menyelesaikan persamaan  Sturm-Liouville  berorde  dua. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
1. Membagi  domain  menjadi  elemen- elemen
2. Memilih interpolasi untuk masing- masing  elemen,  dalam  penelitian  ini digunakan interpolasi Hermite kubik.
3. Menerapkan  formulasi  variasional  untuk tiap-tiap  elemen  sehingga  diperoleh persamaan linear untuk tiap-tiap elemen.
4. Melakukan perakitan terhadap persamaan linear dari tiap-tiap elemen.
5. Menerapkan syarat batas.
6. Menghitung nilai  eigen  dan fungsi  eigen dari persamaan linear akhir.

## DAFTAR PUSTAKA
Carey,  G.  F.,  and  J.  T.  Oden,  1983. Finite
Element : A  Second  Course  Volume  II .
New Jersey: Prentice Hall, Inc.
Gerald,  C.  F.,  and  P.  O.  Wheatley,  1994.
Applied  Numerical  Analysis .  Addison-
Wesley Publicing Company, Inc.
Griffin,  T.  B.  and  B.  D.  Reddy,  1988.
Variational Principles and Convergence of Finite Element
Aproximation  of  a  Holonomic  Elastic-
Plastic Problem. Numerische
Mathematik  Volume  52:  101-117.
Springer-Verlag
Reddy,  J.  N.,  1984. An  Introduction  to  the
Finite  Element  Method .  New  York:
McGraw Hill, Inc.
Reddy,  J.  N.,  1986. Applied  Functional
Analysis  and  Variational  Methods  in Engeneering .    New  York:  McGraw
Hill, Inc.
Strang,  G.,  and  G.  Fix,  1973. An  Analysis  of
Finite  Element  Method .  New  Jersey:
Prentice Hall, Inc.