## APLIKASI INVERS MATRIKS DALAM PEMBENTUKAN PESAN RAHASIA

## Syafruddin Side dan Syahrana *
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Makassar Email : syafruddinside@yahoo.com

## Abstract : One  thing  that  can  be  improved  its  implementation  in
Linear  Algebra  is  Invers  Matrix.  Two  Matrix  is  invers  if  two  square matrix have same order, matrix A and B that fulfill the characteristic AB=BA=I, matrix B iscalled multiplication invers from matrix A and it  is  notated  with  A-1,  just  the  opposite,  matrix    A  is  called multiplication  invers  from  B  that  is  notated  with  B-1.  This  research purpose is to know employing invers matrix in making secret message by  using  matrix  adjoin  to  determine  invers  from  a  matrix  and employing  softwareMicrosoft  Visual  Basic  6.0  in  making  message.
The  steps  of  employing  matrix  invers  in  making  secret  message  are:
(1) determining transformation matrix P,(2) secret message is notated in  matrix,  (3)  multiplying  matrix  P  and  Q  with the  result  PQ,  (4) matrix is changed into text message with modulus operation (5) to know sense of the message, the receiver multiplies P-1and matrix PQ with the result the same initial code. When the initial code is same it means  that  the  sense  of  the  message  is  known  by  the  receiver.  The conclusion  of  the  research  are;  (1)  matrix  invers  by  using  matrix adjoin  is  easier  than  using  other  method  because  mathematics operation  in  involving  simple  operations,  in  despite  of  carefulness  is needed. (2) employing invers matrix in making secret message is more efficient  by using softwareMicrosoft Visual Basic 6.0.
Keywords: Modulus Operation, Adjoin, Invers Matrix, Secret Message

## I. PENDAHULUAN
ljabar  linier  adalah  bagian  matematika  yang  mempelajari  sistem persamaan  linier  dan  solusinya,  vektor,  maupun  transformasi  linier. Suatu  hal  yang  sangat  penting  dalam  aljabar  linier  khususnya matriks.Salah  satu  hal  yang  dapat  dikembangan  implementasinya  dari  matriks misalnya mencari invers dan penerapan invers matriks tersebut dalam kehidupan sehari-hari.Dua  matriks  persegi  berordo  sama,  matriks A dan B yang  memenuhi sifat AB=BA=I, dikatakan  dua  matriks  yang  saling  invers.  matriks B disebut A
invers perkalian dari matriks A dan dinotasikan dengan
. Sebaliknya, matriks A
disebut  invers  perkalian  dari  matriks B dinotasikan  dengan (Sriyanto,Supatmon,  C,  2008:179).  Salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk mencari invers dari suatu matriks yaitu dengan menggunakan matriks adjoin yang merupakan  matriks  transpos  dari  mariks  kofaktor  yang  elemen-elemennya merupakan nilai determinan dengan baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan.
Dalam  paper  ini,  invers  dari  suatu  matriks  digunakan  dalam  pembentukan pesan  rahasia,  dimana  pesan  rahasia  yang  dikirimkan  ke  orang  lain  berupa abjad/huruf,  tanpa  spasi,  tanpa  tanda  baca  dan  simbol-simbol  lainnya.  Pesan rahasia tersebut diubah dalam bentuk matriks, sehingga peranan invers dalam hal ini sangat penting karena digunakan untuk mengetahui pesan yang dimaksud oleh pengirim  pesan.Penelitian-penelitian  sebelumnya  yang  terkait  dengan  invers matriks  yaitu  membahas  tentang  penentuan  invers  matriks  dengan  metode dekomposisi  adomian(Kurniati,  E.2010)  yang  bertujuan  untuk  mencari  invers suatu  matriks  dengan  menggunakan  sistem  iterasi.  Penelitian  lain  yaitu (Adriansyah,  S.  2013)  yang  membahas  tentang  pemanfaatan  invers  matriks tergeneralisasi  dalam  penyandian  dan  penerjemahan  pesan  dengan  menggunakan bahasa  pemrograman pascal.  Pada  penelitian  ini,  penulis  mengkombinasikan kedua  rujukan  ini  dalam  menentukan  invers  matriks  menggunakan  adjoin  dan menggunakan invers matriks tersebut dalam masalah pembentukan pesan rahasia dengan software visual basic 6.0.

## II. KAJIAN PUSTAKA

## A. Matriks
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut  baris  dan  kolom.  Skalar-skalar  tersebut  disebut  dengan  elemen  matriks. Untuk batasnya, biasanya digunakan: ( ), [ ], atau || ||. (Sutojo, T,dkk, 2010:80)
(1) Susunan (1) disebut sebuah matriks kali (ditulis ) karena memiliki baris dan kolom. (Setiadji, 2008: 59)

## B. Determinan
Determinan adalah nilai skalar  yang  terkandung dari suatu matriks persegi yang ditulis dengan simboldet (A)  atau . Jika nilai determinan itu nol, matriks persegi  tersebut  singular,  artinya  tidak  memiliki  invers.  Jika  nilai  determinan
Syafruddin Side & Syahrana , Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia_ 29
suatu  matriks tidak nol,  berarti matriks A tersebut  nonsingular,  yaitu matriks tersebut, yaitu matriks tersebut mempunyai invers. (Tung, Y.K, 2008:166)

## C. Invers Matriks
Dua  matriks  persegi  berordo  sama,  matriksAdan B yang  memenuhi  sifat AB=BA=I, dikatakan  dua  matriks  yang  saling  invers.  matriks B disebut  invers perkalian  dari  matriks  A dan  dinotasikan  dengan . Sebaliknya,  matriksA disebut  invers  perkalian  dari  matriks B dinotasikan  dengan
.  (Sriyanto, Supatmon,  C,  2008:179). Sebelum  menentukan  invers  matriks,  terlebih  dahulu perlu dipahami mengenai cara menentukan adjoin dari suatu matriks yaitu:

## 1. Adjoin matriks 2 x 2
Untuk  menentukan  adjoin  dari  matriks  yang  memiliki  ordo dapat dilakukan  dengan  menukar  elemen  pada  diagonal  utama,  sedangkan  diagonal lainnya dikalikan dengan (-1). (Afriyanti, D,Gustanti, D, 2008:86-87)

## 2. Adjoin matriks 3 x 3
Adjoin merupakan transpose dari matriks kofaktor. Untuk menentukan adjoin dari matriks ordo tidak  sama  seperti  matriks  ordo .  Terlebih  dahulu  harus
ditentukan minor  dan  kofaktornya. Minor  adalah  determinan  yang  diperoleh dari suatu matriks setelah menghilangkan baris dan kolom  yang  mengandung elemen  yang ditanyakan.
Definisi 2.1. Minor dari matriks adalah dan kofaktornya adalah
.  Di  sini adalah  matriks  A  dengan  elemen-elemen  baris  ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang. (Sutojo,dkk, 2010:130)

## D. Operasi Modulus
Operasi modulus adalah sebuah operasi yang menghasilkan sisa pembagian dari  suatu  bilangan  terhadap  bilangan  lainnya.  Operasi  ini  umumnya dilambangkan dengan simbol mod atau modulo. Misalkan dua bilangan a dan b, amodulob (disingkat a mod b)  adalah  bilangan  bulat  sisa  pembagian a oleh b. Operasi  modulus  tersebut  digunakan  untuk  menerjemahkan  pesan  yang  akan dikirimkan ke si penerima agar angka-angka yang dihasilkan berada dalam ruang lingkup aturan pengkodean pesan yang telah disepakati antara si penerima dan si pengirim pesan.

## III. METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  adalah  studi  literatur.  Pendalaman konsep  suatu  dalil  dengan  mengumpulkan  literatur-literatur  yang  berhubungan dengan konsep tersebut dengan menggunakan jenis penelitian dasar/murni.

## A. Hasil dan Pembahasan
Pembahasan pada  paper  ini  fokus  pada  kasus  matriks  berorde
dalam pembentukan pesan rahasia yaitu:
Bila  ada  sebuah  matriks . untuk
menentukan invers dari  matriks
tersebut,  disajikan  langkah-langkah  sebagai
berikut:
1. Menentukan  minor  dari  matriks A yang  merupakan  nilai  determinan  dari baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks  tersebut  dihilangkan,  maka  akan  diperoleh  matriks  baru  berordo selanjutnya, jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks baru tersebut
dihilangkan,  maka  akan  diperoleh  matriks  berordo
kemudian,  jika
baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks berordo
tersebut dihilangkan, maka  akan  diperoleh  matriks  berordo dan  minor  dari  matriks A tersebut dilambangkan dengan . a. Minor dari yaitu Untuk menentukan , maka
Syafruddin Side & Syahrana , Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia_ 31
Dengan cara yang sama diperoleh , , , , ,..., , ,..., , dan ,..., , 2. Menentukan  kofaktor  matriks A yang  entri-entrinya  merupakan  hasil perkalian elemen minor dengan
Kofaktor matriks A (4.6)
Determinan matriks A dengan entri-entri baris ke-1 dan entri-entri kolom ke-1 dihilangkan
Determinan matriks A dengan entri-entri baris ke-1 dan entri-entri kolom ke-2 dihilangkan, dan seterusnya hingga Determinan matriks A dengan entri-entri baris ke-5 dan entri-entri kolom ke-5 dihilangkan
3. Menentukan  matriks  adjoin A. Jika  kofaktor  dari  matriks A ditransposkan, maka  diperoleh  matriks  baru  yang  disebut  sebagai  adjoin A dan  ditulis sebagai berikut:
(4.7)
4. Menentukan invers matriks A dengan rumus
Langkah-langkah di atas digunakan untuk menentukan invers matriks yang akan diterapkan dalam masalah pengiriman pesan rahasia pada matriks
.

## B. Aplikasi Matriks untuk Pengiriman Pesan Rahasia
Misalkan kata JURUSANMATEMATIKAFMIPAUNM akan dikirimkan ke orang lain, maka langkah-langkah yang disajikan adalah:
1. Diberikan matriks transformasi sebut
2. Kata tersebut dinotasikan dalam bentuk matriks sebut 3. Mengalikan matriks dan Q sehingga diperoleh matriks baru
Berdasarkan (2.2) diperoleh
4. Berdasarkan  aturan  pengkodean,  maka  pesan  yang  dikirimkan  ke  penerima yaitu QOUCWOQLLGUOATEUKMVCSHKDR
5. Untuk  mengetahui  isi  pesan  tersebut,  si  penerima  harus  mengalikan dengan sehingga  diperoleh  kode  awal  yang  sama  yang  artinya  pesan terpecahkan.
Syafruddin Side & Syahrana , Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia_ 33
Selanjutnya,  adjoin  dari  matriks terlebih  dahulu  ditentukan  minor  dan kofaktor dari dengan cara berikut:
Minor dari yaitu Untukmenentukan , dapatdilakukansepanjangbarispertama =39 Dengan cara yang sama diperoleh , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Berdasarkan  nilai-nilai  yang  diperoleh  dari sampai ,  diperoleh  matriks kofaktor .  Adjoin diperoleh  dengan menukar baris menjadi kolom sehingga baris pada matriks kofaktor akan menjadi kolom pada matriks adjoin sehingga diperoleh matriks adjoin sebagai berikut:
. Sehingga invers dari matriks
Untuk memecahkan pesan rahasia yang dikirimkan si pengirim, maka dikalikan dengan sehingga diperoleh :
Hasil yang diperoleh sama dengan kode awal artinya pesan terpecahkan.

## C. Penerapan  Invers  Matriks  dalam  Pembentukan  Pesan  Rahasia  dengan

## Visual Basic
Visual  basic  6.0lebih  efisien  digunakan  dalam  masalah  pembentukan pesan  rahasia  yang  melibatkan  invers  matriks.  Adapun  tampilan  awal  dari form visual  basic  6.0 sebelum  proses  pengiriman  pesan  rahasia  dilakukan  yaitu  pada gambar 1 berikut:
Syafruddin Side & Syahrana , Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia_ 35
Gambar1:formawal invers matriksdalampembentukanpesanrahasia
Pada gambar  1  di  atas,  matrikstransformasi ditentukan  terlebih  dahulu untuk selanjutnya dicari inversnya dengan menggunakan adjoin. Masukkan pesan asli  yang  akan dikirimkan ke  orang  lain  pada textbox “ PESAN  ASLI ” sepertipadagambar 2 berikut:
Gambar 2:Form input pesanteksasli
Pesan teks asli  yang  dimasukkan dalam textbox “ PESAN  ASLI ” berupa huruf capital tanpa tanda baca,  tanpa spasi ataupun simbol-simbol lainnya. Maksimal huruf dalam pesan asliyaitu 100 huruf, jikahuruf yang dimasukkan maka akanmunculpesanperingatansepertigambar 3 berikut:
Gambar 3: Form jika huruf yang diinput
Setelah pesan teks asli di input,  klik “ BUAT  ENTRI  MATRIKS  DAN PESAN  RAHASIA ” maka entri-entri dari matris akan  terisi  huruf  sesuai dengan aturan pengkodean pesan yang telah dibuat sebelumnya, begitupun dengan matriks .  Pada frame “ MATRIKS  KODE ” berisi kode-kode  yang  akan disesuaikan dengan huruf-huruf  yang  akan dikirimkan kepada si penerima pesan dan pada textbox “ PESAN  RAHASIA ” muncul huruf-huruf  yang  akan dikirimkan ke si penerima seperti pada gambar4 berikut:
Gambar 4: Formbuatentrimatriksdanpesanrahasia
Syafruddin Side & Syahrana , Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia_ 37
Setelah pesan rahasia pada textbox muncul,  klik “ KIRIM  PESAN ” ,  maka pesan tersebut akan dikirim ke si penerima.  Pada form penerima terdapat  frame “ INVERS  MATRIKS ” , “ PESAN  RAHASIA ” dan “ MATRIKS ” . Padaframe “ MATRIKS
” berisi  textbox-textbox  yang  masih  kosong begitupun pada textbox “ PESAN ASLI ” seperti pada gambar 5 berikut:
Gambar 5: Form penerima pesan
Untuk mengetahui isi dari pesan tersebut, maka invers matriks dikalikan dengan matriks , atau klik command button “ BUAT ENTRI MATRIKS DAN
PESAN ASLI, maka textbox-textbox pada frame MATRIKS ” akan terisi kode yang  sama  dengan  kode  awal  dan  pada textbox “ PESAN  ASLI ” akan muncul pesan yang sebenarnya lalu klik “ SELESAI ” seperti pada gambar6 berikut:
Gambar 6: Form buat entrimatriks dan pesan asli

## KESIMPULAN
Penyelesaian invers matriks dengan menggunakan adjoin lebih mudah sebab operasi  matriks  yang  terkait  didalamnya  melibatkan  operasi-operasi  matriks sederhana seperti penjumlahan matriks, perkalian dengan skalar, maupun operasi matriks  lainnya.  Adapun  penggunaan  invers  matriks  dalam  pembentukan  pesan rahasia lebih efisien jika menggunakan software visual basic 6.0.

## DAFTAR RUJUKAN
Adriansyah, S. 2013. Penerapan Matriks Invers Tergeneralisasi pada Sandi Hill.
Universitas Negeri Makassar: Makassar
Afriyanti,  D, Gustanti,  D. 2008. Matematika untuk  SMA  Kelompok Teknologi,

## Kesehatan dan Pertanian. Grafindo Media Pratama: Bandung
Anonim, http://id.wikipedia.org/wiki/Operasi_modulus . [Diakses tanggal 11 Februari 2014]
Anton,  H,  Rorres,  C.  2004. Aljabar  Linear  Elementer Versi Aplikasi  (Edisi ke delapan -jilid 1). Erlangga: Jakarta
Asneindra, M. http://www.scribd.com/doc/186834940/ALJABAR-MATRIKS . [Diakses tanggal 25 November 2013]
Chiang,  C.A, Wainwright. 2006. Dasar-dasar Matematika Ekonomi Edisi  4.
Erlangga: Jakarta
Fandi Suhariyadi. 2011. Matriks Invers. http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&c ad=rja&ved=0CEIQFjAD&url=http%3A%2F%2Fandisuhariyadi.dosen.nar otama.ac.id%2Ffiles%2F2011%2F09%2FPERTEMUAN-8-9-bab5-
matriks_invers.pdf&ei=_c_dUtS8JonLrQfm4oDAAw&usg=AFQjCNHA9y NbDbBfWme360m_7PrpCMCX3A&sig2=CZo6qkFdtoeUUOZJNztlXw&b vm=bv.59568121,d.bmk.[Diakses tanggal 21 Januari 2014]
Indriani, G. 2007. Think Smart Matematika. Grafindo Media Pratama: Bandung Kanginan, M.2006.Matematika.Grafindo Media Pratama:Bandung Kurniati, E. 2010. Menentukan Invers Matriks dengan Metode Dekomposisi Adomian.
Universitas Negeri Maulana  Malik  Ibrahim:  Malang http://www.lib.uin- malang.ac.id/files/thesis/fullchapter/06510040.pdf .[  Diakses tanggal  2
Oktober 2013]
Syafruddin Side & Syahrana , Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia_ 39
Lipschutz, S, Lipson, M. 2006. Aljabar Linear. Erlangga: Jakarta
Listya, D.T, Herawati. 2007. Matematika. Grafindo Media Pratama: Bandung
Marsigit, Himmawati, Karyati, Sugiman. 2008. Matematika. Quadra: Jakarta Ningroem, N.T.N. 2010. Matriks. Universitas Brawijaya: Kediri
Pangestu, W.D. http://www.scribd.com/doc/110383742/Bab-I-Pengenalan-Visual- BASIC . [Diaksestanggal 29 November 2013]
Riwayati,  E.H, Markonah.2008. Matematika Ekonomi Bisnis. PT  Grasindo:
Jakarta
Setiadji. 2008. Aljabar Linear. Grahailmu: Yogyakarta
Sriyanto, Supatmon,  C.2008. Siap Menghadapi Ujian Nasional  SMA/MA  2009. Grasindo: Jakarta
Sutojo,  T,  Bowo,  Erna,  Astuti,  S,  Rahayu,  Y  & Mulyanto,  E.  2010. Teori dan Aplikasi Aljabar  Linier  & Matriks dengan Implementasi Aljabar  Linier  & Matriks Menggunakan Matlab. CV Andi offset: Yogyakarta
Tung, Y.K. 2008. Kumpulan Rumus Lengkap Matematika. PT Grasindo: Jakarta