## Aliran Fluida Magnetohidrodinamik Viskoelatis Tersuspensi yang Melewati Pelat Datar
Rina Sahaya, Basuki Widodo, Chairul Imron Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : rina.sahaya@gmail.com, b_widodo@matematika.its.ac.id, imron-its@matematika.its.ac.id
Abstrak—  Fluida  viskoelastis  adalah  salah  satu  tipe dari  fluida  non-Newtonian  yang  memiliki  sifat  viskos (kental) dan elastis . Aplikasi dari fluida viskoelastis sangat penting  terutama  pada  industri  pertahanan,  pengeboran minyak, dan industri makanan, sehingga banyak penelitian yang  dilakukan  tentang  fluida  viskoelastis.  Salah  satu pembahasan  yang  menarik  untuk  dikaji  adalah  aliran fluida  magnetohidrodinamik  viskoelastis  dengan  adanya partikel  suspensi  didalamnya.  Aliran  fluida  tersebut mengalir  dari  bawah  dan  melewati  pelat  datar  yang kemudian  menimbulkan  lapisan  batas  (boundary  layer). Persamaan lapisan
batas
tersebut kemudian ditransformasikan kebentuk non-dimensional menggunakan variabel non-dimensional, selanjutnya diubah  ke  persamaan  similaritas  menggunakan  fungsi  alir (stream function). Persamaan similaritas tersebut kemudian diselesaikan  secara  numerik  menggunakan  metode  Keller- Box. Hasil numerik yang diperoleh kemudian disimulasikan dan  dianalisis  pengaruh  parameter  bilangan  Prandtl, viskoelastik,  magnetik  dan  nilai  densitas  partikel  suspensi terhadap profil kecepatan dan profil temperatur. Dari hasil simulasi,  kecepatan (𝒇′) mengalami  peningkatan  ketika parameter  viskoelastik  ( 𝑲 ),  variasi  bilangan  Prandtl  ( 𝑷𝒓 ), parameter  magnetik  ( 𝑴 )  mengalami  penurunan,  dan variasi  nilai  densitas  partikel  suspensi  ( 𝑵 )  mengalami peningkatan. Sedangkan temperatur (𝜽) meningkat dengan meningkatnya  parameter  viskoelastik  ( 𝑲 )  dan  parameter magnetik  ( 𝑴 ),  dan  menurun  dengan  meningkatnya  variasi bilangan  Prandtl  ( 𝑷𝒓 )  dan  nilai  densitas  partikel  suspensi ( 𝑵 ).
Kata Kunci— Magnetohidrodinamik, Fluida Vikoelastis, Suspensi,  Keller-Box.

## I. PENDAHULUAN
luida  merupakan  zat  yang  berubah  bentuk  secara kontinu  bila  terkena  tegangan  geser,  berapapun kecilnya tegangan geser tersebut. Berdasarkan viskositasnya,  fluida  dibagi  menjadi  dua  yaitu  fluida Newtonian dan fluida non-Newtonian. Fluida Newtonian merupakan  fluida  yang  memiliki  kurva  tegangan  yang linier  dan  memiliki  viskositas  yang  bernilai  konstan apabila  terdapat  gaya  yang  bekerja  pada  fluida  tersebut. Sedangkan fluida non-Newtonian merupakan fluida yang memiliki  kurva  tegangan  yang  tidak  linier  atau  dengan kata  lain  tidak  memenuhi  hukum  linierisasi  newton  dan memiliki  viskositas  yang  bernilai  tidak  konstan  apabila terdapat  gaya  yang  bekerja  pada  fluida  tersebut[4]. Berikut  adalah  grafik  tegangan  geser  fluida  Newtonian dan non-Newtonian [10] :
Gambar 1.1 Grafik Tegangan Geser Fluida Newtonian dan Non-Newtonian
Magnetohydrodynamic (MHD)  adalah  studi  mengenai dinamika  fluida  konduksi  lisrik  akibat  medan  magnet. Contoh fluida yang dapat dikonduksi adalah plasma,logam cair, dan air garam atau elektrolit. Konsep dasar  MHD  adalah  medan  magnet  dapat  menginduksi arus  listrik  pada  fluida  konduktif  yang  bergerak,  yang pada  gilirannya  menciptakan  gaya  pada  fluida  dan  juga mengubah  medan  magnet  itu  sendiri.  Himpunan persamaan yang menggambarkan MHD adalah kombinasi dari persamaan Maxwell pada elektromagnetik [5] .
Suspensi  adalah  suatu  campuran  fluida  yang mengandung partikel padat atau campuran heterogen dari zat  cair  dan  zat  padat  yang  dilarutkan  dalam  zat  cair tersebut,  namun  masih  dapat  dibedakan  antara  pelarut dan  zat  yang  dilarutkan.  Partikel  padat  dalam  sistem suspensi umumnya lebih besar dari 1 mikrometer [8] . Meskipun  banyak  peneliti  melakukan  penelitian terhadap  fluida  yang  bersifat  viskoselastis  seperti Kasim[7]  yang  meneliti  tentang  fluida  viskoelastis  pada pelat  datar  untuk  masalah  Blasius  mengelilingi  silinder sirkular dan bola dengan dua jenis aliran konveksi, yaitu konveksi  bebas  dan  campuran  menggunakan  skema Keller-Box.  Selain  itu  penelitian  yang  lain  juga dilakukan  oleh  Wanti  [6]  yang  meneliti  tentang  fluida viskoelastis  yang  melewati  sebuah  pelat  datar  dengan efek  magnetohidrodinamik  menggunakan  skema  metode beda  hingga  Kelle-Box,  namun  penelitian  tentang  fluida viskoelastis tersuspensi masih kurang.
Fluida  viskoelastis  adalah  salah  satu  fluida  non- Newtonian  selain  fluida  pseudoplastic,  fluida  rheopectic dan  fluida  thixotropic.  Dalam  beberapa  tahun  ini, penelitian  untuk  permasalahan  fluida  viskoelastis menjadi  sangat  penting  karena  pemanfaatannya  yang sangat  luas  dan  bisa  digunakan  untuk  pengembangan ilmu  sains  maupun  teknik.  Meskipun  banyak  peneliti melakukan  penelitian  terhadap  fluida  yang  bersifat viskoselastis  seperti  Kasim[7]  dan  Wanti  [6],  namun penelitian  tentang  fluida  viskoelastis  tersuspensi  masih kurang. Hal ini yang mendasari peneliti tertarik meneliti
F
permasalahan aliran fluida magnetohidrodinamik viskoelastis tersuspensi yang melewati pelat datar.
Persamaan  lapisan  batas  (boundary  layer)  sederhana merupakan  upaya  awal  untuk  menghitung  berbagai permasalahan  dalam  penelitian  tersebut.    Pendekatan lapisan  batas  diperoleh  dari  persamaan  kontinuitas, momentum,  dan  energi.  Persamaan  –  persamaan  ini kemudian  ditransformasikan  ke  bentuk  non-dimensional dengan menggunakan variable non-dimensional, selanjutnya diubah ke persamaan similaritas menggunakan fungsi alir ( stream function ) [7] . Persamaan  –  persamaan  tersebut  kemudian  dicari  solusi numeriknya  menggunakan  metode  Keller-Box  dan selanjutnya  disimulasikan.  Dari  hasil  simulasi  dianalisis parameter  bilangan  Prandtl,  viskoelastik,  magnetik  dan nilai densitas partikel suspensi terhadap profil kecepatan dan profil temperatur.

## II. METODE PENELITIAN
Langkah-langkah  dalam  penelitian  ini  adalah sebagai berikut:
1. Studi Literatur
2. Memodelkan  aliran  magnetohidrodinamik  pada fluida  viskoelastis  tersuspensi  yang  melewati  pelat datar
3. Mentransformasi  persamaan  pembangun  dimesional ke  bentuk  non-dimensional  menggunakan  variable non-dimensional
4. Meengubah persamaan non-dimensional ke
persamaan  similaritas  menggunakan  fungsi  alir (stream function)
5. Penyelesaian numerik  menggunakan metode Keller- Box
6. Pembuatan program dengan aplikasi MATLAB
7. Melakukan  simulasi  dengan  memberikan  beberapa parameter  menggunakan  program  yang  telah  dibuat menggunakan aplikasi MATLAB
8. Melakukana analisis hasil dan pembahasan
9. Penarikan kesimpulan
10. Penyusunan lapoan

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Aliran  fluida  magnetohidrodinamik  viskoelastis tersuspensi  mengalir  dari  bawah  ke  atas  yang  kemudian melewati  pelat  datar.  Daerah  penelitian  yang  diamati adalah  pada  titik  stagnasi  atau 𝑥 ≈ 0 .  Berikut  adalah ilustrasi  dari  aliran  magnetohidrodinamik    pada  fluida viskoelastis tersuspensi yang melewati pelat datar.
Gambar 3.1 Sketsa Aliran Fluida Magnetohidrodinamik Viskoelastis Tersuspensi yang Melewati Pelat Datar

## Persamaan Pembangun Dimensional
Persamaan pembangun dari aliran
magnetohidrodinamik pada fluida viskoelastis tersuspensi  yang  melewati  pelat  datar  terdiri  dari persamaan  kontinuitas,  persamaan  momentum,  dan persamaan energi sebagai berikut: 1. Persamaan Kontinuitas :
𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑦̅ = 0 (3.1)
2. Persamaan Momentum :
𝑢̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ = 𝜇 0 𝜌 [ 𝜕 2 𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ 2 ] − 𝑘 0 𝜌 [𝑢̅ ( 𝜕 3 𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅𝜕𝑦̅ 2 ) + 𝑣̅ 𝜕 3 𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ 3 − 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ ( 𝜕 2 𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅𝜕𝑥̅ ) + 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅ ( 𝜕 2 𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ 2 )] +𝑔𝛽(𝑇 − 𝑇 ∞ ) − 1 𝜌 𝜎𝑢̅𝐵 0 2 + 𝐾 1 𝑁𝐻 (3.2)
3. Persamaan Energi :
𝑢̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑦̅ = 𝛼 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑦̅ 2 (3.3)
dengan kondisi batas [6] : 𝑢̅ = 𝑈 𝑤 = 0 , 𝑣̅ = 0,    𝑇̅ = 𝑇 𝑤 pada 𝑦 = 0 𝑢̅ = 𝑈 ∞, 𝑇̅ = 𝑇 ∞ pada 𝑦 → ∞ dan 𝛼 : Difusi termal 𝜇 0 : Viskositas dinamik 𝑘 0 : Koefisien memori pendek
𝜌 : Kerapatan fluida 𝑔 : Gravitasi
𝛽 : Koefisien perpindahan panas 𝑢 : Komponen kecepatan pada sumbu 𝑥 𝑣 : Komponen kecepatan pada sumbu 𝑦

## Persamaan Non-Dimensional dan Similaritas
Persamaan pembangun dimensional yang terdiri dari persamaan  kontinuitas,  persamaaan  momentum,  dan persamaan  energi  selanjutnya  ditransformasikan  ke bentuk  non-dimensional  menggunakan  variable  non- dimensional sebagai berikut:
Variabel non-dimensional [13]: :
𝑥 = 𝑥̅ 𝑙 ,   𝑦 = 𝑅𝑒 1 2 ( 𝑦̅ 𝑙 ) ,   𝑢 = 𝑢 ̅ 𝑈 ∞ , 𝑣 = 𝑅𝑒 1 2 ( 𝑣̅ 𝑈 ∞ ) ,   𝜃 = (𝑇̅−𝑇 ∞ ) (𝑇 𝑤 −𝑇 ∞ ) , 𝑅𝑒 = 𝑈 ∞ 𝑙 𝑣 (3.4)
Parameter non-dimensional [13]   :
𝐾 = 𝑘 0 𝑈 ∞ 𝑙𝜌𝑣 𝜆 = 𝑔𝛽(𝑇 𝑤 −𝑇 ∞ )𝑙 3 𝑅𝑒 2 𝑣 2 , 𝑃 𝑟 = 𝑣 𝛼 𝑀 = 𝜎𝐵 0 2 𝜌 𝑈 ∞ (3.5)
Dengan  mensubstitusikan  Persamaan (3.4) dan (3.5) ke persamaan (3.1) −   (3.4) ,  sehingga  didapat  persamaan pembangun non-dimensional sebagai berikut: 1. Persamaan Kontinuitas :
𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0 (3.6)
2. Persamaan Momentum :
𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜇 0 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 − 𝐾 [𝑢 𝜕 3 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 2 + 𝑣 𝜕 3 𝑢 𝜕𝑦 3 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 +
𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 ] + 𝜆𝜃 − 𝑀𝑢  +
𝐾 1 𝑁𝐻 (3.7)
3. Persamaan Energi :
𝑢 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝜃 𝜕𝑦 = 1 𝑃𝑟 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑦 2 (3.8)
dengan 𝑇 𝑤 : Temperatur permukaan pelat 𝑇 ∞ : Temperatur  lingkungan 𝑇 : Temperatur fluida 𝑅𝑒 : Bilangan Reynold 𝐾 1 : Koefisien hambat stoke 𝑁 : Number densitas partikel suspensi 𝐻 : Kecepatan partikel suspense dikurangi  kecepatan fluida
𝐾 1 = 6 kg s −1 𝛼 = 𝑘
𝜌𝐶 𝑝

## Persamaan  Similaritas
Untuk menyelesaikan persamaan (3.6) −   (3.8) , terlebih dahulu  harus  diubah  ke  dalam  persamaan  similaritas menggunakan fungsi alir sebagai berikut[7]:
𝜓 = 𝑈 ∞ 𝑥𝑣(2) 1 2 𝑓(𝜂) 𝜃(𝜂) = 𝑇−𝑇 ∞ 𝑇 𝑤 −𝑇 ∞ 𝜂 = ( 𝑈 ∞ 2𝑥𝑣 )
1 2 𝑦
dengan
𝑢 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 , 𝑣 = − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 Dengan mensubstitusikan fungsi alir kedalam Persamaan (3.6) −   (3.8) ,  maka  didapatkan  persamaan  similaritas sebagai berikut:
1. Persamaan Kontinuitas : − 𝑈 ∞ 2𝑥 . 𝑓 ′′ . 𝜂 + 𝑈 ∞ 2𝑥 . 𝑓 ′′ . 𝜂 = 0 (3.9)
2. Persamaan Momentum :
𝑓 ′′′ + 𝑓𝑓 ′′ + 𝐾[2𝑓 ′ 𝑓 ′′′ − 𝑓𝑓 ′′′′ − (𝑓 ′′ ) 2 ] + 𝜆𝜃 − 𝑀𝑓 ′ + 𝐾 1 𝑁𝐻 = 0 (3.10)
3. Persamaan Energi :
1 𝑃 𝑟 𝜃 ′′ + 𝑓𝜃 ′ = 0 (3.11)
dimana ‘ adalah turunan terhadap y , dan dengan kondisi batas sebagai berikut : 𝑢 = 𝑣 = 0,        𝜃 = 1,         pada 𝑦 = 0 𝑢 = 𝑈 ∞, ,            𝜃 = 0,         pada  𝑦 → ∞ dengan 𝜃 : Profil temperatur
𝐾 : Parameter viskoelastis 𝑀 : Parameter magnetik 𝑃 𝑟 : Bilangan Prandtl
𝜆 : Parameter konveksi 𝜓 : Fungsi alir

## Penyelesaian Numerik
Penyelesaian  numerik  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  metode  Keller-Box.  Berikut  adalah langkah-langkahnya:
1. Mengubah  persamaan  diferensial  orde  tinggi menjadi persamaan diferensial orde satu
2. Melakukan diskritisasi pada persamaan orde satu
3. Melakukan    linierisasi  persamaan  yang  telah didiskritisasi kemudian menjadikan ke dalam bentuk matrik
4. Menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan teknik eliminasi blok

## Simulasi dan Analisis Hasil
Hasil  numerik  yang  telah  didapat  kemudian disimulasikan  ke  dalam  MATLAB  dengan  memberi inputan  parameter  viskoelastik  ( 𝐾 ),  variasi  bilangan Prandtl  ( 𝑃𝑟 ),  parameter  magnetik  ( 𝑀 )  dan  variasi number  densitas  partikel  suspensi  ( 𝑁 ),  kemudian dilakukan  analisis  terhadap  profil  kecepatan (𝑓′) dan profil temperatur (𝜃) .
Gambar  3.2  dan  3.3  menunjukkan  profil  kecepatan (𝑓′) dan  profil  temperatur (𝜃) dengan  variasi  parameter viskoelastik  ( 𝐾 )=1,2,3,4  dan  nilai 𝑃𝑟 = 0.7 , 𝑀 = 1 , dan 𝑁 = 1 .  Dari  gambar  4.2  dapat  dilihat  bahwa kecepatan  fluida  akan  meningkat  dengan  menurunnya parameter viskoelastik ( 𝐾 ). Hal ini terjadi karena dengan menurunnya  parameter  viskoelastik  ( 𝐾 )  maka  akan menyebabkan  kekentalan  fluida  menurun  sehingga  akan mengurangi  gaya  gesek  dan  menyebabkan  kecepatan fluida  meningkat.  Sedangkan  dari  gambar  3.3  dapat dilihat  bahawa  temperatur  akan  mengalami  penurunan seiring  dengan  menurunnya  parameter  viskoelastik  ( 𝐾 ). Hal  ini  terjadi  karena  dengan  menurunnya  parameter viskoelastik  ( 𝐾 )  maka  kekentalan  akan  mengalami penurunan  dan  mengurangi  gaya  gesek  sehingga menyebabkan temperatur juga menurun.
Gambar 3.2 Variasi parameter viskoelastik ( 𝐾 ) terhadap profil kecepatan (𝑓′)
Gambar 3.3 Variasi parameter viskoelastik ( 𝐾 ) terhadap profil temperatur (𝜃)
Selanjutnya dari gambar 3.4 dan 3.5 dapat dilihat profil kecepatan (𝑓′) dan  profil  temperatur (𝜃) dengan  variasi bilangan  Prandtl  ( 𝑃𝑟 )=0.7,1,20,100  dan  nilai 𝐾 = 1 , 𝑀 = 1 , dan 𝑁 = 1 . Dari gambar 3.4 dapat dilihat bahwa kecepatan  akan  meningkat  dengan  menurunnya  variasi bilangan  Prandtl  ( 𝑃𝑟 ).  Hal  ini  sesuai  dengan  definisi bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 ).  Sedangkan dari gambar 3.5 dapat
dilihat  bahwa  temperatur (𝜃) akan  meningkat  dengan menurunnya  variasi  bilangan  Prandtl  ( 𝑃𝑟 ).  Hal  tersebut disebabkan  bilangan  Prandtl  berbanding  terbalik  dengan difusi termal (𝑃𝑟~ 1 𝛼 ) .
Gambar 3.4 Variasi bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 ) terhadap profil kecepatan (𝑓′)
Gambar 3.5 Variasi bilangan Prandtl ( 𝑃𝑟 ) terhadap profil temperatur (𝜃)
Pada gambar 3.6 dan 3.7 dapat  dilihat profil kecepatan (𝑓′) dan  profil  temperatur (𝜃) dengan  variasi  parameter magnetik  ( 𝑀 )=0.1,3,7,10  dan  nilai 𝑃𝑟 = 0.7 , 𝐾 = 1 dan 𝑁 = 1 .  Dari  gambar  3.6  dapat  dilihat  bahwa  dengan meningkatnya  parameter  magnetik  ( 𝑀 )  maka  profil kecepatan (𝑓′) akan  menurun  dan  profil  temperatur (𝜃) akan  meningkat.  Hal  ini  terjadi  karena  dengan  adanya medan  magnet  maka  akan  menimbulkan  gaya  Lorentz, dan  dengan  meningkatnya  gaya  Lorentz  maka  akan memperbesar  gesekan  dan  menimbulkan  kecepatan menurun dan temperatur mengalami peningkatan.
Gambar 3.7 Variasi parameter magnetik ( 𝑀) terhadap profil temperatur (𝜃 )
Dalam  penelitian  ini  juga  dilihat  profil kecepatan (𝑓′) dan profil temperatur (𝜃) dengan variasi nilai  densitas  partikel  suspensi  ( 𝑁 )=0.1,0.2,0.3,0.4  dan nilai nilai 𝑃𝑟 = 0.7 , 𝐾 = 1 dan 𝑀 = 1 . Dari gambar 3.8 dan  3.9  dapat  dilihat  bahwa  dengan  meningkatnya number  densitas  partikel  suspensi  ( 𝑁 )  profil  kecepatan (𝑓′) akan  meningkat  dan  profil  temperatur (𝜃) akan mengalami  penurunan.  Hal  ini  terjadi  karena  dengan meningkatnya  number  densitas  partikel  suspensi  ( 𝑁 ) maka jumlah partikel suspensi akan semakin sedikit hal ini  akan  semakin  mengurangi  gesekan  anatar  partikel suspensi  sehingga  menyebabkan  kecepatan  semakin meningkat dan menurunnya temperatur.
Gambar 3.8 Variasi number densitas partikel suspensi ( 𝑁 ) terhadap profil kecepatan (𝑓′)
Gambar 3.9 Variasi number densitas partikel suspensi ( 𝑁 ) terhadap profil temperatur (𝜃)

## IV. KESIMPULAN
Dari hasil penelitian ini maka dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Model matematika dari aliran fluida magnetohidrodinamik  viskoelastis  tersuspensi  yang melewati pelat datar dalam kondisi steady pada titik stagnasi (𝑥 ≈ 0) yaitu : a. 𝓌 + 𝑓𝓋 + 𝐾(2𝒰𝓌 − 𝑓𝓌 ′ − (𝓋) 2 ) + 𝜆𝑠 − 𝑀𝒰 + 𝐾 1 𝑁𝐻 = 0
b. 1
𝑃𝑟 𝓉 ′ + 𝑓𝓉 = 0
Model yang didapatkan tersebut diselesaikan secara numerik menggunakan metode Keller-Box
2. Dari  penyelesaian  numerik  dan  simulasi  dalam bentuk grafik, dapat disimpulkan bahwa :
a. Nilai  profil  kecepatan    dengan    variasi parameter viskoelastik ( 𝐾 )=1,2,3,4 dengan nilai 𝑃𝑟 = 0.7 , 𝑀 = 1 , 𝑁 = 1 , 𝜆 = 1 , dan 𝐻 = 0.1 akan  meningkat  dengan  menurunnya  parameter viskoelastik, sedangkan temperatur akan mengalami  penurunan.  Hal  ini  terjadi  karena dengan  menurunnya  parameter  viskoelastik  ( 𝐾 ) maka  kekentalan  akan  mengalami  penurunan dan mengurangi gaya gesek menurun.
b. Untuk profil kecepatan dengan variasi parameter magnetik( 𝑀 )=0.1,3,7,10 dengan nilai 𝑃𝑟 = 0.7 , 𝐾 = 1 , 𝑁 = 1 , 𝜆 = 1 ,  dan 𝐻 = 0.1 akan  menurun  dan  profil  temperatur (𝜃) akan meningkat  dengan  meningkatnya  parameter magnetik  ( 𝑀 ).  Hal  ini  terjadi  karena    dengan adanya medan magnet maka akan menimbulkan gaya  Lorentz,  dan  dengan    meningkatnya  gaya Lorentz  maka  akan  memperbesar  gesekan  dan menimbulkan kecepatan menurun dan temperatur mengalami peningkatan.
c. Dengan  menurunnya  variasi  bilangan  Prandtl untuk variasi bilangan Prandtl
( 𝑃𝑟 )=0.7,1,20,100 dengan nilai 𝐾 = 1 , 𝑀 = 1 , 𝑁 = 1 , 𝜆 = 1 ,  dan 𝐻 = 0.1 maka  kecepatan dan temperature akan meningkat. Hal ini sesuai dengan  definisi  bilangan  Prandtl  ( 𝑃𝑟 )  dan bilangan  Prandtl  berbanding  terbalik  dengan diffuse termal (𝑃𝑟~ 1 𝛼 ) . d. Dalam variasi nilai densitas partikel suspensi( 𝑁 )=  0.1,0.2,0.3,0.4  dengan  niali 𝑃𝑟 = 0.7 , 𝐾 = 1 , 𝑀 = 1 , 𝜆 = 1 ,  dan 𝐻 = 0.1 ditunjukkan  bahwa  dengan  meningkatnya  nilai densitas  partikel  suspensi  ( 𝑁 )  maka  profil kecepatan (𝑓′) akan  meningkat    dan  profil temperatur (𝜃) akan mengalami penurunan. Hal ini  terjadi  karena  dengan  meningkatnya  nilai densitas  partikel  suspensi  ( 𝑁 )  maka  kerapatan fluida  akan  meningkat,  dengan  meningkatnya kerapatan,  maka  jumlah  partikel    akan  semakin banyak  sehingga  gerakan  yang  dihasilkan  oleh partikel  semakin  besar,  hal  ini  menyebabkan kecepatan  semakin  meningkat  dan  temperatur menurun.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Alkasasbeh,  Hamzeh  T.  S  (2015). Numerical Solution  for  Convective  Boundary  Layer  Flow  over A  Solid  Sphere  Of  Newtonian  and  Non-Newtonian Fluid , Ph.D. Universiti Malaysia Pahang.
[2] GUPTA,  Urvashi  and  AGGARWAL,  parul.  (2011), Thermal  Instability  of  Compressible  Walters’ (Model  B)  Fluid  in  the  Presence  of  Hall  Currents and
Suspended Particles, THERMAL SCIENCE,.15,2,pp 487-500.
[3] Nazar,R.,  Salleh,  M.Z.,  dan  Pop,  I.  (2010). Mixed convection boundary layer flow about a solid sphere with  Newtonian  heating ,  Arch.  Mech.,  62,4,pp  283- 303, Warszawa.
[4] Widodo,  B.  (2012), Pemodelan  Matematika. ITS Press, Surabaya, Indonesia.
[5] Widodo,  B.,  Siswono,  G.O.,  dan  Imron,  C.  (2015), Viskoelastic fluid flow with the presence of magnetic field past a porous circular cylinder . Proceedings of 5 th ISERD  International  Conference,  Bangkok, Thailand.
[6] Widodo,  B.,  Wanti,  P.P.,  dan  Imron,  C.  (2015). Viscoelastic Fluid Past A Flat Plate With The Effect of Magnetohydrodynamic. Instistut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Surabaya.
[7] Kasim,  Abdul  Rahman  Muhd.  (2014). Convective Boundary  Layer  Flow  of  Viscoelastic  Fluid., Phd.Universiti Tekno;ogi Malaysia. Malaysia.
[8] Yusuf,  R.,  Kironoto,  B.A.,  Rahardjo,  A.P.(1997). Pengukuran  dan  Prediksi  Distribusi  Sedimen Suspensi pada Saluran Terbuka. Jurnal Sipil soepra. Semarang.
[9] Widodo, B., Sulistyaningtyas, Annisa  D., Imron, C. (2015).  Pengaruh  Aliran  Fluida Viskoelastik  yang Melewati Silinder Eeliptik .Institut teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Surabaya.
[10] Rumite,  W.,  Widodo,  B.,  Imron,  C.(2015). Aliran Fluida  Viskoelastik  yang  Melewati  Permukaan Sebuah  Bola  dengan  Pengaruh  Konveksi  Bebas . Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember  Surabaya. Surabaya.
[11] Widodo,  B.,  Anggriani,  I.,  Khalimah,  D.A.,Zainal, F.D.S.,  Imron,  C.(2016). Unsteady  Boundary  Layer Magnetohydrodynamics  in  Micropolar  Fluid  Past  a Sphere. Far East Journal of Mathematical Sciences(FJMS), volume 100, number 2, pages 291- 299.
[12] Mohamed,  M.K.A.,  Salleh,  M.Z.,  Husssanan,  A., Sarif,  N.M.,  Noar,  N.A.Z.M.N.,  Ishak,  A.,  and Widodo,  B.(2016). Mathematical  Model  of  Free Convection  Boundary  Layer  Flow  on  Solid  Sphere with  Viscous  Dissipation  and  Thermal  Radiation. International  Jurnal  of  Computing  Science  and Applied Mathematics, Vol. 2, No. 2.
[13] Mohammad, N.F. (2014),
Unsteady Magnetohydrodynamics Convective Boundary Layer Flow  Past  A  Sphere  in  Viscous  and  Micropolar Fluids . Universiti Teknologi Malaysia. Malaysia.