## Analisis Kinerja MIMO Masif dengan Teknik Precoding Maximum Ratio Transmission

## Rusdha Muharar 1
Abstract —Channel State Information (CSI) at the base stations obtained via the uplink training is an important factor in cellular and  multiuser  Multi-Input  Multi-Output  (MIMO)  communi- cation networks. In massive MIMO cellular networks with pilot- based training, the most adopted approach is to employ the same set of orthogonal training symbols  in each cell. This is called the full-pilot reuse (FPR) scheme.  In this paper, we consider the less- common  but  a  more  practical  approach  where  each  cell  uses different sets of orthogonal training symbols and call this scheme as the Different Orthogonal Pilot (DOP) sequences.  In particular, we  focus  on  the  downlink  performance  of  massive  MIMO networks with the Maximum Ratio Transmission (MRT) precoder at the base stations. The analysis is performed in the large system regime where the number of antennas at each base station and the number of users at each cell tend to infinity with a fixed ratio. We obtain a new expression for the Signal to Interference plus Noise Ratio (SINR) in that regime, called the limiting SINR. Numerical simulations show that it can approximate the finite-size systems accurately.  Furthermore,  the  simulations  also  indicate  that  the DOP scheme can give a better SINR and a higher user capacity compared to those of the FPR scheme.
Intisari —Informasi  keadaan  kanal  atau Channel State Information (CSI)  pada Base Station (BS)  yang  diperoleh  saat pelatihan  dalam  transmisi uplink merupakan  faktor  penting dalam komunikasi pada jaringan seluler pengguna jamak ( multi- user ) Multi-Input Multi-Output (MIMO).  Pada  jaringan  seluler MIMO  dengan  jumlah  antena  masif  ( massive MIMO )  dan pelatihan  berbasis  pengiriman  simbol  pilot,  pendekatan  yang paling  sering  diadopsi  adalah  dengan  menggunakan  deretan simbol latih ortogonal yang sama untuk setiap sel. Pendekatan ini dinamakan  dengan Full-Pilot Reuse (FPR).  Pada  makalah  ini dikaji  pendekatan  yang  jarang  digunakan  tetapi  lebih  praktis, yaitu setiap sel menggunakan deretan simbol latih ortogonal yang berbeda  dan  disebut  sebagai  skema Different Orthogonal Pilot sequences (DOP).  Kajian  pada  makalah  ini  berfokus  pada transmisi downlink dengan  teknik precoding Maximum Ratio Transmission (MRT)  pada  BS.  Analisis  kinerja  dilakukan  pada dimensi  tak-hingga  ( large system regime ).  Pada  dimensi  ini, jumlah  antena  dan  jumlah  pengguna  di  setiap  sel  menuju  tak hingga  dengan  rasio  yang  tetap.  Analisis  pada  dimensi  ini menghasilkan persamaan baru untuk SINR, yang disebut dengan limiting SINR.  Hasil  simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa limiting SINR  merupakan  perkiraan  atau  pendekatan ( approximation )  yang  akurat  untuk  SINR  pada  dimensi berhingga. Selain itu, hasil simulasi juga mengindikasikan bahwa
skema DOP dapat menghasilkan SINR dan kapasitas pengguna yang lebih besar dibandingkan dengan skema FPR.
Kata Kunci —  Komunikasi  seluler  pengguna  jamak, Massive MIMO , Maximum Ratio Transmission ,  Analisis  Dimensi  Tak- Hingga, Kapasitas Pengguna.

## I. P ENDAHULUAN
Pengunaan antena jamak pada sisi pengirim dan penerima atau multi-input multi-output (MIMO) pada sistem komunikasi nirkabel  untuk  mendapatkan spectral efficiency yang  tinggi semakin  sering  ditemui,  baik  pada  jaringan Wireless Local- Area Network (WLAN) seperti pada standar IEEE 802.11n dan IEEE 802.11ac, ataupun pada jaringan seluler seperti 4G Long- Term Evolution (LTE).  Salah  satu  faktor  penting  dalam komunikasi  berbasis  MIMO  adalah  tersedianya  informasi kondisi  kanal  atau Channel State Information (CSI)  pada pengirim  dan/atau  penerima.  Informasi  CSI  yang  dapat dieksploitasi dengan baik dapat meningkatkan kapasitas (laju data)  dan  reliabilitas  sistem  komunikasi  MIMO.  Pada komunikasi  MIMO  pengguna  tunggal  ( single-user ), ketersediaan  CSI  pada  sisi  pengirim  dan  penerima  akan meningkatkan kapasitas kanal ( channel capacity ) secara linear sesuai dengan nilai  minimum antara jumlah antena pada sisi pengirim  dan  penerima.  Untuk  sistem  komunikasi  pengguna jamak ( multi-user ) dengan setiap pengguna mempunyai antena tunggal, ketersediaan CSI akan meningkatkan kapasitas kanal secara linear dengan skala yang sesuai dengan nilai minimum antara  jumlah  antena  pengirim  dan  jumlah  pengguna  dalam jaringan.  Bila  informasi  CSI  tidak  tersedia  dan  bila  setiap pengguna mempunyai jumlah antena dan distribusi fading yang sama,  maka  komunikasi  MIMO  pengguna  jamak  tidak memberikan  keuntungan  apa  pun.  Dengan  kata  lain, komunikasi MIMO pengguna tunggal adalah mode komunikasi yang optimal.
Pada tahun 2010, diperkenalkan sebuah konfigurasi MIMO yang dikenal dengan MIMO masif ( massive MIMO) [1]. Pada konfigurasi  ini, Base Station (BS)  mempunyai  antena berukuran kecil dengan jumlah yang masif, yaitu dalam orde ratusan.  Makalah  tersebut  juga  menunjukkan  bahwa  dengan penggunaan antena berjumlah masif, efek fast-fading dari kanal nirkabel dan efek derau dari penerima menjadi tidak signifikan atau  menghilang.  Akibatnya,  laju  data  akan  meningkat  dan hanya  dibatasi  oleh  sebuah  fenomena  yang  disebut  dengan kontaminasi pilot ( pilot contamination ) [1], [2]. Konfigurasi ini berhasil  menarik  perhatian  yang  sangat  besar  di  kalangan peneliti  komunikasi  nirkabel  dan  juga  diusulkan  sebagai kandidat lapisan fisik ( physical layer ) untuk standar jaringan 5G  [3]˗[5].  Lebih  jauh  lagi,  hasil  penelitian  menunjukkan bahwa bila teknik pengolahan multisel dilakukan secara cerdas dan  bila  kondisi  matriks covariance dari  kanal  ( channel
1 Dosen, Jurusan Teknik Elektro dan Komputer, Fakultas Teknik, Universitas Syiah Kuala, Jl. Syech Abdul Rauf no. 7, Darussalam, Banda Aceh, Indonesia, 23111 (tlp: 0651-7554336; e-mail: r.muharar@unsyiah.ac.id)
covariance matrix )  pengguna  penyebab  interferens  bersifat independen  secara  statistik,  maka  kapasitas  kanal  akan meningkat tanpa batas [6]. Dengan kata lain, efek kontaminasi pilot tidak lagi menjadi faktor penghalang.
Sama  halnya  dengan  jaringan  MIMO  konvensional, konfigurasi MIMO masif juga membutuhkan CSI. Informasi ini diperoleh  melalui  proses  pelatihan  ( training )  pada  transmisi uplink. Pada proses ini, para pengguna mengirimkan deretan simbol pilot ( pilot symbols ) kepada BS. Kemudian, BS akan melakukan  proses  estimasi  kanal  dari  setiap  pengguna  yang berada di dalam sel tersebut. Hasil estimasi kanal inilah yang merupakan  representasi  dari  CSI.  Kebanyakan  literatur  yang mengkaji  jaringan  MIMO  masif  menggunakan  skema Full Pilot Reuse (FPR)  dengan  strategi  setiap  sel  menggunakan deretan pilot  simbol  (bersifat  ortogonal)  yang  sama.  Sebagai contoh, skema ini digunakan untuk melakukan analisis kinerja MIMO masif pada transmisi uplink dengan filter linear pada sisi penerima [7]. Analisis lebih jauh dengan skema ini untuk transmisi uplink dan downlink dengan  melibatkan  pengaruh korelasi kanal dan penggunaan berbagai jenis filter penerima (transmisi uplink ) dan precoder (transmisi downlink ) terdapat pada [8].
Skema alternatif yang jarang dikaji dalam literatur MIMO masif adalah dengan menggunakan deretan simbol pilot yang berbeda di setiap sel [1], yang disebut pada makalah ini dengan skema DOP. Walaupun skema ini tidak memberikan laju data yang lebih baik dibandingkan dengan skema FPR, skema DOP memberikan kapasitas pengguna yang lebih baik, seperti yang telah ditunjukkan untuk skenario transmisi data uplink [9], [10]. Kapasitas  pengguna  di  sini  didefinisikan  sebagai  jumlah pengguna  yang  dapat  dilayani  oleh  BS  sehingga Quality of Service (QoS)  dalam  bentuk Signal to Interference to Noise Ratio (SINR)  dari  setiap  pengguna  melebihi  ambang  batas tertentu.
Analisis  kinerja  untuk  jaringan  MIMO  masif  dilakukan dengan mengambil asumsi: jumlah antena pada BS ( 𝑁 ) menuju tak hingga sedangkan jumlah pengguna ( 𝐾 ) memiliki nilai yang berhingga.  Jadi,  beban  sel  ( cell-loading ),  yang  didefinisikan dengan  rasio 𝐾/𝑁 ,  menuju  nilai  nol.  Asumsi  ini  merupakan asumsi  yang  paling  sering  digunakan  dalam  analisis  kinerja jaringan MIMO masif. Akan tetapi, asumsi ini menghasilkan konvergensi  yang  lambat,  sehingga  nilai asymptotic yang diperoleh  mempunyai  akurasi  yang  kurang  baik  sebagai perkiraan kinerja sistem pada dimensi berhingga.
Asumsi lain yang lebih umum ( general ) adalah bila nilai 𝐾 dan 𝑁 secara bersamaan menuju tak hingga, tetapi dengan rasio yang tetap (konstan). Dengan demikian, hasil analisis berlaku untuk  sembarang  nilai  beban  sel.  Dimensi  ini  sering  juga disebut  dengan large system regime dan  telah  digunakan sebelumnya  dalam  analisis  kinerja  sistem Code-Division Multiple Access (CDMA),  sebagai  contoh  [11]˗[13],  dan analisis kinerja sistem MIMO pengguna jamak, sebagai contoh [14]˗[17],  dan  referensi  di  dalamnya.  Perangkat  matematis yang digunakan dalam analisis tersebut berbasis kepada teori matriks acak berdimensi besar atau large random matrices [18]. Aplikasinya dalam  bidang komunikasi dirangkum  pada  [16], [17].
Pada makalah ini, dilakukan analisis kinerja MIMO masif dengan  skema  DOP  pada  transmisi downlink .  Walaupun kapasitas  kanal  dari  transmisi  ini  dapat  dicapai  dengan penggunaan precoder Dirty Paper Coding (DPC) yang bersifat nonlinear,  tetapi  kompleksitas  implementasi  dan  beban komputasi precode r  ini  sangat  tinggi.  Oleh  karena  itu, precoder linear  lebih  sering  digunakan  karena  mempunyai kompleksitas  implementasi  yang  cukup  rendah  bila dibandingkan  dengan  DPC.  Beberapa precoder linear  yang paling  sering  digunakan  dan  dikaji  adalah Maximum Ratio Transmission (MRT), Zero Forcing (ZF),  dan Regularized Zero Forcing (RZF).  Pada  makalah  ini,  dikaji  kinerja  MRT, yang merupakan jenis precoder linear paling sederhana. Kajian untuk precoder linear  yang  lebih  kompleks  merupakan pekerjaan  lanjutan  pada  masa  datang  ( future works ). Selanjutnya, analisis pada makalah ini dilakukan pada dimensi tak hingga dengan nilai 𝐾, 𝑁 → ∞ dan rasio 𝐾/𝑁 yang konstan. Penelitian yang sangat terkait dengan pekerjaan pada makalah telah dilakukan [1], [8]. Seperti yang telah dipaparkan, skenario pada penelitian sebelumnya mencakup skema FPR dan DOP [1]. Akan  tetapi,  analisisnya  dilakukan  pada  dimensi 𝑁 → ∞ dan nilai 𝐾 ∞ (berhingga). Dengan kata lain, beban sel 𝐾/𝑁 pada dimensi tersebut bernilai nol. Berbeda dengan penelitian tersebut,  analisis skema DOP/FPR pada makalah ini dilakukan pada large system regime , yaitu: dimensi 𝐾, 𝑁 → ∞ dan untuk sembarang  nilai  beban  sel.  Oleh  karena  itu,  analisis  pada makalah  ini  merupakan  generalisasi  dari  analisis  pada  [1]. Terkait  dengan  [8],  analisis  kinerja  MIMO  masif  dilakukan pada  dimensi  yang  sama  dengan  makalah  ini,  tetapi  analisis pada  [8]  hanya  berfokus  pada  skema  FPR. Lebih  jauh  lagi, makalah ini dan [8] menggunakan perangkat matematis yang berbeda dalam melakukan analisis pada large system regime. Teknik analisis pada penelitian tersebut menggunakan metode deterministic equivalent [8], sedangkan teknik yang digunakan pada  makalah  ini  bersandar  kepada  transformasi  Stieltjes ( Stieltjes transform )  dari  fungsi  distribusi  nilai eigen ( eigenvalue ). Akan tetapi, kedua teknik ini akan memberikan hasil yang ekuivalen.
Kontribusi dari analisis dan simulasi pada makalah ini dapat dirangkum sebagai berikut: (1) ekspresi/formula baru ( novel ) untuk nilai SINR downlink pada dimensi large system regime dengan menggunakan skema DOP dan teknik precoding MRT; (2) simulasi numerik menunjukkan bahwa limiting SINR yang dihasilkan  dapat  mendekati  atau  memperkirakan  nilai  SINR pada dimensi berhingga dengan akurasi yang sangat baik; dan (3) dengan mengamati distribusi SINR yang diperoleh dengan menggunakan  skema  FPR  dan  DOP,  terlihat  bahwa  skema DOP  berpotensi  menghasilkan  nilai  SINR  dan  kapasitas pengguna yang lebih tinggi dibandingkan skema FPR.

## A. Struktur Makalah
Makalah  ini  mempunyai  struktur  sebagai  berikut.  Bagian selanjutnya  memaparkan  model  jaringan  MIMO  masif  yang digunakan, termasuk proses uplink training dan transmisi data downlink .  Ekspresi  matematis  untuk  SINR  dengan precoder MRT  juga  disajikan  pada  bagian  tersebut.  Bagian  III mempresentasikan  hasil  analisis  kinerja  sistem  pada  dimensi
tak hingga, baik untuk skema DOP maupun FPR. Validasi hasil analisis dilakukan melalui simulasi numerik yang terdapat pada Bagian  IV.  Selain  itu,  kurva  distribusi  SINR  untuk  masing- masing  skema  juga  didiskusikan  pada  bagian  ini.  Bagian  V berisi  kesimpulan  makalah  dan  ditutup  dengan  Bagian Lampiran yang berisi proses pembuktian dari teorema dan lema yang telah dinyatakan sebelumnya pada bagian III.

## B. Notasi
Huruf  kapital  dan  huruf small case yang  tebal  masing- masing digunakan untuk matriks dan vektor. Matriks identitas yang  berukuran 𝑁 𝑁 dan  vektor  kolom  berukuran 𝑁 1 masing-masing dilambangkan dengan 𝐈 dan 𝟎 . Perhitungan trace sebuah matriks menggunakan notasi Tr ⋅ . Selanjutnya, notasi ∥⋅∥ dan 𝔼 ⋅ masing-masing  melambangkan Euclidean norm dan  operator  ekspektasi.  Operator  konjugat, transpose, dan Hermitian transpose masing-masing dilambangkan dengan ⋅ ∗ , ⋅ 𝖳 , dan ⋅ 𝖧 . Sebuah vektor 𝐱 yang mempunyai elemen acak bersifat Circularly Symmetric Complex Gaussian (CSCG) dan  mempunyai  nilai mean nol  dengan  matriks  kovarian 𝚺 dilambangkan 𝐱 ∼ 𝒞𝒩 𝟎, 𝚺 .  Kemudian, ⟶ . . melambangkan almost sure convergence pada variabel acak.

## II. M ODEL SISTEM
Pada  makalah  ini  dikaji  jaringan  seluler  MIMO  masif dengan jumlah sel sebanyak 𝐿 . Setiap sel mempunyai sebuah BS dengan antena sebanyak 𝑁 dan melayani 𝐾 pengguna. Pada model  ini  diasumsikan  bahwa  setiap  sel  mempunyai  jumlah pengguna  yang  sama.  Kasus  jumlah  pengguna  yang  berbeda untuk setiap sel dapat dikembangkan dengan mudah dari model ini. Selanjutnya, vektor kanal antara pengguna ke- 𝑘 pada sel 𝑖 (UE ) dengan BS pada sell 𝑗 , yang dinotasikan dengan 𝐠 ∈ ℂ , diberikan oleh
g kij  ℓ kij h kij dengan 𝐡 ∼ 𝒞𝒩 𝟎, 𝐈 merepresentasikan  koefisien  kanal fast-fading dan ℓ merupakan  koefisien  kanal slow-fading . Lebih  lanjut,  efek shadowing pada  komponen slow-fading diabaikan. Dengan demikian, nilai ℓ hanya bergantung pada jarak  antara  BS 𝑗 dan  UE . Protokol  komunikasi  yang digunakan adalah Time-Division Duplex (TDD) dengan asumsi sifat timbal-balik yang sempurna ( perfect channel reciprocity ) antara kanal uplink dan downlink . Karena fokus dari makalah ini adalah analisis kinerja transmisi downlink , maka transmisi pada satu blok coherence time dengan panjang durasi/simbol 𝑇 dapat  dibagi  ke  dalam  dua  fase.  Fase  pertama  adalah uplink training. Pada  fase  ini,  setiap  pengguna  pada  sebuah  sel mengirimkan simbol pilot/latih kepada BS sel tersebut. Jumlah simbol latih yang dikirimkan adalah sebanyak 𝜏 simbol. Dalam fase  ini,  BS  juga  melakukan  estimasi  kanal  untuk  setiap pengguna  berdasarkan  simbol  latih  yang  dikirim  oleh  setiap pengguna. Kemudian,  BS  membentuk precoder atau  matriks precoding berdasarkan estimasi kanal setiap pengguna. Perlu dicatat  bahwa precoder ini  akan  digunakan  oleh  BS  untuk mengodekan data simbol dari para pengguna pada fase kedua,
yaitu fase transmisi data downlink . Pada fase ini, transmisi data berlangsung dengan durasi T   .
A. Uplink Training
Pada fase uplink training , setiap sel diasumsikan melakukan pelatihan secara tersinkronisasi, yang berarti bahwa setiap sel memulai pelatihan pada waktu dan dengan durasi yang sama. Sebagai  catatan,  asumsi  ini  merupakan  skenario  terburuk karena efek kontaminasi pilot berada pada nilai/titik maksimum. Bila  asumsi  tersebut  tidak  digunakan  atau  proses pelatihan/pengiriman  data  dilakukan  secara  tidak  sinkron, maka  efek  ICI  dapat  diminimalkan  atau  dihilangkan  [1]. Selanjutnya,  simbol  latih  dari  pengguna 𝑘 pada  sel 𝑖 pada waktu 𝑡 dinotasikan  dengan 𝑞 , .  Dengan  demikian,  simbol latih  untuk  pengguna  tersebut  selama  durasi  pelatihan  dapat dibuat dalam bentuk vektor kolom 𝐪 𝑞 , , 𝑞 , , … , 𝑞 , 𝖳 yang berdimensi 𝜏 . Vektor simbol latih antar pengguna dalam satu sel bersifat ortonormal, yaitu:
𝐪 𝖧 𝐪 1, 𝑘 𝑚 0, 𝑘 𝑚.
Perlu  dicatat  bahwa  karena  jumlah  pengguna  adalah 𝐾 dan vektor  latih  bersifat  ortonormal,  maka  durasi  atau  jumlah simbol latih harus memenuhi syarat 𝐾 𝜏 . Bila syarat ini tidak terpenuhi, maka akan ada dua pengguna atau lebih yang akan menggunakan vektor latih/simbol yang sama. Akibatnya, tidak semua  vektor  kanal  pengguna  dapat  diestimasi  oleh  BS  saat proses  pelatihan.  Sebaliknya,  bila 𝐾 𝜏 dan  bila  setiap pengguna harus mempunyai vektor latih yang berbeda, maka vektor latih antar pengguna tidak lagi bersifat ortonormal dan kasus ini berada di luar cakupan makalah ini. Selanjutnya,  jika setiap  pengguna  mengirimkan  simbol  latih  dengan  daya 𝜚 , maka sinyal yang diterima pada BS untuk 𝜏 simbol latih adalah
𝐘 𝜚 𝐠 𝐪 𝖳 𝐖
dengan 𝐘 ∈ ℂ . Elemen 𝐘 pada baris ke- 𝑛 dan kolom ke- 𝑡 menyatakan  sinyal  yang  diterima  oleh  antena  BS  ke- 𝑛 pada waktu 𝑡 .  Elemen  matriks 𝐖 berisi  derau  pada setiap  elemen antena BS selama waktu pelatihan. Lebih jauh lagi, elemen 𝐖 berupa bilangan kompleks acak yang independen dan dengan distribusi  yang  sama,  yaitu  distribusi  Gaussian dengan mean nol dan varian atau daya 𝜎 . Dapat dikatakan bahwa derau pada antena BS adalah berupa white noise . Tanpa  mengurangi  keumuman  ( generality )  hasil  yang diperoleh, fokus diarahkan pada pengguna 𝑘 pada sel 𝑖 , dengan notasi  UE .  Untuk  melakukan  estimasi  kanal  UE ,  BS terlebih  dahulu  mengorelasikan  matriks  observasi 𝐘 dengan vektor latih untuk UE , yaitu 𝐪 , sehingga diperoleh (1).
𝐘 𝐪 ∗ 𝑝 𝐡 𝑝 𝐡 𝐪 𝖳 𝐪 ∗ 𝐰 (1)
dengan 𝐰 𝐖 𝐪 ∗ ∼ 𝒞𝒩 𝟎, 𝜎 𝐈 dan 𝑝 𝜚 ℓ . Estimasi  vektor  kanal 𝐡 dengan  metode minimum mean- squared error (MMSE) menghasilkan (2).
𝐡
𝜐 𝑝 𝐡 𝑝 𝑝 𝐡 𝐪 𝖧 𝐪 𝐰 𝑝 (2)
dengan
𝜐 𝑝 𝑝 ∑ ∑ 𝑝 |𝐪 𝖧 𝐪 | 𝜎 . (3)
Dapat dengan mudah dicek bahwa vektor estimasi kanal 𝐡 terdistribusi 𝒞𝒩 𝟎, 𝜐 𝐈 . Dengan  kata  lain,  setiap  elemen dari vektor 𝐡 mempunyai distribusi yang sama dengan mean 0 dan  varian 𝜐 ,  dan  juga  independen  (secara  statistik)  satu sama lain. Dengan memanfaatkan sifat metode estimasi MMSE, vektor kanal dapat dimodelkan sebagai (4).
𝐡 𝐡 𝐡 (4)
dengan 𝐡 adalah  vektor  kesalahan  estimasi  kanal  ( channel estimation error )  yang  mempunyai  distribusi 𝒞𝒩 𝟎, 𝜖 𝐈 dengan 𝜖 1 𝜐 . Di sini perlu dicatat bahwa kedua vektor 𝐡 dan 𝐡 adalah  independen  secara  statistik.  Fenomena utama  dari uplink training pada  jaringan  multisel  adalah kontaminasi  pilot.  Hal  ini  juga  terjadi  pada  jaringan  MIMO masif, baik pada skema FPR maupun DOP. Pada skema DOP, dengan  melihat  vektor  estimasi  kanal  (2),  fenomena kontaminasi pilot dapat dilihat pada suku kedua di dalam tanda kurung ( parentheses ). Suku ini mengandung vektor kanal dan simbol/pilot  latih  dari  semua  pengguna  sel  lain.  Pada  skema FPR, kontaminasi pilot hanya  berasal dari  pengguna  sel  lain yang  menggunakan  pilot/simbol  latih  yang  sama.  Efek kontaminasi pilot ini juga hadir pada varian dari elemen vektor estimasi  kanal,  yaitu  pada  suku  kedua  dari  penyebut  (3). Implikasinya  adalah  semakin  besar  efek  atau  energi kontaminasi pilot, maka semakin kecil nilai 𝜐 . Hal ini berarti kualitas vektor estimasi kanal semakin menurun. Perlu dicatat juga bahwa besaran 𝜐 bersifat acak. Keacakan ini bersumber dari  komponen slow-fading 𝑝 dari  UE  maupun  dari komponen slow-fading semua  pengguna  sel  lain,  yaitu 𝑝 , untuk semua indeks pengguna 𝑚 dan indeks sel 𝑗 𝑖 . Selain itu  keacakan  juga  bersumber  dari  simbol/pilot  latih 𝐪 dan 𝐪 . Analisis pada dimensi tak-hingga, yang dilakukan pada Bagian III, akan mengurangi sumber keacakan di atas. Karakteristik lain dari vektor estimasi kanal adalah korelasi antar  hasil  estimasi.  Pada  skema  FPR,  vektor  estimasi  kanal dari dua pengguna berbeda dalam satu sel bersifat independen secara statistik. Jadi, korelasi antar vektor estimasi kanal hanya terjadi pada pengguna yang memiliki vektor latih yang sama. Pada  skema  DOP,  korelasi  ini  terjadi  bahkan  pada  para pengguna dalam sel yang sama. Jika ℎ adalah element ke- 𝑛 dari vektor estimasi kanal 𝐡 , korelasi antara vektor estimasi kanal dari dua pengguna yang berbeda pada sel 𝑖 adalah
𝔼 ℎ ℎ
∗ 𝜌 , 𝑛 𝑚,
0 𝑛 𝑚 dengan
𝜌 , 𝜐 𝜐 𝑝 𝑝 𝐪 𝖧 𝐐 𝐏 𝐐 𝖧 𝐪
dan 𝐐 𝐪 , 𝐪 , ⋯ , 𝐪 , 𝐏 diag 𝑝 , 𝑝 , ⋯ , 𝑝 . Pada  bagian  analisis  dimensi  tak-hingga  ditunjukkan  bahwa nilai korelasi ini akan menuju nol. Akibatnya, pada dimensi ini vektor  estimasi  kanal  antar  pengguna  dalam  sel  yang  sama dapat dianggap independen secara statistik.

## B. Transmisi Data Downlink
Pada fase kedua, BS di setiap sel melakukan transmisi data kepada penggunanya. Antena ke- 𝑛 dari BS 𝑖 mentransmisikan simbol 𝑥 . Simbol-simbol  ini  dapat  disusun  dalam  vektor simbol yang dapat dinyatakan dengan 𝐱 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 𝖳 . Perlu  diperhatikan  bahwa  BS  mengirimkan 𝑁 simbol  untuk setiap slot waktu ( time slot ), sedangkan setiap sel mempunyai 𝐾 pengguna.  Untuk  mengatasi  hal  ini,  BS  menggunakan precoder untuk setiap pengguna, yang dilambangkan dengan 𝐟 . Seperti yang telah dipaparkan di bagian pendahuluan, BS pada setiap sel menggunakan jenis precoder linear. Bila data untuk  pengguna 𝑘 pada  sel 𝑖 dinotasikan  dengan 𝑑 , maka vektor  simbol  yang  ditransmisikan  oleh  BS 𝑖 dapat  ditulis sebagai berikut.
𝐱 𝜉 𝐟 𝑑 𝜉 𝐅 𝐝 (5)
dengan 𝐅 𝐟 , 𝐟 , … , 𝐟 𝖳 dan 𝐝 𝑑 , … , 𝑑 𝖳 masing- masing  adalah  matriks precoding dan  vektor  data  pengguna untuk sel 𝑖 . Perlu dicatat bahwa matriks 𝐅 berukuran 𝑁 𝐾 . Dalam kajian ini, BS menggunakan precoder linear yang paling sederhana,  yaitu  MRT. Precoder ini  bersifat  egois  ( selfish ) karena precoder untuk  masing-masing  pengguna  berusaha memaksimalkan  energi  dari  sinyal/data  yang  dimaksudkan untuk  pengguna  yang  dimaksud  dengan  mengabaikan interferens yang diakibatkan bagi pengguna lain. Seperti yang telah dinyatakan sebelumnya, BS hanya mempunyai estimasi dari informasi kanal antara BS dan masing-masing pengguna. Oleh karena itu, BS membentuk precoder MRT berdasarkan vektor estimasi kanal dari masing-masing pengguna. Formulasi precoder MRT untuk UE  adalah
𝐟 𝐡 .
Dengan demikian, matriks precoding untuk para pengguna sel 𝑖 adalah 𝐅 𝐇 . Selanjutnya,  data/simbol  untuk  setiap pengguna  diasumsikan  diambil  dari  buku  kode  ( codebook ) Gaussian dengan daya ternormalisasi 𝔼 ∥ 𝑑 ∥
1 . Asumsi lain adalah data untuk setiap pengguna dianggap independen secara  statistik  atau 𝔼 𝑑 𝑑 ∗ 0 untuk 𝑘 𝑚. Dengan demikian, 𝔼 𝐝 𝐝 𝖧 𝐈 . Konstanta 𝜉 dipilih untuk memenuhi kekangan daya ( power constraint ) 𝔼 ∥ 𝐱 ∥ 𝑃 , dengan 𝑃 adalah  total  daya  pada  transmisi downlink .  Jadi, 𝜉 diberikan oleh (6).
𝜉 𝑃 Tr 𝐅 𝐅 𝖧 𝑃 Tr 𝐇 𝐇 𝖧 . (6)
Dari transmisi BS 𝑖 dan juga interferens dari sel lain, sinyal yang diterima oleh UE  adalah (7).
𝑟 ℓ 𝐡 𝖳 𝐱 ℓ 𝐡 𝖳 𝐱 𝑧 (7)
dengan 𝑧 ∼ 𝒞𝒩 0, 𝜎 adalah  derau  pada  penerima UE . Dengan menggunakan (5), sinyal (8) dapat ditulis ulang dengan
𝑟 𝜉 ℓ 𝐡 𝖳 𝐡 𝑑 𝜉 ℓ 𝐡 𝖳 𝐡 𝑑 𝜉 ℓ 𝐡 𝖳 𝐡 𝑑 𝑧 .
Suku  pertama  di  sebelah  kanan  adalah  sinyal  yang diperuntukkan  atau  diinginkan  ( desired signal )  untuk UE . Suku  kedua  adalah  interferens  dari  sesama  pengguna  dalam satu  sel  atau Intra-Cell Interference (ICI).  Suku  berikutnya adalah interferens dari para pengguna sel lain atau Other-Cell Interference (OCI). Untuk keperluan penerimaan yang koheren ( coherent reception ),  UE  dianggap  mempunyai  informasi yang sempurna untuk 𝜉 ℓ 𝐡 𝖳 𝐡 . Dengan proses decoding pengguna  tunggal  ( single-user decoding )  dan  dengan menganggap  interferens  sebagai derau,  laju  ergodik  ( ergodic rate ) efektif untuk UE  adalah
𝑅 1 𝜏 𝑇 𝔼 log 1 𝛾 (8)
dapat dicapai ( achievable ) dengan
𝛾 𝜉 ℓ |𝐡 𝖧 𝐡 | 𝜉 ℓ 𝐼 ∑ 𝜉 ℓ 𝑂 , 𝜎 (9)
adalah  SINR  untuk  UE . Pada  penyebut 𝛾 , suku 𝐼 ∑ |𝐡 𝖧 𝐡 | adalah  daya  ICI  yang  disebabkan  oleh estimasi  vektor  kanal 𝐡 dan 𝑂 , ∑ |𝐡 𝖧 𝐡 | merepresentasikan daya OCI yang disebabkan komponen fast- fading dari para pengguna sel 𝑗.
Perhitungan laju ergodik (8) pada dimensi sistem berhingga (nilai 𝐾 dan 𝑁 berhingga) sulit dilakukan. Hal ini dikarenakan keacakan berasal dari dua sumber, yaitu komponen fast-fading dan slow-fading . Perlu diingat kembali bahwa ekspektasi pada (8)  dilakukan  terhadap  semua  komponen  dari  kedua  jenis fading tersebut.
Tujuan  utama  dari  makalah  ini  adalah  melakukan perhitungan tersebut pada dimensi sistem menuju tak-hingga ( large system regime ), yaitu 𝐾, 𝑁 → ∞ dengan rasio 𝐾/𝑁 yang tetap. Analisis pada dimensi ini akan menghilangkan keacakan yang diakibatkan oleh komponen fast-fading . Dengan demikian, sumber keacakan pada akhirnya hanya berasal dari komponen slow-fading .  Perangkat  matematis  yang  digunakan  dalam analisis berasal dari teori matriks acak berukuran besar ( large random matrices ). Hasil analisis pada dimensi ini memberikan perkiraan/pendekatan yang akurat untuk SINR (9).
III. A NALISIS PADA DIMENSI TAK - HINGGA
Analisis sistem pada dimensi tak-hingga melibatkan matriks acak berdimensi besar dan bertumpu pada distribusi nilai eigen
(spektrum)  dari  matriks  tersebut.  Pada  dimensi  berhingga, distribusi nilai eigen direpresentasikan oleh empirical spectral distribution (e.s.d.) dengan definisi berikut [17].
Definisi 1 .  Jika 𝐗 adalah  matriks  Hermitian  yang  berukuran 𝑁 𝑁 ,  maka empirical spectral distribution dari 𝐗 ,  dengan notasi 𝐹 𝐗 , adalah
𝐹 𝐗 𝑥 1 𝑁 1 𝑥
dengan 𝜆 , 𝜆 , … , 𝜆 adalah nilai eigen dari matriks 𝐗 . Fungsi indikator 1 𝑥 berlaku untuk himpunan 𝐴 , dengan 1 𝑥 1 jika 𝑥 ∈ 𝐴 dan 1 𝑥 0 jika 𝑥 ∉ 𝐴 . Penerapan  pertama  dari  konsep  di  atas  adalah  untuk menganalisis  varian  dari  elemen  vektor  estimasi  kanal  yang didefinisikan  pada  (2).  Seperti  yang  telah  dijelaskan sebelumnya, 𝜐 mengandung  suku  kontaminasi  pilot. Kontaminasi  dari  sel 𝑗 dapat  ditulis  kembali  dengan 𝐪 𝖧 𝐐 𝐏 𝐐 𝖧 𝐪 . Analisis  pada  dimensi  tak-hingga  akan mengekploitasi sifat ortonormal dari vektor penyusun matriks 𝐐 dan e.s.d. dari matriks 𝐏 . Dengan asumsi bahwa e.s.d. 𝐏 menuju limiting spectral distribution (l.s.d) dengan notasi 𝐹 𝐏 pada  dimensi  tak-hingga,  hasil  analisis  pada  dimensi  ini dirangkum oleh Lema berikut.
Lema 1 .  Jika 𝐹 𝐏 adalah l.s.d. dari 𝐏 , maka pada large system regime, yaitu 𝐾, 𝜏 → ∞ dan 𝐾 𝜏 ⁄ → 𝜅 , 𝜐 𝜐 ⟶ . . 0 , dengan 𝜐 𝑝 𝑝 𝜅 ∑ 𝔼 𝖯 𝜎 (10)
dan 𝖯 adalah variabEL acak dengan fungsi distribusi 𝐹 𝐏 . Pembuktian Lema 1 ada pada Lampiran A.
Dari (10) dapat dilihat bahwa nilai 𝜐 dipengaruhi oleh nilai rata-rata  interferens 𝔼 𝖯 dari  sel  lain  pada  saat  proses pelatihan  atau uplink training .  Sangat  jelas  terlihat  bahwa semakin besar nilai rata-rata interferens ini, semakin kecil nilai 𝜐 dan berarti bahwa kualitas estimasi kanal semakin menurun. Hal lain yang dapat diamati dari (10) adalah sumber keacakan hanya  berasal  dari  komponen slow-fading UE , yaitu 𝑝 . Keacakan  yang  disebabkan  oleh  simbol  latih  dan  komponen slow-fading dari pengguna sel lain telah hilang. Representasi kualitas kanal asymptotic 𝜐 (10) mempunyai pengaruh penting terhadap nilai SINR. Hal ini tercermin pada nilai  SINR  pada  dimensi  tak-hingga  yang  merupakan  hasil utama dari makalah ini dan dinyatakan pada teorema berikut.
Teorema 1 . Jika e.s.d. dari matriks 𝐏 menuju limit l.s.d. 𝐹 𝐏 secara hampir pasti  ( almost surely ),  maka  pada dimensi  tak- hingga, 𝐾, 𝑁, 𝜏 → ∞ dengan 𝐾/𝑁 → 𝛼 dan 𝐾/𝜏 → 𝜅 , 𝛾 𝛾 ⟶ . . 0 dengan 𝛾 adalah limiting SINR untuk UE  yang dinyatakan oleh
𝛾 ℓ 𝜐 𝛼 𝑉 ∑ ℓ ∑ ℓ 𝑝 (11)

## dengan
𝑉 𝔼 𝖯 𝖯 𝜅 ∑ 𝔼 𝖯 𝜎 (12) dan
𝛹 𝔼 𝖯 𝖯 𝜅 ∑ 𝔼 𝖯 𝜎 . (13)
Pembuktian Teorema 1 ada di Lampiran B.
Berdasarkan  hasil  tersebut  dan  dengan  menggunakan teorema dominated convergence dan  teorema  pemetaan kontinu ( continous mapping ), maka laju ergodik efektif adalah
𝑅 1 𝜏 𝑇 𝔼 log 1 𝛾 ⟶ . . 0 (14)
dengan 𝜏 𝜏/𝐾 dan 𝑇 𝑇/𝐾. Ekspektasi  pada  (14) dilakukan  untuk  variabel  acak ℓ (komponen slow-fading ), untuk 𝑗 1,2, … , 𝐿 . Dengan mengamati persamaan untuk 𝛾 , dapat  dilihat  bahwa  kualitas  estimasi  kanal UE (atau 𝜐 ) yang  baik  akan  meningkatkan  daya  sinyal  yang  diinginkan (lihat  bagian  pembilang 𝛾 ).  Akibatnya,  nilai limiting SINR juga semakin meningkat. Selanjutnya, komponen slow-fading untuk UE , yaitu ℓ ,  memengaruhi daya sinyal untuk UE dan  juga  nilai  daya  ICI.  Dengan  melihat  pembuktian  pada Lampiran B, terutama (15) dan (17), nilai daya ICI asymptotic adalah 𝑃 ℓ . Jadi, ℓ mempunyai  pengaruh  positif  pada kedua komponen SINR di atas. Dengan membagi pembilang dan penyebut (11) dengan ℓ , dapat ditarik kesimpulan bahwa semakin besar nilai ℓ , maka semakin baik pula nilai SINR. Berbeda  dengan  daya  ICI  yang  hanya  dipengaruhi  oleh ℓ , komponen  daya  OCI  selain  dipengaruhi  oleh ℓ juga dipengaruhi  oleh 𝑉 dan 𝛹 .  Secara  spesifik,  dengan  melihat pembuktian di Lampiran B, daya OCI asymptotic dapat ditulis sebagai berikut.
ℓ 1 𝜅 𝛼 𝑝 𝛹 𝑉 .
Dari persamaan daya OCI tersebut dapat dilihat dengan jelas bahwa ℓ (atau 𝑝 ) mempunyai efek yang negatif terhadap SINR karena nilai ℓ atau 𝑝 yang besar akan meningkatkan daya OCI. Efek yang sama juga dihasilkan dari rasio 𝛹 /𝑉 , yang mempunyai kaitan erat dengan kualitas vektor estimasi kanal  dari  sel  penghasil  OCI.  Dengan  kata  lain,  kualitas estimasi kanal yang baik pada sel lain (penyumbang interferens) akan menghasilkan efek negatif terhadap para pengguna di sel penerima interferens. Fenomena ini terkait dengan sifat selfish dari precoder MRT yang digunakan oleh BS di setiap sel. Faktor lain yang memengaruhi nilai SINR adalah lamanya proses latih 𝜏 dan beban sel ( cell-loading ) 𝛼 . Dengan melihat nilai 𝜅 𝐾/𝜏, dapat diambil kesimpulan bahwa semakin lama proses  latih,  yang  berimplikasi  bahwa  nilai 𝜏 semakin  besar, maka nilai 𝜅 semakin kecil. Hal ini mengakibatkan nilai SINR semakin  baik.  Akan  tetapi,  bila  ditinjau  dari  segi  nilai  laju ergodik (8) atau (14), nilai 𝜏 yang besar akan menurunkan laju
ergodik pengguna. Jadi, perubahan nilai 𝜏 menghasilkan trade- off antara  nilai  SINR  dan  laju  ergodik.  Dengan  demikian, penentuan nilai optimal untuk 𝜏 yang memaksimalkan nilai laju ergodik  merupakan  bahasan  lain  yang  cukup  penting. Sedangkan  untuk  nilai 𝛼 ,  dapat  dicek  dengan  mudah  bahwa nilai beban yang sel yang tinggi akan menurunkan nilai SINR. Bila  jumlah  antena 𝑁 dianggap  tetap,  maka  nilai 𝛼 yang meningkat  selaras  dengan  jumlah  pengguna 𝐾 yang  semakin besar. Karena jumlah pengguna di setiap sel dianggap sama, maka nilai 𝐾 yang semakin besar akan meningkatkan daya ICI dan OCI. Akibatnya, nilai SINR mengalami penurunan.
Suku terakhir pada bagian penyebut (11) adalan inversi dari Signal to Noise Ratio (SNR) downlink ,  yang  dapat didefinisikan sebagai rasio 𝑃 /𝜎 .  Dapat dilihat dengan jelas bahwa nilai SNR downlink yang tinggi memberikan efek positif kepada nilai SINR.
Sebagai  pembanding  kinerja  skema  DOP,  di  bawah  ini disajikan hasil analisis dimensi tak-hingga untuk FPR dengan precoder MRT. Untuk skema FPR, varian dari estimasi kanal untuk UE , dengan notasi 𝜐 , diberikan oleh
𝜐 𝑝 ∑ 𝑝 𝜎
Hasil di atas juga ekivalen dengan hasil yang diperoleh pada [8],  tetapi  dengan  menggunakan  teknik  yang  berbeda  dalam analisis  dimensi  tak-hingga.  Berbeda  dengan  (2),  efek kontaminasi  pilot  hanya  berasal  dari  pengguna  sel  lain  yang menggunakan simbol pilot yang sama dengan pengguna UE . Analisis  dimensi  tak-hingga  tidak  dapat  dilakukan  pada 𝜐 , karena  suku  kontaminasi  pilot  melibatkan  jumlah  pengguna (satu  pengguna  per  sel)  yang  berhingga,  yaitu 𝐿 1. Jadi, sumber keacakan di sini berasal dari 𝐿 variabel acak 𝑝 , 𝑗 1, … , 𝐿 . Fakta berbeda ditunjukkan oleh skema DOP karena 𝜐 yang  dihasilkan  dari  analisis  dimensi  tak-hingga  hanya mempunyai  satu  sumber  acak,  yaitu 𝑝 .  Selanjutnya,  jika 𝐕 diag 𝜐 , 𝜐 , … , 𝜐 dan 𝐹 𝐕 adalah l.s.d. dari 𝐕 , maka limiting SINR pengguna UE  dengan skema FPR adalah
𝛾 ℓ 𝜐
𝛼𝔼 𝖵 ∑ ℓ ∑ ℓ 𝔼 𝖵
dengan 𝖵 adalah  variabel  acak  dengan fungsi  distribusi 𝐹 𝐕 . Karena keterbatasan tempat dan teknik pembuktian yang sama dengan  (11),  maka  pembuktian  untuk  hasil  di  atas  tidak ditampilkan pada makalah ini.
Dapat  dilihat  bahwa 𝛾 memiliki  struktur  yang  mirip dengan  (11).  Perbedaannya  terletak  pada  komponen  yang berhubungan dengan kontaminasi pilot, yaitu 𝛹 pada (11) dan 𝜐 /𝑝 pada 𝛾 . Pada skema DOP, efek dari kontaminasi pilot 𝛹 berupa nilai rata-rata 𝜐 /𝑝 dari semua pengguna di sel 𝑗 . Sedangkan pada skema FPR, kontaminasi pilot hanya berasal dari pengguna yang mempunyai simbol/pilot latih yang sama  dengan  pengguna  UE . Implikasinya  adalah  pada probabilitas tertentu, SINR yang dihasilkan oleh skema DOP
lebih tinggi dari SINR yang dihasilkan oleh skema FPR. Lebih jauh  lagi,  karena  sumber  keacakan  pada  skema  DOP  lebih sedikit  dibanding  dengan  skema  FPR,  maka  distribusi  SINR dari  skema  DOP  sedikit  lebih  terjal  ( steep )  dibandingkan dengan distribusi SINR dari skema FPR. Akibatnya, walaupun kedua skema menghasilkan SINR rata-rata yang hampir sama, skema DOP berpotensi memberikan kapasitas pengguna yang lebih besar. Hal ini telah dikaji untuk transmisi uplink dengan menggunakan matched filter pada sisi penerima (BS) [9], [10]. Hal  lain  yang  dapat  dilihat  dari  persamaan  untuk 𝛾 adalah hilangnya rasio 𝜅/𝛼 pada bagian OCI. Jadi, berdasarkan model sistem yang dikaji, variabel 𝜏 tidak memberikan efek langsung terhadap 𝛾 .

## IV. S IMULASI N UMERIK
Untuk  simulasi  numerik,  model  jaringan  seluler  MIMO masif  yang  digunakan  adalah  sebagai  berikut.  Jaringan mempunyai 7 sel yang berbentuk heksagon. Tanpa mengurangi keumuman  hasil,  bagian  dalam  bentuk  heksagon  ini diasumsikan  berbentuk  lingkaran  dengan  radius  sel ternormalisasi bernilai 0,9 . BS di setiap sel terletak di tengah dan jarak ternormalisasi antar BS adalah 2 . Path-gain antara pengguna dan BS menggunakan model bounded distance path- loss .  Bila 𝛿 adalah  jarak  antara UE  dengan  BS 𝑖 dan 𝜁 adalah  eksponen path-loss ,  maka  dengan  model path-loss tersebut, path-gain dinyatakan  dengan ℓ 1 𝛿 . Parameter  simulasi  yang  digunakan  adalah 𝐾 20, 𝜏 30 ( 𝜅 2/3 ), dan 𝜁 3,7 . Pada percobaan pertama, antena pada BS berjumlah 50 sampai 500 dengan selang 50. Jumlah vektor kanal yang dibangkitkan adaah 500 dengan magnitude setiap koefisien  kanal  mempunyai  fungsi  distribusi  Rayleigh.  SNR uplink training dan transmisi downlink masing-masing diatur pada  nilai 0 dB  dan 10 dB.  Gbr.  1  menunjukkan  SINR  dari salah satu pengguna pada sel yang terdapat di tengah, baik yang didapatkan pada dimensi berhingga (9) maupun pada dimensi tak-hingga (11).  Hasil  simulasi  menunjukkan bahwa limiting SINR memberikan pendekatan yang akurat untuk SINR rata- rata pada dimensi berhingga.
Gbr.  1  SINR  rata-rata  yang  didapatkan  analisis  pada  dimensi  berhingga (Simulation)  dan limiting SINR (LSA).
Pada  bagian  III  telah  dipaparkan  laju  ergodik  setiap pengguna  sebagai  fungsi  SINR  dan  pengaruh  parameter pelatihan 𝜏 atau 𝜅 𝐾/𝜏 terhadap laju ergodik. Dengan nilai 𝐾 yang tetap, Gbr. 2 mengilustrasikan pengaruh nilai 𝜏 atau 𝜅 𝐾/𝜏 terhadap  laju  total  ergodik  ( ergodic sum rate )  per pengguna  pada  sebuah  sel  (sel  tengah)  yang  didefinisikan sebagai berikut.
𝑅 sum, lim → 1 𝐾 𝑅 .
Nilai 𝜅 diambil  dari  0,2  sampai  dengan  1  dengan  interval 0,025.  Sedangkan  nilai  daya uplink training untuk  setiap pengguna dianggap bernilai sama. Pada simulasi numerik untuk Gbr. 2, diambil dua nilai daya uplink training , yaitu 𝜚 0 dB dan 𝜚 10 dB. Untuk kedua nilai daya latih tersebut, dapat dilihat laju total ergodik per pengguna tertinggi diperoleh saat 𝜅 1 atau 𝜏 𝐾 . Dengan mengingat kembali kekangan untuk 𝜏, yaitu 𝜏 𝐾 ,  maka  jumlah  simbol  latih  optimal  untuk mendapatkan  laju  total  ergodik  yang  maksimal  adalah sebanyak  jumlah  pengguna 𝐾. Seperti  yang  telah  dipaparkan sebelumnya  bahwa  terdapat trade-off antara  nilai 𝜏 dan  laju ergodik,  nilai 𝜏 yang  besar  akan  meningkatkan  kualitas informasi CSI, yaitu vektor estimasi kanal, tetapi mengurangi durasi  transmisi  data downlink .  Hasil  simulasi  pada  Gbr.  2 mengindikasikan  bahwa  strategi  yang  optimal  adalah mendapatkan durasi transmisi data downlink yang maksimum walaupun  kualitas  CSI  yang  didapatkan  tidak  terlalu  bagus. Strategi ini juga telah dibuktikan optimal pada kasus transmisi data uplink dengan penerima MMSE untuk komunikasi MIMO pengguna jamak sel tunggal [19]. Pembuktian nilai optimal 𝜅 secara  teoretis  untuk  skenario  pada  makalah  ini  merupakan pekerjaan lanjutan yang penting untuk dikaji.
Gbr. 2 Pengaruh nilai 𝜿 terhadap laju total ergodik per pengguna pada sel 1 (sel tengah pada konfigurasi jaringan seluler heksagon) dengan nilai daya uplink training 0 dB dan 10 dB.
Seperti yang telah dibahas sebelumnya, limiting SINR, baik pada skema DOP maupun FPR, bersifat acak dengan sumber keacakan  adalah  dari  komponen slow-fading .  Gbr.  3 menunjukkan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari limiting
SINR  untuk  kedua  skema  dengan  nilai 𝜅 1 .  Dapat  dilihat bahwa kedua skema mempunyai fungsi distribusi yang hampir sama.  Bila  dihitung  ekspektasi limiting SINR  dengan menggunakan  fungsi  distribusi  tersebut,  kedua  skema  akan menghasilkan nilai limiting SINR rata-rata yang hampir sama. Dengan  demikian,  laju  ergodik  kedua  skema  juga  bernilai hampir  sama.  Observasi  ini  sesuai  dengan  penjelasan  pada Bagian III. Hal lain yang dapat diamati adalah fungsi distribusi DOP  lebih  terjal  saat  nilai  SINR  lebih  besar  dari 4 dB.  Bila ambang-batas SINR berada pada nilai ini, maka skema DOP berpotensi menghasilkan kapasitas pengguna yang sedikit lebih besar dibandingkan dengan skema FPR.
Gbr. 3 Distribusi limiting SINR untuk skema DOP dan FPR dengan 𝜿 𝟏 .
Gbr. 4 Distribusi limiting SINR untuk skema DOP dan FPR dengan 𝜿 𝟎, 𝟓 .
Hal  lain  yang  diamati  adalah  pengaruh  nilai 𝜅 terhadap distribusi limiting SINR. Gbr. 4 adalah fungsi distribusi kedua skema  untuk 𝜅 0,5 dengan  memperbesar  nilai 𝜏. Di  sini, skema DOP menunjukkan keunggulannya, yaitu memberikan probabilitas SINR yang lebih besar dibandingkan skema FPR. Penyebabnya  adalah  nilai 𝜏 tidak  memengaruhi  nilai limiting SINR  skema  FPR.  Hal  sebaliknya  terjadi  pada  skema  DOP,
yaitu nilai 𝜏 yang semakin besar akan meningkatkan kualitas estimasi  kanal.  Akibatnya,  nilai limiting SINR  juga  semakin meningkat.

## V. K ESIMPULAN
Makalah ini memaparkan analisis kinerja transmisi downlink dari jaringan seluler MIMO masif dengan menggunakan teknik precoding MRT pada BS. Proses uplink training menggunakan skema  DOP  dengan  strategi  sel  mempunyai  deretan  simbol pilot  yang  berbeda.  Analisis  dilakukan  pada large system regime ,  yaitu  dimensi  dengan  jumlah  antena  BS  dan  jumlah pengguna menuju tak-hingga dengan rasio konstan. Hasil yang diperoleh adalah ekspresi baru untuk limiting SINR dari skema DOP.  Simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa limiting SINR merupakan  perkiraan  yang  akurat  untuk  nilai  SINR  pada dimensi berhingga. Dengan membandingkan fungsi distribusi dari skema DOP dan FPR, terlihat bahwa skema DOP dapat menghasilkan SINR yang lebih besar dibandingkan skema FPR. Selain itu, pada nilai ambang batas SINR tertentu, skema DOP berpotensi memberikan kapasitas pengguna yang lebih besar.

## L AMPIRAN A
Langkah pembuktian Lema 1 berfokus pada suku kedua dari penyebut 𝜐 . Suku tersebut dapat ditulis dengan
𝐪 𝐐 𝐏 𝐐 𝐪 .
Karena 𝐪 independen  secara  statistik  dengan 𝐐 untuk indeks 𝑗 𝑖 , maka [13], [20]
𝐪 𝐐 𝐏 𝐐 𝐪 1 𝜏 Tr 𝐐 𝐏 𝐐 ⟶ . . 0.
Dengan sifat trace dari matriks, yaituTr 𝐀𝐁 Tr 𝐁𝐀 dan sifat ortonormal matriks 𝐐 , maka suku yang melibatkan trace menjadi  Tr 𝐏 . Dengan  demikian,  saat 𝐾, 𝜏 → ∞, nilai Tr 𝐏
Tr 𝐏 menuju  limit 𝜅 𝔼 𝑃 , dengan 𝑃 adalah variabel acak dengan fungsi distribusi 𝐹 𝐏 . Oleh sebab itu, 𝜐 𝜐 ⟶ . . 0 , dengan 𝜐 didefinisikan oleh (10).

## L AMPIRAN B
Langkah-langkah dalam pembuktian Teorema 1 melibatkan perhitungan nilai 𝛾 pada dimensi tak-hingga. Persamaan (9) dapat ditulis ulang sebagai berikut.
𝛾 𝜉 ℓ 𝐴 𝜉 ℓ 𝐼 ∑ 𝜉 ℓ 𝑂 , 𝜎
dengan
𝜉 𝑃 Tr 𝐇 𝐇 𝖧 𝐴 1 𝑁 |𝐡 𝖧 𝐡 |
𝐼 1 𝑁 | 𝐡 𝖧 𝐡 |
𝑂 , 1 𝑁 | 𝐡 𝖧 𝐡 |
Asumsi  yang  digunakan  dalam  perhitungan  pada  dimensi tak-hingga ( asymptotic ) dari masing-masing elemen penyusun SINR 𝛾 di atas adalah tersedianya l.s.d. dari matriks 𝐏 untuk semua nilai 𝑖 dan 𝑗 .
A. Analisis untuk 𝜉
Suku ini dapat ditulis dengan 𝜉 𝑃 /𝑐 , dengan
𝑐 1 𝑁 Tr 𝐇 𝐇 𝖧 1 𝑁 1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 .
dan 𝑎 diperoleh dengan menggunakan sifat trace dari matriks. Berdasarkan Lema 1 pada [11],
1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 𝜐 𝑁 Tr 𝐈 ⟶ . . 0.
Karena 𝜐 𝜐 ⟶ . . 0 dan Tr 𝐈 𝑁 , maka
max 1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 𝜐 ⟶ . . 0. (15)
Dengan menggunakan Lema 2.5 pada [13] dan definisi untuk 𝜐 , maka 𝑐 𝛼𝑉 ⟶ . . 0 ,  dengan  definisi 𝑉 diberikan  oleh (12). Sebagai konsekuensinya,
𝜉 𝑃 𝛼𝑉 ⟶ . . 0. (16)

## B. Analisis untuk 𝐴
Berdasarkan model kanal (4), yaitu 𝐡 𝐡 𝐡 , maka 𝐴 dapat ditulis kembali sebagai berikut.
𝐴 1 𝑁 ∥ 𝐡 ∥ 1 𝑁 |𝐡 𝖧 𝐡 | 2 𝑁 ∥ 𝐡 ∥ ℜ 𝐡 𝖧 𝐡 .
Dari (15) diperoleh,
max 1 𝑁 ∥ 𝐡 ∥ 𝜐 ⟶ . . 0.
Dari Lema 1 pada [11] dan dari fakta bahwa 𝐡 dan 𝐡 independen secara statistik, maka
max 1 𝑁 |𝐡 𝖧 𝐡 | ⟶ . . 0.
Dengan demikian, dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa suku kedua dan suku ketiga dari 𝐴 menuju (limit) nol secara almost sure . Jadi,
𝐴 𝜐 ⟶ . . 0.
(17)

## C. Analisis untuk 𝐼
Suku ini dapat ditulis kembali sebagai berikut,
𝐼 1 𝑁 1 𝑁 |𝐡 𝐡 | 1 𝑁 1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 𝐡 𝖧 𝐡 .
Dari (2), untuk pengguna 𝑘 𝑘′ , vektor 𝐡 dan vektor 𝐡 independen secara statistik. Oleh karena itu,
1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 𝐡 𝖧 𝐡 1 𝑁 Tr 𝐡 𝐡 𝖧 ⟶ . . 0.
Dengan menggunakan sifat trace matriks,  Tr 𝐡 𝐡 𝖧 𝐡 𝖧 𝐡 . Dengan  perhitungan  yang  sama  dengan  (15), diperoleh
max , 1 𝑁 |𝐡 𝐡 | 𝜐 ⟶ . . 0.
Dengan Lema 2.5 pada [13] dan definisi untuk 𝜐 , diperoleh
𝐼 𝛼𝑉 ⟶ . . 0. (18)
D. Analisis untuk 𝑂 ,
Suku ini dapat ditulis ulang sebagai berikut,
𝑂 , 1 𝑁 𝑂 , dengan 𝑂 , |𝐡 𝖧 𝐡 |. Dari  (2)  dapat  dilihat  bahwa 𝐡 pada 𝑂 , mengandung vektor kanal 𝐡 . Untuk dapat mengaplikasikan  Lema  1  [11],  dilakukan  dekomposisi  untuk 𝐡 , yaitu
𝐡 𝐡 𝜐 𝑝 𝑝 𝐡 𝐪 𝖧 𝐪 .
Pada  dekomposisi  di  atas,  vektor 𝐡 tidak  mengandung vektor kanal yang berhubungan dengan UE , yaitu 𝐡 . Jadi, vektor 𝐡 dan 𝐡 independen  secara  statistik.  Dengan menggunakan  model  di  atas, 𝑂 , dapat  ditulis  sebagai berikut
𝑂 , 𝑂 , 𝑝 𝑂 , 2 𝑝 ∥ 𝐡 ∥ ℜ 𝑂 , dengan 𝑂 , 1 𝑁 |𝐡 𝖧 𝐡 | 𝑂 , 𝜐 𝑝 1 𝑁 ∥ 𝐡 ∥ |𝐪 𝖧 𝐪 | 𝑂 , 𝜐 𝑝 1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 𝐪 𝖧 𝐪 .
Dari Lema 1 [11], dapat diperoleh bahwa
max 𝑂 , 1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 ⟶ . . 0.
Dapat  diperiksa  bahwa  setiap  elemen  dari  vektor 𝐡 adalah variable acak kompleks yang terdistribusi sama, yaitu Gaussian dan independen satu sama lain dengan mean 0. Dapat ditunjukkan  bahwa  varian  dari  setiap  elemen 𝐡 pada dimensi tak-hingga menuju limit 𝜐 . Dengan demikian,
max 𝑂 , 𝜐 ⟶ . . 0.
Kemudian,  dengan  melakukan  penjumlahan  untuk  semua indeks 𝑚, diperoleh
1 𝑁 𝑂 , 𝛼𝑉 ⟶ . . 0. (19)
Untuk 𝑂 , , dari Lema 1 [11], diperoleh
1 𝑁 ∥ 𝐡 ∥ 1 ⟶ . . 0 dan max 𝜏|𝐪 𝖧 𝐪 | 1 ⟶ . . 0.
Maka, dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa
max 𝑂 , 𝜅 𝛼 𝜐 𝑝 ⟶ . . 0.
Dengan  menjumlahkan  suku 𝑂 , untuk  semua  nilai 𝑚 dan dengan menggunakan definisi untuk 𝜐 , dihasilkan
1 𝑁 𝑂 , 𝜅𝛹 ⟶ . . 0. (20)
dengan 𝛹 didefinisikan  oleh  (13).  Beralih  ke  suku  terakhir, yaitu 𝑂 , , penggunaan Lema 1 pada [11] menghasilkan
max 1 𝑁 𝐡 𝖧 𝐡 ⟶ . . 0 dan max 𝐪 𝖧 𝐪 ⟶ . . 0.
Dengan  demikian, max 𝑂 , ⟶ . . 0 .  Penjumlahan  suku  ini untuk semua nilai 𝑚 menghasilkan
1 𝑁 ∥ 𝐡 ∥ 𝑂 , ⟶ . . 0. (21)
Dengan  menggabungkan  hasil-hasil  dari  (19),  (20),  dan  (21) diperoleh,
𝑂 , 𝛼𝑉 𝜅𝑝 𝛹 ⟶ . . 0. (22)
Kemudian, dengan menggabungkan hasil perhitungan pada dimensi tak-hingga untuk setiap suku dari SINR (9), diperoleh nilai limiting SINR  (11).  Dengan  demikian,  pembuktian Teorema 1 telah lengkap.
R EFERENSI
[1]  T.L.  Marzetta,  “Noncooperative  Cellular  Wireless  with  Unlimited Numbers  of  Base  Station  Antennas,” IEEE Transactions on Wireless Communications , Vol. 9, No. 11, hal. 3590-3600, 2010.
[2]  L. Lu, G.Y. Li, A.L. Swindlehurst, A. Ashikhmin, dan R. Zhang, “An Overview of Massive MIMO: Benefits and Challenges,” IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing , Vol. 8, No. 5, hal. 742-758, Oct. 2014.
[3]  F. Boccardi, R.W. Heath, A. Lozano, T.L. Marzetta, dan P. Popovski, “Five Disruptive Technology Directions for 5G,” IEEE Communications Magazine , Vol. 52, No. 2, hal. 74–80, Feb. 2014.
[4]  G.  Fettweis  dan  S.  Alamouti,  “5G:  Personal  Mobile  Internet  Beyond What Cellular Did to Telephony,” IEEE Communications Magazine , Vol. 52, No. 2, hal. 140–145, Feb. 2014.
[5]  C.-X. Wang, F. Haider, X. Gao, X.-H. You, Y. Yang, D. Yuan, H.M. Aggoune, H. Haas, S. Fletcher, dan E. Hepsaydir, “Cellular Architecture and Key Technologies for 5G Wireless Communication Networks,” IEEE Communications Magazine , Vol. 52, No. 2, hal. 122–130, 2014.
[6]  E.  Björnson,  J.  Hoydis,  dan  L.  Sanguinetti,  “Massive  MIMO  Has Unlimited Capacity,” IEEE Transactions on Wireless Communications , Vol. 17, No. 1, hal. 574-590, 2018.
[7]  N. Krishnan, R.D. Yates, dan N.B. Mandayam, “Uplink Linear Receivers for Multi-Cell Multiuser MIMO with Pilot Contamination: Large System Analysis,” IEEE Trans. Wireless Commun. , Vol. 13, No. 8, hal. 4360- 4373, 2014.
[8]  J. Hoydis, S. ten Brink, dan M. Debbah, “Massive MIMO in the UL/DL of Cellular Networks: How Many Antennas Do We Need?,” IEEE J. Sel. Areas Commun. , Vol. 31, No. 2, hal. 160–171, 2013.
[9]  A.  Sivamalai  dan  J.S.  Evans,  “On  Uplink  User  Capacity  for  Massive MIMO Cellular Networks,” Proc. IEEE Globecom , 2016, hal. 1-7.
[10]  R.  Muharar  dan  J.  Evans,  “Performance  Analysis  of  Massive  MIMO Networks  with  Random  Unitary  Pilot  Matrices,” Proc. IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC) , Barcelona, Spain, 2018, hal. 1-6.
[11]  J. Evans dan D.N.C. Tse, “Large System Performance of Linear Multiuser Receivers  in  Multipath  Fading  Channels,” IEEE Transactions on Information Theory , Vol. 46, No. 6, hal. 2059–2078, Sep. 2000.
[12]  D.N.C.  Tse  dan  S.V.  Hanly,  “Linear  Multiuser  Receivers:  Effective Interference,  Effective  Bandwidth  and  User  Capacity,” IEEE Transactions on Information Theory , Vol. 45, No. 2, hal. 641–657, Mar. 1999.
[13]  M.J.M.  Peacock,  “Random  Matrix  Theory  Analysis  of  Fixed  and Adaptive Linear Multiuser Receivers,” PhD Thesis, University of Sydney, Sydney, Australia, 2005.
[14]  R. Muharar dan J. Evans, “Downlink Beamforming with Transmit-Side Channel  Correlation:  A  Large  System  Analysis,” IEEE International Conference on Communications (ICC) , 2011, hal. 1–5.
[15]  S. Wagner, R. Couillet, M. Debbah, dan D.T.M. Slock, “Large System Analysis of Linear Precoding in Correlated MISO Broadcast Channels Under  Limited  Feedback,” IEEE Transactions on Information Theory , Vol. 58, No. 7, hal. 4509-4537, Jul. 2012.
[16]  A.M.  Tulino  dan  S.  Verdu,  “Random  Matrix  Theory  and  Wireless Communications,” dalam Foundations and Trends in Communications and Information Theory , Vol. 1, No. 1, Boston, USA: Now Publishers Inc., 2004, hal. 1-182.
[17]  R.  Couillet  dan  M.  Debbah, Random Matrix Methods for Wireless Communications , Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2011.
[18]  Z.D. Bai dan J.W. Silverstein, Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices , Berlin, Germany: Springer, 2010.
[19]  R. Muharar dan J. Evans, “Optimal Training for Time-Division Duplexed Systems  with  Transmit  Beamforming,” Australian Communications Theory Workshop (AusCTW), 2011, hal. 158-163.
[20]  M.  Debbah,  W.  Hachem,  P.  Loubaton,  dan  M.  de  Courville,  “MMSE Analysis of Certain Large Isometric Random Precoded Systems,” IEEE Transactions on Information Theory , Vol. 49, No. 5, 1293-1311, 2003.