Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 17 Nomor 1  2017, 17 – 22 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669

## HUBUNGAN MODEL CAMPURAN TERKENDALA EKSPLISIT DAN IMPLISIT
( Relationship of Explicitly and Implicitly Constrained Mixed Model )

## Yuliani Setia Dewi

## Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember
Abstract. In  linear  models  with  independent  observations,  parameter  constraints  are usually  handled  by  transforming  the  explicitly  constrained  model  to  implicitly constrained  model,  that  takes  the  form  of  reduced-parameter.    In  this  paper  will  be proofed that in mixed linear models (can used to analyze longitudinal data), explicitly constrained  mixed  model  equivalent  to  the  implicitly  constrained  mixed  model  with using general solution for linear equality constrains on the parameter
Keywords: Constraint, Explicitly Constrained Model, Implicitly Constrained Model, Linear Mixed Model
MSC2020: 62J05

## 1. Pendahuluan
Sebuah studi melibatkan 27 anak, 16 laki-laki dan 11 perempuan. Dari masing-masing anak  tersebut  diukur  jarak  (mm)  dari  pusat  bawah  otak  ke  celah  bagian  belakang  rahang atas.  Pengukuran dilakukan pada umur 8, 10, 12 dan 14 tahun.  Yang ingin diketahui dari studi tersebut adalah : pertama, apakah dengan bertambahnya waktu rata-rata jarak tersebut lebih  besar  laki-laki  daripada  perempuan?;  kedua,  apakah  rata-rata  tingkat  perubahannya sama  untuk  laki-laki  dan  perempuan.    Untuk  mengetahui  hal-hal  tersebut,  model  linier umum  dapat  kita  gunakan. e Xβ Y   ,  dengan Y adalah  vektor  jarak  (mm)  dari  pusat bawah  otak  ke  celah  bagian  belakang  rahang  atas, X adalah  matriks  rancangan  yang mengandung variabel bebas X 1 :umur dan X 2 : jenis kelamin,  adalah vektor parameter tak diketahui  dan e adalah  vektor  galat.    Akan  tetapi  model  tersebut  bukanlah  model  yang memadai  apabila  kita  ingin  melakukan  pendugaan  untuk  masing-masing  subyek  (anak) tertentu atau kita tahu bahwa terdapat keragaman yang besar pada respon yang tidak dapat dijelaskan oleh variabel bebas yang ada.  Untuk hal-hal seperti ini kita dapat memodifikasi model  tersebut  menjadi  model  linier  campuran e Zd Xβ Y    dengan Y adalah  vektor jarak (mm) dari pusat bawah otak ke celah bagian belakang rahang atas, X adalah matriks rancangan  yang  mengandung  variabel  bebas X 1 :umur  dan X 2 :  jenis  kelamin, Z adalah matriks  rancangan  yang  berkaitan  dengan  efek  acak,  yang  mengandung  variabel  bebas umur ,  adalah  vektor  parameter  efek  tetap, d adalah  vektor  parameter  efek  acak  dan e
adalah  vektor  galat.  Jadi  model  linier  campuran  merupakan  suatu  model  yang  selain mempunyai  efek  tetap  dalam  model,  juga  terdapat  efek  acak  di  dalamnya.    Model  ini kadang-kadang juga dinamakan model multilevel atau model berhirarki.
Dalam  model  linier  terkadang  terdapat  hubungan  linier  di  antara  parameter,  misalnya hubungan  tersebut  dinyatakan  dengan R 1  = r dan R 2 d = 0 ,  dengan R 1 dan R 2 adalah matriks  diketahui  dan r adalah  vektor  diketahui.    Hubungan  ini  merupakan  bagian  dari model yang dinamakan batasan model atau kendala untuk mendapatkan solusi suatu model.
Berkaitan  dengan  hal-hal  tersebut  di  atas,  tulisan  ini  akan  membahas  model  linier  umum campuran  (General  Linear  Mixed  Model)  dengan  kendala  persamaan  linier,  yaitu  akan ditunjukkan bahwa model campuran terkendala eksplisit ekuivalen dengan model campuran terkendala implisit, dengan menggunakan solusi umum kendala persamaan linier parameter.

## 2. Hasil dan Pembahasan

## 2.1. Model Linier Umum Terkendala
Misal model linier umum dinyatakan sebagai berikut : e Xβ Y   dengan Y adalah vektor respon yang berukuran N x 1 dan e ~N N ( 0 ,  2 I N ).  Asumsikan X adalah matriks rancangan berukuran N x p dengan r( X )=p,  adalah vektor parameter tak diketahui berukuran p x 1. Kendala  linier  parameter  dinyatakan  dengan R  = r ,  dengan R adalah  matriks  diketahui berukuran c x p yang berpangkat c (c  p) dan r adalah vektor diketahui berukuran c x 1.
Dalam model linier dengan observasi-observasi bebas, kendala parameter biasanya diatasi dengan transformasi model  terkendala eksplisit  ke dalam model terkendala implisit   yang mengambil  bentuk  suatu  parameter  tereduksi,  model  tak  terkendala  (Searle,1971  ;  Rao, 1973; Hocking, 1985)

## 2.2. Model Campuran Terkendala Eksplisit
Model campuran dengan kendala persamaan linier parameter untuk i  {1, 2,…,k} dengan k adalah jumlah unit sampel bebas (subyek) dapat dinyatakan sebagai berikut:
i i i i i e d Z X
Y     (1)
dengan kendala R 1  = r dan R 2 d i = 0 , asumsi R 1  = r merupakan persamaan konsisten (lihat Searle, 1982 untuk diskusi  kekonsistenan). Y i adalah suatu  vektor n i x 1 dari n i observasi pada  subyek  ke-i, X i adalah  matriks  rancangan  diketahui  berukuran  n i x  p  berpangkat  p untuk subyek ke-i. Vektor  adalah parameter efek tetap tak diketahui berukuran p x 1 , Z i adalah  matriks  rancangan  subyek  ke-i  diketahui  yang  berkaitan  dengan  efek  acak d i berukuran  n i x  q  (berpangkat  q). d i adalah  vektor  parameter  acak  individu  tak  diketahui
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 17 Nomor 1  2017, 17 – 22 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669
berukuran  q  x  1, e i adalah  vektor  n i x  1  dari  komponen  galat  acak, R 1 adalah  matriks diketahui  c 1 x p berpangkat c 1 <p, R 2 adalah matriks diketahui  berukuran c 2 x q berpangkat c 2 <q, dan r adalah vektor c 1 x 1 diketahui.
Asumsi untuk model campuran di atas adalah d i ~N(0,D) ; e i ~N(0,  2 Vi);
             i i i V D e d V 2 0 0 
V (.)  adalah  varian  kovarian.  Matriks  kovarian  untuk  galat  acak  adalah  2 V i =  var( e i ) mempunyai  ukuran  n i xn i ,  yang  pada  umumnya  dan  juga  dalam  tulisan  ini  2 V i =  2 I .  2 adalah  skalar,  parameter  varian  subyek.  Matriks  kovarian  untuk  koefisien  efek  acak D =var( d i ) ,mempunyai dimensi qxq.  Dengan menggunakan asumsi-asumsi tersebut, V( Y i ) dapat dinyatakan dengan :
i n i i i i i i i i i i i i i i i i i i I DZ Z e Z d Z e d Z e d Z X e d Z X 2 ' ) var( ' ) var( ) var( ) var( ) var( ) var( ) var( ) var(                

## 2.3. Model Campuran Terkendala Implisit
Model  campuran  terkendala  implisit  untuk i  {1,  2,…, k }  dengan k adalah  jumlah  unit sampel bebas (subyek) dapat dinyatakan sebagai berikut:
i R R R R R e d Z X Y i i i i     (2)
Y Ri adalah  suatu  vektor  n i x  1  dari  ni  observasi  pada  subyek  ke-i, X i adalah  matriks rancangan diketahui berukuran n i x (p-c 1 ) berpangkat (p-c 1 ) untuk subyek ke-i. Vektor  R adalah parameter efek tetap takdiketahui berukuran (p-c 1 ) x 1, Z Ri adalah matriks rancangan subyek ke-i diketahui yang berkaitan dengan efek acak d Ri berukuran n i x (q-c 2 ) (berpangkat q). d Ri adalah vektor parameter acak individu takdiketahui  berukuran (q-c 2 ) x 1, e i adalah vektor n i x 1 dari komponen galat acak.
Asumsi  untuk  model  campuran  terkendala  implisit  adalah d Ri ~N( 0 , D R )  ; e i ~N( 0 ,  2 R I i ), sehingga              i R R I D e d V i R i 2 0 0 
V(.)  adalah varian  kovarian, matriks  kovarian  untuk  galat  acak  2 R I i = var( e i ) mempunyai ukuran n i xn i . Matriks kovarian untuk koefisien efek acak D R =var( d i ) , mempunyai dimensi (q-c 2 )x(q-c 2 ).  2 R adalah skalar, parameter varian subyek.

## 2.4. Transformasi    Model  Campuran  Terkendala  Eksplisit  ke  Model  Campuran Terkendala Implisit
Pendugaan  parameter  untuk  model  campuran  terkendala  dapat  dilakukan  melalui transformasi   model  campuran terkendala eksplisit  yang didefinisikan  pada (1) ke model campuran terkendala implisit (2) dengan menggunakan solusi umum dari R 1  = r dan R 2 d i = 0 untuk semua i  {1, 2,…,k}.
Teorema : Model  campuran  terkendala  implisit  (2)  ekuivalen  dengan  model  campuran terkendala eksplisit (1).
Lemma :  Pada model yang didefinisikan pada (1), jika R 1 mempunyai p kolom dan R 1 + adalah  matriks  kebalikan  umum  dari R 1 ,  maka  persamaan  konsisten R 1  = r mempunyai solusi :
1 1 1 1 ) ( h I R R r R       (3)
untuk  beberapa  vektor  sembarang h 1 yang  berukuran  p  (untuk  bukti lemma ini lihat Searle,1982)
Penguraian nilai singular R 1 dapat dinyatakan sebagai berikut :   , 1 1 1 1 0 Q P R  
dengan P 1 (c 1 xc 1 )  dan Q 1 (pxp)  adalah  ortonormal  dan  1 (c 1 x  c 1 )  adalah matriks  diagonal nilai  eigen  tak  nol  (positif)  dari R 1 R 1 ’dan R 1 ’R 1 (Searle,  1982).    Dan  matriks  kebalikan Moore Penrose dari R 1 adalah ' 1 1 1 11 1 P Q R     dengan Q 11 (p xc 1 ) didefinisikan dengan   12 11 1 Q Q Q  , Q 12 adalah  matriks  berukuran  p  x  (p-c 1 ).    Matriks R 1 + dikenal  sebagai matriks kebalikan umum Moore Penrose dari R 1 . Dengan mensubtitusikan ' 1 1 1 11 P Q   untuk R 1 + pada (2.4.1) dan menetapkan  R = Q 12 ’h 1 , maka :
R 12 1 1 1 11 β Q r ' P Δ Q β    (4)
Dari lemma, solusi untuk d i dapat dinyatakan sebagai berikut:
2i 2 2 i I)h R (R d    (5)
Dengan cara yang sama seperti di atas, penguraian nilai singular untuk R 2 dapat diperoleh sebagai berikut :   ' 2 2 2 2 Q 0 Δ P R  dengan P 2 (c 2 xc 2 ) dan Q 2 (qxq) matriks orthogonal dan  2 (c 2 xc 2 )  adalah matriks diagonal nilai eigen tak nol (positif) dari R 2 ’R 2 dan R 2 R 2 ’ . Dengan menggunakan partisi dari   22 21 2 Q Q Q  , matriks kebalikan umum Moore Penrose dari R 2 dapat  dinyatakan  sebagai ' 2 1 2 21 2 P Q R     .    dengan  mensubtitusikan ' P Δ Q 2 1 2 21 
untuk R 2 + pada (4) dan menetapkan i R h Q d i 2 22 '  , maka:
i R i d Q d 22  (6)
Dari (4) dan (6) untuk i  {1,2,…,k}, maka kita peroleh :
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 17 Nomor 1  2017, 17 – 22 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669
i R 22 i R 12 i 1 1 1 11 i i e d Q Z β Q X r ' P Δ Q X Y i     
Apabila Y Ri , X R i , dan Z Ri didefinisikan dengan
r R X Y r P Q X Y Y i i R i        1 1 1 1 11 ' i i , (7)
12 Q X X i R i  ,
(8)
22 Q Z Z i R i  (9)
maka persamaan di atas sama dengan model campuran terkendala implisit (3), untuk i  {1, 2,…,k}atau i R R R R R e d Z X Y i i i i     .
Hal-hal khusus dari teorema :
a. Hanya  ada  kendala  pada  efek  tetap  dan  tidak  ada  kendala  pada  efek  acak. Dalam  hal  seperti  ini,  persamaan  (9)  dinyatakan  dengan i R Z Z i  ,  untuk persamaan (7) dan (8) tetap sama.
b. Hanya ada kendala pada efek acak dan tidak ada kendala pada efek tetap.  Untuk hal  seperti  ini,  persamaan  (7)  dinyatakan  dengan i Y Y i R  dan  persamaan  (8) dinyatakan dengan i X X i R  , untuk persamaan (9) tetap sama.
Uraian-uraian  di  atas  memperlihatkan  bahwa  penduga  parameter  pada  model campuran terkendala eksplisit (1)dapat  diperoleh dengan menggunakan penduga dari model campuran terkendala  implisit dengan bantuan matriks Q 12 , Q 22 dan R 1 + , yaitu
R 12 1 β Q r R β ˆ ˆ    ; ' Q D Q D 22 R 22 ˆ ˆ  dan
i R 22 i d Q d ˆ ˆ  .Dari teorema serta bukti di atas,
maka  dapat  disimpulkan  bahwa  model  linier  umum  campuran  terkendala  (1)  dapat ditransformasi ke dalam model campuran terkendala implisit yang mengambil bentuk tak terkendala (2) (model campuran parameter tereduksi) atau dengan kata lain bahwa model  campuran  terkendala  eksplisit  ekuivalen  dengan  model  campuran  terkendala implisit (Edwards, et al, 2001).

## 3. Kesimpulan
Dengan menggunakan pendekatan solusi umum dari kendala persamaan linier parameter, model  linier  campuran  terkendala  eksplisit  equivalen  dengan  model  linier  campuran terkendala implisit.

## Daftar Pustaka
[1] Edwards et  al. (2001),  Linear  Equality  Constraints  in  the  General  Linear  Mixed Model. Biometrics, 57 : 1185 – 1190
[2] Hocking,  R.R.,  (1985) The  Analysis  of  Linear  Models .    Monterey,  California: Brooks/Cole.
[3] Rao,  C.R.,  (1973), Linear  Statistical  Inference  and  Its  Applications .  New  York  : Wiley.
[4] Searle, S.R., (1971), Linear Models. New York: Wiley
[5] Searle, S.R., (1982), Matrix Algebra Useful for Statistics .  New York:Wiley.