## ANALISIS PERILAKU DINAMIK PADA SEL T CD 𝟒 + DAN SEL T CD 𝟖 +

## TERHADAP INFEKSI MIKOBAKTERIUM TUBERKULOSIS
Alfi Nur Rochmatin, Usman pagalay
Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail : alfinurrochmatin@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Model  matematika  pada  infeksi  mikobakterium  tuberkulosis  yang  berbentuk  sistem  persamaan diferensial  nonlinear  orde  satu.  Penelitian  ini  telah  mengkonstruksi  model  matematika  pada  interaksi makrofag, sel T CD4 + dan  sel T CD8 + dengan  pengaruh usia. Solusi numerik pada model matematika ini dengan menggunakan ODE 45 berbantuan matlab. Analisis kestabilan diamati melalui titik tetap dengan mencari matriks jacobian dan nilai eigen dari titik tetap tersebut, maka dapat diperoleh bahwa semua titik tetap  tersebut tidak stabil. Berdasarkan analisis perilaku dinamik pada sel T CD4 + dan sel T CD8 + pada usia muda dan  usia tua maka akan  diperoleh bahwa  sel T CD4 + dan  sel T CD8 + lebih banyak mempengaruhi populasi bakteri mikobakterium tuberkulosis dari pada saat usia muda.
Kata  kunci : Perilaku  Dinamik,  Analisis  Kestabilan,    Mikobakterium  Tuberkulosis,  Sel  T 𝐂𝐃𝟒 + dan  Sel  T 𝐂𝐃𝟖 +

## ABSTRACT
Mathematics  model  to  mycobacterium  tuberculosis    infections  which  in  from  sistem  of  non  linear differential equation first order. In this Research a mathematical model of interactions of macrophages, 𝐶𝐷4 + T cells and 𝐶𝐷8 + T cells with influence of age has been to construct. Numerical solution of this mathematical model is using ODE 45 assisted MATLAB. Stability analysis refer to  fixed point by finding the Jacobian matrix and the eigenvalues of the fixed point, then it can be obtained that all the fixed points are unstable. Based on the analysis of dynamic behavior of the 𝐶𝐷4 + T cells and 𝐶𝐷8 + T cells in old age we obtain that 𝐶𝐷4 + T cells and 𝐶𝐷8 + T cells affect population of micobacterium tuberculosis bacteria move than it does at young age .
Keywords: Dynamic Behavior , Stabillity Analysis, Mycobacterium Tuberculosis, T cells 𝐶𝐷4 + and T cells 𝐶𝐷8 +

## PENDAHULUAN
Model matematika pada infeksi mikobakterium  tuberkulosis  ini,  menggunakan  7 persamaan  yaitu  berupa  persamaan  diferensial biasa  linier  dan  non  linier.  Dan  menganalisis perilaku model  matematika pada infeksi mikobakterium  tuberkulosis,  penting  dilakukan untuk mengetahui bagaimana model matematika yang  dituangkan  dalam  suatu  sistem  persamaan matematika  tersebut,  menggambarkan  interaksi pada semua variabel.
Dalam pembahasan ini penulis mengkhususkan  pembahasan  pada  perilaku dinamik terhadap infeksi mikobakterium tuberkulosis  dengan pengaruh  usia  yang melibatkan  populasi  sel  T CD4 + dan  sel  T CD8 + .
Dalam  model  ini  konsentrasi  sitokin  diabaikan karena tidak berpengaruh nyata dan juga sitokin bisa  diproduksi  oleh  makrofag  dan  limfosit  T. Namun  kendala  utamanya  adalah  kemungkinan terjadinya ketidakstabilan.

## TEORI DASAR

## 1. Titik Tetap
Misal diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑇 4 𝑑𝑡 = 𝑇 4 ̇ = 𝑓(𝑇 4 ) (1)
Titik  tetap  merupakan  titik  gerak  dari vektor  keadaan  konstan.  Atau  dengan  kata  lain, titik  tetap  merupakan  solusi  yang  tetap  konstan walaupun  waktu  berganti.  Maka  titik  tetap  dari persamaan (1) didapat jika 𝑑𝑇 4 𝑑𝑡 = 0 . Adapun istilah lain  dari  titik  tetap  adalah  titik equilibrium, titik stasioner, fixed point, atau singularity. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh, yaitu:
Misal 𝑓(𝑇 4 ) = 𝑇 4 2 − 𝑇 4 − 6, maka  untuk mencari titik tetapnya yaitu dengan cara 𝑓(𝑇 4 ) = 0 atau  menyamadengankan  nol  pada  turunan pertamanya, sehingga diperoleh:
𝑓(𝑇 4 ) = 𝑇 4 2 − 𝑇 4 − 6 = 0
(𝑇 4 − 3)(𝑥 + 2) = 0
sehingga  diperoleh  titik  tetap  yaitu: 𝑇 4 = 3 atau 𝑇 4 = −2 [1].

## 2. Kestabilan Titik Tetap
Penentuan  kestabilan  titik  tetap  dapat diperoleh  dengan  melihat  nilai-nilai  eigennya, yaitu 𝜆 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 yang  diperoleh  dari persamaan  karakteristik dari 𝐴 , yaitu (𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 . Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut:
1. Stabil  yaitu  suatu  titik  kestabilan 𝑥 ∗ stabil jika  setiap  nilai  eigen  real  adalah  negatif (𝜆 , < 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛) .
2. Tidak  stabil  yaitu  suatu  titik  kestabilan 𝑥 ∗ tidak stabil jika setiap nilai eigen real adalah positif (𝜆 𝑖 > 0, untuk setiap 𝑖) . 3. Pelana ( Saddle ) yaitu suatu titik kestabilan 𝑥 ∗ adalah  pelana  jika  perkalian  dua  nilai  eigen real adalah negatif (𝜆 𝑖 𝜆 𝑗 < 0, untuk setiap 𝑖 dan 𝑗 sembarang ) [2].
3. Sel T 𝐂𝐃𝟒 + dan Sel T 𝐂𝐃𝟖 +
Sel  T CD4 + memainkan  2  peran  utama  di dalam  infeksi  Mikobakterium  Tuberkulosis. Pertama  adalah  dalam  produksi  sitokin  dalam memerintahkan  respon  yang  diperantarai  oleh sel,  kedua  adalah  mengeliminasi  makrofag  yang sudah  terinfeksi    melalui  apoptosis  (Pagalay, 2009:48).  Berdasarkan  fungsinya  Sel  T CD4 + dibedakan  menjadi  2  sub  populasi  yaitu  sel Th1 dan Th2 . Baik Th1 dan Th2 berpengaruh terhadap manifestasi infeksi oleh B I [3].
Sel T CD8 + dapat  juga menghancurkan  sel yang  terinfeksi  bakteri  intraselular.  Sel  T CD8 + mengenal  komples  antigen  MHC-I  yang dipresentasikan  APC.  Molekul  MHC-I  ditemukan pada  semua  sel  tubuh  yang  bernukleus.  Fungsi utama  sel CD8 + yaitu  dapat  menyingkirkan  sel terinfeksi virus, menghancurkan sel ganas dan sel histoin kompatibel yang menimbulkan penolakan pada transplantasi [4].

## 4. Mikobakterium Tuberkulosis
Mikobakterium  Tuberkulosis  merupakan bakteri  yang  dapat  menyebabkan  TB.  Bakteri Mikobakterium  Tuberkulosis  memiliki  panjang sekitar 1 − 4 mikron  dan  lebar  sekitar 0,2 − 0,8 mikron  dengan  bentuk  batang  tipis,  lurus  atau agak bengkok, bergranular atau tidak mempunyai selubung,  tetapi  mempunyai  lapisan  luar  tebal yang terdiri dari lipoid. Mikobakterium Tuberkulosis  adalah  bakteri  yang  berbentuk batang  dan  bersifat  tahan  asam.  Bakteri  ini
pertama  kali  ditemukan  pada  tanggal  24 Maret1882  oleh  Robert  Koch.  Bakteri  ini  juga disebut Baksil Koch [3].
Setiap tahunnya TB menyebabkan kematian 3 juta penduduk dunia dan diperkirakan sepertiga penduduk dunia telah terinfeksi kuman TB, yang dapat berkembang menjadi penyakit TB di  masa  mendatang.  Selain  itu  jumlah  kematian dan  infeksi  TB  yang  sangat  besar,  pertambahan kasus baru TB amat signifikan, mencapat sembilan juta kasus baru setiap tahun.
Penyebaran  penyakit  TB  adalah  melalui udara terkontaminasi Mycobacterium Tuberculosis yang  terhirup  kemudian  masuk  ke dalam  paru-paru,  menyerang  dinding  saluran pernafasan  dengan  membentuk  rongga  yang berisi nanah dan bakteri TB. Apabila penderita TB batuk atau bersin akan ikut mengeluarkan bakteri TB  ke  udara.  Apabila  terhirup  oleh  orang  yang rentan  penyakit  TB,  orang  tersebut  akan  dapat terinfeksi bakteri TB [5].

## 5. Pembentukan Model
Identifikasi  dimulai  dengan  menganalisis pembentukan  model  pada  populasi  bakteri  pada makrofag  yang  terinfeksi.    Diasumsikan  bahwa Bakteri  intraseluler  tumbuh  pada  laju  maksimal 𝛼 𝐼 .  Bakteri  ini  tumbuh  dengan  berkurangnya persamaan Hill, yaitu pada koefisien Hill dan 𝑁𝑀 𝐼 . 𝑁𝑀 𝐼 merupakan  jumlah  bakteri  pada  bakteri intraseluler  yang  sudah  mencapai  kapasitas maksimum 𝑁 dalam  makrofag  yang  terinfeksi. Makrofag  inilah  yang  akan  meledak  dan melepaskan bakteri. Sehingga diperoleh pertumbuhannya yaitu:
𝛼 𝐼 𝐵 𝐼 (1 − 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 ) (2)
Ketika  bakteri  ekstraseluler  masuk  dan makrofag  gagal  untuk  membunuh  bakteri,  maka makrofag resting akan  menjadi  terinfeksi  oleh bakteri  ekstraseluler.  Jumlah  bakteri  pada makrofag  yang  terinfeksi  akan  tergantung  pada populasi  bakteri  ekstraseluler  yang  menginfeksi makrofag resting . Sehingga diperoleh perkembangannya yaitu:
𝑘 1 𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 (3)
Dinamika  bakteri  pada  makrofag  yang terinfeksi  dipengaruhi  oleh  pembebasan  bakteri akibat  lisis  (pecah)  dari  makrofag  terinfeksi. Makrofag inilah yang meledak dan mengakibatkan kerugian  pada  bakteri  pada  makrofag  yang terinfeksi.  Dimana  bakteri  ini  akan  dilepaskan
pada  bakteri  ekstraseluler.  Sehingga  diperoleh perkembangan  meledaknya  makrofag  terinfeksi yaitu:
𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 (4)
Bakteri intraseluler selain dipengaruhi oleh pembebasan  bakteri  akibat  lisis  (pecah)  dari makrofag terinfeksi, pembebasan bakteri intraseluler  dengan  laju 𝑘 3 ,  perkembangannya yaitu:
𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 (5)
Bakteri  intraseluler  juga  dipengaruhi  oleh pembebasan  bakteri  intraseluler  dengan  laju 𝑘 4 , perkembangannya yaitu:
𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 (6)
Dari persamaan (2) − (6) maka persamaan  model  untuk  dinamika  populasi bakteri intraseluler yaitu sebagai berikut:
𝑑𝐵 𝐼 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐼 𝐵 𝐼 (1 − 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 ) +𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 − 𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + ( 𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 +  𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 (7)
Bakteri  di  dalam  makrofag  teraktivasi tumbuh  pada  laju  maksimal 𝛼 𝐴 .  Sehingga diperoleh pertumbuhannya yaitu:
𝛼 𝐴 𝐵 𝐴 (8)
Bakteri  ini  akan  berkurang  karena mengalami  deaktivasi  (penurunan  kemampuan untuk aktif kembali) makrofag teraktifasi dengan laju 𝑘 4 , perkembangannya yaitu:
𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 (9)
Pertumbuhan  bakteri  di  dalam  makrofag teraktivasi juga dipengaruhi adanya pertambahan bakteri pada makrofag yang terinfeksi dengan laju 𝑘 3 , perkembangannya yaitu:
𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 (10)
Akan tetapi, bakteri ini akan hilang karena kematian makrofag aktif secara alami.
𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴 (11)
Dari persamaan (8) − (11) maka persamaan  model  untuk  dinamika  populasi bakteri  di  dalam  makrofag  teraktivasi  yaitu sebagai berikut:
𝑑𝐵 𝐴 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐴 𝐵 𝐴 − 𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 +    𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 − 𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴 (12)
Bakteri  intraseluler  tumbuh  pada  laju maksimal 𝛼 𝐸 .
Sehinggal diperoleh pertumbuhannya yaitu:
𝛼 𝐸 𝐵 𝐸 (13)
Berkurangnya  makrofag resting juga mempengaruhi pertumbuhan dari bakteri ekstraseluler.  Makrofag  ini  akan  menjadi terinfeksi oleh bakteri ketika bakteri ekstraseluler masuk dan makrofag gagal untuk membunuhnya. Sehingga diperoleh perkembangannya yaitu:
𝑘 1 𝑛 3 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 (14)
Kebalikan dari Bakteri intraseluler, dinamika  bakteri  ekstraseluler  dipengaruhi  oleh bakteri yang pecah dari makrofag yang terinfeksi. Dimana    makrofag  akan  meledak  yang mengakibatkan
bertambahnya
bakteri ekstraseluler.
Diperoleh
perkembangan meledaknya makrofag yang terinfeksi yaitu:
𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 (15)
Pengambilan  bakteri  ekstraseluler  oleh makrofag teraktivasi menyebabkan berkurangnya bakteri dengan laju 𝑘 5 , perkembangannya yaitu:
𝑘 5 𝑀 𝐴 𝐵 𝐸 (16
Selain  itu,  bakteri  ekstraseluler  juga tumbuh  disebabkan  oleh  kematian  dari  bakteri aktif dengan pertumbuhannya adalah
𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴 (17)
Dari  persamaan (13) − (17) maka persamaan  model  untuk  dinamika  populasi bakteri ekstraseluler yaitu sebagai berikut:
𝑑𝐵 𝐸 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐸 𝐵 𝐸 − 𝑘 1 𝑛 3 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 + 𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑘 5 𝑀 𝐴 𝐵 𝐸 + 𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴 (18)
Populasi  makrofag  terinfeksi  berasal  dari makrofag resting yang  terinfeksi  oleh  bakteri ekstraseluler,  bakteri  ini  akan  masuk  ke  dalam tubuh  dan  berkembangbiak.  Sehingga  diperoleh pertumbuhannya yaitu:
𝑘 1 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 (19)
Bakteri  yang  masuk  akan  terus  menerus berkembangbiak  di  dalam  makrofag,  ketika jumlah  bakteri  mencapai  kapasitas  maksimal 𝑁 ,
makrofag yang terinfeksi ini akan meledak karena adanya  peningkatan  jumlah  bakteri  dengan perkembangannya yaitu:
𝑘 2 𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 (20)
Makrofag  yang  terinfeksi  akan  menjadi makrofag  aktif  yang  terinfeksi  dengan  laju 𝑘 3 , perkembangannya yaitu:
𝑘 3 𝑀 𝐼 (21)
Makrofag  ini  juga  akan  mengalami deaktivasi  makrofag  aktif  dengan  laju 𝑘 4 , perkembangannya yaitu:
𝑘 4 𝑀 𝐴 (22)
Dan  makrofag  akan  mengalami  kematian secara alami pada laju 𝜇 𝑀𝐼 ,
𝜇 𝑀𝐼 𝑀 𝐼 (23)
Dari persamaan (19) − (23) maka persamaan  model  untuk  dinamika  populasi makrofag terinfeksi yaitu sebagai berikut:
𝑑𝑀 𝐼 𝑑𝑡 = 𝑘 1 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 − 𝑘 2 𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + ( 𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑘 3 𝑀 𝐼 +𝑘 4 𝑀 𝐴 − 𝜇 𝑀𝐼 𝑀 𝐴 (24)
Untuk  populasi  makrofag  teraktivasi, kegagalan  deaktivasi  makrofag  aktif  dengan  laju 𝑘 4 , perkembangannya yaitu:
𝑘 4 𝑀 𝐴 (25)
Makrofag  teraktivasi  juga  berasal  dari makrofag  yang  terinfeksi  dengan  laju 𝑘 3 , perkembangannya yaitu:
𝑘 3 𝑀 𝐼 (26)
Dan  makrofag  akan  mengalami  kematian secara  alami  pada  laju 𝜇 𝑀𝐴 , perkembangannya yaitu:
𝜇 𝑀𝐴 𝑀 𝐴 (27)
Selain  itu,  pada  populasi  makrofag teraktivasi dapat diperoleh dari makrofag resting yang  terinfeksi  oleh  bakteri  ekstraseluler  yang datang dengan laju 𝑘 6 , perkembangannya yaitu:
𝑘 6 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 5 (28)
Dari persamaan (25) − (28) maka persamaan  model  untuk  dinamika  populasi makrofag teraktivasi yaitu sebagai berikut:
𝑑𝑀 𝐴 𝑑𝑡 = −𝑘 4 𝑀 𝐴 + 𝑘 3 𝑀 𝐼 − 𝜇𝑀 𝐴 𝑀 𝐴 +𝑘 6 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 5 (29)
Dinamika  populasi  sel  T CD4 + tergantung pada  aktivasi  makrofag  pada  MHC-II  dengan fungsi 𝜆 𝑧 yang  bergantung  pada  waktu, perkembangannya yaitu
𝜆 𝑧 𝑀 𝐴 (30)
Selain  itu,  dinamika  sel  T CD4 + juga tergantung  pada  poliferasi  sel  T  dengan  laju 𝑘 13 , perkembangannya yaitu
𝑘 13 𝑇 4 (31)
Dan  dihambat  oleh  kematian  sel  T CD4 + sendiri secara alami pada laju 𝜇𝑇 4 , yaitu:
𝜇 𝑇4 𝑇 4 (32)
Dari  persamaan (30) − (32) maka persamaan  model untuk dinamika  populasi  sel  T CD4 + yaitu sebagai berikut:
𝑑𝑇 4 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑧 𝑀 𝐴 + 𝑘 13 𝑇 4 − 𝜇 𝑇4 𝑇 4 (33)
Dan  yang  terakhir  adalah  dinamika populasi  sel  T CD8 + tergantung  dari  makrofag aktif  dan  makroag  yang  terinfeksi  pada  MHC-I dengan  fungsi 𝜆 𝑧 yang  bergantung  pada  waktu, perkembangannya yaitu:
𝜆 𝑥 (𝑀 𝐴 + 𝑀 𝐼 ) (34)
Selain  itu,  dinamika  sel  T CD8 + juga tergantung  pada  poliferasi  sel  T  dengan  laju 𝑘 14 , perkembangannya yaitu
𝑘 14 𝑇 8 (35)
Dan  dihambat  oleh  kematian  sel  T CD8 + sendiri secara alami pada laju 𝜇𝑇 4 , yaitu:
𝜇 𝑇8 𝑇 8 (36)
Dari persamaan (34) − (36) maka persamaan  model untuk dinamika  populasi  sel  T CD8 + yaitu sebagai berikut (Friedman, 2008:3-5):
𝑑𝑇 8 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑥 (𝑀 𝐴 + 𝑀 𝐼 ) + 𝑘 14 𝑇 8 − 𝜇 𝑇8 𝑇 8 (37)

## PEMBAHASAN

## 1. Identifikasi Model Matematika
Berikut  ini  merupakan  gambar  skema perubahan dan interaksi setiap populasi sel pada model matematika, yaitu:
Berikut  ini  merupakan  gambaran  singkat tentang bakteri, makrofag,dan populasi sel T yang telah  disajikan  pada  gambar  (1)  Makrofag didefinisikan  menjadi  tiga  subpopulasi  yaitu: makrofag resting (𝑀 𝑅 ) ,  makrofag  terinfeksi (𝑀 𝐼 ) dan makrofag teraktivasi (𝑀 𝐴 ) . Dan juga populasi sel T hanya meliputi populasi sel T CD4 + (𝑇 4 ) dan sel T CD8 + (𝑇 8 ) .
Gambar (1).  Skema Perubahan dan Interaksi Setiap Populasi pada Model
Sebuah  makrofag resting (𝑀 𝑅 ) menjadi teraktivasi oleh sejumlah bakteri kecil dengan laju 𝑘 6 . Makrofag teraktivasi (𝑀 𝐴 ) mampu mengendalikan  pertumbuhan  mikobakteri  dan penyajian  antigen  ke    sel  T CD8 + (𝑇 8 ) melalui MHC-I  dengan  laju  aktivasi 𝜆 𝑥 (𝑡) .  Sedangkan penyajian antigen ke sel T CD4 + (𝑇 4 ) melalui MHC- II dengan laju  aktivasi 𝜆 𝑧 (𝑡) .
Sebuah  makrofag resting (𝑀 𝑅 ) menjadi makrofag terinfeksi (𝑀 𝐼 ) apabila terinfeksi akibat sejumlah bakteri kecil dengan laju 𝑘 1 . Dan sebuah makrofag  terinfeksi (𝑀 𝐼 ) gagal  mengontrol pertumbuhan mikobakteri dan dapat meledak jika melebihi kapasitas N maksimal, sedangkan untuk penyajian  antigen  ke    sel  T CD8 + (𝑇 8 ) melalui MHC-I dengan laju aktivasi 𝜆 𝑥 (𝑡) .
Makrofag  terinfeksi (𝑀 𝐼 ) dan  makrofag teraktivasi (𝑀 𝐴 ) juga  akan  mengalami  kematian secara  alami  pada  laju  masing-masing 𝜇 𝑀𝐼 dan 𝜇 𝑀𝐴 .  Jumlah  makrofag resting (𝑀 𝑅 ) tetap  tidak berubah  selama  perkembangan  penyakit,  yaitu ketika  beberapa  makrofag resting (𝑀 𝑅 ) menjadi
makrofag  teraktivasi (𝑀 𝐴 ) dan  makrofag terinfeksi (𝑀 𝐼 ) .
Populasi  bakteri  dibagi  menurut  tempat tinggal  mereka  yaitu:  bakteri  intraseluler (𝐵 𝐼 ) , bakteri  di  dalam  makrofag  teraktivasi (𝐵 𝐴 ) dan bakteri  ekstraselular (𝐵 𝐸 ) .  bakteri  di  dalam makrofag  teraktivasi (𝐵 𝐴 ) berada  di  dalam makrofag  yang  teraktivasi (𝑀 𝐴 ) dan  tumbuh dengan laju 𝛼 𝐴 . Bakteri intraseluler (𝐵 𝐼 ) berada di dalam makrofag yang terinfeksi (𝑀 𝐼 ) dan tumbuh dengan  laju 𝛼 𝐼 .  Sedangkan  bakteri  ekstraselular (𝐵 𝐸 ) berada diluar makrofag dengan laju tumbuh 𝛼 𝐸 .

## 2. Interpretasi Model Matematika
Berikut  ini  merupakan  interpretasi  pada persamaan  model  interaksi  bakteri  intraseluler (𝐵 𝐼 ) , bakteri  di  dalam makrofag  teraktivasi (𝐵 𝐴 ) , bakteri  ekstraselular (𝐵 𝐸 ) ,  makrofag  terinfeksi (𝑀 𝐼 ) , makrofag teraktivasi (𝑀 𝐴 ) , sel T CD4 + (𝑇 4 ) dan sel T CD8 + (𝑇 8 ) ditulis sebagai berikut:
𝑑𝐵 𝐼 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐼 𝐵 𝐼 (1 − 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 ) +𝑘 1 𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 − 𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + ( 𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 + 𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 (36)
Perubahan  populasi  bakteri  intraseluler yang  bergantung  waktu  dipengaruhi  oleh beberapa faktor, antara lain: pertumbuhan bakteri pada  laju  maksimal 𝛼 𝐼 kemudian  dikurangi dengan  persamaan  Hill  yang  bergantung  pada daya ledakan bakteri 𝑁 dalam makrofag terinfeksi,  bertambahnya  makrofag resting yang berubah menjadi terinfeksi dengan laju 𝑘 1 , pembebasan  bakteri  intraseluler  akibat  lisis (pecah) dari makrofag yang terinfeksi dengan laju 𝑘 2 yang bergantung pada daya ledak bakteri 𝑁 dan pembebasan  bakteri  intraseluler  dengan  laju 𝑘 3 serta deaktivasi makrofag aktif dengan laju 𝑘 4 .
𝑑𝐵 𝐴 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐴 𝐵 𝐴 − 𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 + 𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 − 𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴 (37)
Perubahan  populasi  bakteri  di  dalam makrofag teraktivasi yang bergantung pada waktu itu dipengaruhi oleh beberapa faktor, antara lain: pertumbuhan  bakteri  pada  laju  maksimal 𝛼 𝐴 dikurangi dengan deaktivasi makrofag teraktifasi dengan  laju 𝑘 4 ,  bertambahnya  bakteri  pada makrofag yang terinfeksi dengan laju 𝑘 3 .
𝑑𝐵 𝐸 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐸 𝐵 𝐸 − 𝑘 1 𝑛 3 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 (38)
+𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑘 5 𝑀 𝐴 𝐵 𝐸 +𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴
Perubahan  bakteri  ekstraseluler  yang bergantung  pada  waktu  dipengaruhi  oleh beberapa faktor antara lain: pertumbuhan bakteri pada  laju  maksimal 𝛼 𝐸 yang  diambil  oleh makrofag resting yang berubah menjadi terinfeksi dengan  laju 𝑘 1 ,  bertambahnya  bakteri  pada makrofag  yang  terinfeksi  yang  pecah  dari makrofag  yang  terinfeksi  dengan  laju 𝑘 2 yang bergantung  pada  daya  ledak 𝑁 ,  pengambilan bakteri oleh makrofag teraktivasi pada laju 𝑘 5 .
𝑑𝑀 𝐼 𝑑𝑡 = 𝑘 1 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 − 𝑘 2 𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + ( 𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑘 3 𝑀 𝐼 +𝑘 4 𝑀 𝐴 − 𝜇 𝑀𝐼 𝑀 𝐴 (39)
Perubahan  populasi  makrofag  terinfeksi yang  bergantung  pada  waktu  dipengaruhi  oleh beberapa  faktor  antara  lain:  makrofag resting yang  terinfeksi  dengan  laju 𝑘 1 dikurangi  dengan ledakan  makrofag yang terinfeksi dengan  laju 𝑘 2 dan aktivasi makrofag yang terinfeksi dengan laju 𝑘 3 , deaktivasi makrofag aktif dengan laju 𝑘 4 , dan kematian  makrofag  yang  terinfeksi  dengan  laju 𝜇 𝑀𝐼 .
𝑑𝑀 𝐴 𝑑𝑡 = −𝑘 4 𝑀 𝐴 + 𝑘 3 𝑀 𝐼 − 𝜇 𝑀𝐴 𝑀 𝐴 +𝑘 6 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 5 (40)
Pertumbuhan populasi makrofag teraktivasi yang bergantung waktu itu dipengaruhi  oleh  beberapa  faktor,  antara  lain: kegagalan  deaktivasi  makrofag  aktif  dengan  laju 𝑘 4 ,  bertambahnya  aktivasi  makrofag  yang terinfeksi  dengan  laju 𝑘 3 ,  kematian  makrofar teraktivasi  pada  laju 𝜇 𝑀𝐴 ,  dan  penambahan aktivasi makrofag resting oleh bakteri ekstraseluler yang datang dengan laju 𝑘 6 .
𝑑𝑇 4 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑧 𝑀 𝐴 + 𝑘 13 𝑇 4 − 𝜇 𝑇4 𝑇 4 (41)
Perubahan  populasi  sel  T CD4 + yang bergantung  pada  waktu  dipengaruhi  oleh makrofag teraktivasi pada MHC-II dengan laju 𝜆 𝑧 dan  penambahan  poliferasi  sel T dengan laju 𝑘 13 dan sel T CD4 + rusak pada rata-rata 𝜇 𝑇4 . 𝑑𝑇 8 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑥 (𝑀 𝐴 + 𝑀 𝐼 ) + 𝑘 14 𝑇 8 − 𝜇 𝑇8 𝑇 8 (42)
Perubahan  populasi  sel  T CD8 + yang bergantung  pada  waktu  dipengaruhi  oleh makrofag  teraktivasi  dan  makrofag  terinfeksi
pada  MHC-I  dengan  laju 𝜆 𝑥 dan  penambahan poliferasi  sel  T  dengan  laju 𝑘 14 dan  sel  T CD8 + rusak pada rata-rata 𝜇 𝑇8 .

## 3. Nilai Parameter Model

## Tabel 1. Nilai Awal
Variabel Nilai Muda Tua 𝐵 𝐼 36.000 4000 𝐵 𝐴 1000 9000 𝐵 𝐸 1000 1000 𝑀 𝐼 1800 200 𝑀 𝐴 200 1800 𝑇 4 200.000 100.000 𝑇 8 80.000 80.000
Tabel 2. Nilai Parameter
Nam a Nilai Muda Tua 𝛼 𝐼 0.5 0.5 𝛼 𝐸 0 0 𝛼 𝐴 0 0 𝑘 1 0.4 0.4 𝑘 2 0.81139 0.81139 𝑘 3 0.023415 0.025440 𝑘 4 0.28876 0.61707 𝑘 5 0.000081301   0.000081301 𝑘 6 0.077068 0.13539 𝑘 13 0.1638 0.14789 𝑘 14 0.01638 0.01413 𝑐 1 1000.000 1000.000 𝑐 5 100.000 100.000 𝑀 𝑅 500.000 500.000 𝑁 25 25 𝑛 1 20 20 𝑛 2 5 5 𝑛 3 10 10 𝜇 𝑀𝐴 0.015 0.015 𝜇 𝑀𝐼 0.2 0.2 𝜇 𝑇4 0.33 0.33 𝜇 𝑇8 0.33 0.33 𝜆 𝑧 0.010532 0.010532 𝜆 𝑥 0.005266 0.0022854

## 4. Titik Tetap dari Model
Interaksi  antara  infeksi  mikobakterium tuberkulosis dengan sel imun ditunjukkan dalam model  yang  berbentuk  sistem  persamaan diferensial berikut:
𝑑𝐵 𝐼 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐼 𝐵 𝐼 (1 − 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 ) +𝑘 1 𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 (43)
− 𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + ( 𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 +𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 𝑑𝐵 𝐴 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐴 𝐵 𝐴 − 𝑛 2 𝑘 4 𝐵 𝐴 + 𝑛 1 𝑘 3 𝐵 𝐼 − 𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴 𝑑𝐵 𝐸 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐸 𝐵 𝐸 − 𝑘 1 𝑛 3 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 +𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑘 5 𝑀 𝐴 𝐵 𝐸 + 𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 𝐵 𝐴 𝑑𝑀 𝐼 𝑑𝑡 = 𝑘 1 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 − 𝑘 2 𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 𝑘 3 𝑀 𝐼 + 𝑘 4 𝑀 𝐴 − 𝜇 𝑀𝐼 𝑀 𝐴 𝑑𝑀 𝐴 𝑑𝑡 = −𝑘 4 𝑀 𝐴 + 𝑘 3 𝑀 𝐼 − 𝜇 𝑀𝐴 𝑀 𝐴 +𝑘 6 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 𝐵 𝐸 + 𝑐 5 𝑑𝑇 4 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑧 𝑀 𝐴 + 𝑘 13 𝑇 4 − 𝜇 𝑇4 𝑇 4 𝑑𝑇 8 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑥 (𝑀 𝐴 + 𝑀 𝐼 ) + 𝑘 14 𝑇 8 − 𝜇 𝑇8 𝑇 8
Terdapat  2  macam  titik  tetap,  yaitu  titik tetap  bebas  penyakit  dan  titik  tetap  dengan terinfeksi penyakit.

## 5. Titik Tetap Pertama (Titik Tetap Bebas Penyakit)
Pada kasus ini, merupakan kasus titik tetap bebas  penyakit  yang  menyatakan  bahwa  dalam keadaan  seimbang  pada  saat  belum  ada  infeksi. Dengan kata lain tidak ada bakteri yang disajikan. Akibatnya tidak ada bakteri intraseluler, bakteri di dalam makrofag teraktivasi, bakteri ekstraseluler, makrofag terinfeksi, maupun makrofag teraktivasi.
Secara  analitik  untuk  mencari  titik  tetap yang pertama, yaitu
Karena 𝐵 𝐼 ∗ = 0, 𝐵 𝐴 ∗ = 0, 𝐵 𝐸 ∗ = 0, 𝑀 𝐼 ∗ = 0, 𝑀 𝐴 ∗ = 0 maka
𝜆 𝑧 𝑀 𝐴 + 𝑘 13 𝑇 4 − 𝜇 𝑇4 𝑇 4 = 0 𝜆 𝑧 (0) + 𝑘 13 𝑇 4 − 𝜇 𝑇4 𝑇 4 = 0 𝑘 13 𝑇 4 − 𝜇 𝑇4 𝑇 4 = 0 𝑇 4 (𝑘 13 − 𝜇 𝑇4 ) = 0 𝑇 4 ∗ = 0 𝜆 𝑥 (𝑀 𝐴 + 𝑀 𝐼 ) + 𝑘 14 𝑇 8 − 𝜇 𝑇8 𝑇 8 = 0 𝜆 𝑥 (0 + 0) + 𝑘 14 𝑇 8 − 𝜇 𝑇8 𝑇 8 = 0 𝑘 14 𝑇 8 − 𝜇 𝑇8 𝑇 8 = 0 𝑇 8 (𝑘 14 − 𝜇 𝑇8 ) = 0 𝑇 8 ∗ = 0
Pada titik tetap bebas penyakit (titik tetap pertama),  populasi  dari  semua  spesies  yang tercakup  pada  interaksi  sistem  imun  diperoleh
titik  tetap  pertama  dari  sistem  persamaan terhadap usia muda tersebut menjadi:
𝐸 1(𝑚𝑢𝑑𝑎) = (𝐵 𝐼 ∗ , 𝐵 𝐴 ∗ , 𝐵 𝐸 ∗ , 𝑀 𝐼 ∗ , 𝑀 𝐴 ∗ , 𝑇 4 ∗ , 𝑇 8 ∗ ) = (0,0,0,0,0, 0,0)
dan    titik  tetap  pertama  dari  sistem  persamaan terhadap usia tua tersebut menjadi:
𝐸 1(𝑡𝑢𝑎) = (𝐵 𝐼 ∗ , 𝐵 𝐴 ∗ , 𝐵 𝐸 ∗ , 𝑀 𝐼 ∗ , 𝑀 𝐴 ∗ , 𝑇 4 ∗ , 𝑇 8 ∗ ) = (0,0,0,0,0, 0,0)

## 6. Titik Tetap Kedua (Titik Tetap dengan Terinfeksi Penyakit)
Pada  titik  tetap  kedua,  makrofag  menjadi terinfeksi  secara  kronik,  dan  makrofag  resting berubah  menjadi  teraktivasi.  Titik  tetap  ini mewakili  dua  kemungkinan  dari  penyakit tersebut,  yakni  penyakit  laten  dan  penyakit primer. Terjadinya infeksi secara laten, bergantung  pada  parameter-parameternya  dan ketika  parameter-parameternya  bervariasi  maka penyakit  primerpun  terjadi.  Makrofag  yang terinfeksi  secara  kronik,  meledak  melepaskan bakteri  intraseluler  ke  lingkungan  ekstraseluler, sehingga terjadi pengerahan sel T CD4 + dan sel T CD8 + ke tempat yang terjadi infeksi.
Dengan  menggunakan  MAPLE  maka  akan diperoleh  nilai  titik  tetap  kedua  dari  sistem persamaan terhadap usia muda  yaitu:
𝐸 2(𝑚𝑢𝑑𝑎) = 𝐵 𝐼 ∗ = 2,914438433 × 10 7 ;
𝐵 𝐴 ∗ = 8,986249133 × 10 6 ; 𝐵 𝐸 ∗ = 1,327579621 × 10 5 ; 𝑀 𝐼 ∗ = 3,250903282 × 10 5 ;
𝑀 𝐴 ∗ = 97414,38980;
𝑇 4 ∗ = 6173,094785; 𝑇 8 ∗ = 7094,285585
Sedangkan diperoleh nilai titik tetap kedua dari sistem persamaan terhadap usia tua,  yaitu:
𝐸 2(𝑡𝑢𝑎) = 𝐵 𝐼 ∗ = 9,246406350 × 10 7 ;
𝐵 𝐴 ∗ = 1,488623586 × 10 7 ; 𝐵 𝐸 ∗ = 2,591041477 × 10 5 ; 𝑀 𝐼 ∗ = 8,567107395 × 10 5 ;
𝑀 𝐴 ∗ = 1,117576282 × 10 5 ;
𝑇 4 ∗ = 6463,298775;
𝑇 8 ∗ = 7007,115609

## 7. Kestabilan Titik Tetap
Untuk  melihat  kestabilan  dari  sistem  (43) dapat dilihat dari akar-akar persamaan karakteristik  (nilai  eigen 𝜆 matriks  Jacobian). Akan ditinjau dua kasus yaitu kestabilan pada titik tetap  bebas  penyakit  dan  kestabilan  pada  titik tetap dengan terinfeksi penyakit. Matrik Jacobian
untuk 𝐵 𝐼 , 𝐵 𝐴 , 𝐵 𝐸 , 𝑀 𝐼 , 𝑀 𝐴 , 𝑇 4 , dan 𝑇 8 yaitu  sebagai berikut:
1) Matriks Jacobian pada baris pertama
𝜕𝑓 1 𝜕𝐵 𝐼 = 𝛼 𝐼 (1 − 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 ) + 𝛼 𝐼 𝐵 𝐼 (− 2𝐵 𝐼 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 + 2𝐵 𝐼 3 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 ) − 2𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 + 2𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 3 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 − 𝑛 𝐼 𝑘 3 = 𝛼 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝐵 𝐴 = 𝑛 2 𝑘 4 = 𝛼 2 ; 𝜕𝑓 1 𝜕𝐵 𝐸 = 𝑘 1 𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 − 𝑘 1 𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 (𝐵 𝐸 + 𝑐 1 ) 2 = 𝛼 3 𝜕𝑓 1 𝜕𝑀 𝐼 = 2𝑎 𝐼 𝐵 𝐼 3 𝑁 2 𝑀 𝐼 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 − 𝑘 2 𝑁𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 + 2𝑘 2 𝑁 3 𝑀 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 = 𝛼 4 𝜕𝑓 1 𝜕𝑀 𝐴 = 0 𝜕𝑓 1 𝜕𝑇 4 = 0 𝜕𝑓 1 𝜕𝑇 8 = 0 1. Matriks Jacobian pada baris kedua 𝜕𝑓 2 𝜕𝐵 𝐼 = 𝑛 1 𝑘 3 = 𝛼 5 𝜕𝑓 2 𝜕𝐵 𝐴 = 𝛼 𝐴 − 𝑛 2 𝑘 4 − 𝑛 2 𝜇 𝑀𝐴 = 𝛼 6 𝜕𝑓 2 𝜕𝐵 𝐸 = 0 𝜕𝑓 2 𝜕𝑀 𝐼 = 0 𝜕𝑓 2 𝜕𝑀 𝐴 = 0 𝜕𝑓 2 𝜕𝑇 4 = 0
𝜕𝑓 2 𝜕𝑇 8 = 0
2. Matriks Jacobian pada baris ketiga
𝜕𝑓 3 𝜕𝐵 𝐼 = 2𝑘 2 𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 2𝑘 2 𝑁𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 3 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 = 𝛼 7 𝜕𝑓 3 𝜕𝐵 𝐴 = 𝑛 2 ꩤ 𝑀𝐴 = 𝛼 8 𝜕𝑓 3 𝜕𝐵 𝐸 = 𝛼 𝐸 − 𝑘 1 𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 + 𝑘 1 𝑛 3 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 (𝐵 𝐸 + 𝑐 1 ) 2 − 𝑘 5 𝑀 𝐴 = = 𝛼 9 𝜕𝑓 3 𝜕𝑀 𝐼 = 𝑘 2 𝑁𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 − 2𝑘 2 𝑁 3 𝑀 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 = 𝛼 10 𝜕𝑓 3 𝜕𝑀 𝐴 = −𝑘 5 𝐵 𝐸 = 𝛼 11 𝜕𝑓 3 𝜕𝑇 4 = 0 𝜕𝑓 3 𝜕𝑇 8 = 0 3. Matriks Jacobian pada baris keempat
𝜕𝑓 4 𝜕𝐵 𝐼 = − 2𝑘 2 𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 + 2𝑘 2 𝑀 𝐼 𝐵 𝐼 3 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 = 𝛼 12 𝜕𝑓 4 𝜕𝐵 𝐴 = 0 𝜕𝑓 4 𝜕𝐵 𝐸 = 𝑘 1 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 + 𝑐 1 − 𝑘 1 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 (𝐵 𝐸 + 𝑐 1 ) 2 = 𝛼 13 𝜕𝑓 4 𝜕𝑀 𝐼 = − 𝑘 2 𝐵 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 + (𝑁𝑀 𝐼 ) 2 + 2𝑘 2 𝑀 𝐼 2 𝐵 𝐼 2 𝑁 2 (𝐵 𝐼 2 + 𝑁 2 𝑀 𝐼 2 ) 2 − 𝑘 3 = 𝛼 14 𝜕𝑓 4 𝜕𝑀 𝐴 = 𝑘 4 − 𝜇 𝑀𝐼 = 𝛼 15 𝜕𝑓 4 𝜕𝑇 4 = 0 𝜕𝑓 4 𝜕 8 = 0 4. Matriks Jacobian pada baris kelima
𝜕𝑓 5 𝜕𝐵 𝐼 = 0 𝜕𝑓 5 𝜕𝐵 𝐴 = 0 𝜕𝑓 5 𝜕𝐵 𝐸 = 𝑘 6 𝑀𝑅 𝐵 𝐸 + 𝑐 5 − 𝑘 6 𝑀 𝑅 𝐵 𝐸 (𝐵 𝐸 + 𝑐 5 ) 2 = 𝛼 16 𝜕𝑓 5 𝜕𝑀 𝐼 = 𝑘 3 = 𝛼 17 𝜕𝑓 5 𝜕𝑀 𝐴 = −𝑘 4 − 𝜇 𝑀𝐴 = 𝛼 18 𝜕𝑓 5 𝜕𝑇 4 = 0 𝜕𝑓 5 𝜕𝑇 8 = 0 5. Matriks Jacobian pada baris keenam
                                                                                                                                           8 7 8 6 5 8 4 4 7 4 6 4 5 4 4 7 6 5 4 7 6 5 4 7 6 5 4 7 6 5 4 7 6 5 4 8 3 4 3 3 3 3 3 3 8 2 4 2 2 2 2 2 2 8 1 4 1 1 1 1 1 1 T f T f BI f T f T f T f T f T f M f M f M f M f M f M f M f M f B f B f B f B f B f B f B f B f B f B f B f B f T f T f M f M f B f B f B f T f T f M f M f B f B f B f T f T f M f M f B f B f B f J A A A A I I I I E E E E E E E E I I I I A I E E I A I E E I A I E E I
𝜕𝑓 6 𝜕𝐵 𝐼 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝐵 𝐴 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝐵 𝐸 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝑀 𝐼 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝑀 𝐴 = 𝜆 𝑧 = 𝛼 19 𝜕𝑓 6 𝜕𝑇 4 = 𝑘 13 − 𝜇 𝑇4 = 𝛼 20 𝜕𝑓 6 𝜕𝑇 8 = 0
6. Matriks Jacobian pada baris ketujuh 𝜕𝑓 6 𝜕𝐵 𝐼 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝐵 𝐴 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝐵 𝐸 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝑀 𝐼 = 𝜆 𝑥 = 𝛼 21 𝜕𝑓 6 𝜕𝑀 𝐴 = 𝜆 𝑥 = 𝛼 22 𝜕𝑓 6 𝜕𝑇 4 = 0 𝜕𝑓 6 𝜕𝑇 8 = 𝑘 14 − 𝜇 𝑇8 = 𝛼 23
Sehingga  matriks  Jacobian  dari  persmaan (3.8) dapat ditulis:
𝐽 =
[ 𝛼 1 𝛼 2 𝛼 3 𝛼 4 0 0 0 𝛼 5 𝛼 6 0 0 0 0 0 𝛼 7 𝛼 8 𝛼 9 𝛼 10 𝛼 11 0 0 𝛼 12 0 𝛼 13 𝛼 14 𝛼 15 0 0 0 0 𝛼 16 𝛼 17 𝛼 18 0 0 0 0 0 0 𝛼 19 𝛼 20 0 0 0 0 𝛼 21 𝛼 22 0 𝛼 23 ]

## 8. Kestabilan pada Titik Tetap Bebas Penyakit
Matriks  Jacobian  dari  titik  tetap  pertama pada usia muda
𝐸 1(𝑚𝑢𝑑𝑎) = (𝐵 𝐼 ∗ , 𝐵 𝐴 ∗ , 𝐵 𝐸 ∗ , 𝑀 𝐼 ∗ , 𝑀 𝐴 ∗ , 𝑇 4 ∗ , 𝑇 8 ∗ ) = (0,0,0,0,0, 0,0)
maka  diperoleh  matriks  jacobian  dari  titik  tetap 𝐸 1(𝑚𝑢𝑑𝑎) adalah:
𝐽 1(𝑚𝑢𝑑𝑎) = [ 𝛼 1 𝛼 2 𝛼 3 0 0 0 0
𝛼 5 𝛼 6 0 0 0 0 0 0 𝛼 8 𝛼 9 0 0 0 0
0 0 𝛼 13 𝛼 14 𝛼 15 0 0 0 0 𝛼 16 𝛼 17 𝛼 18 0 0 0 0 0 0 𝛼 19 𝛼 20 0
0 0 0 𝛼 21 𝛼 22 0 𝛼 23 ]
jika nilai parameter pada tabel (2) di substitusikan pada matriks Jacobian di atas diperoleh:
𝐽 1(𝑚𝑢𝑑𝑎) = [ 0,03 1,44 2,00 0 0 0 0 0,47 −1,52 0 0 0 0 0 0 0,07 −2,00 0 0 0 0 0 0 −0,20 0,02 0,09 0 0
0 0 0,38 0,02 −0,30 0 0 0 0 0 0 0,01 −0,17 0
0 0 0 0,005 0,005 0 −0,31]
maka  perhitungan  nilai  eigen  untuk  titik  tetap pertama pada usia muda adalah sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐽 1(𝑚𝑢𝑑𝑎) ) = 0,
det [ 𝜆 − 0,03 1,4438 2,00 0 0 0 0 0,47 𝜆 + 1,52 0 0 0 0 0 0 0,07 𝜆 + 2,00 0 0 0 0 0 0 −0,20 𝜆 − 0,02 0,09 0 0 0 0 0,38 0,02 𝜆 + 0,30 0 0 0 0 0 0 0,01 𝜆 + 0,17 0 0 0 0 0,005 0,005 0 𝜆 + 0,31] = 0
Untuk  mencari  determinan  dari  matriks tersebut,  penulis  menggunakan  bantuan  progam Maple,  maka  diperoleh  nilai  eigen  yaitu  sebagai berikut:
(𝜆 + 2,115885255)(𝜆 + 1,744601249) (𝜆 − 0,3733865037)(𝜆 + 0,3099935398) (𝜆 − 0,02964853979)(𝜆 − 0,1662)
(𝜆 + 0,31362) = 0
Sehingga  diperoleh  nilai  eigen  sebagai  berikut: 𝜆 1 = −2,115885255, 𝜆 2 = −1,744601249, 𝜆 3 = 0,3733865037, 𝜆 4 = −0,3099935398, 𝜆 5 = 0,02964853979,  𝜆 6 = 0,1662, 𝜆 7 = 0,31362
karena  terdapat  nilai  eigen  yang  akar-akarnya bernilai positif, yaitu pada 𝜆 3 , 𝜆 5 , 𝜆 6 dan 𝜆 7 maka dapat  dikatakan  bahwa  titik  tetap  yang  pertama terhadap usia muda tidak stabil.
Matriks  Jacobian  dari  titik  tetap  pertama pada usia tua. Jika nilai parameter pada tabel (2) di  substitusikan  pada  matriks  Jacobian  di  atas diperoleh:
𝐽 1(𝑡𝑢𝑎) = [ −0,008 3,08 2,00 0 0 0 0 0,509 −3,16 0 0 0 0 0 0 0,07 −2,00 0 0 0 0 0 0 0,20 0,02 0,41 0 0 0 0 0,6769 0,0254 −0,6320 0 0 0 0 0 0 0,0105 −0,1821
0
0 0
0 0,002285 0,0023 0 −0,3159]
maka  perhitungan  nilai  eigen  untuk  titik  tetap pertama pada usia tua adalah sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐽 1(𝑡𝑢𝑎) ) = 0,
det [ 𝜆 + 0,008 3,08 2,00 0 0 0 0 0,509 𝜆 + 3,16 0 0 0 0 0 0 0,07 𝜆 + 2,00 0 0 0 0 0 0 0,20000 𝜆 − 0,02 0,42 0 0 0 0 0,6769 0,0254 𝜆 + 0,632 0 0 0 0 0 0 0,0105 𝜆 + 0,18 0 0 0 0 0,0023 0,0023 0 𝜆 + 0,31] = 0
Untuk  mencari  determinan  dari  matriks tersebut,  penulis  menggunakan  bantuan  progam Maple,  maka  diperoleh  nilai  eigen  yaitu  sebagai berikut:
(𝜆 + 3,609497480)(𝜆 + 1,980411714) (𝜆 − 0,4207592944)(𝜆 + 0,6478293115) (𝜆 − 0,0419931150)(𝜆 + 0,41707) (𝜆 − 0,63207) = 0
Sehingga 𝜆 1 = −3,609497480, 𝜆 2 = −1,980411714,
𝜆 3 = 0,4207592944, 𝜆 4 = − 0,6478293115, 𝜆 5 = 0,0419931150,  𝜆 6 = 0,41707, 𝜆 7 = − 0,63207
karena  terdapat  nilai  eigen  yang  akar-akarnya bernilai  positif,  yaitu  pada 𝜆 3 , 𝜆 5 , dan 𝜆 6 maka dapat  dikatakan  bahwa  titik  tetap  yang  pertama terhadap usia tua tidak stabil.

## 9. Kestabilan pada titik tetap dengan terinfeksi penyakit
Matriks Jacobian dari titik tetap kedua pada usia muda
𝐸 2(𝑚𝑢𝑑𝑎) = 𝐵 𝐼 ∗ = 2,914438433 × 10 7 ;
𝐵 𝐴 ∗ = 8,986249133 × 10 6 ; 𝐵 𝐸 ∗ = 1,327579621 × 10 5 ;
𝑀 𝐼 ∗ = 3,250903282 × 10 5 ; 𝑀 𝐴 ∗ = 97414,38980; 𝑇 4 ∗ = 6173,094785;
𝑇 8 ∗ = 7094,285585
Maka  diperoleh  matriks  jacobian  dari  titik  tetap 𝐸 2(𝑚𝑢𝑑𝑎) adalah:
𝐽 2(𝑚𝑢𝑑𝑎) = [ 𝛼 1 𝛼 2 𝛼 3 𝛼 4 0 0 0 𝛼 5 𝛼 6 0 0 0 0 0 𝛼 7 𝛼 8 𝛼 9 𝛼 10 𝛼 11 0 0 𝛼 12 0 𝛼 13 𝛼 14 𝛼 15 0 0 0 0 𝛼 16 𝛼 17 𝛼 18 0 0 0 0 0 0 𝛼 19 𝛼 20 0 0 0 0 𝛼 21 𝛼 22 0 𝛼 23 ]
Jika nilai parameter pada tabel (2) di substitusikan pada matriks Jacobian di atas diperoleh:
𝐽 2(𝑚𝑢𝑑𝑎) = [ −1,36 1,44 1,56 6996754,7 0 0 0 0,47 −1,52 0 0 0 0 0 0,003 0,07 −9,48 1,84 −10,8 0 0 −0,0001 0 0,15 −0,88 0,09 0 0 0 0 0,07 0,02 −0,30 0 0 0 0 0 0 0,01 −0,17 0 0 0 0 0,005 0,005 0 −0,31]
maka  perhitungan  nilai  eigen  untuk  titik  tetap kedua pada usia muda adalah sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐽 2(𝑚𝑢𝑑𝑎) ) = 0,
det [ 𝜆 + 1,36 1,44 1,56 6996754,7 0 0 0 0,47 𝜆 + 1,52 0 0 0 0 0 0,003 0,07 𝜆 + 9,48 1,84 −10,8 0 0
−0,0001 0 0,15 𝜆 + 0,88 0,09 0 0 0 0 0,07 0,02 𝜆 + 0,30 0 0 0 0 0 0 0,01 𝜆 + 0,17 0
0 0 0 0,005 0,005 0 𝜆 + 0,31] = 0
Untuk mencari determinan dari matriks tersebut, penulis  menggunakan  bantuan  progam  Maple, maka diperoleh nilai eigen yaitu sebagai berikut:
(𝜆 + 15,21869890)(𝜆 + 0,2097069375) (𝜆 − 1,387438442)
(𝜆 2 − 1,288908970𝜆 + 918,2471335) = 0 Sehingga 𝜆 1 = − 15,21869890, 𝜆 2 = − 0,2097069375, dan 𝜆 2 − 1,288908970𝜆 + 918,2471335
karena  terdapat  nilai  eigen  yang  akar-akarnya bernilai  positif,  yaitu  salah  satunya  adalah 𝜆 3 maka  dapat  dikatakan  bahwa  titik  tetap  yang kedua terhadap usia muda tidak stabil.
2) Matriks Jacobian dari titik tetap kedua pada usia tua
𝐸 2(𝑡𝑢𝑎) = 𝐵 𝐼 ∗ = 9,246406350 × 10 7 ;
𝐵 𝐴 ∗ = 1,488623586 × 10 7 ;
𝐵 𝐸 ∗ = 2,591041477 × 10 5 ; 𝑀 𝐼 ∗ = 8,567107395 × 10 5 ; 𝑀 𝐴 ∗ = 1,117576282 × 10 5 ;
𝑇 4 ∗ = 6463,298775;
𝑇 8 ∗ = 7007,115609
Maka  diperoleh  matriks  jacobian  dari  titik  tetap 𝐸 2(𝑡𝑢𝑎) adalah:
𝐽 2(𝑚𝑢𝑑𝑎) =
[ 𝛼 1 𝛼 2 𝛼 3 𝛼 4 0 0 0 𝛼 5 𝛼 6 0 0 0 0 0 𝛼 7 𝛼 8 𝛼 9 𝛼 10 𝛼 11 0 0 𝛼 12 0 𝛼 13 𝛼 14 𝛼 15 0 0 0 0 𝛼 16 𝛼 17 𝛼 18 0 0 0 0 0 0 𝛼 19 𝛼 20 0 0 0 0 𝛼 21 𝛼 22 0 𝛼 23 ]
Jika  nilai  parameter  pada  tabel  (2)  di substitusikan  pada  matriks  Jacobian  di  atas diperoeh:
𝐽 2(𝑡𝑢𝑎) = [ −1,43 3,08 1,26 19292037,7 0 0 0 0,508 −3,16 0 0 0 0 0 0,001 0,07 −10,3 1,89 −21,1 0 0 −0,007 0 0,13 −0,09 0,42 0 0 0 0 0,05 0,02 −0,63 0 0 0 0 0 0 0,01 −0,18 0 0 0 0 0,002 0,002 0 −0,31]
maka  perhitungan  nilai  eigen  untuk  titik  tetap kedua pada usia tua adalah sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐽 2(𝑡𝑢𝑎) ) = 0,
det
[ 𝜆 + 1,43 3,08 1,26 19292037,7 0 0 0 0,508 𝜆 + 3,16 0 0 0 0 0 0,002 0,07 𝜆 + 10,3 1,89 −21,1 0 0 −0,007 0 0,13 𝜆 + 0,09 0,42 0 0 0 0 0,05 0,02 𝜆 + 0,63 0 0 0 0 0 0 0,01 𝜆 + 0,18 0 0 0 0 0,002 0,002 0 𝜆 + 0,31]
= 0
Untuk  mencari  determinan  dari  matriks tersebut,  penulis  menggunakan  bantuan  progam Maple,  maka  diperoleh  nilai  eigen  yaitu  sebagai berikut:
maka akan diperoleh:
(𝜆 + 17,03285449)(𝜆 + 0,1137376750) (𝜆 − 0,7987421765)
(𝜆 2 − 0,6790282736𝜆 + 1486,999279) = 0 Sehingga
𝜆 1 = − 17,03285449, 𝜆 2 = − 0,1137376750, 𝜆 3 = 0,7987421765, dan 𝜆 2 − 0,6790282736𝜆 + 1486,999279
karena  terdapat  nilai  eigen  yang  akar- akarnya  bernilai  positif,  yaitu  salah  satunya adalah 𝜆 3 maka dapat dikatakan bahwa titik tetap yang kedua terhadap usia tua tidak stabil.

## 10. Simulasi Numerik Model Matematika
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai perilaku dinamik pada sel T CD4 + dan sel T CD8 + dengan  menaikkan  dan  menurunkan  nilai parameter 𝑘 13 dan 𝑘 14 . Selanjutnya hasil ini akan dibandingkan  dengan  grafik  pada  saat  belum mengalami  perubahan  parameter.  Penelitian  ini dilakukan  selama  60  hari  dengan  menggunakan bantuan program matlab.
(a) (b)
Gambar 2. Grafik Simulasi Populasi Sel T CD4 +
Gambar 2 menujukkkan perubahan populasi  sel T CD4 + dengan  nilai  parameter k 13 yang berbeda. Pada grafik (a) menunjukkan grafik sel T CD4 + pada usia muda, sedangkan pada grafik (b) menunjukkan grafik sel T CD4 + pada usia tua.
Untuk grafik (a), ketika laju poliferasi sel T CD4 + meningkat  ( k 13 = 0,1638 menjadi k 13 = 0,20) secara  otomatis  populasi  sel  T CD4 + juga meningkat  mencapai 4.000 sel/mililiter.  Dan grafik  sel  T CD4 + stabil  pada  hari  ke  30. Sedangkan  ketika  laju  poliferasi  sel  T CD4 + menurun  ( k 13 = 0,1638 menjadi k 13 = 0,020 ) secara  otomatis  populasi  sel  T CD4 + juga menurun mencapai 2.000 sel/mililiter. Dan grafik sel T CD4 + stabil pada hari ke 30.
Sedangkan  untuk  grafik  (b),  ketika  laju poliferasi sel T CD4 + meningkat ( k 13 = 0,14789 menjadi k 13 = 0,20) secara otomatis populasi sel T CD4 + juga  meningkat  mencapai 7.000 sel/mililiter.  Dan  grafik  sel  T CD4 + stabil  pada hari  ke 30. Sedangkan  ketika laju poliferasi  sel  T CD4 + menurun  ( k 13 = 0,14789 menjadi k 13 = 0,020 ) secara otomatis populasi sel T CD4 + juga menurun mencapai 3.000 sel/mililiter. Dan grafik sel T CD4 + stabil pada hari ke 30.
Gambar 3 menujukkkan perubahan populasi  sel T CD8 + dengan  nilai  parameter k 14 yang berbeda. Pada grafik (a) menunjukkan grafik sel T CD8 + pada usia muda, sedangkan pada grafik (b) menunjukkan grafik sel T CD8 + pada usia tua.
(a)
Untuk grafik (a), ketika laju poliferasi sel T CD8 + meningkat  ( k 14 = 0,01638 menjadi k 14 = 0,020) secara otomatis populasi sel T CD8 + juga meningkat  mencapai 3.000 sel/mililiter.  Dan grafik  sel  T CD8 + stabil  pada  hari  ke  18. Sedangkan  ketika  laju  poliferasi  sel  T CD8 + menurun  ( k 14 = 0,01638 menjadi k 13 = 0,0020 ) secara  otomatis  populasi  sel  T CD8 + juga menurun mencapai 2.000 sel/mililiter. Dan grafik sel T CD8 + stabil pada hari ke 18.
0 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 5 Simulasi Sel T CD4+ Muda waktu (hari) P er ub ah an S el T C D 4+ M ud a (s el /m ili lit er ) k13=0.1638 k13=0.20 k13=0.020 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 10 4 Simulasi Sel T CD4+ Tua waktu (hari) Pe ru ba ha n Se l T C D4 + Tu a (s el /m ilil ite r) k13=0.14789 k13=0.20 k13=0.020 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 Simulasi Sel T CD8+ Muda waktu (hari) P e ru b a h a n S e l T C D 8 + M u d a ( s e l/ m ili lit e r) k14=0.01638 k14=0.020 k14=0.0020
(b)
Gambar 3. Grafik Simulasi Populasi Sel T CD8 +
Untuk grafik (b), ketika laju poliferasi sel T CD8 + meningkat  ( k 14 = 0,01638 menjadi k 14 = 0,020) secara otomatis populasi sel T CD8 + juga meningkat  mencapai 3.000 sel/mililiter.  Dan grafik  sel  T CD8 + stabil  pada  hari  ke  18. Sedangkan  ketika  laju  poliferasi  sel  T CD8 + menurun  ( k 14 = 0,01638 menjadi k 14 = 0,0020 ) secara  otomatis  populasi  sel  T CD8 + juga menurun mencapai 2.000 sel/mililiter. Dan grafik sel T CD8 + stabil pada hari ke 18.

## PENUTUP
Berdasarkan  hasil  pembahasan,  maka dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  analisis kestabilannya yaitu untuk titik tetap yang pertama terhadap usia muda dikatakan tidak stabil, karena terdapat  nilai  eigen  yang  akar-akarnya  bernilai positif,  yaitu  pada 𝜆 3 , 𝜆 5 , 𝜆 6 dan 𝜆 7 .  Sedangkan untuk titik tetap yang pertama terhadap usia tua dikatakan tidak  stabil  juga, karena terdapat  nilai eigen  yang  akar-akarnya  bernilai  positif,  yaitu pada 𝜆 3 , 𝜆 5 , dan 𝜆 6 .
Kemudian,  untuk  titik  tetap  yang  kedua terhadap  usia  muda  dikatakan  tidak  stabil  juga, karena  terdapat  nilai  eigen  yang  akar-akarnya bernilai positif, yaitu salah satunya adalah 𝜆 3 . Dan untuk  titik  tetap  yang  kedua  terhadap  usia  tua dikatakan tidak  stabil  juga, karena terdapat  nilai eigen  yang  akar-akarnya  bernilai  positif,  yaitu salah satunya adalah 𝜆 3 .
Sedangkan  kesimpulan  dari  perubahan populasi sel T CD4 + dan sel T CD8 + pada usia tua akan  lebih  cepat  terinfeksi  mikobakterium tuberkulosis dari pada saat usianya masih muda. Begitu  juga  dengan  manusia  saat  usianya menginjak  tua  akan  lebih  rentan  terhadap  suatu penyakit, seperti halnya penyakit tuberkulosis.
Dari    analisis  perilaku  dinamik  pada  sel  T CD4 + didapatkan  bahwa ketika laju poliferasi  sel T CD4 + meningkat  secara otomatis populasi sel T CD4 + juga meningkat mencapai 4.000 sel/mililiter.  Dan  grafik  sel  T CD4 + stabil  pada hari  ke 30. Sedangkan  ketika laju poliferasi  sel  T CD4 + menurun  (secara  otomatis  populasi  sel  T CD4 + juga menurun mencapai 2.000 sel/mililiter. Dan grafik sel T CD4 + stabil pada hari ke 30.
Sedangkan  Dari    analisis perilaku dinamik pada  sel  T CD8 + didapatkan  bahwa  ketika  laju poliferasi sel T CD8 + meningkat  secara otomatis populasi  sel  T CD8 + juga  meningkat  mencapai 3.000 sel/mililiter.  Dan  grafik  sel  T CD8 + stabil pada hari  ke 18. Sedangkan  ketika laju poliferasi sel T CD8 + menurun  secara otomatis populasi sel T CD8 + juga  menurun  mencapai 2.000 sel/mililiter.  Dan  grafik  sel  T CD8 + stabil  pada hari ke 18.
Pembaca  dapat  menganalisis  perilaku dinamik  lain  yang  kestabilan  pada  titik  tetap adalah  stabil  untuk  menyelesaikan  sistem persamaan  diferensial  biasa  non  linier  dengan penyakit  lain,  misalnya  penyakit  kanker,  tumor, DBD, dan lain sebagainya.

## BIBLIOGRAPHY
[1] S. Wiggins, S. Wiggins, and M. Golubitsky, Introduction to applied nonlinear
dynamical systems and chaos , vol. 2.
Springer, 1990.
[2] N. Finizio and G. Ladas, “Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern,” Jakarta: Erlangga , 1988.
[3] A. Subagyo, T. Y. Aditama, D. K. Sutoyo, and L. G. Partakusuma, “Pemeriksaan interferon-gamma dalam darah untuk deteksi infeksi tuberkulosis,” J.
Tuberkulosis Indones. , vol. 3, no. 2, pp. 6– 19, 2006.
[4] K. G. Baratawidjaja and I. Rengganis, “Imunologi Dasar,” Edisi , vol. 7, pp. 76–77, 2006.
[5] L. Prihutami and S. Sutimin, “ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS.” Diponegoro University, 2009.
0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 4 Simulasi Sel T CD8+ Tua waktu (hari) P e ru b a h a n S e l T C D 8 + T u a ( s e l/ m ili lit e r) K14=0.01413 k14=0.020 k14=0.0020