## Sebuah Karakteristik dari Modul Uniserial dan Gelanggang Uniserial
I Gede Adhitya Wisnu Wardhana 1 , Fariz Maulana 2
1 Universitas Mataram, Jl. Majapahit no.62, Mataram, NTB, adhitya.wardhana@unram.ac.id
2 Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesa 10, 20120008@mahasiswa.itb.ac.id
Abstract. The module is a generalization of the vector space. The module that will be discussed  is  a  uniserial  module,  which  is  a  module  that  only  has  one  composition series. A uniserial ring is a ring whose module over itself is uniserial. The uniserial ring is an Artin and local ring, but the converse is not necessarily true. In this paper, we  will  discuss  Artin  and  local  ring  with  additional  properties  so  that  it  is characteristics of the uniserial ring.
Keywords: uniserial module, Artinian ring, uniserial ring.
Abstrak. Modul merupakan perumuman dari ruang vektor. Modul yang akan dibahas adalah  modul  uniserial  yakni  modul  yang  hanya  memiliki  satu  deret  komposisi. Gelanggang  uniserial  merupakan  gelanggang  yang  modul  atas  dirinya  sendiri merupakan modul uniserial. Gelanggang uniserial merupakan gelanggang Artin dan local, tapi belum tentu sebaliknya. Dalam paper ini akan dibahas sifat tambahan dari gelanggang Artin dan lokal sehingga menjadi karakteristik dari gelanggang uniserial.
Kata Kunci: modul uniserial, gelanggang Artin, gelanggang uniserial .

## 1. Pendahuluan
Karakterisasai suatu modul, selain tergantung dari tipe modulnya, juga sangat tergantung dari skalarnya.  Skalar modul berupa skalar bilangan bulat Gauss [4][6], skalar daerah ideal utama [7][8], hingga skalar daerah valuasi tunggal [1].  Pada perkembangan riset aljabar, secara umum karakteristik pada teori gelanggang yang sudah  ada  dibawa  ke  teori  modul  [3][5].   Contohnya  Garminia  dkk  memberikan karakteristik modul Dedekind yang dibawa dari karakteristik gelanggang Dedekind [2].    Pada  artikel  ini  akan  dibahas  suatu  modul  yang  dinamkan  modul  uniserial, yakni modul yang mempunyai deret komposisi yang unik [9], kemudian definisi ini dibawa ke teori gelanggang untuk mendefinisikan gelanggang uniserial.
Beberapa  terminologi  pada  modul  yang  digunakan  pada  artikel  ini  diberikan sebagai berikut
Definisi 1.1 . Misalkan 𝑀 suatu 𝐴 -modul,  himpunan  tak  hampa 𝑁 ⊂ 𝑀 dikatakan  submodul maksimal  dari 𝑀 jika  ada  submodul 𝐿 sedemikian  hingga 𝑁 ⊂ 𝐿 ⊂ 𝑀 ,  maka berlaku 𝐿 = 𝑁 atau 𝐿 = 𝑀 .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Definisi 1.2 . Misalkan 𝑀 suatu 𝐴 -modul,  himpunan  tak  hampa 𝑁 ⊂ 𝑀 dikatakan  submodul superfluous dari 𝑀 jika untuk sebarang submodul 𝑋 ⊂ 𝑀 sedemikian hingga 𝑁 + 𝑋 = 𝑀 , maka berlaku 𝑋 = 𝑀 .
Jika 𝑁 adalah  submodul superfluous dari 𝑀 ,  maka  kita  notasikan  dengan 𝑁 ⊂ 𝑆 𝑀 .    Pada  modul  bilangan  bulat  modulo ℤ 36 atas  gelanggang ℤ ,  submodul {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33} adalah submodul maksimal, dan {0,18} adalah submodul superfluous .
Definisi 1.3 . Misalkan 𝑀 suatu 𝐴 -modul,  submodul 𝑁 dikatakan  submodul  minimal  dari 𝑀 apabila 𝑁 tidak memuat submodul tak nol dari 𝑀 .
Definisi 1.4 . Misalkan 𝑀 suatu 𝐴 -modul,  tulis Δ = {𝑁|𝑁 submodul 𝑀 }.    Untuk Ψ subkoleksi tak  hampa  dari Δ ,  unsur 𝑋 ∈ Ψ dikatkan  unsur  minimal  apabila 𝑋 tak  memuat anggota lain dari Ψ .

## 2. Modul Uniserial dan Gelanggang Uniserial

## 2.1. Modul Uniserial
Modul  uniserial  adalah  modul  khusus  dari  modul  Artin  yang  didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.1 . Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul,  modul 𝑀 dikatakan  modul  Artin  bila  memenuhi kondisi  minimum ,  yakni  setiap  koleksi  tak  hampa  dari  submodul-submodul 𝑀 mempunyai anggota terkecil
Definisi 2.2 . Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul, rantai submodul {0} = 𝑀 0 ⊆ 𝑀 1 ⊆ 𝑀 2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑀 𝑘 = 𝑀 dikatakan barisan 𝑀 ,  dan faktor dari  barisan 𝑀 adalah  modul  faktor 𝑀 𝑖+1 /𝑀 𝑖 , dengan 𝑖 = 0,1,2, … 𝑘 − 1 .
Dua barisan yang jumlah faktornya sama dikatakan ekivalen jika punya faktor yang isomorf .  Sebagai contoh, modul ℤ 36 atas dirinya sendiri mempunyai barisan yang  ekivalen,  yakni  barisan 〈0〉 ⊂ 〈18〉 ⊂ 〈6〉 ⊂ ℤ 36 dan  barisan 〈0〉 ⊂ 〈18〉 ⊂
〈9〉 ⊂ ℤ 36 .
Melihat  contoh  di  atas,  maka  barisan ℤ 36 yang  pertama  masih  dapat diperpanjang dengan menyisipkan 〈3〉 diantara 〈6〉 dan ℤ 36 .  Proses ini dinamakan dengan perhalusan barisan .
Definisi 2.3 . Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul, barisan submodul 𝑀

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
{0} = 𝑁 0 ⊆ 𝑁 1 ⊆ 𝑁 2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑁 𝑛 = 𝑀 dikatakan perhalusan barisan
{0} = 𝑀 0 ⊆ 𝑀 1 ⊆ 𝑀 2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑀 𝑘 = 𝑀 Apabila 𝑁 𝑗 memuat 𝑀 𝑖 untuk setiap 𝑖 ≤  𝑗 .
Pada  modul ℤ 36 ,  barisan 〈0〉 ⊂ 〈18〉 ⊂ 〈6〉 ⊂ 〈3〉 ⊂ ℤ 36 tidak  dapat  diperhalus lagi, barisan seperti ini yang dinamakan dengan deret komposisi.
Definisi 2.4 . Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul barisan submodul 𝑀
{0} = 𝑁 0 ⊆ 𝑁 1 ⊆ 𝑁 2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑁 𝑛 = 𝑀 dikatakan deret komposisi apabila barisan tidak dapat diperhalus lagi.
Definisi 2.5 . Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul,  modul 𝑀 dikatakan  modul  sederhana  jika  submodul dari 𝑀 adalah {0} dan dirinya sendiri.
Teorema 2.1 . Misal 𝑀 suatu 𝑅 -modul,  dan 𝑁, 𝐾 adalah  dua  submodul  berbeda  dari 𝑀 dengan 𝐾 ⊂ 𝑁 .    Faktor 𝑁/𝐾 adalah  modul  sederhana  jika  dan  hanya  jika  untuk  setiap submodul 𝐿 dari 𝑀 dengan 𝐾 ⊆ 𝐿 ⊆ 𝑁 berakibat 𝐿 = 𝑁 atau 𝐿 = 𝐾 . Bukti:
Misalkan 𝑁/𝐾 modul  sedehana.    Andaikan  ada 𝐴 submodul 𝑀 sehingga 𝐾 ⊆ 𝐴 ⊆ 𝑁 sehingga 𝐴 ≠ 𝑁 dan 𝐴 ≠ 𝐾 .    Jadi  kita  bisa  buat  modul  baru 𝐴/𝐾 dengan 𝐴/𝐾  ⊂  𝑁/𝐾 dimana 𝐴/𝐾 bukan  submodul  trivial  karena 𝐴 ≠ 𝑀 dan 𝐴 ≠ 𝑁 (kontradiksi dengan 𝑁/𝑀 sederhana).
Sebaliknya  jika  untuk  setiap 𝐴 submodul 𝑀 dengan 𝐾 ⊆ 𝐴 ⊆ 𝑁 maka 𝐴  =  𝐾 atau 𝐴 = 𝑁 .  Andaikan 𝑁/𝐾 tidak sederhana, yakni terdapat submodul 𝐵 sehingga 𝐵/𝑀 submodul tak trivial 𝑁/𝐾 , akibatnya 𝐾 ⊆ 𝐵 ⊆ 𝑁 .  Karena 𝐵/𝑀  ≠ {0} maka 𝐵 ≠ 𝑀 , dan karena 𝐵/𝐾  ≠  𝑁/𝐾 maka 𝐵 ≠ 𝑁 (kontradiksi).   Jadi haruslah 𝑁/𝐾 sederhana. ∎
Teorema 2.2 . Misal 𝑀, 𝑁 suatu 𝑅 -modul dan 𝑓 suatu homomorfisma dari 𝑀 ke 𝑁 , maka (1) Jika 𝑋 submodul dari 𝑀 maka 𝑓(𝑋) adalah submodul dari 𝑁
(2) Jika 𝑓 suatu isomorfisma dan 𝑀 sederhana, maka 𝑁 sederhana. Bukti:
(1) Misalkan 𝑋 submodul 𝑀 . Jelas f(X) subhimpunan tak hampa dari 𝑁 karena 0 di 𝑓(𝑋) .  Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑓(𝑋) sebarang  dan 𝑘 di 𝐴 sebarang  maka  ada 𝑎′ dan 𝑏′ di 𝑋 sehingga 𝑓(𝑎′) = 𝑎 dan 𝑓(𝑏′) = 𝑏 ,  karena 𝑋 submodul  dan 𝑓 homomorfisma  maka 𝑎′ +  𝑏′ dan 𝑘𝑎′ di 𝑋 akibatnya 𝑓(𝑎′ +  𝑏′) = 𝑓(𝑎′) +  𝑓(𝑏′) =  𝑎 + 𝑏 dan 𝑓 (𝑘𝑎′) = 𝑘𝑓(𝑎 ′ ) ada  di 𝑓(𝑋) .  Jadi 𝑓(𝑋) submodul di 𝑁 .
(2) Misalkan 𝑀 sederhana dan 𝑁 isomorf dengan 𝑀 . Misalkan 𝑋 submodul 𝑁 , jika 𝑋  = {0} , maka 𝑓(𝑋) = {0} , misalkan 𝑋  ≠  0 , maka ada 𝑥  ≠  0 di 𝑋 .
Karena 𝑓 isomorfisma  maka 𝑓(𝑥)   ≠ 0 ,    jadi 𝑓(𝑋)   ≠  0 ,  dan  karena 𝑀

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
sederhana maka 𝑓(𝑋)   =  𝑀 . Tapi karena 𝑔 pada maka diperoleh 𝑓(𝑁)   = 𝑀  =  𝑔(𝑋) , jadi 𝑁 = 𝑋 .  Jadi 𝑁 modul sederhana.
Teorema 2.3 . Misal 𝑅 suatu 𝑅 -modul  dan 𝐽 adalah  ideal  maksimal  dari 𝑅 ,  maka  untuk  setiap 𝑥 𝜖 𝑅 taknol berlaku 𝐽𝑥 adalah submodul maksimal 𝑅𝑥 . Bukti:
Jelas 𝐽𝑥 adalah submodul sejati dari 𝑅𝑥 .  Buat pengaitan 𝛹: 𝑅/𝐽  →  𝑅𝑥/𝐽𝑥 dengan 𝑟 + 𝐽  →  𝑟𝑥/𝐽𝑥 .  Misalkan 𝑟 1 +  𝐽 , 𝑟 2 +  𝐽 di 𝑅/𝐽 ,  apabila 𝑟 1 +  𝐽  =   𝑟 2 + 𝐽 maka 𝑟 1 −   𝑟 2 ada  di 𝐽 ,  jelas (𝑟 1 −   𝑟 2 )𝑥 ada  di 𝐽𝑥 akibatnya 𝑟 1 𝑥 + 𝐽 = 𝑟 2 𝑥 + 𝐽 , jadi 𝛹 terdefinisi  dengan  baik.  Lebih  lanjut 𝛹((𝑟 1 + 𝐽) + (𝑟 2 + 𝐽)) =  𝛹((𝑟 1 + 𝑟 2 ) + 𝐽) = (𝑟 1 + 𝑟 2 )𝑥 + 𝐽𝑥 = (𝑟 1 𝑥 + 𝐽𝑥) + (𝑟 2 𝑥 + 𝐽𝑥) = 𝛹(𝑟 1 + 𝐽) +  𝛹(𝑟 2 + 𝐽) . Jadi 𝛹 suatu homomorfisma.
Jika 𝑟′𝑥 + 𝐽𝑥 di 𝑅𝑥/𝐽𝑥 sebarang, pilih 𝑟 + 𝐽 di 𝑅/𝐽 maka 𝛹(𝑟 + 𝐽) = 𝑟′𝑥 + 𝐽𝑥 , jadi 𝛹 suatu  epimorfisma.  Ambil 𝑟’’ +  𝐽 di 𝐼𝑛𝑡𝑖{𝛹} sebarang,  maka 𝛹(𝑟" + 𝐽) = 𝑟′′𝑥 + 𝐽𝑥  =  0 + 𝐽𝑥 ,  akibatnya 𝑟’’ di 𝐽 ,  maka 𝑟’’ +  𝐽  =  0 + 𝐽 .  Jadi 𝐼𝑛𝑡𝑖{𝛹} = {0 +  𝐽) .  Jadi 𝛹 suatu isomorfisma, karena 𝑅/𝐽 sederhana maka 𝑅𝑥/𝐽𝑥 sederhana. Akibatnya 𝐽𝑥 submodul maksimal dari 𝑅𝑥 .
Sekarang  akan  mendefinisikan  kembali  deret  komposisi  pada  Definisi  2.4 menggunkan tiga teorema yang didapatkan.
Definisi 2.6 . Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul barisan submodul 𝑀 {0} = 𝑁 0 ⊆ 𝑁 1 ⊆ 𝑁 2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑁 𝑛 = 𝑀 dikatakan deret komposisi bila 𝑁 𝑖+1 /𝑁 𝑖 adalah modul sederhana untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1 .
Panjangnya  deret  komposisi  adalah 𝑘 ,  yaitu  banyaknya  faktor.    Dua  deret komposisi dikatakan ekivalen jika setiap faktor dari kedua baris ismorf dan punya panjangnya  yang  sama.    Perlu  diperhatikan  bahwa  tidak  semua  modul  memiliki deret  komposisi,  contohnya  modul ℤ atas ℤ .    Deret  komposisi  dari  suatu  modul senantiasa ekivalen, untuk membuktikan itu dibutuhkan sifat berikut
Teorema 2.4. (Lema Schreier-Zassenhaus)
Misal 𝑉 suatu 𝑅 -modul.    Dua  barisan  modul 𝑉 mempunyai  perhalusan  yang sama.
Secara  tak  langsung  bisa  dilihat  dari  Lema  Schreier-Zassenhaus  bahwa penghalusan kedua barisan, punya faktor-faktor yang isomorf.  Berdasarkan Lema Schreier-Zassenhaus dan Teorema 2.2 bisa dibuktikan bahwa deret komposisi dari suatu modul pasti ekivalen.

## Teorema 2.5. (Teorema Jordan-Holder)
Sebarang dua deret komposisi dari 𝑅 -modul 𝑀 ekivalen, yakni punya panjang yang sama dan faktor isomorf. Lebih jauh lagi, jika 𝑀 punya deret komposisi maka setiap barisan dari 𝑀 dapat diperhalus menjadi deret komposisi.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Dari fakta-fakta yang diperoleh, maka dapat didefinisikan suatu modul yang erat kaitannya dengan deret komposisi.
Definisi 2.8 . Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul, 𝑀 dikatakan  modul  uniserial  apabila  memiliki  deret komposisi yang tunggal.

## 2.2. Gelanggang Uniserial
Objek pada teori modul secara umum didefinisikan dari terminologi pada teori gelanggang.    Pada  artikel  ini  akan  dilakukan  sebaliknya,  dengan  mendefinisikan gelanggang uniserial dari modul uniserial.
Definisi 2.7 . Misal 𝑅 gelanggang  komutatif  maka  radikal  Jacobson  didefinisikan  sebagai 𝐽(𝑅) = {𝑟 ∈ 𝑅|𝑉𝑟 = {0} untuk setiap 𝑉 modul sederhana atas 𝑅 }
Sebagai contoh, gelanggang ℤ 36 punya 𝐽(𝑅)  {0 ,6 , (12), (18, ), (24), (30)} . Secara  operasional,  menentukan  radikal  Jacobson  dari  suatu  gelanggang menggunakan  Definisi  2.7  tidak  praktis.    Teorema  berikut  membantu  proses pencarian radical Jacobson lebih mudah.
Teorema 2.6 . Jika 𝑅 gelanggang komutatif, maka 𝐽(𝑅) adalah irisan semua ideal maksimal dari 𝑅 . Bukti: Misal 𝑀 ideal  maksimal  dari 𝑅 sebarang  maka 𝑅/𝑀 sederhana,  jadi 0 + 𝑀 = (1 + 𝑀)𝑗  =  𝑗 + 𝑀 untuk  setiap 𝑗  ∈  𝐽(𝑅) .    Akibatnya 𝑗  ∈  𝑀 untuk  setiap 𝑗  ∈ 𝐽(𝑅) , ini mengakibatkan 𝐽(𝑅) ⊆  𝐽 , dengan 𝐽 adalah irisan semua ideal maksimal dari 𝑅 .
Sebaliknya  misal 𝑀 sebarang  modul  sederhana  dari 𝑅 ,  jadi  berlaku 𝑀 = 𝑅𝑚 , untuk sebarang 𝑚 yang tak nol di 𝑀 . Sekarang buat pemetaan 𝛷: 𝑅  → 𝑀 dengan 𝑟 dipetakan ke 𝑟𝑚 .  Jika 𝑟 1 = 𝑟 2 maka jelas 𝑟 1 𝑚 = 𝑟 2 𝑚 , jadi 𝛷 terdefinisi dengan baik.
Untuk  sebarang 𝑟 1 , 𝑟 2 di 𝑅 , 𝛷(𝑟 1 +   𝑟 2 )   =    (𝑟 1 + 𝑟 2 )𝑚  =    𝑟 1 𝑚  +   𝑟 2 𝑚  = 𝛷(𝑟 1 )   +  𝛷 (𝑟 2 ) jadi 𝛷 suatu homorfisma. Jika 𝑛 di 𝑀 maka 𝑛 = 𝑟’𝑚 untuk suatu 𝑟’ di 𝑅 , jadi 𝛷(𝑟’) = 𝑟’𝑚 = 𝑛 , jadi 𝛷 suatu epimorfisma.
𝐼𝑛𝑡𝑖 (𝛷) adalah ideal dari 𝑅 , misal 𝐼 ideal 𝑅 sehingga 𝐼𝑛𝑡𝑖 {𝛷}   ⊂  𝐼 .  Karena 𝑀 sederhana  maka 𝛷(𝐼) = 𝑀 .  Dilain  pihak 𝛷 suatu  epimorfisma,  jadi 𝛷(𝑅) = 𝑀 , akibatnya 𝑅 = 𝐼 .  Jadi 𝐼𝑛𝑡𝑖{ 𝛷} adalah  ideal  maksimal  dari 𝑅 .  Jadi 𝐽  ⊆  𝐼𝑛𝑡𝑖{𝛷} . Karena 𝑀 dan 𝑚 diambil  sebarang  dan 𝑗𝑚 = 0 untuk  setiap 𝑗 ∈ 𝐽 dan 𝑚 ∈ 𝑀 maka 𝐽  ⊆  𝐽(𝑅) .  Jadi 𝐽(𝑅) adalah irisan semuah ideal maksimal dari 𝑅 . ∎
Radikal Jacobson mempunyai sifat lain yaitu 𝑀𝐽(𝑅) adalah superfluous  untuk 𝑀 suatu  modul  atas 𝑅 yang  dibangun  oleh  berhingga  unsur.  Untuk  menunjukan sifat ini akan digunakan sifat berikut.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Teorema 2.7 . (Lema Nakayama) Misal 𝑉 adalah modul atas gelanggang 𝑅 yang dibangun oleh berhingga unsur dan 𝑀 submodul dari 𝑉 .
(1) Jika 𝑀 submodul  sejati 𝑉 ,  maka  terdapat  submodul  maksimal 𝐴 dan 𝑀 ⊆ 𝐴 ⊆ 𝑉 .
(2) Jika 𝐽 = 𝑅𝑎𝑑(𝑅) dan 𝑉 = 𝑀 + 𝑉𝐽 , maka 𝑉 = 𝑀 .
Berdasarkan lema Nakayama, akan dibuktikan sifat radikal Jacobson
Teorema 2.8 . Misal 𝑅 gelanggang  dan 𝐽 =  𝐽(𝑅) .    Maka  untuk  setiap 𝑀 modul  atas 𝑅 yang dibangun oleh berhingga unsur berlaku 𝑀𝐽 ⊂ 𝑆 𝑀 . Bukti:
Misal 𝑀 sebarang 𝑅 -modul, maka 𝑀𝐽 suatu submodul dari 𝑀 . Ambil submodul di 𝑀 sebarang, misal 𝑁 , sehingga 𝑀𝐽  +  𝑁  =  𝑀 .  Menurut Lema Nakayama 𝑁 = 𝑀 .  Jadi 𝑀𝐽 ⊂ 𝑆 𝑀 . ∎
Jika sebelumnya telah diberikan istilah modul Artin dan modul uniserial,  pada bagian ini diberikan istilah gelanggang Artin dan gelanggang uniserial.
Definisi 2.9 . Misalkan 𝑅 gelanggang  komutatif, 𝑅 dikatakan  gelanggang  Artin  jika 𝑅 -modul 𝑅 adalah modul Artin.
Definisi 2.10 . Misalkan 𝑅 gelangggang  komutatif, 𝑅 dikatakan  gelanggang  uniserial  jika  modul 𝑅 atas dirinya sendiri adalah modul uniserial.
Definisi 2.11 . Misalkan 𝑅 gelanggang  komutatif, 𝑅 dikatakan  gelanggang  lokal  jika 𝑅 hanya memiliki satu ideal maksimal.
Definisi 2.12 . Misalkan 𝑅 gelanggang  komutatif, 𝑅 dikatakan  gelanggang  ideal  utama  jika semuah idealnya dibangun oleh satu unsur.
Mudah dilihat apabila 𝑅 gelanggang uniserial, maka 𝑅 juga adalah gelanggang Artin dan gelanggang lokal. Hal ini akan kita bahas pada sifat berikut.
Teorema 2.9 . Misal 𝑅 gelanggang  komutatif.    Jika 𝑅 gelanggang  uniserial,  maka 𝑅 gelanggang Artin sekaligus gelanggang lokal.
Bukti:
Misal 𝑅 gelanggang  uniserial,  maka  modul 𝑅 atas  dirinya  sendiri  punya  deret komposisi secara tunggal, yakni {0} =   𝑅 0 ⊆ 𝑅 1 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑅 𝑛−1 ⊆ 𝑅 𝑛 = 𝑅 .  Jelas 𝑅 tidak memiliki submodul yang lain.
Misalkan  gelanggang 𝑅 punya  dua  ideal maksimal  yaitu 𝐴 dan 𝐵 .    Karena 𝑅 𝑖 juga  merupakan  ideal  gelanggang 𝑅 maka  submodul  maksimal 𝑅 𝑛−1 merupakan

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
salah  satu  dari 𝐴 atau 𝐵 .    Tanpa  mengurangi  perumuman,  misalkan 𝑅 𝑛−1 = 𝐴 . Tapi 𝐵 juga submodul maksimal dari 𝑅 , karena 𝑅 tidak punya submodul lain maka 𝐴 = 𝐵 .  Jadi 𝑅 gelanggang lokal.
Misal 𝛷 sebarang  koleksi  tak  hampa  dari  submodul-submodul 𝑅 ,  jelas 𝛷 anggotanya  hingga  (paling  banyak 𝑛 + 1 ).  Karena  anggota 𝛷 adalah  elemen- elemen  dari  deret  komposisi  diatas  maka 𝛷 punya  anggota  minimal.    Jadi  R gelanggang Artin. ∎
Apabila 𝑅 suatu  gelanggang  Artin,  maka 𝑅 belum  tentu  gelanggang  uniserial, contohnya ℤ 6 dengan  dua  deret  komposisi ℤ 6 ⊃ 〈2〉 ⊃ 〈0〉 dan ℤ 6 ⊃ 〈3〉 ⊃ 〈0〉 . Demikian  juga  apabila 𝑅 suatu  gelanggang  lokal, 𝑅 belum  tentu  gelanggang uniserial, contohnya 𝑅 = {(( 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 𝑐 0 0 𝑎 ) |𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ)} .
Sebelum  dibahas  karakterisasi  gelanggang  uniserial,  akan  ditunjukan  suatu kondisi gelanggang merupakan gelanggang uniserial tanpa melibatkan ketunggalan deret komposisi.
Teorema 2.10 . Misalkan 𝑅 gelanggang Artin dan  lokal dengan ideal maksimal 𝐽 .  Gelanggang 𝑅 uniserial  jika  dan  hanya  jika 𝑂 ⊆ 𝐽 𝑛 ⊆ ⋯ … ⊆ 𝐽 ⊆ 𝑅 suatu  deret  komposisi  dari modul 𝑅 atas 𝑅 . Bukti: Misal 𝑅 gelanggang uniserial, jadi modul 𝑅 atas dirinya punya deret komposisi,
{0} ⊂ 𝑅 𝑛 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑅 2 ⊂ 𝐽 ⊂ 𝑅 .    Misal 𝑎  ∈  𝐽 dan 𝑎 ∉   𝑅 2 ,  jelas 𝑎 ≠ 0 .  Karena 𝑅 uniserial  maka 𝑎𝑅 = 𝐽 ,  menurut  Teorema  2.9  diperoleh 𝑎𝐽 submodul  maksimal dari 𝐽 ,  jadi 𝑅 2 = 𝑎 2 𝑅 = 𝐽 2 .    Dengan  cara  sama  diperoleh 𝑅 𝑘 = 𝐽 𝑘 untuk 𝑘 = 3, … , 𝑛 .  Jadi 𝑂 ⊆ 𝐽 𝑛 ⊆ ⋯ … ⊆ 𝐽 ⊆ 𝑅 suatu deret komposisi. Sebaliknya misal 𝑂 ⊆ 𝐽 𝑛 ⊆ ⋯ … ⊆ 𝐽 ⊆ 𝑅 suatu deret komposisi dari 𝑅 -modul R.  Misal 𝑂 ⊆ 𝑅 𝑛 ⊆ ⋯ … ⊆ 𝑅 2 ⊆ 𝐽 ⊆ 𝑅 suatu deret komposisi yang lain, andaikan 𝑅 2 ≠ 𝐽 2 ,  didapatkan 𝑅 2 + 𝐽 2 submodul  terkecil  yang  memuat 𝑅 2 dan 𝐽 2 ,  maka 𝑅 2 + 𝐽 2 = 𝐽 .    Menurut  Lema  Nakayama 𝑅 2 = 𝐽 (kontradiksi),  jadi  haruslah 𝑅 2 = 𝐽 2 .    Dengan  cara  sama  dapat  diperoleh 𝑅 𝑘 = 𝐽 𝑘 ,  akibatnya  deret  komposisinya tunggal.  Jadi 𝑅 gelanggang uniserial. ∎
Teorema 2.11 . Misalkan 𝑅 gelanggang komutatif, maka ketiga peryataan berikut ekivalen
(1) Gelanggang 𝑅 uniserial
(2) Gelanggang 𝑅 Artin, lokal, gelanggang ideal utama
(3) Gelanggang 𝑅 Artin, lokal dan memiliki radikal Jacobson yang dibangun oleh satu unsur.
Bukti :
(1) ⇒ (2)
Misalkan 𝑅 gelanggang  uniserial.    Karena 𝑅 uniserial  dari  sifat  sebelumnya didapat 𝑅 lokal  dan  Artin,  sekarang  tinggal  ditunjukan 𝑅 gelangang  ideal  utama. Karena 𝑅 gelanggang  uniserial,  maka  modul  regularnya  punya  deret  komposisi yang  tunggal,  misal {0} = 𝑅 0 ⊆ 𝑅 1 ⊆ ⋯ ⊆ 𝑅 𝑘−1 ⊆ 𝑅 𝑘 = 𝑅 adalah  deret

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
komposisinya dengan panjangnya k, dari sifat sebelumnya semua submodul dari R adalah { 𝑅 𝑚 }, dengan 𝑚 = 0, 1, 2, … . , 𝑘 .  Sekarang tinggal ditunjukkan bahwa 𝑅 𝑚 dibangun oleh satu unsur untuk setiap 𝑚 . Untuk 𝑅 0 jelas  dibangun  oleh  satu  unsur  yaitu 0 .    Ambil 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑘} sebarang,  misalkan 𝑎 ∈   𝑅 𝑖 ,  tapi 𝑎 ∉   𝑅 𝑖−1 ,  maka 𝑎𝑅 adalah  submodul 𝑅 𝑖 ,  tapi 𝑅 𝑖 − 1 ≠ 𝑎𝑅 karena 𝑎 1 =  𝑎 ∉   𝑅 𝑖−1 .  Andaikan 𝑎𝑅 tidak memuat 𝑅 𝑖−1 , maka bisa dibangun rantai baru yaitu 𝑅0 ⊂ 𝑎𝑅 ⊂ 𝑅 1 ⊂ ⋯ . . ⊂ 𝑅 𝑘−1 ⊂ 𝑅 𝑘 =  𝑅 , dan dari sifat sebelumnya  rantai  ini  bisa  kita  perhalus  jadi  deret  komposisi  yang  lain  dari 𝑅
(kontradiksi dengan 𝑅 uniserial).  Jadi haruslah 𝑎𝑅 memuat 𝑅 𝑖−1 . Karena 𝑅 𝑖 /𝑅 𝑖−1 adalah modul sederhana, dari sifat sebelumnya kita tahu tidak ada submodul lain diantara 𝑅 𝑖 dan 𝑅 𝑖−1 , jadi 𝑅 𝑖 = 𝑎𝑅 , jadi 𝑅 𝑖 dibangun oleh satu unsur.      Karena 𝑖 diambil  sebarang maka setiap  submodul 𝑅 senantiasa  dibangun oleh satu unsur.  Jadi R gelanggang ideal utama.
(2) ⇒ (3) Misalkan 𝑅 gelanggang  Artin,  lokal,  dan  gelanggang  ideal  utama.    Misal 𝐽 adalah ideal maksimal dari 𝑅 , karena 𝑅 lokal maka 𝐽 tunggal, dari sifat sebelumnya kita peroleh 𝐽(𝑅) = 𝐽 . Karena 𝑅 gelanggang ideal utama maka 𝐽 = 𝐽(𝑅) dibangun oleh satu unsur.
(3) ⇒ (1) Misalkan 𝑅 Artin, lokal dan memiliki Jacobson radical yang dibangun oleh satu unsur.    Karena 𝑅 lokal  maka  ideal  utama  maksimal 𝑅 unik,  namakan 𝐽 .    Dari definisi 𝐽(𝑅) adalah  irisan  semuah  ideal  maksimal 𝑅 .  maka  didapatkan 𝐽(𝑅) = 𝐽 . Jadi 𝐽 dibangun  oleh  satu  unsur,  namakan 𝑎 ,  maka 𝐽 = 𝑅𝑎 .    Misal 𝑎 = 0 ,  maka 𝐽  = {0} ,    jelas 𝑅 gelanggang  uniserial.    Sekarang  misalkan 𝑎 ≠ 0 ,  menurut Teorema  2.3, 𝐽𝑎  =  𝑅𝑎 2 = 𝐽 2 adalah  submodul  maksimal  dari 𝑅𝑎 ,  jadi 𝑅 2 = 𝑅𝑎 2 .  Dengan cara sama, didapatkan 𝑅 𝑘 =  𝑅𝑎 𝑘 =   𝐽 𝑘 untuk semua 𝑘 .  Jadi kita punya  suatu  barisan  turun … . ⊆ 𝐽 𝑛 ⊆ ⋯ … ⊆   𝐽 2 ⊆ 𝐽 ⊆ 𝑅, dengan 𝐽 𝑘 /𝐽 𝑘−1 sederhana untuk setiap 𝑘 .
Karena 𝑅 Artin  maka  koleksi  submodul 𝑅 yang  isinya  semuah  submodul  dari barisan  diatas  ini  punya  unsur  minimal,  misal 𝐽 𝑚 ,  jadi 𝐽 𝑚+𝑖 = 𝐽 𝑚 untuk  setiap 𝑖 . Atau  dengan  kata  lain 𝑅𝑎 𝑚 =  𝑅𝑎 𝑚+𝑖 untuk  setiap 𝑖 .    Jadi 1𝑎 𝑚+1 = 1𝑎 𝑚 atau 𝑎𝑚 𝑎−1 = 0 ,  andaikan 𝑎 − 1 tidak punya invers, maka 𝑅(𝑎 − 1) adalah submodul
𝑅 yang  tak  trivial,  karena 1 ∉ 𝑅(𝑎 − 1) .    Karena 𝐽 ideal  maksimal,  maka 𝑅(𝑎 − 1) ⊆ 𝐽 , akibatnya 𝑎 − 1 ∈  𝐽 , ini menyebabkan 1  ∈  𝐽 (Kontradiksi dengan 𝐽 ideal maksimal).    Jadi  harusnya 𝑎 − 1 punya  invers,  ini  mengakibatkan 𝑎𝑚 = 0 ,  jadi 𝐽 𝑚 =   {0} .
Jadi  diperoleh  barisan {0} ⊂ 𝐽 𝑚−1 ⊂ ⋯ . . ⊂ 𝐽 2 ⊂ 𝐽 ⊂ 𝑅 dengan 𝑅/𝐽 dan 𝐽 𝑖 / 𝐽 𝑖+1 sederhana untuk 𝑖  ∈   {1,2, … , 𝑚 − 1} ,  jadi barisan ini adalah deret komposisi. Menurut Teorema 2.10, 𝑅 gelanggang uniserial. ∎

## 3. Kesimpulan
Tanpa  melibatkan  ketunggalan  deret  komposisi,  gelanggang  uniserial  dapat dikarakterisasi  menjadi  gelanggang  Artin  dan  lokal  yang  ideal  utama  atau  yang memiliki radikal Jacobson yang dibangun oleh satu unsur.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
4. Daftar Pustaka
[1] Arifin,  S.,  Garminia,  H.,  and  Astuti,  P.,  Finitely  Generated  Modules's Uniserial Dimensions Over a Discrete Valuation Domain, Mathematics and Statistics 9(4) , 521 – 526, 2021.
[2] Garminia, H.,  Astuti, P., Irawati, Note on Dedekind Modules, International Journal of Algebra 5 (10) , 491-498, 2011.
[3] Hijriati, N., Wahyuni, S., Wijayanti, I. E., On representation of a ring on a free  module  over  a  commutative  ring  with  identity, Journal  of  Physics: Conference Series 893 (1), 012010, 2017.
[4] Juliana, R., Wardhana, I. G. A. W., and Irwansyah, Some Characteristics of Cyclic  Prime,  Weakly  Prime  and  Almost  Prime  Submodule  of  Gaussian Integer Modulo Over Integer, AIP Conference Proceedings 2329 (1) , 020004, 2021
[5] Maulana, F., Wardhana, I. G. A. W., and Switrayni, N. W., Ekivalensi Ideal Hampir  Prima  dan  Ideal  Prima  pada  Bilangan  Bulat  Gauss, Eigen Mathematics Journal 1 (1) , 1-5, 2019.
[6] Misuki,  W.  U.,  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  and  Switrayni,  N.  W.,  Some Characteristics of Prime Cyclic Ideal On Gaussian Integer Ring Modulo, IOP Conference  Series:  Materials  Science  and  Engineering  1115  (1) ,  012084, 2021.
[7] Wardhana, I. G. A. W., Nghiem, N. D. H., Switrayni, N. W., Aini, Q., A Note On Almost Prime Submodule Of CSM Module Over Principal Ideal Domain, Journal of Physics: Conference Series 2106 (1) , 012011, 2021.
[8] Wardhana, I. G. A. W., Astuti, P.,  and Muchtadi-Alamsyah, I.,  On Almost Prime Submodules of a Module over a Principal Ideal Domain, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications 38 (2) , 121-128, 2016.
[9] Wisbauer,  Robert, Foundation  of  Module  and  Ring  Theory, Gordon  and Breach, 1991.