## UPPER RADICAL DAN LOWER RADICAL

## Agustina Pradjaningsih
Jurusan Matematika,  Fakultsa MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia e-mail: agustina.fmipa@unej.ac.id
Abstract. The attribute of Radical is expansion from ring character. This radical attribute could classified became two class of radical. That were u pper radical and lower radical . This article will tell about two class of those radicals. Finally, from upper radical and lower radical concept could reborn the others radicals characters, which were essentially based from those two types of radicals.
Keywords: radical, upper radical, lower radical
MSC 2020 : 13B99

## 1. Pendahuluan
Sifat-sifat dasar radical pada ring telah diperkenalkan oleh Agustina (2003). Sifat dasar radical  tersebut  dipartisi  menjadi  dua  klas  radical  yaitu upper  radical dan lower radical .[3]. Semua pengertian dasar dari ring pada tulisan ini diambil dari [2]. Sebelum sampai  ke  sifat  dua  klas  radical  tersebut  perlu  diingat  terlebih  dahulu  definisi  dari radical.
R adalah sifat suatu ring . Suatu ring dengan sifat R disebut R -ring . Ideal I dari ring A disebut R -ideal , jika I merupakan R -ring. Jika ada R -ideal dari ring A yang memuat setiap R - ideal yang lain dalam A maka R - ideal tadi disebut dengan R -radical dari A ditulis  dengan R ( A ).  Ring A dikatakan R -semisimpel jika R -ideal di A hanyalah R - ideal nol {0}.
Definisi 1. Diberikan R sifat suatu ring. R adalah radical jika memenuhi
(i) Setiap homomorphic image A  dari R -ring A merupakan R -ring (ii) Setiap ring A mempunyai R -radical R ( A ).
(iii) Ring kuosen A / R ( A ) merupakan R -semisimpel [ R ( A / R ( A ))={0}]
Definisi  2. Diberikan  ring A dan R sifat  radical.  Jika R ( A )  = A terpenuhi  maka dikatakan A adalah R-radical ring.
Selanjutnya, disamping  Definisi 1 diatas, untuk menunjukkan apakah R suatu ring yang bersifat radical juga dapat digunakan teorema dibawah ini yang ekuivalen dengan definisi diatas.
Teorema 1. Sifat R adalah radical jika dan hanya jika (i’) Setiap homomorpic image A  dari R -ring A adalah R -ring (ii’) Jika setiap homomorphic image tidak nol dari ring A memuat R -ideal tidak nol maka A adalah R -ring. Bukti dapat dilihat di [1].
Tujuan dari tulisan ini adalah untuk memahami dua klas radical  yaitu upper radical dan  lower  radical  ditinjau  dari  sifat-sifatnya.  Dua  klas  radical  tersebut  menmdasari sifat radical yang lain seperti sifat radical hereditary dan dekomposisi klas radical [3].

## 2. Hasil dan Pembahasan

## 2.1 Upper Radical
K sebarang klas dari ring-ring. Pada klas ini, sifat radical R untuk semua ring dalam K adalah R -semisimple  ring.  Selanjutnya  akan  diberikan  sifat-sifat  yang  berkaitan dengan R -semisimple.
Teorema 2. Diberikan ring A R- semisimple. Setiap ideal A adalah R -semisimple ring. Bukti :
Ambil  sebarang I ideal A sehingga  terdapat R ( I ) R- radical I .  Akan  ditunjukkan R ( I )={0}. Diketahui setiap ring A mempunyai R- radical R ( A ). A adalah R -semisimple ring  sehingga R ( A )={0}.  Karena I ideal A sehingga R ( I )  R ( A ).  Jadi R ( I )={0}. Terbukti setiap ideal dari R -semisimple ring A adalah R -semisimple ring.
Teorema 3. Diberikan ring tidak nol A . Untuk suatu sifat radical R dari ring tidak nol A , maka A adalah R -radical ring jika dan hanya jika A tidak dapat dipetakan secara epimorphisma ke R -semisimple ring tidak nol.
Bukti :
(1) Jika A R -radical ring, maka menurut Teorema 1 maka homomorphic image dari R -ring A juga merupakan R -ring.
Andaikan diambil B R -semisimpel ring tidak nol sehingga B A   : epimorphisma dengan 0 ) (    B A .
Diketahui B R -semisimpel  ring  sehingga R ( B )={0}.  Karena B A   ) ( jadi } 0 { ) ( R )] ( [ R    B A .  Padahal )] ( [ R A  tidak  selalu  sama  dengan  nol.  Tetapi ) ( } 0 { A   sehingga ) ( ) ( R A B   dan ) ( A  bukan  himpunan  bagian ) ( R B . Kontradiksi  .  Terbukti A tidak  dapat  dipetakan  secara  epimorphisma  ke R - semisimpel ring tidak nol. ) ( 
(2) Andaikan A bukan R -radical ring. Menurut Teorema 1 tidak setiap homomorphic image tidak nol dari ring A memuat R -ideal tidak nol. Jadi ada homomorphic image tidak  nol  yang  memuat R -ideal  nol.Sehingga ) ( } 0 { A
  .  Jadi  homomorphic image ) ( A  adalah R -semisimpel ring tidak nol. Padahal A tidak dapat dipetakan secara  epimorphisma  ke R -semisimpel  ring    tidak  nol.  Kontradiksi.  Jadi A R - radical ring. ) ( 
Teorema 4. Diberikan sebarang klas K, maka pernyataan dibawah ini ekuivalen.
(i) Setiap ideal dari suatu ring dalam K berada dalam klas K.
) i (  Setiap ideal tidak nol I dari ring A dalam K dapat dipetakan secara epimorphisma ke ring tidak nol B dalam K.
Bukti :
(1) Ambil A ring dalam K maka A R -semisimpel.  Ambil I ideal A dengan } 0 {  I maka I  K . Jadi I R -semisimpel. Karena I R -semisimpel maka R ( I )={0}. Dibentuk pemetaan dari I ke ) ( I  dengan } 0 { ) (   I . ) ( I  pasti mempunyai )] ( [ R I  . Akan ditunjukkan } 0 { )] ( [ R   I . )] ( R [ ) ( R I I  
Karena R ( I )={0}maka } 0 { )] ( [ R   I .  Andaikan )] ( R [ I  bukan R -radical  maka ada ideal J dengan ) ( )] ( R [ I J I     . J merupakan peta dari suatu ideal di I yang  memuat R ( I ),  padahal R (I) R -radical  I.  Kontradiksi.  Maka )]
( R [ I  R -
radical ) ( I  .  Jadi } 0 { )] ( [ R )] ( R [     I I .  Jadi ) ( I  R -semisimpel.  Sebut B I   ) ( . B  K . ) i (i  
(2) Diberikan ring A R -semisimpel dan I ideal A dengan } 0
{  I . A  K sedangkan I  A maka I  K. i) i (  
Teorema  5. Diberikan  suatu  klas K .  Klas K adalah  keluarga  ring-ring  yang R - semisimple untuk suatu sifat radical R jika dan hanya jika
(i) Setiap ideal dari suatu ring dalam K berada dalam klas K .
(ii) Jika setiap ideal tidak nol dari suatu ring A dipetakan secara epimorphisma ke ring tidak nol dalam K maka A berada dalam klas K .
Bukti :
(1) Ambil sebarang K klas dari semua R -semisimple ring dan I ideal A dengan A  K . Jadi A R -semisimple ring. Menurut Teorema 2 I  K .terbukti (i).
Ambil A bukan R -semisimple, berarti R ( A )  (0). Jadi A mempunyai R -radical R ( A ) tidak nol. R ( A ) R -ideal sekaligus R -ring. Sehingga R ( A ) merupakan ring tidak nol. Menurut Teorema 3 ring R ( A ) ini tidak dapat dipetakan secara epimorphisma ke R -semisimple ring tidak nol. Jadi A R -semisimple dan A  K . terbukti (ii).(  )
(2) Diberikan klas K yang memenuhi Teorema 5. Didefinisikan sifat radical R untuk K yang merupakan klas dari semua ring yang R -semisimple di mana jika A tidak dapat dipetakan secara epimorphisma ke ring tidak nol dalam klas K maka A R - ring. Akan ditunjukkan memenuhi Teorema 1.
(a) Menurut Teorema 4 diketahui bahwa setiap ideal tidak nol I dari ring A dalam K dapat dipetakan secara epimorphisma ke ring tidak nol B dalam K . Karena I merupakan ring tidak nol, maka homomorphic image dari I merupakan ring tidak nol.
(b) Diketahui A ring dengan setiap homomorphic image dari A memuat R -ideal tidak  nol.  Andaikan A bukan R -ring,  maka A dapat  dipetakan  secara epimorphisma  ke  ring  tidak  nol A  dalam K. . A  juga  mempunyai R -ideal tidak nol I , yang diasumsikan mempunyai sifat seperti A . Jadi I bukan R -ring maka I dapat  dipetakan  secara  epimorphisma  ke  ring  tidak  nol  dalam K , sehingga I  K tetapi disamping itu I bersifat seperti A yang berarti jika I tidak dapat dipetakan secara epimorphisma ke ring tidak nol dalam K maka I R -ring, sehingga A R -ring.
(c) Ambil sebarang ring A  K . Ambil sebarang ideal I  A maka I  K . Ideal I selalu dapat dipetakan secara epimorphisma ke I sendiri, maka I bukan R -ring, jadi I bukan R -ideal.  Akibatnya R -ideal  satu-satunya  hanya  {0}.  Sehingga A R - semisimple. Ambil B R -semisimple maka menurut teorema 2.1 untuk setiap ideal J  B , J  {0}  adalah R -semisimple.  Sehingga J dapat  dipetakan  secara epimorphisma  ke  ring  tidak  nol  di K, yaitu J dapat  dipetakan  oleh homomorphisma identitas ke J . Andaikan J  K maka J bukan R -semisimple, jadi J  K. Terbukti B  K .(  )
Diberikan K sebarang  klas  dari  ring-ring, K   perluasan  dari  klas K yang  memuat semua subring yang diperoleh dari K . Diberikan pula K  klas dari semua ring dengan sifat bahwa setiap ideal tidak nol dapat dipetakan secara epimorphisma ke ring tidak nol dari K , maka K  K , dan K  memenuhi teorema 5. Oleh karena itu semua ring yang berada dalam K  adalah R -semisimple.
Sifat radical R disini disebut dengan sifat upper radical yang ditentukan oleh klas K . Selanjutnya R -radical ring dari ring A disebut upper radical dari A . Setiap ring dalam K adalah R -semisimple  sebab K  K .  Selanjutnya  akan  diberikan  teorema  yang berhubungan dengan klas upper radical tersebut.
Teorema 6. Jika diberikan K sebarang klas dari ring-ring, K  klas semua subring yang diperoleh  dari K , K   klas  dari  ring-ring  dengan  sifat  setiap  ideal  tidak  nol  dapat dipetakan secara epimorphisma ke ring tidak nol dalam K , R  sebarang sifat radical
dimana semua ring dalam K adalah R  -semisimple ring dan R sifat upper radical yang ditentukan oleh klas K , maka R R   .
Bukti :
Ambil sebarang ring A  K sehingga A R  -semisimple. Diketahui
K  K sehingga K  A .  Diketahui  pula  bahwa  semua  ring  yang  berada  dalam K   adalah R - semisimple, sehingga A juga R -semisimple maka terbukti
R R   .

## 2.2 Lower Radical
Diberikan K sebarang klas dari ring-ring. Pada bagian ini sifat radical untuk semua ring dalam K adalah R -radical  ring. Bentuk-bentuk disini menggunakan pengertian bilangan ordinal.
Definisi 3. Ring A dikatakan berderajat dua atas K , jika setiap homomorphic image tidak nol dari A memuat ideal tidak nol, dan ideal ini merupakan ring berderajat satu atas K atau A sendiri berderajat satu atas K .
Definisi 4. Diberikan  bilangan ordinal sehingga  -1 ada untuk bilangan ordinal  . Ring A dikatakan berderajat  atas K jika setiap homomorphic image tidak nol dari A memuat ideal tidak nol dan ideal ini merupakan ring berderajat  -1 atas K.
Definisi 5. Diberikan  bilangan limit ordinal. Ring A dikatakan berderajat  atas K , jika A berderajat  untuk sebarang bilangan ordinal  dan  <  .
Teorema 7. Setiap homomorphic image dari ring berderajat  atas K merupakan ring berderajat  .
Bukti :
Ambil A ring berderajat  atas K . Akan ditunjukkan ) ( A  berderajat  atas K .
(1) Untuk  =1. Karena ring A berderajat satu atas K maka ) ( A  juga berderajat satu atas K .
(2) Untuk  1 dan  bukan bilangan limit ordinal. Jika ring A berderajat  atas K dan ) ( A  adalah sebarang homomorphic image A maka setiap homomorphic image )] ( [ A   dari ) ( A  merupakan  homomorphic  image A ,  dan  jika } 0 { )] ( [    A maka )] ( [ A   pasti  memuat  ideal  tidak  nol  yang  berderajat  -1  atas K .  Dari Definisi 4 jelas ) ( A  berderajat  atas K .
(3) Jika  bilangan limit ordinal, maka A berderajat  atas K , untuk suatu bilangan ordinal  dengan  <  . Dipilih  sekecil mungkin maka  untuk setiap bilangan ordinal  <  sehingga A berderajat  atas K .  Dibentuk ) ( A  sebarang
homomorphic image A , sehingga setiap )] ( [ A   homomorphic image dari ) ( A 
merupakan  homomorphic  image A .  Jika } 0 { )] ( [    A maka )] ( [ A   pasti memuat ideal tidak nol yang berderajat  -1 atas K . Diambil  -1=  sehingga ) ( A  berderajat  atas K . Karena  <  maka menurut Definisi 5. ) ( A  berderajat  atas
K .
Teorema  8. Diberikan  dua  bilangan  ordinal  dan  .  Jika  <  maka  setiap  ring berderajat  atas K juga berderajat  atas K .
Bukti :
Ambil A ring berderajat  atas K .
(1) Untuk  >1 telah jelas dari Definisi 3.
(2) Jika  bukan bilangan limit ordinal. Ambil A ring berderajat  -1 atas K maka setiap homomorphic image } 0 { ) (   A juga berderajat  -1 atas K . Diambil  -1=  . Dari Definisi 4 A ring berderajat  atas K.
(3) Untuk  bilangan limit ordinal dan A ring berderajat  dengan  <  maka menurut Definisi 5. A merupakan ring berderajat  atas K .
Definisi 6. K* klas semua ring berderajat tertentu atas K . A merupakan R -ring jika dan hanya jika A  K* sehingga K  K* .
Akan ditunjukkan bahwa sifat R pada Definisi 6 bersifat radical.
Teorema 9. R bersifat radical
Bukti :
Akan ditunjukkan R memenuhi Teorema 1.
(i’) terpenuhi dari Teorema 7. Akan ditunjukkan (ii’) terpenuhi. Ambil A ring di mana setiap homomorphic image tidak nol ) ( A  memuat ideal tidak nol I berderajat  atas K . Misalkan  adalah bilangan ordinal yang lebih besar atau sama dengan  . Jelas  ada.  Menurut  Teorema  8  ideal I berderajat  dan A berderajat  +1  atas K .  Jadi A berderajat tertentu atas K sehingga A  K* . Jadi A R -ring. Terbukti R bersifat radical.
Sifat radical R disini disebut lower radical yang ditentukan oleh klas K . Selanjutnya R -radical dari ring A disebut lower radical dari A .
Teorema 10. Jika K klas dari ring-ring, R sifat lower radical yang ditentukan oleh klas K dan R  sebarang sifat radical dan untuk setiap ring yang berada dalam K adalah R 
-radical ring maka R R   .
Bukti :
Diketahui R dan R  memenuhi teorema 1 dan setiap ring dalam K adalah R  -radical ring. Andaikan setiap ring berderajat  adalah R  -ring.
Jika  bilangan limit ordinal dan ring A berderajat  dimana  maka A R  -ring.
Jika  -1 ada dan A ring berderajat  maka setiap  homomorphic image tidak nol dari A memuat ideal tidak nol I berderajat  -1. Oleh karena itu I adalah R  -ring. Jelas A sendiri R  -ring dari teorema 1. Terbukti R R   .

## 3. Kesimpulan
Berdasarkan  uraian  di  bagian  pembahasan  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  sifat radical dibagi menjadi dua klas sifat yaitu upper radical dan lower radical. Semua ring pada  klas  upper  radical  bersifat R -semisimpel  ring  sedang  pada  klas  lower  radical bersifat R -radical ring.
Jika diberikan R1 dan R2 dua sifat radical dan R1  R2 maka terdapat dua kejadian berikut :
1. Jika R1 -radical ring maka R2 -radical ring.
2. Jika R2 -semisimpel ring maka R1 -semisimpel ring.
Selanjutnya dari klas upper radical  dan lower  radical  dapat  diturunkan sifat  radical hereditary  dan  dekomposisi  dari  keduanya  yang  mendasari  pembagian  jenis-jenis radical lebih lanjut.

## Daftar Pustaka
[1] Agustina  P.  2002. Sifat-sifat  Dasar  Radical  pada  Ring ,  Majalah  Ilmiah Matematika dan Statistika Vol. 2, No. 2, 130 – 135.
[2] Birkhoff,  Garrett,  Mac  Lane,  Saunders.,  1979. Algebra ,  Second  Edition, Macmilan Publishing Co., Inc. New York.
[3] FA Szasz. 1981. Radical of Rings , John Wiley & Sons, Chichester.