Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321

## MODEL EKSPONENSIAL ESTIMASI EFEK PEMBATASAN PARSIAL (PPKM) DAN VARIAN DELTA COVID-19 DI DKI JAKARTA
Retno Maharesi Jurusan Teknik Informatika, Universitas Gunadarma
Corresponding Author * : Retno Maharesi , Jurusan Teknik Informatika, Universitas Gunadarma, Jl. Margonda Raya 110, Depok, Indonesia. Email: retnomaharesi@gmail.com Contact Person: 0812-8476-0861
Informasi Artikel: Diterima : 07 Desember 2022 Direvisi  : 20 Desember 2022 Diterima : 27 Desember 2022

## How to Cite:
Maharesi, R. (2023). Model Eksponensial Estimasi Efek Pembatasan Parsial (PPKM) dan Varian Covid-19 DKI Jakarta. Jurnal Theorems (The Original Reasearch of Mathematics , 7 (2), 255-266.

## ABSTRAK
Sebagai penyakit menular yang dipicu oleh Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2 (SARS-CoV-2), kode genetika virus terus berevolusi hingga sampai pada varian dominan yang diketahui adalahvtipe Delta yang memperpanjang pandemi di seluruh dunia. Dibandingkan dengan varianlain seperti Alfa, Beta dan Omicron yang lebih baru, varian Delta adalah salah satu yang paling parah menyerang sistem imun tubuh manusia, seperti yang dapat dilihat di situs Worldometer di mana jumlah kematian harian yang tinggi di banyak negara. Kondisi ini mendorong pemerintah untuk mengambil keputusan yang sangat sulit melalui sejumlah kebijakan pembatasan mobilitas penduduk yang sangat ketat. Penelitian ini dimaksudkan untuk mengukur pengaruh jumlah tes harian, pengaruh varian delta COVID-19 dan penerapan pembatasan aktivitas parsial dan mobilitas masyarakat terhadap pertumbuhan harian kasus positif di Provinsi DKI Jakarta. Dalam penelitian ini, kasus positif harian dimodelkan sebagai  fungsi pertumbuhan eksponensial basis 3yang estimasi parameternya dilakukan dengan menggunakan teknik regresi linierberganda. Hasil estimasi menunjukkan adanya pengaruh signifikan dengan taraf nyata 5 % dari varian Delta berdasarkan jumlah uji COVID-19 harian  terhadap jumlah kasus baru harian dengan faktor perkalian sekitar 2,6. Sedangkan pengaruh pembatasan sebagian aktivitas dan mobilitas masyarakat, secara kasar mampu secara signifikan dapat menekan hingga setengah dari potensi kasus positif harian yang mungkin terjadi.
Kata kunci : virus varian delta, pembatasan aktivitas komunitas, jumlah kasus positif harian, jumlah tes harian

## ABSTRACT
As an infectious disease triggered by Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2 (SARS-CoV-2), the Virus DNA evolves continuously to arrive at new variants of Corona Virus (COVID-19). Two dominant variants known were the former Delta and the later Omicron types which prolong the pandemic all over the world. As compared to the other variants such as Alfa, Beta, and the later Omicron, the Delta variant is amongst the worst attacked human immunity bodies, as can be seen on the Worldometer website which showed the high daily number of deaths in many countries. These conditions prompted the government to take very tough decisions through some very strict restrictions on population mobility. This study is intended to measure the effects of the number of testing, the influence delta variant of COVID-19, and the implementation of partial community and mobility activity restrictions on the daily growth of positive cases in the Capital city of Jakarta province. In this study, daily positive cases are modeled as an exponential growth function of a base 3 whose parameter estimation is carried out using multiple linear regression techniques. The estimation results indicated the presence of the Delta variant based on the daily tests significantly affected to the daily number of new cases with a multiplication factor of around 2.6. While the public mobility partial restrictions roughly were able to reduce to half of the potential daily positive cases that were likely to occur.
Keywords : delta variant virus, restrictions on community activities, the daily number of positive cases, daily number of tests.
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321

## PENDAHULUAN
Sindrom Pernafasan Akut Virus Corona 2 (SARS-CoV-2) menyebabkan penyakit COVID-19 yang  karenanya,  pada 11 Maret 2020 WHO  menyatakan pandemi COVID-19 secara resmi  (World Health Organization, 2020).  Dalam epidemiologi, angka reproduksi efektif Re(t) berperan sebagai indikator dalam menilai kondisi pandemi. Re(t) menunjukkan jumlah orang yang mungkin terinfeksi akibat tertular orang yang telah dikonfirmasi terinfeksi virus. Dalam (Weiss Sir Ronald Ross, 2013), empat parameter yang menentukan formulasi Re(t) meliputi durasi infeksi, frekuensi kontak antar orang dalam populasi, vaksinasi dan protokol kesehatan yang tepat untuk memutus penularan virus. Penyebaran COVID-19 berdampak pada hampir seluruh aspek di wilayah Indonesia, termasuk DKI Jakarta.  Sehingga  mengundang  pertanyaan kapan pandemi berakhir dan berapa banyak orang yang mungkin tertular sampai pandemi selesai. Model epidemiologi berbasis system persamaan diferensial beserta solusinya banyak digunakan oleh para peneliti untuk menjawab  pertanyaan  tersebut. Model digunakan mengestimasi populasi  rentan,  terinfeksi dan  pulih  selama pandemi. Beberapa peneliti, semisal  (Wahyudi, 2021)  memberikan solusi  numerik  dari  sistem persamaan diferensial untuk mensimulasikan ukuran populasi suspect S, infected, I dan recovered, R berdasarkan sejumlah asumsi tertentu. Hasil penelitian (Ma, 2020)  menunjukkan solusi untuk sistem SIR mengikuti pertumbuhan merujuk pada  keluarga  fungsi logistik. Untuk  pendugaan parameter modelnya,  dapat  digunakan prosedur pendugaan nonlinier menggunakan perangkat lunak seperti dalam (Pratikto, 2020). Dengan memandang data epidemiologi sebagai time series, (Benvenuto et al., 2020) memprediksi jumlah kasus positif COVID-19 dengan model ARIMA.
Pengurangan frekuensi kontak untuk menekan laju penularan COVID-19 dilakukan melalui pembatasan sosial  parsial  (PPKM)  dalam berbagai aktivitas. Studi simulasi yang dilakukan oleh (Fadhilah et al., 2021) menunjukkan bahwa setidaknya 50% dari pembatasan total kontak antar individu dalam suatu wilayah tertentu dapat menekan pandemi secara efektif. Di sisi lain, menurut WHO, pelacakan kontak untuk COVID-19 melibatkan identifikasi, penilaian, dan pengelolaan orang yang terinfeksi untuk mencegah penularan penyakit menular secara masif berdasarkan pasien yang teridentifikasi telah terpapar COVID-19. Pasien akan diawasi selama 14 hari di wilayah tempat terakhir kali  ditemukan.  Kemudian  studi oleh (Fetzer & Graeber, 2021)  menyarankan evaluasi pengujian dilakukan secara kontinyu berikut dengan pelacakan kontaknya. Pengendalian epidemi secara tidak langsung  dilakukan melalui  evaluasi intervensi Pemerintah yang menurut (Dixit et al., 2020)  dan (Hamra & Al Dallal, 2021)  dapat secara efektif memutus mata rantai penularan dari manusia ke manusia. Hal ini ditunjukkan dengan jumlah kasus baru memenuhi ketentuan indikator Re(t) kurang dari 1. Banyak negara menerapkan pembatasan sosial total atau lock down untuk mengisolasi daerah yang terinfeksi secara masif. Tetapi Indonesia memilih pembatasan sosial parsial, disesuaikan dengan tingkat darurat pandemi. Kebijakan ini dilakukan lagi di saat Pemerintah harus menghadapi pandemi
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
COVID-19 yang menyebabkan kematian dan pasien terinfeksi yang semakin besar jumlahnya pada sekitar Juni 2021.
Penelitian ini bertujuan untuk mengukur pengaruh pembatasan parsial pada berbagai aktivitas publik, jumlah tes harian dan juga penyebaran varian Delta COVID-19 terhadap jumlah kasus harian di wilayah DKI Jakarta.  Model regresi nonlinier eksponensial dengan  mengambil nilai basis berupa bilangan reproduksi varian Delta. Terlepas dari hasil penelitian oleh (Ghosh, 2020) yang menyatakan bahwa analisis maupun simulasi berdasarkan model SIR kurang baik untuk memprediksi angka kumulatif harian kasus COVID-19 untuk periode waktu tertentu di India. Serta mengingat karakteristik demografi India tidak jauh berbeda dengan Indonesia maka berdasarkan pernyataan (Ghosh, 2020), digunakan model fungsi eksponensial yang sesuai dengan plot dari data kasus positif harian terhadap watu.  Selain itu fungsi eksponensial memiliki manfaat dalam hal dapat ditransformasi menjadi fungsi logaritmik ke bentuk fungsi linear. Sehingga dengan sendirinya, estimasi parameter mengikuti model linier yang terdapat pada banyak program Statistik. Terdapat hubungan nyata antara logaritma jumlah kasus harian (random) dan logaritma dari jumlah tes harian (tidak random) dikarenakan banyaknya orang ditest ditentukan pihak berwenang. Sehingga dapat diasumsikan variable terikat jumlah kasus harian bergantung pada tiga variable independen yaitu, jumlah test harian dan dua variable dummy pembatasan sosial secara parsial dan adanya infeksi oleh varian Delta.

## METODE PENELITIAN
Data didapat dari situs internet Satgas Covid-19 Pemprov DKI Jakarta  merupakan  sampel purposive, sesuai kriteria yang dinyatakan oleh  (Etikan, 2016).  Tahapan dari penelitian meliputi pengolahan data menggunakan Ms Excel, yaitu pertama kali mengubah data tanggal ke data waktu diskrit t, sesuai dengan rekam data jumlah positif dan jumlah testing harian. Kemudian menyatakan data kasus positif dan jumlah testing harian sebagai nilai logaritma basis tiga. Berdasarkan pengamatan tanggal di saat jumlah kasus positif melonjak lebih dari 200% dibandingkan peiode sebelum dominasi varian delta dan juga PPKM maka nilai variabel dummy untuk pengukuran efek PPKM dan varian Delta ditentukan dalam bentuk variable biner bernilai 1 jika kondisi tersebut terpenuhi dan 0 jika tidak. Kemudian data tersebut siap digunakan untuk mengestimasi parameter  model eksponensial pertumbuhan kasus harian Covid-19 dengan basis bilangan reproduksi efektif varian Delta virus Corona yang didapat dari berbagai referensi jurnal penelitian terkait. Selanjutnya model eksponensial tersebut dibawa ke model regresi linear berganda yang melibatkan variabel dummy. Estimasi parameter model dilakukan menggunakan program perangkat lunak SPSS versi 17. Estimasi parameter model regresi yang memenuhi persyaratan asumsi model selanjunya digunakan untuk mendapatkan besarnya pengaruh variabel PPKM dan varian Delta COVID-19 dengan taraf nyata 5%.
Pembentukan Variabel Dummy Efek Varian Delta Dan Pembatasan Parsial (PPKM)
Pembentukan variabel dummy  untuk mengakomodasi efek pembatasan mobilitas parsial (PPKM) serta varian virus Delta. Variabel kualitatif penjelas dinyatakan dengan variabel dummy
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023
URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
bertujuan untuk mengetahui seberapa besar pengaruh masing-masing variabel  tersebut  terhadap keragaman dalam variabel dependen y. Dalam penelitian ini, pengukuran kuantitas kontribusi variabel dummy D1berupa status pembatasan mobilitas yang diterapkan sejak 3 Juli 2021 terhadap peningkatan jumlah kasus positif COVID-19 harian pada penduduk Ibu Kota Jakarta. Sedangkan untuk virus Delta varian Corona dikodekan sebagai variabel dummy  D2. Variabel dummy memiliki beberapa skala pengukuran kategori untuk mewakili atribut seperti yang dinyatakan oleh (Skrivanek, 2009). Dalam kasus ini, nilai variabel dummy adalah biner, yaitu bernilai 1 jika satuan pengamatan termasuk dalam suatu kategori dan 0 jika tidak termasuk dalam kategori tersebut, untuk semua pasangan pengamatan. Variabel dummy ini tidak berpengaruh pada validitas teknik regresi karena penilaian model didasarkan pada distribusi normal residual model seperti yang terlihat pada buku oleh (Walpole et.al., 2016)
Pembatasan sebagian aktivitas masyarakat secara ketat dilakukan guna menekan laju pertumbuhan kasus infeksi virus varian delta harian yang saat itu menjadi pandemi dunia. Pemberian nilai variabel dummy yang mengukur efek pembatasan aktivitas msyarakat secara  parsial, dipertimbangkan dengan mengingat bahwa efek reduksi terhadap kasus positif harian baru dapat dilihat setelah 14 hari kemudian  setelah penerapan tanggal pembatasan sosial. Dalam hal  ini pembatasan mobilitas dimulai sejak 17 Juli 2021. Deskripsi data berdasarkan (Kompas, 2021)untuk pembatasan kegiatan masyarakat menyebutkan 16 jenis dan bentuk kegiatan yang terbagi menjadi tiga kategori: Pertama, sebagai sektor esensial meliputi keuangan dan perbankan, pasar modal, sistem pembayaran, teknologi informasi dan komunikasi, hotel penanganan karantina non-COVID-19, dan industri berorientasi ekspor. Kedua sebagai sektor kritis meliputi bidang energi, kesehatan, keamanan, logistik dan transportasi, makanan, minuman dan industri penunjang, petrokimia, semen, objek vital nasional, penanggulangan bencana, proyek strategis nasional, konstruksi utilitas dasar, dan industri untuk memenuhi kebutuhan dasar. komunitas. Untuk sektor kritis, karyawan diperbolehkan bekerja dari kantor dengan menerapkan protokol kesehatan yang ketat. Ketiga, sektor lain selain yang disebutkan di atas dianggap tidak penting yang operasinya sangat terbatas baik dari segi durasi waktu dan personel yang diperbolehkan bekerja dan atau berkumpul di fasilitas publik atau swasta dibandingkan dengan kategori lain sebelumnya dan juga harus menerapkan peraturan yang ketat. protokol kesehatan.
Penentuan nilai variabel dummy D1 dengan memperhitungkan adanya pengaruh pembatasan aktivitas masyarakat melalui PPKM berdasarkan waktu mulainya, yaitu t1= 16 Juli 2021 sehingga jika keberadaan pembatasan parsial PPKM memenuhi kondisi pada Persamaan (1):
𝐷𝐷 1 = 1 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡>𝑡𝑡1 0 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡1 (1)
Data yang bersumber dari (Satgas COVID-19, 2021) menunjukkan bahwa tingkat infeksi virus selama periode pensampelan meningkat sekitar 100% dari rata-rata selama lebih dari 6 bulan sebelumnya. Pada penelitian ini,  jika lonjakan harian dalam kasus lebih dari 200% dari rata-rata kasus pada periode sebelum Juni. Karena perhitungan D2   dimulai pada t = 9 Juni 2021, maka keberadaan dari efek varian Delta diidentifikasi oleh tanggal datayang memenuhi Persamaan (2):
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
𝐷𝐷 2 = 1 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡>𝑡𝑡2 0 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡2 (2)
Inklusi variabel dummy dalam model sejalan dengan teori yang mendasari pengambilan keputusan dalam pengendalian epidemi, yaitu menjaga nilai bilangan reproduksi efektif Re(t)  tidak membesar  dari waktu ke waktu. variabel.
Pembentukan Model Pertumbuhan Kasus Harian Covid-19
Nilai Re(t) menggambarkan banyaknya orang yang dapat tertular oleh satu orang terkonfirmasi tertular penyakit tersebut (WHO, 2020). Formulasi bilangan reproduksi efektif meliputi empat aspek yang mendasari keputusan dalam pengendalian pandemi dinyatakan Persamaan (3)
𝑅𝑅 𝑒𝑒 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐷𝐷 κ 𝜏𝜏 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) 𝑁𝑁 (3)
Empat parameter dalam Persamaan (3) dapat dikelompokkan sebagai  faktor dalam dan  luar  yang memengaruhikerentanan infeksi virus pada individu di masa pandemi, yaitu:
a) Durasi infeksi (D)  yang cenderung mengikuti kondisi sistem kekebalan tubuh. Durasi infeksi singkat, dapat dicapai dengan distribusi sarana kesehatan yang terjaga. Hasil penelitian (Sanyaolu et al., 2020) menyebutkan bahwa COVID-19 untuk pasien dengan penyakit penyerta menyebabkan kondisi penderita semakin parah yang dapat menyebabkan kematian sehingga protokol kesehata ketat perlu selalu dijaga.
b) Tingkat kontak fisik ( κ ) per orang, dikurangi dengan menghindari kontak fisik langsung untuk setiap individu. Selain itu, penelitian oleh (Pung et al., 2021)  menemukan bahwa tindakan pemisahkan kasus positif dari populasi yang tidak terinfeksi dan penerapan jarak sosial dalam berinteraksi dapat  efektif menurunkan jumlah kasus positif per hari. Pemberlakuan jarak sosial oleh Pemerintah melalui pembatasan  mobilitas maupun aktivitas sosial baik dalam skala besar maupun kecil untuk beberapa periode waktu bergantung pada tingkat kedaruratan pandemi.
c) Penurunan risiko  penularan  hendaknyamerupakan  tanggung jawab pribadi  dengan memakai masker yang sesuai standard dan memastikan  kebersihan tangan sekiranya bersentuhan dengan area mulut, mata dan hidung. Faktor lingkungan semisal udara di mana seseorang paling banyak menghabiskan waktu untuk melakukan aktivitas sehari-hari  berpengaruhjuga pada penularan COVID-19. Sebagaimana penelitian (Wu et al., 2020) melaporkan bahwa di Cina, Amerika Serikat dan Italia yang memiliki kasus COVID-19 yang cukup tinggi memperlihatkan nilai korelasi yang signifikan antara partikel udara  dan kasus COVID-19,  yang ditunjukkan dengan kasus  baru meningkat.
d) Proporsi vaksinasi S(0)/N dilakukan dengan menjadwalkan program vaksinasi kepada sebagian besar penduduk provinsi Jakarta untuk mencapai kekebalan komunitas secepatnya.
Menurut (Ma, 2020), persamaan eksponensial umum untuk pemodelan pertumbuhan populasi untuk menggambarkan proses awal epidemi dalam banyak kasus, termasuk influenza, Ebola, HIV/AIDS dan juga COVID-19. Model pertumbuhan seperti pada (Wu et al., 2020)  diturunkan di
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
bawah ini untuk sampai pada model regresi linear berganda  agar nilai parameter dari model dapat diestimasi menggunakan perangkat lunak SPSS versi 17.
Persamaan diferensial yang mengambarkan laju pertumbuhan suatu ppulasi dapat dituliskan sebagai 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝐼𝐼 𝑝𝑝 ( 𝑡𝑡 ). Di sini, t = waktu, p bilangan dalam interval [0, 1], jika p = 1 maka memberikan solusi berupa fungsi pertumbuhan  eksponensial 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑡𝑡 ,  dengan  I(t)  dan  I0    secara beurutan adalah akumulasi individual yang terinfeksi saat t dan awal waktu pandemic dan r adalah laju pertumbuhannya.
Penulisan kembali 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) = ( 𝐼𝐼 0 1 / 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑟𝑟 ) 𝑡𝑡 dengan mengambil 𝑎𝑎 = 𝐼𝐼 0 1 / 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑟𝑟 sebagai bilangan dasar fungsi logarithma memberikan: 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑎𝑎 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) , beserta turunannya yaitu 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) ln 𝑎𝑎 . Selanjutnya, dengan mengganti  t  menjadi sebuah fungsi linear yaitu
0 1 1 2 2 = ) ( t t p pt t b b X t X e f b b X + + +…+ + serta dengan memperhitungkan bahwa  dI(t)/dt  sebagai variabel terikat yt  untuk merepresentasikan pertambahan kasus positif harian didapatkan formula 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) . Suku ln a pada ruas kanan dapat disatukan kepada konstanta    bo, yaitu dengan cara mengambil nilai logarithmanya terlebih dahulu pada kedua ruas persamaan diferensial di atas. Sehingga dihasilkan sebuah model exponential sebagaimana disajikan oleh Persamaan (4):
𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) , untuk t > 0 dan a> 0               (4).
Fungsional eksponensial di atas dapat  dibawa ke bentuk linier menggunakan basis logaritmik yang sesuai untuk data. Dengan mengambil suatu bilangan asli seperti pada (Seber & Wild, 2003) estimasi kuadrat terkecil dari parameter model regresi berganda yang diestimasi berdasarkan data sampel purposif dengan ukuran n = 103 diberikan oleh
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑦𝑦 𝑡𝑡 𝑗𝑗 = 𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 𝑋𝑋 1𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 2 𝑋𝑋 2𝑡𝑡 + … + 𝑏𝑏 𝑝𝑝 𝑋𝑋 𝑝𝑝𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 ,     untuk t = 1, 2, 3, …, 103.  (5)
Transformasi logaritma basis a memberikan estimasi persamaan regresi linear berganda dengan komponen galat acak et yang menyebar secara normal dengan rerata 0 dan ragam konstan untuk data disajikan oleh Persamaan (6). Pada persamaan (6), variabel acak dependen berupa logaritma jumlah kasus harian bergantung pada logaritma jumlah tes harian serta pengaruh varian Delta dan pembatasan aktivitas  secara parsial (PPKM). Sehingga diperoleh estimasi  persamaan regresi berganda linear berganda  yang memuat data berskala numerik (jumlah kasus dan test COVID-19  harian) dan data berskala nominal D1t dan D2t untuk mengukur pengaruh varian Delta dan PPKM:
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑦𝑦 𝑡𝑡 𝑗𝑗 = 𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 log 𝐽𝐽𝑡𝑡𝑒𝑒𝐽𝐽𝑡𝑡 1 𝑡𝑡 𝑗𝑗 + 𝑏𝑏 2 𝐷𝐷 1𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 3 𝐷𝐷 2𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 ,            untuk t = 1, 2, 3 … (6)
Untuk menetapkan basis logaritma yang sesuai dengan data, digunakan pertimbangkan dari hasil penelitian, seperti, survei penelitian oleh (Du et al., 2022) yang menghasilkan estimasi angka reproduksi efektif  dengan tingkat keyakinan 95% dari varian Omicron dalam kisaran nilai (2,05, 6,35)  dan rasio antara reproduksi efektif jumlah varian Omicron dan Delta menjadi (1.86, 3.56), berdasarkan temuan ini, angka reproduksi efektif varian Delta diambil sebesar 2.275 dibulatkan ke bilangan bulat terdekat menjadi 3. Model pertumbuhan eksponensial yang digunakan oleh (Syafarina et al., 2022) menunjukkan bahwa nilai Re(t) nasional adalah 3,014, sehingga dapat diasumsikan bahwa baik variabel dependen
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
maupun variabel independen memiliki hubungan fungsional eksponensial dengan basis 3. Sehingga baik variable dependen yt yang mewakili kasus positif harian maupun variabel independen Jtest untuk jumlah tes harian, D1  = variabel dummy yang menunjukkan  adanya pembatasan mobilitas, D2  = variabel dummy yang mewakili efek varian Delta dan ei adalah residual model, di mana semuanya dapat diterapkan logaritma basis 3 yang kemudian di bawa ke bentuk persamaan linear. Jika Persamaan (6) dituliskan sebagai logaritma basis 3 serta mengingat nilai rata-rata dari residual acak adalah nol dengan varian konstan yaitu diperoleh 30  = 1, sehingga  menghasilkan Persamaan (7) yang lebih sederhana sebagai berikut.
𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 3 �𝑏𝑏 0 +𝑏𝑏 1 3 log 𝐽𝐽𝑡𝑡𝑒𝑒𝐽𝐽𝑡𝑡+𝑏𝑏 2 𝐷𝐷 1 +𝑏𝑏 3 𝐷𝐷 2 � . (7)

## PENGOLAHAN DATA
Pengambilan sampel Purposive diadopsi dalam penelitian ini, karena subjek sesuai kriteria tujuan penelitian berasal dari populasi yang besar dan tidak diketahui, sehingga pengacakan tidak mungkin dilakukan (Etikan, 2016). Pada data sampel diidentifikasi apakah ada peningkatan melebihi jumlah kasus harian 100%. Data sekunder tersebut diambil mulai tanggal 10 Mei 2020 hingga 5 Agustus 2021 dari  website  Gugus Tugas COVID-19  (Satgas Covid-19, 2021),  Pemprov DKI Jakarta. Data yang dikumpulkan sudah memperhitungkan vaksinasi yang diterapkan pada sekitar 60% dari total populasi di provinsi Jakarta.
Gambar 1. Grafik kasus atau tes positif harian (sumbu vertikal) dan hari (sumbu horizontal), sumber: grafik dari hasil olah data
Data tersebut meliputi  tanggal, jumlah tes per hari dan jumlah kasus positif per hari. Sebelum menentukan model data yang sesuai, Ms. Excel digunakan untuk  pengolahan data dengan terlebih dahulu mengubah tanggal menjadi data waktu diskrit t, sesuai dengan jumlah kasus positif dan jumlah tes harian yang tercatat. Berdasarkan tampilan grafik pada Gambar 1, terlihat tren pertumbuhan eksponensial dan tren linier penurunan kasus positif harian sehingga model eksponensial sesuai untuk data, sehingga analisis statistik parametrik dilakukan dengan mengimplementasikan interface software SPSS (SPSS, 2022).
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321

## Estimasi parameter model Logaritma fungsi Eksponensial
Empat langkah analisis, yaitu:  statistik  deskriptif  terkait  pembentukan model regresi linear berganda untuk data,  pemeriksaanpemenuhan  asumsi klasik untuk  residual model,  analisis varians untuk menilai efek secara simultan semua variabel independen. Pada pengujian terhadap pemenuhan asumsi normalitas  residual model meliputi uji normalitas, linieritas, dan multikolinieritas. Hasil uji normalitas terhadap residual model regresi disajikan pada Tabel 1. Statistik Kolmogorov-Smirnov pada tabel ini menunjukkan bahwa asumsi ketidak-normalan distribusi residual tidak dapat diterima, maka dilanjutkan ke tahap selanjutnya untuk uji linearitas dengan menggunakan matriks koefisien korelasi dan multikolinearitasnya. Untuk melihat adanya multikolinearitas pada data, diamati nilai VIF pada hasil cetak SPSS. Jika nilai VIF lebih besar dari 10 maka asumsi multikolinearitas tidak terbukti. Nilai VIF pada Tabel 3 adalah 4.098 < 10, sehingga tidak terjadi masalah multikolinearitas  pada model regresi.
Tabel 1. Hasil pengujian residual model regresi
Uji normalitas residual Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk staistik df Sig.  staistik  df  Sig. .087 103  .054  .984  103 .243
Untuk mengetahui kekuatan hubungan antar variabel digunakan nilai R, F dan sig. berdasarkan Tabel 2 dan Tabel 3. Dari table diperoleh nilai R = 0.961, F = 396,779 dan p = 0.000 dengan (p < 0.01), maka dapat ditunjukkan logaritma basis tiga dari jumlah tes harian, variable dummy efek varian Delta dan pembatasan parsial di Ibukota Jakarta secara simultan berhubungan  secara  signifikan dengan logaritma basis tiga jumlah kasus positif harian.
Tabel 2. Tabel hasil pengujian parameter model regresi secara simultan
Model   Koefesien Determinasi disesuaikan Simpangan baku Statistik F Nilai F  df1  df2 Sig. F 1                         .921 .3035537 396.779  3  99  .000
Hubungan antara variabel bebas logaritma basis tiga dari jumlah harian tes dan jumlah kasus harian tidak dapat disangkal oleh karena nilai t = 12.677 dengan p = 0.000 < 0.05 merupakan hubungan linear yang signifikan.
Kemudian untuk nilai t = 7.085 dengan p = 0.000<0.05 berarti ada hubungan signifikan positif antara keberadaan virus delta varian Corona dengan basis tiga logaritma kasus positif harian. Begitu pula dengan koefisien yang mengukur pengaruh pembatasan mobilitas melalui variabel PPKM1 yang nilai t = -7.357 dengan p = 0.000<0.05 dapat diartikan bahwa terdapat hubungan negatif yang signifikan
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023
URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
antara variabel pembatasan mobilitas penduduk dengan logaritma basis tiga jumlah kasus positif harian. Selanjutnya untuk mengukur kontribusi jumlah tes harian terhadap kasus positif harian (dalam basis 3 logaritma) dilakukan dengan mengalikan nilai beta pada Standardized Coefficients dengan nilai Zero- Order pada kolom Correlations pada Tabel. 3. Hasilnya adalah 0.688 x 0.927 = 0.640, sehingga sumbangan efektif logaritma basis 3 dari jumlah test adalah 64.3% terhadap logaritma basis 3 dari jumlah kasus positif harian. Kontribusi efektif dari varian delta pada logaritma basis 3 dari jumlah kasus positif harian dihitung sebagai 0.399 x 0.871 = 34,8%, cara yang sama diterapkan untuk menghitung kontribusi efektif variabel pembatasan mobilitas yang dihitung sebagai -0.237 x 0.265 = -0.062805 atau -6.2%.
Tabel 3. Hasil uji dan estimasi koefisien regresi dengan Interval konfidensi 95%

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pandemi COVID-19 telah membawa banyak perubahan dan tantangan kehidupan masyarakat apabila dikaitkan dengan bilangan reproduksi relatif Persamaan (3). Ke-empat parameter tersebut dapat dilihat sebagai faktor yang berkontribusi terhadap rubahan dari perkiraan kasus harian yang telah diperoleh sebelumnya. Keempat aspek tersebut selanjutnya dapat diasumsikan diringkasmenjadi dua factor yaitu yang berasal dari dalam dan luar individusebagai penentu apakah seseorang dapat terinfeksi COVID-19 dari varian apapun. Jumlah kontak fisik ( κ ) per orang bersama dengan permasalahan hasil pengujian yang salah baik positif maupun negatif palsu semakin memperburuk pandemi di masyarakat. Seperti dinyatakan oleh (Healy et al., 2021) dan (Alsheikh et al., 2022), hasil tes COVID-19 yang salah dapat membawa permasalahan yang lebih berat pada kondisi fisik seseorang, dan karantina atau terapi berlebihan. Hal-hal itu perlu diantisipasi untuk penafsiranhasil penelitian ini. Berdasarkan hasil estimasi parameter model regresi linier berganda pada Tabel 3 yang bagian residualnya dihilangkan karena nilai reratanya nol dan ragamnya konstan, sehingga diperoleh 30 = 1, maka Persamaan (8) menjadi:
𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 3 �−4 . 843+1 . 326 log 𝐽𝐽𝑡𝑡𝑒𝑒𝐽𝐽𝑡𝑡−0 . 631𝐷𝐷 1 3 +0 . 858𝐷𝐷 2 � (8)
Persamaan (8) dapat ditulis dengan mengelompokkan suku suku yang mengandung3 log Jtest secara terpisah dan memberikan nilai  semua variable dummy D1  =  D2  =  1. Nilai satu tersebut
Model Koefesien regresi Simpangan baku t Sig. Batas bawah Batas atas Statistik kolinearitas VIF 1  (konstanta) -4.843 .862 -5.617  .000  -6.554  -3.132 PPKM1 -.631 .086 -7.357  .000  -.802  1.336 1.336 Delta .858 .121 7.085  .000  .618  4.098 4.098 log3Jtest 1.326 .105 12.677  .000  1.119  3.800 3.800
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023
URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
menunjukkan hadirnya pengaruh pembatasan parsial PPKM dan variant Delta terhadap variable terikat jumlah kasus harianyt: Hasil estimasi dari parameter untuk model dapat diintepretasikan bahwa pengaruh variable Delta variant berupa peningkatan jumlah kasus positif harian sebesar 30.858=2.56667 ≈ 2.60 kali dibandingkan denganpengaruh varian sebelum periode infeksi varian Delta. Kemudian implementasi kebijakan pembatasan terbatas dapat menekan jumlah kasus positif harianyang disebabkan oleh infeksi varian Delta sekitar3-0.631= 50%. Berdasarkan model yang didapat, Jika secara berturutan selama dua hari jumlah yang menjalani test COVID-19 sebanyak 30.000 dan 40.000 orang,maka dapatlah diharapkan jumlah orang yang terkonfirmasi positif terinfeksi COVID-19 secara berurutan adalah 5,471 dan 8,011 orang.  Dalam  hal ini  berarti penambahan jumlah orang ditest perharinya sebanyak 33 % dalam kondisi pandemi yang didominasi virus varian Deltadan juga diberlakukannya pembatasan parsial PPKM berpotensi menambah sebesar 46% jumlah kasus positif baru per hari. Sebagai perbandingan dengan temual oleh peneliti (Dixit et al., 2020) yang mendapati bahwa di India,  jika jumlah orang ditest perharinya ditingkatkan menjadi dua kali lipat sebelum dominasi infeksi oleh varian Delta, berpotensi menambah kasus baru secara rerata sebesar 13.84%. Demikian pula diungkapkan oleh (Fetzer & Graeber, 2021), kerangka kerja yang melibatkan semua elemen dalam sistem pengujian yang dipersiapkan secara komprehensif berkorelasi dengan menurunnya jumlah kasus baru sebesar 63%. Selanjutnya, Menurut (Healy et al., 2021), hasil test yang positif menyesatkan dapat memberi dampak yang merugikan. Khususnya, pasien yang tidak seharusnya terkonfirmasi positif oleh hasil test  COVID-19 kemungkinannya dapat lebih  besar  terpapar infeksi sehingga pasien yang berpenyakit bawaan menjadikan lebih berisiko menghadapi kritis. Selain hal itu, hasil kesalahan hasil test tersebut berpeluangmemberikan kesalahan intepretasi data  seolah terjadipenyebaran dan peningkatan kasus positif yang berlebihan. Sebaliknya penelitian oleh (Pecoraro et al., 2022)  memaparkan bahwa 58% pasien COVID-19 berpeluang memiliki hasil tes  awal dari COVID-19 negatif yang menyesatkan, di mana kesalahan hasil test negatif palsu sebesar 12% dengan tingkat keyakinan 95%.
Kesimpulan
Kebijakan pembatasan mobilitas penduduk secara parsial yang diambil oleh pemerintah mampu menekan pertumbuhan harian kasus positif di Provinsi DKI Jakarta. Berdasarkan hasil estimasi model eksponensial berbasis tiga penerapan, pembatasan mobilitas berkontribusi terhadap penurunan kasus positif harian sebesar 50%. Artinya, kebijakan pembatasan mobilitas mampu menekan frekuensi kontak fisik antara orang yang tidak terinfeksi dan yang terinfeksi. Varian delta Corona mempengaruhi peningkatan jumlah kasus positif harian dengan faktor pengali hampir 2.6 dari jumlah testing harian. Selain itu, misalkan jumlah tes terus meningkat dan ditemukan bahwa kasus positif harian jauh lebih kecil dari hasil prediksi menggunakan model ini, maka ini dapat digunakan sebagai indikator pencapaian pengendalian epidemi yang baik.
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023
URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th
e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
Model eksponensial dalam penelitian ini selanjutnya dapat dikembangkan ke model di mana parameter fungsi eksponensial tidak berupa bilangan konstan untuk melihat efek dari berbagai mutasi virus COVID-19 dalam jangka panjang, mulai dari awal sampai waktu tertentu dari pandemi.

## DAFTAR PUSTAKA
Alsheikh, S. H., Ibrahim, K., & Alfaraj, D. (2022). The Impact of False Positive COVID-19 Result The Impact of False Positive COVID-19 Result Case Presentation.  December 2021. https://doi.org/10.7759/cureus.20375
Benvenuto, D., Giovanetti, M., Vassallo, L., Angeletti, S., & Ciccozzi, M. (2020). Data in brief Application of the ARIMA model on the COVID-  2019 epidemic dataset. Data in Brief,  29, 105340. https://doi.org/10.1016/j.dib.2020.105340
Data pemantauan (2021).  Diunduh dari  https://corona.jakarta.go.id/id/data-pemantauan at 1 August 2021
Dixit, A., Vishnoi, S., & Paul, S. B. (2020). Adding Structure to Statistics: A Study on COVID-19 Dynamics in India. MedRxiv.
Du, Z., Hong, H., Wang, S., Ma, L., Liu, C., Bai, Y., Adam, D. C., Tian, L., Wang, L., Lau, E. H. Y., & Cowling, B. J. (2022). Reproduction Number of the Omicron Variant Triples That of the Delta Variant. Viruses, 14(4), 4–8. https://doi.org/10.3390/v14040821
Etikan, I. (2016). Comparison of Convenience Sampling and Purposive Sampling. American Journal of Theoretical and Applied Statistics, 5(1), 1. https://doi.org/10.11648/j.ajtas.20160501.11
Fadhilah, H. N., Apriliani, E., & Arif, D. K. (2021). Prediksi Penyebaran Covid-19 di Indonesia dan Jawa Timur dengan Metode Extended Kalman Filter. Limits: Journal of Mathematics and Its Applications, 18(1), 1. https://doi.org/10.12962/limits.v18i1.6933
Fetzer, T., & Graeber, T. (2021). Measuring the scientific effectiveness of contact tracing: Evidence from a natural experiment. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 118(33), 1–4. https://doi.org/10.1073/pnas.2100814118
Ghosh, S. (2020). Predictive model with analysis of the initial spread of COVID-19 in India. International Journal of Medical Informatics, 143. https://doi.org/10.1016/j.ijmedinf.2020.104262
Hamra, S. S. B., & Al Dallal, J. (2021). Exploring the impact of government interventions on COVID- 19 pandemic spread in Kuwait. International Journal of Healthcare Information Systems and Informatics, 16(4). https://doi.org/10.4018/IJHISI.288893
Healy, B., Khan, A., Metezai, H., Blyth, I., & Asad, H. (2021). The impact of false positive COVID-19 results in an area of low prevalence. Clinical Medicine, Journal of the Royal College of Physicians of London, 21(1), E54–E56. https://doi.org/10.7861/CLINMED.2020-0839
Ma, J. (2020). Estimating epidemic exponential growth rate and basic reproduction number. Infectious Disease Modelling, 5, 129–141. https://doi.org/10.1016/j.idm.2019.12.009
Multiple regression using spss statistics (2022). Diunduh tanggal 1 August 2022 dari https://statistics.laerd.com/spss-   tutorials/multiple-regression-using-spss-statistics .
Jurnal Theorems ( The Original Reasearch Of Mathematics )
Volume 7, Nomor 2, Januari 2023 URL: http://jurnal.unma.ac.id/index.php/th e-ISSN: 2528-102X p-ISSN: 2541-4321
Pecoraro, V., Negro, A., Pirotti, T., & Trenti, T. (2022). Estimate false-negative RT-PCR rates for SARS-CoV-2. A systematic review and meta-analysis. European Journal of Clinical Investigation, 52(2), 1–16. https://doi.org/10.1111/eci.13706
Pratikto, F. R. (2020). Prediksi Akhir Pandemi COVID-19 di Indonesia dengan Simulasi Berbasis Model Pertumbuhan Parametrik. Jurnal Rekayasa Sistem Industri,  9(2), 63–68. https://doi.org/10.26593/jrsi.v9i2.4018.63-68
Pung, R., Lin, B., Maurer-Stroh, S., Sirota, F. L., Mak, T. M., Octavia, S., Pang, J., Tan, I. B., Tan, C., Ong, B. C., Cook, A. R., Tan, D., Chua, Q. X., Chong, S. Z. R., Koh, H. F., Yap, E., Sia, P., Tan, Z. R., Lee, F. S., … Lee, V. J. (2021). Factors influencing SARS-CoV-2 transmission and outbreak control measures in densely populated settings. Scientific Reports,  11(1), 1–11. https://doi.org/10.1038/s41598-021-94463-3
Sanyaolu, A., Okorie, C., Marinkovic, A., & Patidar, R. (2020). Comorbilidad y su impacto en pacientes con COVID-19. SN Comprehensive Clinical Medicine, 2, 1069–1076.
Seber, G. a. F., & Wild, C. J. (2003). Nonlinear regression (Wiley Series in Probability and Statistics). Simak ini rincian aturan ppkm darurat yang perlu kamu tahu (2021). https://money.kompas.com/read/2021/07/17/142854026/: diunduh tanggal 1 August 2021.
Skrivanek, S. (2009). The Use of Dummy Variables in Regression Analysis. MoreSteam.Com LLC, 6, 131–142.
Syafarina, I., Wirahman, T., Iryanto, S. B., & Latifah, A. L. (2022). Epidemic Data Analysis of Three Variants of COVID-19 Spread in Indonesia. Jurnal Ilmu Komputer Dan Informasi (Journal of Computer Science and Information), 15(1), 47–54. http://dx.doi.org/10.21609/jiki.v15i1.1055
Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye., K. (2016).  Probability and statistics for engineers and scientists author, Pearson.
Wahyudi, P. (2021). 4. Prediksi puncak Covid-19 model SIR. JURNAL Teknologi Dan Sistem Komputer, 9(1), 49–55.
Weiss Sir Ronald Ross, H. (2013). The SIR model and the Foundations of Public Health. MATerials MATemàtics Volum, 17(3), 1887–1097. www.mat.uab.cat/matmat
World Health Organization. (2020). Contact tracing in the context of COVID-19. WHO Guidelines: Contact Tracing in the Context of COVID-19, 2019(May, 10), 1–7. https://www.who.int/publications-detail/contact-tracing-in-the-context-of-covid-19
Wu, K., Darcet, D., Wang, Q., & Sornette, D. (2020). Generalized logistic growth modeling of the COVID-19 outbreak: comparing the dynamics in the 29 provinces in China and in the rest of the world. Nonlinear Dynamics, 101(3), 1561–1581. https://doi.org/10.1007/s11071-020-05862-6