Akreditasi LIPI Nomor : 536/D/2007 Tanggal 26 Juni 2007

## STUDI KAITAN DISPERSI DAN PITA FREKUENSI TERLARANG GETARAN KEKISI DIATOMIK
Ni 50 Fe 50 DAN Ni 66 Fe 33
Moh. Toifur 1 , Sujatmoko 2 , Ridwan 3 dan Wisnu Ari Adi 3
1 Jurusan Fisika, Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta Jl. Kapas 9, Semaki, Yogyakarta 55166
2 Pusat Teknologi Akselerator dan Proses Bahan (PTAPB)-BATAN Jl. Babarsari Kotak Pos 6101 Ykbb, Yogyakarta 55281
3 Pusat Teknologi Bahan Industri Nuklir (PTBIN)-BATAN Kawasan Puspiptek, Serpong 15314, Tangerang

## ABSTRAK
STUDI KAITAN DISPERSI DAN PITA FREKUENSI TERLARANG GETARAN KEKISI Ni 50 Fe 50 dan Ni 66 Fe 33 . Telah dilakukan telaah mengenai getaran kekisi NiFe dengan perbandingan massa keduanya 1:1 dan 1:2, untuk mengetahui kaitan dispersi mode optik dan mode akustik dari frekuensi getarnya. Kekisi dimisalkan berbentuk rantai atom 1 dimensi yang dihubungkan dengan pegas seragam. Sebagai masukan digunakan tetapan kekisi ( a ) 3,62009 Å yang merupakan nilai terhitung dari pola XRD untuk lapisan NiFe hasil deposisi dengan teknik sputtering pada suhu 200  C berbantuan medan annealing 150 G serta tipikal konstanta pegas (  ) 32 N/m. Hasil penelitian menunjukkan, untuk Ni 50 Fe 50 profil kaitan dispersi terdiri dari mode optik dan akustik dan tidak ada perbedaan bentuk antara Brillouin zone pertama (0 < k <  /2 a ) dengan yang lain. Sedangkan untuk Ni 66 Fe 33 pada larik kekisi Ni-Fe terdapat perbedaan kaitan dispersi antara zone pertama (0< k <  /2 a ) dan kedua (  /2 a < k <  / a ) baik untuk mode optik maupun mode akustik. Untuk larik kekisi Ni-Ni, kaitan dispersi berupa mode optik yang terjadi pada zone pertama (0 < k <  / a ). Selain itu pada kedua jenis kekisi Ni 50 Fe 50 dan Ni 66 Fe 33 ditemukan lebar pita frekuensi terlarang yang sama yaitu 2,56  10 13 Hz hingga 2,63  10 13 Hz.
Kata kunci : Kaitan dispersi, Pita frekuensi terlarang, Mode optik, Mode akustik

## ABSTRACT

## A STUDY ABOUT DISPERSION RELATION AND FORBIDDEN FREQUENCY BAND OF
DIATOMIC LATTICE VIBRATION Ni 50 Fe 50 And Ni 66 Fe 33 . A study about lattice vibration of NiFe with the mass ratio of 1:1 and 2:1 had been done for knowing the dispersion relation of optical mode and acoustical mode of the vibration frequencies. Lattice is assumed in the form of 1-D atomic chain connected with uniform springs. Lattice parameter ( a ) of 3.62009 Å as a calculated value from XRD spectrum of NiFe thin film resulted from sputtering deposition on the 200  C temperature, assisted with annealing field 150 G and typical of spring constant (  ) 32 N/m is used as input. The result show that Ni 50 Fe 50 has one dispersion relation profile, either optical mode or acoustical ones. No profile difference between the first Brillouin zone (0 < k <  /2 a ) and the others. While, for Ni 66 Fe 33 , on the Ni-Fe chain, the dispersion relation between the first zone (0 < k <  /2 a ) and the second one (  /2 a < k <  / a ) shows difference, neither optical mode nor acoustical mode. On the Ni-Ni chain, the dispersion relation is in the optical mode only, no others and happened in the first zone (0 < k <  / a ). Beside that, in the the two Ni 50 Fe 50 and Ni 66 Fe 33 lattices, it is found the forbidden frequency band in the same width i.e. (2.56 – 2.63)  10 13 Hz.
Key words : Dispersion relation, Forbidden frequency band, Optical mode, Acoustical mode

## PENDAHULUAN
Umumnya buku teks membahas getaran kekisi (fonon) untuk kekisi monoatomik atau diatomik. Pada kekisi monoatomik kekisinya diisi oleh satu jenis atom sedangkan pada kekisi diatomik, kekisinya diisi oleh dua
jenis atom yang tersusun secara berselang-seling. Pada bahan paduan antara Ni dan Fe dengan perbandingan massa Ni terhadap massa Fe 1:1 (atau Ni 50 Fe 50 ) susunan atom-atomnya jika ditinjau dari larik satu dimensi terdiri
Studi Kaitan Dispersi dan Pita Frekuensi Terlarang Getaran Kekisi Ni 50 Fe 50 dan Ni 66 Fe 33 (Moh. Toifur)
dari ...Ni-Fe-Ni-Fe..., sedangkan untuk Ni dan Fe dengan perbandingan massa 2:1 atau (Ni 66 Fe 33 ) maka larik atom-atomnya berbentuk ...Ni-Ni-Fe-Ni-Ni-Fe... Oleh karena itu jenis kekisi Ni 50 Fe 50 adalah diatomik, sementara untuk Ni 66 Fe 33 tidak dapat dikatakan diatomik walaupun mengandung dua jenis atom yaitu Ni dan Fe. Hal ini disebabkan adanya dua jenis ikatan yaitu Ni-Fe dan Ni-Ni.
Sementara itu pembahasan teoritis mengenai kaitan dispersi kekisi diatomik telah ditulis secara lengkap oleh para fisikawan. Pembahasan terdiri dari 2 versi. Versi pertama, seperti ditulis peneliti sebelumnya [1-4], bahwa kedua jenis atom tersusun berselang-seling dihubungkan dengan pegas homogen. Versi kedua sebagaimana dinyatakan peneliti sebelumnya [5,6], kedua jenis atom tersusun berselang-seling dihubungkan dengan pegas tak homogen.
Pada makalah ini penulis menampilkan kaitan dispersi dari Ni 50 Fe 50 mengikuti versi pertama, sedangkan untuk Ni 66 Fe 33 masih merupakan hal yang baru karena disini tipologi getaran untuk ikatan antara Ni dan Fe berbeda dengan getaran untuk ikatan antara Ni dan Ni. Pembahasan tentang kaitan dispersi untuk NiFe penting karena bahan ini banyak digunakan sebagai perekam magnetik ( magnetic recording ) dan sensor pembaca ( reading head ) yang berbasis pada medan magnet lemah.
Sebagai perekam magnetik laju sinyal masukan yang berperan sebagai pembawa informasi akan berinteraksi dengan bahan perekam. Interaksi ini akan menimbulkan getaran kekisi pada bahan perekam. Besarnya angka gelombang ( k ) sinyal masukan berhubungan dengan frekuensi getaran kekisi tertentu (  ). Demikian pula sebagai sensor pembaca, kecepatan pita magnetik bergerak menentukan angka gelombang sinyal yang timbul. Sinyal ini diterima oleh head pembaca dan menimbulkan getaran kekisi pada head pembaca dengan frekuensi tertentu. Jika nilai k divariasi maka akan diperoleh  yang bervariasi juga. Hubungan antara variasi k dengan  ini dikenal dengan kaitan dispersi. Dari hubungan antara k dengan  dikenal ada dua tipe kaitan dispersi yaitu tipe akustik dan optik.
Model Kekisi Ni 50 Fe 50
Misalkan kekisi 1 dimensi berisi rantai atom Ni dan Fe dengan massa masing-masing M dan m yang dihubungkan oleh pegas dengan konstanta pegas  menempati kedudukan sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 1.
Tempat kedudukan masing-masing atom ditandai dengan ... n -1, n , n +1, n +2... Jika kisi bergetar maka M dan m akan menyimpang dari kedudukan setimbangnya. Misalkan simpangan maksimum M dan m sebesar A dan B . Menurut Hukum Newton II persamaan gerak untuk atom ke n dan n +1 adalah
) 2 ( 1 1 2 2 n n n n U U U dt U d m      
............. (1)
) 2 ( 1 2 2 1 2       n n n n U U U dt U d M  ........ (2)
dimana
  a n k t i n Be U ) 1 ( 1      .................................. (3)
) ( kna t i n Ae U    .......................................... (4)
  a n k t i n Be U ) 1 ( 1      ................................. (5)   a n k t i n Ae U ) 2 ( 2      ................................. (6)
dan
U n = simpangan atom ke n
 = frekuensi fonon
k = angka gelombang
t = waktu
Jika persamaan (3), persamaan (4) dan persamaan (5) disubstitusikan ke (1) menjadi
  ) ( ) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( ) ( 2 2 kna t i a n k t i a n k t i kna t i Ae Be Be Ae m                
Jika ) ( kna t i e    pada ruas kanan dikeluarkan dari kurung maka menjadi
  A Be Be e Ae m ika ika kna t i kna t i 2 ) ( ) ( 2            ...(8)
dengan menghilangkan ) ( kna t i e   pada kedua ruas maka diperoleh
                     A e e B A m ika ika 2 2 2 2   ...... (9)
dengan mengingat ka e e ika ika cos 2 / ) (    , maka persamaan (9 ) menjadi
A ka B A m    2 cos 2
2    ............... (10)
Jika ruas kanan persamaan (10) dipindah ke ruas kiri dan menyusun kembali dalam suku-suku yang mengandung variabel A dan B maka diperoleh
    0 cos 2 2
2    B ka A m   
............. (11)
Selanjutnya dengan cara yang sama jika persamaan (4), persamaan (5) dan persamaan (6) disubstitusikan ke persamaan (2) maka diperoleh
Gambar 1 . Susunan atom-atom Ni 50 Fe 50 pada kekisi 1 dimensi.
Nama atom Ni Fe Ni Fe Ni Fe Ni Fe Ni Gambar
Massa atom M m M m M m M M M
Identitas
n -3 n -2 n -1 n n +1 n +2 n +3 n +4 N +5 Amplitudo B A B A B A B A B
 ) ( ) ) 2 ( ( ) ) 1 ( ( 2 kna t i a n k t i a n k t i Ae Ae Be M       
       ) ) 1 ( ( 2 a n k t i Be     .... (12) Dengan mengeluarkan ) ) 1 ( ( a n k t i e    pada ruas kanan dari dalam kurung maka diperoleh
      B e e A e Be M ika ika a n k t i a n k t i 2 ) 1 ( ) ) 1 ( ( 2             
Dengan menghilangkan   a n k t i e ) 1 (    pada kedua ruas maka diperoleh     B e e A B M ika ika 2 2        ....... (14)
Selanjutnya denganmenuliskan e e ika ika   = 2 cos ka , suku-suku pada ruas kanan dipindah ke ruas kiri dan mengelompokkan suku-suku sejenis dengan variabel A dan B maka persamaan (14) dapat diungkapkan menjadi
    0 2 cos 2 2     B M A ka    ........ (15)
Persamaan (11) dan persamaan (15) merupakan set persamaan dengan dua variabel A dan B , dimana A dan B dapat ditentukan jika determinannya sama dengan nol.

       0 2 cos 2 cos 2 2 2 2            M ka ka m .......... (16) 0 sin 4 ) ( 2 2 2 2 4     mM ka mM M m     ...... (17)
Penyelesaian dari persamaan (17) adalah :
2 / 1 2 2 sin 4 1 1 1 1                           mM ka M m M m   
... (18)
Nilai  pada persamaan (18) ada dua macam yaitu  + untuk mode optik dan  - untuk mode akustik. Profil   terhadap k dapat didiskripsikan melalui simulasi dengan masukan nilai-nilai  , m , M , dan a untuk Ni dan Fe yang diketahui.
Dari data diperoleh massa atom Ni 58,69 sma dan massa atom Fe 55,847 sma [7]. Tetapan pegasnya (  ) diperoleh dengan memisalkan untuk pemberian kenaikan tenaga potensial sebesar 1 eV (=1,6  10 -19 joule) menyebabkan simpangan atom dari posisi setimbangnya sebesar  a = 1Å [3], sehingga dari kaitan:
2 1 V  
 a 2 ........................................ (19)
maka diperoleh  sama dengan 32 Nm. Konstanta kekisi a sebesar 3,62009 Å merupakan nilai terhitung jarak antar bidang ( d ) sebesar 2,08223 Å untuk indek Miller [111]
pada pola spektrum sinar-X lapisan tipis NiFe hasil deposisi dengan teknik sputtering pada suhu 200  C berbantuan medan annealing 150 G.
Persamaan untuk a untuk struktur kubik adalah:
3 111 2 2 2 d l k h d a hkl     .......... (20)
Hubungan antara   terhadap k dapat dilihat pada Gambar 2.
Dari Gambar 2 dapat diamati bahwa jangkau frekuensi yang diijinkan terpisah menjadi dua mode yaitu mode optik dan mode akustik. Mode akustik mirip dengan kurva kaitan dispersi untuk kekisi monoatomik [2] sementara mode optik menyatakan tipe gerak gelombang yang lain. Dari nilai-nilai maksimum dan minimum kedua mode dapat diperjelas sebagai berikut a. Nilai maksimum mode optik diperoleh dengan memasukkan k  0 sehingga 0 sin  ka . Sehingga persamaan (10) menjadi
                                 M m M m M m 1 1 2 1 1 1 1 2 / 1 2 max     (21)
Dengan memasukkan nilai  , m dan M maka diperoleh
max   = 3,67  10 13 Hz. b. Nilai minimum mode optik berlaku pada k   /2 a sehingga 1 sin  ka , maka persamaan (18) menjadi
2 / 1 2 min 4 1 1 1 1                           mM M m M m    (22)
Dengan mengolah bagian yang berada di dalam tanda akar pada ruas kanan maka diperoleh:
2 / 1 2 min 1 1 1 1                          M m M m    2 / 1 1 1 1 1                   
   M m M m   -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 10 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 10 13 k o h m e g a p i t a t e r l a r a n g / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
mode optik mode akustik Gambar 2 . Kaitan dispersi kekisi diatomik Ni 50 Fe 50 untuk mode akustik dan mode optik.
Studi Kaitan Dispersi dan Pita Frekuensi Terlarang Getaran Kekisi Ni 50 Fe 50 dan Ni 66 Fe 33 (Moh. Toifur)
m   2 min   ............................................ (23)
dengan memasukkan nilai  dan m diperoleh min   = 2,63  10 13 Hz. c. Nilai maksimum mode akustik terjadi pada k   /2 a sehingga
2 / 1 2 max 1 1 1 1                          M m M m   
M  2  (24)
dengan memasukkan nilai  dan M maka diperoleh
max   = 2,56  10 13 Hz. d. Nilai minimum mode akustik diperoleh pada k  0 dan agar nilai  - pada persamaan (18) tidak sama dengan nol maka ka ka  sin [4] sehingga
  2 / 1 2 2 2 2 min ) 4 ( 1 1 1 1 1                            m M mM a k M m M m   
dengan bantuan deret Taylor untuk x kecil sekali dari
1 maka dapat p x ) 1 (  dapat diekspansikan menjadi
... ! 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2       x p p px x p (26)
maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (25) menjadi
      ... ) 4 ( 2 1 2 1 ! 2 1 ) 4 ( 2 1 1 ) 4 ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 / 1 2 2 2                                     m M mM a k m M mM a k m M mM a k
Jika dari persamaan (25) digunakan hanya sampai suku kedua mengingat suku ketiga dan seterusnya sangat kecil sehingga dapat diabaikan maka diperoleh:
                             2 2 2 2 min 2 ) 4 ( 1 1 1 1 1 m M mM a k M m M m   
                                   2 2 2 ) 2 ( 1 1 1 1 m M mM a k Mm m M M m M m    =   m M a k  2 2 2  m M ka      2 min ..................................... (28) Dari persamaan (28) jika ka  0 maka min  
 0 Selain nilai-nlai karakteristik bagi  tersebut, terdapat pula daerah yang berada diantara kedua mode frekuensi yang disebut pita terlarang. Kekisi tidak mungkin bergetar pada daerah frekuensi ini. Lebar pita (frekuensi) terlarang berada diantara
2,56  10 13 Hz hingga 2,63  10 13 Hz. Dengan mengikuti definisi Brillouin zone pertama yaitu untuk -  /2a < k <  /2 a (atau -4,34  10 9 < k < 4,34  10 9 ) maka
terdapat panjang gelombang terkecil yang masih menimbulkan gerakan atom yaitu yang terjadi pada batas zone  = 4 a = 14,48Å.
Model Kekisi Ni 66 Fe 33
Pada kekisi Ni 66 Fe 23 mengingat perbandingan antara massa Ni dan Fe adalah 2:1 maka susunan atom- atomnya secara larik 1-dimensi adalah ...-Ni-Ni-Fe-... sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 3.
Menurut Hukum Newton II persamaan gerak untuk atom ke n , n +1 dan n +2 adalah:
) 2 ( 1 1 2 2 n n n n U U U dt U d m       ........... (29)
) 2 ( 1 2 2 1 2       n n n n U U U dt U d
M  ...... (30)
) 2 ( 2 1 3 2 2 2        n n n n U U U dt U d
M  .. (31)
dengan
  a n k t i n Be U ) 1 ( 1      ................................ (32)
) ( kna t i n Ae U    ....................................... (33)
  a n k t i n Be U ) 1 ( 1      ............................... (34)
  a n k t i n Be U ) 2 ( 2      .............................. (35)
  a n k t i n Ae U ) 3 (
3      .............................. (36)
Jika persamaan (32), persamaan (33) dan persamaan (34) disubstitusikan ke persamaan (29) menjadi   ) ( ) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( ) ( 2 2 kna t i a n k t i a n k t i kna t i Ae Be Be Ae m                   A Be Be e ika ika kna t i 2 ) (        ... (37)
dengan membagi kedua ruas persamaan (27) dengan
) ( kna t i e   dan dengan mengingat ka e e ika ika cos 2    maka persamaan (37) dapat ditulis menjadi
  A ka B A m 2 cos 2 2  
   ................ (38)
Dengan menggabungkan suku-suku dalam variabel A dan B diperoleh :
    0 cos 2 2
2    B ka A m   
............ (39)
Selanjutnya jika persamaan (33), persamaan (34) dan persamaan (35) disubstitusikan ke persamaan (30) maka diperoleh:
Nama atom Fe Ni Ni Fe Ni Ni Fe Ni Ni Gambar Massa atom m M M m M M m M M Identitas n -3 n -2 n -1 n n +1 n +2 n +3 n +4 n +5 Amplitudo
A B B A B B A B B
Gambar 3 . Susunan atom-atom Ni 66 Fe 33 pada kekisi 1 dimensi.
 ) ) 2 ( ( ) ) 1 ( ( 2 a n k t i a n k t i Be Be M
            ) ) 1 ( ( ) ( ) 2 a n k t i kna t i Be Ae        dengan mengeluarkan ) ) 1 ( ( a n k t i e    pada ruas kanan
dari dalam kurung maka diperoleh
      B Ae Be e Be M ika ika a n k t i a n k t i 2 ) 1 ( ) 1 ( 2             
Karena pada kedua ruas terdapat ) ) 1 ( ( a n k t i e    maka dapat saling menghilangkan sehingga persamaan (41) menjadi
  B Ae Be B M ika ika 2 2        ..... (42)
Dengan menggabungkan suku-suku yang mengandung variabel A dan B maka diperoleh
    ) 2 ( 2     B M e A e ika ika    B = 0 ..... (43)
Kemudian jika persamaan (34), persamaan (35) dan persamaan (36) disubstitusikan ke persamaan (31) dan membagi kedua ruas dengan dengan   a n k t i e ) 2 (    maka diperoleh persamaan dalam variabel A dan B :
    ) 2 ( 2     B M e A e ika ika    B = 0 ...... (44)
Disini diperoleh 3 persamaan dengan dua variabel A dan B yaitu persamaan (39), persamaan (43) dan persamaan (44). Walaupun demikian tidak bisa memilih dua diantara ketiga persamaan tersebut secara sembarang, karena secara fisis persamaan (39) dan persamaan (43) terkait dengan interaksi antara atom Fe dan atom Ni sedangkan persamaan (43) dan persamaan (44) terkait dengan interaksi antara atom Ni dan atom Ni. Dengan demikian masing-masing pasangan memiliki penyelesaian  sendiri-sendiri.
Dari set persamaan (39) dan persamaan (43) dengan menyusun kembali dalam bentuk perkalian matrik, menjadi
0 ) 2 ( cos 2 2 2 2           
         B A M e e ka m ika ika      
.. (45)
Persamaan (45) dapat diselesaikan jika determinannya sama dengan nol.
0 ) 2 ( cos 2 2 2 2             M e e ka m ika
ika ............... (46)
Persamaan (46) jika disusun dalam variabel  maka diperoleh
    0 cos 2 2 2 2 2 2 4          ika ika ika e kae me m M mM    
Dengan mengingat ka i ka e ika sin cos   ka i ka e ika sin cos    ........................... (48)
maka kedua persamaan terdiri dari bagian riil dan bagian imajiner. Sesuai dengan realitas maka hanya diambil bagian riilnya, sehingga persamaan (47) menjadi
    0 cos cos 2 2 cos 2 2 2 2 2 4        ka ka ka m m M mM    
Persamaan (49) merupakan persamaan kuadrat dalam 2  yang akar-akarnya.
                   ka ka mM ka m m M ka m m M mM cos cos 2 8 cos 2 2 cos 2 2 2 2 2 2  
atau
  2 / 1 2 2 2 cos cos 2 2 cos 1 1 2 cos 1 1                               ka ka mM M ka M m M ka M m   
Ini menyatakan frekuensi getaran untuk pasangan Ni-Fe. Dengan memasukkan nilai-nilai  , m , M , a , maka diperoleh hubungan   terhadap k dalam bentuk grafik seperti ditampilkan pada Gambar 4.
Untuk gelombang elastik, secara fisik hanya daerah Brillouin zone yang penting, namun sebagaimana pada Gambar 4, daerah ini terbagi menjadi 2 bagian dengan profil yang berbeda baik untuk mode optik   maupun untuk mode akustik   . Zone 1 yaitu pada
a k a 2 / 2 /      dan zone 2 yaitu pada a k a 2 / /       dan a k a / 2 /     ). Melalui nilai maksimum dan minimum, kedua mode dapat diperjelas sebagai berikut

## a. Nilai Maksimum Mode Optik
Nilai maksimum mode ini terdiri dari dua macam yaitu jenis 1 ( 1 max   ) dan jenis 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 10 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 10 13 k o h m e g a p i t a t e r l a r a n g / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / mode optik mode akustik Gambar 4 . Kaitan dispersi kekisi diatomik Ni 66 Fe 33 antara atom Ni dan Fe.
Studi Kaitan Dispersi dan Pita Frekuensi Terlarang Getaran Kekisi Ni 50 Fe 50 dan Ni 66 Fe 33 (Moh. Toifur)
( 2 max   ). 1 max   terkait dengan frekuensi getar kekisi
Ni-Fe sedangkan 2 max   terkait dengan frekuensi getar kekisi Ni-Ni.
(1) Nilai maksimum mode optik jenis 1 ( 1 max   ) terjadi pada k  0. Akibatnya
1 cos  ka , dan persamaan (51)
menjadi
  2 / 1 2 1 max 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1                               mM M M m M M m    2 / 1 2 1 1 1 2 1 1 1                         M M m M M m   2 / 1 1 2               M m           M m 2 1 1 2 max   ........................................ (52)
Dengan memasukkan nilai-nilai  , m dan M maka diperoleh   1 max  3,19  10 13 Hz. Nilai ini lebih kecil dibanding dengan max   pada Ni 50 Fe 50 sebagaimana telah disebutkan pada persamaan (21).
(2) Nilai maksimum mode optik jenis 2 ( 2 max  ) terjadi
pada k =  / a (= 0,87  10 10 ). Akibatnya 1 cos   ka . Dengan mensubstitusikan nilai ini pada persamaan (51) dan mengkuadratkan maka diperoleh
  2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2
2 2 max                       mM M M m M M m    mM M m M m 4 2 3 1 2 3 1 2                    mM M m M m 4 2 3 1 2 3 1 2                    2 / 1 2 2 3 1 4 1 2 3 1 2 3 1                                       M m mM M m M m   Karena nilai 2 2 3 1 4        M m mM cukup kecil dibanding 1
maka dapat digunakan ekspansi menurut deret Taylor sebagaimana pada persamaan (26) sehingga menjadi
    
 
           
                    2 2 2 max 2 3 1 2 4 1 2 3 1 2 3 1 M m mM M m M m    (53)
Jika suku terakhir ruas kanan persamaan (53) diabaikan karena dari nilai terhitung berorde 10 -28 maka diperoleh
         m M 1 2 3 2 2 max   ........................................ (54)
Dengan memasukkan nilai  , m dan M maka diperoleh
2 max   = 3,66  10 13 Hz.

## Nilai Minimum Mode Optik
Nilai minimum mode optik terjadi pada k =  /2 a (= 0,43  10 10 ). Dengan mengkuadratkan persamaan (51) menjadi:
  2 cos cos 2 2 cos 1 1 2 cos 1 1 2 2 2 min                       ka ka mM M ka M m M ka M m   
Karena cos ka = 0, maka

             mM m M m M mM 16 2 2 2 2 2 2 2 min     2 2 1 1 1 1 2 2 min                    mM M m M m    m M m M m    2 1 1 1 1                 
m   2 min   ...................................................... (55)
Dengan memasukkan nilai  , m dan M maka diperoleh min   = 2,63  10 13 Hz. Nilai ini sama dengan yang dihitung dari persamaan (23) yaitu nilai minimum mode optik untuk Ni 50 Fe 50 .

## Nilai Maksimum Mode Akustik
Nilai maksimum mode akustik terjadi pada k =  /2 a (= 0,43  10 10 ), sehingga cos ka = 0. Dengan mensubstitusikan nilai ini pada persamaan (51), maka diperoleh
2 / 1 2 max 4 1 1 1 1                           mM M m M m    2 / 1 2 1 1 1 1                         M m M m  
M   2 max   ...................................................... (56)
Dengan memasukkan nilai  dan M maka diperoleh max   = 2,56  10 13 Hz. Nilai ini sama dengan max   pada Ni 50 Fe 50 sebagaimana disebutkan pada sub bagian 2 persamaan (24).
Nilai Minimum Mode Akustik Terdiri dari 2 Macam yaitu Jenis 1 ( 1 min   ) dan Jenis
2 ( 2 min   )
(1) Nilai minimum mode akustik jenis 1 terjadi pada k  0.
Dengan mengkuadratkan persamaan (50) maka diperoleh
() dan jenis 2 ()
ISSN : 1411-1098
                     1 cos 1 cos 8 2 2 2 2 2 2 2 2 1 min ka ka mM m M m m M m mM  
Untuk k  0 maka 1 cos  ka atau 0 1 cos   ka
sehingga persamaan menjadi
                   1 cos 8 2 2 2 2 2 2 2 2 1 min ka mM m m M m m M mM   Selanjutnya dengan menggantikan ka ka 2 2 sin 1 cos   dan untuk ka  0 maka ka ka  sin maka persamaan menjadi
                2 2 2 1 min 8 2 2 2 ka mM m M m M mM   (57)
Pada bagian akar di ruas kanan, suku
  2 8 ka mM kecil
sekali dibandingkan dengan
  2 2 m M  sehingga dapat dibuat deret Taylor .
     
                         2 2 2 2 1 min 2 8 1 2 2 2 m M ka mM m M m M mM                  
 
              2 / 1 2 2 2 8 1 2 2 2 m M ka mM m M m M mM       
                         2 2 2 1 min 2 2 8 1 2 2 2 m M ka mM m M m M mM                             2 2 2 1 min 2 2 2 8 2 2 2 m M m M ka mM m M m M mM       m M ka    2 2 2 1 min     m M ka   2 2    m M ka 2 1 1 min    
 .................................. (58)
Dengan memasukkan nilai ka ,  , M dan m maka diperoleh
1 min    0
(2) Nilai minimum mode akustik jenis 2 ( 2 min   ) terjadi pada k =  a = 0,87  10 10 . Dengan mengkuadratkan persamaan (50) dan mensubstitusikan cos ka = -1 diperoleh
                    1 1 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 min mM m m M m m M mM  
             mM m M m M mM 16 3 2 3 2 2 2               
              2 2 3 2 16 1 3 2 3 2 2 m M mM m M m M mM                 
              2 / 1 2 3 2 16 1 3 2 3 2 2 m M mM m M m M mM

                            2 3 2 2 16 1 3 2 3 2 2 m M mM m M m M mM                         2 2 3 2 2 3 16 2 3 2 3 2 M m M m mM M m M m mM    m M 3 2 4    =   m M 2 3 2   ) ( 2 _ 2 3 2 min m M    
......................................... (59)
Dengan memasukkan nilai  , M dan m maka diperoleh
2 min   = 1,84  10 13 Hz.
Selanjutnya dari set persamaan (43) dan persamaan (44) dan menyusun kedua persamaan dalam bentuk perkalian matrik maka menjadi
0 ) 2 ( ) 2 ( 2 2                      B A M e e M e e ika ika ika ika       .... (60)
Penyelesaian persamaan (60) dilakukan dengan mengambil determinannya sama dengan nol, menjadi
0 ) 2 ( ) 2 ( 2 2              M e e M e e ika ika ika ika .................... (61)
Dengan menyusun persamaan (61) dalam variable  maka diperoleh
      0 2 2 2 2          ika ika ika ika ika ika e e e e e e M    (62)
dengan mengingat
  ka i e e ika ika sin 2    dan   ka i e e ika ika 2 sin 2 2 2    maka diperoleh
  0 sin 2 2 sin sin 2    ka ka ka M    .... (63)
Dengan menuliskan sin 2 ka = 2 sin ka cos ka pada persamaan (63) maka diperoleh  
  ka M ka ka ka sin sin cos sin 2 2      =   M ka cos 1 2  
Maka diperoleh  sama dengan:
  M ka cos 1 2     ....................................... (64)
Ini merupakan frekuensi getaran dari Ni-Ni. Kaitan dispersi untuk ini ditampilkan pada Gambar 5.
Kaitan dispersi untuk Ni-Ni ini merupakan mode optik seperti yang terjadi pada kisi monoatomik. Nilai- nilai ekstremum  dapat dijelaskan sebagai berikut a. Nilai maksimum terjadi pada k =  / a sehingga cos ka = 1, maka
Studi Kaitan Dispersi dan Pita Frekuensi Terlarang Getaran Kekisi Ni 50 Fe 50 dan Ni 66 Fe 33 (Moh. Toifur)
M 
 4 max  ................................................. (65)
Dengan memasukkan nilai  dan M maka diperoleh 13 max 10 62 , 3    Hz.
b. Nilai minimum terjadi pada k = 0 diperoleh dengan memisalkan cos ka = 1 - 2 sin 2 ( ka /2) dan untuk k  0 maka sin( ka /2)  ( ka /2), maka diperoleh:
      M ka M ka M ka 2 2 min ) 2 / ( 4 ) 2 / ( sin 2 1 1 2 cos 1 2
          M ka 
  min ................................................... (66)
karena ka  0 maka 0 min  

## KESIMPULAN
Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Profil kaitan dispersi getaran kekisi Ni 50 Fe 50 sebagaimana pada kekisi diatomik umumnya yaitu terdiri dari mode optik   dan mode akustik   . Nilai maksimum dan minimum dari   adalah 3,67  10 13 Hz dan 2,63  10 13 Hz. Nilai maksimum dan minimum untuk   adalah 2,56  10 13 Hz dan 0. Brillouin zone pertama berada pada daerah 0 < k <  / 2 a atau 0 < k < 0,43x10 10 . 2. Profil kaitan dispersi untuk kekisi Ni 66 Fe 33 terdiri dari dua bagian yaitu untuk Ni-Fe yang terdiri dari dua mode mode optik dan mode akustik namun masing-masing mode memiliki profil yang berbeda antara zone 1 dengan 0 < k <  / 2 a dan zone 2 dengan  / 2 a < k <  / 2. Pada zone 1 dan zone 2 nilai maksimum untuk mode optik adalah 3,19  10 13 Hz dan 3,66  10 13 Hz sedangkan nilai frekuensi minimum mode optik pada kedua zone sama yaitu 2,63  10 13 Hz. Untuk mode akustik nilai frekuensi
maksimum pada kedua zone sama yaitu 2,56  10 13 Hz sedangkan nilai frekuensi minimumnya untuk zone 1 dan zone 2 adalah 0 dan 1,84  10 13 Hz. Antara mode optik dan mode akustik terdapat pita frekuensi terlarang yaitu 2,56  10 13 Hz <  < 2,63  10 13 Hz. Profil kaitan dispersi kekisi Ni-Ni sebagaimana pada kekisi monoatomik linier yaitu berupa mode optik dengan batas Brillouin zone pertama antara 0 < k <  / a . Nilai frekuensi maksimum dan minimum dari mode ini adalah 3,62  10 13 Hz dan 0.

## DAFTAR ACUAN
[1]. LEVI, A.F.J., Applied Quantum Mechanics , Cambridge University Press, New York, (2003)
[2]. KITTEL, C., Introduction to Solid States Physics , 7 th Ed. John Wiley & Sons Inc., New York, (1996)
[3]. HALL, H.E. . Solid State Physics , John Wiley & Sons Ltd., (1973)
[4]. PURI, R.K. and BABBAR, V.K. Solid State Physics & Electronics , S. Chand & Company LMD., Ram Nagar, New Delhi, India, (2001)
[5]. BRITTON, D.T., Phy 322S Solid State Physics, http://www.phy.uct.ac.za/courses/phy322s/ ss01.pdf ( 2007)
[6]. PICKARD, C. J., Lattice Vibrations, http:// w w w. t c m. p h y. c a m . a c .u k / ~ c j p 2 0 / l ec t u re s / topic4.pdf (2007)
[7]. BARTHELMY, D. , Mineralogy Database, http:// webmineral.com/chem/Chem-Ni.shtml (2007)
Gambar 5 . Kaitan dispersi kekisi diatomik Ni 66 Fe 33 untuk getaran atom Ni-Ni -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 10 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 10 13 k o h m e g a