Vol. 9, No.2,  86-94,  Januari  2013
Dari Simbol Legendre ke Simbol Residu Kubik
Loeky Haryanto 1 dan Arman Efendi 2
Abstrak
Konsep  simbol  Legendre  yang  nilainya  pada  setiap  bilangan  bulat  bukan  kelipatan p sama dengan  akar  dari x 2 =  1,  yaitu  ±1,  diperluas  ke  konsep  simbol  residu  kubik  yang  nilainya merupakan  akar-akar  dari x 3 =  1.  Dengan  memilih  akar  kompleks  = e 2π i /3 ,  akar  primitif ketiga  dari  1,  diturunkan  lapangan  siklotomik Q(  ) yang  merupakan splitting  field dari polinom primitif p ( x ) = x 2 + x + 1. Subgelanggang
Z [  ] = { a + b  | a , b  Z }  Q(  )
apabila  dilengkapi  norma  : Z [  ]  N dengan  (  )  =  membentuk  daerah  Euclid.  Dari unsur  prima π  Z [  ]  terbentuk  lapangan Z [  ]/< π >  dan  residu  kubik   3   ,  di mana   Z [  ]bukan kelipatan dari  .
Kata Kunci: Akar primitif ke -3 dari 1 , simbol Legendre, lapangan siklotomik, simbol residu kubik.

## Abstract
The value of Legendre symbol at any integer, which is not a multiple of a prime p ,is a root of the  quadratic  equation x 2 =  1,  i.e.    ±1. The  Legendre  symbol  is  generalized  to  cubic  residue symbol having valuesamong the roots of the cubic x 3 = 1. By choosing complex  number  = e 2π i /3 , the 3 rd promitive root of 1, the cyclotomic field Q(  ) , whichthe splitting fieldof primitive polinom p ( x ) = x 2 + x + 1, is derived. The subring
Z [  ] = { a + b  | a , b  Z }  Q(  )
equipped  with  Euclidean  norm  : Z [  ]  N where  (  )  =  ,  forms  an  Euclidean  domain.
Every  prime  element π  Z [  ]  determines  a  field Z [  ]/< π >and  cubic  residue   3   , where   Z [  ]is not a multiple of  .
Keywords: Third primitive root of 1, Legendre symbol, cyclotomic field,cubicresidue symbol.

## 1. Pendahuluan
Dalam  komunikasi  data  secara  digital,  semua  data  pada  umumnya  dikonversi  menjadi bilangan, sebagian besar dalam basis 2 (bilangan biner). Dengan demikian konsep teori bilangan, termasuk  yang  dibahas  secara  aljabar  ( algebraic  number  theory ) , sangat  berpotensi  sebagai
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email: haryanto@unhas.ac.id
2 Mahasiswa S2 Program Studi Matematika  FMIPA Universitas Hasanuddin, email: armanefendi@gmail.com
Loeky Haryanto, Arman Efendi
mathematical tool yang sangat ampuh di dalam pemodelan dan perancangan sistem yang dibuat untuk meningkatkan keamanan data komunikasi, termasuk perancangan sistem kriptografi.
Beberapa  skema  kriptografi  publik  memiliki  tingkat  keamanan  yang  bisa  dihitung ( provably  secure ).  Salah  satu  skema  kriptografi  yang provably  secure adalah  skema  kriptografi yang  menggunakan  lapangan  siklotomik.  Implementasi  lapangan  siklotomik  pada  kriptografi yang  diketahui  sudah  ada  saat  ini  hanya  lapangan  siklotomik  ke-2  dan  ke-3,  masing-masing berbasis pada akar primitif ke-2 dan ke-3 dari 1.
Implementasi  lapangan  siklotomik  ke-2  dan  ke-3  sangat  erat  berkaitan  dengan  konsep simbol  Legendre  dan  simbol  residu  kubik  yang  dikenal  luas  dalam  teori  bilangan.  Tulisan  ini merupakan  hasil  studi  literatur  sebagian  teori  yang  menjadi  dasar  penerapan    konsep  lapangan siklotomik dalam kriptografi.

## 2. Algoritma Pembagian Euclid
Algoritma pembagian Euclid di antara bilangan-bilangan bulat telah dikenal secara luas. Algoritma ini berbasis dua teorema berikut.

## Teorema 1 .
Untuk setiap bilangan bulat positif a dan bilangan bulat b, terdapat bilangan bulat q dan bilangan bulat r yang memenuhi:
1. a = qb + r , dan 2. 0 ≤ r <| b |.
Generalisasi  dari  gelangang  bilangan  bulat  adalah  sebuah  gelanggang G yang  disebut daerah  Euclid.  Sesuai  dengan  namanya,  di  dalam  daerah  Euclid,  algoritma  pembagian  Euclid berlaku,  di  mana  peran  | b |  digantikan  oleh  sebuah  fungsi G → Z  0 yang  disebut norma atau fungsi Euclid .
Manfaat  utama  dari  algoritma  pembagian  Euclid  dalam Z adalah  untuk  mencari  FPB (faktor persekutuan terbesar) dua bilangan bulat a dan b : FPB( a , b ). Berdasarkan definisi, FPB( a , b ) tak pernah negatif. Sebagai akibatnya
FPB( a , b ) = FPB(  a , b ) = FPB( a ,  b ) = FPB(  a ,  b )
sehingga penerapan algoritma Euclid bisa dibatasi hanya pada dua bilangan positif a dan b .

## Teorema 2.
Untuk setiap pasang bilangan bulat positif a dan b berlaku:
FPB( a , b ) = FPB( b , a mod b ).
Jika  dipilih a > b >  0,  teorema  kedua  ini  membuka  jalan  bagi  algoritma  Euclid  untuk  membuat daftar sisa hasil bagi
r 0 = a > r 1 = b , r 2 = a mod b > ..., r n > r n +1 = 0
di mana r k  1 = qr k + r k +1 , dan menyimpulkan bahwa
FPB( a , b ) = FPB( r 0 , r 1 ) =FPB( r 1 , r 2 ) = ... = FPB( r n  1 , r n ) = FPB( r n ,  0) = r n .
Algoritma Euclid bisa diperluas untuk memenuhi hasil teorema berikut.
Loeky Haryanto, Arman Efendi

## Teorema 3.
Untuk  setiap  pasang  bilangan  bulat  positif  a  dan  b,  terdapat  dua  bilangan  bulat  s  dan  t sedemikian sehingga
FPB( a , b ) = sa + tb .
Algoritma Pembagian Euclid (Yang Diperluas).
INPUT: Bilangan bulat positif a , b ; keduanya tidak sama dengan 0. 1. q :=  a / b  ; 2. u 1 := a ; u 2 := 0; u 3 :=1; u 4 :=0                         (definisi awal U = ( a , 0, 1, 0))
3. Jika 0 < b  a , makacetak U = ( u 1 , u 2 , u 3 , u 4 )
4. v 1 := b ; v 2 := q ; v 3 : = 0; v 4 := 1                    (definisi awal V = ( b , q , 0, 1)) 5. Cetak V = ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ); 6.  while ( u 1 mod v 1 > 0) do
6.1 w 1 := u 1 mod v 1 ; w 2 :=  v 1 / w 1  ; w 3 := u 3  v 2 v 3 ; w 4 := u 4  v 2 v 4 ; (definisi W ) 6.2. q := w 2 ; 6.3. U := V ; V := W ;                                    ( update U , V dan W )
6.4. Jika 0 < b  a .cetak v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ; end      (mengakhiri loop )
OUTPUT: v 1 , v 3 , v 4 Keterangan: v 1 = FPB( a , b ) = v 3 a + v 4 b , v 3 = s , v 4 = t .
Contoh.
Algoritma  pembagian  Euclid  yang  diperluas  untuk  kasus-kasus a dan b ,  misalnya a =  469, b = 203berukuran kecil sangat mudah digambarkan melalui skema berikut.
Tabel 1.  Ilustrasi Algoritma Euclid Yang Diperluas (Untuk a = 469 dan b = 203). k r k q k s k t k 0 469 0 1 0 1 203 2 0 1 2 63 3 1  2 3 14 4  3 7 4 7 2 13  30 5 0  29 67
Di dalam algoritma, setiap langkah dari loop memperlakukan 3 baris berurutan dalam skema di atas sebagai baris U , V dan W . Dalam contoh ini, output dari algoritma di atas adalah v 1 = 7, v 3 = 13 dan v 4 =  30. Ini berarti 7 = FPB(469, 203)  = (13)(469) + (  30)(203). Sesungguhnya algoritma Euclid di Z di atas bisa diperluas dan diberlakukan pada setiap daerah Euclid selain Z untuk  menentukan FPB dua unsur atau invers suatu unsur modulo suatu unsur lain yang relatif prima terhadap unsur tersebut.

## 3. Residu Kuadratis
Simbol  Legendre   a p dengan a , p  Z , p prima  dan a bukan  kelipatan p , didefinisikan atas dasar konsep kongruensi modulo suatu bilangan prima dan fakta bahwa untuk setiap bilangan prima p ,grup perkalian
Z  p = { x  Z | 0 < x < p , FPB( x , p ) = 1} = { 1, 2, ..., p  1}
terpartisi dua sama besar atas:
i. unsur-unsur r  Z  p dengan sifat:  kongruensi x 2  r mod p memiliki solusi; dan ii. unsur-unsur s  Z  p dengan sifat: kongruensi x 2  s mod p tidakmemiliki solusi.
Sebagai  akibat  dari  partisi Z  p =  { r }  { s },  subhimpunan  semua  bilangan  bulat  yang  bukan kelipatan p , yaitu
Z  < p >
juga terbagi dua:
i. unsur-unsur a  Z  < p > dengan  sifat a  r mod p ,  yaitu  unsur-unsur a yang  bukan kelipatan p tetapi kongruensi x 2  a mod p memiliki solusi. Dalam hal ini didefinisikan   a p = 1  dan a disebut unsur residu kuadratis modulo p ;
ii. unsur-unsur a  Z  < p > dengan  sifat a  r mod p ,  yaitu  unsur-unsur a yang  bukan kelipatan p dan  kongruensi x 2  a mod p tidak  memiliki  solusi.  Dalam  hal  ini didefinisikan   a p =  1  dan a disebut unsur nonresidu kuadratis modulo p ;
Bisa dibuktikan, untuk setiap bilangan bulat a  Z  < p > berlaku   a p = a ( p  1)/2 mod p .
Setiap bilangan bulat a yang merupakan kelipatan p tidak termasuk ke dalam salah satu di antara bilangan  residu  atau  nonresidu  modulo p .  Dalam  hal  ini  didefinisikan   a p =  0,  walaupun  nilai simbol  Legendre  0  tidak  pernah  dilibatkan  lagi  dalam  pengembangan  teori  residu  kuadratis lanjutannya.
Konsep simbol Legendre dipergunakan sebagai basis pendefinisian konsep simbol Jacobi   a b yang meniadakan syarat prima untuk bilangan b . Misalkan b adalah bilangan positif dan ganjil yang faktorisasinya atas bilangan-bilangan prima adalah
b = 1 2 , ,..., k q q q
dengan q 1 q 2 … q k prima, tidak harus berbeda satu sama lain . Untuk setiap bilangan bulat a dan b yang saling relatif prima,simbol Jacobididefinisikan sebagai
  a b =   1 j k j a q   .
Jika b prima, simbol Jacobi adalah juga (sama dengan) simbol Legendre.

## 4. Lapangan Siklotomik ke- n
Sebuah bilangan  disebut akar primitif ke- n dari 1 jika  n = 1 tetapi untuk setiap k  {1, 2, ..., n  1} berlaku  k ≠ 1. Akar primitif ke-2 dari 1 adalah  1, sebuah bilangan real dan akar primitif  1  ini  bersama  bilangan  1  digunakan  dalam  definisi  residu  kuadratis  (simbol  Legendre dan  simbol Jacobi).  Akar primitif  ke-4  dari  1  adalah  bilangan  kompleks i dan  i , sebab  i ≠  1, (  i ) 2 =  1 ≠ 1, (  i ) 3 =  i ≠ 1 tetapi i 4 = 1. Di sini  1 bukan akar primitif ke-4. Sesungguhnya akar primitif ke-  selalu bilangan kompleks. Tulisan di sini terpusat pada kasus  adalah bilangan bulat prima dengan 2 <  19 dan  adalah akar primitif ke-  dari 1 yang merupakan akar (  1) dari polinom berderajat  1
f  ( x ) = 1 1 x x    = x   1 + ... + x + 1  Z [ x ]. (1)
f  ( x ), disebut polinom siklotomik ke-  , memiliki sebanyak  1 akar kompleks. Di dalam Fraleigh [ Error! Reference source not found. ] (Theorem 23.15,  hal. 215 – 216) dibuktikan  bahwa  polinom f  ( x )  adalah  polinom irreducible atas  lapangan Q (dan Z ).  Di  dalam lapangan  siklotomik  ( splitting  field ) Q(  ) ,  lapangan  terkecil  yang  memuat Z [  ]  dan  , f  ( x ) tereduksi atas faktor-faktor linear yang memuat semua akar-akar dari f  ( x ). Dari bentuk rasio f  ( x ) di dalam (1), disimpulkan bahwa semua  1 akar-akar dari f  ( x ) memenuhi x   1 = 0, x ≠ 1. Karena  prima,  lapangan   Z memiliki  tepat sebanyak  1 unsur. Menurut  Lemma  6.1 [ Error! Reference source not found. ],  adalah akar primitif dari f  ( x ) jika dan hanya jika x =  2 , ..., x =    1 juga  akar  primitif  padahal  dari  sifat  tertutup  grup  perkalian,  semua  1  akar-akar primitif x =  , x =  2 , ..., x =    1 berada di dalam   Z . Fakta ini juga bisa diturunkan dari fakta bahwalapangan Q(  ) adalah perluasan Galois dari Q , jadi memuat semua akar-akar dari f  ( x ). Ini berarti  semua  akar  dari f  ( x )  adalah  akar  primitif  ke-  dari  1.  Sebagai  akibatnya,  di  dalam lapangan Q(  ) berlaku
f  ( x ) = ( x  )( x  2 )...( x    1 )
atau
f  ( x ) = 1 1 ( ω ) i i x     . (2)
Perlu  dicatat  bahwa f  ( x )  adalah  polinom  minimal  dari  setiap  akar  primitif  ke-  dari  1.  Karena semua koefisien dari f  ( x ) adalah bilangan bulat, setiap akar primitif ke-  dari 1 adalah bilangan bulat aljabar (merupakan akar dari suatu polinom dengan koefisien-koefisien bulat).
Bentuk polinom f  ( x ), polinom siklotomik ke-  dengan  Z prima, bisa diturunkan dari definisi  umum  polinom  siklotomik  ke- n ,  di  mana n  2,  3,  4,  ...  ( n tidak  harus  prima)  sebagai berikut
f n ( x ) = ωakar primitif ke-  dari 1
( ω) n x  
.
Dengan kata lain
Loeky Haryanto, Arman Efendi
f n ( x ) = ( ω ) i n i x     Z (4.3)
Pandang gelanggang
Z [  ]= { a + b  | a , b  Z }.
Untuk nilai-nilai  prima dengan 2 <  19 prima algoritma pembagian Euclid bisa diberlakukan di dalam Z [  ]. Sesungguhnya Z [  ] yang dilengkapi fungsi Euclid
 : Z [  ]  N
dengan  (  )  =  membentuk daerah Euclid (Lihat hal. 9, 75 dari [ Error! Reference source not found. ] atau Lemma 3.7 dari [7].
Sesungguhnya  untuk  setiap  , β  Z [  ]  berlaku  (  )  <  (  β )  dan  terdapat γ , ρ  Z [  ] sedemikian sehingga  = γβ + ρ dengan 0  ( ρ ) <  ( β ). Karena setiap daerah Euclid adalah sebuah PID  ( Principal  Ideal  Domain )  dan  setiap  PID  adalah  sebuah  UFD  ( Unique  Factorization Domain ), maka Z [  ] merupakan UFD. Jadi jika 2 <  19 prima, maka Z [  ] merupakan daerah Euclid , jadijuga merupakan UFD ( Unique Factorization Domain ). Perlu dicatat bahwa bilangan prima berikutnya,  = 23, dengan  sebagai akar primitif ke-23, Z [  ] bukan UFD.
Di  dalam  setiap  daerah  Euclid Z [  ],  konsep  unit  (unsur  yang  mempunyai  invers)  bisa diberlakukan.  Lebih  jauh,  untuk  setiap  Z [  ]  yang  bukan  unit,  bisa  didefinisikan  kelas kongruensi modulo  berdasarkan relasi kongruensi berikut: dua unsur  ,  berelasi modulo  jika dan hanya jika unsur  adalah kelipatan  (yaitu terdapat  Z [  ] sedemikian sehingga  =  ).
Dua  unsur  , β  Z [  ]  dikatakan berasosiasi satu  sama  lain  jika  terdapat  unit μ sedemikian sehingga  = μβ = βμ (karena perkalian di dalam Z [  ]  C bersifat komutatif). Unsur γ  Z [  ] disebut unsur prima di dalam Z [  ] jika γ |  β ( γ membagi  β ) berakibat γ |  atau γ | β . Sebagai akibat algoritma pembagian Euclid, untuk setiap unsur p  Z [  ] yang bukan unit, ideal p Z [  ] adalah ideal sejati dan gelanggang faktor Z [  ]/ p Z [  ] bukan gelanggang trivial. Pada khususnya  jika  Z [  ]  adalah  unsur  prima  (di  dalam  setiap  PID,  jadi  di  dalam  setiap  daerah Euclid),  maka  identik irreducible sehingga  ideal  <  >  (notasi  lain:  Z [  ])  maksimal.  Sebagai akibatnya, gelangang faktor Z [  ]/  Z [  ] adalah suatu lapangan. Banyak unsur di dalam lapangan ini adalah  (  )  =  .

## 5. Simbol Residu Kubik
Misalkan  adalah akar primitif ke-3 dari 1,  = a + ib  Z [  ]. Dengan fungsi Euclid
 : Z [  ]  N
di mana  (  )  =  = a 2 + b 2-  ab . Sifat multiplikatif dari  berikut mudah dibuktikan:
(   , β  Z [  ]).  (  β ) =  (  )  ( β )
Semua unit (unsur yang memiliki invers) di dalam Z [  ] diperoleh dari fakta (Lemma 4.5 [ Error! Reference source not found. ]):
Loeky Haryanto, Arman Efendi
a. μ  Z [  ] adalah unit jika dan hanya jika  ( μ ) = 1 b. Himpunan semua unit di dalam Z [  ] adalah {±1, ±  , ±  2 }.
Jika  Z [  ]  memiliki  norma p =  (  )  yang  merupakan  unsur  prima  dalam Z ,  maka  adalah unsur  prima  di  dalam Z [  ].  Sebagai  akibatnya,  semua  prima  di  dalam Z [  ]  bisa  ditentukan berdasarkan  pilihan  bilangan  prima p .  Pertama  kali  ditentukan  semua  unsur  prima  dengan norma p =  (  ).
a. Jika p = 3 maka 1  adalah unsur prima di dalam Z [  ] dan  2 (1  ) 2 = 3. b. Jika p ≡  1  mod  3  maka  terdapat  unsur  prima  di  dalam Z [  ]  dengan p =  , kedua unsur prima (di dalam Z [  ])  dan  tidak berasosiasi.
c. Jika p ≡ 2 mod 3 maka p juga merupakan unsur prima di dalam Z [  ].
Suatu unsur prima   Z [  ] dengan norma  (  ) bukan bilangan prima selalu berasosiasi dengan unsur  prima '  yang  normanya  adalah  bilangan  prima.  Ini  berarti  terdapat  unit μ dan  bilangan prima '  sedemikian  sehingga  = μ '  .  Jadi  ideal  <  >=  < '  >adalah  ideal  maksimal  dan sebagai akibatnya, gelanggang faktor Z [  ]/<  > atau Z [  ]/< '  > adalah lapangan.
Berikut adalah fakta-fakta yang berkaitan dengan unsur prima   Z [  ] (Lemma 4.8 dan Corollary 4.9 dalam [ Error! Reference source not found. ]):
a. Banyak  unsur  di  dalam  lapangan Z [  ]/<  > adalah N (  ).  Sebagai  akibatnya,  dari Teorema Kecil Fermat, untuk setiap  Z [  ] di mana  tidak membagi  berlaku
 N ( π )  1 mod  = 1.
(Perhatikan analoginya dengan pendefinisian simbol Legendre   a p di mana p tidak membagi a ).
b. Terdapat bilangan prima p sedemikian sehingga jika N (  ) = p dan i. p = 3 atau p ≡ 1 mod 3, maka N (  ) = p dan Z /< p > ≅ Z [  ]/<  >. ii. p ≡ 2  mod 3,  maka Z /< p >  adalah  satu-satunya  subgelanggang  sejati  berorder p dari Z [  ]/<  > yang berorder N (  ) = p 2 .
Sebagai akibat dari butir a , untuk setiap  Z [  ] yang tidak habis dibagi  , unsur s (  )=  ( N ( π )  1)/3 mod  adalah akar kubik (akar primitif ke-3) dari 1. Karena
x 3  1 ≡ ( x  1)( x  )( x  2 ) mod 
maka s (  ) ≡ 1,  atau  2 mod  . Dari sini, simbol Legendre (residu kuadratis) diperluas dengan mendefinisikan s (  ) sebagai simbol residu kubik untuk  Z [  ] terhadap unsur prima   Z [  ] dengan lambang   3   , asalkan  tidak membagi  .Perhatikan, untuk setiap unsur  Z [  ] yang tidak habis dibagi  berlaku
  3   ≡ 1,  atau  2 mod 
atau
  3   ≡  ( N ( π )  1)/3 mod  .

## Loeky Haryanto, Arman Efendi
Dari bentuk perluasan simbol residu kudratis Legendre   a p dengan p prima di dalam Z ke simbol   3   dengan  unsur  prima  di  dalam Z [  ],  seperti  halnya  perluasan  simbol  residu  kuadratis Legendre   a p ke  simbol  residu  kuadratis  Jacobi   a b ,  di  mana b tidak  harus  bilangan  prima, simbol residu kubik   3   bisa diperluas ke simbol residu kubik   3   untuk sembarang pasangan unsur  , β  Z [  ] di mana β tidak harus prima di dalam Z [  ].
Seperti  halnya  perluasan   a p ke   a b di  dalam Z bisa  diberlakukan  karena Z adalah UFD  sehingga  bilangan  bulat b bisa  diuraikan  secara  tunggal  atas  faktor-faktornya,  perluasan   3   ke   3   di  dalam Z [  ]  bisa  diberlakukan  karena Z [  ]  adalah  UFD  sehingga  unsur β  Z [  ]bisa diuraikan secara tunggal atas faktor-faktornya.
Salah  satu  algoritma  efisien  untuk  mencari  unsur  prima  π  Z [  ]  dengan  norm  (π)  = p  Z prima, bisa  dijumpai di dalam [9]. Contoh penggunaan algoritma ini bisa diuraikan secara singkat  sebagai  berikut.Misalnya  dari  bilangan  prima p ≡ 1 (mod 3) yang diberikan, lebih dulu ditentukan nilai s dan t yang memenuhi
p = s 2 + 3 t 2 = ( s + t ) 2 − 2 t ( s + t ) + 4 t 2 .
Agar p ≡ 1 (mod 3) dipenuhi, kesamaan s 2 = 1 dan t 2  Z harus dipenuhi.  Dengan memilih a = s + t dan b = 2 t ,diperoleh p = a 2 – ab + b 2 . Jadi jika π = a + bω  Z [  ], maka  (π) = p .
Untuk  menentukan  nilai  simbol  residu  kuadratis   3   kembali  pustaka  [9]  memberikan sebuah  algoritma  yang  pada  dasarnya  melakukan  iterasi  perhitungan  nilai   3   dan g yang memenuhi   3   =  g   3   dan  (γ)  <  (β).  Iterasi  berakhir  ketika  diperoleh  simbol  residu berbentuk   3 1   = 1.
Lapangan siklotomik menjadi dasar dari skema kriptografi publik, seperti yang disajikan secara kronologis dalam [9], [7], [8] dan [ Error!  Reference  source  not  found. ]. Di dalam [ Error! Reference  source  not  found. ] misalnya, penerapan kriptografi untuk kasus λ = 2, diawali dengan menentukan nilai simbol Jacobi   1 N pq  yang berbasis residu kuadratis, sedangkan dalam kasus λ = 3, diawali dengan mementukan nilai simbol residu kubik lebih dulu.

## 6. Penutup
Dari  diskusi  pada  bagian  sebelumnya  diturunkan  bahwa  lapangan  siklotomik  ke-2  tidak lain  adalah Q dan  akar  primitif  ke-2  adalah  1.  Jadi  daerah  faktorisasi  tunggal  terkecil  yang memuat  1  adalah Z .  Tetapi  mulai  dari  λ  =  3,  lapangan  siklotomik  ke-3 Q(  ) memuat  daerah Euclid Z [  ] yang juga merupakan daerah faktorisasi tunggal. Unsur prima π  Z [  ] menentukan lapangan Z [  ]/<π> dan simbol residu kubik   3   , untuk setiap setiap  Z [  ] yang tidak habis dibagi  .

## Loeky Haryanto, Arman Efendi
Fakta di atas sebenarnya berlaku untuk sembarang  adalah akar primitif ke-λ dengan 0  λ  19  dan  λ  prima.  Daerah  Euclid Z [  ]  bersama  lapangan  siklotomik Z [  ]/< π >memiliki potensi dalam rancangan konstruksi kriptografi publik.

## Daftar Pustaka
[1]   Cox D.A., 1989. Primes of the Forms x 2 + ny 2 . John Wiley & Sons,  Toronto, Canada.
[2] Despotovic Z.A Public-Key Cryptosystem Using Cyclotomic Fields. EPFL DSC Graduate School Project Report.
[3] FraleighJ.B., 2002. A First Course in Abstract Algebra , Edisi 7. Addison Wesley.
[1] IrelandK.  dan  Rosen  M.,  1990. A  Classical  Introduction  to  Modern  Theory  of  Numbers , Edisi 2. Springer-Verlag, New York.
[2] Menezes  A.,  van  Oorschot  P.,  Vanstone  S.,  1996. Handbook  of  Applied  Cryptography . CRC Press.
[6] MilneJ.S.,  2009. Algebraic  Number  Theory.  Versi  3.02 .  URL:  www.jmilne.org/math/ [Diakses pada tanggal 3 Maret 2010]
[7] Scheidler R.1993. Applications of Algebraic Number Theory to Cryptography .Disertasi .Department  of  Computer  Science,  University  of  Manitoba, Canada.
[3] Scheidler  R. dan  Williams  H.C.,  1995.  A  Public-Key  Cryptosystem  Utilizing  Cyclotomic Fields. Designs, Codes and Cryptography , 7 (1 - 2): hal. 153-174.
[4] Williams  H.C.,  1986.An  M 3 Public-Key  Encryption  Scheme.  Advances  in  Cryptology  - CRYPTO ’85 ( Proceedings ), pp. 358 – 36. Springer, Berlin.