## Kontrol Fuzzy Takagi-Sugeno Berbasis Sistem Servo Tipe 1 untuk Sistem Pendulum-Kereta
Helvin Indrawati dan Trihastuti Agustinah
Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail : trihastuti@elect-eng.its.ac.id
Abstrak—Sistem  Pendulum-Kereta  adalah suatu plant yang terdiri dari batang pendulum yang bersumbu pada kedua sisi kereta yang dapat bergerak pada suatu lintasan dengan sumbu vertikal.  Makalah  ini membahas sistem kontrol   fuzzy  Takagi- Sugeno  yang berbasis Sistem Servo Tipe 1  dengan plant  tanpa Integral  agar  Sistem  Pendulum-Kereta  mampu  bergerak mengikuti sinyal referensi berupa sinyal step  dengan tetap mempertahankan batang pendulum pada posisi terbaliknya (0 radian) serta dapat mengatasi gangguan. Model nonlinear Sistem Pendulum-Kereta  dapat direpresentasikan dengan model   fuzzy Takagi-Sugeno  yang  didasarkan mengikuti kaidah Paralel Distributed Compensation (PDC).  Gain state-feedback  dan  gain integral  diperoleh dengan menggunakan metode pole placement. Hasil simulasi dan implementasi menunjukkan bahwa plant Sistem Pendulum-Kereta mampu mengikuti sinyal referensi step dan referensi square wave  serta dapat  tetap mempertahankan posisi pendulum pada 0 radian.
Kata Kunci—Sistem  pendulum-kereta,  fuzzy  Takagi-Sugeno, metode pole placement, sistem servo tipe 1.

## I. PENDAHULUAN
EIRING  dengan perkembangan teknologi dan semakin banyaknya sistem yang nonlinear  maka dibutuhkan kontrol yang tepat agar suatu sistem dapat memberikan respon yang baik. Salah satu sistem nonlinear  adalah Sistem Pendulum-Kereta.  Sistem  Pendulum-Kereta ini terdiri dari sepasang batang pendulum yang bersumbu pada kedua sisi sebuah kereta yang dapat bergerak pada suatu trek dengan sumbu mendatar dan  panjang lintasan tertentu.  Karakteristik Sistem  Pendulum-Kereta  adalah  nonlinear  dan tidak stabil. Sistem  Pendulum-Kereta  digunakan untuk penelitian dan menguji metode–metode kontrol sehingga metode tersebut dapat diterapkan pada berbagai aplikasi dari sistem nonlinear yang lebih komplek.
Permasalahan kontrol pada Sistem  Pendulum-Kereta terdiri dari masalah swing-up (menganyunkan pendulum dari posisi menggantung ke posisi terbalik), stabilisasi (regulator) dan tracking sinyal referensi.Tujuan utama dari Makalah  ini adalah mengatur  posisi  kereta  sesuai dengan sinyal  referensi step  sekaligus  menggerakkan batang pendulum dari posisi awal ke posisi ekuilibrium (posisi terbalik) dan menstabilkannnya. Beberapa metode telah dikembangkan untuk mendapatkan solusi dari masalah tracking tersebut.  Di antaranya menggunakan fuzzy  Tracking Controller . Metode fuzzy  Tracking Controller yang dilakukan oleh Andri Ashfahani [1]  menghasilkan respon yang cukup baik dan overshoot yang cukup kecil.
Penyelesaian permasalahan dari Sistem  Pendulum- Kereta menggunakan desain Sistem Servo Tipe 1 dengan plant tanpa Integral diharapkan dapat memberikan respon yang baik agar plant dapat mengikuti sinyal referensi. Model nonlinear plant Sistem  Pendulum-Kereta  direpresentasikan dengan model fuzzy Takagi-Sugeno  dengan aturan kontroler fuzzy dibangun dengan mengikuti kaidah Paralel Distributed Compensation (PDC). Gain state-feedback dan gain integral diperoleh dengan menggunakan metode pole placement .

## II. MODEL MATEMATIKA
Pada umumnya,  pendulum adalah suatu sistem yang selalu bergerak menuju ke posisi setimbangnya. Meskipun pada pendulum diberikan simpangan awal tetapi pada akhirnya pendulum ini mampu untuk kembali ke posisi setimbangnya. Sistem Pendulum-Kereta  terdiri dari sepasang batang pendulum yang bersumbu pada kedua sisi kereta yang dapat bergerak pada suatu trek dengan  panjang lintasan tertentu.
Model fisik Sistem  Pendulum-Kereta  terdiri dari dua bagian besar, yaitu kereta dan pendulum. Kereta dapat bergerak bebas pada arah horizontal dengan pendulum dapat berotasi terhadap sumbu rotasi yang terdapat pada sisi kereta. Diagram fisik Sistem  Pendulum-Kereta  ditunjukkan pada Gambar 1.
Model matematika Sistem  Pendulum-Kereta  dinyatakan dalam empat vektor state yaitu 𝒙𝒙 =  [ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4 ] 𝑇𝑇 . dengan: 𝑥𝑥 1 R : Posisi kereta (diukur dari titik tengah rel) 𝑥𝑥 2 R : Sudut pendulum terhadap garis vertikal 𝑥𝑥 3 R : Kecepatan kereta 𝑥𝑥 4 R : Kecepatan sudut pendulum
Model matematika dalam bentuk persamaan state dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑥𝑥̇ 1 = 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥̇ 2 = 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥̇ 3 = 𝑎𝑎 ( 𝑢𝑢 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝑥𝑥 4 2 sin 𝑥𝑥 2 ) + 𝑙𝑙 cos 𝑥𝑥 2 �𝜇𝜇𝜇𝜇 sin 𝑥𝑥 2 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 𝑥𝑥 4 � 𝐽𝐽 + 𝜇𝜇𝑙𝑙 sin 2 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥̇ 4 = 𝑙𝑙 cos 𝑥𝑥 2 ( 𝑢𝑢 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝑥𝑥 4 2 sin 𝑥𝑥 2 ) + 𝜇𝜇𝜇𝜇 sin 𝑥𝑥 2 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 𝑥𝑥 4 𝐽𝐽 + 𝜇𝜇𝑙𝑙 sin 2 𝑥𝑥 2 (1)
dengan:
𝑎𝑎 = 𝑙𝑙 2 + 𝐽𝐽 𝑚𝑚 𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 𝑝𝑝 𝜇𝜇 = �𝑚𝑚 𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 𝑝𝑝 �𝑙𝑙
S
Gambar. 1. Diagram fisik SPK [2].
Gambar. 2. Struktur Sistem Servo Tipe 1 dengan plant tanpa Integrator [3].

## III. MODEL FUZZY TAKAGI-SUGENO
Sistem nonlinear dapat diilustrasikan dalam model fuzzy T-S yang memiliki  aturan model plant yang dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut.
Aturan plant ke- i : If z 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖𝑖𝑖 M i1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 … 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 z j ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖𝑖𝑖 M ij Then 𝒙𝒙̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑨𝑨 𝑖𝑖 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑩𝑩 𝑖𝑖 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ) i = 1,2,…, r j = 1,2,…, p (2)
dengan r sebagai jumlah aturan fuzzy , dan p adalah jumlah himpunan fuzzy dalam satu aturan, dan F sebagai himpunan fuzzy ,  dengan vektor state  x ( t ) ∈ R n ,  vektor kontrol masukan u ( t ) ∈ R m , dan vektor keluaran sistem y ( t ) ∈ R q , sedangkan z ( t ) ∈ R j merupakan variabel pada bagian premis.
Model fuzzy T-S secara keseluruhan dapat dituliskan sebagai berikut:
𝒙𝒙̇ ( 𝑡𝑡 ) = � 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 [ 𝑨𝑨 𝑖𝑖 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑩𝑩 𝑖𝑖 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 )] (3)
dengan:
𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � = 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � ∑ 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � = �𝑀𝑀 𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑧𝑧 𝑖𝑖 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑝𝑝 𝑖𝑖 =1
Bentuk (M 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ( 𝑡𝑡 )) merupakan tingkat keanggotaan dari 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ( 𝑡𝑡 ) pada M 𝑖𝑖𝑖𝑖 dengan asumsi:
𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � ≥ 0 ; � 𝜇𝜇 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � > 0 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � ≥ 0 ; � 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � = 1 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (4)
Kontroler state  feedback dapat disusun dengan konsep Parallel Distributed Compensation (P DC). Dalam konsep PDC, tiap aturan kontroler dirancang berdasarkan aturan model plant linear yang bersesuaian dengan  menggunakan  himpunan fuzzy yang sama  dengan aturan plant . Untuk setiap aturan, gain kontroler dapat diperoleh dengan menggunakan teknik desain kontrol linear.
Dari aturan plant yang ada, dapat disusun aturan kontroler fuzzy dengan konsep PDC sebagai berikut. Aturan kontroler ke- i : If z 1 (t) is M i1 AND …  AND z j (t) is M ij Then 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ) = −𝑲𝑲 𝑖𝑖 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) i = 1,2,…, r j = 1,2,…, p (5)
Keluaran dari kontroler fuzzy pada Persamaan (5) secara keseluruhan dapat dinyatakan dengan:
𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ) = − � 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 �𝑲𝑲 𝑖𝑖 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) � (6)
Subtitusi  Persamaan (5) ke Persamaan (6) maka akan diperoleh sistem loop tertutup:
𝒙𝒙̇ ( 𝑡𝑡 ) = � � 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) �𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝒛𝒛 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 ��𝑨𝑨 𝑖𝑖 − 𝑩𝑩 𝑖𝑖 𝑲𝑲 𝑖𝑖 �𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑟𝑟 𝑖𝑖 =1 (7)
Sesuai dengan sifat pembobot 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝐳𝐳 ( 𝑡𝑡 ) � pada  Persamaan (4), maka Persamaan (7) dapat disederhanakan seperti pada Persamaan berikut:
𝒙𝒙̇ ( 𝑡𝑡 ) = �𝑨𝑨 𝑖𝑖 − 𝑩𝑩 𝑖𝑖 𝑲𝑲 𝑖𝑖 �𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) i = 1,2,…, r j = 1,2,…, r (8)

## IV. D ESAIN S ISTEM S ERVO TIPE 1
Sistem kontrol tracking berbasis servo tipe 1 dirancang untuk mengontrol posisi kereta dari sistem Sistem Pendulum- Kereta  sehingga dapat mengikuti sinyal referensi yang diberikan sekaligus menjaga keseimbangan batang pendulum dari sistem tersebut supaya tetap pada posisi terbalik. Aturan kontroler disusun dengan konsep PDC. Pencarian matrik gain kontrol  (state feedback) K dan integrator k I dapat dilakukan dengan teknik pole placement.
Sistem  Pendulum-Kereta  merupakan sistem tanpa integral. Prinsip dari sistem tipe 1 adalah adanya integral pada seperti yang diperlihatkan oleh diagram blok pada Gambar 2. Pada diagram blok digambarkan bahwa sinyal error merupakan masukan integrator yang kemudian dikali dengan gain  integrator. Variabel state dari sistem dikalikan dengan gain  state-feedback. Sinyal dari blok gain state-feedback dan gain integral  dijumlahkan  dan  digunakan sebagai sinyal kontrol untuk stabilisasi maupun tracking .
Dari diagram tersebut, diketahui suatu sistem mempunyai persamaan:
𝑥𝑥̇ = 𝑨𝑨𝑥𝑥 + 𝑩𝑩𝒖𝒖 𝑦𝑦 = 𝑪𝑪𝑥𝑥 (9)
Persamaan sinyal input kontrol dan error masing-masing dinyatakan dalam persamaan berikut ini.
𝑢𝑢 = −𝐾𝐾𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝜉𝜉 (10) 𝜉𝜉 ̇ = 𝑟𝑟 − 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 − 𝑪𝑪𝑥𝑥 (11) dengan:
x = state vektor pada plant u = sinyal kontrol y = sinyal output ξ = output integrator r = sinyal referensi

## V. PEMBAHASAN DAN P ERANCANGAN
Model matematika pada Persamaan (1)  merupakan persamaan nonlinear, sehingga untuk mendapatkan matrik state space yang digunakan untuk kontrol pendulum dilakukan linearisasi pada beberapa titik kerja. Titik kerja  yang dipakai pada sudut pendulum adalah 0 rad, 0,25 rad dan 0,5 rad.
Persamaan model linear adalah sebagai berikut:
𝑥𝑥̇ = 𝑨𝑨𝑥𝑥 + 𝑩𝑩𝒖𝒖
dengan:
𝑨𝑨 = 𝜕𝜕𝑓𝑓 ( 𝐱𝐱 ) 𝜕𝜕𝐱𝐱 � 𝐱𝐱 = 𝐱𝐱∗ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 2 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 4 𝜕𝜕𝑥𝑥 1
𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 2 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 4 𝜕𝜕𝑥𝑥 2
𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 3 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 2 𝜕𝜕𝑥𝑥 3 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 3 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 4 𝜕𝜕𝑥𝑥 3
𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 4
𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 2 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 3 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 𝜕𝜕𝑥𝑥̇ 4 𝜕𝜕𝑥𝑥 4 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝐁𝐁 = 𝜕𝜕ℎ ( 𝐱𝐱 , 𝐮𝐮 ) 𝜕𝜕𝐮𝐮 � 𝐱𝐱 = 𝐱𝐱 ∗ 𝐮𝐮 = 𝐮𝐮 ∗ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕𝜕𝑥𝑥 ̇ 1 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 ̇ 2 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 ̇ 3 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 ̇ 4 𝜕𝜕𝑢𝑢 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Hasil linearisasi pada sudut 0 radian (0 derajat) 𝑨𝑨 𝟏𝟏 = � 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0,2525 0 − 0,00013
0 15,0421 0 − 0,0079 � ; 𝑩𝑩 𝟏𝟏 = � 0 0 0,8272 1,2369 �
Hasil linearisasi pada sudut 0,25 radian (14,3 derajat)
𝑨𝑨 𝟐𝟐 = � 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0,2205 0 − 0,00013 0 14,5058 0 − 0,0079 � ; 𝑩𝑩 𝟐𝟐 = � 0 0 0,8259 1,1966 �
Hasil linearisasi pada sudut 0,5 radian (28,6 derajat)
𝑨𝑨 𝟑𝟑 = � 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0,1334 0 − 0,0001
0 12,9686 0 − 0,0079 � ; 𝑩𝑩 𝟑𝟑 = � 0 0 0,8244
1,079 �
Matriks keluaran untuk titik kerja tersebut adalah:
𝐂𝐂 𝟏𝟏 = 𝐂𝐂 𝟐𝟐 = 𝐂𝐂 𝟑𝟑 = [1 0 0 0] (12)
Dengan menggunakan konsep fuzzy Takagi-Sugeno pada persamaan (2) hingga (8),  maka  aturan plant dapat disusun sebagai berikut:
aturan 1 untuk plant : If 2 x adalah M 1 (sekitar 0 radian)
Then 𝑥𝑥̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) 𝑦𝑦 = 𝑪𝑪 𝟏𝟏 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) (13)
aturan 2 untuk plant :
If 2 x adalah M 2 (sekitar ± 0,25 radian)
Then 𝑥𝑥̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑨𝑨 𝟐𝟐 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑩𝑩 𝟐𝟐 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) 𝑦𝑦 = 𝑪𝑪 𝟐𝟐 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) (14)
aturan 3 untuk plant :
If 2 x adalah M 3 (sekitar ± 0,5 radian)
Then 𝑥𝑥̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑨𝑨 𝟑𝟑 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑩𝑩 𝟑𝟑 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) 𝑦𝑦 = 𝑪𝑪 𝟑𝟑 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) (15)
Dengan menggunakan konsep PDC, dapat disusun aturan kontroler fuzzy yang bersesuaian dengan aturan plant sebagai berikut:
aturan 1 untuk kontroler:
If 2 x adalah M 1 (sekitar 0 radian)
Then 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) = −𝐾𝐾 1 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑘𝑘 𝐼𝐼 1 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 ) (16)
aturan 2 untuk kontroler: If 2 x adalah M 2 (sekitar ± 0,25 radian)
Then 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) = −𝐾𝐾 2 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑘𝑘 𝐼𝐼 2 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 ) (17)
aturan 3 untuk kontroler: If 2 x adalah M 3 (sekitar ± 0,5 radian)
Then 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) = −𝐾𝐾 3 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑘𝑘 𝐼𝐼 3 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 ) (18)
Setelah memperoleh hasil linearisasi berupa state space , gain state-feedback K dan gain integral k I untuk masing- masing model linear diperoleh  dengan menggunakan metode pole placement . Matrik gain kontrol K dan integrator k I dapat diperoleh melalui persamaan berikut:
� 𝑨𝑨 𝒊𝒊 0 −𝑪𝑪 𝒊𝒊 0 � − �𝑩𝑩 𝒊𝒊 0 � ⌈𝐾𝐾 𝑘𝑘 𝐼𝐼𝑖𝑖 ⌉ (19)
Nilai pole - pole yang digunakan untuk memperoleh gain state-feedback dan gain integral menurut daerah titik kerjanya adalah sebagai berikut:
Gambar. 3. Fungsi keanggotaan M 1 , M 2 dan M 3.
Gambar. 4. Gangguan Step pada Sinyal Kontrol.
Gambar.  5. Hasil Simulasi Posisi Kereta Menggunakan Sinyal Referensi Step dengan Gangguan.
Gambar. 6. Hasil Simulasi Sudut Pendulum Menggunakan Sinyal Referensi Step dengan Gangguan.
𝑃𝑃 1 = [ − 6,0 − 5,1 − 4,3 − 4,1 − 3,2]
𝑃𝑃 2 = [ − 6,1 − 5,3 − 4,5 − 4,3 − 3,4] 𝑃𝑃 3 = [ − 6,2 − 5,5 − 4,7 − 4,5 − 3,6]
Dengan  menggunakan program Matlab,  maka diperoleh nilai gain state-feedback dan gain integral yaitu:
𝐾𝐾 1 = [ − 136,6589 257,0988 – 73,5903 66,9912] 𝐾𝐾 𝐼𝐼 1 = [ − 111,3173]
𝐾𝐾 2 = [ − 141,4907 268,5187 – 76,4585 71,1492] 𝐾𝐾 𝐼𝐼 2 = [ − 115,2514]
𝐾𝐾 3 = [ − 157,5809 308,1731 – 86,1435 86,0218] 𝐾𝐾 𝐼𝐼 3 = [ − 128,3515]

## VI. PENGUJIAN DAN ANALISIS
Pada bab ini akan membahas mengenai hasil-hasil yang didapatkan dari simulasi yang dilakukan menggunakan software Matlab/ Simulink maupun implementasi pada plant Sistem Pendulum. Simulasi dilakukan dengan linearisasi plant Sistem  Pendulum-Kereta  dengan titik kerja 0 radian, 0,25 radian dan 0,5 radian. Kemudian hasil dari simulasi yang telah dilakukan pada software ini akan digunakan sebagai acuan untuk implementasi sistem kontrol pada plant Sistem Pendulum-Kereta  “ Digital Pendulum Mechanical Unit 33- 200” dari Feedback Instrument Ltd.

## A. Simulasi
Simulasi menggunakan gangguan dilakukan pada sinyal step, dengan memberikan gangguan pada sinyal kontrol. Gangguan diberikan pada interval 15-18 detik.
Respon sistem diperlihatkan pada Gambar 5 dan Gambar 6.  Pada  Gambar 5  memperlihatkan posisi kereta saat sistem berjalan dengan diberikan gangguan. Ketika gangguan diberikan, terjadi penyimpangan sebesar 0,02 meter dan penyimpangan kembali terjadi  setelah gangguan selesai. Selanjutnya sistem mampu mengatasi gangguan dan kembali mengikuti sinyal referensi setelah 2 detik. Gambar 5 menunjukkan respon posisi sudut pendulum  saat diberi gangguan. sudut pendulum mengalami penyimpangan sebesar 0,01 radian  saat t =15  detik  dan ketika gangguan dihilangkan, sudut pendulum mengalami penyimpangan sebesar  senilai 0,01 radian saat t =18 detik.
Simulasi selanjutnya dilakukan dengan memberikan gangguan pada masukan step  dari sinyal square wave . Gangguan diberikan pada interval 12-15 detik dan 30-33detik sebesar 2 Newton. Setelah diberi gangguan pada sinyal kontrol, dapat diamati pada Gambar 8  bahwa  respon posisi kereta dapat mengatasi gangguan yang diberikan walaupun terjadi penyimpangan posisi sejauh 0,01 meter pada detik ke- 12  maupun pada  detik ke-30. Penyimpangan kembali terjadi sejauh  0,014 meter pada  detik ke-15 dan sejauh 0,015 meter pada  detik ke-33.  Setelah terjadi penyimpangan  umumnya posisi kereta dapat kembali dalam waktu 2 detik.
Pada posisi sudut pendulum saat diberi gangguan. sudut pendulum mengalami penyimpangan sebesar 0,013  radian pada detik ke-12  dan  detik ke - 30  dan ketika gangguan dihilangkan, sudut pendulum mengalami penyimpangan sebesar 0,012 radian pada detik ke-15 dan detik ke-33.
Dapat disimpulkan bahwa kontroler fuzzy Takagi- Sugeno berbasis Sistem Servo Tipe 1  dengan sistem  tanpa Integral  mampu mengatasi adanya gangguan yang diberikan pada sinyal kontrol untuk masukan dari sinyal step  maupun sinyal square wave .
M3 M3 M1 M2 M2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x2 D er aj at K eanggot aan 0 5 10 15 20 25 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Waktu (detik) G angguan ( N ) 0 5 10 15 20 25 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Waktu (detik) P os is i K er et a ( m et er ) x = [0 0.2 0 0] Referensi 0 5 10 15 20 25 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Waktu (detik) S udut P endul um ( radi an)
Gambar. 7. Gangguan Step pada Sinyal Kontrol.
Gambar. 8. Hasil Simulasi Posisi Kereta Menggunakan Sinyal Referensi Square Wave dengan Gangguan.
Gambar.  9.    Hasil Simulasi Sudut  Menggunakan Sinyal Referensi Square Wave Pendulum dengan Gangguan.

## B. Implementasi
Pada Implementasi ini sistem dijalankan dengan memberikan gangguan step sebesar 2 Nm pada sinyal kontrol. Kereta diberi inisialisasi awal sebesar 0,2 radian, sedangkan state yang lain diberi kondisi awal 0. Gangguan diberikan pada interval 15-18 detik untuk sinyal referensi step. Pada sinyal referensi square wave gangguan diberikan dengan interval waktu 12-15 detik dan 30-33detik.
Gambar 10  menunjukkan respon posisi kereta setelah diberi gangguan pada sinyal kontrol. Dari gambar tersebut dapat diamati bahwa respon posisi kereta dapat mengatasi gangguan yang diberikan walaupun terjadi penyimpangan posisi sejauh 0,85 meter  pada detik ke-15. Penyimpangan kembali terjadi pada detik ke-18 sejauh 0,11 meter. Hal ini menandakan bahwa sistem melawan gangguan 2 Nm  yang diberikan. Setelah detik ke-20 kereta kembali menuju ke titik asal yaitu 0,1 meter.
Gambar. 10. Respon Posisi Kereta Menggunakan Sinyal Referensi Step dengan Gangguan .
Gambar. 11. Respon Sudut Pendulum Menggunakan Sinyal Referensi Step dengan Gangguan.
Gambar.  12.    Respon Posisi Kereta Menggunakan Sinyal Referensi Square Wave dengan Gangguan.
Gambar. 13. Posisi Sudut Pendulum Menggunakan Sinyal Referensi Square Wave dengan Gangguan.
0 10 20 30 40 50 -1 0 1 2 3 Waktu (detik) S iny al K ont rol ( N ) 0 10 20 30 40 50 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Waktu (detik) P os is i K er et a ( m et er ) Referensi x = [0 0,5 0 0] 0 10 20 30 40 50 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Waktu (detik) P os is i P endul um ( radi an) 0 5 10 15 20 25 30 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Waktu (detik) P os is i K er et a ( m et er ) x = [0 0,2 0 0] Referensi 0 5 10 15 20 25 30 -1 0 1 2 3 4 Waktu (detik) S udut P endul um ( radi an) 0 10 20 30 40 50 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Waktu (detik) P os is i K er et a ( m et er ) Referensi x = [0 0,5 0 0] 0 10 20 30 40 50 -1 0 1 2 3 4 Waktu (detik) P os is i P endul um ( radi an)
Posisi sudut pendulum saat diberi gangguan dapat diamati.  pada Gambar 11. Pada gambar dapat dilihat bahwa sudut pendulum mengalami penyimpangan sebesar 0,1 radian pada detik ke-15  dan ketika gangguan  dihilangkan, sudut pendulum  kembali  mengalami penyimpangan sebesar  0,1 radian  pada detik ke-18. Setelah detik ke-20 posisi sudut pendulum kembali menuju 0 radian.
Gangguan pada  implementasi dilakukan pada masukan dari sinyal square wave dengan amplitudo 0,1 dan frekuensi 0,025. Gangguan diberikan pada interval waktu  12-15 detik dan 30-33 detik. Pada Gambar 12 dapat diamati bahwa kereta mengalami underhoot sejauh 0,25  meter.  Setelah diberi gangguan pada detik ke-12 dan detik ke-30 terjadi penyimpangan kereta  sejauh sejauh 0,01 meter  dan 0,008 meter. Penyimpangan kembali terjadi sejauh 0,016 meter dan 0,01 meter ketika gangguan dihilangkan yaitu pada detik ke- 15 dan detik ke-33. Kemudian kereta  kembali  bergerak mengikuti sinyal referensi.
Pada Gambar 13  dapat dilihat respon sudut pendulum yang telah diberi gangguan. Dari gambar dapat dilihat ketika diberi gangguan tidak terjadi penyimpangan pada detik ke-12 maupun detik ke-30.
Hasil yang diperoleh pada implementasi memiliki bentuk yang sesuai dengan hasil dari simulasi. Dapat disimpulkan bahwa  implementasi pada Sistem Pendulum-Kereta  dengan kontroler fuzzy Takagi-Sugeno berbasis Sistem Servo Tipe 1 tanpa Integral  dapat mengatasi adanya gangguan yang diberikan pada sinyal kontrol.

## VII. KESIMPULAN
Setelah melakukan  pengujian  pada  Makalah  ini menggunakan  sistem kontrol fuzzy Takagi-Sugeno dengan struktur Sistem Servo Tipe 1 dengan plant tanpa Integral yang
telah dirancang, baik dengan simulasi maupun implementasi dapat diambil kesimpulan sebagai berikut 1. Hasil simulasi dari sistem kontrol fuzzy Takagi-Sugeno yang telah dibuat menunjukkan bahwa posisi kereta dapat mengikuti masukan berupa referensi step  dan referensi square wave serta batang pendulum dapat distabilkan pada titik di sekitar nol radian.
2. Hasil implementasi menunjukkan bahwa posisi kereta dapat mengikuti masukan berupa referensi step  dan referensi square wave yang diberikan serta  batang pendulum dapat distabilkan pada titik di sekitar nol radian.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Ashfahani, A., “Kontrol  Tracking  Pada Sistem Pendulum Terbalik Berbasis Model  fuzzy Takagi-Sugeno Menggunakan Pendekatan BMI”
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2010.
[2] ________, Book “ Control in Digital Pendulum environment ”.
Feedback Instruments Ltd., Crowborough England. 2003.
[3] Agustinah, T., Bahruddin, A., dan Jazidie, A. , " Implementasi Kontrol Tracking    fuzzy  Menggunakan Sistem Servo Tipe Integral Berbasis Observer    fuzzy  Takagi-Sugeno pada Inverted Pendulum ",  Proceeding Seminar Nasional Electrical, Informatics, and It's Education, Malang, 2009.
[4] Raharja, K.,  “ Perancangan kontroler   fuzzy  T-S berbasis performansi LQR melalui pendekatan LMI untuk plant pendulum ” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2010.
[5] Ma, Xion-Jun, Zhang, S., “ Output Tracking and  Regulation of Nonlinear System Based on Takagi-Sugeno    fuzzy  Model ”, IEEE
Transaction on System, Man and Cybernetics, vol. 30, No. 1. 2000.
[6] Wang H.O., K. Tanaka K, and Griffin M.F., “ An approach to   fuzzy control of nonlinear systems: stability and design issues ”  IEEE Trans. fuzzy Systems, vol. 4, N°1, pp. 14-23, 1996.
[7] Tanaka, K., Wang,, Hua O., “ fuzzy  Control Systems Design and Analysis: A Linear Matrix Inequality Approach ”,  John Wiley & Sons, Inc., Ch.2, 2001.
[8] Martania, A. D. , " Implementasi Nonlinear Quadratic Tracking dengan Regresi Kuadratik untuk Inverted Pendulum ", Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2007.