## Analisis Eksistensi dan Ketunggalan Solusi Model Epidemi SEIR

## Analysis of Existence dan Uniqueness Solution for SEIR Epidemic Model
Roni Tri Putra
Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576 Email : putra_tryronny@yahoo.co.id

## ABSTRACT
In  this  paper,  it  will  be  studied  existence  and  uniqueness  solution    of  equilibrium  points  for  a  SEIR model with infectious force in latent, infected and immune period. From the model it will be found investigated the existence and uniqueness solution  of points its equilibrium. Existence solution of points equilibrium proved by show its differential equations system of equilibrium continue, and uniqueness solution of points equilibrium proved by show its differential equation system of equilibrium differentiable continue.
Keywords: existence solution, uniqueness solution, equilibrium points, continue, differentiable continue

## PENDAHULUAN
Perkembangan  ilmu  pengetahuan  di bidang matematika  turut memberikan peranan  penting  dalam  menggambarkan fenomena  penyebaran  penyakit.  Peranan tersebut  dituangkan  dalam  bentuk  model matematika  yang  dapat  dianalisis  sifat- sifatnya.
Penerapan model matematika dan teknik matematika untuk mendalami masalah biosciences dipelajari dalam mathematical biosciences . Salah satu cabang mathematical  biosciences adalah mathematical epidemiology , yang mempelajari tentang penyebaran dan pengendalian  penyakit.  Mempelajari  model epidemi yang didalamnya termasuk penyakit  penyebab  kematian  pada  suatu populasi total  yang  berubah  merupakan  hal penting dalam mathematical epidemiology . Banyak  model-model  matematika  yang telah dikembangkan, bertujuan untuk mempelajari  penularan  penyakit,  untuk mengevaluasi penyebaran dari epidemi, dan untuk dapat mencegah adanya penyakit atau meminimalisir penyebaran dari suatu penyakit. Dalam kurun waktu yang panjang, memahami perilaku penyakit akan membantu untuk mengetahui apakah epidemi akan menghilang atau tetap berada dalam suatu populasi.
Epidemi  merupakan  suatu  keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular dalam  populasi pada suatu tempat yang  melebihi  perkiraan  kejadian  normal dalam  periode  yang  singkat.  Bila  penyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun dengan faktor penyebabnya maka dikatakan Endemic , kemudian bila penyakit tersebut mempunyai ruang lingkup penyebaran  yang sangat luas (global)  maka disebut Pandemic .
Model epidemi adalah model
matematika yang digunakan untuk mengetahui  penyebaran  penyakit  menular, khususnya menyangkut terjadi atau tidaknya  keadaan  epidemi  serta  pengaruh yang ditimbulkan.
Berbagai  macam  penyakit  epidemi seperti  campak (measles),  tubercoloses, malaria  dan Human  Immunodeficiency Virus (HIV) mempunyai  periode  laten. Periode  laten  adalah  selang  waktu  dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit.  Adanya periode  laten  ini  menjadi alasan  pembentukan  model  epidemi  SEIR, yakni  munculnya  kelas exposed .  Dalam tulisan  ini  hanya  akan  dibahas  model epidemi SEIR.
Ada    berbagai  model  matematika epidemi  yang  dikenal    berdasarkan    sifat atau  ciri–ciri  penyakitnya.  Misalkan
dan berturut  –  turut  menunjukkan Susceptible (kelas  populasi  yang  rentan), Exposed (kelas populasi yang laten), Infectious (kelas  populasi  yang terinfeksi)  dan Recovered (kelas  populasi yang sembuh).
Dengan berbagai asumsi, dikenal berbagai  model  epidemi,  diantaranya  SIR, SIRS,  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS.  Dalam model SIR, individu yang sembuh mempunyai  kekebalan  sehingga  tidak  lagi menjadi  rentan,  sedangkan  untuk  model SIRS  individu  yang  sudah  sembuh  tidak memiliki  kekebalan  terhadap  penyakit tersebut sehingga dapat menjadi rentan lagi. Dalam  model  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS individu  yang  rentan  melalui  masa  laten setelah terinfeksi sebelum menjadi terjangkit. Selanjutnya akan diberikan beberapa pengertian tentang fungsi diferensiabel  kontinu,  sistem  persamaan diferensial serta kestabilan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial.
Definisi 1.
Diberikan  fungsi n n R R f  : ,  dengan   n T n R f f f f   ,..., , 2 1 . Fungsi
f dikatakan  diferensiabel  di n R x  0 jika terdapat transformasi linear     n R L x Df  0 dengan   n R L menyatakan himpunan  semua  operator  linear  pada n R
sehingga       0 lim 0 0 0 0      h h x Df x f h x f h .
  0 x Df disebut turunan  f  di 0 x  dan
n R h  . Definisi berikut memberikan
penjelasan fungsi yang diferensiabel kontinu pada suatu domain. Definisi 2. Diberikan , himpunan terbuka.  Fungsi    dikatakan  diferensiabel kontinu di jika   diferensiabel di dan , kontinu  di .
Selanjutnya dikatakan  diferensiabel kontinu pada  , ditulis jika diferensiabel kontinu di setiap . Berikut diberikan definisi yang menunjukkan  eksistensi  dan  ketunggalan solusi sistem persamaan diferensial.
Definisi 3.
Diberikan n R E  ,  dengan E himpunan terbuka dan ) ( ' E C f i  , n i ,..., 2 , 1  . Vektor ) ( t x disebut solusi Sistem persamaan  diferensial  pada  interval  I  jika ) ( t x diferensiabel pada  I  dan )) ( ( t x f x   untuk setiap I t  , E t x  ) ( . Berikut didefinisikan titik ekuilibrium  dan kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial.

## Definisi 4.
Titik disebut  titik  ekuilibrium Sistem persamaan diferensial jika
. Definisi 5. Titik ekuilibrium Sistem persamaan diferensial dikatakan a. Stabil  jika  untuk  setiap terdapat sedemikian sehingga untuk  setiap  solusi Sistem persamaan diferensial yang memenuhi berakibat untuk setiap . b. Stabil  asimtotik  lokal  jika  titik ekuilibrium stabil  dan terdapat bilangan sedemikian  sehingga  untuk  setiap solusi yang memenuhi berakibat .
c. Tidak  stabil  jika  titik  ekuilibrium tidak memenuhi (a).
Dari  berbagai  literatur  belum  banyak yang  mengkaji  model  matematika  epidemi SEIR  secara  sistematis.  Sejalan  dengan
masalah  yang  akan  dibahas,  penelitian  ini mempunyai tujuan sebagai berikut :
1. Membentuk model matematika epidemi SEIR pada populasi manusia
2. Menentukan titik  – titik ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut
3. Menyelidiki eksistensi dan ketunggalan  solusi  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR.
Hasil penelitian ini diharapkan dapat :
1. Secara  umum  diharapkan  dapat memberikan manfaat dan sumbangan terhadap ilmu pengetahuan, serta untuk menambah wawasan  khususnya  dalam  bidang matematika terapan.
2. Secara  khusus  diharapkan  dapat memberikan gambaran tentang eksistensi  dan  ketunggalan  solusi titik  ekuilibrium  model  epidemi SEIR  dengan  kemampuan  infeksi pada  kelas  laten,  infeksi  dan sembuh.

## METODOLOGI
Metode  penelitian  dalam  tulisan  ini adalah  dengan  cara  studi  literatur  serta bahan  pustaka  sebagai  referensi  untuk mempelajari model epidemi SEIR. Langkah pertama adalah dengan menentukan asumsi- asumsi  yang  berkaitan  dengan  model epidemi  SEIR  sesuai  dengan  karakteristik penyakit  yang  dimodelkan,  kemudian  akan dibuat  model  matematika  epidemi  SEIR dalam bentuk sistem persamaan diferensial.
Selanjutnya,  menentukan  titik-titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut dengan menggunakan definisi titik ekuilibrium suatu sistem persamaan diferensial. Setelah  menentukan titik  –  titik ekuilibrium model tersebut, langkah selanjutnya  menyelidiki  eksistensi  dan ketunggalan  solusi  dari  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut.
Eksistensi solusi dari titik ekuilibrium model epidemi SEIR
dibuktikan  dengan  menunjukkan  bahwa sistem  persamaan  diferensial  dari  titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut
kontinu,  sedangan  ketunggalan  solusi  dari titik  ekuilibrium  model  epidemi  SEIR dibuktikan  dengan  menunjukkan  bahwa sistem  persamaan  diferensial  dari  titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut diferensiabel kontinu.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model matematika digunakan dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi yang berbeda.  Kita dapat mencari aplikasi model matematika di  bidang-bidang seperti  fisika, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, problem-problem jaringan komputer, serta ilmu biologi dan kedokteran. Diantara aplikasi model matematika  pada  bidang  ilmu  biologi  dan kedokteran  adalah  model  matematika  yang berkaitan dengan penyakit menular. Pemodelan  penyakit  menular  mendapat perhatian  besar  dalam  studi  epidemiologi. Tujuan  utama  dari  pemodelan  adalah menjawab  peran  infeksi  penyakit  dalam mengatur populasi alami, yaitu  mengurangi fluktuasi alami populasi yang terinfeksi.
Model  epidemi  SEIR  diterapkan pada penyakit yang memiliki masa inkubasi (masa  laten)  cukup  lama.  Pada  umumnya selama  masa  laten  tersebut  individu  tidak bisa  menularkan  penyakit,  tetapi  pada beberapa  penyakit  seperti  malaria,  individu yang  berada  dalam  masa  laten,  infeksi  dan sembuh  mempunyai  kemungkinan  untuk menularkan  penyakit.  Pada  model  epidemi SEIR  populasi  dibagi  menjadi  4  kelas (subpopulasi) yaitu
a. Kelas   (Susceptible)   menyatakan kelas individu yang rentan
b. Kelas (Exposed)  menyatakan
kelas  individu  yang  telah  terinfeksi tapi belum sakit (laten)
c. Kelas (Infectious)  menyatakan kelas individu yang sudah terjangkit penyakit
d. Kelas (Recovered)  menyatakan kelas  individu  yang  telah  sembuh dari penyakit.
Pada  pemodelan  yang  akan  dibentuk, digunakan asumsi – asumsi sebagai berikut
a. Populasi terbuka
b. Individu  yang  berada  dalam  kelas laten, infeksi dan sembuh mempunyai  kemungkinan  untuk menularkan penyakit c. Penyakit  menyebabkan  kematian (fatal)
d. Masa inkubasi cukup lama.
Definisi  dari  parameter  –  parameter  yang digunakan pada model adalah menyatakan konstanta rekruitmen dari menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode laten menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode infeksi menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode sembuh menyatakan laju kematian alami menyatakan  laju  kematian  karena penyakit pada kelas menyatakan  laju  kematian  karena penyakit pada kelas
menyatakan laju dari kelas   ke kelas menyatakan laju kesembuhan.
Formulasi modelnya adalah :
(1) (2) (3) (4) Diberikan
menyatakan ukuran populasi pada saat  , maka . Untuk  menyederhanakan Sistem (1) s.d (4) dimisalkan atau maka Sistem (1) s.d (4) menjadi : (5) (6) (7)
(8)
dengan Jika disubstitusikan  ke
dalam  Sistem  (5)  sampai  dengan  (8) diperoleh (9) (10) (11) (12) dengan dan .

## Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium Sistem (5) sampai dengan  (8)  diperoleh  dengan  menjadikan ruas  kanan  masing  –  masing  persamaan sama dengan nol, dan diperoleh :
(13)
(14)
(15) (16) Selanjutnya akan diberikan beberapa teorema tentang fungsi diferensiabel  kontinu,  sistem  persamaan diferensial serta kestabilan titik ekuilibrium sistem  persamaan  diferensial.  Jika  suatu fungsi diketahui diferensiabel maka turunan parsialnya selalu ada. Berikut secara formal diberikan teoremanya.

## Teorema 1.
Diberikan R R E f n i   : , n i ,..., 2 , 1  , dan n n R R E f   : , dengan   E f f f f T n   ,..., , 2 1 dan  E   himpunan terbuka.  Jika  fungsi f   diferensiabel  di
E x  0 , maka j i x f   , n j i ,..., 2 , 1 ,  ada di 0 x
dan untuk setiap E x  0 berakibat
         n j j j x x x f x x Df 1 0 0 , dengan
T j n j j j x f x f x f x f                  ..., , , 2 1
.
Syarat perlu dan cukup supaya suatu fungsi  diferensiabel  kontinu  diberikan  oleh teorema berikut.
Teorema 2. Diberikan
, himpunan
terbuka.  Fungsi    dikatakan  diferensiabel
kontinu  pada    jika  dan  hanya  jika ,
ada dan kontinu pada  .

## Sistem Persamaan Diferensial
Diberikan sistem persamaan diferensial
(17)
dengan R R E f n i   : , n i ,..., 2 , 1  ,  dan   n n R E x x x   ,..., , 2 1 . Kemudian diberikan  kondisi  awal  Sistem  (17)  yaitu   0 0 i i x t x  , n i ,..., 2 , 1  .  Sistem  (1)  dapat ditulis sebagai
) ( x f x   (18)
dengan   n n R E x x x x    ,..., , 2 1 ,   n T n R f f f f   ,..., , 2 1 dan  kondisi  awal   E x x x x t x n    0 20 10 0 0 ,..., , ) ( . Selanjutnya, notasi ) , ( ) ( 0 t x x t x 
merupakan solusi Sistem (18) yang dimulai dari 0 x .
Berikut diberikan teorema yang menunjukkan  eksistensi  dan  ketunggalan solusi Sistem (18).
Teorema 3. Jika terbuka, dan maka  terdapat sehingga  masalah nilai awal dengan mempunyai penyelesaian tunggal pada interval .

## Kestabilan  Titik  Ekuilibrium  Sistem Persamaan Diferensial
Berikut  ini  diberikan  sistem  persamaan diferensial linear
1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n n n n nn n x a x a x a x x a x a x a x
x a x a x a x             (19)
dengan   n n R E x x x   ,..., , 2 1 .  Sistem (19) dapat ditulis dalam bentuk
Ax x 
 dengan E x  dan A matriks ukuran n n  . Selanjutnya, diberikan sistem
) ( x f x   (20)
dengan n R E x   dan n n R R E f   : fungsi kontinu pada E . Sistem (20) disebut sistem  nonlinear,  jika  sistem  tersebut  tidak dapat dinyatakan dalam bentuk Sistem (19).

## Eksistensi dan Ketunggalan Solusi
Sistem (5) s.d (8) dapat ditulis dengan

## (21)

## (22)
(23)
(24)
Teorema  4. Sistem  (21)  sampai  dengan (24) mempunyai solusi yang tunggal. Bukti
(i).  Akan    dibuktikan    fungsi  –  fungsi diatas  adalah  fungsi  –  fungsi  yang  kontinu pada . (a).
Fungsi
kontinu pada . Misalkan ,   dengan , , ,
dan . ( a.1)Fungsi adalah fungsi
konstan, maka fungsi tersebut     kontinu pada . (a.2) Diperhatikan fungsi (25) Diambil sebarang . Diberikan bilangan sebarang. Akan  dibuktikan  terdapat sehingga untuk setiap dengan
berlaku . Untuk setiap , jika diperoleh
Sehingga . Akibatnya diperoleh (26) Pilih dengan demikian dari Persamaan (26) diperoleh . Jadi Fungsi (25) kontinu pada . (a.3) Fungsi kontinu, analog dengan (i) bagian (a.2). (a.4) Fungsi kontinu, analog dengan (i) bagian (a.2). (a.5) Diperhatikan fungsi linear (27) Diambil sebarang . Diberikan bilangan sebarang. Dipilih ,  sehingga  untuk  setiap dengan , berlaku

## .
Jadi  Fungsi  (27)  kontinu  pada .  Karena fungsi–fungsi kontinu pada
, maka kontinu pada .
Bukti  untuk  fungsi  –  fungsi analog dengan (i) bagian (a). Jadi  terbukti  bahwa  fungsi  –  fungsi  pada Sistem (21) s.d (24) kontinu pada .
(ii).    Akan    dibuktikan  bahwa  Sistem  (21)
s.d  (24)  merupakan  fungsi  diferensiabel kontinu pada . (a).  Turunan  parsial  fungsi terhadap adalah Turunan parsial terhadap merupakan fungsi
linear sehingga merupakan    fungsi    kontinu,  bukti  analog dengan  (i)  bagian  (a.2).  Karena  semua turunan  parsialnya  ada  dan    kontinu  pada maka  dapat  disimpulkan  fungsi diferensiabel kontinu pada .
(b).   Fungsi  –  fungsi
merupakan
fungsi    diferensiabel    kontinu,    bukti analog dengan (ii) bagian a. Berdasarkan  pembuktian  (i)  dan  (ii)  maka fungsi  –  fungsi pada Sistem (21) s.d    (24) kontinu dan diferensiabel kontinu pada .

## SIMPULAN
Adapun  kesimpulan  dari  penelitian  ini adalah 1.Model  epidemi  SEIR  merupakan  model penyebaran  penyakit  yang  terjadi  pada kelompok-kelompok individu yang berbeda,  yaitu  kelas susceptible (kelas individu  yang  rentan  penyakit),  kelas exposed (kelas individu yang telah terinfeksi  namun  belum  sakit  atau  masa laten),  kelas infected (kelas  individu  yang telah terjangkit penyakit) dan kelas
recovered (kelas  individu  yang  telah sembuh).
2. Model matematika epidemi SEIR dengan adanya  kemampuan  infeksi  pada  periode laten, infeksi dan sembuh adalah :
3.Eksistensi  solusi  dari  titik  ekuilibrium model  epidemi  SEIR  dibuktikan  dengan menunjukkan  sistem persamaan diferensial dari  titik  ekuilibrium  model  epidemi  SEIR tersebut  kontinu,  dan  untuk  membuktikan bahwa  solusi  dari  titik  ekuilibrium  model epidemi  SEIR  tunggal  adalah  dengan menunjukkan  bahwa  sistem  persamaan diferensial  dari  titik  ekuilibrium  model epidemi SEIR tersebut diferensial kontinu.

## SARAN
Karena berbagai keterbatasan, penulis menyadari penelitian dan tulisan ini masih  banyak  kekurangannya.  Banyak  hal yang  belum  tercakup  dalam  penelitan  ini. Perlu  dikaji  lebih  lanjut  generalisasi  untuk kestabilan  model  epidemi  lainnya  dan simulasi numeriknya.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton  H,  dan  Rorres,C.,2004. Aljabar Linear  Elementer  Versi  Aplikasi ,  Edisi Kedelapan, alih bahasa oleh Indriasari,R dan Harmaen,I., Erlangga, Jakarta.
Arrowsmith,  D.R.  dan  Place,  C.M.,  1992, Dynamical System Differential Equation, Maps and Chaotic Behaviour , Chapman & Hall Mathematic, London.
Bazaraa,  M.S.,  Sheraly,  H.D,  and  Shetty, C.M., Nonlinear  Programming  Theory and    Algorithms ,  John  Wiley  &  Sons,
Inc, New York, 1993.
Becerra,  M.V.,  2008. La  Salle’s  Invariant Set Theory , http://www.personal.rdg.ac.uk/~shs99v mb/notes/anc/lecture3.pdf
Boyd,  Stephen,  2008, Basic  Lyapunov Theory , Stanford University, http://www.stanford.edu/class/ee363/lya p.pdf Capazzo,  V., Mathematical  Structures  of Epidemic Systems , Springer-Verlag, Heidelberg, 2008.
Chong,  K.P  and  Stainslow,  H.Z., An Introduction  to  Optimization ,  John Wiley &    Sons,  University  of  New Hampshire, 1984.
Gantmacher,  F.R.,  1959, The  Theory  of Matrices ,  Chelsea  Publishing  Company, New York.
Hanh, Wolfgang, 1967, Stability of Motion ,
Springer – Verlag, New York.
Hirsch,  M.W.,  dan  Smith, Monotone Dynamical Systems , University of California, Berkeley, 2004.
Iwami. S, Takeuchi, Y., dan Liu, X., 2007. Avian  –  human  Influenza  Epidemic Model ,  Mathematical  Biosciences  2007, hal 1-25.
Feng  J.,  dan  Hadeler,K.P., Qualitative Behaviour  of  Some  Simple  Networks , Mathematical Gen. 1996, hal 5019-5033.
Kocak,  H.  dan  Hole,  J.K.,  1991, Dynamic and Bifurcation , Springer – Verlag, New York.
Leon, J.S., Aljabar Linear dan Aplikasinya , Edisi Kelima,
Alih bahasa
olehBondan,A. Erlangga, Jakarta, 1998.
Luenberger,  G.D.,  1979, Introduction  to Dynamic  System  Theory ,  Models  & Aplication,  John  Wiley  &  Sons,  New York.
Olsder,  G.J.,  1994, Mathematical  System Theory , Delftse Uitgevers Maatschappij, Netherlands.
Perko  L.,  1991, Differential  Equations  and Dynamical  Systems ,  Springer  –  Verlag,
New York.
Ross,  S.L., Differential  Equations , edition,  John  Wiley  &  Sons,  University of  New Hampshire, 1984.