## MODEL REGRESI NONPARAMETRIK BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL KERNEL PADA KASUS PERTUMBUHAN BALITA
1 Mifta Luthfin Alfiani, 2 Indah Manfaati Nur, 3 Tiani Wahyu Utami
1,2,3 Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Muhammadiyah Semarang
Alamat e-mail : Pinky7pipin@gmail.com

## ABSTRAK
Analisis  regresi  merupakan  salah  satu  tehnik  analisis  data  dalam  statistika  yang  paling banyak  digunakan  untuk  mengetahui  hubungan  antara  variabel  prediktor  (X)  dengan variabel responnya (Y). Dalam analisis regresi, kurva regresi dapat didekati dengan model regresi nonparametrik. Model regresi nonparametrik yang pengamatan dilakukan sebanyak n subjek yang saling independen pada waktu satu titik tertentu sehingga mengikuti struktur data cross-section. Dalam penelitian ini akan dikaji mengenai model regresi nonparametrik berdasarkan  estimator  polinomial  lokal  kernel  pada  pertumbuhan  balita.  Estimator polinomial  lokal  kernel  dapat  diperoleh  dengan  meminimumkan  WLS  (Weighted  Least Square). Estimator polinomial lokal kernel sangat bergantung pada bandwidth (h) optimal. Penentuan  bandwidth  optimal  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  metode  GCV (Generalized  Cross  Validation).  Selanjutnya  diterapkan  pada  aplikasi  model  regresi nonparametrik  berdasarkan  estimator  polinomial  lokal  kernel  pada  kasus  pertumbuhan balita  untuk  menganalisis  pengaruh  antara  berat  badan  dan  umur.  Pemodelan  dilakukan pada  balita  laki-laki  dan  perempuan,  pada  balita  laki-laki  mempunyai  nilai  MSE =1,487844  dan  koefisien  determinasi  (R 2 )  =81,86%,  pada  balita  perempuan  mempunyai nilai MSE =1,388796 dan koefisien determinasi (R 2 ) = 79,55%.
Kata  Kunci  :  Regresi  Nonparametrik,  Estimator  Polinomial  Lokal  Kernel,  WLS, GCV, Pertumbuhan Balita.

## PENDAHULUAN
Metode  regresi  merupakan  metode statistika  untuk  mengetahui  hubungan antara  variabel  respon  dengan  variabel prediktor.  f(x i )  merupakan  kurva  regresi yang dapat didekati dengan tiga pendekatan yaitu pendekatan regresi parametrik, pendekatan regresi nonparametrik,  dan  pendekatan  regresi semiparametrik [5] .
Pada  pendekatan  regresi  parametrik diasumsikan  bahwa  bentuk  kurva  regresi diketahui berdasarkan informasi sebelumnya dan teori, ataupun pengalaman masa  lalu.  Akibatnya  estimator  kurva
regresi  diperoleh  dengan  mengestimasi parameternya [6];[2] . Pendekatan regresi nonparametrik  tidak  memberikan  asumsi bentuk  kurva  tertentu  ataupun  tidak  ada informasi  mengenai  bentuk  kurva  regresi. Kurva  regresi  dapat  diasumsikan  mulus atau smooth, sehingga regresi nonparametrik  memiliki  fleksibilitas  yang tinggi  karena  data  diharapkan  mencari sendiri  bentuk  estimasi  kurva  regresinya tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas peneliti [5];[9] . Jika variabel respon diketahui hubungannya  dengan  salah  satu  variabel prediktor,  tetapi  dengan  variabel  prediktor yang  lain  tidak  diketahui  bentuk  pola hubungannya. Dalam kondisi seperti
ini [10];[9] menyarankan menggunakan regresi semiparametrik. Regresi semiparametrik merupakan gabungan antara  regresi  parametrik  dan  regresi nonparametrik [4];[9] . Jika n pengamatan independen { , } i=1,2,3,…,n.  Hubungan  antara X i dan  Y i mengikuti  model  regresi nonparametrik.  Bentuk  kurva  regresi  tidak diketahui  di  asumsikan  smooth.  Estimator kurva regresi diperoleh
dengan
mengestimasi parameternya. Terdapat beberapa  pendekatan  untuk  mengestimasi kurva  regresi  salah  satunya  dengan estimator polinomial lokal kernel. Kelebihan  estimator  polinomial  lokal kernel  adalah  dapat  mengurangi  asimtotik bias  dan  menghasilkan  estimasi  yang baik [11] .  Estimator  polinomial  lokal  kernel dapat  diperoleh  dengan  optimasi  WLS (Weighted  Least  Square).  Sedangkan untuk  mengestimasi  parameter  penghalus (bandwidth)  menggunakan  metode  GCV (Generalized Cross Validation).
Penelitian  sebelumya  telah  banyak dikembangkan  mengenai  estimasi  model regresi nonparametrik pada data longitudinal berdasarkan estimator
polinomial lokal kernel GEE [8] , pendekatan regresi semiparametrik untuk data longitudinal  terhadap  kadar  trombosit demam berdarah dengue [9] .
Peningkatan secara bertahap dari tubuh, organ,  dan  jaringan  masa  konsepsi  sampai remaja  dengan  pengertian  usia  anak dibawah  lima  tahun [7] .  Masa  balita merupakan  periode  terpenting  dari  dalam proses tumbuh kembang manusia.
Mengingat  masa  tumbuh  kembang  di  usia balita  yang  berlangsung  cepat  dan  tidak akan  pernah  terulang  lagi.  Apabila  anak usia  balita  mendapatkan  stimulus  yang baik,  maka  seluruh  aspek  pertumbuhan anak  balita  akan  tumbuh  secara  optimal. Cara  mudah  untuk  mengetahui  baik tidaknya pertumbuhan balita adalah dengan  mengamati  grafik  pertumbuhan berat  badan  yang  terdapat  pada  Kartu Menuju  Sehat  (KMS).  KMS  digunakan
untuk  memantau  keadaan  kesehatan  dan gizi  melalui  pertumbuhan  atas  dasar kenaikkan berat badan. Kartu ini merupakan gambar kurva berat badan anak usia  0-5  tahun  terhadap  umurnya.  Berat badan menurut umur mempunyai pengaruh terhadap  perubahan  keadaan  gizi [1];[3] . Penggunaan  variabel  berat  badan  menurut umur akan mudah dipahami oleh masyarakat  umum  terhadap  pertumbuhan balita.
Pada tulisan ini akan dibahas bagaimana  mengestimasi  kurva  regresi nonparametrtik  menggunakan  estimator polinomial lokal kernel. Selanjutnya menerapkan  model  regresi  tersebut  pada data  pertumbuhan  balita  berdasarkan  berat badan menurut umur.

## METODE PENELITIAN

## Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian ini  adalah  data  sekunder  yang  diperoleh dari  Posyandu  Desa  Truwolu,  Grobogan, Jawa  Tengah.  Data  tersebut  mengenai pertumbuhan berat badan (y) yang dipengaruhi umur balita (x).

## Metode Analisis
Langkah-langkah  yang  dilakukan  pada penelitian ini adalah :
1. Mengestimasi model regresi nonparametrik berdasarkan
estimator  polinomial  lokal  kernel dengan  langkah-langkah  sebagai berikut :
a. Diberikan  data  observasi  (y i ,  x i ), yang memenuhi regresi
nonparametrik.
Y i = m(x i )+ ε i ,        i= 1,2,3,…,n (1)
b. Menyatakan (y i ) dapat didekati oleh polinomial berderajat p
≈ + − + ! + ⋯ + !
Jika = ! maka
= + − + ⋯ + − c. Dengan α mengestimasi β dengan optimasi atau meminimumkan kriteria Weighted Lest Square : ! = " # − $ % − Dengan $ % . = % $ ' .
% ( fungsi pembobot Kernel
d. Menyatakan ) ≈ * + Dengan X adalah matrik berukuran 1x  (p+1)  dan ) adalah  vektor berukuran 1x1.
e. Mendapatkan  bentuk  matrik  A(h) berukuran NxN dengan cara menyelesaikan persamaan berikut : ) = , ℎ # ∗
2. Hasil estimasi yang diperoleh diterapkan untuk menganalisis
pengaruh  variabel  umur  terhadap variabel  berat  badan  (BB)  di
Posyandu  Desa  Truwolu,  Grobogan
Jawa Tegah dengan langkah-
langkah sebagai berikut :
a. Membuat plot data berpasangan (y i , x i ),       i = 1,2,..., n
b. Menentukan  jenis  pembobot  dan fungsi Kernel Gaussian.
c. Menentukan matriks
A(h)
berukuran NxN
d. Memilih  orde  polinomial  p  dan nilai  bandwidth  optimal  yang meminimumkan
/01 = 2 ∑ [# − #5 ]
2 78 [9 − : ℎ ]
e. Memodelkan orde polinomial lokal p  dan  nilai  bandwidth  optimal  dari langkah c secara simultan.
f. Menghitung nilai MSE
!;<  ℎ = 2 " # − #5
g. Mendapatkan  model  pertumbuhan berat  badan  terhadap  umur  dengan polinomial lokal kernel.

## HASIL PENELITIAN
Berdasarkan  tujuan  penelitian,  maka pada  bab  ini  akan  dilakukan  estimasi model  regresi  nonparametrik  berdasarkan estimator  polinomial  lokal  kernel    dengan meminimumkan  Weighted  Least  Square (WLS). Hasil estimasi yang diperoleh pada data  pertumbuhan  berat  badan  terhadap umur di Posyandu desa Truwolu,
Grobogan, Jawa Tengah.
Estimasi  Model  Regresi  Nonparametrik Berdasarkan
Estimator polinomial Lokal Kernel.
Diberikan  data  observasi  (y i ,  x i )  yang memenuhi  regresi  nonparametrik,  dengan y i sebagai  variabel  respon  dan  x i sebagai variabel prediktor. Hubungan y i dengan x i tidak  diketahui  bentuk  fungsinya.  Maka kita dapat memodelkan hubungan antara y i dan  x i dapat  dimodelkan  dengan menggunakan model regresi nonparametrik sebagai berikut : # = + = ,  i= 1,2,3,...,n
Model  (1)  dapat  ditulis  dalam  bentuk matriks :
> = ? + @
(2)

## Dengan
= A ⋮ C = A ⋮ C , # = A # ⋮ # C dan = = A = ⋮ = C
Fungsi  m(x i )  tidak  diketahui  bentuk fungsinya  yang  disebut  dengan  fungsi regresi.  Misalkan  X  adalah  variabel prediktor  dimana  fungsi  m(x i )  akan diestimasi  dengan  estimator  polinomial lokal.  Dengan  deret  Taylor,  m(x i )  dapat didekati  oleh  polinomial  berderajat  p sebagai berikut :
= + − + ⋯ + − (3)
Persamaan (2) dapat ditulis menjadi :

## ? = DE
Dengan
D = F ℎ 0 ⋯ 0 0 ℎ ⋯ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 ⋯ ℎ I , D ℎ = F 1 − ⋯ − 1 − ⋯ − ⋮ 1 ⋮ − ⋱ ⋮ ⋯ − I E = K E L E M ⋮ E N O , E = [ , , … , ] Q
ER dapat diperoleh dengan cara meminimumkan  Weighted  Least  Square (WLS) S E = > − DE T U V > − DE (4)
Dengan > W = [# , # , … , # ] D = [ Q , … , Q ] U V = XYZ[  U VL , U VM , … , U VN , $ % = XYZ[  $ % − , $ % − , … , $ % −
Matriks  K h adalah  matriks  yang  berisi pembobot,dengan $ % ∙ = % $ ' ∙
% (. $ • adalah  fungsi  Kernel,  dan  h  adalah bandwidth.
Nilai  estimasi β yaitu ER yang  bila disubtitusikan kedalam persamaan (4) akan meminimumkan S E diperoleh : ER = D T U V D L D T U V > (5)
Dengan  demikian  m  dapat  dinyatakan sebagai berikut :
? ) = DER
= D D T U V D L D T U V >
Pemodelan Pertumbuhan Balita Dengan Menggunakan Estimator Polinomial
Lokal Kernel
Estimasi  model  regresi  nonparametrik dengan menggunakan estimator polinomial lokal  kernel    untuk  data  pertumbuhan balita di Posyandu Desa Truwolu, Grobogan,  Jawa  Tengah.  Pada  penelitian ini, difokuskan untuk mengetahui hubungan  antara  berat  badan  terhadap umur.
Estimasi  model  regresi  nonparametrik polinomial  lokal  kernel  sangat  bergantung pada  pemilihan  bandwidth  optimal  dan derajat  polinomial,  dimana  penentuan bandwidth  optimal  dan  derajat  polinomial dapat  dilihat  pada  nilai  GCV  minimum. Pada  proses  estimasi  ini,  bandwidth optimal  dan  nilai  GCV  minimum  dihitung pada  orde  polinomial  satu  sampai  empat (p=  1,  p=  2,  p=  3,  p=  4).  Pemilihan bandwidth  optimal  dan  orde  polinomial yang  digunakan  dalam  proses  estimasi dilakukan  dengan  memilih  nilai  GCV minimum pada msing-masing orde polinomial dan bandwidth. Dalam penelitian ini fungsi Kernel yang digunakan adalah fungsi Kernel Gaussian.
Pemilihan  Nilai  Bandwidth  dan  Orde Polinomial pada Model Regresi Nonparametrik Langkah pertama sebelum
mengestimasi model regresi secara simultan  adalah  menentukan  bandwidth optimal dan orde polinomial. Metode GCV merupakan  metode  yang  digunakan  dalam menentukan  pemilihan  bandwidth  optimal dan  orde  polinomial.  Langkah  awal  dalam pemilihan  bandwidth  optimal  dan  orde polinomial  adalah  menentukan  nilai  awal bandwidth dan orde polinomial. Nilai awal dari  penentuan  bandwidth  optimal  dan orde  polinomial  digunakan  sebagai  acuan dalam estimasi model regresi nonparametrik pada balita laki-laki maupun perempuan.
Pada  balita  laki-laki  orde  polinomial dengan  nilai  GCV  minimum  adalah 1.632917,  dengan  nilai  bandwidth  (h) sebesar  53.3.  Dengan  demikian,  model
regresi  nonparametrik  untuk  balita  laki- laki  didekati  dengan  Polinomial  Lokal dengan  nilai  awal  bandwidth  sebesar  53.3 dan orde polinomial p=4.
Pada balita perempuan orde  polinomial dengan  nilai  GCV  minimum  adalah 1.524211,  dengan  nilai  bandwidth  (h) sebesar  57.9.  Dengan  demikian,  model regresi nonparametrik untuk balita perempuan  didekati  dengan  Polinomial Lokal dengan nilai awal bandwidth sebesar 57.9 dan orde polinomial p=4.
Model Regresi Nonparametrik Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Kernel Pada Balita Laki-laki dan
Balita Perempuan
Pemodelan  pada  balita  laki-laki  dan balita  perempuan  akan  digunakan  fungsi Kernel  Gaussian,  sehingga  diperoleh model sebagai berikut :
Pada  balita  laki-laki,  estimasi  fungsi regresi nonparametrik berdasarkan estimator polinomial lokal kernel
diperoleh MSE sebesar 1.487844 dan nilai koefisien  determinasi  (R-square)  sebesar 0.8186386.
Pada  balita  perempuan,  estimasi  fungsi regresi nonparametrik berdasrkan estimator polinomial lokal kernel diperoleh MSE sebesar 1.388796 dan nilai koefisien  determinasi  (R-square)  sebesar 0.7955247.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian,  maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Estimasi model regresi nonparametrik dengan menggunakan  estimator  polinomial lokal kernel pada kasus
pertumbuhan  balita  adalah  sebagai berikut :
> = ? + @ dengan ? ) = DER ER = D T U V D L D T U > >
2. Dari  hasil  penerapan  model  regresi nonparametrik  yaitu  pada  data pertumbuhan balita di desa truwolu,  Grobogan,  Jawa  Tengah, diperoleh  dari  hasil  pemodelan pada balita laki-laki nilai bandwidth  optimal  sebesar  53,3 dengan  orde  polinomial  p=4,  MSE sebesar  1,487844  dan  koefisien determinasi sebesar 81,86%,
sedangkan  pemodelan  pada  balita perempuan  diperoleh  bandwidth optimal  sebesar  57,9  dengan  orde polinomial  p=4,  MSE  sebesar 1,388798 dan koefisien determinasi sebesar  79,55%,  dan.  Scatterplot untuk  balita  laki-laki  maupun perempuan  tampak  bahwa  pada selang  usia  awal  bulan  sampai akhir bulan mengindikasikan kurva mempunyai  bentuk  pola  tertentu dan  plot  data  menunjukkan  adanya perubahan  perilaku  kurva  pada selang waktu tertentu.
Dalam  penelitian  ini,  permasalahan yang  dikaji  masih  sangat  terbatas  hanya oleh karena itu perlu penelitian lebih lanjut yaitu  pada  estimasi  model  pertumbuhan balita  berat  badan  menurut  umur  dapat digunakan  faktor  lain  yang  mempengaruhi pertumbuhan  balita,  misalnya  berat  badan orang  tua,  masukkan  gizi,  kondisi  sosial serta ekonomi, dan riwayat penyakit.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Pada penelitian ini saya ucapkan terima kasih  kepada  Posyandu  di  desa  Truwolu, Grobogan,  Jawa  Tengah  atas  data  yang telah diberikan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Aritonang, I. 2000. Pemantauan Pertumbuhan  Balita  (Petunjuk  Praktis Menilai  Status  Gizi  &  Kesehatan),
Kanisius, Yogyakarta.
[2] Budiantara,  I.N.  Lestari,  B.,  dan
Islamiyati,  A.,  2010.  Estimator  Spline Terbobot dalam Regresi Nonparametrik  dan  Semiparametrik Heterokedastisitas untuk Data Longitudinal, Hibah Penelitian Kompetensi, DP2M-Dikti: Jakarta. [3] Dedy,  S.  2005.  Pendekatan  Kernel untuk Estimasi Kurva Regresi Nonparametrik Studi Kasus Pertumbuhan  Anak  Balita.  Skripsi. Jurusan Statistika.FMIPA ITS.
Surabaya.
[4] Engle, R.F., Granger, C.W. J., Rice, J., dan  Weiss,  A.,  1986.  Semiparametric Estimates  of  The  Relation  Between
Weather  and  Electricity  Sales.  Journal of the American Statistical Association. Vol.81, hal 310-320. [5] Eubank, R.M., 1988. Spline Smoothing
and Nonparametric
Regression. Marcel Dekker. New York. [6] Hardle, W., 1990. Applied Nonparametric Regression .Cambridge
University Press. New York.
[7] Jellife.  1989.  Community  Nutritional Assesment  with  Special  Reference  to Less Technically Developed Countries.
Oxford.
[8] Utami,  T.W.  2010.  Estimasi  Model Regresi  Nonparametrik  Pada  Data
Longitudinal  Berdasarkan  Estimator Polinomial  Lokal  Kernel  Generalized Estimating Equation. Skripsi. Surabaya.  Departemen  Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.
[9] Utami, T.W. 2013. Pendekatan Regresi
Semiparametrik Polinomial
Lokal
Untuk  Data  Longitudinal  Terhadap Kadar  Trombosit  Demam  Berdarah Dengue.  Tesis.  Surabaya.  Program
Magister  Jurusan  Statistika  FMIPA Institut Teknologi Sepuluh November.
[10] Wahba, G. 1990. Spline Models for
Observation Data, SIAM, Philadelphia.  CBMS-NSF  Regional Conference Series in Applied Mathematics. Vol. 59. [11] Welsh,  A.H  dan  Yee,  T.Y.  2005. Local Regression for Vector Responses. Journal of Statistical
Planning  and  Inference.136  (2006)
3007-3031.