Solusi Numerik Model Umum Epidemik Susceptible,
Infected, Recovered (SIR) dengan Menggunakan
Metode Modified Milne-Simpson
Wahyudin Nur 1 , Nurul Mukhlisah Abdal 2
1 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sulawesi Barat 2 Jurusan Pendidikan Teknik Informatika Univerditas Negeri Makassar e-mail: 1 wnalafkar93@gmail.com, 2 nurulmukhlisah@gmail.com

## Abstrak
Model  Epidemik  Susceptible,  Infected,  Recovered  (SIR)  merupakan  salah  satu metode  yang  paling  banyak  digunakan  untuk  memodelkan  penyebaran  penyakit.  Model ini  biasa  digunakan  untuk  simulasi  dan  ptediksi  jumlah  kasus  penyakit  tertentu.  Dalam artikel ini penulis melakukan simulasi dan mencari solusi numerik model umum epidemik SIR  dengan  menggunakan  MMetode  Modified  Milne  Simpson  yang  dipadukan  dengan metode Runge Kutta Orde 4. Metode ini merupakan salah satu metode prediktor korektor yang  biasa  digunakan  untuk  mencari  solusi  numerik  persamaan  diferensial..  Dengan menggunakan  parameter 0,1; 0, 0098; 0,5       diperoleh 0 0, 016333 1 r   .  Kurva kelas  Infected  menuju  nol  dan  setimbang  dititik  nol.  Hal  ini  menandakan,  dengan pemilihan  parameter  seperti  itu,  kelas  Infected  akan  menghilang  dari  populasi. Berdasarkan  hasil  simulasi,  dapat  disipulkan  bahwa  metode  Milne  Simpson  layak digunakan untuk menentukan solusi numerik model umum epidemik SIR.
Kata kunci : Model SIR, Modified Milnw Simpson, Runge Kutta Orde 4

## 1. PENDAHULUAN
Perkembangan penelitian dalam bidang pemodelan  epidemik sangat pesat.  Salah satu model epidemik yang paling banyak digunakan  adalah model epidemik SIR. Model ini  kebanyakan  digunakan  untuk  penyakit  demam  berdarah  dan  TBC,  seperti  yang dilakukan  oleh  Syafruddin  S.  dan  M.S.M.  Noorani  (2013).  Dalam  artikel  ini,  hal  yang menjadi  pokok  pembahasan  adalah  penggunaan  metode  milne-simpson  untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial model umum SIR.
Untuk  solusi  numerik  model  epidemik  SIR,  sebenarnya  sudah  ada  beberapa artikel  yang  membahasnya.  Beberapa  artiel  memaparkan  solusi  numerik  dicari  dengan menggunakan metode Runge Kutta Orde 4 (M. Khalid, M. Sultana dan F.S. Khan. 2015) dan Homotopy Perturbation Method (Rangkuti, YM, Syafruddin S. dan M.S.M. Noorani. 2014  ).  Dalam  artikel  ini,  penulis  melakukan  analisis  numerik  dengan  menggunakan Metode  Milne-Simpson  berbantuan  Matlab.  Metode  ini  merupakan  salah  satu  metode yang biasa disebut prediktor dan korektor.
Berbeda dengan metode Runge Kutta Orde 4. Metode ini memerlukan nilai awal yang  lebih  banyak  sebelum  diiterasikan  dengan  menggunakan  metode  Milne-Simpson. Hal inilah yang membuat metode ini disebut metode banyak langkah. Nilai awal tersebut biasanya  dicari  dengan  menggunakan  metode  lain,  misalnya  metode  Euler.  Namun  kali ini, penulis memadukan antara metode RK4 dengan metode Milne-Simpson.

## 2. METODE PENELITIAN
Dalam  partikel  ini,  penulis  memadukan  metode  RK4  dengan Modified  Milne Simpson .  Pertama  tama  penulis  akan  menggunakan  metode  RK4  untuk  mencari  nilai hingga    4  langkah.  Setelah  diperoleh  data  4  langkah,  maka  dilanjutkan  dengan  metode Milne-Simpson. Model SIR yang  akan digunakan adalah model  umum SIR  seperti  yang digunakan  oleh  Ullah  Roman  2013.  Model  SIR  kemudian  diubah  kebentuk  diskrit sehingga  solusinya  dapat  ditentukan  dengan  menggunakan  metode  numerik.  Setelah diperoleh model diskritnya, selanjutnya penulis membuat software dengan menggunakan Matlab dan melakukan simulasi numerik.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model umum  SIR dapat dinyatakan sesuai dengan persamaan di bawah:
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dS t S t I t S t dt
dI t S t I t I t I t
I t dt dR t I t R t dt                 (1)
dengan ( ) S t adalah  kelas  yang  rentan  terkena  penyakit  ( susceptible ), ( ) I t adalah  kelas orang  yang  sakit  ( infected ), ( ) R t adalah  kelas  orang  yang  telah  sembuh  ( recovered ),  adalah  laju  pertumbuhan  dan  kematian,  adalah  laju  penularan  penyakit  jika  orang rentan  melakukan  kontak  dengan  orang  sakit, 1  adalah  laju  kesembuhan  pasien.    syarat awalnya ( ) 0 S t  , ( ) 0 I t  , dan ( ) 0 R t  . Bilangan basic repdoduction yang sesuai dengan model (1) dinyatakan dengan persamaan 0 r      .
Selanjutnya model (1)  diubah kebentuk diskrrit
1 1 ( ) ( , , , ) ,
( ) ( , , , ) ( ) ( , , , ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i dS t f t S I R S I S dt dI t g t S I R S I I I dt dR t o t S I R I R dt                    (2)
Nilai , , ( 1, 2,3) i i i S I R i  akan ditentukan dengan menggunakan metode Runge Kutta Orde 4 (RK4) sesuai dengan persamaan di bawah:
1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 ( 2 2 ) 6 1 ( 2 2 ) 6 1 ( 2 2 ) 6 f f f f i i g g g g i i o o o o i i S S h q q q q I I h q q q q R I h q q q q                  
dengan
1 1 1 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) f i i i i g i i i i o i i i i q f t S I R q g t S I R
q o t S I R
  
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ( , , , ) 2 2
2 2 1 ( , , , ) 2 2
2 2 1 ( , , , ) 2 2 2 2 f g o f i i i i f g o g i i i i f g o o i i i i q h q h q h q f t h S I R q h q h q h q g t h S I R q h q h q h q o t h S I R                2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 ( , , , ) 2 2 2 2 1 ( , , , ) 2 2 2 2 1 ( , , , ) 2 2 2 2 f g o f i i i i f g o g i i i i f g o o i i i i q h q h q h q f t h S I R q h q h q h q g t h S I R q h q h q h q o t h S I R                4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 1 ( , , , ) 2 1 ( , , , ) 2 1 ( , , , ) 2 f f g o i i i i g f g o i i i i o f g o i i i i q f t h S q h I q h R q h q g t h S q h I q h R q h q o t h S q h I q h R q h               
Setelah diperoleh , , ( 1, 2,3) i i i S I R i  , dilanjut dengan metode Modified Milne-Simpson 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 4 ) 3 ( 4 ) 3 ( ) 3 i i i i i i i i i i i i i i i h S S f f f h I I g g g h R R o o o                        
Dengan 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) f g o i i i i i f g o i i i i i f g o i i i i i f f t m m m g g t m m m o o t m m m                   1 1 1 1 1 1 28 ( ) 29 28 ( ) 29 28 ( ) 29 f f f i i i i g g g i i i i o o o i i i i m p S p m p I p m p R p               
1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 4 (2 2 ) 3 4 (2 2 ) 3 4 (2 2 ) 3 f i i i i i g i i i i i o i i i i i h p S f f f h p I g g g h p R o o o
                       
Setelah  itu,  dilakukan  simulasi  numerik  model  SIR  dengan  menggunakan Modified Milne-Simpson-RK4 berbantuan MATLAB dengan menggunakan parameter 0,1
0, 0098
0, 5      
Ullah Roman 2013
diperoleh 0 0, 016333 r  . Berdasarkan kurva grafik 1, dapat terlihat kelas infected menuju 0 seiring berjalannya waktu. Hal ini terjadi karena 0 0, 016333 1 r 
 sebaliknya jika 0 1 r  maka akan terjadi endemik penyakit (penyakit akan selalu ada).
Grafik 1 . Simulasi Model Epidemik SIR ( 0 1 r  )

## 4. KESIMPULAN
Metode  Modified  Milne  Simpson  merupakan  salah  satu  metode  prediktor korektor  yang  dapat  digunakan  untuk  mencari  solusi  numerik  model  epidemik  SIR.
Dengan  menggunakan  parameter 0,1; 0, 0098; 0,5       diperoleh 0 0, 016333 1 r   tampak  kurva  kelas  infected  menuju  nol  dan  setimbang  dititik  nol.  Hal  ini  menandakan penyakit akan menghilang. Pada artikel ini, penulis memadukan Metode Modified Milne Simpson dengan Runge Kutta orde 4.

## DAFTAR PUSTAKA
M. Khalid, M. Sultana dan F.S. Khan. 2015. Numerical Solution of SIR Model of Dengue Fever. International Journal of Computer Applications. 118(21):1-4.
Rangkuti, YM, Syafruddin S. dan M.S.M. Noorani. 2014. Numerical Analytic Solution of SIR Model of Dengue Fever Disease in South Sulawesi using Homotopy Perturbation Method  and  Variational  Iteration  Method.  Journal  of  Mathematical  Fundamental Science. 46(1):91-105.
Syafruddin  S.  dan  M.S.M.  Noorani.  2013.  A  SIR  Model  for  Spread  of  Dengue  Fever Disease  (Simulation  for  South  Sulawesi,  Indonesia  and  Selangor,  Malaysia).  World Journal of Modelling and Simulation. 9(2):96-105.
Ullah,  Roman.  Zaman,  Gul.  Islam,  Saeed.  2013.  Stability  Analysis  of  A  General  SIR Epidemic Model. VFAST Transaction on Mathematics. 1(1):16-20.