## ANALISIS LAGRANGIAN NULL  NONSTANDAR DAN FUNGSI GAUGE UNTUK HUKUM INERSIA NEWTON : SEBUAH REVIEW
Amelia Ade Putri Ambot 1 , Herry F. Lalus 1 , Hartoyo Yudhawardana 1
1 Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Nusa Cendana, Kupang, 85000, Indonesia
*email: aldaambot12@gmail.com

## ABSTRAK
Paper ini menjelaskan review sebuah jurnal yang berjudul ‘Nonstandard Null Lagrangians and Gauge Functions for Newtonian Law of Inertia’ yang membahas tentang solusi Lagrangian Null Nonstandar untuk Hukum Inersia Newton. Tujuan dari penelitian ini adalah menyajikan secara terperinci metode Formalisme Lagrangian untuk menghasilkan  Lagrangian Null Nonstandar dan fungsi Gaugenya untuk Hukum Inersia Newton, serta peran invarian aksi dalam membuat Lagrangian Null dan fungsi Gauge Eksak, dengan menurunkan persamaan gerak osilator satu dimensi menggunakan persamaan dasar Lagrangian. Lagrangian Null Nonstandar  diturunkan dari Lagrangian Nonstandar, selanjutnya kedua Lagrangian Null tersebut dimasukan ke dalam invarian aksi untuk membuatnya Eksak, setelah Lagrangian Null Nonstandar dinyatakan Eksak, disubtitusikan kedalam 𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 0 yang merepresentasikan Hukum Inersia Newton. Hasil penelitian menunjukan bahwa  Lagrangian  Null  Nonstandar  Eksak  dapat  dihasilkan  dengan  membuat  Fungsi  Gauge-nya  Invarian,  sehingga  Lagrangian  Null Nonstandar dan Fungsi Gauge-nya yang pertama untuk Hukum Inersia Newton diperoleh.
Kata kunci: Lagrangian Null Nonstandar; Lagrangian Null Standar; Fungsi Gauge Invarian Aksi; Hukum Inersia Newton; Formalisme Lagrangian

## ABSTRACT
[Title: Analysis of Nonstandard Null Lagrangians and Gauge Functions For Newton's Law Of Inertia: A Review] This paper describes a review of a journal entitled 'Nonstandard Null Lagrangians and Gauge Functions for Newtonian Law of Inertia' which discusses Nonstandard Lagrangian Null solutions for Newton's Law of Inertia. The purpose of this study is to present in detail the Lagrangian Formalism method for generating Nonstandard Lagrangian Null and its Gauge function for Newton's Law of Inertia, as well as the role of action invariant in generating Lagrangian Null and Exact Gauge functions, by deriving a one-dimensional oscillator arm using the basic Lagrangian equations. The Nonstandard Null Lagrangian is derived from the Nonstandard Lagrangian, then the two Lagrangian Null are entered into the action invariant to make it Exact, after the Nonstandard Lagrangian Null is declared Exact, it is substituted into 𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 0 which represents Newton's Law of Inertia. The results of this research show that an Exact Nonstandard Lagrangian Null can be generated by making the Gauge Function Invariant, so that the first Nonstandard Lagrangian Null and Gauge Function for Newton's Law of Inertia are obtained.
Keywords: Nonstandard  Lagrangian  Null;  Standard  Null  Lagrangian;  Action  Invariant  Gauge  Function;  Newton's  Law  of  Inertia; Lagrangian Formalism

## PENDAHULUAN
Mekanika  klasik  merupakan  pendekatan yang  digunakan  untuk  memecahkan  persoalan  yang didasarkan pada mekanika gerak, yang menghubungkan  konsep  fisis  besaran  kinematika (perpidahan, kecepatan dan percepatan) berdasarkan konsep  massa,  gaya  dan  Hukum-Hukum  Newton. Hukum  Newton  tentang  gerak  menggambarkan semua  gejala  mekanika  klasik  (Tipler,  1998). Lagrange  dan  Hamilton  memperkenalkan  suatu formulasi  yang  dapat  memecahkan  kasus  pada mekanika klasik yakni dengan menggunakan konsep energi.  Dalam  beberapa  kasus,  penggunaan  konsep
energi jika  dibandingkan  dengan  formulasi  Newton lebih sederhana untuk mendapatkan persamaan gerak benda  (Sudiarta, 2012). Gaya konstrain merupakan suatu gaya yang digunakan  untuk menjaga  kontak antara  permukaan  bidang    dengan  partikel  dalam meninjau  partikel  yang  dibatasi  pada  permukaan bidang  tersebut.  Pendekatan  Newton  memerlukan gaya total yang bereaksi pada partikel, termasuk gaya konstrain, pada kondisi ini pendekatan Newton tidak berlaku  hal  ini  disebabkan  oleh  adanya    gaya  yang tidak  diketahui,  sehingga dibutuhkan  pendekatan baru  dengan  meninjau  energi  totalnya  yang merupakan  kuantitas  fisis  lain    dari  karakterisktik partikel dengan    menggunakan  prinsip  Hamilton,
untuk  menurunkan  persamaan  Lagrange.  Mekanika Lagrange  yaitu  suatu  metode  yang  diperlukan berbagai macam sistem dinamik untuk menentukan persamaan gerak dari sistem tersebut. Ide-ide dasar dan  teorema  Lagrangian    adalah  invarian  di  bawah kelompok  ini  dirumuskan  dalam  koordinat  lokal. Sistem mekanik Lagrangian diberikan oleh ruang dan waktu  serta  fungsi  pada  berkas  fungsi  Lagrangian (Arnold, 1978). Hukum pertama Newton membahas tentang  sifat  benda yaitu  inersia.  Inersia adalah hambatan dalam perubahan gerak pada suatu  benda. Hukum pertama Newton membahas kerangka acuan berlaku  valid yang  disebut  kerangka  acuan  inersia. Hukum Inersia Newton  mengesampingkan kerangka acuan  dipercepat  sebagai  inersia,  karena  objek bergerak atau diam dengan kecapatan konstan, dapat dilihat dari  kerangka acuan dipercepat juga diamati dari kerangka acuan inersia.
Pemecahan  masalah  Hukum  Inersia Newton  dalam  penelitian  ini  yakni  dengan menggunakan  invers  kalkulus  variasi  dan mengembangkan  metode  baru  untuk  menurunkan Lagrangian  Standar  dan  Lagrangian  Nonstandar. Lagrangian  standar  dan  Nonstandar  dijamin  oleh kondisi Helmholtz , serta invarian aksi yang bertujuan untuk  membuat  fungsi Gauge yang  tepat  dan menghasilkan  Lagrangian  Null  Nonstandar  yang tepat.  Lagrangian  Null  Nonstandar  dibuat  karena Lagrangian  Standar  dianggap  tidak  unik,  karena adanya  spektrum  kontinu  dari  Lagrangian  Standar ekuivalen  yang  semuanya  mengarah  kepada persamaan  yang  identik.  Hal  ini  terjadi  karena Lagrangian  merupakan besaran  skalar  yang  invarian terhadap  transformasi  koordinat  (Musielak,  Z.  E.,
2021).  Oleh  karena  itu,  penulis  menyadari  perlu adanya analisis untuk mengetahui  bagaimana peran atau fungsi Lagrangian Null Nonstandar dan Fungsi Gauge untuk  Hukum  Inersia  Newton.  Berdasarkan uraian tersebut, maka penulis melakukan kajian pada jurnal  Nonstandard  Null  Lagrangians  and  Gauge Functions for Newtonian Law of Inertia (Musielak, Z.  E.,  2021).  Kajian  ini  dilakukan  dikarenakan terdapat persamaan baru yang perlu dianalisis lebih dalam  sehingga  memudahkan  pembaca  memahami jurnal  dengan  baik,  serta  penelitian  yang  telah dilakukan  pada  jurnal  ini  adalah  penelitian  terbaru dengan penurunan persamaan yang sulit dipahami.

## METODE PENELITIAN
Dalam  penelitian  ini  formalisme  Lagrangian ditetapkan untuk persamaan diferensial dengan fungsi khusus fisika matematika sebagai solusi. Formalisme didasarkan  pada Lagrangian Standar atau Nonstandar. Penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  prosedur  untuk
menurunkan  Lagrangian  Standar  mengarah  ke Lagrangian  di  mana  persamaan Euler–Lagrange menghilang  secara  identik  dan  hanya  beberapa  dari Lagrangian ini yang menjadi Lagrangian Null dengan fungsi Gauge yang terdefinisi dengan baik. Lagrangians Nonstandar mensyaratkan  persamaan Euler–Lagrange diubah  oleh  kondisi  tambahan,  yang  merupakan fenomena  baru  dalam  kalkulus  variasi.  Keberadaan kondisi tambahan memiliki implikasi mendalam pada validitas  kondisi Helmholtz (Musielak  ,  Davachi  ,  & Maria,  2020).  Adapun  Langka-langkah  dalam penelitian ini yakni dengan menentukan Lagrangian Standar,    setelah  Lagrangian  Standarnya  diperoleh lalu diturunkan untuk mendapatkan Lagrangian Null dan  fungsi Gauge- nya.  Selanjutnya  menurunkan Lagrangian  Nonstandar dan fungsi Gauge- nya untuk memperoleh Lagrangian Null Nonstandar dan fungsi Gauge- nya.  Fungsi yang ada pada Lagrangian Null baik standar dan Nonstandar adalah fungsi arbitrer, maka perlu  melakukan  invarian  aksi  untuk  menghasilkan Fungsi Gauge dan  Lagrangian Null Nonstadar  yang Eksak.  Langkah  terakhir  adalah  menerapkan  hasil yang  telah  diperoleh  pada  Hukum  Inersia  Newton yang  direpresentasikan  oleh 𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 0, di  mana Lagrangian Null Nonstandar Eksak dan Fungsi Gauge Eksak yang sesuai diturunkan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Lagrangian Null Standar Lagrangian Standar diperoleh dengan menurunkan persamaan gerak dengan menggunakan fungsi dasar Lagrangian
𝐿 = 𝑇 − 𝑉                                                            (1) dengan menggunakan prinsip variasi aksi.  Persamaan (1)  digunakan  untuk  menurunkan  persamaan Euler- Lagrange, baik  untuk  sistem  konservatif  maupun sistem  nonkonservatif.  Persamaan  umum Euler- Lagrange yaitu:
𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝑞̇𝑘 ) − 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑘 = 0.                                           (2)
Persamaan  gerak  pada  pada  osilator  teredam  satu dimensi (𝑞 = 𝑥) , diberikan oleh 𝐹(𝑥, 𝑥̇, 𝑥̈, 𝑡) ≡   𝑥̈ + 𝑏𝑥̇ + 𝜔 2 𝑥 = 0               (3) yang  dipertimbangkan  dalam    bentuk 𝐷 ̂𝑥(𝑡) = 0, diperoleh Lagrangian Standarnya
𝐿 𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 2 (𝑥̇ 2 − 𝑐𝑥 2 )𝑒 𝑏𝑡 .                        (4)
Lagrangian  ini  diturunkan  oleh  Cardirola-Kanai (Caldirola,  1941)  dan  jika 𝑏 = 0, persamaan  (4)
tereduksi  menjadi 𝐿 𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 2 (𝑥̇ 2 − 𝑐𝑥 2 ) , yang  merupakan  Lagrangian  murni  atau  Lagrangian osilator  harmonik  satu  dimensi.  Selanjutnya menentukan  Lagrangian Null, yang  dapat  diperoleh
jika dan hanya jika  turunan  waktu total dari fungsi skalar atau fungsi Gauge nya dapat dinyatakan sebagai
𝐿 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑𝜙(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜕𝜙 𝜕𝑥 𝑥̇ + 𝜕𝜙 𝜕𝑡 (5)
untuk membuat Lagrangian Null Standar secara alami dengan mengikuti bentuk pada persamaan (5), maka untuk
𝜙 𝑠𝑛1 (𝑥, 𝑡) = 1 2 𝑐 1 𝑥 2 𝐿 𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥) = 𝑑𝜙 𝑠𝑛1 (𝑥, 𝑡)
𝑑𝑡 𝐿 𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥) = 𝜕 𝜕𝑥 [ 1 2 𝑐 1 𝑥 2 ] 𝑥̇ = 𝑐 1 𝑥𝑥̇ 𝐿 𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥) = 𝑐 1 𝑥̇𝑥                                              (6) di  mana 𝑐 1 adalah  konstanta  sembarang.  Dalam Lagrangian  ini  besarnya  variabel  dependen  sama dengan  Lagrangian  Standar  yang  diberikan  oleh persamaan  (4),  namun  variabel  dependen  dan turunannya  dicampur.  Lagrangian Null pada persamaan (5) dapat digeneralisasikan secara identik menjadi nol oleh operator Euler-Lagrange
𝐸𝐿 ̂ [𝐿 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑑𝜙(𝑥, 𝑡)
𝑑𝑡 ] = 0.
Menggunakan 𝐸𝐿 ̂ (𝐿 𝑚 + 𝐿 𝑓 ) = 0 , di mana:
𝐿 𝑚 : Lagrangian campuran variabel bebas dan terikat,
𝐿 𝑓 : Lagrangian dari variabel terikat tunggal.
Variabel bebas dan terikat merupakan variabel yang bergantung pada waktu dan  turunannya, sedangkan variabel  terikat  tunggal  merupakan  variabel  yang hanya bergantung pada turunan terhadap posisi.
𝐿 𝑚 [𝑥̇, 𝑥, 𝑡)] = 𝐶 1 𝑥̇𝑥 + 𝐶 2 [𝑥̇𝑡 + 𝑥] 𝐿 𝑓 [𝑥̇, 𝑥] = 𝐶 3 𝑥̇ + 𝐶 4 untuk menghasilkan Lagrangian 𝐿 𝑠𝑛2 , 𝐸𝐿 ̂ (𝐿 𝑚 + 𝐿 𝑓 ) = 0
𝐿 𝑠𝑛2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑐 1 𝑥̇𝑥 + 𝑐 2 (𝑥̇𝑡 + 𝑥) + 𝑐 3 𝑥̇ + 𝑐 4 (7) di mana 𝑐 1 , 𝑐 2 , 𝑐 3 dan 𝑐 3 adalah konstanta arbitrer dan 𝐿 𝑠𝑛2 menjadi 𝐿 𝑠𝑛1 jika 𝑐 2 = 𝑐 3 = 𝑐 4 = 0 . Lagrangian ini dibuat dengan prinsip bahwa besarnya variabel dependen  atau independen atau kombinasinya,  tidak  lebih  dari  yang  diberikan  oleh Lagrangian Standar asli pada persamaan (4), karena
𝐿 𝑠𝑛2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑𝜙 𝑠𝑛2 (𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 ,                            (8)
maka fungsi Gauge 𝜙 𝑠𝑛2 (𝑥, 𝑡) diberikan oleh:
𝜙 𝑠𝑛2 (𝑥, 𝑡) = 1 2 𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥𝑡 + 𝑐 3 + 𝑐 4 𝑡        (9) turunan 𝜙 𝑠𝑛2 (𝑥, 𝑡) , digeneralisasi dengan mengganti  koefisien  konstantanya  dengan  fungsi
arbitrer  yang  hanya  bergantung  pada  variabel independen,  kemudian  fungsi Gauge standar 𝜙 𝑠𝑛3 (𝑥, 𝑡) . Fungsi Gauge parsial
𝜙 𝑠𝑛2 (𝑥, 𝑡) diperoleh  dari  variabel  dinamis.  Oleh karena itu, salah satu cara untuk menggeneralisasikan fungsi Gauge dengan cara mengganti konstanta 𝑐 pada persamaan  (9)  dengan  fungsi 𝑓 yang  sesuai  yang bergantung  pada  variabel  bebas (𝑡) tanpa  perlu mengubah variabel dinamis
𝜙 𝑠𝑛3 (𝑥, 𝑡) = 1 2 𝑓 1 (𝑡)𝑥 2 + 𝑓 2 (𝑡)𝑥𝑡 + 𝑓 3 (𝑡)
+ 𝑓 4 (𝑡)𝑡,                              (10) 𝜙 𝑠𝑛3 (𝑥, 𝑡) merupakan  fungsi  dari  variabel,  yang turunan  totalnya  menghasilkan  Lagrangian Null Standar umum berikut:
𝐿 𝑠𝑛3 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡)
= [𝑓 1 (𝑡)𝑥̇𝑥 + 1 2 𝑓 1 ̇ (𝑡)𝑥 2 ]
+ [𝑓 2 (𝑡)𝑥̇𝑡 + 𝑓̇ 2 (𝑡)𝑥𝑡 + 𝑓 2 (𝑡)𝑥] + [𝑓 3 (𝑡)𝑥̇ + 𝑓 3 ̇ (𝑡)𝑥] + [𝑓 4 (𝑡) + 𝑓 4 ̇  (𝑡)(𝑡)],                                                      (11)
di  mana  semua  fungsi  di  atas  merupakan    fungsi arbitrer yang diturunkan dua kali dari fungsi variabel independen.  Generalisasi  fungsi Gauge pada persamaan  (10),  merupakan  salah  satu  cara  untuk mendapatkan Lagrangian Null baru, terdapat cara lain yang  dapat  dilakukan  yakni  dengan  mengganti koefisien  konstanta  dalam 𝐿 𝑠𝑛2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) dengan fungsi 𝑓(𝑡), sehingga diperoleh 𝐿 𝑠𝑛4 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑓 1 (𝑡)𝑥̇𝑥 + 𝑓 2 (𝑡)𝑥̇𝑡 + 𝑓 2 (𝑡)𝑥 + 𝑓 3 (𝑡)𝑥̇ + 𝑓 4 (𝑡),                                                 (12) selanjutnya,  menerapkan 𝐸𝐿 ̂ {𝐿 𝑠 , 𝑡𝑒𝑠𝑡(𝑥̇, 𝑥, 𝑡)} = 0, ditemukan 𝐿 𝑠𝑛4 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) Lagrangian Null jika dan hanya  jika 𝑓 1 (𝑡), 𝑓 2 (𝑡), 𝑓 3 (𝑡) diberlakukan  kondisi berikut
𝑓̇ 1 (𝑡)𝑥 + 𝑓̇ 2 (𝑡)𝑡 + 𝑓̇ 3 (𝑡) = 0.                        (13) Solusi  untuk  persamaan  (13),  dengan  mengganti konstanta 𝑐 dengan  fungsi 𝑓(𝑡), yang  mereduksi 𝐿 𝑠𝑛4 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) menjadi 𝐿 𝑠𝑛2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) tanpa generalisasi apapun, dengan kondisi tambahan bahwa 𝑓 4 (𝑡) = 𝑐 4 .    Fungsi  pada  persamaan  (12)  dibatasi oleh kondisi tambahan yang diberikan oleh persamaan (16) dan 𝐿 𝑠𝑛3 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) tidak membutuhkan batasan terhadap  fungsi-fungsi  tersebut,  maka  persamaan (12)  lebih  umum  dari 𝐿 𝑠𝑛4 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡), sehingga Lagrangian Null Standar  umum 𝐿 𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝐿 𝑠𝑛3 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡).
Analisis Lagrangian Null Nonstandar Lagrangian yang memiliki bentuk yang berbeda dari 𝐿 𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 2 [𝑥̇ 2 (𝑡) − 𝜔 0 2 𝑥 2 (𝑡)]𝑒 𝑏𝑡
disebut  sebagai  Lagrangian  Nonstandar.  Lagrangian Nonstandar  bergantung  pada  fungsi    selain  waktu variabel  dinamis  biasa  seperti 𝑥 dan 𝑥̇ untuk  satu sistem dengan satu derajat kebebasan.
Lagrangian  Nonstandar  untuk  persamaan  gerak berikut
𝑥̈(𝑡) + 𝑥̇ 2 (𝑡) + 𝑥̇(𝑡) + 𝑥(𝑡) =  ℱ(𝑡)          (14) adalah
𝐿(𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝑥̇(𝑡) + 𝑥(𝑡) + (𝑡) (15)
di mana:
𝑥(𝑡) = perpindahan 𝑥̇(𝑡) = turunan pertama terhadap waktu 𝑥̈(𝑡) = turunan kedua terhadap waktu ℱ(𝑡) = gaya  aksi  merupakan  fungsi  arbitrer  tetapi kontinu (Musielak Z. , 2009).
Bentuk umum dari Lagrangian Nonstandar
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥 + 𝑎 3 (𝑡) (16)
di mana 𝑎 1 (𝑡) , 𝑎 2 (𝑡), dan 𝑎 3 (𝑡) merupakan fungsi yang dapat diturunkan untuk ditentukan. Lagrangian Null Nonstandar  memiliki  bentuk  yang  berbeda dengan  Lagrangian Null pada  persamaan  (7)  dan persamaan  (11),    bentuknya  serupa  dengan persamaan (14) dan harus mengandung (𝑥̇, 𝑥, 𝑡), mirip  dengan  yang  digunakan  untuk membangun 𝐿 𝑠𝑛2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡), 𝐿 𝑠𝑛3 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) dan 𝐿 𝑠𝑛4 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) di  mana  besarnya  variabel  dependen dan  turunannya  tidak  melebihi  Lagrangian Nonstandar pada persamaan (16). Suatu  Lagrangian Null Nonstandar  dapat diperoleh dengan cara memisalkan 𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 dan 𝑏 4 sebagai konstanta dalam test Lagrangian Nonstandar, yang menggambarkan suatu sistem yang mengalami percepatan konstan.
𝐿 𝑛𝑠,𝑡𝑒𝑠𝑡 1 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑏 1 𝑥̇ 𝑏 2 𝑥 + 𝑏 3 𝑡 + 𝑏 4 (17)
𝐿 𝑛𝑠,𝑡𝑒𝑠𝑡 1 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) adalah  Lagrangian Null jika  dan hanya jika, 𝑏 3 = 0. Lagrangian ini harus memenuhi persamaan Euler-Lagrange, 𝐸𝐿 ̂ {𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡)} = 0, kondisi  yang  dibutuhkan  adalah 𝑏 1 𝑏 3 = 0, dengan 𝑏 1 ≠ 0, 𝑏 3 = 0, dan 𝐿 𝑛𝑠,𝑡𝑒𝑠𝑡 1 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝐿 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡), di  mana  yang  terakhir  adalah Lagrangian Null Nonstandar diberikan oleh:
𝐿 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑏 1 𝑥̇ 𝑏 2 𝑥 + 𝑏 4 ,                          (18)
fungsi Gauge nya 𝜙 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥) adalah 𝜙 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥) = 𝑏 1 𝑏 2 ln |𝑏 2 𝑥 + 𝑏 4 |.                                         (19)
Selanjutnya mengeneralisasi 𝐿 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥) pada persamaan (18) dengan memisalkan ℎ 1 (𝑡), ℎ 2 (𝑡) dan ℎ 4 (𝑡) menjadi setidaknya dua kali fungsi  yang  dapat  diturunkan  dan 𝐿 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥) menjadi Lagrangian Null Nonstandar  yang diberikan oleh persamaan (18), dengan fungsi Gauge yang sesuai diberikan  oleh  persamaan  (19).  Lagrangian Null Nonstandar  lebih  umum,  jika  dan  hanya  jika, konstanta 𝜙 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥) digantikan  oleh  fungsi ℎ 1 (𝑡), ℎ 2 (𝑡) dan ℎ 4 (𝑡). Mengganti  koefisien konstanta 𝑏 1 , 𝑏 2 dan 𝑏 4 dalam 𝐿 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥) dengan fungsi ℎ 1 (𝑡), ℎ 2 (𝑡) dan ℎ 4 (𝑡) ,  masing-masing, Lagrangian yang dihasilkan adalah:
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = ℎ 1 (𝑡)𝑥̇ ℎ 2 (𝑡)𝑥 + ℎ 4 (𝑡) (20) menggunakan persamaan Euler-Lagrange 𝐸𝐿 ̂ {𝐿 𝑛𝑠,𝑡𝑒𝑠𝑡2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡)} = 0, ditemukan  bahwa
𝐿 𝑛𝑠,𝑡𝑒𝑠𝑡2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) adalah Lagrangian Null Nonstandar    jika ℎ 1 (𝑡) = 𝑏 1 , ℎ 2 (𝑡) = 𝑏 2 dan ℎ 4 (𝑡) = 𝑏 4 , yang  mereduksi 𝐿 𝑛𝑠,𝑡𝑒𝑠𝑡2 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) menjadi 𝐿 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) dan  menunjukan  tidak  ada generalisasi  pada 𝐿 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) dapat  dilakukan dengan  cara  lain.  Selanjutnya,  mengganti  koefisien kontanta pada 𝜙 𝑛𝑠𝑛1 (𝑥) dengan fungsi ℎ 1 (𝑡), ℎ 2 (𝑡) dan ℎ 4 (𝑡) mengeneralisasi  fungsi Gauge ke
𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥, 𝑡) = ℎ 1 (𝑡) ℎ 2 (𝑡) ln |ℎ 2 (𝑡)𝑥 + ℎ 4 (𝑡)|  (21) karena,  turunan total dari fungsi skalar bergantung pada x dan  waktu t adalah  Lagrangian Null, Lagrangian Null Nonstandar diperoleh:
𝐿 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡)
= ℎ 1 (𝑡)[ℎ 2 (𝑡)𝑥̇ + ℎ̇ 2 (𝑡)𝑥] + ℎ 4 (𝑡)
ℎ 2 (𝑡)[ℎ 2 (𝑡)𝑥 + ℎ 4 (𝑡)] + [ ℎ̇ 1 (𝑡)ℎ 2 (𝑡) − ℎ 1 (𝑡)ℎ̇ 2 (𝑡) ℎ 2 2 (𝑡) ] 𝑙𝑛|ℎ 2 (𝑡)𝑥 + ℎ 4 (𝑡)|                                                            (22)
𝐸𝐿 ̂ {𝐿 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡)} = 0 dengan demikian 𝐿 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) adalah  Lagrangian Null umum  jika dibandingkan  dengan  persamaan  (18).  Lagrangian Null Nonstandar 𝐿 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥, 𝑥, 𝑡) dan  fungsi Gauge 𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) mewakili  Lagrangian Null umum baru  yang  Nonstandar  dan  fungsi Gauge ini diturunkan  berdasarkan  kondisi  bahwa  besarnya variabel dependen dalam Lagrangian Null umum yang Nonstandar sama dengan atau lebih rendah dari yang ada dalam Lagrangian Nonstandar murni yang (16).
Analisis Peran Invarian Aksi dalam Membuat Lagrangian Null Eksak  dan  Fungsi Gauge

## Eksak
Fungsi  dalam  Lagrangian  Standar  dan Lagrangian  Nonstandar  adalah  fungsi  arbitrer, sehingga  diperlukan  kendala  matematika  yakni invarian  aksi  untuk  memperkenalkan  fungsi Gauge eksak  dan  persamaan  dinamis  yang  dihasilkan. Invarian  aksi  yang  diterapkan  pada  Lagrangian Null Standar dan Lagrangian Null Nonstandar dan fungsi Gauge nya  diperoleh.  Dalam  kalkulus  variasi,  aksi didefenisikan sebagai
𝐴[𝑥; 𝑡 𝑒 , 𝑡 𝑜 ] = ∫ (𝐿 + 𝐿 𝑛𝑢𝑙𝑙 )𝑑𝑡 𝑡 𝑒 𝑡 𝑜
𝐴[𝑥; 𝑡 𝑒 , 𝑡 𝑜 ] = ∫ 𝐿 𝑑𝑡 𝑡 𝑒 𝑡 𝑜 + ∫ [ 𝑑𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡) 𝑑𝑡 ] 𝑑𝑡 𝑡 𝑒 𝑡 𝑜
𝐴[𝑥; 𝑡 𝑒 , 𝑡 𝑜 ] = ∫ 𝐿 𝑑𝑡 𝑡 𝑒 𝑡 𝑜 + [𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑒 ) − 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑜 )], (23) di mana: 𝑡 𝑜 dan 𝑡 𝑒 : waktu awal dan akhir,
L : Lagrangian dapat berupa Lagrangian Standar dan Lagrangian Nonstandar,
𝐿 𝑛𝑢𝑙𝑙 : Lagrangian Null dan 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 fungsi Gauge. 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑒 ) dan 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑜 ) merupakan  konstanta yang  tidak  mempengaruhi  prinsip  Hamilton  yang membutuhkan 𝛿𝐴[𝑥] = 0, dengan  syarat  bahwa ∆𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 = 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑒 ) − 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑜 ) = konstan, menambahkan konstanta ini ke nilai aksi, yang berarti bahwa fungsi Gauge mempengaruhi aksi. Invarian aksi memperkenalkan defenisi Lagrangian Null dan Fungsi Gauge nya. Suatu Lagrangian Null disebut Lagrangian Null Eksak (ENL), jika memiliki ∆𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 = 0 . Fungsi Gauge dengan ∆𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 = 0 disebut  fungsi Gauge Eksak (EGF). Kondisi ∆𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 = 0 terpenuhi ketika 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑒 ) − 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑜 ) = 0, atau 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑒 ) = 0 dan 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑡 𝑜 ) = 0, diberlakukan  dan  Lagrangian Null Eksak  adalah  Lagrangian Null yang    fungsi Gauge nya  membuat  invarian  aksi.  Invarian  aksi digunakan  untuk  menetapkan  batasan  dari  fungsi arbitrer dalam Lagrangian Null, 𝐿 𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) pada persamaan (11) dan fungsi Gauge 𝜙 𝑠𝑔𝑛1 (𝑥, 𝑡) pada persamaan  (10)  dan  membuat  kedua  persamaan ini Eksak,  dengan  mengambil 𝜙 𝑠𝑔𝑛 (𝑡 𝑒 ) = 0 dan 𝜙 𝑠𝑔𝑛 (𝑡 𝑜 ) = 0, kondisi berikut diperoleh:
1
2 𝑓 1 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 𝑡 𝑒 + 𝑓 3 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + 𝑓 4 (𝑡 𝑒 )𝑡 𝑒 = 0                   (24) dan
1 2 𝑓 1 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 𝑡 𝑜 + 𝑓 3 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 + 𝑓 4 (𝑡 𝑜 )𝑡 𝑜 = 0                   (25)
dengan 𝑥 𝑒 = 𝑥(𝑡 𝑒 ) dan 𝑥 𝑜 = 𝑥(𝑡 0 ) menunjukan titik  akhir. 𝐿 𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) dan 𝜙 𝑠𝑔𝑛 (𝑥, 𝑡) adalah eksak,  jika  fungsi  arbitrer  terpenuhi  pada  kondisi berikut    ini.  Kondisi  pertama  dapat  diselesaikan dengan  mengambil 𝑓 3 (𝑡 𝑒 ) = − 𝑓 1 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 dan 𝑓 4 (𝑡 𝑒 ) = −𝑓 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 . Maka  diperoleh  untuk persamaan (76)
1 2 𝑓 1 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 𝑡 𝑒 + 𝑓 3 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + 𝑓 4 (𝑡 𝑒 )𝑡 𝑒 = 0 1 2 𝑓 1 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 − 𝑓 1 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 𝑡 𝑒 − 𝑓 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 𝑡 𝑒 = 0               (27) solusi  serupa  berlaku  untuk 𝑡 𝑜 menunjukan  bahwa nilai akhir untuk fungsi dapat berhubungan satu sama lain.
1
2 𝑓 1 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 𝑡 𝑜 + 𝑓 3 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 + 𝑓 4 (𝑡 𝑜 )𝑡 𝑜 = 0 1 2 𝑓 1 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 2 − 𝑓 1 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 2 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 𝑡 𝑜 − 𝑓 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 𝑡 𝑜 = 0.             (28) selanjutnya, diperoleh Lagrangian Null Eksak (ENL)
𝐿 𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑(𝜙 𝑠𝑔𝑛 (𝑥 𝑒 , 𝑡 𝑒 )) 𝑑𝑡 𝐿 𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = [ 1 2 𝑓 1 ̇ (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 + 1 2 𝑓 1 (𝑡 𝑒 ) 𝑥 𝑒 ̇ 2 ] − [ 1 2 𝑓 1 ̇ (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 + 1 2 𝑓 1 (𝑡 𝑒 ) 𝑥 𝑒 ̇ 2 ] + [ 1 2 𝑓 2 ̇ (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 + 1 2 𝑓 2 (𝑡 𝑒 ) 𝑥 𝑒 ̇ 2 ] − [ 1 2 𝑓 2 ̇ (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 + 1 2 𝑓 2 (𝑡 𝑒 ) 𝑥 𝑒 ̇ 2 ]                   (29)
𝐿 𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑(𝜙 𝑠𝑔𝑛 (𝑥 0 , 𝑡 0 )) 𝑑𝑡 𝐿 𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = [ 1 2 𝑓 1 ̇ (𝑡 0 )𝑥 0 2 + 1 2 𝑓 1 (𝑡 0 ) 𝑥 0 ̇ 2 ] − [ 1 2 𝑓 1 ̇ (𝑡 0 )𝑥 0 2 + 1 2 𝑓 1 (𝑡 0 ) 𝑥 0 ̇ 2 ] + [ 1 2 𝑓 2 ̇ (𝑡 0 )𝑥 0 2 + 1 2 𝑓 2 (𝑡 0 ) 𝑥 0 ̇ 2 ] − [ 1 2 𝑓 2 ̇ (𝑡 0 )𝑥 0 2 + 1 2 𝑓 2 (𝑡 0 ) 𝑥 0 ̇ 2 ]                   (30)
Menerapkan prosedur yang sama pada 𝐿 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) pada  persamaan  (22)  dan  ke  fungsi
Gauge umum  yang  dihasilkan 𝜙 𝑛𝑢𝑙𝑙 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) persamaan (21), kondisi pada fungsi arbitrer adalah:
𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛(𝑥) = ℎ 1 (𝑡) ℎ 2 (𝑡) ln |ℎ 2 (𝑡)𝑥 + ℎ 4(𝑡) | [ ℎ 1 (𝑡 𝑒 ) ℎ 2 (𝑡 𝑒 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + ℎ 4 (𝑡 𝑒 )| = 0,          (31)
dan 𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛(𝑥) = ℎ 1 (𝑡) ℎ 2 (𝑡) ln |ℎ 2 (𝑡)𝑥 + ℎ 4(𝑡) |
[ ℎ 1 (𝑡 𝑜 ) ℎ 2 (𝑡 𝑜 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 + ℎ 4 (𝑡 𝑜 )| = 0           (32) karena ln[ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 + ℎ 4 (𝑡 𝑒 )] ≠ 0 dan ln[ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 + ℎ 4 (𝑡 𝑒 )] ≠ 0, kedua kondisi menetapkan batas ketat pada fungsi ℎ 1 (𝑡), yang nilai akhirnya harus menjadi ℎ 1 (𝑡 𝑒 ) = 0 𝑑𝑎𝑛 ℎ 1 (𝑡 𝑜 ) = 0 ,  namun  prosedur  tersebut  tidak  memaksakan batasan apapun pada baik pada ℎ 2 (𝑡) atau ℎ 4 (𝑡),
𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥 𝑒 , 𝑡 𝑒 ) = [ ℎ 1 (𝑡 𝑒 ) ℎ 2 (𝑡 𝑒 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + ℎ 4 (𝑡 𝑒 )| = 0,
𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥 𝑒 , 𝑡 𝑒 ) = [ 0 ℎ 2 (𝑡 𝑒 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒
+ ℎ 4 (𝑡 𝑒 )| = 0,                    (33) 𝐿 𝑁𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑(𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥 𝑒 , 𝑡 𝑒 ))
𝑑𝑡 𝐿 𝑁𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 0[ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 ̇ + ℎ̇ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 ] + ℎ 4 (𝑡 𝑒 ) (ℎ 2 (𝑡 𝑒 )[ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + ℎ 4 (𝑡 𝑒 )] ) + [ 0 ℎ 2 (𝑡 𝑒 ) − 0[ℎ̇ 2 (𝑡 𝑒 )] ℎ 2 2 (𝑡 𝑒 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + ℎ 4 (𝑡 𝑒 )|
= 0                                                                      (34)
𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥 0 , 𝑡 0 ) = [ ℎ 1 (𝑡 𝑜 ) ℎ 2 (𝑡 𝑜 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 + ℎ 4 (𝑡 𝑜 )| = 0
𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥 0 , 𝑡 0 ) = [ 0 ℎ 2 (𝑡 𝑜 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 + ℎ 4 (𝑡 𝑜 )| = 0                     (35)
𝐿 𝑁𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑(𝜙 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥 0 , 𝑡 0 )) 𝑑𝑡 𝐿 𝑁𝐸𝑁𝐿 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 0[ℎ 2 (𝑡 0 )𝑥 0 ̇ + ℎ̇ 2 (𝑡 0 )𝑥 0 ] + ℎ 4 (𝑡 0 ) (ℎ 2 (𝑡 0 )[ℎ 2 (𝑡 0 )𝑥 0 + ℎ 4 (𝑡 0 )]) + [ 0 ℎ 2 (𝑡 0 ) − 0[ℎ̇ 2 (𝑡 0 )] ℎ 2 2 (𝑡 0 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 0 )𝑥 0 + ℎ 4 (𝑡 0 )|
= 0.                                                                     (36)
Analisis Aplikasi Lagrangian Null Nonstandar untuk Hukum Inersia Newton
Misalkan (𝑥, 𝑡) adalah  kerangka  inersia  dan (𝑥 ′ , 𝑡 ′ ) adalah kerangka inersia  lain yang bergerak
relatif  antara  satu  dengan  yang  lain  dengan 𝑣 0 = konstan dan misalkan asal-usul sistem berhimpit pada 𝑡 = 𝑡 ′ = 𝑡 0 = 0 .  Kemudian  transformasi  Galileo menghubungkan  kedua  sistem  yakni 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑣 0 𝑡 dan 𝑡 ′ = 𝑡 , dengan kata lain, partikel klasik yang bergerak  dengan  kecepatan 𝑢 = 𝑥̇ dalam  sistem (𝑥, 𝑡) memiliki  kecepatan 𝑢 ′ = 𝑥̇ ′ dalam (𝑥 ′ , 𝑡 ′ ). Kedua  kecepatan  dihubungkan  oleh  transformasi Galileo, sehingga 𝑢 ′ = 𝑢 − 𝑣 0 . Misalkan (𝑥, 𝑦, 𝑧) menjadi  sistem  koordinat  kartesian  dan  biarkan 𝑡 menjadi  waktu  di  semua  bingkai  inersia,  maka gerakan  satu  dimensi  benda  dalam  bingkai  inersia diberikan oleh 𝐷 ̂ 𝑜 𝑥(𝑡) = 0 , yang mewakili Hukum Inersia. Solusi dari 𝐷 ̂𝑥(𝑡) = 0 dapat ditulis sebagai 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝑏, di mana 𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta integrasi,  dengan    mengatur    kondisi 𝑡 𝑜 = 0 dan 𝑡 𝑒 = 1 menjadi  kondisi  akhir  dan 𝑥(0) = 𝑥 𝑜 = 1, 𝑥(1) = 𝑥 𝑒 = 2, dan 𝑥̇(0) = 𝜇 𝑜 menjadi kondisi awal,  kemudian 𝑎 = 𝑢 0 dan 𝑏 = 𝑥 0 dan 𝑥(𝑡) = 𝑢 0 𝑡 + 𝑥 0 solusi  menjadi 𝑥(𝑡) = 𝜇 𝑜 𝑡 + 1. Lagrangian  standar  untuk  persamaan  gerak  ini diberikan oleh persamaan (4), dengan koefisien 𝑏 = 𝑐 = 0, dan  tidak  ada  fungsi  arbitrer  yang  akan ditentukan,  untuk  memperoleh  Lagrangian Null Standar umum dan fungsi Gauge tepat, kondisi pada persamaan  (24)  dan  (25)  harus  diterapkan    pada fungsi  arbitrer.  Agar  Lagrangian Null Eksak,  aksi harus invarian  yang mengharuskan persamaan (24),
1
2 𝑓 1 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 𝑡 𝑒 + 𝑓 3 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + 𝑓 4 (𝑡 𝑒 )𝑡 𝑒 = 0 dengan cara mengsubtitusikan nilai 𝑥(1) = 𝑥 𝑒 = 2 dan 𝑡 𝑒 = 1 , maka diperoleh:
1
2 𝑓 1 (1) + 𝑓 2 (1) + 𝑓 3 (1) + 𝑓 4 (1) = 0         (37)
dan persamaan (25) 1 2 𝑓 1 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 2 + 𝑓 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 𝑡 𝑜 + 𝑓 3 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 + 𝑓 4 (𝑡 𝑜 )𝑡 𝑜 = 0 mengsubtitusikan nilai 𝑥(0) = 𝑥 𝑜 = 1 dan 𝑐 , maka diperoleh:
𝑓 3 (0) = − 1 2 𝑓 1 (0)                                           (38) kondisi  ini  menjamin  bahwa 𝐿 𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) dan 𝜙 𝑠𝑔𝑛 (𝑥, 𝑡) masing-masing  adalah  Lagrangian Standar  Umum  Eksak    dan  Fungsi Gauge Umum Eksak.
Menentukan  Lagrangian  Nonstandar  untuk Hukum Inersia
Sistem koordinat kartesian (𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan 𝑡 waktu untuk  pada  semua  kerangka  inersia,  maka  gerakan
satu  dimensi  pada  kerangka  acuan  inersia  diberikan oleh 𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 0 di mana:
𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 𝑑 2 (𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 2 + 𝑏(𝑡) 𝑑(𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 + 𝑐(𝑡) dengan 𝑏 = 0 dan 𝑐 = 0 menjadi persamaan gerak untuk  Hukum  Inersia  dengan  mengikuti  bentuk umum dari persaman Lagrangian Nonstandar
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥 + 𝑎 3 (𝑡) Kondisi  pertama  untuk 𝑎 3 (𝑡) = 0 ,  maka 𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝑎 1 (𝑡)𝑥̇+𝑎 2 (𝑡)𝑥+𝑎 3 (𝑡) menjadi
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝑎 1 (𝑡)𝑥̇+𝑎 2 (𝑡)𝑥 , selanjutnya mensubtitusikan  persamaan  Lagrangian  Nonstandar tersebut ke dalam persamaan Euler-Lagrange 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝑛𝑠 𝜕𝑥̇ ) − ( 𝜕𝐿 𝑛𝑠 𝜕𝑥 ) = 0 𝑑 𝑑𝑡 (−𝑎 1 (𝑡)[(𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥)] −2 ) − 𝑎 2 (𝑡) (𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥) 2 = 0 𝑥̈ + 1 2 ( 𝑎̇ 1 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) + 3𝑎 2 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) ) 𝑥̇ + ( 𝑎̇ 2 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) − 𝑎̇ 1 (𝑡)𝑎 2 (𝑡) 2𝑎 1 2 (𝑡) + 𝑎 2 2 (𝑡) 2𝑎 1 2 (𝑡) ) 𝑥 = 0
dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan 𝐷 ̂𝑥(𝑡) = 0, diperoleh dua kondisi berikut
1 2 𝑎̇ 1 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) + 3 2 𝑎 2 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) = 𝑏(𝑡)                              (39)
𝑎̇ 2 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) − 1 2 𝑎̇ 1 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) 𝑎 2 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) + 𝑎 2 2 (𝑡) 2𝑎 1 2 (𝑡) = 𝑐(𝑡)     (40)
dengan nilai dari 𝑏(𝑡) dan 𝑐(𝑡) sama dengan nol, selanjutnya untuk kondisi kedua dengan 𝑎 3 (𝑡) ≠ 0 , dengan  menggunakan  cara  yang  sama,  sehingga persamaan
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝑎 1 (𝑡)𝑥̇+𝑎 2 (𝑡)𝑥+𝑎 3 (𝑡) disubtitusikan ke dalam persamaan Euler-Lagrange , 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝑛𝑠 𝜕𝑥̇ ) − ( 𝜕𝐿 𝑛𝑠 𝜕𝑥 ) = 0 𝑑 𝑑𝑡 (− 𝑎 2 (𝑡) (𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥 + 𝑎 3 (𝑡)) 2 ) − (− 𝑎 2 (𝑡) (𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥 + 𝑎 3 (𝑡)) 2 ) = 0
[−𝑎̇ 1 (𝑡) + 𝑎 2 (𝑡)] [𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥 + 𝑎 3 (𝑡)] +
2  ( 𝑎̇ 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 1 (𝑡)𝑥̈ + 𝑎̇ 2 (𝑡)𝑥 +𝑎 2 (𝑡)𝑥̇  + 𝑎 3 ̇ (𝑡) ) 𝑎 1 (𝑡) (𝑎 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥 + 𝑎 3 (𝑡)) 3 = 0
sehingga diperoleh:
𝑥̈ + 1 2 ( 𝑎̇ 1 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) + 3𝑎 2 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) ) 𝑥̇ + ( 𝑎̇ 2 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) − 𝑎̇ 1 (𝑡)𝑎 2 (𝑡) 2𝑎 1 2 (𝑡) + 𝑎 2 2 (𝑡) 2𝑎 1 2 (𝑡) ) 𝑥 + ( 𝑎 3 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) − 𝑎̇ 1 (𝑡)𝑎 3 (𝑡) 2𝑎 1 2 (𝑡) + 𝑎 3 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) 𝑎 2 (𝑡) 2𝑎 1 (𝑡) ) = 0 𝑎 3 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) − 1 2 𝑎̇ 1 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) 𝑎 3 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) + 𝑎 3 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) 𝑎 2 (𝑡) 2𝑎 1 (𝑡)
= 0                                        (41) di mana 𝑎 1 (𝑡), 𝑎 2 (𝑡) dan 𝑎 3 (𝑡) adalah fungsi  arbitrer  yang    dapat  terdiferensiasi,  hal  ini berarti  bahwa  suatu  fungsi  dapat  diturunkan    pada suatu titik ketika ada turunan yang ditentukan pada titik tersebut, dan integral, jika dan hanya jika:
𝑎 1 (𝑡) = 𝑒 𝐼 𝑢 (𝑡) (42)
𝑎 2 (𝑡) = 2 3 [𝑏(𝑡) − 1 2 𝑢(𝑡)] 𝑒 𝐼 𝑢 (𝑡) (43)
𝑎 3 (𝑡) = 𝑒 2𝐼 𝑢 (𝑡) 3 𝑒 − 𝐼 𝑏 (𝑡) 3 (44)
𝐼 𝑢 (𝑡) = ∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡 ,  yang  merupakan  solusi  dari persamaan Riccati
𝐼 𝑏 (𝑡) = ∫ 𝑏(𝑡)𝑑𝑡
mengeliminasi 𝑎 2 (𝑡) dari persamaan (39) dan (40) dan  mendefenisikan 𝑢(𝑡) = 𝑎̇ 1 (𝑡) 𝑎 1 (𝑡) ,  sehingga diperoleh:
𝑢̇(𝑡) + 1 3 𝑢 2 (𝑡) = 0                                         (45)
yang  merupakan  bentuk  khusus  dari  persamaan Riccati, dengan solusi untuk persamaan (45) dengan menggunakan transformasi
𝑢(𝑡) = 3 𝑣̇(𝑡) 𝑣(𝑡) (46)
dengan 𝑣(𝑡) mewakili  solusi  untuk 𝑣̈(𝑡 = 0) yang merupakan  kondisi  tambahan.  Kondisi  awal 𝑣(𝑡 =
0) = 𝑣 0 dan 𝑣̇(𝑡 = 0) = 𝑎 0 berbeda  dari  yang digunakan  untuk 𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 0, kemudian  solusinya menjadi 𝑣(𝑡) = 𝑎 0 + 𝑣 0 dan  fungsi 𝑎 1 (𝑡), 𝑎 2 (𝑡) dan 𝑎 3 (𝑡) , setelah diperoleh hasil
𝑎 1 (𝑡) = 𝐶 1 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 ) 3 (47) di mana 𝐶 1 adalah konstanta integrasi.
𝑎 2 (𝑡) = −𝐶 1 𝑎 0 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 ) 2 (48)
𝑎 3 (𝑡) diperoleh  dengan  mengeliminasi 𝑎 1 (𝑡) dan 𝑎 2 (𝑡) pada persamaan (41) 𝑎 3 (𝑡) = 𝐶 1 𝐶 2 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 ) 2 (49) selanjutnya  mengsubtitusikan 𝑎 1 (𝑡), 𝑎 2 (𝑡) dan 𝑎 3 (𝑡) ke  dalam  persamaan  (16),  untuk persamaan 𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 0, untuk  memperoleh Lagrangian Nonstandar
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝑎 1 (𝑡)𝑥̇ + 𝑎 2 (𝑡)𝑥 + 𝑎 3 (𝑡)
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝐶 1 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 ) 3 𝑥̇ − 𝐶 1 𝑎 0 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 ) 2 𝑥 +𝐶 1 𝐶 2 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 ) 2
𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 1 𝐶 1 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 ) 2 1 (𝑎 0 𝑡 + 𝑣 0 )𝑥̇ −𝑎 0 𝑥 + 𝐶 2 ,                     (50)
ini  merupakan  contoh  pertama  Lagrangian Nonstandar  untuk  Hukum  Inersia  Newton  yang diturunkan  bergantung  pada  dua  konstanta  yakni 𝑎 0 dan 𝑣 0 , yang diberikan oleh kondisi awal untuk 𝑣̈(𝑡) = 0 dan  dua  konstanta  arbitrer 𝐶 1 dan 𝐶 2 , yang  dapat  ditentukan  oleh  kondisi  awal  untuk 𝐷 ̂ 0 𝑥 = 0, untuk  memverifikasi 𝐿 𝑛𝑠 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) memberikan 𝐷 ̂ 0 𝑥(𝑡) = 0 ketika  diganti  dengan
persamaan
Euler-Lagrange . Lagrangian Null
Nonstandar 𝐿 𝑛𝑠𝑔𝑛 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) dan  fungsi Gauge nya 𝜙 𝑠𝑛𝑔𝑛 (𝑥, 𝑡) diberikan  oleh  persamaan  (22)  dan (21),  agar  Lagrangian Null Nonstandar  dan  fungsi Gauge nya  eksak,  maka  perlu  mematuhi  kondisi seperti pada persamaan (31) dan (32), dimana :
[ ℎ 1 (𝑡 𝑒 ) ℎ 2 (𝑡 𝑒 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑒 )𝑥 𝑒 + ℎ 4 (𝑡 𝑒 )| = 0, dan
[ ℎ 1 (𝑡 𝑜 ) ℎ 2 (𝑡 𝑜 ) ] ln|ℎ 2 (𝑡 𝑜 )𝑥 𝑜 + ℎ 4 (𝑡 𝑜 )| = 0 selanjutnya disubtitusikan nilai dari 𝑡 𝑒 = 1, 𝑥 𝑒 = 2 , 𝑡 𝑜 = 0,  𝑥 𝑜 = 1 pada  kedua  persamaan  tersebut, sehingga diperoleh
𝜙 𝑁𝐸𝐼𝑁 (2,1) = [ ℎ 1 (1) ℎ 2 (1) ] ln|ℎ 2 (1)2 + ℎ 4 (1)| = 0 𝜙 𝑁𝐸𝐼𝑁 (2,1) = [ ℎ 1 (1) ℎ 2 (1) ] ln|2ℎ 2 (1) + ℎ 4 (1)|
= 0                                                                      (51) dan
𝜙 𝑁𝐸𝐼𝑁 (0,1) = [ ℎ 1 (0) ℎ 2 (0) ] ln|ℎ 2 (0)1 + ℎ 4 (0)| = 0 𝜙 𝑁𝐸𝐼𝑁 (0,1) = [ ℎ 1 (0) ℎ 2 (0) ] ln|ℎ 2 (0) + ℎ 4 (0)|
= 0,                                      (52)
karena ln[ℎ 2 (1) + ℎ 4 (1)] ≠ 0 dan ln[ℎ 2 (0) + ℎ 4 (0)] ≠ 0, nilai akhir fungsi ℎ 1 (𝑡) harus ℎ 1 (1) = 0 dan ℎ 1 (0) = 0 , nilai akhir  dari ℎ 2 (𝑡) atau ℎ 4 (𝑡) tidak dibatasi oleh kondisi eksak,
𝐿 𝑁𝐸𝐼𝑁 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑𝜙 𝑁𝐸𝐼𝑁 (2,1)
𝑑𝑡 𝐿 𝑁𝐸𝐼𝑁 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 0[ℎ 2 (1)2 + ℎ̇ 2 (1)2]ℎ 4 (1) (ℎ 2 (1)[ℎ 2 (1)2 + ℎ 4 (1)]) + [ 0 ℎ 2 (1) − 0[ℎ̇ 2 (1)] ℎ 2 2 (1) ] 𝑙𝑛|ℎ 2 (1)2 + ℎ 4 (1)|
= 0                                                                      (53) dan
𝐿 𝑁𝐸𝐼𝑁 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 𝑑𝜙 𝑁𝐸𝐼𝑁 (0,1) 𝑑𝑡 𝐿 𝑁𝐸𝐼𝑁 (𝑥̇, 𝑥, 𝑡) = 0[ℎ 2 (0) + ℎ̇ 2 (0)]ℎ 4 (0) (ℎ 2 (0)[ℎ 2 (0) + ℎ 4 (0)]) + [ 0 ℎ 2 (0) − 0[ℎ̇ 2 (0)] ℎ 2 2 (0) ] 𝑙𝑛|ℎ 2 (0) + ℎ 4 (0)|
= 0,                                                                      (54) persamaan (53) dan (54) merupakan Lagrangian Null Nonstandar  Eksak  untuk  Hukum  Inersia  Newton (LNEIN)

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan kajian yang dilakukan, Lagrangian Null Eksak dapat diperoleh jika fungsi Gauge nya membuat invarian  aksi  yang  bertujuan  memberikan  batasan pada  nilai  akhir  dari  fungsi  arbitrer,  selanjutnya diterapkan  pada  persamaan  diferensial  biasa  (PDB) yang  merepresentasikan  Hukum Inersia Newton  di mana Lagrangian Null Nonstandar umum Eksak dan Fungsi Gauge umum  Eksak  yang  sesuai  diturunkan. Ditunjukkan  bahwa  Lagrangian  Nonstandar 𝐷 ̂𝑥(𝑡) = 0 yang merepresentasikan Hukum Inersia Newton  adalah  Lagrangian Null Nonstandar  Eksak untuk Hukum Inersia Newton diperoleh.

## DAFTAR PUSTAKA
Almén, A. (2020). Helmholtz Conditions and The Inverse Problem  for  Lagrangian  Mechanics. Karlstad University Faculty Of Health, Science  and Technology.
Arnold, V. (1978). Mathematical Methods of Classical Mechanics. New York, NY, USA: Springer. Cline,  D.  (2022). Variational  Principles  In  Classical Mechanics. California:  University  Of Rochester.
Das  ,  R.,  &  Musielak,  Z.  (2022). General  Null Lagrangians and Their Novel Role in Classical Dynamics . Department of Physics and Earth
Space  Science,  The  University  of Indianapolis, Indianapolis, IN 46227, USA. Davachi, N., & Musielak , Z. E. (2019). Generalized Non-Standard  Lagrangians .  Department  of Physics,  The  University  of  Texas  at Arlington, Arlington, TX 76019, USA.
Doughty,  N.  (1990). Lagrangian  Interaction . Westview Press. p. 449 . Landau,  L.,  &  Lifshitz,  E.  (  1972). Mechanics  and Electrodynamics . Pergamon: Oxford. Gauthier,  R.  (2017). Inertia  Explained .  Santa  Rosa Junior College. Gianquinta, M., & Hilbedbrandt, S. (1996). Calculus Of Variations I. Berlin : Springer.
J.P. Gauthier, d. (2010). A Biomechanical Inactivation Principle .  Proceedings  of  the  Steklov Institute of Mathematics. 93–116. Musielak , Z., Davachi , N., & Maria. (2020). S pecial Functions of Mathematical Physics : A Unified. Department of Physics, University of Texas at Arlington, Arlington, TX 76019, USA;. Musielak,  Z.  (2009). General  Conditions  For  The Existence  Of  Non-Standard  Lagrangians  For Dissipative Dynamical Systems . Department of Physics,  The  University  of  Texas  at Arlington, Arlington, TX 76019, USA. Musielak,  Z.  E.  (2008). Standard  And  Non-Standard Lagrangians For Dissipative Dynamical Systems With Variable Coefficients. Journal Of Physics A: Mathematical and Theoretical. Musielak,  Z.  E.  (2020). Null  Lagrangians  and Invariance  of  Action:  Exact. Department  of Physics,  The  University  of  Texas  at Arlington, Arlington, TX 76019, USA. Musielak, Z. E. (2021). Nonstandard Null Lagrangians and  Gauge  Functions  for  Newtonian  Law  of Inertia .  Department  of  Physics,  The University of Texas at Arlington, Arlington, TX 76019,USA. Penrose, R. (2004). For An Alternative Formulation In Terms  Of  Symmetries  Of  The  Lagrangian Density .
P.  Caldirola, ”Forze  non  conservative  nella  meccanica quantista” , Nuovo Cim., 18, 393, 1941.
Perkins,  D.  H.  (1982). Introduction  To  High-Energy Physics. Addison-Wesley. Pickering, A. (1984). Conrtructing Quarks . Universty Of Chicago Press. Rizzuti,  B.,  &  Vasconcelos  Jr,  G.  (2022). Classical Gauge Principle-From Field Theories to Classical
Mechanics .  Departamento  de  F´ısica, Universidade Federal de Juiz de Fora, MG, Brazil.
Segovia,  A.,  Vestal  ,  L.,  &  Musielak,  Z.  (2022).
Nonstandard  Null  Lagrangians  and  Gauge Functions  and  Dissipative  Forces  in  Dynamics . Department of Physics, University of Texas at Arlington, Arlington, TX 76019, USA. Sudiarta,  I.W.(2012). Mekanika  Kuantum. Mataram: Program  Studi  Fisika  Fakultas  Matematika dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam  Universitas Mataram.
Tipler, P.(1998). Fisika untuk Sains dan Teknik, Edisi ketiga Jilid I. Jakarta: Erlangga. Verlinde, E. (2011). On The Origin Of Gravity And The Laws  Of  Newton .  Institute  for  Theoretical
Physics, University of Amsterdam,Valckenierstraat 65, 1018 XE, Amsterdam, The Netherlands.
Vilmala,  B.  K.  (2020). Revolusi  Saintifik  dalam Perkembangan  Mekanika .  Jurnal  Filsafat Indonesia.