Vol. 6, No.2, 92-106,  Januari 2010
Analisis Regresi Robust Menggunakan Kuadrat Terkecil Terpangkas untuk Pendugaan Parameter
Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin 

## Abstrak
Prosedur  regresi  robust  ditujukan  untuk  mengakomodasi  adanya  keanehan  data,  sekaligus meniadakan identifikasi adanya data pencilan dan juga bersifat otomatis dalam menanggulangi data  pencilan . Adanya  pencilan  pada  suatu  data  biasanya  menyebabkan  ketidakakuratan pengambilan  kesimpulan  akhir.  Untuk  memperbaiki  ketidakakuratan  yang  ada,  penelitian  ini akan  mengkaji  metode  regresi  robust  untuk  mengurangi  pengaruh  pencilan.  Metode pendugaan  parameter  regresi  robust  yang  digunakan  adalah  metode  Kuadrat  Terkecil Terpangkas.  Metode  kuadrat  terkecil  terpangkas  dalam  pendugaan  parameternya menggunakan  persamaan  metode  kuadrat  terkecil  biasa yang  persamaannya  dibentuk berdasarkan sub himpunan data sebanyak       h n dan dipilih berdasarkan jumlah kuadrat sisaan terkecil.
Kata Kunci: Analisis  regresi,  pencilan,  robust,  metode  kuadrat  terkecil, metode kuadrat terkecil terpangkas.

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  merupakan  analisis  yang  mempelajari  adanya  keterkaitan  antara  satu variabel  tak  bebas  (respon)  dengan  satu  atau  lebih  variabel  bebas,  mempelajari  bagaimana membangun  sebuah  model  fungsional  dari  data  untuk  dapat  menjelaskan  ataupun  meramalkan suatu  fenomena  alami  atas  dasar  fenomena  yang  lain.  Untuk  itu  dibutuhkan  sekumpulan  data prediktor untuk dapat menjelaskan data respon (Draper & Smith, 1992).
Hal pertama yang dilakukan dalam setiap analisis data adalah tahap persiapan data yang meliputi pengumpulan dan pemeriksaan data. Proses pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara sensus  atau sampling . Tahap selanjutnya adalah pemeriksaan data. Hal ini dilakukan untuk menghindari hal-hal yang tidak diinginkan, misalnya kekeliruan atau ketidakcocokan tentang data (Soemartini, 2007).
Pada  data  yang  diperoleh bukan  dari  angket, tidak  jarang  ditemukan  satu atau  beberapa data  yang  jauh  dari  pola  kumpulan  data  keseluruhan,  yang  lazim  didefinisikan  sebagai  data pencilan ( outlier ), dimana suatu pengamatan terhadap suatu keadaan tidak menutup kemungkinan diperoleh  suatu  nilai  pengamatan  yang  berbeda  dengan  nilai  pengamatan  lainnya.  Hal  ini mungkin disebabkan oleh kesalahan pada saat persiapan data atau terdapat peristiwa yang ekstrim yang  mempengaruhi  data  (Soemartini,  2007).  Pada regresi,  pencilan  adalah pengamatan  dengan nilai sisaan yang besar, artinya pada pengamatan tersebut nilai variabel bebas tidak sesuai dengan nilai yang diberikan oleh variabel tak bebas (Sembiring, 1995).
 Jurusan matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Hasanuddin, email: nkalondeng@yahoo.com

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Bila ternyata hasil identifikasi menunjukkan adanya pencilan, maka yang dapat dilakukan adalah identifikasi lanjut terhadap pencilan tersebut. Jika memberikan pengaruh setelah dilakukan pengujian,  identifikasi  lanjut  bisa  dilakukan  dengan  melihat  hasil  analisis  jika  pencilan  tersebut dibuang/dihilangkan  dari  data  atau  tidak.  Karena  bagaimanapun  juga  keberadaan  data  pencilan mengganggu proses pengambilan kesimpulan.
Dalam  penaksiran  model  regresi,  baik  pada  analisis  regresi  linier  sederhana  maupun analisis regresi linier berganda, dilakukan metode penaksiran titik tertentu, diantaranya diperoleh dengan  menggunakan  metode  Kuadrat  Terkecil  Biasa  ( Ordinary  Least  Square )  dan  Metode Kemungkinan Maksimum ( Maksimum Likelihood ).
Metode  kuadrat  terkecil  biasa  diketahui  rentan  terhadap  pengaruh  data  pencilan/outliers (Rahmatul,  2006).  Oleh  karena  itu  diperlukan  metode  lain  yang  bersifat  robust  atau  tahan terhadap pengaruh pencilan. Metode robust yang dimaksud antara lain Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  ( Weighted  Least  Square /WLS),  Metode  Simpangan  Mutlak  Terkecil  ( Least  Absolute Value /LAV),  Metode  Median  Kuadrat  Terkecil  ( Least  Median  Square/ LMS),  Metode  Deviasi Mutlak Terkecil ( Least Absolute Deviations/ LAD), Penduga M, Penduga S, dan Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas ( Least Trimmed Square /LTS). Inti metode robust adalah memberikan bobot yang  berbeda  pada  setiap  pengamatan,  meskipun  metode  ini  memiliki  kelemahan  dalam  teknik pemberian  bobot  pada  setiap  observasi.  Pada  metode  kuadrat  terkecil,  setiap  data  diberi  bobot sama  yaitu  1,  sedangkan  pada  metode  robust,  setiap  data  diberi  bobot  yang  berbeda.  Untuk pencilan,  Rahmatul  (2006)  menyatakan  untuk  memberi  bobot  lebih  kecil  dari  1  bahkan  0 (terpangkas). Namun demikian, pada penelitian ini akan dikaji satu metode saja yaitu LTS, yang akan dibandingkan dengan metode klasik OLS.
Dalam  penelitian  ini  digunakan  data  sekunder  yang  diperoleh  dari  skripsi  tentang pengaruh  berat  tubuh  mencit  yang  meminum  obat,  berat  hati  mencit  yang  meminum  obat,  dan dosis  obat  yang  diminum  terhadap  konsentrasi  obat  dalam  hati  mencit,  dengan  judul  ”Analisis Pencilan Pada Kecocokan Model Regresi” oleh Muhammad Hardoyo tahun 1997. Data ini telah diketahui mengandung pencilan.
Adapun  asumsi  awal  dalam  penelitian ini adalah  metode regresi  robust  yang  digunakan dapat  mengurangi  pengaruh  suatu  pencilan.  Tujuan  yang  akan  dicapai  pada  penelitian  ini  yaitu menduga  parameter  masing-masing  metode  regresi  robust  yang  digunakan  dan  menentukan model  terbaik  bersesuaian  dengan  data  yang  digunakan  dengan  metode  regresi  robust, menentukan  variabel  bebas  (prediktor)  yang  berpengaruh  terhadap  variabel  respon  untuk  kedua metode robust yang digunakan.

## 2. Analisis Regresi
Model regresi yang mengandung satu variabel atau peubah bebas X , peubah respon Y dan fungsi  regresinya  linier,  disebut  model  regresi  linier  sederhana.  Pola  hubungan  antara X dan Y dikatakan  linier  bila  besar  perubahan  nilai Y yang  diakibatkan  oleh X adalah  konstan.  Model tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
i i i X
Y       1 0
(1)
dengan :
i Y adalah nilai peubah respon ke- i
0  dan 1  adalah parameter
i X adalah nilai peubah penjelas X pada amatan ke- i (konstanta yang diketahui)
i  adalah sisaan dari data ke- i yang bersifat acak (faktor acak)
Umumnya  persoalan  tentang  regresi  memerlukan  lebih  dari  satu  peubah  bebas  dalam modelnya. Misalkan bentuk data regresi berganda   ik i i i X X X Y , , , , 2 1  , i =1, 2, 3,…., n , dan n  p , i Y menyatakan respon ke- i dari k peubah bebas
k X X X , , , 2 1  yang memenuhi persamaan
i ik k i i i X X X Y             2 2 1 1 0 , i = 1,2,3,…., n (2)
Persamaan (2) dapat dituliskan dalam bentuk sederhana menjadi :
p k n i X Y i ik n i p k k o i ,..., 2 , 1 , ,...., 3 , 2 , 1 , 1 1            (3)
Dalam bentuk matriks persamaan di atas dapat dituliskan menjadi :
    X
Y (4)
dengan : Y = sebuah vektor pengamatan  = vektor parameter-parameter X = matriks konstan  =
vektor  acak  berdistribusi  normal  sehingga  saling  bebas  dengan
  0   E ,   I 2 2    
Asumsi  sisaan  yang  harus  dipenuhi  oleh  model  regresi  ialah ) , 0 ( ~ 2   N iid i ,  artinya sisaan i  berdistribusi normal independen dan identik, dengan mean dan variansi masing-masing bernilai 0 dan  2 . Vektor  acak Y memiliki    X Y E  dan  matriks   I Y 2 2    .  Sebagai contoh, Sembiring (1995) mengambil n pengamatan, sehingga persamaan (4) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
                                      
                
          n k o nk n n k k n X X X X X X X X X Y Y Y Y                    3 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 3 2 1 1 1 1 1 (5) 3. Pencilan ( Outliers )

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Pencilan ialah data yang tidak mengikuti pola umum model, atau secara kasar sisaan atau errornya berjarak tiga kali simpangan baku atau lebih jauh lagi dari rata-rata sisaannya. Pencilan merupakan  suatu  keganjilan  yang  ada  pada  data  dan  menandakan  suatu  titik  yang  sama  sekali tidak tipikal dibandingkan data lainnya. Berbagai kaidah telah diajukan untuk menolak pencilan, dengan kata lain mencoba menyisihkan amatan tersebut dari data, untuk kemudian menganalisis kembali  tanpa  amatan  tersebut.  Penolakan  begitu  saja  suatu  pencilan  bukanlah  prosedur  yang bijaksana.  Ada  kalanya  pencilan  memberikan  informasi  yang  tidak  bisa  diberikan  oleh  data lainnya, misalnya karena pencilan timbul dari kombinasi keadaan yang tidak biasa yang mungkin saja sangat penting dan perlu diselidiki lebih jauh (Draper & Smith, 1992).
Beberapa definisi pencilan menurut beberapa pakar :
1. Ferguson (1961), data yang menyimpang dari sekumpulan data yang lain.
2. Barnett  (1981),  pengamatan  yang  tidak  mengikuti  sebagian  besar  pola  dan terletak  jauh dari pusat data.
3. Weissberg  (1985),  jika  terdapat  masalah  yang  berkaitan  dengan  pencilan,  maka diperlukan  alat  diagnosis  yang  dapat  mengidentifikasi  masalah  pencilan,  salah  satunya dengan  menyisihkan  pencilan  dari  kelompok  data  kemudian  menganalisis  data  tanpa pencilan (Soemartini, 2007).
Keberadaan  data  pencilan  akan  mengganggu  dalam  proses  analisis  data  dan  harus dihindari  dalam  banyak  hal.  Dalam  kaitannya  dengan  analisis  regresi,  pencilan  dapat menyebabkan hal-hal berikut :
1. Sisaan yang besar dari model yang terbentuk atau   0   E
2. Variansi pada data tersebut menjadi lebih besar
3. Taksiran interval parameternya memiliki rentang yang lebar
Kriteria pengambilan keputusan adanya pencilan dapat dilihat dengan menggunakan grafik, plot residual, dan beberapa nilai kriteria pencilan yang diberikan pada tabel berikut ini.
Tabel 1. Kriteria Pencilan
Leverage Values
>
n p 1 2 
DfFITS >
n p 2 Cook’s Distance >   p n p F  , ; 5 , 0
DfBETA(s) > n 2
Sumber : Soemartini (2007).
dengan : n = jumlah observasi (sampel) p = jumlah parameter ( p = k+1 ) k = banyaknya variabel bebas

## 4. Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Sebelum  membicarakan  mengenai  Metode  Kuadrat  Terkecil  Terpangkas, sebelumnya akan dibahas Metode Kuadrat Terkecil (Least Squares).
Metode Kuadrat Terkecil ( Least Square )
Metode  kuadrat  terkecil  merupakan  teknik  yang  sangat  popular  digunakan  untuk menduga  parameter  dan  pencocokan  suatu  data.  Draper  dan  Smith  (1992)  menyatakan  metode kuadrat terkecil ini pertama kali ditemukan secara terpisah oleh Carl Friedrich Gauss asal Jerman (1777-1855), dan Adrien Marie Legendre asal Prancis (1752-1833).
Dewasa  ini,  metode  kuadrat  terkecil  sangat  luas  digunakan  untuk  menemukan  atau menduga  nilai  numerik  parameter  pencocokan  sebuah  fungsi  data  khusus  untuk  macam-macam penduga  statistik,  menganalisis  data,  dan  mengambil  kesimpulan  yang  bermakna  tentang hubungan kebergantungan yang ada (Herve, 2003).
Draper & Smith (1992) menyatakan persamaan fungsi linier dengan satu variabel bebas dan  variabel  respon  dapat  dilihat  pada  persamaan  (1)  dan  pendugaan  parameter  diberikan  pada persamaan berikut :
i i X Y 1 ^ 0 ^ ^     (6)
Persamaan di atas terdiri dari dua parameter bebas, dimana ^ 0  merupakan intersep/titik potong, dan ^ 1  merupakan  slope/kemiringan  garis  regresinya.  Metode  kuadrat  terkecil  menjelaskan bahwa pendugaan parameter persamaan ini sama dengan meminimumkan jumlah kuadrat diantara ukuran dan model prediksinya. Metode kuadrat terkecil diperlukan untuk membandingkan jumlah dari n kuadrat simpangan. Nilai minimum ini dijelaskan sebagai berikut :
2
1 ^ 1 0 ^ 2 1 ^ 1 2 ) (                   n i i i n i i i n i i X Y Y Y L   
(7)
dimana i  (error)  merupakan  jumlah  nilai  yang  akan  diminimumkan  atau  sisaan  yang  sifatnya acak dan merupakan penyimpangan model dari keadaan sesungguhnya.

## Regresi Robust
Analisis  regresi  robust  telah  digunakan  selama  ratusan  tahun,  akan  tetapi  tidak  serius ditangani  akhir-akhir  ini.  Regresi  robust  merupakan  metode  yang  digunakan  menganalisis  data yang mengandung pencilan. Metode tersebut dapat digunakan menciptakan suatu keadaaan yang stabil dalam membentuk model terbaik pada suatu kasus, dimana asumsi yang digunakan bahwa data yang ada tidak berdistribusi normal (Kutner, 2004).
Penyimpangan  terhadap  asumsi  ideal  vektor  sisa  yaitu  vektor  tersebut  menyebar   2 , 0  I N sering terjadi. Bila penyimpangan nilai sisaannya terjadi cukup serius, perlu dilakukan penyesuaian  seperlunya  terhadap  model.  Untuk  mengatasi  penyimpangan-penyimpangan  serta kemungkinan kekurangan yang lain, dapat menggunakan metode regresi robust sebagai pengganti prosedur metode kuadrat terkecil (Draper & Smith, 1992).

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Beberapa  teknik  yang  biasa  digunakan  dalam  regresi  robust  yaitu  Metode  WLS,  Metode LTS, Penduga S, Penduga–MM, Metode LAV, Metode LMS. Berikut ini akan dijelaskan metode regresi robust  LTS yang akan dikaji dalam penelitian ini.
Metode Kuadrat Terkecil Terpangkas ( Least Trimmed Square /LTS)
LTS  merupakan  suatu  metode  pendugaan  parameter  regresi robust yang  tahan  terhadap adanya pencilan dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan sub himpunan data berukuran h . Adapun  tujuan  yang  ingin  dicapai  adalah  menduga  nilai  parameter  model  regresi  yang  robust terhadap adanya nilai pencilan (Fox, 2002).
Metode ini dikembangkan oleh Rousseeuw dan Leroy (1987). Ketika menggunakan alat– alat  analisis,  biasanya  langkah  pertama  adalah  mencoba  menghilangkan  pencilan  kemudian mencocokkan  data  yang  sudah  bagus  dengan  menggunakan  metode  kuadrat  terkecil,  tetapi analisis robust mencocokkan model regresi dengan sebagian besar data dan kemudian mengatasi titik–titik  pencilan  yang  memiliki  nilai  sisaan  yang  besar  sebagai  solusi  robust  tersebut (Soemartini,  2007).  Jadi  metode  ini  tidak  membuang  bagian  dari  data  melainkan  menemukan model fit dari mayoritas data.
Misalkan model regresi berganda pada persamaan (2), maka model taksirannya adalah :
ik k i i i X X X Y ^ 2 2 ^ 1 1 ^ 0 ^ ^           (8)
dan nilai sisaannya adalah :
i i i Y Y ^   
Adapun model pendugaan parameter metode LTS disajikan sebagai berikut :
                           n i i i n i i Y Y 1 2 ^ 1 2 ^ min min     (9)
dengan :
2 ) ( i  : Kuadrat sisaan yang diurutkan dari terkecil ke terbesar       2 2 2 2 1 n       
k :   Banyaknya variabel bebas
p :   Banyaknya parameter
Solusi dari ^  pada persamaan di atas dapat diperoleh dengan menggunakan turunan, seperti pada penyelesaian  metode  OLS,  hanya  pada  LTS  persamaan  tersebut  dihitung  pada  sub  himpunan terbaik yang berukuran h .  Banyaknya sub himpunan yang dibentuk sebanyak       h n sub himpunan data,  dimana h nilainya  terletak  antara              4 1 3 1 2 p n h n
namun  untuk  mendapatkan nilai h dalam  maksimum breakdown (proporsi  minimal  dari  banyaknya  pencilan  dibandingkan seluruh data) mencapai 50% maka        4 1 3 p n h , n banyaknya pengamatan, dan  sisaan.
Sub  himpunan h yang  diperoleh  merupakan  sebaran  data  yang  sudah  terpangkas.  Kemudian model dengan jumlah kuadrat sisaan yang terkecil dijadikan sebagai model fit (Soemartini, 2007; Notiragayu, 2008).

## 5. Pengujian Parsial Parameter Regresi
Untuk  melihat  apakah  peubah X berpengaruh  terhadap  peubah Y dapat  diuji  dengan menggunakan uji t -student. Uji ini digunakan karena variansi ( 2  ) populasi data tidak diketahui. Hipotesis dari pernyataan di atas adalah :
H 0 : 0 ^   H 1 : 0 ^   Statistik uji dari hipotesis di atas dituliskan sebagai berikut : 2 1 ^ 1             n i i X X KTG hitung t  (10)
Teknik      penarikan    kesimpulan   dari      uji t- student      adalah   jika t -hitung  > t -tabel α /2;db= n -2, maka H 0 ditolak atau tidak ada alasan yang cukup untuk menerima H 0 . Kesimpulan yang diambil adalah 0 ^   atau ^  signifikan (Draper & Smith, 1992).

## 6. Data Penelitian
Adapun  jenis  data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder  tentang pengaruh  berat  tubuh  mencit  yang  meminum  obat,  berat  hati  mencit  yang  meminum  obat,  dan dosis  obat  yang  diminum  terhadap  konsentrasi  obat  dalam  hati  mencit.  Data  ini  diperoleh  dari skripsi  dengan  judul  “Analisis  Pencilan  Pada  Kecocokan  Model  Regresi”  oleh  Muhammad Hardoyo  (NIM-89  03  020)  tahun  1997.  Indikator/parameter  yang  diamati  dalam  penelitian  ini diberikan pada tabel berikut.
Tabel 2. Indikator/Parameter yang diukur. No. Variabel yang diamati Satuan Keterangan 1 Konsentrasi Obat dalam Hati  (Y) orang Variabel Respon 2 Berat Tubuh (X 1 ) mm 6 Variabel Bebas 3 Berat Hati atau Liver (X 2 ) % 4 Dosis Relatif Obat (X 3 ) Tahun

## 7. Hasil dan Pembahasan
Deskripsi  variabel  respon  dan  variabel  prediktor/penjelas  untuk  data  yang  digunakan diberikan pada tabel berikut.

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Dari tabel tersebut terlihat bahwa rata-rata konsentrasi obat dalam hati adalah 0,3353 mg. Variansi konsentrasi obat dalam hati adalah 0,0885. Konsentrasi obat dalam hati maksimum 0,56 mg  dan  minimum  0,21  mg.  Distribusi  jumlah  pasien  menurut  berat  tubuh,  rata-rata  berat  tubuh adalah 171,53 kg dengan variansi 16,49. Berat tubuh maksimum yaitu 200 kg dan minimum 146 kg.  Dari  Tabel  4  ditunjukkan  bahwa  distribusi  mencit  menurut  berat  hati,  rata-rata  berat  hati adalah  7,811  g  dengan  variansi  1,223.  Berat  hati  maksimum  10  gram  dan  minimum  5,2  g. Distribusi mencit menurut dosis relatif obat, rata-rata adalah 0,8621 mg dengan variansi 0,0858. Dosis relatif obat maksimum 1 mg dan minimum 0,73 mg.
Tabel 3. Deskripsi Variabel untuk Data Konsentrasi Obat Dalam Hati
No.  Nama Variabel Rata- Rata Variansi Minimum Maksimum Keterangan 1 Konsentrasi obat dalam hati ( Y ) 0,3353 0,0885 0,21 0,56 Variabel Respon 2 Berat tubuh ( X 1 ) 171,53 16,49 146 200 Variabel Bebas 3 Berat hati/liver ( X 2 ) 7,811 1,223 5,2 10 Variabel Bebas 4 Dosis Relatif Obat ( X 3 ) 0,8621 0,0858 0,73 1 Variabel Bebas
Sumber : Data Analisis 2009

## Analisis Data Pencilan
Untuk  mendeteksi  asumsi  kenormalan  data dapat  diketahui  melalui  plot  sisaan  terhadap nilai amatan Y ( Residual Plots for Y ) yang diperlihatkan pada gambar berikut ini :
Residual P e rc e n t 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 99 90 50 10 1 Fitted Value R e si d u a l 0.54 0.48 0.42 0.36 0.30 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 Residual F re q u e n cy 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 4 3 2 1 0 Observation Order R e si d u a l 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10
Normal Probability Plot of the Residuals
Residuals Versus the Fitted Values Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

## Residual Plots for Y

## Gambar 1. Plot Residual/Error terhadap Y
Plot  pertama  terletak  di  kiri  atas,  merupakan  plot  peluang  normal  terhadap  error  ( Normal Probability  Plot  of  the  Errors ),  mendeteksi  kenormalan  error.  Nilai  titik-titik  error  yang menempel atau sangat dekat dengan garis biru menunjukkan error tersebut berdistribusi normal, namun terdapat beberapa titik yang terletak agak jauh dari garis yang diketahui tidak berdistribusi normal, berarti tidak memenuhi asumsi N ( 0,  2 ). Plot kedua pada bagian kiri bawah, merupakan histogram error yaitu plot histogram terhadap sisaan ( Histogram of The Residuals ). Secara visual histogram  ini  tidak  menunjukkan  error  berdistribusi  normal.  Plot  ketiga  merupakan  plot  sisaan terhadap nilai pendugaan Y ( Residuals Versus the Fitted Values ), terletak di kanan atas. Titik-titik error tak ada yang bernilai di atas 2 atau di bawah -2, namun tampak tidak random. Kondisi ini tidak menggambarkan error bersifat identik . Plot keempat untuk membuktikan kondisi error yang saling  bebas  ( independent ).  Plot  ini  merupakan  plot  sisaan  terhadap  urutan  dari  data  ( Residuals Versus the  Order  of the  Data ) dan terletak  di  kanan bawah. Titik-titik  error tampak  tidak  acak, membentuk  pola,  ini  berarti  urutan  pelaksanaan  eksperimen  atau  urutan  data  ada  hubungannya dengan nilai error. Ini berarti error dependen (tidak saling bebas).
Terdapat  beberapa  kriteria  pengambilan  keputusan  adanya  pencilan  yaitu  diberikan sebagai berikut :
1. Grafik
Hubungan  antara  variabel  bebas X 1  (berat  tubuh), X 2  (berat  hati/liver),  dan  variabel  bebas X 3  (dosis  relatif  obat)  terhadap  variabel  respon Y (konsentrasi  obat  dalam  hati)  disajikan pada gambar berikut ini :
X1 Y 200 190 180 170 160 150 140 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 Scatterplot of Y vs X1 X2 Y 10 9 8 7 6 5 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 Scatterplot of Y vs X2 X3 Y 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 Scatterplot of Y vs X3
Gambar 2. Scatterplot Y terhadap X 1, X 2, dan X 3.
Dari ketiga grafik model regresi linier di  atas terlihat bahwa data yang ada tidak semuanya mengikuti pola umum dari data. Terdapat beberapa data yang jauh dari pusat kumpulan data yang  ada.  Data  yang  terletak  jauh  dari  pusat  data  (garis  regresi)  tersebut  yang  dicurigai sebagai data pencilan.
Untuk data di atas diketahui :
p = k +1 = 3+1=4,
n = 19
sehingga  untuk  mengetahui  pencilan  tersebut  terletak  pada  data  ke- n ,  dapat  diketahui  dari beberapa kriteria pencilan lain yang bisa digunakan berikut .
2. Leverage values > n p 2 , dimana nilai Leverage values > 0,4210.
3. DFFITS > n p 2 , dimana DFFITS > 0,.9177.
4. Cook’s Distance >   p n p F  , ; 5 , 0 , dimana Cook’s Distance > 3,06.
5. DFBETAS >
n 2 , dimana DFBETAS > 0,6324
Adapun  nilai-nilai  kriteria  pencilan  untuk  masing-masing  observasi  data  diberikan  pada tabel berikut ini.

## Data Berpengaruh
Nilai  parameter-parameter  yang  diperoleh  dengan  menggunakan  metode  OLS berdasarkan kombinasi data yang dicurigai sebagai data pencilan disajikan sebagai berikut.
Tabel 4. Nilai Pendugaan Parameter Menggunakan Metode OLS
All 3 13 19 3+13 3+19 13+19 3+13+19 OLS 0  0.266 0.311 0.409 0.116 0.468 0.164 0.240 0.300 1  -0.021  -0.008 -0.022  -0.019 -0.007 -0.005 -0.021 0.004 2  0.014 0.009 0.002 0.019 -0.005 0.013 0.009 0.002 3  4.178 1.485 4.352 3.944 1.250 0.972 4.103 0.889 R 2 0.364 0.021 0.390 0.457 0.050 0.071 0.442 0.007

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Dari  hasil  Tabel  4,  diperlihatkan  berapa  besar  pengaruh  penghilangan  observasi  data  yang dicurigai  sebagai  pencilan  yaitu  observasi  ke-3,  ke-13  dan  ke-19  terhadap  kecocokan  model. Pertama-tama  akan  dicoba berapa  besar  kontribusi pengaruh  observasi  ke-3  terhadap  perubahan koefisien  determinasi R 2 ,  dimana  diketahui  bahwa  pada  observasi  penuh  tanpa  penghilangan R 2 =0,364,  sedangkan  pada  penghilangan  observasi  ke-3  diketahui  bahwa R 2 =0,021.  Berarti pengaruh  penghilangan  observasi  ke-3  tidak  memberikan  kontribusi  yang  baik  terhadap kecocokan  model.  Selanjutnya  penghilangan  observasi  ke-13,  dimana R 2 =0,39  memberikan kontribusi  cukup  baik  dibandingkan  dengan  observasi  keseluruhan  yaitu R 2 =0,364.  Artinya kecocokan  model  ketika  dilakukan  penghilangan  terhadap  data  ke-13  mengalami  peningkatan (membaik).  Sedangkan  untuk  penghilangan  observasi  ke-19  memberikan  kontribusi  yang  lebih baik  dengan R 2 =0,457.  Dari  penghilangan  ketiga  observasi  yang  dicurigai  sebagai  pencilan, penghilangan  terhadap  data  ke-19  yang  memberikan  kontribusi  paling  baik  terhadap  kecocokan model.
Penghilangan observasi gabungan yaitu observasi ke-3+ke-13 dan observasi ke-3+ke-19 diperoleh  nilai R 2 =0,05  dan R 2 =0,071  yang  membuat  kecocokan  model  regresi  makin  buruk. Selanjutnya  penghilangan  observasi  gabungan  yaitu  observasi  ke-13+ke-19  diperoleh  nilai R 2 =0,442  yang  membuat  kecocokan  model  regresi  makin  membaik.  Penghilangan  observasi gabungan yaitu observasi ke-3+ke-13+ke-19 diperoleh nilai R 2 =0,007 yang membuat kecocokan model  regresi  makin  buruk.  Dari  keempat  kombinasi  penghilangan  observasi,  penghilangan observasi ke-13+ke-19 yang memberikan kontribusi paling baik.
Metode  Regresi  Robust    dengan  Metode  Kuadrat  Terkecil  Terpangkas  ( Least  Trimmed Square )
Cara  mendapatkan  model  regresi  dengan  menggunakan  metode LTS yaitu  dengan menentukan  sub  himpunan  terbaik  dari  data  dengan  menggunakan  persamaan  berdasarkan  nilai
      
4 1 3 p n h dan  membentuknya  sebanyak       h n sub  himpunan  data.  Maka  nilai h untuk
keseluruhan data adalah 16 4 1 4 ) 19 )( 3 (     h dengan sub himpunan data sebanyak
969 1 * 2 * 3 17 * 18 * 19
16 19         , nilai h untuk penghilangan data ke-13 dan ke-19 adalah
15 4 1 4 ) 18 )( 3 (     h dengan sub himpunan data sebanyak
3876 1 * 2 * 3 * 4 16 * 17 * 18 * 19
15 19 
       ,  dan nilai h untuk penghilangan data ke-13+19 adalah
14 4 1 4 ) 17 )( 3 (     h dengan sub himpunan data sebanyak 11628 1 * 2 * 3 * 4 * 5 15 * 16 * 17 * 18 * 19 14 19     
  
.

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Adapun nilai pendugaan parameter metode LTS dipilih berdasarkan  jumlah kuadrat sisaan terkecil dari banyaknya sub himpunan data yang terbentuk dan kombinasi data berpengaruh yang telah diperoleh di atas,  disajikan pada Tabel 5 berikut .
Tabel  5. Nilai Pendugaan Parameter Metode LTS
All 13 19 13+19 LTS 0  0,045 0,068 0,086 0,068 1  -0,020 -0,020 -0,021 -0,020 2  0,049 0,047 0,051 0,047 3  3,818 3,846 4,048 3,846 R 2 0,610 0,518 0,622 0,518 Sumber : Data Analisis 2009
Dari Tabel 5 terlihat bahwa nilai R 2 untuk keseluruhan data sebesar 0,610. Terjadi peningkatan R 2 atau  kecocokan  model  dengan  data  menjadi  lebih  baik  saat  penghilangan  data  ke-19  dengan R 2 =0,622.  Penghilangan  data  ke-13  dan  data  ke-13+ke-19  dengan R 2 =0,518  mengakibatkan kecocokan model dengan data lebih buruk.
Selanjutnya,  dilakukan  pendugaan  parameter  untuk  dua  metode  pendugaan,  yaitu  OLS dan  LTS,  dan  melihat  bagaimana  kebaikan  metode-metode  tersebut  untuk  data  yang  bukan merupakan  data  pencilan.  Secara  acak,  dilakukan  pemodelan  dengan  kedua  metode  pendugaan jika  amatan  ke  1,  5,  10,  dan  15  dihilangkan  dari  data.  Hasil  lengkapnya  diberikan  pada  tabel berikut.
Tabel 6 memperlihatkan berapa besar pengaruh penghilangan amatan/observasi data yang bukan pencilan, yaitu amatan ke-1, 5, 10, dan 15 dengan dua metode OLS dan LTS. Selanjutnya akan dilihat berapa besar perubahan nilai R 2 dan R 2 -Adj , yang  merupakan indikator kesesuaian antara  data  dengan  model,  dengan  penghilangan  amatan-amatan  tersebut.  Dari  tabel  terlihat bahwa  penghilangan  amatan  ke-1  terjadi  perubahan  besar  pada  nilai R 2 dan R 2 -Adj ,  dari  0,364 dan 0,237 untuk keseluruhan data menjadi 0,468 dan 0,353. Sedangkan untuk amatan yang lain tidak  terjadi  perubahan  yang  cukup  signifikan.  Sedangkan  untuk  metode  LTS,  terlihat  bahwa penghilangan  observasi  ke-1  dan  ke-15  mengakibatkan  kecocokan  antara  data  dengan  model menjadi  lebih baik  dibandingkan jika  semua  amatan digunakan  dalam  model.  Dari tabel  di  atas terlihat  bahwa  nilai R 2 untuk  keseluruhan  data  dengan  metode  LTS  adalah  0,610,  sedangkan penghilangan amatan ke-1 dan 15 menghasilkan nilai R 2 masing-masing sebesar 0,622 dan 0,672. Pengaruh  penghilangan  amatan  ke-5  dan  10  malah  menurunkan  nilai  kesesuaian  antara  data dengan model yang digunakan. Dari hasil ini dapat dikatakan bahwa perlu penelitian yang lebih mendalam  terhadap  amatan  ke-1  dan  ke  15,  meskipun  dalam  pemeriksaan  awal  amatan-amatan tersebut bukan merupakan pencilan.
Tabel  6. Nilai Pendugaan Parameter untuk Data Bukan Pencilan Menggunakan Metode OLS dan LTS All 1 5 10 15 OLS 0  0,266 0,273 0,165 0,267 0,262 1  -0,021 -0,24 -0,018 -0,021 -0,022 2  0,014 0,025 0,005 0,014 0,015 3  4,178 4,52 3,764 4,193 4,238 R 2 0,364 0,468 0,365 0,354 0,371
R 2 -Adj 0,237 0,353 0,228 0,216 0,237 LTS 0  0,045 0,0859 -0,0167 0,0446 0,0338 1  -0,0197 -0,0212 -0,0176 -0,0197 -0,0204 2  0,049 0,0505 0,042 0,049 0,0512 3  3,875 4,0478 3,5345 3,8183 3,9397 R 2 0,610 0,622 0,590 0,542 0,672 Sumber : Data Analisis 2010

## Pengujian Parsial Parameter Regresi
Nilai t- hitung dari masing-masing parameter yang dihitung disajikan pada tabel  di bawah ini.
Tabel 7. Nilai t- hitung untuk Pendugaan Parameter dengan Metode OLS dan LTS
All 13 19 13+19
N ILA I t- h it un g
OLS 0  1,37 1,99 0,62 1,12 1  -2,66 -2,94 -2,7 -2,86 2  0,83 0,1 1,21 0,53 3  2,74 * 3 * 2,87 * 3,01 * LTS 0  105,65 25,75 -72,96 31,92 1  -46,77 -7,54 18,01 ** -9,34 2  116,34 ** 17,65 ** -42,89 21,88 ** 3  9063,56 ** 1456,48 ** -3437,94 1805,37  ** Ket : * = signifikan (berpengaruh) **= sangat signifikan
Hipotesis yang akan diuji adalah :  H 0 : 0 ^   dan H 1 : 0 ^   dengan   t tabel (0,025;17) = 2,110, t tabel (0,025;16) = 2,120, t tabel (0,025;15) = 2,131.  Selanjutnya  dari  Tabel  5,  dapat  dilihat  bahwa berdasarkan  hasil  untuk  penghitungan  nilai t- hitung,  variabel  bebas  yang  berpengaruh  terhadap variabel  respon  untuk  metode  OLS  dan  metode  regesi  robust    dengan  LTS  yang  digunakan disajikan sebagai berikut :
1. Metode OLS
 Keseluruhan  data.  Adalah  variabel X 3 , karena t- hitung=2,74> t tabel =  2,110.  Artinya variabel X 3 (dosis relatif obat) berpengaruh terhadap variabel respon Y (konsentrasi obat dalam hati).
 Penghilangan  data  ke-13.  Adalah  variabel X 3 , karena t- hitung=3,00>  t tabel =  2,110. Artinya  variabel X 3  (dosis  relatif  obat)  berpengaruh  terhadap  variabel  respon Y (konsentrasi obat dalam hati).
 Penghilangan  data  ke-19.  Adalah  variabel X 3 , karena t- hitung=2,87>  t tabel =  2,120. Artinya  variabel X 3  (dosis  relatif  obat)  berpengaruh  terhadap  variabel  respon Y (konsentrasi obat dalam hati).

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
 Penghilangan data ke-13+ke-19. Adalah variabel X 3 , karena t- hitung=3,01 > t tabel = 2,131. Artinya  variabel X 3  (dosis  relatif  obat)  berpengaruh  terhadap  variabel  respon Y (konsentrasi obat dalam hati).
2. Metode LTS
 Keseluruhan data. Adalah variabel X 2 dan X 3 , karena t- hitung = 116,34 dan t- hitung = 9063,56 > t tabel = 2,110. Artinya variabel X 2 (berat hati/liver) dan X 3 (dosis relatif obat) berpengaruh terhadap variabel respon Y (konsentrasi obat dalam hati).
 Penghilangan  data  ke-13.  Adalah  variabel X 2 dan X 3 , karena t- hitung=17,65  dan t- hitung=1456,48 > t tabel = 2,110. Artinya variabel X 2 (berat hati/liver) dan X 3 (dosis relatif obat) berpengaruh terhadap variabel respon Y (konsentrasi obat dalam hati).
 Penghilangan  data  ke-19.  Adalah  variabel X 1 , karena t- hitung=18,01  >  t tabel =  2,120. Artinya  variabel X 1  (berat  tubuh)  berpengaruh  terhadap  variabel  respon Y (konsentrasi obat dalam hati).
 Penghilangan data ke-13+ke-19. Adalah variabel X 2 dan X 3 , karena t- hitung=21,88 dan t- hitung=1805,37  >  t tabel =  2,131.  Artinya  variabel X 2  (berat  hati/liver)  dan X 3  (dosis relatif obat) berpengaruh terhadap variabel respon Y (konsentrasi obat dalam hati).
3. Metode OLS dan LTS untuk Amatan yang Bukan Pencilan
 Untuk amatan yang bukan pencilan, perlu perhatian lebih mendalam terhadap amatan ke- 1 dan ke 15, karena dengan metode OLS dan LTS yang dicobakan ternyata penghilangan amatan-amatan tersebut meningkatkan nilai kesesuaian antara data dengan model.

## 8. Kesimpulan dan Saran
Beberapa kesimpulan yang dapat ditarik dalam penelitian ini adalah dari nilai pendugaan parameter diperoleh model terbaik untuk metode OLS dan kedua metode regresi robust diberikan sebagai berikut :
a. Model terbaik untuk keseluruhan data
3 818 , 3 2 049 , 0 1 02 , 0 045 , 0 ^ X X X Y     , R 2 = 0,610 (LTS)
b. Model terbaik untuk penghilangan data ke-19
3 048 , 4 2 051 , 0 1 021 , 0 086 , 0 ^ X X X Y     , R 2 = 0,622 (LTS)
c. Model terbaik untuk penghilangan data ke13+19
3 846 , 3 2 047 , 0 1 02 , 0 068 , 0 ^ X X X Y     , R 2 = 0,518 (LTS)

## Anisa, Raupong, Sarmiati Zainuddin
Dari  kedua  metode  regresi  robust  yang  digunakan,  diperoleh  nilai R 2 yang  lebih  baik dibandingkan dengan menggunakan metode OLS. Dari segi kecocokan model secara keseluruhan berdasarkan  nilai R 2 ,  penggunaan  metode  LTS  lebih  baik  terutama  dari  segi  penghilangan pencilan. Perlu perhatian lebih seksama terhadap amatan ke-1 dan ke-15, yang bukan merupakan pencilan, karena penghilangan kedua amatan tersebut meningkatkan nilai kesesuaian antara data dengan  model  yang  digunakan.  Dengan  menggunakan  uji- t ,  variabel-variabel  bebas  yang berpengaruh terhadap variabel respon untuk kedua metode regresi robust adalah variabel X 2 (berat hati) dan X 3 (dosis relatif obat).
Adapun saran dari penulis supaya penelitian selanjutnya dapat mengkaji lebih dalam lagi berbagai metode regresi robust yang dapat digunakan untuk mengurangi pengaruh pencilan.

## Daftar Pustaka
[1] Draper,  N.  dan  Smith,  H.,  1992, Analisis  Regresi  Terapan  Edisi  II ,  Gramedia  Pustaka Utama, Jakarta.
[2] Fox, J.,  2002, Robust  Regression.  Appendix  to  An  R and  S-PLUS.  Companion  to  Applied Regression. [Diakses 28 Februari].
[3] Hardoyo,  M.,  1997, Analisis  Pencilan  Pada  Kecocokan  Model  Regresi ,  UNHAS,  Ujung Pandang.
[4] Herve, A., 2003, Least Square , The University of Texas, Dallas.
[5] Kutner,  M.H,  dkk.,  2004, Applied  Linier  Regression  Models  Edisi  IV ,  McGraw-Hill Education, Singapore.
[6] Myers,  R.  H.,  1989, Classical  and  Modern  Regression  with  Applications ,  PWS-KENT, USA.
[7] Notiragayu,  2008, Perbandingan  Beberapa  Metode  Analisis  Regresi  Komponen  Utama Robust, FMIPA, Lampung.
[8] Nur, B., 2008, Penduga Parameter Terbaik , [Diakses 16 Februari 2009]
[9] Sembiring, R.K., 1995, . Analisis Regresi , ITB Press, Bandung.
[10]  Soemartini, 2007, Pencilan (outlier ) , Jurnal Penelitian Universitas Padjajaran , Jatinangor.
[11]  GoogleNet,  Tanpa  Tahun,  Weighted  Least  Square  regression,  Engineering  Statistics Handbook . http:// www.google.com.weightedleast square [Diakses 16 Februari 2009]
[12] SAS Institute, 2004, SAS Institute Inc., Cary .USA.