## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
Modifikasi metode Schroder tanpa turunan kedua dengan orde konvergensi empat
1 Rahmadhani Yulmi Putri, 2 Wartono 1,2 Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau email : wartono@uin-suska.ac.id

## Abstrak
Metode Schroder merupakan metode iterasi berode dua yang digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan nonlinear. Artikel ini membahas modifikasi metode  Schroder  untuk  meningkatkan  orde  konvergensi.  Metode  Schroder dengan satu parameter real dikembangkan menggunakan ekspansi deret Taylor orde  dua.  Metode  Schroder  yang  dimodifikasi  masih  memuat  turunan  kedua. Selanjutnya,  turunan  kedua  tersebut  direduksi  menggunakan  kesamaan  dua metode iterasi. Berdasarkan hasil kajian, metode iterasi baru mempunyai orde konvergensi empat yang melibatkan tiga evaluasi fungsi dengan indeks efisiensi sebesar 𝟒 𝟏/𝟑 ≈ 𝟏, 𝟓𝟖𝟕𝟒𝟎𝟏 untuk  =  ½. Simulasi  numerik  diberikan  untuk menguji  performa  metode  iterasi  baru  yang  meliputi  jumlah  iterasi,  orde konvergensi secara komputasi ( COC ) , galat mutlak dan galat relatif. Nilai-nilai performa dari metode iterasi baru dibandingkan dengan metode Newton, metode Schroder,  metode  Chebyshev  dan  metode  Halley.  Hasil  simulasi  numerik menunjukkan  bahwa  performa  metode  iterasi  baru  lebih  baik  dibandingkan dengan metode iterasi lainnya.
Kata  kunci: evaluasi  fungsi;  indeks  efisiensi;  metode  Schroder;  orde  konvergensi; persamaan nonlinear

## Abstract
Schrode’sr  method  is  a second-order  iterative  method  used  to  find  the  roots  of nonlinear equation. T his article discusses a modification of Schroder’s method to improve the order of convergence.  T he Schroder’s method with one real parameter was  developed  using  second  order  Tay lor  expansion.    The  modified  Schroder’s method  still  involved  second  derivative.  Therefore,  the  second  derivative  was reduced using an equality of two iterative methods.  Based on the results of the study, the new iterative method has a fourth-order convergence involving three evaluation  functions  with  an  efficiency  index  of 4 1/3 ≈ 1,587401 for  = ½. Numerical simulations are given to test the new iterative method including the number of iterations, computational order of convergence ( COC ) , absolute errors and relative errors. The value of the performances of the new iterative method are compared  to  Newton’s  method,  Schroder’s  method,  Chebyhev’s  method and Halley’s method . Based on the numerical simulation shows that the performace of the new iterative method is better than others compared iterative method.
Keywords: functional evaluation; efficiency index; Schroder ’s methods; order of convergence; nonlinear equations

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646

## A. Pendahuluan
Metode iterasi digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan nonlinear
𝑓(𝑥) = 0 , (1)
Di  mana 𝑓: 𝐼 ⊂ ℛ → ℛ yang  merupakan  fungsi  skalar  di  selang  terbuka I . Salah satu metode iterasi klasik yang sering digunakan untuk menentukan akar-akar  persamaan  nonlinear  pada  Persamaan  (1)  yaitu  metode  Newton dalam bentuk Persamaan (2).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) . (2)
Metode  Newton  merupakan  metode  iterasi  satu  titik  dengan  orde konvergensi dua dan melibatkan dua evaluasi fungsi ada setiap iterasinya, sehingga indeks efisiensinya sebesar 2 1/2  1,414214 (Traub, 1964:5).
Selain Metode Newton, metode klasik satu titik dengan orde konvergensi kuadratik adalah metode Schroder yang dirumuskan dengan Persamaan (3).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 2 −𝑓(𝑥 𝑛 )𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 ) (3)
Metode  Schroder  melibatkan  tiga  evaluasi  fungsinya  sehingga  indeks efisiensinya sebesar 2 1/3 ≈ 1,259921 (Petkovic dan Petkovic, 2008).
Beberapa  peneliti  telah  mengembangkan  metode  Schroder  dengan menggunakan berbagai teknik modifikasi. Kanwar dkk (2010), memodifikasi metode Schroder menggunakan deret kuasa dengan orde konvergensi tiga. Thukral  (2016)  mengkontruksi  metode  iterasi  dua  titik  menggunakan metode  Schroder  dengan  orde  konvergensi  empat.  Thukral  (2017) memodifikasi  metode  Schroder  dengan  melibatkan  5  parameter  real.  Behl dkk.  (2019)  mengembangkan  metode  Schroder  menjadi  metode  iterasi  dua titik dan mereduksi turunan keduanya menggunakan ekspansi Taylor orde dua.
Pada artikel ini, penulis memodifikasi metode Schroder yang diberikan pada Persamaan (2) dengan menggunakan ekspansi deret Taylor orde dua (Kanwar & Tomar, 2007; Baghat, 2012; Behl  & Kanwar, 2013; Rahmawati dkk., 2018; Wartono dkk., 2019). Selanjutnya, untuk menghilangkan turunan kedua pada metode iterasi tersebut, penulis mengkontruksi turunan kedua menggunakan kesamaan dua metode iterasi (Alamsyah dan Wartono, 2017; Wartono dkk., 2018).
Pada  bagian  akhir,  penulis  melakukan  simulasi  numerik  dengan mengimplementasikan  metode  iterasi  yang  diusulkan  terhadap  beberapa fungsi  real  untuk  menentukan  jumlah  iterasi,  orde  konvergensi  yang

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
dihitung secara komputasi atau computational order of convergence (COC), galat  mutlak,  dan  galat  relatif.  Selanjutnya,  nilai  galat  mutlak  dan  galat relatif dari metode tersebut dibandingan dengan metode Newton, Schroder, Chebyshev,  dan  Halley  (Traub,  1964:5;  Scavo  dan  Thoo,  1995;  Amat  dkk., 2008; Gander, 1985).

## B. Metode Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  studi  literatur  atau  kepustakaan ( library research ) yang dilakukan melalui tiga tahapan sebagai berikut. Pada tahap  pertama,  sebuah  metode  iterasi  dikonstruksi  dari  varian  metode Schorder dengan parameter real  yang di modifikasi menggunakan ekspansi deret  Taylor  orde  satu.  Selanjutnya  turunan  keduanya  direduksi menggunakan  ekspansi  deret  Taylor  orde  dua.  Tahap  kedua  menentukan orde  konvergensi  dari  metode  iterasi  menggunakan  ekspansi  deret  Taylor, dan  sekaligus  menentukan  nilai  parameter  untuk  menghasilkan  orde konvergensi  yang  optimal.  Tahap  terakhir  mengimplementasikan  metode iterasi  pada  enam  fungsi  real  dengan  tujuan  untuk  menguji  performasi metode iterasi menggunakan perangkat lunak MAPLE 13. Ukuran-ukuran perormasi yang diuji yaitu: jumlah iterasi, orde konvergensi yang dihitung secara komputasi (COC), galat mutlak dan galat relatif. Kemudian, ukuran- ukuran performasi dari metode iterasi tersebut dibandingkan dengan metode Newton, metode Schroder, metode Chebyshev, dan metode Halley.

## C. Hasil dan Pembahasan
Pada sub bagian ini, kami akan menunjukkan hasil dan pembahasan dari modifikasi metode Schroder, analisis konvergensi dan simulasi numerik.

## 1. Modifikasi Metode Schroder
Untuk  mengkonstruksi  metode  iterasi,  pertimbangkan  kembali  bentuk umum  metode  Schroder  pada  Persamaan  (3)  dalam  bentuk  persamaan seperti pada Persamaan (4).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − ( 1 1−𝛽𝐿 𝑓 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) (4)
dimana
𝐿 𝑓 (𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 )𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 2
Kemudian  untuk  mendapatkan  bentuk  baru  dari  metode  Schroder  di Persamaan (4), maka bentuk 1 1−𝛽𝐿 𝑓 diekspansi menggunakan deret Taylor orde  satu,  sehingga  Persamaan  (4)  dapat  ditulis  kembali  menjadi Persamaan (5) berikut ini.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − (1 + 𝛽𝐿 𝑓 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) (5)
Selanjutnya untuk meningkatkan orde konvergensi, Persamaan (5) akan dilakukan  substitusi  ke  deret  Taylor.  Oleh  karena  itu,  pertimbangkan kembali ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar 𝑥 𝑛 , sehingga diperoleh bentuk Persamaan (6).
𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥 𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )(𝑥 − 𝑥 𝑛 ) + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 ) 2! (𝑥 − 𝑥 𝑛 ) 2 (6)
Misalkan 𝑥 𝑛+1 adalah  akar  pendekatan  pada  iterasi  ke- (𝑛 + 1) yang cukup dekat dengan akar eksak  maka 𝑓(𝑥 𝑛+1 ) ≈ 0 , sehingga Persamaan (6) dapat ditulis dalam bentuk Persamaan (7).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − ( 𝑓(𝑥 𝑛 )+ 𝑓′′(𝑥𝑛)
2 (𝑥 𝑛+1 −𝑥 𝑛 ) 2 𝑓′(𝑥 𝑛 ) ) (7)
Gunakan  Persamaan  (6)  untuk  mengganti  bentuk 𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 pada  ruas kanan Persamaan (7), sehingga Persamaan (7) menjadi Persamaan (8).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − (1 + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 )𝑓(𝑥 𝑛 )(1+𝛽 𝑓′′(𝑥𝑛)𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛)2 ) 2 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 2 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) (8)
Persamaan (8) dapat diuraikan dalam bentuk Persamaan (9).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − (1 + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 )𝑓(𝑥 𝑛 ) 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 2 + 2𝛽 𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 ) 2 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 4 + 𝛽 2 𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 ) 3 𝑓(𝑥 𝑛 ) 3 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 6 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) (9)
Persamaan  (11)  masih  memuat  turunan  kedua.  Selanjutnya,  turunan kedua  diperoleh  dengan  menggunakan  kesamaan  dua  metode  iterasi. Pertimbangkan  kembali  dua  metode  berorde  konvergensi  tiga,  yaitu metode  Potra-Ptak  (Potra  &  Ptak, 1984) dan  metode  iterasi  Chun-Kim (Chun  dan  Kim,  2010),  masing-masing  diberikan  oleh  Persamaan  (10) dan Persamaan (11).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) (10)
dan
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓 2 (𝑥 𝑛 )𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 )+2𝑓(𝑥 𝑛 )𝑓 ′2 (𝑥 𝑛 ) 2𝑓 ′3 (𝑥 𝑛 ) (11)
Dengan 𝑦 𝑛 adalah metode Newton yang diberikan pada Persamaan (1).
Kesamaan dari Persamaan (10) dan Persamaan (11) memberikan bentuk turunan kedua yang diberikan oleh Persamaan (12).

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 ) ≈ 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 2 𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓 2 (𝑥 𝑛 ) (12)
Kemudian dengan mensubstitusikan Persamaan (12) ke Persamaan (11), dan menyederhankannya maka diperoleh secara lengkap skema metode iterasi dua titik.
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) , (13.a)
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − (1 + 𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) + 4𝛽 𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 + 4𝛽 2 𝑓(𝑦 𝑛 ) 3 𝑓(𝑥 𝑛 ) 3 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) . (13.b)
Persamaan  (13)  merupakan  modifikasi  metode  Schroder  menggunakan deret Taylor orde dua yang melibatkan tiga evaluasi fungsi yaitu 𝑓(𝑥 𝑛 ) , 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) dan 𝑓(𝑦 𝑛 ) .

## 2. Analisis Konvergensi
Berikut  ini  akan  ditentukan  orde  konvergensi  dari  Persamaan  (13). Untuk menentukan orde konvergensi akan dijelaskan pada Teorema (1).
Teorema 1. Misalkan 𝑥   ∈  𝐼 akar sederhana dari fungsi 𝑓 ∶  𝐼  ⊂  ℛ  →  ℛ yang terdiferensial pada interval buka 𝐼 . Jika 𝑥 0 cukup dekat ke akar 𝑥 , maka orde konvergensi Persamaaan (13) adalah orde empat untuk 𝛽 = 1/2 yang  memenuhi  persamaan  galat  yang  diekspresikan  dalam Persamaan (14).
𝑒 𝑛+1 = (4𝑐 2 2 −   𝑐 2 𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (14)
Bukti .  Misalkan 𝛼 adalah  akar  dari 𝑓(𝑥) ,  maka 𝑓(𝛼) = 0. Asumsikan 𝑓′(𝑥) ≠ 0 , 𝑥 𝑛 = 𝛼 + 𝑒 𝑛 dengan menggunakan rumus ekspansi Deret Taylor untuk  mengaproksimasikan  fungsi 𝑓 disekitar 𝛼 untuk 𝑥 𝑛 ,  diperoleh Persamaan (15).
𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)(𝑒 𝑛 +   𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + 𝑐 3 𝑒 𝑛 3 + 𝑐 4 𝑒 𝑛 4 + 𝑐 5 𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 )) (15)
dengan:
𝑐 𝑗 = 1 𝑗! 𝑓 (𝑗) (𝛼) 𝑓 ′ (𝛼) , 𝑗 = 1,2,3, … .
Sedangkan untuk 𝑓′(𝑥 𝑛 ) diberikan oleh Persamaan (16).
𝑓′(𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)(1 + 2𝑐 2 𝑒 𝑛 +  3𝑐 3 𝑒 𝑛 2 +  4𝑐 4 𝑒 𝑛 3 + 5𝑐 5 𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 )) (16)
Jika Persamaan (15) dibagi dengan Persamaan (16) yang menggunakan ekspansi Taylor sehingga diperoleh Persamaan (17).
𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) = 𝑒 𝑛 − 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (−2𝑐 2 2 + 2𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + (−7𝑐 2 𝑐 3 + 3𝑐 4 + 4𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (17)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646

## Oleh karena,
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) , dan 𝑥 𝑛 = 𝑒 𝑛 + 𝛼 ,
Maka didapatkan Persamaan (18).
𝑦 𝑛 = 𝛼 − 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (−2𝑐 2 2 + 2𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + (−7𝑐 2 𝑐 3 + 3𝑐 4 + 4𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (18)
Berdasarkan  ekspansi  deret  Taylor  di  sekitar 𝛼 , 𝑓(𝛼) = 0 ,  maka didapatkan Persamaan (19).
𝑓(𝑦 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)(𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (−2𝑐 2 2 + 2𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + (−7𝑐 2 𝑐 3 + 3𝑐 4 + 4𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 )) (19)
Selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (15) dan Persamaan (19), didapatkan Persamaan (20).
𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (−3𝑐 2 2 + 8𝑐 2 3 + −10𝑐 2 𝑐 3 + 2𝑐 3 + 3𝑐 4 ) 𝑒 𝑛 3 + 𝑂(𝑒 𝑛 4 ) (20)
Sedangkan  kuadrat  dari  Persamaan  (15)  dan  Persamaan  (19)  masing- masing diberikan oleh Persamaan (21) dan Persamaan (22).
𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 = 𝑓 ′ (𝛼) 2 (𝑒 𝑛 2 +   2𝑐 2 𝑒 𝑛 3 + (𝑐 2 2 + 2𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 )) (21)
𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 = 𝑓 ′ (𝛼) 2 (𝑒 𝑛 3 +   (3𝑐 2 + 3𝑐 2 2 + 3𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 )) (22)
Kemudian  Persamaan  (15)  dan  (19)  dijadikan  bentuk  kubik  sehingga diperoleh Persamaaan (23) dan (24).
𝑓(𝑥 𝑛 ) 3 = 𝑓 ′ (𝛼) 3 (𝑒 𝑛 3 +  3𝑐 2 𝑒 𝑛 4 + (3𝑐 2 2 + 2𝑐 3 )𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 )) (23)
𝑓(𝑦 𝑛 ) 3 = 𝑓 ′ (𝛼) 3 ((𝑐 2 3 +  6𝑐 2 2 𝑐 3 − 6𝑐 2 4 )𝑒 𝑛 6 + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )) (24)
Selanjutnya, dengan merujuk pada Persamaan (21), (22), (23) dan (24), maka diperoleh Persamaan (25) dan (26).
𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 = 𝑐 2 2 𝑒 𝑛 2 + (−6𝑐 2 3 + 4𝑐 2 𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + (𝑐 2 2 (3𝑐 2 2 − 𝑐 3 ) − 4𝑐 2 2 (−2𝑐 2 2 + 2𝑐 3 ) +
2𝑐 2 (5𝑐 2 3 − 7𝑐 3 + 3𝑐 4 )) 𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (25)
𝑓(𝑦 𝑛 ) 3 𝑓(𝑥 𝑛 ) 3 = 𝑐 2 3 𝑒 𝑛 3 + (−3𝑐 2 4 + 3𝑐 2 2 (−2𝑐 2 2 + 2𝑐 3 ))𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (26)
Substitusikan Persamaan (17), (20), (25), dan (26) ke Persamaan (13), dan dengan 𝑥 𝑛+1 = 𝑒 𝑛+1 + 𝛼 dan 𝑥 𝑛 = 𝑒 𝑛 + 𝛼 ,  sehingga diperoleh Persamaan (27).
𝑒 𝑛+1 = 2(1 − 2𝛽)𝑐 2 2 𝑒 𝑛 3 + ((7 − 16𝛽)𝑐 2 𝑐 3 + (−9 + 28𝛽𝑐 2 3 − 4𝛽 2 )𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (27)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
Berdasarkan Persamaan (27), orde konvergensi metode iterasi (13) dapat ditingkatkan  dengan  mengambil 1 − 2𝛽 = 0 .  Oleh  karena  itu,  dengan mensubstitusikan 𝛽 = 1/2 ke Persamaan (27) maka diperoleh galat dari modifikasi metode Schroder yang diberikan oleh Persamaan (28).
𝑒 𝑛+1 = ( 4𝑐 2 3 − 𝑐 2 𝑐 3 ) 𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (28)
Persamaan  (28)  merupakan  orde  konvergensi  dari  modifikasi  varian metode  Schroder  tanpa  turunan  kedua  sebesar  empat  untuk 𝛽 = 1/2 . Oleh  karena  metode  iterasi  (13)  melibatkan  tiga  evaluasi  fungsi  pada setiap iterasinya, maka menurut Kung & Traub (1974), indeks efisiensi metode iterasi (13) sebesar 4 1/3 ≈ 1,587401 .

## 3.  Simulasi Numerik
Untuk menggambarkan performa metode iterasi Persamaan (13), maka dilakukan  simulasi  numerik  dengan  membandingkan  jumlah  iterasi, COC, galat  mutlak |𝑥 𝑛 − 𝛼| , dan galat relatif |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | antara metode iterasi tersebut (MMS) dengan Metode Newton (MN), Metode Schroder (SC),  Metode  Chebyshev  (MC)  dan  Metode  Halley  (MH).  Uji  simulasi numerik dilakukan menggunakan perangkat lunak Maple 13 dengan 850 digit  titik  kambang  artimetik  dan  tebakan  awal 𝑥 0 sedekat  mungkin dengan akar persamaan 𝛼 . Perhitungan komputasi akan berhenti ketika memenuhi kriteria Persamaan (31).
|𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | < 𝜀 , (31)
Dengan 𝜀 = 10 −20 .  Sedangkan  untuk  menghitung  COC  digunakan rumusan  yang  diperkenal  oleh  Weerakoon  dan  Fernando  (2000)  dalam bentuk Persamaan (32).
𝜌 = ln|(𝑥 𝑛 − 𝛼)/(𝑥 𝑛−1 − 𝛼)| ln|(𝑥 𝑛−1 − 𝛼)/(𝑥 𝑛−2 − 𝛼)| (32)
Adapun fungsi-fungsi yang akan digunakan adalah sebagai berikut:
𝑓 1 (𝑥) = √𝑥 − 𝑥 , 𝛼 = 1,000000000000000 ,
𝑓 2 (𝑥) = 𝑒 𝑥 − 4𝑥 2 , 𝛼 = 4,306584728220699 ,
𝑓 3 (𝑥) = (𝑥 − 1) 3 − 1 , 𝛼 = 2,000000000000000 ,
𝑓 4 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) + 𝑥 2 + 1 , 𝛼 = 1,404491648215341 ,
𝑓 5 (𝑥) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10 , 𝛼 = 1,365230012414097 ,
𝑓 6 (𝑥) = 𝑒 𝑥 2 +𝑥+2 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 1) + 𝑥 3 + 1 , 𝛼 = −1,000000000000000 .

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
Tabel  1  memperlihatkan  perbandingan    jumlah  iterasi  dan  COC  dari berbagai metode iterasi dengan 𝜀 = 10 −20 .
Tabel 1. Perbandingan Jumlah Iterasi dan COC untuk 𝜀 = 10 −20
𝒇(𝒙) 𝒙 𝟎
Jumlah Iterasi 𝑪𝑶𝑪 MN  SC  MC  MH  P(4.15) MN SC MC MH MMS 𝒇 𝟏 (𝒙) 0,5 5 6 4 4 3 1,999998  2,000000  2,999999  3,000062  3,949737
1,5 6 5 3 3 3 2,000000  2,000000  3,000319  2,998099  3,999779 𝒇 𝟐 (𝒙) 4,0 6 6 4 4 4 2,000000  2,000000  3,000057  3,000000  3,999997 4,5 5 5 3 3 3 1,999999  2,000000  2,998897  2,999815  3,999711 𝒇 𝟑 (𝒙) 2,5 7 6 4 4 3 1,999999  2,000000  2,999923  2,999997  3,981150
3,0 7 7 5 4 4 2,000000  2,000000  2,999999  2,999653  3,999605
𝒇 𝟒 (𝒙) 1.2 5 5 4 3 3 1,999999  2,000000  3,000000  3,000640  3,997251
2,0 6 6 4 4 3 2,000000  2,000000  2,999953  2,999995  3,988222 𝒇 𝟓 (𝒙) 1,0 5 5 4 3 3 1,999999  2,000000  3,000002  3,001184  3,995391
2,0 6 6 4 4 3 2,000000  2,000000  2,999997  2,999999  3,996275 𝒇 𝟔 (𝒙) − 1,5 5 5 5 4 3 2,000000  2,000000  3,000000  3,000001  4,000077
0,0 5 6 4 4 3 2,000000  1,999975  3,000000  3,000277  4,000167
Berdasarkan  Tabel  1  dapat  dilihat  bahwa  metode  iterasi  (13) membutuhkan  lebih  sedikit  iterasi  untuk  menghampiri  akar-akar persamaan  nonlinear.  Selain  itu,  Tabel  1  juga  menjelaskan  bahwa metode iterasi (13) memiliki orde konvergensi empat.
Selain  menggunakan  jumlah  iterasi  dan  COC,  performa  suatu  metode iterasi dapat dilihat dari nilai akurasi dan ketelitiannya, yang masing- masing di representasikan oleh galat mutlak dan galat relatif.  Tabel 2 dan 3 memperlihatkan perbandingan galat mutlak ( |𝑥 𝑛 − 𝛼| ), dan galat relatif  ( |𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛+1 | )  dari  berbagai  metode  iterasi  berdasarkan  jumlah total  evaluasi  fungsi  atau Total  number  of  functional  evaluation atau TNFE) sebesar 12.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
Tabel 2. Perbandingan |𝑥 𝑛 − 𝛼| dengan TNFE 12 = 𝒇(𝒙) 𝒙 𝟎 MN SC MC MH P(4.15) 𝒇 𝟏 (𝒙) 0,5 3,0985(e − 43) 9,3303(e-09) 2,5772(e − 12) 5,9333(e − 34) 9,9248(e-84) 1,5 2,1299(e − 66) 2,7114(e-18) 1,0470(e − 62) 4,4256(e − 66) 2,0703(e-208) 𝒇 𝟐 (𝒙) 4,0 1,2647(e − 34) 6,4250(e-10) 6,1268(e − 58) 5,3111(e − 55) 1,2466(e-74) 4,5 8,0333(e − 54) 1,9598(e-13) 4,4870(e − 81) 1,3204(e − 77) 2,5230(e-174) 𝒇 𝟑 (𝒙) 2,5 6,0311(e12) 7,4166(e-07) 1,5945(e − 30) 6,6605(e − 41) 9,7249(e-83) 3,0 1,5483(e − 16) 1,5662(e-03) 7,9903(e − 17) 2,1303(e − 24) 4,2511(e-43) 𝒇 𝟒 (𝒙) 1.2 8,4046(e-48) 1,1166(e-12) 8,5934(e-51) 6,2548(e-69) 9,5831(e-128) 2,0 9,1131(e-33) 2,2280(e-10) 1,5763(e-36) 3,4723(e-43) 1,0647(e-95) 𝒇 𝟓 (𝒙) 1,0 2,4116(e − 44) 4,9705(e-23) 1,8143(e − 42) 1,3534(e − 61) 2,5778(e-114) 2,0 7,4858(e − 39) 1,5802(e-09) 3,7453(e − 42) 2,8219(e − 53) 4,5249(e-119) 𝒇 𝟔 (𝒙) − 1,5 3,2101(e − 66) 9,1130(e-09) 1,2345(e − 51) 2,5436(e − 44) 7,3210(e-187) 0,0 3,2102(e − 66) 9,1130(e-09) 1,8780(e − 20) 1,0653(e − 26) 1,9625(e-156)
Tabel 3. Nilai |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | dengan TNFE 12 = 𝒇(𝒙) 𝒙 𝟎
MN SC MC MH P(4.15) 𝑓 1 (𝑥)
0,5 1,1133(e − 21) 1,9313(e-04) 2,1759(e − 04) 1,4681(e − 11) 3,2076(e-21) 1,5 2,9188(e − 33) 3,2933(e-09) 3,4727(e − 21) 2,8685(e − 22) 2,1677(e-52) 𝑓 2 (𝑥) 4,0 1,2323(e − 17) 2,7774(e-05) 1,2533(e − 19) 1,1156(e − 18) 2,7919(e-19) 4,5 3,1057(e − 27) 4,8508(e-07) 2,4339(e − 27) 3,2561(e − 26) 3,3303(e-44) 𝑓 3 (𝑥) 2,5 2,4558(e − 06) 7,4165(e-07) 9,8536(e − 11) 4,6401(e − 14) 2,2693(e-21) 3,0 1,2443(e − 08) 3,7514(e-02) 3,6328(e − 06) 1,4729(e − 08) 1,8452(e-11) 𝑓 4 (𝑥) 1.2 3,2750(e-24) 1,1937(e-06) 4,2239(e-16) 4,9165(e-26) 1,5074(e-32) 2,0 1,0784(e-16) 1,6862(e-05) 2,4000(e-11) 1,8755(e-17) 1,5476(e-24) 𝑓 5 (𝑥) 1,0 2,2179(e − 22) 4,5319(e-06) 1,6284(e − 14) 9,0968(e − 21) 4,9152(e-29) 2,0 1,2357(e − 19) 5,6773(e-05) 2,0734(e − 14) 5,3942(e − 18) 3,1815(e-30)
𝑓 6 (𝑥)
− 1,5 4,3888(e − 33) 2,3408(e-04) 1,5064(e − 17) 4,0291(e − 15) 6,1575(e-47) 0,0 4,3888(e − 33) 2,3408(e-04) 3,7326(e − 07) 3,0145(e − 09) 2,4915(e-39)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
Berdasarkan Tabel 2 dan 3 dapat dilihat bahwa nilai galat mutlak dan galat relatif metode iterasi (13) lebih kecil dibanding metode lainnya. Hal ini menunjukkan bahwa akurasi dan ketelitian dari metode iterasi baru lebih baik dibandingkan dengan metode iterasi lainnya.

## D. Simpulan
Metode  Schroder  dimodifikasi  dengan  menggunakan  ekspansi  Deret Taylor orde dua dan menghilangkan turunan kedua menggunakan kesamaan dua  metode  iterasi.  Berdasarkan  analisis  orde  konvergensi,  metode  iterasi (13) memiliki orde onvergensi empat dengan 𝛽 = 1/2 yang melibatkan tiga evaluasi fungsi yaitu 𝑓(𝑥 𝑛 ) , 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) dan 𝑓(𝑦 𝑛 ) dan indeks efisiensi  sebesar 4 1/3  1,587401. Selain itu, hasil perhitungan COC menggunakan rumusan (32) mempertegas bahwa metode iterasi (13) memiliki orde konvergensi empat.
Selanjutnya,  berdasarkan  hasil  simulasi  numerik  sebagaimana diberikan pada Tabel 1 menunjukkan bahwa jumlah iterasi yang dibutuhkan oleh metode iterasi (13) dalam menghampiri akar-akar persamaan nonlinier lebih sedikit dibandingan dengan metode Newton, Metode Schroder, Metode Chebyshev, dan Metode Halley. Selain itu, Tabel 2 dan 3 juga menunjukkan bahwa untuk TNFE = 12, metode iterasi (13) memiliki akurasi dan ketelitian yang lebih baik dibandingkan dengan metode iterasi yang dibandingkan.

## E. Daftar Pustaka
Alamsyah,  A.,  &  Wartono,  W.  (2017).  Modifikasi  metode  Chaucy  tanpa turunan  kedua  dengan  orde  konvergensi  empat. Jurnal  Sains Matematika  dan  Statistiska , 3 (2),  59 – 66.  Diakses  dari http://ejournal.uin-suska.ac.id/index.php/JSMS/article/view/4477/2763 Amat, S., Busquier, S., Gutierrez, J. M., & Hernandez, M. A.  (2008). On the global  convergence  of  Chebyshev’s  iterative  method. Journal  of Computational  and  Applied  Mathematics , 220 ,  17 – 21.  doi:10.1016/ j.cam.2007.07.022.
Baghat, M. S. M. (2012). New two-step iterative methods for solving nonlinear equations. Journal  of  Mathematics  Research , 4 (3),  128 – 131. doi:10.5539/jmr.v4n3p128.
Behl, R., & Kanwar, V. (2013). Variant of Chebyshev’s method with optimal order  of  convergence. Tamsui  Oxford  Journal  of  Information  and Mathematical Sciences, 29 (1), 39 – 53.
Behl, R., Alsolami, A. J., Pansera, B. A., Al-Hamdan, W. M., Salimi, M., & Ferrara,  M.  (2019).  A  new  optimal  family  of  Schroder’s  method  for multiple zeros. Mathematics , 7 (11), 1 – 14. doi :10.3390/math7111076.
Chun,  C.,  &  Kim,  Y.  (2010).  Several  new  third-order  iterative  methods  for solving  nonlinear  equations. Acta  Applied  Mathematica , 109 ,  1053 – 1063. doi:10.1007/s.10440-008-9359-3.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
Kanwar, V., & Tomar, S. K. (2007). Modified families of Newton, Halley and Chebyshev methods. Applied Mathematics and Computation , 192 , 20 – 26. doi:10.1016/j.amc.2007/02.119.
Kanwar,  V., Sharma,  K. K.,  &  Behl,  R. (2010).  A  new  family  of  Schroder’s method  and  its  variants  based  on  power  means  for  multiple  roots  of nonlinear equations . International Journal of Mathematical Education in  Sciencea  and  Technology , 41 (4),  558 – 565.  doi:  10.1080/ 00207390903564660.
Kung, H. T., & Traub, J. F. (1974). Optimal order of one-point and multipoint iteration. Journal  of  the  Association  for  Computing  Machinery , 21 (4),
643 – 651. doi:10.1145/321850.321860.
Petkovic,  L.,  &  Petkovic,  M.  (2008).  The  link  between  Schorder’s  iteration methods of the first and second kind. Novi Sad Journal of Mathematics,
38 (3), 55 – 63.
Potra,  F.  A.,  &  Ptak,  V.  (1984).  Nondiscrete  introduction  and  iterative processes, in: Research Notes in Mathematics , 103, Pitman: Boston. Rahmawati,  R.,  Utami,  S.  A.,  &  Wartono,  W.  (2018).  Variant  of  two  real parameters  Chun- Kim’s  method  fr ee  second  derivative  with  fourth- order  convergence. Proceeding  of  the  International  Conference  on Mathematics and Islam (ICMIS), Diselenggarakan oleh UIN Mataram
Indonesia, 3 – 5 Agustus 2018 (hal. 307 – 313).
doi:10.5220/0008521203070313.
Scavo, T. R., & Thoo, J. B. (1995). On the geometry of Halley’s method . The American  Mathematical  Monthly , 102 (5),  417 – 426.  doi:10.1080/ 00029890.1995.12004594.
Thukral, R. (2016). New fourth-order Schroder-type method for finding zeros of nonlinear equations having unknown multiplicity. British Journal of Mathematics  and  Computer  Sciences , 13 (1),  1 – 10.  doi:  10.9734/ BJMCS/2016/21820.
Thukral, R. (2017). Further accelaration of Thukral third-order method for determining multiple zeros of nonlinear equations. American Journal of Computational  and  Applied  Mathematics , 7 (5),  123 – 128.  doi:10.5923/ j.ajcam.20170705.01.
Traub, J. F. (1964). Iterative methods for the solution of equations. Prentince- Hall Inc, NJ : Englewood Cliffs.
Wartono, W., Soleh, M., Suryani, I., Zulakmal, Z., & Muhafzan, M. (2018). A new  variant  of  Chebyshev- Halley’s  method  without  second  derivative with convergence of optimal order. Asian Journal of Scientific Research , 11 (3), 409 – 414. doi:10.3923/ajsr.2018.409.414.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 2 Desember 2020 e-ISSN 2579-7646
Wartono, W., Agustiwari, R., & Rahmawati, R. (2019). New modification of Behl’s  method  free  from  second  derivative  with  an  optimal  order  of convergence. Indonesian  Journal  of  Pure  and  Applied  Mathematics ,
1 (2), 10 – 19. doi:10.15408/inprime.v1i2.12787.
Weerakoon, S., & Fernando, T.G. I. (2000). A variant of Newton’s method with accelerated  third-order  convergence. Applied  Mathematics  Letters , 13 ,
87 – 93. doi:10.1016/50893-9659(00)00100-2.