## Noise Cancellation Using Non-LocalMeans SVD
Muhammad Eka Suryana Universitas Negeri Jakarta eka-suryana@unj.ac.id
Abstrak  – image  denoising merupakan  upaya  untuk  menghilangkan noise dari  citra  digital.  Sejumlah  teknik  untuk denoising menggunakan prinsip pemisahan sinyal asli dan sinyal noise . Tidak seperti sejumlah teknik yang melakukan pendekatan ini. Non local means merupakan  teknik denoising untuk  mendapatkan  citra  asli  menggunakan weighted  similarities antara  piksel.  Tulisan  ini merupakan laporan investigasi mengenai NLM algoritma tersebut dan NLM yang telah terimprovisasi menggunakan SVD.
Keywords-component; Image Denoising, NLM

## I. P ENDAHULUAN
Citra digital dapat terkorupsi akibat keterbatasan perangkat pencitraan(Kamera)  dalam  menangkap  detail  citra  dalam format  digital,  atau  kesengajaan.  Salah  satu  bentuk  citra terkorupsi adalah munculnya artifak pada sebagian atau seluruh piksel  yang  menyebabkan  nilai  piksel  yang  terkorupsi terdeviasi  dari  nilai  piksel  asli  sehingga  membuat  citra  yang terkena noise mengalami  penurunan  kualitas  visual.  Misalkan N o merupakan citra asli, N f merupakan noise , dan N i merupakan citra asli  yang terkena noise . Relasi antara citra ketiga elemen tersebut dapat dinotasikan dengan,
N i = N o +N f ( p 1)
Citra  asli  dapat  dikembalikan  dengan  memisahkan N f dari N i , namun  dalam  praktik denoising hanya  informasi N i yang diketahui.  Seandainya noise dapat  diestimasi  dengan  baik maka, denoising akan  memberikan  citra  yang  mendekati  citra asli.  Salah  satu  bentuk  estimasi noise adalah  dengan menganggap noise memiliki  properti  berfrekuensi  tinggi, sehingga N o didapatkan  dengan  mengurangi  frekuensi  tinggi dari N i .  Metode  yang  menerapkan  prinsip  ini  dinamakan dengan frequency domain filter , derivatifnya antara lain wiener filter,  wavelet  tresholding , total  variant  minimation .  Citra gambar yang dikembalikan menggunakan pendeketan pemisahan  frekuensi  rendah  dari  frekuensi  tinggi,  memiliki keterbatasan  detail  tekstur  dari  gambar  juga  hilang  karena tekstur merupakan pola yang berfrekuensi tinggi.
Non-local Means(NLM) merupakan metode denoising yang cukup  efektif  untuk  menghilang white  noise/gaussian  noise dengan mean 0  dan variance tertentu.  NLM  memiliki  asumsi bahwa  setiap  citra  gambar  bersifat  redundan/repetitif,  lebih detailnya:  nilai  piksel  pada  koordinat  spasial  citra  sangat mungkin memiliki nilai piksel yang berdekatan pada koordinat spasial lainnya pada citra yang sama. Memanfaatkan informasi ini,  NLM  merestorasi  citra  asli  dengan  melakukan averaging nilai piksel yang berdekatan tersebut. Nilai piksel yang similar ini  sangat  mungkin  ditemui  pada  daerah  tetangga  piksel tersebut,  namun  tidak  menutup  kemungkinan  ditemukan  juga pada  piksel  yang  berjarak  spasial  cukup  jauh  dari  piksel referensi.
Karena  informasi  kelompok  piksel  yang  memiliki  nilai berdekatan(relevan) tidak diketahui. NLM  yang diperkenalkan Buades  et  al(2005),  melakukan denoising dengan  melakukan weighted averaging piksel  referensi(POI  – pixel  of  interest ) dengan  seluruh  piksel  selain  piksel  tersebut.  Piksel  yang memiliki  kedekatan  nilai  akan  diberikan weight maksimum, jika  tidak weight diset  minimum.  Setelah  semua weight dihitung  untuk  POI,  dilakukan averaging untuk  mendapatkan nilai piksel terestorasi untuk POI.
Piksel-piksel  yang  relevan  diukur  dari  citra  gambar  asli. Misalkan sebelum terkorupsi POI A memiliki  nilai 100, untuk suatu  waktu  ditemukan  piksel  yang  relevan  sebut  B  &  C masing-masing  memiliki  nilai  98  &  103.  Setelah  diberikan noise , nilai  A := 110, B := 88, C := 92. Oleh sebab  ini proses averaging per pixel tidak akan memberikan hasil yang optimal. NLM melakukan averaging terhadap neighborhood piksel POI dengan neighborhood piksel  yang  relevan,  sebab  bisa  jadi masih  terdapat  piksel  tetangga  B  &  C  yang  tidak  banyak terkorupsi,  dan  informasi  itulah  yang  dilibatkan  dalam perhitungan avaraging antara  dua  buah neighborhood yang relevan.  Atas  dasar  yang  sama,  dapat  dianggap  NLM  tidak berpengaruh  besar,  untuk  citra  yang  banyak  terkorupsi noise . Sebab akan piksel yang benar-benar relevan terhadap POI akan berjumlah minoritas.
Notasi matematis dari metode NLM dapat direpresentasikan dengan formula berikut:
w ij = exp { } ( p2 )
e-ISSN  2460-7900
y i = ∑ ∑ ( p3 )
Dimana:
W ij : Weight similaritas  dua neighborhood piksel. berarti perkalian element-wise . h :  Estimasi noise variance yang  terkandung  dalam seluruh citra terkorupsi noise . Ga : Kernel gaussian 2-D yang berukuran sama dengan ukuran neighborhood piksel. x j : Nilai piksel dengan indeks ke- j yang diperbandingkan. x i : Nilai piksel POI. . y i : Piksel POI yang telah di- denoising
Gaussian kernel dapat dhitung menggunakan formula berikut,
∑ ( p3 )
Nilai  2. i +1  pada  formula p3 merupakan  derajat  elevasi kurva  gaussian,  nilai  ini  dapat  dirubah  sesuai  kebutuhan. Kernel  gaussian  memiliki  properti  unik,  dimana  pada  array(1- D)/matriks(2-D)  yang  dihasilkan  dari  fungsi  gaussian  nilai dominan  berada  pada  indeks  tengah,  dan  semakin  menurun untuk indeks yang menjauhi indeks tengah.
Gambar 1. Plot 2-D kernel gaussian ukuran 7x7

## II. F ONDASI
A. Lingkungan Eksperimen
NLM dibuat pertama kali menggunakan Java menggunakan framework Marvin. kemudian diporting ke kode Matlab,  hal  ini  dilakukan  sebab  Matlab  menyediakan  banyak Application Programming Interface /API/fungsi untuk dukungan komputasi numerik.SVD merupakan salah satu fitur yang dipergunakan untuk pengembangan NLM dengan SVD.
B. Noise
Prinsip  pemisahan noise dari  citra  gambar  yang  terkorupsi noise merupakan  cara  yang  ideal  untuk denoising ,  meskipun perfect  estimation  of noise  values sama  sulitnya  dengan denoising .  Namun  pemahaman  karakteristik  berbagai  jenis noise merupakan  dasar  kerangka  berpikir  untuk denoising . Menganalisa  karakteristik noise akan  membantu  dalam
menentukan  metode  yang  tepat  untuk denoising ,  dan memahami mengapa NLM efektif untuk white noise .
Noise merupakan nilai deviasi dari nilai piksel sebenarnya, nilai intensitas piksel bernilai 0-255 sehingga noise juga berada pada  interval  yang  sama. Noise diukur  berdasarkan  nilai variance , hal ini berlaku untuk white noise .
White noise / gaussian noise memiliki karakteristik: bilangan random yang  dihasilkan  berada  dalam  rentang  nilai  bilangan signed integer dan  memiliki  histogram  gaussian  dengan mean 0,  dan  kerampingan(skewness)  tertentu  yang  dihitung berdasarkan  sigma/standar  deviasi(gambar  3.a).  Untuk noise uniform ,  bilangan  random  yang  dihasilkan  berada  dalam rentang  positif integer dan  memiliki  distribusi  histogram uniform(gambar  3.b).  Untuk noise  exponential ,  rentang  nilai bilangan random yang  dihasilkan  berupa signed  integer dan memiliki distribusi histogram exponential (gambar 3.c).
C. Non-local Means SVD
NLM melakukan averaging terhadap seluruh piksel. Proses ini  memiliki  kompleksitas  waktu  yang  mahal, O ( N 4 ).  Untuk mengurangi  waktu  kompleksitas  kinerja  NLM  dapat  dibatasi dengan  melakukan averaging pada search  window yang ditentukan.  Karena  piksel  tetangga  seringkali  memiliki  nilai piksel  yang  berdekatan,  pembatasan search  window tidak terlalu mempengaruhi kinerja denoising .
Denoising akan  optimal  jika  jumlah  piksel  yang  relevan dominan.  Karena  informasi  piksel  mana  saja  yang  relevan mula-mula  tidak  diketahui,  implementasi  NLM  original memanfaatkan weighted averaging . Jika piksel mana saja yang relevan  dapat  diestimasi  dengan  baik  hasil denoising yang didapatkan akan lebih optimal. Orchard, 2008 memperkenalkan metode find  most  relevant  patch (MRP)  yang  dihitung menggunakan  SVD.  Pencarian  MRP  menggunakan  SVD bersifat  fundamental  sehingga  diadaptasi  dan  diperbaiki  oleh penelitian yang lain, seperti Thaipanich(2010) yang memanfaatkan  SVD  untuk  menghitung  gradient  sehingga tekstur  dapat  lebih  dipertahankan  setelah denoising dan neighborhood rotated  matching untuk  mencari  MRP.  Dua neighborhood  window piksel  bisa  jadi  tidak  memiliki  nilai similaritas yang sama, namun setelah dilakukan neighborhood window rotation  pada  piksel  yang  diperbandingkan  bisa  jadi nilai similaritas meningkat. MRP yang ditentukan menggunakan SVD memiliki kelemahan, signal subspace yang
e-ISSN  2460-7900
didapatkan over  estimate menggunakan local  basis  training Yanmin He mendapatkan patch yang lebih relevan[6].
Prinsip  kerja  SVD  memiliki  kemiripan  dengan  pemisahan noise dan signal pada  citra  yang  terkorupsi.  Asumsi  yang dipergunakan  oleh  metode  SVD,  jika  citra  terkorupsi noise maka signal  subspace akan  terletak  pada lower  dimensional moneyfold ,  sementara noise  subspace akan  terdapat  pada remainder  dimensional  moneyfold .  Misalkan  terdapat  citra sebuah  gambar  sebut  sebagai M .  SVD  mendekomposisi M menjadi  eigen  vektor  kiri U ,  nilai  eigen S ,  dan  eigen  vektor kanan V . Hubungan  tersebut  dapat  direpresentasikan berdasarkan formula berikut.
USV t = M ( p4 )
Nilai  eigen  yang  paling  utama  terdapat  pada  rank  1  dari matriks S . Semakin meningkat rank nilai eigen pada matriks S , semakin menurun keutamaannya. Hal inilah yang disebut lower dimensional  moneyfold .  Aproksimasi  ruang  sinyal  dapat dilakukan dengan memilih rank k (1 ≤ k ≤ ~) tertentu, k dipilih sedemikian rupa sehingga didaptkan aproksimasi terbaik.
Hipotesa 1:
“ Signal  subspace pada  citra  terkorupsi  terdapat  pada aproksimasi rank ke k dari lower dimensional monefold.”
Indikasi  kebenaran signal  subspace berada  pada lower dimensional  monefold dapat  dilakukan  dengan  melakukan  svd pada  dua  citra:  citra  asli  dan  citra  terkorupsi noise .  Jika dekomposisi  rank  1 lower  dimensional  moneyfold dari  kedua citra  memberikan  hasil  yang  berdekatan,  hal  tersebut mengindikasikan  hipotesa  1  memiliki  nilai  kebenaran.  Citra asli dan citra terkorupsi yang dipergunakan untuk mendapatkan signal  subspace menggunakan  gambar  1,  namun  citra  lebih banyak dikorupsi dengan σ=20.
Gambar 2.  Aproksimasi rank- k dari Signal Subspace. Signal subspace dari citra asli(baris 1), dan citra terkorupsi(baris 2).
Signal space diaproksimasi  terhadap  kedua  citra, menggunakan aproksimasi SVD rank 1 sampai 5. Perhitungan mean  square  error (MSE)  dilakukan  untuk  mengetahui difference dari  kedua  citra  aproksimasi.  Hingga  maksimum rank-5  yang  diujikan  diketahui  MSE  masih  bernilai  minimal. Informasi  ini  mengindikasikan untuk citra terkorupsi beberapa tingkat  rank  aproksimasi  memberikan signal  subspace yang sangat berdekatan dengan citra sebelum terkorupsi.
Hipotesa 2:
“ Noise  subspace pada  citra  terkorupsi  akan  berada  pada aproksimasi  remainder  rank  ke k hingga  rank n .  dimana n merupakan rank maksimum dari citra M .”
Pembuktian  hipotesa  ini  tidak  dapat  dilakukan  dengan eksperimen.  Misalkan  mula-mula  terdapat  citra  asli M ,  dan citra terkorupsi M k . Difference dari M k -M kemudian disimpan dalam D .  Aproksimasi  dilakukan  dengan  mengambil  rank k=50 , dengan  rank n =128.  Histogram  dan difference antara D dan aproksimasi rank-50. Dapat dilihat pada gambar berikut.

## Gambar 3. Noise Subspace
Berdasarkan informasi  yang terdapat  pada gambar 5, dapat disimpulkan hal-hal berikut:
 Aproksimasi remainder  rank menggunakan  SVD memberikan citra gambar  yang  jauh dari aslinya, citra aproksimasi lebih memiliki karakteristik noise .
 Meskipun karakteristik remainder rank approximation memiliki karakteristik noise . Namun perbedaan tekstur noise asli  dengan  aproksimasi noise terlalu  jauh. Aproksimasi noise masih menyimpan sedikit informasi tekstur(tekstur  topi  pada  gambar  5.b).  Pemisahan langsung noise dari  citra  terkorupsi  bukan  cara  yang tepat. Aproksimasi noise  signal tidak  akan  pernah mendekati noise signal sebenarnya .
 Percobaan dilakukan berulang kali hingga mendapatkan histogram distribusi yang sangat mendekati  distribusi  histogram  sinyal noise .  Selain
menggunakan  aproksimasi k =60,  dan n= maksimal,. konfigurasi  yang  lain  memiliki  internval  intensitas yang  jauh  dari noise  signal sebenarnya  dan  histogram distribusi yang terbentuk memiliki skewness yang tidak mirip.  Permasalahan  menentukan histogram distribusi yang  mendekati histogram signal  noise merupakan kesulitan tersendiri.
Salah satu perbedaan ide yang diperkenalkan
Orchard(2008)[3]  dengan  adaptif  SVD  yang  digagas  oleh Yanmin He(2011)[6] adalah Orchard hanya
mempertimbangkan  hipotesa  1  dalam  algoritmanya  sementara Yanmin He turut memasukkan hipotesa 2 dalam pengembangan  algoritma.  Re-eksperimentasi  yang  dilakukan penulis  hanya  membuktikan  kebenaran  gagasan  yang diperkenalkan oleh Orchard.
Metode yang diperkenalkan oleh Orcard dapat diimplementasikan dengan langkah-langkah berikut:
 Untuk  setiap  piksel i yang  terdapat  pada  citra,  buat matriks neighborhood window-nya.  Setiap  matriks neighborhood  window yang  terbentuk  kemudian  di- reshape menjadi sebuah vektor kolom.
 Merge setiap  vektor neighorhood kolom  menjadi sebuah  matriks  yang  berukuran m x n ( n > m/ kolom berjumlah lebih banyak dari baris). Sebut matriks yang terbentuk sebagai Z .
 Lakukan  dekomposisi  SVD  dari  matriks Z sehingga terdekomposisi menjadi matriks U,S, dan V .
 Menggunakan right  singular  vector  V ,  hitung koordinat C menggunakan  formula C = Z x V . Koordinat C akan memiliki ukuran yang sama dengan Z , dan representasi koordinat piksel ke- i dapat diakses melalui indeks kolom dari C .
MRP dapat dicari dengan menghitung L2 norm antara POI ke -x dengan  piksel  selainnya.  Misalkan  α 1 merupakan koordinat pertama dari x dan β 1 merupakan koordinat pertama dari  piksel  selain x .  Aproksimasi  rank-1 L2  norm dapat dihitung dengan (α 1 - β 1 ) 2 . MRP akan memiliki norm yang kecil sehingga  eliminasi  piksel  yang  memberikan  perhitungan norm besar,  hal  ini  dapat  dilakukan  salah  satunya  dengan  mensort nilai norm ,  kemudian  simpan  sejumlah norm terkecil menggunakan  rasio  tertentu.  Pada  percobaan  yang  dilakukan rasio ditentukan sebesar 5%. Untuk citra berukuran 128 x 128. C yang terbentuk akan memiliki panjang 16.384, menggunakan treshold  5%  akan  menyisakan  MRP  sejumlah  819.  Untuk mengerucutkan  MRP,  misalkan  rank-1  L2 norm yang  telah dihitung  dinotasikan  dengan norm- 1,  aproksimasi  rank  norm berikutnya dhitung  menggunakan norm- 2 = norm -1  + norm -2. Rasio untuk aproksimasi norm subsekuen rank berikutnya diset sebesar  80%-90%  tentatif.  Total  rank  aproksimasi  yang dipergunakan oleh Orchard k =20.
Implementasi  NLM  MRP  yang  dilakukan  sedikit  berbeda karena terdapat perbedaan persepsi. Perbedaan tersebut terletak pada dua hal: Koordinat yang penulis implementasikan didapat dengan menyelesaikan sistem persamaan linier,
z i = c 1 ( v 1 ) + c 2 ( v 2 ) + …+ c n ( v n )
Setelah didapatkan MRP, denoising dilakukan menggunakan MRP pada signal subspace hal  ini berlaku pada implementasi  yang  dilakukan  Orchard,  namun denoising yang penulis  lakukan tetap  dilakukan  pada full  space menggunakan MRP yang didapat.

## III. E KSPERIMEN

## A. Evaluasi Hasil Denoising
Diperlukan  tolak  ukur  penilian  kualitas denoising menggunakan data statistik selain memperhatikan kualitas citra denoise menggunakan  pengamatan  fisik.  Metode  pengukuran yang dipergunakan disini menggunakan standar penilaian yang telah umum disepakati: MSE, PSNR, dan SSIM.
Means  Squre  Error (MSE)  merupakan  pengukuran  selisih rata-rata  kuadrat  error  dua  citra.  Untuk  data  1-d  MSE  dapat didefinisikan dengan,
∑ ( p5 )
Pendekatan  yang  sama  dilakukan  untuk  MSE  2-d. Peak Signal  To  Noise  Ratioi (PSNR)  merupakan  rasio  citra  sinyal terkorupsi  terhadap  citra  asli.  PSNR  dapat  dihitung menggunakan formula berikut,
√ ( p 6)
PSNR  maupun  MSE  terkadang  tidak  konsisten  dengan persepsi mata manusia[7], oleh sebab itu SSIM dikembangkan mengukur kemiripan antara kedua citra yang diperbandingkan. SSIM metric dihitung  dari  sejumlah  ukuran  sub-window  yang berbeda  antara  dua  citra.  SSIM  memiliki  nilai  0  ~  1.  Nilai  1 diberikan untuk dua citra yang  identik.  Penjelasan lebih  lanjut untuk mengetahui formula SSIM dapat dilihat di [7]

## B. Hasil Eksperimen dan Analisa
Eksperimen dilakukan dengan sejumlah skenario pengujian.

## Skenario 1
Skenario pertama dilakukan untuk mengetahui keefektifan NLM  dalam denoising white  noise dan  juga  jenis noise lainnya.  Untuk  percobaan  pertama  ini,  dikonfigurasikan  nilai σ=20.  Kemudian  parameter  denoising  menggunakan ks ( neighborhood window )= 3, sw ( search window )=2, h (estimasi  σ)=20.  Eksperimen denoising untuk  citra  sinyal terkorupsi noise uniform dapat dilihat pada gambar 6.

## Gambar 4. Hasil restorasi citra terkorupsi

## uniform noise
Pengamatan  secara  fisik  terhadap  citra  terestorasi memberikan  hasil  yang  cukup  baik  kecuali  terdapat  detail tekstur yang ter- smooth (tekstur topi terutama), dan terdapatnya peningkatan brightness pada  sejumlah  wilayah(kulit  lena). NLM tidak dapat merestorasi citra asli dengan sempurna hal ini terlihat  pada  gambar  6.d  terdapat  region  dimana  terjadi smoothness terutama  pada  region  yang  memiliki  resonansi tinggi/kaya  akan  tekstur.  Eksperimen  berikutnya  dilakukan terhadap citra yang terkorupsi white noise dengan nilai σ = 10.
Gambar 5. Hasil restorasi citra terkorupsi gaussian noise
Berdasarkan  gambar  7.d,  NLM  tidak  optimal  dalam mengestimasi  sinyal  lena  asli  dari  sinyal  yang  terkorupsi gaussian noise , hal ini terlihat setidaknya jika diperbandingkan dengan  gambar  6.d.  dimana  deviasi  yang  terjadi  pada  sinyal denoise dari  sinyal  asli  cukup  bervariatif.  Hal  ini  bisa dimengerti  sebab  karakteristik  dari gaussian noise yang  turut memperhitungkan  nilai  negatif  dalam  menghasilkan  sinyal noise sehingga estimasi sinyal asli  lebih sulit untuk dilakukan. Yang  menarik  informasi  SSIM  terhadap  sinyal  terestorasi menunjukkan  kualitas  yang  lebih  baik  dari  sinyal  terestorasi dari uniform  noise (0.93  vs  0.92),  hal  ini  sejalan  dengan pengamatan  fisik  dimana  masih  terdapat  tekstur  yang  masih terjaga setelah dilakukan denoising .
Eksperimen  berikutnya  dilakukan  terhadap noise  salt  & pepper (SP),  dimana  setiap  piksel  memiliki  kemungkinan tertentu  untuk  berubah  nilainya  menjadi  0  atau  255.  Efek  dari noise ini  pada  citra  adalah  munculnya  bintik  hitam  dan  putih pada  citra  terkorupsi.  NLM  melakukan denoising terhadap seluruh  piksel,  karena  SP  merubah  nilai  piksel  pada  indeks tertentu  saja,  NLM  perlu  dimodifikasi  terlebih  dahulu  agar hanya mengolah piksel yang terkena salt & pepper .
Gambar 6. Hasil restorasi citra terkorupsi salt &

## pepper
Selektif  NLM  mampu  merestorasi  citra  yang  mendekati asli.  Namun  hasil  ini  didapat  dengan  sejumlah  catatan: Parameter search  window atau neighborhood  window sangat tidak  berpengaruh  terhadap  hasil denoising ,  bahkan  mengatur full  search  window hampir  tidak  berpengaruh.  Parameter h ( decay  parameter )  memiliki  efek  yang  signifikan  terhadap hasil denoising ,  ketika  nilai h >40  atau h <40  kualitas  citra terestorasi  sedikit  menurun.  Sedikitnya  pengaruh search window atau neighborhood  window disebabkan  karena kebanyakan  piksel  tetangga  akan  tidak  relevan  dengan  POI sehingga  dialokasikan weight yang  sangat  kecil,  dalam  hal  ini POI merupakan outlier terhadap piksel tetangga.

## Skenario 2
Tujuan  dari  eksperimen  kedua  adalah  untuk  membuktikan NLM MRP  mampu  memberikan  hasil denoising yang  lebih baik  dari  NLM  standar.  Metode  NLM  MRP  menggunakan implementasi Orchard, hal ini disebabkan denoising menggunakan  MRP  pada signal  subspace lebih  masuk  akal, dan pendekatan inilah yang dipergunakan juga pada [6].
Gambar 7. Hasil denoising menggunakan NLM

## MRP
Percobaan denoising menggunakan NLM MRP menunjukkan, NLM MRP tidak merestorasi seluruh piksl yang terkena noise .  Dari  informasi  yang  disajikan  pada  gambar  9, mayoritas  hanya  tekstur smooth yang  dihilangkan noise -nya. Melihat data ini, NLM masih memiliki kinerja yang lebih baik namun sifat dari NLM MRP yang melakukan denoising daerah tertentu  saja  merupakan  sebuah  fakta  yang  menarik,  sangat mungkin noise yang terestorasi merupakan estimasi noise yang sangat  baik  pada  daerah  yang  terestorasi.  Berdasarkan karakteristik  ini  NLM  MRP  dapat  dijadikan  sebagai pre- processing dalam tahap denoising menggunakan NLM.

## Skenario 3
Eksperimen  ketiga  bertujuan  untuk  mencari  parameter optimal  NLM  untuk denoising  white  noise Benchmark dilakukan  menggunakan test  script Matlab  yang  dirancang untuk  memaksimalkan  nilai  SSIM  dengan  mencoba  semua kemungkinan search  window,  neighborhood  window, dan h dengan  interval  tertentu.  Karena benchmark terhadap  ketiga ketiga  tersebut  memakan  waktu  yang  lama, benchmark disederhanakan menggunakan dua fase: fase pertama bertujuan untuk mengoptimasi parameter search window dan neighborhood  window (2-D),  dan  fase  kedua  bertujuan  untuk
e-ISSN  2460-7900
mengoptimasi  parameter h .  Pada  eksperimen  ini  citra terkorupsi gaussian noise dengan σ=15.

## Gambar 8. Benchmark Parameter NLM untuk mencapai SSIM terbaik.
Parameter h ( decay  parameter ) merupakan  estimasi  dari σ , sehingga  wajar  jika  SSIM  bernilai  optimal  saat h =σ.  Analisa lebih  lanjut  diperlukan  untuk  mengetahui  kenapa search window dan neighborhood  window bernilai  optimal  ketika keduanya  bernilai  kecil.  Hal  ini  kontradiktif  dengan  yang karakteristik  NLM    yang  seharusnya  bernilai  optimal  ketika menjalankan full  search  space .  Setidaknya  terdapat  dua  hal yang  menyebabkan  hal  ini  terjadi:  Konfigurasi  pembentukan gaussian  kernel untuk  menghitung  L2 norm dari  dua neighborhood  window ,  pembentukan gaussian  kernel pada implementasi  mempergunakan  rumus  ( p3 )  dimana  setiap indeks pada gaussian kernel dihitung dengan . Kedua, nilai similaritas  dua neighborhood  window sangat  ditentukan  oleh weight yang dihitung menggunakan ( p2 ).
Weight merupakan  distribusi  eksponsensial: , perhatikan d pasti  bernilai  positif  karena  merupakan  bentuk kuadrat( euclidean distance antara dua patch ), sehingga nilai –d bernilai negatif. Untuk patch/neighborhood window yang tidak similar, nilai d akan sangat besar, sehingga ketika dinegatifkan melalui e akan bernilai mendekati 0. Permasalahannya melalui konfigurasi gaussian kernel yang memiliki elevasi tidak terlalu curam(gambar  2), weighted  similarities antara  dua patches ketika  memiliki gaussian  kernel yang  relatif  besar  akan
memberikan  hasil  yang  buruk  sebab  informasi  yang  relevan sangat mungkin ditemukan pada tetangga piksel neighborhood window yang diperbandingkan. Atas dasar ini patch sebaiknya diatur  kecil,  kecuali  formula  pembentukan gaussian  kernel dimodifikasi.
Averaging dilakukan  terhadap  penjumlahan  dari weighted similarities untuk  POI,  over  estimasi  akan  dihasilkan  ketika jumlah  piksel  yang  di- averaging melebihi  rasio  yang dibutuhkan.  Atas  dasar  ini, search  window sebaiknya  diset tidak  terlalu  besar,  7  piksel  sekitar  POI  merupakan  nilai  yang ideal.
IV. P ENUTUP Re-eksperimentasi ini merupakan upaya untuk mengimprovisai  algoritma  NLM.  Improvisasi  tidak  mungkin dilakukan tanpa pemahaman yang kokoh terhadap NLM, untuk itulah  dilakukan  analisa  yang  laporannya  dijabarkan  pada tulisan  ini.  Upaya  mengimprovisasi  NLM  sudah  dilakukan menggunakan NLM MRP, implementasi yang penulis lakukan menggunakan  persepsi  yang  dijelaskan  pada  bagian  IV  tidak memberikan  hasil  yang  lebih  baik  dari  NLM  original,  untuk itulah  fokus analisa dilakukan  menggunakan NLM MRP yang diperkenalkan Orchard.

## R EFERENSI
[1] Antoni Buades, Bartomeu Coll, Jean-Michel Morel. A non- local algorithm for image denoising . Tracked on CiteSeerX with total 60 citations. 2005.
[2] Antoni Buades, Bartomeu Coll, Jean-Michel Morel. A Review Of Image Denoising Algorithms With a New One . Society for Industrial and Applied Mathematics Journal vol 4, no 2, pp 490-530. 2005.
[3] Jeff Orchard, Mehran Ebrahimi, Alexander Wong. Efficient Nonlocal-Means  Using  The  SVD .  15th  IEEE International Conference on Image Processing, 2008. ICIP 2008.
[4]  Antoni Buades, Bartomeu Coll, Jean-Michel Morel. Image and Movie Denoising by Non Local Means . International Journal of Computer Vision vol 76, Issue 2. 2008.
[5]  Thanaphol  Thaipanich,  et  al. Improved  Image  Denoising with Adaptive  Nonlocal  Means Algorithm.  International Conference  on  Consumer  Electronics(ICCE),  Las  Vegas, 2010.
[6]  Yanmin  He  et  al. Adaptive  Denoising  by  Singular  Value Decomposition .  IEEE  Signal  Processing  Letter  vol  18,  no 4, April 2010.
[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Structural_similarity , Structural  Similarity , diakses pada Juni 2011.