## KETAKSAMAAN TIPE LEMAH UNTUK OPERATOR MAKSIMAL DI RUANG MORREY TAK HOMOGEN YANG DIPERUMUM

## Sri Maryani
Universitas Jenderal Soedirman sri.maryani@unsoed.ac.id
ABSTRACT. We discuss in this paper a weak type (p, p) inequality (where 1 ≤ 𝑝 < ∞ ) for maximal operator on generalized non homogeneous Morrey spaces. Our proof uses the result of Garcia-Cuerva dan Martell (2011).
Keywords :  weak  type  inequality,  maximal  operator,generalized  non  homogeneous Morrey spaces
ABSTRAK . Pada makalah ini dibahas ketaksamaan tipe lemah (p, p) (dengan 1 ≤ 𝑝 < ∞ ) untuk operator maksimal di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Bukti ketaksamaan menggunakan hasil dari Garcia-Cuerva dan Martell (2011).
Kata Kunci : ketaksamaan tipe lemah, operator maksimal, ruang Morrey tak homogen yang diperumum

## 1. PENDAHULUAN
Misalkan µ adalah ukuran Borel di ruang Euclid 𝐑 𝑑 . Ruang ( 𝐑 𝑑 , 𝜇) dikatakan ruang  bertipe  tak  homogen  apabila  ukuran µ memenuhi growth  condition orde n (dengan 0 < 𝑛 ≤ 𝑑 ):
𝜇(𝐵(𝑥, 𝑟)) ≤ 𝐶𝑟 𝑛 , (1)
untuk  setiap bola buka 𝐵(𝑥, 𝑟) yang berpusat  di x dan berjari-jari r (Nazarov, dkk., 1998) . Catat bahwa konstanta positif C pada growth condition (1) tidak bergantung pada x maupun r .  Beberapa  hasil  penelitian  di  ruang  bertipe    tak  homogen  dapat
JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal. 265 - 270
dilihat  pada  (Gunawan,  dkk.,  2009;  Sawano,  2005;  Sihwaningrum,  2010;  Terasawa, 2006).
Di ruang bertipe tak homogen, didefinisikan operator 𝑀 𝑝 𝑛 (untuk 1 ≤ 𝑝 < ∞ dan 0 < 𝑛 ≤ 𝑑 ) dengan
  . ) ( ) ( 1 sup ) ( : ) ( 1 ) , ( 0 1 p r x B p n r p p n p y d y f r x f M x f M             
Definisi  ini  analog  dengan  definisi  serupa  pada  (Nakai,  1994)  di  ruang  bertipe homogen. Jika p = 1, operator 𝑀 𝑝 𝑛 tidak lain adalah operator 𝑀 𝑛 , yang diperkenalkan oleh  Garcia-Cuerva  dan  Martell  (2001).  Operator 𝑀 𝑛 memenuhi  ketaksamaan  tipe lemah  (1,  1)    di  ruang  Lebesgue  tak  homogen.  Selain  itu, 𝑀 𝑛 juga  memenuhi ketaksamaan terboboti berikut ini.
Teorema  1.1.  (Garcia-Cuerva  dan  Martell,  2001) Untuk  bobot  w  dan  sembarang fungsi  f di d R berlaku
  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : x d x w M x f C x d x w n x f M x d n d          R R
dengan C adalah konstanta positif yang tidak bergantung pada  f maupun w.
Dengan menggunakan Teorema 1.1, pada makalah ini akan dibuktikan ketaksamaan tipe  lemah    ( p,  p )  (dengan 1 ≤ 𝑝 < ∞ )  untuk  operator  maksimal 𝑀 𝑝 𝑛 di  ruang Morrey tak homogen yang diperumum.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan : (0, ) (0, )     adalah  fungsi  yang  hampir  turun,  yaitu  terdapat konstanta C >  0  sehingga 𝜙(𝑡) ≤ 𝐶 𝜙(𝑟) apabila 𝑡 > 𝑠. Untuk 1 p    ,  ruang
Morrey  tak  homogen  yang  diperumum 𝔚 𝑝,𝜙 (𝜇) = 𝔚 𝑝,𝜙 (𝐑 𝒅 , 𝜇) didefinisikan sebagai ruang dari semua fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 loc 𝑝 (𝜇) dengan
‖𝑓: 𝔚 𝑝,𝜙 (𝜇)‖ ≔ sup 𝑟>0 1 𝜙(𝑟) ( 1 𝑟 𝑛 ∫ |𝑓(𝑦)| 𝑝 𝐵(𝑥,𝑟) ) 1 𝑝 ⁄ < ∞.
Apabila 𝜙(𝑡) =   𝑡 −𝑛 𝑝 ⁄ , maka  ruang  Morrey  tak  homogen  merupakan  ruang Lebesgue tak homogen, yakni 𝔚 𝑝,𝜙 (𝜇) = 𝐿 𝑝 ( 𝜇). Sementara itu, sifat-sifat lain dari ruang Morrey tak homogen yang diperumum dapat dilihat pada (Sihwaningrum, dkk., 2008a dan 2008b).
Kemudian,  dengan  menggunakan  Teorema  1.1,  diperoleh  ketaksamaan  tipe lemah ( p, p ) untuk operator maksimal.
Teorema  2.1. Untuk 𝜙 ∶   (0, ∞) → (0, ∞) diasumsikan bahwa 𝜙 merupakan fungsi yang  hampir  turun.  Jika  terdapat  konstanta 𝐶 1 > 0 sehingga  untuk  setiap 𝑟 > 0 fungsi 𝜙 memenuhi
∫ [𝜙(𝑡)] 𝑝 𝑡 ∞ 𝑟 𝑑𝑡  ≤   𝐶 1 [𝜙(𝑟)] 𝑝 ,
dengan 1 ≤ 𝑝 < ∞ , maka terdapat konstanta 𝐶 > 0 sehingga untuk setiap 𝛾 > 0 dan untuk setiap bola 𝐵(𝑎, 𝑟) berlaku ketaksamaan
𝜇{𝑥 ∈ 𝐵(𝑎, 𝑟) ∶ 𝑀 𝑝 𝑛 𝑓(𝑥) > 𝛾}   ≤ 𝐶 𝛾 𝑝 𝑟 𝑛 (𝜙(𝑟)) 𝑝 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 (𝜇)‖ 𝑝 .
Bukti .  Misalkan 𝜒 𝐵(𝑎,𝑟) merupakan  fungsi  karakteristik  dari 𝐵(𝑎, 𝑟). Untuk  setiap 𝑓 ∈ 𝔐 𝑝,𝜙 ,  berlaku
∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝
ℝ 𝑑
𝑑𝑥 𝑀𝜒 𝐵(𝑎,𝑟)
≤ ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝐵(𝑎,2𝑟) 𝑑𝑥 𝑀𝜒 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑑𝜇 + ∑ ∫
|𝑓(𝑥)| 𝑝 𝐵(𝑎,2 𝑘+1 𝑟)\𝐵(𝑎,2 𝑘 𝑟) 𝑑𝑥 𝑀𝜒 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑑𝜇 ∞ 𝑘=1
≤ 𝐶 [∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝
𝐵(𝑎,2𝑟) 𝑑𝑥 𝑀𝜒 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑑𝜇 + ∑ ∫
|𝑓(𝑥)| 𝑝 𝐵(𝑎,2 𝑘+1 𝑟)\𝐵(𝑎,2 𝑘 𝑟) 2 −𝑘𝑛 𝑑𝜇 ∞ 𝑘=1 ]
≤ 𝐶 {(2𝑟) 𝑛 (𝜙(2𝑟)) 𝑝 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝
+ ∑ 2 −𝑘𝑛 (2 𝑘+1 𝑟) 𝑛 ∞ 𝑘=1 (𝜙(2 𝑘+1 𝑟)) 𝑝 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝 }
= 𝐶𝑟 𝑛 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝 {(𝜙(2𝑟)) 𝑝 + ∑(𝜙(2 𝑘+1 𝑟)) 𝑝 ∞
𝑘=1 } = 𝐶𝑟 𝑛 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝 ∑(𝜙(2 𝑘+1 𝑟)) 𝑝 ∞ 𝑘=0 ≤ 𝐶𝑟 𝑛 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝 ∑(𝜙(2 𝑘 𝑟)) 𝑝 . ∞ 𝑘=0 Karena 𝜙 fungsi yang hampir turun, maka
∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 ℝ 𝑑 𝑑𝑥 𝑀𝜒 𝐵(𝑎,𝑟) 𝑑𝜇 ≤ 𝐶𝑟 𝑛 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝 ∑ ∫ (𝜙(𝑡)) 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑘+1 𝑟 2 𝑘 𝑟 ∞ 𝑘=0
≤ 𝐶𝑟 𝑛 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝 ∑ ∫ (𝜙(𝑡)) 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 ∞ 𝑟 ∞ 𝑘=0 ≤ 𝐶𝑟 𝑛 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 ‖ 𝑝 (𝜙(𝑟)) 𝑝 .
Selanjutnya, dengan Teorema 1.1, terbukti bahwa
𝜇{𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑀 𝑝 𝑛 𝑓(𝑥) > 𝛾} =   ∫
𝜒 𝐵(𝑎,𝑟) (𝑥)
{𝑥:𝑀|𝑓| 𝑝 (𝑥)>𝛾 𝑝 } 𝑑𝜇
≤ 𝐶 𝛾 𝑝 ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑀 ℝ 𝑑 𝜒 𝐵(𝑎,𝑟) (𝑥)𝑑𝜇
≤ 𝐶𝑟 𝑛 (𝜙(𝑟)) 𝑝 𝛾 𝑝 ‖𝑓 ∶   𝔐 𝑝,𝜙 (𝜇)‖ 𝑝 . ■

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Hasil yang diperoleh pada Teorema 2.1 analog dengan hasil dari Nakai (1994) di ruang Morrey homogeny yang diperumum. Selain itu, teorema tersebut merupakan perumuman dari Teorema 2.1 pada (Sihwaningrum, dkk., 2012).

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penelitian  ini  dibiayai  oleh  DIPA  Universitas  Jenderal  Soedirman  melalui Hibah Fundamental dengan kontrak No. 1055.04/UN23.9/PN/2012

## DAFTAR PUSTAKA
Garcia-Cuerva,  J.  dan  Martell,  J.M.  (2001)  Two-Weight  Norm  Inequalities  for
Maximal  Operators  and  Fractional  Integral  on  Non-Homogeneous  Spaces, Indiana Univ. Math.s J. 50 (3), 1241–1280.
Gunawan,  H.,    Sawano,  Y.  dan    Sihwaningrum,  I.  (2009)    Fractional  Integral Operators  in  Non-Homogeneous  Spaces, Bull.  Aust.  Math.  Soc. 80 (2) , 324– 334.
Nakai, E. (1994) Hardy-Littlewood maximal operator, singular integral operators, and Riesz potential on generalized Morrey spaces, Math. Nachr. 166, 95–103.
Nazarov,  F.,  Treil,  S.  dan  Volberg,  A.  (1998)    Weak  Type  Estimates  and  Cotlar Inequalities  for  Calderón-Zygmund  Operators  on  Nonhomogeneous  Space, Internat. Math. Res. Notices 9 , 463–487.
Sawano,  Y.    (2005)    Sharp  Estimates  of  the  Modified  Hardy  Littlewood  Maximal Operator  on  the  Non-homogeneous  Space  via  Covering  Lemmas, Hokkaido Math. J. 34 , 435–458.
Sihwaningrum,  I.,  Gunawan,  H.  dan    Budhi,  W.S.  (2008a)  Operator  Integral Fraksional  dan  Ketaksamaan  Olsen  di  Ruang  Morrey  Tak  Homogen  yang Diperumum, Prosiding  Seminar  Nasional  Mahasiswa  S3  Matematika  se- Indonesia, Universitas Gadjah mada, Yogyakarta,  39–47.
Sihwaningrum,  I.,    Gunawan,  H.,    Soeharyadi,  Y.  dan    W.S.  Budhi.  (2008b) Generalized  Non-homogeneous  Morrey  Spaces  and  Olsen  Inequality,
Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika,
Universitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta, 1–7.
Sihwaningrum, I., Maryani, S, dan  Gunawan, H. (2012) Weak Type Inequalities for Fractional Integral Operators on Generalized Non-homogeneous Morrey Spaces, Analysis in Theory and Applications, 28 , 65–72
Terasawa,  Y.  (2006)  Outer  Measures  and  Weak  Type  (1,1)  Estimates  of  Hardy-
Littlewood Maximal Operators , Journal of Inequalities and Applications. 46 , 471–497.
270                                                                                                                                   Sri Maryani