J .   M at h .   a n d  I t s  A pp l . I SSN:   1 8 2 9 - 6 0 5 X
Vol .   1 3 ,   No.   2 ,   Nop em b er   2 0 1 6 ,   2 1 - 3 0

## PENDEKATAN FUNGSI POLYNOMIAL DARI BENDA PUTAR DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN
Ulul Azmi 1 , Rita Yuliastuti 2 , Kresna Oktafianto 3
1,3 Prodi Matematika FMIPA, Universitas PGRI Ronggolawe
2 Prodi Pendidikan Matematika FKIP, Universitas PGRI Ronggolawe
1 alfa2aero@gmail.com, 2 riitahabibi@gmail.com, 3 k_oktafianto@yahoo.com

## Abstract
In calculus, integral operation is usually used to calculate a wide or volume of  an  object.  But  in  reality  there  is  a  lot  of  object  that  the  function  is  still unknown  while  in  integral  we  need  to  it  to  be  calculated.  In  this  paper  we proposed an approach to get the mathematic function of an object based on its shape.  Actually  with  a  whole  data  from  that  object  we  can  use  elimination Gauss Jordan to get a function, but that function is uncertainly able to generate the desired graph that similar to the object. A graph from non-linier function usually undergoing some change at some point, which is at extreme point and at turn point. With those point as a new limitation point we can get some new function that generate different or similar graph from each other. From those graph we compare them with the object shape and analyzing them to decide which one is the most approaching the object shape. In this paper we get the conclusion that in order to get the desired graph we need to test function from all three type of data then compare them to the real object shape.
Keywords : approach, function, gauss jordan, polynomial.

## 1. Pendahuluan
Integral  merupakan cabang dari  kalkulus  yang sering  digunakan dalam menghitung  luas  dan  volume  dari  suatu  obyek.  Tetapi  realitanya  banyak obyek  tidak  diketahui  fungsi  matematisnya  yang  sangat  dibutuhkan  dalam operasi integral, misalnya pada benda putar yang selimutnya tidak rata. Data yang dapat diketahui dari benda tersebut hanyalah tinggi dan jari-jarinya [1].
Metode eliminasi Gauss Jordan  [2] dapat digunakan untuk  membentuk sebuah  fungsi  dari  data  tersebut.  Tetapi  fungsi  tersebut  belum  tentu  dapat menghasilkan grafik yang mirip atau sama dengan benda putar yang diteliti. Sehingga untuk mendapat fungsi benda yang grafiknnya sesuai dengan benda putar yang diteliti perlu terlebih dahulu mengamati karakter bentuk dari benda tersebut.  Fungsi  non-linear  biasanya  mengalami  dua  jenis  perubahan,  yaitu
perubahan  arah  pada  titik  ekstrem  dan  perubahan  kecekungan  pada  titik belok.
Dengan  menggunakan  titik-titik  tersebut  sebagai  titik  batas  yang  baru maka  dapat  dibentuk  fungsi  lain  dengan  menggunakan  metode  eliminasi gauss  jordan.  Dari  semua  fungsi  yang  didapatakan  menghasilkan  grafik fungsi  yang  saling  mirip  ataupun  sangat  berbeda  satu  dengan  yang  lain. Kemudian  dengan  membandingkan  grafik-grafik  tersebut  terhadap  bentuk benda  putar  yang  diteliti  maka  akan  didapat  susunan  grafik  yang  paling mendekati bentuk benda putar yang diteliti.

## 2. Metode Penelitian
Sekumpulan  data  yang  dimisalkan  berasal  dari  satu  fungsi  yang  sama dapat dituliskan dalam sebagai suatu sistem persamaan linear, yaitu dengan mensubstitusikan  nilai  “x”  dan  “y”  yang  diketahui  pada  data  kedalam persamaan polynomial.
𝑓(𝑥) = 𝑦
(1)
𝑓(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (𝑥) + 𝑎 2 (𝑥) 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 (𝑥) 𝑛−1 = 𝑦 (2) A : variable x,y : konstanta N : banyaknya data
Sehingga  dengan n + 1 data  didapatkan  system  persamaan  linear  [3] seperti berikut:
𝑓(𝑥 0 ) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (𝑥 0 ) + ⋯ + 𝑎 𝑛 (𝑥 0 𝑛 ) = 𝑦 0 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (𝑥 1 ) + ⋯ + 𝑎 𝑛 (𝑥 1 𝑛 ) = 𝑦 1 𝑓(𝑥 2 ) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (𝑥 2 ) + ⋯ + 𝑎 𝑛 (𝑥 2 𝑛 ) = 𝑦 2 ⋮     +      ⋮        +  ⋮   +    ⋯        =  ⋮ 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (𝑥 𝑛 ) + ⋯ + 𝑎 𝑛 (𝑥 𝑛 𝑛 ) = 𝑦 𝑛
(3)
Sistem  persamaan  linear  pada  persamaan  3  dapat  ditulis  dalam  bentuk matrik 𝑋𝐴 = 𝑌 . [ 1 𝑥 0 𝑥 0 2 ⋯ 𝑥 0 𝑛 1 𝑥 1 𝑥 1 2 ⋯ 𝑥 1 𝑛 1 𝑥 2 𝑥 2 2 ⋯ 𝑥 2 𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 2 ⋯ 𝑥 𝑛 𝑛 ] [ 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 2 ⋮ 𝑎 𝑛 ] = [ 𝑦 0 𝑦 1 𝑦 2 ⋮ 𝑦 𝑛 ] (4)
Dari  persamaan  4  matrik 𝑋𝐴 = 𝑌 dapat  diselesaikan  dengan  metode eliminasi  Gauss  Jordan  sehingga  didapatkan  nilai  dari  variabel 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 adalah 𝑘 0 , 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘 𝑛 . Sehingga dengan mensubstitusikan
kembali nilai 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 tersebut kedalam persamaan 2 akan didapatkan suatu fungsi polynomial dengan variable x seperti berikut.
𝑓(𝑥) = 𝑘 0 + 𝑘 1 𝑥 + 𝑘 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝑥 𝑛 (5)

## 3. Pembahasan
Dalam penelitian ini diambil sampel data dari dua buah vas kayu berikut.
Gambar 1. vas kayu A dan vas kayu B
Pada gambar 1 terlihat ada beberapa titik batas pada kedua vas, sehingga tidak mungkin terbentuk fungsi dengan seluruh data pada vas. Jadi data yang didapat  dibagi  menjadi  beberapa  bagian  mengikuti  titik  batas  dari  vas. Pembagian batas-batas pada vas kayu A ditunjukan pada gambar 2.
Gambar 2. Bagian-Bagian Vas Kayu A
Sedangkan  pembagian  batas-batas  pada  vas  kayu  B  ditunjukan  pada gambar 3.

## Gambar 3. Bagian-Bagian Vas Kayu B
Dari gambar 2 didapat data ditiap bagian vas A seperti yang ditunjukan pada tabel 1.
Tabel 1. Data vas kayuA (cm)
Daerah Koordinat Daerah Koordinat X y x y A1 A1 0 6.78 A5 A5 e2 13.78 4.36 0.5 6.7
14 4 1 6.52 15 3.09
1.5 6.21
16 2.79
2 5.72 17 2.7 A2 A2 e1 17.6 2.68 2.25 5.79 A5 e2 2.45 5.81 19 2.72 A2 e2 22 2.94 2.8
5.71 25 3.23
3.05 5.53 28 3.57 A3 A3 e2 31 3.96 4 6.41
34 4.35 5 7.1
35.8 4.58 6 7.48 A6 A6 e2 7 7.69 36
4.71 8 7.77 36.15 4.78 A3 e2 36.45 4.82 9 7.7 A6 e2 10 7.47 36.7 4.78 11 6.93 36.9 4.71 12 5.96 37 4.66
12.9 3.85 A4 A4 13.25
4.11 13.5 4.25 13.78 4.36 Keterangan: An : bagian vas kayu A ke- n em : bagian ke- n yang dibatasi titik ekstrem n = 1,2,3,4,5,6 m = 1,2 : titik batas : titik ekstrem
Selanjutnya dari gambar 3 didapat data ditiap bagian vas B seperti yang ditunjukan pada tabel 2.
Tabel 2. Data vas kayu B (cm)
Daerah Koordinat Daerah Koordinat x y x y B1 B1 e1 B1 0 4.33 B2 B2 e2 B2 b2 16.9 5.14 2
5.68 17 5.04 4 6.78 18 4.5 6 7.75 19 4.37 8 8.38 19.85 4.34 10.25 8.66 B2 e3 B1 e2 21 4.47 12 8.47
22 4.93 14 7.69 22.6 5.6 16 5.61 22.9 6.16 16.27 5.13 B3 B3 B3 B2 B2 e1 B2 b1
23.25 6.09
16.4 5.25 23.5 5.95
16.6 5.38 23.8 5.68 B2 e2 24 5.45 16.75 5.29 16.9 5.14 Keterangan: Bn : bagian vas kayu B ke- n em : bagianke- n yang dibatasi titik ekstrem
bm : bagianke- n yang dibatasi titik belok
n = 1,2,3 m = 1,2,3 : titik batas : titik ekstrem : titik belok
Berikutnya akan dihitung dan didapatkan  fungsi-fungsi  dari  tiap  bagian dengan menggunakan metode eliminasi gauss jordan.
Pada bagian A1 tidak memiliki titik ekstrem maupun titik belok sehingga hanya terbentuk satu fungsi dengan semua data A1.
Tabel 3. Data Bagian A1
Daerah Koordinat x y
A1 0 6.78 0.5 6.7 1 6.52 1.5 6.21
2 5.72
Dengan mensubstitusikan data pada tabel 3 ke persamaan 2 akan didapat suatu system persamaan linear seperti berikut.
𝑓(0) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (0) + 𝑎 2 (0 2 ) + 𝑎 3 (0 3 ) + 𝑎 4 (0 4 ) = 6.78 𝑓(0.5) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (0.5) + 𝑎 2 (0.5 2 ) + 𝑎 3 (0.5 3 ) + 𝑎 4 (0.5 4 ) = 6.7 𝑓(1) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (1) + 𝑎 2 (1 2 ) + 𝑎 3 (1 3 ) + 𝑎 4 (1 4 ) = 6.52 𝑓(1.5) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (1.5) + 𝑎 2 (1.5 2 ) + 𝑎 3 (1.5 3 ) + 𝑎 4 (1.5 4 ) = 6.21 𝑓(2) = 𝑎 0 + 𝑎 1 (2) + 𝑎 2 (2 2 ) + 𝑎 3 (2 3 ) + 𝑎 4 (2 4 ) = 5.72
Sistem  persamaan  linear  di  atas  ditulis  dalam  bentuk  matrik  ekstensi untuk nantinya diselesaikan dengan metode eliminasi gauss jordan.
[ 1 0 0 0 0 678 100 1 1 2 1 4 1 8 1 16 67 10 1 1 1 1 1 652 100 1 3 2 9 4 27 8 81 16 621 100 1 2 4 8 16 572 100 ]
Eliminasi  Gauss  Jordan  memanfaatkan  operasi  baris  elementer  untuk mengubah matrik menjadi matrik identitas
[ 1 0 0 0 0 678 100 0 1 0 0 0 − 7 100 0 0 1 0 0 − 53 300 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 − 1 75 ]
Sehingga  dari  matrik di atas dapat  diketahui  nilai dari 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 adalah
𝑎 0 = 678 100 , 𝑎 1 = − 7 100 , 𝑎 2 = − 53 100 , 𝑎 3 = 0, 𝑎 4 = − 1 75
Substitusikan  kembali  nilai 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 ke  persamaan  2  maka didapat fungsi dan grafik A1 yang dibatasi di titik 0 samapai 2 adalah.
𝑓 𝐴1 (𝑥) = 678 100 − 7 100 𝑥 − 53 300 𝑥 2 + 0 − 1 75 𝑥 4 Gambar 4. Fungsi 𝑓 𝐴1 (𝑥)
Pada bagian A2 ada dua tipe data, yaitu data seluruh bagian dan data yang dibatasi titik ekstrem. Sehingga terbentuk dua susunan fungsi dengan grafik.
Gambar 5. Fungsi 𝑓 𝐴2 (𝑥) dan 𝑓 𝐴2 (𝑥)
Pada bagian A3 ada dua tipe data, sehingga terbentuk dua susunan fungsi dengan grafik.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 A1 A1 2 2.5 3 3.5 5.5 5.55 5.6 5.65 5.7 5.75 5.8 5.85 A2 A2 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 5.6 5.65 5.7 5.75 5.8 5.85 A2e A2e1 A2e2
Gambar 6. Fungsi 𝑓 𝐴3 (𝑥) dan 𝑓 𝐴3[𝑒] (𝑥)
Bagian A4 hanya memiliki satu fungsi seperti pada A1.
Gambar 7. Fungsi 𝑓 𝐴4 (𝑥)
Pada bagian A5 ada dua tipe data, sehingga terbentuk dua susunan fungsi dengan grafik.
Gambar 8. Fungsi 𝑓 𝐴5 (𝑥) dan 𝑓 𝐴5[𝑒] (𝑥)
Pada bagian A6 ada dua tipe data, sehingga terbentuk dua susunan fungsi dengan grafik.
Gambar 9. Fungsi 𝑓 𝐴6 (𝑥) dan 𝑓 𝐴6[𝑒] (𝑥)
Dari semua grafik yang dihasilkan di tiap bagian vas kayu A akan disusun menjadi  satu  sehingga  menjadi  grafik  dari  vas  kayu  A.  Tetapi  pada  bagian yang  memiliki  lebih  dari  satu  fungsi  perlu  dilakukan  analisis  pengamatan terlebih dahulu untuk mendapatkan grafik dari fungsi yang lebih mendekati bentuk vas kayu A pada bagian tersebut.
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 A3 A3 2 4 6 8 10 12 14 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 A3e A3e1 A3e2 12.9 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 A4 A4 10 15 20 25 30 35 40 -15 -10 -5 0 5 10 15 A5 A5 10 15 20 25 30 35 40 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 A5e A5e1 A5e2 35.6 35.8 36 36.2 36.4 36.6 36.8 37 4.55 4.6 4.65 4.7 4.75 4.8 4.85 A6 A6 35.6 35.8 36 36.2 36.4 36.6 36.8 37 4.55 4.6 4.65 4.7 4.75 4.8 4.85 A6e A6e1 A6e2
 Pada  bagian  A2  karena  kedua  grafik  serupa  maka  bias  dipilih  salah satunya.
 Pada bagianA3  grafik 𝑓 𝐴3 (𝑥) lebih mendekati bagian A3.
 Pada A5 grafik dari 𝑓 𝐴5[𝑒] (𝑥) lebih mendekati bagian A.
 Pada A6 grafik dari 𝑓 𝐴6 (𝑥) lebih mendekati daerah A6.
Sehingga dari analisis pengamatan di atas didapatkan susunan fungsi dan grafik dari vas kayu A adalah sebagai berikut.
𝑓 𝐴 (𝑥) = { 𝑓 𝐴1 (𝑥)    , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑓 𝐴2[𝑒] (𝑥), 2 ≤ 𝑥 ≤ 3.05 𝑓 𝐴3 (𝑥)    , 3.05 ≤ 𝑥 ≤ 12.9 𝑓 𝐴4 (𝑥)    , 12.9 ≤ 𝑥 ≤ 13.78 𝑓 𝐴5[𝑒] (𝑥), 13.78 ≤ 𝑥 ≤ 35.8 𝑓 𝐴6 (𝑥)    , 35.8 ≤ 𝑥 ≤ 37 (6) Gambar 10. Fungsi 𝑓 𝐴 (𝑥)
Berikutnya akan didapatkan fungsi dari vas kayu B dari data pada tabel 2. Pada bagian B1 ada dua tipe data, sehingga terbentuk dua susunan fungsi dengan grafik.
Gambar 11. Fungsi 𝑓 𝐵1 (𝑥) dan 𝑓 𝐵1[𝑒] (𝑥)
Pada bagian B2 ada tiga  tipe data yaitu data dari  semua titik  di  bidang B2,  data  yang  dibatasi  oleh  titik  ekstrem  dan  data  yang  dibatasi  oleh  titik belok. Dari tiga data tersebut didapatkan tiga susunan fungsi dengan grafik.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 2 3 4 5 6 7 8 A A1 A2e1 A2e2 A3 A4 A5e1 A5e2 A6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 B1 B1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 B1e B1e1 B1e2
Gambar 12. Fungsi 𝑓 𝐵2 (𝑥) Gambar 13. Fungsi 𝑓 𝐵2[𝑒] (𝑥) dan 𝑓 𝐵2[𝑏] (𝑥)
Bagian A4 hanya memiliki satu fungsi dengan grafik.
Gambar 14. Fungsi 𝑓 𝐵3 (𝑥)
Dari semua grafik yang dihasilkan di tiap bagian vas kayu B akan disusun menjadi satu sehingga menjadi grafik dari vas kayu B. seperti pada vas kayu A, tiap bagian yang memiliki lebih dari satu susunan fungsi dilakukan analisis pengamatan terlebih dahulu untuk mendapatkan grafik dari fungsi yang lebih mendekati bentuk vas kayu B pada bagian tersebut.
 Pada  bagian  B1  grafik  dari  kedua  fungsi  tersebut  sama-sama  memiliki error yang sedikit di tempat yang berbeda, sehingga fungsi daerah B1 bisa salah satunya.
 Grafik dari 𝑓 𝐵2[𝑏] (𝑥) lebih mendekati daerah B2.
Sehingga dari analisis pengamatan di atas didapatkan susunan fungsi dan grafik dari vas kayu B adalah sebagai berikut.
16 17 18 19 20 21 22 23 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 B2 B2 16 17 18 19 20 21 22 23 4 4.5 5 5.5 6 6.5 B2e B2e1 B2e2 B2e3 16 17 18 19 20 21 22 23 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 B2b B2b1 B2b2 22.8 23 23.2 23.4 23.6 23.8 24 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 B3 B3
𝑓 𝐵 (𝑥) = { 𝑓 𝐵1[𝑒] (𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 16.27 𝑓 𝐵2[𝑏] (𝑥), 16.27 ≤ 𝑥 ≤ 22.9 𝑓 𝐵3 (𝑥)     , 22.9 ≤ 𝑥 ≤ 24 (7) Grafik dari 𝑓 𝐵 (𝑥) adalah sebagai berikut.
Gambar 15. Fungsi 𝑓 𝐵 (𝑥)

## 4. Kesimpulan
Dalam  pembahasan  di  atas  terlihat  bahwa  dari  data  yang  sama  dapat terbentuk  fungsi  dengan  grafik  yang  sangat  berbeda,  dan  dari  satu  tipe pembagian  batas  pada  data  belum  tentu  dapat  menghasilkan  fungsi  dengan grafik  yang  mendekati  benda  putar  yang  diteliti.  Sehingga  untuk mendapatkan  grafik  fungsi  yang  mendekati  atau  sama  dengan  benda  putar yang  diteliti  perlu  dilakukan  pengujian  terhadap  ketiga  tipe  data  terlebih dahulu.

## 5. Saran
Peneliti  menyarankan  untuk  menuliskan  fungsi  dalam  bentuk  rasional, hal  ini  disebabkan oleh peulisan dalam  bentuk  desimal  dapat  menghasilkan titik yang sangat jauh berbeda dari titik pada data yang diketahui.

## 6. Referensi
[1] Sukirman, 2006. “ Logika Dan Himpunan” . Yogyakarta: Hangar Kreator
[2] Anton, Howard. 2000. “ Dasar-dasar Aljabar Linear edisi 7 jilid 1 ” alih bahasa Ir. Hari Suminto. Batam Centre: Interaksa .
[3] Ruminta.  2009.  “ Matrik  Persamaan  Linear  dan  Pemrograman  Linear ”.
Bandung: Rekayasa Sains 0 5 10 15 20 25 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 B B1e1 B1e2 B2b1 B2b2 B3