JURNAL GAUSSIAN, Volume 11, Nomor 2, Tahun 2022, Halaman 290 - 301 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PERAMALAN HARGA EMAS DUNIA DENGAN MODEL GLOSTEN-JAGANNATHAN-RUNCLE GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY
Uswatun Hasanah 1* , Agus Rusgiyono 2 , Rukun Santoso 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *Email: uswatun.hasanah.1999.02.18@gmail.com

## ABSTRACT
Gold  investment  is  considered  safer  and  has  less  risk  than  other types  of  investment.  One  of  the  important knowledge in investing in gold is predicting the price of gold in the future through modeling the price of gold in the past. The purpose of this study is to model the gold price in the past so that it can be used to predict gold prices in the future. The world gold price data is a time series data that has heteroscedasticity properties, so the time series model used to solve the heteroscedasticity problem is GARCH. This study has an asymmetric effect, so the asymmetric GARCH model is used, namely the Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) model to model the world gold price data. The data is divided  into in-sample data from January 3, 2012 to December 31, 2018 to create a world gold price model and out-sample data from January 1, 2019 to December 31,  2020,  which  is  used  to  evaluate  model  performance  based  on  MAPE  values.  The  best  model  is  the ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) model with a MAPE data out sample value of 18,93% which shows that the performance of the model has good forecasting abilities.
Keywords : Gold Price, GARCH, Asymmetric GARCH, GJR-GARCH.

## 1. PENDAHULUAN
Investasi semakin digemari oleh masyarakat seiring teredukasinya masyarakat dalam bidang keuangan.  Investasi emas dinilai lebih aman dan memiliki resiko  yang lebih kecil dibandingkan jenis investasi lainnya. Pandemi COVID-19 pada tahun 2020 telah berdampak negatif  pada  sektor  keuangan  sehingga  ketidakstabilan  harga  terus  meningkat.  Selain  itu, sepanjang  tahun  2020  pasar  saham  terus  kehilangan  nilainya  yang  menyebabkan  para investor beralih ke investasi emas sebagai tempat berlindung untuk menghindari kerugian yang  terlalu  besar.  Hal  ini  dikarenakan  emas  merupakan  aset  yang  memiliki  ketahanan tinggi, dapat disimpan dalam jangka panjang, dan dinilai mampu membantu para investor memenuhi tujuan investasi.
Meski  harga  emas  cenderung  stabil  dan  naik,  terkadang  harga  emas  mengalami perubahan atau terjadi ketidakstabilan harga.  Tujuan dari penelitian ini yaitu memodelkan harga  emas  pada  masa  lampau  sehingga  dapat  digunakan  untuk memprediksi  harga  emas pada masa yang akan datang. Hal tersebut akan memudahkan para investor untuk mengambil keputusan, kapan waktu yang tepat untuk berinvestasi.
Model  umum  ARMA  yang  biasa  digunakan  untuk  memodelkan  data  runtun  waktu akan kurang tepat jika varian residual masih mengandung unsur heteroskedastisitas. Model runtun  waktu  yang  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  kasus  heteroskedastisitas diantaranya  adalah  model Autoregressive  Conditional  Heteroskedasticity (ARCH)  dan model Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH).
Model  ARCH  dan  GARCH  mempunyai  kelemahan  dalam  menangkap  fenomena ketidaksimetrisan good news dan bad news pada volatilitas sektor keuangan, artinya antara gejolak  positif  ( good  news )  dan  gejolak  negatif  ( bad  news )  mempunyai  dampak  yang berbeda terhadap pergerakan volatilitas. Good news yaitu informasi akan berdampak positif terhadap pergerakan volatilitas berupa penurunan nilai vlatilitas sedangkan bad news yaitu
informasi  akan  berdampak  negatif  terhadap  pergerakan  volatilitas  berupa  kenaikan  nilai volatilitas. Kelemahan dari model ARCH/GARCH tersebut dapat diperbaiki salah satunya dengan menggunakan model GARCH Asimetris yaitu model Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH atau sering disebut GJR-GARCH (Lee, 2009).Penelitian ini akan difokuskan untuk pengaplikasian  metode  GJR-GARCH  pada  harga  emas  dunia  periode  harian  serta meramalkan harga emas dunia berdasarkan model yang telah terbentuk.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Sejak tahun 1968, harga emas yang dijadikan patokan seluruh dunia adalah harga emas berdasarkan London Bullion Market Association (LBMA) dengan sistem yang dinamakan London  Gold  Fishing. Sistem  ini  merupakan  prosedur  penetapan  harga  emas  setiap  hari kerja,  yakni  pada  pukul  pukul  10.30  ( Gold  A.M )  dan  pukul  15.00  ( Gold  P.M )  oleh  lima anggota LBMA yaitu Bank of Nova Scottia, Barclays Capital, Deutsche Bank, HSBC, dan Societe  Gerale.  Harga  emas  ditentukan  dalam mata  uang  Dolar  Amerika  Serikat  per troy ounce atau setara dengan 31,103 gram. Gold P.M dianggap sebagai harga penutupan pada hari  perdagangan  dan  digunakan  sebagai  patokan  harga  emas  di  seluruh  dunia ( www.goldfixing.com ).
Analisis rukun waktu atau time series pertama kali diperkenalkan dan dikembangkan pada  tahun  1970  oleh  Box  dan  Jenkins merupakan  analisis  sekumpulan  data  dalam  suatu periode  waktu  lampau  yang  berguna  untuk  mengetahui  atau  meramalkan  kondisi  masa mendatang  (Soejoeti,  1987).  Dasar  pemikiran  analisis  runtun  waktu  adalah  pengamatan sekarang  (Z t )  bergantung  pada  satu  atau  beberapa  pengamatan  sebelumnya  (Z t-p ),  dengan kata  lain  model time  series dibuat  karena  secara  statistik  adanya  korelasi  antar  deret pengamatan (Makridakis, 1999).
Autoregressive (AR) merupakan bentuk runtun waktu yang menghubungkan nilai-nilai sebelumnya pada time lag (selang waktu). Model Autoregresive tingkat p atau AR (p) dapat ditulis sebagai berikut :
𝑍 𝑡 = 𝜙 1 𝑍 𝑡−1 + 𝜙 2 𝑍 𝑡−2 +   … + 𝜙 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 (1)
Moving Average (MA) yang berarti rata-rata bergerak merupakan nilai runtun waktu pada  waktu  waktu  ke- t dipengaruhi  oleh  unsur  eror pada  saat  ini,  dan  eror  terbobot  pada masa  lalu.  (Makridakis,  Wheelwright  &  Hyndman,  1983).  Bentuk  umum  proses Moving Average tingkat q atau MA (q) adalah sebagai berikut:
𝑍 𝑡 = 𝑎 𝑡 −   𝜃 1 𝑎 𝑡−1 − 𝜃 2 𝑎 𝑡−2 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞 (2)
Model Autoregressive  Moving  Average (ARMA)  merupakan  kombinasi  proses Autoregressive (AR)  dan Moving  Average (MA).  Bentuk  umum  proses Autoregressive Moving Average atau ARMA (p,q) adalah sebagai berikut:
𝑍 𝑡 = 𝜙 1 𝑍 𝑡−1 +   … + 𝜙 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 −   𝜃 1 𝑎 𝑡−1 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞 (3)
Pada proses ARIMA (p,d,q) melibatkan proses AR (p), MA (q), dan tingkat differencing (d). Tingkat differencing menunjukkan  tidak  stasioneritasnya  data  dalam mean ,  jika  d=0 maka  data  runtun  waktu  sudah  stasioner.  Persamaan  umum  ARIMA  dapat  dirumuskan sebagai berikut : 𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 = 𝜃 0 + 𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡 (4)
Suatu  data  runtun  waktu  dikatakan  stasioner  dalam  varian  apabila  varian  data cenderung konstan atau tetap. Pengujian stasioneritas data dalam varian dapat diuji dengan Uji Box-Cox. Transformasi keluarga Box-Cox dirumuskan sebagai berikut:
𝑇(𝑍 𝑡 ) = 𝑍 𝑡 𝜆 −1 𝜆 (5)
dengan 𝜆 ≠ 0 dan 𝜆 merupakan parameter transformasi. Jika nilai lambda sama dengan satu, maka data sudah stasioner dalam varian. Jika nilai lambda tidak sama dengan satu maka data tidak stasioner dalam varian dan harus ditransformasi (Box & Cox, 1964).
Uji akar unit Augmented Dickey-Fuller digunakan untuk pengujian stasioneritas data dalam mean secara  formal.  Langkah  awal  dalam  pengujian  ini  yaitu  menaksir  model autoregresi dari masing-masing variabel, contoh dengan Model AR(1) sebagai berikut :
𝑍 𝑡 = ∅ 1 𝑍 𝑡−1 + 𝑎 𝑡 (6)
Rumusan hipotesis dari Uji ADF sebagai berikut: H 0 : |∅| = 1 (Terdapat Akar Unit sehingga data tidak stasioner) H 1 : |∅| <  1 (Tidak terdapat Akar Unit sehingga data stasioner) Taraf signifikansi = 𝛼 Statistik uji :
𝐴𝐷𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = ∅ ̂ −1 𝑠𝑒(∅ ̂) (7)
Kriteria Uji: Tolak H 0 jika 𝐴𝐷𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≤ nilai statistik Dickey Fuller (𝛼, 𝑛) atau p-value ≤ 𝛼 Tujuan dilakukan identifikasi model runtun waktu Box-Jenkis adalah menentukan data runtun waktu termasuk proses AR dengan orde p, MA dengan orde q, ARMA dengan orde (p,q),  atau  ARIMA  dengan  orde  (p,d,q).  Dalam  mengidentifikasi  model  Box-Jenkins digunakan  plot  Fungsi  Autokorelasi  untuk  menentukan  orde  q  pada  model  MA (q) dan Fungsi Autokorelasi Parsial untuk menentukan orde p pada model AR (p) . AR (p) ditetapkan sebagai model awal, jika plot PACF terputus setelah lag-p dan plot  ACF menurun secara eksponensial.  MA (q) ditetapkan sebagai model awal, plot ACF terputus setelah lag-q dan plot PACF menurun secara eksponensial. ARMA (p,q) ditetapkan sebagai model awal, jika plot PACF terputus setelah lag-p plot ACF terputus setelah lag-q
Setelah  ditetapkan  model  sementara,  langkah  selanjutnya  yaitu  mengestimasi parameter  model  menggunakan  Estimasi  Maximum  Likelihood  (MLE).  Kemudian dilakukan  pengujian  signifikansi  parameter  secara  individu  untuk  setiap  parameter  model ARIMA yang telah terbentuk dengan prosedur pengujian berikut:
1. Pengujian hipotesis parameter Model Autoregressive (AR) :
𝐻 0 : 𝜙 𝑖 = 0 dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑝 (parameter tidak signifikan terhadap model) 𝐻 1 : 𝜙 𝑖 ≠ 0 dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑝 (parameter signifikan terhadap model) Taraf signifikansi: 𝛼
Statistik Uji: 𝑡 = 𝜙 𝑖 ̂ 𝑠𝑒(𝜙 𝑖 ̂) (8)
Kriteria uji: Tolak 𝐻 0 jika |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔|   ≥   𝑡 (∝/2;𝑛−𝑝)
2. Pengujian hipotesis parameter  Model Moving Average (MA):
𝐻 0 : 𝜃 𝑗 = 0 dengan 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑞 (parameter tidak signifikan terhadap model) 𝐻 1 : 𝜃 𝑗 ≠ 0 dengan 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑞 (parameter signifikan terhadap model) Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
𝑡 = 𝜃 𝑗 ̂ 𝑠𝑒(𝜃 𝑗 ̂) (9)
Kriteria uji: Tolak 𝐻 0 jika |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔|   ≥   𝑡 (∝/2;𝑛−𝑞) atau p-value ≤ 𝛼
Pada  model  ARIMA  diasumsikan  bahwa  tidak  adanya  korelasi  antar  lag  residual. Pengujian hipotesis dengan diuji dengan menggunakan uji Ljung Box ( 𝑄 ) sebagai berikut: 𝐻 0 : 𝜌̂ 1 = 𝜌̂ 2 = ⋯ = 𝜌̂ 𝑚 = 0 (tidak ada korelasi antar lag residual)
𝐻 1 : Paling sedikit ada satu 𝜌̂ 𝑘 ≠ 0 dengan 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑚 (ada korelasi antar lag residual)
Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
𝒬(𝑚) = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ 𝜌 ̂ 𝑘 2 𝑛−𝑘 𝑚 𝑘=1 (10)
dengan 𝑛 : banyak data, 𝜌̂ 𝑘 2 : autokorelasi residual pada lag 𝑘 , dan 𝑚 : banyak lag yang diuji. Kriteria uji: Tolak 𝐻 0 jika 𝑄(𝑚)   ≥ ꭓ (𝛼,𝑚) 2 atau p-value ≤ 𝛼 (Tsay, 2012).
Pengujian  yang  dipakai  untuk  menguji  normalitas  residual  adalah  uji  Jarque  Bera. Berikut hipotesis pengujiannya:
𝐻 0 : Residual berdistribusi normal
𝐻 1 : Residual tidak berdistribusi normal Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
JB = 𝑛 6 (𝑆𝑘 2 + (𝐾−3) 2 4 ) (11)
dengan n adalah banyaknya data, Sk adalah skewness, dan K adalah kurtosis. Kriteria Uji : Tolak 𝐻 0 jika 𝐽𝐵 ≥ ꭓ (2) 2 atau p-value ≤ 𝛼 Uji Lagrange Multiplier digunakan untuk mendeteksi adanya heteroskedastisitas dan keberadaan efek Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) dalam model. Uji ini dilakukan dengan cara persamaan regresi linier berikut:
𝑎 𝑡 2 =   𝜔 0 +  𝜔 1 𝑎 𝑡−1 2 +   … +   𝜔 𝑚 𝑎 𝑡−𝑚 2 +   𝑒 𝑡 (12)
Hipotesis pengujian Lagrange Multiplier : 𝐻 0 : 𝜔 1 = 𝜔 2 = ⋯ = 𝜔 𝑚 = 0 (tidak ada efek ARCH pada residual sampai lag 𝑚 ) 𝐻 1 : minimal ada satu 𝜔 𝑘 ≠ 0 untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑚 (terdapat efek ARCH sampai lag ke- 𝑚 ) Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
𝐿𝑀 = 𝑛 𝑅 2 (13)
dengan 𝑛 banyak data, 𝑚 banyak lag yang diuji, dan R 2 : koefisien determinasi dari regresi antara kuadrat residual ke- t dengan kuadrat residual ke- (t-m).
Kriteria Uji: Tolak 𝐻 0 jika 𝐿𝑀 ≥ ꭓ 𝑚 2 (𝛼) atau p-value ≤ 𝛼 . (Tsay, 2012)
Model Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) mengasumsikan varian residual tidak konstan dalam data runtun waktu. Bentuk umum Model ARCH (p) : 𝜎 𝑡 2 = α 0 + α 1 𝑎 𝑡−1 2 + ... + α p 𝑎 𝑡−𝑝 2 (14)
Bollerslev (1986) mengembangkan metode ARCH dalam bentuk yang lebih sederhana yang  dikenal  sebagai Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroskedasticit y (GARCH). Bentuk model GARCH (p,q) menurut Tsay (2002) sebagai berikut:
𝜎 𝑡 2 =   𝛼 0 +   𝛼 1 𝑎 𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼 𝑝 𝑎 𝑡−𝑝 2 + 𝛽 1 𝜎 𝑡−1 2 + ⋯ +  𝛽 𝑞 𝜎 𝑡−𝑞 2 (15)
dengan: 𝜎 𝑡 2 : variansi residual dari waktu ke- t , α 0 ... α p : parameter model ARCH, dan β 0 … β q merupakan parameter model GARCH.
Engle dan Ng (1993) mengajukan tiga uji yang digunakan untuk mengetahui pengaruh asimetris  yakni  uji  tanda  bias,  uji  ukuran  bias  negatif,  dan  uji  ukuran  bias  positif.  yang dilakukan secara bersamaan atau efek gabungan dalam persamaan regresi berikut :
𝛼̂ 𝑡 2 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑆 𝑡−1 − + 𝑏 2 𝑆 𝑡−1 − 𝑎 𝑡−1 + 𝑏 3 𝑆 𝑡−1 + 𝑎 𝑡−1 + 𝑒 𝑡 (16)
Pengujian hipotesis parameter pada persamaan (16) adalah sebagai berikut:
1. Pengujian tanda bias, ukuran bias positif, dan ukuran bias negatif: Hipotesis:
𝐻 0 : 𝑏 𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2,3 (Residual bersifat simetris) 𝐻 1 : 𝑏 𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2,3 (Residual bersifat asimetris)
Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
Uji tanda bias, uji ukuran bias positif, dan uji ukuran bias negatif:
𝑡 = 𝑏 𝑖 ̂ 𝑠𝑒(𝑏 𝑖 ̂ )
dengan 𝑏 𝑖 ̂ : penaksir kuadrat terkecil dari 𝑏 𝑖 , 𝑠𝑒(𝑏 𝑖 ̂ ) : standar residual dari 𝑏 1 ̂ Kriteria Uji: Tolak 𝐻 0 jika |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔|   ≥   𝑡 ( ∝ 2 ,𝑛) atau p-value ≤ 𝛼 .
2. Pengujian gabungan ( joint effect ):
Hipotesis: 𝐻 0 : 𝑏 1 = 𝑏 2 = 𝑏 3 = 0 (Residual bersifat simetris)
𝐻 1 : paling sedikit ada satu 𝑏 𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2,3 (Residual bersifat asimetris) Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
𝐿𝑀 = 𝑛𝑅 2 , berdistribusi chi-square dengan derajat bebas 3 dengan  n  adalah  banyaknya  data,  R 2 adalah  koefisien  determinasi  dalam  regresi  dari kuadrat residual.
Kriteria Uji: Tolak 𝐻 0 jika 𝐿𝑀  ≥ ꭓ (𝑎;3) 2 atau p-value ≤ 𝛼 untuk uji gabungan.
Model  GJR-GARCH  diperkenalkan  oleh  Glosten,  Jagannathan,  dan  Runkle  pada tahun 1993 merupakan salah satu model yang mampu menangkap keberadaan efek asimetris pada volatilitas data. Model GJR-GARCH (p,q) dapat didefinisikan sebagai (Lee, 2009): 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + ∑ 𝛼 𝑖 𝑎 𝑡−𝑖 2 + ∑ 𝛽 𝑗 𝑞 𝑗=1 𝜎 𝑡−𝑗 2 𝑝 𝑖=1 + ∑ 𝛾 𝑖 𝑆 𝑡−𝑖 − 𝑎 𝑡−𝑖 2 𝑝 𝑖=1 (19)
dengan  α 0 ,  α 1 ,  β j merupakan  konstanta  parameter  model  GARCH (p,q) dan  γ i konstanta parameter GJR leverage effect atau efek asimetris pada data 𝑆 𝑡−𝑖 − merupakan variabel dummy bernilai 1 ketika a t-i < 0 dan bernilai 0 ketika a t-i ≥ 0.
Dalam  model  GARCH  standar,  distribusi  standar  residual Ɛ t model  GARCH diasumsikan berdistribusi normal. Namun, untuk banyak data runtun waktu asumsi ini tidak sesuai  karena  kurtosis  yang  berlebih  (leptokurtosis).  Dalam  beberapa  aplikasi, lebih  tepat mengasumsikan Ɛ t mengikuti distribusi ekor berat seperti distribusi Student-t . (Tsay, 2012). Apabila Ɛ t adalah  distribusi Student-t dengan  derajat  bebas v .  Bollerslev  (1987) melakukan pemodelan GARCH(1,1) dengan distribusi student-t yang didefinisikan sebagai:
𝑓(Ɛ𝑡|𝑣) = 1 √𝜋(𝑣−2)𝛤( 𝑣 2 ) (1 + 𝜀 𝑡 2 𝑣−2 ) −( 𝑣+1 2 ) 𝛤 ( 𝑣+1 2 ) , v>2 (27)
𝛤(𝑥) menunjukkan fungsi gamma. (𝛤(𝑥) = ∫ 𝑦 𝑥−1 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦) ∞ 0 , dengan a t = σ t. Ɛ t . Sehingga diperoleh fungsi likelihood dari a t sebagai berikut:
𝑓(𝑎 𝑞+1 , … , 𝑎 𝑇 |𝜗, 𝑎 1 , . . . , 𝑎 𝑞 ) = ∏ 1 √𝜋𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)𝛤( 𝑣 2 ) ( 1 + 𝜀 𝑡 2 𝑣−2 ) −( 𝑣+1 2 ) 𝛤 ( 𝑣+1 2 ) 𝑇 𝑡=1 (28)
Sehingga diperoleh fungsi log likelihood sebagai berikut :
𝐿 𝑇 ( 𝜗 ) =  log (∏ 1 √𝜋𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)𝛤( 𝑣 2 ) (1 + 𝜀 𝑡 2 𝑣−2 ) −( 𝑣+1 2 ) 𝛤 ( 𝑣+1 2 ) 𝑇 𝑡=1 ) (29)
Turunan pertama dari 𝐿 𝑇 (𝜗) terhadap 𝜎 𝑡 2 adalah
𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝜎 𝑡 2 ) =   ∑ 1 2𝜎 𝑡 2 (𝑣 − (𝑣+1)(𝑣−2)𝜎 𝑡 2 (𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)+𝑎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=𝑞+1 (30)
Turunan pertama dari 𝐿 𝑇 (𝜗) terhadap vektor parameter 𝜗 dilakukan dengan mensubtitusikan Persamaan (30) sebagai berikut : 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝜗) = 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝜎 𝑡 2 ) 𝜕(𝜎 𝑡 2 ) 𝜕(𝜗) =   ∑ 1 2𝜎 𝑡 2 (𝑣 − (𝑣+1)(𝑣−2)𝜎 𝑡 2 (𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)+𝑎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=𝑞+1 𝜕(𝜎 𝑡 2 ) 𝜕(𝜗) (31)
Dengan 𝑦 𝑡 = (𝑣 − (𝑣+1)(𝑣−2)𝜎 𝑡 2 (𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)+𝑎 𝑡 2 ) dan ℎ 𝑡 = 𝜕(𝜎 𝑡 2 ) 𝜕(𝜗) Persamaan  yang  diperoleh  tidak closed  form karena  masih  terdapat  parameter  di dalam  persamaan    akhirnya,  sehingga  digunakan  metode  iterasi  Berndt,  Haull,  Haull  dan Hausman  (BHHH).  Bentuk  iterasi  parameter  yang  diperoleh  dari  metode  BHHH  adalah
𝜗 𝑇+1 = 𝜗 𝑇 + [∑ ((∑ 1 2𝜎 𝑡 2 𝑦 𝑡 𝑇 𝑡=𝑞+1 ℎ 𝑡 ) (∑ 1 2𝜎 𝑡 2 𝑦 𝑡 𝑇 𝑡=𝑞+1 ℎ 𝑡 ) ′ ) 𝑇 𝑡=1 ] −1 (∑ 1 2𝜎 𝑡 2 𝑦 𝑡 𝑇 𝑡=𝑞+1 ℎ 𝑡 ) (32)
Persamaan (32) dapat ditulis ke dalam bentuk sebagai berikut:
𝜗 𝑇+1 = 𝜗 𝑇 + [∑ 𝐺𝐺 ′ 𝑇 𝑡=1 ] −1 𝐺 (33)
Dengan 𝐺 ′ = [ 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛼 0 ) , 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛼 1 ) , … , 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛼 𝑝 ) , 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛾 1 ) , … , 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛾 𝑝 ) , 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛽 1 ) , … , 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛽 𝑞 ) ]
Dengan
𝜕𝐿 𝑇 (𝜗)
𝜕(𝛼 0 ) =  =   ∑ 1 2𝜎 𝑡 2 (𝑣 − (𝑣+1)(𝑣−2)𝜎 𝑡 2 (𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)+𝑎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=𝑞+1 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛼 𝑖 ) =  =   ∑ 1 2𝜎 𝑡 2 (∑ 𝑎 𝑡−𝑖 2 𝑝 𝑖=1 ) (𝑣 − (𝑣+1)(𝑣−2)𝜎 𝑡 2 (𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)+𝑎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=𝑞+1 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛾 𝑖 ) =  =   ∑ 1 2𝜎 𝑡 2 (∑ 𝛾 𝑖 𝑆 𝑡−𝑖 − 𝑎 𝑡−𝑖 2 𝑝 𝑖=1 ) (𝑣 − (𝑣+1)(𝑣−2)𝜎 𝑡 2 (𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)+𝑎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=𝑞+1 𝜕𝐿 𝑇 (𝜗) 𝜕(𝛽 𝑗 ) =  =   ∑ 1 2𝜎 𝑡 2 (∑ 𝜎 𝑡−𝑗 2 𝑞 𝑖=1 ) (𝑣 − (𝑣+1)(𝑣−2)𝜎 𝑡 2 (𝜎 𝑡 2 (𝑣−2)+𝑎 𝑡 2 ) 𝑇 𝑡=𝑞+1
Pada penelitian ini, evaluasi kinerja model menggunakan nilai MAPE ( Mean Absolute Percentage  Error )  data out  sample .  MAPE  yaitu  persentase  rata-rata  nilai  absolut error dibagi data aktualnya yang dirumuskan sebagai berikut:
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ | 𝑍𝑡−𝑍̂𝑡 𝑍𝑡 | 𝑛 𝑛 𝑡=1 × 100% (34)

## 3. METODE PENELITIAN
Data  yang  digunakan  adalah  data  sekunder  yang  bersumber  dari  website  dengan alamat https://www.investing.com/indices/lbma-gold-fixing-price-historical-data. Data tersebut merupakan data hari kerja harga emas dunia dalam USD/ troy ounce (31,103gr) yang dibagi menjadi dua, yaitu data in sample pada periode 3 Januari 2012 sampai 31 Desember 2018 dan data out sample pada periode 1 Januari 2019 sampai 31 Desember 2020. Adapun langkah-langkah analisis yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menyiapkan data yang akan digunakan untuk penelitian.
2. Menentukan data in sample dan out sample .
3. Melakukan eksplorasi data dengan membuat plot data time series .
4. Melakukan uji stasioneritas data in sample menggunakan Uji Box-cox dan Uji ADF.
5. Membuat grafik ACF dan PACF data in sample untuk menentukan model yang sesuai.
6. Melakukan estimasi parameter data in sample model ARIMA
7. Verifikasi  model  yaitu  dengan  melakukan  uji  independensi  residual,  uji  normalitas residual, dan uji homoskedastisitas residual dengan uji Lagrange Multiplier.
8. Membuat plot residual kuadrat data in sample yang digunakan untuk mengidentifikasi orde ARCH-GARCH yang sesuai.
9. Pembentukan Model ARCH/GARCH.
10. Melakukan estimasi parameter melalui uji signifikansi parameter model GARCH.
11. Melakukan  uji  efek  asimetris  menggunakan sign  and  size  bias  test pada  model GARCH.
12. Identifikasi model GJR-GARCH.
13. Melakukan uji diagnostik pasca analisis
14. Menentukan kinerja model terbaik dengan MAPE data out sample .
15. Menghitung nilai peramalan data  harga emas dunia sepuluh periode kedepan.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum  dilakukan  pemodelan  data  harga  emas,  dilakukan  analisis  deskriptif  dan eksplorasi data dengan membuat plot data runtun waktu untuk melihat pergerakan data harga emas dunia. Berikut adalah plot runtun waktu harga emas dunia:
Gambar 1 Plot Data Runtun Waktu Harga Emas Dunia Gambar 1 menunjukkan bahwa harga emas dunia selama kurun waktu yang diamati tidak stasioner karena plot data memperlihatkan fluktuasi yang tinggi. Data harga emas dunia mengalami trend turun yaitu terjadi penurunan harga pada periode 3 Januari 2012 hingga 29 Januari 2016. Harga emas dunia juga mengalami trend naik yaitu terjadi peningkatan harga pada  periode  1  Febuari  2016  hingga  31  Desember  2020.  Karakteristik  data  harga  emas periode 3 Januari 2012 sampai dengan 31 Desember 2020 dapat dilihat pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1 Statistik Deskriptif Data Harga Emas Dunia Deskripsi Data Nilai Jumlah Observasi 2357 Rata-Rata 1431 Maksimum 2103 Minimum 1071 Nilai skewness data in sample penutupan harga emas bernilai negatif sebesar -0,01141 yang berarti bahwa memiliki ekor kiri yang lebih panjang dari ekor kanannya. Sedangkan nilai kurtosis data in sample penutupan harga emas bernilai 15,17344, nilai kurtosis lebih dari  3  menunjukkan  bahwa  kurva  yang  terbentuk  adalah  kurva leptokurtic dan  berekor gemuk. Hasil skewness dan kurtosis tersebut menunjukkan bahwa data in sample penutupan harga emas tidak berdistribusi simetris.
Data in  sample penutupan  harga  emas    dimodelkan  dengan  menggunakan ARCH/GARCH  untuk  mengatasi  kasus  heteroskedastisitas.  Apabila  model  GARCH terdapat  ketidaksimetrisan  pada  volatilitasnya  maka  dapat  dimodelkan  dengan  GARCH Asimetris  diantaranya  GJR-GARCH  karena  model  ini  dapat  mengakomodasi ketidaksimetrisan dan mengatasi masalah heteroskedastisitas pada data runtun waktu.
Hal  terpenting  dalam  memodelkan  data  runtun  waktu  adalah  terpenuhinya  asumsi bahwa  proses  runtun  waktu  mempunyai  kestasioneran  yaitu  data  tersebut  berada  pada kesetimbangan  di  sekitar  nilai  rata-rata  dan  varian  yang  konstan  pada  waktu  tertentu. Stasioneritas  dalam  varian  dapat  dideteksi  menggunakan  transformasi  Box-Cox  dengan melihat  nilai  lambda.  Berdasarkan  analisis  yang  telah  dilakukan,  diperoleh  nilai  Lambda sama  dengan  1  dan  dapat  disimpulkan  bahwa  data  harga  emas in  sample telah  stasioner dalam  varian  sehingga  tidak  dilakukan  transformasi  pada  data.  Data in  sample dapat dilanjutkan pengujian stasioneritas dalam mean.
Pengamatan stasioneritas dalam mean dapat dilakukan dengan Uji Augmented Dickey- Fuller yang    disajikan  pada  Tabel  2.  Berdasarkan  Tabel  2 𝐻 0 ditolak  saat  data  dilakukan differencing satu kali, maka data stasioner dalam mean setelah dilakukan differencing satu kali, selanjutnya adalah langkah pemodelan ARIMA orde d dari ARIMA adalah 1.
Tabel 2 Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data ADF hitung ADF tabel P-Value Keputusan Sebelum Differencing -2,267 -2,86 0,465 H 0 tidak ditolak Setelah Differencing -12,633 -2,86 0,010 H 0 ditolak
Plot ACF dan PACF terpotong  pada lag 1 dan 2. Pemodelan ARIMA pada penelitian ini  didasarkan  pada  prinsip parcimony yang  menyatakan  bahwa  estimasi  suatu  model diusahakan  menggunakan  model  yang  sesederhana  mungkin,  model  terbaik  merupakan model yang paling sederhana. Sehingga keseluruhan model ARIMA yang terbentuk yakni ARIMA(0,1,1), ARIMA(0,1,2), ARIMA(1,1,0), ARIMA(2,1,0), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2),  ARIMA(2,1,1),  dan  ARIMA(2,1,2).  Selanjutnya  dilakukan  estimasi terhadap  parameter  yang  terdapat  dalam  model  ARIMA.  Berdasarkan  uji  signifikansi parameter,  model yang keseluruhan parameternya signifikan dengan taraf signifikansi 5% adalah  ARIMA(0,1,1),  ARIMA(0,1,2),  ARIMA(1,1,0),  ARIMA(2,1,0),  ARIMA(1,1,1), ARIMA(2,1,1), dan ARIMA(2,1,2). Model-model tersebut kemudian di analisis lebih lanjut dengan uji independensi residual diperoleh kesimpulan bahwa tidak ada korelasi antar lag pada model ARIMA(1,1,0) dan ARIMA(2,1,2). Selanjutnya dilakukan uji normalitas yang diperoleh kesimpulan bahwa semua model tidak memenuhi asumsi normalitas.
Pengujian ini digunakan untuk mengetahui ada tidaknya efek ARCH/GARCH atau efek heteroskedastisitas  pada  residual  model  ARIMA  yang  terbentuk.  Hasil  yang  diperoleh adalah 𝐻 0 ditolak untuk model ARIMA(1,1,0) dan ARIMA(2,1,2) karena nilai p-value lebih kecil dari 𝛼 =0,05. Jadi, pada taraf signifikansi 5% dapat disimpulkan bahwa terdapat efek heteroskedastisitas pada residual maka dilanjutkan dengan pemodelan GARCH.
Identifikasi model GARCH dilakukan dengan memeriksa plot PACF kuadrat residual yang dihasilkan dari model ARIMA yang terbentuk. Pemodelan GARCH didasarkan pada prinsip parcimony yakni  estimasi  model  diusahakan  menggunakan  model  sesederhana mungkin.  Sehingga  digunakan  model  GARCH(1,1)  dan  dapat  diidentifikasi  model  yang terbentuk  adalah  ARIMA(1,1,0)  GARCH(1,1)  dan  ARIMA(2,1,2)  GARCH(1,1).  Setelah dilakukan  estimasi  parameter  melalui  uji  signifikansi  parameter  diperoleh  bahwa  model ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1)  dapat  digunakan  untuk  analisis  lebih  lanjut  karena  semua parameternya  signifikan  terhadap  model  dengan  nilai p-value lebih  kecil  dari  taraf signifikansi 𝛼 =0,05.
Tabel 3 Hasil Uji Efek Asimetris Model ARIMA(1,1,0) GARCH(1,1) Pengujian t-hitung t-tabel P-value Keputusan Tanda bias 3,2176 1,961 0,00135 H 0 ditolak Ukuran bias negatif 13,0771 1,961 2,035 x 10 -37 H 0 ditolak Ukuran bias positif 0,4691 1,961 0.6391 H 0 tidak ditolak Pengujian Nilai LM 𝜒 (0,05, 3) 2 P-value Keputusan Efek gabungan 176,6397 7,81 4,689 x 10 -38 H 0 ditolak
Berdasarkan Tabel 3 dapat diketahui bahwa pada model ARIMA(1,1,0) GARCH(1,1) nilai p-value untuk uji efek gabungan sebesar 4,689 x 10 -38 dan nilai LM uji efek gabungan sebesar 176,6397 karena nilai LM lebih besar dari 𝜒 (0,05, 3) 2 dan nilai p-value lebih kecil dari 𝛼 = 0, 05 sehingga dapat disimpulkan bahwa ARIMA(1,1,0) GARCH(1,1) mengindikasikan  terdapat  efek  asimetris  sehingga  untuk  mengatasinya  dapat  dilakukan dengan  analisis  lebih  lanjut  menggunakan  GARCH  Asimetris  yaitu  dengan  Model  GJR- GARCH berdistribusi student-t.
Model GJR-GARCH yang terbentuk adalah ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1). Setelah dilakukan  estimasi  parameter  melalui  uji  signifikansi  parameter  diperoleh  model ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) merupakan model yang dapat memodelkan harga emas dunia karena pada taraf signifikansi sebesar 5% seluruh parameter signifikan terhadap model dan mempunyai p-value lebih kecil dari 0,05 seperti yang terjadi pada tabel 4.
Tabel 4 Hasil Estimasi Parameter Model ARIMA (1,1,0) GJR-GARCH(1,1)
Parameter Koefisien t hitung t tabel P-Value Keputusan ∅ 1 0,99974 4568,67 1,961 0,00000 H 0 ditolak 𝛼 0 645,23 2,9383 1,961 0,003300 H 0 ditolak 𝛼 1 0,36567 2,5877 1,961 0,009663 H 0 ditolak 𝛽 1 0,26766 4,0370 1,961 0,000054 H 0 ditolak 𝛾 1 0,9987 4,0356 1,961 0,000054 H 0 ditolak
Persamaan model ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) yang diperoleh sebagai berikut : 𝑍 𝑡 ̂ = 1,99974 𝑍 𝑡−1 − 0,99974 𝑍 𝑡−2 𝜎 𝑡 2 ̂ =  645,23 + 0,36567 𝑎 𝑡−1 2 + 0,26766 𝜎 𝑡−1 2 + 0,9987 𝑆 𝑡−1 − 𝑎 𝑡−1 2
Berdasarkan hasil persamaan model diatas dapat diketahui bahwa persamaan  model 𝑍 𝑡 ̂ merupakan persamaan mean atau model ARIMA(1,1,0). Sedangkan persamaan model 𝜎 𝑡 2 ̂ merupakan persamaan varian atau model GJR-GARCH(1,1).
Pengujian  distribusi  dari  standar  residual  dilakukan  untuk  melihat  apakah  residual yang dihasilkan memiliki distibusi student-t. Skewness, Kurtosis, atau kuantil-kuantil plot (QQ Plot) dari standar residual dapat digunakan untuk memeriksa validitas asumsi distribusi (Tsay, 2012). Pengujian ini menggunakan QQ Plot dengan bantuan software R yang dapat disajikan pada Gambar 2 berikut:
Gambar 2 QQ Plot Standar Residual
Berdasarkan Gambar 2 dapat dilihat bahwa data residual model ARIMA(1,1,0) GJR- GARCH(1,1) secara umum berada di sekitar garis, sehingga dapat disimpulkan bahwa data residual model ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) mengikuti distribusi student-t. Uji Lagrange  Multipier digunakan  untuk  mengetahui  apakah  masih  terdapat  efek ARCH/GARCH atau heteroskedastisitas pada residual model GJR-GARCH. Pengujian ini dilakukan  dengan  melihat  statistik  uji  nilai lagrange  Multiplier dan P-value untuk  model ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) dapat disajikan pada Tabel 5 berikut:
Tabel 5 Hasil Uji Lagrange Multiplier  Model GJR-GARCH Model Lag Statistik 𝜒 2 (0.05; 𝑚) P-value Keputusan ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) Lag[3] 0,0002159 7,8147 0,9883  H 0 tidak ditolak Lag[5] 0,0003077 11,0705 1,0000  H 0 tidak ditolak Lag[7] 0,0004276 14,0641 1,0000  H 0 tidak ditolak
Berdasarkan Tabel 5 dapat diketahui bahwa nilai p-value untuk lag 3,5,7 lebih besar dari  tingkat  signifikansi,  maka  diperoleh  kesimpulan  bahwa  sudah  tidak  terdapat  efek heteroskedastisitas pada residual model ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1).
Pengujian  ini  dilakukan  dengan  melihat  nilai  statistik  uji  efek  gabungan  dan diperoleh informasi berikut:
Tabel 6 Hasil Uji Efek Asimetris Model GJR-GARCH Pengujian t-hitung t-tabel P-value Keputusan Tanda bias 0,2674 1,961 0,7892 H 0 tidak ditolak Ukuran bias negatif 1,024 1,961 0,3060 H 0 tidak ditolak Ukuran bias positif 0,4448 1,961 0,6565 H 0 tidak ditolak Pengujian Nilai LM 𝜒 (0,05, 3) 2 P-value Keputusan Efek gabungan 1,253 7,81 0,7403 H 0 tidak ditolak
Berdasarkan Tabel 6 dapat diketahui bahwa Model ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) memiliki  nilai p-value untuk  seluruh  pengujian  lebih  besar  dari 0,05 sehingga  dapat disimpulkan  bahwa  model  ARIMA(1,1,0)  GJR-GARCH(1,1)  dapat  mengatasi leverage effect pada kasus data in sample harga emas dunia.
Tabel 7 Hasil Uji Ljung-Box Model GJR-GARCH Lag Nilai Q 𝜒 (0,05, 𝑚) 2 P-value Keputusan Lag[1] 1,282 3,84 0,2576 H 0 tidak ditolak Lag[2] 2,423 5,99 0,1045 H 0 tidak ditolak Lag[5] 3,868 11,07 0,2473 H 0 tidak ditolak
Berdasarkan  Tabel  7  dapat  diketahui  bahwa  tidak  terdapat  korelasi  dalam  residual kuadrat  sehingga  H 0 tidak  ditolak  pada  taraf  signifikansi  : 𝛼 = 0,05 ,  dapat  disimpulkan bahwa  model  ARIMA(1,1,0)  GJR-GARCH(1,1)  merupakan  model  yang  sesuai  untuk menggambarkan pergerakan volatilitas data harga emas dunia.
Berdasarkan  analisis  yang  telah  dilakukan,  dapat  diketahui  bahwa  nilai  MAPE  data out  sample sebesar  18,93%.  Nilai  MAPE  berada  di  antara  10%  dan  20%  menunjukkan model  memiliki  kemampuan  peramalan  yang  baik  sehingga  model  yang  terbentuk  dapat digunakan untuk mengetahui harga emas dunia beberapa periode waktu ke depan.
Model  akhir  yang  digunakan  untuk  peramalan  yaitu,  model  ARIMA(1,1,0)  GJR- GARCH(1,1)  maka dihasilkan peramalan selama 10 periode sebagai berikut:
Tabel 8 Hasil Peramalan ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1) Waktu  Harga Emas  Standar Deviasi  Waktu  Harga Emas Standar Deviasi T+1 1364 519,63 T+6 1365 521,48 T+2 1364 520 T+7 1365 521,84 T+3 1364 520,37 T+8 1365 522,21 T+4 1365 520,74 T+9 1365 522,58 T+5 1365 521,11 T+10 1365 522,94

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang  telah dilakukan, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Model  yang  terbentuk  untuk  memodelkan  harga  emas  dunia  adalah  model  GJR GARCH yaitu ARIMA(1,1,0) GJR-GARCH(1,1):
Persamaan Mean :
𝑍 𝑡 ̂ = 1,99974 𝑍 𝑡−1 − 0,99974 𝑍 𝑡−2 Persamaan Varian :
𝜎 𝑡 2 ̂ =  645,23 + 0,36567 𝑎 𝑡−1 2 + 0,26766 𝜎 𝑡−1 2 + 0,9987 𝑆 𝑡−1 − 𝑎 𝑡−1 2
2. Pada  evaluasi  kinerja  model  menggunakan  MAPE out  sample yang  dihitung berdasarkan data aktual out sample dan data estimasinya menghasilkan nilai MAPE sebesar  18,93%  yang  mana  termasuk  dalam  kategori  model  yang  memiliki kemampuan peramalan yang baik.

## DAFTAR PUSTAKA
Bollerslev, T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal of Econometrics, 31: 307-327.
Bollerslev T. 1987. A conditionally heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return . The Review Of Economics And Statistics. 1:542-7.
Box,  G.  E.,  dan  Cox,  D.  R.  1964.  An  Analysis  of  Transformation. Journal  of  the  Royal Statistical Society Series B (Methodological) , 2 (26): 211–252.
Engle, R.F. dan Ng, V.K. 1993. Measuring and Testing the Impact of News on Volatility. Journal of Finance, Vol. 48, No. 5:1749-1778
Engle,  R.F.  2001.  GARCH  101  :  The  Use  of  ARCH/GARCH  Models  in  Applied Econometrics. Journal of Econometrics Perspectives, 4:157-168.
Glosten,  L.  R.,  Jagannathan,  R.,  dan  Runkle,  D.  1993.  “On  the  Relation  between  the Expected Value and the Volatility of Nominal Excess Return on Stocks. The Journal of Finance, Vol. XLVIII, No. 5: 1779-1801.
Lee, H.S. 2009. Forecasting Performance of Asymmetric GARCH Stock Market Volatility Models. Journal of International Economics Studies, Vol. 13, No. 2:111-143. Makridakis. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi 2. Jakarta: Binarupa Aksara.
Makridakis, S.G., Wheelwright, S.C., dan Hyndman,  R.J. 1983. Forecasting Methods and Applications Third Edition. New York: A John Wiley & Sonc, Inc. Soejoeti, Z. 1987. Analisis Runtun Waktu. Jakarta: Karunia Jakarta. Tsay,  R.S.  2012. An  Introduction  to  Analysis  of  Financial  Data  with  R. Canada:  John Wiley&Sons.