## Jurnal Sains dan Teknologi
Volume 12 Number 1, Tahun 2023, pp. 65-72 P-ISSN: 2303-3142 E-ISSN: 2548-8570 Open Access: https://doi.org/10.23887/jstundiksha.v12i1.50714

## A R T I C L E   I N F O
Article history: Received July 26, 2022 Revised July 29, 2022 Accepted November 20, 2022 Available online April 25, 2023
Kata Kunci: ARWM, GARCH-X, Student-t, transformasi eksponensial. Volatilitas.

## Keywords:
ARWM,  exponential  transformation, GARCH-X, Student-t, volatility.
This is an open access article under the CC BY-SA license.
Copyright © 2023 by Author. Published by Universitas Pendidikan Ganesha.

## The  GARCH-X(1,1)  Model  with  Exponentially  Transformed Exogenous Variables
Didit B. Nugroho 1* , Obed C. Dimitrio 2 , Faldy Tita 3
1,2.3 Departemen Matematika dan Sains Data, Universitas Kristen Satya Wacana, Salatiga, Indonesia

## A B S T R A K
Model  Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroskedasticity  (GARCH) dengan  mempertimbangkan  efek  dari  variabel  eksogen  pada  proses  volatilitas, dinamakan  GARCH-X(1,1),  telah  sukses  memperbaiki  pencocokan  dan  prediksi volatilitas  dari  model  GARCH.  Variabel  eksogen  yang  sering  digunakan  adalah ukuran Realized Volatility (RV). Untuk mereduksi kemencengan dari RV sehingga mampu memperbaiki pencocokan model, studi ini mengaplikasikan transformasi eksponensial pada variabel eksogen dalam model GARCH-X(1,1). Tujuan tersebut dicapai  melalui  studi  empiris  berdasarkan  pada  data  returns  dan  RV  10  menit (sebagai variabel eksogen) dari indeks harga saham FTSE100 dan SP500 periode harian dari Januari 2000 sampai Desember 2021 yang diambil dari Oxford-man Institute’s  “Realized  Library”.  Analisis  didasarkan  pada  hasil  estimasi  model dengan  error  dari  returns  berdistribusi  Normal  dan  Student-t  menggunakan Metode Adaptive Random Walk Metropolis diimplementasikan dalam algoritma Markov  Chain  Monte  Carlo.  Interval  High  Posterior  Density  pada  tingkat kepercayaan  99%  mengindikasikan  signifikansi  dari  transformasi  eksponensial untuk  variabel  eksogen  pada  kedua  kasus  asumsi  distribusi  untuk  error  dari returns. Terlebih lagi, nilai Akaike Information Criterion (AIC) mengindikasikan bahwa model yang diusulkan menggungguli model dasar GARCH-X(1,1), dimana model pencocokan terbaik diberikan oleh model berdistribusi Student-t.

## A B S T R A C T
The  Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroskedasticity  (GARCH)  model  by  considering  the  effect  of  exogenous variables on the volatility process, called GARCH-X, has successfully improved the volatility fitting and forecasting of the GARCH model. The most commonly used exogenous variables are Realized Volatility (RV). To reduce the skewness in RV measure so as to improve the model fitting, this study applies the exponential transformation to the exogenous variables in the GARCH-X(1,1) model. This goal is achieved through an empirical study based on returns and RV 10-minutes (as an exogenous variable) datasets from the FTSE100 and SP500 stock price indices during the daily period from January 2000 to December 2021 taken from the Oxford- Man Institute’s “Realized Library”. The analysis is based on the Markov Chain Monte  Carlo  Adaptive  Random  Walk  Metropolis  estimation  results  of  the  model  assuming  Normal  and  Student-t distributions for the return errors. The High Posterior Density interval at the 95% level indicates the significance of the exponential  transformation  for  the  exogenous  variable  in  both  cases  assuming  a  distribution  for  the  returns  error. Moreover, the Akaike Information Criterion (AIC) value indicates that the proposed model outperforms the basic GARCH- X(1,1) model, where the best fit model is given by the Student-t distributed model.

## 1. PENDAHULUAN
Salah  satu  indikator  risiko  yang  penting  untuk  pelaku  dan  pengamat  pasar  adalah  volatilitas ( volatility ), yang menyatakan simpangan baku atau standar deviasi untuk returns aset keuangan (seperti saham dan kurs mata uang) dalam periode waktu tertentu. Volatilitas keuangan biasanya heteroskedastis atau  berubah  terhadap  waktu.  Sehingga  semakin  tinggi  volatilitas,  maka  semakin  tinggi  ketidakpastian dari  returns  aset  keuangan (Sutrisno,  2020;  Virginia,  Ginting,  &  Elfaki,  2018). GARCH  ( Generalized Autoregressive  Conditional  Heteroskedasticity )  adalah  model  volatilitas  yang  sering  digunakan  untuk pemodelan  dan  peramalan  volatilitas  dari  aset  keuangan (Gulay  &  Emec,  2019;  Nugroho,  Susanto,  & Rosely, 2018). Model tersebut mempertimbangkan pengaruh komponen eksogen pada variansi bersyarat dan mampu menangani tambahan informasi tidak terhitung dari faktor lain sehingga tidak memberikan bias  pada  perkiraan  variansi  model  GARCH (Han,  2015;  Yeasin  et  al.,  2020). Komponen  eksogen  yang dikenakan  pada  model  GARCH-X  adalah  data  frekuensi  tinggi  seperti  ukuran-ukuran Realized  Volatility (RV).  Beberapa  perluasan  dari  model  GARCH-X  telah  dibangun  untuk  menangkap  perubahan  volatilitas karena  faktor-faktor  yang  ada  dalam  runtun  waktu.  Hal  tersebut  diperlukan  karena  tidak  ada  jawaban pasti mengenai tipe model mana yang memberikan pencocokan atau peramalan volatilitas terbaik untuk
semua  jenis  data  runtun  waktu  keuangan.  Dalam  konteks  komponen  eksogen,  sebagai  contoh, (Ceylan, 2014; Zhang & Lan, 2014) berturut-turut mengembangkan model GARCH-X dengan mendekomposisikan variabel  eksogen  menjadi  komponen  kontinu  dan  lompatan  ( jump )  dan  secara  empiris  menunjukkan bahwa  model  tersebut  memperbaiki  pencocokan  model  dan  peramalan  volatilitas.  Alternatif  lain  yaitu menggunakan  transformasi  tak  linear  seperti  logaritma  natural  dan  Box – Cox  yang    sering  digunakan dalam  aplikasi  empiris  untuk  memperbaiki  sifat  dari  RV,  sebagai  contoh  lihat (Nugroho  &  Morimoto, 2015, 2016) dalam konteks model volatilitas stokastik. Suatu alternatif untuk transformasi Box – Cox yaitu transformasi eksponensial satu parameter dari Manly  yang  juga  memiliki  banyak  sifat-sifat  yang  bagus  dari  transformasi  Box – Cox.  Sayangnya,  saat  ini transformasi  tersebut  kurang  sering  digunakan  dalam  praktik,  apalagi  dalam  konteks  ukuran  RV. Dibandingkan dengan transformasi Box – Cox yang tidak selalu memadai (Nugroho, Mahatma, & Pratomo, 2021a;  Perry,  2018), nilai  parameter  dari  transformasi  eksponensial  mempunyai  beberapa  interpretasi yang menarik. Oleh karena itu, studi ini melakukan pendekatan alternatif untuk mengembangkan model GARCH-X  dengan  cara  mentransformasikan  variabel  eksogen  menggunakan  transformasi  eksponensial. Berdasarkan pengetahuan penulis, belum ada studi yang mempelajari model tersebut. Lebih lanjut, karena kebanyakan studi empiris menemukan bahwa distribusi dari return runtun waktu keuangan memiliki sifat ekor  berat  ( heavy  tails )  maka  studi  ini  mengasumsikan  bahwa error dari return berdistribusi  Normal (sebagai  kerangka  dasar)  dan  Student- t .  Jadi  studi  ini  berkontribusi  pada  generalisasi  model  GARCH-X yang  menyediakan  pencocokan  data  lebih  baik  daripada  model  GARCH-X.  Model-model  yang  dipelajari dalam  studi  ini  di  estimasi  menggunakan  metode  ARWM  ( Adaptive  Random  Walk  Metropolis )  yang diimplementasikan pada program Matlab. Data indeks saham FTSE 100 (Financial Times Stock Exchange 100) dan SP500 (Standard and Poor’s 500) atas periode harian dari Januari 2000 sampai Desember 2021 digunakan sebagai contoh empiris dari aplikasi model dan metode estimasi.

## 2. METODE
This  Studi  ini  menggunakan  metode  deskriptif  analisis  dengan  pendekatan  kuantitatif.  Variabel yang diteliti yaitu volatilitas indeks saham FTSE100 dan SP500. Data yang digunakan dalam studi ini yaitu data sekunder yang dikoleksi menggunakan teknik dokumentasi berupa nilai-nilai indeks dan ukuran RV yang  diperoleh  dari  Oxford-Man Institute’s  “Realized  Library”  di  laman https://realized.oxford- man.ox.ac.uk/data/download.  Populasi  dalam  studi  ini  yaitu  nilai  harian  dari returns dan  RV  10  menit untuk indeks saham  FTSE100 dan S&P500 dengan sampelnya mengambil  periode Januari 2000 sampai Desember  2021  selama  hari  perdagangan.  Pengambilan  sampel  dilakukan  menurut  metode purposive sampling . Kedua indeks saham dipilih sebagai sampel studi berdasarkan pada kriteria berikut: pertama, indeks  saham  FTSE100  dan  indeks  SP500  berturut-turut  merupakan  indeks  saham  dari  negara  Inggris dan  Amerika  yang  termasuk  dalam  10  negara  teratas  di  dunia  berdasarkan  nilai  GDP  ( Gross  Domestic Product ) dan menjadi 10 indeks utama, menurut (Chaudhary, Bakhshi, & Gupta, 2020; Rahman, Gani, & Achmad, 2020). Ekonomi dari 10 negara  tersebut  menyumbang 66% GDP dunia sehingga ekonomi dari negara-negara  tersebut  dapat  dijadikan  sebagai  representasi  untuk  mewakili  ekonomi  dunia  secara keseluruhan, kedua, keduanya merupakan indeks dari perusahaan terbesar di negaranya masing-masing yang  berbasis  pada  pendapatan  dan  profitabilitas (Hohler  &  Lansink,  2021;  Mishra,  Agrawal,  &  Patwa, 2022). Banyaknya data pengamatan dari indeks saham FTSE100 dan SP500 berturut-turut adalah 5290 dan 5258. Deskripsi statistik returns terjadi pada Tabel 1 dan Gambar 1 . Nilai rata-rata dari returns untuk kedua indeks saham adalah mendekati 0, sedangkan nilai variansinya mendekati 1. Karena itu, model dari persamaan returns dapat  diasumsikan  mempunyai  rata-rata  sama  dengan  0.  Selanjutnya,  nilai  kurtosis dari returns untuk kedua indeks saham adalah lebih dari 3, ini berarti bahwa distribusinya memiliki ekor yang lebih tebal dibandingkan dengan distribusi Normal pada kedua sisi distribusi. Karena itu, studi ini mengambil asumsi alternatif untuk distribusi error dari returns selain distribusi Normal, yaitu distribusi Student- t .
Tabel 1. Deskripsi Statistik untuk Returns Deskripsi Data FTSE100 SP500 Rata – rata – 0,0060 0,0065 Standar Deviasi 1,17 1,13 Maximum 9,39 10,22 Minimum – 10,30 – 9,35 Kurtosis 10,22 11,32 Kemencengan 4,34 3,27
Gambar 1. Plot returns Harian dari Indeks Saham FTSE100 dan SP500
Pada Gambar  1 menampilkan  plot  dari  nilai-nilai returns untuk  indeks  saham  FTSE100  dan SP500.  Dari  kedua  plot  tersebut,  ini  dapat  disimpulkan  bahwa  nilai returns dari  kedua  indeks  saham adalah  stationer.  Karena  stationeritas  merupakan  syarat  untuk  model  volatilitas  bersyarat,  maka  data indeks saham FTSE100 dan SP500 dapat diaplikasikan pada model GARCHX(1,1). Hipotesis dalam studi ini  yaitu  bahwa  model  yang  diusulkan  (GARCH-X  yang  mana  variabel  eksogen  ditransformasi  pangkat) lebih  baik  daripada  model  dasar  (GARCH-X)  dalam  hal  pencocokan  data.  Pengujian  hipotesis  tersebut dilakukan  menggunakan  suatu  pendekatan  kuantitatif  menggunakan  metode  studi  kasus.  Analisis dilakukan  menggunakan  model  volatilitas  GARCH-X(1,1),  transformasi  eksponensial,  serta  distribusi Normal dan Student- t untuk error dari return . Model GARCH-X pertama kali diperkenalkan oleh (R. Engle, 2002; R. F. Engle & Patton, 2001) dengan menambahkan komponen eksogen RV ke persamaan variansi bersyarat  di  model  GARCH.  Model  GARCH-X(1,1)  sudah  dipelajari  oleh (Wijaya,  2021) dan  telah ditunjukkan  menyediakan  pencocokkan  yang  lebih  baik  daripada  model  dasar  GARCH(1,1).  Model GARCH-X(1,1) dinyatakan dalam persamaan berikut:
𝑅 𝑡 = 𝜎 𝑡 𝜀 𝑡 ,   𝜀 𝑡 ~𝑁(0,1)
𝜎 𝑡 2 = 𝜔 + 𝛼𝑅 𝑡−1 2 + 𝛽𝜎 𝑡−1 2 + 𝛾𝑋 𝑡−1 Dengan syarat parameter:
syarat positivitas
: 𝜔 > 0, 0 ≤ 𝛼, 𝛽 < 1, 𝛾 > 0.
syarat stasioner
: 0 ≤ 𝛼 + 𝛽 < 1 Dalam model di atas, 𝑋 𝑡 menyatakan variabel eksogen pada saat t dan 𝑅 𝑡 menyatakan return pada saat t

## yang dirumuskan oleh
𝑅 𝑡 =ln ( 𝑆𝑡 𝑆𝑡−1 ) yang  mana 𝑆 𝑡 menyatakan  harga  aset  keuangan  pada  saat t .  Sementara  itu, 𝜎 𝑡 dan 𝜎 𝑡 2 berturut-turut menyatakan  volatilitas  dan  variansi  bersyarat. (Ariani  &  Ujianti,  2021) RV  merupakan  ukuran  non- parametrik sebagai representasi untuk variansi dari data frekuensi tinggi (per detik, menit, jam, dan lain- lain) (Nugroho  &  Morimoto,  2014). Dari  berbagai  jenis  ukuran  RV,  RV  10  menit  merupakan  suatu estimator RV yang sederhana tetapi bagus, karena mampu menjelaskan hubungan antara volatilitas dan returns  dari  indeks  saham  FTSE100  dan  S&P500 (Floros,  Gkillas,  Konstantatos,  &  Tsagkanos,  2020; Gkillas,  Gupta,  &  Pierdzioch,  2020). Dalam  satu  hari  perdagangan,  RV  10  menit  dihitung  menggunakan rumus berikut:
𝑅𝑉 10 = √ ∑ 𝑅 𝑖,10 2 𝑁 𝑖=1
yang mana {𝑅 𝑖,10 } 𝑖=1 𝑁 adalah runtun return dengan interval 10 menit.
Transformasi eksponensial mempunyai bentuk seperti berikut (Perry, 2018):
𝑓(𝑥, 𝜆) = { 𝑒 𝜆𝑥 − 1 𝜆 , 𝜆 ≠ 0 𝑥 , 𝜆 = 0
Ketika 𝜆 = 0 ,  fungsi  akan  tereduksi  ke  fungsi  standar.  Selanjutnya,  model  GARCH-X(1,1),  yang  mana variabel eksogen ditransformasi pangkat dinyatakan dalam persamaan berikut:
𝑅 𝑡 = 𝜎 𝑡 𝜀 𝑡 ,   𝜀 𝑡 ~𝑁(0,1) 𝜎 𝑡 2 = 𝜔 + 𝛼𝑅 𝑡−1 2 + 𝛽𝜎 𝑡−1 2 + 𝛾𝑓(𝑋 𝑡−1 , 𝜆)
Dalam analisis statistik, distribusi Normal sering digunakan sebagai distribusi yang diikuti oleh kebanyakan  model  statistik.  Distribusi  Normal  dikenal  juga  sebagai  distribusi  Gauss,  yang  merupakan salah  satu  distribusi  probabilitas  yang  memiliki  variabel  acak  kontinu  yang  mana  grafik  distribusinya berbentuk  lonceng  simetris.  Distribusi  Normal  memiliki  parameter  rata-rata 𝜇 dan  variansi 𝜎 2 yang dinyatakan dalam persamaan berikut (Sumair dkk . ,2021):
𝑓(𝑥) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒 − 1 2 [ 𝑥−𝜇 𝜎 ] 2 .
Fungsi log-likelihood dari model yang memiliki 𝜀 𝑡 berdistribusi Normal dengan mean 0 dan variasi 𝜎 𝑡 2 dinyatakan sebagai berikut:
ℒ 𝑡 (𝜔, 𝛽, 𝛾, 𝜆) = − 1 2 ln(2𝜋)    − 1 2 ln(𝜎 𝑡 2 )    − 𝑅 𝑡 2 2𝜎 𝑡 2 , yang  mana 𝜔, 𝛽, 𝛾, 𝜆 merupakan  parameter-parameter  model.  Model  GARCH-X  dengan error dari return mengikuti  distribusi  Normal  secara  sederhana  dinamakan  model  GARCH-X.  Sementara  itu,  distribusi Student- t merupakan  suatu distribusi  yang  memiliki  ekor  yang  lebih  tebal  daripada  distribusi  Normal pada  kedua  sisi  distribusi.  Distribusi  Student- t mempunyai  kurva  yang  lebih  runcing  dari  distribusi Normal dan merupakan distribusi yang leptokurtik. Biasanya nilai koefisien kurtosis dari distribusi yang leptokurtik  adalah  lebih  besar  dari  3 (Kallner,  2018;  McAlevey  &  Stent,  2018). Persamaan  distribusi Student- t untuk variabel acak X dinyatakan sebagai berikut (Li & Nadarajah, 2020):
𝑓(𝑥|𝑣) = Γ ( 𝑣 + 1 2 ) Γ ( 𝑣 2 ) √𝜋𝑣 (1 + 𝑥 2 𝑣 ) − 𝑣+1 2 ,
yang mana 𝑣 menotasikan derajat kebebasan dan Γ menotasikan fungsi gamma. Fungsi log-likelihood untuk model yang memiliki 𝜀 𝑡 berdistribusi Student -t dengan mean 0, variasi 𝜎 𝑡 2 , dan derajat kebebasan 𝑣 > 2 dinyatakan sebagai berikut:
𝐿 𝑡 (𝜔, 𝛽, 𝛾, 𝜆) = ln  Γ ( 𝜈 + 1 2 )   − ln  Γ ( 𝜈 2 )    − ln Γ ( 1 2 ) − 1 2 ln(𝜎 𝑡 2 (𝑣 − 2)) − 𝜈 + 1 2 ln (1 + 𝑅 𝑡 2 𝜎 𝑡 2 (𝑣 − 2) ).
Selanjutnya, model GARCH-X dengan error dari return berdistribusi Student -t dinamakan model GARCH t - X.  Salah  satu  algoritma  yang  populer  digunakan  untuk  mengestimasi  model  bertipe  GARCH  yaitu algoritma Markov  Chain  Monte  Carlo (MCMC).  Algoritma  tersebut  terdiri  dari  dua  tahap,  yaitu membangkitkan  rantai  Markov  dan  menerapkan  metode  Monte  Carlo  untuk  menghitung  nilai-nilai statistik  dari  rantai  Markov.  Secara  khusus,  studi  ini  mengaplikasikan  metode Adaptive  Random  Walk
Metropolis (ARWM) untuk membangkitkan rantai Markov dari setiap parameter model. Langkah-langkah dari metode ARWM dapat dilihat di (Nugroho, Mahatma, & Pratomo, 2021b). Metode ARWM dalam skema MCMC  diimplementasikan  dalam  piranti  lunak  Matlab  dengan  membuat  kode  pemrograman  sendiri. Estimasi parameter dilakukan menggunakan nilai-nilai awal untuk parameter sebagai berikut:
𝜔 (0) = 0,01 , 𝑎 (0) = 0,2 , 𝛽 (0) = 0,7 , 𝛾 (0) = 0,1 , 𝜆 1,2 (0) = 0,5 , 𝑣 (0) = 10 . Sementara  itu,  metode  ARWM  mengambil  lebar  langkah  awal ∆ (0) = 0,005 .  Karena  algoritma MCMC  menggunakan  pendekatan  Bayesian,  distribusi  prior  untuk  parameter-parameter 𝜔 , 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 , 𝜆 adalah  Normal  terpotong  dengan  nilai  rata-rata  0  dan  variansi  1000  dan  untuk  parameter 𝑣 adalah eksponensial  dengan  parameter 𝜆 = 0,01 (Nugroho,  2018). Dalam  algoritma  MCMC,  panjang  rantai Markov  yang  digunakan  untuk  analisis  adalah  sebanyak  5000  dari  6000  iterasi  (dipotong  1000  iterasi awal  sebagai  periode burn - in )  untuk  mengurangi  ketidakstasioneran  nilai-nilai  estimasi  awal.  Setelah pembangkitan  rantai  Markov  dari  setiap  parameter  model  menggunakan  metode  ARWM,  selanjutnya dihitung  nilai-nilai  statistik  dari  rantai  Markov  menggunakan  metode  Monte  Carlo,  seperti  rata-rata estimasi dan 95% interval Highest Posterior Density (HPD), untuk algoritmanya (Nugroho et al., 2021b). Dalam pemilihan model yang memberikan pencocokan terbaik terhadap data riil, studi ini menggunakan Akaike  Information  Criterion (AIC).  AIC  mempunyai  nilai  statistik  yang  dinyatakan  sebagai  berikut (Cavanaugh & Neath, 2019):
AIC = 2(𝑘 − ℒ),
Dimana k menyatakan banyaknya parameter pada model yang diestimasi dan ℒ menyatakan nilai maksimum dari log-likelihood model. Kriterianya yaitu bahwa model yang mempunyai nilai AIC terkecil memberikan pencocokan terbaik. Tahapan penelitian dilakukan mulai dari pengumpulan data, deskripsi data, estimasi model dan analisis parameter serta pemilihan model. Temuan studi ini dapat memberikan implikasi teoritis maupun praktis.

## 3. HASIL DAN BAHASAN

## Hasil
Hasil  estimasi  dan  selisih  relatif  dari  parameter-parameter  model  GARCH-X(1,1)  dan  GARCH t - X(1,1)  dengan  variabel  eksogen  ditransformasi  eksponensial  disajikan  pada Tabel  2 .  Hasil  estimasi parameter  dari  model  dasar  GARCH-X(1,1)  tidak  disediakan  di  sini  karena  keterbatasan  tempat.  Untuk data  indeks  saham  FTSE100,  pada  kedua  kasus  distribusi  Normal  dan  Student- t ,  nilai-nilai  estimasi parameter 𝜔 , 𝛼 , 𝛽 ,  dan 𝜈 mempunyai  selisih  relatif  kurang  dari  50%,  sedangkan  untuk  parameter 𝛾 mempunyai selisih relatif lebih dari 50%. Untuk data indeks saham SP500, pada kedua kasus distribusi, transformasi  eksponesial  untuk  data RV memberikan  selisih  relatif  kurang  dari  50%  untuk  estimasi parameter 𝛽 dan 𝜈 dan lebih besar dari 50% untuk estimasi parameter lainnya.
Tabel 2. Hasil Estimasi dan Selisih Relatif
Data Parameter Estimasi Selisih relatif terhadap model dasar X ditransformasi eksponensial Normal Student- t Normal Student- t FTSE100 𝜔 0,0011 0,0013 8,33% 0,78% 𝛼 0,0865 0,0832 26,07% 24,93% 𝛽 0,7309 0,7360 9,22% 10,32% 𝛾 0,1436 0,1438 58,32% 78,78% 𝜆 0,5595 0,5434 𝑣 11,30 8,58% SP500 𝜔 0,0009 0,0010 80,00% 63,93% 𝛼 0,0125 0,0112 89,49% 90,54% 𝛽 0,5891 0,5892 25,12% 29,13% 𝛾 0,2398 0,2362 124,53% 275,66% 𝜆 0,9545 0,9909 𝑣 8,28 17,96%
95%  interval  HPD  untuk  parameter  transformasi  eksponensial  dan  nilai-nilai  AIC  dari  model- model berdistribusi Normal dan Student- t disajikan pada Tabel 3 . Hasil menunjukkan bahwa 95% interval HPD  untuk  parameter  transformasi  tidak  memuat  nilai  0  pada  semua  kasus  distribusi  dan  data
pengamatan.  Bahkan  batas  bawah  dari  99%  interval  HPD  dari  parameter  adalah  lebih  besar  dari  1 (tidak  ditunjukkan  di  sini).  Selanjutnya,  kebaikan  pencocokan  model  diukur  berdasarkan  perbandingan nilai AIC dari model-model yang bersaing. Pada kedua kasus distribusi dan data pengamatan, nilai-nilai AIC  dari  model  GARCH-X(1,1)  dengan  variabel  eksogen  ditransformasi  eksponensial  adalah  lebih  kecil daripada model dasar. Secara khusus, model dengan distribusi Student- t mempunyai nilai AIC yang lebih daripada model berdistribusi Normal pada semua kasus data dan tipe model.
Table 3. Interval HPD pada tingkat 95% untuk Transformasi Pangkat dan Nilai AIC
Data Model Interval HPD dari 𝜆 AIC Normal Student- t Normal Student- t FTSE100 Dasar 14341,04 14262,35 Transf. eksp. (0,4745, 0,6610) (0,4436, 0,6533) 14291,91 14228,20 SP500 Dasar 13446,32 13260,98 Transf. eksp. (0,8673, 1,0413) (0,8963, 1,0856) 13254,73 13124,00

## Pembahasan
Berdasarkan  selisih  relatif  dari  nilai  estimasi  yang  diperoleh  pada  bagian  sebelumnya  dan mengambil  batasan  pengaruh  sebesar  50%,  ini  dapat  diketahui  bahwa  transformasi  eksponensial memberikan hasil yang berbeda pada kedua data pengamatan. Dalam hal ini, parameter 𝜔 (nilai variansi yang  diharapkan  ketika return error dan  variansi  masa  lalunya  bernilai  nol)  dan 𝛼 (kecepatan  model bereaksi  terhadap  kejadian-kejadian  pasar)  tidak  berefek  ketika  transformasi  diaplikasikan  untuk  data FTSE100  tetapi  akan  berefek  ketika  transformasi  diaplikasikan  untuk  data  SP500.  Sementara  itu,  hasil yang  sama  pada  kedua  data  pengamatan  yaitu  bahwa  transformasi  akan  berdampak  pada  parameter 𝛾 (faktor  eksogen),  tetapi  tidak  memberikan  dampak  pada  parameter 𝛽 (menentukan  derajat  persistensi atau kecepatan penurunan volatilitas) dan 𝜈 (derajat kebebasan atau penentu ketebalan ekor). Selanjutnya,  pemilihan  model  didasarkan  pada  hasil  signifikansi  parameter  transformasi  dan juga kebaikan pencocokan model pada data pengamatan. Pada semua kasus data dan distribusi dari return error ,  interval  HPD  mengindikasikan  bahwa  parameter  transformasi  eksponensial  adalah  signifikan sampai pada tingkat 99%. Ini berarti bahwa transformasi ekponensial perlu diaplikasikan untuk variabel eksogen. Hasil ini didukung oleh nilai-nilai AIC yang mengindikasikan bahwa model GARCH-X(1,1) dengan variabel eksogen ditransformasi eksponensial menyediakan pencocokan yang lebih baik daripada model tidak ditransformasi. Secara khusus, model dengan distribusi Student- t menggungguli distribusi Normal seperti  yang  banyak  ditemukan  dalam  literatur.  Hasil-hasil  di  atas  memberikan  kontribusi  terhadap pemodelan  volatilitas  dalam  hal  generalisasi  model  GARCH-X  melalui  transformasi  eksponensial.  Model usulan ini telah menyediakan perbaikan pencocokan model meskipun terbatas pada data pengamatan dan jenis transformasi yang digunakan. Karena itu hasil studi ini bisa diuji pada data returns maupun RV yang lain  dalam  hal  pencocokan  data  maupun  prediksi  volatilitas  serta  membandingkannya  dengan  jenis transformasi pangkat lainnya (seperti modulus maupun Yeo – Johson).

## 4. SIMPULAN
Studi  ini  telah  mengaplikasikan  transformasi  eksponensial  pada  variabel  eksogen  dari  model GARCH-X(1,1) . Model diasumsikan mengikuti distribusi Normal dan Student- t dan parameter-parameter dari  model  diestimasi  menggunakan  metode  ARWM  dalam  skema  MCMC.    Berdasarkan  pada  aplikasi empiris  menggunakan  data  indeks  saham  FTSE100  dan  SP500  untuk  periode  harian  dari  Januari  2000 sampai  Desember  2020,  studi  memperoleh  kesimpulan  seperti  berikut  ini.  Berdasarkan  acuan  selisih relatif  nilai  rata-rata  estimasi,  ini  dapat  disimpulkan  bahwa  transformasi  eksponensial  tidak  memiliki pengaruh terhadap parameter penentu persistensi volatilitas dan juga derajat kebebasan dari distribusi Student- t , tetapi berpotensi memiliki pengaruh yang signifikan terhadap parameter di persamaan variansi bersyarat. Selanjutnya, interval HPD dan nilai AIC menyediakan bukti bahwa model yang diusulkan, yaitu GARCH-X(1,1)  dengan  variabel  eksogen  ditransformasi  eksponensial,  adalah  superior  dibandingkan model  dasar.  Hasil  ini  merekomendasikan  kepada  akademisi  keuangan  dan  praktisi  pasar  untuk menggunakan model usulan tersebut ketika bekerja pada pemodelan volatilitas.  Untuk studi berikutnya yang masih terbuka bagi peneliti yaitu transformasi dapat diaplikasikan secara simultan pada data return dan variabel eksogen, serta membandingkannya dengan transformasi pangkat yang lain.

## 5. UCAPAN TERIMAKASIH
Studi  ini  merupakan  bagian  dari  penelitian  yang  didanai  untuk  tahun  anggaran  2022  oleh:  (1) Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, Republik Indonesia dalam skema Penelitian Dasar  Kompetitif  Nasional  (Nomor  Kontrak  158/E5/PG.02.00.PT/2022,  001/LL6/PB/AK.04/2022),  dan (2) Universitas Kristen Satya Wacana (Nomor Kontrak 171/SPK-PDKN/PR V/5/2022).

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Ariani, N. K., & Ujianti, P. R. (2021). Media Video Animasi untuk Meningkatkan Listening Skill Anak Usia Dini.
Jurnal Pendidikan Anak Usia Dini Undiksha , 9 (1), 43. https://doi.org/10.23887/paud.v9i1.35690. Cavanaugh,  J.  E.,  &  Neath,  A.  A.  (2019).  The  Akaike  information  criterion:  Background,  derivation, properties,  application,  interpretation,  and  refinements. Wiley  Interdisciplinary  Reviews: Computational Statistics , 11 (3), 1 – 11. https://doi.org/10.1002/wics.1460.
Ceylan,  O.  (2014).  Time-varying  volatility  asymmetry:  A  conditioned  HAR-RV(CJ)  EGARCH-M  model.
Journal of Risk , 17 (2), 21 – 49. https://doi.org/10.21314/JOR.2014.295.
Chaudhary,  R.,  Bakhshi,  P.,  &  Gupta,  H.  (2020).  Volatility  in  International  Stock  Markets:  An  Empirical Study  during  COVID-19. Journal  of  Risk  and  Financial  Management , 13 (9),  208. https://doi.org/10.3390/jrfm13090208.
Engle,  R.  (2002).  New  Frontiers  for  ARCH  Models. Journal  of  Applied  Econometrics , 17 (5),  425 – 446. https://doi.org/10.1002/jae.683.
Engle, R. F., & Patton, A. J. (2001). What good is a volatility model? Quantitative Finance , 1 (2), 237 – 245. https://doi.org/https://doi.org/10.1088/1469-7688/1/2/305.
Floros,  C.,  Gkillas,  K.,  Konstantatos,  C.,  &  Tsagkanos,  A.  (2020).  Realized  measures  to  explain  volatility changes over time. Journal of Risk and Financial Management , 13 (6), 125.
Gkillas,  K.,  Gupta,  R.,  &  Pierdzioch,  C.  (2020).  Forecasting  realized  gold  volatility:  Is  there  a  role  of geopolitical risks? Finance Research Letters , 35 , 1 – 6. https://doi.org/10.1016/j.frl.2019.08.028.
Gulay, E., & Emec, H. (2019). The stock returns volatility based on the GARCH (1,1) model: The superiority of the truncated standard normal distribution in forecasting volatility. Iranian Economic Review , 23 (1), 87 – 108. https://doi.org/10.22059/IER.2018.69100.
Han,  H.  (2015).  Asymptotic  properties  of  GARCH-X  processes. Journal  of  Financial  Econometrics , 13 (1), 188 – 221. https://doi.org/10.1093/jjfinec/nbt023. Hohler, J., & Lansink, A. O. (2021). Measuring th e impact of COVID‐19 on stock prices and profits in the food supply chain. Agribusiness (New York,
N.Y.) , 37 (1), 171 – 186. https://doi.org/10.1002/AGR.21678.
Kallner,  A.  (2018).  Formulas.  In  A.  Kallner  (Ed.), Laboratory  Statistics (Second,  pp.  1 – 140).  Elsevier. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-814348-3.00001-0. Li,  R.,  &  Nadarajah,  S.  (2020).  A  review  of  Student’s  t  distribution  and  its  generalizations. Empirical Economics , 58 (3), 1461 – 1490. https://doi.org/10.1007/s00181-018-1570-0.
McAlevey, L. G., & Stent, A. F. (2018). Kurtosis: a forgotten moment. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 49 (1), 120 – 130. https://doi.org/10.1080/0020739X.2017.1357848.
Mishra, A. K., Agrawal, S., & Patwa, J. A. (2022). Return and volatility spillover between India and leading Asian  and  global  equity  markets:  An  empirical  analysis. Journal  of  Economics,  Finance  and Administrative  Science , ahead - of - p (ahead-of-print). https://doi.org/10.1108/JEFAS-06-2021- 0082.
Nugroho, D. B. (2018). Comparative Analysis of Three MCMC Methods for Estimating GARCH Models. In IOP  Conference  Series:  Materials  Science  and  Engineering (Vol.  403,  p.  012061).  IOP  Publishing. https://doi.org/10.1088/1757-899X/403/1/012061.
Nugroho, D. B., Mahatma, T., & Pratomo, Y. (2021a). Applying the non-linear transformation families to the lagged-variance of EGARCH and GJR models. IAENG International Journal of Applied Mathematics , 51 (4), 908 – 919.
Nugroho, D. B., Mahatma, T., & Pratomo, Y. (2021b). GARCH Models under Power Transformed Returns: Empirical  Evidence  from  International  Stock  Indices. Austrian  Journal  of  Statistics , 50 (4),  1 – 18. https://doi.org/10.17713/ajs.v50i4.1075. Nugroho, D. B., & Morimoto, T. (2014). Realized non-linear stochastic volatility models with asymmetric effects and generalized student’s t -distribution. Journal of The Japan Statistical Society , 44 (1), 83 – 118. https://doi.org/10.14490/jjss.44.83.
Nugroho,  D.  B.,  &  Morimoto,  T.  (2015).  Estimation  of  realized  stochastic  volatility  models  using
Hamiltonian  Monte  Carlo-Based  methods. Computational  Statistics , 30 (2),  491 – 516. https://doi.org/10.1007/s00180-014-0546-6.
Nugroho,  D.  B.,  &  Morimoto,  T.  (2016).  Box – Cox  Realized  Asymmetric  Stochastic  Volatility  Models  with Generalized  Student’s  t -Error  Distributions. Journal  of  Applied  Statistics , 43 (10),  1906 – 1927.
https://doi.org/10.1080/02664763.2015.1125862. Nugroho,  D.  B.,  Susanto,  B.,  &  Rosely,  M.  M.  M.  (2018).  Penggunaan  MS  Excel  untuk  Estimasi  Model GARCH(1,1). Jurnal Matematika Integratif , 14 (2), 71 – 83. https://doi.org/10.24198/jmi.v14.n2.17680.71-82. Perry,  M.  B.  (2018).  Prediction  Intervals  for  the  Original  Response  when  Using  Manly’s  Exponential Transformations. Quality Engineering , 30 (2), 195 – 211. https://doi.org/10.1080/08982112.2017.1357827.
Rahman,  I.,  Gani,  R.  A.,  &  Achmad,  I.  Z.  (2020).  Persepsi  Siswa  Pada  Pembelajaran  Pendidikan  Jasmani Olahraga  Dan  Kesehatan  Tingkat  Sma. Jurnal  Pendidikan  Olahraga , 9 (2),  144 – 154. https://doi.org/10.31571/jpo.v9i2.1898.
Sumair, M., Aized, T., Asad, S., Gardezi, R., Mahmood, M., Bhutta, A., … Rehman, S. (2021). Application of five continuous  distributions  and  evaluation  of  wind  potential  at  five  stations  using  normal distribution. Energy
Exploration &
Exploitation , 39 (6), 2214 – 2239. https://doi.org/10.1177/0144598720939373.
Sutrisno,  B.  (2020).  The  Determinants  of  Stock  Price  Volatility  in  Indonesia. Economics  and  Accounting Journal , 3 (1), 73 – 79. https://doi.org/10.32493/eaj.v3i1.y2020.p73-79. Virginia, E., Ginting, J., & Elfaki, F. A. M. (2018). Application of GARCH model to forecast data and volatility of  share  price  of  energy  (Study  on  Adaro  Energy  Tbk,  LQ45). International  Journal  of  Energy Economics and Policy , 8 (3), 131 – 140. Wijaya,  M.  T.  (2021). Pemodelan  GARCH  berdasarkan  ukuran  realized  kernel  dan  pengestimasian  model menggunakan Solver GRG Non-Linear dan metode ARWM . Universitas Kristen Satya Wacana. Yeasin, M., Singh, K. N., Lama, A., & Paul, R. K. (2020). Modelling volatility influenced by exogenous factors using an improved GARCH-X model. Journal of the Indian Society of Agricultural Statistics , 74 (3), 209 – 216.
Zhang, H., & Lan, Q. (2014). GARCH-type model with continuous and jump variation for stock volatility and its empirical study in China. Mathematical Problems in Engineering , 2014 . https://doi.org/10.1155/2014/386721.