## NILAI KETAKTERATURAN TOTAL DARI EMPAT COPY GRAF BINTANG
Corry Corazon Marzuki 1* , Yusnita Sari 2 , Abdussakir 3 , Fitri Aryani 4 ,
1,2,4 Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau,
Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293
3 Program Magister Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan, UIN Maulana Malik
Ibrahim Malang, Jl. Gajayana 50, Malang, 65144
Email: corry@uin-suska.ac.id, yusnitasari059@gmail.com, sakir@mat.uin-malang.ac.id, khodijah_fitri@ uin-suska.ac.id *penulis korespondensi
Abstract. Let 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) is a graph and 𝑘𝑘 is a positive integers. Total labeling- 𝑘𝑘 on 𝐺𝐺 is a mapping 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 ∪ 𝐸𝐸 ⟶ {1,2, … , 𝑘𝑘 }. The weight of the vertex 𝑥𝑥 is represented by 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + ∑ 𝜆𝜆 ( 𝑢𝑢𝑥𝑥 ) 𝑢𝑢𝑢𝑢∈𝐸𝐸 and the weight of the edge 𝑥𝑥𝑥𝑥 is represented by 𝑤𝑤 𝜆𝜆 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝜆𝜆 ( 𝑥𝑥 ) + 𝜆𝜆 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ). A total- 𝑘𝑘 labeling of 𝐺𝐺 is called a tottaly irregular total labeling, if the weight of every two distinct vertices are different and the weight of every two distinct edges are different. The minimum 𝑘𝑘 such that a graph 𝐺𝐺 has a totally irregular total 𝑘𝑘 -  labeling is called the total irregularity strength of 𝐺𝐺 , denoted by 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) . In this paper  obtained 𝑡𝑡𝑡𝑡 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = 2 𝑛𝑛 + 1 where 𝑛𝑛 is a positive integer and 𝑛𝑛 ≥ 3 .
Keywords: four copies of star, total irregularity strength, totally irregular total labeling.
Abstrak. Misalkan 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) adalah suatu  graf dan 𝑘𝑘 adalah bilangan bulat positif. Pelabelan- 𝑘𝑘 total pada graf 𝐺𝐺 adalah suatu pemetaan 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 ∪ 𝐸𝐸 ⟶ {1,2, … , 𝑘𝑘 }. Bobot titik 𝑥𝑥 dinyatakan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑥𝑥 ) 𝑢𝑢𝑢𝑢∈𝐸𝐸 dan bobot sisi 𝑥𝑥𝑥𝑥 dinyatakan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ). Suatu pelabelan- 𝑘𝑘 total  dikatakan tak teratur total, jika bobot setiap titik berbeda dan bobot setiap sisi berbeda. Nilai ketakteraturan total ( totally irregularity strength ) dari graf 𝐺𝐺 dinotasikan dengan 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) adalah nilai 𝑘𝑘 minimum atau label terbesar minimum yang  digunakan untuk melabeli graf 𝐺𝐺 dengan pelabelan- k total  tak teratur total. Dalam makalah ini diperoleh nilai ketakteraturan total 4 copy graf bintang S n adalah 𝑡𝑡𝑡𝑡 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = 2 𝑛𝑛 + 1 dengan 𝑛𝑛 merupakan bilangan bulat positif dan 𝑛𝑛 ≥ 3.
Kata kunci: empat copy graf bintang, nilai ketakteraturan total, pelabelan total tak teratur total.

## I. PENDAHULUAN
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang menarik untuk dibahas, dengan mengkaji dan menganalisis model atau rumusan. Permasalahan yang dirumuskan dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil aspek-aspek yang diperlukan dan dibuang aspek-aspek yang lainnya. [11].
Teori graf muncul pertama kali pada tahun 1736 ketika seorang matematikawan Swiss bernama Leonardo Euler mencoba mencari solusi yang menggambarkan suatu masalah lintasan yang melalui jembatan dan pulau di tengah kota Konigberg. Dari permasalahan itu,

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
akhirnya Euler mengembangkan beberapa konsep mengenai teori graf. Masalah tersebut digambarkan melalui titik dan sisi yang menghubungkan antar titik, yang akhirnya berkembang dan dikenal dengan graf [10].
Salah satu topik pada teori graf adalah mengenai pelabelan graf. Pada tahun 2007, Baca dkk. [2] mendefinisikan suatu pelabelan graf yang diberi nama pelabelan tak teratur. Ada dua jenis pelabelan tak teratur yang didefinisikan,  yaitu pelabelan total tak teratur sisi dan pelabelan total tak teratur titik. Misalkan 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) adalah suatu graf.  Fungsi 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 ∪ 𝐸𝐸 → {1,2,3, … , 𝑘𝑘 } disebut pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur titik ( vertex irregular total 𝑘𝑘 -labeling ) pada 𝐺𝐺 , jika setiap dua titik yang berbeda di 𝑉𝑉 mempunyai bobot yang berbeda. Bobot titik 𝑥𝑥 di 𝑉𝑉 terhadap fungsi 𝑓𝑓 adalah 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) 𝑢𝑢𝑥𝑥∈𝐸𝐸 . Bilangan bulat positif terkecil 𝑘𝑘 sedemikian sehingga 𝐺𝐺 mempunyai suatu pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur titik dinamakan nilai total ketakteraturan titik ( total vertex irregularity strength ) dari 𝐺𝐺 dan dilambangkan dengan 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) . Pelabelan 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 ⋃ 𝐸𝐸 ⟶ {1,2, . . . , 𝑘𝑘 } pada 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) disebut pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur sisi  jika untuk setiap dua sisi yang berbeda 𝑒𝑒 dan 𝑔𝑔 pada 𝐺𝐺 memenuhi 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑒𝑒 ) ≠ 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑔𝑔 ) , dimana 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑒𝑒 ) dan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑔𝑔 ) berturut-turut adalah bobot dari sisi 𝑒𝑒 dan 𝑔𝑔 . Bobot dari suatu sisi 𝑒𝑒 = 𝑢𝑢𝑡𝑡 di 𝐺𝐺 didefinisikan sebagai 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑒𝑒 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑡𝑡 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) . Nilai minimum 𝑘𝑘 sehingga 𝐺𝐺 memiliki pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur sisi dinamakan nilai total ketakteraturan sisi dari 𝐺𝐺 dan dilambangkan dengan 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) .
Pada tahun 2013, Marzuki, dkk. [7] memperkenalkan pelabelan tak teratur lain yaitu pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur total,  yang merupakan hasil dari pengombinasian pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur titik dan pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur sisi. Marzuki, dkk [7] mendefinisikan pelabelan- 𝑘𝑘 total 𝑓𝑓 sebagai pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur total dari graf 𝐺𝐺 , jika untuk setiap titik 𝑥𝑥 dan 𝑥𝑥 yang berbeda berlaku 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) ≠ 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) , dan untuk setiap sisi 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 dan 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 yang berbeda berlaku 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 ) ≠ 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 ) . Nilai 𝑘𝑘 terkecil sehingga suatu graf 𝐺𝐺 dapat dilabeli dengan pelabelan- 𝑘𝑘 total tak  teratur total disebut nilai ketakteraturan total dari graf 𝐺𝐺 , dinotasikan dengan 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ). Pada tahun 2015 Tilukay, dkk.  [16]  memperoleh nilai ketakteraturan total dari graf kipas, roda, buku segitiga, dan grafik persahabatan, yakni 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ) = � 2𝑛𝑛+1 3 � untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 , 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑊𝑊 𝑛𝑛 ) = � 2𝑛𝑛+2 3 � untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 , 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑃𝑃 1 ⨀𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = � 2𝑛𝑛+3 3 � untuk 𝑛𝑛 ≥ 3, dan 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ) = 𝑛𝑛 + 1 untuk 𝑛𝑛 ≥ 2 .  Selain itu, Ramdani,  dkk. [13]  juga memperoleh nilai ketakteraturan total dari graf regular, yaitu 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑚𝑚𝐺𝐺 ) ≤ 𝑚𝑚�𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) � − � 𝑚𝑚−1 2 � .  Masih  pada tahun 2015,  Rahangmetan [12] memperoleh nilai ketakteraturan total dari gabungan terpisah graf roda dan graf buku segitiga 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑚𝑚𝑊𝑊 𝑛𝑛 ) = 2𝑚𝑚𝑛𝑛 3 + 1 .
Kemudian pada tahun 2017,  Marzuki dkk.  [8]  memperoleh nilai ketakteraturan total dari graf  hasil  kali  comb 𝑃𝑃 𝑚𝑚 dan 𝐶𝐶 𝑛𝑛 yakni 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑃𝑃 𝑚𝑚 ⊳ 𝐶𝐶 4 ) = � 5𝑚𝑚+1 3 � .  Pada  tahun yang sama,
Julaeha, dkk. [6] menentukan nilai ketakteraturan total dari graf bunga yaitu 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐵𝐵 𝑛𝑛 ) = � 4𝑛𝑛+2 3 � untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 . Selain itu, Marzuki, dkk. [15] memperoleh nilai ketakteraturan total dari graf butterfly network level 3 yaitu 𝑡𝑡𝑡𝑡�𝐵𝐵𝐹𝐹 (3) � = 17. Setelah itu, Marzuki, dkk. [9] juga mendapatkan nilai ketakteraturan p-copy graf theta tak seragam  yaitu 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑝𝑝𝑝𝑝� 4,4, (1,0,1,0) � = 2 𝑝𝑝 + 1 . Pada tahun 2014, Ramdani, R. [13] memperoleh nilai ketakteraturan total dari dua copy graf bintang yaitu 𝑡𝑡𝑡𝑡 (2 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ≥ 𝑛𝑛 + 1 . Penelitian ini dilanjutkan oleh Marzuki, dkk. [19] pada
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
nilai ketakteraturan total dari tiga copy graf bintang. Pada artikel ini akan ditentukan nilai ketakteraturan total dari empat copy graf bintang.

## II. LANDASAN TEORI

## 2.1 Terminologi Graf
Berikut akan dijelaskan definisi beberapa istilah pada teori graf, yaitu definisi graf, ketetanggaan, bersisian, dan derajat, serta jenis-jenis graf.
Definisi 1 [3] Suatu  graf G   adalah suatu himpunan berhingga dan tak kosong V yang dinamakan titik bersama himpunan E dari subhimpunan 2-elemen dari V yang dinamakan sisi. Untuk menyatakan suatu graf G   memiliki himpunan titik V dan himpunan sisi E , ditulis ).
, ( E V G =
Definisi di atas menyatakan bahwa 𝑉𝑉 tidak boleh kosong, sedangkan 𝐸𝐸 boleh kosong.
Definisi 2 [3] Ujung dari sebuah sisi dikatakan terkait dengan sisi tersebut. Kedua titik yang terkait dengan satu  sisi  yang sama dikatakan bertetangga. Sedangkan dua sisi dikatakan bertetangga jika terkait dengan satu titik yang sama.
Definisi 3 [9] Derajat suatu titik pada graf adalah banyak sisi yang terkait dengan titik tersebut. Derajat titik 𝑡𝑡 dinotasikan dengan 𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) .
Definisi 4 [8] Suatu graf G disebut graf bipartit jika himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan X dan Y sedemikian sehingga setiap sisi menghubungkan suatu titik di X kesuatu titik di Y.
u 1 u 2 u 3 u n v 1 v 2

## Gambar 1. Graf Bipartit
Definisi 5 [8] Graf bintang dinotasikan dengan 𝑆𝑆 𝑛𝑛 , adalah suatu graf bipat lengkap 𝐾𝐾 1 , 𝑛𝑛 . u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 v

## Gambar 2. Graf Bintang 𝑆𝑆 5 ≈ 𝐾𝐾 1 , 5

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Definisi 6 [5] Dua graf 𝐺𝐺 1 dan 𝐺𝐺 2 dikatakan isomorfik 𝐺𝐺 1 ≅ 𝐺𝐺 2 jika terdapat pemetaan satu- satu 𝜑𝜑 ∶ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 1 ) → 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 2 ) sedemikiaan sehingga dua titik 𝑡𝑡 𝑖𝑖 dan 𝑡𝑡 𝑗𝑗 bertetangga dalam graf 𝐺𝐺 1 jika dan hanya jika titik 𝜑𝜑 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ) dan 𝜑𝜑�𝑡𝑡 𝑗𝑗 � juga bertetangga dalam graf 𝐺𝐺 2 .
Definisi 7 [4] Gabungan dari dua graf 𝐺𝐺 1 dan 𝐺𝐺 2 yang dinotasikan dengan 𝐺𝐺 1 ∪ 𝐺𝐺 2 adalah graf yang mempunyai 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 1 ∪ 𝐺𝐺 2 ) = 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 1 ) ∪ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 2 ) dan 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 1 ∪ 𝐺𝐺 2 ) = 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 1 ) ∪ 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 2 ) . Jika 𝐺𝐺 1 ≅ 𝐺𝐺 2 ≅ 𝐺𝐺 maka dinotasikan dengan 2 𝐺𝐺 untuk 𝐺𝐺 1 ∪ 𝐺𝐺 2 . Pada umumnya, jika 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 , … , 𝐺𝐺 𝑛𝑛 adalah 𝑛𝑛 graf yang isomorfik dengan 𝐺𝐺 , maka 𝐺𝐺 1 ∪ 𝐺𝐺 2 ∪ … ∪ 𝐺𝐺 𝑛𝑛 dinotasikan dengan 𝑛𝑛𝐺𝐺 yang dinamakan n-copy graf 𝐺𝐺 .

## 2.2 Pelabelan Graf
Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan Sedlacek pada Tahun 1963.  Pelabelan pada suatu graf adalah pemetaan yang memasangkan unsur-unsur graf (titik/sisi) dengan bilangan bulat positif. Jika domain pemetaan adalah titik, maka disebut pelabelan titik. Jika domain pemetaan adalah sisi, maka disebut pelabelan sisi. Jika domain dari pemetaan adalah titik dan sisi, maka disebut pelabelan total [18].
Bobot ( weight ) dari suatu  elemen graf adalah jumlah dari semua label yang berhubungan dengan elemen graf tersebut [18]. Bobot dari titik 𝑡𝑡 dengan pelabelan 𝑓𝑓 adalah 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) + ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑡𝑡 ) 𝑢𝑢𝑢𝑢∈𝐸𝐸 . Sedangkan bobot dari sisi 𝑢𝑢𝑡𝑡 adalah 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑡𝑡 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) . Sampai saat ini terdapat beberapa jenis pelabelan graf yang telah dikaji, salah satunya adalah pelabelan total tak teratur. Pelabelan total tak teratur terdiri dari: pelabelan total tak teratur titik, pelabelan total tak teratur sisi dan pelabelan total tak teratur total. Berikut akan dijelaskan mengenai pelabelan total tak teratur total.

## a. Pelabelan Total Tak Teratur Titik
Pelabelan total tak teratur titik merupakan salah satu jenis pelabelan total tak teratur yang diperkenalkan oleh Bača, dkk. Definisi pelabelan total tak teratur titik sebagai berikut.
Definisi 8 [2] Pelabelan- 𝑘𝑘 total dikatakan pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur titik dari graf 𝐺𝐺 , jika untuk setiap titik 𝑢𝑢 dan 𝑡𝑡 yang berbeda maka 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) ≠ 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) , dimana 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑥𝑥 ) 𝑢𝑢𝑢𝑢∈𝐸𝐸 . Nilai total ketakteraturan titik (total vertex irregularity strength) dari graf 𝐺𝐺 , yang dinotasikan dengan 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) adalah label terbesar minimum yang digunakan untuk melabeli graf 𝐺𝐺 dengan pelabelan total tak teratur titik.
Penelitian mengenai nilai 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) dilakukan oleh Bača, dkk., dengan diberikan batas atas dan batas bawah seperti dituliskan pada teorema berikut ini.
Teorema 1 [2] Misalkan G adalah graf )
, ( q p , dengan 𝑝𝑝 adalah banyaknya titik dan 𝑞𝑞 adalah banyaknya sisi. Jika derajat minimum δ dan derajat maksimum ∆ , maka
1 2 ) ( 1 + − ∆ + ≤ ≤     + ∆ + δ δ p G tvs p .
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## b. Pelabelan Total Tak Teratur Sisi
Pelabelan total tak teratur sisi juga diperkenalkan  oleh  Bača,  dkk yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 9 [2] Pelabelan- 𝑘𝑘 total dikatakan pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur sisi dari graf 𝐺𝐺 , jika untuk sebarang dua sisi 𝑒𝑒 = 𝑢𝑢 1 𝑡𝑡 1 dan 𝑤𝑤 = 𝑢𝑢 2 𝑡𝑡 2 yang berada di graf 𝐺𝐺 berlaku 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑒𝑒 ) ≠ 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 ), dengan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑒𝑒 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 1 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑒𝑒 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 1 ) dan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 2 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 2 ). Nilai total ketakteraturan sisi (total edge irregularity strength) dari graf 𝐺𝐺 , yang dinotasikan dengan 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) adalah label terbesar minimum yang digunakan untuk melabeli graf 𝐺𝐺 dengan pelabelan total tak teratur sisi.
Penelitian mengenai nilai 𝑡𝑡𝑒𝑒 s (G) dilakukan oleh Bača, dkk., dengan diberikan batas atas dan batas bawah seperti dituliskan pada teorema berikut ini:
Teorema 2 [2] Misalkan 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) adalah suatu graf dengan himpunan titik 𝑉𝑉 dan himpunan sisi tak kosong 𝐸𝐸 , maka:
� | 𝐸𝐸 | + 2 3 � ≤ 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) ≤ | 𝐸𝐸 |

## c. Pelabelan Total Tak Teratur
Pelabelan total tak teratur total merupakan kombinasi pelabelan total tak teratur titik dan pelabelan total tak teratur sisi. Berikut ini definisi pelabelan total tak teratur total:
Definisi 10 [7] Pelabelan- 𝑘𝑘 total f dikatakan pelabelan- 𝑘𝑘 total tak teratur total dari graf 𝐺𝐺 , jika untuk setiap titik 𝑥𝑥 dan y yang berbeda maka 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) ≠ 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), dan untuk setiap sisi 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 dan 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 yang berbeda maka 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 ) ≠ 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 ). Nilai keteraturan total (totally irregularity strength) dari graf G, yang dinotasikan 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) adalah label terbesar minimum yang digunakan untuk melabeli graf G dengan pelabelan total tak teratur total.
Penelitian mengenai nilai 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) dilakukakan oleh C.C. Marzuki, dkk., dengan diberikan batas bawah seperti dituliskan pada teorema berikut ini.
Teorema 3 [7] Untuk setiap graf G, maka 𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ) ≥ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 { 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 ), 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝐺𝐺 )} .
Hasil penelitian tentang nilai ketakteraturan total diberikan pada teorema-teorema berikut, di antaranya  Ramdani [11]  yang  mendapatkan  nilai ketakteraturan total untuk dua copy graf bintang.
Teorema 4 [13] Misalkan 𝑛𝑛 ≥ 2, maka 𝑡𝑡𝑡𝑡 (2 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = 𝑛𝑛 + 1 .

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hal yang akan dijelaskan  dalam  hasil dan pembahasan  ini yaitu tentang langkah- langkah dalam menentukan nilai ketakteraturan total dari empat copy graf bintang (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) . Beberapa langkah yang dilakukan untuk memperoleh rumus nilai ketakteraturan total dari graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 , yaitu: pemberian nama masing-masing titik dan sisi, menentukan batas bawah nilai
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
ketakteraturan total pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 , untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 , melakukan pelabelan total tak teratur total pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 = 3,4,5, … ,10 , menentukan rumus pelabelan titik dan pelabelan sisi, menentukan rumus bobot titik dan bobot sisi yang berguna untuk membuktikan bahwa setiap bobot titik dan bobot sisi tidak ada yang sama. Setelah itu, jika terbukti bahwa setiap bobot titik dan bobot sisi tidak ada yang sama maka, terbukti bahwa pelabelan tersebut merupakan pelabelan total tak teratur total.
Graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 merupakan graf yang terdiri dari 4 𝑛𝑛 titik berderajat 1 dan 4 titik berderajat 𝑛𝑛 . Definisikan himpunan titik dari graf 4S n adalah 𝑉𝑉 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = { 𝑢𝑢 𝑖𝑖 | 𝑖𝑖 = 1,2,3,4} ∪ �𝑡𝑡 𝑗𝑗 �𝑗𝑗 = 1,2,3, … ,4 𝑛𝑛� , sedangkan himpunan sisi dari graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝐸𝐸 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = �𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑗𝑗 � , dengan 𝑖𝑖 = 1 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 1 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4); 𝑖𝑖 = 2 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 2 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4); 𝑖𝑖 = 3 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 3 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4); 𝑖𝑖 = 4 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 0 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4).
Ilustrasi dari empat copy graf bintang, yang dinotasikan dengan 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 diberikan pada Gambar 3 berikut.
1 t • • • 4 u 2 u 1 u 3 u 2 t 3 t 4 t 3 4 − n t 5 t 6 t 2 4 − n t 1 4 − n t n t 4 7 t 8 t 9 t 10 t 11 t 13 t 14 t 15 t 16 t 17 t • • • • • • • • • Gambar 3. Ilustrasi empat copy graf bintang ( 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒏𝒏 )
Dari langkah-langkah yang dijelaskan di atas, diperoleh suatu teorema tentang rumus umum nilai ketakteraturan total dari graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 diberikan dalam Teorema  5 berikut:
Teorema 5. Misalkan 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 adalah empat copy graf bintang dengan n bilangan bulat positif dan untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 . Maka
𝑡𝑡𝑡𝑡 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = 2 𝑛𝑛 + 1
Bukti: Graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 memiliki n 4  titik berderajat 1 dan 4 titik berderajat 𝑛𝑛 , maka bobot titik terkecil dari 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 sedikitnya 2 dan bobot terbesar dari suatu titik berderajat 1 sedikitnya
1 4 + n , sehingga label terbesar dari suatu titik berderajat 1 adalah sedikitnya . 1 2 2 1 4 + =     + n n
Bobot terkecil dari suatu titik berderajat 𝑛𝑛 sedikitnya 2 4 + n dan bobot terbesar dari suatu titik berderajat 𝑛𝑛 adalah 5 4 + n . Sehingga label terbesar dari suatu titik berderajat 𝑛𝑛 sedikitnya . 1 5 4     + + n n Dengan demikian, diperoleh 1 2 1 5 4 ,1 2 max ) 4 ( + =           + + + ≥ n n n n S tvs n
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Selain itu, banyaknya sisi dari n S 4  adalah 4 𝑛𝑛 , sehingga berdasarkan Teorema 2, diperoleh
    + ≥ 3 2 4 ) 4 ( n S tes n Dengan demikian, berdasarkan Teorema 3, diperoleh 1 2 3 2 4 ,1 2 max ) 4 ( + =           + + = n n n S ts n Selanjutnya akan dibuktikan . 1 2 ) 4 ( + ≤ n S ts n Hal ini akan dibuktikan dengan cara menunjukkan adanya pelabelan- 1 2 + n total tak teratur total pada graf n S 4 , untuk 𝑛𝑛 bilangan positif dengan 𝑛𝑛 ≥ 3 .
Definisikan 𝑓𝑓 : ( 𝑉𝑉 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ∪ 𝐸𝐸 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 )) → {1,2,3, … 2 𝑛𝑛 + 1} yang merupakan pelabelan total pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 sebagai berikut:
a) Untuk 𝑛𝑛 = 3,4.
    = 2 ) ( j t f j untuk ; 4 , 3 , 2 ,1 n j = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 5 untuk 𝑖𝑖 = 1 dan 𝑛𝑛 = 3 3 untuk 𝑖𝑖 = 2 dan 𝑛𝑛 = 3 4 untuk 𝑖𝑖 = 3, 4 dan 𝑛𝑛 = 3 2 untuk 𝑖𝑖 = 1,2 dan 𝑛𝑛 = 4 3 untuk 𝑖𝑖 = 3 dan 𝑛𝑛 = 4 1 untuk 𝑖𝑖 = 4 dan 𝑛𝑛 = 4 𝑓𝑓�𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑗𝑗 � = � 𝑗𝑗 2 � + 1 untuk 𝑖𝑖 = 1 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 1( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4)atau 𝑖𝑖 = 2 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡
2 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) atau 𝑖𝑖 = 3 dan 𝑗𝑗 ≡ 3( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4)atau 𝑖𝑖 = 4 dan 𝑗𝑗 ≡ 0( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) .
b) Untuk 𝑛𝑛 ≥ 5     = 2 ) ( j t f j untuk ; 4 , 3 , 2 ,1 n j = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = � 1 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑖𝑖 = 1,2 2 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑖𝑖 = 3 4 untuk 𝑖𝑖 = 4 𝑓𝑓�𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑗𝑗 � = � 𝑗𝑗 2 � + 1 untuk 𝑖𝑖 = 1 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 1( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4)atau 𝑖𝑖 = 2 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 2 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) atau 𝑖𝑖 = 3 dan 𝑗𝑗 ≡ 3( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4)atau 𝑖𝑖 = 4 dan 𝑗𝑗 ≡ 0( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) .
Berdasarkan rumus pelabelan titik dan sisi di atas, maka dapat dirumuskan bobot titik dan bobot sisi dari graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 sebagai berikut.
1) Untuk 𝑛𝑛 = 3 , bobot titik 𝑢𝑢 𝑖𝑖 dengan 𝑖𝑖 = 1,2,3,4 adalah 14, 15, 16,19 sedangkan bobot titik 𝑡𝑡 𝑗𝑗 dengan 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, 4 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari 2 sampai 13. Jadi tidak ada bobot titik yang sama. Untuk bobot sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑗𝑗 dengan 𝑖𝑖 = 1,2,3,4 dan 𝑗𝑗 ≡ 1( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4), 𝑗𝑗 ≡ 2( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4), 𝑗𝑗 ≡ 3( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) atau 𝑗𝑗 ≡ 0( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) dan 𝑗𝑗 =
1, 2, 3, 4 𝑛𝑛 adalah bilangan positif berurut mulai dari 6 sampai 17. Jadi tidak ada bobot sisi yang sama.
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
2) Untuk 𝑛𝑛 = 4 , bobot titik 𝑢𝑢 𝑖𝑖 dengan 𝑖𝑖 = 1,2,3,4 adalah 18, 22, 23, 25 sedangkan bobot titik 𝑡𝑡 𝑗𝑗 dengan 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, 4 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari 2 sampai 17. Jadi tidak ada bobot titik yang sama. Untuk bobot sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑗𝑗 dengan 𝑖𝑖 = 1,2,3,4 dan 𝑗𝑗 ≡ 1( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4), 𝑗𝑗 ≡ 2( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4), 𝑗𝑗 ≡ 3( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) atau 𝑗𝑗 ≡ 0( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) dan 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, 4 𝑛𝑛 adalah bilangan positif berurut mulai dari 4 sampai 19. Jadi tidak ada bobot sisi yang sama.
3) Untuk 𝑛𝑛 ≥ 5, bobot titik pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 adalah sebagai berikut.
a) Untuk 𝑖𝑖 = 1 dan 𝑗𝑗 genap 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f Untuk 𝑖𝑖 = 1 dan 𝑗𝑗 ganjil 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f b) Untuk 𝑖𝑖 = 2 dan 𝑗𝑗 genap 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f Untuk 𝑖𝑖 = 2 dan 𝑗𝑗 ganjil 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f c) Untuk 𝑖𝑖 = 3 dan 𝑗𝑗 genap 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f Untuk 𝑖𝑖 = 3 dan 𝑗𝑗 ganjil 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f d) Untuk 𝑖𝑖 = 4 dan 𝑗𝑗 genap 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f Untuk 𝑖𝑖 = 4 dan 𝑗𝑗 ganjil 1 ) ( ) ( ) ( + = + = j t u f t f t W j i j j f e) ( ) 3 4 1 7 4 1 13 1 9 1 5 1 1 1 1 1 ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − − + + + + + + + = n n f t u f t u f t u f t u f t u f t u f u f u W 1 2 + = n f) ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4 2 6 4 2 14 2 10 2 6 2 2 2 2 2 − − + + + + + + + = n n f t u f t u f t u f t u f t u f t u f u f u W 1 2 + + = n n g) ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 4 3 5 4 3 15 3 11 3 7 3 3 3 3 3 − − + + + + + + + = n n f t u f t u f t u f t u f t u f t u f u f u W 2 2 + + = n n h) ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 4 4 4 16 4 12 4 8 4 4 4 4 4 n n f t u f t u f t u f t u f t u f t u f u f u W + + + + + + + = − 4 2 2 + + = n n
Sedangkan bobot sisi pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 ≥ 5 adalah sebagai berikut. a) Untuk 𝑖𝑖 = 1 dan 𝑗𝑗 genap 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f Untuk 𝑖𝑖 = 1 dan 𝑗𝑗 ganjil 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f b) Untuk 𝑖𝑖 = 2 dan 𝑗𝑗 genap 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021)
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Untuk 𝑖𝑖 = 2 dan 𝑗𝑗 ganjil 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f c) Untuk 𝑖𝑖 = 3 dan 𝑗𝑗 genap 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f Untuk 𝑖𝑖 = 3 dan 𝑗𝑗 ganjil 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f d) Untuk 𝑖𝑖 = 4 dan 𝑗𝑗 genap 5 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f Untuk 𝑖𝑖 = 4 dan 𝑗𝑗 ganjil 5 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 + = + + = j t f t u f u f t u W j j j i f
Jadi, untuk 𝑛𝑛 ≥ 5 , bobot titik 𝑡𝑡 𝑗𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 �𝑡𝑡 𝑗𝑗 � dengan 𝑗𝑗 = 1,2,3, … ,4 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat postif berurutan mulai dari 2,3, … ,4 𝑛𝑛 + 1 . Sedangkan bobot titik 𝑢𝑢 𝑖𝑖 dengan 𝑖𝑖 = 1,2,3 ,4 yang dinotasikan dengan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 1 ) adalah 𝑛𝑛 2 + 1 , 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 2 ) adalah 𝑛𝑛 2 + 𝑛𝑛 + 1 , 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 3 ) adalah 𝑛𝑛 2 + 𝑛𝑛 + 2 , 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 4 ) adalah 𝑛𝑛 2 + 2 𝑛𝑛 + 4 ,  sedangkan bobot sisi 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑗𝑗 yang dinotasikan 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑗𝑗 ) ,  dengan 𝑖𝑖 = 1 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 1 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) , 𝑖𝑖 = 2 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 2 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) adalah 𝑗𝑗 + 2 , untuk 𝑖𝑖 = 3 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 3 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) adalah 𝑗𝑗 + 3 , sedangkan untuk 𝑖𝑖 = 4 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑗𝑗 ≡ 0 ( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4) adalah 𝑗𝑗 + 5 .
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa setiap bobot titik pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 tidak ada yang sama. Akan ditunjukkan bahwa 𝑤𝑤 𝑓𝑓 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) < 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 1 ) < 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 2 ) < 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 3 ) < 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 4 ) . Hal ini akan dibuktikan dengan induksi matematika.
1. Akan ditunjukkan 2 𝑛𝑛 + 1 < 𝑛𝑛 2 + 1 untuk setiap 𝑛𝑛 ≥ 5 , menggunakan induksi matematika sebagai berikut :
a. Basis Induksi Akan ditunjukkan untuk 𝑛𝑛 = 5 , berlaku
2 𝑛𝑛 + 1 < 𝑛𝑛 2 + 1
Perhatikan bahwa 2 𝑛𝑛 + 1 = 2(5) + 1 = 11 < 26 = (5) 2 + 1 = 𝑛𝑛 2 + 1 b. Langkah Induksi Asumsikan benar untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 , yaitu 2 𝑘𝑘 + 1 < 𝑘𝑘 2 + 1
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 + 1, yaitu 2 3 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 2 + + < + ⇔ + + < + + k k k k k Perhatikan bahwa 2 𝑘𝑘 + 1 < 𝑘𝑘 2 + 1 (kedua ruas ditambah 2 ) 2 3 3 2 1 3 3 3 2 3 3 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 + + < + < + ⇔ − + + < + < + ⇔ + < + ⇔ + + < + + ⇔ k k k k k k k k k k k k 2. Akan ditunjukkan 2 𝑛𝑛 + 1 < 𝑛𝑛 2 + 𝑛𝑛 + 1 Perhatikan bahwa, untuk 𝑛𝑛 ≥ 5
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
1 1 2 2 2 2 2 + + < + ⇔ + < + < + n n n n n n n n n n (kedua ruas ditambah +1 )
3. Akan ditunjukkan 𝑛𝑛 2 + 𝑛𝑛 + 1 < 𝑛𝑛 2 + 𝑛𝑛 + 2 Perhatikan bahwa, untuk 𝑛𝑛 ≥ 5 𝑛𝑛 + 1 < 𝑛𝑛 + 2 (kedua ruas ditambah 𝑛𝑛 2 ) 2 1 2 2 + + < + + ⇔ n n n n 4. Akan ditunjukkan 𝑛𝑛 2 + 𝑛𝑛 + 2 < 𝑛𝑛 2 + 2 𝑛𝑛 + 4 Perhatikan bahwa, untuk 𝑛𝑛 ≥ 5 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 + + < + + ⇔ + < + + + < + n n n n n n n n n (kedua ruas ditambah 𝑛𝑛 2 )
Perhatikan bahwa fungsi 𝑓𝑓 adalah suatu pemetaan dari 𝑉𝑉 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ∪ 𝐸𝐸 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ke {1,2, … , 2 𝑛𝑛 + 1} dengan setiap titik memiliki bobot yang berbeda dan setiap sisi memiliki bobot yang berbeda. Jadi, 𝑓𝑓 adalah  pelabelan total tak teratur total pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 .  Sehingga dapat disimpulkan bahwa 𝑡𝑡𝑡𝑡 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ≤ 2 𝑛𝑛 + 1 . Dengan terbuktinya
1 2 ) 4 ( + ≥ n S ts n dan 𝑡𝑡𝑡𝑡 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ≤ 2 𝑛𝑛 + 1 maka diperoleh 𝑡𝑡𝑡𝑡 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = 2 𝑛𝑛 + 1 .
Berikut ini akan disajikan contoh aplikasi Teorema 9 pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 = 14 . Adapun langkah–langkah dalam menyelesaikan contoh nilai ketakteraturan total dari 4 𝑆𝑆 14 adalah sebagai berikut :
1. Menentukan label setiap sisi dan setiap titik dari graf 4 𝑆𝑆 14 dengan menggunakan rumus pelabelan titik dan pelabelan sisi.
2. Menentukan bobot setiap sisi dan bobot setiap titik dari graf 4 𝑆𝑆 14 .
3. Menunjukkan bahwa bobot setiap sisi berbeda dan bobot setiap titik juga berbeda.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 1 t 3 5 t 5 7 9 t 13 t 9 17 t 11 21 t 13 25 t 15 29 t 17 33 t 19 37 t 1 5 8 3 4 2 6 7 2 t 6 t 10 t 14 t 9 10 18 t 11 12 22 t 13 14 26 t 15 16 30 t 17 18 34 t 19 20 38 t 7 4 4 2 2 6 6 8 8 3 t 7 t 11 t 15 t 10 10 19 t 12 12 23 t 14 2 7 t 16 16 31 t 18 18 35 t 20 20 39 t 14 3 9 5 4 2 6 7 8 4 t 8 t 12 t 16 t 10 11 20 t 12 13 24 t 14 15 28 t 16 17 32 t 18 19 36 t 20 21 40 t 21 21 23 23 25 25 41 t 45 t 49 t 21 22 23 24 25 26 46 t 50 t 42 t 22 22 24 24 26 26 43 t 47 t 51 t 22 23 24 25 26 27 44 t 48 t 52 t 27 27 27 28 28 28 28 29 53 t 54 t 55 t 56 t 1 1 u 1 2 u 2 3 u 4 4 u
Gambar 4. Pelabelan Total Tak Teratur Total pada 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟒𝟒 Perhatikan bahwa label maksimum yang digunakan pada Gambar 4 adalah 29. Dengan label maksimum tersebut dapat diperiksa bahwa  bobot setiap titiknya berbeda dan bobot setiap sisinya berbeda. Oleh karena itu, pelabelan tersebut merupakan pelabelan-29 total tak teratur total pada graf 4 𝑆𝑆 14 .

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian di atas tentang nilai ketakteraturan total dari empat copy graf bintang (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) dapat disimpulkan bahwa 𝑡𝑡𝑡𝑡 (4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = 2 𝑛𝑛 + 1 untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 . Hal ini sudah dibuktikan pada Teorema 9 dengan cara membuktikan bahwa 2 𝑛𝑛 + 1 merupakan batas bawah dan juga batas atas dari nilai ketakteraturan total pada graf 4 𝑆𝑆 𝑛𝑛 .

## REFERENSI
[1] Amir, Zubaidah. “ Matematika Diskrit ”. Halaman 1-4. Zanafa Publishing, Pekanbaru. 2010.
[2] Bača,  M.,  Jendrol  J., Miller, M., dan Ryan, J. “On Irregular Total Labellings ” Discrete Math . Vol. 307.Halaman 1378-1388. 2007.
[3] Chartrand, G., Lesniak L., Zhang P., Graphs and Digraphs 5 th edition, CRC Press. New York. 2011.
[4] Chartrand, Gary and O. R. Oellermann. (1993). Applied and Algorithmic graph Theory . McGraw-Hill Inc, New York.
[5] Chartrand, Gary. (1986). Introductory Graph Theory . Dover Publications Inc, New York.
[6] Julaeha, S., Luspitasari, I., & Sukaesih, E. “Pelabelan Total Tak Teratur Total Pada Graf Bunga ( 𝐹𝐹 𝑛𝑛 ) ”. J. Istek. Vol. X, No. 1, halaman 6, 2017.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
[7] Marzuki, C.C, Salman, A.N.M. & Miller, M., “On The Total Irregularity Strength of Cycles and Paths,” FJMS . Vol. 82, halaman 1-21, 2013.
[8]   Marzuki, C.C., Febrinanda,Y. “Nilai Ketakteraturan Total dari Graf Hasil Kali Comb
𝑃𝑃 𝑚𝑚 dan 𝐶𝐶 𝑛𝑛 ,” Jurnal Sains Matematika dan Statistika” . Vol. 3, halaman 8-15. 2017.
[9] Marzuki, C. C.,  Handayani, S., Aryani, F.  “Nilai Ketakteraturan Total dari p-copy Graf Theta Tak Seragam” . Jurnal Seminar Nasional Teknologi Informasi , halaman 737-740, 2018.
[10]   Munir, R. “ Matematika Diskrit ”. Revisi Kelima. Bandung: Informatika. 2005.
[11]   Purwanto. “Teori Graf”. Malang : IKIP MALANG. 1998.
[12]  Rahangmetan, R. D. S, Tilukay, M., Rumlawang, F.Y., & Talakua, M.W. “Nilai Total Tak Teratur Total Dari Gabungan Terpisah Graf Roda Dan Graf Buku Segitiga”: Jurnal Ilmu Matematika , Vol. 9, No. 2, halaman 97-102, 2015.
[13]  Ramdani, R., “Nilai Total Ketakteraturan Total dari Dua Copy Graf Bintang,” J.Math. Fund. Sci . Vol. 8, halaman 4, 2014.
[14]  Ramdani, R., Salman, A. N. M., dan Assiyatun, H. “On The Total Irregularity Strength of Regular Graph,” Journal of Mathematical and Fundamental Sciences . Vol. 47, halaman 281-295. 2015.
[15]  Marzuki,  C.C.,  Sari,  M.,  Aryani,  F.,  Nilai Ketakteraturan Total  dari Graf Butterfly Network Level 3, Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 11 , 2019..
[16]  Meilin T.I., Salman, A.M.N., & Persulessy, E.R., “One the Total Irregularity Strength of Fan, Wheel, Tringular Book, and Friendship Graph” Procedia Computer Science 74 124-131. 2015.
[17]  Vasudev, C. “ Graph Theory with Application” . Halaman 1,3. New Age international Publisher, New Delhi. 2006.
[18]  Wallis W D. “ Magic Graphs ”. Halaman 11. Birkhauser Boston, New York. 2001.
[19]  Marzuki, C.C., Yuliana, Muda, Y., Elviyenti, M., Nilai Ketakteraturan Total dari Tiga Copy Graf Bintang, Jurnal Sains, Teknologi dan Industri , Vol. 18, No. 1, Desember 2020, pp.126 - 133.
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id