## Research Articles

## Metode Interpolasi Modifikasi Kostaki dalam Menentukan Peluang Meninggal untuk Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Berjangka
Yulia Resti 1* , Andi Eka Putra 2 , Des Alwine Zayanti 1 , Endang Sri Kresnawati 1
1 Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
2 Alumni Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Received 16 Februari 2020; Accepted 15 Agustus 2020; Published 22 September 2020
Keyword:
Probability of die; Interpolation;
Kostaki modification; Life table;
Premium ABSTRACT: This study discusses the determination of the probability of die at one-year age intervals from the 2010 US life table using the Kostaki Modified interpolation  method  which  is  then  used  in  calculating  term  life  insurance premiums. The proposed modification method of Kostaki is Kostaki modification method with 6-point Lagrange and Kostaki modification method with Heligman- Pollard. The selection of the best interpolation results between the two methods uses  Mean  of  Absolute  Error.  The  results  showed  that  first;  the  interpolation result  of  the  probability  of  die  at  the  one-year  age  interval  using  the  Kostaki Modification  interpolation  method  with  6  points  Lagrange  is  better  than  the interpolation result with  the Heligman-Pollard modification, with the  value of Mean  of  Absolute  Error  0.001  and  0.006  respectively.  Second;  term  life insurance  premiums  calculated  using  the  one-year  age-interval  probability  of Kostaki's  Modification  with  6-point  Lagrange  interpolation,  differ  significantly from the premiums calculated using the five-year age interval probability of die in the abridged life table. The premium calculated using the abridged life table is four times greater than the premium calculated using the interpolated results.
@2020  Published  by  UP2M,  Faculty  of  Mathematics  and  Natural  Sciences, Sriwijaya University Kata Kunci:
Peluang meninggal;
Interpolasi;
Modifikasi kostaki; Tabel mortalita;
premi ABSTRAK: Penelitian  ini  membahas  tentang  penentuan  peluang  meninggal interval  usia  satu-tahunan  dari  tabel  mortalita  ringkas  Amerika  2010 menggunakan metode interpolasi Modifikasi Kostaki untuk kemudian digunakan dalam perhitungan premi asuransi jiwa berjangka. Metode modifikasi Kostaki yang diusulkan adalah metode Modifikasi Kostaki dengan Lagrange 6 titik dan metode Modifikasi Kostaki dengan Heligman-Pollard. Pemilihan hasil interpolasi terbaik di antara kedua metode tersebut menggunakan Rataan Galat Mutlak. Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  pertama;  hasil  interpolasi  peluang meninggal  interval  usia  satu-tahunan  menggunakan  metode  interpolasi Modifikasi Kostaki dengan Lagrange 6 titik lebih baik daripada hasil interpolasi dengan Modifikasi Heligman-Pollard, dengan nilai Rataan Galat Mutlak maisng- masing  sebesar  0,001  dan  0,006.  Kedua;  premi  asuransi  jiwa  berjangka  yang dihitung  menggunakan  peluang  meninggal  interval  usia  satu-tahunan  hasil interpolasi Modifikasi Kostaki dengan Lagrange 6 titik, berbeda secara signifikan dengan  premi  yang  dihitung  menggunakan  peluang  meninggal  interval  usia lima-tahunan pada tabel mortalita ringkas. Premi yang dihitung menggunakan tabel  mortalita  ringkas  empat  kali  lebih  besar  nilainya  dibandingkan  dengan premi yang dihitung menggunakan hasil interpolasi. @2020 Published by UP2M, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sriwijaya University

## Jurnal Penelitian Sains
Journal Home Page: http://ejurnal.mipa.unsri.ac.id/index.php/jps/index
∗ Corresponding author. E-mail address: yulia_resti@mipa.unsri .ac.id
2597-7059 Online, 1410-7058 print/ @2020 Published by UP2M, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sriwijaya University

## PENDAHULUAN
Penentuan  premi  suatu  produk  asuransi jiwa  memerlukan  peluang  meninggal  yang biasanya  diperoleh  dari  suatu  tabel  mortalita. Tabel  mortalita  merupakan  suatu  tabel  yang memuat  data  sekelompok  orang  dengan  jumlah tertentu  yang  lahir  di  waktu  yang  sama  dimana banyaknya orang yang meninggal dari kelompok tersebut disajikan dari periode ke periode hingga semua  orang  dari  kelompok  tersebut  meninggal dunia, dan dari data tersebut disajikan beberapa komponen  yang  dapat  digunakan  untuk menentukan  peluang  meninggal  [1].  Tabel mortalita dapat disajikan dalam bentuk kelompok umur  dalam  interval  lima  atau  sepuluh-tahunan yang disebut tabel mortalita ringkas ( abridged life table ) atau dalam umur satu-tahunan yang disebut tabel  mortalita  lengkap  ( complete  life  table ). Banyaknya  orang  yang  meninggal  dalam  suatu kelompok  tertentu  dapat  juga  diprediksi menggunakan  distribusi  statistik  yang  lazim dikenal sebagai hukum mortalita  [2]. Kesesuaian hukum mortalita Gompertz dan Makeham dengan tabel  mortalita  Amerika  Serikat  1979-1981  dan tabel  mortalita  Indonesia  2011  dikaji  oleh  [3]. Menurut  mereka  ada  kesesuaian  antara  hukum mortalita  Gompertz  dengan  tabel  mortalita Amerika  Serikat  (untuk  jenis  kelamin  pria  dan wanita) dan tabel mortalita Indonesia untuk jenis kelamin  pria,  serta  ada  kesesuaian  hukum mortalita  Mahekam  dengan  tabel  mortalita Indonesia untuk jenis kelamin wanita. Kesesuaian hukum  mortalita  Mahekam  dengan  tabel mortalita Indonesia untuk jenis kelamin wanita ini diterapkan  [4]  untuk  menentukan  nilai  tunai manfaat  asuransi  jiwa  atau  sering  juga  dikenal sebagai  nilai  premi  tunggal  yang  dibayarkan sekaligus. Hukum mortalita Gompertz diterapkan oleh  [5] untuk  menghitung  dana  tabarru’ menggunakan  metode Cost  of  Insurance , sedangkan  [6]  menerapkan  hukum  mortalita Gompertz, hukum mortalita Makeham, dan Tabel Mortalita  Amerika  Serikat  1979-1981  untuk menentukan  premi  tunggal  yang  dibayarkan sekaligus  dari  produk  asuransi  jiwa  berjangka. Nilai premi yang paling mahal diperoleh berturut- turut  dengan  menggunakan  hukum  Makeham, hukum  Gompertz,  dan  Tabel  Mortalita  Amerika Serikat 1979-1981.
Ketika  data  peluang  meninggal  hanya dimiliki  dalam  bentuk  tabel  mortalita  ringkas (TMR),  salah  satu  cara  memperoleh  peluang meninggal  dalam  bentuk  tahunan  adalah menggunakan  metode  interpolasi.  Beberapa metode  interpolasi  yang  sering  digunakan  para peneliti  adalah  metode  interpolasi  Lagrange  [7], interpolasi  Heligman-Pollard  [8],  dan  interpolasi Kostaki  [9].  Menurut  [10],  metode  interpolasi Modifikasi  Kostaki  memiliki  tingkat  akurasi  yang lebih  baik  dibandingkan  dengan  beberapa metode  interpolasi  seperti  metode  interpolasi Kostaki,  interpolasi  Lagrange,  dan  interpolasi Heligman-Pollard dalam menginterpolasi komponen-komponen pada tabel Mortalita untuk interval satu tahunan dimana ia menerapkannya pada  TMR  Amerika  Serikat  2007.  Metode interpolasi  Modifikasi  Kostaki  ini  merupakan gabungan  metode  interpolasi  Kostaki  dengan metode interpolasi lain seperti metode interpolasi Lagrange  dan  metode  interpolasi  Heligman- Pollard.
Menurut [11], [12], nilai-nilai yang disajikan pada  komponen-komponen  TMR  Amerika periode  2010-2015  mengikuti  pola  yang diharapkan dan tidak menunjukkan penyimpangan baik distribusi statistiknya maupun rata-rata  tertimbang  dari  hasil  sensus  periode 2010-2015.  Pada  penelitian  ini  dibahas  tentang penentuan  peluang  meninggal  interval  usia  satu tahunan  dari  TMR  Amerika  menggunakan metode  interpolasi  Modifikasi  Kostaki  dengan Lagrange  6  titik  (MKL6)  dan  Modifikasi  Kostaki dengan  Heligman-Pollard  (MKHP)  dari  TMR dimana  hasil  interpolasi  terbaik  yang  diperoleh digunakan untuk menentukan premi asuransi jiwa berjangka  n-tahun.  Pada  asuransi  jiwa  ini, tertanggung  akan  menerima  manfaat  jika  risiko yang  dipertanggungkan  dalam  kontrak  terjadi dalam  n-tahun.  Untuk  mengetahui  pengaruh perbedaan  penggunaan  peluang  meninggal dalam  menentukan  premi,  pada  penelitian  ini juga  diilustrasikan  perhitungan  premi  asuransi jiwa berjangka menggunakan TMR.

## BAHAN DAN METODE
Langkah-langkah utama pada penelitian ini dalam  bentuk  diagram  alir  dan  disajikan  pada Gambar 1.

## Gambar 1. Diagram alir penelitian
Tabel  mortalita  yang  digunakan  adalah TMR Amerika 2010 ( US Abridged Life Table 2010 ) dan  Tabel  Mortalita  Lengkap  Amerika  2010  ( US Completed  Life  Table  2010 )  yang  diperoleh  dari http://www.mortality.org/hmd/USA/STATS/bltper _5x1.txt, 17/09/2014 8:23.
Metode  Interpolasi  Modifikasi  Kostaki dengan Lagrange 6 titik
Langkah awal adalah mengestimasi peluang meninggal untuk interval satu-tahunan berdasarkan TMR (lima-tahunan) Amerika Serikat 2010 menggunakan metode interpolasi Modifikasi Kostaki dengan Lagrange 6 titik (MKL6). Adapun tahapan-tahapannya adalah:
a) Menentukan  peluang  meninggal  interval  usia lima-tahunan 𝑞 𝑥 𝑛 sebagai  peluang  seseorang
Mengestimasi peluang meninggal untuk interval satu-tahunan menggunakan metode interpolasi Modifikasi Kostaki dengan Lagrange 6 titik (MKL6)
Mengestimasi peluang meninggal untuk interval satu-tahunan menggunakan metode interpolasi Modifikasi Kostaki dengan Heligman-Pollard (MKHP) Menghitung Rataan Galat Mutlak hasil interpolasi MKL6 dengan Tabel Mortalita Lengkap Menghitung Rataan Galat Mutlak hasil interpolasi MKHP dengan Tabel Mortalita Lengkap Memilih hasil interpolasi terbaik berdasarkan Rataan Galat
Mutlak
Menentukan peluang hidup untuk interval satu-tahunan berdasarkan hasil interpolasi Modifikasi Kostaki terbaik
Menentukan peluang peserta asuransi yang berusia x tahun tetap hidup selama kontrak berlaku
Menentukan premi asuransi jiwa berjangka berdasarkan suku bunga, jangka waktu kontrak, dan manfaat yang akan diperolehnya ketika risiko yang dipertanggungkan terjadi
Tabel Mortalita Ringkas
Interpretasi hasil dan analisis Kesimpulan
yang  telah  mencapai  usia 𝑥 tahun  akan meninggal  sebelum  mencapai  usia 𝑥 + 𝑛 menggunakan persamaan,
𝑞 𝑥 𝑛 = 𝑑 𝑥 𝑛 𝑙 𝑥 = 𝑙 𝑥 − 𝑙 𝑥+𝑛 𝑙 𝑥 (1)
b) Menentukan  peluang  meninggal  interval  usia satu-tahunan 𝑞 𝑥 𝑛 (𝐼) tahunan  menggunakan interpolasi Lagrange 6 titik (L6) menggunakan persamaan
𝑞 𝑥 = 𝑞 𝑥 (𝐼) 𝑛 =   ∑ 𝑞 𝑥 𝑖 𝑛 𝐿 𝑖 (𝑥)                        (2) 6 𝑖=1 dengan 𝐿 𝑖 (𝑥) = ∏ (𝑥−𝑥 𝑗 ) (𝑥 𝑖 −𝑥 𝑗 ) (3) 𝑛 𝑗=1,𝑗≠𝑖
c) Menentukan nilai konstanta interpolasi Kostaki
𝐾 𝑥 𝑛 untuk  setiap  interval  usia  menggunakan persamaan,
𝐾 𝑥 𝑛 = 𝑙𝑛(1 − 𝑞 𝑥 𝑛 ) ∑ 𝑙𝑛(1 − 𝑞 𝑥+𝑖 (𝑠) ) 𝑛−1 𝑖=0 (4)
dengan 𝑞 𝑥+𝑖 (𝑠) adalah  peluang  seseorang  tepat berusia    meninggal  sebelum  mencapai  usia 𝑥 + 𝑖 + 1 pada tabel mortalita.
d) Menentukan  peluang  meninggal  interval  usia satu-tahunan 𝑞̂ 𝑥 pada tabel mortalita lengkap menggunakan persamaan,
𝑞̂ 𝑥 = 1 − (1 − 𝑞 𝑥 (𝑠) ) 𝐾 𝑥 𝑛
(5)
Metode  Interpolasi  Modifikasi  Kostaki dengan Heligman-Pollard
Selanjutnya mengestimasi peluang
meninggal untuk interval satu-tahunan berdasarkan TMR (lima-tahunan) Amerika Serikat 2010 menggunakan metode interpolasi Modifikasi Kostaki dengan Heligman-Pollard (MKHP) dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a) Menentukan  peluang  meninggal  interval  usia lima-tahunan 𝑞 𝑥 𝑛 menggunakan  persamaan (1) seperti pada interpolasi Modifikasi Kostaki dengan Lagrange 6 titik.
b) Menentukan nilai parameter-parameter model Heligman-Pollard pada persamaan, 𝑞 𝑥 𝑝 𝑥 = 𝐴 (𝑥+𝐵) 𝐶 + 𝑊 + 𝐺𝐻 𝑥 (6)
dimana
𝑊 = 𝐷 𝑒𝑥𝑝 [−𝐸 (𝑙𝑛 ( 𝑥 𝐹 )) 2 ]                          (7) dengan bantuan perangkat lunak
menggunakan metode Lavenberg Marquardt, dimana 𝜷 = (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻) .  Iterasi  ke-
𝑛 + 1 pada  metode  Lavenberg  Marquardt didefinisikan sebagai,
𝛽̂ 𝑛+1 = 𝛽̂ 𝑛 − 𝑅 −1 [ 𝜕𝑆𝑆𝐸(𝛽) 𝜕(𝛽 𝑖 ) ]                      (8) dimana
𝑅 = (𝐽(𝛽̂ 𝑛 ) 𝑇 𝐽(𝛽̂ 𝑛 ) + 𝜆 𝑛 𝐼 𝑝𝑥𝑝 )                      (9) dan 𝛽̂ 𝑛 , 𝑅 −1 , [ 𝜕𝑆𝑆𝐸(𝛽) 𝜕(𝛽 𝑖 ) ] , 𝐽(𝛽̂ 𝑛 ) , 𝜆 𝑛 , 𝐼 𝑝𝑥𝑝 berturut-turut  adalah  parameter  pada  iterasi ke-n, invers dari 𝑅 , persamaan normal, matriks Jacobi dari 𝛽̂ 𝑛 , koefisien pada iterasi ke-n, dan matriks identitas.
c) Menentukan  peluang  meninggal  interval  usia satu-tahunan 𝑞 𝑥 𝑛 (𝐼) tahunan  menggunakan interpolasi  model  Heligman-Pollard  (HP) menggunakan  persamaan (10) − (12) yang berturut-turut  untuk  usia  anak-anak  (1-9 tahun), usia muda (10-29 tahun), dan usia tua (lebih dari 30 tahun).
𝑞 𝑥 (𝐼) 𝑛 = 𝐴 (𝑥+𝐵)𝐶 1+𝐴 (𝑥+𝐵)𝐶 +𝑊+𝐺𝐻 𝑥 (10)
𝑞 𝑥 (𝐼) 𝑛 =
𝑊 1+𝐴 (𝑥+𝐵)𝐶 +𝑊+𝐺𝐻 𝑥 (9) (11)
𝑞 𝑥 (𝐼) 𝑛 = 𝐺𝐻 𝑥 1+𝐴 (𝑥+𝐵)𝐶 +𝑊+𝐺𝐻 𝑥 (12)
Persamaan (10) − (12) diperoleh  dengan memisalkan  bagian  sebelah  kanan  pada persamaan (6) sebagai 𝑭(𝑥; 𝜷) , dimana
𝑞 𝑥 = 𝑭(𝑥; 𝜷) 1 + 𝑭(𝑥; 𝜷) =  𝑮(𝑥; 𝜷)                       (13) dan 𝑞 𝑥 = 1 − 𝑝 𝑥 (14)
kemudian  pembilang 𝑭(𝑥; 𝜷) pada  masing- masing  persamaan  berturut-turut  merupakan komponen  usia  anak-anak  (1-9  tahun),  usia muda (10-29 tahun), dan usia tua (lebih dari 30
tahun) yaitu 𝐴 (𝑥+𝐵) 𝐶 , 𝑊 , dan 𝐺𝐻 𝑥 .
d) Menentukan nilai konstanta 𝐾 𝑥 𝑛 untuk setiap interval usia menggunakan persamaan (4).
e) Menentukan 𝑞̂ 𝑥 pada  tabel  mortalita  lengkap menggunakan persamaan (5).

## Memilih  Hasil  Interpolasi  Terbaik Berdasarkan Rataan Galat Mutlak
Langkah  selanjutnya  adalah  memilih  hasil interpolasi peluang meninggal interval usia satu- tahunan 𝑞̂ 𝑥 yang  terbaik  dari  kedua  metode Modifikasi  Kostaki  berdasarkan  Rataan  Galat Mutlak  (RGM).  RGM  merupakan  salah  satu metode  untuk  melihat  keakuratan  suatu  nilai dugaan  dengan  nilai  sebenarnya,  semakin  kecil nilai RGM yang didapatkan maka semakin akurat nilai  dugaannya.  Jadi  dalam  penelitian  ini,  nilai RGM  yang  lebih  kecil  menunjukkan  hasil interpolasi  yang  lebih  baik.  Adapun  RGM dirumuskan sebagai,
𝑅𝐺𝑀 = 1 𝑛 ∑ | 𝑛 𝑥=1 𝑞 𝑥 − 𝑞̂ 𝑥 |                                              (15)
dengan 𝑞 𝑥 adalah  nilai  peluang  kematian sebenarnya,  dan 𝑛 adalah  usia  tertinggi  pada Tabel  Mortalita.  Adapun  langkah-langkahnya sebagai berikut:
a) Hitung  RGM  untuk 𝑞 𝑥 pada  tabel  mortalita lengkap Amerika Serikat 2010 dengan 𝑞̂ 𝑥 hasil interpolasi modifikasi Kostaki dengan
Lagrange 6 titik.
b) Hitung  RGM  untuk 𝑞 𝑥 pada  tabel  mortalita lengkap Amerika Serikat 2010 dengan 𝑞̂ 𝑥 hasil interpolasi modifikasi Kostaki dengan Heligman-Pollard.
c) Membandingkan  nilai  RGM  dari  hasil interpolasi  kedua  metode  modifikasi  Kostaski dimana  hasil  interpolasi  terbaik  kemudian digunakan  sebagai  dasar  menentukan  premi asuransi jiwa berjangka.

## Premi Asuransi Berjangka
Selanjutnya  adalah  menentukan  premi asuransi  jiwa  berjangka.  Premi  ini  dirumuskan
sebagai besaran nilai manfaat yang dibagi dengan cicilan  yang  dibayarkan  di  awal  setiap  periode (due annuity ) dan dinotasikan dengan,
𝑃 𝑥:𝑛̅| 1 = 𝐴 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 𝑎̈ 𝑥:𝑛̅| (16)
dimana  nilai  manfaat  asuransi  berjangka  dan cicilan  yang  dibayarkan  di  awal  setiap  periode diperoleh berturut-turut dengan menggunakan
𝐴 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 =   ∑ 𝑣 𝑘+1 . 𝑝 𝑥 . 𝑞 𝑥+𝑘 𝑘 𝑛−1 𝑘=0
(17)
𝑎̈ 𝑥:𝑛̅| = ∑ 𝑣 𝑘 𝑛−1 𝑘=0 . 𝑝 𝑥 𝑘 (18)
dimana 𝑣 , 𝑝 𝑥 𝑘 ,  dan 𝑞 𝑥+𝑘 masing-masing merupakan faktor diskonto dari suku bunga 𝑖 pada waktu ke- 𝑘 , peluang peserta berusia 𝑥 tetap dapat hidup hingga usia 𝑥 + 𝑘 , dan  peluang seseorang yang berusia 𝑥 + 𝑘 akan meninggal pada usia 𝑥 + 𝑘 + 1 .

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Estimasi  Peluang  Meninggal  dengan Interpolasi Modifikasi Kostaki Lagrange 6 Titik
Langkah  awal  sebelum  menentukan peluang  meninggal  interval  usia  satu-tahunan dengan  metode  interpolasi  Modifikasi  Kostaki Lagrange  6  titik  (MKL6)  adalah  menentukan terlebih  dahulu  peluang  meninggal  interval  usia lima-tahunan  yang  dihitung  menggunakan (1) untuk usia 0 tahun hingga 110 tahun sebagai usia tertinggi dalam tabel mortalita. Hasil perhitungannya disajikan pada Tabel 1, dan dari tabel ini dapat dilihat bahwa peluang meninggal pada usia 110 tahun adalah 1.
Tabel 1 Peluang meninggal interval lima-tahunan
𝒙 𝒒 𝒙 𝒏 𝒙 𝒒 𝒙 𝒏 𝒙 𝒒 𝒙 𝒏 𝒙 𝒒 𝒙 𝒏 0 0,007220 25 0,004783 55 0,034937 85 0,415193 1 0,001077 30 0,005469 60 0,049359 90 0,606865 5 0,000574 35 0,006935 65 0,073759 95 0,776874 10 0,000705 40 0,009989 70 0,110602 100 0,895708 15 0,002461 45 0,016133 75 0,171432 105 0,955752
20 0,004307 50 0,024309 80 0,266704 110 1
Selanjutnya menentukan 6 titik interpolasi dengan jarak  yang  sama  untuk  kelompok  umur  dalam
interval  10-tahunan  seperti  yang  disajikan  pada Tabel 2.

## Tabel 2 Titik interpolasi
Interval Usia (Tahun) Titik-titik Interpolasi 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝒙 𝟒 𝒙 𝟓 𝒙 𝟔 1 – 10 1 5 10 15 20 25 11 – 15 0 5 10 15 20 25 16 – 20 5 10 15 20 25 30 21 – 25 10 15 20 25 30 35 26 – 30 15 20 25 30 35 40 31 – 35 20 25 30 35 40 45 36 – 40 25 30 35 40 45 50 41 – 45 30 35 40 45 50 55 46 – 50 35 40 45 50 55 60 51 – 55 40 45 50 55 60 65 56 – 60 45 50 55 60 65 70 61 – 65 50 55 60 65 70 75 66 – 70 55 60 65 70 75 80 71 – 75 60 65 70 75 80 85 76 – 80 65 70 75 80 85 90 81 – 85 70 75 80 85 90 95 86 – 90 75 80 85 90 95 100 91 – 95 80 85 90 95 100 105 96 – 110 85 90 95 100 105 110
Nilai-nilai  pada  Tabel  2  ini  digunakan  untuk memperoleh  nilai-nilai  pada  rumus (3) ,  dan selanjutnya dengan menggunakan rumus
(2) dapat  diperoleh  peluang  meninggal  interval
satu-tahunan  menggunakan  metode  interpolasi Lagrange  6  titik  (L6).  Hasil  perhitungan  peluang ini disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Peluang meninggal interval satu-tahunan dengan interpolasi L6
𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 0 0,001077 23 0,004677 45 0,016133 67 0,086451 89 0,528987 1 0,001019 24 0,004733 46 0,017610 68 0,093718 90 0,568126 2 0,000886 25 0,004783 47 0,019163 69 0,101733 91 0,643968 3 0,000725 26 0,004879 48 0,020795 70 0,110602 92 0,679768 4 0,000574 27 0,004991 49 0,022508 71 0,120558 93 0,713994 5 0,000462 28 0,005125 50 0,024309 72 0,131547 94 0,746422 6 0,000410 29 0,005283 51 0,026234 73 0,143638 95 0,776874 7 0,000430 30 0,005469 52 0,028254 74 0,156905 96 0,805476 8 0,000529 31 0,005680 53 0,030372 75 0,171432 97 0,831774 9 0,000705 32 0,005927 54 0,032596 76 0,187015 98 0,855628 10 0,001077 33 0,006213 55 0,034937 77 0,204143 99 0,876948 11 0,001005 34 0,006548 56 0,037335 78 0,223014 100 0,895708
12 0,001341 35 0,006935 57 0,039921 79 0,246984 101 0,911955 13 0,001702 36 0,007360 58 0,042748 80 0,266704 102 0,925815 14 0,002077 37 0,007863 59 0,045875 81 0,291886 103 0,937506 15 0,002461 38 0,008458 60 0,049359 82 0,319351 104 0,947343 16 0,002889 39 0,009162 61 0,053389 83 0,349105 105 0,955752 17 0,003304 40 0,009989 62 0,057838 84 0,381095 106 0,963275 18 0,003687 41 0,010993 63 0,062709 85 0,415193 107 0,970583 19 0,004026 42 0,012121 64 0,068012 86 0,291886 108 0,978479 20 0,004307 43 0,013362 65 0,073759 87 0,451929 109 0,987917 21 0,004479 44 0,014703 66 0,079829 88 0,490053 110 1 22 0,004598
Tabel 4 Konstanta 𝐾 𝑥 𝑛 metode Kostaki dari interpolasi L6
𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 1 0,290531 30 0,183242 60 0,168584 90 0,162964 5 0,238471 35 0,174229 65 0,168056 95 0,167596 10 0,103178 40 0,163095 70 0,164515 100 0,173776 15 0,150295 45 0,167399 75 0,162193 105 0,171276 20 0,188937 50 0,171091 80 0,159139 25 0,190847 55 0,173472 85 0,157611
Peluang  meninggal  interval  satu-tahunan yang diperoleh menggunakan interpolasi L6  titik ini  menunjukkan  bahwa  peluang  meninggal mengalami  penurunan  pada  tahun  pertama sampai  tahun  keenam,  namun  untuk  peluang meninggal  pada  tahun  ketujuh  sampai  tahun keseratus  sepuluh  mengalami  peningkatan  dan usia tertinggi yang dicapai adalah seratus sepuluh tahun.
Selanjutnya,  nilai  konstanta 𝐾 𝑥 𝑛 metode Kostaki  diperoleh  dengan  cara  mensubstitusikan peluang  meninggal  interval  umur  satu-tahunan pada metode interpolasi L6 seperti yang disajikan pada Tabel 3 dan nilai peluang meninggal interval
umur  lima-tahunan  seperti  yang  disajikan  pada Tabel  1  ke  dalam  persamaan (4) .  Hasil perhitungan  nilai  konstanta 𝐾 𝑥 𝑛 untuk  setiap interval umur disajikan pada Tabel 4.
Berikutnya,  estimasi  peluang  meninggal interval  satu-tahunan  menggunakan  metode interpolasi MKL6 diperoleh dengan mensubstitusikan hasil pada Tabel 4 ke persamaan (5) dan  hasilnya  disajikan  pada  Tabel  5.  Hasil estimasi yang disajikan pada Tabel 5 ini memiliki pola yang mirip dengan [10] yang menggunakan TMR  Amerika  tahun  2002  dan  2007  dengan metode yang sama.
Tabel 5 Estimasi peluang meninggal interval satu-tahunan dengan MKL6
𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 0 0,006150 23 0,000885 45 0,002719 67 0,015081 89 0,123960 1 0,000313 24 0,000896 46 0,002969 68 0,016400 90 0,141132 2 0,000296 25 0,000915 47 0,003234 69 0,017870 91 0,154885 3 0,000257 26 0,000933 48 0,003511 70 0,019068 92 0,169369 4 0,000211 27 0,000954 49 0,003804 71 0,020877 93 0,184519 5 0,000137 28 0,000980 50 0,004202 72 0,022902 94 0,200375 6 0,000110 29 0,001010 51 0,004537 73 0,025146 95 0,222291 7 0,000098 30 0,001004 52 0,004892 74 0,027647 96 0,239952 8 0,000103 31 0,001043 53 0,005263 75 0,030040 97 0,258255
9 0,000126 32 0,001089 54 0,005654 76 0,033018 98 0,277005 10 0,000073 33 0,001142 55 0,006150 77 0,036359 99 0,296142 11 0,000104 34 0,001203 56 0,006578 78 0,040098 100 0,324863 12 0,000139 35 0,001212 57 0,007043 79 0,044973 101 0,344413 13 0,000176 36 0,001286 58 0,007550 80 0,048167 102 0,363686 14 0,000215 37 0,001375 59 0,008114 81 0,053440 103 0,382332 15 0,000370 38 0,001479 60 0,008497 82 0,059389 104 0,400512 16 0,000435 39 0,001603 61 0,009206 83 0,066051 105 0,413769 17 0,000497 40 0,001636 62 0,009994 84 0,073520 106 0,432124 18 0,000555 41 0,001801 63 0,010857 85 0,081078 107 0,453395 19 0,000606 42 0,001987 64 0,011805 86 0,090419 108 0,481808 20 0,000815 43 0,002192 65 0,012794 87 0,100706 109 0,530784 21 0,000848 44 0,002413 66 0,013882 88 0,111887 110 1 22 0,000870
Peluang  meninggal  interval  satu-tahunan yang  diperoleh  menggunakan  interpolasi  MKL6 ini menunjukkan bahwa peluang meninggal juga mengalami  penurunan  pada  tahun  pertama namun  hingga  tahun  ketujuh,  dan  mengalami peningkatan  kembali  hingga  tahun  kesembilan kemudian turun lagi pada tahun kesepuluh, dan selanjutnya  mengalami  peningkatan  hingga  usia tertinggi  yang  dicapai  adalah  seratus  sepuluh tahun.
Estimasi Peluang Meninggal

## Menggunakan  Interpolasi  Modifikasi Kostaki dengan Heligman-Pollard
Langkah  awal  sebelum  mengestimasi peluang  meninggal  untuk  interval  satu-tahunan menggunakan  metode  interpolasi  MKHP  adalah menentukan  parameter  modelnya.  Tabel  6 menyajikan parameter model HP yang diperoleh menggunakan  metode  Lavenberg-Marquardt dengan  bantuan  perangkat  lunak.  Peluang meninggal  interval  usia  satu-tahunan  diperoleh dengan  mensubstitusikan  parameter-parameter pada  Tabel  5  ke  persamaan (8) − (10) ke persamaan (6) .
Tabel 6. Parameter Interpolasi Heligman-Pollard
Parameter Anak-anak Muda Tua A 0,769 0,932 1 B 18,133 0,993 1 C 0,934 0,990 0,998 D 10,302 0,594 1 E 1,754 0,008 1 F 2,416 5,21E-10 1 G 7,454 1,149 7,79E-06 H 0,671 0,929 1,155
Tabel 7 Peluang meninggal interval satu-tahunan dengan interpolasi Heligman-Pollard
𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 𝒙 𝒒 𝒙 1 0,001848 23 0,003443 45 0,002544 67 0,057258 89 0,591214 2 0,000930 24 0,003454 46 0,002937 68 0,065551 90 0,625529 3 0,000838 25 0,003464 47 0,003391 69 0,074950 91 0,658628
4 0,000959 26 0,003473 48 0,003915 70 0,085573 92 0,690249 5 0,001176 27 0,003480 49 0,004519 71 0,097544 93 0,720187 6 0,001432 28 0,003486 50 0,005215 72 0,110985 94 0,748285 7 0,001673 29 0,003491 51 0,006019 73 0,126019 95 0,774446 8 0,001842 30 0,000294 52 0,006945 74 0,142764 96 0,798619 9 0,001901 31 0,000339 53 0,008013 75 0,161323 97 0,820802 10 0,003305 32 0,000392 54 0,009244 76 0,181782 98 0,841027 11 0,003301 33 0,000452 55 0,010661 77 0,204205 99 0,859361 12 0,003304 34 0,000522 56 0,012293 78 0,228620 100 0,875892 13 0,003311 35 0,000603 57 0,014172 79 0,255019 101 0,890727 14 0,003321 36 0,000697 58 0,016333 80 0,283347 102 0,903983 15 0,003333 37 0,000805 59 0,018817 81 0,313498 103 0,915784 16 0,003347 38 0,000929 60 0,021669 82 0,345311 104 0,926252 17 0,003361 39 0,001073 61 0,024945 83 0,378571 105 0,935511 18 0,003376 40 0,001239 62 0,028700 84 0,413015 106 0,943677 19 0,003390 41 0,001431 63 0,033002 85 0,448331 107 0,950865 20 0,003405 42 0,001653 64 0,037923 86 0,484176 108 0,957176 21 0,003418 43 0,001908 65 0,043546 87 0,520185 109 0,962709 22 0,003431 44 0,002203 66 0,049958 88 0,555985 110 0,967551
Tabel 7 menyajikan secara lengkap peluang meninggal  interval  usia  satu-tahunan  yang diperoleh  dengan  menggunakan  meteode interpolasi  HP.  Peluang  meninggal  interval  satu- tahunan yang diperoleh menggunakan interpolasi Heligman-Pollard  ini  menunjukkan  bahwa peluang  meninggal  mengalami  penurunan  pada tahun  pertama  sampai  tahun  keempat,  namun untuk  peluang  meninggal  pada  tahun  kelima sampai  tahun  keseratus  sepuluh  mengalami peningkatan dan usia tertinggi yang dicapai lebih dari 110 tahun.
Selanjutnya  seperti  pada  metode  MKL6, nilai  konstanta 𝐾 𝑥 𝑛 metode  Kostaki  diperoleh dengan cara mensubstitusikan peluang meninggal interval  umur  satu-tahunan  pada  metode interpolasi Heligman-Pollard seperti yang disajikan  pada  Tabel  6  dan  nilai  peluang meninggal  interval  umur  lima-tahunan  seperti yang disajikan pada Tabel 1 ke dalam persamaan (4) . Hasil perhitungan nilai konstanta 𝐾 𝑥 𝑛 untuk setiap interval umur disajikan pada Tabel 8.
Tabel 8 Konstanta 𝐾 𝑥 𝑛 metode Kostaki dari interpolasi Heligman-Pollard
𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 𝒙 𝑲 𝒙 𝒏 1 0,235358 30 2,742806 60 0,340846 90 0,158719 5 0,071526 35 1,693738 65 0,255029 95 0,174186 10 0,042561 40 1,189282 70 0,195849 100 0,192795 15 0,146361 45 0,938128 75 0,162266 105 0,206887 20 0,251233 50 0,691909 80 0,144862 25 0,275159 55 0,488320 85 0,145086
Tabel 9 Estimasi peluang meninggal interval satu-tahunan dengan MKHP
𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 𝒙 𝒒 ̂ 𝒙 0 0,006150 23 0,000866 45 0,002387 67 0,014925 89 0,121719 1 0,000435 24 0,000869 46 0,002756 68 0,017142 90 0,144356 2 0,000219 25 0,000954 47 0,003181 69 0,019673 91 0,156831
3 0,000197 26 0,000957 48 0,003673 70 0,017368 92 0,169741 4 0,000226 27 0,000959 49 0,004240 71 0,019900 93 0,183027 5 0,000084 28 0,000960 50 0,003611 72 0,022777 94 0,196635 6 0,000103 29 0,000962 51 0,004169 73 0,026035 95 0,228483 7 0,000119 30 0,000806 52 0,004811 74 0,029718 96 0,243568 8 0,000132 31 0,000929 53 0,005551 75 0,028144 97 0,258790 9 0,000136 32 0,001075 54 0,006405 76 0,032031 98 0,274092 10 0,000141 33 0,001239 55 0,005220 77 0,036385 99 0,289422 11 0,000141 34 0,001431 56 0,006022 78 0,041245 100 0,331211 12 0,000141 35 0,001021 57 0,006946 79 0,046647 101 0,347425 13 0,000141 36 0,001180 58 0,008009 80 0,047117 102 0,363495 14 0,000142 37 0,001363 59 0,009233 81 0,053031 103 0,379386 15 0,000489 38 0,001573 60 0,007439 82 0,059518 104 0,395066 16 0,000491 39 0,001817 61 0,008573 83 0,066595 105 0,432849 17 0,000493 40 0,001473 62 0,009876 84 0,074273 106 0,448518 18 0,000495 41 0,001702 63 0,011373 85 0,082679 107 0,463875 19 0,000497 42 0,001966 64 0,013091 86 0,091577 108 0,478909 20 0,000857 43 0,002269 65 0,011290 87 0,101065 109 0,493612 21 0,000859 44 0,002619 66 0,012985 88 0,111122 110 0,507975 22 0,000863 Hasil  perhitungan  peluang  meninggal interval  satu-tahunan  menggunakan  metode interpolasi MKHP diperoleh dengan mensubstitusikan hasil pada Tabel 8 ke persamaan (5)  dan  hasilnya  disajikan  pada  Tabel  9.  Seperti pada  Tabel  5,  hasil  estimasi  yang  disajikan  pada Tabel 6 ini memiliki pola yang mirip dengan [10] yang menggunakan TMR Amerika tahun 2002 dan 2007 dengan metode yang sama.

## Rataan Galat Mutlak
Perhitungan  Rataan  Galat  Mutlak  (RGM) dari  hasil  interpolasi  peluang  meninggal  interval usia  satu-tahunan dari  kedua  metode Modifikasi  Kostaki  disajikan  pada  Tabel  9. Semakin  kecil  nilai  RGM  yang  didapatkan  maka semakin akurat nilai dugaannya. Dengan kata lain, nilai  RGM  yang  lebih  kecil  menunjukkan  hasil interpolasi yang lebih baik.

## Tabel 9 RGM untuk Modifikasi Kostaski
Usia Nilai pada Tabel Mortalita Lengkap Nilai Mutlak Usia Nilai pada Tabel Mortalita Lengkap Nilai Mutlak MKL6 MKHP MKL6 MKHP 𝒙 𝒒 𝒙 |𝒒 𝒙 − 𝒒 ̂ 𝒙 | |𝒒 𝒙 − 𝒒 ̂ 𝒙 | 𝒙 𝒒 𝒙 |𝒒 𝒙 − 𝒒 ̂ 𝒙 | |𝒒 𝒙 − 𝒒 ̂ 𝒙 | 1 0,000440 0,000127 0,000005 56 0,006570 0,000008 0,000548 2 0,000270 0,000026 0,000051 57 0,007060 0,000017 0,000114 3 0,000210 0,000047 0,000013 58 0,007630 0,000008 0,000379 4 0,000160 0,000051 0,000066 59 0,008100 0,000014 0,001133 5 0,000120 0,000017 0,000036 60 0,008630 0,000133 0,001191 6 0,000110 0,000000 0,000007 61 0,009150 0,000056 0,000577 7 0,000110 0,000012 0,000009 62 0,010000 0,000006 0,000124 8 0,000110 0,000007 0,000022 63 0,011290 0,000433 0,000083 9 0,000110 0,000016 0,000026 64 0,011290 0,000515 0,001801 10 0,000100 0,000027 0,000041 65 0,012790 0,000004 0,001500 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
52 0,004970 0,000078 0,000159 107 0,462930 0,009535 0,000945 53 0,005290 0,000027 0,000261 108 0,480700 0,001108 0,001791 54 0,005650 0,000004 0,000755 109 0,497500 0,033284 0,003888 55 0,006070 0,000080 0,000850 110 1 0,000000 0,492025 Total 0,113942 0,639490 RGM 0,001 0,006
Tabel 9 mencatat bahwa nilai Rataan Galat Mutlak  hasil  interpolasi  dengan  MKL6  sebesar 0,001  sedangkan  dengan  MKHP  sebesar  0,006. Artinya  hasil  interpolasi  dengan  MKL6  lebih mendekati peluang meninggal interval usia satu- tahunan yang sebenarnya atau dengan kata  lain hasil interpolasi dengan MKL6 lebih baik daripada hasil  interpolasi  dengan  MKHP.  Hasil  estimasi peluang meninggal interval usia satu-tahunan ini serupa dengan [10] bahwa MKL6 memiliki Rataan Galat Mutlak yang lebih kecil atau dalam bahasa lainnya  adalah  hasil  interpolasi  yang  dihasilkan lebih  baik.  Untuk  itu  hasil  interpolai  MKL6  yang
digunakan untuk menghitung premi asuransi jiwa berjangka.

## Premi Asuransi Jiwa Berjangka
Penentuan  premi  asuransi  memerlukan peluang  hidup  interval  usia  satu-tahunan  dari peserta  asuransi  yang  diperoleh  sebagai  negasi dari  peluang  meninggal  interval  usia  satu- tahunan. Peluang hidup interval usia satu-tahunan dari  hasil  interpolasi  peluang  meninggal menggunakan  metode  MKL6  diberikan  pada Tabel 10.
Tabel 10 Peluang Hidup Interval Usia Satu-Tahunan Hasil Interpolasi dengan MKL6
𝒙 𝒑 ̂ 𝒙 𝒙 𝒑 ̂ 𝒙 𝒙 𝒑 ̂ 𝒙 𝒙 𝒑 ̂ 𝒙 𝒙 𝒑 ̂ 𝒙 0 0,993850 23 0,999115 45 0,997281 67 0,984919 89 0,876040 1 0,999687 24 0,999104 46 0,997031 68 0,983600 90 0,858868 2 0,999704 25 0,999085 47 0,996766 69 0,982130 91 0,845115 3 0,999743 26 0,999067 48 0,996489 70 0,980932 92 0,830631 4 0,999789 27 0,999046 49 0,996196 71 0,979123 93 0,815481 5 0,999863 28 0,999020 50 0,995798 72 0,977098 94 0,799625 6 0,999890 29 0,998990 51 0,995463 73 0,974854 95 0,777709 7 0,999902 30 0,998996 52 0,995108 74 0,972353 96 0,760048 8 0,999897 31 0,998957 53 0,994737 75 0,969960 97 0,741745 9 0,999874 32 0,998911 54 0,994346 76 0,966982 98 0,722995 10 0,999927 33 0,998858 55 0,993850 77 0,963641 99 0,703858 11 0,999896 34 0,998797 56 0,993422 78 0,959902 100 0,675137 12 0,999861 35 0,998788 57 0,992957 79 0,955027 101 0,655587 13 0,999824 36 0,998714 58 0,992450 80 0,951833 102 0,636314 14 0,999785 37 0,998625 59 0,991886 81 0,946560 103 0,617668 15 0,999630 38 0,998521 60 0,991503 82 0,940611 104 0,599488 16 0,999565 39 0,998397 61 0,990794 83 0,933949 105 0,586231 17 0,999503 40 0,998364 62 0,990006 84 0,926480 106 0,567876 18 0,999445 41 0,998199 63 0,989143 85 0,918922 107 0,546605 19 0,999394 42 0,998013 64 0,988195 86 0,909581 108 0,518192 20 0,999185 43 0,997808 65 0,987206 87 0,899294 109 0,469216 21 0,999152 44 0,997587 66 0,986118 88 0,888113 110 0,000000 22 0,999130
Perhitungan premi asuransi jiwa berjangka menggunakan  peluang  meninggal  interval  usia satu-tahunan  hasil  interpolasi  MKL6  diberikan dalam  bentuk  ilustrasi.  Misalkan  seseorang berumur 25 tahun membeli produk asuransi jiwa dengan jangka waktu 12 tahun. Jika suku bunga
sebesar 3% dan manfaat yang akan diperolehnya ketika risiko yang dipertanggungkan terjadi dalam rentang  waktu  tersebut  adalah  Rp  100.000.000, maka premi yang harus dibayarkan olehnya setiap tahun  adalah  Rp  102.172,-,  dimana  nilai 𝑝 25 𝑘 diperoleh dengan cara,
𝑝 25 0 = 1
𝑝 25 = 1 − 𝑞 25
𝑝 25 2 = 𝑝 25 . 𝑝 26 𝑝 25 3 = 𝑝 25 . 𝑝 26 . 𝑝 27 =   𝑝 25 2 . 𝑝 27 𝑝 25 4 = 𝑝 25 . 𝑝 26 . 𝑝 27 . 𝑝 28
⋮ 𝑝 25 11 = 𝑝 25 . 𝑝 26 . 𝑝 27 . 𝑝 28 . 𝑝 29 . 𝑝 30 . 𝑝 31 . 𝑝 32 . 𝑝 33 . 𝑝 34 . 𝑝 35
Perhitungan premi pada ilustrasi 1 secara lengkap menggunakan peluang meninggal hasil interpolasi metode MKL6 disajikan pada Tabel 11.
Tabel 11 Perhitungan Premi Menggunakan Tabel Mortalita Lengkap
𝒌 𝒗 𝒌 𝒗 𝒌+𝟏 𝒑 𝟐𝟓+𝒌 𝒑 𝟐𝟓 𝒌 𝒒 𝟐𝟓+𝒌
𝑨 𝟐𝟓:𝒌| ̅ 𝟏 𝒂̈ 𝟐𝟓:𝒌 ̅| 0 1 0,970874 0,999085 1 0,000915 0,000888 1 1 0,970874 0,942596 0,999067 0,9990850 0,000933 0,000879 0,969985 2 0,942596 0,915142 0,999046 0,9981529 0,000954 0,000871 0,940855 3 0,915142 0,888487 0,999020 0,9972006 0,000980 0,000868 0,912580 4 0,888487 0,862609 0.998990 0,9962234 0,001010 0,000868 0,885132 5 0,862609 0,837484 0,998996 0,9952172 0,001004 0,000837 0,858483 6 0,837484 0,813092 0,998957 0,9942180 0,001043 0,000843 0,832642 7 0,813092 0,789409 0,998911 0,9931810 0,001089 0,000854 0,807547 8 0,789409 0,766417 0,998858 0,9920994 0,001142 0,000868 0,783172 9 0,766417 0,744094 0,998797 0,9909665 0,001203 0,000887 0,759493 10 0,744094 0,722421 0,998788 0,9897743 0,001212 0,000867 0,736485 11 0,722421 0,701380 0,998714 0,9885747 0,001286 0,000892 0,714167 𝑨 𝟐𝟓:𝟏𝟐| ̅̅̅̅̅ 𝟏 0,010422 𝒂̈ 𝟐𝟓:𝟏𝟐 ̅̅̅̅| 10,200542 𝑷 𝟐𝟓:𝟏𝟐 ̅̅̅̅| 𝟏 0,00102172 Manfaat Rp 100.000.000 Premi sekaligus Rp 1.042.209,- Premi cicilan per tahun Rp 102.172,-
Perhitungan  premi  pada  Tabel  11  menunjukkan bahwa  jika  nasabah  yang  membeli  produk  ini ingin  membayarkan  preminya  sekaligus  hingga lunas maka premi yang harus dibayarnya sebesar Rp 1.042.209,-, namun jika ia ingin membayarkan preminya  dengan  cara  mencicil  pertahun,  maka premi  per  tahun  yang  harus  dibayarnya  sebesar
Rp 102.172,-. Apabila diakumulasikan selama 12 tahun, nilai premi yang dibayar secara cicilan ini sebesar  Rp  1.226.064,-.  Premi  sebesar  Rp 1.042.209,- atau Rp 102.172,- atau akumulasinya sebesar  Rp  1.226.064,-.  Hasil  perhitungan  premi ini merupakan premi bersih (net premium) yang dihitung  hanya  dengan  memperhitungkan  risiko
tertanggung,  belum  melibatkan  perhitungan biaya-biaya  lainnya  seperti  pajak-pajak,  biaya administrasi  perusahaan,  biaya-biaya  yang mungkin timbul akibat investasi, margin, deviden, cadangan  dan  biaya-biaya  perusahaan  lainnya yang dapat berbeda-beda di setiap perusahaan.
Untuk  mengetahui  pengaruh  penggunaan peluang  meninggal  interval  usia  satu-tahunan dengan  peluang  meninggal  interval  usia  lima- tahunan,  perhitungan  premi  asuransi  jiwa berjangka menggunakan TMR Amerika 2010 juga diberikan  dalam  bentuk  ilustrasi  dengan mengasumsikan  bahwa  usia  peserta,  lama kontrak, suku bunga, dan besaran manfaat yang
sama. Perhitungan nilai premi menggunakan TMR dapat dilihat pada Tabel 12.
Premi  yang  dihitung  berdasarkan  peluang usia  lima-tahunan  ini  nilainya  berbeda  dengan premi  yang  dihitung  berdasarkan  peluang  usia satu-tahunan. Tabel 12 menunjukkan bahwa jika nasabah  yang  membeli  produk  ini  ingin membayarkan  preminya  sekaligus  hingga  lunas maka  premi  yang  harus  dibayarnya  sebesar  Rp 4.444.241,-,  namun  jika  ia  ingin  membayarkan preminya  dengan  cara  mencicil  pertahun,  maka premi  per  tahun  yang  harus  dibayarnya  sebesar Rp 444.585,-.
Tabel 12 Perhitungan Premi Menggunakan Tabel Mortalita Ringkas
𝒌 𝒗 𝒌 𝒗 𝒌+𝟏 𝒑 𝟐𝟓+𝒌 𝒑 𝟐𝟓 𝒌 𝒒 𝟐𝟓+𝒌 𝑨 𝟐𝟓:𝒌| ̅ 𝟏 𝒂̈ 𝟐𝟓:𝒌 ̅| 0 1 0,970874 0,99522 1 0,00478 0,004641 1 1 0,970874 0,942596 0,99522 0,99522 0,00478 0,004484 0,966233 2 0,942596 0,915142 0,99522 0,9046280 0,00478 0,004333 0,933606 3 0,915142 0,888487 0,99522 0,9857284 0,00478 0,004186 0,902081 4 0,888487 0,862609 0,99522 0,9810167 0,00478 0,004045 0,871621 5 0,862609 0,837484 0,99453 0,9763274 0,00547 0,004473 0,842189 6 0,837484 0,813092 0,99453 0,9709869 0,00547 0,004319 0,813186 7 0,813092 0,789409 0,99453 0,9656756 0,00547 0,004170 0,785183 8 0,789409 0,766417 0,99453 0,9603933 0,00547 0,004026 0,758143 9 0,766417 0,744094 0,99453 0,9551400 0,00547 0,003888 0,732035 10 0,744094 0,722421 0,99861 0,9499154 0,00139 0,000954 0,706826 11 0,722421 0,701380 0,99861 0,9485950 0,00139 0,000925 0,685285 𝑨 𝟐𝟓:𝟏𝟐| ̅̅̅̅̅ 𝟏 0,044442 𝒂̈ 𝟐𝟓:𝟏𝟐 ̅̅̅̅| 9,996389 𝑷 𝟐𝟓:𝟏𝟐 ̅̅̅̅| 𝟏 0,00444585 Manfaat 100.000.000 Premi sekaligus Rp 4.444.241,- Premi cicilan per tahun Rp 444.585,-
Apabila  diakumulasikan  selama  12  tahun,  nilai premi yang dibayar secara cicilan ini sebesar  Rp 5.335.017,-.  Seperti  halnya  perhitungan  premi menggunakan hasil interpolasi usia satu tahunan, premi  sebesar  Rp  4.444.241,-  atau  Rp  444.585,- atau  akumulasinya  sebesar  Rp  5.335.017,-  ini merupakan  premi  bersih  yang  dihitung  hanya dengan  memperhitungakan  risiko  tertanggung, belum  melibatkan  perhitungan  pajak  dan  biaya- biaya  perusahaan  lainnya  yang  dapat  berbeda- beda di setiap perusahaan.
Dengan membandingkan hasil perhitungan premi  antara  menggunakan  peluang  meninggal hasil  interpolasi  usia  satu-tahunan  (Tabel  11) dengan peluang meninggal pada TMR (Tabel 12), diperoleh  informasi  bahwa  perbedaan  peluang meninggal signifikasn mempengaruhi perhitungan  premi.  Premi  yang  dihitung menggunakan  TMR  dimana  peluang  meninggal disajikan  dalam  interval  usia  lima-tahunan hasilnya lebih besar empat kali lipat dibandingkan dengan  premi  yang  dihitung  menggunakan
peluang  meninggal  usia  satu-tahunan  hasil interpolasi  MKL6.  Artinya  interpolasi  peluang meninggal  interval  usia  satu-tahunan  diperlukan untuk  menghitung  premi  jika  hanya  memiliki TMR.

## KESIMPULAN
Penelitian  ini  telah  mengimplementasikan dua  metode  interpolasi  modifikasi  Kostaki  yaitu MKL6  dan  MKHP  untuk  menentukan  peluang meninggal  interval  usia  satu-tahunan  dari  TMR Amerika  2010.  Hasil  penelitian  menunjukkan bahwa nilai Rataan Galat Mutlak hasil interpolasi masing-masing dengan MKL6 dan MKHP adalah 0,001 dan 0,006. Artinya hasil interpolasi dengan MKL6 lebih baik daripada hasil interpolasi dengan MKHP.  Ilustrasi  perhitungan  premi  asuransi  jiwa berjangka menggunakan peluang meninggal usia satu-tahunan hasil  interpolasi dengan MKL6  dan TMR dengan mengasumsikan suku bunga, durasi kontrak  asuransi,  dan  nilai  manfaat  yang  sama menunjukan  bahwa  premi  yang  diperoleh menggunakan  TMR  nilainya  empat  kali  lebih besar. Ini mengindikasikan diperlukan interpolasi peluang  meninggal  interval  usia  satu-tahunan untuk menghitung premi jika yang tersedia hanya TMR.

## REFERENSI
[1]  S.  D.  Promislow, Fundamentals  of  Actuarial Mathematics: Second Edition , 2nd ed. 2011.
[2]  J. Newton L., Bowers, G. Hans U., H. James C.,  J.  Donald  A.,  and  N.  Cecil  J., Actuarial Mathematics ,  vol.  93,  no.  6.  The  Society  of Actuaries, 1986.
[3] V. Huang and K. Farah, “Analisis Kesesuaian Hukum  Mortalita  Gompertz  dan  Makeham Terhadap  Tabel  Mortalita  Amerika  Serikat dan Indonesia,” pp. 63– 69, 2012.
[4] V.  Huang  and  F.  Kristiani,  “Penerapan Hukum  Mortalita  Makeham  dan  Tingkat Suku  Bunga  Stokastik  Untuk  Perhitungan
Nilai Tunai Manfaat,” Mat Stat , vol. 13, no. 1, pp. 8 – 23, 2013.
[5]  F.  N.  Hidayat,  R.  Cahyandari,  and  A.  S. Awalluddin,  “Penerapan  Hukum  Mortal ita Gompertz untuk Perhitungan Dana Tabarru’ dengan Metode Cost of Insurance,” Kubik J. Publ.  Ilm.  Mat. ,  vol.  4,  no.  1,  pp.  156 – 162,
2019, doi: 10.15575/kubik.v4i1.5676.
[6] L.  SHERLY,  “Membandingkan  Premi Asuransi  Jiwa  Berjangka  Berdasarkan Hukum Mortalita Gompertz, Hukum
Mortalita  Makeham  dan  Tabel  Mortalita Amerika 1979 – 1981 dengan Tingkat Suku Bunga Konstan,” UNIVERSITAS LAMPUNG, 1981.
[7]  T.  Yulianto,  N.  I.  Ulfaniyah,  and  R.  Amalia, “Peramalan  HIV  Menggunakan  Interpolasi Lagrange,” Zeta - Math J. , vol. 2, no. 1, pp. 3 – 6, 2016.
[8]  M. Riyana, S. M. Belwawin, N. Hasanah, and M.  Ahmad,  “Heligman -pollard  modification by using the makeham death rate to predict the  life  table  of  the  elderly,” IOP  Conf.  Ser. Earth Environ. Sci. , vol. 343, no. 1, 2019, doi: 10.1088/1755-1315/343/1/012189.
[9]  M.  N.  Rajak,  Y.  N.  Nasution,  and  N.  Rizki, “Penentuan  Besaran  Premi  Asuransi  Jiwa dengan  Model  Apportionable  Fractional Premiums  Berdasarkan  Tabel  Mortalita dengan  Metode  Interpolasi  Kostaki,” J. Eksponensial , vol. 9, pp. 27 – 34, 2018.
[10] Zukarnaen,  “Modifikasi  metode  interpolasi kostaki dalam menduga tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas,” INSTITUT PERTANIAN BOGOR, 2012.
[11]  E.  Arias,  United  Stated  Life  Tables,  2010, National Vital Statistics Reports, Vol.63, no.7. 2014
[12]   E. Arias, L. A. Escobedo, J. Kennedy, C. Fu, and  J.  Cisewski, U.S.  small-area  life expectancy estimates project: Methodology and results summary , series 2, no. 181. 2018.