Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
DOI: doi.org/10.21009/SPEKTRA.022.07
DISTRIBUSI SPASIAL DENSITAS CAKRAM BERUKURAN SAMA DALAM PEMODELAN PEMBENTUKAN ASTEROID
Sparisoma Viridi 1,a) , Budi Dermawan 2,b)
1 Prodi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia
2 Prodi Astronomi, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia
Email: a) dudung@fi.itb.ac.id, b) budider@as.itb.ac.id

## Abstrak
Sejumlah  partikel  dua-dimensi  berbentuk  cakram  yang  hanya  berinteraksi  melalui  gaya  gravitasi  dan gaya  normal  disimulasikan.  Diasumsikan  terdapat  dua  nilai  densitas  partikel  (berukuran  sama  tetapi bermassa  berbeda).  Simulasi  dijalankan  sampai  susunan  partikel  relatif  tidak  lagi  banyak  berubah. Diperoleh bahwa densitas bervariasi secara radial, semakin besar ke dalam, dan hampir isotropik secara angular  pada  keadaan  akhir.  Telah  disimulasikan  N  =  64  partikel  dengan  rasio  massa  mA/mB  =  0.25 selama waktu simulasi 944 s.
Kata-kata kunci : pembentukan asteroid, material granular, distribusi densitas, campuran biner.

## Abstract
Several  two-dimension  particles  in  the  form  of  a  disk,  which  only  interact  through  gravitational  force and  normal  force,  are  simulated.  Assumed  that  there  are  only  two  values  of  particle  density  (same diameter but different mass). Simulation are conducted until particles position are slightly constant. It is obtained  that  density  is  varied  radially,  decreasing  with  an  increase  of  radial  position,  and  nearly isotropic angularly in final condition. It has been simulated N = 64 particles with mass ratio mA/mB = 0.25 for 944 s simulation time.
Keywords : asteroid forming, granular material, density distribution, binary mixture.

## PENDAHULUAN
Porositas  dan  juga  densitas  asteroid  yang  amat  bervariasi  [1],  membuatnya  menarik  untuk dipelajari, terutama setelah adanya hasil observasi dengan resolusi tinggi mengenai permukaanya [2]. Untuk  mempelajarinya  lebih  lanjut,  partikel  berbentuk  cakram  yang  bertumbukan  tak-elastik  telah digunakan dalam model dua-dimensi untuk pembentukan asteroid [3], yang menunjukkan terjadinya kompaksi  atau  peningkatan  kontaktopi  [4],  selama  sistem  berevolusi  ke  keadaan  stabilnya.  Dalam tulisan ini akan dibahas bagaimana evolusi densitas sistem.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA

## METODE PENELITIAN
Pembentukan  asteroid  dimodelkan  dalam  2-dimensi  dengan  menggunakan N buah  partikel berbentuk  cakram  berdiameter D i dan  bermassa m i ,  yang  memiliki  posisi  awal   0 i r  dan  kecepatan awal   0 i v  , dengan i = 1 .. N 2 . Posisi pusat sistem partikel y y x x r c c c ˆ ˆ    dan
    N i i D L 1 max    (1)
digunakan untuk mementukan posisi awal partikel i
        L N i N i N L x x c i                      1 1 1 2 0 (2)
dan
      L N i N L y y c i              1 1 2 0 , (3)
sehingga dapat diperoleh       y y x x r i i i ˆ 0 ˆ 0 0    . Notasi   x menyatakan fungsi floor( x ), dengan salah satu definisinya adalah [5]
    x m m x 
  | max Z , (4)
dengan Z adalah himpunan bilangan bulat dan
        , , , , , max b a b b a a b a (5)
yang untuk lebih banyak argumennya akan memenuhi hubungan rekursif
      c b a c b a , , max max , , max  (6)
untuk  digunakan  dalam  Persamaan  (1)  dan  (4).  Hasil  penerapan  Persamaan  (2)  dan  (3)  diberikan dalam Gambar 1.
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 y x GAMBAR 1. Ilustrasi posisi awal partikel-partikel untuk N = 2, D = 0.8, β = 1.25 dan   0 , 0  c r  .
Selanjutnya  adalah  membahas  gaya-gaya  interaksi  antar  partikel  yang  dalam  hal  ini  hanya  dua jenis  gaya  interaksi  yang  diperhitungkan,  yaitu  gaya  gravitasi  dan  gaya  normal.  Gaya  pertama merupakan  gaya  tarik-menarik  antar  partikel  dan  gaya  kedua  menggambarkan  tumbukan  antar partikel  yang  mencegah  dua  buah  partikel  menempati  posisi  yang  sama  dalam  waktu  yang  sama.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
Gaya gravitasi bersifat rentang-jauh yang selalu ada, sendangkan gaya kedua bersifat rentang-dekat yang  hanya  bernilai  saat  dua  buah  partikel  beririsan.  Untuk  menghitung  kedua  gaya  tersebut  perlu didefinisikan vektor posisi relatif ij r  dan vektor kecepatan relatif ij v  serta vektor satuannya masing- masing, yaitu
j i ij r r r      , (7)
ij ij ij ij r r r r       , (8)
ij ij ij r r r   ˆ , (9)
dan dengan cara yang mirip untuk mendapatkan yang terkait dengan vektor kecepatan. Gaya gravitasi dinyatakan melalui
ij ij j i G ij r r m m k G ˆ 2    , (10)
yang menggambarkan gaya gravitasi yang dialami oleh mass m i pada posisi i r  akibat adanya massa m j pada posisi j r  . Irisan antara cakram i dan cakram j dapat didefinisikan sebagai
         ij j i ij r D D 2 1 , 0 max  , (11)
di mana masing-masing cakram berdiameter D i dan D j . Dengan menggunakan Persamaan (11) gaya normal dapat dinyatakan dalam bentuk
  ij ij V ij ij R ij v k r k N     sign ˆ   , (12)
dengan fungsi sign( x ) berarti
         . 0 , 0 , 0 sign x x x x x (13)
Dari Persamaan (11) akan dapat diperoleh bahwa kasus ini Persamaan (13) hanya dapat bernilai 0 atau 1. Terdapat tiga konstanta yang harus diberikan nilainya, yaitu k G , k R , dan k V . Konstanta pertama terkait  dengan  gaya  graviasi  dan  dua  konstanta  terakhir  terkait  dengan  gaya  normal.  Sifat  rentang- dekat dari gaya kedua disyaratkan oleh Persamaan (11).
Gaya total yang dialami oleh partikel i akibat N – 1 partikel lainnya diperoleh melalui
       N i j j ij ij i N G F 1    , (14)
yang kemudian dengan Hukum Newton II akan memberikan
i i i F m a   1  . (15)
Kecepatan dan posisi partikel i setiap saat t dapat diperoleh secara teori melalui
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
       t i i i dt a v t v 0 0    , (16)
       t i i i dt v r t r 0 0    . (17)
Sayangnya Persamaan (16) dan (17) tidak dapat dengan mudah dihitung mengingat secara implisit i a  bergantung  dari  percepatan N –  1  partikel  lainnya  pula.  Untuk  itu  kedua  persamaan  ini  akan diselesaikan secara numerik.
Dengan menggunakan algoritma Euler Persamaan (16) dan (17) dapat dituliskan menjadi
      t t a t v t t v i i i         , (18)
      t t v t r t t r i i i         , (19)
dengan  nilai  Δ t yang  kecil.  Pada  setiap  saat t kecepatan   t v i  dan  posisi   t r i  dari  partikel i yang bermassa m i dan berdiameter D i dapat ditentukan.
Densitas spasial sistem partikel ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan titik pusat sistem, yang dapat menggunakan rata-rata posisi partikel
(average)
   N i i i r m N r 1 avg 1   , (19)
atau titik pusat massa sistem (center of mass)
   N i i i r m M r 1 com 1   , (20)
dengan massa total sistem
   N i i m M 1 . (21)
Atau  dapat  pula  digambarkan  himpungan  lingkaran-lingkaran  konsentris  yang  berpusat  di con r  sedemikian rupa sehingga sistem partikel berada dalam ruang cincin-cincinnya. Bila terdapat C buat lingkaran konsentris, maka jari-jari masing-masing lingkaran dapat dipilih bernilai
C i L i R i .., , 2 , 1 , 2   . (22)
Jumlah partikel dalam setiap lingkaran konsentris berjari-jari R i dinyatakan dengan melalui
                        N j j j i i r r D R n 1 con 2 1 , 0 max sign   ,  (23)
sehingga setiap cincin ke i akan memiliki jumlah partikel
C i n n n i i i .., , 3 , 2 , 1      . (24)
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
Proses  penghitungan  dengan  hanya  menggunakan  jumlah  partikel  dalam  Persamaan  (23) mengikuti  prosedur  untuk  menghitung  energi  kontak  sistem  [6].  Dengan  demikian  densitas spasialnya dapat dinya-takan dengan
  C i R R n i i i i .., , 3 , 2 , 1        , (25)
yang  baru  memperhitungkan  aspek  dalam  arah  radial  dan  masih  mengabaikan  variasi  dalam  arah angular-nya.
GAMBAR 2. Lingkaran-lingkaran konsentris (bergaris putus-putus berwarna merah) yang membagi ruang berupa cincin- cincin untuk menghitung densitas sistem partikel.
Nilai-nilai  Δ n 1 =  2,  Δ n 2 =  4,  Δ n 3 =  6,  Δ n 4 =  7,  dan  seterusnya  dapat  dilihat  dalam  Gambar  2 sebagai suatu ilustrasi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam  tulisan  ini  untuk  sementara  belum  digunakan  parameter  dengan  nilai-nilai  sebenarnya, melainkan  nilai-nilai  sembarang  yang  dapat  terlebih  dahulu  memberikan  fenomena  tertentu.  Pada tahap  selanjutnya  akan  digunakan  nilai  yang  riil  sehingg  dapat  dibandingkan  dengan  hasil pengukuran. Nilai-nilai parameter yang digunakan disajikan dalam Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Parameter simulasi dan nilai-nilainya.
No  Parameter Nilai 1 Δ t 0.01 2 k G 5 3 k R 10 5 4 k V 1 5 m A 1 6 m B 4 7 D 1 8 N 2 64
Dengan  menggunakan  parameter-parameter  dalam  tabel  sebelumnya  dapat  diperoleh  perubahan posisi partikel-partikel yang bergantung dari massa partikel.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
GAMBAR 3. Posisi partikel-partikel untuk beberapa waktu simulasi t: 0, 4, 20,40, 389, 944 s.
Partikel-partikel bermassa lebih kecil (merah) pada akhirnya akan berada pada posisi radial lebih besar,  yang  melingkupi  partikel-partikel  dengan  massa  lebih  besar  (biru)  sebagaimana  diberikan dalam Gambar 3. Untuk sementar hal ini diduga karena sistem ber-evolusi ke keadaan dengan energi potensial gravitasi yang lebih minimum.
Densitas  spasial  berubah  sejalan  dengan  berubah-nya  susunan  partikel-partikel,  sebagaimana diberikan  dalam  Gambar  4.  Keadaan  awal  saat t =  0  s  waktu  simulasi  tidak  memberikan  distribusi spasial densitas σ yang bernilai maksimum dan keadaan akhir saat t = 944 s waktu simulasi juga tidak memberikan  sebaran σ yang  bernilai  minimum.  Hal  ini  dapat  dijelaskan  karena  kondisi  awal  yang dipilih memang bukan merupakan keadaan riil yang mungkin terdapat di alam.
0 5 10 15 20 0 4 8 12 σ R 0000s 0004s 0020s
0030s 0040s 0220s 0233s 0240s 0250s 0375s 0389s 0848s 0863s 0880s 0944s
GAMBAR 4. Densitas spasial σ sebagai fungsi dari jarak ke pusat sistem R untuk waktu simulasi antara 0 s dampai 944 s.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
Perubahan jumlah partikel pada masing-masing area berbentuk cincin dengan jejari antara R i dan R i +  Δ R i diberikan  dalam  Gambar  5.  Saat t =  0  s  konfigu-rasi  partikel  ditetapkan  seperti  dalam Gambar 5(a). Selanjutnya partikel-partikel akan mengubah posisinya mengikuti gaya-gaya yang telah didefini-sikan  sebelumnya  dalam  Persamaan  (10)  dan  (12).  Terlihat  bahwa  jumlah  masing-masing jenis partikel, yang terletak antara R i dan R i + Δ R i , yang semula sama untuk t = 0 s, berangsur-angsur mulai  berubah.  Partikel-partikel  yang  lebih  ringan  ( m A ,  merah)  bergeser  ke  daerah  dengan  jarak radial lebih besar, sedangkan partikel-partikel yang lebih berat ( m B , biru) bergeser ke daerah dengan jarak radial lebih kecil. Hal ini mirip dengan proses sentrifugal evaporasi dalam memisahkan isotop klorin [7], di mana gaya sentral yang berperan di sini adalah gaya gravitasi antar partikel.
Berubahnya energi potensial sistem U terhadap pusatnya menarik untuk dibahas. Dengan meng- anggap terdapat massa total M yang kira-kira setara dengan massa total sistem, dapat dihitung nilai U menggunakan hasil dalam Gambar 5 sehingga dapat diperoleh hasil seperti diberikan dalam Gambar 6.  Terlihat  bahwa  energi  potensial  untuk  partikel  yang  lebih  ringan U 1 cenderung  menurun  dengan bertambahnya  waktu  simulasi t ,  akan  tetapi  untuk  partikel  yang  lebih  berat  energi  potensialnya U 2 menaik  dahulu  baru  kemudian  menurun  dengan  nilai  akhir  mirip  dengan  nilai  awal.  Nilai U 2 ini mendominasi  nilai  energi  potensial  total  sistem U ketimbang  nilai U 1 .  Dengan  demikian  prinsip energi potensial minimum dalam sistem ini belum sepenuhnya dapat terpenuhi.
0 4 8 12 0 4 8 12 N R 0 4 8 12 0 4 8 12 N R 0 4 8 12 0 4 8 12 N R 0 4 8 12 0 4 8 12 N R (a) (b) (c)
(d)
GAMBAR 5. Konfigurasi partikel (baris atas) dan jumlah kedua jenis partikel (m A merah, m B biru) antara jarak R i dan R i + ΔR i (baris bawah) untuk beberapa waktu simulasi t: (a) 0 s, (b) 20 s, (c) 220 s, dan (d) 880 s.
Hal  ini  dapat  pula  disebabkan  perhitungan  energi  potensial  gravitasi  tidak  menggunakan  energi tiap partikel melainkan menggunakan posisi partikel yang telah didistribusikan dalam daerah-daerah berbentuk cincin dengan posisi radialnya terletak antara R i dan R i + Δ R i . 1024 4096 16384 65536 1 10 100 1000 U / k G t U1 U2 U
GAMBAR 6. Perubahan energi potensial untuk partikel yang lebih ringan (U 1 ), partikel yang lebih berat (U 2 ), dan total energi potensialnya (U).
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
Penentuan pusat koordinat sistem untuk menghitung U juga berperan dalam menentukan evolusi dari U . Dalam penelitian berikutnya hal-hal ini akan ditelaah lebih lanjut sehingga sifat-sifat sistem yang diperoleh tidak lagi bergantung pada parameter-parameter tersebut.

## SIMPULAN
Simulasi  64  buah  partikel  berdiameter  sama  dengan  rasio  massa  0.25  telah  dilakukan  dan  telah dapat diperoleh variasi densitas secara radial, dengan semakin renggang dengan bertambahnya jarak dari pusat sistem. Teramati evolusi perubahan komposisi jumlah partikel, di mana partikel yang lebih berat  cenderung  menuju  pusat  sedangkan  partikel  yang  lebih  ringan  sebaliknya.  Prinsip  energi potensial minimum terlihat hanya berlaku pada partikel yang lebih ringan.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Terima  kasih  pada  Program  Riset  Institut  Teknologi  Bandung    (Riset  ITB)  tahun  2017  dengan nomor 107x/I1.C01/PL/2017 yang mendukung penelitian ini.

## REFERENSI
[1] E. Asphaug, "Growth and Evolution of Asteroids" , Ann Annu. Rev. Earth Planet. Sci., vol. 37, pp. 413-448, Jan. 2009.
[2] H.  Miyamoto,    H.  Yano,    D.  J.    Scheeres,    S.  Abe,  O.  Barnouin-Jha,    A.  F.    Cheng,    H. Demura,  R.  W.  Gaskell,  N.  Hirata,  M.  Ishiguro,  T.  Michikami,  A.  M.  Nakamura,  R. Nakamura,  J.  Saito,  S.  Sasaki,  "Regolith  Migration  and  Sorting  on  Asteroid  Itokawa", Science vol. 316, pp. 1011-1014, 2007.
[3] S.  Viridi,  B.  Dermawan,  "Tumbukan  Tak-Elastik  Partikel  sebagai  Model  Terbentuknya Asteroid", Spektra: J. Fis. Aplikasinya vol. 2, pp. 53-60, Mar. 2017.
[4] S.  Viridi,  B.  Dermawan,  "Cluster  compaction  of  two-dimension  spherical  particles  binary mixture  as  model  of  forming  process  of  an  asteroid",  J.  Physics:  Conf.  Ser.  vol.  771,  p. 012028, 2016.
[5] Wikipedia-Autoren,  "Abrundungsfunktion  und  Aufrundungsfunktion",  Wikipedia,  Die  freie Enzyklopädie, 18 Jan 2017 16:12 UTC, oid(de):161763853 [20170505 2333].
[6] S.  Viridi,  S.  N.  Khotimah,  Novitrian,  Widayani,  "Fluctuation  Theorem  Application  on  2-D Granular Materials Configurations", Adv. Mat. Res. vol. 1123, pp. 12-15, 2015.
[7] J.  W.  Beams  and  C.  Skarstrom,  "The  Concentration  of  Isotopes  by  the  Evaporative Centrifuge Method", Phys. Rev. vol. 56, pp. 266-272, 1939.