SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA SISTEM BEJANA DENGAN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI LAPLACE
Risnawati Ibnas¹, Putri Resky Hasyim 1 , Muhammad Ridwan 1
1 Prodi Matematika UIN Alauddin Makassar E-mail: risnawati.ibnas@uin-alauddin.ac.id
Abstract: The purpose of this study is to obtain the results of the completion of  the  Differential  Equations  in  the  Vessel  System  using  the  Laplace Transform  Method.  advantage  of  the  Laplace  transform  is  that  the  initial value problem of a linear differential equation can be solved directly without first determining the general solution and also to obtain the maximum benefit. The  model  that  has  been  obtained  in-vessel  systems  is  homogeneous  non- linear differential equation:
2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 d h t dh t h t dt dt     
if we want to obtain total we must be taken aggregate from a general solution and special solution, the result is
2 2 ( 1) ( 1) 1 2 t t t t h c e
c e te                 
Keywords: Differential equation, Vessel System,  Laplace Transformation

## PENDAHULUAN
ersamaan diferensial merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan suatu fungsi  atau  memuat  suku-suku  dari  fungsi  tersebut  dan  turunannya.  Pada dasarnya persamaan  diferensial dibagi  menjadi dua, yaitu Persamaan Diferensial Biasa  (PDB)  dan  Persamaan  Diferensial  Parsial  (PDP).  Banyak  permasalahan  yang muncul  dalam  persamaan  diferensial  maka  dibutuhkan  beberapa  metode  dalam menyelesaikan  masalah tersebut.  Persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan cara analitik    seperti  pemakaian  transformasi,  penggunaan  subtitusi,  dan  penggunaan konstanta sembarang. Namun, penyelesaian yang sering ditemukan adalah penyelesaian diferensial  linear.  Kenyataannya  permasalahan  yang  banyak  ditemukan  adalah  bukan hanya persamaan diferensial  linear  melainkan permasalahan persamaan diferensial  non linear,  salah  satu  contohnya    yaitu  pada  sistem  bendungan.  Khususnya  sistem bendungan  yang  terdiri  dari  dua  bendungan,  dimana  bendungan  yang  satu  terletak dibawah  bendungan  yang  lain.  Dalam  penelitian  ini  bendungan  diasumsikan  sebagai bejana,  karena  bejana  mempunyai  kesamaan  fisik  dengan  bendungan.  Walaupun  pada kenyataannya pada bentuk bendungan tidak teratur.
Bejana merupakan benda berongga yang bisa diisi dengan berbagai jenis cairan atau  serbuk  dan  pada  umumnya  digunakan  sebagai  wadah,tabung,dan  sebagainya. Bejana  terdiri  dari  beberpa  jenis,  salah  satunya  adalah  bejana  berhubungan.  Bejana berhubungan  yaitu beberapa bejana yang  saling terhubung dan berisi cairan homogen.

## P
54 _ Jurnal Teknosains, Volume 14, Nomor 1, Januari-Juni 2020 , hlm. 53 – 60
Salah  satu  metode  untuk  memperoleh  solusi  dari  model  matematika  tersebut  adalah Metode Transformasi Laplace. Metode Transformasi Laplace ( Laplace Transformation ) merupakan  salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial.

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan menyelesaikan persamaan diferensial pada Sistem Bejana dengan  menggunakan  metode  Transformasi  Laplace  dengan  tahapan  sebagai  berikut  : (1)  Membentuk  model  atau  persamaan  diferensial  tak  linear  homogen  pada  sistem bejana, (2) Mengkonstrusinya ke bentuk Transformasi Laplace kemudian menggunakan metode Transformasi  Laplace  dengan bentuk  yaitu   dt t h e t h L s H st ) ( ) ( ) ( 2 0 2      , (3)
Menentukan  solusi  umum ), ( 2 t h persamaan  diferensial  tak  linear  homogen  dari  model sistem bejana, dengan syarat Peredam Berlebihan jika 1   , Peredam  Kritis  jika 1   dan Peredam Berkurang jika 0 1    (4) Menentukan solusi total h t dari penggabungan solusi umum ) ( 2 t h dengan solusi khusus p h , p t h t h h   ) ( 2 dan Membuat grafik dari solusi total , t h solusi umum ), ( 2 t h dan solusi khusus . p h

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. HASIL
Untuk  mendapatkan  solusi  dari  sistem  bendungan  yang  diasumsikan  sebagai bejana khususnya  sistem  bejana  yang terdiri dari  dua bejana, dimana  bejana  yang satu terletak dari bejana yang lain, maka diperoleh gambar seperti di bawah ini:
Dimana:
B 1 : Bejana yang terletak di atas B 2 : Bejana yang terletak di bawah h 1 :  Tinggi air pada B 1 (m) h 2 :  Tinggi air pada B 2 (m)
0 q : Aliran air yang keluar dari B 2 3 1 ( ) m s 
B 1 h 1 h 2 A 1 A 2 q 2 q 0 ----------- -- ------------- - B 2
Risnawati Ibnas dkk , Solusi Persamaan Diferensial pada Sistem Bejana … _ 55
q 2 : Aliran air yang keluar dari B 1 dan masuk pada B 2 3 1 ( ) m s 
A 1 : Luas penampang yang memuat air pada sistem B 1 (m 2 )
A 2 : Luas penampang yang memuat air pada sistem B 2 (m 2 )
Model yang telah didapatkanpada sistem bejana adalah
2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 n n d h t dh t h t dt dt     
dimana : :  Rasio Peredam
:  Frekuensi Alami
: 2 h Tinggi air pada sistem B 2 (m) : t waktu
Pada Persamaan tersebut terdapat tiga kasus, yaitu:

## 1. Kasus Peredam Berlebihan ( 1   )
Bentuk solusi umumnya adalah
t x t x e c e c t h 2 1 2 1 2 ) (   (4.1)
Pada  Persamaan  (4.1)  menyatakan  tinggi  air  pada B 2 saat t yang menunjukkan  laju  volume  air  bertambah.  Sehingga  semakin  besar  laju  volume  air pada B 2 maka semakin besar tinggi peningkatan air. Solusi umumnya dengan mencari karakteristik misalkan:
xt e t h  ) ( 2 (4.2)
xt xe dt t dh  ) ( 2
(4.3)
xt e x dt t h d 2 2 2 2 ) ( 
(4.4)
Maka 2 2 2 0 xt xt xt x e xe e        2 2 2 0 xt e x x      dengan , 0  xt e maka 2 2 2 0 x x      (4.5)
Persamaan (4.5) adalah Persamaan karakteristik.
Akar-akar  karakteristik  dari  Persamaan  (4.5)  dengan  menggunakan  rumus  abc, maka diperoleh :
  2 1 1 x        atau   2 2 1 x        (4.6)
maka solusi umumnya yaitu :
2 2 ( 1) ( 1)
2 1
2 ( ) t t h t c e c e               (4.7)
Persamaan (4.7) menyatakan tinggi air pada bejana 2 B saat t .
Dengan 2 1 , c c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung
56 _ Jurnal Teknosains, Volume 14, Nomor 1, Januari-Juni 2020 , hlm. 53 – 60
dari ) 0 ( 2 h dan , ) 0 ( 2 dt dh
maka diperoleh 1 c dan 2 c adalah sebagai berikut.
  2 2 1 2 1 1 B c                            
  dan   2 2 2 2 2 1 1 B c A                   
Sehingga untuk   t maka 0 ) ( 2  t h dan , 0 ) ( 2  t V yang berarti untuk jangka
waktu yang lama. Maka tidak ada air pada bejana . 2 B Jika  transformasi  laplace  adalah   , ) ( ) ( ) ( 2 0 2 dt t h e t h L s H st      maka  transformasi
laplace  dari  turunan  pertama  adalah
. 2
0 2 dt dt t dh e dt t dh L st                 pada  Persamaan
(4.8) dimisalkan u adalah st e  dan v adalah ) ( 2 t h , maka
                       dt t h e s t h e dt t dh L st st ) ( ) ( ) ( 2 0 0 2 2 (4.8)
Jika  diasumsikan  bahwa  pada  saat   t grafik ) ( 2 t h mengalami  kenaikan  cukup lambat dibanding dengan grafik st e  maka 0 ) ( 2   t h e st untuk   t
bentuk Persamaan (4.8) dapat disederhanakan menjadi
) ( ) 0 ( ) ( 2 2 s sH h dt t dh L          (4.9)
Maka untuk mendapatkan solusi khususnya,
    2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 d h t dh t
L L L h t L dt dt                  . Misalkan: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 d h t dh t h t dt dt      dengan  syarat  awal 0 ) 0 ( 2  h ,  syarat batas 1 ) 0 ( 2  dt dh , dan syarat peredam kritis 1   , maka diperoleh:   2 1 ( ) H s s        1 1 2 1 ( ) L H s L s       
         t p h te    
Jadi, solusi totalnya adalah jumlahan dari solusi umum dan solusi khusus.   p t h t h h   2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2 t t t t h c e c e te                 
Risnawati Ibnas dkk , Solusi Persamaan Diferensial pada Sistem Bejana … _ 57

## 2. Kasus Peredam Kritis ( 1   )
Solusi umumnya yaitu:
    2 1 2 ( ) t h t e c tc     (4.10)
Persamaan (4.13) menyatakan tinggi air pada bejana 2 B saat . t yang berarti keadaan  awal 2 B sama  dengan  nol.  Nol  artinya  tidak  ada  air  pada  bejana . 2 B
Dengan 1 c dan 2 c adalah  konstanta,  yang  nilainya  kedua  konstanta  tersebut
bergantung dari ) 0 ( 2 h dan dt dh ) 0 ( 2 , seperti yang diuraikan di bawah ini.
Misalkan     2 1 2 ( ) t h t e c tc     , 2 2 2 ) 0 ( , ) 0 ( B dt dh A h t  
Maka diperoleh 1 c dan 2 c adalah sebagai berikut
2 1 A c    2 2 2 c B A   
3. Kasus Peredam Berkurang ( 0 1 
  ) Solusi umumnya yaitu:         ( ) 2 2 2 1 2 ( ) cos 1 sin 1 t h t e c t c t                 (4.11)
Persamaan  (4.11)  menyatakan  tinggi  air  pada  bejana 2 B saat . t artinya keadaan  mula-mula  pada  bejana 2 B adalah  kosong  dan  laju  bertambahnya  tinggi air pada bejana 2 B adalah semakin tinggi peningkatan air.
Dengan 1 c dan 2 c adalah  konstanta,  yang  nilainya  kedua  konstanta  tersebut bergantung dari ) 0 ( 2 h dan , ) 0 ( 2 dt dh seperti yang diuraikan di bawah ini.
Misalkan         ( ) 2 2 2 1 2 ( ) cos 1 sin 1 t h t e c t c t   
             2 2 2 2 ) 0 ( , ) 0 ( B dt dh A h   , maka diperoleh 1 c dan 2 c adalah sebagai berikut
2 1 A c    2 2 2 2 1 B A c       Sehingga untuk   t maka 0 ) ( 2  t h dan , 0 ) ( 2  t V yang berartu untuk
jangka waktu yang lama, maka tidak ada air pada bejana . 2 B Contoh  Kasus (Julius  Sigit  Wicaksono,  Pemodelan  Matematika  Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air, h.77)
Misalkan  diketahui 4 , 13, 2 13     keadaan  mula-mula  pada 2 B adalah kosong,  dan  laju  bertambahnya  air 2 B pada  mulanya  adalah  1.  Bagaimanakah ketinggian dan volume air yang sesuai pada B 2 ?
Penyelesaian:
1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 0 ) ( 13 ) ( 4 ) ( 2 2 2 2 2 2 2      dt dh h t h dt t dh dt t h d         ( ) 2 2
2 1 2 ( ) cos 1 sin 1 t h t e c t c t                                                                                  t c t c e t h t 2 2 2 1 13 . 13 2 4 2 13 2 4 1 13 sin 13 2 4 1 13 cos ) (       t c t c e t h t 3 sin 3 cos ) ( 2 1 2 2   
Untuk memeperoleh nilai 1 c dan 2 c untuk 0 ) 0 ( 2 2 
 A h dan 1 ) 0 ( 2 2   B dt dh 0 1  c dan 3 1 13 2 4 1 13 13 13 2 4 0 1 2 2                 c
Jadi, solusi umumnya adalah
      t e t t e t h t t 3 sin 3 1 3 sin 3 1 3 cos . 0 ) ( 2 2 2           
Solusi khususnya adalah:
    0 ) 0 ( 4 ) 0 ( 13 4 ) ( 2 2 2       dt dh s h s s s H 13 4 1 ) ( 2    s s s H Untuk mengetahui akar-akarnya menggunakan rumus abc i s 3 2 1    atau i s 3 2 1   
Untuk  mencari  solusi  Persamaan  diferensial  asal,ubah ) ( s H dari  bentuk s ke bentuk t menggunakan invers Transformasi Laplace.
  2 2 3 2 1 ) (    s s H                2 2 1 1 3 2 1 ) ( s L s H L                   2 2 1 2 2 1 3 3 3 1 3 1 s L s L          2 2 1 3 3 3 1 s L sehingga,     t e t e h t t p 3 sin 3 1 3 sin 3 1
2 2    
Jadi, solusi totalnya adalah   p t h t h h   2
Risnawati Ibnas dkk , Solusi Persamaan Diferensial pada Sistem Bejana … _ 59
      t e t e t e h t t t t 3 sin 3 2 3 sin 3 1 3 sin 3 1 2 2 2              

## Gambar 4. Tinggi Air untuk Peredam Berkurang

## B. PEMBAHASAN
Benda  yang  mengalami  redaman  berlebihan/ Overdamped memiliki  waktu  yang sangat  lama  untuk  kembali  pada  posisi  setimbangnya  ketika  di  berikan  gaya  atau hambatan.  Karena  gaya  yang  diberikan  pada  benda  sangat  besar.  Pada  gambar  4.1 menunjukan tinggi air untuk peredam berlebihan yang menyatakan volume air pada saat bejana 2 B adalah  konstan  yang  bergantung  dari ) 0 ( 2 h dan , ) 0 ( 2 dt dh waktu  peningkatan air  yang  terjadi  pada 2 B berbeda  beda  yang  sesuai  dengan  laju  awal  bertambahnya tinggi air pada 2 B sehingga  semakin besar laju awal  pada 2 B maka semakin tinggi peningkatan air 2 B .
Benda  yang  mengalami  peredaman  kritis/ Criticallydamped biasanya  langsung berhenti osilasi (benda langsung kembali ke posisi setimbangnya) ketika diberikan gaya, karena redaman yang dialaminya cukup besar. Pada gambar 4.2  menunjukan tinggi air untuk  peredam  kritis  yang  menyatakan  volume  air  pada  saat  bejana 2 B adalah  sama sehingga  peningkatan laju perubahahan atau laju peningkatan volume air sama dengan laju awal pada 2 B .
Benda  yang  mengalami Underdamped biaasanya  melakukan  beberapa  osilasi sebelum  berhenti.  Karena  redaman  yang  dialaminya  tidak  terlalu  besar.  Pada  gambar 4.3  menunjukan tinggi air untuk peredam berkurang menyatakan volume air pada saat bejana 2 B adalah konstan yang bergantung dari ) 0 ( 2 h dan , ) 0 ( 2 dt dh waktu peningkan air yang terjadi pada 2 B berbeda beda  yang sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air  pada 2 B sehingga    semakin  besar  laju  awal    pada 2 B maka  semakin  tinggi peningkatan  air 2 B .  Akibatnya  peningkatan  laju  perubahahan  atau  laju  peningkatan volume air sama dengan laju awal pada 2 B .
60 _ Jurnal Teknosains, Volume 14, Nomor 1, Januari-Juni 2020 , hlm. 53 – 60

## KESIMPULAN
Solusi  persamaan  diferensial  pada  sistem  bejana  dengan  menggunakan  metode Transformasi Laplace adalah sebagai berikut:
Penyelesaian solusi umumnya adalah
2 2 ( 1) ( 1)
2 1 2 ( ) t t h t c e c e              
Penyelesaian solusi khusus yang dilakukan dengan metode transformasi laplace adalah t p h te   
Penyelesaian  solusi  total  dilakukan  dengan  menggabungkan  solusi  umum  dan  solusi khusus, sehingga diperoleh
2
2 ( 1) ( 1) 1 2 t t t t h c e c e te                 

## DAFTAR PUSTAKA
Asrijal. 2016. Aplikasi Metode Transformasi Laplace pada Dinamika Sistem Fisis-Massa Pegas dengan Shock Absorber, Makassar: FST UIN Alauddin Makassar.
Budi,  Nugroho  Didit.  2010. Persamaan  Diferensial  Biasa  dan  Aplikasinya  Penyelesaian  Manual  dan Menggunakan Maple, Salatiga: Graha Ilmu.
Danang,Mursita. 2011. Matematika Lanjut untuk Perguruan Tinggi , Bandung:Rekayasa Sains.
Effendy,    Nurul.  2008. Peredeman  Osilasi  Getaran  Pada  Suatu  Sistem  Dengan  Pemodelan  Pegas- Damper Menggunakan Kendali Logika Fuzzy. Jurnal Informatika.
Giancoli C. Douglas. 2014. Fisika. Prinsip dan Aplikasi Edisi ketujuh,Jilid 1”. Jakarta:Erlangga.
Kementerian Agama RI.2012. Al-Qur’an dan Terjemahan, Bandung: Wali Oasis Terrace Recident.
Lee, Taehee. 2014. Int. Journal of Math. The Representation of Energy Equation by Laplace Transform. Vol. 8, no. 22.
Marwan dan Said Munzir. 2011. Persamaan Diferensial, Yogyakarta:Graha Ilmu.
Murray, Spiegel R. 1983. Matematika Lanjut untuk Para Insinyur dan Ilmuwan, Jakarta:Erlangga.
Ratnasari.  2015. Fungsi  Green    yang  dikonstruksi  pada  Persamaan  Diferensial  Liner  Tak  Homogen Orde-n . Jurnal Program Studi Matematika FST-UINAM.
Shihab, M.Quraish. 2002. Tafsir Al-Mishbah. Jakarta : Lentera Hati.
Sudarmono dan Elly, K. A. 2011. Kearifan Lokal Masyarakat Kabupaten Katingan Provinsi Kalimantan Tengah dalam Melestarikan Buah-Buahan Lokal Kalimantan di Kebun Raya Katingan. Prosiding Seminar  Nasional  Hari  Lingkungan  Hidup.  23  Juli  2011.  Purwokerto:  PPLH-LPPM  UNSOED. ISBN 978-602-19161-0-0. hal 30-38.
Susilo,Anto.  2012. Simulasi  Gerak  Harmonik  Sederhana  dan  Osilasi  Teredam  pada  Cassy-E  524000. Indonesian Journal of Applied Physics. Vol. 2 No. 2.
Urzula,Ferdek. 2012. Journal of Theoritical and Applied Mechanics.Modelling and Analysis of A Twin- Tube Hydraulic Shock Absorber. Vol 2.
Wicaksono,  Julius  Sigit.  2007. Pemodelan  Matematika  pada  Sistem  Pembangkit  Listrik  Tenaga  Air, Yogyakarta:FST Universitas Sanata Dharma.