Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 1, Mei 2021, 15-21 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i1.7888

## Pergerakan Aliran MHD Ag -AIR Melewati Bola Pejal
Yolanda Norasia 1 , Basuki Widodo 2 , Dieky Adzkiya 2 1 Jurusan Pendidikan Matematika, UIN Walisongo, Semarang,
2 Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia email: yolandanorasia@walisongo.ac.id
Diajukan: 21 Oktober 2020,  Diperbaiki: 10 Maret 2021, Diterima: 31 Maret 2021
Abstrak
Fluida merupakan zat yang dapat mengalir dan mengalami perubahan secara kontinu akibat adanya tegangan  geser.  Analisis pengukuran dari ketahanan fluida terhadap tegangan geser menggunakan viskositas. Berdasarkan viskositas, fluida dibagi menjadi dua yaitu fluida newtonian dan fluida non- newtonian. Fluida non-newtonian terdiri atas fluida viskos, fluida mikropolar dan fluida nano. Salah satu contoh fluida nano adalah Ag-Air. Fluida tersebut tersusun dari fluida dasar air dan partikel nano Ag yang memiliki daya hantar dan tingkat konduktivitas yang tinggi. Adanya pengaruh medan magnet pada Fluida nano Ag -Air, maka menjadi fluida tersebut dapat menghantarkan arus listrik (memiliki sifat magnetohidrodinamik/MHD).    Merujuk pada hasil riset sebelumnya bahwa parameter  magnetik  dan konveksi dapat mempengaruhi profil kecepatan dan temperatur pada fluida. Pada penelitian ini dibahas mengenai model matematika dan penyelesaian numeriknya dari permasalahan pergerakan aliran MHD Ag - Air yang melewati bola pejal dengan pengaruh parameter magnetik dan konveksi. Diperoleh hasil bahwa variasi magnetik yang meningkat mengakibatkan pergerakan Ag -Air melambat dan temperatur Ag -Air meningkat.  Dengan meningkatkan parameter  konveksi  diperoleh  pergerakan Ag -Air lebih cepat dan temperatur Ag -Air mengalami penurunan . Kata Kunci : Fluida Nano, Ag-Air, Parameter Magnetik, Parameter Konveksi.

## Abstract
Fluid is a substance that can flow and change continuously due to shear stress. Measurement analysis of fluid resistance to shear stress using viscosity. Based on the viscosity, fluids are divided into two, namely Newtonian fluids and non-Newtonian fluids. Non-Newtonian fluids consist of viscous fluids, micropolar fluids and nano fluids. One example of a nano fluid is Ag-Water. This fluid is composed of water and nanoparticles Ag which has high conductivity and level of conductivity. The influence of magnetic fields on Ag-Water nano fluid, then this fluid can conduct electric current (magneto hydro dynamic/ MHD properties). Referring to the results of previous research that magnetic and convection parameters can affect velocity and temperature profiles in the movement of fluids. This research discusses the mathematical model and its numerical solution of the MHD Ag-Water  flow movement problem passing through a solid ball is influenced by magnetic and convection parameters. The results showed that the increasing magnetic variation resulted in the movement of Ag-Water slowing down and the Ag-Air temperature increasing. By increasing the convection parameter, it is obtained that the movement of Ag-Water is faster and the temperature of Ag-Water has decreased.
Keywords : Nano fluid, Ag-Water, Magnetic Parameters, Convection Parameter

## 1  Pendahuluan
Fluida adalah zat yang dapat berubah bentuk secara kontinu apabila terkena tegangan geser [1]. Tegangan geser terjadi akibat adanya laju deformasi pada fluida. Semakin besar laju deformasi maka tegangan geser juga mengalami peningkatan. Analisis pengukuran dari ketahanan fluida terhadap laju deformasi menggunakan viskositas. Berdasarkan viskositas, fluida dibagi menjadi dua yaitu fluida newtonian dan fluida non-newtonian.      Fluida newtonian adalah fluida yang tegangan gesernya berbanding lurus dengan gradien kecepatan, seperti air, etanol, dan benzene. Berkebalikan dengan fluida newtonian, fluida non-newtonian bersifat kental karena mengalami pergeseran akibat adanya gaya yang bekerja pada fluida.  Fluida non-newtonian berupa fluida viskos, fluida mikropolar, dan fluida nano.  Fluida nano merupakan larutan yang mengandung partikel nano dengan ukuran satu sampai 100 nanometer (nm) dalam fluida dasar [2]. Fluida dasar (base fluid) dapat berupa air dan partikel nano berupa logam yakni Ag (Perak). Partikel nano Ag memiliki daya hantar dan tingkat kondutivitas yang tinggi [3]. Adanya pengaruh medan magnet pada Fluida nano Ag -Air, maka menjadi fluida tersebut dapat menghantarkan arus listrik. Dengan kata lain, fluida tersebut memiliki sifat MHD (Magnetohidrodinamik).
Penerapan MHD banyak diterapkan dalam perkembangan teknologi dan industri, contohnya pada pengeboran minyak, pemipaan zat-zat kimia pada pabrik dan penggerak pada kapal. Fluida nano dengan sifat MHD mampu mengoptimalkan perpindahan panas dan mengontrol separation flow [4].  Merujuk pada hasil riset sebelumnya, selain medan magnet, profil kecepatan dan temperatur pada fluida juga dapat dipengaruhi oleh konveksi. Terdapat beberapa penelitian mengenai pengaruh konveksi pada aliran fluida seperti pada penelitian [5] tentang model aliran konveksi  pada fluida viskoelastik yang melewati sebuah bola dan dikaji pengaruh parameter konveksi yang mempengaruhi karakteristik aliran fluida.
Dalam penelitian ini dikaji dan diteliti mengenai pergerakan aliran fluida nano Ag -Air yang melewati bola pejal dengan pengaruh medan magnet dan konveksi secara teori dengan membuat model matematikanya. Selanjutnya disimulasikan secara numerik menggunakan metode Euler Implicit untuk mengkaji pergerakan fluida terhadap profil kecepatan dan temperatur pada aliran fluida dengan perangkat lunak MATLAB.

## 2  Metode Penelitian
Metode penelitian terdiri atas studi literatur, pembangunan model matematika, penyelesaian model, simulasi, analisis dan pembahasan, dan finalisasi. Pada tahap pembangunan model merujuk

## Yolanda Norasia, Basuki Widodo, Dieky Adzkiya
pada hukum-hukum fisika yang berkaitan dengan permasalahan. Selanjutnya diselesaikan secara numerik menggunakan metode Euler Implicit .

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada penelitian ini, persamaan pembangun yang digunakan adalah persamaan kontinuitas, persamaan momentum linier, dan persamaan energi yang diuraikan dari hukum konservasi massa, hukum II Newton, dan hukum I Termodinamika pada kondisi unsteady state dan incompressible , adalah
𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ ( 𝑟𝑟̅𝑢𝑢� ) + 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦� ( 𝑟𝑟̅𝑣𝑣̅ ) = 0 (1)
𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 � 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑡𝑡̅ + 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = −∇𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 ∇ 2 𝐕𝐕 + 𝜎𝜎 (B 0 ) 2 𝑢𝑢� + ( 𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝜌𝜌 ∞ ) 𝑔𝑔 𝑥𝑥̅ (2)
𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 � 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑡𝑡̅ + 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = −∇𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 ∇ 2 𝐕𝐕 + 𝜎𝜎 (B 0 ) 2 𝑣𝑣̅ + ( 𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝜌𝜌 ∞ ) 𝑔𝑔 𝑦𝑦� (3)
� 𝜕𝜕𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑡𝑡̅ + 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = 𝛼𝛼 𝑓𝑓𝑓𝑓 � 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 + 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � (4)
dengan
𝑟𝑟̅
: jari jari bola pejal
𝑢𝑢� : komponen kecepatan fluida pada sumbu-x
𝑣𝑣̅ : komponen kecepatan fluida pada sumbu-y
𝑔𝑔 𝑥𝑥̅ : percepatan grafitasi sumbu-x 𝑔𝑔 𝑦𝑦� : percepatan grafitasi sumbu-y
𝑝𝑝 : tekanan
𝛼𝛼 𝑓𝑓𝑓𝑓 : difusivitas panas fluida nano
𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 : massa jenis fluida nano
𝜌𝜌 ∞ : massa jenis fluida dasar air lapisan batas 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 : viskositas fluida nano
𝜎𝜎
: konduktivitas listrik

## 𝐵𝐵 0
: besar medan magnet dari bola
Fluida yang digunakan adalah Ag -Air, maka dengan substitusi variabel-variabel yang berhubungan antara partikel Ag dengan air diberikan sebagai berikut [6].
Densitas Fluida Nano
𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 = (1 − 𝜒𝜒 ) 𝜌𝜌 𝑓𝑓 + 𝜒𝜒𝜌𝜌 𝑠𝑠
Viskositas
𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝜇𝜇 𝑓𝑓 1 (1 − 𝜒𝜒 ) 2 . 5

## Kalor spesifik Fluida Nano
( 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑝𝑝 ) 𝑓𝑓𝑓𝑓 = (1 − 𝜒𝜒 )( 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑝𝑝 ) 𝑓𝑓 + 𝜒𝜒 ( 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑝𝑝 ) 𝑠𝑠

## Konduktivitas termal
𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑘𝑘 𝑠𝑠 + 2 𝑘𝑘 𝑓𝑓 − 2 𝜒𝜒 ( 𝑘𝑘 𝑠𝑠 − 𝑘𝑘 𝑓𝑓 ) 𝑘𝑘 𝑠𝑠 + 2 𝑘𝑘 𝑓𝑓 + 𝜒𝜒 ( 𝑘𝑘 𝑠𝑠 − 𝑘𝑘 𝑓𝑓 ) 𝑘𝑘 𝑓𝑓

## maka diperoleh
𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑥𝑥 + � 1 ( 1−𝜒𝜒 ) 2 . 5 1 ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒� 𝜌𝜌𝑠𝑠 𝜌𝜌𝑓𝑓 � � ∂ 2 𝑢𝑢 ∂𝑦𝑦 2 + 𝑀𝑀𝑢𝑢 + 𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑥𝑥 (5)
� 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 � = 1 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 −2𝜒𝜒 ( 𝑘𝑘 𝑠𝑠 −𝑘𝑘 𝑓𝑓 ) 𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 +𝜒𝜒 ( 𝑘𝑘 𝑠𝑠 −𝑘𝑘 𝑓𝑓 ) 1 ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒� ( 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝 ) 𝑠𝑠 ( 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝 ) 𝑓𝑓 � 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 (6)
untuk menghubungkan dua fungsi kecepatan pada u dan v pada bidang –x dan –y, digunakan fungsi alir sebagai berikut [7]
𝑢𝑢 = 1 𝑃𝑃 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 dan 𝑣𝑣 = − 1 𝑃𝑃 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 (7)
dengan melakukan substitusi Persamaan (7) ke Persamaan (5) dan (6), sehingga
� 1 (1 − 𝜒𝜒 ) 2 . 5 � (1 − 𝜒𝜒 ) + �𝜌𝜌 𝑠𝑠 𝜌𝜌 𝑓𝑓 �� � 𝜕𝜕 3 𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜂𝜂 3 + 𝜂𝜂𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 2 𝜕𝜕𝜂𝜂 2 + 3 2 𝑡𝑡 cos 𝑥𝑥 � 1 − � 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜂𝜂� 2 + 2 𝑓𝑓 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜂𝜂 2 ) � = 𝑡𝑡 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡 + 3 2 𝑡𝑡 sin 𝑥𝑥 � 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕 2 𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 � + 𝑀𝑀𝑡𝑡 � 1 − 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜕𝜕 � − 2 3 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑡𝑡 (8)
� 𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 −2𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑠𝑠 −𝑘𝑘 𝑓𝑓 � 𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 +𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑠𝑠 −𝑘𝑘 𝑓𝑓 � 1 ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒� ( 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝 ) 𝑠𝑠 �𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝�𝑓𝑓 � � 𝜕𝜕 2 𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 + 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝜂𝜂 2 𝜕𝜕𝜆𝜆 𝜕𝜕𝜂𝜂 + 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜆𝜆 𝜕𝜕𝜂𝜂 = 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝑡𝑡 𝜕𝜕𝜆𝜆 𝜕𝜕𝜂𝜂 + Pr 𝑡𝑡 3 2 sin 𝑥𝑥 � 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝜂𝜂 𝜕𝜕𝜆𝜆 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜆𝜆 𝜕𝜕𝜂𝜂 � (9)

## 19

## Yolanda Norasia, Basuki Widodo, Dieky Adzkiya
Pada simulasi dari model yang telah dikerjakan, dilakukan variasi parameter non dimensional yaitu parameter magnetik dan konveksi. Partikel yang digunakan adalah partikel nano Ag yang memiliki nilai kapasitas panas ( 𝑐𝑐 𝑝𝑝 ) , densitas ( 𝜌𝜌 ) dan konditivitas termal ( k) seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Sifat Thermo-physical Ag -Air
Sifat Thermo-physical Air Partikel Ag 𝜌𝜌 ( 𝑘𝑘𝑔𝑔 / 𝑚𝑚 3 ) 997.1 10500 𝑐𝑐 𝑝𝑝 ( 𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝐾𝐾 )
4179 236
k ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚𝑚𝑚 ) 0.613 427
Simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh variasi  parameter magnetik pada pergerakan aliran MHD Ag -Air  terhadap profil kecepatan dan profil temperatur, sehingga diberikan nilai inputan variasi magnetik yaitu 0,1,3,5 dan 7.
Gambar 1. Kurva Kecepatan Variasi Magnetik

## Gambar 2. Kurva Temperatur Variasi Magnetik
Pada Gambar 1 menunjukkan kurva kecepatan mengalami peningkatan mulai dari 𝑓𝑓 ′ = 0 sampai 𝑓𝑓 ′ ≈ 1 . Sedangkan Gambar 2 kurva temperatur menunjukkan terjadi penurunan pada profil temperatur fluida nano mulai dari 𝜆𝜆 = 1 sampai 𝜆𝜆 ≈ 0. Pada saat 0 < 𝜂𝜂 < 5 , parameter magnetik yang lebih besar bergerak lebih lambat untuk mencapai kecepatan maksimum. Hal tersebut merupakan akibat pengaruh gaya Lorentz dari bola pejal bermagnet. Gaya Lorentz berbanding lurus dengan besarnya medan magnet, sehingga semakin meningkatnya gaya magnet pada bola, maka pergerakan fluida Ag -Air mengalami perlambatan.  Medan magnet dari bola pejal menimbulkan energi internal Ag -Air semakin meningkat. Hal ini mengakibatkan temperatur fluida mengalami penurunan seiring penambahan parameter magnetik.
Gambar 3. Kurva Kecepatan Variasi Konveksi
Gambar 4. Kurva Temperatur Variasi Konveksi
Pada Gambar 3 menunjukkan kurva kecepatan mengalami peningkatan mulai dari nol sampai mendekati satu. Kecepatan aliran fluida dengan variasi parameter konveksi bergerak dari nol dan konvergen ke satu. Kecepatan maksimum adalah satu, mengikuti kecepatan aliran bebas 𝑈𝑈 ∞ . Koefisien konveksi berbanding lurus dengan suhu fluida, akibatnya semakin besar variasi pada parameter konveksi, maka aliran fluida bergerak lebih cepat mencapai kecepatan maksimum. Sebaliknya, Pada Gambar 4 menunjukkan penurunan pada profil temperatur Ag- Air mulai dari 𝜆𝜆 = 1 sampai dengan 𝜆𝜆 ≈ 0 .  Pengamatan terhadap variasi konveksi menunjukkan bahwa  profil temperatur mengalami penurunan. Hal ini terjadi karena koefisien konveksi berbanding lurus dengan suhu fluida.

## 4  Simpulan
Penelitian ini mempelajari pergerakan aliran fluida nano Ag -Air yang melewati bola pejal dengan pengaruh medan magnet dan konveksi. Model matematika aliran fluida nano Ag -Air yang telah diperoleh diselesaikan dengan menggunakan metode Euler Implicit. Variasi magnetik yang meningkat mengakibatkan pergerakan Ag -Air melambat dan temperatur Ag -Air meningkat karena adanya pengaruh gaya Lorentz. Variasi konveksi yang meningkat mengakibatkan pergerakan Ag- Air lebih cepat dan temperatur Ag -Air menurun. Hal ini terjadi karena  koefisien konveksi berbanding lurus dengan suhu fluida.

## 5  Daftar Pustaka
[1] Widodo, B., Pemodelan Matematika , ITSpress, Surabaya, 2012
[2] Ramadhan, A. I., Analisis Perpindahan Panas Fluida Pendingin Nano fluida Di Teras Reaktor PWR (PressurizedWater Reactor) Dengan Computational Fluid Dynamics , Tesis Program Magister, Universitas Pancasila, Jakarta, 2012.

## 21

## Yolanda Norasia, Basuki Widodo, Dieky Adzkiya
[3] Ekpunobi, U.E. Okwukogu, O.K. Anozie, A.I. Ogbuagu, A. S. Ajiwe, V.I. dan C.I. Nwezw., Deposition and Characterization of Silver Oxide from Silver Solution Recovered from Industrian Waste, American Chemical Science Journal. Volume 3(3): 307-312, 2013.
[4] Widodo, B., Arif, D.K., Aryany, D., Asiyah, N., Widjajati, F.A., & Kamiran., The Effect of Magnetohydrodynamic Nano Fluid Flow Through Porous Cylinder , AIP ADVANCES, 6, 020069, 2017.
[5] Ghani, M., Widodo, B. dan Imron, C. Model Aliran Konveksi Campuran yang Melewati Permukaan Sebuah Bola , Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan, Yogyakarta, 2014.
[6] Rabeti, M.,Mixed Convection Heat Transfer of Nanofluids about a Horizontal Circular Cylinder in Porous Media , SOP Transaction on Nano Technology, volume 1, number 1, 2014.
[7] Widodo, B., Anggriani, I., Imron, C., The Characterization Of Boundary Layer Flow in The Magnetohydrodynamic Micropolar Fluid Past A Solid Sphere , International Journal of Advances in Science Engineering and Technology, ISSN:2321-9009, 2016.