EduMatSains
Jurnal Pendidikan, Matematika dan Sains
http://ejournal.uki.ac.id/index.php/edumatsains

## KILLING FORM ALJABAR LIE FROBENIUS BERDIMENSI
≤ 𝟒

## UNTUK MENENTUKAN KESEMISEDERHANAANNYA
Edi Kurniadi 1*
1 Departemen Matematika FMIPA UNPAD
Diterima: 29 Mei 2021     Direvisi: 18 Juni 2021     Diterbitkan : 01 Juli 2021

## ABSTRACT
We  study  the  notion  of  the  Killing  form  for  Frobenius  Lie  algebras  of  dimension ≤ 𝟒 .  The  Killing  form  is  a symmetric bilinear form on a finite dimensional Lie algebra 𝖌 over a field 𝔽 defined by 𝕶 ∶ 𝖌 × 𝖌 ∋ ( 𝒙, 𝒚 ) ↦ 𝕶 ( 𝒙, 𝒚 ) ≔ 𝐓𝐫 ( 𝐚𝐝𝒙 𝐚𝐝𝒚 ) ∈ 𝔽 where 𝐓𝐫 is denoted the trace and 𝐚𝐝 is an adjoint representation of 𝖌 .  A Lie algebras  is  said  to  be  semisimple  if  it  has  the  nondegenerate  Killing  form.  The  research  aims  to  consider  the criterion for semisimplicity of Frobenius Lie algebras of dimension ≤ 𝟒 by using the Killing form. The results show  that  each  Frobenius  Lie  algebra  of  dimension 𝟐 and 𝟒 is  not  semisimple  since  the  the  Killing  form  is degenerate or in other words, a determinant of a representation matrix  of the Killing form is equal to zero. For the  future research, it  is  still  an  open  problem  to  consider the  general  formulas  of  the  Killing  form  for higher dimensional  Frobenius  Lie algebra  whether degenerate  or nondegenerate  such  that the  semisimplicity  of  a  Lie algebra  can  be  considered.  We  conjecture  that  each  finite  dimensional  real  Frobenius  Lie  algebra  is  not semisimple.
Keywords: Frobenius Lie algebra, Killing form, Nondegenerate, Degenerate, Semisimple

## PENDAHULUAN
Aljabar  Lie  Frobenius  mempunyai sifat-sifat  yang  menarik  untuk  dipelajari. Grup  Lie  dari  aljabar  Lie  Frobenius  bersifat non-unimodular karena trace dari representasi adjoint -nya  tidak  sama  dengan nol  yaitu Tr ∘ ad ≠ 0 .  Kemudian  grup  Lie dari aljabar Lie Frobenius juga tidak bersifat kompak (Alvarez & et al, 2018). Lebih jauh, diperoleh  juga  bahwa  dimensi  aljabar  Lie Frobenius  senantiasa  genap  dan coadjoit orbit -nya senantiasa buka di ruang dualnya(Csikós  &  Verhóczki,  2007).  Di  sisi lain,  sifat-sifat  unsur  utama  aljabar  Lie
Frobenius  yang  berkaitan  dengan  Frobenius fungsionalnya    juga  sudah  dibahas  secara detail dalam penelitian sebelumnya (Diatta & Manga,  2014)  termasuk  penelitian  dalam masalah 𝐺 -quasi  aljabar  Lie  Frobenius (Pham,  2016).  Tentu  saja,  walaupun  ada beberapa aljabar Lie Frobenius  yang bersifat solvable tetapi  semua  aljabar  Lie  Frobenius bersifat tidak nilpoten.
Sifat  orbit coadjoint pada  grup  Lie dari  aljabar  Lie  Frobenius  dapat  dipelajari sebagai  dasar  mempelajari  teori  representasi grup  Lie  dengan  metode  orbit  (Kirillov, 2004).  Khusus  untuk  yang  berdimensi  4,
sifat  orbit coadjoint dari  grup  Lie  Frobenius yang  senantiasa  buka  di  ruang  dualnya menunjukkan bahwa representasinya senantiasa  bersifat  terintegralkan  kuadrat atau square-integrable representation (Kurniadi  &  Ishi,  2019).  Lebih  jauh,  teori tentang  representasi  terintegralkan  kuadrat dapat  direduksi  menjadi  kasus  transformasi wavelet  (Ishi, 2006). Di sisi  lain, aljabar Lie Frobenius  berdimensi  4  mempunyai  struktur aljabar simetrik kiri dan telah diberikan pula rumus  eksplisit  untuk  struktur  tersebut. Dalam  hal  ini,  induksi  Frobenius  fungsional pada  aljabar  Lie  Frobenius  sangat  berperan untuk mendapatkan formula tersebut (Diatta, Manga, & Mbaye, 2020).
Berbeda dengan hasil-hasil sebelumnya  yang  membahas  beberapa  sifat aljabar Lie Frobenius berdimensi ≤ 4 seperti kenonunimodularan, ketertutupan orbit coadjoint, dan keterintegralan kuadrat representasinya,  sifat  lain  yang  menarik untuk  dipelajari  dari  aljabar  Lie  Frobenius adalah  kesemisederhanaannya  dengan  cara menghitung Killing  form untuk  setiap representasi adjoint -nya.  Tujuan  penelitian ini  adalah  mempelajari  kesemisederhanaan aljabar  Lie  Frobenius  berdimensi ≤ 4 yaitu berdimensi  2  dan  4  dengan  menggunakan Killing  form. Dalam  proses  pembuktiaannya digunakan  fakta  bahwa  setiap  aljabar  Lie 𝔤 adalah  semisederhana  jika  dan  hanya  jika Killing  form- nya  adalah nondegenerate .
Pernyataan  tersebut    ekuivalen  dengan pernyataan  bahwa  setiap  aljabar  Lie 𝔤 tidak semisederhana  jika  dan  hanya  jika Killing form- nya adalah degenerate atau determinan matriks  representasi Killing  form- nya  sama dengan nol.
Adapun  alasan  mengapa  memilih aljabar  Lie  Frobenius  atas  lapangan  real ℝ berdimensi  2  dan 4 karena  hasil  yang diperoleh  bisa  diperluas  untuk  kasus  aljabar Lie  Frobenius  atas  lapangan  sembarang 𝔽 dengan  dimensi  yang  lebih  tinggi  atau > 4 . Dugaan  atau  konjektur  dari  hasil  penelitian ini    bahwa  setiap  aljabar  Lie  Frobenius  real hingga tidak semisederhana. Perlu diperhatikan  bahwa  dimensi  aljabar  Lie Frobenius senantiasa genap atau dengan kata lain,  dimensinya 2𝑛 dengan 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} dengan ℕ adalah  himpunan  semua  bilangan asli.
Artikel ini ditulis dengan menggunakan  sistematika  penulisan  sebagai berikut : Bagian pertama adalah pendahuluan yang  menjelaskan  tentang  latar  belakang, motivasi penelitian, dan signifikansi penelitian  serta  teori  yang  akan  digunakan dalam  bagian  hasil  dan  pembahasan  utama artikel  ini.  Bagian  ke  dua  adalah  Metode penelitian yaitu studi literatur. Bagian ke tiga adalah hasil dan pembahasan yaitu membuktikan  bahwa  aljabar  Lie  Frobenius berdimensi ≤ 4 adalah  tidak  semisederhana dengan  cara  menghitung Killing  form- nya
dan  menunnjukkan  bahwa Killing  form tersebut degenerate. Masih dalam bagian ini, dibahas juga tentang diskusi untuk penelitian selanjutnya.  Diduga  bahwa  secara  umum setiap    aljabar  Lie  Frobenius  real  adalah tidak  semisederhana.  Selanjutnya  bagian empat adalah kesimpulan hasil penelitian.

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian  ini  adalah  studi  literatur.  Pertama dipelajari  tentang  pemetaan  bilinear  dan multilinear form ,  ke  dua  dipelajari  tentang kriteria  tentang  kesemisederhanaan  yang berkaitan  dengan Killing  form ,  dan  yang  ke tiga  dipelajari  tentang  aljabar  Lie  Frobenius berdimensi ≤ 4 .  Dengan  menghitung  semua
Killing  form untuk  semua  aljabar  Lie Frobenius tersebut dan dengan menggunakan Teorema  5  di  atas  maka    dapat  ditentukan kesemisederhanaan  aljabar  Lie  Frobenius tersebut.  Hasil  tersebut  menunjukkan  bahwa aljabar  Lie  Frobenius  berdimensi  2  dan  4 senantias tidak semisederhana.
Dalam artikel ini, semesta pembicaraannya  adalah  aljabar  Lie  atas lapangan  real  yaitu 𝔽 = ℝ yang  tentunya mempunyai  karakteristik  sama  dengan  nol atau  aljabar  Frobenius  real.  Tinjauan terhadap landasan teori yang akan digunakan dalam  penelitian  ini  antara  lain  teori pemetaan  bilinear,  representasi adjoint, Killing  form suatu  aljabar  Lie,  kriteria semisederhana,  dan  aljabar  Lie  Frobenius
khususnya  klasifikasi  untuk  aljabar  Lie Frobenius berdimensi 2 dan 4 .
Misalkan 𝔤 adalah  ruang  vektor. Pemetaan  yang  diberikan  oleh 𝔅 1 : 𝔤 → 𝔤 dikatakan  linear  jika 𝔅 1 mengawetkan operasi penjumlahan vektor dan mengawetkan operasi perkalian skalar dengan  vektor.  Konsep  ini  bisa  diperluas menjadi  konsep  pemetaan  multilinear  yang secara  formal  diberikan  oleh  definisi  berikut ini
Definisi  1 (McInerney,  2013). Misalkan 𝔤 1 , 𝔤 2 , … , 𝔤 𝑛 dan 𝔥 ruang  vektor  real.
Pemetaan yang diberikan oleh
𝔅 𝑛 ∶   𝔤 1 × 𝔤 2 × … × 𝔤 𝑛 → 𝔥 (1) dikatakan multilinear jika setiap komponennya bersifat linear.
Jika  ruang  vektor 𝔥 = ℝ maka  diperoleh notasi multilinear 𝑛 − form . Khususnya untuk 𝑛 = 2 ,  diperoleh  notasi  bilinear form ,  yaitu pemetaan bilinear
𝔅 𝑛 ∶   𝔤 1 × 𝔤 2 → ℝ (2)
Dalam  hal  ini,  bisa  diambil  kasus 𝔤 1 = 𝔤 2 . Hasil  kali  dalam  atau inner  product pada suaru  ruang  vektor  real  adalah  contoh bilinear form yang sudah banyak dikenal.
Definisi  2 (McInerney,  2013). Misalkan 𝔤 ruang vektor. Pemetaan 𝔅 2 : 𝔤 × 𝔤 → 𝔤 dikatakan  bentuk  simplektik  linear  jika  3 kondisi berikut dipenuhi :
1. 𝔅 2 adalah bilinear form.
2. 𝔅 2 antisimetrik, yaitu 𝔅 2 (𝛼, 𝛽) = −𝔅 2 (𝛽, 𝛼) ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝔤 , dan
3. 𝔅 2 nondegenerate  yaitu 𝔅 2 (𝛼, 𝛽) = 0, ∀𝛽 ∈ 𝔤 mengakibatkan 𝛼 = 0 .
Selanjutnya ruang vektor yang dilengkapi bracket Lie  yaitu  pemetaan bilinear [ , ] ∶ 𝔤 × 𝔤 → 𝔤 yang  mempunyai sifat [𝛼, 𝛼] = 0, ∀𝛼 ∈ 𝔤 dan  memenuhi identitas  Jacobi  disebut  aljabar  Lie.  Ruang vektor  real ℝ terhadap bracket [𝑎, 𝑎] = 0 untuk  setiap 𝑎 ∈ ℝ adalah  contoh  aljabar Lie.  Contoh  lain  aljabar  Lie  yang  sudah banyak  dikenal  adalah  ruang  vektor ℝ 3 dengan bracket berupa cross  product atau hasil  kali  silang.  Kelas  aljabar  Lie  yang banyak  dipelajari  antara  lain  adalah  aljabar Lie  nilpotent,  aljabar  Lie  solvable,  dan aljabar Lie Frobenius.
Misalkan Der 𝔤 menotasikan himpunan semua derivasi pada suatu aljabar Lie 𝔤 yaitu himpunan  yang  memuat  semua  pemetaan bilinear 𝐷(𝑎𝑏) = 𝑎𝐷(𝑏) + 𝐷(𝑎)𝑏 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝔤 .  Dalam  kasus  ini  aljabar  Lie 𝔤 adalah  suatu  aljabar  atas  lapangan ℝ .
Representasi suatu aljabar Lie 𝔤 adalah suatu homomorfisma  aljabar  Lie  yang  diberikan oleh 𝜓: 𝔤 → 𝔤𝔩(𝑉) dengan 𝔤𝔩(𝑉) adalah himpunan semua pemetaan linear pada ruang vektor 𝑉 .  Jika 𝑉 = 𝔤 ,  diperoleh  representasi adjoint yang definisikan sebagai berikut :
ad(α) ∶ 𝔤 ∋ 𝛽 ↦ ad(α)β = [α, β] ∈ 𝔤 (3) untuk setiap 𝛼 ∈ 𝔤 .
Dalam  suatu  aljabar  Lie  dikenal  juga  notasi radical yaitu ideal solvable maksimal.
Definisi  3 (Hilgert  &  Neeb,  2012) . Bilinear form pada  aljabar  Lie 𝔤 yang  didefinisikan sebagai berikut :
𝔎 ∶ 𝔤 × 𝔤 ∋ (𝛼, 𝛽) ↦ Tr(ad(𝛼)ad(β)) ∈ ℝ
(4)
dikatakan Killing form jika 𝔎 simetrik .
Karena Tr([α, β], γ) = Tr(α, [β, γ]) untuk semua  endomorfisma  ruang  vektor  hingga 𝔤 maka Killing  form 𝔎 bersifat  asosiatif yaitu 𝔎([α, β], γ) = 𝔎(α, [β, γ]) (Humphreys, 1972).
Definisi 4 (Humphreys, 1972). Bilinear form 𝔅 pada aljabar Lie 𝔤 dikatakan nondegenerate jika radical R sama dengan 0 dengan 𝑅 = {𝛼 ∈ 𝔤 ;  𝔅(α, β) = 0, ∀β ∈ 𝔤} . Definisi  4  di  atas  ekuivalen  dengan determinan  matriks representasi dari  bilinear form 𝔅 tidak sama dengan nol.
Teorema  5 (Humphreys,  1972). Aljabar  Lie 𝔤 dikatakan  semisederhana  jika  dan  hanya jika Killing form-nya bersifat nondegenerate. Contoh  aljabar  Lie  semisederhana  adalah 𝔰𝔩 ℝ (2) yaitu  aljabar  Lie  berdimensi  3  dari semua  matriks persegi berukuran 2 × 2 yang trace- nya  sama  dengan  nol.  Dengan  basis sebagai berikut :
𝑥 = ( 0 1 0 0 ) , 𝑦 = ( 0 0 −1 0 ) , ℎ = ( 1 0 0 −1 ) (5)
diperoleh  matriks  representasi  untuk Killing
form -nya adalah ( 0 0 4 0 8 0 4 0 0 ) yang
mempunyai  determinan  sama  dengan −128 .
Oleh  karena  itu, Killing  form dari 𝔰𝔩 ℝ (2)
nondegenerate. Jadi, 𝔰𝔩 ℝ (2) semisederhana.
Definisi  6 (Alvarez  &  et  al,  2018). Misalkan 𝔤 aljabar  Lie  berdimensi 2𝑛 dengan  ruang dualnya 𝔤 ∗ didefiniskan oleh 𝔤 ∗ = {𝜓 ∈ 𝔤 ∗ ; 𝜓 ∶ 𝔤 → ℝ linear form} (6)
Aljabar  Lie 𝔤 dikatakan  Frobenius  jika terdapat  linear  form 𝑓 ∈ 𝔤 ∗ sedemikian sehingga stabilizizer 𝔤 𝑓 = {𝛼 ∈ 𝔤  ; ad ∗ (𝛼)𝑓 = 0, 𝑓 ∈ 𝔤 ∗ } trivial.
Pemetaan ad ∗ adalah representasi dari 𝔤 pada ruang dualnya yaitu pada ruang 𝔤 ∗ .
Untuk  aljabar  Lie  Frobenius 𝔤 1 = 〈𝛼, 𝛽〉 berdimensi 2, Lie bracket -nya diberikan  oleh [𝛼, 𝛽] = 𝛽 .  Sedangkan  untuk aljabar Lie Frobenius berdimensi 4 terdapat 3 kelas  isomorfisma(Csikós  &  Verhóczki, 2007).  Dalam  penelitian  ini  akan  dibahas untuk kelas pertama secara detail dan ke dua kelas  lainnya  mengikuti  pembuktian  dari kelas  pertamanya. Bracket Lie  untuk  kelas pertama 𝔤 𝐼 dapat dinyatakan sebagai berikut :
[𝛼 4 , 𝛼 1 ] = [𝛼 3 , 𝛼 2 ] = 𝛼 1 , [𝛼 4 , 𝛼 2 ] = 1 2 𝛼 2 , [𝛼 4 , 𝛼 3 ] = 1 2 𝛼 3 . (7)
Kelas  ke  dua 𝔤 𝛿 𝐼𝐼 mempunyai  Lie bracket sebagai berikut:
[𝛼 4 , 𝛼 1 ] = [𝛼 3 , 𝛼 2 ] = 𝛼 1 , [𝛼 4 , 𝛼 2 ] = 𝛼 3 ,
[𝛼 4 , 𝛼 3 ] = 𝛼 3 − 𝛿𝛼 2 . (8) dengan 𝛿 ∈ ℝ .
Sedangkan  untuk  kelas  terakhir 𝔤 𝜀 𝐼𝐼𝐼 ,  Lie bracket- nya dapat dinyatakan sebagai berikut :
[𝛼 3 , 𝛼 1 ] = [𝛼 4 , 𝛼 2 ] = 𝛼 1 , [𝛼 1 , 𝛼 4 ] = 𝜀𝛼 2 ,
[𝛼 3 , 𝛼 2 ] = 𝛼 2 . (9)
dengan 𝜀 ∈ ℝ − {0} .
Representasi adjoint- nya  dapat  dinyatakan sebagai brackets tersebut,  yaitu ad(α)β = [α, β] untuk setiap 𝛼 dan 𝛽 di 𝔤 .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  dibahas  tentang kesemisederhanaan  aljabar  Lie  Frobenius berdimensi ≤ 4 . Hasil yang diperoleh adalah setiap  aljabar  Lie  Frobenius  berdimensi 2 dan 4 tidak  semisederhana.  Lebih  formal, hasil yang diperoleh tersebut dapat dinyatakan dalam proposisi berikut ini.
Proposisi  7. Aljabar  Lie  Frobenius  real berdimensi 2 dan 4 adalah tidak semisederhana.

## Bukti .
Untuk  kasus  aljabar  Lie  Frobenius 𝔤 1 = 〈𝛼, 𝛽〉 berdimensi 2, bracket yang digunakan  diberikan  sebagai  komutator matriks  oleh [𝛼, 𝛽] = 𝛼𝛽 − 𝛽𝛼 = 𝛽 atau dengan  kata  lain  dapat  dinyatakan  sebagai representasi ad(α)β = β . Untuk mempermudah perhitungan, dalam kaitannya dengan barcket di  atas, 𝛼 dan 𝛽 dapat
dinyatakan  dalam  bentuk  matriks  sebagai berikut  : 𝛼 = ( 1 0
0 0 ) dan 𝛽 = ( 0 1 0 0 ) .
Berkaitan  dengan  representasi  ini,  diperoleh matriks  representasi adjoint- nya  sebagai berikut :
ad(α) = ( 0 0 0 1 ) ,   ad(β) = ( 0 0 −1 0 ). (10)
Dengan  menghitung  semua  trace  dari perkalian representasi adjoint- nya diperoleh
1. Tr(ad(α)ad(α)) = Tr ( 0 0 0 1 ) = 1,
2. Tr(ad(α)ad(β)) = Tr ( 0 0 −1 0 ) = 0,
3. Tr(ad(β)ad(α)) = Tr ( 0 0 0 0 ) = 0,
4. Tr(ad(β)ad(β)) = Tr ( 0 0 0 0 ) = 0 .
Oleh  karena  itu,  matriks  representasi  untuk Killing  form 𝔤 1 dapat  dinyatakan  sebagai berikut :
𝑀(𝔎 𝔤 1 ) 𝔤 1 = ( 1 0 0 0 ). (11)
yang  determinannya  sama  dengan  nol. Dengan  kata  lain, Killing  form 𝔎 𝔤 1 adalah degenerate. Oleh  karena  itu,  aljabar  Lie Frobenius 𝔤 1 tidak semisederhana.
Untuk  kelas  aljabar  Lie  Frobenius berdimensi  4,  dapat  dibagi  ke  dalam  tiga kasus sebagai berikut :
Kelas pertama 𝔤 𝐼 yang bracket -nya dinyatakan  dalam  persamaan  (7).  Dengan menghitung  langsung  matriks  representasi adjoint -nya diperoleh
1. ad(α 1 ) = ( 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ),
2. ad(α 2 ) = ( 0 0 −1 0 0 0 0 −1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 ), 3. ad(α 3 ) = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ),
4. ad(α 1 ) = ( 1 0 0 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 0 0 0 0 0 )
Dengan  menghitung  matriks  representasi dari Killing  form 𝑀(𝔎 𝔤 𝐼 ) 𝔤 𝐼 didapat  entri pada  baris  pertama  semuanya  nol.  Oleh karena  itu,  berdasarkan  sifat  determinan maka  determinan  matriks 𝑀(𝔎 𝔤 𝐼 ) 𝔤 𝐼 sama dengan  nol.  Dengan  kata  lain, Killing  form 𝔎 𝔤 𝐼 degenerate. Oleh  karena  itu, aljabar  Lie Frobenius kelas pertama 𝔤 𝐼 tidak semisederhana.
Kelas  ke  dua  aljabar  Lie  Frobenius berdimensi  4 𝔤 𝛿 𝐼𝐼 mempunyai  Lie bracket yang  dinyatakan  dalam  persamaan  (8). Matriks representasi adjoint -nya diperoleh
1. ad(α 1 ) = ( 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ), 2. ad(α 2 ) = ( 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 ),
3. ad(α 3 ) = ( 0 1 0 0 0 0 0 𝛿 0 0 0 −1 0 0 0 0 ),
4. ad(α 1 ) = ( 1 0 0 0 0 0 −𝛿 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ).
Dapat  dilihat  bahwa  baris  pertama  matriks
𝑀 (𝔎 𝔤 𝛿 𝐼𝐼 ) 𝔤 𝛿 𝐼𝐼 semua entrinya sama dengan nol sehingga  determinannya  sama  dengan  nol. Dengan  kata  lain Killing  form 𝔎 𝔤 𝛿 𝐼𝐼 degenerate. Jadi aljabar  Lie  Frobenius  kelas ke dua 𝔤 𝛿 𝐼𝐼 juga tidak semisederhana.
Untuk kelas terakhir atau kelas ke tiga aljabar  Lie  Frobenius  real 𝔤 𝜀 𝐼𝐼𝐼 dengan 𝜀 ∈ ℝ − {0} mempunyai bracket yang  diberikan oleh  persamaan  (9).  Matriks  representasi adjoint -nya diperoleh sebagai berikut :
1. ad(α 1 ) = ( 0 0 −1 0 0 0 0 𝜀 0 0 0 0 0 0 0 0 ),
2. ad(α 2 ) = ( 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ), 3. ad(α 3 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ),
4. ad(α 1 ) = ( 0 1 0 0 −𝜀 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
Sama  halnya  dengan  dua  kelas  sebelumnya, baris  pertama  matriks 𝑀(𝔎 𝔤 𝜀 𝐼𝐼𝐼 ) 𝔤 𝜀 𝐼𝐼𝐼 semua entrinya sama dengan nol.  Dengan kata lain
Killing  form 𝔎 𝔤 𝜀 𝐼𝐼𝐼 degenerate. Jadi aljabar
Lie  Frobenius  kelas  ke  dua 𝔤 𝜀 𝐼𝐼𝐼 tidak semisederhana.
Jadi,  aljabar  Lie  Frobenius  berdimensi 2 dan 4 semuanya tidak semisederhana.
∎
Untuk  penelitian  selanjutnya,  sebagai bahan  diskusi  diduga  bahwa  setiap  aljabar Lie Frobenius tidak semisederhana. Pernyataan tersebut dinyatakan dalam konjektur berikut ini.
Konjektur  8. Setiap  aljabar  Lie  Frobenius atas lapangan real ℝ tidak semisederhana.
Meskipun  aljabar  Lie  Frobenius  tidak semisederhana  tetapi  aljabar  Lie  Frobenius masih  memegang  peranan  penting  dalam bermacam  cabang  matematika  misalnya tentang penyelesaian masalah Classical Yang Baxter  equations dan  domain  homogen terbatas di ℂ 𝑛 .   Di sisi lain, meskipun aljabar Lie  Frobenius  tidak  semisederhana  akan tetapi  terdapat  aljabar  Lie  Frobenius  yang dapat  diperoleh    sebagai  jumlah  semi langsung aljabar Lie semisederhana. Sebagai contoh  aljabar  Lie affine 𝔞𝔣𝔣(2) yang berdimensi 6  merupakan  jumlah  semi langsung dari 𝔰𝔩 ℝ (2) yang merupakan aljabar Lie  semisederhana  berdimensi  3(Ooms, 2009).  Dengan  demikian,  aljabar  Lie Frobenius  dan  sifat-sifatnya  sangat  menarik untuk dipelajari.

## KESIMPULAN
Dalam  penelitian  ini  telah  dibuktikan bahwa aljabar Lie Frobenius berdimensi ≤ 4 yaitu berdimensi 2 dan 4 tidak semisederhana. Proses pembuktian dilakukan dengan cara  menghitung semua Killing form untuk  setiap  kelas  aljabar  Lie  Frobenius tersebut  dan  menunjukan  bahwa  masing- masing Killing  form- nya degenerate atau determinan  matriks  representasi Killing form -nya sama dengan nol.  Untuk penelitian selanjutnya,  sifat  kesemisederhanaan  untuk sembarang  aljabar  Lie  Frobenius  hingga masih  terbuka  untuk  diteliti.  Diduga  bahwa sembarang aljabar Lie Frobeinius real hingga tidak semisederhana.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada Universitas padjadjaran yang telah mendanai penelitian  ini  melalui  Riset  Percepatan Lektor  Kepala  (RPLK)  tahun  2021  dengan nomor kontrak 1959/UN6.3.1/PT.00/2021.

## DAFTAR PUSTAKA
Alvarez, M. A., & et al. (2018). Contact and
Frobenius  solvable  Lie  algebras  with abelian  nilradical. Comm.  Algebra , 46 , 4344–4354.
Csikós,  B.,  &  Verhóczki,  L.  (2007).
Classification  of  frobenius  Lie  algebras of  dimension  ≤  6. Publicationes Mathematicae , 70 (3–4), 427–451.
Diatta,  A.,  &  Manga,  B.  (2014).  On
properties  of  principal  elements  of frobenius  lie  algebras. J.  Lie  Theory ,
24 (3), 849–864.
Diatta,  A.,  Manga,  B.,  &  Mbaye,  A.  (2020).
On  systems  of  commuting  matrices  , Frobenius Lie algebras and Gerstenhaber  ’  s  Theorem .  (February),
0–12.
Hilgert,  J.,  &  Neeb,  K.-H.  (2012). Structure and  Geometry  of  Lie  Groups .  New
York: Springer Monographs in
Mathematics, Springer.
Humphreys,  J.  .  (1972). Introduction  to  Lie ALgebra  and  its  Representation.pdf (Third  Prin).  New  York  Heidelberg Berlin: Springer-Verlag.
Ishi, H. (2006). Continuous wavelet transform for semi-direct product groups with not necessarily commutative normal subgroups.
Fourier Analysis , 12 , 37--52.
Kirillov, A. A. (2004). Lectures on the Orbit
Method, Graduate Studies in Mathematics. American  Mathematical Society,Providence , 64 .
Kurniadi,  E.,  &  Ishi,  H.  (2019).  Harmonic Analysis  for  4-  Dimensional  Real Frobenius Lie Algebras. Springer Proceeding in Mathematics & Statistics. https://doi.org/https://doi.org/10.1007/9 78-3-319-66963-2
McInerney,  A.  (2013). First  Steps  in Differential  Geometry :  Riemannian,
Contact, Symplectic .  New  York :
Springer-Verlag.
Ooms,  A.  I.  (2009).  Computing  invariants and  semi-invariants  by  means  of Frobenius Lie algebras. J. Algebra , 321 , 1293--1312. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.1
0.026
Pham,  D.  N.  (2016).  G-Quasi-Frobenius  Lie
Algebras. Archivum  Mathematicum ,
52 (4),
233–262.
https://doi.org/10.5817/AM2016-4-233