Fungsi Likehood Pada Data Tersensor Interval Univariat (Likelihood Function For Univariat Interval Censored Data)
Dini Tresnawanti, Mohamad Fatekurohman, Alfian Futuhul Hadi Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jember (UNEJ) Jln. Kalimantan 37, Jember 68121
E-mail : tresnawantidini@gmail.com

## Abstrak
Analisis survival adalah metode statistika yang digunakan dalam mempelajari ketahanan hidup yang berhubungan dengan waktu, mulai waktu awal yang sudah ditentukan dalam penelitian sampai waktu akhir penelitian, namun ada beberapa kendala   untuk   mengestimasi   fungsi   tersebut   yakni   adanya   data   tersensor.   Untuk   mengestimasi   fungsi   dengan   masalah demikian digunakan metode nonparametrik maksimum likelihood estimator dengan data tersensor interval univariat yakni data pasien kanker payudara di Rumah Sakit Baladhika Husada (DKT) berupa data interval l i =( L i , R i ) dengan i adalah banyaknya pasien kanker Payudara serta. Pada metode NPMLE sesuai dengan usulan Turnbull perlu dicari terlebih dahulu bagaimana bentuk fungsi likelihood . Dalam mencari fungsi likelihood dengan data univariat, dilakukan pendekatan representasi petrie untuk menghasilkan matriks C lique sebagai matriks indikator (α ij ) . Hasil dari penelitian ini berupa fungsi non linear dengan derajat paling besar yaitu berderajat 5.
Kata Kunci: survival, nonparametrik, likelihood, matriks Clique,Turnbull .

## Abstract
Survival analysis is a statistical method which in the context of time-related survival, is initiated in the study until the end time of the study, but there are some constraints to estimate the function of the lack of censored data and relatively small amount of data. To estimate the function with such issues used nonparametric maximum likelihood  estimator method by which the data univariate breast cancer patients in Baladhika Husada  hospital (DKT), form of the data l i =( L i , R i ) over i is the number of patiens with breast cancer. In NPMLE methods need to be sought in advance how the shape of the likelihood function. In search of the likelihood function with the data univariate, Petrie made representations approach to generate clique matrix as a matrix of indicators (α ij ) .The result of this research is non linear function with the highest degree that is degree of 5.
Keywords: survival, nonparametric, likelihood, clique matrix, Turnbull .

## PENDAHULUAN
Analisis survival merupakan   analisis   statistika   untuk mengolah   data survival (ketahanan   hidup).   Hasil pengolahan data dalam analisis survival dapat berupa nilai numerik   ataupun   grafik.   Hasil   pengolahan   tersebut   dapat dicari dengan fungsi distribusi, salah satunya yakni dengan mengestimasi   fungsi   survival   [2].   Pada   analisis survival harus   terlebih   dahulu   didefinisikan   kejadian   yang diinginkan.  Kejadian  yang   diinginkan   pada  penelitian   ini adalah sembuhnya pasien kanker payudara  hanya dengan mengandalkan   keoterapi   saja.   Data   pengamatan   berupa interval   yang   dibagi   sebanyak   31   hari   tiap   satu   interval waktu.   Dengan   demikian   estimasi   fungsi   distribusi   yang akan   dilakukan   pada   penelitian   ini   yakni   estimasi   fungsi survival pasien kanker payudara.
Menurut  data Pathology Based Cancer  Registry yang dilakukan   oleh   ikatan   patologi   anatomi   Indonesia   yang bekerja   sama   dengan   yayasan   kanker   Indonesia,   kanker payudara   menduduki   peringkat   kedua   dari   semua   jenis kanker   yang   sering   diderita.   Karenanya   peneliti   tertarik untuk melakukan penelitian tentang kanker payudara.
Ada beberapa macam pengobatan yang dilakukan oleh   pasien   kanker   payudara,salah   satunya   adalah
kemoterapi.   Kemoterapi   adalah   pemberian   obat   untuk membunuh  sel  kanker.   Tidak  seperti   radiasi   atau  operasi yang bersifat lokal, kemoterapi merupakan terapi sistemik, yang   berarti   obat   menyebar   ke   seluruh   tubuh   dan   dapat mencapai   sel   kanker   yang   telah   menyebar   jauh   atau metastase ke tempat lain [8].
Pasien kanker payudara menjalani sesi kemoterapi rata- rata selama 2-3 jam dan satu siklus kemoterapi berlangsung sekitar 3 minggu yaitu dari hari dimana pasien melakukan kemoterapi   diperlukan   sekitar   3   minggu   lagi   untuk   sesi kemoterapi  berikutnya. Siklus kemoterapi  pasien rata-rata 4-6 kali. Namun mungkin saja tidak semua pasien sembuh hanya dengan mengandalkan kemoterapi, sehingga bisa jadi ada pasien yang sembuh karena adanya tindakan lain yaitu operasi pengangkatan kanker. Kejadian ini disebut sebagai kejadian data tersensor interval.
Pada   kasus   data   tersensor   interval   dapat   digunakan metode   parametrik   dan   nonparametrik.   Pada   metode estimasi fungsi survival, metode parametrik membutuhkan beberapa   asumsi-asumsi   yang   harus   dipenuhi,   sedangkan metode   nonparametrik   tidak   diperlukan   asumsi-asumsi tertentu.. Menurut [4] untuk mengestimasi distribusi F 0 yang terbentuk dari waktu survival,dengan masing-masing individu memiliki kemungkinan sederet waktu pemeriksaan
dari proses kejadian yang berbeda, dapat dilakukan metode nonparametrik maksimum likelihood estimator.
Analisis survival Menurut  [5]  analisis survival adalah metode statistika yang digunakan dalam mempelajari ketahanan hidup yang berhubungan dengan waktu, mulai waktu awal yang sudah ditentukan dalam penelitian sampai waktu akhir penelitian. Kejadian   yang   terjadi   dapat   berupa   kejadian   meninggal, sakit,   respon   terhadap   suatu   percobaan   yang   dilakukan dalam penelitian yaitu sesuai dengan kejadian yang diteliti. Sedangkan   menurut  [2]  analisis   survival   adalah   metode yang digunakan untuk mendeskripsikan analisis data dalam bentuk waktu dari waktu awal pengamatan hingga kejadian terjadi   pada  sebagian  kejadian   atau  pada  titik  akhir  (end point).
Dalam   penelitian   kesehatan,   waktu   awal   penelitian sering dikorespondensikan pada perekrutan individu dalam suatu   studi   dan   titik   akhir   berupa   meninggalnya   pasien. Titik akhir sebagai kejadian yang dikehendaki tidak harus berupa kematian, namun juga dapat berupa hal lain seperti sembuhnya   pasien   dari   penyakit,   berkurangnya   gejala penyakit atau kambuhnya pasien dari kondisi tertentu.

## Kanker Payudara
Kanker payudara adalah gangguan dalam pertumbuhan sel normal mammae dimana sel abnormal timbul dari sel- sel   normal,   berkembang   biak   dan   menginfiltrasi   jaringan limfe   dan   pembuluh   darah  [1].   Menurut  [9]  Kanker payudara adalah suatu penyakit dimana terjadi pertumbuhan berlebihan atau perkembangan tidak terkontrol dari sel-sel (jaringan)   payudara.   Kanker   payudara   (carcinoma mammae) adalah sebuah tumor ganas yang tumbuh dalam jaringan payudara. Tumor ini dapat tumbuh dalam kelenjar jaringan susu maupun pada jaringan ikat payudara. Kanker ini   memang   tidak   tumbuh   dengan   cepat   tapi   sangat berbahaya.

## Kemoterapi
Menurut  [8],   kemoterapi   adalah   penggunaan   preparat antineoplastik   sebagai   upaya   untuk   membunuh   sel-sel tumor dengan mengganggu fungsi dan reproduksi seluler. Menurut  [3],   kemoterapi   merupakan   terapi   modalitas kanker yang paling sering digunakan pada kanker stadium lanjut   lokal, maupun  metastatis dan  sering  menjadi   satu- satunya   pilihan   metode   terapi   yang   efektif.   Kemoterapi dapat diberikan sebagai terapi utama, adjuvant (tambahan), dan neoadjuvant, yaitu kemoterapi adjuvant yang diberikan pada saat pra-operasi atau pra-radiasi.

## Data Tersensor
Aspek  penting dalam  analisis survival yakni   kejadian dan   penyensoran.   Sensor   terjadi   apabila   ada   informasi waktu ketahaan  individu yang menjadi  subjek penelitian, meskipun sesungguhnya kita tidak mengetahui lama waktu ketahanan secara pasti [5].
Ada tiga syarat yang harus dipenuhi dalam menentukan waktu gagal yaitu: 1. Ada waktu permulaan
2. Satuan pengukuran yang jelas
3. Definisi gagal harus jelas
Ada tiga alasan adanya data tersensor yakni : 1. Loss to follow up, terjadi ketika objek meinggal, pindah, atau menolak berpartisipasi
2. Drop  out, terjadi  apabila  perlakuan  dihentikan dengan alasan tertentu
3. Termination of study, terjadi apabila penelitian berakhir sementara   objek   yang   damati   belum   mencapai   kejadian yang diinginkan [5].

## Data Tersensor Interval
Data   tersensor   interval   terjadi   apabila   informasi   yang dibutuhkan telah dapat diketahui pada kejadian peristiwa di dalam selang pengamatan [6].

## Data Tersensor Kanan
Menurut  [6]  data   tersensor   kanan   terjadi   apabila individu yang diamati masih hidup (apabila kejadian tidak tersensor   adalah   meninggal)   pada   saat   waktu   telah ditentukan. Ketika waktu penelitian telah berakhir, namun kejadian   yang   diinginkan   dapat   terjadi   kapanpun   setelah penelitian selesai.

## Data Tersensor Kiri
Data   tersensor   kiri   yakni   kejadian   ketika   semua informasi yang ingin diketahui dari seorang individu telah dapat diperoleh pada awal studi [6]

## Data Tersensor Random
Menurut  [6]  data   tersensor   random   merupakan   data tersensor   yang   terjadi   apabila   individu   yang   diamati mengalami kejadian karena sebab lain, bukan disebabkan dari   tujuan   utama   penelitian.   Dalam   bidang   kesehatan, misalkan seseorang individu yang menderita suatu penyakit meninggal setelah mengalami kecelakaan dan sebagainya, sehingga   kematiannya   bukan   disebabkan   oleh   penyakit yang dideritanya.

## Turnbull Estimator
Metode maksimum likelihood estimator sangat populer digunakan untuk menghasilkan suatu estimator. Ide dasar dari metode tersebut adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang teramati sebagai estimator. Tahun 1976   Richard   Turnbull   memformulasikan   sebuah persamaan   untuk   membentuk   fungsi likelihood. Sebelum membentuk   fungsi likelihood ,   kelas   ekuivalensi   harus didefinisikan   terlebih   dahulu.   Kelas   ekuivalensi didefinisikan   oleh L i yang   segera   diikuti   oleh R i . Untuk   menemukan   kelas   ekuivalensi   perlu   untuk mempertimbangkan   semua   interval ( L i , R i ) ,untuk i = 1,2 , ... , n .
Perlu   untuk   mencari   matriks (α ij ) untuk membentuk   fungsi likelihood. Matriks (α ij ) adalah matriks n × m dari   variabel   indikator.   Persamaan dibawah ini merupakan prosedur yang digunakan Turnbull untuk membentuk fungsi likelihood.
[10]
Representasi Petrie M ⊂ X disebut antichains dari X jika x ∼ y untuk   setiap x , y ∈ M .  Matriks   Petrie (kadang disebut matriks clique ) dari kumpulan data interval adalah   matriks   indikator   yang   menghubungkan   elemen X ke maksimal antichains dari MA ( X ) . Matriks Petrie dari X diberikan oleh :
A =[α ij ] ∈  0,1  m × n dengan α ij = 1 [ x j ∈ M i ] [11]
α ij = 1 [ x j ∈ M i ] didefinisikan sebagai fungsi berikut :
α ij = 0 jika x j ∉ M i 1 jika x j ∈ M i [12]

## Contoh
Diberikan   data   interval:   (1,4),   (2,5),   (3,5),   (0,11),
(12,16), (6,10), (8,15), (7,14) dan (13,16)

## Gambar 1. Maksimal antichains dari data
Gambar 2. Hasse Diagram Matriks Patrie atau Matriks Clique :

## METODE PENELITIAN
Penelitian   ini   menggunakan   metode   dengan menganalisis data pasien kanker payudara di Rumah Sakit Baladhika   Husada   (DKT).   Data   pasien   kanker   payudara ditentukan data tersensornya. Selanjutnya ditentukan fungsi likelihoodnya   dengan   langkah-langkahnya   yakni   dibuat grafik   maksimal   antichains   dari   data   sehingga   akan diperoleh matriks Petrie atau matriks Clique sebagai nilai α ij

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut data pasien kanker payudara dengan bentuk data interval. Setiap satu interval dibagi sebanyak 31 hari
Tabel Data L i , R i
No L i R i
1 1 3.67 2 1.35 4.58 3 2.38 5.16 4 3.12 4.7 5 3.29 5.38 6 3.45 5.19 7 4.06 7.09 8 4.32 6.09 9 4.32 8.58 10 6.06 8.35 11 6.41 8.8 12 8.54 13.41 13 8.83 11.61 14 9.54 16.35 15 10.35 12.74
Dari   data   interval   pasien   kanker   payudara,   dibentuk sebuah diagram yaitu Hasse diagram. Hasse diagram adalah jenis   diagram   matematis   yang   digunakan   untuk merepresentasikan   himpunan   berurutan   sebagian   yang terbatas. Hasse   diagram   pada   penelitian   ini   merupakan pasangan pasien ke pasien lain yang dihubungkan dengan garis   dimana   setiap   garis   melambangkan kedmisto.fmipa@gmail.comua pasien tersebut tidak saling beririsan.
Gambar 3. Hasse diagram
Maksimal Antichains pasien   kanker   payudara   dilihat dari   grafik   representasi   maksimal antichains data   pasien serta Hasse diagram pada gambar 3
Gambar 4. Grafik Representasi Maksimal Antichains
M 1 = x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x
6  M 2 = x 2, x 3, x
4, x 5, x
6, x 7, x 8, x 9 
M 3 = x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12  M 4 = x 7, x 9, x 10, x 11 
M 5 = x 9, x 11, x 12  M 6 = x 12, x 13, x 14, x 15 
Dari maksimal antichains yang telah didapat sebelumnya, dibentuk sebuah matriks indikator yaitu matriks Petrie atau matriks Clique.
Setelah   matriks   indikator   ditemukan,   selanjutnya dibentuk fungsi likelihood sesuai dengan persamaan yang diusulkan oleh Turnbull

## KESIMPULAN
Fungsi likelihood yang   diperoleh   berupa   fungsi   non linear. Derajat yang paling tinggi yaitu berderajat 5. matriks variabel   indikator   diperlukan   untuk   membentuk   fungsi likelihood .

## SARAN
Agar mendapatkan fungsi likelihood pada data tersensor seperti pada penelitian ini, telebih dahulu dipertimbangkan data yang akan digunakan harus beririsan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Carpenito,L.J.   2000. Buku   Diagnosa   Keperawatan . Editor Monica Ester. Jakarta:  EGC.
[2] Collett,   D.   2003. (Text   in   Statistical)   Science Modelling  Survival Data in Medical Research . 2Nd ed. London:
Chapman dan Hall/CRC.
[3] Desen,W. 2008. Buku Ajar Onkologi Klinis , edisi 2. Jakarta : Balai Penerbit FKUI.
[4] Gentleman,   R.,   dan   G.   J.   Geyer.   1994. Maximum likelihood for interval censored data: consistency and computation . Biometrika.
[5] Kleinbaum,   D.G.   dan   M.   Klein.   2012. Survival Analysis   a Self-Learning Text (Third Edition) . New York: Springer.
[6] Klein J. P dan M. L Moeschberger.  2003. Survival Analysis:   Technique   for   Censored   and   Truncated Data . New York: Springer.
[7] Rasjidi,   I.   2007. Kemoterapi   Kanker   Ginekologi Dalam Praktik Sehari-hari . Jakarta: Sagung Seto.
[8] Smeltzer,   S.C.  dan  Bare,   B.G,   2002, Buku   Ajar Keperawatan Medikal  Bedah Brunner dan Suddarth (Ed.8,   Vol.   1,2),   Alih   bahasa   oleh   Agung   Waluyo. EGC, Jakarta.
[9] Suryaningsih,K.E.2009. Kupas   tuntas   kanker payudara . Yogyakarta: Paradigm Indonesia.
[10] Turnbull,   B.   W.   1976,   The   Empirical   Distribution Function   with   Arbitrarily   Grouped,   Censored   and Truncated   Data, Journal   of   the   Royal   Statistical Society , Series B.
[11] Vandall, A. C. dan R. Gentleman. 1998. Order theory and nonparametric maximum  likelihood   for   interval censored data . New  Zealand:   departement   of Statistic, University of Aucland.
[12] Vandall, A. C. dan R. Gentleman. 1998. Weak  order partitioning of interval orders with applications to interval censored data . New  Zealand:   departement of  Statistic, University of Aucland.