## Pembangkitan Pohon Fraktal Tiga Cabang dengan Metode Iterated Function System

## Construction of Three Branches Fractal Trees Using Iterated Function System
Kosala Dwidja Purnomo *) , Dita Wahyuningtyas, Firdaus Ubaidillah Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jember
* E-mail: kosala.fmipa@unej.ac.id

## ABSTRACT
There are two types of fractal: natural fractals and fractals set. The examples of natural fractals are trees, leaves, ferns, mountain, and coastlines. One of the examples of fractals set is Pythagorean tree. In  the  earlier  study,  the  Pythagorean  tree  has  two  branches  generated  through  several  affine transformations, i.e dilation and rotation. Here, we developed the Pythagorean tree (or fractal tree) with three branches through dilation, translation, and rotation transformation using Iterated Function System (IFS) method. Some values of height and length parameters were selected to ensure the formation of a fractal tree. These parameters affected the branching angle that can result in different fractal tree shape. Some random values of height and length parameters  produced several variations of fractal tree. These values influenced the shape of fractal whether it tended to the left, to the right, or symmetrical shape.
Keywords: fractals, fractal tree with three  branches, Iterated Function System,  affine transformation.

## PENDAHULUAN
Fraktal  mempunyai  sifat self-similarity atau keserupaan diri, yaitu berarti objek fraktal yang dibangun  berulang  pada  skala  yang  memiliki ukuran  lebih  kecil  akan  berbentuk  serupa dengan  bagian  lainnya  pada  skala  lebih  besar dari objek aslinya. Sifat lain dari fraktal adalah infinite  detail yang artinya  apabila  objek diperbesar  maka  detail-detailnya  akan  terlihat dengan  jelas.  Hasang  &  Suparjo  (2012) menyebutkan bahwa fraktal dibagi menjadi dua jenis, yaitu himpunan-himpunan fraktal ( fractal sets )  dan  fraktal  alami  ( natural  fractal ). Navarro, et al (2014)  mengklasifikasikan himpunan fraktal ke dalam dua tipe, yaitu linier dan non-linier. Fraktal linier mempunyai bentuk geometris  yang  identik  pada  skala  berapapun sampai  iterasi  tak-hingga.  Segitiga  Sierpinski dan kurva Koch adalah contoh fraktal linier. Fraktal  non-linier  dapat  dibangkitkan melalui  fungsi  dinamik  non-linier.  Contoh fraktal non-linier adalah himpunan Mandelbrot dan himpunan Julia. Kedua himpunan tersebut dibangkitkan  dari  fungsi  kuadrat  dari  variabel kompleks. Fraktal alami meliputi pohon, daun, pakis,  gunung,  garis  pantai.  Salah  satu  pohon yang  dapat  dibangkitkan  dan  divisualisasikan dalam fraktal adalah pohon Pythagoras. Matam (2012) menyebutkan bahwa  pohon Pythagoras pertama kali dibangun oleh  Albert E. Bosman pada tahun 1942. Nama untuk fraktal ini berasal dari  fakta  bahwa  bentuk  penggantian  secara tradisional  digunakan  untuk  menggambarkan
Teorema Pythagoras. Jenis-jenis fraktal tersebut dapat  dibangkitkan  melalui  metode Iterated Function System .
Terdapat  beberapa  penelitian  dalam membangun suatu objek fraktal terkait dengan metode Iterated  Function  System (IFS)  atau suatu fungsi iterasi yang terdiri dari sekumpulan transformasi  affine,  diantaranya  Purnomo (2014)  membangkitkan  segitiga  Sierpinski dengan  memanfaatkan  transformasi  affine dalam bentuk dilatasi dan translasi pada segitiga sama  sisi  sebagai  bentuk  dasar.  Modifikasi tersebut  selanjutnya  mengganti  bentuk  dasar segitiga  sama  sisi  dengan  benda  geometris segiempat.  Prasasti  (2018)  memanfaatkan metode  IFS  dalam  mengembangkan  motif anyaman  menggunakan  beberapa  transformasi affine. Kemudian Ubaidillah et al (2019) telah membangkitkan  berbagai  bentuk  pohon Pythagoras  dengan  memanfaatkan  metode  IFS menggunakan  beberapa  transformasi  affine dilatasi dan rotasi. Beck, et  al (2015)  telah  memodifikasi pohon Pythagoras dengan melakukan pengembangan  konsep  pohon  Pythagoras melalui  percabangan  lebih  dari  dua  dan  sudut percabangan  yang  divariasikan.  Algoritma berdasar pada variasi sudut dan ukuran persegi pembangkitnya
dan
diimplementasikan menggunakan  bahasa  C++.  Sebelumnya Browne  (2007)  juga  memberikan  alternatif pembangkitan  percabangan  pohon  Pythagoras berdasar  algoritma  Greedy.  Dengan  algoritma
tersebut  dapat  diminimalisasi  terjadinya tumpukan  segmen  garis  pembentuk  pohon Pythagoras. Hal ini ditunjukkan dengan dimensi fraktal yang secara umum lebih besar dibanding dengan pohon Pythagoras standar. Dalam hal ini dimensi fraktal dihitung menggunakan metode box counting . Teia (2015, 2016) menggunakan bilangan tripel Pythagoras melalui teori “central squares”  untuk  menjelaskan  bagaimana pertumbuhan  cabang  pohon  Pythagoras  dan membuat  anatomi  pelabelan  tripel  Pythagoras untuk  memudahkan  identifikasi  persegi  pada setiap iterasi. Terkait dengan penerapan pohon Pythagoras, Ambarsari (2019) telah menggunakan  konsep  dasar  pohon  Pythagoras untuk  melakukan  konstruksi  visualisasi  data pada analisis data mining saat mempelajari pola pada big data. Sharma, et al (2015) juga telah mengimplementasikan  pohon  Pythagoras sebagai  bentuk  antena  yang  terbukti  secara teknis dapat berfungsi dengan baik.
Pada  artikel  ini  pohon  Pythagoras  standar yang memiliki dua percabangan dikembangkan menjadi  tiga  percabangan  yang  selanjutnya disebut  dengan  pohon  fraktal.  Pohon  fraktal dibangkitkan  menggunakan  metode  IFS,  yaitu melalui  beberapa  transformasi  affine  dilatasi, translasi, dan rotasi.
Menurut Kusno  (2003)  dilatasi  adalah transformasi  yang  mengubah  ukuran  bangun, tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor  skala k ditulis  [ O,k ], yaitu
′ ′ =
0 0
(1) Dilatasi dengan pusat
A(a,b) dan faktor skala k ditulis [ A(a,b) , k ], yaitu
= 0
0 − − + (2) Rotasi adalah suatu perpindahan benda pada gerakan  melingkar. Pada  dimensi  dua,  benda akan berputar pada pusat rotasi. Jika : →
adalah suatu transformasi yang memetakan titik ( , ) ke  titik ( , ) dan  misalkan adalah sebuah  sudut  tetap  maka  persamaan  rotasi melalui  pusat ( , ) dengan  arah  rotasi berlawanan arah jarum jam adalah x' y' = cosθ -sinθ sinθ cosθ x-a y-b + a b (3) dan persamaan rotasi dengan arah rotasi searah jarum jam adalah x' y' = cosθ sinθ -sinθ cosθ x-a y-b + a b (4) Translasi  merupakan  transformasi  yang memetakan titik ( , ) ke ( , ) yaitu bergeser sejauh satuan  searah  sumbu dan satuan searah  sumbu  y,  sehingga  didapatkan persamaan ′ ′ = + = + + (5)
Persamaan (1) sampai (5) secara teknis akan digunakan  dalam  menghitung  koordinat  titik atau objek dengan transformasi affine.

## METODE
Tahap  pertama  membangkitkan  persegi  sebagai bentuk awal pada koordinat kartesius. Tahap kedua menentukan  bentuk  dasar  percabangan  dengan prosedur sebagai berikut:
1. Mencari panjang l Titik K dan L didapatkan dari persegi awal, l adalah jarak antara titik K dan L seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Jarak antara titik K dan L 2. Mencari panjang Posisi ditentukan untuk mengatur panjang . Jadi, adalah panjang yang diperoleh dari titik K ke . Ilustrasinya pada Gambar 2.
Gambar 2. Kedudukan titik dan panjang 3. Mencari panjang Panjang didapat dari pembagian dengan
sin(90 − ) , letak sudut dan seperti pada
Gambar 3.
Gambar 3. Posisi sudut dan panjang
4. Mencari panjang Posisi ditentukan untuk mengatur panjang . Jadi, adalah panjang yang diperoleh dari ke titik L . Ilustrasinya pada Gambar 4.
Gambar 4. Kedudukan titik dan panjang 5. Mencari panjang Panjang didapat  dari  pembagian dengan sin(90 − ) ,  letak  sudut dan seperti  pada
Gambar 5.
Gambar 5. Posisi sudut dan panjang 6. Mencari panjang b Panjang b didapat dari selisih l dengan penjumlahan dari dan , b adalah  panjang  dari ke .
Ilustrasinya seperti pada Gambar 6.
Gambar 6. Ilustrasi b 7. Mencari panjang
Panjang didapat dari akar penjumlahan dengan
, dengan diperoleh dari selisih dan . Panjang
, , seperti pada Gambar 7.
Gambar 7. Panjang , ,
Tahap  ketiga  membangun  bentuk  pohon  fraktal menggunakan transformasi affine pada IFS. Cabang pertama  di  sisi
didapat  dari  persegi  awal  yang diduplikasi.  Selanjutnya,  pada  hasil  duplikasi diterapkan beberapa transformasi affine yaitu dilatasi menggunakan  Persamaan  (2)  yang  ditentukan  oleh titik  pusat  dilatasi  dan  faktor  skala  dilatasi.  Faktor skala dilatasi ( ) didapat dari pembagian dengan l . Titik pusat dilatasi pada titik K . Hasil dari dilatasi kemudian  dilakukan  operasi  rotasi  sebesar  sudut dengan  menentukan  arah  perputaran  berlawanan jarum  jam  menggunakan  Persamaan  (3)  dan  titik pusat  rotasi  berada  di  titik K .  Operasi  dilatasi  dan rotasi  ini  diterapkan  secara  berulang-ulang  pada persegi hingga membentuk pohon fraktal. Gambar 8 merupakan ilustrasi percabangan di .
Gambar 8. Ilustrasi percabangan pada Cabang kedua di sisi didapat dari persegi awal yang  diduplikasi.  Selanjutnya,  pada  hasil  duplikasi diterapkan beberapa transformasi affine yaitu dilatasi menggunakan  Persamaan  (2)  yang  ditentukan  oleh titik  pusat  dilatasi  dan  faktor  skala  dilatasi.  Faktor
skala dilatasi ( ) didapat dari pembagian dengan l . Titik pusat dilatasi pada titik K . Hasil dari dilatasi kemudian  dilakukan  operasi  translasi  menggunakan Persamaan  (5).  Hasil  dari  translasi  kemudian dilakukan  operasi  rotasi  sebesar  sudut dengan menentukan  arah perputaran  berlawanan  jarum  jam menggunakan Persamaan (3) atau searah perputaran jarum  jam  menggunakan  Persamaan  (4)  dan  titik pusat  rotasi  berada  di  titik K persegi  baru  hasil translasi. Gambar 9 merupakan ilustrasi percabangan di .  Operasi  dilatasi,  translasi  dan  rotasi  ini diterapkan secara berulang-ulang pada persegi hingga membentuk pohon fraktal.
Gambar 9. Ilustrasi percabangan pada Cabang ketiga di sisi didapat dari persegi awal yang  diduplikasi.  Selanjutnya,  pada  hasil  duplikasi diterapkan beberapa transformasi affine yaitu dilatasi menggunakan  Persamaan  (2)  yang  ditentukan  oleh titik  pusat  dilatasi  dan  faktor  skala  dilatasi.  Faktor skala dilatasi ( ) didapat dari pembagian dengan l . Titik pusat dilatasi pada titik L . Hasil dari dilatasi kemudian  dilakukan  operasi  rotasi  sebesar  sudut dengan  menentukan  arah  perputaran  searah  jarum jam  menggunakan  Persamaan  (4)  dan  titik  pusat rotasi  berada  di  titik L .  Gambar  10  merupakan ilustrasi percabangan di . Operasi dilatasi dan rotasi ini  diterapkan  secara  berulang-ulang  pada  persegi hingga membentuk pohon fraktal.
Gambar 10. Ilustrasi percabangan pada .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada tahap pertama pohon fraktal dibangkitkan dengan bentuk awal berupa persegi pada bidang kartesius. Persegi dibangkitkan pada koordinat kertesius  sebanyak  jumlah  titik  sudutnya. Penamaan variabel yang digunakan dapat dilihat pada Gambar 11. Rumus jaraknya adalah
= ( − ) + ( − ) dengan s menyatakan  jarak  antara  dua  titik ( , ) dan ( , ) .
Gambar 11.  Penamaan variabel persegi
Pada  tahap  kedua  ditentukan  bentuk  dasar percabangan. Gambar 12. Bentuk dasar percabangan Agar  kemiringan dan tidak melebihi batas digunakan aturan syarat 0 < < < 1 , dengan  batas  nilai , yang  diinputkan  dari 0,1 sampai 0,9. Batas nilai ini diberikan untuk menjaga kemiringan sisi untuk membangkitkan persegi  pada  pohon  fraktal.  Dengan menginputkan nilai dan selanjutnya dapat
dicari nilai a, b, dan c seperti pada Gambar 12. Setelah didapat nilai , , , selanjutnya ,
diberikan aturan syarat batas atas
≤ √ −
dan ≤ √ − .  Untuk  memastikan  ukuran cabang  pertama,  kedua  dan  ketiga  tidak  lebih besar dari persegi awal maka panjang s dibatasi 0,8 kali panjang dari iterasi sebelumnya. Gambar 13 merupakan ilustrasi syarat batas bawah . Gambar 13. Ilustrasi syarat batas bawah
Dari Gambar 13 terlihat bahwa tan = = .  Jadi,  nilai pada  iterasi  berikutnya  agar membentuk  percabangan  harus  memiliki  batas bawah > . Gambar  14  merupakan  ilustrasi  syarat  batas bawah .
Gambar 14. Ilustrasi syarat batas bawah Terlihat bahwa tan = = . Jadi, nilai pada  iterasi  berikutnya  agar  membentuk percabangan harus memiliki batas bawah > . Jika , memenuhi syarat,  maka besar sudut , dapat  dicari  dengan  rumus = tan dan = tan .
Syarat  batas  tersebut  untuk  mengoreksi percabangan memenuhi segiempat konveks atau tidak. Syarat batas atas dan bawah berlaku untuk pemilihan  secara  ditentukan  atau  diinputkan maupun random. Mencari  nilai dan dengan menginputkan  hasil  dari a dan c dan  dibagi dengan  besar  sudut dan seperti  pada Gambar 12 dengan = ( ) , = ( ) Setelah didapat hasil dari dan , maka nilai , , seperti  pada  Gambar  12  dapat diperoleh, yaitu
= + , = − , = | − | . Hasil  perhitungan  dari , digunakan dalam  program  IFS.  Selanjutnya  dengan menginputkan hasil dari b dan dikombinasikan dengan , maka dapat dicari nilai dari , yaitu
= +
Setelah diperoleh nilai , maka selanjutnya besar sudut dapat dicari dengan perbandingan
dan sebagai berikut = sin . Hasil  dari  persegi  yang  dirotasi  ke  kiri disimbolkan  dengan superscript l ,  hasil  dari persegi  yang  ditranslasi  dan  dirotasi  ke  atas disimbolkan  dengan superscript u ,  dan  hasil persegi  yang  dirotasi  ke  kanan  disimbolkan dengan superscript r .  Visualisasi  perubahan
K ( , )
L ( , ) K L a b c
K L N ( , ) M ( , ) a c A B b
nama titik hasil rotasi diilustrasikan seperti pada Gambar 15.
Gambar 15. Ilustrasi Perubahan Nama Titik
Pada  tahap  ketiga  dilakukan  pembentukan pohon fraktal dengan metode IFS, yaitu dalam hal  ini  digunakan  transformasi  affine.  Dengan faktor dilatasi tertentu (misal k =0,54), diperoleh hasil dilatasi di titik pusat dilatasi K(0,1) pada cabang pertama seperti pada Gambar 16.
Gambar 16. Hasil dilatasi
Setelah didapat hasil dilatasi, selanjutnya di rotasi dengan arah perputaran berlawanan arah jarum jam sebesar sudut
di titik pusat rotasi K(0,1).  Sehingga  didapat  hasil  rotasi  seperti pada Gambar 17.
Gambar 17. Hasil Rotasi untuk cabang pertama Setelah  dihasilkan  persegi  baru  dari  hasil rotasi penamaan titik diubah seperti Gambar 17, maka  didapat  penamaan  titik , , , .
Selanjutnya  penamaan  titik-titik  baru  tersebut dikembalikan  seperti  penamaan titik  pada persegi awal seperti Gambar 18 menjadi KLMN . Penamaan  titik  diubah  dan  menghasilkan cabang pertama seperti pada Gambar 18.
Gambar 18. Hasil dari percabangan pertama Selanjutnya  pada  cabang  kedua,  didapat hasil dilatasi di titik pusat dilatasi K(0,1) seperti pada Gambar 19.
Gambar 19. Hasil dilatasi Setelah  didapat  hasil  dilatasi,  selanjutnya ditranslasi  dan  didapat  hasil  seperti  pada Gambar 20.
Gambar 20. Hasil translasi Arah  rotasi  kemudian  diputar berlawanan arah  jarum  jam  sebesar  sudut di  titik  pusat rotasi  K”(0,15;1,52).  Sehingga  didapat  hasil rotasi pada Gambar 21.
Gambar 21. Hasil rotasi Setelah  dihasilkan  persegi  baru  dari  hasil rotasi penamaan titik diubah seperti Gambar 21,
maka  didapat  penamaan  titik , , , . Selanjutnya  penamaan  titik-titik  baru  tersebut dikembalikan  seperti  penamaan  titik  pada persegi awal seperti Gambar 22 menjadi KLMN . Penamaan  titik  diubah  dan  menghasilkan cabang pertama seperti pada Gambar 22.
Gambar 22. Hasil dari percabangan kedua Selanjutnya  pada  cabang  ketiga,  didapat  hasil dilatasi di titik pusat dilatasi L(1,1) seperti pada Gambar 23.
Gambar 23. Hasil dilatasi percabangan ketiga Setelah  didapat  hasil  dilatasi,  selanjutnya dirotasi  dengan  arah  perputaran  searah  jarum jam sebesar sudut di titik pusat rotasi L(0,1) dan didapat hasil rotasi seperti pada Gambar 24.
Gambar 24. Hasil rotasi percabangan ketiga Setelah  dihasilkan  persegi  baru  dari  hasil rotasi penamaan titik diubah seperti Gambar 19, maka  didapat  penamaan  titik
, , , .
Selanjutnya  penamaan  titik-titik  baru  tersebut
dikembalikan  seperti  penamaan  titik  pada persegi awal seperti Gambar 25 menjadi KLMN . Penamaan  titik  diubah  dan  menghasilkan cabang pertama seperti pada Gambar 25.
Gambar 25. Hasil dari percabangan ketiga Langkah  yang  sama  dilakukan  terus menerus sampai iterasi ke- n . Simulasi  pembuatan  pohon  fraktal dilakukan  dengan  membuat  Guide  Users Interface  (GUI)  pada  MATLAB2015B  (32
BIT). Tampilan GUI dapat dilihat di Gambar 26.
Gambar 26. Tampilan GUI pohon fraktal Dalam  hal  ini  ditampilkan  dua  hasil pembangkitan  pohon  fraktal  berdasarkan pemilihan  tinggi t dan  panjang P yang ditetapkan secara manual, seperti pada Gambar 27. (a) (b) Gambar 27. Hasil visualisasi  pemilihan  secara ditetapkan Gambar 27 bagian (a) penulis menginputkan nilai = 0,15, = 0,65, = 0,5, = 0,6 , diperoleh  besar  sudut = 73,61° dan =
59,53° . Nilai yang diinputkan lebih panjang dari dan besar sudut lebih besar dari sudut ,  sehingga  didapat  kemiringan yang  lebih miring  dari dan  panjang = 0,7 lebih panjang  dari = 0,54 sehingga  diperoleh cabang lebih  condong  ke  kiri.  Gambar  27 bagian  (b)  peneliti  menginputkan  nilai = 0,25, = 0,75 dan = 0,5, = 0,5 , diperoleh  besar  sudut = , dan sama panjang sehingga terlihat bahwa pohon  fraktal memiliki bentuk yang simetris. Pemilihan  tinggi  dan  P  secara  random, terdiri  dari  dua  yaitu  random  awal dimana bentuk dasar percabangan hanya random diawal percabangan saja,  percabangan  selanjutnya sampai iterasi ke- n bentuk dasar percabangannya  tetap  dan  sama  seperti  iterasi ke-1, dan  untuk  random  per  cabang P  dan  t random  per  cabang,  dimana  bentuk  dasar  tiap percabangannya  selalu  random  atau  bentuk dasar percabangan pertama sampai percabangan pada iterasi ke- n berbeda-beda. Hasil visualisasi pohon  fraktal  untuk  pemilihan  tinggi  dan  P secara random awal peneliti menampilkan dua hasil seperti pada Gambar 28.
(a) (b) Gambar 28. Hasil visualisasi random awal Gambar  28  bagian  (a) terlihat  bahwa panjang lebih  panjang  dari .  Hal  ini dikarenakan  panjang lebih  panjang  dari . Besar  sudut dan sama  besar,  sehingga kemiringan  dari dan sama. Cabang diubah condong  ke  arah  kanan.  Gambar  28 bagian  (b)  bentuk  dasar  percabangan  pada iterasi pertama terlihat bahwa letak titik dan seimbang,  dimana  tidak  mendekati  batas minimum  maupun  maksimum. Panjang dan hampir sama panjang, dan besar sudut , sama besar. Hasil  visualisasi  pohon  fraktal  untuk pemilihan  tinggi  dan  P  secara  random  per cabang peneliti menampilkan tiga hasil seperti pada Gambar 29.
(a)
(b) (c)
Gambar  29.  Hasil  visualisasi  random  per cabang
Gambar  29  bagian  (a)  bentuk  dasar percabangan  pada  iterasi  pertama,  terlihat bahwa sudut hampir sebesar 180° (bentuknya hampir  tidak  konveks).  Hal  ini  dikarenakan panjang lebih  panjang  dari dan  sudut lebih  besar  dari  sudut ,  sehingga mengakibatkan  cabang dan hampir menempati  garis  lurus.  Gambar  29  bagian  (b) bentuk dasar percabangan pada iterasi pertama, terlihat  bahwa  titik
melewati  titik  tengah l dan mendekati titik . Panjang lebih panjang dari , dan besar sudut lebih besar dari sudut , sehingga dihasilkan ukuran cabang seperti pada Gambar 29 bagian (b). Gambar 29 bagian (c)  bentuk  dasar  percabangan  pada  iterasi pertama,  panjang lebih  panjang  dari , sehingga  diperoleh  cabang  pada sedikit
condong ke kiri. Dikarenakan titik mendekati batas maksimum dan panjang lebih panjang dari , sehingga didapat besar sudut hampir tegak lurus (mendekati 90° ).

## KESIMPULAN
Di dalam artikel ini didapatkan sejumlah variasi pohon fraktal, yaitu  didapatkan dengan memberikan nilai parameter tinggi dan panjang tertentu  yang  digunakan  untuk  menentukan ukuran  dan  sudut  percabangan. Dalam  kasus khusus,  diperoleh  bentuk  pohon  fraktal  yang random (dalam arti dapat bergerak condong ke kanan,  ke  kiri,  atau  simetris  pada  setiap percabangan)  pada  saat  nilai-nilai  parameter tersebut  diberi  nilai  random  pada  interval tertentu.

## DAFTAR PUSTAKA
Ambarsari,  E.W.,  2019. Basic  Concept Pythagoras  Tree  for  Construct  Data Visualization  on  Decision  Tree  Learning. Journal  of  Applied  Engineering  Science.
17 (4): 468-472. Beck, F., 2015. Generalized Pythagoras Tree: A Fractal Approach to Hierarchy Visualization. International Joint Conference  on  Computer  Vision,  Imaging and Computer Graphics. 115-135.
Browne, C., 2007. Efficient Pythagorean trees: Greed is good. Computers & Graphics. 9 (1): 111-124.
Hasang, S., Suparjo, S. 2012. Geometri Fraktal dalam  Rancangan  Arsitektur. Media Matrasain . 9 (1): 111-124. Kusno. 2003. Geometri Rancang Bangun Studi
Surfas  Putar  Transformasi  Titik  dan Proyeksi . Jember: Fakultas MIPA Universitas Jember. Matam,  S.  2012. Pythagoras  Trees . https://www.codewalk.com/2012/01/ pythagoras-trees.html. [29 Mei 2019] Navarro, C.F., Garcia, J.C., Tavares, M.M.  2014. Main  Objects  of  Fractal  Geometry  and Computer  Graphical  Generation , Research Journal  of  Computation  and  Mathematics ; 2 (2): 14-26. Prasasti,  I.  2018. Pemanfatan  Metode  Iterated Function System  Dalam  Pengembangan Motif  Anyaman
.  Skripsi.  Jember:  Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember.
Purnomo,  K.D.  2014.  Pmbangkitan  Segitiga
Sierpinski  dengan  Transformasi  Affine. Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika Jurusan  Matematika  FMIPA  Universitas
Jember . 365-375. Sharma, R., Kokane, D.N.. 2015. Pythagorean Tree Multiband Fractal Antenna. International  Journal  of  Engineering Research and General Science . 3 (5): 1031-
1035. Teia, L., 2015. Pythagoras’ triples explained by central squares. Australian Senior Mathematics Journal . 29 (1): 7-15. Teia, L., 2016. Anatomy of the Pythagoras’ tree. Australian  Senior  Mathematics  Journal .
30 (2): 38-47.
Ubaidillah, F.,  Purnomo,  K.D.,  Sundusia,  J.K. 2019. Pembangkitan  Fraktal  Pohon Pythagoras Menggunakan Iterated Function System. Prosiding  Seminar  Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islam. 3 (1):
55-60. Van  der  Laan,  K.  2013. Pythagoras  Trees in PostScript . https://www.ntg.nl/maps/44/06.pdf [28 Mei 2021]