p-ISSN:2722-6913 e-ISSN:2722-760X Volume 3 Nomor 1 Juni 2022, pp. 1-13

## ANALISIS PELEVELAN PENALARAN REVERSIBEL SISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PECAHAN
Asvianto Tangke Manimpa, Muhammad Ikram * , Jumarniati’ Universitas Cokroaminoto Palopo, Jl. Latammacelling No.19 Palopo, Sulawesi Selatan, Indonesia.
* muhammad.ikram@uncp.ac.id

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan level penalaran reversibel siswa dalam menyelesaikan masalah  pecahan  di  SMP  Negeri  1  Palopo.  Jenis    penelitian  ini  adalah  metode  penelitian  kualitatif deskriptif  dengan  pemberian  tugas  reversibel  pada  pecahan  yang  disertai  think-aloud  dan  pedoman wawancara. Tugas Reversibel pada pecahan terdiri dari 7 Level, dimana Level 1 (a dan b adalah bilangan bulat), Level 2 ( a adalah pecahan satuan dan b adalah bilangan bulat), Level 3 ( a adalah pecahan bukan satuan, b adalah  bilangan bulat), Level 4 (Hubungan pembagi dan pembilang / a dan b adalah pecahan satuan, Level 5 ( a disajikan sebagai bilangan campuran), Level 6 (Pembilang dari a dan b relatif prima, b adalah bilangan bulat), dan Level 7 (Pembilang dari a dan b relatif prima, b adalah besaran pecahan) dari  model  aljabar ax = b .  Analisis  data  menggunakan  analisis  deskriptif  dengan  menggunakan triangulasi metode. Hasil penelitian menujukkan bahwa ditemukan 3 subjek yang dipilih berdasarkan kelengkapan data hasil think-aloud, wawancara, dan hasil kerja sehingga ditetapkan S1 sebagai subjek kategori  Level  1,  S2  sebagai  subjek  kategori  Level  6,  dan  S3  sebagai  subjek  kategori  Level  7. Berdasarkan hasil penelitian yang ditemukan, subjek Level 1 menyelesaikan masalah hanya sampai pada Level 1 dimana a dan b adalah bilangan bulat dari model aljabar ax = b , subjek level 6 menyelesaikan masalah  hanya  sampai  pada  Level  1  dimana  pembilang  dari a dan b relatif  prima,  b  adalah  bilangan bulat a dan b adalah bilangan bulat dari model aljabar ax = b , dan subjek Level 7 menyelesaikan semua masalah dari Level 1 sampai dengan level 7.
Kata Kunci: Reversibel, Pecahan, Reversibel pada Pecahan

## Abstract
This study aims to describe the level of students' reversible reasoning in solving fraction problems at SMP Negeri 1 Palopo. This type of research is a descriptive qualitative research method by giving a reversible task on fractions accompanied by think-aloud and interview guidelines. The Reversible Task on fractions consists of 7 Levels, where Level 1 (a and b are integers), Level 2 (a is a unit fraction and b is an integer), Level 3 (a is a fraction not a unit, b is an integer), Level 4 (The relationship between the divisor and numerator / a and b is a unit fraction, Level 5 (a is represented as a mixed number), Level 6 (The numerators of a and b are relatively prime, b are integers), and Level 7 (the numerators of a and b are relatively prime). b is relatively prime, b is a fractional quantity) from the algebraic model ax = b. Data analysis used descriptive analysis using triangulation method. The results showed that 3 subjects  were  selected  based  on  the  completeness  of  the  data  from  think-aloud,  interview,  and  work results so that they were determined S1 as a Level 1 category subject, S2 as a Level 6 category subject, and S3 as a Level 7 category subject. Based on the results of the research found, Level 1 subjects solve problems only up to Level 1 where aa and b are integers from the algebraic model ax=b, level 6 subjects solve the problem only up to Level 1 where the numerators of a and b are relatively prime, b are integers a and b are integers from the algebraic model ax=b, and Level 7 subjects solve all problems from Level 1 to level 7.
Keywords : Reversible, Fractional, Reversible on Fraction

## PENDAHULUAN
Kemampuan  untuk  membalikkan  konsep  matematika  penting  di  semua  tingkat matematika (misalnya, penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, diferensiasi, dan integrasi dalam kalkulus). Menurut teori Piagetian, reversibilitas terlibat di semua tahap pengembangan. Menemukan keadaan awal ketika diberi hasil bukanlah tugas yang mudah bagi siswa, meskipun mereka mampu menemukan hasil ketika diberi keadaan awal (Tzur, 2004).
Inspirasi  dari  penelitian  ini  berasal  dari  permasalahan  yang  ditemukan  peneliti  di lapangan  pada  saat  melaksanakan  KKN  Tematik  UNCP  2021  di  SD  06  Sesean.    Temuan peneliti yang dimaksud adalah siswa dapat menyelesaikan soal luas bangun ruang kubus jika sisi diketahui dan siswa tidak mampu menyelesaikan soal bangun ruang jika luas dari bangun tersebut diketahui dan yang dicari adalah sisinya. Masalah serupa pun hampir terjadi di semua soal  bangun  datar.  Masalah  tersebut  berkaitan  dengan  masalah  reversibel.  Siswa  mampu mengerjakan  suatu  permasalah jika  permasalahan  yang  di cari adalah  Hasil  dan  ketika  yang dicari Masukan dan Proses maka siswa tidak mampu mengerjakan masalah tersebut. Namun peneliti  lebih  termotivasi  untuk  meneliti  masalah  reversibel  pada  pecahan.  Motivasi  peneliti juga didukung berdasarkan dari beberapa penelitian sebelumnyan serta konsep Piaget tentang pembalikan pemikiran dan telah dimotivasi oleh permohonan baru-baru ini yang dibuat oleh Lamon (2007) untuk menganalisis proses seperti itu: “Para peneliti hanya tahu sedikit tentang pembalikan atau tentang operasi perkalian dan pembalikan, dan ini bisa menjadi subjek untuk agenda  penelitian  analisis  mikro  yang  berharga”.  Dorongan  teoritis  lain  untuk  melakukan penelitian  ini  adalah  bahwa,  berbeda  dengan  situasi  aditif,  reversibilitas  belum  banyak diperhatikan  dalam  domain  multiplikasi  (Carpenter  &  Moser,  1983).  Sejak  Piaget memperkenalkan  konsep  reversibilitas,  peneliti  bekerja  di  berbagai  bidang  telah membangkitkan gagasan ini tetapi itu belum menjadi fokus utama. Tetapi dalam penelitian ini, peneliti hanya fokus terkait dengan penalaran reversibel dalam domain pecahan (secara khusus difokuskan  pada  tingkat  sekolah  dasar)  dapat  diidentifikasi  dari  literatur,  yaitu  Hackenberg (2005).  Dalam  studi  sebelumnya  (Ramful  &  Olive,  2008),  kami  mencoba  untuk mengkarakterisasi cara siswa bernalar secara terbalik dalam situasi proporsional. Penelitian saat ini berfokus pada penalaran reversibel dalam domain pecahan.
Berdasarkan hasil temuan peneliti dilapangan, teori-teori dan hasil penelitian para ahli diatas,  maka  peneliti  memperluas  penelitiaannya  untuk  masalah  reversibel  dalam  materi pecahan. Sehingga peneliti terdorong untuk melakukan penelitian mendalam terkait masalah Analisis  pelevelan  penalaran  reversibel  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  pecahan.
Berdasarkan  pertanyaan  peneliti,  maka  tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  mengetahui  level penalaran reversibel siswa dalam menyelesaikan masalah pecahan.
Tugas  yang  dirancang  dengan  baik  menciptakan  kondisi  yang  diperlukan  untuk memunculkan alasan siswa (Simon & Tzur, 2004).  Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan instrumen dari hasil penelitian yang dilakukan oleh Ramful dkk. Peneliti merancang kerangka perumusan  masalah  yang  memungkinkan  saya  untuk  secara  sistematis  memvariasikan  fitur numerik  dari  parameter  masalah.  Saat  merumuskan  pertanyaan,  alasan  ditulis  untuk memastikan bahwa pertanyaan itu tepat dan tidak terjadi tumpang tindih di antara pertanyaan pertanyaan itu (Ramful, 2014). Instrumen yang dimaksud disajikan dalam Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Instrumen Penelitian Ramful Level Instrumen Keterangan Instrumen Level 1 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan bulat
Level 2 𝑎 adalah pecahan satuan dan 𝑏 adalah bilangan bulat
Level 3 𝑎 adalah pecahan bukan satuan, 𝑏 adalah  bilangan bulat
Level 4 Hubungan pembagi dan pembilang / 𝑎 dan 𝑏 adalah pecahan satuan
Level 5 𝑎 disajikan sebagai bilangan campuran Level 6 Pembilang dari 𝑎 dan 𝑏 relatif prima, b adalah bilangan bulat Level 7 Pembilang dari 𝑎 dan 𝑏 relatif prima, b adalah besaran pecahan Sumber: (Ramful,2014)
Masalah yang dipilih untuk penelitian ini melibatkan hubungan perkalian antara kuantitas yang diketahui dan yang tidak diketahui, di mana tujuannya adalah untuk menentukan ukuran satu unit dari kuantitas yang tidak diketahui. Secara aljabar, soal-soal ini berbentuk 𝑎𝑥  =  𝑏. Notasi aljabar tersebut menunjukkan pembenaran di balik perumusan masalah, tetapi ini sama sekali  tidak  menunjukkan  bahwa  siswa  diharapkan  untuk  melihat  situasi  ini  dari  perspektif aljabar.  Dengan  kata  lain,  notasi  aljabar hanya  digunakan  untuk  tujuan  komunikasi.  Tabel  8 menunjukkan  bagaimana  tugas  diurutkan  secara  progresif  dengan  memvariasikan  urutan kompleksitas yang diasumsikan. Nilai a dan b bervariasi secara sistematis, mulai dari bilangan bulat dan pecahan unit hingga situasi yang lebih menuntut di level 6 dan 7 dengan pembilang yang relatif prima. Masalah level 5 melibatkan perbandingan perkalian dari bilangan campuran dan  kuantitas  bilangan  bulat,  di  mana  a  adalah  bilangan  campuran  dan  b  adalah  kuantitas bilangan  bulat  dalam 𝑎𝑥  =  𝑏 .  Masalah  tingkat  6  melibatkan  perbandingan  multilikatif  dari pecahan dan kuantitas bilangan bulat, di mana pembilang pecahan dan bilangan bulat relatif
prima. Kategori terakhir dari masalah (Level 7) mewakili situasi yang lebih menuntut dalam penelitian  ini,  di  mana  kedua  besaran  yang  dibandingkan  adalah  besaran  pecahan  dengan pembilang dan penyebut yang relatif prima. Masalah-masalah ini membutuhkan koordinasi dari dua unit unit.

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini adalah penelitian kualitatif dengan jenis penelitian deskriptif yang bertujuan untuk  menganalisis  level  penalaran  reversibel  siswa  dalam  menyelesaikan masalah  pecahan. Teknik  pengumpulan  data  dalam  penelitian  ini  berupa  kata-kata  atau  kalimat  sehingga  hasil penelitian berupa data kualitatif. Hasil studi pendahuluan dan rekomendasi beberapa penelitian sebelumnya  mengungkapkan  bahwa  hanya  subjek  tertentu  yang  melakukan  penalaran reversibel.  Hal  tersebut  merupakan  kasus  yang  khusus,  sehingga  diperlukan  pendekatan kualitatif agar menghasilkan deskripsi yang kaya.  Peneliti menggunakan pendekatan kualitatif. Dimana  peneliti  secara  langsung  mengamati,  mengumpulkan  data  dari  berbagai  sumber termasuk  transkrip  wawancara,  catatan  lapangan,  kemudian  mereview  data  tersebut,  dan memberikan  makna.  Selanjutnya,  peneliti  melakukan  analisis  data  induktif  berdasarkan kategori-kategori  atau  level  penalaran  reversibel  dan  peneliti  berusaha  mengungkapkan gambaran yang menyeluruh ( holistic account ) terhadap masalah yang diteliti.
Subjek dari penelitian ini adalah siswa kelas 8 di SMP Negeri 1 Palopo. Dipilihnya siswa kelas 8 sebagai subjek : (1) mereka sudah memperoleh materi tentang Pecahan di SD; (2) untuk memudahkan  komunikasi  antara  peneliti  dengan  subjek  yang  di  teliti;  dan  (3)  untuk memaksimalkan tercapainya tujuan dari penelitian ini.
Peneliti  sebagai  instrumen  utama  yang  berperan  sebagai  perencana,  berhubungan langsung dengan subjek penelitian, melakukan pengumpulan data, melakukan pengolahan data, melakukan analisis data hasil penelitian, hingga penarikan kesimpulan dan melaporkan hasil penelitian.  Karena  penelitian  ini  mengungkapkan  proses  penalaran  reversibel  dalam menyelesaikan masalah, maka peneliti tidak melakukan intervensi selama siswa menyelesaikan tugas. Jawaban mahasiswa belum dapat mengungkapkan proses penalaran reversibel, sehingga diperlukan  data  think  alouds  selama  subjek  menyelesaikan  tugas.  Selain  itu,  wawancara diperlukan  untuk  mengklarifikasi  hal-hal  yang  tidak  tampak  ketika  subjek  menyelesaikan masalah dengan melakukan think alouds dan apabila terdapat ketidaksesuaian antara apa yang diungkapkan dengan apa yang dituliskannya. Oleh karena itu, peneliti membutuhkan instrumen pendukung, yakni lembar tugas dan lembar pedoman wawancara.

## Linear: Journal of Mathematics Education
Lembar tugas dimaksudkan untuk mendapatkan  data tentang penalaran reversibel siswa dalam  menyelesaikan  masalah  pecahan.  Lembar  tugas  merupakan  alat  utama  untuk mengungkapkan  level  penalaran  reversibel  siswa  pada  Pecahan.  Adapun  instrumen  yang digunakan terlihat dalam Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Instrumen Penelitian Tingkatan/Level Tugas Masalah Bentuk Matematika 𝑎𝑥 = 𝑏 Level 1 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan bulat Ada 15 kelereng dalam sebuah kotak. Jumlah kelereng dalam kotak adalah 3 kali dari jumlah kelereng yang dimiliki yisva. Berapa  banyak  kelereng  yang  dimiliki  Yisva?  Bagaimana model aljabar dari permasalahan tersebut? 3𝑥 = 15 Level 2 𝑎 adalah pecahan satuan dan 𝑏 adalah bilangan bulat Paul  mengambil  3 uang koin  dari  dalam sebuah kotak. Dia hanya mengambil 1 4 dari jumlah koin yang ada didalam kotak.
Berapa banyak uang koin yang ada dalam kotak? Bagaimana model aljabar dari permasalahan tersebut?
1 4 𝑥 = 3 Level 3 𝑎 adalah pecahan
bukan satuan, 𝑏 adalah  bilangan bulat Didalam  toples  terdapat  beberapa  permen  milk.  Kamu mengambil  6  permen  milk  dari  toples  tersebut.  6  permen milk itu adalah 2 3 dari jumlah permen milk yang ada didalam toples.  Berapakah  jumlah  permen  milk  yang  ada  didalam toples?  Bagaimana  model  aljabar  dari  permasalahan tersebut?
2 3 𝑥 = 6 Level 4 Hubungan pembagi
dan pembilang / 𝑎
dan 𝑏 adalah
pecahan satuan
Terdapat sebuah kue bolu. Yisva mendapatkan 1 5 potong kue. 1 5 potong  kue  tersebut  dia  bagikan  ke  Yota,  sehingga  Yota mendapatkan 1 15 potong  dari  kue  bolu  tersebut.berapa potongkah  kue  yang  Yisva  bagikan  ke  yota?  Bagaimana model aljabar dari permasalahan tersebut?
1
5 𝑥 = 1 15
Level 5 𝑎 disajikan sebagai bilangan campuran
Tempat  parkir  A  dapat  menampung  55  mobil.  Dan  dapat menampung 1 2 3 mobil  sebanyak  tempat  parkir  B.  Berapa banyak mobil yang dapat ditampung tempat parkir B?
1 2 3 𝑥 = 55
Level 6 Pembilang dari 𝑎 dan 𝑏 relatif
prima, b adalah bilangan bulat Terdapat  sebuah  bambu  yang  panjangnya  belum diketahui. Kamu  mengambil 2 3 dari  bambu  tersebut.  Panjang  bambu yang  kamu  ambil  setelah  diukur  adalah  7  cm.  Berapakah panjang  bambu  semula?  Bagaimana  model  aljabar  dari permasalahan tersebut?
2 3 𝑥 = 7 Level 7 Pembilang dari
𝑎 dan 𝑏 relatif prima, b adalah besaran pecahan
Sebuah  kantongan  yang  berisi  tepung  dengan  berat  yang belum diketahui. Jhon mendapatkan 3 4 dari tepung yang ada dikantongan  tersebut. Setelah ditimbang beratnya adalah 5 3 .
Berapakah  berat  tepung  semula?  Bagaimana  model  aljabar dari permasalahan tersebut?
3
4 𝑥 = 5 3
Wawancara  yang  dilakukan  untuk  memperjelas  atau  mengklarifikasi  hal  yang  tidak tampak  ketika  subjek  menyelesaikan  masalah  dengan  melakukan think  alouds ,  dan mengklarifikasi hal-hal unik (ekspresi) yang dilakukan subjek selama menyelesaikan masalah. Misalkan  mengklarifikasi  apa  yang  dipikirkan  subjek  ketika  mengidentifikasi  masalah
meskipun  tidak  dituliskan  dalam  lembar  jawaban.  Oleh  karena  itu,  peneliti  melakukan wawancara  yang  tidak  terstruktur  dan  menekankan  pada  ungkapan  yang  digunakan  subjek dalam menyelesaikan masalah, mengklarifikasi ide yang muncul saat menyelesaikan masalah (apabila terdapat ketidaksesuaian antara apa yang diungkapkan dengan apa yang dituliskannya), dan mengakses ide yang dilakukan subjek dalam menyelesaikan masalah.
Validasi lembar pedoman wawancara diarahkan pada kriteria penilaian butir wawancara memungkinkan  untuk  mengungkapkan  proses  penalaran  reversibel  subjek  dalam menyelesaikan  masalah,  pertanyaan  pada  saat  wawancara  dimaksud  untuk    mengungkapkan sampai  dimana  level  penalaran  reversibel  siswa  pada  pecahan  ,  butir  wawancara  bersifat terbuka,  dan  butir  wawancara  tidak  menimbulkan  penafsiran  ganda.  Berdasarkan  hasil  uji validasi, pedoman wawancara yang dikembangkan peneliti sudah dinyatakan baik.
Pengumpulan data dilakukan dengan memberikan tugas masalah pecahan berdasarkan level  penalaran  reversibel  kepada  siswa  (calon  subjek).  Dalam  proses  penyelesaian,  subjek mengungkapkan  secara  keras  apa  yang  sedang  dipikirkan  ( think  alouds ) . Peneliti  merekam ungkapan  verbal  subjek  dan  mencatat  perilaku  (ekspresi)  siswa,  termasuk  hal-hal unik  yang dilakukan siswa ketika menyelesaikan tugas tersebut. Ketika subjek sudah selesai mengerjakan tugas, dilanjutkan dengan menganalisa jawaban. Jika siswa menunjukkan indikasi melakukan penalaran  reversibel,  maka  dilanjutkan  menganalisa think  alouds ,  wawancara,  dan  catatan lapangan.  Hal  yang  sama  dilakukan  untuk  subjek  lainnya,  sampai  memperoleh  subjek  yang diharapkan.  Untuk  memperoleh  gambaran  prosedur  pengumpulan  data,  maka  dilakukan langkah-langkah berikut:
1. Peneliti  melakukan  komunikasi  dengan  calon  subjek  dan  membuat  kesepakatan  terkait dengan penelitian selanjutnya,
2. Peneliti menyiapkan ruangan yang tenang dan kondusif, menyiapkan alat rekam (audio dan video), meja, dan kursi untuk dilakukan penelitian,
3. Peneliti memberikan soal sederhana untuk menilai apakah calon subjek mampu melakukan think alouds dan memastikan bahwa penyampaiannya dapat terdengar dengan jelas,
4. Peneliti memberikan lembar tugas yang telah divalidasi dan calon subjek diberikan waktu untuk menyelesaikan tugas tersebut disertai dengan think alouds,
5. Peneliti merekam ungkapan verbal calon subjek melalui alat perekam (audio dan video), serta  mencatat  hal-hal  yang  dianggap  penting  atau  membuat  catatan  kaki  (catatan lapangan),
6. Peneliti memeriksa jawaban calon subjek,
7. Setelah  siswa  selesai  bekerja,  peneliti  melakukan  wawancara  dengan  mendalami  dan mengklarifikasi hal yang tidak tampak saat calon subjek melakukan think alouds ,
8. Memastikan calon subjek terindikasi menyelesaikan masalah dengan melibatkan penalaran reversibel,
9. Peneliti  mengubah  status  siswa  yang  sebelumnya  sebagai  calon  subjek  menjadi  subjek penelitian,
10. Subjek penelitian dikelompokkan berdasarkan kategori yang ditentukan peneliti, masing- masing  kategori  dianalisis  lebih  lanjut  berdasarkan  komponen  penalaran  reversibel  dan kerangka asimilasi dan akomodasi untuk menganalisis level penalaran reversibel siswa,
11. Peneliti  melakukan  triangulasi  untuk  menguji  keabsahan  data,  yakni  dengan membandngkan antara lembar jawaban, transkrip think alouds , dan transkrip wawancara.
Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan  model Miles & Huberman (Sugiyono, 2009). Tahapan-tahapan dalam melakukan analisis data adalah sebagai berikut:

## 1. Reduksi Data ( Data Reduction )
Reduksi data diartikan sebagai kegiatan memilih data dengan cara mengidentifikasi data yang dibutuhkan dan membuang data yang tidak diperlukan. Data yang diperlukan adalah data yang dapat menjawab pertanyaan penelitian terkait hal yang diteliti (Nikmaturrohmah, 2018). Banyaknya data yang diperoleh di lapangan perlu dicatat secara teliti dan rinci, sehingga data yang telah direduksi dapat memberikan gambaran yang jelas dan mempermudah peneliti untuk melakukan pengumpulan data selanjutnya.

## 2. Penyajian Data ( Data Display )
Langkah selanjutnya setelah mereduksi data adalah penyajian data. Penyajian data bisa dalam bentuk uraian singkat, bagan, hubungan antara kategori dan sejenisnya. Penyajian data pada  hasil  lembar  kerja  peserta  didik  disajikan  dalam  bentuk  uraian  kemudian  dianalisis berdasarkan level penalaran reversibel yang telah  didesain peneliti. Hasil dari penyajian data berupa hasil pekerjaan peserta didik yang dituangkan dalam lembar kerja, aktivitas dan hasil wawancara dilanjutkan dengan melakukan analisis sehingga mampu menarik kesimpulan yang dapat menjawab permasalahan dalam penelitian ini (Nurwana, 2019).
3. Kesimpulan ( Conclusion )
Langkah selanjutnya setelah melakukan penyajian data yaitu menarik kesimpulan. Data yang  disimpulkan  adalah  data  dari  hasil  reduksi  dan  penyajian  data  yang  telah  dilakukan.
Kesimpulan yang dianalisis dalam penelitian ini berupa level penalaran reversibel siswa dalam menyelesaikan masalah pecahan  (Nurwana, 2019).
Data dikatakan valid dalam penelitian kualitatif, jika hasil laporan sesuai  dengan fakta yang  terjadi  di  lapangan.  Penelitian  ini  menggunakan  teknik  triangulasi  untuk  memeriksa keabsahan data yang telah diperoleh. Nurwana (2019) triangulasi adalah teknik pemeriksaan data  untuk  keperluan  pengecekan  atau  sebagai  pembanding  terhadap  data-data  yang  sudah diperoleh. Terdapat tiga macam teknik triangulasi, yaitu triangulasi dengan sumber, triangulasi dengan metode, dan triangulasi dengan waktu. Triangulasi yang digunakan dalam penelitian ini adalah  triangulasi  metode.  Triangulasi  metode  dilakukan  dengan  cara  membandingkan  data hasil  lembar  kerja  peserta  didik  dengan  hasil  wawancara  subjek  penelitian,  serta  nantinya ditambah dengan hasil lembar observasi aktivitas peserta didik sebagai pelengkap dari penilaian atau analisa data agar lebih akurat. Tujuannya yaitu untuk menguji kredibilitas data penelitian agar ada jaminan tentang tingkat kepercayaan data.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bab  ini  memuat  deskripsi  tentang  level  penalaran  reversibel  siswa  dalam menyelesaikan masalah  pecahan  secara  kualitatif.  Penelitian ini  melibatkan  7  siswa  Sekolah Menengah Pertama di salah satu sekolah di Palopo yaitu SMP Negeri 1 Palopo. Setiap siswa diberikan  tugas  masalah  reversibel  pada  pecahan  dan  dikerjakan  secara  individu.  Siswa menyelesaikan tugas disertai dengan think aloud dan peneliti mencatat dan mengamati siswa dalam  mengerjakan  soal  serta  mencatat  hal-hal  yang  dianggap  penting.  Setelah  itu,  peneliti melakukan  wawancara  yang  bertujuan  untuk  mendapatkan  informasi  tambahan  yang  tidak terungkap pada saat think aloud .
Analisis  pelevelan  penalaran  reversibel  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  pecahan menggunakan 7 level penalaran reversibel pada pecahan yaitu level 1 (a dan b adalah bilangan bulat),  Level  2  ( a adalah  pecahan  satuan  dan b adalah  bilangan  bulat),  Level  3( a adalah pecahan bukan satuan, b adalah  bilangan bulat), Level 4(Hubungan pembagi dan pembilang / a dan b adalah  pecahan  satuan,  Level  5  ( a disajikan  sebagai  bilangan  campuran),  Level  6 (Pembilang dari a dan b relatif prima, b adalah bilangan bulat), dan  Level 7 (Pembilang dari a dan b relatif  prima,  b  adalah  besaran  pecahan).  Dalam  penelitian  ini,  subjek  ditentukan berdasarkan hasil tugas yang disertai dengan think aloud. Dari 7 siswa yang diberikan tugas, semua  siswa  terindikasi  dapat  menyelesaikan  masalah  reversibel  pada  pecahan.  Ditemukan sebanyak  4  siswa  mampu  menyelesaikan  masalah  sampai  level  1,  2  siswa  mampu
menyelesaikan masalah sampai level 6 dan 1 siswa yang mampu menyelesaikan hingga level 7.  Pemaparan  data  subjek  pada  level  1  dan  6  dipilih  berdasarkan  kelengkapan think  aloud , wawancara dan hasil kerja. Sehingga, pada penelitian ini S1 digunakan sebagai subjek kategori level 1, S2 sebagai subjek kategori level 6 dan S3 sebagai subjek kategori level 7.
Dari  hasil  penelitian  yang  dilakukan  ditemukan  S1,  S2  dan  S3  masing-masing menunjukkan    kategori  pelevelan  penalaran  reversibel  siswa  untuk  masalah  pecahan,  yaitu masing-masing terlihat pada Tabel 3.
Tabel 3 . Kategori Pelevelan Penalaran Reversibel
Subjek Level 1 2 3 4 5 6 7 S1        S2        S3       
Sumber: Data Hasil Penelitian
Subjek  pertama  (S1)  dikategorikan  pada  Level  1.  Hal  ini  disebabkan  karena  subjek pertama  hanya  dapat  mengerjakan  tugas  sampai  pada  Level  1.  Yang  dimana  tugas  Level  1 tersebut adalah soal reversibel dengan model aljabar/matematika 𝑎 𝑥 = 𝑏 yang dimana 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan bulat. S1 memahami soal dan dapat mengindentifikasi nilai 𝑎 dan 𝑏 dari soal tersebut.  S1  dapat  menyelesaikan  atau  memanipulasi  soal  persamaan  linear  tersebut menggunakan  sifat  kanselasi  terhadap  pembagian  dengan  tepat.  Kemudian  pada  Level selanjutnya  yaitu  Level  2  sampai  dengan  Level  7,    S1  tidak  mampu  menyelesaikan permasalahan tersebut yang dimana 𝑎 atau 𝑏 mengandung nilai pecahan satuan, bukan satuan ataupun  pecahan  campuran.  S1  tidak  dapat  mengidentifikasi  nilai 𝑎 dan  nilai 𝑏 dari  masalah yang  diberikan.  S1  juga  tidak  dapat  menyelesaikan  atau  memanipulasi  persamaan menggunakan  sifat  kanselasi  terhadap  pembagian  yang  terdapat  pada  jawab  dari  masalah tersebut. Kesalahan tersebut diatas merupakan kesalahan umum pada soal komputasional. Hal ini  pun  juga  sejalan  dengan  yang  diungkapkan  Hw  (2004)  bahwa  terdapat  4  poin  kesalahan siswa pada materi kalkulus yang dimana 2 poin tersebut merupakan kesalahan yang berkaitan dengan  masalah  reversibel  dan  pecahan,  yaitu:  (1)  Kesalahan  memindah  ruas,  dan  (2) Kesalahan memanipulasi bentuk-bentuk pecahan.
Subjek  kedua  (S2)  dikategorikan  sampai pada  Level  6.  Hal  ini  disebabkan  karena    S2 hanya dapat mengerjakan tugas yanng diberikan sampai pada Level 6. Tugas Level 1 sampai dengan Level 7 tersebut adalah soal reversibel dengan model aljabar/matematika 𝑎 𝑥 = 𝑏 yang dimana tugas  level  1  (a  dan  b adalah  bilangan  bulat),  Level  2  ( a adalah  pecahan  satuan  dan b adalah bilangan bulat), Level 3( a adalah pecahan bukan satuan, b adalah  bilangan bulat), Level  4(Hubungan  pembagi  dan  pembilang  / a dan b adalah  pecahan  satuan,  Level  5 ( a disajikan sebagai bilangan campuran), dan Level 6 (Pembilang dari a dan b relatif prima, b adalah bilangan bulat. S3 memahami soal dan dapat mengindentifikasi nilai 𝑎 dan 𝑏 dari tugas Level  1  sampai  dengan  Level  6  yang  diberikan  tersebut.  S2  juga  dapat  menyelesaikan  atau memanipulasi soal persamaan linear menggunakan sifat kanselasi terhadap pembagian tersebut dengan tepat. Berdasarkan hasil think aloud , wawancara dan hasil kerja, S3 tidak mengalami kendala sama sekali. S3 memahami tugas yang diberikan. Akan tetapi, S2 pada tugas Level 7 (Pembilang dari a dan b relatif prima, b adalah besaran pecahan) kesalahan dalam menentukan model  matematika  dari  tugas  yang  diberikan.  Hal  ini  juga  sejalan  dengan  teori  kesalahan Clements  (1980)  dalam  mengklarifikasikan  kesalahan  siswa  dalam  menyelesaikan  soal matematika,  yaitu Transformation  errors atau    kesalahan  transformasi  soal.  Siswa  mampu membaca pertanyaan dengan baik dan tahu apa yang ditanyakan dalam  soal tetapi tidak dapat mengubah soal ke dalam bentuk matematika  dengan tepat
Subjek ketiga (S3) dikategorikan sampai pada Level 7. Hal tersebut dikarenakan S3 dapat mengerjakan semua tugas yanng diberikan, mulai dari tugas Level 1 sampai dengan tugas Level 7.  Tugas  Level  1  sampai  dengan  Level  7  tersebut  adalah  soal  reversibel  dengan  model aljabar/matematika 𝑎 𝑥 = 𝑏 yang dimana tugas level 1 (a dan b adalah bilangan bulat), Level 2 ( a adalah pecahan satuan dan b adalah bilangan bulat), Level 3 ( a adalah pecahan bukan satuan, b adalah  bilangan bulat), Level 4 (Hubungan pembagi dan pembilang / a dan b adalah pecahan satuan, Level 5 ( a disajikan sebagai bilangan campuran), Level 6 (Pembilang dari a dan b relatif prima, b adalah bilangan bulat), dan  Level 7 (Pembilang dari a dan b relatif prima, b adalah besaran  pecahan).  S3  memahami  soal  dan  dapat  mengindentifikasi  nilai 𝑎 dan 𝑏 dari  semua tugas yang diberikan tersebut. S3 juga dapat menyelesaikan atau memanipulasi soal persamaan linear tersebut dengan tepat. Berdasarkan hasil think aloud , wawancara dan hasil kerja, S3 tidak mengalami kendala sama sekali. S3 memahami tugas yang diberikan.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan tentang analisis pelevelan penalaran reversibel  siswa  dalam menyelesaikan  masalah  pecahan,  maka  peneliti  dapat  menyimpulkan pelevelan penalaran reversibel siswa dalam menyelesaikan masalah pecahan sebagai berikut:
1. Berdasarkan hasil penelitian, Subjek Pertama atau Subjek kategori Level 1 menyelesaikan tugas  reversibel  hanya  pada  Level  1.  Subjek  tersebut  dapat  mengidentifikasi  nilai 𝑎 dan nilai 𝑏 dari model matematika 𝑎 𝑥 = 𝑏 dan dapat menyelesaikan persamaan linear biasa.
2. Berdasarkan hasil penelitian, Subjek Kedua atau Subjek kategori Level 6 menyelesaikan tugas reversibel sampai pada Level 6. Subjek tersebut mampu mengidentifikasi nilai 𝑎 dan nilai 𝑏 dari model matematika 𝑎𝑥 = 𝑏 dan dapat menyelesaikan persamaan linear dimana persamaan tersebut terdapat pecahan satuan, pecahan bukan satuan dan pecahan campuran.
3. Berdasarkan hasil penelitian, Subjek Ketiga atau Subjek kategori Level 7 menyelesaikan semua  tugas  reversibel  yang  diberikan.  Subjek  tersebut  mampu  mengidentifikasi  nilai 𝑎 dan nilai 𝑏 dari model matematika 𝑎 𝑥 = 𝑏 dan dapat menyelesaikan persamaan linear dimana persamaan tersebut terdapat pecahan satuan, pecahan bukan satuan dan pecahan campuran, besaran pecahan dan bilangan relatif prima.

## DAFTAR PUSTAKA
Adi,  H.  (1978).  Intellectual  development  and  reversibility  of  thought  in  equation  solving.
Journal for Research in Mathematics Education , 9, 204–213.
Aliah, A. (2020). Penerapan Model Pembelajaran Generatif dalam Meningkatkan Kemampuan Berpikir  Reflektif  Matematis  Siswa  Kelas  VII  SMP  Negeri  10  Palopo .  (Skripsi  tidak diterbitkan, Program Sarjana UNCP, 2020).
Behr, M.,  & Post, T. (1992). Teaching rational number and decimal concepts . In T. Post (Ed.), Teaching mathematics in grades K-8: Research-based methods (2nd  ed., pp. 201–248). Boston: Allyn & Bacon.
Bjuland, R. (2007). Adult Students' Reasoning in Geometry: Teaching Mathematics  through Collaborative  Problem  Solving  in  Teacher  Education. The Montana  Mathematics Enthusiast , ISSN 1551-3440, Vol. 4, No.1, 130.
Carpenter, T. P., & Moser, J. M. (1983). The acquisition of addition and subtraction concepts . In R. Lesh, & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts processes (pp. 7– 44). New York: Academic Press.
Citra, R. D. (2018.). Kemampuan  Penalaran  dan  Komunikasi Matematis: Apa, Mengapa, dan Bagaimana ditingkatkan pada Mahasiswa. Jurnal Euclid .
Destiwaty,  A.  W.  (2018). Penalaran  Reversibilitas  Siswa  dalam  Pemecahan  Masalah Matematika Ditinjau dari Gaya Kognitif dan Kemampuan Awal (Doctoral dissertation, Pascasarjana).
Fatimah, F. Y. N. (2018). Analisis Kesalahan Mengerjakan Soal Matematika Materi Pecahan Dengan Teori Newman. As-Sibyan , 1 (2), 17-31.
Hackenberg,  A.  J.  (2005). Construction  of  algebraic  reasoning  and  mathematical  caring relations . Georgia: The University of Georgia (Unpublished doctoral dissertation).
Hackenberg,  A.J.  (2010). Students’  reasoning  with  reversible  multiplicative  relationships . Cognition and Instruction, 28(4), 383–432.
Ikram, Muhammad, 2020. The Characterization of University Students’ Reversible Reasoning in Solving Graph Sketching Problems Involving Derivatives . Dissertation, Department of Mathematics  Education,  Faculty  of  Mathematics  and  Natural  Sciences,  Universitas Negeri Malang
Ikram, M. P. (2020). Exploring the Potential Role of Reversible Reasoning: Cognitive Research on Inverse Function Problems in Mathematics. Exploring the Potential Journal for the Education of Gifted Young Scientists .
Inhelder, B., & Piaget, J. (1958). The growth of logical thinking from childhood to adolescence (A. Parsons & S. Milgram, Trans., 5th ed.). New York: Basic Books.
Jhon  A.  Van  De  Walle  (2007). Sekolah  dasar  dan  menengah  matematika  pengembangan pengajaran (terjemahan) .
Krutetskii, V.  A. (1976). The psychology  of mathematical abilities in school children (J. Teller, Trans.). Chicago: The University of Chicago Press.
Lamon, S. J. (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norming . In G. Harel, & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learnin of mathematics (pp. 89–120). Albany: State University of New York Press.
Lamon, S. J. (2007). Rational  numbers  and proportional reasoning: Towards a theoretical framework  for  research .  In  F.  K.  Lester  (Ed.), Second  handbook  of  research    on mathematics  teaching  and  learning:  A  project  of  the  National  Council  of  Teachers  of Mathematics (pp. 629–667). Charlotte, NC: Information Age Publishing.
Lithner,  J. A. 2008. Research  Framework  for  Creative  and  Imitative  Reasoning. Education Study Mathematic.
Nikmaturrohmah,  D.  2018. Analisis  learning  trajectory  siswa  dalam  memecahkan  masalah matematika ditinjau dari gaya belajar . Diss. UIN Sunan Ampel Surabaya.
Nurwana,  S.  2019. Deskripsi  Kemampuan  Komunikasi  Matematis  Ditinjau  dari  Tingkat Kemampuan Matematika Siswa SMA Negeri 11 Makassar. Skripsi diterbitkan (online). Makassar: Universitas Negeri Makassar.
Olive,  J.,  &  Steffe,  L.  P.  (2002).  The  construction  of  an  iterative  fractional  scheme:
The  case  of  Joe. The  Journal  of  Mathematical  Behavior ,  20,  413–437.
Piaget,  J.  (1970). Genetic  epistemology (E.  Duckworth,  Trans.).  New  York:  Columbia University  Press.
Prasetia, A. S. (2020). Hypothetical Learning Trajectory Peserta Didik Kelas X SMA Negeri 2 Palopo pada Materi Trigonometri Melalui Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Group Investigation . (Skripsi tidak diterbitkan, Program Sarjana UNCP, 2020)
Ramful,  A., & Olive, J. (2008). Reversibility  of  thought:  An  instance  in  multiplicative tasks. Journal  of  Mathematical  Behavior ,  27,  138–151.
Ramful.  (2014).  Reversible    reasoning  in  fractional  situations:  Theorems-in-action  and constraints. The Journal of Mathematical Behavior .
Sari, E. N. R. (2019). Analisis Penalaran Siswa Kelas X MAN 3 Tullunggagung pada Materi Sistem  Permasaan  Linear  Tiga  Variabel  berdasarkan  Teori  Piaget  Tahun  Pelajaran 2018/2019 .
Sugiyono. 2009. Metode Penelitian Pendidikan: Pendekatan Kuantitatif, kualitatif, dan R&D. Bandung: Alfabeta.
Steffe, L. P. (1992). Schemes of action and operation involving composite units. Learning and Individual Differences , 4(3), 259–309.
Steffe,  L.  P.  (1994). Children’s  multiplying  schemes .  In  G.  Harel,  &  J.  Confrey  (Eds.), The development  of  multiplicative  reasoning  in  the  learning  of  mathematics (pp.  3–39). Albany: State University of New York Press.
Sihombing,  N.  (2018).  Meningkatkan  Kemampuan  Penalaran    Siswa  SMP  Melalui  Strategi Multi Representasi Klasikal dan Kelompok Kecil. Jurnal Padegogik , 1(2).
Simon, M. A. (2016). Categorizing and promoting reversibility of mathematical concepts. Educ Stud Math .
Simon,  M.  A.,  &  Tzur,  R.  (2004).  Explicating  the  role  of  mathematical  tasks  in  conceptual learning: An elaboration of the hypothetical learning trajectory. Mathematical Thinking and Learning , 6(2), 91–104.
Sumartini,  T.  S.  (2015).  Peningkatan  Kemampuan  Penalaran  Matematis  Siswa  Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah. Jurnal Pendidikan Matematika , 5(1), 1-.5
Tzur,  R.  (2004).  Teacher and  students’  joint  production  of  a  reversible  fraction  conception. Journal of Mathematical Behavior , 23(1), 93–114.
Waluyo, M., & Sari, C. K. (2017). Kesalahan penalaran dalam pembuktian masalah struktur aljabar. JIPMat , 2 (2).