J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 4, No. 2, November 2007, 21–32

## CATATAN TENTANG PERSAMAAN LYAPUNOV DAN PERSAMAAN ALJABAR RICCATI

## Subiono
Jurusan Matematika
FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember subiono2008@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Dalam paper ini dibahas dua bentuk persamaan yang hampir mi- rip yaitu persamaan Lyapunov dan persamaan aljabar Riccati. Se- lanjutnya diberikan beberapa catatan dari kedua persamaan tersebut yang masing-masing erat kaitannya dengan masalah kontrol optimal ”Linier Quadratic Regulator” (LQR) sistem linier loop-buka dan sis- tem linier loop-tutup.
Katakunci: LQR, sistem linier loop-buka, sistem linier loop-tutup.

## 1. Pendahuluan
Sebagaimana telah diketahui bila sistem terkontrol dan teramati dalam pendisainan suatu kompensator untuk masukantunggal-keluarantunggal penempatkan pole loop-tutup dapat dilakukan dimana saja sesuai yang dii- nginkan [1]. Walaupun pole loop-tutup menentukan kecepatan ( bandwidth ) dan damping dari respon hal ini belum cukup untuk memberikan hasil yang terbaik dari pendesainan, dengan kata lain belum memberikan suatu hasil yang optimal [3].
Beberapa alasan mengapa kajian kontrol optimal diperlukan diberikan sebagai berikut (lihat [4]). Pertama untuk mencari kontrol optimal da- lam suatu sistem banyakmasukan-banyakkeluaran, teknik penempatan pole yang telah dikenal tidak menguraikan secara lengkap dan khusus kontroler atau parameter kompensator ( gain ). Misalnya, diberikan plan dengan order- k dengan sebanyak m masukan dan keseluruhan vektor keadaan dapat diakses untuk umpan-balik. Dalam hal ini, suatu kontroler tak- dinamik sebanyak mk parameter harus ditentukan, tetapi hanya sebanyak k lokasi pole loop-tutup yang mungkin. Jadi harus diatur sebanyak m kali yaitu sesuai banyaknya parameter sebagai pole. Ada banyak takhingga cara supaya pole loop-tutup yang sama bisa dicapai. Timbul pertanyaan, cara apa yang terbaik? Algorithma apa yang bisa digunakan untuk menentukan gain umpan-balik? Tentu dalam pandangan praktis ketersediaan parame- ter yang digunakan sekecil mungkin dari yang dibutuhkan untuk mencapai lokasi pole loop-tutup yang diharapkan akan memberikan keuntungan yang besar. Tetapi ketiadaan algorithma yang diﬁnitif untuk menentukan suatu hukum kontrol tunggal adalah suatu kerugian bagi pendisainer sistem yang tidak mengetahui bagaimana menangani kesulitan ini. Dengan pemilihan suatu hukum kontrol untuk mengoptimalkan perilaku sistem kesulitan ini bisa diatasi.
Suatu alasan yang lebih meyakinkan untuk mencari kontroler optimal adalah pendisainer menyadari tidak mengetahui lokasi pole loop-tutup yang diharapkan. Pemilihan lokasi pole jauh dari titik asal memberikan res- pon dinamik sangat cepat tetapi membutuhkan signal kontrol sangat besar untuk menghasilkan sumber daya yang dibutuhkan. Penggunaan gain yang dapat menghasilkan signal tsb. dengan tiadanya pembatas dari daya yang digunakan dapat mengakibatkan signal kontrol melebihi batas pisik, misal- nya saja menimbulkan ”saturasi” [3]. Dalam kasus yang demikian, perilaku dinamik sistem loop-tutup tidak bisa diprediksi dengan analisa linier dan bahkan mungkin tak-stabil. Untuk membatasi hal ini sering perlu untuk membatasi kecepatan respon sehingga tujuan pendisainan tercapai tanpa terjadi saturasi. Alasan lain untuk membatasi kecepatan respon adalah suatu harapan untuk menghindari ”noise” yang secara khusus menyertai sistem gain-tinggi. Para insinyur yang mempunyai pengalaman luas yang diperolehnya dengan intuisi mengenai proses penempatan lokasi pole-tutup
yang tepat. Tetapi ia berhadapan dengan suatu proses yang tak-dikenalnya untuk mengontrol dan tidak cukupnya waktu untuk memperoleh keperluan mendalam, para insinyur akan menyadari suatu metode disain dikembang- kan yang bisa memberikan suatu pengetahuan disain awal. Teori optimisasi yang telah berkembang bisa menyelesaikan masalah ini [2].
Dalam suatu sistem kontrol industri biaya pembuatan suatu sistem kon- trol di buat sekecil mungkin dengan tetap mencapai suatu tujuan keuntung- an bagi sistem kontrol industri tersebut. Praktisnya faktor-faktor ekonomi mengkompromikan penyelesaian masalah pengontrolan agar dalam pembu- atannya secara wajar, murah dengan tetap memenuhi suatu kriteria terten- tu dari perilaku sistemnya.

## 2. Cara Hamiltonian
Pada bagian ini akan diberikan suatu penyelesaian kontrol optimal dengan menggunakan cara yang dinamakan Hamiltonian , pembahasan ini bisa di- dapat di [5]. Namum sebelum diuraikan cara tsb. terlebih dahulu diberikan suatu motifasi untuk memberikan gambaran mendatang yang lebih jelas tentang cara Hamiltonian tsb. Motifasi diberikan lewat suatu kajian yang berkenaan dengan energi kinetik dan energi potensial dari suatu massa yang bergerak karena suatu gaya.
Misalkan suatu massa m yang digantung dengan pegas secara vertikal (lihat Gambar 2). Massa pegas diabaikan sedangkan kostanta pegas adalah
Gambar 1: Sistem pegas
k . Bila x ( t ) adalah posisi massa pada keadaan setimbang saat t , maka
dengan menggunakan hukum Hooke, gaya diberikan oleh
F = − kx ( t ) i , (1)
dimana i adalah vektor satuan dengan arah kebawah. Karena
F = − ∂V ∂x i , (2)
dimana V menyatakan energi potensial, dari (1) dan (2) diperoleh
∂V ∂x = kx ( t ) atau V = 1 2 kx 2 ( t )
dalam hal ini konstanta sebarang diambil sama dengan nol. Energi kinetik dari massa adalah
T = 1 2 [ dx dt ] 2 = 1 2 m ˙ x 2 ( t ) .
Bila L = T − V = 1 2 m ˙ x 2 ( t ) − 1 2 kx 2 ( t ) dan integral
t 2 ∫ t 1 Ldt
mempunyai nilai minimum, haruslah dipenuhi
∂L ∂x − d dt ( ∂L ∂ ˙ x ) = 0
atau
m ¨ x ( t ) + kx ( t ) = 0 .
Hasil ini tentunya sesuai dengan bila digunakan Hukum-hukum Newton. Berikut ini diuraikan cara Hamiltonian untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal sebagai berikut, cari kontrol optimal u ∗ ( t ) yang memenuhi bentuk
˙ x ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t ) , t ) , x ( t ) ∈ R n , u ( t ) ∈ R p (3)
sepanjang lintasan x ∗ ( t ) sehingga nilai integral
J = h ( x ( t 1 ) , t 1 ) + t 1 ∫ t 0 g ( x ( t ) , u ( t ) , t ) dt (4)
minimum. Tulis h dalam bentuk integral berikut
h ( x ( t 1 ) , t 1 ) = t 1 ∫ t 0 d dt [ h ( x ( t ) , t )] dt + h ( x ( t 0 ) , t 0 ) .
Didapat
J ( u ) = t 1 ∫ t 0 ( g ( x ( t ) , u ( t ) , t ) + d dt [ h ( x ( t ) , t )] ) dt + h ( x ( t 0 ) , t 0 ) .
Karena h ( x ( t 0 ) , t 0 ) tetap (tidak mengandung u ( t )), maka permasalahan akan ekivalen dengan meminimumkan integral
J ( u ) = t 1 ∫ t 0 ( g ( x ( t ) , u ( t ) , t ) + d dt [ h ( x ( t ) , t )] ) dt. (5)
Dengan menggunakan aturan rantai diﬀerensial diperoleh
d dt [ h ( x ( t ) , t )] = [ ∂h ( x, t ) ∂x ] ′ ˙ x + ∂h ( x, t ) ∂t ,
dimana tanda ′ menyatakan suatu transpose. Dalam hal ini diperoleh
J ( u ) = t 1 ∫ t 0 ( g ( x ( t ) , u ( t ) , t ) + [ ∂h ( x, t ) ∂x ] ′ ˙ x + ∂h ( x, t ) ∂t ) dt (6)
Untuk mengakomodasi persamaan (3) dibentuk fungsional
g a ( x, ˙ x, u, λ, t ) = g ( x ( t ) , u ( t ) , t ) + λ ′ [ f ( x, u, t ) − ˙ x ] + [ ∂h ( x, t ) ∂x ] ′ ˙ x + ∂h ( x, t ) ∂t (7)
dimana λ = ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) adalah suatu pengali Langrange. Sekarang masalahnya menjadi meminimumkan
J a ( u ) = t 1 ∫ t 0 g a ( x, ˙ x, u, λ, t ) dt
Persamaan Euler-Langrange dalam x ∗ diberikan oleh
∂g a ∂x ∗ − d dt ∂g a ∂ ˙ x ∗ = 0 . (8)
Dari aturan rantai untuk turunan didapat
d dt [ ∂h ( x ∗ , t ) ∂x ∗ ] = [ ∂ 2 h ( x ∗ , t ) ∂x ∗ 2 ] ′ ˙ x ∗ + ∂ 2 h ( x ∗ , t ) ∂t∂x ∗ . (9)
Dari dua persamaan (8) dan (9) diperoleh persamaan
˙ λ ∗ = − ∂ ∂x [ g ( x ∗ , u ∗ , t ) + λ ∗′ f ( x ∗ , u ∗ , t ) ] . (10)
Sedangkan persamaan Euler-Langrange dalam u ∗ diberikan oleh
∂g a ∂u ∗ − d dt ∂g a ∂ ˙ u ∗ = 0 .
Dengan kenyataan ∂g a ∂ ˙ u ∗ = 0, maka diperoleh persamaan
∂g a ∂u ∗ = 0 atau ∂ ∂u ∗ [ g ( x ∗ , u ∗ , t ) + λ ∗′ f ( x ∗ , u ∗ , t ) ] = 0 . (11)
Bila didiﬁnisikan suatu Hamiltonian sebagai berikut
H ( x, u, λ, t ) = g ( x, u, t ) + λ ′ f ( x, u, t ) , (12)
maka dari persamaan (10), (11) dan (12) diperoleh
˙ λ = − ∂ ∂x [ H ( x, u, λ, t )] (13)
0 = ∂ ∂u [ H ( x, u, λ, t )] (14)
dan persamaan (3) menjadi
˙ x = ∂ ∂λ [ H ( x, u, λ, t )] (15)
Untuk menyelesaikan kontrol optimal menggunakan cara Hamiltonian, ha- rus diselesaikan persamaan (13) - (15) secara serentak. Cara yang mudah, pertama diselesaikan persamaan (14) sehingga diperoleh kontrol optimal u ∗
u ∗ = u ∗ ( x, λ, t )
selanjutnya substitusikan ke persamaan (12) diperoleh
H ∗ ( x, λ, t ) = H ( x, u ∗ ( x, λ, t ) , λ, t ) .
Dari persamaan yang paling akhir ini, selesaikan persamaan
{ ˙ x =
∂ ∂λ H ∗ ( x, λ, t ) ˙ λ = − ∂ ∂x H ∗ ( x, λ, t )
Berikut ini diberikan beberapa ringkasan apa yang telah dibahas me- ngenai cara menyelesaikan masalah kontrol optimal dengan menggunakan cara Hamiltonian sebagai berikut:
Cari u ∗ ( t ) yang memenuhi persamaan ˙ x ( t ) = f ( x, u, t ) dengan memini- mumkan indeks perilaku
J = h ( x ( t 1 ) , t 1 ) + t 1 ∫ t 0 g ( x, u, t ) dt.

## Langkah penyelesaian adalah
1. Bentuk Hamiltonian, yaitu H ( x, u, λ, t ) = g ( x, u, t ) + λ ′ f ( x, u, t ).
2. Selesaikan persamaan kontrol
∂ ∂u H ( x, u, λ, t ) = 0
untuk memperoleh u ∗ = u ∗ ( x, λ, t ).
3. Dapatkan Hamiltonian H ∗ ( x, λ, t ) = H ( x, u ∗ , λ, t ).
4. Selesaikan 2 n persamaan
{ ˙ x ( t ) = ∂ ∂λ H ∗ ( x, λ, t ) (persamaan keadaan) ˙ λ ( t ) = − ∂ ∂x H ∗ ( x, λ, t ) (persamaan ”ko − keadaan”)
dengan kondisi batas diberikan oleh keadaan awal dan keadaan akhir.
5. Substisusikan hasil-hasil langka 4 kedalam u ∗ untuk memperoleh kontrol optimal yang dicari.
Berikut ini diformulasikan masalah yang berkenaan dengan LQR yang di- bedakan dalam dua kasus yaitu kontrol loop-buka dan kontrol loop-tutup.

## 3. Kontrol Loop Buka
Diberikan suatu sistem berbentuk
˙ x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) , x ( t ) ∈ R n , u ( t ) ∈ R p , A ∈ R n × n , B ∈ R n × p , (16)
dengan keadaan awal dan keadaan akhir masing-masing diberikan oleh x ( t 0 ) = x 0 dan x ( t 1 ) = x 1 . Dapatkan u yang memenuhi (16) dengan syarat bentuk integral berikut
J = 1 2 t 1 ∫ t 0 u ′ ( t ) Ru ( t ) dt (17)
mempunyai nilai minimum, dimana R matriks simetri deﬁnit positip ber- ukuran p × p yang dipilih oleh pendisainer berdasarkan pada tujuan pe- ngontrolan. Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah LQR ini, dibentuk Hamiltonian yang diberikan sebagai berikut
H = 1 2 u ′ ( t ) Ru ( t ) + λ ′ ( t ) [ Ax ( t ) + Bu ( t )] .
Dari Hamiltonian ini diperoleh
˙ λ ( t ) = − ∂ H ∂x = − A ′ λ ( t ) ⇒ λ ( t ) = e A ′ ( t 1 − t ) λ ( t 1 ) 0 = ∂ H ∂u = Ru ( t ) + B ′ λ ( t ) ⇒ u ( t ) = − R − 1 B ′ e A ′ ( t 1 − t ) λ ( t 1 ) .
Persamaan (16) menjadi
˙ x ( t ) = Ax ( t ) − BR − 1 B ′ e A ′ ( t 1 − t ) λ ( t 1 )
dan penyelesaiannya adalah:
x ( t ) = e A ( t − t 0 ) x 0 − t ∫ t 0 [ e A ( t − τ ) BR − 1 B ′ e A ′ ( t 1 − τ ) λ ( t 1 ) ] dτ
Untuk menghitung λ ( t 1 ) didiﬁnisikan:
P ( t ) dif. = t ∫ t 0 [ e A ( t − τ ) BR − 1 B ′ e A ′ ( t − τ ) ] dτ
Dengan menggunakan aturan Leibnitz untuk integral diperoleh:
˙ P ( t ) = t ∫ t 0 d dt [ e A ( t − τ ) BR − 1 B ′ e A ′ ( t − τ ) ] dτ + e A ( t − t ) BR − 1 B ′ e A ′ ( t − t ) dt dt − e A ( t − t 0 ) BR − 1 B ′ e A ′ ( t − t 0 ) dt 0 dt = AP ( t ) + P ( t ) A ′ + BR − 1 B ′ .
Diperoleh persamaan diﬀerensial:
˙ P ( t ) = AP ( t ) + P ( t ) A ′ + BR − 1 B ′ (18)
yang memenuhi syarat awal P ( t 0 ) = 0. Persamaan (18) dinamakan persa- maan Lyapunov dan P ( t ) adalah matriks simetri. Dilain pihak dari syarat x ( t 1 ) = x 1 , diperoleh:
x 1 = e A ( t 1 − t 0 ) x 0 − t 1 ∫ t 0 [ e A ( t 1 − τ ) BR − 1 B ′ e A ′ ( t 1 − τ ) ] dτ λ ( t 1 ) = e A ( t 1 − t 0 ) x 0 − P ( t 1 ) λ ( t 1 ) .
Dari persamaan ini diperoleh:
λ ( t 1 ) = P − 1 ( t 1 ) [ e A ( t 1 − t 0 ) x 0 − x 1 ] .
Jadi kontrol optimal u ( t ) diberikan oleh:
u ( t ) = R − 1 B ′ e A ′ ( t 1 − t ) P − 1 ( t 1 ) [ x 1 − e A ( t 1 − t 0 ) x 0 ]
dengan menggunakan kesimetrian J min diberikan oleh:
J min = 1 2 [ x 1 − e A ( t 1 − t 0 ) x 0 ] ′ P − 1 ( t 1 ) [ x 1 − e A ( t 1 − t 0 ) x 0 ] .

## 4. Kontrol Loop-Tutup
Hasil-hasil kajian pada bagian ini akan sering digunakan pada kajian yang berikutnya dikarenakan bermanfaat untuk menyelesaikan masalah sistem li- nier yang berkaitan dengan kontrol umpan-balik. Hal ini beda dengan kon- trol loop-tutup yang dibahas pada bagian sebelumnya. Keuntungan dari
umpan balik diantaranya adalah mereduksi sensitiﬁtas, meregulasi sendiri, tegar terhadap gangguan dll.
Tinjau lagi sistem linier berbentuk
˙ x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) , x ( t ) ∈ R n , u ( t ) ∈ R p , A ∈ R n × n , B ∈ R n × p , (19)
dengan keadaan awal dan keadaan akhir masing-masing diberikan oleh x ( t 0 ) = x 0 dan x ( t 1 ) = x 1 . Dapatkan u ( t ) yang memenuhi (19) dengan syarat bentuk integral berikut
J = 1 2 t 1 ∫ t 0 [ x ′ ( t ) Qx ( t ) + u ′ ( t ) Ru ( t ) ] dt (20)
mempunyai nilai minimum, dimana Q matriks semi-deﬁnit positip beru- kuran n × n dan R matriks deﬁnit positip berukuran p × p . Selanjutnya untuk mempermudah hitungan, diasumsikan masing-masing matriks Q dan R adalah simetri. Hasil yang diperoleh akan tetap sama bila kedua matriks tsb. tidak simetri. Untuk menyelesaikan masalah LQR, dibentuk Hamilto- nian yang diberikan sebagai berikut
H = 1 2 x ′ ( t ) Qx ( t ) + 1 2 u ′ ( t ) Ru ( t ) + λ ′ ( t ) [ Ax ( t ) + Bu ( t )] .
Dari Hamiltonian ini diperoleh
˙ λ ( t ) = − ∂ H ∂x = − Qx ( t ) − A ′ λ ( t ) 0 = ∂ H ∂u = Ru ( t ) + B ′ λ ⇒ u ( t ) = − R − 1 B ′ λ ( t ) .
Diperoleh persamaan diﬀerensial
˙ x ( t ) = Ax ( t ) − BR − 1 B ′ λ ( t ) ˙ λ ( t ) = − Qx ( t ) − A ′ λ ( t )
dengan kondisi awal x ( t 0 ) = x 0 dan λ ( t 0 ) = 0. Misalkan λ ( t ) = P x ( t ), maka diperoleh
u ( t ) = − R − 1 B ′ P x ( t )
Matriks P adalah suatu matriks yang masih harus ditentukan, matriks ini memenuhi suatu persamaan sebagai mana ditunjukkan sebagai berikut
˙ λ ( t ) = P ˙ x ( t ) − Qx ( t ) − A ′ P x ( t ) = P Ax ( t ) − P BR − 1 B ′ P x ( t ) [ − Q − A ′ P ] x ( t ) = [ P A − P BR − 1 B ′ P ] x ( t ) .
Dari persamaan yang paling akhir berlaku untuk setiap x ( t ), oleh karena itu diperoleh
A ′ P + Q + P A − P BR − 1 B ′ P = 0 . (21)
Persamaan (21) dinamakan persamaan Riccati . Dari persamaan (21) ini,
P bisa ditentukan.
Berikut ini diturunkan suatu persamaan yang erat kaitannya dengan nilai J minimum, yaitu:
− d dt [ x ′ ( t ) P x ( t )] = − ˙ x ′ ( t ) P x − x ′ ( t ) P ˙ x ( t ) = − [ Ax ( t ) + Bu ( t )] ′ P x ( t ) − x ′ ( t ) P [ Ax ( t ) + Bu ( t )] = − x ′ ( t ) A ′ P x ( t ) − u ′ ( t ) B ′ P x ( t ) − x ′ ( t ) P Ax ( t ) − x ′ ( t ) P Bu ( t ) = − x ′ ( t )[ A ′ P + P A ] x ( t ) − u ′ ( t ) B ′ P x ( t ) − x ′ ( t ) P Bu ( t ) = − x ′ ( t )[ P BR − 1 B ′ P − Q ] x ( t ) − u ′ ( t ) B ′ P x ( t ) − x ′ ( t ) P Bu ( t ) = − x ′ ( t ) P BR − 1 B ′ P x + x ′ ( t ) Qx ( t ) − u ′ ( t ) B ′ P x ( t ) − x ′ ( t ) P Bu ( t ) = x ′ P Bu + x ′ Qx − u ′ B ′ P x − x ′ P Bu = x ′ Qx − u ′ B ′ P x = x ′ Qx + u ′ Ru.
Dengan kenyataan persamaan terakhir diatas, persamaan (21) menjadi
J = − 1 2 t 1 ∫ t 0 d dt [ x ′ ( t ) P x ( t ) ] dt = − 1 2 x ′ ( t ) P x ( t ) t 1 t 0 = − 1 2 x ′ ( t 1 ) P x ( t 1 ) + 1 2 x ′ ( t 0 ) P x ( t 0 )
Bila t 1 → ∞ dan sistem (20) stabil, maka nilai J minimum diberikan oleh
J min = 1 2 x ′ ( t 0 ) P x ( t 0 ) .

## Pustaka
[1] M. Gopal, ”Modern Control System Theory”, Wiley Eastern Limited , (1984).
[2] Leslie M. Hocking, ”Optimal Control An Introduction to the Theory with Applications”, Clarendon Press-Oxford , (1991).
[3] Frank L. Lewis, ”Applied Optimal Control and Estimation”, Prentice- Hall International, Inc. , (1992).
[4] Bernard Friedland, ”Control System Design An Introduction to State- Space Methods”, McGraw-Hill International Editions , (1987).
[5] M.R. Spiegel, ”Theory and Problems of Advanced Mathematics for Engineer and Scientists”, Schaumm’s Outline Series, McGraw-Hill In- ternational Book Company, Singapore , (1983).