Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 12 No. 2, Desember 2020, Hal. 49-62 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## KONSEP DASAR HIPERGRAF DAN SIFAT-SIFATNYA

## Faiq Fauziya Putri
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetauan Alam Universitas Jenderal Soedirman faiqfauziyap@gmail.com
Triyani
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetauan Alam Universitas Jenderal Soedirman

## Ari Wardayani
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetauan Alam Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This article discusses fundamental properties of hypergraphs. Hypergraphs are generalization of graph which hyperedges, edges in hypergraph, can join more than two  vertices.  The  fundamental  properties  in  this  article  are  the  vertices  degrees, connection  in  hypergraphs,  and  dual  hypergraph.  connectivity  in  hypergraphs  in  this article  are  walks,  trails,  strict  trails,  path,  and  cycles.  In  the  end  of  this  article,  we present a few examples of problems that can be represented by hypergraph.
Keywords: hypergraph, connectivity in hypergraph, dual hypergraph
ABSTRAK. Artikel  ini  membahas  mengenai  konsep  dasar  hipergraf  dan  sifat-sifatnya. Hipergraf merupakan generalisasi dari graf dimana hyperedge , istilah sisi pada hipergraf, dapat menghubungkan lebih dari dua titik. Sifat-sifat dasar yang disajikan pada artikel ini berkaitan  dengan  derajat  titik,  keterhubungan  dalam  hipergraf,  dan  dual  hipergraf  pada hipergraf  tak  berarah.  Keterhubungan  dalam  hipergraf  berupa  jalan, trail , strict  trail , lintasan,  dan cycle .  Pada  bagian  akhir  artikel,  disajikan  beberapa  contoh  permasalahan yang dapat direpresentasikan dengan hipergraf.
Kata kunci : hipergraf, keterhubungan dalam hipergraf, dual hipergraf

## 1. PENDAHULUAN
Graf  merupakan  suatu  model  matematika  yang  dapat  merepresentasikan objek-objek  diskrit  dan  hubungan  antarobjek  tersebut.  Objek-objek  diskrit digambarkan sebagai titik sedangkan hubungan antara dua objek direpresentasikan  oleh  sisi  yang  menghubungkan  dua  titik  tersebut.  Dalam permasalahan  riil,  tidak  hanya  dijumpai  permasalahan  mengenai  hubungan antarobjek melainkan terdapat pula hubungan antara kelompok dengan kelompok lain dalam suatu komunitas yang lebih kompleks. Oleh karena itu muncul konsep
hipergraf  sebagai  generalisasi  dari  graf.  Pada  graf,  sebuah  sisi  hanya menghubungkan  satu  atau  dua  titik,  sedangkan  sisi  pada  hipergraf  dapat menghubungkan  lebih  dari  dua  titik.  Bahmanian  dan  Sajna  (2015)  mengkaji tentang  konsep-konsep  dasar  konektivitas  pada  hipergraf  dipandang  dari konektivitas pada teori graf.
Representsi  suatu  masalah  yang  kompleks  dengan  hipergraf  lebih sederhana  dibanding  graf.  Elena  dan  Vladimir  (2001)  mengkaji  hipergraf  pada bidang  kimia  yaitu  untuk  memodelkan  stuktur  dari  molekul.  Meskipun  hipergraf termasuk  ilmu  yang  masih  baru,  hipergraf  mendapat  banyak  perhatian  karena kelebihannya  tersebut.  Oleh  karena  itu,  penulis  tertarik  untuk  mengkaji  konsep- konsep  dasar  dan  sifat-sifat  hipergraf  serta  beberapa  gambaran  permasalahan  riil yang dapat direpresentasikan melalui hipergraf.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Menurut  Bahmanian  dan  Sajna  (2015),  hipergraf
adalah pasangan  himpunan dimana  himpunan   1 2 , , , n V v v v  merupakan himpunan berhingga tak kosong dari titik , dan { } , , merupakan  himpunan hyperedge dengan merupakan  himpunan  bagian  dari . Himpunan titik dan himpunan hyperedge j uga dapat dituliskan sebagai dan
.  Hipergraf  dikatakan  sederhana  jika  tidak  ada hyperedge yang  termuat dalam hyperedge lainnya, tidak memuat loop , dan banyaknya anggota dari irisan setiap dua hyperdge yang berbeda maksimal satu.
Berikut  diberikan  definisi  derajat  titik  menurut  Bahmanian  dan  Sajna (2015) dan definisi ketetanggaan titik menurut Bretto (2013).

## Definisi 1 (Derajat Titik)
Derajat  dari  suatu  titik pada  hipergraf ,  dinotasikan , adalah banyaknya hyperedge sedemikian sehingga .

## Definisi 2 (Ketetanggaan titik)
Dua  titik  berbeda dikatakan  bertetangga  jika terdapat  suatu hyperedge sedemikian  sehingga . Jika  terdapat hyperedge
{ } , maka dikatakan bertetangga dengan dirinya sendiri.
Selanjutnya  akan  diberikan  definisi  insiden  pada  hipergraf.  Untuk mengetahui  istilah  insiden  dalam  hipergraf,  terlebih  dahulu  dikenalkan  dengan istilah flag .  Berikut  definisi flag dan  insiden  pada  hipergraf  menurut  Bahmanian dan Sajna (2015).
Definisi 3 ( Flag )
Flag dari hipergraf adalah setiap pasangan dengan dan sedemikian sehingga . Himpunan dari semua flag di H dinotasikan
.
Definisi 4 (Insiden)
Jika adalah  flag  maka  dapat  dikatakan  titik insiden  dengan  hyperedge .
Hipergraf  dapat  direpresentasikan  melalui  matriks  ketetanggaan  dan matriks  insiden.  Definisi  mengenai  matriks  ketetanggaan  dan  matriks  insiden menurut Bahmanian dan Sajna (2015) diberikan pada definisi berikut.

## Definisi 5 (Matriks Ketetanggaan)
Misal
adalah  suatu  hipergraf  sederhana  dengan   1 2 , , , n V v v v  . Matriks ketetanggaan dari H adalah matriks
berukuran dengan
entri
{

## Definisi 6 (Matriks Insiden)
Misal adalah  sebuah  hipergraf  dengan   1 2 , , , n V v v v  dan   1 2 , ,..., m E E E E  , .  Matriks  insiden  dari  H  adalah  matriks ( ) berukuran
dengan
{
2.1. Sifat-sifat Pada Hipergraf
Pada  hipergraf  terdapat lemma yang  analog  dengan lemma jabat  tangan pada graf. Lemma ini berhubungan dengan jumlah semua derajat titik, banyaknya flag dan jumlah semua bilangan kardinal hyperedge pada suatu hipergraf.

## Lema 1
Misal adalah  suatu  hipergraf  dengan
merupakan  himpunan semua flag di H, maka
∑ ∑

## Bukti :
Derajat  sebuah  titik  pada  hipergraf  didefinisikan  sebagai  banyaknya hyperedge yang  memuat  titik  tersebut.  Dengan  kata  lain,  derajat  sebuah  titik  adalah banyaknya hyperedge yang  insiden  dengan  titik  tersebut.  Sebuah  titik  dan hyperedge dikatakan  insiden  jika  pasangan  tersebut  merupakan flag .  Saat  semua derajat  titik  pada  suatu  hipergraf  dijumlahkan  artinya  sama  dengan  menghitung banyaknya flag pada sebuah hipergraf. Selain itu, ketika semua derajat titik pada suatu hipergraf dijumlahkan, setiap hyperedge akan dihitung sebanyak titik  yang dimuatnya. Oleh karena itu, jumlah semua derajat titik pada suatu hipergraf akan sama  dengan  jumlah  semua  bilangan  kardinal  dari hyperedge pada  hipergraf tersebut.
Dari Lema 1 diperoleh Akibat 2 berikut.

## Akibat 2
Banyaknya  titik  berderajat  ganjil  pada  sebuah  hipergraf  genap  jika  dan  hanya jika  banyaknya  hyperedge  yang  bilangan  kardinalnya  ganjil  pada  hipergraf tersebut berjumlah genap.
Sifat  selanjutnya  yang  akan  dibahas  berkaitan  dengan  konektivitas  dalam hipergraf.  Istilah  konektivitas  dalam  hipergraf  berupa  jalan, trail , strict  trail , lintasan, dan cycle (Bahmanian dan Sajna (2015)).

## Definisi 7 (Jalan)
Misal merupakan  suatu  hipergraf  dengan { } dan   1 2 , , , m E E E E  .  Misal merupakan  dua  titik  yang  berbeda  pada Untuk  bilangan  bulat ,    jalan  dengan  panjang dari  titik ke  titik
adalah  rangkaian  titik  dan  hyperedge 1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k v E v E v E v  yang  boleh berulang  dengan sedemikian  sehingga dan bertetangga melalui hyperedge untuk . Jika maka jalan
dikatakan  tertutup.  Selanjutnya,  titik-titik
jalan  tersebut  disebut anchor .

## Teorema 3
Misal merupakan sebuah hipergraf sederhana. Misal dan merupakan titik pada dan matriks ( ) merupakan matriks ketetanggaan dari . Entri pada matriks menunjukkan banyaknya jalan dengan panjang dari titik ke untuk
.

## Bukti :
Pembuktian  Teorema  3  menggunakan  induksi  matematika.  Misal  order  dari hipergraf sederhana adalah .
i. Untuk , diperoleh
. Entri
pada matriks ketetanggaan adalah
{
Entri menunjukkan  titik bertetangga  dengan .  Dengan  kata  lain, terdapat  sebuah hyperedge yang  menghubungkan dan secara  langsung.
Artinya, terdapat sebuah jalan dengan panjang satu dari ke . Entri menunjukkan  titik tidak  bertetangga  dengan atau  tidak  ada hyperedge yang  menghubungkan  secara  langsung  antara dan .  Hal  ini  berarti  tidak terdapat  jalan  dengan  panjang  satu  dari ke .  Dengan  demikian,  entri pada matriks ketetanggaan menyatakan banyaknya jalan dengan panjang satu dari titik ke .
ii. Misal, untuk , entri menyatakan banyaknya jalan dengan panjang dari ke . Akan ditunjukkan bahwa entri
menyatakan banyaknya
jalan  dengan  panjang dari ke .    Banyaknya  jalan  dari
ke
dengan  panjang sama  dengan  banyaknya  jalan  dari ke dengan panjang dimana adalah  titik  yang  bertetangga  dengan .  Artinya, banyaknya jalan berbeda dari ke dengan panjang adalah ∑
Entri bernilai 1 jika bertetangga dengan dan bernilai 0 jika tidak bertetangga dengan . Akibatnya, diperoleh
∑
Dapat  disimpulkan,  entri pada  matriks menunjukkan  banyaknya  jalan dengan panjang dari ke .
Berikut diberikan definisi trail, strict trail, lintasan, dan cycle .
Definisi 8 ( Trail, Strict Trail, Lintasan , dan Cycle)
Misal 1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k W v E v E v E v   adalah jalan.
1. Jika  anchor  flag   1 1 2 1 2 2 1 , ,( , ),( , ), ,( , ),( , ) k k k k v E v E v E v E v E  semuanya
berbeda, maka W disebut trail. Jika 1 1 k v v   maka trail dikatakan tertutup
2. Jika    hyperedges 1 2 , , , k E E E semuanya  berbeda,  maka  W disebut  strict trail. Jika 1 1 k v v   maka strict trail dikatakan tertutup.
3. Jika  titik 1 2 1 , , , k v v v  dan  hyperedges 1 2 , , , k E E E semuanya  berbeda, maka W disebut lintasan. Lintasan dengan 1 1 k v v   disebut cycle .

## Teorema 4
Diberikan sebuah hipergraf dengan { } dan   1 2 , , , m E E E E  . Misal 1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k W v E v E v E v   merupakan sebuah jalan pada hipergraf . Jika merupakan sebuah trail, maka tidak ada dua titik dan dua hyperedge berurutan pada yang sama (termasuk hyperedge pertama dan terakhir pada trail tertutup) .
Bukti :
Misal  sebuah  jalan
1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k
W v E v E v E v   merupakan trail . Artinya anchor flag   1 1 2 1 2 2 1 , ,( , ),( , ), ,( , ),( , ) k k k k v E v E v E v E v E  semuanya  berbeda.  Dari  semua anchor  flag tersebut  dapat  dilihat  bahwa  untuk ,  titik .
Dengan  kata  lain,  dua  titik  berurutan  pada pasti  tidak  sama.  Terbukti  bahwa pada trail tidak terdapat dua titik berurutan yang sama.
Analog  dengan  penjelasan  sebelumnya,  karena merupakan trail maka anchor  flag   1 1 2 1 2 2 1 , ,( , ),( , ), ,( , ),( , ) k k k k v E v E v E v E v E  semuanya  berbeda. Dengan kata lain, untuk , hyperedge atau dapat dikatakan
bahwa tidak terdapat dua hyperedge berurutan yang sama.
Selanjutnya,  akan  ditunjukkan hyperedge pertama  dan  terakhir  pada trail tertutup  tidak  sama.  Misal,
1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k W v E v E v E v   dengan merupakan trail tertutup. Artinya anchor flag   1 1 2 1 2 2 1 , ,( , ),( , ), ,( , ),( , ) k k k k v E v E v E v E v E  semuanya berbeda. Diketahui bahwa dan berbeda  dengan
.  Artinya, hyperedge .  Dengan  kata  lain, hyperedge pertama  dan  terakhir  pada trail tertutup berbeda.
Terbukti  bahwa  pada trail tidak  terdapat  dua  titik  dan  dua  hyperedge berurutan yang sama serta pada trail tertutup, hyperedge pertama dan terakhirnya berbeda.

## Teorema 5
Misal merupakan  sebuah  hipergraf  yang  tidak  memuat  loop  dengan { } dan   1 2 , , , m E E E E  .  Misal 1 1 2 2 1
, , , , , , , k k k W v E v E v E v  
merupakan sebuah jalan pada hipergraf . Jika merupakan strict trail, maka juga merupakan trail. Begitupun jika merupakan strict trail tertutup, maka juga merupakan trail tertutup.
Bukti :
Misal 1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k
W v E v E v E v   merupakan sebuah jalan pada hipergraf yang tidak  memuat loop .  Misal merupakan strict  trail ,  artinya hyperdge pada semuanya  berbeda  dan  tidak  terdapat  dua  titik  berurutan  yang  sama  karena tidak  memuat loop .  Dari  dua  hal  tersebut  diperoleh anchor  flag pada  jalan ,
  1 1 2 1 2 2 1 , ,( , ),( , ), ,( , ),( , ) k k k k v E v E v E v E v E  , semuanya berbeda. Oleh karena itu,
strict  trail juga  merupakan trail .  Terbukti  bahwa,  jika merupakan strict trail, maka juga merupakan trail .
Selanjutnya,  misal 1 1 2 2 1
, , , , , , ,
k k k
W v E v E v E v   merupakan strict  trail tertutup,  artinya
. Hyperdge pada strict  trail tertutup semuanya berbeda.  Selain  itu,  tidak  terdapat  dua  titik  berurutan  yang  sama  karena tidak
memuat loop . Diperoleh anchor flag   1 1 2 1 2 2 1 , ,( , ),( , ), ,( , ),( , ) k k k k v E v E v E v E v E 
semuanya berbeda. Terbukti bahwa jika merupakan strict trail tertutup, maka juga merupakan trail tertutup.

## Teorema 6
Diberikan sebuah hipergraf
dengan { } dan   1 2 , , , m E E E E  . Misal 1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k W v E v E v E v   merupakan sebuah jalan pada  hipergraf . Jika merupakan  lintasan,  maka merupakan  strict  trail dan  trail.  Sama  halnya  jika  jika merupakan  cycle,  maka merupakan  strict trail tertutup dan trail tertutup.
Bukti :
Misal sebuah jalan 1 1 2 2 1 , , , , , , , k k k W v E v E v E v   merupakan lintasan, yang berarti
1 2 1
, , , k v v v  dan 1 2 , , , k E E E semuanya berbeda. Lintasan merupakan strict trail karena hyperdge pada semuanya berbeda. Selanjutnya, karena semua titik
1 2 1 , , , k v v v  dan  semua hyperedge 1 2 , , , k E E E semuanya  berbeda,  maka anchor flag   1 1 2 1 2 2
1 , ,( , ),( , ), ,( , ),( , ) k k k k v E v E v E v E v E  juga semuanya berbeda.
Dengan  kata  lain,  lintasan juga  merupakan trail .  Terbukti  bahwa  jika merupakan sebuah lintasan, maka merupakan strict trail dan trail .
Analog dengan pembuktian sebuah lintasan merupakan strict trail dan trail , diperoleh bahwa setiap cycle merupakan strict trail tertutup dan trail tertutup.
Selanjutnya,  sifat  yang  akan  dibahas  adalah  sifat  pada  hipergraf  yang berkaitan dengan dual hipegraf. Istilah dual hipergraf berbeda dengan istilah dual graf.  Berikut  diberikan  definisi  dual  hipergraf  menurut  Bahmanian  dan  Sajna (2015)

## Definisi 9 (Dual Hipergraf)
Misal merupakan  suatu  hipergraf  tak  kosong  dengan himpunan { } dan { } , . Dual  hipergraf dari adalah dengan { } dan { } dimana { } , , untuk setiap . Teorema 7 Misal adalah suatu hipergraf tak kosong dengan { } dan { } , .  Dual  hipergraf  dari adalah
dengan { } dan { } dimana { } . Untuk suatu dan , berlaku ( )   | | .
Bukti :
Misal ,  yang  artinya  terdapat dengan { } . Derajat  titik adalah  banyaknya hyperedge sedemikian  sehingga . Hyperedge
merupakan himpunan hyperedge sedemikian sehingga
.  Dengan  kata  lain, | | menyatakan  banyaknya hyperedge sedemikian  sehingga .  Oleh  karena  itu,  diperoleh  bahwa  derajat titik sama  dengan  bilangan  kardinal  dari hyperedge .  Terbukti
bahwa ( )   | | .

## 2.2. Representasi Hipergraf dalam Masalah Riil
Graf  digunakan  di  beberapa  bidang  untuk  memodelkan  suatu permasalahan. Hipergraf juga dapat  merepresentasikan  permasalahan di  berbagai bidang.  Berikut  disajikan  beberapa  contoh  representasi  hipergraf  dalam  masalah riil.
Hipergraf  dapat  digunakan  untuk  merepresentasikan  interaksi  sosial. Individu  atau  kelompok  digambarkan  dengan  titik  sedangkan  hubungannya digambarkan  dengan hyperedge .  Misalnya,  titik  menggambarkan  mahasiswa Fakultas  MIPA  angkatan  2016  Universitas  Jenderal  Soedirman  dan hyperegde
menyatakan  himpunan  bagian  dari  mahasiswa  MIPA  angkatan  2016  yang mengikuti organisasi yang sama. Satu himpunan bagian untuk satu organisasi.
Berikut akan diberikan contoh representasi hipergraf dalam merepresentasikan mahasiswa  yang mengikuti  Unit Kegiatan Mahasiswa  (UKM) yang sama. Misal, terdapat 7 orang mahasiswa yaitu . Akan dilihat hubungan 7 mahasiswa tersebut berdasarkan keanggotaan dalam UKM seni dan  olahraga.  Misal,  terdapat  tiga  UKM  seni  dan  olahraga  yaitu  UKM  Olahraga (UOR),  UKM  Teater,  dan  UKM  Musik.  Keanggotaan  tersebut  dapat  dilihat  dari hipergraf berikut.
Gambar 1. Contoh representasi hipergraf
Misal, hipergraf pada Gambar 1 merupakan hipergraf dengan { } dan {                  } dengan masing-masing hyperedge pada adalah { } , { } , dan { } . Dari hyperedge tersebut, dapat terlihat bahwa dari  tujuh  mahasiswa,  yang  sama-sama  menjadi  anggota  UKM  Olahraga  adalah mahasiswa
, dan . Sedangkan yang menjadi anggota UKM Teater ada tiga  mahasiswa  yaitu dan
.  Terdapat  dua  mahasiswa  yang  menjadi anggota UKM  Musik  yaitu dan . Pada hipergraf , terdapat  titik terpencil . Artinya, mahasiswa tidak mengikuti ketiga UKM tersebut.
Pada  bidang  biologi,  hipergraf  dapat  digunakan  untuk  memodelkan hubungan  kompetisi  antarhewan.  Titik  menggambarkan  spesies  hewan  dan hyperedge menyatakan  himpunan  bagian  dari  spesies  yang  memiliki    mangsa yang sama. Satu himpunan bagian untuk satu mangsa.
Pada  bidang  kimia,  hipergraf  digunakan  untuk  memodelkan  struktur molekul.  Titik  pada  hipergraf  menyatakan  atom  pada  suatu  molekul  sedangkan hyperedge menyatakan ikatan kimia. Hyperedge dengan bilangan kardinal tepat 2 bersesuaian  dengan  ikatan  kovalen  sederhana  sedangkan hyperedge dengan bilagan  kardinal  lebih  dari  2  bersesuaian  dengan  ikatan  polisentrik. Elena  dan Vladimir  (2001)  mengkaji  representasi  hipergraf  dalam  memodelkan  struktur molekul  non-klasik  dengan  ikatan  polisentrik  terdelokalisasi  dan  sifat-sifatnya. Representasi  hipergraf  untuk  memodelkan  struktur  molekul  disebut molecular hipergraf.  Pada  penelitiannya,  representasi  hipergraf  dari allylic  complexe memperlihatkan bahwa derajat titik yang merepresentasikan atom metal dan atom karbon  bersesuaian  dengan  nilai  valensi  dari  atom  tersebut.  Berikut  diberikan gambar  molekul allylic  complex dengan  representasi  graf  dan  hipergrafnya  dari Elena dan Vladimir (2001).
Gambar 2. Representasi hipergraf di bidang kimia
Hipergraf dapat digunakan dalam Reconfigurable Interconnection Network (RIN). RIN adalah rancangan khusus untuk mencari solusi network routing . RIN terdiri  dari  terminal  dan  saklar  dimana  saklar  menghubungkan  dua  terminal. Costumized RIN  digunakan  untuk  mencari  solusi routing dengan  jumlah  saklar paling  sedikit.  Hongbing  dkk  (2008)  melakukan  penelitian  mengenai
interconnection  graph  problem (IGP)  untuk  menyelesaikan  pemodelan  RIN.
Konsep  IGP  adalah  mencari  sebuah  graf dari  hipergraf dengan  nilai minimun  sedemikian  sehingga  untuk  setiap hyperedge ,
subgraf dari yang dibangun oleh terhubung. Selanjutnya graf disebut graf interkoneksi. IGP ini dapat menyelesaikan pemodelan RIN untuk mencari jumlah saklar minimum. RIN dapat dimodelkan sebagai sebuah graf dengan merupakan  himpunan  titik  menyatakan  terminal  pada  RIN  dan merupakan himpunan  sisi  yang  menyatakan  saklar  pada  RIN  serta  sebuah  hipergraf dengan merupakan  himpunan hyperedge yang  menyatakan routing requirements .  Dengan  IGP,  jumlah  saklar  minimum  dari  model  RIN  diperoleh dari graf interkoneksi
dengan nilai paling sedikit.

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Hipergraf  merupakan  generalisasi  dari  graf  dimana  sisi  pada  hipergraf dapat  menghubungkan  lebih  dari  dua  titik.  Pada  hipergraf,  jumlah  semua  derajat titik  sama  dengan  banyaknya flag dan  jumlah  semua  bilangan  kardinal  dari hyperedge .  Akibatnya,  banyaknya  titik  berderajat  ganjil  pada  sebuah  hipergraf genap jika dan hanya jika banyaknya hyperedge yang bilangan kardinalnya ganjil pada hipergraf tersebut berjumlah genap.
Selanjutnya,  berikut  terdapat  sifat-sifat  hipergraf  berkaitan  dengan konektivitas pada hipergraf dan dual hipergraf.
1. Entri  pada  matriks  ketetanggan  pangkat dari  suatu  hipergraf  sederhana menunjukkan  banyaknya  jalan  dengan  panjang dari  semua  pasangan  titik hipergraf tersebut.
2. Trail pada sembarang hipergraf tidak mempunyai dua titik dan dua hyperedge berurutan  yang  sama,  termasuk hyperedge pertama  dan  terakhir  pada trail tertutup.
3. Pada  hipergraf  yang  tidak  memuat loop ,  setiap strict  trail merupakan trail tetapi tidak sebaliknya.
4. Setiap lintasan pada sembarang hipergraf pasti merupakan strict trail dan trail , tapi tidak sebaliknya.
5. Derajat  dari  sebuah  titik  pada  sebuah  hipergraf  akan  sama  dengan  bilangan kardinal  dari hyperedge yang  bersesuaian  dengan  titik  tersebut pada  dual hipergrafnya.
Peneliti  selanjutnya  dapat  mengkaji  tentang  teori  lainnya  pada  hipergraf seperti  subhipergraf, hipergraf reguler, isomorfisma pada hipergraf dan hipergraf berarah.  Selain  itu,  untuk  representasi  hipergraf  pada  struktur  molekul  dapat dipelajari  lebih  lanjut  mengenai  sifat-sifat molecular hipergraf  dikaitkan  dengan derajat, matriks insiden, dan matriks ketetanggaan.

## DAFTAR PUSTAKA
Bahmanian,  M.  A.  dan  Sajna,  M., Hypergraphs  :  Connection  and  Separation ,
Theory and Applications of Graphs, 2 (11) (2015), 1-24.
Bretto, A., Hypergraph Theory, An Introduction , Springer, Switzerland, 2013.
Fan, H., Hundt, C., Wu, Y. L., dan Ernst, J., Algorithms and Implementation for Interconnection  Graph  Problem ,  dalam  Yang  et  al.  (eds.), Proceeding  of International Conference on Combinatorial Optimization and Applications (COCOA) , St. John’s, NL, Canada August 21-24, 2008, 201-210. Konstantinova, E. V., & Skorobogatov, V. A., Application of Hypergraph Theory in Chemistry , Discrete Mathematics, 235 (1-3) (2001), 365–383.