## RANCANGAN D-OPTIMAL UNTUK MODEL EKSPONENSIAL GENERAL
Tatik Widiharih 1 , Sri Haryatmi 2 , Gunardi 3
1 Dosen Jurusan Statistika FSM UNDIP, widiharih@gmail.com
2 Dosen Jurusan Matematika UGM, s_kartiko@yahoo.com
3 Dosen Jurusan Matematika UGM, gunardi@ugm. ac.id

## Abstract
Exponential  model  is  widely  used  in  biology,  chemistry,  pharmacokinetics  and  microbiology.  D- optimal criteria is criteria with the purpuse to minimize the variance of  the estimator of parameters in the model. In this paper will discuss the D-optimal design for the generalized exponential model with  homoscedastics  errore assumtion. We used minimally supported design with the proportion of    each  design  point  is  uniform.  The  optimization  is  used    modified  Newton,  and  the  results obtained that the  design points are  interior points of the design region.
Keywords :  D-Optimal,  Generalized  Exponential,  Minimally  Supported  Design,  Support  Point, Homoscedastics

## 1. Pendahuluan
Sebelum  melakukan  pengamatan  terhadap  penelitian  diperlukan  rancangan  yang sesuai  untuk  menegaskan  tujuan  atau  kriteria  yang  diinginkan.  Masalah  utama  dalam perancangan  percobaan  adalah  bagaimana  menentukan  titik-titik  rancangan  yang  akan dicobakan  beserta  ulangannya  sehingga  memenuhi  criteria  yang  telah  ditetapkan. Penentuan  titik-titik  rancangan  bisa  dilakukan  bila  peneliti  telah  menetapkan  pola hubungan  antara  variabel  faktor  dan  variabel  respon,  serta  kriteria  keoptimalan  yang diinginkan.
Kriteria  rancangan D-optimal merupakan  kriteria  dengan  tujuan  meminimalkan variansi dari penduga parameter dalam model. Pada awalnya kriteria D-optimal digunakan untuk  model  regresi  linear.  Pada  kasus  error    bersifat  homoskedastik  telah  diteliti diantaranya oleh Atkinson et al . [1] , Fang [7] , Imhof et al . [10] .  Sedangkan untuk kasus error bersifat  heteroskedastik,  dengan  beberapa  kasus  fungsi  bobot  juga  telah  diteliti, diantaranya  Antille et  al . [2] ,  Fang [6] ,  Dette  and  Trampisch [4] dan  Widiharih  dkk. [13] menggunakan tiga macam fungsi bobot dan diaplikasikan pada regresi polynomial derajad tiga. Dari penelitian yang telah dilakukan tersebut baik untuk kasus homokedastik maupun heteroskedastik kriteria D-optimal dipenuhi bila banyaknya titik rancangan yang dicobakan sama  dengan  banyaknya  parameter  dalam  model  dengan  ulangan  (proporsi/bobot)  setiap titik rancangan sama. Model nonlinear dengan bentuk umum:
(1)
Penentukan  kriteria D-optimal dilakukan  dengan  cara  Persamaan  (1)  dilinearkan  terlebih dahulu.  Salah  satu  cara  yang  digunakan  adalah  ekspansi  deret  Taylor  sampai  dengan derajat satu. Hal ini dapat dilihat diantaranya pada Atkinson et al . [1] dan  Schwabe [12] . Model  regresi  nonlinear  yang  banyak  digunakan  diantaranya  model  regresi eksponensial.  Regresi  eksponensial  ini  dapat  diaplikasikan  pada  bidang  biologi,  kimia, pharmacokinetic  dan  mikrobiologi.  Han  and  Chaloner [9] menggunakan    model: yang diaplikasikan pada bidang pharmacokinetic.
Sedangkan  Dette et  al . [3] menggunakan  model  yang  merupakan  jumlahan  dari  bentuk
eksponensial:
, yang diaplikasikan pada bidang
biologi.  Dette  and  Pepelyshev  [5]  menggunakan  model  sigmoidal  untuk  empat  macam model  yaitu:  model  regresi  eksponensial  dengan  bentuk
,  model regresi  Weibull  dengan  bentuk ,    model  regresi  logistic  dengan  bentuk: ,  dan  model  regresi  Richards  dengan  bentuk .  Li [8]
menggunakan  model  regresi  Gompertz  dengan  bentuk  : yang diaplikasikan pada bidang biologi.
Model  eksponensial  tergeneral  dapat  diaplikasikan  pada  kurva  pertumbuhan khususnya  untuk  kasus  respon  dengan  pola  naik  mencapai  maksimum  kemudian  turun kembali dan pada titik tertentu relatif konstan  mendekati  nol. Model  ini digunakan untuk menggambarkan pola pertumbuhan gulma. Respon yang diamati adalah banyaknya gulma yang  mati  setelah  mendapat  perlakuan  tertentu  (penyemprotan  dengan  obat  dan  dosis tertentu).
Pada  makalah  ini  akan  dibahas  rancangan D-optimal untuk  model  eksponensial tergeneral berikut :
(2)
dengan merupakan variabel acak dengan rata-rata nol dan variansi konstan . Grafik
dari model (2) sangat spesifik dengan unimodal di titik .

## 2. Rancangan D-optimal Untuk Model Non Linear
Model  nonlinear  yang  digunakan  di  sini  seperti  pada  Persamaan  (1)  yaitu:
. Rancangan dengan  p  buah titik rancangan dinotasikan dengan:
(3)
dengan:
: banyaknya ulangan untuk titik rancangan
n : banyaknya pengamatan  dan
Matriks informasi dari rancangan (3) adalah:
(4)
merupakan  matriks simetri  berukuran kxk dengan k adalah  banyaknya parameter dalam model, dengan:
. Fungsi dispersi (variansi terstandar)
yang bersesuaian dengan  rancangan adalah:
(5)
Nilai    dari    variansi  terstandar    untuk    rancangan  D-optimal  antara  nol  sampai  dengan k ( k : banyaknya parameter dalam model) dan maksimum dari variansi terstandar terjadi pada titik-titik rancangan. Berikut definisi dari rancangan dengan kriteria D-optimal.
Definisi 1 . Atkinson et al . [1]
Kriteria  D-optimal  adalah  kriteria  yang  diperoleh  dengan  cara  meminimumkan dengan:
Berdasarkan  Definisi  1,  kriteria  D-optimal  diperoleh  dengan  cara  memaksimalkan .  Untuk  menunjukan  bahwa  rancangan seperti  pada  Persamaan  (3)  memenuhi kriteria D-optimal digunakan  Teorema  Equivalensi  Tergeneral  dari  Kiefer  and Wolfowitz [11] berikut:
Teorema 1 , Teorema Equivalensi Tergeneral, Tiga kondisi berikut adalah equivalen:
1. Rancangan memaksimalkan
2. Rancangan meminimumkan
3. , dengan k adalah banyaknya parameter dalam model.
Secara ringkas Teorema Equivalensi Tergeneral dapat dinyakan sebagai berikut:
Rancangan memaksimalkan (6)
Untuk menunjukkan bahwa rancangan seperti pada Persamaan (3) merupakan rancangan D-optimal dengan melakukan cheking bahwa terpenuhinya:

## 3. Rancangan D-optimal Untuk Model Eksponensial Tergeneral.
Model eksponensial tergeneral seperti pada Persamaan (2) sebagai berikut:
. Grafik  dari  model  eksponensial  tergeneral  untuk  beberapa  nilai seperti pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1 . Model Eksponensial Tergeneral  untuk Beberapa Nilai
Untuk  menentukan  rancangan  D-optimal  (menentukan  titik-titik  rancangan  dan proporsinya  sehingga  terpenuhi  kriteria  D-optimal)  dari  model  seperti  Persamaan  (2) dengan menggunakan Lemma berikut:

## Lemma 1 .
Titik-titik  rancangan  D-optimal  untuk  model  eksponensial  tergeneral  (2)  adalah dengan  proporsi  sama  yaitu  0.5  , diperoleh  dengan memaksimumkan :
(7)
dengan:
x Y- Da ta 10 8 6 4 2 0 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 Variable α=0.5 α=0.1 α=0.2 α=0.3 α=0.4
Bukti:
dengan:
.
,  karena digunakan rancangan minimal sehingga:
(8)
Matriks informasi yang sesuai dengan rancangan pada Persamaan (8) adalah:
dengan :
Determinan dari adalah : diperoleh:
, seperti pada Persamaan (7). dipilih sehingga maksimum. ▄
Perhitungan  secara  numeris  titik-titik  rancangan  D-optimal  model  (2)  untuk beberapa  harga dengan  menggunakan  metode  modifikasi  Newton  ( Modified Newton ) seperti pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1 . Titik Rancangan D-optimal Model (2) Untuk Beberapa Harga
Titik-titik  rancangan  pada  Tabel  1  memenuhi  kriteria  D-optimal  seperti  pada  Persamaan (6).  Sebagai  ilustrasi  ambil
dengan  titik  rancangan:
Matriks informasi , invers matriks informasi dan fungsi dispersi (variansi terstandar) yang sesuai dengan rancangan pada Persamaan (8) adalah:
x 1 x 2 0.1 1.5 0.319411 3.76107 0.2 1.5 0.159705 1.88053 0.3 1.5 0.106470 1.25369 0.4 1.5 0.079853 0.94027 0.5 1.5 0.063882 0.75221 0.1 1.4 0.167274 3.12904 0.1 1.3 0.060271 2.44791 0.1 1.2 0.008630 1.70848 0.1 1.1 0.000034 0.90188
Variansi terstandar maksimum dari titik-titik rancangan diperoleh dengan memaksimumkan  fungsi  dispersi
dengan  metode  modifikasi  Newton.  Titik maksimum  dari
di  ( ,  2.0000000037)  dan  (
,  2.0000000037).
Secara grafis fungsi variansi terstandar seperti pada Gambar 2 berikut:
Gambar 2 . Grafik untuk Model (2) dengan
Berdasarkan  Gambar  2,  terlihat  bahwa
sehingga  rancangan seperti  pada Persamaan  (8)  merupakan  rancangan  D-optimal  untuk  model  eksponensial  tergeneral seperti Persamaan (2). Hal ini karena berlaku Persamaan (8) yaitu: .

## 5.  Kesimpulan
Dalam  menentukan  rancangan  optimal  peran  peneliti  sangat  penting  terutama pengetahuan  ataupun  berdasarkan  percobaan  yang  telah  dilakukan  terdahulu  tentang  pola hubungan  antara  variabel  faktor  dan  variabel  respon  yang  akan  dibangun.  Pada  model nonlinear  diperlukan  informasi  awal  tentang  nilai  parameter  dalam  model.  Masalah rancangan  D-optimal  selanjutnya  merupakan  masalah  optimasi  yaitu  memaksimumkan determinan  matriks  informasi.  Rancangan  D-optimal  pada  model  eksponensial  ini, berdasarkan  fungsi determinan  pada Persamaan (7), titik-titik rancangan  merupakan titik- titik interior dari daerah rancangan.

## DAFTAR PUSTAKA
1.  Atkinson, A.C., Donev, A.N. and Tobias,R.D., Optimum Experimental Designs, with SAS, OXFORD University Press, 2007.
2.   Antille, G et all., A Note On Optimal Designs In Weighted Polynomial Regression For The  Classical  Efficiency    Functions .  Journal  of  Statistical  Planning  and    Inference , 2003, 113 :285-292.
3.   Dette, H., Melas, V.B. and Wong, W.K., Locally D-optimal Designs for Exponential Regression Models, Statistica Sinica , 2006: 16 , 789-803.
4.   Dette,  H  and  Trampisch  M.,  A  General  Approach  To  D-Optimal  Designs  For Weighted  Univariate  Polynomial  Regression  Models. Journal  of  The  Korean Statistical    Society , 2010, 39 : 1-26.
5.   Dette,  H  and  Pepelyshev,  A.,  Efficient  Experimental  Designs  for  Sigmoidal  Growth Models. Journal of Statistical Planning and  Inference , 2008, 138 : 2-17.
6.   Fang,  Z.,  D-optimal  Designs  for  Weighted  Polynomial  Regression. Statistics  & Probability Letters , 2003, 63 : 205-213.
7.   Fang, Z., D-optimal designs for polynomial regression model through origin, Statistics & Probability Letters , 2002, 57 : 343-351.
8.   Gang  Li.,  Optimal  and  Eficient  Designs  for  Gompertz  Regression  Models. Ann  Inst Stat Math, DOI 10.1007/s10463-011-03040-y
9.   Han,C.  and  Chaloner,  K.,  D-and  C-optimal  Designs  for  Exponential  Regression Models  Used  in  Viral  Dynamics  and  other  Applications, Journal  of  Statistical Planning and Inference , 2003, 115 : 585-601.
10.  Imhof,  L  et  all  (2002),  D-Optimal  Exact  Designs  For  Parameter  Estimation  In  A Quadratic Model. Sankhya: The   Indian Journal  of Statistics , 2002, Vol 62 , series B, Pt.2: 266-275.
11.   Kiefer, J., and Wolfowitz, J., The Equivalence of Two Extremum Problems, Can. Jnl. Math, 1960, Vol. 12: 363-366.
12.  Swhabe, R., Optimal Design  for Linear and Nonlinear Models, A Short  Course. Otto von Guerike University Magdeburg, July, 21-25, 2008 .
13.  Widiharih, T.,Haryatmi,S dan Gunardi, D-optimal Designs Untuk Regresi Polinomial Terboboti, IndoMS Journal on Statistics , 2013, Vol.1, No. 1.