SYARAT PERLU DAN CUKUP ELEMEN NORMAL PADA RING DENGAN ELEMEN SATUAN

## Titi Udjiani SRRM
Dept. of Mathematics, Universitas Diponegoro , Semarang, Indonesia Email : udjianititi@lecturer.undip.ac.id
Abstract. In a ring with involution, it is possible to collect elements that are commutative with elements obtained from the results of the involution operation on itself. Such elements are called normal elements. On other hand,  rings with  involution  have elements that have Moore Penrose inverse. Elements that have  Moore Penrose inverse are not always normal. This paper discusses the necessary and sufficient conditions for elements that have  Moore Penrose inverse  is normal. The method used is  determine  set of elements that have  Moore Penrose inverse. Then take  normal elements  and determine sufficient conditions. Investigate whether the sufficient condition is a necessary condition. If yes, we obtain the necessary and sufficient condition. If not, determine else sufficient conditions for can be added to obtain the necessary and sufficient conditions.

## Keywords: Ring, Normal, Moore, Penrose.

## I. PENDAHULUAN
Struktur aljabar ring yang dibahas pada tulisan ini adalah ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan involusi.    Involusi pada ring menurut  [1],[2],[3],[4],[5],[6]  merupakan fungsi pada ring yang didefinisikan sebagai berikut.    Jika 𝑅𝑅 adalah ring dengan elemen satuan dan 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 . Suatu operasi involusi  " ∗ " pada  ring 𝑅𝑅 adalah fungsi ∗ : 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 ↦ ∗ ( 𝑎𝑎 ) = 𝑎𝑎 ∗ ∈ 𝑅𝑅 yang memenuhi ( 𝑎𝑎 ∗ ) ∗ = 𝑎𝑎 ( 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ) ∗ = 𝑎𝑎 ∗ + 𝑏𝑏 ∗ ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 ) ∗ = 𝑏𝑏 ∗ 𝑎𝑎 ∗ untuk setiap  element 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 di 𝑅𝑅 . Selanjutnya simbol 𝑅𝑅 untuk ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan involusi. Menurut  [7],[8],[9],[10],[11]    jika 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 dan memiliki sifat 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ , maka 𝑎𝑎 dikatakan normal. Himpunan semua elemen normal di 𝑅𝑅 disimbolkan dengan 𝑅𝑅 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 . Para peneliti [12], [13],[14], [15],  [16] mendefinisikan invers Moore Penrose elemen 𝑎𝑎 suatu ring 𝑅𝑅 dengan involusi " ∗ " adalah elemen 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 yang memenuhi: 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 , ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 ) ∗ = ab , ( 𝑏𝑏𝑎𝑎 ) ∗ = ba . Elemen b yang memenuhi persamaan (1)  disebut  invers  Moore  Penrose  dari a dan disimbolkan dengan 𝑎𝑎 + . Himpunan elemen di 𝑅𝑅 yang mempunyai invers  Moore  Penrose disimbolkan dengan 𝑅𝑅 + .  Sifat sifat utama dari 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + oleh D. Mosic, dkk  [10]  diberikan sebagai berikut :
1. 𝑎𝑎 ∗ ∈ 𝑅𝑅 + , dengan ( 𝑎𝑎 ∗ ) + =   ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 2. 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ 3. 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + , dengan ( 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ) + = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 4. 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ ∈ 𝑅𝑅 + , dengan ( 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ ) + =  ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 +
Diberikan fenomena pada 𝑀𝑀 2𝑥𝑥2 ( ℝ ) yaitu himpunan matriks berukuran 2X2 atas bilangan riil ℝ dengan involusi transpose " 𝑇𝑇 " .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.16363
Diperoleh bahwa matriks � 1 0 0 2 � dan � 1 1 0 0 � mempunyai invers Moore Penrose. Dengan
� 1 0 0 2 � + = � 1 0 0 1 2 � dan � 1 1 0 0 � + = � 1 2 0 1
2 0 � . Akan tetapi yang membedakan dari kedua contoh diatas adalah � 1 0 0 2 � normal, sementara � 1 1 0 0 � tidak. � 1 0 0 2 � � 1 0 0 2 � 𝑇𝑇 = � 1 0 0 2 � 𝑇𝑇 � 1 0 0 2 � dan � 1 1 0 0 � � 1 1 0 0 � 𝑇𝑇 ≠ � 1 1 0 0 � 𝑇𝑇 � 1 1 0 0 � . Tulisan ini membahas syarat perlu dan cukup elemen pada ring 𝑅𝑅 adalah elemen normal yang dibatasi hanya pada elemen di 𝑅𝑅 yang mempunyai invers Moore Penrose.

## II. PEMBAHASAN
Pada bagian pendahuluan sudah dijelaskan  bahwa jika 𝑎𝑎 memiliki invers Moore Penrose, maka 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ juga demikian. Selanjutnya diperoleh bahwa jika 𝑎𝑎 normal, maka 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ normal. 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ( 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ) ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 ∗ ) ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 ∗ ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 = ( 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 . 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ ) ∗ = 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 ∗ ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ = ( 𝑎𝑎 ∗ ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ = ( 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ ) ∗ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ . Hasil ini menjelaskan bahwa jika 𝑎𝑎 memiliki invers Moore Penrose dan normal, demikian juga 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ . Selanjutnya diambil 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + , dengan 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑎𝑎 . Diperoleh 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎 ( 𝑎𝑎 + ) 2 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ( 𝑎𝑎 + ) 2 = 𝑥𝑥𝑎𝑎 + Hal ini memberikan arti bahwa jika 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + , maka 𝑎𝑎 + komutatif dengan elemen yang komutatif dengan 𝑎𝑎 . Sudah dijelaskan sebelumnya bahwa jika 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + maka 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ anggota 𝑅𝑅 + , sehingga dapat disimpulkan ( 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ) + komutatif dengan elemen yang komutatif dengan 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 . Demikian juga ( 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ ) + komutatif  dengan  elemen  yang  komutatif  dengan 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ . Oleh karena jika 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 , maka 𝑎𝑎 komutatif dengan 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ . Sehingga untuk 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + jika 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 , maka
𝑎𝑎 ( 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ) + = ( 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ) + 𝑎𝑎 dan
𝑎𝑎 ( 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ ) + = ( 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ ) + 𝑎𝑎
Seperti sudah disampaikan sebelumnya, bahwa jika 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + , maka belum tentu 𝑎𝑎 normal. D. Mosic dkk [10] menjelaskan syarat cukup 𝑎𝑎 normal.
Lema  1. Diketahui 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + . Jika 𝑎𝑎 normal maka 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + .
Bukti : 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ) ∗ ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 ∗ ) + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 ∗ ) + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 ∗ ) + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 + ) ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 ∗ ) + = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 +
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.16363
Pernyataan pada Lema 1 tidak berlaku  sebaliknya.  Sebagai contoh pada 𝐴𝐴 = � 1 1 0 0 � ∈ 𝑀𝑀 2𝑥𝑥2 ( ℝ ) dengan involusi transpose " 𝑇𝑇 " , diperoleh bahwa 𝐴𝐴 + = � 1 2 0 1 2 0 � dan 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 𝑇𝑇 = � 1 2 0 1 2 0 � = 𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐴𝐴 + . Sedangkan 𝐴𝐴 tidak normal, sebab 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑇𝑇 ≠ 𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐴𝐴 . Selanjutnya diperoleh 𝐴𝐴 = � 1 1 1 1 � ∈ 𝑀𝑀 2𝑥𝑥2 ( ℝ ) dengan involusi transpose " 𝑇𝑇 " , diperoleh bahwa 𝐴𝐴 + = � 1 4 1 4 1 4 1 4 � dengan sifat 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 𝑇𝑇 = � 1 2 1 2 1 2 1 2 � = 𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐴𝐴 + , 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 = � 1 2 1 2 1 2 1 2 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + dan 𝐴𝐴 normal.
Menggunakan hasil yang sudah diperoleh, [7] menjelaskan syarat cukup elemen di 𝑅𝑅 + adalah normal.
Lema 2. Diketahui 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + . Jika 𝑎𝑎 normal maka 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + .
Bukti : 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ) ∗ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎𝑎𝑎 +
Menggunakan Lema 1 dan 2 , D. Mosic dkk [10] dan Y.Qu dkk [11] memperoleh Teorema 1 berikut.s
Teorema  1. Diketahui 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + . Elemen 𝑎𝑎 normal jika dan hanya jika 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + dan 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + .
Bukti : Jika 𝑎𝑎 normal, maka dengan menggunakan Lemma 1 dan 2 diperoleh 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + dan 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + . Sebalikanya menggunakan Teorema 1 diperoleh 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 . Terbukti 𝑎𝑎 normal.
Y.Qu dkk [11] pada Lema 3 berikut ini menjelaskan syarat 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + jika 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 +
Lema 3 . Diketahui 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + . Jika 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ = ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 + maka 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + .
Bukti : 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎
+ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = ( 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ) ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎
+ ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎
+ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ) ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 +
Pernyataan pada Lemma 3 tidak berlaku  sebaliknya. Dapat ditunjukkan  pada 𝐴𝐴 = � 1 1 0 0 � ∈ 𝑀𝑀 2𝑥𝑥2 ( ℝ ) dengan involusi transpose " 𝑇𝑇 " , diperoleh 𝐴𝐴 + = � 1 2 0 1 2 0 � dan 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 𝑇𝑇 = � 1 2 0 1 2 0 � =
𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐴𝐴 + . Akan tetapi 𝐴𝐴 + ( 𝐴𝐴 + ) 𝑇𝑇 = � 1 4 1 4 1 4 1 4 � dan ( 𝐴𝐴 + ) 𝑇𝑇 𝐴𝐴 + = � 1 2 0 0 0 � .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.16363

## III. KESIMPULAN
Pada Lema 3, baru diperoleh syarat perlu  dari 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ = ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 + untuk 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + , dan perlu dibangun syarat cukupya. Dengan memperoleh syarat perlu dan cukup 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + ) ∗ = ( 𝑎𝑎 + ) ∗ 𝑎𝑎 + untuk 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + , akan dapat dibangun syarat perlu dan cukup 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 + adalah normal, dengan melibatkan Teorema 1.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] J.  J.  Koliha,  D.  Djordjević,  and  D.  Cvetković,  “Moore -Penrose inverse in rings with involution,” Linear Algebra Appl. , vol. 426, no. 2–3, pp. 371–381, 2007, doi: 10.1016/j.laa.2007.05.012.
[2] D.  Mosić  and  D.  S.  Djordjević,  “Some  results  on  the  reverse  order  law  in  rings  with involution,” Aequationes Math. , vol. 83, no. 3, pp. 271–282, 2012, doi: 10.1007/s00010-012- 0125-2.
[3] S.  R.  R.  M.  Titi  Udjiani,  Harjito,  Suryoto,  and  N.  Prima  P,  “Generali zed Moore Penrose Inverse of Normal Elements in a Ring with Involution,” IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Eng. , vol. 300, no. 1, pp. 1–5, 2018, doi: 10.1088/1757-899X/300/1/012074.
[4] S. Xu and J. Chen, “The moore -penrose inverse in rings with involution,” Filomat , vol. 33, no. 18, pp. 5791–5802, 2019, doi: 10.2298/FIL1918791X.
[5] R. Zhao, H. Yao, and J. Wei, “Moore -Penrose inverses in rings and weighted partial isometries in  C*−algebras,” Appl. Math. Comput. , vol. 395, no. 2020, p. 125832, 2021, doi: 10.1016/j.amc.2020.125832.
[6] P. S. Reddy and K. Benebere, “Involution on Rings,” SSRN Electron. J. , no. March, 2019, doi: 10.2139/ssrn.3390376.
[7] O. M. Baksalary and G. Trenkler, “Characterizations of EP, normal, and Hermitian matrices,” Linear Multilinear Algebr. , vol. 56, no. 3, pp. 299–304, 2008, doi: 10.1080/03081080600872616.
[8] W. Chen, “On EP elements, normal elements and partial isometries in rings with involution,” Electron. J. Linear Algebr. , vol. 23, no. 174007, pp. 553–561, 2012, doi: 10.13001/1081- 3810.1540.
[9] D. S. Djordjević, “Characterizations of normal, hyponormal and EP operators,” J. Math. Anal. Appl. , vol. 329, no. 2, pp. 1181–1190, 2007, doi: 10.1016/j.jmaa.2006.07.008.
[10] D. Mosić and D. S. Djordjević, “Moore -Penrose-invertible normal and Hermitian elements in rings,” Linear Algebra Appl. , vol. 431, no. 5–7, pp. 732–745, 2009, doi: 10.1016/j.laa.2009.03.023.
[11] Y. Qu, J. Wei, and H. Yao, “Characterizations of normal elements in rings with involution,” Acta Math. Hungarica , vol. 156, no. 2, pp. 459–464, 2018, doi: 10.1007/s10474-018-0874-z.
[12] A. Ben- Israel, “The Moore of the Moore -Penrose inverse,” Electron. J. Linear Algebr. , vol. 9, no. August, pp. 150–157, 2002, doi: 10.13001/1081-3810.1083.
[13] E. Boasso, “Moore - Penrose inverse and doubly commuting elements in $C^*$ -algebras,” pp. 35–44, 2013, [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1309.6911
[14] D. Mosić and D. S. Djordjević, “Weighted partial isometries and weighted - EP elements in C ∗ - algebras,” Appl. Math. Comput. , vol. 265, no. 174007, pp. 17–30, 2015, doi: 10.1016/j.amc.2015.04.102.
[15] D.  Mosić,  C.  Deng,  and  H.  Ma,  “On  a  weighted  core  inverse  in  a  ring  with  involution,” Commun. Algebr. , vol. 46, no. 6, pp. 2332–2345, 2018, doi: 10.1080/00927872.2017.1378895.
[16] T. Udjiani and Suryoto, “Commutative symmetric element in a ring with involution,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1943, no. 1, pp. 1–4, 2021, doi: 10.1088/1742-6596/1943/1/012116.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.16363