## MODEL PREDATOR- PREY DENGAN DUA PREDATOR

## Danar Agus Nugroho dan Rina Reorita
Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman Email : vorker_portrait23@yahoo.com reo.rina@yahoo.com
ABSTRACT. This  paper discussed  about the  predator-prey  model  with  two  predators. This  model  is  a  development  of  the  model  given  by  Korobeinikov  and  Wake  (1999). Dynamic  behavior  of  the  model  can  be  determined  based  on    the  stability  of  the equilibrium point. The stability of the equilibrium point of predator-prey model with two predators  on  the  general  ecosystem  shows  that  there  is  no  coexistence  state  (grown  in tandem) on both predators and for a long time one of the predators will lead to the local extinction even though there is no competition between the two predators. Furthermore, this model is applied to the brown plant hopper predator, mirid prey and tomcat  prey. The result shows that the population of brown planthopper and both of the predators will oscillate  towards  a  particular  value  with  a  shorter  span  of  time.  In  the  long  term,  the number of brown planthopper and mirid  will be heading to the equilibrium point, while the tomcat will lead to local extinction.
Keywords : predation,  predator-prey  model  with two  predators,  stability  of  equilibrium points.
ABSTRAK . Pada  makalah  ini  dibahas  mengenai  model  predator-prey  dengan  dua predator.  Model  ini  merupakan  pengembangan  dari  model  yang  diberikan  oleh Korobeinikov  dan  Wake  (1999). Perilaku  dinamik  model  dapat  diketahui  dengan menentukan  kestabilan  titik  kesetimbangan.  Kestabilan  titik  kesetimbangan  model predator-prey  dengan  dua  predator  pada  ekosistem  secara    umum  tidak  menunjukkan terjadinya  keadaan  koeksistensi  (tumbuh  secara  beriringan)  pada  kedua  predator  dan untuk jangka waktu yang lama salah satu predator akan mengarah pada kepunahan lokal meskipun  tidak  ada  kompetisi  di  antara  kedua  predator.  Selanjutnya,  model  ini diaplikasikan pada predator wereng batang coklat, dan prey kepik mirid serta kumbang tomcat. Hasilnya menunjukkan bahwa jumlah populasi wereng batang coklat dan kedua predator  tersebut  akan  berosilasi  menuju  nilai  tertentu  dengan  rentang  waktu  yang semakin singkat. Dalam jangka waktu yang lama, jumlah wereng batang coklat dan kepik mirid  akan  menuju  ke  nilai  tertentu,  sedangkan  kumbang  tomcat  akan  mengarah  pada kepunahan lokal.
Kata  kunci : predasi,  model  predator-prey  dengan  dua  predator,  kestabilan  titik kesetimbangan.
JMP : Volume 5 Nomor 1, Juni 2013, hal. 43 - 51

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu bentuk interaksi yang terjadi di dalam ekosistem adalah predasi, yaitu  hubungan  antara  predator  (pemangsa)  dan prey (mangsa)  (Campbell  dan Reece,  2004) . Hubungan  antara  predator  dan prey dapat  dimodelkan  secara matematis  menjadi  model  predator -prey. Menurut  Edwards  dan  Penney  (2008), model predator -prey yang paling sederhana adalah model  Lotka-Volterra  dengan asumsi  pertumbuhan prey mengikuti  pertumbuhan  Malthus.  Akan  tetapi,  model tersebut  memiliki kelemahan karena pada model pertumbuhan Malthus,  populasi tumbuh  secara  tidak  terbatas  seiring  dengan  pertambahan  waktu.  Pada kenyataannya, suatu populasi tidak dapat bertambah secara terus menerus karena adanya  faktor-faktor  penghambat  pertumbuhan  populasi  seperti  ruang  hidup, makanan,  maupun  lingkungan.  Berdasarkan  hal  tersebut,  model  Lotka-Volterra kemudian  dimodifikasi  dengan  mengasumsikan  pertumbuhan prey mengikuti pertumbuhan logistik.
Model  Lotka-Volterra  hanya  melibatkan  satu  predator  dan  satu prey saja sedangkan  pada  beberapa  ekosistem  terdapat  predasi  yang  melibatkan  dua predator  dengan prey yang  sama.  Contoh  predasi  semacam  ini  adalah  wereng batang  coklat  ( Nilaparvata  lugens Stal.)  yang  dimangsa  oleh  predator  alaminya, seperti  kepik  mirid  ( Cyrtorhinus  lividipennis Reuter.)  dan  kumbang  tomcat ( Paederus  fuscifes Curt.)  (Laba,  2001).  Model  Lotka-Volterra  dapat dikembangkan  untuk  memodelkan  interaksi  antara  dua  predator  dan  satu prey . Korobeinikov  dan  Wake  (1999),  telah  menurunkan  model  dua  predator  dan  satu prey ke dalam sistem persamaan diferensial. Dengan menganalisa kestabilan pada titik kesetimbangan, dapat diketahui bahwa tidak ada koeksistensi kedua predator pada ekosistem. Koeksistensi kedua predator terjadi pada kasus patologis saja.
Artikel  ini  mengkaji  model  yang  merupakan  pengembangan  model  yang ditulis  oleh  Korobeinikov  dan  Wake  (1999).    Model  dua  predator  dan  satu prey yang  dibahas  oleh  Korobeinikov  dan  Wake  (1999)  menggunakan  asumsi pertumbuhan prey mengikuti  pertumbuhan  Malthus.  Sementara  itu,  model  yang dibahas  dalam  artikel  ini  menggunakan  asumsi  pertumbuhan prey mengikuti pertumbuhan  logistik  agar  lebih  realistis.  Selanjutnya,  model  diaplikasikan  pada
44                                                                                                                  Nugroho dan Reorita
prey wereng  batang  coklat  dengan  predator  kepik  mirid  dan  kumbang  tomcat. Simulasi dilakukan secara numerik dengan metode Runge-Kutta.

## 2. MODEL PREDATOR- PREY DENGAN DUA PREDATOR
Pada bagian ini akan dikaji tentang penurunan model predator- prey dengan dua  predator.  Variabel-variabel  dan  parameter  yang  akan  digunakan  untuk menurunkan model  predator- prey dengan dua predator  dituliskan  dalam  Tabel  1.
Sementara  itu,  asumsi  yang  digunakan  untuk  menurunkan  model  tersebut  adalah sebagai berikut:
1. populasi predator dan populasi prey bersifat tertutup, artinya tidak ada predator dan prey yang melakukan migrasi,
2. apabila  tidak  ada  interaksi  antara  predator  dan prey maka  pertumbuhan prey mengikuti model logistik dan penurunan predator mengikuti model Malthus,
3. tidak terjadi interaksi antara predator yang satu dengan lainnya,
4. antara predator yang satu dengan lainnya tidak saling berkompetisi.
Tabel 1. Daftar variabel dan parameter yang digunakan Simbol Definisi Jenis Syarat Satuan   N t Jumlah prey pada saat t Variabel   0 N t  ekor   P t Jumlah predator pertama pada saat t
Variabel   0 P t  ekor   Q t
Jumlah predator kedua pada saat t
Variabel   0 Q t  ekor t Waktu Variabel 0 t  satuan waktu r Tingkat pertumbuhan intrinsik prey Parameter 0 1 r  < per satuan waktu K Daya dukung lingkungan Parameter 0 K > ekor  Tingkat interaksi predator pertama terhadap prey Parameter 0 1   < per ekor satuan waktu  Tingkat interaksi predator kedua terhadap prey Parameter 0 1   < per ekor satuan waktu
 Tingkat interaksi prey terhadap predator pertama Parameter 0 1   <
per ekor satuan waktu
 Tingkat interaksi prey terhadap predator kedua
Parameter 0 1   < per ekor satuan waktu c Tingkat kematian predator pertama Parameter 0 1 c  < per satuan waktu e Tingkat kematian predator kedua Parameter 0 1 e  < per satuan waktu
Model Predator- Prey dengan dua Prediktor                                                                          45
Berdasarkan  asumsi,  variabel,  dan  parameter  yang  telah  disebutkan, diperoleh model predator- prey dengan dua predator, yaitu
1 . dN N rN
PN QN dt K dP cP NP dt dQ eQ NQ dt                    

## 3. SOLUSI  MODEL  PREDATOR- PREY DENGAN  DUA  PREDATOR  DI SEKITAR TITIK KESETIMBANGAN
Model  predator- prey dengan  dua  predator  merupakan  sebuah  sistem persamaan  diferensial  non  linier.  Sistem  tersebut  dapat  diselesaikan  secara kualitatif, yaitu dengan cara melihat perilaku sistem di sekitar titik kesetimbangan. Dengan  menggunakan  metode nullcline, diperoleh  titik  kesetimbangan  model predator- prey dengan  dua  predator,  yaitu:   1 0, 0, 0 TE  ,   2 ,0,0 TE K  , 3 1 , , 0 c rc TE r K                  , 4
1 , 0, , e re TE r K                  * * 5 1 , , , c rc TE r Q Q K                    * * 6 1 , , , e re TE r Q Q K                    * * 7 1 , , , c rc TE P r P K                    dan * * 8 1 , , . e re TE P r P K                    Dalam
hal ini, P * dan Q * merupakan jumlah populasi predator pertama dan kedua pada keadaan setimbang. Menurut Korobeinikov dan Wake (1999), titik kesetimbangan model  predator- prey dengan  dua  predator  dibagi  menjadi  dua  kasus,  yaitu  kasus umum dan kasus patologis. Titik kesetimbangan model predator- prey dengan dua predator  pada  kasus  umum  ada  empat,  yaitu:   1 0, 0, 0 TE  ,   2 ,0,0 TE K  ,
3 1 , , 0 c rc TE r K                  , 4 1 , 0, , e re TE r K    
             sedangkan titik
kesetimbangan  pada  kasus  patologis  adalah * * 5 1 , , , c rc TE r Q Q K                   
(1)
46                                                                                                                  Nugroho dan Reorita
* *
6 1 , , , e re TE r Q Q K                    * * 7 1 , , , c rc TE P r P K                    dan
*
* 8 1 , , . e re TE P r P K                    Titik  kesetimbangan  model  predator- prey
dengan dua predator pada kasus umum terjadi di  beberapa ekosistem, sedangkan untuk kasus patologis dapat terjadi pada interaksi antara dua virus penyakit yang menginfeksi  satu  inang.  Pada  penelitian  ini  hanya  akan  dibahas  titik kesetimbangan model predator- prey dengan dua predator pada kasus umum.
Penyelesaian  kualitatif  sistem  (1)  dilakukan  dengan  cara  melihat  perilaku sistem  di  sekitar  titik  kesetimbangan.  Berdasarkan  analisis  kestabilan  titik kesetimbangan pada kasus  umum, 3 1 , , 0 c rc TE r K                  akan bersifat  stabil
asimtotis  jika c e   < dan 4 1 , 0, e re TE r K    
             akan  bersifat  stabil  asimtotis
jika . c e   > Hal  ini  berakibat,  tidak  terjadinya  keadaan  koeksistensi  (tumbuh secara beriringan) pada  kedua predator dan  untuk jangka waktu  yang lama salah satu predator akan mengarah pada kepunahan lokal meskipun tidak ada kompetisi di antara keduanya.

## 4. APLIKASI MODEL PREDATOR- PREY DENGAN DUA PREDATOR
Model  predator- prey dengan dua predator ini  diaplikasikan pada ekosistem sawah dengan wereng batang coklat sebagai prey, sedangkan kepik mirid sebagai predator  pertama  dan  kumbang  tomcat  sebagai  predator  kedua.  Berikut merupakan  nilai-nilai  parameter  dan  nilai  awal  yang  digunakan  dalam  simulasi model:
a. tingkat  pertumbuhan  intrinsik  wereng  batang  coklat  adalah  0,103  (Effendi, 2011),
b. daya  dukung  lingkungan  ( Carrying  capacity ),  yaitu  600  ekor  per  rumpun (BPTP, 2010),
Model Predator- Prey dengan dua Prediktor                                                                          47
c. tingkat  interaksi  predator  pertama  terhadap prey sebesar  0,136666667  (Laba, 2001),
d. tingkat interaksi prey terhadap predator pertama, yaitu 0,11 (Laba, 2001),
e. peluang kematian alami kepik mirid adalah 83% (Laba, 2001),
f. tingkat  interaksi  predator  kedua  terhadap prey sebesar  0,163333333  (Laba, 2001),
g. tingkat interaksi prey terhadap predator kedua, yaitu 0,06 (Laba, 2001),
h. peluang kematian alami kumbang tomcat adalah 51,90% (Laba, 2001),
i. jumlah populasi awal wereng batang coklat adalah 30 ekor per rumpun,
j. jumlah populasi awal kepik mirid adalah 30 ekor per rumpun,
k. jumlah populasi awal kumbang tomcat adalah 30 ekor per rumpun.
Berdasarkan nilai-nilai parameter tersebut, diperoleh model predator- prey dengan dua  predator  untuk  wereng  batang  coklat  dengan  predator  kepik  mirid  dan kumbang tomcat, yaitu
0,103 1 0,136666667 0,163333333 600 0,83 0,11 0, 519 0, 06 . dN N N PN QN
dt
dP P NP dt dQ Q NQ dt                
Dengan  demikian,  berdasarkan  definisi  titik  kesetimbangan  maka  diperoleh  titik kesetimbangan 1 TE (0;0;0), 2 TE (600;0;0), 3 TE (7,545;0,744;0),  dan 4 TE
(8,650;0;0,622)  dari  sistem  (2).  Pada  kasus  ini,  simulasi  model  hanya  dilakukan pada 3 4 dan TE TE .  Berdasarkan  analisis  perilaku  sistem  (2)  di  sekitar
3 4 dan TE TE ,  diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan 3 TE (7,545;0,744;0)  bersifat stabil asimtotis dan 4 TE (8,650;0;0,622) bersifat tidak stabil.
Berdasarkan  grafik  hasil  simulasi  pada  Gambar  1a  dapat  diketahui  bahwa adanya kenaikan jumlah kedua predator menyebabkan penurunan jumlah wereng batang  coklat  yang  drastis  sampai  batas  tertentu;  dan  karena  hanya  terdapat  satu jenis prey, yaitu  wereng  batang  coklat  yang  jumlahnya  terus  menurun  maka jumlah  kedua  predator  tersebut  juga  turun  menuju  suatu  nilai.  Pada  Gambar  1b
(2)
48                                                                                                                  Nugroho dan Reorita
terlihat  bahwa  pada  suatu  waktu  jumlah  wereng  batang  coklat  mengalami kenaikan  yang  cukup  tinggi  sehingga  jumlah  kepik  mirid  juga  akan  mengalami kenaikan  hingga  batas  tertentu.  Kenaikan  jumlah  kepik  mirid  ini  mengakibatkan jumlah  wereng  batang  coklat  kembali  mengalami  penurunan.  Adanya  penurunan jumlah  wereng  batang  coklat  ini  mengakibatkan  jumlah  kepik  mirid  kembali mengalami  penurunan  hingga  batas  tertentu.  Keadaan  ini  akan  terus  berulang hingga  jangka  waktu  yang  lama  sehingga  jumlah  populasi  wereng  batang  coklat dan kepik mirid akan menuju ke suatu nilai tertentu, sedangkan populasi kumbang tomcat akan mengarah pada kepunahan lokal.
Gambar 1. Perilaku wereng batang coklat dan kedua predator pada sistem (2)
Keterangan Gambar 1:
: Grafik jumlah wereng batang coklat ( N ) terhadap waktu ( t ).
: Grafik jumlah kepik mirid ( P ) terhadap waktu ( t ).
: Grafik jumlah kumbang tomcat ( Q ) terhadap waktu ( t ).
Berdasarkan  analisa  kestabilan  di  sekitar  titik  kesetimbangan, 3 TE
(7,545;0,744;0) bersifat stabil asimtotis. Hal ini berarti, untuk jangka waktu yang lama jumlah wereng batang coklat akan menuju 8 ekor per rumpun, jumlah kepik
a. Perilaku wereng batang coklat dan kedua predator untuk waktu singkat
b. Perilaku wereng batang coklat dan kedua predator untuk jangka waktu lama
Model Predator- Prey dengan dua Prediktor                                                                          49
mirid  akan  menuju  1  ekor  per  rumpun  dan  populasi  kumbang  tomcat  akan mengarah pada kepunahan lokal.

## 5. KESIMPULAN DAN SARAN

## 5.1  Kesimpulan
Model  predator- prey dengan  dua  predator  yang  menggunakan  asumsi bahwa prey tumbuh  secara  logistik  terlihat  lebih  realistis  jika  dibandingkan dengan asumsi pertumbuhan prey mengikuti model Malthus. Meskipun demikian, berdasarkan titik kesetimbangan yang diperoleh pada model dengan kedua asumsi tersebut,  sistem  pada  kasus  umum  menunjukkan  perilaku  yang  sama  yaitu  tidak terjadinya koeksistensi kedua predator. Dengan kata lain, salah satu predator akan mengalami  kepunahan  lokal  untuk  jangka  waktu  yang  lama.  Sementara  itu, koeksistensi kedua predator hanya terjadi pada kasus patologis.

## 5.2  Saran
Penelitian  lanjut  dapat  dilakukan  pada  model  predator- prey dengan  dua predator yang saling berkompetisi dan berinteraksi satu dengan lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
BPTP  Sulawesi  Selatan.  (2010) Antisipasi  Serangan  Hama  Wereng  Batang Coklat dan OPT lainnya .http://www.sulsel.litbang.deptan.go.id, diakses pada 17 September 2012.
Campbell,  N.  A.  dan  Reece,  J.  B.(2004) Biology  Fifth  Edition, Pearson Education, Inc., United State.
Edwards,  C.  H.  dan  Penney,  D.  E.(2008) Elementary  Differential  Equations Sixth Edition , Pearson Education, Inc., New Jersey.
Effendi,  B.  S.(2011).  Strategi  Fundamental  Pengendalian  Hama  Wereng Batang  Coklat  dalam  Pengamanan  Produksi  Padi  Nasional, Pengembangan Inovasi Pertanian, 4 (1), 63-75.
50                                                                                                                  Nugroho dan Reorita
Korobeinikov,  A.  dan  Wake,  G.  C.  (1999)  Global  Properties  of  The  Three-
Dimensional Predator-Prey Lotka-Volterra Systems , Journal of Applied Mathemathics and Decision Sciences, 3 (2), 155-162.
Laba,  I.  W.  (2001)  Hama  Utama  Padi  pada  Ekosistem  Sawah, Makalah Falsafah Sains, PPs 702.
Model Predator- Prey dengan dua Prediktor                                                                          51