Вопрос: Какие подходы используются сейчас при построении веб-серверов?

Лучший ответ:
Что там сегодня в моде, всякие докеры, кубернейтсы и прочее или в какую сторону копать
Я бы забыл о моде и K8S.
Чтобы действительно было правильно и безопасно, надо обновлять все.  Но при обновлении может что-то сломаться.
Поэтому программа-минимум (ИМХО):
- бэкапы, бэкапы, бэкапы
- закрыть все ненужные порты
- SSH - только по ключу
- удалить уволенных за эти десять лет пользователей, поменять пароли на "серьезные" у оставшихся

После этого, потихоньку пробовать 
- обновлять все что получается
- разделить пользователей и права на файлы

Худший ответ:
И так что вам понадобится.
1. поскольку разные движки и особенно старые вам нужно от хостинга
 а)  php5.2(если реально для него что-то есть)  php5.3 php5.4 php5.6  php7.0 php7.1 php7.1 php7.2 php7.3 php7.4 - FastCGI  или  mod_apache, при этом  5.2-5.3 компилить прийдется уже их тарболов, поскольку в репках их нет
 б) php7.0 php7.1 php7.1 php7.2 php7.3 php7.4 - PHP-FPM - эти со всеми видами представлений одной командой. 
 в) nginx +apache  - поскольку в старых сайтах переписывать .htaccess на чичтый nginx+FPM это маразм.
 г) сказал бы  что virusdie подключеный на каждый сайт, но они сделали ребрендинг и подняли цену в 100 раз так что не увольте. 
 однако делать с виурсами что-то нужно
так что 
 будем делать с вирусами
1. su_exec вкл выкл для сайта - запрещяет функцию exec для старых сайтов она как правило не нужна. 
2.  опен бейс дир смысла ставить нет.
3. нужна моментальная система отката для старых сайтов, возможно просто накатывать бэкап  раз в месяц ( если сайты уже статичны) это дешевле чем разбираться с каждым из них  постоянно. 
4. Взять большое файловое хранилище или яндекс облако или hetzner там дешевые 10 тб  хранилищя,  примонтировать их через clifs и  бэкапить туда все раз в месяц, удалять раз в 5 лет, тоже по крону.
отдельно папку для  почищены от вирусов сайто которая лежит всегда, и если сайт по какой-то причине просрался то нужно чтоб был ооочень старый бэкап помима обычных. Желательно  где-то еще.
5. старым сайтам  должна быть возможность отключить почту, это можно сделать через настройки апача, главное в морду вывести. 
что-то вроде 
disable_functions=exec,passthru,shell_exec,system,proc_open,popen,curl_multi_exec,parse_ini_file,show_source,mail,apache_child_terminate, apache_setenv, define_syslog_variables, escapeshellarg, escapeshellcmd, eval, fp, fput, ftp_connect, ftp_exec, ftp_get, ftp_login, ftp_nb_fput, ftp_put, ftp_raw, ftp_rawlist, highlight_file, ini_alter, ini_get_all, ini_restore, inject_code, openlog, passthru, php_uname, phpAds_remoteInfo, phpAds_XmlRpc, phpAds_xmlrpcDecode, phpAds_xmlrpcEncode, popen, posix_getpwuid, posix_kill, posix_mkfifo, posix_setpgid, posix_setsid, posix_setuid, posix_setuid, posix_uname, proc_close, proc_get_status, proc_nice, proc_open, proc_terminate, syslog, system, xmlrpc_entity_decode, mail

так же было бы неплохо собирать в лог файл какие конкретно файлы отправляют спам и с какой строки, поскольку это постояннго будет причиной бана адерсов, так что за этим нужно будет следить.
mail.add_x_header = On
mail.log = syslog
В этом сулчае прям в сислог, но можн ои в отдельный файл, ну и в мониторинг его . 
Так же нужно будет следить за очередью почты, при резких пиках нужно будет реагировать. 

Возможно понадобятся curl mpdf zend_optimizer (php 5.2) zend guzrd_loader ( 5.3) ioncube.
и тому подобные специические темы.

лично я собираю все это на ispconfig 3 
плюс модуль nginx, плюс своя кастомка.
600 сайтов полет нормальный. 
Так же было бы неплохо подключить какой-то антивирус и сканить систему  что-то типа ai-bolit.php или веб серисы. 
НО у вас точно должна быть функция  быстрого отката,а для совсем древиних сайтов так и по крону можно их ломают так часто что все вышесказанное мало поможет.
для особо жопных сайтов можно перевести их в html
хостинг должен поддерживать letsencrypt   а так же нужно мониторить что сертификаты могут выдаться, как правило в 99% панелей если хоть один из сертификатов не выдался не выдадутся и остальные.

Могу предожить vestacp
braynicp
biyrix vm
все они ставятся с одного клика, у каждого есть свои плюсы и минусы. 
Ну или как вариант
у яндекс в kubernetas есть возможность вобще бесплатно хостить html сайты, а для php сделать впс, там и бэкапы слайсов можно делать, и  примонтировать местное храниллище.