Вопрос: Какую систему выбрать для управления отделами и проектами внутри них?

Лучший ответ:
Ловите подборку из моей копилки.
В любом случае, за вас выбор никто не сделает, так что брать и пробовать, если что-то неудобно/непонятно — писать в техподдержку того или иного сервиса. По личному опыту, очень часто нужный функционал есть, но сходу не находится, особенно у комбайнов, типа битрикса24 или планфикса.
	• Запись дел, таскеры, системы управления задачами
		○ https://www.wunderlist.com — Очень простой и удобный таскер. Бесплатного аккаунта за глаза.
		○ https://planfix.ru/prices/ —  На бесплатном аккаунте проекты и задачи вести можно полноценно, но бесплатном акке урезан CRM и воронка продаж. Цена 290, 490 или 640 р /человека в месяц - в зависимости от возможностей системы. Интересные тарифы и возможности, есть тайм-трекер (2016)
		○ https://megaplan.ru/calculation/ — Цена 250р с человека в месяц (2016)
		○ https://www.bitrix24.ru/prices/ — сложный комбайн
		○ https://yandex.ru/tracker/ -- от 93 руб/чел/мес
		○ https://basecamp.com/3/pricing — 29$ без клиентов, 79$ с клиентами (2016)
		○ https://www.wrike.com/price/ — Ограничения бесплатного варианта по вложенности задач и функциональности всей системы.  Есть мобильный приложения. Понравилась внутри. На бесплатной версии нет подзадач. (2016)
		○ https://asana.com/pricing — Есть бесплатный вариант. Но на ощупь - неинтуитивная кака. Соловьев советовал ее. (2016)
		○ worksection.com/price.html — Бесплатно только на 2-х (2016)
		○ https://zettaplan.ru/price/ (2016)
		○ www.teambridge.ru — От 1000₽ (2016)
		○ https://www.producteev.com/pricing — Вроде есть бесплатный полнофункциональный вариант и приложения для мобильных. Но в проекте вложенность = задача-подзадача = мало. И как-то все убогенько (2016)
		○ https://pyrus.com/ru/pricing — От 9р с человека в день (2016)
		○ promo.advanta-group.ru/advanta — От 5454р (2016)
helpcenter.onlyoffice.com/ru/faq/free-cloud.aspx — По сравнению с wrike ограничения только по вложенности задач, в остальном полнофункциональна. Но нет мобильных приложений. Внутри нормальная. (2016)
		○ https://workflowy.com/  — неограниченная вложенность подзадач, гибкое управление задачами, есть теги. Ограничение на сотню задач в месяц. Выглядит, как списки с вложенными списками (2016)
		○ synkra.com/login — Унылое говно со списком дел в один уровень (2016)
		○ https://ru.todoist.com/business — По описаниям все красиво, но в бесплатном варианте тупо список одноуровневых дел, вообще не юзабельно. В бесплатном варианте нет обсуждений. (2016)
		○ https://plan iro.com/ru/pricing —  Похож на битрикс, но попроще и симпотичнее. Только платный (2016) !!!(удалить пробел в ссылке) 
		○ https://taiga.io/pricing.html
		○ https://activecollab.com
		○ teamer.ru/about
		○ scrumy.com
		○ www.redmine.org
		○ https://www.teamwork.com/
		○ https://workdoer.com.ua/
		○ https://taskmenizer.com
		○ https://glip.com/
		○ https://itasks.pro
		○ https://clickup.com
		○ https://pr an.pro/ !!!(удалить пробел в ссылке) 
		○ https://ticktick.com/
	• Сравнение систем управления проектами и задачами
		○ saas-guide.com
		○ topsaas.ru
	• Канбан-доски и карточки
		○ https://trello.com — Система досок и карточек-канбан.
		○ https://you gile.com -- сильно похоже на трелло, бесплатный функционал до 1 Гиг места в облаке без каких либо ограничений !!!(удалить пробел в ссылке) 
		○ Jira https://ru.atlassian.com/software/jira
		○ https://www.favro.com/

Худший ответ:
Посмотрите scrumboard.ru или можно его же скачать и поставить на свой сервер (это бесплатно). Там есть такое "Все проекты" чтобы смотреть задачи кросспроектно. А вот группировать или фильтровать их можно по командам (дизайнеры и др.) Для управления можно использовать Scrum или Kanban.