Arifmetik ildiz. formula_1 sonining formula_2- darajali arifmetik ildizi — formula_2- darajasi formula_4 ga teng boʻlgan har qanday son formula_5 ga aytiladi, yaʼni formula_6. Bu yerda "n" ildizning "darajasi"dir. 2-darajali arifmetik ildiz "kvadrat ildiz" deb ataladx xvcccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccci va bu ildizning darajasini koʻrsatmasdan yozish mumkin: formula_7. 3-darajali arifmetik ildiz "kub ildiz" yoki "uchinchi darajali ildiz" deb nomlanadi. Boshqa darajalar nomlari uchun tegishli son ishlatiladi. Masalan, "toʻrtinchi darajali ildiz", "beshinchi darajali ildiz" va hokazo. Haqiqiy sonlar toʻplamida ildizda ikkitagacha javobi boʻlishi mumkin. Manfiy sonning juft darajali ildizini olish kerak boʻlgan hollarda birorta ham javob mavjud boʻlmaydi. Kompleks sonlar toʻplamida formula_2- darajali ildizda formula_2 ta javob boʻladi. 0 ning ildizlari alohida sonlardan iborat emas, yaʼni barchasi 0 ga teng. Har qanday haqiqiy yoki kompleks sonning "n-" darajali barcha "n" ildizlari esa individual sonlardan iborat. Agar "n" juft boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy va musbat boʻlsa, uning "n-" darajali ildizlaridan biri musbat, biri manfiy va qolganlari kompleks ammo haqiqiy emas boʻladi. Agar "n" juft boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy va manfiy boʻlsa, "n-" darajali ildizlarning birortasi ham haqiqiy boʻlmaydi. Agar "n" toq boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy boʻlsa, bitta "n-" darajali ildiz haqiqiy boʻladi va uning belgisi ildizning belgisi bilan bir xil boʻladi, qolgan ildizlar boʻlsa haqiqiy boʻlmaydi. Ildizlarni yozishda "ildiz belgisi"dan qoʻllanadi. Bu belgini formula_10 yoki formula_11 kabi yozish mumkin. formula_12 yoki formula_13 kvadrat ildizni ifodalaydi, formula_14 kub ildizni ifodalaydi, formula_15 toʻrtinchi darajali ildizni ifodalaydi va hokazo. formula_16 ifodasida "n" indeks, formula_10 ildiz belgisi va "x" ildiz ostidagi son deb yuritiladi. Ildiz ostidagi son funksiya kabi faqat bitta javobga ega boʻlishi kerak, shuning uchun manfiy boʻlmagan "asosiy n-ildiz" deb atalgan haqiqiy ildiz boshqalaridan ustun koʻriladi. Javobi yoʻq ildiz odatda "radikal" deb nomlanadi. Matematik analizda ildizlar "darajaga koʻtarish"ning maxsus holi deb qaraladi. Bu analizda "daraja" kasr deb qaraladi: Ildizlar son qatorlarini oʻrganishda juda muhim rol oʻynaydi. Ildiz testi orqali darajali qatorning "mos tushish radiusi" aniqlanadi. Kompleks sonlarning ham ildizini aniqlash mumkin. Birlikning ildizi yuqori matematikada keng oʻrganiladi. Qaysi algebraik sonlarni ildizlar bilan ifodalash mumkinligini galois nazariyasi yordamida aniqlash mumkin. Ildizlar yana Abel–Ruffini teoremasini isbotlash uchun kerak. Abel-Ruffini teoremasiga koʻra, koʻphadli beshinchi yoki undan yuqori darajali tenglamalarni faqat ildizlardan foydalanib yechish mumkin emas. Tarixi. Ildiz belgisining (√) kelib chiqishi nomaʼlum. Baʼzi manbalarga koʻra, bu belgini birinchi marta arab matematiklari ishlatishgan. Bu matematiklardan biri Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1421-1486) boʻlgan. Afsonaga koʻra bu belgi arabcha „جذر“ ("jadhir" — „ildiz“) soʻzining birinchi harfi boʻlmish „ج“ ("jim") harfidan olingan. Ammo boshqa olimlar, masalan Leonhard Euler, ildiz belgisi lotincha „radix“ („ildiz“) soʻzining birinchi harfi „r“ harfidan kelib chiqqan deb hisoblashgan. Ildiz belgisi birinchi marta bosmada olmon matematigi Christoff Rudolffning „Die Coss“ asarida 1525-yil ishlatilgan. Bu ildiz belgisida sonlar ustiga chiziladigan gorizontal chiziq boʻlmagan. Inglizchada ishlatiladigan „surd“ (irratsional son) atamasi Al Xorazmiyga borib taqaladi. U ratsional sonlarni "eshitsa boʻladigan", irratsional sonlarni boʻlsa "eshitsa boʻlmaydigan" deb atagan. Bu arab tilidagi irratsional son uchun ishlatilgan „أصم“ ("asamm" — „kar“ yoki „soqov“) soʻzining lotinchaga „surdus“ („kar“ yoki „soqov“) deb tarjima qilinishiga olib kelgan. Gerard of Cremona (taxminan 1150), Fibonacci (1202) va keyin Robert Recorde (1551) barchasi yechilmaydigan irratsional ildizlarni „surdus“ deb atagan. Taʼrifi va belgilanishi. "x" sonning "n"-darajali ildizi deb "n-" darajasi "x" ga teng "r" soniga aytiladi. Bu yerda "n" musbat butun sondir. Har bir musbat haqiqiy son "x" da bitta musbat "n-" darajali ildiz bor va u formula_16 koʻrinishida yoziladi. "n" 2 ga teng boʻlsa ildiz kvadrat ildiz deb ataladi va bu holda odatda "n" yozilmaydi. "n-" darajali ildizni yana darajalar orqali "x"1/n koʻrinishida ifodalash mumkin. "n" ning juft qiymatlari uchun musbat sonlarda manfiy "n-" darajali ildiz ham mavjud. Manfiy sonlarda boʻlsa haqiqiy "n-" darajali ildiz yoʻq. "n" ning toq qiymatlari uchun har bir manfiy son "x" da haqiqiy manfiy "n-" darajali ildiz mavjud. Masalan, -2 da haqiqiy 5-darajali manfiy ildiz bor va u formula_21 ga teng. Ammo -2 da 6-darajali haqiqiy ildizi yoʻq. 0 dan farqli har qanday haqiqiy yoki kompleks son "x" da "n" ta turli kompleks "n-" darajali ildizlari bor. Bularga ham manfiy, ham musbat ildizlar kiradi. 0 ning "n-" darajali ildizi 0 dir. Koʻp sonlar uchun "n-" darajali ildiz irratsional sondir. Masalan, Butun sonlarning va har qanday algebraik sonning barcha "n-" darajali ildizlari algebraikdir. Ildiz belgisi uchun dasturlashda ishlatiladigan belgi kodlari quyidagilardir: Kvadrat ildiz. "x" sonining kvadrat ildizi kvadrat darajaga koʻtarilganda "x" ga teng boʻladigan "r" sonidir: Har bir musbat haqiqiy sonda ikki kvadrat ildiz mavjud, biri manfiy, biri musbat. Masalan, 25 ning ikki kvadrat ildizi 5 va -5 dir. Musbat ildiz asosiy ildiz deb ham ataladi va ildiz belgisi bilan ifodalanadi: Har bir haqiqiy sonning kvadrat ildizi musbat haqiqiy son boʻlgani uchun manfiy sonlarda haqiqiy kvadrat ildiz yoʻq. Ammo har bir manfiy sonda ikki xayoliy kvadrat ildiz mavjud. Masalan, -25 ning ikki kvadrat ildizi 5"i" va -5"i" dir. Bu yerda "i" (inglizcha „imaginary“ — „xayoliy“ soʻzidan olingan) -1 ning kvadrat ildizni ifodalaydi. Kub ildiz. "x" sonining kub ildizi kub darajaga koʻtarilganda "x" ga teng boʻladigan "r" sonidir: Har bir haqiqiy son "x" da faqat bitta haqiqiy kub ildiz bor va u formula_26 koʻrinishida yoziladi. Masalan, Har bir haqiqiy sonda yana ikkita qoʻshimcha kompleks kub ildiz boʻladi. Ayniyatlar va ildizning xossalari. Haqiqiy musbat sonlar ustida ildiz amallarini bajarish qoidalari quyidagilardir: Kompleks sonlarning ildizini topishda muammolar chiqadi. Masalan, asosiy ildizni topishda, ammo, Ildiz ifodasini soddalashtirish. Agar quyidagi shartlar bajarilsa ildiz ifodasi "sodda formada" deyiladi: Masalan, formula_37 ifodasini soddalashtirish uchun quyidagi amallar bajariladi. Birinchi, kvadrat ildiz ostida kvadrat ildizi bor sonni topib, ildiz belgisidan chiqaramiz. Ildiz belgisi ostidagi kasrni yoʻq qilishi uchun quyidagi amallarni bajaramiz: Endi maxrajdagi ildiz belgisini quyidagicha qilib almashtiramiz: Agar maxrajda radikal son boʻlsa suratni ham, maxrajni ham bir xil koʻpaytuvchiga koʻpaytirib, ifodani soddalashtirish mumkin. Masalan, ikki kubning yigʻindisini koʻpaytuvchilarga ajratish yoʻli bilan: Ildiz ichida yana boshqa ildiz boʻlgan murakkab ildiz ifodalarini yechish oson boʻlmasligi mumkin. Masalan, mana bu javobni darhol anglab olish mushkul: Cheksiz qator. Radikal ildizni cheksiz qator orqali ifodalash mumkin: Bu yerda formula_44. Bu ifodani binom seriyasidan olish mumkin. Asosiy ildizlarni hisoblash. Butun sonning "n-" darajali ildizi har doim ham butun son emas va bu ildiz butun son boʻlmasa demak u ratsional son emas. Masalan, 34 ning 5-darajali ildizi ga teng. Nuqtalar oʻnli kasr maʼlum bir xonada toʻxtamasligini anglatadi. Bu misolda kasr qism takrorlanmaydi, yaʼni bu kasr davriy kasr emas. Shu sababdan bu son irratsional sondir. "A" sonining "n-" darajali ildizini "n-" darajali ildiz algoritmi bilan hisoblash mumkin. Bu algoritm Nyuton metodining maxsus holidir. Bu uslubda yechish uchun "x"0 taxminiy soni olinadi. Shu amal keyin quyidagi rekurrent nisbati orqali kerakli aniqlik erishilgunicha takrorlanadi: Baʼzan Nyutonning birinchi approksimatsiyasini ishlatish yetarli boʻladi: Masalan, 34 ning 5-darajali ildizini topish kerak boʻlsin. Maʼlumki 25 = 32. Demak yuqoridagi formulada "x" = 32 va "y" = 2 deb olinadi. Bundan quyidagi javobni olamiz: Bu approksimatsiyadagi xatolik 0.03 %, xolos. Nyuton metodini oʻzgartirib "n-"darajali ildiz uchun umumlashtirilgan davomli kasr yozish mumkin. Bu kasrni yuqorida aytib oʻtilgandek turli yoʻl bilan oʻzgartirish mumkin. Masalan: formula_49 formula_50 Bu holda 34 ning 5-darajali ildizi (baʼzi umumiy koʻpaytuvchilarni tanlab olib boʻlgandan keyin) quyidagiga tengdir: formula_51 Kompleks ildizlar. 0 dan boshqa har qanaqa kompleks sonda "n"ta "n-"darajali ildiz mavjud. Kvadrat ildizlar. Kompleks sonning ikki kvadrat ildizi doim bir-birining negatividir. Masalan, −4 ning kvadrat ildizlari 2"i" va −2"i" dir. "i" ning kvadrat ildizlari boʻlsa dir. Agar kompleks son qutbiy koʻrinishda ifoda qilinsa, kvadrat ildizni topish uchun radiusning kvadrat ildizi olinib, burchakning yarmi topiladi: Kompleks sonning "asosiy" ildizini bir necha usulda tanlash mumkin. Masalan, ifodasi kompleks tekislikda musbat haqiqiy oʻq atrofida 0 ≤ "θ" < 2π sharti bilan yoki manfiy haqiqiy oʻq atrofida −π < "θ" ≤ π sharti bilan tarmoq kesimi oʻtkazadi. Birinchi (oxirgi) tarmoq kesimidan foydalanib, formula_55 asosiy kvadrat ildizi tekislikning manfiy boʻlmagan xayoliy (haqiqiy) qismida formula_56 ni chizadi. Birlikning ildizlari. Kompleks tekislikda 1 sonining "n" ta "n-" darajali ildiz bor: Bu yerda Bu ildizlar "birlik aylanasi" atrofida bir-biridan bir xil uzoqlikda formula_59 ning karralisi boʻlgan burchaklarda joylashadi. Masalan, birlikning kvadrat ildizlari 1 va −1 dir. Birlikning toʻrtinchi darajali ildizlari boʻlsa formula_60, −1 va formula_61 dir. "n-" darajali ildizlar. Har bir kompleks sonda kompleks tekislikda "n"ta "n-"darajali ildiz mavjud. Bu ildizlar quyidagilardir: Bu yerda "η" bitta "n-" darajali ildizdir va 1, "ω", "ω"2, … "ω""n"−1 birlikining "n-" darajali ildizlaridir. Masalan, 2 ning toʻrtta 4-darajali ildizlari mana bunga teng: Qutbiy formada bitta "n-" darajali ildizni mana bu formula bilan topish mumkin: Bu yerda "r" ildizi olinishi kerak boʻlgan sonning modulidir (absolyut qiymati ham deyiladi). Agar sonni "a+bi" qilib yozish mumkin boʻlsa, unda formula_65. Yana, formula_66 tekislik boshidan musbat gorizontal oʻqdan songa qarab soat strelkasiga qarshi yurilganda hosil boʻlgan va songa qarab ketuvchi nurning burchagidir. Uning xossalari quyidagilardir: formula_67 formula_68 va formula_69 Shu asnoda kompleks tekislikda "n-"darajali ildizlarni topishni ikki qadamga boʻlish mumkin. Birinchi, barcha "n-"darajali ildizlarning moduli boshida berilgan sonning modulining "n-"darajali ildizidir. Ikkinchi, tekislik boshidan chiqib "n-" darajali ildizlarga ketgan nurning yoʻnalishi burchagi musbat gorizontal oʻqqa nisbatan formula_70 dir. Yaʼni, tekislik boshidan chiqib ilk songa ketgan nurning musbat gorizontal oʻqqa nisbatan boʻlgan burchagi formula_66 bilan 1/"n" ning koʻpaytmasiga tengdir. Bundan tashqari, "n-"darajali ildizlarning barchasi bir-biridan bir xil burchak masofada joylashadi. Koʻphadlarni yechish. Avvallari koʻphadlarning barcha ildizlarini ildiz ifodasi va elementar amallar bilan ifodalash mumkin deb ishonilgan. Bu uchinchi darajali va toʻrtinchi darajali koʻphadlar uchun toʻgʻri keladi. Abel-Ruffini teoremasiga koʻra, bu qoidani darajasi 5 yoki undan yuqori boʻlgan koʻphadlarga umumlashtirib boʻlmaydi. Masalan, tenglamasining javoblarini ildiz bilan ifodalab boʻlmaydi.