Darajaga koʻtarish. Darajaga koʻtarish – sonni oʻziga bir necha marta koʻpaytirish natijasida aniqlanadigan arifmetik amal. Darajaga koʻtarilgan ifoda shaklida yoziladi hamda „"b"ning n-darajasi“ deb oʻqiladi. Bunda asos, esa daraja koʻrsatkichi hisoblanadi. Agar "n" daraja musbat son boʻlsa, darajaga koʻtarish uchun son oʻziga "n" marotaba koʻpaytiriladi. Bu – "b" ning "n" marotaba koʻpaytirilganiga teng: formula_1Bunda, formula_2. Daraja koʻrsatkichi asosning oʻng tomonida koʻrsatiladi. Shuningdek, bu fanda „"n" darajaga koʻtarilgan "b" soni“, „"b"ning "n"-darajasi“ sifatida ataladi. Darajalarning koʻpaytirilishi quyidagi tartibda amalga oshiriladi: formula_3 Bunda darajalar oʻzaro koʻpaytirilganda daraja koʻrsatkichlari qoʻshiladi. Qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichi 0 ga teng boʻlganda, yigʻindi 2-qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichiga teng boʻladi: formula_4. Biroq, daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan hollarda darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi: formula_5 Shuningdek, qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichlardan biri manfiy hamda biri musbat boʻlgan hollarda yigʻindi manfiy va musbat sonlarni qoʻshish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi: formula_6 Daraja koʻrsatkichi kasr boʻlgan sonlar darajaga quyidagi tartibda koʻtariladi: formula_7 Misol uchun, formula_8 ifodasida "b" ning qiymati formula_9 hisoblanadi. Muavr formulasi orqali ham kompleks sonni darajaga koʻtarish mumkin. Darajaga koʻtarish turli sohalarda keng qoʻllanadi, jumladan, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, fizika, informatika, kimyoviy reaksiyalarning kinetik tezliklarini hisoblash sohalari. Etimologiyasi. „Darajaga koʻtarish“ atamasi lotin tilida "exponent" deb ataladi. Bu soʻz "exponentem" feʼlining hozirgi zamon shakli hisoblanib, oʻzbek tilida „oldinga qoʻymoq“ deya tarjima qilinadi. „Daraja“ atamasi esa, lotin tilida "dignitas" deya nomlanadi. Bu soʻz yunoncha "dúnamis" soʻzidan olingan boʻlib, „kuchaytirish“ degan maʼnoni anglatadi. Darajaga koʻtarish atamasi, ilk bor yunon matematigi Yevklid tomonidan chiziqli tenglamani ifodalashda qoʻllanilgan. Tarixi. Antik davr. The Sand Reckoner. Qadimgi yunon olimi Arximed „The Sand Reckoner“ asarida 10 ning darajalariga oid qonuniyat isbotlagan. Arximed olamdagi barcha qum zarralarining umumiy hisobini topishda 10 sonini darajaga koʻtarish orqali topgan. Islom oltin davri. "Māl" va "kaʼbah" („kvadrat“ va „kub“). IX asrda Oʻrta Osiyo qomusiy olimi Al-Xorazmiy sonning 2-darajasi kvadrat uchun مَال ("māl", „mol-mulk“) hamda sonning 3-darajasi boʻlgan kub uchun كَعْبَة ("kaʿbah", „kub“) atamalarini fanga kiritgan. Musulmonlar uchun oʻsha davrda yer maydonlarini oʻlchashda kvadratning oʻrni muhim boʻlgan. XV asrlarda Abu’l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi asarlarida kvadratni "mīm" (m) tarzida hamda kubni esa, "kāf" (k) tarzida ifodalashgan. XV—XVIII asrlar. Darajalarning ifodalanishi. XV asrlarda oʻrta asrlar fransuz matematigi Nicolas Chuquet oʻz asarlarida darajalarga koʻtarishni koʻrsatkichlar bilan ifodalagan. Masalan, ni sifatida belgilagan. Daraja koʻrsatkichlarini bu koʻrinishda ifodalash XVI asrlarda Henricus Grammateus va Michael Stifel tomonidan ham amalga oshirilgan. XVI asr oxirlarida shved matematigi Jost Bürgi sonlarni darajaga koʻtarishda ni 4 sonining ustida 3 ta "iii" harflarini qoʻyish orqali ifodalagan. Darajalar. „Daraja“ atamasi ilk marotaba 1544-yilda Michael Stifel tomonidan qoʻllanilgan. XVI asrda matematik Robert Recorde asarlarida kvadrat, kub atamalaridan tashqari zenzizenzik (4-daraja), sursolid (5-daraja), zenzikub (6-daraja), ikkinchi sursolid (7-daraja) va zenzizenzizenzik (8-daraja) atamalaridan ham foydalangan. Hozirgi darajalarning ifodalanishi. 1636-yilda matematik James Hume „L’algèbre de Viète“ asarida ni sifatida ifodalagani hozirgi daraja koʻrsatkichining shakli uchun muhim rol oʻynagan. Dastlab, daraja koʻrsatkichi Rim raqamlarida ifodalangan, keyinchalik esa, XVII asrning boshlarida fransuz matematigi René Descartes tomonidan „La Geométrie“ kitobida daraja koʻrsatkichlari Rim raqamidan Arab raqamlariga oʻzgartirilgan. Olim bu haqida shunday degan: XX asr. XX asrda hisoblash jarayoni mexanizatsiyalashtirilgani sababli, darajalarni yozish qulayroq shaklda yozishga eʼtibor qaratildi. 1938-yilda nemis muhandisi Konrad Zuse tomonidan oʻzining Z1 kompyuteri yordamida qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasi ishlab chiqildi. Bunga koʻra, jadvalning 1-katakchasida sonning asosi hamda 2-katakchasida esa, 10 sonining darajasi yozilgan. 1946-yilda qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasiga asoslangan tizim Bell Labaratories kompyuterlariga oʻrnatilgan. Terminologiyasi. ifodasi „b kvadrat“ deya nomlanadi. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni "b"ga teng boʻlgan kvadratning yuzi ga teng boʻladi. ifodasi „b kub“ deb nomlanadi. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni "b"ga teng boʻlgan kubning hajmi ga teng boʻladi. Daraja koʻrsatkichi musbat son boʻlsa, koʻrsatkichning qiymati asosning oʻz-oʻziga necha marotaba koʻpaytirilganini bildiradi. Masalan, ifodasida asosi oʻz-oʻziga 5 marotaba koʻpaytirilgan, chunki darajaning koʻrsatkichi 5 ga teng. Bu ifodada, soni "3 ning 5-darajasi" hisoblanadi. Ayrim hollarda ifodani oʻqishda "darajasi" soʻzi tushirilib qoldiriladi. Misol uchun, ifodasi qisqa qilib "3ning 5-si" tarzida oʻqiladi. Butun sonli darajalar. Daraja koʻrsatkichi butun boʻlgan sonlarni darajaga koʻtarish amalini elementar matematik bilimlar orqali amalga oshirish mumkin. Musbat darajalar. Induksiya yordamida musbat darajali sonlarni darajaga koʻtarishni quyidagi tartibda amalga oshirish mumkin: Rekursiya qilinganda esa: formula_11 Koʻpaytirishning assotsiativligiga koʻra, va ixtiyoriy sonlar boʻlishi mumkin: va Nol darajalar. Har qanday sonning 0 darajasi 1 ga teng. Manfiy darajalar. Daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan ifoda quyidagicha aniqlanadi: Bunda, – ixtiyoriy son, – noldan farq qiluvchi ixtiyoriy son. Ayniyatlar. Quyidagi ayniyatlar „darajalar qonuniyatlari“ deb ataladi hamda barcha daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar uchun tegishli hisoblanadi: Qoʻshish va koʻpaytirish amallarida qoʻshiluvchilar yoki koʻpayuvchilarni oʻrnini almashtirsa ham natija oʻzgarmaydi. Biroq, daraja koʻrsatkichlari hamda asosning oʻrni almashtirilsa oʻzaro natijalar bir-biridan farq qiladi. Masalan, formula_17, ammo oʻrin almashtirilsa, ifoda formula_18 holatiga keladi. Darajalar yigʻindisi. Odatda, darajalar yigʻindisi Nyuton binomidan foydalanilgan holda hisoblanadi: Kombinatorik roʻyxat. Kombinatorik roʻyxatda toʻplamdan toʻplamgacha boʻlgan funksiyalarning soni keltirilgan. Bunda, hamda – manfiy boʻlmagan sonlar hisoblanadi. va ning alohida qiymatlari uchun baʼzi misollar quyidagi jadvalda keltirilgan: Maxsus asoslar. 10 ning darajalari. Oʻnlik sanoq sistemasidagi 10 ning butun darajalari 1 raqamidan keyin yoki oldidan 0 raqamlarining ifodalanishi 10 ning darajalari hisoblanadi. Misol uchun, , . Asosi 10 soni boʻlgan 10 ning darajalari fanda keng qoʻllaniladi. Masalan, qiymati (vakuumdagi yorugʻlik tezligi) sifatida yozilishi ham mumkin. Taqriban esa, shaklida 10 ning darajasi hisobiga qisqartirib, qulay holatda qoʻllaniladi. Xalqaro birliklar tizimi ham 10 ning darajalariga asoslangan. Misol uchun, kilo old qoʻshimchasi maʼnosini bildiradi. ning darajalari. formula_20 ifodasi yarim, formula_21 ifodasi esa chorak deb ataladi. Kompyuter sohasida ning darajalarining roli muhim hisoblanadi. Baytlar 2 ning darajalaridan foydalanib ifodalanadi. Masalan, . Ikkilik sanoq tizimida har qanday sonni 2 ning darajalari yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin. ning darajalari. ning har qanday darajasi 1 ga teng:. −1 ning darajalari. Manfiy sonni boshqa bir manfiy songa koʻpaytirilsa, natija musbat son boʻladi: formula_22 Darajali funksiyalar. formula_23 shaklidagi funksiyalar „darajali funksiyalar“ deb ataladi. Bunda formula_24 boʻlishi lozim. Darajali funksiyalar 2 turga boʻlinadi, toq darajali funksiyalar hamda juft darajali funksiyalar. Juft darajali funksiyalar (formula_25) shaklida belgilash ham mumkin. Ratsional darajalar. Agar nomanfiy butun son boʻlsa, musbat butun son boʻlsa, formula_26 yoki formula_27 haqiqiy ildiz hisoblanadi. ning qiymati esa musbat boʻladi. Agar musbat butun son boʻlsa, formula_28 ratsional son hamda va ga teng boʻlsa, formula_29 quyidagicha aniqlanadi: Oʻng tomondagi formula_31 tengligini quyidagicha yozish mumkin: formula_32 Agar musbat ratsional son boʻlsa, unda boʻladi. Boshqa tomondan, bu taʼriflarni musbat haqiqiy son boʻlmagan asoslar bilan bogʻliq muammolar mavjud. Masalan, manfiy haqiqiy sonning haqiqiy n-darajali ildizi, n toq boʻlganda manfiy boʻladi, n juft boʻlganda esa haqiqiy ildizi boʻlmaydi. Shuningdek, formula_33 uchun har qanday n-ildiz tanlansa ham, formula_34 ayniyatni qanoatlantirib boʻlmaydi: Haqiqiy darajalar. Musbat haqiqiy sonlar uchun haqiqiy darajalar koʻrsatkichni ikki usulda, ratsional hamda asos logarifmi hamda uning koʻrsatkichli funksiyasi orqali aniqlash mumkin. Funksiya natijasi doim musbat son boʻladi. Manfiy haqiqiy sonning darajaga koʻtarish oson jarayon emas, chunki darajaga koʻtarilganda natija haqiqiy son boʻlmasligi yoki bir necha qiymatlarga ega boʻlishi mumkin. Biroq, quyidagi ayniyat qiymatni aniqlashga yordam beradi: Shu sababli, musbat haqiqiy son boʻlmagan asosni darajaga koʻtarishni koʻp qiymatli funksiya deb ham ataladi. Ratsional darajalarning limitlari. Har qanday irratsional son ratsional sonlar ketma-ketligining limiti sifatida ifodalanishi mumkin. Quyidagi ayniyatda ixtiyoriy haqiqiy daraja koʻrsatkichi, esa, ixtiyoriy haqiqiy son: Bunda, ratsional son qiymatlariga teng hisoblanadi. Masalan, agar boʻlsa, π qiymati ratsional darajalarning monotonligi hamda chegaralangan intervallar orqali ifodalash mumkin: formula_38 Bunda, intervallarning yuqori va quyi chegaralari bir xil limitga ega boʻlgan ikkita ketma-ketlikni hosil qiladi. Bu limit formula_40 bilan belgilanadi. Koʻrsatkichli funksiya. Koʻrsatkichli funksiyani qisqacha qilib formula_41 shaklida yozish mumkin. Bu yerda, formula_42 „Eyler soni“ hisoblanadi. formula_43 koʻrsatkichli funksiyaning formula_44 qiymati quyidagicha: formula_45. Koʻrsatkichli funksiyani aniqlashning koʻplab usullari mavjud boʻlib, ulardan biri shunday: Boshqa holatda, formula_47, formula_48 boʻlganida, bu usul ham oʻrinli hisoblanadi: Logarifmik darajalar. ni koʻrsatkichli funksiya sifatida har qanday musbat haqiqiy soni uchun ni logarifmik funksiyalar orqali ifodalash mumkin. Natural logarifm , koʻrsatkichli funksiya ning teskari funksiyasi ekanligidan kelib chiqib, quyidagi tenglik oʻrinli hisoblanadi: bunda, . Musbat asosli murakkab darajalar. Agar asos musbat haqiqiy son boʻlsa, kompleks koʻrsatkichli daraja boʻlsa, daraja koʻrsatkichi koʻrsatkichli funksiya yordamida aniqlanadi. Bunda, formula_53 natural logarifmni bildiradi. Quyidagi tenglik ayniyatni qanoatlantiradi: Euler formulalariga koʻra tenglik oʻrinli hisoblanadi: Kompleks sonlarning butun boʻlmagan darajalari. Kompleks sonlarning n ildizlari. Har qanday nolga teng boʻlmagan kompleks son quyidagicha yozilishi mumkin: Bunda, formula_57 – ning mutlaq qiymati, formula_58 esa argumentdir. Ikki kompleks sonning koʻpaytmasi mutlaq qiymatlarni koʻpaytirish va argumentlarni qoʻshish orqali topiladi. Shuningdek, kompleks sonning -ta ildizining mutlaq qiymati esa, argumentni ga boʻlish orqali aniqlanadi: Birlikning ildizlari. Birliklarning -darajali ildizlari deb, boʻlgan kompleks sonlarga aytiladi. Birliklarning ta ildizlari matematikaning turli sohalarida qoʻllaniladi. Birliklarning ta ildizlari formula_60ning -darajalari hisoblanadi. Bunda, formula_61 Geometrik jihatdan, birlikning -ta ildizlari kompleks tekislikdagi birlik doirasida joylashgan boʻlib, doiraning eng markazidagi koʻrsatkich 1 hisoblanadi. Kompleks darajaga koʻtarish. Kompleks sonlarni darajaga koʻtarish bir qancha muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. formula_62 ifodasi uchun har qanday kompleks sonni oʻrniga qoʻyib ishlash mumkinligini inobatga olgan holda, biron-bir son qiymat oʻlaroq tanlanadi. Bunday holatda ifodani koʻp qiymatli funksiya orqali ishlash mumkin boʻladi. Barcha holatlarda kompleks logarifm orqali kompleks darajaga koʻtarishni amalga oshirish mumkin: bu yerda, formula_64 – kompleks logarifm hisoblanib, funksiyani qanoatlantirish uchun quyidagi tenglikdan foydalanish lozim: Asosiy qiymati. formula_66 murakkab ifodasining qiymati quyidagicha aniqlanadi: formula_63 bunda, formula_64 – logarifmning asosiy qiymati hisoblanadi. Koʻp qiymatli funksiya. Koʻp qiymatli funksiyalar deganda, biror argumentga bir nechta turli qiymatlarni beradigan funksiyalar tushuniladi. Masalan, logarifm funksiyasi koʻp qiymatli, chunki uning argumenti manfiy yoki kompleks sonlar boʻlishi mumkin va har bir argument uchun logarifmning bir nechta qiymatlari mavjud boʻladi. Agar formula_64 koʻp qiymatli logarifmning bir qiymatini ifodalasa, boshqa qiymatlar formula_70 orqali topiladi. Bunda, – har qanday butun son. Hisoblash. formula_66ning kanonik yoyilmasi formula_72 hisoblanadi. Bunda hamda haqiqiy sonlardir. Irratsionallik va transsendentallik. Gelfond–Schneider nazariyasiga koʻra, agar musbat haqiqiy son hamda ratsional son boʻlsa, unda algebraik son boʻladi. Agar irratsional boʻlsa hamda va algebraik son boʻlsa, ning barcha qiymatlari transsendental boʻladi. Algebrada butun sonli darajalar. Algebraik toʻplam, unga tegishli assotsiativ operatsiya hamda koʻpaytiruvchi birliklarning tuzilmasi monoid deb ataladi. Bunday monoidda, ni darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi: Agar manfiy butun son boʻlsa, formula_77 ifodasi formula_78 shaklida yoziladi. Daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar quyidagi qonuniyatlarga asoslanib ishlanadi: Kvadrat matritsa deb, sonining oʻziga necha marta koʻpaytirilishiga aytiladi. Shuningdek, formula_80 esa matritsaning ayniyati hisoblanadi. Teskari matritsa esa, quyidagi tenglikka asoslanadi:formula_81. Takroriy darajalar. Natural sonlarni qayta-qayta darajaga koʻtarish giperoperatsiyalarning 4-darajasi yoxud tetratsiya deb nomlanadi. Ketma-ket darajaga koʻtarishni Akkerman funksiyasi orqali ifodalash mumkin. Misol uchun, soni takroriy darajaga koʻtarilganda, () natijasini beradi. Dasturlash tillarida. Darajaga koʻtarish amalini turli dasturlash tillari turlicha amalga oshiradi. Daraja koʻrsatkichini ifodalash eng keng tarqalgan belgi „caret“ (codice_1) hisoblanadi. 1967-yilda Amerika standartiga oʻzgartirish kiritilgan. Bunda, (codice_2) belgisi oʻrnida (codice_1) belgisidan foydalanishga oʻtilgan. Hozirgi kunda daraja belgisini quyidagicha belgilashlar mavjud: