Cauchy–Schwarz tengsizligi. Cauchy–Schwarz (o'qilishi: "Koshi-Shvarz") tengsizligi (ba'zida Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz (o'qilishi: Koshi-Bunyakovskiy-Shvarz) tengsizligi) matematikadagi eng muhim va keng qo'llaniladigan tengsizliklardan biri sifatida qaraladi. Yig'indilar uchun tengsizlik Augustin-Louis Cauchy tomonidan 1821-yilda nashr etilgan. Integrallar uchun mos keladigan tengsizlik Viktor Bunyakovsky tomonidan 1859-yilda va Hermann Schwarz tomonidan 1888-yilda nashr etilgan. Schwarz integral ko'rinishdagi tengsizlikning zamonaviy isbotini keltirgan. Tengsizlik bayoni. Cauchy-Schwarz tengsizligi barcha ichki ko'paytma aniqlangan fazodagi barcha formula_1 va formula_2 vektorlar uchuntengsizlikning o'rinli ekanligini ta'kidlaydi, bu yerda formula_3 ichki ko'paytma hisoblanadi. Ichki ko'paytmalarga misollar haqiqiy va kompleks nuqtali ko'paytmalarni o'z ichiga oladi. Ichki ko'paytma mavzusidagi misollarga qarang. Har bir ichki ko'paytma kanonik yoki keltirilgan norma deb ataladigan normani keltirib chiqaradi, bu yerda formula_1 vektorning vektor normasi quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:formula_5Bu norma va ichki ko'paytma formula_6 aniqlovchi shart bilan o'zaro bog'langan bo'lib, bu yerda formula_7 har doim nomanfiy haqiqiy son bo'ladi (hattoki ichki ko'paytma kompleks qiymatli bo'lsa ham). Yuqoridagi tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat ildizini olib, Cauchy-Schwarz tengsizligini uning koʻproq tanish bo'lgan koʻrinishida yozish mumkin:Bundan tashqari, tengsizlikning ikkala tomoni faqat va faqat formula_1 va formula_2 lar bir-biriga chiziqli bog'liq bo'lsagina bir-biriga teng bo'ladi. Dalillar. Ixtiyoriy vektor fazolar uchun. Isbot 1. Let formula_10 and formula_11 so that formula_12 and formula_13 Then formula_14 This expansion does not require formula_2 to be non-zero; however, formula_2 must be non-zero in order to divide both sides by formula_17 and to deduce the Cauchy-Schwarz inequality from it. Swapping formula_1 and formula_2 gives rise to: formula_20 and thus formula_21