Halqa nazaryasi. Halqa nazariyasida mavhum algebraning bir boʻlimi, koeffitsient halqasi, farqli halqa yoki qoldiq sinf halqasi sifatida ham yaxshi tanilgan boʻlib, guruh nazariyasidagi boʻlim guruhiga va chiziqli algebradagi boʻlinma fazosiga juda oʻxshash konstruktsiyalardan biri. U universal algebraning umumiy sozlamasidan koʻrinib turibdiki, bu qismning oʻziga xos namunasi hisoblanadi. halqasidan va da ikki tomonlama ideal dan boshlab, yangi halqa, qism halqasi kelib chiqadi, uning elementlari dagi ning kosetlari boʻlib, maxsus va -operatsiyalariga bogʻliq boʻladi. (Faqat „/“ kasr qiyshiq chizigʻi boʻlim halqasi belgisida ishlatiladi, gorizontal kasr satri boʻlmaydi.) Qism halqalari integral sohaning „boʻlim maydoni“ yoki kasrlar maydoni deb ataladigan misollardan, shuningdek lokalizatsiya natijasida olingan umumiy „boʻlimlar halqalari“ dan ham juda katta farq qiladi. Rasmiy qism halqasining yasalishi. Halqa berilgan formula_1 va ikki tomonlama ideal formula_2 ichida formula_1, ekvivalentlik munosabatini belgilashimiz ham mumkin boʻladi formula_4 yoqilgan formula_1 quyida bayon qilsak boʻladi: Ideal xususiyatlardan foydalanib, buni tekshirish qiyin emas formula_4 muvofiqlik munosabatidir hisoblanadi. Boʻlgan holatda formula_6, biz shuni aytamiz formula_11 va formula_12 "mos modullardir" formula_2 hisoblanadi. Elementning ekvivalentlik klassi formula_11 ichida formula_1 tomonidan beriladi va u quyidagicha boʻladi Bu ekvivalentlik sinfi baʼzan shunday yoziladi formula_17 va „qoldiq sinfi“ deb ham ataladi formula_11 modul formula_2 ga teng ". Bunday barcha ekvivalentlik sinflari toʻplami bilan belgilanadi ; u halqaga, faktor halqasiga yoki koeffitsient halqasiga aylanishi ham formula_1 modul formula_2, agar biri aniqlasa qolganlari quyidagicha topiladi (Bu yerda ushbu taʼriflar aniq belgilanganligini tekshirish kerak boʻladi. Koset va quotient guruhini solishtiramiz) ning nol elementi hisoblanadi va multiplikativ oʻziga xoslik ga teng boʻladi . Xarita formula_24 dan formula_1 uchun tomonidan belgilanadi va quyidagi qiymatlarda suryektiv halqa homomorfizmi hisoblanadi, baʼzan tabiiy qism xaritasi yoki kanonik homomorfizm deb ham ataladi. Misollar. Murakkab tekisliklarning oʻzgarishi. , va boʻlaklari R uchun izomorf boʻlib ularga quyidagicha avvaliga unchalik qiziqish uygʻotmaydi. Lekin shuni yodda tutingki, geometrik algebrada ikkilik sonlar tekisligi deb ham atalishi mumkin. U R ["X"] elementini "X"2 ga qisqartirgandan soʻng „qoldiqlar“ sifatida faqat chiziqli yechimlari binomiallardan iborat ham boʻladi. Murakkab tekislikning bu oʻzgarishi algebrada haqiqiy chiziq va nilpotent boʻlganda subalgebra sifatida paydo boʻladi va quyidagicha boʻlishi ham mumkin. Bundan tashqari, halqa koeffitsienti va ga boʻlinadi, shuning uchun bu halqa koʻpincha toʻgʻridan-toʻgʻri koʻrinadi. yigʻindisi Shunga qaramay, kompleks sonlarning oʻzgarishini j tomonidan ning ildizi sifatida taklif qilinadi, i esa ning ildizi sifatida. Ajratilgan murakkab sonlarning bu tekisligi algebraning oʻziga xosligi noldan birlik masofada joylashgan 2-fazo uchun asosini taʼminlash orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini normallashtiradi. Shu asosda birlik giperbolani oddiy kompleks tekislikning birlik doirasi bilan solishtirish mumkin. Kvarternionlar va variatsiyalar. Faraz qilaylik, "X" va "Y" ikkita, oʻzgarmas, noaniq va erkin algebrasini hosil qiladi. Keyin Gamiltonning 1843 yildagi kvaternionlari sifatida quyish mumkin Agar oʻrniga qoʻyilgan boʻlsa, u holda boʻlingan kvaternionlar halqasi olinadi. Anti-kommutativ xususiyat "XY" oʻz kvadratiga ega ekanligini anglatadi "Ikkala" kvadratik binomida plyus oʻrniga minus qoʻyish ham boʻlinish ham kvaternionlariga olib kelishi mumkin. Uchta turdagi biquaternionlarni erkin algebra yordamida uchta noaniq R ⟨X,Y,Z ⟩ bilan va tegishli ideallarni yaratish orqali ham boʻlaklar sifatida yozishimiz mumkin boʻladi. Xususiyatlari. Shubhasiz, agar "R" kommutativ halqa boʻlsa, ham shunday boʻladi; ammo teskari umuman olganda, toʻgʻri kelmaydi. Tabiiy boʻlim xaritasi "p" oʻzining yadrosi sifatida "I ga" ega hisoblanadi; har bir halqa gomomorfizmining yadrosi ikki tomonlama ideal boʻlganligi uchun, ikki tomonlama ideallar aynan halqa gomomorfizmlarining yadrosi ekanligini aytishimiz ham mumkin. Halqa gomomorfizmlari, yadrolari va qism halqalari oʻrtasidagi yaqin munosabatni quyidagicha umumlashtirish mumkin boʻladi: " da aniqlangan halqa gomomorfizmlari I da yoʻqolib ketadigan (yaʼni nolga teng boʻladigan) R da aniqlangan halqa gomomorfizmlari bilan mohiyatan bir xildir boʻladi." Aniqroq aytganda, "R" da ikki tomonlama ideal "I" va halqali omomorfizm berilgan boʻlib yadrosida "I" boʻlsa, aniq bitta halqali gomomorfizmi mavjuddir. bilan (bu yerda "p" – tabiiy koʻrsatkichlar xaritasi). Bu yerda "g" xaritasi "R" dagi barcha "a" uchun aniq belgilangan qoidasi bilan berilgan. Haqiqatan ham, bu universal xususiyatdan boʻlinish halqalari va ularning tabiiy boʻlim xaritalarini "aniqlash" uchun foydalanish mumkin boʻladi. Yuqorida aytilganlarning natijasi boʻlaroq, asosiy bayonot olinadi va har bir halqa gomomorfizmi qism halqasi va tasvir im("f") oʻrtasida halqa izomorfizmini keltirib chiqarishi mumkin. (Shuningdek qarang: gomomorfizmlar haqidagi asosiy teorema .) "R" va ideallari bir-biri bilan chambarchas bogʻliq hisoblanadi va tabiiy koeffitsientlar xaritasi "I ni" oʻz ichiga olgan "R" ning ikki tomonlama ideallari va ning ikki tomonlama ideallari oʻrtasidagi farqni taʼminlaydi (chap va oʻng uchun ham xuddi shunday ideallar mavjud). Ikki tomonlama ideal oʻrtasidagi bu munosabat mos keladigan boʻlaadiqism halqalari orasidagi munosabatga taalluqlidir hisoblanadi: agar "M" "R" dagi ikki tomonlama ideal boʻlsa, "I ni" oʻz ichiga oladi va biz quyidagi da mos keladigan ideal uchun yozamiz (yaʼni. ), qism halqalari va tabiiy ravishda (yaxshi belgilangan hisoblanadi!) xaritalash orqali izomorfdir boʻladi. Quyidagi faktlar kommutativ algebra va algebraik geometriyada foydalidir kommutativ uchun maydon, agar "I" maksimal ideal boʻlsa, esa integral sohadir boʻladi, agar "I" boʻlsa asosiy ideal boʻladi. Bir qator shunga oʻxshash bayonotlar ideal "I" ning xossalari halqasining xususiyatlari bilan bogʻliq hisoblanadi. Xitoy qoldiqlari teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar ideal "I" juftlik koʻpaytma ideallarning biror bir kesishishi (yoki ekvivalenti, mahsuloti) boʻlsa, "I" 1, . . ., "I k", keyin qism halqasi ham , koʻpaytmasiga izomorf hisoblanadi boʻladi. Halqa ustidagi algebralar uchun qoidalar. Kommutativ halqa ustidagi assotsiativ algebra "A" "R" – bu uzuk hisoblanadi. Agar "men" ideal boʻlsam "A" ("R" -koʻpaytirish ostida yopiq boʻladi), keyin "A" / "I" algebra tuzilishini qabul qilib oladi. "R" va qism algebrasi .