Nyuton dinamikasi. Fizikada Nyuton dinamikasi (Nyuton mexanikasi deb ham ataladi) Nyutonning harakat qonunlariga muvofiq zarracha yoki kichik jismning dinamikasini oʻrganuvchi fandir . Matematik umumlashtirishlar. Odatda, Nyuton dinamikasi tekis boʻlgan uch oʻlchovli Evklid fazosida sodir boʻladi. Biroq, matematikada Nyutonning harakat qonunlarini koʻp oʻlchovli va egri boʻshliqlar uchun umumlashtirish mumkin. Koʻpincha Nyuton dinamikasi atamasi Nyutonning ikkinchi qonuniga toraytiriladi formula_1. Koʻp oʻlchovli fazoda Nyutonning ikkinchi qonuni. Oʻylab koʻring formula_2 massali zarralar formula_3 muntazam uch oʻlchovli Evklid fazosida . Mayli formula_4 baʼzi inertial koordinatalar sistemasida ularning radius-vektorlari boʻlsin. Keyin bu zarralarning harakati ularning har biriga qoʻllaniladigan Nyutonning ikkinchi qonuni bilan boshqariladi Uch oʻlchovli radius-vektorlar formula_6 bittaga tuzilishi mumkin formula_7 -oʻlchovli radius-vektor. Xuddi shunday, uch oʻlchovli tezlik vektorlari formula_8 bittaga tuzilishi mumkin formula_7 -oʻlchovli tezlik vektori: Koʻp oʻlchovli vektorlar nuqtai nazaridan (2) tenglamalar (1) quyidagicha yoziladi yaʼni ular birlik massaga ega boʻlgan bitta zarraga nisbatan qoʻllaniladigan Nyutonning ikkinchi qonuni shaklini oladi formula_12 . Taʼrif . Tenglamalar (3) yassi koʻp oʻlchovli Evklid fazodagi Nyuton dinamik tizimining tenglamalari deb ataladi, bu tizimning konfiguratsiya fazosi deb ataladi. Uning nuqtalari radius-vektor bilan belgilanadi formula_13 . Nuqtalari vektorlar juftligi bilan belgilangan fazo formula_14 dinamik sistemaning fazo fazosi deyiladi (3). Evklid tuzilishi. Dinamik sistemaning konfiguratsiya fazosi va faza fazosi (3) ikkalasi ham Evklid fazolari, yaʼni ular Evklid strukturasi bilan jihozlangan. Ularning Evklid tuzilishi shunday aniqlanadiki, birlik massaga ega boʻlgan yagona koʻp oʻlchovli zarrachaning kinetik energiyasi formula_12 massalari bilan uch oʻlchamli zarralarning kinetik energiyalari yigʻindisiga teng formula_3 : Cheklovlar va ichki koordinatalar. Ayrim hollarda zarrachalarning massalar bilan harakati formula_3 cheklanishi mumkin. Odatdagi cheklovlar shaklning skalyar tenglamalariga oʻxshaydi Shaklning cheklovlari (5) golonomik va skleronomik deb ataladi. Radius-vektor nuqtai nazaridan formula_13 Nyuton dinamik sistemasining (3) kabi yoziladi Har bir bunday cheklov Nyuton dinamik tizimining erkinlik darajalari sonini bittaga kamaytiradi (3). Shuning uchun, cheklangan tizim mavjud formula_22 erkinlik darajalari. Taʼrif . Cheklash tenglamalari (6) an ni aniqlaydi formula_23 — oʻlchovli manifold formula_24 Nyuton dinamik tizimining konfiguratsiya maydoni ichida (3). Bu manifold formula_24 cheklangan tizimning konfiguratsiya maydoni deb ataladi. Uning tangens toʻplami formula_26 cheklangan sistemaning faza fazosi deyiladi. Mayli formula_27 nuqtaning ichki koordinatalari boʻlsin formula_24 . Ulardan foydalanish Lagranj mexanikasi uchun xosdir. Radius-vektor formula_13 ning qandaydir aniq funksiyasi sifatida ifodalanadi formula_27 (7) vektor-funksiya cheklash tenglamalarini (6) ni (7) ni (6) ga almashtirganda (6) tenglamalar quyidagida bir xil bajariladi degan maʼnoda hal qiladi. formula_27 . Tezlik vektorining ichki taqdimoti. Cheklangan Nyuton dinamik sistemasining tezlik vektori vektor-funksiyaning qisman hosilalari (7) bilan ifodalanadi: Miqdorlar formula_34 tezlik vektorining ichki komponentlari deyiladi. Baʼzan ular alohida belgi yordamida belgilanadi va keyin mustaqil oʻzgaruvchilar sifatida koʻrib chiqiladi. Miqdorlar formula_26 — cheklangan Nyuton dinamik tizimining faza fazosi nuqtasining ichki koordinatalari sifatida ishlatiladi. Oʻrnatish va induksiyalangan Riman metrikasi. Geometrik jihatdan vektor-funksiya (7) konfiguratsiya maydonini joylashtirishni amalga oshiradi formula_24 Cheklangan Nyuton dinamik tizimining formula_39 -cheklanmagan Nyuton dinamik tizimining oʻlchovli tekis konfiguratsiya fazosi (3). Bunday joylashtirish tufayli atrof-muhit fazosining Evklid tuzilishi Rieman metrikasini manifoldga induktsiya qiladi. formula_24. Ushbu induksiyalangan metrikaning metrik tensorining komponentlari formula bilan berilgan bu yerda formula_42 Evklid strukturasi bilan bogʻlangan skalyar mahsulotdir (4). Cheklangan Nyuton dinamik tizimining kinetik energiyasi. Cheklanmagan tizimning Evklid tuzilishidan boshlab formula_2 zarralar ularning kinetik energiyasi, konfiguratsiya fazosida induktsiyalangan Riman tuzilishi orqali kiritiladi. formula_2 Cheklangan tizimning kinetik energiyaga munosabati saqlanib qoladi: (12)-formula (8) ni (4) ga almashtirish va (11) ni hisobga olish orqali chiqariladi. Cheklash kuchlari. Cheklangan Nyuton dinamik tizimi uchun (6) tenglamalar bilan tavsiflangan cheklovlar odatda baʼzi mexanik ramkalar tomonidan amalga oshiriladi. Ushbu ramka baʼzi yordamchi kuchlarni ishlab chiqaradi, shu jumladan tizimni konfiguratsiya manifoldida ushlab turadigan kuch. formula_24 . Bunday ushlab turuvchi kuch perpendikulyar formula_24 . formula_48 — bu normal kuch deb ataladi. kuch (6) dan ikki komponentga boʻlinadi Miqdorlar formula_51 da (14) kuch vektorining ichki komponentlari deyiladi. Nyutonning egri fazodagi ikkinchi qonuni. Konfiguratsiya manifoltiga cheklangan Nyuton dinamik tizimi (3). formula_24 cheklash tenglamalari (6) orqali differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi bu yerda formula_54 Rieman metrikasi (11) tomonidan ishlab chiqarilgan metrik aloqaning Kristoffel belgilaridir . Lagranj tenglamalariga munosabat. Cheklovli mexanik tizimlar odatda Lagrange tenglamalari bilan tavsiflanadi: bu yerda formula_56 kinetik energiya (12) formula bilan berilgan cheklangan dinamik tizimdir. Miqdorlar formula_57 da (16) tangens kuch vektorining ichki kovariant komponentlari formula_58 (qarang (13) va (14)). Ular ichki kontravariant komponentlardan ishlab chiqariladi formula_51 vektorning formula_58 metrik (11) yordamida standart indeksni pasaytirish protsedurasi yordamida: (16) tenglamalar (15) tenglamalarga teng. Biroq, konfiguratsiya manifoldining metrik (11) va boshqa geometrik xususiyatlari formula_24 (16) da aniq emas. Metrik (11) kinetik energiyadan tiklanishi mumkin formula_63 formula yordamida aniqlanadi: