Viete formulalari. Viete formulalari () — koʻphadning koeffitsiyentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formulalar. Bu formulalar bilan koʻphadning ildizlari toʻgʻriligini tekshirish qulay. Shuningdek, bu formulalar yordamida berilgan ildizlar boʻyicha koʻphadni tuzish mumkin. Bu formulalar farang matematigi François Viète () (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Viete) nomi bilan ataladi. Viete formulalari koʻproq algebrada ishlatiladi. Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchun aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan. Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan oldinroq oʻz asarlarida yozgan. Qoidalar. Asosiy formulalar. "n"-darajali har qanday koʻphad algebraning asosiy teoremasiga koʻra "n" ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) "x"1, "x"2, …, "x""n" kompleks ildizga ega. Viete formulalari koʻphadning "koeffitsiyentlarini" { "a""k" } shu koʻphad "ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasi" { "x""i" } bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi: Boshqacha qilib aytganda, "a""n"−"k" ("n" − "k") inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar "k" ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan: Bu yerda "k" = 1, 2, …, "n". Bu yerda yana "i""k" indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viete formulalarining chap tomoni ildizlarning elementar simmetrik funksiyalaridir. Halqalarga umumlashtirish. Viete formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa butunlik oblasti () "R" da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda formula_4 boʻlaklari "R" ning ulushlar halqasiga () kiradi. Agar formula_4 "R" da qaytariluvchi boʻlsa boʻlaklar "R" ning oʻziga kiradi. formula_6 ildizlar algebraik yopiq maydonda () olinadi. Odatda "R" butun sonlarning halqasidir va kasrlar maydoni ratsional sonlar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa kompleks sonlar maydonidir. Bu holda Viete formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisobsiz bilib olishga yordam beradi. Butunlik oblasti boʻlmagan "kommutativ halqa" (yoki "abel halqasi") koʻphadlari uchun Viete formulalarini har doim ham emas, balki formula_7 lar formula_6 lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 modulli butun sonlari halqasida formula_9 koʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar formula_10 va formula_11 boʻlsa, Viete formulalari toʻgʻri boʻlmaydi. Misollar. Kvadrat tenglama. "Agar "keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega boʻlsa, u holda ularning yigʻindisi -pga, koʻpaytmasi esa qga teng boʻladi." Yaʼni, Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yigʻindisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ildizlarining koʻpaytmasi esa ozod hadga teng. kvadrat tenglamasi berilgan boʻlsin. Bu tenglamada ikki ildiz, yaʼni formula_15 va formula_16 mavjud deb qaralsin. Viete formulalariga koʻra, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻlishi kerak: Bu yerda ildizlarning koʻpaytmasi musbat son boʻlgani uchun ildizlar ham musbat sonlar ekanligini bilib olish mumkin. Ildizlar musbat butun sonlar deb tasavvur qilsak, faqat ikki holdagina koʻpaytma 6 ga teng boʻladi, yaʼni formula_18 va formula_19 hollarida. Viete teoremasining ikkinchi sharti boʻyicha bu yerda ildizlar yigʻindisi 5 ga teng boʻlishi lozim. 1 bilan 6 ning yigʻindisi bu shartni qanoatlantirmaydi. Ammo 2 va 3 sonlarining yigʻindisi berilgan shartni qanoatlantiradi: formula_20. Demak, tenglamaning ildizlari 2 va 3 ga teng. Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlari va koeffitsiyentlari oʻrtasidagi yana ayrim munosabatlarni keltirib chiqaramiz. Ildizlar kvadratlarining yigʻindisini topamiz: Endi (1) dan foydalanib quyidagicha yozamiz: Ildizlar kublarining yigʻindisini topamiz: (1) va (2) formulalardan foydalanib, quyidagicha yozamiz: Viete teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir. Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi. Uchinchi darajali tenglama. Agar Isboti. Viete formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin: Bu ifoda toʻgʻri, chunki formula_36 bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirish kerak. Soʻngra formula_37ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak. formula_38 ifodasini yoysak, hadlar formula_39 boʻladi. Bu yerda formula_6 koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab formula_41 yoki 0, yoki 1 boʻladi. "k" boʻlsa kiritilmagan formula_6 larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni "n" dir. Bu yerda "n" ta binar tanlov boʻlgani uchun (formula_6 ni yoki "x" ni kiritish) formula_44 ta had bor. Geometrik jihatdan bu hadlarni giperkub uchlari deb tushunish mumkin. Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash formula_6 dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni, formula_6 ning "k"-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi. Tarixi. Viete formulalari 16-asrda yashagan farang matematigi François Viète () (, ) nomi bilan ataldi. Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchungina aniqlagan. Viete tenglamaning musbat ildizlari va nomaʼlum qiymatning turli darajalardagi koeffitsiyentlari orasidagi bogʻlanishni aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan. Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan avvalroq oʻz asarlarida yozgan. Hutton bunday deb yozadi: yaʼni, Viete tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasida munosabatlarni qisman anglagan boʻlsa ham, u birinchilarda boʻlib shu bogʻlanishni aniqlagan. Koʻpchilik Vietening bu formulalarning rivojlanishida qoʻshgan hissasi katta deb hisoblaydi. Shu sabab bu formulalarni uning nomi bilan atash xato emas.