Binet tenglamasi. Jak Filipp Mari Binet tomonidan olingan Binet tenglamasi tekislik qutbli koordinatalarda orbital harakatning shakli berilgan markaziy kuch shaklini beradi. Tenglamadan maʼlum bir kuch qonuni uchun orbita shaklini olish uchun ham foydalanish mumkin, lekin bu odatda ikkinchi tartibli chiziqli boʻlmagan oddiy differentsial tenglamaning echimini oʻz ichiga oladi. Quvvat markazi atrofida aylanma harakatda yagona yechim mumkin emas. Tenglama Orbita shakli koʻpincha nisbiy masofa nuqtai nazaridan qulay tarzda tavsiflanadi formula_1 burchak funktsiyasi sifatida formula_2 . Binet tenglamasi uchun orbital shakli oʻrniga qisqaroq tasvirlangan formula_3 funktsiyasi sifatida formula_2 . Muayyan burchak momentumini quyidagicha aniqlang formula_5 qayerda formula_6 burchak impulsi va formula_7 massa hisoblanadi. Keyingi boʻlimda olingan Binet tenglamasi funksiya boʻyicha kuchni beradi formula_8 : formula_9 Chiqarish. Nyutonning ikkinchi qonuni sof markaziy kuch uchun formula_10 Burchak momentining saqlanishi shuni taqozo etadi formula_11 ning hosilalari formula_1 vaqtga nisbatan hosila sifatida qayta yozilishi mumkin formula_13 burchakka nisbatan: formula_14 Yuqoridagilarning barchasini birlashtirib, biz quyidagiga erishamiz formula_15 Umumiy yechim formula_16 bu yerda formula_17 zarrachaning dastlabki koordinatasidir. Misollar. Kepler muammosi. Klassik. Teskari kvadrat qonunining orbitasini hisoblashning anʼanaviy Kepler muammosi differensial tenglamaning yechimi sifatida Binet tenglamasidan oʻqilishi mumkin. formula_18 formula_19 Agar burchak formula_2 periapsisdan oʻlchanadi, keyin (oʻzaro) qutb koordinatalarida ifodalangan orbita uchun umumiy yechim boʻladi. formula_21 Yuqoridagi qutbli tenglama konus kesimlarini tasvirlaydi, bilan formula_22 yarim latus rektum (ga teng formula_23) va formula_24 orbital ekssentriklik . Relyativistik. Shvartsshild koordinatalari uchun olingan relyativistik tenglama formula_25 bu yerda formula_26 yorugʻlik tezligi va formula_27 Shvartsshild radiusidir . Va Reissner-Nordström metrikasi uchun biz olamiz formula_28 bu yerda formula_29 elektr zaryadidir va formula_30 vakuum oʻtkazuvchanligi hisoblanadi. Teskari Kepler muammosi. Teskari Kepler muammosini koʻrib chiqing. Qanday kuch qonuni ellips fokusi atrofida aylana boʻlmagan elliptik orbita (yoki umuman olganda aylana boʻlmagan konus kesimi) hosil qiladi? Ellips uchun yuqoridagi qutb tenglamasini ikki marta differensiallash formula_31 Shuning uchun kuch qonuni formula_32 Bu kutilayotgan teskari kvadrat qonuni. Orbitalning mos kelishi formula_33 kabi jismoniy qadriyatlarga formula_34 yoki formula_35 Nyutonning universal tortishish qonunini yoki Kulon qonunini takrorlaydi. Shvartsshild koordinatalari uchun samarali kuch formula_36 bu yerda ikkinchi aʼzo periapsisning burchak siljishi kabi toʻrt kutupli taʼsirlarga mos keladigan teskari kvarts kuchdir (Uni kechiktirilgan potentsiallar orqali ham olish mumkin ). Parametrlangan post-Nyuton formalizmida biz erishamiz formula_37 bu yerda formula_38 umumiy nisbiylik nazariyasi uchun va formula_39 klassik holatda. Kotes spirallari. Teskari kub kuch qonuni shaklga ega formula_40 Teskari kub qonunining orbitalarining shakllari Cotes spirallari deb nomlanadi. Binet tenglamasi orbitalar tenglamaning yechimi boʻlishi kerakligini koʻrsatadi formula_41 Differensial tenglama Kepler muammosining turli konus kesimlariga oʻxshab uch xil yechimga ega. Qachon formula_42, yechim epispiral, shu jumladan toʻgʻri chiziqning patologik holati qachon formula_43 . Qachon formula_44, yechim giperbolik spiraldir . Qachon formula_45 yechim Puinsot spiralidir . Eksadan tashqari aylanma harakat. Binet tenglamasi kuch markazi atrofida aylana harakati uchun yagona kuch qonunini bera olmasa ham, tenglama aylananing markazi va kuch markazi mos kelmasa, kuch qonunini berishi mumkin. Masalan, toʻgʻridan-toʻgʻri kuch markazidan oʻtadigan dumaloq orbitani koʻrib chiqing. Bunday dumaloq diametrli orbita uchun (oʻzaro) qutbli tenglama formula_46 hisoblanadi formula_47 Farqlash formula_48 ikki marta va Pifagor kimligidan foydalanish imkonini beradi formula_49 Kuch qonuni shunday formula_50 Eʼtibor bering, umumiy teskari masalani yechish, yaʼni jozibali orbitalarni qurish formula_51 kuch qonuni, ancha qiyinroq muammodir, chunki u echishga tengdir formula_52 ikkinchi tartibli chiziqli boʻlmagan differentsial tenglama.