Modulning parchalanishi. Mavhum algebrada modulning parchalanishi modulni modullarning bevosita yigʻindisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun koʻpincha parchalanish turlaridan qoʻllanadi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi boʻlgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi, agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul boʻladi. Ayrılabilir modul ikki nol boʻlmagan submodullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi boʻlmagan moduldir. Azumaya teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari boʻlgan modullarga parchalanishga ega boʻlsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent boʻladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi. Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy boʻladi, agar u boʻlinish halqalari ustidagi matritsa halqalarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (aslida mahsulot) boʻladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi). Idempotentlar va parchalanishlar. Modulning toʻgʻridan-toʻgʻri toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini toʻplaydigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir. Haqiqatan ham, agar formula_1, keyin, har biri uchun formula_2, chiziqli endomorfizm formula_3 tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir (formula_4 uchun formula_5) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi. Bular: endomorfizmlar sifatida (bu yerda yigʻindi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yigʻindi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir toʻplami formula_7 Shunday qilib, faqat cheksiz koʻp formula_8 har biri uchun nolga teng formula_9 va formula_10 olish orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining parchalanishini aniqlanadi formula_11 tasvirlari boʻlish formula_12 ga teng. Bu fakt allaqachon halqaning mumkin boʻlgan parchalanishiga baʼzi cheklovlar qoʻyadi: halqa berilgan formula_13, dekompozitsiya bor deylik formula_13 ning oʻzi ustidan chap modul sifatida, qaerda formula_16 chap submodullar; yaʼni, chap ideallar . Har bir endomorfizm formula_17 "R" elementi bilan toʻgʻri koʻpaytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib, formula_18 qayerda formula_19 ning idempotentlari hisoblanadi formula_20 .Idempotent endomorfizmlarning yigʻindisi "R" birligining parchalanishiga mos keladi: formula_21, bu shartli ravishda cheklangan yigʻindi; ayniqsa, formula_22 chekli toʻplam boʻlishi kerak. Masalan, formula_23, boʻlinish halqasi ustidagi "n" -uchun- "n" matritsalar halqasi "D." Keyin formula_24 "n" nusxasining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisidir formula_25, ustunlar; har bir ustun oddiy chap "R" -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal. "R" halqa boʻlsin. Faraz qilaylik, uning oʻzidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud. "ikki tomonlama ideallarga" aylanadi formula_27 ning "R" . Yuqoridagi kabi, formula_28 baʼzi ortogonal idempotentlar uchun formula_12 shu kabi formula_30 . beri formula_27 idealdir, formula_32 va hokazo formula_33 uchun formula_5 . Keyin, har bir "i" uchun, Yaʼni, formula_12 markazda joylashgan; yaʼni ular markaziy idempotentlardir .Shubhasiz, argument teskari boʻlishi mumkin va shuning uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining ideallarga boʻlinishi va birlik 1 ga toʻgʻri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar oʻrtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri formula_27 oʻzi — oʻz-oʻzidan halqa tomonidan berilgan birlik formula_12 va halqa sifatida "R" mahsulot halqasidir formula_39 Masalan, yana oling formula_23 . Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas. Parchalanish turlari. Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining bir necha turlari oʻrganilgan: Oddiy modul ajralmaydigan boʻlgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy boʻlsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega boʻlishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish boʻladi. Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi, agar u ajralmaydigan toʻldiruvchini qabul qilsa, "maksimal" parchalanish deyiladi. Parchalanish formula_41 Agar "M" ning har bir maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi "L" uchun kichik toʻplam mavjud boʻlsa, "maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi" deyiladi. formula_42 shu kabi Ikki parchalanish formula_44 bijection mavjud boʻlsa, "ekvivalent" deyiladi formula_45 har biri uchun shunday formula_2, formula_47 .Agar modul maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent boʻladi. Azumaya teoremasi. Eng oddiy shaklda Azumaya teoremasida aytiladi.Sunday parchalanish berilgan formula_48 Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi formula_11 mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), "M" ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi.Bunday parchalanish berilgan, agar formula_50, keyin Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi boʻyicha) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qoʻllanadi. Darhaqiqat, agar "M" cheklangan uzunlikdagi modul boʻlsa, u holda uzunlik boʻyicha induksiya boʻyicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega. formula_62, bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib boʻlmaydigan parchalanish berilgan formula_63 . Keyin u birinchisiga teng boʻlishi kerak: shunday formula_64 va formula_65 baʼzi almashtirish uchun formula_66 ning formula_67 . Aniqrogʻi, beri formula_68 ajralmas, formula_69 baʼzilar uchun formula_70 . Keyin, beri formula_71 ajralmas, formula_72 va hokazo; yaʼni har bir summani toʻldiradi formula_73 baʼzilarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida qabul qilinishi mumkin formula_11 ning qiymatidir. Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir): Buni koʻrish uchun cheklangan toʻplamni tanlang formula_81 shu kabi formula_82 . Keyin, yozish formula_83, Azumaya teoremasi boʻyicha, formula_84 baʼzi toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar bilan formula_85 ning formula_86 va keyin, modul qonuniga koʻra, formula_87 bilan formula_88 . Keyin, beri formula_89 ning bevosita yig‘indisidir formula_90, yozishimiz mumkin formula_91 undan keyin formula_92, bu "F" chekli boʻlgani uchun, bu degani formula_93 baʼzi "J" uchun Azumaya teoremasini takroran qoʻllash orqali hisoblanadi. Azumaya teoremasini oʻrnatishda, agar qoʻshimcha ravishda har bir formula_11 hisoblash mumkin boʻlsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli): formula_51 ga izomorfdir formula_96 baʼzi bir kichik toʻplam uchun formula_42 (Maʼlum maʼnoda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan.), bu taxmin nomaʼlum „ formula_11 countably genered“ ni oʻchirib qoʻyish mumkin; yaʼni, bu yaxshilangan versiya judayam toʻgʻri. Halqaningning parchalanishi. Halqaning parchalanishi boʻyicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: "R" halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir: Birinchi ikkitasining ekvivalentligini koʻrish uchun eʼtibor bering: agar formula_104 qayerda formula_105 oʻzaro izomorf boʻlmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar oʻngdan harakat qiladi. har biri qaerda formula_107 boʻlinish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida koʻrish mumkin formula_108 . (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng boʻladi.) Ekvivalentlik 1. formula_109 3. chunki har bir modul boʻsh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.