Shredinger tenglamasi. Shredinger tenglamasi — bu kvant-mexanik tizimning toʻlqin funksiyasini boshqaruvchi chiziqli qisman differentsial tenglama. Uning kashfiyoti kvant mexanikasining rivojlanishida muhim voqea boʻldi. Tenglama Ervin Shredinger sharafiga nomlangan, u 1925-yilda tenglamani asoslab bergan va uni 1926-yilda nashr etgan va 1933-yilda fizika boʻyicha Nobel mukofotiga sazovor boʻlgan ish uchun asos boʻlgan. Kontseptual jihatdan Shredinger tenglamasi klassik mexanikada Nyutonning ikkinchi qonuniga kvant tomonidan oʻxshashidir. Maʼlum boʻlgan dastlabki shartlar toʻplamini hisobga olgan holda, Nyutonning ikkinchi qonuni maʼlum bir moddiy tizim vaqt oʻtishi bilan qanday harakat qilishi haqida matematik bashorat qiladi. Shredinger tenglamasi toʻlqin funksiyasining vaqt boʻyicha evolyutsiyasini, izolyatsiya qilingan moddiy tizimning kvant-mexanik tavsifini beradi. Tenglama vaqt evolyutsiyasi operatori unitar boʻlishi kerakligi va shuning uchun kvant Gamiltonian boʻlgan oʻz-oʻzidan qoʻshilgan operatorning eksponensi tomonidan yaratilishi kerakligidan kelib chiqishi mumkin. Shredinger tenglamasi kvant mexanik sistemalarni oʻrganish va avvaldan aytib berishning yagona usuli emas. Kvant mexanikasining boshqa formulalari orasida Verner Heisenberg tomonidan kiritilgan matritsa mexanikasi va asosan Richard Feynman tomonidan ishlab chiqilgan yoʻl integral formulasi mavjud. Pol Dirak matritsa mexanikasi va Shredinger o'z tenglamasini yagona formulaga kiritdi. Ushbu yondashuvlar solishtirilganda, Shredinger tenglamasidan foydalanish baʼzan „toʻlqin mexanikasi“ deb ataladi. Taʼrif. Dastlabki fikrlar. Fizika yoki kimyo boʻyicha kirish kurslari, odatda, Shredinger tenglamasini faqat asosiy hisob-kitoblarning tushunchalari va belgilarini, xususan, fazo va vaqtga nisbatan hosilalarni bilish mumkin boʻlgan tarzda kiritadi. Shredinger tenglamasining ushbu shartlardagi bayonotni qabul qiladigan alohida holati bir oʻlchovdagi yagona relyativistik boʻlmagan zarracha uchun joy-fazo Shredinger tenglamasidir: formula_1 Bu yerda, formula_2 toʻlqin funksiyasi boʻlib, har bir nuqtaga kompleks sonni belgilaydigan funksiya formula_3 har safar formula_4. Parametr formula_5 zarrachaning massasi va formula_6 zarracha mavjud boʻlgan muhitni ifodalovchi "potentsialdir" . Doimiy formula_7 xayoliy birlikdir va formula_8 kamaytirilgan Plank doimiysi boʻlib, u harakat birliklariga ega (energiya vaqtga koʻpaytiriladi). Ushbu oddiy holatdan tashqariga chiqib, Pol Dirak, Devid Xilbert, Jon fon Neyman va Hermann Veyl tomonidan ishlab chiqilgan kvant mexanikasining matematik formulasi kvant mexanik tizimining holatini aniqlaydi. formula_9 vektor (ajraladigan) Gilbert fazosiga tegishli formula_10 . Bu vektor Gilbert fazosining ichki qiymati ostida normallashtiriladi deb taxmin qilinadi, yaʼni Dirak yozuvida u boʻysunadi. formula_11 . Ushbu Hilbert fazosining aniq tabiati tizimga bogʻliq — masalan, pozitsiya va impulsni tavsiflash uchun Gilbert fazosi kompleks kvadrat integrallanuvchi funksiyalar fazosidir. formula_12, bitta protonning spini uchun Gilbert fazosi oddiygina ikki oʻlchovli kompleks vektorlar fazosidir. formula_13 odatiy ichki mahsulot bilan. Qiziqarli moddiy kattaliklar — koordina, impuls, energiya, spin — „kuzatish mumkin boʻlganlar“ bilan ifodalanadi, ular Gilbert fazosida harakat qiluvchi Ermit operatori (aniqrogʻi, oʻz-oʻzidan qoʻshiladigan) chiziqli operatorlardir. Toʻlqin funksiyasi kuzatiladigan narsaning xos vektori boʻlishi mumkin, bu holda u xos holat deb ataladi va bogʻlangan xos qiymat shu xos holatdagi kuzatiladigan qiymatga mos keladi. Umuman olganda, kvant holati kvant superpozitsiyasi deb nomlanuvchi xos holatlarning chiziqli birikmasi boʻladi. Kuzatish mumkin boʻlgan narsa oʻlchanganda natija Born qoidasi bilan berilgan ehtimollik bilan uning xos qiymatlaridan biri boʻladi: eng oddiy holatda xos qiymat formula_14 degenerativ emas va ehtimollik formula_15 bilan berilgan, bu yerda formula_16 uning bogʻlangan xos vektoridir. Umuman olganda, xos qiymat degenerativ va ehtimollik bilan berilgan formula_17, bu yerda formula_18 u bilan bogʻliq xususiy fazoga proyektor hisoblanadi. Impulsning oʻz holati cheksiz darajadagi mukammal monoxromatik toʻlqin boʻladi, bu kvadrat integrallanmaydi. Xuddi shunday pozitsiyaning oʻz holati Dirac delta taqsimoti boʻladi, kvadrat bilan integrallanmaydi va maʼno jihatdan umuman funksiya emas. Binobarin, ikkalasi ham zarrachaning Gilbert fazosiga tegishli boʻla olmaydi. Fiziklar baʼzan bu boʻshliqdan tashqari elementlardan iborat Gilbert fazosi uchun xayoliy „asoslar“ni kiritadilar. Bular hisoblash qulayligi uchun ixtiro qilingan va moddiy holatlarni ifodalamaydi. Shunday qilib, pozitsiya-fazo toʻlqini funksiyasi formula_2 yuqorida ishlatilganidek, vaqtga bogʻliq holat vektorining ichki mahsuloti sifatida yozilishi mumkin formula_20 miqdoriy boʻlmagan, ammo qulay „pozitsiyaning oʻz holatlari“ bilan formula_21: formula_22 Formulasi. Gamiltonni doimiy ushlab turish formula_23, Shredinger tenglamasida yechimga ega: formula_24 Operator formula_25 vaqt evolyutsiyasi operatori sifatida tanilgan va unitardir: u Hilbert fazosida vektorlar orasidagi ichki mahsulotni saqlaydi. Unitarlik Shredinger tenglamasi ostidagi vaqt evolyutsiyasining umumiy xususiyatidir. Agar dastlabki holat boʻlsa formula_26, keyin buyruq formula_4 tomonidan beriladi: formula_28 ayrim unitar operator uchun formula_29. Aksincha deylik, formula_29 tomonidan parametrlangan unitar operatorlarning uzluksiz oilasi formula_4. Umumiylikni yoʻqotmasdan, parametrlash shunday tanlanishi mumkin formula_32 tanlash operatori va u formula_33 har qanday uchun formula_34 . Keyin formula_29 formula_4 parametrga bogʻliq shunday tarzda: formula_37 baʼzi oʻz-oʻzidan qoʻshilgan operator uchun formula_38, oilaning asosiysi deb ataladi formula_29 . Gamiltonian aynan shunday asosiy operatordir (tabiiy birliklarda 1 ga oʻrnatiladigan Plank doimiysi koeffitsientigacha). Ermit ekanligini koʻrish uchun buni eʼtiborga olish zarur: formula_40, bizda quyidagi tenglama bor: formula_41 shunday formula_29 Agar birinchi navbatda uning hosilasi Ermit boʻlsa, unitar hisoblanadi.