Runge–Kutta usuli. Runge–Kutta usuli — oddiy differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini yechishda qoʻllanadigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari Carl Runge va Wilhelm Kutta tomonidan taklif qilingan. Runge–Kutta usullari toʻplamiga Eulerning oshkor usuli va Eulerning modifikatsiyalangan usullari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar (Maple, MathCAD, Maxima) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge–Kutta usuli qoʻllanadi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi. Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻladi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas. Toʻrtinchi tartibli klassik Runge–Kutta usuli. Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge–Kutta usuli juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge–Kutta usuli deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi ni koʻrib chiqamiz. (Bundan keyingi oʻrinlarda formula_1). U holda ushbu tenglamaning yaqinlashgan (taxminiy) yechimi quyidagi iteratsion formula yordamida hisoblanadi: Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi toʻrt bosqichda amalga oshiriladi: bu yerda formula_8 — toʻr qadamining formula_9 boʻyicha kattaligi. Ushbu usul toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega. Demak, bitta hisoblash qadamidagi xatolik formula_10 tartibida boʻladi. Oxirgi intervaldagi yigʻindi xatolik esa formula_11 tartibida. Runge–Kuttaning oshkor usullari. Runge–Kuttaning oshkor usullari sinfi, Eulerning oshkor usullari hamda toʻrtinchi tartibli Runge–Kutta usullarining umumlashgan koʻrinishi hisoblanadi. Ushbu metod quyidagi formula orqali beriladi: bu yerda formula_8 — toʻr qadamining formula_9 boʻyicha kattaligi. Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi formula_15 bosqichlarda amalga oshiriladi: Aniq metod, formula_15 soni va formula_18 hamda formula_19 koeffitsiyentlar orqali aniqlanadi. Ushbu koeffitsiyentlar Butcher jadvali deb ataluvchi jadvalni hosil qiladi: Runge–Kutta usuli koeffitsiyentlari uchun formula_21 dlya formula_22 shart bajarilishi kerak. Agar metod aniqligi formula_23 -tartibli boʻlishi kerak boʻlsa, qoʻshimcha tarzda quyidagi shart ham bajarilishi lozim: bu yerda formula_25 — Runge–Kutta usuli orqali olingan yaqinlashish. Koʻp martalab differensiallashdan soʻng ushbu shart, metod koeffitsiyentlariga nisbatan polinomial tenglamalar sistemasiga aylanadi.