Gamilton mexanikasi. Gamilton mexanikasi 1833 yilda Lagranj mexanikasining islohoti sifatida paydo boʻldi. Sir Uilyam Rouen Hamilton tomonidan kiritilgan . Gamilton mexanikasi (umumlashtirilgan) tezliklarni almashtiradi formula_1 (umumlashtirilgan) "impuls" bilan Lagranj mexanikasida qoʻllanadi. Ikkala nazariya ham klassik mexanikaning talqinini beradi va bir xil fizik hodisalarni tavsiflaydi. Gamilton mexanikasi geometriya (ayniqsa, simplektik geometriya va Puasson tuzilmalari) bilan yaqin aloqada boʻlib, klassik va kvant mexanikasi oʻrtasida bogʻlovchi boʻlib xizmat qiladi. Umumiy koʻrinish. Fazo fazosi koordinatalari (p, q) va Gamilton H. Mayli formula_2 konfiguratsiya maydoni boʻlgan mexanik tizim boʻlishi kerak formula_3 va silliq Lagrangian formula_4 Standart koordinata tizimini tanlaymiz: formula_5. formula_6 miqdorlar "impuls" deyiladi. (Shuningdek, "umumlashtirilgan impuls", qoʻshma "impuls" va "kanonik impulslar"). Bir zumda formula_7 Legendre transformatsiyasi formula_8ning xaritasi sifatida belgilanadi formula_9 silliq teskari boʻlishi taxmin qilinadi formula_10 bilan tizim uchun formula_11 erkinlik darajasi, Lagranj mexanikasi "energiya funksiyasini" belgilaydi: formula_12 Legendre ning oʻzgarishi formula_8 aylanadi formula_14 funksiyaga aylanadi formula_15 sifatida tanilgan. Gamiltonianlik qanoatlantiradi formula_16 bu shuni anglatadi formula_17 tezliklar bu yerda formula_18 dan topiladi (formula_11 -oʻlchovli) tenglama formula_20 Bu, taxminga koʻra, yagona echilishi mumkin formula_21 (formula_22 -oʻlchovli) juftlik formula_23 "fazo fazosi koordinatalari" deb ataladi. (Shuningdek, "kanonik koordinatalar"). Eyler-Lagranj tenglamasidan Gamilton tenglamalariga. Fazoviy fazoda koordinatalar formula_24 (formula_11 -oʻlchovli) Eyler-Lagranj tenglamasi formula_26 dagi "Gamilton tenglamalariga" aylanadi formula_22 oʻlchamlari formula_28 Statsionar harakat tamoyilidan Gamilton tenglamalarigacha. Mayli formula_29 silliq yoʻllar toʻplami boʻlsin formula_30 buning uchun formula_31 va formula_32 Funksional harakat formula_33 orqali aniqlanadi formula_34 bu yerda formula_35 va formula_36 (yuqoriga qarang). Yoʻl formula_37 ning statsionar nuqtasi hisoblanadi formula_38 (va demak, harakat tenglamasi) agar va faqat yoʻl boʻlsa formula_39 fazo fazosida koordinatalar Gamilton tenglamalariga boʻysunadi. Asosiy fizikaviy talqin. Gamilton mexanikasining oddiy talqini uni massali bitta relyativistik boʻlmagan zarrachadan tashkil topgan bir oʻlchovli tizimda qoʻllashdan kelib chiqadi. Qiymat formula_40 Gamiltonian — tizimning umumiy energiyasi, bu holda kinetik va potentsial energiya yigʻindisi, anʼanaviy ravishda mos ravishda va bilan belgilanadi. Bu yerda — impuls , — fazo koordinatasi. Keyin formula_41 T faqat p ning funksiyasi, V esa faqat q funksiyasi (yaʼni, T va V skleronomik). Bu misolda ning vaqt hosilasi tezlikdir va shuning uchun birinchi Gamilton tenglamasi zarraning tezligi uning impulsga nisbatan kinetik energiyasining hosilasiga teng ekanligini bildiradi. Impuls momentining vaqt hosilasi "Nyuton kuchiga" teng va shuning uchun ikkinchi Gamilton tenglamasi kuch potensial energiyaning salbiy gradientiga teng ekanligini anglatadi. Misol. Sferik mayatnik shar yuzasida ishqalanishsiz harakatlanuvchi "m" massadan iborat boʻlsin. Massaga taʼsir qiluvchi yagona kuchlar sfera va tortishish reaksiyasidir . Sferik koordinatalar massaning holatini ("r", "θ", "φ") koʻrinishida tasvirlash uchun ishlatiladi, bu yerda oʻzgarmas, . Ushbu tizim uchun Lagrangian : formula_42 Gamiltonian shunday formula_43 bu yerda formula_44 va formula_45 Koordinatalar va impulslar nuqtai nazaridan, Gamiltonian buni oʻqiydi formula_46 Gamilton tenglamalari toʻrtta birinchi tartibli differensial tenglamalarda koordinatalar va qoʻshma impulslarning vaqt evolyutsiyasini beradi, formula_47 impulsi, bu burchak momentumining vertikal komponentiga mos keladi formula_48, harakat doimiysi. Bu vertikal oʻq atrofida tizimning aylanish simmetriyasining natijasidir. Gamiltonian, azimutdan yoʻq boʻlish formula_49 siklik koordinata boʻlib, uning qoʻshma impulsining saqlanishini nazarda tutadi. Gamilton tenglamalarini chiqarish. Gamilton tenglamalarini Lagrangian bilan hisoblash yoʻli bilan olish mumkin formula_50, umumlashtirilgan pozitsiyalar va umumlashtirilgan tezliklar , bu yerda formula_51 . Bu yerda biz qobiqdan tashqari ishlaymiz, yaʼni formula_52 Har qanday harakat tenglamalariga rioya qilish uchun cheklanmagan faza fazosidagi mustaqil koordinatalar (xususan, formula_53 ning hosilasi emas formula_54). Lagrangianning umumiy farqi : formula_55 Umumlashtirilgan impuls koordinatalari quyidagicha aniqlandi:formula_56, shuning uchun tenglamani quyidagicha qayta yozishimiz mumkin: formula_57 Qayta tartibga solishdan keyin quyidagilar olinadi: formula_58 Chap tarafdagi qavs ichidagi atama faqat Gamiltoniandir formula_59 ilgari belgilangan, shuning uchun: formula_60 Gamiltonianning umumiy differensialini ham hisoblash mumkin formula_61 koordinatalariga nisbatan formula_62 oʻrniga formula_52, hosil beradi: formula_64 Endi bu ikki ifodani tenglashtirish mumkin formula_65, jihatidan biri formula_50, ikkinchisi jihatidan formula_61 : formula_68 Ushbu hisob-kitoblar qobiqdan tashqari boʻlgani sababli, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirish mumkin formula_69 ikki tomondan: formula_70 Bunda, biri parametrik funksiyalarni almashtiradi formula_71 tezliklar bilan faza fazosida trayektoriyani belgilaydi formula_72, Lagrange tenglamalariga boʻysunish: formula_73 Qobiqdagi nuqtai nazardan qayta tartibga solish va yozish formula_74 beradi: formula_75 Shunday qilib, Lagranj tenglamalari Gamilton tenglamalariga ekvivalentdir: formula_76 Vaqtdan mustaqil boʻlgan holda formula_61 va formula_50, yaʼni formula_79 , Gamilton tenglamalari birinchi tartibli differensial tenglamalardan, Lagranj tenglamalari esa ikkinchi tartibli tenglamalardan iborat. Gamilton tenglamalari odatda aniq yechimlarni topish qiyinligini kamaytirmaydi, lekin ulardan muhim nazariy natijalarni olish mumkin, chunki koordinatalar va momentlar deyarli simmetrik rollarga ega boʻlgan mustaqil oʻzgaruvchilardir. Gamilton tenglamalarining Lagranj tenglamalaridan yana bir afzalligi bor: agar tizim simmetriyaga ega boʻlsa, baʼzi koordinatalar formula_80 Gamiltonianda (yaʼni "tsiklik koordinatada") yuzaga kelmaydi, mos keladigan impuls koordinatasi. formula_81 har bir traektoriya boʻylab saqlanadi va bu koordinatani toʻplamning boshqa tenglamalarida doimiyga kamaytirish mumkin. Bu muammoni koordinatadan koordinatagacha samarali qisqartiradi: bu geometriyadagi simplektik qisqarishning asosidir. Lagranj tizimida impulsning saqlanishi ham darhol sodir boʻladi, ammo barcha umumiy tezliklar formula_82 hali ham Lagranjiyada uchraydi va koordinatali tenglamalar sistemasi haligacha yechilishi kerak. Lagrangian va Gamilton yondashuvlari klassik mexanikada chuqurroq natijalar uchun zamin yaratadi va kvant mexanikasida oʻxshash formulalarni taklif qiladi: yoʻl integral formulasi va Shredinger tenglamasi . Elektromagnit maydondagi zaryadlangan zarrachaning Gamiltoniani. Gamilton mexanikasining yetarlicha tasviri elektromagnit maydondagi zaryadlangan zarrachaning Gamiltonian tomonidan berilgan. Dekart koordinatalarida elektromagnit maydondagi relyativistik boʻlmagan klassik zarrachaning lagranjiyani (SI birliklarida): formula_100 Bu yerda — zarrachaning elektr zaryadi, — elektr skayar potentsiali va — magnit vektor potentsialining tarkibiy qismlari, ularning barchasi aniq bogʻliq boʻlishi mumkin. formula_101 va formula_102 . Ushbu Lagranj Eyler-Lagranj tenglamasi bilan birgalikda Lorents kuch qonunini hosil qiladi. formula_103va minimal ulanish deb ataladi. Kanonik impulslar quyidagicha ifodalanadi:formula_104 Gamiltonian, Lagrangianning Legendre oʻzgarishi sifatida, shuning uchun: formula_105 Bu tenglama kvant mexanikasida tez-tez ishlatiladi. Oʻlchov transformatsiyasi ostida:formula_106Bu yerda fazo va vaqtning har qanday skalyar funksiyasi boʻlib, yuqorida aytib oʻtilgan Lagranj, kanonik impuls va Gamilton oʻzgarishiga oʻxshash: formula_107 Bu hali ham xuddi shu Gamilton tenglamasini ishlab chiqaradi: formula_108 Kvant mexanikasida toʻlqin funksiyasi ham oʻlchagich transformatsiyasi vaqtida mahalliy U(1) guruh transformatsiyasiga oʻtadi, bu esa mahalliy U(1) transformatsiyalar ostida barcha fizik natijalar oʻzgarmas boʻlishi kerakligini bildiradi. Elektromagnit maydondagi relativistik zaryadlangan zarracha. Zarra uchun relativistik lagranj (tinch massa formula_109 va zaryadlash formula_110) tomonidan berilgan: formula_111 Shunday qilib, zarrachaning kanonik impulsi: formula_112 yaʼni kinetik impuls va potensial impulsning yigʻindisi. Tezlikni yechib, biz olamiz formula_113 Gamiltonian ham shunday formula_114 Natijada kuch tenglamasi (Eyler-Lagranj tenglamasiga teng) formula_115 undan olish mumkin formula_116 Yuqoridagi hosila vektor hisob identifikatoridan foydalanadi:formula_117Relyativistik (kinetik) impulsning funksiyasi sifatida Gamiltonian uchun ekvivalent ifoda, formula_118, hisoblanadi formula_119 Bu kinetik impulsning afzalligi formula_120 kanonik impulsni eksperimental ravishda oʻlchash mumkin, formula_121da mumkin emas. Eʼtibor bering, Gamiltonian (toʻliq energiya) nisbiy energiya (kinetik + dam) yigʻindisi sifatida koʻrib chiqilishi mumkin, formula_122, ortiqcha potentsial energiya, formula_123 . Simplektik geometriyadan Gamilton tenglamalarigacha. Gamilton sistemalarining geometriyasi. Gamiltonian bir necha ekvivalent usullar bilan silliq juft oʻlchamli koʻp qirrali simplektik strukturani keltirib chiqarishi mumkin, eng yaxshi maʼlum boʻlganlari quyidagilardir: Yopiq degenerativ simplektik 2-forma sifatida ō. Darbu teoremasiga koʻra, ning istalgan nuqtasi atrofidagi kichik mahallada tegishli mahalliy koordinatalar mavjud. formula_124 ("kanonik" yoki "simplektik" koordinatalar), bunda simplektik shakl quyidagicha boʻladi: formula_125Shakl formula_126 kotangent fazo bilan tangens fazoning tabiiy izomorfizmini keltirib chiqaradi: formula_127 Bu vektorni xaritalash orqali amalga oshiriladi formula_128 1-shaklga formula_129 bu yerda formula_130 Barcha uchun formula_131 Bilinearligi va degeneratsiyasi tufayli formula_132 va bu haqiqat formula_133 xaritalash formula_134 Bu, albatta, chiziqli izomorfizmdir . Bu izomorfizm "tabiiydir", chunki u koordinatalar oʻzgarishi bilan oʻzgarmaydi formula_135 Hammasini takrorlash formula_136 biz izomorfizm bilan yakunlaymiz formula_137 silliq vektor maydonlarining cheksiz oʻlchovli fazosi va silliq 1-shakllar orasidagi. Har biri uchun formula_138 va formula_139 formula_140 (Algebraik nuqtai nazardan, shuni aytish mumkin formula_141 -modullar formula_142 va formula_143 izomorf). Agar formula_144 keyin, har bir sobit uchun formula_145formula_146 va formula_147formula_148 Gamilton vektor maydoni sifatida tanilgan. formula_3da tegishli differensial tenglama yoqilgan. formula_150 deyiladi. Bu yerda formula_151 va formula_152 vektor maydonining (vaqtga bogʻliq) qiymati formula_148 da formula_154 Gamilton tizimini vaqt davomida tolalar toʻplami deb tushunish mumkin, tolasi vaqtidagi joylashuv maydonidir. Shunday qilib, Lagrangian jet toʻplamining ustida ustidagi funksiyasi; Lagranjning tolali Legendre konvertatsiyasini olib, vaqt oʻtishi bilan dual toʻplamda funksiya hosil qiladi, uning tolasi dagi kotangent fazosi boʻlib, u tabiiy simplektik shakl bilan jihozlangan va bu oxirgi funksiya Gamiltoniandir. Lagranj va Gamilton mexanikasi oʻrtasidagi yozishmalarga tavtologik bir shakl bilan erishiladi. Simplektik manifolddagi har qanday silliq real qiymatli H funksiyasidan Gamilton tizimini aniqlash uchun foydalanish mumkin. H funksiyasi „Gamiltonian“ yoki „energiya funksiyasi“ deb nomlanadi. Simplektik manifold keyin fazo fazosi deb ataladi. Gamiltonian simplektik manifoldda Gamilton vektor maydoni deb nomlanuvchi maxsus vektor maydonini induksiya qiladi. Gamilton vektor maydoni manifoldda Gamilton oqimini keltirib chiqaradi. Bu kollektor oʻzgarishlarining bir parametrli oilasi (egri chiziqlar parametri odatda „vaqt“ deb ataladi); boshqacha qilib aytganda, simplektomorfizmlarning izotopi, identifikatsiyadan boshlab. Liuvil teoremasiga koʻra, har bir simplektomorfizm faza fazosida hajm shaklini saqlaydi. Gamilton oqimi tomonidan qoʻzgʻatilgan simplektomorfizmlar toʻplami odatda Gamilton tizimining „Gamilton mexanikasi“ deb ataladi. Simplektik tuzilma Puasson qavsni keltirib chiqaradi. Puasson qavs Lie algebrasining strukturasi manifoldidagi funksiyalar maydonini beradi. Agar va da silliq funksiyalar boʻlsa, silliq funksiya toʻgʻri aniqlanadi; u va funksiyalarning "Puasson qavsi" deyiladi va bilan belgilanadi. Poisson qavs quyidagi xususiyatlarga ega: funksiya berilganformula_158 agar ehtimollik taqsimoti mavjud boʻlsa , u holda (fazo fazo tezligidan beri formula_159 nol divergensiyaga ega va ehtimollik saqlanib qolgan) uning konvektiv hosilasi nolga teng ekanligini koʻrsatish mumkin va shuning uchun formula_160 Bu Liuvil teoremasi deb ataladi. Simplektik manifold ustidagi har bir silliq funksiya simplektomorfizmlarning bir parametrli oilasini hosil qiladi va agar boʻlsa, u holda saqlanib qoladi va simplektomorfizmlar simmetriya oʻzgarishlari hisoblanadi. Gamiltonian bir nechta saqlangan miqdorlarga ega boʻlishi mumkin . Agar simplektik manifold oʻlchamga ega boʻlsa va involyutsiyada boʻlgan funksional mustaqil saqlangan kattaliklari mavjud boʻlsa (yaʼni, ), u holda Gamiltonian Liuvil integrallanishi mumkin . Liuvil-Arnold teoremasi shuni koʻrsatadiki, lokal ravishda har qanday Liuvil integrallanadigan Gamiltonian simplektomorfizm orqali yangi Gamiltonianga koordinatalar sifatida saqlanib qolgan kattaliklarga aylantirilishi mumkin; yangi koordinatalar "harakat burchagi koordinatalari" deb ataladi. Oʻzgartirilgan Gamiltonian faqat ga bogʻliq va shuning uchun harakat tenglamalari oddiy shaklga ega. formula_161baʼzi funksiyalar uchun . KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser) teoremasi tomonidan boshqariladigan integral tizimlardan kichik ogʻishlarga qaratilgan butun bir maydon mavjud. Gamilton vektor maydonlarining integralligi ochiq savol. Umuman olganda, Gamilton tizimlari xaotikdir; oʻlchov, toʻliqlik, yaxlitlik va barqarorlik tushunchalari kam taʼriflangan. Riman manifoldlari. Muhim maxsus holat kvadrat shakllar boʻlgan Gamiltonianlardan iborat, yaʼni shunday yozilishi mumkin boʻlgan Gamiltonianlar. formula_162 Bu yerda — tolalaridagi silliq oʻzgaruvchan ichki mahsulot, konfiguratsiya maydonidagi nuqtasiga kotangent boʻshliq, baʼzan komerik deb ataladi. Bu Gamiltonian butunlay kinetik atamadan iborat. Agar Rieman manifoldu yoki psevdo-Riman manifoldini hisobga oladigan boʻlsak, Rieman metrikasi tangens va kotangens toʻplamlari oʻrtasida chiziqli izomorfizmni keltirib chiqaradi. (Qarang: Musiqiy izomorfizm). Ushbu izomorfizmdan foydalanib, komerikni aniqlash mumkin. (Koordinatalarda belgilovchi matritsa metrikani belgilovchi matritsaga teskarisidir.) Bu Gamiltonian uchun Gamilton-Jakobi tenglamalarining yechimlari manifolddagi geodeziya bilan bir xil boʻladi. Xususan, bu holda Gamilton oqimi geodezik oqim bilan bir xil narsadir. Bunday yechimlarning mavjudligi va yechimlar toʻplamining toʻliqligi geodeziya maqolasida batafsil muhokama qilinadi. Hamilton oqimlari sifatida Geodeziyaga qarang. Sub-Riman manifoldlari. Kometrika degenerativ boʻlsa, u teskari emas. Bunday holda, metrikaga ega boʻlmaganidek, Rieman manifoldiga ega emas. Biroq, Gamiltonian hali ham mavjud. Kometrik konfiguratsiya manifoldu ning har nuqtasida degeneratsiyaga uchragan holatda, komerikning darajasi manifold oʻlchamidan kichik boʻlishi uchun, birida Riemanning pastki manifoldiga ega boʻladi. Bu holatda Gamiltonian sub-rimanlik Gamiltonian sifatida tanilgan. Har bir bunday Gamiltonian komerikni oʻziga xos tarzda aniqlaydi va aksincha. Bu shuni anglatadiki, har bir sub-rimanlik manifold oʻzining sub-rimanlik Gamiltonian tomonidan noyob tarzda aniqlanadi va buning aksi toʻgʻri: har bir sub-rimanlik manifold noyob sub-rimanlik Gamiltonianga ega. Sub-Riman geodeziyasining mavjudligi Chou-Rashevskiy teoremasi bilan berilgan. Uzluksiz, haqiqiy qiymatli Heisenberg guruhi sub-Riemann manifoldining oddiy misolini beradi. Heisenberg guruhi uchun Gamiltonian tomonidan berilgan formula_163 Hamiltonianni ichiga kirmaydi. Puasson algebralari. Gamilton tizimlarini turli yoʻllar bilan umumlashtirish mumkin. Simplektik manifold ustidagi silliq funksiyalar algebrasini oddiygina koʻrib chiqish oʻrniga, Gamilton mexanikasi umumiy kommutativ birlik real Puasson algebralarida shakllantirilishi mumkin. Holat Puasson algebrasidagi uzluksiz chiziqli funksionaldir (baʼzi mos topologiyalar bilan jihozlangan), algebraning istalgan elementi uchun manfiy boʻlmagan haqiqiy songa mos keladi. Yana bir umumlashtirish Nambu dinamikasi tomonidan berilgan. Puasson qavs orqali kvant mexanikasiga umumlashtirish. Yuqoridagi Gamilton tenglamalari klassik mexanika uchun yaxshi ishlaydi, lekin kvant mexanikasi uchun emas, chunki muhokama qilingan differensial tenglamalar bir vaqtning oʻzida istalgan vaqtda zarrachaning aniq oʻrni va momentumini belgilash mumkinligini taxmin qiladi. Shu bilan birga, tenglamalarni keyinchalik umumlashtirish mumkin, keyin esa kvant mexanikasiga, shuningdek klassik mexanikaga, Puasson algebrasini va nisbatan Moyal qavslar algebrasiga deformatsiya qilish orqali kengaytirish mumkin. Xususan, Gamilton tenglamasining umumiy shakli oʻqiydi formula_164Bu yerda va ning baʼzi funksiyasi, H esa Gamiltonian. Differensial tenglamalarga murojaat qilmasdan Puasson qavsni baholash qoidalarini bilish uchun Li algebrasiga qarang; Puasson qavs — bu Puasson algebrasidagi Li qavsning nomi. Keyinchalik bu Puasson qavslari Hilbrand J. Groenewold tomonidan isbotlanganidek, tengsiz Li algebrasiga mos keladigan Moyal qavslariga kengaytirilishi mumkin va shu bilan fazalar fazosida kvant mexanik diffuziyasini tasvirlaydi (Faza fazosining formulasiga va Wigner-Veyl konvertatsiyasiga qarang). Ushbu koʻproq algebraik yondashuv nafaqat fazalar boʻshligʻida ehtimollik taqsimotini Wigner kvazi-ehtimollik taqsimotiga kengaytirish imkonini beradi, balki oddiy Puasson qavs klassik sozlamalarida tizimdagi tegishli saqlangan miqdorlarni tahlil qilishda koʻproq kuch beradi.