Garnier integral tizimi. Matematik fizikada klassik Gaudin modeli sifatida ham tanilgan Garnier integrallash tizimi 1919 yilda Rene Garnier tomonidan Schlesinger tenglamalarining „ Painlevé soddalashtirishi“ yoki „avtonom chegarasi“ ni olish orqali kashf etilgan klassik mexanik tizimdir . Bu Mishel Gaudin tufayli Knijnik-Zamolodchikov tenglamalarining klassik analogidir. Klassik Gaudin modellari integratsiyalashgan tizim integralidir. Ular, shuningdek, Xitchin integrallanuvchi tizimlarining oʻziga xos holati boʻlib, nazariya aniqlangan algebraik egri Rieman sferasi boʻlib, tizim toʻliq tarvaqaylab ketgan. Shlesinger tenglamalarining chegarasi sifatida. Shlesinger tenglamalari differensial tenglamalar tizimidir formula_1 matritsa qiymatli funksiyalar formula_2, tomonidan berilgan: formula_3 formula_4 „Avtonom chegara“ ni almashtirish orqali beriladi formula_5 konstantalar orqali maxrajdagi bogʻliqlik formula_6 bilan formula_7 : formula_8formula_9Bu Garnier tomonidan dastlab ishlab chiqarilgan shakldagi Garnier tizimi . Gaudinning klassik modeli sifatida. Garnier tizimining klassik mexanik tizim sifatida formulasi mavjud, klassik Gaudin modeli, u kvant Gaudin modeliga kvantlanadi va harakat tenglamalari Garnier tizimiga ekvivalentdir. Ushbu boʻlim ushbu formulani tavsiflaydi. Har qanday klassik tizimga kelsak, Gaudin modeli Puasson manifoldi tomonidan belgilanadi formula_10 faza fazosi deb ataladi va manifoldda silliq funksiya Gamiltonian deb ataladi. Faza maydoni. Mayli formula_11 kvadratik Li algebrasi, yaʼni degenerativ boʻlmagan oʻzgarmas ikki chiziqli shaklga ega Li algebrasi boʻlsin. formula_12 . Agar formula_11 murakkab va sodda, bu Killing shakli sifatida qabul qilinishi mumkin. Ikkilik, belgilangan formula_14, Kirillov-Kostant qavs orqali chiziqli Puasson tuzilishiga aylantirilishi mumkin. Faza maydoni formula_10 Gaudin klassik modelining Dekart mahsuloti hisoblanadi formula_16 nusxalari formula_14 uchun formula_16 musbat butun son. Sahifalar. Ushbu nusxalarning har biri bilan bogʻliq bir nuqta formula_19, belgilangan formula_20, va sahifalar deb ataladi. Laks matritsasi. Li algebrasining asosini aniqlash formula_21 tuzilish konstantalari bilan formula_22, funktsiyalari mavjud formula_23 bilan formula_24 Puasson qavsni qanoatlantiruvchi faza fazosida formula_25 Ular oʻz navbatida aniqlash uchun ishlatiladi formula_11 -qiymatli funksiyalar formula_27 bilvosita yigʻindisi bilan. Keyinchalik, ular Lax matritsasini aniqlash uchun ishlatiladi, bu ham a formula_11 fazalar boʻshligʻidagi qiymatli funksiya, qoʻshimcha ravishda meromorfik ravishda spektral formula_29 parametrga bogʻliq, formula_30 va formula_31 ning doimiy elementidir formula_11, degan maʼnoda Puasson barcha funksiyalari bilan harakat qiladi (yoʻqolib borayotgan Puasson qavsga ega). (kvadrat) Gamiltonian. (kvadrat) Gamiltonian formula_33 bu haqiqatan ham faza fazosining funksiyasi boʻlib, u qoʻshimcha ravishda spektral parametrga bogʻliq formula_29 . Buni shunday yozish mumkin: formula_35 bilan formula_36 va formula_37 Puasson qavs munosabatidanformula_38turlicha formula_29 va formula_40 bu haqiqat boʻlishi kerak formula_41 ning, the formula_42 ning va formula_43 hammasi involyutsiyada. Koʻrsatish mumkinki, formula_42 ning va formula_43 Fazali fazodagi barcha funksiyalar bilan Puasson qatnovi, lekin formula_41 umuman yoʻq. Bu Arnol’d Liouville integralligi maqsadlari uchun involyutsiyada saqlanib qolgan zaryadlardir. Laks tenglamasi. Koʻrsatish mumkin: formula_47 Shunday qilib, Lax matritsasi Gamiltonchilarning birortasi tomonidan vaqt evolyutsiyasi berilganda Lax tenglamasini qanoatlantiradi. formula_41, shuningdek, ularning har qanday chiziqli birikmasi. Yuqori Gamiltoniyanlar. Kasimir kvadrati Li algebrasi uchun kvadratik Veyl oʻzgarmas koʻphadiga mos keladi. formula_11, lekin aslida koʻplab kommutatsiya saqlangan toʻlovlar yordamida hosil boʻlishi mumkin formula_11 -oʻzgarmas koʻphadlar. Ushbu oʻzgarmas polinomlarni Xarish-Chandra izomorfizmi yordamida topish mumkin. formula_11 murakkab, sodda va cheklangan. Klassik Gaudin modellari sifatida integrallanadigan maydon nazariyalari Baʼzi bir integral klassik maydon nazariyalari klassik affin Gaudin modellari sifatida shakllantirilishi mumkin, bu yerda formula_11 affin Li algebrasidir . Bunday klassik maydon nazariyalariga asosiy chiral model, koset sigma modellari va affin Toda maydon nazariyasi kiradi. Shunday qilib, affin Gaudin modellarini integral tizimlar uchun „master nazariya“ sifatida koʻrish mumkin, lekin toʻrt oʻlchovli Chern-Simons nazariyasi yoki oʻz-oʻzidan ikkilangan Yang-Mills kabi boshqa asosiy nazariyalardan farqli oʻlaroq, tabiiy ravishda Gamilton formalizmida tuzilgan. Gaudin kvant modellari. Gaudin kvant modellarining ajralmas tuzilishi haqida koʻp narsa maʼlum. Xususan, Feigin, Frenkel va Reshetikxin ularni tepalik operatori algebralari nazariyasidan foydalangan holda oʻrganib, Gaudin modellarining matematika mavzulariga, shu jumladan Knijnik-Zamolodchikov tenglamalari va geometrik Langlands muvofiqligini koʻrsatdi.