Kasr. Kasr ( — boʻlak, parcha) — matematikada birning bitta yoki bir nechta qismidan (boʻlagidan) iborat son. Kasr ikkita butun sonning nisbati bilan ifodalanadi: formula_1 yoki n/m. Bu yerda "m" kasrning maxraji, "n" boʻlsa surati deyiladi. Maxraj chiziqning ostiga (yoki ketiga), surat boʻlsa chiziqning ustiga (yoki oldiga) yoziladi. Maxraj bir sonni necha boʻlakka boʻlinganini koʻrsatadi, surat boʻlsa shu kasrda shunday ulushlardan nechta borligini koʻrsatadi. Masalan, formula_2 kasrida surat 3 dir va u kasr teng uch boʻlakni ifodalashini koʻrsatadi. Maxraj boʻlsa 4 dir va u toʻrtta boʻlak bir boʻlib butunni hosil qilishini anglatadi. Matematikada formula_3 koʻrinishida yozsa boʻladigan barcha sonlar ratsional sonlar toʻplamiga kiradi. Bu yerda a va b butun sonlardir va b 0 ga teng emas (b‡0). Kasr sonlar yaqqol surat yoki maxrajli boʻlmasligi ham mumkin, masalan oʻnli kasr, foiz, manfiy darajalar (mos ravishda 0,01, 1% va 10−2; bularning har biri 1/100 ga teng). Butun sonni ham maxraji 1 ga teng kasr koʻrinishida yozish mumkin: masalan 7 va 7/1 bir-biriga teng. Kasrlar nisbat yoki boʻlinmalarni ifodalashda ham ishlatiladi. Masalan, 3/4 kasr 3:4 nisbat va 3 ÷ 4 boʻlinmani ifodalaydi. Kasr turlari. Oddiy kasrlar. "Oddiy" (yoki "sodda") kasr ratsional soning formula_4 yoki formula_5 koʻrinishida yozilganidir. Bunda formula_6 Boʻlinuvchi kasrning "surati" deyiladi. Boʻluvchi boʻlsa kasrning "maxraji" deb ataladi. Oddiy kasrlarni yozish. Ilmiy bosma etishda kasrlarni yozishning toʻrt usuli bor: Toʻgʻri va notoʻgʻri kasrlar. "Toʻgʻri kasr" deb suratining moduli maxrajining modulidan kichkina kasrga aytiladi. Agar kasr toʻgʻri boʻlmasa u "notoʻgʻri kasr" deb ataladi. Notoʻgʻri kasrlar birga teng yoki katta boʻladi. Masalan, formula_9, formula_10 va formula_11 kasrlari toʻgʻri kasrlardir. formula_12, formula_13, formula_14 va formula_15 kasrlari boʻlsa notoʻgʻri kasrlardir. Har qanday butun sonni notoʻgʻri kasr qilib yozish uchun, 1 sonini maxraj qilib olish kerak. Aralash kasrlar. Butun son va toʻgʻri kasr bilan yozilgan kasr "aralash kasr" deb nomlanadi. Murakkab kasrni undagi butun son bilan kasrning yigʻindisi deb tushuniladi. Har qanday ratsional sonni aralash kasr qilib yozish mumkin. Faqat surat va maxrajga ega kasr "sodda kasr" deb nomlanadi. Masalan, formula_16 kasri murakkab kasrdir. Bunda formula_17. Kasrning balandligi. "Oddiy kasrning balandligi" — shu kasrning surati va maxraji modullari yigʻindisidir. "Ratsional sonning balandligi" — shu songa mos keluvchi qisqarmaydigan oddiy kasrning surat va maxraji modullari yigʻindisidir. Masalan, formula_18 kasrning balandligi formula_19 ga teng. Mos keluvchi ratsional sonning balandligi boʻlsa formula_20 ga teng. Chunki formula_18 kasri formula_22 bilan qisqaradi (berilgan kasr formula_22 ga qisqarganidan keyin formula_24 hosil boʻladi va formula_20). Qismli kasrlar. "Koʻp qavatli" yoki "qismli kasr" deb bir necha gorizontal chiziqlarga ega ifoda aytiladi. Baʼzan bunday kasrlarda egri chiziq ishlatiladi. Masalan: Oʻnli kasrlar. Oʻnli kasr deb kasrni xonali qilib yozilganiga aytiladi. Oʻnli kasrlar quyidagi koʻrinishga ega boʻladi: Misol: formula_30. Kasrning xonani belgilovchi vergulgacha boʻlgan qismi kasrning butun qismi hisoblanadi. Verguldan keyingi qismi — kasr qismi boʻladi. Verguldan keyin kasr tarkibiga kirgan oʻndan bir, yuzdan bir va boshqa ulushlar yoziladi. Har qanday oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish mumkin. Bunday qilganda hosil boʻlgan oʻnli kasrlarda verguldan keyin cheklangan miqdorda son boʻlishi yoki maʼlum bir sonlar guruhi qaytarilib kelishi mumkin, yaʼni davriy kasr hosil boʻlishi mumkin. Davriy boʻlmagan oʻnli kasrlar ham mavjud. Davriy oʻnli kasrlarni oddiy kasrga aylantirish usullari bor. Davriy boʻlmagan cheksiz oʻnli kasr hech qanday oddiy kasrga teng emas. Bunday sonlar irratsional sonlar deyiladi. Kasrning maʼnosi va uning asosiy xossalari. Kasr sonning faqat yozilishidir. Bitta songa bir necha kasr toʻgʻri kelishi mumkin, ham oddiy kasrlar, ham oʻnli kasrlar. Agar kasrning surat va maxrajini bir xil songa koʻpaytirsak, kasrning qiymati oʻzidek qoladi, kasrlar har xil boʻlsa ham. Masalan, Buning aksi ham toʻgʻridir. Yaʼni, agar kasrning surati va maxraji umumiy boʻluvchiga ega boʻlsa, unda ikkala qismni oʻsha songa boʻlish mumkin. Bu amal "kasrni qisqartirish" deb ataladi. Misol: "Qisqarmaydigan kasr" deb surati va maxraji sodda sonlardan iborat va formula_34 dan boshqa umumiy boʻluvchiga ega boʻlmagan kasrga aytiladi. Oʻnli kasrni odatda faqat bitta koʻrinishda yozish mumkin. Ammo, istisnolar mavjud. Misol: Barcha kasrlar toʻplamining muhim xossalaridan biri uning "zichligi", yaʼni ixtiyoriy ikkita turli kasrlar orasiga uchinchi kasr joylashtirish mumkin (butun sonlar toʻplami bunday xossaga ega emas). Kasrlar ustida amallar. Bu boʻlimda oddiy kasrlar ustida qilinadigan amallar berilgan. Oʻnli kasrlar ustidagi amallar uchun oʻnli kasr maqolasiga qarang. Umumiy maxraj topish. Kasrlarni solishtirish, qoʻshish va ayirish uchun ularni bir xil maxrajli qilib qaytadan tuzish kerak. Ikki kasr berilgan boʻlsin: formula_36 va formula_37. Amallar ketma-ketligi: Bundan keyin ikkala kasrning maxraji mos keladi ("M" ga teng boʻladi). Eng kichik umumiy karralisi sifatida sodda hollarda "M" oʻrniga istalgan boshqa umumiy koʻpaytuvchini olish mumkin, masalan, maxrajlarning koʻpaytmasini. Solishtirish. Ikki sodda kasrni solishtirish uchun, ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak va hosil boʻlgan kasrlarning suratlarini solishtirish kerak. Surati katta boʻlgan kasr katta boʻladi. Masalan, formula_41 va formula_42 kasrlarini solishtirish kerak boʻlsin. EKUB (4, 5) = 20. Kasrlarning maxrajini 20 qilamiz. Bundan kelib chiqib, formula_44, chunki formula_45. Qoʻshish va ayirish. Ikki sodda kasrni qoʻshish uchun ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak. Keyin suratlarni qoʻshish kerak. Maxraj oʻziday qoladi. Masalan: Maxrajlar (bu yerda 2 va 3) uchun eng kichik umumiy boʻluvchi 6 ga tengdir. formula_11 kasrining maxrajini 6 ga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 3 ga koʻpaytirish kerak. Bu amaldan keyin formula_48 hosil boʻladi. formula_47 kasrini ham shu maxrajga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 2 ga koʻpaytiramiz. Natijada formula_49 hosil boʻladi. Kasrlar orasidagi ayirmani topish uchun ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak. Soʻngra suratlarni bir-biridan ayirib, maxrajni oʻziday qoldirish kerak. Masalan: Maxrajlar (bu yerda 2 va 4) uchun eng kichik umumiy boʻluvchi 4 ga tengdir. formula_60 kasrini 4 maxrajiga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 2 ga koʻpaytiramiz. Natija formula_61 ga tengdir. Koʻpaytirish va boʻlish. Ikki oddiy kasrni koʻpaytirish uchun berilgan kasrlarning surat va maxrajlarini oʻzaro koʻpaytirish kerak: Kasrni natural songa koʻpaytirish uchun suratni berilgan son bilan koʻpaytirish kerak. Maxrajni oʻziday qoldirish kerak: Koʻpaytirishdan hosil boʻlgan kasrning surati va maxraji qisqarsa, ularni qisqartirish kerak. Masalan: Koʻpaytirishni qulaylashtirish uchun kasrlarni soddalashtirish mumkin. Bunda surat va maxrajdagi sonlar nisbati saqlanib, eng kichik qiymatlarga keltiriladi. Masalan: Ikki oddiy kasrni boʻlish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskarisiga koʻpaytirish kerak: Masalan: Yozish usulini oʻzgartirish. Oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish uchun suratni maxrajga boʻlish kerak. Natija chekli oʻnli belgiga ega boʻlishi yoki cheksiz davriy kasr boʻlishi mumkin. Misollar: Oʻnli kasrni oddiy kasr koʻrinishida yozish uchun berilgan oʻnli kasrning kasr qismini 10 sonining mos keluvchi darajasiga boʻlib natural son koʻrinishida yozish kerak. Soʻngra kasr qism bilan butun qismni birlashtirib yozish zarur. Bunda aralash kasr hosil boʻladi. Misol: Tarixi. Eng qadimgi kasrlar butun sonlarning teskari yozilgani boʻlgan. Bu qadimiy belgilar ikkining bir qismini, uchning bir qismini, toʻrtning bir qismini va hokazoni ifodalagan. Misrliklar misr kasrlaridan eramizdan avval taxminan 1000-yillarda foydalanishgan. Taxminan 4000-yil avval misrliklar sonlarni kasr bilan boʻlish uchun bir oz boshqacha uslublardan foydalanishgan. Ular surati bir boʻlgan kasrlar ustida amallar bajarish uchun eng kichik umumiy boʻluvchidan foydalanishgan. Ularning uslublari zamonaviy uslublar bilan bir xil natijalar bergan. Yunonlar surati bir boʻlgan kasrlardan foydalanishgan. Eramizdan avvalgi taxminan 530-yilda yunon faylasufi Pifagorning shogirdlari ikkining kvadrat ildizini kasr koʻrinishida yozib boʻlmasligini aniqlashgan. Eramizdan avvalgi taxminan 150-yilda hindistonlik jainchi matematiklar „Sthananga sutra“ () asarini yozishgan. Bu asarda sonlar teoriyasi, arifmetik amallar va kasrlar ustida amallar haqida yozilgan. Bir sonni ikkinchisi ostida yozish va kasrlarni hisoblash usullari bizning eraning 499-yili atrofida Aryabhatta yozgan asarda uchraydi. Sanskrit adabiyotlarda kasrlar yoki ratsional sonlar doim butun son va uning ketidan kasr son koʻrinishida yozilgan. Kasr son butun son yozilgan qatorning ostiga yozilgan. Kasrning oʻzi ikki qatorda yozilgan. Birinchi qatorda yozilgan surat "amsa" deb atalgan, ikkinchi qatorga yozilgan maxraj "cheda" deb atalgan. Agar kasr biron-bir boshqa belgisiz yozilgan boʻlsa, demak bu kasrni yuqoridagi butun songa qoʻshish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Agar kasrning oʻng tarafiga kichkina aylana yoki „+“ belgisi qoʻyilgan boʻlsa, bu kasrni butun sondan ayirish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Masalan, hind matematigi Bhaskara I quyidagicha yozgan: Yaʼni, yozuvi 6+1/4, 1+1/5 va 2-1/9 ni ifodalagan. Oʻrta asrlarda yashagan marokashlik musulmon matematik Abu Bakr al-Hassar birinchi marta surat va maxrajni ajratuvchi gorizontal chiziq haqida yozgan. Oʻz asarida al-Hassar: „…masalan, agar sizga beshdan uch va beshdan birning uchdan birini yoz deyishsa, bunday deb yozing: formula_71.“ Kasrni shu uslubda yozish ozginadan keyin 13-asrda Leonardo Fibonaccining ishlarida ham uchraydi. Oʻnli kasrlarning kelib chiqishi haqida Dirk Jan Struik bunday deb yozadi: "Oʻnli kasrlarni hisobda ishlatishni keng foydalanishga kirgizgan asar deb 1585-yil Leydenda chop etilgan "De Thiende" flamand pamfletini aytish mumkin. Oʻsha paytda Niderlandiyada yashagan matematik Simon Stevin (1548-1620) asarni fransuz tiliga oʻgirgan. Xitoy matematiklari oʻnli kasrlardan Stevindan bir necha asr avval foydalanishgani rost. Fors astronomi Al-Kashi „Arifmetika kaliti“ asarida oltmishli sanoq sistemasidan va oʻnli kasrlardan foydalangani ham rost. (15-asr boshlari, Samarqand)" Fors matematigi Jamshid al-Kashi oʻnli kasrlarni 15-asrda oʻylab topganman deb aytsa ham, J. Lennart Berggrenga koʻra u adashgan. Chunki oʻnli kasrlar undan 5 asr oldin, yaʼni 10-asrda yashagan bagʻdodlik matematik Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ishlarida uchraydi. Matematika tarixchilari orasida al-Uqlidisi birinchilardan boʻlgani haqida har xil qarashlar boʻlsa ham, uning oʻnli kasr tushunchasiga katta hissa qoʻshganiga shubha yoʻq.