Bezout nisbati. Bezout nisbati- butun sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisining butun son koeffitsientlari bilan chiziqli birikmasi sifatida tasviri hisoblanadi . Bezout nisbati Fransuz matematigi Etyen Bezout sharafiga nomlangan. Tarixi. Birinchi marta bu fakt 1624-yilda fransuz matematigi Klod Gaspard Bachet de Meziriac tomonidan nisbatan tub sonlar ishi uchun e'lon qilingan. Bashe formulasi quyidagicha: “"Ikki [oʻzaro] tub son berilgan boʻlsa, har birining boshqasiga bir karrali boʻlgan eng kichik karralini topish"” . Muammoni hal qilish uchun Basche Evklid algoritmidan ham foydalangan. Etyen Bezout o'zining 1766-yil 3-jilddagi ""Matematika kurslari" nomli to'rt jildlik asarida" teoremani ixtiyoriy sonlar juftligiga ham, ko'phadlarga ham kengaytirish orqali umumlashtirgandir. Keltirib chiqarishi. (𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎+𝑦⋅𝑏 Ushbu bayonot Bezout munosabati deb ataladi (son qiymatlar uchun formula_2 va formula_3), shuningdek, "Bezout lemmasi" yoki "Bezoutning shaxsi". Butun sonlar bo'lganda formula_4 Bezout koeffitsientlari deb ataladi. Natural sonlar bilan cheklangan Bezout munosabatining modifikatsiyasi ham mavjud hisoblanadi: 𝑎, 𝑏 natural sonlar boʻlsin. U holda 𝑥,𝑦 natural sonlar borki,GCD (𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎−𝑦⋅𝑏 munosabati Yechimlari. Agar raqamlar formula_8 ko‘paytma va keyin tenglama butun sonli yechimlarga ega bo'ladi. Bu muhim fakt birinchi darajali diofant tenglamalarini yechishni osonlashtiradi. GCD formula_10 sonlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan eng kichik natural sondir formula_2 va formula_3 butun son koeffitsientlari bilan hisoblanadi. Ko'p sonli chiziqli birikmalar formula_13 GCD uchun ko'paytmalar to'plamlariga to'g'ri keladi: formula_14. Bezout koeffitsientlari. Raqamlardan kamida bittasi nol bo'lgan holatdan beri formula_15 nolga tengligi ahamiyatsiz, bu bo'limning qolgan qismi bu raqamlarning ikkalasi ham nolga teng emas deb hisoblanadi. Noaniqlik. Bezout koeffitsientlarini topish ikkita noma'lumli birinchi tartibli diofant tenglamasini yechish usuli bilan hisoblaymiz: Yoki, bu bilan bir xil: Bundan kelib chiqadiki, Bezout koeffitsientlari formula_4 noaniq belgilangan - agar ularning ba'zi qiymatlari formula_21 ma'lum bo'lsa, u holda barcha koeffitsientlar to'plami formula bilan hisoblash mumkin bo'ladi. Quyida ko'rsatiladi tengsizliklarni qanoatlantiruvchi Bezout koeffitsientlari mavjud bo'lishi uchun formula_23 Va formula_24 . Evklid algoritmi yordamida koeffitsientlarni hisoblash. Bezout koeffitsientlarini topish uchun siz GCD ni topish keyin kengaytirilgan Evklid algoritmidan foydalanishingiz va qoldiqlarni "a" va "b"ning chiziqli birikmalari sifatida ko'rsatishingiz kerak. Algoritmning bosqichlari quyidagi shaklda ham yoziladi: Quyidagi uchun Bezout munosabatini toping formula_29 Evklid algoritmining formulalari shaklga ega bo'lsin: Shunday qilib, GCD formula_33 . Ushbu formulalardan biz quyidagilarni bilib olamizshimiz mumkin: Natijada, Bezout munosabati quyigagi shaklga ega bo'ladi Davomli kasrlar yordamida koeffitsientlarni hisoblash:. Tenglamani yechishning muqobil (taqriban ekvivalent) usullaridan biri formula_37 davomli kasrlarni ishlatadi. Tenglamaning ikkala tomonini GCD ga bo'lamiz: formula_38 . Keyin esa biz formula_39 davomli kasrga aylantiramiz va konvergentlarni hisoblaymiz formula_40 . Oxirgi ulardan teng bo'ladi formula_39 va oldingi doimgi munosabat bilan bog'liq: Ushbu formulani almashtiramiz formula_43 va ikkala tomonni formula_44 ga ko'paytirib olamiz Birinchi belgigacha, bu Bezoutning nisbati. shuning uchun oxirgi konvergent formula_46 yechimining modullarini beradi: formula_47 bu kasrning maxraji bo'ladi va formula_48 - surati hisoblanadi. Asl tenglamaga asoslanib, belgilarni topish qoladi formula_4 ; Buning uchun tenglamalarning oxirgi raqamlarni topish kifoya formula_50 . Minimal juftlik koeffitsientlari. Davomli kasrlar nuqtai nazaridan oldingi bobda berilgan algoritmlar, shuningdek Evklidning ekvivalent algoritmlari juftlikni keltirib chiqaradi. formula_51, tengsizliklarni qoniqtiradi: Bu teorema kasrlar ekanligidan kelib chiqadi formula_39 Va formula_39, yuqoridagi kabi, ketma-ket yaqinlashuvchilarni hosil qiladi va keyingi yaqinlashuvchining soni va maxraji har doim oldingi dan kattaroq bo'ladi. Qisqartirish uchun biz bunday juftlikni "minimal" deb atashimiz mumkin, har doim ikkita bunday juftlik mavjud bo'ladi. Misol. Mayli formula_55 . GSD(12, 42) = 6. Quyida Bezout koeffitsientlari juftlari ro'yxatining ba'zi elementlari qiymatlari, minimal juftliklar qizil rang bilan belgilangan: Eslatma. Bezout munosabati koʻpincha boshqa teoremalarni isbotlashda (masalan, arifmetikaning asosiy teoremasi ), shuningdek, diofant tenglamalari va modullarni taqqoslashda lemma sifatida juda ko'p ishlatiladi. Birinchi darajali diofant tenglamalarini yechishda qo'llanishi. Quyidagi ko'rinishdagi Diofant tenglamalarining yechimini butun sonlarda ko'rib chiqamiz Quyidagicha belgilaymiz formula_58 GCD formula_18 Shubhasiz, tenglama faqat agar butun sonli yechimlarga ega formula_60 tomonidan formula_44 ga bo'linadi . Biz bu shartni bajarilgan deb hisoblaymiz va yuqoridagi algoritmlardan biri Bezout koeffitsientlarini topgan bo'lamiz. formula_4 : Shunda asl tenglamaning yechimi quyidagi juft qiymat bo‘ladi. formula_64, Qayerda formula_65 . Birinchi darajali taqqoslashlarni yechish usuli. Birinchi darajali taqqoslashlarni yechish: uni shaklga keltirish kifoya: Amaliy muhim maxsus holat - bu qoldiq halqadagi o'zaro elementni topishdir, ya'ni taqqoslashni hisoblash. Variatsiyalar va umumlashtirishlar. Bezoutning munosabati ikkitadan ko'p bo'lgan holatlarga osongina umumlashtiriladi : formula_69, …, formula_70 = formula_71 (𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎+𝑦⋅𝑏 Bezout munosabati nafaqat butun sonlar uchun, balki boshqa kommutativ halqalarda ham (masalan, Gauss butun sonlari uchun) ham amal sifatida ishlatish mumkin. Bunday halqalar Bezout halqalari deb ataladi. Misol: polinomli halqaning formulasi (bitta o'zgaruvchili):formula_52 Bitta o'zgaruvchidagi ikkita polinom uchun Bezout koeffitsientlari butun sonlar uchun yuqoridagi kabi hisoblanishi ham mumkin ( kengaytirilgan Evklid algoritmi yordamida ham) bo'ladi. Ikki polinomning umumiy ildizlari ham ularning eng katta umumiy boʻluvchisining ildizlari bo'ladi, shuning uchun Bezout munosabati va algebraning asosiy teoremasidan quyidagi natija kelib chiqadi: Polinomlar berilsin 𝑓(𝑥) Va 𝑔(𝑥) ba'zi sohalarda koeffitsientlar bilan. Keyin polinomlar 𝑎(𝑥) Va 𝑏(𝑥) shu kabi 𝑎𝑓+𝑏𝑔=1, agar va faqat agar mavjud bo'lsa𝑓(𝑥) Va 𝑔(𝑥) har qanday algebraik yopiq sohada umumiy ildizlarga ega emas (odatda murakkab sonlar maydoni oxirgisi sifatida qabul qilinadi). Bu natijaning har qanday ko'phadlar va noma'lumlarning umumiy soniga umumlashtirilishi Gilbertning nol teoremasi hisoblanadi .