Feynman–Kac formulasi. Feynman-Kac formulasi — Richard Feynman va Mark Kac nomi bilan ataladigan formula boʻlib, xususiy hosilali parabolik differensial tenglamalar hamda tasodifiy jarayonlarni oʻzaro bogʻlashga xizmat qiladi. Xususan, ushbu formula xususiy hosilali differensial tenglamalarni tasodifiy hodisalar trayektoriyasi (Monte-Karlo metodi deb ham ataladi) yordamida yechish imkonini beradi. Shuningdek, tasodifiy jarayonning matematik kutilmasi, xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi sifatida hisoblanishi mumkin. Bir oʻlchamli holat. Quyidagi differensial tenglamani koʻrib chiqamiz: bu yerda formula_2 nomaʼlum funksiya, formula_3 va formula_4 esa — mustaqil oʻzgaruvchilar, formula_5 — maʼlum funksiyalar. Feynman-Kac formulasiga binoan, (*) tenglamaning boshlangʻich shartlarga nisbatan yechimi shartli matematik kutilma koʻrinishida ifodalanishi mumkin: bu yerda formula_8 — tasodifiy oʻlcham, formula_9 esa Ito protsessi deb ataladi. Ushbu protsess quyidagi tasodifiy tenglama bilan ifodalanadi: bu yerda formula_11 jarayon uchun boshlangʻich shart quyidagi koʻrinishda boʻladi: Koʻp oʻlchamli holat. Feynman-Kac formulasining koʻp oʻlchamli analogi ham mavjud boʻlib, oʻzgaruvchi quyidagi shartga boʻysunsagina uni qoʻllash mumkin: formula_13. Bu holda (*) differensial tenglama quyidagi koʻrinishga keladi: va "n"-oʻchamli formula_9 tasodifiy jarayon quyidagi tenglama orqali ifodalanadi: bu yerda formula_17 — formula_18 elementlardan tuzilgan vektor-ustun, formula_11 — "n"-oʻlchamli tasodifiy protsess, formula_20 — n-tartibli kvadat matritsa boʻlib, formula_21 matritsa bilan quyidagi formula orqali bogʻlangan: yulduzcha (*) belgisi transponirlashni bildiradi.