Laplas-Runge-Lenz vektori. Klassik mexanikada Laplas-Runge-Lenz (LRL) vektori asosan bir astronomik jismning boshqasi atrofidagi orbitasining shakli va yoʻnalishini, masalan, qoʻshaloq yulduz yoki yulduz atrofida aylanadigan sayyorani tasvirlash uchun ishlatiladigan vektordir . Nyuton tortishish kuchi bilan oʻzaro taʼsir qiluvchi ikkita jism uchun LRL vektori harakat doimiysi boʻlib, u orbitaning qayerda hisoblanganidan qatʼi nazar, bir xil boʻladi; ekvivalenti LRL vektori "saqlanuvchi" deyiladi. Umuman olganda, LRL vektori ikkita jismning oʻzaro taʼsirida ular orasidagi masofaning teskari kvadrati sifatida oʻzgarib turadigan markaziy kuch bilan oʻzaro taʼsir qiladigan barcha masalalarda saqlanadi; bunday muammolar Kepler muammolari deb ataladi . Vodorod atomi Kepler muammosidir, chunki u Kulonning elektrostatika qonuni boʻyicha oʻzaro taʼsir qiluvchi ikkita zaryadlangan zarrachani oʻz ichiga oladi, bu boshqa teskari kvadrat markaziy kuch. LRL vektori Shredinger tenglamasi ishlab chiqilishidan oldin vodorod atomi spektrining birinchi kvant mexanik hosilasida muhim ahamiyatga ega edi . Biroq, bugungi kunda bu yondashuv kamdan-kam qoʻllanadi. Klassik va kvant mexanikasida saqlanib qolgan miqdorlar odatda sistemaning simmetriyasiga mos keladi. LRL vektorining saqlanishi noodatiy simmetriyaga mos keladi; Kepler muammosi toʻrt oʻlchovli (giper-)sfera yuzasida erkin harakatlanadigan zarrachaga matematik jihatdan ekvivalentdir , shuning uchun butun muammo toʻrt oʻlchovli fazoning maʼlum aylanishlari ostida simmetrik boʻladi. Bu yuqori simmetriya Kepler muammosining ikkita xususiyatidan kelib chiqadi: tezlik vektori har doim mukammal aylana boʻylab harakat qiladi va berilgan umumiy energiya uchun barcha tezlik doiralari bir xil ikkita nuqtada bir-birini kesib oʻtadi. Laplas-Runge-Lenz vektori Per-Simon de Laplas, Karl Rung va Vilgelm Lents sharafiga nomlangan. U Laplas vektori , Runge-Lenz vektori va Lenz vektori sifatida ham tanilgan . Qizigʻi shundaki, oʻsha olimlarning hech biri buni kashf etmagan. LRL vektori bir necha marta qayta kashf etilgan va qayta tuzilgan; masalan, samoviy mexanikaning oʻlchovsiz ekssentriklik vektoriga ekvivalentdir . LRL vektorining turli umumlashtirishlari aniqlangan, ular maxsus nisbiylik, elektromagnit maydonlar va hatto turli xil markaziy kuchlarning taʼsirini oʻz ichiga oladi . Nazariy qismi. Har qanday konservativ markaziy kuch ostida harakatlanadigan bitta zarracha kamida toʻrtta doimiy harakatga ega: umumiy energiya va kuch markaziga nisbatan burchak momentum vektori ning uchta dekart komponenti . Zarrachaning orbitasi zarrachaning dastlabki impulsi (yoki ekvivalenti uning tezligi ) va zarracha bilan kuch markazi oʻrtasidagi vektor bilan aniqlangan tekislik bilan chegaralangan (1-rasmga qarang) . Bu harakat tekisligi doimiy burchak momentum vektoriga perpendikulyar ; bu vektor nuqta mahsulot tenglamasi bilan matematik tarzda ifodalanishi mumkin . Quyida uning matematik taʼrifini hisobga olsak, Laplas-Runge-Lenz vektori (LRL vektor) barcha markaziy kuchlar uchun doimo doimiy burchak momentum vektori ga perpendikulyar boʻladi (). Shuning uchun har doim harakat tekisligida yotadi. Quyida koʻrsatilgandek, kuch markazidan harakatning periapsisiga, eng yaqin yaqinlashish nuqtasiga va uning uzunligi orbitaning eksantrikligiga proportsionaldir. LRL vektor uzunligi va yoʻnalishi boʻyicha doimiy, lekin faqat teskari kvadrat markaziy kuch uchun. Boshqa markaziy kuchlar uchun vektor doimiy emas, balki uzunligi va yoʻnalishi boʻyicha oʻzgaradi. Agar markaziy kuch "taxminan" teskari kvadrat qonuni boʻlsa, vektor uzunligi boʻyicha taxminan doimiy, lekin asta-sekin oʻz yoʻnalishini aylantiradi. "Umumiy" saqlangan LRL vektori formula_1 barcha markaziy kuchlar uchun aniqlanishi mumkin, ammo bu umumlashtirilgan vektor pozitsiyaning murakkab funktsiyasidir va odatda yopiq shaklda ifodalanmaydi . Qayta kashf qilish tarixi. LRL vektor Kepler muammosining harakat doimiysi boʻlib, sayyoralar va qoʻshaloq yulduzlar harakati kabi astronomik orbitalarni tavsiflashda foydalidir. Shunga qaramay, u fiziklar orasida hech qachon yaxshi maʼlum boʻlmagan, ehtimol u momentum va burchak momentumidan kamroq intuitivdir. Binobarin, soʻnggi uch asr davomida u bir necha marta mustaqil ravishda qayta kashf etilgan. Yakob Hermann birinchi boʻlib teskari kvadrat markaziy kuchning maxsus holati uchun saqlanishini koʻrsatdi va uning orbital ellipsning ekssentrisiteti bilan bogʻlanishini ishlab chiqdi. Hermannning ishi 1710 yilda Iogan Bernulli tomonidan zamonaviy shaklga umumlashtirildi . Asrning oxirida Per-Simon de Laplas ning saqlanishini qayta kashf etdi va uni geometrik emas, balki analitik tarzda keltirib chiqardi. Oʻn toʻqqizinchi asr oʻrtalarida Uilyam Rouen Gamilton quyida aniqlangan ekvivalent ekssentriklik vektorini chiqardi va undan foydalanib impuls vektori aylana boʻylab teskari kvadrat markaziy kuch taʼsirida harakat qilishini koʻrsatdi (3-rasm) . Yigirmanchi asrning boshida Josiah Willard Gibbs vektor tahlili orqali xuddi shu vektorni oldi. Gibbsning hosilasi misol sifatida Karl Runge tomonidan vektorlar boʻyicha mashhur nemis darsligida ishlatilgan , Vilgelm Lenz vodorod atomining (eski) kvant mexanik ishlovi haqidagi maqolasida unga havola qilingan. 1926 yilda Volfgang Pauli LRL vektoridan vodorod atomining energiya darajalarini kvant mexanikasining matritsa mexanikasi formulasidan foydalangan holda LRLni olish uchun ishlatgan, shundan soʻng u asosan "Runge-Lenz vektori" sifatida tanilgan. Matematik taʼrif. Bitta zarrachaga taʼsir etuvchi teskari kvadrat markaziy kuch tenglama bilan tavsiflanadi formula_2 Tegishli potensial energiya tomonidan berilgan formula_3 . Doimiy parametr markaziy kuchning kuchini tavsiflaydi; tortishish kuchi uchun va elektrostatik kuchlar uchun ga teng. Agar boʻlsa, kuch jozibador, agar boʻlsa, itaruvchi. LRL vektor matematik tarzda formula bilan aniqlanadi. formula_4 bu yerda LRL vektorining SI birliklari joule-kilogramm (J⋅kg⋅m) dir. Buning sababi, va ning birliklari mos ravishda kg⋅m/s va J⋅s. Bu (kg) va (N⋅m 2) birliklariga mos keladi. LRL vektorining bu taʼrifi qattiq kuch taʼsirida harakatlanayotgan massali bir nuqtali zarrachaga tegishli. Shu bilan birga, xuddi shu taʼrifni Kepler muammosi kabi ikki jismli muammolarga, ikki jismning kamaytirilgan massasi va ikki jism orasidagi vektor sifatida qabul qilish orqali kengaytirish mumkin. Qabul qilingan kuch konservativ boʻlgani sababli, umumiy energiya harakat doimiysi, formula_7 Qabul qilingan kuch ham markaziy kuchdir. Demak, burchak momentum vektori ham saqlanib qoladi va zarracha harakatlanadigan tekislikni belgilaydi. LRL vektor burchak momentum vektori ga perpendikulyar, chunki va ikkala ga perpendikulyar. Bundan kelib chiqadiki, harakat tekisligida yotadi. Harakatning bir xil doimiyligi uchun muqobil formulalar, odatda vektorni massa , kuch parametri yoki burchak momentum kabi doimiylar bilan masshtablash orqali aniqlanishi mumkin. Eng keng tarqalgan variant ni ga boʻlishdir, bu ekssentriklik vektorini beradi moduli konusning ekssentrisitetiga teng boʻlgan yarim katta oʻq boʻylab oʻlchamsiz vektor : formula_8 Ekvivalent formula bu ekssentriklik vektorini katta yarim oʻq ga koʻpaytiradi, natijada vektor uzunlik birliklarini beradi. Yana bir formula ga ajratadi formula_9, teskari uzunlik birliklari bilan ekvivalent saqlangan miqdorni beradi, bu miqdor Kepler muammosini hal qilishda paydo boʻladi. formula_10 bu yerda formula_11 — va pozitsiya vektori orasidagi burchak. Qoʻshimcha muqobil formulalar quyida keltirilgan. Kepler orbitalarining kelib chiqishi. Orbitalarning "shakli" va "orientatsiyasini" LRL vektoridan quyidagicha aniqlash mumkin. ning nuqta koʻpaytmasini pozitsiya vektori bilan olib, tenglama hosil boʻladi formula_12 bu yerda — va orasidagi burchak (2-rasm). Skayar uchlik mahsulot rentabelligini almashtirish formula_13 Qayta tartiblash Kepler tenglamasining yechimini beradi formula_14 Bu ekssentriklik "e ning" konus kesimi formulasiga mos keladiformula_15bu yerda ekssentriklik formula_16 va doimiydir. ning nuqta mahsulotini oʻzi bilan olib, umumiy energiya oʻz ichiga olgan tenglama hosil boʻladi. formula_17 ekssentriklik nuqtai nazaridan qayta yozilishi mumkin. formula_18 Shunday qilib, agar energiya manfiy boʻlsa (bogʻlangan orbitalar), ekssentriklik birdan kichik va orbita ellipsdir. Aksincha, energiya ijobiy boʻlsa (bogʻlanmagan orbitalar, „tarqalgan orbitalar“ deb ham ataladi), ekssentriklik birdan katta va orbita giperbola boʻladi. Nihoyat, agar energiya aniq nolga teng boʻlsa, eksantriklik bitta va orbita parabola boʻladi. Barcha holatlarda yoʻnalishi konus kesimining simmetriya oʻqi boʻylab yotadi va kuch markazidan periapsisga, eng yaqin yaqinlashish nuqtasiga ishora qiladi. Harakat va superintegratsiya konstantalari. Yetti skalyar miqdorlar , va (vektor boʻlib, oxirgi ikkitasi har biri uchta saqlangan miqdorga hissa qoʻshadi) ikkita tenglama bilan bogʻlangan, va , beshta mustaqil konstantani beradi. harakatdan . ( ning kattaligi, demak, orbitaning ekssentrisiteti umumiy burchak impulsi va energiyasidan aniqlash mumkin boʻlgani sababli, faqat ning "yoʻnalishi" mustaqil ravishda saqlanadi; bundan tashqari, ga perpendikulyar boʻlishi kerakligi sababli, u hissa qoʻshadi. "faqat bitta" qoʻshimcha saqlangan miqdor.) Bu zarrachaning orbitasini belgilaydigan oltita boshlangʻich shartga (zarrachaning boshlangʻich holati va tezlik vektorlari, har biri uchta komponentdan iborat) mos keladi, chunki boshlangʻich vaqt harakat konstantasi bilan aniqlanmaydi. Shunday qilib, 6 oʻlchovli fazali fazodagi 1 oʻlchovli orbita toʻliq aniqlangan. Erkinlik darajasi boʻlgan mexanik tizim koʻpi bilan harakat konstantasiga ega boʻlishi mumkin, chunki 2 "d" boshlangʻich shartlar mavjud va boshlangʻich vaqtni harakat konstantasi bilan aniqlab boʻlmaydi. Harakat konstantalari dan ortiq boʻlgan tizim "superintegral", konstantaga ega boʻlgan tizim maksimal superintegral deb ataladi. Gamilton-Jakobi tenglamasini bitta koordinata tizimida yechish faqat harakat konstantasini berishi mumkinligi sababli, superintegratsiyalanuvchi tizimlar bir nechta koordinatalar tizimida ajratilishi kerak. Kepler muammosi maksimal darajada superintegraldir, chunki u uchta erkinlik darajasiga () va besh mustaqil harakat doimiysiga ega; uning Gamilton-Jakobi tenglamasi quyida tavsiflanganidek sferik koordinatalarda ham, parabolik koordinatalarda ham ajratilishi mumkin. Maksimal superintegratsiyalanadigan tizimlar fazalar fazosida yopiq, bir oʻlchovli orbitalarni kuzatib boradilar, chunki orbita ularning harakat konstantalarining fazo-fazo izoyuzalarining kesishishi hisoblanadi. Binobarin, orbitalar ushbu barcha mustaqil izo-sirtlarning barcha gradientlariga perpendikulyar boʻlib, ushbu maxsus muammoda beshtasi mavjud va shuning uchun bu barcha gradientlarning umumlashtirilgan koʻndalang mahsuloti bilan aniqlanadi. Natijada, barcha superintegral tizimlar avtomatik ravishda Nambu mexanikasi tomonidan muqobil ravishda va Gamilton mexanikasiga ekvivalent tarzda tavsiflanadi. Maksimal superintegrallash mumkin boʻlgan tizimlar, quyida koʻrsatilgandek, kommutatsiya munosabatlari yordamida nicellashtirilishi mumkin. Shunga qaramay, ular ekvivalent tarzda Nambu tizimida kvantlangan, masalan, bu klassik Kepler muammosi kvant vodorod atomiga mos keladi. Uygʻongan potensiallar ostida evolyutsiya. Laplas-Runge-Lenz vektor faqat mukammal teskari kvadrat markaziy kuch uchun saqlanadi. Sayyora harakati kabi koʻpgina amaliy muammolarda esa, ikki jism oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirning potentsial energiyasi mutlaqo teskari kvadrat qonuni emas, balki qoʻshimcha markaziy kuchni oʻz ichiga olishi mumkin, potentsial energiya bilan tavsiflangan "tebranish" . Bunday hollarda LRL vektori orbita tekisligida sekin aylanadi, bu orbitaning sekin apsidal presessiyasiga mos keladi. Taxminlarga koʻra, bezovta qiluvchi potentsial konservativ markaziy kuch boʻlib, u umumiy energiya va burchak momentum vektori saqlanishini anglatadi. Shunday qilib, harakat hali ham ga perpendikulyar tekislikda yotadi va tenglamadan kattaligi saqlanib qoladi. Buzilish potentsiali har qanday funktsiya boʻlishi mumkin, lekin ikkita jism orasidagi asosiy teskari kvadrat kuchdan sezilarli darajada zaif boʻlishi kerak. LRL vektorining aylanish "tezligi" bezovta qiluvchi potentsial haqida maʼlumot beradi. Kanonik tebranish nazariyasi va harakat burchagi koordinatalaridan foydalanib, tezlik bilan aylanishini koʻrsatish oson. formula_19 Bu yerda — orbital davri va tengligi vaqt integralini burchakli integralga aylantirish uchun ishlatilgan (5-rasm). Burchakli qavs ichidagi ifoda, "h"("r"), bezovta qiluvchi potentsialni ifodalaydi, lekin bir toʻliq davr uchun "oʻrtacha hisoblanadi" ; yaʼni tananing oʻz orbitasini bir marta toʻliq oʻtishi uchun oʻrtacha hisoblanadi. Matematik jihatdan, bu vaqt oʻrtacha qiymati jingalak qavslardagi quyidagi miqdorga toʻgʻri keladi. Bu oʻrtacha aylanish tezligidagi tebranishlarni bostirishga yordam beradi. Ushbu yondashuv Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasini tasdiqlash uchun ishlatilgan, bu oddiy Nyuton tortishish potentsialiga kichik samarali teskari kubik tebranish qoʻshadi, formula_20 Bu funksiyani integralga kiritish va tenglamadan foydalanish formula_21 ni bilan ifodalash uchun, bu Nyuton boʻlmagan tebranish natijasida kelib chiqqan periapsisning presessiya tezligiga teng deb hisoblanadi. formula_22 Bu Merkuriy va ikkilik pulsarlarning kuzatilgan anomal presessiyasiga yaqindan mos keladi. Tajriba bilan bu kelishuv umumiy nisbiylik uchun kuchli dalildir . Impuls fazosida vodorod atomi uchun Laplas-Runge-Lenz operatori. Impuls fazosida masshtablangan Laplas-Runge-Lenz operatori yaqinda topilgan . Operator uchun formula pozitsiya fazosiga qaraganda soddaroq: bu yerda formula_24 „darajali operator“ bir jinsli koʻphadni darajasiga koʻpaytiradi. Casimir invariantlari va energiya darajalari. Salbiy energiya uchun Casimir invariantlari formula_26 va ning barcha komponentlari bilan yoʻqolib borayotgan Puasson qavslari bor, formula_27"C"2 trivial nolga teng, chunki ikkala vektor har doim perpendikulyar. Biroq, boshqa invariant, "C"1, notrivial va faqat , va ga bogʻliq. Kanonik kvantlashda bu invariant vodorodga oʻxshash atomlarning energiya darajalarini Shredinger tenglamasining anʼanaviy yechimi oʻrniga faqat kvant mexanik kanonik kommutatsiya munosabatlari yordamida olish imkonini beradi . Ushbu hosila keyingi bobda batafsil muhokama qilinadi. Kepler masalalarida Laplas-Runge-Lenz vektorining saqlanishini isbotlash. Quyida LRL vektorining teskari kvadrat qonuniga boʻysunadigan markaziy kuchlar ostida saqlanishini koʻrsatadigan dalillar keltirilgan. Saqlashning bevosita isboti. Markaziy kuch formula_28 zarrachaga taʼsir qiluvchi formula_29 baʼzi funksiyalar uchun formula_30 radiusdan formula_31 . Burchak momenti formula_32 dan beri formula_33 markaziy kuchlar ostida saqlanadi, va formula_34 impuls bu yerda formula_35 va bu yerda uch karra koʻpaytma Lagrange formulasi yordamida soddalashtirilgan formula_36 Identifikatsiya formula_37 tenglamani chiqaradi formula_38 Teskari kvadrat markaziy kuchning maxsus holati uchun formula_39, bu quyidagiga teng: formula_40 Shuning uchun teskari kvadrat markaziy kuchlar uchun saqlanadi : formula_41 Qisqaroq dalil burchak momentumning burchak tezligiga nisbati yordamida olinadi, formula_42, bu zarrachaga perpendikulyar tekislikda harakatlanadigan zarra uchun amal qiladi formula_43 . Teskari-kvadrat markaziy kuchlarni belgilash, vaqt hosilasi formula_44 hisoblanadi formula_45bu yerda oxirgi tenglik oʻrinli boʻladi, chunki birlik vektor faqat aylanish orqali oʻzgarishi mumkin va formula_46 aylanuvchi vektorning orbital tezligi. Shunday qilib, teng vaqt hosilalari boʻlgan ikki vektorning ayirmasi sifatida koʻrinadi. Ushbu maqolaning boshqa qismida tasvirlanganidek, ushbu LRL vektor umumiy saqlangan vektorning maxsus holatidir formula_1 Bu barcha markaziy kuchlar uchun belgilanishi mumkin . Biroq, aksariyat markaziy kuchlar yopiq orbitalarni hosil qilmagani uchun (qarang: Bertran teoremasi), analog vektor formula_1 kamdan-kam hollarda oddiy taʼrifga ega va odatda va orasidagi burchakning koʻp qiymatli funktsiyasidir.