Lorens almashtirish formulalari. Maksvell tenglamalaridan tortib, Eynshteynning maxsus nisbiylik postulatlari va elementar algebra va giperbolik funksiyalardan tortib chiziqli algebra va guruhlar nazariyasiga qadar boʻlgan matematik vositalardan tortib, turli fizik prinsiplardan foydalangan holda Lorentz oʻzgarishlarini olishning koʻplab usullari mavjud. Ushbu maqola maxsus nisbiylik kontekstida kuzatish uchun qulay boʻlgan bir nechtasini taqdim etadi, standart konfiguratsiyadagi Lorentz kuchayishining eng oddiy holati uchun, yaʼni tezlikdan kamroq doimiy (bir xil) nisbiy tezlikda bir-biriga nisbatan harakatlanadigan ikkita inertial ramka yorugʻlik va "x" va "x" ′ oʻqlari kollinear boʻlishi uchun Kartezyen koordinatalaridan foydalangan holda. Zamonaviy fizikaning asosiy sohalarida, yaʼni umumiy nisbiylik va uning keng qoʻllanadigan maxsus nisbiylik toʻplamida, shuningdek relativistik kvant mexanikasi va relativistik kvant maydon nazariyasida Lorentz transformatsiyasi transformatsiya qoidasi boʻlib, unga koʻra barcha toʻrt vektor va fizik miqdorlarni oʻz ichiga olgan tensorlar oʻzgaradi. bir mos yozuvlar ramkasidan boshqasiga. Bunday toʻrt vektorning asosiy misollari zarrachaning toʻrt pozitsiyasi va toʻrt momentumi, maydonlar uchun esa elektromagnit tensor va kuchlanish-energiya tensoridir. Bu ob'ektlarning Lorentz oʻzgarishiga koʻra oʻzgarishi ularni vektorlar va tenzorlar sifatida matematik tarzda "belgilaydi". Baʼzi bir ramkadagi toʻrt vektor yoki tensorlarning tarkibiy qismlarini hisobga olgan holda, "transformatsiya qoidasi" bir xil toʻrt vektor yoki tensorlarning boshqa ramkadagi oʻzgartirilgan komponentlarini aniqlashga imkon beradi, ular kuchaytirilishi yoki tezlashtirilishi mumkin, dastlabki ramkaga nisbatan. "Boost" ni fazoviy tarjima bilan aralashtirib yubormaslik kerak, aksincha u kadrlar orasidagi nisbiy tezlik bilan tavsiflanadi. Transformatsiya qoidasining oʻzi ramkalarning nisbiy harakatiga bogʻliq. Ikki inertial ramkaning eng oddiy holatida ular orasidagi nisbiy tezlik transformatsiya qoidasiga kiradi. Aylanadigan mos yozuvlar ramkalari yoki umumiy inertial boʻlmagan mos yozuvlar tizimlari uchun nisbiy tezlik (kattalik va yoʻnalish), aylanish oʻqi va burchakni oʻz ichiga olgan koʻproq parametrlar kerak boʻladi. Tarixiy nazar. Odatiy tuzatma (masalan, Albert Eynshteynning asl ishi) yorugʻlik tezligining oʻzgarmasligiga asoslanadi. Biroq, bu har doim ham boshlangʻich nuqta emas: haqiqatan ham (masalan, Landau va Lifshitsning "nazariy fizika kursining" ikkinchi jildida tasvirlanganidek), haqiqatda oʻzaro taʼsirlarning joylashuvi xavf ostida: bir zarraning, aytaylik, boshqasiga taʼsir qiladigan taʼsiri, bir zumda uzatilishi mumkin emas. Demak, axborot uzatishning nazariy maksimal tezligi mavjud boʻlib, u oʻzgarmas boʻlishi kerak va bu tezlik vakuumdagi yorugʻlik tezligiga toʻgʻri keladi. Nyutonning oʻzi uzoqdan harakat qilish gʻoyasini falsafiy jihatdan "absurd" deb atagan va tortishish maʼlum qonunlarga koʻra qandaydir vosita tomonidan uzatilishi kerak deb hisoblagan. 1964-yilgi maqolada Erik Kristofer Zeeman koordinata oʻzgarishlari Lorents oʻzgarishlari ekanligini taʼminlash uchun matematik maʼnoda yorugʻlik tezligining oʻzgarmasligidan koʻra zaifroq boʻlgan sabab -oqibatni saqlovchi xususiyat etarli ekanligini koʻrsatdi. Norman Goldshteynning qogʻozi shunga oʻxshash natijani "sabablik" emas, balki "inertiallik" (vaqtga oʻxshash chiziqlarning saqlanishi) yordamida koʻrsatadi. Fizik prinsiplar. Eynshteyn maxsus nisbiylik nazariyasini ikkita asosiy postulatga asoslagan edi. Birinchidan, barcha fizik qonunlar nisbiy harakat holatidan qat’iy nazar barcha inertsial sanoq sistemalari uchun bir xil. Ikkinchidan, yorugʻlikning boʻsh fazodagi tezligi barcha inertial sanoq sistemalarida bir xil boʻladi, yana har bir sanoq sistemasining nisbiy tezligidan qatʼiy nazar. Lorents konvertatsiyasi asosan ushbu ikkinchi postulatning bevosita natijasidir. Ikkinchi postulat. Yorugʻlik tezligining mos yozuvlar tizimiga bogʻliq boʻlmagan doimiyligini koʻrsatadigan maxsus nisbiylikning ikkinchi postulatini qabul qiling va bir-biriga nisbatan doimiy tezlik bilan harakatlanadigan, yaʼni inertial tizimlar toʻplamini koʻrib chiqing, ularning har biri oʻz Dekart toʻplamiga ega. nuqtalarni, yaʼni fazo-vaqt hodisalarini belgilovchi koordinatalar . Yorugʻlik tezligining oʻzgarmasligini matematik shaklda ifodalash uchun fazo-vaqtdagi ikkita hodisani aniqlang, ular har bir mos yozuvlar tizimida qayd etiladi. Birinchi hodisa yorugʻlik signalining emissiyasi, ikkinchisi esa uning soʻrilishi boʻlsin. Toʻplamdagi har qanday mos yozuvlar ramkasini tanlang. Uning koordinatalarida birinchi hodisaga koordinatalar tayinlanadi formula_1 va ikkinchisi formula_2 . Emissiya va yutilish orasidagi fazoviy masofa formula_3, lekin bu ham masofa formula_4 signal orqali harakatlanadi. Shunday qilib, tenglamani oʻrnatish mumkin Har bir boshqa koordinata tizimi oʻz koordinatalarida bir xil tenglamani yozib oladi. Bu yorugʻlik tezligining oʻzgarmasligining bevosita matematik natijasidir. Chapdagi miqdor "fazoviy vaqt oraligʻi" deb ataladi. Interval yorugʻlik signallari bilan ajratilgan hodisalar uchun barcha mos yozuvlar ramkalarida bir xil (nol) boʻladi va shuning uchun "oʻzgarmas" deb ataladi. Intervalning oʻzgarmasligi. Lorentz oʻzgarishi tabiat tomonidan amalga oshirilgan jismoniy ahamiyatga ega boʻlishi uchun interval faqat yorugʻlik signallari bilan ajratilgan hodisalar uchun emas, balki "har qanday" ikkita hodisa uchun oʻzgarmas oʻlchov boʻlishi juda muhimdir. Buni aniqlash uchun "cheksiz kichik" oraliq hisobga olinadi, formula_6 tizimda qayd etilganidek formula_7 . Mayli formula_8 intervalni tayinlaydigan boshqa tizim boʻlsin formula_9 bir xil ikki cheksiz ajratilgan hodisaga. Chunki agar formula_10, keyin interval boshqa har qanday tizimda ham nolga teng boʻladi (ikkinchi postulat) va beri formula_11 va formula_9 bir xil tartibdagi cheksiz kichiklar, ular bir-biriga proportsional boʻlishi kerak, Nima boʻlishi mumkin formula_14 bogʻliqmi? Bu ikki hodisaning fazo-vaqtdagi pozitsiyalariga bogʻliq boʻlmasligi mumkin, chunki bu "fazoviy vaqtning postulatsiyalangan bir xilligini" buzadi. Bu nisbiy tezlikka bogʻliq boʻlishi mumkin formula_15 orasida formula_7 va formula_8, lekin faqat tezlik boʻyicha, yoʻnalish boʻyicha emas, chunki ikkinchisi "kosmosning izotropiyasini" buzadi. Endi tizimlarni kiriting formula_18 va formula_19, Bulardan kelib chiqadiki, Endi oʻng tomonda buni kuzatish mumkin formula_22 ikkalasiga bogʻliq formula_23 va formula_24; shuningdek "vektorlar" orasidagi burchakda formula_25 va formula_26 . Biroq, chap tomonning bu burchakka bogʻliq emasligi ham kuzatiladi. Shunday qilib, tenglama toʻgʻri boʻlishining yagona yoʻli bu funksiyadir formula_27 doimiy hisoblanadi. Bundan tashqari, xuddi shu tenglama boʻyicha bu doimiy birlikdir. Shunday qilib, barcha tizimlar uchun formula_8. Bu barcha cheksiz kichik intervallar uchun amal qilganligi sababli, u "barcha" intervallar uchun amal qiladi. Lorentz oʻzgarishlarining barcha boʻlmasa ham, koʻpchilik hosilalari buni odatiy hol sifatida qabul qiladi. Ushbu hosilalarda ular faqat yorugʻlik tezligining doimiyligidan (nurga oʻxshash ajratilgan hodisalarning oʻzgarmasligi) foydalanadilar. Bu natija Lorents transformatsiyasining toʻgʻri transformatsiya ekanligini taʼminlaydi. Qattiq bayonot va "ds"2 va "ds"′2 mutanosibligini isbotlash. Izohlar. Teoremani isbotlash. Asosni tuzatish formula_45 ning formula_46 qaysiga nisbatan formula_33 matritsali tasvirga ega formula_48 . Gap shundaki, vektor fazosi formula_46 pastki fazolarga parchalanishi mumkin formula_50 (birinchisining oraligʻi formula_51 bazis vektorlari) va formula_52 (keyin ikkinchisining oraligʻi formula_53 bazis vektorlari) shundayki, har bir vektor ichida formula_46 kabi noyob tarzda yozilishi mumkin formula_55 uchun formula_56 va formula_57 ; bundan tashqari formula_58, formula_59 va formula_60 . Shunday qilib (binolik boʻyicha) Oʻngdagi birinchi yigʻindi ijobiy boʻlmaganda, ikkinchisi esa salbiy boʻlmaganda, har qanday uchun formula_56 va formula_57, biz skalyarni topishimiz mumkin formula_64 shu kabi formula_65 . Bundan buyon har doim oʻylab koʻring formula_56 va formula_57 . Ikkilik bilan Agar formula_69, keyin ham formula_70 uchun ham xuddi shunday formula_39 (nol toʻplamidan beri formula_33 tarkibida mavjud formula_39). Bunday holda, yuqoridagi ikkita ifodani ayirish (va 4 ga boʻlish) hosil boʻladi Yuqoridagi kabi, har biri uchun formula_56 va formula_57, skalyar mavjud formula_64 shu kabi formula_65, shunday formula_79, bu ikki chiziqlilikni anglatadi formula_80. Endi nolga teng boʻlmaganini koʻrib chiqing formula_81 shu kabi formula_82 . Biz topamiz formula_57 shu kabi formula_84 . Yuqoridagi iboralarga koʻra, Analog tarzda, uchun formula_86, agar buni koʻrsatish mumkin formula_87, keyin ham formula_88 . Shunday qilib, u barcha vektorlar uchun amal qiladi formula_46. Uchun formula_90, agar formula_91, formula_92 baʼzilar uchun formula_93, biz (agar kerak boʻlsa, ulardan birini masshtablash) taxmin qilishimiz mumkin formula_94, bu yuqoridagi maʼnoni anglatadi formula_95 . Shunday qilib formula_96. Nihoyat, agar biz buni taxmin qilsak formula_97 ikkalasi ham imzo turlariga ega formula_98 va formula_99 keyin formula_100 (bizda mumkin emas formula_101 chunki bu degani formula_102 Imzo turiga ega boʻlgani uchun bu mumkin emas formula_98 nolga teng boʻlmagan ikki chiziqli shakl ekanligini bildiradi. Bundan tashqari, agar formula_104, keyin bu degani formula_39 ega formula_51 ijobiy diagonal yozuvlar va formula_53 salbiy diagonal yozuvlar; yaʼni imzosi bor formula_108, biz taxmin qilganimizdan beri formula_99, shuning uchun bu ham mumkin emas. Bu bizni qoldiradi formula_110 yagona variant sifatida). Bu teoremani isbotlashni tugatadi. Standart konfiguratsiya. Invariant intervalni fazoda musbat boʻlmagan aniq masofa funksiyasi sifatida koʻrish mumkin. Qidirilayotgan oʻzgarishlar toʻplami bu masofani oʻzgarmas qoldirishi kerak. Malumot tizimi koordinata tizimining kartezian xususiyatidan kelib chiqqan holda, Evklid misolida boʻlgani kabi, mumkin boʻlgan oʻzgarishlar tarjimalar va aylanishlardan iborat, degan xulosaga keladi, bu yerda aylanish atamasi uchun biroz kengroq maʼnoga ruxsat berilishi kerak.Interval tarjima ostida juda oʻzgarmasdir. Aylanish uchun toʻrtta koordinata mavjud. Demak, oltita aylanish tekisligi mavjud. Ulardan uchtasi fazoviy tekisliklarda aylanishdir. Oddiy aylanishlarda ham interval oʻzgarmasdir. Qolgan uchta koordinata tekisligida intervalni oʻzgarmas qoldiradigan "aylanish" ni topish qoladi. Shu bilan birga, harakatlanuvchi ramkaga mos keladigan koordinatalar bilan mos keladigan koordinatalarni belgilash yoʻlini topish. Umumiy muammo shunday transformatsiyani topishdir Umumiy muammoni hal qilish uchun tarjimalar va oddiy aylanishlar oraligʻining oʻzgarmasligi haqidagi bilimlardan foydalanib, umumiylikni yoʻqotmasdan, va ramkalar ularning koordinata oʻqlari hammasi boʻladigan tarzda tekislangan deb taxmin qilish mumkin. da uchrashadi va va oʻqlari doimiy ravishda tekislanadi va tizimi musbat boʻylab tezlikka ega. Buni "standart konfiguratsiya" deb nomlang. Bu shunday transformatsiyani topish uchun umumiy muammoni kamaytiradi Quyidagi misollarning aksariyatida standart konfiguratsiya qoʻllanadi. Oddiyroq muammoning "chiziqli" yechimi umumiy muammoni hal qiladi, chunki koordinatalar "farqlari" xuddi shu tarzda oʻzgaradi. Lineerlik koʻpincha adabiyotda ushbu oddiyroq muammo koʻrib chiqilayotganda qandaydir tarzda taxmin qilinadi yoki muhokama qilinadi. Agar oddiyroq muammoning yechimi chiziqli "boʻlmasa", kvadratlarni kengaytirishda koʻndalang atamalar paydo boʻlgani uchun u asl masalani hal qilmaydi. Yechimlar. Yuqorida aytib oʻtilganidek, umumiy muammo fazodagi tarjimalar orqali hal qilinadi. Ular qoʻyilgan oddiyroq muammoning yechimi sifatida koʻrinmaydi, biroq kuchaytirgichlar (va baʼzan hujum burchagiga qarab aylanishlar). Agar "faqat" yorugʻlikka oʻxshash ajratilgan hodisalar uchun intervalning oʻzgarmasligini talab qilsa, yanada koʻproq echimlar mavjud. Bular chiziqli boʻlmagan konformal ("burchakni saqlaydigan") transformatsiyalardir. Birida bor. Fizikaning baʼzi tenglamalari konformal invariantdir, masalan, manbasiz fazodagi Maksvell tenglamalari, lekin hammasi emas. Kosmosdagi konformal oʻzgarishlarning dolzarbligi hozircha maʼlum emas, lekin ikki oʻlchovdagi konformal guruh konformal maydon nazariyasi va statistik mexanikada juda dolzarbdir. Shunday qilib, maxsus nisbiylik postulatlari tomonidan alohida ajratilgan Puankare guruhidir. Bu uni Galiley nisbiyligining Galiley guruhidan ajratib turadigan oddiy kuchaytirgichlardan farqli oʻlaroq, Lorentz kuchaytirgichlarining mavjudligi (buning uchun tezlikni qoʻshish yorugʻlik tezligidan kattaroq tezlikni taʼminlaydigan oddiy vektor qoʻshilishidan farq qiladi). Fazoviy aylanishlar, fazoviy va vaqtinchalik inversiyalar va tarjimalar ikkala guruhda ham mavjud va ikkala nazariyada ham bir xil oqibatlarga olib keladi (impuls, energiya va burchak momentumining saqlanish qonunlari). Hamma qabul qilingan nazariyalar inversiya ostidagi simmetriyani hurmat qilmaydi. Fazoviy vaqt geometriyasidan foydalanish. Landau va Lifshitz yechimi. Ushbu uchta giperbolik funksiya formulalari (H1 – H3) quyida keltirilgan: Astarlangan koordinatalar "harakatlanuvchi" tizimga tegishli boʻlgan kuchaytirish uchun standart konfiguratsiyada qoʻyilgan muammo oddiyroq muammoning "chiziqli" echimini topish orqali hal qilinadi. Eng umumiy yechim, (H1) yordamida toʻgʻridan-toʻgʻri almashtirish orqali tasdiqlanishi mumkin, formula_118 formula_118 ning jismoniy sharoitdagi rolini topish uchun ning kelib chiqishi progressiyasini yozing, yaʼni . Tenglamalar boʻladi (birinchi dan foydalangan holda), Endi ajrating: Bu yerda birinchi bosqichda , ikkinchisida (H2) va (H3) ishlatilgan, bu esa qayta ulanganda (1) beradi yoki odatdagi qisqartmalar bilan,