Parseval ayniyati. Matematik tahlilda Mark-Antuan Parseval nomi bilan ataladigan Parseval ayniyati funksiyaning Furye qatorining yigʻilishi haqida muhim natijadir. Geometrik nuqtai nazardan, bu ayniyat skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar (sanoqsiz cheksiz bazis vektorga ega boʻlishi mumkin) uchun umumlashtirilgan Pifagor teoremasi hisoblanadi. Norasmiy ravishda, ayniyat funksiyaning Furye koeffitsientlarining kvadratlarining yigʻindisi funksiya kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi,formula_1bu yerda formula_2 ning Furye koeffitsientlari formula_3 quyidagicha berilganformula_4Rasmiy tilda aytganda, agar formula_2 kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya yoki umumiyroq qilib olganda, Lp fazo formula_6 dan boʻlsa, natija yuqorida keltirilganidek bajariladi. Shunga oʻxshash natija "Plancherel teoremasi" boʻlib, u funksiyaning Furye almashtirishining kvadratining integrali funksiyaning oʻzining kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi. Bir oʻlchovli fazodada, formula_7 uchunformula_8munosabat oʻrinli. Umumlashgan Pifagor teoremasi. Yuqorida keltirilgan ayniyat Pifagor teoremasi bilan separabel Gilbert fazosining umumiy holatida quyidagicha bogʻlangan. Faraz qilaylik, formula_9 fazo formula_10 skalyar koʻpaytmaga ega boʻlgan Gilbert fazosi boʻlsin. formula_11 formula_9ning "ortonormal bazisi" boʻlsin; yaʼni formula_13 ning "chiziqli yoyilmasi" formula_9da "zich" va formula_13 lar oʻzaro ortonormal boʻlsin: U holda Parseval ayniyati barcha formula_17 lar uchunformula_18ekanligini tasdiqlaydi. Bu toʻgʻridan-toʻgʻri Pifagor teoremasiga oʻxshash boʻlib, Pifagor teoremasi ortonormal bazisdagi vektor komponentlari kvadratlarining yigʻindisi vektorning uzunligining kvadratiga teng ekanligini tasdiqlaydi. formula_9 ni formula_6 Gilbert fazosi deb hamda formula_21 lar uchun formula_22 deb olish orqali Furye qatorlari uchun Parseval ayniyatini tiklash mumkin. Umuman olganda, Parseval ayniyati faqatgina separabel Gilbert fazolarida emas, balki har qanday "skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar"da bajariladi. Shunday ekan, faraz qilaylik, formula_9 skalyar koʻpaytma aniqlangan fazo boʻlsin. formula_24 formula_9ning "ortonormal bazis"i boʻlsin, bunda formula_24 "toʻliq" ortonormal toʻplam (formula_24 ning chiziqli yoyilmasi formula_9da zichligi maʼnosida). U holda,formula_29formula_24 ning "toʻliq" boʻlishi ayniyatning bajarilishi uchun zaruriydir. Agar formula_24 "toʻliq" boʻlmasa, u holda Parseval ayniyatidagi tenglik belgisi formula_32 ga oʻzgartirilishi kerak boʻladi. Bu esa "Bessel tengsizligi"ga olib keladi. Parseval tengsizligining ushbu umumlashgan koʻrinishi "Riesz-Fischer teoremasi" yordamida isbot qilinadi.