Geometriya. Geometriya (yunon. γη – Yer, μετρεω – oʻlchayman) – matematikaning bir sohasi, fazodagi va yerdagi geometrik jism va shakllarni xossalari va ular orasidagi bogʻlanishlarni oʻrganadi. Geometriya („geo“-yer… va „metriya“-oʻlchamoq) – matematikaning predmet shakllari va shakliy munosabatlarini oʻrganadigan boʻlimi. Nomi shundan, yer oʻlchash bilan bogʻliq ravishda paydo boʻlgan. Masalan, ochiq silindrsimon idishning shakli, hajmi, sirtining yuzi Geomatrik oʻrganish obyektlari, uning rangi yoki qanday moddadan yasalgani esa Geometrikani qiziqtirmaydi. Shuningdek, asosi doira boʻlsa ham, shaklda ellips bilan tasvirlanishi Geometriyaga mansub munosabatdir. Geometrik tushunchalarni mavhumlashtirib, ideallashtirib oʻrganadi. Masalan, silindrsimon idishning asosi doiradan bir oz farq qilishi, yasovchisi toʻppa-toʻgʻri boʻlmasligi mumkin, sirti qalinlikka ega, asosi bilan yon sirti tik tutashmay, silliqlangan boʻladi, lekin geometriyada bu kabi tafsilotlar soqit qilinadi. Shunday yoʻl bilan oʻlchamlarga ega boʻlmagan nuqta, har ikki tomonga cheksiz davom etuvchi toʻgʻri chiziq kabi tushunchalar, parallellik, simmetriklik kabi munosabatlar hosil qilinadi. Buning evaziga tatbiq doirasi juda keng, maʼlum maʼnoda mutlaq va universal tabiatli qonuniyatlar aniqlanadi. Geometriyaga oid dastlabki maʼlumotlar Qadimgi Bobil va Misrda kuzatuv yoʻli (empirik usul) bilan toʻplangan. Mas, bir juft parallel toʻgʻri chiziqni uchinchi toʻgʻri chiziq kesib oʻtsa, hosil boʻlgan 8 ta burchakdan toʻrttadani oʻzaro teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik boʻlgan uchburchakning bir burchagi toʻgʻri. Geometrik xossalarni toʻplash yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo ustida mushohada ayrim dalillarni boshqalaridan sof mantiqiy yoʻl bilan chiqarishga olib kelgan. Tayin geometrik xossani mantiqiy mushohada bilan keltirib chiqarish isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boshlagan. Dastlabki shunday dalillardan biri Fales (mil. av. 625-548-yillar) teoremasidir. Yunon faylasufi Pifagor akademiyasida mantiq va matematika muhim oʻrin tutib, muntazam teoremalar isbotini izlash bilan shugʻullanishgan. Tabiiyki, bunda imkoni boricha oz dalildan boshqa barcha dalillarni keltirib chiqarishga urinilgan. Bu urinishlar yakuni sifatida Yevklid oʻzining mashhur „Negizlar“ asarini yaratadi. Bu asar nafaqat matematika tarixida, balki umuman tafakkur taraqqiyotida beqiyos oʻrin tutib, 2000-yil davomida mantiqiy mushohada namunasi boʻlib xizmat qildi. „Negizlar“ da Yevklid nuqta, toʻgʻri chiziq, tekislik, tenglik, toʻgʻri chiziq yoki tekislikning nuqtadan oʻtishi (insidentlik) kabi tushunchalarni asos qilib olib, kesma, burchak, koʻpburchak, parallellik, perpendikulyarlik kabi tushunchalarga taʼrif beradi. Xuddi shu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib chiqaradi. Qad. Misr va Bobilda geometriya amaliy ehtiyojlar: maydonlar yuzini oʻlchash, navigatsiya, astronomiya, meʼmorlik masalalarini hal qilish uchun vujudga kelgan boʻlsa, Yunonistonda geometriya sanʼat sifatida ham rivojlanib, yuksak natijalarga erishdi. Xususan, sirkul va chizgʻich yordamida shakllar yasash rivoj topdi. Yunonlarning bu sohada erishgan darajasi shundan ham koʻrinadiki, ular qoʻygan muntazam koʻpburchaklar yasash masalasi 1796-yil (K. F. Gauss), doyra kvadraturasi masalasi esa 1882-yildagina (F.Lindemann) hal qilindi. Yunonlar doira va b. ayrim egri chiziqli shakllar yuzlari, piramida, konus va shar hajmlarini hisoblashda integral hisob elementlari qoʻllaganlar (Arximed va b.). Pergalik Apolloniyga mansub konus kesimlari nazariyasini esa shubhasiz yunon geometriyasining gultojisi deyish mumkin. Mil.ning 3-asridan keyin yunon geometriyasi umuman madaniyat bilan birga inqiroz tomon yuz tutdi, lekin geometriya arab sharqi mamlakatlari, Oʻrta Osiyo va Hindistonda taraqqiy qila bordi. VII-VIII asrlar davomida Hindistonda geometriyaga oid ayrim yutuqlar qoʻlga kiritilgan boʻlsa ham (mas, aylanaga ichki chizilgan toʻrtburchak yuzi uchun Brahmagupta formulasi), fan tarixidagi uygʻonish IXasrdan arab tilida ijod qilgan Yaqin va Oʻrta Sharq, xususan, oʻrta osiyolik olimlar faoliyati bilan bogʻliq. Ahmad alFargʻoniy stereografik proyeksiyaga oid Ptolemey qoldirgan teoremalarning isbotini berdi, tekislik trigonometriyasi va sferik trigonometriya yaratildi (Battoniy, Beruniy, Nasriddin Tusiy, Abul-Vafo va b.). Algebra geometriyaga va geometriya algebraga tatbiq qilina boshladi. Bu gʻoyalar XVI asrdan Yevropa olimlari tomonidan rivojlantirilib, analitik geometriyaga asos solindi, (P. Ferma, R. Dekart). Shu davrdan boshlab meʼmorlik va tasviriy sanʼat yuksalishi munosabati bilan perspektiv akslantirish xossalari oʻrganildi va proyektiv geometriya vujudga keldi. XVIII asrda differensial va integral hisob ixtiro qilingach, geometriya masalalarini yechishning standart usullari ishlab chiqildi va silliq chiziqlar hamda sirtlarni oʻrganuvchi differensial geometriya rivojlandi. Yassi chiziq, fazodagi chiziq va sirt mos ravishdax=x(t)U = AOx = x(t) U = y{t) z = z(t)x = x(u, v) = y(u, v) = z(u, v)koʻrinishdagi formulalar bilan beriladi. Masalan, x=(‘/J+rcosv/)cosi/, y-(R+ +rcosv)sʼinu, z—rsinv tenglamalar tor deb ataluvchi sirt hosil qiladi (5-rasm). Agar bu yerda u-2t, v=3r deb olin-sa, tor ustida yotuvchi chiziq tenglamasi hosil qilinadi (u tugunli boʻlib, uch yaproq deb ataladi). B. Rimankichik boʻlaklari yuqoridagi kabi sistemalar bilan beriladigan obyektlar u-ixtiyoriy oʻlchamli qurama (manyfold) tushunchasini kiritdi. Shundan soʻng geometriya butun matematika uchun kuchli qurolga aylandi (S. Li, E. Kartan va b.). Xususan, bu yondashuv nisbiylik nazariyasida muhim tatbiqlar topdi. XIX asr oxiri va XX asr boshida chiziqlar, sirtlar va quramalarning goʻyo rezinkadan yasalgan deb istalgancha deformatsiyalaganda oʻzgarmaydigan xossalari yigʻilib bordi. Ularni oʻrganishda differensial hisob usullari yetmas yoki ojizlik qilar edi. Mas, Myobius yaprogʻining faqat bitta tomoni borligi, uch yaproq tugunini yechib boʻlmasligi shunday xossalarga kiradi. Bu masalalar geometriyaning yangi boʻlimi – topologiya tugʻilishiga olib keldi. U esa, oʻz navbatida, XX asr matematikasini ifodalovchi geometriya, algebra va funksiyalar nazariyasining sintezidan iborat yoʻnalish – xilma-xil fazolarni oʻrganishga poydevor boʻldi. Yevklidning „Negizlari“ 2000-yil davomida mantiqiy qatʼiylik namunasi boʻlib kelganligiga qaramay, uning ayrim oʻrinlariga tanqidiy nazar bilan qaralib takomillashtirilgan: boshlangʻich tushunchalar tarkibi qayta koʻrib chiqilgan, nuqtalarning tartibiga oid va uzluksizlik aksiomalari bilan toʻldirilgan, qator aksiomalar esa boshqalari orqali isbotlanib, teoremalar qatoriga oʻtkazilgan. Bu ish D. Gilbertning „Geometriya asoslari“ asarida yakunlandi. Deyarli Yevklid zamonidan boshlab uning 5-postulati yoki unga teng kuchli parallellik aksiomasini isbotlashga juda koʻp urinilgan (jumladan, Nasriddin Tusiy, Umar Xayyom, I. geometriya Lambert), chunki matematiklarda u teorema boʻlishi kerak degan ishonch hukm surgan, xilma-xil „isbotlar“ ham taklif etilgan, lekkn bu isbotlarning barchasida mantiqiy nosozlik uchraydi – Yevklid aksiomasiga teng kuchli boshqa tasdikdan (mas, uchburchak burchaklarining yigindisi 180° ga tengligidan) foydalanib ketilgan. Bu sohadagi izlanishlar avval Yevklid geometriyasidan parallellik aksiomasi soqit qilingan mutlaq geometriya, soʻng parallellik aksiomasi oʻrniga uning inkori aksioma qilib olingan noyevklid geometriya (Lobachevskiy geometriyasi, 1826-yil) ixtiro qilinishiga olib keldi. Yevklid geometriyasi ham, noyevklid geometriya ham bir xil darajada ziddiyatdan xoli ekanligini qatiy isbotlagan F. Kleyn gruppa tushunchasi yordamida geometriya sohalarining tasnifini berdi (Erlangen dasturi). Unga muvofiq har bir geometriya oʻzining geometrik almashtirishlar gruppasi bilan ifodalanadi. Shakllarning bunday almashtirishlarda oʻzgarmay qoladigan (invariant) xossalari tegishli geometriya Sohalarining oʻrganish obyekti boʻladi. Kleyn nuqtai nazaridan maxsus nisbiylik nazariyasi Lorens gruppasiga mos keluvchi geometriyadir. Shakllarning xossalarini oʻrganishda ularning koʻlamiga qarab geometriya yana ikki turga boʻlinadi: shakllarning kichik (mahalliy) sohalari xossalarini oʻrganuvchi sohalar geometriyasi va shakllarni yaxlit obyekt sifatida oʻrganuvchi toʻla (global) geometriya Hozirgi davrda geometriya matematikaning barcha sohalarida, shakl va holatlarga doir tushunchalarni tasavvur qilishda qoʻllanilmoqda. Oʻzbekistonda ham geometriya tarixiga oid tadqiqotlar olib boriladi (geometriya P. Matviyevskaya, A. Ahmedov va b.)- OʻzMU, SamDU matematiklari tomonidan geometriya rivojlantirilmoqda. Abdulla Aʼzamov. Geometriya qoʻyidagi boʻlimlardan iborat: 1990 yil