Harakat-burchak koordinatalari. Klassik mexanikada harakat burchagi oʻzgaruvchilari kanonik koordinatalar toʻplami boʻlib, ular tejamkor energiya darajasi toʻplami ixcham boʻlganda va kommutatsiya oqimlari toʻliq boʻlganda integral tizimlarda kommutatsiya oqimlarining tabiatini tavsiflashda foydalidir. Harakat-burchak oʻzgaruvchilari, shuningdek, harakat tenglamalarini echmasdan tebranish yoki aylanish harakati chastotalarini olishda muhim ahamiyatga ega. Ular faqat dinamikaning asosiy tavsifini taʼminlovchi tizim toʻliq integrallashganda mavjud boʻladi, yaʼni mustaqil Puasson kommutatsiya invariantlari soni maksimal va saqlangan energiya yuzasi ixcham boʻlganda. Bu, odatda , Gamilton-Jakobi tenglamasini toʻliq ajratish mumkin boʻlganda va ajratish konstantalarini faza fazosida funktsiyalar sifatida echish mumkin boʻlganda amaliy hisob-kitob qiymatiga ega boʻladi. Harakat burchagi oʻzgaruvchilari invariant Lagranj tori boʻyicha qatlamlanishni aniqlaydi, chunki Puasson kommutatsiya invariantlari tomonidan induktsiya qilingan oqimlar ularning qoʻshma darajalari toʻplamida qoladi, energiya darajasi toʻplamining ixchamligi esa ularning tori ekanligini bildiradi. Burchak oʻzgaruvchilari harakatlanuvchi oqimlar chiziqli boʻlgan barglardagi koordinatalarni taʼminlaydi. Klassik Gamilton tizimlari va ularni Shredinger toʻlqin mexanikasi yondashuvida kvantlash oʻrtasidagi bogʻliqlik Gamilton-Yakobi tenglamasini Shredinger tenglamasi uchun WKB asimptotik qatoridagi etakchi tartibli atama sifatida koʻrish orqali aniq boʻladi. Integral tizimlar holatida, Bor-Zommerfeld kvantlash shartlari birinchi marta kvant mexanikasi paydo boʻlishidan oldin, vodorod atomining spektrini hisoblash uchun ishlatilgan. Ular harakat burchagi oʻzgaruvchilari mavjudligini va ular Plank doimiysining integral koʻpaytmalari boʻlishini talab qiladi. Eynshteynning EBK kvantlashidagi integral boʻlmagan tizimlarni kvantlash qiyinligi haqidagi tushunchasi shu faktga asoslangan edi. Harakat-burchak koordinatalari Gamilton mexanikasining buzilish nazariyasida, ayniqsa adiabatik invariantlarni aniqlashda ham foydalidir. Kichkina tebranishlar ostida integrallanuvchi dinamik tizimlarning dinamik barqarorligi uchun tartibsizlik nazariyasidan olingan eng dastlabki natijalardan biri KAM teoremasi boʻlib, u oʻzgarmas tori qisman barqaror ekanligini taʼkidlaydi. Integrallashuvchi tizimlarning zamonaviy nazariyasida harakat burchagi oʻzgaruvchilari Toda panjarasini hal qilishda, Laks juftlarini aniqlashda yoki umuman olganda, integrallanuvchi dinamikani tavsiflovchi chiziqli operatorning izospektral evolyutsiyasida va tegishli spektral maʼlumotlarni harakat sifatida talqin qilishda ishlatilgan. Gamilton formulasida burchak oʻzgaruvchilari. Chiqarish. Harakat burchaklari 2-turdagi kanonik transformatsiyadan kelib chiqadi, bunda hosil qiluvchi funktsiya Gamiltonning xarakteristik funktsiyasidir. formula_1 (Gemiltonning asosiy vazifasi "emas" formula_2). Dastlabki Gamiltonian aniq vaqtga bogʻliq emasligi sababli, yangi Gamiltonian formula_3 faqat eski Gamiltonian formula_4 deb belgilagan yangi kanonik koordinatalar bilan ifodalanadi formula_5 (umumlashtirilgan koordinatalar boʻlgan harakat burchaklari) va ularning yangi umumlashtirilgan momentlari formula_6 . Bu yerda ishlab chiqaruvchi funktsiyani hal qilishimiz shart emas formula_7 oʻzi; Buning oʻrniga biz uni faqat yangi va eski kanonik koordinatalarni bogʻlash vositasi sifatida ishlatamiz. Harakat burchaklarini belgilash oʻrniga formula_5 toʻgʻridan-toʻgʻri, biz ularning oʻrniga har bir asl umumlashtirilgan koordinata uchun klassik harakatga oʻxshash umumiy momentni aniqlaymiz bu yerda integratsiya yoʻli doimiy energiya funksiyasi bilan bevosita berilgan formula_10 . Haqiqiy harakat bu integratsiyada ishtirok etmaganligi tufayli, bu umumiy momentlar formula_11 harakat konstantalari boʻlib, oʻzgartirilgan Gamiltonianni bildiradi formula_12 koʻpaytma umumlashtirilgan koordinatalarga bogʻliq emas formula_13 bu yerda formula_13 2-toifa kanonik transformatsiya uchun tipik tenglama bilan berilgan Shunday qilib, yangi Gamiltonian formula_17 faqat yangi umumlashtirilgan momentga bogʻliq formula_6 . Harakat burchaklarining dinamikasi Gamilton tenglamalari bilan berilgan Oʻng tomon harakatning doimiysi (sababi barcha formula_20 lar). Demak, yechim tomonidan berilgan bu yerda formula_22 integratsiya doimiysi hisoblanadi. Xususan, agar asl umumlashtirilgan koordinata davrning tebranishi yoki aylanishiga duchor boʻlsa formula_23, mos keladigan harakat burchagi formula_13 tomonidan oʻzgaradi formula_25 . Bular formula_26 asl umumlashtirilgan koordinatalar uchun tebranish/aylanish chastotalari formula_27 . Buni koʻrsatish uchun biz harakat burchagidagi aniq oʻzgarishlarni birlashtiramiz formula_13 uning umumiy koordinatalarining aynan bitta toʻliq oʻzgarishi (yaʼni, tebranish yoki aylanish). formula_27 uchun ikkita ifodani oʻrnatish formula_31 teng, biz kerakli tenglamani olamiz Harakat burchaklari formula_5 umumlashtirilgan koordinatalarning mustaqil toʻplamidir. Shunday qilib, umumiy holatda, har bir asl umumlashtirilgan koordinata formula_34 "barcha" harakat burchaklarida Furye qatori sifatida ifodalanishi mumkin bu yerda formula_36 Furye qator koeffitsienti hisoblanadi. Aksariyat amaliy holatlarda esa, asl umumlashtirilgan koordinata formula_27 faqat oʻzining harakat burchaklarida Furye qatori sifatida ifodalanadi formula_13 Asosiy protokolning qisqacha mazmuni. Umumiy protsedura uch bosqichdan iborat: Degeneratsiya. Baʼzi hollarda ikki xil umumlashtirilgan koordinatalarning chastotalari bir xil boʻladi, yaʼni, formula_42 uchun formula_43 . Bunday hollarda harakat deyiladi degenerativ . Qoʻshimcha umumiy saqlangan miqdorlar mavjudligini koʻrsatadigan degeneratsiya harakat signallari; masalan, Kepler muammosining chastotalari degenerativ boʻlib, Laplas-Runge-Lenz vektorining saqlanishiga mos keladi. Degeneratsiya harakati, shuningdek , Gamilton-Jakobi tenglamalarini bir nechta koordinatalar tizimida toʻliq ajratish mumkinligidan dalolat beradi; Masalan, Kepler muammosi sferik koordinatalarda ham, parabolik koordinatalarda ham butunlay ajratilishi mumkin.