Geometrik faza. Klassik va kvant mexanikasida, geometrik faza — bu Gamiltonianʼın parametr fazosining geometrik xususiyatlaridan kelib chiqadigan tsiklik adiabatik jarayonlarga duchor boʻlganda, tsikl davomida olingan fazalar farqi. Bu hodisa mustaqil ravishda S. Pancharatnam (1956), klassik optikada va H. C. Longuet-Xiggins (1958) molekulyar fizikada; Maykl Berri (1984) tomonidan umumlashtirilgan. U Pancharatnam-Berri fazasi, Pancharatnam fazasi yoki Berri fazasi sifatida ham tanilgan. Buni potensial energiya yuzalarining konus shaklida kesishishi va Aharonov-Bom effektida koʻrish mumkin . C6H3F3 + molekulyar ionining tuproq elektron holatini oʻz ichiga olgan konussimon kesishish atrofidagi geometrik faza Bunker va Jensen darsligining 385-386-betlarida muhokama qilinadi. Aharonov-Bom effekti holatida, adiabatik parametr ikkita interferensiya yoʻllari bilan oʻralgan magnit maydon boʻlib, bu ikki yoʻl halqa hosil qiladi, degan maʼnoda siklikdir. Konusning kesishishida adiabatik parametrlar molekulyar koordinatalardir . Kvant mexanikasidan tashqari, u klassik optika kabi turli xil toʻlqin tizimlarida paydo boʻladi. Qoida tariqasida, u topologiyada qandaydir oʻziga xoslik yoki teshik yaqinida toʻlqinni tavsiflovchi kamida ikkita parametr mavjud boʻlganda paydo boʻlishi mumkin; ikkita parametr talab qilinadi, chunki yoki nosingular holatlar toʻplami oddiygina bogʻlanmaydi yoki nolga teng boʻlmagan holonomiya boʻladi. Toʻlqinlar amplituda va faza bilan tavsiflanadi va bu parametrlarga qarab oʻzgarishi mumkin. Geometrik faza ikkala parametr bir vaqtning oʻzida, lekin juda sekin (adiabatik) oʻzgartirilganda va oxir-oqibat dastlabki konfiguratsiyaga qaytarilganda sodir boʻladi. Kvant mexanikasida bu aylanishlarni, balki oxirida bekor qilingan zarrachalarning tarjimalarini ham oʻz ichiga olishi mumkin. Tizimdagi toʻlqinlar amplitudalar va fazalar (va vaqt oʻtishini hisobga olgan holda) bilan tavsiflangan dastlabki holatga qaytishini kutish mumkin. Biroq, agar parametr ekskursiyalari oʻz-oʻzidan orqaga va orqaga oʻzgaruvchan oʻzgarish oʻrniga halqaga toʻgʻri keladigan boʻlsa, unda boshlangʻich va yakuniy holatlar oʻz fazalarida farq qilishi mumkin. Bu fazalar farqi geometrik faza boʻlib, uning paydo boʻlishi odatda tizimning parametrlarga bogʻliqligi baʼzi parametrlar kombinatsiyasi uchun yagona (uning holati aniqlanmagan) ekanligini koʻrsatadi. Toʻlqin tizimidagi geometrik fazani oʻlchash uchun interferentsiya tajribasi talab qilinadi. Fuko mayatnik klassik mexanikaning namunasidir, u baʼzan geometrik fazani tasvirlash uchun ishlatiladi. Geometrik fazaning bu mexanik analogi Hannay burchagi sifatida tanilgan. Kvant mexanikasidagi berry fazasi. "n" -chi xos holatdagi kvant tizimida Gamiltonianning adiabatik evolyutsiyasi tizimning Gamiltonning "n" -chi xos holatida qolishini, shu bilan birga faza omilini olishini koʻradi. Olingan faza holatning vaqt evolyutsiyasidan, ikkinchisi esa xos holatning oʻzgaruvchan Gamiltonian bilan oʻzgarishidan hissa qoʻshadi. Ikkinchi atama Berri fazasiga toʻgʻri keladi va Gamiltonianning siklik boʻlmagan oʻzgarishlari uchun evolyutsiyaning har bir nuqtasida Gamiltonianning xos holatlari bilan bogʻliq boʻlgan fazani boshqacha tanlash orqali yoʻqolishi mumkin. Biroq, agar oʻzgarish davriy boʻlsa, Berry bosqichini bekor qilish mumkin emas; u oʻzgarmasdir va tizimning kuzatiladigan xususiyatiga aylanadi. Maks Born va Vladimir Fok tomonidan Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928) da berilgan adiabatik teoremaning isbotini koʻrib chiqsak, biz adiabatik jarayonning faza hadiga butun oʻzgarishini tavsiflashimiz mumkin. Adiabatik yaqinlashishda adiabatik jarayon ostidagi "n" -chi xos holat koeffitsienti quyidagicha ifodalanadi: formula_1 bu yerda formula_2 "t" parametriga nisbatan Berri fazasidir. "t" oʻzgaruvchisini umumlashtirilgan parametrlarga oʻzgartirib, biz Berry fazasini qayta yozishimiz mumkin. formula_3 bu yerda formula_4 siklik adiabatik jarayonni parametrlashtiradi. formula_5 ning normallashuviga eʼtibor bering, integralning xayoliy ekanligini bildiradi, shuning uchun formula_6 haqiqiydir. U yopiq yoʻldan boradi formula_7 tegishli parametr maydonida. Yopiq yoʻl boʻylab geometrik faza formula_7 bilan oʻralgan sirt ustida Berri egriligini integrallash orqali ham hisoblash mumkin formula_7 . Geometrik fazalarga misollar. Fuko mayatnigi. Eng oson misollardan biri Fuko mayatnigidır . Geometrik fazalar boʻyicha oson tushuntirish Wilczek va Shaper tomonidan berilgan: Mayatnik S umumiy yoʻl boʻylab olinganda qanday qilib oldinga oʻtadi? Ekvator boʻylab tashish uchun mayatnik oldinga oʻtmaydi. […] Endi agar C geodezik segmentlardan iborat boʻlsa, presessiya hammasi geodeziya segmentlari uchrashadigan burchaklardan kelib chiqadi; umumiy presessiya aniq tanqislik burchagiga teng boʻlib, u oʻz navbatida C moduli 2"π" bilan oʻralgan qattiq burchakka teng. Nihoyat, biz geodezik segmentlar ketma-ketligi boʻyicha har qanday halqani taxmin qilishimiz mumkin, shuning uchun eng umumiy natija (sfera yuzasida yoki undan tashqarida) aniq presessiya yopiq qattiq burchakka tengdir. Turli soʻzlar bilan aytganda, mayatnikni oldinga siljitadigan hech qanday inertial kuchlar mavjud emas, shuning uchun pretsessiya (maatnik olib boriladigan yoʻlning harakat yoʻnalishiga nisbatan) butunlay bu yoʻlning burilishi bilan bogʻliq. Shunday qilib, mayatnik yoʻnalishi parallel transportdan oʻtadi. Dastlabki Fuko mayatnik uchun yoʻl kenglik doirasi va Gauss-Bonnet teoremasi boʻyicha faza siljishi yopiq qattiq burchak bilan berilgan. Keltirib chiqarish. Yer bilan tandemda harakatlanadigan, lekin Yerning oʻz oʻqi atrofida aylanishini taqsimlamaydigan inertsial ramkada mayatnikning osma nuqtasi bir yulduz kuni davomida aylana yoʻlini kuzatadi. Parijning 48 gradus 51 minut shimoldagi kengligida toʻliq presessiya aylanishi 32 soatdan sal kam vaqtni oladi, shuning uchun bir yulduz kunidan soʻng, Yer bir yulduz kunidagidek orientatsiyaga qaytganida, tebranish tekisligi atigi ortga burildi. 270 darajadan yuqori. Agar burilish tekisligi boshida shimoldan janubga boʻlgan boʻlsa, bir kundan keyin u sharqdan gʻarbga yoʻnaltiriladi. Bu ham impuls almashinuvi boʻlganligini anglatadi; Yer va mayatnik bob impulslarini almashgan. Yer mayatnik bobiga qaraganda shunchalik kattaroqki, Yer impulsining oʻzgarishi sezilmaydi. Shunga qaramay, mayatnik bobning tebranish tekisligi oʻzgarganligi sababli, saqlanish qonunlari almashinuv sodir boʻlishi kerakligini anglatadi. Impulsning oʻzgarishini kuzatish oʻrniga, tebranish tekisligining presessiyasini parallel tashish holati sifatida samarali tasvirlash mumkin. Buning uchun cheksiz kichik aylanishlarni tuzish orqali shuni koʻrsatish mumkinki, pretsessiya tezligi Yerning burchak tezligining Yerga normal yoʻnalishi boʻyicha proyeksiyasiga proportsionaldir, bu esa tebranish tekisligining izi parallel tashishdan oʻtishini anglatadi. . 24 soatdan soʻng, Yer ramkasidagi izning boshlangʻich va oxirgi yoʻnalishlari oʻrtasidagi farq ni tashkil qiladi, bu Gauss-Bonnet teoremasi tomonidan berilgan qiymatga mos keladi. mayatnikning golonomiyasi yoki geometrik fazasi deb ham ataladi. Yerga ulangan harakatlarni tahlil qilganda, Yer ramkasi inertial ramka emas, balki mahalliy vertikal atrofida kuniga radian samarali tezlikda aylanadi. Fuko mayatnikining burilish tekisligining burilish burchagini tasvirlash uchun Yer yuzasiga tegib turgan konuslar ichida parallel tashishdan foydalanadigan oddiy usuldan foydalanish mumkin . Yer bilan bogʻlangan koordinatalar tizimi nuqtai nazaridan (oʻlchov doirasi va tomoshabin Yer bilan chegaralangan, shuningdek, agar u harakatlanayotganda Koriolis kuchiga yer reaktsiyasi tomoshabin tomonidan sezilmasa), oʻqi sharqqa qaratilgan toʻrtburchaklar koordinata tizimidan foydalanish va uning oʻqi shimolga qaratilgan boʻlsa, mayatnikning presessiyasi Koriolis kuchiga bogʻliq (boshqa xayoliy kuchlar tortishish va markazdan qochma kuchlar toʻgʻridan-toʻgʻri presessiya komponentiga ega emas, Eyler kuchi past, chunki Yerning aylanish tezligi deyarli doimiy). Kichik burchak yaqinlashuvida doimiy tabiiy chastotasi boʻlgan planar sarkacni koʻrib chiqing. Mayatnik bobida ikkita kuch taʼsir qiladi: tortishish va sim bilan taʼminlangan tiklovchi kuch va Koriolis kuchi (tortishish kuchini tiklovchi kuchga qarshi markazdan qochma kuchni eʼtiborsiz qoldirish mumkin). kenglikdagi Koriolis kuchi kichik burchak yaqinlashuvida gorizontal boʻlib, quyidagicha ifodalanadi: formula_10 Bu yerda — Yerning aylanish chastotasi, — yoʻnalishdagi Koriolis kuchining komponenti va — — yoʻnalishdagi Koriolis kuchining komponenti. Qayta tiklovchi kuch, kichik burchakli yaqinlashuvda va markazdan qochma kuchda quyidagicha ifodalanadi: formula_11 Nyutonning harakat qonunlaridan foydalanib, bu tenglamalar sistemasiga olib keladi formula_12 Murakkab koordinatalarga oʻtish , tenglamalar oʻqiladi formula_13 Birinchi buyurtma uchun formula_14 Agar vaqt kunlarda oʻlchanadigan boʻlsa, u holda va mayatnik bir kun davomida burchak bilan aylanadi. Optik tolada qutblangan yorugʻlik. Ikkinchi misol — bitta rejimli optik tolaga kiruvchi chiziqli polarizatsiyalangan yorugʻlik. Faraz qilaylik, tola kosmosda qandaydir yoʻlni bosib oʻtadi va yorugʻlik tolaga kirgan yoʻnalishda chiqadi. Keyin dastlabki va yakuniy polarizatsiyalarni solishtiring. Yarim klassik yondashuvda tola toʻlqin oʻtkazgich vazifasini bajaradi va yorugʻlik momenti har doim tolaga tegib turadi. Polarizatsiyani impulsga perpendikulyar orientatsiya sifatida qarash mumkin. Elyaf oʻz yoʻlidan chiqib ketayotganda, yorugʻlikning impuls vektori impuls fazosida sferada yoʻlni izlaydi. Yoʻl yopiq, chunki yorugʻlikning boshlangʻich va oxirgi yoʻnalishlari mos keladi va qutblanish sferaga vektor tangensidir. Impuls fazosiga borish Gauss xaritasini olish bilan tengdir. Polarizatsiyani aylantira oladigan kuchlar yoʻq, faqat sferaga tegib qolish uchun cheklov. Shunday qilib, qutblanish parallel ravishda oʻtadi va faza siljishi yopiq qattiq burchak (yorugʻlik holatida spinning 1 marta) bilan beriladi. Stokastik nasos effekti. Stokastik nasos klassik stokastik tizim boʻlib, parametrlarning davriy oʻzgarishiga oʻrtacha nolga teng boʻlmagan oqimlar bilan javob beradi. Stokastik nasos effekti stokastik oqimlarning moment hosil qiluvchi funksiyasi evolyutsiyasidagi geometrik faza nuqtai nazaridan talqin qilinishi mumkin. Attraktorlarda aniqlangan geometrik faza. Berrining formulasi dastlab chiziqli Gamilton tizimlari uchun aniqlangan boʻlsa-da, tez orada Ning va Xaken shunga oʻxshash geometrik fazani maʼlum tsiklik attraktorlarga ega boʻlgan chiziqli boʻlmagan dissipativ tizimlar kabi mutlaqo boshqa tizimlar uchun belgilash mumkinligini anglab etdi. Ular bunday tsiklik attraktorlar maʼlum simmetriyalarga ega boʻlgan chiziqli boʻlmagan dissipativ tizimlar sinfida mavjudligini koʻrsatdilar. Berri fazasini bu umumlashtirishning bir qancha muhim jihatlari mavjud: 1) Berrining dastlabki fazasi uchun parametr fazosi oʻrniga bu Ning-Haken umumlashtirish faza fazosida aniqlanadi; 2) Kvant mexanik tizimidagi adiabatik evolyutsiya oʻrniga, fazalar fazosida tizimning evolyutsiyasi adiabatik boʻlmasligi kerak. Vaqtinchalik evolyutsiyaning vaqt miqyosida hech qanday cheklov yoʻq; 3) Germit tizimi yoki chiziqli dampingli germitiy boʻlmagan tizim oʻrniga tizimlar odatda chiziqli va germitiy boʻlmagan boʻlishi mumkin. Molekulyar adiabatik potentsial sirt kesishmalarida taʼsir qilish. Born-Oppengeymer tizimida molekulalarda geometrik fazani hisoblashning bir necha usullari mavjud. Buning bir usuli „adiabatik boʻlmagan ulanish“ orqali amalga oshiriladi formula_15 matritsa" tomonidan aniqlanadi: formula_16 bu yerda formula_17 yadro parametrlariga bogʻliq holda adiabatik elektron toʻlqin funktsiyasidir formula_18 . Noadiabatik bogʻlanish, M. tomonidan molekulyar asos uchun mustaqil ravishda ishlab chiqilgan, dala nazariyasidagi Uilson halqasiga (1974) oʻxshash halqa integralini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Baer (1975, 1980, 2000). Yopiq halqa berilgan formula_19, tomonidan parametrlangan formula_20 qayerda formula_21 parametrdir va formula_22 . "D" -matritsa tomonidan berilgan formula_23(Bu yerga formula_24 yoʻlni tartibga soluvchi belgi). Buni bir marta koʻrsatish mumkin formula_25 etarlicha katta boʻlsa (yaʼni elektron holatlarning yetarli soni hisobga olinadi), bu matritsa diagonal boʻlib, diagonal elementlari teng. formula_26 qayerda formula_27 uchun halqa bilan bogʻliq geometrik fazalardir formula_28 — adiabatik elektron holat. Vaqt teskari nosimmetrik elektron Gamiltonianlar uchun geometrik faza halqa bilan oʻralgan konusning kesishmalari sonini aks ettiradi. Aniqroq aytganda, formula_29bu yerda formula_30 adiabatik holat ishtirok etgan konussimon kesishmalar soni formula_31 halqa bilan oʻralgan formula_32 "D" -matritsali yondashuvga alternativa Pancharatnam fazasini toʻgʻridan-toʻgʻri hisoblash boʻladi. Bu, ayniqsa, agar kishi faqat adiabatik holatning geometrik fazalari bilan qiziqsa foydali boʻladi. Ushbu yondashuvda raqam olinadi formula_33 ballar soni formula_34 halqa boʻylab formula_35 bilan formula_36 va formula_37 u holda faqat "j" — adiabatik holatlardan foydalaniladi formula_38 Pancharatnam koʻpaytmasini hisoblab chiqadi: formula_39Cheklovda formula_40 biri bor (tushuntirish va baʼzi ilovalar uchun Ryb & Baer 2004 ga qarang) formula_41 Siklotron harakatining geometrik fazasi va kvantlanishi. Magnit maydonga duchor boʻlgan elektron formula_42 aylana (siklotron) orbita boʻylab harakatlanadi. Klassik tarzda, har qanday siklotron radiusi formula_43 qabul qilinadi. Kvant-mexanik jihatdan faqat diskret energiya darajalariga (Landau darajalari) ruxsat beriladi va shundan beri formula_43 elektronning energiyasi bilan bogʻliq, bu ning kvantlangan qiymatlariga mos keladi formula_43 . Shredinger tenglamasini yechish natijasida olingan energiyani kvantlash sharti, masalan: formula_46formula_47 erkin elektronlar uchun (vakuumda) yoki formula_48 grafendagi elektronlar uchun, bu yerda formula_49 . Ushbu natijalarni olish qiyin boʻlmasa-da, ularni olishning muqobil usuli mavjud boʻlib, u qaysidir maʼnoda Landau darajasidagi kvantlash haqida yaxshiroq jismoniy tushuncha beradi. Bu muqobil usul yarim klassik Bor-Sommerfeld kvantlash shartiga asoslanadi: formula_50 geometrik fazani oʻz ichiga oladi formula_51 siklotron orbitasining yopiq halqasi boʻylab oʻzining (haqiqiy fazoda) harakatini bajarayotganda elektron tomonidan olinadi. Erkin elektronlar uchun, formula_52 esa formula_53 grafendagi elektronlar uchun. Maʼlum boʻlishicha, geometrik faza toʻgʻridan-toʻgʻri bogʻlangan formula_47 erkin elektronlar va formula_55 grafendagi elektronlar.