Konfiguratsiya maydoni (fizika). Klassik mexanikada tizim konfiguratsiyasini belgilaydigan parametrlar "umumlashtirilgan koordinatalar" deb ataladi va bu koordinatalar bilan belgilangan boʻshliq jismoniy tizimning konfiguratsiya maydoni deb ataladi. Koʻpincha bu parametrlar matematik cheklovlarni qondiradi, shuning uchun tizimning haqiqiy konfiguratsiyasi toʻplami umumlashtirilgan koordinatalar fazosida koʻp qirrali hisoblanadi. Bu kollektor tizimning konfiguratsiya manifolti deb ataladi. Eʼtibor bering, bu „cheklanmagan“ konfiguratsiya maydoni tushunchasi, yaʼni turli nuqta zarralari bir xil pozitsiyani egallashi mumkin. Matematikada, xususan, topologiyada asosan „cheklangan“ konfiguratsiya maydoni tushunchasi qoʻllanadi, bunda „toʻqnashuvchi“ zarralarni ifodalovchi diagonallar olib tashlanadi. Misol: 3D fazodagi zarracha Oddiy Evklid 3-fazoda harakatlanuvchi bitta zarrachaning holati vektor bilan aniqlanadi. formula_1, va shuning uchun uning "konfiguratsiya maydoni" formula_2 . Belgidan foydalanish odatiy holdir formula_3 konfiguratsiya maydonidagi nuqta uchun; Bu klassik mexanikaning Gamilton formülasyonunda ham, Lagranj mexanikasida ham konventsiyadir. Belgisi formula_4 momentni bildirish uchun ishlatiladi; ramzi formula_5 tezliklarga ishora qiladi. Zarracha maʼlum bir manifoldda harakat qilish uchun cheklangan boʻlishi mumkin. Misol uchun, agar zarracha qattiq bogʻlanishga bogʻlangan boʻlsa, kelib chiqishi boʻyicha erkin aylansa, u sferada yotishi samarali tarzda cheklanadi. Uning konfiguratsiya maydoni koordinatalarning kichik toʻplamidir formula_6 shardagi nuqtalarni belgilaydi formula_7 . Bunday holda, biri manifold deb aytadi formula_8 shar, "yaʼni" formula_9. "n" ta uzilgan, oʻzaro taʼsir qilmaydigan nuqta zarralari uchun konfiguratsiya maydoni formula_10 . Umuman olganda, zarrachalar oʻzaro taʼsir qiladigan holat qiziqtiradi: masalan, ular koʻpincha sirpanishsiz harakatlanish uchun cheklangan tishli gʻildiraklar, gʻaltaklar, aylanma sharlar "va boshqalarning" baʼzi yigʻilishlarida aniq joylardir. Bunday holda, konfiguratsiya maydoni hammasi emas formula_10, lekin nuqtalar olishi mumkin boʻlgan ruxsat etilgan pozitsiyalarning pastki boʻshligʻi (submanifold). Misol: 3D fazoda qattiq jism. Uch oʻlchovli makonda qattiq jismga biriktirilgan mos yozuvlar nuqtasining oʻrnini va koordinata ramkasining yoʻnalishini aniqlaydigan koordinatalar toʻplami uning konfiguratsiya maydonini tashkil qiladi, koʻpincha belgilanadi. formula_12 qayerda formula_13 tanaga biriktirilgan ramkaning kelib chiqishi koordinatalarini ifodalaydi va formula_14 zamin ramkasiga nisbatan ushbu ramkaning yoʻnalishini belgilaydigan aylanish matritsalarini ifodalaydi. Qattiq jismning konfiguratsiyasi oltita parametr bilan belgilanadi, uchtasi formula_13 va uchtasi formula_14, va olti erkinlik darajasiga ega deyiladi. Bunday holda, konfiguratsiya maydoni formula_17 olti oʻlchovli va nuqtadir formula_18 bu makonda faqat bir nuqta. ning „joylashuvi“ formula_3 bu konfiguratsiya maydonida umumlashtirilgan koordinatalar yordamida tasvirlangan; Shunday qilib, koordinatalarning uchtasi qattiq jismning massa markazining joylashishini tasvirlashi mumkin, yana uchtasi esa uning yoʻnalishini tavsiflovchi Eyler burchagi boʻlishi mumkin. Koordinatalarning kanonik tanlovi yoʻq; qattiq jismning massa markazi oʻrniga uning uchini yoki oxirgi nuqtasini ham tanlash mumkin; Eyler burchaklari oʻrniga kvaternionlardan foydalanishni tanlash mumkin va hokazo. Biroq, parametrizatsiya tizimning mexanik xususiyatlarini oʻzgartirmaydi; har xil parametrlashlarning barchasi oxir-oqibat bir xil (olti oʻlchovli) manifoldni, bir xil mumkin boʻlgan pozitsiyalar va yoʻnalishlarni tavsiflaydi. Baʼzi parametrlar bilan ishlash boshqalarga qaraganda osonroq va koʻplab muhim bayonotlar koordinatalarsiz ishlash orqali amalga oshirilishi mumkin. Koordinatalarsiz ifodalarga misol qilib tangens fazoni keltirish mumkin formula_20 nuqtalarning tezliklariga mos keladi formula_18, kotangent fazoda esa formula_22 momentiga mos keladi. (Tezlik va momentni bogʻlash mumkin; eng umumiy, mavhum holatda, bu tavtologik bir shaklning juda mavhum tushunchasi bilan amalga oshiriladi) Misol: robot qoʻl. Koʻp sonli qattiq bogʻlanishlardan iborat boʻlgan robot qoʻl uchun konfiguratsiya maydoni har bir bogʻlanishning joylashuvidan (yuqoridagi boʻlimda boʻlgani kabi qattiq jism sifatida qabul qilingan) iborat boʻlib, u bogʻlanishlarning bir-biriga qanday bogʻlanishiga bogʻliq cheklovlarni hisobga olgan holda va ularning ruxsat etilgan harakat doirasi. Shunday qilib, uchun formula_23 ulanishlar, umumiy boʻshliqni hisobga olish mumkin bundan mustasno, barcha turli qoʻshimchalar va cheklovlar bu boʻshliqning har bir nuqtasiga etib boʻlmaydi. Shunday qilib, konfiguratsiya maydoni formula_8 ning pastki fazosi boʻlishi shart formula_23 -qattiq jismli konfiguratsiya maydoni. Shuni yodda tutingki, robototexnikada "konfiguratsiya maydoni" atamasi yana qisqartirilgan kichik toʻplamga ham tegishli boʻlishi mumkin: robotning yakuniy effekti bilan erishish mumkin boʻlgan pozitsiyalar toʻplami. Biroq, bu taʼrif golonomiya bilan tavsiflangan murakkabliklarga olib keladi: yaʼni maʼlum bir yakuniy effektni olish uchun robot qoʻlini joylashtirishning bir necha xil usullari boʻlishi mumkin va hatto robot qoʻlini ushlab turganda harakatlanishi mumkin. oxirgi effektor statsionar. Shunday qilib, kinematikada foydalanish uchun mos boʻlgan qoʻlning toʻliq tavsifi ularning baʼzilarini emas, balki "barcha" boʻgʻinlar pozitsiyalarini va burchaklarini tavsiflashni talab qiladi. Robotning qoʻshma parametrlari konfiguratsiyalarni aniqlash uchun umumlashtirilgan koordinatalar sifatida ishlatiladi. Qoʻshma parametr qiymatlari toʻplami deyiladi "qoʻshma boʻshliq" . Robotning toʻgʻridan-toʻgʻri va teskari kinematik tenglamalari konfiguratsiyalar va oxirgi effektor pozitsiyalari yoki qoʻshma boʻshliq va konfiguratsiya maydoni oʻrtasidagi xaritalarni aniqlaydi. Robot harakatini rejalashtirish ushbu xaritalashdan soʻnggi effektorning konfiguratsiya maydonida erishish mumkin boʻlgan marshrutni taʼminlovchi qoʻshma makonda yoʻlni topish uchun foydalanadi. Rasmiy taʼrif. Klassik mexanikada tizimning "konfiguratsiyasi" tizimning barcha tashkil etuvchi nuqta zarralarining holatini bildiradi. Faza maydoni. Konfiguratsiya maydoni mexanik tizimni toʻliq tavsiflash uchun etarli emas: u tezliklarni hisobga olmaydi. Tizim uchun mavjud boʻlgan tezliklar toʻplami tizimning konfiguratsiya manifoltiga tekis tangensni belgilaydi. Bir nuqtada formula_18, bu tangens tekislik bilan belgilanadi formula_28 . Impuls vektorlari kotangens vektorlari deb nomlanuvchi tangens tekislikning chiziqli funksiyalari; bir nuqta uchun formula_18, bu kotangens tekislik bilan belgilanadi formula_30 . Mexanik tizimning pozitsiyalari va momentlari toʻplami kotangens toʻplamini tashkil qiladi formula_22 konfiguratsiya manifoldidan formula_8 . Bu kattaroq manifold tizimning faza fazosi deb ataladi. Moddiy maydoni. Kvant mexanikasida oʻxshash tushuncha holat fazosi deb ataladi. Bu holatda juda boshqacha rasmiyatchilik va belgilar toʻplami qoʻllanadi. „Nuqta zarrasi“ ning analogi bitta nuqtaga aylanadi formula_33, Bloch sferasi deb ham ataladigan murakkab proyektiv chiziq . U murakkab, chunki kvant-mexanik toʻlqin funksiyasi murakkab fazaga ega; u proyektivdir, chunki toʻlqin funksiyasi birlik ehtimollik darajasiga normallashtirilgan. Yaʼni toʻlqin funksiyasi berilgan formula_34 biri uni umumiy ehtimollik bilan normallashtirish uchun formula_35, shuning uchun uni proyektiv qiladi.