Bessel funktsiyalari. Matematikadagi Bessel funktsiyalari — bu Bessel differentsial tenglamasining kanonik yechimlari boʻlgan funktsiyalar oilasidir: qayerda formula_2 ixtiyoriy haqiqiy son (umumiy holatda, kompleks son), tartib deb ataladi. Eng koʻp ishlatiladigan Bessel funktsiyalari butun sonli tartiblarning funktsiyalaridir. Garchi formula_2 va formula_4 bir xil tenglamalarni yaratadi, ular odatda turli funktsiyalar ularga mos kelishiga rozi boʻlishadi (bu, masalan, Bessel funktsiyasida formula_2 silliq boʻlishi uchun amalga oshiriladi.). Bessel funktsiyalari birinchi marta shveytsariyalik matematik Daniel Bernoulli tomonidan aniqlangan va Fridrix Bessel sharafiga nomlagan. Ilovalar. Bessel tenglamasi silindrsimon va sferik koordinatalarda Laplas tenglamasi va Gelmgolts tenglamalarining yechimlarini topishda yuzaga kelib qoladi. Shuning uchun Bessel funktsiyalari toʻlqinlarning tarqalishi, statik potentsiallar va boshqalarning koʻplab muammolarini hal qilishda qoʻllanadi, masalan: Bessel funktsiyalari boshqa muammolarni hal qilishda, masalan, signalarni qayta ishlashda ham qoʻllanadi. Bessel funksiyasi sinus funksiyasini umumlashtirilishidir. Bu oʻzgaruvchan qalinligi, oʻzgaruvchan kuchlanish (yoki ikkala shart bir vaqtning oʻzida) boʻlgan ipning tebranishi sifatida talqin qilinishi mumkin; oʻzgaruvchan xususiyatlarga ega boʻlgan muhitda tebranishlar; disk membranasining tebranishlari va boshqalarni oʻz ichiga oladi. Taʼriflar. Yuqoridagi tenglama ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo‘lgani uchun uning ikkita chiziqli mustaqil yechimi bo‘lishi kerak. Biroq, ushbu qarorlarning turli xil taʼriflari vaziyatga qarab tanlanadi. Quyida ulardan baʼzilari misol tariqasida keltirilgan. Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari. Belgilangan birinchi turdagi Bessel funktsiyalari formula_6, yechimlar nuqtada cheklangan formula_7 butun yoki manfiy boʻlmagan formula_2 uchun qoʻllanadi . Muayyan funktsiyani tanlash va uni normallashtirish uning xususiyatlari bilan belgilanadi. Ushbu funktsiyalarni Teylor seriyasida nolga yaqin kengaytirish orqali aniqlash mumkin (yoki formula_2 butun sonlar uchun umumiy quvvat seriyasida): Bu yerda formula_11 Bu Eyler gamma funktsiyasi boʻlib, faktorialni butun son boʻlmagan qiymatlarga umumlashtirishdir. Bessel funktsiyasining grafigi sinusoidga oʻxshaydi, uning tebranishlari proportsional ravishda parchalanadi. formula_12, garchi aslida funktsiyaning nollari vaqti-vaqti bilan joylashmasa ham (ammo, ketma-ket ikkita nol orasidagi masofa formula_13 da formula_14) . Quyida jadvallar keltirilgan formula_15 uchun formula_16 : Agar a formula_2 butun son emas, funktsiyalar formula_15 va formula_19 chiziqli mustaqil va shuning uchun tenglamaning yechimlari shu boʻladi. Lekin agar formula_2 butun son boʻlsa, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻladi: Bu shuni anglatadiki, bu holda funktsiyalar chiziqli bogʻliqdir. Keyin tenglamaning ikkinchi yechimi ikkinchi turdagi Bessel funktsiyasi boʻladi (2-rasmga qarang). . Bessel integrallari. Butun sonlar uchun Bessel funktsiyasining boshqa taʼrifini berish mumkin formula_2, integral yordamida koʻramiz: Bu yondashuv Bessel tomonidan qoʻllangan va u funksiyalarning baʼzi xususiyatlarini oʻrganish uchun foydalangan. Boshqa integral vakillik ham boʻlishi mumkin: Bessel funktsiyasining toʻliq boʻlmagan holda integral tasvirini topish formula_2 abtsissa oʻqi boʻylab kesma mavjudligini hisobga olish kerak. Buning sababi, integral endi yoʻq formula_26 — davriy. Shunday qilib, integratsiya konturi 3 qismga boʻlinadi: nur formula_27 dan formula_28 gacha, qayerda formula_29, birlik radiusi doirasi va nur formula_28dan formula_31gachaformula_32 . Oddiy matematik oʻzgarishlarni amalga oshirib, siz quyidagi integral tasvirni olishingiz mumkin: Butun son uchun buni tekshirish oson formula_2 bu ifoda oldingi formulaga qoʻyiladi. Neyman funktsiyalari. Neyman funksiyalari — Yechimlar formula_35 Bessel tenglamalari bir nuqtada cheksiz boʻladi u nuqta formula_7 . Bu xususiyat bilan formula_6 quyidagi nisbatga bogʻliq: bu yerda butun son boʻlsa formula_2 chegarasi olinadi formula_2, masalan, Lapital qoidasi yordamida hisoblangan. Neyman funksiyalari ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari deb ham ataladi. Birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalarining chiziqli birikmasi Bessel tenglamasining toʻliq yechimidir: Quyida grafik keltirilgan formula_42 uchun formula_16 : Bir qator kitoblarda Neyman funktsiyalari koʻrsatilgan formula_44 . Sferik Bessel funktsiyalari. Sferik koordinatalarda Helmgolts tenglamasini oʻzgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechishda radial qism uchun tenglama shaklga ega boʻladi. Ikkinchi chiziqli mustaqil yechim sferik Bessel funksiyalari deyiladi va va odatiy Bessel funktsiyalari bilan bogʻliq va Neyman yordamida ifodalanadi. ham yoki bilan belgilanadi; baʼzi mualliflar bu funktsiyalarni sferik Neyman funktsiyalari deb atashadi. Sferik Bessel funksiyalarini (Reyleigh formulasi) shaklida ham yozish mumkin boʻladi. Bir necha birinchi sharsimon Bessel funksiyalari dan misollar : va Neyman : Funktsiyalarni keltirib chiqarish. Sferik Bessel funksiyalarini yaratish : Differentsial munosabatlar. Quyidagi formulalarda bilan almashtirilishi mumkin , "h"(1)"n", "h"(1)"n", "h"(2)"n", "h"(2) sharsimon Hankel funktsiyalari, uchun : Xususiyatlari. Ortogonallik. Mayli formula_52 Bessel funksiyasining nollari formula_53 . Keyin : Asimptotiklar. Asimptotik formulalar birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalari uchun maʼlum. Kichik argumentlar uchun formula_55 va haqiqiy formula_2 ular shunday koʻrinadi : qayerda formula_59 — Eyler doimiysi — Mascheroni (0,5772 …) va formula_60 Eyler gamma funktsiyasidir . Katta argumentlar uchun (formula_61) formulalar quyidagichakoʻrinishda koʻrinadi: Asimptotik kengayishning keyingi atamasidan foydalanish natijani sezilarli darajada yaxshilash imkonini beradi. Nolinchi tartibli Bessel funktsiyasi uchun u quyidagicha koʻrinishda koʻrinadi: Gipergeometrik qatorlar. Bessel funktsiyalari gipergeometrik funktsiya bilan ifodalanishi mumkin: Shunday qilib, butun son uchun formula_2 Bessel funktsiyasi "bitta qiymatli analitikdir" va butun sonlar uchun u koʻp "qiymatli analitik boʻladi". Yaratish funktsiyasi. Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari va maʼlum bir turdagi funktsiyaning Loran qatori koeffitsientlari boʻyicha butun tartibli tasvirlar mavjuddir. Nisbatlar. Yakobi-Angera formulasi va tegishli. Hosil qiluvchi funksiya ifodasidan olingan formula_68, formula_69 : formula_68, formula_72da : Takroriy munosabatlar. Bessel funksiyalari uchun bir qancha takrorlanish munosabatlari mavjuddir. Mana ulardan baʼzilari quyidagilar: Qoʻshish teoremasi. Har qanday butun n va kompleks uchun formula_77, formula_78 bajarilgan Integral ifodalar. Har qanday masala uchun formula_80 va formula_81 (shu jumladan murakkab) uchun quyidagilar bajarildi Oxirgi formulaning alohida holati ifodadir Adabiyotlar.