Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti. Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti — sonli fazo elementlari ketma-ketligining chegarasi. Sonli fazo metrik fazo boʻlib, unda masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. Kompleks sonlarda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklarining chegaralari mavjudligiga tengdir. Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir haqiqiy son kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligining chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin. Sanoq sistemasi bunday takomillashtirish ketma-ketligini taʼminlaydi. Butun va ratsional sonlar davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, irratsional sonlar esa davriy boʻlmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qoʻllanadi, bunda yaqinlashishlar tizimini tanlash alohida oʻrin tutadi. Taxminlovchilar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, raqamlarning davomli kasrlar koʻrinishida ifodalanishi samaralidir. Tarixi. Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi XVII asrning ikkinchi yarmida Nyuton va XVIII asrning Euler va Lagrange kabi matematiklari tomonidan qoʻllangan, lekin ular chegarani intuitiv ravishda tushungan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qatʼiy taʼriflari 1816-yilda Bolzano va 1821-yilda Cauchy tomonidan berilgan. Birinchi taʼrif. Birinchisi akslantirishning akslaridan iborat ushbu formula_1 toʻplam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni formula_2 yoki formula_3 kabi belgilanadi. formula_4 sonlar ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, 1) formula_5, 2) formula_6, 3) formula_7 4) formula_8 5) formula_9 lar sonlar ketma-ketliklardir. Biror formula_2 ketma-ketlik berilgan boʻlsin. Ikkinchi taʼrif. Agar shunday oʻzgarmas formula_11 soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy formula_4 uchun formula_13 tengsizlik bajarilsa (yaʼni formula_14 boʻlsa),formula_2 ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi. Uchinchi taʼrif. Agar shunday oʻzgarmas formula_11 soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy formula_4 uchun formula_18 tengsizlik bajarilsa (yaʼni formula_19 boʻlsa),formula_2 ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi. Toʻrtinchi taʼrif. Agar formula_2 ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralanga boʻlsa (yaʼni formula_22 boʻlsa),formula_2 ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Misol uchun. Ushbu formula_24 formula_25 ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin. Ravshanki, formula_26 uchun formula_27 boʻladi. Demak, qaralyotgan ketma-ketlik quyidagi chegaralangan. Maʼlumki, formula_28 boʻlib, undan formula_29 yaʼni formula_30 boʻlishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligin bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan. Beshinchi taʼrif. Agar formula_2 ketma-ketlik uchun formula_32 boʻlsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi. Sonlar ketma-ketligining limiti. Aytaylik, formula_33 son hamda ixtiyoriy musbat formula_34 son berilgan boʻlsin. Oltinchi taʼrif. Ushbu formula_35 nuqtaning formula_34 - atrofi deyiladi. Faraz qilaylik formula_2 ketma-ketlik va formula_33 soni berilgan boʻlsin. Yettinchi taʼrif. Agar ixtiyoriy formula_39 son olingandan ham shunday formula_40 natural soni mavjud boʻlsaki, formula_41 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun formula_42 tengsizlik bajarilsa, (yaʼni formula_43 boʻlsa), formula_44 son formula_2 ketma-ketlikning limiti deyiladi va formula_46 yoki formula_47 da formula_48 kabi belgilanadi. Ravshanki, yuqoridagi tengsizlik uchun formula_49, formula_50 boʻladi. Shuni eʼtiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha taʼriflasa boʻladi. Sakkizinchi taʼrif. Agar formula_44 nuqtaning ixtiyoriy formula_52 ham formula_2 ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli boʻlsa, formula_44 soni formula_2 ketma-ketlikning limiti deyiladi. Yuqorida keltirilgan taʼriflardan koʻrinadiki formula_34 ixtiyoriy musbat son boʻlib, natural formula_40 soni esa formula_34 ga qaraliyotgan ketma-ketlikka bogʻliq ravishda topiladi.