Green funksiyasi. Green funksiyasi – bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamalar, shuningdek chegaraviy masalalarni yechish uchun ishlatiladigan funksiya. Ingliz matematigi Jorj Grin sharafiga shunday nomlangan ("inglizcha George Green"). Green funksiyasi elektrostatikada – Poisson tenglamasini yechishda; kondensirlangan holatlar fizikasida – diffuziya tenglamasini (va mos holda issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini) yechishda juda qoʻl keladi. Bu sohalarda Green funksiyasining ahamiyati, xuddi kvant mexanikasidagi Schredinger tenglamasi kabidir. Green funksiyasi turli chegaraviy shartlarda statsionar (vaqtga bogʻliq boʻlmagan) va nostatsionar (vaqtga bogʻliq boʻlgan) yechimlarni topishga yordam beradi. Green funksiyasining taʼrifi va qoʻllanishi. formula_1 Yevklid fazosida olingan ixtiyoriy formula_2 nuqtadagi umumlashgan funksiyalarga taʼsir qiluvchi formula_3 chiziqli operatorning Green funksiyasi formula_4 – bu tenglamaning ixtiyoriy yechimidir. Bu yerda formula_6 – delta-funksiya. Green funksiyasining ushbu xossasidan quyidagi koʻrinishdagi differensial tenglamalarni yechishda foydalanish mumkin: Green funksiyasi – formula_8 ga teskari operator. Shu sababli, baʼzida uni formula_9 koʻrinishida ham tasvirlanadi. Agar formula_8 operatorning yadrosi notrivial boʻlsa, demak, Green funksiyasi yagona emas. Biroq amaliyotda simmetriya qonunlaridan foydalanish hamda chegaraviy shartlarni hisobga olish orqali Green funksiyasining tayin bir koʻrinishini olish mumkin. Umuman olganda, Green funkiyasi oddiy funksiya emas, balki umumlashgan funksiya. Yaʼni u oddiy funksiyalarda boʻlmaydigan xossalar, masalan, delta-funksiya yoki uning hosilalari kabi xususiyatlarga ega boʻlishi mumkin. Green funksiyasi – toʻlqin tenglamasi, diffuziya tenglamasi va kvantomexanik tenglamalarni yechishda ham juda foydali. Chunki u holatlar zichligi bilan bogʻliq. Fizikada Green funksiyasi, odatda, qarama-qarshi ishora bilan beriladi: Bunday koʻrinish, uning xossalariga va qiymatiga hech qanday taʼsir qilmaydi. Agar formula_12 operator translyatsion invariant boʻlsa, yaʼni formula_8 operator formula_14 ga nisbatan doimiy koeffitsientlarga ega boʻlsa, Green funksiyasini konvolyutsion operator koʻrinishida tanlash mumkin: Bu holatda u chiziqli statsionar sistemalar nazariyasidagi impulsli oʻtish funksiyasiga toʻgʻri keladi. Eslatma. Baʼzida bir jinsli boʻlmagan tenglamaning oʻng tomonida biron doimiy koeffitsient qatnashib qolishi mumkin. Yaʼni formula_16 Bunday holatda Green funksiyasi formula_17ham, ushbu koeffitsientni hisobga olgan holda aniqlanadi, yaʼni quyidagi tenglamaning yechimi boʻladi: U holda differensial tenglamaning yechimi : koʻrinishida boʻladi. Shturm-Liouville operatorining Green funksiyasi (bir oʻlchamli hol). Masalaning qoʻyilishi Aytaylik, formula_8 – chiziqli differensial koʻrinishdagi Shturm-Liouville operatori boʻlsin: hamda formula_22 – chegaraviy holatlar operatori boʻlsin: Green teoremasi formula_24 funksiya – formula_25 oraliqda uzluksiz hamda, chegaraviy shartlar quyidagicha berilgan boʻlsin: formula_26 Masala muntazam, yaʼni faqatgina bir jinsli masalaning trivial yechimlari mavjud boʻlsin. U holda shartlarni qanoatlantiradigan yagona formula_28 yechim mavjud va bu yechimni ifoda orqali topish mumkin. Bu yerda formula_30 – Green funksiyasi. Ushbu Green funksiyasi quyidagi xossalarga ega: