Ehtimolik zichligi funksiyasi. Ehtimollar nazariyasida ehtimollik zichligi funksiyasi (EZF) yoki mutlaqo uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchining zichligi, bu funksiya boʻlib, uning qiymati tanlama boʻshligʻidagi har qanday berilgan namunadagi (yoki nuqtada) (tasodifiy oʻzgaruvchi tomonidan olingan mumkin boʻlgan qiymatlar toʻplami) tasodifiy oʻzgaruvchining qiymati ushbu tanlamaga teng boʻlishining "nisbiy ehtimolini" taʼminlash sifatida talqin qilinishi mumkin. Ehtimollik zichligi — bu uzunlik birligiga toʻgʻri keladigan ehtimollik, boshqacha qilib aytganda, uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchining har qanday maʼlum qiymatni olishi "mutlaq ehtimolligi" 0 ga teng boʻlsa (chunki boshlash uchun mumkin boʻlgan qiymatlarning cheksiz toʻplami mavjud), EZF qiymati Ikki xil namunada tasodifiy oʻzgaruvchining har qanday aniq tanlovida tasodifiy oʻzgaruvchining boshqa namunaga nisbatan bir namunaga yaqinroq boʻlish ehtimoli qanchalik yuqori ekanligini aniqlash uchun foydalanish mumkin. Aniqroq maʼnoda, EZF tasodifiy oʻzgaruvchining biror bir "qiymatni qabul qilishdan farqli oʻlaroq, maʼlum bir qiymat oraligʻiga" tushish ehtimolini aniqlash uchun ishlatiladi. Bu ehtimollik ushbu oʻzgaruvchining: EZF-ning ushbu diapazondagi integrali bilan beriladi, yaʼni u zichlik funksiyasi ostidagi, lekin gorizontal oʻqdan yuqori va diapazonning eng kichik va eng katta qiymatlari orasidagi maydon bilan beriladi. Ehtimollik zichligi funksiyasi hech qachon manfiy emas va butun egri chiziq ostidagi maydon 1 ga teng. "Ehtimollar taqsimoti funksiyasi" va "ehtimollik funksiyasi" atamalari ham baʼzan ehtimollik zichligi funksiyasini belgilash uchun ishlatilgan. Biroq, ehtimollar va statistiklar orasida bu foydalanish standart emas. Boshqa manbalarda, ehtimollik taqsimoti umumiy qiymatlar toʻplami boʻyicha funksiya sifatida aniqlanganda yoki u umumiy taqsimot funksiyasiga murojaat qilganda yoki ehtimollik massasi funksiyasi (EMF) boʻlishi mumkin zichligi. „Zichlik funksiyasi“ning oʻzi ham ehtimollik massasi funksiyasi uchun ishlatiladi, bu esa yanada chalkashlikka olib keladi. Umuman olganda, EMF diskret tasodifiy oʻzgaruvchilar (hisoblanuvchi toʻplamda qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy oʻzgaruvchilar) kontekstida, EZF esa doimiy tasodifiy oʻzgaruvchilar kontekstida ishlatiladi. Namuna. Aytaylik, bizga maʼlum bir turdagi bakteriyalar odatda 4 dan 6 soatgacha yashaydi. Bakteriyaning aynan 5 soat yashashi ehtimoli nolga teng. Koʻpgina bakteriyalar taxminan 5 soat yashaydi, ammo har qanday bakteriya aniq 5.00 … soatda oʻlishi ehtimoli yoʻq. Shu bilan birga, bakteriyaning 5 soatdan 5,01 soatgacha oʻlishi ehtimoli miqdoriy hisoblanadi. Aytaylik, javob 0,02 (yaʼni 2%). Soʻng, bakteriyaning 5 soatdan 5,001 soatgacha oʻlishi ehtimoli taxminan 0,002 boʻlishi kerak, sababi bu vaqt oraligʻi avvalgisiga qaraganda oʻndan biriga teng boʻladi. Bakteriyaning 5 soatdan 5,0001 soatgacha oʻlishi ehtimoli taxminan 0,0002 boʻlishi kerak va hokazo. Ushbu misolda nisbat (intervalda oʻlish ehtimoli) / (intervalning davomiyligi) taxminan doimiy va soatiga 2 ga teng (yoki 2 soat−1) Misol uchun, 0,01 soatlik intervalda 5 va 5,01 soat oraligʻida 0,02 oʻlim ehtimoli bor va (0,02 ehtimollik / 0,01 soat) = 2 soat −1. Bu 2 soat−1 miqdori 5 soat atrofida oʻlish ehtimoli zichligi deb ataladi. Shuning uchun bakteriyaning 5 soatda oʻlish ehtimolini (2 soat−1)"dt" deb yozish mumkin. Bu bakteriyaning 5 soat atrofida cheksiz kichik vaqt oraligʻida oʻlish ehtimoli, bu yerda "dt" — bu jarayonning davomiyligi. Masalan, uning 5 soatdan koʻproq, lekin (5 soat + 1 nanosoniya) dan qisqa yashashi ehtimoli (2 soat −1)×(1 nanosoniya) ≈ ( nanosekund = 1 soat). "f" (5 soat) = 2 soat−1 boʻlgan "f" ehtimollik zichligi funksiyasi mavjud. Vaqtning istalgan qismi (nafaqat cheksiz kichik qismlar, balki katta qismlar ham) boʻyicha "f" ning integrali bu qismda bakteriyaning nobud boʻlish ehtimolidir. Mutlaqo uzluksiz bir oʻzgaruvchili taqsimotlar. Ehtimollik zichligi funksiyasi, odatda, mutlaqo uzluksiz bir oʻzgaruvchili taqsimotlar bilan bogʻliq. Tasodifiy oʻzgaruvchi formula_1 formula_2 zichlikka ega, bu yerda formula_2 aniq boʻlgan Lebeg integrallanuvchi funksiyasi, agar: formula_4 Demak, agar formula_5 bu formula_1 ning umumiy taqsimot funksiyasi hisoblanadi, keyin: formula_7 va (agar formula_2 formula_9 da davom etadi) formula_10 namunaviy ravishda, oʻylash mumkin formula_11 ehtimoli sifatida formula_1 cheksiz kichik oraliq ichiga tushadi formula_13 . Asosiy taʼrif. Tasodifiy oʻzgaruvchi formula_1 oʻlchanadigan makonda qiymatlar bilan formula_15 (odatda formula_16 Borel toʻplamlari oʻlchanadigan kichik toʻplamlar bilan) ehtimollik taqsimoti sifatida "X"∗"P" oʻlchoviga ega formula_15 : zichligi formula_1 mos yozuvlar oʻlchoviga nisbatan formula_19 yoqilgan formula_15 Radon-Nikodim hosilasi : formula_21 Yaʼni, "f" — bu xususiyatga ega har qanday oʻlchanadigan funksiya: formula_22 har qanday oʻlchanadigan toʻplam uchun formula_23 Munozara. Yuqoridagi uzluksiz bir oʻzgaruvchan holatda, mos yozuvlar oʻlchovi Lebeg oʻlchovidir. Diskret tasodifiy oʻzgaruvchining ehtimollik massasi funksiyasi namuna maydonidagi hisoblash oʻlchoviga nisbatan zichlikdir. Zichlikni ixtiyoriy oʻlchovga asoslanib aniqlash mumkin emas (masalan, oʻzgarmas tasodifiy oʻzgaruvchiga havola sifatida hisoblash oʻlchovini tanlash mumkin emas). Bundan tashqari, u mavjud boʻlganda, zichlik deyarli noyobdir, yaʼni har qanday 2 ta bunday zichlik deyarli hamma joyda mos keladi. Batafsil maʼlumotlar. Ehtimoldan farqli oʻlaroq, ehtimollik zichligi funksiyasi birdan katta qiymatlarni qabul qilishi mumkin; masalan, [0, 1/2] oraliqda bir xil taqsimot 0≤x≤1/2 uchun f (x)=2 ehtimollik zichligiga ega va boshqa joylarda f (x)=0. Standart normal taqsimot ehtimollik zichligiga ega: formula_24 Agar tasodifiy oʻzgaruvchisi berilgan boʻlsa va uning taqsimoti ehtimollik zichligi funksiyasini qabul qilsa, u holda ning kutilgan qiymati (agar kutilgan qiymat mavjud boʻlsa) quyidagicha hisoblanishi mumkin: formula_25 Har bir ehtimollik taqsimoti zichlik funksiyasiga ega emas: diskret tasodifiy oʻzgaruvchilar taqsimoti yoʻq. Cantor taqsimoti ham diskret komponentga ega boʻlmasa ham, yaʼni har qanday namunaviy nuqtaga musbat ehtimollik belgilamaydi. Taqsimot zichlik funksiyasiga ega boʻladi, agar uning yigʻindisi taqsimot funksiyasi mutlaq uzluksiz boʻlsa. Bu holda: deyarli hamma joyda differentsiallanadi va uning hosilasi ehtimollik zichligi sifatida ishlatilishi mumkin: formula_26 Agar ehtimollik taqsimoti zichlikni qabul qilsa, u holda har bir nuqtali } toʻplamining ehtimoli nolga teng va xuddi shunday chekli va sanaladigan toʻplamlar uchun ham bu qoida amal qiladi. Ikki ehtimollik zichligi va bir xil ehtimollik taqsimotini aniq ifodalay oladi, agar ular faqat Lebeg oʻlchovi nol toʻplamida farq qilsalar. Statistik fizika sohasida, asosan, ehtimollik zichligi funksiyasining taʼrifi sifatida yigʻma taqsimot funksiyasining hosilasi va ehtimollik zichligi funksiyasi oʻrtasidagi yuqoridagi munosabatni norasmiy qayta shakllantirish qoʻllanadi. Ushbu muqobil taʼrif quyidagicha: Agar cheksiz kichik son boʻlsa, ning (t, t+dt) oraliqda boʻlish ehtimoli ga teng yoki: formula_27