Delta-funksiya. Delta - funksiya yoki Dirak delta funksiyasi Fanga kiritilish tarixi va matematik isboti. Birinchi marta 1926-yilda Dirak tomonidan kiritilgan formula_1-funksiya odatda quyidagicha ta'riflanadi: Integrallash chegaralari formula_2 bo`lishi shart emas. Delta-funksiya cheksiz bo`lgan nuqtani o`z ichiga olgan har qanday soha integrallash sohasi bo`lishi mumkin. Delta-funksiyaning ma'nosi ham shundaki, integral uning argumenti bo`yicha olinadi. Har qanday uzluksiz formula_3 funksiya uchun yozish mumkin: formula_4, agar formula_5 Haqiqatdan, formula_6 xususiyatiga muvofiq, yuqoridagi integralda faqat formula_7 nuqta atrofigina ahamiyatlidir. Cheksiz kichik sohada uzluksiz funksiyani o`zgarmas hisoblash mumkin. U vaqtda formula_3 funksiyaning formula_9 qiymatini integral belgisining oldiga chiqariladi. Qolgan integral esa 3-formulaga asosan birga tengdir. Delta-funksiya uchun muhim bo`lgan yana bir formulani qarab ko`raylik: formula_10, agar formula_11 Haqiqatdan ham, agar formula_12 ni formula_13 orqali belgilasak, formula_14 U vaqtda (1) va (2) formulalarga asosan, formula_15 agarformula_16 formula_17 agar formula_18 (5) da ifodalangan tenglik belgisining ma'nosi shundan iboratki, uning o`ng va chap tomonlari integral ostidagi ko`paytuvchilar sifatida olinib, bir xil natija beradi. Tenglamaning chap tomonini ko`rib chiqaylik. Agar formula_19 bo`lsa, formula_20 bo`ladi. Ammo (6) ga muvofiq, formula_21 Endi (6)-(8) ifodalarni nazarda tutib, delta-funksiya ta'rifiga asosan yozishimiz mumkin formula_22 demak, formula_23 Agar formula_24 bo`lsa, formula_25 bo`ladi. (5) ning o`ng tomonidan olingan integral esa formula_26 bo`ladi. Shunday qilib, (5) ifoda isbotlandi. Xususiy hol formula_27 uchun formula_28 Xossalari. formula_33 formula_34 Integral tasavvurlar. Amaliyotda, ko`pincha, Delta-funksiyaning integral ko`rinishidan foydalanish qulay: formula_35 Ma'lumki, Agar ixtiyoriy formula_37 uchun (3) dan foydalansak, quyidagi tenglik o`rinli: Demak, ning cheksiz o`suvchi qiymatlarida (2) funksiya uchun Delta-funksiyaning barcha xossalari o`rinli va u formula_39 ga intiladi.