Haqiqiy va kompleks sonlar massivini hisoblash. matematikada matritsa (: matritsalar) to'rtburchaklar massiv yoki sonlar jadvalidir. , belgilar yoki ifodalar, elementlar yoki yozuvlar qatorida tartiblangan qatorlar va ustunlar, ular matematik obyekt yoki bunday obyektning xususiyatini ifodalash uchun ishlatiladi. Masalan, formula_1 ikki qator va uchta ustunli matritsadir. Bu ko'pincha "ikki-uch matritsa", "formula_2 matritsasi" yoki formula_2 o'lchovli matritsa deb ataladi. Matritsalar odatda chiziqli algebra bilan bog'liq. E'tiborga molik istisnolar grafik nazariyasida insidlanish matritsalari va qo'shnilik matritsalarini o'z ichiga oladi. Ushbu maqola chiziqli algebra bilan bog'liq matritsalarga qaratilgan va agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, barcha matritsalar chiziqli xaritalarni ifodalaydi yoki shunday ko'rinishi mumkin. "Kvadrat matritsalar", qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar matritsalar nazariyasida katta rol o'ynaydi. Berilgan o'lchamdagi kvadrat matritsalar kommutativ bo'lmagan halqa ni tashkil qiladi, bu esa o'zgarmas halqaning eng keng tarqalgan misollaridan biridir. Kvadrat matritsaning determinanti matritsa bilan bog'langan son bo'lib, u kvadrat matritsani o'rganish uchun asosiy hisoblanadi; masalan, kvadrat matritsa invertible bo‘ladi, agar u nolga teng bo‘lmagan aniqlovchiga ega bo‘lsa va kvadrat matritsaning o‘z qiymatilari ko‘pnomli determinantning ildizlari bo‘lsa. geometriyada matritsalar geometrik oʻzgartirishlarni (masalan, aylanishlar) va koordinata oʻzgarishilarni belgilash va ifodalash uchun keng qoʻllaniladi. sonli tahlilda koʻpgina hisoblash masalalari ularni matritsali hisoblashga qisqartirish yoʻli bilan hal qilinadi va bu koʻpincha katta oʻlchamdagi matritsalar bilan hisoblashni oʻz ichiga oladi. Matritsalar to'g'ridan-to'g'ri yoki geometriya va raqamli tahlilda foydalanish orqali matematika va ilmiy sohalarning aksariyat sohalarida qo'llaniladi. Matritsalar nazariyasi - matematikaning bo'limi matritsalarni o'rganishga qaratilgan. U dastlab chiziqli algebraning kichik tarmogʻi boʻlgan, lekin tez orada grafik nazariya, algebra, kombinatorika va statistika bilan bogʻliq fanlarni oʻz ichiga olgan. Ta'rifi. "matritsa" sonlardan (yoki boshqa matematik obyektlardan) iborat to'rtburchaklar massiv bo'lib, matritsaning " yozuvlari" deb ataladi. Matritsalar standart operatsiyalarga bo'ysunadi, masalan, qo'shish va ko'paytirish. Odatda, maydon "F" - "F" ning elementlari to'rtburchaklar massivi. haqiqiy matritsa va kompleks matritsa yozuvlari mos ravishda haqiqiy son yoki kompleks son bo'lgan matritsalardir. Yozuvlarning umumiy turlari quyida muhokama qilinadi. Masalan, bu haqiqiy matritsa: Matritsadagi raqamlar, belgilar yoki iboralar uning “yozuvlari” yoki “elementlari” deb ataladi. Matritsadagi yozuvlarning gorizontal va vertikal chiziqlari mos ravishda “satrlar” va “ustunlar” deb ataladi. Hajmi. Matritsaning o'lchami uning tarkibidagi qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Matritsa (odatiy ma'noda) musbat butun sonlar bo'lsa, bo'lishi mumkin bo'lgan satrlar va ustunlar soniga hech qanday cheklov yo'q . formula_5 qatorlari va formula_6 ustunlari boʻlgan matritsa formula_7 matritsasi yoki formula_8-by-formula_6 matritsasi, bu yerda formula_5 va formula_6 uning deyiladi. " o'lchamlar". Masalan, yuqoridagi formula_12 matritsasi formula_13 matritsasidir. Bitta qatorli matritsalar "satr vektoris", bitta ustunlilari esa "ustun vektorlari" deyiladi. Satrlar va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsa "kvadrat matritsa" deyiladi. Cheksiz qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) bo'lgan matritsa " cheksiz deb ataladi. matritsa ". Ba'zi kontekstlarda, masalan, kompyuter algebrasi dasturlari, " empty matritsa" deb ataladigan qatorlar yoki ustunlarsiz matritsani ko'rib chiqish foydali bo'ladi. Izoh. Ramziy matritsa belgilarining o'ziga xos xususiyatlari ba'zi bir ustunlik tendentsiyalari bilan juda xilma-xildir. Matritsalar odatda kvadrat qavslar yoki qavslar ichida yoziladi, shuning uchun formula_14 matritsasi formula_15 quyidagicha ifodalanadi. formula_16 Buni faqat bitta umumiy atamani, ehtimol indekslar bilan birga yozish orqali qisqartirish mumkin. formula_17 yoki formula_18 bo‘lgan holatda formula_19. Matritsalar odatda katta harflar yordamida (masalan, yuqoridagi misollarda formula_12), mos keladigan kichik-kichik harflar ikkitadan iborat. pastki indeks indekslari (masalan, formula_21 yoki formula_22), yozuvlarni ifodalaydi. Matritsalarni ramziy qilish uchun katta harflardan foydalanish bilan bir qatorda, koʻpgina mualliflar matritsalarni boshqa matematik obʼyektlardan ajratib koʻrsatish uchun maxsus tipografik uslub, odatda qalin rim (kursiv boʻlmagan) dan foydalanadilar. Muqobil yozuv, formula_23 da boʻlgani kabi, oʻzgaruvchi nomi bilan, qalin harflar bilan yoki boʻlmasdan, qoʻsh chiziqdan foydalanishni oʻz ichiga oladi. matritsaning -chi qator va -chi ustunidagi yozuv ba'zan matritsaning formula_24 yoki formula_25 yozuvi deb ataladi va odatda quyidagicha belgilanadi. formula_26 yoki formula_27. Ushbu yozuv uchun muqobil belgilar formula_28 va formula_29 hisoblanadi. Masalan, quyidagi formula_15 matritsasining formula_31 yozuvi (shuningdek, formula_32, formula_33, formula_34 yoki formula_35): Ba'zan matritsaning yozuvlari formula_37 kabi formulalar bilan aniqlanishi mumkin. Masalan, quyidagi formula_15 matritsasining har bir yozuvi formula_39 formulasi bilan aniqlanadi. Bunday holda, matritsaning o'zi ba'zan kvadrat qavslar yoki qo'sh qavslar ichida ushbu formula bilan aniqlanadi. Masalan, yuqoridagi matritsa formula_41 yoki formula_42 sifatida aniqlanadi. Agar matritsa hajmi formula_43 boʻlsa, yuqorida qayd etilgan formula_44 formulasi har qanday formula_45. Bu alohida belgilanishi yoki pastki belgisi sifatida formula_43 yordamida koʻrsatilishi mumkin. Masalan, yuqoridagi formula_15 matritsasi formula_48 ga teng va uni formula_49 yoki formula_50. Ba'zi dasturlash tillari -by- matritsasini ifodalash uchun ikki barobar obunali massivlardan (yoki massivlar massivlaridan) foydalanadi. Ba'zi dasturlash tillari massiv indekslarini raqamlashni noldan boshlaydi, bu holda -by- matritsaning yozuvlari formula_51 va formula_52. Ushbu maqolada sanab o'tish dan boshlanadigan matematik yozishda keng tarqalgan qoidaga amal qilinadi. Barcha -by- haqiqiy matritsalarning to'plami ko'pincha formula_53 yoki formula_54 Hammasi toʻplami -by- matritsalar boshqa maydon yoki halqasi ustidan , xuddi shunday belgilanadi: formula_55 yoki formula_56 Agar bo'lsa, masalan [ [kvadrat matritsalar]] oʻlchami takrorlanmaydi: formula_57 yoki Ko'pincha o'z o'rnida formula_58 yoki formula_59 ishlatiladi. formula_60 Asosiy operatsiyalar. Matritsalarga bir nechta asosiy amallarni qo'llash mumkin. Ba'zilari, masalan, "transpozitsiya" va "submatritsa" yozuvlarning tabiatiga bog'liq emas. Boshqalar, masalan, "matritsalarni qo'shish", "skalyar ko'paytirish", "matritsalarni ko'paytirish" va "satr operatsiyalari" matritsa yozuvlari bo'yicha operatsiyalarni o'z ichiga oladi va shuning uchun matritsa yozuvlari raqamlar bo'lishini yoki [ga tegishli bo'lishini talab qiladi. [maydon (matematika)|maydon]] yoki ring. Ushbu bo'limda matritsa yozuvlari odatda raqamlar maydoni bo'lgan sobit halqaga tegishli deb taxmin qilinadi. Qo'shish, skalyar ko'paytirish, ayirish va transpozitsiya. Ikkita matritsaning "yig'indisi" va kiritma bo'yicha hisoblanadi: formula_61 Masalan, 1, 3 va 1 \\ 1 va 0 va 0 0 & 0 & 5 \\ 7, 5 va 0 1+0 va 3+0 va 1+5 \\ 1+7 va 0+5 va 0+0 1, 3 va 6 \\ 8, 5 va 0 sonining ko'paytmasi (shuningdek, bu kontekstda skalar deb ham ataladi) va matritsasi ning har bir yozuvini ga ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi: formula_62 Bu amal "skalyar ko'paytirish" deb ataladi, lekin uning natijasi chalkashmaslik uchun "skalar ko'paytma" deb nomlanmagan, chunki "skalar ko'paytma" ko'pincha "ichki mahsulot" ning sinonimi sifatida ishlatiladi. Masalan: Ikkita matritsalarni ayirish matritsani skaler ko'paytirish bilan ga qo'shish orqali aniqlanadi: matritsaning "ko'chirilishi" matritsa (shuningdek belgilanadi) yoki ) satrlarni ustunlar va o'rinbosarlarga aylantirish orqali hosil qilingan aksincha: formula_65 Masalan: 1, 2 va 3 \\ 0 & -6 va 7 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = 1 va 0 \\ 2 va -6 \\ 3 va 7 Sonlarning tanish xossalari matritsalar ustidagi bu amallarga taalluqli: masalan, qo‘shish kommutativ, ya’ni matritsa yig‘indisi yig‘indilarning tartibiga bog‘liq emas: . Transpoze qoʻshish va skaler koʻpaytirish bilan mos keladi, bu bilan ifodalangan va . Nihoyat, . Matritsani ko'paytirish. Ikki matritsaning "ko'paytirilishi", agar chap matritsaning ustunlari soni o'ng matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lsagina aniqlanadi. Agar matritsa va bo'lsa matritsa, keyin ularning "matritsa mahsuloti" matritsa, uning yozuvlari tegishli qatorining nuqta ko'paytmasi va mos keladigan ustuni: bu yerda va . Masalan, mahsulotdagi tagiga chizilgan 2340 yozuvi sifatida hisoblanadi. \pastiga chizing{2} & \pastiga 3-chizing va \tastiga chizing 4\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 va \ ostiga{1000} \\ 1 va \pastini chizish{100} \\ 0 va \ostiga chizilgan{10} \\ 3 va \tagini chizish{2340} \\ 0 va 1000 \\ \end{bmatritsa}. Matritsani koʻpaytirish qoidalariga javob beradi (assotsiativlik ) va , shuningdek (chap va o'ng taqsimlanish), matritsalarning o'lchami har xil mahsulotlar aniqlanganda. mahsuloti aniqlanadi, agar va bo'lsa va matritsalar va Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham, ular odatda teng bo'lishi shart emas, ya'ni: formula_67 Boshqacha qilib aytganda, koʻpaytmasi tartibdan mustaqil boʻlgan (ratsional, haqiqiy yoki murakkab) raqamlardan farqli oʻlaroq, matritsani koʻpaytirish kommutativ emas, omillarning. Ikki matritsaning bir-biri bilan almashmasligiga misol: holbuki Yuqorida tavsiflangan oddiy matritsalarni ko'paytirishdan tashqari, ko'paytirish shakllari deb hisoblanishi mumkin bo'lgan matritsalar ustida kamroq qo'llaniladigan amallar ham mavjud, masalan, Hadamard mahsuloti va Kroneker mahsuloti. Ular Silvester tenglamasi kabi matritsali tenglamalarni yechishda yuzaga keladi. Qator operatsiyalari. Satr operatsiyalarining uch turi mavjud: Bu amallar chiziqli tenglamalarni yechish va matritsaga teskarilarni topish kabi bir qancha usullarda qoʻllaniladi. Submatritsa. Matritsaning submatritsasi har qanday qatorlar va/yoki ustunlar to'plamini o'chirish orqali olingan matritsadir. Masalan, quyidagi 3 ga 4 matritsadan 3 va 3 qatorni olib tashlash orqali 2 ga 3 kichik matritsa qurishimiz mumkin. 2-ustun: Matritsaning kichik va kofaktorlari ma'lum submatritsalarning determinant larini hisoblash yo'li bilan topiladi. Asosiy submatritsa - bu ma'lum qatorlar va ustunlarni olib tashlash orqali olingan kvadrat submatritsa. Ta'rif muallifdan muallifga farq qiladi. Ba'zi mualliflarning fikriga ko'ra, asosiy submatritsa - bu qolgan qator indekslari to'plami qolgan ustun indekslari to'plami bilan bir xil bo'lgan pastki matritsadir. Boshqa mualliflar asosiy submatritsani birinchi qator va ustunlardan iborat boʻlgan maʼlum bir son sifatida aniqlang. , qolganlar; bu tur submatritsaning """ yetakchisi deb ham atalgan submatritsa"'. Chiziqli tenglamalar. Matritsalar ixcham yozish va bir nechta chiziqli tenglamalar, ya'ni chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, agar matritsa bo'lsa, . spektral teorema boʻyicha haqiqiy simmetrik matritsalar va murakkab Germit matritsalari oʻziga xos asosga ega; ya'ni har bir vektor xos vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi. Ikkala holatda ham barcha xos qiymatlar haqiqiydir. Bu teoremani umumlashtirish mumkin. cheksiz ko'p satr va ustunli matritsalar bilan bog'liq cheksiz o'lchovli vaziyatlarga qarang pastda. Invertible matritsa va uning teskarisi. kvadrat matritsa "invertible" yoki matritsa mavjud bo'lsa, "nosingular" deyiladi shundayki formula_71 bu yerda identifikatsiya matritsasi asosiy diagonalda 1lar va boshqa joylarda 0lar bilan. Agar mavjud bo'lsa, u yagona bo'lib, "teskari matritsa" deb ataladi. , belgilangan . Aniq matritsa. Simmetrik haqiqiy matritsa , agar bog'langan kvadrat shakl bo'lsa, "musbat-aniq" deyiladi. formula_72 har bir nolga teng boʻlmagan vektor uchun musbat qiymatga ega Agar faqat manfiy qiymatlarni beradi, keyin "salbiy-aniqli"; agar ham manfiy, ham ijobiy qiymatlarni hosil qilsa, " noaniq" bo'ladi. Agar kvadratik shakl faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni (musbat yoki nol) beradi, simmetrik matritsa "musbat-yarim aniq" (yoki faqat ijobiy bo'lmagan qiymatlar bo'lsa, u holda manfiy-yarim aniq) deb ataladi; demak, matritsa na musbat-yarim-aniqli, na manfiy-yarim-aniq bo'lmaganda aniq noaniq bo'ladi. Simmetrik matritsa musbat-aniqli, agar uning barcha xos qiymatlari musbat bo‘lsa, ya’ni matritsa musbat-yarim aniq va teskari bo‘lsa. O'ngdagi jadval ko'rsatilgan 2 ga 2 matritsalar uchun ikkita imkoniyat. Ikki xil vektorga kirishga ruxsat berilsa, bilan bog'langan bilinear shakl hosil bo'ladi: formula_73 Murakkab matritsalar bo'lsa, xuddi shunday atama va natija "simmetrik matritsa", "kvadrat shakl", "bilinear shakl" va "transpoze" mos ravishda Germitian matritsasi, Germitian shakli, sesquilinear bilan almashtirildi. shakl va konjugat transpose . Ortogonal matritsa. "Ortogonal matritsa" ustunlari va satrlari ortogonal birlik vektors (ya'ni, ortonormal vektorlar bo'lgan haqiqiy yozuvli kvadrat matritsadir. ). Ekvivalent tarzda, matritsa ortogonal bo'ladi, agar uning ko'chirish teskari ga teng bo'lsa: o'z ichiga oladi bu yerda o'lchamdagi identifikatsiya matritsasi. Ortogonal matritsa shartli ravishda invertible (teskari