Berry aloqasi va egrilik. Fizikada Berri aloqasi va Berri egriligi oʻzaro bogʻliq tushunchalar boʻlib, ularni mos ravishda mahalliy oʻlchov potentsiali va Berri fazasi yoki geometrik faza bilan bogʻliq oʻlchov maydoni sifatida koʻrish mumkin. Bu kontseptsiya birinchi marta S. Pancharatnam tomonidan geometrik faza sifatida taqdim etilgan va keyinchalik Maykl Berri tomonidan 1984 yilda chop etilgan maqolada batafsil tushuntirilgan va ommalashgan boʻlib, unda geometrik fazalar klassik va kvant fizikasining bir nechta sohalarida qanday qilib kuchli birlashtiruvchi kontseptsiyani taʼminlashini taʼkidlaydi. Berry fazasi va siklik adiabatik evolyutsiya. Kvant mexanikasida Berri fazasi siklik adiabatik evolyutsiyada yuzaga keladi. Kvant adiabatik teorema Gamiltonian boʻlgan tizimga taalluqlidir formula_1 (vektor) parametrga bogʻliq formula_2 bu vaqtga qarab oʻzgaradi formula_3 . Agar formula_4 xos qiymat formula_5 yoʻlning hamma joyida degenerativ boʻlmagan holda qoladi va "t" vaqt boʻyicha oʻzgarish etarlicha sekin boʻladi, keyin tizim dastlab normallashtirilgan oʻz holatida boʻladi. formula_6 bir lahzali xos holatda qoladi formula_7 Gamiltoniyalik formula_8, bir bosqichgacha, butun jarayon davomida. Fazaga kelsak, "t" vaqtidagi holatni sifatida yozish mumkin. formula_9 bu yerda ikkinchi eksponensial atama „dinamik faza omili“. Birinchi eksponensial atama — geometrik atama, bilan formula_10 Berry bosqichi boʻlishi. Bu talabdan formula_11 vaqtga bogʻliq Shredinger tenglamasini qanoatlantirsa, buni koʻrsatish mumkin: formula_12 Berry fazasi faqat parametr fazosidagi yoʻlga bogʻliqligini koʻrsatadi, yoʻlni bosib oʻtish tezligiga emas. Yopiq yoʻl atrofida tsiklik evolyutsiya holatida formula_13 shu kabi formula_14, yopiq yoʻl Berry bosqichi hisoblanadi formula_15 Elektron yopiq yoʻl boʻylab harakatlanadigan jismoniy tizimga misol siklotron harakatidir (batafsil maʼlumotlar Berry fazasi sahifasida berilgan). Toʻgʻri kvantlash shartini olish uchun berry fazasini hisobga olish kerak. Oʻlchovni oʻzgartirish. Oʻlchovni oʻzgartirish amalga oshirilishi mumkin asl holatdan faqat a bilan farq qiladigan yangi holatlar toʻplamiga formula_2 -bogʻliq faza omili. Bu ochiq yoʻl Berry bosqichini oʻzgartiradi formula_17 . Yopiq yoʻl uchun uzluksizlik buni talab qiladi formula_18 (formula_19 butun son) va undan keyin keladi formula_10 oʻzgarmas, modulli formula_21, oʻzboshimchalik bilan oʻlchagich transformatsiyasi ostida. Berry aloqasi. Yuqorida tavsiflangan yopiq yoʻl Berry bosqichi sifatida ifodalanishi mumkin: formula_22 bu yerda formula_23 vektor qiymatli funksiya Berry ulanishi (yoki Berry salohiyati) deb nomlanadi. Berry aloqasi oʻlchovga bogʻliq boʻlib, sifatida oʻzgaradi formula_24 . Shunday qilib, mahalliy Berry aloqasi formula_25 hech qachon jismoniy kuzatilishi mumkin emas. Biroq, uning yopiq yoʻl boʻylab integral, Berry bosqichi formula_10, ning butun sonli karraligacha oʻzgarmasdir formula_21 . Shunday qilib, formula_28 mutlaq oʻlchov bilan oʻzgarmasdir va jismoniy kuzatilishi mumkin boʻlgan narsalar bilan bogʻliq boʻlishi mumkin. Berry egriligi. Berry egriligi — bu Berry ulanishidan olingan antisimmetrik ikkinchi darajali tensor formula_29 Uch oʻlchovli parametr fazosida Berry egriligi psevdovektor shaklida yozilishi mumkin. formula_30 Berri egriligining tenzor va psevdovektor shakllari Levi-Civita antisimmetrik tenzori orqali bir-biri bilan bogʻlangan. formula_31 . Berri ulanishidan farqli oʻlaroq, faqat yopiq yoʻl atrofida integratsiyalashgandan soʻng jismoniy boʻladi, Berri egriligi parametr fazosidagi toʻlqin funksiyalarining geometrik xususiyatlarining oʻlchov bilan oʻzgarmas mahalliy koʻrinishi boʻlib, u uchun muhim jismoniy tarkibiy qism ekanligi isbotlangan. turli xil elektron xususiyatlarni tushunish. Yopiq yoʻl uchun formula_13 bu sirt chegarasini tashkil qiladi formula_33, yopiq yoʻl Berri fazasini Stokes teoremasi sifatida qayta yozish mumkin formula_34 Agar sirt yopiq manifold boʻlsa, chegara atamasi yoʻqoladi, lekin chegara terminining noaniqligi moduli formula_21 yopiq manifold ustidagi Berri egrilikning integrali birliklarda kvantlanganligini bildiruvchi Chern teoremasida oʻzini namoyon qiladi. formula_21 . Bu raqam Chern raqami deb ataladi va turli kvantlash effektlarini tushunish uchun zarurdir. Nihoyat, Berri egriligi shakldagi boshqa barcha xos holatlar ustidan yigʻindi sifatida ham yozilishi mumkinligiga eʼtibor bering. formula_37 Misol: Spinor magnit maydonda. Magnit maydondagi spin-1/2 zarraning Gamiltonianini quyidagicha yozish mumkin formula_38 bu yerda formula_39 Pauli matritsalarini belgilang, formula_40 — magnit moment, B — magnit maydon. Uch oʻlchovda xos holatlar energiyaga ega formula_41 va ularning xos vektorlari formula_42 Endi koʻrib chiqaylik formula_43 davlat. Uning Berry ulanishi sifatida hisoblash mumkin formula_44formula_45, va Berri egriligi formula_46 Agar koʻpaytirish yoʻli bilan yangi oʻlchagichni tanlasak formula_43 tomonidan formula_48 (yoki boshqa har qanday bosqich formula_49, formula_50), Berry ulanishlari formula_51 va formula_52, Berry egriligi esa bir xil boʻlib qoladi. Bu Berry ulanishi oʻlchovga bogʻliq, Berry egriligi esa yoʻq degan xulosaga mos keladi. Qattiq burchakdagi Berri egriligi bilan berilgan formula_53 . Bunday holda, birlik sferasidagi har qanday berilgan yoʻlga mos keladigan Berry bosqichi formula_54 magnit maydon fazosida bu yoʻlning qattiq burchagining yarmini tashkil qiladi. Demak, butun sfera boʻylab Berri egriligining integrali aynan formula_21, shuning uchun Chern soni birlik boʻlib, Chern teoremasiga mos keladi. Kristallardagi ilovalar. Berri fazasi kristalli qattiq jismlardagi elektron xususiyatlarni zamonaviy tadqiq qilishda va kvant Xoll effekti nazariyasida muhim rol oʻynaydi. Kristalli potentsialning davriyligi Gamiltonning oʻz shakllari shaklga ega ekanligini bildiruvchi Bloch teoremasini qoʻllash imkonini beradi. formula_56 bu yerda formula_4 band indeksidir, formula_58 oʻzaro fazodagi toʻlqin vektor (Briluen zonasi) va formula_59 ning davriy funktsiyasidir formula_60 . Keyin, ruxsat berish formula_58 parametr rolini oʻynaydi formula_2, oʻzaro boʻshliqda Berry fazalari, ulanishlari va egriliklarini aniqlash mumkin. Masalan, oʻzaro fazoda Berry aloqasi formula_63 Blox teoremasi, shuningdek, oʻzaro fazoning oʻzi yopiqligini nazarda tutganligi sababli, Brillouen zonasi uch oʻlchovda 3-torus topologiyasiga ega boʻlganligi sababli, yopiq pastadir yoki manifold orqali integrallash talablarini osongina qondirish mumkin. Shu tarzda, elektr qutblanish, orbital magnitlanish, anomal Xoll oʻtkazuvchanligi va orbital magnitoelektrik birikma kabi xususiyatlar Berri fazalari, ulanishlari va egriliklari bilan ifodalanishi mumkin.