Toʻgʻri burchakli potensial chuqurlik. Kvant mexanikasida toʻgʻri burchakli (yoki baʼzan kvadrat) potensial toʻsiq toʻlqin-mexanik tunnel (shuningdek, „kvant tunnellash“ deb ataladi) va toʻlqin-mexanik aks ettirish hodisalarini koʻrsatadigan standart bir oʻlchovli muammodir. Muammo toʻrtburchaklar potentsial energiya toʻsigʻiga duch kelgan zarra uchun bir oʻlchovli vaqtga bogʻliq boʻlmagan Shredinger tenglamasini echishdan iborat. Odatda, bu yerda boʻlgani kabi, erkin zarracha toʻsiqqa chap tomondan uriladi deb taxmin qilinadi. Klassik jihatdan nuqta massasi sifatida harakat qiladigan zarracha, agar uning energiyasi kamroq boʻlsa, aks ettiriladi haqiqatda oʻzini materiya toʻlqini sifatida tutadigan zarrachaning toʻsiqdan oʻtib ketishi va boshqa tomondan toʻlqin sifatida harakatini davom ettirish ehtimoli nolga teng boʻlmagan. Klassik toʻlqin fizikasida bu taʼsir yoʻqolgan toʻlqin birikmasi deb nomlanadi. Zarrachaning toʻsiqdan oʻtish ehtimoli uzatish koeffitsienti bilan, aks ettirish ehtimoli esa, aks ettirish koeffitsienti bilan beriladi. Shredingerning toʻlqin tenglamasi bu koeffitsientlarni hisoblash imkonini beradi. Hisoblash. Toʻlqin funksiyasi uchun vaqtga bogʻliq boʻlmagan Shredinger tenglamasi formula_1 oʻqiydi: formula_2 bu yerda formula_3 Gamiltoniyalik, formula_4 (kamaytirilgan) Plank doimiysi, formula_5 massa hisoblanadi, formula_6 zarrachaning energiyasi va formula_7 balandlik bilan toʻsiq potensiali hisoblanadi formula_8 va kenglik formula_9 . formula_10 Bu Heaviside qadam funksiyasi, yaʼni, formula_11 Toʻsiq oʻrtasida joylashgan formula_12 va formula_13 . Toʻsiqni har qanday joyga oʻtkazish mumkin formula_14 natijalarni oʻzgartirmasdan pozitsiya. Gamiltonda birinchi atama, formula_15 kinetik energiya hisoblanadi. Toʻsiq boʻshliqni uch qismga ajratadi (formula_16) Ushbu qismlarning har qandayida potentsial doimiydir, yaʼni zarracha kvazi-erkindir va Shredinger tenglamasining yechimini chap va oʻng harakatlanuvchi toʻlqinlarning superpozitsiyasi sifatida yozish mumkin (erkin zarrachaga qarang) Agar formula_17 formula_18 bu yerda toʻlqin raqamlari orqali energiya bilan bogʻliq formula_19 koeffitsientlar boʻyicha formula_20 va formula_21 tezlik vektorining yoʻnalishini bildiradi. Eʼtibor bering, agar zarrachaning energiyasi toʻsiq balandligidan past boʻlsa, formula_22 xayoliy boʻladi va toʻlqin funksiyasi toʻsiq ichida eksponent ravishda parchalanadi. Shunga qaramay, biz belgini saqlab qolamiz formula_23 bu holatda toʻlqinlar endi tarqalmasa ham. Bu yerda biz taxmin qildik formula_24 . Ish formula_25 quyida muomala qilinadi. Koeffitsientlar formula_26 da toʻlqin funksiyasining chegara shartlaridan topish kerak formula_12 va formula_13 . Toʻlqin funksiyasi va uning hosilasi hamma joyda uzluksiz boʻlishi kerak, shuning uchun formula_29 Toʻlqin funksiyalarini kiritish, chegara shartlari koeffitsientlarga quyidagi cheklovlarni beradi: formula_30 formula_31 formula_32 formula_33 "E" = "V" 0. Agar energiya toʻsiq balandligiga teng boʻlsa, toʻsiq mintaqasi ichidagi toʻlqin funksiyasining ikkinchi differentsiali 0 ga teng boʻladi va shuning uchun Shredinger tenglamasining echimlari endi eksponensial emas, balki fazo koordinatasining chiziqli funksiyalari boʻladi. \psi_C(x)= B_1 + B_2 x \quad 0<x Shredinger tenglamasining toʻliq yechimi yuqoridagi kabi toʻlqin funksiyalari va ularning hosilalarini moslashtirish orqali topiladi. formula_12 va formula_13 . Bu koeffitsientlarda quyidagi cheklovlarga olib keladi: formula_36 formula_37 formula_38 formula_39 Transmissiya va aks ettirish. Shu oʻrinda vaziyatni klassik holat bilan solishtirish ibratlidir. Ikkala holatda ham zarracha oʻzini toʻsiq hududidan tashqarida erkin zarracha sifatida tutadi. Energiyaga ega klassik zarracha formula_6 toʻsiq balandligidan kattaroqdir formula_41 "har doim" toʻsiqdan oʻtadi va klassik zarracha bilan formula_42 toʻsiqdagi voqea "har doim" aks ettirilgan. Kvant holatini oʻrganish uchun quyidagi vaziyatni koʻrib chiqing: zarrachaning chap tomondan toʻsiqqa tushishi aks ettirilishi mumkin yoki uzatilgan Chapdan tushish uchun aks ettirish va uzatish amplitudalarini topish uchun biz yuqoridagi tenglamalarni qoʻyamiz. formula_43 (kiruvchi zarracha), formula_44 (aks ettirish), formula_45 (oʻngdan kiruvchi zarracha yoʻq) va formula_46 (yuqish). Keyin koeffitsientlarni yoʻq qilamiz formula_47 tenglamadan formula_48 va va yechish Natijada: formula_49 formula_50 Modelning koʻzgu simmetriyasi tufayli oʻngdan tushish amplitudalari chap tomondagilar bilan bir xil. Bu formulalar har qanday energiya uchun amal qiladi: Agar keyin demak, bu formulalarning ikkalasida ham birlik bor.