Erkin zarraning harakati. Erkin zarra — harakatiga tashqi kuchlar taʼsir qilmaydigan zarra. Soddalik uchun bir oʻlchamli fazodagi harakatni koʻrib chiqaylik. Bu hol uchun Shredinger tenglamasidagi Gamilton operatori formula_1 ni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin: formula_2 formula_3 Shuningdek, formula_4 ekanligini hisobga olgan holda, formula_5 uchun quyidagini hosil qilamiz: formula_6 Yuqoridagi tenglamaning yechimi formula_7 koʻrinishida boʻladi. Bu yerda, erkin zarraning impulsi formula_8 uning energiyasi formula_9 bilan formula_10 munosabat orqali bogʻlangan. formula_11 va formula_12 kattaliklar — ixtiyoriy oʻzgarmas sonlar. (3) tenglamadagi birinchi had zarraning formula_13 oʻqining musbat yoʻnalishi boʻylab harakatini ifodalaydi, ikkinchi had esa formula_13 oʻqining manfiy yoʻnalishi boʻylab harakatini ifodalaydi. (2) tenglama formula_9 energiyaning istalgan qiymatida bir qiymatli, chegaralangan va uzluksiz yechimga ega. Bundan kelib chiqadiki, erkin elektronning energetik spektri uzluksiz ekan, yaʼni erkin zarra energiyasi istalgan qiymatni qabul qila olishi mumkin. Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, erkin zarra uchun Poisson qavslari nolga teng boʻladi: formula_16 Bundan xulosa qilish mumkinki, erkin zarra impulsi harakat integrali ekan, yaʼni erkin zarra impulsi aniq bir doimiy qiymatga ega boʻlar ekan. Boshqa tomondan, (4) tengalamadan koʻrinib turibdiki, erkin zarra uchun toʻla energiya operatori va impuls operatori kommutatsiyalanadi. Yaʼni, erkin zarra energiyasi va uning impulsi bir vaqtda oʻlchanadigan kattaliklar hisoblanadi. Davriy uzunlik boʻyicha normallash. Erkin zarra xususiy energiyasining spektri uzluksiz boʻlgani tufayli, xususiy funksiyasini 1 birlikka normallashning imkoni yoʻq, yaʼni formula_17 Natijada formula_18-funksiyani normallash shartidan foydalanishga toʻgʻri keladi. Biroq amalda bu usuldan koʻra davriylik uzunligi boʻyicha normallash usulidan foydalanish qulayroq. Bu usulni quyidagicha tavsiflash mumkin. Aytaylik, bizni zarraning formula_19 uzunlikka teng boʻlgan sohadagi harakati qiziqtiradi. Bu holda cheksiz fazoni emas, faqatgina shu chegaralangan formula_19 sohani qarashning oʻzi kifoya. Bu sohadan tashqarida toʻlqin funksiyani davriy ravishda takrorlanadi, deb qarash mumkin, boshqacha aytganda toʻlqin funksiyani davriy funksiya koʻrinishida quyidagicha yozishimiz mumkin: formula_21 Endi zarrani (6) shart bilan chegaralangan, deb qarash mumkin. U holda zarra endi erkin zarra boʻlmay qoladi hamda uning energetik spektri endi uzluksiz emas, balki diskret qiymatlarni qabul qiladi. Umuman olganda, bu formula_19 masofani qanchalik katta tanlashimizga bogʻliq boʻlib, formula_19 ning yetarlicha katta qiymatlarida zarrani erkin deb qarashimiz mumkin. (4) ni hisobga olgan holda zarra toʻlqin funksiyasini yozamiz: formula_24 yoki formula_25 Koʻrinib turibdiki, formula_8 ixtiyoriy qiymatlarni qabul qila olmaydi, faqatgina diskret qiymatlar toʻplamini formula_27 qabul qila olishi mumkin. Bu diskret qiymatlar esa (8) asosida olingan quyidagi shart orqali aniqlanadi: formula_28 bu yerda formula_29 — butun son. Shunday qilib, (6) davriylik sharti kiritilishi natijasida biz uzluksiz spektrdan diskret energiya qiymatlariga oʻtdik: formula_30 Energiyaning diskret qiymatlarida ortonormallik shartidan foydalanishimiz mumkin: formula_31 Bundan kelib chiqadiki, formula_32 U holda ortonormal funksiyalar sistemasini quyidagi koʻrinishda yozish mumkin: formula_33 (10) formuladan foydalangan holda, formula_19 ning makroskopik oʻlchamlari uchun formula_35 ning diskret qiymatlari bir-biriga juda yaqin holatda, deyarli uzluksiz spektrga qoʻshilib ketgan boʻlishini koʻrish mumkin. Bu orqali, biz hisoblashlarni sodda koʻrinishga keltiramiz va tajribada olingan natijalarni umumlashtirish ham ancha qulay boʻlib qoladi, biroq bu soddalashtirish, xatolikning biroz oshishiga olib keladi. Yana qarang.