Trong toán học, một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai của nó, chạy từ (trường hợp của đường tròn) đến (độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol). Phương trình chính tắc của một elip với tâm là gốc tọa độ và chiều dài và chiều rộng là: Giả sử , các tiêu điểm có tọa độ với formula_2. Phương trình tham số của elip là: Elíp là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elíp có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn cũng có hình elíp. Một hình elíp cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elíp gọi là đường chuẩn: elíp là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elíp được tạo thành: Hình elíp rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elíp với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trờihành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elíp là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elíp cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elíp của ánh sáng trong quang học. Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid: Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là "tâm" của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là "trục lớn", và đường vuông góc với nó đi qua tâm là "trục bé". Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các "đỉnh" của elíp. Độ dài đoạn thẳng được gọi là "tiêu cự", và là "bán tiêu cự". Tỉ số được gọi là "độ lệch tâm" hay "tâm sai". Trường hợp cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của "elíp". Phương trình có thể được xem theo cách khác: Đường tròn gọi là "đường tròn chuẩn" (với tâm là tiêu điểm ) của elíp. Ngoài ra, còn một định nghĩa thường dùng của elíp sử dụng đường chuẩn được nêu ở dưới. Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón. Trong suốt bài viết này, sẽ là bán trục lớn còn là bán trục bé, tức . Trong dạng chính tắc của elíp , nếu thì elíp sẽ dài chứ không dẹt. Nếu elíp chuẩn trên có tâm tại thì phương trình chính tắc của nó là: Các trục của elíp vẫn song song với trục và . Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn formula_38 là: Tham số (gọi là "dị thường lệch tâm" trong thiên văn học) không phải là góc giữa điểm với trục hoành, mà có ý nghĩa hình do Philippe de La Hire đưa ra (xem "Vẽ elíp" ở dưới). Một biểu diễn tham số khác sử dụng độ dốc của tiếp tuyến tại điểm . Độ dốc này có thể được tính từ đạo hàm của phương trình tham số ở trên. Cụ thể là: Sử dụng các đẳng thức lượng giác ta tính được: Thay các biểu thức trên cho và trong dạng tham số chuẩn ở trên, ta được: Ở đây là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên elíp. Khi dấu trước căn thức ở dưới mẫu là dương, điểm thuộc nửa trên của elíp, ngược lại nếu dấu âm thì điểm đó thuộc nửa dưới của elíp. Hai đỉnh trái phải không được biểu diễn do có tiếp tuyến thẳng đứng (độ dốc là vô cùng). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có dạng . Hệ số tự do có thể được xác định bằng cách thay tọa độ của điểm trên elíp tương ứng, cho ta: Phương trình tiếp tuyến này có thể được dùng để xác định phương khuy của hình elíp.