Trong khoa học máy tính và trong toán học, thuật toán sắp xếp là một thuật toán sắp xếp các phần tử của một danh sách (hoặc một mảng) theo thứ tự (tăng hoặc giảm). Người ta thường xét trường hợp các phần tử cần sắp xếp là các số. Bài toán sắp xếp đã được nhiều nhà khoa học quan tâm. Một thuật toán sắp xếp được gọi là sắp xếp so sánh nếu trong quá trình thực hiện thuật toán ta tiến hành so sánh các khoá và đổi chỗ các phần tử cho nhau. Đa số các thuật toán sắp xếp dưới đây là sắp xếp so sánh, riêng sắp xếp đếm phân phối không phải là sắp xếp so sánh. Sắp xếp nổi bọt ("bubble sort") là phương pháp sắp xếp đơn giản, dễ hiểu thường được dạy trong khoa học máy tính. Giải thuật bắt đầu từ đầu của tập dữ liệu. Nó so sánh hai phần tử đầu, nếu phần tử đứng trước lớn hơn phần tử đứng sau thì đổi chỗ chúng cho nhau. Tiếp tục làm như vậy với cặp phần tử tiếp theo cho đến cuối tập hợp dữ liệu. Sau đó nó quay lại với hai phần tử đầu cho đến khi không còn cần phải đổi chỗ nữa. Sắp xếp trộn ("merge sort") cùng với sắp xếp nhanh là hai thuật toán sắp xếp dựa vào tư tưởng "chia để trị" ("divide and conquer"). Thủ tục cơ bản là việc trộn hai danh sách đã được sắp xếp vào một danh sách mới theo thứ tự. Nó có thể bắt đầu trộn bằng cách so sánh hai phần tử một (chẳng hạn phần tử thứ nhất với phần tử thứ hai, sau đó thứ ba với thứ tư...) và sau khi kết thúc bước 1 nó chuyển sang bước 2. Ở bước 2 nó trộn các danh sách hai phần tử thành các danh sách bốn phần tử. Cứ như vậy cho đến khi hai danh sách cuối cùng được trộn thành một. Sắp xếp vun đống ("heapsort") là một trong các phương pháp sắp xếp chọn. Ở mỗi bước của sắp xếp chọn ta chọn phần tử lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) đặt vào cuối (hoặc đầu) danh sách, sau đó tiếp tục với phần còn lại của danh sách. Thông thường sắp xếp chọn chạy trong thời gian "O(n"2")". Nhưng heapsort đã giảm độ phức tạp này bằng cách sử dụng một cấu trúc dữ liệu đặc biệt được gọi là đống ("heap"). Đống là cây nhị phân mà trọng số ở mỗi đỉnh cha lớn hơn hoặc bằng trọng số các đỉnh con của nó. Một khi danh sách dữ liệu đã được vun thành đống, gốc của nó là phần tử lớn nhất, thuật toán sẽ giải phóng nó khỏi đống để đặt vào cuối danh sách. Sắp xếp vun đống chạy trong thời gian "O(n log n)". Sắp xếp nhanh ("quicksort") là một thuật toán theo tư tưởng chia để trị, nó dựa trên thủ tục phân chia như sau: để chia một dãy ta chọn một phần tử được gọi là "chốt" ("pivot"), chuyển tất cả các phần tử nhỏ hơn chốt về trước chốt, chuyển tất cả các phần tử lớn hơn chốt về sau nó(nếu sắp xếp theo dãy theo thứ tự tăng dần), nếu sắp xếp dãy theo thứ tự giảm dần ta chuyển tất cả các phần tử nhỏ hơn chốt về bên phải chốt và lớn hơn chốt về bên trái chốt. Thủ tục này có thể thực hiện trong thời gian tuyến tính. Tiếp tục phân chia các dãy con đó như trên cho đến khi các dãy con chỉ còn một phần tử. Điểm khác biệt giữa sắp xếp nhanh và sắp xếp trộn là trong sắp xếp trộn việc xác định thứ tự được xác định khi "trộn", tức là trong khâu tổng hợp lời giải sau khi các bài toán con đã được giải, còn sắp xếp nhanh đã quan tâm đến thứ tự các phần tử khi phân chia một danh sách thành hai danh sách con. Ngoài ra còn nhiều giải thuật sắp xếp khác, trong đó nhiều giải thuật sắp xếp được cải tiến từ các giải thuật trên. Trong sau giải thuật liệt kê trên, ta thường coi các giải thuật chèn, chọn, nổi bọt là các giải thuật cơ bản, độ phức tạp trong trường hợp trung bình của chúng là formula_1. Ba giải thuật còn lại thường được coi là giải thuật cao cấp, độ phức tạp tính toán trung bình của chúng là formula_2. Sắp xếp theo cơ số ("radix sort") dựa trên tính chất "số" của các khóa. Trong giải thuật sắp xếp theo cơ số, ta không chỉ so sánh giá trị của các khóa, mà so sánh các thành phần của khóa. Giả sử các khóa là các số biểu diễn theo hệ ghi số cơ số M. Khi đó sắp xếp theo cơ số sẽ so sánh từng k Chúng ta mô tả cách sắp này khi cơ số M=10. Giả sử phải sắp các hồ sơ đánh số bởi 3 chữ số thập phân. Đầu tiên ta chia các hồ sơ vào các đống có cùng chữ số hàng trăm (đồng thới xếp các đống theo thứ tự của chữ số hàng trăm), trong mỗi đống con lại phân chia theo chữ số hàng chục, cuối cùng trong mỗi đống có cùng chữ số hàng trăm và hàng chục, sắp xếp theo thứ tự của chữ số hàng đơn vị. Trong máy tính, đương nhiên việc sắp xếp theo cơ số nhị phân (cơ số 2) hoặc cơ số là lũy thừa của 2 là thuận lợi nhất. Trong trường hợp cơ số 2, việc phân hoạch tương tự như phân hoạch trong Quick Sort, chỉ khác ở chỗ cách chọn phần tử chốt. Sắp xếp đếm phân phối là phương pháp sắp xếp có độ phức tạp tuyến tính trong trường hợp các khóa nhận hữu hạn giá trị trong khoảng cho trước. Để đơn giản ta giả sử các phần tử của danh sách formula_3 nhận các giá trị tự nhiên trong khoảng formula_4 Sắp xếp đếm phân phối đầu tiên đếm các phần tử thuộc danh sách nhận giá trị "k" với formula_5. Các giá trị đếm được ghi vào mảng formula_6. Sau đó khi duyệt theo "k" từ "1" đến "M", ta lần lượt xếp formula_7 phần tử của vào danh sách formula_3. Shell sort là một giải thuật sắp xếp mang lại hiệu quả cao dựa trên giải thuật sắp xếp chèn (Insertion Sort). Giải thuật này tránh được các trường hợp phải tráo đổi vị trí của hai phần tử xa nhau trong giải thuật sắp xếp chọn. (nếu như phần tử nhỏ hơn ở vị trí bên phải khá xa so với phần tử lớn hơn ở vị trí bên trái)