Phát biểu toán học của cơ học lượng tử là các hình thức toán học cho phép mô tả chặt chẽ cơ học lượng tử. Toán tử xung lượng formula_7 là formula_8. Xét hạt chuyển động một chiều trên trục formula_9. Khi đó và phương trình trị riêng của toán tử xung lượng là trong đó formula_12 là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu được khi đo thành phần trên trục formula_9" "của xung lượng; hàm sóng formula_14 tương ứng với một giá trị xác định của xung lượng formula_15 là hàm mà formula_16 là xác suất tìm thấy hạt với xung lượng formula_12 trong khoảng formula_18. Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên) khi đó ta có nghiệm trong đó số sóng formula_20, như vậy formula_21 là hàm tuần hoàn theo formula_9. Ta hãy tìm bước sóng formula_23: tức là formula_29 Ta thấy rằng hàm riêng của toán tử xung lượng tương ứng với trị riêng formula_35 có bước sóng là bước sóng De Broglie formula_36. Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lượng là formula_37 Toán tử tương ứng với năng lượng là toán tử năng lượng hay toán tử Hamilton formula_38, trong đó formula_34 được thay bởi formula_40. Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng formula_41 trong trường thế formula_42 là Phương trình trị riêng có dạng Đây chính là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian. Xét hạt tự do: formula_45 Đối với hạt tự do một chiều, ta có phương trình trị riêng Đặt formula_47 (formula_48 được gọi là số sóng), ta có phương trình Do không có điều kiện ban đầu nên Ta nhận thấy rằng hàm formula_50 ứng với formula_55 cũng là hàm riêng của toán tử xung lượng formula_40. Việc hai toán tử formula_38 và formula_7 của một hạt tự do có chung hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của một định lý tổng quát hơn. Tiếp theo ta hãy chứng minh rằng nếu formula_4 là hàm riêng của formula_40 thì formula_4 cũng là hàm riêng của formula_38. Do formula_4 là hàm riêng của formula_40 nên ta có: Do đó formula_66 tức là formula_4 cũng là hàm riêng của formula_38. Cả năng lượng và xung lượng của hạt tự do có các giá trị liên tục nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng formula_48 nào. Hàm riêng tương ứng là Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lượng chắc chắn được giá trị formula_72, phép đo năng lượng chắc chắn được giá trị formula_73. Giả sử ta đo vị trí formula_9 của hạt. Hạt sẽ ở đâu? Theo Born, khi hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng formula_71 thì mật độ xác suất liên quan tới xác suất tìm thấy hạt trong khoảng formula_18 là formula_77. Mật độ xác suất cùng bằng một hằng số cho mọi formula_9. Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào là như nhau. Nội dung của tiên đề 2 nói về phép đo trong cơ học lượng tử: Ví dụ: Hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt đang ở trong trạng thái nào, ở một thời điểm bất kỳ ta đo xung lượng của hạt và đạt được giá trị formula_85. Phép đo này đưa hệ về trạng thái formula_86, phép đo xung lượng sau đó chắc chắn thu được giá trị formula_85. Giả sử, ta đo vị trí của một hạt tự do và đo được vị trí formula_88. Từ 2 tiên đề suy ra (1) Có một toán tử formula_89 tương ứng với phép đo được vị trí formula_9. (2) Đo formula_9 được giá trị formula_92 đưa hạt về hàm riêng của toán tử formula_89 tương ứng với trị riêng formula_92. Ta có phương trình trị riêng formula_95 trong đó formula_96 là hàm delta Dirac. "Nội dung:" Trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bởi một hàm trạng thái hay hàm sóng formula_97 liên tục và khả tích. Tất cả thông tin liên quan đến trạng thái của hệ được chứa đựng trong hàm sóng. Cụ thể, nếu hệ ở trạng thái formula_98 thì giá trị trung bình của biến số động lực formula_99 bất kỳ liên quan tới thời điểm formula_100 là trong đó formula_102 là vi phân thể tích, formula_103 là giá trị kỳ vọng của biến số động lực formula_99. Ý nghĩa vật lý của giá trị trung bình biến số động lực formula_99: Biến số động lực formula_99 được đo trong một thí nghiệm xác định formula_107. Người ta chuẩn bị một số lượng formula_108 rất lớn các phép lặp của formula_107, các trạng thái đầu formula_110 của mọi phép lặp đều như nhau. Ở thời điểm formula_100, đo formula_99 trong tất cả các thí nghiệm lặp và thu được tập giá trị formula_113. Suy ra Tiên đề 3 nói rằng giá trị trung bình tính được trong thí nghiệm bằng giá trị trung bình cho bởi tích phân. Nội dung của tiên đề 4 là về sự tiến triển theo thời gian của hàm trạng thái: Đây chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian. Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng formula_41 trong trường thế formula_42 là Giả sử formula_38 không phụ thuộc formula_100: formula_122 Trong trường hợp này ta có thể tìm nghiệm của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian nhờ kỹ thuật tách biến: Kết quả ta tìm được phần phụ thuộc thời gian Giả sử phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, thu được các hàm riêng formula_125 và trị riêng formula_126: Với mỗi nghiệm riêng như thế có một nghiệm riêng tương ứng với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian điều này phù hợp khi formula_129 gián đoạn. Trong trường hợp formula_129 liên tục, ví dụ như hạt tự do chuyển động một chiều, từ phương trìng Schrodinger không phụ thuộc thời gian ta đã thu được hàm riêng formula_132 và trị riêng formula_133. Với mỗi nghiệm không phụ thuộc thời gian ta có một nghiệm phụ thuộc thời gian tương ứng