Trong đại số tuyến tính, phân tích LU (LU decomposition, LU factorization) là phương pháp phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới và một ma trận tam giác trên. Phép phân tích này thường được dùng trong giải tích số để giải hệ phương trình tuyến tính hoặc tính định thức của ma trận. Một ma trận khả nghịch cấp "n" thỏa phép phân tích "LU" nếu và chỉ nếu tất cả các ma trận con chính cấp "k, k = 0, 1..., n-1" của nó đều khả nghịch. Phép phân tích là duy nhất nếu ta yêu cầu các phần tử đường chéo của "L" (hoặc "U") đều bằng 1. Ma trận cũng có phép phân tích "LDU" duy nhất với cùng điều kiện này. Ma trận suy biến vẫn có thể có phân tích "LU". Thực tế, một ma trận vuông hạng "k" vẫn có phân tích "LU" nếu" k" ma trận con chính đầu tiên của nó khả nghịch. Tuy nhiên điều ngược lại không chắc. Người ta đã tìm được điều kiện cần và đủ để một ma trận không nhất thiết khả nghịch trong trường bất kì có phân tích LU. Điều kiện này được biểu diễn bằng hạng của một số ma trận con nào đó. Phép khử Gauss cũng được mở rộng cho trường hợp tổng quát này . Mọi ma trận khả nghịch A - bất kể vuông hay không - đều có phân tích "LUP". Phân tích LU về cơ bản là một dạng của phép khử Gaussian. Ta chuyển ma trận "A" thành ma trận tam giác trên "U" bằng cách khử các phần tử bên dưới đường chéo chính. Thuật toán Doolittle khử từng cột một bắt đầu từ bên trái, bằng cách nhân bên trái "A" với các ma trận tam giác dưới. Kết quả của thuật toán này là một ma trận "tam giác dưới đơn vị" và một ma trận tam giác trên. Thuật toán Crout hơi khác ở chỗ tạo thành một ma trận tam giác dưới và một ma trận "tam giác trên đơn vị". Phân tích LU sử dụng các thuật toán này yêu cầu khoảng 2"n"3 / 3 phép tính dấu chấm động. Nếu nhân hai ma trận bậc "n" có độ phức tạp "M"("n"), trong đó "M"("n")≥"n""a" với "a"&gt;2 nào đó, thì phép phân tích LU có thể được tính trong thời gian O("M"("n")). Nghĩa là, chẳng hạn dựa trên thuật toán Coppersmith–Winograd, ta có thể có thuật toán phân tích LU với độ phức tạp O("n"2.376). Một cách đơn giản để tìm phân tích LU của ma trận là giải hệ phương trình tuyến tính của các phép nhân ma trận tương ứng. Biết rằng: Hệ này có vô số nghiệm. Trong trường hợp đó bất kì hai phần tử khác 0 nào của "L" và "U" đều có thể được xem là tham số, và có thể chọn bất kì giá trị khác 0 nào. Do đó để tìm phân tích LU duy nhất, ta cần thêm một số giới hạn cho "L" và "U". Chẳng hạn ta có thể yêu cầu ma trận tam giác dưới "L" là ma trận đơn vị (nghĩa là các phần tử đường chéo chính của nó đều bằng 1). Khi đó hệ trở thành: Thay các giá trị này vào ma trận, ta được: Khi giải hệ phương trình, thường thì "b" được xem là vector có chiều dài bằng số dòng của "A". Nếu thay vì vector "b", ta có ma trận "B", với "B" là ma trận kích thước formula_64, thì ta sẽ phải tìm ma trận "X" (cũng có kích thước formula_64): Có thể sử dụng cùng phương pháp ở trên để giải cho mỗi cột của ma trận "X". Với giả sử rằng "B" là ma trận đơn vị với kích thước "n" thì "X" khi đó là nghịch đảo của "A". Các ma trận formula_28 và formula_68 có thể được dùng để tính định thức của ma trận formula_20 rất hiệu quả vì det("A") = det("L") det("U") và định thức của các ma trận tam giác đơn giản là tích các phần tử trên đường chéo của nó. Đặc biệt, nếu "L" là ma trận tam giác đơn vị thì: Tương tự với phân tích "LUP". Định thức của ma trận hoán vị "P" là (−1)"S", với formula_71 là số lượng phép hoán đổi dòng trong phép phân tích.