Trong toán học, cụ thể là trong topo, một mặt là một đa tạp topo 2 chiều. Ví dụ quen thuộc nhất về mặt chính là phần biên của các khối trong không gian Euclid 3 chiều thông thường, chẳng hạn như mặt cầu. Ngoài ra, cũng có những mặt, chẳng hạn như chai Klein, không thể được nhúng vào không gian Euclid 3 chiều mà không sử dụng kỳ dị hoặc tự cắt. Một mặt là "2 chiều" nghĩa là tại mỗi điểm, ta có thể xác định được một hệ tọa độ 2 chiều trên mặt. Chẳng hạn, với bề mặt Trái Đất, mà ta giả sử là một mặt cầu 2 chiều, thì các đường kinh tuyến và vĩ tuyến tạo thành một hệ trục tọa độ trên mặt cầu, trừ hai cực và kinh tuyến gốc. Khái niệm mặt cũng được sử dụng trong vật lý, kỹ thuật, xử lý hình ảnh và nhiều lĩnh vực khác. Chẳng hạn, việc phân tích khí động học của một máy bay tập trung vào dòng chảy của không khí qua các mặt. Mặt ban đầu được định nghĩa là một không gian con của trong không gian Euclide, mà thông thường, những mặt này là các không điểm (tập nghiệm) của các hàm đa thức. Vì vậy, người ta gọi cách định nghĩa mặt này có tính "ngoại hàm". Trong mục trước, một mặt được định nghĩa bởi một không gian topo có tính chất Hausdorff và Euclide địa phương. Không gian topo này không cần xét là một không gian con của một không gian khác. Cách định nghĩa này có tính "nội tại", và hiện nay Toán học dùng cách định nghĩa này để thấy rõ cấu trúc topo nội tại của mặt. Một mặt được định nghĩa nội tại thì không có thêm sự ràng buộc với vai trò là không gian con của một không gian Euclide. Điều này làm cho các mặt được định nghĩa nội tại có vẻ không phải là một mặt với cấu trúc ngoại hàm (được định nghĩa trong không gian Euclide). Tuy nhiên, định lý nhúng Whitney khẳng định rằng mọi mặt đều có thể nhúng đồng phôi vào một không gian Euclide, trong không gian E4: Cách định nghĩa ngoại hàm và nội tại là tương đương với nhau. Mọi mặt compact có định hướng được hoặc có biên đều có thể nhúng vô E3; mặt khác, một mặt phẳng thực xạ ảnh, compact, không định hướng được và không có biên, thì không thể nhúng vô E3. Mặt Steiner, bao gồm mặt Boy, mặt Roman và cross-cap, là ảnh nhúng chìm của không gian xạ ảnh thực trong E3. Mỗi cách nhúng mặt vô một không gian khác (nếu có nhiều cách) cho ta một thông tin ngoại hàm khác nhau. Ví dụ, mặt xuyến có thể nhúng vào E3 một cách thông thường (giống chiếc nhẫn) hoặc thắt nút (xem hình). Hai cách nhúng là đồng phôi với nhau, nhưng không tương đương đồng luân. Ảnh của ánh xạ liên tục, đơn ánh từ R2 vào không gian nhiều chiều Rn được gọi là một mặt tham số. Một mặt tham số không nhất thiết là mặt topo. Tổng trực tiếp của hai mặt "M" và "N", ký hiệu "M" # "N", là mặt nhận được khi cắt đi từ mỗi mặt này một dĩa tròn và dán phần biên (là những đường tròn) của chúng lại với nhau. Đặc trưng Euler của tổng trực tiếp bằng tổng đặc trưng Euler của các số hạng trừ đi 2. Mặt cầu S là phần tử đơn vị của phép lấy tổng trực tiếp, nghĩa là . Điều này là vì mặt cầu khi xóa đi một dĩa tròn thì cũng là một dĩa tròn nên khi thực hiện phép dán, nó thay thế cho dĩa tròn đã bị cắt từ "M" Việc lấy tổng trực tiếp của một mặt "M" với mặt xuyến "T" có thể được xem như để lại trên "M" một lỗ tròn. Nếu "M" là một mặt định hướng được thì cũng định hướng được. Vì tổng trực tiếp là phép toán giao hoán nên tổng trực tiếp của hữu hạn các mặt cũng được xác định tốt. Tổng trực tiếp của hai mặt phẳng xạ ảnh, , là chai Klein K. Tổng trực tiếp của mặt phẳng xạ ảnh và chai Klein thì đồng phôi với tổng trực tiếp của mặt phẳng xạ ảnh và mặt xuyến; nói cách khác, ta có công thức . Do đó, tổng trực tiếp của 3 mặt phẳng xạ ảnh thì đồng phôi với tổng trực tiếp của mặt phẳng xạ ảnh và mặt xuyến. Khi có một số hạng là mặt phẳng xạ ảnh thì tổng trực tiếp là một mặt không định hướng được. Định lý phân loại mặt đóng phát biểu rằng: Mọi mặt đóng và liên thông thì đồng phôi với một phần tử trong các họ sau: Các mặt thuộc hai họ đầu tiên thì định hướng được. Ta cũng có thể gộp hai họ này là một bằng cách xem mặt cầu là tổng trực tiếp của 0 mặt xuyến. Số mặt xuyến "g" được gọi là "giống" (genus) của mặt. Đặc trưng Euler của mặt cầu và mặt xuyến lần lượt là 2 và 0 và một cách tổng quát, đặc trưng Euler của tổng trực tiếp "g" mặt xuyến là . Các mặt thuộc họ thứ ba thì không định hướng được. Đặc trưng Euler của mặt phẳng xạ ảnh là 1, do đó, đặc trưng Euler của tổng trực tiếp "k" mặt phẳng xạ ảnh là . Từ hai điều trên, có thể thấy một mặt đóng sẽ xác định duy nhất, sai khác một đồng phôi, với 2 thông tin sau: đặc trưng Euler và việc nó có định hướng được hay không. Nói cách khác, đặc trưng Euler và tính định hướng được hoàn toàn phân loại, sai khác một đồng phôi, được các mặt đóng. Mặt đóng gồm nhiều thành phần liên thông cũng có thể được phân loại bằng việc phân loại từng thành phần liên thông của nó. Do đó sẽ không mất tính tổng quát nếu ta giả sử mặt là liên thông.