Khái niệm độ phức tạp truyền thông được đưa ra bởi Andrew Yao năm 1979, khi nghiên cứu về việc hai người độc lập nhau (Alice và Bob) cùng cộng tác để thực hiện một công việc tính toán. Alice nhận được một xâu "n"-bit, ký hiệu là "x", và Bob nhận được một xâu "n"-bit khác, ký hiệu là "y". Mục tiêu là cuối cùng một trong hai người (ví dụ Bob) tính được giá trị một hàm sau khi hai người trao đổi một lượng thông tin ít nhất có thể. Ghi chú là ta không quan tâm đến số phép tính hay lượng bộ nhớ cần dùng. Độ phức tạp truyền thông là ngành nghiên cứu lượng thông tin cần truyền trong những bài toán tính toán phân tán như vậy. Dĩ nhiên họ luôn đạt được mục tiêu bằng cách để Alice gửi toàn bộ xâu "n"-bit cô nhận được cho Bob, và sau đó Bob tính giá trị hàm số f, nhưng trong nhiều trường hợp, tùy vào hàm f, có thể giải quyết được bài toán với lượng bit cần trao đổi ít hơn n rất nhiều. Bài toán trừu tượng này có nhiều ứng dụng: chẳng hạn trong thiết kế mạch VLSI, ta muốn cực tiểu hóa năng lượng cần dùng bằng cách giảm lượng tín hiệu điện cần gửi đi giữa các thành phần khác nhau trong quá trình tính toán. Bài toán này cũng có ứng dụng trong nghiên cứu cấu trúc dữ liệu, và tối ưu hóa mạng máy tính. Quay lại với ví dụ "EQ", nếu được phép có lỗi, thì Alice và Bob có thể kiểm tra đẳng thức bằng cách trao đổi "O(log n)" bit. Xét giao thức sau: giả sử Alice và Bob đều biết một xâu ngẫu nhiên công cộng formula_71. Alice tính formula_72 và gửi "b" cho Bob. Ký hiệu formula_73 là phép tính tích vô hướng trong GF(2). Sau đó Bob so sánh "b" với formula_74. Nếu chúng bằng nhau, thì Bob chấp nhận, đưa ra kết quả "x" bằng "y". Nếu không, Bob từ chối. Rõ ràng, nếu formula_75, thì formula_76, nên formula_77chấp nhậnformula_78. Nếu "x" không bằng "y", vẫn có khả năng formula_76, dẫn đến việc Bob đưa ra câu trả lời sai. Nếu "x" và "y" khác nhau, tồn tại ít nhất một vị trí chúng khác nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử tại vị trí thứ "i", formula_80 và formula_81. Với mọi xâu ngẫu nhiên "z" sao cho formula_82, xét xâu "z' " giống hệt như "z" ngoại trừ vị trí thứ "i". Khi đó, formula_83. Vì vậy formula_77chấp nhậnformula_85. Giao thức này có thể được lặp lại nhiều lần để giảm xác suất sai. Như vậy "nếu Alice và Bob có chung một xâu ngẫu nhiên công cộng n bit", họ có thể tính được formula_86 chỉ bằng việc gửi đi 1 bit. Trong phần dưới đây, ta sẽ xét một phương pháp giả lập một giao thức dùng "O(n)" bit ngẫu nhiên công cộng bằng một giao thức với xâu ngẫu nhiên riêng với số bit cần trao đổi tăng thêm "O(log n)" bit. Như vậy, tồn tại giao thức sử dụng xâu ngẫu nhiên riêng cho "EQ" chỉ trao đổi "O(log n)" bit. Rõ ràng các bit ngẫu nhiên công cộng làm cho việc trao đổi thông tin dễ dàng hơn. Tuy nhiên, vẫn có thể sử dụng các giao thức dùng bit ngẫu nhiên công cộng ngay cả khi không có các bit này mà chỉ cần trao đổi thêm một số nhỏ bit. Mọi giao thức sử dụng formula_47-bit ngẫu nhiên công cộng đều có thể giả lập bằng việc trao đổi "O(log n)" bit. Một cách trực giác, ta tìm một tập hợp nhỏ các xâu có đủ độ ngẫu nhiên sao cho khi thực hiện giao thức ngẫu nhiên trên tập nhỏ này, xác suất sai chỉ tăng thêm một chút. Alice và Bob có thể xác định tập hợp này trước khi thực hiện giao thức. Khi cần xâu ngẫu nhiên cho giao thức, Alice và Bob chỉ cần chọn ra một xâu trong tập hợp đó. Tập hợp này đủ nhỏ để việc xác định xâu nào được chọn chỉ đòi hỏi trao đổi một số nhỏ bit. Sau đây là chứng minh cụ thể. Xét một giao thức "P" có xác suất sai không quá 0.1. Đặt formula_67 là tập hợp formula_89 xâu độ dài "n", ký hiệu là formula_90. Với một formula_67 cho trước, định nghĩa giao thức formula_92 như sau: Alice chọn formula_93, gửi "i" cho Bob, và sau đó hai người thực hiện "P" với xâu ngẫu nhiên công cộng là formula_93. Việc gửi "i" đòi hỏi gửi đi "O"(log 100"n") = "O"(log "n") bit. Định nghĩa formula_95 and formula_96 là xác suất formula_97 và formula_92 tính được kết quả đúng cho dữ liệu vào formula_99. Xét việc chọn các xâu trong formula_67 một cách ngẫu nhiên. Với một dữ liệu vào formula_99 cố định, theo bất đẳng thức Hoeffding: Khi xét tất cả mọi bộ dữ liệu formula_99: Bất đẳng thức cuối cùng ở trên là đúng vì có formula_23 bộ dữ liệu formula_99 khác nhau. Vì xác suất nhỏ hơn 1, nên tồn tại formula_107 sao cho formula_99: Vì formula_97 có xác suất sai 0.1, nên formula_111 có xác suất sai không quá 0.2. Độ phức tạp truyền thông lượng tử nghiên cứu việc sử dụng các hiệu ứng lượng tử để giảm lượng thông tin cần trao đổi trong tính toán phân tán. Có ít nhất ba mô hình tổng quát hóa độ phức tạp truyền thông sử dụng lượng tử đã được đề xuất. Xem thêm bài toán tổng quan của G. Brassard. Trong độ phức tạp truyền thông không đơn định, Alice và Bob được sử dụng máy tiên tri. Sau khi nhận được hướng dẫn của máy tiên tri, hai người trao đổi thông tin để tính "f(x,y)". Độ phức tạp truyền thông không đơn định được định nghĩa là tổng lớn nhất trong mọi giá trị "(x,y)" của số bit trao đổi giữa Alice và Bob cộng với số bit thông tin nhận được từ máy tiên tri. Một cách định nghĩa khác là thông qua việc đếm số hình chữ nhật tổ hợp toàn 1 ít nhất cần dùng để phủ tất cả các phần tử một trong ma trận 0/1 của hàm cần tính . Độ phức tạp truyền thông không đơn định chính là lôgarit cơ số 2 của số hình chữ nhật tổ hợp toàn 1 ít nhất cần dùng để phủ tất cả các phần tử một trong ma trận. Độ phức tạp truyền thông không đơn định là một cách để chặn dưới độ phức tạp truyền thông đơn định . Đồng thời, trong lý thuyết ma trận không âm, nó cũng được dùng làm chặn dưới của hạng không âm của một ma trận không âm.