Dòng chảy Stokes (được đặt theo tên của George Gabriel Stokes), còn có tên là dòng chảy từ từ hoặc chuyển động từ từ, là một loại dòng chảy chất lưu trong đó lực quán tính bình lưu rất nhỏ so với lực nhớt. Dòng chảy Stokes có số Reynolds rất thấp, tức làformula_1. Đây là một trường hợp điển hình của các dòng chảy chất lưu với vận tốc rất chậm, độ nhớt rất lớn, hoặc quy mô chiều dài của dòng chảy rất nhỏ. Ban đầu dòng chảy từ từ được nghiên cứu để tìm hiểu về lý thuyết bôi trơn. Trong tự nhiên loại dòng chảy này có thể được quan sát thấy khi vi sinh vật và tinh trùng bơi trong môi trường chất lưu chứa chúng và trong dòng chảy của dung nham. Trong công nghệ, dòng chảy Stokes xảy ra trong dòng chảy của các loại sơn, thiết bị MEMS, và dòng chảy của polymer nhớt thông thường. Các phương trình của chuyển động của dòng chảy Stokes, được gọi là các phương trình Stokes, và chúng là sự tuyến tính hóa của các phương trình Navier-Stokes, do đó có thể được giải bằng một số phương pháp nổi tiếng áp dụng cho phương trình vi phân tuyến tính. Hàm Green sơ cấp cho dòng Stokes được gọi là Stokeslet, đại diện cho một dòng chảy Stokes dưới tác dụng của một lực tập trung đơn nhất. Từ các đạo hàm của nó (Stokeslet) có thể tìm được những lời giải cơ sở khác. Lời giải cơ sở của bài toán một lực tập trung tác dụng lên một dòng chảy Stokes ổn định được nhà khoa học đoạt giải Nobel Hendrik Lorentz tìm ra vào năm 1896. Lời giải này hiện nay được biết đến với cái tên Stokeslet, mặc dù Stokes không bao giờ biết về nó. Tên Stokeslet do Hancock đặt ra năm 1953. Các lời giải cơ sở dạng khép kín cho các dòng chảy Stokes và Oseeen không ổn định tổng quát hóa tương ứng với chuyển động quay và tịnh tiến phụ thuộc thời gian bất kỳ đã được tìm ra cho các chất lưu Newton và chất lưu vi cực (micropolar). Phương trình chuyển động của dòng chảy Stokes được rút ra bằng cách tuyến tính hóa các phương trình Navier - Stokes ở trạng thái ổn định. Lực quán tính được giả định là không đáng kể so với lực nhớt, và do đó có thể loại bỏ các số hạng liên quan đến quán tính của cân bằng động lượng trong các phương trình Navier - Stokes làm giảm cân bằng động lượng trong các phương trình Navier Stokes thành cân bằng lực trong các phương trình Stokes: Trong đó formula_3 là trường tensor ứng suất Cauchy đại diện cho ứng suất áp suất và ứng suất nhớt, và formula_4 một lực khối tác dụng lên dòng chảy đang xét. Các phương trình Stokes đầy đủ cũng bao gồm một phương trình cho bảo toàn khối lượng, thường được viết dưới dạng: Trong đó formula_6 là mật độ chất lưu và formula_7 là vận tốc chất lưu. Để có được các phương trình chuyển động cho dòng chảy không nén được, giả định rằng mật độ formula_6 là một hằng số. Ngoài ra, đôi khi người ta có thể xem xét các phương trình Stokes không ổn định, trong đó số hạng formula_9 được thêm vào phía bên tay trái của phương trình cân bằng động lượng. Phương pháp Taylor-Couette có thể tạo ra dòng chảy tầng bằng cách sử dụng hai trụ đồng tâm di chuyển qua nhau theo đường xoắn ốc biểu kiến. Một chất lưu, ví dụ như như sirô ngô, có độ nhớt rất lớn sẽ lấp đầy khoảng trống giữa hai trụ, với các vùng màu nằm trong chất lưu có thể nhìn thấy được nhờ trụ ngoài trong suốt. Các trụ chuyển động quay tương đối với nhau ở tốc độ thấp, tốc độ này cùng với độ nhớt cao của chất lưu và khoảng trống nhỏ cho kết quả là một dòng chảy chất lưu với số Reynolds thấp, để sự pha trộn của các vùng màu là dòng chảy tầng thực sự và sau đó có thể được đảo ngược trở lại trạng thái ban đầu. Điều này tạo ra một minh chứng ấn tượng của sự pha trộn một chất lưu và sau đó đưa nó trở lại trạng thái ban đầu như khi chưa pha trộn bằng cách đảo ngược chiều quay của các trụ. Trong trường hợp thông thường đối với chất lưu Newton không nén được, các phương trình Stokes có dạng (được vector hóa): Trong đó formula_7 là vận tốc của chất lưu, formula_13 là gradient của áp suất, formula_14 là độ nhớt động lực, và formula_4 là một lực khối tác dụng lên chất lưu. Đây là các phương trình tuyến tính đối với vận tốc và áp suất, và do đó có thể tận dụng lợi thế của một loạt các phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính. Với vector vận tốc formula_16 và vector lực khối formula_17, chúng ta có thể viết các phương trình vector một cách rõ ràng như sau: Có được những phương trình này là nhờ các giả định rằng formula_19 và mật độ formula_20 là một hằng số. Một số vấn đề, chẳng hạn như sự biến đổi hình dạng của bong bóng trong dòng chảy Stokes, dẫn tới lời giải số bằng phương pháp phần tử biên. Kỹ thuật này có thể được áp dụng cho cả dòng 2 và 3 chiều. Dòng chảy Hele-Shaw là một ví dụ về một cấu trúc hình học mà lực quán tính là không đáng kể. Nó được xác định bởi hai tấm phẳng song song sắp xếp rất gần nhau với khoảng cách giữa các tấm được chiếm cứ một phần bởi chất lưu và một phần bởi những chướng ngại vật có dạng hình trụ có thể quay được vuông góc với các tấm. Lý thuyết vật thể mảnh trong dòng chảy Stokes là một phương pháp gần đúng đơn giản để xác định các trường dòng chảy không quay xung quanh các vật thể có chiều dài lớn hơn nhiều so với chiều rộng của chúng. Cơ sở của phương pháp này là để chọn lựa một sự phân phối của các (điểm) kỳ dị của dòng chảy dọc theo một đường thẳng (bởi vì vật thể là mảnh) để dòng chảy không quay của chúng kết hợp với một dòng đồng nhất một cách xấp xỉ thỏa mãn điều kiện vận tốc vuông góc bằng không. Định luật Stokes về lực cản tác dụng lên một vật thể hình cầu đang chuyển động, còn được gọi là lực cản Stokes, là một mối quan hệ mô tả lực cản tác dụng bởi chất lưu xung quanh lên một vật thể hình cầu nằm trong một dòng chảy Stokes. Cho một vật thể hình cầu có bán kính formula_41, chuyển động với vận tốc formula_42, trong một chất lưu Stokes có độ nhớt động lực formula_43, lực cản F"D", được tính theo công thức sau: Định lý thuận nghịch Lorentz nói về mối quan hệ giữa hai dòng chảy Stokes trong cùng một vùng. Hãy xem xét một vùng chứa chất lưu formula_45 được bao quanh bởi bề mặt formula_46. Hãy để các trường vận tốc formula_47 và formula_48 và giải các phương trình Stokes trong miền formula_45, tương ứng với các trường ứng suất formula_50 and formula_51. Thì ta có đẳng thức sau: Trong đó formula_53 là vector pháp tuyến đơn vị trên bề mặt formula_46. Định lý thuận nghịch Lorentz có thể được sử dụng để chứng minh rằng dòng chảy Stokes "truyền" tổng lực và mô-men xoắn không thay đổi từ một mặt kín bên trong tới một bề mặt bao quanh bên ngoài. Định lý thuận nghịch Lorentz cũng được sử dụng để tìm mối liên hệ giữa tốc độ bơi của một vi sinh vật, chẳng hạn như vi khuẩn cyanobacterium, với vận tốc bề mặt gây ra bởi các biến dạng của hình dạng cơ thể thông qua long mao (cilia) hay lông roi (flagella).