Định lý bốn màu (còn gọi là "định lý bản đồ bốn màu") phát biểu rằng đối với bất kỳ mặt phẳng nào được chia thành các vùng phân biệt, chẳng hạn như bản đồ hành chính của một quốc gia, chỉ cần đến bốn màu để phân biệt các vùng lân cận với nhau. Hai vùng được coi là lân cận nếu như chúng có chung nhau một đoạn đường biên, không tính chung nhau một điểm. Định lý bốn màu là định lý lớn đầu tiên được chứng minh bằng máy vi tính. Tuy nhiên một số nhà toán học không đồng tình với cách chứng minh này, bởi vì con người không thể kiểm chứng trực tiếp được cách chứng minh. Do vậy, muốn tin vào chứng minh này thì người ta phải công nhận sự chính xác của Trình biên dịch và phần cứng máy tính được sử dụng để chạy chương trình chứng minh. Vấn đề này lần đầu tiên được đề cập vào năm 1852 bởi Francis Guthrie khi ông thử tô màu bản đồ nước Anh và ông nhận ra rằng chỉ cần bốn màu khác nhau là đủ. Ông đã đem vấn đề này hỏi người anh trai là Fredrick, lúc đó đang là sinh viên của trường Đại học Học viện London (UCL). Fredrick đã đưa vấn đề này hỏi thầy của mình là nhà toán học Augustus De Morgan nhưng người thầy cũng chưa biết rõ vấn đề này. Người đầu tiên giới thiệu vấn đề ra trước công chúng là nhà toán học Arthur Cayley vào năm 1878 tại Hội Toán học London, ông đã chỉ ra người đề cập vấn đề là De Morgan. Vào tháng 10/1852, giáo sư De Morgan ở trường Đại học Luân Đôn viết thư cho đồng nghiệp của mình là ông William Hamilton để bàn về bài toán: "Mọi bản đồ đều có thể tô bằng 4 màu sao cho hai nước nằm kề nhau phải được tô bằng hai màu khác nhau". Người đầu tiên chứng minh định lý này là Alfred Kempe vào năm 1879. Năm 1880, có thêm một cách chứng minh khác của Peter Guthrie Tait. Nhưng đến năm 1890 Percy Heawood đã chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Kempe, và đến năm 1891 Julius Petersen chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Tait. Trong việc chỉ ra sai lầm của Kempe, Heawood còn chứng minh rằng tất cả các Đồ thị phẳng phải sử dụng năm màu khác nhau, và làm cơ sở phát triển cho lời giải sau này. Xem Định lý năm màu. Trong những năm 1960 và 1970, nhà toán học người Đức là Heinrich Heesch đã phát triển phương pháp sử dụng máy vi tính cho việc chứng minh vấn đề. Năm 1976, cuối cùng thì định lý cũng được chứng minh bởi Kenneth Appel và Wolfgang Haken tại trường Đại học Illinois với sự trợ giúp của máy vi tính (trong khoảng 1000 giờ máy). Nhà khoa học John A. Koch cũng góp phần cải tiến thuật toán để giải quyết trọn vẹn bài toán 4 màu. Mặc dù định lý được phát hiện ra trong quá trình tô màu bản đồ, nhưng trên thực tế nó rất ít khi được áp dụng vào khoa học vẽ bản đồ. Nhiều bản đồ phải sử dụng nhiều hơn bốn màu để thể hiện các khu vực, ngoài ra có những bản đồ sử dụng ít hơn bốn màu. Hầu hết các bản đồ thực tế đều có vẽ hồ ao, mà tất cả hồ ao này phải vẽ cùng màu. Do vậy làm tăng số lượng màu cần thiết để vẽ các vùng đất. Nếu bỏ qua không vẽ hồ ao, thì trên thực tế vẫn có những vùng đất của cùng một quốc gia nhưng bị tách rời nhau, do đó phải vẽ cùng màu và định lý không áp dụng được. Các sách vở về môn Bản đồ học cũng không nhắc đến định lý này. Những người vẽ bản đồ cho rằng họ quan tâm hơn đến việc phối màu bản đồ sao cho đẹp mắt; do vậy việc sử dụng bốn, năm hay nhiều màu hơn không phải là vấn đề đáng bận tâm. Trên thực tế có nhiều quốc gia mà các phần lãnh thổ không liền kề nhau. Ví dụ như phần lãnh thổ Alaska của nước Mỹ, Nakhchivan của Azerbaijan, hay Kaliningrad của Nga. Nếu việc vẽ bản đồ đòi hỏi các phần lãnh thổ này phải cùng màu thì việc sử dụng bốn màu là không đủ. Trong toán học, những vùng đất tách rời này được gọi là điểm cô lập của tập hợp miền quốc gia. Thử xét một hình vẽ đơn giản sau Trong hình, hai khu vực được đánh dấu "A" cùng thuộc về một quốc gia, và phải được vẽ cùng màu. Bản đồ này phải sử dụng năm màu, nên cần chú ý một số điểm sau. Để giải "bài toán 4 màu", các nhà toán học đã tìm cách xây dựng các đồ thị tương ứng với các bản đồ và đưa "giả thuyết 4 màu" về giả thuyết số màu của đồ thị phẳng. Với mỗi bản đồ, ta có thể định nghĩa một đồ thị: Ví dụ: Hình minh họa đồ thị (G) tương ứng với bản đồ "Giả thuyết minh họa đồ thị (G)" bên cạnh. Mỗi vùng được ký hiệu bằng một chữ cái, các chữ này cũng được dùng để ký hiệu các đỉnh của đồ thị. Từ ví dụ này ta thấy yêu cầu "hai nước kề nhau phải có màu khác nhau" khi tô bản đồ cũng tương ứng với yêu cầu "hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau" khi thực hiện phép tô màu đỉnh cho đồ thị. Các nhà toán học đã chứng minh được "định lý" sau đây: Định lý: Đồ thị (G) được định nghĩa tương ứng với mỗi bản đồ M (theo như định nghĩa trên) luôn là đồ thị phẳng. Cách tô màu mỗi vùng của bản đồ M tương ướng với cách tô màu các đỉnh của đồ thị (G) Nhờ định lý trên, giả thuyết 4 màu được quy về giả thuyết về số màu của đồ thị phẳng được phát biểu như sau: Giả thuyết: "Mọi đồ thị phẳng (G) đều có số màu γ(G)≤4" Sau công trình của Kenneth Appel, Wolfgang Haken và John A. Koch thì giả thuyết trên đã trở thành định lý và ngày nay chúng ta cũng gọi là định lý 4 màu. Cho đến bây giờ cũng chưa tìm được cách chứng minh "định lý 4 màu" mà không dùng kiểm chứng bằng máy tính. Một số công trình khác cũng tìm cách cải tiến thuật toán kiểm tra để chạy nhanh hơn.