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原始諗法即係一啲最基本、唔使定義嘅概念，例如點同直線等嘅概念喺歐幾里得嗰套幾何理論當中係原始諗法，而唔係原始諗法嘅概念就要用原始諗法嚟定義，例如「兩條線嘅相交點」會用點以及直線呢兩個概念嚟定義。
公理即係一啲描述原始諗法、被認為係不證自明嘅陳述式，而且唔能夠由第啲公理嗰度推理出嚟，例如「是但搵任何兩點，都有可能畫條通過呢兩點嘅直線」就係歐幾里得嗰套幾何理論嘅其中一條公理，即係歐幾里得認為呢句嘢好明顯，唔使證明都可以當係真確。
數學家一般都希望一套幾何學理論所用嘅原始諗法同公理數量有咁少得咁少（可以睇埋奧坎剃刀）。喺有咗啲原始諗法同公理之後，數學家就會做數學證明，嘗試由公理同邏輯上嘅定律嗰度證明新嘅定理，最後呢啲公理同定理就形成一套幾何理論。
喺廿一世紀，有唔少數學家仲喺度思考（例如）有冇方法可以用某啲被認公理嘅陳述式嗰度，推理出第啲被認為係公理嘅陳述式，諗住噉做可能幫到手建立一套用嘅公理數量更加少嘅幾何理論。
噉即係話，歐氏幾何其中一條基本公理喺球面幾何當中唔成立，所以球面幾何係一套非歐幾里得幾何。喺廿一世紀初，非歐幾何相當重要，例如球面幾何喺針對天體嘅研究（例如天文學同導航）上就不可或缺。
一條直線（最少理論上）可以無限噉延長。
有咗「圓心」同「直徑」呢兩樣資訊，就可以建構一個圓形。
所有嘅直角冚唪唥都係一個板嘅。
平行公設係是但搵條線 L 同點 p，當中 p 唔喺 L 上面，都實會有一條獨一無二嘅直線會係通過 p 得嚟又唔會同 L 相交嘅－即係話呢條線同 L 平行。而如果兩條線之間唔係平行，噉兩條線無限延長最後實會令到兩條線相交（好似下圖噉）。
然後歐幾里得就攞住呢五條公理、用數學證明嘅方法證明嗮當時已知嘅幾何學定理。
喺歐幾里得之後，仲有數學家試過對呢拃公理嘅具體定義作出修改－即係將條公理嘅定義改做比較清楚易明嘅形式，但改前改後拃公理都係可以攞嚟證明已知嘅幾何定理嘅。
好似上述噉嘅公式可以攞嚟計啲簡單嘅形狀嘅面積同體積。至於複雜啲嘅形狀嘅面積同體積要點計，可以睇吓（黎曼）積分同勒貝格積分等嘅課題。
順帶一提，喺高等嘅數學入邊（大學或以上），好多時啲人或者啲書會將長度、面積同體積等嘅概念一律統稱做體積，唔理佢嘅維度係乜都照樣噉叫。
想像有件物體經歷咗反射，佢反射前個形狀反射後嘅形狀完全一樣（除咗位置之外），噉件物體就算係具有鏡射嘅對稱特性。
進階啲嘅對稱分析，仲有講到轉動對稱（指件物體就算經歷若干角度嘅轉動都唔會變樣，例子可以睇吓三曲腿圖嘅 3-重轉動對稱）等嘅進階對稱類型。
對稱呢個概念，視覺藝術成日都會用到－好多人都認為對稱嘅物件好有美感，例如建築設計就好興將啲建築物設計到左右對稱噉嘅樣。
兩件物體「全等」，若且唯若佢哋喺形狀同大細都相同，或者係鏡像而且大細相同－想像有兩個三角形，如果佢哋全等，噉攞其中一個三角形，佢入面每隻角都會同另外嗰個三角形入面嘅其中一隻角相等，而且兩者啲邊完全一樣。
兩件物體「相似」，若且唯若佢哋喺形狀上相等（或者係鏡像），但佢哋可以喺大細上唔同－又想像有兩個三角形，如果佢哋相似，噉攞其中一個三角形，佢入面每隻角都會同另外嗰個三角形入面嘅其中一隻角相等，不過兩者啲邊唔一樣，大細都唔同。
喺數學上，碎形係一類嘅幾何形狀，指隻形狀無論規模縮到幾細都好，都會具有仔細結構，好多碎形仲會具有自相似（指一件物體同佢其中一部份相似）嘅特性。
首先，攞住個等邊三角形（三條邊一樣咁長、三隻內角都係 60° 嘅三角形）；同每條邊，做以下步驟將條邊分做三橛，三橛一樣咁長；用中間嗰橛做底邊，畫個新嘅等邊三角形，呢個三角形要指向外；將上一步入面攞嚟做底邊嗰條線剷走；步驟 2 產生嗰啲新三角形，每個都攞嚟做步驟 1 同 2，同時忽略嗰啲剷走咗嘅底邊。
想像將上面嘅過程無限噉重複，就會出好似下面幅 gif 噉嘅情況。好似曲氏雪花噉嘅碎形有好多畀人覺得係得意嘅特徵－例如攞住塊真正嘅曲氏雪花，再慢慢噉望近啲，會發覺無論望到幾近，塊雪花都仲會有更加細嘅三角形（仔細結構），而且啲細結構同大結構相似（自相似）。
碎形喺唔少自然現象度都可以睇到－可以睇吓雪花同自然形態規律。而且碎形畀好多人覺得好得意，所以仲有畀人應用落去建築設計同演算法藝術度。
遠古數學家冇量角器，要點齋靠間尺同圓規畫個正六角形（隻隻角一樣咁大）？
呢段動畫描述古希臘數學家歐幾里得點樣齋靠間尺同圓規畫出正六角形。
齋靠間尺同圓規條線平分隻角
自從廿世紀起，電腦技術日益進步，啲人可以輕易噉靠電腦畫圖形。有關「點樣用電腦畫幾何物體」呢條問題，可以睇吓電腦圖像同 Processing 等嘅課題。
呢套理論框架建基於歐幾里得提出嗰五條公理（睇返上面），仲跟手定義咗角度、圓形同三角形等嘅概念；非歐幾里得幾何就係一類嘅幾何理論框架，可以分好多款，共同特徵係「會否定歐氏幾何嘅某啲基本諗法」。
舉例說明，球面幾何就否定咗歐氏幾何嘅多條基本假設。球面幾何研究嘅係球體嘅 2D 表面啲幾何特性。
代數幾何同解析幾何：代數幾何嘅核心諗頭係要將幾何物體睇做代數方程嘅解；而解析幾何嘅核心諗頭就係用坐標研究幾何學。
當中 (a,b)係個圓心嘅坐標值，而r係個圓形嘅半徑有幾長－用日常用語講，圓形就係「條邊上面每點都離圓心一樣咁遠」嘅幾何物體。
代數幾何同解析幾何好有實用價值－自然科學同工程學等領域分析物體嘅形狀同郁動嗰時，就好興用代數同坐標嘅做法，例子可以睇吓牛頓力學同物理模擬等嘅課題。
用微積分同線性代數研究幾何學。喺好多現實應用當中，人都要計幾何物體嘅表面面積同體積，對於好似球體、錐體同立方體等簡單基本嘅幾何物體，佢哋嘅表面面積同體積可以用相對簡單嘅方程式計（睇返上面），但問題係現實世界嘅物體好少可會咁簡單，例子可以睇吓下圖噉嘅曲面－微分幾何就可以解決呢啲問題。
家陣攞住件幾何物體，將件物體撳扁、拉長或者扭曲，途中唔准封件物體上面啲窿（會通過件物體嘅先算窿）、唔准開新窿、唔准撕爛件物體、唔准要件物體經過自己。
啲噉嘅變化會改變件物體嘅某啲幾何特性，例如拉長就會改變件物體嘅長度。
但又有啲特性係做咗噉嘅變化都唔會變嘅－假想有笪空間 X，X上面是但攞兩點x1,x2嚟睇，兩點之間都有路徑相通（睇埋路徑連通空間嘅概念），噉無論X畀人點撳扁、拉長或者扭曲，佢都仲會有「上面是但攞兩點 x1, x2嚟睇，兩點之間都有路徑相通」呢樣特性。
簡化噉講，拓撲學就係想研究呢啲「無論件體點樣畀人撳扁、拉長或者扭曲，都唔會變」嘅幾何特性。
嚴格啲講，呢種想像法啱唔嗮，不過呢種做法會引致嘅誤差微細到用肉眼根本睇唔到。詳情可以睇吓相對論方面嘅內容。
喺數學上，公理係指「唔使證明、可以攞嚟證明第啲諗頭」嘅諗頭。
簡化噉講，一條線嘅曲率可以由「能夠貼切嗰條線嘅圓形嘅直徑」嚟反映，而對應一條完美直線嘅圓形直徑會係無限大。
人喺現實整嘅「曲氏雪花」，好多時因為人力物力上嘅限制做唔到無限噉重複，唔算真正嘅曲氏雪花。
對文明早期嘅人嚟講，要檢驗一把間尺「夠唔夠直」，可以攞條繩再搵兩個人由兩邊用力拉條繩－條繩會成直線。
資訊扮演咗重要角色：一般嚟講，國家會知第啲國家有冇落關稅，所以一有國家落關稅，第啲國家就會即刻作出懲罰行動。
唔似得（例如）軍備競賽嗰陣噉，一個國家有能力操控情報，可以喺第啲國家唔知嘅情況下提升軍力，搞到國際協議冇咁能夠控制軍備競賽。
進階嘅博弈論分析仲諗到，「賣嘢俾對方」未必淨係有得益－例如如果兩國打緊仗，噉賣高質貨俾對方可能會搞到自己有第啲代價（敵國強咗），即係背叛嘅實際得益會係 T+w，當中 w<0。