高等数学辅导上册

2003年清华大学出版社出版的图书
《高等数学辅导上册》是2003年12月30日由清华大学出版社出版的图书，作者是盛祥耀。本书的内容是高等数学者学习时的辅导教材。
图书简介
本书基本上是根据全国工科院校高等数学教学大纲的要求编写的，也是编者多年来在清华大学从事高等数学的教学和辅导工作的结晶。
全书分上、下两册，上册包含函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、空间解析几何及矢量代数共7章内容。每章的各节以“内容提要”开始，概括本书的主要知识内容；然后是“例题分析”，通过分析、讲解、提问、小结等方式对各种题型的例题进行解剖、辅导。每章的末尾，安排“习题与答案”，供读者练习、检查。
本书可作为工科大学生、自学高等数学者学习时的辅导教材，也可供从事工科高等数学教学的教师、非数学专业的研究生及中学数学教师参考。
目录
第1章函数1
1-1预备知识1
1-1-1内容提要1
1区间及其各种表示法1
2绝对值及其性质1
1-1-2例题分析2
1不等式与绝对值不等式之间的互换2
2解不等式3
1-2函数概念、定义域、反函数、函数符号6
1-2-1内容提要6
1函数定义6
2定义域6
3反函数定义6
1-2-2例题分析7
1有关函数概念的一些问题7
2求定义域9
3函数的符号运算11
4求反函数15
1-3偶函数、奇函数、周期函数、函数的增减性18
1-3-1内容提要18
1奇、偶函数的定义18
2周期函数定义18
3函数增减性定义18
1-3-2例题分析19
1判断函数的奇偶性19
2函数周期性及其求法21
3判断函数的增减性23
1-4建立函数关系24
1-4-1内容提要24
1-4-2例题分析25
1由物理知识寻找函数关系25
2由几何条件寻找函数关系25
3由其他条件寻找函数关系28
1-5作函数的图形29
1-5-1内容提要29
1-5-2例题分析31
1图形的叠加31
2图形的平移32
3综合法作图33
4带有绝对值的函数作图法34
5其他作图法35
1-6综合题、杂题37
1-7习题与答案42
1-7-1习题42
1-7-2答案46
第2章极限与连续50
2-1极限概念50
2-1-1内容提要50
1数列un的极限定义50
2当x→+∞时，函数f(x)以A为极限的定义50
3当x→-∞时，函数f(x)以A为极限的定义50
4当x→∞时，函数f(x)以A为极限的定义51
5当x→x0时，函数f(x)以A为极限的定义51
6无穷小量的定义51
7无穷大量的定义51
8有界函数与无界函数的定义52
2-1-2例题分析52
1有关极限概念中的一些问题52
2用极限定义证明极限54
3无穷小、无穷大、有界函数及无界函数62
2-2极限四则运算64
2-2-1内容提要64
2-2-2例题分析65
1有关极限四则运算的讨论65
2用极限四则运算计算极限67
3有界函数与无穷小量的乘积定理73
2-3极限存在准则、两个重要极限74
2-3-1内容提要74
2-3-2例题分析74
1两个重要极限及其应注意的问题74
2利用极限存在准则求极限79
2-4无穷小量的比较82
2-4-1内容提要82
2-4-2例题分析83
1利用等价无穷小代换求极限83
2加减运算中用各自的等价无穷小代换求极限的条件85
3无穷小量阶的判定88
2-5连续函数92
2-5-1内容提要92
1函数的连续定义92
2间断点的定义92
3连续函数的性质92
4最大值和最小值定理93
5介值定理93
2-5-2例题分析93
1连续函数概念中的一些问题93
2函数关系已显示的函数(包括分段函数)的连续性95
3函数关系未显示的函数的连续性99
2-6综合题、杂题102
2-7习题与答案111
2-7-1习题111
2-7-2答案115
第3章导数与微分117
3-1导数概念及其几何意义117
3-1-1内容提要117
1函数在一点可导117
2函数在区间上可导118
3导数的几何意义119
3-1-2例题分析120
1利用定义求函数的导数以及与导数概念有关的问题120
2利用导数的几何意义求曲线的切线方程128
3-2导数计算131
3-2-1内容提要131
1导数的基本公司131
2导数运算的基本法则132
3复合函数求导法132
4反函数求导法133
5隐函数求导法133
6对数微分法133
7由参数方程所确定的函数的求导法134
3-2-2例题分析134
1利用四则、复合、隐函数求导法则求函数的导数134
2与导数的几何意义、物理意义有关的问题146
3-3微分概念、性质及其在近似计算中的应用156
3-3-1内容提要156
1函数在一点可微156
2函数在区间上可微157
3微分的几何意义157
4微分近似公式157
5微分的基本公式和运算法则157
3-3-2例题分析159
1与微分概念有关的问题159
2利用微分运算法则求函数的微分162
3利用微分近似公式计算函数的近似值164
4有关绝对误差、相对误差的计算168
3-4高阶导数169
3-4-1内容提要169
1高阶导数的定义169
2莱布尼茨公式170
3-4-2例题分析170
1利用定义或充要条件考察函数在一点的二阶可导性170
2利用求导的运算法则求函数的二阶导数172
3求函数的n阶导数的几种方法175
4高阶导数的物理应用179
3-5习题与答案182
3-5-1习题182
3-5-2答案194
第4章导数的应用204
4-1微分中值定理204
4-1-1内容提要204
1罗尔定理204
2拉格朗日定理204
3柯西定理205
4-1-2例题分析205
1对微分中值定理的条件、结论正确理解与运用205
2有关证明不等式的几个命题207
3证明不等式209
4有关函数零值点或方程根的问题216
5利用微分中值定理证明有关ζ的问题218
6综合题、杂题223
4-2求未定型的极限226
4-2-1内容提要226
1洛必达法则226
2函数在一点可导的充分条件227
4-2-2例题分析229
1用洛必达法则求未定型极限229
2如何求幂指函数的极限 limx→x0f(x)g(x)238
3利用可导的充分条件考察函数在一点的可导性242
4-3泰勒公式248
4-3-1内容提要248
1带有拉格朗日余项的泰勒公式248
2带有佩亚诺余项的泰勒公式249
35个初等函数的麦克劳林公式249
4-3-2例题分析250
1如何把函数在一点展成泰勒公式250
2利用泰勒公式确定无穷小量的阶数256
3利用泰勒公式(佩氏余项)求未定型极限257
4利用泰勒公式(拉氏余项)求函数近似值，并估计误差264
4-4函数的研究及函数作图267
4-4-1内容提要267
1函数的增减性与函数的极值点267
2函数在一区间上的最大值和最小值268
3曲线的凹凸性与曲线上的拐点269
4曲线的渐近线270
4-4-2例题分析270
1如何求函数的增减区间及极值点270
2如何求曲线的凹凸区间及拐点和渐近线273
3如何作函数的图形276
4如何求函数在定义域上的最大值和最小值282
5最大、最小值的应用问题285
6利用导数证明可导函数的单调性289
7利用导数确定函数零值点(或方程的根)292
8综合题、杂题295
4-5习题与答案303
4-5-1习题303
4-5-2答案313
第5章不定积分320
5-1简单的不定积分计算320
5-1-1内容提要320
1原函数与不定积分概念320
2基本积分表320
3不定积分基本性质321
4简单的变量代换法321
5-1-2例题分析322
1基本题分析322
2典型方法题分析327
5-2变量代换法与分部积分法340
5-2-1内容提要340
1变量代换法340
2分部积分法340
5-2-2例题分析340
1变量代换法340
2分部积分法347
5-3有理函数积分法358
5-3-1内容提要358
1有理函数概念358
2简单分式和它们的积分359
3有理既约真分式的积分360
5-3-2例题分析360
5-4三角函数有理式的积分364
5-4-1内容提要364
1定义364
2求三角函数有理式的积分的方法365
5-4-2例题分析365
5-5简单无理函数的积分370
5-5-1内容提要370
5-5-2例题分析371
1被积函数含有x, nax+bcx+d 有理式的积分371
2被积函数含有x, ax2+bx+c 有理式的积分372
5-6综合题、杂题377
5-7习题与答案383
5-7-1习题383
5-7-2答案388
第6章定积分395
6-1定积分的概念与性质395
6-1-1内容提要395
1积分和395
2定积分定义395
3定积分的几何意义396
4性质396
5定理397
6-1-2例题分析397
1有关定积分概念中的一些问题397
2不等式的证明406
6-2定积分计算411
6-2-1内容提要411
1变上限定积分411
2牛顿-莱布尼茨公式412
3变量代换法计算定积分412
4分部积分法计算定积分412
5计算技巧及公式412
6-2-2例题分析413
1概念题及简单的计算题413
2用定积分计算和式的极限423
3有关变上限定积分的例题427
4综合题、杂题434
6-3定积分应用452
6-3-1内容提要452
1用定积分解决实际问题的一般方法452
2常用的几个公式453
6-3-2例题分析455
1定积分的几何应用——平面图形的面积与弧长455
2定积分的几何应用——体积461
3定积分的物理应用——动能、转动惯量、引力、功及质心467
6-4广义积分483
6-4-1内容提要483
1积分区间为无穷的广义积分483
2被积函数有无穷型不连续点的广义积分484
3收敛性判别法485
6-4-2例题分析486
6-5习题与答案497
6-5-1习题497
6-5-2答案503
第7章空间解析几何及矢量代数507
7-1空间直角坐标系矢量代数507
7-1-1内容提要507
1空间直角坐标系的基本问题507
2矢量507
3矢量在轴上的投影,射形定理508
4矢量的坐标表达式508
5矢量的加、减法和数乘矢量509
6线性关系510
7矢量的数量积（点积）510
8矢量的矢量积（叉积）510
9三个矢量的积511
7-1-2例题分析512
1矢量的概念及其加减法512
2数乘数量积矢量积517
3杂题证明题523
7-2平面与直线(一)531
7-2-1内容提要531
1曲面与方程531
2平面方程531
3直线方程532
7-2-2例题分析533
1特殊平面的方程533
2求平面的方程535
3求直线的方程538
7-3平面与直线(二)545
7-3-1内容提要545
1有关平面的问题545
2有关直线的问题545
3直线和平面的有关问题546
7-3-2例题分析547
1平面之间的夹角，直线与平面的交点，直线间平行、垂直、相交547
2直线在平面上的投影方程553
3平面直线的综合题杂题555
7-4二次曲面的标准方程574
7-4-1内容提要574
1曲面与方程574
2空间曲线与方程575
3二次曲面的标准方程575
7-4-2例题分析576
1球面方程、旋转面方程576
2投影柱面、投影曲线方程580
3作方程的图形581
4杂题583
7-5习题与答案585
7-5-1习题585
7-5-2答案593
自我检查题及解答597
自我检查题(1)597
自我检查题(1)解答598
自我检查题(2)607
自我检查题(2)解答608