数学分析（第二版）

2020年高等教育出版社出版的图书
《数学分析（第二版）》是梅加强编著，高等教育出版社2020年出版的教材。该教材可作为综合性大学数学类专业数学分析课程的教材或教学参考书，适用于国家理科基地班的微积分教学，还可供科技工作者参考。
全书共分十五章，前五章讨论一元微积分，第六章讨论黎曼积分及其推广，第七章至第九章介绍各种级数理论，第十章起是多元微积分的内容。
成书过程
《数学分析（第二版）》是在《数学分析（第一版）》的基础上修订而成，主要修订的内容有：第一章进行了全面改写。从求和谈起，逐渐引入积分问题。第二章变化不大，对实数系基本性质的证明次序做了调整， Baire纲定理移到第十章中进行了统一处理。第三章对连续函数的积分给出了新的处理方法，强调了积分与求和之间的联系，求和与求平均值之间的联系。利用积分给出了Young不等式以及Hölder不等式的证明。第四章中，给出了Newton-Leibniz公式的证明，紧接着就讨论积分的计算，不再重点介绍不定积分。第五章中，对于凸函数引进了支撑线的概念，在函数作图中增加了简单的曲线作图，在进一步的应用举例中，调整了Stirling公式的证明。第六章是由第一版第六章和第七章合并优化而来的。在Riemann积分的基本性质中，强调了阶梯逼近和分段线性逼近的思想，重新处理了分部积分和积分第二中值定理。在积分的几何应用中，介绍了等周不等式。第七章注重无穷级数和广义积分之间的联系，由此可以统一处理许多结果，并将无穷乘积单独成节。第八章考虑了广义积分与求极限次序的可交换性。第九章利用分段线性逼近的思想给出了Parseval等式的简单证明。在进一步的讨论中还给出了周期的Hölder函数的Fourier级数的一致收敛性。第十章关于度量空间的内容做了调整，介绍了压缩映射原理和Baire纲定理在研究处处连续但无处可导函数方面的应用。第十一章增加了Lagrange乘数法的几何解释，在补充材料中还介绍了一般欧氏空间中的外积运算。第十二章和第十三章的内容仅做了一些微调。第十四章关于微分形式的内容做了较大的改写，强调了场的观念，增加了微分形式与线性代数之间的联系。在Gauss-Green公式的应用中增加了Brouwer不动点定理和毛球定理。第十五章关于含参变量积分性质的证明做了优化。对于Gamma函数，还给出了Stir-ling渐近公式的简单证明。在Fourier分析的应用中，介绍了处理Weierstrass函数的新方法，并且讨论了Riemann-Zeta函数。
《数学分析（第二版）》全书共十五章，分三个学期讲授时每学期安排五章可以讲完。除了正文内容之外，书中习题也做了部分更新和调整，去掉了原少数习题前的星号标记。
该书在修订过程中得到了江苏省“青蓝工程”和南京大学的资助。
内容简介
全书共分十五章，前五章讨论一元微积分，引入了连续函数的积分并得到微积分基本公式，进而讨论了积分在经典不等式证明方面的应用；第六章讨论黎曼积分及其推广，特点是与数列的极限理论对比发展，并且引入了零测集的概念，以刻画可积函数；第七章至第九章介绍各种级数理论，除了对级数理论中的各种判别法做了处理外，还安排了若干重要的应用，包括在近似计算和数论方面的应用；第十章起是多元微积分的内容，特点是使用线性代数的语言来处理多元微分学中的重要结果（包括中值定理、反函数定理、拉格朗日乘数法等），以及处理积分学中的重要结果（如可积性的刻画、变量替换公式、各种积分之间的关系等）。
教材目录
前辅文	第一章 引言	1.1 从求和谈起	1.2 比较与估计	1.3 逻辑与证明	1.4 附录：实数系的构造	第二章 极限	2.1 数列极限	2.1.1 数列极限的定义	2.1.2 数列极限的基本性质	2.2 单调数列的极限	2.3 Cauchy准则	2.4 Stolz公式	2.5 实数系的基本性质	第三章 连续函数	3.1 函数的极限	3.1.1 定义和基本性质	3.1.2 重要的函数极限	3.1.3 进一步的例子和性质	3.2 无穷小（大）量	3.3 连续函数	3.3.1 定义和基本性质	3.3.2 间断点和振幅	3.4 连续函数的整体性质	3.4.1 最值定理和介值定理	3.4.2 一致连续性	3.5 连续函数的积分	3.5.1 积分的定义和基本性质	3.5.2 积分的计算	3.5.3 积分的应用	第四章 微积分基本公式	4.1 导数和微分	4.1.1 导数和高阶导数	4.1.2 微分和全微分	4.2 Newton-Leibniz公式	4.3 积分的计算方法	4.3.1 分部积分法	4.3.2 换元积分法	4.3.3 有理函数的积分	4.3.4 有理三角函数的积分	4.3.5 某些无理函数的积分	4.4 简单的微分方程	第五章 微分学的应用	5.1 函数的极值	5.2 微分中值定理	5.3 凸函数	5.4 函数和曲线作图	5.5 L’Hospital法则	5.6 Taylor展开	5.7 进一步应用举例	5.7.1 Jensen不等式的余项	5.7.2 Newton方法	5.7.3 Stirling公式	5.7.4 积分的近似计算	第六章 积分的推广和应用	6.1 Riemann积分	6.2 Riemann积分的性质	6.3 广义积分	6.4 广义积分的收敛判别法	6.5 积分的几何应用	6.5.1 曲线的长度	6.5.2 简单图形的面积	6.5.3 简单立体的体积	6.6 进一步的例子	第七章 数项级数	7.1 级数的收敛与发散	7.2 正项级数的敛散性	7.3 无穷乘积	7.4 数项级数的进一步讨论	7.4.1 级数的乘积	7.4.2 Abel求和与Cesàro求和	7.4.3 级数的重排	7.4.4 级数求和与求极限的可交换性	第八章 函数项级数	8.1 一致收敛	8.2 求和与求导、积分的可交换性	8.3 幂级数	8.3.1 收敛半径及基本性质	8.3.2 Taylor展开与幂级数	8.3.3 幂级数的乘法和除法运算	8.3.4 母函数方法	8.4 函数项级数的进一步讨论	8.4.1 近似计算	8.4.2 用级数构造函数	第九章 Fourier分析	9.1 Fourier级数	9.2 Fourier级数的收敛性	9.3 Parseval恒等式	9.4 Fourier级数的进一步讨论	9.4.1 平均收敛性	9.4.2 一致收敛性	9.4.3 Fourier系数的唯一性	9.4.4 Fourier级数的复数表示	9.4.5 Fourier积分初步	第十章 度量空间和连续映射	10.1 内积和度量	10.2 极限和连续性	10.3 最值定理与介值定理	10.4 完备性及其应用	第十一章 多元函数的微分	11.1 方向导数和微分	11.2 切线和切面	11.3 链式法则	11.4 拟微分中值定理	11.5 逆映射定理和隐映射定理	11.6 多元函数的极值	11.7 Lagrange乘数法	11.8 多元函数微分的补充材料	11.8.1 外积运算	11.8.2 二次型与极值	11.8.3 函数的相关性和独立性	第十二章 多元函数的积分	12.1 二重Riemann积分	12.2 多重积分及其基本性质	12.3 重积分的计算	12.4 重积分的变量替换	12.4.1 仿射变换	12.4.2 一般的变量替换	12.4.3 极坐标变换	12.5 重积分的应用和推广	第十三章 曲线积分与曲面积分	13.1 第一型曲线积分	13.2 第二型曲线积分	13.3 第一型曲面积分	13.4 第二型曲面积分	13.5 几类积分之间的联系	13.5.1 余面积公式	13.5.2 Green公式	13.5.3 Gauss公式	13.5.4 Stokes公式	13.6 附录：Riemann-Stieltjes积分	13.6.1 有界变差函数	13.6.2 Riemann-Stieltjes积分	第十四章 微分形式的积分	14.1 欧氏空间中的微分形式	14.2 微分形式之间的运算	14.3 Gauss-Green公式	14.4 不动点定理和毛球定理	第十五章 含参变量的积分	15.1 含参变量的积分	15.2 含参变量的广义积分	15.2.1 一致收敛及其判别法	15.2.2 一致收敛积分的性质	15.3 特殊函数	15.3.1 β函数的基本性质	15.3.2 Γ函数的基本性质	15.3.3 进一步的性质	15.3.4 Stirling公式	15.4 Fourier变换回顾	15.5 补充材料	15.5.1 积分次序的可交换性	15.5.2 Fourier分析的相关应用	参考文献	索引
（注：目录排版顺序为从左列至右列）
教学资源
课程资源
《数学分析（第二版）》有配套的数字课程，课程包含自测题、拓展阅读类数字资源。
课程名称	出版社	出版时间	内容提供者
“数学分析（第二版）”数字课程	高等教育出版社、高等教育电子音像出版社	2020年6月	梅加强
教材特色
该书在内容的编排上展现了微积分发展各阶段的重要成果，并适当地采用现代数学的思想方法和观点处理经典的分析问题。
该书包含基础部分和一部分带有星号的定理和例题内容，该可作为选讲内容。较难的习题也加上了星号标记，并对其中少量习题给出了提示。除此之外，一些章节还有附录等补充材料。
作者简介
梅加强，南京大学数学系副系主任、副教授。博士毕业于中国科学技术大学数学系，长期从事分析学和几何学教学工作，主要从事黎曼几何研究，先后主持国家自然科学基金青年基金项目和面上基金项目，研究极小曲面、非负曲率空间等。