2013硕士学位研究生入学资格考试GCT数学模拟试题与解析

2013年出版的图书
《2013硕士学位研究生入学资格考试GCT数学模拟试题与解析》是2013年出版的图书，作者是刘庆华、关治、扈志明。
本书根据硕士学位研究生入学资格考试指南的要求，编写了12套模拟试题.每套试题包含25道单项选择题，其中算术、初等代数、几何与三角三部分有15道题，一元函数微积分、线性代数两部分有10道题.书中给出了每套模拟试题的答案与解析过程，供考生们参考.  本书可供准备参加硕士学位研究生入学资格考试的备考人员以及辅导教师使用.
前言
本书是根据硕士学位研究生入学资格考试指南编写的数学辅导材料，以方便考生备考.
按照现在的复习备考方式，大致将复习的过程分为三个阶段： 全面复习阶段、归纳总结阶段和冲刺阶段.在每个阶段考生所选用的辅导材料是有区别的.在全面复习阶段，一般选用涵盖考试大纲所涉及的知识点的教材（我们所编写的《2013硕士学位研究生入学资格考试
GCT数学考前辅导教程》就是为此准备的），此阶段的主要任务是将要考的知识点搞清楚、弄明白，扫清知识上的盲点.在归纳总结阶段，是对前一阶段所复习知识的浓缩和提升，以便于自己从全局上把握所复习的知识，突出重点和难点.由于各自的知识背景和复习效果不同，所以浓缩和提升的程度也不同，因此，这一阶段可选择的材料较少，一些辅导教师开设串讲课来帮助备考者归纳总结，考生也可以根据自身特点，自己总结或提炼此阶段的复习材料和复习方法．在冲刺阶段，大多采取做模拟试题的方式，通过做模拟试题来检查自己对知识点的掌握程度以及灵活运用所学知识处理问题的能力，同时也可以从中发现自己的薄弱点，以便及时调整复习的方式和方法.很多考生在第二阶段就开始有针对性地做一些题目，帮助自己归纳总结，训练提高．另外，也可以通过做模拟试题来熟悉试卷的出题方式和应对考试的一些措施及技巧．
为了便于考生检验全面复习阶段的效果，顺利、便捷地开展归纳总结阶段的复习，我们在编写《2013硕士学位研究生入学资格考试GCT数学考前辅导教程》的基础上，编写了本书，以帮助考生在备考阶段准备得更加充分，提升应试能力，以利在考试中取得好的成绩.
考试大纲中关于数学内容的考试要求是： 测试考生所具有的数学方面的基础知识和基本思想方法，逻辑思维能力，数学运算能力，空间想象能力以及运用所掌握的数学知识和方法分析问题和解决问题的能力.据此，我们在模拟试题的选择上，既考虑到试题的知识覆盖面，又注意到难易程度，以利于考生通过做模拟试题能够全面检查对所复习知识的掌握程度.在模拟试题的设计上，既侧重知识的重点和难点，也注意考查重点和难点的方式与方法，以便于考查考生对重点和难点的掌握程度以及对这些知识点的灵活运用情况.
根据考试指南的要求，我们在此模拟试题集中编写了12套模拟试题.每套试题包含25道单项选择题，其中算术、初等代数、几何与三角三部分有15道题，一元函数微积分、线性代数两部分有10道题.在书的后半部分给出了每套模拟试题的答案与解析过程，供考生们参考.
由于GCT在国内是一种类型比较新颖的考试，准备GCT考试与准备传统的考试有所不同，为了使考生尽快地熟悉和掌握这一考试形式，对过去的考题做一点总结和分析是十分必要的．下面用表格的形式将过去10年中数学基础能力测试题涉及的知识点
加以汇总，以便考生能够清晰地了解考点的分布情况以及各考点的出题频次，更有针对性地进行复习备考．
科目内容具体知识点出题年份
算术
数的概念与运算
数的概念与性质2003，2003，2009，2011
分数运算2003，2008，2011
比与百分数的运算2003，2004，2005，2006，2006，2007，2008，2010，2010，2011
算术表达式求值2003，2004，2005，2006，2007，2008，2009，2010，2012
简单应用问题
植树问题2003，2004，2008
运动问题2004，2007，2008，2009，2011
求单位量与求总量的问题2004，2005，2012
其他问题2006，2012
初等代数
数与代数式
乘方、开方运算2003
绝对值的概念与性质2004，2011，2012
复数的基本概念与简单运算2004，2005，2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012
简单代数公式2005，2005，2007，2007，2011
集合与函数集合与函数的基本性质2003，2007，2009，2010，2010，2011，2012
代数方程和一元二次函数
一元二次方程2004，2006，2007，2008，2010
二元一次方程组2007
一元二次函数2003，2006，2008，2009，2012
不等式分式不等式2004，2012
数列等差数列，等比数列2005，2006，2009，2010，2011，2012
排列、组合、二项式定理组合公式2007，2008，2009
古典概率问题
等可能事件的概率2004，2005，2006，2008，2009，2010，2011，2012
简单概率公式2003，2007
几何与三角
平面几何
求面积问题2003，2004，2005，2006，2006，2008，2009，2009，2011，2012
求长度问题2004，2004，2005，2010
求角度问题2004，2006，2007，2011
空间几何图形空间几何体2003，2003，2005，2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012
三角函数特殊角的三角函数值2005，2007，2008，2009，2010，2012
续表
科目内容具体知识点出题年份
几何与三角
平面解析几何
平面直线问题2003，2003，2004，2006，2009，2010，2012
平面几何与平面解析几何的综合题2005，2005，2007，2008，2010，2011
二次曲线问题2005，2006，2008，2009，2010，2011，2012
一元函数
微积分
函数、极限、连续
函数2005，2008，2009，2012
极限2005，2007，2009，2010，2011，2012
连续2007
导数与微分的概念与运算
基本概念2003，2005，2006，2008，2010，2011，2012
运算2004，2007，2009，2010，2012
导数的应用利用导数判定单调性、求极值2003，2003，2004，2005，2006，2006，2006，2007，2008，2008，2009，2010，2011，2012
不定积分分部积分与换元积分2005，2007
定积分
定积分的概念与性质2003，2005，2007，2009，2011，2011
定积分的运算2003，2004，2006，2006，2008，2008，2009，2010，2011，2012
定积分的应用2004，2004，2010
线性代数
行列式行列式的性质及计算2003，2004，2005，2007，2009，2012
矩阵
矩阵的运算与性质2003，2003，2005，2006，2008，2010，2011
逆矩阵2004，2007，2009，2011，2012
向量组
线性相关与线性无关2004，2006
秩与极大线性无关组2005，2008，2010
线性方程组
齐次线性方程组2003，2004，2006，2008
非齐次线性方程组2007，2009，2010，2011，2012
矩阵的特征值和特征向量
基本概念与运算2003，2005，2006，2008，2012
可对角化的充要条件2004，2007，2009，2010，2011
由于GCT考试是只有四选一这种形式的客观题，考生除了复习好有关的内容，掌握基本的分析问题和解析问题的常用方法外，还应了解处理选择题时的一些解题技巧．下面就以一些题目为例，简要地介绍几种技巧．
一、 排除法
由于在GCT考试中四个选项中有且仅有一个选项正确的，所以如果能将错误的排除，剩下的自然就是正确选项．大部分情况下，即使只排除掉一两个错误选项，对找到正确选项也是很有帮助的．因此排除法是处理选择题的一个有效方法．
1. (2006)矩阵
A=200
001
01x
,
B=200
0y0
00-1
,
若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中．
(A) x=1,y=1
(B) x=0,y=1
(C) x=-1,y=0
(D) x=0,y=-1
由矩阵的特征值的和等于其对角元素和的性质，以及A，B两矩阵的特征值相等可得
2+0+x=2+y-1,即x=y-1.
从而可得只有选项(B)，(C)满足此条件，于是排除了选项(A)，(D).
如果选选项(C)，则矩阵B有零特征值，故矩阵
A也应有零特征值，由此可得矩阵A的行列式应等于零.但实际计算得|A|=-2，所以排除选项(C).故正确的选项为(B).
2. (2005)三个不相同的非零实数a,b,c成等差数列，又a,c,b恰成等比数列，则ab等于．
(A) 4(B) 2(C) -4(D) -2
根据条件可知c2=ab，从而ab>0，所以选项(C)，(D)错误．又2b=a+c，即2=ab+cb，且cb≠0，所以ab≠2，故选项(B)错误．即正确选项为(A)．
3. (2007)limx→1f(x)=4，则必定．
(A) f(1)=4
(B) f(x)在x=1处无定义
(C) 在x=1的某邻域(x≠1)，f(x)>2
(D) 在x=1的某邻域(x≠1)，f(x)≠4
取f(x)=2(x2-1)x-1排除选项(A)，取f(x)=4排除选项(B)，(D)．故正确选项为(C)．
二、 特殊值代入法
题目中给出的大多是一些满足一定条件的变量或函数．对这些量成立的结论对满足这些条件的特殊数或特殊函数自然也成立．通过选取合适的特殊值，将正确选项找出是处理选择题的最有效方法之一．
1. 设a,b,m均为大于零的实数，且b>a，则a+mb+m与ab谁大？.
(A) 前者(B) 后者(C) 一样大(D) 无法确定
对于此题，如果令a=1,b=2,m=1,及23>12，便知选项(A)正确．
2. (2008)
设
f(x)=
x,x>0，
1-x,x<0,
则有．
(A) f(f(x))=(f(x))2
(B) f(f(x))=f(x)
(C) f(f(x))>f(x)
(D)
f(f(x))<f(x)
此题中函数的定义域为（-∞,0）∪(0,+∞),我们可以取x的特殊值来加以判断.比如取x=c>0,则f(c)=c>0,于是f(f(c))=f(c)=c.只要c≠1,则(f(c))2=c2≠c=f(f(c)).所以正确的选项为(B)．
3. (2005)设f(x)在点x=0处可导，且f1n=2n(n=1,2,…)，则f′(0)=．
(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3
作为选择题，本题的简单方法是取f(x)=2x，则f(x)满足题中条件，且f′(x)=2，特别地有f′(0)=2．故选项(C)正确．
4. (2012)
若a,b,c分别为△ABC的三边之长，则|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=
．
(A) a+b-c
(B) b+c-a
(C) 3a-b-c
(D) 3c-a-b
既然这里是对一般三角形来讲的，那么，对于特殊的三角形自然成立.最简单的三角形是各边长均为1的等边三角形.但这样取时，区分不出各个选项.可取一个特殊的直角三角形，即各边长分别为3，4，5的直角三角形.
取a=3,b=4,c=5，则
|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=|3-4-5|+|4-5-3|-|5-3-4|
=6+4-2=8,
a+b-c=3+4-5=2,b+c-a=4+5-3=6,
3a-b-c=3×3-4-5=0,3c-a-b=3×5-3-4=8.
故正确的选项为(D).
5. (2006)设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于．
(A) (1+n)n2
(B) (1+n)n
(C) (1+n)2n
(D) (1+n)3n
取n=1，则数列为1,2,2，插入的数为2=(1+1)12．易知选项(A)正确．
6. (2007)行列式x101
01x1
1x10
101x展开式中的常数项为．
(A) 4(B) 2(C) 1(D) 0
行列式x101
01x1
1x10
101x的常数项是它在x=0时值，即0101
0101
1010
1010，由于此行列式的第一行与第二行相同，故其值为0．即选项(D)正确．
7. （2009）设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1和F2．若P是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段PF2为直径的圆与以该双曲线实轴为直径的圆的位置关系是．
(A) 相离（B） 外切(C) 相交(D) 内切
作为选择题，不妨选一特殊的双曲线和特殊的P点．例如，取a=3，b=4，则右焦点F2为（5,0）．再取双曲线右支上与F2具有相同横坐标的一点P5，163，则以PF2为直径的圆的圆心坐标为M5，83，半径为83．以实轴为直径的圆的圆心为O(0,0),所以两圆圆心距离为
|OM|=52+832=32+2×3×83+832=3+83,
即两圆圆心间的距离等于两圆的半径之和，所以两圆相切．故（B）选项正确．
三、 选项代入法
对于选择题来说，题目中的选项也包含许多可以利用的信息，比如将题中给出的选项代入题干中进行验证就是处理选择题的一个常用方法．
1. (2004)设a,b,c均为正数，若ca+b<ab+c<bc+a，则．
(A) c<a<b(B) b<c<a(C) a<b<c(D) c<b<a
本题直接求解题干中的分式不等式比较复杂，但如果将选项(A)代入题干进行验证则非常简单．
2. (2005)设A=3-11
201
1-12，则A的对应于特征值2的一个特征向量是．
(A) 1
0
1(B) 1
-1
0
(C) 0
1
-1(D) 1
1
0
本题根据特征值和特征向量的定义，利用选项代入法易知正确选项为(D)．
3. ∫ex2+lnxdx=()+C (C为常数)．
(A) ex2(B) 12ex2(C) 2ex2(D) (1+2x2)ex2
由于(ex2)′=2xex2≠xex2，所以排除掉选项(A)； 由于12ex2′=xex2=ex2+lnx，所以选项(B)正确．
4. (2007)方程x+y-2+|x+2y|=0的解为．
(A) x=0
y=2(B) x=3
y=1(C) x=2
y=3(D) x=4
y=-2
易知
x=0,
y=2,x=3,
y=1与x=2
y=3
都不满足题设方程，所以正确选项为(D)．
四、数形结合法
许多情形数与形是密切结合的．借助图形可以直观地理解数（函数）所反映的内容，因此，可以将题目与题目中所涉及的函数所对应的图形结合起来，寻找解题的捷径.
1. 要使方程3x2+(m-5)x+m2-m-2=0的两个实根分别满足0<x1<1和1<x2<2，实数m的取值范围是.
(A) -2<m<-1(B) -4<m<-1
(C) -4<m<-2(D) -3<m<1
这里主要考查二次函数（方程）的性质．如果用一元二次方程根与系数的关系解题，比较烦琐，我们不妨结合图形解题．如例图1所示，设
例图1
f(x)=3x2+(m-5)x+m2-m-2，
则f(x)开口向上，与x轴交于（x1,0）和（x2,0）两点，有不等式组
f(0)>0,
f(1)<0,
f(2)>0．
从而有m2-m-2>0,m2-4<0,m2+m>0．由此可确定出-2<m<-1．故应选(A).
2. (2011)
一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，母线长为3.将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出.当容器中剩下的水为原来的
23
时，圆柱的母线与水平面所成的角等于．
(A) 75°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°
例图2
此题给人的第一感觉是无从下手.但将题目转化为图形后，很快就可以找到解题思路.如例图2所示，假想倾斜圆柱形容器使线段AC与水平的桌面平行，则显然流出的水为原来容器内水的一半.受此启发，可先找出当圆柱形容器直立放置时，总容积13处所对应的位置,即EF直线处(高为1的位置),则EF直线以上部分的容积为总容积的23.将容器倾斜使线段AE与水平的桌面平行,则流出的水为EF直线以上部分的容积的一半,即容器中剩下的水为原来的23.这时由题设知EF=2,
而AF=2,△AEF为直角三角形,所以∠EAF=45°.故正确的选项为(C).
例图3
3. (2006)P(a,b)的第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如例图3所示，则ba的最大值与最小值依次是．
(A) pm,qn(B) qm,pn
(C) qm,qn(D) pm,pn
由例图3可知，比值ba是直线OP的斜率，当点P与点A重合时取得最大值pm，当点P与点C重合时取得最小值qn，故正确选项为(A)．
4. (2009)在边长为10的正方形ABCD中，若按例图4(a)所示嵌入6个边长一样的小正方形，使得P，Q，M，N四个顶点落在大正方形的边上，则这6个小正方形的面积之和是．
(A) 321625（B） 3015（C） 3245（D） 3045
本题初看似乎无从下手，但做出如例图4(b)中所示的辅助线后，借助所得到的一些全等直角三角形，可以很容易地看出这些全等直角三角形与正方形ABCD之间的关系，这样问题就迎刃而解了．具体求解过程如下．
作如例图4（b）所示的辅助折线，显然所得的小直角三角形与直角△DMN及△BPQ全等．设小直角三角形的两条直角边的长度分别为a,b，则5b=10,5a+2b=10，所以b=2，a=65．从而a2+b2=3625+4=13625,所求面积之和是6×13625=321625．
故正确选项为(A)．
例图4
从已举行的10次GCT考试汇总情况来看，尽管25道题都是4选1的单项选择题，但在45分钟内完成这些题目，时间还是很紧张的．因此考生在做这些模拟试题时，最好按正式考试的要求来做，即在45分钟内做完一套模拟试题，然后再核对答案，进行分析总结．而不要一遇到疑难问题就停下来，翻看答案和解析过程．这样才能真正体现出模拟试题的效用．
由于编者的经验和水平所限，书中难免会有疏漏和不足之处.欢迎广大读者、辅导教师及各方面的专家批评指正.
编者2013年3月
目录
模拟试题（1）
模拟试题（2）
模拟试题（3）
模拟试题（4）
模拟试题（5）
模拟试题（6）
模拟试题（7）
模拟试题（8）
模拟试题（9）
模拟试题（10）
模拟试题（11）
模拟试题（12）
模拟试题（1）答案与解析
模拟试题（2）答案与解析
模拟试题（3）答案与解析
模拟试题（4）答案与解析
模拟试题（5）答案与解析
模拟试题（6）答案与解析
模拟试题（7）答案与解析
模拟试题（8）答案与解析
模拟试题（9）答案与解析
模拟试题（10）答案与解析
模拟试题（11）答案与解析
模拟试题（12）答案与解析