初中数学

2009年北京师范大学出版社出版的图书
《初中数学》是2009年11月由北京师范大学出版社出版的图书，作者是吴江媛。
章节目录
第一章 有理数
1．1正数和负数
1．4 有理数的乘
1．5 有理数的乘方
数学活动
小结
复习题1
第二章 整式的加减
2．1 整式
阅读与思考数字1与字母X的对话
2．2 整式的加减
信息技术应用电子表格与数据计算
数学活动
小结
复习题2
第三章一元一次方程
3．1 从算式到方程
阅读与思考 “方程”史话
3．2 解一元一次方程一——合并同类项与移项
实验与探究无限循环小数化分数
3．3 解一元一次方程二——去括号与去分母
3．4 实际问题与一元一次方程
数学活动
小结
复习题3
第四章 图形认识初步
4．1 多姿多彩的图形
阅读与思考几何学的起源
4．2 直线、射线、线段
阅读与思考 长度的测量
4．3 角
4．4 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒
数学活动
小结
复习题4
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.2 垂线
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
观察与猜想
5.2平行线及其判定
5.2.1 平行线
5.3平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
5.3.2 命题、定理
5.4 平移
教学活动
小结
第六章 实数
6.1 平方根
6.2立方根
6.3 实数
教学活动
小结
第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
7.2 坐标方法的简单应用
阅读与思考
教学活动
小结
第八章二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
8.2 消元——二元一次方程组的解法
8.3实际问题与二元一次方程组
阅读与思考
*8.4三元一次方程组解法举例
教学活动
小结
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
阅读与思考
9.2 实际问题与一元一次不等式
实验与探究
9.3 一元一次不等式组
阅读与思考
教学活动
小结
第十章
数据的收集、整理与描述
10.1 统计调查
实验与探究
10.2直方图
10.3 课题学习从数据谈节水
教学活动
小结
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
信息技术应用
11.2 与三角形有关的角
11.2.2三角形的外角
阅读与思考
11.3 多变形及其内角和
阅读与思考
11.4 课题学习镶嵌
教学活动
第十二章全等三角形
12.1 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
阅读与思考 全等与全等三角形
12.3角的平分线的性质
教学活动
小结
复习题12
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.2 作轴对称图形
13.3 等腰三角形
教学活动
小结
复习题13
第十四章 整式的乘除与因式分解
14.1 整式的乘法
14.2 乘法公式
14.3整式的除法
教学活动
小结
复习题14
第十五章 分式
15.1 分式
15.2 分式的运算
阅读与思考 容器中的水能倒完吗
15.3 分式方程
数学活动
小结
复习题15
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.2 二次根式的乘除
16.3二次根式的加减
阅读与思考
海伦公式
数学活动
小结
复习题16
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
阅读与思考勾股定理的证明
17.2勾股定理的逆定理
数学活动
小结
复习题17
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
阅读与思考平行四边形法则的判定
18.2 特殊的平行四边形
实验与探究 巧拼正方形
数学活动
小结
复习题18
第十九章一次函数
19.1变量与函数
19.2一次函数
19.3用函数观点看方程（组）与不等式
19.4课题学习选择方案
教学活动
小结
复习题19
第二十章 数据的分析
20.1 数据的代表
20.2 数据的波动
信息技术应用 用计算机求几种统计量
阅读与思考数据波动的几种度量
20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析
数学活动
小结
复习题20
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
21.2 降次——解一元二次方程
阅读与思考
黄金分割数
21.3 实际问题与一元二次方程
实验与探究
三角点阵中前n行的点数计算
数学活动
小结
复习题21
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数及其图像
22．2 用函数观点看一元二次方程
信息技术应用
探索二次函数的性质
22．3 实际问题与二次函数
实验与探索
推测植物的生长与温度的关系
教学活动
小结
复习题22
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
23.2 中心对称
信息技术应用
探索旋转的性质
23.3 课题学习 图案设计
阅读与思考
旋转对称性
数学活动
小结
复习题23
第二十四章 圆
24.1 圆
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.3 正多边形和圆
阅读与思考
圆周率π
24.4弧长和扇形面积
实验与探究
设计跑道
数学活动
小结
复习题24
第二十五章 概率初步
25.1随机事件与概率
25.2 用列举法求概率
阅读与思考
概率与中奖
25.3 用频率估计概率
实验与探究
π的估计
25.4 课题学习 键盘上字母的排列规律
数学活动
小结
复习题25
第二十六章反比例函数
26.1反比例函数
信息技术应用探索反比例函数的性质
26.2实际问题与反比例函数
阅读与思考生活中的反比例关系
数学活动
小结
复习题26
第二十七章 相似
27．1图形的相似
27．2 相似三角形
观察与猜想 奇妙的分形图形
27．3 位似
信息技术应用 探索位似的性质
教学活动
小结
复习题27
第二十八章锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
阅读与思考 一张古老的三角函数表
28．2 解直角三角形
教学活动
小结
复习题28
第二十九章 投影与视图
29．1 投影
29．2三视图
阅读与思考 视图的产生与应用
29．3 课题学习 制作立体模型
数学活动
小结
图书目录
绪论 为整合三维目标而教学
第一章 初中数学三维目标的内容规划
第一节数学能力概览
第二节 初中数学核心任务概览
第三节 初中数学三维目标概览
第二章 “数与式”教学中的三维目标整合
第一节 “数与式”教学中的知识内容概览
第二节 “数与式”教学中的核心任务分析
第三节“数与式”教学中的三维目标概览
第四节 在“数与式”教学中实现三维目标整合的方法和策略
第五节 对“数与式”教学中三维目标的评价
第三章 “方程与不等式”教学中的三维目标整合
第一节 “方程与不等式”教学中的知识内容概览
第二节 “方程与不等式”教学中的核心任务分析
第三节 “方程与不等式”教学中的三维目标概览
第四节 在“方程与不等式”教学中实现三维目标整合的方法和策略
第五节 对“方程与不等式”教学中三维目标的评价
第四章 “函数”教学中的三维目标整合
第一节 “函数”教学中的知识内容概览
第二节 “函数”教学中的核心任务分析
第三节 “函数”教学中的三维目标概览
第四节 在“函数”教学中实现三维目标整合的方法和策略
第五节 对“函数”教学中三维目标的评价
第五章 “直线形”教学中的三维目标整合
第一节 “直线形”教学中的知识内容概览
第二节 “直线形”教学中的核心任务分析
第三节 “直线形”教学中的三维目标概览
第四节 在“直线形”教学中实现三维目标整合的方法和策略
第五节 对“直线形”教学中三维目标的评价
第六章 “圆”教学中的三维目标整合
第一节 “圆”教学中的知识内容概述
第二节 “圆”教学中的核心任务分析
第三节 “圆”教学中的三维目标概览
第四节 在“圆”的教学中实现三维目标整合的方法和策略
第五节 对“圆”教学中三维目标的评价
第七章 “视图与投影”教学中的三维目标整合
第一节 “视图与投影”教学中知识内容概览
第二节 “视图与投影”教学中的核心任务分析
第三节 “视图与投影”教学中的三维目标概览
第四节 在“视图与投影”教学中实现三维目标整合的方法和策略
第五节 对“视图与投影”教学中三维目标的评价
第八章 “统计”教学中的三维目标整合
第一节 “统计”教学中的知识内容概览
第二节 “统计”教学中的核心任务分析
第三节 “统计”教学中的三维目标概览
第四节 在“统计”的教学中实现三维目标整合的方法与策略
第五节 对“统计”教学中三维目标的评价
第九章 “概率”教学中的三维目标整合
第一节 “概率”教学中的知识内容概览
第二节 “概率”教学中的核心任务分析
第三节 “概率”教学中的三维目标概览
第四节 在“概率”教学中实现三维目标整合的方法和策略
第五节 对“概率”教学中三维目标的评价
后记
……
概念定义
第一章 实数
★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算法则概念。
内容提要
一、 重要概念
1．数的分类及概念数系表：
说明：“分类”的原则：
⑴相称（不重、不漏）
⑵有标准
2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0） 常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负单数均为0。
3．倒数：
①定义及表示法
②性质：A.（a≠±1);
B.中，a≠0;
C. 0>1; a>1时，<1;
D.a与乘积为1。
4．相反数：
①定义及表示法
②性质： A. a≠0时，a≠-a;
B.a与-a在数轴上的位置；
C.和为0，商为-1（0除外）。
5．数轴：
①定义（“三要素”——原点，正方向，单位长度）
②作用：A.直观地比较实数的大小；B.明确体现绝对值意义；C.建立点与实数的一一对应关系。
6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）
定义及表示：奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数）
7．绝对值：
①定义（两种）：
代数定义：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
互为相反数的两个数的绝对值相等
a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0，符号“││”是“非负数”的标志；
③数a的绝对值只有一个；
④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
二、 实数的运算
1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律；[乘法对加法的]分配律）
3．运算顺序：
A.高级运算到低级运算；
B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷ ×5);
C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。
三、 应用举例（略）
1． 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a.
2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。
第二章代数式
★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算
内容提要
一、 重要概念 分类：
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。
说明：
①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开；根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， =x,=│x│等。
4.系数与指数 区别与联系：
①从位置上看；
②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：
①字母相同；
②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：
①从外形上判断；
②区别：是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根；
⑵算术平方根与绝对值
① 联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数； 中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴ 幂，乘方运算 ① a>0时，a >0；②a<0，a >0（n是偶数）， a <0（n是奇数）
⑵零指数：=1（a≠0）
⑶ 负整指数：（a≠0）
二、 运算定律、性质、法则
1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2．分式的性质
⑴基本性质：= （m≠0）
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义；②化简方法（两种）
3．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4．幂的运算性质：① · = ；② ÷ = ；③ = ；④ = ；⑤
5．乘法法则：⑴单×单；⑵单×多；⑶多×多。
6．乘法公式：（正、逆用） （a+b）（a-b）= (a±b)
7．除法法则：⑴单÷单；⑵多÷单。
8．因式分解：⑴定义；⑵方法：A.提公因式法；B.公式法；C.十字相乘法；D.分组分解法；E.求根公式法。
9．算术根的性质：= ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0）（正用、逆用）
10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）；⑵乘、除法法则；⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .
三、 应用举例（略）
四、 数式综合运算（略）
第三章统计初步
★重点★
内容提要
一、 重要概念
1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。
3.样本：从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）
二、 计算方法
1.样本平均数：
⑴ ；⑵若 ， ，…，，则 (a—常数， ， ，…， 接近较整的常数a);
⑶加权平均数：；
⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
2．样本方差：⑴ ；⑵若，，…，，则 （a—接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数）；若 、 、…、 较“小”较“整”，则 ；⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3．样本标准差
三、 应用举例（略）
第四章直线形
★重点★
1相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
内容提要
一、 直线、相交线、平行线
1．线段、射线、直线三者的区别与联系 从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2．线段的中点及表示
3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）
4．两点间的距离（三个距离：点-点；点-线；线-线）
5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）
6．互为余角、互为补角及表示方法
7．角的平分线及其表示
8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）
9．对顶角及性质
10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）
11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）；②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12．定义、命题、命题的组成
13．公理、定理
14．逆命题二、 三角形 分类：⑴按边分； ⑵按角分
二、三角形
1．定义（包括内、外角）
2．三角形的边角关系：
⑴角与角：
①内角和及推论；
②外角和；
③n边形内角和；
④n边形外角和。
⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑶角与边：在同一三角形中，
3．三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质 ①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
注：三角形的重心——中线的交点
4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质
5．全等三角形⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS） ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6．三角形的面积⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线⑴中点配中点构成中位线；⑵加倍中线；⑶添加辅助平行线
8．证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法⑸证线段和差关系：延结法、截余法 ⑹证面积关系：将面积表示出来
三、 四边形
分类表：1．一般性质（角） ⑴内角和：360° ⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。⑶外角和：360°
2．特殊四边形⑴研究它们的一般方法： ⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形；梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形 ┗→菱形——↑ ⑷对角线的纽带作用：
3．对称图形⑴轴对称（定义及性质）；⑵中心对称（定义及性质）
4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2 ②三角形、梯形的中位线定理③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）
5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线；②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6．作图：任意等分线段。
四、 应用举例（略）
第五章 方程（组）
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
内容提要
一、 基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）
2． 分类：
二、 解方程的依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法
四、 一元二次方程
1．定义及一般形式：
2．解法：
⑴直接开平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）
⑶公式法：
1.化方程为一般式ax-bx+c=0
2.确定判别式，计算b-4ac；
3.若b-4ac>0，代入公式；
若b-4ac<0，该方程在实数域内无解，在虚数域内解为。
若b-4ac=0，该方程在实数域内有唯一的一个解
⑷因式分解法（特征：左边=0）
3．根的判别式：
4．根与系数顶的关系：逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是：。
五、 可化为一元二次方程的方程
1．分式方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）
⑷验根及方法
2．无理方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）
②换元法
⑷验根及方法
3．简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、 列方程（组）
解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数
②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
常用的相等关系
1．行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt ⑴相遇问题（同时出发）：+ = ;
⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则 ⑶水中航行：；
2． 配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
注意语言与解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、…… 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
注意从语言叙述中写出相等关系
。如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。注意单位换算 如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。
七、应用举例（略）
第六章 不等式（组）
★重点★一元一次不等式的性质、解法
内容提要
1． 定义：a>b、a
2． 一元一次不等式：ax>b、ax
3．一元一次不等式组：
4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c ⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac
5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）
7．应用举例（略）
第七章 相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
内容提要
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：注意：①定理中“对应”二字的含义； ②平行→相似（比例线段）→平行。
相似三角形性质
1．对应线段…；
2．对应周长…；
3．对应面积…。
相关作图
①作第四比例项；
②作比例中项。
证（解）题规律、辅助线
1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴ ⑵ ⑶
3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k；对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
五、 应用举例（略）
第八章 函数及其图象
★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。
内容提要
一、平面直角坐标系
1．各象限内点的坐标的特点
2．坐标轴上点的坐标的特点
3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1．表示方法：
⑴解析法；
⑵列表法；
⑶图象法。
2．确定自变量取值范围的原则：
⑴使代数式有意义；
⑵使实际问题有 意义。
3．画函数图象：
⑴列表；
⑵描点；
⑶连线。
三、几种特殊函数（定义→图象→性质）
1．正比例函数
⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象：直线（过原点）
⑶性质：①k>0，…②k<0，…
2．一次函数
⑴定义：y=kx+b(k≠0)
⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。
⑶性质：①k>0，…②k<0，…
3．二次函数
⑴定义：特殊地， 都是二次函数。
⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。
用配方法变为 ，则顶点为（h,k）；对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…；a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。
4.反比例函数 ⑴定义：或xy=k(k≠0）。⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…；②k<0时，图象位于…，y随x…；③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。
2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
五、应用举例（略）
第九章解直角三角形
★重点★解直角三角形
内容提要
一、三角函数
1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
2． 特殊角的三角函数值：30度 45度 60度
sin 根号1/2 根号2/2 根号3/2 根号1到根号3 根号里的数依次增大
cos 根号3/2 根号2/2 根号1/2 根号3到根号1 根号里的书依次减小
tan 根号3/3 根号9/3 根号27/3 根号里的数为3的1次方，3的2次方，3的3次方
3． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α）=cosα；…
4． 三角函数值随角度变化的关系
5．查三角函数表
二、解直角三角形
1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2． 依据：①边的关系：②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1． 俯、仰角：
2．方位角、象限角：
3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）
第十章 圆
重点
①圆的重要性质；
②直线与圆、圆与圆的位置关系；
③与圆有关的角的定理；
④与圆有关的比例线段定理。
内容提要
一、圆的基本性质
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径；弧、等弧、优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
与圆有关的角：
⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4．切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质：（重点：相切）
2.相切（交）两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算 中心角：内角的一半：（（解Rt△OAM可求出相关元素，、 等）
六、 一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、 点的轨迹六条基本轨迹
八、 有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：4、8;6、3等分
九、 基本图形
十、 重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线（连心线）
6.两圆相交公共弦
十一、应用举例（略）
学习方法
概念口诀
有理数的加法运算
同号两数来相加，绝对值加不变号。
异号相加大减小，大数决定和符号。
互为相反数求和，结果是零须记好。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
有理数的减法运算
减正等于加负，减负等于加正。
有理数的乘法运算符号法则
同号得正异号负，一项为零积是零。
合并同类项
说起合并同类项，法则千万不能忘。
只求系数代数和，字母指数留原样。
去、添括号法则
去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号。
解方程
已知未知闹分离，分离要靠移完成。
移加变减减变加，移乘变除除变乘。
平方差公式
两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
完全平方公式
二数和或差平方，展开式它共三项。
首平方与末平方，首末二倍中间放。
和的平方加联结，先减后加差平方。
完全平方公式
首平方又末平方，二倍首末在中央。
和的平方加再加，先减后加差平方。
解一元一次方程
先去分母再括号，移项变号要记牢。
同类各项去合并，系数化“1”还没好。
求得未知须检验，回代值等才算了。
解一元一次方程
先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化1还没好，准确无误不白忙。
因式分解与乘法
和差化积是乘法，乘法本身是运算。
积化和差是分解，因式分解非运算。
因式分解
两式平方符号异，因式分解你别怕。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。
因式分解能与否，符号上面有文章。
同和异差先平方，还要加上正负号。
同正则正负就负，异则需添幂符号。
因式分解
一提二套三分组，十字相乘也上数。
四种方法都不行，拆项添项去重组。
重组无望试求根，换元或者算余数。
多种方法灵活选，连乘结果是基础。
同式相乘若出现，乘方表示要记住。
【注】 一提（提公因式）二套（套公式）
因式分解
一提二套三分组，叉乘求根也上数。
五种方法都不行，拆项添项去重组。
对症下药稳又准，连乘结果是基础。
二次三项式的因式分解
先想完全平方式，十字相乘是其次。
两种方法行不通，求根分解去尝试。
比和比例
两数相除也叫比，两比相等叫比例。
外项积等内项积，等积可化八比例。
分别交换内外项，统统都要叫更比。
同时交换内外项，便要称其为反比。
前后项和比后项，比值不变叫合比。
前后项差比后项，组成比例是分比。
两项和比两项差，比值相等合分比。
前项和比后项和，比值不变叫等比。
解比例
外项积等内项积，列出方程并解之。
求比值
由已知去求比值，多种途径可利用。
活用比例七性质，变量替换也走红。
消元也是好办法，殊途同归会变通。
正比例与反比例
商定变量成正比，积定变量成反比。
正比例与反比例
变化过程商一定，两个变量成正比。
变化过程积一定，两个变量成反比。
判断四数成比例
四数是否成比例，递增递减先排序。
两端积等中间积，四数一定成比例。
判断四式成比例
四式是否成比例，生或降幂先排序。
两端积等中间积，四式便可成比例。
比例中项
成比例的四项中，外项相同会遇到。
有时内项会相同，比例中项少不了。
比例中项很重要，多种场合会碰到。
成比例的四项中，外项相同有不少。
有时内项会相同，比例中项出现了。
同数平方等异积，比例中项无处逃。
根式与无理式
表示方根代数式，都可称其为根式。
根式异于无理式，被开方式无限制。
被开方式有字母，才能称为无理式。
无理式都是根式，区分它们有标志。
被开方式有字母，又可称为无理式。
求定义域
求定义域有讲究，四项原则须留意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
指是分数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，满足多个不等式。
求定义域要过关，四项原则须注意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
分数指数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，不等式组求解集。
解一元一次不等式
先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。
先去分母再括号，移项别忘要变号。
同类各项去合并，系数化“1”注意了。
同乘除正无妨碍，同乘除负也变号。
解一元一次不等式组
大于头来小于尾，大小不一中间找。
大大小小没有解，四种情况全来了。
同向取两边，异向取中间。
中间无元素，无解便出现。
幼儿园小鬼当家，（同小相对取较小）
敬老院以老为荣，（同大就要取较大）
军营里没老没少。（大小小大就是它）
大大小小解集空。（小小大大哪有哇）
解一元二次不等式
首先化成一般式，构造函数第二站。
判别式值若非负，曲线横轴有交点。
a正开口它向上，大于零则取两边。
代数式若小于零，解集交点数之间。
方程若无实数根，口上大零解为全。
小于零将没有解，开口向下正相反。
用平方差公式因式分解
异号两个平方项，因式分解有办法。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
用完全平方公式因式分解
两平方项在两端，底积2倍在中部。
同正两底和平方，全负和方相反数。
分成两底差平方，方正倍积要为负。
两边为负中间正，底差平方相反数。
一平方又一平方，底积2倍在中路。
三正两底和平方，全负和方相反数。
分成两底差平方，两端为正倍积负。
两边若负中间正，底差平方相反数。
用公式法解一元二次方程
要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
确定参数abc，计算方程判别式。
判别式值与零比，有无实根便得知。
有实根可套公式，没有实根要告之。
用常规配方法解一元二次方程
左未右已先分离，二系化“1”是其次。
一系折半再平方，两边同加没问题。
左边分解右合并，直接开方去解题。
该种解法叫配方，解方程时多练习。
用间接配方法解一元二次方程
已知未知先分离，因式分解是其次。
调整系数等互反，和差积套恒等式。
完全平方等常数，间接配方显优势
【注】 恒等式
解一元二次方程
方程没有一次项，直接开方最理想。
如果缺少常数项，因式分解没商量。
b、c相等都为零，等根是零不要忘。
b、c同时不为零，因式分解或配方，
也可直接套公式，因题而异择良方。
正比例函数的鉴别
判断正比例函数，检验当分两步走。
一量表示另一量， 有没有。
若有再去看取值，全体实数都需要。
区分正比例函数，衡量可分两步走。
一量表示另一量， 是与否。
若有还要看取值，全体实数都要有。
正比例函数的图象与性质
正比函数图直线，经过 和原点。
K正一三负二四，变化趋势记心间。
K正左低右边高，同大同小向爬山。
K负左高右边低，一大另小下山峦。
一次函数
一次函数图直线，经过 点。
K正左低右边高，越走越高向爬山。
K负左高右边低，越来越低很明显。
K称斜率b截距，截距为零变正函。
反比例函数
反比函数双曲线，经过 点。
K正一三负二四，两轴是它渐近线。
K正左高右边低，一三象限滑下山。
K负左低右边高，二四象限如爬山。
二次函数
二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
直线、射线与线段
直线射线与线段，形状相似有关联。
直线长短不确定，可向两方无限延。
射线仅有一端点，反向延长成直线。
线段定长两端点，双向延伸变直线。
两点定线是共性，组成图形最常见。
角
一点出发两射线，组成图形叫做角。
共线反向是平角，平角之半叫直角。
平角两倍成周角，小于直角叫锐角。
直平之间是钝角，平周之间叫优角。
互余两角和直角，和是平角互补角。
一点出发两射线，组成图形叫做角。
平角反向且共线，平角之半叫直角。
平角两倍成周角，小于直角叫锐角。
钝角界于直平间，平周之间叫优角。
和为直角叫互余，互为补角和平角。
证等积或比例线段
等积或比例线段，多种途径可以证。
证等积要改等比，对照图形看特征。
共点共线线相交，平行截比把题证。
三点定型十分像，想法来把相似证。
图形明显不相似，等线段比替换证。
换后结论能成立，原来命题即得证。
实在不行用面积，射影角分线也成。
只要学习肯登攀，手脑并用无不胜。
解无理方程
一无一有各一边，两无也要放两边。
乘方根号无踪迹，方程可解无负担。
两无一有相对难，两次乘方也好办。
特殊情况去换元，得解验根是必然。
解分式方程
先约后乘公分母，整式方程转化出。
特殊情况可换元，去掉分母是出路。
求得解后要验根，原留增舍别含糊。
列方程解应用题
列方程解应用题，审设列解双检答。
审题弄清已未知，设元直间两办法。
列表画图造方程，解方程时守章法。
检验准且合题意，问求同一才作答。
添加辅助线
学习几何体会深，成败也许一线牵。
分散条件要集中，常要添加辅助线。
畏惧心理不要有，其次要把观念变。
熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。
图中已知有中线，倍长中线把线连。
旋转构造全等形，等线段角可代换。
多条中线连中点，便可得到中位线。
倘若知角平分线，既可两边作垂线。
也可沿线去翻折，全等图形立呈现。
角分线若加垂线，等腰三角形可见。
角分线加平行线，等线段角位置变。
已知线段中垂线，连接两端等线段。
辅助线必画虚线，便与原图联系看。
两点间距离公式
同轴两点求距离，大减小数就为之。
与轴等距两个点，间距求法亦如此。
平面任意两个点，横纵标差先求值。
差方相加开平方，距离公式要牢记。
矩形的判定
任意一个四边形，三个直角成矩形；
对角线等互平分，四边形它是矩形。
已知平行四边形，一个直角叫矩形；
两对角线若相等，理所当然为矩形。
菱形的判定
任意一个四边形，四边相等成菱形；
四边形的对角线，垂直互分是菱形。
已知平行四边形，邻边相等叫菱形；
两对角线若垂直，顺理成章为菱形。
学习细则
理解数学概念
数学概念是初中数学的基石，是数学的思维模式和方法载体。很多学生遇到的数学解题困难，追溯根源，往往发现是由于他们在某个数学概念处产生了问题，致使解题受阻。
概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，学生的心理特点是容易理解和接受具体的感性认识。数学概念学习方法：在学习中要了解概念的发生与形成过程中，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。学习数学新概念前，如果能让学生认知结构中原有的适当概念作一些结构上的变化来引进新概念，则有利于促进新概念的形成。对有些概念的教学，可以从实际出发，让孩子在操作中去发现概念的发生和发展过程。
提高课上学习效率
新知识的学习主要在课堂上进行，所以在学习课程中要重视课内的学习效率，寻求正确学习方法。提高课堂听讲效率的秘诀，可概括成以下几个方面 ：一是提前做好准备，这就要求同学提前做好预习；二是集中精力听讲，上课紧跟老师思路，抓住基础知识和课堂重点；三是要大胆发言，对问题要积极发言，锻炼自己表达能力的机会，不仅能检阅自己真正的水平，更能感受到成功的欣慰；四是做好笔记；最后，在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
针对性做练习
很多同学在学习数学的过程中非常的努力，也知道要做大量的习题，但是最后数学成绩提高的也不是很明显。这是为什么呢？我想很大程度上是由于同学所作的习题没有针对性，对于做题，我的观点是不仅要做题，还要做好题。
预防分化
造成分化的原因
1、被动学习
许多同学进初中入后，还像小学那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。
2、学不得法
老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。
3、不重视基础
一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。
4、思维方式和学习方法不适应数学学习要求
初二阶段是数学学习分化最明显的阶段。一个重要原因是初中阶段数学课程对学生抽象逻辑思维能力要求有了明显提高。而初二学生正处于由直观形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡的又一个关键期，没有形成比较成熟的抽象逻辑思维方式，而且学生个体差异也比较大，有的抽象逻辑思维能力发展快一些，有的则慢一些，因此表现出数学学习接受能力的差异。除了年龄特征因素以外，更重要的是教师没有很好地根据学生的实际和教学要求去组织教学活动，指导学生掌握有效的学习方法，促进学生抽象逻辑思维的发展，提高学习能力和学习适应性。
教学对策
1、培养学生学习数学的兴趣
兴趣是推动学生学习的动力，学生如果能在学习数学中产生兴趣，就会形成较强的求知欲，就能积极主动地学习。培养学生数学学习兴趣的途径很多，如让学生积极参与教学活动，并让其体验到成功的愉悦；创设一个适度的学习竞赛环境；发挥趣味数学的作用；提高教师自身的教学艺术等等。
2、教会学生学习
（1）加强学法指导，培养良好学习习惯反复使用的方法将变成人们的习惯行为。什么是良好的学习习惯？我向学生做了如下具体解释，它包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
（2）制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
（3）课前自学是学生上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲课的思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
（4）上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可略；什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
（5）及时复习是高效率学习的重要一环，通过反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
（6）独立作业是学生通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程是对学生意志毅力的考验，通过运用使学生对所学知识由“会”到“熟”。
（7）解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”。
（8）系统小结是学生通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与有关资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系。以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。
3.循序渐进，防止急躁
由于年龄较小，阅历有限，为数不少的初中学生容易急躁，有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。针对这些情况，我们让学生懂得学习是一个长期的巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成，为什么初中要上三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、在数学教学过程中加强抽象逻辑思维的训练和培养。
要针对后进生抽象逻辑思维能力不适应数学学习的问题，从初一代数教学开始就加强抽象逻辑能力训练，始终把教学过程设计成学生在教师指导下主动探求知识的过程。这样学生不仅学会了知识，还学到了数学的基本思想和基本方法，培养了学生逻辑思维能力，为进一步学习奠定较好的基础。
5、建立良好的师生关系
心理学认为，人的情感与认识过程是相联系的，任何认识过程都伴随着情感。
初中生对某一学科的学习兴趣与学习情感密不可分，他们往往不是从理性上认为某学科重要而去学好它，常常因为不喜欢某课任老师而放弃该科的学习。和谐的师生关系是保证和促进学习的重要因素，特别要对后进生热情辅导，真诚帮助，从精神上多鼓励，学法上多指导，树立他们的自信心，提高学习能力。
知识点总结
一、基本运算方法
1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n个、至多有(n一1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识覆盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。
（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，为分析法。
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