Банахова алгебра

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой: 
.
Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом , что для всех  справедливо ). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру  можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру  в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

Примеры 
 Поля комплексных чисел или действительных чисел —  и  относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
 Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
 Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
  — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример —  — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где  — локально компактное пространство.
 Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
 Если  — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара , то банахово пространство  интегрируемых относительно меры  комплекснозначных функций на  является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле
.
  — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
 C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой:

Свойства 
Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов  алгебры  является открытым множеством. При этом отображение , сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом,  — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором:   для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что  также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна .

Спектральная теория 
В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент  алгебры  называется обратимым, если найдется такой элемент , что 
. Спектром  элемента  называется множество таких  что элемент  необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта  спектр элемента  из алгебры , определяемого по формуле , совпадает с , поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом  элемента  называется величина 
. 
Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

Резольвентным множеством элемента  называется множество . Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента  называется функция комплексной переменной , определяемая формулой . Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если  — голоморфная в окрестности  спектра  функция, можно определить  по формуле
,
где  — спрямляемый жорданов контур, лежащий в , содержащий спектр элемента  и ориентированный положительно, а  — резольвента элемента . В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Идеалы и характеры 
Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, b ∈ A справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и . Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1. 

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если  — максимальный идеал, то факторалгебра  является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна . Поэтому каждому максимальному идеалу  можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = . Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма  в . Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec A — компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента  алгебры A называется непрерывная функция , определяемая по формуле  для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.

Литература 
 
 
 
Функциональный анализ
Банаховы алгебры