Ecuación de Burgers

La ecuación de Burgers o ecuación de Bateman-Burgers es una ecuación diferencial parcial fundamental que ocurre en varias áreas de la matemática aplicada, como la mecánica de fluidos, la  acústica no lineal, la  dinámica de gases y el flujo de tráfico. La ecuación fue introducida por primera vez por Harry Bateman en 1915 y luego estudiada por Johannes Martinus Burgers en 1948.

Para un campo dado   y coeficiente de difusión o viscosidad cinemática, como en el contexto mecánico original del fluido, , la forma general de la ecuación de Burgers, también conocida como «ecuación de Burgers viscosa», en una dimensión espacial en el sistema disipativo es: 

Cuando el término de difusión está ausente es decir, cuando , la «ecuación de Burgers» se convierte en la «ecuación de Burgers inviscida»:

que es un prototipo para la ecuaciones de conservación que puede desarrollar discontinuidades, como la onda de choque. La ecuación anterior es la forma advectiva de la ecuación de Burgers. La "forma conservativa" es más útil en la integración numérica

Ecuación de Burgers no viscosa 

La ecuación de Burgers es una  ecuaciones de conservación, más generalmente una  ecuación hiperbólica «cuasi-lineal» de primer orden. La solución a la ecuación y junto con la siguiente condición inicial

 

puede construirse mediante el método de características. Las ecuaciones características son

La integración de la segunda ecuación nos dice que  es constante a lo largo de la característica y la integración de la primera ecuación muestra que las características son rectas, es decir, integrando las ecuaciuón diferenciales anteriores, se obtienen respectivamente:

dónde  es el punto (o parámetro) en el eje x-axis (t = 0) del plano x-t desde el que se dibuja la curva característica. Como en un punto la velocidad se conoce desde la condición inicial, y el hecho de que este valor no cambia a medida que avanzamos a lo largo de la característica que parte de ese punto, podemos escribir  en esa característica. Por lo tanto, la trayectoria de esa característica es

Por lo tanto, la solución está dada por

Esta es una relación implícita que determina la solución de la ecuación inviscible de Burgers, siempre que las características no se crucen. Si las características se cruzan, entonces no existe una solución clásica para la ecuación en derivadas parciales y conduce a la formación de una onda de choque. De hecho, el tiempo de ruptura antes de que se pueda formar una onda de choque está dado por

Integral completa 
Subrahmanyan Chandrasekhar proporcionó la solución explícita en 1943(En la decadencia de las ondas de choque del avión), cuando la condición inicial es lineal, es decir,  donde a y b la solución explícita es:

Esta solución también es la «integral completa» de la ecuación de Burgers inviscible porque contiene tantas constantes arbitrarias como el número de variables independientes que aparecen en la ecuación. [7] Las soluciones explícitas para otras condiciones iniciales relevantes son, en general, desconocidas.

Ecuación de Burgers viscosa 

La ecuación viscosa de Burgers puede ser convertida en una ecuación lineal por la transformación Cole-Hopf.

lo que la convierte en la ecuación:

que puede ser integrada con respecto a   y se obtiene:

donde  es una función que depende de las condiciones límites. Si  de forma idéntica (por ejemplo, si el problema se va a resolver en un dominio periódico), entonces se obtiene la ecuación de difusión

La ecuación de difusión puede ser resuelta, y la transformación de Cole-Hopf invertida, para obtener la solución de la ecuación de Burgers:

Otras formas

Ecuación de Burgers generalizada 
La ecuación de Burgers generalizada extiende la convectiva cuasilineal a una forma más generalizada, es decir,

donde  es una función  arbitraria de u. La ecuación inviscible  sigue siendo una ecuación hiperbólica cuasilineal para  y su solución puede hallarse usando método de características como antes.

Ecuación de Burgers estocástica 
Añadido el factor de ruido del espacio-tiempo  la forma de la ecuación estocástica de Burgers

Este PDE estocástico es la versión unidimensional de la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang en un campo  al sustituir .

Véase también 
 Ecuación de Euler-Tricomi
 Ecuación de Chaplygin
  Leyes de conservación

Referencias

Enlaces externos 
 Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Burgers' Equation  at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia.
 Burgers' Equation Wolfram|Alpha search results.

Ecuaciones de dinámica de fluidos
Dinámica de fluidos