Каток, Анатолий Борисович

Анатолий Борисович Каток (9 августа 1944, Вашингтон (округ Колумбия), США — 30 апреля 2018, Данвилл (Пенсильвания), США) — советский и американский математик, специалист по теории динамических систем, директор Центра динамических систем и геометрии в Университете штата Пенсильвания.

Ранний период жизни и образование 
Родители — Берл (Борис) Лазаревич Каток (1901—1963), инженер-металлург, и Двейра (Дора) Соркина (1905—1998). Учился в трёх московских школах: 69 (первый и восьмой классы), 637 (со второго по седьмой) и 59 (девятый класс). За десятый класс сдал экзамены экстерном и поступил в МГУ. Окончил механико-математический факультет МГУ в 1965 году и аспирантуру в 1968 году, получил степень кандидата физико-математических наук, защитив диссертацию «Применение метода аппроксимаций динамических систем периодическими преобразованиями к эргодической теории» под руководством Якова Синая.

В 1978 году с женой — математиком Светланой Каток — эмигрировал в США.

Работа и научная деятельность 
Ещё в аспирантуре совместно с Анатолием Стёпиным разработал теорию периодических аппроксимаций, сохраняющих меру преобразований, известную как аппроксимации Катка — Степина. Эта теория помогла решить классические задачи, которые восходят к фон Нейману и Колмогорову, в 1967 году за эту работу он получил премию Московского математического общества. Следующий крупный результат — теория монотонной эквивалентности (известная как теория эквивалентности Какутани), которая основана на далеко идущем обобщении понятия замены времени для потоков.

В теории динамических систем Катку принадлежат многочисленные конструкции, которые раскрывают интересные и часто неожиданные явления. Среди них — конструкция Аносова — Катка гладких эргодических сохраняющих меру диффеоморфизмов на компактных многообразиях, конструкция диффеоморфизмов Бернулли с ненулевыми показателями Ляпунова на любой поверхности и первая известная конструкция инвариантного слоения для которого не выполняется теорема Фубини ().

В совместной работе с Линденштрауссом и  достигнут прогресс в поиске доказательства гипотезы Литлвуда в теории диофантовых приближений.

Сформулировал ряд гипотез и задач, повлиявших на развитие теории динамических систем. Наиболее известная из них — гипотеза Катка об энтропии, которая связывает в одной формуле важные геометрические и динамические свойства систем, являющаяся одним из первых утверждений в теории жёсткости динамических систем, с которой связаны основные труды учёного в 2000-е — 2010-е годы. Среди работ — исследования жёсткости гладких действий абелевых групп и решёток в группах Ли старшего ранга.

Одна из наиболее известных и широко цитируемых работ Катка — о топологических свойствах неравномерно гиперболических динамических систем, в которой описывается плотность периодических точек и даются оценки снизу на их число, а также даётся приближение топологической энтропии системы её значениями на гиперболических множествах (подковах). Этим темам был посвящён его приглашённый доклад на Международном конгрессе математиков в 1983 году («Неравномерная гиперболичность и структура гладких динамических систем»), а также Мемориальная лекция Руфуса Боуэна в Калифорнийском университете в Беркли в 1982 году.

Совместно со своим бывшим студентом  написал книгу «Введение в современную теорию динамических систем» (Cambridge University Press, 1995).

Являлся главным редактором журнала Journal of Modern Dynamics, одним из редакторов журнала Ergodic Theory and Dynamical Systems, а также членом редакционных коллегий многих изданий, в том числе — Cambridge Tracts in Mathematics и Cambridge Studies in Advanced Mathematics.

Преподавательская деятельность 
Был профессором математики в Мэрилендском университете в Колледж-Парке (1978—1984) и в Калифорнийском технологическом институте (1984—1990). С 1990 года был профессором в Университете штата Пенсильвания. Выпустил 37 докторантов.

В 1996 году совместно со своей женой Светланой Каток и Анатолием Кушниренко организовал специальную программу MASS, которую прошедшие отбор студенты бакалавриата из разных университетов для обучения в течение одного семестра проходят в Университете штата Пенсильвания.

Награды и признание 
В 1967 году совместно со Стёпиным и Оселедцем получил премию Московского математического общества.

Был членом Американской академии искусств и наук с 2004 года. С 2012 года был действительным членом Американского математического общества.

Избранные монографии

Примечания

Литература

Ссылки 
 Penn State Center for Dynamics and Geometry

Преподаватели Пенсильванского университета
Сотрудники Калифорнийского технологического института
Действительные члены Американского математического общества
Члены Американской академии искусств и наук