Número primo de Mersenne

Un número de Mersenne es un número entero positivo m que es una unidad menor que una potencia entera positiva de 2:

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo. Se cumple que todos los números de Mersenne, , que sean primos también tendrán n prima (aunque no toda n prima vale; no es una condición suficiente que n sea prima para que  lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del  Marin Mersenne, quien en su Cogitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que solo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista solo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó M67 y M257, que son compuestos, y omitió M61, M89, y M107, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa solo se completó más de dos siglos después.

A diciembre de 2018, solo se conocen 51 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M82 589 933 = 2 82 589 933−1, un número de más de 24 millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Propiedades 

DemostraciónSi n es un número natural, por el teorema del binomio se tiene:
,

Tomando ,  y  (a, b > 1), se tiene:

 es mayor que 1 porque se ha procurado que  sea estrictamente mayor que 1, y la suma  también lo es. Por tanto, se tiene una factorización de , así que  es compuesto.

Observación: Por contraposición, si Mn es primo, entonces n es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne Mn, ya que solo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que n es primo.

 Ejemplo I:  es primo, siendo:
31 = 6 · 5 + 1
 Ejemplo II: , siendo:
23 = 2 · 11 + 1
89 = 8 · 11 + 1
2047 = 186 · 11 + 1

Demostración

Si q es un primo que divide , entonces  ≡ 1 (mod q). Por el Pequeño Teorema de Fermat,  ≡ 1 (mod q). Supongamos que p que no divide a q − 1 para llegar a contradicción. Entonces, como p y q − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que  ≡ 1 (mod p). Por tanto, existe un número x ≡  tal que (q − 1)·x ≡ 1 (mod p), y por tanto un número k tal que (q − 1)·x − 1 = kp.

Como  ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia x resulta  ≡ 1, y como  ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de esta segunda congruencia a la potencia k resulta  ≡ 1. Por tanto, 1≡  ≡  (mod q). Pero teníamos que (q − 1)x − kp = 1, lo que implica que  ≡ 1 (mod q); en otras palabras, que q divide 1. Con esto, la premisa inicial de que p no divide q − 1 es insostenible.

Por lo tanto, . Pero, además, este n tiene que ser par, porque  es impar y todos sus divisores deben ser también impares. Como p era un primo impar, la única manera que esto ocurra es que  y, finalmente, .

Demostración

, así que  es una raíz cuadrada de 2 módulo .
Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con .

Lista de los números primos de Mersenne conocidos 

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos:

No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 48.º (M43.112.609) y el 51.º (M82.589.933). Por lo tanto, esta tabla es provisional. Por poner un ejemplo histórico, el 29.º número primo de Mersenne fue descubierto después del 30.º y el 31.º.

Preguntas abiertas 

Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que M257 y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".

Nueva conjetura de Mersenne 
La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cada número natural impar p, si se cumplen las dos primeras de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:

 p = 2k ± 1 o p = 4k ± 3 para algún número natural k.
 2p − 1 es primo (un número primo de Mersenne).
 (2p + 1) / 3 es primo (un número primo de Wagstaff).

Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2p − 1 como (2p + 1)/3 son compuestos. Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaró que la NCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta. Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.

Conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff 

Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no solo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponente p menor que x se puede aproximar asintóticamente por
,
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y

Relación con otras categorías de números

Números perfectos 

Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Asimismo, Euler demostró en el  que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2: Teorema de Euclides- Euler. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.

Números dobles de Mersenne 

Un número doble de Mersenne se define como:

donde p es el exponente de un número primo de Mersenne.

Números repunit 

Los números repunit (del inglés repeated unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en el sistema binario.

Véase también 

 Constante de Erdős–Borwein
 Número perfecto
 Número primo de Fermat
 Número primo de Wagstaff
 Número primo de Wieferich
 Repunit
 Test de Lucas-Lehmer

Referencias

Enlaces externos 

 Sección dedicada a los números primos de Mersenne en The Prime Pages, en inglés
 GIMPS: proyecto distribuido de búsqueda de números primos de Mersenne, en inglés. 
 Determinación geométrica de los números primos y perfectos

Mersenne, numero primo de
Mersenne
Problemas sin resolver en teoría de números
Números perfectos