Кооперативная теория игр

Это статья о термине теории игр. О режиме сетевых игр см. Кооперативная игра (компьютерные игры)

Кооперативная теория игр занимается изучением игр, в которых группы игроков — коалиции — могут объединять свои усилия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых коалиции неприемлемы и каждый обязан играть за себя.

Теория игр занимается изучением конфликтов, то есть ситуаций, в которых группе людей необходимо выработать какое-либо решение, касающееся их всех. Некооперативная теория игр изучает то, как должны действовать игроки, чтобы прийти к тому или иному результату, кооперативная же теория игр изучает вопрос о том, какие исходы достижимы и условия достижения этих исходов.

Математическое представление 
Согласно определению, кооперативной игрой называется пара , где  — это множество игроков, а  — это функция: , из множества всех коалиций в множество вещественных чисел (так называемая характеристическая функция). Предполагается, что пустая коалиция зарабатывает ноль, то есть . Характеристическая функция описывает величину выгоды, которую данное подмножество игроков может достичь путём объединения в коалицию. Подразумевается, что игроки примут решение о создании коалиции в зависимости от размеров выплат внутри коалиции.

подмножество множества игроков в кооперативной игре, которые вносят ненулевой вклад в некоторую коалицию, определяется термином носитель и математически по формуле .

где N — множество игроков в кооперативной игре, v — характеристическая функция игры.

Дополнением носителя игры является множество болванов или нулевых игроков, то есть игроков, не вносящих никакого вклада ни в одну из коалиций.

Свойства характеристической функции 
 Монотонность — свойство, при котором у больших (в смысле включения) коалиций выплаты больше: если .
 Супераддитивность — свойство, при котором для любых двух непересекающихся коалиций A и B сумма их выгод по отдельности не больше их выгоды при объединении:

 Выпуклость — характеристическая функция является выпуклой:

Примеры игр 
Простые игры — особый вид кооперативных игр, где все выплаты это 1 или 0, то есть коалиции либо «выигрывают», либо «проигрывают». Простая игра называется правильной, если:

.

Значение этого: коалиция выигрывает тогда и только тогда, когда дополняющая коалиция (оппозиция) проигрывает.

Решение кооперативных игр 
В соответствии с определением кооперативной игры, множество игроков N в совокупности обладает некоторым количеством определённого блага, которое надлежит разделить между участниками. Принципы этого деления и называются решениями кооперативной игры.

Решение может быть определено как для конкретной игры, так и для класса игр. Естественно, что наибольшей важностью обладают как раз те принципы, которые применимы в широком спектре случаев (то есть для обширного класса игр).

Решение может быть как однозначным (в этом случае для каждой игры решением является единственное распределение выигрышей), так и многозначным (когда для каждой игры могут быть определены несколько распределений). Примерами однозначных решений служат N-ядро и вектор Шепли, примерами многозначных — C-ядро и K-ядро.
 С-ядро
 N-ядро
 K-ядро
 Вектор Шепли

Связь с некооперативными играми

См. также 
 Кооперативные стохастические игры
 Некооперативная игра
 Кооперативный мат

Литература 
 
 
 Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. М.: Макс Пресс, 2005, 412 с. ISBN 5-317-01306-2.
 Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.

Теория игр