Théorème de Hille-Yosida

En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné  à l'existence et l'unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E)
.
Ce résultat permet notamment de donner l'existence, l'unicité et la régularité des solutions d'une équation aux dérivées partielles plus efficacement que le théorème de Cauchy-Lipschitz-Picard, plus adapté aux équations différentielles ordinaires.

Semi-groupes 
La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

Définitions 

La condition 4 est équivalente à ce que .

Si on remplace 4 par :  on dit que  est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des équations différentielles ordinaires.

Propriétés des semi-groupes de contraction 

On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

Opérateurs dissipatifs

Définitions 
 Un opérateur  est dissipatif si . Dans le cas où  est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si .

Remarque: Si  est un opérateur dissipatif alors  l'opérateur  est injectif car .

 Si de plus ,  est surjectif on dit que  est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que ,  est surjectif si et seulement si
.
En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur  bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur  est un isomorphisme (a priori non continu) de  et on note , qu'on appelle la résolvante de A. De plus, 
, .

Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur  en munissant  d'une norme ).

Propriétés des opérateurs m-dissipatifs 
Propriété 1: si  est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1 : pour  on pose . Alors  est une norme pour laquelle  est un espace de Banach et .

Propriété 2 : si  est un espace hilbertien et  est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Propriété 3 : réciproquement si  est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint  est dissipatif alors  est m-dissipatif.

Corollaire 3 : toujours dans le cadre hilbertien
 si  est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif,
 si  est anti-adjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif.

Remarque : dans ce dernier résultat, la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car  anti-adjoint entraîne que  donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Théorème de Hille-Yosida

Énoncé 

Le point 1 du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante : 
' , opérateur fermé à domaine dense, vérifie  et  pour tout .

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale  il existe une unique solution forte  dans . Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible  de classe seulement  (et on montre que toute solution faible est limite dans  de solutions fortes).

Régularité des solutions 
On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A : il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de « régularité » à  on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour , . Alors on a le théorème suivant.

Exemples

L'équation de la chaleur 
On se donne  un ouvert borné de classe  de  et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur
 
sur  pour une condition initiale donnée.

On peut réécrire cette équation aux dérivées partielles sous la forme d'une équation différentielle ordinaire  en posant ,  et en définissant  par  et  pour tout . Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida ; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif.

Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint :

par double intégration par parties, et que  est dense dans , il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que . Or tout  est de trace nulle, donc en intégrant par parties .

Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions.
On remarque de plus que 
                            
On retrouve, bien sûr, le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes 
L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine  suffisamment régulier (c'est-à-dire  en pratique) et sur un intervalle de temps  (avec ) selon

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors
, 
(avec ) et 

L'équation devient alors
.

Le domaine du Laplacien étant , celui de  est  sur . Les conditions initiales seront alors prises dans . Le produit scalaire dans  est défini pour tout couple  dans  ( et ) par 

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :
  est dense dans .
  est fermé.
  est dissipatif. Ce point mérite une preuve.

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