Magma quotient

Soit  un magma, au sens de l'algèbre. Si R est une relation d'équivalence dans E satisfaisant à une condition qui sera précisée plus loin, l'ensemble quotient E/R peut être muni d'une structure naturelle de magma qui fait de l'application canonique de E sur E/R un morphisme de magmas. Le magma E/R est appelé le magma quotient de M par R et se note M/R.

Définitions 
Soient E un ensemble et  une loi de composition interne (partout définie) dans E. Une relation d'équivalence R dans E est dite compatible avec la loi  si pour tous éléments a, b, c, d de E tels que a R b et c R d, on a aussi 

Dans une autre notation, cette condition s'exprime comme suit :

pour tous éléments a, b, c, d de E tels que

et

on a aussi

Soient  un magma et R une relation d'équivalence dans E compatible avec la loi . Désignons par  la surjection canonique de E sur l'ensemble quotient E/R, c'est-à-dire que  est l'application de E sur E/R telle que, pour tout élément x de E,  est la classe de x selon R. Il existe une et une seule loi de composition  dans l'ensemble quotient E/R telle que, pour tous éléments x et y de E,

Cette propriété revient à dire que la surjection canonique  de E sur l'ensemble quotient E/R est un morphisme de magmas de M dans le magma 

On dit que  est le magma quotient de M par R et on le note M/R. On dit que  est le morphisme canonique de M sur M/R.

Dans la suite du présent article, on commettra l'abus de langage courant d'identifier un magma  et son ensemble sous-jacent E.

Exemples 

Les monoïdes et les groupes sont des magmas. On sait qu'un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe est forcément un morphisme de groupes mais qu'un morphisme de magmas d'un monoïde dans un monoïde n'est pas forcément un morphisme de monoïdes. Néanmoins :

Soient M un magma et R une relation d'équivalence dans M, compatible avec la loi de M. Si M est un monoïde (resp. un groupe), le magma M/R est un monoïde (resp. un groupe) et le morphisme canonique de magmas de M sur M/R est un morphisme de monoïdes (resp. de groupes).

Si G est un groupe et H un sous-groupe normal de G, la relation  est une relation d'équivalence (en x et y) dans G, compatible avec la loi de G. Réciproquement, si R est une relation d'équivalence dans un groupe G, compatible avec la loi de G, il existe un (et un seul) sous-groupe normal H de G tel que, pour tous éléments x, y de G, xRy soit équivalent à . Le magma quotient G/R est alors le groupe quotient G/H.

Dans ce cas particulier où le magma M est un groupe (dont on notera ici la loi par juxtaposition), le composé d'une classe X et d'une classe Y dans le magma quotient peut être décrit comme l'ensemble des xy, où x parcourt X et où y parcourt Y, mais ce n'est pas vrai pour n'importe quel magma. (Considérons par exemple un magma M comprenant au moins un élément qui ne peut pas s'écrire comme composé de deux éléments de M. On peut prendre pour M l'ensemble ℕ\{0} muni de l'addition, ou encore un magma libre non vide. La relation d'équivalence universelle R dans M (xRy pour tous éléments x, y de M) est compatible avec la loi de M, la seule classe d'équivalence est M, donc le composé de M avec M dans le magma quotient est M, mais M n'est pas égal à l'ensemble des xy avec x dans M et y dans M.)

Morphisme compatible 
Soient  un magma et  une relation d'équivalence dans  compatible avec . On dit qu'un morphisme  de  dans un magma  est compatible avec la relation  si pour tous éléments  de  tels que , on a .

Par exemple, le morphisme canonique de  sur  est compatible avec la relation .

Soient  un magma et  une relation d'équivalence dans , compatible avec la loi de . Désignons par  le morphisme canonique de  sur . Soit  un morphisme de  dans un magma ; on suppose que  est compatible avec la relation . Il existe alors un et un seul morphisme  du magma  dans le magma  tel que

Relation d'équivalence compatible engendrée par des relateurs 

Soient  un magma et  une famille non vide de relations d'équivalence dans  compatible avec . L'intersection des  est encore une relation d'équivalence dans , compatible avec .

Soit maintenant  une famille d'éléments de . D'après ce qui précède, l'intersection des relations d'équivalence dans  compatibles avec  qui contiennent tous les  en est encore une, appelée «relation d'équivalence dans  compatible avec  engendrée par la famille » (on dit aussi «par les »).

Quand des éléments de  sont vus comme engendrant une relation d'équivalence dans  compatible avec , on les appelle volontiers des relateurs de . Au lieu de considérer une famille de relateurs, on peut considérer un ensemble de relateurs et définir de façon évidente la relation d'équivalence dans  compatible avec la loi de  et engendrée par cet ensemble de relateurs.

Dans certains cas, le fait que des relateurs de  engendrant une relation d'équivalence  compatible avec la loi de  possèdent une certaine propriété permet de conclure que tout couple d'éléments en relation par  possède cette propriété. Par exemple:

Soit M un magma, soit  une famille d'éléments de ; notons  la relation d'équivalence dans  compatible avec  engendrée par les . Soit  un morphisme de  dans un magma. On suppose que pour tout élément i de I,

Alors, pour tous éléments  de  tels que , on a:

autrement dit, l'homomorphisme f est compatible avec .

Notes et références 
La matière de l'état initial du présent article est, pour l'essentiel, contenue dans N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, Hermann, 1970, p. I, p. 10 à 12 et passim.

Structure algébrique
Algèbre générale