Гипотеза Борсука

Гипотеза Бо́рсука (проблема Борсука) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии: 
Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в -мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем  часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?

Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году.
Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало.
Однако в 1993 году был найден контрпример.

По состоянию  доказано, что гипотеза верна при , и неверна для , статус утверждения для  остаётся невыясненным.

Положительные решения 
Случай  очевиден. Случай  был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом  1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра .
Кроме того, Борсук доказал, что -мерный шар нельзя разделить на  частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама).

В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех  для выпуклых тел с гладкой границей.

В 1947 году  доказал случай  для всех ограниченных тел, независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик Эгглстон; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и Альдаром Хеппешем;
они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований, оставляющих на месте правильный -мерный симплекс.

В 1993 году Борис Декстер установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек, в 1995 году им же положительно решена проблема для всех тел вращения в произвольных размерностях.

Число Борсука 
Число Борсука  — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в -мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы  в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для . Сравнительно легко получены оценки  и . В 1983 году Маршалл Лассак установил, что .

Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка : ; в 1988 году Одед Шрамм установил, что:
 .

Отрицательные решения 
Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году  и , построившими контрпример в размерности , и доказавшими невыполнение гипотезы для всех . Кроме того, они показали, что для достаточно больших , существуют -мерные тела, которые нельзя разбить на  частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:

 1993 —  (Калай — Кан),
 1994 —  (Нилли),
 1997 —  (Вайссбах — Грей),
 1997 —  (Райгородский),
 2000 —  (Вайссбах),
 2001 —  (Хинрихс),
 2002 —  (Пихурко),
 2003 —  (Хинрихс — Рихтер),
 2013 —  (Бондаренко),
 2013 —  (Йенрих).

Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты. Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — ,
в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до .

Вариации и обобщения 
В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:
 ,
то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом.

В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при .

В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей.

В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве  с евклидовой метрикой и с метрикой .

В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности, где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы.

Примечания

Литература 
  (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
 
 
 
 

Комбинаторная геометрия
Борсука гипотеза
Выпуклая геометрия
Борсука