Дедекиндово кольцо

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Поле — это целостное кольцо, в котором нет ненулевых собственных идеалов, поэтому предыдущее свойство, строго говоря, выполняется. Некоторые авторы добавляют в определение дедекиндова кольца условие «не являющееся полем»; многие другие авторы следуют неявному соглашению, что формулировки всех теорем для дедекиндовых колец можно тривиальным образом подправить, так, чтобы они выполнялись и для полей.

Из определения немедленно следует, что всякая область главных идеалов — дедекиндово кольцо. Дедекиндово кольцо является факториальным тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.

Предыстория появления понятия 
В XIX веке стало распространённой техникой использование колец алгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, в попытке определить, какие целые числа представимы в виде , довольно естественно разложить квадратичную форму на множители , разложение происходит в кольце целых квадратичного поля . Сходным образом, для натурального  многочлен  (который возникает при решении уравнения Ферма ) можно разложить в кольце , где  — примитивный -й корень из единицы.

При малых значениях  и  эти кольца целых являются областями главных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичного успеха Ферма () и Эйлера () в решении этих двух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных форм была известна процедура проверки кольца целых квадратичного поля  на свойство «быть областью главных идеалов». Гаусс изучал случай : он нашел девять значений , удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).

К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеалов слишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое. Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно много положительных простых , таких что кольцо целых поля  — область главных идеалов; однако к сегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! С другой стороны, кольцо целых числового поля всегда является дедекиндовым.

Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовость является локальным свойством: нётерово кольцо  является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальному идеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретного нормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость — это глобализация свойства дискретного нормирования.

Эквивалентные определения 
Для целостного кольца , не являющегося полем, следующие утверждения эквивалентны:
 Каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых;
  нётерово и его локализация по любому максимальному идеалу — кольцо дискретного нормирования;
 Любой дробный идеал кольца  обратим;
  целозамкнуто, нётерово, и его размерность Крулля равна единице.

Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца: дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольца Крулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовал Н. Бурбаки в «Коммутативной алгебре».

Примеры 
Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования дедекиндовы.

Кольцо  алгебраических целых чисел числового поля K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеала I кольца R, R/I конечно, а конечные целостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Это основной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.

Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляет алгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C дедекиндово. Действительно, это просто перевод геометрических терминов на алгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, по определению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно, нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отсутствия особенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.

Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:
 Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частных K, L — конечное расширение K, а S — целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндово кольцо.

Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целых числового поля. R = k[x] соответствует случаю алгебраических кривых без особенностей.

Дробные идеалы и группа классов идеалов 
Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробный идеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, для которого существует ненулевой x из K, такой что 

Для двух дробных идеалов I, J можно определить их произведение IJ как множество всех конечных сумм : произведение IJ также является дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, таким образом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом: тождественный элемент — дробный идеал R.

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

 

Очевидно, . Равенство достигается, когда I обратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если I имеет обратный элемент, то этот обратный — .

Главный дробный идеал — это дробный идеал вида  для ненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратный для  — это просто . Обозначим подгруппу главных дробных идеалов Prin(R).

Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) = Prin(R) = , поскольку  и  совпадают тогда и только тогда, когда  — обратимый элемент R.

Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноид Frac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всего лишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac(R)/Prin(R) обратим тогда и только тогда, когда I сам по себе обратим.

Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца: в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждый дробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это класс колец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группой классов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и только тогда, когда R — область главных идеалов.

Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Конечнопорожденные модули над дедекиндовыми кольцами 
Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественно выяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.

Напомним формулировку структурной теоремы для модуля  над областью главных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения  как множество таких элементов  кольца , что  для некоторого ненулевого  из . Тогда:

(1)  можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид  для некоторого ненулевого идеала  кольца . По китайской теореме об остатках, каждый  можно разложить в прямую сумму модулей вида , где  — степень простого идеала. Получившееся разложение модуля 
единственно с точностью до порядка сомножителей.

(2) Существует дополняющий подмодуль  модуля , такой что .

(3)  изоморфен  для однозначно определённого неотрицательного целого . В частности,  — конечнопорождённый свободный модуль.

Теперь пусть  — конечнопорождённый модуль над дедекиндовым кольцом. Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3) следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. В частности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными. Иными словами, нетривиальность группы классов идеалов Cl[R] противоречит (3). Оказывается, что число «дополнительных» конечнопорождённых модулей без кручения можно проконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольного конечнопорождённого модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение

(3')  изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1: . Более того, для любых проективных модулей ранга 1 
 

выполняется тогда и только тогда, когда
 

и
 

Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтому последнее условие можно переформулировать как

 

Следовательно, конечнопорождённый модуль ранга  без кручения можно записать в виде , где  — проективный модуль ранга 1. Класс Штайница модуля P над R — это класс  идеала  в группе Cl(R), он однозначно определён. Из этого следует

Теорема. Пусть R — дедекиндово кольцо. Тогда , где K0(R) — группа Гротендика коммутативного моноида конечнопорождённых проективных R-модулей.

Эти результаты были установлены Эрнстом Штайницем в 1912 году.

Примечания

Литература 
 Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
 Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
 Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
  
  
  
 
 
 
 

Коммутативная алгебра
Алгебраическая теория чисел