Винеровское оценивание

Винеровское оценивание — задача нахождения импульсной характеристики линейной стационарной системы, дающей на выходе оптимальную в смысле минимума математического ожидания средней квадратической ошибки оценку значений полезного сигнала, поступающего на вход в аддитивной смеси с шумом.

Условия 

Требуется найти импульсную характеристику  линейной стационарной системы, на вход которой поступает аддитивная смесь  полезного сигнала  с шумом : , а на выходе должна получаться оценка значения полезного сигнала , которая минимизирует математическое ожидание средней квадратической ошибки между оценкой и реальным значением полезного сигнала . 

Предполагается, что условия применения, характер сигналов и помех остаются достаточно стабильными, их статистические характеристики меняются мало. Если же условия переменны и помехи в процессе работы систем изменяются существенно, то возникает необходимость автоматической оптимизации параметров систем. Это осуществляется в различного рода экстремальных, адаптивных, обучаемых системах.

Решение задачи 

Ошибка системы равна разности между оценкой  и реальным значением  полезного сигнала . Минимальная среднеквадратическая ошибка по определению равна:

 =

 =

.

Здесь используются обозначения для корреляционных функций:

.

Черта над формулой означает осреднение по времени. Будем считать, что оптимальная импульсная характеристика системы существует и равна .

Тогда любая отличающаяся от неё импульсная характеристика системы может быть представлена в виде

,

где  — произвольная функция времени,  — варьируемый коэффициент.

Минимум среднеквадратической ошибки отклонения достигается при . Для поиска  нужно найти производную показателя качества  по коэффициенту вариации  и приравнять её нулю при :

 =

 =

 =

Поскольку  — произвольная функция, последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда:

.

Это и есть уравнение Винера-Хопфа, определяющее оптимальную импульсную характеристику системы по критерию минимальной среднеквадратической ошибки. Для решения применим преобразование Лапласа к полученному уравнению. Известно, что преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа, тогда:

,

где
;
;
.

Таким образом определяем оптимальный винеровский фильтр 1-го рода:

.

Когда порядок полинома в числителе оказывается выше порядка полинома в знаменателе, винеровский фильтр 1-го рода физически нереализуем. Для решения задачи, после определения импульсной характеристики её принудительно приравнивают нулю при отрицательных значениях   (именно отличие  от нуля при   характеризует физическую нереализуемость системы) и таким образом получают физически реализуемый винеровский фильтр 2-го рода.

История 

Во время Второй мировой войны перед американским математиком Н. Винером встала задача отделения полезного сигнала от шума при решении задач автоматизации систем противовоздушной обороны, использующих радиолокационную технику. В 1942 г. Н. Винер теоретически решил эту задачу, допустив, что искомая система должна быть линейной с постоянными параметрами, время наблюдения бесконечно, входной и выходной сигналы системы являются стационарными и стационарно связанными случайными процессами, и система минимизирует среднюю квадратическую ошибку между полезным входным и выходным сигналами. Были созданы и опробованы экспериментальные аналоговые устройства, использующие этот метод, но по ряду причин применить их в реальных системах ПВО не удалось.

См. также 
 Уравнение Винера — Хопфа

Примечания

Литература 
 Норберт Винер «Я-математик», М., «Наука», 1964, гл 12 «Годы войны. 1940—1945», с. 213—265;
 Хургин Я. И. «Да, нет или может быть…», 2-е изд., М., «Наука», 1983, 208 с., илл., 32.81 Х98 УДК 62-50 ББК 32.81 6Ф0.1, тир. 100000 экз., гл. «Искусство надежды», с. 138—148;
 Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков «Выделение сигналов на фоне случайных помех», М., «Советское радио», 1960, 447 с., гл. 1 «Основные понятия теории фильтрации случайных процессов», с. 7-54;
 Дж. Бендат «Основы теории случайных шумов и её применения», М., «Наука», 1965, 464 стр. с илл., гл. 4 «Оптимальное линейное упреждение и фильтрация», с. 165—215;
 Левин Б. Р. «Теоретические основы статистической радиотехники. Книга вторая», М., «Советское радио», 1968, 502 стр. с илл., гл. 4 «Фильтрация случайных процессов», с. 278—319;

Кибернетика
Фильтрация
Случайные процессы
Анализ временных рядов