Traza de un cuerpo

En matemáticas, la traza de un cuerpo es una función particular definida con respecto a una extensión de cuerpos finita L/K, que es una aplicación K-lineal de L sobre K.

Definición 
Sea K un cuerpo y L una extensión finita (y por lo tanto, una extensión algebraica) de K. L puede verse como un espacio vectorial sobre K. La multiplicación por α, un elemento de L,
 ,
es una K-aplicación lineal de este espacio vectorial sobre sí mismo. La traza, TrL/K(α), se define como la traza (en álgebra lineal) de esta transformación lineal.

Para α en L, sean σ1(α), ..., σn (α) las raíces (contadas con multiplicidad) del polinomio mínimo de α sobre K (en alguna extensión del cuerpo K), entonces

 .

Si L/K es separable, entonces cada raíz aparece solo una vez (sin embargo, esto no significa que el coeficiente anterior sea uno; por ejemplo, si α es el elemento de identidad 1 de K, entonces la traza es [L:K] multiplicado por 1).

Más particularmente, si L/K es una extensión de Galois y α está en L, entonces la traza de α es la suma de todos los elementos conjugados de α, es decir,

 
donde Gal (L / K) denota el Grupo de Galois de L / K.

Ejemplo 
Sea  una extensión cuadrática de . Entonces, una base de  Si  entonces la matriz de  es:
 ,
y entonces, . El polinomio mínimo de α es .

Propiedades de la traza 
Varias propiedades de la función traza son válidas para cualquier extensión finita.

La traza  es una K-aplicación lineal (un K-funcional lineal), es decir
 .

Si  entonces 

Además, la traza se comporta bien en torres de cuerpos: si M es una extensión finita de L, entonces la traza de M sobre K es solo la composición de la traza de M sobre L con la traza de L sobre K, es decir
 .

Cuerpos finitos 
Sea L = GF (qn) una extensión finita de un cuerpo finito K = GF(q). Dado que L/K es una extensión de Galois, si α está en L, entonces la traza de α es la suma de todos los elementos conjugados de α, es decir,

 .

En este entorno se cuenta con las propiedades adicionales:
 .
 Para cualquier , hay exactamente  elementos  con .

Teorema. Para b ∈ L, sea Fb la aplicación  Entonces  si . Además, las K-transformaciones lineales de L sobre K son exactamente las aplicaciones de la forma Fb, ya que b varía sobre el cuerpo L.

Cuando K es el subcuerpo principal de L, la traza se denomina traza absoluta y, de lo contrario, es una traza relativa.

Aplicación 
Una ecuación cuadrática, , con , y coeficientes en el cuerpo finito  tiene 0, 1 o 2 raíces en GF(q) (y dos raíces, contadas con multiplicidad, en la extensión cuadrática GF (q2)). Si la característica de GF (q) es impar, el discriminante,  indica el número de raíces en GF(q) y la fórmula clásica de la ecuación de segundo grado permite calcular las raíces. Sin embargo, cuando GF(q) tiene una característica par (es decir,  para algún entero positivo h), estas fórmulas ya no son aplicables.

Considérese la ecuación cuadrática  con coeficientes en el cuerpo finito GF(2h). Si b = 0, entonces esta ecuación tiene la solución única  en GF(q). Si  entonces la sustitución  convierte la ecuación cuadrática a la forma:
 .
Esta ecuación tiene dos soluciones en GF(q) si y solo si la traza absoluta  En este caso, si  es una de las soluciones, entonces  es la otra. Sea k cualquier elemento de GF (q) con  Entonces, una solución a la ecuación viene dada por:
 .
Cuando h = 2m + 1, una solución viene dada por la expresión más simple:
 .

Forma de traza 
Cuando L/K es separable, la traza proporciona una dualidad a través de la forma de traza: la aplicación de  sobre K haciendo corresponder  sobre TrL/K (xy) es una forma bilineal no degenerada y simétrica, denominada forma de traza. Si L/K es una extensión de Galois, la forma de traza es invariante con respecto al grupo de Galois.

La forma de traza se utiliza en teoría de números algebraicos, concretamente en la teoría del ideal diferente.

Para una extensión de cuerpo de grado finito L/K, la forma de traza tiene signatura no negativa para cualquier cuerpo ordenado de K. Lo contrario, que cada clase de equivalencia de Witt con signatura no negativa contiene una forma de traza, es cierto para los cuerpos numéricos algebraicos K.

Si L/K es una extensión separable, entonces la forma de traza es idénticamente 0.

Véase también 
 Norma de un cuerpo
 Álgebra simple central

Referencias

Bibliografía

Lecturas relacionadas 
 
 Sección VI.5 de

Enlaces externos 

Teoría de cuerpos