Función de distribución

En la teoría de la probabilidad y en estadística, la función de distribución acumulada (FDA, designada también a veces simplemente como función de distribución o FD) o función de probabilidad acumulada asociada a una variable aleatoria real  sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad, es una función matemática de la variable real  que describe la probabilidad de que  tenga un valor menor o igual que .Intuitivamente, asumiendo la función  como la ley de distribución de probabilidad, la FDA sería la función con la recta real como dominio, con imagen del área hasta aquí de la función , siendo aquí el valor x para la variable aleatoria real .La FDA asocia a cada valor x, la probabilidad del evento: «la variable  toma valores menores o iguales a x».El concepto de FDA puede generalizarse para modelar variables aleatorias multivariantes definidas en

Definición 
Sean  un espacio de probabilidad y  una variable aleatoria, la función de distribución acumulada de la variable aleatoria  es una función  definida como

La función de distribución evaluada en un número  cualquiera es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a .

La función de distribución acumulada  puede obtenerse a partir de la función de probabilidad .

Notación 
En ocasiones, se utiliza la notación  para especificar que se trata de la función de distribución de una variable aleatoria  aunque por simplicidad suele escribirse .

Caso Discreto 
Si  es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad  entonces la función de distribución acumulada se calcula como

Caso Continuo 
Si  es una variable aleatoria continua con función de densidad  entonces la función de distribución acumulada se calcula como

Propiedades 
Una función de distribución acumulada  asociada a la variable aleatoria  satisface

 .
 .
 .
 Es monótona no decreciente, es decir, si  entonces .
 Es continua por la derecha, es decir, .

Si  puede demostrarse que

 

Si  es una variable aleatoria continua entonces  se dice que es absolutamente continua por lo que

Ejemplos 
La FDA de una variable aleatoria  con distribución uniforme en el intervalo unitario  queda definida por:

Si  es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro , es decir,  tiene como función de distribución acumulada la función

Función de Distribución Acumulada Inversa (función cuantil) 
La función cuantil de una variable aleatoria (o de una ley de probabilidad) es la inversa de su acumulada.Si la FDA  es estrictamente creciente y continua, su inversa está definida  es el único número real  tal que .
Solo en tales casos queda así definida la función de distribución inversa o función cuantil.
Pero una función de distribución se mantiene constante en todo intervalo en el cual la variable aleatoria no puede tomar valores. Es por esto que se introduce la siguiente definición.
Lamentablemente, la distribución carece, en general, de inversa. Se puede definir, para , la inversa generalizada de la función distribución:

Sea  una variable aleatoria con valores en  y  su función de distribución. Se llama función cuantil de  a la función de  en , denotada por , que a  hace corresponder:
.
La inversa de la pda se denomina función cuantil.

La inversa de la pda puede emplearse para trasladar resultados obtenidos para la distribución uniforme a otras distribuciones.

Véase también 
 Estadística descriptiva
 Distribución de probabilidad

Referencias

Bibliografía 
Conceito de variável aleatória e de função de distribução 
Portal Action

Estadística 
Puede considerarse el artículo sobre Estadística matemática para completar algunos tópicos.

Estadística