Список квадратурных формул

В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования.

Обозначения 
В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:
 ,
  — интегрируемая функция;
  — веса интегрирования;
  — система координат мастер-элемента;
  — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.
В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования  будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.

В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные , для обозначения координат мастер-элемента — .

Одномерный интеграл 

Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.
 Область интегрирования: отрезок ;
 Мастер-элемент: отрезок ;
 Переход на мастер-элемент: ;
 Переход с мастер-элемента: ;
 Якобиан: .

Двухмерный интеграл

Квадратный мастер-элемент 

 Область интегрирования: прямоугольник 
 Мастер-элемент: квадрат 
 Переход на мастер-элемент:
 
 ;
 Переход с мастер-элемента:
 
 ;
 Якобиан: .
Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёхугольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.

Треугольный мастер-элемент 

 Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ;
 Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами .
Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их .
 
Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица :
 
Матрица коэффициентов обратна к : .
 Переход на мастер элемент:
 
 
 Переход с мастер элемента:
 
 Якобиан : .

Трёхмерный интеграл

Кубический мастер-элемент 

 Область интегрирования: параллелепипед 
 Мастер-элемент: куб 
 Переход на мастер-элемент:
 
 
 
 Переход с мастер-элемента:
 
 ;
 ;
 Якобиан: .
Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент , но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.

Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.
 Порядок: 7, число точек: 34

Тетраэдральный мастер-элемент 

 Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами .
 Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами .
Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их :
 
Матрица коэффициентов определяется, как: , где
 
 Переход на мастер-элемент:
 
 
 
 Переход с мастер-элемента:
 
 Якобиан : .

Примечания

Литература

Ссылки 
 
 

Численное интегрирование