Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart, prononcée , nommée en l'honneur des physiciens français Jean-Baptiste Biot et Félix Savart, datant de 1820, donne le champ magnétique créé par une distribution de courants continus. Elle constitue l'une des lois fondamentales de la magnétostatique, au même titre que la loi de Coulomb pour l'électrostatique.

Cas d'un circuit filiforme 

Un circuit filiforme est une modélisation où le fil électrique est un objet purement linéique. C'est une idéalisation d'un fil réel dont la longueur serait très supérieure aux dimensions transverses de sa surface de section.

Loi de Biot et Savart 

Soit  une courbe plane fermée, on note  l'élément d'intégration représentant un point sur cette courbe. On note  le vecteur déplacement élémentaire tangent à la courbe  au point . La loi de Biot et Savart énonce que, dans le vide, un circuit filiforme décrivant la courbe  parcouru par un courant continu d'intensité  crée en tout point  de l'espace extérieur à  un champ magnétique
,
où  est une constante fondamentale, appelée perméabilité magnétique du vide.

Remarque sur une notation 

On dit parfois que l'« élément infinitésimal » de longueur , situé au point  et parcouru par le courant  crée le « champ magnétique élémentaire »  au point , où
.
C'est la loi d'Ørsted.

Selon l'opinion de certains auteurs, il s'agirait là d'un abus de langage mathématiquement commode pour poser le paramétrage de l'intégrale. En effet, le courant d'intensité  ne peut circuler que dans le circuit fermé complet , et seule l'intégrale complète possèderait un sens physique.

Cependant, une unique charge en mouvement dans le vide produit bien, a chaque instant , un champ magnétique dans l'espace environnant.
Ce champ magnétique est justement donné, dans l'approximation magnétostatique, par la loi ci-dessus en échangeant  par , où  est la vitesse de la charge (si l'approximation magnétostatique n'a pas lieu, on doit utiliser les équations de Jefimenko).
Cet échange se comprend sans peine: dans un tube de courant de longueur , les charges s'écoulent a une vitesse  (parallèle à ) et traversent les surfaces d'entrée et de sortie du tube aux temps  et . La quantité de charge contenue dans le tube est , donc 

La loi d'Ørsted est donc bien une loi physique et non un artifice de calcul.

Autres modélisations

Densité surfacique de courant 

Dans le cas d'une densité surfacique de courant  existant sur la surface , le champ magnétique créé s'écrit :
.

Densité volumique de courant 

Dans le cas d'une densité volumique de courant  existant sur le volume , le champ magnétique créé s'écrit :
.

Théorème d'Ampère 

En intégrant la loi de Biot et Savart sur une boucle fermée  quelconque (qui a priori n'est pas un circuit électrique), on démontre le théorème d'Ampère :
,
où  est l'intensité algébrique enlacée par la courbe .

Le cas d'une particule chargée 

En remarquant qu'une particule ponctuelle située en , de charge électrique  animée d'une vitesse  correspond à un courant : , où  est la fonction de Dirac, la loi de Biot et Savart suggère d'écrire que cette charge (en mouvement) au point  crée un champ magnétique au point  donné par
.

Cette expression est en réalité une approximation, qui n'est valide que pour des vitesses  très petites devant la vitesse de la lumière . L'expression exacte du champ magnétique créé par une charge en mouvement est donnée par la formule de Liénard-Wiechert.

Généralisation, dépendant du temps, de la loi de Biot-Savart 

Les solutions générales et causales des équations de Maxwell sont données par les équations de Jefimenko. Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot-Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique ainsi que pour les courants continus.

Les équations de Jefimenko donnent le champ électrique et le champ magnétique dus à une distribution de charges et de courants électriques dans l'espace. Elles prennent en compte le retard dû à la propagation des champs (temps « retardé ») en raison de la valeur finie de la vitesse de la lumière et des effets relativistes. Elles peuvent donc être utilisées pour des charges et des courants en déplacement. Elles sont les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants.

Application à l'aérodynamique 

La loi de Biot et Savart est utilisée pour calculer la vitesse induite par des lignes de vortex en aérodynamique. En effet, une analogie avec la magnétostatique est possible si l'on admet que la vorticité correspond au courant, et la vitesse induite à l'intensité du champ magnétique.

Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse induite est donnée par :
,
où  est l'intensité du vortex et  la distance perpendiculaire entre le point et la ligne de vortex. 
Pour une ligne de vortex de longueur finie, on a 
,
où  et  sont les angles (orientés) entre la ligne et les deux extrémités du segment.

Cette analogie a été proposée par Helmholtz, mais il faut bien garder à l'esprit que le vecteur d'induction magnétique est un vecteur axial tandis que le vecteur vitesse est un vecteur polaire, et que donc l'analogie ne respecte pas les symétries. L'analogie rigoureuse nécessiterait d'identifier la vorticité au champ magnétique et la vitesse au potentiel vecteur.

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes 
 Jean-Baptiste Biot
 Félix Savart
 Loi d'Ørsted

Biot et Savart
Magnétostatique