Кубическая пирамида

Куби́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): , имеющая основанием куб.

Описание 

Ограничена 7 трёхмерными ячейками — 6 квадратными пирамидами и 1 кубом. Кубическая ячейка окружена всеми шестью пирамидальными; каждая пирамидальная ячейка окружена кубической и четырьмя пирамидальными.

У кубической пирамиды 18 граней — 6 квадратов и 12 треугольников. Каждая квадратная грань разделяет кубическую и пирамидальную ячейки, каждая треугольная — две пирамидальных.

Имеет 20 рёбер. На каждом ребре сходятся по три грани и по три ячейки: для 12 рёбер это две квадратных и треугольная грани, кубическая и две пирамидальных ячейки; для остальных 8 рёбер — три треугольных грани, три пирамидальных ячейки.

Имеет 9 вершин. В 8 вершинах сходятся по 4 ребра, по 6 граней (три квадратных, три треугольных) и по 4 ячейки (кубическая, три пирамидальных); в 1 вершине — 8 рёбер, все 12 треугольных граней и все 6 пирамидальных ячеек.

Правильногранная кубическая пирамида 

Если все рёбра кубической пирамиды имеют равную длину , все её грани являются правильными многоугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

Высота пирамиды при этом будет равна

радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —

радиус большей полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

радиус меньшей полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней) —

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды; центры описанной и большей полувписанной гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды, симметричной вершине пирамиды относительно её основания; центр меньшей полувписанной гиперсферы — в другой точке вне пирамиды.

Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины двадцатичетырёхъячейника и всех 8 соседних вершин, соединённых с ней ребром.

Угол между двумя смежными пирамидальными ячейками будет равен  как и между смежными октаэдрическими ячейками в двадцатичетырёхъячейнике. Угол между кубической ячейкой и любой пирамидальной будет равен

В координатах 

Правильногранную кубическую пирамиду с длиной ребра  можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

 
 

При этом центры описанной и большей полувписанной гиперсфер будут располагаться в точке  центр меньшей полувписанной гиперсферы — в точке  центр вписанной гиперсферы — в точке

Заполнение пространства 

Тессеракт можно разрезать на 8 одинаковых правильногранных кубических пирамид (с вершинами в центре тессеракта и основаниями на его восьми кубических ячейках) — подобно тому, как куб разрезается на 6 квадратных пирамид (которые, однако, в данном случае правильногранными не будут).

А поскольку тессерактами возможно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, правильногранная кубическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.

Доказать это можно и по-другому: разрезав двадцатичетырёхъячейник (также заполняющий четырёхмерное пространство) на 16 одинаковых правильногранных кубических пирамид.

Ссылки 

 Richard Klitzing. Cubical pyramid

Многомерная евклидова геометрия
Многогранники