Axiomas de separación

En topología los axiomas de separación son propiedades que puede satisfacer un espacio topológico en función del grado en que distintos puntos o conjuntos cerrados pueden ser separados por medio de los abiertos de la topología.  

Existen varios niveles crecientes de separación que se pueden pedir a un espacio topológico. Suelen denominarse con la letra T (de Trennung, separación en alemán) y un subíndice conveniente. Así aparece una jerarquía de espacios, entre los que cabe destacar a los espacios T2 o espacios de Hausdorff, los T3 o espacios regulares y los T4 o espacios normales. 

Salvo para T0, T1 y T2, los nombres de los axiomas de separación no están completamente estandarizados.

Introducción 
La definición de topología, en su generalidad, admite estructuras topológicas poco útiles: pensemos en un conjunto X con más de un elemento, dotado con la topología trivial (i.e. sus únicos abiertos son Ø y todo X). Esta topología no contiene abiertos que nos permitan distinguir topológicamente dos puntos diferentes: ambos puntos comparten el único entorno posible. Mirando los entornos abiertos de cada punto nos resulta imposible distinguirlos. Decimos que, a efectos topológicos, X no es diferente de un conjunto de un solo punto dotado de la topología trivial.

Los axiomas de separación son requisitos sobre la topología de un espacio que garantizan la existencia de un número suficiente de conjuntos abiertos como para distinguir topológicamente puntos distintos. Los diferentes grados en que se concreta esta exigencia se plasma en los diferentes axiomas de separación.

Algunos axiomas de separación

Espacios T0 o de Kolmogórov

Un espacio topológico  se llama  si y solo si para cualquier par de puntos distintos  existe un abierto que contiene uno de los puntos y no contiene el otro punto. 

Una equivalencia a esta propiedad es la siguiente: si  son elementos del espacio  tales que la clausura de  y la clausura de  sean iguales entonces

Espacios  o Fréchet 

Un espacio topológico  se dice  si y solo si para cualquier par de puntos  de  hay un par de conjuntos abiertos , ,  tal que  esté en , pero no en , y además  esté en , pero no en .
Una equivalencia importante es que  es  si y solo si los subconjuntos de  formados por un único punto son cerrados.

Espacios  o de Hausdorff 

Un espacio topológico X es de Hausdorff o  si y solo si para cualquier par de puntos distintos  en  existe un par de abiertos disjuntos que contiene uno a  y otro a .

Estos espacios son especialmente importantes pues además de suponer una gran cantidad de ejemplos (todos los espacios métricos son ), tienen propiedades fuertes como el que la convergencia de una sucesión o de un filtro, en caso de existir, sea única.

Espacios  o regulares

Un espacio topológico X es regular si es  y para cada punto  y cualquier cerrado  tal que x no pertenece a F. Entonces existes entornos   y  tales que su intersección es vacía. Es decir, podemos separar puntos de cerrados.

Espacios completamente regulares y espacios  o Tychonoff
Un espacio topológico X es completamente regular si para cada punto  y cualquier cerrado  tal que x no pertenece a F existe una función continua  tal que  y .

Un espacio topológico X es de Tychonoff si es  y completamente regular. También puede designarse como espacio de Hausdorff completamente regular.

Espacios  o normales 
Un espacio topológico X es normal si es  y para cada par de cerrados  con intersección vacía existen unos entornos que los contengan  y  tal que su intersección sea vacía. Es decir, podemos separar todos los cerrados del espacio. En particular los espacios métricos son normales.

Separación en espacios métricos 
Es fácil verificar que . Es cierto que , aunque esto no es tan evidente, es una consecuencia del Lema de Urysohn. Un espacio métrico  con su distancia asociada es normal, Tychonoff, regular, Hausdorff, Fréchet y finalmente Kolgomorov. Es importante destacar, para evitar errores, que el recíproco no es cierto.

Veamos que es cierto que todo espacio métrico es normal o  y por consiguiente es Tychonoff, regular, Hausdorff, Fréchet y Kolgomorov.

Todo espacio métrico, con su distancia  es normal.

Demostración: 
Sean  y  dos cerrados de un espacio métrico . Para cada  sea . Análogamente, para cada  sea . Sea , y sea . Es claro que tanto U, como V son abiertos, y que  y . Se afirma que .

Supongamos que es falso, entonces sea . Quiere decir que existen x, y tal que  y . Pero eso implica que:

Lo cual es una contradicción:   (i.e. QED).

Por tanto todos los espacios métricos son normales, y por tanto Tychonoff, regulares, Hausdorff, Fréchet y Kolgomorov.

Referencias

Enlaces externos 
 incluyendo espacios topológicos y las propiedades de separación (capítulo 12).

Topología
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