Квантиль

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг» означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

Определение 
Рассмотрим вероятностное пространство  и  — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины . Пусть фиксировано . Тогда -квантилем (или квантилью уровня (порядка) ) распределения  называется число  такое, что
 
 
 
В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) -м -квантилем называется квантиль уровня , то есть -квантиль в предыдущих обозначениях.

Замечания 
 Если распределение непрерывно, то -квантиль однозначно задаётся уравнением
 
 где  — функция распределения .
 Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:
 
 Для эмпирического распределения -квантиль можно задать следующим способом:
 составляем вариационный ряд значений  (выборка имеет объём ), а также считаем, что  (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
 находим величину ;
 сравниваем  и :
 a) если , то полагаем ;
 б) если , то полагаем ;
 в) если , то полагаем .
 Заданный таким образом -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

 В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства  можно использовать приближённое сравнение  (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квартили 

 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от  — четверть);
 0,5-квантиль называется медианой (от  — середина) или вторым кварти́лем;
 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.
Интеркварти́льным размахом () называется разность между третьим и первым квартилями, то есть . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль 
Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение.

Процентиль 
-м проценти́лем называют квантиль уровня . Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения

См. также 
 Квантили нормального распределения
 Квантили распределения Стьюдента
 Квантили распределения хи-квадрат
 Нормальное распределение
 Доверительный интервал
 Наукометрия

Примечания

Ссылки 

Математическая статистика