Primorielle

En théorie des nombres, la primorielle d'un entier naturel , notée  ou  , est le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à . Par exemple, la primorielle de 10 est :
Ces nombres ont été ainsi nommés par Harvey Dubner.

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers ; on l'utilise pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier  donné : tout diviseur premier du nombre d'Euclide  est en effet strictement plus grand que . Il est possible que   soit lui-même premier ; c'est alors un nombre premier primoriel.

Premières valeurs 

Voici les premières valeurs des primorielles, en prenant par convention 0# = 1, sous forme de liste et de représentation graphique. La liste ne donne  que pour  premier puisque, par définition, la suite est constante entre deux premiers consécutifs.

Les indices  pour lesquels  est premier sont 2, 3, 5, 6 et ceux pour lesquels  est premier sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 (pour plus d'informations, voir l'article « Nombre premier primoriel » et ses liens externes).

Évaluations asymptotiques 

 Paul Erdős a montré élémentairement en 1932 que  (comme lemme dans sa preuve du postulat de Bertrand).

 Le logarithme de  , soit  , est égal à , où  est la première fonction de Tchebychev. Le théorème des nombres premiers étant équivalent à la relation  , on obtient : , ce qui implique . Pour   les valeurs de  sont inférieures à , mais on remarque ensuite des oscillations autour de .

 la somme des inverses des primorielles est finie :

 Voir la .
Notons que ce nombre est par définition le nombre dont la suite des coefficients du développement de Engel est la suite des nombres premiers.

Primorielles et nombres composés consécutifs 
Pour tout entier  de 2 jusqu'à  inclus, on a  ; on en déduit que les entiers  forment  entiers consécutifs composés, ce qui montre qu'il y a des plages de composés consécutifs aussi grandes qu'on veut.

Produits de primorielles 
Un entier  est produit de primorielles si et seulement si sa décomposition en produit de facteurs premiers écrite avec des facteurs croissants voit les exposants de ces derniers décroitre : 
 avec 
où  est le k-ieme nombre premier.

Toutes les factorielles sont des produits de primorielles, comme le montre la formule de Legendre exprimant l'exposant du nombre premier  dans la décomposition de  : 

Par exemple .

Tout nombre hautement composé est également un produit de primorielles.

Progressions arithmétiques et primorielles 

 Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche de suites de  nombres premiers en progression arithmétique (Ben Green et Terence Tao ont établi en 2004 l'existence de telles suites avec  arbitrairement grand, mais de façon non constructive). Pour une telle suite, on a les deux propriétés suivantes :
la raison est un multiple de , sauf si la suite commence à  (qui doit alors être premier). Par exemple, la suite de 26 nombres premiers trouvée en  par Benoît Perichon et PrimeGrid a une raison multiple de 26# = 23# ; elle est donnée par la formule : pour  
il semble que pour tout  , le plus petit multiple (soit  lui-même) est atteint pour certaines suites. Cette conjecture est vérifiée au moins jusqu'à  ; par exemple, David W. Wilson a découvert en 1999 une suite arithmétique de 13 nombres premiers de raison 13# :  pour .

Numération primorielle 
Les primorielles constituent les bases variables de la numération primorielle.

Voir aussi 
 Inégalité de Bonse
 Nombre pratique, propriété possédée par les primorielles.

Notes et références 

Opération
Arithmétique

ru:Факториал#Праймориал или примориал