Модель HJM

Модель или подход Хита-Джарроу-Мортона (HJM , Heath-Jarrow-Morton framework ) - в стохастической финансовой математике представляет собой общую структуру для моделирования эволюции мгновенных форвардных процентных ставок в риск-нейтральной мере в целях обеспечения безарбитражности совместной динамики для различных сроков. Концепция HJM берёт своё начало в работах Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона в конце 1980-х годов. 

HJM не является конкретной моделью ставок, а лишь определяет необходимую структуру этих моделей в зависимости от моделирования волатильности форвардных ставок, соответственно, в рамках HJM могут быть получены различные модели. Принципиальный вывод и характерное требование HJM-подхода к моделированию динамики ставок - трендовая составляющая (дрифт) диффузионных моделей форвардных ставок полностью определяется функциями волатильности и не может быть независимым параметром. Поскольку из динамики форвардных ставок можно определить динамику краткосрочной ставки, то из подхода HJM следуют также необходимые условия безарбитражности соответствующих диффузионных моделей краткосрочной ставки. В частности, классическая модель Васичека с постоянными параметрами не удовлетворяет требованиям  HJM, однако аналогичная модель с изменяющимся (специальным образом) долгосрочным уровнем уже соответствует HJM (см. Модель Халла-Уайта).

HJM моделирует динамику форвардных ставок и конкретизирует трендовую составляющую именно в риск-нейтральной мере, так как форвардная ставка  в собственной форвардной мере (то есть в -форвардной мере) является мартингалом и в этой мере её трендовая компонента просто нулевая. Рассмотрение форвардных ставок в собственных мерах удобно не всегда - при рассмотрении одновременной динамики различных форвардных ставок желательно их оценивать в единой мере, в качестве которой в HJM выступает риск-нейтральная мера.  

Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто являются немарковскими и могут даже иметь бесконечные измерения. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных ставок удовлетворяет определённым условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным состоянием, что делает её вычислительно осуществимой.

Математическая модель 

Общий вид модели в виде стохастического дифференциального уравнения динамики форвардных ставок в риск-нейтральной мере имеет вид:

где  - процесс мгновенной форвардной ставки для срочности 
 - многомерный (в общем случае) винеровский процесс (вектор независимых процессов Винера)
 - векторный процесс волатильности для соответствующей форвардной ставки.

Как видно, трендовая составляющая (дрифт) процесса  полностью определяется процессом волатильности вполне конкретным способом. Это и есть принципиальная особенностm HJM (по существу - требование безаритражности модели). Поскольку краткосрочная ставка равна , то это одновременно налагает ограничение и на параметры моделей краткосрочной ставки.

Вывод формулы 

В риск-нейтральной мере безарбитражная динамика стоимости бескупонной облигации с единичным номиналом (дисконт-фактор) должна иметь вид:

где  - вектор волатильности для процесса стоимости дисконтных облигаций,

 - краткосрочная (мгновенная спот-) ставка.

Тогда из формулы Ито следует, что процесс логарифма от цены дисконтной облигации удовлетворяет следующему уравнению:

Тогда, учитывая, что мгновенная форвардная ставка связана с ценой дисконтной облигации как  получим:

Обозначив  и соответственно , получим

,  

где 

Это и есть основной результат и требование к моделям в рамках безарбитражного HJM-моделирования динамики ставок.

Пример HJM-модели 

Наиболее простая HJM-модель может быть получена как однофакторная (один винеровский процесс) модель с постоянной и одинаковой для всех сроков волатильностью :

Тогда, интегрируя от 0 до t, получим

Следовательно

Дифференцируя по t получим оконачательно следующую модель для краткосрочной ставки ввиде стохастического дифференциального уравнения:

Полученное уравнение соответствует модели Хо-Ли. Таким образом, эта модель краткосрочной ставки соответствует исходной модели форвардных ставок с постоянной волатильностью.

Аналогично можно показать, что экспоненциально убывающая волатильность форвардной ставки  соответствует модель Халла-Уайта для краткосрочной ставки.

См. также 
Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
Модель Халла-Уайта

 Финансовая математика
 Процентные ставки