Équation du second degré

En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de degré 2, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme :

Dans cette équation,  est l'inconnue les lettres ,  et  représentent les coefficients, avec  différent de 0.  est le coefficient quadratique,  est le coefficient linéaire, et  est un terme constant où le polynome est défini sur  .

Dans l'ensemble des nombres réels, une telle équation admet au maximum deux solutions, qui correspondent aux abscisses des éventuels points d'intersection de la parabole d'équation  avec l'axe des abscisses dans le plan muni d'un repère cartésien. La position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, et donc le nombre de solutions (0, 1 ou 2) est donnée par le signe du discriminant. Ce dernier permet également d'exprimer facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la fonction du second degré associée.

Sur le corps des nombres complexes, une équation du second degré a toujours exactement deux racines distinctes ou une racine double. Dans l'algèbre des quaternions, une équation du second degré peut avoir une infinité de solutions.

Historique 
Les équations du second degré sont au centre de l'algèbre babylonienne, dès avant le . La tablette d'argile BM 13901 a été qualifiée de .

Au , le mathématicien indien  indique la manière de calculer les deux racines réelles.

Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au , dans un ouvrage intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres ,  et  sont tous positifs :
 Les carrés égalent les racines : 
 Les carrés égalent les nombres : 
 Les racines égalent les nombres : 
 Les carrés et les racines égalent les nombres : 
 Les carrés et les nombres égalent les racines : 
 Les racines et les nombres égalent les carrés : 

Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'algèbre géométrique.

Éléments clé

Introduction par l'exemple 
On recherche les éventuelles solutions de l'équation suivante :
.

Le membre de gauche est appelé trinôme du second degré. Il est composé de trois termes, tous de la même forme : un nombre non nul que multiplie une puissance entière de . Chaque terme est appelé monôme et, comme il en existe trois, on parle de trinôme. La plus grande puissance de ces monômes est 2 ; pour cette raison, on parle de second degré. L'expression  n'est pas un trinôme : , est un binôme du premier degré.

La méthode consiste à forcer l'apparition d'une première identité remarquable. On écrit le polynôme de la manière suivante :
.

Les trois premiers termes sont ceux d'une somme remarquable. L'application d'une identité remarquable permet d'écrire le polynôme de la manière suivante :
.

On peut alors appliquer à cette différence de carrés une deuxième identité remarquable :
.

L'équation initiale s'exprime alors sous forme d'un produit de deux facteurs :

Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, au moins un des facteurs est nul. Cette remarque permet de trouver les deux solutions  et  :

La racine positive, , est appelée nombre d'or, et souvent notée . 

Il est aussi possible de résoudre une équation du second degré sans la moindre connaissance d'algèbre : le paragraphe méthode géométrique montre comment s'y prendre.

Discriminant 

On considère l'équation suivante, où ,  et  désignent des nombres réels et  est différent de 0 :

On dispose de la définition suivante :

Cette définition est la source du théorème associé à la résolution de l'équation du second degré, dans le cas où l'on recherche des solutions réelles :

Interprétation graphique 

Une manière d'étudier l'équation du paragraphe précédent est de considérer la fonction  de la variable réelle et à valeurs réelles définie par :

L'équation peut encore s'écrire . Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection du graphe de la fonction  et de l'axe des . Le graphe de la fonction  est appelé une parabole, elle possède une forme analogue à celle des trois exemples présentés à droite. Si  est positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, comme pour les exemples jaunes ou bleus, sinon les branches sont dirigées vers le bas, comme l'exemple rouge. L'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées est le point , en effet, l'intersection des deux axes ayant lieu lorsque , on a:

Si le discriminant est strictement positif, comme pour l'exemple bleu, cela signifie que le graphe de  croise l'axe des abscisses en deux points. Si le discriminant est nul, la configuration est celle de la parabole rouge, le graphe se situe soit dans le demi-plan des ordonnées positives soit dans le demi-plan des ordonnées négatives et son unique extremum est sur l'axe des abscisses. Dans le cas d'un discriminant strictement négatif, comme pour la parabole jaune, le graphe se situe encore dans l'un des deux demi-plans précédents, mais cette fois l'extremum ne rencontre pas l'axe des abscisses.

Ainsi, si le discriminant est strictement positif, le signe des valeurs que prend la fonction  entre les solutions est l'opposé du signe des valeurs prises par  à l'extérieur du segment d'extrémités les solutions de l'équation.

Résolution dans l'ensemble des réels

Forme canonique 
En vue de résoudre l'équation , où  est la fonction du paragraphe précédent, une méthode consiste à l'écrire sous une forme plus adaptée. Comme la valeur  n'est pas nulle, il est déjà possible de la factoriser :

La méthode utilisée est la complétion du carré comme pour la résolution du premier exemple. Elle revient à « forcer » l'apparition d’une identité remarquable de la forme

en ajoutant et en retranchant  :

Cette forme est à l'origine d'une propriété et d'une définition :

À noter que  représente l'extremum (maximum ou minimum) de la fonction , et que cet extremum est atteint pour  :
 Si , la fonction  est décroissante puis croissante (fonction en U) et  est donc le minimum de la fonction ;
 Si , la fonction  est croissante puis décroissante (fonction en cloche) et  est donc le maximum de la fonction.

Dans les deux cas, les coordonnées de l'extremum sont donc

Exemples 
Considérons l'équation suivante :

Deux méthodes permettent de trouver l'expression de la forme canonique. Tout d'abord,  est définie par une identité remarquable ; on en déduit :

Il est aussi possible d'utiliser les formules de la définition, on trouve ici . On en déduit que le discriminant  est nul et que le coefficient  est égal à 2, ce qui donne à nouveau le résultat précédent.

Considérons maintenant le nouvel exemple :

Si l'égalité définissant  n'est plus une identité remarquable, la deuxième méthode est toujours efficace. On a ,  et . Ce qui permet d'effectuer les calculs suivants :

On en déduit la forme canonique :

Le graphe de la fonction  est donc en forme de U et admet un minimum au point

Résolution de l'équation  
La résolution de l'équation  utilise la forme canonique :

Discriminant strictement négatif 
Si le discriminant est strictement négatif, la valeur  est strictement positive.

La fonction  s'exprime comme le produit de  (non nul) et de la somme d'un terme positif  et d'un terme strictement positif  (somme qui est donc strictement positive, donc non nulle) : .

On en déduit que, quelle que soit la valeur de , son image par  n'est jamais nulle, car produit de deux facteurs non nuls, ce qui montre l'absence de solution dans l'ensemble des réels (R).

On peut tout de même trouver deux solutions en se plaçant dans l'ensemble des nombres complexes.

Discriminant nul 
Si le discriminant est nul, le terme  l'est aussi et . Cette expression est nulle si, et seulement si  est égal à . Une fois encore, on retrouve le résultat exprimé dans le deuxième paragraphe.

Discriminant strictement positif 
Si le discriminant est strictement positif, en simplifiant par , l'équation s'écrit encore, si  désigne la racine carrée du discriminant :
.

En utilisant l'identité remarquable , l'équation peut donc s'écrire :
.

Un produit de deux nombres réels est nul si, et seulement si, l'un des deux facteurs du produit est nul, on en déduit que l'équation est équivalente à l'une des deux équations :
.

En remplaçant  par  et  par , on retrouve bien l'expression déjà indiquée des deux solutions :
.

Propriétés

Forme réduite 
Une équation du second degré n'apparaît pas toujours sous la forme étudiée jusqu'à présent. Considérons l'exemple :

Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle équation. Pour le vérifier, le plus simple est de développer le terme de gauche. On obtient, à l'aide de deux identités remarquables :

L'équation devient alors :

En simplifiant encore par 9, l'équation s'écrit : . Le discriminant étant égal à –3, l'équation n'admet pas de racine réelle. Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme étudiée jusqu'à présent. Cette forme porte un nom.

Il existe trois formes importantes pour exprimer une équation du second degré, la forme réduite, la forme canonique et, éventuellement la forme factorisée, qui s'écrit de la manière suivante :

Sous la forme factorisée, les solutions sont directement disponibles. Elles sont égales à  et .

Relations entre coefficients et racines 

Si les solutions, encore appelées racines, existent, qu'elles soient distinctes ou doubles, on dispose de deux manières différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle réduite. Avec les notations de l'article, on obtient si  et  sont les deux racines :

Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une nouvelle expression de la forme réduite :

En identifiant les coefficients, on en déduit des relations entre les coefficients de l'équation et ses solutions :

De plus la somme  et le produit  des racines sont solutions de l'équation : . 

Cette propriété est très pratique pour résoudre les systèmes de type:  d'inconnues .

Les égalités de cette nature se généralisent pour les équations définies par un polynôme de degré quelconque. Tel est l'objet de l'article détaillé.

Discriminant réduit 
Parfois, les coefficients ,  et  sont des nombres entiers et  est pair. Dans ce cas, un facteur 2 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. Si on définit  comme l'entier vérifiant l'égalité , on simplifie les calculs :

Le discriminant est égal à quatre fois le discriminant réduit qui est donc de même signe que le discriminant. En conséquence, si le discriminant réduit est strictement positif, il existe deux solutions distinctes, s'il est nul les deux solutions sont confondues et s'il est strictement négatif aucune solution réelle n'existe. Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines  et  s'expriment, à l'aide du discriminant réduit par les égalités :

Le calcul présenté ici est exact, indépendamment du fait que ,  et  soient entiers. Si l'expression de  est simple, il peut être utile de faire usage du discriminant réduit, plutôt que du discriminant.

Considérons l'équation suivante :

Le discriminant réduit est un peu plus simple à calculer que le discriminant : il est égal à 9 - () donc à 4. On trouve, avec les formules précédentes :

Autres méthodes de résolution

Racines évidentes 

Les relations entre les coefficients et racines permettent parfois une accélération dans la résolution. Considérons l'équation précédente, le terme  joue un rôle singulier. Il est tentant de calculer son image par le polynôme définissant l'équation. Une solution trouvée à l'aide de cette méthode, c'est-à-dire consistant à choisir une valeur « au hasard » et à vérifier que son image par le polynôme est nulle est appelée racine évidente.

Une fois la première solution connue, les relations entre coefficients et racines permettent aisément de trouver la seconde. Dans l'exemple proposé, le plus simple est de remarquer que le produit des racines, égal à  est ici égal à 1. La deuxième racine est donc 1/.

La méthode de la racine évidente permet de résoudre simplement une équation de degré plus élevé, comme l'exemple suivant :

Plusieurs méthodes sont possibles pour en venir à bout. Celle de Cardan possède l'avantage d'être sûre, mais demande une maîtrise des nombres complexes et impose de longs calculs. La méthode des racines évidentes est beaucoup plus rapide. On tente traditionnellement les valeurs 0, ±1 et ±2. Dans le cas présent, –2 est une racine. Cela signifie que le polynôme  divise celui définissant l'équation. Trouver le deuxième facteur n'est pas trop ardu. C'est un polynôme du second degré, car seul un polynôme du second degré, multiplié par  est du troisième degré. Si  est le deuxième facteur, on calcule le produit :

On en déduit ,  puis . Il reste encore à résoudre l'équation :

Pour une rédaction plus concise, on peut toujours prétendre que 1 +  est une racine évidente. Comme la somme des racines du polynôme du second degré est égale à 2, la deuxième racine est égale à 1 – .

Méthode géométrique 

Les premières méthodes pour résoudre une équation du second degré sont géométriques. Même sans connaître les rudiments d'algèbre, il est possible de résoudre des équations du second degré. Les Grecs utilisaient la méthode suivante, pour résoudre ce qu'en langage contemporain on formaliserait par l'équation :

On considère que les deux termes, de droite et de gauche désignent des surfaces. Le terme  désigne l'aire d'un carré de côté  et  désigne l'aire de deux rectangles de côtés 5 et . On organise le carré et les deux rectangles de la manière indiquée sur la figure de droite, les deux rectangles sont dessinés en gris et le carré correspond au plus petit des deux et contenant le symbole  en son milieu.

Cette surface, que l'on appelle un gnomon prend la forme d'un carré si l'on y ajoute un nouveau carré de côté 5, car on obtient alors un carré plus vaste, contenant à la fois les deux rectangles et le carré de côté . Le carré de côté  et les deux rectangles possèdent une aire de 39, on a ajouté un carré d'aire 25, on obtient un grand carré d'aire 64. En termes algébriques, cette considération graphique s'écrit :

Le grand carré est d'aire 64, son côté est donc de longueur 8. Or ce côté est, par construction, égal à . En termes algébriques, cela revient à appliquer une identité remarquable, on obtient :

On en déduit la solution . L'algèbre propose aussi une autre solution : –13. Pour les Grecs, cette autre solution n'a aucun sens,  représente le côté d'un carré, c'est-à-dire une longueur. Or une longueur est toujours positive.

D'autres solutions géométriques sont proposées dans les articles Inconnue et Nombre d'or.

Par les relations entre coefficients et racines 

Une autre méthode, à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, permet de trouver les solutions. On suppose que l'équation admet un discriminant positif et on note  la somme des solutions et  leur produit. En divisant l'équation par le facteur , qui n'est pas nul par définition, on obtient l'expression :
.

Soit  la valeur moyenne des deux solutions, c'est-à-dire l'abscisse de l'extremum de la parabole. Si  est la demi-distance entre les solutions et si  et  désignent les deux racines, on obtient les égalités :
.

La somme des deux racines est égale à  et aussi à , ce qui donne la valeur de . Le produit des deux racines et une identité remarquable montrent que . Une autre manière d'écrire cette égalité est . Comme le discriminant est positif par hypothèse, le terme de droite est positif. On obtient , puis les valeurs des racines :
.

En remplaçant  et  par leurs valeurs, calculées à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, on retrouve les formules classiques.

Les points , , ,  et  sont cocycliques sur un cercle (de Carlyle) ayant pour diamètre les points  et

Résolution dans l'ensemble des nombres complexes 
Lorsque le discriminant de l'équation du second degré est négatif, celle-ci ne possède pas de solution dans l'ensemble des réels, car il n'est pas possible de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Mais dans un ensemble spécialement construit à cet effet, l'ensemble des nombres complexes, il existe des nombres dont le carré est négatif. L'équation du second degré à coefficients réels y admet alors toujours des solutions. Le résultat se généralise aux équations du second degré dont les coefficients sont complexes.

Coefficients réels et discriminant strictement négatif

Exemple 
Considérons l'équation suivante :
.

Sous sa forme canonique, l'équation s'écrit :
.

La partie gauche de l'équation est la somme de deux carrés, dont l'un est strictement positif, il ne peut donc exister de solution dans les nombres réels. Une autre manière d'en prendre conscience est de calculer le discriminant, ici égal à –3.

Si  désigne l'unité imaginaire, il est possible d'écrire 3/4 comme l'opposé d'un carré, cet usage lève l'impossibilité, l'équation s'écrit :
.

Les identités remarquables s'appliquent tout autant dans C, le corps des nombres complexes, que dans R celui des nombres réels, comme dans tout anneau commutatif. On en déduit une nouvelle écriture de l'équation, car la différence de deux carrés est factorisable :
,

ce qui permet d'en déduire les deux solutions :
.

Les deux solutions sont conjuguées. Cette propriété n'est vraie que dans le cas d'une équation quadratique à coefficients réels.

Cas général 
La méthode utilisée pour l'exemple s'applique de la même manière pour le cas général, si les coefficients sont réels et le discriminant strictement négatif. L'équation s'écrit sous sa forme canonique :

Les symboles  désignent la valeur absolue du discriminant. On obtient le résultat suivant :

Équation  
Résoudre l'équation  revient à déterminer les racines carrées du nombre complexe α, soit des nombres complexes  tel que . Clairement, si  est solution son opposé  également.

On note , , ce qui réduit d'un facteur quatre le risque de dépassement.

On peut ensuite factoriser de manière intelligente le calcul du discriminant. Si  est grand devant  ou bien devant  (et non nul), on peut écrire :
 
On définit alors
 
qui diminue le risque d'erreur de dépassement, puisque soit , soit  ; puis
 
et l'on n'élève donc pas  au carré.

Si au contraire  (non nul), on peut alors écrire
 
On définit alors
 
dont le calcul diminue le risque d'erreur de dépassement, puisque , et

Sensibilité aux petites variations 
Si l'on calcule les dérivées partielles des racines par rapport aux coefficients de l'équation (en supposant  et ) :
 
on voit que si  ou  sont proches de 0, alors les dérivées partielles sont très grandes, ce qui signifie qu'une petite variation sur les coefficients entraîne une grande variation de la valeur des racines. Dans de telles conditions, une petite erreur de troncature peut entraîner une grande erreur sur le résultat.

Si le discriminant est nul, on retrouve le même problème lorsque  est proche de zéro :
 

Dans les deux cas, on a un problème dit « mal conditionné ».

Algorithme itératif 
Une manière d'éviter les problèmes sus-cités consiste à utiliser un algorithme itératif, par exemple l' qui permet d'obtenir les racines d'un polynôme  quelconque.

Si l'on connaît la première racine , alors  peut s'écrire

où  est un polynôme de degré inférieur de 1 à  — dans le cas présent, on a , voir la section Forme réduite. L'algorithme recherche cette première racine en utilisant une suite de polynômes  approchant . Cette suit est construite de manière récursive :
 
où  est une suite de nombres.

La première étape consiste à calculer les cinq premiers termes,  à , avec une suite nulle (s = … = s = 0). Cela donne un ordre de grandeur de la racine la plus petite et permet éventuellement de normaliser les coefficients de l'équation si cette valeur est trop grande ou trop petite. On évite ainsi les problèmes de dépassement ou de soupassement.

La deuxième étape consiste à calculer les neuf premiers termes en prenant une suite uniforme. Il s'agit d'une valeur complexe dont l'argument est pris au hasard ( = rand), et dont l'affixe R est la solution de l'équation

que l'on peut trouver de manière simple (par exemple avec la méthode de Newton-Raphson), la fonction de gauche étant monotone et convexe. On prend donc

et si la méthode ne converge pas, on choisit un autre argument.

La troisième étape consiste à calculer les termes de rang supérieurs à 10 en utilisant la raison :
 
où  est le coefficient  normalisé, c'est-à-dire que ses coefficients sont divisés par le coefficient du degré le plus élevé.

Cet algorithme présente des similitudes avec Newton-Raphson, les polynômes  jouant le rôle des dérivées.

Cet algorithme peut être adapté si le coefficients de l'équation sont réels ; il est alors plus rapide et plus stable.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Article connexe 
Forme quadratique

Bibliographie 
 J. Merker, Du trinôme du second degré à la théorie de Galois, Presses universitaires de Franche-Comté (2007) 
 
 

Equation (2)