Producto (teoría de categorías)

En teoría de categorías, el producto de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como producto cartesiano de conjuntos, el producto directo de grupos, producto directo de anillos, el producto de espacios topológicos entre otros. Esencialmente el producto de una familia de objetos es el "más general" de los objetos que admite morfismos a cada uno de los objetos dados.

Definición 
Sea  una categoría,  y  objetos de . Un objeto  es el producto de  y , denotado  si y solo si satisface la siguiente propiedad universal
 Existe morfismos , llamadas proyecciones canónicas o proyecciones tal que para cualquier otro objeto  y un par de morfismos  existe un único morfismo  tal que el siguiente diagrama conmuta:

El único morfismo  recibe el nombre de morfismo producto de  y  y se denota por .

Se acaba de definir el producto binario. En lugar de dos objetos considere una familia arbitraria de objetos indicada por algún conjunto . Entonces obtenemos la definición de un producto.

Un objeto  es el producto de una familia  de objetos si y solo si existen morfismos , tal que para cualquier otro objeto  y una familia de morfismos  indizados por  existe un único morfismo  tal que el siguiente diagrama conmuta para cualquier 

 

El producto se denota como ; si , entonces se denota como  y el morfismo producto como .

De forma alterna, el producto puede ser definido totalmente mediante ecuaciones, aquí esta un ejemplo para el producto binario:

 La existencia de  se garantizada por la operación .
 La conmutatividad de los respectivos diagramas está garantizada por la igualdad .
 La Unicidad de  es garantizada por la igualdad .

También el producto puede ser obtenido a partir del límite. Una familia de objetos es un diagrama sin morfismos. Si consideramos nuestro diagrama como un funtor,  entonces es un funtor desde  considerada como una categoría discreta. Entonces la definición de producto coincide con la definición de cono límite para este funtor.

Ejemplos 
En la categoría Set (la categoría de conjuntos) el producto para la categoría es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos Xi el producto es definido como

con las proyecciones

Dado cualquier otro conjunto Y con una familia de funciones :
la flecha universal f se define como

 En la categoría de espacios topológicos  el producto categórico es el espacio topológico cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano con la topología producto.

 En la categoría de módulos sobre algún anillo R, el producto categórico está dado por el producto directo de módulos.

 En la categoría de grupos el producto categórico está dado por el producto cartesiano con la multiplicación definida componente a componente.

 En la categoría de variedades algebraicas el producto está dado por el encaje de Segre

 Un conjunto parcialmente ordenado puede ser considerado como una categoría, usando la relación de orden como los morfismos. En este caso los productos y coproductos son los ínfimos y supremos del conjunto respectivamente

 Un producto vacío (i.e.  es el conjunto vacío) es un objeto terminal o final)

Discusión 

El producto no necesariamente existe; por ejemplo considere una familia infinita de espacios métricos como  and , no existe tal cosa como el producto métrico de ellos.

Una categoría en donde para cualquier conjunto finito de objetos existe su producto entonces es llamada categoría cartesiana

Supongamos que   es una categoría cartesiana y  denota el objeto final de la categoría . Entonces tenemos los siguientes isomorfismos naturales.

Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene productos finitos forma una categoría simétrica monoidal

Distributividad 

En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×Z → X×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama:

La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×Z → X×(Y+Z),. Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo

Véase también 
 Coproducto – la noción dual del producto
 Límites y colimites
 Igualador (teoría de categorías)
 Límite inverso
 Categoría cartesianamente cerrada
 producto fibrado (teoría de categorías)

Referencias 

 
  Chapter 5.

Enlaces externos 
 Interactive Web page  which generates examples of products in the category of finite sets. Written by Jocelyn Paine.

Teoría de categorías