Covariant et contravariant (algèbre linéaire)

En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base.  Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire.

La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

En géométrie différentielle, la considération des espaces tangents permet d'étendre les deux concepts aux familles de fonctions définies sur les variétés différentielles.

La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article.

Définition 
Soit un espace vectoriel  de dimension finie , ainsi que deux bases  et  telles que le changement de base de  vers  s'écrit:

où les coefficients  forment la matrice de passage.

Soit alors une famille  de fonctions, chacune de  vers un espace vectoriel de même corps que .

Les familles de vecteurs  et  sont alors notées respectivement  et .

L'indice est alors noté en bas et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

L'indice est alors noté en haut et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs  et , la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue.

Exemples

Décomposition dans une base

Produits scalaires dans une base

Dérivées directionnelles

En analyse vectorielle, il est possible de définir l'opérateur de dérivation directionnelle selon une direction  ainsi:

 est parfois noté .

Base duale 

Une conséquence de ce théorème est que les vecteurs de la base duale sont parfois notés .

Propriétés

Lien avec les bases duales

Produit contracté

Extension en géométrie différentielle 
En géométrie différentielle, les espaces considérés, c'est-à-dire les variétés différentielles, n'ont pas de structure d'espace vectoriel et à ce titre les concepts de covariance et de contravariance ne sont pas directement applicables.  Cependant, les variétés différentielles sont localement assimilables à des espaces vectoriels à travers les espaces tangents.  Des correspondances
naturelles permettent donc de définir les notions vues plus haut non plus par rapport à un changement de base, mais plutôt par rapport à un changement de coordonnées .

Localement, ces coordonnées varient selon les différentielles:

Les différentielles  forment alors une base dans l'espace tangent, tandis que les dérivées partielles forment la matrice de passage.

Dès lors, lorsqu'un ensemble  de fonctions varie comme les différentielles, c'est-à-dire lorsque

alors  est dit covariant "pour" (ou "selon") l'indice .

Lorsqu'un ensemble  varie de façon contraire, c'est-à-dire lorsque

ou
,

alors  est dit contravariant "pour" (ou "selon") l'indice .

 peut très bien être covariant pour certains indices, et contravariant pour d'autres.  La transformation la plus générale s'écrit alors:

Ceci constitue une définition simplifiée du concept de tenseur.

Certains auteurs, tels que Sean M. Carroll (cf. bibliographie), préfèrent poser le symbole prime sur les indices et non sur le tenseur.  Ils notent ainsi:

Autres usages du vocable 

Les concepts de covariance et contravariance se retrouvent dans d'autres domaines, comme en informatique, notamment concernant le typage des données.  Le lien entre ces différents usages
traduit une structure commune plus abstraite qui relève essentiellement de la théorie des catégories.

Bibliographie 
 Le calcul tensoriel en physique, Jean Hladik, Masson 1995
  Spacetime and geometry, an Introduction to General Relativity, Sean M. Carroll, Addison-Wesley, 2004

Articles connexes 

 Pseudo-vecteur
 Tenseur
 Vecteur contravariant, covariant et covecteur
 Foncteur, une notion de la théorie des catégories définissant ces termes de façon plus générale.

Espace vectoriel
Calcul tensoriel

ca:Covariància i contravariancia de vectors
es:Covariancia y contravariancia
ru:Ковариантность и контравариантность
sv:Kontravariant vektor
zh:共變和反變