Vibraciones de una membrana circular

Las vibraciones de una membrana circular idealizada, esencialmente una membrana elástica de espesor uniforme fijada a un marco circular rígido, existen soluciones de la ecuación de onda con condiciones de contorno nulas.

Existe un número infinito de formas en las cuales la membrana puede vibrar, dependiendo de la forma de la deformación de la membrana en un cierto instante de tiempo inicial y de la derivada de la forma de la membrana en el instante inicial. Utilizando el método de separación de variables, es posible encontrar un conjunto de modos de vibración simples, y se puede demostrar que cualquier vibración compleja arbitraria de una membrana puede ser descompuesta en una serie de vibraciones simples (análogas a las serie de Fourier).

Motivación 

El análisis del problema de la membrana vibrante permite explicar el funcionamiento de instrumentos de percusión tales como los tambores y timbales. Sin embargo, existe también una aplicación biológica en explicar el funcionamiento del tímpano. Desde un punto de vista educativo los modos de un objeto bidimensional son una forma conveniente de visualmente demostrar el significado de modos, nodos, antinodo y aun los números cuánticos. Estos conceptos son importantes para la comprensión de la estructura del átomo.

El problema 

Considérese un disco de  de radio  centrado en el origen, el cual representa la forma quieta de la membrana del tambor. En todo instante  la elevación de la forma de la membrana en un punto  en  medido a partir de la forma quieta de la membrana se escribirá como  el cual puede tomar tanto valores positivos como negativos. Llamemos  la frontera de  es decir, el círculo de radio  centrado en el origen, que representa el marco rígido al cual se encuentra fijada la membrana.

La ecuación matemática que gobierna la vibración de la membrana es la ecuación de onda con condiciones de contorno nulas, 

 

 

A causa de la geometría circular de , será conveniente utilizar coordenadas cilíndricas,  Entonces, la ecuación previa se expresa como 

 

Donde,  es una constante positiva, que es la velocidad a la cual las ondas de vibración transversal se propagan en la membrana. En función de los parámetros físicos, la velocidad de onda c, queda expresada como

Si la membrana posee una tensión uniforme, la fuerza de la tensión uniforme en un radio dado,  queda expresada como

 

donde  es la resultante de la membrana en la dirección azimutal.

El caso radial simétrico 
Primero se analizan los modos de vibración posibles de una membrana que son simétricos de manera radial. O sea que la función  no depende del ángulo  y la ecuación de onda se simplifica quedando 

Se buscan soluciones utilizando separación de variables,  Substituyendo esto en la ecuación anterior y dividiendo ambos lados por  se obtiene 

 

El lado izquierdo de la igualdad no depende de  y el lado derecho no depende de  por lo tanto se infiere que ambos lados deben ser iguales a una constante  Se obtienen de este modo ecuaciones separadas para  y :

 
 

La ecuación de  tiene soluciones que crecen o decaen exponencialmente para  son lineales o constante para  y son periódicas si  Desde un punto de vista físico se espera que la solución al problema de la membrana que vibra sea oscilatorio en el tiempo, por lo que queda el tercer caso,  cuando  Entonces,  es una combinación lineal de funciones seno y coseno, 

 

Analizando la ecuación para  notando que  todas las soluciones de esta ecuación diferencial de segundo orden son una combinación lineal de funciones de Bessel de orden 0, 

La función de Bessel  no se encuentra acotada para  lo que daría lugar a una solución del problema de la membrana que carece de sentido físico, por lo tanto la constante  debe ser nula. También se supone que  ya que de todas formas esta constante será absorbida posteriormente en las constantes  y  provenientes de  De donde resulta que

 

El requerimiento que la elevación  sea cero en la frontera de la membrana determina la condición 

 

La función de Bessel  posee una cantidad infinita de raíces positivas, 

  

Se obtiene que  para  por lo tanto 

 

Entonces, las soluciones simétricas radiales  del problema de la membrana vibrante pueden ser expresadas en variables separadas como

 

donde

El caso general 

El caso general, cuando  también puede depender del ángulo  es tratada de manera similar. Se supone existe una solución mediante separación de variables, 

 

Substituyendo esto en la ecuación de onda y separando las variables, se obtiene

 

donde  es una constante. Donde al igual que antes, de la ecuación para  se concluye que  con  y

 

De la ecuación

 

resulta, multiplicando ambos lados por  y separando variables, que 

 

y

 

para alguna constante  Dado que  es periódica, con período   es una variable angular, se deduce que 

 

donde  y  y  son ciertas constantes. Esto implica que  

Analizando ahora la ecuación para  su solución es una combinación lineal de funciones de Bessel  y  Con un argumento similar al utilizado con anterioridad, se obtiene que 

   

donde  con  la -ésima raíz positiva de  

Se ha demostrado que todas las soluciones en variables separadas del problema de la membrana circular vibrante son de la forma

  

para

Animaciones de varios modos de vibración 

A continuación se muestran algunos modos de vibración junto con sus números cuánticos. Las funciones de onda análogas del átomo de hidrógeno también se indican como la frecuencia angular asociada .

Véase también 
 Ernst Chladni
 Cuerda vibrante

Referencias

Enlaces externos 
 Software que demuestra este tipo de vibraciones

Ecuaciones en derivadas parciales
Vibración mecánica