Función theta

En matemática, las funciones theta o θ-funciones son funciones especiales de varias variables complejas. Son importantes en diversas áreas, incluidas las teorías de variedades abelianas y espacios móduli, y de las formas cuadráticas. También se las ha aplicado a la teoría de solitones. Usadas para generalizar a una álgebra de Grassmann, aparecen en la teoría cuántica de campos, en particular la teoría de las cuerdas y D-branas.

La forma más común de la función theta es que proviene de  teoría de las funciones elípticas. Con respecto a una de las variables complejas (convencionalmente llamada z), una función theta expresa su comportamiento respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociados, lo que la hace una función cuasi periódica. En la teoría abstracta proviene de una condición descendente sobre un fibrado vectorial.

Función theta de Jacobi 
La función theta de Jacobi (por el matemático Carl Gustav Jacobi) es una función definida por dos variables complejas τ y z, donde z puede ser cualquier número complejo y τ pertenece al semiplano superior, es decir que tiene su parte imaginaria positiva. Es dada por la fórmula

Si τ es fijo, esta se convierte en una serie de Fourier para una función periódica respecto a z con período 1. En este caso, la función theta satisface la identidad

La función también se comporta muy regularmente con respecto a su cuasi período τ y cumple la ecuación funcional

donde a y b son enteros.

Funciones auxiliares 

La función theta de Jacobi también se puede escribir con un doble 0 como subíndice:

Tres funciones auxiliares (semiperiódicas) son definidas por

Esta notación proviene de Riemann y Mumford; la formulación original de Jacobi fue presentada en términos de q = exp(πiτ), en lugar de τ. En la notación de Jacobi las θ-funciones están escritas como:

La anterior definición de las funciones theta de Jacobi no las determina en forma única.

Si fijamos z = 0 en las funciones anteriores, obtenemos cuatro funciones que varían sólo respecto a τ, definidas en el semiplano superior (a veces llamadas theta constantes.) Estas pueden utilizarse para definir una variedad de formas modulares, y para parametrizar ciertas curvas.

Identidad Básica 
Las llamadas funciones "Theta-Nullwert" tienen la siguiente representación de suma y la siguiente representación de producto:

 
 
 

La función theta satisface la siguiente relación básica con el "Nomen q":

Las siguientes dos fórmulas definen la integral elíptica completa del primer tipo y concuerdan entre sí.

Identidades de Jacobi 
La Identidad de Jacobi se define con la siguiente fórmula:

Esta fórmula representa la curva de Fermat de grado cuatro.

La identidad de Jacobi también surge como una combinación de tres relaciones cuadráticas:

La combinación de estas tres fórmulas da la siguiente fórmula:

Las identidades de Jacobi describen cómo se transforman las funciones theta bajo el grupo modular, que es generado por τ ↦ τ +1 y τ ↦ -1 / τ. Ya tenemos las ecuaciones de la primera transformación, para la segunda, sea

entonces

Relación con la función zeta de Riemann 

La relación

fue utilizada por Riemann para demostrar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann, usando la integral

la cual es invariante bajo la sustitución de s por 1 − s.

Relación con la función elíptica de Weierstrass 

La función theta fue utilizada por Jacobi para construir sus funciones elípticas como los cocientes de las cuatro funciones theta, y podría también haber sido utilizada por él para la construcción de funciones elípticas de Weierstrass también, puesto que

donde la segunda derivada es con respecto a la z y la constante c se define de manera que la expansión de Laurent  en z = 0 tiene término constante cero.

Una relación con formas modulares 
Sea η la función eta de Dedekind. Entonces
.

Una solución a la ecuación de calor 

La función theta de Jacobi es la única solución a la ecuación 1-dimensional de calor con condiciones de frontera periódicas en tiempo cero. Se ve más fácilmente tomando z = x reales, y teniendo τ = it, con t real y positivo. Entonces podemos escribir

lo cual resuelve la ecuación de calor

Que esta solución es única se puede ver observando que en t = 0, la función theta se convierte en el peine de Dirac:

donde δ es la función delta de Dirac. Así, en general las soluciones pueden ser especificadas convolucionando la condición de frontera (periódica) en t = 0 con la función theta.

Relación con el grupo de Heisenberg 

La función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg.

Generalizaciones 
Si F es una forma cuadrática en n variables, entonces la función theta asociado a F es

con la sumatoria que se extiende sobre el reticulado Zn (n-uplas de números enteros). Esta función theta es una forma modular de peso n/ 2 del grupo modular. En la expansión de Fourier,
,
los númerosRF(k) son llamados a la números de representación de la forma.

Función theta de Riemann 

Sea

el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es positiva definida. Aquí, elevar a la T denota la traspuesta de la matriz. Hn es llamado el semiplano superior de Siegel y es el análogo multidimensional del semiplano superior. El análogo n-dimensional del grupo modular es el grupo simpléctico Sp(2n,Z); para n = 1, Sp(2,Z) = SL(2,Z). El análogo n-dimensional de los subgrupos de congruencia es desempeñado por .

Luego, dado , la función theta de Riemann se define como

Aquí,  es vector complejo n-dimensional. La función theta de Jacobi es entonces un caso especial, con n = 1 y  donde  es el semiplano superior.

La theta de Riemann converge absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos de 

La ecuación funcional es

la cual vale para todos los vectores ,y para todo  y .

Valores de función

Valores lemníscaticos 
En la siguiente tabla se dan los valores lemnísticos de las funciones ϑ₁₀(x) y ϑ₀₀(x):

Valores adicionales para ϑ₀₀(x):

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Y con la letra griega  se muestra el Número áureo. La abreviatura  representa la Constante de Gauss, que es el cociente de la constante lemníscatica dividido por el número del círculo π. Los valores que se acaban de mostrar fueron investigados por el matemático surcoreano Jinhee Yi de la Universidad Nacional de Busan (부산 대학교). Sus resultados fueron publicados posteriormente en el Journal of Mathematical Analysis and Applications.

Además, se aplican los siguientes valores:

 
 

Estos dos valores se pueden determinar directamente usando la Fórmula de suma de Poisson:

Valores equianarmónicos 
La función ϑ₀₀ tiene estos valores de función equianarmónica:

 
 
 
 
 

Algunos valores equianarmónicos de la función theta han sido explorados en particular por los matemáticos Bruce Carl Berndt y Örs Rebák.

Theta valores sobre los factoriales de octavas partes 
Valores de función de la forma ϑ₀₁:

Ecuaciones quínticas

Solución de la forma Bring-Jerrard 
De acuerdo con el Teorema de Abel-Ruffini, la ecuación quíntica general no se puede resolver de forma radical elemental. Pero una solución general es muy posible con la ayuda de las funciones elípticas. Con la función theta también se puede resolver el caso general de la Ecuación de quinto grado en función de la elíptica "Nomen q" a partir de un módulo elíptico siempre "elemental" dependiente de los coeficientes. Para la siguiente ecuación quíntica en forma de Bring-Jerrard, la solución general se puede representar en forma simplificada con la función theta ϑ₀₀:

 

Para todos los valores reales  tiene la suma mostrada de la función de quinta potencia y la función de mapeo idéntica para  en dependencia de  exactamente una solución real. Y esta solución real  can para todos los valores reales  se puede evocar exactamente correctamente con el siguiente algoritmo:

Tres ejemplos de cálculo 
A continuación, tres ecuaciones se tratan como ejemplos, que pueden resolverse con la función theta de Jacobi, pero no pueden resolverse en absoluto con expresiones de raíces elementales:
 
 
 
 
 

El mismo patrón también se realiza en la siguiente ecuación:

 
 
 
 
 
Este es un tercer ejemplo:

Referencias 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
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 G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
 David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
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 Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.
 E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (See chapter XXI for the history of Jacobi's θ functions)

 Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97.
 Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration. Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987.
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 Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Volumen 45, 350–372, 1913–1914.
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 G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
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Enlaces externos 
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Superficie de Riemann