Теорема Боголюбова «об острие клина»

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США (сентябрь 1956 года) и также опубликованы в монографии (дополнение А, теорема 1). Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками. Важными применениями теоремы об «острие клина» являются: доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля, аксиоматическая квантовая теория поля, теория обобщённых функций, обобщение теоремы Лиувилля.

Одномерный случай 
Для функций одной комплексной переменной теорема «об острие клина» может быть сформулирована следующим образом.

 Теорема: Пусть f есть непрерывная комплекснозначная функция на комплексной плоскости, голоморфная в верхней и нижней полуплоскостях. Тогда она голоморфна на всей комплексной плоскости.

В этом примере клиньями являются верхняя и нижняя полуплоскости, а их общим острием — вещественная ось. Данная теорема может быть доказана с использованием теоремы Мореры.

Общий случай 
В общем случае клином называется произведение конуса и открытого множества.

Пусть C — открытый конус с вершиной в нуле в вещественном пространстве Rn. Пусть E — открытое множество в Rn (острие). Определим клинья  и  в комплексном пространстве Cn. Клинья  и W'  имеют общее острие E, где мы отождествляем E с произведением E и вершины конуса.

 Теорема Боголюбова «об острие клина»: Пусть f — непрерывная функция на объединении , голоморфная на обоих клиньях  и W' . Тогда f также голоморфна на E (более точно, может быть аналитически продолжена на некоторую окрестность E).

Условия теоремы могут быть ослаблены. Во-первых, не обязательно задавать f целиком на клиньях, достаточно определить f в некоторой окрестности острия. Во-вторых, не обязательно предполагать, что f определена или непрерывна на острие, достаточно предположить, что равны обобщённые функции, заданные пределами f из двух клиньев на острие.

Применение в квантовой теории поля 
В квантовой теории поля распределения Вайтмана есть граничные значения функций Вайтмана , зависящих от переменных  комплексификации пространства Минковского. Они определены и голоморфны на клине, в котором мнимая часть каждого  лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Перестановки переменных дают  различных функций Вайтмана, определённых на  различных клиньев. Острием является множество пространственно-подобных точек. Из теоремы Боголюбова «об острие клина» следует, что все они являются аналитическими продолжениями одной голоморфной функции, заданной на связной области, содержащей все  клиньев. При этом равенство граничных значений на острие следует из аксиомы локальности в квантовой теории поля.

См. также 
Применение теоремы «об острие клина» в квантовой теории поля:
 Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969.
 Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — 2-е изд. М.: Физматлит, 2006. ISBN 5922106120.
 Стритер Р., Вайтман А. С. РСТ, спин и статистика и всё такое. 1966.

Примечания 

Квантовая теория поля
Комплексный анализ
Многомерный комплексный анализ
Физические теоремы
Боголюбова «об острие клина»
Аксиоматическая квантовая теория поля