Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года.

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Двумерное преобразование Радона 

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть  функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции  называется функция
  (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору  и проходящей на расстоянии  (измеренного вдоль вектора , с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения 
Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции 
  (2)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой, перпендикулярной вектору , и изменяется наиболее быстро, если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим , мы выберем новые переменные  . Сделав замену переменных в интеграле, получаем
 

то есть
  (3)

Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции  есть не что иное как  двумерное преобразование Фурье от функции .

Поскольку преобразование Фурье функции  существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции . Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом
 

Удобно переписать эту формулу в полярных координатах:
 ,

что, учитывая (3), даёт формулу обратного преобразования Радона:
  (4),

где .

Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции  из её проекций , называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке  двумерный спектр  (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от . Существуют и другие методы реконструкции  из

Теорема о центральном сечении 
Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от :

Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении:

Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции  представляет собой спектр функции  вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом . Таким образом, Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции . В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.

Применение преобразования Радона 

В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна
, где  показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой , проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показанной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.

Преобразования Радона подобным образом используются и в магнито-резонансной томографии.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных 
Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:
  (2)

Здесь  — радиус-вектор из начала координат,  — двумерный элемент объёма,  — единичный вектор, который можно параметризовать как . С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под ,  и  понимать соответственно -мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в -мерном пространстве и -мерный единичный вектор. В принципе, вектор  можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация .

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости, перпендикулярной вектору  и проходящей на расстоянии  от начала координат (взятом со знаком минус, если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором ).

Обращение многомерного преобразования Радона 
В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Рассмотрим преобразование Фурье от  по переменной , то есть
 .

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим:
 .

Заметим теперь, что  есть интеграл по всему -мерному пространству (здесь под интегралом  подразумевается интеграл по -мерной сфере, в частности, для  , для  ). Из этого следует, что

 .

Используя это представление векторной дельта-функции, получаем формулу обращения:
 .

См. также 
 Формула Крофтона
 Преобразование Хафа

Примечания

Литература 
 Грузман И. С. Математические задачи компьютерной томографии // Соросовский образовательный журнал № 5, 2001.
 Deans S. R. The Radon Transform and Some of Its Applications. — New York: John Wiley & Sons, 1983.
 Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32). — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-493-1.
 Natterer F., Wubbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction. — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-472-9.

Томография
Интегральные преобразования
Интегральная геометрия