Teoría de Sturm-Liouville

En matemáticas, una ecuación de Sturm-Liouville, que toma su nombre de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma

donde las funciones  y  son positivas y q(x) es real. En el caso más simple, estas funciones son continuas en un intervalo finito cerrado , en el que, por lo general, se definen unas condiciones de contorno o frontera, es decir, se concretan unos valores específicos que adoptan las funciones  y  en los extremos de dicho intervalo. La función  es llamada función de densidad o función peso.

El valor de  no se especifica en la ecuación. De hecho, el encontrar los valores  para los que exista una solución no trivial de la ecuación que satisfaga las condiciones de frontera se denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L).

Tales valores de  son llamados valores propios o autovalores del problema de S-L que plantea  conjuntamente con las condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son las funciones propias o los autovectores del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones , estas inducen operadores diferenciales hermíticos en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.

Teoría de Sturm-Liouville 
  
Cuando las condiciones de frontera son regulares de la forma

donde   es diferenciable, las funciones  son continuas y las funciones  son positivas sobre el intervalo  , y los valores
 están en el intervalo 
la teoría nos indica que 
 Los valores propios  del problema de S-L, son valores reales y bien ordenados en el sentido de que .
A cada valor propio  le corresponde una única función propia  que tiene exactamente  ceros en la frontera .
 Las funciones propias son mutuamente ortogonales y satisfacen la relación de ortogonalidad

donde  es la función de peso. 
 Un conjunto ortonormal puede ser formado si el conjunto de funciones propias satisface la relación de ortonormalidad:  

donde  es la delta de Kronecker.
 Los valores propios del problema de S-L pueden ser caracterizados por el cociente de Rayleigh
.

Forma de Sturm-Liouville 
La ecuación diferencial

se dice que es de la forma de S-L o de la forma autoadjunta. Toda ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser llevada a esta forma al multiplicarle un factor integrante apropiado.

Ejemplos 
 La ecuación de Bessel:

puede ser escrita en la forma de S-L así:

 La ecuación de Legendre:

puede ser transformada fácilmente en una forma de Sturm-Lioville, ya que ; así la ecuación de Legendre equivalente es:

Otro ejemplo simple es una ecuación diferencial de la forma:

Si dividimos por  tenemos:

Multiplicando por un factor integrante:

nos da

que puede ponerse fácilmente en la forma de S-L así:

 En general, dada una ecuación diferencial

dividida para , multiplicada por un factor integrante tenemos la forma de S-L:

Operadores diferenciales Sturm-Liouville 
El operador lineal:

puede ser visto como la transformación de una función  en otra función . Se puede estudiar este operador lineal en el contexto del análisis funcional. Si ponemos  en la ecuación , podemos escribirla:

Este es precisamente un problema de valores propios; donde se trata de hallar valores propios λ y vectores propios  del operador . Sin embargo, también se debe incluir las condiciones de frontera. Como ejemplo se dirá que vamos a evaluar el problema en el intervalo  y se pondrá las condiciones de frontera .

La importancia de problemas de valores propios esta en el hecho que nos ayuda a resolver problemas asociados inhomogéneos:
 
en el intervalo 
 
en 0 y 1.

Aquí  es la función en el espacio . Si una solución  existe y es única, se la puede escribir de la forma:

porque la transformación de  a  debe ser lineal. Ahora se observa que el hallar los vectores propios y los valores propios de  es esencialmente lo mismo que hallar los vectores y valores propios de . Efectivamente, si  es un vector propio de  con valores propios  debe existir un  que también es vector propio de  con valores propios .

Ejemplo 

Se busca una función u(x) que resuelva el siguiente problema S-L:

en donde las incógnitas son λ y u(x). Tomemos por ejemplo las condiciones de frontera

y observemos que si k es cualquier entero, entonces la función

es una solución con valor propio λ = −k2. Sabemos que las soluciones de un problema S-L forman una base ortogonal, y de la teoría de las series de Fourier sabemos que este conjunto de funciones sinusoidales es una base ortogonal. Dado que las bases ortogonales por definición son máximas, concluimos que este problema S-L no tiene más vectores propios.

Con base en esto resolvamos el problema inhomogéneo

con  y
con las mismas condiciones de frontera.  En este caso debemos poner f(x) = x en formas de serie de Fourier. El lector puede verificar, sea integrando ∫exp(ikx)x dx o consultando una tabla de transformadas de Fourier, que

Esta serie de Fourier es problemática por sus malas propiedades de convergencia: no está claro a priori si converge puntualmente. Por el hecho (de la teoría de análisis de Fourier) que los coeficientes son cuadrado-sumables, la serie converge en L2, lo cual basta para la presente discusión. Mencionamos para el lector interesado que podemos aplicar un resultado que dice que la serie de Fourier converge en cada punto de diferenciabilidad, y en los puntos de salto (por ejemplo (la función x, considerada como función periódica, tiene un salto en n) converge al promedio de los límites izquierdo y derecho.

Por lo tanto, por la fórmula  obtenemos que la solución es

Podríamos haber encontrado la solución con antidiferenciación.  Esta técnica da u=(x3-π2x)/6, cuya serie de Fourier concuerda con la solución que encontramos. La técnica de antidiferención generalmente no es útil para las ecuaciones diferenciales de varias variables.

Aplicación a los modos de vibración normales 
 
Ciertas  ecuaciones en derivadas parciales pueden resolverse con la ayuda de la teoría de S-L. Supongamos que nos interesan los modos de vibración de una membrana delgada, sostenida en un marco rectangular, 0≤x≤L1, 0≤y≤L2.  El desplazamiento vertical W(x, y, t) de la membrana
es gobernada por la ecuación de onda:

El método de separación de variables sugiere buscar primero soluciones de la forma sencilla W = X(x) × Y(y) × T(t).  Para una tal función W la ecuación en derivadas parciales puede escribirse como X"/X + Y"/Y = (1/c2)T"/T.  Dado que los tres términos de esta ecuación son funciones de x,y,t por separado, deben ser constantes. Por ejemplo, el primer término da X"=X donde  es constante. Las condiciones de frontera ("sostenida en un marco rectangular") son W=0 cuando x=0, L1 ó y = 0, L2 lo cual define los problemas de S-L lo más sencillos posibles como en el ejemplo y  dan las "soluciones de modos normales" para W con dependencia armónica del tiempo,

donde m,n son enteros no nulos, Amn son constantes arbitrarias y

 

Las funciones Wmn forman una base del espacio de Hilbert de soluciones (generalizadas) de la ecuación de onda; eso es, una solución arbitraria W puede descomponerse como suma de estos modos, que vibran a frecuencias individuales . Esta representación puede requerir una suma infinita convergente.

Operadores de Sturm-Liouville como operadores hermíticos 
Muchas de las propiedades de los operadores de S-L vienen del hecho de que estos son operadores hermíticos con respecto al producto interno: 
Y así los valores propios de los operadores de S-L son reales y que las funciones propias corresponden a diferentes valores propios son ortogonales.

Representación de Soluciones y Cálculo Numérico 

La ecuación de S-L  con condiciones de frontera puede resolverse en la práctica por una variedad de métodos numéricos.  En casos difíciles puede ser necesario llevar a cabo los cálculos intermedios con varios cientos de dígitos decimales para lograr los autovalores correctamente a unas cuantas cifras.

1. Métodos de disparo.  Estos métodos funcionan adivinando un valor de λ, resolviendo un problema en valores iniciales definido por las condiciones de frontera en un extremo, digamos a, del intervalo [a,b], comparando el valor que esta solución toma en el otro extremo b con la otra condición de frontera deseada y finalmente aumentando o reduciendo λ según sea necesario para corregir el valor original.  Esta estrategia no es aplicable para encontrar autovalores complejos.

2. Método de Diferencias Finitas.

3.  El método de Series de Potencias del Parámetro Espectral  (SPPS por sus siglas en inglés) aplica una generalización del siguiente hecho sobre las ecuaciones en derivadas ordinarias de segundo orden: si y es una solución que no se anula en ningún punto de [a,b], entonces la función 
          
es una solución de la misma ecuación y es linealmente independiente de y. Además, todas las soluciones son combinaciones lineales de estas dos soluciones.  En el algoritmo SPPS, uno debe comenzar con un valor arbitrario λ0* (a menudo λ0*=0; no tiene que ser un autovalor) y con cualquier solución y0 de  con λ=λ0* la cual no se anule en [a,b]. (Discusión abajo sobre maneras de encontrar y0 y λ0* apropiados.) Dos sucesiones de funciones
X(n)(t), X~(n)(t) en [a,b], que se llamarán integrales iteradas, se definen de manera recursiva como sigue.  Primero, cuando n=0, se toman iguales a 1 idénticamente en [a,b]. Para obtener las siguientes funciones se multiplican alternativamente por 1/(p'y02) y w'y02 y luego se integran, específicamente 

 
cuando  n>0.  Las integrales iteradas así obtenidas se aplican ahora como coeficientes en las dos siguientes series de potencias en  λ:
    y    
 .  

Entonces para cualquier λ (real o complejo),  u0 y u1 son soluciones linealmente dependientes de la ecuación  correspondiente. (Las funciones p(x) y q(x) participan en esta construcción de forma implícita por su influencia en la elección de y0.)

Ahora se escogen coeficientes c0,  c1 de manera que la combinación y=c0u0 + c1u1 satisfaga la primera condición de frontera (2). Esto es fácil de hacer porque X(n)(a)=0 y X~(n)(a)=0,  para n>0.  Los valores de  X(n)(b) y X~(n)(b) dan los valores de u0(b) y u1(b) y de las derivadas u0'(b) y u1'(b), entonces la segunda condición de frontera  se convierte en una serie de potencias en λ.  Para el trabajo numérico uno puede truncar esta serie a un número finito de términos y obtener un polinomio en λ calculable, cuyas raíces son aproximaciones de los autovalores que se buscan.

Cuando λ= λ0, esto se reduce a la construcción original descrita arriba para una solución linealmente independiente a una dada. Las representaciones , también tienen aplicaciones teóricas en la teoría de S-L.

Construcción de una solución que no se anula 
 
El mismo método SPPS puede usarse para encontrar una solución inicial y0. Considérese la ecuación

q, w, y  λ se reemplazan en  con 0, -q y μ respectivamente.  Entonces la función constante 1 es una solución que no se anula, con respecto al autovalor μ0=0. Mientras no hay garantía que u0 ó u1 no se anule, la función compleja y0=u0+i u1 nunca se anulará porque dos soluciones linealmentes de una ecuación S-L regular no pueden anularse simultáneamente (como consecuencia de la unicidad de soluciones para problemas de valores iniciales). Este truco da una solución y0 de  para el valor λ0=0.  En la práctica, si  tiene coeficientes reales, las soluciones basadas en y0 tendrán partes imaginarias muy pequeñas que se tendrán que descartar.

Véase también 
 Ecuación diferencial ordinaria
 Modo normal
 Operador (matemáticas)
 Operador hermítico

Referencias

Bibliografía

 P. Hartman, Ordinary Differential Equations, SIAM, Philadelphia, 2002 (2nd edition). ISBN 978-0-89871-510-1
 A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Ratón, 2003 (2nd edition). ISBN 1-58488-297-2
 G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ (Chapter 5)
 G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics and Applications to Schrödinger Operators, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ (see Chapter 9 for singular S-L operators and connections with quantum mechanics)
 A. Zettl, Sturm–Liouville Theory, American Mathematical Society, 2005. ISBN 0-8218-3905-5.

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Análisis funcional
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