Cuaterna pitagórica

Una cuaterna pitagórica es una tupla de números enteros , ,  y , de modo que . Son soluciones de una ecuación diofántica y, a menudo, solo se consideran valores enteros positivos. Sin embargo, para proporcionar una interpretación geométrica más completa, se puede permitir que los valores enteros sean negativos y cero (permitiendo así incluir ternas pitagóricas) con la única condición de que . En esta configuración, una cuaterna pitagórica  define un ortoedro con longitudes de lados enteros ,  y , cuya diagonal espacial tiene una longitud entera . Las cuaternas pitagóricas, con esta interpretación, también se denominan "cajas pitagóricas". En este artículo se asume, a menos que se indique lo contrario, que los valores de una cuaterna pitagórica son todos números enteros positivos.

Parametrización de cuaternas primitivas
Una cuaterna pitagórica se llama primitiva si el máximo común divisor de sus componentes es 1. Cada cuaterna pitagórica es un múltiplo entero de una cuaterna primitiva. El conjunto de las cuaternas pitagóricas primitivas para las que  es impar puede ser generado por las fórmulas

 

donde , ,  y  son enteros no negativos con el mayor divisor común 1, de modo que  es impar. Por lo tanto, todas las cuaternas pitagóricas primitivas se caracterizan por la identidad de Lebesgue:

Parametrization alternativa
Todas las cuaternas pitagóricos (incluidas las no primitivas, y con repetición, aunque ,  y  no aparezcan en todos los órdenes posibles) se pueden generar a partir de dos enteros positivos  y  de la siguiente manera:

Si  y  tienen paridad diferente, entonces se elige  tal que sea cualquier factor de  de modo que . A continuación,  y . Téngase en cuenta que .

Existe un método similar para generar todas las cuaternas pitagóricas para las que  y  son pares. Sea  y  y además sea  un factor de  tal que . Se tiene que  y . Este método genera todas las cuaternas pitagóricas exactamente una vez cada una cuando  y  se ejecutan a través de todos los pares de números naturales y  se ejecuta a través de todos los valores permitidos para cada par.

No existe tal método si  y  son impares, en cuyo caso no existen soluciones, como se puede ver en la parametrización de la sección anterior.

Propiedades
El número más grande que siempre divide el producto  es 12. La cuaterna con el producto mínimo es (1, 2, 2, 3).

Relación con cuaterniones y matrices ortogonales racionales
Una cuaterna pitagórica primitiva  parametrizada por  se corresponde con la primera columna de la aplicación matricial  de conjugación  por el cuaternión de Hurwitz  restringido al subespacio de  abarcado por , , , dado por

 

donde las columnas son ortogonales dos a dos y cada una tiene norma . Además, se tiene que , y, de hecho, todas las matrices ortogonales de orden 3×3 con coeficientes racionales surgen de esta manera.

Cuaternas pitagóricas primitivas con norma pequeña
Hay 31 cuaternas pitagóricas primitivas en las que todas las entradas son menores a 30:

Véase también
 Conjetura de Beal
 Ladrillo de Euler
 Conjetura de la suma de potencias de Euler
 Cúbica de Fermat
 Ecuación de Jacobi-Madden
 Problema de Prouhet-Tarry-Escott
 Cuaterniones y rotación en el espacio
 Fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D
 Número taxicab

Referencias

Enlaces externos
 
 

Teoría aditiva de números
Teorema de Pitágoras
Ecuaciones diofánticas
Problemas aritméticos de geometría plana