Denavit-Hartenberg

La convention, ou notation, de Denavit-Hartenberg permet de caractériser la position relative de deux solides avec seulement quatre paramètres (au lieu de six). Ceci au prix de certaines restrictions dans le choix des systèmes de coordonnées (repères). En robotique, on rencontre en fait deux définitions  qui diffèrent légèrement :
 La convention de Denavit-Hartenberg , qui fut introduite en 1955, par Jacques Denavit et Richard S. Hartenberg. 
 La convention de Denavit-Hartenberg modifiée, appelée aussi convention de Khalil-Kleinfinger, qui est préconisée depuis 1986,  (parce qu'elle permet un allègement du formalisme dans les exposés, portant sur les méthodes numériques par récurrence de la dynamique des robots).

Les deux notations sont couramment utilisées pour la modélisation des chaînes cinématiques constituées par des corps solides reliés entre eux par des articulations rotoïdes (pivots) ou prismatiques (glissières). Pour chaque articulation on peut définir l'axe de sa liaison et sa variable articulaire.

À chaque corps Cn de la chaîne est associé un repère (trièdre) orthonormé Rn. Corps et repères sont affectés d'un numéro dénominatif  dans un ordre croissant, n =  1, 2.......N-1, N ; (généralement de la base vers l'extrémité de la chaîne).

Chaque transformation faisant passer du trièdre Rn-1 au trièdre Rn est le produit de deux rotations et de deux translations rangées dans un certain ordre alterné.

Notation de Denavit-Hartenberg 
Les axes de coordonnées sont définis par les règles suivantes :

 L'axe  est porté par l'axe de la liaison reliant le corps Cn-1au corps Cn.   ( est donc porté par l'axe de la liaison reliant le corps Cnau corps Cn+1).
 L'axe  est porté par la normale commune à  et  soit : .
 L'axe  est choisi de manière à former un trièdre direct avec l'axe  et  soit : .

    
La transformation entre les corps successifs Cn-1 et Cn est décrite par les quatre paramètres ci-dessous:
 , la distance selon l'axe  entre les axes  et  . C'est la variable articulaire dans le cas glissière.
 , l'angle autour de l'axe  entre les axes  et  . C'est la variable articulaire dans le cas pivot.
  (ou  ), la distance selon l'axe  entre les axes  et . C'est donc également la longueur de la normale commune.
 , l'angle autour de l'axe  entre les axes  et 
Ici  et  sont des paramètres constitutifs qui caractérisent le corps Cn .

En multipliant les matrices (4x4) de rotation et de translation élémentaire (autour ou le long d'un seul axe) en coordonnées homogènes, on  obtient la matrice de passage en coordonnées homogènes entre les corps Cn-1 et Cn :

.

La matrice de Denavit-Hartenberg modifiée :

Convention de Khalil-Kleinfinger 
À l'instar de la convention de Denavit-Hartenberg, chaque transformation faisant passer du trièdre Rn-1 au trièdre Rn est le produit de deux rotations et de deux translations rangées dans un certain ordre alterné; et formellement les notations sont ressemblantes.

Les axes de coordonnées sont définis par les règles suivantes :
 L'axe   est porté par l'axe de la liaison reliant le corps Cn-1au corps Cn.
 L'axe  est porté par la normale commune à  et  soit : .
 L'axe  est choisi de manière à former un trièdre direct avec l'axe  et  soit : .

Chaque transformation entre les corps successifs Cn-1 et Cn est décrite par quatre paramètres :
 , l'angle autour de l'axe  entre les axes  et 
 ,  ou  , la distance le long de l'axe  entre les axes  et . C'est donc également la longueur de la normale commune.
 , la distance  le long de  l'axe  entre les axes  et  . C'est la variable articulaire dans le cas glissière.
 , l'angle entre autour de l'axe  entre les axes  et  . C'est la variable articulaire dans le cas pivot.

La notation  de Khalil-Kleinfinger est bien adaptée aux algorithmes numériques de la modélisation et aux chaînes arborescentes, mais elle présente une certaine lourdeur dans l'attribution des indices:
Dans le cas pivot, on est amené à poser   pour la variable articulaire et pour les paramètres constitutifs constants caractérisant le corps Cn-1 : 
De même, dans le cas glissière, on est amené à poser   pour la variable articulaire et pour les paramètres constitutifs caractérisant le corps Cn-1 : 

En multipliant les matrices (4x4) de rotation et de translation élémentaire (autour ou le long d'un seul axe) en coordonnées homogènes, on  obtient la matrice de passage en coordonnées homogènes entre les corps Cn-1 et Cn :

La matrice inverse s'écrit :

Remarque : on sait que  et en posant : 
 alors la matrice inverse s'écrit :

Notes et références

Articles connexes 
 Matrice de passage
 Coordonnées homogènes
 Modélisation des robots
 Robotique

Robotique
Wikipédia:ébauche robotique