Класс BPP

В теории алгоритмов классом сложности BPP (от ) называется класс предикатов, быстро (за полиномиальное время) вычислимых и дающих ответ с высокой вероятностью (причём, жертвуя временем, можно добиться сколь угодно высокой точности ответа). Задачи, решаемые вероятностными методами и лежащие в BPP, возникают на практике очень часто.

Формальное определение 

Классом BPP называется класс предикатов P(x), вычислимых на вероятностных машинах Тьюринга (обычных машинах Тьюринга с лентой случайных чисел) за полиномиальное время с ошибкой не более ⅓. Это значит, что вычисляющая значение предиката вероятностная машина Тьюринга даст ответ за время, равное O(nk), где n — длина x, причём если правильный ответ 1, то машина выдаёт 1 с вероятностью как минимум ⅔, и наоборот. Множество слов, на которых P(x) возвращает 1, называется языком, распознаваемым предикатом P(x).

Число ⅓ в определении выбрано произвольно: если вместо него выбрать любое число p, строго меньшее ½, то получится тот же самый класс. Это верно, поскольку если есть машина Тьюринга, распознающая язык с вероятностью ошибки p за время O(nk), то точность можно сколь угодно хорошо улучшить за счёт относительно небольшого прироста времени. Если мы запустим машину n раз подряд, а в качестве результата возьмём результат большинства запусков, то вероятность ошибки упадёт до , а время станет равным O(nk+1). Здесь n запусков машины рассматриваются как схема Бернулли с n испытаниями и вероятностью успеха 1-p, а формула, выражающая ошибку, — вероятность неудачи не менее чем в половине случаев. Если теперь запустить машину n2 раз подряд, то время возрастёт до O(nk+2), а вероятность ошибки упадёт до . Таким образом, с ростом показателя многочлена, оценивающего время, точность растёт экспоненциально, и можно достичь любого нужного значения.

Алгоритмы Монте-Карло 

Вероятностный алгоритм  принимает язык  по стандарту Монте-Карло, если вероятность ошибки алгоритма не превосходит . То есть, , где  — предикат принадлежности слова  языку . Таким образом, класс BPP образуют предикаты такие что для них существует полиномиальный вероятностный алгоритм, принимающий их язык по стандарту Монте-Карло. Такие алгоритмы также называют алгоритмами Монте-Карло.

Связь с алгоритмами Лас-Вегаса 
Пусть  алгоритм Монте-Карло с временной сложностью , где  - длина входа. Также примем за  нижнюю границу вероятности того, что алгоритм Лас-Вегаса  даст корректный результат, а за  алгоритм с временной сложностью , проверяющий результат  на достоверность. В таком случае существует алгоритм  с ожидаемой временной сложностью . Для доказательства представим, что  вызывает  и  до тех пор, пока  не подтвердит корректность результата. Тогда время работы одной итерации такой процедуры составит . Вероятность же того, что будет повторено  итераций равна , а значит, ожидаемое количество итераций равно , исходя из того, что .

Отношения с другими классами 

Сам BPP замкнут относительно дополнения. Класс P включён в BPP, поскольку он даёт ответ за полиномиальное время с нулевой ошибкой. BPP включён в класс  полиномиальной иерархии и, как следствие, включён в PH и PSPACE. Кроме того, известно включение BPP в класс P/Poly.

Квантовым аналогом класса BPP (другими словами, расширением класса BPP на квантовые компьютеры) является класс BQP.

Другие свойства 

До 2002 года одной из наиболее известных задач, лежащих в классе BPP, была задача распознавания простоты числа, для которой существовало несколько различных полиномиальных вероятностных алгоритмов, таких как тест Миллера-Рабина, но ни одного детерминированного. Однако, в 2002 году детерминированный полиномиальный алгоритм был найден индийскими математиками Agrawal, Kayan и Saxena, которые таким образом доказали, что задача распознавания простоты числа лежит в классе P. Предложенный ими алгоритм AKS (названный по первым буквам их фамилий) распознает простоту числа длины n за время O(n4).

Классы сложности