Производная Ли

Производная Ли тензорного поля  по направлению векторного поля  — главная линейная часть приращения тензорного поля  при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем .

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается .

Определения

Аксиоматическое 

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами.
Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

 Производная Ли  от скалярного поля  есть производная  по направлению .
 
 Производная Ли  от векторного поля  есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля  по направлению поля ).
 
 Для произвольных векторных полей и 1-формы  выполняется равенство (тождество Картана)

 (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется

Через поток 
Пусть  — -мерное гладкое многообразие и  — векторное поле на .

Рассмотрим поток  по , определяемый соотношениями
 .

Обратное отображение к дифференциалу ,
 
однозначно продолжается до гомоморфизма  алгебры тензоров над  в алгебру тензоров над .
Таким образом, произвольное тензорное поле  определяет однопараметрическое семейство полей .
Производная Ли может быть определена как

Выражения в координатах 

где  — скаляр.

где  — вектор, а  — его компоненты.

где  — 1-форма, а  — её компоненты.

где  — метрический тензор, а  — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере 
Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере , тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

,

где  и введены следующие обозначения:

,

 — объект неголономности.

Свойства 
  -линейно по  и по . Здесь  — произвольное тензорное поле.
 Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
 На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
 Пусть  и  — векторные поля на многообразии, тогда  есть дифференцирование алгебры , поэтому существует векторное поле , для которого . Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
 Формула гомотопии (тождество Картана): 

Здесь  — дифференциальная -форма,  — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как .
 Как следствие, 
 . Здесь  — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения  (например, любое тензорное поле),  — поднятие векторного поля  на ,  — оператор вертикального проектирования на . (См. далее)

Физический смысл производной Ли 
Пусть векторное поле  есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства  в каждый момент времени  определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля  переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей  из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения

Естественные расслоения 
Пусть  — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: . Произвольное векторное поле  порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов , продолжающуюся с помощью  на пространство расслоения , то есть . Производная этой группы в нуле даёт векторное поле , являющееся продолжением . Группа  также позволяет определить производную Ли по  от произвольных сечений  по такой же формуле, как и в классическом случае:

 
 

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения , то есть ядра отображения , так как . Если  — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм . Оператор вертикального проектирования  позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

Производная Ли по формам 
Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид , где  — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования  определяется по формуле 
 

Здесь  — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме  определяется через суперкоммутатор операторов:
 

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование  супералгебры  однозначно представимо в виде , где ,  — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле  можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература

См. также 
 Поле Киллинга

Дифференциальная геометрия и топология
Дифференциальные операторы