Электрический поток

Электри́ческий пото́к ― поток вектора напряжённости электрического поля () или электрической индукции () через некоторую поверхность . Вычисляется как интеграл по этой поверхности:
  или .
На практике используются обе величины. В зависимости от того, какая подразумевается в конкретном контексте, размерностью электрического потока являются вольт на метр (Вм, для ) или кулон (Кл, для ). Во избежание путаницы, к обозначению потока может добавляться поясняющий символ: , .

Одна из наиболее значимых формул, в которых фигурирует электрический поток (), ― электростатическое уравнение Максвелла (в интегральной форме).

Общий случай 
В общем случае электрический поток рассчитывается как поверхностный интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой элементарный поток (например ), то есть скалярное произведение вектора  в данной точке на малый векторный элемент площадки:
 . 
Элемент  записывается как произведение площади  данной площадки на единичный вектор нормали к ней , так что выражение для элементарного потока приобретает вид
 ,
где через  обозначен угол между векторами  и . Далее проводится численное интегрирование — фактически суммирование по таким элементарным участкам площади:
 . 
При вычислении  выполняются аналогичные действия, только с вектором . В общем случае не существует простой связи ни между  и , ни между  и .

Случай однородного поля 
Если электрическое поле однородно вблизи поверхности , оно при интегрировании выносится за знак интеграла и электрический поток определяется по формуле
,
а если ещё поверхность плоская, то по формуле
.
Если однородно поле , подобное упрощение возможно для . При этом однородность  не всегда означает однородность  и наоборот.

Случай слабых полей 
В ситуации со слабыми электрическими полями, отсутствием анизотропии и дисперсии, векторы электрической индукции и напряжённости электрического поля связаны формулой:
 ,
где  ― диэлектрическая постоянная, а  — диэлектрическая проницаемость среды, вообще говоря, зависящая от координат.

В таком случае для элементарных потоков  и  имеется простое соотношение:
 . 

Если, кроме того, диэлектрик однороден (const), то полные потоки оказываются также связаны константой:
 . 
Для вакуума () выписанные здесь соотношения верны при любых по величине полях.

Теорема Гаусса и поток 
Согласно теореме Гаусса, электрический поток через замкнутую поверхность  равен сумме всех находящихся внутри этой поверхности зарядов. Выражение теоремы может быть записано для потока как , так и :
 ,
 ,
но смысл понятия «все заряды» различен. В случае  имеются в виду вообще все заряды () — свободные и связанные (возникающие при поляризации диэлектрика), а в случае  — только свободные (). 

Теорема Гаусса для электрической индукции стала одним из уравнений Максвелла, в нём обычно заменяют заряд его записью через плотность заряда (свободного):
 ,
где в правой части предполагается интегрирование по объёму, заключённому внутри поверхности .

См. также 
 Магнитный поток

Литература 
 Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Изд.3-е., М: Высшая школа, 1968.-412с.

Примечания 
 1. Поля считаются слабыми, если смещение связанных зарядов, а следовательно, вызванная ими поляризация, линейно зависят от данного поля.

Электромагнетизм