Коэффициент связи резонаторов

Коэффициент связи резонаторов — безразмерная величина, характеризующая степень взаимодействия двух резонаторов

Коэффициенты связи используют в теории резонаторных фильтров. Резонаторы фильтров могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов коэффициенты связи являются обобщенными параметрами фильтров. Для осуществления настройки амплитудно-частотной характеристики фильтра бывает вполне достаточно ограничиться оптимизацией только этих обобщенных параметров.

Эволюция определения термина 
Этот термин в теорию фильтров впервые ввел M. Dishal [1]. В некоторой степени он является аналогом коэффициента связи двух индуктивностей или коэффициентов связи двух колебательных контуров. Значение этого термина многократно уточнялось с развитием теории связанных резонаторов и фильтров. Более поздние определения коэффициента обобщают или уточняют предшествующие определения.

Коэффициент связи, рассматриваемый как положительная константа 
Из ранних определений коэффициента связи резонаторов широко известны определения, содержащиеся в монографии Г. Маттея и др [2].
Следует сразу оговориться, что эти определения являются приближенными, так как они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. В монографии [2] коэффициент связи  для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой

 (1)

где   — частоты четных и нечетных связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов, а  Видно, что коэффициент связи, выражаемый формулой (1), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте 

В случае, когда паре связанных резонаторов с одинаковыми резонансными частотами можно сопоставить соответствующую эквивалентную схему с инвертором сопротивления (проводимости), нагруженным с обеих сторон на резонансные двухполюсники, коэффициент связи  определяется формулой

 (2)

для резонаторов последовательного типа и формулой

 (3)

для резонаторов параллельного типа. Здесь   — параметры инвертора сопротивления и инвертора проводимости,   — параметры крутизны реактивного сопротивления первого и второго резонатора последовательного типа на резонансной частоте  а   — параметры крутизны реактивной проводимости первого и второго резонатора параллельного типа.

Когда резонаторами являются колебательные LC-контуры, коэффициент связи, согласно формулам (2) и (3), принимает значение

 (4)

для резонаторов с индуктивной связью и значение

 (5)

для резонаторов с ёмкостной связью. Здесь   — индуктивность и ёмкость первого контура,   — индуктивность и ёмкость второго контура, а   — межконтурная (взаимная) индуктивность и межконтурная ёмкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических цепей. Они выражают значения коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи колебательных контуров.

Коэффициент связи, рассматриваемый как имеющая знак константа 
Уточнение приближенной формулы (1) было сделано в [3]. Точная формула имеет вид

 (6)

При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Формула (6) стала общепризнанной. Она в частности приведена в часто цитируемой монографии Дж-Ш. Хонга [4]. Видно, что коэффициент связи резонаторов  имеет отрицательное значение, если 

Согласно определению (6), коэффициент индуктивной связи колебательных контуров  по-прежнему выражается формулой (4). Он имеет положительное значение при  и отрицательное значение при 

Коэффициент же ёмкостной связи колебательных контуров  всегда отрицателен. Согласно (6), формула (5) для коэффициента ёмкостной связи колебательных контуров приобретает иной вид

 (7)

Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как по магнитному, так и по электрическому полю. Связь по магнитному полю характеризуют коэффициентом индуктивной связи  а связь по электрическому полю — коэффициентом ёмкостной связи  Абсолютные величины  и  обычно монотонно убывают с увеличением расстояния между резонаторами. Скорость убывания одного из них может отличаться от скорости убывания другого. Однако абсолютная величина суммы коэффициентов  и  может не только убывать, но и возрастать на некотором участке с увеличением расстояния [5].

Сложение коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи резонаторов выполняется по формуле [3]

 (8)

Эта формула получается из определения (6) с учётом формул (4) и (7).

Следует заметить, что сам по себе знак коэффициента связи  значения не имеет. Свойства резонаторного фильтра не изменятся, если одновременно поменять в нём знаки всех коэффициентов связи. Однако он важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и в частности при сложении коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи.

Коэффициент связи, рассматриваемый как функция частоты вынужденных колебаний 
Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается возможностью передачи энергии вынужденных колебаний от одного резонатора к другому. Поэтому взаимодействие резонаторов правильнее характеризовать не множеством констант  отвечающих дискретному спектру резонансных частот  а одной непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний 

Очевидно, что эта функция должна отвечать условию

 (9)

Кроме того, функция  должна обращаться в нуль на тех частотах  на которых отсутствует передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому, то есть должна отвечать и второму условию

 (10)

Нуль передачи мощности в частности возникает в колебательных контурах с комбинированной индуктивно-ёмкостной связью, когда взаимная индуктивность  Его частота  выражается формулой [6]

 (11)

На основе энергетического подхода в [6] было сформулировано определение функции  обобщающей формулу (6) и удовлетворяющей условиям (9) и (10). Эта функция по формуле (8) выражается через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и ёмкостной связи  и  определяемые формулами

 (12)

 (13)

Здесь  обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасаемую обоими резонаторами. Черта над  обозначает постоянную составляющую энергии, а точка — амплитуду колеблющейся составляющей энергии. Индекс  обозначает магнитную часть энергии, а индекс  — электрическую часть энергии. Индексы 11, 12 и 22 обозначают части запасаемой энергии, пропорциональные соответственно   и  где  — комплексная амплитуда напряжения на порте первого резонатора, а  — комплексная амплитуда напряжения на порте второго резонатора.

Из определений (12) и (13) в частности получаются формулы для частотной зависимости коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи произвольных колебательных контуров [6]

 (14)

 (15)

где  — резонансные частоты первого и второго контура, возмущенные связями. Видно, что значения функций  и  при  совпадают с константами  и  определяемыми формулами (4) и (5). Кроме того, функция  рассчитываемая по формулам (8), (14) и (15), обращается в нуль на частоте  выражаемой формулой (11).

Коэффициенты связи в теории фильтров

Полосно-пропускающие фильтры с линейной топологией связей 
Теория микроволновых узкополосных полосно-пропускающих фильтров с чебышёвской частотной характеристикой изложена в монографии [2]. В таких фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту заданной полосы пропускания  Каждый из резонаторов связан не более чем с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух крайних резонаторов связан с одним соседним резонатором и с одним из двух портов фильтра. Такую топологию связей резонаторов называют линейной. При линейной топологии связей существует только один канал прохождения микроволновой мощности от входного порта к выходному порту.

Для фильтров с линейной топологии связей в монографии [2] приведен вывод приближенных формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов  отвечающих заданной амплитудно-частотной характеристике фильтра, где  и  — порядковые номера связанных резонаторов. При выводе формул использовались фильтры-прототипы нижних частот, а также формулы (2) и (3). Амплитудно-частотные характеристики фильтров-прототипов описываются многочленами Чебышёва. Впервые эти формулы были опубликованы в [7]. Они имеют вид

 (16)

где   — нормированные параметры фильтра-прототипа нижних частот,  — порядок многочлена Чебышёва, равный числу резонаторов в фильтре,  — граничные частоты полосы пропускания.

Значения нормированных параметров  для заданной полосы пропускания фильтра рассчитываются по формулам

 

  (17)

 если  четное,

 если  нечетное.

Здесь использованы обозначения

  (18)

  

где  — требуемая неравномерность затухания в полосе пропускания, выраженная в децибелах.

Формулы (16) являются приближенными не только потому, что при их выводе использовались приближенные определения коэффициентов (2) и (3). Точные выражения для коэффициентов связи в фильтре-прототипе были получены в [8]. Однако и после уточнения эти формулы остаются приближенными при конструировании реальных фильтров. Их точность зависит от конструкции фильтра и конструкции его резонаторов. Она повышается с уменьшением относительной ширины полосы пропускания.

В [9] было показано, что причина погрешности формул (16) и их уточненного варианта связана с частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для резонаторов и фильтров различных конструкций. Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи  на частоте  зависят не только от параметров требуемой полосы пропускания фильтра, но и значений производных  Это значит, что точные значения коэффициентов  обеспечивающих требуемую полосы пропускания фильтра, не могут быть заранее известны. Их можно установить лишь после оптимизации фильтра. Поэтому формулы (16) можно использовать только в качестве начальных значений для обобщенных параметров фильтров перед их оптимизацией.

Приближенные формулы (16) также позволяют установить ряд общих закономерностей, присущих любым фильтрам с линейной топологией связей. Например, увеличение текущей ширины полосы пропускания фильтра требует приблизительно пропорционального увеличения всех коэффициентов связи  Коэффициенты  симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах с неравными волновыми сопротивлениями линий передачи на входном и выходном порте. Величина коэффициентов  монотонно убывает при переходе от крайних пар резонаторов к центральной паре.

Реальные конструкции фильтров с линейной топологией связи в отличие от их фильтров-прототипов могут иметь нули прохождения в полосах заграждения [10]. Нули прохождения существенно улучшают селективные свойства фильтров. Одной из причин возникновения нулей является частотная дисперсия коэффициентов связи  для одной или нескольких пар резонаторов фильтра, выражающаяся в их обращении в нуль на частоте нуля прохождения мощности [11].

Полосно-пропускающие фильтры с перекрестными связями 
Для формирования нулей прохождения в полосах заграждения фильтров с целью повышения их селективных свойств, в фильтрах помимо ближайших связей часто создают дополнительные связи между резонаторами, которые называют перекрестными. Такие связи приводят к образованию нескольких каналов прохождения электромагнитной волны от входного порта фильтра к выходному порту. Амплитуды волн, прошедшие по разным каналам фильтра, при суммировании на выходе могут полностью погашаться на отдельных частотах, приводя к образованию нулей прохождения.

Для описания связей резонаторов в таких фильтрах используют матрицу связей  размерности  [12, 4]. Она симметрична. Её каждый недиагональный элемент  является коэффициентом связи i-го и j-го резонаторов  Каждый диагональный элемент  является реактансом (иммитансом) i-го резонатора на центральной частоте . В настроенном фильтре все элементы  равны нулю, так реактансы на резонансных частотах обращаются в нуль.

Достоинством матриц  является то, что они позволяют непосредственно рассчитать частотную характеристику для эквивалентной схемы фильтра, содержащей индуктивно связанные колебательные контуры [12, 4]. Поэтому их удобно использовать при проектировании фильтров с перекрестными связями. В частности матрицы  часто используют при оптимизации фильтров в качестве их грубой модели. Использование грубой модели позволяет многократно ускорить оптимизацию фильтра за счет того, расчет частотной характеристики грубой модели практически не требует затрат машинного времени по сравнению с расчетом характеристики реального фильтра.

Примечания

Литература 
 Dishal. M. Design of dissipative band-pass filters producing desired exact amplitude-frequency characteristics // Proc. IRE. — Sept. 1949. — Vol. 37. — № 9. — P. 1050—1069.
 Маттей Г. Л., Янг Л., Джонс Е. М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т. 1. — М.: Связь, 1971. — 439 с.
 Тюрнев В. В., Беляев Б. А. Взаимодействие параллельных микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1990. Вып. 4(428). — С. 25-30.
 Hong J-S. Microstrip filters for RF/microwave applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011. — 635 p.
 Беляев Б. А., Титов М. М., Тюрнев В. В. Коэффициент связи нерегулярных микрополосковых резонаторов // Известия вузов. Радиофизика. — 2000. — Т. 43. — № 8. — С. 722—727.
 Тюрнев В. В. Коэффициент связи асимметричной пары СВЧ резонаторов // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47. — № 1. — С. 5-13.
 Cohn S.B. Direct-coupled-resonator filter // Proc. IRE. — 1957. — V. 45. — № 2. — P. 187—196.
 Тюрнев В. В. Прямой вывод и уточнение обобщенных формул Кона-Маттея для коэффициентов связи резонаторов в фильтре сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2008. — Т. 53. — № 5. — С. 584—587.
 Тюрнев В. В. Влияние частотной дисперсии коэффициентов связи резонаторов на погрешность формул прямого синтеза фильтров сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2009. — Т. 54. — № 3. — С. 314—317.
 Беляев Б. А., Лексиков А. А., Тюрнев В. В. Частотно-селективные свойства многозвенных фильтров на регулярных микрополосковых резонаторах // Радиотехника и электроника. — 2004. — Т. 49. — № 11. — С. 1315—1324.
 Беляев Б. А., Тюрнев В. В. Частотно-зависимые коэффициенты связи микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. СВЧ-техника. — 1992. — Вып. 4(448). — С. 23-27.
 Cameron R.J., Kudsia C.M., Mansour R.R. Microwave filters for communication systems: fundamentals, design, and applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2007. — 771 p.

Ссылки 
 V.V. Tyurnev. Coupling coefficients of resonators in microwave filter theory // Progress In Electromagnetics Research B, V. 21, P. 47-67, 2010.

Электротехника
Теория колебаний
Элементы и устройства СВЧ-трактов
Электрические фильтры