Demi-groupe

En mathématiques, plus précisément en algèbre générale, un demi-groupe (ou semi-groupe) est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne associative. Il est dit commutatif si sa loi est de plus commutative.

Définition 
Un demi-groupe est un magma associatif. Autrement dit, c'est un couple   composé d'un ensemble  et d'une opération  qui vérifie la propriété d'associativité :  pour tous ,  et  dans .

Exemples 

 L'ensemble des entiers naturels non nuls muni de l'addition est un demi-groupe.
 Tout monoïde est un demi-groupe.
 Tout groupe est un demi-groupe.
 Si  est un pseudo-anneau, alors  est un demi-groupe.
 L'ensemble vide muni de la loi de composition interne est un demi-groupe.
 Tout ensemble ordonné dont toute paire d'éléments possède une borne inférieure, muni de la loi qui leur associe cette borne inférieure, constitue un demi-groupe commutatif.
 Pour tout demi-groupe , l'ensemble des parties de  est également un demi-groupe pour l'opération définie par

Historique 

L'étude des demi-groupes, en tant que structure algébrique, commence avec des travaux russes, notamment ceux d', qui détermina en 1928 la structure des semi-groupes simples finis, puis ceux d'Evgenii Sergeevich Lyapin. Quelques années plus tard, des travaux fondateurs furent menés par David Rees, James Alexander Green, Alfred H. Clifford et Gordon Preston. Puis la théorie des demi-groupes finis s'est beaucoup développée, en liaison avec la théorie des automates, sous l'impulsion de Marcel-Paul Schützenberger et Samuel Eilenberg notamment. Elle est directement liée aux variétés de langages formels.

Depuis 1970 paraît un périodique, Semigroup Forum, consacré à la théorie des demi-groupes.

Concepts essentiels

Élément neutre 
Un élément neutre du demi-groupe  est un élément  de   tel que  pour tout  dans . Lorsque  a un  élément neutre, on dit que c'est un monoïde . 

Il est d'usage de noter  le monoïde obtenu par l'ajout à  d'un élément supplémentaire, qui déterminera  comme l'unique prolongement de  à  qui fait de ce nouvel élément l'élément neutre de  ce dernier restant  s'il est déjà unifère. Formellement

Dans le deuxième cas,  est un objet quelconque qui ne figure pas dans , et la loi  sur  est étendue à  en posant
 pour tout  dans 

Lorsque le demi-groupe  est commutatif, le monoïde  l'est aussi. On définit alors son groupe symétrisé ou groupe de Grothendieck .
Si de plus  est simplifiable (c'est-à-dire si tous ses éléments sont réguliers) alors  l'est aussi, donc le morphisme canonique de  dans  (via  ) est injectif.

Zéro 

L'élément absorbant, aussi appelé zéro d'un demi-groupe  est un élément  tel que  pour tout  dans . Par exemple, le nombre 0 est un zéro des entiers naturels pour la multiplication. Si un demi-groupe possède un zéro, il est unique.

Morphisme de demi-groupes 
Soient  et  deux demi-groupes. Une application  est un morphisme de demi-groupes si  pour tous . 
Par exemple, l'application  est un morphisme du demi-groupe des entiers naturels munis de l’addition dans le demi-groupe des puissances entières de 2 munis de la multiplication.

Sous-demi-groupe 

Un sous-demi-groupe d'un demi-groupe  est un sous-ensemble de  fermé sous l'opération de . Un sous-monoïde d'un monoïde  est un sous-demi-groupe de  qui contient l'élément neutre de .

Ainsi l'ensemble ℕ des nombres naturels, muni de la multiplication, est un demi-groupe commutatif dont l'ensemble 2ℕ des nombres pairs est un sous-demi-groupe . ℕ est alors un monoïde avec élément neutre 1 alors que 2ℕ n'est qu'un demi-groupe.

Un sous-demi-groupe d'un monoïde  peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de . Par exemple dans le monoïde multiplicatif ℕ ci-dessus, le sous-demi-groupe {0} est le monoïde trivial, mais n'est pas un sous-monoïde de ℕ, car il ne contient pas l'élément neutre de ℕ.

Inverses 

Il existe dans les demi-groupes une notion de pseudoinverse et une notion d'inverse, qui généralise celle d'élément symétrique dans les groupes :

 est un pseudoinverse de  si .
 est un inverse de  si  et .

Tout inverse est évidemment un pseudoinverse. Réciproquement, si  est un pseudoinverse de  alors  est un inverse de , puisque  et .

En algèbre linéaire, le pseudo-inverse d'une matrice est un inverse pour le semi-groupe multiplicatif des matrices.

Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dans lequel tout élément admet au moins un pseudoinverse ou (ce qui, d'après ce qui précède, est équivalent) au moins un inverse. 

Un demi-groupe inversif est un demi-groupe dans lequel tout élément admet un unique inverse.

Idéaux 
Une partie  d'un demi-groupe  est un idéal à gauche (à droite) si , . C'est un idéal (bilatère) s'il est à la fois un idéal à droite et à gauche. Pour tout élément  de , l'ensemble , ,  est l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par . Un idéal est propre s'il est non vide et distinct du demi-groupe tout entier.

Le zéro, s'il existe, est un idéal bilatère propre si  ne se réduit pas à cet élément.

Idéal minimal 
Le produit  d'idéaux  est un idéal contenu dans leur intersection. Il en résulte que si les idéaux  ne sont pas vides, leur intersection ne l'est pas non plus.

Un idéal non vide  est minimal s'il ne contient pas d'autre idéal non vide. Ainsi, un idéal minimal, vu comme demi-groupe, est un demi-groupe simple. Comme l'intersection de deux idéaux non vides est un idéal non vide, un demi-groupe possède au plus un seul idéal minimal. L'existence d'un idéal minimal est assurée dans le cas d'un demi-groupe fini (on prend simplement l'intersection de tous les idéaux non vides).

Si un demi-groupe  possède un zéro , il est à lui tout seul l'idéal minimal de . Un idéal  de  est -minimal s'il est non vide, différent de , et ne contient pas d'autre idéal non vide. Un idéal 0-minimal , vu comme demi-groupe, est un demi-groupe 0-simple sauf si .

Exemple  Le demi-groupe  défini par  pour  possède deux idéaux 0-minimaux, à savoir  et .

Quotient de Rees 

Soit  un demi-groupe et soit  un idéal de . Le quotient de Rees  de  par  est le demi-groupe quotient de  par la congruence de Rees , définie par
.
Si  est vide, . Si ,  est un singleton. Si , on emploie la construction suivante : On dénote la classe de  par , et on identifie les autres classes à leur unique élément. Alors , avec la multiplication  définie comme suit :  est un zéro, et

Le quotient de Rees est nommé ainsi d'après son concepteur, le mathématicien David Rees.

Exemple  Dans le monoïde libre  engendré par un alphabet  à deux lettres au moins, on considère l'idéal des mots contenant un mot carré, c'est-à-dire l'ensemble des mots de la forme , où  sont des mots, et  n'est pas le mot vide. Le quotient de Rees est composé des mots sans carré de , et d'un zéro. Si  est composé de deux lettres  et , le quotient de Rees est fini et formé de , du mot vide et du zéro. Si  a plus de deux lettres, ce quotient de Rees est infini.

Demi-groupe simple et 0-simple 

 Un demi-groupe  est simple si ses seuls idéaux sont  et S.
 Un demi-groupe  est 0-simple s'il possède un zéro noté , si  et si  et  sont ses seuls idéaux. Comme  est un idéal non vide, la seule possibilité qui reste est . Un demi-groupe 0-simple ne se réduit donc pas à son zéro.

Exemples Le demi-groupe bicyclique est simple. Tout groupe est simple en tant que demi-groupe.
Un 0-groupe est un demi-groupe de la forme , où  est un groupe et où  est un élément qui joue le rôle d'un zéro et qui n'est pas dans . La loi de  est donc étendue à  par  pour  dans . On écrit en général  pour . Plus généralement, si  est un demi-groupe non vide, on note  le demi-groupe avec zéro obtenu en ajoutant un zéro à . Un 0-groupe est un demi-groupe 0-simple.

Références

Littérature 
Histoire des demi-groupes

 .
 
 
Ouvrages historiques

  
 
 

Ouvrages classiques

 
 
 

 

Ouvrages récents

Articles connexes 
 
 Théorème des variétés d'Eilenberg
 Demi-groupe 3x+1
 Demi-groupe automatique
 Demi-groupe numérique