Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony

La ecuación de Benjamin – Bona – Mahony o ecuación de BBM, también conocida como ecuación de onda larga regularizada ( RLWE, por sus siglas en inglés ), es la  ecuación diferencial parcial siguiente:

Esta ecuación fue estudiada por Benjamin, Bona y Mahony (1972) como una mejora de la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación de KdV) para modelar ondas de gravedad superficiales largas de pequeña amplitud propagándose unidireccionalmente en dimensiones 1+1. Muestran la estabilidad y singularidad de las soluciones a la «ecuación de BBM». Esto contrasta con la «ecuación de KdV», que es inestable en sus componentes de alto número de onda. Además, mientras que la «ecuación de KdV» tiene un número infinito de integrales de movimiento, la ecuación de BBM solo tiene tres.

Antes, en 1966, esta ecuación fue introducida por Peregrine, en el estudio de los orificios irregulares.

Una versión generalizada n-dimensional viene dada por:

donde  es una función suficientemente suave desde  hasta  demuestra la existencia global de una solución en todas las dimensiones.

Solución de onda solitaria 
La ecuación de BBM posee soluciones de onda solitaria de la siguiente forma:

donde «sec» es la función secante hiperbólica y  es un desplazamiento horizontal inicial de fase. Para , las ondas solitarias tienen una elevación positiva o cresta, y viajan en el sentido positivo del eje de coordenadas  con la velocidad  Estas ondas solitarias no son  solitones, es decir, después de interactuar con otras ondas solitarias, se genera una cola oscilatoria y las ondas solitarias han cambiado.

Estructura de Hamilton  
La ecuación de BBM tiene una estructura hamiltoniana por lo que puede formularse de la siguiente manera:

  con el  hamiltoniano    y el operador  

Aquí  es la variación de la función escalar hamiltoniana  con respecto a , siendo  el operador derivada parcial con respecto a

Leyes de conservación  
La ecuación de BBM posee exactamente tres  leyes de conservación independientes y no triviales. En primer lugar  estáreemplazado por  en la «ecuación  BBM» que lleva a la siguiente ecuación equivalente:

Las tres leyes de conservación son:

Que puede expresarse fácilmente en términos de  mediante el uso de .

Dispersión lineal  
La versión linealizada de la «ecuación de BBM» es:

Las soluciones periódicas de onda progresiva son de la forma:

donde  es el número de onda y  la frecuencia angular. La relación de dispersión de la «ecuación BBM» linealizada es:

De manera similar, para la «ecuación linearizada de KdV»  la relación de dispersión es

vyo valor se vuelve ilimitado y negativo     y lo mismo se aplica a la velocidad de fase  y para la velocidad de flujo  En consecuencia, la «ecuación KdV» da ondas que viajan en el sentido negativo del eje  para altos números de onda, es decir,para longitudes de onda cortas. Esto contrasta con su propósito como una aproximación para las ondas unidireccionales que se propagan en el positivo  del eje .

El fuerte crecimiento de la frecuencia  y velocidad de fase con número de onda  planteó problemas en la solución numérica de la «ecuación de KdV», mientras que la «ecuación de BBM» no tiene estas deficiencias.

Referencias

Bibliografía 

 (Warning: On p. 174 Zwillinger misstates the Benjamin–Bona–Mahony equation, confusing it with the similar KdV equation.)

Ecuaciones de dinámica de fluidos
Ecuaciones en derivadas parciales