Interior (topología)

Sea  un espacio topológico, y . Se define el interior de  (notado , , o ) como la unión de todos los abiertos contenidos en . Es decir,  si y solo si V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en  (ver #Ejemplos).

Caracterización 
Constructivamente, se define . Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

Caso general 
El interior topológico se puede caracterizar en el caso general por medio de entornos de la siguiente manera: 
Se dice que un punto  solo si  es un entorno de este punto. Es decir, si existe un abierto  de tal manera que .

Caso de espacios métricos 
Si  consiste en un espacio métrico, se puede desarrollar aún más:

 

En este caso, un punto  es parte del interior de  solamente si existe una bola abierta contenida en , centrada en el punto  con radio , o sea, radio positivo (esto se desprende de la definición: una bola abierta necesariamente tiene radio positivo).

Propiedades 
Las siguientes son las principales propiedades del interior:
 
  es abierto si y solo si 
 
 
  (pues ambos son conjuntos abiertos y cerrados, por definición de una topología)
 
  
 
 El interior de , la frontera de  y el exterior de  constituyen una partición de . Es decir:  y , , y 

Hay conjuntos cuyo interior es el conjunto vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales  y los racionales  en la recta real. Pues si consideramos k un elemento de ℚ y el intervalo abierto <k-r, k+r>, este intervalo que conlleva k no está incluido en ℚ.

Ejemplos

Ejemplo elemental sobre la recta real 
El interior del conjunto en forma de intervalo  es precisamente , se puede ver que ese conjunto es abierto y contenido en I, por tanto la unión de cualquier colección numerable de subintervalos abiertos de I de la forma  con  será de la forma:

Dado que todos ellos están incluidos en , por otra parte el conjunto  no es abierto, y por esa razón el mayor conjunto abierto posible contenido en él es . Para completar los detalles de la prueba habría que ver que cualquier subconjunto abierto de  está contenido en , cosa que es sencilla probando que cualquier conjunto de abierto contenido en  es una uniónde intervalos de la forma  (con la condición de que ).

De manera similar se puede demostrar que , que  o que  (en este caso el propio conjunto es su interior).

Círculos y Circunferencias en  
La circunferencia unidad S1 tiene interior vacío. Es decir

Este caso es bastante claro si uno se da cuenta de que no existe una bola abierta que sea contenida en esta circunferencia. Si consideramos los puntos en el círculo cerrado D1

entonces notamos que . Podemos construir este caso fácilmente:
 Primero considera la bola abierta y todos sus puntos; uno nota que  porque  y es abierto.
 Ahora, considera cualquier punto . Sabemos que  y que , entonces considera cualquier : demostramos que existe un punto en cualquier bola abierta centrada en  que no está contenido en D1. Dado una bola , el punto , sin embargo sabemos que  (porque ), entonces  porque . Al saber que  entonces  que nos deja concluir que . Esto implica inmediatamente que . Por esto sabemos que .
Usando ambas proposiciones podemos concluir que  que es lo que buscábamos comprobar.

Notas y referencias 

Topología general
Operadores de cierre