Центральная прямая

Центральные прямые — это некоторые специальные прямые, связанные с треугольником и лежащие в плоскости треугольника. Особое свойство, которое отличает прямые как центральные прямые, проявляется через уравнение прямой в трилинейных координатах. Это особое свойство также связано с понятием . Понятие центральной прямой было введено Кларком Кимберлингом в статье, опубликованной в 1994 году.

Определение 
Пусть ABC — треугольник, и пусть (x : y : z) — трилинейные координаты произвольной точки в плоскости треугольника ABC. Прямая линия в плоскости треугольника ABC будет центральной прямой треугольника ABC, если её уравнение в трилинейных координатах имеет вид
 f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0
где точка с трилинейными координатами (f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c)) является центром плоского треугольника ABC.

Центральные прямые как трилинейные поляры 
Геометрически связь между центральной прямой и связанным с ней центром может быть выражена с использованием термина трилинейной поляры и изогонального сопряжения. Пусть X = (u (a, b, c) : v (a, b, c) : w (a, b, c)) — центр треугольника. Тогда уравнение трилинейной поляры треугольного центра X есть
 x / u (a, b, c) + y / v (a, b, c) y + z / w (a, b, c) = 0.
Аналогично Y = (1 / u (a, b, c) : 1 / v (a, b, c) : 1 / w (a, b, c)) является изогональным сопряжением центра X.

Таким образом, центральная прямая, описываемая уравнением
 f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0,
является трилинейной полярой при изогональном сопряжении центра (f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c)).

Построение центральных прямых 

Пусть X — любой центр треугольника ABC.
 Проведём прямые AX, BX и CX и построим их отражения относительно биссектрис углов треугольника при вершинах соответственно A, B, C.
 Отражённые прямые пересекутся, и точка их пересечения будет изогональным сопряжением Y точки X.
 Пусть чевианы AY, BY, CY пересекают противоположные стороны треугольника ABC в точках A' , B' , C' . Тогда треугольник A’B’C'  является чевианным треугольником точки Y.
 Треугольник ABC и чевианный треугольник A’B’C'  находятся в перспективе, и пусть прямая DEF — ось перспективности двух треугольников. Прямая DEF — трилинейная поляра точки Y. Прямая DEF — центральная прямая, связанная с центром X.

Некоторые именные центральные прямые 
Пусть Xn — n-й центр треугольника в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга. Центральная прямая, связанная с Xn обозначается как Ln. Некоторые именные центральные линии даются ниже.

Центральная прямая, связанная с X1, то есть с центром вписанной окружности: антиортовая ось 
Центральная прямая, связанная с инцентром X1 = (1 : 1 : 1) (также обозначаемым как I) даётся уравнением
 x + y + z = 0.
Эта прямая является антиортовой осью треугольника ABC.
 Изогонально сопряженный инцентру треугольника ABC центр — это сам инцентр. Таким образом, антиортовая ось, которая является центральной линией, связанной с инцентром, является осью перспективности треугольника ABC и чевианного треугольник инцентра треугольника ABC.
 Антиортовая ось треугольника ABC является осью перспективности треугольника ABC и треугольника центров трёх вневписанных окружностей (треугольник трёх внешних биссектрис) I1I2I3 треугольника ABC.
 Треугольник, боковые стороны которого внешне касаются трёх центров вневписанных окружностей треугольника ABC является внешне тангенцальным треугольником (the extangents triangle) треугольника ABC. Треугольник ABC и его внешне тангенцальный треугольник находятся в перспективе, и ось их перспективности является антиортовой осью треугольника ABC.

Центральная прямая, связанная с X2, то есть с центроидом: ось Лемуана 
Трилинейное координаты центроида X2 (также обозначается как G) треугольника ABC есть (1 / a : 1 / b : 1 / c). Таким образом, центральная прямая, связанная с центроидом (центром тяжести) в трилинейных координатах задаётся уравнением
 x / a + y / b + z / c = 0.
Эта прямая является осью Лемуана треугольника ABC.
 Изогонально сопряженная центроиду X2 точка является точкой Лемуана X6 (точка пересечения трёх симедиантреугольника) (также обозначается как K), имеющая трилинейные координаты (a : b : c). Таким образом, ось Лемуана треугольника ABC является трилинейной полярой точки пересечения симедиан треугольника ABC.
 Тангенциальный треугольник треугольника ABC является треугольник TATBTC, образованный касательными к окружности треугольника ABC в его вершинах. Треугольник ABC и его тангенциальный треугольник находятся в перспективе, а их осью перспективности является ось Лемуана треугольника ABC.

Центральная прямая, связанная с X3, то есть с центром описанной окружности: Ось высот (Orthic axis) 

Трилинейные координаты центра описанной окружности X3 (также обозначается как O) треугольника ABC есть (cos A : cos B : cos C). Таким образом, центральная прямая, связанная с центром описанной окружности в трилинейных координатах задаётся уравнением
 x cos A + y cos B + z cos C = 0.
Эта прямая является осью высот треугольника ABC.
 Изогональным сопряжением центра описанной окружности X6 является ортоцентр X4 (также обозначается как H), имеющий трилинейные координаты (sec A : sec B : sec C). Таким образом, ось высот треугольника ABC является трилинейной полярой ортоцентра для треугольника ABC. Ось высот треугольника ABC является осью перспективности треугольника ABC и его треугольника высот (orthic triangle) HAHBHC.

Центральная прямая, связанная с X4, то есть с ортоцентром 

Трилинейные координаты ортоцентра X4 ((также обозначается как H) треугольника ABC есть(sec A : sec B : sec C). Таким образом, центральная прямая, связанная с центром описанной окружности в трилинейных координатах задаётся уравнением
 x sec A + y sec B + z sec C = 0.
 Изогональным сопряжением ортоцентра треугольника является центр описанной окружности треугольника. Таким образом, центральная прямая, связанная с ортоцентром, является трилинейной полярой центра описанной окружности.

Центральная прямая, связанная с X5, то есть с центром окружности девяти точек 

Трилинейные координаты центра окружности девяти точек X5 (также обозначается как N) треугольника ABC есть (cos (B − C) : cos (C − A) : cos (A − B)).. Таким образом, центральная прямая, связанная с центром окружности девяти точек в трилинейных координатах задаётся уравнением
 x cos (B − C) + y cos (C − A) + z cos (A − B) = 0.

 Изогональное сопряжение центра окружности девяти точек треугольника ABC есть точка Коснита X54 треугольника ABC.. Таким образом, центральная прямая, связанная с центром окружности девяти точек является трилинейной полярой для точки Коснита.
 Точка Коснита строится следующим образом. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Пусть OA, OB, OC — центры описанных окружностей соответственно треугольников BOC, COA, AOB.Прямые AOA, BOB, COC пересекаются в одной точке, и точка их пересечения это — точка Коснита для треугольника ABC. Ее название связано J. Rigby.

Центральная прямая, связанная с X6, то есть с точкой пересечения симедиан: бесконечно удаленная прямая 

Трилинейные координаты точки пересечения трех симедиан (Точка Лемуана) X6 (также обозначается как K) треугольника ABC есть (a : b : c). Таким образом, центральная прямая, связанная с точкой пересечения трех симедиан в трилинейных координатах задаётся уравнением
 a x + b y + c z =0.
 Эта линия является бесконечно удаленной прямой в плоскости треугольника ABC.
 Изогональное сопряжённой к точке пересечения симедиан треугольника ABC является центроидом треугольника ABC. Таким образом, центральная прямая, связанная с точкой пересечения симедиан, является трилинейной полярой центроида. Она является осью перспективности треугольника ABC и его дополнительного треугольника (он же — серединный треугольник = medial triangle).

Некоторые другие именные центральные прямые

Прямая Эйлера 
Прямая Эйлера треугольника ABC является прямой, проходящей через центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Её уравнение в трилинейных координатах есть
 x sin 2A sin (B − C) + y sin 2B sin (C − A) + z sin 2C sin (C − A) = 0.
Это центральная прямая, связанная с точкой X647.

Ось Брокара 
Ось Брокара треугольника ABC является прямой, проходящей через центр описанной окружности треугольника и точку пересечения трех симедиан треугольника ABC. Её уравнение в трилинейных координатах есть
 x sin (B — C) + y sin (C — A) + z sin (A — B) = 0.
Эта центральная прямая связана с центром X523.

См. также 
 Трилинейные поляры треугольника
 Полюс и поляра

Примечания 

Проективная геометрия
Геометрия треугольника