Факториал

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от  — действующий, производящий, умножающий; обозначается , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа  определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до  включительно:
 .

Например,
 .

Для  принимается в качестве соглашения, что
 .

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция  растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например .

Свойства

Рекуррентная формула 
Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:

Комбинаторная интерпретация 
В комбинаторике факториал натурального числа  интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из  элементов.

Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
 ABCD  BACD  CABD  DABC
 ABDC  BADC  CADB  DACB
 ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
 ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
 ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
 ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения  — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из  элементов по 
 
при  обращается в формулу для числа перестановок из  элементов (порядка ), которое равно .

Связь с гамма-функцией 

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением
 .

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция , которая при  может быть определена как

  (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: . Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению .

Формула Стирлинга 

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
 
см. O-большое.

Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
 
При этом можно утверждать, что
 

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

 100! ≈ 9,33×10157;
 1000! ≈ 4,02×102567;
 ! ≈ 2,85×10.

Разложение на простые множители 
Каждое простое число  входит в разложение  на простые множители в степени определяемой следующей формулой:
 
Таким образом,
 
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого  большего  соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым , не превосходящим .

Связь с производной от степенной функции 
Для целого неотрицательного числа :
 
Например:

Другие свойства 
 Для натурального числа :
 

 Для любого :
  не является квадратом целого числа;

 Для любого :
  оканчивается на 0;

 Для любого :
  оканчивается на 00.

 Если  простое число:
  делится на  (теорема Вильсона)

История 
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение  предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента  была неопределённая константа).

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
 
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение:
 
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения

Двойной факториал 

Двойной факториал числа  обозначается  и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,], имеющих ту же чётность, что и .
 Для чётного :
 

 Для нечётного :
 

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
 

 Формула для чётного :
 

 Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
 

 Формула для нечётного :
 

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
 

Осуществив замену  для чётного  и  для нечётного  соответственно, где  — целое неотрицательное число, получим:

 для чётного числа:
 

 для нечётного числа:
 

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:
 

Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений  начинается так:
 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, , , , , , , , , , , , , , , , , …

Кратный факториал 
-кратный факториал числа  обозначается  и определяется следующим образом. Пусть число  представимо в виде  где   Тогда

 

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями -кратного факториала для  и  соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением:
 

Также кратный факториал  возможно записывать в сокращенном виде .

Неполный факториал

Убывающий факториал 
Убывающим факториалом называется выражение
 .
Например:
  = 7;  = 4,
 () + 1 = 4,
 nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
Убывающий факториал даёт число размещений из  по .

Возрастающий факториал 

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал 

Праймориал или примориал () числа  обозначается  и определяется как произведение  первых простых чисел. Например,
 .

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное .

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:
 , , , , , , , , , , , , , , , , , , …

Фибонориал или фибоначчиал 
Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!F.

Например, : 6!F = .

Суперфакториалы 
Нейл Слоан и  в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых  факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

 

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

 

Последовательность суперфакториалов чисел  начинается так:
 1, 1, 2, 12, 288, , , , , , , , , …

Идея была обобщена в 2000 году , что привело к гиперфакториалам (), которые являются произведением первых  суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел  начинается так:

 1, 1, 2, 24, 6912, , , , , , …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или -уровневый факториал числа , как произведение ( − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до , то есть
 
где  для  и

Субфакториал 

Субфакториал ! определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

См. также 

 Факторион
 Двойная экспоненциальная функция

Примечания 

Целочисленные последовательности
Теория чисел
Комбинаторика