Фундаментальная группа

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству.
Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве.
Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать ("стянуть") некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства  обычно обозначается  или , последнее обозначение применимо для связных пространств.
Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как , хотя обозначение  более уместно.

Определение 
Пусть  — топологическое пространство с отмеченной точкой . Рассмотрим множество петель в  из ;
то есть множество непрерывных отображений
, таких что .
Две петли  и  считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия , удовлетворяющая свойству .
Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются ) называются гомотопическими классами.
Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:
 

Произведением двух гомотопических классов  и  называется гомотопический класс  произведения петель.
Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах.
Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой.
Эта группа и называется фундаментальной группой пространства  с отмеченной точкой  и обозначается .

Комментарии 
 Про  можно думать как о паре пространств .
 Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
 Если  — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать  вместо  не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек  канонический изоморфизм между  и  существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения 
 Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств  индуцирует гомоморфизм , определяемый формулой . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор .

 Пространство  называется односвязным, если оно линейно связно и группа  тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры 
 В  есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, . То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества .

 В окружности , каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел .

 Фундаментальная группа -мерной сферы  тривиальна при всех .

 Фундаментальная группа восьмёрки  неабелева — это свободное произведение . Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если  и  — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: 

 Фундаментальная группа плоскости  c  выколотыми точками — свободная группа с  порождающими.

 Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода  может быть задана образующими  с единственным соотношением: .

Свойства 
 Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
 Обратное верно для линейно связных асферических пространств; см. также K(G,n) пространство.

 Если  — ретракт , содержащий отмеченную точку , то гомоморфизм , индуцированный вложением , инъективен.
 В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего .
 Если  — строгий деформационный ретракт , то  является изоморфизмом.

  сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками  и  существует изоморфизм
 
 естественный по  и .

 Теорема ван Кампена: Если  — объединение линейно связных открытых множеств , каждое из которых содержит отмеченную точку , и если каждое пересечение  линейно связно, то гомоморфизм , индуцированный вложениями , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение  линейно связно, то ядро гомоморфизма  — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая все элементы вида  (где  индуцирован вложением ), а потому  индуцирует изоморфизм  (первая теорема об изоморфизме). В частности,
  сохраняет копроизведения:  естественно по всем .
 (случай двух ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что , что является ограниченной (случаем линейно связного ) формой сохранения толчков.

 Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона.

 Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).

 Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.

 Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.

 Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).

Вариации и обобщения 
 Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
  пространства  называют группоид , объектами которого являются точки , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом , и если  линейно связно, то вложение  является эквивалентностью категорий.

Примечания

Литература 
 
 Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
 

Алгебраическая топология
Топологические инварианты