Uplet

En mathématiques, un uplet  (désigné aussi par liste , famille finie, ou suite finie) est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si  est un entier naturel, alors un n-uplet, ou n-uple, ou n-liste est une collection ordonnée de  objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du -uplet.

En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les  langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).

Note : l'utilisation du terme anglais , suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français.

Définitions et propriétés 
 Pour  > 0, si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, …, an le -ième élément, le -uplet s'écrit : (a1,a2,…,an).
 Le 0-uplet s'écrit .
 Un -uplet ne peut être égal à un p-uplet qu'à la condition que  et  soient égaux.
 L'égalité des -uplets se définit par
(a1,a2,…,an) = (b1, b2,…,bn) si et seulement si  a1 = b1 et a2 = b2 … et an = bn.
En résumé, un -uplet dont les composantes sont dans un ensemble  est un élément du produit cartésien .
 Si  est fini, l'ensemble  des -uplets dont les composantes sont dans  est fini. L'ensemble des uplets dont les composantes sont dans  est dénombrable.

Cas particuliers
 un 2-uplet est appelé couple (ou doublet) ;
 un 3-uplet est appelé triplet ;
 un 4-uplet est appelé quadruplet ;
 un 5-uplet est appelé quintuplet ;
 un 6-uplet est appelé sextuplet ;
 etc.

Exemples
(1, 2) ≠ (2, 1).
(♠ , ♥) ≠ (♥, ♠).
 Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
 Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
 La n-ième puissance cartésienne E d'un ensemble E est l'ensemble des n-uplets d'éléments de E.
 Plus généralement, le produit cartésien E1 × … × En de n ensembles E1, …, En est l'ensemble des n-uplets (a1,a2,…,an) où  a1 appartient à E1, …, an appartient à En.
 De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
 Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
 Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
 En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets de nombres premiers.
 En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets. 
 Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.

Formalisation
D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :
(a1, a2, … ,an) = ((… ((a1, a2), a3), … , an–1), an)
(c'est-à-dire qu'un ( + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un -uplet). Autrement dit :
∅ est un 0-uplet
 si x = (a1, a2, … ,an) est un -uplet, alors  (x,an+1) est un (+1)-uplet, et (a1, a2, … ,an, an+1) = (x, an+1).

La propriété caractéristique des -uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un +1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un -uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un +1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un -uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un -uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, …,  – 1} ou {1, …, }.

Notes et références

Articles connexes 
 Liste (mathématiques)
 Suite presque nulle

Théorie des ensembles
Structure de données