Transformation bilatérale de Laplace

En analyse, la transformation bilatérale de Laplace est la forme la plus générale de la transformation de Laplace, dans laquelle l'intégration se fait à partir de moins l'infini plutôt qu'à partir de zéro.

Définition 
La transformée bilatérale de Laplace d'une fonction  de la variable réelle est la fonction  de la variable complexe définie par :

 

Cette intégrale converge pour , c'est-à-dire pour  appartenant à une bande de convergence dans le plan complexe (au lieu de ,  désignant alors l'abscisse de convergence, dans le cas de la transformation monolatérale). De façon précise, dans le cadre de la théorie des distributions, cette transformée « converge » pour toutes les valeurs de  pour lesquelles  (en notation abusive) est une distribution tempérée et admet donc une transformation de Fourier.

Propriétés élémentaires 

Les propriétés élémentaires (injectivité, linéarité, etc.) sont identiques à celles de la transformation monolatérale de Laplace.

Ambiguïtés à éviter 

Il est essentiel, quand on utilise la transformation bilatérale de Laplace, de préciser la bande de convergence. Soit par exemple .

Si la bande de convergence est , l'« antécédent » de cette transformation de Laplace est la fonction de Heaviside . En revanche, si la bande de convergence est , cet antécédent est .

Convolution et dérivation 

Soit  et  deux distributions convolables, par exemple ayant chacune un support limité à gauche, ou l'une d'entre elles étant à support compact. Alors (comme dans le cas de la transformation monolatérale),

 

En particulier,  et , donc

Transformées de Laplace des hyperfonctions 

On peut étendre la transformation de Laplace au cas de certaines hyperfonctions, dites « hyperfonctions de Laplace » ou « hyperfonctions de type exponentiel ». Pour une hyperfonction définie par une distribution, on retrouve la théorie qui précède. Mais par exemple

 

bien que n'étant pas une distribution (car elle est d'ordre infini localement, à savoir en 0), est une hyperfonction dont le support est  et qui
admet pour transformée de Laplace

 

où  désigne la fonction de Bessel de première espèce habituelle, à savoir la fonction entière

 

On obtient en effet en substituant cette expression dans la précédente

 

ce qui est bien cohérent avec la définition de  puisque .

Relation entre la transformation bilatérale et la transformation monolatérale

Théorie élémentaire 

Soit  une fonction définie dans un voisinage ouvert de , continue en 0, et admettant une transformée de Laplace bilatérale . Sa transformée monolatérale de Laplace, que nous noterons ici , est donnée par

 

où  est la fonction de Heaviside. On a

 

par conséquent

 

d'où la formule classique

Généralisation 

Soit  une distribution à support positif,  une fonction indéfiniment dérivable dans un intervalle ouvert contenant , et . En posant ,  est une distribution à support positif, dont la transformée de Laplace est (en notation abusive)

 

où  est l'abscisse de convergence. Les distributions  et  ont même restriction à tout intervalle ouvert de la forme  dès que  est suffisamment petit. On peut donc écrire  pour tout entier . D'autre part,

 

avec  et, d'après la « théorie élémentaire » ci-dessus, . Finalement,

 

En procédant par récurrence, on obtient les formules générales de l'article Transformation de Laplace.

 Formalisation (fin)
Définissons maintenant la relation d'équivalence suivante :  et  désignant deux distributions telles que ci-dessus, nous écrirons  si  et  ont même restriction à l'intervalle  dès que  est suffisamment petit. Alors  ne dépend que de la classe d'équivalence  de  et qui est appelée un « germe » de fonction généralisée définie dans un voisinage de , et, par abus de langage, une « fonction généralisée à support positif » (voir l'article Transformation de Laplace). On écrira . Notons enfin que  si, et seulement si .

Applications 

La transformation de Laplace bilatérale est utilisée notamment pour la conception de filtres analogiques classiques (Butterworth, Tchebychev, Cauer, etc.), pour le filtre optimal de Wiener, en statistiques où elle définit la fonction génératrice des moments d'une distribution, elle joue un rôle essentiel dans la formulation à temps continu de la factorisation spectrale causale directe et inverse, elle est très utilisée enfin pour résoudre les équations intégrales (voir l'article Opérateur intégral).

Généralisation au cas de plusieurs variables 

La transformation bilatérale de Laplace se généralise au cas de fonctions ou de distributions à plusieurs variables, et Laurent Schwartz en a fait la théorie complète.
Soit  une distribution définie sur . L'ensemble des  appartenant à  pour lesquels  (en notation abusive) est une distribution tempérée sur , est cette fois un cylindre de la forme  où  est un sous-ensemble convexe de  (dans le cas d'une variable,  n'est autre que la bande de convergence évoquée plus haut). Soit alors pour  dans  la distribution  (de nouveau en notation abusive). Cette distribution est tempérée. Notons  sa transformation de Fourier. La fonction  est appelée la transformée de Laplace de  (notée ) et, avec ,  est notée .
Ces remarques préliminaires étant faites, la théorie devient assez semblable à celle correspondant aux distributions d'une variable.

Considérations sur les supports 

Le théorème de Paley-Wiener et sa généralisation due à Schwartz sont couramment énoncés à partir de la transformation de Fourier-Laplace (voir infra). Il peut tout aussi bien s'exprimer à partir de la transformation de Laplace, et on obtient alors l'énoncé suivant :

(1) Théorème de Paley-Wiener :

Pour qu'une fonction entière  soit la transformée de Laplace d'une fonction indéfiniment dérivable sur  de support inclus dans la "boule" fermée de centre  et de rayon , notée , il faut et il suffit que pour tout entier , il existe une constante  tels que pour tout  appartenant à ,
 

où  désigne le produit scalaire usuel dans  de  et de .

(2) Théorème de Paley-Wiener-Schwartz :

Pour qu'une fonction entière  soit la transformée de Laplace d'une distribution sur  de support inclus dans , il faut et il suffit qu'il existe un entier  et une constante  tels que pour tout  appartenant à ,
 .

Un théorème dû à Jacques-Louis Lions donne d'autres informations sur le support d'une distribution à partir de sa transformée de Laplace. Dans le cas d'une seule variable, il prend la forme suivante (voir Inversion):

Pour qu'une fonction holomorphe sur  soit la transformée de Laplace d'une distribution  sur  à support dans la demi-droite , il faut et il suffit que  soit majorée, lorsque le réel  est assez grand, par un polynôme en .

Ce théorème montre par exemple que l'hyperfonction considérée au paragraphe « Transformées de Laplace des hyperfonctions » n'est pas une distribution ayant son support en 0.

Transformée de Fourier-Laplace 

En posant , on obtient la transformée de Fourier-Laplace. Considérons, pour simplifier, la transformée de Fourier-Laplace d'une fonction d'une variable réelle. On a alors , par conséquent si la bande de convergence de la transformée de Laplace est , celle de la transformée de Fourier-Laplace est .

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes 
 Transformation de Laplace
 Distribution tempérée
 Hyperfonction

Laplace Bilaterale
Analyse fonctionnelle
Automatique
Pierre-Simon de Laplace