Modèle de Drude

Le modèle de Drude (du nom du physicien Paul Drude), parfois appelé modèle de l'électron amorti, est une adaptation effectuée en 1900 de la théorie cinétique des gaz aux électrons des métaux (découverts 3 ans plus tôt, en 1897 par J.J. Thomson). En considérant les électrons d'un métal comme des particules classiques ponctuelles confinées à l'intérieur du volume défini par l'ensemble des atomes de l'échantillon, on obtient un gaz qui est entraîné dans un mouvement d'ensemble (lequel se superpose aux mouvements individuels des particules) par des champs électriques et magnétiques et freiné dans ce mouvement par des collisions. Les collisions envisagées par Drude sont les collisions sur les cœurs d'atomes. Bien que se basant sur des hypothèses démenties depuis (description purement classique du mouvement des électrons), il permet de rendre compte de plusieurs propriétés des métaux comme la conductivité électrique, la conductivité thermique et l'effet Hall.

Approche électrocinétique

Énoncé du modèle 
Supposons que la conduction électrique soit le fait uniquement d'électrons. Ce sont des porteurs de charge q = -e et de masse m :
 q = -e ≃  (voir Charge élémentaire) ;
 m ≃ .
Alors, d'un point de vue dynamique, l'électron obéit à la loi suivante :
 
où
 v est la vitesse de l'électron, exprimée en mètre par seconde () ;
 F est la force de Lorentz exprimée en newtons (N), E étant le champ électrique et B le champ magnétique ;
 Γ est un coefficient de frottement empirique exprimé en kilogrammes par seconde ().
C'est une équation différentielle linéaire d'ordre un.

Notons que ceci reste vrai pour d'autres types de porteurs de charge, comme les trous d'électrons dans un cristal ou bien les ions dans une solution saline.

Constante de temps et vitesse limite 
Supposons que l'électron ait une vitesse initiale v, et que le champ électrique soit uniforme et constant, E. Alors, la résolution de l'équation différentielle ci-dessus mène à :
 
où
  est la constante de temps, caractéristique d'amortissement du système ;
  est la vitesse limite vers laquelle tend l'électron.

Conductivité électronique 
On peut relier le coefficient de frottement à la densité volumique d'électrons N et à la conductivité électronique σ :
 
On peut de même déduire la constante de temps :

Ordre de grandeur 
Pour le cuivre pur (σ = ), on suppose que l'on a un électron de conduction par atome, soit avec la masse volumique ρ = , la masse molaire M =  et le nombre d'Avogadro N = , on a :
 N = ρN/M = 
et donc
 τ ≃

Cas d'un champ électrique sinusoïdal 
Si les vitesses sont lentes devant la vitesse de la lumière (cas non-relativiste), alors l'effet du champ magnétique est négligeable devant celui du champ électrique. On a donc :
 
et l'équation dynamique devient :
 .
Si le champ électrique est sinusoïdal
 
alors la solution de l'équation différentielle est, en écriture complexe :
 .

On a alors une conductivité électrique complexe dépendant de la pulsation (donc de la fréquence) :

Hypothèses préliminaires 
Le modèle repose sur les hypothèses suivantes :
 Le système est assimilé à un ensemble de n électrons de charge -e par unité de volume, placés dans un milieu de particules ponctuelles de masse m sans interaction entre elles.
 On peut décrire classiquement les électrons.
 Les électrons subissent des collisions. La probabilité de subir une collision entre t et t + dt est donnée par , où τ est le temps moyen entre deux collisions consécutives, appelé également le temps de relaxation.

Les collisions auxquelles sont soumis les électrons étaient aux yeux de Drude les collisions avec les noyaux atomiques du réseau cristallin. En réalité, il s'agit de ce que l'on appelle des collisions entre électrons et phonons.

La présence des collisions a pour conséquence une force de frottement visqueux de la forme  où p est la quantité de mouvement de l'électron.

On a alors, en appliquant la loi d'Ohm
 ,
l'expression de la conductivité :
 .

Conductivité du courant continu 
On considère que les électrons sont accélérés uniformément par le champ électrique E durant un intervalle de temps entre deux collisions. À la fin de ce laps de temps, à la suite de la collision, ils sont statistiquement relaxés dans leur état cinétique initial.

À tout instant, chaque i électron a donc une vitesse v qui s'écrit

 

où v> est la vitesse initiale de l'électron i à l'issue du dernier choc et t la durée écoulée depuis celui-ci. La vitesse moyenne (au sens de la moyenne d'ensemble) qui décrit les électrons est :

Comme  (hypothèse de chocs parfaitement aléatoires avec vitesses finales résultantes réparties autour d'une moyenne nulle) et  (hypothèse ergodique) on obtient la formule
 .
On en déduit l'expression de la densité de courant électrique de conduction

  

et celle de la conductivité

.

On peut faire apparaître la fréquence plasma  en écrivant :

Conductivité en courant alternatif

Relations entre la constante diélectrique et la conductivité 
Pour calculer la conductivité dans un champ électromagnétique, nous partons des équations de Maxwell, nommément

De ces équations nous tirons la relation entre la conductivité σ et la constante diélectrique ε :

Calcul de la conductivité 
Si nous décrivons le gaz d'électrons par sa matrice densité ρ(P, Q), celle-ci vérifie l'équation d'évolution :
 

où  représente le crochet de Poisson et  les termes de source et de destruction. Posons maintenant que l'hamiltonien H = H + H et que ρ = ρ + ρ, où H et ρ représentent des termes perturbatifs. L'équation initiale se réécrit alors sous la forme :
 

En remarquant l'indépendance de ρP de ρP et de H par rapport à Q (homogénéité de la distribution des charges et invariance spatiale du hamiltonien non perturbé), il vient que la solution au premier ordre de la distribution perturbée s'écrit :
 

En posant l'approximation des grandes longueurs d'onde (et donc k petit), on trouve la forme de la conductivité :

Conductivité thermique d'un métal 
Il convient de doubler l'équation de transport du courant (c’est-à-dire de transport des particules) par une équation de transport de la chaleur :
 
on obtient alors que le rapport  des conductivités thermique et électrique est directement proportionnel à la température, le coefficient de proportionnalité étant désigné par le nombre de Lorenz :

Cette loi de proportionnalité est connue sous le nom de loi de Wiedemann et Franz.

Le résultat numérique indiqué ci-dessus vaut à peu près la moitié des valeurs obtenues expérimentalement. L'utilisation de la théorie du transport et du modèle quantique permet d'accéder à une valeur plus proche de la réalité pour le rapport  (c'est-à-dire le nombre de Lorenz), la valeur obtenue étant alors :

Bibliographie

Voir aussi

Articles connexes 
 Loi de Nernst-Einstein
 Électron élastiquement lié

Liens externes 
 

Loi en électricité
Physique du solide
Électron