Грассманиан

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства  размерности  называется многообразие, состоящее из его -мерных подпространств. Обозначается  или  или . В частности,  — это многообразие прямых в пространстве , совпадающее с проективным пространством . Названо в честь Германа Грассмана.

На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение . Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.

Доказательство 
Грассманиан  можно наделить следующим атласом.

Пусть  — -мерное подпространство
. Введём в векторном пространстве  скалярное произведение и обозначим через  ортогональное дополнение .

Так как , то любое -мерное подпространство
, достаточно близкое к , можно отождествить с линейным отображением , если представить каждый вектор  в виде суммы , где  и , и положить .

Тогда окрестность точки  взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений . Построенный атлас делает  аналитическим многообразием размерности , где .

Для того, чтобы показать, что  является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.

Свойства 
 Грассманиан  является проективным алгебраическим многообразием размерности , где . Соответственно, если  — комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
 Грассмановым конусом порядка  называется множество разложимых элементов внешней степени , то есть -форм, представимых в виде произведения  1-форм. Проективизация грассманова конуса порядка  совпадает с .

 В силу естественного изоморфизма -форм и -форм, грассмановы многообразия порядка  и  совпадают.

 Вещественный грассманиан можно представить как однородное пространство ортогональной группы.
 
 Аналогично, комплексный грассманиан соответствует унитарной группе.
 .
 Эти соотношения означают, что линейное подпространство  евклидова пространства можно задать, выбрав в объемлющем пространстве ортонормальный базис, первые  векторов которого образуют базис в . Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом , так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие факторгруппы.

Клеточное разбиение 
Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис . Заданному k-мерному подпространству  сопоставим набор чисел  (символ Шуберта) по правилу
 

Здесь  — подпространство, натянутое на первые  векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями  гомеоморфно клетке, размерность которой равна . Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид
 

Здесь  — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности .

Обобщения 
 Многообразие всех ортонормированных k-реперов в  называется многообразием Штифеля . Оно имеет естественную структуру локально тривиального расслоения, слоем которого является ортогональная группа:

 В частности, , .

Литература 
 .

 Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Алгебраическая геометрия