Dualidad (geometría proyectiva)

Para nociones generales de dualidad en matemáticas, véase dualidad

En geometría, una característica llamativa del plano proyectivo es la simetría entre los papeles que desempeñan puntos y rectas en numerosas definiciones y teoremas. La dualidad en el (plano) es la formalización de este concepto.

Existen dos enfoques para el tema de la dualidad, uno a través del lenguaje (mediante el Principio de dualidad); y el otro es un enfoque más funcional, a través de una aplicación especial. Ambos son completamente equivalentes y cualquiera de los tratamientos tiene como punto de partida la correspondiente versión de los axiomas de las geometrías consideradas. 

En el enfoque funcional existe una correspondencia entre las geometrías relacionadas, que se denomina dualidad. Tal correspondencia se puede establecer de muchas maneras. El concepto de dualidad en el plano se extiende fácilmente a la dualidad espacial, y más aún, a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.

Principio de dualidad
Un plano proyectivo  se puede definir axiomáticamente como una estructura de incidencia, en términos de: 

 Un conjunto de puntos 
 Un conjunto de rectas 
 Y una matriz de incidencia  que determina qué puntos se encuentran en qué rectas

Estos conjuntos se pueden usar para definir una estructura dual plana.

Intercambiando el papel de puntos y rectas en
 
se obtiene la estructura dual
 ,
donde  es la relación inversa de . El resultado, , es también un plano proyectivo, llamado el plano dual de .

Si  y  son isomorfos, entonces  se denomina auto-dual. Los planos proyectivos  para cualquier campo  (o, más generalmente, para cada anillo de división (campo asimétrico) isomorfo para su dual) son autoduales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre autoduales. Sin embargo, existen planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos de Hall y algunos que sí lo son, como los planos de Hughes.

En un plano proyectivo, una afirmación que implica puntos, rectas y relaciones de incidencia entre ellos que se obtiene de otra declaración al intercambiar las palabras "punto" y "recta" y hacer los ajustes gramaticales necesarios, se denomina declaración dual plana del primero. La declaración dual del plano en la que se afirma que  "Dos puntos están en una única recta" se corresponde con "Dos rectas se encuentran en un único punto". Formar el plano dual de un enunciado se conoce como dualizar el enunciado.

Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo , entonces la declaración dual de ese enunciado debe ser verdadera en el plano dual . Esto es consecuencia de que la dualización de cada enunciado probado "en " produce la correspondiente prueba dualizada "en ".

El Principio de dualidad del plano establece que la dualización de cualquier teorema en un plano proyectivo autodual  produce otro teorema válido en el propio .

Los conceptos anteriores se pueden generalizar para tratar la dualidad espacial, donde los términos "puntos" y "planos" se intercambian (y las rectas siguen siendo rectas). Esto lleva al Principio de dualidad del espacio.

Estos principios proporcionan una buena razón para preferir usar términos "simétricos" para la relación de incidencia. Por lo tanto, en lugar de decir "un punto se encuentra en una recta", se debería decir "un punto incide con una recta", dado que de esta manera la dualización solo implicaría intercambiar los términos punto y recta ("una recta incide con un punto").

La validez del Principio de dualidad del plano se deriva de la definición axiomática de un plano proyectivo. Los tres axiomas de esta definición pueden escribirse de modo que sean afirmaciones autoduales que implican que el dual de un plano proyectivo es también un plano proyectivo. El dual de una afirmación verdadera en un plano proyectivo es, por lo tanto, una afirmación verdadera en el plano proyectivo dual, lo que implica que para los planos autoduales, el dual de una afirmación verdadera en ese plano, también es una afirmación verdadera en el propio plano.

Teoremas duales
Como plano proyectivo real, , es autodual,  existe una serie de parejas de resultados bien conocidos que son duales uno del otro. Algunos de estos son:

 Teorema de Desargues ⇔ Conversión del teorema de Desargues
 Teorema de Pascal ⇔ Teorema de Brianchon
 Teorema de Menelao ⇔ Teorema de Ceva

Configuraciones duales
Además de las declaraciones, también se pueden dualizar los sistemas de puntos y rectas.

Un conjunto de  puntos y de  rectas se denomina  configuración si  las  rectas pasan por cada punto y  de los  puntos se encuentran en cada recta. El dual de una configuración , es una configuración . Por lo tanto, el dual de un cuadrángulo, una configuración (43, 62) de cuatro puntos y seis rectas, es un cuadrilátero, una configuración (62, 43) de seis puntos y cuatro rectas.

El conjunto de todos los puntos de una recta, denominado rango proyectivo, tiene como dual un haz de rectas, el conjunto de todas las rectas que inciden en un punto dado.

Dualidad como aplicación

Dualidades del plano

Una dualidad plana es una aplicación de un plano proyectivo  sobre su plano dual  (véase Principio de dualidad) que conserva sus relaciones de incidencia. Es decir, una dualidad del plano  asignará puntos a rectas y rectas a puntos ( y ) de tal manera que si un punto  está en una recta  (denotada por ) entonces . Una dualidad plana que es un isomorfismo se denomina correlación. Recíprocamente, la existencia de una correlación significa que el plano proyectivo  es autodual.

El plano proyectivo  en esta definición no necesita ser un plano desarguesiano. Sin embargo, si lo es, esto es, si  siendo  un anillo de división (asimétrico), entonces una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales, produce una dualidad de plano en  que satisface la definición anterior.

En espacios proyectivos generales

Una dualidad  de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de  (también denotada por , siendo  un cuerpo (o más generalmente un anillo de división) que invierte la inclusión, que es:
  implica que  para todos los subespacios  de .
En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión  con objetos de dimensión  (= codimension ). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión , los puntos (de dimensión 0) corresponden a hiperplanos (de codimension 1), las rectas que unen dos puntos (de dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (de codimension 2), y así sucesivamente.

Clasificación de dualidades
Nota: En esta sección, se usa la terminología geométrica tradicional de "espacios vectoriales a la derecha (o a la izquierda) sobre campos asimétricos (skewfields en inglés)" en lugar de los términos algebraicos "módulos sobre un anillo de división".

El "dual"  de un espacio vectorial de dimensión finita (a la derecha)  sobre un campo asimétrico  se puede considerar como un espacio vectorial (a la derecha) de la misma dimensión sobre el campo asimétrico opuesto . Existe, por lo tanto, una biyección de inversión inclusiva entre los espacios proyectivos  y . Si  y  son isomorfos, entonces existe una dualidad en . Por el contrario, si  admite una dualidad para , entonces  y  son isomorfos.

Sea π una dualidad de  para . Si π está compuesto con el isomorfismo natural entre  y , la composición  es una biyección de preservación de la incidencia entre  y . Por el Teorema fundamental de la geometría proyectiva  es inducido por una aplicación semilineal  con isomorfismo asociado , que se puede ver como un antiautomorfismo de . En la literatura clásica, π en general se denominaría una reciprocidad, y si  entonces se llamaría una correlación (y  necesariamente sería un campo). Algunos autores suprimen el papel del isomorfismo natural y llaman a  una dualidad. Cuando se da esta condición, una dualidad se puede considerar como una colineación entre un par de espacios proyectivos especialmente relacionados y se denomina reciprocidad. Si esta colineación es una proyectividad, entonces se denomina correlación.

Sea  que denota el funcional lineal de  asociado con el vector  en . Defínase la forma  por:
 
 es una forma sesquilineal no degenerada con antiautomorfismo acompañante .

Cualquier dualidad de  para  es inducida por una forma sesquilineal no degenerada en el espacio vectorial subyacente (con un antiautomorfismo acompañante) y viceversa.

Formulación en coordenadas homogéneas

Las coordenadas homogéneas se pueden usar para dar una descripción algebraica de las dualidades. Para simplificar este análisis, se asume que  es un campo, pero que las conclusiones se pueden hacer extensivas de la misma manera cuando  es un campo asimétrico siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no tiene por qué ser una operación commutativa.

Los puntos de  se pueden tomar como los vectores distintos de cero en el espacio vectorial ()-dimensional sobre , donde se identifican dos vectores que difieran por un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos del espacio proyectivo -dimensional son los subspacios vectoriales unidimensionales, que se pueden visualizar como las rectas que pasan a través del origen en . También los subespacios -dimensionales (vectoriales) de  representan hiperplanos ()-dimensionales (geométricos) del espacio proyectivo  sobre , es decir, .

Un vector  distinto de cero en  también determina un subespacio -dimensional geométrico (hiperplano) , dado por
 .
Cuando un vector  se usa para definir un hiperplano de esta manera, se denotará como , mientras que si designa un punto, se utilizará el término . Se denominan coordenadas de punto o coordenadas de hiperplano respectivamente (en el importante caso de dos dimensiones, las coordenadas de hiperplano se llaman coordenadas de recta). Algunos autores distinguen cómo se debe interpretar un vector escribiendo las coordenadas de hiperplano como vectores horizontales (fila) mientras que las coordenadas de punto se escriben como vectores verticales (columna). Por lo tanto, si  es un vector columna, se tendría que  mientras que . En términos del producto escalar habitual, . Como  es un campo, el producto escalar es simétrico, es decir, .

Un ejemplo fundamental
Puede establecerse una reciprocidad simple (en realidad, una correlación) entre puntos e hiperplanos mediante , que se extiende a una reciprocidad entre la recta generada por dos puntos y la intersección de dos de tales hiperplanos, y así sucesivamente.

Específicamente, en el plano proyectivo, , con un campo , se tiene la correlación dada por: puntos en coordenadas homogéneas  rectas con las ecuaciones . En un espacio proyectivo, , la correlación es dada por: puntos en coordenadas homogéneas  planos con ecuaciones . Esta correlación también implica una aplicación de una recta determinada por dos puntos,  y , con la recta que es la intersección de los dos planos con las ecuaciones  y .

La forma sesquilineal asociada para esta correlación es:
 ,
donde el antiautomorfismo acompañante es . Por lo tanto se trata de una forma bilineal (téngase en cuenta que  debe ser un campo). Esto se puede escribir en forma de matriz (con respecto a la base estándar) como:
 ,
donde  es el  matriz identidad, utilizando la convención de que  es un vector fila y  es un vector columna.

La correlación viene dada por:

Interpretación geométrica en el plano proyectivo real

Esta correlación en el caso de  puede describirse geométricamente utilizando el modelo del plano real proyectivo que es una "una esfera de radio unidad con antípodas identificadas", o lo que es lo mismo, el modelo de rectas y planos que pasan a través del origen del espacio vectorial . Esto asocia a cualquier recta que pasa través del origen el único plano que también pasa través del origen que es perpendicular (ortogonal) a la recta. Cuando, en el modelo, estas rectas se consideran como puntos y los planos se consideran como las rectas del plano proyectivo , esta asociación se convierte en una correlación (en realidad, en una polaridad) del plano proyectivo. El modelo de esfera se obtiene al intersecar las rectas y planos a través del origen con una esfera de radio unidad centrada en el origen. Las rectas se encuentran con la esfera en puntos antipodales que luego deben identificarse para obtener un punto del plano proyectivo, y los planos se encuentran con la esfera en circunferencias máximas que son, por lo tanto, las rectas del plano proyectivo.

Que esta asociación "preserva" la incidencia se ve más fácilmente desde el modelo de rectas y planos. Un punto incidente con una recta en el plano proyectivo corresponde a una recta a través del origen que se encuentra en un plano que pasa a través del origen en el modelo. Al aplicar la asociación, el plano se convierte en una recta que pasa por el origen perpendicular al plano al que está asociada. Esta recta imagen es perpendicular a cada recta del plano que pasa por el origen, en particular a la recta original (punto del plano proyectivo). Todas las rectas que son perpendiculares a la recta original en el origen se encuentran en el único plano que es ortogonal a la recta original, es decir, el plano de la imagen bajo la aplicación. Por lo tanto, la recta imagen se encuentra en el plano imagen y la asociación conserva la incidencia.

Forma matricial

Como en el ejemplo anterior, se pueden usar matrices para representar dualidades. Sea π una dualidad de  para  y sea  la forma sesquilínea asociada (con el antiautomorfismo complementario ) en el espacio vectorial -dimensional subyacente . Dada una base  de , se puede representar esta forma de la siguiente manera:
 
donde  es una matriz  no singular sobre  y los vectores se escriben como vectores columna. La notación  significa que el antiautomorfismo  se aplica a cada coordenada del vector .

La dualidad en términos de coordenadas de puntos viene dada por:

Polaridad

Una dualidad que es una involución (de orden dos) se llama polaridad. Es necesario distinguir entre las polaridades de los espacios proyectivos generales y las que surgen de la definición ligeramente más general de dualidad plana. También es posible dar declaraciones más precisas en el caso de una geometría finita, por lo que se hace hincapié en los resultados en planos proyectivos finitos.

Polaridades de espacios proyectivos generales
Si π es una dualidad de , con  siendo un campo asimétrico, entonces  define una notación común sobre un subespacio  de . Por lo tanto, una polaridad es una dualidad para la que  para cada subespacio  de . También es común omitir mencionar el espacio dual y escribir, en términos de la forma sesquilínea asociada:
 

Una forma sesquilineal  es "reflexiva" si  implica .

Una dualidad es una polaridad si y solo si la forma sesquilínea (no degenerada) que la define es reflexiva.

Las polaridades han sido clasificadas como resultado de los trabajos de, que se han reproducido varias veces. Sea  un espacio de vectores (a izquierdas) sobre el campo asimétrico  y sea  una forma sesquilínea no degenerativa reflexiva en  con anti-automorfismo acompañante . Si  es la forma sesquilineal asociada con una polaridad, entonces:
  (por lo tanto,  es un campo) y  para todos los  en , es decir,  es una forma bilineal. En este caso, la polaridad se llama ortogonal (u ordinaria). Si la característica del campo  es dos, entonces en este caso debe existir un vector  con , y la polaridad se llama pseudopolaridad.
  (por lo tanto,  es un campo) y  para todos los  en . La polaridad se denomina polaridad nula (o una polaridad simpléctica) y solo puede existir cuando la dimensión proyectiva  es impar.
  (aquí  no necesita ser un campo) y  para todos los  en . Tal polaridad se denomina polaridad unitaria (o una polaridad hermítica).

Un punto  de  es un punto absoluto (punto autoconjugado) con respecto a la polaridad  si . De forma similar, un hiperplano  es un hiperplano absoluto (hiperplano autoconjugado) si . Expresado en otros términos, un punto  es un punto absoluto de polaridad π con forma sesquilínea asociada  si  y si  está escrito en términos matriciales como , .

Se puede describir el conjunto de puntos absolutos de cada tipo de polaridad. Nuevamente se restringe el análisis al caso en el que  sea un campo.
 Si  es un campo cuya característica no es dos, el conjunto de puntos absolutos de una polaridad ortogonal forma una cuádrica no singular (si  es infinito, podría estar vacío). Si la característica es dos, los puntos absolutos de una pseudopolaridad forman un hiperplano.
 Todos los puntos del espacio  son puntos absolutos de una polaridad nula.
 Los puntos absolutos de una polaridad hermítica forman una variedad hermítica, que puede estar vacía si  es infinito.

Cuando está compuesta consigo misma, la correlación  (en cualquier dimensión) produce la función identidad, por lo que es una polaridad. El conjunto de puntos absolutos de esta polaridad serían los puntos cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación:
 .
Los puntos que se encuentran en este conjunto dependen del campo . Si , entonces el conjunto está vacío, no hay puntos absolutos (ni hiperplanos absolutos). Por otro lado, si  entonces el conjunto de puntos absolutos forma una cuádrica no degenerada (un cónica en un espacio de dos dimensiones). Si  es un cuerpo finito de característica impar, los puntos absolutos también forman una cuádrica, pero si la característica es par los puntos absolutos forman un hiperplano (esto es un ejemplo de una pseudopolaridad).

Bajo cualquier dualidad, el punto  se llama el "polo" del hiperplano , y este hiperplano se llama el "polar" del punto . Usando esta terminología, los puntos absolutos de una polaridad son los puntos que inciden con sus polares y los hiperplanos absolutos son los hiperplanos que inciden con sus polos.

Polaridades en planos proyectivos finitos

Según el teorema de Wedderburn cada campo asimétrico finito es un campo y un automorfismo de orden dos (distinto de la identidad) que solo puede existir en un campo finito cuyo orden sea un cuadrado. Estos hechos ayudan a simplificar la situación general de los planos proyectivos finitos. Sea:

Si π es una polaridad del plano proyectivo finito desarguesiano  donde  para algún primo , entonces el número de puntos absolutos de π es  si π es ortogonal o  si π es unitario. En el caso ortogonal, los puntos absolutos se encuentran en una cónica si  es impar o forman una recta si . El caso unitario solo puede ocurrir si  es un cuadrado; los puntos absolutos y las rectas absolutas forman un unital.

En el caso del plano proyectivo general, donde la dualidad significa "dualidad plana", las definiciones de polaridad, elementos absolutos, polo y polar siguen siendo las mismas.

Sea  un plano de orden proyectivo . Los argumentos de conteo pueden establecer que para una polaridad π de :

El número de puntos (rectas) no absolutos incidentes con una recta (punto) no absoluta es par.

Además:

La polaridad π tiene al menos  puntos absolutos y si  no es un cuadrado, son exactamente  puntos absolutos. Si π tiene exactamente  puntos absolutos, entonces;
 si  es impar, los puntos absolutos forman un óvalo cuyas tangentes son las rectas absolutas; o
 si  es par, los puntos absolutos son colineales en una recta no absoluta.

Un límite superior en el número de puntos absolutos en el caso de que  sea un cuadrado fue dado por Seib y mediante un argumento puramente combinatorio se puede establecer que:

Una polaridad π en un plano proyectivo de orden cuadrado  tiene como máximo  puntos absolutos. Además, si el número de puntos absolutos es , los puntos absolutos y las rectas absolutas forman un unital (es decir, cada recta del plano cumple este conjunto de puntos absolutos en  o  puntos).

Polos y polares

Reciprocidad en el plano euclidiano

Un método que puede usarse para construir una polaridad del plano proyectivo real tiene, como punto de partida, una construcción de una dualidad parcial en el espacio bidimensional.

En el plano euclidiano, sea un círculo  con centro  y radio . Para cada punto  que no sea , se dfine un punto imagen  tal que . La  aplicación definida por  se llama inversión con respecto al círculo . La recta que pasa por  y  que es perpendicular a la recta  se denomina polar del punto  con respecto al círculo .

Sea  una recta que no pase por el punto . Tendiendo una perpendicular a  , encontrándose con  en el punto  (este es el punto de  que está más cerca de ). La imagen  de  de acuerdo con la inversión con respecto a  se denomina el polo de . Si un punto  está en una recta  (que no pase por ), entonces el polo de  se encuentra en la polar de  y viceversa. El proceso de preservación de incidencia, en el que los puntos y las rectas se transforman en sus polares y polos con respecto a  se llama reciprocidad.

Para convertir este proceso en una correlación, el plano euclidiano (que no es un plano proyectivo) necesita expandirse al plano euclideo extendido agregando una recta del infinito y un punto del infinito que se encuentra en esta recta. En este plano expandido, se define la polar del punto  como la recta del infinito (y  es el polo de la recta en el infinito), y los polos de las rectas a través de  son los puntos del infinito donde, si una recta tiene pendiente  su polo es el punto del infinito asociado a la clase de rectas paralelas con pendiente . El polo del eje  es el punto del infinito de las rectas verticales y el polo del eje  es el punto del infinito de las rectas horizontales.

La construcción de una correlación basada en la inversión en un círculo dada anteriormente se puede generalizar mediante el uso de la inversión en una sección cónica (en el plano real extendido). Las correlaciones construidas de esta manera son de orden dos, es decir, son polaridades.

Formulación algebraica

Se describe esta polaridad algebraicamente siguiendo la construcción anterior en el caso de que  sea el círculo unitario (es decir, que ) centrado en el origen.

Un punto afín , que no sea el origen, con coordenadas cartesianas  tiene como inverso en el círculo unidad el punto  con coordenadas,
 
La recta que pasa por  que es perpendicular a la recta  tiene la ecuación .

Cambiando a coordenadas homogéneas usando la incrustación de , la extensión al plano proyectivo real se obtiene permitiendo que la última coordenada sea 0. Recordando que las coordenadas de punto se escriben como vectores columna y las coordenadas de recta como vectores fila, se puede expresar esta polaridad de la siguiente manera:

 
tal que
 

O, usando la notación alternativa, . La matriz de la forma sesquilinear asociada (con respecto a la base estándar) es:

 

Los puntos absolutos de esta polaridad vienen dados por las soluciones de:

 

donde T. Debe tenerse en cuenta que restringido al plano euclidiano (es decir, establecer ), este es solo el círculo unitario, el círculo de inversión.

Enfoque sintético

La teoría de polos y polares de una cónica en un plano proyectivo puede desarrollarse sin el uso de coordenadas y ni de otros conceptos métricos.

Sea  una cónica en , donde  es un campo que no es de característica dos, y sea  un punto de este plano que no esté en . Dos rectas secantes de la cónica distintas, como  y  determinan cuatro puntos en la cónica () que forman un cuadrángulo. El punto  es un vértice del triángulo diagonal de este cuadrángulo. La polar de  con respecto a  es el lado del triángulo diagonal opuesto a .

La teoría de los conjugados armónicos de los puntos sobre una recta también se puede usar para definir esta relación. Usando la misma notación que arriba;

Si una recta variable a través del punto  es una secante de la cónica , los conjugados armónicos de  con respecto a los dos puntos de  en la secante se encuentran todos en la "polar" de .

Propiedades

Las polaridades en un plano proyectivo poseen algunas propiedades remarcables:

 Dada una polaridad π, un punto  se encuentra en la recta , la polar del punto  si y solo si  se encuentra en , la polar de .

 Los puntos  y  que están en esta relación se denominan puntos conjugados con respecto a π. Los puntos absolutos se llaman autoconjugados de acuerdo con esta definición, ya que inciden con sus propias polares. Las rectas conjugadas se definen dualmente.

 Una recta que une dos puntos autoconjugados no puede ser una recta autoconjugada.

 Una recta no puede contener más de dos puntos autoconjugados.

 Una polaridad induce una involución de puntos conjugados en cualquier recta que no sea autoconjugada.

 Un triángulo en el que cada vértice es el polo del lado opuesto se denomina triángulo autopolar.

 Una correlación que aplica los tres vértices de un triángulo en sus lados opuestos, respectivamente, es una polaridad y este triángulo es autopolar con respecto a esta polaridad.

Historia
El Principio de dualidad se debe a Joseph Diaz Gergonne (1771-1859), una de las máximas figuras del campo entonces emergente de la geometría analítica, fundador y editor de la primera revista dedicada por completo a las matemáticas, los Annales de mathématiques pures et appliquées. Gergonne y Charles Brianchon (1785-1864) desarrollaron el concepto de dualidad plana. Gergonne acuñó los términos "dualidad" y "polar" (aunque el término "polo" se debe a F.-J. Servois) y adoptó el estilo de escribir declaraciones duales una al lado de la otra en su diario.

Jean-Victor Poncelet (1788-1867), autor del primer texto sobre geometría proyectiva, "Traité des propriétés proyectives des figures", fue un geómetra sintético que desarrolló sistemáticamente la teoría de polos y polares con respecto a una cónica. Poncelet sostuvo que el Principio de dualidad era una consecuencia de la teoría de polos y polares.

A Julius Plücker (1801-1868) se le atribuye la ampliación del concepto de dualidad a espacios proyectivos tridimensionales y a dimensiones superiores.

Poncelet y Gergonne comenzaron como rivales serios pero amistosos, presentando sus diferentes puntos de vista y técnicas en artículos que aparecieron en los Annales de Gergonne. El antagonismo creció sobre el asunto de la prioridad al reclamar ambos el Principio de dualidad como propio. Un joven Plücker se vio envuelto en esta disputa cuando un documento que había presentado a Gergonne fue tan profusamente editado, que Poncelet se equivocó al creer que Plücker lo había plagiado. El ataque vitriólico de Poncelet fue contrarrestado por Plücker con el apoyo de Gergonne y en última instancia, la responsabilidad del malentendido recayó sobre Gergonne. Respecto a esta disputa, Pierre Samuel ha bromeado diciendo que ambos hombres estaban en el ejército francés y Poncelet era general mientras que Gergonne era un mero capitán, y el punto de vista Poncelet prevaleció, al menos entre sus contemporáneos franceses.

Véase también
 Curva dual

Referencias

Bibliografía

Lecturas relacionadas
 
 F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
 
 
 
 
 Coxeter, H. S. M., 1995.  The Real Projective Plane , 3ª ed. Springer Verlag.
 Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. .
 
 
 Greenberg, M.J., 2007. "Geometrías euclidianas y no euclidianas", 4ª ed. Hombre libre.
 
 Hartshorne, Robin, 2000.  Geometría: Euclides y más allá . Saltador.
 Hilbert, D. y Cohn-Vossen, S., 1999.  Geometría y la imaginación , 2.ª ed. Chelsea.
 
 
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Enlaces externos
 

Geometría proyectiva
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