Группа классов преобразований поверхности

Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации. 
Она естественно возникает при изучении трёхмерных многообразий и связана с другими группами, в частности с группами кос и группой внешних автоморфизмов группы.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий и для произвольных топологических пространств, но случай поверхностей является наиболее изученным в теории групп.

История 
Начало изучению групп классов отображений было положено Максом Деном и Якобом Нильсеном.
Ден построил конечную систему образующих этой группы,
а Нильсен доказал, что все автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей инициируются гомеоморфизмами.

В середине семидесятых Уильям Тёрстон использовал эту группу при изучении трёхмерных многообразий.

Позднее группа классов стала изучаться в геометрической теории групп, где она служит полигоном для различных гипотез и разработке технических инструментов.

Определение 

Пусть  есть связная, замкнутая, ориентируемая поверхность, и  есть группа её гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, снабжённая компактно-открытой топологией.

Связная компонента единицы в   обозначается .
Она состоит из гомеоморфизмов , изотопных тождественному гомеоморфизму.
Подгруппа   является нормальной подгруппой .

Группа классов преобразований поверхности отображений  определяется как факторгруппа

Замечания 
 Если в этом определении использовать все гомеоморфизмы (не только сохраняющие ориентацию), получаем расширенную группу классов преобразований , в которой группа  содержится как подгруппа индекса 2.

 Это определение также может быть дано для категории диффеоморфизмов. Точнее, если слово «гомеоморфизм» заменить везде на «диффеоморфизм», мы получаем ту же группу, поскольку включение  индуцирует изоморфизм соответствующими классами.

 В случае, когда  — компактная поверхность с краем , в определении берутся только гомеоморфизмы, фиксирующие все точки на краю.

 Для поверхностей с выколотыми точками группа определяется точно так же, как указано выше.
 Обратите внимание, что отображению классов разрешается переставлять выколотые точки, но не компоненты края.

Примеры 
 Группа классов преобразований сферы — тривиальна.
 Группа классов отображений тора  естественно изоморфна модулярной группе .
 Группа классов отображений кольца является циклической группой, образованной одним скручиванием Дена.
 Группа кос с n нитями естественным образом изоморфна группе классов преобразований диска n выколотыми точками.

Свойства 

 Группа классов преобразований поверхности счётная.

 Расширенная группа классов преобразований поверхности без края изоморфна группе автоморфизмов её фундаментальной группы.
 Более того, любой автоморфизм фундаментальной группы индуцируется некоторым гомеоморфизмом поверхности.
 Вообще говоря, утверждение перестаёт быть верным для поверхностей с краем. В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, и группа внешних автоморфизмов группы включает группу классов преобразований поверхности как собственную подгруппу.

 Для компактной поверхности  и  существует точная последовательность
 

 Любой элемент  группы классов преобразований поверхности попадает в одну из трёх категорий:
  имеет конечный порядок (то есть  для некоторого );
  приводим, то есть существует набор непересекающихся замкнутых кривых на , сохраняющихся под действием ;
  .

 Группа классов преобразований поверхности может быть порождена
 Двумя элементами
 Инволюциями
 Существует конечное задание с скручиваниями Дена как образующими.
 Наименьшее число скручиваний Дена, образующих группу классов преобразований поверхности рода , равно .

 Группа классов преобразований поверхности естественно действует на её пространстве Тейхмюллера.
 Это действие собственно разрывное, не свободно.
 Метрики на пространстве Тейхмюллера могут быть использованы для установления некоторых глобальных свойств группы классов преобразований. Например из этого следует, что максимальная квази-изометрически вложенная плоскость в группу классов преобразований поверхности рода  имеют размерность .

 Группа классов преобразований поверхности естественно действует на  поверхности. Это действие, вместе с комбинаторно-геометрическими свойствами комплекса кривых, может быть использовано для доказательства различных свойств группы классов преобразований.
 В частности, это объясняет наличие у группы некоторых свойств, близких к гиперболичности Громова.

 Первые гомологии группы классов преобразований поверхности конечны.
 Из этого следует, что первые группы когомологий также конечны.

 Группа классов преобразований поверхности остаточно конечна.

 Группа классов преобразований поверхности имеет только конечное число классов сопряжённости.

 Неизвестно, является ли группа классов преобразований поверхности линейной группой. Кроме симплектических представлений на гомологиях, известны и другие линейные представления, вытекающие из топологической квантовой теории поля. Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими.
 Размерность нетривиального действия группы классов преобразований поверхности рода  не может быть меньше .

Примечания

Литература 

 
 A. A. Гайфулин, Группы классов отображений и их подгруппы .

Геометрическая теория групп
Маломерная топология