Surface réglée standard

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une surface réglée standard est une variété algébrique, qui propose un modèle simple de surface réglée. On obtient ainsi une classification de toutes les surfaces réglées à isomorphisme algébrique près.  désigne dans ce langage l'unique surface réglée possédant une courbe géométriquement intègre d'autointersection .

Version naïve 

Ici,  désigne un corps de caractéristique zéro. On réalise une -forme de cette surface pour tout  entier, on note  le fibré défini de la façon suivante :

On considère deux copies de , que l'on recolle par l'isomorphisme  défini par  et .

 désignant un système de coordonnées homogènes de la droite projective , fibré au-dessus de la droite affine , dans la première carte.

On note  et  les ouverts (au sens de la topologie de Zariski) isomorphes à  ainsi obtenus.

Les deux morphismes 
 de  sur  et  de  sur 

se recollent en un morphisme  de  sur 
qui fait de  une surface réglée.

La surface obtenue est appelée surface réglée standard d'indice d'autointersection .

Groupes de diviseurs

Quelques courbes tracées sur Fm 

On définit d'abord des -courbes :

 la courbe de trace  sur  et  sur 

 la courbe de trace  sur  et  sur .

Pour tout  (la clôture algébrique de k), on note  la fibre de  au-dessus de 

On observe en second lieu qu'il s'agit de courbes géométriquement intègres, dont on peut calculer les intersections.

 Intersections des k-courbes

Les courbes  et, pour tout  la fibre  sont des courbes géométriquement intègres.
De plus ,  et
Pour tout  on a 

Ces résultats proviennent essentiellement du fait suivant : Le diviseur de la fonction de  définie par  est 
ainsi  et donc

Le groupe de Picard 

Définition d'une base des diviseurs

On note  la classe des diviseurs de la fibre  et  la classe de la courbe . 

Par commodité, on note  de sorte que  ;  ;  ; 

Une description classique du groupe des diviseurs montre alors que .

Enfin on calcule sans difficulté la classe canonique  de  en explicitant une forme sur . On obtient

Intérêt de la représentation 

Voici une représentation concrète des surfaces réglées standard dans lesquelles le calcul du groupe de Picard s'effectue de façon relativement immédiate.

Pour toutes ces surfaces, il est isomomorphe à . Cela se comprend intuitivement, les générateurs de ce groupe étant donnés par exemple par les diviseurs , qui est celui d'une fibre et par le diviseur de restriction  sur la carte .

Connaissant la classe des diviseurs (dans le groupe de Picard, ) associée à une courbe tracée sur la surface réglée, on peut donc aisément en donner le genre arithmétique d'une courbe.

Un exemple 

Si  désigne un polynôme de degré  sans facteur multiple, on note  le polynôme réciproque de .

La courbe  définie par sa trace sur  par l'équation cartésienne

 et par l'équation  sur la seconde carte

a pour classe de Picard associée :  et pour genre arithmétique : .

Plus généralement, on peut lire assez facilement sur l'équation cartésienne de la trace d'une courbe dans l'ouvert , sa classe de Picard, et son genre.

Notes

Voir aussi

Articles connexes
 Fibré en coniques
 Diviseur canonique
 Théorie de l'intersection

Bibliographie
 
 
 

Géométrie algébrique