Nombre p-adique

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier  fixé, les nombres -adiques forment une extension particulière du corps  des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif  des nombres -adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue -adique.

Un nombre -adique peut aussi se concevoir comme une suite de chiffres en base , éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule), avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels. 

La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres -adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue -adique sur le corps  est une valeur absolue non archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse -adique.

Historique et motivation 
Une construction algébrique de l'ensemble des nombres -adiques est découverte par Kurt Hensel en 1897, en cherchant à résoudre des problèmes de théorie des nombres par des méthodes calquant celles de l'analyse réelle ou complexe. En 1914, József Kürschák développe le concept de valuation, obtenant une construction topologique de ces nombres. En 1916, Alexander Ostrowski montre qu'il n'existe pas d'autre complétion de  que  et  (résultat connu sous le nom de théorème d'Ostrowski). En 1920, Helmut Hasse redécouvre les nombres -adiques, et les utilise pour formuler le principe local-global.

Construction

Approche analytique

Construction de ℚp par complétion 
Fixons un nombre premier . La valuation -adique d'un entier relatif  non nul (notée ) est l'exposant de  dans la décomposition de  en produit de facteurs premiers (c'est un cas particulier de valuation discrète). On pose . Par exemple,  car la décomposition de 2662 en facteurs premiers est 2662 = 113 × 2. On étend cette valuation à  en posant : . Cette définition ne dépend pas du représentant choisi pour le rationnel.

On définit la valeur absolue -adique  sur l'ensemble  par :  (en particulier,  : en quelque sorte, plus  est divisible par , plus sa valeur absolue -adique est petite). Le corps valué  des nombres -adiques muni d'une valeur absolue (encore notée ) peut alors être défini comme le complété du corps valué .

Quelques différences entre ℚp et ℝ 
Cette construction de  permet de le considérer comme un analogue arithmétique de . Cependant, le monde -adique se comporte de façon très différente du monde réel.
  n'est pas un corps totalement ordonnable .
Dans , la suite  tend vers  et la suite , pour  premier différent de , n'a pas de limite.
Puisque la valeur absolue sur  est définie à partir d'une valuation, la valeur absolue sur le complété  est, elle aussi, ultramétrique, si bien que la distance associée est une distance ultramétrique.Ceci a pour conséquences, entre autres, que  :
dans , une série converge si et seulement si son terme général tend vers 0 ;
l'espace topologique  est de dimension 0 (c'est-à-dire qu'il possède une base d'ouverts-fermés) donc totalement discontinu (c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe) ;
etc.
Dans , si une suite  converge vers un élément non nul, alors  est constante à partir d'un certain rang.
 n'est pas fermé dans  ( paragraphe suivant).

Constructions de ℤp 
 est le corps des fractions de son anneau de valuation (les nombres -adiques de valuation positive ou nulle), noté  et appelé l'anneau des entiers -adiques. Ce sous-anneau de  est l'adhérence de . On aurait donc pu le construire directement comme l'anneau complété de .

Les valuations sur ℚ 
Ostrowski a démontré que toute valeur absolue non triviale sur  est équivalente soit à la valeur absolue usuelle , soit à une valeur absolue -adique.  est dite normalisée (on pourrait prendre  pour un réel  autre que  : on obtiendrait une distance associée uniformément équivalente). L'avantage de la normalisation est la « formule du produit »  pour tout rationnel  non nul. Cette formule montre que les valeurs absolues sur  (à équivalence près) ne sont pas indépendantes.
Par exemple, pour  :  pour  et .

Approche algébrique 
Dans cette approche, on commence par définir l'anneau intègre  des entiers -adiques, puis on définit le corps  des nombres -adiques comme le corps des fractions de cet anneau.

On définit l'anneau  comme la limite projective des anneaux , où le morphisme  est la réduction modulo . Un entier -adique est donc une suite  telle que pour tout  :
.

On démontre alors que cet anneau est isomorphe à celui construit dans l'« approche analytique »  et l'est même en tant qu'anneau topologique, vu comme sous-anneau (compact) du produit des anneaux discrets .

Le morphisme canonique de  dans  est injectif car  est le seul entier divisible par toutes les puissances de .
Par exemple, 7 en tant que nombre 2-adique serait la suite (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, …).

Toute suite  dont le premier élément n'est pas nul a un inverse dans  car  est l'unique élément premier de l'anneau (c'est un anneau de valuation discrète) ; c'est l'absence de cette propriété qui rendrait la même construction sans intérêt (algébrique) si l'on prenait pour  un nombre composé.
Par exemple, l'inverse de 7 dans  est une suite qui commence par 1, 3, 7, 7, 23, 55 (car 7×55 ≡ 1 mod 2).
On peut remarquer que  contient donc l'anneau obtenu en adjoignant à  tous les inverses des nombres premiers sauf  (ce sous-anneau est un anneau local, le localisé de  en ).

Puisque de plus  n'est pas un diviseur de zéro dans , le corps  s'obtient en adjoignant simplement à l'anneau  un inverse pour , ce que l'on note  (anneau engendré par  et , donnant les expressions polynomiales en , analogue de la construction des nombres décimaux ).

Calculs dans ℚp

Décomposition canonique de Hensel 
D'après ce qui précède, tout élément non nul  de  s'écrit de manière unique comme une série (automatiquement convergente pour la métrique -adique) de la forme :

où  est un entier relatif et où les  sont des nombres entiers compris entre  et ,  étant non nul. Cette écriture est la décomposition canonique de  comme nombre -adique. Elle se déduit immédiatement du cas ,   : si , la donnée des  équivaut à celle des  puisque . On peut donc représenter un entier -adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base , tandis que les autres éléments de , eux, auront en plus un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.

Par exemple, avec  :

  (pour tout entier naturel, le développement 2-adique est simplement le développement en base 2) ;
  (dans , toute série géométrique de premier terme  et de raison  converge vers , car ) ;
de même (puisque ) .

Algorithmes utilisant les décompositions de Hensel 
 L'addition est tout à fait similaire à celle de , avec le même système de retenues :

Exemple : dans 

 On en déduit aisément une formule pour lopposé : puisque, dans ,
,
c'est que 
 dans . De même,  (on peut vérifier que, puisque , ajouter  à  conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0).

 La multiplication se fait de façon analogue :

Exemple 1 : dans 

Exemple 2 : de même, dans 
,
ce qui montre que .

 La division de deux entiers demande une analyse plus algébrique.

Exemple 1 : Écrivons  dans . Remarquons tout d'abord que  car sa valuation 7-adique est 0. Ainsi  avec .

3 est inversible modulo 7 puisque . Ceci permet d'ailleurs d'écrire la relation de Bézout suivante :

d'où :
 et à ce stade on a : .

Continuons et multiplions  par -2 :

et arrangeons pour obtenir des coefficients entre 0 et 6 :

d'où :
 et on observe une périodicité puisqu'on retombe sur .

Au bilan :  c'est-à-dire :

d'où l'écriture 7-adique :
.

Exemple 2 : Écrivons  dans . On sait que  car sa valuation 7-adique est –1 : ce sera donc un nombre 7-adique « à virgule ».

On écrit : 

Or on sait que  donc en multipliant par 4 :
.

Il ne reste plus qu'à diviser par 7, mais ceci revient à décaler la virgule vers la gauche (on est en base 7) :
.

Exemple 3 : Calcul de  dans . On sait (théorème d'Euler) que 9 divise , et de fait , et  ; on a donc  et finalement .
La résolution d'équations algébriques utilise de manière essentielle le lemme de Hensel ; celui-ci affirme en particulier que si un polynôme à coefficients dans  possède une racine simple dans , il en possède une dans .
Ainsi, 2 admet deux racines carrées dans  (à savoir 3 et 4) ; il en possède donc deux (opposées) dans . Partant de , la méthode de Newton appliquée au polynôme  (c'est-à-dire la suite définie par ) donne , qui est dans  une valeur approchée d'une racine de 2 à  près ; on en déduit les valeurs approchées des racines,  et  ; on aurait pu aussi les obtenir chiffre par chiffre, en résolvant successivement les équations , d'où , puis , etc..
Plus généralement, si  alors pour tous  avec  non divisible par ,  admet deux racines carrées dans .
De même, avec  premier quelconque, si  et  non divisible par  alors le polynôme  admet une racine dans . Puisque , ceci prouve que  est un carré dans .

Propriétés

Non-dénombrabilité 
Les ensembles  et  sont équipotents et non dénombrables. Plus précisément, ils ont la puissance du continu, car la décomposition de Hensel ci-dessus fournit une bijection de  dans  et une surjection de  dans .

Propriétés algébriques 
Un nombre -adique est rationnel si, et seulement si, sa décomposition de Hensel  est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe deux entiers  et  tels que . Par exemple, l'entier -adique  n'est pas dans .

Le corps  contient  donc sa caractéristique est nulle.

Il n'est cependant pas totalement ordonnable puisque   est un carré dans .

Pour  et  premiers distincts, les corps  et  ne sont pas isomorphes, puisque  n'est pas un carré dans  (sa valuation -adique n'étant pas divisible par 2) mais est un carré dans  si  .

La structure du groupe multiplicatif  des « unités -adiques » (le groupe des inversibles de l'anneau ) et celle du groupe  sont données par :
 si , , et .

On en déduit que :
un nombre -adique  appartient à  si et seulement si  a une racine n-ième dans  pour une infinité d'entiers n. Ceci permet de montrer quele corps  n'a pas d'automorphismes non triviaux ;
pour , le groupe des racines de l'unité dans  est cyclique d'ordre  (par exemple, le  corps cyclotomique est un sous-corps de ). On retrouve ainsi, au moins pour , que le corps  n'est pas totalement ordonnable et, au moins pour , que si  et  sont distincts alors  et  ne sont pas isomorphes.

La clôture algébrique  de  est de degré infini (contrairement à celle de , qui est une extension quadratique). Il existe d'ailleurs dans  des polynômes irréductibles en tout degré  : par exemple le polynôme d'Eisenstein , et même un polynôme unitaire de degré n à coefficients dans  et irréductible modulo . Ce degré est dénombrable, puisque c'est une extension algébrique, donc réunion de ses sous-extensions finies, lesquelles sont en nombre fini pour chaque degré d'après le lemme de Krasner.

Le corps  est, en supposant l'axiome du choix AC, isomorphe au corps  des nombres complexes, puisque (avec AC, et à isomorphisme près) en tout cardinal infini non dénombrable, il n'y a qu'un corps algébriquement clos de caractéristique 0. Inversement, la non-existence d'un plongement de  dans  est cohérente avec la théorie des ensembles sans l'axiome du choix.

Propriétés topologiques 
Muni de la distance -adique,  s'identifie naturellement à l'espace métrique produit  (compact donc complet). Pour tout réel , l'application  est un homéomorphisme de  sur son image , et  est — comme  — homéomorphe à l'espace de Cantor, d'après un théorème de Brouwer qui caractérise topologiquement ce dernier.

L'espace métrique  (complet par construction) est un espace localement compact (car le compact  est un ouvert contenant ), naturellement homéomorphe, pour tout , à l'ensemble  (où  est défini ci-dessus). Le compactifié d'Alexandrov de  est à nouveau — comme   — homéomorphe à l'espace de Cantor.

La clôture algébrique  de  n'est pas localement compacte : cela équivaut au fait qu'elle est de degré infini. Puisque ce degré est ℵ₀, elle n'est même pas complète. Son complété  est appelé le corps de Tate et noté  (ou parfois ). Il est algébriquement clos (donc algébriquement isomorphe à , comme ) et son degré de transcendance sur  est 2.

Les seules fonctions réelles de dérivée nulle sont les fonctions constantes. Cela n'est pas vrai sur . Par exemple, la fonction

possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas localement constante en 0.

Pour tous  appartenant respectivement à , il existe une suite dans  qui converge vers  dans  et vers  dans  pour tout  premier.

Extensions et applications 

Le nombre  (défini par la série ) n'appartient à aucun des corps -adiques. Cependant, en conservant la définition , on peut montrer que  et que, si , alors . Dès lors, il devient a priori possible de définir, pour tout ,  comme une racine -ième de . Un tel nombre n'appartient toutefois pas à  mais à sa clôture algébrique  (et donc à son complété ), et l'exponentielle ainsi définie dépend de la racine choisie. Plus généralement, il est possible de définir dans le corps de Tate une fonction exponentielle p-adique, qui cependant ne possède pas d'aussi bonnes propriétés que l'exponentielle complexe. En particulier, elle ne fait apparaître aucun analogue du nombre  ; cette situation a été résolue par Jean-Marc Fontaine, qui a construit en 1982 l' (prononcer «  de Rham »).

Une des premières applications des nombres -adiques a été l'étude de formes quadratiques sur les rationnels ; ainsi, en particulier, le théorème de Minkowski-Hasse affirme qu'une telle forme a des solutions rationnelles (non triviales) si et seulement si elle en a dans tous les corps , ainsi que dans .

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie 

 Nicole Berline et Claude Sabbah, La Fonction zêta, Éditions de l'École polytechnique, 2003, 
Collectif, Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, vol. 2, Cassini, 2003

Lien externe 

Théorie des nombres
P-adique