Накрытие

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение  линейно связного пространства  на линейно связное пространство , такое, что у любой точки  найдётся окрестность , полный прообраз которой  представляет собой объединение попарно непересекающихся областей :

 ,

причём на каждой области  отображение  является гомеоморфизмом между  и .

Формальное определение 

Отображение  линейно связного пространства  на линейно связное пространство  называется накрытием, если у любой точки  имеется окрестность , для которой существует гомеоморфизм , где  — дискретное пространство, такое что если  обозначает естественную проекцию, то
 .

Связанные определения 
 Пространство  называется базой накрытия, а  — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
 Прообраз  точки  называют слоем над точкой .
 Число областей  в полном прообразе  называется числом листов.
 Если это число конечно и равно , то накрытие называется -листным.
 Накрытие  называется универсальным если для любого другого накрытия  существует накрытие  такое, что .

Примеры 
 Пусть  обозначает единичную окружность комплексной плоскости .
 ,   .
 ,   , где , .

Свойства 
 Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
 Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
 Все двулистные накрытия регулярны.
 Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой 
Обычно накрытие рассматривается в предположении связности  и  и также локальной односвязности .
При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами  и : если , то индуцированный гомоморфизм , отображает  изоморфно на подгруппу в  и, меняя точку  в , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы  (то есть  — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным.
В этом случае возникает свободное действие группы  на , причём  оказывается факторотображением на пространство орбит .
Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым),
но это так для конечных групп.
Это действие порождается поднятием петель: если петле , , сопоставить единственный путь , для которого
 и , то точка  будет зависеть только от
класса этой петли в  и от точки .
Таким образом, элементу из  отвечает перестановка точек в .
Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки .
Это определяет гомеоморфизм , коммутирующий с .

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в , то есть имеется действие  на , называемое монодромией накрытия.
Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого  или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе  однозначно строится накрытие , для которого образ  есть .

Для любого отображения  линейно связного пространства  в 
поднятие его до отображения  существует тогда и только тогда, когда образ  лежит в .
Между накрытиями  имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в .
В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным
элементом.

Литература 
 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
 Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).

топология