Formule du pion

En mathématiques, la formule du pion est une relation entre coefficients binomiaux.

Elle a de nombreuses autres appellations : formule du capitaine, formule du chef, formule (du) comité-président, identité d'absorption, etc.

Énoncé 
Soient  et  deux nombres entiers tels que  ; la formule du pion s'écrit :
.

Explication des appellations 
Cette relation est dénommée « formule du pion »  du fait de l'analogie entre sa situation dans le triangle de Pascal et le mouvement d'un pion dans le jeu d'échecs. En effet, lorsqu’un pion attaque un pion adverse, il se déplace d’une case en diagonale (par exemple depuis la case située à l’intersection de la ligne  – 1 et de la colonne  – 1 vers celle située à l’intersection de la ligne  et de la colonne ).

L'appellation « formule du capitaine » (de même « pour formule du chef » ou  « formule (du) comité-président ») vient de la démonstration par dénombrement donnée ci-dessous si l'on représente  comme une équipe de  joueurs choisis parmi   et  comme le capitaine de cette équipe.

La formule du pion est appelée « identité d'absorption » dans le livre Concrete Mathematics, de par sa propriété d'absorption d'une variable nuisible dans une somme.

Démonstrations

Démonstration utilisant la formule explicite des coefficients binomiaux 
Il suffit d'écrire 
.

Démonstration utilisant la formule du binôme 

Le polynôme  se développe en 
, 
donc 
.

Mais on a aussi 
, 
d'où la formule par identification des coefficients.

Démonstration combinatoire 

Soit  un ensemble à  éléments ; on cherche à déterminer le nombre  de couples (, ) où  est une partie de  à  éléments et  un élément de .

 On peut commencer par choisir une partie  de  à  éléments ( choix possibles) puis on choisit  parmi les  éléments de  ( choix possibles) donc le nombre  de choix possibles est égal à 
.
 On peut commencer à choisir  parmi les  éléments de  ( choix possibles) puis on choisit  – 1 éléments parmi les  – 1 éléments de  restants ( choix possibles), donc le nombre  de choix possibles est égal à 
.

On a donc bien
.

Plus généralement, si on dénombre de deux façons les couples (, ) où  est une partie de  à  éléments et  partie de  à  éléments, on obtient la relation 

qui redonne la formule du pion pour  = 1.

Exemples d'applications 

 Écrite sous la forme  elle permet un calcul récursif des coefficients binomiaux.
 Cette formule peut être utile pour éliminer un paramètre dans des calculs de sommes, comme par exemple :
  en effectuant une translation d'indice puis utilisant la formule du binôme de Newton (ou la somme d'une ligne du triangle de Pascal),
 plus généralement , espérance de la loi binomiale ,
 l'itération de la formule du pion  qui permet d'obtenir  ainsi que les moments factoriels de la loi binomiale,
 .
 L'écriture de la formule :  montre, par le lemme de Gauss, que lorsque  et  sont premiers entre eux,  est un multiple de . En particulier, lorsque  est un nombre premier , les coefficients binomiaux non extrêmes de la ligne  du triangle de Pascal sont multiples de . Cette dernière propriété est même caractéristique des nombres premiers (voir Coefficient_binomial, Diviseurs_et_coefficients_binomiaux).

Voir aussi 

 Triangle de Pascal
 Formule d'itération de Pascal
 Q-analogue de la formule du pion

Notes et références 

Triangle de nombres
Coefficient binomial
Combinatoire
Échecs