Нотация Конвея для многогранников

Нотация Конвея для многогранников, разработанная Конвеем и продвигаемая , используется для описания многогранников, опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс-операциями.

Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation (усечения), определённого Кеплером, чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, tC представляет усечённый куб, а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром. Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC=O. Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.

Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками, представляются первой буквой в их (английском) названии (Tetrahedron = тетраэдр, Octahedron = октаэдр, Cube = куб, Icosahedron = икосаэдр, Dodecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы (Pn – от prism для n-угольных призм), антипризмы (An – от Antiprisms), купола (Un – от cupolae), антикупола (Vn) и пирамиды (Yn – от pyramid).  Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как Jn (от Johnson solids = тела Джонсона) для n=1…92.

В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa=e, в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta=b. Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически.

Операции на многогранниках 
Элементы таблицы даны для затравки с параметрами (v,e,f) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.

Специальные виды
 Операция «kis» имеет вариант kn, в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n-сторонами.
 Операция усечения имеет вариант tn, в этом случае усекаются только вершины порядка n.

Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC, а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC.

Оператор хиральности
 r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g. Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например,  = rs.

Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам.

Образование правильных затравок 
Все пять правильных многогранников могут быть получены из призматических генераторов, используя от нуля до двух операторов:
 Треугольная пирамида: Y3 (Тетраэдр является частным случаем пирамид)
 T = Y3   
 O = aT  (тетраэдр после операции ambo)
 C = jT (тетраэдр после операции join)
 I = sT  (плосконосый тетраэдр, тетраэдр после операции snub)
 D = gT (тетраэдр после операции gyro)
 Треугольная антипризма: A3 (Октаэдр является частным случаем антипризм)
 O = A3
 C = dA3
 Квадратная призма: P4 (Куб является частным случаем призмы)
 C = P4
 Пятиугольная антипризма: A5
 I = k5A5  (Частный случай )
 D = t5dA5 (Частный случай )

Правильная евклидова мозаика может также быть использована в качестве затравки:
 Q = Quadrille (четырёхугольная мозаика) = квадратная мозаика
 H = Hextille = шестиугольная мозаика = dΔ
 Δ = Deltille = треугольная мозаика = dH

Примеры 
Куб может образовать все выпуклые однородные многогранники с октаэдральной симметрией. В первой строке показаны архимедовы тела, а во второй — каталановы тела. Вторая строка образуется как двойственные многогранники к многогранникам первой строки. Если сравнивать каждый новый многогранник с кубом, можно понять визуально проведённые операции.

Усечённый икосаэдр, tI или zD, являющийся  G(2,0), создаёт дополнительные многогранники, которые ни вершинно-, ни гранетранзитивны.

Геометрические координаты производных форм 
В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет, эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.

Производные операции 
Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и  medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.

{| class=wikitable
! Оператор(ы) || d || aj || k, tn, z || eo || gs || a&k || a&e || k&k || k&ek&a2||e&e|-
! рёберный мультипликатор 
|| 1 || 2 || 3 || 4 ||5 || 6 || 8 || 9 ||12||16
|-
! Уникальных производных операторов 
|colspan=5| ||8 || 2 || 8|| 10|| 2
|}

Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам.

 Хиральные производные операции 

Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.

 Расширенные операторы
Эти расширенные операторы нельзя создать в общем виде с помощью выше перечисленных базовых операций. Некоторые операторы могут быть созданы как частные случаи с k и t операторами, но применённые к определённым граням и вершинам. Например, куб со снятой фаской, cC, может быть построен как t4daC, как ромбододекаэдр, daC или jC с усечёнными вершинами валентности 4. Поднятый куб lC — это то же самое, что t4kC, квинтододекаэдр qD можно построить как t5daaD, t5deD или t5oD, a дельтоидальный гексеконтаэдр можно построить как deD или oD с усечением вершин с валентностью 5.

Некоторые расширенные операторы образуют последовательность и даны с последующим числом. Например, ortho делит квадратную грань на 4 квадрата, а o3 может делить на 9 квадратов. o3 является уникальным построением, в то время как o4 можно получить как oo, оператор ortho, применённый дважды. Оператор loft может включать индекс подобно оператору kis, чтобы ограничить применение на грани с указанным числом сторон.

Операция chamfer (снятие фаски) создаёт  G(2,0) с новыми шестиугольниками между исходными гранями. Последовательные операции chamfer создают G(2n,0).

 Расширенные хиральные операторы 
Эти операторы нельзя создать в общем виде из перечисленных выше базовых операций. Художник-геометр  создал операцию, которую он назвал пропеллер.

 p – «propeller» = пропеллер (оператор вращения, создающий четырёхугольники на месте вершин). Эта операция самодвойственна: dpX=pdX.

 Операции, сохраняющие исходные рёбра 
Эти операции расширения оставляют исходные рёбра и позволяют применять оператор к любому независимому подмножеству граней. Нотация Конвея поддерживает дополнительный индекс для этих операций, указывающий число сторон у вовлечённых в операцию граней.

 Операторы Коксетера
Операторы Коксетера/ иногда полезны при смешении с операторами Конвея. Для ясности в нотации Конвея эти операции даны заглавными буквами. t-Нотация Коксетера определяет активные кружки как индексы диаграммы Коксетера — Дынкина. Таким образом, в таблице заглавная T с индексами 0,1,2 определяет однородные операторы из правильной затравки. Нулевой индекс представляет вершины, 1 представляет рёбра, а 2 представляет грани. При T = T0,1 это будет обычным усечением, а R = T1 является полным усечением, или операцией rectify, то же самое, что и оператор Конвея ambo. Например, r{4,3} или t1{4,3} является именем Коксетера для кубооктаэдра, а полноусечённый куб — это  RC, то же самое, что ambo куб Конвея, aC.

 Полуоператоры

Оператор semi или demi Коксетера, H (от Half), уменьшает число сторон каждой грани вдвое, а четырёхугольные грани в двуугольники с двумя рёбрами, соединяющими две вершины, и эти два ребра могут быть заменены или не заменены одним ребром. Например, половинка куба, h{4,3}, полукуб, — это HC, представляющий один из двух тетраэдров. Ho сокращает ortho в ambo/Rectify.

Другие semi-операторы (полуоператоры) можно определить с использованием оператора H. Конвей называет оператор  Snub (плосконосое усечение) Коксетера S, semi-snub (полуплосконосым усечением), определённым как Ht. Оператор snub s Конвея определяется как SR. Например, SRC — это плосконосый куб, sr{4,3}. Плосконосый октаэдр Коксетера, s{3,4} можно определить как SO, построение пиритоэдральной симметрии для правильного икосаэдра. Это также согласуется с определением правильной плосконосой квадратной антипризмой как SA4.

Оператор semi-gyro, G, определяется как dHt. Это позволяет определить оператор поворачивания Конвея g (gyro) как GR. Например, GRC — это gyro-куб, gC, или пентагональный икоситетраэдр. GO определяет пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией, в то время как gT (gyro tetrahedron, гиротетраэдр) определяет тот же самый топологический многогранник с тетраэдральной симметрией.

Оба оператора S и G требуют, чтобы затравочный многогранник имел вершины чётной валентности. Во всех этих полуоператорах имеется два выбора для альтернации вершин для оператора half. Эти две конструкции в общем случае топологически не тождественны. Например, HjC определяет либо куб, либо октаэдр, в зависимости от того, какой набор вершин выбирается.

Другие операторы применимы только к многогранникам с гранями, имеющими чётное число рёбер. Простейшим оператором является semi-join, который является сопряжённым с оператором half, dHd.

Оператор semi-ortho, F, сопряжён с semi-snub. Он добавляет вершину в центр грани и делит пополам все рёбра, но соединяет новыми рёбрами центр только с половиной рёбер, создавая тем самым новые шестиугольные грани. Исходные квадратные грани не требуют наличия центральной вершины, а требует только одно ребро через грань, создающее пару пятиугольников. Например, двенадцатигранник тетартоид может быть построен как FC.

Оператор semi-expand, E, определяется как Htd или Hz. Оператор создаёт треугольные грани. Например, EC создаёт построение с пироэдральной симметрией .

 Подразделения 
Операция subdivision (подразделения)  делит исходные рёбра на n новых рёбер, а внутренность граней заполняется треугольниками или другими многоугольниками.

Квадратное подразделение
Оператор ortho можно применить в серии степеней двойки четырёхугольных подразделений. Другие подразделения могут быть получены как результат факторизованных подразделений. Оператор  propeller, применённый последовательно, даёт 5-орто подразделение. Если затравка имеет нечетырёхугольные грани, они остаются как уменьшенные копии для нечётных операторов ortho.

 Хиральное шестиугольное подразделение 

Оператор whirl создаёт  G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины. Две последовательные операции whirls создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b и тем же самым хиральным направлением. Если хиральные направления обратны, G(a,b) превращается в G(2a+3b,a-2b) при a>=2b и в  G(3a+b,2b-a) при a<2b. 

Операторы whirl-n образуют многогранники Голдберга (n,n-1) и могут быть определены путём деления рёбер затравочного многогранника на 2n-1 подрёбер.
 
Результат операции whirl-n и ей обратной образует (3n2-3n+1,0) . wrw образует (7,0), w3rw3 образует (19,0), w4rw4 образует (37,0), w5rw5 образует (61,0), а w6rw6 образует (91,0). Результат двух операций whirl-n — это ((n-1)(3n-1),2n-1) или (3n2-4n+1,2n-1). Произведение wa на wb даёт (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), а wa на обратный wb даёт (3ab-a-2b+1,a-b) для  a≥b.

Произведение двух идентичных операторов whirl-n образует многогранник Голдберга ((n-1)(3n-1),2n-1). Произведение k-whirl и zip — это (3k-2,1).

 Триангулированное подразделение 

Операция un делит грани на треугольники путём деления каждого ребра на n частей, называемой n-частотным подразделением  Бакминстера Фуллера.

Операторы Конвея на многогранниках могут построить многие из этих подразделений.

Если все исходные грани являются треугольниками, новые многогранники будут также иметь все грани в виде треугольников, и на месте исходных граней создаются треугольные мозаики. Если исходные многогранники имеют грани с бо́льшим числом сторон, все новые грани не обязательно будут треугольниками. В таких случаях к многограннику сначала можно применить операцию kis с новыми вершинами в центре каждой грани.

 Геодезические многогранники 

Операции Конвея могут дублировать некоторые многогранники Голдберга и двойственные геодезическим многогранникам. Число вершин, рёбер и граней  G(m,n) можно вычислить исходя из m и n и число новых треугольников в каждом исходном треугольнике вычисляется по формуле T = m2 + mn + n2 = (m + n)2 − mn. Построения (m,0) и (m,m) перечислены ниже обозначения операций Конвея.

 Класс I 
Для двойственных многогранников Голдберга оператор uk определяется здесь как деление граней с подразделением рёбер на k частей. При этом оператор Конвея u = u2, а его сопряжённый  оператор dud является оператором chamfer, c. Этот оператор используется в компьютерной графике, в . Оператор u3 задаётся оператором Конвея kt=x, а его сопряжённый оператор y=dxd=tk. Произведение двух whirl операторов с обращением хиральности, wrw или w, даёт 7-подразделение в виде  G(7,0), так что u7=vrv. Более мелкие подразделения и операции whirl в хиральных парах могут построить дополнительные формы класса I. Операция w(3,1)rw(3,1) даёт многогранник Голдберга G(13,0). Операция w(3,2)rw(3,2) даёт G(19,0).

 Класс II 
Может быть определено также ортогональное подразделение, используя оператор n=kd. Оператор преобразует  (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Он преобразует (a,0) в (a,a), а (a,a) в (3a,0). Оператор z=dk делает то же самое для многогранников Голдберга.

{| class=wikitable
|+ Класс II: Операции ортогонального подразделения
|-
! (m,m)||(1,1)||(2,2)||(3,3)||(4,4)||(5,5)||(6,6)||(7,7)||(8,8)||(9,9)||(10,10)||(11,11)||(12,12)||(13,13)||(14,14)||(15,15)||(16,16)
|- valign=top
!T=m2×3 || 31×3 || 124×3 ||273×3 || 4824×3||7525×3||10836×3||14749×3||19264×3||24381×3||300100×3||363121×3||432144×3||507169×3||588196×3||675225×3||768256×3
|- valign=top
!Операция
!u1nn=kd!u2n=un=dct!u3n=xn=ktkd!u4n=u22n=dcct!u5n!u6n=u2=u3n=dctkt!u7n=vn=dwrwt!u8n=u23n=dccct!u9n=u32n=ktktkd!u10n=u2u5n!u11n!u12n=u22u3n=dcctkt!u13n!u14n=u2u7n=dcwrwt!u15n=u3u5n!u16n=u24n=dcccct|- align=center
!Треугольнаягрань
|||||||||||||||||||||||||| || || ||
|- align=center valign=bottom
!ИкосаэдрКонвей
|nI {3,5+}1,1
|unI {3,5+}2,2
|xnI {3,5+}3,3
|u2nI {3,5+}4,4
| {3,5+}5,5
|uxnI {3,5+}6,6
|vrvnI {3,5+}7,7
|u3nI {3,5+}8,8
|x2nI {3,5+}9,9
|{3,5+}10,10  
|{3,5+}11,11
|u2xnI {3,5+}12,12
|{3,5+}13,13  
|dcwrwdnI {3,5+}14,14
| {3,5+}15,15
|u4nI{3,5+}16,16
|- align=center valign=top
!Двойственный оператор
| z=dk|| cz=cdk || yz=tkdk || c2z=ccdk || c5z || cyz=ctkdk ||wz=wrwdk || c3z=cccdk|| y2z=tktkdk || cc5z || c11z || c2yz=c2tkdk || c13z || cwz=cwrwdk || c3c5z || c4z=ccccdk''
|- align=center valign=bottom
!valign=bottom|ДодекаэдрКонвей
|zD {5+,3}1,1
|czD 
|yzD {5+,3}3,3
|cczD {5+,3}4,4
| {5+,3}5,5
|cyzD {5+,3}6,6
|wrwzD {5+,3}7,7
|c3zD {5+,3}8,8
|y2zD {5+,3}9,9
|| {5+,3}10,10 || G{5+,3}11,11
|ccyzD {5+,3}12,12
|| {5+,3}13,13
|cwrwzD G{5+,3}14,14
|| {5+,3}15,15
| cccczD] {5+,3}16,16
|}

 Класс III 
Большинство геодезических многогранников и двойственные к многогранникам Голдберга G(n,m) нельзя построить с помощью операторов, производных от операторов Конвея. Операция whirl создаёт  G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины, а n-whirl образует G(n,n-1). На формах с икосаэдральной симметрией t5g эквивалентен в этом случае whirl. Операция v (=volute = виток, оборот) представляет треугольное подразделение, двойственное whirl. На икосаэдральных формах операция может быть осуществлена с помощью производного оператора k5s, pentakis snub.

Две последовательные операции whirl создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b с тем же самым хиральным направлением. Если хиральное направление обратное, G(a,b) становится G(2a+3b,a-2b) для a>=2b, и G(3a+b,2b-a) для a<2b.

 Примеры многогранников по симметрии 

Повторение операций, начав с простой формы, может дать многогранники с большим числом граней, сохраняющих симметрию затравки.

 Тетраэдральная симметрия 

Октаэдральная симметрия 

Хиральные

 Изоэдральная симметрия 

Хиральные

 Диэдральная симметрия 

 Тороидальная симметрия 
Тороидальные мозаики существуют на плоском торе, на поверхности  в четырёхмерном пространстве, но могут быть спроектированы в трёхмерное пространство как обычный тор. Эти мозаики топологически подобны подмножествам мозаик евклидовой плоскости.

 Евклидова квадратная симметрия 

 Евклидова треугольная симметрия 

 См. также 
 Однородные многогранники
 Алгоритмы компьютерной графики:
  – expand operator
 Алгоритм подразделения поверхности Катмулла — Кларка – оператор ortho
 
 

Примечания

Литература

 , Sculpture based on Propellorized Polyhedra'', Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, August, 2000, pp. 61–70 [http://www.georgehart.com/propello/propello.html

Ссылки 
 George Hart's Conway interpreter : generates polyhedra in VRML, taking Conway notation as input. Also includes helpful explanations of the operations.
 Polyhedra Names 
 Vertex- and edge-truncation of the Platonic and архимедовых тел leading to vertex-transitive polyhedra  Livio Zefiro
 polyHédronisme : generates polyhedra in HTML5 canvas, taking Conway notation as input

 John Conway's notation  Visualization of Conway Polyhedron Notation 
  (truncate)
  (ambo)
  (kis)
 Conway operators, PolyGloss, Wendy Krieger 
 Derived Solids

Многогранники
Математические обозначения
Джон Конвей‎‎