Processus convexe

Un processus convexe est une multifonction dont le graphe est un cône convexe pointé. Un processus convexe étend la notion d'application linéaire (dont le graphe est un sous-espace vectoriel), puisqu'un processus convexe univoque est une application linéaire. On peut lui associer une norme.

Cette notion a été introduite par Rockafellar (1967 et 1970). Elle intervient, par exemple, dans la généralisation du théorème des fonctions implicites aux multifonctions.

Connaissances supposées : les bases de l'analyse multifonctionnelle et de l'analyse convexe.

Définitions et exemple

Définitions 

Soient  et  deux espaces vectoriels réels. Un processus convexe est une multifonction  dont le graphe  est un cône convexe pointé (il s'agit donc d'une multifonction convexe particulière). Il revient au même de dire (et il sera parfois plus simple de vérifier) qu'un processus convexe est une multifonction  qui satisfait aux propriétés suivantes :
 pour tout , , on a ,
 pour tout  et pour tout , on a ,
 .

On dit qu'un processus convexe  est fermé si son graphe  est fermé dans l'espace produit

Rappels d'analyse multifonctionnelle 

Rappelons quelques notions liées à une multifonction  qui nous serons utiles.
 Le domaine de  est défini et noté par  ; c'est la projection canonique de  sur .
 L'image de  est définie et notée par  ; c'est la projection canonique de  sur .
 La fonction réciproque de  est la multifonction  définie par . Dès lors  si, et seulement si, .
 On dit que  est semi-continue inférieurement en  relativement à une partie  contenant , si pour tout ouvert  de  tel que , il existe un ouvert  de  (muni de sa topologie induite de celle de ) contenant  tel que, pour tout , on a .
 On dit que  est ouverte en , si pour tout ouvert  de  contenant 0,  est un voisinage de 0 dans  (muni de la topologie induite de celle de ).

Exemple 

Voici un exemple instructif de processus convexe : ,  et  est défini en  par

où  et  sont des applications linéaires. On voit que le processus convexe réciproque a pour valeur en  :

Dès lors,  donne l'ensemble des solutions d'un certain système d'inégalités linéaires, dont une partie des inégalités est perturbée par le vecteur .

Propriétés immédiates 

Pour un processus convexe , on a
 pour tout convexe ,  est convexe dans  (parce que  est une multifonction convexe),
  est un cône convexe pointé,
  est un cône convexe et  pour tout ,
  est un processus convexe,
  pour tout ,
 un processus convexe univoque est une application linéaire.

Norme 

On suppose dans cette section que  et  sont des espaces normés.

On peut définir la norme d'un processus convexe  par

Contrairement aux applications linéaires, la norme d'un processus convexe entre espaces de dimension finie n'est pas nécessairement finie, même s'il est fermé. Par exemple, la multifonction  définie en  par

est un processus convexe fermé et son application réciproque  prend en  la valeur

Cependant , car si , avec , on a

Annexes

Notes

Article connexe 

 Multifonction convexe

Bibliographie 

  S.M. Robinson (1972). Normed convex processes. Translations of the American Mathematical Society, 174, 127-140.
  R.T. Rockafellar (1967). Monotone processes of convex and concave type. Memoirs of the American Mathematical Society, 77. American Mathematical Society, Providence, R.I., USA.
  R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

Analyse (mathématiques)
Analyse convexe