Проблема Гильберта — Арнольда

Проблема Гильберта — Арнольда в теории динамических систем относится к классу задач, связанных с оценкой числа предельных циклов. В ней требуется доказать, что в типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено по всем значениям параметра. Данная проблема исторически связана с 16-й проблемой Гильберта. В настоящий момент (2009) решены только некоторые упрощенные версии проблемы Гильберта — Арнольда.

Математический контекст и постановка задачи 
Напомним один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Рассмотрим систему полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости

где ,  — многочлены степени не выше .

 Доказать, что для всякого  существует такое число , что любая система вида (*) обладает не более чем  предельными циклами.

Числа  называются числами Гильберта для предельных циклов.

Для дальнейшего, нам будет удобно перейти к компактному фазовому пространству и компактной базе параметров. Для этого мы используем приём, известный как компактификация Пуанкаре. Продолжая полиномиальное векторное поле на плоскости до аналитического поля направлений на проективной плоскости мы компактифицируем базу параметров, а затем используя центральную проекцию сферы на проективную плоскость, получаем аналитическое поле направлений на сфере (с конечным числом особых точек). Тем самым, в пространстве всех аналитических полей направлений на сфере выделяется конечно-параметрическое семейство полей с компактной базой параметров, порождаемых полиномиальными системами заданной степени. При этом экзистенциальная проблема Гильберта становится частным случаем следующей (более сильной) гипотезы:
 В любом  конечно-параметрическом аналитическом семействе аналитических векторных полей на сфере с компактной базой параметров  число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра .

Полиномиальные векторные поля представляют собой естественный пример конечно-параметрического семейства, и на момент постановки 16-й проблемы Гильберта это было, вероятно, единственным известным явным семейством такого рода.  Однако со временем подходы изменились, и внимание математиков стали привлекать вопросы не о конкретном семействе, а о свойствах типичных семейств из некоторого класса. В ходе работы над обзором  (1986), В. И. Арнольд предложил рассматривать конечно-параметрические семейства гладких векторных полей и сформулировал несколько гипотез на эту тему.

Какие содержательные вопросы можно задавать о предельных циклах в типичных конечно-параметрических семействах? Очевидно, прямой аналог 16-й проблемы Гильберта в данном случае не имеет смысла: у типичной гладкой системы на сфере может быть сколь угодно большое число гиперболических предельных циклов, не разрушаемых малым шевелением, а значит спрашивать о верхней оценке на число предельных циклов в типичном семействе бессмысленно.  Однако, гладкий аналог гипотезы глобальной конечности имеет смысл. Он был сформулирован явно Ю. С. Ильяшенко  и получил название проблемы Гильберта — Арнольда:
 В любом типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра.

Аналитические семейства весьма сложны для изучения — например, они не допускают локальных возмущений в окрестности точки, поэтому нет оснований считать, что решение проблемы Гильберта — Арнольда само по себе позволит доказать гипотезу глобальной конечности, а с ней и 16-ю проблему Гильберта. Однако, исследователи полагают, что изучение гладких векторных полей может дать полезные идеи по поводу 16-й проблемы, а также представляет собой самостоятельную содержательную задачу.

Локальная проблема Гильберта — Арнольда 

Благодаря компактности базы параметров и фазового пространства, мы можем свести проблему Гильберта — Арнольда к локальной проблеме изучения бифуркаций специальных вырожденных векторных полей.  Напомним необходимые определения.
 Полициклом  векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек  (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых  (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга  соединяет точки  и , где , .

Определим «цикличность полицикла», то есть количество предельных циклов, рождающихся при его бифуркации:
 Рассмотрим некоторое семейство векторных полей .  Пусть при  система имеет полицикл .  Цикличностью полицикла  в семействе  называется такое минимальное число , что найдется такая окрестность полицикла  и такая окрестность   критического значения параметра (), что для всех  в области  одновременно существует не более  предельных циклов, причем хаусдорфово расстояние между этими циклами и  стремится к нулю при .

Таким образом, цикличность зависит не только от векторного поля, содержащего полицикл, но и от семейства, в которое оно включается.

 Бифуркационным числом   называется максимальная цикличность нетривиального полицикла в типичном -параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере.

Определение бифуркационного числа уже не зависит от семейства, а только от размерности пространства параметров. Сформулируем локальную проблему Гильберта — Арнольда:

 Доказать, что для всякого  существует , и найти явную верхнюю оценку.

Из соображений компактности следует, что если в некотором семействе число предельных циклов не ограничено, то они обязаны накапливаться к какому-то полициклу, имеющему тем самым бесконечную цикличность. Таким образом, решение локальной проблемы Гильберта — Арнольда влечет за собой решение глобальной.

Локальная проблема Гильберта — Арнольда решена для  и  (, ). Для  существует стратегия решения, но она в настоящий момент не завершена. Применение этой же стратегии для оценки  представляется совершенно безнадежной задачей.  Основные результаты в этой области для произвольных  получены для упрощенной версии локальной проблемы Гильберта—Арнольда, в которой рассматриваются только полициклы, содержащие лишь элементарные особые точки.
 Особая точка называется элементарной, если её матрица линеаризации имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. Полицикл называется элементарным , если все его вершины являются элементарными особыми точками.

Элементарным бифуркационным числом  называется максимальная цикличность элементарного полицикла в типичном -параметрическом семействе.

 Для всякого  существует .

 Для всякого  справедлива оценка .

Литература 

 [AAIS] 
 [I94] 
 [IYa] 
 [K01] 
 [IK] 
 [K] 

Динамические системы
Открытые математические проблемы