Circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico queda determinado por una circunferencia, y la región del plano que encierra esta.

Historia 
El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia. Cuando usaban los carros con ruedas, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia ayudando a mejorar la precisión a la hora de fabricación de las ruedas y a su vez facilitar el transporte .

Partes 

Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:

 El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia. Señalado con el nombre  en la figura.
 Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los segmentos del mismo nombre. Señalado con el nombre  en la figura.
 Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento del mismo nombre. Señalado con el nombre  en la figura.
 El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud. Señalado con el nombre  en la figura.
 Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia. El diámetro es una cuerda de máxima longitud. Segmento verde en la figura.
 Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco que determinan sus extremos. Línea curva azul en la figura.
 Una flecha o sagita respecto una cuerda es el segmento de su mediatriz que hay entre esta cuerda y el arco que determina esta, sin pasar por el centro. Segmento rojo en la figura.
 Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por los extremos de un diámetro.

Perímetro 
La longitud de una circunferencia en función del radio  o del diámetro  es:

 

donde  es la constante pi.

Área 

El área del círculo o de la región del plano delimitada por una circunferencia:

A =

Propiedades

Posiciones relativas respecto la circunferencia

Los puntos 

Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:
 Un punto exterior es el que está a una distancia mayor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro.
 Un punto interior es el que está a una distancia menor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro.

Las rectas 

Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:
 Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con la circunferencia.
 Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia en un único punto.
 Una recta secante es cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos.

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo punto de la circunferencia se pueden hacer tangencias.

Propiedades

Entre circunferencias 
Posiciones entre circunferencias:

 Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.
 Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.
 Una circunferencia es circundante a otra, si todos sus puntos no son interiores a esta otra que a su vez no es exterior a la primera. Véase las figuras 7 y 8.
 Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase la figura 2.
 Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común. Véase la figura 7.
 Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra.  Véase la figura 4.
 Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos. Véase la figura 3.
 Una circunferencia es secante ortogonalmente a otra, si el ángulo de su intersección es recto, es decir, sus rectas tangentes en cada una de las intersecciones son perpendiculares.
 Son excéntricas las circunferencias que no tienen el mismo centro.
 Son concéntricas las circunferencias que tienen el mismo centro, es decir, las que no son excéntricas.
 Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.

Propiedades

Ángulos en una circunferencia 

Posición de los ángulos respecto de una circunferencia, puede ser:

 Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Véase la figura 1.
 Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia cuyos lados determinan una cuerdas cada uno en la dicha circunferencia. Véase la figura 2.
 Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y uno de sus lados secantes determina una cuerda y el otro una recta tangente a la circunferencia, es decir, que el vértice es un punto de tangencia. Véase la figura 3.
 Un ángulo ex-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y uno de sus lados determina una cuerda y la prolongación del otro determina otra cuerda, es decir, es el ángulo exterior de un ángulo inscrito. Véase la figura 4.
 Un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia. Véase la figura 5.
 Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y cada lado es tangente o secante a la circunferencia. Véanse las figuras 6,7 y 8.

Propiedades 

En el ángulo central su amplitud  y el radio  de la circunferencia, determina la longitud del arco  resaltado en la figura en azul. Si el ángulo está en grados:

Si el ángulo está en radianes:

 

El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que las intersecciones de los lados mantengan la misma distancia.

Si el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito tienen la misma amplitud , entonces, determinan la misma longitud de arco, de color azul en la imagen, sobre una misma circunferencia de radio . Si el ángulo está en grados:

Si el ángulo está en radianes:

 

Diversos tipos de ángulos aparecen en el análisis de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Inscripción y circunscripción 
Diremos que una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, se dice que este polígono está inscrito.

Diremos que una circunferencia está inscrita a un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice que este polígono está circunscrito.

Construcción con regla y compás 
Hay muchas construcciones con regla y compás que resultan en circunferencias.

A partir del centro y un punto de la circunferencia 
Esta es la más sencilla. Basta colocar la aguja del compás en el centro de la circunferencia y el otro extremo en el otro punto y girar.

A partir del diámetro 

 Construye el punto medio  del diámetro.
 Construye la circunferencia con centro en  que pasa por los extremos del diámetro como se describe en el apartado anterior.

A partir de tres puntos no alineados 

 Llama a los puntos  y .
 Construye el triángulo  construyendo los segmentos  y .
 Construye la mediatriz del segmento .
 Construye la mediatriz del segmento .
 Encuentra la intersección de estas dos mediatrices (existe porque  y  no están alineados) y llámala . Esta intersección es el circuncentro de  y, por tanto, equidista de los tres vértices.
 Construye como se describe en el primer apartado la circunferencia con centro  que pasa por alguno de los puntos  o  (también pasará por los otros dos por equidistar  de los tres vértices).

Representación de la circunferencia 
La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos. Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto  de la circunferencia a su centro  sea constante para cada una de las ecuaciones y funciones que se tenga.

Ecuación de la circunferencia 

Una circunferencia queda determinada por un centro  y un radio , por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus puntos, , al centro sea constante, es decir,  dando la siguiente ecuación:

Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto de la forma  que satisfacen la ecuación.

La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas 

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su ecuación es:

Su función implícita es  y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen la ecuación

Propiedades 
Es posible usar cuadratura para hallar la ecuación de la circunferencia a partir de su ecuación extendida:

A partir de los puntos extremos de un diámetro,  y , la ecuación de la circunferencia es:

Función paramétrica 
La circunferencia con centro en  y radio  se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo parámetro  para obtener una función paramétrica 
 

También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

donde  incluye el punto en el infinito.

Función paramétrica en el plano complejo 
En el plano complejo, una circunferencia con centro  y radio  a partir de la ecuación de la circunferencia  se obtiene la forma paramétrica:

 

donde

Función vectorial 
Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espacio vectorial usando dos vectores ortonormales  y , y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir la circunferencia en cualquier plano oblicuo con centro  y radio  que viene dada o descrita por la función vectorial:

  donde

Ecuación en coordenadas polares 

Toda curva plana dada en coordenadas polares es de la forma   donde  es la distancia al centro o polo  y  el ángulo respecto el eje OX, por tanto la expresión de una circunferencia con centro en el polo y radio  es:

Cuando el centro está en el punto  con radio  la circunferencia es:

Propiedad 
 Dados tres puntos cualesquiera no alineados  y  existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos, es decir, esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos. La ecuación de la circunferencia está dada de por el determinante matricial:

Formas de identificar circunferencias 
Según el área que se trabaje, hay formas de identificar y usar una circunferencia implícitamente, además de sus funciones y ecuaciones.

En topología 
En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar como uno los dos extremos de un intervalo cerrado. Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que los topólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como , dando lugar a posibles confusiones.

La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1. También el caso de una poligonal cerrada.

En ecuaciones diferenciales 
En el tema de ecuaciones diferenciales, una circunferencia puede determinarse mediante una curva integral de una ecuación diferencial como:

En geometría diferencial de curvas 
En teoría local de la curva, se considera como circunferencia una curva de curvatura constante sin torsión.

Circunferencias particulares

Circunferencias de Cardanus 
Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano

Circunferencia directriz 
Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola, siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada circunferencia directriz.

Circunferencia osculatriz 
Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada  circunferencia osculatriz

Véase también 
 Círculo
 Disco (topología)
 Circunferencia de Apolonio
 3-esfera | n-esfera
 Sección cónica
 Elipse | Parábola | Hipérbola
 Teorema segundo de Tales

Referencias

Enlaces externos 

 Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre la circunferencia
 Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. Ministerio de Educación, Política Social y Deporte de España
 Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes
 Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve, de la Universidad de Los Andes, Venezuela
 

Medición geométrica
Curvas
Secciones cónicas
Círculos
Formas elementales