Extension radicielle

Dans la théorie des extensions de corps, à l'opposé des extensions algébriques séparables, il existe les extensions radicielles. C'est un phénomène spécifique à la caractéristique positive et qui apparaît naturellement avec les corps de fonctions en caractéristique positive.

Définition 

Soit  une extension de corps de caractéristique . Un élément  de  est dit radiciel sur  s'il existe un entier  tel que . Une extension (algébrique)  est une extension radicielle si tout élément de  est radiciel sur .

Une extension radicielle est aussi appelée une extension purement inséparable, qui est plus proche de la terminologie anglophone . Le terme radiciel reflète le fait que tout élément est une racine d'un élément de  (cette propriété caractérise d'ailleurs les extensions radicielles parmi les extensions algébriques quelconques).

Une extension radicielle L/K est de hauteur m si, pour tout élément x de L, on a  et si m est minimal pour cette propriété. Toute extension radicielle finie est de hauteur finie.

Exemples 

 Si  est un élément qui n'est pas une puissance -ième dans , alors le polynôme  est irréductible, son corps de rupture (égal au corps de décomposition ici) est une extension radicielle de  de degré . 
 Soit  un corps de caractéristique . Soit  un entier naturel. Alors l'ensemble  des éléments de la forme  est un sous-corps de  et  est une extension algébrique radicielle (qui n'est pas nécessairement de degré fini). 
 Soit  le corps des fractions rationnelles à une variable sur un corps parfait . Alors   est une extension radicielle de degré  sur  et c'est l'unique extension radicielle de  de degré . Il en résulte que toute extension radicielle de  est isomorphe à un corps des fractions rationnelles .  
En revanche,  a plusieurs extensions radicielles de degré  non isomorphes entre elles (en tant qu'extensions de ).

Propriétés 

 Une extension radicielle finie est nécessairement de degré une puissance de . 
 Le polynôme minimal d'un élément radiciel est de la forme . 
 Si  est une extension radicielle, alors tout homomorphisme de  dans un corps parfait  s'étend de façon unique en un homomorphisme . En particulier, si  contient  (par exemple si c'est une clôture algébrique de ), alors tout -homomorphisme de  dans  est égal à l'identité sur  composée avec l'inclusion canonique . 
 Une extension radicielle de degré fini se décompose en une succession d'extensions radicielles de degré . 
 Une clôture algébrique  de  est radicielle sur la clôture séparable de  contenue dans .

Clôture radicielle 

Si l'on fixe une clôture algébrique  de , l'ensemble des éléments de  radiciels sur  forment une extension radicielle de , appelée clôture radicielle de . C'est un corps parfait. Toutes les clôtures radicielles de  sont isomorphes entre elles.  

Par exemple, si  est un corps parfait de caractéristique , la clôture radicielle du corps des fractions rationnelles  est la réunion (dans une clôture algébrique de ) des extensions  pour  parcourant les entiers naturels.

Applications aux extensions algébriques 

Remarques 
Le degré de l'extension  est appelé le degré d'inséparabilité de l'extension .
 En général on ne peut pas décomposer  en une extension radicielle  et une extension séparable . Mais si  est une extension finie normale, alors c'est une extension galoisienne d'une extension radicielle de . Ici l'extension radicielle n'est autre le sous-corps des éléments de   invariants par le groupe des  -automorphismes de  .
 Un corps est parfait si et seulement s'il n'a pas d'extension radicielle autre que lui-même. 
 Un corps de fonctions en caractéristique positive en au moins une variable n'est jamais parfait.
 Contrairement aux extensions finies séparables, une extension radicielle finie n'admet pas nécessairement d'élément primitif. Par exemple, l'extension  du corps des fractions rationnelles  nécessite deux générateurs.

Liens avec le Frobenius 

L'endomorphisme de Frobenius d'un anneau A de caractéristique p est donné par x ↦ x. Si K est un corps de caractéristique p, alors le Frobenius K → K induit une extension radicielle de hauteur 1. C'est l'extension K de K (l'ensemble des puissances p-ièmes des éléments de K) ou l'extension K (l'ensemble des racines p-ièmes des éléments de K dans une clôture algébrique de K) de K.  

Inversement, toute extension radicielle L/K de hauteur 1 est contenue dans K.

Géométrie algébrique 

Un morphisme de schémas  est dit radiciel si pour tout corps K, l'application  est injective. Cela revient à dire que f est injective et que pour tout point x de X, l'extension des corps résiduels  est radicielle. 

On dit que f est un homéomorphisme universel si pour tout Y-schémas Z, le morphisme  obtenu par changement de base est un homéomorphisme. Un morphisme fini surjectif et radiciel est un homéomorphisme universel,  et l'inverse est vraie si de plus f est de présentation finie.

Si A est une variété abélienne supersingulière sur un corps de caractéristique p, le morphisme de multiplication par p sur A est un morphisme radiciel.

Notes et références

Notes

Références
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Masson, 1981, chap. V

Articles connexes
Endomorphisme de Frobenius

Théorie des corps
Théorie de Galois