Convexidad (economía)

La convexidad es un importante campo en economía. En el modelo Arrow-Debreu de equilibrio general, los agentes tienen restricciones presupuestarias convexas y preferencias convexas: en el precio de equilibrio, la recta presupuestaria se cruza con la mejor curva de indiferencia posible. La función de beneficios es la conjugada convexa de la función de costes. El análisis de convexidad es la herramienta estándar para el análisis de la economía en los libros de texto. Los fenómenos de no-convexidad en economía han sido estudiados a través del análisis subgradiente, que generaliza el análisis de convexidad.

Preliminares 
La convexidad en economía se basa en las siguientes definiciones, y se desarrolla a partir de la geometría convexa.

Espacios vectoriales reales 
 
Un espacio vectorial real de dos dimensiones puede resultar en un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada punto se identifique por una lista de dos números reales, llamados "coordenadas", las cuales se denotan convencionalmente como x e y. Dos puntos en el plano cartesiano pueden sumarse: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2);
además, un punto puede multiplicarse por cada número realλ 
 λ (x, y) = (λx, λy).

De modo más general, cualquier espacio vectorial real de dimensiones finitas D puede verse como un conjunto de todos los posibles conjuntos de números reales D  } junto con dos operaciones: la sumar y la multiplicación por un número real.

Conjuntos convexos 
En un espacio vectorial real, un conjunto se define como convexo si, para cada par de sus puntos, cada punto sobre el segmento que los une está recubierta por el conjunto. Por ejemplo, un cubo sólido es convexo; sin embargo, cualquier cosa que sea hueca o dentada, como por ejemplo la forma de una media luna, es no convexo.

Más formalmente, un conjunto Q es convexo si, para todos los puntos v0 y v1 en Q y para cada número real λ en el intervalo unidad [0,1], el punto: 
(1 − λ) v0 + λv1
es un elemento de Q. 

Por inducción matemática, un conjunto Q es convexo si y solo si cada combinación convexa de elementos de Q también pertenece a Q. Por definición, una combinación convexa de un subconjunto indiciado {v0, v1, . . . , vD} de un espacio vectorial es cualquier media ponderada  para algún conjunto indiciado de números reales no negativos {λd} que satisfacen la ecuación  = 1.

La definición de convexidad implica que la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. En general, la intersección de una familia de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Envoltura convexa 
Para cada subconjunto Q de un espacio vectorial real, su  es el conjunto conexo minimal que contiene Q. Entonces Conv(Q) es la intersección de todos los conjuntos convexos que recubren Q. La envolutra conexa de un conjunto puede definirse equivalentemente como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en Q.

Dualidad: semiespacios que se intersecan 

El hiperplano de soporte es un concepto geométrico. Un hiperplano divide al espacio en dos semiespacios. Se dice que un hiperplano soporta un conjunto  en el espacio euclídeo  si se cumplen dos condiciones:
  está enteramente contenida en uno de los dos semiespacios cerrados determinados por el hiperplano.
 El hiperplano contiene a  en al menos un punto.
Aquí, un semiespacio cerrado incluye al semiespacio.

Teorema del hiperplano de soporte 
El teorema del hiperplano de soporte o de apoyo establece que si  es un conjunto convexo cerrado en el espacio euclídeo  y  es un punto en la frontera de  entonces existe un plano de soporte conteniendo  

El hiperplano en el teorema puede no ser único, como se observa en la segunda imagen a la derecha. Si el conjunto cerrado  no es convexo, la afirmación del teorema no es cierta en todos los puntos de la frontera de .

Economía 

Una cesta de bienes óptima ocurre cuando el conjunto de preferencias convexas del consumidor está soportado por la restricción presupuestaria. Si la preferencia es convexa, entonces el conjunto de decisiones óptimas del consumidor es un conjunto convexo, por ejemplo, una única cesta óptima (o incluso un segmento de cestas óptimas).

Por simplicidad, se asume que las preferencias del consumidor pueden ser descritas por una función de utilidad que es una función continua, lo que implica el conjunto de preferencias es cerrado.

Véase también 
 Convexidad
Economías no convexas
Mercados con funciones de excesos de demanda agregada continuas en el marco de preferencias individuales no convexas.
La motivación de Starr para la eliminación del supuesto de convexidad, es que su modelo postula todas las formas de bienes indivisibles, así como las relaciones que el autor llama de anti–complementariedad, las cuales son inconsistentes con el supuesto de convexidad si el número de individuos que intercambian es suficientemente grande. Cuando de levanta el supuesto de convexidad existe una configuración bajo la cual, las asignaciones resultantes de las transacciones son de tal naturaleza que, las divergencias respecto al equilibrio pueden hacerse pequeñas respecto al tamaño del mercado.
 Modelo de Starr.
Economía de n bienes. Una asignación es un vector en el cuadrante no negativo   de En, que en el capítulo II se definió como cono convexo.
Todo agente k tiene preferencias transitivas, reflexivas y completas   definidas sobre las asignaciones.
 Supuesto A (Continuidad)
 , los conjuntos   y   son cerrados.
Cada agente tiene una dotación inicial  , se asume que  (todo agente inicia con una cantidad positiva de al menos un bien.
Se asume un conjunto potencial de k comerciantes, cada uno etiquetado  . Sea  .
Un mercado es un elemento de M de N, y por el número de individuos que intercambian en el m–ésimo mercado, está expresado el número de elementos de M. El proceso mediante el cual se permite que m sea infinito se entiende como una consideración de un arbitrariamente grande o, alternativamente, una sucesión de mercados, tal que el número de elementos en los mercados sucesivos se incrementa sin límite. A fin de efectuar un tratamiento general, no existen restricciones en el orden en el cual se toman los individuos que intercambian. El límite alcanzado en la sucesión podría ser algo fuerte
5.5.2 Equilibrio Convexo (Síntesis).
En el capítulo II se definió un conjunto convexo en términos de un segmento que une cualesquiera dos puntos del conjunto, de forma plena dentro del conjunto. La cápsula convexa, de un conjunto de puntos, es la clausura (cerrada) de la intersección de todos los conjuntos convexos contenidos en el conjunto en cuestión. Puesto que la intersección de conjuntos convexos también es convexa, la cápsula convexa de un conjunto, no es más que el conjunto original, con un segmento hiperplano añadido a la frontera donde falla la convexidad del conjunto.
	Denótese por   al conjunto   a la cápsula convexa de ese conjunto. Un supuesto peculiar para el tratamiento de la no convexidad es requerido para hacer útil el resto de la discusión. Este es el supuesto de aplanamiento, originado por Shapley y Slubik (1966).
 Supuesto B Generación.
Para cualquier  ,  , sea  . Entonces, existe un conjunto no mayor que  puntos   de   tal que  , donde   y  
5.5.1.3 Conjunto de Preferencias Contenido.
En algunos mercados el contenido requerido puede ser deducido de supuestos que no están directamente relacionados  con los que aquí se deducen. Por ejemplo, si se sabe, por cualquier razón, por ejemplo un agente k tiene un fuerte deseo y  ,  , entonces, esta condición garantiza el suficiente contenido para los propósitos de Starr.
Considérense tres condiciones.
 ) Débil deseabilidad: si   y  , entonces  .
 ) Eventual deseabilidad débil: para algún subconjunto compacto S de En, si  ,  , entonces  .
 ) Dado cualquier consumo, existe una cantidad adicional de cualquier mercancía que el agente no tiene en mente: si  , entonces para  , existe un número positivo real   tal que si  , donde Uj  es la j-ésima unidad del vector, entonces  .

Referencias 

Geometría convexa
Economía matemática
Equilibrio general