Функции Бесселя

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

 

где  — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя  и  порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения 
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

 электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
 теплопроводность в цилиндрических объектах;
 формы колебания тонкой круглой мембраны;
 распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
 скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
 волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.

Определения 
Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода 
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке  при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):

 

Здесь  — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к  при ).

Ниже приведены графики  для :

Если  не является целым числом, функции  и  линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если  целое, то верно следующее соотношение:

 

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя 
Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:

 

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

 

Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых  необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является -периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от  до , где , окружность единичного радиуса и луч от  до  при . Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:

 

Нетрудно убедиться, что при целых  это выражение переходит в предыдущую формулу.

Функции Неймана 
Функции Неймана — решения  уравнения Бесселя, бесконечные в точке .

Эта функция связана с  следующим соотношением:

 

где в случае целого  берётся предел по , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

 

Ниже приведён график  для :

В ряде книг функции Неймана обозначаются .

Сферические функции Бесселя 

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных, уравнение на радиальную часть имеет вид

 

Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя   и , и связаны с обычными функциями Бесселя  и Неймана  с помощью

 

 также обозначается  или ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.

Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)

 

Несколько первых сферических функций Бесселя:

 

и Неймана:

Производящие функции 
Производящие функции сферических функций Бесселя:

Дифференциальные соотношения 
В следующих формулах  может быть заменено на , , , , где  и  — сферические функции Ханкеля, для :

Свойства

Ортогональность 
Пусть  — нули функции Бесселя . Тогда:

 .

Асимптотика 
Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах  и неотрицательных  они выглядят так:

 

 ,

где  — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а  — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов () формулы выглядят так:

 

 

Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:

Гипергеометрический ряд 
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

 

Таким образом, при целых  функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция 
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

Соотношения

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней 
Получается из выражения для производящей функции при , :
 
При , :

Рекуррентные соотношения 
Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:

 

 

 .

Теорема сложения 
Для любого целого n и комплексных ,  выполняется

Интегральные выражения 
Для любых  и  (в том числе комплексных) выполняется
 
Частным случаем последней формулы является выражение

См. также 
 Цилиндрические функции
 Сферические функции
 Модифицированные функции Бесселя
 Функции Ганкеля
 Луч Бесселя

Примечания

Литература 
 
 
 

Цилиндрические функции