Cuantificador

En lógica formal, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

Cuantificador universal

Para todo x, y...

Cuantificador existencial

Existe al menos un x, y...

Cuantificador existencial único

Existe exactamente un x, y...

Negación del cuantificador existencial

No existe ningún x, y...

Historia 
El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores ( y ) que permite cuantificar nuevos argumentos.
La obra se encuentra dividida en varios capítulos:
Primer capítulo: está formado por las ideas básicas y notaciones, donde aparecen los cuantificadores universales, la negación y la condicional.
Segundo capítulo: declaración de axiomas.

Declaraciones cuantificadas 

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:
 
Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x  pertenece a R.

  
Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

 
Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones

Cuantificación universal 
El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:
 
 Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:
 
Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

Cuantificación existencial 
El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto  (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Como escribe:
 

 Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

 El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

Cuantificación existencial única 
El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

Se lee:
Existe un único elemento x de A, que cumple P(x).

Equivalencias 
Se tienen las siguientes relaciones universales:
 

 Para todo x de A, se cumple P(x) si y sólo si no existe x en A que no cumpla P(x).

 

 Existe al menos un x en A que cumple P(x) si y sólo si no es cierto que para todo x de A, no se cumpla P(x).

El cuantificador existencial único puede definirse como extensión en un lenguaje formal de la siguiente manera:
 

 Afirmar que existe un único x en A que satisface P(x) es el equivalente a afirmar la existencia de algún x en A que satisface P(x), y además, para cada y y z en A, si se satisfacen P(y) y P(z) entonces y y z deben ser iguales.

Leyes de De Morgan 

Las leyes de De Morgan para cuantificadores son las siguientes:

La negación es falsa si para todo  el predicado es verdadero. Por el contrario, es verdadera si existe un  para el que  es falsa.

La negación es verdadera si para todo  la función proposicional  de  es falsa y es falsa si existe un  para el que  es verdadera.

Prelación de los cuantificadores 

El orden de prioridad (prelación) de los cuantificadores  y  tienen un mayor grado de preferencia que los demás operadores lógicos. 

Ejemplos: 

Cuando ponemos  el orden de prioridad nos obliga a realizar primero el cuantificador . Este ejemplo se puede ver para los distintos cuantificadores.  

En caso de que se quiera priorizar el operador lógico () se tendrá que poner paréntesis para forzar la prioridad a esa operación  

Un error muy común es considerar que  es lo mismo que  cosa que no es así, ya que no se respeta el orden de prioridad, por lo que lo correcto sería .

Reglas de intercambio 
Primera regla:
Un cuantificador universal () afirmativo se asemeja a la negación de un cuantificador existencial ( ) y del predicado.

Para todos los ,  es cierta, esto equivale a que es falso que alguna  no sea .
Segunda regla:
Un cuantificador existencial ( ) afirmativo se asemeja a la negación cuantificador universal () y del predicado.

Existe alguna  en la que   es cierta, esto es equivalente a decir que ninguna  no es .
Tercera regla:
La negación de un cuantificador universal () se asemeja a un cuantificador existencial ( ) con el predicado negado.

Es falso que todas las  son , esto equivalente a que algunas  no son .
Cuarta regla: 
La negación de un cuantificador existencial  () se asemeja a un cuantificador universal  ( ) con el predicado negado.
 
Es falso que algunas   sean , equivale a todas las  no son .

Véase también 
 Lógica formal
 Lógica de primer orden
 Lógica matemática
 Teoría de conjuntos

Enlaces externos 
Lógica de cuantificadores

Begriffsschrift

Referencias 

Teoría de conjuntos