Бикубическая интерполяция

Бикуби́ческая интерполя́ция — в вычислительной математике расширение кубической интерполяции на случай функции двух переменных, значения которой заданы на двумерной регулярной сетке. Поверхность, полученная в результате бикубической интерполяции, является гладкой функцией на границах соседних квадратов, в отличие от поверхностей, полученных в результате билинейной интерполяции или интерполяции методом ближайшего соседа. 

Бикубическая интерполяция часто используется в обработке изображений, давая более качественную картинку по сравнению с билинейной интерполяцией. Также бикубическая интерполяция применяется в алгоритмах управления станков с ЧПУ для учёта неровностей плоскостей, например, при фрезеровке печатных плат.

Принцип метода 
В случае бикубической интерполяции значение функции в искомой точке вычисляется через её значения в 16 соседних точках, расположенных в вершинах квадратов плоскости .

При использовании приведённых ниже формул для программной реализации бикубической интерполяции следует помнить, что значения  и  являются относительными, а не абсолютными. Например, для точки с координатами  . Для получения относительных значений координат необходимо округлить вещественные координаты вниз и вычесть полученные числа из вещественных координат.

 
,

где

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,

Подобным образом можно использовать и интерполяции более высокого порядка, вычисляя значения функции по соседним  точкам.

Бикубическая интерполяция сплайнами 
Допустим, что необходимо интерполировать значение функции  в точке , лежащей внутри квадрата , и известно значение функции  в шестнадцати соседних точках .

Тогда общий вид функции, задающей интерполированную поверхность, может быть записан следующим образом:

.

Для нахождения коэффициентов  необходимо подставить в вышеприведённое уравнение значения функции в известных шестнадцати точках. Например:

.

Полностью в матричном виде:

,

где

,

,

.

Решая получившуюся систему линейных алгебраических уравнений, можно найти значения  в явном виде:

.

Единожды найденные коэффициенты  теперь могут быть использованы для многократного вычисления интерполированного значения функции в произвольных точках квадрата .

Следует отметить, что такой способ обеспечивает непрерывность самой функции и её второй производной на границах смежных квадратов, но приводит к разрыву первых производных на границах ячеек 4×4. Для обеспечения непрерывности самой функции и её первой производной необходимо подставлять в исходное выражение значения функции и значения первых производных по направлениям x и y в вершинах центральной ячейки, производные рассчитываются через центральные разности. Для подстановки производных выражение должно быть продифференцировано соответствующим образом.

Последовательная кубическая интерполяция 
Другая интерпретация метода заключается в том, что для нахождения интерполированного значения можно сначала произвести кубическую интерполяцию в одном направлении, а затем в другом.

Для функции  с известными значениями , , ,  можно построить кубический сплайн: , или в матричном виде:

,

где

,

.

Таким образом, для нахождения интерполированного значения  в квадрате  можно сначала рассчитать четыре значения , , ,  для зафиксированного , затем через полученные четыре точки построить кубический сплайн, и этим завершить вычисление :

.

Следует отметить, что такой подход обеспечивает непрерывность самой функции и её вторых производных на границе ячеек, но не обеспечивает непрерывности первой производной. Для обеспечения непрерывности первой производной необходимо подставлять значения функции и её первых производных на границе центральной ячейки. Тогда коэффициенты сплайна будут иметь вид:

,

.

См. также 
 Интерполяция
 Билинейная интерполяция
 Фильтр Ланцоша

Литература 
 
Интерполяция
Цифровая обработка изображений