Число такси

n-ое число такси, обычно обозначаемое Ta(n) или Taxicab(n), определяется как наименьшее число, которое может быть представлено как сумма двух положительных кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 13 + 123 = 93 + 103.

Название чи́сла получили из разговора в 1919  математиков Г. Х. Харди и Сриниваса Рамануджана. Харди рассказывал:

Определение
Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернаром Френиклем де Бесси и стала знаменитой в начале 20-го века благодаря  Сринивасу Рамануджану.  В 1938 Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n, и их доказательство легко превратить в программу для генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том, чтобы это число было минимальным , так что его нельзя использовать для поиска фактических значений Ta(n).

Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущение отрицательных значений позволяет представить большее количество (и меньших) чисел выразить в виде суммы кубов n различными способами.  Концепция  была предложена как менее ограничивающая альтернатива.  В известном смысле количество слагаемых (два) и степень (куб) также является существенным ограничением. Обобщённое число такси ставит задачу и для более чем двух слагаемых при произвольной степени.

Известные числа такси 
Известны следующие шесть чисел такси ():

Оценки сверху чисел такси 
Известны числа, которые можно представить суммами более 6 кубов, но для них не доказано, что они минимальные числа, обладающие этим свойством.

История открытия 
Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана, первым опубликовал Бернар Френикль де Бесси в 1657 году.

Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенталь нашли Ta(4) в 1989 . Дж. А. Дардис  нашёл Ta(5) в 1994 и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 . О числе Ta(6) объявил Уве Холлербах на сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 . Верхние границы для чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006.

Числа такси без кубов 
Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется, чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубы чисел, отличных от 13. Тогда число такси T записывается как T = x3 + y3, где числа x и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил  (не опубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Это число

15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523.

Наименьшее число такси без кубов с четырьмя вариантами представления обнаружил Стюарт  Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это число

1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843
.

См. также
 Диофантово уравнение
 Гипотеза Эйлера
 Обобщённое число такси
 Гипотеза Била
 Уравнение Якоби — Маддена
 
 Пифагорова четвёрка
 , список связанных со степенями гипотез и теорем

Примечания

Литература

 

 
  Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.

Ссылки
 A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun
  
 Taxicab and other maths at Euler
 

Теория чисел
Сриниваса Рамануджан