Расширение группы

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа  и факторгруппа , и ищется расширение  такое, что , или, что эквивалентно, такая , что существует короткая точная последовательность:
 .
В этом случае говорят, что  является расширением  при помощи  (иногда используется другая формулировка: группа  является расширением  с помощью ).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа  лежит в центре группы .

Примеры 
Группы  также как  являются расширениями  при помощи .

Очевидное расширение — прямое произведение: если , то  является как расширением , так и . Если  является полупрямым произведением групп  и  (), то  является расширением  с помощью .

 дают дальнейшие примеры расширений.

Свойства 
Если потребовать, что  и  были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы  с помощью заданной (абелевой) группы , фактически, является группой, которая изоморфна:
 
(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа  обладает максимальной нормальной подгруппой  с простой факторгруппой , все конечные группы могут быть построены как  , где каждая группа  является расширением  при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширений 
Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы  при помощи , или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:
 
и
 
эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы , делающий коммутативной диаграмму:
 

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по .

Может случиться, что расширения  и  не эквивалентны, но  и  изоморфны как группы. Например, имеется  неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью , но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка  с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширения 
Тривиальное расширение — это расширение:

 ,

которое эквивалентно расширению:

 ,

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя .

Классификации расщепляемых расширений 
Расщепляемое расширение — это расширение:

 

с гомоморфизмом , таким что переход от  к  с помощью , а затем обратно к  по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на , то есть . В этой ситуации обычно говорят, что  расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа  является полупрямым произведением  и . Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам , где  является группой автоморфизмов .

Центральное расширение 
Центральное расширение группы  является короткой точной последовательностью групп
 
такой что  лежит в  (центре группы ). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы  с помощью  (где  действует тривиально на ) является взаимно-однозначным соответствием с группой  .

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы  и любой абелевой группы , полагая  равным . Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку  является подгруппой ) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу  в  согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется .

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли  является точной последовательностью
 
такой что  находится в центре .

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева.

Группы Ли 
В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что . Более точно, связное накрывающее пространство  связной группы Ли  является естественным центральным расширением группы , при этом проекция

 

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на  зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент .) Например, когда  является универсальным накрытием группы , ядро  является фундаментальной группой группы , которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли  и дискретная центральная подгруппа , факторгруппа  является группой Ли, а  является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы ,  и  в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы  является , алгеброй  является , а алгеброй  является , то  является   с помощью . В терминологии теоретической физики генераторы алгебры  называются . Эти генераторы лежат в центре алгебры . По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:
 спинорные группы, которые дважды накрывают специальные ортогональные группы, которые (в чётной размерности) дважды накрывают ;
 , которые дважды накрывают симплектические группы.
Случай  вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом . Соответствующее проективное представление является , построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

См. также 
 
 
 Алгебра Вирасоро

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теория групп