Теория Ходжа

Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:
 Римановы многообразия
 Кэлеровы многообразия
 Комплексные проективные многообразия.

В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.

Приложения и примеры

Когомологии де Рама 
Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многообразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ωk(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

 
где dk обозначает внешнюю производную на Ωk(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как

 

Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый  достаточно потребовать, чтобы для всех α ∈ Ωk(M) и β ∈ Ωk+1(M) выполнялось соотношение

 

где  — метрика, индуцированная на . Теперь лапласиан можно определить как . Это позволяет определить пространства гармонических форм:
 

Можно показать, что , поэтому существует каноническое отображение . Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что  — это изоморфизм векторных пространств.

Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многообразии конечномерны. Это следует из того, что операторы  эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.

Теория Ходжа для эллиптических комплексов

Структуры Ходжа 

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства  структура Ходжа на  — это разложение его комплексификации  в -градуированную прямую сумму
 

причём комплексное сопряжение на  переставляет градуированные слагаемые  и :
 

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами  неособого комплексного проективного многообразия  имеют такую структуру Ходжа:
 

где  — группы когомологий Дольбо многообразия . Отсюда следует связь между числами Бетти  и :
 

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку  (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков , в работах Дольбо.

В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.

Литература 
 
 

Алгебраическая геометрия
Риманова (и псевдориманова) геометрия
Дифференциальные формы