Atractor de Lorenz

El atractor de Lorenz es un concepto introducido por Edward Lorenz en 1963. Se trata de un sistema dinámico determinista tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones dinámicas de la atmósfera terrestre.

Para ciertos valores de los parámetros a, b, c, el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño; esto fue probado por Warwick Tucker en 2002. El atractor extraño en este caso es un fractal de dimensión de Hausdorff entre 2 y 3. Grassberger (1983) ha estimado la dimensión de Hausdorff en  y la dimensión de correlación en .

El sistema aparece en láseres, en generadores eléctricos y en determinadas ruedas de agua.

donde a es llamado el número de Prandtl y b se llama el número de Rayleigh.

, pero es usualmente ,  y b es variado. El sistema exhibe un comportamiento caótico para  pero muestra órbitas periódicas para otros valores de b; por ejemplo, con  se convierte en un nudo tórico llamado T(3;2).

La forma de mariposa del atractor de Lorenz puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la teoría del caos.

Análisis

Simulación en Julia 
using Plots
# define the Lorenz attractor
@kwdef mutable struct Lorenz
    dt::Float64 = 0.02
    σ::Float64 = 10
    ρ::Float64 = 28
    β::Float64 = 8/3
    x::Float64 = 2
    y::Float64 = 1
    z::Float64 = 1
end

function step!(l::Lorenz)
    dx = l.σ * (l.y - l.x);         l.x += l.dt * dx
    dy = l.x * (l.ρ - l.z) - l.y;   l.y += l.dt * dy
    dz = l.x * l.y - l.β * l.z;     l.z += l.dt * dz
end

attractor = Lorenz()

# initialize a 3D plot with 1 empty series
plt = plot3d(
    1,
    xlim = (-30, 30),
    ylim = (-30, 30),
    zlim = (0, 60),
    title = "Lorenz Attractor",
    marker = 2,
)

# build an animated gif by pushing new points to the plot, saving every 10th frame
@gif for i=1:1500
    step!(attractor)
    push!(plt, attractor.x, attractor.y, attractor.z)
end every 10

Simulación en MATLAB 
% Resolver para el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1]
% ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales
% ''a'' es un arreglo que contiene variables x, y, z
% ''t'' es la variable de tiempo

sigma = 10;
beta = 8/3;
rho = 28;
f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)];
[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]);     % Solución de EDO de Runge-Kutta de 4.º/5.º orden
plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))

Simulación en Python 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

rho = 28.0
sigma = 10.0
beta = 8.0 / 3.0

def f(state, t):
    x, y, z = state  # Desempaqueta el vector de estado
    return sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z  # Derivadas

state0 = [1.0, 1.0, 1.0]
t = np.arange(0.0, 40.0, 0.01)

states = odeint(f, state0, t)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2])
plt.show()

Véase también 
 Teoría del caos

Referencias

Bibliografía 
 
 
 
 Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.

Enlaces externos 

 
 Lorenz Equation planetmath.org
 Levitated.net: computational art and design
 3D VRML Lorenz Attractor (you need a VRML viewer plugin)
 Teoría del Caos por Pedro José Morales Correas

Teoría del caos