Somme des chiffres

En mathématiques, la somme des chiffres d'un entier naturel dans une base numérique donnée est la somme de tous ses chiffres. Par exemple, la somme des chiffres de  en base 10 est  .

Définition 
Soit  un nombre entier naturel. La somme des chiffres de  en base  est la fonction  définie par la relation :

 

où  est le nombre de chiffres du nombre en base  et

 

est la valeur du ème chiffre du nombre (c'est-à-dire le chiffre associé à la puissance  dans la représentation de  en base ) .

Par exemple, en base 10, la somme des chiffres de 84001 est  .

Pour deux bases quelconques  et pour des nombres naturels suffisamment grands  ,

  . 

La somme des chiffres en base 10 des entiers 0, 1, 2, ... est donnée par la suite  de l'Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers. Borwein utilisent la fonction génératrice de cette suite d'entiers (et de la suite analogue pour les sommes de chiffres binaires) pour dériver plusieurs séries rapidement convergentes avec des sommes rationnelles et transcendantales.

Extension aux entiers négatifs 
La somme des chiffres peut être étendue aux nombres entiers négatifs en utilisant une représentation en chiffres signés pour représenter chaque nombre entier.

Applications 
Le concept de somme de chiffres décimaux est étroitement lié, mais pas identique, à la racine numérique, qui est le résultat de l'application répétée de l'opération de somme de chiffres jusqu'à ce que la valeur restante ne soit qu'un seul chiffre. La racine numérique de tout entier non nul sera un nombre compris entre 1 et 9, tandis que la somme des chiffres peut prendre n'importe quelle valeur. Les sommes de chiffres et les racines numériques peuvent être utilisées pour des tests de divisibilité rapides : un nombre naturel est divisible par 3 ou 9 si et seulement si sa somme de chiffres (ou racine numérique) est divisible par 3 ou 9, respectivement. Pour la divisibilité par 9, ce test s'appelle la règle des neuf est à la base de la technique d'élimination des neuf pour vérifier les calculs.

Les sommes numériques sont également un ingrédient courant dans les algorithmes de somme de contrôle pour vérifier les opérations arithmétiques des premiers ordinateurs. Plus tôt, à l'ère du calcul manuel, Edgeworth a suggéré d'utiliser des sommes de 50 chiffres tirées de tables mathématiques de logarithmes comme forme de générateur de nombres aléatoires; si l'on suppose que chaque chiffre est aléatoire, alors par le théorème central limite, ces sommes de chiffres auront une distribution aléatoire se rapprochant étroitement d'une distribution gaussienne. 

La somme numérique de la représentation binaire d'un nombre est connue sous le nom de Hamming weight ou nombre de population; des algorithmes pour effectuer cette opération ont été étudiés, et il a été inclus comme une opération intégrée dans certaines architectures informatiques et certains langages de programmation. Ces opérations sont utilisées dans des applications informatiques, notamment la cryptographie, la théorie du codage et les échecs informatiques

Les nombres de Harshad sont définis en termes de divisibilité par leurs sommes de chiffres, et les nombres de Smith sont définis par l'égalité de leurs sommes de chiffres avec les sommes de chiffres de leurs factorisations premières.

Articles connexes 
 Dynamique arithmétique
 Preuve par neuf
 Somme de contrôle
 Racine numérique
 Somme de contrôle
 Nombre Harshad
 Invariant numérique parfait
 Somme latérale
 Nombre de Smith
 Somme-numéro de produit
 Formule de Legendre

Références 

Théorie des nombres
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