Факторизация графа

Фактор графа G — это остовный подграф, то есть подграф, имеющий те же вершины, что и граф G. k-фактор графа — это остовный k-регулярный подграф, а k-факторизация разбивает рёбра графа на непересекающиеся k-факторы. Говорят, что граф G k-факторизуем, если он позволяет k-разбиение. В частности, множество рёбер 1-фактора — это совершенное паросочетание, а 1-разложение k-регулярного графа — это рёберная раскраска k цветами. 2-фактор — это набор циклов, которые покрывают все вершины графа.

1-факторизация 
Если граф 1-факторизуем (то есть имеет 1-факторизацию), то он должен быть регулярным графом. Однако не все регулярные графы являются 1-факторизуемыми. k-регулярный граф является 1-факторизуемым, если его хроматический индекс равен k. Примеры таких графов:
 Любой регулярный двудольный граф. С помощью теоремы Холла о свадьбах можно показать, что k-правильный двудольный граф содержит совершенное сочетание. Можно тогда удалить совершенное паросочетание и (k − 1)-регулярный двудольный граф и продолжить тот же процесс рекурсивно.
 Любой полный граф с чётным числом вершин (см. ниже).
Однако имеются k-регулярные графы, хроматический индекс которых равен k + 1, и эти графы не 1-факторизуемы. Примеры таких графов:
 Любой регулярный граф с нечётным числом вершин.
 Граф Петерсена.

Полные графы 

1-факторизация полного графа соответствует разбиению на пары в круговых турнирах. 1-факторизация полных графов является специальным случаем теоремы Бараньяи относительно 1-факторизации полных гиперграфов.

Один из способов построения 1-факторизации полного графа помещает все вершины, кроме одной, на окружности, образуя правильный многоугольник, оставшаяся же вершина помещается в центр окружности. При этом расположении вершин процесс построения 1-фактора заключается в выборе ребра e, соединяющего центральную вершину с одной из вершин на окружности, затем выбираются все рёбра, перпендикулярные ребру e. 1-факторы, построенные таким образом, образуют 1-факторизацию графа.

Число различных 1-факторизаций  равно 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, … ().

Гипотеза об 1-факторизации 
Пусть G — k-регулярный граф с 2n вершинами. Если k достаточно велико, известно, что G должен быть 1-факторизуем:
 Если , то G является полным графом , а потому 1-факторизуем (см. выше).
 Если , то G можно получить путём удаления совершенного паросочетания из . Снова G является 1-факторизуемым.
 Четвинд и Хилтон показали, что при  граф G 1-факторизуем.
Гипотеза об 1-факторизации является давно выдвинутой гипотезой, утверждающей, что значение  достаточно велико. Точная формулировка:
 Если n нечётно и , то G 1-факторизуем. Если n чётно и , то G 1-факторизуем.
 заключает в себе гипотезу об 1-факторизации.

Совершенная 1-факторизация 
Совершенная пара 1-факторизаций — это пара 1-факторов, объединение которых даёт гамильтонов цикл.

Совершенная 1-факторизация (P1F) графа — это 1-факторизация, имеющая свойство, что любая пара 1-факторов является совершенной парой. Совершенная 1-факторизация не следует путать с совершенным паросочетанием (которое также называют 1-фактором).

В 1964 году Антон Котциг высказал предположение, что любой полный граф , где , имеет совершенную 1-факторизацию. Известно, что следующие графы имеют совершенные 1-факторизации:

 Бесконечное семейство полных графов , где p — нечётное простое (Андерсон и Накамура, независимо),
 Бесконечное семейство полных графов , где p — нечётное простое
 спорадически другие графы, включая , где . Есть и более свежие результаты здесь.

Если полный граф  имеет совершенную 1-факторизацию, то полный двудольный граф  также имеет совершенную 1-факторизацию.

2-факторизация 
Если граф 2-факторизуем, то он должен быть 2k-регулярным для некоторого целого k. Юлиус Петерсен показал в 1891, что это необходимое условие является также достаточным — любой 2k-регулярный граф является 2-факторизуемым.

Если связный граф является 2k-регулярным и имеет чётное число рёбер, он также может быть k-факторизуем путём выбора двух факторов, являющихся чередующимися рёбрами эйлерова цикла. Это относится только к связным графам, несвязные контрпримеры содержат несвязное объединение нечётных циклов или копий графа K2k+1.

Примечания

Литература 

  
 .
 
 

 .
 .

Литература для дальнейшего чтения 

 

Теория графов