Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

 

donde las derivadas parciales de las funciones M y N:  y  son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función  tal que:

 
donde  y .

Dado que  es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

.

Método de resolución 
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

 Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

 Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

 

 Para despejar la función g se deriva  con respecto a la variable dependiente de g.

 

 

 Se iguala la derivada parcial recién calculada de  con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

 
 

 
 

 Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

Factor integrante  

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial  llamada factor integrante, tal que:

  sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante sólo en función de x. 
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

 

Cabe decir que para que  exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro  tiene que ser función únicamente de x.
(Aclarando que  y  equivalen a las parciales de estas;  y  respectivamente).

Ejemplo: , entonces  y por lo tanto  por lo que tenemos la ecuación exacta:

La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de y. 
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

 
Ejemplo: , entonces  y por lo tanto  por lo que tenemos la ecuación exacta:

La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de x+y. 
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

  Con 
Ejemplo: , entonces  y por lo tanto  por lo que tenemos la ecuación exacta:

La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de x·y. 
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

  Con 

Donde  M·x

Cabe mencionar que:

 
Ejemplo: , entonces  y por lo tanto  por lo que tenemos la ecuación exacta:

La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de  
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
  Con 
Ejemplo: , entonces  y por lo tanto  por lo que tenemos la ecuación exacta:

La solución general viene dada implícitamente por:

Bibliografía 
Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también 
 Ecuación diferencial
 Ecuación diferencial de primer orden

Ecuacion diferencial exacta