Approximation de Kubelka-Munk

L’approximation de Kubelka-Munk décrit l'absorption lumineuse et la réflexion diffuse de milieux hétérogènes.

Le modèle permet de prédire à partir de la mesure de deux couches d'épaisseur différente comment des couches d'autres épaisseurs agissent sur la lumière. La relation de Kubelka-Munk permet aux fabricants de revêtements d'estimer la quantité de pigment qu'il faut ajouter à une matière pour obtenir une couche opaque à une certaine épaisseur. Il permet de prévoir la couleur du mélange de deux colorants, si les paramètres d'absorption spectrale de chacun des composants sont connus, avec une meilleure approximation que l'application naïve du modèle de la synthèse soustractive des couleurs.

L'approximation de Kubelka-Munk, conçue pour les peintures, s'applique à de nombreux autres domaines : encres, papiers, textiles colorés ; analyse de peinture artistique, et autres.

Peintures 
La recherche initiale de Kubelka et Munk, conduisant à leur , concerne l'opacité des peintures blanches. Connaissant l'albedo d'une couche d'épaisseur infinie, en pratique telle qu'ajouter une couche ne change pas le résultat, on recherche celui d'une couche d'épaisseur plus mince, ainsi que sa capacité à atténuer un motif contrasté présent sur le subjectile, qui est son pouvoir couvrant.

Le modèle suppose que les propriétés des particules de pigment et celles du liant ne varient pas dans la plage de longueurs d'onde utile. Il vaut donc pour les matériaux d'apparence achromatique, blancs ou gris neutre. Pour des matières colorées, cela vaut pour un illuminant monochromatique. On doit effectuer les mesures et les calculs par bande de longueurs d'onde, et déduire de ces résultats la position colorimétrique de la couche de produit.

Il s'applique ainsi à l'étude des glacis en peinture artistique, couches modifiant la couche inférieure tout en la laissant paraître. Dans l'étude d'œuvres anciennes, il évite de faire des hypothèses sur les pigments et les liants utilisés, sur lesquels on ne dispose pas d'informations suffisantes.

Présentation du modèle 
Lorsque la dimension des particules est largement supérieure à la longueur d'onde du rayonnement, les lois de la diffusion Rayleigh ne s'appliquent plus. Celles de la diffusion de Mie ne s'appliquent qu'avec difficulté aux particules de pigment dans une peinture. La théorie que Kubelka et Munk ont proposée s'éloigne de ces calculs basés sur la physique des rayonnements. Leur modèle se fonde sur des grandeurs photométriques mesurables .

Le modèle de Kubelka et Munk considère une couche élémentaire du matériau d'épaisseur dx, entre la surface et le support, sur laquelle arrive un flux lumineux diffus arrivant de la surface. À la limite de la couche élémentaire, côté surface, se propage un flux lumineux diffus en direction du support I et un flux lumineux diffus J en direction de la surface.

Le modèle propose deux constantes liées au matériau, , constante d’absorption, et , constante de diffusion, et établit que :

où  est la quantité de lumière que réfléchit un film d'une épaisseur suffisante pour qu'un accroissement de cette épaisseur ne change pas le résultat.

On pose :
 et 
puis

où  est la fraction d’intensité lumineuse réflechie mesurée sur un fond noir d’une épaisseur de matière .

Le modèle permet alors de déterminer la réflectance  de la couche d’épaisseur  sur un support de réflectance  :

ou, lorsqu’observé sur fond noir () :

Le modèle présente une épure de l'équation de transfert radiatif avec des hypothèses simplificatrices  :

Ces simplifications, et les prévisions suffisamment précises obtenues avec les mesures sur les échantillons, ont fait le succès de la méthode Kubelka-Munk .

Évaluation critique 
Le modèle présente une certaine imprécision. Le paramètre S prend des valeurs variables suivant les conditions de mesure, en particulier selon la concentration pigmentaire . Pourtant, l'introduction de valeurs approximatives dans des formules obtenues avec des hypothèses approximatives donne des résultats satisfaisants, au regard de la précision recherchée.  donne une erreur relative moyenne de 3 %.

La validité générale de l'approximation de Kubelka-Munk a été mise en question. Les coefficients K et S semblent correspondre à la lumière en réflexion diffuse et celle absorbée, mais leur relation aux propriétés optiques n'est précisément déterminée. Il suffit au modèle qu'elle soit linéaire. Il apparaît que ce n'est pas toujours le cas. L'approximation ne se confirme pas dans le cas d'un système qui combine un matériau diffusant et peu absorbant, comme le papier, et un autre, peu diffusant, mais absorbant, comme l'encre. Des équipes ont proposé des améliorations pour ce cas .

Annexes

Bibliographie 
 moderne
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 historique
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Auteurs 
Paul Kubelka (1900-1956), ingénieur chimiste né à Kladno (Empire austro-hongrois, puis Tchécoslovaquie et aujourd'hui Tchéquie), directeur adjoint du laboratoire de chimie minérale de l'entreprise  à Ústí. Ingénieur-docteur en 1925, directeur technique de l'entreprise en 1926, il supervise le laboratoire d'analyses. Après la , il s'oriente vers une carrière académique, puis fonde sa propre entreprise. En 1950, il émigre au Brésil. Il décède en 1956 à Rio de Janeiro, alors qu'il est directeur de recherche au laboratoire du ministère brésilien de l'agriculture.

Franz Munk (1900-1964), chimiste des couleurs né à Tepliz-Shönau (Empire austro-hongrois, puis Tchécoslovaquie et aujourd'hui Tchéquie), à l'époque de la  il travaillait depuis la fin de sa formation, en 1925, dans la même entreprise, à la production de pigments minéraux.

Liens externes

Articles connexes 
 Approximation de Schuster et Schwarzschild
 Transfert radiatif

Notes et références 

Optique
Propriété d'une peinture