Grupo simpléctico

En matemáticas, el nombre grupo simpléctico puede referirse a dos conjuntos diferentes, pero estrechamente relacionados, de grupos matemáticos, denominados  y  para el entero positivo n y cuerpo F (generalmente sobre los números complejos C o los números reales R). Este último se denomina grupo simpléctico compacto y también se denota por . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que generalmente difieren en factores de . La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples, el álgebra de Lie del grupo complejo  se denota como , y  es la forma real compacta de . Debe tenerse en cuenta que cuando aquí se hace referencia al grupo simpléctico (compacto) se da a entender que se está hablando de la colección de grupos simplécticos (compactos), indexados por su dimensión .

El nombre grupo simpléctico tiene su origen en la topología simpléctica desarrorrada por Hermann Weyl como reemplazo de los confusos nombres anteriores (línea) grupo complejo y grupo lineal abeliano, y es el análogo al término griego que significa complejo.

El grupo metapléctico es una doble tapa del grupo simpléctico sobre R; tiene análogos sobre otros cuerpos locales, cuerpos finitos y anillos adélicos.

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión  sobre el cuerpo  que conserva una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial simpléctico, y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto  se denota . Al fijar una base para , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de orden , con entradas en , bajo la operación de multiplicación de matrices. Este grupo se denomina  o . Si la forma bilineal está representada por la matriz antisimétrica no singular Ω, entonces

donde MT es la matriz transpuesta de M. A menudo, Ω se define como

donde In es la matriz identidad. En este caso,  se puede expresar como aquellas matrices de bloques , donde , satisfaciendo las tres ecuaciones siguientes:

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial . Cuando , la condición simpléctica en una matriz se cumple si y solo si el determinante es uno, por lo que . Para , existen condiciones adicionales, es decir,  es entonces un subgrupo propio de .

Normalmente, el cuerpo  es el cuerpo de los números reales  o de los números complejos . En estos casos  es un grupo de Lie real/complejo de dimensión real/compleja . Estos grupos son conexos pero no compactos.

El centro de  consta de las matrices  y  siempre que la característica del cuerpo no sea . Dado que el centro de  es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple,  se considera un grupo simple de Lie.

El rango real del álgebra de Lie correspondiente, y por lo tanto del grupo de Lie , es .

El álgebra de Lie de  es el conjunto

equipado con el conmutador como su soporte de Lie. Para la forma sesquibilineal estándar , esta álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques  sujetas a las condiciones

El grupo simpléctico sobre el cuerpo de los números complejos es un grupo simple de Lie no compacto y simplemente conexo.

es la complejifijación del grupo real .  es real, grupo simple de Lie, conexo, y no compacto. Tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de los números enteros bajo la adición. Como la forma real de un grupo simple de Lie su álgebra de Lie es un álgebra divisible de Lie.

Algunas propiedades adicionales de  son:

 La aplicación exponencial del álgebra de Lie  al grupo  no es sobreyectiva. Sin embargo, cualquier elemento del grupo se puede representar como el producto de dos exponenciales. En otras palabras,

 Para todos los  en :

La matriz  es diagonal y positiva definida. El conjunto de tales  forma un subgrupo no compacto de , mientras que  forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como descomposición de 'Euler' o de 'Bloch-Messiah'. Se pueden encontrar más propiedades de estas matrices en su artículo correspondiente (véase matriz simpléctica).

 Como grupo de Lie,  tiene una estructura múltiple. La variedad correspondiente para  es difeomorfa al producto cartesiano del grupo unitario  con un espacio vectorial de dimensión .

Generadores infinitesimales
Los miembros del álgebra de Lie simpléctica  son las matrices hamiltonianas.

Estas son matrices,  tales que  donde  y  son matrices simétricas. Véase el artículo grupo clásico para su deducción.

Ejemplo de matrices simplécticas
Para , el grupo de matrices  con determinante , las tres matrices  simplécticas son:

Sp(2n, R)
Resulta que  puede tener una descripción bastante explícita usando generadores. Si se hace que  denote las matrices  simétricas, entonces  es generado por  donde  son subgrupos de .pg 173pg 2

Relación con la geometría simpléctica
La topología simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas. El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico. Como se señaló anteriormente, las transformaciones que conservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es , según la dimensión del espacio y el cuerpo sobre el que se define.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo una acción del grupo simpléctico es, en cierto sentido, una versión linealizada de un simplectomorfismo, que es una estructura más general que conserva la transformación en una variedad simpléctica.

El grupo simpléctico compacto  es la intersección de  con el grupo unitario :

A veces se escribe como . Alternativamente,  se puede describir como el subgrupo de  (matrices cuaterniónicas invertibles) que conserva la forma hermítica estándar en :

Es decir,  es solo un grupo unitario cuaterniónico, . De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario. También Sp(1) es el grupo de cuaterniones de norma , equivalente al  y topológicamente a una -esfera .

Téngase en cuenta que  no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior: no conserva una forma sesquibilineal  no degenerada simétrica en : no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de , por lo que conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de dos veces la dimensión. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de  es la forma real compacta del álgebra de Lie simpléctica compleja .

 es un grupo de Lie real con dimensión (real) . Es compacto y simplemente conexo.

El álgebra de Lie de  está dada por las matrices cuaterniónicas antihermíticas, el conjunto de matrices cuaterniónicas  que satisfacen

donde  es la matriz traspuesta conjugada de  (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El soporte de Lie lo da el conmutador.

Subgrupos importantes
Algunos subgrupos principales son:

 
 
 

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de algunos otros grupos:

 
 
 

También están los isomorfismos de las álgebras de Lie  y .

Relación entre los grupos simplécticos
Cada álgebra de Lie semisimple compleja tiene una forma real dividida y una forma real compacta; la primera se llama complejifijación de las dos últimas.

El álgebra de Lie de  es semisimple y se denota por . Su forma real dividida es  y su forma real compacta es . Estas formas se corresponden a los grupos de Lie  y  respectivamente.

Las álgebras, , que son las álgebras de Lie de , son la signatura indefinida equivalente a la forma compacta.

Importancia física

Mecánica clásica
El grupo simpléctico compacto  surge en la física clásica como las simetrías de coordenadas canónicas que conservan el corchete de Poisson.

Considérese un sistema de partículas , evolucionando bajo las ecuaciones de Hamilton, cuya posición en el espacio fásico en un momento dado se denota por el vector de coordenadas canónicas

Los elementos del grupo  son, en cierto sentido, una transformación canónica sobre este vector, es decir, conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton. Si

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con la notación de un punto sobreimpuesto que denota la derivada respecto al tiempo,

donde

para todo  y todo  en el espacio de fase.

Para el caso especial de una variedad de Riemann, las ecuaciones de Hamilton describen las geodésicas en esa variedad. Las coordenadas  se sitúan en el fibrado tangente a la variedad, y los momentos  se localizan en el fibrado cotangente. Esta es la razón por la cual estos se escriben convencionalmente con índices superior e inferior; para distinguir sus ubicaciones. El hamiltoniano correspondiente consta únicamente de la energía cinética: es , donde  es el inverso del tensor métrico  en la variedad de Riemann. De hecho, el paquete cotangente de cualquier variedad suave puede ser una estructura simpléctica (no trivial) de forma canónica, con la forma simpléctica definida como derivada exterior de una forma única tautológica.

Mecánica cuántica

Considérese un sistema de partículas  cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por lo tanto, el espacio de Hilbert, en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo hace que el análisis de esta situación sea complicado. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición e impulso bajo la ecuación de Heisenberg en el espacio fásico.

Constrúyase un vector de coordenadas canónicas,

Las relaciones de conmutación canónicas se puede expresar simplemente como

donde

y  es la matriz identidad .

Muchas situaciones físicas solo requieren operadores hamiltonianos cuadráticos, es decir, hamiltonianos de la forma

donde  es una matriz simétrica de orden  real. Esto resulta ser una restricción útil y permite reescribir la ecuación de Heisenberg como

La solución a esta ecuación debe preservar las relaciones de conmutación canónicas. Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real , en el espacio de fase.

Véase también
 Grupo ortogonal
 Grupo unitario
 Grupo proyectivo unitario
 Variedad simpléctica, matriz simpléctica, espacio vectorial simpléctico, representación simpléctica
 Representaciones de grupos de Lie clásicos
 Mecánica hamiltoniana
 Grupo metapléctico
 Θ10

Referencias

Bibliografía

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Grupos de Lie
Topología simpléctica