Distributividad

En matemáticas, la distributividad es la propiedad de las operaciones binarias que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental. La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumandos, es igual a la suma de los productos de cada sumando por ese número. En términos algebraicos:

Ejemplo:   
  
En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributividad.

Definición 

Sea A un conjunto dado en el que se han definido dos operaciones binarias ( ; ). Entonces: 
 La operación  es distributiva por la izquierda respecto de la operación  si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c  A, entonces 

 La operación  es distributiva por la derecha respecto de la operación  si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c  A, entonces 

 La operación  es distributiva respecto de la operación  si es distributiva por la derecha y distributiva por la izquierda, esto es, no cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c  A, entonces
 ∧ 

Hay que notar que si la operación  cumple la propiedad conmutativa, entonces las tres condiciones son equivalentes, y basta que se cumpla una cualquiera de ellas para que las otras dos también se cumplan simultáneamente.

Ejemplos

Números reales 

En los siguientes ejemplos, se muestra el uso de la propiedad distributiva en el conjunto de números reales . Cuando se menciona la multiplicación en matemáticas elementales, generalmente se refiere a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un campo, lo cual segura la validez de la ley distributiva.

Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita)
Durante aritmética sin lápiz, a menudo la distributividad se utiliza de manera inconsciente:

Por lo tanto, para calcular  sin ayuda de lápiz, primero se multiplica  y  y se suma los resultados intermedios. La multipicación realizada escribiendo también se basa en la ley distributiva.

Segundo ejemplo (con variables)

Tercer ejemplo (con dos sumas)

En este caso la propiedad distributiva fue aplicada dos veces, y no importa cuál paréntesis se resuelve primero.

Cuarto ejemplo
En este caso la propiedad distributiva es usada al revés comparada con los casos en los ejemplos anteriores. Sea

Dado que el factor  se encuentra en todos los sumandos, se lo puede extraer como factor común. Por lo que de acuerdo a la propiedad distributiva se obtiene

Matrices 

La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices. O sea,

para todas matrices    y matriz    como también

para todas matriz    y matrices    

Como la propiedad conmutativa no es válida para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se deriva de la primera ley. En este caso, son dos leyes diferentes.

Otros ejemplos 
 En cambio la multiplicación de números ordinales, solo es distributiva por izquierda, no por derecha.
 El producto cruz es distributivo por derecha y por izquierda con respecto a la suma de vectores, aunque no es conmutativo.
 La unión de conjuntos es distributiva con respecto a la intersección, y la intersección es distributiva con respecto a la unión.
 La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("Y"), y viceversa.
 Para los números reales (y para todo conjunto totalmente ordenado), la operación máximo es distributiva sobre la operación mínimo, y viceversa: 
 Para enteros, el máximo común divisor es distributivo con respecto al mínimo común múltiplo, y viceversa: 
 Para los números reales, la suma se distribuye sobre la operación de máximo, y también con respecto a la operación de mínimo: 
 En la multiplicación binomial, la distribución a veces se denomina como el método PEIU (Primeros términos  Exteriores  Interiores  y Ultimos ) such as: 
 En todos los semianillos, incluidos los números complejos, las multiplicaciones de cuaterniones, polinomios, y matrices,  es distributiva con respecto a la suma: 
 En todas las álgebras en un campo, incluidos los octoniones y otras álgebras no asociativas, la multiplicación es distributiva respecto de la suma.

Distributividad y redondeo 
En la aritmética aproximada, como la aritmética de punto flotante, la propiedad distributiva de la multiplicación (y división) sobre la suma puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética. Por ejemplo, la identidad  falla en la aritmética decimal, independientemente del número de dígitos significativos. Métodos como el redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, al igual que aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables.

Lógica proposicional

Regla de remplazo 
En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución en las demostraciones lógicas utiliza dos reglas de reemplazo válidas para expandir las ocurrencias individuales de ciertas conectivas lógicas, dentro de alguna fórmula, en aplicaciones separadas de esas conectivas a través de subfórmulas de la fórmula dada. Las reglas son

donde ">", también escrito  es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba con" o "es lógicamente equivalente a".

Conectivas funcionales de verdad 

La distributividad de algunos conectivos lógicos de lógica proposicional funcional de verdad. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de las conectivas particulares. Las siguientes son tautologías funcionales de verdad.

Distribución doble

Generalizaciones 
En varias áreas matemáticas se consideran leyes de distributividad generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en teoría del orden se encuentran numerosas variantes importantes de la distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitas, como la ley distributiva infinita; otras se definen en presencia de sólo una operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo distributividad (teoría del orden). Esto también incluye la noción de una red completamente distributiva.

En presencia de una relación de ordenación, también se pueden debilitar las igualdades anteriores sustituyendo  por  o  Naturalmente, esto dará lugar a conceptos significativos sólo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de subdistributividad, como se explica en el artículo sobre aritmética de intervalos.

En teoría de la categoría, si  y  son mónadas en una categoría  una ley distributiva  es una transformación natural  tal que  es un mapa laxo de mónadas  and  es un mapa colaxo de mónadas  Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónada sobre : el mapa de multiplicación es   y el mapa unitario es .

También se ha propuesto una ley distributiva generalizada en el ámbito de la teoría de la información.

Antidistributividad 

La ubicua identidad que relaciona los inversos con la operación binaria en cualquier grupo, a saber  que se toma como axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución, se ha llamado a veces una propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria).

En el contexto de un casi-anillo, que elimina la conmutatividad del grupo escrito aditivamente y asume sólo la distributividad de un lado, se puede hablar de elementos distributivos (de dos lados) pero también de elementos antidistributivos. Estos últimos invierten el orden de la adición (no conmutativa); suponiendo un anillo de izquierda (es decir, que todos los elementos se distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivo  invierte el orden de la adición cuando se multiplica por la derecha: 

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra de Boole, el término ley antidistributiva se utiliza a veces para denotar el intercambio entre la conjunción y la disyunción cuando la implicación es un factor sobre ellas:

Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan.

Véase también 
 Propiedad conmutativa
 Propiedad asociativa
 Elemento inverso
 Elemento neutro

Referencias

Enlaces externos 
 Operaciones binarias Artículo sobre operaciones binarias y sus propiedades.
 

Álgebra elemental