Производные Виртингера

Производные Виртингера (операторы Виртингера, формальные комплексные частные производные) — обобщение производной на случай комплексно недифференцируемых комплексных функций. Производные Виртингера обозначаются тем же символом, что и частные производные:  и . Для комплексной функции одной переменной  определяются выражениями
,
.
Для комплексной функции нескольких переменных  производные Виртингера определяются выражениями
,
.

Оператор  также называют оператором Коши-Римана или производной Коши-Римана. Некоторые авторы используют термин «оператор Коши-Римана» для обеих производных Виртингера.

Связь с вещественной дифференцируемостью 
Рассмотрим вещественно-дифференцируемую функцию . Её дифференциал представляется в виде
.
Обозначим , . Подставляя новые обозначения и преобразуя выражения получим
.
Из этого выражения мотивация к определению и такому обозначению производных Виртингера становится очевидна. Записав коэффициенты при дифференциалах обозначениями производных Виртингера, получаем
.
Представление дифференциала в виде  называется представлением дифференциала в вещественной форме, а в виде  — представлением дифференциала в комплексной форме. Существование представления дифференциала в комплексной форме эквивалентно вещественной дифференцируемости. В случае существования такого представления, коэффициенты при дифференцилах определяются однозначно и могут быть вычислены при помощи соответствующих производных Виртингера по показанной выше формуле.

Для функций многих комплексных переменных всё аналогично. Представлением дифференциала в комплексной форме называется представление в виде . Существование такого представления равносильно вещественной дифференцируемости и, если оно существует, оно единственно. При помощи производных Виртингера дифференциал функции несколько переменных в комплексной форме записывается следующим образом:
.
Из существования всех производных Виртингера вещественной дифференцируемости ещё не следует, так как существование производных Виртингера эквивалентно существованию всех частных вещественных производных.

Связь с условиями Коши-Римана 
Функция  комплексно-дифференцирума, если её дифференциал имеет вид
.
Из вышеизложенных свойств представления дифференциала в комплексной форме следует, что функция комплексно-дифференцируема тогда и только тогда, когда она вещественно-дифференцируема и вторая производная Виртингера . Проведя простые преобразования нетрудно убедиться, что условие  эквивалентно условиям Коши-Римана:
 
где , . Из этого становится понятным, почему  также называют оператором Коши-Римана. Таким образом, при помощи производных Виртингера можно получить наглядное объяснение необходимости условий Коши-Римана для комплексной дифференцируемости.

Для функций многих комплексных переменных аналогично можно получить, что комплексная дифференцируемость эквивалентна вещественной дифференцируемости вместе с равенством всех вторых производных Виртингера нулю:
.
Это условие эквивалентно системе уравнений Коши-Римана для функции многих переменных.

Существует также противоположное понятие для равенства первой производной Виртингера нулю — антиголоморфность. Функция  антиголоморфна в некотором открытом множестве, если она вещественно дифференцируема и
 (для функции многих переменных ).
Для антиголоморфной функции дифференциал представляется в виде  (или  для функций многих переменных). Антиголоморфность эквивалентна голоморфности сопряжённой функции.

См. также 
 Моногенная функция
 Условия Коши-Римана
 Дифференциал (математика)

Примечания

Литература 
 
 
 
 

Комплексный анализ