Algèbre vertex

En mathématiques, une algèbre vertex est une structure algébrique qui joue un rôle important en théorie conforme des champs et dans les domaines proches en physique. Ces structures ont aussi montré leur utilité en mathématiques dans des contextes comme l'étude du groupe Monstre et la correspondance de Langlands géométrique.

Les algèbres vertex ont été introduites par Richard Borcherds en 1986, motivées par les opérateurs vertex intervenant lors de l'insertion de champs, dans la théorie conforme des champs en dimension 2. Comme exemples importants, on peut citer les algèbres vertex associées aux réseaux, celle provenant des modules sur les algèbres de Kac-Moody, celles provenant de l'algèbre de Virasoro et enfin le module moonshine V♮ construit par Frenkel, Lepowsky et Meurman en 1988. 

Les axiomes des algèbres vertex sont une version algébrique de ce que les physiciens appellent une algèbre chirale, dont la définition rigoureuse a été donnée par Beilinson et Drinfeld.

Définition 

Une algèbre vertex est un espace vectoriel  , muni d'un élément unité  , d'un endomorphisme  appelé opérateur de translation et d'une application (linéaire) de multiplication

,
qu'on écrit 
,

vérifiant les axiomes suivants :

 (Identité) Pour tout ,
 et  (autrement dit,  pour  et ),
 (Translation) , et pour tous , 
,
 (4 points) Pour tous , il existe un élément 
 tel que , , et  sont les expansions de  dans , , et , respectivement.

L'application de multiplication est souvent vue comme une correspondance entre états et champs   (où  est l'ensemble des champs sur , c'est-à-dire l'ensemble des séries   telles que pour tout vecteur  on a  ) associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un opérateur vertex) à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et  est un générateur infinitésimal des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.

Remarque : l'axiome de translation entraîne que , donc  est uniquement déterminé par . 

Remarque : l'axiome des 4 points peut être remplacé par l'axiome suivant appelé axiome de localité :

Identités de Borcherds 

Soient . Le calcul explicite de  donne les deux égalités suivantes appelées identités de Borcherds : pour tous ,
,
,
où , pour tout .

Algèbres vertex commutatives 

Une algèbre vertex  est dite commutative si pour tout , les opérateurs vertex associés commutent (i.e. ). En particulier cela signifie que  pour tous vecteurs  dans l'axiome de localité. Une condition équivalente est  pour tous  et tous entiers .

Si  est une algèbre vertex commutative alors  pour tout , c'est-à-dire  pour .

Une algèbre vertex commutative admet une structure d'algèbre différentielle (i.e. algèbre commutative unitaire munie d'une dérivation). En effet, une algèbre vertex commutative possède une structure d'algèbre commutative unitaire via le produitoù l'unité est  et l'opérateur de translation  agit comme une dérivation sur  (il vérifie la relation de Leibniz) :Réciproquement toute algèbre différentielle admet une structure d'algèbre vertex commutative.

Exemples

Algèbres vertex universelles affines 

Soit  une algèbre de Lie de dimension finie et  une forme bilinéaire symétrique définie sur  supposée invariante (i.e.  ). On pose  l'algèbre de Kac-Moody affine associée à . Soit l'espace vectoriel

où  est l'algèbre universelle enveloppante de  et où  est une représentation de dimension  de  sur laquelle  agit trivialement et  agit comme l'identité. 

Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt, nous donne l'isomorphisme d'espaces vectoriels suivant : 

 

Les éléments de  s'identifient aux éléments de . Pour  et , posons . Soit  une base ordonnée de . Alors une base de  est donnée par : , où  tels que si  alors .

L'algèbre vertex universelle affine associée à  est l'algèbre vertex  où l'opérateur translation est donné paret l'opérateur vertex est défini paroù  est le produit normé ordonné.

Algèbre vertex d'Heisenberg 
Si  est une algèbre de Lie complexe de dimension  (i.e. ) et  une forme bilinéaire symétrique invariante non dégénérée alors l'algèbre vertex universelle  est appelée algèbre vertex d'Heisenberg de .

Algèbre vertex universelle affine associée à  de niveau 
Si  est une algèbre de Lie simple et  () où  est la forme de Killing de  et  le dual du nombre de Coxeter. L'algèbre vertex universelle  est appelée l'algèbre vertex universelle affine associée à  de niveau . On la note .

Algèbre vertex de Virasoro 
Soit  l'algèbre de Virasoro et soit . On considère l'espace vectoriel  où  est une représentation de dimension  sur laquelle  agit par multiplication par  et  agit trivialement. On peut définir une structure d'algèbre vertex sur  dont une base est donnée par les éléments de la forme
 avec . Cette algèbre vertex est appelée lalgèbre vertex de Virasoro de charge centrale .

 Algèbre vertex conforme 
Une algèbre vertex  est -graduée si et si  et  implique .

Une algèbre vertex est dite conforme si elle est -graduée et s'il existe un élément  dit conforme, tel que l'opérateur vertex associé

,
 (autrement dit ),
,

où  est une constante appelée la charge centrale ou le rang'' de . Remarque : ceci munit  d'une action de l'algèbre de Virasoro .Exemple''' : l'algèbre vertex de Virasoro  est conforme de charge centrale . Un vecteur conforme est donné par

Références 

Vertex