Factorización aurifeuilliana

En teoría de números, una factorización aurifeuilleana, llamada así por Léon-François-Antoine Aurifeuille, es un tipo especial de factorización algebraica que proviene de factorizaciones no triviales de polinomios ciclotómicos sobre los números enteros. Aunque los polinomios ciclotómicos en sí mismos son irreducibles sobre los números enteros, cuando se restringen a valores enteros particulares, pueden tener una factorización algebraica, como en los ejemplos que figuran a continuación.

Ejemplos

 Los números de la forma  tienen la siguiente factorización aurifeuilleana (véase también la identidad de Sophie Germain):

 

 Configurando  y , se obtiene la siguiente factorización aurifeuilleana de :
 

 Los números de la forma  o , donde , con  un entero libre de cuadrados, tienen factorización aurifeuilleana si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:
  y 
  y 
 Por lo tanto, cuando  con  libre de cuadrados, y  congruente con  módulo , entonces si  es congruente en 1 mod 4,  tiene factorización aurifeuilleana, de lo contrario,  tiene factorización aurifeuilleana.

 Cuando el número es de una forma particular (la expresión exacta varía con la base), se puede utilizar la factorización aurifeuliana, que da un producto de dos o tres números. Las siguientes ecuaciones dan factores de Aurifeuillian para las bases del Proyecto de Cunningham como producto de F, L y M:

 Si se hace que L = C − D, M = C + D, las factorizaciones aurifeulianas para bn ± 1 de la forma F * (C − D) * (C + D) = F * L * M con las bases 2 ≤ b ≤ 24 (potencias perfectas excluidas, ya que una potencia de bn es también una potencia de b), son:

(para los coeficientes de los polinomios para todas las bases libres de cuadrados hasta 199 y hasta 998, véase)

 {|class="wikitable" style="text-align:center"
!b
!Número
!(C − D) * (C + D) =L * M
!F
!C
!D
|-
!2
|24k + 2 + 1
|
|1
|22k + 1 + 1
|2k + 1
|-
!3
|36k + 3 + 1
|
|32k + 1 + 1
|32k + 1 + 1
|3k + 1
|-
!5
|510k + 5 - 1
|
|52k + 1 - 1
|54k + 2 + 3(52k + 1) + 1
|53k + 2 + 5k + 1
|-
!6
|612k + 6 + 1
|
|64k + 2 + 1
|64k + 2 + 3(62k + 1) + 1
|63k + 2 + 6k + 1
|-
!7
|714k + 7 + 1
|
|72k + 1 + 1
|76k + 3 + 3(74k + 2) + 3(72k + 1) + 1
|75k + 3 + 73k + 2 + 7k + 1
|-
!10
|1020k + 10 + 1
|
|104k + 2 + 1
|108k + 4 + 5(106k + 3) + 7(104k + 2) + 5(102k + 1) + 1
|107k + 4 + 2(105k + 3) + 2(103k + 2) + 10k + 1
|-
!11
|1122k + 11 + 1
|
|112k + 1 + 1
|1110k + 5 + 5(118k + 4) - 116k + 3 - 114k + 2 + 5(112k + 1) + 1
|119k + 5 + 117k + 4 - 115k + 3 + 113k + 2 + 11k + 1
|-
!12
|126k + 3 + 1
|
|122k + 1 + 1
|122k + 1 + 1
|6(12k)
|-
!13
|1326k + 13 - 1
|
|132k + 1 - 1
|1312k + 6 + 7(1310k + 5) + 15(138k + 4) + 19(136k + 3) + 15(134k + 2) + 7(132k + 1) + 1
|1311k + 6 + 3(139k + 5) + 5(137k + 4) + 5(135k + 3) + 3(133k + 2) + 13k + 1
|-
!14
|1428k + 14 + 1
|
|144k + 2 + 1
|1412k + 6 + 7(1410k + 5) + 3(148k + 4) - 7(146k + 3) + 3(144k + 2) + 7(142k + 1) + 1
|1411k + 6 + 2(149k + 5) - 147k + 4 - 145k + 3 + 2(143k + 2) + 14k + 1
|-
!15
|1530k + 15 + 1
|
|1514k + 7 - 1512k + 6 + 1510k + 5 + 154k + 2 - 152k + 1 + 1
|158k + 4 + 8(156k + 3) + 13(154k + 2) + 8(152k + 1) + 1
|157k + 4 + 3(155k + 3) + 3(153k + 2) + 15k + 1
|-
!17
|1734k + 17 - 1
|
|172k + 1 - 1
|1716k + 8 + 9(1714k + 7) + 11(1712k + 6) - 5(1710k + 5) - 15(178k + 4) - 5(176k + 3) + 11(174k + 2) + 9(172k + 1) + 1
|1715k + 8 + 3(1713k + 7) + 1711k + 6 - 3(179k + 5) - 3(177k + 4) + 175k + 3 + 3(173k + 2) + 17k + 1
|-
!18
|184k + 2 + 1
|
|1
|182k + 1 + 1
|6(18k)
|-
!19
|1938k + 19 + 1
|
|192k + 1 + 1
|1918k + 9 + 9(1916k + 8) + 17(1914k + 7) + 27(1912k + 6) + 31(1910k + 5) + 31(198k + 4) + 27(196k + 3) + 17(194k + 2) + 9(192k + 1) + 1
|1917k + 9 + 3(1915k + 8) + 5(1913k + 7) + 7(1911k + 6) + 7(199k + 5) + 7(197k + 4) + 5(195k + 3) + 3(193k + 2) + 19k + 1
|-
!20
|2010k + 5 - 1
|
|202k + 1 - 1
|204k + 2 + 3(202k + 1) + 1
|10(203k + 1) + 10(20k)
|-
!21
|2142k + 21 - 1
|
|2118k + 9 + 2116k + 8 + 2114k + 7 - 214k + 2 - 212k + 1 - 1
|2112k + 6 + 10(2110k + 5) + 13(218k + 4) + 7(216k + 3) + 13(214k + 2) + 10(212k + 1) + 1
|2111k + 6 + 3(219k + 5) + 2(217k + 4) + 2(215k + 3) + 3(213k + 2) + 21k + 1
|-
!22
|2244k + 22 + 1
|
|224k + 2 + 1
|2220k + 10 + 11(2218k + 9) + 27(2216k + 8) + 33(2214k + 7) + 21(2212k + 6) + 11(2210k + 5) + 21(228k + 4) + 33(226k + 3) + 27(224k + 2) + 11(222k + 1) + 1
|2219k + 10 + 4(2217k + 9) + 7(2215k + 8) + 6(2213k + 7) + 3(2211k + 6) + 3(229k + 5) + 6(227k + 4) + 7(225k + 3) + 4(223k + 2) + 22k + 1
|-
!23
|2346k + 23 + 1
|
|232k + 1 + 1
|2322k + 11 + 11(2320k + 10) + 9(2318k + 9) - 19(2316k + 8) - 15(2314k + 7) + 25(2312k + 6) + 25(2310k + 5) - 15(238k + 4) - 19(236k + 3) + 9(234k + 2) + 11(232k + 1) + 1
|2321k + 11 + 3(2319k + 10) - 2317k + 9 - 5(2315k + 8) + 2313k + 7 + 7(2311k + 6) + 239k + 5 - 5(237k + 4) - 235k + 3 + 3(233k + 2) + 23k + 1
|-
!24
|2412k + 6 + 1
|
|244k + 2 + 1
|244k + 2 + 3(242k + 1) + 1
|12(243k + 1) + 12(24k)
|}

 Los números de Lucas  tienen la siguiente factorización aurifeuilleana:
 
 donde  es el -ésimo número de Lucas y  es el -ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Historia
En 1869, antes del descubrimiento de las factorizaciones aurifeuilleanas, Fortuné Landry, mediante un tremendo esfuerzo manual, obtuvo la siguiente factorización en números primos:

Tres años más tarde, en 1871, Aurifeuille descubrió la naturaleza de esta factorización; el número  para , con la fórmula de la sección anterior, se factoriza como:

Por supuesto, la factorización completa de Landry se deriva de la anterior (quitando el factor obvio 5). La forma general de la factorización fue descubierta más tarde por Édouard Lucas.

536903681 es un ejemplo de una norma gaussiana de Mersenne.

Referencias

Enlaces externos
 Factorización aurifeuliana, Colin Barker
 Colección de factores en línea

Teoría de números
Factorización