Método de factorización de Dixon

En teoría de números, el método de factorización de Dixon (conocido también como método de los cuadrados aleatorios de Dixon o algoritmo de Dixon) es un algoritmo general de factorización de enteros; es el método prototípico de base de factores, y el único método de este tipo para el cual los límites de ejecución no se basan en conjeturas sobre las propiedades de suavidad de los valores de un polinomio conocido.

Historia del algoritmo 
Las ideas de este algoritmo provienen de Maurice Kraitchik, quien en la década de 1920 generalizó un famoso método debido a Pierre de Fermat (que funciona bien cuando los factores son cercanos). D. H. Lehmer y R. E. Powers sugirieron una idea parecida en un artículo publicado en 1931, utilizando fracciones continuas. 

John Brillhart y Michael Morrison en 1975 
muestran cómo mejorar el algoritmo utilizando el álgebra lineal sobre  (el cuerpo con dos elementos). John D. Dixon muestra la eficiencia del algoritmo en un artículo publicado en 1981. 

El algoritmo de criba cuadrática, debido a Carl Pomerance, utiliza ideas similares a las de este método.

Ideas matemáticas sobre las que se basa 
Si  es primo y , entonces la ecuación  tiene dos soluciones distintas: . 

Sin embargo, si  es compuesto y no es la potencia de un primo, la ecuación   tiene más soluciones; estas soluciones vienen de la factorización de  como producto de dos enteros coprimos entre sí. Si  con  coprimos entonces tomando  tal que  y  (esto se puede hacer gracias al Teorema chino del resto) encontramos una solución a  que es distinta de  y .

Recíprocamente, si  verifica  y , entonces  no es coprimo con  ni múltiplo de él. 

La idea básica del algoritmo es intentar encontrar dos enteros  tales que  y , con lo que  será un divisor de  no trivial. Buscar
al azar estos enteros lleva mucho tiempo y no hace eficaz el método. Lo que se hace para tener más probabilidad de "colisión" es tomar enteros cuyos cuadrados tengan factores primos pequeños.

Más concretamente: tomamos una "base de factores"  formada por enteros pequeños y buscamos  tales que , . . . , .
Luego escogemos  de forma que , con cada uno de los  par.

Dadas las k-uplas , . . . , , encontrar  tales que  sea un producto de elementos de  al cuadrado no es otra cosa que obtener una combinación lineal de las k-uplas que sea la nula módulo 2. O sea que es un problema de álgebra lineal en , que puede resolverse en forma rápida.

El método 
Sea  el entero compuesto que deseamos factorizar.

Tomamos  una cota, llamemos  al conjunto de los primos menores o iguales que  unión el -1. 

Inicialmente, buscamos enteros  tales que  se pueda escribir como producto de elementos de .

Supongamos que hemos encontrado suficientes de estos números (suficientes en general significa poco más que el cardinal de ): . Utilizamos el álgebra lineal (como se describe en la sección anterior) para encontrar un producto  que módulo n es el cuadrado de un producto de elementos de . 

O sea, hemos obtenido , o, escribiéndolo de otra manera: . Por lo tanto, el máximo común divisor entre  y  será distinto de 1 y  siempre que .

En caso de que  se busca otra combinación lineal que nos dé un producto de cuadrados de elementos de .

Ejemplo 

Sea . Tomamos , por lo que .

Encontramos varios enteros cuyos cuadrados son factorizados (módulo ) sobre :

 
 

.

Tenemos las 4-uplas: (0,2,1,1), (1,0,1,0), (1,0,1,1), (0,0,1,0) y (1,0,2,1); estos son los exponentes de la factorización 
de los cuadrados como productos de elementos de . Al tener 5 4-uplas, debe haber una que sea combinación de las otras (módulo 2); o lo que es lo mismo, una suma de estas 4-uplas tendrá todas sus entradas pares.

De hecho, la suma de las primeras cuatro da (2,2,4,2). Esto quiere decir que al multiplicar los primeros cuatro números, su cuadrado será  (módulo n). O sea que . 

Reducimos: . Esta combinación hallada no nos da ningún factor, ya que .

Buscamos otra suma que nos dé con entradas pares: las tres últimas. Obtenemos de allí que , o lo que es lo mismo: . De aquí sí sacamos un factor no trivial de : .

Tiempo de ejecución 
Si en el algoritmo escogemos un  pequeño entonces es fácil saber si un entero se factoriza sobre , pero es difícil encontrar naturales cuyo cuadrado sea producto de elementos de . A la inversa, si  es grande será sencillo encontrar naturales cuyo cuadrado sea producto de elementos de  pero complicado saber si un entero se factoriza sobre .

La clave para optimizar este método es escoger el valor adecuado de . Puede probarse que si  tiene  dígitos es bueno tomar  con aproximadamente  dígitos. Esto hace que el tiempo de ejecución del algoritmo tenga un orden  para cierta constante .
Dixon mostró que podía tomar , pero Schnorr y Knuth lograron mejorar la prueba, asegurando que .

Referencias

Enlaces externos 

Algoritmos de factorización de enteros
Dixon, método