Órbita (dinámica)

En matemática, en el estudio de los sistemas dinámicos, una órbita es un conjunto de puntos relacionados por la función evolución de un sistema dinámico. La órbita es un subconjunto del espacio de fases y el conjunto de todas las órbitas es una partición del espacio de fases, es decir, las órbitas nunca se interceptan en el espacio de fases. Uno de los objetivos de la teoría moderna de sistemas dinámicos es entender las propiedades de las órbitas usando topología dinámica.

Para sistemas dinámicos discretos, las órbitas son una sucesión. Para sistemas dinámicos reales, las órbitas son curvas mientras que para sistemas dinámicos holomórficos las órbitas son superficies de Riemann.

Definición 

Dado un sistema dinámico (T, M, Φ) con T un grupo, M un conjunto y Φ la función evolución

 where  with 

definimos

entonces el conjunto

es llamado una órbita que pasa por x. Una órbita que consiste de un solo punto es llamada órbita constante. Una órbita no-constante es llamada cerrada o periódica si existe  en  tal que
.

Sistema dinámico real 

Dado un sistema dinámico real (R, M, Φ), I(x) es un intervalo abierto en los reales, o sea . Para cualquier x en M

es llamada 'semi-órbita positiva a través de x y

es llamada semi-órbita negativa a través de x.

Sistema dinámico discreto 
Para sistemas dinámicos de tiempo discreto:

órbita positiva de x es un conjunto :

órbita negativa de x otro conjunto :

y la órbita es la unión :

donde:
  es una función evolución  que este caso es una función iterada,
 el conjunto  es el espacio dinámico,
  es el número de iteraciones, el cual es natural y 
  es un estado inicial del sistema y 

Usualmente se utiliza otra notación:

  se escribe como 
  donde  es  en la notación anterior.

Sistema dinámico general 
Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando uno tiene un grupo "bien comportado"  actuando en un espacio de probabilidades  de una manera que conserve la métrica, una órbita  será llamada periódica (o equivalentemente cerrada) si un estabilizador  es una red dentro de .

La clasificación de órbitas puede llevar a preguntas interesantes con relación a otras áreas de la matemática, por ejemplo, la conjetura de Oppenheim (demostrada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (demostrada parcialmente por Lindenstrauss) tratan con la pregunta de si toda órbita acotada de alguna acción natural en el espacio homogéneo  es una órbita periódica. Esta observación se debe a Raghunathan y en diferente lenguaje a Cassels y Swinnerton-Dyer.

Notas 
Usualmente la función evolución puede ser entendida como compuesta por elementos de un grupo, en cuyo caso la órbita de la acción grupo es lo mismo que en órbitas dinámicas.

Ejemplos 

 La órbita de un punto de equilibrio es una órbita constante

Estabilidad de las órbitas 

Una clasificación básica de las órbitas es
 órbitas constantes o puntos fijos
 órbitas periódicas
 órbitas no-constantes y no-periódicas

Una órbita puede no ser cerrada de dos formas.
Puede ser una órbita asintóticamente periódica si su límite converge a una órbita periódica. Tales órbitas no son cerradas pues nunca se repiten, pero pueden aproximarse arbitrariamente cerca de una órbita cerrada.
Una órbita también puede ser caótica. Estas órbitas se acercan arbitrariamente al punto inicial, pero nunca convergen a una órbita periódica. Exhiben una dependencia sensible a condiciones iniciales, lo que significa que pequeñas diferencias en el valor inicial pueden resultar en grandes diferencias a tiempos posteriores.

Existen otras propiedades de las órbitas que permiten otras clasificaciones. Una órbita puede ser hiperbólica si puntos cercanos se convergen o divergen de la órbita exponencialmente rápido.

Referencias 
 

Sistemas dinámicos