Интеграл Лебега

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение 
Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой , и на нём определена измеримая функция , где  — борелевская -алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть  — индикатор некоторого измеримого множества, то есть , где .
Тогда интеграл Лебега функции  по определению:
 

Определение 2. Пусть  — простая функция, то есть , где , а  — конечное разбиение  на измеримые множества.
Тогда
 .

Определение 3. Пусть теперь  — неотрицательная функция, то есть .
Рассмотрим все простые функции , такие что .
Обозначим это семейство . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега.
Тогда интеграл от  задаётся формулой:
 

Наконец, если функция  произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:
 
где
 .

Определение 4. Пусть  — произвольная измеримая функция.
Тогда её интеграл задаётся формулой:
 .

Определение 5. Пусть наконец  произвольное измеримое множество. Тогда по определению
 ,
где  — индикатор-функция множества .

Пример 
Рассмотрим функцию Дирихле , заданную на , где  — борелевская σ-алгебра на , а  — мера Лебега. Эта функция принимает значение  в рациональных точках и  в иррациональных. Легко увидеть, что  не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:
 
Действительно, мера отрезка  равна 1,
и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0,
а значит мера иррациональных чисел равна .

Замечания 
 Так как , измеримая функция  интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция  интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
 В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
 Если функция определена на вероятностном пространстве  и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства 
 Интеграл Лебега линеен, то есть
 ,
 где  — произвольные константы;
 Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если  почти всюду,  измерима и  интегрируема, то интегрируема и , и более того
 ;
 Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если  почти всюду, то
 .

Интегральные суммы Лебега 
Интегральными суммами Лебега для функции  и меры  называются суммы вида

 ,

где  — разбиение области значений функции .

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию  - в каждой точке она принимает одно из значений  (а именно,  на подмножестве ). Поэтому, если функция  интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда , , и диаметр разбиения  стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

 

Тогда интегральные суммы Лебега для функции  и меры  становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции  и функции распределения :

 .

Если функция распределения  имеет плотность: , то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

 .

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций 
 Теорема Леви о монотонной сходимости
 Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
 Лемма Фату

Примечания

Литература 
 
 
 

 

 

Теория вероятностей
Теория меры
Функциональный анализ
Лебега