Théorème des résidus

En analyse complexe, le théorème des résidus est un outil puissant pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées qui repose sur les résidus de la fonction à intégrer.

Il est utilisé pour calculer des intégrales de fonctions réelles ainsi que la somme de certaines séries. Il généralise le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy.

Énoncé 

Soient U un sous-ensemble ouvert et simplement connexe du plan complexe ℂ, {z, …, zn} un ensemble de n points de U, et f une fonction définie et holomorphe sur U \ {z, …, zn}.

Si γ est une courbe rectifiable dans U qui ne rencontre aucun des points singuliers zk et dont le point de départ correspond au point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet rectifiable), alors :

Ici, Res(f,zk) désigne le résidu de f en zk, et  l'indice du lacet γ par rapport à zk. Intuitivement, l'indice du lacet est le nombre de tours autour de zk effectués par un point parcourant tout le lacet. Ce nombre de tours est un entier ; il est positif si γ est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct) autour de zk, nul si γ ne se déplace pas du tout autour de zk, et négatif si γ est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre autour de zk.

L'indice est défini par

Exemple 

Prenons comme ouvert  qui est bien ouvert et simplement connexe et considérons la fonction holomorphe  définie par  (nous avons donc ici  et ).

Calculons alors l'intégrale de cette fonction le long de la courbe  définie par  (son image étant le cercle unité) avec le théorème des résidus : on a ici  et  d'où

Variante

Application au calcul d'intégrales réelles 

Pour évaluer des intégrales réelles, le théorème des résidus s'utilise souvent de la façon suivante : l'intégrande est prolongé en une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe ; ses résidus sont calculés, et une partie de l'axe réel est étendue à une courbe fermée en lui attachant un demi-cercle dans le demi-plan supérieur ou inférieur. L'intégrale suivant cette courbe peut alors être calculée en utilisant le théorème des résidus. Souvent, grâce au lemme d'estimation ou au lemme de Jordan, la partie de l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro, quand le rayon de ce dernier tend vers l'infini, laissant seulement la partie de l'intégrale sur l'axe réel, celle qui initialement nous intéressait.

La liste ci-dessous n'est pas exhaustive mais elle permet d'avoir une idée générale de la technique utilisant le théorème des résidus, on aborde :
 les :  où  est une fonction rationnelle ;
 les  :  ;
 les  :  ;
 les  : combinaison des deux cas précédents en considérant la valeur principale de Cauchy de l'intégrale.

Premier type 

Soit le calcul de l'intégrale réelle suivante :

avec  une fonction rationnelle ayant un nombre fini de points singuliers  et dont aucun n'appartient au cercle  centré à l'origine et de rayon 1. On obtient par le théorème des résidus :

où  est définie comme suit :

Deuxième type 

Soit le calcul de l'intégrale impropre suivante :

avec  ayant un ensemble de points singuliers isolés  purement complexes. Si  et si  converge, alors

Remarque : dans le cas où  est une fonction rationnelle définie par  avec  et  des polynômes,  sans racines réelles, il suffit d'exiger que  (où  représente le degré du polynôme) pour que les hypothèses soient vérifiées, la convergence de l'intégrale étant même absolue.

Troisième type 
Soit le calcul de l'intégrale impropre suivante :

avec  comportant un ensemble de point singuliers isolés purement complexes. Si  et si  converge, alors :

et

Quatrième type

Les intégrales du deuxième et du troisième type s'étendent aux cas avec un nombre fini n de pôles situés sur l'axe réel. Il s'agit alors d'une intégrale impropre et l'on considère alors la valeur principale de Cauchy de l'intégrale.

Soit  une fonction holomorphe sur ℂ sauf en un ensemble de pôles simples réels, , et de singularités isolées purement complexes, . Supposons que l'on se trouve dans un des deux cas suivant : 
 il existe  et  tels que  pour tout complexe  de module supérieur ou égal à , 
ou 
  avec  et il existe  tels que  pour tout complexe  de module supérieur ou égal à .

Alors la valeur principale de Cauchy (notée ) de l'intégrale existe et on a :

Remarque : on peut aisément étendre la formule au demi-plan inférieur en changeant le signe de la première somme et en considérant uniquement les singularités purement complexe dans ce demi-plan.

Application aux calculs de sommes 
Le théorème des résidus permet aussi de calculer certaines sommes infinies. Soit une fonction  ayant pour chaque entier  un résidu égal au -ième terme général d'une somme infinie  ainsi qu'un ensemble  de résidus correspondant à d'autres points. Supposons que l'intégrale de cette fonction le long d'un lacet  rectifiable infiniment grand soit nulle. On a alors par le théorème des résidus :

Par conséquent, on peut exprimer la somme infinie par une autre somme (en général finie) de résidus :

Les énoncés ci-dessous donnent des exemples plus généraux de cas pour lesquels cette méthode est applicable :
 les sommes du "premier type" :  ;
 les sommes du "deuxième type" : .

Premier type 

Soit le calcul de la somme suivante :

avec  ayant un ensemble  de singularités isolées. Supposons que la condition suivante soit respectée :

il existe  et  tels que  pour tout complexe  de module supérieur ou égal à .

Alors, nous avons :

et

Deuxième type 
Soit le calcul de la somme suivante :

avec  ayant un ensemble  de singularités isolées. Supposons que  satisfasse à la même condition que pour les sommes du premier type à savoir :

il existe  tels que  pour tout complexe  de module supérieur ou égal à .

Alors, la somme converge absolument et on a :

Voir aussi 
 Fonction multivaluée
 Principe de l'argument
 Lemme de Jordan
 Lemme d'estimation
 Méthodes de calcul d'intégrales de contour

Notes et références 

 
 
 
 

Residus