Número imaginario

En matemáticas, particularmente en álgebra, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero. Por ejemplo, es un número imaginario, así como  o  son también números imaginarios. En general un número imaginario es de la forma , donde  es un número real. 

Originalmente la denominación fue acuñada en el  por René Descartes como término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó amplia aceptación tras los trabajos de Leonhard Euler (en el ) y Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss (a principios del ).

Un número imaginario  puede sumarse a un número real  para formar un número complejo de la forma , donde los números reales  y  se denominan, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo.

Definición

Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1, es decir:

Aparición y usos

Historia y origen 
Aunque el matemático e ingeniero griego Herón de Alejandría es señalado como el primero en presentar un cálculo que implicaba la raíz cuadrada de un número negativo, fue Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano del  quien estableció por primera vez las reglas para la multiplicación de números complejos en 1572. El concepto había aparecido impreso con anterioridad, por ejemplo en la obra de Gerolamo Cardano. En aquella época, los números imaginarios y negativos no se comprendían bien y algunos los consideraban ficticios o inútiles, como en su día lo fue el cero.

Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de los números imaginarios, entre ellos René Descartes, que escribió sobre ellos en su tratado La Géométrie en el que acuñó el término imaginario con intención despectiva.<ref>Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: " (Además, tanto las raíces verdaderas como las falsas [raíces] no siempre son reales; pero a veces sólo [cantidades] imaginarias; es decir, uno siempre puede imaginar tantos de ellos en cada ecuación como dije; Pero a veces no hay cantidad que corresponda a lo que uno imagina, al igual que aunque uno puede imaginar tres de ellos en esta [ecuación], x3 – 6xx + 13x – 10 = 0, in embargo, solo uno de ellos es real, que es 2, y con respecto a los otros dos, aunque uno los aumente, disminuya o multiplique de la manera que acabo de explicar, uno no podría hacerlos más que [cantidades] imaginarias.)</ref> El uso de los números imaginarios no fue ampliamente aceptado sino hasta los trabajos de Leonhard Euler (1707–1783) y Carl Friedrich Gauss (1777–1855). El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descripto por primera vez por Caspar Wessel (1745–1818).

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a  el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva, dando a entender que no tenía una existencia real. Gottfried Leibniz, en el , decía de  "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria a menudo se indica con j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

 Cronología 

Otras representaciones
 Como par ordenado de números reales, se denota z = (0, y)
 Trigonométricamente, z = r•cos(π/2) + r•sen(π/2)•i, donde r es un número real cualquiera.

 Interpretación geométrica 

Geométricamente, los números imaginarios se representan en el eje vertical del plano complejo y por tanto perpendicular al eje real que es horizontal, el único elemento que comparten es el cero, ya que . Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como , , o simplemente . En esta representación se tiene que:

una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen.

Una multiplicación por  corresponde a una rotación de 90 grados en el sentido "positivo" (en el sentido antihorario), y el cuadrado de la ecuación  puede interpretarse como efectuar dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, equivalente a una rotación de 180 grados, .

Una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación, ya que  es también una solución de la ecuación .

En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

 Propiedades 

Todo número imaginario puede ser escrito como  donde  es un número real e  es la unidad imaginaria.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i'' se le denomina también constante imaginaria.

Estos números extienden el conjunto de los números reales  al conjunto de los números complejos .

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor. Es decir, es correcto afirmar que , y que ; esto se debe a que  y . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que , , por lo tanto, , entonces tenemos que , y obviamente .

Por otro lado, supóngase que , entonces tenemos que , lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que , pero si multiplicamos por  nos queda que . Por lo tanto tenemos que . Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente errónea.

Aplicaciones 

 La unidad imaginaria puede ser usada para obtener formalmente las raíces  cuadradas de números negativos.
 Igualmente las raíces cuadradas de un número imaginario son  números complejos, donde una de ellas, es de la forma k ( cos π/4 + i senπ/4)  donde k es un  número real cualquiera.

 En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
 En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más simple de dichas magnitudes.

Véase también 

 Menos uno
 Octonión

Referencias

Bibliografía
 , explica numerosos usos de las expresiones imaginarias.

Análisis complejo
Números complejos
Ciencia y tecnología de Italia
Ciencia y tecnología de Suiza
Ciencia de 1572
Ciencia de 1777