Стандартное отображение

Стандартное отображение (), известное также как стандартное отображение Чирикова () и отображение Чирикова — Тейлора () — нелинейное отображение (сохраняющее объём) для двух канонических переменных,  (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы Борисом Чириковым в 1969 году.

Отображение задается такими итерационными уравнениями:
 
где параметр  контролирует хаотичность системы.

Модель ротатора 
Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные  и  соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после -го удара. Параметр  описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так:
 
где функция  — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.

Свойства 

Для случая  отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические траектории. При  отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост  приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости . Благодаря периодичности функции , динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв ] или на торе [взяв ].

Стационарные точки отображения определяются из условия . На интервале ,  такими точками являются  и  (вследствие симметричности фазовой плоскости системы  при инверсии относительно точки  стационарные точки  и  можно не рассматривать).

Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений
 
 
Из условия  можно определить собственные значения матрицы  для обоих стационарных точек [ и ]:
 
 

Поскольку , то отсюда следует неравенство . В то же время справедливо неравенство  для произвольных . Таким образом стационарная точка  является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка  является устойчивой эллиптической точкой при , поскольку тогда . Для  стационарная точка  теряет устойчивость и становится гиперболической.

Ниже критического значения параметра,  (рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса  является ограниченным — иными словами, диффузия  в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения , что соответствует критическому значению параметра  (фазовое пространство системы для  изображено на рис. 2). На данный момент строго не доказано, что , однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегодняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при  наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. рис. 3). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.

Энтропия Колмогорова — Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением  для значений контрольного параметра

Квантовое стандартное отображение 
Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных  квантовомеханическими операторами , которые удовлетворяют коммутационному соотношению , где  — эффективная безразмерная постоянная Планка.

Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является так называемое явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счёт квантовых эффектов.

Применение 
Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,
 динамика частиц в ускорителях;
 динамика кометы в Солнечной системе;
 микроволновая ионизация ридберговских атомов и автоионизация молекулярных ридберговских состояний;
 электронный магнетотранспорт в резонансном туннельном диоде;
 удержание заряженных частиц в зеркальных магнитных ловушках.

Модель Френкеля — Конторовой 
Модель Френкеля — Конторовой следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задаёт связь между положениями взаимодействующих частиц (например, атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид:
 
Здесь  — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае () это приводит к следующему уравнению
 
которое заменой  можно свести к обычной записи стандартного отображения.

Примечания

Литература 
 Стандартное отображение Чирикова на www.scholarpedia.org .
 
 .
 .
 .
 Chirikov B. V. «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics» // Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp. 443—545, Eds. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).

Теория хаоса
Хаотические отображения