Dérivée partielle

En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle. 

La dérivée partielle de la fonction  par rapport à la variable  est souvent notée .

Si  est une fonction de et  sont les accroissements infinitésimaux de  respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de  est :

.

Cette expression est la « différentielle totale » de , chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de .

Dans le cas où la fonction ne dépend que d'une seule variable, la dérivée et la dérivée partielle sont identiques : .

Exemple 

Considérons le volume d'un cône  ; il dépend de la hauteur  et du rayon  de la base suivant la formule
.

La dérivée partielle de  par rapport à  est 
.

Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante. 

La dérivée partielle par rapport à  est

et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.

On peut alors exprimer la façon dont varie le volume si à la fois le rayon et la hauteur du cône sont changés.

Le point  est le sommet du cône et  est un point du rayon de la base.

Les équations différentielles faisant intervenir des dérivées partielles, appelées équations aux dérivées partielles, se rencontrent dans de multiples contextes en sciences.

Définition formelle et propriétés 
Les dérivées partielles sont définies à partir de limites. Leur définition est analogue à celle des dérivées « ordinaires », qu'elles généralisent.

Même si toutes les dérivées partielles  existent en un point donné, la fonction peut ne pas être continue en ce point. On dispose toutefois d'une condition suffisante de différentiabilité — et, a fortiori, de continuité — d'une fonction en un point :

Par conséquent, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un ouvert  alors la différentielle l'est aussi. Dans ce cas, on dit que  est de classe  sur .

Le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de  en un point donné  est appelé gradient de  au point  :

 ; on le note aussi  (lire « nabla »).

Si  est de classe , alors le gradient de  au point , quand il est non nul, a une interprétation géométrique : il indique la direction selon laquelle  varie le plus vite, la ligne de plus grande pente.

Dérivées partielles d'ordre supérieur 

Lorsque la dérivée partielle  est définie au voisinage d'un point, il se peut qu'elle admette elle-même des dérivées partielles d'ordre 1 en ce point : elles sont appelées dérivées partielles d'ordre 2, ou secondes, de  ; la dérivée partielle d'ordre 1 de  au point  par rapport à la  variable est notée . On définit de manière analogue des dérivées partielles d'ordre supérieur.

Si  est deux fois dérivable en un point alors toutes les dérivées partielles secondes de  en ce point existent et l'ordre de dérivation peut être changé sans que cela modifie le résultat, d'après le théorème de Schwarz :
.

Si toutes les dérivées partielles secondes de  sont définies et continues sur un ouvert , alors  la différentielle seconde de  l'est aussi. Dans ce cas, on dit que  est de classe  sur .

Notation 

Le caractère ∂, symbole de la dérivation partielle, est appelé d rond, ou parfois d ronde (à ne pas confondre avec , le delta minuscule de l'alphabet grec).

Soit  une fonction de ,  et . 

La dérivée partielle par rapport à la première variable est notée :
, ,  ou 

et celles du second ordre :
, , ,  ou .

Celles du second ordre impliquant deux variables — appelées dérivées mixtes du second ordre — s'écrivent :

, ,  ou .

et

, ,  ou .

Quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, certaines peuvent être reliées les unes aux autres et il peut être nécessaire de spécifier celles qui sont maintenues constantes. 

Dans des domaines comme la thermodynamique ou la mécanique statistique, la dérivée partielle de  par rapport à , les variables  et  étant maintenues constantes, est souvent notée .

Notes et références

Articles connexes 
 Divergence (analyse vectorielle)
 Matrice jacobienne
 Rotationnel

Analyse à plusieurs variables
Partielle