Теория Куммера

В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. 
Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840-го года в его работе, связанной с теоремой Ферма. 

При условии, что характеристика поля p взаимно проста с n при p > 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля и потому относится к общей алгебре. 

Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина — Шрейера). Роль группы  (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя  исходного поля. 

Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случая , где , использующее векторы Витта.

Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.

Расширения Куммера 
Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n > 1 выполняются следующие два условия:

 K содержит n различных корней из единицы n-ой степени (то есть все корни уравнения xn−1)
 L/K содержит абелеву группу Галуа степени n (то есть n — наименьшее общее кратное порядков элементов этой группы).

Например, для n = 2 первое условие всегда верно, если характеристика K ≠ 2.
Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения L = K(√a), где a в K не является квадратом. При решении квадратных уравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид. Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратные расширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения.
При характеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.

При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 в поле рациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из 1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложения X3 − a над Q, где a не является кубом рационального числа, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует из факта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должны получить (α/β)3 =1, что является сепарабельным многочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.

Обобщая, если K содержит n различных корней из единицы n-ой степени и характеристика K не делит n, добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элемента a из K образует расширение Куммера (степени m, которое делит n).

В качестве поля разложения полинома Xn − a расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклической группы Галуа порядка m.

Теория Куммера 
Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразного корня степени n, любое циклическое расширение  K степени n образуется присоединением корня n-ой степени. 

Если K× — мультипликативная группа ненулевых элементов K, циклические расширения K степени n соответствуют однозначно циклическим подгруппам

то есть элементы K× по модулю n-х степеней. 

Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическая подгруппа

соответствующее расширение задается формулой

то есть присоединением n-х корней элементов Δ к K. 

И обратно, если L — расширение Куммера для K, то Δ задается формулой

В этом случае существует изоморфизм

задаваемый формулой

где α — любой корень из  a n-ой степени в L.

Обобщения 
Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группы Галуа  степени n, и аналогичное утверждение верно в этом контексте. 
А именно, можно доказать, что такие расширения являются однозначным отображением в подгруппы

Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ой степени, иногда используют изоморфизм

См. также 
 Квадратичное поле

Ссылки 
 Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973.  Chap.III, pp.85-93.
 Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1068; 
 Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; 
 Таkahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, № 1-2, p. 365

Теория полей
Алгебраическая теория чисел