Полная линейная группа

Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.

Полная линейная группа векторного пространства  — это группа обратимых линейных операторов вида . Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.
  
Обычно обозначается .

Полная линейная группа порядка  — это группа обратимых матриц порядка  (то есть квадратных матриц с  строками и  столбцами). Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.

Обычно обозначается . Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей)  должны принадлежать элементы матрицы, то пишут:  или .

Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка  обозначается , а если над комплексными числами, то .

Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве  (то есть пространстве n-мерных столбцов с элементами из ). Поэтому  и .

Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве  над полем скаляров  позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору  его матрицу — квадратную матрицу порядка  из компонент оператора  в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами  и  (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп).

Свойства 

Если  — векторное пространство над полем скаляров , то полная линейная группа пространства  представляет собой группу всех автоморфизмов пространства . Группу  и её подгруппы называют линейными группами.

В полной линейной группе  можно выделить подгруппу , состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка , обозначаемая .

Другие важные подгруппы группы :
 Диагональная группа — группа , состоящая из всех диагональных матриц порядка ;
 Треугольная группа — группа , состоящая из невырожденных верхних треугольных матриц порядка  (то есть матриц, у которых все элементы под главной диагональю нулевые);
 Унитреугольная группа — группа , состоящая из тех верхних треугольных матриц порядка , у которых диагональные элементы равны 1.

Группу  и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами, а вот группа  — линейная, но не матричная).

В частности, подгруппами группы  являются специальная линейная группа , ортогональная группа , специальная ортогональная группа  и др.

Подгруппами группы  являются специальная линейная группа , унитарная группа , специальная унитарная группа  порядка n и др.

Полные линейные группы  и  (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являются группами Ли. Эти группы важны в теории представлений групп; возникают они и при изучении различного рода симметрий.

Заметим ещё, что при n = 1  группа  фактически сводится к группе  ненулевых скаляров поля  (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n, большем 1, группы  абелевыми не являются.

Примечания

Литература

См. также 
 Проективная группа

Теория групп
Линейная алгебра
Группы Ли