Vecteur position

En géométrie, le vecteur position, ou rayon vecteur, est le vecteur qui sert à indiquer la position d'un point par rapport à un repère. L'origine du vecteur se situe à l'origine fixe du repère et son autre extrémité à la position du point. Si l'on note  cette position et  l'origine, le vecteur position se note . On le note aussi  ou .

En physique, le vecteur déplacement d'un point matériel ou d'un objet est le vecteur reliant une ancienne position à une nouvelle, donc le vecteur position final moins le vecteur position initial. Le travail d'une force, par exemple, est égal au produit de la force par le déplacement de son point d'application. Si l'on note  et  les positions de deux points, le vecteur déplacement de  vers  se note .

Grandeur physique

Déplacement et longueur 

Un déplacement et une longueur sont tous les deux exprimés en mètres, mais ces deux grandeurs ne sont pas équivalentes.
Le terme de « longueur » est plutôt réservé à la mesure géométrique d'un objet, d'une distance ou d'un chemin, c'est le résultat d'une intégrale curviligne. Une telle longueur est alors un scalaire extensif (la longueur hors tout d'un train est la somme des longueurs de ses composants). Un « déplacement » est en revanche une grandeur vectorielle (caractérisée par une direction et une norme) et intensive (elle est définie en chaque point, et ne peut pas être additionnée d'un point sur l'autre).

Sur le plan de l'analyse dimensionnelle, ces deux grandeurs sont toutes les deux des longueurs, mais la grandeur d'orientation est différente : la longueur est un scalaire en  tandis que le déplacement est un vecteur en .

Le long d'une courbe, le déplacement élémentaire  est une grandeur dont l'intégrale sur l'ensemble d'un segment peut conduire :
 à la longueur de l'arc :
, où  est un paramétrage de la courbe ;
 au déplacement entre ses deux extrémités (dont le module est la longueur de la corde ) :
.

Déplacement et position 

Contrairement au vecteur position, le vecteur déplacement ne fait pas référence à une origine, mais à un point de départ. La différence entre position et déplacement ne tient qu'au statut du point d'origine : le vecteur déplacement est égal au vecteur position lorsque l'origine est prise par rapport au point de départ ; et inversement, le vecteur position est le déplacement qu'il faut effectuer pour aller de l'origine au point considéré.

Ces deux notions sont liées en cinématique du point : la vitesse se définit comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps, mais la primitive de la vitesse (définie à une origine arbitraire près) ne présente pas d'intérêt, contrairement à l'intégrale de cette vitesse sur un intervalle de temps, qui donne le vecteur déplacement de ce point.

Écriture d'un vecteur

Coordonnées cartésiennes 
En coordonnées cartésiennes (origine  et vecteurs de base ) :

où ,  et  sont les coordonnées du point  dans le repère cartésien.

Coordonnées cylindriques 
En coordonnées cylindriques (origine  et vecteurs de base ) :

Relation avec les coordonnées cartésiennes (orthonormées)
Les coordonnées polaires  et  du point M sont reliées à ses coordonnées cartésiennes planes  et  par :

Les vecteurs de base  et  dépendent de  :

Coordonnées sphériques 
En coordonnées sphériques (origine  et vecteurs de base ) :

Relation avec les coordonnées cartésiennes (orthonormées)
Les coordonnées sphériques ,  et  du point M sont reliées à ses coordonnées cartésiennes planes ,  et  par :
 
 

Les vecteurs de base ,  et  dépendent de  et  :

Notions connexes 
Le vecteur déplacement est défini comme la différence entre les vecteurs positions d'un point à deux instants différents.

La dérivée d'un vecteur position par rapport au temps, donne un vecteur vitesse.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Vitesse
 Accélération

Position
Cinématique