Divergencia (matemática)

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido. Llamado también campo solenoidal.

La divergencia de un campo vectorial 
La divergencia de un campo vectorial  en el punto  se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

donde  es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo  representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas fuentes y las negativas sumideros del campo eléctrico.

Se llaman fuentes escalares del campo  al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de 

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

Coordenadas cartesianas 
En , la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable dado por 

está definido como la función escalar

Coordenadas ortogonales 
Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los  son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas () se reduce a la expresión anterior.

Para coordenadas cilíndricas () resulta:

Para coordenadas esféricas () resulta

Coordenadas generales 
En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor métrico:

Propiedades 
Sean  y  dos campos vectoriales y  entonces

 
Si  y  son dos campos vectoriales en  entonces

En dimensión arbitraria 
La divergencia de un campo vectorial puede ser definido en cualquier dimensión, si  es un campo vectorial en  dado por

entonces

Para cualquier , la divergencia es un operador lineal y satisface

para cualquier función escalar .

Divergencia de un campo tensorial 
El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor T completamente simétrico

Se define como:

Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la forma:

Teorema de la divergencia 
El teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante tanto en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en la mecánica de fluidos.

Teorema 
Sea  una región sólida acotada por una superficie cerrada  orientada por un vector normal unitario que apunta hacia el exterior de , si  es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en  entonces 

donde .

Véase también 
 Rotacional
 Gradiente
 Teorema de la divergencia

Referencias

Enlaces externos 

 Video sobre la interpretación física de la divergencia
 Video sobre la divergencia en cilíndricas y esféricas

Cálculo vectorial