Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение 
Преобразования

 
 
 , где  — число степеней свободы,
 
называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона :
 
 
в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона :
 
 
Переменные  и  называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а  и  — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции 
Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

 
где постоянную  называют валентностью канонического преобразования,  — полный дифференциал некоторой функции  (предполагается, что  и  также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых  называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные  изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных , причём выбор независим для каждого . Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого  одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции  имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты . При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции . Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех  возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:
 
где для простоты введены векторы старых координат и импульсов  , , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа 
Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:
 
кроме того, задано некоторое число , тогда пара  задаёт каноническое преобразование по правилу
 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:
 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:
 
Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа 
Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:
 
кроме того, задано некоторое число , тогда пара  задаёт каноническое преобразование по правилу
 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:
 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Производящая функция 3-го типа 
Пусть  — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:
 
кроме того, задано некоторое число , тогда пара  задаёт каноническое преобразование по правилу
 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:
 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Производящая функция 4-го типа 
Пусть  — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:
 
кроме того, задано некоторое число , тогда пара  задаёт каноническое преобразование по правилу
 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:
 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Примеры 
1. Тождественное преобразование
 
 
 
может быть получено при:
 

2. Если задать
 
то полученное преобразование будет иметь вид:
 
 
 
Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии
 
 
 
может быть получено при:
 

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:
 
тогда
 

В частности, если
 
где  — ортогональная матрица:
 
то
 
 

К точечным преобразования приводит и функция:
 
тогда
 

В частности функция
 
задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных  системы с одной степенью свободы:
 
 
является унивалентным каноническим преобразованием при
 
производящая функция:
 
Такие преобразования образуют специальную линейную группу .

Действие как производящая функция 

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки
 

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа 
Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:
 
 
 

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций  и  условия:
 
где под  и  понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:
 
и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

Литература 
 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
 .
 .

Теоретическая механика
Гамильтонова механика