Тест Вальда

Тест Ва́льда — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом множителей Лагранжа. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объём выборки.

Сущность и процедура теста 
Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу , где  — совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста заключается в том, что если нулевая гипотеза верна, то и выборочный вектор  должен быть в некотором смысле близок к нулю. Предполагается, что оценки параметров хотя бы состоятельны и асимптотически нормальны (таковы, например, оценки метода максимального правдоподобия), то есть

Отсюда, исходя из предельных теорем имеем:

где  — якобиан (матрица первых производных) вектора  в точке .

Тогда

Если выполнена нулевая гипотеза (), то имеем

Это и есть статистика Вальда. Поскольку ковариационная матрица , вообще говоря, на практике неизвестна, то вместо неё используется некоторая её оценка. Также вместо неизвестных истинных значений коэффициентов  используют их оценки . Следовательно на практике мы получаем приблизительное значение , поэтому тест Вальда асимптотический, то есть для правильных выводов нужна большая выборка.

Если эта статистика больше критического значения  при данном уровне значимости , то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу модели без ограничений («длинная модель»). В противном случае ограничения могут иметь место, и лучше построить модель с ограничениями, называемую «короткой моделью».

Необходимо отметить, что тест Вальда чувствителен к способу формулировки нелинейных ограничений. Например, простое ограничение равенства двух коэффициентов можно сформулировать как равенство их отношения единице. Тогда результаты теста теоретически могут быть разными, несмотря на то, что гипотеза одна и та же.

Частные случаи 
Если функции  линейны, то есть проверяется гипотеза следующего вида , где  — некоторая матрица ограничений,  — некоторый вектор, то матрица  в данном случае - это фиксированная матрица . Если речь идёт о классической линейной модели регрессии, то ковариационная матрица оценок коэффициентов равна . Поскольку дисперсия ошибок  неизвестна, то используют либо её состоятельную оценку , либо несмещённую оценку . Следовательно, статистика Вальда тогда имеет вид:

В частном случае, когда матрица ограничений единичная (то есть проверяются равенства коэффициентов некоторым значениям), то формула упрощается:

Если рассматривается только одно линейное ограничение , то статистика Вальда будет равна

В данном случае статистика Вальда оказывается равной квадрату -статистики.

Можно показать, что статистика Вальда для классической линейной модели выражается через суммы квадратов остатков длинной и короткой моделей следующим образом

,

где индекс  относится к длинной модели (long), а  — к короткой (short). Если используется несмещённая оценка дисперсии ошибок, то в формуле вместо  необходимо использовать .

В частности, для проверки значимости регрессии в целом , поэтому получаем следующую формулу для статистики Вальда

где  — коэффициент детерминации.

Взаимосвязь с другими тестами 
Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM) — асимптотически эквивалентные тесты (). Тем не менее для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство . Тем самым тест Вальда будет чаще других тестов отвергать нулевую гипотезу об ограничениях. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая — вообще говоря, нет.

Вместо теста Вальда можно использовать F-тест, статистика которого рассчитывается по формуле:

или ещё проще , если при расчёте статистики Вальда использовалась несмещённая оценка дисперсии. Эта статистика имеет в общем случае асимптотическое распределение Фишера . В случае нормального распределения данных — то и на конечных выборках.

Литература 
 
 

Эконометрика
Статистические критерии