Coefficient binomial de Gauss

En mathématiques, les coefficients binomiaux de Gauss ou coefficients q-binomiaux ou encore q-polynômes de Gauss sont des q -analogues des coefficients binomiaux, introduits par C. F. Gauss en 1808 .  

Le coefficient q-binomial, écrit  ou , est un polynôme en  à coefficients entiers, qui donne, lorsque  est une puissance de nombre premier, le nombre de sous-espaces vectoriels de dimension  d'un espace vectoriel de dimension  sur un corps fini à  éléments.

Définition algébrique 
Les coefficients binomiaux de Gauss sont définis pour  et  entiers naturels et  différent de 1 par : 

Pour , la valeur est 1 car le numérateur et le dénominateur sont tous deux des produits vides.  

Bien que la première formule semble donner une fonction rationnelle en , elle désigne en fait un polynôme en  de degré  (la division est exacte dans ). 

Tous les facteurs au numérateur et au dénominateur sont divisibles par , avec comme quotient le q-analogue : 

.

La division de ces facteurs donne la formule équivalente : 

ce qui met en évidence le fait que la substitution  dans  donne le coefficient binomial ordinaire   

En termes de q-factorielles , la formule peut être écrite comme suit : 
,

forme compacte (souvent donnée comme première définition), qui cache cependant la présence de facteurs communs au numérateur et au dénominateur.  

Cette forme rend évidente la symétrie  pour  . 

Contrairement au coefficient binomial ordinaire, le coefficient binomial de Gauss a une limite finie quand , pour  : 

.

Exemples 

 

La plupart des logiciels de calcul formel ont des fonctions pour calculer les q-binomiaux :
 q_binomial(n, k) dans SageMath
 QBinomial(n,k,q) dans Maple (avec le package QDifferenceEquations)
 QBinomial[n,k,q] dans Mathematica

Relations de récurrence 
Avec les définitions ci-dessus, on montre :
,

Cette égalité est la q-analogue de la formule du pion pour les coefficients binomiaux classiques.

Avec la formule , on déduit les relations q-analogues de la relation de Pascal :

et 
.

Ces relations montrent, par récurrence, que les coefficients q-binomiaux sont bien des polynômes à coefficients entiers en .

q-analogue du triangle de Pascal 
Le triangle des coefficients binomiaux de Gauss, q-analogue du triangle de Pascal, se construit grâce aux relations précédentes :

Pour q =2, il forme la  ; pour les entiers q suivants jusqu'à 24, les numéros des références se succèdent de 1 en 1 ; pour q=-2 :  et suivantes jusqu'à q=-24.

Autres références de l'OEIS concernant le q-triangle de Pascal :

   et  donnant la succession des coefficients des polynômes des colonnes 2 et 4 :  et  .
  donnant les coefficients de la somme de chaque ligne.
  donnant le nombre de facteurs irréductibles de .

Définitions combinatoires

Nombre de combinaisons présentant un nombre d'inversions donné 
Le coefficient binomial ordinaire  compte les k-combinaisons obtenues à partir de  éléments. Si l'on prend ces  éléments comme les différentes positions de caractères dans un mot de longueur , alors chaque k-combinaison correspond à un mot de longueur  utilisant un alphabet de deux lettres, disons  avec  copies de la lettre 0 (indiquant les positions dans la combinaison choisie) et  lettres 1 (pour les positions restantes). 

Pour obtenir de ce modèle le coefficient binomial de Gauss , il suffit de compter chaque mot avec un facteur , où  est le nombre d' "inversions" du mot : le nombre de paires de positions pour lesquelles la position la plus à gauche de la paire contient une lettre 1 et la position la plus à droite contient une lettre 0 dans le mot.  

Par exemple, pour ,   0011 ne présente pas d'inversion, 0101  en présente une (en positions 2 et 3), 0110 et 1001 en présentent deux, 1010 en présente trois et 1100 en présente quatre. Cela correspond aux coefficients du polynôme en  :

D'une façon générale, si  est le nombre de mots binaires de  lettres, contenant  lettres 0, et présentant  inversions, on a : 
. 

On démontre ceci à partir de la relation . 

Une façon visuelle de comprendre cette définition consiste à associer à chaque mot un chemin à travers une grille rectangulaire de côtés de hauteur  et de largeur , du coin inférieur gauche au coin supérieur droit, en faisant un pas à droite pour chaque lettre 0 et un pas vers le haut pour chaque lettre 1. Le nombre d'inversions du mot est alors égal à l'aire de la partie du rectangle qui se trouve sous le chemin.

Dénombrements de rangements de boules dans des urnes ou de partitions d'entiers 
Soit  le nombre de façons de lancer  boules dans  urnes indiscernables pouvant contenir  boules au plus, .  

Pour ,  est donc aussi le nombre de partitions de l'entier  en  parties au plus, chacune des parties étant inférieure ou égale à . 

On montre qu'avec les notations précédentes, . 

Donc  où  désigne le coefficient de  dans le polynôme . 

Notons que par symétrie, .

Nombre de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fini 
Lorsque  est une puissance de nombre premier, le nombre de sous-espaces vectoriels de dimension  d'un espace vectoriel de dimension  sur un corps fini à  éléments est .

Donc le nombre de sous-espaces projectifs de dimension  d'un espace projectif de dimension  sur un corps fini à  éléments est .

Parties à k éléments de {1,2,..,n} 
Posons  et pour une partie , notons  sa somme ; alors:
.

q-analogue de la formule du binôme 
Pour a et b réels ou complexes, on montre la formule q-analogue de la formule du binôme :
, dénommée "formule du binôme de Gauss"  .

On en déduit, pour , le développement du produit infini  :  (première identité d'Euler).

Par exemple, pour , , on obtient , voir .

Il existe aussi une formule q-analogue de la formule du binôme négatif, dénommée "formule du binôme de Heine"  :
 pour .

dont on déduit :
 pour  et  (deuxième identité d'Euler).

Par exemple, pour , on obtient , voir .

Autres relations entre coefficients q-binomiaux

q-analogue de la sommation en colonne 
Par application du q-analogue de relation de Pascal, on obtient le q-analogue de la formule d'itération de Pascal :

q-analogue de l'identité de Vandermonde 

Le q-analogue de l'identité de Vandermonde est
.

Sommation alternée d'une ligne 
Pour une ligne paire  : 

Pour une ligne impaire  (évident par la propriété de symétrie) :

Étoile de David 
D'après leur définition algébrique, les coefficients binomiaux de Gauss vérifient le théorème de l'étoile de David, deuxième énoncé.

Voir aussi 

 q-analogie
q-symbole de Pochhammer
 Espaces vectoriels finis
Coefficients fibonomiaux

Références 

Coefficient binomial