Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости

Замощения евклидовой плоскости выпуклыми правильными многоугольниками широко использовался ещё с античных времён. Первое систематическое изложение было сделано  Кеплером в его книге Harmonices Mundi (Гармония мира, на латинском, 1619).

Правильные мозаики 
Согласно Грюнбауму и , говорят, что мозаика правильная, если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно смежных вершин, рёбер и плиток мозаики. Это означает, что для любой пары флагов существует операция симметрии, переводящая первый флаг во второй. Это эквивалентно мозаике соединённых ребро-к-ребру конгруэнтных правильных многоугольников. Должно быть шесть правильных треугольников, четыре квадрата или три правильных шестиугольника в каждой вершине, откуда получаем три правильных замощения.

Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики 

Вершинная транзитивность означает, что для любой пары вершин существует симметрия (параллельный перенос также включается в симметрии), отображающая первую вершину во вторую .

Если требование транзитивности флагов ослаблено до транзитивности вершин, но условие соединения плиток ребро-к-ребру сохраняется, существует восемь дополнительных мозаик, которые известны как архимедовы, однородные, или полуправильные.  Заметим, что существует две зеркальные (энантиоморфные или хиральные) формы 34.6 (плосконосых шестиугольных) мозаик и обе показаны в таблице ниже. Все остальные правильные и полуправильные мозаики ахиральны.

Грюнбаум и Шепард эти мозаики называют архимедовыми, как указание на локальность свойства расположения плиток вокруг вершин, для отличия от однородных, для которых вершинная транзитивность является глобальным свойством. Хотя на плоскости этими двумя свойствами обладают все мозаики, в других пространствах существуют архимедовы мозаики, не являющиеся однородными.

k-однородные мозаики 

Такие периодические мозаики можно классифицировать числом орбит вершин, рёбер и плиток.  Если существует  орбит вершин, мозаика считается -однородной или -изогональной (равноугольной). Если существует  орбит плиток, мозаика считается -изоэдральной. Если существует  орбит рёбер, мозаика считается -изотоксальной (рёберно-транзитивный).

k-однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами можно далее идентифицировать их симметрией группы обоев.

1-однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных с 2 или более видами правильных многоугольных граней. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаик, 151 4-однородных мозаик, 332 5-однородных мозаик и 673 6-однородных мозаик. Все мозаики можно сгруппировать числом m различных фигур, которые называются m-архимедовыми мозаиками

Другие типы вершин в мозаик евклидовой плоскости 
Для евклидовых мозаик с соединением ребро-к-ребру внутренние углы многоугольников должны в сумме давать 360º. Правильный -угольник имеет внутренний угол  . Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, сумма внутренних углов которых равна 360º, каждая из которых называется видом вершины. В четырёх случаях существует два различных циклических порядка многоугольников, дающие двадцать один вид вершин.

Только одиннадцать из них могут появиться в однородной мозаике правильных многоугольников, приведённых в предыдущих разделах.

В частности, если три многоугольника встречаются в вершине и один имеет нечётное число сторон, два других многоугольника должны быть теми же самыми. В противном случае они должны поочерёдно окружать первый многоугольник, что невозможно при нечётной стороне сторон. Согласно этим ограничениям следующие шесть вариантов не могут присутствовать в какой-либо мозаике правильных многоугольников:

Эти четыре могут быть использованы в k-однородных мозаик:

Разрезанные правильные многоугольники 
Некоторые из k-однородных мозаик могут быть получены с помощью симметричного разрезания плитки мозаики внутренними рёбрами, например:

Некоторые k-однородные многоугольники могут быть получены разрезанием правильных многоугольников с новыми вершинами на исходных рёбрах, например:

2-однородные мозаики 
Существует двадцать 2-однородных мозаик евклидовой плоскости (называемых также 2-изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками) .

3-однородные мозаики 
Существует 61 3-однородная мозаика евклидовой плоскости. 39 являются 3-архимедовыми с 3 различными видами вершин, а 22 имеет 2 одинаковые виды вершин в различных орбитах симметрии.

3-однородные мозаики, 3 вида вершин

3-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:1)

4-однородные мозаики 
Существует 151 4-однородная мозаика евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха (Brian Galebach) воспроизвели список Кротенхирдта (Krotenheerdt) из 33 4-однородных мозаик с 4 различными видами вершин, 85 мозаик с 3 видами вершин и 33 мозаики с 2 видами вершин.

4-однородные мозаики, 4 вида вершин 
Существует 34 мозаики с 4 видами вершин.

4-однородные мозаики, 3 вида вершин (2:1:1) 
Существует 85 мозаик с 3 видами вершин.

4-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:2) и (3:1) 
Существует 33 мозаики с 2 видами вершин, 12 с отношением типов плиток 2:2 и 21 с отношением (3:1).

5-однородные мозаики 
Существует 332 5-однородные мозаики евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха дали 332 5-однородных мозаик с числом видов вершин от 2 до 5. Существует 74 мозаики с 2 видами вершин, 149 мозаик с 3 видами вершин, 94 мозаики с 4 видами вершин и 15 с 5 видами вершин.

5-однородные мозаики, 5 типов вершин 
Существует 15 5-однородных мозаик с 5 видами вершинных фигур.

5-однородные мозаики, 4 типов вершин (2:1:1:1) 
Существует 94 5-однородные мозаики с 4 видами вершин.

5-однородные мозаики, 3 типа вершин (3:1:1) и (2:2:1) 
Существует 149 5-однородных мозаик с тремя видами вершин, из них у 60 виды вершин находятся в отношении 3:1:1 и 89 имеют отношение 2:2:1.

5-однородные мозаики, 2 типа вершин (4:1) и (3:2) 
Существует 74 5-однородные мозаики с 2 видами вершин, 27 мозаик с отношением 4:1 и 47 с отношением 3:2 каждого вида вершин.

Существует 29 5-однородных мозаик с отношением видов вершин 3:2.

k-однородные мозаики более высокого порядка 
k-однородные мозаики перечислены вплоть до 6. Существует 673 6-однородные мозаики евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха воспроизвели список Кротенхирдта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными видами вершин, 92 с 5 видами, 187 с 4 видами, 284 с 3 видами и 100 с 2 видами вершин.

Мозаики плиток, не соединённых ребро-к-ребру 
Выпуклые правильные многоугольники могут образовывать мозаики плоскости, когда соединение многоугольников не осуществляется ребро-к-ребру. Такие мозаики можно считать мозаиками с соединением ребро-к-ребру, но многоугольники будут неправильными и имеющими рёбра, лежащие на одной прямой.

Существует семь семейств с параметром, определяющим коэффициент наложения рёбер смежных плиток или отношение длин рёбер различных плиток. Два этих семейства образуются сдвигом квадратов, постоянным или зигзагообразным. Грюнбаум и Шепард называет эти мозаики однородными, хотя это противоречит определению однородности Коксетером, которое требует соединение ребро-к-ребру. Такие равноугольные мозаики, фактически, топологически идентичны однородным мозаикам с различными геометрическими пропорциями.

См. также 
 Однородные мозаики на гиперболической плоскости
 
 
 Замощение
 Группа обоев
 Платоновы тела
 Полуправильный многогранник (включая Архимедовы тела)
 Геометрия Лобачевского
 Мозаика Пенроуза

Примечания 

 
 
 
 
 
 
  Reprint 1969 London ISBN=9-780-500-34033-2
  Глава X: The Regular Polytopes

Ссылки 
Euclidean and general tiling links:
 
 
 
 
 

Планиметрия
Правильные мозаики