Entier transposable

Les chiffres de certains entiers spécifiques permutent ou se décalent circulairement quand ils sont multipliés par un nombre n. Voici quelques exemples:
 142857 × 3 = 428571 (décalage circulaire d'un chiffre à gauche)
 142857 × 5 = 714285 (décalage circulaire d'un chiffre à droite)
 128205 × 4 = 512820 (décalage circulaire d'un chiffre à droite)
 076923 × 9 = 692307 (décalage circulaire de deux chiffres à gauche)
Ces entiers spécifiques, appelés entiers transposables sont parfois des nombres cycliques. On peut caractériser ces nombres en utilisant des développements décimaux périodiques (et donc les fractions liées), ou directement.

Généralités 
Pour tout entier premier avec 10, son inverse est un nombre décimal répétitif sans chiffres non récurrents. Par ex.  = 0,006993006993006993...

L'intention de l'expression ci-dessus est de montrer que les permutations circulaires des six chiffres 006993 peuvent être obtenues à partir de cette décimale récurrente.

Cela montre que les permutations circulaires sont en quelque sorte liées aux décimales répétitives et à leurs fractions correspondantes.

Le plus grand commun diviseur (pgcd) entre toute permutation circulaire d'un nombre entier à m chiffres et 10 − 1 est constant, ce qui s'exprime formellement par :
 
où N est un entier à m-chiffres et N est un permuté circulaire quelconque de N.

Par exemple,
   pgcd(091575, 999999) = pgcd(3 × 5 × 11 × 37, 3 × 7 × 11 × 13 × 37)
                        = 3663
                        = pgcd(915750, 999999)
                        = pgcd(157509, 999999)
                        = pgcd(575091, 999999)
                        = pgcd(750915, 999999)
                        = pgcd(509157, 999999)
Si N est un entier à m-chiffres, le nombre N, obtenu en permutant cycliquement N à gauche, peut être obtenu depuis:
 
où d est le premier chiffre N et m est le nombre de chiffres de N.

Ceci explique le pgcd commun au-dessus, et le phénomène est vrai dans toute base si 10 est remplacé par la base b.

Les permutations cycliques sont donc liées aux développement décimaux périodiques, leurs fractions correspondantes, et les diviseurs de 10−1. Par exemple les fractions liées aux permutations cycliques ci-dessus sont donc:
 , , , , , et .
Réduits, ils sont égaux à:
 , , , , , et .
Autrement dit, ces fractions lorsque exprimées en fractions irréductibles, ont le même dénominateur. Ceci est vrai pour les permutations cycliques de nombre entier quelconque.

Procédé

Multiplicateur entier 
Un multiplicateur entier se réfère au multiplicateur n étant un entier :
 Un entier X se décale à droite de manière cyclique de k positions lorsqu'il est multiplié par un entier n. X est alors les chiffres répétés de , où F est F = n × 10 − 1 (F est premier avec 10),  est un facteur de F; excluant toutes valeurs de F qui ne sont pas plus de n.
 Un entier X se décale à gauche de manière cyclique de k positions lorsqu'il est multiplié par un entier n. X est alors les chiffres répétés de , où F est F = 10 - n, est un facteur de F; excluant toutes valeurs de F qui ne sont pas plus de n et qui ne sont pas premier avec 10.

Dans ces deux cas, les multiples de X, à savoir (j X) sont également des solutions, à condition que le nombre entier i satisfait la condition  < 1. Le plus souvent, il convient de choisir le plus petit F qui correspond aux conditions ci-dessus.
Les solutions peuvent être exprimées par la formule:
 
 où p est une longueur de la période  et F est un facteur de F premier avec 10.
 
Pour exclure des nombres entiers qui commencent avec des zéros à partir des solutions, sélectionnez un nombre entier j tel que  > , c'est-à-dire j > .

Il n'existe aucune solution quand n > F.

Multiplicateur fractionnel 
Un entier X se décale à droite de manière cyclique de k positions lorsqu'il est multiplié par une fraction . X est alors les chiffres répétés de , où F est F = s × 10 - n, ou une fraction de F; et F doit être premier avec 10.

Pour ce troisième cas, les multiples de X, à savoir (j X) sont encore des solutions, mais à la condition de satisfaire pour un entier j que  < 1. Encore une fois, il convient d'utiliser le plus petit F qui correspond aux conditions ci-dessus.

Les solutions peuvent être exprimées par la formule :
 
 où p est défini également; et F est premier avec 10 par le même procédé que précédemment.
Pour exclure des nombres entiers qui commencent avec des zéros à partir des solutions, sélectionnez un nombre entier j tel que  > , c'est-à-dire j > .

Si  > 1, alors il n'existe aucune solution.

Permutation circulaire par multiplication 
Une longue division de 1 par 7 donne :
         0,142857...
     7 ) 1,000000
         0,7
           3
           28
            2
            14
             6
             56
              4
              35
               5
               49
                1
Lors de la dernière étape, le 1 réapparaît comme le reste. Les restes cycliques sont {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Nous réécrivons les quotients avec les dividendes/restes correspondants à toutes les étapes :
     Dividendes/Restes      1 3 2 6 4 5
     Quotients              1 4 2 8 5 7
et notez aussi que:
  = 0,142857...
  = 0,428571...
  = 0,285714...
  = 0,857142...
  = 0,571428...
  = 0,714285...
En observant les restes de chaque étape, on peut ainsi effectuer une permutation circulaire souhaitée par la multiplication. Par exemple :
le nombre entier 142857, correspondant au reste 1, permute à 428571 lorsqu'il est multiplié par 3, le reste correspondant de celui-ci ;
le nombre entier 142857, correspondant au reste 1, permute à 857142 lorsqu'il est multiplié par 6, le reste correspondant de celui-ci.
De cette manière, le décalage cyclique à gauche ou à droite d'un nombre quelconque de positions peut être effectuée.

Décalage circulaire à droite 
Un nombre entier X se décale circulairement de deux rangs vers la droite lorsqu'il est multiplié par un entier n. X est alors le développement décimal périodique de , où  ou un facteur de celui-ci, mais à l'exception des valeurs pour lesquelles  a une longueur de période divisant 2 ; et  doit être premier avec 10.

Résumé des résultats 
La multiplication suivante déplace circulairement les deux derniers chiffres de chaque entier :

Notez que :
 299 = 13 × 23, et la période de  est déterminée avec précision par la formule, PPCM(6, 22) = 66 ;
 399 = 3 × 7 × 19, et la période de  est déterminée avec précision par la formule, PPCM(1, 6, 18) = 18.
Il existe bien d'autres possibilités.

Décalage circulaire à gauche 
Un nombre entier X se décale circulairement de deux rangs vers la gauche lorsqu'il est multiplié par un entier n. X est alors le développement décimale périodique de , où  est > = 10 - n, ou un facteur de  ; à l'exception des valeurs de  pour lesquelles  a une longueur de période divisant 2 et F doit être premier avec 10.

Résumé des résultats 
Voici un résumé des résultats obtenus de cette manière :

Autres bases 
Dans le système duodécimal, les entiers transposables sont (en utilisant les deux et trois inversés pour dix et onze, respectivement) :

Bibliographie 
 P. Yiu, Recreational Mathematics, chap.18.1 et 18.2« (k-right-transposable integers, k-left-transposable integers), p. 168-360
 C. A. Pickover, Wonders of Numbers, Oxford University Press, 2000, chap. 28
Suite  de l'OEIS : 
 Marin Gardner, Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American, New York, MAA, 1979, p. 111-122
 Dan Kalman, « Fractions with cycling digit patterns », , vol. 27, , 1996, p. 109-115
 John Leslie, The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ...., Longman, Hurst, Rees, Orme, et Brown, 1820 
 David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Press 

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