Fractale du mot de Fibonacci

La fractale du mot de Fibonacci est une courbe plane fractale définie à partir du mot de Fibonacci.

Définition 

Cette courbe se construit itérativement en appliquant au mot de Fibonacci : 0100101001001... la règle OEDR (Odd-Even Drawing Rule).
Pour chaque chiffre en position k :
 si le chiffre est 1 : tracer un segment de longueur 1 dans la direction précédente
 si le chiffre est 0, tracer un segment de longueur 1 après avoir fait un quart de tour:
 à droite si k est pair
 à gauche si k est impair
À un mot de Fibonacci de longueur  où  est le n-ième nombre de Fibonacci, est donc associée une courbe formée de  segments. La courbe se présente sous trois aspects différents suivant que n est de la forme 3k, 3k+1, ou 3k+2.

Propriétés 
Propriétés.

 La courbe , à  segments, présente  angles droits et  angles plats.
 La courbe ne présente jamais d'auto-intersection, ni de points doubles. À la limite, elle présente une infinité de points asymptotiquement proches.
 La courbe présente des autosimilarités à toutes les échelles. Le facteur de réduction vaut . Ce nombre, appelé également nombre d'argent , est présent dans nombre des propriétés géométriques évoquées ci-dessous.
 Le nombre de copies autosimilaires au degré n est un nombre de Fibonacci moins 1 (plus précisément : ).
 La courbe délimite une infinité de structures carrées de taille décroissante, dans un rapport de .
 Ce nombre de carrés est un nombre de Fibonacci.
 La courbe peut également être construite de diverses manières (voir galerie) :
 système de fonctions itérées à 4 et 1 homothéties de rapport  et  ;
 juxtaposition des courbes n – 1 et n – 2 ;
 système de Lindermayer ;
 construction itérée de 8 motifs carrés autour de chaque motif carré ;
 construction itérée d'octogones.
 La dimension de Hausdorff de la courbe vaut , avec , le nombre d'or.
 En généralisant à un angle  quelconque entre 0 et , sa dimension de Hausdorff vaut , avec .
 La dimension de Hausdorff de sa frontière vaut .
 Interchanger le rôle de "0" et de "1" dans le mot de Fibonacci, ou dans la règle, génère la même courbe, mais orientée à 45°.
 À partir du mot de Fibonacci, on peut définir le « mot dense de Fibonacci », sur un alphabet de 3 lettres : 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (). L'application, sur ce mot, d'une règle de traçage « naturelle » permet de définir un ensemble infini de variantes de la courbe, parmi lesquelles :
 la variante « diagonale » ;
 la variante « svastika » ;
 la variante « compacte ».
 On conjecture que le motif de la fractale du mot de Fibonacci se retrouve pour tout mot sturmien dont la séquence directive (donc expansion de la pente en fractions continues) se termine par une suite infinie de "1".

Galerie

Tuile de Fibonacci 

La juxtaposition de 4 courbes de Fibonacci de type  permet la construction d'une courbe fermée délimitant une surface connexe d'aire non nulle. Cette figure est appelée "tuile de Fibonacci".

 La tuile de Fibonacci pave presque le plan. La juxtaposition de 4 tuiles (voir illustration) laisse au centre un carré libre dont la surface tend vers zéro à mesure que k tend vers l'infini. À la limite, la tuile de Fibonacci pave le plan.
 Si la tuile de Fibonacci s'inscrit dans un carré de côté 1, alors son aire tend vers .

Flocon de Fibonacci 
Le flocon de Fibonacci est une tuile de Fibonacci définie selon la règle suivante :
  si  ;
  sinon.
Avec  et , "tourne à gauche" et "tourne à droite", et ,

Quelques propriétés remarquables :
 C'est la tuile de Fibonacci associée à la variante "diagonale" définie précédemment.
 Il pave le plan à toute itération (à tout ordre)
 Il pave le plan par translation de deux façons différentes, il s'agit donc d'un double pseudo-carré.
 son périmètre, à l'ordre , vaut .
 son aire, à l'ordre , suit les index successifs de rang impair de la suite de Pell (définie par ,  et ).

Notes et références

Voir aussi

Article connexe 
Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Lien externe 
 S. Brlek, Combinatorial aspects of double squares,  (support de conférence, avec A. Blondin-Massé et S. Labbé)

Fractale