Nombre de Kostka

En mathématiques, le nombre de Kostka , paramétré par deux partition d'un entier  et , est un entier naturel qui est égal au nombre de tableaux de Young semi-standard de forme  et de poids .  Ils ont été introduits par le mathématicien Carl Kostka dans ses études des fonctions symétriques.

Par exemple, si  et , le nombre de Kostka  compte le nombre de manières de remplir une collection de 5 cellules alignée à gauche, avec 3 cellules dans la première ligne et 2 dans la seconde, et contenant une fois les entiers 1 et 2, deux fois l'entier 3 et une fois l'entier 4. De plus, les entiers doivent être strictement croissants en colonne, et faiblement croissants en ligne. Les trois tableaux possibles sont montrés sur la figure, et on a donc .

Exemples et cas particuliers 

Pour toute partition  , le nombre de Kostka  est égal à 1 : c'est l'unique manière de remplir le diagramme de Young de forme  avec  exemplaires du nombre 1,  exemplaires de 2, etc, tout en respectant les conditions de croissance sur les lignes et les colonnes : tous les 1 sont placés dans la première ligne, les 2 dans la deuxième ligne, etc. Un tel tableau est parfois appelé le tableau de Yamanouchi de forme . 

Le nombre de Kostka  est positif ou, en d'autres termes, il existe au moins un tableau de Young de forme  et de poids  si et seulement si  et  sont toutes deux des partitions d'un même entier, et si  est plus grande que   dans l'ordre de domination, c'est-à-dire si  pour tout .

Il n'existe en général pas de formules closes pour les nombres de Kostka. Quelques cas particuliers sont connus. Par exemple, si , alors un tableau de Young semi-standard de ce poids  est un tableau de Young standard, et le nombre de tableaux de Young standard de forme  est donnée par la  des tableaux de Young.

Nombres de Kostka et fonctions symétriques 

En plus de la définition purement combinatoire donnée ci-dessus, les nombres de Kostka peuvent également être définis comme les coefficients dans l'expression d'un  polynôme de Schur  comme combinaison linéaire de fonctions symétriques monomiales . Ces fonctions sont définies, pour une partition donnée , par :

où la sommation est sur toutes les permutations  des entiers de 1 à .

L'expression est alors : 

 

Exemple 

Les nombres de Kostka pour les sept partitions en au plus trois termes sont :
 . Ici  dénote la partition vide.
 
 
 
 
 
 

Ces valeurs sont les coefficients des développements des polynômes de Schur dans la base des fonctions symétriques monomiales : 

 (l'indice est la partition vide)

Kostka donne les tables de ces nombres pour les partitions d'entiers inférieurs ou égaux à 8.

Nombres de Kostka et théorie des représentations 

Les liens entre la théorie des fonctions symétriques et la théorie des représentations montrent que les nombres de Kostka expriment également la décomposition du module  en termes des représentations  correspondant aux caractères de , c'est-à-dire que

 

Quant aux représentations du groupe général linéaire , le nombre de Kostka  compte la dimension de l' correspondant à  dans la représentation irréductible  (ici  et  sont supposées avoir au moins  termes).

Généralisations 
Les nombres de Kostka sont des valeurs particulières des  en une ou deux variables :

Notes

Bibliographie 

 

,

Source de la traduction 

Combinatoire algébrique
Kostka