Конформное отображение

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Определение 

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным ( — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения 
 Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
 Две метрики  на гладком многообразии  называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция  такая что . В этом случае функция  называется конформным фактором .

Свойства 

 Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
 Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
 Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
 Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства  при  можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
 Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если  и  — конформноэквивалентные метрические тензоры, то 

где  и  обозначают тензоры Вейля для  и  соответственно.
 Для конформно-эквивалентых метрик 
 Связности связаны следующей формулой:

 Кривизны связаны следующей формулой:

 
если  а  обозначает Гессиан функции .
В двумерном случае , поэтому формулу можно записать как 

где  обозначает лапласиан по отношению к .
 Для ортонормированной пары векторов  и , секционную кривизну в направленнии  можно записать в следующем виде:

 где .
 При вычислении скалярной кривизны -мерного риманова многообразия при , удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае:

Линейный оператор  называется конформным лапласианом.

Примеры 

 Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
 Инверсия — конформное отображение второго рода;
 Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
 Стереографическая проекция.

История 
Исследованием конформных отображений занимались , , , , , , , М. А. Лаврентьев.

Применение 
Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература 
 Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
 
 Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
 Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
 
 Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
 Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в  // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.

См. также 
 Условия Коши — Римана
 Теорема Римана об отображении
 Теорема Шварца — Кристоффеля
 Диффеоморфизм
 Принцип соответствия границ

Ссылки 
 Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.

Типы функций
Комплексный анализ
Риманова (и псевдориманова) геометрия