Абелева категория

Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Определение 
Предаддитивная категория является абелевой, если:
 в ней существует нулевой объект,
 существуют все бинарные произведения и копроизведения,
 существуют все ядра и коядра,
 все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Это определение эквивалентно следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.

Примеры 
 Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
 Если  — кольцо, то категория левых (или правых) модулей над  абелева. Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
 Если  — кольцо, нётеровое слева, то категория конечнопорождённых левых -модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
 Если  — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на  абелева.

Аксиомы Гротендика
В статье Sur quelques points d’algèbre homologique Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории .
 AB3) Для любого множества объектов  категории  существует копроизведение . Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории .
 AB4)  удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
 AB5)  удовлетворяет аксиоме AB3) и  точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки  подобъектов объекта  и любого  — подобъекта объекта  верно, что 

Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):
 AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
 AB2) Для любого морфизма  канонический морфизм из  в  является изоморфизмом. (Здесь ).

Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.

История 
Понятие абелевой категории было предложено  в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.

Примечания

Литература 
 
 
 
 

Теория категорий
Гомологическая алгебра