Art et mathématiques

Art et mathématiques sont souvent associés dans le cadre d'analogie platonicienne sur la beauté et la vérité. Les prémisses de cette question convoquent souvent le nombre d'or.
Mais si l'on souhaite comprendre le rôle des mathématiques dans l'histoire de l'art et dans les révolutions esthétiques contemporaines, il est plus efficace de s'interroger sur les formes, la façon dont elles apparaissent et sont perçues. L'art et les mathématiques produisent de nombreux axes de convergences tant au niveau de l'intérêt que les mathématiciens et les artistes se portent mutuellement mais aussi autour des usages et des processus. De nombreux projets esthétiques contemporains relèvent de pratiques mathématiques plus ou moins apparentes, mais toutes témoignent d'une étendue surprenante de la culture mathématique. De la question de la beauté et de l'harmonie aux questions de morphologies ou de structures, les mathématiques offrent de nombreux outils pour investiguer dans la complexité du réel, de ses représentations, mais aussi sur la capacité à inventer des structures, des formes et des processus.

Sujets mathématiques que l'on retrouve dans les pratiques artistiques 

Parmi les exemples les plus souvent cités de lien entre l'art et les mathématiques peuvent être citées le nombre d'or, et la perspective.

Le nombre d'or est une constante mathématique mise à l'honneur dans les compositions de sculpture et de peinture, dans l'art de la Renaissance. Ce nombre d'or était considéré comme la règle pour obtenir une proportion harmonique satisfaisant le goût de l'observateur.

Les peintures de perspective de Brunelleschi sont perdues, mais la peinture de Masaccio de la Sainte Trinité montre les principes de la perspective et des proportions.

Artistes travaillant comme des mathématiciens

Dispositif, symétrie, jeux de mots et mathématiques 

François Morellet s'est constamment inspiré des mathématiques et de la géométrie dans son œuvre.  Citation de son site internet :  Les œuvres de François Morellet sont exécutés d’après un système : chaque choix est défini par un principe établi par avance. Il veut par là donner l’impression de contrôler la création artistique tout en laissant une part de hasard, ce qui donne un tableau imprévisible. Il utilise des formes simples, un petit nombre de couleurs en aplats, et des compositions élémentaires (juxtaposition, superposition, hasard, interférence, fragmentation). Il crée ainsi ses premières » trames », des réseaux de lignes parallèles noires superposées selon un ordre déterminé qui recouvrent toute la surface des tableaux. Ces systèmes rappellent les structures proposées par l’Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) et décrites par Raymond Queneau : « Quel est le but de nos travaux ? Proposer aux écrivains de nouvelles « structures », de nature mathématique, ou bien encore inventer de nouveaux procédés artificiels ou mécaniques, contribuant à l’activité littéraire ». Par la suite, François Morellet va continuer à utiliser des systèmes basés sur un univers mathématique.

Nœuds, graphes et entrelacs 
Michel Serres dans son livre Les Origines de la Géométrie explique que le premier acte mathématique fut l'entrelacs du tissage. On explique l'apparition des mathématiques par les premiers actes cadastraux en Mésopotamie ou bien la nécessité du décompte administratif, des provisions alimentaire et du cheptel. L'archéologie montre que l'entrelacs est très antérieur à l'écriture, les structures tissées jouant avec les nœuds et entrelacs semblent liées aux capacités manuelles et une intuition physique de la structure et de la force des matériaux. C'est ainsi que Michel Serres montre que le premier acte mathématique est issu de notre capacité à manipuler des matériaux et de les convertir en objets utilitaires (panier, tissus, filets, etc.).

La fabrication de l'entrelacs provoque une fascination et développe des questions théoriques qui basculent le jeu de construction en un acte formel. Léonard de Vinci a joué avec les entrelacs, par exemple dans le Codex Vallardi acquis par le Louvre en 1856.

Intuitions fractales 

L'espace peint par Jackson Pollock était inédit dans l'histoire de l'art, jamais on n'avait pu voir des fractales en peintures. Poursuivant à ses débuts une démarche moderne de peintre calquée sur celle de Pablo Picasso, il s'en est progressivement éloigné avec son désir de créer un espace pictural proprement nord américain, sur l'inspiration des idées de Carl Jung sur les mythes et psychologies collectives, Jackson Pollock a eu l'intuition de la complexité scalaire liée au paysage nord américain. Loin de travailler sur les concepts mathématiques sous-jacents des fractals énoncés alors par Georg Cantor, Henri Poincaré. L'intuition de l'artiste le porte au seuil d'une conception inédite de l'espace. Ce travail est mené avec rigueur et ses œuvres sont empreintes de l'intuition d'un espace aux échelles récurrentes. Si bien que les mathématiciens travaillant sur ses espaces trouvent des récurrences et des structures. 

Katherine Jones-Smith, Harsh Mathur, and Lawrence M. Krauss 2008 

Drip paintings and fractal analysis

Topologies fantaisistes et morphologie 

Comment comprendre les transformations topologiques dans les personnages de dessins animés ? Semblables aux créatures composites des œuvres de Joan Miró, les dessins animés nous donnent à observer une faune étrange plastique et transformable de façon continue ou parfois discontinue. Les personnages sont parfois coupés pour se reconstituer expérimentant ainsi les règles de la topologie.

Vector Graphics Animation with Time-Varying Topology Boris Dalstein, Rémi Ronfard, Michiel van de Panne, ACM SIGGRAPH 2015

Logique et paradoxe

Espaces à plus de trois dimensions, géométries non euclidiennes 

Au , les œuvres de Gauss, Lobatechevski et Bernhard Riemann popularisent l'idée de dimensions spatiales et de géométries exotiques. Albert Einstein, en développant la théorie de la relativité, offre au public cultivé de nouveaux paradigmes d'observation dont certains artistes se saisissent afin de trouver d'autres modes de représentation, l'idée d'espace-temps est fertile et les jeunes Braque et Picasso entendent parler d'un espace qui ne serait plus euclidien mais sphérique ou hyperbolique. Cela provoque l'imagination et offre de nouveaux modes de description que l'on va retrouver dans le nu descendant l'escalier de Marcel Duchamp et dans les œuvres fondatrices de Braque et Picasso du cubisme analytique réalisé au Bateau Lavoir durant la première décennie du . Cette conception de l'espace va s'incarner dans l'œuvre fondamentale de l'histoire de l'art au  "les demoiselles d'Avignon".

Mathématiciens comme artistes 
Grothendieck : Cohomologie étale et esthétique, 
La Renaissance et la proportion dorée.
Marcel Berger : Topologie différentielle
Caroline Jullien : esthétique et mathématique, Projet Rhemat
René Thom, Catastrophes et morphogénèses
Du mathématicien, esthète de l'énonciation.
Jean-Michel Morel et Luis Alvarez

Architectures et mathématiques 
L'architecture non standard est née des possibilités techniques offertes par les outils informatiques récents, les logiciels d'images de synthèse 3ds Max, Rhino et son plugins Grasshopper permettent de procéduraliser la morphogénèse en design et en architecture. La ligne de production entre la conception et la fabrication ont permis de personnaliser les éléments, libérant ainsi l'écriture architecturale et lui permettant de se rapprocher de la sculpture et du dessin, mais aussi permettant l'élaboration de formes complexes dont le schéma est rigoureusement documenté et dont la réalisation se fait dans une suite d'opérations industrielles simplifiées par les machines-outils. En 1969, l'ingénieur Pierre Bézier développe chez Renault  afin de concevoir la carrosserie de la Renault 16. Cette innovation ouvre les possibilités aux designers de manipuler les courbes elliptiques sur de grandes échelles. Auparavant ces techniques étaient empiriques, basées sur l'expérience des chaudronniers qui formaient les coques de bateaux ou structures d'avions.
Utilisation des courbes de Bézier dans le design/bio-design.

Beauté et esthétisme pour les mathématiques 

La beauté mathématique est un sentiment de beauté que certaines personnes ressentent face aux mathématiques. À l'inverse, la beauté et l'art, comme moyens d'atteindre à la vérité, peuvent donner une force nouvelle aux idées et les répandre. C'est ce dont témoignent certaines séries d’œuvres d'art inspirées par des récentes découvertes en physique mathématique, par exemple celle de Daniel Bernard (DCB) à l'Institut Polytechnique (Palaiseau/Paris).

Annexes

Bibliographie

En français 
 Marcel Berger , Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob, Cassini,  « Nouvelle bibliothèque mathématique », 2009 
 Michel Serres Les origines de la géométrie, Date de parution mai 201, Collection Champs Sciences, numéro 331 , Format 11cm x 18cm 
 René Thom, Local et global dans l'œuvre d'art, la passion des formes, (à René Thom), ouvrage 1&2 collectionTheoria, ENS éditions, Fontenay Saint Cloud, ouvrage collectif sous la direction de Michel Porte, 1994  vue Le Débat, , mars 1983 
Vocabulaire de géométrie pour l'architecture Ontologies pour modèles de synthèse, Pascal Terracol, Paris : Presse des Ponts, 2017 
 Expériences de topologie, Stephen Barr, collection Lysimaque, Diffusion Belin 
 Figures de l'infini, Tony Levy, éditions du Seuil, 1987 
 Frédéric Migayrou, Architectures non standard, Éditions du Centre Pompidou, 3 décembre 2003

En anglais 
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Articles connexes 
 Algoriste
 Suite de Fibonacci
 Iannis Xenakis

Notes et références 

Mathématiques dans l'art et la culture