Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.

Конечные разности 

Производная функции  в точке   определяется с помощью предела:

В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции , в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции  с некоторым достаточно малым шагом . Например, выражение

приближает производную функции  в точке  с точностью до величины, пропорциональной . Использование выражения

позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной .

Конечными разностями можно также приближать производные высших порядков.

Интерполяция 
Если известны значения функции  в некоторых узлах , то можно построить интерполяционный полином  (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.

Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член , называемый погрешностью численного дифференцирования:

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина  входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.

Далее приводятся несколько формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой  и второй  производных для равноотстоящих узлов с постоянным шагом , полученных с использованием формулы Лагранжа:
  (два узла):
 
 

  (три узла):
 
 
 

  (три узла):
 
 
 

  (четыре узла):
 
 
 
 

Здесь , , а  — некоторая промежуточная точка между наибольшим и наименьшим из узлов.

В общем случае коэффициенты формул численного дифференцирования можно вычислить для произвольной сетки узлов и любого порядка производной.

Неустранимая погрешность
В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом  значения функции  делятся на , где  — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом  неустранимые погрешности в значениях функции  оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага , так как погрешность собственно метода стремится к нулю при , а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифференцировании, может неограниченно возрастать при . Поэтому задача численного дифференцирования считается некорректно поставленной.

Комплексные числа 
Классические приближения конечными разностями содержат неустранимую погрешность и являются плохо обусловленными. Однако, если функция  является голоморфной, принимает вещественные значения на вещественной прямой и может быть оценена в любой окрестности любой вещественной точки комплексной плоскости, то её производная может быть вычислена устойчивыми методами. Например, первую производную можно сосчитать по формуле с комплексным шагом:

где  — мнимая единица. Эту формулу можно получить из следующего разложения в ряд Тейлора:

В общем случае производные произвольного порядка можно вычислить с помощью интегральной формулы Коши:
 
Интеграл можно вычислять приближённо.

Литература
 Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб. — : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X.
 Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
 Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука. 1982. – 342 с.

Примечания

См. также 
 Разделенная разность
 Численное интегрирование

Численные методы
Дифференциальное исчисление