Espace localement convexe

En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé.

Définition 

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :
 il existe une famille de semi-normes  telle que la topologie de E  est initiale pour l'ensemble d'applications  ;
 le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.
Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante.
{{démonstration|titre=Démonstration de l'équivalence des deux définitions|contenu=
 (1) ⇒ (2)En effet toute semi-norme p sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0, l'ensemble des x de E vérifiant p(x) < R est convexe.
 (2) ⇒ (1)Soient T la topologie de E, supposée vérifier (2), et T ' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T.Il s'agit de prouver qu'inversement, T ⊂ T '. Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T '-voisinage de 0.Or pour un tel V, par continuité de l'application (λ, v) ↦ λv, il existe un réel α > 0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après (2), tels queV contient alors l'ensemble Ω défini parDe plus, Ω est voisinage de 0 (donc absorbant), convexe, et équilibré. sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon  est par conséquent un T '''-voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V.}}

 Exemples 
Tout espace vectoriel normé est localement convexe (topologie définie par une seule semi-norme : la norme).
La topologie faible d'un espace vectoriel topologique est localement convexe. On utilise les formes linéaires continues en module comme famille de semi-normes.
Sur son dual topologique, les topologies forte et faible-* sont, elles aussi, définies chacune par une famille de semi-normes.

 Contre-exemples 
 Pour , les espaces métriques de suites  et les espaces métriques de fonctions  ne sont pas des espaces localement convexes.

 Critère de séparation 

En effet, un espace vectoriel topologique est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de 0 est réduite au singleton {0}, autrement dit si et seulement si pour tout vecteur v non nul, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas v.

 Continuité d'une fonction 
Soient  deux espaces localement convexes, dont les topologies sont respectivement définies par des familles de semi-normes  (supposée filtrante) et  (quelconque), et f une application du premier espace dans le second. La proposition suivante résulte des définitions.

Par exemple (en prenant  et ), toutes les semi-normes appartenant à  sont uniformément continues sur E (car 1-lipschitziennes). Une semi-norme q sur E est en fait uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui équivaut à l'existence d'une semi-norme p ∈  et d'une constante C > 0 telles que q ≤ Cp. On en déduit un analogue pour les applications linéaires :

 Métrisabilité 

Les analogues pour  p'' < 1 des espaces Lp avec p ≥ 1 sont métrisables par une distance invariante, mais ne sont pas localement convexes.

Pour tout ouvert non vide  l'espace  des fonctions C à support compact de  dans  est naturellement muni d'une structure localement convexe non métrisable.

Remarquons que tout espace vectoriel topologique normable est localement convexe et métrisable. Cependant la réciproque n'est pas vraie : par exemple l'espace de Schwartz est de Fréchet, en particulier localement convexe et métrisable, mais nucléaire et de dimension infinie, donc non normable. Un autre exemple d'espace localement convexe métrisable mais non normable est R.

Espace de Fréchet 

Un espace de Fréchet est un espace localement convexe qui est à la fois métrisable et complet au sens des espaces uniformes, ou plus simplement : un espace localement convexe complètement métrisable (c'est-à-dire dont la topologie est induite par une distance complète).

Notes et références

Articles connexes 

Géométrie convexe
Espace vectoriel topologique