Ecuación parabólica en derivadas parciales

Una ecuación parabólica en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial de segundo orden del tipo y se utilizan para describir una gran variedad de fenómenos dependientes del tiempo, como la conducción del calor, la difusión de partículas y el preciación de instrumentos de inversión derivados.

Definición 
Para definir el tipo más simple de EDP parabólica, considere una función de valor real  de dos variables reales independientes,  y . Una EDE de segundo orden, lineal, de coeficiente constante para  tiene la forma

  y esta EDP se clasifica como parabólica si los coeficientes satisfacen la condición

que es lo mismo que en la cual la matriz   tiene un  determinante igual a  0.

Normalmente  representa la posición unidimensional y  representa el tiempo,
y la EDP se resuelve sujeta a condiciones iniciales y de contorno prescritas.

El nombre "parabólica" se utiliza porque la suposición sobre los coeficientes es la misma que la condición
para que la ecuación de geometría analítica 
para definir una parábola plana.

Unos ejemplos básicos de una EDP parabólica es la ecuación del calor unidimensional 

 y las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas de la ecuación de Schrödinger.

donde  es la temperatura en el tiempo  y en la posición  a lo largo de una varilla delgada, y  es una constante positiva (la difusividad térmica). El símbolo  significa la derivada parcial de  con respecto a la variable tiempo , y análogamente  es la segunda derivada parcial con respecto a . Para este ejemplo,  juega el papel de  en la EDP lineal general de segundo orden:
, , y los otros coeficientes son cero.

La ecuación del calor dice, a grandes rasgos, que la temperatura en un momento y punto dados sube o baja a un ritmo proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese punto y la temperatura media cerca de ese punto. La cantidad  mide lo lejos que está la temperatura de satisfacer la propiedad del valor medio de las funciones armónicas.

El concepto de EDP parabólica puede generalizarse de varias maneras.
Por ejemplo, el flujo de calor a través de un cuerpo material se rige por la ecuación del calor tridimensional,

donde

denota el operador de Laplace que actúa sobre .  Esta ecuación es el prototipo de una EDP parabólica multidimensional.

Observando que  es un  operador elíptico sugiere una definición más amplia de una EDP parabólica:

donde  es un  operador elíptico de segundo orden.
(lo que implica que  debe ser positivo;
más adelante se considera un caso en el que ).

Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para un vector  también puede ser parabólico.
Por ejemplo, un sistema de este tipo se esconde en una ecuación de la forma

Las EDP parabólicas también pueden ser no lineales.  Por ejemplo, la  ecuación de Fisher es una EDP no lineal que incluye el mismo término de difusión que la ecuación del calor, pero incorpora un término de crecimiento lineal y un término de decaimiento no lineal.

Solución 
Bajo supuestos amplios, un problema inicial/de valores límite para una EDP lineal parabólica tiene solución para todo el tiempo. La solución , como función de  para un tiempo fijo , es generalmente más suave que los datos iniciales .

Para una EDP parabólica no lineal, una solución de un problema inicial/de valor límite podría explotar en una singularidad dentro de una cantidad finita de tiempo. Puede ser difícil determinar si existe una solución para todo el tiempo, o entender las singularidades que surgen. Tales cuestiones interesantes surgen en la  solución de la conjetura de Poincaré vía flujo de Ricci.

Ecuación parabólica regresiva 
Generalmente se suele encontrar ocasionalmente con la llamada EDP parabólica regresiva, que toma la forma  (nótese la ausencia del signo menos).

Un problema de valor inicial para la ecuación de calor regresiva,

es equivalente a un problema de valor final para la ecuación ordinaria del calor,

De manera similar a un problema de valor final para una EDP parabólica, un problema de valor inicial para una EDP parabólica hacia atrás no suele estar bien planteado (las soluciones a menudo crecen sin límites en tiempo finito, o incluso no existen). No obstante, estos problemas son importantes para el estudio de la reflexión de las singularidades de las soluciones de varias otras EDPs.

Ejemplos 
 Ecuación del calor
 Flujo de curvatura promedio
 Flujo de Ricci

Véase también 
 Ecuación diferencial parcial elíptica

Véase también 
Ecuación hiperbólica en derivadas parciales
Ecuación elíptica en derivadas parciales
Ecuación en derivadas parciales
Método de separación de variables

Referencias

Bibliografía