Десятичная дробь

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

 
где
  — знак дроби: либо , либо ,
  — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ),
  — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:
  (конечная десятичная дробь)
 Представление числа  в виде бесконечной десятичной дроби: 

Значением десятичной дроби  является действительное число
 
равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид
 
что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Конечные дроби 
Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид
 
В соответствии с определением эта дробь представляет число
 
Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида , знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида , где  — целое, а  — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь  привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид . Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью  знаменатель  не имеет простых делителей, отличных от  и .

Бесконечные дроби 
Бесконечная десятичная дробь
 
представляет, согласно определению, действительное число
 
Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное  и десятичные цифры . Это предложение вытекает из того факта, что последовательность его частичных сумм (если отбросить знак дроби) ограничена сверху числом  (см. критерий сходимости знакоположительных рядов).

Представление действительных чисел десятичными дробями 
Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:
 Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
 Единственно ли такое представление?
 Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?
Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь 
Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу  десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай . Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок , который содержит точку ; в частном случае, когда точка  является концом двух соседних отрезков, в качестве  выберем правый отрезок.

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка , через , то можно записать:
 

На следующем шаге разделим отрезок  на десять равных частей точками
 
и рассмотрим тот из отрезков длины , на котором лежит точка ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Обозначим этот отрезок . Он имеет вид:
 

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки .

На очередном шаге, имея отрезок , содержащий точку , мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок , на котором лежит точка ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков  вида
 
где  — целое неотрицательное, а  — целые числа, удовлетворяющие неравенству .

Построенная последовательность отрезков  обладает следующими свойствами:
 Отрезки последовательно вложены друг в друга: 
 Длина отрезков 
 Точка  принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что  есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при , а точка  есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке  (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть
  при 

Это значит, что ряд
 
сходится к числу , и таким образом, десятичная дробь
 
является представлением числа . Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа  в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид
 
Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка  совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

 
нулевые слагаемые, получим, что число  также может быть представлено конечной десятичной дробью
 
Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число  может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного . В случае отрицательного , в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда 
Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое , такое, что действительное число  находится между  и следующим целым :
 

Однако существование такого целого числа  надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое , всегда имеет место неравенство . Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа  не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число , всегда найдётся целое  такое, что . Теперь среди чисел  возьмём наименьшее, обладающее свойством . Тогда
 

Искомое число найдено: .

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности :
 

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение
 

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число , последовательность натуральных чисел  превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого  имеет место неравенство
 
то последовательность  также превзойдёт , начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что .

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби 

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа  построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число  может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь
 
Согласно определению, эта дробь является представлением числа . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби . В самом деле, вещественные числа  различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самими  Но между  и  никакого третьего числа вставить нельзя.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби
 
и
 
где , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей  и .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число , не представимое в виде , где  — целое,  — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида  может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на . Число  может быть представлено дробями вида , а также дробями вида .

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность 

Следует отметить, что, с точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005.
Другие примеры:

 «25» — абсолютная погрешность равна 0,5 (также такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
 «2,50∙10⁴» — абсолютная погрешность равна 50;
 «25,00» — абсолютная погрешность равна 0,005.

Периодические десятичные дроби

Определение и свойства 
Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид
 
Такую дробь принято кратко записывать в виде
 

Повторяющаяся группа цифр  называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь  является чистой периодической, а дробь  — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби  знаменатель  не имеет простых делителей  и , а также рациональным числам , у которых знаменатель  имеет только простые делители  и . Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям , знаменатель  которых имеет как простые делители  или , так и отличные от них.

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную 
Предположим, что дана периодическая десятичная дробь  с периодом 4. Заметим, что домножив её на , получим большую дробь  с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть (), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь ():

Произношение десятичных дробей 
В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи.
Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде.
Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

История 
Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше.

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

См. также 
 Десятичный разделитель
 Десятичная система счисления
 Обыкновенная дробь
 Непрерывная дробь

Примечания

Ссылки 
 ЕГЭ математика. Периодическая дробь
 Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»
 Семёнова Л. Периодические дроби.

Числа
Дроби