B-дерево

B-дерево — структура данных, дерево поиска. С точки зрения внешнего логического представления — сбалансированное, сильно ветвистое дерево. Часто используется для хранения данных во внешней памяти.

Использование B-деревьев впервые было предложено Р. Бэйером () и Э. МакКрейтом () в 1970 году.

Сбалансированность означает, что длины любых двух путей от корня до листьев различаются не более, чем на единицу.

Ветвистость дерева — это свойство каждого узла дерева ссылаться на большое число узлов-потомков.

С точки зрения физической организации B-дерево представляется как мультисписочная структура страниц памяти, то есть каждому узлу дерева соответствует блок памяти (страница). Внутренние и листовые страницы обычно имеют разную структуру.

Применение 
Структура B-дерева применяется для организации индексов во многих современных СУБД.

B-дерево может применяться для структурирования (индексирования) информации на жёстком диске (как правило, метаданных). Время доступа к произвольному блоку на жёстком диске очень велико (порядка миллисекунд), поскольку оно определяется скоростью вращения диска и перемещения головок. Поэтому важно уменьшить количество узлов, просматриваемых при каждой операции. Использование поиска по списку каждый раз для нахождения случайного блока могло бы привести к чрезмерному количеству обращений к диску вследствие необходимости последовательного прохода по всем его элементам, предшествующим заданному, тогда как поиск в B-дереве, благодаря свойствам сбалансированности и высокой ветвистости, позволяет значительно сократить количество таких операций.

Относительно простая реализация алгоритмов и существование готовых библиотек (в том числе для C) для работы со структурой B-дерева обеспечивают популярность применения такой организации памяти в самых разнообразных программах, работающих с большими объёмами данных.

Структура и принципы построения 
B-деревом называется дерево, удовлетворяющее следующим свойствам:
 Ключи в каждом узле обычно упорядочены для быстрого доступа к ним. Корень содержит от 1 до 2t-1 ключей. Любой другой узел содержит от t-1 до 2t-1 ключей. Листья не являются исключением из этого правила. Здесь t — параметр дерева, не меньший 2 (и обычно принимающий значения от 50 до 2000).
 У листьев потомков нет. Любой другой узел, содержащий ключи , …, , содержит  потомков. При этом
 Первый потомок и все его потомки содержат ключи из интервала 
 Для , i-й потомок и все его потомки содержат ключи из интервала 
 -й потомок и все его потомки содержат ключи из интервала 
 Глубина всех листьев одинакова.

Свойство 2 можно сформулировать иначе: каждый узел B-дерева, кроме листьев, можно рассматривать как упорядоченный список, в котором чередуются ключи и указатели на потомков.

Поиск 
Если ключ содержится в корне, он найден. Иначе определяем интервал и идём к соответствующему потомку. Повторяем.

Добавление ключа 
Будем называть деревом потомков некоего узла поддерево, состоящее из этого узла и его потомков.

Вначале определим функцию, которая добавляет ключ K к дереву потомков узла x. После выполнения функции во всех пройденных узлах, кроме, может быть, самого узла x, будет меньше , но не меньше , ключей.
 Если х — не лист,
 Определяем интервал, где должен находиться K. Пусть y — соответствующий потомок.
 Рекурсивно добавляем K к дереву потомков y.
 Если узел y полон, то есть содержит  ключей, расщепляем его на два. Узел  получает первые  из ключей y и первые  его потомков, а узел  — последние  из ключей y и последние  его потомков. Медианный из ключей узла y попадает в узел х, а указатель на y в узле x заменяется указателями на узлы  и .
 Если x — лист, просто добавляем туда ключ K.

Теперь определим добавление ключа K ко всему дереву. Буквой R обозначается корневой узел.
 Добавим K к дереву потомков R.
 Если R содержит теперь  ключей, расщепляем его на два. Узел  получает первые  из ключей R и первые  его потомков, а узел  — последние  из ключей R и последние  его потомков. Медианный из ключей узла R попадает во вновь созданный узел, который становится корневым. Узлы  и  становятся его потомками.

Удаление ключа 
Если корень одновременно является листом, то есть в дереве всего один узел, мы просто удаляем ключ из этого узла. В противном случае сначала находим узел, содержащий ключ, запоминая путь к нему. Пусть этот узел — .

Если  — лист, удаляем оттуда ключ. Если в узле  осталось не меньше  ключей, мы на этом останавливаемся. Иначе мы смотрим на количество ключей в двух соседних узлах-братьях. Если соседний правый узел есть, и в нём не менее  ключей, мы добавляем в  ключ-разделитель между ним и соседним правым узлом, а на место этого ключа ставим первый ключ соседнего правого узла, после чего останавливаемся. Если это не так, но есть соседний левый узел, и в нём не менее  ключей, мы добавляем в  ключ-разделитель между ним и соседним левым узлом, а на место этого ключа ставим последний ключ соседнего левого узла, после чего останавливаемся. Наконец, если и с левым ключом не получилось, мы объединяем узел  с соседним левым или правым узлом, и в объединённый узел перемещаем ключ, до этого разделявший эти два узла. При этом в родительском узле может остаться только  ключей. Тогда, если это не корень, мы выполняем аналогичную процедуру с ним. Если мы в результате дошли до корня, и в нём осталось от 1 до  ключей, делать ничего не надо, потому что корень может иметь и меньше  ключей. Если же в корне не осталось ни одного ключа, исключаем корневой узел, а его единственный потомок делаем новым корнем дерева.

Если  — не лист, а K — его -й ключ, удаляем самый правый ключ из поддерева потомков -го потомка , или, наоборот, самый левый ключ из поддерева потомков -го потомка . После этого заменяем ключ K удалённым ключом. Удаление ключа происходит так, как описано в предыдущем абзаце.

Основные достоинства 
 Во всех случаях полезное использование пространства вторичной памяти составляет свыше 50 %. С ростом степени полезного использования памяти не происходит снижения качества обслуживания.
 Произвольный доступ к записи реализуется посредством малого количества подопераций (обращения к физическим блокам).
 В среднем достаточно эффективно реализуются операции включения и удаления записей; при этом сохраняется естественный порядок ключей с целью последовательной обработки, а также соответствующий баланс дерева для обеспечения быстрой произвольной выборки.
 Неизменная упорядоченность по ключу обеспечивает возможность эффективной пакетной обработки.

Основной недостаток В-деревьев состоит в отсутствии для них эффективных средств выборки данных (то есть метода обхода дерева), упорядоченных по свойству, отличному от выбранного ключа.

См. также 
 Поиск в глубину
 Поиск в ширину
 Сбалансированные (самобалансирующиеся) деревья:
 АВЛ-дерево
 Матричное дерево
 Идеально сбалансированное дерево
 Расширяющееся дерево
 B+-деревья
 2-3-дерево
 R-дерево
 B*-дерево
 Красно-чёрное дерево
 Список структур данных (деревья)

Примечания

Литература

Ссылки 
 http://algolist.manual.ru/ds/s_btr.php
 Визуализаторы В-деревьев
 видео: B-дерево — объяснение алгоритма заполнения дерева

B-деревья