Выразимость в радикалах

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Для чисел

Первичные определения

Стандартное определение 
Элемент  поля  называется выразимым в радикалах над подполем  поля , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля , значение которого равно . В случае, если в поле  корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа  хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики 
Пусть  является подполем поля . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей , что  и  для любого  от  до , где  — такое число из поля , что для некоторого натурального  число  принадлежит . Число  называется выразимым в радикалах над подполем  поля , если при некотором  для него найдутся такие наборы  и , что .

Прочие определения 
 Действительное число  называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел  поля действительных чисел . Корни чётной степени в принимающем значение  алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
 Комплексное число  (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел  поля комплексных чисел . Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение , может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней -ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
 Элемент  поля  называется выразимым в радикалах степени  над подполем  поля , если некоторое алгебраическое выражение с числами из , значение которого равно , из возможных корней содержит только корни степени . В частности, при  число  называется выразимым в квадратных радикалах, а при  выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа  и  являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел . Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент  поля  называется выразимым в радикалах степени  над подполем  поля , если он выразим в радикалах над полем  и все , участвующие в определении выразимости в радикалах для , данном выше, равны .
 Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым.
 Пусть  — поле. Тогда поле , где  и , называется радикальным расширением поля . Таким образом, в построенной выше цепочке полей  каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае  указанное поле называется квадратичным расширением поля , то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя.
 Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за  радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно .

Примеры 
 Число  выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида , где  — натуральное, так как .
 Число  также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида , однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как  для любого .
 Не всегда сразу можно определить и такое минимальное , что рассматриваемое число выразимо за  радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число  на самом деле равно  и является выразимым за один квадратный радикал.
 Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
 Число  выразимо в радикалах над подполем  поля , так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа , но не выразимо в действительных радикалах, так как . В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для , которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).

Пояснения
 Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Для функций, многочленов и уравнений

Первичные определения

Стандартное определение 
Функция , принимающая значения в поле  и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем  поля , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля  и указанные параметры, значение которого совпадает со значением  при любых допустимых значениях этих параметров.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики 
Пусть  является подполем поля . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей , элементами которых являются функции из  (возможно, без нескольких точек воизбежание деления на ноль) в , что  состоит из всех рациональных функций над , а  для любого  от  до , где  — такая непрерывная функция на , что для некоторого натурального  функция  принадлежит . Функция  называется выразимой в радикалах над подполем  поля , если при некотором  для неё найдутся такие наборы  и , что .

Прочие определения 
 Многозначная функция  называется выразимой в радикалах над подполем , если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем .
 Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
 Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении.
 К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция , определённая как  на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

Примеры 
 Многозначная функция ,  выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций  удовлетворяют условию , где  — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
 Многочлен  разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом  его корни задаются функцией . Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число  принадлежит множеству неположительных чисел.

Пояснения
 В случае с комплексной функцией без уточнения подполя  оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел .
 Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на  может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойства 
 Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
 Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от  к  в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения  степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
 Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен  степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, ). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.

Геометрические и тригонометрические теоремы 
 Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины  отрезок длины  построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число  является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах). Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа  и  соответственно.
 В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин  отрезок длины  можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда .
 Теорема Гаусса: Число  вещественно построимо тогда и только тогда, когда , где все  — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число  не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла , а значит, и произвольного угла, невозможно. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида , что возможно только при .
 Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на .
 Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный -угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда , где все  — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного , вещественно построим.
 Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного , выразим в комплексных радикалах, так как , где  — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число  выражается через  или  при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна : например, , то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).

Теоремы о функциях 
 Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
 Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных: 

 Однако обратное неверно: например, производные обратных тригонометрических функций выразимы в радикалах над , в то время как сами обратные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями, то есть не являются алгебраическими (а любая выразимая в радикалах функция, как уже было сказано выше, является алгебраической):

Теоремы о многочленах 
 Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима.
 Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени  с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно  действительных. Из этого путём построения неприводимого многочлена  степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить ) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел :
 Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей , с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
 Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до  включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов . Более того, как видно из формул для решения всех этих уравений (для  и  степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.

 Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до  степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени  имеют вид  и представляются в виде произведения скобки  и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом:  и может быть при  записано в виде , что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно  степени . По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до , следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени .
 Также нетрудно убедиться по индукции по , что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида , где  — многочлены степени не выше . Частный случай вида , где  - многочлен  степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде , имеет четыре корня, равные .
 Пусть  — неприводимый многочлен над полем , а  — поле его разложения. Многочлен  разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда  (то есть размерность  как линейного пространства над полем  равна  для некоторого натурального ).

Происхождение термина 
Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

Сноски

Примечания

Литература 
 "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов)
 А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах"
 Лекция в НИУ ВШЭ
 Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях"

Многочлены
Теоремы алгебры
Теория Галуа
Элементарные функции
Тригонометрия
Геометрические построения