Ящик с усами

Ящик с усами, диаграмма размаха, усиковая диаграмма, коробчатая диаграмма, блочная диаграмма с ограничителями выбросов () — график, использующийся в описательной статистике, компактно изображающий одномерное распределение вероятностей.

Такой вид диаграммы в удобной форме показывает медиану (или, если нужно, среднее), нижний и верхний квартили, минимальное и максимальное значение выборки и выбросы. Несколько таких ящиков можно нарисовать бок о бок, чтобы визуально сравнивать одно распределение с другим; их можно располагать как горизонтально, так и вертикально.
Расстояния между различными частями ящика позволяют определить степень разброса (дисперсии) и асимметрии данных и выявить выбросы.

Компактность представления информации 

График «ящик с усами», или «ящичковая диаграмма», был разработан Джоном Тьюки в 1970-х годах. По сути, ящик с усами — это быстрый способ изучения одного или нескольких наборов данных в графическом виде. Этот график может показаться более примитивным, чем, например, гистограммы, но он имеет некоторые преимущества. Он занимает меньше места и поэтому особенно полезен для сравнения распределений между несколькими группами или наборами данных. Кроме того, ящик с усами в своей первоначальной форме прост для построения.

На графике 2 приведены два графических представления распределения одной и той же случайной величины. Сверху показана плотность распределения, а снизу ящик с усами. Видно, что ящик с усами более компактный и по нему легко можно оценить медианы, квантили,  и асимметрию в данных, а также выявить выбросы. Асимметрию данных можно увидеть не только по медиане, смещённой к какому-либо концу ящика, но и по разной длине усов, выходящих из ящика.

График «ящик с усами» очень прост для понимания и именно поэтому часто используется в различных публикациях для визуализации данных.

Построение 

Границами ящика служат первый и третий квартили (25-й и 75-й процентили соответственно), линия в середине ящика — медиана (50-й процентиль). Концы усов — края статистически значимой выборки (без выбросов), и они могут определяться несколькими способами. Наиболее распространённые значения, определяющие длину «усов»:
 Минимальное и максимальное наблюдаемые значения данных по выборке (в этом случае выбросы отсутствуют);
 Разность первого квартиля и полутора межквартильных расстояний; сумма третьего квартиля и полутора межквартильных расстояний (в этом случаем присутствуют выбросы). В общем виде эта формула имеет вид
  ,  ,
где  — нижняя граница уса,  — верхняя граница уса,  — первый квартиль,  — третий квартиль,  — коэффициент, наиболее часто употребляемое значение которого равно 1,5. При этом длину верхнего уса ограничиваем максимальным значением по выборке, попадающим в верхнюю границу уса; длину нижнего уса ограничиваем минимальным значением по выборке, попадающим в длину нижнего уса. Поэтому длина верхнего и нижнего уса может не совпадать.
 Среднее арифметическое по выборке ± одно стандартное отклонение;
 9-й и 91-й процентили;
 2-й и 98-й процентили.

Данные, выходящие за границы усов (выбросы), отображаются на графике в виде точек, маленьких кружков или звёздочек.

Иногда на графике отмечают среднее арифметическое и его доверительный интервал («зарубка» в виде клина-выреза на ящике). Иногда зарубками обозначают доверительный интервал для медианы.

В связи с тем, что не существует единого общего согласия относительно того, как конкретно строить «ящик с усами», при виде такого графика необходимо искать информацию в сопроводительном тексте относительно того, по каким параметрам ящик с усами строился.

Модификации ящика с усами 

Несмотря на свою простоту и удобство, первоначальная форма ящика с усами обладает и некоторыми недостатками. Один из таких существенных недостатков — отсутствие на графике информации о количестве наблюдений по выборке. Действительно, ящик с усами позволяет сравнить медианы, квартили, минимумы и максимумы по различным выборкам, но если мы захотим сделать вывод об общей медиане по всей совокупности выборок, то мы не сможем этого сделать, не прибегая к расчётам на исходных данных.

В 1978 году первоначальная форма ящика с усами была модифицирована МакГиллом, Ларсеном и Тьюки. Они предложили учитывать размер выборочной совокупности, рисуя ящики разной ширины (на графике 4 — variable width), а также изобразили на графике доверительный интервал для медиан в виде расходящихся клиньев-вырезов (на графике 4 — notched). Чем шире ящик — тем большее количество наблюдений в выборке, по которой строился этот ящик. Что касается доверительного интервала, то он представляет собой вырезы, расходящиеся от медианы на каждом из ящиков; в случае, если получившиеся вырезы разных ящиков не пересекаются, их медианы статистически значимо различаются.

Иная модификация получила название «histplot» (сокр. от «histogram plot», ). Теперь на графике отображаются плотности распределения по трём точкам: медиане, первому и третьему квартилю. Соответственно, вместо прямоугольника, «ящик» теперь представляет собой две равнобедренные трапеции, имеющие смежное основание.

Дальнейшее изменение получило название «vaseplot» () из-за визуального сходства «ящика» с вазой.
На данном графике производится отображение всех плотностей вероятностей от первого до третьего квартиля. Затемнённые области представляют собой доверительный интервал медианы.

Примечания

Ссылки 

 Поп-математика для взрослых детей
 Диаграмма размаха

Математическая статистика
Визуализация данных