Produit infini

En mathématiques, étant donné une suite de nombres complexes , on définit le produit infini de la suite comme la limite, si elle existe, des produits partiels  quand  tend vers l'infini ; 

De même qu'une série utilise la lettre , un produit infini utilise la lettre grecque  (pi majuscule) :
 .

Convergence d'un produit infini

Définition 
Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls, on dit que le produit infini, noté , converge quand la suite des produits partiels  converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge.

En cas de convergence 
Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :
.

La réciproque est fausse (comme le montre le contre-exemple ).

Méthode d'étude classique 
Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.

Puisque  tend vers 1, il existe un rang  tel que . On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a
.
Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge. 

On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.

Produit absolument convergent 
Un produit  est dit absolument convergent si la série  l'est, autrement dit  si .  Un produit absolument convergent est donc convergent, et il est de plus commutativement convergent .
On verra dans les exemples que la condition sur  est importante.

Exemples

Exemples de produits infinis divergents 

 Comme , le produit infini  diverge vers 0. On en déduit la divergence de la série harmonique.
Idem pour  qui diverge vers l'infini.
 La divergence de la série des inverses des nombres premiers,  entraine celle des deux produits infinis correspondants : et .
 (car )  mais on peut noter que  converge.

Exemples de produits infinis qui convergent, mais non absolument

  car  mais  diverge. Dans ce cas  converge également.
Il existe des exemples de produit  convergents où la série  est divergente .

Exemples de produits infinis convergents classiques 
Parmi les exemples les plus connus de produits infinis se trouvent les formules suivantes exprimant des constantes mathématiques classiques :

 (formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques) 
 (produit de Wallis (1655))
 (dû à Euler, voir produit eulérien)
 (dû à Euler, voir produit eulérien)
 (Euler (1796), Catalan (1875))
 (Catalan (1875))
 où  est définie par , suite  ; la formule vient du fait que 
 (Seidel (1871))
 où  est la suite de Prouhet-Thue-Morse
, avec  et , produit infini de Cantor (1869).

Autres exemples 
Un produit infini convergent « naturel » peut s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles ou aboutir à la création de nouvelles constantes, par exemple :

mais on a seulement , où  est la suite de Prouhet-Thue-Morse
ainsi que , où  est le nombre de partitions de , fonction d'Euler
, produit télescopique
,  entier , en particulier :
, constante ,
, constante 
, constante 
 où  est le nombre d'or, constante 

, constante  ; , constante 
, constante d'Artin ; , sommes des inverses des nombres puissants.
, constante des nombres premiers jumeaux, 
, constante de Kepler-Bouwkamp
, constante 
 , constante .

Fonctions exprimées comme produits infinis

Premiers exemples 
.

On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant .

En changeant  en , on obtient :

.

En prenant  dans la formule précédente, on obtient le développement de Seidel du logarithme:

, formule donnant, pour , l'expression de  ci-dessus.
 pour , développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien, donnant pour  le développement de  ci-dessus.
 pour , donnant, pour , le développement de  ci-dessus.

Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexe 
Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière  (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).

En général, si  a un zéro d'ordre  à l'origine et d'autres zéros en  (comptés avec multiplicité), alors :

où les exposants  sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et  est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).

Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des  et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier  minimal tel que le choix constant  donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque  convient, on obtient :

.

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque  est une fonction constante. Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass.

Exemples remarquables 
On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

Cas d'un produit infini divergent 
Pour un produit infini divergent, on peut chercher un équivalent du produit partiel ; exemple :

 

pour . En particulier :

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Produit eulérien
 Test de convergence
 Théorème des nombres pentagonaux
 Triple produit de Jacobi

Lien externe 

Suite
Formule ou théorème de François Viète
Multiplication