Théorème de Girsanov

Dans la théorie des probabilités, le théorème de Girsanov indique comment un processus stochastique change si l'on change de mesure. Ce théorème est particulièrement important dans la théorie des mathématiques financières dans le sens où il donne la manière de passer de la probabilité historique qui décrit la probabilité qu'un actif sous-jacent (comme le prix d'une action ou un taux d'intérêt) prenne dans le futur une valeur donnée à la probabilité risque neutre qui est un outil très utile pour évaluer la valeur d'un dérivé du sous-jacent.

Historique 
Des résultats de ce type ont été prouvés pour la première fois dans les années 1940 par Cameron-Martin puis en 1960 par Girsanov. Par la suite ils ont été étendus à des classes plus vastes de processus allant en 1977 jusqu'à la forme générale de Lenglart.

Énoncé du théorème 

Soit  une martingale locale continue par rapport à une filtration  satisfaisant les conditions usuelles.
On définit l'exponentielle stochastique  de  par la formule
 

avec  la Variation quadratique de . Notamment, on a l'équation différentielle stochastique : 

Le processus  est alors une martingale locale strictement positive, et on peut définir une mesure  équivalente à la restriction de la mesure P à  à partir de sa densité de Radon-Nikodym.

Si  est en fait une vraie martingale, la famille  est induite par une mesure Q définie sur toute la tribu  :

De plus, si Y est une martingale locale sous P alors le processus

est une martingale locale sous Q.

Corollaire 
Si X est un processus continu et W est un mouvement brownien sous P alors
 est brownien sous Q.

La continuité de  est triviale; selon le théorème de Girsanov, c'est une martingale locale sous Q, or :

Ce qui correspond à la caractérisation de Lévy du mouvement brownien sous Q.

Commentaires 
 Dans de nombreuses applications usuelles, le processus X est défini par

Pour un processus X de cette forme, une condition suffisante pour que l'exponentielle stochastique Z soit une martingale est la condition de Novikov :

Application à la finance 
Ce théorème peut être utilisé pour trouver l'unique probabilité risque neutre dans le modèle de Black-Scholes.

Ainsi, si un actif suit le processus de diffusion vérifiant : 

 où  est un P-mouvement brownien.

En effectuant le changement de probabilité suivant :

On obtient une diffusion vérifiant :

Où  est un Q-mouvement brownien.

Si on note  la valeur actualisée de , on a :

Sous la probabilité Q la valeur de notre actif réactualisée est une martingale.

Autre énoncé du théorème 
On donne ici un énoncé plus simple du théorème,
Soit  un espace probabilisé, muni de la filtration naturelle par rapport au processus de Wiener standard . Soit  un processus adapté tel que : P-f.s. et tel que le processus  défini par:

soit une martingale.

Alors sous la probabilité  de densité  par rapport à P, le processus  défini par  est un processus de Wiener standard.

Références 

 C. Dellacherie et P.-A. Meyer, Probabilités et potentiel – Théorie des martingales, Hermann, 1980, chap. VII
 E. Lenglart, « Transformation des Martingales locales par changement absolument continu de probabilities », dans Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit, vol. 39, 1977, p. 65-70

Voir aussi

Articles connexes 
 
 
 Norbert Wiener
 Johann Radon

Liens externes 
  Alan Bain, Stochastic Calculus (contient une preuve du théorème de Girsanov)
  Denis Papaioannou, Applied Multidimensional Girsanov Theorem (contient des applications du théorème de Girsanov en finance)

Processus stochastique
Girsanov