Méthode de Rayleigh-Ritz

La méthode Rayleigh-Ritz est une méthode numérique de calcul approché des valeurs propres et vecteurs propres d'un système linéaire. Elle trouve son origine dans le contexte de la résolution de problèmes aux limites (équations aux dérivées partielles). Elle est nommée d'après les physiciens Lord Rayleigh et Walther Ritz.

L'apposition des deux noms Rayleigh et Ritz pour cette méthode fait débat . La procédure numérique a d'abord été publiée par Walther Ritz en 1908-1909. Selon cette référence, Lord Rayleigh  a écrit un article félicitant Ritz pour son travail en 1911, mais déclarant qu'il avait lui-même utilisé la méthode de Ritz à de nombreuses occasions dans ses propres publications. Selon la référence  citant Richard Courant, Lord Rayleigh et Walther Ritz ont indépendamment l'un de l'autre conçu l'idée de remplacer la recherche d'une solution d'une équation aux dérivées partielles avec conditions aux limites fixées  par un problème équivalent de type calcul variationnel consistant à chercher une solution approchée décrite par un nombre fini de paramètres.

Cette méthode est utilisée dans différents domaines des mathématiques et de la physique et est connue parfois sous un nom différent, mais toujours dans des situations nécessitant un calcul approché de valeurs propres et de vecteurs propres. En mécanique quantique, où un système de particules est décrit à l'aide d'un hamiltonien, on l'appelle méthode de Ritz et elle consiste à utiliser une base de fonctions d'onde (e.g. ondes planes, ondes gaussiennes) pour approcher la fonction d'onde propre de l'état fondamental de plus faible énergie. En mathématiques, dans le contexte de la méthode des éléments finis, la même algorithme est communément appelé la méthode de Ritz-Galerkin. On retrouve également cette méthode en mécanique des structures pour déterminer et étudier les modes propres de vibration et les fréquences de résonance.

Illustration de la méthode de Rayleigh-Ritz en algèbre linéaire 
En algèbre linéaire numérique, la méthode Rayleigh-Ritz est couramment utilisée  pour déterminer des valeurs approchées solution d'un problème aux valeurs propres

 

où la matrice  est de taille . la méthode de Rayleigh-Ritz est une méthode de projection orthogonale. On considère une matrice  constituée de m vecteurs colonnes orthonormés et dont l'espace vectoriel engendré (appelé ). On suppose que l'espace  contient les vecteurs propres que l'on cherche à calculer. On recherche alors des paires  avec  telles que

 ,

ce qui signifie que la projection orthogonale de  sur l'espace  est nulle. De manière équivalent, on cherche les paires  telles que

 

où  désigne le produit scalaire hermitien de deux vecteurs de . Si la norme résiduelle du vecteur  est très faible, alors on a trouvé un vecteur et une valeur propre approchés du problème de départ.

La procédure algorithmique de Rayleigh-Ritz consiste à:

 Calculer la matrice  de taille , où  désigne la transposée conjuguée complexe de 
 Résoudre le problème aux valeurs propres  (plus facile, car de plus petite taille, les vecteurs  sont de taille )
 Calculer les vecteurs de Ritz  et la valeur propre de Ritz 
 La paire , appelée paire de Ritz constitue une solutions approchées du problème aux valeurs propres et vecteurs propres de la matrice d'origine 

Si le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de la matrice  contient  vecteurs proches des vecteurs propres de la matrice , la méthode Rayleigh-Ritz ci-dessus trouve  vecteurs de Ritz qui se rapprochent bien de ces vecteurs propres. La quantité facilement calculable  détermine la précision d'une telle approximation pour chaque paire de Ritz.

Dans le cas le plus simple , le matrice  est en fait un vecteur colonne unitaire , et la matrice  est un scalaire égal au quotient de Rayleigh . L'unique solution du problème aux valeurs propres est  et , et le seul vecteur de Ritz est  lui-même. Ainsi, la méthode Rayleigh-Ritz se transforme en calcul du quotient de Rayleigh si  .

Il existe autre connexion intéressante avec le quotient de Rayleigh. En effet, pour chaque paire de Ritz , la valeur propre  approchée est obtenue comme le quotient de Rayleigh d'un vecteur , c'est-à-dire  . Comme exemple, si  est une matrice hermitienne, son quotient de Rayleigh (et donc toutes ses valeurs de Ritz) est réel et prend des valeurs dans l'intervalle fermé de la plus petite valeur propre de  à la plus grande.

Remarquons que la méthode ne dit pas comment choisir la matrice .

Exemple 
La matrice

 

a des valeurs propres  et les vecteurs propres correspondants

 

Prenons

 

alors

 

avec des valeurs propres  et les vecteurs propres correspondants

 

dont les valeurs propres de Ritz sont  et  et les vecteurs de Ritz sont

 

Nous observons que chacun des vecteurs de Ritz ainsi calculés est exactement un vecteur propre de  les valeurs de Ritz associées sont des valeurs propres exactes de la matrice  . Cela est dû au fait que  l'espace vectoriel engendré pas les colonnes de la matrice  se trouve être exactement le même que le sous-espace couvert par les deux vecteurs propres  et  dans cet exemple.

La méthode de Rayleigh-Ritz en calcul variationnel 
Considérons le problème de la recherche d'une fonction  qui rende extrémale une fonctionnelle, comme par exemple une intégrale . C'est une situation courante en physique, par exemple en mécanique lorsque l'on cherche un état d'équilibre comme un état qui minimise une énergie potentielle. On suppose que l'on peut approcher cette fonction  par une combinaison linéaire de fonctions linéairement indépendantes,

 

où  sont des constantes à déterminer par une méthode variationnelle - telle que celle décrite ci-dessous.

Les fonctions  sont choisies arbitrairement, à l'exception des considérations suivantes :

a) Si le problème a des conditions aux limites de type valeur fixe aux bords du domaine d'étude, alors  est choisie pour satisfaire les conditions aux limites du problème, et tous les autres  prennent la valeur zéro aux bords du domaine (conditions homogènes).

b) Si la forme de la solution est connue, alors  peut être choisie de telle sorte que  aura cette forme.

On remplace ainsi le problème qui consiste à trouver une fonction  qui minimise une fonctionnelle , par la recherche des  coefficients qui minimisent une fonction de  variables .
On cherche les coefficients  tels que le gradient de  soit nul, c'est-à-dire

 

On utilise généralement une procédure itérative pour calculer les coefficients.

Dans de nombreux cas, on utilise un ensemble dit complet de fonctions , par exemple une base de polynômes ou les fonctions sinus et cosinus. Un ensemble de fonctions  est dit complet sur l'intervalle  si pour chaque fonction , il existe un ensemble de valeurs de coefficients  qui représente exactement la fonction .

Le lien avec la section précédente (méthode de Rayleigh-Ritz en algèbre linéaire) est que lorsque l'on considère que la fonction  est approchée par une combinaison linaire de , on se place dans un espace de fonction possible plus (infiniment) petit (de dimension finie ), et donc là encore il s'agit de chercher une solution dans un espace projeté.

Applications en génie mécanique 
La méthode Rayleigh-Ritz est souvent utilisée en génie mécanique pour trouver les fréquences de résonance approchées d'un système à plusieurs degrés de liberté, tel qu'un système de masse-ressort ou pour l'étude de la stabilité d'un volant d'inertie. La méthode peut également être utilisée pour rechercher les charges critique de flambage et le comportement post-flambage d'un poteau soumis à un effort de compression.

Considérons le cas où l'on veut trouver la fréquence de résonance d'oscillation d'un système. Tout d'abord, on écrit le mode de vibration sous la forme,

avec une amplitude  inconnue. Ensuite, on forme l'énergie totale du système, composée d'un terme d'énergie cinétique et d'un terme d'énergie potentielle. Le terme d'énergie cinétique fait intervenir le carré de la dérivée temporelle de , proportionnel à  . Ainsi, on exprime l'énergie totale du système sous la forme suivante :

Par conservation de l'énergie, l'énergie cinétique moyenne doit être égale à l'énergie potentielle moyenne. Ainsi,

qui est également connu sous le nom de quotient de Rayleigh. Ainsi, si nous connaissions la forme du mode de vibration , on pourrait calculer  et , et ensuite obtenir la fréquence propre. Cependant, nous ne connaissons pas encore . Pour le trouver, on peut approcher  par une combinaison linéaire de quelques fonctions 

où  sont des constantes à déterminer. On cherche les modes propres du système comme les valeurs de  qui rendent le quotient de Rayleigh minimal.

En général, on peut exprimer  et  comme des polynômes du second degré des coefficients  :

où  et  sont respectivement la matrice de rigidité et la matrice de masse d'un système discret.

La minimisation de  devient:

Ce qui revient à,

Pour obtenir une solution non triviale des coefficients , il faut et suffit que le déterminant de ce système linéaire soit nul,

On obtient ainsi les N premières fréquences propres et modes propres du système, N étant le nombre de fonctions d'approximation.

Voir également 

 Méthode Ritz
 Quotient de Rayleigh
 Itération d'Arnoldi

Notes et références

Liens externes 

 Cours sur le calcul des variations, a une section sur la méthode Rayleigh-Ritz (en anglais).
 Calcul des valeurs propres, par Bernard Philippe et Youssef Saad

Systèmes dynamiques
Rayleigh-Ritz