Жорданова матрица

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем , с блоками вида
 
Каждый блок  называется жордановой клеткой с собственным значением  (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы  над алгебраически замкнутым полем  (например, полем комплексных чисел ) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица  над , такая, что
 
является жордановой матрицей. При этом  называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы . В этом случае также говорят, что жорданова матрица  в поле  подобна (или сопряжена) данной матрице .
И наоборот, в силу эквивалентного соотношения
 
матрица  подобна в поле  матрице . Нетрудно показать, что введённое таким образом отношение подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности.
Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над  в том и только в том
случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Свойства 
 Количество жордановых клеток порядка  с собственным значением  в жордановой форме матрицы  можно вычислить по формуле
 
 где  — единичная матрица того же порядка что и , символ  обозначает ранг матрицы, а , по определению, равен порядку . Вышеприведённая формула следует из равенства
 
 В случае если поле  не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица  была подобна над  некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле  содержало все корни характеристического многочлена матрицы .
 У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
 Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
 Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

История 
Одним из первых такую форму матрицы рассматривал Жордан.

Вариации и обобщения 
 Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: , где  и  — вещественные числа, . В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок , и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида , отвечающие парам комплексных собственных значений:

 Теорема о жордановой нормальной форме является частным случаем теоремы о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. Действительно, классификация матриц соответствует классификации линейных операторов, а векторные пространства над полем  с фиксированным линейным оператором биективно соответствуют модулям над кольцом многочленов  (умножение вектора на  задаётся как применение линейного оператора).

 Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы (например, фробениусова нормальная форма). К их рассмотрению прибегают, в частности, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.

См. также 
 Каноническая форма Вейра

Примечания

Литература 
 
 Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — : Наука, 1966. — 576 с.
 Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — : Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
 Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
 Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
 P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.

Линейная алгебра
Типы матриц