Nombres premiers sexy

En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexys) est un couple de nombres premiers dont la différence est 6 (autrement dit, un couple de la forme (p, p + 6) où p et p + 6 sont des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11. Certains de ces nombres premiers sont consécutifs, par exemple 23 et 29 sont premiers et il n'y a pas de nombre premier entre eux deux.

Le terme « sexy » est un jeu de mots fondé sur le mot latin pour « six » : sex.

Groupements

Couples 

Les couples de nombres premiers sexy (suites  et  de l'OEIS, ou suite ) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu est (p, p + 6) pour
p = (48011837012 × ((53238 × 7879#) - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.
Il est composé de  chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren
et Jens Kruse Andersen.

En octobre 2019, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu a été découvert par P. Kaiser et est composé de  chiffres. Il se compose des deux premiers suivants :
 (520461 × 255931+1) × (98569639289 × (520461 × 255931-1)2-3)-1
 (520461 × 255931+1) × (98569639289 × (520461 × 255931-1)2-3)+5

Triplets 
Comme les nombres premiers cousins, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à  (suites ,  et  de l'OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En décembre 2019, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu (qui s'écrit avec 10602 chiffres), découvert par Gerd Lamprecht et Norman Luhn, est (p, p+6, p+12) pour :
 2683143625525x235176+1.

Quadruplets 
De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par 1. Les quadruplets inférieurs à  (suites , ,  et  de l'OEIS) sont :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

En octobre 2019 Gerd Lamprecht et Norman Luhn ont découvert un quadruplet possédant 3025 chiffres avec :

 121152729080 × 7019#/1729 + 1 où 7019# est une primorielle.

Quintuplet 

Comme dans une progression arithmétique de raison 6, un terme sur 5 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5, 11, 17, 23, 29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.).

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Conjecture de Polignac
 Nombres premiers jumeaux (deux nombres premiers qui différent de 2)
 Nombres premiers cousins (deux nombres premiers qui différent de 4)

Lien externe 

Sexy