P-адическое число

-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа  как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно -адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на .

-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году.

Поле -адических чисел обычно обозначается  или .

Алгебраическое построение

Целые -адические числа

Стандартное определение 
Целым -адическим числом для заданного простого  называется бесконечная последовательность  вычетов  по модулю , удовлетворяющих условию:
 

Сложение и умножение целых -адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых -адических чисел обычно обозначается .

Определение через проективный предел 
В терминах проективных пределов кольцо целых -адических чисел определяется как предел
 
колец  вычетов по модулю  относительно естественных проекций .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа , но и любого составного числа  — получится т. н. кольцо -адических чисел, но это кольцо в отличие от  обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства 
Обычные целые числа вкладываются в  очевидным образом:  и являются подкольцом.

Беря в качестве элемента класса вычетов число  (таким образом, ), мы можем записать каждое целое -адическое число в виде  однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое  в -ичной системе счисления  и, учитывая, что , возможно всякое -адическое число в каноническом виде представить в виде  или записать в виде бесконечной последовательности цифр в -ичной системе счисления . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в -ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют -адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют -адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

-адические числа

Определение как поля частных 
-адическим числом называется элемент поля частных  кольца  целых -адических чисел.
Это поле называется полем -адических чисел.

Свойства 
Поле -адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое -адическое число, не кратное , обратимо в кольце , а кратное  однозначно записывается в виде , где  не кратно  и поэтому обратимо, а . Поэтому любой ненулевой элемент поля  может быть записан в виде , где  не кратно , а  любое; если  отрицательно, то, исходя из представления целых -адических чисел в виде последовательности цифр в -ичной системе счисления, мы можем записать такое -адическое число в виде последовательности , то есть, формально представить в виде -ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение 
Любое рациональное число  можно представить как  где  и  целые числа, не делящиеся на , а  — целое.
Тогда  — -адическая норма  — определяется как .
Если , то .

Поле -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой , определённой -адической нормой: .
Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма  продолжается по непрерывности до нормы на .

Свойства 
 Каждый элемент  поля -адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда
 
 где  — некоторое целое число, а  — целые неотрицательные числа, не превосходящие . А именно, в качестве  здесь выступают цифры из записи  в системе счисления с основанием . Такая сумма всегда сходится в метрике  к самому .
 -адическая норма  удовлетворяет сильному неравенству треугольника
 
 Числа  с условием  образуют кольцо  целых -адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел  в норме .
 Числа  с условием  образуют мультипликативную группу и называются -адическими единицами.
 Совокупность чисел  с условием  является главным идеалом в  с образующим элементом .
 Метрическое пространство  гомеоморфно канторову множеству, а пространство  гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
 Для различных  нормы  независимы, а поля  неизоморфны.
 Для любых элементов , , , , , … таких, что  и , можно найти последовательность рациональных чисел  таких, что для любого  выполнено  и .

Применения 
 Если  — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех  сравнения
 
 эквивалентна разрешимости уравнения
 
 в целых -адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях -адических чисел при всех , а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

 На практике для проверки разрешимости уравнения в целых -адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений . Например, согласно лемме Гензеля, при  достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных  служит наличие простого решения у сравнения по модулю  (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю ). Иначе говоря, при  для проверки наличия корня у уравнения в целых -адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при .

 -адические числа находят широкое применение в теоретической физике. Известны -адические обобщённые функции, p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова), p-адическая квантовая механика, p-адическая спектральная теория, p-адическая теория струн

См. также 
Автоморфное число
 Локальное поле

Примечания

Литература 
 
 Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — : Мир, 1982.
  Курс арифметики, — : Мир, 1972.
 
 Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна

Теория чисел
Числа
1897 год в науке