Primorial

El primorial de un número n se define como el producto de todos los números primos menores o iguales a él, y se indica como n#.

Los primoriales son números definidos en la demostración de la infinitud de los números primos de Euclides.

La demostración consiste en suponer un conjunto finito de números primos. Si se toma el producto de todos ellos y se añade uno, ese número debe ser un número primo ya que no es divisible por ninguno de los primos del producto de primos considerado, y obviamente no está en el conjunto considerado, o sea que es un nuevo número primo. Esto es una contradicción, de modo que, aplicando el principio de reducción al absurdo, concluimos que el conjunto inicial no puede ser finito

Definición
Para un número natural , su factorial primo  se define como el producto de todos los números primos menores o iguales a :

o también como el primorial del número primo inmediatamente inferior, :

.

Ambas definiciones, diferentes pero consistentes entre sí, son fáciles de diferenciar por su notación matemática, pero no siempre se distinguen por el nombre dado a la función (tendiendo a hablarse indistintamente de factorial primo y de primorial).

,
.

A veces se hace una distinción entre el caso especial en el que  es un número primo, y solo se define el primorial para este caso; mientras que el valor permanece indefinido para  no primo.

En el caso de que  se tiene un producto vacío, y el valor del factorial primo y del primorial es entonces 1. Para los argumentos  que no son primos, el primorial no tiene valor, pero la función factorial primo devuelve para  el primorial del número primo inmediatamente más pequeño. En la práctica, ambos términos se utilizan mayoritariamente como sinónimos.

Ejemplo
Para calcular el valor de  (primorial de 7), primero se determinan todos los números primos menores o iguales a 7. Estos son 2, 3, 5 y 7. El producto de estos cuatro números primos produce . Para 9, por otro lado, no se puede calcular un primorial, pero sí se puede calcular su factorial primo: dado que 9 no es un número primo y el anterior número primo más pequeño es 7 y el siguiente número primo más grande es 11, se aplica que .

Propiedades
 Sean  y  dos números primos consecutivos. Entonces, para cada número natural  con :

 El primorial tiene la propiedad siguiente:
.
 Además:

Para  los valores son más pequeños que , pero con  más grande los valores de la función exceden el límite de  y luego oscilan infinitamente alrededor de .

 Si  es el número primo , entonces  tiene exactamente  divisores.
Por ejemplo, el número  tiene dos divisores,  tiene cuatro divisores,  tiene ocho divisores y  ya tiene  divisores porque 97 es el número primo número 25.

 La suma de los inversos de los números primos converge a la constante:

La expansión de Engel (una fracción unitaria especial) de este número forma la secuencia de los números primos (véase ).

 El teorema de Euclides utiliza la expresión  para demostrar que existen infinitos números primos.

Sucesión de los primoriales

La sucesión de los primoriales crece muy rápidamente.

He aquí los cincuenta primeros números primos y sus primoriales:

   p: p# (p primo)
 ---  ------------
   2: 2
   3: 6
   5: 30
   7: 210
  11: 2310
  13: 30030
  17: 510510
  19: 9699690
  23: 223092870
  29: 6469693230
  31: 200560490130
  37: 7420738134810
  41: 304250263527210
  43: 13082761331670030
  47: 614889782588491410
  53: 32589158477190044730
  59: 1922760350154212639070
  61: 117288381359406970983270
  67: 7858321551080267055879090
  71: 557940830126698960967415390
  73: 40729680599249024150621323470
  79: 3217644767340672907899084554130
  83: 267064515689275851355624017992790
  89: 23768741896345550770650537601358310
  97: 2305567963945518424753102147331756070
 101: 232862364358497360900063316880507363070
 103: 23984823528925228172706521638692258396210
 107: 2566376117594999414479597815340071648394470
 109: 279734996817854936178276161872067809674997230
 113: 31610054640417607788145206291543662493274686990
 127: 4014476939333036189094441199026045136645885247730
 131: 525896479052627740771371797072411912900610967452630
 137: 72047817630210000485677936198920432067383702541010310
 139: 10014646650599190067509233131649940057366334653200433090
 149: 1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410
 151: 225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910
 157: 35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870
 163: 5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810
 167: 962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270
 173: 166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710
 179: 29819592777931214269172453467810429868925511217482600306406141434158090
 181: 5397346292805549782720214077673687806275517530364350655459511599582614290
 191: 1030893141925860008499560888835674370998623848299590975192766715520279329390
 193: 198962376391690981640415251545285153602734402721821058212203976095413910572270
 197: 39195588149163123383161804554421175259738677336198748467804183290796540382737190
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Referencias

Bibliografía
 Factorial and primorial primes. J. Recr. Math., 19, 1987, 197-203

Números primos
Sucesiones de números enteros
Temas factoriales y binomiales
ru:Факториал#Праймориал или примориал