Модель авторегрессии и распределённого лага

Модель авторегрессии и распределённого лага (ADL-модель, ) — модель временного ряда, в которой текущие значения ряда зависят как от прошлых значений этого ряда, так и от текущих и прошлых значений других временных рядов. Модель  с одной экзогенной переменной имеет вид:

 

Модель  — это модель авторегрессии AR(p) (в общем случае, возможно с экзогенной переменной без лагов), а модель  — это модель распределённого лага .

Модель обобщается на случай нескольких экзогенных переменных . В этом случае возможно обозначение модели , где  — количество экзогенных переменных, -количество лагов -ой переменной, входящих в модель. В общем случае, можно считать, что все экзогенные переменные включены в модель с одинаковым количеством лагов, а исключение какого-либо лага некоторых переменных означает лишь ограничение на модель. Поэтому иногда используют обозначение ,  — количество экзогенных переменных,  — количество лагов. Наложение ограничений на коэффициенты этой модели приводит к тем или иным вариациям. В таком обозначении, классическая модель  будет обозначаться как .

На практике для оценки подобных моделей часто используют методологию Бокса-Дженкинса для оценки авторегрессии и специальные приёмы для упрощения оценки распределённого лага

Операторное представление 

С помощью лагового оператора  модели авторегрессии и распределённого лага можно записать следующим образом:

 

Или в сокращённой форме:

 

Если корни характеристического авторегрессионного полинома  лежат вне единичного круга (в комплексной плоскости), то ADL-модель можно представить в виде модели бесконечного распределённого лага:

 

Если в это выражение подставить вместо лагового оператора  значение 1, получим модель долгосрочной зависимости между переменными  и :

 

Коэффициент при экзогенной переменной называется долгосрочным мультипликатором. Содержательная интерпретация этого следующая. Модели распределённого лага (DL-модели) позволяют учесть запаздывающее влияние факторов (наряду с текущим). Коэффициенты DL-модели  называют импульсными мультипликаторами. Они показывают влияние запаздыванием на  периодов на эндогенную переменную. Однако в каждый момент времени оказывают влияние несколько лаговых значений фактора, поэтому в долгосрочной перспективе коэффициент влияния фактора (долгосрочный мультипликатор) равен сумме импульсных мультипликаторов. Добавление к модели распределённого лага авторегрессионной части позволяет учесть кроме прямого влияния и опосредованное — через влияние прошлых значений зависимой переменной на её же будущие значения. Знаменатель в формуле долгосрочного мультипликатора и учитывает авторегрессионное увеличение мультипликативного эффекта.

Исходя из наличия долгосрочной модели модель ADL можно представить в несколько ином виде — в ECM-представлении ( — модель коррекции ошибок):

 

Выражение в скобках отражает отклонение от долгосрочной зависимости в предыдущий момент времени. Остальная часть уравнения отражает краткосрочную зависимость. Таким образом, в таком представлении видно, что краткосрочная динамика корректируется в зависимости от степени отклонения от долгосрочной.

Пример 
Рассмотрим модель :

 

ECM-представление данной модели имеет вид:

 

Таким образом краткосрочная зависимость выражается коэффициентом  реакции на изменение фактора по сравнению с прошлым периодом. Однако, такая реакция корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. Долгосрочный мультипликатор в данном случае равен

См. также 
Распределённый лаг
Авторегрессионная модель

Анализ временных рядов