Уравнение электромагнитной волны

Уравнение электромагнитной волны  — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакуумe. Это трёхмерная форма волнового уравнения. Однородная форма уравнения, записанная в терминах либо электрического поля , либо магнитного поля , имеет вид:

 

где

 

— скорость света (т.e. фазовая скорость) в среде с магнитной проницаемостью  и диэлектрической проницаемостью , а  — оператор Лапласа. В вакууме  — фундаментальная физическая постоянная. Уравнение электромагнитной волны вытекает из уравнения Максвелла. В большинстве старых литературных источников  называется плотностью магнитного потока или магнитной индукцией. Следующие уравнения
 
обозначают, что любая электромагнитная волна должна быть поперечной, где электрическое поле  и магнитное поле  оба перпендикулярны направлению распространения волны.

Происхождение уравнения электромагнитной волны 

В своей статье 1865 года под названием «» Джеймс Максвелл использовал поправку к закону циркуляции Ампера, которую он внёс в часть III своей статьи 1861 года «О физических силовых линиях». В части VI своей статьи 1864 года под названием «Электромагнитная теория света», Максвелл объединил ток смещения с некоторыми другими уравнениями электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью, равной скорости света. Он комментировал:

Согласование результатов, по-видимому, показывает, что свет и магнетизм являются воздействиями одного и того же вещества, и что свет является электромагнитным возмущением, распространяющимся через поле в соответствии с электромагнитными законами.

Вывод Максвеллом уравнения электромагнитной волны был заменён в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим объединение исправленной версии закона циркуляции Ампера с законом индукции Фарадея.

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начинаем с уравнений Максвелла в форме Хевисайда. В пространстве без тока и заряда эти уравнения запишутся в виде:
 

Это общие уравнения Максвелла, специализированные для случая, когда заряд и ток равны нулю.
Взятие ротора вихревого уравнения даёт:

 

Мы можем использовать векторное тождество

 

где  — любая векторная функция пространства. И

 

где  — диада, которая при работе с оператором дивергенции  даёт вектор. Поскольку

 

первый член справа в тождестве обращается в нуль, и мы получаем волновые уравнения:

 

где

 

— скорость света в свободном пространстве.

Ковариантная форма однородного волнового уравнения 

Эти релятивистские уравнения могут быть записаны в контравариантной форме как

 

где электромагнитный четырехпотенциал равен

 

с условием калибровки Лоренца:

 

и где

 

является оператором Д’Аламбера.

Однородное волновое уравнение в искривлённом пространстве-времени 
Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами, производная заменяется ковариантной производной и появляется новое слагаемое, которое зависит от кривизны.

 

где  — тензор Риччи, а точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование.

Допускается обобщение  в искривлённом пространстве-времени:

Неоднородное уравнение электромагнитной волны 
Локализованные изменяющиеся во времени плотности заряда и тока могут выступать в качестве источников электромагнитных волн в вакууме. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников к волновым уравнениям делает дифференциальные уравнения в частных производных неоднородными

Решения однородного уравнения электромагнитной волны 

Общим решением уравнения электромагнитной волны является линейная суперпозиция волн в виде

 

практически для любой хорошо управляемой функции  безразмерного аргумента , где  — угловая частота (в радианах в секунду), и  — волновой вектор (в радианах на метр).

Хотя функция  может быть и часто является монохроматической синусоидальной волной, она не обязательно должна быть синусоидальной или даже периодической. На практике,  не может иметь бесконечную периодичность, потому что любая реальная электромагнитная волна всегда имеет конечную протяжённость во времени и пространстве. В результате, исходя из теории разложения Фурье, реальная волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.

К тому же, чтобы решение было правильным, волновой вектор и угловая частота не должны быть независимыми; они должны подчиняться дисперсионному соотношению:

 

где  — волновое число и  — длина волны. Переменная  может использоваться в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.

Монохроматическое, синусоидальное стационарное состояние 
Простейший набор решений волнового уравнения вытекает из предположения о синусоидальных формах волн одной частоты в разделяемой форме:

 

где
  — мнимая единица,
  — угловая частота в радианах в секунду,
  — частота в Гц, и
  — формула Эйлера.

Решения для плоских волн 
Рассмотрим плоскость, определяемую единичным нормальным вектором

 

Тогда решения волновых уравнений для плоских бегущих волн имеют вид

 

где  — позиционный вектор (в метрах).

Эти решения представляют собой плоские волны, движущиеся в направлении нормального вектора . Если мы определим направление  как направление , а направление  как направление , то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении  и связано с электрическим полем соотношением

 

Поскольку дивергенция электрического и магнитного полей равна нулю, поля в направлении распространения отсутствуют.

Это решение является линейно поляризованным решением волновых уравнений. Существуют также циркулярно поляризованные решения, в которых поля вращаются вокруг нормального вектора.

Спектральное разложение 
Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме их решения можно разложить в суперпозицию синусоид. На этом основан метод преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитной волны имеет вид

 

где
  — время (в секунду),
  — угловая частота (в радианах в секунду),
  — волновой вектор (в радианах на метр), и
  — фазовый угол (в радианах).
Волновой вектор связан с угловой частотой следующим образом

 

где  — волновое число и  — длина волны.

Электромагнитный спектр — это график зависимости величины поля (или энергии) от длины волны.

Мультипольное разложение 
Если предположить, что монохроматические поля изменяются во времени по закону , то при использовании уравнений Максвелла для устранения  уравнение электромагнитной волны сводится к уравнению Гельмгольца для :

 

с , как указано выше. Альтернативно, можно исключить  в пользу , чтобы получить:

 

Общее электромагнитное поле с частотой  может быть записано как сумма решений этих двух уравнений. Трёхмерные решения уравнения Гельмгольца можно выразить в виде разложения по сферическим функциям с коэффициентами, пропорциональными сферическим функциям Бесселя. Однако применение этого разложения к каждой компоненте вектора  или  даст решения, которые в общем случае не являются бездивергентными (), и поэтому требуют дополнительных ограничений на коэффициенты.

Мультипольное разложение обходит эту трудность, разлагая не  или , а  или  на сферические функции. Эти разложения по-прежнему решают исходные уравнения Гельмгольца для  и  потому что для бездивергентного поля , . Полученные выражения для общего электромагнитного поля имеют вид:

 

где  и  являются электрическими мультипольными полями порядка (l, m), и  и  — соответствующие им магнитные мультипольные поля, и  и  — коэффициенты разложения. Мультипольные поля задаются как

 

где  — сферические функции Ганкеля,  и  определяются граничными условиями, и

 

— векторные сферические гармоники, нормированные таким образом, что

 

Мультипольное разложение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например, в задачах о диаграмме направленности антенн или ядерном гамма-излучении. Часто в таких приложениях интересует мощность, излучаемая в дальнем поле. В этих областях поля  и  асимптотически приближаются к

 

Угловое распределение усреднённой по времени излучаемой мощности даётся следующим образом:

См. также

Теория и эксперименты 

 Уравнения Максвелла
 Волновое уравнение
 Дифференциальное уравнение в частных производных
 
 Электромагнитное излучение
 Закон сохранения электрического заряда
 Свет
 Электромагнитный спектр
 Оптика

 Специальная теория относительности
 Общая теория относительности
 
 
 Формула Лармора

Приложения 

 Радуга
 Реликтовое излучение
 Лазер
 Инерциальный управляемый термоядерный синтез
 Фотография
 Рентгеновское излучение
 Рентгеноструктурный анализ
 Радар

 Радиоволны
 Оптический компьютер
 Микроволновое излучение
 Голография
 Микроскоп
 Телескоп
 Гравитационная линза

Биографии 

 Андре-Мари Ампер
 Альберт Эйнштейн
 Майкл Фарадей
 Генрих Герц
 Оливер Хевисайд
 Джеймс Максвелл
 Хендрик Лоренц

Примечания

Литература

Электромагнетизм

Журнальные статьи

Учебники для студентов вузов

Учебники для выпускников вузов

Векторный анализ 
 
 

Электродинамика
Математическая физика
Электромагнитное излучение