Droite de Henry

En statistique, la droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations (d'une variable numérique continue). En cas d'ajustement, elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

C'est une méthode voisine de la technique du diagramme quantile-quantile appliquée aux distributions normales.

Histoire 
Cette droite porte le nom du polytechnicien P.J.P. Henri (ou Henry) (1848 - 1907) qui l'a mise au point et en a enseigné l'utilisation à l'école d'artillerie dans les années 1880. Jules Haag l'introduisit par la suite dans son cours à l'école d'artillerie de Fontainebleau.

Principe 

Soit  est une variable gaussienne de moyenne  et de variance . Si  est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :
 , avec 
(on note  la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur  de la variable , on peut, à l'aide d'une table de la fonction  :
 calculer  ;
 en déduire  tel que .
Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées  sont alignés sur la droite d'équation
 . C'est la droite de Henry.
On compare donc les valeurs des quantiles de la loi empirique () aux quantiles de la loi normale centrée réduite .

Cette méthode peut également se généraliser à d'autres distributions en comparant là encore les quantiles théoriques aux quantiles empiriques ; on parle parfois de « tracé quantile-quantile ».

Exemple numérique 
Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :
 
 10 % des candidats ont obtenu moins de 4
 30 % des candidats ont obtenu moins de 8
 60 % des candidats ont obtenu moins de 12
 80 % des candidats ont obtenu moins de 16
On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît donc 4 valeurs , et, pour ces 4 valeurs, on connaît .

En utilisant la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les  correspondants :

On trace les points de coordonnées .

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le coefficient directeur  est (0,842 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type  de 12/2,12 = 5,7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres  avec  et .

Papier gausso-arithmétique 

Dans le principe décrit précédemment, il est nécessaire de rechercher les ti correspondant à chaque P(x < xi), ce qui demande une lecture à l'envers de la table de la loi normale. Il est possible aussi de travailler sur un papier dont l'échelle en ordonnée utilise déjà cette conversion. En ordonnée, apparaissent deux graduations :
 à droite, une graduation arithmétique et
 à gauche les valeurs de Φ(t) correspondantes.
On place alors les points grâce à l'échelle de gauche.

Cette représentation graphique fournit très naturellement la moyenne qui correspond, pour une loi normale, à la médiane c'est-à-dire à l'abscisse du point d'ordonnée 50. Mais elle fournit aussi assez facilement l'écart type en utilisant les intervalles de confiance. Dans une distribution normale, de moyenne m et d'écart-type σ l'intervalle [m - σ ; m + σ] regroupe 68 % de la population. Il y a donc 16 % des valeurs inférieures à m - σ et 84 % des valeurs inférieures à m + σ. On lit donc
 la valeur m - σ comme l'abscisse du point d'ordonnée 16 et
 la valeur m + σ comme celle du point d'ordonnée 84.
L'écart entre ces deux abscisses permet de déterminer la valeur 2σ.

Ainsi, dans le graphique ci-dessous, la moyenne est d'environ 11 et l'écart-type est de (16,7 - 5,2)/2 soit environ 5,7.

Annexes

Notes et références

Liens internes 
 Loi normale
 Ajustement linéaire
 Échelle logarithmique
 Diagramme Quantile-Quantile

Liens externes 
  Droite de Henry , échelle gausso-arithmétique et exercices
  Comment construire un diagramme de Henry avec Excel et comment l'interpréter
 Droite de Henry sous MATLAB, aucune toolbox requise

Test statistique
Régression