Cône tangent

En analyse convexe, le cône tangent au sens de Bouligand, ou cône contingent, est une certaine approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est par exemple utilisée pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation de dimension finie.

Notations 
Dans tout cet article,  désigne un espace vectoriel réel — topologique si nécessaire (si  est de dimension finie, on le suppose muni de sa topologie usuelle) —  une partie non vide de  et  un point de . On note :
, pour tout  (lorsque , on utilise la notation simplifiée ).  est donc un cône si .
  l'adhérence de  ;
 son enveloppe affine,  son intérieur relatif et  sa frontière relative ;
si  est un sous-espace affine :  sa direction.

On note en outre :
 l'image d'une application  ;
 le noyau d'une application linéaire  ;

Cône des directions admissibles 
Le cône des directions admissibles, ou cône radial de  en , noté , est défini par
 pour tout réel  petit

Ce cône est donc vide si , et égal à  tout entier dès que  est une partie absorbante de ce sous-espace.

Cône tangent 
Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, la définition des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône des directions admissibles comme cône tangent à  en . Par exemple, le cône des directions admissibles à un cercle de  est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas, avec cette notion, celle des directions tangentes connue, aussi il en faut une nouvelle :

Il résulte de cette définition que  :
est un cône fermé inclus dans l'adhérence de  ;
est égal à cette adhérence dès que  (puisque ) ;
est vide si  (donc n'a d'intérêt que si ) ;
est inchangé lorsqu'on remplace  par  ;
commute aux réunions finies, c'est-à-dire :  (pour toute partie  de ) ;
est donc une fonction croissante de , c'est-à-dire : ,

Lorsque  est à bases dénombrables de voisinages, par exemple lorsque c'est un espace vectoriel normé, l'adhérence d'une partie de  se réduit à sa fermeture séquentielle, et la définition du cône tangent se traduit alors par :

Autrement dit,  s'il existe une suite de vecteurs  convergeant vers , telle que  rencontre  en des points de plus en plus proches de  lorsque .

Cône normal 
Pour définir le cône normal, on a besoin d'un produit scalaire sur . On suppose donc que  est un espace préhilbertien et l'on note  son produit scalaire.

Par conséquent,  est un cône convexe fermé.

Exemple
Soit  le cône (non convexe) . Alors,  donc .

Cas d'un convexe 

Dans le cas où l'ensemble est convexe, le calcul du cône tangent et du cône normal se simplifient.

Cas d'un convexe en dimension finie 
En dimension finie, grâce à l'existence d'hyperplans d'appui, on déduit de l'expression ci-dessus de  :

Le transport affine par image réciproque est moins classique que celui (ci-dessus) par image directe, et nécessite plus de précautions :

Exemples

Polyèdre convexe 
Soit  un polyèdre convexe de , que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de demi-espaces :
,
où  est une matrice de type ,  et l'inégalité est entendue composante par composante :  pour tout . On note pour un point  :
.
Alors les cônes tangent et normal en  s'écrivent
,
où  est le vecteur formé par la ligne  de  et «  » désigne l'opérateur qui prend l'enveloppe conique d'un ensemble (le plus petit cône convexe pointé contenant l'ensemble). Pour l'écriture du cône normal, on a supposé que  était muni du produit scalaire euclidien.

Cône convexe fermé 
Soient  un cône convexe fermé d'un espace euclidien et . Alors, ,
en particulier,  et .

Remarquons que  n'est pas toujours fermé (donc l'image d'un cône convexe fermé  par l'application linéaire  n'est pas toujours fermée). Par exemple, dans l'espace  des matrices symétriques réelles d'ordre , muni du produit scalaire usuel ( où  désigne la trace), soit  le cône (autodual) de celles qui sont positives. Les cônes normal et tangent à  en  s'écrivent

Ainsi pour ,  et .

Qualification de contraintes 

Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des contraintes d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous

où les contraintes d'égalité sont définies au moyen de la fonction  et les contraintes d'inégalité sont définies au moyen de la fonction . L'inégalité vectorielle  doit ici être entendue composante par composante. On note  l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi  pour tout indice . De même pour l'ensemble  des contraintes d'inégalité.

Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point  à partir des dérivées premières des fonctions  et  en .

Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions  et  en  :

où l'on a noté

On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours

On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les contraintes (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes)  et  sont qualifiées en  si  Comme  ne dépend que de l'ensemble , pas des fonctions  et , il s'agit d'une notion assurant que la représentation de  par  et  convient.

Annexes

Notes et références

Bibliographie

Lien externe 
J. Ch. Gilbert, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, syllabus de cours à l'ENSTA ParisTech, Paris

Optimisation différentiable
Analyse convexe