Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение 
Чтобы вычислить плотность состояний (число состояний в единичном энергетическом интервале) частицы, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или -пространство). «Расстояние» между состояниями определяется граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в области  или для электронов в кристаллической решётке с размером решётки  используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: . С волновой функцией свободной частицы  получаем соотношения
 ,
где  — любое целое число, а  — расстояние между состояниями с различными . Аналогичные соотношения имеют место и для других декартовых координат (, ).

Полное количество -состояний, доступных для частицы, — это объём -пространства, доступного для неё, делённый на объём -пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от  до . 

Объём -пространства для одного состояния в -мерном случае запишется в виде
 
где  — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в -пространстве: . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить  и  в выражении  в терминах  и . Например для свободного электрона: , 

С более общим определением связано соотношение 
 
(обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель ), где индекс  соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а  — дельта-функция. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности  следует использовать правило
 
где  — постоянная Планка,  — импульс,  — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

Примеры 
В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:

где  — индекс подзоны размерного квантования,  — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для  , приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж-1м-3 и структуру «некое выражение , делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все ), то останется  с размерностью [] = Дж-1м-3, Дж-1м-2, Дж-1м-1 и Дж-1, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только , но и .

Использование 
Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как
 ,
где  — функция Ферми,  () — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве  здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности:  для толщи материала (и тогда концентрации будут в м-3),  для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м-2),  для квантовой проволоки (концентрацию получим в м-1) или  (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).

Внешние ссылки 
 Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics 

Физика твёрдого тела
Статистическая физика