Moment (probabilités)

En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis.

Le moment dit « ordinaire » d’ordre   de la variable aléatoire réelle  est défini, s’il existe, par l'espérance de  :
 
De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article.

Notion de moment en analyse 

La notion de moment en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction  continue sur un intervalle  (non réduit à un point) de .

Étant donné un entier naturel , le moment d’ordre  de  est défini, sous réserve d’existence, par :

Critère d’existence 

Ce moment d’ordre  est considéré comme existant si et seulement si  est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si  converge.
Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente, ce moment est tout de même considéré comme non existant.

De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.

Espace vectoriel 

Pour un entier naturel  donné, l’ensemble des fonctions continues sur  dont le moment d’ordre  existe est un espace vectoriel réel, et l’application  est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Définitions 

Soit  une variable aléatoire réelle définie sur , de fonction de répartition  et de loi de probabilité .

Moment ordinaire 

Le moment (ou moment ordinaire, ou moment en 0) d’ordre  de  est défini, s’il existe, par :
 
On a donc, d’après le théorème de transfert :
 
Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :
 si  est discrète : 
 si  est absolument continue : 

D’après le deuxième axiome des probabilités, on a alors .

On notera que,  étant positive ou nulle sur  (premier axiome des probabilités), le critère d’existence du moment d’ordre  est la convergence de  ou de  selon le cas.

Moment centré 

Le moment centré d’ordre  de  est défini, s’il existe, par :
 
On a donc, d’après le théorème de transfert :
 
Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :
 si  est discrète : 
 si  est absolument continue : 

Par construction, on a alors  et .

D’après le théorème de transfert, on peut également écrire .

Moment centré réduit 

En posant  et , le moment centré réduit d’ordre  de  est défini, s’il existe, par :
 

On a donc  et, par construction, .

Moment spectral 
Les moments spectraux permettent l'étude des vibrations aléatoires dans le domaine fréquentiel. En considérant la densité spectrale de puissance Φ d'une vibration aléatoire, le moment spectral d'ordre i, noté , peut s'écrire:

Moments remarquables 

Certains moments, utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire réelle , sont connus sous un nom particulier :
 l’espérance, moment d’ordre un :  ;
 la variance, moment centré d’ordre deux : , ainsi que sa racine carrée l’écart type :  ;
 le coefficient d’asymétrie, moment centré réduit d’ordre trois :  ;
 le kurtosis non normalisé, moment centré réduit d’ordre quatre : .

Fonction génératrice des moments 

La fonction génératrice des moments  d’une variable aléatoire réelle  est la série génératrice exponentielle associée à la suite  des moments de , définie au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :
 
Elle peut également s’écrire, au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de l’espérance :
 
Les dérivées itérées en 0 de cette série génératrice exponentielle valent :

Propriétés

Dimension 

Soit  la dimension de la variable aléatoire réelle .

Les moments ordinaire et centré d’ordre , s’ils existent, ont pour dimension .

Le moment centré réduit d’ordre , s’il existe, est une grandeur sans dimension.

Transformation affine

Sur les moments ordinaires 

Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est linéaire :
 

Le moment ordinaire d’ordre  de , s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre  de  :
 

On retrouve ainsi la linéarité de  et la constance de .

Sur les moments centrés 

Le moment centré d’ordre , s’il existe, est invariant par translation et homogène de degré  :

Sur les moments centrés réduits 

Par transformation affine de coefficient directeur non nul (afin que  soit non nul), le moment centré réduit d’ordre , s’il existe, est simplement multiplié par le signe du coefficient directeur élevé à la puissance  :
 
La valeur absolue d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.

En distinguant selon le signe de  et la parité de , on peut donc écrire :

Additivité 

Soient  et  deux variables aléatoires réelles, on a alors :
 
Si  et  sont indépendantes, on a en outre :
 
 

Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités. Les mesures de risque vérifiant cette propriété sont appelés les cumulants.

Relations entre moments ordinaires et moments centrés

Moments centrés en fonction des moments ordinaires 

Le moment centré d’ordre , s’il existe, s’écrit :
 

En rappelant que , les premiers moments centrés s’expriment donc, en fonction des moments ordinaires :

Moments ordinaires en fonction des moments centrés 

Réciproquement, en posant , le moment ordinaire d’ordre , s’il existe, s’écrit :
 

En rappelant que  et , les premiers moments ordinaires s’expriment donc, en fonction des moments centrés et de  :

Estimateur non biaisé des moments ordinaires 

À partir d’un échantillon  de la variable aléatoire réelle , on peut utiliser comme estimateur sans biais du moment ordinaire d’ordre , s’il existe, l’estimateur suivant :

Problème des moments 

Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments  d’une loi de probabilité  donnée, le problème des moments consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité  dont les moments  sont donnés.

Extension de la notion de moment 

Sur le modèle des moments , d’autres moments peuvent être définis :
 le moment inverse en 0 d’ordre  sur  :  ;
 le moment logarithmique d’ordre  sur  :  ;
 le moment factoriel d’ordre  :  (factorielle décroissante).

Notes et références