Интеграл Дирихле

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

 

Этот интеграл не является абсолютно сходящимся, что означает  не интегрируется по Лебегу, и, соответственно, интеграл Дирихле не определен в соответствии с интегрированием Лебега. Однако он определяется в соответствии с несобственным интегралом Римана или обобщенного интеграла Римана или Хенстока — Курцвейла. Значение интеграла (в соответствии с интегралом Римана или Хенстока) может быть получено различными способами, включая через преобразование Лапласа, двойное интегрирование, дифференцирование под знаком интеграла, контурное интегрирование и ядро Дирихле.

Определение

Преобразование Лапласа 
Пусть  функция, определенная всякий раз, когда . Тогда преобразование Лапласа функции имеет вид

 

если интеграл существует.

Свойство преобразования Лапласа, полезное для вычисления несобственных интегралов:

 

при условии, что  существует.

Это свойство можно использовать для вычисления интеграла Дирихле следующим образом:

 

так как  преобразование Лапласа функции . (См. дифференцирование в разделе «Дифференцирование под знаком интеграла».)

Двойная интеграция 
Вычисление интеграла Дирихле с помощью преобразования Лапласа эквивалентно попытке вычислить один и тот же дважды определенный интеграл двумя разными способами, изменив порядок интегрирования на противоположный, а именно:

 
   при условии

Дифференцирование под знаком интеграла (трюк Фейнмана) 
Сначала перепишем интеграл как функцию дополнительной переменной . Пусть

 

Чтобы вычислить интеграл Дирихле, нам необходимо определить .

Продифференцируем по  и применим формулу Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла чтобы получить

 

Теперь, используя формулу Эйлера  можно выразить синусоиду через комплексные экспоненциальные функции. Таким образом, мы имеем

 

Следовательно,

 

Интегрируя по  дает

 

Где  постоянная интегрирования, которую необходимо определить. Поскольку   используя главное значение. Это означает

 

Наконец, для  у нас есть , как прежде.

Комплексное интегрирование 
Тот же результат может быть получен путем комплексного интегрирования. Рассмотрим

 

Как функция комплексной переменной  оно имеет простой полюс в начале координат, что препятствует применению леммы Жордана, остальные условия которой выполнены.

Определим новую функцию

 

Полюс был перемещен от реальной оси, поэтому  интегрируется по полукругу радиуса  в центре  и замкнута по реальной оси. Затем берем предел .

Комплексный интеграл равен нулю по теореме о вычетах, так как внутри пути интегрирования нет полюсов.

 

Второй член исчезает, когда  стремится к бесконечности. Что касается первого интеграла, то можно использовать одну версию теоремы Сохоцкого — Племеля для интегралов по вещественной прямой: для комплексной функции , определенной и непрерывно дифференцируемой на вещественной прямой и вещественных константах  и , зная  можно найти

 

где  обозначает . Возвращаясь к приведенному выше исходному расчету, можно написать

 

Взяв мнимую часть с обеих сторон и отметив, что функция  четная, мы получаем

 

В заключение,

 

В качестве альтернативы можно выбрать в качестве контура интегрирования для  объединение верхних полуплоских полуокружностей радиусов  и  вместе с двумя соединяющими их отрезками реальной линии. С одной стороны, контурный интеграл равен нулю независимо от  и ; с другой стороны, при  и  мнимая часть интеграла сходится к  ( — любая ветвь логарифма на верхней полуплоскости), приводящий к .

Ядро Дирихле 
Пусть

 

будет ядром Дирихле.

Отсюда следует, что

Определяем

 

Ясно, что  является непрерывной, когда , чтобы увидеть её непрерывность при 0, применяется правило Лопиталя.

 

Следовательно,  удовлетворяет требованиям . Это означает

 

(Используемая здесь форма леммы Римана-Лебега доказана в цитируемой статье.)

Выбираем пределы  и . Мы хотим сказать что

 

Однако для этого мы должны обосновать переключение реального предела в  на интегральный предел в . На самом деле это оправдано, если мы можем показать, что предел действительно существует. Докажем это.

Используя интегрирование по частям, мы имеем:

 

Теперь, так как  и , член слева сходится без проблем. Смотри cписок пределов тригонометрических функций. Теперь покажем, что  интегрируем, что означает, что предел существует.

Сначала мы стремимся оценить интеграл вблизи начала координат. Используя разложение косинуса около нуля в ряд Тейлора,

 

Следовательно,

 

Разбив интеграл на части, получим

 

для некоторой константы . Это показывает, что интеграл абсолютно интегрируем, что означает, что исходный интеграл существует, и переход от  к  был фактически оправдан, и доказательство завершено.

См. также 
 Распределение Дирихле
 Принцип Дирихле
 Sinc
 Интегралы Френеля

Примечания 

Специальные функции
Интегральное исчисление
Математическая физика