Matrice jacobienne

En analyse vectorielle, la matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle en un point donné. Son nom vient du mathématicien Charles Jacobi. Le déterminant de cette matrice, appelé jacobien, joue un rôle important pour l'intégration par changement de variable et dans la résolution de problèmes non linéaires.

Définition 

Soit  une fonction d'un ouvert de  à valeurs dans . Une telle fonction est définie par ses  fonctions composantes à valeurs réelles : .

Les dérivées partielles de ces fonctions en un point , si elles existent, peuvent être rangées dans une matrice à  lignes et  colonnes, appelée matrice jacobienne de  :

La case sur la ligne  et la colonne  contient  qui est la dérivée partielle de la i-ème fonction composante  selon la variable . Cette matrice est notée :
.

Pour , la -ème ligne de cette matrice est la transposée du vecteur gradient au point  de la fonction , lorsque celui-ci existe.
La matrice jacobienne est également la matrice de la différentielle de la fonction, lorsque celle-ci existe.
On démontre que la fonction  est de classe  si et seulement si ses dérivées partielles existent et sont continues.

Propriétés 
La composée  de fonctions différentiables est différentiable, et sa matrice jacobienne s'obtient par la formule :
,
dont un cas particulier est la formule de dérivation de la composée de deux fonctions réelles d'une variable réelle,  et  :
.

Déterminant jacobien 
Si , alors la matrice jacobienne de  est une matrice carrée. Son déterminant  est appelé le déterminant jacobien, ou jacobien. Dire que le jacobien est non nul revient donc à dire que la matrice jacobienne est inversible.

Une fonction  de classe  est inversible au voisinage de  avec une réciproque  de classe  si et seulement si son jacobien en  est non nul (théorème d'inversion locale). La matrice jacobienne de  se déduit alors de celle de , par la formule
.

Le théorème de changement de variables dans les intégrales multiples fait intervenir la valeur absolue du jacobien.

Il n'est pas nécessaire de supposer que  soit ouvert, ni que  soit un homéomorphisme de  sur  : cela résulte des hypothèses, d'après le théorème de l'invariance du domaine.

On démontre d'abord ce théorème si  est un difféomorphisme (ce qui, d'après le théorème d'inversion locale, revient simplement à rajouter l'hypothèse que le jacobien de  ne s'annule en aucun point de ), puis on s'affranchit de cette hypothèse grâce au théorème de Sard.

Exemple 
Le passage aux coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes est un changement de variables  défini par l'application suivante :

La matrice jacobienne au point  est :
.

Le jacobien du passage en coordonnées polaires est donc :
.

Si  est une fonction intégrable sur un ouvert  de , en posant

et en appliquant le théorème ci-dessus non pas directement à  et  ( n'est pas injective et  n'est pas ouvert dans ) mais aux ouverts intermédiaires,on obtient (puisque  et  sont négligeables) :
.

Interprétation

Matrice jacobienne 
La matrice jacobienne intervient dans le développement limité des fonctions à plusieurs variables : au voisinage du point , l'approximation linéaire de la fonction  est donnée par :
.

Jacobien 
Si le jacobien est positif au point , l'orientation de l'espace est conservée au voisinage de ce point. À l'inverse, l'orientation est inversée si le jacobien est négatif.

Si l'on considère un « petit » domaine, le volume de l'image de ce domaine par la fonction  sera celui du domaine de départ
multiplié par la valeur absolue du jacobien.

Application 
En mécanique des milieux continus, le tenseur des déformations pour les petites déformations (ou tenseur de Green) est la partie symétrique de la matrice jacobienne du vecteur-déplacement de chaque point du solide.
En mécanique analytique, on sait qu'une transformation est canonique si et seulement si sa jacobienne appartient au groupe symplectique.

L'inversion du produit de matrices jacobiennes successives est aussi utile pour déterminer la propagation des incertitudes dans une expérience. Par exemple dans un cas de trois capteurs fournissant respectivement trois observations qui sont chacun sensibles à trois mesurandes, l'inversion de la matrice jacobienne de la relation mesurandes vers observations permet de déterminer l'incertitude sur chacun des mesurandes connaissant expérimentalement l'incertitude sur chacune des observations (bruit de fond expérimental). Lorsque les trois capteurs sont complètement découplés, le cas idéal, les matrices jacobiennes sont diagonales et il n'y a pas de propagation dramatique de l'incertitude.

Notes et références

Voir aussi 

Matrice hessienne

Analyse à plusieurs variables
Application différentiable
Jacobienne