Paire duale

En analyse fonctionnelle, une paire duale ou un système dual désigne un couple d'espaces vectoriels muni d'une forme bilinéaire non dégénérée.

En analyse fonctionnelle, l'étude des espaces vectoriels normés nécessite parfois d'analyser sa relation avec son dual topologique, qui est l'espace vectoriel formé de toutes les applications linéaires continues définies sur l'espace de départ. Une paire duale généralise ce concept, la dualité étant exprimée grâce à une application bilinéaire. À partir de cette application bilinéaire, on peut utiliser des semi-normes pour construire une  sur les espaces vectoriels et en former des espaces localement convexes, qui sont la généralisation des espaces vectoriels normés.

Définitions 
Soient  et  deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif . Soit  le dual algébrique de  et  celui de  (tout au long du présent article on suppose l'axiome du choix vrai).

Définition (forme bilinéaire non dégénérée) : Soit  une forme bilinéaire. Elle induit deux applications linéaires
 
 
L'application bilinéaire  est dite :
 non dégénérée à gauche si  est injective,
 non dégénérée à droite si  est injective,
 non dégénérée si  est non dégénérée à gauche et à droite.

Définition (paire duale) : Soient  et  deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif . Soit  une forme bilinéaire. On dit alors que X et Y sont mis en dualité par . Si de plus  est non dégénérée :
  et  sont dits être en dualité (ou encore être mis en dualité séparante),
 on écrit  au lieu de ,
 le triplet  est dit être une paire duale,
 l'application bilinéaire  est dit être un appariement dual.

Deux éléments  et  sont orthogonaux si
.
Deux ensembles  et  sont orthogonaux si toute paire d'éléments de  et  sont orthogonaux.

Paires duales faibles et fortes 

Définition (paire duale forte) : Soit  une paire duale. L'appariement dual  induit deux applications
 
 
La paire duale  est dite forte (et l'appariement dual dit fort) lorsque ces deux dernières applications sont surjectives. Une paire duale qui n'est pas forcément forte ( d'appariement dual pas forcément fort) est dite faible.

Remarque : En utilisant le fait que l'injection naturelle  de  dans son bidual algébrique  est surjective si et seulement si  est de dimension finie, il est aisé de démontrer qu'une paire duale est forte si et seulement si  et  sont de dimension finie. Selon le contexte, cette dernière (proto-)définition de paire duale forte peut être modifiée (en considérant la surjectivité vers certains sous-espaces de  et ) pour rendre compte de propriétés plus subtiles d'une paire duale donnée ( exemple 3 ci-dessous).

Exemples 

Exemple 1 : Soit  un espace vectoriel (ou bien un module sur un anneau) et  son dual algébrique. Considérons l'application bilinéaire

correspondant l'accouplement de dualité entre  et . Il lui correspond deux applications linéaires

La première application  est l'identité sur  (et est donc injective). La seconde application  est l'injection naturelle de  dans son bidual algébrique . Cette dernière application est injective car  sépare les points de , i.e. pour tout  il existe  t.q.  (ceci est dû à l'axiome du choix). Ce faisant,  est non dégénérée et est un appariement dual, dit appariement naturel (ou appariement dual canonique ou encore crochet de dualité), entre  et son dual algébrique .

Exemple 2 :
Soit  une paire duale. Alors le triplet  est une paire duale où .

Exemple 3 :
Soit  un e.v.t. localement convexe sur un corps commutatif  et soit  son dual topologique. Considérons l'application bilinéaire

correspondant à l'accouplement de dualité entre  et .
À l'application bilinéaire  correspondent deux applications

La première est l'inclusion canonique de  en . Donnons à  la topologie . Puisqu'à , l'application linéaire  est -continue et que la topologie  est plus fine que celle ,  repose en  le bidual topologique de l'espace localement convexe . En considérant les co-restrictions

on voit alors que  est l'identité sur  (i.e. est un isomorphisme) et que  est l'inclusion naturelle de  dans son bidual topologique  (ce qui est injectif par le théorème de Hahn-Banach sur les espaces localement convexes). Il suit que le triple  est une paire duale. En particulier, cette paire duale sera forte si l'injection naturelle  est surjective (i.e. si  est semi-réflexif).

Exemple 4 :
Un espace de suites ℓp  et son   associés à l'application bilinéaire définie par

forme une paire duale.

Exemple 5 : Soit  une variété lisse et réelle de dimension finie . Soit  l'espace des -formes différentielles réelles à support compact sur . Soit

Alors le triple  est une paire duale.

Références

Voir aussi 
 Dualité (mathématiques)
 Dual d'un espace vectoriel topologique
 Ensemble polaire
 

Analyse fonctionnelle