Teorema de la divergencia

En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también conocido como teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradski, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen delimitado por dicha superficie.  

De forma más precisa, el teorema de la divergencia enuncia que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región dentro de la superficie. Intuitivamente enuncia que la suma de todas las fuentes de un campo en una región da el flujo de salida neto de una región. 

El teorema de la divergencia es un resultado importante en la física y en ingeniería, particularmente en electrostática y en mecánica de fluidos. En estos campos, normalmente se utiliza el teorema en tres dimensiones, sin embargo, puede generalizarse a cualquier número de dimensiones; en una dimensión es equivalente a integración por partes y en dos dimensiones es equivalente al teorema de Green.

Historia 

Joseph-Louis Lagrange introdujo la notación de integral de superficie en 1760 y en 1811 lo hizo en términos más generales en la segunda edición de Mécanique Analytique. Lagrange utilizó integrales de superficie en su trabajo de mecánica de fluidos, él fue quien descubrió el teorema de la divergencia en 1762.

Carl Friedrich Gauss también utilizó integrales de superficie mientras estuvo trabajando en la atracción gravitacional de una esfera elíptica en 1813 cuando demostró casos particulares del teorema de la divergencia pero fue Mijaíl Ostrogradski quien dio la primera demostración general del teorema en 1826 como parte de su investigación. Casos especiales fueron demostrados por George Green en 1828 en An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism y Siméon Denis Poisson en 1824 en un documento relacionado con elasticidad.

Teorema 
Sea  una  región  sólida  acotada  por  una  superficie  cerrada . Si  es un  campo vectorial continuamente diferenciable en un entorno de  entonces

donde .

Ejemplo 
Supóngase que deseamos evaluar

donde  es la esfera unitaria descrita por

y  es el campo vectorial dado por

Calcular dicha integral resulta algo complicado por lo que para hacer los cálculos más sencillos, usaremos el teorema de la divergencia por lo que

donde  es la bola unitaria dada por

Dado que la función  es positiva en un hemisferio de  y negativo en el otro entonces la integral sobre  vale cero, similarmente para la función , esto es:

Por lo que

Generalizaciones

Múltiples dimensiones 
Puede utilizarse el teorema de Stokes para calcular la integral de volumen -dimensional de la divergencia de un campo vectorial  sobre una región  a una integral de superficie -dimensional de  sobre la frontera de 

Esta ecuación también es conocida como el teorema de la divergencia.

Cuando , esto es equivalente al teorema de Green.

Cuando , se reduce a integración por partes.

Véase también 
 Ley de Gauss
 Teorema de Green
 Teorema de Stokes

Referencias

Bibliografía 
 R. G. Lerner, G. L. Trigg (1994). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 3-527-26954-1.

Enlaces externos 
 Differential Operators and the Divergence Theorem at MathPages
 The Divergence (Gauss) Theorem by Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project.
 

Divergencia
Ciencia de 1762