Линейное уравнение

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:
 в общей форме: ;
 в канонической форме: ,

где  — это переменные (или неизвестные) величины (также известные как корни линейного уравнения), а  — постоянные или коэффициенты, которые являются действительными числами. Коэффициенты могут квалифицироваться как параметры при уравнении и могут быть любыми выражениями при условии, что сами по себе не содержат переменных. Чтобы уравнение имело смысл, коэффициенты  не должны равняться нулю. Также линейное уравнение можно получить, если приравнять линейный многочлен к нулю над некоторым полем, откуда для многочлена берутся коэффициенты.

Решение уравнения — это нахождение таких значений переменных, которые при подстановке дали бы верное равенство. Если переменная всего одна, то для линейного уравнения существует только одно решение (при условии, что ). Часто «линейным уравнением» называют именно подобные уравнения с одной «неизвестной». Если переменных две, то любое решение может быть проиллюстрировано и проверено с помощью прямоугольной системы координат в двумерном (евклидовом) пространстве. Решение одного линейного уравнения изображается как вертикальная прямая в прямоугольной системе координат для данного уравнения, но эта же прямая может быть иллюстрацией решения и другого уравнения. Каждая линия может рассматриваться как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными, поэтому подобные уравнения и называются линейными. В общем, множество решений линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n-1) в евклидовом пространстве с размерностью n.

Линейные уравнения применяются абсолютно во всех сферах математики и их приложениях в физике и инженерном деле отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо можно «приблизить» и упростить линейными уравнениями. Совокупность в виде двух и более линейных уравнений, для которой надо найти конкретное решение, является системой линейных алгебраических уравнений.

Уравнение с одной переменной

Математическое описание 
Уравнение имеет вид:  его решение сводится к виду:  в общем случае, когда . «Неизвестной» называется в данном случае переменная . Если , то возможны два варианта. В случае, если  тоже равняется нулю, решений бесконечно много, поскольку любое число является решением. Но если , то у уравнения не может быть корней, поскольку . В последнем случае подобное уравнение является  (т.е. нельзя подобрать переменную, чтобы было верным равенство).

Примеры решения 
Дано линейное уравнение в виде результата умножения двух чисел; известен один из множителей, второй неизвестен, но известен результат.

В данном случае для того, чтобы найти неизвестный множитель , результат умножения 24 нужно разделить на известный множитель 3. Результатом операции деления будет 8 как корень данного уравнения.
.

Линейное уравнение такого типа, как

не имеет решения, так как результат умножения любого числа на 0 всегда даёт 0. Вместе с тем уравнение вида

имеет бесконечно много решений. Следовательно, для него  может быть любым числом.

Уравнение с двумя переменными

Описание в общей и канонической формах 
В случае, если в уравнении есть две переменные, линейное уравнение можно представить в общей форме: , где переменными являются величины  и , а коэффициентами — ,  и . В канонической формах это уравнение имеет вид  при  и .

Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество.

Существуют и другие формы линейного уравнения, к которым его можно привести с помощью простых алгебраических преобразований (прибавления одной и той же величины к уравнению, умножения или деления на одно и то же число, не равное нулю и т.д.)

Пример 

Дано линейное уравнение:

Для определения множества всех решений можно преобразовать уравнение в функцию с зависимостью  от . В таком случае получится
 и  при 

Так выводится график данной функции, включающий все пары x и y, обращающим уравнение в верное равенство:
.

Линейная функция 
В случае, если , то уравнение  можно привести к такому виду, чтобы значение  зависело от . Уравнение может быть представлено в таком случае в форме линейной функции , где  (или сразу ). График функции в данном случае (т.е. геометрическая модель или иллюстрация для данного уравнения) представляет собой прямую типа , где k — угловой коэффициент (он же  ), а m = — координата точки пересечения графика с осью y.

В математическом анализе линейными называются те функции, график которых является именно прямой. В линейной алгебре линейной называется функция, отображающая сумму на сумме изображений слагаемых. Таким образом, в линейной алгебре функция является линейной, если , а её график проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, графики которых являются произвольными линиями, называются аффинными.

Геометрический смысл 

Любая пара , являющаяся решением уравнения , может быть отражена в прямоугольной системе координат в виде точки в двумерном пространстве. В таком случае все решения уравнения формируют линию при условии, что  и  не равняются нулю. Верно и обратное, что каждая линия является множеством решений линейного уравнения. Само словосочетание «линейное уравнение» и имеет корни в соотношении между прямыми линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными представляет собой уравнение, все решения которого графически представляют собой линию.

В случае, если , линия является графиком функции , описанным выше. Если , то линия будет вертикальной, параллельной оси ординат (-оси), для уравнения , которое не является графиком функции . Соответственно, если , то линия является графиком функции , а если  — то горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс, для уравнения

Уравнение с тремя и более переменными 
Линейное уравнение, в котором содержится больше двух переменных, может иметь форму типа . Коэффициент , иногда обозначаемый как , является свободным членом. Коэффициентами могут в таком случае называть все переменные типа  при условии . В уравнениях с тремя неизвестными последние обозначаются буквами  и .

Решение такого уравнения — такой -кортеж, замена каждого элемента в котором соответствующей переменной преобразовала бы уравнение в верное равенство. Чтобы уравнение имело смысл, хотя бы один коэффициент при переменной должен быть ненулевым. Если же все коэффициенты при переменных равняются нулю, то либо уравнение будет противоречивым (при ) как не имеющее решений, либо же любой  будет решением данного уравнения. Все -кортежи, которые являются решением линейного уравнения с  — это координаты точек в системе координат для -размерной гиперплоскости в  евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты — комплексные числа или принадлежат любому полю). В случае трёх переменных эта гиперплоскость становится плоскостью (согласно одной из аксиом Евклидовой геометрии).

Если в линейном уравнении , тогда существует решение данного уравнения для   Если коэффициенты — вещественные числа, то таким образом определяется вещественнозначная функция для .

Пример 
Дано линейное уравнение с тремя неизвестными:

Решением данного уравнения будет являться плоскость, которой принадлежат три точки типа:
 при .

См. также 
 
 Алгебраическое уравнение
 Линейное неравенство

Примечания

Литература

Ссылки 

 

Алгебраические уравнения
Элементарная математика
Элементарная алгебра