Moyenne quasi-arithmétique

En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou encore moyennes selon une fonction f  constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométrique). Elles sont paramétrées par une fonction .

Définition 
Soit  une fonction d'un intervalle  dans les nombres réels, continue et injective.

La moyenne selon la fonction  des  nombres  est définie par , que l'on peut aussi écrire

Il est nécessaire que  soit injective pour que son inverse  soit définie. Comme  est définie sur un intervalle,  appartient au domaine de définition de .

Comme  est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon  est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument :

Exemples 
(Dans les exemples suivants,  ou )
 Pour , alors la moyenne selon  correspond à la moyenne arithmétique quels que soient  et  (voir la propriété d'invariance d'échelle infra).
 Pour  , alors la moyenne selon   correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1.
 Pour , alors la moyenne selon   correspond à la moyenne harmonique.
 Pour , alors la moyenne selon   correspond à la moyenne d'ordre .
 Pour , alors la -moyenne est la moyenne dans le , qui est une version décalée d'une constante de la fonction softmax: . Le  correspond à une division par .
 Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique .

Propriétés 
Les propriétés suivantes sont vraies pour toute fonction  satisfaisant à la définition ci-dessus:

Symétrie : La valeur de  est invariante par permutation de ses arguments.

Point fixe : .

Croissance :  est croissante en chacun de ses arguments (puisque  et  sont monotones de même sens).

Continuité :   est continue en chacun de ses arguments (puisque  est continue).

Substitution : n'importe quel sous-ensemble de  arguments peut être remplacé par sa -moyenne répétée  fois, sans changer le résultat de la -moyenne globale. Si l'on note  on a ainsi:

Partitionnement (ou associativité) : Le calcul de la moyenne selon   peut être séparée en plusieurs calculs de sous-ensembles de même taille :

Auto-distributivité : Pour toute moyenne de Kolmogorov  de deux arguments, on a :
.

Médialité : Pour toute moyenne de Kolmogorov  de deux arguments, on a :
.

Équilibrage : Pour toute moyenne de Kolmogorov  de deux arguments, on a :
.

Théorème central limite : Sous conditions de régularité et pour un échantillon suffisamment grand,  suit approximativement une loi normale.

Invariance d'échelle : La moyenne de Kolmogorov est invariante par translation et homothétie de la fonction :
.

Caractérisation 
Il existe plusieurs ensembles de propriétés qui caractérisent la moyenne de Kolmogorov (c'est-à-dire que pour toute fonction  satisfaisant ces propriétés, il existe une fonction  telle que ).

 La médialité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov.
 L'auto-distributivité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov.
 Kolmogorov a démontré que les cinq propriétés de symétrie, point fixe, monotonicité, continuité et substitution caractérisent entièrement une moyenne de Kolmogorov .
 Équilibrage: Une question intéressante consiste à savoir si cette propriété peut remplacer celle de substitution dans l'ensemble de Kolmogorov, c'est-à-dire si les cinq propriétés de symétrie, point fixe, monotonicité, continuité et équilibrage suffisent à caractériser une moyenne de Kolmogorov.  a démontré dans les années 1930 que la réponse, en général, est non , mais qu'il suffit d'ajouter l'hypothèse que  soit analytique pour que ce soit le cas.

Homogénéité 
Les moyennes sont habituellement homogènes, mais pour presque toutes les fonctions , la moyenne selon   ne l'est pas. En fait, les seules moyennes de Kolmogorov homogènes sont les moyennes d'ordre p. Voir Hardy–Littlewood–Pólya, page 68.

La propriété d'homogénéité peut cependant être obtenue en normalisant les arguments par une moyenne (homogène) .

Cependant, cette modification peut violer les propriétés de monotonicité et de partitionnement.

Références

Voir aussi

Bibliographie 
 
 
 
 .

Articles connexes 
 Moyenne d'ordre p
 Inégalité de Jensen
 Moyenne de Stolarsky
 Moyenne de Lehmer

quasi-arithmétique