Distribución de Weibull

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por  y aplicada por primera vez por  para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.

Definición

Función de Densidad 
Si  es una variable aleatoria continua, se dice que  tiene una distribución Weibull con parámetros  y escribimos  si su función de densidad es

donde  es el parámetro de forma y  es el parámetro de escala de la distribución. 

La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:

 Un valor  indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.  
 Cuando , la tasa de fallos es constante en el tiempo.
 Un valor  indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

Función de Distribución 
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria  es

para .

Propiedades 
Si  entonces

 La tasa de fallos (hazard) es

 El -ésimo momento de  es

 La función generadora de momentos de  está dada por

 La media de la variable aleatoria  es

 La varianza de la variable aleatoria  es 

 La moda de la variable aleatoria  para  es

 La asimetría y curtosis de  están dadas por

y 

donde .

Distribuciones Relacionadas 

 La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura. Tiene función de densidad

para , donde  es el parámetro de forma,  es el parámetro de escala y , el de localización.  Coincide con la habitual cuando .

 Si  entonces . 
 Si  entonces , es decir  tiene una distribución de Rayleigh. 

 La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando  varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando  la densidad tiende a  cuando  se aproxima a  y la densidad tiene forma de J. Cuando  la densidad tiene un valor finito en  x=0. Cuando  la densidad se anula en , tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando  la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando  la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme  crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en .

 La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme estándar, si  entonces . Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.

 La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.

Aplicaciones 
La distribución de Weibull se utiliza en:
 Análisis de la supervivencia
 En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes 

 Teoría de valores extremos
 Meteorología
 Para modelar la distribución de la velocidad del viento (frecuencia con la que se dan diferentes velocidades de viento)
 En telecomunicaciones
 En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida
 En energía solar, para modelar la distribución de irradiación solar anual
 En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas

En la hidrología, se utiliza la distribución de Weibull para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos, y además para describir épocas de sequía.
 
El imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Weibull a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Véase también 
 Distribución exponencial de Weibull
 Módulo de Weibull
Distribución exponencial
Distribución gamma
Distribución de Rayleigh

Referencias

Bibliografía 
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Enlaces externos 
 The Weibull distribution (con ejemplos, calculadora, etc.)
 The Weibull plot
 Papel para representar gráficamente la distribución de Weibull
 Mathpages - Análisis de Weibull
 La distribución de Weibull con Excel
 The SOCR Resource proporciona Interfaz interactivo para la distribución de Weibull.

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Weibull, a una serie de datos:
 Easy fit , "data analysis & simulation" 
  
 ModelRisk, "risk modelling software"
 Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005 
 Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
 StatSoft distribution fitting  
 CumFreq  , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial
  Calcular la probabilidad de una distribución de Weibull con R (lenguaje de programación)
 Calculadora - Distribución de Weibull

Distribuciones continuas
Análisis de la supervivencia
Epónimos relacionados con las matemáticas