Разложение Шура

Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названное именем Исая Шура.

Утверждение 
Если  является квадратной матрицей порядка  с комплексными элементами, то её можно представить в виде:

 

где  — унитарная матрица (так что её обратная  является эрмитово-сопряжённой  матрицы ), а  — верхняя треугольная матрица, которая называется формой Шура матрицы . Поскольку  подобна матрице , она имеет то же мультимножество собственных значений, а поскольку она треугольна, эти собственные значения совпадают с диагональными элементами матрицы .

Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность -инвариантных подпространств  и упорядоченный ортогональный базис, такие что линейная комбинация первых  базисных векторов даёт  для всех  в последовательности. Иными словами, первая часть говорит, что линейное отображение  на комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует весь флаг .

Доказательство 
Конструктивное доказательство разложения Шура следующее: любой оператор  в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение , соответствующее собственному пространству . Пусть  — ортонормальное дополнение. При таком ортогональном разложении  имеет матричное представление (можно выбрать любые ортонормальные базисы  и  для натянутых на них пространств  и  соответственно):

 ,

где  — тождественный оператор на . Полученная матрица треугольна за исключением блока . Но точно ту же процедуру можно совершить для подматрицы , которая рассматривается как оператор на  и её подматрицы. Продолжив процедуру  раз, пространство  будет исчерпано и построение даст желаемый результат.

Особенности 
Хотя любая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае такое разложение не единственно. Например, собственное пространство  может иметь размерность более 1, и в этом случае любой ортонормальный базис для  даст желаемый результат.

Треугольная матрица  может быть представлена в виде суммы диагональной  и строго верхней треугольной : . Строго верхняя треугольная матрица нильпотентна. Диагональная матрица  содержит собственные значения матрицы  в случайном порядке. Нильпотентная часть  в общем случае также не уникальна, но её норма Фробениуса единственным образом определяется матрицей , так как норма Фробениуса матрицы  равна норме Фробениуса матрицы .

Если  является нормальной, то её форма Шура  диагональна, а столбцы матрицы  разложения  будут собственными векторами матрицы . Таким образом, разложение Шура обобщает спектральное разложение. В частности, если  является положительно определённой, её разложение Шура, её спектральное разложение и её сингулярное разложение совпадают.

Коммутативное семейство матриц  может быть приведено к треугольному виду одновременно, то есть существует унитарная матрица , такая что для любой  из данного семейства выполнено  является верхней треугольной. Конечное утверждение доказывается индукцией. Как следствие, любое коммутативное семейство нормальных матриц может быть приведено к диагональному виду.

В бесконечномерном случае не всякий ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако приведение к треугольному виду произвольной квадратной матрицы обобщается для компактных операторов. Любой компактный оператор в банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление 
Декомпозиция Шура заданной матрицы выполняется QR-алгоритмом или его вариантами. С использованием таких алгоритмов для разложения Шура нет необходимости заранее вычислять корни характеристического многочлена, соответствующего матрице. И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. Таким же образом QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Все необходимые алгоритмы реализованы, в частности, в библиотеке Lapack.

Приложения 
Из разложения Шура следуют некоторые важные результаты , в частности:
 любой обратимый оператор содержится в подгруппе Бореля,
 любой оператор фиксирует точку на .

Обобщённое разложение Шура 
Обобщённое разложение Шура двух квадратных матриц  и  — согласованная пара разложений обеих матриц  и , где  и  — унитарны, а  и  — треугольные. Обобщённое разложение Шура иногда называется также QZ-разложением.

Обобщённые собственные значения , решающие задачу обобщённых значений  (где  — неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов  к соответствующит элементам . То есть, -е обобщённое собственное значение  удовлетворяет равенству .

Примечания

Литература 
 

Матрицы
Разложения матриц