Mouvement brownien

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un liquide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant les mouvements spontanés de grains de pollen de Clarkia pulchella en suspension, puis de diverses autres plantes.

La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :
 entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ;
 la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.

Ce mouvement permet de décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de diffusion. Il est aussi très utilisé dans des modèles de mathématiques financières.

Aspects historiques 
Le philosophe et poète latin Lucrèce (60 av. J.-C.) donne une remarquable description du mouvement des particules selon les principes d'Épicure dans son œuvre De la nature des choses :

À l'été 1827, le naturaliste écossais Robert Brown aperçut dans le fluide situé à l’intérieur des grains de pollen de la Clarkia pulchella, de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques et non pas les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné. Brown n'est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l’existence d’un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de l'époque). Parmi ceux-ci, certains l’avaient effectivement décrit. On peut mentionner en particulier l’abbé John Turberville Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope, qui attribua ce mouvement à une activité vitale.

La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du . Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l’Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown (et justifie le nom de Mouvement Brownien).

En 1901, Louis Bachelier propose un premier modèle mathématique du mouvement brownien et l'applique à la finance.

En 1905, Albert Einstein donne une description quantitative du mouvement brownien et indique notamment que des mesures faites sur le mouvement permettent d'en déduire leur dimension moléculaire. Jean Perrin réalise ce programme et publie en 1909 une valeur du nombre d'Avogadro, ce qui lui vaut un prix Nobel en 1926. Il décrit également l'extrême irrégularité des trajectoires qui n'ont de tangente en aucun point. On peut trouver un célèbre dessin de Perrin d'observations de particules.

Dans cette même période, le physicien français Paul Langevin développe une théorie du mouvement brownien suivant sa propre approche (1908).

Norbert Wiener donne une définition mathématique en 1923 en construisant une mesure de probabilité sur l'espace des fonctions continues réelles. Il étudie, de manière mathématique, la continuité et non-dérivabilité des trajectoires du mouvement brownien. Il définit également l'intégrale de Wiener (l'intégrale par rapport au mouvement brownien).

En 1933, Paul Lévy démontre que le mouvement brownien est un cas particulier de martingale continue, notion inventée par Jean Ville en 1933, celui où le carré de ce mouvement soustrait de sa valeur temps reste une martingale. Il démontre également que ce cas particulier est le seul parmi les martingales à avoir ces deux propriétés. Ce faisant, il donne la définition du mouvement brownien, c'est-à-dire ses conditions nécessaires et suffisantes. En 1948, il publie le premier grand ouvrage sur le mouvement brownien Processus stochastiques et mouvement brownien. Il apporte alors de nombreux résultats.

Depuis, des études fines sur le mouvement brownien ont été réalisées par de nombreux auteurs. Citons Volker Strassen ainsi que Kiyoshi Itō, lequel développe un calcul différentiel spécifique au mouvement brownien : le calcul stochastique.

Plus récemment, David Baker et Marc Yor ont démontré, à partir du processus Carr-Ewald-Xiao décrit en 2008, que les descriptions de processus aléatoires temporels et continus, en particulier les flux financiers, par le mouvement brownien procédaient bien souvent d'une naïveté basée sur une définition empirique du mouvement brownien, les aléas ne pouvant pas toujours être définis de manières indépendantes c'est-à-dire que le drap brownien à n dimensions utilisé l'est abusivement dans un phénomène qui ne possède pas ces n dimensions.

Approche mathématique

Notion de processus stochastique 
La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n'y a pas de mouvement d'ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément :
 à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s'annule (il n'y a pas de mouvement d'ensemble) ;
 si l'on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle « virevolte » autour du même point.

Il est difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le . Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n'est pas la moyenne arithmétique des positions <X> mais la moyenne quadratique 
 : si x(t) est la distance de la particule à sa position de départ à l'instant t, alors :

On démontre que le déplacement quadratique moyen est proportionnel au temps :

où d est la dimension du mouvement (linéaire, plan, spatial), D le coefficient de diffusion, et t le temps écoulé.

Définition 
Un mouvement brownien est une martingale telle que
 cette martingale est continue dans le temps
 son carré soustrait de son temps est une martingale
 
 est un mouvement brownien si et seulement si  est une martingale continue telle que  est une martingale.

Descriptions dimensionnelles 

Définition uni-dimensionnelle

Le mouvement brownien unidimensionnel  est un processus stochastique dépendant du temps  et vérifiant :
 (accroissements indépendants) Quels que soient les temps  et  tels que , l'accroissement  est indépendant du processus  avant le temps .
 (accroissements stationnaires et gaussiens) Quels que soient les temps  et  tels que , l'accroissement  est une variable aléatoire normale de moyenne nulle et de variance .
  est presque sûrement continu, c'est-à-dire pour presque toute réalisation, la fonction  est continue.
 Il est souvent supposé que . On dit alors que le mouvement brownien est standard.

Définition équivalente

Le mouvement brownien unidimensionnel  est un processus stochastique dépendant du temps  et vérifiant :
 Le processus  est un processus gaussien, c'est-à-dire pour tous temps , le vecteur  est un vecteur gaussien.
  est presque sûrement continu. C'est-à-dire pour toute réalisation, la fonction  est continue.
 pour tous  et , la moyenne est  et la covariance est .

Définition multi-dimensionnelle

Le mouvement brownien d-dimensionnel est un processus  où les processus  sont des mouvements browniens indépendants.

Autrement dit le mouvement brownien d-dimensionnel est à valeurs dans  et ses projections sur les espaces  sont respectivement des mouvements browniens uni-, bi-, ..., d-1-dimensionnels.

Définition de la mesure de Wiener

Considérons  l'espace des fonctions continues de  dans  et  un espace probabilisé. Le mouvement brownien est l'application
 .
La mesure de Wiener (ou loi du mouvement brownien), souvent notée , est la mesure-image de  par cette application B.

Autrement dit, c'est la mesure de probabilité W sur  telle que pour tout ,
.

Remarques
 
 Le mouvement brownien est un processus de Lévy à accroissements gaussiens.
 Cette définition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, par exemple sa continuité (presque sûre), le fait que presque sûrement, la trajectoire n'est différentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés.
 On pourrait également définir le mouvement brownien par rapport à sa variation quadratique moyenne. Cette définition, classiquement appelée théorème de Lévy, donne la caractérisation suivante: un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est  est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une filtration donnée,  et  sont des martingales.

Propriétés 

 Les trajectoires du mouvement brownien sont presque sûrement nulle part dérivables, c'est-à-dire que pour presque tout , la fonction  est une fonction continue nulle part dérivable.
 La covariance est donnée par  pour tous réels s et t.
 Le mouvement brownien a la propriété de Markov forte : pour tout temps d'arrêt T, conditionnellement à , le processus  est un mouvement brownien indépendant du processus .
 Sa transformée de Fourier ou fonction caractéristique est donnée par  . On retrouve le fait que le mouvement brownien soit un processus de Lévy sans , sans sauts et de coefficient quadratique 1/2.
 Le mouvement brownien est homogène en temps : pour tout s > 0,  est un mouvement brownien indépendant de .
 Le processus -B est un mouvement brownien.
 Propriété de stabilité -  Pour tout c > 0, le processus  est un mouvement brownien. On dit que le mouvement brownien est stable d'indice 2.
 Inversion du temps - Le processus  qui s'annule en t=0 est un mouvement brownien.
 Récurrence Le mouvement brownien d-dimensionnel est récurrent si et seulement si d=1 ou d=2. C'est-à-dire
        si , l'ensemble  est non borné pour tout  et tout ,
        si  presque sûrement.
 Principe de réflexion

Construction mathématique 
Donnons d'autres manières de construire le mouvement brownien.

Au moyen du théorème de consistance de Kolmogorov 
Soit  une famille de fonctions à valeurs réelles appartenant à . Posons alors :

Alors, la fonction satisfait la propriété suivante :

 et tous , la matrice  est symétrique et semi-définie positive.

Au moyen du théorème de consistance de Kolmogorov, on peut construire un processus gaussien  dont la fonction moyenne m est arbitraire et dont la fonction de covariance est s définie au-dessus.

Lorsque  où  est une constante ne dépendant pas de t, et où  est la fonction indicatrice sur [0,t], il résulte de l'expression de s que pour tout  :

Dans ce cas-là, la matrice  est symétrique et définie positive pour tout  et  2 à 2 distincts.

On dit qu'un processus gaussien à valeurs réelles indexé par  est un mouvement brownien lorsque le processus est centré (i.e. l'application  est identiquement nulle) et que sa fonction de covariance s est donnée ci-dessus. D'habitude, un mouvement brownien est noté par .
Signalons que . Lorsque c = 1, le mouvement brownien est dit standard.

Au moyen d'une marche aléatoire 

Le théorème de Donsker (1951) montre qu'une marche aléatoire convenablement renormalisée converge en loi vers le mouvement brownien.
 
où [.] est la partie entière et les variables aléatoires (Un, n ≥ 1) sont iid, centrées, de carré intégrable et de variance . La convergence  est la convergence en loi dans l'espace C ([0,1]) des fonctions continues sur [0,1] muni de sa tribu borélienne.

Cette convergence donne une définition du mouvement brownien comme l'unique limite (en loi) de marches aléatoires renormalisées.

Au moyen d'une série de Fourier 

Donnons une construction du mouvement brownien fondée sur les séries de Fourier.

Soient deux suites indépendantes  et  de variables aléatoires indépendantes de loi normale . Le processus  défini par la série 

est un mouvement brownien.

Excursion brownienne 

Considérons  l'ensemble des zéros du mouvement brownien unidimensionnel (ensemble des temps où le mouvement brownien s'annule). Le complémentaire de  est une suite d'intervalles ouverts que l'on note . Chaque intervalle a une longueur notée .

Pour chaque n ≥ 1, on définit les processus  et  par 
  pour tout ,
  pour tout .

 est appelée l'excursion brownienne,  est l'excursion brownienne normalisée (voir le livre de Itô et McKean).

Les excursions sont soit "au-dessus" de 0 (s'il existe un t tel que ) soit "au-dessous" de 0 (s'il existe un t tel que ).

Propriétés

 Les excursions  sont indépendantes et de même loi. De même pour .  est markovien avec :
.

 Les signes des excursions sont indépendantes et de loi .
 Il existe des liens entre l'excursion brownienne et le pont brownien.

Estimation du nombre d'Avogadro 
La formule suivante permet de calculer le coefficient de diffusion d'un couple particule-fluide par la loi de Stokes-Einstein :
 
où T est la température, η la viscosité dynamique du fluide, r le rayon de la particule, k la constante de Boltzmann.

Considérations énergétiques 
La quantité d'énergie mise en œuvre par le mouvement brownien est négligeable à l'échelle macroscopique. On ne peut pas en tirer de l'énergie pour réaliser un mouvement perpétuel de seconde espèce, et violer ainsi le deuxième principe de la thermodynamique.

Toutefois, il a été démontré que certains processus biologiques à l'échelle cellulaire peuvent orienter le mouvement brownien afin d'en soutirer de l'énergie. Cette transformation ne contrevient pas au deuxième principe de la thermodynamique tant et aussi longtemps qu'un échange de rayonnement peut maintenir la température du milieu (système dissipatif) donc la vitesse moyenne des particules. Il faut aussi considérer que la dissipation de ce mouvement brownien sous forme d'énergie utilisable engendre une croissance de l'entropie globale du système (ou de l'univers).

Généralisations 
 Une généralisation naturelle est la feuille brownienne.
 Une généralisation est le processus de Lévy.

Quelques modélisations dans un espace euclidien

Équation de Langevin (1908) 

Dans l'approche de Langevin, la grosse particule brownienne de masse m animée à l'instant t d'une vitesse  est soumise à deux forces :
 une force de frottement fluide du type  , où k est une constante positive ;
 un bruit blanc gaussien  

Bruit blanc gaussien :

Un bruit blanc gaussien   est  un processus stochastique de moyenne nulle :

et totalement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :

Dans cette formule,  est une constante positive, et  est la distribution de Dirac.

Dans ces deux formules, la moyenne est prise sur toutes les réalisations possibles du bruit blanc gaussien. On peut formaliser ceci en introduisant une intégrale fonctionnelle, encore appelée intégrale de chemin d'après Feynman, définie pour la mesure gaussienne dite « mesure de Wiener ». Ainsi, on écrit :

où  est la dérivée de  par rapport au temps t.

Le principe fondamental de la dynamique de Newton conduit à l'équation stochastique de Langevin :

Processus d’Ornstein-Uhlenbeck 

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique 
décrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.

On le définit comme étant la solution  de l'équation différentielle stochastique suivante : 
, 
où  est un mouvement brownien standard, 
et avec  une variable aléatoire donnée.
Le terme  traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, 
alors que le terme  représente la force de frottement subie par la particule.

La formule d'Itô appliquée au processus  nous donne :
, 
soit, sous forme intégrale :

Par exemple, si  vaut presque sûrement , 
la loi de  est une loi gaussienne de moyenne  et de variance , 
ce qui converge en loi quand  tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.

Marches aléatoires 

On peut aussi utiliser un modèle de marche aléatoire (ou au hasard), où le mouvement se fait par sauts discrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. Si les xi sont les positions successives d'une particule, alors on a après n sauts :

Marche aléatoire à une dimension d'espace (Exemple) 
Considérons la marche aléatoire d'une particule sur l'axe Ox. On suppose que cette particule effectue des sauts de longueur a entre deux positions contigües situées sur le réseau :  de maille a sur l'axe, chaque saut ayant une durée .

Il faut encore se donner un nombre p tel que : 0 < p < 1. L'interprétation physique de ce paramètre est la suivante :
 p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la droite à chaque instant ;
 q = 1 - p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la gauche à chaque instant.

Le cas du mouvement brownien correspond à faire l'hypothèse disotropie spatiale. Toutes les directions de l'espace physique étant a priori équivalentes, on pose l'équiprobabilité :

La figure ci-dessous montre un exemple typique de résultat : on trace les positions successives x(k) de la particule aux instants k, partant de la condition initiale x(0)=0.

 Probabilités de transition conditionnelle 
On définit la probabilité de transition conditionnelle :

comme étant la probabilité de trouver la particule au site ma à l'instant  sachant qu'elle était au site na à l'instant initial 0.

L'hypothèse d'isotropie conduit à écrire la loi d'évolution de cette probabilité de transition conditionnelle :

On en déduit la relation suivante :

 Convergence vers le mouvement brownien. Équation de Fokker-Planck 
Prenons la limite continue de l'équation précédente lorsque les paramètres : 

 
 

On verra à la fin du calcul que la combinaison  doit en fait rester constante dans cette limite continue.

Il vient, en réintroduisant le paramètre adéquat pour faire un développement limité :

D'autre part, on peut écrire :

de telle sorte que le crochet se réduise à :

On en déduit l'équation de Fokker-Planck :

qu'on peut réécrire :

en introduisant le coefficient de diffusion :

 Solution de l'équation de Fokker-Planck 
En plus de l'équation de Fokker-Planck, la densité de probabilité de transition conditionnelle  doit vérifier les deux conditions supplémentaires suivantes :
 la normalisation des probabilités totales :

 la condition initiale :

où  est la distribution de Dirac.

La densité de probabilité de transition conditionnelle  est donc essentiellement une fonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. On peut démontrer qu'elle s'écrit explicitement :

Moments de la distribution :

Posons  pour simplifier. La densité de probabilité de transition conditionnelle  permet le calcul des divers moments :

La fonction  étant paire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. On peut facilement calculer tous les moments d'ordre pair en posant :

et en écrivant que :

On obtient explicitement :

On retrouve notamment pour le moment d'ordre deux :

 Mouvement brownien sur une variété riemannienne 
On appelle mouvement brownien sur une variété riemannienne V le processus stochastique continu markovien dont le semigroupe de transition à un paramètre est engendré par , où  est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété V .

 Notes et références 

 Bibliographie 
 Aspects historiques 
 Jean Perrin, Mouvement brownien et réalité moléculaire, Annales de Chimie et de Physique 19 (), (1909), 5-104. Possibilité de consulter et de télécharger le texte complet au format pdf depuis le site Gallica de la BNF.
 
 Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, Dover Publications, Inc. (1985), . Réédition des articles originaux d’Einstein sur la théorie du mouvement brownien. 
 Jean-Pierre Kahane, Le mouvement brownien - Un essai sur les origines de la théorie mathématique, Séminaires et Congrès de la SMF (1998), vol 3., 

 Mouvement brownien dans l'espace euclidien
 Bertrand Duplantier ; Le mouvement brownien, Séminaire Poincaré : Einstein, 1905-2005 (Paris, 8 avril 2005). Texte complet disponible ici.
 Bernard Derrida et Eric Brunet, Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, dans : Michèle Leduc & Michel Le Bellac (éditeurs) ; Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (janvier 2005), .
 Jean-François Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Springer, 2013
 Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires, cours du Magistère de mathématiques de l'ENS (2005). Le dernier chapitre (14) est une introduction au mouvement brownien. Format pdf.
 Jean-François Le Gall, Mouvement brownien et calcul stochastique, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1996 et 1997). Format pdf.
 Jean-François Le Gall, Mouvement brownien, processus de branchement et superprocessus, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1994). Format pdf.
 Paul Lévy, Processus stochastiques et mouvement brownien, Gauthier-Villars ( - 1965). Réédité par Jacques Gabay (1992), .
 Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf.
 Mark Kac, Integration in Function Space and some of Its Applications, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Texte au format  pdf.
 Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton University Press (1967). Texte au format pdf.
 Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion,  ed., New York Springer (1999) .

 Mouvement brownien sur une variété riemannienne
 Elton P. Hsu ; Stochastic Analysis on Manifolds, American Mathematical Society (janvier 2002), .
 Elton P. Hsu ; A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (2003). Cours donné à Kyoto, disponible au format pdf.
 Mark A. Pinsky ; Isotropic transport process on a Riemannian manifold, Transaction of the American Mathematical Society 218 (1976), 353-360.
 Mark A. Pinsky ; Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ?, Expositiones Mathematicae 2 (1984), 263-271.
 Nicolas Th. Varopoulos ; Brownian motion and random walks on manifolds, Annales de l'Institut Fourier 34(2) (1984), 243-269. Texte disponible au format pdf.
 Alexander Grigor'yan ; Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds'', Bulletin of the American Mathematical Society 36(2)''' (1999), 135-249. Texte en ligne.

Articles connexes

Liens externes 
  Article de blog sur le mouvement brownien
   Thermogramme du mouvement brownien visible en surface d'un bol d'eau chaude