Polinomio positivo

En matemáticas, un polinomio positivo en un conjunto dado es un polinomio cuyos valores son positivos en aquél conjunto.

Sea p un polinomio en n variables con coeficientes reales y sea S un subconjunto del espacio vectorial n-dimensional euclidiano ℝn. Decimos que:

 p es positivo en S si p(x) > 0 para toda x en S.
 p es no-negativo en S si p(x) ≥ 0 para toda x en S.
 p es cero en S si p(x) = 0 para toda x en S.

Para ciertos conjuntos S, hay descripciones algebraica de todos los  polinomios que son positivos, no-negativos, o cero en S.  Tal descripción es un positivstellensatz, nichtnegativstellensatz, o nullstellensatz. Este artículo se centrará en la primera de estas descripciones. Para la última de estas, véase Hilbert Nullstellensatz, el cual es el nullstellensatz más conocido.

Ejemplos de positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz) 

 Polinomios globalmente positivos y su descomposición en suma de cuadrados .
 Cada polinomio real en una variable y con  grado par es no-negativo en ℝ si y sólo si  es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable.  Esta equivalencia no se puede generalizar para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio Motzkin  es no-negativo en  pero no es una suma de cuadrados de elementos de .
 Un polinomio real en n variables es no-negativo en  si y sólo si es una suma  de cuadrados de funciones racionales reales en n variables (léase el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin).
 Supongamos que  es homogéneo de grado par. Si  es positivo en , entonces existe un entero m tal que  es una suma de cuadrados de elementos de .
 Polinomios positivos en politopos.
 Para polinomios de grado ≤ 1  tenemos la variante siguiente de Lema de Farkas: Si  tienen grado ≤ 1 y para toda  que satisface , entonces existen números reales no negativos  tales que .
 Teorema de Pólya: Si  es homogéneo y  es positivo en el conjunto , entonces existe un entero  tal que  tiene coeficientes no negativos.
 Teorema de Handelman: Si  es un politopo compacto en un espacio Euclidiano de dimensión , definido por las desigualdades lineales , y si  es un polinomio en  variables que es positivo en , entonces  puede ser expresado como combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de elementos del conjunto .
 Polinomios positivos en conjuntos semialgebráicos.
 El resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle.
 Para conjuntos semialgebráicos compactos, tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen, el positivstellensatz de Putinar, y el positivstellensatz de Vasilescu. Un punto común entre estos es que ningún denominador se necesita.
 Para conjuntos semialgebráicos de buen comportamiento y de dimensión baja, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores.

Generalizaciones de positivstellensatz 
Positivstellensatz también existen para polinomios trigonométricos, polinomios matriciales, polinomios en variables libres, varios polinomios cuánticos, et cétera [cita faltante].

Referencias 

 Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Real Algebraic Geometry. Traducido del texto original francés en 1987. Revisado por los autores. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 36. Springer-Verlag, Berlín, 1998. x+430 pp. .
 Marshall, Murray. "Positive polynomials and sums of squares". Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. .

Notas

Véase también 
 Suma de cuadrados (SOS) Polinomial
 El decimoséptimo problema de Hilbert
Geometría Algebraica Real