Дифференцирование тригонометрических функций

Дифференцирование тригонометрических функций — это математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin′(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла.

Все производные круговых тригонометрических функций могут быть найдены из производных sin(x) и cos(x) с помощью , применяемого к таким функциям, как tan(x) = sin(x)/cos(x). Зная эти производные, можно производные от обратных тригонометрических функций найти с помощью неявного дифференцирования.

Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения.

Доказательства производных тригонометрических функций

Предел sin(θ)/θ при стремлении θ к 0 

На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OK образуют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ — это небольшое положительное число, скажем, 0 < θ < ½ π в первом квадранте.

На схеме пусть R1 будет треугольником OAK, R2 — круговым сектором OAK и R3 — треугольником OAL. Тогда площадь треугольника OAK:

Площадь кругового сектора OAK — это , а площадь треугольника OAL определяется как

Поскольку каждый объект содержится в следующем, мы имеем:

Более того, поскольку  в первом квадранте, мы можем разделить на ½ , получив:

На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство.

Мы пришли к выводу, что для 0 < θ < ½ π выражение  будет всегда меньше 1 и всегда больше cos(θ). Таким образом, чем ближе θ к 0, тем сильнее  становится "сжатым" между потолком на высоте 1 и полом на высоте , который стремится к 1; следовательно, sin(θ)/θ стремится к 1, когда θ стремится к 0 с положительной стороны:Для случая, когда θ — это небольшое отрицательное число -½ π <θ <0, мы используем тот факт, что синус — это нечётная функция:

Предел (cos(θ)-1)/θ при стремлении θ к 0 
Последний раздел позволяет нам относительно легко рассчитать этот новый предел. Это делается простым трюком. В этом расчёте знак θ неважен.

С использованием  факт, что предел произведения является произведением пределов, а предельный результат из предыдущего раздела, мы находим, что:

Предел tan(θ)/θ при стремлении θ к 0 
Используя предел для функции синуса и то, что функция тангенс нечётна и предел произведения является произведением пределов, мы находим:

Производная функции синуса

Из определения производной 
Мы рассчитываем производную функции синуса из определения предела:

Используя формулы сложения углов , мы имеем:

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

Из производной гиперболических функций 
Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

,

т.к.

Производная функции косинуса

Из определения производной 
Мы снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела:

Используя формулу сложения углов , мы имеем:

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

Из производной гиперболических функций 
Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

Из цепного правила 
Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на три следующих факта:

Первое и второе — это тригонометрические тождества, а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:

Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило. Положив , мы имеем:
.

Таким образом, мы доказали, что
.

Производная функции тангенса

Из определения производной 
Чтобы вычислить производную функции тангенса tan θ, мы используем первые принципы. По определению:

Используя известную формулу угла , мы имеем:

Используя тот факт, что предел произведения является произведением пределов:

Используя предел для функции тангенса и тот факт, что tan δ стремится к 0, поскольку δ стремится к 0:

Сразу видим, что:

Из производной гиперболических функций

Из правила частного 
Также можно вычислить производную функции тангенса, используя правило частного:

Числитель можно упростить до 1 с помощью пифагорового тождества, что даёт нам:

Следовательно,

Доказательства производных обратных тригонометрических функций 
Следующие производные можно найти, установив переменную y равной обратной тригонометрической функции, от которой мы хотим взять производную. Используя неявное дифференцирование и затем решая для dy/dx, производная обратной функции будет найдена в терминах y. Чтобы преобразовать dy/dx обратно в термины x, мы можем нарисовать эталонный треугольник на единичной окружности, положив θ равным y. Используя теорему Пифагора и определение обычных тригонометрических функций, мы наконец можем выразить dy/dx через x.

Дифференцирование функции арксинуса 
Пусть

где

Тогда

Взяв производную по  с обеих сторон и решив для , имеем:

Подставляя сверху , имеем:

Подставляя сверху , имеем:

Из производной обратной гиперболической функции

Дифференцирование функции арккосинуса 
Пусть

где

Тогда

Взяв производную по  с обеих сторон и решив для , имеем:

Подставляя сверху , получаем:

Подставляя сверху , получаем:

В качестве альтернативы, как только производная от  установлена, производная от  сразу следует путём дифференцирования тождества  так, что .

Из производной обратной гиперболической функции

Дифференцирование функции арктангенса 
Пусть

где

Тогда

Взяв производную по  с обеих сторон и решив для , имеем:

Левая сторона:
, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

Следовательно,

Подставляя сверху , получаем:

Из производной обратной гиперболической функции

Дифференцирование функции арккотангенса 
Пусть

где

Тогда

Взяв производную по  с обеих сторон и решив для , имеем:

Левая сторона:
, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

Следовательно,

Подставляя , получаем:

Из производной обратной гиперболической функции

Дифференцирование функции арксеканса

Использование неявного дифференцирования 
Пусть

Тогда

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секанса и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал  всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

Использование цепного правила 
В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила.

Пусть

где
 and 

Тогда, применяя цепное правило к , имеем:

Дифференцирование функции арккосеканса

Использование неявного дифференцирования 
Пусть

Тогда

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал  всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

Использование цепного правила 
В качестве альтернативы, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила.

Пусть

где
 and 

Тогда, применяя цепное правило к , имеем:

См. также 
 Тригонометрия
 Математический анализ
 Производная функции
 Таблица производных

Примечания

Литература 
 , Под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, Серия по прикладной математике, 55 (1964)
 

Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения