Действия с числовыми рядами

Действия с числовыми рядами — некоторые (арифметические или перестановочные) манипуляции с одним или несколькими числовыми рядами. Эти действия могут сохранять или нарушать вид сходимости.

Сохраняющий условную сходимость 
Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, то есть сохраняют сумму ряда, только если она существует):

Линейная комбинация рядов 
Если ряды  и  сходятся, то сходится и ряд  (α, β — постоянные), при этом

Группировка членов ряда 
Сгруппируем слагаемые ряда , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Другие

Перемножение рядов 

Пусть имеются два ряда  и . 

Чтобы их перемножить, нужно, как и в случае конечных сумм, взять все попарные произведения  и сложить. Однако, в отсутствие абсолютной сходимости, существенную роль играет порядок сложения этих чисел, поэтому существует несколько различных правил перемножения рядов, отличающихся этим порядком, а также определённой группировкой слагаемых. Так, например, по разным правилам перемножаются степенные (мультистепенные) ряды, ряды Дирихле, ряды Фурье и другие виды рядов. Результатом перемножения рядов (A) и (B) является ряд (C): , где  - сумма некоторой группы членов . 

Для применения произведений рядов важно, чтобы соблюдалось ключевое правило (принцип мультипликативности суммы ряда): Сумма ряда-произведения должна быть равна произведению сумм рядов-множителей.

Это, однако, не всегда так - мультипликативность имеет место лишь при определённых условиях. Примеры произведений и условий выполнимости принципа мультипликативности:

1. Прямое произведение рядов - простейшее и естественнейшее (но не общепринятое!) правило перемножения рядов. В этом случае
 - по определению;
 (частичная сумма ряда-произведения равна произведению соответствующих частичных сумм рядов-множителей);
Мультипликативность:  - всегда, как только сходятся ряды (A) и (B) (сходимость ряда (C) будет обеспечена в этом случае автоматически).

2. Правило Коши перемножения рядов (соответствует правилу перемножения степенных рядов, также является общепринятым для рядов общего вида):
 - по определению;
Мультипликативность: , при одном из условий:
если сходятся все три ряда (A), (B), (C) (условие Абеля); 
ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие Мертенса).

3. Правило Дирихле - применяется для перемножения рядов специального вида (ряды Дирихле)
 - по определению;
Мультипликативность: , при условии, что ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие Мертенса).

Пример, когда ряды (A) и (B) сходятся (неабсолютно), а их произведение по правилу Коши - расходится: , при . 

Тогда, если , то , и модуль общего члена ряда  не стремится к нулю.

Перестановка членов ряда 
 Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд (теорема о перестановке ряда).
 Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного действительного числа (а также для , ) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к этому числу (расходится к , ), либо предел последовательности частичных сумм не будет существовать (теорема Римана).

См. также 
 Методы интегрирования

Ряды