Propriétés métriques des droites et des plans

En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type  où  est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme  où  est différent de (0, 0, 0).

La droite dans le plan euclidien

Droite, pente et vecteur directeur 

Si la droite (D) d'équation  n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées y, donc si v n'est pas nul, alors elle possède une équation sous la forme
 
avec

La pente d'une droite est le réel .

Si l'on appelle  l'angle entre l'axe des abscisses x et la droite (D),  peut se déduire par :
 

Le vecteur  est un vecteur directeur de (D), Le vecteur  est un autre vecteur directeur.

Vecteur normal à une droite 

Soit  un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

et  un point spécifique de (D), on a :
 

En retranchant (2) à (1) on obtient :

En notant , le vecteur de coordonnées , on exprime (1) comme suit :

La droite d'équation  est donc orthogonale au vecteur . Le vecteur  est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Si la droite (D) n'est pas parallèle à l'axe y, elle peut être donnée par une équation de type :
 
Le vecteur  est un vecteur normal à (D).

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné 

Soit un point  et un vecteur  non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par  et orthogonale à , si et seulement si :
 
La droite D, passant par  et orthogonale à , a donc pour équation :

Distance algébrique d'un point à une droite 

Soit H le point projeté de  sur D, qui est donc tel que  est orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :
 
En valeur absolue :

Équation normale d'une droite 

Dans le repère , notons  un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur  représente alors l'angle. On note d'autre part  la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

Angles de deux droites 

Soit D et D deux droites d'équations

 
L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

Intersection de deux droites 
Soit les droites (D1) et (D2) d'équations cartésiennes respectives :

alors :
 si  : les droites sont confondues ;
 si  : les droites sont strictement parallèles ;
 si  : les droites sont sécantes et les coordonnées du point d'intersection sont une solution du système formé par (1) et (2).

Faisceau défini par deux droites 

Le faisceau est l'ensemble des droites d'équation :
 

En posant  ;
 .

On a alors trois cas :
 si D et D se coupent en un point unique A, le faisceau  est l'ensemble des droites passant par A.
 si D et D sont strictement parallèles, le faisceau  est l'ensemble des droites strictement parallèles à D.

Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèles 

Les droites d'équations :

 ,

 , et

 

sont concourantes ou parallèles si :

La droite dans l'espace euclidien

Distance d'un point à une droite quelconque de l'espace

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans 

Dans l'espace, on étudie la droite définie par l'intersection de deux plans d'équations :

Le plan (Q) perpendiculaire à (P1) appartient au faisceau de plans .

(Q) sera perpendiculaire à (P1) pour 

Soient H1, HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur (P1), (Q) et (D), on en déduit .

On calculera MH1 et MHQ comme détaillé plus bas.

Cas où la droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul 
La distance MH est donnée par

Droites orthogonales à un plan 
Le plan étant défini par l'équation , les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur .
Une droite D passant par le point  et perpendiculaire à  a pour équations :

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

Distance entre deux droites quelconques de l'espace 

Soient la droite (D) passant par  et de direction le vecteur  et (D) la droite passant par  et de direction 

Si les vecteurs  et  sont indépendants, le volume du solide construit sur  est égal à |k|. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :
 
L'aire de la base du solide est donnée par
  tel que 
La distance entre les deux droites est alors égale à 

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M1 de la droite D0.

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur normal à un plan 

Soit  un point du plan (P) dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

Pour  un point spécifique de P on obtient :

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

En notant , le vecteur de coordonnées (u, v, w), on exprime (1bis) comme suit :

Le plan P d'équation  est donc orthogonal au vecteur  et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Si le coefficient w n'est pas nul, alors le plan ne contient pas de droite parallèle à l'axe z et l'équation du plan peut s'écrire :

avec a = -u/w, b = -v/w et c = -h/w. Le vecteur de composantes (-a, -b, 1) est un vecteur normal au plan.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné 

Soit un point  et un vecteur  non nul. Le point M appartient au plan P, passant par  et orthogonal à , si et seulement si :
 
Le plan P, passant par  et orthogonal à , a donc pour équation : :

Distance algébrique d'un point à un plan 

Soit H le projeté de  sur (P) avec  orthogonal à (P).

La droite perpendiculaire à (P) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et (P) est donnée par :
 
En valeur absolue :

Angles de deux plans 

Soient (P) et (P) deux plans d'équations

L'angle géométrique (P, P) est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux 

Du point de vue de l'application numérique, la forme avec le cosinus est plus précise lorsque l'angle est proche de , et la forme avec le sinus est plus précise lorsque l'angle est proche de .

Cas particulier : angle de plus grande pente 

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan quelconque et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire (rectiligne) d'une bille circulant librement sur ce plan quelconque et le plan horizontal.
Étant donné l'équation d'un plan horizontal : 
L'angle de plus grande pente est donné par :

Plans perpendiculaires 

Les plans (P) et (P) sont perpendiculaires si les vecteurs normaux  et  sont orthogonaux, ce qui implique

Intersection de deux plans 
Soit les plans (P) et (P) d'équations cartésiennes respectives :

Alors :
 si  : les plans sont confondus ;
 si  : les plans sont strictement parallèles ;

En dehors des cas précédents, les deux plans sont sécants. Leur droite commune a pour équation les équations des deux plans.

Faisceau de plans 

Le faisceau de plans défini par les plans P et P est l'ensemble des plans solution de l'équation :

 

En posant  ;
  (avec la condition P = 0 alors λ correspond à l'infini).

 si (P) et (P) se coupent en une droite (D, le faisceau  est l'ensemble des plans passant par (D).
 si (P) et (P) sont strictement parallèles, le faisceau  est l'ensemble des plans strictement parallèles à (P).

Condition pour que trois plans aient une droite commune ou soient parallèles 

Soit les plans d'équation :

S'il existe , ,  non tous nuls tels que :

  pour tous x, y et z

Cette relation exprime que (P) et (P) sont les plans de base du faisceau contenant (P).

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 

Soient un point  et deux vecteurs  et  non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan (P) passant par  et de directions  et  si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que . Cette égalité exprime que  sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

Son équation est :

que l'on peut écrire sous la forme

Plan défini par deux points et un vecteur 

Soient deux points  et un vecteur  non colinéaire à .

Le point M appartient au plan passant par  et de direction  si et seulement si les trois vecteurs : sont coplanaires, donc :

Son équation est :

Plan défini par trois points non alignés 

Soient , trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :

Articles connexes 

 Déterminant (mathématiques)
 Calcul vectoriel en géométrie euclidienne
 Dérivation vectorielle
 Plan (mathématiques)
 Équation de droite
 Surface (mathématiques)

Géométrie euclidienne
Espace vectoriel
Formulaire de mathématiques