Intégrabilité

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de l'intégration, on dit qu'une fonction  à valeurs réelles ou complexes est intégrable sur  lorsque  existe et est finie. A ne pas confondre avec le fait que  existe et est finie qui n'implique pas nécessairement l'intégrabilité.

La notion d'intégrale et d'intégrabilité dépend de la théorie de l'intégration (manière de construire l'intégrale) que l'on considère. Il existe plusieurs types d'intégrales, les plus connues et utilisées étant l'intégrale de Riemann (équivalente à l'intégrale de Darboux) et l'intégrale de Lebesgue.

Au sens de Riemann 

Au sens de Riemann, une fonction  possède une intégrale finie si et seulement si elle est intégrable, c'est-à-dire, si et seulement si  possède une intégrale finie aussi. En réalité, dans la définition de l'intégrale au sens de Riemann, il est fréquent que la Riemann-intégrabilité soit définie comme le fait d'avoir une intégrale finie.

Pour les intégrales de Riemann généralisées à un intervalle quelconque, cette équivalence n'est plus vérifiée. Si  possède une intégrale finie (au sens des intégrales impropres de Riemann) alors il n'est pas forcément vrai que  possède une intégrale finie aussi. En revanche le fait que  existe et est finie implique toujours que  existe et est finie.

Critères d'intégrabilité 
 Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
 Une combinaison linéaire de fonctions intégrables est intégrable, et ce, sur un intervalle quelconque.
 Si  sont intégrables sur l'intervalle fermé  alors

 Pour tout  continue, la composée  est intégrable sur .
 Le produit  est intégrable sur .
 Le minimum  est intégrable sur .
 Le maximum  est intégrable sur .

 Si  sont positives, localement intégrables et que de plus  quand  alors l'intégrabilité de  sur  entraîne celle de . On remarquera que  est vérifié si par exemple  ou  quand .
 Soit  un intervalle d'intérieur non vide dont les extrémités gauches et droites sont notées  et . Supposons que  et  sont finies. Si  est localement intégrable et a des limites finies en  et  alors  est intégrable sur .

Exemples et contre-exemples 
 La fonction indicatrice des rationnels n'est intégrable sur aucun intervalle d'intérieur non vide.
 La fonction  définie par  et  pour tout  n'est pas intégrable sur  (au sens de Riemann), car elle n'y est même pas bornée, en revanche, elle est intégrable sur  (au sens impropre de Riemann) car  converge lorsque x tend vers 0.
 La fonction  n'est pas intégrable sur  alors qu'elle y admet une intégrale impropre convergente (cette intégrale s'appelle l'intégrale de Dirichlet).
 Critère de Riemann : la fonction  est intégrable sur  si et seulement si . Cette même fonction est intégrable sur  si et seulement si .
 Critère de Bertrand : la fonction  est intégrable sur  si et seulement si  ou ( et ). Cette même fonction est intégrable sur  si et seulement si  ou ( et ).

Au sens de Lebesgue 

Soient  un espace mesuré et  une fonction sur , à valeurs dans  ou ℂ et -mesurable. On dit que  est Lebesgue-intégrable sur  si

Intégrabilité au sens de Kurzweil-Henstock

Notes 

Théorie de l'intégration