Регрессия Деминга

В статистике регрессия Деминга, названная именем У. К. Деминга, — это вид , которая пытается найти прямую наилучшего сглаживания для двумерного набора данных. Регрессия отличается от  в том, что она принимает во внимание  в наблюдении как по оси x, так и по оси y. Регрессия является частным случаем метода наименьших полных квадратов, которая рассматривает любое число показателей и имеет более сложную структуру ошибок.

Регрессия Деминга эквивалентна оценке максимального правдоподобия на , в которой ошибки двух переменных считаются независимыми и имеют нормальное распределение, а отношение их дисперсий, δ, известно . На практике это отношение может быть оценено из исходных данных. Однако процедура регрессии не принимает во внимание возможные ошибки в оценке отношений дисперсии.

Регрессия Деминга лишь слегка сложнее . Большинство статистических пакетов, используемых в клинической химии, предоставляют регрессию Деминга.

Модель первоначально была предложена Адкоком, который рассматривал случай δ = 1, а затем рассматривалась в более общем виде Куммеллем  с произвольным δ.  Однако их идеи оставались большей частью незамеченными более 50 лет, пока их не возродил Купманс и позднее распространил Деминг.  Книга последнего стала столь популярной в клинической химии и связанных областях, что метод в этих областях получил название регрессия Деминга.

Спецификация 

Предположим, что данные (yi, xi) являются значениями, полученными в ходе измерений "истинных" значений (yi*, xi*), которые лежат на регрессионной прямой:
 
где ошибки ε и η независимы и отношение их дисперсий, известно:
 

На практике дисперсии параметров  и  часто неизвестны, что усложняет оценку . Заметим, что когда метод измерения  и  тот же самый, эти дисперсии, скорее всего, равны, так что в этом случае .

Мы пытаемся найти прямую "наилучшего сглаживания"
 
такую, что взвешенная сумма  квадратов остатков минимальна

Решение 
Решение может быть выражено в терминах моментов второго порядка. То есть мы сначала вычисляем следующие величины (все суммы берутся по i = 1 : n):
 

Наконец, параметры оценки методом наименьших квадратов будут:

Ортогональная регрессия 
В случае равенства дисперсий ошибок, т.е. в случае , регрессия Деминга становится ортогональной регрессией — она минимизирует сумму квадратов . В этом случае обозначим каждую точку выборки zj на комплексной плоскости (т.е. точка  (xj, yj) выборки записывается как zj = xj + iyj, где i — мнимая единица).  Обозначим через Z сумму квадратов разностей от точек выборки до центра тяжести (также представленного в комплексных координатах). Центр тяжести — это среднее точек выборки. Тогда:

 Если Z = 0, то любая прямая, проходящая через центр тяжести, является прямой наилучшего ортогонального сглаживания.
 Если Z ≠ 0, прямая наилучшего ортогонального сглаживания проходит через центр тяжести и параллельна вектору из начала координат в .

Тригонометрическую интерпретацию прямой наилучшего ортогонального сглаживания дал Кулидж в 1913.

Приложения 

В случае трёх неколлинеарных точек на плоскости треугольник, образованный этими точками, имеет единственный вписанный эллипс Штейнера, который касается сторон треугольника в средних точках.  Главная ось этого эллипса будет ортогональной регрессией этих трёх вершин.

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Регрессионный анализ