Suite de Fibonacci aléatoire

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, une suite de Fibonacci aléatoire est l’analogue probabiliste de la suite de Fibonacci, définie par la relation de récurrence
,
où les signes + et − sont choisis aléatoirement avec des probabilités indépendantes 1/2 pour les indices . Par un théorème général de Harry Kesten et Hillel Furstenberg, des suites récurrentes aléatoires de ce type ont une croissance exponentielle, mais le calcul explicite du taux de croissance est difficile. En 1999, Divakar Viswanath a montré que le taux de croissance de la suite de Fibonacci aléatoire est 1,1319882487943... (), une constante mathématique appelée ultérieurement la constante de Viswanath.

Description 
Une suite de Fibonacci aléatoire , avec  est déterminée par la relation de récurrence aléatoire :

.

Un tirage d'une suite de Fibonacci aléatoire commence par 1,1 ; la valeur de chaque terme suivant est déterminée par un tirage au sort équitable : pour deux éléments consécutifs de la suite, l'élément suivant est leur somme ou leur différence ou l'opposé de l'une ou de l'autre, avec la même probabilité 1/4, indépendamment des choix effectués précédemment. Si, dans la génération de la suite de Fibonacci aléatoire, c'est le signe plus qui est choisi à chaque étape, le tirage donne la suite de Fibonacci  usuelle :

 .

Comme dans le cas déterministe, une suite de Fibonacci aléatoire peut être décrite au moyen de matrices :

,

où les signes sont choisis indépendamment pour les différentes valeurs de  avec la même probabilité pour + et –. On obtient

,

où  est une suite de matrices indépendantes et identiquement distribuées.

Taux de croissance 
Par la formule de Binet :

,

on voit que le taux de croissance des nombres de Fibonacci est égal au nombre d'or .

En 1960, Hillel Furstenberg et Harry Kesten ont montré que pour une classe générale de produits de  matrices aléatoires, la norme matricielle croit en  pour un certain . Leur résultat s'applique à une vaste classe de processus de génération de séquences aléatoires qui inclut la suite aléatoire de Fibonacci. En conséquence, la racine -ième de  converge presque sûrement vers une certaine valeur . Une valeur approchée de cette limite,

,
a été calculée par Divakar Viswanath en 1999. Le calcul utilise la formule de Furstenberg pour l'exposant de Liapounov d'un produit de matrices aléatoires et l'intégration d'une certaine mesure fractale sur l'arbre de Stern-Brocot. Viswanath a calculé la valeur numérique en arithmétique en virgule flottante, validée par une analyse de l'erreur d'arrondi.

Extensions 

Plusieurs variantes existent, dont les versions

  ou 
ou encore :
  et  ;
dans cette dernière formulation, l'une ou l'autre des formules est choisie, avec même probabilité.

La constante d'Embree-Trefethen est une valeur critique dans le comportement des suites aléatoires pour la relation de récurrence

 

pour différentes valeurs de .

Application 
La séquence de Fibonacci intervient aussi dans la description d'une stratégie de jeu pour la roulette.

Notes et références

Liens externes 
 
 

Constante mathématique
Théorie des nombres
Suite d'entiers
Combinatoire