Fonction lemniscatique

En mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de  Weierstrass dont les invariants sont  et . Dans le cas des fonctions lemniscatiques, ces périodes ( et ) sont liées à la constante de Gauss   ; on a  (où  est la fonction gamma).

Fonctions sinus et cosinus lemniscatiques 
Le sinus lemniscatique (en latin ) et le cosinus lemniscatique (en latin ) (notés  ou  et  ou ) sont des analogues des fonctions sinus et cosinus usuelles, en remplaçant le cercle par une lemniscate (de Bernoulli). Elles sont définies (puis prolongées par symétrie et périodicité) par 

et
 (les fonctions trigonométriques usuelles peuvent être définies de même, en remplaçant  par ).
Leurs prolongements analytiques au plan complexe sont des fonctions elliptiques doublement périodiques, de périodes  et , où  est la constante de Gauss donnée par  et  l'unité imaginaire ; la demi-période  (analogue du nombre  en trigonométrie) est souvent notée . Les graphes des deux fonctions ont des symétries et des relations entre eux analogues à celles des graphes des fonctions trigonométriques (en remplaçant  par ) ; en particulier  (symétrie par rapport à l'axe d'équation ).

Longueur d'un arc de lemniscate 

La lemniscate de Bernoulli, d'équation cartésienne , est formée des points dont le produit des distances aux deux points ,   (les foyers) est  constant et vaut  . La longueur   de l'arc le plus court allant de l'origine à un point situé à la distance   de cette origine est donnée par  et par conséquent les fonctions lemniscatiques donnent la distance à l'origine en fonction de la longueur des arcs.

Propriétés algébriques 
On a entre le sinus et le cosinus lemniscatique la relation 
, qu'on peut réécrire 
.

On a également des formules d'addition  :

qui s'écrivent aussi :
, où  est la dérivée de sl (voir la section suivante).

En utilisant la fonction arc tangente, ces formules se simplifient en :

très proches sous cette forme des formules d'addition des fonctions trigonométriques.

Dérivées 
Ces fonctions ont les dérivées suivantes :

,

d'où l'on déduit les dérivées secondes :

Ces fonctions sont solutions de l'équation différentielle 

Utilisant la fonction arc tangente, on a les relations plus simples :

.

Valeurs remarquables 
On a les valeurs remarquables du sinus lemniscatique suivantes (on rappelle que  est la demi-période) :

La relation  permet d'en déduire les valeurs de  ; par exemple, on peut obtenir par simple symétrie :
.

Fonctions réciproques 

La fonction réciproque de la fonction sinus lemniscatique, notée , est définie par la relation , valable dans des intervalles convenables (la restriction de  aux intervalles [-1,1] et  étant une bijection). On voit aisément, en revenant à la définition, que  est la primitive de la fonction  qui s'annule en 0 ; cette primitive est une intégrale elliptique de première espèce, valant plus précisément .

Voir aussi 
Constante de Gauss

Références

Liens externes 
 

Fonction elliptique
Analyse complexe