Распределение Пуассона

Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение 
Выберем фиксированное число  и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:
 ,
где
  — количество событий,
  — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
  обозначает факториал числа ,
  — основание натурального логарифма.
Тот факт, что случайная величина  имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием , записывается: .

Моменты 
Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:
 ,
откуда
 ,
 .

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:
 ,
где  Фигурные же скобки обозначают Числа Стирлинга второго рода. 

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона 
 Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда
 .

 Пусть , и . Тогда условное распределение  при условии, что , биномиально. Более точно:
 .

 C увеличением  распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением  и сдвигом .   Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора  в окрестности  и тем,   что в пределах пика распределения . Тогда получается

Асимптотическое стремление к распределению 
Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого  выполнено  при .

Простейшим примером является случай, когда  имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха  в каждом из  испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами 
Рассмотрим последовательность случайных величин  принимающих целые неотрицательные значения. Если  при  и любом фиксированном  (где  — -й факториальный момент), то для всякого  при  выполнено .

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к  распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном -вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью .

История 
Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах», в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.

См. также 
 Биномиальное распределение
 Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе

Примечания

Литература 
  — С. 135.

Ссылки 
 Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор

Дискретные распределения
Решётчатые распределения