Théorème des fonctions implicites

En mathématiques, le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie différentielle. Certaines courbes planes sont définies par une équation cartésienne, c'est-à-dire une équation de la forme , où  et  décrivent les nombres réels. Le théorème indique que si la fonction  est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction  de ℝ dans ℝ au moins aussi régulière que  telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction  sont confondus. Plus précisément, si  vérifie l'équation, si  est continûment différentiable et si sa dérivée partielle par rapport à  en  n'est pas nulle alors, au voisinage de , la courbe s'identifie au graphe de .

Ce théorème admet une variante plus générale, qui s'applique non plus au plan, mais à des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets. Il équivaut au théorème d'inversion locale, qui indique qu'une fonction différentiable et « suffisamment régulière » est localement inversible (c'est une conséquence directe d'un théorème du point fixe).

Ce théorème est utilisé dans différentes branches des mathématiques, sous cette forme ou sous celle de l'inversion locale. Il permet de démontrer le théorème des extrema liés ; il intervient dans un contexte plus géométrique, pour l'étude des sous-variétés différentielles ; on le trouve encore pour l'étude des équations différentielles où il est, entre autres, utilisé à travers le théorème du redressement d'un flot, permettant de démontrer le théorème de Poincaré-Bendixson. Il dépasse le cadre des mathématiques : les physiciens ou les économistes en font usage, lorsque certaines variables ne peuvent être définies à l'aide d'une fonction, mais uniquement implicitement à l'aide d'une équation.

Dimension 2 

Avant d'énoncer le théorème sous sa forme générale, prenons l'exemple de la dimension 2 :

La condition  n'est pas explicitée car elle n'est qu'un cas particulier de l'équivalence. La dérivée de  au point x est donnée par la formule :
.

Des exemples sont détaillés dans l'article « Fonction implicite ».

Énoncé 

Il est utile d'étendre ce résultat sur des surfaces et non plus sur des courbes, voire sur des espaces vectoriels dont la dimension n'est pas nécessairement finie. On trouve cette version plus générale :

Remarques 
 L'existence d'un tel ouvert Ω signifie que le graphe de  est un ouvert de l'ensemble des zéros de f, ce qui garantit automatiquement l'unicité de , au sens suivant :
 L'unicité sur un ouvert connexe quelconque (même convexe) contenant x est trivialement fausse : si f est définie sur ℝ par f(x, y) = x – y et si x = y = 1,  et  sont deux solutions distinctes définies sur ℝ.
 L'ouvert Ω peut être choisi de la forme V×W.

Dimension supérieure

Multiplicateur de Lagrange 

Le théorème des fonctions implicites peut aussi être vu comme un outil pour démontrer des résultats, comme le théorème des extrema liés. On se place ici sur un ouvert U d'un espace de Banach E et l'on cherche les extrema d'une fonction f restreinte à un sous-ensemble  défini par une contrainte , où  et  sont supposées continument différentiables et la différentielle dg(a) en chaque point a de S est supposée surjective.

Le théorème des extrema liés indique qu'en chaque point a de S où f est extrémale, la différentielle de f est une combinaison linéaire des différentielles des g. Le théorème des fonctions implicites permet de montrer simplement ce résultat, en considérant localement S comme le graphe d'une fonction  définie sur un ouvert V du noyau de dg(a). Le problème se ramène ainsi à l'étude des extrema ordinaires de la fonction , et l'on sait qu'une condition nécessaire d'extremum en un point de V est la nullité de la différentielle de cette fonction en ce point. C'est en répercutant sur f et g cette condition qu'on aboutit au résultat.

Variété différentielle 

Une sous-variété différentielle de dimension d de Rn où n et d sont des entiers tels que 0 < d < n, permet de généraliser les notions de courbes ou de surfaces « lisses et régulières » de dimension 2. Les termes de « lisse et régulier » sont des métaphores pour désigner le fait que les objets considérés n'ont pas d'arête ou de point double. L'objet de ce paragraphe concerne les figures à l'image d'une sphère, qui est une variété différentielle de dimension 2, mais pas d'un cube, qui contient des points singuliers.

Le voisinage d'un point O dans une sous-variété M de dimension d de Rn possède la propriété d'être semblable, au sens du difféomorphisme, à un ouvert de Rd. On peut l'exprimer de la manière suivante : il existe un homéomorphisme , continument différentiable de Rd dans un ouvert de M contenant le point O et la différentielle de  en un point quelconque est de rang d. Autrement dit, il existe un « bon » paramétrage d'un voisinage de O dans M. Il est aussi possible d'exprimer cette propriété à l'aide d'une équation cartésienne. Il existe un ouvert V de Rn et une fonction ψ de V dans Rn–d continument différentiable et dont les différentielles sont surjectives, tels que M∩V soit l'ensemble des points x qui vérifient l'équation ψ(x) = 0, ce qui donne une définition locale à l'aide d'une équation cartésienne.

L'équivalence de ces deux points de vue se démontre dans un sens avec le théorème des fonctions implicites, la réciproque est plus aisée avec le théorème d'inversion locale.

Supposons que l'on dispose d'une équation paramétrique ψ1(x) = 0 sur le voisinage U. La différentielle de ψ1 en x0, coordonnées du point O, est de rang d et possède un noyau K de dimension n - d et un supplémentaire H de ce noyau de dimension d, d'après le théorème du rang. Tout élément de U s'écrit de manière unique comme égal à une somme x0 + h + k et l'on peut choisir un ouvert UH de H contenant le vecteur nul et un ouvert UK de H contenant le vecteur nul tel que x0 + UH + UK soit contenu dans U. L'application ψ de UH×UK dans Rd, qui à (h, k) associe ψ1(x0 + h + k) satisfait aux hypothèses du théorème des fonctions implicites, d'où l'existence d'un paramétrage locale du voisinage de O, construit sur le voisinage UH.

On suppose maintenant que l'on dispose d'une représentation paramétrique locale du voisinage de O, c'est-à-dire une application  de Rd dans Rn dont l'image est un voisinage de O dans la variété. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. La droite bleue représente Rd, la portion de courbe la variété contenant le point O est représentée en rouge. On identifie Rd avec le sous-espace vectoriel de Rn dont les n - d dernières coordonnées sont nulles. L'image de la différentielle de  au point x0 est un sous-espace vectoriel de dimension d, on considère Ha un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel. On appelle Hd le sous-espace de Rn ayant les d premières coordonnées nulles. Les sous-espaces Ha et Hd ayant même dimensions, ils sont isomorphes ; soit  un tel isomorphisme. On considère maintenant l'application  de U×Hd dans Rn, qui à x0 + h + k associe . Ici, h désigne un vecteur de Rd et k un vecteur de Ha. L'application  est continument différentiable et sa différentielle au point x0 est un isomorphisme. Le théorème d'inversion locale montre qu'il existe un ouvert W contenant O et une application ψ1 de W dans Rn différentiable et qui soit localement une réciproque de . L'image de l'intersection de la variété et de W est incluse dans Hd, si l'ouvert W est choisi suffisamment petit. Il suffit, pour conclure, de composer ψ1 par l'application linéaire qui, à un vecteur de Rn, associe le vecteur de Rn–d constitué des n - d dernières coordonnées du vecteur d'origine. Si ψ est cette application composée, sur un voisinage de O, la variété est définie par l'équation ψ(x) = 0.

Théorème du redressement d'un flot 

Le théorème des fonctions implicites joue un rôle pour l'étude des équations différentielles. On le trouve à divers endroits, dont le théorème du redressement d'un flot. Considérons l'équation différentielle autonome (1) :

Ici f désigne une fonction continument différentiable définie sur U, un ouvert d'un espace de Banach E et à valeurs dans E. Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre l'existence d'une unique fonction flot  qui prend ses valeurs dans un ouvert V inclus dans R×U et à valeurs dans E, telle que la fonction qui à t associe  soit l'unique solution de l'équation (1) avec la condition de Cauchy s(0) = x.

Un exemple de flot, au voisinage V1 d'un point x0 de U est illustré en rouge à droite. Si l'on considère l'intersection de V1 avec un hyperplan affine contenant x0 et dont la direction ne contient pas f(x0), on obtient la « pastille » illustrée en rouge et jaune. Pour l'étude locale d'un flot, la configuration équivalente au-dessous, en bleu est plus simple. Si la fonction f est constante, sur un voisinage de la pastille V, pour un point x de V, les solutions de l'équation différentielle (1) sont décrites par le flot  où  est le vecteur constant image de f, sur un voisinage de V.

Une conséquence du théorème du redressement est l'existence d'un difféomorphisme ψ défini sur un voisinage W de x tel que :
.

Autrement dit, il est possible de « redresser » le flot  à l'aide d'un difféomorphisme ψ, ce qui permet une étude locale plus aisée de l'équation différentielle (1). La démonstration de ce résultat est fondée sur le fait que la fonction flot est aussi continument différentiable. La restriction de  à W×]–μ, μ[ possède au point (0, x0) une différentielle inversible. Le théorème d'inversion locale permet de conclure. Ce résultat est utilisé, par exemple dans la démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson.

Théorème de Cauchy-Lipschitz 

Le théorème précédent est une application directe du théorème d'inversion locale, à la condition de disposer d'un résultat non immédiat. Si la fonction f du paragraphe précédent est de classe C1, alors le flot l'est aussi. Ce résultat porte généralement le nom de théorème de Cauchy-Lipschitz. Cette forme sophistiquée du théorème est traitée dans l'article détaillé. De manière indépendante, deux mathématiciens Pugh et Robbin ont trouvé une même démonstration élémentaire. Elle consiste à étudier l'application T qui à un couple (x, σ) associe une fonction. Ici x est un élément de U avec les notations du paragraphe précédent et σ une fonction d'un petit intervalle contenant O. L'application est définie de la manière suivante :

La solution intégrale s, qui à t associe  vérifie l'égalité T(x, s) = 0. Il est relativement simple de montrer que T satisfait les hypothèses du théorème des fonctions implicites, ce qui montre que la fonction qui à x associe la courbe intégrale  est de classe C. À partir de là, il est simple d'en déduire le caractère C.

Cette démonstration montre la pertinence du deuxième énoncé, très général, du théorème des fonctions implicites proposé dans cet article. En analyse fonctionnelle et à l'image du résultat de ce paragraphe, il est utile de pouvoir choisir les variables dans un Banach.

Théorème des fonctions implicites holomorphes 

Si on s'intéresse aux fonctions holomorphes à une ou plusieurs variables, on dispose d'une variante du théorème des fonctions implicites appelée théorème des fonctions implicites holomorphes.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Article connexe
Submersion

Liens externes

Bibliographie 

Fonctions implicites
Application différentiable