Théorie spectrale des graphes

En mathématiques, la théorie spectrale des graphes s'intéresse aux rapports entre les spectres des différentes matrices que l'on peut associer à un graphe et ses propriétés. C'est une branche de la théorie algébrique des graphes. On s'intéresse en général à la matrice d'adjacence et à la matrice laplacienne normalisée.

Matrices décrivant un graphe

Matrice d'adjacence 
Soit un graphe , où  désigne l'ensemble des sommets et  l'ensemble des arêtes. Le graphe possède  sommets, notés  et  arêtes, notées . Chaque élément de la matrice d'adjacence  du graphe  est défini par :

Matrice des degrés et laplacienne 
La matrice des degrés  est une matrice diagonale où les éléments  correspondent au nombre de liens du sommet , c'est-à-dire à son degré. En utilisant cette matrice et la précédente, on peut également définir la matrice laplacienne non normalisée .

On obtient sa forme normalisée  par , où  est la matrice identité. On obtient aussi  directement par chacun de ses éléments :

Matrice d'incidence 
Enfin, la matrice d'incidence  d'un graphe  est la matrice de dimensions  dans laquelle l'élément  vaut 1 si le sommet  est une extrémité de l'arête , et 0 sinon. On a l'ensemble de relations suivantes, où  désigne la matrice identité :
 
 Pour la matrice d'adjacence du line graph , 
 Pour la matrice d'adjacence du graphe de subdivision ,

Notion de spectre, et de polynôme caractéristique 
Le spectre d'une matrice est l'ensemble de ses valeurs propres ; si elles sont réelles, nous convenons de les classer : . Par extension, on parle du spectre du graphe. On rappelle que la multiplicité algébrique d'une valeur propre  est la puissance du monôme  dans le polynôme caractéristique (c'est-à-dire la multiplicité de la racine dans le polynôme caractéristique). Il est également possible de modifier le polynôme caractéristique pour prendre en compte d'autres propriétés du graphe : on considère par défaut le polynôme  (appelé polynôme caractéristique du graphe), mais on peut aussi s'intéresser à des variantes telles que  ou .

Spectre de la matrice d'adjacence 
La matrice du graphe est définie positive, et elle ne peut être réduite si le graphe est connexe. Dans le cas d'un graphe non orienté, la matrice est symétrique et hermitienne, c'est-à-dire que  où  est la matrice adjointe de . La trace de la matrice est égale au nombre de boucles : en effet, un élément sur la diagonale indique la présence d'une boucle et la trace est la somme de ces éléments. Nous avons les propriétés suivantes :
 Le rayon spectral  de la matrice, c'est-à-dire sa plus grande valeur propre, satisfait  pour un graphe connexe. La borne inférieure est atteinte dans le cas où le graphe est un chemin et la supérieure est atteinte pour le graphe complet.
 Si le graphe est -régulier alors  et la multiplicité de  donne le nombre de composantes connexes.
 Le graphe ne contient un cycle de longueur impaire que si  est aussi une valeur propre.
 S'il y a  valeurs propres distinctes, alors le diamètre  satisfait .
 La taille  du stable maximum satisfait  où  sont respectivement le nombre de valeurs propres inférieures, égales ou supérieures à 0.
  où  est le nombre chromatique et  la plus petite valeur propre.

Spectre de la matrice laplacienne normalisée 
La valeur propre  est appelée la connectivité algébrique du graphe. Les propriétés essentielles du spectre sont résumées ci-dessous :
 .
  si le graphe est connexe.
 Si  et que G est un graphe complet alors , sinon .
 Si le graphe est connexe alors . Si  et  alors  a exactement  composantes (i.e. graphes connexes).
  .
Le théorème de Kirchhoff (aussi appelé ) donne une relation entre le nombre d'arbres couvrants et la matrice laplacienne.

Applications

Analyse des réseaux 
La plupart des mesures effectuées sur des réseaux concernent le coefficient de clustering, la distance moyenne ou la distribution des degrés : l'utilisation des techniques spectrales est minoritaire, mais « les expériences en pratique suggèrent que l'analyse spectrale peut être bien adaptée aux données irrégulières [...] tandis que le coefficient de clustering est bien adapté pour les données plus régulières (et a donc été utilisé abondamment par les physiciens pour l'étude des grilles, cristaux, etc.) ». En particulier, le spectre de différents échantillons de l'Internet au niveau des routeurs a été mesuré : les auteurs de l'étude ont observé des différences au niveau géographique, proposant comme explication que le réseau en Amérique du Nord soit à un stade plus avancé que celui d'Asie et d'Europe; ces mesures ont aussi été comparées à celles relevées sur des modèles visant à être représentatifs de propriétés trouvées dans l'Internet, et essentiellement aucun des modèles ne correspondait à l'Internet au niveau du spectre.

Partitionnement de graphe 

L'analyse des vecteurs propres de la matrice laplacienne du graphe dans ce que l'on appelle la méthode spectrale, permet de trouver une partition du graphe. On parle de partitionnement spectral. Cette méthode a des applications dans des domaines aussi divers que la répartition de tâches en calcul parallèle, la segmentation d'image, la résolution de systèmes linéaires, etc.

Notes et références

Liens externes 
 

Algèbre linéaire
Théorie algébrique des graphes