Integral exponencial

En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo  Ei.

Definiciones 
Para valores reales de , la integral exponencial  se define como

Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de , pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en . En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.

Se utiliza la siguiente notación,

Para valores positivos de la parte real de , esto se puede expresar como

El comportamiento de E1 cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:

Propiedades 

Las propiedades de la exponencial integral mostradas, en ocasiones, permiten sortear él la evaluación explícita de la función a partir de la definición dada arriba.

Series Convergentes 

Tras integrar la serie de Taylor de , y extraer la singularidad logarítmica, se puede obtener la siguiente representación en forma de serie de  para  real:

Para argumentos complejos fuera del eje real, esta serie se generaliza a

donde  es la constante de Euler-Mascheroni. La suma converge para todo  complejo, y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con el corte de rama a lo largo del eje real negativo.

Series Asintóticas 

Por desgracia, la convergencia de las series mostradas arriba es muy lenta para argumentos con gran módulo. Por ejemplo, para , se necesitan más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con 3 cifras significativas. Sin embargo, existe una serie asintótica divergente que puede ser obtenida a partir de la integración de  por partes:

cuyo error es del orden  y es válida para grandes valores de . El error relativo de la serie asintótica se muestra en la gráfica de la derecha para varios valores de  ( en rojo,  en rosa). Cuando , la aproximación dada con  es exacta en representación de doble precisión, de 64 bits.

Comportamiento exponencial y logarítmico: Cotas 

De las series dadas arriba, se deduce que  se comporta como una exponencial negativa para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores del mismo. Para valores reales positivos del argumento,  queda acotada superior e inferiormente por funciones elementales como sigue:

La parte izquierda de la desigualdad se muestra en la gráfica de la izquierda en azul, la parte central, que es , es la curva negra y la parte de la derecha es la curva roja.

Definición mediante  

Las funciones  y  pueden ser escritas de forma más simple mediante la función entera  definida como

(nótese que esta es la serie alternante que aparecía en la definición de ). Se sigue inmediatamente que:

Relación con otras funciones 

La integral exponencial está altamente relacionada con la función logaritmo integral  por la siguiente relación

para valores positivos reales de .

La integral exponencial se puede generalizar a 

que es una familia de funciones que puede representarse como un caso especial de la función gamma incompleta:

 

Esta forma generizada se llama a veces función de Misra function , que se define como

Derivadas 

Las derivadas de las funciones  pueden ser obtenerse mediante el uso de la fórmula

Nótese que la función  es sencilla de evaluar (dando un término inicial a la relación recursiva), pues es .

Integral Exponencial de argumento imaginario 

Si  es imaginario, la función tiene una parte real no nula, así podemos usar la fórmula

para obtener una relación de la exponencial integral con las integrales trigonométricas  y :

Las partes real e imaginaria de  están dibujadas en la gráfica de la derecha en negro y rojo respectivamente.

Aplicaciones 

 Transmisión de calor con dependencia temporal
 Flujo de aguas subterráneas fuera del equilibrio en la solución de Theis
 Transferencia radiativa en atmósferas estelares
 Ecuación de difusividad radial para flujos transitorios o de flujo no estacionario entre fuentes y sumideros con forma de línea recta.

Referencias

Véase también 
 Logaritmo integral
 Seno integral
 Coseno integral
 Constante de Gompertz

Bibliografía 
 
 
 
 
  contiene códigos para calcular  y , a partir de p.222.

Enlaces externos 
 
 
 Formulas and identities for Ei

Exponenciales
Funciones especiales
Integrales