Целая часть

В математике, целая часть вещественного числа  — округление  до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (), или пол (). Наряду с полом существует парная функция — потолок () — округление  до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры 

Впервые квадратные скобки () для обозначения целой части числа  использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности. Это обозначение считалось стандартным, пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил округление числа  до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок»  и обозначать  и  соответственно.

В современной математике используются оба обозначения,  и , однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, , однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x) = –INT(x), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:

Определения 
Функция «пол»  определяется как наибольшее целое, меньшее или равное :
 

Функция «потолок»  — это наименьшее целое, большее или равное :
 

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):

Свойства 

В формулах, записанных ниже, буквами  и  обозначены вещественные числа, а буквами  и  — целые.

Пол и потолок как функции вещественной переменной 

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:
 

Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:
 полунепрерывной сверху и
 непрерывной справа.

Функция потолок является:
 полунепрерывной снизу и
 непрерывной слева.

Связь функций пол и потолок 

Для произвольного числа  верно неравенство
 

Для целого  пол и потолок совпадают:
 

Если  — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:
 

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

Пол/потолок: неравенства 
Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами
:
 
Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

Пол/потолок: сложение 
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
:
 

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

Пол/потолок под знаком функции 
Имеет место следующее предложение:

Пусть  — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:
 
Тогда
 
всякий раз, когда определены .

В частности,
 
если  и  — целые числа, и .

Пол/потолок: суммы 
Если  — целые числа, , то

 

Вообще, если  — произвольное вещественное число, а  — целое положительное, то
 

Имеет место более общее соотношение
:
 

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно  и , то справедлив следующий закон взаимности:

Разложимость в ряд 
Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:
 
где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду
 
который расходится.

Применение 
Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа 
Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно

Округление 

Ближайшее к  целое число может быть определено по формуле

Бинарная операция mod 

Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если  — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления  на  равно
 ,
а остаток

Дробная часть 

Дробная часть вещественного числа  по определению равна

Количество целых точек промежутка 
Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами  и , то есть количество целых чисел , удовлетворяющий неравенству
 
В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно
 .
Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами  и , равное .

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже
.
 
 
 
 
(Через  обозначена мощность множества ).

Первые три результата справедливы при всех , а четвёртый — только при .

Теорема Рэлея о спектре 

Пусть  и  — положительные иррациональные числа, связанные соотношением

 

Тогда в ряду чисел
 
каждое натуральное  встречается в точности один раз.
Иными словами, последовательности
  и ,
называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда.

В информатике

В языках программирования 
Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка  floor(), ceil().

В системах вёрстки 
В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка , , ,  существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

Примечания

См. также 
 Дробная часть
 Округление
 Десятичный разделитель

Литература 
 
 

Теория чисел
Элементарная математика
Кусочно-линейные функции