Предельный цикл

Предельный цикл — это один из возможных вариантов стационарного состояния системы в теории динамических систем и дифференциальных уравнений; предельным циклом векторного поля на фазовой плоскости или, более обобщённо, на каком-либо двумерном многообразии называется замкнутая (периодическая) траектория  этого векторного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени. 

Теоремы Пуанкаре — Бендиксона и Андронова — Понтрягина утверждают, что типичная система с непрерывным временем на плоскости (физически говоря — состояние которой задаётся двумя вещественными параметрами, скажем, напряжением и током, или положением и скоростью точки на прямой) может стремиться только к положению равновесия или к предельному циклу.

Динамика в окрестности предельного цикла 
 
Как следует из определения, с каждой из сторон предельный цикл является либо отталкивающим, либо притягивающим. Если поведение с обеих сторон одинаково — цикл называется соответственно отталкивающим или притягивающим. Если же с одной стороны происходит притяжение, а с другой отталкивание — говорят о полуустойчивом цикле.

Поведение траекторий, близких к предельному циклу, описывается отображением Пуанкаре на отрезке, трансверсальном к циклу, — для этого отображения точка, соответствующая циклу, является неподвижной. Так, цикл является притягивающим или отталкивающим тогда и только тогда, когда эта точка соответственно притягивающая или отталкивающая. Цикл называется гиперболическим, если соответствующая неподвижная точка гиперболична — то есть, имеет производную, отличную от . В этом случае, если производная по модулю больше 1, цикл неустойчив, если меньше — устойчив.

Стоит отметить, что обычно — в частности, для динамики на плоскости или на сфере (вообще, исключая только случай динамики на неориентируемом многообразии) — отображение Пуанкаре сохраняет ориентацию, поэтому часто говорят просто о производной отображения Пуанкаре, не оговаривая отдельно взятие её модуля.

Гиперболические предельные циклы не разрушаются малыми возмущениями — если у исходного векторного поля был гиперболический предельный цикл, то у любого поля, -близкого к нему, также найдётся близкий к исходному гиперболический предельный цикл.

Бифуркации

Седлоузловая бифуркация 

Наиболее простой бифуркацией, связанной с предельными циклами, является седлоузловая бифуркация: два гиперболических предельных цикла, отталкивающий и притягивающий, сближаются. В момент бифуркации они сливаются, образуя один полуустойчивый цикл, который при дальнейшем изменении параметра исчезает.

С точки зрения комплексификации (в случае аналитического векторного поля) эта бифуркация может рассматриваться как уход предельного цикла в комплексную область.

Катастрофа голубого неба 

Однако на бутылке Клейна или при рассмотрении комплексифицированных предельных циклов возможна и более сложная бифуркация — так называемая катастрофа голубого неба. А именно, при стремлении параметра к критическому значению длина (одного!) предельного цикла начинает нарастать, стремясь к бесконечности, и поэтому он не продолжается на сам момент бифуркации.

Физический пример: осциллятор Ван дер Поля 

 Осциллятор Ван дер Поля
 Van der Pol oscillator  в Scholarpedia.

16-я проблема Гильберта 

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. В отличие от первой — алгебраической — части, требующей описать расположение овалов алгебраической кривой заданной степени, даже для квадратичных векторных полей неизвестно существование равномерной оценки сверху на число предельных циклов.

См. также 
 Седлоузловая бифуркация
 Бифуркация Андронова — Хопфа
 Катастрофа голубого неба
 Шестнадцатая проблема Гильберта
 Гипотеза Аносова

Литература 
 
 Ю. С. Ильяшенко, Динамические системы и философия общности положения, М.:МЦНМО, 2007, ISBN 978-5-94057-353-1
 Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354

Динамические системы
Дифференциальные уравнения