K-teoría

La teoría K o K-teoría es una teoría inicialmente desarrollada para estudiar sistemáticamente el estudio de haces coherentes en variedades algebraicas y los fibrados vectoriales en variedades diferenciales.

Definiciones 

Sea X un espacio topológico compacto y Vect(X,C,n) el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados complejos de rango n sobre X, este conjunto tiene la estructura de un monoide abeliano con la suma de Whitney de fibrados vectoriales. Análogamente, Vect(X,R,n) para fibrados reales. Las sumas directas para cada  dan lugar a los monoides abelianos de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales

La teoría K compleja K(X) asociada a X se define como el grupo de Grothendieck asociado al primer monoide, mientras que la teoría K real KO(X) asociada a X es la compleción del segundo monoide. Los elementos de la teoría K son fibrados virtuales.

La teoría K real se llama también ortogonal. El origen de la denominación es la palabra klasse, refiriéndose al concepto de clase en alemán.

El producto tensorial de fibrados vectoriales dota a K(X) y KO(X) de la estructura de anillo conmutativo. Alternativamente, Vect(X,C,n) es un semi-anillo respecto el producto tensorial y la compleción de Grothendieck da lugar a este mismo anillo. Si  es una aplicación continua entre espacios topológicos, el pull-back de fibrados vectoriales por f induce morfismos de anillos

Se puede comprobar que dos aplicaciones  homotópicas inducen el mismo morfismo . Estas propiedades se pueden sintetizar diciendo que las asignaciones

definen functores contravariantes de la categoría de espacios topológicas con morfismos clases de homotopía de aplicaciones a la categoría de anillos y morfismos de anillos.

Teoría K reducida 

La teoría-K compleja y real de un punto X=pt. es isomorfa a los enteros Z, el isomorfismo dado por el rango. Dado un punto  se induce un morfismo de K(X) a Z y se define la K-teoría reducida de un espacio X como

Nótese que la teoría-K reducida de X es un ideal de la K-teoría de X y dado que no es isomorfo al anillo total no contiene la identidad, el fibrado de línea trivial. Además, se tiene

Ejemplos 

En  el fibrado tangente del espacio proyectivo real satisface la ecuación

con  denota el fibrado tautológico y  denota la clase del fibrado trivial de rango 1. En efecto, la aplicación enviando la recta definida por un vector tangente a una recta del espacio ortogonal define un isomorfismo

La igualdad en K-teoría se deduce del hecho que  tiene una sección global, la identidad, y luego es trivial:

Análogamente en  se tiene

Un ejemplo fundamental en la teoría es el cálculo de .

Estabilidad 

Sean E,F fibrados vectoriales sobre X, E y F son establemente isomorfos si existen dos naturales n,m tales que

Si se requiere adicionalmente n=m se dice que los fibrados son estrictamente establemente isomorfos. Por ejemplo,  y  son establemente isomorfos, no estrictamente.

Entonces el resultado que da sentido geométrico a la teoría-K es el siguiente

Teorema: Existe un isomorfismo de grupos entre el grupo de clases de isomorfismos estables de fibrados sobre X y la K-teoría reducida de X.

El hecho topológico esencial para demostrar el teorema es la existencia de un fibrado ortogonal trivializante. De forma precisa, dado un fibrado  existe un fibrado E tal que

para algún natural s. Esto permite escribir un fibrado virtual como diferencia de una clase de fibrado en Vect(X,C,n) y un múltiplo de la clase trivial. El isomorfismo viene dado por esta asociación, enviando E a la diferencia de E y el rango.
La palabra estable en este contexto no tiene relación con la estabilidad de fibrados definida por la condición GIT.

 Esferas 

En esta sección estudiamos la teoría-K reducida de una esfera . Teniendo en cuenta que las esferas se obtienen por suspensión de una esfera de dimensión inferior, , y que la suspensión es el functor adjunto por la izquierda del functor espacio de lazas  obtenemos las siguientes biyecciones

El último conjunto es en biyección con el grupo de homotopía (k-1)-ésimo de Gl(C''',n), como este grupo retrae a U(n) concluimos

Para entender la teoría-K es necesario tener en cuenta todas los posibles rangos n. El resultado principal es el siguiente isomorfismo de grupos:Teorema: .

Los grupos estables de homotopía se deducen directamente del teorema de periodicidad de Bott. En particular, 

Para la teoría-K no reducida el caso de la 2-esfera es el primer caso relevante y permite el cálculo de la teoría-K de ciertas suspensiones iteradas de un espacio.Teorema:  es un anillo generado por el fibrado de línea canónico  sobre  con la relación .

La relación se deduce directamente del cálculo en la sección de ejemplos usando que .

Referencias
 

 Max Karoubi, K-theory, an introduction (1978) Springer-Verlag
 Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory'', (2003)

Enlaces externos
 Página de Max Karoubi
 Archivo de artículos en K-teoría

Topología algebraica