Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Алгоритм 
 Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
 Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
 Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
 Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
 Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
 После повторения этой процедуры  раз получают верхнюю треугольную матрицу
 Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
 Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицы 
Пусть дано:

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю) 
 Разделим первую строку матрицы А на  получим: , j — столбец матрицы А.
 Повторяем действия для матрицы I, по формуле: , s — столбец матрицы I
 Получим: 
 
 Будем образовывать 0 в первом столбце : 
 Повторяем действия для матрицы І, по формулам : 
 Получим:
 
 продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы : 
 при условии, что 
 Повторяем действия для матрицы І, по формулам : 
 при условии, что 
 Получим :

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю) 
Используем формулу: , при условии, что 

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : , при условии, что 

Окончательно получаем :

Пример 
Для решения следующей системы уравнений:
 

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:
 

Проведём следующие действия:
 К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
 К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:
 

 К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
 Строку 2 делим на −2

 

 К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
 К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

 

 К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

 

В правом столбце получаем решение:
  .

Реализация алгоритма на языке программирования C# 
namespace Gauss_Jordan_Method
{
    class Maths
    {
        /// <summary>
        /// Метод Гаусса-Жордана (Обратная матрица)
        /// </summary>
        /// <param name="Matrix">Начальная матрица</param>
        /// <returns></returns>
        public static double[,] GaussJordan(double[,] Matrix)
        {
            int n = Matrix.GetLength(0); //Размерность начальной матрицы

            double[,] xirtaM = new double[n, n]; //Единичная матрица (искомая обратная матрица)
            for (int i = 0; i < n; i++)
                xirtaM[i, i] = 1;

            double[,] Matrix_Big = new double[n, 2*n]; //Общая матрица, получаемая скреплением Начальной матрицы и единичной
            for (int i = 0; i < n; i++)
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    Matrix_Big[i, j] = Matrix[i, j];
                    Matrix_Big[i, j + n] = xirtaM[i, j];
                }

            //Прямой ход (Зануление нижнего левого угла)
            for (int k = 0; k < n; k++) //k-номер строки
            {
                for (int i = 0; i < 2*n; i++) //i-номер столбца
                    Matrix_Big[k, i] = Matrix_Big[k, i] / Matrix[k, k]; //Деление k-строки на первый член !=0 для преобразования его в единицу
                for (int i = k + 1; i < n; i++) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Big[i, k] / Matrix_Big[k, k]; //Коэффициент
                    for (int j = 0; j < 2*n; j++) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Big[i, j] = Matrix_Big[i, j] - Matrix_Big[k, j] * K; //Зануление элементов матрицы ниже первого члена, преобразованного в единицу
                }
                for (int i = 0; i < n; i++) //Обновление, внесение изменений в начальную матрицу
                    for (int j = 0; j < n; j++)
                        Matrix[i, j] = Matrix_Big[i, j];
            }

            //Обратный ход (Зануление верхнего правого угла)
            for (int k = n - 1; k > -1; k--) //k-номер строки
            {
                for (int i = 2*n - 1; i > -1; i--) //i-номер столбца
                    Matrix_Big[k, i] = Matrix_Big[k, i] / Matrix[k, k];
                for (int i = k - 1; i > -1; i--) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Big[i, k] / Matrix_Big[k, k];
                    for (int j = 2*n - 1; j > -1; j--) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Big[i, j] = Matrix_Big[i, j] - Matrix_Big[k, j] * K;
                }
            }

            //Отделяем от общей матрицы
            for (int i = 0; i < n; i++)
                for (int j = 0; j < n; j++)
                    xirtaM[i, j] = Matrix_Big[i, j + n];

            return xirtaM;        
        }
    }
}

Примечания

Литература 
 .
 .
 .
 
 .
 .
 .

Ссылки 
 Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python
 

Методы решения СЛАУ
Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса