Théorème de Schmidt (théorie des groupes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Schmidt, démontré par Otto Schmidt en 1924, dit que si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, G est résoluble.  a donné une description plus précise du groupe G sous les mêmes hypothèses.

Démonstration 
On raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. Les groupes cycliques sont résolubles. On suppose donc, pour un certain n, que l'énoncé est vrai pour tous les groupes d'ordre < n, et que G est un groupe non cyclique d'ordre n (donc n > 1) dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents. D'après le lemme 2 ci-dessous, G n'est pas simple. Par hypothèse de récurrence et d'après le théorème de correspondance, il est donc résoluble (car la nilpotence passe aux quotients et la résolubilité aux extensions).

Supposons qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal. Alors :
 pour tout sous-groupe maximal H, le normalisateur de H est réduit à H donc le nombre des conjugués de H est égal à l'indice (≥ 2) de H ;
 G n'est pas cyclique, donc :
 l'indice de tout sous-groupe maximal est majoré par |G|/2 ;
 G est la réunion de ses sous-groupes maximaux.
Les H\{e} pour H maximal (où e désigne l'élément neutre) étant de plus supposés disjoints 2 à 2, ils forment une partition de G\{e}. En notant c le nombre de leurs classes de conjugaison, h l'indice des sous-groupes de la i-ème classe et g l'ordre de G, on en déduit une contradiction :

Parmi les intersections de deux sous-groupes maximaux distincts (s'il en existe), soit I = H ∩ K d'ordre maximum. C'est un sous-groupe propre du groupe nilpotent H donc l'inclusion de I dans le normalisateur N(I) est stricte. Par maximalité de |I|, le seul sous-groupe maximal de G contenant N(I) est donc H. De même, K est le seul sous-groupe maximal contenant N(I). Le sous-groupe N(I), qui contient à la fois N(I) et N(I), n'est donc inclus dans aucun sous-groupe maximal, c'est-à-dire qu'il est égal à G, ou encore, que I est normal.

Si G est simple, on déduit que |I| = 1 (ou alors, G n'a qu'un sous-groupe maximal). On peut donc appliquer le lemme 1 : l'un des sous-groupes maximaux de G est normal. Comme G est supposé non cyclique, ce sous-groupe n'est pas trivial, ce qui contredit la simplicité de G.

Précisions sur la structure du groupe 

Tout p-groupe fini est nilpotent. Supposons que |G| a au moins trois diviseurs premiers. Puisque (d'après le théorème de Schmidt) G est résoluble, il possède un sous-groupe normal H d'indice premier p. Comme H est un sous-groupe propre de G, il est nilpotent. Ses sous-groupes de Sylow sont par conséquent (pleinement) caractéristiques dans H donc normaux dans G. Choisissons dans G, pour chaque diviseur premier q de |G|, un q-Sylow P. D'après ce qui précède, pour tout q ≠ p, P est normal dans G. Comme chaque PP (pour q ≠ p) est nilpotent (car propre dans G), P est centralisé par tous les P si bien qu'il est, comme eux, normal dans G. Par conséquent, G est nilpotent.

Nombres nilpotents 
Un nombre nilpotent est un entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit nilpotent. Les nombres nilpotents sont caractérisés par le théorème suivant :

(En particulier, les nombres nilpotents pairs sont donc les puissances de 2.)

Pour tout entier c ≥ 1, on a un énoncé plus précis concernant la classe de nilpotence :

Notes et références

Liens externes 
 
 

Schmidt
Groupe fini