Уравнения Баргмана — Вигнера

Уравнения Баргмана — Вигнера — релятивистски инвариантные многокомпонентные спинорные уравнения движения свободных частиц c ненулевой массой и произвольным спином.

Получили название в честь Валентина Баргмана и Юджина Вигнера.

История 
Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера. Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре. Вигнер отмечает, что Этторе Майорана и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргман и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений.

Формулировка уравнений 
Для свободной электрически нейтральной массивной частицы со спином  уравнения БВ представляют собой систему  линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака. Система уравнений имеет вид

и следует общему правилу;

для . 

Волновая функция БВ  имеет компоненты

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует  компонент всего спинорного поля , хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до . Далее,  являются матрицами Дирака, и

является четырёхмерным оператором импульса.

Оператор, составляющий каждое уравнение , является матрицей размерности , потому что  матрицы, 
и  скалярно умножаются на единичную матрицу размерностью  (обычно не пишется для простоты). Явно, в представлении Дирака матриц Дирака:

где  является вектором, каждая компонента которого является матрицей Паули,  является оператором энергии,  является оператором трёхмерного импульса,  обозначает единичную матрицу 
размерностью , нули (во второй строке) обозначают блочную матрицу размерностью  составленную из нулевых матриц.

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

 уравнения БВ являются Лоренц-ковариантными,
 все компоненты решений уравнений БВ удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона и, следовательно, удовлетворяют ,

,

 уравнения БВ допускают вторичное квантование .

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего , 
формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение , где  - электрический заряд частицы и  - это электромагнитный потенциал. Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные 4-токи и мультиполи частицы.

Структура группы Лоренца 
Представление группы Лоренца для уравнений БВ:

где  обозначает неприводимое представление.

См. также 

 
 
 D-матрица Вигнера
 
 
  — альтернативные уравнение, описывающие свободные частицы с любым спином.

Источники

Примечания

Дальнейшее чтение

Книги

Избранные статьи

Внешние ссылки 
Релятивистские волновые уравнения:
Dirac matrices in higher dimensions, Wolfram Demonstrations Project
Learning about spin-1 fields, P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico
Field equations for massless bosons from a Dirac–Weinberg formalism, R.W. Davies, K.T.R. Davies, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics
Quantum field theory I, Martin Mojzis
The Bargmann–Wigner Equation: Field equation for arbitrary spin, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:
Representations of Lorentz Group, indiana.edu
Appendix C: Lorentz group and the Dirac algebra, mcgill.ca
The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics, D. E. Soper, University of Oregon, 2011
Representations of Lorentz and Poincare groups, J. Maciejko, Stanford University
Representations of the Symmetry Group of Spacetime, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009

Квантовая механика
Квантовая теория поля
Математическая физика