Dérivée extérieure

En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.

Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.

Définition 

Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'algèbre graduée anti-commutative des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire , appelé dérivée extérieure, vérifiant :
 si ω est de degré k alors dω est de degré k + 1 ;
 en notant  le produit extérieur, si α est de degré k, on a :  ;
 le carré de  est nul :  ;
 pour toute 0-forme, c'est-à-dire toute fonction lisse , la 1-forme  est la différentielle de .

Les éléments du noyau de  sont appelés les formes fermées, et ceux de son image les formes exactes.

Expression en coordonnées locales 
Pour une k-forme  sur ℝ, la différentielle s'écrit

 

En particulier, pour une 0-forme (i.e. une fonction) , on retrouve l'expression de la différentielle:

Exemple  

Pour une 1-forme sur ℝ,
 
on a :
 
ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

Fonctorialité
La différentielle extérieure commute au pullback, c'est-à-dire que pour toute application différentiable  et toute forme  sur , .

Formule invariante 
Étant donné  de degré  et des champs vectoriels arbitraires lisses  , on a

 

 
où  dénote le crochet de Lie et 

En particulier, pour les 1-formes :
 
et pour les 2-formes :

Lien avec le calcul vectoriel 
La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.

Gradient 
Pour une 0-forme sur ℝ, c'est-à-dire une fonction lisse , on a

 
Alors
 

où  dénote le gradient de  et  est le produit scalaire.

Rotationnel 
Pour une 1-forme  sur ℝ (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs),

 

Grâce au produit vectoriel sur ℝ, on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs , appelé rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge)

où  est le produit scalaire et  est le produit vectoriel. On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel

 

Le fait que le rotationnel ainsi défini (comme le dual de Hodge de la dérivée extérieure du champ de vecteurs identifié à une 1-forme) s'identifie à un vecteur est propre à la dimension 3. De façon générale, ce n'est pas le cas, en particulier en dimension 4, le "rotationnel" ainsi défini est un objet (une 2-forme) de dimension 6, que l'on ne peut donc pas identifier à un vecteur (de dimension 4). Il n'y a pas de généralisation du rotationnel en dimension autre que 3.

Divergence 

Pour une 2-forme  on a : 

 

En trois dimensions, avec  on obtient :

 

où V est un champ vectoriel defini par 

De façon générale (en dimension n quelconque), on peut définir un analogue de la divergence d'un champ de vecteurs  en identifiant ce champ à une (n-1)-forme  dont on prend le dual de Hodge de la dérivée extérieure. On a alors:
 
soit encore , où  désigne la forme volume canonique.

Formules courantes d'analyse vectorielle

À l'aide des redéfinitions ci-dessus, les formules suivantes sont une simple conséquence de  dans  :

 

 

En notant  l'espace des k-formes sur , on peut se représenter la chaîne:

 
La première flèche correspond au gradient, la seconde au rotationnel, la troisième à la divergence:

Référence 

 Henri Cartan,  Formes différentielles, Hermann, 1967 plusieurs rééditions, la dernière en 2007

Articles connexes 
 
 Théorème de flux-divergence
 Théorème de Stokes

Forme différentielle
Exterieure

pl:Forma różniczkowa#Różniczka zewnętrzna formy
ru:Дифференциальная форма#Связанные определения