Эллиптический интеграл

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция  над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

 ,

где  — рациональная функция двух аргументов,  — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней,  — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда  имеет кратные корни или когда многочлены в  не содержат нечётных степеней .

Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

История 
В интегральном исчислении эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно, а позднее — Леонардом Эйлером.

Обозначения 
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

  — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой );
  — модуль эллиптического интеграла;
  — параметр.

Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля  (и модулярного угла ). Их область определения 

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

  где  — эллиптическая функция Якоби;
  — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что  зависит также и от . Несколько дополнительных уравнений связывают  с другими параметрами:

 

и

 

Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как
 

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:
  — дополнительный параметр;
  — дополнительный модуль;
  — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный) 
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода  определяется как

 ,

или, в форме Якоби,

 .

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

 .

Частные случаи 
 ;
 ;
 ;
 ;

Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный) 
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода  определяется как

 

или, используя подстановку

Частные случаи 
 ;
 ;
 ;
 .

Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный) 
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода  определяется как

 

или

Число  называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла  стремится к бесконечности для любых .

Гиперболический случай

(0 < c < m) 
Введём дополнительные обозначения:
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
  — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

Тогда  можно записать интеграл через тета-функции Якоби:
 

где

и

(c > 1) 
С помощью подстановки  этот случай сводится к предыдущему, так как 

Введём дополнительно величину
 

Тогда:

Круговой случай

(m < c < 1) 
Введем дополнительные обозначения:
 
 
 
 
 

Тогда эллиптический интеграл равен:
 

где
 

и

(c < 0) 
С помощью подстановки  этот случай сводится к предыдущему, так как 

Введем дополнительно величину
 

Тогда:

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода 

В случае, если амплитуда  нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

 

или

 

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

 

что эквивалентно выражению

 

где  обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи

Производная полного эллиптического интеграла 1-го рода 

 

где  — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.

Дифференциальное уравнение 
Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения 

Вторым решением этого уравнения является

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода 

В случае, если амплитуда  нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

 

или

 

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

 

что эквивалентно выражению

 

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи

Производная полного эллиптического интеграла 2-го рода

Дифференциальное уравнение 
Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения

Вторым решением этого уравнения является функция

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода 

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

 

или

Гиперболический случай

(0 < c < m) 
 ,
где  — дзета-функция Якоби.

(c > 1)

Круговой случай

(m < c < 1) 
 
где  — лямбда-функция Хеймана.

(c < 0)

Частные производные

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

Дзета-функция Якоби

Лямбда-функция Хеймана 
 
или

См. также 
 Эллиптические функции
 Эллиптическая кривая

 Специальные функции
 Аппроксимации эллиптических интегралов

Литература

Ссылки 
 
 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
 Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
 Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. (гл. 3, 7).
 Эллиптические функции, Процедуры для Matlab.

 

Эллиптические функции
Интегралы