Barycentre

En mathématiques, le barycentre d'un ensemble fini de points du plan ou de l'espace est un point qui permet de réduire certaines combinaisons linéaires de vecteurs. Les coordonnées de ce barycentre dans un repère cartésien correspondent alors aux moyennes arithmétiques des coordonnées homologues de chacun des points considérés, éventuellement affectés des coefficients de pondération. Lorsque ces coefficients de pondération sont égaux, le barycentre est appelé isobarycentre, et généralise ainsi la notion de centre de gravité d’un triangle.

La notion de barycentre est utilisée en physique notamment pour déterminer le point d'équilibre d'un ensemble fini de masses ponctuelles. 

Plus généralement, le barycentre peut se définir dans le cadre d'un espace affine sur un corps quelconque. Le barycentre est un outil central en géométrie affine qui permet de caractériser et étudier les sous-espace affines, les applications affines et la convexité.

La version continue de la notion du barycentre est celle de centre de masse, qui traduit la notion correspondante de centre d'inertie pour un solide en mécanique classique.

Historique et origine physique 

Le terme de barycentre est formé sur la racine grecque βαρυσ / barys (pesant, lourd) pour désigner un centre des poids ou centre d'équilibre. Sa conception est liée au théorème des moments découvert par Archimède au  av. J.-C. Il écrit dans son traité De l’équilibre de figures planes :
Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré.

Son principe des moments et des leviers permet de déterminer assez simplement le barycentre O de deux points de masses m et m différentes.

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments m1⋅OA⋅g et m2⋅OB⋅g soient égaux dans le champ de pesanteur g. Si par exemple la masse m1 est 4 fois plus importante que la masse m2, il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit par l'égalité vectorielle
 

Ce principe des moments est d'ailleurs utilisé dans la balance dite romaine.

Les poids apparents peuvent également avoir une valeur numérique négative, si l'une des masses est remplacée par un ballon d'hélium, par exemple : la poussée d'Archimède s'ajoute au poids et la résultante est une force pouvant s'exercer vers le haut. Dans ce cas, le point d'équilibre se situe en dehors de l'espace délimité par les deux objets.

Barycentre de deux points dans le plan

Définition du barycentre par une relation vectorielle 

On définit le barycentre de deux points A et B du plan affectés des coefficients de pondération a et b (avec la somme a + b non nulle) comme l'unique point G vérifiant la relation vectorielle

En effet, à l'aide de la relation de Chasles, cette relation peut se réécrire sous la forme

c'est-à-dire

ou de manière équivalente

Comme la somme a + b est non nulle, il existe donc un unique point G qui satisfait cette équation. Il est donné par la relation

On dit alors que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients de pondération a et b ; on note G = bar{(A,a),(B,b)}. On remarque, d'après l'égalité vectorielle ci-dessus que G appartient à la droite (AB).

La réciproque est d'ailleurs vraie : tout point de la droite (AB) peut être considéré comme un barycentre des points A et B

Si les coefficients de pondération sont de même signe le barycentre des points A et B sera situé sur le segment [AB]

Dans le cas particulier où a = b, on parle plutôt d'isobarycentre. Dès lors, l'isobarycentre de deux points A et B correspond au milieu de ces deux points.

Les points A et B étant donnés, la construction géométrique du barycentre G de ces deux points se fait grâce au théorème de Thalès.

Certains logiciels de géométrie dynamique (LGD) définissent G=bar{(A,a),(B,b)} par G = a*A+b*B

Colinéarité 
De la définition

on tire que

ou encore que

En d'autres termes, ces deux vecteurs sont colinéaires. Ils ont de plus un point en commun, G. Par conséquent, G appartient à la droite (AB). Ainsi
si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors G appartient à la droite (AB).

Si G est sur le segment [AB] (entre A et B) alors

pour un certain k< 0 puisque ces deux vecteurs sont de sens opposé. Mais, comme dans le même temps

on en déduit que b et a sont de même signe. Ainsi
Si G est sur le segment [AB] (entre A et B) alors a et b sont de même signe.

Homogénéité 
Si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors

et il vient que pour tout réel k on a

Autrement dit, on obtient

De plus, comme a+b est non nul, pour tout k réel non nul, k(a+b) est également non nul. Alors G est le barycentre de {(A,ka),(B,kb)}. Ainsi
si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors pour tout k réel non nul, G est aussi le barycentre de {(A,ka),(B,kb)}.

Autrement dit le barycentre de deux points reste inchangé si les coefficients de pondération de ces points sont multipliés par un même réel.

Cette propriété du barycentre s'appelle l'homogénéité.

Réduction 
L'application de la relation de Chasles

en introduisant le barycentre G de {(A,a),(B,b)} donne

G étant barycentre de {(A,a),(B,b)} alors :

La relation précédente devient:
 
Ainsi
si G est le barycentre de {(A,a),(B,b)} alors pour tout point M du plan,
 .
C'est la propriété dite de réduction, ou réduction de somme vectorielle.

Elle permet de positionner le point G par rapport à tout point M. Si M est l'origine d'un repère du plan ou de l'espace, elle permet de définir les coordonnées (x,y) du point G dans ce repère en fonction des coordonnées (x,y) et (x,y) des points A et B dans ce repère:

Barycentre de trois points dans le plan ou dans l'espace 
La définition peut se généraliser à trois points du plan ou de l'espace : pour tous réels a, b et c tels que a + b + c soit non nul, il existe un unique point G tel que

appelé barycentre du système pondéré {(A,a),(B,b),(C,c)}. Les points G, A, B et C sont toujours coplanaires et on démontre que, si A, B, C définissent un plan, tous les points M de ce plan peuvent s'écrire comme barycentre de A, B et C. Les pondérations s'appellent alors coordonnées barycentriques de M dans le repère A, B et C.

Dans le cas particulier où a = b = c, on parle plutôt d'isobarycentre que de barycentre.

Comme pour le barycentre de deux points, le barycentre de trois points permet de réduire l'expression vectorielle

pour tout point M :

Cela permet, en remplaçant M par l'origine du repère, de donner les coordonnées (x,y,z) du point G dans ce repère en fonction des coordonnées (x,y,z), (x,y,z) et (x,y,z) des points A, B et C dans ce repère:

Le barycentre possède en outre une propriété dite d'associativité ou de barycentre partiel : si a + b est non nul et si H est le barycentre du système {(A,a),(B,b)}, alors G est le barycentre du système {(H,a+b),(C,c)}. Cela signifie que la construction du barycentre de trois points peut se ramener à la construction de barycentres de deux points. Cette propriété simplifie grandement les problèmes d'alignement et de concours.

En considérant trois points A, B et C distincts et non alignés , le centre de gravité du triangle ABC est par définition le point d'intersection de ses trois médianes. Il est situé aux 2/3 d'une médiane en partant du sommet. Autrement dit, soit un triangle ABC, A' le milieu de [BC], B' le milieu de [AC], et C le milieu de [AB] et G son centre de gravité. Alors

Ainsi, le centre de gravité du triangle est exactement l'isobarycentre des sommets du triangle, c'est-à-dire que

Remarque :
Il existe une encyclopédie de points remarquables d'un triangle ABC : chacun de ces points remarquables est défini comme barycentre des trois points A, B et C

 Applications 
 En géométrie 
 En géométrie affine, les barycentres (et tout particulièrement les isobarycentres) facilitent grandement les problèmes d'alignement et de concours (trois points sont alignés dès que l'un des points est barycentre des deux autres) et permettent des démonstrations élégantes de théorèmes comme le théorème de Ménélaüs, le théorème de Ceva ou les propriétés du quadrilatère complet.

Par exemple, pour le théorème de Ceva, considérons la figure ci-contre (figure 1), les graduations sur chaque côté sont régulières. Le théorème de Ceva affirme que les droites (AM), (BN) et (CP) sont concourantes.

 Réduction des fonctions de Leibniz 

Grâce à la notion de barycentre, il est possible de réduire des expressions vectorielles.

Prenons l'exemple de 3 points A, B et C de poids a, b et c (de somme non nulle) et considérons le barycentre G de ces trois points. La formule du premier degré est celle du barycentre :

qui permet de nombreux calculs du premier degré sur les vecteurs.

À partir du barycentre il est possible de définir une formule du second degré, au sens du produit scalaire des vecteurs, qui permet de calculer la quantité

Pour cela, remplaçons chaque vecteur  par  et appliquons la formule du carré d'une somme:

Les doubles produits s'annulent, d'où

au second degré.

 En physique 

Le barycentre est tout d'abord un outil utilisé pour calculer des points d'équilibre de points matériels, et plus généralement ensuite de centres d'inertie (aussi appelé centre de masse) dans certains cas. La notion même de centre d'inertie peut être vue comme une généralisation du barycentre à un continuum de points matériels.

En effet, si on considère un domaine D de volume fini de l'espace dont la masse volumique au point M est donnée par g(M), alors le centre d'inertie G de D est défini comme le point de l'espace vérifiant

qui généralise la formule
.
définissant le barycentre G des points matériels A de masse a = g(A).

Les coordonnées du centre d'inertie sont données par

qui généralise celles des coordonnées du barycentre G des points matériels A de masse a données par

Dans certains cas particuliers, le calcul du centre d'inertie se ramène à un simple calcul de barycentre. Par exemple, on peut se servir des barycentres pour calculer le centre d'inertie d'une plaque homogène ayant une forme polygonale.

Le barycentre est également utilisé en astronomie. On parle de barycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire et l'un de ses satellites. Le barycentre est le point autour duquel l'objet secondaire gravite.

 Généralisation à la notion de barycentre de n points d'un espace affine 
Les définitions et résultats énoncés plus haut pour deux ou trois points du plan ou de l'espace usuels se généralisent à n points d'un espace affine E sur un corps (commutatif) K quelconque.

 Définition 
Soient  des points de E et soient  des scalaires (c'est-à-dire d'éléments de K) de somme non nulle.

Le barycentre des points  affectés des coefficients  est l'unique point  de E tel que
.
L'existence et l'unicité de ce point se prouvent aisément en utilisant la relation de Chasles.

On peut noter , ou , ou encore , le barycentre des points  affectés des coefficients .

Dans le cas particulier où , on parle d'isobarycentre.

 Propriétés immédiates Commutativité : on peut changer l'ordre des points sans changer la valeur du barycentre tant que les points conservent leur coefficient.Homogénéité : on peut multiplier tous les coefficients par un même scalaire k non nul sans changer la valeur du barycentre. On privilégie alors souvent les coefficients dont la somme vaut 1.Associativité : si
,
on peut définir

et l'on a l'égalité suivante :
 .
Cette propriété se généralise à un regroupement de p sous-familles de coefficients.

 Coordonnées barycentriques 

Si l'espace affine E est associé à un espace vectoriel V de dimension n, et si (A,...,A) sont n + 1 points de E, on dit que ces n+1 points forment un repère barycentrique si les vecteurs

forment une base de V. On démontre, grâce à la relation de Chasles, que cette propriété est indépendante de l'ordre des points.

Si (A,...,A) forment un repère barycentrique de E alors tout point M de E peut être trouvé comme barycentre des (A,...,A) avec, par homogénéité , des coefficients (a,...,a) de somme 1. Ils sont appelés les coordonnées barycentriques de M.

 Variété affine 
On appelle variété affine d'un espace affine E toute partie de E stable par barycentres. On démontre que cette définition coïncide avec celle de sous-espace affine.

Le sous-espace affine engendré par une famille de n points (A,...,A) est le plus petit ensemble contenant ces points et stable par barycentres.

Par exemple, le sous-espace affine engendré par deux points non confondus est une droite affine, et le sous-espace affine engendré par trois points non alignés est un plan affine.

 Segments, ensemble convexe 
Soit E un espace affine sur R'''. Si A et B sont deux points distincts de E, l'ensemble des points

où k est un élément de [0, 1], est une partie de la droite (AB) appelé segment [AB]. C'est aussi l'ensemble des points

où a et b sont deux réels positifs (au sens large).

Un ensemble stable par barycentres à coefficients positifs est un ensemble convexe.

L'ensemble des combinaisons convexes des points (A,...,A), c'est-à-dire de leurs barycentres à coefficients positifs, est l'enveloppe convexe des points (A,...,A).

 Application affine 
Soit E et E deux espaces affines et soit f une application de E dans E. On dit que f conserve le barycentre si pour tout barycentre

de E, on a

c'est-à-dire que l'image de G par f est le barycentre appartenant à E des points f(A) affectés des points a.

La propriété d'associativité du barycentre permet de se limiter à vérifier la conservation pour tout barycentre de deux points.

On démontre que l'ensemble des applications de E vers E conservant le barycentre coïncide avec celui des applications affines de E vers E.

Certaines applications affines s'expriment bien à l'aide du barycentre. Voici deux exemples.
 Soient A et B deux points, la transformation qui, au point M associe le point

est une translation, qui a pour vecteur .
 Soient C un point et k un scalaire non nul. La transformation qui au point M associe le point

est l'homothétie de centre C et rapport k.

 Voir aussi 
 Articles connexes 

 Théorème de Leibniz
 Centre de masse (géométrie riemannienne)
 Centre de gravité d'un arc de courbe
 Moyenne pondérée

 Bibliographie 
 
  (Tome 1)
 Petite encyclopédie de mathématique, Didier
 Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 
 Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet 
 D. Lehmann et Rudolf Bkouche, Initiation à la géométrie'', PUF, 1988 

Géométrie affine
Construction géométrique
Géométrie vectorielle
Point
Moyenne