Изотропный вектор

Изотро́пный ве́ктор (нульвектор) — ненулевой вектор псевдоевклидова векторного пространства (над полем вещественных чисел) или унитарного векторного пространства (над полем комплексных чисел), ортогональный самому себе, или, что эквивалентно, имеющий нулевую длину в смысле скалярного произведения рассматриваемого пространства. 
Наименование изотропный связано с физическим понятием изотропии. 

В евклидовых пространствах таких векторов нет — нулевой длиной обладают лишь векторы, равные нулю.
В псевдоевклидовых пространствах изотропные векторы существуют и образуют изотропный конус. Именно, вектор  векторного пространства  над полем  вещественных или комплексных чисел с заданной в качестве скалярного произведения невырожденной билинейной формой  с сигнатурой  изотропен, если .

Связанные понятия 

 Изотропным конусом псевдоевклидова или унитарного векторного пространства называется множество, состоящее из всех векторов нулевой длины данного пространства, то есть всех изотропных векторов и нулевого вектора. 

 Изотропное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, целиком содержащееся в изотропном конусе этого пространства, то есть целиком состоящее из векторов нулевой длины. Подпространство является изотропным тогда и только тогда, когда любые два его вектора ортогональны друг другу. Максимальная размерность изотропного подпространства псевдоевклидова пространства сингатуры  не превосходит .

 Вырожденное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, ограничение скалярного произведения на которое вырождено. Подпространство является вырожденным тогда и только тогда, когда оно содержит хотя бы один изотропный вектор, ортогональный всем остальным векторам этого подпространства. Очевидно, любое изотропное подпространство является вырожденным, но обратное не верно.

Примеры  

 Простейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в  — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (2,1).  Квадрат длины вектора  задается формулой .  Изотропный конус — прямой круговой конус . Изотропные подпространства — лежащие на нём прямые (образующие), вырожденные подпространства (отличные от изотропных) — плоскости, касающиеся изотропного конуса, то есть имеющие с ним ровно одну общую прямую. Все остальные плоскости являются либо евклидовыми (если пересекаются с изотропным конусом лишь в его вершине), либо псевдоевклидовыми сигнатуры (1,1) (если пересекаются с ним по двум различным прямым).

 Важнейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в пространстве Минковского  — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (1,3), используемом в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности. В этом пространстве каждый вектор e имеет четыре координаты: , где  ― скорость света, и квадрат его длины задается формулой .  Изотропный конус пространства Минковского называется световым конусом, а изотропные векторы — световыми или светоподобными. Векторы, лежащие внутри светового конуса (), называются времениподобными, а векторы, лежащие вне светового конуса (), называются пространственноподобными.

Примечания

Литература 
 
 
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7).
 Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39.

Векторный анализ
Линейная алгебра
Специальная теория относительности
Лоренцевы многообразия