Специальные функции

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.

Специальные функции возникают обычно из следующих задач:
 «неберущиеся» интегралы;
 решения трансцендентных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
 решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
 ряды, не сходящиеся к элементарным функциям;
 математическое выражение свойств чисел;
 необходимость задания функции с необычными свойствами.

Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций

Большинство специальных функций являются трансцендентными.

Функции-интегралы 
К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интегральная экспонента, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции, интегралы Френеля.

Функции-ряды 
К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция Римана, дзета-функция Гурвица, полилогарифм, .

Неэлементарные решения дифференциальных уравнений 
К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра, функции Матьё, функции Бесселя.

Необычные функции 
Существуют много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.

Функции, выражающие свойства чисел 
Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции, знак числа, факториал.

См. также 
 Проект Бейтмена — проект по созданию многотомного энциклопедического издания по теории специальных функций

Литература 
 Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
 Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
 Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
 Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
 Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
 Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
 Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.
 Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980.

Ссылки 
 О. М. Киселёв. Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями.
 EqWorld.
 Bateman Manuscript Project
 Biographies: Harry Bateman
 Biographies: Arthur Erdélyi
 Высшие трансцендентные функции

Математический анализ
Дифференциальные уравнения