Тор (поверхность)

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её.

Обобщенно, тор — топологическое пространство или гладкое многообразие, эквивалентное такой поверхности.

Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют закрытым, иначе открытым.

Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной алгебраической группы и примером группы Ли.

История 
Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Ось тора 
Ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом.

Окружность, состоящая из центров образующих окружностей, называется направляющей окружностью.

Топологические свойства 
Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством.

Тор имеет характеристику Эйлера — Пуанкаре χ=0.

Уравнения

Параметрическое 
Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

Алгебраическое 
Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:
 
Такая поверхность имеет четвёртый порядок.

Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок.
 , где x, y комплексные числа. Комплексная эллиптическая кривая, кубическая поверхность.
  Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. Кривизна этой поверхности равна 0.

Кривизна поверхности 

Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной кривизны. В соответствии с теоремой Гаусса-Бонне интеграл кривизны по всей поверхности тора равен нулю.

Групповая структура

Свойства 

 Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: .
 Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Паппа — Гюльдена: .
 Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.
 Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.
 Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения 

 При сечении тора бикасательной плоскостью получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
 В частности, открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
 Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
 Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

Обобщения

Многомерный тор 

Обобщением 2-мерного тора является многомерный тор (также n-тор или гипертор):

Поверхность вращения 
Тор — частный случай поверхности вращения.

См. также 

 Полноторие
 Цилиндрические и тороидальные шахматы

Примечания

Литература 
 Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

Геометрические тела
Группы Ли
Поверхности
Стереометрия