Нормальная матрица

Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица , коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:

 .

Для вещественной матрицы  имеет место , и поэтому она нормальна, если .

Нормальность является удобным тестом приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица , удовлетворяющая уравнению , допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы  и  называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица , для которой .)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например:
 
не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку:
 .

Эквивалентные определения 
Существует большой набор эквивалентных определений нормальной матрицы, в частности, следующие высказывания эквивалентны:
  нормальна;
  является  с помощью унитарной матрицы;
 все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы ;
  для любого .
 норму Фробениуса матрицы  можно вычислить по собственным значениям матрицы : ;
 эрмитова часть  и косоэрмитова часть  матрицы  коммутируют;
  является многочленом (степени менее  — размера матрицы) от ;
  для некоторой унитарной матрицы .
  и  коммутируют, где  и  представляют полярное разложение  на унитарную матрицу  и некую положительно определённую матрицу ;
  коммутирует с некоторой нормальной матрицей , имеющей различные собственные значения;
  для всех , где  имеет   и собственные вектора 
 операторная норма нормальной матрицы  равна  и  матрицы ; это означает:
 .

Многие из этих определений можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, но не все, например, ограниченный оператор, удовлетворяющий условию коммутируемости компонент полярного разложения, является в общем случае лишь .

Свойства 
Нормальная треугольная матрица диагональна.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей; однако если  и  нормальны и выполнено , то и , и  также нормальны. Более того, существует унитарная матрица , такая, что  и  диагональны. Другими словами,  и  .

В этом частном случае столбцы матрицы  являются собственными векторами, как , так и , и образуют ортонормальный базис в . Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы  и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Связь со спектральной теоремой 
Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема: матрица  нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица  и унитарная матрица , такие что . Диагональные элементы матрицы  являются собственными числами, а столбцы  — собственными векторами матрицы . (Собственные значения в  идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в ).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства . Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с  и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в .

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть  — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, . Если  нормальна, то и  нормальна тоже. Но тогда  должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:
 нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости;
 нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в .

Аналогии 
Можно рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналоги различных видов комплексных чисел:
 обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел;
 эрмитово-сопряжённая матрица является аналогом сопряжённого числа;
 Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной ;
 эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел;
 эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел;
 антиэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел.

Можно комплексные числа вложить в нормальные вещественные матрицы размера  путём отображения:
 ,

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение и все соответствующие аналогии между видами нормальных матриц и видами комплексных чисел.

Примечания

Ссылки 
 .

Типы матриц