Conjugaison topologique

En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des systèmes dynamiques,  deux fonctions  et  sont dites topologiquement conjuguées (ou simplement conjuguées lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion avec, par exemple, la conjugaison complexe) s'il existe  un homéomorphisme  tel que  (où  note la composition des fonctions). Deux fonctions conjuguées ont les mêmes propriétés dynamiques (par exemple le même nombre de points fixes), d'où l'importance de cette notion dans l'étude en particulier des suites définies par itération.

Définitions et propriétés générales 
Dans tout ce qui suit,  , et  notent des applications continues entre des espaces topologiques  et .

 est semiconjuguée (topologiquement) à   s'il existe une  surjection  telle que .

 et  sont topologiquement conjuguées si   est bijective, et si la bijection réciproque est également continue, autrement dit si  est  un homéomorphisme ; on dit dans ce cas que  conjugue  et , et on a .

Si , la conjugaison est une relation d'équivalence, puisque  (où  est l'identité de ),  et .

La conjugaison s'étend aux itérées d'une fonction, puisque .

Si  et  sont conjuguées par , et si  est un point fixe de  (donc si ), alors , et donc  est un point fixe de  ; plus généralement,  est une bijection entre les points fixes de  et ceux de .

Si une suite  d'éléments de  est définie par , la suite   définie par  et le même schéma de récurrence  vérifie (pour tout ) , et donc la même  périodicité que la suite  ; de plus, les applications étant continues, si la suite  converge vers , alors la suite  converge vers .

Exemples
 L'application logistique , l'application de Mandelbrot   et l'application de la tente  sont conjuguées.
Les transformations de Möbius de la sphère de Riemann (distinctes de l'identité),  (avec ) se répartissent en deux classes d'équivalence selon qu'elle sont conjuguées à une translation  (si) ou à une homothétie  (si) ; de plus, on peut conjuguer deux transformations de la même classe par une autre transformation de Möbius.

Équivalence topologique
On a une définition analogue pour les flots : si  est un flot sur ,  un flot sur  et  une application continue de  vers ,  est semiconjuguée (topologiquement) à  si  est une surjection telle que  pour tous ,  ;  et  sont alors topologiquement conjugués si  est un homéomorphisme.

Pour les flots, on définit également une notion plus faible :  et  sont  topologiquement équivalents s'il existe un homéomorphisme , envoyant les orbites de  vers les orbites de  et préservant leurs orientations. Plus précisément, si  est une orbite, on doit avoir pour tout 

,

et les flots doivent être (localement) de même sens : pour tout , il existe  tel que, si , et si   vérifie , alors .

Des systèmes d'équations différentielles à deux dimensions ayant des orbites fermées (le cas non-hyperbolique) ne sont en général pas topologiquement conjugués, car il n'est pas possible d'avoir les mêmes périodes sur chaque orbite dans les deux systèmes (autrement dit, les trajectoires sont déformables les unes dans les autres, mais pas les orbites) ; c'est la raison pour laquelle on a introduit l'équivalence topologique.

Équivalence lisse et équivalence orbitale
Des notions d'équivalence plus fines peuvent être définies si les flots  et  proviennent d'équations différentielles : deux systèmes dynamiques définis par les équations différentielles  et , sont dits équivalents de façon lisse (smoothly equivalent) s'il existe un difféomorphisme  tel que

Dans ce cas, on peut transformer le premier système par le « changement de coordonnées »  pour obtenir le second.

Deux systèmes dynamiques sur le même espace d'états, définis par  et , sont dits équivalents pour les orbites (orbitally equivalent) s'il existe une fonction à valeurs positives, , telle que . Des systèmes équivalents pour les orbites ne diffèrent que par la paramétrisation par le temps.

Ces deux notions d'équivalence  sont plus fines que l'équivalence topologique. Par exemple, les systèmes linéaires réels de dimension 2 de la forme  sont caractérisés par les valeurs propres de la matrice . En particulier, les systèmes pour lesquels ces valeurs propres sont  complexes et de partie réelle positive ont des foyers instables, autour desquels les trajectoires s'enroulent en spirales ; tous ces systèmes sont topologiquement équivalents, mais non équivalent pour les orbites ou de façon lisse, la condition pour ces dernières équivalence étant que les valeurs propres soient les mêmes.

Un exemple d'application

La méthode de Newton appliquée au calcul de la racine carrée de   (méthode de Héron) amène à étudier la suite définie par , avec  ; or  est conjuguée à  par  (avec ) ; on en déduit que la suite  vérifie la récurrence , donc  et finalement la formule explicite , qui converge très rapidement vers  si .

Voir aussi
Diagramme commutatif
Équation de Schröder
Fonction itérée

Références

Systèmes dynamiques
Transformation de suite