Постоянная интегрирования

В математическом анализе неопределенный интеграл от заданной функции (то есть множества всех первообразных функции) в связанной области определяется только с точностью до аддитивной постоянной константы интегрирования. Эта константа выражает неоднозначность, присущую при взятии первообразных.  определена на интервале, и  является первообразной , тогда множество всех первообразных от  задается функциями , где C — произвольная постоянная (это означает, что любое значение для C делает действительной первообразную). Для простоты константа интегрирования в списках интегралов иногда опускается.

Происхождение 
Производная любой постоянной функции равна нулю. Если для функции  найдена одна первообразная , то добавление или вычитание любой константы C даст нам ещё одну первообразную, поскольку . Константа — это способ выражения того, что каждая функция с хотя бы одной первообразной имеет бесконечное число из них.

Пусть , и  это две повсеместно дифференцируемые функции. Предположим, что  для каждого действительного числа x. Тогда существует действительное число C такое, что  для каждого действительного числа x. Чтобы доказать это, обратите внимание, что . Таким образом, F можно заменить на F-G и G на постоянную функцию 0, чтобы доказать, что везде дифференцируемая функция, производная которой всегда равна нулю, должна быть постоянной: . Для любого x из основной теоремы Математического анализа, вместе с предположением, что производная от F обращается в нуль, означает, что

следовательно, F постоянная функция.

Два факта имеют решающее значение в этом доказательстве. Во-первых, настоящая линия связана. Если бы действительная линия не была связана, мы не всегда могли бы интегрировать от нашего фиксированного a до любого данного x. Например, если бы мы взяли функции, определённые для объединения интервалов [0,1] и [2,3], и если бы a было 0, то было бы невозможно интегрировать от 0 до 3, потому что функция не определено между 1 и 2. Здесь будут две константы, по одной для каждого подключенного компонента домена. В общем случае, заменяя константы локально постоянными функциями, мы можем распространить эту теорему на несвязные области. Например, есть две константы интеграции для  и бесконечно много для  так, например, общая форма для интеграла 1/х:

Во-вторых, предполагалось, что F и G всюду дифференцируемы. Если F и G не дифференцируемы хотя бы в одной точке, теорема не выполняется. В качестве примера, давайте  будет функцией Хевисайда, которая равна нулю для отрицательных значений x и единице для неотрицательных значений x, и пусть  Тогда производная от F равна нулю там, где она определена, а производная от G всегда равна нулю. Тем не менее ясно, что F и G не отличаются постоянной величиной. Даже если предположить, что F и G всюду непрерывны и почти всюду дифференцируемы, теорема все ещё не выполняется. В качестве примера возьмем F в качестве функции Кантора и снова пусть G = 0.

Например, предположим, что кто-то хочет найти первообразные . Одна такая первообразная это . Другая —  Третья — . Каждая из них имеет производную , поэтому они все являются первообразными от 
Оказывается, что сложение и вычитание констант — это единственная гибкость, которую мы имеем при поиске различных первообразных одной и той же функции. То есть все первообразные одинаковые с точностью до константы. Чтобы выразить этот факт для cos(x), мы пишем:

Замена С на число произведет первообразную. Однако, написав C вместо числа, получается компактное описание всех возможных первообразных cos(x). C называется константой интегрирования. Легко определить, что все эти функции действительно являются производными от

Необходимость 
На первый взгляд может показаться, что константа не нужна, поскольку её можно обнулить. Кроме того, при оценке определённых интегралов с использованием фундаментальной теоремы математического анализа постоянная всегда будет аннулироваться сама собой. Однако попытка установить константу равной нулю не всегда имеет смысл. Например,  может быть интегрирован как минимум тремя различными способами:

Таким образом, обнуление C все ещё может оставить константу. Это означает, что для данной функции не существует «Простейшей Первообразной».

Другая проблема с установкой C равным нулю состоит в том, что иногда мы хотим найти первообразные, которые имеют заданное значение в данной точке (как в задаче с начальным значением). Например, чтобы получить первообразную которая имеет значение 100 при x = π, тогда будет работать только одно значение C (в этом случае C = 100).

Это ограничение можно перефразировать на языке дифференциальных уравнений. Нахождение неопределенного интеграла функции  это то же самое, что решение дифференциального уравнения  Любое дифференциальное уравнение будет иметь много решений, и каждая константа представляет собой единственное решение правильно поставленной задачи начального значения. Наложение условия, что наша первообразная значение принимает значение 100 при x = π, является начальным условием. Каждое начальное условие соответствует одному и только одному значению C, поэтому без C было бы невозможно решить проблему.

Есть ещё одно обоснование, исходя из абстрактной алгебры. Пространство всех (подходящих) вещественных функций на действительных числах является векторным пространством, а дифференциальный оператор  это линейный оператор. Оператор  отображает функцию, равную нулю, если и только если эта функция постоянна. Следовательно, ядро  пространство всех постоянных функций. Процесс неопределенной интеграции сводится к нахождению прообраза данной функции. Для данной функции нет канонического прообраза, но множество всех таких прообразов образует смежный класс. Выбор константы аналогичен выбору элемента смежного класса. В этом контексте решение проблемы начальных значений интерпретируется как лежащий в гиперплоскости, заданной начальными условиями.

Физический смысл 
Рассмотрим некоторые примеры.

 Тело падает с пятого этажа дома на землю, пролетая некоторое расстояние. Затем то же самое тело падает с девятого этажа на балкон пятого и пролетает то же самое расстояние, несмотря на разницу начального положения. Изменением силы тяжести на высоте дома пренебрегаем. В данном примере постоянная интегрирования задаёт начальное положение тела (номер этажа).

 Автомобиль едет по прямой трассе с некоторой переменной скоростью. Если в начале движения переставить автомобиль в другое место трассы, он проедет тот же путь.

 Лошадь везёт сани по ровному полю. Независимо от того, в каком месте поля находится лошадь, она проделает одинаковую работу по перетаскиванию саней (расстояние, пройденное лошадью, должно быть одинаково).

 Вода выливается из цилиндрического сосуда через отверстие в дне. Уровень в сосуде понижается на 10 см. Независимо от того, до какого уровня сосуд был наполнен изначально, одинаковый объём истекшей воды понижает уровень на 10 см.

 Напряжение на конденсаторе меняется от 1 вольта до 0 вольт. Затем напряжение на том же конденсаторе меняется от 1000 вольт до 999 вольт. В обоих случаях прошедший через конденсатор заряд одинаков.

 Тело остывает с 1°С до 0°С. То же тело остывает с 1000°С до 999°С. Если пренебречь зависимостью теплоемкости от температуры, то тело в обоих случаях теряет одинаковое количество тепла.

Литература 
 Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
 Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
 «Reader Survey: log|x| + C», Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012
 Banner, Adrian (2007). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus. Princeton [u.a.]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-1308

Интегралы
Дифференциальное исчисление