Уравнения Швингера

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951 году.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:

 

где  — функционал действия,  — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала  есть классический объект той же природы, что и поле , то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов,  — левая вариационная производная,  в бозонном случае,  в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель , где  — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку  и сократив после выполнения дифференцирования множитель , получим уравнение Швингера для производящего функционала  связных функций Грина .

Представив  в виде ряда

 

и сравнивая коэффициенты при всех степенях , получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина .

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике 
Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов  с источником внешнего электромагнитного поля  в минимальной форме — . За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику  получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом  источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

 

где   — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ  обозначает хронологическое упорядочение операторов,  — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

 

где  — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

 

где  — матрицы Дирака,  — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля  получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току ):

 

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам  определить  и  , называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

 

Величина  называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

 

где  — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература 
 
 
 

Квантовая теория поля
Физические законы и уравнения
Именные законы и правила
Шви́нгера