Уравнение диффузии

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоёмкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

 В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется уравнение переноса, расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.

 Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид 

Уравнение обычно записывается так:

где  — плотность диффундирующего вещества в точке  и во время  и  — обобщённый коэффициент диффузии  для плотности  в точке ;  — оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Если  — симметричный положительно определённый оператор, уравнение описывает анизотропную диффузию:

Если  постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

 

также называемому уравнением теплопроводности.

История происхождения 

Дифференциальное уравнение в частных производных было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.

Нестационарное уравнение 
Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

Одномерный случай 
В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности)  уравнение имеет вид:
 
При постоянном  приобретает вид:
 
где  — концентрация диффундирующего вещества, a  — функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай 
В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:
 
где  — оператор набла, а  — скалярное произведение. Оно также может быть записано как
 
а при постоянном  приобретает вид:
 
где  — оператор Лапласа.

n-мерный случай 
-мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать -мерные версии соответствующих операторов:
 
 
Это касается и двумерного случая .

Мотивация

A. 
Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):
  (одномерный случай),
  (для любой размерности),
в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):
  (одномерный случай),
  (для любой размерности),
с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).
 Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
 Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

B. 
Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или -мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции  в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью).

Решение 
В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения с постоянным — не зависящим от  и  —  (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией  и граничном условии ) есть
 
В этом случае  можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время  перейдёт в пункт с координатой . То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки
 

В случае произвольного начального распределения  общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:

Физические замечания 
Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение 
В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:
 
 При , не зависящем от , стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при ):

Постановка краевых задач 
 Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой
Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

Найти решение уравнения теплопроводности в области  и , удовлетворяющее условию , где  — заданная функция.
 Первая краевая задача для полубесконечного стержня
Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области  и , удовлетворяющее условиям
 
где  и  — заданные функции.

 Краевая задача без начальных условий
Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области  и , удовлетворяющее условиям
 
где  и  — заданные функции.

 Краевые задачи для ограниченного стержня
Рассмотрим следующую краевую задачу:
  — уравнение теплопроводности.
Если , то такое уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным.
  — начальное условие в момент времени , температура в точке  задается функцией .
  — краевые условия. Функции  и  задают значение температуры в граничных точках 0 и  в любой момент времени .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ().
 

Если , то такое условие называют условием первого рода, если  — второго рода, а если  и  отличны от нуля, то условием третьего рода''. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума 
Пусть функция  в пространстве , удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности , причем  — ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция  может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области .

Примечания 

Диффузии уравнение
Диффузия