Теорема Римана — Роха для поверхностей

Теорема Римана — Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности. В классическом виде теорему первым сформулировал Кастельнуово после предварительных версий Макса Нётера и Энриквеса. Версия в терминах пучков принадлежит Хирцебруху.

Утверждение теоремы 
Одна из форм теоремы Римана — Роха утверждает, что если D является дивизором несингулярной проективной поверхности, то
 ,

где χ — голоморфная эйлерова характеристика, символ «точка» — индекс пересечения, а K — канонический дивизор. Константа χ(0) является голоморфной эйлеровой характеристикой тривиального расслоения и равна 1 + pa, где pa —  поверхности. Для сравнения, теорема Римана — Роха для кривой утверждает, что .

Формула Нётера 
Формула Нётера утверждает, что

 ,

где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика,  — число Чженя и число самопересечений канонического класса K, а  является топологической эйлеровой характеристикой. Формула может быть использована для замены члена χ(0) в теореме Римана — Роха в топологических терминах. Это даёт  для поверхностей.

Связь с теоремой Хирцебруха — Римана — Роха 
Для поверхностей , по существу, является теоремой Римана — Роха для поверхностей, скомбинированной с формулй Нётера. Чтобы это видеть, напомним, что для любого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O(D), такой, что линейная система дивизора D является более или менее пространством сечений L.
Для поверхностей класс Тодда — это , а характер Чженя пучка L — это просто . Таким образом, теорема Хирцебруха — Римана — Роха утверждает, что

 

К счастью, формулу можно переписать в более ясном виде следующим образом. В первую очередь, полагая D = 0, получим, что

      (Формула Нётера)

Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Чженя равен нулю. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечения в , и мы получаем более классическую версию теоремы Римана — Роха для поверхностей:

 

При желании мы можем использовать двойственность Серра для выражения  как , но, в отличие от случая кривых, не имеется в общем случае простого пути записать член  в форме, не использующей когомологии пучков (хотя, на практике, он часто обращается в нуль).

Ранние версии 
Наиболее ранние формы теоремы Римана — Роха для поверхностей часто формулировались в виде неравенств, а не равенств, поскольку не было прямого геометрического описания групп первой когомологии. Типичный пример формулировки дал Зарисский, в которой утверждается

 ,

где
 r — размерность полной линейной системы |D| дивизора D (так что )
 n — виртуальная степень дивизора D, задаваемая числом самопересечений (D.D)
 π — виртуальный род дивизора D, равен 1 + (D.D + K.D)/2
 pa — арифметический род  поверхности
 i — индекс специфичности дивизора D, равен  (что, согласно двойственности Серра, равно ).

Разность двух частей этого неравенства называется избыточностью s дивизора D.
Сравнение этого неравенства с версией теоремы Римана — Роха с пучками показывает, что избыточность дивизора D задаётся равенством . Дивизор D назывался регулярным, если  (или, другими словами, если все группы высоких когомологий O(D) обращаются в нуль) и избыточным, если .

Примечания

Литература 

 
 
 
 

Алгебраические поверхности
Топологические методы алгебраической геометрии
Теоремы алгебраической геометрии