Quadrivecteur

En physique, un quadrivecteur est un vecteur à quatre dimensions utilisé pour représenter un événement dans l'espace-temps. Dans la théorie de la relativité restreinte, un quadrivecteur est un vecteur de l'espace de Minkowski, où un changement de référentiel se fait par des transformations de Lorentz (par covariance des coordonnées).

En relativité restreinte, un quadrivecteur (ou 4-vecteur) est un vecteur appartenant à l'espace vectoriel  associé à l'espace affine  qu'est l'espace-temps. Un quadrivecteur a quatre composantes homogènes en dimension.

Exprimés dans une base vectorielle donnée de l'espace-temps de Minkowski, on parle de quadrivecteurs contravariants. À partir de cette base et du produit scalaire de l'espace de Minkowski, on construit une autre base vectorielle, dite covariante, permettant d'écrire le produit scalaire de manière allégée. Exprimés dans cette seconde base, les quadrivecteurs sont dits covariants.

Dans la théorie de la relativité générale, un quadrivecteur est un quadrivecteur de l'espace tangent de la variété de dimension quatre de cette théorie.

Un quadrivecteur est un tenseur d'ordre 1 (il n'y a qu'un indice).

Le terme quadrivecteur est dû au physicien théoricien allemand Arnold Sommerfeld (-).

Quadrivecteurs covariants et contravariants

Des vecteurs aux quadrivecteurs contravariants : conventions 
Dans l'espace-temps de Minkowski, un vecteur a quatre dimensions, et d'un référentiel à l'autre, les changements de coordonnées se font en utilisant les transformations de Lorentz. Plutôt que de vecteur, on parle de quadrivecteur.

Si on a une base vectorielle , où  est un vecteur directeur de l'axe temporel, un vecteur s'écrit habituellement , où  sont les coordonnées du quadrivecteurs, et  est la coordonnée temporelle. La base de l'espace étant donnée, l'expression du quadrivecteur dans cette base s'appelle .

Les  sont précises : les indices des vecteurs sont en bas , ceux des coordonnées sont en haut . En général la flèche au-dessus des vecteurs est omise : .

La convention d'Einstein sur les indices permet d'omettre le symbole de sommation : .

Dans une base donnée, un quadrivecteur  est identifié au quadruplet de ses coordonnées contravariantes :

De la base covariante aux quadrivecteurs covariants 

En relativité restreinte, l'espace est l'espace-temps de Minkowski et est doté de la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique due à l'intervalle d'espace-temps. Cette opération est souvent désignée, par analogie avec les vecteurs classiques, au produit scalaire. Connaissant une base  telle que l'axe de  soit l'axe temporel du référentiel, cette forme bilinéaire est définie par , où  et  pour  est appelé métrique de Minkowski.

On cherche alors une base, dite duale ou covariante,  (par convention les indices de ces vecteurs sont en haut) telle que , où  est le symbole de Kronecker.

On trouve  et  pour . Dans cette base covariante, les coordonnées d'un quadrivecteur  sont notées  (les indices des coordonnées sont en bas) : on trouve  et  pour .

On écrit  et on parle de . On a : .

La forme bilinéaire s'écrit alors : . La forme étant symétrique, on a .

La méthode est identique en relativité générale où la forme bilinéaire s'écrit , où  est le tenseur métrique local, avec  la matrice inverse vérifiant  (avec la convention d'Einstein sur les indices). En imposant aussi , on trouve  et . Et on peut également écrire .

La définition des  par la forme bilinéaire permet de s'assurer que par changement de référentiel, « la transformée de la covariante est la covariante de la transformée » : si  est une transformation (de Lorentz, pour la relativité restreinte) associée à un changement de base,  la base initiale et  la base transformée , alors du fait que , on obtient .

Remarques
En relativité générale, une base de l'espace tangent étant donnée, on a , résultat invariant par changement de base : une autre base  vérifie  et .
Dans un espace euclidien, en choisissant une base orthonormée, on a , et donc .

Quadriscalaires et norme 
De par la nature tensorielle même des quadrivecteurs, on sait que le résultat du produit scalaire de deux quadrivecteurs doit être un scalaire invariant peu importe le choix du référentiel, dans la mesure où les deux quadrivecteurs qui ont été multipliés ensemble étaient exprimés dans le même référentiel. Dans le contexte de la relativité, on appelle quadriscalaire les quantités dont la valeur est indépendante du choix de référentiel, et qui peuvent donc être exprimés comme le produit scalaire de deux quadrivecteurs.

En particulier, il est possible de faire le produit scalaire d'un quadrivecteur avec lui-même. Par analogie avec les vecteurs classiques, on appelle le résultat la norme du quadrivecteur, et il est garanti que c'est un quadriscalaire. Les quadriscalaires qui sont la norme d'un quadrivecteur ont généralement une signification physique importante quant aux propriétés physiques de l'objet décrit par le quadrivecteur.

Quelques exemples de quadrivecteurs 

 Quadrivecteur position-temps:
,
ou
.
 Quadrivecteur vitesse (quadrivitesse) :
,
ou
,
où τ est le temps propre, c'est-à-dire le temps qui serait indiqué par une horloge qui serait attaché à l'objet dont la trajectoire aurait le vecteur vitesse correspondant. Le quadrivecteur vitesse est par définition de norme fixée (par norme on entend la quantité , voir paragraphe ci-dessus), égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à c, -c, 1, ou -1. La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée.
 Quadrivecteur impulsion (quadri-impulsion). Pour une particule de masse non nulle :
,
ou
,
où τ est le temps propre. Le quadrivecteur impulsion possède une norme fixée, égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à mc, -mc, m, ou -m. La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée. On peut montrer qu'elle s'identifie (à une constante près) à l'énergie de l'objet telle qu'elle serait mesurée par un observateur immobile par rapport aux coordonnées x, y, z.
 Potentiel vecteur A. Ce quadrivecteur potentiel est défini avec des composantes contravariantes. Ses composantes spatiales s'identifient (au signe près) au potentiel vecteur de l'électromagnétisme, dont le rotationnel donne le champ magnétique. Sa composante temporelle donne, à un facteur multiplicatif près, le potentiel électrique.

 nabla:  est un opérateur covariant. Ses composantes spatiales s'identifient (au signe près) au gradient et sa composante temporelle s'identifie à la dérivée temporelle (à une constance 1/c) près. Sa pseudonorme s'identifie au d'alembertien

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie 
 , en particulier le §6.
 Relativité générale et gravitation, Edgard Elbaz, éditions ellipses, 1986,  : chapitre 3 Analyse tensorielle.
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Articles connexes 
 Transformation de Lorentz
 Covariant et contravariant

Liens externes 
 Cours sur la théorie de la relativité de l'université de Nantes

Relativité
Vecteur