Треугольник Шварца

Треугольник Шварца — сферический треугольник, который можно использовать для создания мозаики на сфере, возможно с наложением, путём отражений треугольника относительно сторон. Треугольники классифицированы в работе немецкого математика Карла Шварца 1873 года.

Треугольники Шварца можно определить в более общем виде как мозаики на сфере, евклидовой или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу, в то время как на евклидовой плоскости они определяют бесконечные группы.

Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет .

Пространство решений 
Фундаментальная область в виде треугольника (p q r) может существовать в различных пространствах в зависимости от суммы обратных величин этих целых:

  Сфера
  Евклидова плоскость
  Гиперболическая плоскость

Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.

Графическое представление 

Треугольник Шварца представляется графически как треугольный граф. Каждая вершина соответствует стороне (зеркалу) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, которое равно π/внешний угол.

Рёбра с порядком 2 представляют перпендикулярные зеркала, которые в этой диаграмме можно опускать. Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти треугольные графы без рёбер порядка 2.

Можно использовать группу Коксетера для более простой записи, как (p q r) для циклических графов, (p q 2) = [p,q] для прямоугольных треугольников) и (p 2 2) = [p]×[].

Список треугольников Шварца

Треугольники Мёбиуса на сфере 

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса, включают однопараметрическое семейство и три  случая:
 [p,2] или (p 2 2) – диэдральная симметрия, 
 [3,3] или (3 3 2) – Тетраэдральная симметрия, 
 [4,3] или (4 3 2) – , 
 [5,3] или (5 3 2) – Икосаэдральная симметрия,

Треугольники Шварца на сфере, сгруппированные по плотности 
Треугольники Шварца (p q r), сгруппированные по :

Треугольники на евклидовой плоскости 

Плотность 1:
 (3 3 3) – 60-60-60 (равносторонний)
 (4 4 2) –  (равнобедренный прямоугольный)
 (6 3 2) –  
 (2 2 ∞) - 90-90-0 "треугольник"

Плотность 2:
 (6 6 3/2) - 120-30-30 треугольник

Плотность ∞:
 (4 4/3 ∞)
 (3 3/2 ∞)
 (6 6/5 ∞)

Треугольники на гиперболической плоскости 

Плотность 1:
 (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
 (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
 (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
 (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
 (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
 (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
 (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
 (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
 ...
 (∞ ∞ ∞)

Плотность 2:
 (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
 (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
 (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
 (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
 ...

Плотность 3:
 (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Плотность 4:
 (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Плотность 6:
 (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...

Плотность 10:
 (3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и представляет особый интерес. Его группа треугольника (или, более точно, группа фон Дика сохраняющих ориентацию изометрий с индексом 2) является , которая является универсальной группой для всех  — максимальных групп изометрий римановых поверхностей. Все группы Гурвица являются факторгруппами группы треугольников (2,3,7) и все поверхности Гурвица покрываются мозаиками из треугольников Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа, которая изоморфна PSL(2,7) и ассоциирована с поверхностью Гурвица рода 3, — это .

Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца, высокосимметричную (но не являющуюся поверхностью Гурвица) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, впервые классифицированы  в статье 1968 года. Список треугольников с несколькими нецелыми углами даны в статье Клименко и Сакума 1998 года.

См. также 
 Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца
 
 Построение Витхоффа
 Однородный многогранник
 
 
 Тетраэдр Гурса
 
 Однородные мозаики на гиперболической плоскости

Примечания

Литература 

 
 
 
   Заметим, что Коксетер ссылается на эту статью как «Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe», что является укороченным заголовком, использованным как заголовки страниц.

Ссылки 
 
 KlitzingPolytopes The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra

Сферическая тригонометрия
Многогранники