Moyenne logarithmique

En mathématiques, la moyenne logarithmique est un type de moyenne. 

Pour deux réels strictement positifs, elle est égale à leur différence, divisée par le logarithme de leur quotient. Cette moyenne est utilisée lors de problèmes d'ingénierie concernant le transfert de chaleur et de masse.

Définition 
La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs  est définie par :
 .

Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est , voir la .

Propriétés 
La moyenne logarithmique est bien une moyenne, car comprise entre  et  (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier»). Elle est de plus homogène : .

Inégalités 
La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2 , mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément :

  .
Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec  de la moyenne d'ordre  et les deux inégalités centrales de la croissance avec  de la moyenne de Stolarsky .

Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.

Pour , on pose  ; les inégalités  s'écrivent alors .

En remplaçant  par , la première inégalité s'écrit , inégalité classique.

La deuxième s'écrit aussi  ; en remplaçant   par , elle s'écrit , inégalité également classique.

La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour  sur .

Diverses obtentions de cette moyenne

Par le théorème des accroissements finis 
D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel  entre  et  où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante :

 

La moyenne logarithmique est le nombre  lorsque l'on prend  :

 

soit :

Par intégration 
La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle :

Le calcul est direct :
 

Carlson donne d'autres expressions intégrales:

La première intégrale se fait par un simple changement de variables affine :
.

Pour la deuxième intégrale, on utilise la décomposition en éléments simples :
.

D'après le théorème des sommes de Riemann,  est la limite de la suite décroissante , formée de moyennes arithmétiques de moyennes géométriques pondérées.

Généralisation

Par le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n 
On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.

On obtient

 

où  désigne la différence divisée d'ordre n du logarithme.

Pour n = 2, cela donne par exemple :

  .

Par intégration 
L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe  où  et une mesure appropriée  qui assigne au simplexe un volume égal à 1, on obtient

 

Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour

  .

Exemple pour 

  .

Relations avec d'autres moyennes 

 Moyenne arithmétique : 

 Moyenne géométrique : 

 Moyenne harmonique :

Articles connexes 
 La moyenne géométrique, autre moyenne liée aux logarithmes
 La moyenne de Stolarsky dont la moyenne logarithmique est un cas particulier

Références 

 Notes

 Bibliographie

Moyenne
Logarithme