Fonction harmonique

En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction qui satisfait l'équation de Laplace.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?

Définition 

L'équation  est appelée équation de Laplace. Une fonction harmonique est donc, par définition, une solution de cette équation.

Exemples 

 Les fonctions constantes sont harmoniques sur .
 Les fonctions coordonnées, , sont toutes harmoniques sur .
 La fonction  est harmonique sur .
 La fonction  est harmonique sur  pour tout  où  désigne la norme euclidienne.
 La fonction  est harmonique sur .
 La fonction  est harmonique sur  pour tout .
 Les fonctions harmoniques sur les intervalles ouverts de  sont exactement les fonctions affines.

Propriétés

Stabilité 

 Puisque l'opérateur laplacien est linéaire, l'ensemble des fonctions harmoniques sur un ouvert fixé est un espace vectoriel. Les fonctions harmoniques sont donc stables par addition et multiplication par un réel.
 Si  est harmonique sur  alors  est harmonique sur . En somme les fonctions harmoniques sont stables par translation.
 Si  est harmonique sur  alors  est harmonique sur . Ainsi les fonctions harmoniques sont stables par dilatation.
 Si  est harmonique sur  et si  est une application orthogonale alors  est harmonique sur . Cela découle du fait que, de manière générale, pour toute fonction  on a que . Les fonctions harmoniques sont donc stables par transformation orthogonale.

Régularité 
Une fonction harmonique est nécessairement infiniment différentiable. En fait elle est même développable en série entière.Précisons qu'un multi-indice est un n-uplet  et que pour  on note . Pour que la somme apparaissant dans le résultat précédent fasse sens, il est implicitement supposé que la famille  est sommable.

Convergence 
Une limite uniforme sur tout compact d'une suite de fonctions harmoniques est harmonique, de plus les différentielles convergent aussi. Plus précisément

Propriété de la moyenne 
La boule ouverte de centre  et de rayon  sera notée . La boule fermée sera notée  et la sphère sera notée . Le principe de la moyenne dit qu'une fonction harmonique est égale en tout point à sa moyenne prise sur une boule centrée en ce point. En réalité on peut voir l'équation de Laplace comme une propriété locale de la moyenne. Cette propriété locale devient globale grâce à l'identité de Green.

Il existe aussi une autre version de la propriété de la moyenne, où cette fois, la moyenne est prise sur la sphère.

Précisons ce qu'est la mesure de Lebesgue normalisée sur la sphère. Pour tout  avec  un borélien de , on a 
.

Réciproque de la propriété de la moyenne 

La propriété de la moyenne caractérise en réalité les fonctions harmoniques dans le sens où, si une fonction satisfait la propriété de la moyenne, alors elle est harmonique. Encore une fois il existe une autre version pour la sphère.A noter que dans la première réciproque, la fonction est seulement supposée localement intégrable, alors que dans la seconde elle est supposée continue.

Principe du maximum 

Le principe du maximum est une conséquence importante de la propriété de la moyenne.Le corollaire suivant est une conséquence directe du principe du maximum.Le principe du maximum donne une preuve simple de l'unicité d'un problème de Dirichlet sur un ouvert borné . En effet, si deux fonctions continues et  sur  sont harmoniques sur  et égales sur  alors leur différence  est aussi harmonique sur . Par le principe du maximum, ou plutôt par son corollaire ci-dessus, le maximum et le minimum de  sont atteints sur , donc valent 0, ce qui implique que .

Il existe une version locale du principe du maximum.Puisqu'un extremum est, a fortiori, un extremum local, ce dernier théorème est en fait une généralisation du principe du maximum global. Le principe du maximum local se déduit du global en utilisant en plus le fait que les fonctions harmoniques sont développables en série entière. En effet cela permet de montrer que la constance locale induit la constance globale.

Théorème de Liouville 
Le théorème de Liouville peut donner une preuve de l'unicité d'un problème de Dirichlet sur un domaine non borné, à condition de se restreindre aux solutions bornées. Il complète, en ce sens, le principe du maximum. Par exemple le théorème de Liouville implique l'unicité des solutions bornées sur le demi-espace :
.
Plus précisémentIl existe une version plus forte du théorème de Liouville.Cette version généralisée implique la première version du théorème pour les fonctions bornées. Elle implique aussi qu'une fonction harmonique positive sur l'espace entier est nécessairement constante. Cette dernière propriété permet de montrer qu'une fonction harmonique positive  sur  est constante (il suffit de considérer la fonction  qui est harmonique et positive sur , que l'on identifie à ).

Principe de Dirichlet 
Le principe de Dirichlet dit que la solution d'un problème de Dirichlet (c'est-à-dire une solution de l'équation de Laplace avec une condition au bord en plus) est la fonction qui minimise une certaine énergie, appelée énergie de Dirichlet. Plus précisément, soit  un ouvert borné non vide de  avec une frontière  de classe . Soit  une fonction continue. Notons  l'ensemble des fonctions admissibles et  l'énergie de Dirichlet d'un élément admissible . Le problème de Dirichlet associé à  et  consiste alors à trouver une fonction  continue sur , harmonique sur  et égale à  sur la frontière .

Fonction harmonique en dimension 2 
En identifiant ℂ à ℝ, on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes.

La réciproque de cette propriété est fausse. En effet une fonction harmonique n'est pas forcément la partie réelle d'une fonction holomorphe définie sur tout le domaine. En revanche elle est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe. Plus précisément
Une telle caractérisation des fonctions harmoniques n'existe pas en dimension supérieure à deux.

Articles connexes 
 Fonction sous-harmonique
 Harmonique cylindrique
 Harmonique sphérique
 Théorème de Radó
 Inégalité de Harnack
 Fonction harmonique positive

Notes

Références 
 
 

Analyse à plusieurs variables
Harmonique