Analyse fractionnaire

L'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité de définir des puissances non entières des opérateurs de dérivation et d'intégration.

Ces dérivées ou intégrations fractionnaires entrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels.

Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement la racine carrée 

de l'opérateur de dérivation, c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction, aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir

pour des valeurs réelles de , de telle sorte que lorsque  prend une valeur entière , on récupère la dérivation -ième usuelle pour  ou l'intégration itérée  fois pour . Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre :  n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et l'on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel.

Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ».

Dérivée fractionnaire 

Les fondations de ce sujet ont été jetées par Liouville dans un article de 1832. La dérivée fractionnaire d'ordre  d'une fonction en un point  est désormais souvent définie à partir de la transformée de Fourier ou de la transformée de Laplace.

Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point  est une propriété locale seulement lorsque l'ordre  est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction  en  ne dépend que du graphe de  au voisinage de , comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres de dérivation entiers.

Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur « de translation »  et l'opérateur identité . La limite, lorsque  tend vers , de l'opérateur

correspond bien à l'opérateur de dérivation au premier ordre.

Grâce à la formule du binôme généralisée, on peut alors élever cet opérateur à une puissance non entière. On obtient ainsi une série infinie :

,
où  désigne le coefficient binomial généralisé
.

Une telle définition induit un caractère non local de l'opération de dérivation à un ordre non entier.

Approche naturelle 

Une question naturelle qui se pose est : existe-t-il un opérateur linéaire  tel que

 ?

Il apparaît qu'il existe un tel opérateur et même, pour tout  rationnel, il existe un opérateur  tel que  (plus précisément, si , ) ou, pour le formuler autrement, que  est défini pour toutes valeurs réelles . 

Un résultat similaire s'applique pour l'intégration. Considérant une fonction  définie pour , nous pouvons former son intégrale définie de 0 à  :

.

En répétant ce processus, on obtient

,

et ceci peut être répété arbitrairement.

La formule suivante, appelée formule de Cauchy pour l'intégration successive,

exprime par une seule intégrale une primitive -ième d'une fonction . Ceci mène tout droit à une généralisation pour tout réel  et même, pour tout nombre complexe de partie réelle strictement positive.

La fonction gamma , qui étend la factorielle aux valeurs complexes, est définie de telle sorte que :

.

En utilisant la fonction gamma pour se libérer de la nature discrète de la factorielle, nous obtenons un candidat naturel pour les puissances non entières de l'opérateur d'intégration :

La famille d'opérateurs intégraux  vérifie :

 (donc ).

Malheureusement, le processus analogue pour l'opérateur de dérivation  est considérablement plus compliqué. La famille  n'est ni additive (on n'a pas en général ), ni même commutative ().

Une définition élémentaire 
L'idée la plus simple est de partir de formules « régulières » pour la dérivée -ième et de remplacer  par le réel  ; on obtient ainsi pour l'exponentielle  et pour la fonction sinus :  La même idée  pour les fonctions puissances oblige comme précédemment à introduire la fonction gamma : puisque , on aura .  Pour ces formules, on a bien l'additivité (), qui permet d'obtenir, par exemple, une « racine carrée » de la dérivation en prenant .

Mais cette approche élémentaire, non seulement n'est pas généralisable, mais contredit les définitions plus générales construites à partir d'opérateurs intégraux.

Définitions générales des dérivées fractionnaires

Dérivée de Riemann-Liouville 

L'idée, pour définir une dérivée d'ordre  avec , est ici de calculer la dérivée -ième usuelle de l'intégrale fractionnaire d'ordre , pour . Deux variantes de la définition existent :
 (pour ) ;
 (pour ).
Les familles d'opérateurs d'intégration  et  (avec ) utilisées ici généralisent la famille  définie ci-dessus pour  :
 ;
.

Dérivée de Liouville-Weyl 
Une variante naturelle de la dérivée de Riemann-Liouville, pour une fonction définie sur  tout entier, consiste à prendre  et , donc à poser, pour tout  :
,

puis, comme précédemment,
 et .

Dérivée de Caputo 
En 1967, Michele Caputo introduisit une nouvelle définition ne nécessitant pas de conditions aux bornes. La définition de Caputo diffère de celle de Riemann-Liouville en ce qu'elle effectue la dérivation  fois avant l'intégrale fractionnaire d'ordre  :
.
Elle a l'avantage d'être nulle pour  constante et d'avoir une transformée de Laplace exprimée à l'aide de celle de  et des valeurs initiales de  pour .

Plus généralement, pour  complexe non entier tel que  et pour  de classe  sur  avec , on définit
,
et l'on démontre que 
.

Dérivée de Grünwald-Letnikov 

On généralise d'abord la différence finie arrière d'ordre entier en posant, pour  :
,
puis
.

Applications 
Ce champ des mathématiques trouve une application pratique en automatique via la commande CRONE (Commande Robuste d'Ordre Non Entier).

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 
 Opérateur différentiel
 Système d'ordre fractionnaire
 Théorème de Hille-Yosida
 Fonction de Mittag-Leffler

Liens externes

Ouvrages

Journaux spécialisés 
Fractional Calculus and Applied Analysis (FCAA) (journal de l'Institut de mathématiques de l'Académie bulgare des sciences)
Fractional Differential Calculus (FDC)
Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
Progress in Fractional Differentiation and Applications (PFDA)

Analyse fonctionnelle
Dérivée