Échelle logarithmique

Une échelle logarithmique est un système de graduation en progression géométrique. Chaque pas multiplie la valeur par une constante positive. De ce fait, la position sur l'axe d'une valeur est proportionnelle à son logarithme.

Une échelle logarithmique est particulièrement adaptée pour rendre compte des ordres de grandeur dans les applications. Elle montre sur un petit espace une large gamme de valeurs, à condition qu'elles soient non nulles et de même signe.

Les échelles logarithmiques servent soit pour effectuer des calculs analogiques, soit pour présenter des résultats sur des graphiques.

Définition 
L'échelle logarithmique place les valeurs sur l'axe en croissance exponentielle. Des points écartés d'une même distance représentent des valeurs dans le même rapport.

L'échelle logarithmique n'est définie que pour des valeurs strictement positives.

Comparaison d'une échelle linéaire et d'une échelle logarithmique 

L'illustration ci-dessus montre les deux types d'échelles :
 Avec l'échelle linéaire, deux graduations dont la différence vaut 10 sont à distance constante.
 Avec l'échelle logarithmique, deux graduations dont le rapport vaut 10 sont à distance constante.
Sur l'échelle logarithmique, les grands nombres sont comprimés, rapprochés de 1 et facilement représentés, tandis que les nombres inférieurs à 1 sont dilatés et très vite renvoyés vers l'infini négatif.

Unités logarithmiques 
On utilise parfois des unités logarithmiques, c'est-à-dire dont la valeur est le logarithme du rapport entre deux valeurs d'une grandeur.
La base logarithmique choisie dépend des habitudes de la discipline qui les utilise :
 le logarithme népérien, dont la base est e, facilite certains calculs et s'évalue plus directement grâce à la série de Taylor, mais ne permet pas d'accéder intuitivement à l'ordre de grandeur décimal. Le néper est le logarithme népérien du rapport entre deux puissances.
 logarithme décimal (base 10) donne directement une notion de l'ordre de grandeur, puisque la caractéristique, c'est-à-dire le signe et la partie avant la virgule, le donne directement. Sa lisibilité le rend utile dans de nombreux domaines technologiques, bien que sous une forme modifiée. Il sert en statistiques, et en chimie définit le pH.
 Le décibel, couramment utilisé en télécommunications, électronique et acoustique se définit comme 10 fois le logarithme décimal du rapport entre deux puissances ; mais si les tables de logarithmes et plus tard, les calculatrices de poche n'avaient pas donné plus facilement accès au logarithme décimal, on dirait avec rigueur que le décibel est le logarithme de base 10 (soit environ 1,26) du rapport entre deux puissances. En effet, c'est à ce multiplicateur que correspond un décibel.
 le logarithme de base 2 sert en informatique, avec les bits et en musique, avec les octaves.
 De la même façon, le demi-ton de la gamme tempérée en musique, qui est la douzième partie de l'octave, est le logarithme de base 21÷12 (soit environ 1,06) de la fréquence.
Une échelle linéaire graduée dans une unité logarithmique équivaut à une échelle logarithmique, du point de vue de la grandeur considérée.

Usage 

La règle à calcul tire parti des propriétés de l'échelle logarithmique pour permettre d'effectuer des multiplications.

Les graphiques en repère semi-logarithmique servent à montrer l'évolution de grandeurs dont l'une a une évolution linéaire (en général, la variable indépendante sur l'axe des abscisses), et l'autre une évolution exponentielle.

Les graphiques en repère logarithmique sur les deux axes conviennent aux grandeurs dont tant la variable indépendante que la variable dépendante peuvent prendre des valeurs extrêmement différentes. Lorsque l'une est proportionnelle à l'élévation de l'autre à une puissance, le graphique dessine une droite dont la pente est proportionnelle à l'exposant.

Construction de l'échelle 

On connait les valeurs minimale x et maximale x qu'il faut représenter, et la longueur l de l'échelle entre ces deux valeurs.

La longueur l correspond à une multiplication par r = x ÷ x.

Le point placé au milieu est à la même distance de x et de x. La valeur qui correspond au point du milieu est la moyenne géométrique des valeurs extrêmes .

Plutôt que calculer ainsi de proche en proche, on utilise la propriété fondamentale des logarithmes:
log(a × b) = log(a) + log(b)
On peut calculer les rapports de valeurs grâce à la fonction exponentielle, qui est la fonction réciproque de la fonction logarithmique.

Pour graduer l'axe selon ses besoins, on peut calculer le rapport de valeur par unité de longueur sur l'axe. Le logarithme de la progression par unité de longueur nombre s'obtient par une simple division : log(r)÷l et la valeur de la progression est r.

De la sorte, si on divise la distance l en n segments égaux, le rapport de valeurs qui correspond à chaque segment est de r. La longueur totale, correspondant à l'écart entre x et x, correspond ainsi bien à une multiplication par r, tandis que la longueur de chaque segment correspond à une multiplication par la même quantité.

Les points également espacés désignent des valeurs en progression géométrique.

Quand une valeur particulière est prise pour référence (par exemple, 1), la distance d'un point représentant un nombre à celui représentant cette valeur s'appelle sa coordonnée logarithmique.

Voir aussi

Articles connexes 
 Règle à calcul
 Repère semi-logarithmique
 Repère log-log
 Analyse spectrale

Liens externes 
 Planétarium d'Aix-en-Provence : Les logarithmes
  Papier semi-log vierge