Тригонометрическая подстановка

В математике тригонометрическая подстановка — это подстановка из тригонометрических функций для других выражений. В исчислении тригонометрическая подстановка — это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальное выражение. Как и другие методы интегрирования путём подстановки, при вычислении определённого интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Случай I: Подынтегральные выражения, содержащие a2 − x2 
Пусть , и используйте тождество .

Примеры Случая I

Пример 1 
В интеграле

 

можно использовать

 

Тогда
 

Вышеупомянутый шаг требует, чтобы  и . Мы можем выбрать  в качестве главного корня  и наложить ограничение  с помощью функции обратного синуса.

Для определённого интеграла нужно выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, если  изменяется от  до , тогда  изменяется от  до , поэтому  изменяется от  до . Тогда

 

При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку приведённая выше интеграция требует, чтобы , значение  может изменяться только от  до . Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать  для перехода от  к , что привело бы фактически к отрицательному значению.

В качестве альтернативы можно полностью вычислить неопределённые интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная даёт

 
как прежде.

Пример 2 
Интеграл

 

можно оценить путём представления 

где , так что  и  по диапазону арксинуса, так что  и .

Тогда
 

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения  со значениями в диапазоне . Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

 

можно оценить, подставив , с оценками, определёнными с помощью ,  и .

Тогда
 

С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразных даёт
 
как прежде.

Случай II: Подынтегральные выражения, содержащие a2 + x2

Примеры Случая II

Пример 1 
В интеграле

 

можно написать

 

так что интеграл становится

 

при условии .

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения  со значениями в диапазоне . Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

 

можно оценить, подставив , с оценками, определёнными с помощью ,  и .

Тогда
 

Между тем, прямое применение граничных членов к формуле для первообразных даёт
 
так же, как прежде.

Пример 2 
Интеграл

 

можно оценить путём представления 

где , так что  и  по диапазону арктангенса, так что  и .

Тогда
 
Интеграл секанса в кубе можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Как результат

Случай III: Подынтегральные выражения, содержащие x2 − a2 
Пусть  и используется тождество

Примеры Случая III 

Интегралы типа

 

также можно вычислить частичными дробями, а не тригонометрическими подстановками. Однако интеграл

 

нельзя. В этом случае подходящей подстановкой будет:
 

где , так что  и , предполагая , так что  и .

Тогда
 

Можно вычислить интеграл функции секанс, умножив числитель и знаменатель на  и интеграл секанса в кубе по частям. Как результат
 

Если , что происходит, когда  с заданным диапазоном арксеканса, то , что в данном случае означает .

Подстановки, исключающие тригонометрические функции 
Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.

Например,

 

Последняя подстановка известна как подстановка Вейерштрасса, в которой используются формулы тангенса половинного угла.

Например,

Гиперболическая подстановка 
Подстановки гиперболических функций также могут использоваться для упрощения интегралов.

В интеграле  можно сделать подстановку , 

Затем, используя тождества  и 

можно получить

См. также 
 Универсальная тригонометрическая подстановка
 Подстановки Эйлера

Примечания 

Интегральное исчисление
Тригонометрия