Processus stochastique

Un processus  ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, discrète ou à temps continu, d'une variable aléatoire. Celle-ci intervient dans le calcul classique des probabilités, où elle mesure chaque résultat possible (ou réalisation) d'une épreuve.

Cette notion se généralise à plusieurs dimensions. Un cas particulier important, le champ aléatoire de Markov, est utilisé en analyse spatiale.

Utilité

Notion de processus 
De nombreux domaines utilisent des observations en fonction du temps (ou plus rarement, d'une variable d'espace). Dans les cas les plus simples, ces observations se traduisent par une courbe bien définie. En réalité, des sciences de la Terre aux sciences humaines, les observations se présentent souvent de manière plus ou moins erratique. L'interprétation de ces observations est donc soumise à une certaine incertitude qui peut être traduite par l'utilisation des probabilités pour les représenter.

Un processus aléatoire généralise la notion de variable aléatoire utilisée en probabilité. On le définit comme une famille de variables aléatoires  associées à toutes les valeurs  (souvent le temps).

D'un point de vue statistique, on considèrera l'ensemble des observations disponibles  comme une réalisation du processus, ce qui donne lieu à certaines difficultés. Un premier problème concerne le fait que la durée sur laquelle est construit le processus est généralement infinie alors qu'une réalisation porte sur une durée finie. Il est donc impossible de représenter parfaitement la réalité. Il y a une seconde difficulté beaucoup plus sérieuse : à la différence du problème des variables aléatoires, l'information disponible sur un processus se réduit généralement à une seule réalisation.

Types de processus 

On distingue généralement les processus en temps discret et en temps continu, à valeurs discrètes et à valeurs continues.

Si l'ensemble  est dénombrable on parle de  ou de , si l'ensemble est indénombrable on parle de . La différence n'a rien de fondamental : en particulier la stationnarité, constance en fonction du temps des propriétés statistiques, se définit de la même façon.  Il ne s'agit même pas d'une différence pratique car les calculs sur un processus continu s'effectuent à partir de l'échantillonnage d'une réalisation du processus. La différence porte plutôt sur l'attitude adoptée face à l'utilisation d'une seule réalisation.

Il existe une différence un peu plus nette entre les processus à valeurs continues et les processus de comptage à valeurs discrètes. Les seconds remplacent par des sommes algébriques les intégrales utilisées par les premiers.

Exemples 

En matière de processus à valeurs continues, les processus de Gauss sont particulièrement utilisés pour les mêmes raisons que les variables de Gauss en statistiques élémentaires. Une application intuitive du théorème central limite conduit à penser que bon nombre de phénomènes, dus à des causes nombreuses, sont approximativement gaussiens. D'autre part, un tel processus présente l'avantage d'être entièrement défini par ses caractéristiques au second ordre, espérance et autocovariance.

La description d'un phénomène par des valeurs discrètes conduit à des processus de comptage dont le plus simple est le processus de Poisson utilisé dans la théorie des files d'attente.

La notion de propriété markovienne définit une classe de processus discrets ou continus, à valeurs discrètes ou continues, qui repose sur l'hypothèse selon laquelle l'avenir ne dépend que de l'instant présent.

Approche mathématique des processus stochastiques

Définitions et propriété de base 

On désigne par  un espace de probabilité,  un ensemble arbitraire et  un espace métrique muni de la tribu borélienne notée .  est souvent appelé  (souvent, on aura ).  peut faire référence au temps, à l'espace ou aux deux à la fois.

L'indice  désigne alors un instant (), une date (), un point, ou encore un point à un certain instant.  est appelé  (souvent, on aura  un ensemble fini ou dénombrable). Si l'espace d'état  est de la forme , on parle de .

Un  est une famille de variables aléatoires (c'est-à-dire, des applications mesurables) définies sur le même espace de probabilité  indexée par  et à valeurs dans .
Si  est un sous-ensemble d'un espace multidimensionnel, on préfère utiliser la dénomination de .
Un processus stochastique est noté par .
La valeur de la variable aléatoire  en un certain  est désignée par .

La famille de toutes les distributions finies-dimensionnelles de  s'appelle la  du processus. Si , on parle de .

Trajectoire d'un processus stochastique 

Notons par  l'ensemble des applications définies sur  en tout point et à valeur dans .
Fixons  et désignons par  l'application : . Une telle application est appelée trajectoire (ou réalisation) du processus stochastique .

Mesure de probabilité induite par un processus stochastique 

Soit  un processus stochastique,  la σ-algèbre borélienne de  (c'est-à-dire, la σ-algèbre engendrée par les ouverts de la topologie produit de ) et l'application suivante :

 est mesurable. Désignons par  la mesure de probabilité sur  définie pour tout  par  mesure de probabilité sur un espace de fonctions.

La probabilité  est dite induite par le processus stochastique  sur l'espace mesuré .

Lois fini-dimensionnelles 

Soient deux processus stochastiques  et . On suppose que ces deux processus sont à valeur dans . Dans cette définition, on ne suppose pas qu'ils sont définis sur le même espace de probabilité.
On dit alors que  et  possèdent les mêmes lois finis dimensionnelles si pour tout  et pour tout , les vecteurs (donc de dimension finie) aléatoires  et  sont de même loi. Pour tout , on a :

On suppose que le processus  est défini sur l'espace de probabilité  et le processus  est défini sur l'espace de probabilité .

Lorsque deux processus stochastiques  et  possèdent les mêmes lois finis dimensionnelles, ils induisent alors la même mesure de probabilité sur , c'est-à-dire :

Version d'un processus stochastique 

Soient deux processus stochastiques  et  définis sur le même espace de probabilité . On dit que  est une version (ou modification) du processus stochastique  si .
Il est clair que si  est une version de , alors ils ont les mêmes lois finis dimensionnelles.

Processus stochastiques indistinguables 

Soient deux processus stochastiques  et  définis sur le même espace de probabilité . On dit que  et  sont deux processus stochastiques indistinguables s'il existe  tel que :

Il en découle plusieurs propriétés :
 Si  est dénombrable, deux processus sont indistinguables si et seulement s'ils sont des versions l'un de l'autre ;
 Si  est non dénombrable, deux processus peuvent être une version l'un de l'autre sans pour autant être indistinguables ;
 Supposons  ou ℝ et  et  deux processus stochastiques tels que pour tout , les applications de  dans ,  et  sont continues à droite (resp. à gauche). Alors,  et  sont des versions l'un de l'autre si et seulement si  et  sont indistinguables.

Mutuelle indépendance 

On dit que  processus stochastiques   sont mutuellement indépendants si  et , les vecteurs aléatoires  sont mutuellement indépendants.

Mesurabilité d'un processus stochastique 

On suppose . On dit qu'un processus stochastique  est mesurable si l'application suivante est mesurable :

Supposons que  ou ℝ et que  est un processus à trajectoires continues à droite (respectivement continues à gauches), i.e.  est continue à droite (resp. continues à gauches). 
Alors,  est mesurable.

Voir aussi

Bibliographie 
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Articles connexes 
 Bruit blanc
 Intégrale d'Itō
 Mouvement brownien
 Processus de comptage
 Processus continu
 Processus ponctuel
 Processus de Markov
 Rapport signal sur bruit
 Formule des probabilités composées