Factor integrador

El factor integrador, también conocido como factor de integración o factor integrante de una ecuación diferencial, se define como una función (usualmente representada por la letra griega μ) que al multiplicarse por una ecuación diferencial no exacta, puede convertirla en una ecuación diferencial exacta.

Es común que se le refiera como un método de resolución para ecuaciones diferenciales.

Historia 
El primer registro del que se tiene conocimiento acerca de un factor integrador como un método para resolver una ecuación diferencial se encuentra en la obra Opera omnia, publicada en 1742 por Johann Bernoulli. Sin embargo, el método más comúnmente enseñado (y del que se habla en este artículo) se le atribuye a Leonhard Euler.

Consideraciones 
Usar el factor integrador como un método de resolución de ecuaciones diferenciales requiere de algunos aspectos a tomar en cuenta.

Forma estándar de una ecuación lineal 
Es necesario que la ecuación diferencial a resolver sea de la forma , en donde: 

 Puede asumirse que  está en función de . 
  puede ser una constante que multiplica a la función .  
  puede ser una constante.

Ecuación diferencial ordinaria 
Se debe estar seguro de que la ecuación diferencial a resolver no contenga derivadas parciales de 1 o más variables dependientes.

Ecuación diferencial de primer orden 
El factor integrador como método para resolver ecuaciones diferenciales sólo es aplicable a E.D. de primer orden, es decir, que el exponente de la derivada de orden más álto sea igual a 1.

No ser separable 
Esto es una recomendación más que un requisito. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que pueden ser resueltas por el método de separación de variables, que es más sencillo.  

Por ejemplo, la ecuación diferencial  es lineal y de primer orden, y puede resolverse usando separación de variables. De esta forma:

       

Sin embargo, una ecuación diferencial como , a pesar de ser de primer orden y de ser lineal, no puede resolverse separando sus variables.

Fórmula del factor integrador 
La fórmula del factor integrador es de la forma , en donde  corresponde a la función de igual nombre en la forma estándar de una ecuación lineal.

Explicación 
Suponiendo una ecuación diferencial de la forma , puede usarse una función arbitraria  que multiplique a toda la ecuación. Efecturar dicha operación nos deja con la ecuación siguiente:

          (1)

Puede verse al primer término del lado izquierdo de la igualdad como la primera parte de la solución de la derivada de un producto, es decir:

          (2)

Si se afirma que el término  es igual en las ecuaciones (1) y (2), se puede «forzar» que los términos  (de la ecuación 1) y  (de la ecuación 2) sean iguales. Lo anterior nos deja con la siguiente ecuación diferencial:

Puede dividirse a ambos lados entre :

Esta es una ecuación diferencial que puede resolverse por método de separación de variables, quedando:

El lado izquierdo de la ecuación puede resolverse usando algunos de los métodos de integración.

Puede eliminarse el logaritmo natural del lado izquierdo usándolo como exponente del número , 

Lo que nos lleva a la fórmula del factor integrador:

Referencias 

Ecuaciones diferenciales ordinarias