Абсолютная сходимость

Сходящийся ряд  называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл  от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля .

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Ряды

Признаки абсолютной сходимости

Признак сравнения 
Если  при , то:
 если ряд  сходится, то ряд  сходится абсолютно
 если ряд  расходится, то ряд  расходится
 Согласно критерию Коши, . Значит, , и по критерию Коши ряд  сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд  сходился, то и ряд  сходился бы.

Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами 
Пусть . Тогда ряд  сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

Признаки Коши и д’Аламбера 
Признак д’Аламбера

Ряд 
 Сходится абсолютно, если 
 Расходится, если 
 Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых 
Признак Коши

Пусть задан ряд  и . Тогда
 Если , то ряд сходится абсолютно
 Если , то ряд расходится
 Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых 

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями  и  соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.
 
Если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов.
Признак Коши сильнее признака Даламбера, поскольку существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши — Маклорена 
Пусть задан ряд  и функция  такая, что:
  нестрого монотонно убывает: 
 
Тогда ряд  и интеграл  сходятся или расходятся одновременно, причём

Признак Раабе 

Пусть задан ряд ,  и .
 Если , то ряд сходится
 Если , то ряд расходится
 Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых 

Признак Раабе основан на сравнении с обобщённым гармоническим рядом

Действия над рядами 
 Если оба ряда  и  сходятся абсолютно, то и их сумма  сходится абсолютно
 Если хотя бы один из рядов  и  сходится абсолютно, то их произведение по Коши  сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
 Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

Примеры 

Рассмотрим ряд . Для этого ряда:
 
 
 
Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд 
 
 
 
Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд  сходится при  и расходится при , однако:
 
 
 
Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд  сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд  расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода 
Определение
Несобственный интеграл первого рода  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Свойства
 из сходимости интеграла  вытекает сходимость интеграла .
 Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
 Если интеграл  расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода 
Определение
Пусть  определена и интегрируема на , неограничена в левой окрестности точки .
Несобственный интеграл второго рода  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Свойства
 из сходимости интеграла  вытекает сходимость интеграла .
 Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
 Если интеграл  расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Источники

См. также 
 Условная сходимость
 Безусловная сходимость

Ряды
Интегралы
Сходимость