Conjecture d'Artin sur les racines primitives

En théorie des nombres, la conjecture d'Artin est une conjecture sur la densité asymptotique relative de l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels un entier relatif  donné est une racine primitive, dans l'ensemble des nombres premiers.
En termes simplistes, la conjecture d'Artin affirme que  est générateur pour environ 37 % des nombres premiers.

Formulation 
Plus précisément, notons  l'ensemble des nombres premiers  tels que  engendre (ℤ/ℤ)*. Dans son journal, Helmut Hasse mentionne qu'Emil Artin lui a communiqué le  la conjecture suivante (nous donnons ici une formulation plus précise due à Derrick Lehmer) :

Supposons que  est différent de  (cas peu intéressant car  est alors inclus dans ) et n'est pas un carré, et notons  sa partie sans facteur carré. Alors : 
 a une densité strictement positive parmi l'ensemble des nombres premiers (cela implique en particulier que  est infini).
Si  n'est pas une puissance parfaite et si  n'est pas congru à  modulo  (), cette densité est indépendante de  et égale à la constante d'Artin, qui s'exprime sous la forme du produit infini suivant :Voir les décimales de cette constante comme .
 Si  n'est pas une puissance parfaite et si  est congru à  modulo , alors la constante est multipliée par un autre produit, où  désigne la fonction de Möbius :
 Si , alors la densité est multipliée par un facteur faisant intervenir la fonction multiplicative  définie par :  pour tout nombre premier  :

Exemples 
Par exemple, pour , la conjecture affirme que l'ensemble  des nombres premiers  pour lesquels  est une racine primitive a la densité . Cet ensemble correspond à la  :Il a 38 éléments plus petits que 500 et il y a 95 nombres premiers plus petits que 500. La proportion est donc 38/95 = 2/5 = 0,4 (et la conjecture affirme que cette proportion tend vers ).

Pour , l'ensemble  est formé des nombres premiers  dits « longs », dont l'écriture décimale de l'inverse a une période maximale, de longueur , comme  dont l'inverse est .

Cet ensemble correspond à la  : S(10) = { 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, …} dont la partie inférieure à 500 a une densité 35/95 = 0,368….

Preuves partielles 
En 1967, Christopher Hooley a publié une démonstration reposant sur l'hypothèse de Riemann généralisée (dont la véracité n'est pas à ce jour établie). En 1984, Rajiv Gupta et M. Ram Murty ont démontré (indépendamment de toute hypothèse) que la conjecture d'Artin est vraie pour un nombre infini de valeurs de , en utilisant une méthode de crible. Roger Heath-Brown a amélioré ce résultat en montrant qu'il y a au plus deux  trublions. Ce résultat n'est pas une démonstration constructive et on ne connaît donc pas la valeur de ces trublions. Ainsi, si l'on considère ,  ou , le théorème de Heath-Brown nous dit que la conjecture est vraie pour au moins l'une de ces valeurs, mais on ne sait pas dire laquelle. À ce jour, il n'y a d'ailleurs pas une seule valeur de  pour laquelle nous ayons une démonstration que  est infini.

Notes et références

Voir aussi

Article connexe 
Développement décimal périodique

Bibliographie

Lien externe 

Géométrie algébrique
Arithmétique modulaire
Artin
Fonction zêta
Constante mathématique