Problème des rencontres

En mathématiques, le problème des rencontres, ou problème de Montmort, ou encore problème des chapeaux, consiste à déterminer la probabilité que, n jetons numérotés de 1 à n ayant été mis au hasard dans des cases elles-mêmes numérotées de 1 à n, aucun jeton ne soit à sa place (ou celle de l'évènement contraire). De façon plus savante, c'est la recherche de la probabilité qu'une permutation prise au hasard soit un dérangement, c'est-à-dire ne possède pas de « rencontre », autrement dit de point fixe.

Le problème des rencontres a été posé pour la première fois par Pierre Rémond de Montmort en 1708, qui l'a résolu en 1713, en même temps que Nicolas Bernoulli.

Diverses formulations du problème 
Montmort écrit en 1708 : .

Il s'agit du jeu appelé à l'époque « jeu du treize ».

Leonhard Euler écrit en 1753 : 
Pierre Tédenat écrit en 1821 : 
Eugène Catalan pose le problème en 1837 sous une forme similaire à celle d'Euler, et résout une généralisation.
Formulation comme problème des chapeaux : 

Nous utiliserons cet habillage dans la suite.

Depuis Édouard Lucas, on figure une permutation par une position saturée de tours sur un échiquier n×n (n tours dont aucune n'est en prise avec une autre) ; il s'agit de calculer la proportion de positions saturées n'ayant aucune tour sur une diagonale donnée. De façon équivalente, on peut considérer des grilles de mots croisés à une seule case noire par ligne et par colonne, ou des matrices à un seul  par ligne et par colonne, et des  ailleurs.

Valeurs numériques 
Les dérangements partiels constituent la . La ligne  correspond au nombre d'éléments impliqués (le nombre de cartes au jeu du treize, le nombre de propriétaires de chapeaux, ou le nombre de tours sur l'échiquier d'Édouard Lucas). La ligne  correspond à l'échiquier classique ; la ligne  correspondrait au jeu modélisé par Pierre de Montfort, mais qu'il a renoncé à calculer et publier : l'approximation  suffit. La colonne  correspond au nombre d'éléments à leur place : la permutation considérée est un dérangement pour .

Premier calcul utilisant la formule de Poincaré 
La formule de Poincaré :  donne la réponse, en prenant pour  l'évènement : « le i-ème chapeau est à sa place ».

En effet  est l'évènement (contraire de celui cherché) : « l'un des chapeaux est à sa place », et  vaut évidemment  de sorte que .

Et la probabilité qu'aucun chapeau ne soit à sa place vaut donc .

Cette probabilité tend très rapidement et de manière alternée vers 1/. À partir de n = 3 il y a donc environ une chance sur trois qu'aucun chapeau ne soit à sa place. Et Pierre a raison de parier contre Paul qu'il y aura au moins une coïncidence.

Notion de sous-factorielle 

Le nombre de dérangements de  objets vaut donc  où  désigne l'entier le plus proche de . Ce nombre  est appelé sous-factorielle de  et noté !.

Les premières valeurs de  sont : , .

En utilisant l'expression intégrale de la factorielle :  , on peut exprimer ce nombre sous forme intégrale :  .

Par changement de variable , on obtient la formule exacte :  .

Deuxième calcul par résolution d'un système triangulaire 
On remarque que toute permutation de  objets ayant  points fixes est fabriquée à partir d'un dérangement sur le complémentaire de l'ensemble de ses points fixes ; comme il y a  façons de choisir cet ensemble, on obtient :
.

On peut donc écrire le système linéaire en  :  pour   = 0, 1, … ,  dont la matrice dite « de Pascal » s'inverse classiquement et donne
 ;
on retrouve bien la valeur ci-dessus.

Variante utilisant la fonction génératrice  : la relation  permet d'obtenir par produit des séries  ; et partant de  on obtient inversement la valeur attendue .

Troisième calcul par relation de récurrence 
La formule (1) ci-dessus donne une relation de récurrence forte : , soit
.

Mais un raisonnement combinatoire permet d'obtenir la relation de récurrence double : , dont on déduit la relation de récurrence simple :
, soit 
qui conduit directement à la formule donnant .

Démonstration de la relation de récurrence double 

Supposons que les  personnes sont numérotées de 1 à  ainsi que les  chapeaux.

Nous devons trouver le nombre de configurations où personne ne prend le chapeau ayant même numéro que le sien. Supposons que la première personne prenne le chapeau i. Il y a alors deux possibilités :
soit la personne i ne prend pas le chapeau 1. Ce cas est équivalent à résoudre le problème avec les  personnes et  chapeaux numérotés de 2 à n ;
soit la personne i prend le chapeau 1. Ce cas est équivalent à résoudre le problème avec les  personnes et  chapeaux restants.
Comme il y a  possibilités pour i, on obtient .

Démonstration du passage à la récurrence simple 

En posant , la relation  s'écrit  ;

donc , d'où .

Quatrième calcul à l'aide des dérangements partiels 
Soit  le nombre de configurations où les k premières personnes ne portent pas leur chapeau (ou le nombre de permutations dont les k premiers éléments ne sont pas fixes) ; on a donc  et .

Parmi ces  configurations, distinguons deux catégories : celle où k + 1 n'a pas son chapeau, qui contient  configurations ; et celle où k + 1 a son propre chapeau, qui en contient .

On en déduit , puis .

La suite  est donc image de la suite  par l'opérateur aux différences finies .

On en déduit .

Et de nouveau .

Application à la loi, l'espérance et la variance du nombre de points fixes d'une permutation 

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes portant leur propre chapeau (ou le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire de n objets).

Si , il y a  façons de choisir cet ensemble de points fixes, donc 

et bien sûr, .

Notons que pour  grand devant k,  et X suit donc approximativement une loi de Poisson de paramètre .

Pour obtenir l'espérance et la variance de X, il est beaucoup plus rapide de remarquer que X est la somme des ,  étant égal à  si la i-ème personne porte son chapeau,  sinon.

La variable  suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/, donc  : il y a en moyenne une seule personne qui porte son propre chapeau.

Pour la variance, un calcul donne : .

Généralisation : problème des rencontres avec objets typés 
On suppose que les  chapeaux sont de p types différents :  du type 1, ..., du type p () et qu'il y a p catégories parmi les personnes :   de catégorie 1, ..., de catégorie p ( ; il peut y avoir des personnes sans catégorie) ; il y a rencontre si une personne d'une certaine catégorie prend un chapeau d'un type ayant le même numéro : quelle est la probabilité qu'il n'y ait pas de rencontre ?

La réponse sous forme intégrale est .

La probabilité qu'une personne prenne un chapeau de type i valant , l'espérance du nombre de rencontres vaut .

Le problème simple est obtenu lorsque les  sont égaux à  où l'on retrouve  et une espérance de 1.

Le problème suivant :  revient au cas où  et donne une probabilité de  et une espérance du nombre de rencontres de 4 ; pour un jeu de 32 cartes, on trouve une probabilité d'environ  et toujours une espérance de 4.

Voir aussi 
Applications du principe d'inclusion-exclusion

Liens externes 
Analyse du texte de Montmort
Suite   dans l'encyclopédie des suites entières
Suite   dans l'encyclopédie des suites entières
Suite   dans l'encyclopédie des suites entières
Article sur les dérangements dans cette même encyclopédie

Notes et références 

Combinatoire