Relación de congruencia

En álgebra abstracta, una relación de congruencia (o simplemente congruencia) es una relación de equivalencia definida sobre una estructura algebraica (como un grupo, anillo o espacio vectorial) que es compatible con la estructura en el sentido de que las operaciones algebraicas realizadas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes. Cada relación de congruencia tiene una estructura de cociente correspondiente, cuyos elementos son las clases de equivalencia (o clases de congruencia) para la relación.

Ejemplo básico 
El ejemplo prototípico de una relación de congruencia es el módulo de congruencia  en el conjunto de los números enteros. Para un número entero positivo dado  , otros dos enteros  y  se llaman congruentes de módulo , escrito 

 

si  es divisible por  (o equivalentemente, si  y  tienen el mismo resto cuando se dividen por ). 

Por ejemplo,  y  son congruentes módulo  , 

 

ya que  es un múltiplo de 10, o equivalentemente, ya que tanto  como  tienen un resto de  cuando se dividen por  . 

El módulo de congruencia  (para un  fijo) es compatible tanto con la suma como con la multiplicación entre enteros. Es decir, 

si 

  y  

luego 

  y  

La correspondiente suma y multiplicación de clases de equivalencia se conoce como aritmética modular. Desde el punto de vista del álgebra abstracta, el módulo de congruencia  es una relación de congruencia en el anillo de los números enteros y el módulo aritmético  se verifica en el anillo cociente correspondiente.

Definición 
La definición de una congruencia depende del tipo de estructura algebraica en consideración. Se pueden hacer definiciones particulares de congruencia para grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos, semigrupos o retículos. El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia en un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas en las clases de equivalencia. 

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consiste en un conjunto junto con una sola operación binaria, que satisface ciertos axiomas. Si  es un grupo con la operación , una relación de congruencia en  es una relación de equivalencia  entre los elementos de  satisfaciendo que 

  y  

para todo , , , . Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento identidad es siempre un subgrupo normal, y las otras clases de equivalencia son las clases laterales de este subgrupo. Juntas, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente. 

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee suma y multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer 

 

cuando  . Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal de dos lados, y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo cociente correspondiente. 

La noción general de una relación de congruencia puede tener una definición formal en el contexto del álgebra universal, un campo que estudia ideas comunes a todas las estructuras algebraicas. En este contexto, una relación de congruencia es una relación de equivalencia  en una estructura algebraica que satisface 

 

para cada operación -aria  y todos los elementos  tales que  para cada

Relación con los homomorfismos 
Si  es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas (como el homomorfismo de grupos o una aplicación lineal entre espacios vectoriales), entonces la relación  definida por 

  si y solo si  

Es una relación de congruencia. Según el primer teorema del isomorfismo, la imagen de A bajo  es una subestructura de B isomorfa al cociente de A por esta congruencia.

Congruencias de grupos y subgrupos e ideales normales 
En el caso particular de los grupos, las relaciones de congruencia pueden describirse en términos elementales de la siguiente manera: si G es un grupo (con elemento de identidad e y operación *) y ~ es una relación binaria en G, entonces ~ es una congruencia siempre que: 

 Dado cualquier elemento a de G, a ~ a (reflexividad); 
 Teniendo en cuenta todos los elementos a y b de G, si a ~ b, entonces b ~ a (simetría); 
 Teniendo en cuenta todos los elementos a, b, y c de G, si a ~ b y b ~ c, entonces a ~ c (transitividad); 
 Dados los elementos a, a', b y b' de G, si a ~ a ' y b ~ b', entonces a * b ~ a' * b''' ; 
 Dados los elementos a y a' de G, si a ~ a', entonces a−1 ~ a −1 (esto puede demostrarse a partir de las otras cuatro propiedades, por lo que es estrictamente hablando redundante). 

Las condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia. 

Una congruencia ~ está determinada completamente por el conjunto {a ∈ G : a ~ e} de aquellos elementos de G que son congruentes con el elemento identidad, y este conjunto es un subgrupo normal. Específicamente, a ~ b si y solo si b−1 * a ~ e . Entonces, en lugar de hablar de congruencias sobre grupos, generalmente se habla en términos de subgrupos normales; de hecho, cada congruencia corresponde únicamente a algún subgrupo normal de G. 

 Ideales de anillos y el caso general 
Un truco similar permite hablar de los núcleos en la teoría de los anillos como ideales en lugar de relaciones de congruencia, y en la teoría de módulos como submódulos en lugar de relaciones de congruencia. 

Una situación más general en la que este truco es posible es con los grupos omega (en el sentido general, permitiendo operadores con múltipleariedad). Pero esto no se puede hacer con, por ejemplo, monoides, por lo que el estudio de las relaciones de congruencia juega un papel más central en la teoría de monoides. 

 Álgebra universal 
La idea se generaliza en el álgebra universal: una relación de congruencia en un álgebra A es un subconjunto del producto directo A × A que es una relación de equivalencia en A y un subalgebra de A×A. 

El núcleo de un homomorfismo es siempre una congruencia. De hecho, cada congruencia surge como un núcleo. Para una congruencia dada ~ en A, al conjunto A/~ de clases de equivalencia se le puede dar la estructura de un álgebra de forma natural, el álgebra cociente. La función que asigna cada elemento de A a su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~. 

La retícula Con'(A) de todas las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraica. 

John M. Howie describió cómo la teoría del semigrupo ilustra las relaciones de congruencia en el álgebra universal: 

 Véase también 

 Tabla de congruencias 
 Teorema de congruencia lineal 
 Problema de la retícula de congruencia 

 Referencias 

 Bibliografía 
 Horn and Johnson, Matrix Analysis,'' Cambridge University Press, 1985. . (La Sección 4.5 discute la congruencia de las matrices) 
      

Álgebra
Aritmética modular