Petit théorème de Fermat

En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l'arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire.

Il s'énonce comme suit : « si  est un nombre premier et si  est un entier non divisible par , alors  est un multiple de  », autrement dit (sous les mêmes conditions sur  et ),  est congru à 1 modulo  :

.

Un énoncé équivalent est : « si  est un nombre premier et si  est un entier quelconque, alors  est un multiple de  » :

.

Il doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce pour la première fois en .

Il dispose de nombreuses applications, à la fois en arithmétique modulaire et en cryptographie.

Histoire 
La première apparition connue de l'énoncé de ce théorème provient d'une lettre de Fermat à Frénicle de Bessy datée d', qui a été publiée par son fils Samuel en 1679 dans les Varia Opera. On peut y lire ceci : , soit en termes modernes, pour tout nombre premier  et tout nombre  (premier avec ), il existe un entier  tel que  divise , et,  étant le plus petit entier vérifiant ceci,  divise  et tous les multiples  de  vérifient que  divise .

On en déduit immédiatement l'énoncé donné en introduction, et réciproquement on déduit de celui-ci l'énoncé plus précis que donne Fermat. Comme habituellement dans sa correspondance, il ne donne aucune démonstration de ce résultat, ni même, comme il le fait parfois, d'indications à propos de celle-ci, mais précise : 

À cette époque, il est d'usage de ne pas publier les preuves des théorèmes. Ainsi Leibniz rédige une démonstration vers 1683 mais ne la publie pas. En 1741, 1750 et 1761, Euler en publie deux qui procèdent par récurrence et utilisent le développement du binôme, et une qui étudie la répartition des restes modulo le nombre premier considéré. On trouve cette dernière en 1801 dans les  de Gauss. Il y résume également la première démonstration d'Euler, et en donne une version plus rapide utilisant le développement du multinôme.

Gauss mentionne en 1801 que « Ce théorème remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s'appelle ordinairement « théorème de Fermat », du nom de l'inventeur ». On trouve la dénomination « petit théorème de Fermat » () dans un ouvrage de Kurt Hensel de 1913.

Un étudiant américain, cité entre autres par Dickson, avait avancé que le théorème était déjà connu en Chine  avant Fermat, dans le cas particulier , accompagné d'une réciproque — trivialement fausse. Cette «  » n'est qu'une légende urbaine, due à une erreur de traduction qui s'est amplifiée et déformée au fil des citations.

Exemples 
Voici quelques exemples (fondés sur le second énoncé) : 
 53 − 5 = 120 est divisible par 3
 72 − 7 = 42 est divisible par 2.
 25 − 2 = 30 est divisible par 5.
 (−3)7 + 3 = −2 184 est divisible par 7.
 297 − 2 = 158 456 325 028 528 675 187 087 900 670 est divisible par 97.

Applications 
Les applications sont nombreuses, particulièrement en cryptographie. On trouve néanmoins des exemples classiques d'applications du théorème en mathématiques pures.

Applications théoriques 
Le petit théorème de Fermat est historiquement utilisé pour analyser la décomposition en produit de facteurs premiers de certains entiers. Ainsi Fermat écrit à Mersenne (1588-1648) : « Vous me demandez si le nombre  est premier ou non, et une méthode pour découvrir, dans l'espace d'un jour, s'il est premier ou composé. À cette question, je réponds que ce nombre est composé et se fait du produit de ces deux :  et , qui sont premiers. » En utilisant une méthode analogue, Euler infirme l'unique conjecture fausse de Fermat, en prouvant que les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers.

Ce théorème est aussi utilisé pour démontrer des résultats de théorie algébrique des nombres, comme le théorème de Herbrand-Ribet. Il dépasse le cadre strict de l'arithmétique, avec une utilisation pour l'étude des points fixes de l'endomorphisme de Frobenius par exemple.

Cryptographie asymétrique 

La cryptographie à clé publique correspond à un code s'attachant à assurer la confidentialité des messages à l'aide de deux clés de chiffrement. L'une, permettant de chiffrer le message, est publique. L'autre ayant pour objectif le déchiffrement est gardée secrète.

Une famille importante de systèmes asymétriques utilise l'algorithme de chiffrement RSA. La clé secrète est la décomposition d'un grand nombre entier, souvent de plusieurs centaines de chiffres. Il contient deux facteurs premiers.

Test de primalité 

Le petit théorème de Fermat donne une condition nécessaire pour qu'un nombre  soit premier. Il faut en effet que, pour tout  plus petit que ,  soit congru à 1 modulo p. Ce principe est la base du test de primalité de Fermat. Il existe de nombreuses variantes algorithmiques de ce test. Les plus connues sont le test de primalité de Solovay-Strassen et surtout le test de primalité de Miller-Rabin.

Nombre pseudo-premier 

Les tests précédents utilisent une condition nécessaire mais non suffisante. Ainsi, il existe des entiers  non premiers tels que pour tout  premier avec ,  soit toujours congru à 1 modulo . Le nombre  est un exemple. De tels entiers  sont appelés nombres de Carmichael.

Les tests indiqués au paragraphe précédent sont tous statistiques, au sens où il existe toujours une probabilité, parfois très faible, pour que le nombre ayant passé le test ne soit néanmoins pas premier. Ces nombres sont appelés pseudo-premiers et sont attachés à des tests particuliers.

Démonstrations

Par le théorème de Lagrange 
La seconde preuve d'Euler du premier énoncé, telle que reprise par Gauss, reformulée en termes modernes, consiste à démontrer que l'ordre  de  dans le groupe multiplicatif (ℤ/pℤ)* est un diviseur de l'ordre  de ce groupe (il démontre donc le théorème de Lagrange dans le cas particulier du sous-groupe engendré par ). Il en déduit immédiatement le petit théorème de Fermat, en élevant les deux membres de l'équation  à la puissance : l'entier . Le résultat et sa démonstration valent pour n'importe quel groupe fini (ici le groupe multiplicatif (ℤ/pℤ)* d'ordre ).

Démonstration d'Euler et de Leibniz 

La démonstration d'Euler et de Leibniz du second énoncé utilise la formule du binôme de Newton et un raisonnement par récurrence sur l'entier , supposé positif sans perte de généralité. Leur raisonnement (reformulé ici dans le langage des congruences introduit ultérieurement par Gauss), est le suivant :
 La proposition  est vraie pour .
 Tout entier  vérifie : .Il suffit, pour cela, de développer l'expression  et de remarquer que tous les coefficients binomiaux à l'exception du premier et du dernier sont des multiples de  car  est premier (une démonstration est donnée dans le paragraphe « Diviseurs et coefficients binomiaux » de l'article « Coefficient binomial »).
 Enfin, si la proposition est vraie pour  alors elle l'est aussi pour . En effet, grâce au point précédent, il est prouvé que . Si de plus , alors .

Équivalence des deux énoncés 

Si le premier énoncé est vrai alors le second aussi : Pour  quelconque, comme  est égal au produit , on sait que  ce produit est toujours divisible par , car ou bien  est multiple de , ou bien il ne l'est pas mais le premier énoncé assure alors que  est divisible par .

Réciproquement, le premier énoncé se déduit du second en utilisant le lemme d'Euclide : si  est divisible par  et si  ne l'est pas, alors  l'est.

Une démonstration arithmétique élémentaire 
Une autre démonstration du premier énoncé est analogue (en plus simple) à une preuve du lemme de Gauss : l'astuce ici est d'évaluer modulo , de deux façons, le produit
.

La preuve est très rapide en effectuant les calculs dans l'anneau ℤ/pℤ, mais on peut aussi la détailler en utilisant seulement la division euclidienne, le lemme d'Euclide, et une propriété algébrique de la congruence sur les entiers.

Une démonstration par double dénombrement 

On peut démontrer le petit théorème de Fermat en comptant de deux manières différentes le nombre de mots de  symboles dans un alphabet à  symboles comportant au moins deux symboles différents.

Généralisations 
Une légère généralisation du théorème s'énonce de la manière suivante : si  est un nombre premier et si  et  sont des entiers strictement positifs tels que  alors, pour tout entier  :
.
En effet, modulo , les deux membres sont congrus à 0 si  est divisible par , et s'il ne l'est pas, alors . Sous cette forme, le théorème fonde l'algorithme de chiffrement RSA.

Le petit théorème de Fermat est généralisé par le théorème d'Euler : pour tout entier naturel non nul  et tout entier  premier avec , on a

où  désigne l'indicatrice d'Euler de , égale à l'ordre du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ. Si  est un nombre premier, alors  et l'on retrouve le petit théorème de Fermat.

Il se généralise de même à tout corps fini donc à tout quotient de l'anneau des entiers d'un corps de nombres par un idéal premier.

Notes et références

Annexes

Bibliographie 
 Mathématiques
 
 

 Histoire des mathématiques
 , lettre de Monsieur de Fermat au Révérend Père Mersenne de l'Ordre des Minimes, à Paris (XL de l'édition Tannery-Henry) p 177, A Monsieur de ****, du  (XLIV de l'édition Tannery-Henry) p 163.
 , Avertissement p IX-XXXVII.
 , XL, Fermat à Mersenne, juin ? 1640, p 198, et XLIV, Fermat à Frenicle, jeudi , p 208.
 (chap. II. Fermat and his correspondents).

Liens externes 

 Le petit théorème de Fermat sur le site de G. Villemin
 Fermat revisité par M. Gouy, G. Huvent et A. Ladureau

Fermat
Fermat
Pierre de Fermat
Arithmétique élémentaire
Article contenant une démonstration