Teoremas de Castigliano

Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1874 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.

Primer teorema de Castigliano 
Sea un cuerpo elástico  sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos  a la energía potencial elástica o potencial interno donde  es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:

Segundo teorema de Castigliano 
Sea un cuerpo elástico-lineal e isótropo  sobre el que actúan un conjunto de fuerzas  aplicadas sobre los puntos del sólido  y llamamos  a la energía potencial elástica o potencial interno. Entonces el desplazamiento o giro  proyectado sobre la dirección de  viene dada por:

Este teorema puede particularizarse a numerosos casos prácticos de forma algo más concreta, por ejemplo en la teoría de vigas Euler-Bernoulli se emplea la forma:

donde:
 representan los esfuerzos de sección (axial y flectores) a lo largo del eje baricéntrico de la viga.
 representan el área y los segundos momentos de área de la sección transversal de la viga.
 es el módulo de Young del material de la viga.

Demostración 
Sea un cuerpo elástico-lineal e isótropo  sobre el que actúan un conjunto de fuerzas  aplicadas sobre los puntos del sólido , generando una energía de deformación  que es función de las cargas. Debido al comportamiento descrito, es válido el principio de superposición. Cuando las cargas se aplican al cuerpo, se van incrementando cuasiestáticamente desde cero hasta sus valores finales, generando los desplazamientos proporcionales. Si una vez terminado el proceso aplicamos a la carga i-ésima un incremento infinitesimal, la energía de deformación se incrementará igualmente según la expresión:Donde  es la tasa de cambio de  con respecto a  (debe ser una derivada parcial, ya que  es función de todas las cargas). La energía de deformación final es:Debido al principio de superposición, la energía de deformación total debe ser independiente del proceso seguido en la aplicación de las cargas. Estudiaremos por tanto el caso en el orden inverso. Así, aplicamos primero la carga , lo que, como en un caso general la energía de deformación vale  (ya que la carga se aplica gradualmente), produce una igual a:Cuando se aplica el resto de cargas, éstas producirán una energía de deformación de igual valor al caso anterior, esto es, . Sin embargo, como durante este proceso hemos tenido a la carga  moviéndose una distancia , tendremos que sumarle su trabajo, que por haber estado  actuando siempre a tal valor, es de valor . Luego la energía total de deformación será la suma de todas éstas:Y como dijimos, debido al principio de superposición, (6) debe ser igual a (3). Si además despreciamos los infinitésimos de segundo orden, por ser a su vez infinitesimalmente más pequeños que el resto de términos, obtenemos, despejando el desplazamiento i-ésimo el segundo teorema de Castigliano:

Véase también 
 Resistencia de materiales

Enlaces externos 
 Carlos Alberto Castigliano – una biografía de la School of Mathematics and Statistics de la Universidad de St Andrews, Escocia.

Ingeniería mecánica
Castigliano
Análisis estructural
Teoremas epónimos de la física