Hauteur d'un triangle

En géométrie plane, une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et coupant perpendiculairement le côté opposé à ce sommet (éventuellement prolongé). Les pieds des hauteurs sont les projetés orthogonaux de chacun des sommets sur la droite portant le côté opposé.

On donne également le nom de hauteur au segment joignant un sommet et le pied de la hauteur passant par ce sommet, ainsi qu'à la longueur de ce segment, soit la distance séparant un sommet et la droite portant son côté opposé.

Pour une hauteur passant par un sommet donné (appelé apex), la base associée à cette hauteur est le côté opposé au sommet (ou sa longueur).

Calculs des hauteurs 
Avec les notations classiques d'un triangle (ABC) , la hauteur (en tant que distance) issue de A vaut  où  est l'aire du triangle (laquelle s'exprime en fonction des côtés par la formule de Héron). Les hauteurs sont donc inversement proportionnelles aux longueurs des côtés auxquelles elles aboutissent.

Orthocentre 
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection , est nommé orthocentre du triangle. L'orthocentre d'un triangle acutangle est situé à l'intérieur du triangle tandis que celui d'un triangle obtusangle est situé à l'extérieur. 

Une démonstration utilise la relation  qui montre que si un point  appartient à deux hauteurs, il appartient aussi à la troisième. 

L'orthocentre est le barycentre des systèmes :
ou  ou encore .

Ses coordonnées trilinéaires par rapport aux côtés du triangle sont :
  ou  .

Pour un triangle acutangle, notant  le rayon du cercle circonscrit :

 Les distances aux sommets sont données par :   et les formules permutées.

 On en déduit la relation :  .

 Les distances aux côtés sont données par : .

Les trois sommets du triangle et leur orthocentre forment un quadrangle orthocentrique : chacun de ces points est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres points. 

Dans un triangle, le centre du cercle inscrit dans le triangle et les centres des cercles exinscrits forment également un quadrangle orthocentrique.

Les pieds des hauteurs forment un triangle appelé le triangle orthique du triangle.

Symétriques de l'orthocentre 
Les symétriques A, B et C de l'orthocentre H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit.

Les symétriques orthogonaux A, B et C de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle se trouvent également sur le cercle circonscrit.

Ceci découle de l'observation que d'une part , et que d'autre part , et de même pour .

Pour une autre démonstration utilisant des homothéties voir Cercle d'Euler.

Cercle de Taylor 
Soit A', B' et C' les pieds des hauteurs du triangle. On note A2 et A3 les projetés orthogonaux de A' sur les côtés AB et AC du triangle et on définit de même  B2 et B3 par rapport à B' et C2 et C3 par rapport à C'. Les six points ainsi définis sont cocycliques : ils sont situés sur le cercle de Taylor du triangle . 

On a :
(A2A3, BC) = (AB, AC), la droite (A2A3) est antiparallèle de (BC) par rapport à (AB) et (AC),
et des propriétés analogues pour (B2B3) et (C2C3).

(B2C2) est parallèle à (BC). De même (A2C3) //(AC) et (A3B3)//(AB).

C'est la configuration d'un cercle de Tücker particulier, dit cercle de Taylor.

On trouve A2A3 = B2B3 = C2C3.

L'hexagone ayant pour sommets ces six projections est l'hexagone de Catalan.

Centre du cercle de Taylor 
Les trois droites (A1A2), (B1B2) et (C1C2) joignant les projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique et coupent ses côtés en leurs milieux P, Q et R. Ces droites déterminent les côtés du triangle PQR qui est le triangle médian du triangle orthique.

Le centre est sur la droite reliant le centre O du cercle circonscrit au point de Lemoine, passant par les points X15 , X32 au milieu de O-X52

Si le triangle ABC est acutangle alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique.

Si le triangle ABC est obtusangle alors le centre du cercle de Taylor est un des centres des cercles exinscrits du triangle PQR. Plus précisément, si ABC est obtus en A (respectivement en B, en C), alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle exinscrit à PQR dans  l'angle de sommet P, milieu de [B’C’] (respectivement Q milieu de [C’A’] , R milieu de [A’B’]).

Axe orthique 

Dans un triangle ABC, soit A' (respectivement B' et C') le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C). 

A, B et C sont les trois autres points d'intersection des côtés du triangle ABC et de ceux du triangle orthique A’B’C’ : on note A l'intersection de (BC) et de  (B'C'), B l'intersection de (AC) et de  (A'C'), C l'intersection de (AB) et de (A'B').

Les trois points A, B et C sont alignés sur une droite dénommée l'axe orthique du triangle.

L'axe orthique est aussi l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler.

La droite d'Euler, ligne des centres des deux cercles, est perpendiculaire à l'axe.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie 
.
 .
 Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
 Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M

Articles connexes 
 Théorème de Hamilton

Liens externes 
 

Ligne droite
Géométrie du triangle
Orthogonalité

 		 
de:Höhe_(Geometrie)#Höhen_bei_Dreiecken
he:גובה