Théorème de Mercer

En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, le théorème de Mercer est une représentation d'une fonction symétrique de type positif par le carré d'une série convergente de produits de fonctions. Ce théorème est l'un des résultats phares de James Mercer. C'est un outil théorique important dans la théorie des équations intégrales. Il est aussi utilisé dans la théorie hilbertienne des processus stochastiques (voir  et Transformée de Karhunen-Loève).

Introduction 
Pour expliquer le théorème de Mercer, commençons par un cas particulier important ; voir plus bas pour une formulation plus générale.

Le terme noyau, dans ce contexte, est une fonction continue

telle que K(x, s) = K(s, x).

K est dit de type positif si

pour toute suites finies de points x, …,x de  [a, b] et tout choix des réels c, …,c ( ).

À K on associe l'opérateur intégral  défini par :

Pour des raisons techniques nous supposerons que φ peut parcourir l'espace L[a, b] des fonctions réelles de carré intégrable.

Détails 

Donnons avec force détails la structure de la preuve du théorème de Mercer, particulièrement dans ses rapports avec la théorie spectrale des opérateurs compacts normaux.

 L'application  est  injective.
T est un opérateur compact autoadjoint positif sur L[a,b] ; de plus K(x, x) ≥ 0.

Pour montrer la compacité, on remarque d'abord que l'image de la boule unité de L[a,b] par T est équicontinue. Le théorème d'Ascoli permet d'en déduire que cette image est relativement compacte dans C([a,b]) muni de la norme de la convergence uniforme et a fortiori dans L[a,b].

La théorie spectrale des opérateurs compacts normaux sur un espace de Hilbert montre qu'il existe une base hilbertienne (e) de L[a,b] propre pour T :

Pour tout λi > 0, le vecteur propre e est donc une fonction continue sur [a,b] (comme toutes les images par T d'éléments de L[a,b]). Or

et d'après le théorème de Dini pour les suites croissantes de fonctions continues cette convergence est uniforme, ce qui permet, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz et au critère de Cauchy, de montrer que la série

converge absolument et uniformément en t vers un noyau K0 dont il est aisé de voir qu'il définit le même opérateur que le noyau K.  Donc K = K0, d'où le théorème de Mercer.

Trace 
On déduit de ce qui précède :

Cela montre que l'opérateur T est à trace et

Généralisations 

Le théorème se généralise en remplaçant l'intervalle [a, b] par un espace compact, la mesure de Lebesgue sur [a, b] étant remplacée par une mesure finie dénombrablement additive μ sur les boréliens de X. Supposons que le support de μ est X, c'est-à-dire que μ(U) > 0 pour tout ouvert U non vide de X.  Alors on a essentiellement le même résultat :

La généralisation suivante porte sur la représentation des noyaux mesurables.

Soit (X, M, μ) un espace mesuré σ-fini.  Un noyau L sur X est une fonction 

Tout noyau L définit un opérateur borné T, par la formule :

T est un opérateur compact (c'est même un ).  Si le noyau K est symétrique, par le théorème spectral pour les opérateurs compacts normaux sur un espace de Hilbert, il existe une base hilbertienne constituée de vecteurs propres pour T. Les vecteurs de cette base correspondant aux valeurs propres non nulles forment une famille dénombrable (e) (même si le Hilbert n'est pas séparable).

Noter que si le noyau n'est plus supposé continu, le développement ne converge plus nécessairement uniformément.

Utilisations 
Le théorème de Mercer est utilisé en apprentissage automatique, pour l'astuce du noyau.

Notes et références

Bibliographie 
 Alain Berlinet et Christine Thomas, Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics, Kluwer Academic Publishers, 2004
 , Linear Analysis, North Holland, 1960
 Konrad Jörgens, Linear Integral Operators, Pitman, Boston, 1982
 Richard Courant et David Hilbert, , vol 1, Interscience, 1953
 Robert B. Ash, Information Theory, Dover, 1990
 , Eigenvalue Distribution of Compact Operators, Birkhäuser, 1986

Mercer