Шар

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения 
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы 
Площадь поверхности  и объём  шара радиуса  (и диаметром ) определяются формулами:

 

 

 

 

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения 
Пусть дано метрическое пространство . Тогда

 Шаром (или открытым шаром) с центром в точке  и радиусом  называется множество
 

 Замкнутым шаром с центром в  и радиусом  называется множество

Замечания 
Шар радиуса  с центром  также называют -окрестностью точки .

Свойства 
 Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой .
 Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой .
 По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке  являют собой её базу.
 Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: 
 Например: пусть  — дискретное метрическое пространство, и  состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого  имеем:

Объём 
Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:
 
где  — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:
 ,
 .
Знаком  здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:
.
Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:
 .
Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:
 ,
 .

Рекурсия 
Формулу объёма также можно выразить в виде  рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности  (при условии, что они имеют одинаковый радиус):
 .

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:
 .
То же без гамма-функции:

Пространства младших размерностей 
Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Пространства старших размерностей 

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры 
 Пусть  — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда
 если  (пространство — прямая), то
 
 
 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
 если  (пространство — плоскость), то
 
 
 — открытый и замкнутый диск соответственно.
 если , то
 
 
 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
 В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве  метрику следующим образом:
 
 Тогда
 если , то  — это открытый квадрат с центром в точке  и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.
 если , то  — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также 

 Шаровой слой
 Гиперсфера
 Сферический слой

Примечания

Литература

Ссылки на онлайн калькуляторы 
 
 
  Мультфильм про объём шара 

Геометрические тела