Formule d'Euler-Maclaurin

En mathématiques, la formule d'Euler-Maclaurin (appelée parfois formule sommatoire d'Euler) est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard Euler (pour accélérer le calcul de limites de séries lentement convergentes) et par l'Écossais Colin Maclaurin (pour calculer des valeurs approchées d'intégrales).

Introduction : comparaison entre série et intégrale 

Soit  une fonction infiniment dérivable sur  et n un entier naturel non nul. 

On veut obtenir un développement asymptotique de la somme  en la comparant à l'intégrale .

La formule d'Euler-Maclaurin donne une expression de la différence  en fonction des valeurs de la fonction et de ses dérivées aux extrémités 1 et n et d'un reste :

Les nombres  qui apparaissent dans la formule sont les nombres de Bernoulli.

La série obtenue n'est en général pas convergente mais on connaît plusieurs expressions du reste  de la formule qui permettent de majorer l'erreur ainsi faite.

Énoncé

Formule d'Euler-Maclaurin 
Soient p et q deux entiers relatifs (p < q),  une fonction continue complexe définie sur [p, q]. 
L'énoncé qui suit exprime la somme   avec l'intégrale , les valeurs de  (ainsi que de ses dérivées) aux extrémités  et  et d'un reste.

Si  est une fonction complexe continûment dérivable une fois sur le segment [p, q], la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

 avec 
où  est la partie entière de x, notée aussi E(x), et  est la partie fractionnaire de x.

Pour une fonction  continûment dérivable 2k fois sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

Les nombres b2j désignent les nombres de Bernoulli et le reste Rk s'exprime à l'aide du polynôme de Bernoulli B2k :
.

La notation B2k désigne le 2k-ième polynôme de Bernoulli et  en est une version périodisée, de période 1, égale à B2k(x) si 0 < x < 1.

.
Les nombres de Bernoulli vérifient les égalités .

D'autres expressions du reste sont données plus loin si la fonction  est 2k + 1 fois dérivable ou 2k + 2 fois dérivable.

Formules sommatoires d'Euler-Maclaurin 
Si l'on somme de p à q − 1 les nombres , on a :
.

Si l'on considère les nombres de Bernoulli d'indice impair :  et  si j > 1, on peut énoncer la formule d'Euler-Maclaurin de la manière suivante : 

pour une fonction complexe  qui est r fois continûment dérivable (avec r > 0) :

On a  si k > 0.
Avec les notations précédentes, l'expression du reste  pour une fonction complexe r fois continûment dérivable (avec r > 0) est la suivante : .
La notation  désigne le r-ème polynôme de Bernoulli, et  en est une version périodisée, de période 1, égale à  si 0 < x < 1.
.

(Les polynômes et les nombres de Bernoulli sont reliés par les égalités  si r > 1.).

Une autre formulation équivalente, où l'on somme de p + 1 à q, est donnée par Tenenbaum : pour une fonction complexe  qui est r + 1 fois continûment dérivable (avec r ≥ 0) :
.
Le coefficient  n'intervient dans la formule que pour j = 0. Son rôle est de remplacer le nombre de Bernoulli d'indice 1, , par {{math|b'''  +}}.

 Expressions du reste 

Si  est 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), le reste  s'exprime de la manière suivante :

Si  est 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste  s'exprime comme suit :

Si  est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste peut s'écrire des manières suivantes :

Si l'on considère les nombres de Bernoulli sans leur signe (on a ), la dernière formule s'écrit :

Remarque : le reste  est nul pour tout polynôme de degré au plus 2k + 1.

 Majorations du reste 
Si  est une fonction complexe 2k  fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice pair :  :
 .
Par exemple, avec , on a : .

L'inégalité, comme celles qui suivent, peut être réécrite en utilisant la formule due à Euler (pour k ≥ 1) : . On déduit que  
(on a l'équivalent : ).
 .

Si  est une fonction complexe 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0),  en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice impair :  si  :
 .

on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin :
 .
Pour le polynôme de Bernoulli , on a le maximum  qui permet d'obtenir la majoration :
 .

 Signe du reste 
Si  est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont la dérivée d'ordre 2k + 2 est de signe constant, le reste  a le même signe que le « premier terme négligé » :  .
De plus on a les majorations suivantes :
 .
et  . (le reste suivant  n'excède pas (en valeur absolue) le « dernier terme retenu »).

Si  est une fonction réelle 2k + 4 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont les dérivées d'ordre 2k + 2 et 2k + 4 sont de signe constant et de même signe, alors les restes  et  sont de signes opposés et le reste  est majoré (en valeur absolue) par le premier terme négligé :
 .

 Démonstration 

On démontre la formule

sur l'intervalle [n, n + 1], avec n ∈ ℤ, puis on déduit la formule précédente par sommation sur n ∈ ℤ (p ≤ n ≤ q – 1).

 Application à l'intégration numérique 
 Intégration numérique 

La formule sommatoire peut être utilisée pour approcher des intégrales par un procédé discret, par exemple dans la méthode des trapèzes ou celle de Romberg, ou à l'inverse pour transformer une somme discrète (finie ou non) et lui appliquer les techniques du calcul infinitésimal.

La formule d'Euler-Maclaurin peut aussi être utilisée pour une estimation précise de l'erreur commise dans le calcul numérique d'une intégrale ; en particulier, c'est sur elle que reposent les méthodes d'extrapolation. La méthode de quadrature de Clenshaw-Curtis est essentiellement un changement de variables ramenant une intégrale arbitraire à l'intégration de fonctions périodiques, pour lesquelles la formule sommatoire est très précise (dans ce cas, elle prend la forme d'une transformée en cosinus discrète).

 Formules d'intégration d'Euler-Maclaurin 
 Intégration entre deux entiers 
Dans la méthode des trapèzes, on approxime l'intégrale  par interpolation linéaire sur chaque intervalle [n, n + 1] : .

En sommant sur tous les intervalles de longueur 1, on approxime l'intégrale  par la somme

La formule d'Euler-Maclaurin peut s'écrire :

 Intégration sur un intervalle quelconque 
Un simple changement de variable permet d'obtenir une formule analogue pour une fonction définie sur un segment à bornes non entières. Les restes sont donnés avec le « point moyen »  pour une fonction dérivable  fois.

En posant , on a :
.

Le « terme d'erreur » peut également s'écrire : .

Si , on a une formule où n'interviennent que les extrémités a et b :

 Expressions du reste pour k = 0 et  pour k = 1 
 Expressions de R et erreur de la méthode des trapèzes 
Les premiers polynômes de Bernoulli sont :
.

.

 est l'erreur faite en approximant l'intégrale  par la méthode des trapèzes sur chaque intervalle [n, n + 1].

Si  est continûment dérivable une fois (on pose ) :

Si  est une fonction réelle continûment dérivable deux fois :

 Formule de quadrature et terme d'erreur  pour k = 1 
Les polynômes de Bernoulli qui interviennent sont :
.

.
 est le terme d'erreur correspondant à la formule de quadrature, exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à trois :

(dans l'article Calcul numérique d'une intégrale, il s'agit de la formule de Newton-Coates généralisée NC-2-2).

Si  est continûment dérivable deux fois (en posant ) :

Si  est continûment dérivable trois fois :

Si  est une fonction réelle continûment dérivable quatre fois :

 Autres applications 

 Le problème de Bâle 
Le problème de Bâle demandait de déterminer la somme 

Euler calcula cette somme à 20 décimales en utilisant seulement quelques termes de la formule d'Euler-Maclaurin. Ce calcul le convainquit probablement qu'elle valait , résultat qu'il publia en 1735 (mais avec des arguments incorrects ; il lui fallut six ans de plus pour trouver une démonstration rigoureuse).

 Sommes polynomiales 

Si  est un polynôme de degré d et si l'on applique la formule sommatoire avec p = 0, q = n et k choisi tel que , le reste   disparaît.

Par exemple, si , on peut prendre k = 1 pour obtenir
.

 Développements asymptotiques de fonctions définies par une série 
Pour déterminer des développements asymptotiques de sommes et de séries, la forme la plus utile de la formule sommatoire est sans doute (pour a et b entiers) :

Ce développement reste souvent valide même lorsque l'on prend les limites quand  ou , ou les deux. Dans de nombreux cas, l'intégrale de droite peut être calculée de manière exacte avec des fonctions élémentaires, alors que ce n'est pas le cas de la somme.

L'écriture précédente doit être interprétée comme une série formelle,  car,  le plus souvent, cette série est divergente ; la formule ne peut en général pas être exploitée directement sous cette forme. Toutefois, Euler avait déjà remarqué qu'on obtenait une précision numérique remarquable en tronquant la formule au plus petit terme de la série, ce qui fut précisé et expliqué par les travaux d'Émile Borel.

Par exemple :

Ici, le membre de gauche est égal à , c'est-à-dire à la fonction polygamma d'ordre 1 (appelée aussi fonction trigamma) définie à partir de la fonction Gamma : .

La formule d'Euler Maclaurin amène à un développement asymptotique de , lequel permet une estimation précise de l'erreur de la formule de Stirling pour la fonction Gamma :

.

 Notes 

 Voir aussi 
 Formule d'Abel-Plana

 Références 

 Bibliographie 

 
 
 
 Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles'', Presses universitaires de Grenoble
 
 
 
 

Analyse réelle
Euler-Maclaurin
Leonhard Euler