Пример Данжуа

В теории динамических систем, пример Данжуа — пример -диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество (и, соответственно, не сопряжённого чистому повороту). М. Эрманом были затем построены примеры такого диффеоморфизма в классе гладкости  (то есть,  с гёльдеровой производной с показателем ) для любого . Эта гладкость не может быть далее увеличена: для диффеоморфизмов с липшицевой производной (и даже с производной, логарифм которой имеет ограниченную вариацию) имеет место теорема Данжуа, утверждающая, что такой диффеоморфизм с иррациональным числом вращения сопряжён иррациональному повороту (на соответствующее число вращения).

Конструкция

Пример гомеоморфизма 
Проще всего предъявляется пример гомеоморфизма окружности, число вращения которого иррационально, но который, тем не менее, не минимален. А именно, рассмотрим поворот  на некоторый иррациональный угол , и выберем произвольную начальную точку . Рассмотрим её орбиту  (при всех целых , как положительных, так и отрицательных). Произведём следующую перестройку: в каждой точке  разрежем окружность и вклеим интервал  некоторой длины , так, чтобы сумма длин вклеенных интервалов сходилась:
 
Тогда получившееся после такой вклейки множество по-прежнему будет окружностью, более того, на ней будет естественная мера Лебега (состоящая из меры Лебега на разрезанной старой окружности и меры Лебега на вклеенных интервалах), то есть длина — и, тем самым, гладкая структура. Произвольным образом продолжив отображение  со старой окружности так, чтобы оно переводило интервал  в интервал , — например, выбрав в качестве продолжения аффинное отображение из  в , — мы получаем гомеоморфизм f новой окружности с тем же числом вращения . Однако, у этого гомеоморфизма есть канторово инвариантное множество  (замыкание множества точек старой окружности), и потому он не может быть сопряжён иррациональному повороту.

Выбрав последовательность длин  так, чтобы последовательность отношений  оставалась ограниченной при , для конструкции с аффинным продолжением можно добиться липшицевости построенного гомеоморфизма. Однако, чтобы построенное отображение было диффеоморфизмом, выбор продолжения на отрезки  следует сделать более тонко.

Пример в классе  

Пример в классе  строится так, чтобы производная построенного диффеоморфизма  на канторовом множестве  — замыкании множества точек исходной окружности — равнялась бы 1 (поскольку мера Лебега на этом множестве сохраняется построенным диффеоморфизмом, это необходимое условие при такой конструкции). Поэтому, необходимо выбирать переставляющие интервалы  ограничения  так, чтобы выполнялись следующие условия:
 (D1) Производная  в концах интервала  равна 1.
 (D2) При , производные отображений  равномерно стремятся к 1.
Последнее условие необходимо, так как с ростом  интервалы  накапливаются к канторовому множеству . Более того, несложно видеть, что эти условия и достаточны для того, чтобы построенное отображение  было бы -диффеоморфизмом.

В силу теоремы Лагранжа, на отрезке  найдётся точка, производная в которой будет равна . Второе условие поэтому требует, чтобы для последовательности  имело место
 

Как оказывается, это условие на длины для построения -диффеоморфизма является и достаточным. А именно, отображения  выбираются следующим образом: на отрезках  и  вводятся координаты, отождествляющие их с отрезками  и  соответственно, и отображение  выбирается как
 
где
 
Несложная выкладка показывает тогда, что производная  в любой точке отклоняется от 1 в не больше, чем , поэтому условия (*) достаточно для выполнения второго необходимого условия D2. С другой стороны, столь же несложно видеть, что условие D1 также выполнено (именно для этого тангенс в формуле (***) и умножался на l: тогда скорость ухода на бесконечность на концах это , и не зависит от длины интервала l — поэтому композиционное частное касается тождественного отображения).

Выбор любой удовлетворяющей (*) последовательности  со сходящейся суммой — например,  — и завершает построение.

Пример в классе  

Пример в классе  предъявляется уже описанной выше конструкцией, но с более тонкими условиями на длины . А именно, как несложно видеть, построенный диффеоморфизм будет иметь гёльдерову производную тогда и только тогда, когда производные всех ограничений  равномерно по  гёльдеровы. Действительно, сравнивая производные в точках из разных отрезков, можно подразбить эту разность производными в промежуточных концевых точках (поскольку производная в концевой точке всегда равна 1), и воспользоваться неравенством треугольника (в худшем случае, удвоив константу Гёльдера).

Поскольку на отрезке  есть точка с производной  (по теорема Лагранжа) и есть точка, производная в которой равна 1 (это концевая точка), константа Гёльдера для показателя Гёльдера  не может быть меньше, чем
 
Поэтому выражение (L) должно быть ограничено при . Как оказывается, это условие ограниченности и достаточно — явная выкладка показывает, что точная константа Гёльдера ограничения  отличается от оценки снизу (L) не более, чем в константу раз. Для завершения конструкции остаётся предъявить двусторонне-бесконечную последовательность  со сходящейся суммой, для которой выражение (L) остаётся ограниченным. Примером такой последовательности является
 
подходящая одновременно для всех .

Предъявляение такой последовательности и завершает конструкцию — построенный диффеоморфизм принадлежит классу  с любым .

См. также
 Теорема Данжуа
 Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

Ссылки
 Записки Дж. Милнора Introductory Dynamics Lectures, лекция "Теорема Данжуа" (см. §15B).

Литература
 А.Б.Каток, Б.Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А.С.Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-063-1
 M.Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.

Динамические системы