Homomorfismo de anillos

Un homomorfismo de anillos es una aplicación entre anillos que conserva las estructuras de ambos como anillos.

En todo el artículo  y  son anillos.

Definiciones 

Dado que existen distintos tipos de anillos, hay que particularizar la definición.

Caso general 

Se dirá que la aplicación  es un homomorfismo de anillos si se cumplen las siguientes dos condiciones:

 , cualesquiera que sean .
 , cualesquiera que sean .

La primera condición nos dice que  es en particular un homomorfismo de grupos entre los grupos abelianos  y . Con esta definición se ve que la imagen de , , es un subanillo de .

Se define el núcleo de f como el conjunto , es decir, . El núcleo de cualquier homomorfismo es un ideal (bilátero).

Anillos unitarios 

Si  y  son anillos unitarios (cuyos elementos unidades son respectivamente  y ), entonces la aplicación  se dirá que es un homomorfismo de anillos unitarios si es un homomorfismo de anillos y además se cumple que .

El resto de conceptos definidos en el apartado Caso general son válidos sin modificar nada para anillos unitarios.

Propiedades 

 . En efecto, , luego .

 Si R''' es subanillo de R, entonces  es subanillo de S.

 Si S es subanillo de S, entonces  es subanillo de R.

 Sean R y S dos anillos y ƒ un homomorfismo de R en S, entonces el núcleo de ƒ es un ideal bilátero.

 Sean R y S dos anillos y ƒ un homomorfismo de anillos de R en S. Entonces:

 si J es un ideal bilátero de S,  es un ideal bilátero de R. Si, además, J es un ideal primo de S, entonces  es un ideal primo de R.

 Si I es ideal por la izquierda de S, entonces  es ideal por la izquierda de R.

 Si I es ideal por la derecha de S, entonces  es ideal por la derecha de R.

 Sea R un anillo e I un ideal bilátero de R, entonces la aplicación canónica de R en el anillo cociente R/I es un homomorfismo suprayectivo.

 Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la izquierda de R, entonces  es ideal por la izquierda de R.

 Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la derecha de R, entonces  es ideal por la derecha de R.

 Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal de R, entonces  es ideal de R.

 Sean R y S dos anillos, y ƒ un homomorfismo de anillos de R en S. Usemos la notación s para la aplicación canónica de R en el anillo cociente R/I e i para el homomorfismo de ƒ(R) en S que a b asocia b. Entonces, i es un homomorfismo inyectivo, s es suprayectivo y existe una biyección b tal que:

 Tipos de homomorfismos de anillos 

Se dice que  es un monomorfismo si es una aplicación inyectiva, es decir,  implica que , cualesquiera que sean . Esto es equivalente a decir que .

Se dice que  es un epimorfismo si es una aplicación sobreyectiva, es decir, . No obstante, muchos autores prefieren no utilizar esta denominación, y hablar sólo de homomorfismos sobreyectivos (u homomorfismos exhaustivos). La razón es que el término epimorfismo tiene un significado más general en Teoría de Categorías. Desde este punto de vista (categórico), un epimorfismo de anillos no es necesariamente una aplicación sobreyectiva, aunque todos los homomorfismos de anillos sobreyectivos sí resultan ser epimorfismos.

Se dice que  es un isomorfismo''' si existe el homomorfismo inverso  de manera que  y . Esto ocurre si y sólo  si es una aplicación biyectiva, es decir, , es a la vez monomorfismo y homomorfismo exhaustivo.

Véase también 
 Homomorfismo

Enlaces externos 
 
 

Teoría de anillos
Morfismos