Función W de Lambert

En matemáticas, la función W de Lambert, denominada así en honor a Johann Heinrich Lambert, si bien también se conoce como función Omega o log producto es la función inversa de f(w) = wew donde ew es la función exponencial natural y w es cualquier número complejo. La función se define mediante W. Para todo número complejo denominado z, se tiene:

Puesto que la función f no es inyectiva, la función W es multivaluada (excepto en 0). De restringir los argumentos reales, x y w reales, la función es definida solo por x ≥ −1/e, y es doble-valuada en (−1/e, 0); la restricción adicional w ≥ −1 define una función simple-valuada W0(x), representable gráficamente. Tenemos W0(0) = 0 y W0(−1/e) = −1. La rama alternativa en [−1/e, 0) con w ≤ −1 es indicada como W−1(x) y decrece de W−1(−1/e) = −1 a W−1(0−) = −∞.

La función W de Lambert no puede expresarse en términos de funciones elementales. Es útil en combinatoria, por ejemplo en la enumeración de árboles. Puede emplearse para resolver varias ecuaciones que alberguen exponenciales y también participa en la solución de ecuaciones diferenciales retrasadas temporalmente, como y'''(t) = a y(t − 1).

 Definición 
Si x es real pero mayor o menor que , o si x es complejo o imaginario puro, entonces:

 

Si  ，

 

La función  equivale a la siguiente integral:

，
donde 

 Historia 
Lambert inicialmente postuló una función relacionada (la ecuación trascendental de Lambert), que dio lugar a un artículo en 1783 en el cual se discutía el caso especial wew. Sin embargo, la inversa de wew fue descrita por Polya y Szegö en 1925.  La función de Lambert fue "redescubierta" alrededor de una vez por década en aplicaciones especializadas, pero su importancia no se apreció realmente hasta la década de 1990. Cuando se anunció que la función W de Lambert da una solución exacta a los valores propios de la energía del sistema cuántico correspondiente al modelo descrito por el operador de Dirac para duplicar así para el caso de igualdad de cargas - un problema físico fundamental - Corless y los desarrolladores del sistema Maple hicieron una búsqueda bibliográfica y descubrieron que esta función aparece en todas partes en las aplicaciones prácticas.

 Derivación e integración 

Por derivación implícita, se encuentra que W satisface la ecuación diferencial ordinaria.

por lo tanto:

La función W (x), y algunas expresiones que implican a W(x), pueden ser integradas empleando la regla de sustitución w = W(x), i.e. x = w ew:

 Series de Taylor 
Las series de Taylor de W0 en torno a 0 pueden ser resueltas mediante el teorema de inversión de Lagrange que procede de:

El radio de convergencia es 1/e, como puede verse mediante el criterio de d'Alembert. La función definida por las series puede extenderse a una función holomórfica definida para todos los números complejos con un corte de rama en torno al intervalo (−∞, −1/e]; la mencionada función holomórfica define la rama principal de la función W de Lambert.

 Aplicaciones 

Algunas ecuaciones que poseen exponenciales pueden resolverse mediante esta función. Para ello, la estrategia general consiste en sustituir todas las instancias de lo desconocido a una parte de la ecuación y tornarla, entonces, a la forma Y = XeX, para la cual W proporciona una solución.

Es decir:

 Ejemplos 

Ejemplo 1

 

 

 

 

 

 

 

De forma más general, la ecuación
 
donde
 
puede transformarse mediante la sustitución
 
en
 
dando
 
que se resuelve como
 

Ejemplo 2

Técnicas similares llevan a

con solución

o, de forma equivalente,

Ejemplo 3

Siempre que el exponencial complejo infinito tipo tetración

converja, la función W de Lambert proporciona un valor límite como

en el cual ln(z) denota la rama principal de la función logarítmica compleja.

Ejemplo 4

Las soluciones para

poseen la forma

Ejemplo 5

 
donde 

Ejemplo 6

La solución para la corriente eléctrica en circuitos diodo/resistencia puede escribirse como una función W.

Ejemplo 7

La ecuación diferencial retrasada

posee la ecuación característica , que lleva a  y , donde  es el índice de la rama. Si  es real, sólo debe considerarse .

 Generalizaciones 

La función W de Lambert abastece de soluciones reales a las ecuaciones "algébricas-transcendentales" (de eso x) de la forma:

o a0, c y r son constantes reales. La solución es . Las generalizaciones de la función W de LambertT.C. Scott, G. Fee y J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 47, no. 3, (setiembre 2013), pp. 75-83 incluye:

 un lazo antaño desconocido entre la Relatividad general y la Mecánica cuántica  (Gravedad cuántica) en dimensiones reducidas, y descrito en el periódico Classical and Quantum Gravity (la gravita clásica y cuántica) o la parte(partida) de derecha de la ecuación (1) es ahora un polinomio cuadrático x:

o r1 y r2 son unas constantes reales, las raíces del polinomio cuadrático. En este caso, la solución es una función con un solo argumento x pero los términos como ri y ao son unos parámetros de la función. De este punto de vista, la generalización se parece a la Serie hipergeométrica y la función de Meijer G pero pertenece sin embargo a una "clase" diferente de funciones. Cuando r1 = r2, cada lado de (2) puede ser factorizado y se reduce a (1) y pues la solución se reduce a la de la función estándar de W. La ecuación (2) es la gobernante el campo de un Dilatón - por el cual es derivada la métrica del sistema gravitacional de dos cuerpos en las dimensiones 1+1 (es decir una dimensión espacial y una dimensión temporal) para el caso de las masas (al descanso) desiguales - así como los valores limpios de la energía del sistema cuántico que consiste del modelo descrito por el operador de Dirac a pozo doble para el caso de cargas(gastos) desiguales en una dimensión.

 las soluciones analíticas para los valores limpios de la energía de un caso especial de la versión cuántica del problema de los tres cuerpos, es decir el ion hidrogena molecular (en tres dimensiones). La parte de derecha de (1) (o (2)) es ahora un cociente de polinomios de orden infinita x:

O ri y si son constantes reales distintas y x es una función del valor limpio de la energía y la distancia internuclear R. La ecuación (3) con estos casos especializados y exprimidos(expresados) en (1) y (2) corresponde a una clase considerable de ecuaciones a plazo diferencial. Gracias por la noción de Hardy de un "falso derivativo",  múltiples raíces exactas se han encontrado en casos especiales de ecuación (3).

Las aplicaciones de la función W de Lambert en los problemas de la física fundamental hasta no son agotadas para el caso estándar exprimido en (1), como se acaba de verlo en los dominios de la física atómica y molecular, así como en óptica.

 Valores especiales 

 (la constante Omega)

 Algoritmo de evaluación 
La función W puede evaluarse mediante la relación de recurrencia

proporcionada en Corless et al. para calcular W. Junto con la estima de evaluación de error de Chapeau-Blondeau y Monir. Esto calcula la rama principal para .

 Gráficos 

 Notas 

 Referencias y enlaces externos 
 
 Lambert function from Wolfram's function site.
 Computing the Lambert Wfunction
 Corless et al. Notes about Lambert W research
 Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PDF)
 Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
 Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
 Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W''-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
 Código en C

Funcion W de Lambert
Funcion W de Lambert
Lambert, w de
Ciencia de 1783
Ciencia y tecnología de Alemania del siglo XVIII
Lambert
Alemania en 1783