Catégorie des anneaux

En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire.

Définition

Catégorie des anneaux 
La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi :
 Les objets sont les anneaux ;
 Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné.

Catégorie des anneaux commutatifs 
La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une  : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur

qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion

La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites).

En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec :
.

Adjonctions 
Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli
 (oubli de la structure multiplicative)
 (oubli de la structure additive)
Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G). Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde .

En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli

dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble.

Propriétés de la catégorie des anneaux

Propriétés catégoriques 
 Ring est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
 Ring est une catégorie concrète ;
 Ring est une catégorie complète et cocomplète ;
 Ring est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel  comme produit monoïdal et  comme unité ;
 Ring n'est ni préadditive, ni additive, ni abélienne car elle n'admet pas d'objet zéro ;
 Un monoïde sur Ring est un anneau commutatif, c'est le  ;

Objets 
 L'objet initial est l'anneau des entiers relatifs  ;
 L' et l'objet terminal est l'anneau trivial 1 ;
 Ring n'a pas d'objet zéro.

Morphismes 
 Les isomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneaux bijectifs ;
 Les monomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneau injectifs ;
 Les épimorphismes réguliers correspondent aux épimorphismes extrémaux, qui sont dans Ring les morphismes d'anneaux surjectifs. Tout morphisme d'anneaux surjectif est donc un épimorphisme, mais la réciproque n'est pas vraie ;
 Les bimorphismes de Ring sont les épimorphismes injectifs, et ne coïncident donc pas avec les isomorphismes ;

Limites 
 Les foncteurs d'oubli vers Ab, Mon ou Set créent et préservent les limites et les colimites filtrées (mais pas les coproduits ou coégaliseurs en général)
 Le produit dans Ring est le produit d'anneaux ;
 Le coproduit dans Ring est le produit libre d'anneaux ;
 L'égaliseur correspond à l'égaliseur dans la catégorie des ensembles ;
 Le coégaliseur de deux morphismes d'anneaux f, g : R → S est le quotient R/I où I est l'idéal engendré par les éléments de la forme f(r) - g(r), où r est un élément de R.
 La limite projective dans Ring des anneaux d'entiers modulo  correspond à l'anneau des nombres p-adiques

Voir aussi

Notes

Références 
 
 

Théorie des anneaux
Théorie des catégories