Perceptron

Le perceptron est un algorithme d'apprentissage supervisé de classifieurs binaires (c'est-à-dire séparant deux classes). Il a été inventé en 1957 par Frank Rosenblatt au laboratoire d'aéronautique de l'université Cornell. Il s'agit d'un neurone formel muni d'une règle d'apprentissage qui permet de déterminer automatiquement les poids synaptiques de manière à séparer un problème d'apprentissage supervisé. Si le problème est linéairement séparable, un théorème assure que la règle du perceptron permet de trouver une séparatrice entre les deux classes.

Définition 

Le perceptron peut être vu comme le type de réseau de neurones le plus simple. C'est un classifieur linéaire. Ce type de réseau neuronal ne contient aucun cycle (il s'agit d'un réseau de neurones à propagation avant). Dans sa version simplifiée, le perceptron est mono-couche et n'a qu'une seule sortie (booléenne) à laquelle toutes les entrées (booléennes) sont connectées. Plus généralement, les entrées peuvent être des nombres réels.

Un perceptron à n entrées  et à une seule sortie o est défini par la donnée de n poids (aussi appelés coefficients synaptiques)  et un biais (ou seuil)  par:

La sortie o résulte alors de l'application de la fonction de Heaviside au potentiel post-synaptique , où la fonction de Heaviside est :

On a alors . La fonction  est non linéaire et appelée fonction d'activation. Une alternative couramment employée est , la tangente hyperbolique.

Exemple 
La figure de droite montre un perceptron avec 2 entrées  et . Les poids sont marqués sur les arcs : 1 et 1. Le biais est de 1. Ce perceptron calcule le OU logique de  et , comme le montre la table suivante :

Algorithme d'apprentissage

Notations 

Dans la suite de cet article, on considère un échantillon fini de données labélisées , avec pour tout , , où , et . On dit alors que les vecteurs  sont les « exemples » et que les points  sont leurs « classes ». Puisque le perceptron ne traite que les problèmes de classification binaire, les  ne peuvent prendre que deux valeurs, par convention  et .

Enfin, on pose , et .

On suppose également que  est linéairement séparable, donc  est (strictement) positif. Le fait que  soit non-nul découle du lemme suivant :

Énoncé 
Il existe plusieurs algorithmes d'apprentissage pour un perceptron. L'un des premiers est l'algorithme du perceptron de Rosenblatt, inventé en 1957, qui a pour but de trouver les paramètres d'un hyperplan séparant correctement les deux classes de données :

 Entrées : un échantillon de données labélisées
 Sortie : la matrice  de poids telle que ...
 1 Initialiser 
 2 Répéter
 3    Pour  à 
 4        Si  alors
 5            
 6    Fin pour
 7 jusqu'à ce qu'il n'y ait plus d'erreurs
 8 Retourner 
L'algorithme du perceptron de Rosenblatt est un cas particulier de l'algorithme du gradient stochastique utilisant comme fonction objectif , où  est l'ensemble des exemples mal classés ; et un taux d'apprentissage de .

Convergence 

La convergence de l'algorithme est démontrée en 1962 par Novikoff.Lorsque les données entrées ne sont pas linéairement séparables, l'algorithme ne converge pas, et la suite  est périodique. Le cycle peut cependant être long et difficile à détecter.

Règle de Hebb 

La règle de Hebb, établie par Donald Hebb, est une règle d'apprentissage des réseaux de neurones artificiels dans le contexte de l'étude d'assemblées de neurones.

Cette règle suggère que lorsque deux neurones sont excités conjointement, ils créent ou renforcent un lien les unissant.

Dans le cas d'un neurone artificiel seul utilisant la fonction signe comme fonction d'activation cela signifie que :

où  représente le poids  corrigé et  représente le pas d'apprentissage.

Cette règle n'est malheureusement pas applicable dans certains cas bien que la solution existe.

Règle d'apprentissage du perceptron (loi de Widrow-Hoff) 

Le perceptron de Frank Rosenblatt est très proche de la règle de Hebb, la grande différence étant qu'il tient compte de l'erreur observée en sortie.

Cette fonction est recommandée lorsque la tangente hyperbolique (tanh) est utilisée comme fonction d'activation.

avec :
  = le poids  corrigé ;
  = sortie attendue ;
  = sortie observée ;
   = le taux d'apprentissage ;
  = l'entrée du poids  pour la sortie attendue  ;
  = le poids  actuel.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi 

 Réseau neuronal artificiel
 Perceptron multicouche

Bibliographie 

 F. Rosenblatt (1958), The perceptron: a probabilistic model for information storage and organization in the brain, 
 - repris dans J.A. Anderson & E. Rosenfeld (1988), Neurocomputing. Foundations of Research, MIT Press

 Trevor Hastie, Robert Tibshirani et Jerome Friedman, The Elements of Statistical Learning : Data Mining, Inference, and Prediction, Second Edition, Springer New York, 2009, .

Réseau de neurones artificiels
Intelligence artificielle