Копула

Ко́пула ( «соединение, связка») — многомерная функция распределения, определённая на -мерном единичном кубе , такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале . 

Теорема Склара

Теорема Склара заключается в следующем: для произвольной двумерной функции распределения  с одномерными маргинальными функциями распределения  и  существует копула, такая что
 
где мы отождествляем распределение  с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

Границы Фреше—Хёфдинга для копулы 
Минимальная копула — нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:
 
Максимальная копула — верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

Архимедовы копулы 
Одна частная простая форма копулы:
 
где  называется функцией-генератором. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведённым ниже свойствам, служит основой для правильной копулы:
 
Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.
 
Копула Клейтона (Clayton):
 
Для   в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространён для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копула 
При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить «эмпирическую копулу» путём такой свёртки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:
  Число пар  таких что 

где x(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Гауссова копула 
Гауссовы копулы широко применяются в финансовой сфере. Для n-мерного случая копула представима в виде:

 ,

где:
  — частные распределения;
  — n-мерное совместное нормальное распределение с положительно полуопределённой корреляционной матрицей  размерностью ;
  — обратная функция гауссовского распределения.

Применения 

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs). Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

См. также 
 Независимость (теория вероятностей)

Примечания

Литература 
 Благовещенский Ю. Н. Основные элементы теории копул // Прикладная эконометрика, № 2 (26), 2012. С. 113—130.
 Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription)
 Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1-25.
 Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
 Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
 Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l’Institut de Statistique de L’Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.

Ссылки 
 
 Примеры генерации копул в Matlab

Теория вероятностей