TUKE-KEMT/reranking-skquad huggingface dataset:
Kvantová elektrodynamika Kvantová elektrodynamika je názov kvantovej teórie elektromagnetickej sily. Porozumenie QED pramení v porozumení elektromagnetizmu. Elektromagnetizmus sa nazýva aj elektrodynamika, pretože predstavuje vzájomné dynamickú pôsobenie elektrických a magnetických síl. Základom elektromagnetizmu je elektrický náboj. Elektrické náboje sú zdrojom a zároveň tvoria elektrické pole. Elektrické pole je pole, ktoré vyvíja silu na každú časticu nesúcu elektrický náboj v každom bode priestoru. Medzi inými to zahŕňa elektrón, protón a kvarky. Počas pôsobenia sily sa presúvajú elektrické náboje, tečie elektrický prúd a vytvára sa magnetické pole. A naopak magnetické pole vytvára elektrický prúd (pohyb elektrónov). Toto vzájomne pôsobiace magnetické a elektrické pole sa volá elektromagnetické pole. Fyzikálny opis interakcií nabitých častíc, elektrických prúdov, elektrických a magnetických polí sa nazýva elektromagnetizmus. Paul Dirac v roku 1928 vytvoril relativistickú kvantovú teóriu elektromagnetizmu.Táto teória bola predchodcom modernej kvantovej elektrodynamiky (QED). Ale časom v nej vznikol problém nevyriešiteľného nekonečna. Renormalizácia vyriešila tento problém o pár rokov neskôr. Renormalizáciu, spočiatku považovanú vlastnými tvorcami za provizionálne riešenie, napokon väčšina prijala ako dôležitý a vnútorne konzistentný nástroj v QED a aj iných častiach fyziky. Feynmanove diagramy koncom 40tych rokov zobrazili všetky možné interakcie týkajúce sa danej udalosti. Diagramy preukázali, že EM sila je vzájomné pôsobenie fotónov medzi interagujúcimi časticami. V priebehu 60tych rokov fyzici objavili, že pri extrémne vysokých energiách sa QED rozpadá a neplatí. Z tejto inkozistencie vznikol Štandardný model, ktorý tento problém vyriešil. Štandardný model zjednocuje elektromagnetickú silu a slabú jadrovú silu do jednej teórie, nazývanej elektroslabá teória.
Kandidáti na teóriu všetkého  teórie superstrún (M-teória) slučková kvantová gravitácia Kauzálne dynamické triangulácie Kvantová Einsteinovská gravitácia kvantová gravitácia Internal Relativity
Slabá a silná interakcia Vytvorením kvantovej teórie elektromagnetického poľa sa pre fyzikov práca nekončila. V mikrosvete sú totiž ešte ďalšie dve dôležité sily zvané slabá interakcia a silná jadrová interakcia. Práce na teórii, ktorá by zahrnula aj tieto dva vplyvy si zaslúžili niekoľko Nobelových cien (poslednú dostali v roku 2004 Politzer, Wilczek a Gross).
Nad rámec všeobecnej teórie relativity Popis horizontov udalosti daný všeobecnou teóriou relativity je považovaný za neúplný. Ak by sme modelovali podmienky horizontu udalostí použitím komplexného pohľadu, zahŕňajúceho aj relativitu aj kvantovú mechaniku, horizont udalostí by mal mať iné vlastnosti ako ten, pri ktorom by sme použili len samotnú relativitu. V súčasnosti sa predpokladá, že horizonty udalostí majú primárny kvantový efekt a to teplotu, takže vysielajú žiarenie (pre čierne diery známe ako Hawkingovo žiarenie). Úplný popis horizontu udalostí vyžaduje prinajmenšom teóriu kvantovej gravitácie. Jedným z kandidátov je aj M-teória.
Kvantová mechanika a klasická fyzika Predpovede kvantovej mechaniky majú vysokú mieru presnosti. Z toho podľa korešpondenčného princípu vyvodzujeme, že všetky objekty podliehajú zákonom kvantovej mechaniky. Zákony klasickej mechaniky sú len aproximáciou zákonov kvantovej mechaniky v prípadoch makrosystémov alebo veľkých kvantových čísel. Veľa makroskopických vlastností klasických systémov je priamym dôsledkom kvantového správania sa častíc. Tuhosť pevných látok a mechanické, termálne, chemické, optické a magnetické vlastnosti hmoty sú dôsledkom interakcií medzi elektrickými nábojmi správajúcimi sa podľa pravidiel kvantovej mechaniky. Exotické správanie sa hmoty opisované kvantovou mechanikou sa stáva zjavným pri extrémne malých objektoch. Klasická newtonovská fyzika je presnou v predpovedaní správania sa väčších objektov za predpokladu, že sa pohybujú rýchlosťou oveľa menšou ako je rýchlosť svetla.
Postuláty špeciálnej teórie relativity Einsteinova zásluha je v tom, že sa dokázal správne zorientovať v zmätku viacerých protichodných poznatkov vtedajšej doby, a že fyziku (aplikovanú na inerciálne sústavy) postavil na dvoch základných postulátoch: Prvý postulát (Princíp relativity) – Všetky fyzikálne zákony musia byť vo všetkých inerciálnych sústavách invariantne vyjadrené. Druhý postulát (konštantná rýchlosť svetla c ) – Rýchlosť svetla vo vákuu je vo všetkých inerciálnych sústavách rovnaká; alebo rýchlosť svetla je rovnaká pre všetkých inerciálnych pozorovateľov, vo všetkých smeroch a nezávisí na rýchlosti objektu vyžarujúceho svetlo.
Interpretácie Všetky relevantné fyzikálne merania, rovnice a prepoklady kvantovej mechaniky sú konzistentné a úroveň ich potvrdenia je veľmi vysoká. Napriek tomu otázka, čo tieto abstraktné modely hovoria o hlbšej povahe skutočného sveta, má niekoľko konkurenčných odpovedí.
Amplitúda pravdepodobnosti a princíp superpozície Amplitúda pravdepodobnosti sa v kvantovej mechanike objavuje aj v inom kontexte, v súvislosti s princípom superpozície. Podľa neho sa kvantovomechanická sústava (napríklad elektrón v atóme) môže nachádzať v superpozícii dvoch alebo viacerých stavov. Ak uvažujeme superpozíciu stavov a , potom platí kde a sú nejaké (opäť komplexné) konštanty a tie nazývame amplitúdy pravdepodobnosti. Je to tak preto, lebo druhé mocniny ich absolútnych hodnôt majú opäť význam pravdepodobnosti. Napríklad teraz je pravdepodobnosť nájdenia sústavy v stave a je pravdepodobnosť nájdenia sústavy v stave . Keďže sme si povedali, že náš systém sa teraz nachádza v superpozícii stavov a , v žiadnom inom stave ho ani nájsť nemôžeme. Z toho vyplýva, že súčet oboch spomínaných pravdepodobností musí byť rovný jednej. Nakoniec teda zisťujeme, že čísla a nie sú úplne ľubovoľné, ale sú zviazané vzťahom (tzv. normovacou podmienkou) Toto je obdoba integrálnej normovacej podmienky platnej pre vlnovú funkciu chápanú ako .
Filozofické dôsledky Kvantová mechanika a veľa jej neintuitívnych predpovedí už od svojho vzniku vyprovokovala veľa diskusií a rôznych interpretácií. Kodanská interpretácia je medzi fyzikmi široko akceptovaná. Probabilistická povaha kvantovej mechaniky podľa tejto interpretácie nie je len dočasná vlastnosť, ktorú by neskôr nahradila deterministická teória. Skôr ju treba chápať ako odmietnutie klasickej predstavy kauzality. Albert Einstein, ktorý patrí k zakladateľom kvantovej teórie, odmietal takúto stratu determinizmu. Predpokladal, že musia existovať skryté premenné, ktoré sme ešte neobjavili a preto je kvantová mechanika je nekompletná. Vyslovil niekoľko námietok voči takejto interpretácii, z ktorých najznámejšou je pravdepodobne Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox (EPR paradox). John Bell ukázal, že EPR paradox vedie ku experimentálne overiteľným rozdielom medzi kvantovou mechanikou a lokálnymi realistickými teóriami. Experimenty, ktoré boli uskutočnené, potvrdili presnosť kvantovej mechaniky, čím dokázali, že fyzikálny svet nemôže byť popísaný lokálnymi realistickými teóriami. Bohrove-Einsteinove debaty predstavujú kritiku Kodanskej interpretácie z epistemologického hľadiska. Everettova interpretácia mnohých svetov formulovaná v roku 1956 tvrdí, že všetky možné stavy popísané kvantovou teóriou sa súčasne uskutočňujú v multivesmíre, ktorý pozostáva hlavne z nezávislých paralelných vesmírov. Toto tvrdenie sa nezakladá na postulácii nového axiómu v rámci kvantovej mechaniky, ale na odstránení axiómu tzv. kolapsu vlnového balíčka.
Kvantová teória polí (QFT) Myšlienka kvantovej teórie vznikla v 20tych rokoch 19. storočia, keď sa britský fyzik Paul Dirac pokúšal o kvantifikáciu elektromagnetického poľa. Pole vo fyzike predstavuje oblasť alebo priestor, v ktorom daný efekt (napr. magnetizmus) existuje. Ďalšie sily vytvárajúce polia sú gravitácia a statická elektrina. Fyzik Richard Hammand v roku 2008 napísal: Niekedy rozlišujeme medzi kvantovou mechanikou a QFT. Kvantová mechanika predstavuje systém v ktorom je pevný/daný počet častíc a pole (ako EM pole) predstavuje klasickú súvislú entitu. QFT pridáva možnosť vzniku a zániku častíc. A dodal, že kvantová mechanika sa často používa na označenie celkového kvantového pohľadu. V roku 1931 Dirac predpokladal existenciu častíc známych dnes ako anti-hmota. V roku 1933 ocenili Diraca, spoločne so Schrodingerom, Nobelovou cenou za objav nových produktívnych foriem atómovej teórie.
Pozri aj Podrobné spracovanie sa nachádza v článkoch: všeobecná teória relativity špeciálna teória relativity
Vznikajúci vedecký základ Teória Alexander Friedmann Teoretický vedecký výskum konečného osudu vesmíru umožnila v roku 1916 Einsteinova teória všeobecnej relativity. Všeobecná relativita sa dá využiť na opis vesmíru v najväčšej možnej mierke. Existuje mnoho riešení rovníc všeobecnej relativity a každé riešenie predstavuje možný osud vesmíru. Alex Friedman navrhol, v roku 1922, množstvo riešení a rovnako v roku 1927 aj Georges Lemaitre. V niektorých z nich sa vesmír rozpínal z počiatočnej singularity, čo v podstate predstavuje Veľký tresk. Pozorovanie Edwin Hubble publikoval v roku 1931 svoj záver, založený na pozorovaniach Cefeíd, premenných hviezd vo vzdialenej galaxii, že vesmír sa rozpína. Odvtedy sa začiatok vesmíru a jeho možný koniec považujú za predmet vedeckého výskumu. Teórie Veľkého tresku a ustáleného stavu Georges Lemaître vytvoril v roku 1927 teóriu, neskôr nazývanú teória Veľkého tresku. V roku 1948 vytvoril Fred Hoyle inú teóriu, teóriu ustáleného stavu, v ktorej vesmír pokračoval v rozpínaní, ale štatistický zostal rovnaký, pretože neustále vznikala nová hmota. Tieto dve teórie medzi sebou súperili až do roku 1965, kedy Arno Penzias a Robert Wilson objavili žiarenie kozmického mikrovlnného pozadia, čo bolo priamym dôsledkom teórie Veľkého tresku a teória ustáleného stavu to nezahŕňala. Následkom tohoto objavu sa teória Veľkého tresku rýchlo stala väčšinovou teóriou o vzniku vesmíru. Kozmologická konštanta V čase keď Einstein vytvoril všeobecnú relativitu, tak vedci verili v statický vesmír. Keď Einstein zistil, že jeho rovnice sa dajú ľahko vyriešiť spôsobom, ktorý predpokladal rozpínajúci sa alebo sťahujúci sa vesmír, tak pridal do svojich rovníc kozmologickú konštantu. Kozmologická konštanta v podstate predstavuje konštantnú hustotu energie, na ktorú expanzia alebo kontrakcia nemali vplyv. Jej úlohou bolo vyrovnávanie gravitácie vo vesmíre a tým by zabezpečila statický vesmír. Po Hubblovom objave rozpínania vesmíru Einstein napísal, že kozmologická konštanta bola "najväčší omyl môjho života". Parameter hustoty Dôležitý parameter teórie osudu vesmíru je parameter hustoty, omega (Ω), definovaný ako podiel priemernej hustoty hmoty vo vesmíre a kritickej hodnoty tej hustoty. Tento parameter určuje tvar vesmíru. Podľa toho či je Ω rovná, menšia alebo väčšia ako 1 je vesmír plochý, otvorený alebo zatvorený. Tieto tri názvy popisujú celkovú geometriu vesmíru a nie miestne zakrivenie časopriestoru zhlukmi hmoty. Ak je pôvodný vesmír tvorený nereagujúcou hmotou, tak každej z týchto geometrií zodpovedá iný osud. Preto sa kozmológovia zamerali na určenie osudu vesmíru pomocou meraní Ω. Odpudivá sila Pozorovania supernov vo vzdialených galaxiách od roku 1998 sú v súlade z s vesmírom, ktorého rozpínanie zrýchľuje. Následne kozmologické teórie navrhnuté, tak aby povoľovali toto zrýchľovanie, takmer vždy používajú tmavú energiu, ktorá vo svojej najjednoduchšej forme predstavuje pozitívnu kozmologickú konštantu. Vo všeobecnosti sa termínom tmavá energia označujú hocijaké hypotetické polia s negatívnym tlakom a ich hustota sa zvyčajne mení s postupom rozpínania.
Pojem Teória relativity Alberta Einsteina zahŕňa dvojicu fyzikálnych teórií: špeciálna teória relativity a všeobecná teória relativity. Tieto teórie boli zostavené, aby vysvetlili fakt, že elektromagnetické vlny nepodliehajú Newtonovským pohybovým zákonom. Bolo dokázané, že sa pohybujú konštantnou rýchlosťou, nezávisle od pohybu pozorovateľa. Základnou myšlienkou je, že dvaja pozorovatelia, ktorí sú vo vzájomnom pohybe, odmerajú odlišné časové a priestorové intervaly tých istých udalostí, ale fyzikálna podstata pozorovaného javu bude pre oboch rovnaká.
Vzťah k energii Podľa všeobecnej teórie relativity nie je žiadny rozdiel medzi hmotou a energiou, pretože hmota sa môže zmeniť na energiu a naopak.
Pozri aj  Teória relativity
Všeobecná teória relativity je teória o priestore, čase a gravitácii, ktorú sformuloval Albert Einstein v rokoch 1911 až 1916 (zverejnená bola v roku 1916). Opisuje vzájomné pôsobenie (interakciu) priestoru a času na jednej strane a hmoty (vrátane polí) na strane druhej. Jej hlavná výpoveď je, že gravitácia vlastne nie je nič iné ako geometrický jav v zakrivenom štvorrozmernom časopriestore, presnejšie: Hmotné telesá sú zdrojom gravitačného poľa, ktoré určuje metriku (vlastnosti) časopriestoru v danej oblasti, ktorá zas naopak spätne ovplyvňuje stav a pohyb telies v danej oblasti. Niektoré vlastnosti: Teória aplikuje princíp relativity na oblasti, v ktorých má rozhodujúcu úlohu gravitácia. Jej základom je princíp ekvivalencie. Všeobecná teória relativity je rozšírením špeciálnej teórie relativity a pre dostatočne malé oblasti časopriestoru sa s ňou stáva identickou. V porovnaní so špeciálnou teóriou relativity je pre laika oveľa ťažšie zrozumiteľná, existuje však pre ňu dostatočné množstvo experimentálnych dôkazov.
Analytické riešenia Schrödingerovej rovnice sú však známe len pre malý počet Hamiltonových operátorov. Najvýznamnejšie kvantovo mechanické systémy s analytickými riešeniami sú pravdepodobne kvantový harmonický oscilátor, potenciálová jama, ión molekuly vodíka a atóm vodíka. Analytické riešenie neexistuje ani pre atóm hélia, ktorý obsahuje len o jeden elektrón viac, než atóm vodíka. Existuje však rad techník na zisťovanie približných riešení.  Napríklad, metóda známa ako teória perturbácií používa známe analytické riešenia pre jednoduchšie kvantovo mechanické modely na hľadanie riešení pre komplikovanejšie modely, ktoré sú k danému jednoduchšiemu modelu v istom vzťahu (napr. pridaním slabej potenciálnej energie). Druhou metódou je tzv. poloklasická rovnica pohybu, ktorú možno použiť na systémy, pre ktoré kvantová mechanika spôsobuje len malé odchýlky od klasického správania. Tieto odchýlky môžu byť vypočítané pomocou metód klasickej fyziky. Táto metóda je dôležitá pre kvantovú teóriu chaosu.
Tlmené kmity Tlmené kmity v prípade telesa na pružine Rovnice tlmených kmitov V reálnom svete vždy existuje trenie a rôzne iné odporové sily, ktoré spôsobujú, že oscilujúci systém postupne stráca energiu a jeho amplitúda sa s časom zmenšuje. Akokoľvek by sme sa snažili zamedzovať týmto nepriaznivým vplyvom, obmedzuje nás druhý termodynamický zákon, podľa ktorého sa mechanická energia postupne premieňa na vnútornú tepelnú energiu. Závislosť odporových síl od výchylky a jej časovej derivácie môže byť vo všeobecnosti veľmi zložitá. V najjednoduchšom modeli je odporová sila priamo úmerná prvej časovej derivácii výchylky a pôsobí proti narastaniu výchylky. V prípade telesa na obrázku vpravo odporová sila vzduchu pôsobí vždy proti smeru pohybu tohto telesa. V spomínanom ideálnom prípade možno zapísať pre časový vývoj výchylky nasledovnú diferenciálnu rovnicu: : kde , a by sme získali analýzou síl pôsobiacich na systém. Ak obe strany rovnice vydelíme , dostaneme : Aby sa rovnica zjednodušila, zaveďme substitúcie : : Prvý parameter sa nazýva vlastná uhlová frekvencia a určuje uhlovú frekvenciu v prípade, keby neexistovali žiadne tlmiace vplyvy. Druhý parameter je tlmenie. Tlmenie je bezrozmerná fyzikálna veličina. Diferenciálna rovnica teraz nadobudla tvar : Táto diferenciálna rovnica sa väčšinou rieši s predpokladom, že hľadané riešenie má tvar : kde je vo všeobecnosti komplexné číslo. Tento predpoklad nie je len tipom, ale vychádza z poznatku, že deriváciou exponenciálnej funkcie je opäť funkcia exponenciálna funkcia a v našej rovnice sa súčet jednotlivých derivácií musí rovnať nule. Po dosadení a vydelení členom dostávame jednoduchú rovnicu : To je jednoduchá kvadratická rovnica s dvoma riešeniami : Správanie systému pri tlmených kmitoch V závilosti na veľkosti tlmenia možno rozlíšiť 3 situácie opísané v tabuľke Tlmenie Hodnota Opis správania Ilustračný diagram je komplexné číslo Systém bude oscilovať okolo rovnovážnej polohy, no amplitúda bude s časom klesať. Pre uhlovú frekvenciu kmitov platí vzťah: Súbor:Damped oscillation graph.svg Kritické tlmenie Priebeh oscilácií je opísaný rovnicou Súbor:RLC-serial-Critical Damping.PNG je reálne číslo Komplikovaný priebeh, ide o veľmi veľké tlmenie a oscilácie preto nemožno pozorovať Súbor:RLC-serial-Over Damping.PNG
Oprávnenosť náhrady reálnej tekutiny ideálnou Pri technických výpočtoch a skúmaní dejov v odbore mechanika tekutín je pre zjednodušenie niekedy výhodné uvažovať namiesto reálnej tekutiny ideálnu. Táto náhrada sa môže vykonať za nasledovných podmienok : podmienka homogénnosti je splnená, ak sa nepracuje s extrémne malými objemami a tlakmi. podmienka nestlačiteľnosti sa môže považovať za splnenú pri povolenej chybe výpočtu > 1% aj pre: vodu, vzduch ak jeho vrstva nepresahuje 100 m a rýchlosť prúdenia nepresahuje 50 m.s-1. podmienka neexistencie vnútorného trenia - nulovej viskozity sa môže považovať za splnenú ak je tekutina v pokoji, alebo tekutina prúdi, ale v jednotlivých priečnych rezoch je rýchlosť konštantná, sa môže zanedbať ak má tekutina nízku viskozitu a tekutina sa pohybuje pomaly, alebo v jednotlivých priečnych rezoch sa rýchlosť mení len málo.
Skalárny zápis Ak nás nezaujíma smer, ale len veľkosť sily, zredukuje sa vyššie uvedený vzorec na: : Kategória:Elektrina
Richardsonove pravidlo Rôzne materiály majú rôznu emisnú konštantu, ktorá opisuje veľkosť energetickej bariéry držiacej nosič náboja v pôvodnom materiáli. Preto sa elektródy pokovujú, alebo sa na ne nanášajú vrstvy oxidov kovov, pri ktorých je menšia výstupná práca, napr. oxidy bária, stroncia a vápnika. Emisia je tiež závislá od stavu povrchu elektródy a jej čistoty. Richardson zistil, že intenzita emisie je závislá od druhej mocniny teploty elektródy.
Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m2) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako: : : a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi: : : kde: je elektrická susceptibilita materiálu, je magnetická susceptibilita materiálu, ε je elektrická permitivita materiálu a μ je magnetická permeabilita materiálu V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar: : : : : V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc. Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii. Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare : kde γ je merná vodivosť daného materiálu.
Termodynamická účinnosť je parameter, ktorý kvantitatívne vyjadruje, ako účinne sa približuje skutočný proces v zariadení k idealizovanému procesu v tomto zariadení. Táto definícia sa vzťahuje na termodynamický proces, t.j. na jeden komponent obehu, napr. len turbíny, alebo na otvorené systémy, napr. systémy stacionárneho prúdenia. Je to bezrozmerné číslo a označuje sa symbolom ηT . V definícii termodynamickej účinnosti nie je určené, aký je idealizovaný proces pre konkrétne zariadenie, ani čo je cieľom daného procesu - zariadenia. Preto pojem termodynamická účinnosť zahŕňa viacero rôzne definovaných a pomenovaných účinností.
Predpoklady použiteľnosti  Veľký počet meraní a s tým spojený veľký počet elementárnych chýb … v prípade malého počtu nie je, alebo je len ťažko možné rozhodnúť o platnosti ďalších predpokladov. Výber vzorky adekvátnej skúmanému javu. Zaručenie nezávislosti meraní, prípadne odstránenie faktorov jednostranne vplývajúcich na jav.
Teória Ak sa predpokladá, že výstupný člen mechanizmu zabezpečuje rovnomerný pohyb pri stálom zaťažení, musí mu kvapalina privádzať potrebnú energiu. Vstupný člen mechanizmu dodáva kvapaline celkovú energiu , ktorá pokrýva potrebné prírastky jednotlivých zložiek energie. Ich veľkosť sa určuje zo vzťahov, ktoré vychádzajú z Bernoulliho rovnice : Ak odoberá vstupný člen kvapalinu z rozmernej nádrže s voľnou hladinou rýchlosti = 0 a je atmosférický tlak . Za týchto predpokladov možno veľkosť špecifickej energie vyjadriť vzťahom : Výstupný člen hydrostatického mechanizmu mení na mechanickú energiu iba tlakovú zložku, takže : : Polohová a kinetická zložka, ktoré boli nevyhnutné na premiestnenie kvapaliny, sa v uvedenom usporiadaní nevyužívajú. Vzhľadom na to, že pre bežné usporiadania a bežné prevádzkové podmienky sú polohová a kinetická zložka v porovnaní s tlakovou zanedbateľné, sleduje sa spravidla iba táto zložka. Potom sa pri výpočte energie vychádza zo vzťahu. : A výkon : Kde p je tlak (pretlak) :V je objem kvapaliny :Q je prietok Prvky hydrostatických mechanizmov sú konštrukčne aj výrobne náročné a preto sa čo najviac využívajú výrobky špecializovaných výrobcov. Tí vyrábajú prvky v typizovaných radoch a zaručujú dané vlastnosti.
Kalorimetrická rovnica je rovnica popisujúca tepelné výmeny pomocou zákonu zachovanie energie. Na jej základe je možné určiť mernú tepelnú kapacitu materiálov, zistiť množstvo tepla, ktoré treba dodať, alebo odobrať, na to aby sa zmenila teplota o určitú hodnotu, alebo určiť výslednú teplotu pri tepelnej výmene. Množstvo tepla, ktoré teleso prijme, alebo odovzdá závisí: Od hmotnosti telesa Od mernej tepelnej kapacity telesa Od rozdielu konečnej a začiatočnej teploty
Opakovateľnosť merania je tesnosť zhody medzi po sebe nasledujúcimi výsledkami merania tej istej meranej veličiny, za tých istých podmienok. Podmienky, ktoré pri meraní panujú sa označujú ako podmienky opakovateľnosti a patrí medzi ne: rovnaká meracia metóda to isté meradlo tie isté pracovné podmienky (napr. teplota, vlhkosť, poveternostné podmienky atď.) osoba, ktorá meranie vykonáva to isté miesto opakovanie v krátkom čase Kategória:Metrológia Kategória:Štatistika
Skalárny súčin dvoch stavových vektorov je komplexné číslo známe ako amplitúda pravdepodobnosti. Počas merania je pravdepodobnosť zmeny stavu systému z počiatočného stavu do daného vlastného stavu daná štvorcom absolútnej hodnoty amplitúdy pravdepodobnosti medzi počiatočným a finálnymi stavmi. Možné výsledky merania sú vlastné vektory operátora, čo je dôvodom, prečo sa používajú hermitovské operátory, ktoré majú všetky vlastné čísla reálne. Rozdelenie pravdepodobnosti pre danú pozorovateľnú veličinu je možné nájsť pomocou spektrálneho rozkladu zodpovedajúceho operátora. Heisenbergov princíp neurčitosti je reprezentovaný tvrdením, že operátory zodpovedajúce určitým pozorovateľným veličinám nemusia komutovať.
Označenie Vektorový súčin vektorov sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov: - používaný vo frankofónnych krajinách - používaný v Rusku
Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie divergencie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v v daných súradniciach, tak platí Vo valcových súradniciach: : Vo sférických súradniciach: : Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x 1, x 2, x 3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h 1, h 2, h 3 : V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí : Dohovor : Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme. Kategória:Diferenciálne operátory Kategória:Vektorový počet
Vektorové priestory vo fyzike  Bra-Ket formalizmus Vektory tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor ), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia patrí taktiež do tohoto priestoru. Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov: , kde hviezdička označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory vlnové funkcie a bra-vektory sú komplexne združené vlnové funkcie . Skalárny súčin je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor a bra-vektor . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že . Dôsledkom toho je, že je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné: . Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru . V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu , ktorý má zjavne vlastnosť , rovnako ako má vlastnosť , pretože je kladné. Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že a vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo .
Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.
Vyjadrenie v rôznych sústavách súradníc Nasledujúce vzťahy udávajú vyjádrenie rotácie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v daných súradniciach, potom platí Vo valcových súradniciach : Vo sférických súradniciach : Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x 1, x 2, x 3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h 1, h 2, h 3 : :: :: V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí : kde je Levi-Civitov symbol. Dohoda : Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme. Kategória:Diferenciálne operátory Kategória:Vektorový počet
Príklad Majme vektorový priestor generovaný dvojicou lineárne nezávislých vektorov . Postupujeme najprv voľbou . Teraz od tohto vektora bude závisieť druhý. Použijeme vzťah pre ortogonalizáciu ďalších vektorov a dostávame rovnosť Výsledný vektor je ortogonálny vektor k vektoru . Teraz ho treba znormalizovať. Vektory generujú obyčajný euklidovský dvojrozmerný priestor, stačí preto použiť euklidovskú normu Výsledný ortonormálny vektor bázy bude mať tvar Podobným spôsobom sa znormalizuje vektor , ktorého norma je a odtiaľ Ľahko možno skalárnym súčinom overiť, že vektory sú skutočne ortogonálne.
Výpočet Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech : a a 1, a 2, a 3 a : b b 1, b 2, b 3. Potom : a × b = a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1.
Referenčný rámec Stavové vektory sú definované s ohľadom na niektorý referenčný rámec, zvyčajne, ale nie vždy, inerciálny referenčný rámec. Jedným z najviac používaných referenčných rámcov pre stavové vektory telies pohybujúcich sa v blízkosti Zeme je systém: Zo stredom v centre hmotnosti Zeme; Os Z je zhodná s rotačnou osou Zeme, + Z sever; Rovina XY sa zhoduje s rovníkovou rovinou Zeme, pričom + X smeruje k jarnej rovnodennosti a os Y je v zmysle pravidla pravej ruky. Tento referenčný rámec nie je skutočne inerciálny, z dôvodu pomalej 26 000 rokov prebiehajúcej precesie zemskej osi. Používané sú aj referenčné rámce definované orientáciou Zeme v štandardnej astronomickej dobe, ako napríklad B1950 alebo J2000. Mnohé ďalšie referenčné rámce môžu byť použité, sústredené na Slnko alebo na iné planéty alebo mesiace, definované barycenterom a uhlom slnečnej sústavy alebo dokonca vlastnou orbitálnou rovinou kozmickej lode.
Jednotkové vektory súradnicových systémov V prípade že sú jednotkové vektory totožné s osami všeobecného súradnicového systému, označujú sa , , . Sprievodný trojhran priestorovej čiary V prípade špeciálnych súradnicových systémov, napríklad pri posudzovaní všeobecného pohybu po krivke sa používa súradnicový systém tvorený vektormi , , kde: - je jednotkový tangenciálny vektor - je jednotkový vektor hlavnej normály - je jednotkový vektor hlavnej binormály Vzťah medzi týmito jednotkovými vektormi, flexnou krivosťou čiary a torznou krivosťou čiary popisujú Frenetove rovnice.
Orbitálny stavový vektor , alebo len stavový vektor obežnej dráhy v astrodynamike a nebeskej dynamike je šesť-rozmerný vektor, ktorý tvoria karteziánsky vektor polohy () a rýchlosti (). Spolu s časom (epocha) () jednoznačne určuje trajektóriu obiehajúceho telesa v priestore. Polohový vektor: : Vektor rýchlosti: : kde , , sú jednotkové vektory karteziánskeho inerciálneho referenčného rámca. Vektor rýchlosti leží v obežnej rovine a na dotyčnici k trajektórii. : kde je jednotkový vektor tangenty trajektórie v danom momente.Súbor:Orbital_state_vectors.png|náhľad|Vektor polohy r (x, y, z), vektor orbitálnej rýchlosti v (vx, vy, vz) a iné orbitálne prvky
Albert Einstein, ktorý patrí k zakladateľom kvantovej teórie, odmietal takúto stratu determinizmu. Predpokladal, že musia existovať skryté premenné, ktoré sme ešte neobjavili a preto je kvantová mechanika je nekompletná. Vyslovil niekoľko námietok voči takejto interpretácii, z ktorých najznámejšou je pravdepodobne Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox (EPR paradox). John Bell ukázal, že EPR paradox vedie ku experimentálne overiteľným rozdielom medzi kvantovou mechanikou a lokálnymi realistickými teóriami. Experimenty, ktoré boli uskutočnené, potvrdili presnosť kvantovej mechaniky, čím dokázali, že fyzikálny svet nemôže byť popísaný lokálnymi realistickými teóriami. Bohrove-Einsteinove debaty  predstavujú kritiku Kodanskej interpretácie z epistemologického hľadiska.
Kvantá poľa V rámci kvantovej teórie poľa sa pole kvantuje. Čo to znamená si môžeme vysvetliť na príklade elektromagnetického poľa. To je v klasickej fyzike popísané svojou elektrickou intenzitou a magnetickou indukciou, máme teda dve polia : : Obe tieto veličiny sa dajú meniť spojito, teda o ľubovoľne malú hodnotu v každom bode priestoru. Po kvantovaní sa energia poľa zvyšuje po krokoch, nemôže nadobudnúť ľubovoľnú hodnotu. Tento fakt interpretujeme tak, že pole je tvorené svojimi kvantami, z ktorých každé nesie istú energiu. Môžeme mať dve kvantá poľa, môžeme ich mať aj tri, ale nemôžeme ich mať dva a pol. Kvantami elektromagnetického poľa sú pritom staré známe fotóny.
Aplikácie Využitie kvantovej mechaniky zahŕňa laser, tranzistor, elektrónkový mikroskop a snímkovanie magnetickou rezonanciou. Špeciálna časť aplikácie kvantovej mechaniky sa zameriava na makroskopické kvantové javy ako napr. supratekuté hélium a supravodiče. Výskum polovodičov viedol k vynálezu diódy a tranzistoru, kľúčových súčastí modernej elektroniky. <!--
úv Úvod do kvantovej mechaniky Kategória:Zoznamy fyzikálnych článkov
Pozri aj  kvantová mechanika
Kvantový princíp je predpoklad, že hmota a energia sú tvorené základnými jednotkami: nedeliteľnými elementárnymi kvantami. Tento princíp formuloval v roku 1900 Max Planck a tvorí základný kameň kvantovej fyziky. Kategória:Kvantová fyzika
Argument hyperbolického kosínusu (argcosh x) Funkcia Definičný obor : Obor hodnôt : Parita :Ani nepárna ani párna Identita :
Testovacia štatistika a hypotéza Empirická distribučná funkcia pre nezávislých, rovnako rozdelených náhodných veličín , kde , je definovaná nasledovne: : kde je charakteristická (indikátorová) funkcia, ktorá nadobúda hodnotu 1, ak a hodnotu 0 v inom prípade. Kolmogorovova-Smirnovova testovacia štatistika má potom nasledovný tvar: : kde symbol sup označuje suprémum.
Teória Rudolph A. Marcus vypracoval prvú všeobecne uznávanú teóriu prenosu elektrónov, aby popísal prenos elektrónov vo vonkajšej sfére. Teóriu založil na prístupe teórie tranzitného stavu. Marcusova teória prenosu elektrónov bola potom rozšírená Noelom Hushom a Marcusom o prenos vo vnútornej sfére. Výsledná teória sa nazýva Marcus-Hushova teória a odvtedy sa používa na popis prenosov elektrónov. Obe teórie sú však semiklasické, aj keď boli rozšírené o kvantovo mechanickú prístup Jortnerom, Kuznetsovom a inými, ktorí postupovali od Fermiho zlatého pravidla a nasledovali predchádzajúce práce ohľadne neradiatívnych prenosov. Neskôr sa objavili ďalšie teórie, ktoré zvažujú i pôsobenie elektrónovo-vibračných (vibronických) prechodov na prenos elektrónov, napríklad PKS teória prenosu elektrónov. Pred rokom 1991 sa predpokladalo, že prenos elektrónov v metaloproteínoch ovplyvňujú hlavne priemerné vlastnosti nekovových prvkov, ktoré tvoria izolačnú bariéru medzi kovmi, ale Beratan, Betts a Onuchic následne ukázali, že rýchlosti prenosu elektrónov sú dané priamo štruktúrou väzieb v proteínoch - teda že elektróny v princípe tunelujú cez väzby tvoriace reťazovú štruktúru proteínov. Táto diskusia v skutočnosti uvažuje len priemery dominantných trás prenosu elektrónov, ktoré sú pozorované experimentálne, a zatiaľ čo väzbový coupling je jasne dominantný pre niektoré umelé systémy vytvorené na štúdium prenosu elektrónov, mnoho prirodzených systémov jasne ukazuje niekoľkonásobný alebo "priemerný" coupling cez prostredie proteínu, ako keby až tak nezáviselo na druhu alebo väzbe atómov, ale hlavne na ich hustote. Je dôležité poznamenať, že tunelovanie elektrónov nie je presne popísané jednotlivými definovanými trasami - kvantové tunelovanie elektrónu je koncový výsledok vzorkovania elektrónov všetkými možnými trasami prenosu elektrónov pomocou jeho vlnovej funkcie a experimenty ukazujú len vážené priemery týchto trás.
Kodanská interpretácia je interpretácia procesu merania v kvantovej mechanike, formulovaná Bohrom a jeho kolegami. Objasňuje dôvod, prečo pri danej príležitosti dostávame daný výsledok a pri inej iný - videli ho vo vonkajšom pôsobení klasických meracích prístrojov. Podľa tohto prístupu je objekt, o ktorom musíme uvažovať, vždy sústava (tvorená spolu s meracími prístrojmi), takže zmena usporiadania meracích prístrojov sa považuje za kompletne nový experiment - kompletne novú fyzikálnu situáciu (aj keď zámerne nebol samotný objekt merania nijako zmenený). Kategória:Kvantová mechanika
Merania Feynmanovych diagramov 8. rádu, ktoré reprezentujú pohyb elektrónu Definičný vzťah skladá z rôznych konštánt, ktoré môžu byť nezávisle zmerané. Okrem toho ale kvantová elektrodynamika (QED) dáva možnosť merať priamo pomocou tzv. kvantového Hallovho javu alebo anomálneho magnetického momentu elektrónu. QED predpovedá vzťah medzi bezrozmerným magnetickým momentom elektrónu a konštantou jemnej štruktúry . Nové merania pomocou jednoelektrónového kvantového cyklotrónu kombinované s výpočtom 891 Feynmanových diagramov so štyrmi slučkami dávajú dosiaľ nejpresnejšiu hodnotu . Nepresnosť takýchto meraní je zhruba desaťkrát menšia ako pri konkurenčných metódach. Porovnanie vypočítaných a nameraných hodnôt vystavuje kvantovú elektrodynamiku tvrdému testovaniu a dôsledkom zhody je obmedzenie možnosti pre hypotetickú vnútornú štruktúru elektrónu.
Buraliho-Fortiho paradox je poznatok publikovaný roku 1897, ktorý spolu s ďalšími výsledkami podobného typu (označovanými ako paradoxy alebo antinómia) viedol ku kríze klasickej naivnej teórie množín a ich následnému nahradeniu axiomatickým systémom. Buraliho-Fortiho paradox sa týka ordinálnych čísel.
Rovnica hypotézy zriedkavej Zeme Ward a Brownlee zostavili svoju rovnicu podobnú známej Drakeovej rovnici. Obidve sa pokúšajú odhadnúť počet mimozemských civilizácií na základe pravdepodobností uskutočnenia sa podmienok potrebných pre existenciu inteligentného života. Obidve treba v súčasnosti brať skôr ako pokus o odhad, keďže mnohé parametre sú len približne známe a výsledné čísla sa líšia od autora k autorovi. Navyše je možné, že nie sú úplné a že bude treba ešte do nich doplniť rôzne ďalšie dodatočné parametre. Ich prínos je hlavne ako stimul pre ďalší výskum tejto problematiky. : N počet hviezd v našej Galaxii, fp podiel hviezd s planétami, fpm podiel planét bohatých na ťažšie prvky a kovy, ne priemerný počet planét v obývateľnej zóne hviezdy, ng počet hviezd v obývateľnej zóne Galaxie, fi podiel obývateľných planét, kde môže vzniknúť život, fc podiel planét, kde môže vzniknúť zložitý živočíšny život, fl podiel planét s dostatočnou dobou existencie pre vývoj zložitého živočíšneho života, fm podiel planét s veľkým mesiacom, fj podiel planetárnych sústav s planétami veľkosti Jupitera, fme = podiel planét s kriticky nízkym počtom javov spôsobujúcich hromadné vymieranie.
Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox alebo EPR paradox je dôsledok kvantovej teórie: pokiaľ mali dva systémy niečo spoločné (interagovali spolu), potom meranie uskutočnené v jednom zo stavov vedie k okamžitej zmene stavu druhého systému a to dokonca i v prípade, že tieto systémy sú veľmi vzdialené. Kategória:Kvantová fyzika Kategória:Paradoxy
Literatúra  Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010. Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.
História kvantovej mechaniky začala objavom katódového žiarenia Michaelom Faradayom v roku 1838, sformulovaním problémov ohľadne žiarenia čierneho telesa Gustavom Kirchhoffom v roku 1859, návrhom Ludwiga Boltzmanna v roku 1877, že energetické hladiny systému by mohli byť diskrétne a kvantovou hypotézou Maxa Plancka z roku 1900. Planckova hypotéza predpokladala, že energia je absorbovaná a emitovaná v množstvách, ktoré sú deliteľné diskrétnymi energetickými kvantami, pričom takéto kvantum bolo úmerné frekvencii žiarenia ν:
Aplikácie Správanie sa subatomárnych častíc (elektrónov, protónov, neutrónov, fotónov a ďalších), z ktorých pozostáva hmota, uspokojivo popisuje len kvantová mechanika. Kvantová mechanika značne ovplyvnila teóriu strún, ktorá je kandidátom na teóriu všetkého. Kvantová mechanika je dôležitá pre pochopenie toho, ako sa jednotlivé atómy viažu do molekúl. Jej aplikácia v chémii dala vznik kvantovej chémii. Poskytuje kvantitatívne predpovede procesov týkajúcich sa vzniku iónovej a kovalentnej väzby. Moderná technológia často pracuje na úrovni, kde kvantové deje majú nezanedbateľný vplyv. Príkladom je laser, tranzistor (a tým pádom mikročip), elektrónový mikroskop a zobrazovanie magnetickou rezonanciou. Štúdium polovodičov viedlo k vynájdeniu diódy a tranzistora, ktoré sú podstatnou súčasťou modernej elektroniky. Vedci v súčasnosti hľadajú metódy priamej manipulácie kvantových stavov. Rozvíja sa kvantová kryptografia, ktorá má zabezpečiť bezpečný prenos informácií. Vzdialenejším cieľom sú kvantové počítače, ktoré majú pracovať niekoľkokrát rýchlejšie ako súčasné počítače. Témou výskumu je tiež kvantová teleportácia, ktorou sa má dochádzať k prenosu kvantových stavov cez ľubovoľné vzdialenosti. Kvantové tunelovanie je jav, bez ktorého by nefungovali niektoré prístroje. Napríklad flash memory čipy používané v USB kľúčoch používajú kvantové tunelovanie k mazaniu svojej pamäte. Kvantová mechanika sa používa hlavne k opisu správania sa častíc v mikrosvete. Svoju aplikovateľnosť však má aj vo väčších rozmeroch: supravodivosť je jedným známym príkladom. Kvantové javy pravdepodobne majú svoju úlohu aj pri funkcii čuchu.
Pozri aj  fyzika mechanika kvantová mechanika
Vo formalizme kvantovej mechaniky je stav systému v danom čase popísaný komplexnou vlnovou funkciou alebo všeobecne elementami komplexného vektorového priestoru. Vlnová funkcia umožňuje vypočítať pravdepodobnosť, s akou budú experimentálne namerané hodnoty fyzikálnych veličín. Napríklad môžeme vypočítať pravdepodobnosť s akou sa bude elektrón nachádzať na určitom mieste od jadra atómu. Na rozdiel od klasickej fyziky, nie je možné určiť hodnoty konjugovaných premenných s ľubovoľnou presnosťou (príkladom takýchto premenných je dvojica hybnosť-poloha častice). Táto principiálna nemožnosť je vyjadrená princípom neurčitosti.
Matematická formulácia Účinok pre systém v klasickej mechanike je definovaný vzťahom : kde je čas, sú súradnice popisujúce stav systému a je Lagranžián systému závisiaci od času , súradníc a rýchlostí . Bodkou tu značíme deriváciu veličiny podľa času. Tento Lagranžián je pritom definovaný ako rozdiel kinetickej a potenciálnej energie. Teda napríklad pre bodovú časticu v gravitačnom poli s intenzitou v smere osi je to : Kategória:Klasická mechanika Kategória:Fyzika
Matematická formalizácia predpokladajme, že máme n -dimenzionálnu rozmanitosť, , a cieľovú rozmanitosť, . Nech je konfiguračný priestor hladkej funkcie z na . Príklady V klasickej mechanike, Hamiltonianskom formalizme, je jednorozmerná rozmanitosť , reprezentujúca čas a cieľový priestor v kotangentnom zhluku priestoru zovšeobecnených pozícií. V teórii poľa, je časopriestorová rozmanitosť a cieľový priestor je súbor hodnôt polí v akomkoľvek bode. Napríklad, ak existujú m reálnečíselné skalárne polia, , potom cieľová rozmanitosť je . Ak pole je reálne vektorové pole, potom cieľová rozmanitosť je izomorfná pre . V skutočnosti existuje omnoho elegantnejší spôsob použitia tangentného zhluku nad , ale budeme trvať len na tejto verzii. Matematický vývoj Uvažujme funkctionálne, , nazvané akcia. Fyzické dôvody určujú, že to je mapovanie na , ne . Za účelom toho, aby akcia bola lokálna, potrebujeme dodatočné obmedzenia ohľadom akcie. Ak , predpokladáme, že je integrál nad funkcie , jej derivátov a pozície zvanej lagrangeián , . Inými slovami, : Nižšie sa na dôvažok predpokladá, že Lagreangian závisí len na hodnote poľa a jeho prvej derivácii, ale nie od ďalších derivácií. Za predpokladu hraničných podmienok, v zásade špecifikácia hodnoty na hranici ak je kompaktný ale bo nejaký limit na keďže x pristupuje (toto pomôže urobiť integráciu po častiach), podpriestoru pozostávajúc z funkcií, , t. j. že všetky funkcionálne derivácie na pri sú nulové a uspokojujúce dané hraničné podmienky je podpriestorom na škrupine riešení. Riešenie je dané prostredn9ctvom Euler–Lagrangeových rovníc (vďaka hraničným podmienkam), : Ľavá strana je funkcionálna derivácia akcie s ohľadom .
Správanie subatómových častíc Súbor:Standard Model of Elementary Particles.svg|náhľad|Štandardný model fyziky Subatómové častice sa správajú podľa zákonov kvantovej mechaniky. Ako také podliehajú vlnovo-časticovému dualizmu, to znamená, že za určitých podmienok sa správajú ako častice, a za iných zasa ako vlnenie.
Ortonormalita je matematická vlastnosť vektorov, ktorá hovorí, že dva vektory sú ortogonálne (na seba navzájom kolmé) a normalizované (veľkosť každého prvku je jednotková, teda sú to jednotkové vektory). Táto požiadavka sa často aplikuje na báze vektorového priestoru. Túto vlastnosť možno vyjadriť pomocou Kroneckerovej delty , pre ktorú platí, že ak a ak : : Operácia definovaná zátvorkami závisí od zvoleného vektorového priestoru. Napríklad pre vektory v unitárnom priestore je takouto operáciou skalárny súčin. V kvantovej mechanike, kde bázu priestoru tvoria funkcie, sa ortonormalita definuje pomocou určitého integrálu.
Kvantová teória je ucelená sústava teoretických disciplín opisujúcich vlastnosti a správanie mikročastíc a fyzikálnych polí a ich vzájomnú interakciu. Časť fyziky využívajúca aparát kvantovej teórie sa nazýva kvantová fyzika. Hlavné disciplíny kvantovej teórie sú: kvantová mechanika kvantová teória polí a elementárnych častíc kvantová elektrodynamika kvantová štatistická fyzika kvantová chromodynamika Charakteristickými znakmi kvantovej teórie sú: kvantová štruktúra hodnôt fyzikálnych veličín (kvantovanie) štatistické predpovede pozorovateľných javov časticovo-vlnový dualizmus zásadná revízia klasických zákonov a pojmov Kvantová teória študuje nielen mikroskopické, ale aj makroskopické kvantové javy (javy, v ktorých sa kvantová povaha mikrosveta prejavuje aj v makroskopických mierkach), napr. supravodivosť, supratekutosť, kvantový Hallov jav. Kategória:Kvantová fyzika
Kvantová mechanika V kvantovej mechanike sa vlastnosti častice určia riešením odpovedajúcející Schrödingerovej rovnice. Stacionárnu Schrödingerovu rovnicu vyjadríme zvlášť pre oblasť , oblasť a pre oblasť . V bodoch a je pritom požadované, aby vlnová funkcia bola spojitá vrátane svojej prvej derivácie. Schrödingerove rovnice teda majú tvar : Charakter riešenia sa líši podľa toho, či celková energia častice je väčšia, alebo menšia než výška potenciálovej bariéry . Výslednú vlnovú funkciu je možné rozdeliť na niekoľko častí. Predovšetkým na dopadajúcu vlnu, ktorá súvisí s voľnou časticou pohybujúcou sa smerom k potenciálovej bariére zo záporného nekonečna (teda v oblasti ). Ďalej môžeme uvažovať, že vlna sa po dopade čiastočne odrazí a čiastočne bude prechádzať do oblasti . V tejto oblasti postupuje vlna ďalej k bodu , kde prechádza druhým potenciálovým skokom, od ktorého sa opäť čiastočne odráža a čiastočne prejde do oblasti . V oblasti x < 0 teda bude výsledná vlna opísaná superpozíciou dopadajúcej vlny pohybujúcej sa v smere a odrazenej vlny pohybujúcej sa v smere . Podobne v oblasti je možné výslednú vlnu opísať ako superpozíciu vĺn z oboch smerov, zatiaľ čo v oblasti je možné nájsť iba prešlú vlnu pohybujúcu sa v smere .
Definícia Nech V je vektorový priestor nad poľom F . Duálnym priestorom k priestoru V voláme množinu lineárnych funkcionálov , pričom V sa tiež stáva vektorovým priestorom pokiaľ sú na ňom definované nasledovné lineárne operácie sčitovania vektorov (lineárnych funkcionálov) a skalárneho násobenia: pre všetky φ , ψ ∈ V , x ∈ V , a ∈ F (a=skalár).
Popis Oproti teórii strún sa neopiera o dodatočné priestorové dimenzie a elementárne častice. Základným bodom slučkovej kvantovej gravitácie je, že priestor nieje spojitý, takže ho nejde deliť donekonečna. Priestor sa vyskytuje v kvantových jednotkách plochy a objemu, zo slučiek Planckových rozmerov. Matematickým zpôsobom sa popisuje a prichádza s rovnicami, ktoré určujú jej vývoj. Kvantá priestoru sa nazývajú „slučky“ alebo tiež krúžky, pretože sú navzájom prepojené a vytvárajú spinovú sieť. Spinová sieť tvori štruktúru priestoru. Priestor je tak tvorený "penovitými" útvarmi, ktoré sa nadúvajú do bublín a zakrivujú ho. Zakrivenie priestoru vytvára gravitáciu. Stráca sa predstava prvotného a elementárneho času. Rovnice popisujúce ,,slučky“ priestoru a hmoty už neobsahujú premennú označovanú čas.To neznamená, že by všetko bolo statické a nemenné. Elementárne procesy už nejde usporiadať do bežnej postupnosti „okamžikoch“. Plynutie času je vnútorná charakteristika sveta, rodí sa v tomto svete cez vzájomné vzťahy medzi jednotlivými kvantami udalostí vytvárajúcich realitu, to oni sami sú zdrojom času. Existujú len elementárne procesy, cez ktoré neustále navzájom interagujú kvantá priestoru a hmoty. Ilúzia spojitého priestoru a času okolo nás nieje nič iného než naše rozmazané videnie hemženia elementárnych procesoch. Teória dokáže predpovedať zakrivenie priestoru a typ zakrivenia a nevyžaduje supersymetriu. Lee Smolin navrhol nazvať teóriu vychádzajúcu z LQG, ktorá by obsahovala aj supersymetriu, alebo ďalšie dimenzie ako "Slučková kvantová gravitácia II" .
Matematická formulácia kvantovej mechaniky je abstraktná a jej implikácie sú často neintuitívne. Základnou entitou, s ktorou v tomto matematickom systéme pracujeme, je vlnová funkcia. Ide o matematickú funkciu, ktorá obsahuje o systéme všetky informácie, ktoré môžeme mať. Poskytuje informácie o polohe a hybnosti častice, ale len v pravdepodobnostnom vyjadrení. Veľa výsledkov kvantovej fyziky je možné vyjadriť len matematicky. Modelovanie výsledkov nie je také jednoduché ako je tomu v prípade klasickej mechaniky alebo nie je vôbec možné. Napríklad základný stav v kvantovo-mechanickom modeli je stav s najnižšou energiou, ktorá je však nenulová. V klasickej fyzike modelujeme najnižší jednoducho ako stav s nulovou kinetickou energiou.