Teória Existujú viaceré matematicky ekvivalentné formulácie kvantovej mechaniky. Jednou z najstarších a najrozšírenejších je transformačná teória navrhnutá Paulom Diracom. Zjednocuje a zovšeobecňuje maticovú mechaniku Wernera Heisenberga a vlnovú mechaniku Erwina Schrödingera. V tejto formulácii, okamžitý stav kvantového systému poskytuje pravdepodobnosti jeho merateľných vlastností, tzv. pozorovateľných. Príkladmi pozorovateľných sú energia, poloha, hybnosť a moment hybnosti. Pozorovateľné môžu byť buď spojitého charakteru (napríklad poloha častice) alebo diskrétneho charakteru (napríklad energia elektrónu viazaného v atóme vodíka). Kvantová mechanika vo všeobecnosti neprideľuje pozorovateľným definitívne hodnoty. Namiesto toho predpovedá pravdepodobnosť, s akou bude pozorovateľná na systéme nameraná. Hodnota tejto pravdepodobnosti je závislá na tom, v akom kvantovom stave sa systém nachádza v okamihu merania, čo vedie k určitej miere neurčitosti. Sú však prípady, v ktorých pozorovateľným niektorých stavoch možno priradiť definitívne hodnoty. Tieto stavy poznáme pod označením vlastné stavy pozorovateľných. Vlnové funkcie sa môžu v čase meniť. Časový vývoj takýchto funkcií je predpovedaný Schrödingerovou rovnicou. Existujú však aj také vlnové funkcie, ktorých pravdepodobnostné hustoty sú konštantné a teda nezávislé od času. V takýchto prípadoch hovoríme o stacionárnych stavoch. Mnohé systémy, ktoré sú v klasickej mechanike popisované dynamicky, v kvantovej mechanike popisujeme takýmito statickými stavmi. Príkladom môže byť klasický model atómu, v ktorom elektrón obieha okolo jadra. V kvantovej mechanike nemôžeme tvrdiť, že elektrón sa v atóme pohybuje: pravdepodobnosť toho, že sa nachádza na určitom mieste sa s časom nemení. Napríklad v stave s je elektrón popísaný sféricky symetrickou vlnovou funkciou obklopujúcou jadro (Obr. 1; iba stavy s najnižším momentom hybnosti označené ako s sú sféricky symetrické). Ako už bolo uvedené, časový vývoj vlnových funkcií je deterministický v tom zmysle, že ak poznáme vlnovú funkciu v čase , vieme predpovedať ako bude vlnová funkcia vyzerať v budúcnosti. V procese merania však dochádza ku kolapsu vlnovej funkcie; takúto zmenu vlnovej funkcie Schrödingerova rovnica nepopisuje. Matematika kvantovej teórie V matematicky rigoróznej formulácii kvantovej mechaniky vypracovanej Paulom Diracom a Johnom von Neumannom sú možné stavy kvantovo mechanického systému reprezentované jednotkovými vektormi (nazývané aj stavové vektory ) v komplexnom separabilnom Hilbertovom priestore (nazývanom stavový priestor alebo Hilbertov priestor prislúchajúci systému ), ktorý je dobre definovaný pre komplexné čísla s absolútnou hodnotou menšou alebo rovnou 1 (pre absolútnu hodnotu rovnú 1 ide o fázový faktor). Inými slovami, možné stavy sú body v projektivizácii Hilbertového priestoru, zvyčajne nazývanom komplexný projektívny priestor. Presný charakter daného Hilbertovho priestoru je však závislý od konkrétneho systému; napríklad, stavový priestor pre pozíciu a moment hybnosti je priestor funkcií s integrovateľnou druhou mocninou absolútnej hodnoty, stavový priestor pre spin protónu je len súčin dvoch komplexných rovín. Každá pozorovateľná veličina je reprezentovaná samoadjugovaným lineárnym operátorom na stavovom priestore. Každý vlastný stav pozorovateľnej veličiny zodpovedá vlastnému vektoru operátora a vlastné číslo prislúchajúce danému vlastnému vektoru zodpovedá hodnote pozorovateľnej veličiny v danom vlastnom stave. Ak je spektrum daného operátora diskrétne, pozorovateľná veličina môže nadobúdať iba tieto diskrétne hodnoty. Zmena kvantového stavu v čase je popísaná Schrödingerovou rovnicou, v ktorej Hamiltonov operátor (operátor zodpovedajúci totálnej energii systému) je zdrojom zmeny v čase. Skalárny súčin dvoch stavových vektorov je komplexné číslo známe ako amplitúda pravdepodobnosti. Počas merania je pravdepodobnosť zmeny stavu systému z počiatočného stavu do daného vlastného stavu daná štvorcom absolútnej hodnoty amplitúdy pravdepodobnosti medzi počiatočným a finálnymi stavmi. Možné výsledky merania sú vlastné vektory operátora, čo je dôvodom, prečo sa používajú hermitovské operátory, ktoré majú všetky vlastné čísla reálne. Rozdelenie pravdepodobnosti pre danú pozorovateľnú veličinu je možné nájsť pomocou spektrálneho rozkladu zodpovedajúceho operátora. Heisenbergov princíp neurčitosti je reprezentovaný tvrdením, že operátory zodpovedajúce určitým pozorovateľným veličinám nemusia komutovať. Schrödingerova rovnica pracuje s celou amplitúdou pravdepodobnosti, nie len s jej absolútnou hodnotou. Kým absolútna hodnota pravdepodobnostnej amplitúdy obsahuje informáciu o pravdepodobnostiach, jej fáza obsahuje informáciu o interferencii medzi kvantovými stavmi. Toto je zdrojom vlnového správania kvantových stavov. Analytické riešenia Schrödingerovej rovnice sú však známe len pre malý počet Hamiltonových operátorov. Najvýznamnejšie kvantovo mechanické systémy s analytickými riešeniami sú pravdepodobne kvantový harmonický oscilátor, potenciálová jama, ión molekuly vodíka a atóm vodíka. Analytické riešenie neexistuje ani pre atóm hélia, ktorý obsahuje len o jeden elektrón viac, než atóm vodíka. Existuje však rad techník na zisťovanie približných riešení. Napríklad, metóda známa ako teória perturbácií používa známe analytické riešenia pre jednoduchšie kvantovo mechanické modely na hľadanie riešení pre komplikovanejšie modely, ktoré sú k danému jednoduchšiemu modelu v istom vzťahu (napr. pridaním slabej potenciálnej energie). Druhou metódou je tzv. poloklasická rovnica pohybu, ktorú možno použiť na systémy, pre ktoré kvantová mechanika spôsobuje len malé odchýlky od klasického správania. Tieto odchýlky môžu byť vypočítané pomocou metód klasickej fyziky. Táto metóda je dôležitá pre kvantovú teóriu chaosu. Alternatívnou matematickou formuláciou kvantovej mechaniky je Feynmanova formulácia pomocou dráhových integrálov, v ktorej sa o kvantovo mechanickej amplitúde uvažuje ako o sume cez histórie medzi počiatočným a koncovým stavom. Toto je kvantovo mechanická analógia princípu najmenšieho účinku. Interakcia s ďalšími vedeckými teóriami Kvantová mechanika bola pôvodne formulovaná tak, aby korešpondovala s určitými modelmi nerelativistickej klasickej mechaniky. Napríklad, model kvantového harmonického oscilátora explicitne používa nerelativistickú formuláciu kinetickej energie a preto možno kvantový harmonický oscilátor považovať za analógiu klasického harmonického oscilátora. Prvé pokusy spojiť špeciálnu teóriu relativity s kvantovou mechanikou viedli k nahradeniu Schrödingerovej rovnice Kleinovou-Gordonovou rovnicou alebo Diracovou rovnicou. Tieto teórie boli úspešné tým, že vysvetlili veľa experimentálne získaných výsledkov. Mali však určité nedostatky, pretože nezahŕňali popis relativistického vytvorenia častice a jej anihilácie. Úplná relativistická kvantová teória vyžadovala sformulovanie kvantovej teórie poľa. Prvou kvantovou teóriou poľa je kvantová elektrodynamika, ktorá poskytuje úplný kvantový popis elektromagnetickej interakcie. K ďalšej kvantovej teórii poľa patrí kvantová chromodynamika. Popisuje interakcie medzi kvarkami a gluónmi, teda silnú jadrovú interakciu. Elektroslabá a elektromagnetická interakcia boli zjednotené do jednotnej kvantovej teórie poľa Abdusom Salamom, Sheldonom Glashowom a Stevenom Weinbergom. Za túto prácu dostali v roku 1979 Nobelovu cenu za fyziku. Ukázalo sa byť náročné sformulovať kvantové modely gravitácie. Poloklasické aproximácie sú úspešné a viedli k takým predpovediam ako je Hawkingovo žiarenie. Kompletná kvantová teória gravitácie je však zatiaľ brzdená nekompatibilitou všeobecnej teórie relativity s niektorými fundamentálnymi predpokladmi kvantovej teórie. Vyriešenie tohoto problému je predmetom aktívneho výskumu. Teória strún je jedným z kandidátov na teóriu kvantovej gravitácie.