(a+b)³=(a+b)(a+b)²=(a+b)(a²+2ab+b²)=a³+3a²b+3ab²+b³
完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1,2*2,3*3等,依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式,则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数,而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。
如果一个正整数 a 是某一个整数 b 的平方,那么这个正整数 a 叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下:
(1)平方数的个位数字只能是 0, 1,4,5,6,9 。
(2)任何偶数的平方一定能被 4 整除;任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1,即被4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。
(3)完全平方数的个位数字是奇数时,其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是 6 时,其十位数字必为奇数。
(4)凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个 0 的自然数不是完全平方数;个位数字是 1,4,9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
(5)除 1 外,一个完全平方数分解质因数后,各个质因数的指数都是偶数,如果一个数质分解后, 各个指数都为偶数, 那么它肯定是个平方数。 完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
扩展资料:
2次完全平方式分两种:
(1)完全平方和公式,就是两个整式的和括号外的平方,例如:
(2)完全平方差公式,就是两个整式的差括号外的平方。例如:
口诀:首末两项算平方,首末项乘积的2倍中间放,符号随中央。(就是把两项的乘方分别算出来,再算出两项的乘积,再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间,这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号,完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,后边的符号都用+)
举例说明:一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
解:设此自然数为x,依题意可得:
x-45=m2 ⑴
x+44=n2 ⑵
(m,n为自然数)
⑵-⑴可得 :n^2-m^2=89
因为n+m>n-m
又因为89为质数,
所以:n+m=89; n-m=1
解之,得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是