求解方向导数中的内法线方向问题
设封闭曲线的方程为 F(x,y) = 0
那么法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y}
特别的,若曲线的方程为 y = y(x),即y-y(x) = 0
那么法向量可以为 n = ±{-dy/dx, 1}
“+”表示法向量与y轴正向夹角不大于π/2,“-”则反之
当需要求封闭曲线内法线方向的时候就必须画图了
因为“+”并不是表示外,“-”也不表示内
根据图像才能较直观的看出内法线是朝上还是朝下
请见下图,图1里内法线是朝下的,所以取“-”(这个即题目里的情况)
而图2里内法线是朝上的,所以取“+”
怎么区分外法线和内法线方向
1.仅有闭曲线这个条件是不行的,一般还需要自身不相交,即简单闭曲线(Jordan闭曲线)。
否则就要把区域分块然后再处理,比较罗嗦。下面只讨论Jordan闭曲线。
2.对于法向量,指向曲线内部的角内法向,反之是外法向。至于怎么定义闭曲线内外,可以这样: 1)利用参数方程x=x(t),y=y(t),如果参数方程的走向(参数t增加的方向)是曲线的逆时针方向,那么其“左”侧就是内部。
精确描述是对于切向量(x'(t),y'(t)),那么(-y'(t),x'(t))是内法向。如果逆时针则相反。
2)利用一般方程f(x,y)=0,如果{(x,y):f(x,y)。
什么叫外法线方向?
1.仅有闭曲线这个条件是不行的,一般还需要自身不相交,即简单闭曲线(Jordan闭曲线)。
否则就要把区域分块然后再处理,比较罗嗦。下面只讨论Jordan闭曲线。
2.对于法向量,指向曲线内部的角内法向,反之是外法向。至于怎么定义闭曲线内外,可以这样:1)利用参数方程x=x(t),y=y(t),如果参数方程的走向(参数t增加的方向)是曲线的逆时针方向,那么其“左”侧就是内部。
精确描述是对于切向量(x'(t),y'(t)),那么(-y'(t),x'(t))是内法向。如果逆时针则相反。
2)利用一般方程f(x,y)=0,如果{(x,y):f(x,y)