3.2 算符的运算规则 3.2.1 算符的定义 所谓算符,是指作用在一个函数上得出另一个函数 的运算符号。若某种运算把函数 ? 变为? ,记作 F? ?? 则表示这种运算的符号 F 就称为算符。 如果算符 F 作用于一个函数 ? ,结果等于乘上一个 常数 ? ,记为 F? ? ?? (3.2.1) ? 为 F 的本征函数,上述方程称 则 ? 为 F 的本征值, 为 F 的本征方程。 3.2 算符的运算规则 若算符满足: F (c1? 1 ? c2? 2 ) ? c1 F? 1 ? c2 F? 2 (3.2.2) ?1 、 ? 2 为任意函数, c1 、c 2 为常数,则 F 称为线性算符。 其中 若算符满足: I? ?? (3.2.3) ? 为任意函数,则称 I 为单位算符。 3.2 算符的运算规则 3.2.2 算符的运算规则 ? 算符之和 ? A ? B ?? ? A? ? B? ? A? B ? B ? A (3.2.4) ? 为任意波函数。显然,算符之和满足交换率和结合律 A? B ?C ? A? B ?C 显然,线性算符之和仍为线性算符。 ? 算符之积 ? ? ? ( AB)? ? A(B ?) (3.2.5) (3.2.6) 注:一般情形 AB ? BA 3.2 算符的运算规则 ? 比方,取 A ? x; B ? px ? ?i 则 ?x ?? x px? ? ?i x ?x 但 因此 px x? ? ?i ? ?? ( x? ) ? ?i ? ? i x ?x ?x (3.2.7) ( x px ? px x)? ? i ? x px ? px x ? i 由于? 是任意函数,从(3.2.7)式得 (3.2.8) 从(3.2.8)可见, x px ? px x 3.2 算符的运算规则 记 AB 和 B A 之差为 ? A, B ? ? AB ? BA ? ? (3.2.9) 称为算符 A , B 的对易关系或对易子。 式(3.2.8)可记为 ? x, px ? ? i ? ? 若算符 A 和 B 的对易子为零,则称算符 A 和 B 对易。 利用对易子的定义(3.2.9)式,易证下列恒等式 ?, B ?] ? ] ? ?[ B ?, A [A ?, A ?] ? 0 [A ? , C] ? 0( C is constant) [A 3.2 算符的运算规则 ?, B ?] ? [A ?, B ?, C ?] ? ?C ?] ?[A [A ? , BC ?, B ? ?B ?, C ?] ? ?] ? [A ? ]C ?[ A [A ? ] ? [B ? ]C ? ?B ?, A ?] ? ?, A ?, A ?[C [BC ? ,[ B ? ]] ? [ B ?, A ? ]] ? [C ? ,[ A ?, B ?, C ? ,[C ? ]] ? 0 [A 最后一式称为雅可比恒等式。 作为例子,我们讨论角动量算符 L ? r ? p ? ? ? ? ? z ? zp ? y ? ?i ? y ? z ? Lx ? yp ?y ? ? ?z ?? ? ? ? x ? xp ? z ? ?i ? z ? x ? Ly ? zp ?z ? ? ?x ? ? ?? ? y ? yp ? x ? ?i ? x ? y ? Lz ? xp ?x ? ? ?y (3.2.10) (3.2.11) 3.2 算符的运算规则 它们和坐标算符的对易子是 [ Lx , x] ? 0,[ Lx , y] ? i z,[ Lx , z] ? ?i y [ Ly , x] ? ?i z ,[ Ly , y ] ? 0,[ Ly , z ] ? i x (3.2.12) [ Lz , x] ? i y,[ Lz , y] ? ?i x,[ Lz , z ] ? 0 (3.2.12)式可表示为 ? =1,2,3表示相应的分量, ?, ???? 成为列维上式中 ? , 斯维塔记号,满足 ?123 ? 1 (3.2.14) 任意两个下脚标相同,则???? 为零。 [ L? , x? ] ? ? ??? i x? (3.2.13) ???? ? ?? ??? ? ????? 3.2 算符的运算规则 同理可得 [ L? , p? ] ? ? ??? i p? (3.2.15) [ L? , L? ] ? ? ??? i L? 式中不为零的等式也可写成 (3.2.16) L? L ? i L 坐标和动量的对易子可写为 [ x? , p? ] ? i ? ?? (3.2.17) (3.2.18) 其中 ?1 ? ? ? ??? ? ? ?0 ? ? ? (3.2.19) 3.2 算符的运算规则 角动量算符的平方是: L ? Lx ? Ly ? Lz 则 ? L2 , L ? ? ? L2 , L ? ? ? L2 , L ? ? 0 x? y? z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? r sin ? cos ? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos ? ? 2 2 2 2 (3.2.20) (3.2.21) 在球坐标系下 (3.2.22) 则 ? ?r ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? z ? ?cos ? ? r ? y ? tg ? ? ? x ? (3.2.23) 3.2 算符的运算规则 将r 两边对x 求偏导,得 将 cos? ? z r ?r x ? ? sin ? cos ? ?x r (3.2.24) (3.2.25) ?? 1 z ?r 1 ? ? cos? cos ? 两边对x求偏导,得: 2 ?x sin ? r ?x r 再将 tg? ? y ?? 1 y sin ? ? ? ? ? (3.2.26) 2 2 两边对x求偏导,得