换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 比如(x+y)/2-(x-y)/3=6 3(x+y)=4(x-y) 解:设x+y为a,x-y为b 原=a/2-b/3=6① 3a=4b② ①×6 得3a-2b=36③ 把②代入③ 得2b=36 b=18 把b=18代入②得a=24 所以x+y=24④ x-y=18⑤ ④-⑤得 2y=6 y=3 把y=3代入④得 x=21 x=21 是方程组的解 y=3 比如2x+5y=15① 85-7y=2x② 解:把②代入①得 85-7y+5y=15 -2y=-70 y=35 把y=35代入②得 x=-80 x=-80 是方程组的解 y=35