一.基本初等函数的导数公式
二.一些重要的高阶导数公式
三.某点处的导数
1,计算某点处的导数值使用导数的定义计算,如:计算
在点
处的导数值,则为
,利用导数的定义,将某点处的导数计算转化为极限的计算;
2,任意点处的导数:
;
3,利用导数定义计算导数,需注意分子分母变量上的对应;
4,某点处导数存在,则左右导数均存在且相等;
5,某点处的导数值即为函数在该点处的切线斜率值,法线过该点且与切线垂直;
6,可导必连续,连续未必可导,可导函数的导数未必连续;
7,利用某点处导数的定义可以计算一些极限。
四.导数与微分的四则运算
1,导数的四则运算
2,微分的四则运算
五.反函数的求导
设
是函数
的反函数,当
时,有
.
涉及到反函数的问题可以画图象解决,互为反函数的两个函数的图像关于直线
对称。
六.复合函数的求导(链式法则)
对于复合函数
,其导数为
,也即
(链式法则),弄清复合关系,一层层求导即可。
七.隐函数的求导
方法一:对方程两边直接对变量求导
对于给定的隐函数方程
,两边同时对x求导,这里的
是关于
的一个表达式,因此在求导过程中对
的导数需看为复合函数的求导。
方法二:使用隐函数的求导公式
对于给定的隐函数方程
,我们有
。
方法三:微分法
对于给定的隐函数方程
,两边同取微分
,结合微分的四则运算,解出
即可。
八.对数求导法
对于幂指函数或有多个式子相乘或相除而形成的函数,首先对函数表达式两端同取对数,再进行求导,会更为简单,即:
九.由参数方程确定的函数的导数
函数
由参数方程
所确定,则有:
练习(江苏省2000年竞赛题):如果
由方程组
确定,求
.
答案:
.
十.高阶导数的计算
方法一:归纳猜想
先求出一阶、二阶、三阶的导数,寻找规律猜想出
阶导数。
方法二:公式法
结合常见函数的高阶导数公式进行计算。
方法三:莱布尼兹公式(乘积函数)
此公式的形式类