因为本篇文章的主题就是拉氏变换,我们不妨快速推导一下:
1、利用前面得到的拉氏变换性质
,我们得到:
再利用三角函数的拉氏变换性质,我们得到:
两侧积分,得到:
为了确定C,我们对等式两侧求极限,则等式左侧等于:
其中箭头处用到了控制收敛定理。然后,等式右侧等于:
为了使等式两侧相等,C取π/2,所以我们得到了sin(t)/t拉氏变换的完整表达式:
而我们可以发现狄利克雷积分就刚刚好是s=0时的情形,因此我们得到答案:
这个性质给出了一个明显的推论:
,而这个结论对我们接下来的求解极其重要。
利用拉普拉斯变换的方法求解二阶线性常系数ODE
我们先看看导数拉普拉斯变换的性质:
类似地,我们得到:
。现在我们再来看看二阶线性常系数微分方程:
现在我们对等式两侧进行拉氏变换,得:
现在我们要进行分类讨论:
当a≠b时:
根据等式右侧的特点,我们总能够把这个分式分解,即:
现在我们对等式两侧进行拉普拉斯逆变换,得:
当a=b时:
我们总可以将等式改写成:
现在现在我们再对等式两侧进行拉氏逆变换,得到:
我们可以发现拉普拉斯变换将时域下的微分方程问题变成了频域下的代数方程问题。因此用拉氏变换解线性微分方程时我们主要的工作不再是凑微分,而是分数裂项。下面我们再来看一看拉氏变换的一个另类操作——求解Airy方程
拉氏变换求解Airy常微分方程
当二阶线性微分方程的系数为常系数时,用拉氏变换通常都能够快速求解,但是当系数中含有自变量时就比较麻烦了。此类方程包括Airy常微分方程(Airy's ordinary differential equation):
现在我们若定义
,则我们利用
以及
对原方程两侧进行拉氏变换,可以得到:
于是我们将这个二阶微分方程通过拉氏变换变成了一个一阶线性微分方程,经过代数操作,我们得到:
对等式两侧乘上
,得到:
根据乘法法则,我们发现等式左侧相当于
,因此:
现在我们已经得到了微分方程解析解的频域了,现在就差最后把频域转换成时域了。因此,我们还需要稍微偏题,了解一下拉普拉斯变换的反向操作——拉普拉斯逆变换(Inverse Laplace tr