由教材节获知两根平行圆柱导线的单位长度内的电容为式中D为两根圆柱导线轴线之间的距离a为圆柱导线的半径。因此对于本题的圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容为若高度h>>a上式还可进一步简化为习题图(a) 一根无限长线电荷平行放置在夹角的导电劈的中央部位离开两壁的距离为h如习题图(a)所示。若线电荷的线密度为试求其电位分布函数。o解根据镜像法正如原书节所述需要引入个镜像电荷和它们离场点P的距离分别为rrrr和r其位置如习题图(b)所示。已知无限长的线电荷产生的电场强度为可见空间某点r对于任一参考点r的电位为对于本题若取坐标原点作为电位参考点因为原线电荷离坐标原点的距离为h离场点P的距离为r那么该线电荷在P点产生的电位为因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为h那么劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为即 习题图已知点电荷q位于两块无限大的接地的平行导体板之间如习题图所示。两板间距为d点电荷位于处试求两板间的电位分布。解 选用圆柱坐标系令下底板位于z=平面点电荷q位于轴则导体板之间任一点电位与角度无关。根据镜像法必须在轴上引入无限多个镜像电荷x它们的位置分别为:正轴上:...负轴上:...则两板之间任一点的电位为:试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q受到的力的大小为式中a为球半径d为电荷与球心的间距为真空介电常数如习题图(a)所示。习题图(b)习题图(a)证明应用镜像法将半球变为一个整球。那么为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零必须引入三个镜像电荷:qqq其中q和q以及q和q保证无限大平面边界的电位为零q和q以及q和q保证球面边界的电位为零。那么根据镜像法求得镜像电荷q和q分别为其位置分别位于及处。因此点电荷所受到的力应为三个镜像电荷产生的电场力的矢量和。由于三种电场力的方向均位于一条垂线上矢量和变为标量和即将上式整理后即得 当孤立的不带电的导体球位于均匀电场中使用镜像法求出导体球表面的电荷分布。(提示:利用点电荷与导体球之间的镜像关系。)解 当导体球和点电荷之间的距离远远大于其半径时可以认为该导体球附近的电场是均匀的设由点电荷产生到球心的距离为球半径为a。根据镜像法必须在球内距球心处引入的镜像电荷。由于球未接地为了保持总电荷量为零还必须引入另一个镜像电荷q且应位于球心以保持球面为等电位。那么球外任一点的电位为式中分别为该点到球心电荷以及电荷的距离即式中为线段r和f之间的夹角。已知导体表面的电荷密度将电位函数代入得因为即代入上式考虑到即当时取上式极限求得试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后再计算点电荷q的受力。证明根据镜像法必须在球内距球心处引入的镜像电荷。由于球未接地为了保持总电荷量为零还必须引入另一个镜像电荷q且应位于球心以保持球面为等电位。那么点电荷受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力即(N)(N)合力为 (N)当导体球接地时则仅需一个镜像电荷故所受到的电场力为F。在半径为a的接地导体球附近沿径向放置一根长度为l的线电荷如习题图(a)所示。已知线电荷密度为近端离球心的距离为D试求镜像电荷及其位置。习题图(a)o解采用镜像法应在球内径向位置引入一个镜像线电荷离球心最近的一端对应原先的线电荷离球心的最远端而的最远端对应的最近端。设上任一点距离球心为上任一点距离球心为则根据点电荷与导体球面的镜像规律获知镜像线电荷的长度范围为位置x与x的关系为。因此。再根据电量关系即可求得镜像电荷的分布函数为 在半径为a的接地导体球附近横向放置一根长度为l的线电荷如习题图(a)所示。已知线电荷密度为线电荷中心离球心的距离为D试求镜像电荷及其位置。习题图(a)dq解求解方法与上题类似。对应于点电荷的镜像线电荷为如图(b)所士示。设点电荷距离球心为则其镜像电荷离球心的距离为由图可知因此即镜像电荷分布函数为已知一个不接地的半径为a的导体球携带的电荷为Q若电荷为Q的点电荷移向该带电球试问当点电荷受力为零时离球心的距离。(当点电荷所带电荷与导体球所带电荷相反时点电荷肯定受到引力即其受力不可能为零)。Q习题图解如习题题所示如前所述根据镜像法若导体球原先不带电对于点电荷Q必须在球内距离球心处引入一个镜像电荷而在球心处再放置另一个电量为的点电荷以保持电荷守恒及导体球为等位体。本题中导体球已带有电量为Q的电荷因此在球心处放置的另一个镜像电荷的电量应为(Q)。那么点电荷将受到的镜像电荷的作用力为要使点电荷受力为零则应满足下列方程求解此高次方程可用作图法。为此先将上式化简为再化为关于的方程即若则上面的方程又可写为令分别作图求得y和y的交点即是所要求的解。根据题意可知由下图可见的解位于=~之间。其值近似为即时点电荷q受力为零。 试证位于内半径为a的导体球形空腔中的点电荷q受到的电场力大小为式中d为点电荷离球心的距离。再计算腔中电位分布以及腔壁上的电荷分布。证明根据点电荷与导体球的镜像关系可知点电荷在腔外的镜像电荷为习题图距球心如下习题图所示。则所受到的力可等效为镜像电荷对它的电场力其大小为显然腔内任一点电位与无关它可表示为已知导体表面的电荷密度求得 习题图(a) 半径为a的不接地的导体球中含有半径为b的球形空腔如习题图(a)所示。若在导体球外离球心f处放置一个电量为q的点电荷在空腔中离腔心d处放置另一个电量为的点电荷腔心与球心间距为且腔心、球心、点电荷q及均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。解由于导体球的屏蔽作用球外点电荷以及球面上的感应电荷对于腔中的场强没有贡献。因此计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响可以应用镜像法以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图(b)所示球外镜像电荷的位置及电量分别为 计算腔外场强也可应用镜像法此时导体球的半径为a如习题图(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q和q其中q位于球心q的位置和电量以及q的电量分别为习题图(b)综上所述腔内场强由两个点电荷q和q共同产生腔外场强由三个点电荷qq和q共同产生而导体内的场强为零。已知点电荷q位于半径为a的导体球附近离球心的距离为f试求:①当导体球的电位为时的镜像电荷②当导体球的电荷为Q时的镜像电荷。解①如前所述此时需要两个镜像电荷等效带电导体球的影响。一个是离球心处电量为的镜像电荷。另一个镜像电荷q位于球心其电量取决于导体球的电位。已知导体球的电位为而镜像电荷及球外点电荷对于球面边界的电位没有贡献因此球心镜像电荷q的电量应满足即 ②当导体球携带的电荷为Q时在离球心处的镜像电荷仍然为而球心处的镜像电荷以保持电荷守恒即。