以数学语言来说:如果L是在向量空间 中的一个线性无关集合而集合G是一个包含L而且能够生成 的集合,则存在 的一组基B,它包含了L而且是G的子集: 。 以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度,证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的,而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度(有限维),那么这个集合的元素个数必须等于维数,才可能是它的基。在两者相等时,只需要证明这个集合线性无关,或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基;而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数,需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。