相似对角化是线性代数中最重要的知识点之一。如果一个方阵
相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵
使得
是对角矩阵,则
就被称为可以相似对角化的。
下面,我们就通过矩阵
的相似对角化:
来简单从数学角度解释下面几个问题:
为什么要进行矩阵的相似对角化?什么样的矩阵可以相似对角化?如何进行矩阵的相似对角化?矩阵的相似对角化的几何理解。
在这之前你必须了解之前的推送内容:
如何理解线性变换线性变换的矩阵如何理解等价关系?如何理解相似矩阵如何理解特征值与特征向量
1	为什么要进行矩阵的相似对角化
1.1 相似对角化使得同一个线性变换表达方式变的简单
一个矩阵可以看作是一个线性变换在某组基下的矩阵(线性变换的矩阵),如果矩阵中非零元素过多,那么线性变换的表现形式就相对复杂。用本文开头的
矩阵举例:
而如果能选取不同基,使线性变换的矩阵变成对角矩阵。那么,线性变换的形式就会变得相对简单。注意:相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表现(详情点击如何理解相似矩阵)。用本文开头的
的对角矩阵举例:
是不是能感觉到在选择了对角矩阵之后,线性变换的表现形式变得更加简单了。用(如何理解相似矩阵)推送中的语言来说的话,对角矩阵一定是观看演出时的“最佳视角”。
1.2	一些特殊矩阵的对角化可以解决不同的实际问题。
例如实对称矩阵的相似对角化,可以解决一些二次型的图像问题(后期会详细介绍,敬请期待)。