如果在这一节开始的时候你还是\( \pi \) 的同党,读到这里的时候恐怕你也已经要倒戈了。因为即使是在这个\( \pi \) 应该更胜一筹例子里(\( A= \pi r^2 \)),\( \pi \) 显然掩盖了圆面积公式的二次型表达式的基本结构:因为二次型的基本因子\( \textstyle{\frac{1}{2}} \) 和\( \pi \)前面本应该有的因子 2 抵消了。 事实也是这样,阿基米德最初给出的证明并没有导出圆的面积公式是\( \pi r^2 \) 的结论,而是说圆的面积等于一个底为\( C \) 高为\( r \) 的直角三角形的面积。引用三角形的面积公式我们得到:
\[ A = \textstyle{\frac{1}{2}} bh = \textstyle{\frac{1}{2}}Cr = \textstyle{\frac{1}{2}}\tau\,r^2. \]
所以说想躲避\( \textstyle{\frac{1}{2}} \) 这个二次型因子是不可能的(表3)。
数学/物理量符号表达式
自由落体下落距离\( y \)\( \textstyle{\frac{1}{2}}gt^2 \)
弹簧势能\( U \)\( \textstyle{\frac{1}{2}}kx^2 \)
物体动能\( K \)\( \textstyle{\frac{1}{2}}mv^2 \)
圆面积\( A \)\( \textstyle{\frac{1}{2}}\tau\,r^2 \)
表3 -常见的二次型
我们从宣言的开始通篇都是为了说明为什么\( \tau \) 才是真正的圆周率。既然圆的面积公式是\( \pi \) 的最后一根救命稻草,行文至此我可以斗胆宣布:Q.E.D.(证明完毕)。
尽管\( \tau \) 的优越性显而易见,很多人还是反对接受这个数字和符号。在这一节里,我们先排除一些人对采用\( \tau \) 这个字母的忧虑,然后我们再反驳一些人对采用\( C/r \) 所持的反对意见(这其中包括一篇为维护\( \pi \) 的统治地位所写的《Pi 宣言》的文章)。在这一节里,我们要讨论一些涉及到超球体(第5.1节)的体积一类的较高深的数学课题,对这些课题的讨论可以进一步补充和强化我们在第3节所提