0) 开篇语
前面两节课中,我们重温了麦克斯韦方程组的前面三个,现在三缺一,就差最后一块拼图了。
本节课,我们将从安培定律出发,导出方程组最后一式:
1) 安培定律
安培定律告诉我们,一段直导线上的电流会产生一个环形磁场。
这个磁场绕着导线转一圈后的环量(也就是一段闭合曲线上的积分),和导线电流大小之间满足这样的关系:
不过,上面说的其实也只是一种特殊情形,因为我们讨论导体内的电流的时候,通常假定它是定向流动的。
而在更一般的情况下,我们会看到一个导体内部的电流没有特定的方向,每个点上的电荷移动方向都可能不一样。
这种时候,我们就需要引入一个矢量来表征这种流动方向,这就是电流密度矢量
,它等于局部流动的电荷密度与电荷的移动速度的乘积:
而在一般情形下,电流就是单位时间通过某截面的总电荷数,也就是电流密度的通量:
将这个式子重新代入式11.2,我们就得到:
这时候,再利用斯托克斯公式:
我们就得到:
而由于这个积分对任意截面成立,所以可以去掉积分号:
这就是安培定律的微分形式了,而到这一步,我们看起来也就完成了方程组的第四式……
但是等一等,这个方程其实还是有点问题的。
准确地说,是它在数学上有个关键的命门,若不补救,这个方程作为麦克斯韦大厦的四柱之一就会崩塌。
什么命门这么严重?我们马上来看看。
2) 缺失的命门
高数课本告诉我们,向量场的旋度会形成一个旋度场,而旋度场在数学上有个特点,就是它的散度为零。
而式11.8的左边正好是磁场的旋度,所以如果我们对它求散度,就必然有:
于是这就意味着对式11.8的右边求散度、即
也必须恒等于零。
但实际上这个条件成立吗?
我们要先来梳理一下
的物理意义才能判断。
在第9课中我们知道,散度代表某种“净流出量”,在这里就可以看成局部体积微元表面电流的净流出量。
而电流是电荷的定向移动,所以局部体积微元表面电流的净流出量,其实也就是体积微元内电荷的减少量。
我们可以用一个守恒式来表示:
对于一段简单而稳定的直流回路,我们知道,整个回路上都不会有电荷的累积或消耗,所以电荷变化为0,
是成立的。
但是稳恒直流电路只是一种特殊情形,对于其他情形、比