第十三章 机械振动 一. 选择题: 【 D 】1 (基础训练 2) 一劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等份,取出其中的两根,将它们并联,下面挂一质量为 m 的物体,如图 13-15 所示。则振动系统的频率为 : (A) mk3 . (B) mk . (C) mk 3. (D) mk 6. 为 提示:劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等份,每份的劲度系数为变为 3k ,取出其中 2 份并联,系统的劲度系数为份并联,系统的劲度系数为 6k. 【 C 】 2 (基础训练 4) 一质点作简谐振动,周期为 T.当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12. (B) T /8. (C) T /6. (D) T /4. 提示:从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上,矢量转过的角位移为提示:从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上,矢量转过的角位移为13 为 ,对应的时间为 T/6. [ B ] 3、(基础训练 8) 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加,则合成的余弦振动的初相为 (A) 23. (B)  . (C) 21. (D) 0. 提示:使用谐振动的矢量图示法,合振动的初始状态为2A , 初相位为  [ D ] 4、(自测提高 4)质量为 m 的物体,由劲度系数为 k 1 和 k 2 的两个轻质弹簧串联后连接到固定端,在光滑水平轨道上作微小振动,则振动频率为: (A) mk kv2 12  . (B) mk kv2 121 . (C) 2 12 121k mkk kv. (D) ) ( 212 12 1k k mk kv. 为 提示:两根劲度系数分别为 k1 和 和 k2 的两个轻质弹簧串联后,可看成一根弹簧,其弹x t O A/2 -A x 1 x 2 图 13-15 k m 性系数满足:2 11 1 1k k k  ,2 12 1k kk kk ,) (2 12 12k k mk k  到 ,可计算得到 v 【 B 】 5、(自测提高 5)一简谐振动曲线如图所示.则振动周期是 (A) 2.62 s. (B) 2.40 s. (C) 2.20 s. (D) 2.00 s. 提示:使用谐振动的矢量图示法,初始状态旋转矢量位于第四象限,初始相位为提示:使用谐振动的矢量图示法,初始状态旋转矢量位于第四象限,初始相位为3 ,到第一次回到平衡位置时,旋转矢量转过的角度为653 2  = + 为 ,此过程经历时间为 1s ,可得65  = 为 ,等到周期为 2.4s 【 D 】6、(自测提高 6)弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动,其弹性力在半个周期内所做的功为:( ) A 2kA B 221kA C 241kA D 0 提示:振动方程为 ) cos(0    t A x ,经过半个周期,质点偏离平衡位置的位移为) cos(0      t A x ,这两个位置弹簧所具有的弹性势能221kx E p = 相同,所以所做的功为零。相同,所以所做的功为零。 二 填空题 7、(基础训练 12) 一系统作简谐振动, 周期为 T,以余弦函数表达振动时,初相为零.在0≤t≤ T41范围内,系统在 t =_ T/8_时刻动能和势能相等. 提示:动能和势能相等,为总能量的一半,此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的提示:动能和势能相等,为总能量的一半,此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的2 2,相位为4 ,因为初始相位为零,t=T/8 8、(自测提高 9) 两个弹簧振子的振动周期都是 0.4S,设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动,经过 0.5S 后,第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两个振动的相位差为:  . 提示:第一个振子在开始运动时,其初始相位为 2  ,经过 T S411 5 . 0  后,振动相位为后,振动相位为  为 ,此时第二个振动才从正方向的端点开始运动,即第二个振动的初始相位为 0, 所以两图 13-23 x (cm) t (s) O 421 个振动的相位差为  9、 (自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉,使他们同时发音,会听到时强时弱的拍音。若测得在 20S 内拍的次数为 180 次,标准音叉的频率为 300Hz,则待测音叉的频率为:309Hz 或 291Hz 提示:20 秒内测得拍的次数为 180 次,拍的频率为 9;而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差,即;而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差,即 9 3001 2 1    v v v 10、(自测提高 11) 一单摆的悬线长 l = 1.5 m,在顶端固定点的竖直下方 0.45 m 处有一小钉,如图 13-26 所示.设摆动很小,则单摆的左右两方振幅之比 A 1 /A 2 的近似值为___0.837___. 提 示 : 当 单 摆 在 最 低 位 置 时 , 对 左 右 两 边 有 :22 221 1) (21) (21A m A m    对于单摆lg  ,2211AlgAlg 837 . 0 :212 1 llA A 11.(自测提高 13)一台摆钟每天慢 2 分 10 秒,其等效摆长 l = 0.995 m, 摆锤可上、下移动以调节其周期.假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑,则应将摆锤向上移动 2.99mm,才能使钟走得准确? 提示:钟摆周期的相对误差   T / T 钟的相对误差 t / t  ,等效单摆的周期g / l 2 T   里 ,这里 g 不变,则有 l dl T dT / / 2  即有 mm t t l T T l l 99 . 260 60 24130 995 . 0 2/ 2 / 2         12 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图 13-27 所示.由图可知 x 方向和 y 方向两振动的频率之比  x   y =___4:3___. 提示:在同样的时间间隔内,X 方向的振动为 2T x 而 ,而 y 方向的振动为方向的振动为 1.5T y , 周期之比为 3 :4 ,频率之比相反为 4 :3 三 计算题 13、(基础训练 18)如图所示,有一水平弹簧振子,弹簧的弹性系数为 k=24N/m,物体的质量为 6kg,物体静止在平衡位置。设以大小为 F=10N 的水平恒力向左作用于物体(不计摩擦),使之由平衡位置向左运动了 0.05m 时撤去力 F,当物体运动到左方最远位置时开始记时,求物体的运动方程。 解:由题意可以得到,当物体在恒力作用下左移 0.05 米时,满足: 图 13-27 x y 图 13-26 l 0.45 m 小钉 FS mv kx  2 22121 外力撤去后,系统能量守恒,有 2 2 2212121kA mv kx   代入数据可以得到: m A 204 . 0  ; 2624  mk 取向右为正,当物体达到左方最远位置为起始时刻,初始相位为  振动方程为 ) 2 cos( 204 . 0    t x 14. (基础训练 23)有两个同方向的简谐振动,它们的方程(SI 单位)如下:      4110 cos 06 . 04310 cos 05 . 02 1t x t x , (1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动 ) 10 cos( 07 . 03   t x ,问 为何值时,3 1x x  的振幅为最大;  为何值时,3 2x x  的振幅为最小。 解:(1)合成振动的振幅: 078 . 0 06 . 0 05 . 02 2   A m 初相位: 11 tan )41cos 06 . 043cos 05 . 041sin 06 . 043sin 05 . 0( tan1 10    因为旋转矢量位于第一象限,初始相位为 84.8 0 (2) 若另有一振动 ) 10 cos( 07 . 03   t x ,3 1x x  振幅最大,需要振动的初相位相同,所以  43 ,3 2x x  的振幅最小,需要初相位相差 180 0 ,这时  45 15. (基础训练 24) 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100g 的物体,当物体处于平衡位置时,再对物体加一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放。已知物体在 32内完成 48 次振动,振幅为 5cm。