对于正余弦平方的减法,同样有和差化积公式: [1] 记忆方法 只记两个公式甚至一个 可以只记上面四个公式的第一个和第三个。 第二个公式中的 ,即 ,这就可以用第一个公式。 同理,第四个公式中, ,这就可以用第三个公式解决。 如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把余弦全部转化为正弦,那样就只记住第一个公式就行了。 用的时候想得起一两个就行了。 结果乘以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2] ,因此乘以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如: 故最后需要乘以2。 只有同名三角函数能和差化积 无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。 乘积项中的角要除以2 在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β,这两个角应该是 和 ,也就是乘积项中角的形式。 注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。 使用哪两种三角函数的积 这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/的三角函数名。 是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。 的三角函数名规律为:和化为积时,以 的形式出现;反之,以 的形式出现。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把 替换为 ,结果应当是一样的,从而 的形式是 ;另一种情况可以类似说明。 余弦·余弦差公式中的顺序相反与负号 这是一个特殊情况,完全可以死记下来。 当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如 内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α >β 时, 小于 。但是这时对应的 和 在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把 放到 前面,要么就在式子的最前面加上负号。 记忆口诀 (一) 正加正,正在前, 余加余,余并肩。 正减正,余在前, 余减余,负正弦。 (反之亦然) (二) 帅+帅=帅哥, 帅-帅=哥帅, 哥+哥=哥哥, 哥-哥=负嫂嫂。 (反之亦然) (三) 口口之和仍口口, 赛赛之和赛口留, 口口之差负赛赛, 赛赛之差口赛收。 (四) 正和正在先, 正差正后迁, 余和一色余, 余差翻了天。 (五) 正弦加正弦,正弦在前面, 正弦减正弦,余弦在前面, 余弦加余弦,余弦全部见, 余弦减余弦,负正弦来见。 (前提是角度 在前, 在后的标准形式) (六) 和差化积: 同名和差三角积,( 或 :等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。) 左是 和 ,( :等式左边是先 后 ) 右是两角和与差。( 和 :等式右边是 和 ) 双正S SC,( :“正”表示两个正弦中间的“+”, 即 ) 双负SCS,( :“负”表示两个正弦中间的“-”, 即 ) 双正C对正双C,( :“正”表示两余弦中间的“+”, 即 ) 双负C对负S。( :“负”表示两余弦中间的“-”, 即 ) (七) 和差化积二倍半,和前函数名不变;余弦稳正弦跳,余弦相减取负号。 例题 已知 ,且 ,求 的值 解:将已知条件编号 ① ② ①+②,得: 所以: 则: 计算可得: ①×②,得 所以 则 则 运用和差化积公式: 上式可变为: 所以 将 代入,