【问题】
前不久听了一节五年级的《小数的意义》,课堂上教师引导学生概括出:“分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。”,这时一个男孩提出了一个问题:“老师,那我们能不能说小数就是分母为10、100、1000……的分数?”
大多数同学认为这位同学说的是对的。理由是一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……,所以小数就是分母为10、100、1000……的分数。他们说的有道理吗?
【分析】
一、小数的意义
3世纪,我国数学家刘徽在注释《九章算术》时,在处理开平方根的问题中提出了十进小数,刘徽提出的十进小数包含以下两层意思:1.在求一个数的平方根时,如果求得平方根的个位后仍没有开尽,则可以继续开方求出小数部分。2.十进分数的表示是无限的。所以,小数的诞生是有前提条件的,一是十进制计数法的使用,二是分数概念的完善。
荷兰工程师斯台文说过:创造小数就是为了把分数变得像整数一样,从而避免分数的复杂计算。因为分数的分母不同,计数单位就不同,从而计算就麻烦。整数则不同,即便有无数个,但其计数单位都相同,计算很方便。如若将分数变的像整数那样,就意味着十进制计数法也能适用于分数。而小数则是架起了整数与分数之间的桥梁,让十进制计数法从整数扩展到了分数,使得分数借助小数这一简写形式与整数在计数法则上得到统一。
因此,苏教版教材在编排时极力凸显了分数与小数之间的联系。三年级两次认识分数,在此基础上三年级下学期借助十分之几认识了一位小数。到了五年级上册,教材通过米与厘米、米与毫米的关系,借助百分之几、千分之几来认识两位小数、三位小数。但是无论是苏教版、人教版还是北师大版,教材中都没有给出小数的定义,而是描述性的说明。
如苏教版教材是这样描述的:分母是10、100、1000……的分数都可以用小数来表示。小数点右边第一位是十分位,计数单位是十分之一(0.1);小数点右边第二位是百分位,计数单位是百分之一(0.01);小数点右边第三位是千分位,计数单位是千分之一(0.001)……每相邻两个计数单位间的进率都是10。这样的描述,似乎在表达:小数就是不带分母的十进分数,或者说小数是特殊的分数。
二、有限小数与无限小数
但是,实数范围内,小数可分为有限小数与无限小数。有限小数是指小数的小数部分的位数是有限的