以人教版教材为例,一元一次方程是七年级上册第三章的内容,从内容所排章节就可以知道本章节知识难度不难,适合刚升初中的同学学习。虽然知识点难度不难,但在中考中仍占据比较重的位置,是必考的内容。
基于此,今天就跟大家分享一元一次方程常考的13种应用题,希望大家能好好掌握。

一、工程问题

列方程解应用题是初中数学的重要内容之一,其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来,把实际问题转化成方程或方程组, 从而解决问题。
列方程解应用题的一般步骤(解题思路)
(1)审——审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系).
(2)设——设出未知数:根据提问,巧设未知数.
(3)列——列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.
(4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值.
(5)答——检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.(注意带上单位)
【典型例题】
例1 将一批数据输入电脑,甲独做需要50分钟完成,乙独做需要30分钟完成,现在甲独做30分钟,剩下的部分由甲、乙合做,问甲、乙两人合做的时间是多少?
解析:首先设甲乙合作的时间是x分钟,根据题意可得等量关系:甲工作(30+x)分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1,根据等量关系,列出方程,再解方程即可.
设甲乙合作的时间是x分钟,由题意得:
【方法突破】
工程问题是典型的a=bc型数量关系,可以知二求一,三个基本量及其关系为:
工作总量=工作效率×工作时间
需要注意的是:工作总量往往在题目条件中并不会直接给出,我们可以设工作总量为单位1。

二、比赛计分问题

【典型例题】
例1某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定:每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分。已知某人有5道题未作,得了103分,则这个人选错了 多少道题。
解:设这个人选对了x道题目,则选错了(45-x)道题,于是
3x-(45-x)=103
4x=148
解得 x=37
则45-x=8
答:这个人选错了8道题.
例2某校高一年级有12个班.在学校组织的高一年级篮球比赛中,规定每两个班之间只进行一场比赛,每场比赛都要分出胜负,每班胜一场得2分,负一场得1分.某班要想在全部比赛中得18分,那么这个班的胜负场数应分别是多少?
因为共有12个班,且规定每两个班之间只进行一场比赛,所以这个班应该比赛11场,设胜了x场,那么负了(11-x)场,根据得分为18分可列方程求解.
【解析】
设胜了x场,那么负了(11-x)场.
2x+1•(11-x)=18
x=7
11-7=4
那么这个班的胜负场数应分别是7和4.
【方法突破】
比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则,规则不同,积分方式不同,常见的数量关系有:
每队的胜场数+负场数+平场数=这个队比赛场次;
得分总数+失分总数=总积分;
失分常用负数表示,有些时候平场不计分,另外如果设场数或者题数为x,那么x最后的取值必须为正整数。

三、顺逆流(风)问题

【典型例题】
例1 某轮船的静水速度为v千米/时,水流速度为m千米/时,则这艘轮船在两码头间往返一次顺流与逆流的时间比是( )
【方法突破】
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静水速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程.
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2

四、调配问题

【典型例题】
例1 某厂一车间有64人,二车间有56人.现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半.问需从第一车间调多少人到第二车间?
解析:如果设从一车间调出的人数为x,那么有如下数量关系
设需从第一车间调x人到第二车间,根据题意得:
2(64-x)=56+x,
解得x=24;
答:需从第一车间调24人到第二车间.

五、连比条件巧设x

【典型例题】
例1. 一个三角形三边长之比为2:3:4,周长为36cm,求此三角形的三边长.
解析:设三边长分别为2x,3x,4x,根据周长为36cm,可得出方程,解出即可.
设三边长分别为2x,3x,4x,
由题意得,2x+3x+4x=36,
解得:x=4.
故三边长为:8cm,12cm,16cm.
【方法突破】
比例分配问题的一般思路为:设其中一份为x ,利用已知的比,写出相应的代数式。
常用等量关系:各部分之和=总量。

六、配套问题

【典型例题】
例1 包装厂有工人42人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片,或长方形铁片80片,两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶,问每天如何安排工人生产圆形和长方形铁片能合理地将铁片配套?
解法1:可设安排x人生产长方形铁片,则生产圆形铁片的人数为(42-x)人,根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程,求解即可.
设安排x人生产长方形铁片,则生产圆形铁片的人数为(42-x)人,由题意得:
120(42-x)=2×80x,
去括号,得5040-120x=160x,
移项、合并得280x=5040,
系数化为1,得x=18,
42-18=24(人);
答:安排24人生产圆形铁片,18人生产长方形铁片能合理地将铁片配套.
解法2:若安排x人生产长方形铁片,y人生产圆形铁片,根据共有42名工人,可知x+y=42.再根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套可知2×80x=120y,列出二元一次方程组求解。
设安排x人生产长方形铁片,y人生产圆形铁片,则有
答:安排24人生产圆形铁片,18人生产长方形铁片能合理地将铁片配套.

七、日历问题

八、利润及打折问题

【典型例题】
例1:(2016•荆州)互联网“微商”经营已成为大众创业新途径,某微信平台上一件商品标价为200元,按标价的五折销售,仍可获利20元,则这件商品的进价为( )
A.120元B.100元
C.80元D.60元
分析:设该商品的进价为x元/件,根据“售价=进价+利润”即可列出关于x的一元一次方程,解方程即可得出结论.
解:设该商品的进价为x元/件,
依题意得:(x+20)=200×0.5,
解得:x=80.
∴该商品的进价为80元/件.[来源:http://Zxxk.Com]
故选C.
【方法突破】
商品销售额=商品销售价×商品销售量
商品的销售总利润=(销售价-成本价)× 销售量
单件商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价
商品打几折出售,就是按原标价的十分之几出售,即商品售价=商品标价×折扣率

九、利率和增长率问题

【典型例题】
例1(2016•安徽)2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元,则a、b之间满足的关系式为( )
A.b=a(1+8.9%+9.5%)
B.b=a(1+8.9%×9.5%)
C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)
D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)
分析:根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,求出2014年我省财政收入,再根据出2015年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元,
即可得出a、b之间的关系式.
解:∵2013年我省财政收入为a亿元,2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,
∴2014年我省财政收入为a(1+8.9%)亿元,
∵2015年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元,
∴2015年我省财政收为b=a(1+8.9%)(1+9.5%);
故选C.

十、方案选择问题(1)

【典型例题】
例1某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案?
解:按购A,B两种,B,C两种,A,C两种电视机这三种方案分别计算,
设购A种电视机x台,则B种电视机y台.
(1)①当选购A,B两种电视机时,B种电视机购(50-x)台,可得方程
1500x+2100(50-x)=90000
即5x+7(50-x)=300
2x=50
x=25
50-x=25
②当选购A,C两种电视机时,C种电视机购(50-x)台,
可得方程 1500x+2500(50-x)=90000
3x+5(50-x)=180
x=35
50-x=15
③当购B,C两种电视机时,C种电视机为(50-y)台.
可得方程 2100y+2500(50-y)=90000
21y+25(50-y)=900,4y=350,不合题意
由此可选择两种方案:一是购A,B两种电视机各25台;二是购A种电视机35台,C种电视机15台.
(2)若选择(1)中的方案①,可获利
150×25+200×25=8750(元)
若选择(1)中的方案②,可获利
150×35+250×15=9000(元)
9000>8750
故为了获利最多,选择第二种方案.
【方法突破】
这类问题根据题意分别列出不同的方案的代数式,再通过计算比较结果,即可得到满足题意的方案,需要注意的是要留意题目中的方案要求,常见的是要求利润最大,但是有时也有要求消库存最多或者最节约成本,要注意审题,不可犯惯性错误。

十一、方案选择问题(2)

【典型例题】
例1某班准备购置一些乒乓球和乒乓球拍,班主任李老师安排小明和小强分别到甲、乙两家商店咨询了同样品牌的乒乓球和乒乓球拍的价格,下面是小明、小强和李老师的对话.
小明:甲商店乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元,每买一副乒乓球拍可以赠送一盒乒乓球.
小强:乙商店乒乓球和乒乓球拍的定价与甲商店一样,但乙商店可以全部按定价的九折优惠.
李老师:我们班需要乒乓球拍5副,乒乓球不少于5盒.
根据以上对话回答下列问题:
(1)当购置的乒乓球为多少盒时,甲、乙两家商店所需费用一样多?
(2)若需要购置30盒乒乓球,你认为到哪家商店购买更合算?(要求有计算过程)
【解析】(1)根据题意可设当购买乒乓球x盒时,两种优惠办法付款一样,列出一元一次方程解答即可.
(2)求出当购买30盒乒乓球时,甲、乙两家商店各需要多少元,据此即可解答.
(1)设当购买乒乓球x盒时,
甲店:30×5+5×(x-5)=5x+125,
乙店:90%(30×5+5x)=4.5x+135,
由题意可知:5x+125=4.5x+135,
解得:x=20;即当购买乒乓球20盒时,甲、乙两家商店所需费用一样多.
(2)当购买30盒乒乓球时,
去甲店购买要5×30+125=275(元),
去乙店购买要4.5×30+135=270(元),
所以去乙店购买合算.
【方法突破】
解决最佳选择问题的一般步骤:
1、运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况;
2、用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解得值,分别代入两种方案中计算,比较两种方案的优劣后下结论。

十二、分配问题

【典型例题】
例1.学校分配学生住宿,如果每室住8人,还少12个床位,如果每室住9人,则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
解:设房间数为x个,则有学生8x+12人,于是
8x+12=9(x-2)
解得 x=30
则8x+12=252
答:房间数为30个,学生252人。
【方法突破】
这类分配问题中往往有两个不变量,一般为参与分配的人数和被分配的物品数量,抓住这两个不变量,用不同的代数式表示不同的分配方式,然后利用总数相等建立等量关系,问题也就迎刃而解了。

十三、有规律的相邻数问题

【典型例题】
例1 一组数列1、4、7、10、…,其中有三个相邻的数的和为66,求这三个数.
解析:观察数列易得这个数列后面的数比它前面的数大3,设第一个数为x,表示出其余两数,根据3个数相加等于66,列出方程,解方程即可.
设第一个数为x,则第二个数为x+3,第三个数为x+6,
依题意有:x+x+3+x+6=66,
解得x=19.
答:这三个数分别为:19、22、25.
【方法突破】
(1) 首先我们要熟悉数字问题中一些常用的表示:例如n可以表示任意整数,那么三个连续的整数可以表示为n-1,n,n+1或者n,n+1,n+2等形式;偶数常用2n表示,奇数常用2n+1或2n-1表示。
(2) 如果所给的数列是有一定规律的数列,我们关键要找到这列数字的规律,然后用相应的代数式表示出相邻数,再列方程求解。

微课视频