讲概率、论统计,肯定要从抛硬币说起啊,这才是正确打开姿势嘛。1 什么是假设检验?
你说你的硬币是公平的,也就是“花”和“字”出现的概率是差不多的。
然后,你想和我打赌,作为一个资深的理智赌徒,我怎能听信你的一面之词,我提出要检查下你的硬币到底是不是公平的,万一是两面“花”怎么办?电影里面不是经常出现这样的桥段?
你神色紧张,死活不让我检查,后来我们提出了折衷的方案,抛几次硬币,看看结果是不是公平的。
总共扔了两次,都是“花”朝上,虽然几率是
,但是也正常,继续扔。
总共扔了四次,也都是“花”朝上,几率是
,感觉有点不正常,但是万一是运气呢?继续扔。
总共扔了十次,也都是“花”朝上,那我就认为很可能你这枚硬币不是公平的。
这就是假设检验:
你提出假设:说你的硬币是公平的我提出要检验你的假设:扔十次,看实验的结果是不是和你的假设相符
2 P值
为了完成假设检验,需要先定义一个概念:P值。我们这里就来解释什么是P值?
根据上面的描述,这里假设检验的思路就是:
假设:硬币是公平的检验:认为假设是成立的,然后扔十次,看结果与假设是否相符
反复扔硬币应该符合二项分布(这就不解释了),也就是:
其中,
代表扔硬币的次数,
代表“花”朝上的概率。
在我们认为硬币是公平的前提下,扔10次硬币应该符合以下分布:
下图表示的就是,假如硬币是公平的情况下的分布图:
我扔了十次之后得到的结果是,有八次正面:
这个时候有个数学大佬出来定义了一个称为
值(p-value)的概念:
罗纳德·艾尔默·费希尔爵士(1890-1962)
把八次正面的概率,与更极端的九次正面、十次正面的概率加起来:
得到的就是(单侧P值):
其实,出现两次正面、一次正面、零次正面的概率也是很极端的:
所以(双侧P值):
2.1 为什么要把更极端的情况加起来?
根据扔硬币这个例子,可能你会觉得,我知道八次正面出现不正常就行了,干嘛要把九次、十次加起来?
我觉得有这么一个现实原因,比如我要扔1000次硬币来测试假设是否正确。
扔1000次硬币用二项分布来计算很麻烦,根据中心极限定理,我们知道,可以用正态分布来近似:
比如,我扔了1