学 容 题 词 我 吗 测 量 听 7 、 水 间 与 例 向 同 较 要 物体的体积一定大于它的容积n - -- 57 关于体积与容积的教学思考 安徽省蚌埠市蚌山区蚌山小学 (233000) ,——骆 2012年篦 6 第 国 页 步 如 这 以 关 无 括 第 如 豆 的 体 则 于 三 纳 意 准 ! 簋鱼 瑚 计算结果的思考, 可以说又进一步强化了教师与学生 对 “ 同一个 物体 的体积 一定 大 于它 的容 积 ” 的认 识 。 我们小学数学教学的许多概念、 性质、 运算律的得出, 很大程度上采用的是不完全归纳法, 即由几个特殊的 正确 的例子 得 出一 般情 况下成 立 的结论 。但是 一贯 以这种方式处理教学, 也会造成教师思考问题上的思 维定势, 容易产生认知上的负迁移, 也就是说通过对 教材上述两题的研究, 很容易使教师和学生都忽视箱 子和冰柜都是封闭的这个前提, 进而在认知上形成体 积与容积是包含关系的偏颇认识。 2. 教材为什么不出现体积与容积相比较的问题? 我们小学数学有些问题是教师需要明白的, 但不 必让学生知道(张奠宙教授语) , 体积与容积的比较就 是如此。课程改革后的教材与之前相比, 就是要删除 那些繁、 难、 偏、 旧的内容。如果教材在研究过体积与 容积概 念之 后 , 出现 两者 的 比较 , 首先要 区分 封闭 与 非封闭两种情况。而非封闭情况又有三种情况: 体积 等于容积, 体积大于容积, 体积小于容积, 而这又必须 通过实验才能得出, 这些实验(本属于物理学的方法) 在小 学数 学教学 中操 作的难度又太 大 , 可能 出现 的后 果是, 教师越教学生越糊涂 , 所以( 以苏教版为例) 教 材中没有一处是体积与容积进行比较的, 对于这一难 点采用 的是 回避 的做法 。 四、 留给我们的启示 1. 提 高教 师的专业 素养 。 关于文章开头“一个物体的体积一定大于它的容 积” 的命题 的判断, 我曾提出与办公室的数学教师一 起讨论交流过。有教师表示也曾感觉过上述命题 的 不妥 , 但这 种想 法只在 头脑 中“ 一 闪而 过” 而 已; 最终 对体积和容积还是遵循了原有的认识, 即把所有物体 的体积(包括不封闭的容器)都等同于封闭的情况, 错 误的认为上述命题是正确的判断。课程改革之后的 数学课堂, 由于教学 目标 的多维及学习方式的多样 化, 对教师专业化程度提出了更高的要求, 对教师的 专业素养要求也更高了, 而教师专业素养的高度又决 定了我们数学课堂的深度。多数情况下, 我们是得不 到专家面对面的引领, 但我们可以通过实践后的思 考, 问题出现后同伴之间的坦诚交流, 业余时间的读 书来提升 自己的专业素养 , 尽量避 免或少 出现对 某些 概念的错误或模糊地认识。 2. 教材及教学用书的编者要尽量站在一线教师 的角度思考问题。 虽然小学阶段有些知识是学生不需要知道, 但老 师需要明白的。可是实际状况是学生不需要明白的 知识, 教师也往往不明白。就以“ 物体的体积一定大 于它的容积” 的命题来说, 教学中不需要让学生知道, , 1. 辫 r, 1. 但教师是应该知道的, 可是我身边的老师对于体积和 容积在此方面的认知上几乎与学生一样 。这样的问 题, 在苏教版六年级下册还有, 比如纳税问题: 4. 2005年我 国公布了新的个人收入所得税征收 标 准。个人 月收入 1600 元 以下 不征税 。月收入超 过 1600元, 超过部分按下面的标准征税 不超 过 500 元 的 超 过 500~2000元 的部分 超过2000元 ~5000元的部分 李 明的妈 妈 月收入 1800元 , 爸爸 月收入 2500元 , 他们各应缴纳个人所得税多少元? 解决爸爸月收入 2500元, 应该缴纳个人所得税多 少元时(2005年税收标准) , 我们六年级的所有数学教 师与绝大多数学生一致认为应该是: (2500—1600) × 10% = 90(元)。如果不是有一个学生的家长在税务部 门工作给该 学生讲过这方面 的知识 , 造成的后 果是我 们学校的六年级数学教师及所有被我们教过的学生 对分段收取个人所得税的认识在某一时间段全部是 错误的。像我们这样一所市级重点学校的一线教师 况且如此, 偏远山区的一线教师获取知识的途径更是 少之又少, 很难保证不会出现在错误认识下的对学生 进行错误的教学。这就要求我们的教材及教学用书 的专家在编书时, 要从教师的角度换位思考, 要体会 线教师信息不发达及知识更新不及时的难处, 对教 材的解读要尽量详细些。专家们知道的我们一线老 师不一定知道, 对我们一线数学教师来说, 对教材及 背后信息的解读越详细越好。 五、 由此及彼的问题: 体积与容积单位的问题。 以前复习体积与容积单位时, 我问学生: 体积的 单位有哪些? 容积的单位有哪些? 学生都认为体积 的单位有三个, 分别是: 立方米、 立方分米、 立方厘米; 容积的单位有两个: 升和毫升。说实话我当时的认识 与学生一样, 即把体积单位等同于固状物体的体积单 位 , 容积的单位等同于液体的体积单位。现行浙教版 五年级下册关于体积单位和容积单位的整理依然沿 用 了这一表 述 (见下表) : 体积单位和容积单位。 5% 10% 15% 一体积单位 容积单位 相邻 两个单位之 间的进率 立方厘米/ c】 n2 毫升 立方分米/ d 升几 1000 立方米 直到我亲身教学过“升与毫升” 后, 又把升和毫升 纳入到体积单位体系中, 进一步完善了我对体积与容 积单位 的认识 : 体积的单位有五个 , 立方米、 立方分 第 圈 页 璺 r, I. 堂 对小学阶段 ‘ ‘ 2Ol 2 年篦 6 数 角问题"的再探讨 ’ m甘肃省静宁县德慷·J ·学 (743400) mm ⋯杨小生 m最近, 我校四年级数学期中检测中有这样一道题: 右边的图形(图1) 中共有(个角。引起了阅卷教师的争议。 主要有以下观点: ①大多数低 年级教师认为应该有 7个角, 不能 ⋯⋯一, ) 图1 算 平角 。因为当时低年级 学生只认识 了锐 角、 直 角和 钝角三种角, 没有学习平角, 同时与小学二年级上册 ( 人教版)43页第7题中图是相同的题, 《 教师教学用 书》 参考答案也是 7, 而不能说学生到了四年级就认为 老师教错了。②许多中高年级教师认为是8个角, 应 该算上平角, 因为四年级学生已经学了平角。为此, 笔者又一次拜读了《 中小学数学》 (小学版)2010年1- 2 期李路生的《 这道题的答案值得商榷》 ( 以下简称《 李 文》 ) 和同年第 9期叶育蔓与朱添斌的《 12时是周角 (接第 49 页) 米、 立方厘米 、 升、 毫升; 容积的单位有两 个, 升和毫升。但是我第三次教学体积和容积的单 位, 读到苏教版六年级上册第 22页这样的一句: 容积 是 1立方分米的容器, 正好盛水 1升, 又重新引起了我 的思考: 如果1立方分米的容器中装的是沙子之类的 固状物, 即固状物的体积就是容器的容积, 换句话说, 所有的体积单位都可以看作是容积的单位, 这一新的 认识又否定了我之前的认识。而这一新的认识在我 查阅了上海教育出版社的《 小学数学全书》 (小学卷) 之后得到了印证。 《 小学数学全书》 的第182页清楚写 明: 升、 毫升、 立方米、 立方分米、 立方厘米都是我国法 定的体积单位 ; 计量容积或容量, 就用体积单位。如 果我们的教材对体积与容积单位的表述有这么一句 话 , 我对 它们 的认识 也不会 经历 一个从“ 错 误认 识一 认为是正确的(其实还是错的)一正确认识”这样一个 过程 。 虽 然我 们 允许 这 种认 识 上 的不 断更 新 , 不 断否 定, 不断完善; 但我们需要思考的是“ 为什么我们会有 之前错误的认识?” 课程改革之后, 各种版本的教材如 雨后春笋, 纷纷涌现 , 可谓百花齐放。为了有别于其 它版本教材, 教材编写专家们本着求新、 求异的原则, 对小学数学内容进行了重新的划分, 改变了原先人教 版的编排结构, 以圆的教学为例: 浙教版最早在 四年 级上册就 出现 了圆; 苏教版则出现在五年级下册; 而 人教版则在六年级才出现 。而对体积和容积单位的 第 国 页 ] 吗?》 ( 以下简称《 朱文》 )等文章, 颇受启发, 现结合自 j己的理解, 提出几点看法, 与同行研讨。 一、正确看待小学生对“角的定义” 的理解 关于“角的定义” , 《 朱文》 中已进行了全面系统的 ;阐述, 并提 出“ 在小学阶段一般静态角和动态角不作 【区分, 统一称作‘ 角’ , 也不必区别角的始边和角的终 j 边” 。笔者认为: 小学阶段学生应按角的静态定义去 ; 理解 , 所有版本 的小学数学教材均力求通 过形象 生动 ; 的实物引导学生从表现形式上去认识角。如二年级 i 数学上册(人教版)第二单元第 35页教材中通过折一 折、 做一做等活动使学生对角和直角有些感性认识, 知道什么样的图形是角; 并由剪刀、 吸管和水管等实 物让学生形象地画出三种不同的角(锐角、 钝角和直 角) , 它有一个顶点, 两条边; 会画角就可以了。四年 表述, 笔者查阅浙教版、 苏教版、 青岛版、 北师大版、 西 南师大版教材, 没有一个版本表达的如 1997年上海教 育 出版 社《 小 学数 学 全书 》 ( 小学 卷 ) 表 达 的那 样 清 楚。