摘要杨辉三角中的一些规律 关键词 杨辉三角 二项式引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》一书中,画 了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨 辉三角”,它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角” 的规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b) 的展开式来探讨。由上式得出: 的展开式。展开式为:a 1010 1520 15 因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题。用系数通 项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下: 1010 1520 15 相加得到的数是1,2,4,8,16,32,64,„刚好是2的0,1,2,3,4,5,6,„次幂,即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 1010 1520 15 把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比,我们发现它们是完全相同的。 1010 1520 15 由上面可得:杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和,即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的 数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、„、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。 总结杨辉三角对于我们好理解的规律,如下六点: 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。 n行的数字有n+1项。 n行数字和为2^(n-1)。(2的(n-1)次方) (a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 m个数和第n-m个数相等,即C(n,m)=C(n,n-m),这是组合 数性质 上面的式子是什么意思?首先c n+1中的n+1,i的意思是从n+1个相同物体中选出i个物体有多少种选法。 杨辉,字谦光,南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中, 辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图,并说明此表引自 11世 纪前半贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”。故此,杨辉三角又被称为 “贾宪三角”。