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反证法有些不等式从正面证如果不好说清楚,可以考虑反证法,即先否定结论不成立,然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理,逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论,从而肯定原有结论是正确的,凡是"至少"、"唯一"或含有否定词的命题,适宜用反证法。例9:已知p3+q3=2,求证:p+q≤2分析:本题已知为p、q的三次 ,而结论中只有一次 ,应考虑到用术立方根,同时用放缩法,很难得证,故考虑用反证法。证明:解设p+q>2,那么p>2-q∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3将p3+q3 =2,代入得 6q2-12q+6<0即6(q-1)2<0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2练习7:已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0
数学归纳法与自然数n有关的不等式,通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。例10:设n∈N,且n>1,求证: (1+13)(1+15)…(1+12n-1)>2n+12分析:观察求证式与n有关,可采用数学归纳法证明:(1)当n=2时,左= 43,右=52∵43>52∴不等式成立(2)假设n=k(k≥2,k∈n)时不等式成立,即(1+13)(1+15)…(1+12k-1)>2k+12那么当n=k+1时,(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)>2k+12·(1+12k+1)①要证①式左边> 2k+32,只要证2k+12·2k+22k+1>2k+32②对于②〈二〉2k+2> 2k+1·2k+3〈二〉(2k+2)2> (2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4> 4k2+8k+3〈二〉4>3 ③∵③成立 ∴②成立,即当n=k+1时,原不等式成立由(1)(2)证明可知,对一切n≥2(n∈N),原不等式成立练习8:已知n∈N,且n>1,求证: 1n+1+1n+2+…+12n> 1324
构造法根据求证不等式的具体结构所证,通过构造函数、数列、合数和图形等,达到证明的目的,这种方法则叫构造法。