适用于间接测量量与直接测量量的函数关系是和差形式的;而式(1-2-17) 则适用于积商形式的函数关系,它实际上是相对不确定度的传播公式。 在科学实验中一般都采用这种传播公式计算间接测量的不确定度。 在分析直接测量的已定系统误差(或假设为已定系统误差)在大小和方向上对间接测 量值的影响程度时,公式(1-2-14)和(1-2-15)也是很有用的,有助于找到测量的最佳测 试点和适用的测试范围。例如用伏安法测电阻: R = V dR dV dI = ,我们就会 ,由于 I R V I 发现电流出现正的系统误差时,电阻 R 的测量值会偏小;且测量时的电流越小,R 偏小得 越多,所以测量时,在同一量程内,电流和电压都是越大越好, (实际上电流和电压的最大 值也受到电源供电能力和被测电阻耗散功率的限制) 。 3.不确定度计算的简化——微小误差舍去原则 在不确定度合成与传播的计算中,有时是很繁杂的,可以用微小误差舍去原则进行简 化。 实际上,在计算过程中起主要作用的通常只有一两项,其余的不确定度相对数值较小, 可以略去。 一般来讲,在合成过程中, 某项的值是另一项的 1/10(如果是平方项,只需 1/3) 时,这项就可忽略不计,这个原则称为微小误差舍去原则。 五、总不确定度 合成不确定度 σ 乘上一个系数 C 后,其结果就称为总不确定度,它用 U 表示,即 U = Cσ (1-2-18) 式中,C 为置信因子。误差服从正态分布的测量,一般 C 取 1,2 或 3,它们对应的置信概 率分别为 0.683,0.954,0.997。在不确定度分析时一般都取 C 为 1,便于分析和计算(因 为所有不确定度分量都是在置信概率为 0.683 的前提下计算出来的) ;最终测量结果的不确 定度常取 C 为 3,此时置信概率接近于 1,可满足大多数的工程和计量中对测量的高效性 和可靠性的需要。严格来讲,测量次数较少时,C 应该用 t 分布的置信因子 tP(v)代替(参 照第一章附录) ,实验教学中并不作此要求。 六、用总不确定度表示测量结果——测量结果表达式 在得到测量值和计算出合成不确定度 σ 后,通常要把它写成下列形式: N = N ± σ (单位) ( P = 0.683 ) (1-2-19) 它被称为测量结果表达式。式中 N 为真值, N 为测量值的平均值,P 为置信概率。其 物理意义是:真值在( N — σ )~( N + σ )范围内的概率是 0.683。σ 还可用 2 σ 、3 σ 代 替(就是不同的总不确定度) ,这时结果表达式可写成 N = N ± 2σ 和 N = N ± 3σ ,相应的 置信概率就是 95.4%和 99.7%。我们约定:只取一倍 σ 时,在书写结果表达式,置信概率 P 就不再书写了。我们在完成实验报告时,只取一倍 σ 就可以了。 在书写结果表达式时要注意三点: (1)一定不要忘记写单位,否则就不是物理量。 (2) σ 只取 1 位或 2 位。 (3)对齐。即测量平均值(单次测量是测量值)的最后一位应与不确定度最后一位对 齐。 例如,对某一长度进行多次测量算出的平均值是 1.3264cm,不确定度为 0.00317cm, 结果表达式就应当写成 L = (1.326 ± 0.003) cm,或者 L = (1.3264 ± 0.0032) cm, 而不应写成 L = (1.3264 ± 0.003) cm,更不能写成 L = (1.3264 ± 0.00317) cm。 例 2 用单摆测重力加速度的公式为 g = 4π 2 l / T 2 。现用最小读数为 1/100s 的电子秒 ;用 II 级钢卷 表测量周期 T 5 次,其数据为 2.001,2.004,1.997,1.998,2.000(单位为 s) 尺测摆长 l 一次, l = 100.00 cm。试求重力加速度 g 及合成不确定度 σ g ,并写出结果表达 式(注:每次周期值是通过测量 100 个周期获得,每测 100 个周期要按两次表,由于按表 时超前或滞后造成的最大误差是 0.5s;II 级钢卷尺测量长度 L(单位是 m)的示值误差为± (0.3+0.2L)mm,由于卷尺很难与摆的两端正好对齐,在单次测量时引入的误差极限值为 ±2 mm。 解 (1)先计算 g T = g= 2.001 + 2.004 + 1.997 + 1.998 + 2.000 = 2.000 (s) 5 4π 2l 4 × 3.142 2 × 1.0000 = = 9.872(m/s 2 ) T2 ( 2.000) 2 (2)计算直接测量量摆长的不确定度 σ l 摆长只测了一次,只考虑 B 类不确定度。因 II 级钢卷尺的仪器误差为示值误差:Δ卷尺 =±(0.3+0.2×1m)=±0.5mm,即示值误差相应的不确定度是 u l1 = 卷尺 3 = 0.5 3 = 0.29( mm) 与测量时卷尺不能准确对准 l 两端造成的误差Δ对不准=±2 mm 相应的不确定度是 ul 2 = 故 对不准 3 = 2 = 1.2( mm) 3 σ l = ul21 + ul22 = 0.32 + 1.22 = 1.2(mm) ,相对不确定度 (3)计算直接测量量周期的不确定度 σ T T 的 A 类不确定度 σl l = 0.12 = 0.12% 100.00 ST = ∑ (T T ) i =1 i 5 2 5 × (5 1) = 0.0012(s) T 的 B 类不确定度有两个分量,一个与仪器误差对应,一个与按表超前或滞后造成的 误差对应,分别是 uT 1 = 秒表 100 3 = 0 . 01 / 100 = 0 . 000058 ( s ) 3 = 0 . 5 / 100 = 0 . 0029 ( s) 3 uT 2 = 按表 100 3 因 uT 1 比 uT 2 小得多可略去,故合成不确定度 2 σ T = ST2 + uT 2 = 0.0012 2 + 0.0029 2 = 0.0031(s) ,相对不确定度 σT T = 0.0029 = 0.15% 2.000 (4)计算间接测量量重力加速度的不确定度 σ g 由于 g 与 l,T 的关系是乘除关系,用相对不确定度传播公式较简单,有 σg σ σ = l + 2 T = g l T 2 2 (0.12% )2 + (2 × 0.15% )2 = 0.32% σ g = g × (5)写出结果表达式 σ g g = 9.872 × 0.32% = 0.032(m / s 2 ) g = (9.87 ± 0.03)m/s 2 或 g = (9.872 ± 0.032) m/s 2 同学们在计算不确定度时,一般都用电子计算器或电脑自动计算,算出的数值位数一 般都有 7 至 8 位,如果是中间值,例如 g = 9.872164 m/s 2 也是允许的(计算时主观臆断地 进行省略,如写成 g = 9.9m/s 2 是绝对不允许的,因为省略引入了 0.3%的计算误差) 。但在 写出测量结果表达式时,必须把不确定度写成 1 位或 2 位,且使测量平均值的最后一位应 与不确定度的最后一位对齐。