如图在平面直角坐标系中A(xy)B(xy)取线段AB的中点M分别作AB到x轴的垂线段AEBF取EF的中点N则MN是梯形AEFB的中位线故MNx轴利用梯形中位线的知识我们可以得到点M的坐标是(用xyxy表示)(yBMAOFxEN(牢记中点坐标公式)已知点M()将坐标系向下平移个单位长度再向左平移个单位长度则点M在新坐标系内的坐标为((总结提升:牢记点的平移和坐标系的平移不同坐标系的平移相当于把点向反方向平移)如图将ABC绕点C()旋转得到A′B′C设点A的坐标为(ab)则点A′的坐标为()A((ab)B((ab)C((ab)D((ab)yB′A′OxCAB(总结提升:由于旋转根据旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等且又在一条直线上所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。)如图已知A()B()把AOB绕点A顺时针旋转后得到AO′B′则点B′的坐标是()A(()B(()C(()D(()y'B'OBOxA(总结提升:首先把坐标转化为线段长可以得出三角形AOB是一个含有角的直角三角形又由于旋转角是所以AB′垂直于横轴再把线段长转化为坐标即可。)如图在平面直角坐标系中已知A()B()请在x轴上找一点P使得点P到点AB两点距离之和最小则点P的坐标是(yBAOx(总结提升:这是一个典型的奶站问题做点B关于横轴的对称点连接此对称点和A点于横轴的交点就是所求的点。求出直线的表达式然后求出和横轴的交点即可。)如图把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中其中A()B()连接OB将纸片OABC沿OB折叠使点A落在A′的位置上则点A′的坐标为(yBCA'OAx总结提升:欲求点A′的坐标我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点根据折叠的轴对称性质折叠是一种全等变换则BOA=BOA′=则A′OG也=则我们构造的小直角三角形是一个含有角的直角三角形根据三边关系比可求出相应线段的长然后转化为点的坐标即可。如图在平面直角坐标系中四边形OABC是正方形A点坐标为()E是线段BC上一点且AEB=沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是(yBAEFxCO(总结提升:此题道理同上我们过F点做横轴的平行线与BC相交与点H根据折叠的轴对称性质BEA=AEF=则角FEH=我们构造的是一个含有角的直角三角形根据其三边关系比分别求出三边的长度然后用,BH即是F的纵坐标,HF的相反数就是F的横坐标。)已知A()B()C()以ABC三点为顶点作平行四边形则第四个顶点的坐标为:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(yOx总结提升:、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线以便不重不漏由于在平面直角坐标系中我们选择横轴或纵轴上的线段以方便计算、若以AB为边根据平行四边形的对边平行且相等我们过点C做AB的平行线则有两种情况分别过两个D点做此平行线的垂线则可以构造两个小直角三角形与相应的三角形对应全等借助于其三边的关系即可求出点D的坐标、若以AB为对角线根据平行四边形的对边平行且相等分别做两边的平行线相交与D点即可然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。如图在平面直角坐标系中已知A()在y轴上确定点P使AOP为等腰三角形则符合条件的点P坐标为:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(yOxA(总结提升:这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。我们常用的处理模式是:“一条线两个圆”也就是先做定线段OA的垂直平分线与纵轴的交点即是其中的一个点然后分别以两个定点为圆心定长线段为半径画圆与纵轴的交点即是其他的点。当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。)如图O为坐标原点四边形OABC为矩形A()C()点M是OA的中点点P在线段BC上运动当OMP是腰长为的等腰三角形时则P点的坐标为:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(yPBCOAxM总结提升:、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型我们先判断谁是定点谁是动点然后按照“一条线、两个圆”的模型解题、由于此题的特殊性一条线不再使用我们只考虑分别以两个定点为圆心定长线段为半径做圆然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线构造直角三角形运用勾股定理解题即可。总共三个点。如图方格纸中的每个小方格是边长为的正方形AB两点在小方格的顶点上位置分别用()()来表示请在小方格的顶点上确定一点C连接ABACBC使ABC的面积为个平方单位则点C的位置有,,个(BA总结提升:、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置、由于A、B两点是定点而C是动点我们先随意确定一个C点的位置使得由此构成的三角形的面积是、根据平行线间的距离处处相等为此我们过确定的C的位置做线段AB的平行线这条平行线上的格点即是我们所求的点、同时在线段AB的另一侧也一定存在着另一条等距离的平行线我们再看看有几个格点两项相加即是全部的点。三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛(坐标转线段长线段长转坐标过点作横平竖直的线((平移线段一线两圆二、精讲精练(()()((()()存在()xxyy,,,,,,((()(D(B(()((),(()(()()()(()()()()(()()()(坐标的应用(随堂测试)(如图平面直角坐标系中有一矩形OABC其中A()C()若将AOB沿OB所在直线翻折点A落在点D处则D点的坐标是(yDBCOAx(如图在平面直角坐标系中其中A()ABO=在y轴上取一点P使PAB是等腰三角形则符合条件的点P坐标为(yBOAx【参考答案】((),,(()()()()坐标的应用(作业)在平面直角坐标系中ABC三个顶点的坐标分别为()()()求ABC的周长和面积(yOx(分割以求和补形以作差)如图已知A()B()把线段AB绕点A逆时针旋转点B落在点B′处则点B′的坐标是()A(()B(()C(()D(()yB'AOBx(构造双垂直模型解题即可)如图图形关于点D()成中心对称若点A的坐标是()则点,的坐标为(yAOxDM(运用中点坐标公式解题即可)在平面直角坐标系中点C坐标为()点E坐标为()将COE沿直线CE折叠点O落在点D处则点D的坐为(yCDxOE(过点D做横轴的垂线构造含角的直角三角形利用其三边关系比解题即可)在平面直角坐标系中ABC三点的坐标分别为()()()以这三点为平行四边形的三个顶点则第四个点的坐标为:,,,,,,,,,,,,,(yOx(按照“三个定点、一个动点”求平行四边形的村庄行解题模型解题即可)如图在平面直角坐标系中已知点P()点T是x轴上的一个动点当PTO是等腰三角形时点T的坐标为:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(yPxO(根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性解题模型解题即可)如图在平面直角坐标系中四边形OABC是矩形点B的坐标为()点P为线段BC上动点当POA为等腰三角形时点P的坐标为:(yPBCxAO把ABC放在平面直角坐标系中点A的坐标为()点B的坐标为()点C的坐标为()如果要使ABD与ABC全等则点D的坐标为:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(yOx(总结提升:由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB因此此题实质上是一个轴对称性质的题由于AB平行于横轴所以我们以AB为折痕把原三角形翻折过去对应的点就是D点的一个位置再做出线段AB的垂直平分线以之为折痕把原三角形再翻折过去对应点则是另一个D点的位置。最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻折一次就可以得到第三个D点的位置。利用中点坐标公式求即可。)【参考答案】((B((),,,,,,,,((()()(),(()()()()(()()()(()()()坐标的应用(每日一题)如图所示已知边长为的正方形OABC在直角坐标系中BC两点在第二象限内OA与x轴的夹角为求点B的坐标((注意到此题中出现了含有角的直角三角形过点A分别做横轴和纵轴的垂线构造双垂直模型即可)慧慧在一次数学课上将一副和的三角板如图放在直角坐标系中发现点A的坐标刚好是()求图中两个三角板的交点P的坐标((注意到此题中出现了含有角和角的特殊直角三角形我们可以利用其三边关系比先求出有关线段的长然后过点P做横轴的垂线设此垂线长为a把OA表示为含有a的代数式列方程解题即可。)如图所示A()B()分别为x轴y轴上的点ABC为等边三角形点P(a)在第一象限内且满足S=S求aABPABC的值(总结提升:、首先根据题目中提供的条件计算出等边三角形的面积、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形ABP的面积先求出直线AP的表达式设其与纵轴的交点是H然后用“大坐标,小坐标”求出BH的长则三角形ABP就被我们分隔成了分别以BH为共同底边的两个小三角形左边小三角形的高是A点横坐标的绝对值右边小三角形的高是P点横坐标的绝对值据此列方程解题即可。如图在平面直角坐标系中点B在x轴正半轴上点A在第一象限OE是AOB的中线已知OB,OE,S,(求A、E两点的坐标(AOB(总结提升:、为了求点E的坐标我们过点E做横轴的垂线根据等底同高的两个三角形面积相等则三角形OEB的面积等于大三角形面积的一半然后根据三角形面积公式求出高即是E点的纵坐标然后再用勾股定理求出其横坐标即可、为了求点A的坐标注意到点E是AB两点的中点代入中点坐标公式求解即可。)如图在平面直角坐标系中四边形OABC为平行四边形其中O为坐标原点且点B()C()OBAC相交于点D求AD两点坐标求四边形OABC的面积总结提升:、根据平行四边形的性质对角线互相平分因此D点是O、B两点的中点先利用中点坐标公式求出点D的坐标再根据点D也是A、C两点的中点代入中点坐标公式求出点A的坐标即可(,))xxyy(,、利用两点之间的距离公式:L=分别求出有关线段的长可以判定此平行四边形是菱形根据菱形面积公式=两条对角线乘积的一半分别计算出两条对角线的长度即可求出。【参考答案】解:过点B作BEy轴垂足为EOA与x轴的夹角为AOE=在RtAOD中OA=AOD=AD=OD=ADO=AB=BD=在RtBDE中BD=BDE=,,DE=BE=OE=ODDE=B在二象限,点B的坐标为()解:过点P作PDx轴垂足为点D设AD=x在RtAOB和RtAOCAOB=OAC=PD=AD=xOD=xA()ODDA=即xx=x=即OD=PD=点P的坐标为()解:过点P作PDx轴垂足为点DA()B()OA=OB=由勾股定理得AB=ABC为等边三角形,S=ABCS=SSS梯形ABPAOBBODPADP,a,()()aa==S=SABPABC,,aa=解:设AE两点的坐标分别为(xy)(xy),,由题意知:B点坐标为()S,OBy,y,AOBy,OE是AOB的中线E是AB的中点yy,,xyOE,即:=x=x=x=AE两点的坐标分别为()()解:()四边形OABC为平行四边形D是线段OB中点O()B()D()又D是线段AC中点C()A()()法一:C()B()A(),,OC=OB=,OA=即OA=OC又四边形OABC是平行四边形四边形OABC是菱形OBAC在RtODC中OD=OB=OC=OCOD,由勾股定理得CD==AC=CD=,S=OBAC=四边形OABC法二:B()C()()(),,,()(),,,OC=BC=又四边形OABC是平行四边形四边形OABC是菱形A()()(),,,AC=()(),,,又OB=,S=OBAC=四边形OABC