第四章 定积分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 我们学过如何求正方形、长方形、三角形和梯形等平面图形的面积;这些图形都是由直线围成的。那么如何求由曲线围成的平面图形的面积呢? 本章我们要学习的定积分,就可以帮助我们解 决这些问题。当然定积分还可以解决变速度的路程问题,变力作功问题。它也是我们解决实际问题的有力的工具。 这节课我们学习定积分的背景- 面积和路程问题 引入 x o y 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的,这样的平面图形称为 曲边梯形, , ) (x f y a b 曲边梯形 定义: : 我们把由直线 x = a ,x = b (a ≠ b) , y = 0 和曲 线 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 。 那么如何求 曲边梯形 面积呢? 探究点1 1 :定积分的几何背景 — 曲边图形 的面积问题 我国古代的数学家祖冲之,从圆内接正六边形入手,让边数成倍增加,用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。 古希腊的数学家,从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手,不断增加它们的边数,从里外两个方面去逼近圆面积。 我们用正多边形逼近圆的方法 ( ( 即“以直代曲” ) 求出了圆的面积,能否也能用直边形( ( 如矩形) ) 来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢? 圆也是由曲线围成的平面图形,它的面积怎样求昵? y = f(x) b a x y O A   A 1 + A 2 +       + A n 将曲边梯形分成 n n 个小曲边梯形,并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积, 于是曲边梯形的面积 A A 近似为 A 1 A i A n —— 以直代曲, , 无限逼近 将区间[a ,b] 平均分成许多小区间,把曲边梯形拆 分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”, 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个 小曲边梯形的面积,对这些近似值求和,就得到曲边 梯形面积的近似值。 可以想象,区间拆分的越细,近似程度就越好,亦即:用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形 的面积。可通过以下几个步骤具体实施: (1 )分割; (2 )近似代替; (3 )逼近。 问题1 1 图中阴影部分是由抛物线 ,直线 以及 x x 轴所围成的平面图形,试估计这个曲边梯形的面积 S S . 2x y  1  xx o y 1 2x y 2x y  1  x2x y 2x y  1  x2x y  x o y 1 分析 首先,将区间 [0 , 1]5 等分,如图所示. . 1S 图 图 (1) 中,所有小矩形的面积之和(记为S S 1 ) ) 显然大于所求的曲边梯形的面积,我们称S S 1 为S S 的过剩估计值,有 44 . 0 2 . 0 ) 1 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 (2 2 2 2 21       S(1 1 ) x o y 1 图 图 (2) 中,所有阴影小矩形的面积之和( ( 记为s s 1 1 ) )显然小于所求曲边梯形的面积,我们称s s 1 1 为S S 的不足估计值,有 1s24 . 0 2 . 0 ) 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 0 (2 2 2 2 21       s. . (2 2 ) x o y 1 思考: 我们可以用S S 1 1 或s s 1 1 近似表示S S ,但是都存在 误差,误差有多大呢? 提示: 二者之差为S S 1 1 - -s s 1 1 =0.2 如图 (3) 中阴影所示,无论用S S 1 1 还是用s s 1 1 来表示曲边梯形的面积,误差都不会超过 0.2. (3 3 ) x o y 1 (4) 为了减小误差,我们将区间[0 ,1] 10 等分,则 所求面积的过剩估计值为 385 . 0 1 . 0 ) 1 2 . 0 1 . 0 (2 2 2      2S285 . 0 1 . 0 ) 9 . 0 2 . 0 1 . 0 0 (2 2 2 2       2s不足估计值为 二者的差值为S S 2 2 - -s s 2 2 =0.1 ,此时,无论用S S 2 2 还是用s s 2 2 来表示S S ,误差都不超过 0.1. 结论: 区间分得越细,误差越小. . 当被分割成的小区间的长度趋于0 0 时,过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积. . . . . . 有理由相信 , 分点越来越密时 , 即分割越来越细时 , 矩形面积和的极限即为曲边形的面积 。 把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积S S 的近似值。 (4 4 ) 取极限 noxy 抽象概括 我们通过“以直代曲”和“逼近思想”方法解决了求 曲边梯形的面积的问题,它们的步骤: 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求面积 所分区间长度 趋于 0 估计值趋于所求值 3x y x y o 1 动手做一做 求曲线 y= 与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形的面积的估计值,并写出估计误差. . (把区间 [0 , 1] 5 等分来估计) 3x 解析: 把区间 [0 , 1] 5 5 等分,以每一个小区间 左右端点的函数值作为小矩形的高,得到不足 估计值 和过剩估计值 , 如下: 1s1S1s36 . 0 2 . 0 ) 1 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 (16 . 0 2 . 0 ) 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 0 (3 3 3 3 33 3 3 3 3            1S1S1s 估计误差不会超过 - - =0.2 探究点 2 定积分的物理背景 -- 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v 和运动的时间t, ,我们可以求出它走过的路程s=vt, , 那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢? 问题2 想象这样一个场景:一辆汽车的司机猛踩刹车,汽车滑行5s 后停下,在这一过程中,汽车的速度 v (单位:m/s) 是时间 t 的函数: 请估计汽车在刹车过程中滑行的 距离 s . ) 5 0 ( 25 10 ) (2     t t t t v 分析: 由已知,汽车在刚开始刹车时的速度是v v (0)=25 m/s , , 我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度,求出汽车的滑行距离: s s =25 × 5=125(m) 但显然,这样的误差太大了. . 为了提高精确度,我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离. . 首先,将滑行的时间 5s 平均分成5 5 份. . 我们分别用 v v (0), v v (1), v v (2), v v (3), v v (4) 近似替代汽车在0 0 ~ 1s 、1 1 ~ 2s 、2 2 ~ 3s 、3 3 ~ 4s 、4 4 ~ 5s 内的平均速度,求出滑行距离s s 1 1 :   ) ( 55 1 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 (1m v v v v v s       由于v v 是下降的,所以显然 s s 1 1 大于 s, 我们称它为汽 车在 5 s 内滑行距离的过剩估计值. . 用 v v (1), v v (2), v v (3), v v (4), v v (5) 分别近似替代汽车 在0 0 ~ 1s 、1 1 ~ 2s 、2 2 ~ 3s 、3 3 ~ 4s 、4 4 ~ 5s 内的平均速 度,求出汽车在 5s 内滑行距离的不足估计值 :   ) ( 30 1 ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (1m v v v v v s        1s不论用过剩估计值 s1 还是不足估计值 表示s s , 误差都不超过: ) ( 251 1m s s   1s不论用过剩估计值 s1 还是不足估计值 表示s s , 误差都不超过: 1s 为了得到更加精确的估计值,可以将滑行时间分得更细些,因为我们知道,滑行时间的间隔越小,用其中一点的速度代替这段时间内的平均值,其速度误差就越小. . 比如,将滑行时间 5s 平均分成 10 份. . 用类似的方法得到汽车在 5s 内滑行距离的过剩估计值s s 2 2 : ) ( 125 . 48 5 . 0 )] 5 . 4 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 5 . 0 ( ) 0 ( [2m v v v v v s          结论: 滑行时间等分得越细,误差越小. . 当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0 0 时,过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程. .   ) ( 625 . 35 5 . 0 ) 5 ( ) 2 ( ) 5 . 1 ( ) 1 ( ) 5 . 0 (2m v v v v v s          ) ( 5 . 12 625 . 35 125 . 482 2m s s     汽车在 5s 内滑行距离的不足估计值 : 2s无论用s s 2 2 还是 表示汽车的滑行距离s s ,误差都不超过 2s 抽象概括 前面,我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求 曲边梯形的面积的问题,对于变速运动路程的步骤: 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求路程 所分区间长度 趋于 0 估计值趋于所求值 1. 在“近似替代”中,函数 f(x) 在区间[x x i i ,x i+1 ]上的近似值等于( ) A. 只能是区间的左端点的函数值 f(x i i ) ) B. 只能是区间的右端点的函数值 f(x i+1 ) ) C. 可以是区间内的任意一点的函数值 f(ξi i ) ) (ξi i ∈[x x i i ,x i+1 ]) D. 以上答案均正确 解析 以直代曲,可以把区间[x x i ,x i+1 ]上的任意一点的函数值 f(ξ i ) ) ( ξ i ∈ [x x i ,x i+1 ])作为小矩形的高. . C C 2. 已知自由落体的运动速度 v=gt ,则估计在时间区 间[ 0,6 ]内,将时间区间 10 等分时,物体下落的 距离的估计值可以为( ) A.14g B.15g C.16g D.17g 解析 由其过剩估计值与不足估计值分别为 19.8g 、16.2g ,则估计值应在[ 16.2g,19.8g ]之间. . D D 3. 求曲线 与直线 x=1 , x=2 , y=0 所围成的平面 图形的面积时,把区间5 5 等分,其估计误差不超过 _____. 解析 分别以左、右端点的函数值为小矩形的高,得 此平面图形面积的不足估计值s s 和过剩估计值S S 如 下: 所以S S- - s=0.3. 2 2 22 2 21 1 1s ( 1 1.2 1.8 ) 0.2 1.022 2 21 1 1S ( 1.2 1.4 2 ) 0.2 1.322 2 2              ,,0.3 21y x2 1. 曲边梯形的定义: 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求值 2. 求面积和路程问题的步骤: 我们把由直线 x = a , x = b (a ≠ b) , y = 0 和曲 线 y = f(x) 所围成的图形叫作曲边梯形. . 本节课讲了几个问题?