下面我们根据区域D 的不同情况介绍二重积分的计算方法. 矩形域若积分函数 dxdy dydx 视为常量,以y为积分变量,求函数 积分,得到一个关于变量x的函数g 上的定积分即为该二重积分的值.或先把 视为常量,以x为积分变量,求函数 的定积分,得到一个关于变量y 的函数g 2425 ln dxdy 型区域如图6 所示,若积分区域D是由两条连续曲线 所围成的区域叫做x 型区域. 其中 dxdxdy 上的定积分,得到一个关于变量x的函数g 先画出积分区域D的图形(如图6 ),再判断区域类型为x型区域,确定出区域的上(x ,最后计算:dy dxdxdy 10526 型区域如图 所围成的区域叫做y型区域. 其中 dydxdy 中的区域D也可以看成y 型区域,确定出区域边界:右(1 10526 dydxdy 我们在计算二重积分时,必须认真考虑积分次序,否则会使计算量增加,有时甚至不能计算出结果. 其中D是由直线 画出积分区域D(如图 所示).它可表示为 积分,于是有 图6-5 图6-4 32225 计算dxdy sin的原函数不是初等函数而求不出结果. 所以我们选择先对y 积分,有dy dxdxdy sinsin sin(sin sindx 二重积分的换元法我们知道,定积分的换元法可以简化定积分的运算,对二重积分也一样. 我们有以下公式: )在有界闭区域D上连续,变换 ,将uov平面上闭区域 xoy平面区域 coscos ,所以 极坐标变换是我们计算二重积分时常常用到的变换,特别是被积函数或区域表示中含有图6-7 图6-6 dxdy,其中D 是由抛物线 的特点,我们可以用一族抛物线 来分割D,所以我 们用二元代换: 用换元公式得:dudv 三重积分的定义在实践中我们遇到的问题仅用二重积分的知识是不够的,如某个物体占据空间区域 V,它在点 ),要求这个物体的质量m,我们用一个三维网将V分割为n 间区域V1 ,V2 ,…,Vn Vi包含点(x 平均密度,则ΔV的质量约为f ,当分割越来越细时,即当所有小块的最大直径d(T )趋近于零时,上述和式极限存在,就把这个极限值作为m 的准确值. 由此我们仿二重积分的定义来定义三重积分: 定义 分成n个体积为ΔVi 的小块,并且在每一小块上任取一点(x ),作和图6-8 ,若不论如何分割区域V以及如何在每一小块上取点,只要当每个小块的最大直 上的三重积分,记作dv 若三重积分存在,我们采用平行坐标面的平面来分割区域V,这时记体积元素dxdydz dv 于是三重积分也可以写成dxdydz 时,由定义可知,dv 就是空间V的体积. 由三重积分的定义,上述物体的质量m= dv 三重积分的计算三重积分的计算与二重积分类似,即把它分化成一次定 积分和一次二重积分运算. 三重积分化为累次积分的方法:如图 在有界闭区域V上连续,V 是一柱体,其上下曲面方 程分别为 dxdydxdydz 如果区域D可以表示为: dxdydxdydz dydx 有时为了计算方便,也可以将V投影到x xdxdydz,其中V 为三个坐标平面及平面 的图形,显然,V可以看作一个上曲面为 平面的投影区域D可以表示为: ,所以图6-9 xdxxdz dy dx xdz dxdy xdxdydz 三重积分的换元法与二重积分一样,三重积分也有换元法. 设变换 空间的区域V1映射为x 皆在有对ξ,η,ζ的连续偏导数,且雅可比 下面介绍两种最常用的变换:柱面坐标: sincos 时主要考虑的变换.球面坐标:o 的球面坐标.这样,过空间每一点 sinsin cossin 在三重积分中,当区域V是球域或球域的一部分时用球面坐标变换来计算十分简便. zdxdydz,其中区域V 是由球面 算方法:思路是:把积分区域格点化,先将每个格点处的函数值乘以单位格点正方体的体积,然后累加. 中的VBA编程如下: Su ,将准确结果24 重积分的运用重积分在生产生活中有很多实际运用,下面我们通过一些常见的几何、物理问题说明如何用重 积分来解决实际问题. 曲面面积设一块光滑曲面S: 平面上的投影为区域D,我们用任意分割将D分割 轴的小柱面.设这个 小柱面截下曲面S 的部分为q 上取一点Pi,过点Pi 作曲面S 的切面T cos,由于 ,其中 的法向量与z轴的夹角,所以 limlim dxdxdz ,其中点P在AB 之上. 我们来求金属曲线AB 的质量. 在曲线 AB 上取一组分点将曲线AB 分割成n 个小段,我们用 来代表该小段金属曲线的平均密度,则金属曲线AB 的质量约等于 为金属曲线AB的质量. 由上面例子我们可以得到第一类曲线积分的概念: 定义6 在平面曲线上有定义.将曲线L 任意分成n 个子弧段,记为 ,如果当各弧段的最大长度λ趋近于零时,上述和式的极限存在,则称此极限为函数 在曲线L上对弧长的曲线积分(或称第一型曲线积分),记作 ,所以dt 这就是第一型曲线积分的计算公式.特别地,当 ,试求AB的质量m. 11ln 计算曲线积分dl ,其中L为圆周 为常数.图6-10 因为adt dy dx dl 变力沿曲线所作的功与第二型曲线积分问题:设一质点在变力 移动到B,试求变力所作的功W.