谢邀。简单的说,证明是一串有限长的推理语句,从公理出发一直连接到待证命题。
“在研究一个问题之前,该不该先研究一下能不能用初等数学证明?“ 这种事情,其实在 数理逻辑 这个领域是有人研究的。数理逻辑下面有个学科叫 证明论,事实上知乎上就有关于证明论的讨论
证明论是把一个数学证明本身当成一个数学客体,研究 证明 本身的性质。比如其中有个分支叫 反推数学。这个分支在国内本来是没什么人知道的,但是几年前中南大学本科生刘路解决了反推数学中的西塔潘猜想被中南直聘为教授级研究员以后,一下子声名鹊起。反推数学研究的东西,简单的说,就是研究一个证明的“强度”。其实有点类似题主的说法。反推的意思是,从定理反推回公理。如果定理A能够反推回公理B,但是B推不出A,那么A严格比B强。反过来,如果公理C推出定理A,那么A比C弱。由 是否可以相互推导 得出不同公理体系之间的强度比较,这就是反推数学的核心内容。
我本来也不是做逻辑这个方向的,还是请逻辑方向的专业人士来做更为准确的介绍。反推数学的报告我其实听过两三次,但是从来没有记住过那几个常用的组合公理的记号和含义。。