§4.1求积公式 4.1.1 求积公式 结束 对定义在区间\ue016a,b\ue017上的定积分 []( )( )( )b\ue027aIffx dxF bF a\ue005\ue005\ue003以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式\ue012F(x)为f(x)的原函数.但有时原函数不能用初等函数表示\ue012有时原函数又十分复杂\ue012难于求出或计算.如被积函数为: 2 sin,exxx\ue003 等函数的积分都无法解决\ue012当被积函数为一组数据时\ue012更是无能为力. 为解决定积分的近似计算,从定积分的定义\ue014 1( )lim()b\ue027b\ue027nkknkafx dxfx\ue010\ue015 \ue014\ue005\ue005\ue006\ue01c有1( )(( .1))4nkkkafx dxA fx\ue005\ue01a\ue01c 这样就避开了求原函数的运算.(4.1)式就叫做求积公式\ue012Ak(k=0,1,…,n)与函数f(x)无关\ue012叫做求积系数,显然要确定一个求积公式\ue012要确定求积结点xk和求积系数Ak\ue012或者说不同的求积结点和求积系数将确定不同的求积公式. 结束 结束 4.1.2 求积公式的余项和代数精度 一般情况下\ue012(4.1)两端并不相等.我们称: bR f\ue027(4.2)为求积公式(4.1) 的余项\ue012或截断误差.1[]( )()(4.2)nkkkafx dxA fx\ue005\ue005\ue003\ue01c 为考查一个求积公式的误差\ue012通常用代数精度来表示\ue012如果一个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立(R[f]≡0)\ue012而对m+1次以上的多项式不能精确成立\ue012则称该求积公式的代数精度为m. 结束 例如求积公式\ue014 验证当 f(x)=xm\ue012m=0,1,2,3,4 时\ue012是否有R[xm]=0 2,),][)1 ()0()1()(3134311\ue0271fRfffdxxf\ue002\ue002\ue002\ue003\ue005\ue00310211\ue0051, 1x2)((313431\ue017\ue017\ue002\ue002\ue002\ue017\ue003\ue0021\ue017\ue005右边\ue005)\ue0051\ue019右边左边xff1) 12(0)3134321(22\ue017\ue017\ue002\ue002\ue017(\ue005\ue005\ue005\ue005\ue005\ue003\ue003左边x3313343314)1(1310) 1(0,)(44\ue0174\ue002\ue017\ue002\ue003\ue017\ue005\ue005\ue005\ue005\ue005\ue003\ue003右边左边xxf3231434431525)1(1410) 1(,)(55\ue005\ue017\ue002\ue017\ue002\ue003\ue017\ue005\ue018\ue005\ue005\ue005\ue003\ue003右边左边xxf2313433231(110) 1)(33\ue017\ue003\ue017\ue005\ue005\ue005\ue005\ue003\ue003右边左边xxf 所以以上求积公式的代数精度为 3. f(x)=1时公式应精确成立\ue012这是求积系数应满足的起码条件\ue012可以用它检验一个求积公式的系数的正确性. 4.1.3 矩形求积公式 f(x)= f(a)+ f ’(ξ)(x-a)\ue012 ξ在x,a之间,两端积分\ue014 (abf\ue027把 f(x)在aTaylor展开: )()()()()()()()b\ue027b\ue027b\ue027aaafx dxfa dxfxa dxabafxa dx\ue010\ue010\ue012\ue005\ue002\ue003\ue012\ue005\ue003\ue002\ue003结束 结束 注意到右端第二项积分\ue012设f ′(x)在\ue016a,b\ue017上连续\ue012而x-a在 \ue016a,b\ue017上不变号(非负)\ue012据积分中值定理有\ue014 bf\ue027于是有左矩形公式\ue014 bf\ue0272()()()()()()2b\ue027aabaxa dxfxa dxf\ue010\ue00b\ue00b\ue003\ue012\ue012\ue012\ue003\ue005\ue003\ue0052()()()()()(4.3)2abax dxfabaf\ue00b\ue003\ue012\ue005\ue003\ue002同理 , f(x)在b点展开,可得右矩形公式: 结束 2()()()()()(4.4)2b\ue027f(x)在中点(a+b)/2展开,可得中矩形公式 : abafx dxfbbaf\ue00b\ue003\ue012\ue005\ue003\ue0033()()()()(4.5)224b\ue027aabbafx dxfbaf\ue00b\ue002\ue003\ue01d\ue01e\ue01f\ue028\ue029\ue02a\ue012\ue012\ue005\ue003\ue002不难验证\ue012(4.3)和(4.4)具有零次代数精度\ue012(4.5)具有一次代数精度. 结束 4.1.4 内插求积公式 由插值可知\ue012对任一函数f(x)(包括表格形式的函数)可用一n次多项式对其插值\ue012即 )())\ue027()((xdxR(xPdxxffnn\ue002P\ue005x\ue027\ue027\ue002\ue005babannbadxxRx)()因此当Pn (x)为拉格朗日插值多项式时\ue012即 \ue005bf\ue027\ue01c\ue01c\ue01c\ue005nknkknxfxlxP0)()()((1)000()\ue00f( )( )()( )(1)!( )()[]()[](4.6)b\ue027b\ue027nkkkab\ue027aannkknkknkkafx dxlxfxdxx dxnlx dxfxRfA fxRf\ue010\ue002\ue005\ue005\ue005\ue005\ue002\ue002\ue01d\ue01e\ue01f\ue028\ue029\ue02a\ue005\ue002\ue005\ue002\ue01c则 结束 0)11011(1)(k)(x)()()()x( )(4.7)(()()( )1)![]( ) (4.8)(b\ue027b\ue027kkxnkkkkkkknaab\ue027nnaxxxxxxxxxx\ue003Alx dxdxxxxfRfx dxn\ue010\ue00f\ue003\ue002\ue003\ue002\ue002\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue005\ue005\ue003\ue003\ue005\ue002其中: 0( )()[](4.6)b\ue027nkknkafx dxA fxRf\ue005\ue005\ue002\ue01c通常将公式(4.6)叫做内插求积公式. §4.2 牛顿-柯特斯公式 为便于上机计算\ue012通常在内插求积公式中取等距节点\ue012即将积分区间[a,b]n等分\ue012即令h=(b-a)/n\ue012且记x0=a,xn=b\ue012则节点为xk=x0+kh(k=0,1,…n)\ue012作变换:t=(x-x0)/h\ue012代入求积系数公式\ue014 0( )((( 1)( 1)((结束 1101100(k)(x)()(\ue003)()x)()()1)(1)((1)())! !1)(1)(1)()(4.9))! !b\ue027b\ue027kkxnkkkkkkknaan\ue027nnknn\ue027nkxxxxxxxnxxx\ue003Alx dxdxxkxxh t tttkthdthnkkhkt ttktktn dtnk\ue003\ue002\ue003\ue002\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue005\ue005\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue002\ue005\ue003\ue003\ue003\ue005\ue003\ue003\ue003\ue003\ue002\ue003\ue003 这种由等距节点的内插求积公式通常叫做牛顿-柯特斯公式,下面介绍几个常用的公式: 4.2.1 梯形公式 取a=x0,b=x1,(即n=1)\ue012代入(4.9)式得 1001!01100 !1120(1)12( -1)d(1).2hbaAttth\ue003\ue003\ue005\ue005 \ue003\ue003\ue005\ue027\ue027所以梯形公式为 bf\ue027120(1)12d.2hbaAt tth\ue003\ue003\ue005\ue005\ue005\ue007\ue009( )()( )(4.10)2ab - ax dxfafb\ue01a\ue002结束 结束 这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积\ue012对梯形公式的误差估计有如下定理\ue014 定理 4.1 设f(x)为二阶连续可微函数\ue012则梯形求积公式的余项为 (证明) \ue007\ue009\ue000 \ue00131()R( )( )( )()2a12bababaf x dxf af bfξξa,b\ue003\ue003\ue012\ue012\ue005\ue003\ue002\ue005 \ue003\ue01b\ue027\ue000 \ue00121R()(4.11)12bh fξξa,b\ue003\ue012\ue012\ue005 \ue003\ue01b即其中h=b-a\ue012记成上面形式是为以后复化求积公式余项的一致性.由余项公式立刻可以看出梯形公式的代数精度为1. 结束 例1 利用梯形公式计算 dxxI\ue027\ue002\ue00510214解: .3)24(2111401420122\ue005\ue002\ue005\ue02c\ue02d\ue02b\ue021\ue022\ue020\ue002\ue002\ue002\ue003\ue01aI4.2.2 抛物形\ue010辛卜生\ue011公式 取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)\ue012代入(4.9)式得 2200(1)2 !23( -1)( -2).23hhhAttdt\ue003\ue005\ue005\ue017\ue005\ue027 结束 所以抛物形公式为 ()()4( )(4.12)32b\ue027ahabfx dxfaffb\ue020\ue021\ue022\ue002\ue02b\ue02c\ue02d\ue01d\ue01e\ue01f\ue028\ue029\ue02a\ue01a\ue002\ue002210(1)1!434( -2).3hhAt tdth\ue003\ue01d\ue01e\ue01f\ue028\ue029\ue02a\ue005\ue005 \ue003\ue017\ue003\ue005\ue02722023( -1).2!23hhhAt tdt\ue005\ue005\ue017\ue005\ue027其中h=(b-a)/2,上式也可写成: bf\ue027( )( )4( )(4.13)62abaabx dxf aff b\ue003\ue020\ue021\ue002\ue02b\ue02c\ue01d\ue01e\ue028\ue029\ue01a\ue002\ue002\ue01f\ue02a\ue022\ue02d 结束 抛物形公式通常也称为辛普生公式\ue012抛物形公式是用抛物线围成的曲边梯形近似代替f(x)围成的曲边梯形. 定理4.2 设 f(x)∈C4[a,b]\ue012则辛普生公式的误差估计为: \ue000 \ue001直接可以验证抛物形公式代数精度为3(对f(x)为三次以下多项式精确成立). 4( 4 )2R []()180bafhfξξa,b\ue003\ue005 \ue003\ue01b例2 利用抛物形公式计算 dxx\ue002I\ue027\ue005\ue002(\ue005102114解: \ue007\ue0091333.3)246)1()5.0(4)0(3564\ue005\ue002\ue002\ue002\ue01afffhI 结束 (4.9)式给出 4.2.3 牛顿-柯特斯公式 0()0( 1)(an n(1)())! !n()( 1)k(1)()()(4.14)()! !n\ue027nkkn\ue027knkhkt ttnAdtnk\ue003tkbt ttndtba Cktk\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue005\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue005\ue005\ue003\ue003\ue003k其中: ()01\ue003( 1)((1)()(4.15))! !n\ue027nnkkt ttnCAdtban nkktk\ue003\ue003\ue003\ue003\ue005\ue005\ue003\ue003可以看出\ue012C(n)k不依赖函数f(x)和积分区间[a,b]\ue012可以事先计算出来\ue012通常叫做牛顿-柯特斯系数\ue012下面给出n从1\ue01b6的牛顿--柯特斯系数表4-1\ue014 结束 n 1 2 3 4 5 6 1/2 1/6 1/8 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 19/288 1/2 4/6 3/8 1/6 3/8 1/8 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840 ()nkC表4-1 结束 对牛顿-柯特斯公式\ue012当f(x)∈C n\ue016a,b\ue017\ue012f (n+1)(x)在[a,b]上存在时\ue012求积公式的余项为: \ue000 \ue001(对f(x)为任何不超过n次的多项式\ue012均有f (n+1)(x) ≡0\ue012因而Rn[f]≡0\ue012也就是说\ue012牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为n. 我们可以证明当n为偶数时\ue012牛顿-柯特斯公式的代数精度可达到n+1. 证明: 令n=2k,设 为任一n+1次多项式\ue012其最高次系数为an+1\ue012则它的n+1阶导数为 1((n1)nR []( )ξ[]1)!b\ue027afξfx dxa,bn\ue00f\ue002\ue005\ue01b\ue002\ue01c\ue002\ue005\ue002\ue005101)(nkkknxaxq(n1)1)(1)!n\ue002nqxan\ue002\ue002\ue005\ue002 结束 \ue000 \ue0011)!(n1)111012\ue027210R [( )]( )()()()((1)(2)2\ue027()n\ue002b\ue027b\ue027nnnaaknnqξqxx dxaxxxxxxdxnaht tttn dt\ue00f\ue002\ue002\ue002\ue002\ue002\ue005\ue005\ue003\ue003\ue003\ue002\ue005\ue003\ue003\ue003下面我们证明 作变换u=t-k\ue012则 (\ue027\ue027( )0(1)(2)()0kt tttn dt\ue003\ue003\ue003\ue005201)(1)()(1)(21)(2)()(1)(1) (1)(1)()kkkt ttktktktktk dtukukuu uukuk du\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue003\ue002\ue003\ue003\ue003\ue005\ue002\ue002\ue003\ue002\ue003\ue003\ue002\ue003()(1)(1) (1)(1)()uukukuu uukuk\ue011\ue005\ue002\ue002\ue003\ue002\ue003\ue003\ue002\ue003记 结束 容易验证ψ(u)为奇函数\ue012即ψ(-u)= -ψ(u),而奇函数在对称区间上的积分为零\ue012所以 1[( )]0nnRqx\ue002\ue005也就是说\ue012当n为偶数时\ue012牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的多项式均能精确成立\ue012因此\ue012其代数精度可达到n+1.正是基于这种考虑\ue012当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度\ue012因而在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式\ue012如抛物形公式(n=2)等. §4.3 复化求积公式 从求积公式的余项的讨论中我们看到\ue012被积函数所用的插值多项式次数越高\ue012对函数光滑性的要求也越高.另一方面\ue012插值节点的增多(n的增大)\ue012在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)因而在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间\ue012在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式)\ue012然后再利用积分的可加性\ue012把各区间上的积分加起来\ue012便得到新的求积公式\ue012这就是复化求积公式的基本思想.为叙述方便\ue012我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式也可推出新的求积公式\ue012读者可按实际问题的具体情况讨论 结束 4.3.1. 复化梯形公式 用n+1个分点将区间[a\ue012b]n等分。每个区间长 ,nnbf\ue027 在[xk\ue012xk+1]上用梯形公式\ue012则 11( )2hf\ue022n,,kkhaxabhk,,210,1\ue000\ue005\ue002\ue005\ue002\ue003\ue005个分点110( )( )kknxaxkx dxfx dx\ue002\ue003\ue005\ue005\ue01c\ue027则\ue007\ue00911k001110()()[]()( )2()[](4.18)2n\ue01cn\ue01cbkkkkkakn\ue01cn\ue01ckkkkxxfx dxfxfxRfaf bfxRf\ue003\ue003\ue002\ue002\ue005\ue005\ue003\ue003\ue005\ue005\ue003\ue005\ue002\ue002\ue020\ue021\ue02b\ue02c\ue005\ue002\ue002\ue002\ue02d\ue027结束 Tn叫做复化梯形求积公式\ue012下标n表示将积分区间等分的份数. 从公式的特点可以看出\ue012内节点xk(k=1,2,…n-1)作为小区间的端点参与前、后两个小区间的计算\ue012因而系数为2\ue012端点a与b只参与一次计算\ue012系数为1. 如果在Tn的基础上\ue012将各小区间对分\ue012这时节点数为2n+1\ue012分段数为2n.记新的分点的函数值的和为σn\ue012则T2n点与新增节点函数值的和的两倍\ue012加上两端点a,b的函数值之和再乘上新区间长度的一半\ue012即 应为原内节11()( )2()(4.19)2n\ue01cnkkhTfafbfx\ue003\ue005\ue020\ue021\ue022\ue02b\ue02c\ue02d\ue005\ue002\ue002记结束 1222111122111()()2()2()2h121(2()()2()2()2)(4.20)n\ue01c\ue01cnniiiinniiiinnhTfafbfxfxfafbfxfxTh\ue00e\ue003\ue003\ue005\ue003\ue005\ue003\ue005\ue005\ue012 \ue020\ue02b\ue02c\ue02d\ue005\ue002\ue002\ue002\ue021\ue022\ue020\ue021\ue022\ue002\ue02b\ue02c\ue02d\ue005\ue017\ue002\ue002\ue002\ue005\ue01c\ue01c212(4.21)nnnTTh \ue00e \ue012\ue005\ue002或 写 为为对分新区间的长度.,2hh \ue005\ue012这里从这一公式可以看出\ue012将区间对分后\ue012原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留.只需计算出新分点的函数值\ue012便可得出对分后的积分值\ue012不需重复计算原节点的函数值\ue012从而减少了计算量. 结束 定理4.3 设 f (x)∈C2[a,b]\ue012复化梯形公式的截断误差 2R [12这一复化梯形求积公式的余项在形式上与(4.13)式相同\ue012不同的是\ue012这里的h=(b-a)/n\ue012而(4.13)式中的h=b-a. 利用复化求积公式的余项\ue012我们可以估计出在满足精度的要求下\ue012应将积分区间等分多少份\ue012即n取多少.这种误差估计方法称为事前误差估计.如例4.3 \ue000\ue001][]nbaThfξξa,b\ue003\ue012\ue012\ue005 \ue003\ue01b 例3 利用复化梯形公式计算 使其误差限为10-4\ue012应将区间\ue0160,1\ue017几等分? 10sin xxId x\ue005\ue027结束 解: 因为被积函数 10sin()cosxfxtxdtx\ue005\ue005\ue0271\ue027\ue028\ue029\ue02a112\ue000\ue0011\ue027()00d()coscosd1\ue02712kkkkkfxtxdtttxdtx\ue00c\ue01d\ue01e\ue01f\ue028\ue029\ue02a\ue008\ue005\ue005\ue0021\ue027()001\ue002()cos.21kkkkfxttxdtt dtk13616\ue00c\ue01d\ue01e\ue01f\ue008\ue013\ue002\ue013\ue005222401\ue0021h[]()10.1221nR Thfhh\ue010\ue003\ue003\ue012\ue012\ue008\ue005 \ue003\ue013\ue017\ue005\ue01322610,10 .hn\ue003\ue008\ue013\ue017\ue008\ue005\ue016\ue017取n=17可满足要求. 结束 另一方法是利用公式前后两次计算结果的差来估计误差的\ue012T2nbbf\ue027(12bT\ue021当 f ″(x)在[a,b]上连续\ue012并且假定当n充分大时有 f″(ξ)≈f″(η)bT\ue01f\ue020\ue005\ue022-Tn\ue019\ue015ε, \ue000\ue0012()12bnaax dxThfξ\ue003\ue012\ue012\ue003\ue005 \ue003\ue000\ue00122)2b\ue027naahfx dxTf\ue00b\ue003\ue01d\ue01e\ue01f\ue028\ue029\ue02a\ue012\ue012\ue003\ue005 \ue003\ue000\ue001\ue000\ue001221412nnaThff\ue010\ue00b\ue003\ue020\ue022\ue02b\ue02c\ue012\ue012\ue012\ue012\ue008\ue003\ue005 \ue003\ue003\ue02d \ue000\ue001222231223()3[].nnb\ue027nnaahTffx dxTR T\ue00b\ue003\ue01d\ue01e\ue028\ue029\ue02a\ue012\ue012\ue008\ue003\ue01a \ue003\ue017\ue02b\ue02c\ue02d\ue003\ue005\ue021结束 \ue007\ue009nnnTTTR\ue003\ue01a2231][即这种误差估计方法通常叫做事后误差估计\ue012在计算机上用来 控制计算精度常用这一方法\ue012有的也把这种方法叫做步长的 自动选取或逐次对分的方法. 因此当\ue019T2n-Tn\ue019\ue015ε 213[]nR T\ue00a\ue00a\ue004\ue004结束 4.3.2 复化抛物形公式 将积分区间 [a,b] 分为 2m 等分\ue012n=2m\ue012节点为 xk=a+kh (k=0,1,2,…,2m)\ue012h=(b-a)/2m.在每两个小区间\ue016x2k,x2k+2\ue017 (k=0,1,2,…,m-1)上用抛物形公式\ue012则有: xf\ue005\ue003\ue002\ue005\ue003\ue020\ue005\ue0221(3\ue007\ue00922210112212200111221100()()()4()()[]3()( )2()4()[]3kkb\ue027m\ue01ckaxm\ue01cm\ue01ckkkkkhkm\ue01cm\ue01cm\ue01ckkkkkkx dxfx dxhfxfxfxRffafbfxfxRf\ue002\ue003\ue003\ue002\ue005\ue003\ue003\ue002\ue005\ue005\ue005\ue005\ue005\ue002\ue002\ue002\ue02b\ue02c\ue02d\ue002\ue002\ue002\ue002\ue021\ue0271222110)( )2()4()(4.25)m\ue01cm\ue01cmkkkkhSfafbfxfx\ue003\ue003\ue002\ue005\ue005\ue020\ue021\ue022\ue02b\ue02c\ue02d\ue005\ue002\ue002\ue002结束 S2m叫做复化抛物形求积公式\ue012下标2m表示积分区间等分的份数\ue0122m强调为偶数份. 公式的特点为节点x2k,(k=1,2,…,m-1)作为小区间[x2k, x2k+2]的端点\ue012参与前后两次的辛普生公式的计算\ue012因而系数为 2\ue012而奇数节点x2k+1,(k=0,1,…,m-1)因辛普生公式中间点的求积系数为4而保留4\ue012前面的h/3为辛普生公式的公共求积系数. 定理4.4 设函数f(x)∈C4[a,b]\ue012则 bS\ue000\ue0014( 4 )2mR [](4.26)180ahfξ\ue003\ue005 \ue003结束 例4 利用复化抛物形公式计算 ...