教学争鸣 新课程 NEW CURRICULUM???????????????????????????????????????????????????在立体几何的学习中,经常遇到求解三棱锥外接球体半径的问题,此类问题往往球心的位置难以找到。我们知道,棱锥是柱体的一部分,因此,在求三棱锥外接球体的半径时,通过“补形”,将锥体还原成柱体,有时能起到柳暗花明的效果。常见的“补形”方法有下列几种.例 1. 已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,且PA=3,PB=4,PC=5.则其外接球体的表面积为 .思路:补成“长方体”解析:三棱锥 P-ABC(图 1)可以补成长方体,且它们拥有相同的外接球体(图 2),再过长方体的一组对面上的对角线作轴截面得一圆的内接矩形(图 3).其中矩形的一边为原长方体的棱,另一边为原长方体的面对角线,而该矩形的对角线则为球体的直径,易得外接球体的半径为522 姨 ,从而其表面积为 50π.ABCABCPA B图 1 图 2 图 3例 2.已知一正四面体的棱长为 4,则其外接球体的体积为.思路:补成“正方体”解析:由于连接正方体的六条面对角线可以形成一个正四面体,因此,可将正四面体补成一个正方体,且它们拥有相同的外接球体(图 4).再过该正方体的一组对面上的对角线作轴截面,易得外接球体的半径为 6 姨 ,从而其体积为 8 6 姨 π.图 4例 3.已知三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 为正三角形,边长为2,侧棱 PA⊥底面 ABC,且 PA=2,则其外接球体的半径为 .ABCPBAPCPAOO 1O 2图 5 图 6 图 7思路一:补成“直三棱柱”解析:将三棱锥 P-ABC(图 5)补成直三棱柱(图 6),同样,它们拥有相同的外接球体.再过 PA 及球心作一截面如(图 7),其中,球心 O 为 O 1 O 2 的中点,而 O 1 、O 2 分别是两底面正三角形 ABC 的中心,可得外接球体的半径 OA=21 姨3.思路二:补成“圆柱”解析:将三棱锥 P-ABC(图 5)补成圆柱体(图 8),且它们拥有相同的外接球体,再过 PA 及圆柱体的轴作一截面得图 9.其中,球心 O 为 O 1 O 2 的中点,而 O 1 是正三角形 ABC 的中心,可得外接球体的半径 OA=21 姨3.PAOO 1O 2ABCP图 8 图 9总之, “补形”是求解三棱锥外接球体半径的一条重要途径,且通常可补成上述几种模型。“补形”应遵循“拥有相同的外接球体”的原则,在此基础上,还要选择好恰当的位置作出截面,将抽象的空间问题转化为熟悉的平面问题,关系也就简单明朗多了。