不等式恒成立问题和二次不等式恒成立问题的关系:相辅相成,缺一不可;
若\(a\leqslant f(x)\)在\(D\)上恒[能]成立\(\left\{\begin{array}{l}{若f(x)为非二次函数,常使用分离参数+构造函数法;}\\{若f(x)为二次函数,首选分离参数法,次之分类讨论法}\end{array}\right.\)
不等式恒成立的问题,我们最常用的转化思路是分离参数+构造函数法,但是并非所有的恒成立问题都可以这样求解,比如\(2ax^2+a^2x+2\geqslant 0\)在区间\([1,2]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围,此题目就不能用分离参数法求解,而只能用二次不等式恒成立的方法分类讨论求解;
二次不等式恒成立问题的求解策略
若参数能顺利分离,则首选分离参数法,若不能分离参数则分类讨论处理;
分离参数策略
仅仅含有一个参数,位于常数项位置,则常常直接分离;
引例,关于\(x\)的不等式\(x^2-3x-a^2-2a\leqslant0\)在\([-2,4]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围,则首先分离得到\(a^2+2a\geqslant x^2-3x\)在\([-2,4]\)上恒成立,接下来重点求解\(g(x)=x^2-3x\)在\([-2,4]\)上的最大值即可;
仅仅含有一个参数,位于一次项位置,则常常直接分离;
引例,关于\(x\)的不等式\(x^2-3ax\pm 2\leqslant0\)在\([2,4]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围,则首先分离得到\(3a\geqslant\)\(\cfrac{x^2\pm 2}{x}\)\(=\)\(x\pm\cfrac{2}{x}\)在\([-2,4]\)上恒成立,接下来重点求解\(g(x)=x\pm\cfrac{2}{x}\)在\([-2,4]\)上的最大值即可;此时关联对勾型函数;
仅仅含有一个参数,位于二次项位置,则常常直接分离;
引例,关于\(x\)的不等式\(ax^2-3x\pm 2\leqslant0\)在\([2,4]\)上恒成立,求参数\(a\)的取值范围,则首先分离得到\(a\geqslant\)\(\cfrac{3x\pm 2}{x^2}\)\(=\)\(\pm2\cdot \