在s 函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin 函数, 的零点为偶数s 2n,这些位置是可能的零点,但s 为正偶数时, 为不为零的规 则函数(Regular function),只有s 为负偶数时,ζ 函数才有零点, 称为平凡零点。 为正整数[编辑]主条目:巴塞尔问题 欧拉也能计算ζ(2k),对于偶整数2k,他使用公式 其中B 2k 是伯努利数。从这个,我们可以看到ζ(2) /945等等。(序列A046988/A002432列在OEIS)。 这些给出了著名的π 的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。 拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。 为正偶数时的函数值 公式已经由欧拉计算出。但当 为正奇数时,尚未找到封闭式。 这是调和级数。 (OEIS 中的数列A078434) 该值用于计算具有周期性边界条件的玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度以及磁系统的 自旋波物理。 (OEIS 中的数列 A013661) 即巴塞尔问题。这个结果的倒数回答了这个问题:随机选取两个数字而互质的概率 是多少? (OEIS中的数列A002117) 称为阿培里常数。 (OEIS 中的数列 A0013662) 黑体辐射里的斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩近似。 负整数[编辑] 同样由欧拉发现,ζ 函数在负整数点的值是有 理数,这在模形式中发挥着重要作用,而且ζ 函数在负偶整数点的值为零。 复数值[编辑]