上一章我们讲到,激励信号可以分解为冲激函数之和,因此只要求解系统的单位冲激响应,通过一定的手段就能还原为系统对原始信号的响应。而这种手段就是叠加积分。之前提到过,将信号分解为阶跃函数积分的方法已经不再实用,很少有人使用这种方法;相应地,将阶跃响应叠加为原始信号响应的方法——阿杜美尔积分也很少有人使用。这里不作介绍。
但是,除了阿杜美尔积分,卷积积分是另一种实用的叠加积分。
1 卷积是什么?
之前我们讲到,将信号分解为冲激函数积分的方法是这样的:
那么对于激励信号
,它有对应的响应
。其中
是单位冲激响应。我们发现
长得很像——实际上可以通过线性系统的叠加性推导出来。而
被称作为卷积积分,可以记作
。
卷积积分拥有一系列性质:和乘法相似它具有交换律、结合律以及分配律;同时它还有微积分特性和时延特性。所有的信号书上都会有介绍,我在这里就不一一列举了,之后若用到了卷积的某一性质,我会再做表述。
另外,常用的卷积积分有卷积表可以查阅、记忆,方便工作和学习。
2 卷积怎么理解?
卷积在信号这门学科中的的出现方式是由信号信号分解的公式变化而来的,虽然看起来很有道理,但是总让人有点摸不着头脑。下面一段话是之前知乎一位答主说的,找不到原文了,仅作转述,侵删:
卷积可以理解为一个时间上的积累。比如,
表示你被扇巴掌以后的肿胀程度。那么如果每天有人扇你一巴掌,你的脸会肿胀起来,然后慢慢消退,这一过程可以用函数
表示。那么,如果在间隔较短的时间内被打(来不及完全消肿),你的肿胀程度是每一次肿胀程度函数的累加,并且每个函数的起始时间离当前时间越来越近——这就很好想象
之间的联系了,一个是随着时间推移而变化的肿胀程度,一个是表示某一次挨打离当前的时间间隔。久而久之,你的脸越来越肿。
因此卷积是这样的一种叠加积分。当然,还有更加规范的例子——银行的存款与利息。和扇巴掌一样,一项表示存入的钱,一项表示某一笔钱存的时间。
3 利用卷积求解零状态响应
需要强调的是,根据系统特性求出的单位冲激响应并不包含初值条件,因此只可求解零状态响应。利用卷积积分,我们可以得知当激励信号是一系列冲击信号的时间累加时,激励信号也就是原始信号和单位冲激响应的卷积积分之结果。
至此,时间域分