第二节 实验不确定度 对—个有价值的测量结果必须进行评价,无质量评价的测量结果是毫无意义的。这样, 如何评价测量质量就是我们所关心的事了。 乍看起来,似乎用误差来评价测量质量是最合适的。因为根据误差的意义,误差是测 量值与真值之差。显然误差大的测量质量就差;反之测量质量就好。确实,过去基本上都 是用误差来评定测量质量的。不过,有一个事实不要忘记,那就是由于真值通常无法得知 而使误差无法计算的事实。如果用这个通常无法知道的量去评价测量质量,显然有些不太 合适。因此,国际上现在越来越多的地区已不用误差来评价测量质量,而是用另一个物理 概念——不确定度( σ )来对测量结果进行质量评价,也对误差进行评价。我国 1990 年 5 月经审查通过,并作为国家标准颁布实施的《测量误差及数据处理技术规范》中,也明确 规定测量结果的评定用不确定度而不再用误差。 一、不确定度的概念 实验不确定度,又称测量不确定度(uncertainty of measurement) ,简称不确定度。其 含义是,由于误差的存在而被测量值不能确定的程度。它是被测量真值在某一范围内的一 个评定。 “不能确定的程度” 是通过 “量值范围” “置信概率” 和 来表达的。 如果不确定度为 σ , 根据它的含义,则表示误差将以一定的概念被包含在量值范围(一 σ ~+ σ )之中,或者 表示测量值的真值以一定的概率落在量值范围( N 一 σ )~( N + σ )之中。显然,不确 定度的大小反映了测量结果与真值之间的靠近程度。不确定度愈小,测量结果与真值愈靠 近,其可靠程度愈高,即测量的质量愈高,其使用价值就愈高。由此可见,用不确定度来 评价测量结果的质量比误差评价更合适。 二、不确定度的分类 由于误差来源不同,一个直接测量量的不确定度会有很多分量,按获得的方法可把这 些分量分为 A 类不确定度和 B 类不确定度。 1.A 类不确定度 凡是可以通过统计方法来计算不确定度的称为 A 类不确定度。由于这一特点,故又称 为统计不确定度,用字母 S 表示。 注意:使用的字母 S 与标准偏差一样。 对某一物理量进行多次测量,由于误差来源不同,可能有若干个 A 类不确定度 S1 , S2 ,…, S m ,把它们称为 A 类不确定度分量。如果这些分量之间彼此独立,那么分量的 “方和根”就是 A 类不确定度 S,即 2 2 S = S12 + S2 + ! + Sm (1-2-1) 在教学实验中,只存在一个分量 S1 ,自然 S1 这个分量就是 A 类不确定度 S。 2.B 类不确定度 凡是不能用统计方法计算而只能用其他方法估算的不确定度称为 B 类不确定度,又称 为非统计不确定度,用字母 u 表示。 与 A 类不确定度类似,由于误差源不同,一个测量可能存在多个 B 类不确定度 u1 , u 2 ,…, u n ,把它们称为 B 类不确定度分量。如果这些分量相互独立,则有 2 2 u = u12 + u 2 + ! + u n (1-2-2) 如果只有一个分量 u1 ,那么 B 类不确定度 u 就等于分量 u1 。 在用 A、B 两类不确定度来评定测量结果和误差时,无需再把误差分为偶然误差与系 统误差。当然这并不意味着 A、B 两类不确定度与偶然误差和系统误差有着完全对应关系。 实际上偶然误差全部可用 A 类不确定度来评定, 但用 A 类不确定度评定的不都是偶然误差, 系统误差中具有随机性质的都可用 A 类不确定度来评定; 系统误差也不能都用 B 类不确定 度来评定,因为在用不确定度进行误差评定时,是要把已定系统误差修正后再进行的,即 按 A、B 类划分不确定度时,是不包括已定系统误差的。 判别 A、B 两类不确定度比判别偶然误差和系统误差容易得多。这种分类弥补了把误 差分为偶然误差和系统误差的不足。 三、直接测量不确定度的计算 1.A 类不确定度的计算 对一直接测量量进行多次测量就存在 A 类不确定度,其计算方法与偶然误差用标准偏 差来计算的方法完全相同,即测量值 N i 的不确定度为 S= 平均值 N 的不确定度为 ∑ (N i =1 n i N )2 (1-2-3) n 1 SN = 式中,n 为测量次数。 ∑ (N i =1 n i N )2 (1-2-4) n(n 1) 2.B 类不确定度的估计 (1)用近似标准差( u j )估计 对于 B 类不确定度, 不能采用统计不确定度计算的方法进行计算, 必须采用其他方法。 一般采用等价标准差( u j )的方法计算。用这种方法时,首先要估计一个“误差极限值” ,然后确定误差的分布规律(如正态分布、均匀分布等) ,利用关系式 () = Cu j (1-2-5) 就可算出近似标准差 u j ,其中 C 为置信系数,其值决定于误差分布规律。如对正态分布, C=3,即 u j = / 3 ;对均匀分布 C = 3 ,即 u j = / 3 。还有很多分布,这里就不介 绍了。 为了简便,在以后的计算中,我们不考虑它是什么误差分布,都认为是均匀分布,且 认为 B 类不确定度只包括实验仪器误差( 仪 )一个分量,所以置信系数 C 都取为 3 , 得到 f (N ) u= 仪 3 (1-2-6) a 由于实际情况下,实验仪器的误差( 仪 ) 大多是均匀分布,使用非常广泛,下面介绍均匀 分布的特点。如图 1-2-1 所示,均匀分布在误差 限 N ± 仪 范围内出现的概率相同,概率密度 都为 a,在此范围以外,概率密度都为零,即 N 仪 N N + 仪 N 测量值落在区间 N 仪 , N + 仪 3 3 内的概率为 68.3%。 图 1-2-1 仪器误差是均匀分布 a , f (N ) = 0, N 仪 ≤ N ≤ N + 仪 N < N 仪 , N > N + 仪 (1-2-7) 由归一化条件可以得到总概率 [( N + 仪 ) ( N 仪 )]a = 2 仪 a = 1 ,所以概率密度 a= 由此推出等价标准差满足下式 1 2 仪 (1-2-8) u2 = ∫ N + 仪 N 仪 ( N N ) f ( N ) dN = 2 1 2 仪 ∫ + 仪 仪 x dx = 2 1 32仪 (1-2-9) 两边开方后就是式(1-2-6) 。 (2)用仪器误差( 仪 )估计误差极限值 由仪器产生的不确定度,一般用仪器误差 仪 来估计误差极限值 ,即 = 仪 。 所谓仪器误差,就是在规定使用条件下正确使用仪器时,仪器的示值与被测量的真值 之间可能产生的最大误差。通常仪器出厂时要在检定书或仪器中注明仪器误差,不过注明 的方式不尽相同,大体有两种情况: 一是在仪器上直接标出或用准确度表示仪器的仪器误差。如标出准确度为 0.05mm 的 游标卡尺,其仪器误差就是 0.05mm。 另一是给出该仪器的准确度级别,然后算出仪器误差。如电表,它的准确度级别是这 样规定的 电表的最大误差 ( 仪 ) (1-2-10) = 级别% 电表的量程 如果电表的量程是 100mA,经检定的最大误差( 仪 )是 1mA,代入式(1-2-10)中,有 1 = 级别% = 1% 100 就把这只表定为 1 级表。这是出厂时定好的,并标在电表的表盘上。我们在使用此表时, 从表盘上读出级别和量程,最大误差 仪 轻而易举地就能算出,即 仪 = 量程 × 级别% 如果未注明仪器误差或不清楚时,我们作这样的规定:对能连续读数(能对最小分度 下一位进行估计)的仪器,取最小分度的一半作为仪器误差,如米尺、螺旋测微计、移测 显微镜等;对于不能连续读数的仪器就以最小分度作为仪器误差,如游标类仪器、数字式 仪表等。 (3)根据实际情况估计误差极限值 对某一物理量进行测量时,由于误差来源不同,相应的不确定度就不止一个。比如在 拉伸法测杨氏模量实验中,用卷(米)尺测金属丝原长时,除卷尺的仪器误差(相应的不 外, 还有测量时因卷尺不能准确地对准金属 确定度 u1 = 仪 / 3 = 0.5mm / 3 = 0.3mm ) 丝两端产生的误差,其相应的 B 类不确定度( u 2 )中的误差极限值 就是通过实际情况估 计的(实验中根据经验估计合并为 仪 = 2mm , u1实际 = 2mm / 3 = 1.2mm ) 。 一般根据实际情况估计误差极限值的 B 类不确定度都比与仪器误差相应的不确定度大 很多,特别是单次测量时更是这样,应特别注意。当然单次测量也有优点,即测量效率高, 数据处理简单,在实验测量中也经常用到。 3.合成不确定度 若测量结果含统计不确定度分量与非统计不确定度分量 S1 , S 2 , ! , S i , ! , S m u1 , u 2 , ! , u j , ! , u n 且它们之间相互独立时,则合成不确定度 σ 的表征为 σ= ∑ Si2 + ∑ u 2j i =1 j =1 m n (1-2-11) 式中,m 和 n 分别表示 A、B 两类不确定度分量的个数。如果 m = n = 1 时,则 σ = S12 + u12 = S 2 + u 2 (1-2-12) 对任何一个直接测量原则上都必须算出它的统计不确定度 S 和估计出非统计不确定度 u 后,按“方和根”的方式合成为合成不确定度 σ ;只有测量是单次测量时,由于不存在 ,直接等于非统计不确定度 u 。没有统计 统计不确定度 S,合成不确定度 σ 不需要“合成” 不确定度的直接测量(单次测量)是存在的,但没有非统计不确定度的测量是不存在的。 但这决不表示单次测量的不确定度比多次测量的不确定度小,原因有二:首先,单次测量 的可信度一般比较低,为了达到与多次测量相同的置信度,必须把仪器误差适度放大(参 阅例 2) ,所以合成不确定度 σ 并没有减小;其次,实际测量时一般不存在绝对意义上的单 次测量,因为一个严谨的测量者有良好的测量习惯,虽然只记录了一个测量数据,但这个 数据是经过测量者检查或验证的,具有多次测量取平均值的效果。设想测量时读数明显地 随意变化,却随意记录一个读数作为测量结果,是不可思议的。所以,单次测量仅适用于 读数不会明显变化的测量(用精度更低的仪器测量时就是如此,但仪器误差变大了,合成 。用现代数字化智能仪器单次测量时,其实就是多次测量,原因 不确定度 σ 肯定不会减小) 是它的测量取样速度很快,显示出来的读数其实是数十次,甚至是成百上千次测量取样的 平均值,所以可以不必考虑统计不确定度的影响。 例 1 用 50 分度游标卡尺测一圆环的宽度,其数据如下:m=15.272,15.276,15.268, 15.274,15.270,15.274,15.268,15.274,15.272(单位为 cm) ,求合成不确定度 σ 。 解 在计算合成不确定度 σ 前要先计算不确定度分量。 由于是多次测量,存在统计不确定度,用(1-2-3)公式计算,有 Sm = ∑ (m i =1 9 i m )2 = 0.0009 (cm) n(n 1) 它的非统计不确定度用近似标准差进行计算,取仪器误差( 仪 = 0.002cm )为估计的 误差极限值,则 um = 合成不确定度为 仪 0.002 = = = 0.0012 (cm) 3 3 3 2 2 σ m = S m + um = (0.0009) 2 + (0.0012) 2 = 0.0015 (cm) 四、间接测量的不确定度计算——不确定度计算的传播公式 间接测量是通过直接测量进行的,每个直接测量的误差必然会带给间接测量。评定误? 差的每个直接测量量的合成不确定度 σ i ,当然就会对间接测量量的合成不确定度 σ 产生影 响,那么是如何影响的呢?这就是我们要研究的不确定度的传播规律。不确定度传播规律 的数学基础是全微分,我们先复习一下多元函数的全微分公式,然后再介绍不确定度的传 播规律。 1.多元函数的全微分 设待测物理量 N 与各直接测量量 x , y , z ,…有下列函数关系 N = f ( x, y, z , !) 对式(1-2-13)全微分后有 dN = f f f dx + dy + dz + ! x y z (1-2-13) (1-2-14) 如果先对式(1-2-13)取对数后再进行全微分,则有 ln N = ln f ( x, y, z , !) dN ln f ln f ln f = dx + dy + dz + ! N x y z 变化引起函数的微小变化量(函数增值) 。 (1-2-15) , 上面微分式中, dx , dy , dz ,…是自变量的微小变化量(增量) dN 是由于自变量微小 2.不确定度的传播公式 不确定度都是微小量,与微分式中的增量相当。只要把微分式中的增量符号 dN , dx , dy , dz ,…,换成不确定度的符号 σ , σ x , σ y , σ z ,再采用某种合成方式合成后就可 以得不确定度的传播公式了。 合成方式有多种,其中最合理、最能满足评定工作的合成方式是“方和根”合成。