人よ、幸福に!
177 人赞同了该文章
(一)求展开式中二项式系数最大的项
根据二项式系数的性质,
为奇数时,中间两项
与
的二项式系数
,
最大;
为偶数时,展开式中间一项
的二项式系数
最大.
(二)求展开式系数的最大项
求展开式系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,还需考虑各项系数的正负变化情况.事实上,由于展开式中各项的系数是离散型变量,因此,我们可以考虑类比求数列最大项的方法,即比较第
项与相邻两项系数的大小,根据通项构造不等式组求解(为什么?)
现在我们着眼于
易知其通项为
,令
,设
最大,则
因为
所以不等式组一定有解,并且当
为整数时,
有两个解;否则
只有一个解,因此得到结论:
形如
的二项展开式中系数最大的项最多只有两项,当
且
时,
为二项展开式中系数最大的项.
但是对于
事实上,对于
时的问题,简便的方法是:先求系数绝对值最大的项,再根据项的系数的正负确定系数最大的项.于是问题就又转化为求
如果
为整数,那么介于
之间的偶数就是我们要求的
;
如果
不为整数,那么介于
之间的偶数就是我们要求的
,
如果介于它们之间的是奇数,那么只需要比较
项左右两项的系数就可以了.(为什么???)
时同理.
(三)方法的合理性(高观点下的初等数学)
那么...
”为什么这个方法就能让我们找到系数最大的项了呢?“
”我们这样求得的不应该是局部最大的吗?“
这就需要我们来了解一个特殊函数:
伽马函数(Gamma Fuction):
,它将阶乘从自然数集
推广至实数集
上.
介绍了伽马函数以及与其相关的 Digamma 函数(伽玛函数的对数的导数也可看作 Gamma 函数的导数除以 Gamma 函数)
所以组合数可表示为,
我们可以将
看作自变量为
的一个函数
:
求导数,利用 Mathematica (Ver 12.1.0)
(当然不用手算啦!)
Manipulate[Plot[{(b^(k+1