版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。
版权
今天我给大家分享一下极限存在、连续、有界、可积、可导/可微之间的关系,今天只说明在一元函数内他们之间的关系,后续给大家分享多元函数他们之间的关系。
在说明它们的关系之前,我们先说明极限存在、连续、有界、可积、可导/可微,这五个的定义。
极限存在:设函数f(x)在
的某一区域内有定义,如果存在常数A,对于任意的
>0,总存在正数
,使得当x满足不等式
,有
,则其极限为A
可导:设函数f(x)在
的某一区域内有定义,若极限
存在,其极限就是该函数的导数
连续:设函数f(x)在
的某一区域内有定义,若
,则函数连续
有界:设函数f(x)在
的某一区域内有定义,如果存在正数M,使得在任意一个定义域中的数
,内有
可积:对任意的
存在
当
时有
,换句话就是说积分和是否无限接近某个常数。
(1)可导一定连续,连续不一定可导。
可导一定连续在这我就不多说明了,在这我主要说明那些不一定,也就是举一些例子,下文也是如此。
例、
处处连续,但在x=0点不可导。(因为极限不存在也就是,左极限不等于右极限)比较简单我就在此不做说明。
(2)连续则极限存在,极限存在不一定连续。
例、
这个函数的定义域是x≠0,所以f(x)在x=0点处是不连续的。
但是这个函数在x=0点处的极限是0。
(3)连续一定可积,可积不一定连续。
例、狄利克雷函数,此函数处处不连续但在单位区间[0,1]上勒贝格可积,且勒贝格积分值为0(且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上(区间不论开闭和是否有限)上的勒贝格积分值为0 )
其实大家看完下面俩个定理也就知道了,
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。(这是定理所以连续一定可积)
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。 (有间断点函数就不连续了 但仍可积)根据定理连续函数一定可积而可积不一定连续。但是具体例子不好举例说明(那天恰好看了关于狄利克雷函数的有关性质)。
(4)连续一定有界,可积一定有界,可导可微等价。
一下为狄利克雷函数的有关性质狄利克雷函数 - 搜狗百科baike.sogou.com