π=4∑(k=0,..∞)(-1)^k/(2k+1)
圆周率即圆的周长与其直径之间的比率.关于它的计算问题,历来是中外数学家极感兴趣、孜孜以求的问题.德国的一位数学家曾经说过:“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志.”我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平,这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法——“割圆术”.
所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法.这个方法,是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后,经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法.
中国古代从先秦时期开始,一直是取“周三径一”(即
)的数值来进行有关圆的计算.但用这个数值进行计算的结果,往往误差很大.正如刘徽所说,用“周三径一”计算出来的圆周长,实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长(参见图1-5-1),其数值要比实际的圆周长小得多.东汉的张衡不满足于这个结果,他从研究圆与它的外切正方形的关系着手(参见图1-5-2)得到圆周率.这个数值比“周三径一”要好些,但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长,也不精确.刘徽以极限思想为指导,提出用“割圆术”来求圆周率,既大胆创新,又严密论证,从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路.
在刘徽看来,既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长,与圆周长相差很多;那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上,再继续等分,把每段弧再分割为二,做出一个圆内接正十二边形,这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗?如果把圆周再继续分割,做成一个圆内接正二十四边形,那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周.(参见图1-5-3).这就表明,越是把圆周分割得细,误差就越少,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周“合体”而完全一致了.
按照这样的思路,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率 为3.14和
3.1416这两个近似数值.这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据.刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信,把它推广到有关圆形计算的各个方面,从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步.
以后到了南北朝时期,祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力,终于求得了圆周率为:精确到了小数点以后的第七位.在西方,这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,
比祖冲之要晚了一千一百多年.祖冲之还求得了圆周率的两个分数值,一个是“约率” ,另一个是“密率”.,其中
这个值,在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的,都比祖冲之晚了一千一百年.刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献,历史是永远不会忘记的.