基本公式:
Y = A * X --> DY/DX = A'
Y = X * A --> DY/DX = A
Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'
1. 矩阵Y对标量x求导:
相当于每个元素求导数后转置一下,注意M×N矩阵求导后变成N×M了
Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]
2. 标量y对列向量X求导:
注意与上面不同,这次括号内是求偏导,不转置,对N×1向量求导后还是N×1向量
y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'
3. 行向量Y'对列向量X求导:
注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导,将各列构成一个矩阵。
重要结论:
dX'/dX = I
d(AX)'/dX = A'
4. 列向量Y对行向量X’求导:
转化为行向量Y’对列向量X的导数,然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX' = (dY'/dX)'
5. 向量积对列向量X求导运算法则:
注意与标量求导有点不同。
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)
d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'
重要结论:
d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A
d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A
d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X
6. 矩阵Y对列向量X求导:
将Y对X的每一个分量求偏导,构成一个超向量。
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则:
d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)
d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)
重要结论:
d(X'A)/d