解析延 )是由 拓也可以执行使用吗汉克尔函数。一个全局收敛级数的黎曼 ζ 函数(它提供了解析延拓的 (21) (Havil 2003,p . 206) 是一个二项式系数推测的 Knopp 大约在 1930 年,证明了哈斯(1930),和重新发现 Sondow(1994)。这个方程与重整化和随机变量(Biane et al . 2001),可 方程(20). 以通过派生而来欧拉系列转换与 哈斯(1930)也证明了相关的全局收敛级数(但更慢) (22) ,与(21),也可以扩展到黎曼 ζ 函数称为泛化赫维茨 ζ 函数 . 这样定义 (23) (如果奇异项的总和定义排除在外 ,然后 。)扩大 关于 给了 (24) 在哪里 是所谓的斯蒂尔斯常数. 黎曼 ζ 函数也可以定义在复平面的围道积分 (25) 对所有 0的 ,那里的轮廓如上图(Havil 2003,pp。193 年和 249 - 252 年)。 (至少)两个不同类型。所谓的“琐碎的零”发生在所有负面的偶数 ,……,在某些“重要的零” (26) , , 为 在“关键地带" 。的黎曼假设断言的黎曼 ζ 函数零的 都有实部 ,一行称为“关键线路。现在已经知道,“这是真正的第一 的根源。 上面的图显示的实部和虚部 黎曼 ζ 函数可以分成 (即。、价值观的 沿着关键线路), 多种多样,从 0 到 35(德比郡 2004,p . 2004)。 (27) 在哪里 和 是 Riemann-Siegel 功能. 和狄利克雷 η 函数 通过 黎曼 ζ 函数是相关的狄利克雷 lambda 函数 (28) 和 (29) (Spanier 和奥尔德姆 1987)。 这是相关的刘维尔函数 通过 (30) (1960 年雷曼 1960 年,哈代和赖特)。此外, (31) 在哪里 为 的数量是不同的主要因素的 (哈代和赖特 1979,p . 254)。 一个积极的偶数 , , ..., (32) 给第一个只有 (33) (34) (35) (36) (OEISA117972 和 A117973)。为 , (37) 在哪里 是 Glaisher-Kinkelin 常数。使用方程(◇)给出了导数 (38) 可以直接从哪一个沃利斯公式(Sondow 1994)。 表达分析的吗 也可以直接从 Euler-Maclaurin 求和公式推导(爱德华兹 2001 年,页 2001 - 2001)。一般来说, ,第一个例子 可以 , ,Euler-Mascheroni 常数 ,斯蒂尔斯常数 (39) (40) 衍生品 也可以在封闭的形式,例如, (41) (42) (OEISA114875). 的导数黎曼 ζ 函数 被定义为 (43) (44) 可以在封闭的形式 (45) (46) 是 Glaisher-Kinkelin 常数(1894 年得到 Glaisher 串联形式)。 是 (OEISA073002), 的系列 关于 (47) 在哪里 是斯蒂尔斯常数. 的伯努利数。,结合 1882 年林德曼证明吗 是先验的,有效地证明了 1739 年,欧拉发现 rational 系数 (1979)最终证明 这样 在 是先验的。的研究 是更困难的。摹仿 是非理性的,但不知道其他类似的结果奇怪的 。由于摹仿的重大发现, 是非理性的,随后,至少有一个的 有时被称为摹仿的常数。Rivoal(2000)和球和 Rivoal(2001)证明有无限多的整数 , , ..., 是非理性的(Rivoal 2001)。这个结果被 Zudilin 随后收紧(2001),表明至少有一个 , , ,或 是非理性的. 许多有趣的金额 , 一个正整数,可以用二项式系数的条件二项金额 (48) (49) (50) (人 1994 年,p . 1994;贝利 et al . 2007 年,p . 70)。摹仿来到他的援助 和上面的公式。一个关系的形式 (51) 一直在寻找 须超过的规范 的身份 一个理性的或代数数,但如果 是一个根的多项式学位 25 或更少,那么必须大于欧几里得范数的系数 而闻名 ,如果 如果 25 度的代数或更少,那么系数必 (贝利 et al . 2007 年,页 70 - 71,更新贝利和普劳夫)。因此,没有这样的资金 . (52) (53) (54) (55) 为 复数不等于一个非零的整数了 Apery-like 公式甚至积极 (贝利 et al . 2006 年,页 72 - 77)。 黎曼 ζ 函数 可能是计算分析甚至 使用轮廓整合或 Parseval 定理用适当的傅里叶级数。一个意想不到的和重要的公式涉及产品质数欧拉在 1737 年首次被发现, (56) (57) (58) (59) (60) 只剩下的条款权力的 在这里,每个后续的乘法 th' 。因此, (61) 被称为是哪一个欧拉产品公式(哈迪 1999,18 页,“将军”1999,p . 159),称为“金钥匙”,德比郡(2004 年,第 106 - 104 页)。这个公式也可以写 (62) 在哪里 和 是 1 和 3 的质数全等模 4,分别。 为甚至 , (63) 在哪里 是一个伯努利数(马修斯和沃克 1970,pp。50-53;Havil 2003,p . 194)。另一个亲密的伯努利数是由 (64) 为 可以写 (65) 为 。(只在两种情况下,即使情况下感兴趣的 非常的奇怪 )。重写(65 年), (66) 为 ,3,…(Havil 2003,p . 194) 是一个伯努利数,最初的几个值 ,1/120, ,1/240,……(OEISA001067 和 A006953). 尽管没有分析形式 而闻名奇怪的 , (67) 在哪里 是一个谐波数(1974 年的)。此外, 可以表示为金额限制 (68) 为 为 5,……(很有 1973,鉴于斯塔克 1974)不正确。 的默比乌斯函数, (69) (Havil 2003,p . 2003)。 的值 小正整数的值 是 (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) 欧拉给 来 为甚至 (井 1986、54 页)和斯蒂尔吉斯(1993)确定的值 , ..., 到 1887 年的 30 位的准确性。分母的 为 为 ,2,…6,90,945,90,945,638512875,…(OEISA002432)。分母的小数位数的数字 积分给出了积极的偶数 ,1,…是 1、5、133、2277、32660,426486,5264705,……(OEISA114474). (80) 和积分给出了积极的奇数 (81) (82) (83) (84) 在哪里 的价值 是一个欧拉多项式和 是一个伯努利多项式(Cvijovi? 和 Klinowski 2002;j . Crepps 珀耳斯。通讯,2002 年 4 月)。 可以通过执行内部和计算方程(◇) , (85) 获得 (86) 在哪里 是克罗内克符号. 可以通过执行内部和计算方程(◇) 同样,的价值 , (87) 这给了 (88) (89) (90) 这个值与深度导致重整化理论(Elizalde et al . 1994、1995、1996 年布洛赫,Lepowski 1999)。 显然不知道是否值 (91) (OEISA059750)可以用已知的数学常数来表示。这个常数出现,例如,在 Knuth 的系列. 快速收敛级数 为 首次发现了奇怪的 Ramanujan(Zucker 1979、1984 Berndt 1988 年,贝利 et al . 1997 年科恩 2000)。为 和 , (92) 在哪里 又是一个伯努利数和 是一个二项式系数。左边的值金额(除以 )(92 年) 7 日,11 和 ,相应的公式有点复杂, 日,…7/180,7/180,1453/425675250,7/180,7708537/21438612514068750,…(OEIS A057866 和 A057867)。为 (93) 科恩(2000)。 定义 (94) 可以写的头几个值 (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (普劳夫 1998)。 另一组相关的公式 (105) (106) (107) (108) (109) (普劳夫 2006)。 多项为奇数 包括 (110) (111) (112) (113) (Borwein 和布拉德利 1996,1996;贝利 et al . 2007,p . 71),在那里 是一个广义的谐波数. g . Huvent(2002)发现了美丽的公式 (114) 大量的涉及和身份 包括 (115) (116) (117) (118) 包括资金涉及整数倍数的论点 (119) (120) (121) 在哪里 是一个谐波数. 是由 两个惊人的资金涉及 (122) (123) 在哪里 是 Euler-Mascheroni 常数(Havil 2003,pp。109 年和 111 - 112 年)。方程(122 年可以推广到) (124) (t . Drane 珀耳斯。通讯,2006 年 7 月 7 日) 其他意想不到的金额 . (125) (泰勒和 Chernhoff 1985;米德尔斯堡和摩???1985,p . 248) (126) (125 年)的一个特例 (127) 在哪里 考虑到金额 是一个赫维茨 ζ 函数(Danese 1967;米德尔斯堡和摩尔 1967,p . 248)。 (128) 然后 (129) 在哪里 是自然对数的,这是一个特殊的情况下 (130) 在哪里 是双函数和 是 Euler-Mascheroni 常数,这可以从 (131) (b . Cloitre 珀耳斯。通讯,2005 年 12 月 11 日,cf。Borwein et al . 2000 年,eqn。27)。 一个泛化的 Ramanujan(谁给的结果 )是由 (132) (b . Cloitre 珀耳斯。通讯,2005 年 9 月 20 日)。 一组额外的资金 是由 (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (OEISA093720,A076813,A093721), 是一个修改后的第一类贝塞尔函数, 是一个正则化超几何函数。这些钱没有封闭表达式。 黎曼 ζ 函数的倒数 值 ,上面绘制的,是渐近的密度 th-powerfree 数字(例如,squarefree 数字,cubefree 数字,等等)。