相关知识点
格林公式:(1)积分曲线为平面上的闭曲线;(2)积分曲线的方向相对于其围成的封闭区域以左手法则判定为正方向;(3)在闭区域上,两个二元函数,都存在有一阶连续偏导数,则
注1:公式中的闭曲线可以是围成闭区域的多条边界曲线组成. 判断边界曲线正向的“左手法则”:当沿着边界曲线的正方向行走时,平面区域应该位于左手一侧,所以对于单连通区域(无“洞”区域),即只有外边界曲线的实心区域来说,曲线的正方向为逆时钟方向;对于多连通区域(有“洞”区域),则边界曲线由内、外边界曲线构成,外边界曲线的正方向为逆时钟方向,内边界的边界曲线为顺时钟方向.
注2:格林公式也适用于对弧长的曲线积分,只要借助于两类曲线积分之间的关系即可实现两类曲线积分之间的转换. 另外,也可以通过构造合适的,函数,反向用积分区域边界曲线上的对坐标的曲线积分来计算二重积分.
注3:利用格林公式计算曲线积分适用的题型
(1)对坐标的曲线积分使用参数方程的直接法,或者应用两类曲线积分之间的关系不好计算时,考虑格林公式的方法,或者看到平面曲线上对坐标的曲线积分的计算,首先直接考虑格林来计算.
(2)当被积函数或积分曲线为抽象描述时,即被积函数中包含有抽象函数表达式,积分曲线没有具体的方程描述,则考虑格林公式法.
平面上对坐标曲线积分的一般思路与步骤
对坐标的曲线积分相关问题从“高级”计算方法到基本计算方法的探索过程:
第一步:明确被积表达式中的和函数(前面的,前面的是.
第二步:计算:
(1)如果两者之差简单,二重积分容易计算,则考虑使用格林公式转换为二重积分进行计算. 如果积分曲线不为封闭曲线,则考虑添加辅助线,让积分曲线转换为封闭曲线;如果曲线包围了被积函数偏导数不连续的点,则考虑添加辅助线,除去相应点,然后用二重积分计算的结果减去辅助线上的积分就得到需要的曲线积分.
(2)如果两者之差等于0,则表明积分与路径无关,则可以自己选择同向合适路径,利用曲线积分计算的基本方法完成计算得到结果;或者在能够得到原函数的情况下,直接用原函数的函数值差来得到积分结果.
在不满足以上条件下,或者借助以上步骤不能有效完成计算的情况下,继续考虑第三步:
第三步:如果问题中包含有与弧长相关的元素,则考虑将借助于两类曲线积分之间的关系,即
将对坐标的曲线积分转换为对弧长的曲线积分来进行计算,其中为与有向积分曲线同向的曲线的单位切向量;然后利用对弧长的曲线积分的基本计算方法来完成计算,或者根据问题的需求对积分进行变换.
第四步:如果以上方法都不适用,则直接使用对坐标的曲线积分的基本计算方法来完成计算. 即写出积分曲线的参数方程,然后将被积表达式中的所有变量用各变量对应的参数表达式替换,并取有向曲线的起点对应的参数值作为定积分的下限,终点对应的参数值作为定积分的上限,将对坐标的曲线积分直接转换为定积分来计算.
视频解析
例题及参考解答
【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示!
例: 计算曲线积分
其中为上半圆周,从点到点.
【参考解答】 令
则
【思路一】格林公式法. 添加辅助路径:
如下图.
记四条线围成的区域为,则由格林公式,得
即
其中
所以
【思路二】积分与路径无关. 从以上计算可得
即在不包含原点的区域内积分与路径无关. 根据题意,选取一个分段路径,如下图
两路径方程分别为
并且的参数方程为
于是可得
所以
注: 路径不能直接选,因为被积函数在原点没有定义!
【思路三】原函数方法. 求被积表达式的原函数,取路径起始点
于是得
两式相加得原函数为
代入起点和终点坐标,即,,得
所以
注: 注意反正切的取值与点坐标所处坐标系位置.