①锐角三角形中如图,作△ABC的外接圆,O为圆心。连结BO并延长交圆于D, 设BD=2R。根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等,可得:∠DAB=90°,∠C=∠D。②直角三角形中因为BC =a= 2R,可以得到所以可以证明③钝角三角形中根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径,即证明三:向量若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥,则j与的夹角为90°-∠A,j与的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到∴|j| ||Cos90°+|j| ||Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A).∴asinC=csinA 即同理,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+∠C,j与的夹角为90°+∠B,可得若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°+∠B.