初一数学全等三角形全等三角形(一)SSS 【知识要点】 1.全等图形定义:两个能够重合的图形称为全等图形. 2.全等图形的性质: (1)全等图形的形状和大小都相同,对应边相等,对应角相等 (2)全等图形的面积相等 3.全等三角形:两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 (1)表示方法:两个三角形全等用符号“”来表示,读作“全等于” 全等,记作ABC (2)符号“”的含义:“”表示形状相同,“=”表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等. (3)两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的 边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角. (4)证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4.全等三角形的判定(一):三边对应相等的两个三角形全等,简与成“边 边边”或“SSS”. 【典型例题】 例1.如图, 26BAC 的面积.例2.如图,A 初一数学全等三角形例5.如图,在D、E分别为AC、AB上的点,且BE=BC,DE=DC,求证: ABDE 【巩固练习】1.下面给出四个结论:若两个图形是全等图形,则它们形状一定相同; 若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;若两个图形的面积相 等,则它们一定是全等图形;若两个图形是全等图形,则它们的大小一定 相同,其中正确的是( ,且AB和CD是对应边,下面四个结论中 不正确的是( CDBABD D、AD//BC且AD=BC3.如图, ABC 60ABD ,AD=8,BE=2,则AE等于( A、AC=BC,AD=CE,BD=BEB、AD=BD,AC=CE,BE=BD C、DC=EC,AC=BC,BE=AD D、AD=BE,AC=DC,BC=EC 6.如图,A ,AE=,CE= ,AB// BCAE ,则DF 7.如图,ABC 9.如图,ABC 题题图初一数学全等三角形 10 cmCD cm AD ACF 的度数及BC的长. 11.如图,在ABD ABC 中,AC=BD,AD=BC,求证:ABC 全等三角形(一)作业1.如图, ABC A、7cmB、5cm C、8cm D、无法确定 2.如图, ABC 一直线上,则ACD 623.如图, ABC 4.如图,ABE 度数.5.如图,已知,AB=DE,BC=EF,AF=CD,求证:AB//CD 6.如图,已知AB=EF,BC=DE,AD=CF, 求证: ABC 初一数学全等三角形7.如图,已知AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证: CAE BAD 初一数学全等三角形全等三角形(二) 【知识要点】 定义:SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”,几何表示 如图,在ABC BD=CE,AD=AE,1=2,由此你能得出哪些结论?给出证明. 如图已知:AE=AF,AB=AC,A=60,B=24,求BOE的度数. 如图,B,C,D在同一条直线上,ABC,ADE 是等边三角形, 求证:CE=AC+DC; ECD=60. 【例5】如图,已知ABC、BDE 均为等边三角形。求证:BD+CD=AD。 初一数学全等三角形【巩固练习】 1.在ABC和 ,还要加一个角的条件,使ABC A.AB=DE,BC=EF;CA=CDB.CA=CD;C=F;AC=EF C.CA=CD;B=E D.AB=DE;BC=EF,两个三角形周长相等 3.阅读理解题: 如图:已知AC,BD相交于O,OA=OB,OC=OD. 那么AOD与BOC全等吗?请说明理由.ABC与BAD全等吗?请说明理由. 小明的解答: AODBOC而BAD=AOD+ADB ABC=BOC+AOB 所以ABCBAD (1)你认为小明的解答有无错误; (2)如有错误给出正确解答; 4.如图,点C是AB 中点,CDBE,且CD=BE,试探究AD与CE 的关系。 5.如图,AE AB=AC(1)若D是AE 上任意一点,则ABDACD,说明理由. (2)若D是AE 反向延长线上一点,结论还成立吗?请说明理由. 6.如图,已知AB=AC,EB=EC,请说明BD=CD的理由 SASOA=OB OD=OC 初一数学全等三角形 全等三角形(二)作业 1.如图,已知AB=AC,AD=AE,BF=CF,求证:B 2.如图,ABC,BDF为等腰直角三角形。求证:(1)CF=AD;(2)CEAD。 3.如图,AB=AC,AD=AE,BE和CD相交于点O,AO的延长线交BC于点F。 求证:BF=FC。 4.已知:如图 1,ADBC,AE=CF,AD=BC,E、F 在直线AC 上,求证: DEBF。 如图,已知ABAC,ADAE,AB=AC,AD=AE,求证:(1)BE=DC,(2)BEDC. 6、已知,如图A、F、C、D四点在一直线上,AF=CD,AB//DE,且AB=DE,求证: (1)ABCDEF (2)CBF=FEC 已知:如图,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE.求证:BD=CE 8、如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF 的边CE 上,连接BE、DG, (1)观察猜想BE 与DG之间的大小关系,并证明你的结论。 (2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请说出旋转过 程,若不存在,说明理由。 9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE.求证:BECF. 10、已知C为AB 上一点,ACN和BCM是正三角形.求证:(1)AM=BN (2)求AFN大小。 11、已知如图,F 在正方形ABCD的边BC边上,E在AB 的延长线上,FB=EB,AF 交CE 于G,求AGC 的度数. 12、 如图,ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF 是正方形,连接AF、BD. (1)观察图形,猜想AF 与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想; (2)若将正方形CDEF 按顺时针方向旋转,使正方形CDEF 的一边落在 ABC 的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题(1)中 猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说 明理由. 初一数学全等三角形全等三角形(三)ASA 【知识要点】 ASA公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 如图,在ABC DEAB (ASADEF ABC 【典型例题】【例1】下列条件不可推得 ABC 【例2】已知如图,DE AB DE AB ,求证:AD=AE 【例4】已知如图, ,点P在AB上,可以得出PC=PD吗? 试证明之. 【例5】如图, 初一数学全等三角形【例6】如图, ,AC,BD相交于O,求证:AB=CD OA=OD 【巩固练习】 1.如图,AB//CD,AF//DE,BE=CF,求证:AB=CD 2.如图,AD//BC,O AC中点,过点 的直线分别交AD,BC M,N,求证:AM=CN3.求证:两个全等三角形ABC与A 相等4.如图,AB,CD相交于O,E,F 分别在AD,BC上,若FOB EOD 求证:COF AOE 5.如图,AB//CD,AD//BC,求证:AB=CD6.已知,如图AB=DB, ,求证:AC=DE10 初一数学全等三角形全等三角形(三)作业 1.已知,如图, CD AF ,求证:AB=DE2.如图,已知 CAD BAE ADE AED ,求证:BE=CD3.已知如图,AB=AD, CAE BAD BCAD BAC ABDACD 5.已知如图,cm AC ABD DCA DBC ACB 10 ,求BD的长(要求写出完整的过程) 别在AB,BC,AC BD=CE,DEF=B求证:ED=EF 11 (1)如图1,以ABC AC为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG 连结EG ,试判断ABC与AEG面积之间的关系,并说明理由. (2)园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角 形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米,内圈的所有三角 形的面积之和是b 平方米,这条小路一共占地多少平方米? 求证:OBDOCE10、已知:如图 AD=BC,O为BD中点 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F.求证:OE=OF 11、如图在ABC 和DBC 是BC上任意一点.求证: PA=PD. 12、已知 :如图 四边形ABCD中是AB的中点 DF交CB 延长线 CE=CD.求证:ADE=EDC. 13、已知:如图 直线FA与BE交于C AB和EF 交于O ,求证:1=2. 12 初一数学全等三角形13 初一数学全等三角形 全等三角形(四) 强化训练 1、如图, ABC 是等边三角形,点D、E 分别是线段AB、BC 、CA DEF是等边三角形吗?试证明你的结论; DEF是等边三角形,问AD BC延长线于 M,求证: 2M=(ACB-B) 3、ABC 中,A=90,AB=AC,D 为BC 中点,E、F 分别在AC、AB DEDF,试判断DE、DF的数量关系,并说明理由. 4、已知:如图, ABC 45ABC ,CDAB 平分ABC 是BC边的中点,连结DH BFAC CEBF 如图,点O是等边ABC 内一点,110 AOB BOC ,连接OD.(1)求证: COD 时,试判断AOD 的形状,并说明理由; (3)探究:当 为多少度时,AOD 是等腰三角形?14 初一数学全等三角形7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC,在AM上取点D,使BD=BC,且DB 与AC 所在直线交于E, 求证:CD=CE。 过A作AFBC于F,过D作DGBC于G,则DG=AF=1/2BC=1/2BD, 在RtBDG中,DG=1/2BD DBC=30=>BDC=BCD=1/2(180-30)=75,即EDC=75 DEC=DBC+BCA=30+45=75 EDC=DEC =>CD=CE 8、RtABC,AB=AC,BM是中线,ADBM交BC于D,求证:AMB=CMD。 9、如图,已知ABC是等边三角形,BDC=120,说明AD=BD+CD的理由。 10、已知:如图,点D 在ABC 的边CA 的延长线上,点E 在BA 的延长线上, CF、EF 分别是ACB、AED的平分线,且B=30,D=40,求F 的度数。 11、等边三角形ABC和等边三角形DEC,D在AC边上。延长BD交CE 延长线于 N,延长AE 交BC延长线于M。求证:CM=CN 易证BCDACE 所以DBC=EAC 再证BCNACM (ASA) CM=CN15 初一数学全等三角形12、操作:如图,ABC 是正三角形,BDC 是顶角BDC=120的等腰三角 两点,连接MN.探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明. 13、如图等边ABC 和等边CDE,点P 为射线BC一动点,角APK=60,PK 试探索AP、PK之间的数量关系; 当点P运动到BC延长线上时,上题结论是否依然成立?为什么。14 120APB BPC CPA 叫做ABC 外侧作等边ACB ,且BB′=PA PB PC 15、如图,ABC ,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD=2BM, 点E在射线NA 上,且NE=2NA.求证:BDDE. 16 初一数学全等三角形第五章 全等三角形 拓展延伸 分析:三角形全等的证明及其运用关键点在于“ 把相等的边 (角)放入正确的三角形中” ,去说明“ 相等的边(角)所 在的三角形全等” ,利用三角形全等来说明两个角相等(两条 边相等)是初中里面一个非常常见而又重要的方法。 例1:已知AE 既是BAC 的平分线,也是BDC 的平分线, 试说明AB=AC 思路:AB 在ABD 中,AC 在ACD 中,要说明AB=AC,尝试说明ABD与ACD全等。 再利用全等三角形的对应边相等,得到AB=AC例2:在ABC中,BAC=90,AB=AC,AE 长度。17 初一数学全等三角形思路:抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC 进行分析, 对它们的位置进行分析,发现AB、AC分别位于一个Rt中,所 以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt全等。 那么:已经存在了两组等量关系:AB=AC,直角=直角.可以 求证ABDACE。 练习1. 小明说:“三角形一边的两个端点到这边上的中线所 在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗?为什么? 18 初一数学全等三角形分析:如图,题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? 练习2.在ABC中,ACB= 90 ,AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E。 ADCCEB,且DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗? (2)当直线MN绕点C旋转到图2 的位置时, DE =AD-BE。 说说你的理由。 )当直线MN 的位置时,试问19 初一数学全等三角形DE,AD,BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系。 20