1、像电荷必须位于待求解的场域(称为像电荷的有 效区域)外,保持有效区域内的电荷分布不变。 2、像电荷的个数、位置、电荷量的大小和符号以 满足边界条件来确定。 仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能 确定其镜像电荷。 点电荷对电介质分界面解决的问题 局限性 3、电荷能量守恒 一、平面接地导体边界1、点电荷与无限大的导体平面 pointcharge above infiniteconducting plane 介质导体 介质以一个处于镜像位置的点电荷代 替边界的影响,使整个空间变成 均匀的介电常数为 的空间 镜像电荷位置的确定边界条件:无限大接地平面的电位为0 镜像电荷 q′距离接地平面的距 离应为h 电位函数的计算 用一个处于镜像位置 的点电荷代替边界 整个空间变成均匀的 介电常数为 的空间 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。 电场线 等位线 linecharge above infiniteconducting plane lnln 3、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像例:两半无限大接地导体平 面垂直相交。 要满足在导体平面上电位为 零,则必须引入3个镜像电荷。 如图所示。 对于非垂直相交的两导体平面构 成的边界,若夹角为 为了满足边界条件,不仅需要找出原电荷的镜像电荷,还需要找 出镜像电荷的镜像,即多重镜像。 pointcharge twoconducting planes intersecting 镜像电荷位于球心与电荷q连线上。令镜像电荷电量为 心距离为。要保持边界条 件不变,则: 在空间中任意点处电位为: pointcharge outside conductingsphere 球壳内电位球壳外电位: 不接地:导体球面电位不为0,球面上存在正、负感应电荷(感应电 荷总量为0)。 处理方法:电位叠加原理 2、断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上,这些电荷 必然均匀分布在球面上,以使导体球为等势体。 1、先假设导体球面接地,则球面上存在电量为的感应 电荷,镜像电荷可采用前面的方法确定。 3、均匀分布在导体球面上的电荷可以用位于球心的等 量点电荷等效。 结论:点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个: 镜像电荷1: 电量: 镜像电荷2:电量: 例:已知同轴线的内导体半径为a,电位为V,外导体接地,其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数 以及电场强度。 解:对于这种边值问题,镜像法 不适用,只好求解电位方程。为此, 选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐 有关,因此,电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开 式只剩下包含变量r lnln lnln lnln 3.4.直角坐标系中的分离变量法 XYdy XZdx YZ对x求一次微分 个变量有关基本原理 经过变量分离后,三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。 -kx含变量 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。 解的形式的选择完全决定于给定的边界条件。 解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。 常微分方程的解 说明 的导电平面封闭,且与无限大接地导体平面绝缘,如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位 分布。 轴无限延伸,槽中电位分布函数一定与 无关,因此,这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为 应用分离变量法,令槽中电位应满足的边界条件为: cossin 分离常数kx 为虚数 这就表明此式不能满足给定的边界条件。必须取上式的和式作为电位方程的解 左端为常量右端为变 为偶数为奇数 电场线及等位面分布如右图示: 傅里叶级数的正交性 应用分离变量法解静电场边值问题中应注意的几个问题:1、建立适当的坐标系。 坐标系的建立主要根据求解区域的几何特征,一般要求坐 标面应与区域的边界面相吻合,才能用分离变量法求解。 例如,具有球面边界的问题,应选择球坐标系;对具有柱 面边界的问题,则应选择柱面坐标系。此外,对具有对称 性的问题,就结合对称性来确定坐标轴的取向,尽可能减 少电位函数的自变量个数,从而降低方程的维数,使问题 的求解得到简化。例如,在均匀外场中放入一个导体球, 应以球心为坐标原点,极轴沿外场方向建立球坐标系;又如,导体球附近有一个点电荷,建立球坐标系时,应以球 心为坐标原点,极轴沿球心与点电荷的连线。 2、正确写出电位的通解。这里主要存在两个问题:一是电位满足的泊松方程或 拉普拉斯方程都是在均匀介质条件下导出的,若场域 中存在不同的介质,则应将场域沿介质分界面划分为 几个区域,分别写出各区域的通解;另一个问题是, 应用分离变量法求解边值问题时,要求电位满足的方 程应为拉普拉斯方程。也就是说,场域内没有电荷分 布时,才能直接应用分离变量法求解。因此,对场域 内有电荷分布的问题,一般应利用叠加原理,将电位 写成特解(由源电荷产生)与通解(满足拉普拉斯方程) 的叠加。 例如,在半径为a的介质球外有一点电荷q的问题中,空间任一点的电位可写成 ,其中 是点电荷产生的电位(特解), 是介质球上极化电荷产生的电位(满足拉普 拉斯方程)。此外,若场域中有面分布电荷时,可沿电荷 分布面对场域进行划分,这样面电荷就包在于分界面上的 边界条件之中。 应用叠加原理还应特别注意,当由边界条件确定通解中的 待定常数时,边界条件中的是总的电位 ,而不是通过分 离变量法求出的部分电位 3、正确地写出边界条件。