向量加法的定义:
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作
,再做向量
,则向量
叫做
与
的和,即
。
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”,其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
向量加法的三角形法则:
已知非零向量a,b,在平面内任意取一点A,作
这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则,如图
向量加法的平行四边形法则:
以同一点O起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则,如图.
向量减法的定义:
向量
与
向量的相反向量的和,叫做向量
与向量
的差,记作:
。
作向量减法有“三角形法则”:设
,那么
,由减向量和终点指向被减向量和终点。
注意:此处减向量与被减向量的起点相同。
向量减法的作图法:
因此,a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.
坐标运算:
向量加减法的运算律:
(1)交换律:
(2)结合律:
求向量的和的三角形法则的理解:
使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,具体做法是把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合,即用同一个字母表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量,仍有
,这可以称为向量加法的多边形法则。
作两个向量的和向量,可分四步:
①取点,注意取点的任意性;
②作相等向量,分别作与两个已知向量相等的向量,使它们的起点重合;
③作平行四边形,以两个向量为邻边作平行四边形;
④作和向量,与两个向量有共同起点的对角线作为和向量,共同的起点作为和向量的起点,对角线的另一个端点作为和向量的终点.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则是一致的;当两个向量共线时,三角形法则同样适用,而平行四边形法则就不适用了.
向量的加法需要说明的几点:
①当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且
②当两个非零向量a与b共线时,