曲线积分一般分为两类,对弧长的曲线积分,就是形如∫L f(x,y)ds ,L为积分曲线。而另一类也是对坐标的曲线积分,形如∫L f(x,y)dx+g(x,y)dy, L为积分曲线。
1.对弧长的线积分计算常用的有以下两种计算方法:
平面上对坐标的线积分(第二类线积分)计算常用有以下四种方法:
(1)直接法
就是将积分曲线关系直接带入被积函数转化为单一变量积分!
(2)利用格林公式
应用格林公式一定要注意以下两点:
a.P(x,y),Q(x,y)在闭区间D上处处有连续一阶偏导数
b.积分曲线L为封闭曲线且取正向。
(3)补线后用格林公式
若要计算的线积分的积分曲线不封闭,但直接法计算不方便时,此时可补一条曲线,使原曲线变成封闭曲线。
这里给个提示:再没有使用格林公式之前,积分曲线的变量关系可以随便带入积分表达式,一旦使用了格林公式,现在就成了二重积分,就不再满足积分曲线的变量的等量关系了。