待定系数法求数列通项公式例题1.在数列他}中,ax= 2an+\t试求其通项公式分析;显然-这不杲等差或等比数列,旦如果在口心产九‚十1 的两边同时加上L 整理 1),此时,把弘+1和效+1 看作一个整体,或者换元,令虹产%1 启示’在这个问题中,容易看出在左右两边加上1就枸成了新的等比数列何+1},那 不易看出在左 右两边该加几后构成新的等比数列时,该怎么办呢? 其实,已知釋厂込+1,可变形为也+ 42(务叔)的形式,然后展开括号,移 这样,对于形如严(其中P、q为常数,且図式QpHl)的遥推数列‛ 先变为%1+八凤片+丄)的形式,畏开s移项,利用待定系数去有 (p-l)A 丄‘公比为P的等比数列 P-1J -1因此,形妇存1 =叫T这一类型的数列.餐可以利用待定系数法来求料 那么.若g 变为/()>/()是关于幷非零多项式时,该怎么办呢?是否也菲运用待 定系数法呢? 例题2在数列{务}中! l,试求其通项公式*分析*按照例题1 的思路,在两边既要加上某一常数同时也要加上口的倍数,才能使新 的数列有一 致的形式.先变为%】+恥+ 1)-2=2(% 1.展开比较得2"即-3(M 则数列{%+亦+4}是a+3x1 小碍二三7-知-4同样』形&口由1 +m+J´)展开、?+1 移项、整理.比较对应系数相等!列出方程(p-i)x P-1即力厂;$7 9-1)p_L ,是以应厂 F_1的等比数列’于是就可以进一步求出{^}的通项’ 同理•若其中子何是关于n 的多项式时.也可以构造新的等比数列, 利用待定索数法求出其通项。比如当才何=我+柯-厂眄可设 盘心-X(H-1) p(att+XM 的指数式,即/(‚)=旷亠尸时,递推公式又将如何变形呢? 32(pqr LgL_p qj 例题出在数列{%}中$ al=lra^=3an+ Tt试求其通项勢 分析h 由于^ 3^42"与例题1的区别在于 是指数式.可以用上面的思路进行变形?在两边同时加 15变为也十2 +27(^7)则数列{% }杲首项为&公比为3的等比数列% 分析刃如果将指数式先变为常数,两边同除2"就回到了我们的类型一。进一步也可求出丐= 3”-2j 例题4.在数列{%}中』斫三3 3an+5x2^ +4 分析:若按例题3的思路2,在两边同时除以剪=虽然产生了牟、电.(旦是又增加 有大的变化‚所以只能运用思路h在两边同时加上102 3(^-5x2^)-4 进一步 则数列他+ 2}是首项为15,公比为3的等比数列 aH+ 5x2 知.有两种思路进行变换.利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列二 思路一,在两边同时除以广打将不含和毎的项变为常数‛即 为前面的类型一,再用类型一的待定系数法思想可得数列 思路二j在两边同时加上的倍数,最终能变形为口I 附小=p仗打+xg") 对应系数相等得 (p-q)X=rf即"亠BPatj_ 展褰求解出他}\(p-q)x 比较得禺y的方程组 于是% /?-1求出数列{%+才孑g"-右j 的通项,进一步求出g}的通项. 四:ai ga”+/何型(已知56其中『5)可以为常数、n的多项式或指数式) 分析I这是三项之间递推数列「根据前面的思路,可以把看燉常数进行处理,可变 11"】然后利用累加法即可进一步求岀{%}的通取毎 对于形如心*如-州的递推数列,可以设J )•("+汛)展开,利用对应系数相等,列方 pJ就是以色+血】为首项,y为公比的等比数列.