空间应力状态下的应变能密度 在第二章“轴向拉伸和压缩”中已讲到,应变能密度 是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能,并导 出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式: 在第三章“扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度: 在此基础上,本章讲述空间应力状态下的应变能密度。空间应力状态下,受力物体内一点处的三个主应力有可 能并非按同一比例由零增至各自的最后值,例如s 先由零增至最后的值,然后s 最后才由零增至最后的值。 但从能量守恒定律可知,弹性体内的应变能和应变能密 度不应与应力施加顺序有关而只取决于应力的最终值,因为 否则按不同的加载和卸载顺序会在弹性体内累积应变能,而 这就违反了能量守恒定律。 把由主应力和主应变表达的广义胡克定律代入上式,经整 理简化后得 为了便于分析,这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况,即通常所称的比例加载或简单加 载情形,来分析以主应力显示的空间应力状态下,各向同性 材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度。此时: 体积改变能密度和形状改变能密度图a所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变, 而且其形状(指单元体三个边长之比)也会发生改变。这就表 明,单元体内的应变能密度v 和形状改变能密度v 如果将图a所示应力状态分解为图b和图c所示两种应力状态,则可见: 的情况下,单元体只有体积改变而无形状改变,其应变能密度即是体积改变能密度,而形状改变能密度为零。 情况下,三个主应力之和为零,单元体没有体积改变而只有形状改变,故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度, 而体积改变能密度为零。 由以上分析可知: 图a所示单元体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度,故对图a所示单元体有 单元体在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度。 图a所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的应变能密度,故对图a所示单元体有 7-6 强度理论及其相当应力 材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限,脆性 材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定;材料 在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过 例如圆筒的扭转试验来测定。 但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下 的强度,则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合,所 以不可能总是由试验加以测定。