《义务教育阶段数学课程标准(2011年版)》 的理念及总体目标)四基的理解 大英县实验学校学生:吴长琼 针对数学的“四基”中,我选择了基本思想来谈谈这个目标包含 的内容和在教学中如何逐渐实现这一目标。 基本思想包括抽象思想、推理,推理的思想和模型的思想。 于数学思想,数学思想方法,数学方法有多种多样的论述,也有 多种多样的说法,怎么来界定这个基本数学思想,有两个原则,一是 什么东西对数学的发展起了关键性作用,并且在数学发展中,自始至 终发挥着不可替代的作用?恐怕这些应该是数学思想的基本作用。第 二个问题,就是什么东西是学数学和不学数学差异,学了数学就能有, 不学数学,在这方面就有所缺憾。所以这两个前题成为的一个判定定 理,是作为判定什么样的东西能够成为基本思想的一个标准。根据大 家的讨论,基本数学思想一个就是抽象,一个就是推理,包括通常所 说的合情推理(或者叫归纳推理)和演绎推理,还有一个就是模型, 这些都是符合刚才所要求的基本思想。 一、抽象和概括思想方法 抽象和概括是两种非常重要的数学方法,任何数学概念、数学命 题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。 抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来,并 舍弃个别的、非本质特征的思维过程。这里的关键词有两个,抽取和 舍弃,抽取的是事物的本质特征,是我们要给予单独考察的。而舍弃 的是事物的非本质特征。 概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结 同类事物的共同属性的思维过程。概括包含两方面,一是推广,把个 别事物的某些属性推广到同类事物中去,二是总结,把同类事物的共 同属性总结出来。 例如,学习“角”的概念时,就要分析组成“角”的各种特征, 将非本质特征——形状、位置、角度等与本质特征——端点、射线区 别开,并把本质特征抽取出来,这就是抽象过程。再通过概括,形成 了角的概念。“角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形”。 抽象和概括是两种不同的数学方法,抽象侧重于分析和提炼。而 概括侧重于归纳和综合。但二者又有着密切的关系。抽象是概括的基 础,概括是抽象的发展。 二、数形结合思想方法 所谓数形结合方法,就是在研究数学问题时,由数思形、见形思 数、数形结合考虑问题的一种思想方法。数和形是数学研究的两个主 要对象,数离不开形,形离不开数,一方面抽象的数学概念,复杂的 数量关系,借助图形使之直观化、形象化、简单化,使学生看得见甚 至摸得着,使学生易于接受。另一方面复杂的形体可以用简单的数量 关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。 例如,两个工程队合开一条隧道,各从一端同时向中间开凿。第 一队每天开凿70 米,第二队每天开凿60 米,经过4 天正好凿通。这 条隧道长多少米? (1)学生读题后,课件演示线段图,或者师生一起画图。 70 第二队(2)用线段图将抽象的数用图形直观、形象地表示出来,非常便 于学生理解和解决问题。这种方法就是“数形结合方法”。 三、化归方法 所谓“化归”,可以理解为转化和归结的意思。化归方法是指把 待解决或未解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决 或者解决比较容易解决的问题中,最终获得原问题的解答的一种手段 和方法。或简单地说,化归就是问题的规范化、模式化。 例如,暑假期间,小华、小明和小芳都去参加游泳训练。小华每 天去一次,小明每4天去一次,小芳每5 日三人都参加了游泳训练,几月几日他们又再次一起参加训练? 这是一个实际问题,但通过分析知道,小华从8 号算起第几天去游泳正好是3 的整倍数,小明从8 号算起第几天去游泳正好是5的整倍数, 三人又再次一起参加训练的时间从8 日往后加上这个天数就可以了。上面的思考过程,实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题, 即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题,这正是化归思想的具 体运用。 四、类比思想方法 类比法是数学教学中常用的一种重要方法,也是数学发现的重要 方法。类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似,从而推出 他们在其它方面也可能相同或相似,数学中的许多定理、公式、法则 是通过类比得到的,在解题中寻找问题的线索,往往也借助于类比方 法,从而达到启发思路的目的。 例如,由加法交换律a+b=b+a 的学习迁移到乘法交换律a 的学习。又如,在学习了除法的商不变的规律和分数与除法的关系后学习 分数的基本性质,学生能够根据分数与除法的关系类比猜想到分数的 基本性质。 五、归纳猜想思想方法 人们运用归纳法,得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测 性的判断,即猜想,这种思想方法称为归纳猜想。 例如,人们在度量了很多圆的周长和直径以后,发现它们的比值 总是近似地等于3.14,于是提出了圆周率是3.14 的猜想。后来数学 家从理论上证明了圆周率的数值为,果然和3.14 很接近。 六、数学模型思想方法 所谓“数学模型方法”(Mathematical Modeling Method),是 利用数学模型解决问题的一般数学方法,简称MM 方法。是重要的数 学思想方法,其关键是建立适合问题的数学模型,即数学建模。 例如,抽屉原理就是重要的数学模型。抽屉原理可叙述为: 如果把n+k(k1)件东西放入n 个抽屉,那么至少有一个抽屉中 件以上的东西。如果把mn+k(k1)件东西放入n 个抽屉,那么必定有一个抽屉 里至少有m+1 件东西。 抽屉原理明白易懂,如能灵活运用,可以解决许多看上去很难甚 至无从下手的问题。抽屉原理又称鸽笼原理,因为它是一个重要的数 学模型,因此也可以称作鸽笼模型。 总之,在数学的教学过程中,根据不同内容和特点选择适当的方 法教学,就会事半功倍。