满讲义,赵生变 (北京交通大学 理学院, 北京 100044) 非负定性是数学中一个重要概念,本文提出了二元函数非负定性的两个定义, 并且证明了它们 的等价性. 此外本文还给出了严格非负定条件下实正态过程存在的一个充要条件. 非负定性;正态过程; 分布函数 文章编号1672 21454 (2004) 0420116205 非负定性是数学中的一个重要概念,在线性代数、二次型理论、概率及随机过程的研究中都用到这 一概念 本文则明确提出了严格非负定性与广义非负定性的概念,并证明了二者的等价性, 进一步 在严格非负定的条件下, 本文给出了实正态过程存在性的充要条件, 这个结果也和其它文献中的相应结 果在条件要求和结论上有所不同. 结论及证明本文我们总用 表示一个指标集,且约定其中的元素为互不相同的. 下面再引入定义在 函数严格非负定与广义非负定的概念,并明确指出这两个概念是等价的. 定义 个互不相同的指标t1 上的严格非负定函数.定义 指标,不等式 tn中不排除有相同的 上的广义非负定函数.定理 为任一指标集,若复函数 则它也是广义非负定的.为证定理 rij皆为复数, 又矩阵 r11 r1n引理 收稿日期2003 210220 r1′nr1′n+ rn′1rn′+ rn′nrn′+ 引理结论成立.引理 rij皆为复数, }的任一组置换,则有 的证明:任取指标集{ t1 tn两两互不相同, 则由严格 非负定性, tn中有两两相同的指标, 则将其中所有相同的指标选出一个作为代表, 设所有这些作为 “代表”的指标组成集合{ t1 tn中其余指标以{ tk′+ 显然{tk′+ 每个元素都与{ t1 tk′两两互不相同, 则由严格非负定性的假定可知 是非负定的.由于 tk′+ tk′}中某一元素相同, 应用引理 是非负定的.此外, tn′}显然为{ t1 tn}的一个置换, 故有{1, 但另一方面,由引理 上也是广义非负定的.定理1 指明, 二元函数的严格非负定性与广义非负定 性是等价的, 因此, 在判定一个函数的非负定性或设置非负定条件时可用严格非负定的定义, 而当利用 非负定性质时可用广义非负定定义. 为实函数时,只需给出条件 时为两两互不相同的指标,则对任意 个复数,其中 bj bj的实数部分及虚数部 bibj bibj bibj bjbi bibj ibiibj bibj bibj bibj bibj 为非负实数,故知必有 成立.由上分析可知, 为实函数时,它为非负定的充要条件为 成立.下面讨论正态过程的存在性问题, 其主要理论依据为过程的所谓“相容性定理”. 先叙述分布函数族 相容性的定义. 定义 tn各不相同) }是相容的.关于过程存在性的相容性定理指明: 则在上构造出一个随机过程 征函数,则分布函数族{F 使得其任何有限维分量 下证正态过程的存在性定理.定理 亦为实函数,则存在实 正态过程X 成立.同时, 从分布意义上来说这样的过程是唯一的. 必要性成立.下证定理的充分性. 的任一非空子集,其中元素各不相同. 成立.实际上, 成立.此外, 亦成立.由过程的存在性定理, 知存在实随机过程X 使得对T的任一非空子集T expim 服从n维正态分布N 时令t1 的分布函数由其数学期望及协方差矩阵唯一确定,故知满足本定理条 件的过程在分布意义上是唯一的. 在有关正态过程存在性的其它文献中, 一般未能给出存在性条件严格非负定的描述. 此外, 其它文 献多是讨论过程存在的充分性条件. 在这一点上, 定理 工程系统中的随机过程