2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程 [学习目标] 1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆. [知识链接] 命题甲:动点P到两定点A、B的距离之和PA+PB=2a (a>0且a为常数);命题乙:点P的轨迹是椭圆,且A、B是椭圆的焦点,则命题甲是命题乙的________条件. 答案 必要不充分 解析 若P点的轨迹是椭圆,则一定有PA+PB=2a (a>0且a为常数), 所以命题甲是命题乙的必要条件. 若PA+PB=2a (a>0且a为常数),不能推出P点的轨迹是椭圆. 这是因为:仅当2a>AB时,P点的轨迹是椭圆; 而当2a=AB时,P点的轨迹是线段AB; 当2ab>0)	+=1 (a>b>0)	焦点	(-c,0),(c,0)	(0,-c),(0,c)	a、b、c的关系	c2=a2-b2	c2=a2-b2	要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程; (2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方程. 解(1)方法一 ∵椭圆的焦点在x轴上, ∴设它的标准方程为+=1 (a>b>0). 由椭圆的定义知2a=+=2,∴a=. 又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6. ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二 设标准方程为+=1 (a>b>0). 依题意得解得 ∴所求椭圆的标准方程为+=1. (2)方法一 当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的标准方程为+=1 (a>b>0). ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), ∴ 则 ∴所求椭圆的标准方程为+y2=1; 当椭圆的焦点在y轴上时, 设所求椭圆的标准方程为+=1 (a>b>0). ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), ∴ 则与a>b矛盾,故舍去. 综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1. 方法二 设椭圆方程为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点, ∴ ∴ 综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1. 规律方法 求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程,最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的坐标轴,从而简化求解过程. 跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0); (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26. 解(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为2a=+=10,2c=6, 所以a=5,c=3, 所以b2=a2-c2=52-32=16. 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 +=1(a>b>0). 因为2a=26,2c=10, 所以a=13,c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 要点二 由方程确定曲线的类型 例2 当3