第五讲矩阵的秩 矩阵的秩是线性代数中又一重要概念,它描述了矩阵的一个重要的数值特征:在判定 线性方程组是否有解,向量组的线性相关性,求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等 多个方面都有广泛的应用。本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。 5.1.1 矩阵秩的定义 在第二讲中,我们通过矩阵的初等行(列)变换定义了矩阵的行(列)阶梯形、矩阵的 行(列)最简形以及矩阵的标准形。其中矩阵行(列)阶梯形与矩阵行(列)最简形可以不 唯一,但矩阵的标准形唯一。因此,下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。 定义 5.1 对于给定的m 矩阵A,它的标准形 完全确定,我们称数r为矩阵 阶单位矩阵;其余都是零矩阵。 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。(3)对于n阶方阵A 5.1求矩阵 可看出,矩阵A的标准形中左上角是3阶单位矩阵,所以 矩阵秩有如下性质性质 5.1 性质5.2 性质5.3 如果n 阶方阵A可逆,则;(可逆矩阵也称为满秩矩阵)性质 5.4 都可逆,且有PAQ 性质5.5 max 性质5.6 性质5.7 的任意S行组成的矩阵B 下面只证明性质5.3 和性质5.4,其余的性质请学生自证。 证性质 5.3 由第二讲定理 3.2 知,可逆矩阵的标准形是单位矩阵,即 证性质5.4 矩阵,是矩阵,由性质 5.2 PAmn 5.2证明:若PCPAB 由性质5.4 ,由性质5.6,有 定理5.1 初等变换不改变矩阵的秩,即:若A 证明由第三讲定理 3.1 知,对A实施一系列行、列变换到B,则一定存在可逆矩阵P 及Q,有PAQ 成立,再由性质5.4 定理5.1给出了求矩阵秩的思路。由于在求矩阵标准形的过程中其计算量相对繁琐,这 就需要我们去寻找更简洁的求矩阵秩的方法。 下面我们再观察例 5.1,矩阵A 的行阶梯形矩阵 在第二讲中我们知道虽说矩阵行(列)阶梯形与矩阵行(列)最简形可以不唯一,但它们保留不为零的行数一致,且和矩阵最简形中单位矩阵的阶数相同,因此,求矩阵秩的步 骤可以简化到只要观察矩阵行(列)的阶梯形非零行(列)数即可。 定义5.1 矩阵A经过初等行(列)变换化为行(列)阶梯形矩阵B 就称为矩阵A的秩,记作 5.4求矩阵 在矩阵B中非零行的行数为2,故5.5设矩阵 1.5.2方程组解与矩阵秩的关系 在第四讲里讨论n 元线性方程组相容性时,我们给出了有效方程的概念:即对方程组进 行消元法时最终保留的方程。那么,对方程组而言它有多少个有效方程?哪些方程可以作为 有效方程?那些方程是多余方程?这些都可以通过增广矩阵的秩得到答案。 定理 5.1 对齐次线性方程组 11 证明由定义5.2 可得结论。 5.5讨论齐次线性方程组 5.6讨论齐次线性方程组 即,方程组有无穷多解。此时,方程组有两个有效方程,从系数矩阵行阶梯形中保留的不为零的行可看出,方程组的第一、第二个方程为有效方程;第三个方程为多余方程。 注:当方程组有无穷多解时,有效方程的选取可以不唯一。 上例的系数矩阵 此时,有效方程应选取第一、第三个方程,而第二个方程为多余方程。