分类号 编 号 毕业论文 题 学 姓 专 学 目 院 名 业 号 向量组线性相关性的几种判定方法 数学与统计学院 王亚平 数学与应用数学 281010216 理论研究 陈庆娥 研究类型 指导教师 提交日期 原创性声明 本人郑重声明: 人所呈交的论文是在指导教师的 本 指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引 用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已 明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名: 年 月 日 论文指导教师签名: 向量组线性相关性的几种判定方法 向量组线性相关性的几种判定方法 几种判定 王亚平 (天水师范学院 数学与统计学院 甘肃天水 741001) 摘 要 文中对线性组合、线性相关、线性无关、等价向量组、向量组的极大线性 无关组、向量组的秩等概念和性质进行了总结,同时给出了判断向量组线性相关和线性无 关的几种方法. 关键词 线性相关;线性无关;矩阵;行列式 Several Methods of Judging the Linear Dependence of A Vector Group Wang Yaping (School of Mathematics and Statistics,Tianshui NormalUniversity,Tianshui,Gansu 741001) Abstract In this paper, it summarized the concepts and properties of linear combination, Linear dependence, linear independence, equivalent group of vectors,significantly and linearly independent group , rank of vector group and so on.At the same time,it gave some methods of judging the dependence and independence of a vector group. Keywords Linear dependence; linear independence; matrix; determinant 目 摘 录 要 ............................................................................................................................................. 0 关键词 ............................................................................................................................................. 0 1 引言 ............................................................................................................................................. 1 2 预备知识 ..................................................................................................................................... 1 2.1 线性相关性的概念及性质 .................................................................................................. 1 2.1.1 线性相关的概念 ............................................................................................................. 1 2.1.2 线性相关的性质 ............................................................................................................ 2 3 向量组线性相关的判定方法 ..................................................................................................... 4 3.1 定义法 .................................................................................................................................. 4 3.2 根据齐次线性方程组的解进行判定 .................................................................................. 5 3.3 利用矩阵的秩进行判定 ...................................................................................................... 6 3.4 利用行列式值进行判定 ...................................................................................................... 7 3.5 反证法 .................................................................................................................................. 8 3.6 数学归纳法 .......................................................................................................................... 8 3.7 利用线性微分方程组的相关理论判定 .............................................................................. 9 结束语 ........................................................................................................................................... 11 参考文献 ....................................................................................................................................... 12 致 谢 ....................................................................................................................................... 13 数学与统计学院 2012 届毕业论文 向量组线性相关性的几种判定方法 向量组线性相关性的几种判定方法 几种判定 1 引言 我们在对任意线性方程组求解的过程中发现有些线性方程组有无穷多个解,要把这无 穷多个解写出来并研究清楚显然是不可能的.但是,线性方程组中方程之间的关系实际上可 看作向量之间的关系,而且线性方程组的每个解也可看作一个解向量,解与解之间的关系也 可转化为向量与向量之间的关系.因此为了更好地研究线性方程组解之间的关系,或者说为 了研究线性方程组解的结构问题,必须首先细致地掌握向量组的线性相关的问题. 2 预备知识 2.1 线性相关性的概念及性质 2.1.1 线性相关的概念 定义 1[1] 设 α 1 , α 2 ,L, α r 是 F 上向量空间 V 的 r 个向量.如果存在 F 中一组不全为零 的数 k1 , k 2 , L, k r , 使得 k1α 1 + k 2α 2 + L + k r α r = 0 那么就称向量 α1 , α 2 ,L, α r 线性相关. (1) 如果不存在不全为零的数 k1 , k 2 ,L, k r , 使(1)式成立,或者说,只有当 k1 = k 2 = L = k r = 0 时,(1)式才成立,那么就称 α1 , α 2 ,L, α r 线性无关. 定义 2[1]若向量组 A 中每一个向量 α i ( i = 1,2,L, t )都可由向量组 B ={ β1 ,L , β s }线性表 示,则称 A 可由 B 线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价. 性质 1[1] 向量组的等价具有 1)反射性;2)对称性;3)传递性. 定义 3 [1] 设向量组{ α i1 , α i2 , L , α ir }是向量组{ α1 , α 2 , L , α s }的部分组.称{ α i1 , α i2 , L , α ir } 是{ α1 , α 2 , L , α s }的极大无关组,如果 1 数学与统计学院 2012 届毕业论文 i)向量组{ α i1 , α i2 , L , α ir }线性无关; ii){ α1 , α 2 , L , α s }中的任意 r + 1 个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的. 定义 4 [1] 向量组{ α1 , α 2 , L , α s }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记 为秩( α1 , α 2 , L , α s ). 性质 2 向量组{ α1 ,L, α r }线性无关 ? 秩{ α1 ,L, α r } = r . 向量组{ α1 ,L, α r }线性相关 ? { α1 ,L, α r }秩 < r . 2.1.2 线性相关的性质 性质(1)[2] 含零向量的向量组必线性相关,即{ θ , α1 , L , α s }线性相关. 性质(2)[1] 一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.(即:部分相关,整体 相关) 性质(3)[1] 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关.(即:整体无 关,部分无关) 性质(4) [1] { α }线性相关 ? α = θ . 性质(5)[2] { α , β }线性相关 ? α = λβ (λ ∈ P ) . 性质(6)[2] P n 中单位向量组线性无关. 性质(7)[1] 向量组 α i = (ai1 , ai 2 , L , ain ) (i = 1,2, L , s ) 线性相(无)关 ? 齐次线性方程组 ? a11 x1 + a 21 x2 + L + a s1 x s = 0 ?a x + a x + L + a x = 0 ? 12 1 22 2 s2 s ? ?L LLL ? a1n x1 + a 2 n x 2 + L + a sn x s = 0 ? 有(无)非零解. (2) 性质(8)[1] 设向量组{ α 1 , α 2 ,L, α r }线性无关,而向量组{ α 1 , α 2 ,L, α r , β }线性相关,则 β 一定可由 α 1 , α 2 ,L, α r 唯一的线性表示. 性质(9)[1] 向量组{ α 1 , α 2 ,L, α r }(r ≥ 2 )线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向 量的线性组合. 性质(10) [1] 设 α1 , α 2 , L , α s 是向量空间 V 中的向量, A 是 s × t 矩阵, B 是 t × r 矩阵.则有 2 数学与统计学院 2012 届毕业论文 (( α1 , α 2 , L , α s ) A ) B =( α1 , α 2 , L , α s ) AB 性 质 (11) [1] (3) 设 向 量 组 { γ 1 , γ 2 , Lγ p } 可 以 由 向 量 组 { β1 , β 2 , L , β t } 线 性 表 示 , 向 量 组 { β1 , β 2 , L , β t }可以由向量组{ α1 , α 2 , L , α s }线性表示,则向量组{ γ 1 , γ 2 , Lγ p }可以由向 量组{ α1 , α 2 , L , α s }线性表示. 性质(12) [3] 设向量组{ α 1 , α 2 ,L, α r }线性无关,且可由向量组{ β1 , β 2 , L , β s }线性表示.则 r ≤ s .必要时对向量组{ β1 , β 2 , L , β s }中的元素重新排序,使得用 α 1 , α 2 ,L, α r 替换 β1 , β 2 ,L , β s 后,所得向量组 {α1 , α 2 ,L , α r , β r +1 ,L β s } 与{ β1 , β 2 ,L , β s }等价. 性质(13)[1] (i)若向量组{ β1 , β 2 , L , β t }可由向量组{ α1 , α 2 , L , α s } 线性表示,并且 t > s ,则 向量组{ β1 , β 2 , L , β t }线性相关; (ii) 设向量组{ β1 , β 2 , L, β t }线性无关, s < t ,则向量组{ β1 , β 2 , L, β t }不能由含 s 个 向量的向量组线性表示. 性质(14)[1] 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 性质(15)[2] 任意 n + 1 个 n 维向量必线性相关. 性质(16) 存在 [1] 若{ α1 , α 2 , L , α s }和{ β1 , β 2 , L, β t }是两个等价的线性无关的向量组,则 s = t ,且 s 阶可逆矩阵 A 使得 ( α1 , α 2 , L , α s )=( β1 , β 2 , L, β t ) A (4) 性 质 (17)[1] 设 向 量 组 { α i1 , α i2 , L , α ir } 是 向 量 组 { α 1 , α 2 , L , α s } 的 一 个 部 分 组 , 则 { α i1 , α i2 , L , α ir } 是极大线性无关组的充要条件为 i)向量组{ α i1 , α i2 , L , α ir }线性无关; ii)每一个 α j ( j = 1,2, L , s )都可由 α i1 , α i2 , L , α ir 线性表示. 性质(18)[2] 向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价. 性质(19) [2] 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量. 性质(20)[2] 两个等价的向量组有相同的秩. 3 数学与统计学院 2012 届毕业论文 性质(21)[1] 设向量组( α1 , α 2 , L , α s )线性无关, A 是一个 s × t 矩阵,令 ( β1 , β 2 , L, β t )=( α1 , α 2 , L , α s ) A , 则 [8] R ( β 1 , β 2 ,L , β t ) = A . 性质(22) 如果向量函数 x1 (t ), x2 (t ), L , xm (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上线性相关,则它们的朗斯基 行列 式 W (t ) = 0 . 性质(23)[8] 如果向量函数 x1 (t ), x 2 (t ),L, xm (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上线性无关 , 则它们的朗斯基 行列 式 W (t ) ≠ 0 . 3 向量组线性相关的判定方法 3.1 定义法 这是判定向量组线性相关的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量 组,也适用于分量已经给出的具体向量组.其定义[1]是,设 α 1 , α 2 ,L, α r 是 F 上向量空间 V 的 r 个向量.如果存在 F 中一组不全为零的数 k1 , k 2 ,L, k r , 使得 k1α 1 + k 2α 2 + L + k r α r = 0 , 那么就称向量 α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,否则称它是线性无关的. 例 1[4] 设 β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β3 = α 3 + α 4 , β 4 = α 4 + α1 , 证明向量组 β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相关. 证明 设存在 4 个数 k1 , k 2 , k3 , k 4 ,使得 k1 β1 + k 2 β 2 + k 3 β 3 + k 4 β 4 = 0 , (5) 将 β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β3 = α 3 + α 4 , β 4 = α 4 + α1 ,代入上式有: k1 ( α1 + α 2 )+ k 2 ( α 2 + α 3 )+ k3 ( α 3 + α 4 )+ k 4 ( α 4 + α1 ) = 0, (6) 整理得 4 数学与统计学院 2012 届毕业论文 ( k1 + k 4 ) α1 +( k1 + k 2 ) α 2 +( k 2 + k3 ) α 3 +( k3 + k 4 ) α 4 =0, 取 k1 = k3 =1, k 2 = k 4 =-1,则有 k1 β1 + k 2 β 2 + k 3 β 3 + k 4 β 4 = 0 , (7) (8) 由线性相关的定义可知,向量组 β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相关. 例 2 [6] 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k ,使线性方程组 Ak x = 0 有解向量 α ,且 Ak ?1α ≠ 0 . 证明向量组 α , Aα , L , A k ?1α 线性无关. 证明 设有实数 λ1 , λ 2 , L λ k , 使得 λ1α + λ 2 Aα + L + λ k A k ?1α = 0 则有 A k ?1 (λ1α + λ 2 Aα + L + λ k A k ?1α ) = 0 . (9) (10) 从 而 λ1 A k ?1α = 0 由 于 Ak ?1α ≠ 0 , 所 以 , λ1 = 0 . 把 λ1 = 0 代 入 (*) 式 再 左 乘 Ak ? 2 可 得 λ2 Ak ?1α = 0 ,由 Ak ?1α ≠ 0 ,得 λ2 = 0 .类似可证得 λ3 = λ 4 = L = λ k = 0 故向量组 α , Aα , L , A k ?1α 线性无关. 我们还可以利用向量组内向量之间的线性关系判定.即向量组 A : α1 , α 2 ???, α m 线性相 关的充要条件是向量组 A 中至少有一个向量可由其余线性表示. 比如例 1,取 k1 = k3 =1, k 2 = k 4 =-1,则 β1 = β 2 - β3 + β 4 ,即 β1 可由 β 2 , β3 , β 4 三个向量线性 表示,所以向量组 β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相关. 3.2 根据齐次线性方程组的解进行判定 在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线 性相关性.即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定. 于是我们可以利用结论[1]进行判定. 结论[1] 向量组 α i = (ai1 , ai 2 ,L , ain ) (i = 1,2, L , m) 线性相(无)关 ? 齐次线性方程组 5 数学与统计学院 2012 届毕业论文 ?a11 x1 + a 21 x2 + L + a m1 xm = 0 ?a x + a x + L + a x = 0 ? 12 1 22 2 m2 m ? L ? ?a1n x1 + a2 n x2 + L + a mn xm = 0 ? 有(无)非零解. 例3 [7] (11) 证明向量组 α1 =(2,1,0,5), α 2 =(7,-5,4,-1), α 3 =(3,-7,4,-11)线性相关. 证明 以 α1 , α 2 , α 3 为系数向量的齐次线性方程组是 x1 α1 + x2 α 2 + x3 α 3 =0,即 ?2 x1 + 7 x2 + 3x3 = 0 ?x ? 5x ? 7 x = 0 ? 1 2 3 ? ?4 x 2 + 4 x 3 = 0 ?5 x1 ? x2 ? 11x3 = 0 ? 利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵转化为阶梯型矩阵,即 (12) 3 ? ?1 ? 5 ? 7 ? ?1 ? 5 ? 7? ?1 ? 5 ? 7? ?2 7 ?1 ? 5 ? 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 0 17 17 ? ? 0 1 1 ? 1 ? ?1 ? 5 ? 7 ? ?2 7 ?0 1 → → → → ? ?0 4 4 ? ?0 4 4 ? ?0 4 4 ? ?0 1 1 ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 1 ? 11? ? 5 ? 1 ? 11? ? 0 24 24 ? ? 0 1 ?0 0 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由行阶梯型矩阵可知, R ( A) = 2 < 3 .即齐次线性方程组有非零解,所以向量组 α1 , α 2 , α 3 线 性相关. 3.3 利用矩阵的秩进行判定 结论[5] 设向量组 A : α1 , α 2 ???, α m 是由 m 个 n 维列向量所组成的向量组,则向量组 A 的 [5] 线性相关性可由向量组 A 所构成的矩阵 A =( α1 , α 2 ???, α m )的秩的大小来进行判定.即 (i) 当 R( A )= m 时,则向量组 A : α1 , α 2 ???, α m 是线性无关的. (ii) 当 R( A ) < m 时,则向量组 A : α1 , α 2 ???, α m 是线性相关的. 例4 设 α1 = (1,1,1) T , α 2 = (1, 2, 3)T , α 3 = (1, 3,5)T 问向量组 α1 , α 2 , α 3 是否线性相关. 解 因为 ?1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? A = ?1 2 3 ? → ? 0 1 2 ? → ? 0 1 2 ? ?1 3 5 ? ? 0 2 4 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? 6 数学与统计学院 2012 届毕业论文 R ( A) < 3 ,所以向量组 α1 , α 2 , α 3 线性相关. 例 5[4] 试讨论 n 维单位向量组的相关性. 解 因为 E = (e1 , e2 , L , en ) 的行列式 E = 1 ≠ 0 , 即 R( E ) = n , 所以, n 维单位向量组线性相关. 利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同,但实质上是一样的, 都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的 秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定. 3.4 利用行列式值进行判定 行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方 程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定 的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. [3] 若向量组 A : α1 , α 2 ???, α m 是由 m 个 m 维列向量所组成的向量组,且向量组 A 结论 所构成的矩阵 A =( α1 , α 2 ???, α m ),即 A 为 m 阶方阵,则 (i) 当 A =0 时,则向量组 A : α1 , α 2 ???, α m 是线性相关的. (ii) 当 A ≠0 时,则向量组 A : α1 , α 2 ???, α m 是线性无关的. 例 6 设向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关,判断向量组 α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 ? α1 是线性相关还是线性无关. 解 设存在 4 个数 k1 , k 2 , k3 , k 4 ,使得 k1 (α 1 + α 2 ) + k 2 (α 2 + α 3 ) + k 3 (α 3 + α 4 ) + k 4 (α 4 ? α 1 ) = 0 , (13) 拆项重组为 (k1 ? k 4 )α1 + (k1 + k 2 )α 2 + (k 2 + k3 )α 3 + (k3 + k 4 )α 4 = 0 , 由 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关知 ? k1 ? k 4 = 0 ?k + k = 0 ? 1 2 ? ?k 2 + k 3 = 0 ?k 3 + k 4 = 0 ? 7 (14) (15) 数学与统计学院 2012 届毕业论文 由于系数行列式 1 1 0 0 0 1 1 0 0 ?1 0 0 =2≠0 1 0 1 1 (16) 所以,齐次线性方程组(1)只有零解,即 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 . 因此向量组 α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 ? α1 线性无关. 3.5 反证法 在有些题目中,直接证明结论常常比较难,但从结论的反面入手却很容易推出一些与 已知条件相悖的结果,近而得出结论. 例7 [5] 设向量组 α1 , α 2 ,L , α m 中任一向量 α i 不是它前面 i ? 1 个向量的线性组合,且 α i ≠ 0,证明向量组 α1 , α 2 ,L , α m 线性无关. 证明 (反证法)假设向量组 α1 , α 2 ,L , α m 线性相关,则存在不全为零的数 k1 , k 2 L k m , 使得 k1α1 + k2α 2 + L + kmα m =0 (17) 由此可知, k m = 0 ,否则由上式可得 αm = ? k k1 k α 1 ? 2 α 2 ? L ? m?1 α m ?1 , km km km (18) 即 α m 可由它前面 m ? 1 个向量线性表示,这与提设矛盾,因此 k m = 0 , 于是(17)式转化为 k1 α1 + k2α 2 + L + km ?1α m ?1 =0. 类似于上面的证明,同样可得 k m ?1 = k m ? 2 = L = k 2 = k1 = 0 ,这与 k1 , k 2 ,L , k m 不全为零 的假设矛盾,因此,向量组 α1 , α 2 ,L , α m 线性无关. 3.6 数学归纳法 有些题中,我们还可以利用数学归纳法,如下例. 例 8[9] 设线性无关的向量组 γ 1 , γ 2 ,L γ r 可由向量组 β1 , β 2 , L , β t 8 线性表示,且 r ≤ t , 数学与统计学院 2012 届毕业论文 则可从{ β1 , β 2 , L , β t }中选出 (t ? m) 个向量组 β j1 , β j 2 ,L , β j (t ? m ) , 使得向量组 γ 1 , γ 2 ,L γ m , β j1 , β j 2 ,L , β j (t ? m ) 证明:用数学归纳法 证明 (1)当 r = 1 时,有 r ≤ t ,由于 γ 1 = ∑ k j β j ,且 γ 1 ≠ 0 ,则 k1 , k 2 ,L , kt 不全为 0,在②中,设 j =1 t 与向量组 等价. k1 ≠ 0 β1 = 1 k k γ 1 ? 2 β 2 ? LL ? t β t ,故 r1 , β1 ,L , β t 与 β1 , β 2 ,L , β t 等价 k1 k1 k1 (2)设 r = s ? 1 时结论成立,推证 r = s 时结论成立. 由于 γ 1 , γ 2 ,L γ s ?1 , β1 , β 2 ,L , β t 与向量组②等价,而 γ s 又可由向量组 β1 , β 2 ,L , β t 线性表 示 故有 γ s = h1γ 1 + h2γ 2 + L + hs ?1γ s ?1 + hs γ s + L + ht β t , 而题设 γ 1 , γ 2 ,L , γ s 线性无关,必有 hs , hs +1 ,L , ht 不全为 0,设 hs ≠ 0 ,则 (19) βs = ? h h h h1 1 γ 1 ? s ?1 γ s ?1 + γ s ? s +1 β s +1 + L ? t β t hs hs hs hs hs (20) 因此, γ 1 , γ 2 ,L ,γ s , β t 与 γ 1 , γ 2 ,L ,γ s ?1 , β s ,L , β t 等价,由上分析可知,当 s ≤ t , r = s 时结 论成立. 由数学归纳法知命题成立. 3.7 利用线性微分方程组的相关理论判定 结论[8] 一组 n ? 1 次可微的纯量函数 x1 (t ), x 2 (t ),L, x m (t ) 线性相关的充要条件是向量 函数 ? xm (t ) ? ? x1 (t ) ? ? x2 (t ) ? ? x′ (t ) ? ? x′ (t ) ? ? ′ ? ? 1 ?, ? 2 ?,L, ? xm (t ) ? ? M ? ? ? ? ? M M ? ( n ?1) ? ? ( n ?1) ? ? ( n?1) ? (t ) ? (t ) ? ? x1 (t )? ? x2 ? xm 线性相关. (21) 证明:事实上,如果 x1 (t ), x 2 (t ),L, x m (t ) 线性相关,则存在不全为零的常数 c1 , c 2 , L , c m 证明 9 数学与统计学院 2012 届毕业论文 使得 c1 x1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + L + c m x m (t ) = 0 .将上式对 t 微分一次,二次,…, n ? 1 次,得到 ′ ′ c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + L c′ xm (t ) = 0, m ′ ′ ′′ c1 x1′(t ) + c2 x2′ (t ) + L cm xm (t ) = 0, LLLL ( n ?1) ( n ?1) ( n ?1) c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + L + c m x m (t ) = 0, 即有 (22) ? x m (t ) ? ? x1 (t ) ? ? x 2 (t ) ? ? ′ ? ? ′ ? ? x ′ (t ) ? ? 1 ? + c ? x 2 (t ) ? + L + c ? x m (t ) ? = 0 , c1 2 m ? ? ? ? ? ? M M M ? ( n ?1 ) ? ? ( n ?1 ) ? ? ( n ?1) ? (t ) ? (t ) ? (t ) ? ? x1 ? x2 ? xm (23) 这就是说,向量函数组(22)式是线性相关的.反之,如果向量函数(22)线性相关,则存在不全为 零的常数使 c1 , c 2 , L , c m 得(23)成立,当然有 c1 x1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + L + c m x m ( t ) = 0 , 这就表明 x1 (t ), x 2 (t ), L , x m (t ) 线性相关. 例 9 若函数 x1 (t ), x 2 (t ), L , x m (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上线性相关 , 则它们的朗斯基行列式 W (t ) = 0 . 证明 据结论 [8] 和纯量函数朗斯基行列式的概念知,存在一组不全为零的常数 c1 , c 2 , L, c m ,使得 ? x m (t ) ? ? x1 ( t ) ? ? x 2 (t ) ? ? ′ ? ? x ′ (t ) ? ? ′ ? ? 1 ? + c 2 ? x 2 (t ) ? + L + c m ? x m (t ) ? = 0 , c1 ? ? ? ? ? ? M M M ? ( n ?1 ) ? ? ( n ?1) ? ? ( n ?1 ) ? (t ) ? (t ) ? (t ) ? ? x1 ? x2 ? xm (24) 上式可以看成是关于 c1 , c 2 , L , c m 的齐次线性代数方程组,它的系数行列式就是 W [ x1 (t ), x 2 (t ), L , x m (t )] ,于是由线性代数理论知,要此方程组存在非零解,则它的系数行 列式必为零,即 W (t ) = 0 . 10 数学与统计学院 2012 届毕业论文 结束语 以上归纳了判断向量组线性相关性的几种方法,只要我们熟练掌握并能灵活的运用, 将会在研究线性方程组解之间的关系,或者说研究线性方程组解的结构问题时带来很大的 方便. 11 数学与统计学院 2012 届毕业论文 参考文献 [1]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005. [2]北京大学数学力学系几何和代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,2003. [3]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出社,2005. [4]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002. [5]王萼方.高等代数题解[M].北京:北京大学出版社,2002. [6]邱森.高等代数[M].武汉:武汉大学出版社,2008. [7]西北工业大学高等代数编写组.高等代数[M].北京:科学出版社,2008. [8]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006. [9]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报,2002,(2):61-62. 12 数学与统计学院 2012 届毕业论文 致 谢 在本次论文设计过程中,陈庆娥老师对该论文从选题、构思到最后定稿的各个环节都 给予细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计.在学习中,老师渊博的专业知识、 深厚的学术素养、严谨的治学态度、精益求精的工作作风、诲人不倦的高尚师德对我影响 深远,也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作,使我终身受益.在此,谨 向陈老师表示崇高的敬意和衷心的感谢!这四年中还得到众多老师的关心、支持和帮助. 在此,向他们表示我深深的谢意! 最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位老师表示衷心地感 谢! 13