方阵的行列式(determinant)是一个数,这个神奇的数字可以立刻告诉我们一个矩阵是否可逆(等于零时不可逆)。
如果 $ A $ 可逆且它的行列式是 $ \mathrm{det}\ A $,那么逆矩阵 $ A^{-1} $ 的行列式就是 $ 1/(\mathrm{det}\ A) $,比如 $ \mathrm{det}\ A = 2 \Rightarrow \mathrm{det}\ (A^{-1}) = \frac12 $。
行列式确实有公式直接计算 $ A^{-1} $、主元和 $ A^{-1}\boldsymbol{b} $ 的解。但是矩阵太大的时候就不用了,因为消元法更快。
这一章我们将从三个方面了解行列式
性质。比如 $ \mathrm{det}\ I=1$;交换矩阵的行向量,行列式的符号改变;行列式的线性特征(注意,不是指 $ \mathrm{det}\ (A+B)=\mathrm{det}\ A + \mathrm{det}\ B $,因为 $ \mathrm{det}\ (I+I)= 1 + 1 = 2 $,但事实上 $ \mathrm{det}\ 2I=2^n $,除了 $ n=1 $,其他时候都是不对的)等等。