等差数列的前n项和·例题解析 等差数列前n项和公式推导:Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an)所以Sn=[n(a1+an)]/2(2)如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2二、对于等差数列前n项和公式的应用? 【例1】 等差数列前10项的和为140,其中,项数为 奇数的各项的和为125,求其第6项. 解 依题意,得 解得a1=113,d=-22. ∴ 其通项公式为 an=113+(n-1)·(-22)=-22n+135 ∴a6=-22×6+135=3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的.这种先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在本课中如果注意到a6=a1+5d,也可以不必求出an而即a6=3.可见,在做题的时候,要注意运算的合理性.当然要做到这一点,必须以对知识的熟练掌握为前提. 【例2】 在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197中,求它们相同项的和. 解 由已知,第一个数列的通项为an=3n-1;第二个数列的通项为bN=5N-3 若am=bN,则有3n-1=5N-3 若满足n为正整数,必须有N=3k+1(k为非负整数). 又2≤5N-3≤197,即1≤N≤40,所以 N=1,4,7,…,40 n=1,6,11,…,66 ∴ 两数列相同项的和为 2+17+32+…+197=1393 【例3】 选择题:实数a,b,5a,7,3b,…,c组成等差数列,且a+b+5a+7+3b+…+c=2500,则a,b,c的值分别为 [ ] A.1,3,5	B.1,3,7 C.1,3,99	D.1,3,9 又∵ 14=5a+3b, ∴ a=1,b=3 ∴首项为1,公差为2 ∴a50=c=1+(50-1)·2=99 ∴ a=1,b=3,c=99 【例4】 在1和2之间插入2n个数,组成首项为1、末项为2的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13,求插入的数的个数. 解 依题意2=1+(2n+2-1)d	① 由①,有(2n+1)d=1	⑤ ∴ 共插入10个数. 【例5】 在等差数列{an}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn,m≠n,求Sm+n. 且Sm=Sn,m≠n ∴Sm+n=0 【例6】 已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前n项和Tn. d,已知S3和S6的值,解方程组可得a1与d,再对数列的前若干项的正负性进行判断,则可求出Tn来. 解方程组得:d=-2,a1=9 ∴an=9+(n-1)(n-2)=-2n+11 其余各项为负.数列{an}的前n项和为: ∴当n≤5时,Tn=-n2+10n 当n>6时,Tn=S5+|Sn-S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn ∴Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50 说明 根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{|an|}的前n项和. 【例7】 在等差数列{an}中,已知a6+a9+a12+a15=34,求前20项之和. 解法一 由a6+a9+a12+a15=34 得4a1+38d=34 =20a1+190d =5(4a1+38d)=5×34=170 由等差数列的性质可得: a6+a15=a9+a12=a1+a20 ∴a1+a20=17 S20=170 【例8】 已知等差数列{an}的公差是正数,且a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前20项的和S20的值. 解法一 设等差数列{an}的公差为d,则d>0,由已知可得 由②,有a1=-2-4d,代入①,有d2=4 再由d>0,得d=2 ∴a1=-10 最后由等差数列的前n项和公式,可求得S20=180 解法二 由等差数列的性质可得: a4+a6=a3+a7 即a3+a7=-4 又a3·a7=-12,由韦达定理可知: a3,a7是方程x2+4x-12=0的二根 解方程可得x1=-6,x2=2 ∵ d>0 ∴{an}是递增数列 ∴a3=-6,a7=2 【例9】 等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若[]∵2a100=a1+a199,2b100=b1+b199 解法二 利用数列{an}为等差数列的充要条件:Sn=an2+ bn 可设Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k 说明 该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2+bn,由 k是常数,就不对了. 【例10】 解答下列各题: (1)已知:等差数列{an}中a2=3,a6=-17,求a9; (2)在19与89中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1350,求这几个数; (3)已知:等差数列{an}中,a4+a6+a15+a17=50,求S20; (4)已知:等差数列{an}中,an=33-3n,求Sn的最大值. 分析与解答 a9=a6+(9-6)d=-17+3×(-5)=-32 (2)a1=19,an+2=89,Sn+2=1350 (3)∵a4+a6+a15+a17=50 又因它们的下标有4+17=6+15=21 ∴a4+a17=a6+a15=25 (4)∵an=33-3n ∴a1=30 ∵n∈N,∴当n=10或n=11时,Sn取最大值165. 【例11】 求证:前n项和为4n2+3n的数列是等差数列. 证 设这个数列的第n项为an,前n项和为Sn. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 ∴an=(4n2+3n)-[4(n-1)2+3(n-1)] =8n-1 当n=1时,a1=S1=4+3=7 由以上两种情况可知,对所有的自然数n,都有an=8n-1 又an+1-an=[8(n+1)-1]-(8n-1)=8 ∴这个数列是首项为7,公差为8的等差数列. 说明 这里使用了“an=Sn-Sn-1”这一关系.使用这一关系时,要注意,它只在n≥2时成立.因为当n=1时,Sn-1=S0,而S0是没有定义的.所以,解题时,要像上边解答一样,补上n=1时的情况. 【例12】 证明:数列{an}的前n项之和Sn=an2+bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件. 由Sn=an2+bn,得当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =an2+bn-a(n-1)2-b(n-1) =2na+b-a a1=S1=a+b ∴对于任何n∈N,an=2na+b-a 且an-an-1=2na+(b-a)-2(n-1)a-b+a =2a(常数) ∴{an}是等差数列. 若{an}是等差数列,则Sn=an2+bn 综上所述,Sn=an2+bn是{an}成等差数列的充要条件. 说明 由本题的结果,进而可以得到下面的结论:前n项和为Sn=an2+bn+c的数列是等差数列的充分必要条件是c=0.事实上,设数列为{un},则: 【例13】 等差数列{an}的前n项和Sn=m,前m项和Sm=n(m>n),求前m+n项和Sm+n. 解法一 设{an}的公差d 按题意,则有 =-(m+n) 解法二 设Sx=Ax2+Bx(x∈N) ①-②,得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m ∵m≠n ∴ A(m+n)+B=-1 故A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n) 即Sm+n=-(m+n) 说明 a1,d是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再 解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中,由于是等差数列,由例22,故可设Sx=Ax2+Bx.(x∈N) 【例14】 在项数为2n的等差数列中,各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则n之值是多少? 解∵S偶项-S奇项=nd ∴nd=90-75=15 又由a2n-a1=27,即(2n-1)d=27 【例15】 在等差数列{an}中,已知a1=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值. 解法一 建立Sn关于n的函数,运用函数思想,求最大值. ∵a1=25,S17=S9 解得d=-2 ∴当n=13时,Sn最大,最大值S13=169 解法二 因为a1=25>0,d=-2