-圆的面积公式是如何推导出来的?
许多答案都提到了,比如laszloSun的答案
我小学时王老师就是这样教的,但当时还是有疑惑,为啥那个花边就能当成直线呢?
https://en.wikipedia.org/wiki/Area_of_a_circle#Using_polygons
用微积分、三角函数也能证,但有两个问题,一是不直观不适合理解,二是三角函数本来就是圆定义的有循环证明的嫌疑,微积分的基础也很少有人触及只是把结论拿来用。。。总之这样证我觉得不够根本
所以这里尝试说得更基础更直观一些,尽量解除疑惑(不指望你能看完,只是告诉你这件事是可以说清楚的):
思路还是,把一圆分成n个扇形,然后插成一个近似于长方形的东西
1. 这个长方形的宽是r,长是圆的半周长
所以面积是
长方形面积公式,这个实是面积的定义
2.
的定义是圆的半周长和半径r之比
这是个定义不需要证明
3. 当切的份数很多时,插成的形状的面积趋近于那个长方形的面积
这里趋近的意思是,给定任意一个正数
,存在一个正整数N使得对所有切的份数n>N,都有:面积的差值小于
实是极限的定义,小学虽然碰到了但大概不会说出来以防止零乱
为此,要考虑两个正n边形,一个是那个圆的内接正多边形,另一个是外切正多边形,把这两个正多边形分别像刚开始那样插成两个长方形
4. 一开始那个近似长方形的东西的面积介于这两个长方形之间
这个符合直觉吧?还用展开证明吗?
5. 这两个长方形的面积当n很大时趋近于同一个值
4和5合起来就是所谓的`夹逼原理`,就是用两条直线去夹那一个花边,需要证明的是
6. 当n足够大时,直线所夹的那个区域的面积趋于0
https://en.wikipedia.org/wiki/Area_of_a_circle#Using_polygons
比如
是那n个扇形之一
是内接正n边形的一个角,
是外切正n边形的一个角,那个大一点的长方形和小一点的长方形的面积的差值~
,那
是趋于
的,一个有限的值
而CP的长度是
这个涉及三角函数,但是我们只是用它来表示一下,想说明的是
7. 当n很大时,CP的长度趋于0
这个符合直观吧?要想严格证明的话涉及到一些定义和欧氏几何的公理,我觉得在这里应该没这个必要全写出来了
然后因为分的份数很多时
是有限的,CP却趋于0,所以
的面积趋于0,就夹出了圆的面积是
相关问题(贵乎为啥那么多重复的问题呢?):
圆的面积怎么算出来?
如何用初等的方法,严格证明圆面积公式?
在发明微积分之前,人们是如何理解和证明圆的面积公式的呢?
如何用微积分推导圆面积公式?
马友发:圆的面积为什么是πr²?
=============以上201027=============
补充说明:
无穷个趋近于0的项相加的确不一定趋近于0,但是圆的那问题里并不是简单的这个条件,而相当于有n个长l宽h的长方形面积相加为s,而n乘以l小于一个定值3πr,这时,在n趋于无穷大时h趋于0,即0<s<3πrh,所以s是趋于0的
另外那个证明里并不需要用到三角函数,写了一个三角函数只是快速直观说明一下那个h是趋于0的
最后也是我之前一直想说(但之前没说)的,初等方法高等方法看起来没有严格的界限,所谓高等方法只不过是再往下抠了几步而已(到大学也并没有抠到底),聪明点或者有点耐心的小学生,一步一步给他讲极限微积分什么的,大概也是能懂的(再过一些年,说不定小学就要学极限了。。)。
知识储备是可以不断增加的,只要你想学,并且按一个合适的顺序学。
所以,关键问题不是某个答案有没有抠到底(如果事先没定义地基的话)或者对错,而是:
你愿意为了知道这个付出多少代价(时间、精力)?你有没有理解到你所看的答案想表达的意思?或者那答案在表达方面够不够准确、精炼(还是扯了一堆有的没的)?确认了前两个问题,再说:答案所想表达的意思,逻辑上是否能走通、没有矛盾?是否能以此增强你的知识体系?
小学中学时感觉数学应该是能抠到底的,而现在觉得除非自己先定义好地基在哪里,否则那些数学逻辑更像是个无底洞。。。
所以,感觉疑惑减少了,并能使自己的知识体系增强(能力增加)就好。