在学习三角函数的时候我曾想,除了个别的特殊角度,其他整数角度的三角函数是否可以表示成含根号和分数的数(即代数数)。对此来稍作探讨。
对三角函数稍有了解就会知道以下两个公式:
这两个公式表明,90°以内的角度以45°为对称轴分成两个对称的部分,从而只需要求出0°~45°中整数角的正弦函数,就能求出90°之内整数角的正、余弦函数乃至其他三角函数。
从古典几何的角度来看,45°以内的特殊角分别是30°和45°,其中45°角满足方程
而30°满足方程
这两个方程无疑给了我们一个思路:当n+1是90的因数时,方程
的解对应的角度必然是整数角度。不难验证,满足上述条件的n的值有1、2、4、5、8、9、14、17、29、44和89,但一般来说n值越大,
“降角升次”之后的次数越高。当n>5时,方程
化简后是次数高于五次的高次方程,这种方程一般不能精确求解。并且n=5时对应的15°等于45°-30°。
由此,只剩下n=4尚未讨论。对于方程
,容易它的四个解对应的角度分别是90°、-30°、18°和-54°。以下来求解该方程:
不难验证,sin18°>0,sin-54°