三角函数族的正交性用公式表示出来就是:
奇偶性
奇函数
可以表示为正弦级数,而偶函数
则可以表示成余弦级数:
几种常见波形的傅里叶级数展开式
梯形波
如上图所示,该梯形波是一个周期为T的奇函数,幅值为
,上升沿时间为
,在区间
的函数表达式为:
由奇偶性可知,该波形在区间
的傅里叶级数展开式为:
其中傅里叶系数为:
将
函数代入傅里叶系数表达式中,可得:
由
可得:
综上所述,可以得到该梯形波在区间
的傅里叶级数展开式为:
其中:
脉冲波(偶函数)
脉冲波
如上图所示,该脉冲波是一个周期为T的偶函数,幅值为
,脉冲宽度为
,在区间
的函数表达式为:
由奇偶性可知,该波形在区间
的傅里叶级数展开式为:
其中傅里叶系数为:
将
函数代入傅里叶系数表达式中,可得:
因此,可以得到该梯形波在区间
的傅里叶级数展开式为:
其中:
方波(奇函数)
方波
同理,该方波在区间
的傅里叶级数展开式为:
其中:
三角波(奇函数)
三角波
同理,该三角波在区间
的傅里叶级数展开式为:
锯齿波(非奇非偶函数)
锯齿波
该锯齿波如上图所示,在区间
的函数表达式为:
由于该函数为非奇非偶函数,因此,该波形在区间
的傅里叶级数展开式为:
其中傅里叶系数为:
将
函数代入傅里叶系数表达式中,可得:
因此,可以得到该锯齿波在区间
的傅里叶级数展开式为:
结语
这里仅仅列出了极小部分的波形的傅里叶级数展开式,对于其它波形,类似代入计算即可,给出公式之后,更多的是考验数学积分计算了。
参考文献