题目
如图,ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分BP交于点P.
(1)延长BA到点E,求证:PA平分∠CAE;
(2)若∠BPC=40°,求∠CAP的度数.
初中数学
三角形内角和等于180度
三角形外角和等于360度
角平分线上的点到两边的距离相等
解析
【考点提示】
本题主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质及其应用问题,灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是关键;
【解题方法提示】
(1)过点P作PD⊥BD、PE⊥BE、PF⊥AC,证明PE=PF,即可解决问题;
(2)设∠ABC=2α,∠ACD=2β,证明β=α+∠BPC,而β=2α+∠BAC2,得到∠BAC=2∠BPC,即可解决问题.
答案
解:(1)如图所示,过点P作PD⊥BD,PE⊥BE,PF⊥AC,
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P.
∴PD=PE,PD=PF,
∴PE=PF,
∴PA平分∠CAE.
(2)设∠ABC=2α,∠ACD=2β,
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P,
∴β=α+∠BPC,而β=2α+∠BAC2,
∴∠BAC=2∠BPC=80°,
∴∠CAP=180°−80°2=50°.
解答
【解题方法与技巧】
本题主要考查角平分线的判定与性质,以及三角形外角的性质.利用角平线分线的性质:角平分上的点到这个角的两边的距离相等得到PE=PF,是解题的关键点.
角平分线的判定方法有以下两种:
①角平分线的定义:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线;
②判定定理:到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上.