历史 鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。 [1] 大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔?这一问题的本质是一种二元方程。如果教学方法得当,可以让小学生初步地理解未知数和方程等概念,并锻炼从应用问题中抽象出数的能力。一般在小学四到六年级时,配合一元一次方程等内容教授。 [2] 同一本书中还有一道变题:今有兽,六首四足;禽,四首二足,上有七十六首,下有四十六足。问:禽、兽各几何?答曰:八兽、七禽。题设条件包括了不同数量的头和不同数量的足。 方法 古法 《孙子阿杠算经》的作者为本题提出了两种解法:术曰:上置三十五头,下置九十四足。半其足,得四十七,以少减多,再命之,上三除下四,上五除下七,下有一除上三,下有二除上五,即得。又术曰:上置头,下置脚白灶足,半其足,以头除足,以足除头,即得。所谓的“上置”,“下置”指的是将数字按照上下两行摆在筹算盘上。在算筹盘趋享只第一行摆上数字三十五,第二行摆上数字九十四,将脚数除以二,此时第一行是三十五,第二行是四十七。用较小的头数减去较多的半脚数,四十减去三十(上三除下四),七减去五(上五除下七)。此时下行是十二,三十五减十二(下一除上三,下二除上五)得炒订笑二十三。此时第一行剩下的算筹就是鸡的数目,第二行的算筹就是兔的数目。另一种更简单的描述方法是:在第一行摆好三十五,第二行摆好九十四,将脚数除以2,用头数去减半脚数,用剩下的数(我们现在知道这是兔数)减去头数。这样第一行剩下的是鸡数,第二行剩下兔数。至于头多于一个估杠少的“禽兽问题”,“孙子”给出的解法如下:术曰:倍足以减首,余半之,即兽;以四乘兽,减足,余半之,即禽。将脚数乘以两倍(此时禽脚与禽头的系数恰好相同),头数减去两少榆泪匙倍脚数,除以二,得到兽的只数(八只),兽的只数乘以四(求出兽的脚数),总脚数减去兽的脚数再除以二,得到禽的只数。如果对照下面的二元方程就会发现,古法相当于是只在操作方程等号的右半边,并没有详细说明操作的系数代表什么。于是也只有“心开者”才能触之即悟了。 本质解法 本题的推广“禽兽问题”就是催乃危婚一般的二元线性方程(二元一次方程)。 “鸡兔同笼”问题则是