一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵 一、背景知识与应用 1. 矩阵概念的产生 矩阵这个词是由西尔维斯特 (Sylvester, 18141897)于1850年首先提出。 年首先提出。 ) 年首先提出 西尔维斯特是犹太人,故他在取得剑桥大学数学荣 西尔维斯特是犹太人, 誉会考第二名的优异成绩时, 誉会考第二名的优异成绩时,仍被禁止在剑桥大学 任教。 年起他接受过一些较低的教授职位, 任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位, 年起他接受过一些较低的教授职位 也担任过书记官和律师。经过一些年的努力, 也担任过书记官和律师。经过一些年的努力,他终 于成为霍布金斯大学的教授,并于1884年70岁时重 于成为霍布金斯大学的教授,并于 年 岁时重 返英格兰成为牛津大学的教授。 返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究,并创办了《美国数学杂志》 在长达50多 学研究,并创办了《美国数学杂志》。在长达 多 年的时间内, 年的时间内,他是行列式和矩阵论始终不渝的作者 之一。 之一。 1850年由西尔维斯特(Sylvester)首先提出 年由西尔维斯特( ) 年由西尔维斯特 矩阵的概念 应用:自然科学、工程技术、 应用:自然科学、工程技术、社会科学等许多 领域。如在观测、导航、机器人的位移、 领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学 分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别, 分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别, 以及计算机层析X射线照相术等方面 射线照相术等方面, 以及计算机层析 射线照相术等方面,都有广 泛的应用 1858年卡莱(A. Cayley)建立了矩阵运算规 年卡莱( 年卡莱 ) 则 2.应用实例 应用实例 例1 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品B1,B2, 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品 , , B3。在某年第一季度,各厂的生产情况如下表: 在某年第一季度,各厂的生产情况如下表: 产品 产量 分厂1 分厂2 产品1 产品2 产品3 20 30 17 20 12 10 ? 20 17 12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?30 20 10? ? 这里2× 个数排成 个数排成2行 列 成为一个整体, 这里 ×3个数排成 行3列,成为一个整体,抛 去它所包含的实际意义, 去它所包含的实际意义,构成了高等代数中的 一个2× 阶矩阵 阶矩阵。 一个 ×3阶矩阵。 例2 解析几何中的坐标变换 公式: ? x = x′ cosθ ? y′ sinθ ? x ? ? cosθ 平面 ? , 可写为 ? ? = ? ? y ? ? sinθ y = x′ sinθ + y′ cosθ ? ? ? ? ? sinθ ?? x′ ? ?? ? cosθ ?? y′ ? ?? ? ? x = a11x′ + a12 y′ + a13 z′ ? x ? ? a11 a12 a13 ?? x′ ? ? ? ? ?? ? ? 空间 ? y = a21x′ + a22 y′ + a23 z′, 可写为 ? y ? = ? a21 a22 a23 ?? y′ ? ? z = a x′ + a y′ + a z′ ? z ? ?a ?? ? 31 32 33 ? ? ? ? 31 a32 a33 ?? z′ ? ? a11 a12 a13 ? ? ? sinθ ? ? ?, 21 a22 a23 ?称为坐标变换矩阵。 ? ?a cosθ ? ? ? ? a31 a32 a33 ? ? cosθ 其中 ? ? sinθ ? 假设在一地区,一物资有s个产地 例3 假设在一地区,一物资有 个产地 A1 , A 2 ,L A s 和n个销售地 B1 ,B 2 ,L B n ,其物资调运方案为 个销售地 销地 B 1 产地 B2 L Bn A1 A2 L As a 11 a 21 a 12 a 22 L L L a 1n a 2n a s1 a s2 L a sn 即 ? a11 a12 ?a a 22 21 ? ?L L ? ? as1 as2 L a1n ? L a 2n ? ? L L? ? L asn ? 一、矩阵的定义 1.定义 . ? a11 ? a21 数表 ? L ?a ? s1 a12 a22 L as 2 L L L L a1n ? a2 n ? 称为一个 s × n 矩阵. 矩阵. ? L ? a sn ? ( 记作: 记作:aij ) s×n 或 As×n . 注意: 注意: 矩阵与行列式的区别 矩阵是一张数表;行列式是一代数式的值。 矩阵是一张数表;行列式是一代数式的值。 §4.1 矩阵的概念 二、矩阵的相等 定义 设矩阵 A = (aij ) s×n , B = (bij )k×l , 若 s = k, n = l, aij = bij , i = 1,L , s , j = 1,L , n 则称矩阵A与B相等 相等, A=B. 则称矩阵A与B相等,记作 A=B. 矩阵 §4.1 矩阵的概念 三、一些特殊矩阵 ? 0 L 0? 零矩阵 0 = ? O ? ; ? 0 L 0? ? ? 行阵 (a1 , a2 ,L , an ); ? a1 ? ? a2 ? 列阵 ? M ? ; ?a ? ? n? ? a11 ? a21 方阵 ? L ?a ? n1 a12 a22 L an 2 L L L L a1n ? a2 n ? ?; L ? ann ? §4.1 矩阵的概念 ? λ1 L 0 ? ?; O 对角矩阵 diag ( λ1 ,L , λ n ) = ? ?0 L λ ? n? ? ? 1 L 0? 单位矩阵 E = ? O ? ; ? 0 L 1? ? ? ?k L 0? 数量矩阵 kE = ? O ? ; ?0 L k? ? ? §4.1 矩阵的概念 负矩阵 设 A = (aij ) s×n , 矩阵 ? ? a11 ? ? a21 ? L ? ?a ? m1 ? a12 ? a22 L ? a s1 L L L L ? a1n ? ? a2 n ? L ? ? ? a sn ? 称为A的负矩阵,记作- 称为 的负矩阵,记作-A . 的负矩阵 即 ? A = ( ? aij ) s×n . §4.1 矩阵的概念