量子力学 光电子科学与工程学院 王可嘉 第六讲 算符的运算规则 厄米算符 1 第6讲目录 一、算符引入的回顾 二、力学量在坐标表象下算符的形式 三、算符的运算规则 四、算符的对易关系 五、厄米算符 六、例题 2 一、算符引入的回顾 为了在坐标表象中计算动量的平均值: p ? ? ?? ?? ? ? ? 3 ? ( p ) p? ( p )d p ? * ?? ?? ? ? 3 ? ? ( r )( ? i ? ? )? ( r ) d r * ? ? ? ? ? ? ? i? ? ? ? i? ( ? e ? ? e ? ? e ) 引入了动量算符: p x y y ?x ?y ?y 从而,动量平均值可以表示为: ? ? ? ? ? (r )d 3r p ? ?? (r ) p * ?? 3 ?? 二、力学量在坐标表象下算符的形式 ? 动能 T ? p / 2 m ,动能算符 T? ? p 2 / 2 m ? ? 2 ? 2 ? 2 其中: ? 2 ? ? 2 2 ?x ? ? ?? 2 2 ?y ? ? ? 2 2 2m ?z 动能平均值: T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 角动量 l ? r ? p ,角动量算符 l ? r ? p ? r ? p 角动量平均值: ? l ? ?? ?? ? ? ( r )T ? ( r ) d r ? * 3 ? ?? ? ? ? 3 ? * ? ? ( r )l ? ( r ) d r 4 三、算符的运算规则(1) 1、线性算符 ? ? 波函数 ? 1、 ? 2 , 并且 ? 常数 c1 , c 2。对算符 A , 如果 ? ? ? A ( c1? 1 ? c 2? 2 ) ? c1 A ? 1 ? c 2 A ? 2 ? ? 则称 A 为线性算符,如: p x ? ? i ? ? ? x 2、单位算符 ? ? ? ? , 对算符 A , 若 A ? ? ? ? ? 则称 A 为单位算符,并记为 A ? I 3、算符相等 5 ? ? ? ? ? ? , 对算符 A 和 B ,若 A ? ? B ? ,则称两个算符相等, ? ? 记为 A?B 三、算符的运算规则(2) 4、算符之和 ? ? ? ? ? ? ? ? , 对算符 A 和 B , 如果 ( A ? B )? ? A ? ? B ? , ? ? ? ? 则称 A ? B 为算符 A 与 B 之和 5、算符之和的交换律和结合律 ? ? ? ? ? ? ? ? , 若 ( A ? B )? ? ( B + A )? ? A 和 B 满足交换律 ? ( ? ? ? ? ? ? ? ,若 [ A ? B + C )]? ? [( A ? B )+ C ]? , ? ? ? A 、 B 和 C 满足结合律 6 三、算符的运算规则(3) 6、算符之积 ? ? ? ? ? ? ? ? , 对 A 和 B , 如果 ( A B )? ? A ( B ? ), ? ? ? ? 则称 A B 为算符 A 与 B 之积 一般说来,算符之积不满足交换律,即: ? B ? BA ? ?? A 由此导致量子力学中的一个基本问题: 对易关系 7 四、算符的对易关系(1) 1、对易式 ? ? ? ? ? ? ?? ? A , B 和 ? , [ A , B ]? ? A B ? ? B A ? ? ? ? ? ?? 简记为: A , B ] ? A B ? B A ,通常情况:[ A , B ] ? 0 [ ? ? 2、坐标动量对易关系——最基本对易关系 ? 动量算符在坐标表象中:p ? ? ? i ? ? ? ? , ? ? x , y , z . ? ? x 以 ? ? x 为例,坐标表象中,? ? x ,计算 [ x , p x ] ? ? ? , x p x? ? ? i ? x ? p x x ? ? ? i? ? ?x ? ?x ? ? ?x ( x ? ) ? ? i? ? ? i? x ? 8 ? ? ? ( x p x ? p x x )? ? i ? ? ? ? ? [ x, px ] ? i? 四、算符的对易关系(2) 同理: ? ? [ y , p y ] ? i? ? ? [ z , p z ] ? i? ? ?y ? ? 但是, ( x p y ? p y x )? ? ? xi ? ( ? ? ? ?y ?)?0 即: [ x , p y ] ? 0 归纳起来,得到: ? [? , p? ] ? i?? ?? ?i?, ? ? ? ?? 0, ? ? ? ? ? , ? ? x, y, z 9 四、算符的对易关系(3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 角动量: ? r ? p , 所以角动量算符:l ? r ? p l ? ? ? ? i? ? ? ? i? ( e ? ? e ? ? e ? ) ?x ?y ?z 在坐标表象中:p ?x ?y ?z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r ? r ?e x?e y?e z l ? e l? ? e l? ? e l? x y z 3、角动量的对易式 x x y y z z ? ? y p ? z p ? ? i? ( y ? ? z ? ) ?z ?y lx ?z ?y ? ? zp ? x p ? ? i? ( z ? ? x ? ) ?x ?z ly ?x ?z ? ? x p ? y p ? ? i? ( x ? ? y ? ) ?y ?x lz ?y ?x x z y 顺时针:正号 逆时针:负号 10 四、算符的对易关系(4) 角动量算符和坐标算符的对易关系 ? ? ? i ? ( y ? ? z ? ), ? [ l? , x ]? ? ( l? x ? x l? )? ? 0 ? lx x x x ?z ?y [ l?x , y ]? ? ( l?x y ? y l?x )? ? ? i ? [( y ? ? i?[ y ? i? z ? 2 ? ?z ?? ?z ?z ? ?y )( y ? ) ? y ( y ?? ?z ? y ? ?z 2 ?z ? ?y )? ] ?? ?z ? z ? ? zy ?? ?z ? zy ] ? [ l?x , y ]? ? i ? z ? ? [ l?x , y ] ? i ? z 11 四、算符的对易关系(5) 同理可得:[ l?x , x ] ? 0 , [ l?x , y ] ? i ? z , [ l?x , z ] ? ? i ? y , [ l?y , x ] ? ? i ? z , [ l?y , y ] ? 0 , [ l?y , z ] ? i ? x , [ l?z , x ] ? i ? y , [ l?z , y ] ? ? i ? x , [ l?y , z ] ? 0 , 同样可证明: ? ? ? [ l?x , p y ]? ? ( l?x p y ? p y l?x )? ? ? i ? [( y ? ?z 2 ?z ? ?y 2 )( ? i ? ? ?y ? ) ? ( ? i? ? y ? ? 2 ? ?y )( y ? ?z 2 ?z ? ?y )? ] ? ? [y 2 ? ? ?z?y ?z ? ? ?y 2 ? ? ?? ?z ?? ?z ?z?y ? z ? ? ?y 2 ] ?? 2 ?? ?z ? ? i? ( ? i? ? ? ? ) ? ? i ? p z? ? [ l?x , p y ] ? ? i ? p z 12 四、算符的对易关系(6) ? ? ? ? ? [ l?x , p x ] ? 0 , [ l?x , p y ] ? i ? p z , [ l?x , p z ] ? ? i ? p y , 即: [ l?y , p x ] ? ? i ? p z , [ l?y , p y ] ? 0 , [ l?y , p z ] ? i ? p x , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ l?z , p x ] ? i ? p y , [ l?z , p y ] ? ? i ? p x , [ l?y , p z ] ? 0 , 同理证明: [ l?x , l?x ] ? 0 , [ l?y , l?y ] ? 0 , [ l?z , l?z ] ? 0 , [ l?x , l?y ] ? i ? l?z , [ l?y , l?z ] ? i ? l?x , [ l?z , l?x ] ? i ? l?y 令:l? 2 ? l?x2 ? l?y2 ? l?z2 ,称为角动量平方算符,有: ? 2 , l? ] ? 0 , [ l? 2 , l? ] ? 0 , [ l? 2 , l? ] ? 0 [l x y z 13 四、算符的对易关系(7) 4、对易恒等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ A , B ]? ? [ A B ? B A ]? ? [ ? B A ? A B ]? ? ? ? ? ? ? ? ? [ B , A ]? ,? [ A , B ] ? ? [ B , A ] 同理可得: ? ? ? ? ? ? ? [ A, B ? C ] ? [ A, B ] ? [ A, C ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ A , B C ] ? [ A , B ]C ? B [ A , C ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ A B , C ] ? A[ B , C ] ? [ A , C ] B ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ A , [ B ? C ]] ? [ B , [ C , A ] ? [ C , [ A , B ]] ? 0 14 五、厄米算符(1) 1、逆算符 ? 已知算符 A 和任意波函数 ? ,若存在唯一的 ? , ? ? 使得 A ? ? ? ,则可将 ? 表示为 ? ? A ? 1? ,其中: ? ? 1 称为算符 A 的逆算符 ? 算符 A ? A ?1 ? A ?1 A ? I , ? ? A? ? , A ?1 ] ? 0 [A ? ? B ) ?1 ? B ?1 A ?1 ? ? (A ? 15 五、厄米算符(2) 2、转置算符 ? ?x ~ ~ * ? ? ? ? 则称 B ? A 为 A 的转置算符。 即, ? A ? d ? ? ? ? p x ? ? i? , ??和 ? , 有 ?? * ? 若 ?? B ?d? ? ? ?A? d? ? * ? ?A? d? ? * ? ?? ?? ? dx ? p x? ?? * ? ? i? ? ? ?x ?? dx ? ?? ? ?x ? * ? ? i ? [?? * ?? ?? ? * ? ?? ?? dx? * ? ?x ?] ? i? ? ?? dx? * ? ? ? ?? ? dx? ( ? p x )? ? * ? ?? ?? ~ ? dx? ( p x )? ~ ? ? 所以, p x ? - p x . 注意用到了 | x |? ? ,? ( x ) ? 0的条件 束缚态条件 16 ~ ~ ~ ? ? ? ? ? ? ? ? ?A和 B, 设 C ? AB,则 C ? B A 五、厄米算符(3) 3、共轭算符 ? , 称 A *为 A 的共轭算符 ? ? ?A ? 如 p x ? ? i? ? ?x ? , 则 p ? ( ? i? * x ? ?x ) ? i? * ? ?x ? ? ? px 4、厄米共轭 ? ? ? A , 则 A 的共轭转置算符 ~ ~* ? ? ? * ? ? ? ? ? 记为 A , 即 A = A 。 如 p x ? p x ~ ?* ? A 称为 A 的厄米共轭算符 , ? 和 B, 则 ( AB )? ? B ? A? ? ? ? ? ? ?A 17 五、厄米算符(4) 5、厄米算符 ? ?? ? ? ? A , 若 A ? A , 则称 A 为厄米算符 , 或自共轭算符。 ~ ? ? ?* ? 也就是说, ? A , 若 A ? A , 则 A 就是厄米算符。 可以证明, ? x , p x , l? , V ( x ) 等都是厄米算符。 ? 如 p x ? ? i? ? ?x ~ * ? ? ? ? , 已知 p x ? ? p x , p x ? ? p x ? 即 p ? x ~* * * ? ? ? ? 所以 p x ? ( ? p x ) ? ? p x ? p x , ? ? px 18 五、厄米算符(5) 6、厄米算符的平均值(1) ~ ? ? d ?? A ? ? ? d ?? A ? ? * * 定理:体系的任何状态下,厄米算符的平均值为实数 ~ ? ? ?+ ? ? ?* ? A 和 ? ( r ),若 A ? A ,即 A ? A ? * ? ? ? (r )d 3r ? 则 A ? ?? (r ) A ?? ?? ?? ?? ?? ? ~* ? * ? ? (r )d 3r ?? (r ) A ?? ? ?* * ? 3 ? * ? ? ? ( r ) d 3 r ]* ? A * ? ?? (r ) A ? (r )d r ? [ ?? (r ) A ?? ?? A ? A , 所以 A 是实数。 * 逆定理:在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符 19 五、厄米算符(6) 6、厄米算符的平均值(2) ~ ? ? d ?? A ? ? ? d ?? A ? ? * * ? ? 等都是厄米算符?因为它们都是实验 为什么 x , p x , l ? 上的可观察量,因此,它们在任何状态下的平均值都应该 是实数,因而,它们应该都是厄米算符。 推论:厄米算符平方的平均值大于等于零 ? ? , ? ( r ), ?A ~ ? ? A, 即 A ? A * ? ? ? 若 A ? A ? 2 ? ? ? ?? ?? ? ? A ?d r ? * 2 3 ? ?? ?? ? ? ? AA? d r ? * 3 ? ?? ?? ~ ? * ( A? )d 3r ? A ? * ? ? ?? ?? ?? ? ? ) A *? * d 3 r ? ? (A ? A? 2 ? ?? ?? ? ? )( A ? ) * d 3 r ? (A 20 ?? d r ?0 3 六、例题(1) 例1:设势场为 0? x?a ? 0, V (x) ? ? ?V 0 , x ? 0 , x ? a 证明阱口刚好出现一个束缚态能级 (即 E ? V 0 )的条件为 k 0 a ? n ? , n ? 1, 2 , 3 , ? 其中,k 0 ? 2 mE / ? . 证明:当 0 ? x ? a 时 ,能量本征值方程为: ? ( x) ? 2m? " ?2 E? ( x) ? 0 解得: ? ( x ) ? A cos( kx ) ? B sin( kx ) (1) k ? 2 mE / ? 当 x ? 0 时,能量本征值方程为: ? ( x) ? 2m? " ?2 ( E ? V 0 )? ( x ) ? 0 ?x 由束缚态条件 ? ( x ? ?? ) ? 0 ,解得: ? ( x) ? Ce (2) ? ? 2 m (V 0 ? E ) / ? 21 六、例题(2) 当 x ? a 时,能量本征值方程为:? " ( x ) ? 2 m ? ? 2 ( E ? V 0 )? ( x ) ? 0 由束缚态条件 ? ( x ? ?? ) ? 0 所以 所以 ? ? 解得: ? ( x ) ? De 2 mE / ? ? k 0 ? ? ?x (3) 因为阱口刚好出现一个束缚态,即 E ? V 0 2 m (V 0 ? E ) / ? ? 0 , k ? 2 mV 0 /? x ? 0 : ? ( x) ? C x ? a : ? ( x) ? D ? 根据 ? ( x ) , ?( x ) 在 x ? 0 和 x ? a 连续,可知: ?C ? A ? ? 0 ? Bk 0 ? ? ? A cos k 0 a ? D ? ? Ak sin k a ? 0 0 0 ? B ? 0 , sin k 0 a ? 0 势阱刚好出现束缚态的条件为:k 0 a ? n ? , n ? 1, 2 ,3 , ? 22 六、例题(3) 例2:证明:动量表象当中 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? r ? i? ? ? i? ? i ? j ?k ? ?p ?p ?p y ?p z ? x ? ? 坐标表象中坐标平均值计算公式为: ? ? 3 * ? ? r ? ? ? ( r )r ? ( r ) d r i ? ? 3 ? ? ? ( p ) exp[ ? p ? r ] d p 根据傅立叶变换可得: ? ? (r ) ? 1 ( 2? ? ) ? r 3 2 取复共轭后代入 有: 23 六、例题(4) ? r ? ? i ? ? ? ? ? 3 3 ?? ( 2 ? ? ) 3 2 ? ( p ) exp[ ? ? p ? r ] r ? ( r ) d rd p 1 ? i ? ? ? 3 3 * ? ? ( p )( i ? ? ) exp[ ? p ? r ]? ( r ) d rd p 3 ?p ? ( 2? ? ) 2 1 * * ?? ? ? 1 ? ? ? ? ( p ) (i? ? )? 3 ? ? p ? ( 2? ? ) 2 i ? ? 3 ? 3 ? ? ? ( r ) exp[ ? ? p ? r ] d r ? d p ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ( p ) ( i ? ? )? ( p ) d p ?p * ? ? ? ? ? ) ? ? r ? i? ? ? i?(i ?? j ?k ?p ?p x ?p y ?p z 24 下一讲 厄米算符的本征值与本征函数 角动量的本征值与本征函数 25