主流教材中常常可以查到带Peano余项、Lagrange余项、Cauchy余项的Taylor公式及其证明,但是带积分余项的Taylor公式却很少出现。故撰写此文,补充这块空缺。定理.函数
在
的领域
内存在
阶连续导数,对任意
,有
和其他余项不同,积分余项是确定的,是可以准确估计的。当然实际操作上,这个积分通常很难处理。此外,这里要求存在直到
阶连续导数,因为微积分基本定理的条件是被积函数连续。下面我们使用第一数学归纳法来证明这个Taylor公式。
证明.当
时,由微积分基本定理和分部积分法则:
假设这个Taylor公式对于
成立,我们需要证明此时对
也成立。对
阶Taylor公式的积分余项进行分部积分:
移项可得,
将上式带入到
阶Taylor公式,得
证毕.