虽然我们没有办法把它一项一项地列出来,但可以想象出,这个过程,如果总是用遗传记法来表示,那么就像是一个倒计时的钟表,只不过每一个“小时”值好多“分钟”,每一个“分钟”值好多“秒”,而且随着项数的增加,每一个“分钟”值的“秒”数会增多,每一个“小时”值的“分钟”数也会增多,但不管怎样,这个倒计时总会结束。
无独有偶,集合论中的序数(ordinal)刚好也具有这种性质。如果一个序数的序列,每一项都小于前一项,那么一定只能有有限项。像刚才的倒计时那样,“每一项都小于前一项”的方式,可以是扣掉这一“秒”,也可以是把一个“分钟”换成许多“秒”,把一个“小时”换成许多“分钟”等等。这就启发我们定义一种通用的、基于序数的“倒计时”,称作Hardy hierarchy。
,其中n是任意自然数。
,其中n是任意自然数,α是任意序数。
,其中n是任意自然数,α是非零极限序数。
而最后这个表达式中的α[n],就是把一个“小时”换成许多“分钟”的方式。
用Cantor标准式来表示序数,即
,其中
都是正整数,
且都是序数。用这种方式表示的非零极限序数,可以定义
。而且
。然后
;如果β是非零极限序数,那么
。
于是我们就得到了Goodstein函数的一种比较简单的表达式:
,其中α是把n写成以2为底的遗传记法,再把2换成ω,所得的序数。
作为对比,G(12)大于Graham数。Graham数若用Hardy hierarchy表示,仅仅介于
和
之间罢了,而Goodstein函数却能达到
这种级别。
四、TREE(3)
TREE(3)源于TREE函数。
在所有由“顶点k染色的树”组成的,而且满足下面的两个条件的序列中,序列的最大长度就记作TREE(k)。
任意正整数i,序列的第i项只有不超过i个顶点任意正整数i<j,序列的第i项不能嵌入第j项
这里,顶点染色的树之间的嵌入关系比较复杂,但可以转换成下面这个比较简单的定义。如果树A能够通过有限次“去掉一个叶子”和“去掉一个子顶点数为1的顶点,并把它的子顶点和它的父顶点连接起来”操作变成树B,那么B就能嵌入A。
定义到此为止。
来试一试吧!我们用一对括号表示一个顶点,最外层的括号表示根顶