第三节一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 第十章 区域D分类 单连通区域( 边界L的正向: 域的内部靠左(P141) 定理1. 设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成, 则有 格林公式)函数 型区域,又是Y 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域,如图 的正向边界表示 是一条分段光滑的闭曲线,证明 推论:正向闭曲线 例如,椭圆 sincos sincos abab ab ABxdy ,其中曲线是半径为 的圆弧在第一象限的部分. ABOA BO ABxdy xdy BO OA OAdy xdy BOdx ABxdy 计算其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. sincos 所围的区域为林公式, tdtcos 练习.计算 其中L 为上半 为了使用格林公式,添加辅助线段 圆周区域为D 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2. 中任一分段光滑曲线L,曲线积分 与路径无关,只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 内是某一函数的全微分, 说明:积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明(1) 在D内取定点因曲线积分 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有 说明:根据定理2 求曲线积分时,可利用格林公式简化计算, dy在域D内的原函数: 若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线; 取定点 计算曲线积分时,可选择方便的积分路径; 1523 的曲线弧到点 的一段弧解法1: 因为 曲线只要绕过原点,积分就与路径无关.因此可选简单折线路径 ACCD DB xdxdy 验证是某个函数的全微分, 由定理2可知, 存在函数u 练习.设质点在力场 作用下沿曲线L 移动到求力场所作的功W 可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 思考:积分路径是否可以取 OBAO 取圆弧 为什么?注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关! 三、求解全微分方程若一阶微分方程写成 一旦找到了的形式后,如果存在 为微分方程(3)的通解.由例5知道全微分方程的通解有三种求法. 都是分别是上面的 原函数.全微分式. dxdy 的通解.解:微分方程可整理为 ydxxdy dy 练习.验证 由定理2可知存在原函数 内具有一阶连续偏导数,则有 且都取正向,问下列计算是否正确? 学习动物精神学习动物精神 11、机智应变的猴子:工作的流程有时往往是一成不变的, 新人的优势在于不了解既有的做法,而能创造出新的创意与 点子。一味 地接受工作的交付, 只能学到工作方法 的皮毛,能思考应 变的人,才会学到 方法的精髓。 学习动物精神学习动物精神 12、善解人意的海豚:常常问自己:我是主管该 怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工 作上善解人意, 会减轻主管、共 事者的负担,也 让你更具人缘。