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今天是高等数学专题的第10篇文章。
今天我们来看另一个解不定积分的方法——分部积分法,这个方法非常常用,甚至比换元法还要常用。在我仅存不多的高数的记忆里,这是必考的内容之一。
虽然这个内容非常重要,但是却并不难,推导也很简单,所以这篇文章几乎没有难度,也没什么公式推导。

原理和推导

分部积分法的原理非常简单,其实也是脱胎于导数公式的推导。我们之前介绍不定积分的时候介绍过通过函数加减计算得到的简单的积分公式。这一次的分部积分公式来源于两个函数乘积的求导法则,利用积分是求导逆运算的性质得到分部积分公式。
我们来看,假设u和v是两个关于x的函数,并且它们的导数连续。根据求导公式,我们可以得到函数uv乘积的导数公式:
\[(uv)'=u'v + uv' \]
这个公式应该很简单,我们在高中数学就很熟悉了,接着我们做一个简单的移项,可以得到:
\[uv' = (uv)' - u'v \]
之后我们再对等式的两边求不定积分:
\[\int uv'dx = uv - \int u'vdx \]
上面的式子还可以简化,写成:
\[\int udv = uv - \int vdu \]
这个就是我们的分部积分公式的推导过程,是不是很简单。可能有些同学会有些疑惑这个结果,比如为什么(uv)'积分之后变成了uv。这个原因很简单,因为求不定积分就是通过导函数求原函数,所以我们对一个函数求导之后的结果再积分,自然得到的就是函数本身。这也是我们之前说不定积分是求导的逆运算的原因。
在一些时候,我们想要求\(\int uv'dx\)不太容易,而求\(\int u'vdx\)比较容易,这个时候我们就可以用分部积分公式得到结果了。

u和v的选择

在分部积分法当中,最重要的就是u和v的选择,会直接关系到我们的计算量以及复杂度。我们来看下面这个例子。
比如我们想求$\int x\cos x dx\(,这个式子比较麻烦,无论是第一类换元法还是第二类换元法都不太好解。我们试试分部积分,这个式子当中只有两个部分,算是比较明显,我们假设\)u = x, dv = \cos x\(,那么\)v = \sin x, du=dx$,我们带入分部积分:
\[\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx \]
\(\int \sin x dx\)很容易得到原函数,所以整体的答案就是:
\[\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C \]
但是为什么一定是\(u = x, dv = \cos xdx\)呢?如果我们令\(u = \cos x, dv = x dx\)行不行呢?
当然也行,但是整体的计算会麻烦很多,我们简单代入一下就知道,如果\(dv = xdx\),那么\(v = \frac{x^2}{2}\),\(du = -\sin xdx\),我们代入之后会得到一个比较复杂的式子:
\[\int x \cos x dx = \cos x \cdot \frac{x^2}{2} + \int \frac{x^2}{2}\sin x dx \]
我们要求这个式子的积分可能比原式还要困难,这个例子说明了一点,就是我们在选择u和v的时候不能盲目,并不是随便选一个函数就可以简化计算的。
一般来说有两个原则可以尽量保证我们使用分部积分法能够获得比较好的结果,第一个原则是v的计算要简单。在刚才的例子当中,如果dv很复杂,那么会使得我们算出的v也很复杂。代入进式子当中之后会使得vdu变得很难计算。第二个原则是\(\int vdu\)要比\(\int udv\)容易计算,这个也是显然的,不然我们还用分部积分法干嘛,不如直接算了。

一点诀窍

其实从上面的例子和分部积分的公式当中我们可以发现一点端倪,分部积分的前提是要让v的计算尽量简单,什么样的函数积分和求导都比较简单呢?
很显然,三角函数和各种出现e的函数。所以对于有三角函数以及自然底数e出现的函数,优先考虑分部积分。
我们再来看一个例子:
\[\int x e^x dx \]
这个例子当中出现了\(e^x\),我们知道\(e^x\)是个好东西,它的积分和求导都等于它本身,它用来当做v再适合不过了。所以我们令\(u=x, dv = e^x\),所以\(du = dx, v = e^x\),我们代入公式即可得到答案:
\[\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C \]
我们再来看一个例子:
\[\int x \ln x dx \]
我们令\(u = \ln x, dv = xdx\),所以\(du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{x^2}{2}\),代入可得:
\[\begin{aligned} \int x \ln x dx &= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx \\ &=\frac{x^2}{2} - \int \frac{x}{2} dx \\ &=\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]
除了在函数选择上的诀窍之外,另一个trick是我们的分部积分法可以多次使用,对于一些比较复杂的式子通过一次拆分是不够的,这个时候我们可以考虑继续使用分部积分进行多次拆分。我们来看个例子:
\[\int x^2 e^x dx \]
还是和之前一样,我们令\(u=x^2, dv = e^xdx\),所以\(du = 2x dx, v = e^x\)。我们代入原式,可以得到:
\[\int x^2 e^x dx = x^2e^x - \int 2x e^x dx \]
我们观察到右侧的式子当中还有一个不太好求的积分,这个时候我们继续使用分部积分法,令\(u = 2x, dv = e^x dx\), 那么\(du = 2 dx, v = e^x\),我们代入可以得到:
\[\begin{aligned} \int x^2 e^x dx &= x^2e^x - \int 2x e^x dx\\ &=x^2 e^x - 2x \cdot e^x + \int 2 e^x dx \\ &= e^x (x^2 - 2x + 2) \end{aligned} \]

和换元法结合

分部积分除了可以多次拆分计算之外,另一个杀器是还可以结合换元法一起使用。这两个方法结合在一起之后威力大增,进一步扩大了公式的应用范围。
比如我们来看一个例子:
\[\int e^{\sqrt{x}}dx \]
这个式子当中我们虽然有e出现,但是它的指数也是一个函数,我们使用分部积分法并不太容易。这个时候就需要结合上换元法了,我们令\(t = \sqrt{x}\),所以\(x = t^2, dx = 2tdt\)
我们代入可以得到:
\[\int e^{\sqrt{x}}dx= 2\int t e^t dt \]
这个式子我们已经很熟悉了,套用一下分部积分,我们很轻松就可以得到:
\[2\int t e^t dt = 2(t e^t - \int e^t dt) = 2e^t(t - 1) = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) + C \]

总结

到这里,我们关于分部积分法的内容就结束了,不仅分部积分法讲完了,我们整个不定积分的求解方法也都讲完了。其实说白了也就只有换元法和分部积分这两种方法,这两种方法虽然简单,但是如果使用熟练地话威力并不小,可以解决很多看起来比较棘手的积分问题。大家可以把这两篇文章结合在一起观看。
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