7.
如图,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点B、点C在第一象限,sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,线段AD、AB的长分别是方程x2-11x+24=0的两根(AD>AB).
(1)求点B的坐标;
(2)求直线AB的解析式;
(3)在直线AB上是否存在点M,使以点C、点B、点M为顶点的三角形与OAD相似?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析(1)首先求出AD、AB,根据sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$推出∠DAO=60°,作BE⊥x轴于点E,在RTABE中,即可解决问题.
(2)利用待定系数法设直线AB为y=kx+b,把A、B坐标代入即可解决问题.
(3)分四种情形,利用相似三角形的性质求出AM的长,即可求出点M坐标.
解答(1)解:作BE⊥x轴于点E,
解方程x2-11x+24=0得x1=3,x2=8.
∵AD>AB
∴AD=8,AB=3,
∵sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴∠OAD=60°,
∴∠BAE=30°,
OA=AD×cos60°=4,
∴AE=AB×cos30°=3×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$,
BE=AB×sin30°=$\frac{3}{2}$,
∴B点的坐标为($4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2},\frac{3}{2}$).
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0).
则$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ \frac{3}{2}=(4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2})k+b\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
(3)存在,如图,①当BCM1∽ODA时,$\frac{BC}{OD}$=$\frac{B{M}_{1}}{OA}$,
∴$\frac{8}{4\sqrt{3}}$=$\frac{B{M}_{1}}{4}$,
∴BM1=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$,
∴AM1=3+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$,作M1H⊥OA于H,
∵∠M1AH=30°,
∴HM1=$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+4,OH=8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴点M1(8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$),
②当CBM2∽AOD时,$\frac{BC}{AO}$=$\frac{B{M}_{2}}{OD}$,∴$\frac{8}{4}$=$\frac{B{M}_{2}}{4\sqrt{3}}$,
∴BM2=8$\sqrt{3}$,
∴AM2=3+8$\sqrt{3}$,
∴M2坐标为(16+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$+4$\sqrt{3}$),
根据对称性得到M3(-8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$-4$\sqrt{3}$),M4($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$).