2020 年四川省绵阳市中考数学试卷 和答案 解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.每小题只有 一个选项符合题目要求. 1.(3 分)﹣3 的相反数是( A.﹣3 B.﹣ ) C. D.3 解析:根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解 即可. 参考答案:解:﹣3 的相反数是 3, 故选:D. 点拨:本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前 面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是 正数,0 的相反数是 0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆. 2.(3 分)如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的 图形,则此图形的对称轴有( ) A.2 条 B.4 条 C.6 条 D.8 条 解析:根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴 的条数. 参考答案:解:如图, 第1页(共34页) 因为以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形, 所以此图形的对称轴有 4 条. 故选:B. 点拨:本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形,解 决本题的关键是掌握轴对称的性质. 3.(3 分)近年来,华为手机越来越受到消费者的青睐.截至 2019 年 12 月底,华为 5G 手机全球总发货量突破 690 万台.将 690 万 用科学记数法表示为( ) A.0.69×107 B.69×105 C.6.9×105 D.6.9×106 解析:绝对值大于 10 的数用科学记数法表示一般形式为 a×10n,n 为整数位数减 1. 参考答案:解:690 万=6900000=6.9×106. 故选:D. 点拨:本题考查了科学记数法﹣表示较大的数,科学记数法中 a 的 要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键, 4.(3 分)下列四个图形中,不能作为正方体的展开图的是( ) 第2页(共34页) A. B. C. D. 解析:根据正方体的展开图的 11 种不同情况进行判断即可. 参考答案:解:正方体展开图的 11 种情况可分为“1﹣4﹣1 型”6 种,“2﹣3﹣1 型”3 种,“2﹣2﹣2 型”1 种,“3﹣3 型”1 种, 因此选项 D 符合题意, 故选:D. 点拨:本题考查正方体的展开图,理解和掌握正方体的展开图的 11 种不同情况,是正确判断的前提. 5.(3 分)若 有意义,则 a 的取值范围是( ) A.a≥1 B.a≤1 C.a≥0 D.a≤﹣1 解析:直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案. 参考答案:解:若 有意义,则 a﹣1≥0, 解得:a≥1. 故选:A. 点拨:此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握二次根式 的定义是解题关键. 6.(3 分)《九章算术》中记载“今有共买羊,人出五,不足四十五; 人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合 第3页(共34页) 伙买羊,若每人出 5 钱,还差 45 钱;若每人出 7 钱,还差 3 钱, 问合伙人数、羊价各是多少?此问题中羊价为( ) A.160 钱 B.155 钱 C.150 钱 D.145 钱 解析:设共有 x 人合伙买羊,羊价为 y 钱,根据“若每人出 5 钱, 还差 45 钱;若每人出 7 钱,还差 3 钱”,即可得出关于 x,y 的二 元一次方程组,解之即可得出结论. 参考答案:解:设共有 x 人合伙买羊,羊价为 y 钱, 依题意,得: , 解得: . 故选:C. 点拨:本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列 出二元一次方程组是解题的关键. 7.(3 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,DF∥BC,∠ ABC 的平分线 BE 交 DF 于点 G,GH⊥DF,点 E 恰好为 DH 的 中点,若 AE=3,CD=2,则 GH=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:过 E 作 EM⊥BC,交 FD 于点 N,可得 EN⊥GD,得到 EN 与 GH 平行,再由 E 为 HD 中点,得到 HG=2EN,同时得到四边 第4页(共34页) 形 NMCD 为矩形,再由角平分线定理得到 AE=ME,进而求出 EN 的长,得到 HG 的长. 参考答案:解:过 E 作 EM⊥BC,交 FD 于点 N, ∵DF∥BC, ∴EN⊥DF, ∴EN∥HG, ∴=, ∵E 为 HD 中点, ∴ =, ∴ = ,即 HG=2EN, ∴∠DNM=∠NMC=∠C=90°, ∴四边形 NMCD 为矩形, ∴MN=DC=2, ∵BE 平分∠ABC,EA⊥AB,EM⊥BC, ∴EM=AE=3, ∴EN=EM﹣MN=3﹣2=1, 则 HG=2EN=2. 故选:B. 第5页(共34页) 点拨:此题考查了勾股定理,矩形的判定与性质,角平分线定理, 以及平行得比例,熟练掌握定理及性质是解本题的关键. 8.(3 分)将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中,则恰 有一个篮子为空的概率为( ) A. B. C. D. 解析:根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数,找出恰有一 个篮子为空的情况数,然后根据概率公式即可得出答案. 参考答案:解:三个不同的篮子分别用 A、B、C 表示,根据题意 画图如下: 共有 9 种等可能的情况数,其中恰有一个篮子为空的有 6 种, 则恰有一个篮子为空的概率为 = . 故选:A. 点拨:此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重 复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图 法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求 情况数与总情况数之比. 9.(3 分)在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC 是等腰三角形,∠ ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( ) 第6页(共34页) A.16° B.28° C.44° D.45° 解析:延长 ED,交 AC 于 F,根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ ACB=28°,根据平行线的性质得出∠CFD=∠A=28°, 由三角形外角的性质即可求得∠ACD 的度数. 参考答案:解:延长 ED,交 AC 于 F, ∵△ABC 是等腰三角形,∠ABC=124°, ∴∠A=∠ACB=28°, ∵AB∥DE, ∴∠CFD=∠A=28°, ∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°, ∴∠ACD=72°﹣28°=44°, 故选:C. 点拨:本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,三角形外角 的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键. 第7页(共34页) 10.(3 分)甲、乙二人同驾一辆车出游,各匀速行驶一半路程,共 用 3 小时,到达目的地后,甲对乙说:“我用你所花的时间,可以 行驶 180km”,乙对甲说:“我用你所花的时间,只能行驶 80km”.从 他们的交谈中可以判断,乙驾车的时长为( ) A.1.2 小时 B.1.6 小时 C.1.8 小时 D.2 小时 解析:设乙驾车时长为 x 小时,则甲驾车时长为(3﹣x)小时,根 据两人对话可知:甲的速度为 km/h,乙的速度为 km/h,根 据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可. 参考答案:解:设乙驾车时长为 x 小时,则甲驾车时长为(3﹣x) 小时, 根据两人对话可知:甲的速度为 km/h,乙的速度为 km/h, 根据题意得: =, 解得:x1=1.8 或 x2=9, 经检验:x1=1.8 或 x2=9 是原方程的解, x2=9 不合题意,舍去, 故选:C. 点拨:考查了分式方程的应用,解题的关键是能够分别表示出各自 的实际速度,难度中等. 11.(3 分)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大 小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为 10 米,孔 顶离水面 1.5 米;当水位下降,大孔水面宽度为 14 米时,单个小 孔的水面宽度为 4 米,若大孔水面宽度为 20 米,则单个小孔的水 第8页(共34页) 面宽度为( ) A.4 米 B.5 米 C.2 米 D.7 米 解析:根据题意,可以画出相应的抛物线,然后即可得到大孔所在 抛物线解析式,再求出顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式,将 x =﹣10 代入可求解. 参考答案:解:如图,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可 得 MN=4,EF=14,BC=10,DO= , 设大孔所在抛物线解析式为 y=ax2+ , ∵BC=10, ∴点 B(﹣5,0), ∴0=a×(﹣5)2+ , ∴a=﹣ , ∴大孔所在抛物线解析式为 y=﹣ x2+ , 设点 A(b,0),则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y= 第9页(共34页) m(x﹣b)2, ∵EF=14, ∴点 E 的横坐标为﹣7, ∴点 E 坐标为(﹣7,﹣ ), ∴﹣ =m(x﹣b)2, ∴x1= +b,x2=﹣ +b, ∴MN=4, ∴| +b﹣(﹣ +b)|=4 ∴m=﹣ , ∴顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y=﹣ (x﹣b)2, ∵大孔水面宽度为 20 米, ∴当 x=﹣10 时,y=﹣ , ∴﹣ =﹣ (x﹣b)2, ∴x1= +b,x2=﹣ +b, ∴单个小孔的水面宽度=|( +b)﹣(﹣ +b)|=5 (米), 故选:B. 点拨:本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利 用二次函数的性质和数形结合的思想解答. 12.(3 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB =2 ,AD=2,将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转后得△A′B′C, 当 A′B′恰好经过点 D 时,△B′CD 为等腰三角形,若 BB′=2,则 AA′=( ) 第10页(共34页) A. B.2 C. D. 解析:过 D 作 DE⊥BC 于 E,则∠DEC=∠DEB=90°,根据矩形 的性质得到 BE=AD=2,DE=AB=2 ,根据旋转的性质得到∠ DB′C=∠ABC=90°,B′C=BC,A′C=AC,∠A′CA=∠B′CB,推 出△B′CD 为等腰直角三角形,得到 CD= B′C,设 B′C=BC=x, 则 CD= x,CE=x﹣2,根据勾股定理即可得到结论. 参考答案:解:过 D 作 DE⊥BC 于 E, 则∠DEC=∠DEB=90°, ∵AD∥BC,∠ABC=90°, ∴∠DAB=∠ABC=90°, ∴四边形 ABED 是矩形, ∴BE=AD=2,DE=AB=2 , ∵将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转后得△A′B′C, ∴∠DB′C=∠ABC=90°,B′C=BC,A′C=AC,∠A′CA=∠B′CB, ∴△A′CA∽△B′CB, ∴ =, ∵△B′CD 为等腰三角形, ∴△B′CD 为等腰直角三角形, 第11页(共34页) ∴CD= B′C, 设 B′C=BC=x,则 CD= x,CE=x﹣2, ∵CD2=CE2+DE2, ∴( x)2=(x﹣2)2+(2 )2, ∴x=4(负值舍去), ∴BC=4, ∴AC= ∴= =2 , , ∴A′A= , 故选:A. 点拨:本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,矩形的判 定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,正确的识别图形 是解题的关键. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.将答案填写 在答题卡相应的横线上. 13.(4 分)因式分解:x3y﹣4xy3= xy(x+2y)(x﹣2y) . 解析:先提取公因式 xy,再对余下的多项式利用平方差公式继续 分解. 第12页(共34页) 参考答案:解:x3y﹣4xy3, =xy(x2﹣4y2), =xy(x+2y)(x﹣2y). 故答案为:xy(x+2y)(x﹣2y). 点拨:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项 式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同 时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 14.(4 分)平面直角坐标系中,将点 A(﹣1,2)先向左平移 2 个 单位,再向上平移 1 个单位后得到的点 A1 的坐标为 (﹣3,3) . 解析:根据在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加 上(或减去)一个整数 a,相应的新图形就是把原图形向右(或向 左)平移 a 个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个整数 a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移 a 个 单位长度.(即:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下 移减.)即可得结论. 参考答案:解:∵将点 A(﹣1,2)先向左平移 2 个单位,横坐标 ﹣2, 再向上平移 1 个单位纵坐标+1, ∴平移后得到的点 A1 的坐标为:(﹣3,3). 故答案为:(﹣3,3). 点拨:本题考查了坐标与图形变化﹣平移,解决本题的关键是掌握 平移定义. 第13页(共34页) 15.(4 分)若多项式 xy|m﹣n|+(n﹣2)x2y2+1 是关于 x,y 的三次多 项式,则 mn= 0 或 8 . 解析:直接利用多项式的次数确定方法得出答案. 参考答案:解:∵多项式 xy|m﹣n|+(n﹣2)x2y2+1 是关于 x,y 的三 次多项式, ∴n﹣2=0,1+|m﹣n|=3, ∴n=2,|m﹣n|=2, ∴m﹣n=2 或 n﹣m=2, ∴m=4 或 m=0, ∴mn=0 或 8. 故答案为:0 或 8. 点拨:此题主要考查了多项式,正确掌握多项式的次数确定方法是 解题关键. 16.(4 分)我市认真落实国家“精准扶贫”政策,计划在对口帮扶 的贫困县种植甲、乙两种火龙果共 100 亩,根据市场调查,甲、 乙两种火龙果每亩的种植成本分别为 0.9 万元、1.1 万元,每亩的 销售额分别为 2 万元、2.5 万元,如果要求种植成本不少于 98 万 元,但不超过 100 万元,且所有火龙果能全部售出,则该县在此 项目中获得的最大利润是 125 万元.(利润=销售额﹣种植成 本) 解析:设甲种火龙果种植 x 亩,乙种火龙果种植(100﹣x)亩,此 项目获得利润 w,根据题意列出不等式求出 x 的范围,然后根据题 第14页(共34页) 意列出 w 与 x 的函数关系即可求出答案. 参考答案:解:设甲种火龙果种植 x 亩,乙种火龙果种植(100﹣x) 亩,此项目获得利润 w, 甲、乙两种火龙果每亩利润为 1.1 万元,1.4 万元, 由题意可知: , 解得:50≤x≤60, 此项目获得利润 w=1.1x+1.4(100﹣x)=140﹣0.3x, 当 x=50 时, w 的最大值为 140﹣15=125 万元. 点拨:本题考查一次函数,解题的关键是根据题意给出的等量关系 列出函数关系式,本题属于中等题型. 17.(4 分)如图,四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD= BC=CD=4,点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点,满足∠AMD =90°,则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为 3 ﹣2 . 解析:取 AD 的中点 O,连接 OM,过点 M 作 ME⊥BC 交 BC 的 延长线于 E,点点 O 作 OF⊥BC 于 F,交 CD 于 G,则 OM+ME ≥OF.求出 OM,OF 即可解决问题. 参考答案:解:取 AD 的中点 O,连接 OM,过点 M 作 ME⊥BC 交 BC 的延长线于 E,点点 O 作 OF⊥BC 于 F,交 CD 于 G,则 第15页(共34页) OM+ME≥OF. ∵∠AMD=90°,AD=4,OA=OD, ∴OM= AD=2, ∵AB∥CD, ∴∠GCF=∠B=60°, ∴∠DGO=∠CGE=30°, ∵AD=BC, ∴∠DAB=∠B=60°, ∴∠ADC=∠BCD=120°, ∴∠DOG=30°=∠DGO, ∴DG=DO=2, ∵CD=4, ∴CG=2, ∴OG=2 ,GF= ,OF=3 , ∴ME≥OF﹣OM=3 ﹣2, ∴当 O,M,E 共线时,ME 的值最小,最小值为 3 ﹣2. 点拨:本题考查解直角三角形,垂线段最短,直角三角形斜边中线 的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中 第16页(共34页) 考常考题型. 18.(4 分)若不等式 >﹣x﹣ 的解都能使不等式(m﹣6)x<2m+1 成立,则实数 m 的取值范围是 ≤m≤6 . 解析:解不等式 >﹣x﹣ 得 x>﹣4,据此知 x>﹣4 都能使不 等式(m﹣6)x<2m+1 成立,再分 m﹣6=0 和 m﹣6≠0 两种情况 分别求解. 参考答案:解:解不等式 >﹣x﹣ 得 x>﹣4, ∵x>﹣4 都能使不等式(m﹣6)x<2m+1 成立, ①当 m﹣6=0,即 m=6 时,则 x>﹣4 都能使 0?x<13 恒成立; ②当 m﹣6≠0,则不等式(m﹣6)x<2m+1 的解要改变方向, ∴m﹣6<0,即 m<6, ∴不等式(m﹣6)x<2m+1 的解集为 x> , ∵x>﹣4 都能使 x> 成立, ∴﹣4≥ , ∴﹣4m+24≤2m+1, ∴m≥ , 综上所述,m 的取值范围是 ≤m≤6. 故答案为: ≤m≤6. 点拨:本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握解一元 一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质. 三、解答题:本大题共 7 小题,共计 90 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第17页(共34页) 19.(16 分)(1)计算:| ﹣3|+2 cos60°﹣ × ﹣(﹣ )0. (2)先化简,再求值:(x+2+ )÷ ,其中 x= ﹣1. 解析:(1)先去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计 算零指数幂,再计算乘法,最后计算加减可得; (2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将 x 的 值代入计算可得. 参考答案:解:(1)原式=3﹣ +2 × ﹣ ×2 ﹣1 =3﹣ + ﹣2﹣1 =0; (2)原式=( = ? + )÷ =, 当 x= ﹣1 时, 原式= = =1﹣ . 点拨:本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值,解题的关 键是掌握绝对值性质、二次根式的性质、零指数幂的规定、熟记三 角函数值及分式的混合运算顺序和运算法则. 20.(12 分)4 月 23 日是“世界读书日”,甲、乙两个书店在这一天 第18页(共34页) 举行了购书优惠活动. 甲书店:所有书籍按标价 8 折出售; 乙书店:一次购书中标价总额不超过 100 元的按原价计费,超过 100 元后的部分打 6 折. (1)以 x(单位:元)表示标价总额,y(单位:元)表示应支付 金额,分别就两家书店的优惠方式,求 y 关于 x 的函数解析式; (2)“世界读书日”这一天,如何选择这两家书店去购书更省钱? 解析:(1)根据题意给出的等量关系即可求出答案. (2)先求出两书店所需费用相同时的书本数量,从而可判断哪家 书店省钱. 参考答案:解:(1)甲书店:y=0.8x, 乙书店:y= . (2)令 0.8x=0.6x+40, 解得:x=200, 当 x<200 时,选择甲书店更省钱, 当 x=200,甲乙书店所需费用相同, 当 x>200,选择乙书店更省钱. 点拨:本题考查一次函数的应用,解题的关键是正确找出题中的等 量关系,本题属于基础题型. 21.(12 分)为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏,天天快餐公司积极 投入到复工复产中.现有 A、B 两家农副产品加工厂到该公司推 第19页(共34页) 销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.该公司决定通过检查 质量来确定选购哪家的鸡腿.检察人员从两家分别抽取 100 个鸡 腿,然后再从中随机各抽取 10 个,记录它们的质量(单位:克) 如表: A 加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B 加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 (1)根据表中数据,求 A 加工厂的 10 个鸡腿质量的中位数、众 数、平均数; (2)估计 B 加工厂这 100 个鸡腿中,质量为 75 克的鸡腿有多少个? (3)根据鸡腿质量的稳定性,该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡 腿? 解析:(1)根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即 可; (2)用总数乘以质量为 75 克的鸡腿所占的百分比即可; (3)根据方差的定义,方差越小数据越稳定即可得出答案. 参考答案:解:(1)把这些数从小到大排列,最中间的数是第 5 和 第 6 个数的平均数, 则中位数是 =75(克); 因为 75 出现了 4 次,出现的次数最多, 所以众数是 75 克; 平均数是: (74+75+75+75+73+77+78+72+76+75)=75(克); 第20页(共34页) (2)根据题意得: 100× =30(个), 答:质量为 75 克的鸡腿有 30 个; (3)选 B 加工厂的鸡腿. A 的方差是: [(74﹣75)2+4×(75﹣75)2+(76﹣75)2+(73 ﹣75)2+(72﹣75)2+(77﹣75)2+(78﹣75)2]=2.8; B 的平均数是: (78+74+78+73+74+75+74+74+75+75)=75, B 的方差是: [2×(78﹣75)2+4×(74﹣75)2+(73﹣75)2+3× (75﹣75)2]=2.6; ∵A、B 平均值一样,B 的方差比 A 的方差小,B 更稳定, ∴选 B 加工厂的鸡腿. 点拨:本题考查了方差、平均数、中位数、众数,熟悉计算公式和 意义是解题的关键. 22.(12 分)如图,△ABC 内接于⊙O,点 D 在⊙O 外,∠ADC=90°, BD 交⊙O 于点 E,交 AC 于点 F,∠EAC=∠DCE,∠CEB=∠DCA, CD=6,AD=8. (1)求证:AB∥CD; (2)求证:CD 是⊙O 的切线; 第21页(共34页) (3)求 tan∠ACB 的值. 解析:(1)由圆周角定理与已知得∠BAC=∠DCA,即可得出结论; (2)连接 EO 并延长交⊙O 于 G,连接 CG,则 EG 为⊙O 的直径, ∠ECG=90°,证明∠DCE=∠EGC=∠OCG,得出∠DCE+∠OCE =90°,即可得出结论; (3)由三角函数定义求出 cos∠ACD= ,证出∠ABC=∠ACD=∠ CAB,求出 BC=AC=10,AB=12,过点 B 作 BG⊥AC 于 C,设 GC=x,则 AG=10﹣x,由勾股定理得出方程,解方程得 GC= , 由勾股定理求出 BG= ,由三角函数定义即可得答案. 参考答案:(1)证明:∵∠BAC=∠CEB,∠CEB=∠DCA, ∴∠BAC=∠DCA, ∴AB∥CD; (2)证明:连接 EO 并延长交⊙O 于 G,连接 CG,如图 1 所示: 则 EG 为⊙O 的直径, ∴∠ECG=90°, ∵OC=OG, ∴∠OCG=∠EGC, ∵∠EAC=∠EGC,∠EAC=∠DCE, ∴∠DCE=∠EGC=∠OCG, ∵∠OCG+∠OCE=∠ECG=90°, ∴∠DCE+∠OCE=90°,即∠DCO=90°, ∵OC 是⊙O 的半径, 第22页(共34页) ∴CD 是⊙O 的切线; (3)解:在 Rt△ADC 中,由勾股定理得:AC= = =10, ∴cos∠ACD= = = , ∵CD 是⊙O 的切线,AB∥CD, ∴∠ABC=∠ACD=∠CAB, ∴BC=AC=10,AB=2BC?cos∠ABC=2×10× =12, 过点 B 作 BG⊥AC 于 C,如图 2 所示: 设 GC=x,则 AG=10﹣x, 由勾股定理得:AB2﹣AG2=BG2=BC2﹣GC2, 即:122﹣(10﹣x)2=102﹣x2, 解得:x= , ∴GC= , ∴BG= = =, ∴tan∠ACB= = = . 第23页(共34页) 点拨:本题是圆的综合题目,考查了切线的判定与性质、圆周角定 理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数定 义、勾股定理等知识;本题综合性强,熟练掌握圆周角定理和切线 的判定是解题的关键. 23.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数的图象与反 比例函数 y= (k<0)的图象在第二象限交于 A(﹣3,m),B (n,2)两点. (1)当 m=1 时,求一次函数的解析式; (2)若点 E 在 x 轴上,满足∠AEB=90°,且 AE=2﹣m,求反比 例函数的解析式. 解析:(1)将点 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 k,进而得出 点 B 坐标,最后用待定系数法求出直线 AB 的解析式; 第24页(共34页) (2)先判断出 BF=AE,进而得出△AEG≌Rt△BFG(AAS),得出 AG=BG,EG=FG,即 BE=BG+EG=AG+FG=AF,再求出 m =﹣ n,进而得出 BF=2+ n,MN=n+3,即 BE=AF=n+3,再 判断出△AME∽△ENB,得出 = = ,得出 ME= BN= ,最 后用勾股定理求出 m,即可得出结论. 参考答案:解:(1)当 m=1 时,点 A(﹣3,1), ∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上, ∴k=﹣3×1=﹣3, ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ; ∵点 B(n,2)在反比例函数 y=﹣ 图象上, ∴2n=﹣3, ∴n=﹣ , 设直线 AB 的解析式为 y=ax+b,则 , ∴, ∴直线 AB 的解析式为 y= x+3; (2)如图,过点 A 作 AM⊥x 轴于 M,过点 B 作 BN⊥x 轴于 N, 过点 A 作 AF⊥BN 于 F,交 BE 于 G, 则四边形 AMNF 是矩形, ∴FN=AM,AF=MN, ∵A(﹣3,m),B(n,2), ∴BF=2﹣m, 第25页(共34页) ∵AE=2﹣m, ∴BF=AE, 在△AEG 和△BFG 中, , ∴△AEG≌Rt△BFG(AAS), ∴AG=BG,EG=FG, ∴BE=BG+EG=AG+FG=AF, ∵点 A(﹣3,m),B(n,2)在反比例函数 y= 的图象上, ∴k=﹣3m=2n, ∴m=﹣ n, ∴BF=BN﹣FN=BN﹣AM=2﹣m=2+ n,MN=n﹣(﹣3)= n+3, ∴BE=AF=n+3, ∵∠AEM+∠MAE=90°,∠AEM+∠BEN=90°, ∴∠MAE=∠NEB, ∵∠AME=∠ENB=90°, ∴△AME∽△ENB, ∴ = = = =, ∴ME= BN= , 在 Rt△AME 中,AM=m,AE=2﹣m,根据勾股定理得,AM2+ME2 =AE2, 第26页(共34页) ∴m2+( )2=(2﹣m)2, ∴m= , ∴k=﹣3m=﹣ , ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ . 点拨:此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,勾股定 理,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,构造出△AEG ≌△BFG(AAS)是解本题的关键. 24.(12 分)如图,抛物线过点 A(0,1)和 C,顶点为 D,直线 AC 与抛物线的对称轴 BD 的交点为 B( ,0),平行于 y 轴的直线 EF 与抛物线交于点 E,与直线 AC 交于点 F,点 F 的横坐标为 , 四边形 BDEF 为平行四边形. (1)求点 F 的坐标及抛物线的解析式; (2)若点 P 为抛物线上的动点,且在直线 AC 上方,当△PAB 面 积最大时,求点 P 的坐标及△PAB 面积的最大值; (3)在抛物线的对称轴上取一点 Q,同时在抛物线上取一点 R, 使以 AC 为一边且以 A,C,Q,R 为顶点的四边形为平行四边形, 求点 Q 和点 R 的坐标. 第27页(共34页) 解析:(1)由待定系数法求出直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+1, 求出 F 点的坐标,由平行四边形的性质得出﹣3a+1= a﹣8a+1﹣ (﹣ ),求出 a 的值,则可得出答案; (2)设 P(n,﹣n2+2 n+1),作 PP'⊥x 轴交 AC 于点 P',则 P' (n,﹣ n+1),得出 PP'=﹣n2+ n,由二次函数的性质可得 出答案; (3)联立直线 AC 和抛物线解析式求出 C( ,﹣ ),设 Q( , m),分两种情况:①当 AQ 为对角线时,②当 AR 为对角线时, 分别求出点 Q 和 R 的坐标即可. 参考答案:解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0), ∵A(0,1),B( ,0), 设直线 AB 的解析式为 y=kx+m, ∴ , 解得 , ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+1, ∵点 F 的横坐标为 , 第28页(共34页) ∴F 点纵坐标为﹣ +1=﹣ , ∴F 点的坐标为( ,﹣ ), 又∵点 A 在抛物线上, ∴c=1, 对称轴为:x=﹣ , ∴b=﹣2 a, ∴解析式化为:y=ax2﹣2 ax+1, ∵四边形 DBFE 为平行四边形. ∴BD=EF, ∴﹣3a+1= a﹣8a+1﹣(﹣ ), 解得 a=﹣1, ∴抛物线的解析式为 y=﹣x2+2 x+1; (2)设 P(n,﹣n2+2 n+1),作 PP'⊥x 轴交 AC 于点 P', 则 P'(n,﹣ n+1), ∴PP'=﹣n2+ n, S△ABP= OB?PP'=﹣ n=﹣ ∴当 n= 时,△ABP 的面积最大为 +, ,此时 P( , ). 第29页(共34页) (3)∵ , ∴x=0 或 x= , ∴C( ,﹣ ), 设 Q( ,m), ①当 AQ 为对角线时, ∴R(﹣ ), ∵R 在抛物线 y= ∴m+ =﹣ 解得 m=﹣ , ∴Q ,R +4 上, +4, ; ②当 AR 为对角线时, ∴R( ), ∵R 在抛物线 y= ∴m﹣ +4 上, +4, 解得 m=﹣10, ∴Q( ,﹣10),R( 综上所述,Q ,R ). ;或 Q( ,﹣10),R ( ). 点拨:本题是二次函数综合题,考查了待定系数法,二次函数的性 质,二次函数图象上点的坐标特征,平行四边形的性质等知识,熟 练掌握二次函数的性质及方程思想,分类讨论思想是解题的关键. 第30页(共34页) 25.(14 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线相交于点 O,⊙M 为△ BCD 的内切圆,切点分别为 N,P,Q,DN=4,BN=6. (1)求 BC,CD; (2)点 H 从点 A 出发,沿线段 AD 向点 D 以每秒 3 个单位长度的 速度运动,当点 H 运动到点 D 时停止,过点 H 作 HI∥BD 交 AC 于点 I,设运动时间为 t 秒. ①将△AHI 沿 AC 翻折得△AH′I,是否存在时刻 t,使点 H′恰好落 在边 BC 上?若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由; ②若点 F 为线段 CD 上的动点,当△OFH 为正三角形时,求 t 的值. 解析:(1)由切线长定理得出 BP=BN=6,DQ=DN=4,CP= CQ,BD=BN+DN=10,设 CP=CQ=a,由勾股定理得出 BC2+CD2 =BD2,得出方程,解方程即可; (2)①由折叠的性质得∠AH'I=∠AHI,AH'=AH=3t,证明△AIH' ∽△AH'C,则 AH'2=AI×AC,证△AIH∽△AOD,求出 AI= t, 得出(3t)2= t×10,解方程即可; ②作 PH⊥OH 于 H,交 OF 的延长线于 P,作 OM⊥AD 于 M, PN⊥AD 于 N,证出 FH=FP=OF,HP= OH,DN=DM=4, 证明△OMH∽△HNP,求出 HN= OM=3 ,则 DH=HN﹣DN 第31页(共34页) =3 ﹣4,得出 AH=AD﹣DH=12﹣3 ,即可得出答案. 参考答案:解:(1)∵⊙M 为△BCD 的内切圆,切点分别为 N,P, Q,DN=4,BN=6, ∴BP=BN=6,DQ=DN=4,CP=CQ,BD=BN+DN=10, 设 CP=CQ=a,则 BC=6+a,CD=4+a, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BCD=90°, ∴BC2+CD2=BD2,即(6+a)2+(4+a)2=102, 解得:a=2, ∴BC=6+2=8,CD=4+2=6; (2)①存在时刻 t= s,使点 H′恰好落在边 BC 上;理由如下: 如图 1 所示: 由折叠的性质得:∠AH'I=∠AHI,AH'=AH=3t, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC=8,AD∥BC,∠BCD=90°,OA=OC= AC,OB= OD= BD,AC=BD, ∴AC=BD= = =10,OA=OD=5, ∴∠ADO=∠OAD, ∵HI∥BD, ∴∠AHI=∠ADO, ∴∠AH'I=∠AHI=∠ADO=∠OAD=∠ACH', ∴△AIH'∽△AH'C, 第32页(共34页) ∴=, ∴AH'2=AI×AC, ∵HI∥BD, ∴△AIH∽△AOD, ∴ = ,即 = , 解得:AI= t, ∴(3t)2= t×10, 解得:t= , 即存在时刻 t= s,使点 H′恰好落在边 BC 上; ②作 PH⊥OH 于 H,交 OF 的延长线于 P,作 OM⊥AD 于 M, PN⊥AD 于 N,如图 2 所示: 则 OM∥CD∥PN,∠OMH=∠HNP=90°,OM 是△ACD 的中位线, ∴OM= CD=3, ∵△OFH 是等边三角形, ∴OF=FH,∠OHF=∠HOF=60°, ∴∠FHP=∠HPO=30°, ∴FH=FP=OF,HP= OH, ∴DF 是梯形 OMNP 的中位线, ∴DN=DM=4, ∵∠MHO+∠MOH=∠MHO+∠NHP=90°, ∴∠MOH=∠NHP, ∴△OMH∽△HNP, 第33页(共34页) ∴== , ∴HN= OM=3 , ∴DH=HN﹣DN=3 ﹣4, ∴AH=AD﹣DH=12﹣3 , ∴t= =4﹣ , 即当△OFH 为正三角形时,t 的值为(4﹣ )s. 点拨:本题是圆的综合题目,考查了切线长定理、矩形的性质、折 叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性 质、含 30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形中 位线定理、梯形中位线定理等知识;本题综合性强,熟练掌握切线 长定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键. 第34页(共34页)