第一节 周期函数
1.1周期函数
满足条件:
的函数称为周期函数,其中
称为该函数的最小正周期。
1.1.2周期函数的性质
(i)若
为一周期函数f(x)的周期,那么
,
也为f(x)的周期。若
都为f的周期,那么
同样也为f的周期。
(ii)每一个非常函数且连续的周期函数一定有一个最小正周期。
(iii)若
和
都是以周期T为周期的两个连续函数,则
,
也是以T为周期的函数。
(iv)若
是一个周期函数,则定义
为周期为
的周期函数且
(v)若
是一个周期函数,则它的积分满足:
1.1.3周期延拓
现有一个函数:
或
,可以延拓为一个周期为
的函数
(i)直接延拓:
存在
,对于
有
(ii)偶延拓:
存在
,且
满足:
,类比(i)可以得到一个周期为T的延拓函数
(iii)奇延拓:
类比偶延拓有
存在
,且
满足
,则有
第二节 傅里叶级数
1.2.1傅里叶级数
定义:形如
的级数称为傅里叶级数利用欧拉公式。可以将其表示为复数形式,过程如下:
其中
的关系为
为了求出系数
,首先要介绍正交函数系的概念
正交函数系
函数
的一个正交由数量积确定:
如果傅里叶级数
在
上一致收敛于
,且是连续的,则有:
证明如下:
下面考察三角函数系的正交性。
我们可以利用三角函数的正交性来求解傅里叶系数,首先先来求
之后来求
同理可以求得
下面讨论
的奇偶性对傅里叶系数的影响
首先先来证明一个结论:奇函数的原函数一定是偶函数,偶函数的原函数一定是奇函数。
证明如下:
设:
为奇函数,则对其进行积分有:
同理可以证明后半句。
而且我们知道,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=奇函数,奇函数×偶函数=偶函数×奇函数=奇函数。
从而,当
为偶函数时:
也是偶函数,
是奇函数,进而有:
同理可得当
为奇函数时的傅里叶系数为