1、圆的定义
(1)平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
(2)定位条件→圆心定形条件→半径
温馨提示
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
2、圆的标准方程
(1)圆心为
,半径为r的圆的标准方程是
.
(2)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程是
.
温馨提示
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
3、圆的一般方程
形如
的二元二次方程,
(1)当
时,叫做圆的一般方程.
配方,得
,
所以圆心为
,半径为
;
(2)当
时,方程表示一个
;
(3)当
时,方程没有实数解,它不表示任何图形(没有轨迹).
温馨提示
(1)圆的一般方程形式的特点:
a.
,
的系数相同且不等于零;
b.不含
项
(2)形如
的方程表示圆的条件:
a.
;
b.
;
c.
,即
.
4、几种特殊位置的圆的方程
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
知识拓展
以
,
为直径的两端点的圆的方程是
.
鲸准教学方法
1、圆的标准方程的求法
(1)直接代人法
已知圆心坐标和半径大小,直接代入圆的标准方程.
例1根据下列条件求圆的标准方程:
(1)圆心为
,且经过点
;
(2)圆心为
,且与直线
相切;
(3)圆心为
,且圆截直线
所得弦长为
.
解析(1)根据圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径,得半径
.
∵圆心为
,
∴所求圆的标准方程为
.
(2