(位移单值条件) 轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题: (4-6)由式(4-5)和(4-6)得应力分量和相容方程为: (4-10)应力分量: 相容方程: 4-4应力分量的坐标变换式 (4-8)(4-9) 4-5 轴对称应力与相应的位移 求解方法: ——逆解法 轴对称问题应力分量与相容方程(1)应力分量 (4-10)(2)相容方程 相容方程的求解将相容方程表示为: 4阶变系数齐次微分方程将其展开,有 4阶变系数齐次微分方程方程两边同乘以 Euler齐次微分方程 CeBte lnln (4-10)将方程(4-11)代入应力分量表达式 是任意的待定函数将式(b)代入式(a)中第二式,得 任意函数将式(b)代入式(c)中第三式,得dfdr 要使该式成立,两边须为同一常数。 sincos cossin cossin sincos 满足问题的边界条件:位移边界条件: (位移单值条件)4-6 圆环或圆筒受均布压力 圆环或圆筒受均布压力已知: 求:应力分布。确定应力分量的表达式: (4-12)边界条件: 式中有三个未知常数,二个方程不通用确定。对于多连体问题,位移须满足位移单值条件。 cossin 位移多值项要使单值,须有:B (压应力)(压应力) 4-7压力隧道 问题:厚壁圆筒埋在无限大弹性体内,受内压 分析:与以前相比较,相当于两个轴对称问题: 仅受外压作用的无限大弹性体。确定外压 的两个条件:径向变形连续: 无限大弹性体的应力与边界条件应力: 将式(a)、(b)代入相应的边界条件,得到如下方程: 4个方程不能解5个未知量,需由位移连续条件确定。 sincos sincos sincos sincos sincos sincos sincos 要使对任意的成立,须有 时,应力分布如图所示。 压力隧洞问题为最简单的接触问题(面接触)。完全接触: 接触面间既不互相脱离,也不 互相滑动。接触条件为 应力: 非完全接触(光滑接触)应力: 位移:接触条件: 4-8圆孔的孔边应力集中 孔边应力集中概念由于弹性体中存在小孔,使得孔边的应力远大于无孔时的 应力,也远大于距孔稍远处的应力。 称为孔边的应力集中。 应力集中系数: 与孔的形状有关,是局部现象;与孔的大小几乎无关。 (圆孔为最小,其它形状较大) 孔边应力集中问题的求解(1)问题: 圆孔半径为a,在无限远处受有均匀 拉应力 作用。求:孔边附近的应力。 (2)问题的求解 问题分析 坐标系: 就外边界(直线),宜用直角坐标; 就内边界(圆孔),宜用极坐标。 (b>>a),在其上取一点 原问题转化为:无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。 问题2将外边界条件(a)分解为两部分: 问题1 问题1的解:内边界 问题2(非轴对称问题) 内边界 的某一函数乘以 sin又由极坐标下的应力分量表达式: dfdt BrAr BrAr BrAr Aa求解A、B、C、D,然后 (4-17)讨论: 3q2q 9060 45 30 1.04q1.07q 1.22q 3q 4a 3a 2a