极限理论。概率论中的极限理论内容很多,其中很多部分也是现代测度论的核心内容。从概率的角度来看,概率的极限理论大致分为以中心极限定理为代表的“弱收敛”理论和以大数定律为代表的“强收敛”理论。不同的教材在这部分的处理上各有侧重。个人的建议对于大多数COS的读者,还是应该侧重有概率背景的相关内容。
具体到教材部分:
偏重介绍测度论知识的教材有
P. R. Halmos,Measure Theory(影印版), 世界图书出版社. (测度论经典教材)严加安,测度论讲义,科学出版社。
将测度论与概率论结合起来的教材有
钟开莱,概率论教程(影印版),机械工业出版社。(经典的研究生概率论教材)P. Billingsley,Probability and Measure(影印版), 世界图书出版社.A. N. Shiryaev.Probability(影印版), 世界图书出版社.汪嘉冈,现代概率论基础,复旦大学出版社。严士健,刘秀芳,测度与概率,北京师范大学出版社。程士宏,测度论与概率论基础,北京大学出版社。
关于随机过程论:如果说本科应用随机过程是以学习马氏链和布朗运动这样的具体模型为主,那么在有了测度论的基础之后,在随机过程论的学习过程中,一方面我们要更加深入地学习像马氏链、跳过程和布朗运动这样的模型;另一方面也会接触到随机过程的一些一般性理论,例如以马氏半群理论为代表的马氏过程构造性理论,鞅论(martingale),平稳过程以及遍历论(ergodic theory)等内容。有些教材也会把随机分析的若干内容放到随机过程论的课程当中。
国内编写的随机过程论方面的教材比较少,用得比较多的有钱敏平和龚光鲁合著的《随机过程论》。国外方面,这部分教材大致分为前苏联和美国两派。前苏联的教材体系完备,论证缜密;美国的教材一般会更活泼生动一些。
R. Durrett, Probability: Theory and Examples(影印版), 世界图书出版社. (在美广泛流行的教材,前半部分是概率论,后半部分是随机过程论)
布林斯基, 施利亚耶夫, 随机过程论(中译本), 高等教育出版社. (前苏联经典教材)
关于随机分析学:随着它在金融学当中日益广泛的应用,开设这门课的高校越来越多,所以选修这门课的同学当中,一般以上可能是金融数学