§4.6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 一、非齐次线性方程组解的性质 二、线性方程组有解的判定条件 三、线性方程组的解法 四、小结 思考题 思考题解答 * * 一、非齐次线性方程组解的性质 二、线性方程组有解的判定条件 三、线性方程组的解法 四、小结 下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系. (2)如果u1,u2是Ax=b的两个解,则u1-u2是Ax=0的解. 证:∵Au1=b, Au2=b 故A(u1-u2) =Au1-Au2 =b- b =0 (1)如果u1是Ax=b的一个解,v1是Ax=0的一个解,则u1+v1也是Ax=b的解. 证: ∵ Au1=b, Av1=0 故A(u1+v1) =Au1+Av1 =b+0 =b 由关系(2)知v1是Ax=0的解 而u2=u1+v1 即Ax=b的任一解是u1与Ax=b的某一个解之和. 取v1=u2-u1 证:由关系(1)知u是Ax=b的解. 反之,对Ax=b的任一解u2,要证明u2一定 可以写成u1与Ax=0的某个解之和. 定理1 若 是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, v是齐次线性方程组Ax=0的通解,则u=u1+v是Ax=b的通解. 解例1 求下述方程组的解 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组 求基础解系 令 依次得 求特解 所以方程组的通解为 故得基础解系 另一种解法 则原方程组等价于方程组 所以方程组的通解为 例2求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换, 故方程组无解. 例3 解证 对增广矩阵B进行初等变换, 方程组的增广矩阵为 由于原方程组等价于方程组 由此得通解: 例4 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形: * * *