如针对正三棱锥 V ? ABC ,可根据平 面几何中的射影定理 VA ? VO? ?VH ? 2Rh ( h 为正三棱锥的高,VA 为侧棱长,即正棱锥侧棱 2 长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积. (9)正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间的关系: ①高: h ? 6 6 6 a ;②球心把高分成 3:1;③内切球半径: a ;外接球半径: a . 3 12 4 1 S r. 3 全(10)有内切球的多面体的内切球的半径计算方法: V ? (11)三棱锥的两个侧面互相垂直,已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情 形:已知三棱锥 A ? BCD 中,面ABD ? 面BCD ,且?ABD , ?BCD 的外接圆半径分别记 2 R ? ? ? 2r1 ? ? ? 2r2 ? ? a 2 为r 1, r 2 ,公共棱 BD ? a ,则该三棱锥的外接球半径满足: ? 2 2 2 证明:分别在 ?ABD , ?BCD 所在的圆面上调整这两个三角形的开关,如图 在?ABD 的外接圆周上调整 A 点的位置到 G 点,使GD ? BD ,在?BCD 的外接圆周上调整 其形状,将B调整到 E ,C 调整到 F ,使得 ?EDF 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形,从 而得到新的三棱锥 G ? EDF ,则GD ? DE , GD ? DF , DE ? DF , GD ? 4r12 ? a 2 , DE ? DF ? 2r2 ,三棱锥 G ? EDF 的外接球与 A ? BCD 的三棱锥的外接球是重合的,因此 2 所求得外接球半径满足 ? 2 R ? ? ? 2r1 ? ? ? 2r2 ? ? a . 2 2 2 (12)三棱锥给出两个侧面的夹角大小(夹角),及其相应两个侧面的三角形的外接圆半径和公共弦 长的情形: P ? ABC ,已知面 PAC 与ABC 所形成的二面角为 ? ? 0 ? ? ? 90?? ,且已知 ?PAC 和?ABC 的外接圆的半径分别为 r1 , r2 , AC ? a ,则该棱锥 P ? ABC 的外接球半径 R 满足: 2 R 2 ? 2cos ? ?R 2 ? r12 ?? R 2 ? r2 2 ? ? 2 ? r12 ? r2 2 ? ? ? a2 a 2 ?? a2 ? ? 2cos ? ? r1 ? ?? r2 2 ? ? 2 4 ?? 4? ? 证明:如图,取?PAC ,?ABC 的外接圆圆心分别为 O1 , O2 ,分别过 O1 , O2 作面 PAC , ABC 的垂线,两条垂线必交于一点 O ,该O即为该三棱锥的外接球的球心. 再取公共棱 AC 的中点为 K ,连接 O1K , O2 K ,则四点 O, O1 , K , O2 共圆 且?O1KO2 ? ? , ?O1OO2 ? ? ? ? 在直角三角形 AOO1 中,根据勾股定理得: OO1 ? 2 2 1 R 2 ? r12 ,同理可得 OO2 ? R 2 ? r2 2 2 a2 a2 ?a? ?a? 2 2 2 O1 K ? r ? ? ? ? r1 ? , O2 K ? r2 ? ? ? ? r2 ? 4 4 ?2? ?2? 在?O1KO2 和?O1OO2 中,根据 ?O1KO2 ? ? , ?O1OO2 ? ? ? ? ,结合余弦定理可得到: R, r1, r2 , a 之间的等量关系 2 R 2 ? 2cos ? ? R2 ? r12 ?? R2 ? r22 ? ? 2 ? r12 ? r22 ? ? ? a2 a 2 ?? a2 ? ? 2cos ? ? r1 ? ?? r2 2 ? ? . 2 4 ?? 4? ? (13)计算球的表面积或体积,必须求出球的半径,一般方法有(核心:补体定心) ①根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心,然后求出半径;(当涉及的多面体较多 垂直时,考虑此法,充分利用直角三角形斜边的中点,找出小圆圆心或球心位置,进而求出 球的半径.) ②考虑补体法,求出多面体的外接球的直径.当三棱锥 S ? ABC 中,三对对棱分别相等时,可 构造一个长方体;当三棱锥 S ? ABC 有三条(可不相邻)两两垂直的线段时,也可构造一个 长方体,正四面体可将其补成正方体,有侧棱垂直底面的棱锥可构造直棱柱. ③有时可借用球的性质(球心与小圆圆心相连垂直小圆所在的平面),根据几何关系求出球的 半径.