3 格林(Green)公式 一、格林公式 二、简单应用 一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. D D 单连通区域 复连通区域 二、格林公式 定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线 L围 成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上连续且具有一 阶连续偏导数, 则有 ?? D ( ?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx ? Qdy (1) 其中L是D 的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. L1 D L2 L1 D L2 L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. 证明(1) 若区域D 既是X ? 型 又是Y ? 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. y d x ??1( y) A c oa E y ? ?2(x) D B x ??2( y) Cy ? ?1(x) bx D ? {( x, y)?1( x) ? y ? ?2( x),a ? x ? b} D ? {( x, y)?1( y) ? x ? ? 2( y),c ? y ? d } ?? ? ? ?Q dxdy ? d dy ? 2 ( y) ?Qdx D ?x c ?1 ( y) ?x ? d ?c Q(? 2 ( y), y)dy ? d ?c Q(? 1 ( y), y)dy y ? ? ? Q( x, y)dy ? Q( x, y)dy CBE CAE d x ??1( y) ? ? ? Q( x, y)dy ? Q( x, y)dy CBE EAC c ? ?LQ( x, y)dy o 同理可证 ?P ? ?? D ?y dxdy ? ?L P ( x, y)dx E D C x ??2( y) x 两式相加得 ?? D (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx ? Qdy 证明(2) L3 D3 若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 将D 分成三个既是X ? 型又是 L1 D1 Y ? 型的区域D1,D2 ,D3 . ?? D (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?? D1 ? D2 ? D3 (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy D2 L2 D L ?? D1 ( ?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?? D2 ( ?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?? D3 ( ?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L1 Pdx ? Qdy ? ?L2 Pdx ? Qdy ? ?L3 Pdx ? Qdy ? ?L Pdx ? Qdy L3 D3 ( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1 D2 L2 L 证明(3) G 若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D L2 B 由(2)知 ?? D ( ?Q ?x ? ?P ?y )dxdy L3 E C F L1 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? { ? ? ? ? ? ? ? }? (Pdx ? Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA ? ? ? ? ( ? ? )(Pdx ? Qdy) L2 L3 L1 ?? Pdx ? Qdy L (L1,L2 , L3对D来说为正方向) 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系. 便于记忆形式: ?? ?? ?x ?ydxdy ? ?L Pdx ? Qdy. DP Q 三、简单应用 1. 简化曲线积分 ? 例 1 计算 xdy,其中曲 AB 线 AB是半径为r 的圆在 第一象限部分. y A D oL Bx 解 引入辅助曲线L , L ? OA ? AB ? BO 应用格林公式, P ? 0, Q ? x 有 ? ?? dxdy ? ?L xdy D ? ?OA xdy ? ?AB xdy ? ?BO xdy, ? 由于 OA xdy ? 0, ?BO xdy ? 0, ? ?AB xdy ? ? ?? dxdy ? ? 1 4 ?r 2 . D 2. 简化二重积分 y ?? 例 2 计算 e? y2 dxdy ,其中D 是 B 1 D D 以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 的三角形闭区域. o 解 令P ? 0, Q ? xe? y2 , 则 ?Q ? ?P ? e? y2 , ?x ?y A x 1 应用格林公式,有 ?? ? e? y2dxdy ? xe? y2 dy D OA? AB? BO ? ? ? xe? y2dy ? 1 xe?x2dx OA 0 ? 1 (1 ? e?1 ). 2 例3 计算 ?L xdy x2 ? ? ydx y2 ,其中L 为一条无重点, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方 向为逆时针方向. 解 记L所围成的闭区域为D , 令P ? ?y x2 ? y2 , Q ? x2 x ? y2 , 则当 x2 ? y2 ? 0时, 有?Q ?x ? ( y2 ? x2 ? x2 y2 )2 ? ?P . ?y y (1) 当(0, 0)? D时, 由格林公式知 ?L xdy