主要知识: 1. 周期函数: 对于 定义域内的每一个 x , 都存在非零常数 T , 使得 f ( x ? T ) ? f ( x ) 恒成立, 则称函数 的一个周期, kT ( k ? Z , k ? 0 ) 则 也是 f (x) f (x) f (x) f (x) 具有周期性,T 叫做 的最小正周期. f (x) 的周期, 所有周期中的最小正数叫 2.几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数: 函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数) , (1) f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T (2) f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 是以 T (3) f ? x ? a ? ? ? f 1 ? a 为周期的周期函数; ? 2a ? 2a 为周期的周期函数; 为周期的周期函数; 为周期的周期函数; ?x? ,则 f ? x ? 是以 T (4) f ? x ? a ? ? f ? x ? b ? ,则 f ? x ? 是以 T ?a?b 以上( 1) -( 4)比较常见,其余几种题目中出现频率不如前四种高,并且经常以数形结合的方式求解。 (5)函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ( a 则其周期为 T ? 2a ?0 ) ,若 f (x) 为奇函数,则其周期为 T ? 4a ,若 f (x) 为偶函数, . ?a (6)函数 y ? f ( x ) ? x ? R ? 的图象关于直线 x 期函数; 和x ?b ?a ? b? 都对称,则函数 f (x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周 (7)函数 y ? f ( x ) ? x ? R ? 的图象关于两点 A ? a , 0 ? 、B ? b , 0 ? ? a ? b ? 都对称, 则函数 周期函数; (8)函数 y ? f ( x ) ? x ? R ? 的图象关于 A ? a , 0 ? 和直线 x 周期函数; (9)有些题目中可能用到构造,类似于常数列。 ?b f (x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的 ?a ? b? 都对称,则函数 f (x) 是以 4 ? b ? a ? 为周期的 (二)主要方法: 1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点: 一是对定义域中任意的 x 恒有 f ( x ? T ) ? f ( x ) ; 二是能找到适合这一等式的非零常数 T , 2.解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要 注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值. 证明举例:若函数 f(x)有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0) (a