一函数f若要是一明确的反函数,它必须是一双射函数,即:
(单射)陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次:不然其反函数将必须将元素映射到超到一个的值上去。
(满射)陪域上的每一元素都必须被f映射到:不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。
若f为一实变函数,则若f有一明确反函数,它必通过水平线测试,即一放在f图上的水平线
必对所有实数k,通过且只通过一次。
扩展资料
反函数存在定理:
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1因此x1如果f在D上严格单减,证明类似。
参考资料:百度百科-反函数