§12.5 全微分方程
一、定义
一阶微分方程写成

形式后,如果它的左端恰好是某一函数
的全微分,即
则方程就叫做全微分方程。
设方程是一个全微分方程,则存在二元函数
,使得
则
方程可写成
如果
是的解,那么这个解也满足方程,故
因此
这表明,的解
是由方程
所确定的隐函数。
反过来,若方程
确定了一个可微分的隐函数
,
则
两端对
求导得
或
即
这表明,由方程
所确定的隐函数是方程的解。
综合上述两点, 我们有结论
全微分方程的解是由
所确定的隐函数,而由
所确定的隐函数一定是方程的解。
因此,若方程的左端是函数
的全微分,那么它的通解为
其中
是任意常数。
三、方程是全微分方程的条件
若
,
在单连通域
内具有一阶连续偏导数,则方程成为全微分方程的充要条件为

在
内恒成立。
四、全微分函数的求法
当条件满足时,全微分函数可以通过对坐标的曲线积分获得
或
【例1】求解
解:这里
所以这是全微分方程,有
于是,方程的通解为
五、积分因子
当条件
不能满足时,方程
就不是全微分方程。
如果找得到一个函数
,使方程
成为全微分方程,则称函数
称为方程的积分因子。
例如方程
,有
故该方程不是全微分方程。
但方程两端乘上因子
以后,方程
变成为全微分方程。事实上
因此,
是上述方程的一个积分因子。
一般说来,积分因子的确定并不简单,而且积分因子往往不唯一的。不难验证
和
也是上述方程的积分因子。
如果对函数的微分运算十分熟练,往往可以通过观察得到积分因子。
【例2】用观察法求下列方程的积分因子, 并求其通解
1、
2、
解1:
是一个积分因子,乘上该因子之后,方程成为
,
故通解为
解2:
是一个积分因子
故通解为