审× V× A(r,。)一万W 2e(r,u)A(叫)=j。(r,u)(1.23)其中j 。(r,∽)是与吸收相关的噪音流密度,当e,-+o时,j 。_÷ 0。A(r,u)=dYo(r,r’ ,u)j 。(r’ ,u)(1,24)5 其中v× v× a(r,r’ ,u)+岳E(r,u)G(r,r’ ,u)=a(r—rt),a(r,rt u)即介质中电磁场的Green函数。这样电矢势A( r) 可以表示为A(r)=/o。砌叫⋯.c=Z。础/删嘶’ 以rI,02⋯.c(1.25)由E(r,t)=-A(r,￡),可知E(r,“ ,)=i uA(r,“ )宅(r)=i/u山/dar’ G(r,r’ ,∞)j。r’ ,u)+^.c(1.26)为了保证场算符的正则对易关系[五t(r),岛(r’ )1=一等瞄(r—r’ ),可选喇n(r,u)=羞√去e,∞)f(r,u),其中}(rlu)满足如下对易关系【五(r,u),对r,u)】=d(“ 一u’ )%d(r—r’ ),[^(r,叫),,j (r,u)】=[矿r,u),"(r,u)1=0(1.27)经过复杂的计算后可发现,介质中电磁场f5勺H am i l toni vm 算符宜可以写成如下形式矗=/dar/凼鼬pr,u).}(r,u)(1.2s)可以证明,M axw el l 方程组可由相应电磁场矢量如电场强度丘,磁场强度B的H ei senberg运动方程推导而得。这样就基本完成了有吸收介质中电磁场的量子化。现在让我们来考虑电场E( r,u) 的真空起伏宣(r,u)=i~/-。K。。-w。)2/d3r’ 、/;j啊G(r,r’ ,u)}(rlcd)(1.29)(oI鼠(r,u)茸r‘ ,u‘ )Io)=等箬/d3r” /办” 佩巧丽研“ ¨ “ 川喇,r⋯,u,)× 最,d(r” 一r” ’ )d(u—u’ )=筹ds(蛰小,邶一郴,郴扣’ ,sfⅢ(。√)=筹,碱tr,r' ,ca以u√)(13。)6 其中利用了格林函数的性质,护s(:)2e,(s,w )Ck|f(r,s,。)Gi (r7,s,u)=Im Gkf(r,r’ ,u)可见电磁场的真空起伏由其Green函数的虚部所决定。§ 1.3介质中原子自发发射的量子理论自发发射是电磁场真空起伏的一个量度。众所周知,自由空间中二能级原子的自发发射速率为Fo=j ;i 羔,其中d=(fl aAl 牡)是原子偶极算子aA在激发态l 乱) 和基态l f) 之间的矩阵元,u_是原子跃迁频率。现在的问题是,如果原子处于介质中,那么原子所感受到的真空就发生了改变,此时原子的自发发射速率会受到什么样的影响呢?原子与场耦合系统的H am i l toni an量宵为叠=京A+螽M +矗m=/卉Z。。嘶,蛳㈦卅莓去‰+;/d3rpn(r)9n(r)+j1/d3rp“ (r)9” (r)其中只4=∑菸+{f d3r以(r)山(r)是原子的Ham i l toni an量。以(r)=∑%6(r—i a),扎(r)=,d3r’ i :黧毒南。宜” =,d3r伊du^up r,甜)}(r,u)是电磁场及介质的Ham i l toni an量。宜。t=一∑象氲A(屯)+,d3r加(r)pM (r)是相互作用Ham i l t彻i an量a在这里我们忽略了小量∑熹A2(f。)。假定原子核位于r^,由偶极近似,忘。。的第一项可变为乳A。)2(1.31)一;老乱矗(蚝)。一∑n襄‰岛】.▲ (r一)-一纛‰矾J.A(r一)(1_32)其中利用了氐=等[虹,窟乩胁=∑%}。。现在我们只考虑一个由激发态;u)和基态}! )组成的两能级原子系统n矾=鼬。㈤(“ I+鼬tIO<tl=;“ ,肮+c洲t.(133)7 ⑧硕士学位论文M ASTER’S TtIESl S令亏2 l t)(ul ,a+2f“ )(ff,03A=uu一劬,盯z=fⅡ)(“ J —J z)(f J ,贝U 有声A=d( 疗+占+) ,又在库仑规范下可-A=0,故与A有关的是横向场E-,即A( rA) :伊du占亩1(rA,u)+^.c,此时有一莩老虹㈨=(方∥ )【Z。扎詈虮‰小胁Ⅲ=一p+宜1‘ +’ (r^)· d+^.c](1.34)上式利用了旋波近似,略去了能量不守恒的项。加(r)=∑qag(r一}。)≈∑qJ(r—r一)一V· [5(r-rA)∑%(i 。一“ )]2一V’ fd(r—r^)应^】f1.35)则/‘ d3r以(啦(r)。一fd3r7,陋r-rA)训沁)2./d3r[5(r-rA)应一‘ 甲p(r)卜/dsS(r-rA)应。p(r)=一D^‘ 啻/7(rA)=一p+亩//(+’ (r^).d+^c.](1.36)综合得相互作用H am i l toni an为宜nc=一p+· 电+(r^)· d+^c.]f1.37)则系统的总H am i l toni an为疗=;勘一a:+/卉/o” 幽勘,+(r,u),(r,u)一矿驴(叫.d十肌]0.3s)由此我们可推导出原子赝自旋算符和场算符的H ei senberg运动方程为占:=百2i 子+宅(+’ (rH).d+^。孔=iu^虬+i宜‘ 一’ (r^)’ d子:;(r}小吨婚,卅苦\it/掣G№¨ ,州占(141)(1.39)(1.40)C‘冗丌En、‘“ ’’、⋯‘ 7 根据f1.41)有酏u)e-iuJ(t-t' )地u,¨ 万022/E,(r,叫)V而将【1.42)代八(1.29),得,O O叠(+’ (r,￡)=/t山杰(r’ u,t)J 0=宜龇卅嘉Z” 山警/西’ 警e,rs,(d腓r’ 川-G+(rA,r’ ,u)d/.dre一“ (“ 7)子(r)=宜龇卅志Z。扎苦Mr,rA,w)d/:。一” %㈩(1t。)在M arkov近似下弘e却卜%㈩z￡机⋯。一%㈩州t)￡机叫⋯删一,=占(t)fJ Odre2‘ ⋯4一“ 卜dT=寺(t)((u^一u)(1.44)其中( 兰” J ( z) +i Pz~。于是有妒)(r,垆宜斌小,¨ 去Z。。du警Mr, rA, W )蜊@ 。刊=观∽¨ 尝M cr,rA,idA黼卜熹Z。。山箬Im G(r,rA,w )dS(t)uA—b3(1.45)将(1.45)代入(1.39)和(1.40),则原子赝自旋算符的Hej senberg运动方程可简化为以=芸占+亩镜小^)d—r(1+bz)鼽c“ =№A一扎)一r/21亏++id喇。(r^溉9(1.46)(1.47)2㈤M^口(1u咒dr厶durAr{G 其中r=垒i i 竽』m G巧(rA,rA,u^)是原子的自发发射速率。而du=糕P∥ du荸里%!;::趔是真空Lam b移位。G,j是Green函数张量G的分量。对tt(i .30)可以看出r=筹d西/dw (0}Ei(ra,u)骘(rA舢)10)J U(1.48)’ ”与Ferm i 黄金规则相稳合。必须指出的是,在推导上述公式时我们采用了M arkov近似,这只有在电磁场与原子之间是弱耦合时才近似得到满足。如果原子与电磁场之间是强耦合,我们就必须采用其它的方法来进行处理。§ 1.4本论文的主要工作在对介质中电磁场进行量子化的基础上,在第二章中我们计算了一维光子晶体中电磁场的G reen函数,并考察了一维光子晶体中原子自发发射的寿命分布,发现光子晶体效应能导致原子自发发射过程的同时加快和减慢。在第三章中我们研究了一个置于两介质平板之间的v型三能级原子的量子干涉性质,发现由于介质所诱导的真空各向异性,即使此v型三能级原子的两电偶极矩互相垂直,量子干涉依然能够出现。最后一章我们应用共振荧光理论,研究了一个置于腔中的V型三能纽原子的共振荧光的压缩谱,探讨了腔诱导量子干涉对原子共振荧光相振幅的压缩谱的影响。结果表明,原子与腔之间的耦合能够导致压缩增强。适当调节腔的共振频率,可以使压缩效应增强或减弱。10 第二章光子晶体及其对原予自发发射的影响§ 2.1光子晶体光子晶体被定义为介电常数在三维方向上周期性变化的介质结构,每个周期的大小接近于光学波长【6】。一维和二维的光子晶体也能表现出有意思的性质。周期性变化的介质结构对电磁波的影响类似于周期性的晶格势对电子波函数的影响。对于特定方向和特定频率范围,晶体是不能给出传播解的。这样的方向和频率范围被称为禁带f71。如果存在这样一个频率范围,对于任意方向它都是一个禁带,类似于半导体中的电子带隙,这样一个频率范围就被称为光子带隙( PBG) 。从晶体外面看来,对于以任意方向入射的电磁波,如果它的频率处于光子带隙内,晶体表现出全反射性质。这种现象被称为全向内反射.光子晶体的这种性质可以用来制备超低耗镜和波导。在晶体中,禁带频率附近的电磁模密度与均匀介质中大不相同,此时自发发射可能被完全抑制。要实现这一点就要求PBG 是三维的,于是所有方向的传播都能被抑制,这只能在三维光子晶体中得到实现。由于这些内在和外在的有意思的性质,光子晶体是目前研究的热点之-Is]。Li [12]珂t:究了一维光子晶体中V型三能级原子的自发发射性质,发现即使原子的两偶极矩互相垂直,由于介质结构的非均匀性所诱导的真空各向异性,从两个高能级到低能级的跃迁通道之问的量子干涉依然能够产生。这个现象与自由空间中的V型三能级原子完全不同,在那种情况下量子干涉只有在两个原子偶极矩不正交时才有可能出现。最近,Petrov[24】从试验上研究了三维光子晶体中原子核的自发发射性质,发现自发发射会被同时加速和减慢。然而。在一个类似的试验中『251,并没有观察到同样的现象。这就引起了激烈的争论【26,27,11】,其中w angf261用数值计算的方法研究了三维光子晶体中一簇原子的衰变寿命分布,他们发现光子晶体效应能够同时导致衰变过程的加速和减慢。接着他们研究了原子处于一个介质板中的情形,得到了类似的结果/27]。然而这个模型并不能构成一个真正的光子晶体,并且他们没有考虑由于介质的吸收所带来的影响。 § 2.2一维光子晶体中原子自发发射的衰变分布原子的自发发射已经成为量子光学中许多新发现的最为严格的限制条件之一,例如高频激光、高精度测量以及量子信息的储存和传送等等。于是找出控制自发发射的方案成为量子光学感兴趣的课题。其中一个方案就是改变原子所处的环境,即改变与原子相互作用的真空模的密度分布。我们所做的工作是将原子置于有缺损的一维光子晶体中,研究光子晶体效应对原子自发发射性质的影响。我们同时考虑了介质无吸收和有吸收的情形。我们研究这样一个平板介质系统( 如图2.1所示) 。给定z轴为其介电常数变化的方向。将原子置于中间层,其介电常数为E3,厚度为d。。紧贴中间层的是两个Bragg反射镜,每一个由周期为N 的介质块组成。每~个周期包含两个介质层,其介电常数分别为El ,E2,厚度分别为d。,d2。每个介质层的光学厚度相同,n。d-=n2d2=A/4,A是原子自发发射的相应波长,n;=6,,(J =1,2,3)。我们先研究介质无吸收的情形,即原子跃迁频率远离介质共振频率,这样介电常数E,可近似认为是实数。将此系统置于真空中,这样最底层和最高层的介电常数为Eo=1。此系统构成了一个有缺损的一维光子晶体『101。:呈!!三!!:!!图2.1:置于光子带隙结构中的个电偶极子12z●■●{t_l。●lkN二tz ⑧硕士学位论文M ASTER’S TH ESIS将原子视为电偶极子,其位于空间ro处,跃迁频率为w ,偶极矩为d,从前一章的推导中我们知道,原子的自发发射率依赖于电磁场Green函数的虚部,位于筑层介质中的电偶极子的自发发射速率可表示为r(r。㈡=器¨ m aj(‰ro}小dG(r1r’ ,“ )是此系统中电磁场的Gteen函数张量,等f曳置的Green函数张量q(r0,r。以分解为两部分(2.1)Gj(ro,ro,u)=G;(r0,ro,u)+G;。(ro,r。,u)(2.2)四(ro,r0,u)代表介质趋向无穷大时的Green函数张量,qc to,r0,“ )描述电磁场在此系统中的传播。由G;(ro,ro,u)引起的自发发射速率为、厝ro,其@ to=j嚣斋是真空中的自发发射速率。对于我们所研究的系统,G;c(r口,r0,。)可表示为[9】9其中q。(to,ro,“ )=ji虫qz。(询,“ )+,寸岛口口(Zo,u)+云tq:;(。o,“ )(2.3)Gj zz(zo,u)=Gj ⅣⅣzo,甜)=h%弓0 Jf:d≯k3k f。D劈i12.嚆一屿+矿岛d】一哆一乎氓zi—rs+萨岛z轧+若(2曩∥ 岛由博渺n妒㈣J嘭舷啦面i#o Z。。百dkk瓦2k2(2曩咯∥ 聃+哼一e21fli i +巧+e21岛2j )(2.4j(2.5)等竺里生2 1一嘎哼一e2喝由,参量k是横向波矢k=(也,‰)的模,岛=、/碍一胪是第j 层波矢沿z轴的分量。系数s(p)分别代表TE(TM )偏振波。rIf_1是第j 层介质与其上面和下面部分之间的总的反射系数。Zo=zo和对i d,一磊毫原子与它所在介质板之间的间距。 在计算中我们选取b>E2>E-,对于这样的参数,我们可以区分方程(2.4)和(2.5)积分中的不同的区域。对于小于n“ zl c的k值,积分是连续的,这对应于穿过晶体的辐射模。对于在now /c和n3u/c之间的k值,除了一些特定的k值外,反射系数r孙的绝对值为1,积分的实部为0。这些k值可由D。j =o推导得出,在此区域仅有这些k值对积分有贡献,它们对应于导波模,即仅在晶体中沿xy平面传播的模。如果%>m w /C,积分为0,对应于evanscent模。为了研究原子的衰变寿命的分布,定义这样一个寿命分布函数p(f)=∑哦d(÷ 一?(ri 】u)){(2.6)其中f( n,u) =1/F( ri ,u) 是第i 个原子的寿命,ri 是第i 个原子所处的空间位置,嗽是权重因子。如果原子均匀分布于空间中并且其偶极矩指向是任意的,嗽=1。我们可看出寿命为f的原子的辐射强度』(?)应正比于p(i )。为了得到p(于:)的平滑变化,用一个Gauss函数来代替d函数珩)2莩眠去e印{鱼趔)0- 2(2.7)JL‘ ’ ‘ ,在计算中我们选取盯=0.005。在计算中我们选取参数为El =1.5,E2=9,63=10,计算结果如图( 2。2) 和图( 2.3) 所示,总的自发发射率、来自于辐射模的贡献以及来自于导波模的贡献分别用实线、虚线和点线表示。图( 2.2) 对应于N =1,代表波导情形;图( 2.3) 对应于N =5,代表一维光子晶体。图中演示了对应于不同缺陷层厚度的情形( d3=A/2_手H d3=A) 。分析计算结果后可以看出,由于此系统的空妞J 对称睦,所有自发发射速率的曲线都相对于缺陷层的中心平面对称。对于不同的缺陷层厚度.靠近缺陷层边界的原子的自发发射速率几乎完全相同,这是因为当原子非常靠近一一个板时,来自于这个板的影响远大于其它的板。我们可以看出,来自于导波模的贡献远远大于来自于辐射模的贡献。这是因为对于我们所取的参数,中阳J 层与最外层的介电常数之差很大。从方程( 2.4) 和( 2.5) 中可以看出积分因子中不同的项正比于不同的相因子e印(2i 岛z),@ =南,zo+,。彳)。这些项的叠加导致了来自于辐射模的贡献的谐振。