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知识点
级数收敛、发散的定义。[《高数(下)》P252]等比级数、调和级数和p级数等重要级数的敛散性。还有一个重要级数在《18讲》P257例13.7基本性质五条。[《高数(下)》P254]定理1:正项级数收敛的充要条件。[《高数(下)》P259]定理2:比较审敛法及其推论。[《高数(下)》P259]定理3:比较审敛法的极限形式。[《高数(下)》P261]定理4:比值审敛法。[《高数(下)》P262]定理5:根值审敛法。[《高数(下)》P264]定理6:极限审敛法。定理1~6仅适用于正项级数定理7:莱布尼兹定理。定理8:绝对收敛和级数收敛之间的关系。[《高数(下)》P267]函数项级数的概念(收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数、余项)。[《高数(下)》P272]幂级数的概念。[《高数(下)》P273]定理1:阿贝尔定理及其推论(收敛半径、收敛区间)。[《高数(下)》P274]定理2:幂级数收敛半径的求法。[《高数(下)》P275]缺项级数不能直接应用此定理,见[《高数(下)》P277例4]幂级数的运算。[《高数(下)》P278]幂级数的相等。[《18讲》P251]幂级数和函数的三个性质。[《高数(下)》P279]后两个性质要注意它们收敛域可能的变化。[《18讲》P252-4.幂函数的性质]定理:泰勒展开式成立的充要条件。[《高数(下)》P283]将函数f(x)展开成x的幂级数的步骤。[《高数(下)》P283]重要幂级数展开式。[《18讲》P252]e x e{^x}ex1 1 + x \frac{1}{1+x}1+x11 1 − x \frac{1}{1-x}1−x1l n ( 1 + x ) ln(1+x)ln(1+x)s i n x sinxsinxc o s x cosxcosx( 1 + x ) a (1+x){^a}(1+x)a
重要概念题
正项级数发散与收敛。[《1000》P55t9.2]一般级数发散与收敛。[《18讲》P261例13.20注]直接法幂级数展开。[《高数(下)》P287例5]幂函数的收敛域具体型问题抽象型问题
做题技巧
熟悉基本不等式,对于正项级数的敛散性判别非常有用。在一般项中含有形如nk,an,n!,nn的因子时,适于使用比值敛散法。[《1000》P55t9.11]注意判断莱布尼兹公式是否满足使用条件。利用根值审敛法或者比值审敛法判定交错级数发散。[《高数(下)》P268例10]正项级数收敛以及相关的推论[《1000》P56t9.9]求幂级数的收敛域,先求它的收敛半径,然后讨论端点。[《高数(下)》P276例1]求幂级数的和函数需要先求幂级数的收敛域(即和函数的定义域)。将级数转化多个级数的和化简问题。[《18讲》P259例13.14]对于交错级数,项之间的单调性可以设函数求导讨论。[《18讲》P272例13.4]对于带对数函数的级数可以考虑使用泰勒公式。[《18讲》P273例13.6]使用比较法 x 1 + x < I n ( 1 + x ) < x ( x > 0 ) \frac{x}{1 + x} < In(1 + x) < x(x > 0)1+xx