1、如图,已知 AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,且 BC="CD." (1)求证:△ BCE≌△DCF (2)若 AB=17,AD=9,求 AE 的长. 2、如图,已知 AB=AC,∠A=36° ,AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D,交 AB 于点 M, 求证:(1)BD 平分∠ABC; (2)△ BCD 为等腰三角形. 3、已知:如图∠BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别为 E,F. ⑴试说明:BE=CF; ⑵若 AF=3,BC=4,求△ ABC 的周长. 共 7 页,第 1 页 4、如图,△ ABC 中,AC=BC,∠ACB=90° ,点 D 为 BC 的中点,点 E 与点 C 关于直线 AD 对称,CE 与 AD、AB 分别交于点 F、G,连接 BE、BF、GD 求证:(1) △ BEF 为等腰直角三角形 ;(2) ∠ADC=∠BDG. 5、如图,在等腰 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,D 是斜边上 AB 上任一点,AE⊥CD 于 E, BF⊥CD 交 CD 的延长线于 F,CH⊥AB 于 H 点,交 AE 于 G. (1)试说明 AH=BH (2)求证:BD=CG. (3)探索 AE 与 EF、BF 之间的数量关系 6、(本题 14 分)如图(1),在△ ABC 和△ EDC 中,D 为△ ABC 边 AC 上一点,CA 平分 ∠BCE,BC=CD,AC=CE. (1)求证:△ ABC≌△EDC; (2)如图(2),若∠ACB=60° ,连接 BE 交 AC 于 F,G 为边 CE 上一点,满足 CG= CF,连接 DG 交 BE 于 H. ①求∠DHF 的度数; ②若 EB 平分∠DEC,试说明:BE 平分∠ABC. 共 7 页,第 2 页 共 7 页,第 3 页 参考答案 1、(1)证明见解析(2)1 2、(1)证明见解析(2)证明见解析 3、(1)证明详见解析;(2)10. 4、(1)证明见解析;(2)证明见解析. 5、(1)见解析;(2)见解析;(3)AE=EF+BF,理由见解析 6、(1)略 (2)①∠DHF="60° "②略 【解析】 1、试题分析:(1)根据角平分线的性质可以得出 CF="CE," 在证明 可以得出 DF=BE; 就 (2)先证明 ,就可以得出 AF=AE,设 DF=BE=x,就可以得出 8+x=10-x,求 出方程的解即可. 试题解析:(1)∵AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F ∴CE=CF, 在 Rt△ BCE 和 Rt△ DCF 中, ∵ CE=CF BC=CD, ∴Rt△ BCE≌Rt△ DCF (HL). (2)由(1)得,Rt△ BCE≌Rt△ DCF ∴DF=EB,设 DF=EB=X 由 Rt△ AFC≌Rt△ AEC(HL) 可知 AF=AE 即:AD+DF=AB-BE ∵AB=17,AD=9,DF=EB=x ∴9+x=17-x 解得,x=4 ∴AE=AB-BE=17-4=1 点睛:本题考查了角平分线性质,全等三角形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的 对应边相等,对应角相等.直角三角形全等的判定定理是 SAS,ASA,AAS,SSS,HL. 2、试题分析:(1)由 AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D,交 AB 于 M,求得△ ABD 是等腰 三角形,即可求得∠ABD 的度数,然后根据等边对等角,求得∠DBC 的度数,从而得 证; (2)根据(1)的结论和外角的性质,可得∠BDC=∠C,再根据等角对等边得证. 试题解析:(1)∵MN 为 AB 的中垂线, ∴AD=BD, 则∠A=∠ABD=36° , ∵AB=AC,∠A=36° , ∴∠ABC=∠C=72° , ∴∠DBC=36° , 因此,BD 平分∠ABC; (2)由①和∠2="36° " ∠C="72° ", ∵∠BDC=180° -36° -72° =72° , ∴∠C=∠ABD+∠DBC=∠BDC, ∴△BCD 为等腰三角形. 3、试题分析:(1)连接 DB、DC,根据角平分线性质和垂直平分线的性质得:DE=DF, DB=DC,证明 Rt△ BED≌Rt△ CFD(HL),得出结论; (2)先证明△ AED≌△AFD,得 AF=AE=3,再将△ ABC 的周长进行等量代换,即△ ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF\ufe63CF+BC,代入求值即可. 试题解析:连接 DB、DC, (1)∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF, ∵DG 垂直平分 BC, ∴DB=DC, 在 Rt△ BED 和 Rt△ CFD 中, DE=DF,BD=CD, ∴Rt△ BED≌Rt△ CFD(HL), ∴BE=CF; (2)∵∠DAE=∠DAF,∠AED=∠AFD=90° ,AD=AD, ∴△AED≌△AFD, ∴AF=AE=3, 由(1)得:BE=CF, ∴△ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF\ufe63CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10. 考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质. 4、试题分析:(1)连接 DE,根据对称轴和线段垂直平分线的性质,求出 CF=EF, CD=DE,推出 CD=ED=BD,根据直角三角形的判定推出△ BEF 是直角三角形,求出 ∠AFC=∠BEC=∠ACD=90° ,∠CAF=∠ECB,根据全等三角形的判定定理得出 △ ACF≌△CBE,根据全等三角形的性质得证; (2)作∠ACB 的平分线交 AD 于 M,根据 ASA 推出△ ACM≌△CBG 得出∠ADC=∠M, CD=BM,根据 SAS 推出△ DCM≌△DBG,求出∠M=∠BDG,即可得出答案. 试题解析:(1)连接 DE, ∵点 E、C 关于 AD 对称,∴AD 为 CE 的垂直平分线, ∴CD=DE,∵D 为 CB 中点,∴CD=DE=DB, ∴∠DCE=∠CED,∠DEB=∠DBE, ∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180° , ∴∠CEB=90° , ∵∠ECB+∠ACF=90° ,∠CAF+∠ACF=90° , ∴∠ECB=∠CAF, 在△ ACF 和△ CBE 中, ∵ ∴△ACF≌△CBE(AAS), ∴CF=BE,右∵CF=EF,∴EF=EB, ∴△EFB 为等腰直角三角形. (2)作∠ACB 的平分线交 AD 于 M, 在△ ACM 和△ CBG 中, ∵ ∴△ACM≌△CBG(ASA), ∴CM=BG, 在△ DCM 和△ DBG 中, ∵ ∴△DCM≌△DBG(SAS), ∴∠ADC=∠GDB. 5、试题分析: (1)根据等腰三角形的三线合一证明; (2)证明△ ACG≌△CBD,根据全等三角形的性质证明; (3)证明△ ACE≌△CBF 即可. 试题解析: (1)∵AC=BC,CH⊥AB∴AH=BH (2)∵ABC 为等腰直角三角形,且 CH⊥AB ∴∠ACG=45° ∵∠CAG+∠ACE=90° ,∠BCF+∠ACE=90° ∴∠CAG=∠BCF 在△ ACG 和△ CBD 中 ∴△ACG≌△CBD(ASA) ∴BD=CG (3)AE=EF+BF 理由如下: 在△ ACE 和△ CBF 中, ∴△ACE≌△CBF, ∴AE=CF,CE=BF, ∴AE=CF=CE+EF=BF+EF. 6、(1)∵CA 平分∠BCE, ∴∠ACB=∠ACE. 在△ ABC 和△ EDC 中 ∵BC=CD,∠ACB=∠ACE,AC=CE ∴△ABC≌△EDC(SAS) (2)①在△ BCF 和△ DCG 中 ∵BC=DC,∠BCD=∠DCE,CF=CG, ∴△BCF≌△DCG(SAS), ∴∠CBF=∠CDG. ∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF ∴∠BCF=∠DHF=60° . ②∵EB 平分∠DEC, ∴∠DEH=∠BEC. ∵∠DHF=60° , ∴∠HDE=60° -∠DEH. ∵∠BCE=60° +60° =120° , ∴∠CBE=180° -120° -∠BEC=60° -∠BEC. ∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG. ∵△ABC≌△EDC, △ BCF≌△DCG(已证) ∴∠∠BFC=∠DGC, ∵∠ABF=∠BFC-∠A,∠HDE=∠DGC-∠DEG, ∴∠ABF=∠HDE, ∴∠ABF=∠CBE, ∴BE 平分∠ABC.