前言

直角坐标系和极坐标系,是两种不同的坐标系系统,其建立的基础和特点都是有区别的,也正因为二者有区别,各有各的特点,则二者自然不应该出现用一种完全取代另一种,否则另一种就没有存在的必要性,所以两种不同的坐标系系统在有些情形下会有一定的区别。
用极坐标与直角坐标表示点和曲线时,除遵循共同的原理外,还存在着很大的区别:在直角坐标系下,平面内的点和坐标一一对应,因而曲线和它的方程也是一一对应的,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,因而在平面直角坐标系中,方程组的公共解就是两条曲线全部的交点。但在极坐标系下,平面内的一个点可以有无数个实数对作为它的坐标,如某一点的坐标是\((\rho,\theta)\) ,那么\((\rho,\theta+2k\pi)\),\((-\rho,\theta+(2k+1)\pi)\) 也是这个点的坐标。从而一条曲线可以与多个方程对应,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程,因面方程组的公共解不能保证给出两曲线的全部交点.

求交点困惑

求曲线\(C_1:\rho=2sin\theta\)和曲线\(C_2:\rho=2\sqrt{3}cos\theta\)的交点。
[法1]:在直角坐标系下思考计算,
将曲线\(C_1\)转化为普通方程为\(x^2+(y-1)^2=1\),
将曲线\(C_2\)转化为普通方程为\((x-\sqrt{3})^2+y^2=3\),
将二者联立,得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2+(y-1)^2=1}\\{(x-\sqrt{3})^2+y^2=3}\end{array}\right.\)
解得两个交点的坐标为\((0,0)\)和\((\cfrac{\sqrt{3}}{2},\cfrac{3}{2})\);
[法2]:在极坐标系下思考计算,
将二者联立,得到\(\left\{\begin{array}{l}{\rho=2sin\theta}\\{\rho=2\sqrt{3}cos\theta}\end{array}\right.\quad\) 消去\(\rho\),
得到\(tan\theta=\sqrt{3}\),即\(\theta=\cfrac{\pi}{3}\)。代入计算得到\(\rho=\sqrt{3}\),
则交点的直角坐标为\((\rho\cdot cos\theta,\rho\cdot sin\theta)=(\cfrac{\sqrt{3}}{2},\cfrac{3}{2})\)
[产生困惑]:解法2怎么少了一个交点\((0,0)\)?
分析:在极坐标系中,如果限定极角的范围是\([0,2\pi)\),则极坐标系中的所有点(必须排除极点\(O\))和其极坐标\((\rho,\theta)\)之间是一一对应的,只有极点最特殊,我们规定极点的\(\rho=0\),但是其极角\(\theta\)在前提范围\([0,2\pi)\)内是任意的,这就造成了一个特殊情况。
比如上述问题,在表达式\(C_1:\rho=2sin\theta\)中,令\(\theta=0\),则\(\rho=0\),此时对应极点\((0,0)\),
在表达式\(C_2:\rho=2\sqrt{3}cos\theta\)中,令\(\theta=\cfrac{\pi}{2}\),则\(\rho=0\),此时对应极点\((0,\cfrac{\pi}{2})\),
这样我们在极坐标系下就找回了丢失的另一个交点。
[困惑原因]:在极坐标系下,平面内的一个点可以有无数个实数对作为它的坐标,如某一点的坐标是\((\rho,\theta)\) ,那么\((\rho,\theta+2k\pi)\),\((-\rho,\theta+(2k+1)\pi)\) 也是这个点的坐标。从而一条曲线可以与多个方程对应,比如\(\rho=3\) 和\(\rho=-3\) 都对应圆心在极点,半径为\(3\) 的圆;曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程,比如[反例:比如对极坐标方程\(\rho=\theta\)而言, 点\(M(\cfrac{\pi}{4}, \cfrac{\pi}{4})\) 的极坐标还可以表示为\((\cfrac{\pi}{4}, \cfrac{\pi}{4}+2\pi)\) 或\((\cfrac{\pi}{4}, \cfrac{\pi}{4}-2\pi)\) 等多种形式, 但是其中只有\((\cfrac{\pi}{4}, \cfrac{\pi}{4})\) 的形式满足方程,而其他表示形式都不满足方程.]因而方程组的公共解不能保证给出两曲线的全部交点.
解惑反思:如果两个曲线的交点经过极点,那么在极坐标系下求解很有可能会失根,而同样的情形在直角坐标系下却不会发生这样的问题;所以凡是涉及经过极点的曲线的交点的求解,高考题目的求解思路都是在直角坐标系下给出的。同时,我们也就能理解在极坐标系下的极点的坐标为什么要那样规定。