Zhang?Shihui 1.电场强度的计算 Zhang?Shihui 微元法 高斯法 E=∑ 4πε 0 ri 1 qi 2 ei , E = ∫ i dq 4πε 0 r 2 er 作业册 第12章静电场 第1题 第3题 第7题 第2题 第4题 第9题 ∫ S E ? dS = ε0 ∑q i 电荷分布有 特殊对称性 λ ( cosθ1 ? cosθ2 ) λ ( sin θ1 ? sin θ2 ) 均匀带电细棒 E = , Ey = 垂面上的场强 x 4πε 0 x 4πε 0 x 薄圆环轴线上场强 E = 学习指导 第12、13章 例题1 例题3 例题5 习作题20 例题2 例题4 习作题11 习作题21 qx 2 2 3 2 4πε 0 ( R + x ) Q E= 均匀带电球体(壳)外场强 内部(略) 2 4πε 0 r 无限长均匀 E = λ 2πε 0 r 带电直线 无限大均匀 E = σ 2ε 0 带电平面 均匀带电细棒垂面上场强 2.电势的计算 Zhang?Shihui ① 叠加原理,取微 U = 元,直接求电势 ② 先利用高斯定理 求场强,再求电势 ∑ 4πε r 0 qi i ,U =∫ b a dq 4πε 0 r 作业册 第13章电势 第1题 第8题 第2题 V ∫ S E ? dS = Q ε0 , U a = ∫ E ? dl q 薄圆环轴线上电势 U = 4πε 0 ( R 2 + x 2 )1/ 2 学习指导 第12、13章 例题6 习作题16 习作题24 习作题29 例题7 习作题17 习作题28 σ U= ( R 2 + x 2 ? x) 薄圆盘轴线上电势 2ε 0 均匀带电球面外的电势 U = q 4πε 0 r 2 (r > R ) 作业册·第十二章 静电场·第1题 Zhang?Shihui 电荷均为+q的两个点电荷分别位于x轴上的+a和-a位 置,如圈所示。求y轴上各点的电场强度,和y轴上电场 强度最大的点的位置。 简析: E+ a = E? a q = ? 2 4πε 0 r 1 E+ a y E = E j = ( E+ a cos θ + E? a cos θ ) j 2qy = j 2 2 23 4πε 0 (a + y ) +q -a r o ) θ r E? a +q +a x dE 2 即y轴上电场强度最大的点的位置。 =0? y =± a dy 2 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第2题 Zhang?Shihui 两根相同的均匀细棒,长为l,电荷线密度为λ,沿同一 条直线放置。两细棒间的最近距离也为l,如图所示,假 设棒上的电荷是不能自由移动的。试求两棒间的静电相 互作用力。 对应电荷元 dq = λ dx 简析: 取微元 dx x′ O x l 2l 3l x ① 先求左侧细棒在右侧x>l区域产生的电场强度。 取如图所示的电荷元dq,其在坐标为x'处产生的场强为 dE = λ dx 4πε 0 ( x′ ? x) 2 沿x正方向 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第2题 Zhang?Shihui 对应电荷元 dq = λ dx 取微元 dx O l l l x 左侧细棒整体在坐标为x'处产生的场强为 λ ? 1 1? = E=∫ ? ′ ? ′? 2 0 4πε ( x′ ? x) 4πε 0 ? x ? l x ? 0 l λ dx λ ? 1 1? 即 E= ? ? 沿x正方向 ? 4πε 0 ? x ? l x ? 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第2题 Zhang?Shihui 对应电荷元 dq = λ dx 取微元 dx,坐标为x ∈ (2l ,3l ) O l l l x ② 求右侧细棒受到的电场力。取如图所示的电荷元dq, 其所在位置的场强如上页所示。该电荷元受到的电场力 λ ? 1 1? dF =Edq = ? ? ? λ dx ? 4πε 0 ? x ? l x ? 右侧细棒整体受力为 F =∫ 3l 2l λ2 ? 1 1 ? λ2 4 ? ? dx = ln 沿x正方向 ? 4πε 0 ? x ? l x ? 4πε 0 3 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第3题 Zhang?Shihui 总电量为q的均匀带电细棒,弯成半径为a的圆弧,圆 弧对中心的张角为θ0,求圆心处的场强。 简析:由对称性知场强沿x轴正方向。 简析: dl = Rdθ λ dl cos θ dEx = dE cos θ = 2 4πε 0 a q q cos θ dθ = cos θ ? adθ = 2 4πε 0 a θ 0 a 4πε 0 a 2θ 0 1 θ0 2 θ ? θ0 2 θ0 2 dE x q 2 沿x正 E = ∫ θ0 dEx = (sin + sin ) = ? 4πε 0 a 2θ 0 2 2 2πε 0 a 2θ 0 方向 2 目录·场强的计算 θ0 θ0 q sin θ0 作业册·第十二章 静电场·第4题 Zhang?Shihui 半径为R的带电细圆环,电荷线密度为 λ = λ0 sin ? ,式 中λ0为一常数,φ为半径R与x轴所成的夹角,如图所示。 试求环心O处的电场强度。 简析:在φ处取电荷元,其电荷为 简析: y dl = Rd dq = λdl = λ0 R sin ? d? 它在O点产生的场强大小为 ? ? dE x λ0 sin ? d? dq dE = = 2 4πε 0 R 4πε 0 R 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第4题 Zhang?Shihui 沿x、y轴的分量分别为 y dl = Rd? dEx = ?dE cos ? dE y = ?dE sin ? 得 2π ? dE x λ0 sin ? cos ? d? =0 Ex = ? ∫ dE cos ? = ? ∫ 0 4πε 0 R 2 2π λ sin ? d? λ0 0 =? E y = ? ∫ dE sin ? = ? ∫ 0 4πε 0 R 4πε 0 R λ0 E=? j 沿y负方向 4πε 0 R 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第7题 Zhang?Shihui 有一带电球壳,内、外半径分别为a和b,电荷体密度 ρ=A/r, 在球心处有一点电荷Q,证明当A=Q/(2πa2)时, 球壳区域内的场强的大小与r无关. 简析:由对称性知场强沿半径方向, 简析: 做同心球面为高斯面,半径a≤r≤ b r Q a ∫ S E ? dS = E ? 4π r = 2 1 ε0 (Q + ∫ ρ dV ) V ρ b r A 2 其中 ∫ ρ dV = ∫ ? 4π r dr = 4π A∫ rdr = 2π A ( r 2 ? a 2 ) v a r a Q 1 代入上式得 E = + ? 2πA r 2 ? a 2 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 r ( ) 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第7题 Zhang?Shihui 2 Q A Aa 整理得 E = + ? 2 2 4πε 0 r 2ε 0 2ε 0 r Q ? 2π a A A = + 2 4πε 0 r 2ε 0 2 r Q a ρ b Q Q ? 2π a 2 A 因为A = ,故 =0 2 2 2πa 4πε 0 r A 得E= 与r无关 2ε 0 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第9题 Zhang?Shihui 如图所示,厚度为d的无限大均匀带电平板,电荷体密度 为ρ,求板内外的场强分布(原点在板中央,Ox垂直板)。 解:取闭合圆柱面S为高斯 解: 面,两底面所在平面与x轴 交点坐标分别为-x和x。 根据对称性,场强沿x方向, 并且在高斯面两底面上大小 相等。据高斯定理 ΔS ΔS ΔS d ρ (2 | x | ΔS ) x ≤ , 2 E内 ΔS = ε0 2 ρ | x| ρx ? E内 = ? E内 = O ?x x x x ε0 ε0 截面放大后 截面 目录·场强的计算 作业册·第十二章 静电场·第9题 Zhang?Shihui d ρ (d ΔS ) x > , 2 E外 ΔS = ε0 2 ? E外 ΔS O ΔS x ρd = 2ε 0 ?x 截面放大后 x d ? ρd ? 2ε , x > 2 ? 0 ? E外 = ? ?? ρ d , x < ? d ? 2ε 0 2 ? 目录·场强的计算 作业册·第十三章 电势·第1题 Zhang?Shihui 图中所示为一沿 x 轴放置的长度为l的不均匀带电细棒, 其电荷线密度为 λ = λ0(x-a), λ0为一常量。取无穷远处 为电势零点,求坐标原点O处的电势。 解:U = ∫ q dU a O l = ∫ a +l a a +l λ dx 4πε 0 x x dx x λ0 ( x ? a ) dx =∫ a 4πε 0 x λ0l λ0 a a+l = ? ln 4πε 0 4πε 0 a 目录·电势的计算 作业册·第十三章 电势·第2题 Zhang?Shihui 两均匀带电球壳同心放置,半径分别为R1和R2(R1R)处为电势零点。计算圆柱体内外各点的电势。 解:① 内部场强,取半径为r < R,高为l 的同轴圆柱面为高斯面。 R r l ∫ S E ? dS ?2πrlE = q ε0 其中 q = ∫ r 0 ρ dV = ∫ r 0 2 3 Ar ? 2πrldr = πAlr 3 Ar 2 E= 3ε 0 (r < R) 目录·电势的计算 作业册·第十三章 电势·第8题 Zhang?Shihui ② 外部场强,取半径为r>R ,长 为l的同轴圆柱面为高斯面。 R ∫ S E ? dS ?2πrlE = R q ε0 r l q=∫ 0 2 Ar ? 2πrldr = πAlR 3 3 3 AR E= 3ε 0 r (r > R) 目录·电势的计算 作业册·第十三章 电势·第8题 Zhang?Shihui ③ 内外电势分布 内部电势 U = ∫ L r R Edr Ar AR dr + ∫ dr R 3ε r 3ε 0 0 L 2 3 =∫ r A AR 3 L = ( R3 ? r 3 ) + ln R 3ε 0 3ε 0 外部电势 U = ∫ Edr = ∫ r L L r AR 3 AR 3 L dr = ln r 3ε 0 r 3ε 0 目录·电势的计算 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题1 Zhang?Shihui 带电细线弯成半径为R的半圆形,电荷线密度λ=λ0sinθ, 式中λ0为一常数,θ为半径R与X轴所成的夹角,如图所 y 示。试求环心O处的电场强度。 解:在θ 处取电荷元,其电量为 解: dq = λ dl = λ0 sin θ ? Rdθ 它在o点处产生的场强为 λ R O θ x dq dq λ0 dE = sin θ dθ 2 = 4πε 0 R 4πε 0 R 在 x, y 轴上的二个分量 y dE x dE θ 0 dE y dEx = ?dE cosθ , dEy = ?dE sin θ x 目录·场强的计算 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题1 Zhang?Shihui λ0 π Ex = ? ∫0 sin θ cos θd θ = 0 4πε 0 R λ0 π λ0 2 Ey = ? sin θ dθ = ? 8ε 0 R 4πε 0 R ∫0 λ0 j ∴ E = E xi + E y j = ? 8ε 0 R y dq dE x dE θ 0 dE x y 目录·场强的计算 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题2 Zhang?Shihui 无限长半圆柱面形薄筒,半径为R,均匀带电,单位长度上 的带电量为λ,求圆柱面轴线上一点的电场强度。 dl λ dE x Ex = ∫ dEx = ? ∫ cos θ dθ = 0 θ 0 2π 2ε R 0 O π λ λ dE y dE E y = ∫ dE y = ? ∫ sin θ dθ = ? 2 0 2π 2ε R π ε 0 R 沿y的负方向 0 π 窄条带电量 dq = λ dl = λ Rdθ = λ dθ 解: πR πR π λ dEx = ? dE cos θ = ? 2 cos θ dθ 1 dq 2π ε 0 R dE = 2πε 0 R λ dE y = ?dE sin θ = ? 2 sin θ dθ 2π ε 0 R y dl x 目录·场强的计算 式中ρ 0为常数,r为球心到球内一点的距离。 试求: (1) 空间各点的电场强度;(2) 电场强度最大值。 提示: (1) 做半径为r的同心球面为高斯面 提示 r 电荷分布在半径为R的球体内,电荷体密度 ρ = ρ 0 (1 ? ) , R 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题3 Zhang?Shihui ∫ ∫ S E1 ? dS= 1 ε0 ∫ r 0 ρ ? 4π r 2 dr (r ≤ R) ρ ? 4π r 2 dr (r > R) 3 S E2 ? dS= 1 ρ0 R (2) E1对r求导,得极大值对应的r,进而得 Emax= 9ε 0 ρ0 ρ0 R 3r ? E1= (r ? ) (r ≤ R), E2= 3ε 0 4R 12ε 0 r 2 2 ε0 ∫ R 0 (r > R) 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题4 Zhang?Shihui 如图所示,一厚为b的“无限大”带电平板 , 其电荷体密 度分布为ρ=kx (0≤x≤b ),式中k为一正的常量.求: (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小; (2) 平板内任一点P处的电场强度; (3) 场强为零的点在何处? 解: (1) 由对称分析知,平板 外两侧场强大小处处相等、 方向垂直于平面且背离平面。 设场强大小为E。 作一柱形高斯面垂直于平面。 其底面大小为S,如图所示。 P 1 O P P2 x b x O b x 目录·场强的计算 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题4 Zhang?Shihui 高斯定理 ∫ E?d S = ε S Q 0 = 1 ε0 ∫ ρS d x 0 b kSb 2 ? 2 ES = ∫0 x d x = 2ε 0 ε0 2 kb 左侧向左 得到 板外两侧 E = 4ε 0 右侧向右 kS b O b x P b x k ? 2 b2 ? kS kS 2 2 ( E′ + E ) S = ∫b xdx = ( b ? x ) ? E′ = ? x ? ? 2ε 0 ? 2? ε0 2ε 0 方向由其正负决定,负值向左,正值向右。 目录·场强的计算 (2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面, O 底面为S。设板内该处场强为E',则 x x 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题4 Zhang?Shihui (3) 对比板内外场强的形式,可知场强为零,只能存在于 板内部,即 k ? 2 b2 ? E′ = ?x ? ?=0 2ε 0 ? 2? b b 可得 x ? =0 ?x= 2 2 2 2 目录·场强的计算 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题5 Zhang?Shihui 在半径为R1,电荷体密度为ρ 的均匀带电球体内,挖去 一个半径为R2的球体空腔,空腔中心O2与带电球体中心 O1间的距离为b,且R1>b>R2,求空腔内任一点的电场 强度E. 求:空腔内任一点的场强。 求: R1 O1 ? 解: 不能直接用高斯定理解。 R2 ? a O2 用叠加法:设想在空腔处, 放上电荷密度分别为ρ 和 -ρ 的均匀电荷。 目录·场强的计算 ρ 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题5 Zhang?Shihui ρ O1 ? r+ a O2 ? ρ P点: E+ = r+ 3ε 0 ?ρ E? = r? P 3ε 0 r?ρ ρ E = E+ + E?= (r+ ? r? ) 3ε 0 ρ = b = const . 3ε 0 若O1、O2重合, 则 E = 0 (合理) 目录·场强的计算 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题6 Zhang?Shihui 形状如图所示的绝缘细线,其上均匀分布着正电荷。已 知电荷线密度为λ,两段直线长均为a,半圆环的半径为 a。求环心O点的电势? 解:de段在O点的电势U2与 ab段同,ab段在O点的电势 U1 = ∫ dU = ∫ a 0 λ = ln 2 4πε 0 (2a ? x) 4πε 0 πa 0 λ dx bcd段在O点的电势 U 3 = ∫ dU = ∫ λ dl λ = 4πε 0 a 4ε 0 λ O点的总电势 U 0 = U 1 + U 2 + U 3 = ( 2 ln 2 + π ) 4πε 0 目录·电势的计算 学习指导·第12、13章 静电场 电势·典型例题6 Zhang?Shihui 无限长均匀带电圆柱体(非导体),横截面半径为R,沿轴 向电荷线密度为λ。求离柱轴分别为r1 (r1>2R)。求两球 心间的电势差. +Q -Q 解: 由电势叠加原理有, Q ?Q U 1 = U + Q1 + U ? Q1 = + 4πε 0 R 4πε 0 d R O1 d O2 R U 2 = U + Q 2 + U ?Q 2 Q ?Q = + 4πε 0 d 4πε 0 R ? Q ?Q ? Q (d ? R ) ?? + ?= ? 4πε 0 d 4πε 0 R ? 2πε 0 Rd 目录·电势的计算 ?Q Q ? U12 = U1 ? U 2 = + 4πε 0 R 4πε 0 d 附录·均匀带电细棒垂面上的场强 Zhang?Shihui 题2补充. 如图所示,求均匀带电细棒垂面上P点的场强。 x 根据几何关系 r = sin θ x y = ? x cot θ , dy = dθ 2 sin θ 解: 取如图所示微元 dq = λ dy λ ? dy λ dθ dq dE = = = 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 x Ex = ∫ dE sin θ = ∫ θ1 θ2 θ2 θ1 y θ2 o y x θ θ1 r dE P x dq λ = ( cos θ1 ? cos θ 2 ) 4πε 0 x θ θ λ dθ Ey = ∫ dE cos θ = ∫ cos θ θ θ 4πε x 0 λ = ( sin θ 2 ? sin θ1 ) 4πε 0 x 2 2 1 1 λ dθ sin θ 4πε 0 x 学习指导习作题11 目录·场强的计算