§9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分
1、柱面坐标
设
为空间的一点,该点在
面上的投影为
,
点的极坐标为
,则
三个数称作点
的柱面坐标。
规定
的取值范围是
,
,
柱面坐标系的三组坐标面分别为
,即以
轴为轴的圆柱面;
,即过
轴的半平面;
,即与
面平行的平面。
点
的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
(1)
2、三重积分
在柱面坐标系中的计算公式
用三组坐标面
,
,
,将
分割成许多小区域,除了含
的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由
各取得微小增量
所成的柱体,该柱体是底面积为
,高为
的柱体,其体积为
这便是柱面坐标系下的体积元素,并注意到(1)式有
(2)
(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量
的三次积分,其积分限要由
在
中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标
表示积分区域
的方法
(1)、找出
在
面上的投影区域
,并用极坐标变量
表示之;
(2)、在
内任取一点
,过此点作平行于
轴的直线穿过区域,此直线与
边界曲面的两交点之竖坐标(将此竖坐标表示成
的函数 )即为
的变化范围。
【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式
球面
与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。
由锥面
与平面
所围成的立体。
在
面上的投影区域为
,
其极坐标下的表示形式为
在
的变化范围是
,
即
故
在
面上的投影区域为
,
其极坐标下的表示形式为
在
的变化范围是
即
故
【例2】用柱坐标计算三重积分
,其中
是球体
位于第