对于一元二次方程
,当
时方程没有实数根,这时就需要引入复数(Complex number)
,其中a,b都是实数,
。
复数是实数的推广,当b=0时就是实数(Real number),当a=0时称为纯虚数(Wholly imaginary)。
对于任意的两个复数
与
有以下四则运算:
上述的代数运算是比较抽象的,那么如何直观理解复数的四则运算呢?下面先介绍复平面(Argand diagram)。
对于任意一个复数
,可以用复平面上的一个点来表示
这类似平面直角坐标系(Cartesian coordinate),只不过x轴为实轴、y轴为虚轴。因为平面直角坐标系和极坐标是可以互相转化的,所以这里也可以用极坐标来描述任一复数。
称OP的长度为复数z的模(Modulus),用|z|表示;称角
为复数z的幅角(Argument),用arg(z)表示。
注:幅角
大小一般用弧度制表示,取值范围为
到
。
与极坐标类似,满足一定条件的复数在复平面上会形成一些轨迹,如
至此可以给出复数的三角表示,
,其中
。
现在我们来看一下复数加减法的几何意义:
可以把
与
看成两个向量,那么
可以用平行四边形法则来理解。同理,我们也可以借助向量减法的三角形法则来理解
所以复数的加减法是可以通过向量来理解的,为了加深理解可以来思考一下以下两个轨迹:
(1)
(2)
注:
(1)arg(z-i)就是以(0,1)为起始点所形成的向量与横轴所成的角度大小;
(2)点与(0,-1)、(2,-1)所形成的角度大小要相同,只有在上述两条射线上。
下面来看一下复数乘积的几何意义,这里我们先用复数的三角形式来计算一下两个复数
的乘积:
根据三角和差公式可知:
。
通过上面的计算可以发现,
得到的新复数,模为两个复数模的乘积
,幅角为两个复数幅角之和
。因此,复数的乘积可以理解为拉伸与旋转。如下图
因为
,所以
的模长为
,幅角为
。
特别的,当一个复数z乘以模长为1的另一个复数时,就是把复数z旋转,如乘以i,那就是逆时针旋转90°;当一个复数z乘以幅角为0°,即一个常数,那就是把复数z拉伸一个倍数。
如果复数的乘积是拉伸与旋转,那么除法呢?
这里只需要把除法写成乘法的形式就可以了,先计算
所以
由此可见,
的模长为两个模相除
,幅角为
。