用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点 P ( x0,y0 ) 及斜率,其求法为:设P(x0,y0 ) 是曲线 y = f ( x) 上的一点,则以 P 的切点的切线 方程为: y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) .若曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0,f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴(即导 数不存在)时,由切线定义知,切线方程为 x = x0 . 下面例析四种常见的类型及解法. 类型一:已知切点,求曲线的切线方程 此类题较为简单,只须求出曲线的导数 f ′( x) ,并代入点斜式方程即可. 例1 曲线 y = x3 ? 3x 2 + 1 在点 (1 ? 1) 处的切线方程为( , B. y = ?3x + 2 D. y = 4 x ? 5 ) A. y = 3x ? 4 C. y = ?4 x + 3 解:由f′( x) = 3x 2 ? 6 x 则在点(1 ? 1) 处斜率k=f′(1) = ?3 , 故所求的切线方程为,y?(?1) = ?3( x ? 1) ,即y=?3x + 2 ,因而选B. 类型二:已知斜率,求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例2 与直线 2 x ? y + 4 = 0 的平行的抛物线 y = x 2 的切线方程是( B. 2 x ? y ? 3 = 0 D. 2 x ? y ? 1 = 0 ) A. 2 x ? y + 3 = 0 C. 2 x ? y + 1 = 0 解:设P( x0,y0 ) 为切点,则切点的斜率为 y ′|x = x0 = 2 x0 = 2 . ∴ x0 = 1 . 由此得到切点 (11) .故切线方程为 y ? 1 = 2( x ? 1) ,即2x?y?1=0,故选D. , 评注: 此题所给的曲线是抛物线, 故也可利用 ? 法加以解决, 即设切线方程为 y = 2 x + b , 代入 y = x 2 ,得x2?2x?b=0,又因为 ? = 0 ,得b=?1 ,故选D. 类型三:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法. 例3 求过曲线 y = x3 ? 2 x 上的点 (1 ? 1) 的切线方程. , 解:设想 P( x0,y0 ) 为切点,则切线的斜率为 y ′|x = x0 = 3x0 2 ? 2 . ∴切线方程为 y ? y0 = (3x0 2 ? 2)( x ? x0 ) . y ? ( x03 ? 2 x0 ) = (3x0 2 ? 2)( x ? x0 ) . , 又知切线过点 (1 ? 1) ,把它代入上述方程,得?1 ? ( x03 ? 2 x0 ) = (3x0 2 ? 2)(1 ? x0 ) . 解得 x0 = 1 ,或x0 = ? 1 . 2 1? ? 1 ? ?3 ?? 故所求切线方程为y?(1 ? 2) = (3 ? 2)( x ? 1) , 或y???+1? = ? ? 2 ?? x + ? , 即8??4 2? ? ?? x ? y ? 2 = 0 ,或5x+4y?1=0.评注:可以发现直线 5 x + 4 y ? 1 = 0 并不以 (1 ? 1) 为切点,实际上是经过了点 (1 ? 1) 且以 , , ? 1 7? ? ? , ? 为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决此类问题可用 ? 2 8? 待定切点法. 类型四:已知过曲线外一点,求切线方程 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 1 例4求过点 (2, 且与曲线 y = 相切的直线方程. 0) x 1 解:设P(x0,y0 ) 为切点,则切线的斜率为 y ′|x = x0 = ? 2 . x0 ∴切线方程为 y ? y0 = ? 1 1 1 ( x ? x0 ) ,即y?=?2(x?x0 ) . x0 2 x0 x0 1 1 = ? 2 (2 ? x0 ) . x0 x0 又已知切线过点 (2, ,把它代入上述方程,得?0) 解得 x0 = 1 y0 = , 1 = 1 ,即x+y?2=0.x0 0) 评注:点(2, 实际上是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判断它的确切位置,充 分反映出待定切点法的高效性. 例5 已知函数 y = x3 ? 3x ,过点 A(0, 作曲线 y = f ( x) 的切线,求此切线方程. 16) 解:曲线方程为 y = x3 ? 3x ,点A(0, 不在曲线上. 16) 设切点为 M ( x0,y0 ) , 则点 M 的坐标满足 y0 = x03 ? 3x0 . 因f′( x0 ) = 3( x0 2 ? 1) , 故切线的方程为 y ? y0 = 3( x0 2 ? 1)( x ? x0 ) . 16) 点A(0, 在切线上,则有 16 ? ( x03 ? 3x0 ) = 3( x0 2 ? 1)(0 ? x0 ) . 化简得 x03 = ?8 ,解得 x0 = ?2 . 所以,切点为 M (?2, 2) ,切线方程为 9 x ? y + 16 = 0 . ? 评注:此类题的解题思路是,先判断点 A 是否在曲线上,若点 A 在曲线上,化为类型 一或类型三;若点 A 不在曲线上,应先设出切点并求出切点.