本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 定义 在概率论和统计学中,二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当n=1时,二项分布就是伯努利分布。 [2] 一般地,如果随机变量 服从参数为 和 的二项分布,我们记为 或 。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出: [2] 式中k=0,1,2,…,n, 是二项式系数(这就是二项分布名称的由来),又记为 或者 。 该公式可以用以下方法理解:我们希望有k次成功(p)和n−k次失败(1 −p)。并且,k次成功可以在n次试验的任何地方出现,而把k次成功分布在n次试验中共有 个不同的方法。 [2] 期望与方差 如果 (也就是说,X是服从二项分布的随机变量),那么X的期望值为: [3] X的方差为: [3] 这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果:1和0,前者发生的概率为p,后者的概率为1−p。该试验的期望值等于μ= 1 · p+ 0 · (1−p) =p。该试验的方差也可以类似地计算:σ2= (1−p)2·p+ (0−p)2·(1−p) =p(1 − p)。 [3] 一般的二项分布是n次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和: [3] 两个二项分布的协方差 如果有两个服从二项分布的随机变量X和Y,我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义,当n= 1时我们有: [2] E(XY)为当X和Y都等于1时的概率,而E(X)和E(Y)分别为X= 1和Y= 1的概率。定义 为X和Y都等于1的概率,便得到: [2] 对于n次独立的试验,我们便有: [2] 如果X和Y是相同的变量,便化为前文所述的的二项分布方差公式。 [2] 图形特点 从图1中可以看出,对于固定的n以及p,当k增加时,概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少。可以证明,一般的二项分布也具有这一性质,且: [1] 当(n+1)p不为整数时,二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值; [1] 当(n+1)p为整数时,二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。 [1] 注:[x]为取整函数,即为不超过x的最大整数。 [1] 与其他