前言
在进行证明时,非常重要的是命题的转换,以及搞清楚命题的范围,是描述普遍性质还是特殊性质,即任意和存在。
逆否命题
对于「若p,则q」的命题,即
,我们有三种衍生的命题。
否命题,把条件和结论同时否定,得到
。
逆命题,把条件和结论进行交换,得到
。
逆否命题,即逆命题的否命题,得到
,也等于否命题的逆命题。
要注意,否命题和否定不同,复合命题的否定为
。
在保证条件p为真的情况下,可以转化为
,即只否定结论。
可以证明,原命题和逆否命题等价:
练习:证明这个结论。
所以有时候我们可以证明逆否命题来证明原命题。
探索:有哪些利用逆否命题完成的证明?
通常来说,命题逻辑是不考虑可能性的,例如三角形内角和一定是180度,否定是三角形内角和一定不是180度,而非三角形内角和不一定是180度。
探索:考虑可能性的逻辑是什么样的?(模态逻辑)
任意与存在
考虑以下命题,没有最大的自然数。
所谓的没有最大的自然数,就是任意的意思,是所有自然数的普遍性质,需要所有自然数都满足才行。
我们用F(x)判断x是最大的自然数,可以写作:
而命题的否定,有最大的自然数,则是存在的意思,是某个自然数的特殊性质,只需要有一个满足即可,可以写作:
存在和任意被称为逻辑量词,相应命题叫做存在命题和全称命题。
我们可以选择证明任意自然数都不是最大的,即对于任意自然数x,有更大的自然数x+1。
也可以使用反证法,设存在最大的自然数是x,则这与x小于自然数x+1矛盾。
有时候用反证法会是更好的选择,反证需要能正确写出命题的否定。
可以证明,在对命题否定时,存在和任意会相互转换:
探索:如何证明这个结论?
探索:还有哪些其他词语表示存在或任意?
三段论
接下来介绍一种经典的推理方法,三段论。
任意整数都是有理数,1是整数,所以1是有理数。
用逻辑符号来表示如下:
A是大前提,B是小前提,C是结论。
大前提,任意P(x)为真可以得到Q(x)为真,例如A是整数可以得到A是有理数。
小前提,P(y)为真,例如1是整数。
那么可以得到结论,Q(y)为真,即1是有理数。