分部积分法是一个特别的积分方法,最适用于积分两个函数的积,但在其他的情况下也会有用。下面会有很多例子,但我们先来看看法则:
∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx
u是函数 u(x)v是函数 v(x)
图:
我们现在看一个例子:
例子:∫x cos(x) dx 是什么?
这是x乘以cos(x),所以应该可以用分部积分法。
我们需要先选择哪个函数为u和v:
u = xv = cos(x)
格式和法则里一样了:∫u v dx
求u的积分:u' = x' = 1
放进法则里:
简化,然后解:
x sin(x) −∫sin(x) dx
x sin(x) + cos(x) + C
步骤是:
选u和v求u的积分:u'求v的积分:∫v dx代入 u, u' and ∫v dx 到:u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx简化,然后解
用文字写出来,∫u v dx是:
(u 积分 v) 减(u 的倒数,v 的积分)的积分
再看几个例子:
例子: ∫ln(x)/x2dx 是什么?
先选 u 和v:
u = ln(x)v = 1/x2
求u的积分:ln(x)' = 1/x
放进法则里:
简化:
−ln(x)/x − ∫−1/x2dx = −ln(x)/x − 1/x + C
−(ln(x) + 1)/x + C
例子:∫ln(x) dx 是什么?
只有一个函数!我们怎样选 u 和v?
没问题!我们选 v 为"1":
u = ln(x)v = 1
求u的积分:ln(x)' = 1/x
求v的积分:∫1 dx = x
放进法则里:
简化:
x ln(x) −∫1 dx = x ln(x) − x + C
例子: ∫exx dx 是什么?
选u和v:
u = exv = x
求u的积分:(ex)' = ex
求v的积分:∫x dx = x2/2
放进法则里:
糟了!越来越复杂!
如果我们选不同的 u 和v呢?
例子:∫exx dx (续)
选不同的 u 和v:
u = xv = ex<