离散型随机变量:
期望:
方差:
连续型随机变量:
期望:
方差:
一、期望和方差的运算性质
期望运算性质:(1)E(c)=c,其中c是常数;
(5)设X,Y是相互独立的随机变量,则有
。
注:上述公式都可以根据期望的定义运算可得,下证(5):
2. 方差的运算性质:
(1)
,其中c是常数;
(2)
,其中c是常数;
(3)
,其中a为常数;
(4)
,其中a,c是常数;
(5)设X,Y是相互独立的随机变量,则
.
注:上述公式都可以根据方差的定义运算可得,下证(5):
得证,上述推导还是借助了期望运算性质(5)。
要注意的是无论是
还是
,当X,Y相互独立时,都是
。
3. 期望与方差的联系:
下证上述公式:
注:在计算离散型随机变量的方差时可以借助这个公式来简化运算。
二、抽样分布
设
是独立同分布的,满足
则随机变量
,满足
。
下证:
注:抽样分布是推断统计的基础,而这些结论的理论基础就是随机变量期望与方差的运算性质。
三、区别Y=X+X与Z=2X
对于随机变量X满足:
首先我们来计算一下E(X)与Var(X)。
那么Y=X+X与Z=2X有什么区别呢?看着好像X+X=2X呀,E(Y),Var(Y)与E(Z),Var(Z)是否一样?
其实这是两个完全不同的随机变量,以下给出Y与Z的分布:
比如
而
注:Y=X+X,X的取值0,1,2,3与另一个X的自由组合;而Z=2X只是把X的值扩大2倍。