样本标准差的表示公式 数学表达式: ? S-标准偏差(%) ? n-试样总数或测量次数,一般 n 值不应少于 20-30 个?i-物料中某成分的各次测量值,1~n; [编辑] 标准偏差的使用方法 ? 在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。 ? 如果价格保持平稳,这个指标值不高。 ? 在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低。 [编辑] 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是: 步骤一、(每个样本数据 - 样本全部数据之平均值)2。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 [编辑] 六个计算标准偏差的公式[1] [编辑] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为 X 的某量进行一组等精度测量, 其测得值为 l1、l2、……ln。令 测得值 l 与该量真值 X 之差为真差占σ, 则有 σ1 = li ? X σ2 = l2 ? X …… σn = ln ? X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为(1) 由于真值 X 都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意 义而无实用价值。 [编辑] 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用 n 次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的 增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值 li 与算术平均值 之差——剩余误差(也叫残差)Vi 来代 替真差σ , 即 设一组等精度测量值为 l1、l2、……ln 则…… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差 V 的关系为 将上式代入式(1)有(2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当 时, ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计 值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为 了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求 S 时, 为免去求算术平均值 的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和 和各测得值之和的平方 艺,即可。 [编辑] 标准偏差σ的无偏估计 数理统计中定义 S2 为样本方差 数学上已经证明 S2 是总体方差σ2 的无偏估计。即在大量重复试验中, S2 围绕σ2 散布, 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S 并不是总体标准偏 差σ的无偏估计, 也就是说 S 和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于 服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值 为(3) 令则即S1 和S仅相差一个系数 Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, K σ值见表。 计算 Kσ时用到 Γ(n + 1) = nΓ(n) Γ(1) = 1 由表 1 知, 当n>30 时, 。因此, 当n>30 时, 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30~50 时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。 当n50 时的情况, 当n>50 时,n 和(n-1)对计算结果的影响就很 小了。 2.5 标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特 点。 极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的 n 个样本测得值中 的最大值与最小值之差。 若对某量作次等精度测量测得 l1、 ,且它们服从正态分布, 则R=lmax ? lmin 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为 (5) S3 称为标准偏差σ的无偏极差估计, d2 为与样本个数 n(测得值个数)有关的 无偏极差系数, 其值见表 2 由表 2 知, 当n≤15 时, , 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为 (5') 还可以看出, 当200≤n≤1000 时, 因而又有 (5") 显然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计, 用 以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。 应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当 5≤n≤15 时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n>10 时, 由于舍去数据信息 较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差 R1、 , 再由各组极差求出极差平均值 。 极差平均值 和总体标准偏差的关系为 需指出, 此时 d2 大小要用每组的数据个数 n 而不是用数据总数 N(=nK)去查 表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。 [编辑] 标准偏差σ的平均误差估计 平均误差的定义为 误差理论给出 (A) 可以证明 与 (证明从略) 的关系为 于是 (B) 由式(A)和式(B)得 从而有 式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用该公式估计δ值, 由于 \right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。 该式使用条件与贝塞尔公式相似。 [编辑] 标准偏差的应用实例[1] 对标称值 Ra = 0.160μm的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下 15 个数 据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1 .74 和1.63μm, 试求该样块 Rn 的平均值和标准偏差并判断其合格否。 解:1)先求平均值 2)再求标准偏差 S 若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15 个数据按原顺序分为 三组, 每组五个, 见表 3。 表3 组号 l_1 l_5 R 1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.19 2 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.31 3 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24 因每组为 5 个数据, 按n=5 由表 2 查得 故 若按常用估计即贝塞尔公式式(2') , 则 若按无偏估计公式即式(3')计算, 因n=15,由表 1 查得 Kδ = 1.018, 则 若按最大似然估计公式即式(4')计算, 则=0.09296(μm) 若按平均误差估计公式即式(6), 则 现在用式(5')对以上计算进行校核 可见以上算得的 S、S1、S2、S3 和S4 没有粗大误差。 由以上计算结果可知 0.09296