1 设一个质点在xOy面内在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点 B 试求变力 F(x y)所作的功 用曲线 L 上的点 AA0 A1 A2    An1 AnB 把 L 分成 n 个小弧段 设 Ak(xk  yk) 有向线段 1kkAA的长度为sk 它与 x 轴的夹角为 k  则 kkkkksAA}s i n,{ c o s1(k0 1 2    n1) kA显然 变力 F(x y)沿有向小弧段1kA所作的功可以近似为 于是 变力 F(x y)所作的功 从而 这里 (x y) {cos sin}是曲线 L 在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量 把 L 分成 n 个小弧段 L1 L2    Ln 变力在 Li上所作的功近似为 F(i i)siP(i i)xiQ(i i)yi  变力在 L 上所作的功近似为 ,1 变力在 L 上所作的功的精确值 ,1kkkkkkkkkkksyxQyxPAAyx]s i n),(c o s),([),(1F A111),(kkkknkAyxWF11]s i n),(c o s),([nkkkkkkkksyxQyxP LdsyxQyxPW]sin),(cos),([ ])(),([iiiniiiiyQxP ])(),([lim0iiiniiiiyQxPW 2 其中是各小弧段长度的最大值 提示 用si{xiyi}表示从 Li的起点到其终点的的向量 用si表示si的模 定义 设函数 f(x y)在有向光滑曲线 L 上有界 把 L 分成 n 个有向小弧段 L1 L2    Ln 小弧段 Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi yi) xixixi1 yiyiyi1 (i )为 Li上任意一点  为各小弧段长度的最大值  f(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 记作L 如果极限 f(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 记作L 设L为xOy面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y)、Q(x y)在 L 上有定义 如果下列二式右端的积分存在 我们就定义  线 L 上对坐标 y 的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 设为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在  上有定义 我们定义(假如各式 如果极限niiiixf10),(lim总存在 则称此极限为函数 dxyxf),( 即 nniiiiLxfdxyxf10),(lim),( iiiiyf10),(lim总存在 则称此极限为函数 dyyxf),( 即 niiiiLyfdyyxf10),(lim),( LLd sd syyxxPQd xd yyyxxPQc o ss in)),,(()),,(( LL 前者称为函数 P(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 后者称为函数 Q(x y)在有向曲 3 右端的积分存在) dsdsdszzzyyyxxxPQRdxdydznzzzyyyxxxPQRcoscoscos))),,,,,,((())),,,,,,((((z   niiiiiLxfdxyxf10),,lim),,( niiiiiLyfdyzyxf10),,(lim),,( iiiiiLzfdzzyxf10),,(lim),,( yx dyy xQzydxxRyRxd yPzdyyQxQzdxzPyyxxPPLLL),(dzz)(,(),,((Qd x),,,((yxzxdxxdyyy )),,,),,)( d z),(),(,, (1) 如果把 L 分成 L1和 L2 则  设{cosi sini}为与si同向的单位向量 我们注意到{xi yi}si 所以 xicosisi yisinisi (Q21LLLQd yPd xQd yPd xQd yPd x (2) 设 L 是有向曲线弧 L 是与 L 方向相反的有向曲线弧 则 LLdyyxQdxyxPdyxdxyxP),(),) ,(),( niiiiLxfdxyxf10),(lim),( 4 Lniiiiid syxfsfc o s),(c o s),(lim10 nniiiiLyfd yyxf10),(lim),( Lds[Liiiiidsyxfsfsin),(sin),(lim1P 0 即 rLdsQQdyPdxA]sincos 或 其中 A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧 L 上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy} 类似地有 或 {dx dy dz } A t为向量 A 在向量 t 上的投影 定理 设 P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t) 上的连续函数 当参数 t 单调地由  变到  时 点 M(x y)从 L 的起点 A 沿 L 运动到终点 B 则  讨论 提示 LLdtAtdsRQPRdzQdyPdx]coscoscos [d s Ad sdtArA其中 A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧  上点(x y z)处单们切向量 drTds (x? dydtdtt(ttttPQydxdyyyxxyPQxL)t()])]((),),(([[)),,dx(( L() LQP),),dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),( 5 L x(t) y(t)(t) 上的连续函数 L 的方向与 t 的增加方向一致 则 )2t从而   若 P(x y)是定义在光滑有向曲线 dttttPdxyxPL)()](),([),( 简要证明 不妨设  对应于 t 点与曲线 L 的方向一致的切向量为{(t) (t)} (2tt  下限 a 对应于 L 的起点 上限  对应于 L 的终点  不一定小于   若空间曲线  由参数方程 xt) y = (t) z(t) 给出 那么曲线积分 如何计算提示   例 1计算Lxydx 其中 L 为抛物线 y2x 上从点 A(1 1)到点 B(1 1)的一段弧 所以)x()()costxy LLdsdtyPdxPcos),(,( dtttttttP)()()()()()](),([2222t ttP)()](),([ dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(? tdzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(  )()](),(),([{ttttPdtttttRtttQ)}()](),(),([)()](),(),([ 其中  对应于  的起点  对应于  的终点 解法一 以 x 为参数 L 分为 AO 和 OB 两部分 6 AO 的方程为xy  x 从 1 变到 0 OB 的方程为)xy x 从 0 变到 1 因此 01OBAOLxydxxydxxydx 第二种方法 以 y 为积分变量 L 的方程为 xy2 y 从1 变到 1 因此  例 2 计算L(2)从点 A(a 0)沿 x 轴到点 B(a 0)的直线段 解 (1)L 的参数方程为 xa cos ya sin  从 0 变到 因此 0 例 3 计算 解 (1)L yx2 x 从 0 变到 1 所以   542(102310dxxdxxxdxxx 11dx22)(dyyyyxydxL542114dyy  y2 (1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周 x2+y2=a2  0222)s in(s indaadxyL023c o s)c o s1 (da334a (2)L 的方程为 y0 x 从 a 变到a 因此 02LaaxydxLdxdxy dyx22 (1)抛物线 yx2上从 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 (2)抛物线xy2上从 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 (3)从 O(0 0)到 A(1 0) 再到 R (1 1)的有向折线 OAB  10222)22 (2dxxxxxdyxxydxL14103dydxx (2)L xy2 y 从 0 变到 1 所以 (3)OA y0 x 从 0 变到 1 AB x1 y 从 0 变到 1 10422)22 (2yyyydyxxydxL151042dyy  Ld yxxy d x22dy) 1xABOAdyxxydxdyxxydx222 1010202 () 002 (ydxx011 7 例 4 计算AB 解 直线 AB 的参数方程为 x3t y2t xt t 从 1 变到 0 所以 所以 例 5 设一个质点在 M(x y)处受到力 F 的作用 F 的大小与 M 到原点 O 的距离成正比 ydzxdyzydxx2233 其中  是从点 A(3 2 1)到点 B(0 0 0)的直线段dttttttI01223]2)3 (2)2 (33)3[(48787013dtt F的方向恒指向原点 此质点由点A(a 0)沿椭圆12222byax按逆时针方向移动到点B(0 b) 求力 F 所作的功 W 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆12222byax按逆时针方向移动到点B(0 b) F 的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力 F 所作的功 W 解 椭圆的参数方程为 xacost ybsint  t 从 0 变到2 |其中 k>0 是比例常数 于是  2 由定义 得   jiryxOM )()|( ||jirrrFyxkk BABAyd yxd xkk yd yk xd xW  2022)c o ss ins inc o s(dtttbttak )(c o ss i n)(222022bakt d ttbak  LLdsQPQdyPdx)sincos( 8 其中 F{P Q} T{cos sin}为有向曲线弧 L 上点(x y)处单位切向量 drTds{dx dy} 类似地有  {dx dy dz } LLdd sQPrF}s in,{ c o s},{ },QdsRrQdsPRdz{cosQdyRPdx{)cos coscoscos(F d P,cos},,其中 F{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧  上点(x y z)处单们切向量 drTds