第一讲一元二次方程根的判别式 【趣题引路】 话说小精灵拜数学高手为师,苦练了十八般数学技艺。一日师傅韦达对小精灵道:“师 傅给你一件随身法宝“”,出去闯荡一下吧!” 小精灵拜别师傅韦达,来到“方程堡”,守门将喝道:“来者何人!”小精灵拱手答道: “晚辈小精灵奉师傅之命前来方程堡见识见识。”守门将道:“先要破我一方程方能进堡!” 的值吗?”小精灵取出法宝灵机一动,将上式中的 的一元二次方程2x -18y+19)=0。好哇!因为x是实数,上面的方程必有实数根,所以 0,即(2y-10) 入原方程就可得x=2.小精灵这里用的法宝“”是什么呢?它就是一元二次方程根的判别式。一元二次方 时,有两个不相等的实数根;当=0时,有两个相等的 实数根;当〈0 时,没有实数根,反过来也成立。 【知识延伸】 这两个方程中至少有一个方程有实根.证明 设这两个方程的判别式为 中至少有一个成立,即两个方程中必有一个方程有实根.点评 两个方程中至少有一个方程有实根,可转化为证明 0;本题还可用反证法来证明,即假设 0,两者矛盾,从而导出原题结论还成立。 的最小值.解析 +9),即3x xR,故以上方程有解,=(2u) 时取得).点评 求函数最值时,把函数解析式转变成一个关于自变量的一元二次方程,利用一 元二次方程有解,判别式大于或等于零从而得出函数值的范围,是一种常用方法;此题还 用到了“换元”的思想。 解析把已知等式看成关于a 的一元二次方程,因为a4 是实数,• =a1a3.点评 此题要注意分类讨论:当二次项系数为字母表示的代数式时,应注意它是否为零.此题 由“不相等”到“相等”的有效方法,应掌握。