习题 10?1 一工字型钢梁,在跨中作用集中力F,已知l=6m,F=20kN,工字钢的型号为20a,求梁中的最大正应力。 解:梁内的最大弯矩发生在跨中 查表知20a工字钢 则10?2 一矩形截面简支梁,受均布荷载作用,梁的长度为l,截面高度为h,宽度为b,材料的弹性模量为E,试求梁下边缘的总伸长。 解:梁的弯矩方程为 则曲率方程为 梁下边缘的线应变 下边缘伸长为 10?3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲,当截面为下列形状时,试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。 解:各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力,另一侧产生压应力。 10?4 一对称T形截面的外伸梁,梁上作用均布荷载,梁的尺寸如图所示,已知l=1.5m,q=8KN/m 解: 1、设截面的形心到下边缘距离为y1 则有 则形心到上边缘距离 于是截面对中性轴的惯性距为 2、作梁的弯矩图 设最大正弯矩所在截面为D,最大负弯矩所在截面为E,则在D截面 在E截面上 所以梁内, 10?5 一矩形截面简支梁,跨中作用集中力F,已知l=4m,b=120mm,h=180mm,弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa,求梁能承受的最大荷载Fmax。 解:梁内的最大弯矩发生在跨中 矩形截面梁 则由 得即10?6 由两个28a号槽钢组成的简支梁,如图所示,已知该梁材料为Q235钢,其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa,求梁的许可荷载[F]。 解:作弯矩图 梁内的最大弯矩发生在跨中 矩形截面梁 则由 得即10?7 圆形截面木梁,梁上荷载如图所示,已知l=3m,F=3kN,q=3kN/m,弯曲时木材的许用应力σ]=10MPa,试选择圆木的直径d 解:作弯矩图 则由 得即,得 10?8 起重机连同配重等重P=50kN,=10kN,σ]=170Mpa,试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。 解:设起重机左轮距A端为x,则有 , 从而确定出 , 即梁内出现的最大弯矩为 则由 得 又对于本题 所以 查表选 25b号工字钢。 10?9 两个矩形截面的简支木梁,其跨度、荷载及截面面积都相同,一个是整体,另一个是由两根方木叠置而成,试分别计算二梁中的最大正应力。 解: 1、第一种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 矩形截面梁 则2、第二种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 矩形截面梁 则10?10 直径d=0.6mm的钢丝绕在直径D=600mm的圆筒上,已知钢丝的弹性模量E=2×105MPa,试求钢丝中的最大正应力。 解: 由得或10?11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN,a=1.5m,[σ]=10Mpa。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h:b,以及梁所需木料的最小直径d。 解: 由得,又 所以 时 取极大值,所以弯曲截面系数最大时,,,即 梁内的最大弯矩 矩形截面梁 则由 得即10?12 一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限σb=150Mpa,压缩强度极限σbc=630Mpa,试求梁的安全因数。 解: 1、设截面形心距离下边缘为y1 则有 则形心到上边缘距离 于是截面对中性轴的惯性距为 2、作梁的弯矩图 C截面 B截面上 所以有 , ,取安全系数为3.709。 10?13 一简支工字型钢梁,工字钢的型号为28a,梁上荷载如图所示,已知l=6m,F1=60kN,F2=40kN,q=8kN/m,钢材的许用应力[σ]=170Mpa,[τ]=100Mpa,试校核梁的强度。 解:作内力图 则有 而10?14 一简支工字型钢梁,梁上荷载如图所示,已知l=6m,q=6kN/m,F=20kN,钢材的许用应力[σ]=170Mpa,[τ]=100Mpa,试选择工字钢的型号。 解:作内力图 由得查表选25a(考虑5%误差可以选则22b) 。 对于所选型号,梁内出现的最大切应力为 (如为22b,) 所以工字钢型号为25a(或22b)。 10?15 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。已知材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa,许用切应力[τ]=100Mpa。试选择工字钢型号。 解:作内力图 由得查表选28a 。 对于所选型号,梁内出现的最大切应力为 所以工字钢型号为28a。 10?16 外伸梁AC承受荷载如图所示,Me=40KN.m,q=20KN/m。材料的许用应力[σ]=170Mpa,[τ]=100Mpa。试选择工字钢的型号。 解:作内力图 由得查表选20a 。 对于所选型号,梁内出现的最大切应力为 所以工字钢型号为20a。 10?17 图示简支梁是由三块截面为40×90mm的木板胶合而成,已知l=3m,胶缝的许用切应力[τ]=0.5Mpa,试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载F。 由得F≤8100N。 10?18 图示结构中,AB梁与CD梁所用材料相同,二梁的高度与宽度分别为hb和h1和b,已知l=3.6m,a=1.3m,h=150mm,h1=100mm,b=100mm,材料的许用应力[σ]=10Mpa,[τ]=2.2Mpa,试求该结构所能承受的最大荷载Fmax。 解: 1、对于上梁 作内力图 由得,即 所以有 又由 得 ,即 所以有 2、对于下梁 作内力图 由得,即 所以有 又由 得 ,即 所以有 综上,取10?19 图示[σ]=10Mpa,[τ]=3Mpa。木梁的横截面为矩形,其高宽比,试选择梁的截面尺寸。 解: 当F位于跨中时,梁内出现最大弯矩 由得即从而有 又当F位于靠近左右支座时,梁内出现最大剪力 由得,即 从而有 综上取, 10?20 图示 [σ]=170Mpa,[τ]=100Mpa。CD梁长l=12m,试选择工字钢的型号。 解: 1、设吊车A点距C端为x,则有 , 从而确定出 , 即梁内出现的最大弯矩为 则由 得 又对于本题 所以 查表选 16号工字钢。 2、设吊A点距C端为x,则支反力 , 从而确定出 , 即梁内出现的最大剪力为 则对于16号工字钢,有 所以选16号工字钢。 第十章梁的应力和强度计算 13 F l/2 l/2 A B q l A B b h l/3 B C q A l 10cm 8cm 4cm 4cm 1.778kN.m 1.0kN.m 0.667m F l/2 l/2 A B b h F 2m B A F F 2m 2m 2m 3F 3F 4F C A q d F l l/3 A B C 3kN.m 1.167m 2.042kN.m A B P F 1m 4m 10m C D 1m q l B A a a 2a a a b h d A B a F F a 3a C D 1m 0.5m 1m A B D 16kN C 32kN 160 200 40 10 10 8kN.m 12kN.m q A B l/6 F1 F2 l/6 2l/3 80.7kN 67.3kN 12.7kN 72.7kN 59.3kN 19.3kN 2.588m 76.7kN.m 63.3kN.m 86.8kN.m q A B l/2 F l/2 28kN 10kN 57kN.m 10kN 28kN 20kN/m A B 0.5m 80kN 60kN 1m 2.5m C D 113.125kN 1.85m 56.5625kN.m 76.875kN.m 83.05625kN.m 33.125kN 76.875kN 16.875kN q 2m 1m 1m A B C Me 40kN 40kN.m 0.5l 0.5l B A F 90mm 40mm 40mm 40mm F 0.5l 0.5l a a B A D C h b b h1 F F 1m A B b h l C D A B 1m 1m