1　引言　　在高稳定性系统的构建过程中,如卫星导航,国际原子时对比等领域,对时间同步的精度要求越来越高 [1] .系统中的放大器、混频器和射频电缆的群时延波动已成为时间同步的主要误差 [2] ,如何精密地测量群时延已成为高稳定系统构建过程中亟需解决的问题.现有的群时延计算方法是利用矢量网络分析仪测量的相位值对角频率微分 [3] ,该方法存在着分辨率和精度之间的矛盾,在相位测量误差一定的情况下,提高频率分辨率减小频率步长会增大群时延的计算误差.文献[4]中运用三次样条函数来拟合相位函数从而得到群时延的值,其测量精度达到 0.1ns,然而该方法受样本点误差较大.文献[5]中,提出了基于三天线系统的新 第　5　期 骆　睿:基于 Tikhonov正则化的高分辨率群时延测量与计算方法型天线群时延测量方法,其测量精度达到 0.12ns,但该方法是从三天线系统端消除误差,只能用于天线测量不具有普适性.本文在对传统的差分法群时延计算误差分析的基础上,得出频率步长和相位测量误差对计算结果产生的影响,在此基础上提出新的基于 Tikhonov正则化的计算群时延方法,并将该方法用于探针测试校准件的群时延测量验证.用该方法得到的群时延结果与矢量网络分析仪测量的结果进行比较,在 100KHz频率步长条件下,该方法的群时延计算精度优于 0.1ps.2　群时延的定义和传统计算方法群时延是线性系统的传输特性参数,在工程应用中,群时延被看作是信号的包络延迟.群时延定义为相位对频率的差分 [6] :τg =-dφ(f)2πdf(1)其中 τg 为群时延,φ(f)为相位,f为频率.目前广泛应用于测量设备的是传统的群时延计算方法,该方法是从式(1)出 发,并 获 取 测 量 频 率 步 长 Δf,其 计 算 公式为 [3,7,8] :τg (f i-1 )=-φ(fi )-φ(f i-1 )2πΔf(2)其中 fi (i=0,1,2,…,n-1)和 φ(f i )为各频率点和对应相位值,τg (f i-1 )为 f i-1 点处的群时延值.求解群时延的步骤为先设定测量范围和频率步长 Δf,测量得到相位值 φ(fi ),然后通过式(2)求出群时延 τ g (f i-1 ).在实际测量中,会存在测量误差,在每个频率点测得的相位值珘φ(fi )为存在测量误差的离散样本点.每个频率点的相位真值为 φ(fi ).其误差水平满足:珘φ(fi )-φ(f i )?δ(3)其中 δ为测量误差.3　差分法计算群时延误差分析　　在差分法计算中,当 Δf取值越小时,越能反映其群时延随频率的变化特性,即频率分辨率越高.此时群时延的近似计算式为:τg (f i-1 )≈ -珘φ(fi )- 珘φ(fi-1 )2πΔf(4)不考虑测量误差时,存在截断误差的群时延计算式为:τg (f i-1 )=-珘φ(fi )- 珘φ(fi-1 )2πΔf+o(Δf) (5)其中 o(Δf)为截断误差,Δf越大,截断误差也越大.当考虑测量误差时,由于相位测量误差的存在,得到的群时延误差变大.造成的舍入误差的群时延的计算误差表示为:-珘φ(fi )- 珘φ(fi-1 )2πΔf-τg (f i-1 )?o(Δf+ δΔf) (6)式(6)可以看出,差分法对测量误差非常敏感,当 Δf较小时,误差会随频率步长的减小而增大.在测量误差一定的情况下,要实现提高频率分辨率并精确求解群时延的值,本文基于 Tikhonov正则化的计算方法可以实现.4　Tikhonov正则化方法计算群时延4\ue0101　Tikhonov正则化方法基本原理从式(5)和式(6)可以看出差分法的群时延计算方法存在着频率分辨率与精度之间的矛盾,由于微分运算由差分近似得到,当频率步长 Δf趋近无穷小时,群时延计算数值误差会趋近于无穷大.在此引入 Tikhonov正则化方法来构造相位曲线的解析表达式从而解决该问题,构造一个近似函数来逼近原相位函数,然后用构造函数求得群时延的值.该方法无需经过第 3节中的差分步骤,故不存在第 3节的测量误差引起的数值稳定性问题 [9] .在存在测量误差的情况下,该方法能够较好的拟合原函数的微分函数.该方法计算群时延的流程图如图 1所示,其中 DUT(DeviceUnderTest)表示待测件.测试步骤如下:(1)连接 DUT至测量设备,并设定测量范围和测量频率步长.(2)测试得到相位数据.(3)利用相位数据构造基于三次样条的相位函数.(4)应用 Tikhonov正则化条件于(3)中的三次样条函数.(5)利用三次样条函数的性质和 Tikhonov正则化约束条件求解处三次样条函数的系数,得到群时延值.Tikhonov正则化方法的数学思想是构造一个函数尽可能平滑的逼近原函数,即各样本点处一阶导数尽可能的小,也就是各样本点的二阶导范数最小 [10] .测量得到的 n个频率值 fi (i=0,1,…,n-1)和存在测量误差的相位值 珘 φ(fi ),利用 Tikhonov正则化方法构造近似函数 g(f).传统 Tikhonov正则化方法要求构造函数在两端点处二阶导数必须为零 [11] ,当构造函数 g(f)不满足该条件时,会导致构造函数的一阶导 g′(f)在两端存5 4 0 1 电　　子　　学　　报 2019年在较大误差.因此在本文中引入新的约束条件,令构造函数 g(f)在两端点处二阶导数不必为零,可以有效的解决构造函数 g(f)的一阶导在两端误差较大的问题.最终使用 Tikhonov正则化方法需满足的性质有:(a)g(f)在两端两个区间[f0 ,f 1 )和[f n-2 ,f n-1 ]内为二次多项式,在中间 n-3个区间内为三次多项式.(b)假设两端点 f0 ,f n-1 处测量误差为零,即满足即珘φ(f0 )=φ(f 0 ),珘φ(fn-1 )=φ(f n-1 ),若不满足此条件则可以引入辅助函数.ψ(f)=φ(f)+ 珘 φ(f0 )-φ(f 0 )+珘φ(fn-1 )-φ(f n-1 )+φ(f 0 )- 珘φ(f0 )fn-1 -f 0(f-f0 ) (7)来代替真值函数 φ(f),此时即可满足 ψ(f0 )= 珘φ(f0 ),ψ(fn-1 )= 珘φ(fn-1 ),转化为求解函数 ψ(f)的问题.(c)考虑测量误差约束和各点处二阶导范数最小原则,以及在两端点出二阶导数不必为零,在所有子区间内满足如下目标泛函取得最小值:J(g)=1n-2 ∑n-2i=1( 珘 φ(fi )-g(f i ))2+λ{ ∫fn-1f0(g″(f))2 df+ 12 Δf[(g″(f0 ))2 +(g″(fn-1 ))2 ]}(8)λ为正则化系数,其值的大小决定了最终的正则化效果.为了简化计算,正则化系数取为:λ=δ2[12] .构造函数的解为:g=argminJ(g) (9)4\ue0102　求解群时延的值构造函数 g(f)的求解是在满足 4\ue0101节的约束条件下的方程的求解.在每段子区间内,构造函数 g(f)可以写为如下分段多项式:g(f)=∑3j=1 a(i)j(f-fi )j-1 ,i=0,n-2,f∈ [fi ,f i+1 );∑4j=1 a(i)j(f-fi )j-1 ,i=1,…,n-3,f∈ [fi ,f i+1 )\uf8f1\uf8f2\uf8f3\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4.(10)Tikhonov正则化方法的函数方程类似于三次样条函数的构造函数方程,同样 g(f)在各离散点(不包括两端点)处满足二阶导数连续:g(f+i )=g(f-i ),i=1,…,n-2g′(f+i )=g′(f-i ),i=1,…,n-2g″(f+i )=g″(f-i ),i=1,…,n{-2(11)其中 f+=f+limΔf → 0+ Δf,f-=f+limΔf → 0- Δf.式(9)可以等效转化为如下方程:[g(f1 )- 珘φ(f1 )]Δf+λ[g(3) (f +1 )-g″(f0 )Δf]=0(12)[g(fi )- 珘φ(fi )]Δf+λ[g(3) (f +i )-g(3) (f -i )]=0;2?i?n-3;(13)[g(fn-2 )- 珘φ(fn-2 )]Δf+λ[-g(3) (f -n-2 )-g″(f-n-1 )Δf]=0(14)其中,g(3) (f)为 g(f)的三阶导数.将式(11)~(14)代入式(10)中,联立方程,通过待定系数法来求解出式(10)的系数 a(i)j ,从而得到了构造函数 g(f)的具体表达式.群时延的值可由 g(f)的一阶导数得到,表达式为:τg =-1360[a(0)2,a(1)2,…,a(n-1)2] (15)其中 a(i)2 (i=0,1,…,n-1)为式(10)中各分段构造函数的一阶系数.