**单调有界定理**在证明极限存在的题目中常用,这里来对该定理的使用方法做个总结.
* 定义:**单调有界数列必有极限**.
在证明数列收敛时,我们只需证明两个条件:
**数列单调+数列有界**.
具体来说就是证:**单调递增(减)数列有上(下)界**.
在利用该定理进行证明之前,我们先证明该定理:
* 证明:
对于数列${x_n}$,由于$x_n$有界,由确界原理可知,${x_n}$有上确界
不妨设${x_n}$是单调递增的,设$sup{x_n}=a$,则对任意$\epsilon$,存在$N$,当$n>N$时,就有$x_n>a_N>a-\epsilon$.由于${x_n}$有界,所以有${x_n}