§4　闭区间上的连续函数　有界性定理　定理3.4.1　若函数　)　(x　f　在闭区间　]　,　[　b　a　上连续,则它在　]　,　[　b　a　上有　界。　证　用反证法。　若fx()在],[ba上无界,将],[ba等分为两个小区间　⎥　⎦　⎤　⎢　⎣　⎡　+　2　,　b　a　a　与⎥⎦⎤⎢⎣⎡+bba,2,则　f　x　(　)　至少在其中之一上无界,把它记为[　]　1　1　,　a　b　;　再将闭区间[　]　1　1　,　a　b　与等分为两个小区间　⎥　⎦　⎤　⎢　⎣　⎡　+　2　,　1　1　1　b　a　a　与⎥⎦⎤⎢⎣⎡+111,2bba,同样　f　x　(　)　至少在其中之一上无界,把它记为[a2　,b2　];　……　这样的步骤一直做下去,便得到一个闭区间套{[　,　]　n　n　a　b　},　f　x　(　)　在　其中任何一个闭区间[　,　]　n　n　a　b　上都是无界的。　根据闭区间套定理,存在唯一的实数ξ　属于所有的闭区间[　,　]　n　n　a　b　,　并且　ξ　=lim　n→∞　an　=lim　n→∞　bn　。　因为ξ　∈　]　,　[　b　a　,而fx()在点ξ　连续,所以存在δ　>　0,　0　>　M　,对于一切　x　)　,　(　δ　ξ　O　∈　∩　]　,　[　b　a　,成立　(　)　f　x　M　≤　。　由于lim　n→∞　an　=lim　n→∞　bn　=ξ　,又可知道对于充分大的n,　[　,　]　n　n　a　b　)　,　(　δ　ξ　O　⊂　∩　]　,　[　b　a　,　于是得到　f　x　(　)　在这些闭区间[　,　]　n　n　a　b　(n充分大)上有界的结论,从而产生　矛盾。　证毕　开区间上的连续函数不一定是有界的。　例如　1　(　)　f　x　x　=　在开区间(0,1)　上连续,但显然是无界的。　最值定理　定理3.4.2　若函数　f　x　(　)　在闭区间　]　,　[　b　a　上连续,则它在　]　,　[　b　a　上必　能取到最大值与最小值,即存在ξ　和[,]abη∈,对于一切　[　,　]　x　a　b　∈　成立　(　)　(　)　f　f　x　ξ　≤　≤　(　)　f　η　。　证　集合　Rf　　f　x　x　a　b　∈　}是有界数集,所以必有上确界与下　确界,记αinf　f　R　=　,　β　sup　f　R　=　。　由于对任意给定的ε　>　0　,存在　[　,　]　x　a　b　∈　,