正交变换与正交矩阵 戴立辉 林大华 林孔容 (闽江学院数学系,福建 福州 350108 ) 摘 要 介绍正交变换的概念,研究线性变换为正交变 换的等价条件;从矩阵理论的角度,探讨正交矩阵的 常用性质. 关键词 正交变换;正交矩阵;等价条件;性质 一、正交变换 定义1 定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换, A 若A保持向量的内积不变,即对于任意的α,β∈V A 都有(Aα,Aβ) = (α,β),则称A为V的正交变换. A 二、等价条件 定理2 定理 2.1 设A 是n维欧氏空间V 的一个线性变换, A V 则下列命题等价: 1)A是正交变换; A 2)A保持向量的长度不变,即对于α∈V,|Aα|=|α|; A A 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基; A V V 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. A 证:1)2)对于α∈V,由(Aα,Aα)=(α,α), A , 即得: |Aα|=|α| A 2)3)设ε1,ε2,…,εn是V的任一标准正交 基,记εi+εj=α∈V. 由|Aα|=|α|或(Aα,Aα)=(α,α)得 A A , (A(εi+εj),A(εi+εj))=(εi+εj, εi+εj) A A 而 (A(εi+εj),A(εi+εj)) A A =(Aεi,Aεi)+2(Aεi,Aεj)+(Aεj,εj) A A A A A =(εi,εi)+2(εi,εj)+(εj,εj) (εi+εj, εi+εj)=(εi,εi)+2(εi,εj)+(εj,εj) 0, i ≠ j ∴ ( Aε i , Aε j ) = (ε i , ε j ) = 1, i = j 故 Aε1,Aε2,…,Aεn是V的一组标准正交基. A A 3)4)设ε1,ε2,…,εn是V的标准正交基, A(ε1,ε2,…,εn)=(Aε1,Aε2,…,Aεn) A A A = (ε1,ε2,…,εn)A 由3), Aε1,Aε2,…,Aεn是V的标准正交基, A A 故A可看作是由标准正交基ε1,ε2,…,εn到标 准正交基Aε1,Aε2,…,Aεn的过渡矩阵,A是正 A A A 交矩阵. 4)1)设ε1,ε2,…,εn是V的标准正交基,且A A 在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由 (Aε1 , Aε2 , … , Aεn)= (ε1 , ε 2 , … , A εn)A,知Aε1,Aε2,…,Aεn也是V的标准正交基, A A A 设α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn,β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn, 则 Aα=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn Aβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn (Aα,Aβ)= x1y1+x2y2+…+xnyn A A (α,β)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (Aα,Aβ)=(α,β),故A为正交变换. A A A 三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义. 定义3 定义3.1 A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为 正交矩阵. 定义3 定义3.2 A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为 正交矩阵. 定义3 定义3.3 A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为 正交矩阵. 定义3 定义3.4 A为n阶实矩阵,若A的n个行(列) 向量是两两正交的单位向量,则称A为正交矩 阵. 性质3 性质3.1 设为A正交矩阵,则: 1)|A|=±1;2)A可逆,其逆A-1也是正交矩阵; 3)AT,A*也是正交矩阵. 证:1)由AAT=E,可知|A|2=1,或者|A|=±1. 对正交矩阵A,当|A|=1时,我们称A为第一类正 交矩阵;当|A|=-1时,则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又 (A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E. 故A-1是正交矩阵. 3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵. 而A*=|A|A-1= ±A-1,有 (A*)T=(±A-1)T=±A=(A*)-1, 故A*是正交矩阵. 性质3.2 设A,B都是正交矩阵,则: 性质 1)AB,Am(m为自然数),ATB,ABT ,A-1B, AB-1,A-1BA等都是正交矩阵; A 2) 0 0 1 , B 2 A A A 是正交矩阵. A 证:1)由AT=A-1,BT=B-1可知 (AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1, 所以AB为正交矩阵,从而再由性质1可推知: Am(m为自然数),ATB,ABT,A-1B,AB-1,A-1BA 等均为正交矩阵. A 0 A 2) 因为 = 0 B 0 T T T 0 A = / B 0 1 0 A 0 = 1 0 B B 1 1 A A 1 A A 1 AT AT 1 A A 及 = T T 2 A A 2 A A 2 A A 2 A A 2AT A 0 E 0 1 = = T 2 0 2A A 0 E A 故 0 0 1 , B 2 A A A 是正交矩阵. A 性质3 性质3.3: 1)设A,B为正交矩阵,且|A|=-|B|,则A+B必不 可逆; 2)设为A,B奇数阶正交矩阵,且|A|=|B|,则必 A-B不可逆. 证:1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B||BT+AT||A| =-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B| 得|A+B|=0,即A+B不可逆. 2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B||BT-AT||A| =|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1)n|A-B| 知n为奇数时,|A-B|=-|A-B|,即|A-B|=0, 从而A-B不可逆. 推论3.1 推论3 1)设A是第二类正交矩阵,则A+E必不可 逆; 2)设A是奇数阶第一类正交矩阵,则A-E 必不可逆. 四、正交变换的性质 性质4 性质4.1 正交变换的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交变换称为旋转,或者称为 第一类的;行列式等于-1的正交变换称为第二 类的. 证 : 正交变换A在标准正交基下的矩阵A是正交 A 矩阵,A的行列式等于A的行列式. A 所以正交变换的行列式等于+1或者-1. 性质4 性质4.2 正交变换是欧氏空间的一个自同构映 射. 证 : 设σ 是V 的正交变换, σ 在任一标准正交基 σ V 下的矩阵为正交矩阵,它有逆矩阵,故σ有逆变换,因 σ 而σ是V到V上的双射. σ V V 对于任意的α,β∈V,由σ是正交变换知 V σ σ(α+β)=σ(α)+σ(β), σ(kα)=kσ(α),k∈R σ σ σ (σ(α),σ(β))=(α,β) σ σ 所以σ是V到V的一个自同构映射. σ V V 性质4 性质4.3 正交变换的乘积、正交变换的逆 变换还是正交变换. 证:设A,B是V的线性变换,对于α, β∈V, 由 ((AB)α,(AB)β)=(Bα,Bβ)=(α, β), , 及 (A-1α, A-1β)= (A(A-1α), A(A-1β) )=(α,β) , , 知 AB, A-1都是V的线性变换. 参考文献 [1]北京大学数学系几何与代数教研室前代 数小组.高等代数(第三版)[M],北京:高等教 育出版社,2003. [2]同济大学应用数学系.线性代数(第四 版)[M],北京:高等教育出版社,2003. 谢谢各位老师! 谢谢各位老师