二次函数与一元二次方程的联系文学教育研完2011 年第37 期读写算 二次函数与一元二次方程的联系 (陕西省江中市武乡中学陕西汉中723ooo)【摘要】一元二次方程与二次函数是初中数学中的重要内容,是初中,高中数学知 识的衔接点,每年它都成为中考的重点考察 内容之一,只有弄清二次函数与一元二次方程的密切联系,才能够对所遇见的问题 做到水到渠成,这对分析和解决有关二次函数的综 合问题有着十分重要的作用. 【关键词】二次函数;一元二次方程 我们知道形如ax+bx+c=0 的方程是一元二次方程,而形 式为Y=ax+bx+c(a.b,C 为常数,aO)是二次函数.它们在 形式上几乎相同,差别只是一元二次方程的表达式等于0,而二 次函数的表达式等于Y.当二次函数中的变量Y 时,二次函数就变成一元二次方程. 二者的对应关系主要有: 设,Y=+bx+C 令Y=0,得:ax+bx+c=0,=b 4ac当>0,方程有两个不等实数根,二次函数图象与x 两个交点;当=0,方程有两个相等实数根,二次函数图象与x 有一个交点(即顶点);当<0,方程没有实数根,二次函数图象与x 轴没有交点. 反过来,方程a)【+bx+c=0 的根可看作是二次函数y= ".+bx+c 轴)的交点的横坐标(抛物线与X轴有交点). 下面,我们通过一些实例详细的了解一下它们间的联系. 例1:试说明函数Y=)【2—4x+5,无论x 取何值,Y>0. 分析:第一种方法:用配方法将其化成Y=(x 一2).+1 式来说明.(但如呆系数取值不好,该方法就比较麻烦)第二种方法:用来说明,因为=一4<0,所以函数与x 轴元交点,又因为该函数的二次项系数a=1>0,所以图象开口 向上.于是,图象在x 轴上方,因此无论X 取何值,Y>0. 例2:已知二次函数 (1)Y=x+4x+k 若抛物线与X轴有两个不同的交点, 的取值范围.(2)若抛物线的顶点在x 的取值.分析:此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系 来解,当抛物线与x 轴有两个不同的交点,可利用b 一4ac>0 确定k的取值范围.当抛物线的顶点在x 轴上,说明抛物线与x 轴只有有一个的交点,可利用b 一4ac=0 来确定k 的取值. 解:在一元二次方程x+4x+k 当k<5时,抛物线与X 轴有两个不同的交点. (2)=20-4k=0 的范围;(2)若抛物线与x 的坐标.分析:本题主要考查二次函数与一元二次方程的内在联系, 点在对称轴上的性质以及抛物线的对称轴和顶点坐标的求法. 抛物线与X轴有两个不同的交点,而抛物线开口向上,所以2k 8<0,所以k<4.(2)因为点B(3,0)在抛物线上,所以9—6(k 2,所以抛物线的关系式为Y=x一2x 此题让我们体会到抛物线与x辅的交点的横坐标就是相应 方程的解,要求与x 轴交点的横坐标,实际上就是求当Y 时,得到的方程的解.例4:求证:不论m取什么实数,方程x 必有两个不相等的实数根.