在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合积具有下列性质:1.三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1)2.上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)给定空间的三个向量a,b,c,如果先做其中两个向量a,b的向量积a×b,再做所得向量与第三向量的向量积,那么最后的结果仍然是一个向量,叫做所给三向量的双重向量积,记做:(a×b)×c。性质:(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·aa×(b×c)=-(b×c)×a=(a·c)·b-(a·b)·c给定空间内四个向量a、b、c、d,则这四个向量之间满足如下关系:证明:由混合积的性质可知(即把c×d看成一个新的向量e,利用性质(a×b)·e=a·(b×e))再根据二重向量积的性质可知该公式可用于证明三维的柯西不等式证明:令公式中a=c、b=d,则:设,那么:即等号成立的条件是,即a、b共线(或b=0)若b≠0,则a//b的充要条件是存在唯一实数λ,使。若设a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,则有,与平行概念相同。平行于任何向量。a⊥b的充要条件是a·b=0,即(x1x2+y1y2)=0 。平面向量分解定理:如果、是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使,我们把不平行向量、叫做这一平面内所有向量的基底。设、是直线上的两点,P是直线上不同于、的任意一点。则存在一个任意实数且,使,叫做点P分有向线段所成的比。若,,,则有,(定比分点坐标公式)。我们把上面的式子叫做有向线段的定比分点公式已知O是AB所在直线外一点,若,且则A、B、C三点共线在△ABC中,若,则G为△ABC的重心。在△ABC中,若,则H为△ABC的垂心。在△ABC中,若,且,则I为△ABC的内心。在△ABC中,若,则O为△ABC的外心此时O满足。给定域F,一个F上的向量空间是一个F-模。给定域F上的两个向量空间V与V' ,如果存在一个双射φ:V→V',并且,,。这样V与V' 便是同构的。给两个向量空间V和W在同一个F场,设定由V到W的线性变换或“线性映射” ,这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映像,以 L(V,W) 来描述,也是一个F场里的向量空间。当V及W被确定后,线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构, 我们称这两个空间为同构。一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴,即阿贝尔范畴。研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下:一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念,称为内积空间。一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性,被称为V的线性子空间。给出一个向量集合B,那么包含它的最小子空间就称为它的扩张,记作span(B)。给出一个向量集合B,若它的扩张就是向量空间V, 则称B为V的生成集。一个向量空间V最大的线性独立子集,称为这个空间的基。若V=0,唯一的基是空集。