朋友问我,要不要帮别人解一道难题,50元报酬,今天之内解出,题目如下,即椭圆焦点与两切线交点的连线平分焦点对两切点的张角。
我说行啊,不在乎钱多少,这种题目我也喜欢解。圆锥曲线问题,不就是计算嘛。于是从中午开始,我就算啊算的。
思路很简单,就是利用解析几何的方法证明,一开始要证明C点到AF1和到AF2距离相等,太麻烦了换成利用倒角公式,结合直线AF1,BF1,CF1的斜率证明角度相等;一开始是设A(x1,y1),B(x2,y2)已知,后面是设C点已知,写出AB切点弦方程与椭圆联立...计算了好多纸均以计算太复杂而告终。不禁感叹:人力有时而穷。
接着冷静下来思考,埋头苦干虽好,但是巧算更胜一筹。既然涉及到角平分线,联想到椭圆中的反射定理:如图,从椭圆一个焦点射出的光线,在切点出反射后必然经过另一个焦点。在切点处满足入射角等于反射角。图中BV即切线方向,BH即为法线。入射角和反射角均是alpha。