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1等于0.循环9吗?
最近工作不是很忙,空闲之余认真阅读了《数学史概论(第二版)》一书。作者从古代数学的起源直到现代数学娓娓而谈,每一段重要数学史都无一不谈。合上书本,脑海里对数学的历史来龙去脉,以及每段时期数学发展的动力,矛盾和杰出的数学家都一一了解。尽管有些数学知识我一知半解,但此书仍令我兴趣盎然。微积分和第二次数学危机,是我最感兴趣的部分之一。何谓无穷小,当时很多数学家都不能作出完美的解决,以致这后来被一位哲学家所诟病。整整经过二百多年后,数学家才对无穷小作出完美的解释,微积分这一数学大厦才完美竣工。
无穷小,是微积分的基础,这令我想起了小学课本上的一个难度很大的数学问题,那就是:
1与0.循环9相等吗?
我问过好几个对数学感兴趣的朋友和同事,他们给我的答案令我感到非常惊奇,一个很简单的问题,为什么想不明白呢?遂有此文之愿。
乍一看去,和你仔细想想甚至深思熟虑后,心里的答案是什么,相等,还是不相等。你亦可google或baidu一下,网上也不少人在谈论此问题,但众说纷纭,本文想通过多种方法来解释真实的答案。
1.从第二次数学危机谈起
我们高中课本上就谈到极限,其中有个公式,我想大家都不会忘记,如下:
Lim1/2+1/4+1/8+...+1/(2^n)=1(n趋近于无穷大)
你相信上述式子成立吗?说真的,我怎么也不能相信上式真的会成立。左式的结果是越来越接近1,但明显是小于1的,怎么会相等呢?假如真的是相等,也要算到n是无大穷的时候吧,那个时候已是沧海桑田了,我怎么能算得到,况且是接近,不是相等。我也在另一本书看到另一个有趣的话题,那就是:
自然数N是可无究多个的,是可数的。
我对自然数是可数集,这一定义是理解,但这本书更牛,它说到,是因为计算机在1秒内可以将所有自然数一遍。你相信吗?我绝不相信,有这样神速的机器。书上介绍具体方法:用0.5秒的时间来数1,0.25秒的时间来数2,依此类推,如果数n的时间为t秒,那么数n