本文依然称广义导数。
和正常高阶导数定义不同的是,高阶广义导数不是依赖于比它低一阶的广义导数递推定义,而是全部由原函数的代数式进行极限运算获得。例如本讲的二阶广义导数存在,当且仅当
存在且有限。
我们知道,如果一个定义在
函数
的二阶导数存在,并且恒等于0,那么
一定为线性函数。实际上,若函数
在
上连续,当
的广义二阶导数存在并且也恒等于0时,
也为线性函数,也即本文希望说明结论:
设
为
上的连续函数,如果对任意的
,均有
,证明
为线性函数。