极坐标方程:(一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上)r=a(1-e²)/(1-ecosθ)(e为椭圆的离心率=c/a)。

椭圆的方程

标准方程
1)焦点在X轴时,标准方程为:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
2)焦点在Y轴时,标准方程为:y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
极坐标方程
(一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上)
r=a(1-e²)/(1-ecosθ)(e为椭圆的离心率=c/a)
一般方程
Ax²+By²+Cx+Dy+E=0(A>0,B>0,且A≠B)。
参数方程
x=acosθ,y=bsinθ。

椭圆的极坐标方程推导

椭圆的常见问题以及解法

例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知:截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点
用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆。