解三角形

三角形有三个角和三条边共6个元素,已知这6个元素中的一部分,求其余元素的过程就称为解三角形。

相关拓展

三角形内角和定理
\(A+B+C=\pi\),\(\cfrac{A+B}{2}=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2}\)
三角形中的三角函数关系
\(sin(A+B)=sin(\pi-C)=sinC\),
\(cos(A+B)=cos(\pi-C)=-cosC\),
\(sin\cfrac{A+B}{2}=sin(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=cos\cfrac{C}{2}\),
\(cos\cfrac{A+B}{2}=cos(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=sin\cfrac{C}{2}\),
三角形中的射影定理
\(a=b\cdot cosC+c\cdot cosB\),\(b=a\cdot cosC+c\cdot cosA\),\(c=b\cdot cosA+a\cdot cosB\),
使用场景举例,如\(\cfrac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\cfrac{\sin A\sin B}{a\cos B+b\cos A}\),
即\(\cfrac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\cfrac{\sin A\sin B}{c}\),即\(a^2+b^2-c^2=ab\);

正弦定理

1、定理的内容
文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等;
符号语言:$$\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}$$
2、变形使用形式
边的形式:\(a=2RsinA\),\(b=2RsinB\),\(c=2Rsinc\),
角的形式:\(sinA=\cfrac{a}{2R}\),\(sinB=\cfrac{b}{2R}\),\(sinC=\cfrac{c}{2R}\),
比例形式:\(asinB=bsinA\),\(asinC=csinA\),\(bsinC=csinB\),
连比形式:\(a:b:c=sinA:sinB:sinC\);
\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=\cfrac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}=2R\)
使用场景举例,如\(\cfrac{\sin A}{\sin B+\sin C}+\cfrac{b}{a+c}=1\),
即\(\cfrac{a}{b+c}+\cfrac{b}{a+c}=1\),整理得到,\(a^2+b^2-c^2=ab\);
其他相关公式:
普通三角形的内切圆的半径\(r=\cfrac{2S}{a+b+c}(用割补法证明)\),
直角三角形的内切圆的半径\(r=\cfrac{1}{2}(a+b-c)(c为斜边)\)。
\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\times a\times h_{a}=\cfrac{1}{2}\times r\times (a+b+c)\)
\(=\cfrac{1}{2}absinC=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}casinB=\cfrac{abc}{4R}\)
3、作用:从\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\)分析;
①已知两角及任一边,求其余两边和另一角;
② 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求得其余的边和角。
在\(\Delta ABC\)中,已知\(a,b,A\),三角形的解的个数这种情形比较复杂,见下表

余弦定理

1、定理的内容
文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
符号语言:
\[a^2=b^2+c^2-2bccosA \]
\[b^2=c^2+a^2-2cacosB \]
\[c^2=a^2+b^2-2abcosC \]
当\(A=\cfrac{\pi}{2}\)时,余弦定理变形为\(a^2=b^2+c^2\),即勾股定理,故我们说勾股定理时余弦定理的特殊情形。
角的形式:
\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\);\(cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\);\(cosC=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\);
2、变形使用形式
\(b^2+c^2-a^2=2bccosA\);\(a^2-b^2-c^2=-2bccosA\);
\(sin^2C+sin^2A-sin^2B=2\sin A\cdot\sin C\cdot\cos B\);
\(cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cfrac{sin^2C+sin^2A-sin^2B}{2sinAsinC}\);
3、作用
①已知两边及夹角,求第三边,进而求其余两角。
②已知三边,求三个内角。
在使用余弦定理时,我们的思维大多习惯于已知两边及其夹角,求第三边,如图一所示,已知边\(a、c\)和角\(B\),求第三边\(b\),此时相当于求函数值一样的简单和容易。有时候当已知两边及一边的对角求第三边时,我们往往就会忘记用余弦定理而转用正弦定理,这样就费事了,其实此时还可以用余弦定理直接求第三边。如图二所示,已知边\(a、b\)和角\(B\),求第三边\(c\),我们可以这样\(b^2=a^2+c^2-2accosB\),转求关于\(c\)的方程即可。
某观测站\(C\) 在城\(A\) 的南偏西\(20°\)的方向上,由城\(A\)出发的一条公路,走向是南偏东\(40°\),在\(C\)处测得公路上距\(C\)点\(31\)km的\(B\)处有一人正沿公路向城\(A\)走去,走了\(20\)km后到达\(D\)处,此时\(C\),\(D\)间的距离为\(21\)km,这人还要走多远才能到达城\(A\)?
【错解】如图所示,\(\angle CAD=60^{\circ}\),
在\(\triangle BCD\),由余弦定理, 得\(\cos B=\cfrac{BC^2+BD^2-CD^2}{2\cdot BC\cdot BD}\)\(=\cfrac{31^{2}+20^{2}-21^{2}}{2\times 31\times 20}=\cfrac{23}{31}\),
所以\(\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\cfrac{12\sqrt{3}}{31}\).
在\(\triangle ABC\)中, 由正弦定理得到\(AC=\cfrac{BC\cdot \sin B}{\sin\angle CAB}=24\) (km)
在\(\triangle ACD\),由余弦定理,
得\(CD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cos\angle CAD\),
即\(21^{2}=24^{2}+AD^{2}-24\cdot AD\),
所以\(AD=15\) (km) 或\(AD=9\) (km) ,
所以这人还要走\(15\)或\(9\) 才能到达城\(A\)。
[错因分析]
1.从生活经验来判断,这个结论显然有些荒谬,从图中看,点\(A\),\(D\),\(B\)三点共线,\(AD\)应该为直线段,故只应该有一个解;
2.从数的角度分析,在余弦定理中,线段的长度都带有平方,故求线段的长度时可能会有两个值,若出现一正一负根时,容易排除,但出现两个正根时,排除增根就不大容易了;
【正解】 设\(\angle ACD=\alpha\),\(\angle CDB=\beta\),
在\(\triangle CBD\)中,由余弦定理, 得\(\cos\beta=\cfrac{BD^2+CD^2-CB^2}{2BD\cdot CD}\)
\(=\cfrac{20^{2}+21^{2}-31^{2}}{2\times 20\times 21}=-\cfrac{1}{7}\),
所以\(\sin\beta=\cfrac{4\sqrt{3}}{7}\);
而\(\sin\alpha=\sin(\beta-60^{\circ})=\sin\beta\cos60^{\circ}-\cos\beta\sin 60^{\circ}\),
\(=\cfrac{4\sqrt{3}}{7} \times \cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2} \times \cfrac{1}{7}=\cfrac{5\sqrt{3}}{14}\),
在\(\triangle ACD\)中,由正弦定理,得\(\cfrac{CD}{\sin60^{\circ}}=\cfrac{AD}{\sin\alpha}\),
则\(AD=\cfrac{21\times\sin\alpha}{\sin60^{\circ}}=15\)(km)
所以这人还要走\(15\) kmオ能到达城\(A\).
[如何排除错误] 由\(\sin\beta=\cfrac{4\sqrt{3}}{7}\),得到\(\cos \alpha=\pm\cfrac{11}{14}\),
当\(\cos\alpha=\cfrac{11}{14}>\cfrac{1}{2}\)时,\(\alpha\in (0,\cfrac{\pi}{3})\),此时由余弦定理的边的形式
得到\(AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD=225\),故\(AD=15\);
当\(\cos\alpha=-\cfrac{11}{14}