从插值误差出发　,证明　了最优网格与函数　Hessian　矩阵的关系　,其主要理论如下　:　设　Ω是　R　n　的一个开区域　,对给定的一个函数　u　∈C　2　(Ω)　,定义　u　的H2矩阵为一个满足下列性质的对　称正定矩阵　,　|　ξ　T　(Δ2　u)　(　x)ξ|　≤c0ξ　T　H(　x)ξ,　　ξ　∈　R　n　,　x　∈　R　,　(2)　其中　c0　是某个正常数.　由H2矩阵的定义知其实际上是　u　的Hessian　矩阵(Δ2　u)　(　x)　的正定化矩阵.　利用　H2矩阵定义黎曼度量　Hp　=　(det　H)　-　1　2　p+　n　H　,　p　≥1.　(3)　记TN　是Rn中的单纯形网格剖分　,其中　N　是网格的单元数.　设TN　满足以下两个假设　:　①　存在两个正常数α　0　和α　1　使得对任意单元τ,　α　0ξ　T　H　τ　ξ　≤ξ　T　H(　x)ξ　≤α　1ξ　T　H　τ　ξ,　　ξ　∈　R　n　,　(4)　其中　H　τ　是H在τ上的积分平均.　②　存在两个正常数β　0　和β　1　使得　∑　i　d　2　τ,　i　|　τ|　2Πn　≤β　0　,　Πτ　∈　TN　;　　maxτ∈T　|　τ|　minτ∈T　|　τ|　≤β　1　,　(5)　其中|τ　|　是τ在新度量　Hp　下的体积　,而dτ,　i　是τ的第　i　条边在该新度量下的长度.　在上述关于单纯形网格的假设条件下　,有如下定理成立　[9]　.　定理　1　设u∈C　2　(Ω)　,网格　TN　满足假设条件　①　和②,　uI　是TN　下关于　u　的线性有限元插值函数　,则有　误差估计式　‖u　-　uI　‖　L　p　(Ω)　≤　CN　-　2Πn　‖　n　det　(　H)　‖　L　pn　2　p+　n　(Ω)　,　其中常数　C　=　C(　n　,　p　,　c0　,α　0　,α　1　,β　0　,β　1　)　.　该误差估计式对严格凸(或凹)　函数是最优的　,即反估计也成立.　在算法实现时　,如何从方程的数值解中获取　Hessian　矩阵(　(Δ2　u)　(　x)　)　是一个比较困难的问题.　特别是对　于线性元　,因为其二阶导数为零　,所以必须经过特殊的处理才能得到合理的　Hessian　逼近.　下面　,给出线性元　求Hessian　矩阵的常用方法.　首先　,从网格节点上的数值解出发　,利用某种数值梯度技术　,计算节点处的