1.本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段的起点位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量.数学中的向量指的是自由向量,根据需要可以进行平移. 2.共线向量条件和平面向量基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础. 3.向量的数量积是一个数,当两个向量的夹角是锐角或零角时,它们的数量积为正数;当两个向量的夹角为钝角或180°角时,它们的数量积为负数;当两个向量的夹角是90°时,它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0. 通过向量的数量积,可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,判断相应的两条直线是否垂直. 4.平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题,要注意“三部曲”;用向量解决物理问题,体现了数学建模的要求,要根据题意结合物理意义作出图形,转化为数学问题,再通过向量运算使问题解决. 5.学习本章要注意类比,如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比. 6.向量是数形结合的载体.在本章学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时,向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能,丰富了我们研究问题的范围和手段. 一、向量的线性运算 向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘,向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算,向量的加法满足交换律、结合律,数乘向量满足分配律,向量的线性运算也叫向量的初等运算,它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则,但在具体含义上是不同的. 不过由于它们在形式上相类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.向量的线性表示常常单独考查,也常常和解析几何结合考查. 二、向量的数量积运算 数量积的运算是本章的核心,由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等,因此它的应用也最为广泛.利用数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起,当然更为重要的还在于向量与解析几何知识的交汇. [答案] B [评析] 合理地对有关的向量施行线性运算,并在此基础上利用向量垂直的条件是本题解决成功的关键.在此过程中我们还看到基底在解决问题的过程中使我们有了方向感. 例4 已知向量a=(x,x-1),b=(1+mx,1),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求实数m的取值范围. [分析] 利用数量积的坐标形式得到函数y=f(x)的解析式,然后利用函数的单调性解决. [评析] 利用向量坐标的数量积运算来定义有关的函数的问题是现在以及今后高考中的大热门,这类题目往往以数量积的坐标运算作为背景,但考查的往往是函数的有关性质.因此这类题目不过是披着向量的外衣.掌握相关函数的性质才是关键,如本题考查的是一次函数、二次函数的单调性问题. 三、向量的应用 向量的应用是多方面的,但由于我们所学的知识范围较窄,因此我们目前的应用主要限于平面几何、平面解析几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面,当然还有在物理方面的应用. 第二章 平面向量 * * 第二章 平面向量