作业布置 正弦函数、余弦函数周期性 人教A A 版 必修四 1 1 1 .诱导公式( ( 一) ) : Z k k \uf0ce \uf03d \uf02b sin ) 2 sin( \uf061 \uf070 \uf061Z k k \uf0ce \uf03d \uf02b cos ) 2 cos( \uf061 \uf070 \uf061 1 y \uf070 \uf070 2 \uf070 \uf070 4\uf070 \uf070 2 \uf02d \uf02d 0\uf070 \uf070 6y=sinx 2 2 .正弦函数的图象 x 函数值 自变量 一般函数 f(x) 若满足: 自变量 由定义域内任意 x 增加到 x + T ( T 为非零常数) ) 函数值 相等 , 由任意值 x 增加到 \uf070 2 \uf02b x相等, x x sin ) 2 sin( \uf03d \uf02b \uf070 即: 即:f ( x+T ) = f ( x ) 2 对于函数 f(x) , 如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) , 那么函数f(x) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 1 、周期函数的定义 思考1 1 : 观察等式 是否成立?如果成立,能不能说 是 y = sinx 的周期? sin( ) sin2 4 4\uf070\uf02b \uf03d\uf070 \uf0702\uf0701 1 .等式 f(x+T)=f(x) 对定义域中每个 x 值都成立. 说明 2 对于函数 f(x) , 如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) , 那么函数f(x) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 1 、周期函数的定义 说明 2sinxy \uf03d思考2 2 : 对于 来说,以下说法是否正确? 2sin ) 22sin(x x\uf03d \uf02b \uf070 \uf051 \uf070 2 \uf03d \uf05cT2 2 .周期 T 是自变量 x 的增加值. 2sin ) 4 (21sin ) 22sin(xxx\uf03d \uf02b \uf03d \uf02b \uf070 \uf070提示: 2 对于函数 f(x) , 如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) , 那么函数f(x) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 1 、周期函数的定义 思考 3: 若函数f(x) 是定义在R R 上的周期函数,其周期为T ,试问2T 是它的周期吗? 3T 呢? …… 所以 2T 是函数f(x) 的周期. f(x+2T) = f(x) 是否成立 ? f(x+3T) = f(x) 是否成立 ? 所以3T 是函数f(x) 的周期. 分析:因为函数f(x) 是周期函数,且T 为周期. 所以对定义域中的 每一个x , 都有f(x)=f(x+T) . 用x+T 替换上式中的x ,得f(x+T)= f(x+2T) . 所以 f(x)=f(x+T) = f(x+2T) = f(x+3T) . 2 对于函数 f(x) , 如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) , 那么函数f(x) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 1 、周期函数的定义 说明 3 3 .周期函数的周期不唯一,若T T 是定义在R R 上的周期函数f(x) 的一个周期, , 则kT ( (k ∈Z 且k ≠ 0) 都是f(x) 的周期. 1 1 .等式 f(x+T)=f(x) 对 定义域中每个 x 值都成立. 2 2 .周期 T 是自变量 x 的增加值. 2 2 、最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做函数 f(x) 的最小正周期. 2 2 .书中提到的周期,若无特别说明,是指最小正周期. 1 1 .周期函数不一定有最小正周期. 说明 思考4 4 : 函数 f(x)=a ( a 是常数)是周期函数吗? ? 它的最小正周期是 多少? 2 3 3 、正弦函数的周期性 y x 0 2 \uf0704 \uf070-2 \uf070) ( sin ) 2 sin( Z k R x x k x \uf0ce \uf0ce \uf03d \uf02b \uf070说明 正弦函数是周期函数, 都是它的周期. ) 0 ( 2 \uf0b9 \uf0ce k Z k k 且 \uf070\uf070 2 其最小正周期是 . 2 4 4 、余弦函数的周期性 ) ( cos ) 2 cos( Z k R x x k x \uf0ce \uf0ce \uf03d \uf02b \uf070说明 余弦函数是周期函数, 都是它的周期. ) 0 ( 2 \uf0b9 \uf0ce k Z k k 且 \uf070\uf070 2 其最小正周期是 . 0 2 \uf0704 \uf070-2 \uf070y x 3 R) ( 2 sin ) ( ) 2 ( \uf0ce \uf03d x x x fR) ( cos 3 ) ( 1) ( \uf0ce \uf03d x x x fR) ( )6 21sin( 2 ) ( ) 3 ( \uf0ce \uf02d \uf03d x x x f\uf070例1 1 .求下列函数的周期. 3 R) ( cos 3 ) ( 1) ( \uf0ce \uf03d x x x f解:设函数的周期为T . ) cos( 3 ) ( T x T x f \uf02b \uf03d \uf02b \uf051 cos 3 ) ( x x f \uf03d) ( ) ( x f T x f \uf03d \uf02b\uf070 2 \uf03d \uf05cTx T x cos 3 ) cos( 3 \uf03d \uf02b即 : 例1 1 .求下列函数的周期. 3 R) ( 2 sin ) ( ) 2 ( \uf0ce \uf03d x x x f ) ( 2 sin ) ( T x T x f \uf02b \uf03d \uf02b \uf051 ) 2 2 sin( T x\uf02b \uf03d) ( ) ( x f T x f \uf03d \uf02b\uf070 2 2 \uf03d \uf05c T \uf070 \uf03d \uf05cTx x f 2 sin ) ( \uf03d解:设函数的周期为T . x T x 2 sin ) 2 2 sin( \uf03d \uf02b 即: 例1 1 .求下列函数的周期. 3 R) ( )6 21sin( 2 ) ( ) 3 ( \uf0ce \uf02d \uf03d x x x f\uf070例1 1 .求下列函数的周期. 3 例2 2 .求下列函数的周期. 第一组: ; , 2 cos 3 ) ( ) 1 ( R x x x f \uf0ce \uf03d. , )32 sin( ) ( ) 1 ( R x x x f \uf0ce \uf02b \uf03d\uf070. , )6 41sin( 2 ) ( ) 2 ( R x x x f \uf0ce \uf02b \uf03d\uf070; , )4 41cos( 2 ) ( ) 2 ( R x x x f \uf0ce \uf02d \uf03d\uf070第二组: 4 1 1 .下列函数中周期为 的是( ) ) 2\uf0702sinxy \uf03dA. x y 2 sin \uf03dB. 4cosxy \uf03dC. x y 4 cos \uf03dD. D 4 ; R ), 2 sin( 3 ) 1 ( \uf0ce \uf02d \uf03d x x y; R ),3 2sin( (2) \uf0ce \uf02b \uf03d x x y\uf070 \uf070; R ), 131cos( 2 ) 3 ( \uf0ce \uf02d \uf02d \uf03d x x y2 2 .求下列函数的周期. . R ),3sin( 4 ) 4 ( \uf0ce \uf02d \uf02d \uf03d x x y\uf070 4 ) 0 ( R ),3sin( 2 \uf03e \uf0ce \uf02b \uf03d \uf077\uf070\uf077 x x y 3. 函数 的最小正周期是 ,求 的值. \uf077 \uf070 4 5 1 1 .对于函数 f(x) , 如果存在一个非零常数T ,使得对定义 域中每一个值x ,都有f(x+T)=f(x) , 那么函数 f(x) 就叫做周 期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 2 2 .正弦函数和余弦函数都是周期函数, 都 是它们的周期。最小正周期是 . \uf070 2) 0 ( 2 \uf0b9 \uf0ce k Z k k 且 \uf0703 3 .函数 及函数 (其中 为常数, , 且 ) ) 的周期是 . R x x A y \uf0ce \uf02b \uf03d , ) sin( \uf06a \uf077 ) cos( \uf06a \uf077 \uf02b \uf03d x A yR x\uf0ce ,\uf06a \uf077 , , A 0 , 0 \uf0b9 \uf0b9 \uf077 A\uf077\uf070 2\uf03d T 6 P 46 习题 1.4 A 组 第3 3 、 10 题 2. f(x) 是 定义在 R R 上的周期为 的偶函数,当 时, f(x)=sinx . 试求 的值. x x f sin ) ( \uf03d 1. 函数 的最小正周期为( ). A. 2\uf070B. \uf070 D. 4\uf070C. \uf070 2\uf070)35(\uf070f\uf0fa\uf0fb\uf0f9\uf0ea\uf0eb\uf0e9\uf0ce2, 0\uf070x