题目
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C(0,2√3),⊙P经过点A、B、C三点.(1)求二次函数的表达式;(2)求圆心P的坐标;(3)二次函数在第一象限内的图象上是否存在点Q,使得以P、Q、A、B四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标并证明所说的四边形是平行四边形;若不存在,请说明理由.初中数学
二次函数综合题
解析
(1)由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(6,0)和点B(2,0),首先设二次函数的表达式为:y=a(x-6)(x-2),然后将点C(0,2√3)代入,即可求得二次函数的表达式;(2)首先过点P作PD⊥x轴于点D,由垂径定理即可求得点P的横坐标,然后设点P的坐标为(4,y),由PB=PC,可得方程42+(y-2√3)2=22+y2,解此方程即可求得答案;(3)首先过点P作PQ∥x轴,交二次函数在第一象限内的图象上点Q,即可求得点Q的坐标,证得PQ=AB,可得四边形ABPQ是平行四边形,又由PB=AB=4,证得四边形ABPQ是菱形.
解答
解:(1)设二次函数的表达式为:y=a(x-6)(x-2),∵二次函数与y轴交于点C(0,2√3),∴12a=2√3,解得:a=√36,
∴y=√36(x-6)(x-2)=√36x2-4√33x+2√3;(2)如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,∴AD=BD,∵点A(6,0)和点B(2,0),∴AB=6-2=4,∴BD=AD=2,∴OD=OB+BD=4,设点P的坐标为(4,y),∵⊙P经过点A、B、C三点,C(0,2√3),∴PC=PB,∴42+(y-2√3)2=22+y2,解得:y=2√3,∴点P的坐标为:(4,2√3);
(3)存在.如图2,过点P作PQ∥x轴,交二次函数在第一象限内的图象上点Q,则此时Q的纵坐标为2√3,∴√36x2-4√33x+2√3=2√3,解得:x=8,∴点Q的坐标为:(8,2√3),且PQ=AB=4,∴四边形ABPQ是平行四边形,∵PB=AB=4,∴四边形ABPQ是菱形.