冯诺伊曼的主要著作收集在《冯诺伊曼全集》(6 卷,1961)中。 无论在纯粹数学还是在应用数学研究方面,冯诺依曼都显示了卓越的才能,取 得了众多影响深远的重大成果。不断变换研究主题,常常在几种学科交叉渗透中获得 成就是他的特色。 [编辑本段]集合论,数学基础 冯诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的,是关于车比雪夫多项式求根法的菲 叶定理推广,注明的日期是 1922 年,那时冯诺依曼还不满 18 岁。另一篇文章讨论 一致稠密数列,用匈牙利文写就,题目的选取和证明手法的简洁显露出冯诺依曼在 代数技巧和集合论直观结合的特征。 1923 年当冯诺依曼还是苏黎世的大学生时,发表了超限序数的论文。文章第一 句话就直率地声称“本文的目的是将康托的序数概念具体化、精确。他的关于序数的 定义,现在已被普遍采用。 强烈企求探讨公理化是冯诺依曼的愿望,大约从 l925 l929年,他的大多数 文章都尝试着贯彻这种公理化精神,以至在理论物理研究中也如此。当时,他对集合 论的表述处理,尤感不够形式化,在他 1925 年关于集合论公理系统的博士论文中, 开始就说“本文的目的,是要给集合论以逻辑上无可非议的公理化论述”。 有趣的是,冯诺依曼在论文中预感到任何一种形式的公理系统所具有的局限性, 模糊地使人联想到后来由哥德尔证明的不完全性定理。对此文章,著名逻辑学家、公 理集合论奠基人之一的弗兰克尔教授曾作过如下评价:“我不能坚持说我已把(文章的) 一切理解了,但可以确有把握地说这是一件杰出的工作,并且透过他可以看到一位巨 1928年冯诺依曼发表了论文《集合论的公理化》,是对上述集合论的公理化处理。 该系统十分简洁,它用第一型对象和第二型对象相应表示朴素集合论中的集合和集合 的性质,用了一页多一点的纸就写好了系统的公理,它已足够建立朴素集合论的所有 内容,并借此确立整个现代数学。 冯诺依曼的系统给出了集合论的也许是第一个基础,所用的有限条公理,具有 像初等几何那样简单的逻辑结构。冯诺依曼从公理出发,巧妙地使用代数方法导出 集合论中许多重要概念的能力简直叫人惊叹不已,所有这些也为他未来把兴趣落脚在 计算机和“机械化”证明方面准备了条件。 20 年代后期,冯诺依曼参与了希尔伯特的元数学计划,发表过几篇证明部分算 术公理无矛盾性的论文。