定理取决于,或者说等价于实数的完整性。 介值定理不适用于有理数Q,因为有理数之间存在无理数。 例如,函数满足。 然而,不存在有理数x使得,因为是一个无理数。该定理可以根据实数的完整性来证明:我们将证明第一种情况,,第二种情况类似。让S是[a,b]中的所有x的集合,让。S是非空的因为a是S的元素,并且b是S的边界。 因此,通过完整性,存在上限。 也就是说,c是大于或等于S的每个元素的最小数。我们称。存在。 由于f是连续的,当时,存在,使得。 这意味着对于所有的,存在属于S的,使得选择,这显然不会包含在S中,所以我们有两种不等式对于所有的都是成立的,如我们所说,我们推导出是唯一可能的值。