实验五 用扭摆法测定物体的转动惯量 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度, 是表征刚体特性的一个物理量。 刚体转动惯量除了与物体质量有关外, 还与转轴的位置和质量分布(即形状、 大小和密度分布) 有关。 如果刚体形状简单, 且质量分布均匀, 可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。 对于形状复杂, 质量分布不均匀的刚体, 计算将极为复杂, 通常采用实验方法来测定, 例如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等。 转动惯量的测量, 一般都是使刚体以一定形式运动, 通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系, 进行转换测量。 本实验使物体作扭转摆动, 由摆动周期及其他参数的测定计算出物体的转动惯量。 [实验目的] 1、 用扭摆测定弹簧的扭转常数和几种不同形状的物体的转动惯量, 并与理论值进行比较。 2、 验证转动惯量平行轴定理。 [实验原理] 扭摆的构造如图 5-1 所示, 在垂直轴 1 上装有一根薄片状的螺旋弹簧 2, 用以产生恢复力矩。 在轴的上方可以装上各种待测物体。 垂直轴与支座间装有轴承, 以降低摩擦力矩。 使物体在水平面内转过一角度θ 后, 在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。 根据虎克定律, 弹簧受扭转而产生的恢复力矩 M 与所转过的角度θ 成正比, 即 M= θK− (5 -1 ) 式中 K 为弹簧的扭转常数, 根据转动定律 β IM = 式中, Ι 为物体绕转轴的转动惯量, β 为角加速度, 由上式得 IM=β (5 -2 ) 令IK=2ω, 忽略轴承的摩擦阻力矩, 由(5 -1 )、(5 -2 ) 得 θω−θθ2β22=−==IKdtd (5 -3 ) 即 02θ22θ=+ωdtd (5 -4 ) 2 1 -垂直轴 图 5-1 扭摆构造图 2- 螺旋弹簧1 上述方程表明, 扭摆的运动是简谐振动, 此方程的解为: )cos(ϕωθ+=tA (5 -5 ) 式中, A 为谐振动的角振幅, ϕ 为初相位, ω 为角速度, 此谐振动的周期为 KITπ2ωπ2== (5 -6 ) 由上式可知, 若在实验中测得物体的摆动周期, 在 I 和 K 任何一个量已知时即可计算出另一个量。 本实验采用一个几何形状规则的物体, 在测得它的质量和几何尺寸的情况下, 根据理论公式计算出它的转动惯量, 再代入公式(5 -6 ) 算出本仪器弹簧的 K 值。 若要测定其它形状物体的转动惯量, 只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上, 测定其摆动周期,由公式(5 -6 ) 即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。 理论分析证明, 若质量为 m 的物体绕通过质心轴的转动惯量为0I , 当转轴平行移动距离 x 时, 此物体对新转轴的转动惯量为20mxI +, 这个结论称为转动惯量的平行轴定理。 [实验仪器] 扭摆、 转动惯量测试仪、 待测的物体(如空心金属圆柱体、 实心塑料圆柱体、 细金属杆、塑料球体等)。 [实验内容] 1、 熟悉扭摆的构造、 使用方法以及转动惯量测试仪的使用方法。 调整扭摆基座底脚螺丝, 使水平仪的气泡位于中心。 装上金属载物盘, 并调整光电探头的位置使载物盘上的挡光杆处于其缺口中央且能遮住发射、 接收红外线的小孔。 2、 测定扭摆的仪器常数(弹簧的扭转常数) K。 用电子称称出塑料圆柱体的质量1m , 用游标卡尺测量其直径1D , 用公式 211181DmI = (5 -7 ) 计算出它的转动惯量。 在转轴上装上对此轴的转动惯量为0I 的金属载物圆盘。 测量 10 个摆动周期所需的时间010T 。 再在载物圆盘上放置塑料圆柱体, 该系统的总转动惯量为01II +, 测量其110T 所需的时间。 ∵ KIT002π= KIIT0112+= π (5 -8 ) ∴ 01010IIITT+= (5 -9 ) ∴ 12021200ITTTI−= (5 -1 0 ) 将上式代入公式20024πTIK=中立即得到 2021124TTIK−= π (5 -1 1 ) 将上述计算出的1I 和测得的0 T 、1T 代入上式可以计算出 K 值。 3、 测量空心金属圆柱体、 细金属杆、 塑料球体的转动惯量。 并与理论值比较求百分误差。 (1) 用电子称称出空心金属圆柱体、 细金属杆、 塑料球体的质量, 用游标卡尺测量它们的几何量, 用公式 I 筒)(812221DDm+=; I 杆2121mL=; I 球2101mD= 计算出它们的转动惯量作为理论值。 (2) 测出空心金属圆柱体和载物圆盘共同的摆动周期2 T′ , 利用公式 2222′4πTKI′= 计算空心金属圆柱体和载物圆盘共同的转动惯量2I′ , 再利用公式 02′2III−= (5 -1 2 ) 计算空心金属圆柱体转动惯量的实验值。 (3) 分别测出细金属杆、 塑料球体的摆动周期T , 利用公式 224πTKI = (5 -1 3 ) 计算细金属杆、 塑料球体转动惯量的实验值。 4、 改变滑块在金属细长杆上的位置, 验证转动惯量平行轴定理。 将滑块对称地放在细杆两边的凹槽内, 此时滑块质心离轴的距离分别为 5. 00、 10. 00、15. 00、 20. 00、 25. 00 厘米, 测定摆动周期 T。 验证转动惯量平行轴定理。 [注意事项] 1、 为了降低实验时由于摆动角度变化带来的系统误差, 在测定各种物体的摆动周期时, 摆动角度应在°−°4090之间, 且每次的值基本相同。 2、 光电探头宜放置在挡光杆平衡位置处, 挡光杆不能和它接触, 以免增大摩擦力矩。 3、 机座应保持水平状态。 4、 在安装待测物体时, 其支架必须全部套入扭摆主轴, 并将止动螺丝旋紧, 否则扭摆不能正常工作。 5、 在称量金属细杆的质量时, 必须将支架取下, 否则会带来极大误差。 [数据处理] 1、 测定扭摆的仪器常数(弹簧的扭转常数) K 物 理 量 1 2 3 平均值 塑料圆柱体的质量(kg) 塑料圆柱体的直径(m) 0 T (s) 1T (s) 塑料圆柱体的转动惯量(理论值) K 值(N· m) 2、 测量空心金属圆柱体、 细金属杆、 塑料球体的转动惯量。 并与理论值比较求百分误差。 转动惯量测定实验数据记录参考表 物体 名称 质量 (kg) 几何尺寸 (1 0-2m) 周期 (s) 转动惯量理论值 (1 0-4kg· m2) 转动惯量实验值 (1 0-4kg· m2) 百分 误差 载物盘 T0 =π=22004TKI 0 T 金属圆筒 D外 T2 )(81222′内外DDmI+== =−π=022224IKTI 外D D内 内D 2 T *木球 D T3 23′101DmI == =′0−π=22334ITKI D 3 T 金属细杆 L T4 24′121mLI == =′ ′0I−π=22444TKI L 4 T 已知: 球支座转动惯量的实验值240·　101790mkg.I'−×= 次 数 细杆夹具转动惯量的实验值24220′ ′m　·kg10232. 04π0　′ ′I−×==TK *3、 验证转动惯量平行轴定理。 X(m210−) 5. 00 10. 00 15. 00 20. 00 25. 00 摆动周期)(sT )(sT 实验值)(2mkg ⋅ 　　0220' 'I4TKI−π= 理论值)(2mkg ⋅ sImxII′++′4=′22 百分误差 已知: 两滑块绕质心轴的转动惯量理论值为: 1[ 2+=′DmIs外 2422210809. 0]121)(16−×=+mlD内 kg· m2 [思考题] 1、 在实验中, 为什么在测量球和细杆的质量时必须将安装夹具取下? 为什么它们的转动惯量在计算中又未考虑? 2、 数字计时仪的仪器误差为 0.01s, 实验中为什么要测量 10T? 2、 如何用本装置来测定任意形状物体绕特定轴的转动惯量? [附录] 转动惯量测试仪的构造及使用方法: 1 、 转动惯量测试仪的构造 转动惯量测试仪由主机和光电传感器两部分组成。 主机采用新型的单片机作控制系统, 用于测量物体转动和摆动的周期, 以及旋转体的转速, 能自动记录、 存储多组实验数据并能精确地计算多组实验数据的平均值。 光电传感器主要由红外发射管和红外接收管组成, 将光信号转换为脉冲信号, 送入主机工作。 因人眼无法直接观察仪器工作是否正常, 但可用遮光物体往返遮挡光电探头发射的光束通路, 从而达到测定预定周期数的目的。 为防止过强光线对光探头的影响, 光电探头不能安放在强光下, 实验时应采用窗帘遮光, 确保计时的准确。 2 、 转动惯量测试仪的使用方法 (1) 调节光电传感器在固定支架上的高度, 使被测物体上的挡光杆能自由地往返通过光电门, 再将光电传感器的信号传输线插入主机输入端(位于测试仪背面)。 (2) 开启主机电源, 指示灯亮, 参量指示为 P1、 数据显示为“――――――”。 (3) 本机默认扭摆的周期数为 10, 如需更改, 可参照仪器说明重新设定。 更改后的周期数不具有记忆功能, 一旦切断电源或按“复位” 键, 便恢复原来的默认周期数。 (4) 按“执行” 键, 数据显示为“000. 0”, 表示仪器已经在等待测量状态, 此时, 当被测的往复摆动物体上的挡光杆第一次通过光电门时, 由“数据” 显示给出累计的时间, 同时仪器自行计算周期1C 予以存储, 以供查询和作多次测量求平均值, 至此, P1(第一次测量) 测量完毕。 (5) 按“执行” 键, “P1” 变为“P2”, 数据显示又回到“000. 0”, 仪器处在第二次待测状态, 本机设定重复测量的最多次数为 5 次, 即(P1, P2, …P5)。 通过“查询” 键可知各次测量的周期值i C ( i =1, 2, 3, …5) 以及它们的平均值AC 。