因式分解法解一元二次方程步骤
我们知道,一元二次方程都可以用公式法来解。对于某些系数较为特殊的方程,例如χ2= 4 ,用直接开方法就比较简便。现在我们再来学习一种简便的方法------因式分解法。
例如,对于方程
χ2= 4
除了直接用直接开方法来解以外,也可用下面的方法来解。
移项,得
χ2- 4 = 0 。
这个方程的右边是0,左边可以分解成两个一次因式的积,就是
χ2- 4 = (χ - 2)(χ + 2) 。
因此,这个方程可变形为
(χ - 2)(χ + 2) = 0 。
我们知道,如果两个因式的积等于零,那么这两个因式至少要有一个等于零;反过来,如果两个因式有一个等于零,它们的积也就等于零。例如:要使(χ - 2)(χ + 2) 等于零,必须并且只需
χ - 2 等于零或χ + 2 等于零。因此,解方程
(χ - 2)(χ + 2) = 0
就相当于解方程χ - 2 = 0 或χ + 2 = 0 了。进一步解这两个一次方 程,得到χ = 2 或χ = -2。
所以,原方程χ2= 4 的两个根为
χ1= 2 、 χ2= -2
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。在一元二次方程的一边是零而另一边易于分解成两个一次因式时,就可以用因式分解法来解。
例题1 :
解方程:(1) χ2-3χ -10 = 0 ; (2) (χ + 3)(χ -1) = 5。
解(1) 把方程的左边分解因式,得
(χ - 5)(χ + 2) = 0
χ - 5 = 0 或χ + 2 = 0
∴ χ1= 5、 χ2= -2 。
(2) 原方程可变形为
χ2 + 2χ - 3 = 5,
即
χ2+ 2χ -8 = 0 。
把方程的左边分解因式,得
(χ - 2)(χ + 4) = 0
χ - 2 = 0 或χ + 4 = 0
∴ χ1= 2 、χ2= -4 。
例题2 解方程: (1) 3χ(χ + 2) = 5(χ + 2) ;
(2) (3χ +1)2- 4 = 0。
(1) 原方程就是
3χ(χ + 2) - 5(χ + 2) = 0 。
把方程的左边分解因式,得
(χ + 2)(3χ - 5) = 0
χ + 2 = 0 或3χ -5 = 0
(2) 把方程的左边分解因式,得
[(3χ +1) + 2][(3χ +1) - 2] = 0 ,
即
(3χ + 3)(3χ -1) = 0。
χ +1 = 0或3χ -1 = 0
更新:20210415 180645