因式分解的常用方法 第一部分: 方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一, 它被广泛地应用于初等数学之中, 是我们解决许多数学问题的有力工具. 因式分解方法灵活, 技巧性强, 学习这些方法与技巧, 不仅是掌握因式分解内容所必需的, 而且对于培养学生的解题技能, 发展学生的思维能力, 都有着十分独特的作用. 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、 运用公式法、 分组分解法和十字相乘法. 本讲及下一讲在中学数学教材基础上, 对因式分解的方法、 技巧和应用作进一步的介绍. 一、 提公因式法.: ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、 运用公式法. 在整式的乘、 除中, 我们学过若干个乘法公式, 现将其反向使用, 即为因式分解中常用的公式, 例如: (1) (a+b) (a-b) = a2-b2 ---------a2±2ab+b2-ab+b2+ab+b2-b2±2ab+b3+b3-b2=(a+b) (a-b) ; 2=(a±b)3=(a+b) (a3=(a-b) (a (2) (a±b)2 = a2 ——— a3+b2) = a2; 2) ; 2) . (3) (a+b) (a2) =a3------ a3-b2-ab+b2+ab+b (4) (a-b) (a3 ------a下面再补充两个常用的公式: 2+b3+b (5) a2+c3+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)3-3abc=(a+b+c) (a2; 2-ab-bc-ca) ; (6) a2+b2+c例.已知ab c,,是 ABCΔ的三边, 且222abcabbcca++=++, 则 ABCΔ的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:222222222222abcabbccaabcabbcca++=++\uf0de++=++ 222()()()0abbccaabc\uf0de−+−+−=\uf0de== 三、 分组分解法. (一) 分组后能直接提公因式 例 1、 分解因式:分析: 从“整体” 看, 这个多项式的各项既没有公因式可提, 也不能运用公式分解, 但从“局部” 看, 这个多项式前两项都含有 a, 后两项都含有b, 因此可以考虑将前两项分为一组, 后两项分为一组先分解, 然后再考bnbmanam+++ 虑两组之间的联系。 解: 原式= =)(()+(abn)nbmmannam(m++++ )b+ 每组之间还有公因式! =))((banm++ 例 2、 分解因式:解法一: 第一、 二项为一组; 解法二: 第一、 四项为一组; 第三、 四项为一组。 第二、 三项为一组。 解: 原式=)5 ()102 (bxbyayax−+− 原式= =)5()5(2yxbyxa−−− =)2)(5(bayx−− = bcacaba−+− (二) 分组后能直接运用公式 例 3、 分解因式:ayaxyx++− bxbyayax−+−5102 )5102 (y5y()2 (x2 (byayabxb)(bax2 (a+b−+−x−−− )5)a− =)− 练习: 分解因式 1、2 2、1+−−yxxy 22分析: 若将第一、 三项分为一组, 第二、 四项分为一组, 虽然可以提公因式, 但提完后就能继续分解, 所以只能另外分组。 解: 原式=()(ayaxyx++− =())((ayxyx+−+))((ayxyx+−+ 2222cbaba−+−22)2(cbaba−+−22)(cba−− )((bacba+−−− yxx39−−− 3223yxyyxx−−+222−+−++aayxyx234−+−aaa (6)222yyzxzxyx++−− (8)(9)) 1)(1() 2(+−−−mmyy (10)222+++++)+22 )yx =例 4、 分解因式: 解: 原式= 2 = =)c 练习: 分解因式 3、y22 4、yzzyx2222−−− 综合练习: (1) (2)baaxbxbxax−+2−+−22 (3)181696 (4)abbaba429212262−++−2 (5)92ybxbyaxa244+−− (7)1)2b2)32+2+a+b−c+)(−aab−b+ba3aca 2(3(− (11)abcbaccabcba2)()()(+(12)abccba3−++ 四、 十字相乘法. (一) 二次项系数为 1 的二次三项式 x特点: (1) 二次项系数是 1; (2) 常数项是两个数的乘积; (3) 一次项系数是常数项的两因数的和。 思考: 十字相乘有什么基本规律? 直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqp++=+++进行分解。 例. 已知 0< a ≤5, 且a 为整数, 若223xxa++能用十字相乘法分解因式, 求符合条件的 a . 解析: 凡 是能 十字相 乘 的 二 次三项 式 ax2+bx+c, 都要求24bacΔ =− >0 而且是一个完全平方数。 于是9 8aΔ = −为完全平方数,a = 65++ xx 分析: 将 6 分成两个数相乘, 且这两个数的和要等于 5。 由于 6=2× 3=(-2)× (-3)=1× 6=(-1)× (-6), 从中可以发现只有 2× 3的分解适合, 即 2+3=5。 1 2 65++ xx=) 32 (++x) 3)(2(++xx1例 5、 分解因式:2解: =2322×+x 1 3 1× 2+1×3=5 用此方法进行分解的关键: 将常数项分解成两个因数的积, 且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 67+− xx )]6() 1[(−+−+xx) 6)(1(−−xx 1 -6 例 6、 分解因式:解: 原式=2) 6−)(1(2−+ 1 -1 =(-1) +(-6) = -7 练习 5、 分解因式(1) 24142++xx (2)36152+−aa (3)542−+ xx 练习 6、 分解因式(1) 22−+ xx (2)1522−− yy (3)24102−−xx (二) 二次项系数不为 1 的二次三项式——条件: (1)2aa = 1a 1c cc = 2 a 2 c cbxax++2 1a(2)21c(3)1221cacab+= 1221cacab+= 分解结果: cbxax++2=))((2211cxacxa++ 例 7、 分解因式:分析: 1 -2 3 -5 (-6) +(-5) = -11 113−xx101132+−xx 解:102+=) 53)(2(−−xx 练习 7、 分解因式: (1) 6752−+ xx (2)2732+− xx (3) (三) 二次项系数为 1 的齐次多项式 a分析: 将b 看成常数, 把原多项式看成关于a 的二次三项式, 利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 221288baba−−=8 [a+8(ba+ 2223yxyx+−(2) (四) 二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、672yxyx+− 例 10、 1 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解: 原式=)32)(2(yxyx−− 解: 原式=2715xyx−+ 317102+−xx (4)101162++−yy 例 8、 分解因式:221288bab−− 解: =)16(8)]16b(2bbab)b−×+−16+ )(a− 练习 8、 分解因式(1)2286nmnm+−(3)226baba−− 222322+− xyyx ) 2)(1(−−2xyxy2 练习 9、 分解因式: (1)24y (2)86+− axxa 综合练习 10、(1)17836−− xx (2)22151112yxyx−− (3)10)( 3)(2−+−2+2y2xyx2 (4)344)(2+−−+baba (5)625xyxy2x−− (6)2634422++2−2+−nmnmnm (7)34244−−−++yxyxyx(8)22)(10)(23)( 5bababa−−−2+2+ (9) 10364422−++−−yyxxyx(10)22)( 2)(11)(12yxyxyx−+−++ 思考: 分解因式: 五、 换元法。 例 13、 分解因式(1)abcxcbaabcx+++)(2222 2005) 1−2005(200522−−xx (2)2) 6)(3)(2)(1(xxxxx+++2++ 解: (1) 设 2005=a , 则原式= =axaax(ax2005(−−−)(1−) 1ax()(x2 )1x+ =)2005−+ (2)型如 原式=e2abcd +的多项式, 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 22) 65)(67xxxx+++++2=++2)2xAx++=2xAxA++2)xA +=) 66(++ xx 222xyyxyx−++22+++xxx2222) 5() 1(+++aa(x 设Axx=++65(2, 则xA2xx267+ ∴原式=A2 =(22练习 13、 分解因式(1))(4)(22yx+ (2)90) 384)(23(++x (3)22) 3( 4+−a 例 14、 分解因式(1)观察: 此多项式的特点——是关于 x的降幂排列, 每一项的次数依次少 1,并且系数成“轴对称”。 这种多项式属于“等距离多项式”。 方法: 提中间项的字母和它的次数, 保留系数, 然后再用换元法。 162 (x+1, 则+x262234+−−−xxxx 解: 原式=)1222xxxx+−−−=[( 2] 6)1()1222−+−+xxxxx 设txx=21222−=tx ∴原式=[] 6) 2−222−−ttx (=()10222−−ttx =()() 2522+−ttx=\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6++\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6−+215222xxxxx =\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6++\uf0f7\uf0f81\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6−+21··522·xxxxxx=()() 1+225222++−xxxx =) 2)(2 () 12(2−−+xxx (2)14434+++−xxxx 解: 原式=22241(41)x xxxx−+ ++=\uf0fa\uf0fb\uf0f9\uf0ea\uf0eb\uf0e9+\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6−−\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6+1141222xxxxx 设yxx=−1, 则21222+=+yx=x ∴原式=22(43)x yy−+2(11)(3)x yy−− =) 3)(11(2−−−−x−+xxx3xx=()() 1−3122−−−xxxx 练习 14、(1)67362x7x6x234+−+xx+x4 2(2))( 212xx+++ 六、 添项、 拆项、 配方法。 例 15、 分解因式(1)解法 1——拆项。 解法 2——添项。 原式=331+−+xx 原式==1( 3) 1)(1(+−+−+xxxx2+−+−+xxxx2+−+xxx =2) 2)(1(−+xx = 3−++xxx ) 1() 1(−+−xx363+−xxx363+−xxx2++−xxx 练习 15、 分解因式 (1)89+− xx (2)24+− xx (4)(5))(yxyx+++ (6)4323+− xx 234+44 (+4) 4−3−23+x+−x−xxxxxx ) 4) 1−)(2x =3(2 =) 331)(1( =) 1( 4) 4)(1(++−+xxxx =) 44)(1() 44)(1(2+−2) 2−+xxx =)(1(+xx (2)369解: 原式=) 1−3x3+(369+x =) 1−() 1)(1() 1+)(1(33++−+xx =) 1131)(1(++6+x =) 32)(1)(1(++xx 34224) 1−(2) 1−() 1+(++xxx (3)172412a2ax2cxxa−b+++2+b 244444422222cbaca−−−+ 七、 待定系数法。 例 16、 分解因式613622−++−+yx2yxy2x 分析: 原式的前 3 项6yyxyxx−2+)(可以分为)n )2)(3(yxyx−+, 则原多项式必定可分为3(myx+−+2+解: 设61362−2++−+yxyxyx=)2)(3(nyxmyx+−++ ∵)2)(3(nyxmyx+−++=mnymnxnmyxyx−−+++−+)23 ()(62 ∴x613622−++−+yxyxy=mnymnxnmyxyx−−+++−+)23 ()(622 对比左右两边相同项的系数可得\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec−==−=+613231mnmnnm, 解得\uf0ee\uf0ed\uf0ec=−=32nm ∴原式= 例 17、(1) 当 m 为何值时, 多项式解此多项式。 (2) 如果x (1) 分析: 前两项可以分解为) 32)(23(+−−+yxyx 6522−++−ymxyx能分解因式, 并分823+++bxax有两个因式为1+x和2+x, 求ba +的值。 ))((yyxy)x−++, 故此多项式分解的形式必为)((bxayx−++ 解: 设6522−++−ymxyx=))((byxayx2+−+2+ 则6522−++−ymxyx=abyabxbayx+−+++−)()( 比较对应的系数可得:\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec−==−=+65ababmba, 解得:\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec==−=132mba或\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec−=−==132mba ∴当1时, 原式=1−时, 原式=±1===mmm时, 原多项式可以分解; (+x(x当) 3−)(22++y−x−yyx)(y; ) 3当−+ (2) 分析:823+++bxaxx是一个三次式, 所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如cx +的一次二项式。 8+++bxaxx=)(1(xx++23+++bxaxx=cx3 (++解: 设23))(22cx+ 则8cxcx2)32 ()3+++ ∴\uf0ef\uf0eea +\uf0ef\uf0ed\uf0ec=+=+=82323ccbca 解得\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec===4147cba, ∴b=21 练习 17、(1) 分解因式2910322−++−−yxyxyx (2) 分解因式6752322+++++yxy2xyx2 (3) 已知:pyxyxyx+−+−−14632能分解成两个一次因式之积, 求常数 p 并且分解因式。 2−x因式的乘积, 并分解此多项式。 (4) k 为何值时,25322+−++yxkyxy能分解成两个一次 第二部分: 习题大全 经典一: 一、 填空题 1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式, 叫做把这个多项式分解因式。 2 分解因式: m3-4m= . 3. 分解因式: x2-4y2= __ _____. 4、 分解因式:244xx−−−=___________ ______。 5. 将 xn-yn分 解 因 式 的 结 果 为 (x2+y2) (x+y) (x-y) ,则 n 的 值为 . 6、 若5,6xyxy−==, 则22x yxy−=_________,2222xy+=__________。 二、 选择题 7、 多项式3222315520m nm nm n+−的公因式是( ) A、5mn B、225m n C、25m n D、25mn 8、 下列各式从左到右的变形中, 是因式分解的是( ) A、()()2339aaa+−=− B、()()22ababab−=+− C、()24545aaa a−− =−− D、23232mmm m\uf0e6\uf0e7\uf0e8m\uf0f6\uf0f7\uf0f8 −− =− −10. 下列多项式能分解因式的是( ) 2-y (B) x(A) x2+1 (C) x2+y+y2 (D) x2-4x+4 11. 把(x-y)2-(y-x) 分解因式为( ) A. (x-y)(x-y-1) B. (y-x)(x-y-1) C. (y-x)(y-x-1) D. (y-x)(y-x+1) 12. 下列各个分解因式中正确的是( ) 2c+6ac2-(b-a)A. 10ab2+2ac=2ac(5b2=(a-b)2+3c) 2(a-b+1) B. (a-b)C. x(b+c-a) -y(a-b-c) -a+b-c=(b+c-a)(x+y-1) 2=(a-2b)(11b-2a) D. (a-2b)(3a+b) -5(2b-a) 13. 若 k-12xy+9x2是一个完全平方式, 那么 k 应为( ) 2 D. 4yA. 2 B. 4 C. 2y2 三、 把下列各式分解因式: 14、nxny− 15、2294nm − 16、()()m mnn nm−+− 17、3222aa bab−+ 18、()222416xx+− 19、22)(16)( 9nmnm−−+; 五、 解答题 20、 如图, 在一块边长a=6. 67cm 的正方形纸片中, 挖去一个边长b=3. 33cm的正方形。 求纸片剩余部分的面积。 21 、 如图 , 某环保工程需要一种空心混凝土管道, 它 的规格是内 径45dcm=, 外径75Dcm=,长3lm=。 利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土? (π取 3. 14, 结果保留 2 位有效数字) 22、 观察下列等式的规律, 并根据这种规律写出第(5) 个等式。 ()()42(2) 1111xxxx− =++−(()()()(1)())()(1)()()()()284216842(1) 111(3) 11111(4) 1111(5) _____...