定理1. 1a , b 是非零复数且满足a ≠b , Q ( z )是非常数多项式或者O ( z )= h ( z )e娩,其中h ( z )为非零多项式, 则微分方程, ” + e。 。 , ’ + Q ( z)f = 0( 1. 1)的所有非零解具有无穷级且a 2( S )= 1.下面考虑高阶微分方程, ( ‘)+ A k 一1, 忙一1)+ …+ A 1, 7 + A o , = 0,( 1. 2)其中系数足整函数且具有A j( z )= h 3ea J2的形式, 许多文章在对九, 和n j的各种约制下研究了方程( 1. 2)解的增长级. 20 0 3年, 李纯红, 黄小军在文[ 10 】 中得到了:定理1. 2假设h j≠0 是级小于1的整函数( J= 1, …, k —1)( 后≥2), a j∈ c\{ o )0 =0 , …, k 一1), 且满足a j= cja o ( j= 1, …, k —1), 其中cj> o ( j= 1, …, k 一1), 且当k = 2时C k 一1> 1, 且当庇≥3时C k 一1> c= m a x l< j< k 一2{ cj}, A j= h jca J。 O = 0 , …, k 一1), 那么微分方程( 1. 1)的每个超越解, 有盯( , )= o 。 .陈宗煊, 孙光镐在文【7 】 中将定理1. 2的系数推广到更一般的情况, 得到:定理1. 3假设^j0 = 0 , …, k 一1)足级小于1的整函数, A j= h je叩, 其中a j( j=0 , …, k 一1)是复数. 若存在某一个a 。 , 其中h 。 ≠0 , 且对于J≠5, 若A j≠0 , 则a j= cja 。 , 0 < cj< l; 若A j三0 , 定义啷= 0 . 那么对于微分方程, ( 知)+ A ≈一l, 伪一1)+ …+ A 8 厂( 8 )+ …+ A o , = 0( 1. 3)的每个超越解, 有o ( S )= ∞. 更进一步, 若有m a ,x { c1, …, %一1< C O , )那么微分方程( 1. 3)的每个解, 有盯( , )= 。 o .在文【7 】 中作者假设了当定理1. 2中的系数^j为多项式时, 得到了微分方程( 1. 3)的解的超级的精确估计.定理1. 4 假设h j为多项式,s, A 3. a j, h , 满足定理1. 3的其它条件, 则微分方程( 1. 3)的所有超越解, 有a ( S )= O O 且a 2( S )= 1. 更进一步, 若有m a x { c1, …, %一1< cO , )那么微分方程( 1. 3)的每个解厂有a ( y )= ∞且盯2( , )= 1.以上定理都要求系数足整函数, 复数n f 与吼的幅角相等, e口J。 的系数的级小于1.我们自然想到, 在定理1. 3和1. 4 中, 以下各种情形中微分方程解的增长性如何, 当^f 足 亚纯函数的情形; 微分方程的系数是∑。 ∈ A J马n en 2的情形; 在条件a j= 勺口s, 0 < 勺< 1中, 若一1< 勺≤0 的情形, 作者通过以上思考, 放宽了对系数的限制, 得到了与定理1. 3和1. 4类似的结果.