能量与功率信号举例
首先先看阶跃信号与绝对指数信号,见图2
图2 左边为阶跃信号,右边为绝对值指数信号
阶跃信号u(t)
根据能量与功率公式,可以计算出
能量E无穷大,功率P为1/2,所以阶跃信号为功率信号。
“绝对”指数信号e^|2t|
根据能量与功率公式,可以计算出
能量E为1/2,功率P为0,所以绝对指数信号为能量信号。
复指数信号e^(-jwt)
根据能量与功率公式,可以计算出
功率P为1,能量E为无穷大,所以复指数信号为功率信号。
图3 复指数信号的三维图
现在我们来自己动手算一个信号f(t)=e^(-2t),它是什么信号呢?
图4 指数函数e^-2t功率信号与能量信号小结
对于无限长时间的周期信号,均为功率信号;
对于非周期信号,再分为三种情况,见图5所示
图5 能量信号与功率信号的常见形式,来源网络功率信号的频谱
功率信号,尤其是周期性的功率信号,它的频谱就是我们熟悉的傅里叶级数。
设一个周期性功率信号s(t)的周期为T0,则将其频谱(frequency spectrum)函数定义为下式积分变换。其中f0=1/T0,n为整数,C(nf0)表示C是nf0的函数,并简记为Cn。
图6 功率信号的频谱
当n=0时,C0表示频率为0的分量,即是直流分量。
上述的公式同样适用于非周期的功率信号。
对于周期性的功率信号来说,其频谱函数Cn是离散的,只在f0的整数倍上取值。由于n可以取负值,所以在负频率上Cn也有值。
通常Cn为双边谱。
图7 周期信号的频谱
双边谱中的负频谱仅在数学上有意义。在物理上,并不存在负频率。
但是我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数之间的关系:
C-n =Cn*
即负频谱和正频谱的模是偶对称的,相位是奇对称的。
对于非周期的功率信号,可将其周期看作是无穷大,然后再用图X中的公式去计算。
能量信号的频谱
能量信号的频谱,就是其傅里叶变换。
设一个能量信号为s(t),则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度(frequencuy spectrum density)
图8 能量信号的频谱密度
能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱Cn的主要区别:
S(f)是连续谱,Cn是离散谱
S(f)的单位是V/Hz,Cn的单位是V
能量信号的能量有限,并分布在连续频率轴上,所以每个频率段f上信号的幅度是无穷小;只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。
功率信号的功率有限,但能量无限,它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。
一般,讨论能量信号的问题时,频谱密度也会常常成为频谱。
频谱密度和频谱这两个概念,在一般的教材上,不做严格区分!
能量信号的能量谱
能量是守恒的,不会管你变换来、变换去。所以,不管是在时域还是频域,能量守恒。
这也是巴塞伐尔定理,见图X中E和ET的公式
能量信号s(t),其傅里叶变换为S(f)。
在频率轴上取一小块频率f,然后|S(f)|^2f就是这一块频率对应的能量。
那么在频率轴f上的积分,就是信号的能量E。见图9的上半部分。
图9 能量信号的能量谱密度
G(f)就是能量谱密度。
如果信号是能量信号,通过傅里叶变换,就很容易分离不同频域分量所对应的能量,频率f对应的能量为: df = |X(f)|²d(f),对f积分就能得到信号的总能量,由此, |X(f)|² 就定义为能量谱密度,也常简称为能量谱,意为能量在某一频率上的分布集度或,量纲是J/Hz 。功率信号的功率谱密度
由于功率信号具有无穷大的能量,所以按照能量E的公式,这个积分是不存在的。
但是我们可以把这个信号截断成小块。
例如,把信号s(t)截断成一个截短信号sT(t),-T/2<t<T/2。
这样sT(t)就是一个能量信号了,我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(f)|^2。
根据巴塞伐尔定理,我们可以定义功率谱密度(PSD,power spectrum density)
图10 功率信号得到功率谱密度
图10中P(f)就是定义的功率谱密度。
功率谱密度在频率轴上积分,T趋向无穷大,就是信号的功率。
有上述的内容可知,功率信号一般为周期信号,也是非周期的形式。
功率信号具有周期性
如果这个功率信号恰巧是周期信号。
生活中最常见。
可以将T选作等于信号的周期T0,并且用傅里叶级数代替傅里叶变换,求出信号的频谱
图11 巴塞伐尔定理
Cn为此周期信号的傅里叶级数的系数。若f0是此信号的基波频率,则Cn是此信号的第n此谐波的振幅;
|Cn|^2为第n次谐波的功率,可以称为信号的(离散)功率谱。
注意,这里是功率谱,而不是功率谱密度!
如果还想用功率谱密度表示此离散谱,可以利用δ函数的性质
图12 周期性功率信号的功率与功率谱密度高斯脉冲实例
这里我们举一个高斯脉冲的例子。
高斯脉冲的傅里叶变换是可以手动计算得出的,各位小伙伴可以挑战一下,正确答案可以私信我哦。
这里直接给出结论,就是高斯脉冲的傅里叶变换仍然还是高斯函数形式。
我们先画出一个高斯脉冲,中心点在2.5ns处,幅度值为1V,窗口时间为5ns。
利用FFT函数,求出其双边幅度谱与相位谱。
见图13。
图13 高斯脉冲的双边谱
FFT计算的过程中,其实隐含着将这个高斯脉冲周期延拓的过程。所以这里的信号可以看作为周期性的,而且在每个周期内其能量是有限的。
所以,这里是周期功率信号。
由上文分析可知,其功率谱为频谱系数的平方,功率谱密度为单位频率处的功率,即df处的功率。
见图14。
图14 高斯脉冲的双边功率谱与密度
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