l927 年的论文《关于希尔伯特证明论》最为引人注目,它的 主题是讨论如何把数学从矛盾中解脱出来。文章强调由希尔伯特等提出和发展的这个 问题十分复杂,当时还未得到满意的解答。它还指出阿克曼排除矛盾的证明并不能在 古典分析中实现。为此,冯诺依曼对某个子系统作了严格的有限性证明。这离希尔 伯特企求的最终解答似乎不远了。这是恰在此时,1930 年哥德尔证明了不完全性定 理。定理断言:在包含初等算术(或集合论)的无矛盾的形式系统中,系统的无矛盾性 在系统内是不可证明的。至此,冯诺依曼只能中止这方面的研究。 冯诺依曼还得到过有关集合论本身的专门结果。他在数学基础和集合论方面的 兴趣一直延续到他生命的结束。 [编辑本段]量子理论的数学基础,算子环,遍历理论 1930~l940年间,冯诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中,创作更趋 于成熟,声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中,冯诺依曼选择了 量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。 1927 年冯诺依曼已经在量子力学领域内从事研究工作。他和希尔伯待以及诺戴 姆联名发表了论文《量子力学基础》。该文的基础是希尔伯特 1926 年冬所作的关于量 子力学新发展的讲演,诺戴姆帮助准备了讲演,冯诺依曼则从事于该主题的数学形 式化方面的工作。文章的目的是将经典力学中的精确函数关系用概率关系代替之。希 尔伯特的元数学、公理化的方案在这个生气勃勃的领域里获得了施展,并且获得了理 论物理和对应的数学体系间的同构关系。对这篇文章的历史重要性和影响无论如何评 价都不会过高。冯诺依曼在文章中还讨论了物理学中可观察算符的运算的轮廓和埃 尔米特算子的性质,无疑,这些内容构成了《量子力学的数学基础》一书的序曲。 l932 世界闻名的斯普林格出版社出版了他的《量子力学的数学基础》,它是冯诺 依曼主要著作之一,初版为德文,1943 年出了法文版,l949 年为西班牙文版,l955 年被译成英文出版,至今仍不失为这方面的经典著作。当然他还在量子统计学、量子 热力学、引力场等方面做了不少重要工作。 客观地说,在量子力学发展史上,冯诺依曼至少作出过两个重要贡献:狄拉克 对量子理论的数学处理在某种意义下是不够严格的,冯诺依曼通过对无界算子的研 究,发展了希尔伯特算子理论,弥补了这个不足;此外,冯诺依曼明确指出,量子 理论的统计特征并非由于从事测量的观察者之状态未知所致。借助于希尔伯待空间算 子理论,他证明凡包括一般物理量缔合性的量子理论之假设,都必然引起这种结果。 对于冯诺依曼的贡献,诺贝尔物理学奖获得者威格纳曾作过如下评价:“在量子力 学方面的贡献,就是以确保他在当代物理学领域中的特殊地位。” 在冯诺依曼的工作中,希尔伯特空间上的算子谱论和算子环论占有重要的支配 地位,这方面的文章大约占了他发表的论文的三分之一。它们包括对线性算子性质的 极为详细的分析,和对无限维空间中算子环进行代数方面的研究。 算子环理论始于 1930 年下半年,冯诺依曼十分熟悉诺特和阿丁的非交换代数, 很快就把它用于希尔伯特空间上有界线性算子组成的代数上去,后人把它称之为 冯诺依曼算子代数。 1936~l940 年间,冯诺依曼发表了六篇关于非交换算子环论文,可谓 20 世纪 分析学方面的杰作,其影响一直延伸至今。冯诺依曼曾在《量子力学的数学基础》 中说过:由希尔伯特最早提出的思想就能够为物理学的量子论提供一个适当的基础, 而不需再为这些物理理论引进新的数学构思。他在算子环方面的研究成果应验了这个 目标。冯诺依曼对这个课题的兴趣贯穿了他的整个生涯。 算子环理论的一个惊人的生长点是由冯诺依曼命名的连续几何。普通几何学的 维数为整数 等,冯诺依曼在著作中已看到,决定一个空间的维数结构的,实际上是它所容许的旋转群。因而维数可以不再是整数,连续级数空间的几何学终于 提出来了。 1932 年,冯诺依曼发表了关于遍历理论的论文,解决了遍历定理的证明,并用 算子理论加以表述,它是在统计力学中遍历假设的严格处理的整个研究领域中,获得 的第一项精确的数学结果。冯诺依曼的这一成就,可能得再次归功于他所娴熟掌握 的受到集合论影响的数学分析方法,和他自己在希尔伯特算子研究中创造的那些方 法。它是 20 世纪数学分析研究领域中取得的最有影响成就之一,也标志着一个数学 物理领域开始接近精确的现代分析的一般研究。 此外冯诺依曼在实变函数论、测度论、拓扑、连续群、格论等数学领域也取得 不少成果。1900 年希尔伯特在那次著名的演说中,为20 世纪数学研究提出了 23 [编辑本段]一般应用数学 1940 年,是冯诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前,他是一位通晓物理学 的登峰造极的纯粹数学家;此后则成了一位牢固掌握纯 粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。研究同时他还不断创新,把非古典数学应用到两个新领域:对 策论和电子计算机。 冯诺依曼的这个转变一方面来自他长期对数学物理问题的钟情;另一方面来自 当时社会方面的需要。第二次世界大战爆发后,冯诺依曼应召参与了许多军事科学 研究计划和工程项目。