已知α1,α2,α3为三维列向量,β1,β2,β3为三维列向量. 1.若α1,α2,α3线性无关,且α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表示,则β1,β2,β3线性相关.这个结论成立吗,如何证明?反证法 假设贝塔123线性无关,由于他是三维列向量 所以他的秩是3 所以它可以表示任何一个三维列向量,所以他就可以表示阿尔法123 这与已知矛盾 所以结论成立。 2.若α1,α2,α3线性无关,且α1,α2,α3能由β1,β2,β3线性表示,则β1,β2,β3线性无关.这个结论成立吗因为阿尔法123线性无关 所以阿尔法123的秩是3 又因为阿尔法123可以 由贝塔123可以表示阿尔法123 所以3=r(阿尔法123)≤r(贝塔123) 又因为贝塔123是三维列向量所以r(贝塔123)≤3 综上 r(贝塔123)=3 所以贝塔123线性无关