什么是卡方检验
卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。它属于非参数检验的范畴,主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比)以及两个分类变量的关联性分析。其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
它在分类资料统计推断中的应用,包括:两个率或两个构成比比较的卡方检验;多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。
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卡方检验的基本原理[1]
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卡方检验的基本思想
卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验方法,它的无效假设H0是:观察频数与期望频数没有差别。
该检验的基本思想是:首先假设H0成立,基于此前提计算出χ2值,它表示观察值与理论值之间的偏离程度。根据χ2分布及自由度可以确定在H0假设成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。如果P值很小,说明观察值与理论值偏离程度太大,应当拒绝无效假设,表示比较资料之间有显著差异;否则就不能拒绝无效假设,尚不能认为样本所代表的实际情况和理论假设有差别。
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卡方值的计算与意义
χ2值表示观察值与理论值之问的偏离程度。计算这种偏离程度的基本思路如下。
(1)设A代表某个类别的观察频数,E代表基于H0计算出的期望频数,A与E之差称为残差。
(2)显然,残差可以表示某一个类别观察值和理论值的偏离程度,但如果将残差简单相加以表示各类别观察频数与期望频数的差别,则有一定的不足之处。因为残差有正有负,相加后会彼此抵消,总和仍然为0,为此可以将残差平方后求和。
(3)另一方面,残差大小是一个相对的概念,相对于期望频数为10时,期望频数为20的残差非常大,但相对于期望频数为1 000时20的残差就很小了。考虑到这一点,人们又将残差平方除以期望频数再求和,以估计观察频数与期望频数的差别。
进行上述操作之后,就得到了常用的χ2统计量,由于它最初是由英国统计学家Karl Pearson在1900年首次提出的,因此也称之为Pearsonχ2,其计算公式为
(i=1,2,3,…,k)
其中,Ai为i水平的观察频数,Ei为i水平的期望频数,n为总频数,pi为i水平的期望频率。i水平的期望频数Ei等于总频数n×i水平的期望概率pi,k为单元格数。当n比较大时,χ2统计量近似服从k-1(计算Ei