根据冯诺依曼体系结构构成的计算机,必须具有如下功能:把需要的程序和数据送至计算机中。必须具有长期记忆程序、数据、中间结果及最终运算结果的能力。能够完成各种算术、逻辑运算和数据传送等数据加工处理的能力。能够根据需要控制程序走向,并能根据指令控制机器的各部件协调操作。能够按照要求将处理结果输出给用户。为了完成上述的功能,计算机必须具备五大基本组成部件,包括:输入数据和程序的输入设备记忆程序和数据的存储器完成数据加工处理的运算器控制程序执行的控制器输出处理结果的输出设备理论基础冯·诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的,是关于切比雪夫多项式求根法的菲叶定理推广,注明的日期是1922年,那时冯·诺依曼还不满18岁。另一篇文章讨论一致稠密数列,用匈牙利文写就,题目的选取和证明手法的简洁显露出冯·诺依曼在代数技巧和集合论直观结合的特征。1923年当冯·诺依曼还是苏黎世的大学生时,发表了超限序数的论文。文章第一句话就直率地声称“本文的目的是将康托的序数概念具体化、精确化”。他的关于序数的定义,已被普遍采用。强烈企求探讨公理化是冯·诺依曼的愿望,大约从l925年到l929年,他的大多数文章都尝试着贯彻这种公理化精神,以至在理论物理研究中也如此。当时,他对集合论的表述处理,尤感不够形式化,在他1925年关于集合论公理系统的博士论文中,开始就说“本文的目的,是要给集合论以逻辑上无可非议的公理化论述”。有趣的是,冯·诺依曼在论文中预感到任何一种形式的公理系统所具有的局限性,模糊地使人联想到后来由哥德尔证明的不完全性定理。对此文章,著名逻辑学家、公理集合论奠基人之一的弗兰克尔教授曾作过如下评价:“我不能坚持说我已把(文章的)一切理解了,但可以确有把握地说这是一件杰出的工作,并且透过他可以看到一位巨人”。1928年冯·诺依曼发表了论文《集合论的公理化》,是对上述集合论的公理化处理。该系统十分简洁,它用第一型对象和第二型对象相应表示朴素集合论中的集合和集合的性质,用了一页多一点的纸就写好了系统的公理,它已足够建立朴素集合论的所有内容,并借此确立整个现代数学。冯·诺依曼的系统给出了集合论的也许是第一个基础,所用的有限条公理,具有像初等几何那样简单的逻辑结构。冯·诺依曼从公理出发,巧妙地使用代数方法导出集合论中许多重要概念的能力简直叫人惊叹不已,所有这些也为他未来把兴趣落脚在计算机和“机械化”证明方面准备了条件。20年代后期,冯·诺依曼参与了希尔伯特的元数学计划,发表过几篇证明部分算术公理无矛盾性的论文。l927年的论文《关于希尔伯特证明论》最为引人注目,它的主题是讨论如何把数学从矛盾中解脱出来。文章强调由希尔伯特等提出和发展的这个问题十分复杂,当时还未得到满意的解答。它还指出阿克曼排除矛盾的证明并不能在古典分析中实现。为此,冯·诺依曼对某个子系统作了严格的有限性证明。这离希尔伯特企求的最终解答似乎不远了。恰在此时,1930年哥德尔证明了不完全性定理。定理断言:在包含初等算术(或集合论)的无矛盾的形式系统中,系统的无矛盾性在系统内是不可证明的。至此,冯·诺依曼只能中止这方面的研究。冯·诺依曼还得到过有关集合论本身的专门结果。他在数学基础和集合论方面的兴趣一直延续到他生命的结束。纯粹数学在1930~1940年间,冯·诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中,创作更趋于成熟,声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中,冯·诺依曼选择了量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。1927年冯·诺依曼已经在量子力学领域内从事研究工作。他和希尔伯特以及诺戴姆联名发表了论文《量子力学基础》。该文的基础是希尔伯特1926年冬所作的关于量子力学新发展的讲演,诺戴姆帮助准备了讲演,冯·诺依曼则从事于该主题的数学形式化方面的工作。文章的目的是将经典力学中的精确函数关系用概率关系代替之。希尔伯特的元数学、公理化的方案在这个生气勃勃的领域里获得了施展,并且获得了理论物理和对应的数学体系间的同构关系。对这篇文章的历史重要性和影响无论如何评价都不会过高。冯·诺依曼在文章中还讨论了物理学中可观察算符的运算的轮廓和埃尔米特算子的性质,无疑,这些内容构成了《量子力学的数学基础》一书的序曲。1932世界闻名的斯普林格出版社出版了他的《量子力学的数学基础》,它是冯·诺依曼主要著作之一,初版为德文,1943年出了法文版,1949年为西班牙文版,1955年被译成英文出版,至今仍不失为这方面的经典著作。当然他还在量子统计学、量子热力学、引力场等方面做了不少重要工作。