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03 闲话说三角
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首先我们从三角函数的诞生说起。
sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导人物,他于1464年完成的著作《论各种三角形》, 1533年开始发行,这是一本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科。
cosine (余弦)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。
之后,结合个人经历,我默认大家是从“锐角的三角比”开始,最先接触三角函数的概念的。
所谓锐角的三角比,就是通过直角三角形各边长之间的比例关系,来定义sin、cos、tan等三角函数。
之后,在高中和大学阶段,我们从函数的角度,借助单位圆和旋转矢量去理解三角函数的概念。简单总结就是: “三角函数”是在单位圆内以“角度"为自变量,以“角度”对应 “任意角终边"为因变量的函数。
旋转矢量法下的三角函数定义“三角函数“是以“角度“为自变量,以“角度对应任意角终边’的比值"为因变量的函数。
尽管定义方式不同, 但通过这些定义,我们可以发现,三角函数与我们所熟悉的图形圆形和三角形,关系密不可分。三角函数出现的初衷,是为了总结出这些基本图形内部的约束关系和矛盾。
也就是说,三角函数是解开圆和三角形许多性质的一把钥匙,是研究基本自然语言——基本图形的重要方法。同时也使对于基本图形的研究,有了更为成熟、系统的数学语言。
当我们对圆和三角形这一类最基本图形的性质有了更进一步的了解时,就好比我们学习外语时,学会了基本语法和常用句式——我们研究复杂的自然规律和事物就变得更为轻松了。
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04 工业先声
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在这一部分,我将为大家印证我之前的论断——三角函数是人类探索自然的一把金钥匙。同时给大家讲一些故事,让大家更方便地理解,为什么在工业时代,三角函数对于自然科学的发展会起到如此举足轻重的作用?
首先,从发电机说起。
作为生活常识,大家可能都知道,我们日常使用的电源一般都是交流电。所谓交流电,想必大家应该也不陌生。交流电就是电压值随着时间, 呈三角函数(正弦)变化规律的函数。
而决定交流电源性质的, 正是产生交流电源的装置——发电机。
其原理大致为:由燃料驱动线圈转动,由于线圈切割磁感线,从而发动机输出电能,实现由内能向机械能,再由机械能向电能的转化。
但由于线圈切割磁感线的过程中,线圈与磁感线的角度随着线圈的转动而变化,所以发电机所输出的电源并不是稳定不变的,而是按正弦规律变化。
电能在第二次工业革命之后,几乎成为了人类工业发展最为重要的能源。而由于获得电能的装置——发电机输出的电源按正弦规律变化,故正弦函数,成为了研究电学、设计电路、电器、电气装备的重要理论依据和数学工具。
此所谓“经济基础决定上层建筑”——发电机所产生电源的特点,直接决定了设计电源的“使用者”,即用电器时应当遵循的规则。
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05 神奇的波浪
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到了20世纪40年代,随着电话、电报、电台等无线通讯技术的诞生,关于电磁波的研究更是被推到了风口浪尖。而电磁波的产生,以收音机电台为例,是来自于RC振荡电路的。
RC振荡的原理属于模拟电子电路的研究范畴,较为复杂,在这里给出一个相对简单的介绍:
RC振荡器是一个将直流信号转变为交流信号(即符合正弦规律的信号)的电路,且能通过内部的运算机制实现交流信号幅度和频率的改变。不同的幅度和频率可被用来代表不同信息,再结合远距离传输,从而达到通信的目的。
可以发现,RC振荡器所输出的信号,同样满足正弦的变化规律。这样的信号,就是我们所熟悉的电磁波。
电磁波具有传输速度快、穿透能力强、能量衰减小等诸多优点,以电磁波为通信的物理载体,是再合适不过的了。而再复杂的电磁波,也能用最简单的sin/cos组合表示并模拟出来。而找到这样的sin/cos组合,就需要借助一个数学工具——傅立叶变换。
要理解傅立叶变换,对于大家而言可能比较困难。这里我给大家举一个简单的例子,看完这个例子过后,大家会对傅立叶变换的思想有一个初步的认识。
这张图是印尼爪哇岛某处的海滩,大家可以看到图中前浪推后浪的景象。同样,大家应该也观察到,水面的波纹形状是比较复杂的。
尽管波纹形状看起来复杂,但实际上,他们是由许许多多简单的“波纹”叠加而成的。什么是叠加?前浪拍,后浪推,两者碰撞,形成了新的“波浪”,而这新的“波浪”又与其他波浪之间碰撞,形成了丰富多样波纹规律,这就是叠加。
我们可以把这个现象抽象成以下形式:
这是波浪A
这是波浪B
这是波浪C
这是波浪D
可以发现,以上ABCD四个波浪都特别“干净”——没有多余的瑕疵,都严格符合正弦变化规律。
但当这四个“干净”的波浪叠加在一起时,形成的新波浪还会“干净”吗?我们来一探究竟:
跟“干净”的波浪相比,这叠加后的波浪更为复杂,看起来变“狰狞”了,是不是?
如果我们将更多不同的“干净”波形继续往上面叠加,最后所产生出的新波形会更加“狰狞不堪”。
它们可以是这样:
还可以是这样:
这两张图即是我们日常生活中经常接触到的音频信号。
这就是傅立叶变换的主要思想:再复杂的波形,也能用多个简单波形相加的形式表示,而这些简单波形的速度、频率和最大高度互不相同。
有了傅立叶变换,分析或者传输再复杂的信号也不在话下——把它“拆开”成最简单的波形就行了,针对这些简单的波形去设计能产生或感应到相应波形的模拟或数字电路,再将这些电路以一定的规则整合,就能达到发送、接受信号的功能,也就实现了通信,对吧!
而傅立叶变换,做为研究电磁波与通信最为重要的数学工具之一,其核心数学基础,也是sin和cos函数,即正弦与余弦函数。
可以说,没有sin和cos,就没有分析与研究信号的手段和工具,也就没有今天便捷的互联网通信时代。
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06 大道至简
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如果我们回过头来阅读这篇文章,我们会发现:一切的起点,都是一个再简单不过的圆!
我们来复习一下:
(敲黑板)
1、为了彻底弄清楚圆的性质,数学家们耗费了上千年寻找研究圆的数学工具。
2、公元15-16世纪,正弦和余弦的概念应运而生,它解释了圆内部的性质、联系和矛盾。
3、工业时代,发电机输出的电压符合正弦的规律,这使得正弦和余弦在电磁学的研究中发挥了举足轻重的作用。
4、现代通信时代,RC振荡电路所激发的电磁波符合正弦规律。电磁波是远距离传输信息的“最佳人选”,研究与分析电磁波离不开傅立叶变换,而傅立叶变换的核心数学基础便是正弦和余弦函数。
如今科技正日益改变着我们的生活,但大家可否想过,在先进的科学技术背后,为其奠基的,却是一些再简单不过的元素?比如说,一个圆。
这印证了文章刚开始所给出的一个命题:简单的事物往往是强大的,因为它们具有构成复杂事物的无穷潜能。
是的,这便是科学的精神与真谛,一言以蔽之,曰:大道至简。
因此,善于发现的你,永远不要轻视身边一些看似不起眼的、简单的事物。
正是这些简单的事物,足以撬动地球。
这些简单的事物,正是上帝的语言。等着“翻译家”,即智者,去揭开它们的奥秘。