这篇是承接
都属于线性代数范畴的内容,在考研,无论是数学一二三或者高等代数中会经常用到甚至出现类似的题目。自己觉得有必要归纳起来,也可也帮助有需要的人。符号说明:
:矩阵
的秩
:
阶单位矩阵
:域
上线性空间
的维数
:域
上线性空间
到
的全体线性映射
:线性变换
的核
:线性变换
的象
:线性变换
在
上的限制
1.对于矩阵
,如果
,试证明:
。
证明:令
为方程
的解空间,那么
,因为
,因此
中的任意列向量
都满足
,因此
。故有
。
2.(Sylvester不等式)对于矩阵
。试证明:
证明一(分块矩阵技巧):
注意到
,
而
,因此原命题成立。
证明二(方程组的观点):
记
,其中
是
的列向量。那么
设
是
的一个极大线性无关组,在剩下的
个向量中的任意一个向量
,我们都有
,因此
是方程
的解,这些
个解向量
构成的矩阵,我们有
而
因此
故命题成立。
证明三(线性空间的观点):
设
是域
上的线性空间,且
。取
。那么根据线性变换的秩的定义我们有如下等式
而注意到
因此我们有
最后容易知道
而右边就是不等式右端,因为
因此命题成立。
证明四(初等变换的观点):此方法由@dragonlongwang 提供
不妨假设
,则考虑
的相抵标准型
,那么我们有
,考虑
,其中
为
型矩阵,
为
型矩阵。则
,从而有
因此
证毕。
3.(Frobenius秩不等式)对于矩阵
,试证明:
证明一:
注意到
对右端的分块矩阵做初等变换有
故命题成立。
证明二:
设
都是域
上的线性空间,且
,
。我们取
,
,
。
根据线性映射中的一系列定义我们知道
,
,