函数概念及其相关概念(2 课时) 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) ① A={x x∈Z},B={y y∈Z},对应法则 f:x→y=3x; ② A={x x>0,x∈R}, B={y y∈R},对应法则 f:x→2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则 f:x→y=2x ; 变式 1. 下列图像中,是函数图像的是( ) ① ② ③ ④ 变式 2. 下列式子能确定 y 是 x 的函数的有( ) ①2 2x y \uf02b =2 ② 1 1 1 x y \uf02d \uf02b \uf02d \uf03d ③y= 2 1 x x \uf02d \uf02b \uf02d A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 变式 3. 已知函数 y=f(x),则对于直线 x=a(a 为常数),以下说法正确的是( ) A. y=f(x)图像与直线 x=a 必有一个交点 B. y=f(x)图像与直线 x=a 没有交点 C. y=f(x)图像与直线 x=a 最少有一个交点 D. y=f(x)图像与直线 x=a 最多有一个交点 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同( ) A. y= x B. 2y x \uf03d ??? C. \uf028 \uf0292y x \uf03d D.y=t 变式 1.下列函数中哪个与函数32 y x \uf03d \uf02d 相同( ) A. 2 y x x \uf03d \uf02d B. 2 y x x \uf03d \uf02d \uf02d C. 32 y x x \uf03d \uf02d \uf02d D. 22y xx\uf02d\uf03d 变式 2. 下列各组函数表示相等函数的是( ) O O O O X X X X y y y y A. 293xyx\uf02d\uf03d\uf02d 与 3 y x \uf03d \uf02b B. 21 y x \uf03d \uf02d 与 1 y x \uf03d \uf02d C. 0y x \uf03d (x≠0) 与 1 y \uf03d (x≠0) D. 2 1 y x \uf03d \uf02b ,x∈Z 与 2 1 y x \uf03d \uf02d ,x∈Z 考点三:求函数的定义域 (1)当 f(x)是整式时,定义域为 R; (2)当 f(x)是分式时,定义域是使分母不为 0 的 x 取值集合; (3)当 f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负值的 x 取值集合; (4)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值集合; (5)当 f(x)是对数式时,定义域是使真数大于 0 且底数为不等于 1 的正数的 x 取值集合; 例 3. 函数2 21 1 y x x \uf03d \uf02d \uf02b \uf02d 的定义域是( ) A. \uf07b \uf07d 1,1 \uf02d B. ( -1 , 1 ) C. [ -1 , 1 ] D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) 例 4. 求函数 \uf028 \uf02920.5log 4 3 y x x \uf03d \uf02d 的定义域 变式 1. 求下列函数的定义域 ⑴1 12 32y xx x\uf03d \uf02b \uf02d \uf02b\uf02d ⑵\uf028 \uf02901 xyx x\uf02b\uf03d\uf02d 变式 2. 求下列函数的定义域 ⑴11xye\uf03d\uf02d ⑵ \uf028 \uf02923lg 3 11xy xx\uf03d \uf02b \uf02b\uf02d ⑶ \uf028 \uf0291log 1 3xy x\uf02d\uf03d \uf02b 求复合函数的定义域 例 5. 已知函数 f( 2 1 x \uf02d )定义域为 \uf05b \uf05d 1,3 \uf02d , 求 f(x)的定义域 变式 1. 已知函数 f( 1 x \uf02b )的定义域为[ 0,3 ],求 f(x)的定义域 变式 2. 已经函数 f(x)定义域为[ 0 , 4], 求 f \uf028 \uf0292x 的定义域 考点四:求函数的值域 例 6.求下列函数的值域 ① 3 1 y x \uf03d \uf02b , x∈{1,2 ,3,4,5 } ( 观察法 ) ②24 6 y x x \uf03d \uf02d \uf02b ,x∈ \uf05b \uf029 1,5 ( 配方法 :形如2y ax bx c \uf03d \uf02b \uf02b ) ③ 2 1 y x x \uf03d \uf02d \uf02d ( 换元法:形如 y ax b cx d \uf03d \uf02b \uf0b1 \uf02b ) ④1xyx\uf03d\uf02b ( 分离常数法:形如cx dyax b\uf02b\uf03d\uf02b ) ⑤221yxx\uf03d\uf02b ( 判别式法:形如21 1 122 2 2a x b x cya x b x c\uf02b \uf02b\uf03d\uf02b \uf02b ) 变式 1. 求下列函数的值域 ① 22 4 3 y x x \uf03d \uf02d \uf02b ② 1 y x x \uf03d \uf02b \uf02d ③ y =2 13xx\uf02b\uf02d ④ 222 4 72 3x xyx x\uf02b \uf02d\uf03d\uf02b \uf02b 考点五:求函数的解析式 例 7 . 已知 f(x)= 22 x x \uf02d ,求 f( 1 x \uf02d )的解析式 ( 代入法 / 拼凑法 ) 变式 1. 已知 f(x)= 2 1 x \uf02d , 求 f(2x )的解析式 变式 2. 已知 f(x+1)= 22 3 x x \uf02b \uf02b ,求 f(x)的解析式 例 8. 若 f [ f(x)] = 4x+3,求一次函数 f(x)的解析式 ( 待定系数法 ) 变式 1. 已知 f(x)是二次函数,且 \uf028 \uf029 \uf028 \uf02921 1 2 4 4 f x f x x x \uf02b \uf02b \uf02d \uf03d \uf02d \uf02b ,求 f(x). 例 9. 已知 f(x) \uf02d 2 f( \uf02d x)= x ,求函数 f(x)的解析式 ( 消去法/ 方程组法 ) 变式 1. 已知 2 f(x) \uf02d f( \uf02d x)= x+1 ,求函数 f(x)的解析式 变式 2. 已知 2 f(x) \uf02d f 1x\uf0e6 \uf0f6\uf0e7 \uf0f7\uf0e8 \uf0f8 = 3x ,求函数 f(x)的解析式 例 10. 设对任意数 x,y 均有 \uf028 \uf029 \uf028 \uf0292 22 2 3 3 f x y f y x xy y x y \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b \uf02d \uf02b \uf02b , 求 f(x)的解析式. ( 赋值法 / 特殊值法) 变式 1. 已知对一切 x,y∈R, \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 2 1 f x y f x x y y \uf02d \uf03d \uf02d \uf02d \uf02b 都成立,且 f(0)=1, 求 f(x)的解析式. 考点六:函数的求值 例 11. 已经函数 f(x)= 32x x \uf02b ,求 f(2)和 f(a)+f ( \uf02d a)的值 变式 1. 已知 f(2x)= 21 xx\uf02b,求 f(2)的值 例 12. 已知函数 \uf028 \uf0295 1 03 2 0x xx xf x???????\uf0ec\uf02b ?????? \uf0b3\uf0ef\uf0ed\uf02d \uf02b ??? \uf03c\uf0ef\uf0ee\uf03d ,求 f(1)+f( 1 \uf02d )的值 变式 1. 已知函数 \uf028 \uf029\uf028 \uf029 2 12 2 1 11f x xx xx xf x?????\uf0ec\uf02b ??\uf02c?? \uf0a3 \uf02d\uf0ef\uf0ef\uf02b ???\uf02c???\uf02d \uf03c \uf03c\uf0ed\uf0ef\uf032 \uf02d \uf034??\uf02c??? \uf0b3 ?\uf0ef\uf0ee\uf03d ,求 f [f(4 \uf02d )]的值 变式 2. 已知函数 \uf028 \uf0291( 2)2nf n nf n\uf02a\uf0ec\uf031???????\uf02c??????????\uf028 \uf03d?\uf031\uf029\uf0ef\uf03d\uf0ed \uf031 \uf02b\uf02d ?\uf02c??\uf028 \uf0ce \uf04e ?\uf029?\uf0ef\uf0ee?????,求 f(5)的值 例 13 . 设函数 \uf028 \uf029812l,1]og (1, )(,xf xxx x\uf02d\uf0ec\uf0ef\uf03d\uf0ed\uf0ef\uf0ee\uf0ce \uf02d\uf0a5???? \uf0ce \uf02b\uf0a5????????\uf02c ??????????,求满足 f(x)=12的 x 值 变式 1. 已知函数 \uf028 \uf02911xf xxx x\uf033\uf0ec\uf0ef\uf03d\uf0ed\uf0ef\uf0ee\uf0a3\uf02d??\uf02c??? \uf03e?????????\uf02c??????????,若 f(x)=2,求 x 的值