向量的矩阵表示 行列式的几何意义 行列式的值是一个数字,表示向量所在空间的【元素】 大小。比如,在平面直角坐标系中,整个平面可以由长宽均为1的方格构成,这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的【元素】,大小为1。平面坐标系中所有的点都可以用 这两个向量来刻画,这两个向量也叫平面直角坐标空间的【标度】。这两向量构成的行列式 那么,平面直角坐标系单元格大小,抹主辩也就是【元素】大小为1的正方块。再比如,我们对平面直角坐标系拉伸,用如下两个向量来刻画 那么,这个新坐标系(2维空间)的【元素】大小为2的长方块。再比如,我们对平面直角坐标系变形,用如下两个向量来刻画 那么,这个新坐标系(2维空间)的【元素】大小为2的平行四边形块。从以上3个例子,可以看出来:在2维空间中,两个2维向量构成的的行列式的值,等同于两个向量组成的平行四边形面积大小。也就是说,在2维空间中,两个2维向量构成的的行列式的值,等同于两个2维向量的【叉积】。进一步,看3维空间。比如,在空间直角坐标系中,这个空间可以由长宽高均为1的正方体构成,这个正方体的大小为1。这个正方体就是空间直角坐标系(3维空间)中的【元素】,大小为1。 那么可以看出来:在3维空间中,三个3维向量构成的的行列式的值,等同于三个3维向量的【混合积】。由此,扩展到n维空间。在n维空间中,n个章匪n维向量构成的行列式的值,表示n维向量所在的n维空间的【元素】 大小。同时,这n个n维向量也叫n维空间的【标度】。 相关定义 有向线段 规定若线段 的端点为起点, 为终点,则线段就具有了从起点 到终点 的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 [1] 向量的模 向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 [1] 注:1.向量的模是非负实数,向量的模是可以比较大小的。向量 , 。 [1] 2.因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如 是没有意义的。 单位向量 长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量。与a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作 。 [1] 负向量 如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反,那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量,也称为相反向量。 [1] 零向量 长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点