1目 的: 进一步了解单调函数的性质, 熟悉有界变差函数的定义, 掌握其性质。重点与难点: 单调函数的性质, 有界变差函数的定义及其性质。4.4 4.4 有界变差函数有界变差函数第四节 微分与不定积分 2第四节第四节 有界变差函数有界变差函数基本内容:一. 单调函数可导性的推论问题1: 如果 fn 是单调函数序列, 且, 不难看出f也是单调的, 从而也几乎处处有有限导数,fn 的导数与 f 的导数有什么关系?等式'fn\uf03d\uf0e5是否成立?. .eaffn\uf0ae\uf0e5. .ea'f 3第四节第四节 有界变差函数有界变差函数(1) Fubini定理问题2: 跳跃函数的导数是什么?推论1(Fubini) 设是上的单调增加有限函数序列, 且在上处处收敛到有限函数 f , 则\uf0e5n。}{nf\uf0e5\uf03d1n\uf0a5nf\uf03dnbaeaff],[ . .''],[ba],[ba 4证明: 不妨设, 否nf~则可令, 对讨论就行了。 记,)则都是单调增加函数, 故去'xFn掉一个零测集 E 后,都存在。), 2 , 1\uf03d)a( , 0)(\uf04c\uf03d)nafn(()(~ffxfxnnn\uf02d\uf03d\uf0e5\uf03di\uf03dninxfxS1()()(),(xfxSnn), 2 , 1\uf03d)((\uf04cn第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 5因及单调增加, 故其导数均非负, 从而当时,。由此得, 级数几乎处处收敛。 往证。)()()(1xfxSxSnnn\uf03d\uf02d\uf02d)()(xSxfn\uf02dEx\uf0cf)( 'f)(')('1xxSxSnn\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf0e5\uf03dn\uf0a5\uf0a5\uf0ae\uf03d1)('limn)('nnxSxf\uf0e5\uf03dn\uf0a5\uf03d1)( 'f)('nxxf第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 6由于, 对任意自然数)k, 可取, 使得,但也是单调增加函数, 且, 所以,0\uf0a5\uf0a3k()(limn\uf0aebfbSn\uf03d\uf0a5k nknbk(Sbf21))(\uf03c\uf02d)()(xSxfk n\uf02d)()(\uf03d\uf03daSa\uf0a5fk n. 1\uf03d21)}()({)}()({0111\uf0e5\uf03dk\uf0e5\uf03d\uf0e5\uf03dk\uf0a5\uf03c\uf02d\uf02d\uf0a3knnbSbfxSxfkk第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 7这说明也是由单调增加函数列构成的收敛级数, 将上面关于\uf0a5({k\uf0a5的结论用到上, 得\uf0e5\uf03dk\uf0a5\uf02d1)}()({nxSxfk)()(xSxfk n\uf0a5\uf02d\uf0e5\uf03d1k)(nxf\uf0e5\uf03d\uf02d1)}()nxSxfk. .ea)}(')( 'f{1xSxk\uf0e5\uf03dnk\uf0a5\uf03c\uf02d第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 8进而, 级数的通项趋于0, 即,也即。证毕。..0))(')( 'f(limk\uf0aeeaxSxk n\uf03d\uf02d\uf0a5],.[.)( 'f)('1baeaxxfn\uf0e5\uf03dn\uf03d\uf0a5第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 9证明: 设单调增加函数, 注意对任意是上的),( ba,,由推论1立得证明。推论2 若是\uf06a\uf06a\uf03d上跳跃函数, 则. .ea,,\uf06a\uf06a。\uf06a0'\uf03d\uf06a\uf02d2121\uf06axn\uf0ce. .ea0)('.,.0)( '1xxeaxxnn\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf071\uf071],[ ba],[ ba第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 10第四节第四节 有界变差函数有界变差函数二. 单调函数导数的可积性问题3: 从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出, 单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式, 考虑更弱的问题: 单调函数的导数是否R-可积? 是否L-可积? 其导函数的积分与该函数有没有什么关系? 11定理5有限函数, 那么Lebesgue可积函数, 且设 f是上的单调增加是],[ba上的。' f],[ba\uf0f2,a\uf02d\uf0a3][)()()( 'fbafbfdxx第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 12证明: 将 f扩充到上, 对任意, 令, 并令),它是Riemann可积函数, 而且。] 1,[\uf02bba] 1,(\uf02b\uf0cebax()(bfxf\uf03dnxfnxfxn1)()1()(\uf02d\uf02b\uf03d\uf06a0)(\uf0b3xn\uf06a第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 13注意到\uf0f2,ba\uf0f2,ba\uf02d\uf02b\uf03d\uf0a5\uf0ae\uf0a5\uf0ae][][]))()1(([limn)(limnndxxfnxfndxx\uf06a) 0()(\uf02b\uf02d\uf03dafbf\uf0f2\uf02b\uf0a5\uf0ae\uf03dnaanlimdxxfn1])([,)()(\uf0a5\uf03c\uf02d\uf0a3afbf第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 14\uf0f2,a\uf0f2,a\uf0a5\uf06a\uf0ae\uf03d][][)(limn)( 'fbnbdxxdxx由Fatou引理得证毕。\uf0f2,a\uf0a5\uf0ae\uf0a3][)(limnbndxx\uf06adxxb\uf06aann\uf0f2(bf\uf0a5\uf0ae\uf03d)(lim).()af\uf02d\uf0a3第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 15应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差别, 此处严格不等式样可能成立),,(0bax\uf0ce. .0)(eax \uf03d\uf0a2 \uf06a1)(\uf03db\uf06a0)(\uf03da\uf06a\uf0f2的, 例如,若, 则\uf03ddx。 于是, 但)a,, 故b)(,所以。)()(b\uf06a0xxx\uf02d\uf03d\uf071\uf06a\uf0f2\uf0a2ax0)(1()(\uf03d\uf02db\uf06a\uf06a(\uf02d\uf03c\uf0a2b\uf06aaadxx))(\uf06a\uf06a第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 16另外, 还应注意到, 由定理4,上的单调函数 f几乎处处有有限导数, 因此定理5中导数x 处可规定为任意值。 这就是说, 在一个零测集上可以任意改变函数值不会对的积分产生影响。f\uf0a2不存在的点],[ba)(xf\uf0a2f\uf0a2第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 17从事实, 一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数, 这样的函数称为奇异函数, 即下面的定义6 设 f是在上常数, 则称 f 为,[ba我们还看到另一个上的有限函数, 若, 且 f 不恒为上的奇异函数。]..0)(0eaxx\uf03d\uf02d\uf0a2 \uf071..0)(eaxf\uf03d\uf0a2],[ba],[ba第四节第四节 有界变差函数有界变差函数 18三. 有界变差函数的定义问题4: [a,b]上单调函数除了跳跃度总和不超过划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限?, 其任一分第四节第四节 有界变差函数有界变差函数)()(afbf\uf02d 19第四节第四节 有界变差函数有界变差函数前面已经看到, 单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式, 或者说, 单调函数不能通过其导数的积分还原。 那么, 何种函数能满足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然, 这里是相对于Lebesgue积分而言 )? 这正是下面要讨论的问题。 20定义7 设是上的有限函数, 对[的任一分划,记称为 f关于分划的变差。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数)(xf],[babxxxan\uf03d\uf03c\uf03c\uf03c\uf03d\uf044\uf04c10:\uf0e5\uf03di\uf02d\uf02d\uf03d\uf044niixfxffV11|,)()(|),(),(fV \uf044\uf044],ba 21第四节第四节 有界变差函数有界变差函数若存在常数 M, 使对一切分划, 都有, 则称为上的有界变差函数。 令,其中取遍的所有分划, 称为 f在上的总变差。MfV\uf0a3\uf044),()(xf),(sup\uf044)(fVfVba\uf044\uf03d\uf044],[ba\uf044],[ba)( fVba],[ba 22由定义7不难看出,上有限单调函数 f都是有界变差函数, 且(fVba。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数| )a()(|)fbf\uf02d\uf03df],[ba 23四. 有界变差函数的性质性质1 若 f是上的有界变差函数, 则 f 必为有界函数。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数],[ba 24证明: 若不然, 则存在f是有界变差函数知任意 n, 作划|),(nfV\uf03d\uf044| 2\uf0b3。 使\uf0a5\uf0a5xn\uf03c)(nx, 由。 对,[a的分, 则\uf02d| )xn第四节第四节 有界变差函数有界变差函数],[}{baxn\uf0cc\uf0ae\uf03c)a| )( f\uf044 :(Vb|nxfa]bbn\uf03c| )nx()(|| )a(fbfff\uf02d(b\uf02b| )a. | )|(|(fff\uf02d\uf02d 25由, 得\uf0a5| )a。这与矛盾, 故必为有界函数, 证毕。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数\uf03cf\uf0a3\uf044(x)(),(fVfVban| )b(|(|)(| )n| 2ffVfba\uf02b\uf02b\uf0a3\uf0a5\uf0ae| )(|nxf 26第四节第四节 有界变差函数有界变差函数性质2 若都是上的有界变差函数, 则对任意常数也是V上的有界变差函数, 且)(||)fVaga\uf062\uf0a3\uf02b。gf,gafa\uf062\uf062,\uf02b,],[ba)(||\uf062(gVafbabba\uf02b],[ba 27证明: 设为b的任一分划, 则]b,(afV\uf044\uf0e5\uf03di1第四节第四节 有界变差函数有界变差函数xxxan\uf03d\uf03c\uf03c\uf03c\uf03d\uf044\uf04c10:,[a)g\uf062\uf02b)\uf02b| )1\uf02d()(|||\uf062| )1\uf02d()(|||11\uf03d\uf03dV\uf02d\uf02b\uf02d\uf0a3\uf0e5i\uf0e5i|iiniinxgxgxfxfa),(||),(|gVfa\uf044(\uf02b\uf044(\uf03d\uf0a3\uf062\uf062)\uf0a3)||)||gVfVababa\uf02bg)(||)(||(gVfVaafVbababa\uf062\uf062\uf02b\uf02b\uf02d\uf02d\uf02b1)\uf02d\uf03dniiiixgxfaxgxfa1| ))((())((( |\uf062\uf062所以, 证毕。 28证明: 由性质1知存在 M, 使得,设为的任一分划:性质3 设是上的有界变差函数, 则也是有界变差函数。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数gf,\uf02b\uf0a5\uf03c\uf0a3\uf02b\uf0a5\uf03c\uf0a3MxgMxf| )(| ,| )(|\uf044bxxxan\uf03d\uf03c\uf03c\uf03c\uf03d\uf04c10],[bafg],[ba 29故, 证毕。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数nxfg1nxgxf\uf0e5\uf03di\uf02d\uf02d\uf03d\uf044iixfgfgV1| ))(())(( |),()()()()(|11\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf0e5iiiiixgxf| )1\uf02d()(|| )1\uf02d()(|11\uf03d\uf03d\uf02d\uf02b\uf02d\uf0a3\uf0e5i\uf0e5iiiniinxfxfMxgxgM))()()(gMVfMVfgVbababa\uf02b\uf0a3则| )1\uf02d()()()(11\uf02d\uf02d\uf02d\uf02biiiixgxfxgxf)()(gMVfMVbaba\uf02b\uf0a3 30证明: 若 f 不为常数, 则存在使得或, 作)的分划Vba, 则b, 这与矛盾, 故 f 必为常数, 证毕。性质4 若 f是Vba上的有界变差函数,且, 则 f 是常数。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数],[ba0)(\uf03df],[0bax \uf0ce)()(0afxf\uf0b9()(0bfxf\uf0b9xa\uf0a3\uf0a3\uf0440:0),(\uf0b9\uf044 fV0)(\uf03df],[ba 31第四节第四节 有界变差函数有界变差函数性质5 设 f是函数,[上的有界变差, 则,上的有界变][ dc特别地, 也 f 是差函数。],[],badc\uf0cc()()fVfVdcba\uf0b3,],[ba 32第四节第四节 有界变差函数有界变差函数证明: 任取的一个分划,对应到~的一个分划~, 于是, 进而V, 证毕。],[ dcdxxxcn\uf03d\uf03c\uf03c\uf03c\uf03d\uf044\uf04c10:],~[babx~xx~xxxx~annn\uf03d\uf03c\uf03dba\uf03c\uf03c\uf03c\uf03d\uf03c\uf03d\uf044\uf02b\uf02b212010:\uf04c)(),(),(fVfVfV\uf0a3\uf044\uf0a3\uf044)()(fVfbadc\uf0a3 33第四节第四节 有界变差函数有界变差函数性质6 设 f 是上的有界变差函数, c 是内任一数, 则)(fVd\uf03d。\uf065],[ba),((b)a)(fVfVbccba\uf02b证明: 由全变差定义, 对任意, 可以找到分划\uf044yc\uf03d\uf0440ca及分划, 使得b)(fVc,。0\uf03ecxxxan\uf03d\uf03c\uf03c\uf03c\uf03c,2\uf03d\uf03c\uf04c101:yym\uf03d\uf0b3)f\uf03c\uf04c12:\uf065\uf02d\uf0b3\uf044)(),(1fVfV\uf065\uf02d\uf044(Vb 34将\uf044合并起来得x\uf03c\uf03c\uf04c1),(fV\uf044),f\uf03d\uf044)(Vf\uf02b的一个分划]y\uf03c\uf03c\uf04c1, 于是由V及(V得由,的任意性立得(fVa。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数21,\uf044a\uf03d\uf044,[ybabyxxmn\uf03d\uf03c)\uf02b2\uf065\uf03d(,\uf03c\uf0a3(bc001:fV\uf044fba),)(ca2b1ffV\uf044V)()(fVa\uf0a3\uf02d\uf065)()()fVfVbabcc\uf0a3\uf02b 35第四节第四节 有界变差函数有界变差函数反之, 对任意\uf044],[ba, 设0\uf03c\uf04c1是的一个分划, 满足\uf0b3\uf044),(VfV),( bac\uf0ce\uf0a3\uf0a3ixc,则对任意使得, 存在 ,, 于是1\uf02b\uf03e\uf065bxxxan\uf03d\uf03c\uf03c\uf03d0:\uf065\uf02d)(fba0i00ix100\uf02d\uf0a3\uf0a3ni 36进而的任意性得(fVa, 任由, 所以)f, 证毕。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数nfxf| )1\uf02d()(|),(1\uf03di\uf02d\uf03d\uf044\uf0e5iiixfV| )0()(|| )1\uf02d()(|01iiiixfcfxfxf\uf02d\uf02b\uf02d\uf0a3\uf03d\uf0e5\uf02b| )1\uf02d()(|| )c()(|210\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b\uf02d\uf0e5iiinixfxffxf)()()(fbcVfcaVfVbccaba\uf02bf\uf0a3f\uf02b\uf02d\uf065Va(f\uf065()()V()VV(b\uf02b\uf0a3bc))fVcab\uf03d)()(fVfVbcca\uf02b\uf0a3 37第四节第四节 有界变差函数有界变差函数性质7差函数列,且是[a若是(上的有界变是有界数列,, 则 g 也)(xg处处收敛到上的有界变差函数, 且sup)(kVgV\uf0a3。}bagV{k g)}{k)(xgk],[ba)(kbabag],b 38所以, 证毕。第四节第四节 有界变差函数有界变差函数证明: 记的一个分划, 任取), 则(supka\uf03dkbagVM \uf03d],[babxxxn\uf03d\uf03c\uf03c\uf03c\uf044n\uf04c10:| )1\uf02d()(|),(1\uf03d\uf02d\uf03d\uf044\uf0e5ilimiixgxggV\uf0e5\uf03di\uf02d\uf0a5\uf0ae\uf02d\uf03dnikikkxgxg11| )()(|\uf0a5\uf03c\uf0a3\uf0a3\uf0a5\uf0aeMgVkbaklim)()(supk)(kbabagVgV\uf0a3