先说分部求导。比如求y=x*e^x的导数。显然,我们没法直接求导。函数y=f(x)*g(x)分部求导的公式是y’=dy/dx=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)。 这个具体案例就是,y’=1*e^x+x*e^x=(1+x)*e^x。
我们简单的验证一下。比如求y=2x^3的导数。这个我们能直接求导,就是y’=2*(3x^2)=6x^2。我们分为4部分, y=2*x*x*x,y’=0*x*x*x+2*1*x*x+2*x*1*x+2*x*x*1=6x^2。如果分成3部分,y=2*x^2*x,那么y’=0* x^2*x+2*(2x)*x+2*x^2*1=6x^2。若分成另外的3部分,y=(2x)*x*x,则y’=2*x*x+2x*1*x+2x*x*1=6x^2。若分成2部分,y=2*x^3,则y’=0*x^3+2*(3x^2)=6x^2。这就是殊途同归,也反向验证了分部求导方法的正确性。
再说分部积分。比如求∫x*e^(-x)*dx的不定积分。 显然,我们是无法一眼看出其原函数的。分部积分公式∫f’(x)*g(x)*dx=∫g(x)*d(f(x))=g(x)*f(x)- ∫f(x)*d(g(x)),这来源于全微分d(u*v)=u*dv+v*du。于是,∫x*e^(-x)*dx=∫x*d(-e^(-x))=x*(-e^(-x))- ∫-e^(-x)*d(x)= -x* e^(-x)+ ∫e^(-x)*dx= -x* e^(-x)+( -e^(-x))+C= -e^(-x)(x+1)+C。 我们可以用分部求导的方法去反向验证一下。
如果分部积分的函数选错了,可能就无法得出最后的结果,比如,要是这样,∫x*e^(-x)*dx=∫e^(-x)*d(x^2/2)=e^(-x)*(x^2/2)-∫x^2/2*d(e^(-x))= e^(-x)*(x^2/2)+∫x^2/2*e^(-x)*dx。到这一步就出现新的分部积分,而且幂次越来越高,无法继续下去了。
不过,上面的一个数学积分计算失误,倒是“塞翁失马焉知非福”。我们得到了一个意外惊喜。