辅助角公式: 综述: 对于acosx+bsinx型函数,我们可以如此变形acosx+bsinx=√(a²+b²)(acosx/√(a²+b²)+bsinx/√(a²+b²)),令点(b,a)为某一角φ终边上的点,则sinφ=a/√(a²+b²),cosφ=b/√(a²+b²) ∴acosx+bsinx=√(a²+b²)sin(x+arctan(a/b)) 这就是辅助角公式。 设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a²+b²)sin(A+M) (tanM=a/b) 证明过程: 设acosA+bsinA=xsin(A+M) ∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA) 由题设,sinM=a/x,cosM=b/x ,(a/x)²+(b/x)²=1 ∴x=√(a²+b²) ∴acosA+bsinA=√(a²+b²)sin(A+M),tanM=sinM/cosM=a/b (a,b)由其所在象限确定。 或acosA+bsinA=√(a²+b²)cos(A-M) ,tanM=sinM/cosM=b/a (a,b)由其所在象限确定。 公式应用 例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 解:设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)²]sin(θ+α)=√5k 平方得k²=sin²(θ+α)/[5-4sin²(θ+α)] 令t=sin²(θ+α) t∈[0,1] 则k²=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 当t=1时 有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解:5sina-12cosa =13(5/13sina-12/13cosa) =13(cosbsina-sinbcosa) =13sin(a-b) 其中,cosb=5/13,sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值 解:令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a =1+sin2a+2cos²a =1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式) =2+(sin2a+cos2a) =2+(√2)sin(2a+π/4)(辅助角公式) 因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4 所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3 特殊公式 利用sin30°=(1/2),cos30°=(√3/2),sin60°=(√3/2),cos60°=(1/2),sin45°=(√2/2),cos 45°=(√2/2)等进行计算。 如 求sinx+cosx的最大值和最小值 sinx+cosx=√2×sin(x+45°) 当 x=45° +360°k(k为整数)时 sinx+cosx 最大为√2 当 x=225°+360°k(k为整数)时 sinx+cosx 最小为-√2 函数特征 1。 f(A)=asinA+bcosA=√a²+b²(asinA/√a²+b²+bcosA/√a²+b²) =√a²+b²(cosMsinA+sinMcosA) =(√a²+b²)sin(A+M) 2。f(A)max=√a²+b² 3。f(A)min=-√a²+b² (其中cosM=b/√a²+b²,sinM=a/√a²+b²。 ) (竭力为您解答,希望给予【好评】,非常感谢~~)。