简单逻辑联结词、 全称量词与存在量词 一. 课标及考纲要求 1. 简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非” 的含义. 2. 全称量词与存在量词 ① 理解全称量词与存在量词的意义. ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 二 知识梳理 (一). 逻辑联结词 1. 逻辑联结词: 在数学中, 有时会使用一些联结词, 如 . 2. “ p 且 q ” 记作 ; “ p 或 q ” 记作 ; “ 非 p ” 记作 . ¬的真假判断 qp,都是真命题时,qp ∧为 ;qp,有一个是真命题时,p ∧qp,都是假命题时,qp ∧为 ;qp ∧而言“一假必假”; 对于3. 命题qp ∧,qp ∨和 p(1) 当qp ∨qp ∨为 ;q为 . p¬ 为 . (2) 当q为 ;(3) 当p ∨为 ;p ∨p¬ 为 . 上述语句可以描述为: 对于q而言“一真必真”; 对于p¬而言“真假相反”。 可以用下表来判断: (即真值表) p q qp ∧ qp ∨ p¬ 真 真 真 假 假 真 假 假 (二). 全称量词与存在量词 4. 全称量词: 短语 、 在逻辑中通常叫做全称量词, 用符号 来表示;常见的全称量词还有_________ __________ _________ __________ 等。 含有全称量词的命题, 叫做 . 全称命题“对 M 中任意一个 x , 有)(xp成立” 可用符号简记为 . 5. 存在量词: 短语 、 在逻辑中通常叫做存在量词, 用符号 来表示;常见的存在量词还有_________ __________ _________ __________ 等。 含有存在量词的命题, 叫 做 . 存在命题“ 存在 M 中 一个 x , 使)(xp成立” 可用 符号简记为 . 6. 含有一个量词的命题的否定: 含有一个量词的全称命题的否定, 有以下结论: 全称命题 p :)(,xpMx∈∀, 它的否定¬ : ; 即全称命题的否定是 . p含有一个量词的特称命题的否定, 有以下结论: 全称命题 p :,pMx∈∃)(x, 它的否定p¬ : ; 即全称命题的否定是 . 常见词语的否定 正面词语 否定词语 [特别提醒] 1. 对逻辑联结词“或”“且”“非” 的理解 在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集” 与逻辑联结词中的“或”“且”“非” 关系十分密切, 对于理解逻辑联结词“或”“且”“非” 很有用处: (1)“或” 与日常生活中的用语“或” 的意义不同, 在日常生活用语中的“或” 带有不可兼有的意思, 而逻辑用语中的“或” 可以同时兼有。 对于逻辑用语“或” 的理解我们可以借助于集合中的并集的概念: 在AxxBA∈=|{\uf055或等于 大于 小于 是 都是 任意的 所有的 或 任意两个 至多有一个 至少有一个 至多有n个 } Bx∈中的 “或”是指 “Ax∈”与 “Bx∈” 中至少有一个成立, 可以是 “且Bx∈”, 逻辑用语中的“或” 与并集中的“或” 的含义是一样的; (2) 对“且” 的理解, 可以联想到集合中的交集的概念: 在Ax∈”、“Bx∈” 都要满足的意思, 即 x 既要属于集合 A, 又要属于集合 B; (3) 对“非” 的理解, 可以联想到集合中的补集的概念:“非” 有否定的意思, 一个命题 p 经过使用逻辑联结词“非” 构成一个复合命题“非 p ”, 当 p 为真时, 非 p 为假, 当 p 为假时,Ax∈且Bx∉”, 也 可 以 是 “Ax∉且Bx∈”, 也可以是 “Ax∈AxxBA∈=|{\uf049且} Bx∈的“且”是指“非 p 为真。 若将命题 p 对应集合 P , 则命题非 p 就对应着集合 P 在全集 U 中的补集PCU;对于非的理解, 还可以从字意上来理解, “非” 本身就具有否定的意思, 如“0. 5 是非整数”是对命题“0. 5 是整数” 进行否定而得出的新命题。 一般地, 写一个命题的否定, 往往需要对正面叙述的词语进行否定。 2. 由于全称命题的否定变为特称命题, 而特称命题的否定变为全称命题, 因此, 可以通过“举反例” 来否定一个全称命题。 三 典例精析 【考点 1】 逻辑联结词“或”、“且”、“非” 的真假 【例1】 写出由下述各命题构成的“ p 或 q ”, “ p 且 q ”, “ 非 p ” 形式的复合命题, 并指出所构成的这些复合命题的真假. (1) p : 9 是 144 的约数, q : 9 是 225 的约数。 (2) p : 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q : 方程 x2-1=0 的解是 x=-1. 【点评】 在命题 p 或命题 q 的语句中, 由于中文表达的习惯常常会有些省略, 这种情况下应作词语上的调整. 【变式与拓展】 用、 “qp∨ ""(1) 命题“三角形有内切圆和外接圆” 是___________形式; 是_____命题。 (2) 命题“若0; (2) 若 24x >, 则2x >; xR∃ ∈,10x + <; (4) 至少有一实数 x , 使得x + = 【点评】 全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题; 所以其真假有时可通过另一面来判断, 并且可以通过列举反例来否定一个全称命题. 【变式与拓展】 指出下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假. (1) 所有的抛物线与 x 轴都有两个交点 (2) 存在函数既是奇函数又是偶函数 (3) 每个矩形的对角线都相等 (4) 至少有一个锐角 α , 可使 sinα =0 (5) ∈ba、R, 方程0=+ bax都有唯一解 (1)2(3)2310; 【考点 3】 逻辑知识的综合应用 【例 3】 已知 p : 方 程实根. 若 p 或 q 为真,012=++ mxp 且 q 为假, 求实数 m 的取值范围. x有两个不等的负实根; q : 方 程01) 2( 442=+−+xmx无 【变式与拓展】 5 . 若命题)(xs有且只有一个为真命题, 求实数 m 的取值范围。 )(xr:mxx>+ cossin, 命题01: )x(2>++ mxxs, 如果对于Rx∈∀,)(xr、 四、 当堂检测 1. 有下列四个命题, 其中真命题有: ①“若0=+ yx, 则yx,互为相反数” 的逆命题; ②“全等三角形的面积相等” 的否命题; ③“若1≤q, 则2+x02=+qx有实根” 的逆命题; ④“不等边三角形的三个内角相等” 的逆否命题; (A) ①② (B) ②③ (C) ①③ ,:∈∃ooxRxp (D) ③④ ( ) 2. 已知命题0222≤++ox, 那么下列结论正确的是( ) A ¬022,:2o>++∈∃ooxxRxp B ¬022,:2o>++∈∀ooxxRxp C ¬022,:2o≥++∈∃ooxxRxp D ¬022,:2o≥++∈∀ooxxRxp 3. 已知命题pp4. 下列语句(1) 有一个实数a 不能取对数 (2) 所有不等式的解集 A, 都有 A⊆R (3)三角函数都是周期函数吗?(4) 有的向量方向不定。 其中特称命题是_____________________. 5. 下列命题中是全称命题的是( ) , 1sin,:≤∈xx∀xRxpRR则( ) :∀xp:∀xpA , 1, 1sinsin,,::≥∈∃¬xx B, 1, 1sinsin,,≥∈¬xxRR C >∈∃¬ D>∈¬ (A) 圆有内接四边形(B)为 3, 4, 5, 则这个三角形为直角三角形 x∈∀23 > (C)23 < (D) 若三角形的三边长分别6. 写出命题:23,xxN>的否定 。 24xx >; ②7. 给出以下命题: ①Rx∈∀, 使五 反思小结 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 六: 巩固提高 (课时作业) Rx∈∀x, 有0. 其中的假命题是 . R∈∃α, 使得αα3sin3sin=; ③Ra ∈∃,对22<++ax www. ks5u. com www. ks5u. com