题目
如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA
底面ABCD,PA=AB=
,点E是棱PB的中点。(1)求直线AD与平面PBC的距离。(2)若AD=
,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
高中数学
柱、锥、台、球的结构特征
解析
(1)如图(1),在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离(2分)。因为PA⊥AB,
由PA=AB知 PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB在底面ABCD内和射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥PAB(4分)。故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE的长即为直线AD与平面PBC的距离,在Rt
PAB中,PA=AB=
,所以
。……………………………………6`(2)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为
所求的二面角的平面角。……………………………………………8`由(1)知BC⊥平面PAB,又AD⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而DE=
。在Rt
CBE中,
.由CD=
,知
CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且
因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE。又FG⊥CE,知
从而
,且G点为AC的中点,连接DG,则在
中,
…………………………………………10`所以
所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
。…………………………12`
解
法2:(1)如图(2),以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为
轴、
轴、
轴正半轴,建立空间直角坐标系A-
。设
………2`因此
,
,则
所以AE⊥平面PBC。………4`又由AD∥BC加AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为
………6`(2)因为
设平面AEC的法向量
又
所以
…………8`设平面DEC的法向量
则
又
故
所以
……………………10`故
…………12`所以三