本文是复旦高代教材第 1.6 节“行列式的等价定义”的补充, 即阐述如何从行列式的组合定义出发, 推出行列式的所有性质及其递归定义. 另外, 作为组合定义的一个应用, 我们还将证明: 偶数阶反对称阵 $A$ 的行列式 $|A|=\mathrm{Pf}(A)^2$, 其中 $\mathrm{Pf}(A)$ 是反对称阵 $A$ 的Pfaffian 多项式. 下面我们给出两点注解, 它们可使本文的所有结论在一般的域 $\mathbb{F}$ 上都成立.
注1在高等代数课程中, 我们通常是在数域 $\mathbb{K}$ 上考虑问题. 由于数域 $\mathbb{K}$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 的子域, 故其特征为零. 进入抽象代数课程后, 我们通常是在一般的域 $\mathbb{F}$ 上考虑问题, 有时甚至会在环 $R$ 上考虑问题. 那么我们可以自然地问: 高等代数中的定理和结论是否在一般的域 $\mathbb{F}$ 上也成立呢? 作为一个简单的例子, 我们将从组合定义出发来给出一般的域 $\mathbb{F}$ 上的行列式理论. 为了得到这一推广, 我们必须避免域的特征的讨论, 因此在推导过程中, 我们会完全避免形如“$|A|=-|A|\Longrightarrow |A|=0$”或“$m|A|=0\Longrightarrow |A|=0$”的论断出现, 其中 $m$ 是某个非零整数. 基于同样的原因, 反对称阵的定义也修改为:
$A=(a_{ij})_{n\times n}$ 为反对称阵 $\Longleftrightarrow$ $a_{ii}=0\,(\forall\,1\leq i\leq n)$ 并且 $a_{ij}=-a_{ji}\,(\forall\,1\leq i