五个公设中的前四个很容易理解,基本上也不会有争议,但是大名鼎鼎的第五公设可折腾了数学家两千多年,因为第五公设看起来怎么也不像不证自明,虽然欧几里得极尽减少第五公设的语言描述,但是第五公设比前面四个公设加起来还长。由于第五公设本质上与“平行线不相交”等价,所以第五公设也叫做平行公设,历史上有很多人试图用前面四个公设来证明第五公设,但都失败了。虽然有一些人宣称完成了证明,但是在证明过程中,都不经意地引入了第五公设的等价命题,比如平行线不相交、三角形内角和为两个直角等等。欧几里得在著作《几何原本》时,肯定也注意到了这个问题,相信他也做过类似的尝试,以至于第五公设在《几何原本》中直到命题29才首先被使用,而且这个命题必须得使用第五公设才能完成证明。命题29:一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角之和等于180°。