中要 证 明 结论 进 行 转 化 , 通 过 分 析, 运 用 比较和放 缩 的方 法 , 使 问题 得 以解决. = 1 一 X 2 【 L + 1 X 2 n . x , ‘ 一 l n x ) ] J 1+ 2 , 方 法二 : 消 元 转 化 成 一 元 函 数 例2 已知 函数 )=a l n x一6 , 函数 :1处取 得极 值为 一1 . ? ) 在 1 8 2? 《 数学之友 》 2 0 1 2 年第 2 4期 令￡ = >1 , 1 。 ‘ ? ? 函 数 ^ ( m ) 寺 m — I n m 一 在 ( 1 , e ] 是 单 调 ) = 【 +l n , + l n t ] . 增 函数. ‘ . . ) 命题 成 立. 号- l - 三 2 e = 业 < o . 令p ( ￡ )= = ? . . ÷ 一 南 = 评注 : 本题 关键 是读 懂题 目的“ 任意” 这 一 全 称 量词. 任意, 存 在这 一 类量词在 函数题 型 中 出现 时往 往 转化 成 函数 的 最值 问题. 所 以p ( t ) 在( 】 , +。 。 ) 单 调增 , P ( t )> p ( 1 ): 0 . 又= _ ’ 二_ < 0 , 所以 g ( 0 )< 0 . l 一 , 4 方 法 四: 构 造 函数转化为函数单调性 评注: 化 归思 想是 中学 数 学 中非 常 重要 的思 想 方法. 本题 将 不熟 悉的 二 元 变量 不等 式化 归成 熟 悉 的一 元不等 式 . 体 现 了这 一 重 要 思 想. 例4 已知函数 ) = l 似, g ( ) = ÷ 一 b x ( b 为 常数 ) . 方法三 : 转化成最值 问题 例 3 已 知 二 次 函数 g ( ) 对 任 恿 买 数 都 满 足 ( 1 ) 设 函数厂 ( ) 的 图象在点 ( 1 1 ) ) 切线 与 函 ( —J )+ g ( 1一 )= 一2 x一1 , 且 g( 1 )= 一1 . 令 ) = g ( + 1 ) l n + 9 ( m E R , > o ) . ( 1 ) 求g ( x ) 的表 达式 ; ( 2 ) 设1 < m≤e , ( ) )一( m +1 ) , 证 明: 对 任意 , : ∈[ 1 , m] , 恒有 I t t ( x 1 )一 F l ( x 2 ) f < 1 . 解: ( 1 ) 设g ( )=僦 +b x+ c . ? . . 数g ( ) 的图象相切 , 求实数 b的值 ; ( 2 ) 设h ( x )= , ( )+g( ) , 若 函数 ( ) 在定 义域 上存 在单 调减 区 间 , 求实 数 b的取值 范围 ; ( 3 ) 对于区间[ 1 , 2 ] 上 的任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 1 , 2 , 都有 1 )一 2 ) I >I g ( 1 )一g ( 2 )I 成 立, 求 实数 b的取 值 范围. 解: ( 1 ) b : 一1士 ( 解答 略 ) . ( 2 ) ‘ . ‘ ( )= 厂 ( )+g ( )=l n x+— 1 一b x在 g ( 1 一 )+ g ( 一1 )=2 a ( 一1 ) + 2 c = ( 0 , +∞ ) 上 存在 递减 区 问 , ? . ( 一1 ) 一 2 . . h ( )= 一 1+ 戈一b < 0在 ( 0 , +∞) 有解. > ? . . = , c = 又? . ? g ( 1 )=一1 , 则 6:一 . ? . . ( ÷ + ) = 2 . . - . 6 > 2 . )一 : )>I g ( x )一 g ( x 2 ) l g ( )= 1 2 一 1 一 ? 1 . ( 3 ) 不妨 设 2 ≥戈 1 > 2 ≥1 . 厂 ( ) 在( O , + ) 上 递增 , ’ . ? . . 原不 等式 ( 2 ) . . . 对V ∈ E 1 , m ] , , ( ) : ? . . ≤ 0 , 车 1 )- A 2 )> g ( 1 )一g ( 2 )> / . ( : )~ / ( . ) ^ ( 1 )- f ( 2 )> g ( 1 )一 g ( x 2 ) / 4 ( x ) 在[ 1 , m] 内单调 递减 . 于是 I H( )一 / 4 ( x ) I ≤H( 1 )一 ( m) = 【 g ( , )一g ( : )> : )一 1 ) ÷ m 2 一 一÷ , 一 ) - g ( x 1 ) > f ( x 2 ) - g ( x 2 ); l : ) + g ( 1 ) ( ) + g ( ) 料 J H( )一 ( ) I
Q 即 6 ≥ ( ~ ÷ = 3 ( 当 x = 2 N 寸 取 最 大 值 ) . ( 下 转第 8 5页) ? 8 3? 《 数学之友》 2 0 1 2年第 2 4期 故不 等式 成 立 , 从 而不 等 式 ⑧ 成 立 . 命题 3 设 口 1 , 1 7 , 2 , …, 口 I >0 ( k∈N k ≥2 ) , 且 a 1 + a 2+… + 口 =1 , I I , ∈N 且 n ≥2 , 贝 + ? + < 所 以 而 1+ 南 . + 南 + k 志 ⑦ > 反 ⑧ 1 + ≥ 了 证 明: 不等 式⑦ 等价 于 黯+ ( +1 ) ( ¨ +1 ) + , I t+ …+ , I t + i _ 由算术— — 几何 平均值 不 等式 和幂平 均值 不等 式, 得 — — = [ 【 ? + ( + 1 ) ( “ + 1 ) ] J > . 故不等式⑧成立 , 从而不等式⑦成立. +— — + … +— — 1+ 1+ 1+ 命题 4 设 0 I , 0 2 , …, Ⅱ > 0 ( ∈N 且 i >2 ) , 且0 1 +。 2 +… +6 / , =1 , 0< r <1 , 贝 0 √ 巧 丽 南+ 南 . + 盏< 志 ? ⑨ ‘ 巧 茄 = 丽 命题 4 的证 明 过 程 与 命 题 3的证 明过 程 相类 ‘ ≥ 巧 似, 这 里从 略. 参 考文 献 : [ 1 ] 陈炳堂. 问题 8 1 4 [ J ] . 数学教 学, 2 0 1 0 , ( 1 2 ) . [ 2 ] 周 先 育. 一 个 有 理 不 等 式 的类 比及 猜想 [ J ] . 中学 数学研 究 ( 南昌) , 2 0 1 1 , ( 8 ) . 另一 方 面 , k ≥ [ 3 ] 周超, 鲍 建生 . 形 成 学 生高 水平 数 学 思 维 的策 略— — 一 线 教 师 之 观 点 [ J ] . 数 学教育 学报 , 2 0 1 2 , 2 1 ( 4 ) : 3 6— 3 9 . [ 4 ] 刘 晓燕 . 联 想 在 数 学 解 题 中的 运用 [ J ] . k. +1 数 学之 友 , 2 0 1 2 , ( 2 0 ) : 5 6— 5 7 . 声 ( 上接 第 8 3页) 对 式 : 由( 2 ) 可得 h ( )= + —b >0在 I 函数 与不 等式 问题 , 因题 目涉 及知识 面广 , 解题 方 法灵 活多样 , 技巧性强, 难 度 大等 特 点 , 要 求 有较 [ 1 , 2 ] 恒成 立 , 强 的思维 灵 活性 和创造 性 、 较高 的解 题 能力. 这就要 求 我们 以变应 变 , 在解题 过程 中 , 根 据具 体 的题 设 条 即 ( ÷ ) l I l i . ? . 6 < z . 综上 : 当÷ ≤6 ≤2时满足题意. 评注: 本题 通过 构 造 新 函数 将二 元 不等 式 转化 为 函数 单调性 的证 明 , 构 造 法 角度 新 颖 但是 对 能 力 要 求 比较 高. 这 需要 平 时 多积 累, 多感悟 , 解题 时通 件, 认 真 观察题 目中不 等式 的结构 特征 , 从不 同 的角 度, 不 同的方 法 , 加 以分 析 探 讨 , 选 择 最适 当方 法 快 速而准 确地 解 出. 因此 在 备考 的各 个 阶段 教 师都 应 该 渗透 转化 的思想 方 法 , 帮 助学 生总结 提高 , 促使 学 生主 动迁移 和类 化联 想 , 增 强综 合运 用知识 的 能力. 过 观察 , 联想, 类 比等 手段 将 问题 转化 . ? 8 5?