一、学习要求
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力.
能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.
二、重点难点
重点是正弦、余弦的和(差)角公式,它们是全部和(差)角公式及后面的倍角公式等的基础.
难点是余弦的和角公式的推导.充分利用单位圆、平面内两点间的距离公式及化简过程,是克服这一难点的关键.
三、学法点拨
1、两角和与差的余弦公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β))
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))
[点拨]
(1)上述公式对α、β取任意角都成立.
(2)公式特点:公式中右边有两项,中间符号与左边角间符号相反,两项排列顺序是:cosαcosβ、sinαsinβ.
(3)牢记公式并能熟练进行左、右互化.
如化简:cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ时,不要将cos(α+β)、sin(α+β)展开,而应就整个式子直接用公式化为cos[(α+β)-β]=cosα.
(4)和(差)角公式可看成诱导公式的推广,诱导公式可看成和(差)角公式的特例.当α、β中有一个角为
的整数倍时,以利用诱导公式较为简捷.
2、两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(S(α+β))
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))
[点拨]
(1)上述公式对α、β取任意角都成立.
(2)公式特点:右边有两项,中间的符号与左边角间符号一致,两项顺序为:sinαcosβ、cosαsinβ.
(3)牢记公式并能熟练进行左、右互化.如化简sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ=?可直接用公式化简为sin[(α+β)+β]=sin(α+2β).
(4)两角和与差的三角函数是诱导公式的推广,诱导公式是它的特例,当α、β中有一个角为90°的整数倍时,用诱导公式较为简便.
3、两角和与差的正切公式
[点拨]
(1)Tα+β中:α、β、α+β都不取
(k∈Z)时,公式才适用;Tα-β中:α、β、α-β都不取
(k∈Z)时,公式才适用.
(2)如α、β、α±β有一个角取
(k∈Z)时,可用诱导公式,
(3)公式特征:右边分子为两项:tanα、tanβ,中间符号与右边角间符号一致;右边分母为两项:1,tanαtanβ,中间符号与左边角间符号相反.
(4)注意左、右互化,如求值:
,可将式子化为:
4、和(差)角的正、余弦公式的“加”、“减”、“乘”规律
(1)sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
(2)sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ
(3)sin(α+β)·sin(α-β)=sin2α-sin2β
(4)cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
(5)cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
(6)cos(α+β)·cos(α-β)=cos2α-sin2β
5、和(差)角的正切公式的变形形式
由tan(α+β)=
变形得
tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β)
由tan(α-β)=
变形,
得
.
6、形如asinθ+bcosθ的三角函数式可化成一个角的一个三角函数
即asinθ+bcosθ=
令
.
故asinθ+bcosθ=
,
此即为化一公式,其中
.
7、正弦、余弦、正切的和(差)角公式的联系
四、典型例题解析
1、利用和、差角公式进行求值
例1、已知
,求sin(α+β).
分析:
解析:
例2、已知
分析:
解析:
点评:
利用和(差)角公式进行求值时,一定要注意角的变换,另外还要注意公式的灵活运用,左右互化等.
2、利用和、差角公式进行化简
例3、化简
.
分析:将每个公式中分子用差角公式展开.
解析:原式
例4、化简:tanθ·tan2θ+tan2θ·tan3θ+…+tan nθ·tan(n+1)θ(n∈N+).
分析:
问题实质是求数列{tankθ·tan(k+1)θ}的前n项和,从通项入手,利用差角(k+1)θ-kθ=θ的正切,产生tan(k+1)θtankθ,再裂项求和.
解析:
点评:
对于正切和(差)角公式有时常用它的变形形式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)
一般是指同一个式子中,既有两角的正切和(差),又有两角的正切积时用上述两公式进行变形较为简便.
3、利用和、差角公式进行证明
例5、求证:
.
分析:2α+β=(α+β)+α
证明:
左边
=右边
点评:等角变换,公式的左、右互化是解本题的关键.
例6、已知sin(2α+β)=3sinβ,
(k,n∈Z),
求证:tan(α+β)=2tanα.
分析1:
由条件进行等角度换2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,利用和差角的正弦公式展开,化简得待证等式.
证明:∵ sin(2α+β)=3sinβ
∴ sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
4cos(α+β)sinα=2sin(α+β)cosα
即sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα
∴ tan(α+β)=2tanα.
分析2:
刚才的解法是从条件到结论.本题亦可用等价转换法证明,尤其是“观察到”条件中有系数“3”,故我们首先“关注”结论中的系数“2”.利用合分比定理,可“构造”出2来.
证明:
故命题成立.
点评:
①两个化切为弦关系很常用:
②
,这种结构,常联想实施合分比变换.
4、和、差角公式的综合运用
例7、求函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值.
分析一:
由于涉及到的两角不一致,故可考虑利用和角公式先展开,然后再重新组合。
解:
∴函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是7.
分析二:可把x+20°作为整体.
解:令α= x+20°,则x+80°=α+60°.
y=3sinα+5sin(α+60°)=3sinα+5sinαcos60°+5cosαsin60°
=
.
∴函数y的最大值是7.
例8、 已知tanα、tanβ是方程
的两根,且
求α+β的值.
分析: 由根与系数的关系联想到和角的正切公式来求解.
解析:
点评: 本题既要注意到α+β的取值范围,又要善于发掘隐含条件tanα