泰勒级数的定义: 若函数 f(x)在点 的某一临域内具有直到(n+1)阶导数,则在该邻域内 f(x)的 n 阶泰勒公式为: 其中: ,称为拉格朗日余项。 以上函数展开式称为泰勒级数。 泰勒级数在幂级数展开中的作用: 在泰勒公式中,取 ,得: 这个级数称为麦克劳林级数。函数 f(x)的麦克劳林级数是 x 的幂级数,那么这种展开 是唯一的,且必然与 f(x)的麦克劳林级数一致。 注意:如果 f(x)的麦克劳林级数在点 的某一临域内收敛,它不一定收敛于 f (x)。因此,如果 f(x)在 处有各阶导数,则 f(x)的麦克劳林级数虽然能做出来, 但这个级数能否在某个区域内收敛,以及是否收敛于 f(x)都需要进一步验证。 几个重要的泰勒级数。