本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 相关概念 单调性 对任一数列{xn},如果从某一项xk开始,满足 则称数列(从第k项开始)是单调递增的。特别地,如果上式全部取小于号,则称数列是严格单调递增的。同样地,如果从某一项k开始,满足 则称数列(从第k项开始)是单调递减的。特别地,如果上式全部取大于号,则称数列是严格单调递减的。单调篮催元宙递增数列和单调递减数列统称单调数列。 [2] 有界性 对任一数列{xn},如果存在某个实数A使数列的所有项都满足不等式 恒成立,即 ,使得 则称这个数列是有下界的,实数A是数列的一个下界,记做 ;同样地,如果存在某个实数B使数列的所有项都满足不等式 恒成立,即 ,使得 则称这个数列是有上界的,实数B是数列的一个上界,记做 。如果一个数列既有上界又询辣去有下界,则称这个数列是有界的。此时,存在一个正数M,使不等式 成立。数列有界性的几何解释是:数列的所有项都包含在零点的M-邻域内。 [1] 定理 单调有界数列必有极限。具体地说:(i)若数列 递增且有上界,则 (ii)若数列 递减且有下界,则 [1] 证明 设数列{xn}单调递增且有上界,接下来用戴德金定理证明{xn}必有极限。分类讨论,如果{xn}从第N项开始所有的项都相等(即数列有无穷多个相等的项),那么由于数列是单调递增的,当n>N时,有xn=xN,因此对 。即{xn}收敛到xN。如果{xn}中只有有限项相等,即数列从某项开始严格单调递增,那么因为{xn}有上界,可取所有{xn}的上界组成一个数集B,并取A=R/B。则:①由取法可知数集B非空,而{xn}为严格归汽单调递增数列,故 。∴ 。② 。③∵A中任何元素都不是{xn}的上界,∴ 。又∵B中任何元素都是{xn}的上界,∴ 。故必有 。∴由戴德金定理可知,存在唯一实数η,使得η要么是A中的最大值,要么是B中的最小值。但无论是哪种情况, 。④由数集A的意义可知, 。而数列单调递增,故当 时提笑删, 。⑤由数集B的意义可知,当 时, 。综合④⑤可知,当 时, ∴ ,即{xn}有极限。同理可证:若数列{xn}单调递减且有下界,则{xn}必有极限。 [3] 应用 在一般的教科书中,单调有界定理是通过确界原理来证明的,即通过确界原理知道{xn}有上(下)确界α,再证明{xn}收敛于α。事实上,单调有界定理与确界原理