§2 矩阵的运算现在来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见,我们取定一个数域,以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1. 加法定义1 设,是两个 矩阵,则矩阵称为 和 的和,记为.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然,相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,所以不难验证,它有结合律: ;交换律: .元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 ,在不致引起含混的时候,可简单地记为 .显然,对所有的 ,.矩阵称为矩阵 的负矩阵,记为 .显然有矩阵的减法定义为例如 在§1我们看到,某一种物资如果有 个产地, 个销地,那么一个调动方案就可表示为一个 矩阵.矩阵中的元素 表示由产地 要运到销地 的这个物资的数量,比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地,那么,这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个 矩阵.显然,这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.根据矩阵加法的定义,应用关于向量组的秩的性质,很容易看出:秩( + )≤ 秩( )+秩( )2. 乘法在给出乘法定义之前,先看一个引出矩阵问题.设 和 是两组变量,它们之间的关系为 (1)又如 是第三组变量,它们与 的关系为 (2)由(1)与(2)不难看出 与 的关系:. (3)如果我们用 (4)来表示 与 的关系,比较(3),(4),就有. (5)用矩阵的表示法,我们可以说,如果矩阵分别表示变量 与 以及 与 之间的关系,那么表示 与 之间的关系的矩阵 就由公式(5)决定.矩阵 称为矩阵 与 的乘积,记为一般地,我们有:定义2 设,那么矩阵,其中, (6)称为矩阵 与 的乘积,记为.由矩阵乘法的定义可以看出,矩阵 与 的乘积 的第 行第 列的元素等于第一个矩阵 的第 行与第二个矩阵 的第 列的对应元素的乘积的和.当然,在乘积的定义中,我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.例1 设,那么例2 如果是一线性方程组的系数矩阵,而分别是未知量和常数项所成的 和 矩阵,那么线性方程组就可以写成矩阵的等式.例3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 到 的坐标变换的矩阵为如果令,那么坐标变换的公式可以写成.如果再作一次坐标系的转轴,设由第二个坐标系 到第三个坐标系 的坐标变换公式为,其中.那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为.矩阵的乘法适合结合律.设则.但是矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来.例如,设,而.由这个例子我们还可看出,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 时,不一定有 .定义3 主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的 矩阵称为 级单位矩阵,记为 ,或者在不致引起含混的时候简单写为 .显然有,.矩阵的乘法和加法还适合分配律,即, (9). (10)应该指出,由于矩阵的适合交换律,所以(9)与(10)是两条不同的规律.我们还可以定义矩阵的方幂.设 是一 矩阵,定义换句话说, 就是 个 连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律,不难证明,.这里 是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律,所以 与 一般不相等.3. 数量乘法. 定义4 矩阵称为矩阵 与数 的数量乘积,记为 .换句话说,用数 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 .数量乘积适合以下的规律:, (11), (12), (13), (14). (15)矩阵通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形,如果 是一 矩阵,那么有.这个式子说明,数量矩阵与所有的 矩阵作乘法是可交换的.可以证明:如果一个 级矩阵与所有 级矩阵作乘法是可交换的,那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有,,这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.4. 转置把一矩阵 的行列互换,所得到的矩阵称为 的转置,记为 .可确切地定义如下:定义5 设,所谓的转置就是指矩阵.显然, 矩阵的转置是 矩阵.矩阵的转置适合以下的规律:, (16), (17), (18). (19)(16)表示两次转置就还原,这是显然的.例4 设求 .求 .