定理理定1 1LLt(dttytytxQtxtytxPdsQPQdyPdxtyxLyxQyxPtttyytxxL)}()](),([)()](),([{)coscos()()),(),()()(:之间连续, 则:与在、上连续且在、; 如果终点参数值—起点参数值—设有平面光滑曲线定理定理2 2定理定理2 2ΓΓΓdttztztytxRtytztytxQtxtztytxPdsRQPRdzQdyPdxtztytxzyxRzyxQzyxPtttzztyytxxΓ)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{)coscoscos()()()(),,(),,(),,()()()(:之间连续, 则:与在、、上连续且在、、; 如果终点参数值—起点参数值—设有空间光滑曲线 为参数)t解:ttytxL(20 :sincos:2/00)sin)(sin(cosdttttI二型曲线积分直接法举例二型曲线积分直接法举例例例1 1如下图:求LdyyxdxyxIL?,)()(y y1 1终点终点122 yxL L: :2/0cos)sin(costdttt1)2sin(2 /0dttx xo o1 1起点起点 221412dyyyydyy yyyyyI二型曲线积分直接法举例二型曲线积分直接法举例:,yLxydx例例2 2) 1 , 1 () 1, 1 (2BAxIL从求)( 1)( 1::2终起为参数时y以解:yyyyxLy y1 1终点终点ydydx2而5(4|54410510411ydyyyx xo o1 1起点起点xy L L: :2- -1 1公式。数, 用定理则可以视的方程为: 若曲线1注),yyxL为参1 二型曲线积分直接法举例二型曲线积分直接法举例ydxxdyL例例3 3L) 1 , 1 (:,2AOxyLI从求xdxdy112而)( 1)( 0::2[终起为参数时以解:xxxxyLx3))2 ((122dxxdxxdxxxIy yA A终点终点dttytytxQtxtytxPQdyPdx)}()](),()()](),([{10公式。1数, 用定理为参则可以视的方程为: 若曲线2注),(xxyLo o1 1x x起点起点 y yy yB B11为参数以以321321IIIydyxdxydyxdxydyxdxILLL为参数设) 0 , 0 (O) 1 , 0 (B0:);1 , 0 (B) 0 , 1 (A1:3222xLyxL);0 , 1 (A) 0 , 0 (O0:1321yLLLLL且解: 设直接法举例续直接法举例续ydyxdx例例4 4线的逆时针方向。所围平面区域的边界曲是求0, 0, 1,22yxyxLILo ox xA A1 11 1122 yx021021321IIII2100100103xydyydydyIy为参数以0cossin)sin(cos2/0cossin2tdttdtttItxty2001001dxxdxIxyL L1 1L L3 3L L2 2 直接法举例续直接法举例续xdzzdy例例5 5点再经第四卦限回到位于第四卦限内的部分出发经第一卦限到从为沿着圆其中求ABARzxLRzyxΓydxIΓ位于第一卦限内的部分xx1L,,2222为x解: 设,1Lxz z21222:( :x R0)2 (x R)LLzRxzRxyxyRzx为, 则即:dddIIL L1 1y yx x1xdzzdyydx(0)22)()(2RdxxxRxxRxRxRx2422220RRdxxxxRRR 直接法举例续直接法举例续z z2:2 (x R)(: 0)xxLyxxRzRx 而L2RRdxxxxxRxRxRxxdzzdyydxI02)(2)2()()(2222RRxxRRRRRRL L1 1y yx x24220Rdxxx22122RIII故: 本节结束本节结束返回返回( (Return)Return)继续下一节继续下一节( (Continue)Continue)其它的自学!其它的自学!