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本文将总结关于线性方程组解的知识点。线性方程组
定义1 线性方程组:我们将形如下式的方程组称为线性方程组。
a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm(9) (9) a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m
其中,矩阵
A=⎛⎝⎜⎜⎜a11⋮am1…⋱…a1n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟(10) (10) A = ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n )
称为该线性方程组的系数矩阵,而所有满足这个方程组的 X=(x1,…,xn) X = ( x 1 , … , x n )的集合称为它的解集合。
定义2 增广矩阵:上面线性方程组的系数矩阵如果加上右侧的(b1,b2,…,bn) ( b 1 , b 2 , … , b n )就构成了该方程组的增广矩阵,记为A¯ A ¯。
A=⎛⎝⎜⎜⎜a11⋮am1…⋱…a1namnb1⋮bn⎞⎠⎟⎟⎟(11) (11) A = ( a 11 … a 1 n b 1 ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n b n )
消元法解线性方程组
消元法是最常用的解线性方程组的方法,他的核心在于对增广矩阵进行初等变换(即数乘,倍加和对调),使得增广矩阵变为阶梯型。具体做法大家应该都知道,我略了。
线性方程组有解无解的判定
将增广矩阵变为阶梯型后,我们就可以通过观察这个阶梯型矩阵判断方程组有无解。具体的做法是看增广矩阵左侧的系数矩阵,如果他的秩和增广矩阵的秩是相等的,则该方程组有解,否则无解。
定理1 方程组有无解的判定:线性方程组有解的充要条件是r(A)=r(A¯) r ( A ) = r ( A ¯ ).
线性方程组解的结构
上面是判断有无解的方法,下面更进一步,在有解的情况下,又要分两种情况讨论了:即有唯一解和有无穷解。所以有