第 37卷 第 10 期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 37 No.10 2017 年 10 月 Journal of Science of Teachers′College and University Oct. 2017 文章编号:1007-9831(2017)10-0004-04 4 类可化为齐次方程的高次微分方程的求解方法 陈翠玲,仇东雪,韦莹,何子群,黄秀文 (广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 541004) 摘要:根据微分方程1 1 12 2 2dda x b y c yx a x b y c+ +=+ +的求解方法,对 4 类具有特定形式的高次微分方程进行了研究,通过变量代换,将其转化为1 1 12 2 2dda x b y c yx a x b y c+ +=+ +的形式,从而求出其通解.通过实例说明方法的有效性. 关键词:微分方程;通解;变量代换 中图分类号:O175.1 文献标识码:A doi:10.3969/j.issn.1007-9831.2017.10.002 Solving four classes of high degree differential equations converted into homogeneous equations CHEN Cui-ling,QIU Dong-xue,WEI Ying,HE Zi-qun,HUANG Xiu-wen (School of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin 541004,China) A bstract :Based on the solving method of differential equation1 1 12 2 2dda x b y c yx a x b y c+ +=+ +,four classes of high degree differential equations with a specific form are studied.Through variable substitution,they are converted into 1 1 12 2 2dda x b y c yx a x b y c+ +=+ +,so as to find out the general solution.An example is given to illustrate the effectiveness of the method. Key words :differential equation;general solution;variable substitution 在常微分方程教材[1] 中,介绍了形如 1 1 12 2 2dda x b y c yx a x b y c+ +=+ + (1) 的微分方程的求解方法,即通过作线性变换x X hy Y k= + ìí= +î(其中: , h k 是待定的常数),可以化为齐次方程,从而求出其通解.文献[2-8]都对齐次方程进行了研究,得到了一些微分方程可以转化为齐次方程的方法,从而求出原方程的通解.本文在文献[1-8]的基础上,研究4类高次微分方程,通过变量代换转化为式(1)的形式,从而达到求出其通解的目的. 收稿日期:2017-06-20 基金项目:2017 年自治区级大学生创新创业训练计划项目(201710602210);2017 年度广西高等教育本科教学改革工程项目(2017JGB147); 2017 年度广西高校中青年教师基础能力提升项目(2017KY0068) 作者简介:陈翠玲(1978-),女,江西九江人,副教授,硕士,从事最优化理论与算法研究.E-mail:mathchen@163.com 第 10 期 陈翠玲,等:4 类可化为齐次方程的高次微分方程的求解方法 5 1 形如21 1 122 2 2ddy y a x b y c xyx x a x b y c xyæ ö + +=ç ÷+ +è ø的微分方程 令1Xx= ,1Yy= ,则21d d d X x xx-æ ö= = -ç ÷è ø,21d d d Y y yy-æ ö= = -ç ÷è ø,于是 22d dd dY x yX x y= × (2) 结合21 1 122 2 2dda x b y c xy y yx a x b y c xy xæ ö + +=ç ÷+ +è ø和式(2),得1 1 12 2 2dda Y b X c YX a Y b X c+ +=+ +,即 1 1 12 2 2ddb X a Y c YX b X a Y c+ +=+ + (3) 方程(3)即为方程(1)的形式,从而方程21 1 122 2 2dda x b y c xy y yx a x b y c xy xæ ö + +=ç ÷+ +è ø可以转化为齐次方程. 2 形如3 2 2 2 21 1 13 2 2 2 22 2 2ddy y a x b y c x yx x a x b y c x yæ ö + +=ç ÷+ +è ø的微分方程 令2u x = ,2v y = ,则( )2d d 2 d u x x x = = ,( )2d d 2 d v y y y = = ,于是 d dd dv y yu x x= (4) 结合2 2 2 2 31 1 13 2 2 2 22 2 2dda x b y c x y y yx x a x b y c x yæ ö+ +=ç ÷+ +è ø和式(4),可得 21 1 122 2 2dda u bv c uv v vu a u b v c uv uæ ö + +=ç ÷+ +è ø (5) 再令1Xu= ,1Yv= ,则21d d d X u uu-æ ö= = -ç ÷è ø,21d d d Y v vv-æ ö= = -ç ÷è ø,故 22d dd dY u vX u v= × (6) 将式(5)代入式(6),可得1 1 12 2 2dda Y b X c YX a Y b X c+ +=+ +,即 1 1 12 2 2ddb X a Y c YX b X a Y c+ +=+ + (7) 方程(7)即为方程(1)的形式,从而方程2 2 2 2 31 1 13 2 2 2 22 2 2dda x b y c x y y yx x a x b y c x yæ ö+ +=ç ÷+ +è ø可以转化为齐次方程. 3 形如11 1 112 2 2ddn n n n nn n n n ny y a x b y c x yx x a x b y c x y++æ ö + +=ç ÷+ +è ø的微分方程 令nu x = ,nv y = ,则1d d( ) dn nu x nx x-= = ,1d d( ) dn nv y ny y-= = ,于是 11d dd dnnv y yu x x--= × (8) 结合11 1 112 2 2ddn n n n nn n n n na x b y c x y y yx x a x b y c x y++æ ö+ +=ç ÷+ +è ø和式(8),可得 21 1 122 2 2dda u bv c uv v vu a u b v c uv uæ ö + +=ç ÷+ +è ø (9) 6 高 师 理 科 学 刊 第 37 卷 再令1Xu= ,1Yv= ,则21d d d X u uu-æ ö= = -ç ÷è ø,21dY d d v vv-æ ö= = -ç ÷è ø,进而有 22d dd dY u vX u v= × (10) 将式(9)代入式(10),得1 1 12 2 2dda Y b X c YX a Y b X c+ +=+ +,即 1 1 12 2 2ddb X a Y c YX b X a Y c+ +=+ + (11) 方程(11)即为方程(1)的形式,从而方程11 1 112 2 2ddn n n n nn n n n na x b y c x y y yx x a x b y c x y++æ ö+ +=ç ÷+ +è ø可以转化为齐次方程. 4 形如11 1 112 2 2ddm n m n mn n m n my y a x b y c x yx x a x b y c x y++æ ö + +=ç ÷+ +è ø的微分方程 令nu x = ,mv y = ,则( )1d d dn nu x nx x-= = ,( )1d d dm mv y my y-= = ,于是 11d dd dmnv my yu x nx--= × (12) 结合11 1 112 2 2ddn m n m mn n m n ma x b y c x y y yx x a x b y c x y++æ ö+ +=ç ÷+ +è ø和式(12),可得 21 1 122 2 2ddn m n m mn n m n ma x b y c x y v myu nx a x b y c x yæ ö+ +=ç ÷+ +è ø (13) 即 21 1 122 2 2dda u bv c uv v m vu n a u b v c uv uæ ö + +=ç ÷+ +è ø (14) 再令1Xu= ,1Yv= ,则21d d d X u uu-æ ö= = -ç ÷è ø,21d d d Y v vv-æ ö= = -ç ÷è ø,于是 22d dd dY u vX u v= (15) 将式(14)代入式(15),得 1 1 12 2 2ddb X a Y c Y mX n b X a Y cæ ö + +=ç ÷+ +è ø (16) 记1 1a mb¢ =,1 1b ma¢ =,1 1c mc¢ =;2 2a nb¢ =,2 2b na¢ =,2 2c nc¢ =,则有 1 1 12 2 2dda X bY c YX a X b Y c¢ ¢ ¢ + +=¢ ¢ ¢ + + (17) 方程(17)即为方程(1)的形式,从而方程11 1 112 2 2ddn m n m mn n m n ma x b y c x y y yx x a x b y c x y++æ ö+ +=ç ÷+ +è ø可以转化为齐次方程. 5 实例 例 1 解方程3 3 2 3 24 3 2 3 2d 2 3d 3 2y y x y x yx x x y x yæ ö + +=ç ÷+ -è ø. 解 令3u x = ,2v y = ,则( )3 2d d 3 d u x x x = = ,( )2d d 2 d v y y y = = ,于是42 6d 2 d 2d 3 3v y y yu dx x x= × = × 第 10 期 陈翠玲,等:4 类可化为齐次方程的高次微分方程的求解方法 7 3 2 3 23 2 3 22 33 2x y x yx y x yæ ö + +ç ÷+ -è ø,即 22d 2 2 3d 3 2 3v v u v uvu u v uv u+ + æ ö= × ç÷+ -è ø (18) 令1Xu= ,1Yv= ,则21d d d X u uu-æ ö= = -ç ÷è ø,21d d d Y v vv-æ ö= = -ç ÷è ø,于是 22d dd dY u vX u v= (19) 将(18)代入式(19),得d 6 4 2d 6 9 3Y X YX X Y+ +=+ -. 因为方程组6 4 2 06 9 3 0X YX Y+ + = ìí+ - =î的解为 1 X = - , 1 Y = ,所以,令11U XV Y= + ìí= -î,则有6 4 06 9 0U VU V+ = ìí+ =î,即 6 4d 6 4d 6 96 9VV U VUVU U VU++= =++ (20) 令VWU= ,则 V UW = ,两边同时对 U 求导,得 d dd dV WW UU U= + (21) 结合式(20)和式(21),得2d 6 2 9d 6 9W W WUU W- -=+.分离变量,得 26 9 1d d6 2 9WW UU W W+=- - (22) 对式(22)两边积分,有 26 9 1d d6 2 9WW UU W W+=- -ò ò (23) 由 于22 2 2 26 9 1 1 1d 9 d 6 d ln 9 2 6 5 d =2 6 2 9 9 2 6 9 2 6 9 2 6W WW W W W W WW W W W W W W W+=- - =- + - - -- - + - + - + -ò ò ò ò 21 55 9 1 55ln 9 2 6 ln2 22 9 1 55WW W CW+ -+ - - ++ +,所以方程(23)的通解为21 55 9 1 55ln 9 2 6 ln2 22 9 1 55WW WW+ -- + - - ++ + ln | | C U = .还原变量可知,方程3 3 2 3 24 3 2 3 2d 2 3d 3 2y y x y x yx x x y x yæ ö + +=ç ÷+ -è ø的通解为22 3 2 2 3 23 3 2 3 3 21 ln 92 62y x y y x yx x y x x yæ ö - -- + × - -ç ÷- -è ø 55 9 1 55ln ln22 9 1 55xC Ux+ -+ =+ +. 参考文献: [1] 王高雄.常微分方程[M].3 版.北京:高等教育出版社,2006 [2] 高进青,赵国伟.齐次方程及其求解[J].湖州师范学院学报,2009,31(4):122-126 [3] 胡劲松.齐次型方程及其求解[J].绵阳师范学院学报,2008,27(11):18-21 [4] 王通,安保国.一阶齐次方程的推广[J].雁北师范学院学报,1999,15(6):42-43 [5] 刘国彩,朱殿利.两种类似于齐次方程的微分方程的解法[J].高等数学研究,2006(5):35-42 [6] 王坚定.关于齐次微分方程的一些推广[J].黔南民族师专学报,1999(12):1-4 [7] 毛一波.齐次微分方程通解求法注记[J].重庆文理学院学报:自然科学版,2009,28(4):10-12 [8] 凯歌.高阶常系数齐次线性微分方程的解法[J].现代计算机:专业版,2006(1):26-28