第二节第二节二类二类 型 型 曲线积分曲线积分二类二类( (型 型) )曲线积分曲线积分坐标的线积分————对对坐标的线积分 }}sins ,ds,{cos{cos||||}}sins ,,{cos与dwdsdsdsllssllllPlPds{同向且dscos上近似不变。Slds ds在弧y y; 则S代替弧有向切线段处的很小时, 以点S, 当弧)中的一段AB弧得弧分划弧yxQyxPFlyxSAB)},(),,(),(() 2 (;所作的功沿直线已知常力解:lFWlF。0)1 (一、 二型线积分的概念与性质一、 二型线积分的概念与性质1. 1. 概念概念所作的功沿曲线F, 求变力将物体移至从弧沿光滑曲线平面内有一变力:XOY设在WLBAABLyxQyxPF)},(),,({B Bl引例引例轴的正向夹角。处的切向量与上的点—轴的正向夹角;处的切向量与上的点—YyxLXyxL),(),(LdsyxQyxPW]cos),(cos),([LLLdsQPlFdwW}sin,{cos},{dsQQF)coscos(cos{cos与同向且A Ao ox x 一、 二型线积分的概念与性质一、 二型线积分的概念与性质1. 1. 概念概念。所作的功L沿曲线F, 求变力将物体移至ABL从弧沿光滑曲线平面内有一变力:XOY设在WLBAABLyxQyxPF、)},(),,({曲线积分。的形式, 则称其为二型式具有:积分中, 如果被积表达方向有关。 在一型曲线的弧与的方向有关, 故弧与由于dsQPABW)sincos(sincosdxdsPy yy y引例引例dydssinΔsΔs→→ds dsdxdxdydyx xo oLsin,cosdydx又LLLLLQdyPdxdyyxQdxyxPWdsQdsPdsQ记为),(),(sincos)cos( 一、 二型线积分的概念与性质一、 二型线积分的概念与性质:轴的正向夹角, 则积分Y轴和X量与同向的切向处与上点分别是、上连续,义义在、,为光滑的平面有向弧段设LyxLLyxQyxPL),(),(),(定定dxyxPdsyxPLL),(cos),(坐标的二型曲线积分。Y坐标、 对X分别叫做对dyyxQdsyxQLL),(cos),(LLLQdyPdxQdyPdx记为 一、 二型线积分的概念与性质一、 二型线积分的概念与性质定义义定则积分轴的正向夹角Z和同向的切向量与与处上点分别是上连续在、、为光滑的空间有向弧段设,,),,(,,,),,(),,(),,(,YXΓzyxΓΓzyxRzyxQzyxPΓdydyzzyyxxQQdsdszzyyxxQQdxzyxPdszyxPΓΓΓΓ))((coscos))((),,(cos),,(ΓΓΓΓRdzQdyPdxRdzQdyPdx记为坐标的二型曲线积分、、分别叫做对ZYXdzzyxRdszyxRΓΓ),,(cos),,(,,,, 2. 2. 性质性质对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质:对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质:(1) (1) 对函数的可加性:对函数的可加性:(2) (2) 对曲线对曲线L L的可加性:的可加性:LLLdxyxPdxyxPdxyxPyxP),(),()],(),([2121如:LLLLLLLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx2121(3) (3) 曲线反向积分反号:曲线反向积分反号:L是与设LLQdyPdxQdyPdxBALABLL则有:,弧,弧反向的同一条曲线即:也变号。、向, 因此反向时, 切线也随之反证: 当 coscosL同理, 对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。同理, 对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。 二、 二型线积分的计算二、 二型线积分的计算这里讲的是直这里讲的是直接计算方法。接计算方法。