11.2 对坐标的曲线积分 11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 问题11.2:变力沿曲线所作的功 y ? ? ? F ( x, y) ? P( x, y)i ? Q( x, y) j ? F (? i ,?i ) ? Mi L: A? B L ? ? ? M i ?1 ? ?xi ?yi M n?1 ? ? B? Mn M2 M1 常力沿直线所作的功 W ? F ? AB A ? M0 O x 分割 A ? M 0 , M1 ( x1 , y1 ),?, Mn?1 ( xn?1 , yn?1 ), M n ? B ? ? M i ?1 M i ? (?xi )i ? (?yi ) j 取 ? ? ? F (?i ,?i ) ? P(?i ,?i )i ? Q(?i ,?i ) j ? ? M i ?1 M i ? (?xi )i ? (?yi ) j ? F (? i ,?i ) B ? M n M ? i 取近似 ?Wi ? F (? i ,?i ) ? M i ?1 M i y 即 ?Wi ? P(? i ,?i )?xi ? Q(? i ,?i )?yi n M i ?1 ? 求和 W ? ? ?Wi i ?1 n O M2 ? M1 ? A ? M0 L ? ?xi ?yi M n?1 ? ? x 近似值 ? ? [ P (? i ,?i ) ? ?xi ? Q(? i ,?i ) ? ?yi ] i ?1 n i ?1 精确值 [ P (? i ,?i ) ? ?xi ? Q(? i ,?i ) ? ?yi ] ? 取极限 W ? lim ? ?0 或 W ? lim? P (? i ,?i )?xi ? lim? Q(? i ,?i )?yi ? ?0 i ?1 n n ? ?0 i ?1 定义11.2 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 曲线弧, 函数P( x, y ), Q( x, y )在L上有界. 用L上的点 A ? M0 , M1 ( x1 , y1 ),?, Mn?1 ( xn?1 , yn?1 ), Mn ? B 把L分成n个有向小弧段 M i ?1 M i (i ? 1,2,?, n). 设?xi ? xi ? xi ?1 , ?yi ? yi ? yi ?1 , 点(? i ,?i )为Mi ?1 Mi 上任意取定的点. 如果当各小段长度的最大值 ? ? 0时, P (? i ,? i )?xi的极限总存在, 则称此极限为函数 ? i ?1 n P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线积分, 或称第二型曲线积分. 记作 ? P ( x , y )dx , 即 L P (? i ,? i )?xi ? ?L P ( x , y )dx ? lim ? ?0 i ?1 类似地定义 ? Q( x , y )dy ? lim ? Q(? i ,?i )?yi L n n ? ?0 i ?1 称 Q( x , y ) 在有向曲线弧 L上对坐标y 的曲线积分. 积分弧段 被积函数 在应用中常出现组合形式 ?L P ( x, y )dx ? ?L Q( x, y )dy ? ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L 或向量“点积”形 式 ? ? ? P ( x, y )dx ? ? Q( x, y )dy ? ? A ? ds L L L ? ? ? 其中 A ? P( x, y)i ? Q( x, y) j ? ( P( x, y),Q( x, y)), ? ? ? ds ? dxi ? dyj ? (dx, dy) 沿闭曲线L的曲线积分记作 ? L Pdx ? Qdy. 物理意义 ? ? ? 变力F ? P( x, y)i ? Q( x, y) j 沿平面曲线L所做 的功为 W ? ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L ? ? ? ? ? F ? ds ds ? (dx, dy ) L 类似地, 可定义空间向量函数 ? ? ? ? A ? P( x, y, z )i ? Q( x, y, z ) j ? R( x, y, z )k 沿着空间曲线L的第二型曲线积分为 ? ? ?L Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? A ? ds L ? ? ? ? 其中 ds ? dxi ? dyj ? dzk ? (dx, dy, dz ). 对坐标的曲线积分具有下列性质: ? ? 设 A ? ( P ( x, y ), Q( x, y )), B ? ( P1 ( x, y ), Q1 ( x, y )) 沿曲线平面L的第二型曲线积分存在, 则 ? ? (1) 线性性质: k1 A ? k2 B 沿曲线L的第二型曲线 积分存在, 且 ? ? ? ? ? ? ? ? (k1 A ? k2 B) ? ds ? k1 ? A ? ds ? k2 ? B ? ds L L L 其中 k1 , k2 为任意常数. (2) 可加性: 如果把L分成L1和L2 , 且它们的方向相应地一致, 则 y L L1 L2 O L2 ?L Pdx ? Qdy ? ? 有向曲线, 则 x L1 Pdx ? Qdy ? ? Pdx ? Qdy y (3) 有向性: 设L是有向曲线, ? L是与L方向相反的 L ?L ?? LP ( x, y)dx ? Q( x, y )dy ? ?? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L O x 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关! 11.2.2 第二型曲线积分的计算 定理11.2 设 P( x, y ),Q( x, y ) 在有向曲线弧L上连续, ? x ? ? (t ) L的参数方程为 ? , 当参数 t由?变到?时, ? y ? ? (t ) 点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B, ? (t ),? (t )在以?及?为端点的闭区间上具有 一阶 2 2 ? ? 且 ? ( t ) ? ? (t ) ? 0, 则曲线积分 连续导数, ? L P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy存在, 且 ?L P ( x, y )dx ? Q( x, y )dy ? ? ? P[ ? ( t ),? ( t )]? ?( t )dt ? Q[? ( t ),? ( t )]? ?( t )dt ? 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标. 曲线方程的其他情形 (1) L : y ? y( x ) x起点为a, 终点为b 则 P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy ( 2) L : x ? x( y ) ?Lb ? ? { P[ x , y( x )] ? Q[ x , y( x )] y?( x )}dx a y起点为c, 终点为d 则 ?L P ( x, y )dx ? Q( x, y )dy d ? ? { P[ x( y ), y ] x?( y ) ? Q[ x( y ), y ]}dy c ? x ? ? (t ) ? (3) 对于空间曲线 ? : ? y ? ? ( t ), t起点? , 终点? ? z ? ? (t ) ? ?? P ( x, y, z )dx ? Q( x, y, z )dy ? R( x, y, z )dz ? ? { P[? ( t ),? ( t ),? ( t )]? ?( t ) ? Q[? ( t ),? ( t ),? ( t )] ?( t ) ? ? ? ? R[? ( t ),? ( t ),? ( t )]? ?( t )}dt 例1 计算 ? L xydx , 其中L为抛物线 y 2 ? x上从 A(1,?1)到B(1,1)的一段弧. 解 (1) 取 x为积分变量 y y?? x ⌒ xydx ?L xydx ? ? ⌒ xydx ? ?OB AO ? B(1,1) y2 ? x O x ? A(1,?1) ? ? x ( ? x )dx ? ?0 x xdx 0 1 1 4 ? 2 ? x dx ? 0 5 1 3 2 计算? xydx , 其中L为抛物线 y 2 ? x上从 L A(1,?1)到B(1,1)的一段弧. (2) 取 y为积分变量 y ? B(1,1) y2 ? x x ? y 2 , dx ? 2 ydy , y从 ? 1到1 2 xy d x ? y ?L ? ? y ? 2 ydy 1 ?1 O x ? A(1,?1) 4 ? 2? y dy ? ?1 5 1 4 例2 计算 I ? ?L xydx ? ( y ? x )dy , 其中 (1) L为折线段 y ? 1 ? 1 ? x (0 ? x ? 2), 从点 A( 2,0)到点B(1,1)至点O(0,0); ( 2) L为直线沿 x轴从点 A( 2,0)到点O(0,0). y 解 (1) L ? AB ? BO, AB : y ? 2 ? x, dy ? ?dx. 1? B ? ? O x ? 2 , A点对应 B点对应 x ? 1, A 1 2 x ? AB xydx ? ( y ? x )dy 5 ? ? [ x(2 ? x ) ? (2 ? x ? x )(?1)]dx ? ? 2 3 1 y BO : y ? x, dy ? dx 1? O B ? ? B点对应 x ? 1, O点对应 x ? 0, A ? BO 0 xydx ? ( y ? x )dy 1 2 x 1 ? ? [ x ? x ? ( x ? x )]dx ? ? 1 3 ? I ? ? xydx ? ( y ? x )dy L ?? AB xydx ? ( y ? x )dy ? ? BO xydx ? ( y ? x )dy 5 1 ? ? ? ? ?2 3 3 (2) AO : y ? 0, dy ? 0. y 1? O 1 ? A点对应 x ? 2, O点对应 x ? 0, ? I ? ? xydx ? ( y ? x )dy L 2 ? A x ? ? x ? 0dx ? 0 ? 0 2 0 问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 但路径不同, 积分结果也不同. 例3 计算 I ? ?L ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy, 其中 (1) L为从点 A(1,0)沿上半单位圆至点B(0,1); ( 2) L为折线段 AOB, 从点 A(1,0)到点O(0,0)至 点B(0,1). y B 1 ? x ? cos t 解 (1) L的参数方程为 ? , ? y ? sin t A O A点对应 t ? 0, B点对应 t ? ? 0 ? 2 1 x . I ? ? 2 [(cos t ? sin t )( ? sin t ) ? (cos t ? sin t ) cos t ]dt ? ? 2 (cos 2t ? sin 2t )dt ? ? 1 0 ? (2) I ? ? ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy AO I ? ? ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy L ? ? ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy OB y 1 B 在 AO 上, y ? 0, x从1到 0, A 0 1 ? AO ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy ? ? 1 1 xdx ? ? 2 O 1 x 1 ?OB ( x ? y)dx ? ( x ? y)dy ? ?0 ? ydy ? ? 2 1 1 ? I ? ? ? ? ?1 2 2 问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 在OB上, x ? 0, y 从0到1, 虽然路径不同, 但积分结果相同. ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy 例4 计算 I ? ? , 其中L为圆周 2 2 L x ?y x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 沿逆时针方向绕行一周 . 解 L的参数方程为 ? x ? a cos t , (0 ? t ? 2? ) ? ? y ? a sin t I?? 2? 0 y O a x (a cos t ? a sint )(? a sint ) ? (a cos t ? a sint )a cos t dt 2 a 2? 2 ? ? ? (sin t ? cos2 t )dt ? ?2? 0 例5 计算 ?? xdx ? ydy ? ( x ? y ? 1)dz, 其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段. x ?1 y ?1 z ?1 解 直线AB的方程为 1 ? 2 ? 3 化成参数式方程为 x ? 1 ? t , y ? 1 ? 2t , z ? 1 ? 3t A点对应 t ? 0, B点对应 t ? 1, 于是 ? ? xdx ? ydy ? ( x ? y ? 1)dz ? ? (1 ? t )dt ? (1 ? 2t )2dt ? (1 ? 3t )3dt 0 1 ? ? (6 ? 14t )dt ? 13 0 1 11.2.3 两类曲线积分之间的关系 设A, B分别是曲线L的起点和终点, L的长度为l. M是曲线上的动点, 取弧长 AM ? s 作参数, 则曲线L 可以表示为以s为参数的参数方程 ? x ? x( s ) , 0? s? l ? ? y ? y( s ) 于是 ? L: A? B P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy dx dy ? ? ? ? ? P[ x( s ), y( s )] ? Q[ x( s ), y( s )] ?ds 0 ds ds ? ? l ? ? { P[ x( s ), y( s )] cos ? ? Q[ x( s ), y( s )] cos ? }ds 0 l 其中 cos? , cos?是曲线LA?B上点( x, y)处的切线向量的 方向余弦. 即 ? L: A? B Pdx ? Qdy ? ? L: A? B ( P cos ? ? Q cos ? )ds 这就是平面上两类曲线积分之间的关系. 类似地,空间曲线 ?上的两类曲线积分有如下关系 ? : A? B ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? : A? B ? ( P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? )ds 其中 cos? , cos ? , cos? 是曲线?( A ? B)上点( x, y, z ) 处的切线向量的方向余弦. 例6 把对坐标的曲线积分 ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L 化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线 y ? x 2 从点(0,0)到(1,1). 2 由 y ? x , y? ? 2 x , ds ? 1 ? y? 2 dx ? 1 ? 4 x 2 dx, 解 dy dx 1 2x cos? ? ? , cos ? ? ? 2 ds ds 1 ? 4x 1 ? 4x2 所以 ?L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? ?L P ( x, y ) ? Q( x, y )2 x 1 ? 4x 2 ds. 作业 习题11.2 (276页) 1(1) (3) (4) (8);2;3;