是指数学领域里数列知识的一种算一个数列前N项和的方法。1,它存在于数学领域中。2,它应用于数列一块里。3,他用与一组数列(通常等差乘等比)的前N项和。因为1+2+3+……+n=n(n+1)/2所以1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+ --- +1/(1+2+3+4+5+ --- +100)=1/1+2/(2*3)+2/(3*4)+2/(4*5)+……+2/(100*101)=1+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+2(1/4-1/5)+……+2(1/100-1/101)=1+2*(1/2)-2*(1/101)=200/101 已知数列 `{a_n}` 中,`a_1=2` ,`a_2=3`, `a_(n+2)=(3n+5)/(n+2)a_(n+1)-(2n)/(n+1)a_n` 其中 `n in NN _+ `,设数列 `{b_n}` 满足 `b_n=a_(n+1)-n/(n+1)a_n,n in NN_+` (1)证明:数列 `{b_n}` 为等比数列,并求数列 `{b_n}` 的通项公式;(2)求数列`{a_n}` 的通项公式;(3)令`c_n=((n+2)b_(n+2))/((nb_n)(n+1)b_(n+1)),n in NN_+`,求证:`c_1+c_2+`…`+c_n<2` (1)证明:`b_1=a_2-1/2a_1=2` `b_(n+1)=a_(n+2)-(n+1)/(n+2)a_(n+1)` `=(3n+5)/(n+2)a_(n+1)-(2n)/(n+1)a_n-(n+1)/(n+2)a_(n+1)` `=2(a_(n+1)-n/(n+1)a_n)` `=2b_n` 所以 `b_(n+1)/b_n=2,n in NN_+` 所以数列 `{b_n}` 是以2为首项,公比为2的等比数列,且 `b_n=2*2^(n-1)=2^n,n in NN_+` (2)解:由(1)得 `a_(n+1)-n/(n+1)a_n=2^n `即 `(n+1)a_(n+1)-na_n=(n+1)2^n` 则`2a_2-1a_1=2*2^1` `3a_3-2a_2=3*2^2` … `na_n-(n-1)a_(n-1)=n*2^(n-1)` 累加,得`na_n-a_1=2*2^1+3*2^2+` … `+n*2^(n-1)` `2(na_n-a_1)=2*2^2+3*2^2` … `+n*2^n` 错位相减,得 `-(na_n-2)=4+2^2+2^3+` …`+2^(n-1)-n*2^n` `=1+1+2+2^2+2^3+` …`+2^(n-1)-n*2^n` `=1+2^n-1-n*2^n` 得 `a_n=((n-1)2^n+2)/n,n in NN_+` (3)`c_n=((n+2)2^(n+2))/(n2^n(n+1)2^(n+1))=4(1/(n2^n)-1/((n+1)2^(n+1)))` 则`c_1+c_2+`…`+c_n=4[(1/(1*2^1)-1/(2*2^2))+(1/(2*2^2)-1/(3*2^3))+`…`+(1/(n2^n)-1/((n+1)2^(n+1)))]` `=2-1/((n+1)2^(n-1))