蚀蚈羃莀莀 袃衿荿蒂蚆膈蒈薄袁肄蒈 蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆荟蚂芄 蒅蚁羁膀蒄螃螁肆蒃蒃罴 羂肀薅蝿袈聿蚇罗膇膈莇 螇肃膇葿羃罿膆蚂螆罗膅 蛳蚈芃膅蒄袄腿膄薆蚇肃 腽蚈袂羁节莈蚅袇芁蒀袁 膆芀薂蚃肂艿螅衿肈艿蒄 螂羄芈薇羇袀芇虿螀腿芆 荿罗肃莅蒁螈羁莄薃羄袇 莄蚆螆芅莃蒅蕿膁莂荟袅 肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿荿蒂 蚆膈蒈薄袁肄蒈蚆蚄羀蒇 莆袀袆蒆荟蚂芄蒅蚁羁膀 蒄螃螁肆蒃蒃罴羂肀薅蝿 袈聿蚇罗膇膈莇螇肃膇葿 羃罿膆蚂螆罗膅蛳蚈芃膅 蒄袄腿膄薆蚇肃腽蚈袂 羁节莈蚅袇芁蒀袁膆芀薂 蚃肂艿螅衿肈艿蒄螂羄芈 薇羇袀芇虿螀腿芆荿罗肃 莅蒁螈羁莄薃羄袇莄蚆螆 芅莃蒅蕿膁莂荟袅肇莁蚀 蚈羃莀莀袃衿荿蒂蚆膈蒈 薄袁肄蒈蚆蚄羀蒇莆袀袆 蒆荟蚂芄蒅蚁羁膀蒄螃螁 肆蒃蒃罴羂肀薅蝿袈聿蚇 罗膇膈莇螇肃膇葿羃罿膆 蚂螆罗膅蛳蚈芃膅蒄袄腿 膄薆蚇肃腽蚈袂羁节莈蚅 袇芁蒀袁膆芀薂蚃肂艿螅 衿肈艿蒄螂羄芈薇羇袀芇 虿螀腿芆荿罗肃莅蒁螈羁 莄薃羄袇莄蚆螆芅莃蒅蕿 膁莂荟袅肇莁蚀蚈羃莀莀 袃衿荿蒂蚆膈蒈薄袁肄蒈 蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆荟蚂芄 蒅蚁羁膀蒄螃螁肆 直线方程的几种形式 教材分析 这节内容介绍了直线方程的几种主要形式\ue007点斜式、两点式和一般式\ue004并简单介绍了斜截式和截距式\ue006直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础\ue004因此它是本节学习的重点\ue006在推导直线方程的点斜式时\ue004要使学生理解\ue007\ue0011\ue002建立点斜式的主要依据是\ue004经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的\ue004 其斜率等于 k\ue006 \ue0012\ue002 在得出方程要把它变成方程 y\ue005y1\ue009k\ue001x\ue005x1\ue002\ue006因为前者表示的直线缺少一个点 P1\ue001x1\ue004y1\ue002\ue004而后者才是这条直线的方程\ue006\ue0013\ue002当直线的斜率不存在时\ue004不能用点斜式求它的方程\ue004这时的直线方程为 x\ue009x1\ue006在学习了点斜式的基础上\ue004进一步介绍直线方程的其他几种形式\ue007斜截式、两点式、截距式和一般式\ue004并探索它们的适用范围和相互联系与区别\ue006通过研究直线方程的几种形式\ue004指出它们都是关于 x\ue004y 的二元一次方程\ue004然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系\ue004使学生明确一个重要事实\ue007在平面直角坐标系中\ue004任何一条直线的方程\ue004都可以写成关于 x\ue004y 的一次方程\ue008反过来\ue004任何一个关于 x\ue004y 的一次方程都表示一条直线\ue004为以后继续学习“曲线和方程”打下基础\ue006因为这部分内容较为抽象\ue004所以它是本节学习的难点\ue006 后\ue004教学目标 1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上\ue004引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程\ue004初步体会直线方程建立的方法\ue006 2. 理解和掌握直线方程的点斜式\ue004并在此基础上研究直线方程的其他几种形式\ue004掌握它们之间的联系与区别\ue004并能根据条件熟练地求出直线方程\ue006 3. 理解直线和二元一次方程的关系\ue004并能用直线方程解决和研究有关问题\ue006 4. 通过直线方程几种形式的学习\ue004初步体会知识发生、发展和运用的过程\ue004培养学生多向思维的能力\ue006 任务分析 这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上\ue004具体地研究直线方程的几种形式\ue004而这几种形式的关键是推导点斜式方程\ue006因此\ue004在推导点斜式方程时\ue004要使学生理解\ue007已知直线的斜率和直线上的一个点\ue004这条直线就确定了\ue004进而直线方程也就确定了\ue006求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示\ue004 这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程\ue006在直线的点斜式方程基础上\ue004由学生推出直线方程的其他几种形式\ue004并使学生明确直线方程各种形式的使用范围\ue004 以及它们之间的联系与区别\ue006 对于直线和方程的一 一对应关系是本节课的难点\ue004 在论证直线和方程的关系时\ue004 一方面分斜率存在与斜率不存在两类\ue004另一方面又分 B≠0 与 B\ue0090 两类\ue006这种“两分法”的分类\ue004科学严密\ue004可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力\ue006 教学设计 一、问题情境 飞逝的流星形成了一条美丽的弧线\ue004 这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合\ue006 在平面直角坐标系中\ue004直线也可以看作满足某种条件的点的集合\ue006为研究直线问题\ue004须要建立直线的方程\ue006直线可由两点唯一确定\ue004也可由一个点和一个方向来确定\ue006如果已知直线上一个点的坐标和斜率\ue004那么如何建立这条直线的方程呢\ue00a 二、建立模型 1. 教师提出一个具体的问题若直线 l 经过点 A\ue001\ue0051\ue0043\ue002\ue004斜率为\ue0052\ue004点 P 在直线 l 上运动\ue004那么点 P 的坐标满足什么条件\ue00a 设点 P 的坐标为\ue001x\ue004y\ue002\ue004那么当 P 在直线 l 上运动时\ue001除点 A 外\ue002\ue004点 P 与定点 A 确定的直线就是 l\ue004它的斜率恒为\ue0052\ue004所以\ue009\ue0052\ue004即 2x\ue003y\ue0051\ue0090\ue006 显然\ue004点 A\ue001\ue0051\ue0043\ue002满足此方程\ue004因此\ue004当点 P 在直线 l 上运动时\ue004其坐标\ue001x\ue004y\ue002满足方程 2x\ue003y\ue0051\ue0090\ue006 2. 教师明晰一般地\ue004设直线 l 经过点 P1\ue001x1\ue004y1\ue002\ue004且斜率为 k\ue004对于直线 l 上任意一点 P\ue001x\ue004y\ue002\ue001不同于点 P1\ue002\ue004当点 P 在直线 l 上运动时\ue004PP1的斜率始终为 k\ue004则即 y\ue005y1\ue009k\ue001x\ue005x1\ue002\ue006 \ue004可以验证\ue007直线 l 上的每个点\ue001包括点 P1\ue002的坐标都是这个方程的解\ue008反过来\ue004以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上\ue004这个方程就是过点 P1、斜率为 k 的方程\ue004我们把这个方程叫作直线的点斜式方程\ue006 当直线 l 与 x 轴垂直时\ue004斜率不存在\ue004其方程不能用点斜式表示\ue004但因为直线 l 上每一点的横坐标都等于 x1\ue004所以它的方程是 x\ue009x1\ue006 思考\ue007\ue0011\ue002方程与方程 y\ue005y1\ue009k\ue001x\ue005x1\ue002表示同一图形吗\ue00a \ue0012\ue002每一条直线都可用点斜式方程表示吗\ue00a \ue00b例 题\ue00c 求满足下列条件的直线方程\ue006 \ue0011\ue002直线 l1\ue007过点\ue0012\ue0045\ue002\ue004k\ue009\ue0051\ue006 \ue0012\ue002直线 l2\ue007过点\ue0010\ue0041\ue002\ue004k\ue009\ue005. \ue0013\ue002直线 l3\ue007过点\ue0012\ue0041\ue002和点\ue0013\ue0044\ue002\ue006 \ue0014\ue002直线 l4\ue007过点\ue0012\ue0043\ue002平行于 y 轴\ue006 \ue0015\ue002直线 l5\ue007过点\ue0012\ue0043\ue002平行于 x 轴\ue006 参考答案\ue007\ue0011\ue002x\ue003y\ue0057\ue0090\ue006\ue0012\ue002y\ue009\ue005y\ue0093\ue006 x\ue0031\ue006\ue0013\ue0023x\ue005y\ue0055\ue0090\ue006\ue0014\ue002x\ue0092\ue006\ue0015\ue002\ue00b练 习\ue00c 求下列直线方程\ue006 \ue0011\ue002已知直线 l 的斜率为 k\ue004与 y 轴的交点 P\ue0010\ue004b\ue002\ue006 \ue001如果直线 l 的方程为 y\ue009kx\ue003b\ue004则称 b 是直线 l 在 y 轴上的截距\ue004这个方程叫直线的斜截式方程\ue002 \ue0012\ue002已知直线 l 经过两点 P1\ue001x1\ue004y1\ue002\ue004P2\ue001x2\ue004y2\ue002\ue006 \ue001如果直线 l 的方程为 y\ue005y1\ue009方程\ue002 \ue001x\ue005x1\ue002\ue004\ue001x1≠x2\ue002\ue004则这个方程叫直线的两点式\ue0013\ue002已知直线 l 经过两点 A\ue001\ue00d\ue0040\ue002\ue004B\ue0010\ue004b\ue002\ue004其中 ab≠0\ue006 \ue001如果直线 l 的方程为截距\ue004这个方程叫直线的截距式方程\ue002 \ue004\ue001ab≠0\ue002\ue004则 a\ue004b 分别称为直线 l 在 x 轴、y 轴上的进一步思考讨论\ue007前面所学的直线方程的几种形式都是关于 x\ue004y 的二元一次方程\ue004那么任何一条直线的方程是否为关于 x\ue004y 的二元一次方程\ue00a反过来\ue004关于 x\ue004y 的二元一次方程都表示一条直线吗\ue00a 通过学生讨论后\ue004师生共同明晰\ue007 在平面直角坐标系中\ue004每一条直线的方程都是关于 x\ue004y 的二元一次方程\ue006 事实上\ue004当直线斜率存在时\ue004它的方程可写成 y\ue009kx\ue003b\ue004它可变形为 kx\ue005y\ue003b\ue0090\ue004若设 A\ue009k\ue004B\ue009\ue0051\ue004C\ue009b\ue004它的方程可化为 Ax\ue003By\ue003C\ue0090\ue008当直线斜率不存在时\ue004它的方程可写成 x\ue009x1\ue004即 x\ue005x1\ue0090\ue004设 A\ue0091\ue004B\ue0090\ue004C\ue009\ue005x1\ue004它的方程可化为 Ax\ue003By\ue003C\ue0090\ue006即任何一条直线的方程都可以表示为 Ax\ue003By\ue003C\ue0090\ue008反过来\ue004关于 x\ue004y 的二元一次方程 Ax\ue003By\ue003C\ue0090\ue004\ue001A\ue004B 不全为 0\ue002的图像是一条直线\ue006 事实上\ue004对于方程 Ax\ue003By\ue003C\ue0090\ue004\ue001A\ue004B 不全为 0\ue002\ue004当 B≠0 时\ue004方程可化为 y\ue009\ue005x\ue005\ue004它表示斜率为\ue005\ue004在 y 轴上截距为\ue005的直线\ue008当 B\ue0090 时\ue004A≠0\ue004方程可化为x\ue009\ue005\ue004它表示一条与\ue00e轴平行或重合的直线\ue006 综上可知\ue007在平面直角坐标系中\ue004直线与关于 x\ue004y 的二元一次方程是一一对应的\ue006我们把方程 Ax\ue003By\ue003C\ue0090\ue004\ue001A\ue004B 不全为 0\ue002叫作直线的一般式方程\ue006 三、解释应用 \ue00b例 题\ue00c 1. 已知直线 l 通过点\ue001\ue0052\ue0045\ue002\ue004且斜率为\ue005\ue006 \ue0011\ue002求直线的一般式方程\ue006 \ue0012\ue002求直线在 x 轴、y 轴上的截距\ue006 \ue0013\ue002试画出直线 l\ue006解答过程由学生讨论回答\ue004教师适时点拨\ue006 2. 求直线 l\ue0072x\ue0053y\ue0036\ue0090 的斜率及在 x 轴与 y 轴上的截距\ue006 解\ue007已知直线方程可化为 y\ue009方程 2x\ue0053y\ue0036\ue0090 中\ue004令 y\ue0090\ue004得 x\ue009\ue0053\ue004即直线在 x 轴上的截距为\ue0053\ue006 x\ue0032\ue004所以直线 l 的斜率为\ue004在 y 轴上的截距为 2\ue006在\ue00b练 习\ue00c 1. 求满足下列条件的直线方程\ue004并画出图形\ue006 \ue0011\ue002过原点\ue004斜率为\ue0052\ue006 \ue0012\ue002过点\ue0010\ue0043\ue002\ue004\ue0012\ue0041\ue002\ue006 \ue0013\ue002过点\ue001\ue0052\ue0041\ue002\ue004平行于 x 轴\ue006 \ue0014\ue002斜率为\ue0051\ue004在 y 轴上的截距为 5\ue006 \ue0015\ue002在 x 轴、y 轴上的截距分别为 3\ue004\ue0055\ue006 2. 求过点\ue0013\ue004\ue0054\ue002\ue004且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程\ue006 3. 设直线 l 的方程为\ue001m2\ue0052m\ue0053\ue002x\ue003\ue0012m2\ue003m\ue0051\ue002y\ue0092m\ue0056\ue004根据下列条件确定 m的值\ue006 \ue0011\ue002直线 l 在 x 轴上的截距为\ue0053\ue006 \ue0012\ue002直线 l 的斜率为 1\ue006 \ue0013\ue002直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 10\ue006 四、拓展延伸 1. 在直线方程 y\ue0051\ue009k\ue001x\ue0051\ue002中\ue004k 取所有实数\ue004可得到无数条直线\ue004这无数条直线具有什么共同特点\ue00a 2. 在直线方程 Ax\ue003By\ue003C\ue0090 中\ue004当 A\ue004B\ue004C 分别满足什么条件时\ue004直线有如下性质\ue007 \ue0011\ue002过坐标原点\ue006 \ue0012\ue002与两坐标轴都相交\ue006 \ue0013\ue002只与 x 轴相交\ue006 \ue0014\ue002只与 y 轴相交\ue006 \ue0015\ue002与 x 轴重合\ue006 \ue0016\ue002与 y 轴重合\ue006 3. 直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系\ue00a你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗\ue00a 参考答案\ue007 1. 直线过点\ue0011\ue0041\ue002\ue004它不包括直线 x\ue0091\ue006 2. \ue0011\ue002C\ue0090\ue006A\ue004B 不全为 0\ue008 \ue0012\ue002A\ue004B 都不为 0\ue006 \ue0013\ue002A≠0\ue004B\ue0090\ue004C≠0\ue006 \ue0014\ue002A\ue0090\ue004B≠0\ue004C≠0\ue006 \ue0015\ue002A\ue0090\ue004B≠0\ue004C\ue0090\ue006 \ue0016\ue002A≠0\ue004B\ue0090\ue004C\ue0090\ue006 3. 略\ue006 点 评 这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上\ue004 通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方程\ue004 然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程\ue004 在点斜式方程的基础上由学生自主的探究出直线方程的其他形式\ue004 并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范围\ue006在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程\ue006在例题与练习的设计上\ue004注意了层次性和知识的完整性的结合\ue004 在培养学生的能力上\ue004 注意了数学的本质是数学思维过程的教学\ue004体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想\ue006在培养学生创新意识、 探索研究、 分析解决问题的能力等方面\ue004 做了一些尝试\ue004 体现了新课程的教学理念\ue004能够较好地完成本节的教育教学任务\ue006 袆袅 荿莅蒂羁膂芁薂肀莇薀薁 螀膀蒆薀袂莅蒁蕿肄芈莇 荟膇肁蚆薇袆芇薂薆罿聿 蒈薆肁芅莄蚅螀肈芀蚄袃 芃蕿蚃罗肆薅蚂膇莁蒁蚁 袇膄莇蚀罿莀芃蚀肂腽薁 虿螁莈蒇螈袄膁莃螇罴莆 艿螆膈腿蚈螅袈羂薄蛳 羀芇蒀蛳肃肀莆螃螂芆节 螂袄聿薀袁羇芄蒆袀聿肇 莂衿蝿节莈袈羁膅蚇袈肃 莁薃袇 膆腽葿袆袅荿莅蒂 羁膂芁薂肀莇薀薁螀膀蒆 薀袂莅蒁蕿肄芈莇荟膇肁 蚆薇袆芇薂薆罿聿蒈薆肁 芅莄蚅螀肈芀蚄袃芃蕿蚃 罗肆薅蚂膇莁蒁蚁袇膄莇 蚀罿莀芃蚀肂腽薁虿螁莈 蒇螈袄膁莃螇罴莆艿螆膈 腿蚈螅袈羂薄蛳羀芇蒀蛳 肃肀莆螃螂芆节螂袄聿薀 袁羇芄蒆袀聿肇莂衿蝿节 莈袈羁膅蚇袈肃莁薃袇膆 腽葿袆袅荿莅蒂羁膂芁薂 肀莇薀薁螀膀蒆薀袂莅蒁 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