递归(recurse)在计算机领域被广泛应用,它不仅是一种计算方法,更是一种思维方式。科技作家吴军博士认为:递归思维是人与计算机思维最大的差别之一。著名计算机科学家彼得·多伊奇(L. Peter Deutsch)甚至认为,
To iterate is human, to recurse divine(迭代是人,递归是神)。
对于计算机从业者来说,想成为顶级人才,在做计算机相关工作时,必须具有递归思维。对于普通人来讲,这种思维方式也很有启发。因此,不论从哪个角度,递归思维都值得我们培养和掌握。
人的常规思维被称为递推(iterate)思维。在中文里,“递推”和“递归”只有一字之差,但在英文世界里,它们的差别可大了去了,可谓“差之毫厘,谬以千里”。
我们先来说说递推。比如小时候我们学习数数,从1、2、3一直数到100,就是典型的递推。类似地,我们在学习过程中循序渐进,如水到而渠成,出发点都是正向的,由易到难,由小到大,由局部到整体。
递推是人类本能的正向思维,于我们而言,可谓熟稔于心。而“递归”则有一定的反常识。
下面我们以计算一个整数的阶乘为例来说明两种思维的差别。如果用人类常用递推方式计算一个整数的阶乘,比如5!=1×2×3×4×5,那么做法是从小到大一个数一个数接连相乘。如果计算10的阶乘(10!),过程也是类似的,即从1乘到10。
在生活中,这种做法不仅合情合理,而且浑然天成。事实上,在中学里学的数学归纳法(利用当n成立时的结论,推导n+1)的方法论就是递推。
为了简单起见,我们还是用前面求阶乘的简单例子来说明递归的原理。计算机是怎么计算阶乘的呢?它是倒着来的。比如要算5!,计算机就把它变成5x4!(即5乘以4的阶乘)。当然,我们可能会质疑,4!还不知道呢!
但没有关系,计算机会采用同样的方法,把4!变成4x3!。至于3!,则用同样的算法处理。最后做到1!时,计算机知道1!=1(这就是递归的终止条件),自此便不再往下扩展了。
接下来,就是倒推回所有的结果。因为由于知道了1!,顺水推舟,就知道了2!,然后可知3!、4!和5!从上面描述的递归过程可以看出,递归的方法论可归结为两步:先从上向下层层展开,再从下到上一步步回溯。
4.3.3 递归调用的函数
你可能会问,计算机为何要这么算?这么算有何优