题目
如图所示,ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.
(1)延长BA至点E,求证:PA平分∠CAE;
(2)若∠BPC=40°,求∠CAP的度数.
初中数学
角平分线的定义
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
角平分线上的点到两边的距离相等
解析
【考点提示】
本题主要考查了角平分线的相关知识,解题的关键是掌握角平分线的性质;
【解题方法提示】
过点P作PD⊥BD,PE⊥BE,PF⊥AC,因为CP平分∠ACD,BP平分∠ABC,根据角平分线的性质可知PD=PE,PD=PF,所以PE=PF,因此即可证明待证结论;
在(2)中,设∠ABC=2α,∠ACD=2β,根据角平分线和外角的知识可知β=α+∠BPC,β=2α+∠BAC2,所以即可得到∠BAC=2∠BPC,因此可以算出∠BAC的度数,∠CAP的度数也就迎刃而解了.
答案
解:(1)如图所示,过点P作PD⊥BD,PE⊥BE,PF⊥AC,
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P,
∴PD=PE,PD=PF,
∴PE=PF,
∴PA平分∠CAE.
(2)设∠ABC=2α,∠ACD=2β,
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P,
∴β=α+∠BPC,而β=2α+∠BAC2,
∴∠BAC=2∠BPC=80°,
∴∠CAP=180°−80°2=50°.
解答
【重点难点】
本题主要考查角平分线的判定与性质,以及三角形外角的性质.利用角平线分线的性质:角平分上的点到这个角的两边的距离相等得到PE=PF,是解题的关键点.
角平分线的判定方法有以下两种:
①角平分线的定义:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线;
②判定定理:到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上.