(1)求证:AB⊥平面 PCB; (2)求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 C—PA—B 的大小. (2012·天津改编) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC= 45°,PA=AD=2,AC=1. (1)证明:PC⊥AD; (2)求二面角 A-PC-D 的正弦值. [审题视点] 建立空间坐标系,应用向量法求解. 解 如图, 以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),D(2,0,0), C(0,1,0),B- , ,0,P(0,0,2). (1)证明:易得→=(0,1,-2), PC →=(2,0,0). AD 于是→·→=0,所以 PC⊥AD. PC AD (2)→=(0,1,-2),→=(2,-1,0). PC CD 设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z), ?n·→=0, ? PC 则? ?n·→=0, CD ? 可得 n=(1,2,1). 可取平面 PAC 的法向量 m=(1,0,0). ?y-2z=0, 即? ?2x-y=0. 1 2 1 2 不妨令 z=1, m·n 1 6 于是 cos〈m,n〉= = = . |m|·|n| 6 6 从而 sin〈m,n〉= 30 . 6 30 . 6 所以二面角 APCD 的正弦值为 2 3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直 角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA. (1)求证:PC∥平面 EBD; (2)求平面 PCD 与平面 PAB 所成的角的大小(用反三角函数表示). 课后作业: 4. 5. 6.(2010· 安徽· 理,18)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,EF∥AB, EF⊥FB, AB=2EF, ∠BFC=90°, BF=FC, 为 BC 的中点. H (1)求证: FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求二面角 B-DE-C 的大小 7. 8. (2012·山东)在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是等腰梯形, ∥CD, DAB=60°, AB ∠ FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (2)求二面角 F ? BD? C 的余弦值. (1)求证:BD⊥平面 AED; 〖例〗如图,三棱锥 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD ⊥平面 PAB. (1)求证:AB⊥平面 PCB; (2)求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 C—PA—B 的大小. 〖解〗解: (1)∵PC⊥平面 ABC,AB ? 平面 ABC, ∴PC⊥AB∵CD⊥平面 PAB,AB ? 平面 PAB,∴OC⊥AB 又 PC ? CD=C,∴AB 平面 PCB (2)由(1)AB⊥平面 PCB, ∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得 BC= 2. 以 B 为原点,建立如图所示的坐标系. 则 A(0, 2 ,0) ,B(0,0,0) , C( 2 ,0,0) ,P( 2 ,0,2) 。 AP ? ( 2 ,? 2 ,2), BC ? ( 2 ,0,0). 则 AP ? BC ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 ? 2. cos ? AP, BC ?? AP ? BC | AP | ? | BC | ? 1 ? . 2 2? 2 2 2 ∴异面直线 AP 与 BC 所成的角为 ? 3 . (3)设平面 PAB 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ? AB ? m ? 0 ?? 2 y ? 0, ? ? AB ? (0,- 2 ,0), AP ? ( 2 ,? 2 ,2), 则 ? 解得 .即 ? ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? AP ? m ? 0 ? ? ? y ? 0, 令 z=-1,得 m ? ( 2 ,0,?1) ? ?x ? ? 2z 设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x ?, y ?, z ?) ?PC ? n ? 0, ?? 2 z ? ? 0, ? PC ? (0,0,?2), AC ? ( 2 ,? 2 ,0) 则 ? 即? ? AC ? n ? 0. ? 2 x ? ? 2 y ? ? 0. ? 解得 ? ? z ? ? 0, 令 x ? ? 1, 得n. ? (1,1,0) ?x? ? y ? 【防范措施】 正确判断法向量的方向,同指向二面角内或外则向量夹角与二 面角互补,一个指向内另一个指向外则相等. 【示例】? (2011· 辽宁)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD 1 ∥QA,QA=AB=2PD. (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q - C 的余弦值. BP实录 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长度,射线 DA 为 x 轴的 正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz. (1)依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0). → → → 则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0). → DQ → → DC → 所以PQ· =0,PQ· =0. 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC.又 DQ∩DC=D,故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ?平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ. 错因 如图平面 BPC,与平面 BPQ 的法向量分别为 n=(0,1,2),m=(1,1,1), 设二面角 Q - C 的大小为 θ,则 θ≠〈m,n〉 BP,θ=π-〈m,n〉 → → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则 → ?n· =0, ? CB ?x=0, ? 即? → ?-x+2y-z=0. ?n· =0, ? BP 令 y=1,则 n=(0,1,2). → ?m· =0, ? BP 同理,设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ?m· =0. ? PQ 可取 m=(1,1,1), 15 所以 cos〈m,n〉= 5 . 15 故二面角 Q - C 的余弦值为 5 . BP正解 (1)见实录 → → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). → ?n· =0, ? CB ?x=0, 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则? 即? → ?-x+2y-z=0. ?n· =0. ? BP 因此可取 n=(0,-1,-2). → ?m· =0, ? BP 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ?m· =0. ? PQ 15 可取 m=(1,1,1),所以 cos〈m,n〉=- 5 . 15 故二面角 QBPC 的余弦值为- 5 . 18. (本小题满分 12 分) 如图, AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (I)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (II) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,求证:二面角C ? PB ? A的余弦值. 21. (2013 年高考湖南卷(理) 如图 5,在直棱柱 ) ABCD ? A1B1C1D1中,AD / / BC , ?BAD ? 90? , AC ? BD, BC ? 1 , AD ? AA1 ? 3 . (I)证明: AC ? B1 D ; 【 答 案 (II)求直线 B1C1与平面ACD1 所成角的正弦值. 】 解 : ( Ⅰ ) ? ABCD ? A1B1C1D1是直棱柱? BB1 ? 面ABCD, 且BD ? 面ABCD ? BB1 ? AC 又? AC ? BD, 且BD ? BB1 ? B,? AC ? 面BDB1。 B1D ? 面BDB1, AC ? B1D ? ? . (证毕) ( Ⅱ ) ? B1C1 // BC // AD,? 直线B1C1与平面ACD1的夹角即直线AD与平面ACD1的夹角?。 建立直角坐标系,用向量解题。设原点在A点,AB为Y轴正半轴,AD为X轴正半轴。 设A?0,0,?, D(3,0,0), D1 (3,0,3), B(0, y,0), C (1, y,0),则AC ? (1, y,0), BD ? (3,? y,0),? AC ? B 0 AC? BD ? 0 ? 3 ? y 2 ? 0 ? 0, y ? 0 ? y ? 3.? AC ? (1, 3,0), AD1 ? (3,0,3). ?n ? AC ? 0 ? 设平面ACD1的法向量为n, 则? ? .平面ACD1的一个法向量n ? - 3, 3)AD ? 3 ( 1, , ( ?n ? AD1 ? 0 ? ? 平面ACD1的一个法向量n ? - 3, 3)AD ? 3, 0) sin? ?| cos ? n, AD ?|? ( 1, , ( 0, ? 3 3 2 ? 7 7 ?3 所以BD1与平面ACD1夹角的正弦值为 21 . 7 考试例 6 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD是边长为 2 的菱形,且 ?DAB ? 60? , 侧 面 PAD ? 底 面 ABCD, 且 三 角 形 PAD 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ?APD ? 90? , M 是 AP 的中点. (Ⅰ)求证 AD ? PB ; (Ⅱ)求异面直线 DM 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? B 的余弦值. P M D C B A ? 10 7 , 20 7 5.已知 AB 是圆的直径,且 AB ? 4 , PA 垂直圆所在的平面,且 PA ? 3 , M 是圆上一 点,且 ?ABM =30 .求二面角 A ? BM ? P 的大小。 o 2 ★4、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE, AB:AD:AA=1:2:4. (1)求异面直线 EF 与 A1D1 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1-ED-F 的正弦值。 例3 (2010 江西卷 20) 如图,?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD , AB ? 2 3 . (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值. 例 3 解:怎样用坐标法求直线和平面所成的角? 例 3 的第(1)问 如图建立空间坐标系,设直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小为θ , ∵ AB ? 平面 BCD ∴ BA 是平面 BCD 的一个法向量 故 sin ? ? | AM ? BA | | AM || BA | 点 A 坐标: (0,0, 2 3 ) 点 B 坐标: (0,0,0) 点 M 坐标: ( 3 3 , , 3) 2 2 (注明:先作 MO⊥CD 于 O,过点 C 作 CE⊥BD 于 E,CG⊥y 轴于 G,过点 O 作 OF⊥ BD 于 F,OH⊥y 轴于 H,再利用坐标定义求出点 M 坐标) 于是 AM ? ( , 3 2 3 , ? 3 ) , BA ? (0,0, 2 3 ) 2 | 3 3 ?0? ?0? 3?2 3 | 2 2 ∴ sin ? ? ? 6 6 12 ? 3 3 ( ) 2 ? ( ) 2 ? (? 3 ) 2 0 2 ? 0 2 ? (2 3 ) 2 2 2 ∴ ? ? 45? 2 2 ★5.(2011 年全国新课标)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 2.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD.底面 ABCD 为边长是 1 的正方 形,PA=1,求平面 PCD 与平面 PAB 夹角的大小. 3.在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,SA⊥平面 1 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,求面 SCD 与面 SBA 所成的角. 2 4.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直 角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA. (1)求证:PC∥平面 EBD; (2)求平面 PCD 与平面 PAB 所成的角的大小(用反三角函数表示). 5.正三角形 ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边 的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A—DC—B(如图②).在图②中求 平面 ABD 与平面 EFD 所成二面角. 6.如图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面 为 ABC。 已知 A1B1 ? B1C1 ? 1 ,?A1B1C1 ? 900 ,AA1 =4 ,O BB1 ? 2 ,CC1 ? 3 。 求二面角 B-AC-A1 的大小。 A B O O C C C1 C1 A1 A1 B1 B1 7.(2009· 山东)如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD, AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F 分别是棱 AD,AA1,AB 的中点. (1)证明:直线 EE1∥平面 FCC1; (2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值. 3 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC= 2 2 ,E、F 分别是 AD,PC 的中点。 (1)证明:PC ? 平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 o , 4. 如图,在直三接柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1 AC ? AA1 ? 3, ABC ? 60 . ? (1)证明: AB ? AC ; 1 (2)求二面角 A ? A1C ? B 的大小。 (2012·全国理)如图, 四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (1)证明:PC⊥平面 BED; (2)设二面角 APBC 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. (1)由 = PC AC 可得△FCE∽△PCA,则∠FEC=90°,易得 PC⊥EF、PC⊥BD. FC EC (2)作 AG⊥PB 于 G,由二面角 APBC 为 90°,易得底面 ABCD 为正方形,可 得 AD∥面 PBC,则点 D 到平面 PCB 的距离 d=AG,找出线面角求解即可.也可 利用法向量求解,思路更简单,但计算量比较大. 法一 (1)证明 因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD⊥AC,又 PA⊥底面 ABCD,所以 PC⊥BD. 设 AC∩BD=F,连接 EF.因为 AC=2 2,PA=2,PE=2EC,故 PC=2 3, EC= 2 3 PC AC ,FC= 2,从而 = 6, = 6. 3 FC EC 因为 = PC AC ,∠FCE=∠PCA,所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°, FC EC 由此知 PC⊥EF. PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,所以 PC⊥平面 BED. (2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足. 因为二面角 APBC 为 90°,所以平面 PAB⊥平面 PBC. 又平面 PAB∩平面 PBC=PB,故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC. BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直,故 BC⊥平面 PAB,于是 BC ⊥AB,所以底面 ABCD 为正方形,AD=2,PD= PA +AD =2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d. 因为 AD∥BC,且 AD?平面 PBC,BC? 平面 PBC,故 AD∥平面 PBC,A、D 两 点到平面 PBC 的距离相等,即 d=AG= 2. 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 α ,则 sin α = 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°. 法二 (1)证明 以 A 为坐标原点, 射线 AC 为 x 轴的正半轴, 建立如图所 2 2 d 1 = . PD 2 示的空间直角坐标系 Axyz. C(2 2,0,0),设 D( 2,b,0),其中 b>0,则 P(0,0,2), E 4 2 2 ,0, ,B( 2,-b,0). 3 3 于是→=(2 2,0,-2), PC →= 2,b,2, BE 3 3 →= 2,-b,2, DE 3 3 从而→·→=0,→·→=0, PC BE PC DE 故 PC⊥BE,PC⊥DE. 又 BE∩DE=E,所以 PC⊥平面 BDE. (2)解 →=(0,0,2),→=( 2,-b,0). AP AB 设 m=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量,则 m·→=0,m·→=0,即 2z=0 且 2x-by=0, AP AB 令 x=b,则 m=(b, 2,0). 设 n=(p,q,r)为平面 PBC 的法向量,则 n·→=0,n·→=0, PC BE 即 2 2p-2r=0 且 2p 2 +bq+ r=0, 3 3 2 令 p=1,则 r= 2,q=- b ,n=1,- 2 b , 2. 2 因为面 PAB⊥面 PBC,故 m·n=0,即 b- =0,故 b= 2,于是 n=(1, b -1, 2),→=(- 2,- 2,2). DP → →〉= n·DP =1, n,→〉=60°. cos〈n,DP 〈 DP |n||→| 2 DP 因为 PD 与平面 PBC 所成角和〈n,→〉互余,故 PD 与平面 PBC 所成的角 DP 为 30°. (2012·山东)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥ CD,∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 F ? BD? C 的余弦值. (1)证明 因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, 所以∠ADC=∠BCD=120°.又 CB=CD,所以∠CDB=30°, 因此∠ADB=90°,AD⊥BD,又 AE⊥BD,且 AE∩AD=A, AE,AD? 平面 AED,所以 BD⊥平面 AED. (2)解 连接 AC,由(1)知 AD⊥BD,所以 AC⊥BC.又 FC⊥平面 ABCD,因此 CA,CB,CF 两两垂直, 以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设 CB=1, 则 C(0,0,0),B(0,1,0), D? ? 3 1 ? ,- ,0?,F(0,0,1), 2 ? ?2 ? 3 3 ? 因此→=? ,- ,0?,→=(0,-1,1). BD BF 2 ? ?2 设平面 BDF 的一个法向量为 m=(x,y,z), 则 m·→=0,m·→=0,所以 x= 3y= 3z, BD BF 取 z=1,则 m=( 3,1,1). 由于→=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量, CF → →〉= m·CF = 1 = 5, 则 cos〈m,CF 5 5 |m||→| CF 所以二面角 FBDC 的余弦值为 5 . 5