郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数学(试卷一) 一、填空题:(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分) 2 1 3sin x x cos (1) lim x 3 . x 0 (1cosx) ln(1x) 2 (2) 设幂级数a x n 的收敛半径为3,则幂级数na (x 1)n1 收敛区间为 2,4 . n n n 0 n 1 2 2 (3) 螺线 e 在点 , (e , ) 处的切线的直角坐标方程为 x y e . 2 1 2 2 (4) 设A 4 t 3 ,B 为三阶非零矩阵,且AB O ,则t 3 . 3 1 1 (5) 袋中有50 个乒乓球,其中20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依随机从袋中各取一球, 2 取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 5 二、选择题:(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分) xy (1) 二元函数f (x ,y ) x 2 y 2 , (x ,y ) 0,0 在点 ( 0, 0 ) 处(C) 0, (x , y ) (0,0) (A) 连续, 偏导数存在. (B) 连续, 偏导数不存在. (C) 不连续, 偏导数存在. (D) 不连续, 偏导数不存在. b (2) 设在[a,b] 上f (x) 0,f (x) 0,f (x) 0 ,令S1 a f (x)dx ,S2 f (b)(b a) , 1 S3 [ f (a) f (b)](b a) ,则(B ) 2 (A) S1 S2 S3 (B) S2 S1 S3 (C) S3 S1 S2 (D) S2 S3 S1 x 2 (3) 设F(x) = x esin t sin tdt , 则F(x) (A ) (A )为正常数 (B )为负常数 (C )恒为零 (D )不为常数 1997 年•第1页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 a b c 1 1 1 (4) 设 a , b , c ,则三条直线a x b y c 0, a x b y c 0 , 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a b c 3 3 3 (其中2 2 )交于一点的充要条件是 (D) a x b y c 0 a b 0,i 1,2,3 3 3 3 i i (A) 线性相关 (B) 线性无关 1, 2, 3 1, 2, 3 (C) 秩r( )=r( , )秩(D) 线性相关, 线性无关. 1, 2, 3 1 2 1, 2, 3 1, 2, (5) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 方差分别为4 和2,则随机变量3X 2Y 的方差是 ( D ) ( A ) 8 (B ) 16 (C ) 28 (D ) 44 三、(本题共3 小题,每小题5 分,满分15 分) 2 2 2 y 2z I x y dV (1) 计算 ,其中 为平面曲线 饶 轴旋转一周形成曲面与平 x 0 z 面z 8 所围成的区域. 2 4 8 2 解一:I d rdr 2 r dz ……3 分r 0 0 2 2 4 3 r 1024 2 r (8 )dr . ……5 分0 2 3 8 8 2 2z 解二:I dz (x2 y 2 )dxdy dz d r2 rdr ……3 分 0 0 0 0 2 2 x y 2z 1024 . ……5 分3x 2 y 2 1 C z (2) 计算曲线积分(z y )dx (x z)dy (x y )dz ,其中 是曲线 ,从xy z 2 C 轴正向往 轴负向看, C 的方向是顺时针的. z 解一:令x cos, y sin ,则z 2 x y 2 cossin . ……2 分0于是I (z y )dx (x z )dy (x y )dz (2(sincos) 2cos 21)d C 2 0 2(cossin) sin 2 2 . ……5 分2 S x y z 2 解二:设 是平面 上以C 为边界的有限部分.其法向量与 轴正向的夹 z S 角为钝角. D 为在XOY 平面上的投影区域. xy i j k 记F (z y)i (x z) j (x y)k ,则rotF 2k . ……2 分x y z z y x z x y 1997 年•第2页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 利用斯托克斯公式知F dl (rotF ) dS 2dxdy 2dxdy 2. ……5 分 C S S D xy (3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为 N t 0 x x (t) ,在 时刻已掌握新技术人数为 ,在任意时刻 已掌握新技术的人数为 (将t0x(t) 视为连续可微变量),其变化与已掌握新技术人数未掌握新技术人数之积成正比,比 例常数k 0 ,求x (t) . dx kx(N x) 解:由题设,有dt ……2 分x|xx00dx NcekNt C 由方程,得kdt ,积分后,得x ,其中 为任意常数. ……4 分x(N x ) 1cekNt Nx ekNt 0 代入初始条件,得x . ……5 分Nx x ekNt 0 0 四、(本题共2 小题,第一小题6 分,第二小题7 分,满分13 分) x y b 0 2 2 (1) 设直线l : 在平面上,而平面 与曲面z x y 相切于点1,2,5, x ay z 3 0 a, b 求 之值. 解:在点(1, 2,5) 处曲面的法向量n (2, 4, 1) ,于是切平面方程为 2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0 ,即2x 4y z 5 0 . (*) ……3 分xy b 0 由L : ,即y x b ,z x 3a (x b ) ,代入方程(*),得xay z 3 0 2x 4x 4b x 3 ax ab 5 0 .因而有5 a 0,4b ab 2 0 . 由此解得a 5,b 2 . ……6 分22(2) 设函数f (u) 具有二阶连续导数,而z f (ex sin y ) 满足方程 z z e2x z ,求f (u) . x 2 y 2 z z 解: f (u )e x siny , f (u )e x cosy . ……2 分x y 2 2 z x 2x 2 z x 2x 2 2 f (u )e siny f (u )e sin y , 2 f (u )e siny f (u )e cos y ,……4 分x y 代入原方程,得f (u ) f (u ) 0 . 由此解得 u u . ……7 分f(u ) C e C e (其中C ,C 为任意常数) 1 2 1 2 ( 6 ) 五、本题满分 分1997 年•第3页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 1 f (x) f (x) (x) f (xt)dt,且lim A (A ) (x) (x) 设 连续, 为常数 ,求 并讨论 在0x0 x x 0 处的连续性. 解:由题设,知f (0) 0,(0) 0 . x 0 f (u )du 令u xt ,得(x ) (x 0) , ……1 分xxxf (x ) f (u )du 0 从而'(x ) 2 (x 0) . ……3 分xx0 f (u )du f (x ) A 由导数定义有'(0) lim 2 lim . ……4 分x0 x x 0 2x 2 x x xf (x ) f (u )du f (x ) f (u )du 0 0 由于lim'(x ) lim 2 lim lim 2 x 0 x 0 x x 0 x x 0 x A A A (0) . 从而知 (x )在x 0 处连续. ……6 分22六、(本题满分8 分) 1 1 设a1 2, an1 (an ),(n 1,2, ) ,证明: 2 a n a (1) lim an 存在; (2) 级数 n 1 收敛. n n 1 an1 1 1 1 证:(1) 因a a a 1. ……2 分n1 n n 2 a a n n 1 1 1a 2 a a a a n 0 .故a递减且有下界,所以lim a 存在. ……4 分n1 n n n n n 2 a 2a n n n a a a (2) 由(1)知nnn1 . ……6 分01 a a n n1 a a n1 n1 n 记S (a a ) a a ,因lim an1 存在,故lim Sn 存在,所以级数(a a ) n k k 1 1 n1 n n1 n n k 1 n 1 a 收敛. 因此由比较审敛法知,级数 n 1收敛. ……8 分n1an1 七、(本题共2 小题,第一小题5 分,第二小题6 分,满分11 分) (1) 设B 是秩为2 的5 4 矩阵, (1,1,2,3)T , (1,1,4,1)T , (5,1,8,9)T 是齐次 1 2 3 1997 年•第4 页 郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 方程组Bx 0 的解向量,求Bx 0 的解空间的一个标准正交基. 解:因秩r (B) 2 ,故解空间的维数为4 -2 =2. 又, 线性无关,故, 是解空间的基. ……2 分1212取T(1,1,2,3) , 1 1 ( , ) T 1 T 4 2 10 T 2 1 (1,1,4, 1) (1,1,2,3) ( , , , 2) ……4 分221( , ) 3 3 3 3 1 1 1 T 1 T 故1 (1,1,2,3) , 2 (2,1,5, 3) 即是所求的一个标准正交基. ……5 分15 39 1 2 1 2 (2) 已知 1 是矩阵A 5 a 3 的一个特征向量. 1 1 b 2 a, b (I) 试确定参数 及特征向量 所对应的特征值; A (II) 问 能否相似于对角阵?说明理由. 2 1 2 1 2 12 0 (I) (I A) 5 a 3 1 0 5 a 3 0 解: 由 ,即 , 1 b 2 1 1b--2 0 a 3,b 0, 1. 3 解得 …… 分21 2 2 1 2 3 (II) 由A 5 3 3 ,| I A | 5 3 3 (1) , 1 0 2 1 0 2 知1是A 的三重特征值. ……4 分3 1 2 但秩r(I A) r 5 2 3 2 ,从而1对应的线性无关特征向量只有一个, 1 0 1 故A 不能相似于对角阵. ……6 分八、(本题满分5 分) A A i 设是阶可逆方阵,将 的第 行和第 行对换后得到的矩阵记为B. n j (1) 证明B 可逆; (2) 求AB-1. 解:(1) 因| A |0 及| B || A |0 ,故B 可逆. ……2 分(2) 记 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第j 列对换后所得到的初等矩阵, E ij 则B E A . ……3 分ij 1997 年•第5页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 因此 1 1 1 1 1 . ……5 分AB A(E A) AA E E E ij ij ij ij ( 7 ) 九、本题满分 分3,从学校趁汽车到火车站的途中有 个交通岗假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互 2 , , , . 独立的并且概率都是 设途中遇到红灯的次数求随机变量 的分布律分布函数和数学期 X 5 望. 2 解: 服从二项分布 , 的可能取值为0,1,2 ,3. ……1 分Xb(3, ) X 5 2 3 27 1 2 2 2 54 从而P {X 0} (1 ) ,P {X 1} C (1 ) , 3 5 125 5 5 125 2 2 2 2 36 2 3 8 P {X 2} C3 ( ) (1 ) ,P {X 3} ( ) . 5 5 125 5 125 即 的分布律为 X X 0 1 2 3 27 54 36 8 P 125 125 125 125 ……3 分0, x 0 27 , 0 x 1 125 X F (x ) P{X x} 81 因此, 的分布函数为 . ……5 分,1x 2 125 117 , 2 x 3 125 1, x 3 2 6 X 的数学期望为E (X ) 3 . ……7 分5527 54 36 8 6 (或)E(X ) 0 1 2 3 125 125 125 125 5 十、(本题满分5 分) (1)x 0 x 1 设总体X 的概率密度为f (x ) ,其中 1是未知参数, 0 其他是来自总体的一个容量为 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然 X ,X ,,X n 1 2 n 估计法求 的估计量. 1997 年•第6页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 1 1 1 解:总体 的数学期望为 , ……1 分XE(X ) xf (x)dx 0 (1)x dx 2 1 n 1 2X 1 记X X i 为样本均值.令X,解得未知参数 的矩估计量为 .……2 分ni12 1X 设x , x , , x 是相应于样本X ,X ,,X 的样本值,则似然函数为 1 2 n 1 2 n n n (1) ( x ) , 0 x 1(i 1,2, ,n) i i L i 1 . ……3 分 0, 其它 当0 x 1 (i 1,2, ,n) 时,L 0 . 且indln L n n d ln L ln L n ln(1) ln x , ln x ,令0,……4 分iii1d 1 i 1 d n 解得 的极大似然估计值为 l , n ln xi i 1 n 从而得 的极大似然估计量为l . ……5 分nln X i i 1 1997 年•第7页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 数学(试卷二) 一、填空题:(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分) x 2 1 (cos x) x 0 (1) 已知f (x ) 在x 0 处连续,则a e 2 . a x 0 1x 3 (2) 设y ln 2 ,则y x 0 . 1x 2 dx x x 2 (3) x (4 x) = 2arcsin 2 c ( 或arcsin 2 c ) . dx (4) = . 2 0 x 4x 8 8 (5) 已知向量组 (1,2,1,1), (2,0,t,0), (0,4,5,2) 的秩为2 ,则t 3 . 1 2 3 二、选择题:(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分) tgx x n x 0 e e x (1) 设时, 与 是同阶无穷小,则为(C ) n (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 【同数学一 第二、(2 )题】(选项的顺序有差异) (3) 已知函数 对一切 满足 2 x ,若,yfxxxf (x) 3x[f (x)] 1e f (x ) 0 (x 0) 0 0 则(B) (A) f x 是f x 的极大值 0 (B) f x 是f x 的极小值 0 (C) (x , f (x )) 是曲线y f x 的拐点 0 0 (D) f x 不是f x 的极值,(x , f (x )) 也不是曲线y f x 的拐点. 0 0 0 (4) 【同数学一 第二、(2 )题】2x x 0 x 2 x 0 (5) 设g (x ) ,f (x ) ,则g [f (x)] (D) x 2 x 0 x x 0 2 2 2 x x 0 2 x x 0 (A) (B) 2 x x 0 2 x x 0 2 2 2 x x 0 2 x x 0 (C) (D) 2 x x 0 2 x x 0 1997 年•第8页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 三、(本题共6 小题,每小题5 分,满分30 分) 4x 2 x 1 x 1 (1) 求极限lim x x 2 sin x 3x 2 x 2 解:原式= lim ……3 分x x 2 sin x ( 4x 2 x 1 x 1) 1 2 3 2 lim x x 1 . ……5 分x sin x 1 1 1 1 4 1 2 2 x x x x x arctg t dy (2) 设y y (x ) 由 2 t 所确定,求.2y ty e 5 dx dx 1 解: , ……1 分dt 1t2 dy 2 dy t dy y2 et 由2 y 2ty e 0 得.……4 分dt dt dt 2(1ty) 2 t y e 2 t 2 dy 2(1ty) ( y e )(1t ) 因而 . ……5 分dx 1 2(1ty) 1t2 (3) 计算 2x 2 e (tgx 1) dx 解:原式= e2x sec2 xdx 2 e2x tan xdx ……1 分e2x tan x 2e2x tan xdx 2e2x tan xdx ……4 分e2x tan x C . ……5 分(4) 求微分方程(3x 2 2xy y 2 )dx (x 2 2xy)dy 0 的通解. dy du y2 2xy 3x2 u2 2u 3 解:令y ux ,则xu 2 , ……3 分dx dx x 2xy 12u du 3(u2 u 1) 即x . dx 2u 1 解之得u2 u 1 Cx3 ,即221 2 2 3 . ……5 分yxy x Cx (或xy x y x C ) (5) 已知y1 xex e 2x ,y 2 xex e x ,y 3 xex e 2x e x 是某二阶线性非齐次微分方程的 三个解,求此微分方程. 1997 年•第9页郝海龙:考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准 e2x 与ex xe x 解一:由题设知, 是相应齐次方程两个线性无关的解,且 是非齐次方程的 一个特解,故此方程是y y 2y f (x ) . ……3 分xx x x x x x x x x x 将y xe 代入上式,得f (x ) (xe ) (xe ) 2xe 2e xe e xe 2xe e 2xe . 因此所求方程为 x x . ……5 分yy 2y e 2xe e2x 与ex xe x 解二:由题设知, 是相应齐次方程两个线性无关的解,且 是非齐次方程的 一个特解,故y xex C e 2x C e x 是所求方程的通解, 1 2 由y ex xex 2C e 2x C e x ,y 2ex xex 4C e 2x C e x , ……3 分1212消去C , C 得所求方程为 x x . ……5 分12yy 2y e 2xe 1 1 1 A2 AB I B (6) 已知A= 0 1 1 ,且 ,其中I 是三阶单位矩阵,求矩阵 . 0 0 1 解:由A2 AB A(A B) I ,及| A |10 ,知A B A1 ,即B A A1 . ……2 分1 1 2 又A1 0 1 1 . ……4 分0 0 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 从而 . ……5 分B0110110000 0 1 0 0 1 0 0 0 四、(本题满分8 分) 2x x x 1 1 2 3 取何值时,方程组 x x x 2 无解?有唯一解或有无穷解?并在有无穷 1 2 3