例8
(2015江苏18)如图,在平面直角坐标系
中,已知椭圆
的离心率为
,且右焦点
到左准线的距离为3。(1)求椭圆的标准方程;(2)过
的直线与椭圆交于
两点,线段
的垂直平分线分别交直线
和
于
,若
,求直线AB的方程。
(1)由题目条件可列出方程:
和
,解出
。椭圆的标准方程为
。
(2)作椭圆的右准线
。过
作
于
;过
作
于
;过
作
于
; 过
作
于
。设
的倾斜角为
。
,所以
。
,
,
,所以
。设
,
,
,与椭圆方程联立,得
。由一元二次方程的韦达定理,有
,
的横坐标
,
。代入上面的方程,解出
,于是
或
。
例9
如图,抛物线
的焦点为
,抛物线上一定点
。(1)求抛物线
的方程及准线
的方程;(2)过焦点
的直线(不经过
点)与抛物线交于
两点,与准线
交于点
,记
的斜率分别为
,问是否存在常数
使得
成立,若存在
,求出
的值;若不存在,说明理由。
(1)根据
在抛物线上,能求出
,于是
,
。
(2)设
。将
与抛物线方程联立,得到
,所以
。由
方程可得
。三个斜率的表达式分别为
,
。根据题意,
。