题目
如图,重量是2000N的重物挂在杠杆上距支点10米处.质量均匀的杆子每米的重量为100N.(1)杠杆应当为多长,才能使得加在另一端用来平衡重物的力F最小;(2)若使得加在另一端用来平衡重物的力F最大为2500N,求杠杆长度的变化范围.高中数学
基本不等式
解析
(1)设出杠杆的长度为x米,平衡重物的力F做的功等于重物做的功与杠杆自身所做功的和,列式后运用基本不等式求解最小值;(2)由(1)中得到的力F,由F小于等于2500,整理后得到关于x的一元二次不等式,求解可得范围.
解答
解:(1)设当杠杆常x米时,在另一端用来平衡重物的力F最小,则有Fx=10×2000+x×100×x2,F=20000x+50x≥2√20000x×50x=20000(当且仅当x=20时取“=”)(2)F=20000x+50x≤2500,∴50x2-2500x+20000≤0,即x-50x+400≤0,解得:10≤x≤40.