线性空间基和维数的求法 方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即:在线性空间 V 中,如果有 n 个向量?1,?,? n 满足: (1)?1,? 2 ?,? n 线性无关。 (2)V 中任一向量? 总可以由?1 ,? ? 2,?, n 线性表示。 那么称V为n维(有限维)线性空间,n为V的维数,记为dimv ? n , 并称?1,? 2, ?,? n 为线性空间V 的一组基。 如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就成V 为无限维的。 ? ? 例1设V ? X AX ? 0 , A 为数域 P 上m?n矩阵, X 为数域 P 上n维向量,求V 的维数和一组基。 解 设矩阵 A 的秩为 r ,则齐次线性方程组 AX ? 0 的任一基础解系都是V 的基,且V 的 维数为 n ? r 。 例2 数域 P 上全体形如 ? ? ? 0 ?a a b ? ? ? 的二阶方阵,对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成 的线性空间,求此空间的维数和一组基。 解 易证 ? ? ? 0 ?1 1? 0 ?? , ? ? ? 0 0 0 1 ? ? ? 为线性空间 V ? ?? 0 ?? ?? ?a a b ??|a, ? b ? p ? ? ? 的一组线性无关的向 量组,且对V 中任一元素 ? ? ? 0 ?a a b ? ? ? 有???0aa? ?0 b ? ? ? a ? ? 1 1? ?0 0 ? ? +b ? ? 0 0? 1 ? ? 按定义 ? ? ? 0 1 1? ?0 0 ?? ,? ? 0 0? 1 ?? 为V 的一组基,V 的维数为 2。 方法二 在已知线性空间的维数为 n 时,任意 n 个向量组成的线性无关向量组均作成线 性空间的基。 ? ? 例3假定 R x 是一切次数小于 n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间, n 证明:1,? x ?1?,? x ?1?2 , , ? x ? ?1 n?1 构成 R ? x? n 的基。 证明 考察 k1 ?1? k2 ? x ?1? ? ? kn ? x ? ?1 n?1 ? 0 由xn?1 的系数为 0 得kn ? 0 ,并代入上式可得 xn?2 的系数 kn?1 ? 0 依此类推便有 kn ? kn?1 ? ? k1 ? 0 , 故1,? x ?1?, ,? x ? ?1 n?1 线性无关