小学数学的知识点
一、小数部分:
1、把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。如1/10记作0.1,7/100记作0.07。
2、小数点右边第一位叫十分位,计数单位是十分之一(0.1);第二位叫百分位,计数单位是百分之一(0.01)……小数部分最大的计数单位是十分之一,没有最小的计数单位。小数部分有几个数位,就叫做几位小数。如0.36是两位小数,3.066是三位小数。
3、小数的读法:整数部分整数读,小数点读点,小数部分顺序读。
4、小数的写法:小数点写在个位右下角。
5、小数的性质:小数末尾添0去0大小不变。化简小数点位置移动引起大小变化:右移扩大左缩小,1十2百3千倍。
6、小数大小比较:整数部分大就大;整数相同看十分位大就大;以此类推。
二、分数和百分数。
(一)分数和百分数的意义。
1、分数的意义:
把单位“ 1” 平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数。在分数里,表示把单位“ 1” 平均分成多少份的数,叫做分数的分母;表示取了多少份的数,叫做分数的分子;其中的一份,叫做分数单位。
2、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式,而用特定的“%”来表示。百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系,后面不能带单位名称。
3、百分数表示两个数量之间的倍比关系,它的后面不能写计量单位。
4、成数:几成就是十分之几。
(二)分数的种类。
按照分子、分母和整数部分的不同情况,可以分成:真分数、假分数、带分数。
(三)分数和除法的关系及分数的基本性质。
1、除法是一种运算,有运算符号;分数是一种数。因此,一般应叙述为被除数相当于分子,而不能说成被除数就是分子。
2、由于分数和除法有密切的关系,根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。
3、分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变,这叫做分数的基本性质,它是约分和通分的依据。
(四)约分和通分。
1、分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。
2、把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
3、约分的方法:用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
4、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
5、通分的方法:先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三、倒数。
1、乘积是1的两个数互为倒数。
2、求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。
3、1的倒数是1,0没有倒数
四、分数的大小比较。
1、分母相同的分数,分子大的那个分数就大。
2、分子相同的分数,分母小的那个分数就大。
3、分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分数,再比较大小。
4、如果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分数就大;如果整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带分数就大。
五、百分数与折数、成数的互化:
三折就是30%,七五折就是75%,成数就是十分之几,如一成就是牐 闯砂俜质 褪?0%,则六成五就是65%。
六、纳税和利息:
1、税率:应纳税额与各种收入的比率。
2、利率:利息与本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。
3、利息的计算公式:利息=本金×利率×时间。
七、百分数与分数的区别主要有以下三点:
1、意义不同。
百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。如:可以说 1米是5米的20%,不可以说“一段绳子长为20%米。”因此,百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”。分数不仅 可以表示两数之间的倍数关系;还可以表示一定的数量。
2、应用范围不同。
百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
3、书写形式不同。
百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。如:百分之四十五,写作:45%;百分数的分母固定为100,因此,不论百分数 的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:真分数、假分数、带分 数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数。
八、数的整除。
1、整除的意义。
(1)整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。
(2)除尽的意义 甲数除以乙数,所得的商是整数或有限小数而余数也为0时,我们就说甲数能被乙数除尽,(或者说乙数能除尽甲数)这里的甲数、乙数可以是自然数,也可以是小数(乙数不能为0)。
2、约数和倍数。
(1)如果数a能被数b整除,a就叫b的倍数,b就叫a的约数。
(2)一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
(3)一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的是它本身,它没有最大的倍数。
3、奇数和偶数。
(1)能被2整除的数叫偶数。例如:0、2、4、6、8、10……注:0也是偶数。
(2)不能被2整除的数叫基数。例如:1、3、5、7、9……
4、整除的特征。
(1)能被2整除的数的特征:个位上是0、2、4、6、8。
(2)能被5整除的数的特征:个位上是0或5。
(3)能被3整除的数的特征:一个数的各个数位上的数之和能被3整除,这个数就能被3整除。
5、质数和合数。
(1)一个数只有1和它本身两个约数,这个数叫做质数(素数)。
(2)一个数除了1和它本身外,还有别的约数,这个数叫做合数。
(3)1既不是质数,也不是合数。
(4)自然数按约数的个数可分为:质数、合数
(5)自然数按能否被2整除分为:奇数、偶数
6、分解质因数。
(1)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数。例如:18=3×3×2,3和2叫做18的质因数。
(2)把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。
(3)几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数,叫做互质数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。
(4)特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。
①如果几个数中,较大数是较小数的倍数,较小数是较大数的约数,则较大数是它们的最小公倍数,较小数是它们的最大公约数。
②如果几个数两两互质,则它们的最大公约数是1,小公倍数是这几个数连乘的积。
7、奇数和偶数的运算性质:
(1)相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数。
(2)奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数;奇数—奇数=偶数,奇数—偶数=奇数,偶数—奇数=奇数,偶数—偶数=偶数;奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数。
九、整数、小学、分数四则混合运算。
(一)四则运算的法则。
1、加法a、整数和小数:
相同数位对齐,从低位加起,满十进一b、同分母分数:分母不变,分子相加;异分母分数:先通分,再相加
2、减法a、整数和小数:
相同数位对齐,从低位减起,哪一位不够减,退一当十再减b、同分母分数:分母不变,分子相减;异分母分数:先通分,再相减
3、乘法a、整数和小数:
用乘数每一位上的数去乘被乘数,用哪一位上的数去乘,得数的末位就和哪一位对起,最后把积相加,因数是小数的,积的小数位数与两位因数的小数位数相同b、分数:分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。能约分的先约分,结果要化简
4、除法a、整数和小数:
除数有几位,先看被除数的前几位,(不够就多看一位),除到被除数的哪一位,商就写到哪一位上。除数是小数是,先化成整数再除,商中的小数点与被除数的小数点对齐b、甲数除以乙数(0除外),等于甲数除以乙数的倒数
(二)运算定律。
1、加法交换律:a+b=b+a
2、结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
3、减法性质:
(1)a-b-c=a-(b+c)
(2)a-(b-c)=a-b+c
4、乘法交换律:a×b=b×a
5、结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
6、分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
7、除法性质:
(1)a÷(b×c)=a÷b÷c
(2)a÷(b÷c)=a÷b×c
(3)(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(4)(a-b)÷c=a÷c-b÷c
商不变性质m≠0 a÷b=(a×m)÷(b×m) =(a÷m)÷(b÷m)
(三)积的变化规律:在乘法中,一个因数不变,另一个因数扩大(或缩小)若干倍,积也扩大(或缩小)相同的倍数。
推广:一个因数扩大A倍,另一个因数扩大B倍,积扩大AB倍。一个因数缩小A倍,另一个因数缩小B倍,积缩小AB倍。
(四)商不变规律:在除法中,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。
推广:被除数扩大(或缩小)A倍,除数不变,商也扩大(或缩小)A倍。被除数不变,除数扩大(或缩小)A倍,商反而缩小(或扩大)A倍。
(五)利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。但在有余数的除法中要注意余数。如:8500÷200= 可以把被除数、除数同时缩小100倍来除,即85÷2= ,商不变,但此时的余数1是被缩小100被后的,所以还原成原来的余数应该是100。
十、简易方程。
(一)用字母表示数。
用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了,又能表达数量关系的一般规律。
(二)用字母表示数的注意事项。
1、数字与字母、字母和字母相乘时,乘号可以简写成“·“或省略不写。数与数相乘,乘号不能省略。
2、当1和任何字母相乘时,“ 1” 省略不写。
3、数字和字母相乘时,将数字写在字母前面。
(三)含有字母的式子及求值。
求含有字母的式子的值或利用公式求值,应注意书写格式。
(四)等式与方程。
表示相等关系的式子叫等式。含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件:一是含有未知数;二是等式。所以,方程一定是等式,但等式不一定是方程。
(五)方程的解和解方程。
使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。求方程的解的过程叫解方程。
(六)在列方程解文字题时,如果题中要求的未知数已经用字母表示,解答时就不需要写设,否则首先演将所求的未知数设为x。
(七)解方程的方法。
1、直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。如x—8=12
(1)①加数+加数=和,②一个加数=和-另一个加数。
(2)①被减数-减数=差,②减数=被减数-差,③被减数=差+减数。
(3)①被乘数×乘数=积,②一个因数=积÷另一个因数。
(4)①被除数÷除数=商,②除数=被除数÷商,③被除数=除数×商。
2、先把含有未知数x的项看作一个数,然后再解。如3x+20=41,先把3x看作一个数,然后再解。
3、按四则运算顺序先计算,使方程变形,然后再解。如2.5×4—x=4.2,要先求出2.5×4的积,使方程变形为10—x=4.2,然后再解。
4、利用运算定律或性质,使方程变形,然后再解。如:2.2x+7.8x=20,先利用运算定律或性质使方程变形为(2.2+7.8)x=20,然后计算括号里面使方程变形为10x=20,最后再解。
十一、比和比例。
(一)比和比例应用题。
在工业生产和日常生活中,常常要把一个数量按照一定的比例来进行分配,这种分配方法通常叫“按比例分配”。
(二)解题策略。
按比例分配的有关习题,在解答时,要善于找准分配的总量和分配的'比,然后把分配的比转化成分数或份数来进行解答
(三)正、反比例应用题的解题策略。
1、审题,找出题中相关联的两个量。
2、分析,判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比例关系。
3、设未知数,列比例式。
4、解比例式。
5、检验,写答语。
(四)数感和符号感。
1、在数学教学中发展学生的数感主要指,使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力;能够判定不同的算术运算,有能力进行计算,并具有选择适当方法(心算、笔算、使用计算器)实施计算的经验;能根据数据进行推论,并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验,等等。
2、培养学生的数感的目的就在于使学生学会数学地思考,学会用数学的方法理解和解释现实问题。
3、数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。