特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。设A为n阶矩阵,若存在常数λ及n维非零向量x,使得Ax=λx,则称λ是矩阵A的特征值,x是A属于特征值λ的特征向量。A的所有特征值的全体,叫做A的谱,记为.如将特征值的取值扩展到复数领域,则一个广义特征值有如下形式:Aν=λBν其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0,得到det(A-λB)=0(其中det即行列式)构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项,称为一个“丛(pencil)”。若B可逆,则原关系式可以写作,也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵(无法进行逆变换)时,广义特征值问题应该以其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵,则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显,因为A矩阵未必是对称的。求n阶矩阵A的特征值的基本方法:根据定义可改写为关系式,为单位矩阵(其形式为主对角线元素为λ-,其余元素乘以-1)。要求向量具有非零解,即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。 解次行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的,即为输入这个行列式的特征向量。