谢邀
我在这里讲一些好懂一点的解析几何大题的解题技巧(只包括椭圆和抛物线),适用于基础较好的同学。对于基础稍差的同学,可以看本回答的简略版本(不包括抛物线)
。如果想学一些高大上的解题方法,也可以看
注:本回答的主要内容完成于2016年,回答所涉及内容是针对当时的高考出题情况给出的技巧和方法,请留意。——————————————————一条分割线———————————————一、设点或直线
做题一般都需要设点的坐标或直线方程,其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为
,
等。对于椭圆
上的唯一的动,还可以设为
,在抛物线
上的点,也可以设为
。还要注意的是,很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线,如果过定点
并且不与y轴平行,可以设点斜式
,如果不与x轴平行,可以设
(
是倾斜角的余切,即斜率的倒数,下同),如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子,可以设参数方程
,其中
是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点,干脆在设直线时直接设为
或
。(注意:
不表示平行于
轴的直线,
不表示平行于
轴的直线)由于抛物线
的表达式中不含x的二次项,所以直线设为
或
联立起来更方便。
二、转化条件
有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的,这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步,如果转化得巧,可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。
向量:平行、锐角或点在圆外(数量积大于0)、直角或点在圆上(数量积等于0)、钝角或点在圆内(数量积小于0)、平行四边形
斜率:平行(斜率差为0)、垂直(斜率积为-1)、对称(两直线关于坐标轴对称则斜率和为0,关于
对称则斜率积为1
(使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况!)
几何:相似三角形(依据相似列比例式)、等腰直角三角形(构造全等)
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可,有的题目给的条件可能有多种转化方式,这时候最好先别急着做题,多想几种转化方法,估计一下哪种方法更简单,三思而后行。
三、代数运