一、名词解释 1.辖域是指量词的管辖范围,也就是紧跟在量词后面的最短公式。例如:在公 式(?x)Fxy→(?x)(?y)Fxy中,(?x)的辖域是紧跟在它后面的Fxy,(?x)的辖域是 (?y)Fxy,(?y)的辖域是它后面的Fxy。 2.约束变项是指出现在量词辖域中,与该量词变项相同,并受量词约束的个体 变项,自由变项是指不在量词的辖域中,或者与量词的变项不同,不受量词约束的 个体变项。例如在公式(?x)Fxy?→(?x)(?y)Fxy中,x的所有出现都是约束的,y 的第一次出现是自由的,第二次出现是约束的。 二、选择题 1.答案A 分析:全称命题的逻辑结构是含全称量词的蕴涵式。 2.答案D 分析:存在命题的逻辑结构是含存在量词的合取式。 3.答案A 分析:一个否定的全称量词公式与一个存在否定量词公式是等值的。 4.答案B 分析:关系命题中的主联结词由第一个量词决定。 5.答案C 分析:个体词表示单独对象时,要用个体常项替换谓词中的个体变项。 三、用谓词逻辑公式,将下列自然语言符号化。 用谓词逻辑公式,将下列自然语言符号化。 1.(?x)(Cx→(?y)((Xy∨By)∧Yxy))) 2.(?x)(Xx∨Bx)∧(?y)(Cy→Yxy)) 3.(?x)(Ex∧Dxa)→(?y)(?z)(Sy∧Sz∧Hxyz) 4.(?x)(Jx∧Kx)→(?y)(Jy→Hy) 5.(?x)(Nx→(?y)(Ny∧Dyx)∧(?x)(Nx∧(?y)(Ny→Dxy))
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6.(?x)(Px→(?y)Fyx)∧(?x)(Px∧(?y)Syx) 7.(?x)((Wx∧Sx)→Tx)∧(?x)(Wx∧Tx∧Sx) 8.(?x)(Hx∧Mx∧Fx∧(Cx∨Sx∨Kx∨Tx∨Qx)∧Px) 四、把下列谓词公式翻译成通顺的自然语言语句。 把下列谓词公式翻译成通顺的自然语言语句。 1.有的美国科学家是黑人。 2.总经理都有秘书,但并非只有总经理才有秘书。 3.没有不散的宴席。 4.所有人都有他不懂的知识。 5.一个不自尊的人没有人会尊敬他。 五、指出下列推导中运用量词规则的错误。 指出下列推导中运用量词规则的错误。 1.错在第5步,全称量词引入没有限定论域。 2.错在第3步, 限定论域的常项a在第2个前提中已经出现过, 违反了该规则的限 制。 3.错在第3步,销存在量词用的常项a在第二个前提中已经出现过,违反了该规 则的限制。 4.错在第4步,销去第2个存在量词时,没有换用新的常项符号。 六、请证明下列一元谓词推理形式的有效性。 请证明下列一元谓词推理形式的有效性。 (一)1.(?x)(Mx→(Wx∨Qx)) 2.(?x)(Mx∧Wx) 3. Ma∧Wa 4. Ma→(Wa∨Qa) 5. Ma 6. Wa∨Qa 7. Wa 8. Qa 9. Ma∧Qa 10.(?x)(Mx∧Qx) 证毕。 /∴(?x)(Mx∧Qx) (2节*a/x (1 a/x ? 销去) ? 销去)
(3∧销去) (4.5→销去) (3∧销去) (6.7∨销去) (5.8∧引入) (9 ? 引入)
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(二)1.(?x)(Fx→Gx) 2.(?x)(Gx→(Fx→Hx)) ? 3.(?x)((Ix∧Jx)→Hx) ? /∴(?x)(Fx→(Ix∨Jx)) 4. →﹡a 5. 6. 7. 8. 9. 10. Fa→Ga Ga→(Fa→Ha) (Ia∧Ja)→Ha →Fa Ga Fa→Ha (1 a/x (2 a/x (3 a/x (假设) (5.8→销去) (6.9→销去) (8.10→销去) (7.11→销去) (12∧等值) (8-13→引入) (4-14?引入) ?销去) ?销去) ?销去)
11.? Ha 12.? (Ia∧Ja) 13. 14. 15. 证毕。 (三)1.( ?x)Cx→(?x)Mx ? 2.( ?x)Cx→(?x)Nx ? 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Ia∨Ja Fa→(Ia∨Ja) (?x)(Fx→(Ix∨Jx))
/∴(?x)(Mx∧Nx)→((?x)Cx∧(?x)Cx)) →(?x)(Mx∧Nx) Ma∧Na Ma Na ( ?x)Mx (?x)Cx (?x)Cx (?x)Nx (假设) (3 *a/x ? 销去) (4∧销去) (4∧销去) (5 ? 引入) (1.7→销去) (8 ? 否定) (6 ? 引入)
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11. 12. 13. 14. 证毕。
(?x)Cx ( ?x)Cx (?x)Cx∧(?x)Cx (?x)(Mx∧Nx)→((?x)Cx∧(?x)Cx)
(2.10→销去) (11 ? 否定) (12.9∧引入) (2-13→引入)
(四)1.(?x)(Gx→Jx)∨(?x)(Gx∧Nx) ?2.(?x)(Qx∧Nx) ? 3.(?x)(Gx→Qx) 4. →(?x)(Gx∧Jx) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. (?x)(Gx→Jx) ( ?x)(Gx∧Nx) ( ?x)(Qx→Nx) Ga∧Na Qa→Na Ga→Qa Ga→Na Ga Na Na Na∧Na (?x)(Gx∧Jx) 证毕。 (五)1.(?x)(Px∨Zx)∨(?x)(Rx→Ix) ? 2.(?x)(Px∨Cx) ?(?x)(Rx→Ix) ? 3.(?x)(Zx∧Px) ? 4.(?x)Px ? 5.Pa ? 6.Za∧Pa /∴(?x)Cx (4 *a/x ? 销去) (3 a/x ? 销去) /∴(?x)(Gx∧Jx) (反设) (4 ? 否定) (1.5∨销去) (2 ? 否定) (6 *a/x ? 销去) (7 a/x ? 销去) (3 a/x ? 销去) (9.10→联锁) (8∧销去) (11.12→销去) (8∧销去) (13.14∧引入) (4-15引入)
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7.Pa∧Za ? 8.(?x)(Px∧Zx) ? 9.(?x)(Px∨Zx) ? 10.(?x)(Rx→Ix) ? 11.(?x)(Px∨Cx) ? 12. Pa∨Ca ? 13.Ca ? 14.(?x)Cx 证毕。
(6∧交换) (7 ? 引入) (8 ?否定) (1.9∨销去) (2.10?销去) (11 a/x ? 销去) (5.12∨销去) (13 ? 引入)
七、先把下列谓词推理符号化,再为其构造有效性的形式证明。 先把下列谓词推理符号化,再为其构造有效性的形式证明。 (一)1.( ?x)(Px∧Cx) 2.(?x)((Px∧Cx)→Wx) ? 3.Pa∧Ca ? 4.(Pa∧Ca)→Wa ? 5.Wa ? 6.Pa ? 7.Pa∧Wa ? 8.(?x)(Px∧Wx) 证毕。 ?(二)1.(?x)Cx→(?x)Mx ? ? ? ? 2.(?x)Cx→(?x)Nx /∴(?x)(Mx∧Nx)→((?x)Cx∧(?x)Cx) 3. →(?x)(Mx∧Nx) 4. ?5. ? ? ? 6. 7. 8. Ma∧Na Ma ( ?x)Mx (?x)Cx (?x)Cx (假设) (3﹡a/x ?销去) (4∧销去) (5 ? 引入) (1、6→销去) (7量词变换) /∴(?x)(Px∧Wx) (1﹡a/x ? 销去) (2 a/x ? 销去) (3、4→销去) (3∧销去) (5、6∧引入) (7 ? 引入)
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?
9.
Na (?x)Nx (?x)Cx) (?x)Cx (?x)Cx∧(?x)Cx (?x)(Mx∧Nx)→((?x)Cx∧(?x)Cx)
(4∧销去) (9 ? 引入) (2、10→销去) (11量词变换) (11、12∧引入) (3-13→引入)
? 10. ? 11. ? 12. ? 13. ? 14. ?
证毕。
?(三)1.(?x)((Dx∨Lx)→(Wx∧Px)) ? ? ? ? ? 2.(?x)((Dx∧Wx)∧Mx) 3.(?x)(Px∧Sx) /∴(?x)(Dx∧(Mx∨Sx)) 4.(?x)((Dx∧Wx)→Mx) 5.(?x)(Px→Sx) 6. →﹡a 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. (Da∨La)→(Wa∧Pa) (Da∧Wa)→Ma Pa→Sa →Da Da∨La Wa∧Pa Wa Da∧Wa Ma Pa Sa Ma∧Sa (Ma∨Sa) Da→(Ma∨Sa) (1 a/x ? 销去) (4 a/x ? 销去) (5 a/x ? 销去) (假设) (10∨引入) (7.11→销去) (12∧销去) (10.13∧引入) (8.14→销去) (12∧销去) (9.16→销去) (15.17∧引入) (18∨等值) (10-19→引入) (2 ? 否定) (3 ? 否定)
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21. 22.
(?x)(Dx→(Mx∨Sx)) (?x)(Dx∧(Mx∨Sx)) 证毕。
(20 ? 引入) (21 ? 否定)
(四)1.(?x)(Bx→Dx)→(?y)(Hy→Cy) ? 2.(?x)(Bx∧Ex)→(?x)(Bx→(Wx∧Dx)) ? 3.(?x)(Sx→Bx)∧(?y)(My→Ey) ? /∴(?x)(Sx∧Mx)→(Ay)(Hy→Cy) 4. → (?x)(Sx∧Mx) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. ( ?x)(Sx→Bx) ( ?y)(My→Ey) Sa∧Ma Sa→Ba Ma→Ea Sa Ba Ma Ea Ba∧Ea ( ?x)(Bx∧Ex) (?x)(Bx→(Wx∧Dx)) →*b Bb→(Wb∧Db) →Bb Wb∧Db Db Bb→Db ( ?x)(Bx→Dx) ( ?y)(Hy→Cy) (?x)(Sx∧Mx)→(?y)(Hy→Cy) (16 b/x?销去) (假设) (18.19→销去) (20∧销去) (19-21→引入) (19-22?引入) (1.23→销去) (4-24→引入) (假设) (3∧销去) (3∧销去) (4 *a/x ? 销去) (5 *a/x ? 销去) (6 *a/y ? 销去) (7∧销去) (8.10→销去) (7∧销去) (9.12→销去) (11.13∧引入) (14 ? 引入) (2.15→销去)
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证毕。 (五)1.( ?x)(Hx→(?y)(Dy→Lxy)) ? 2.( ?x)(Hx→(?y)(Ky∧Lxy)) ? 3.( ?x)Hx ? 4.Ha ? 5.Ha→(?y)(Dy→Lay) ? 6.Ha→(?y)(Ky∧Lay) ? 7.( ?y)(Dy→Lay) ? 8.( ?y)(Ky∧Lay) ? 9.Kb∧Lab ?10.Db→Lab ?11.Lab ?12.Db ?13.Kb ?14.Kb∧Db ?15.( ?x)(Kx∧Dx) ?证毕。 /∴(?x)(Kx∧Dx) (3 *a/x ? 销去) (1 a/x? 销去) (2 a/x? 销去) (4.5→销去) (4.6→销去) (8 *b/y ? 销去) (7 b/y ? 销去) (9∧销去) (10.11→销去) (9∧销去) (12.13∧引入) (14 ? 引入)