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考纲要求1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 考情分析1.本部分是高考中的重点考查内容,主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等。 2.常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查,有时也与对称性等性质结合考查。 3.题型以选择、填空为主,有时也会以解答题形式出现,属中低档题。 [小题热身] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切。( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切。( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交。( ) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程。( ) (5)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2。( ) √ × × × √ 解析:(1)正确。直线与圆组成的方程组有一组解时,直线与圆相切,有两组解时,直线与圆相交。 (2)错误。因为除外切外,还可能内切。 (3)错误。因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值,否则可能内切或内含。 (4)错误。只有当两圆相交时,方程才是公共弦所在的直线方程。 (5)正确。由已知可得O,P,A,B四点共圆,其方程为2+2=2+2,即x2+y2-x0x-y0y=0,又圆O方程:x2+y2=r2,-得:x0x+y0y=r2,而两圆相交于A,B两点,故直线AB的方程是x0x+y0y=r2。 2.若直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,则( ) A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.+≤1 D.+≥1 解析:直线+=1可化为bx+ay-ab=0, 直线与圆有公共点,d≤r, 即≤1a2+b2≥a2b2+≥1。 故选D。 答案:D 3.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于( ) A.或- B.-或3 C.-3或D.-3或3 解析:圆的方程可以转化为(x-1)2+y2=()2,于是,利用圆心(1,0)到直线的距离等于圆的半径,得=,即|+m|=2,解得m=,或m=-3。 答案:C 4.已知M,N分别是圆C1:(x+3)2+y2=4和圆C2:x2+(y-4)2=1上的两动点,则|MN|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:两圆心分别为C1(-3,0)和C2(0,4), 半径分别为2和1,圆心距|C1C2|=5,故两圆相离,|MN|的最小值为|C1C2|-2-1=2, 故选B。 答案:B 5.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则C上各点到l距离的最小值为__________。 解析:由数形结合可知:所求最小值为圆心到直线的距离减圆的半径。由圆心C(1,1)到直线x-y+4=0的距离d==2,故最小值为2-=。 答案: [知识重温] 一、必记4个知识点 1.直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: (1)代数法:利用判别式 (2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系dr______。 相交 相切 相离 相交 相切 相离 2.圆的切线方程 若圆的方程为x2+y2=r2,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为____________。 3.直线与圆相交 直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=____________,即l=2,求弦长或已知弦长求解问题,一般用此公式。 x0x+y0y=r2 d2+2 4.两圆位置关系的判断 两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r(r>0),(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0)的圆心距为d,则(1)d>r1+r2两圆______; (2)d=r1+r2两圆______; (3)|r1-r2|