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特征值相同均可对角化
特征值相同而且均可对角化 的话,不就都可以对角化为一个对角矩阵(对角元为特征值) A~B C~B 则A~C
合同的条件
两个矩阵A和B,存在满秩矩阵P,P的转置乘A乘P等于B,二者合同。
特殊考虑情况
对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量必定正交
存在正交矩阵Q-1AQ=B,使A和B相似
Q-1等价于Q的转置
所以A和B合同。
合同、等价和相似的区别
1.矩阵相似的例子中,P-1AP=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是二者有相等的不变因子;可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵;矩阵相似必等价,但等价不一定相似。
矩阵合同的例子中,CTAC=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是秩相等且正惯性指数相等,即标准型相同;可通过二次型的非退化的线性替换来理解;矩阵合同必等价,但等价不一定合同。
正交矩阵
1、方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;
2、方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;
3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;
4、A的列向量组也是正交单位向量组;
5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
特征向量正交化
因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量,特征向量是对应齐次线性方程组的解,所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量。正交化所得向量与原向量等价,所以仍是特征向量,由此可知单位化后也是特征向量。
当同一个特征值a是两个基础解系的线性组合时,说明对于这个线性组合的任意向量都是收缩a倍