江西省永丰中学 吴全根
求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k或已知切线上一点两种情况,而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况,面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢?下面教你三招.
一、公式法可求过圆上一点的切线方程. 公式如下:
① 过圆x2+y2= r2上点p(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y= r2.
② 过圆(x-a)2+(y-b)2= r2上点p(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2.
③ 过圆x2+y2+dx+ey+f=0上点p(x0,y0)的切线方程 x0x+y0y+d +e +f=0 .
点评:(1)公式②中当a=b=0时即为公式①.
(2)上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的,当切线的斜率不存在时公式也适用.
(3)当你忘记了这些公式,可利用公式推导方法求之.
例1 求过点a(4,1)且与圆(x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程.
解一:(公式法) (4-2)2+(1+1)2=8 点a(4,1)在圆上,
圆的切线方程为(4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0.
解二:(公式推导法) 圆心c(2,-1) k =1 过点a 的切线的斜率k= -1.
所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0.
二、待定系数法可求过圆外一点p(x0,y0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y =k(x-x )或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .
例2 求过点m(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.
解:设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900), d= , k= , 切线方程为24x-7y-20=0.
当倾斜角为900时,切线方程为x=2. 过m点的切线方程为24x-7y-20=0或x=2.
点评:因为过圆外一点p(x0,y0)引圆的切线有两条,故用此法求切线的斜率k一般有两个值, 若k只有一个值,说明还有一条切线,其斜率不存在,方程为x=x0,应补回来.
三、判别式法其依据是圆的切线的定