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1、二重积分的性质
(1)被积函数的常数因子可以提到二重积分的外面,即
(2)函数和(或差)的二重积分等于各个函数二重积分的和(或差),即
(3)如果在D上,f(x,y)=A,A是常数,则σ为D的面积,则
(4)如果闭区域D被有线条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分区域上的二重积分的和,例如D被分为两个闭区域D1和D2,则
(5)如果在D上,
,则有不等式
同样的也有:
(6)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,σ是D的面积,则有
(7)二重积分中值定理:设函数f(x,y)在区域D上连续,σ是D的面积,则在D上至少存在一点
,使得下式成立:
。
2、在直角坐标系下计算二重积分
对于区域D,其实只要围着它积分就好了,很容易,不用死记X型和Y型。
3、对称性:(挺重要的一个概念)
设函数f(x,y)是平面区域D上的二元函数,又
(1)如果区域D关于x轴对称,且对任意
,
(或
),称f(x,y)在D上关于y偶函数(或奇函数),此时整个区域积分等于
(奇函数时为0),其中D1是D在上半平面部分。
(2)如果区域D关于y轴对称,且对任意
,
(或
),称f(x,y)在D上关于x偶函数(或奇函数),此时整个区域积分等于
(奇函数时为0),其中D2是D在右半平面部分。
(3)如果区域D关于原点对称,且对任意
,
(或
),称f(x,y)在D上同时关于x和y为偶函数(奇函数)。此时整个区域积分等于
(奇函数时为0),其中D3是D在上半平面部分。
4、极坐标系下计算二重积分
(1)极坐标和直角坐标之间的关系:x=rcos θ;y=rsin θ。
(2)二重积分当变量从直角坐标变到极坐标时,计算公式:
(3)极点位置的三个情况
①当极点在积分区域D的外部,如果D={
}
如果函数
在区域[α,β]