前言
在直线和角的部分,我们已经开始接触许多证明了。
因此在进入下一部分的学习之前,我们有必要好好讲讲关于证明的事情。
定义和命题
为了精确描述,我们一般需要规定术语的意义,例如什么叫平行,什么又叫垂直。
这些解释含义的工作就叫定义。
定义是没有对错的,而带有对错判断的工作,叫做命题。
例如对顶角相等,过直线外一点只能作一条平行线,过直线外一点作不出平行线。
一般而言数学命题都可以变成「如果……那么……」的形式,「如果」部分被叫做条件,「那么」部分被叫做结论。
例如,如果A是苹果,那么A是红的。
命题正确时,我们叫它真命题,否则就是假命题。
讨论命题正确或者错误的过程,叫证明。
练习:把
是无理数写成「如果……那么……」的形式。
逆否命题
根据如果A是苹果,那么A是红的,我们还可以有下列三个命题:
如果A是红的,那么A是苹果,这叫逆命题。
如果A不是苹果,那么A不是红的,这叫否命题。
如果A不是红的,那么A不是苹果,这叫逆否命题。
逆否命题和原命题的正确性是一样的。
探索:如何证明这个定理。
练习:写出
是无理数的逆命题和否命题。
通常来说,命题逻辑是不考虑可能性的,例如三角形内角和一定是180度,否定是三角形内角和一定不是180度,而非三角形内角和不一定是180度。
探索:考虑可能性的逻辑是什么样的?(模态逻辑)
反证法
由于逆否命题和原命题正确性是一样的,所以我们可以通过证明逆否命题来证明原命题。
而逆否命题是从结论的否定出发,证明条件的否定,我们可以选择论证结论的否定和条件存在矛盾。
例如苹果是红的,逆否命题为如果A不是红的,那么A不是苹果,那么我们可以证明A不是红的与A是苹果存在矛盾,以此证明苹果是红的。
这就是反证法。
练习:先写出逆否命题,再用反证法证明
是无理数。
公理
数学不是无中生有的,是需要公理的。
例如经典几何就有五条基本公理,我们已经在直线和角的部分讲过四条,剩下一条和圆有关。
这些公理的正确性是人为规定的,是数学的基础,防止人们陷入无尽的「为什么」之中。
如果改变公理就有可能获得一种不一样的数学,例如黎曼几何就认为过直线外一点作