函数、 导数及其应用 2.3 函数的奇偶性 【高考目标定位】 一、 考纲点击 1、 结合具体函数, 了解函数奇偶性的含义; 2、 会运用函数图象理解和研究函数的性质。 二、 热点难点提示 1、 函数的奇偶性作为函数的一个重要性质, 仍是明年高考考查的重点, 常与函数的单调性、 周期性等知识交汇命题。 2、 在每年的高考试题中, 三种题型都有可能出现, 多以选择题、 填空题的形式出现, 属中、 低档题。 【考纲知识梳理】 一、 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个, 都有 f(‐x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数。 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个, 都有 f(‐x)=‐f(x),那么函数 f(x)是奇函数。关于原点对称 注: 1、 奇偶函数的定义域的特点: 由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x在定义域中, 即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称; 2、 存在既是奇函数, 又是偶函数的函数, 它们的特点是定义域关于原点对称, 且解析式化简后等于零。 二、 奇偶函数的性质 1、 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填 “相同”、“ 相反”)。 2、 在公共定义域内, (1) 两个奇函数的和函数是奇函数, 两个奇函数的积函数是偶函数; (2) 两个偶函数的和函数、 积函数是偶函数; (3) 一个奇函数, 一个偶函数的积函数是奇函数。 3、 若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义, 则 f(0)=0. 4、 对称性: 奇(偶) 函数的定义域关于原点对称; 5、 整体性: 奇偶性是函数的整体性质, 对定义域内任意一个 x都必须成立; 6、 可逆性: )()(xfxf=− ⇔)(xf是偶函数; )()(xfxf−=−⇔)(xf奇函数; 7、 等价性:)()(xfxf=−⇔0)()(=−−xfxf )()(xfxf−=−⇔0)()(=+−xfxf 8、 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于 y 轴对称; 9、 可分性: 根据函数奇偶性可将函数分类为四类: 奇函数、 偶函数、 既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 【热点、 难点精析】 一、 函数奇偶性的判定 1、 相关链接 <1>判断函数奇偶性的一般步骤 (1) 首先确定函数的定义域, 看它是否关于原点对称。 若不对称, 则既不是奇函数又不是偶函数。 (2) 若定义域关于原点对称, 再判定 f(-x)与 f(x)之间的关系 ①若 f(-x)=-f(x)(或 f(-x) +f(x)=0), 则为奇函数; ②若 f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0), 则 f(x)为偶函数; ③若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x), 则 f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若 f(-x) ≠f(x)且 f(-x)≠- f(x), 则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 <2>一些重要类型的奇偶函数 函数 f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数 f(x)=ax-a-x为奇函数; 函数 f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中(a>0 且 a≠1) 为奇函数; 函数 f(x)=loga(11x+x−)为奇函数(a>0 且 a≠1) ; 函数 f(x)= loga(21xx++ )为奇函数(a>0 且 a≠1) 2、 例题解析 〖例 1〗 讨论下述函数的奇偶性: );111(1)() 3 (;) 0)(1(1) 0(0) 0)(1(1)() 2 (;221x16)() 1 (222+−+−=⎪⎩⎪⎨⎧<−+−=>++=++=xxogxfxxxnxxxxnxfxfxx );0(||)() 4 (22≠−+−a=aaxxaxf常数 解: (1) 函数定义域为 R, )(221x161416x12111612221x16)(xfxfxxxxxxxx=++=++•=++=++=−−−−, ∴f(x)为偶函数; (另解) 先化简:14414116)(++=++=−xxxxxf, 显然)(xf为偶函数; 从这可以看出, 化简后再解决要容易得多。 (2) 须要分两段讨论: ①设 );()1(1111)1(1)(, 0, 0xfxxnxxnxxnxfxx−=−+−=−+=++=−∴<−∴> ②设 x<)()1(1111)1(1)(, 0, 0xfxxnxxnxxnxfx−=−+−−=−+−=−−+−=−∴>−∴ ③当 x=0 时 f(x)=0, 也满足 f(-x)=-f(x); 由①、 ②、 ③知, 对 x∈R 有 f(-x) =-f(x), ∴f(x)为奇函数; (3)10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥−≥−xxxQ, ∴函数的定义域为1±=x, ∴f(x)=log21=0(x=±1) , 即 f(x)的图象由两个点 A(-1, 0) 与 B(1, 0) 组成, 这两点既关于 y 轴对称, 又关于原点对称, ∴f(x)既是奇函数, 又是偶函数; (4) ∵x2≤a2, ∴要分 a >0 与 a <0 两类讨论, ①当 a >0 时,)],, 0 () 0 ,a[(||aaaxaxaU−⇒⎩⎨⎧≠+≤≤−函数的定义域为 xxaxfax22)(, 0||−=∴>+∴, ∴当 a >0 时, f(x)为奇函数; ,2,2,2)(, 0||2122axaxaxxaxfax−==−−−=∴<+称的两点取定义域内关于原点对Q )(,0, 03353)2()2(xfaafaf时当 <∴≠±=−±Q既不是奇函数, 也不是偶函数 〖例 2〗 f (x) 是定义在(-∞, -5] U[5, +∞) 上的奇函数, 且 f (x) 在[5,+∞) 上单调递减, 试判断 f(x) 在(-∞, -5] 上的单调性, 并用定义给予证明. 解析: 任取 x1-x2≥-5. 因 f(x) 在[5, +∞] 上单调递减, 所以 f(-x1) f(x2), 即 f(x) 在(-∞, -5] 上单调减函数. 二、 分段函数的奇偶性 1、 分段函数奇偶性的判定步骤 分析定义域是否关于原点对称; 对 x 的值进行分段讨论, 寻求 f(X)与 f(-X)在各段上的关系; 综合(2) 在定义域内 f(X)与 f(-X)的关系, 从而判断 f(X)的奇偶性。 注: 奇偶性是函数的一个整体性质, 不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 2、 例题解析 〖例〗 已知函数224(0)( )f x4(0)xxxxxxxx⎧⎪⎪+ +>=⎨− +⎪−⎪⎩<。 试判断( )f x 的奇偶性 分析: 确定定义域→判断每一段上()fx−与( )f x 的关系 →判断整个定义域上()fx−与( )f x 的关系 →结论。 解答: 由题设可知函数的定义域关于原点对称。 0x >时,0x− < 24( ),f xx当22222()()44(),( )f x().0,0,4( )f x,()()44(),( )f x().0()( )f x( )f xxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxxfxxxfxfx+ +=−− −−++ +−==∴当=− >−<− += −−+ −−+− +−== −∴综上所述, 对于x=−≠−=∴则则都有成立,为偶函数。 三、 抽象函数的奇偶性 1、 相关链接 判断(或证明) 抽象函数的奇偶性的步骤 利用函数奇偶性的定义, 找准方向(想办法出现 f(x),f(-x)) ; 巧妙赋值, 合理、 灵活变形配凑; 找出 f(X)与 f(-X)关系, 得出结论。 〖例 1〗()()( )f x()( )f x( )f y( )f x3.xyRf xyf∈+=+−已知函数对一切 、都有。(1) 试判断的奇偶性;(2) 若=a, 用a表示f 12 分析: (1) 判断 f(x)奇偶性, 即找出 f(-x)与 f(x)之间的关系, ∴令 y=-x,有 f(0)=f(x)+f(-x),再想法求 f(0)即可; (2) 寻找 f(12)与 f(-3)之间的关系, 注意用(1) 问的结论。 解答: ( ) 1又( )f x()( )f x( ),f y0(0)2 (0),f(0)0.,(0)( )f x(),()( ),f x( )f xRxyf xyxyffyxffxfx+=+∴== −==∴−==+∴−= −∴Q显然的定义域是 , 关于原点对称。函数对一切 、都有令, 得再令得为奇函数。 (2)( 3)−=( )f x(3)( 3)−.()( )f x( ),f y x(12)(66)(6)(6)2 (6)f3 (3 3)f4 (3)f4 .afaffaf xyyRffff=∴又= −+=++∈=∴==+=+== −QQ且为奇函数,、, 〖例 2〗 设函数)(xf在),(+∞−∞上满足)2 (f)2 (fxx+=−,)7 (f)7 (fxx+=−, 且在闭区间[0, 7]上, 只有0) 3 () 1 (f== f。 (1) 试判断函数)(xfy =的奇偶性; (2) 试求方程0)(=xf在闭区间]2005,2005[−上的根的个数, 并证明你的结论。 解析: (1) 由)2 (f)2 (fxx+=−, 得函数)(xfy =的对称轴为2=x ∴ ) 5 (f) 1−(f= 而) 1−() 1 (f0) 5 (f≠⇒≠f, 即)(xf不是偶函数 又 ∵ )(xf在[0, 7]上只有0) 3 () 1 (f== f ∴ 0) 0 (f≠ 从而知函数)(xfy =不是奇函数 故函数)(xfy =是非奇非偶函数 (2)⎩⎨⎧+=−+=−)7 (f)7 (f)2 (f)2 (fxxxx)14()4 (f)14()()4 (f)(xfxxfxfxxf−=−⇒⎩⎨⎧−=−=⇒ )10()(+=⇒xfxf 从而知函数)(xfy =的周期为 T=10 又0) 1 () 3 (f== f ∴ 0) 9−() 7−()13()11(====ffff 故)(xf在[0, 10]和] 0 ,10[−上均有 2 个根, 从而可知函数)(xfy =在[0, 2000]上有 400 个 根, 在[2000, 2005]上有 2 个根, 在] 0 ,2000[−上有 400 个根, 在]2000,2005[−−上没有根。 ∴ 函数)(xfy =在]2005,2005[−上有 802 个根。 四、 函数的奇偶性与单调性的综合应用 〖例 1〗定义在 R 上的函数)(xf满足对任意Ryx∈、恒有)()()(yfxfxyf+=, 且)(xf不恒为 0。 (1) 求) 1 ( f和) 1(−f的值; (2) 试判断)(xf的奇偶性, 并加以证明; (3) 若0≥x时)(xf为增函数, 求满足不等式0)2 (f) 1(≤−−+xxf的x的取值集合。 解析: (1) 令1== yx, 得) 1 (f) 1 (f) 1 (f+= ∴ 0) 1 (f= 令1−== yx, 得) 1−() 1−() 1 (f+=ff ∴ 0) 1−(=f (2) 令1−=y, 由)()()(yfxfxyf+=, 得) 1−()()(+=−fxfxf 又0) 1−(=f ∴ )()(xfxf=− 又 ∵ )(xf不恒为 0 ∴ )(xf为偶函数 (3) 由0)2 (f) 1(≤−−+xxf 知)2 (f) 1(xxf−≤+ 又由(2) 知|)(|)(xfxf= ∴ )2() 1+(xfxf−≤ 又 ∵ )(xf在), 0 [ +∞上为增函数 ∴ xx−≤+21 故x的取值集合为}21|{≤xx 〖例 2〗 设( )f x 是定义在 R 上的函数, 对任意 , x yR∈, 恒有)()()(yfxfyxf+=+。 ⑴求) 0 ( f的值; ⑵求证 ( )f x 为奇函数; ⑶若函数( )f x 是 R 上的增函数, 已知2) 1−()2 (f, 1) 1 (f+>=afa且, 求a 的取值范围。 解: ⑴令 y=x=0 得 f(0)=2f(0)→f(0)=0 ⑵令 y= -x 得 f(0)=f(x)+f(-x) →f(-x)= -f(x) 又函数的定义域为 R ∴( )f x 为奇函数 ⑶∵)()()(yfxfyxf+=+又 f(1)=1 ∴2= f(1)+ f(1)=f(1+1) = f(2) ∴2) 1−()2 (f+>afa即为) 2 (f) 1−()2 (fafa+> 又 f(a-1)+f(2)=f(a-1+2)=f(a+1) ∴f(2a)> f(a+1) 又函数 ( )f x 是 R 上的增函数 ∴2a>a+1 得 a>1 ∴ a 的取值范围是{} 1>aa 注: (1) 对抽象函数解不等式问题, 应充分利用函数的单调性, 将“ f ” 脱掉, 转化为我们会求的不等式; (2) 奇偶函数的不等式求解时, 要注意到: 奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性。 【感悟高考真题】 1、(2009 全国卷Ⅰ 理) 函数( )f x 的定义域为 R, 若(1)f x +与(1)f x −都是奇函数, 则( D ) (A) ( )f x 是偶函数 (B) ( )f x 是奇函数 (C) ( )(2)f xf x=+ (D) (3)f x+是奇函数 解: Q(1)f x +与(1)f x −都是奇函数,(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x∴− += −+− −= −−, ∴ 函数( )f x 关于点 (1,0) , 及点 ( 1,0)−对称, 函数( )f x 是周期2[1( 1)]− −4T ==的周期函数.(14)(14)fxf x∴− − += −− +,(3)(3)fxf x− += −+, 即(3)f x+是奇函数。 故选 D 2、 (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ⎩⎨⎧>−−−≤−0),2() 1(0),4 (log2xxfxfxx, 则 f (3)的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】 :由已知得2( 1)f −log 5=,2(0)log 42f==,2(1)(0)( 1)−2 log 5−fff=−=, 2(2)(1)(0)log 5fff=−= −,22(3)(2)(1)log 5(2 log 5)−2fff=−= −−= −,故选 B. 答案:B. 3、(2009 全国卷Ⅱ 文) 函数 y=x−(x≤0)的反函数是 (A)2yx=(x≥0) (B)2yx= −(x≥0) (B)2yx=(x≤0) (D)2yx= −(x≤0) 答案: B 解析: 本题考查反函数概念及求法, 由原函数 x≤0 可知 AC 错,原函数 y≥0 可知 D 错, 选B. 4、(2009 四川卷文) 已知函数)(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数x都有 )()1 () 1(xfxxxf+=+, 则)25( f的值是 A. 0 B. 21 C. 1 D. 25 【答案】 A 【解析】 若x≠0, 则有)(1) 1(xfxxxf+=+, 取21−=x, 则有: )21()21()21(21211) 121()21(fffff−=−−=−−−=+−=( ∵)(xf是 偶 函 数 ,则)21()21(ff=− ) 由此得0)21(=f 于是,0)21(5)21(]21211[35) 1+21(35)23(35)23(23231) 1+23()25(==+===+==fffffff 5. ( 2010 北 京 文 数 ) ⑷ 若 a,b 是 非 零 向 量 ,且ab⊥,ab≠,则 函 数( )f x() (⋅)xabxba=+−是(A) (A) 一次函数且是奇函数 (B) 一次函数但不是奇函数 (C) 二次函数且是偶函数 (D) 二次函数但不是偶函数 答案: A 6. (2010 天津文数) (5)下列命题中, 真命题是 (A)mR,fxxmxxR∃∈+∈2使函数 ( ) =() 是偶函数 (B)m∃R,fxxmxxR∈+∈2使函数 ( ) =() 是奇函数 (C)mR,fxxmxxR∀∈+∈2使函数 ( ) =() 都是偶函数 (D)mR,fxxmxxR∀∈+∈2使函数 ( ) =() 都是奇函数 【答案】 A 【解析】 本题主要考查奇偶数的基本概念, 与存在量词、 全称量词的含义, 属于容易题。 当m=0 时, 函数 f(x) =x2是偶函数, 所以选 A. 7. (2010 江苏卷) 5、 设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数, 则实数 a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。 g(x)=ex+ae-x为奇函数, 由 g(0)=0, 得 a=-1。 【考点精题精练】 一、 选择题 1. 已知函数)(xfy =是一个以 4 为最小正周期的奇函数, 则) 2 ( f等于(A) A. 0 B. 4− C. 4 D. 不能确定 解析: 由题意知) 2−() 2 (f−=f, 又)(xf周期为 4, 因此) 2−() 42 (f) 2 (f=−=f,综上, 可知0) 2 (f= 2. 设函数)(xf是定义在 R 上, 周期为 3 的奇函数, 若112) 2 (f, 1) 1 (f+−=<aa, 则( C ) A. 2−1<a且1−≠a B. 01<<−a C. 1<a或0>a D. 21<<−a 解析: 由题意分析知1) 1−(−>f, 又函数)(xf的周期为 3, 所以) 1−() 2 (f= f, 则由1112) 1−() 2 (f−>+−==aaf, 求得1−<a或0>a。 故选 C。 3. 设)()(xgxf、分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当0<x时,)()(xgxf′ 0)()(>′+xgxf, 且0) 3−(=g, 则不等式0)()(<xgxf的解集是(D ) A. ), 3 ...