如果对任何都有,则称是x和y的齐次函数,如果取,则。这就是说齐次函数可改写为的形式。一阶微分方程(其中,为齐次函数)就叫做齐次(一阶微分)方程。或者说,方程是齐次方程。此外,如果在微分方程的每一项中,因子x和y的幂次的总和都是相等的,则该方程就是齐次方程。例如都是齐次方程。事实上,式(2)各项同除x,式(3)各项同除以,则式(2)和(3)可分别化为或和或另外,方程也是齐次方程。事实上,方程(4)右端分子和分母同除以x,则得到齐次方程关于齐次方程的一般解法如下:令所以,代入方程(1),得即有方程(2)为可分离变量方程,于是方程(3)两端积分,得上述等式可改写为把代入式(4),则得到方程(1)的隐式通解例1求方程的通解。解:方程,令,所以,于是方程变为,即,所以。积分得通解,即。也可以把方程的隐式通解改写为显式通解。事实上,因为,所以。