采用奇校验还是偶校验都是可行的。偶校验从数学的角度看更简单一些,但在实践中并没有区别。校验位一般的规律可以如下表示:观察上表可发现一个比较直观的规律:第i个检验位是第2i-1位,从该位开始,检验2i-1位,跳过2i-1位……依次类推。例如上表中第3个检验位p4从第23-1=4位开始,检验4、5、6、7共4位,然后跳过8、9、10、11共4位,再检验12、13、14、15共4位……特注:以下的+均代表异或 　　方法一:1)海明码的生成。例1.已知:信息码为:"0010"。海明码的监督关系式为:S2=a2+a4+a5+a6S1=a1+a3+a5+a6S0=a0+a3+a4+a6求:海明码码字。解:1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。2)冗余码与信息码合成的海明码是:"0010a2a1a0"。设S2=S1=S0=0,由监督关系式得:异或运算:a2=a4+a5+a6=1a1=a3+a5+a6=0a0=a3+a4+a6=1因此,海明码码字为:"0010101"2)海明码的接收。例2.已知:海明码的监督关系式为:S2=a2+a4+a5+a6S1=a1+a3+a5+a6S0=a0+a3+a4+a6接收码字为:"0011101"(n=7)求:发送端的信息码。解:1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表:S2S1S0001010100011101110111错码位置无错a0a1a2a3a4a5a63)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字:"0 0 1 0 1 0 1"5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码:"0010"方法二:(不用查表,方便编程)1)海明码的生成(顺序生成法)。例3.已知:信息码为:" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8)求:海明码码字。解:1)把冗余码A、B、C、…,顺序插入信息码中,得海明码码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12其中A,B,C,D分别插于2的k次方位(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。2)冗余码A,B,C,D的线性码位是:(相当于监督关系式)监督关系式的推导:D C B A1 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 0根据上面表格得到 A B C D需要说明的是公式中参与计算的是表格中出现"1"的那个位 右边是数据位的二进制数,公式中的"+"表示异或故此有如下表达式:A->1,3,5,7,9,11;(这里的1 3 5 7 9 11均为A那一列出现1的位)B->2,3,6,7,10,11;C->4,5,6,7,12;(注 5=4+1;6=4+2;7=4+2+1;12=8+4)D->8,9,10,11,12。3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0):A=∑(0,1,1,0,1,0)=1B=∑(0,1,0,0,1,0)=0C=∑(0,1,0,0,0) =1D=∑(0,1,1,0,0) =04)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"2)海明码的接收。例4.已知:接收的码字为:"1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)求:发送端的信息码。解:1)设错误累加器(err)初值=02)求出冗余码的偶校验和,并按码位累加到err中:A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+2^0=1B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+2^1=3C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3由err≠0可知接收码字有错,3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"5)把位于2的k次方位的冗余码删除得信息码:"1 1 0 0 1 1 0 0"海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。码字(Code Word) 按如下方法构建:1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性,其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。位置1:校验1位,跳过1位,校验1位,跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)位置2:校验2位,跳过2位,校验2位,跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)位置4:校验4位,跳过4位,校验4位,跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)位置8:校验8位,跳过8位,校验8位,跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)…如果全部校验的位置中有奇数个1,把该奇偶校验位置为1;如果全部校验的位置中有偶数个1,把该奇偶校验位置为0.举例说明:一个字节的数据:10011010构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):位置1检查1,3,5,7,9,11:? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置1设为0,即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0位置2检查2,3,6,7,10,11:0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置2设为1,即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0位置4检查4,5,6,7,12:0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置4设为1,即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0位置8检查8,9,10,11,12:0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置8设为0,即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0因此码字为: 011100101010.查找并纠错一位错误 上例中构建了一个码字 011100101010,假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位,可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来,对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置。海明码校验是为了保证数据传输正确而提出的,本来就是一串要传送的数据,如:D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0,这里举的是八位数据,可以是n位数据。就这样传送数据,不知道接收到后是不是正确的。所以,要加入校验位数据才能检查是否出错。这里涉及到一个问题,要多少位校验数据才能查出错误呢?我们只要能检测出一位出错,则对于8位信息数据,校验位为4位。满足下列条件:2的k次方大于等于n+k+1,其中k为校验位位数,n为信息数据位位数。验证一下,2的4次方等于16,n+k+1等于8+4+1等于13。 8位信息数据与4位校验位总共有12位数据,怎么排列呢?我们先把校验位按P4,P3,P2,P1排列,用通式Pi表示校验位序列,i为校验位在校验序列中的位置。 传送的数据流用M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1表示,接下来的问题是如何用D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0与P4,P3,P2,P1来表M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1了。校验位在传送的数据流中位置为2的i-1次方,则P1在M1位,P2在M2位,P3在M4位,P4在M8位。其余的用信息数据从高到低插入。 传送的数据流为D7,D6,D5,D4,P4,D3,D2,D1,P3,D0,P2,P1。 接下来,我们要弄明白如何找出错误位的问题。引进4位校验和序列S4,S3,S2,S1。S4,S3,S2,S1等于0,0,0,0表示传送的数据流正确;如S4,S3,S2,S1等于0,0,1,0则表示传送的数据流中第2位出错;如S4,S3,S2,S1等于0,0,1,1则表示传送的数据流中第3位出错;依次类推。