这个证明是对的,按照我们刚刚确定的证明的定义,这也就意味着这个证明排除了待证命题
所有为假的情况。这里一共就4种情况:pq都真,pq都假,p真q假,p假q真。那么问题来了:这个证明排除了哪种情况呢?
因为它通过假设
证得
,因此排除了“
且
不大于1”的情况。这也就是说:“
且
不大于1”就是原命题所有为假的情况了。这里
是p,
是q,这也就是说:“p真q假”就是原命题所有为假的情况,而p假的两种情况在这个证明里并没有被排除。但我们都知道这个证明是对的,这说明:这个证明已经排除了原命题
所有为假的情况,因此只好承认,p假的时候原命题
为真。这就是这样定义的道理所在。
上面通过一个简单的证明,说明了这种定义的合理性。这里再提供一个理解的思路。
大家应该都能理解:“如果p那么q”实际上等价于“p假,和q真,这二者总有一个成立”。即:
等价于
。
而
的真值表是大家都公认的:只有当
和
同时为假的情况下,即p真q假的时候,
才为假。因此只有p真q假的时候,
才为假,其他情况都为真。否则就跟“或”这个逻辑连接词(即“
当然,即使解释了这种定义的合理性,也一定会有人还是觉得这个定义很怪,毕竟它认为“如果1+1=3,那么雪是黑的”这种命题是真的(因为前件为假)。怎么理解这个奇怪的情况呢?@罗心澄的答案给了一个很好的例子:
我们指着一个三角形说:如果它是正方形,那么它有四条边。
这是一个
式的命题,且pq都为假,它显然是真命题。而它和“如果1+1=3,那么雪是黑的”其实没有什么不同:因为它们都是“pq都为假”的命题,所以我们只能承认这两个
式的命题的真值相同。
但“如果它是正方形,那么它有四条边”是不可能为假的。换句话说,认为“如果它是正方形,那么它有四条边”为假,比认为“如果1+1=3,那么雪是黑的”为真更荒谬,更不可接受,因此只好承认两者都是真的。
当然,上面的回答都依赖一点:
的真假仅由
各自的真假决定,且
只有“真”和“假”两种情况,这才导致我们所考虑的情况一共只有四种:pq都真,pq都假,p真q假,p假q真。这就是@罗心澄答案提到的“真值函项”的意思。要说清楚这种定义的来历,需要扯到弗雷格和维特根斯坦的一些语言哲学观,所以就不提了。