在数学教学过程中,我们常常会有“似曾相识”的感觉,而且在不同分支、不同领域中会感到某种类似的成分。如果我们把这些类似进行比较并加以联想的话,可能出现许多意想不到的结果和方法。这种把类似进行比较、联想,由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去,从而获得另一个对象性质的方法就是类比法。
在数学教学中,根据教材特点运用类比的方法,既可以提高课堂教学的效果,又有助于培养学生类比的能力。
一、分式与分数的类比
首先,要用与分数类比的方法导出分式概念、分式基本性质与分式的四则运算法则。一个分数由分子、分母和分数线构成,分子、分母都是数,但分母不能是零。为什么分母不能为零呢?因为零不能做除数,如果分子等于零,只要分母不是零,这个分数的值就是零。再把分数的概念引申到代数式来,发现分式由分子、分母与分数线构成,分母中含有字母,这样就很自然地引入了分式的概念,接着指出分数与分式的区别所在:分数与分式形式相同,但分式中的分子、分母均为整式,且分母是含有字母的整式。
其次,在讲分式的基本性质时,先通过复习分数的基本性质来进行推想。我们回忆如何做不同分母分数的加法,是先将异分母化为同分母,这是根据什么呢?根据分数的基本性质:分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数,分数的值不变,分式是一般化了的分数,分式应该有 ,这里A、B、M是整式,根据分式的概念要求,由分数的基本性质应该想到。因此,分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。此外,当一个分数的分子分母有公因数时,我们就可以利用分数的基本性质,将分数中分子分母中的公因数约去,从而成为最简分数。同理,由于分式也具有与分数相似的基本性质,所以我们也可以根据分式的基本性质将分式中分子分母中的公因式约去,化成最简分式。(这个概念可由学生总结出)
第三,两个分数相乘时,分子乘分子,分母乘分母;两个分式相乘时,也应该分子乘分子,分母乘分母,除去一个分数等于乘以这个分数的倒数。同理,除以一个分式时,也应乘以这个分式的倒数。两个同分母分数相加减时,分母不变,分子相加减;同分母分式相加减时,分母不变,分子相加减。异分母分数相加减时,要先进行通分,化成同分母分数后再加减;异分母分式相加减时,也要先进行通分,化成同分母分式,然后再加减。分数通分时,要先找各分母的最小公倍数