复数不仅有意义,而且可以用图示来优雅地解释。1、实函数与数轴变换
大家都认识
,对于这样的初等函数,我们从小就学会使用直角坐标系来刻画它们:
它们的特点都大同小异:把实数轴对应到实数轴。然而,既然是一维函数,用二维图像来描述未免太过奢侈。如果我们把数轴涂上不同颜色,再把一条新数轴上对应的函数值涂上相应颜色,就可以清晰地用数轴-数轴对应来展示函数这一关系:
可以发现每个函数的作用无非是在有些地方把数轴往中间压了压,在有些地方又把数轴往两边扯了扯(观察图中小棒棒之间的间距是变窄还是变宽):
越往左越挤压数轴,越往右越拉伸数轴
离0越远,对数轴的拉伸越厉害(在图上左半边图像和右半边图像重叠在了一起)。如果有一个小球在实数轴上向右滑行,那么它的像则先向左滑行到0,然后再向右滑行。
离0越远,对数轴的拉伸比楼上更厉害,但是不同的是,向右滑行的小球的像也一直向右滑行。
是挤压还是拉伸,就看函数在那一点的导数的绝对值是小于1还是大于1。因此导数大小的意义就是局部小区间在变换下的伸缩倍数。导数正负符号的意义是小区间是否反向,比如第二个函数
在x小于0时导数也小于零,那么指向右方的数轴负数部分经过变换指向了左方。
2. 复数与平面变换
既然可以用上面的数轴-数轴对应来描述一维函数,那么类似地,就可以用平面-平面对应来描述二维函数。我们用一个复数表示平面上的点,用字母i区分纵坐标,就可以来研究复数函数
的性质,其中
。假设我们已经默认了复数的运算:
加法:
乘法:
极坐标分解:
,其中
是复数代表的平面向量到原点的距离,
是和横轴正方向的夹角。
拿出一个涂色的平面网格(从左上开始逆时针依次涂成红黄蓝绿色),把每个网点的像算出来,按顺序连起来,就可以来研究复函数了。
2.1. 复数的加法:
从图中可知,加法就是平面的平移,平移量恰好是那个复数对应的平面向量。
2.2 复数的乘法:
根据上面的运算法则很容易得到函数
的二维对应关系是
,画在图上就是:
仔细看可以发现,各点乘以
的效果是平面逆时针旋转了90度,也就是
弧度。
各点乘以
的后果是平面逆时针旋转
弧度,这里是30度。
乘以一个一般的复