差的意思是离正常有多远

标准差

标准差是数值分散的测量。
标准差的符号是σ(希腊语字母 西格马,英语 sigma)
公式很简单:方差的平方根。那么…… "方差是什么?"

方差

方差的定义是:
离平均的平方距离的平均。
按照以下的步骤来计算方差:
求数值的平均从每一个数值减去平均,然后求差的平方。

例子

你和朋友们量度了狗狗的身高(毫米):
身高(到肩膀)是:600mm、470mm、170mm、430mm	和300mm。
求平均、方差和标准差。
第一步是求平均:

答案:

平均 =600 + 470 + 170 + 430 + 3005=19705= 394
平均身高是 394 mm。我们画在图上:
接着求每条狗和平均的距离:
要计算方差,求每个距离的平方,然后求平均:
方差是21,704
标准差是方差的平方根:

标准差
σ= √21,704
= 147.32……
=147(到最近的毫米)

标准差很有用。	我们现在可以显示哪个高度是在离平均一个标准差(147mm)之内:
标准差是一个甄别数值是正常与否的"标准"。
罗德维拉犬是高的狗,腊肠犬是矮的狗……但不要告诉它们!

可是……如果数据是样本数据

以上例子的数据是对象总体的数据(我们的对象就是那 5条狗)。
但如果数据是个样本(只是对象总体的一部分),计算便会有点改变!
如果你有 "N"个数值,而这些数值是:
对象总体:在求方差时除以N(如上)样本:在求方差时除以N-1
其他的计算步骤不变,包括计算平均在内。
例子:如果我们的 5条狗只是更多狗里的的一个样本,我们便要除以4,而不是除以 5:
样本方差 = 108,520 /4=27,130
样本标准差 = √27,130 =164(到最近的毫米)
想象这是对样本数据的 "修补"。

公式

这是在标准差公式 网页里的两个公式(你可以去看看来了解更多):

"对象总体标准差":
"样本标准差":

乍看很复杂,但其实只是在计算样本方差时,有个重要的改变:
以除以N-1来代替除以N。

*脚注:为什么要求差的平方?

如果我们只把和平均的差加起来……负值和正值便会互相抵消:

4 + 4 − 4 − 44=0

这不行。我们可以用绝对值吗?

|4| + |4| + |−4| + |−4|4=4 + 4 + 4 + 44=4

不错(这叫平均差),但看看这个例子:

|7| + |1| + |−6| + |−2|4=7 + 1 + 6 + 24=4

糟了!数据比较分散,但结果还是 4。
我们来试试求每个差的平方(最后才取平方根):

√(42+ 42+ 42+ 424) =√(644) =4
√(72+ 12+ 62+ 224) =√(904) =4.74...

好极了!当数据比较分散时,标准差也比较大……正是我们想要的。
其实这个方法和两点之间的距离 都是基于同一个原理,不过应用不同而已。
同时,用代数来处理平方和平方根比处理绝对值要容易很多,标准差也比较容易被应用在其他数学领域。