1 9 8 3 年 第 四 期 儿 种 函 数 定 义 间 的 关 系 林 一 般 常见 的 函 数 定义 有 以 下 几 种 : 安 浩 : 变 化 到 集 合 Y ; 2 ) 说 明 了 集 合x 中 的 通 过 f 变 化 到 Y 中的 y 而 这 些 在 定 义 1 中是反 映 不 出 二 、 来的 我们 将 定义 2 也 简 写 为 y f ( ) 说 明在 定 x = f 1 y ( ) 就 息 味 着 以上 两 个 含 意 义 中 的 记号 王 把 集合 X 定义1 在某 一 变 化 过 程 中有 两 个 变 量 和 y x 如 果对 于 在 某 一 范 围 X 内 的 每 一 个 确 定 的 值 按 : , , . 。 , 照 某个 对 应 x , 应 则称 都 有唯一 y是 的 函 ) 数 记作y = f (x 并 且 称x 为 这 个 函 数 : 的 定 义 域 函 数 在 点 的 函 数 值 的 全体 为 这 个 函 数 。 . 法则f , 的y 值 与 它对 , 。 定义 , 。 1 与 定义 1 2 2 也 有区 别 。 定义 , 2 中 出 现集 。 的值域 1 : 。 合 Y 而 定义 值 域 定义 例1 . 中虽 然表 面上 没 有 出现 但 它 隐 含 着 中 的 值 域 一 般说 来 是 y 的 一 个 子 集 , 下 面 我们 来对 这个 定 义 作 些 简 单 的 讨 论 . : 如 果 值域 正 好 是 万 ” , 则 这 两 个 定 义 献 完 全相 同 了 , 。 “ “ 在 某一 变化 过程 中有两 个 变 量 和 y x , 。 x f . = ( x X 一 o c 申 + o ) 。 , Y = [ 一 2 , 2 〕 , 是 说 1 变 量 和 常量 是相 对 变化 过 程 来说 的 离 开 了 变 化过程 是 没有意 义 的 这一 点 对 于 研 究具 体 的 实 际 问 题 显 然很 重 要 但 对纯 数学 来说 是无 关 重 要 , 显 然 f 是 定义 在 x 上 的 一 个 函 数 为 〔 一 弓 一 卜 Y y = c 0 3 x , 但函 数值域 的 ; 2 。 “ 函数 我们 只 考 虑 两 个 变 量 的 情 况 即 只研 究一 元 但这 句 话 包 含 在 定 义 的下 一 段 中 所 以 可 以 , . , 1 ? , 1 〕 = 〔Y . 省略 。 2 J $ x ‘一 X 一) x 飞 Y y 兀 ) , Y 二 ( O , + O ) 艺 2 函 数 的 定 义域 x 和值域 。 , 一 般都 是 实 数 集 f 的一个子集 3 . 函 数 的 值 域 完 全 由 定义 域 和 对 应 法 则 。 所 七 一 这 时 函数 的值 域 与 Y 相 同 , 二 tg x . 。 确定 。 函 数 的 定 义 域 和 对 应 法 则 是 函 数 定 义 中的 两 , 在 上 面 的 定 义 中 要 求 X 和 Y 是 数 集 如 果 我们 把 。 个 基本 要素 义 。 改为 一 般 的 集 合 则 可 以 得 到 更一 般 的 函 数 定义 。 根 据 以 上 讨论 我们 可 以 得 到 如 下 的 另 一 个 定 , 设 x 为 任 一 非空 集 合 Y 为 数 集 如 : 了 果对 于 中 的 每 一个 元 素 按 照 某一 应 法 则 f 定义 3 X , 。 , l , 设 x 和 Y 是 两 个 数集 如 果 对 于X 中 定 义2 x 的 每一 个 实 数 按 照 某一 个 对应 法则 f 都 有 Y 中 唯 , , 都 有 Y 中唯 一 的 数 y 与 之对 应 的 函数 。 , 则 称 f为 定 义 在 ? x 上 作 记‘ , : 一 确 定 的 数 y与 之 对 应 , 则 称 f为 定 义 在 X 上 的 函 爹 艺百 3 或y = ) x ( , 数 。 记作 x f: , X 笼 : s e e 》Y w , y为 的象 定义 域 。 为 的 原象 (或 逆 象 ) 2 —y y , 简记 为y = f (x ) , . 显然 以后 , 并且 称 是 定 义 2 的 一 种 推 广 这 样推广 可 以 把 许 多 问 题 归 结 为 函 数 进 行研 究 定义 。 。 . 称x 为函 数 的 这 个 名词 , , 在 定义 中 没 有出 现 X , “ 变量 ” 而 . o ‘ : , 例3 + 。) x , 是全体 黎曼 可积 函 数 Y a b」是 〔 一个 固定的 区 间 , “ ( , 一 , 则 的 对应 关 系 因 此 突 出 地强 调 了 两 个 集 合 x 不 能 称 y 是 的 函 数 而 只 能 称 f 是 定 义在 x 上 的 函 数 和Y 之间 杏 二了 六 , 。 二 g ( )d ? ‘ 是 一 个定 义 在 x 上 的函 义 则 2 。 我们认 为 定 义 2 要 比 定 义 中突 出 了 函 数 本 质 的 东 西 其 次 定 义 2 可 以 进 行推 广 , , 。 1 好些 义 。 因 为在 定 数 这 个 函 数 是 把X 中 的 每一 个 函 数变 到 Y 中 的 一 例4 设 . 定 域 —使 函 数概 念 推广 , 和对 应 法 1 、 个数 + 到抽 象 空间 。。 另外 , , 定 义 2 中 的 记 号 要 比 定义 二 _ 的 , o ) : , g t ( 是 所 有有限 闭 区 间 的 全 体 Y ( O + ) 是在 ( 一 o o ) L 的连 续 函 数 X 一 , . = 。 ~ 明训 。 。 、 X . 几 。 四刀仆 、 尸一 、 * ~ 一) Y 色 吝有阴 。_ 入 一 、 ‘、 J 、 、 , 一 了 , 息久 : i ) ~ 则‘ 以明 毖 过 落只 二 g (! ) d t 也 是 定义 在 x 上 的函 数 。 这 个 函 数是 把 X 中 的 每 个 闭 区 间 变 到 Y 的 一 个 . 6 ? 中 。 等 数 , 学 实数 。 这 是一 个 集 函 数 的 例 子 , 是否 可 把 定义 3 再 推 夕 Y 一 下 把数 集 也 推广 到 一 般 的 集 合 ? 这种 想 法是 可 行 的 但 这 样 推广 以 后 一 般 不 再 称为 函 数 而 我 们不 难 进 一 步想 到 , 。 ‘ 设 X 和 Y 是 两 个 非 空数 集 f 是 X 到 Y 上 的 一 个 映 射 则 称 f 是定义 在 X 上 的 函 数 称 X 为 定 义5 , , , 定义 域 Y 为 值域 记 作 ‘ 。 : , , 歹 二万 。 , 简记为y 。 = ‘(? ) ? 是称 为映 射或映 照 定义 4 设 X 和 Y 是 二 个非 空 集 合 X 。 。 如果 对 于 , 中的每一个元素 x . 按 照 某 一对 应 法 则 都 有Y 中 _ 容 易 证 明 定义 1 与 定 义 5 是 等 价 的 这 里 应 当 指 出 不 论哪 种 定 义 方 法 只 要 给 出 “ 了 一 个 函 数 就 应 给 出 定义 域 因 此 所谓 求 定 : , , , 唯 一 的 元素 射 。 y与 之 对 应 、 , 则 、 _ 称f ~ 是 到 中 的一 个 映 , x Y 义域 ” , 严格说来是不正 确的 , , 。 例如 , y = x “ , 它 , 只 给 出 了 一 个 对应 法则 。 记 作f . : X X 一 > Y 、 , 、 , ~ x , , _ 。 , 一一 , ] a 升 杯 y足 旧 家 x , 是y 阴 原 象 a , x 而 没有 给 出 的 取 值 范围 也 就 是没 有 给 出 其 定义 域 从 而 严 格 说 来它不 是一 个 函 数 但 我们 通 常认 为 它 是一 个 函 数 其 定义 域 , 例5 设X 二 e 〔 b 〕 , a b〕 上 的 连 续 函数 Y 二 C 〔 a b 在 〔 〕 上 的一 阶 可 微 函 数 , —叼 , , 所 有 定义 在 〔 : 则f — X 、 。 , 所有 定 义 Y 为 ( o c + O ) 这 是因 为 大 家 都有 一 个 规 定 就 对 是 于 那 些 用 公 式 或 解 析 式 表 示 出来 的 对 应 法 则 一 . , , , 是X 到 。 Y 中 的 一 个 映 射 它 是两 个 函 数 集 之 间 的 一 个 映射 “ ” , , 这里应 当特 别 注意 Y 中 二 字 根 据 定 义 4 它 并 不 要 求 Y 中每 个 元 素 y都有原 象 比 如 前 面 的例 2 , 使 其 有 意义 的 那 些 值 的 全体 一 般 称为 存 在 域 规 = x 定为 定义 域 有 了 这 一 规 定 我 们 就 可 以 把 y 一 + 因 看成是 一 个 函 数 其 定 义域 为 ( 。 o ) c 、 。 , , “ 。 , , 为 它 的 存在 域 是 ( 一 c o 的 定义 域 ” , , 十 o ) c , , 所以 取 y , = 2 就 没有 原 象 。 如 果 中的 每 个 元 , 。 Y 就 是求 公 式 或 解 析 式 的 存在 域 。 素 都 有 原 象 我 们 就 称f 是X 到 Y 上 的 一 个 映 射 因 “ ” “ ” 与 到上 之 分 而映 射 有 到 中 (或到 内 ) 由 以 上 讨 论可 知 上 面 的 四 个 定义 有 如 下 关系 , 只 能 对 公 式而 言 对于 一 般 函 数 。 求函 数 而且 “ 没 有 什么 求 定 , , , “ 义域 见 , ” 的 问题 , , 因 为 前面 已 经 说 过 对于 每 个 给 定 为 了 清楚 起 “ 以 改为 求 解 : 的函数 其 定义 域 已 经 给 定 “ ” 所以 ” 。 , 定义 1 互 定义 , 2 9 定 义 3 二 定义 4 . 最 好不提 求 函 数 的定 义 域 , 现在 8 第一册 ( l年 版 ) 我 们 反 过 来 用 映 射 定 义 函数 : 是这 样定 义 的 。 高 中代 数 析 式 的 存在 域 或 许 更好 一 些 (作 者 单 位 : 天 津 师 范 大 学数 学 系) 关 于 作 正 方 体 的 截 面 王 在 不 少 立体 几 何 教 材 中 内容 , , 瑜 庭 并延 长 F E 分 别 与 D A D C 的 延 长 线 交 于 M 】 , , 因 为 M D 在 平 面A D 内 N D 在 平 面 C D 、 、 、 都编 有 几 何 体 截 面 的 , N 两点; 题 。 并 配 备几 个 简 单 灼 关 于 截 面 的 论 证 题 和 计 算 像 作 正 方 沐 的 截 面这 样 的作 图 题 内 容 往往 不 。 , 、 ; 内 : , 所 E 、 以连 结 M D 和 N D 、 , H E 和K F I, 分 别 得 到截 线 D D , , H 和D , ; 连结 K 、 我 认 为 这 部 分 知 识 不 仅 有实 际 应 用 价值 而 且有 助 于 引 导 学 生 复 习 巩 固 立 体 儿 何 基 础 知 识 培 养 空 间想 像 力 提 高作 图 能 力 同 时 对 于 培 养 学 , , , 涉及 , , 则五 边 形 E F K 。 H 就是 正方 体 过 D F三 点的 截 面 求 出H 点 后 , , 也可 以 根 据 平 面 和 平 面 平 行 性 质 : 生 的 学 习 兴 趣 和 钻 研精 神 也 是 有 益 的 方法 。 。 定理 K点 。 在平 面 D c 内 作D 、 K 刀H E , 交c c , 于 K 求得 下 面 就 这 一 课 题 探讨 一 下 画 正 方 体 截 面 的一 般 在下面有 的 例 题 中 1 , 凡 涉 及 到 过 平 面 内一 点 。 例1 出如 图 在 该 平 面 内 作 直 线平 行于 另 一 个 平 面 内 的 一 条 直 线 所示 、 、 时 /, / 正方 体 过D F 面 三点 的截 风 作图 的步 骤和依据 : { ! 所 指 的 两个 平 面 都 是 互 相 平 行 的 一 般来 说 在 所 给 的 三 个 点 中 如 果 有 两 个 点 或在 共 面 的 两条 棱上 或在 共 顶 点 的 两 条 棱 上 或 , , , , , , \ / 尸 七 _ 一 一 在 互 相 平 行 的两 条 棱 上 的 一 条棱 上 面 。 ; 连 结E F , \ , 一 或在 一 个 面 内 , 第三 个 点 无 论 是 在 正 方 体 或 重 合 一个 顶点 都 , , 可 以 直 接 按 卜题 的 思 路 和 作 图 方 法 作图 的 依 据 得 到所要的 截 主 要 是 平 面 基 本 件质 公 理 一 (如 ,