二次函数与一元二次方程的联系(2 ) 奉贤区实验中学 冯志华 教学目标 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系; 2、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根,理解何时二次函数的图象有两个交点、一个交点和没有交点; 3、理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标。 4、通过探求二次函数的图象与 x 轴的关系,向学生渗透数形结合的思想,进而提高学生的数学素养,培养学生终身学习的精神。 教学重点:根的判别式在二次函数的图象中的应用。 教学难点:方程中根的判别式的应用如何转化到在二次函数中的应用。 教学过程: 一、引入 二、探求 例题 1、 判断下列抛物线与 x 轴的公共点的个数: (1) 4 5 22\uf02d \uf02b \uf03d x x y (2) 4 5 22\uf02b \uf02b \uf03d x x y (3) 3 6 2 22\uf02b \uf02d \uf03d x x y 练习:(1)3372\uf02d \uf02b \uf02d \uf03d x x y (2) 4 3212\uf02b \uf02d \uf02d \uf03d x x y (3)1412\uf02b \uf02d \uf03d x x y 归纳: 设 ) 0 (2\uf0b9 \uf02b \uf02b \uf03d a c bx ax y ,令 0 \uf03d y ,得: ac b c bx ax 4 , 02 2\uf02d \uf03d \uf044 \uf03d \uf02b \uf02b 当 ,方程有两个不等实数根,二次函数图象与 x 轴有两个交点; 当 ,方程有两个相等实数根,二次函数图象与 x 轴只有一个交点(即顶点); 当 ,方程没有实数根, 二次函数图象与 x 轴没有交点。 例题 2、当 m 为何值时,若二次函数 3 4 4 ) 1 (2\uf02d \uf02b \uf02b \uf02b \uf03d m mx x m y 的图象与 x 轴的公共点的情况是: (1)有两个公共点? (2)有且只有一个公共点? (3)没有公共点? 归纳: 先考虑二次项的系数,再用根的判别式。 若二次函数图象与 x 轴有两个交点, 则 若二次函数图象与 x 轴只有一个交点(即顶点), 则 若二次函数图象与 x 轴没有交点, 则 。 练习 (1)若抛物线c x x y \uf02b \uf02b \uf03d 3 22与 x 轴没有交点,则 c 的取值范围是_____________ (2)若抛物线) 3 ( 2 ) 1 (2k kx x k y \uf02d \uf02d \uf02b \uf02d \uf03d与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围是__________ (3)若抛物线452 32\uf02d \uf02d \uf02b \uf03d x n nx y与 x 轴有交点,则 n 的取值范围是___________. 例题 3、已知抛物线) 1 ( 3 ) 2 (2\uf02d \uf02b \uf02b \uf02d \uf03d m x m x y与 x 轴的两个交点 ) 0 , ( ), 0 , (n mx N x M ,在原点的两侧,点 N 在点 M 的右边 (1)求 m 的取值范围 (2)若 3 \uf03d \uf02bn mx x ,求 m 的值 (3)若 132 2\uf03d \uf02bn mx x,求 m 的值 归纳: 若2 1 , xx是方程 ) 0 ( 02\uf0b9 \uf03d \uf02b \uf02b a c bx ax 的解,则,2 1abx x \uf02d \uf03d \uf02bacx x \uf03d \uf0d72 1,可知若2 1 , xx是二次函数) 0 (2\uf0b9 \uf02b \uf02b \uf03d a c bx ax y的图象与 x 轴交点的横坐标,则也有,2 1abx x \uf02d \uf03d \uf02bacx x \uf03d \uf0d72 1 三、小结 1、这节课你学到了什么内容? 2、通过学习,我们知道了 (1)一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的有两个不相等的实数根,二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴有 个交点 (2)一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的有两个相等的实数根,二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴只有 个交点 (3)一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 没有实数根,函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴 交点 (4)若2 1 , xx是方程 ) 0 ( 02\uf0b9 \uf03d \uf02b \uf02b a c bx ax 的解,则有,2 1abx x \uf02d \uf03d \uf02bacx x \uf03d \uf0d72 1,若2 1 , xx是二次函数) 0 (2\uf0b9 \uf02b \uf02b \uf03d a c bx ax y的图象与 x 轴交点的横坐标,则也有,2 1abx x \uf02d \uf03d \uf02bacx x \uf03d \uf0d72 1 3、如何判断二次函数的图象与 x 轴的交点个数? 方法一:通过计算判别式的值得到。 结论:精确但不直观 方法二:通过画图来观察得到。 结论:直观但不精确 只有两者结合,那么即精确又直观。 4、思考:如何判断二次函数12 2\uf02b \uf02b \uf02d \uf03d m mx x y的图象始终在 x 轴的上方? 四、作业 1、必做题 课本 p11, 练习册 p6 2、选做题 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线n mx mx y \uf02b \uf02b \uf03d 3 22过点) 5 , 3 ( p,A(0,2)两点 (1) 判断此抛物线与 x 轴的交点个数 (2) 设抛物线的顶点为 B,将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l ,直线 l 与抛物线的对称轴交于 C 点,求直线 l 的解析式。 五、教案说明 一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系,是初中代数中的一个重要知识点,而运用根的判别式来判断二次函数图象与 x 轴的交点个数,在中考中运用得较少的,近几年中考中始终没有出现过,作为新教材拓展部分,上这节课的目的,让学生知道抛物线与 x 轴的联系是初、高中衔接的一个重要知识点。这部分内容,学生学习起来并不困难,只要找相应系数,求出判别式的值,即可判断交点个数,但对于为什么这样做,大概有部分同学是搞不清楚的,因为真正能把数与形有效结合起来,灵活运用的同学是少数。 而根与系数的关系在中考或模拟考试中经常会渗透在二次函数的图象与 x 轴交点中的。特别当抛物线与 x 轴有两个交点时,其对称轴就是22 1x xx\uf02b\uf03d,这个等式简单明了,而这个公式运用只要把 x 轴上、下平移任何单位都适合,但对于初中学生来说是较难的,但从观察图象中,可以看得出的,但因为本节课重点在于讨论与 x 轴交点个数,所以没有重点讲解这个问题。 鉴于此,在引入新课时,抛物线从上到下平移或从下到上平移,这样可以让学生充分看清对称轴的是否会变化,在探索二次函数图象与 x 轴的交点个数的过程中,首先是让学生观察图象得出交点个数,然后引导学生如何去验证,并找到与它相关联的一元二次方程根的判别式,进而使学生掌握判断有无交点的数学方法,了解了二次函数图象与 x轴的交点和方程的联系,顺利有效突破了难点。 最后的课堂小结通过归纳,不但理清了本节课的知识网络及本节课重点解决与 x 轴的交点问题,又及时渗透了数形结合的思想,培养了学生全面思考问题的能力,为他们数学素质的提高打下了基础。 二次函数与一元二次方程 2009-10-17 19:39 特别地,二次函数(以下称函数) y=ax^2+bx+c , 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程), 即 ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 1. 二次函数 y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2; +k,y=ax^2+bx+c (各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax^2; y=ax^2;+K y=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c y=ax^2;+K y=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 顶点坐标 (0,0) (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b^2;]/4a)(0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b^2;]/4a) 对 称 轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当 h> >0 时, y=a(x-h)^2; 的图象可由抛物线 y=ax^2; 向右平行移动 h 个单位得到, 当 h< <0 时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当 h> >0,k> >0 时,将抛物线 y=ax^2; 向右平行移动 h 个单位,再向上移动 k 个单位,就可以得到 y=a(x-h)^2+k 的图象; 当 h> >0,k< <0 时,将抛物线 y=ax^2; 向右平行移动 h 个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2-k 的图象; 当 h< <0,k> >0 时,将抛物线向左平行移动 |h| 个单位,再向上移动 k 个单位可得到y=a(x+h)&sup2;+k 的图象; 当 h< <0,k< <0 时,将抛物线向左平行移动 |h| 个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k 的图象; 因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0) 的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2;+k 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便. 2.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0) 的图象:当 a>0 时,开口向上,当 a<0 时开口向下,对称轴是直线 x=-b/2a, 顶点坐标是 (-b/2a,[4ac-b^2;]/4a). 3.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0), 若 a>0 ,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小;当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大.若 a<0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小. 4.抛物线 y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点: (1)图象与 y 轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b^2-4ac>0,图象与 x 轴交于两点 A(x₁,0)和 B(x₂,0),其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离 AB=|x₂-x₁| 另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A 为其中一点的横坐标) 当△=0.图象与 x 轴只有一个交点; 当△<0.图象与 x 轴没有交点.当 a>0 时,图象落在 x 轴的上方,x 为任何实数时,都有 y>0;当 a<0 时,图象落在 x 轴的下方,x 为任何实数时,都有 y<0. 5.抛物线 y=ax^2+bx+c 的最值:如果 a>0(a<0),则当 x= -b/2a 时,y 最小(大)值=(4ac-b^2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0). 7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现. 二次函数综合应用(二) 1.(2008 年山东省潍坊市)一家化工厂原来每月利润为 120 万元,从今年 1 月起安装使用回收净化设备(安装时间不计),一方面改善了环境,另一方面大大降低原料成本.据测算,使用回收净化设备后的 1 至 x 月(1≤x≤12)的利润的月平均值 w(万元)满足 w=10x+90,第二年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水平。 (1)设使用回收净化设备后的 1 至 x 月(1≤x≤12)的利润和为 y,写出 y 关于 x 的函数关系式,并求前几个月的利润和等于 700 万元? (2)当 x 为何值时,使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和与不安装回收净化设备时 x 个月的利润和相等? (3)求使用回收净化设备后两年的利润总和。 2..(2008 年乐山市)一家电脑公司推出一款新型 电脑,投放市场以来 3 个月的利润情况如图(15) 所示,该图可以近似看作为抛物线的一部分,请 结合图象,解答以下问题: (1)求该抛物线对应的二次函数解析式 (2)该公司在经营此款电脑过程中,第几月 的 利润最大?最大利润是多少? (3)若照此经营下去,请你结合所学的知识,对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损?何时亏损?)作预测分析。 3. (2008 年吉林省长春市)如图,足球场上守门员在 处开出一高球,球从离地面 1 米的 处飞出( 在 轴上),运动员乙在距 点 6 米的 处发现球在自己头的正上方达到最高点 ,距地面约 4 米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式. (2)足球第一次落地点 距守门员多少米?(取 ) (3)运动员乙要抢到第二个落点 ,他应再向前跑多少米? (取 ) ww4.(2008 湖北 荆门)某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为 0.4 米的正方形 ABCD,点 E 、 F 分别在边 BC 和CD 上,△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH. (1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状,并说明理由; (2)E 、 F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省? 5.(2008 河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为 (吨)时,所需的全部费用 (万元)与 满足关系式 ,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价 , (万元)均与 满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用) (1)成果表明,在甲地生产并销售 吨时, ,请你用含 的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润 (万元)与 之间的函数关系式; (2)成果表明,在乙地生产并销售 吨时, ( 为常数),且在乙地当年的最大年利润为 35 万元.试确定 的值; (3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润? 参考公式:抛物线 的顶点坐标是 6.(2008 湖北 天门)一快餐店试销某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为 5 元,该店每天固定支出费用为 600 元(不含套餐成本).若每份售价不超过 10 元,每天可销售 400 份;若每份售价超过 10 元,每提高 1 元,每天的销售量就减少 40 份.为了便于结算,每份套餐的售价 x(元)取整数..,用 y(元)表示该店日净收入.(日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出) (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若每份套餐售价不超过 10 元,要使该店日净收入不少于 800 元,那么每份售价最少不低于多少元? (3)该店既要吸引顾客,使每天销售量较大,又要有较高的日净收入.按此要求,每份套餐的售价应定为多少元?此时日净收入为多少? 7.(08 兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示),拱高 6m,跨度 20m,相邻两支柱间的距离均为 5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17 所示),求抛物线的解析式; (2)求支柱 的长度; (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由. 8. (2008 扬州)红星公司生产的某种时令商品每...