巧用二次求导解决函数单调性和极值问题 深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作 导言 ? 在历年高考试题中,导数部分是是以导数作为压轴题来考 查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值 以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。 解决这类题的常规解题步骤为:①求函数的定义域;②求 函数的导数;③求 的零点;④列出 的变化关系表;⑤根据 列表解答问题。 ? 而在有些函数问题中,如含有指数式、对数式的函数问题, 求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号,从而 不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况,此时解 题受阻。若遇这类问题,则可试用求函数的二阶导数加以 一.二阶导数与凸性 ? 一.二阶导数与凸性 ? 定义1. 设 f ( x )在区间 I 上连续,如果对 I 上任意两点 x 1与 x,2 ? 恒有 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2,) 那么称 在 I 上的图形是凹的; ? 如果恒有2f(x1? 2x2)?2f(x1)? 2f(x2),那么称 在 I 上的图形是凸的; ? 定理1 设 f ( x )在 [ a , b 上] 连续,在 ( a , b 内) 可导,那么: ? (1)若在 ( a , b ) 内 f ?( x )单调增加,则 f ( x在) [ a , b上] 的图形是 凹的; (2)若在 ( a , b )内 f ?( x )单调减少, 则 f ( x 在) [ a , b ]上的图形是 凸的; 一.二阶导数与凸性 ? 定理 2设 f ( x 在) [ a , b 上] 连续,在 ( a , b内) 二阶可导,那么: (1)若在( a , b ) 内 f ??(x) ?,0 则 f ( x 在) [ a , 上b ] 的图形是凹的; (2)若在( a , b )内 f ??(x) ?,0 则 f ( x在) [ a , 上b ] 的图形是凸的. ? 凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中 的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近 年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。 ? 凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合 f(x),f?(x),f??(x 的)关 系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。 二.二阶导数与极值 ? 二.二阶导数与极值 ? 在高中,判断函数是否在 取得极值,经常是利用函数导数 在 两侧的符号来判断。实际上,还可以利用二阶导数的符号 来判断 是否为函数的极值点。有如下的判定定理: ? 定理3设函数 f (x)在点 x 0 处具有二阶导数且 f ?(x0) ?,0 f ??(x0) ?,0 那么 ? (1) 当 f ??(x0) ?0时,函数 在 x 0处取得极大值; ? (2) 当 f ??(x0) ?时0 ,函数 在 x 0 处取得极小值. 典型例题讲解 ? 例题1、已知函数 f(x)?ln2(1?x)? x2,求函数 1?x f (x的) 单调区间。 ? 解:f ?x?的定义域是 (?1,??). f'(x)?2ln1(?x)?x2?2x ?2(1?x)ln1(?x)?x2?2x x?1 (1?x)2 (1?x)2 设 g (x )? 2 (1 ? x )l1 n ? x ( )? x 2? 2 x 则 g '(x)?2 ln 1 ?x ()? 2 x [g'(x)]? ' ?2x 1?x 典型例题讲解 当 ?1?x?0时[g, '(x)]?'0,g'(x)在? ( 1,0 )上是增函 当 x ?0时 [g'(x)]?'0,g'(x)在0( , ??)上为.减函数 所以 g'(x)在 x?0处有最 g'(0 大 )?0,所 值 g'(以 x , )?0(x而 ?0), 函数 g ( x)在(?1,??) 上是减函数. 当 ? 1 ? x ? 0 时 g ( x )? , g ( 0 )? 0 ,f'( x )? 0 ,f( x ) 递 ; 增 当 x? 0 时 g (x ), ? g (0 )? 0 ,f'(x )? 0 ,f(x )递减 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) ,递减区间是 (0,??) . 典型例题讲解 ? 例题2、设函数 f?x??ex?1?x?ax2 (Ⅰ)若 a ? 0 求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ? 0 时,f ? x ? ? 0。求 a 的取值范围。 典型例题讲解 ? (2)、解:当 a< 0时,在区间 ?0, ??上? 显然 ?ax2 ?,0 综上(1)可 得在区间 ?0, ??上? f?x??ex? 1?x?ax2 成?立0。故 a< 0满足题意。 ? 当 a>0 时, , , ? 显然 f,??x??ex?当1?2ax在f??区?x间??ex?2上a大于零时, 为增函 数, f ?0? ? 0 ,f ?满?0足? ?题0 意。f而? ? 当x ? 在?0,区??间? 上为增f函? x数? 时, f?x??f,?x也??就0是说,要求 在f ?区? x间? 上?0大, ?于? ?等于零, 又因为 f??x??f??0??0在区间 上为增f函?? ? 数x ? ,所以要?0求, ?? ? , 即 ,解f??得?x??ex ?2a。 ?0, ?? ? ? 综上f所???1述? ?,0a 的取e值0 ?范2围a为?0 。a ? 1 2 ? ?? ? ? , 1 2 ? ?? 典型例题讲解 ? 例题3、已知函数 f(x)? (x? 1 )lnx? x? 1 . ? (Ⅰ)若 xf'(x)?x2?ax?,1求 的a 取值范围; ? (Ⅱ)证明:(x?1)f(x)?0 ? 解:第一问难度不算大,大多数同学一般都能做出来。采 用分离参数法解决恒成立问题就行了。 ? 而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 f ? ? x ?去 分析 f ? x ? 的单调性受阻。 典型例题讲解 ? 我们可以尝试再对 f ??x? ?lnx? <0 x时?,1 f ???;x? 当? 01< 1求x 时导,,x 可得>f 0?? ? f ???x? ,x ? 即 ? 1 x ? 1 x2 f ,显然当 ??x在? ?ln区x? 1间x 上为减? 0,函??数? ,所以有当 0? 0,即 f ? ? x ?在区间 ?1, ?? 上? 为增函数,则 f??x??f??1,??1此时, f为? x增? 函数,所以 f?x??f?1,??易0得 (x?1)f(x也)?成0 立。 ? 综上,(x?1)f(x)?0得证。 典型例题讲解 ? 例题4、设a 为实数,函数 f?x??ex?2x?2 a,x? 。R ? (Ⅰ)求 f ? x ?的单调区间与极值; ? (Ⅱ)求证:当 a> ln2?1且x > 0时, e >x x2 ?2ax?。1 ? (Ⅱ)解:设 g?x??ex?x2?2ax? ,1则: g??x??ex?2x?2a g???x??ex ?2 ?0, ln 2 ? ln 2 ?ln 2, ??? g ?? ? x ? —— 0 + g ?? x ? 减 极小值 增 典型例题讲解 ? 由上表可知 g??x??g??ln2,? 而 g ? ? l n 2 ? ? e l n 2 ? 2 l n 2 ? 2 a ? 2 ? 2 l n 2 ? 2 a ? 2 ? a ? l n 2 ? 1 ? 由a >ln2?1知 g??ln 2? > 0,所以 g ? ? x ? >0,即 g ? x ? 在区间 ? 0, ?? ?上为增函数。 于是有 g ? x ? > g ? 0 ? ,而 g?0 ?? e0? 0 2? 2 a? 0? 1? 0 故 g ? x ? >0,即当a> ln2?1且x>0时,e x > x2 ?2ax?1 课后练习题 ? 设函数 , f ?x??1?e?x (Ⅰ)证明:当 x> - 1时,f ?x? ? x x ?1 (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x? ? x , 求a 的取值范围 。答案: 0 ? a ? 1 ax ?1 2