非构造性证明是“表述存在性的命题或定理”的一种证明方式:证明的过程中,不举例而只证明语句是否正确。非构造性证明很多时候依赖于排中律。数学结构主义数学不允许非构造性证明。
原文问题:
If we raise an irrational number to an irrational power, can the result be rational? Hint : Show that it can by considering √x ^ √x and arguing by cases.
译文:
如果我们计算一个无理数的无理数次方,结果可能是有理数吗?提示:通过思考√x ^ √x证明可能性。
证明,设x为有理数, √x为无理数:
如果√x ^ √x为有理数,证明完毕。如果√x ^ √x为无理数, 计算(√x ^ √x) ^ √x = √x^ (√x * √x ) = √x ^ x = x,证明完毕。
所以,无理数的无理数次方可能是有理数。注意这里的第二个情况并不是反证法:反证法是利用相反的结论作为条件又推翻之前假设的结论,从而证明之前结论的否定,即(p -> p) -> p。而这里的第二个情况依旧是为了证明本语句的正确性。我们并没有真正计算出一个√x ^ √x的结果(例如√2 ^ √2)是什么有理数还是什么无理数,但还是证明了这个语句的正确性。
另外举一个经典的非构造性证明栗子:
考虑一种新的游戏:A'、B'在黑板上轮流写下2到2000中的任意一个整数(含边界,A'先写),但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。在这个游戏中谁有必胜策略?
如果A'有必胜策略,那么A在原游戏中也采用这个策略。注意,1在以后的过程中再也不能写上了(因为它是任何数的因子),也就相当于“轮流写下2到2000中的任意一个整数”这个规则了。由于在新游戏中A'有必胜策略,所以在原游戏中,A有必胜策略。
如果B'有必胜策略,那么A在原游戏中先写上1。这就相当于构建了上述新游戏,B是新游戏中的A',A是新游戏中的B'。由于在新游戏中B'有必胜策略,所以在原游戏中,A有必胜策略。
综上所述,A有必胜策略。
上述证明过程中并没有找出具体的必胜策略,但是仍然证明了A有必胜策略。
参考:
Mathematics for Computer Science