两个向量共线就是两个向量平行。简言之,共线向量就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,表示为a∥b,任意一组平行向量都可移到同一直线上,所以称为共线向量。共线向量基本定理
如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得b=λa。
1.充分性:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由实数与向量的积的定义知,向量a与b共线。
2.必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令λ=m,有b=λa,当向量a与b反方向时,令λ=-m,有b=λa。如果b=0,那么λ=0。
3.唯一性:如果b=λa=μa,那么(λ-μ)a=0。但因a≠0,所以λ=μ。
向量共线证明
要证明两个向量共线,只须证明它们之间有一个倍数关系即可。
例:已知e1、e2是不共线的单位向量,向量a=e1+2e2,b=-2e1+e2,c=4e1+3e2,求证明:a与b+c共线。
证明:∵b+c=(-2e1+e2)+(4e1+3e2)=2e1+4e2=2(e1+2e2)=2a ∴a与b+c共线。