谢邀。实际上,根据一笔画问题的结论,所有n芒星都可以一笔画,但这并不符合题主想表达的意思。题主想表达的,应该是可一笔画且路线不在相交点拐弯的n芒星。
根据题意,设
为不同类型的可一笔画且路线不在相交点拐弯的n芒星的个数,则有:
(其中,
是欧拉函数,代表小于 n 的自然数中与n互质的数的个数。)
下面是对这个结果简单的说明:
设k为n芒星中任意一条边的两个顶点间在劣弧上的距离(如中间不相隔顶点,则距离为 1,相隔a个顶点,则距离为a+1,特别地,五角星中,a=1,故k=2 )
显然有:
(k=1 时为n边型),
(劣弧定义),且能一笔画出的图形的边数为
(其中
指的是两者的最大公约数,这是因为画n芒星过程的本质就是辗转相除法)。
根据题设要求,只有
才满足条件。
因而有
至于 k 的取值,只需取出 n 的最小非负简化剩余系(集合内所有元素 modn不同余且都和n互质),找到全部小于n/2 且不为 1 的项即可。
例:n=14, 它的完全最小非负简化剩余系是 {1,3,5,9,11,13},取k=3,5 即可。
欧拉函数的对应表:A000010 - OEIS
容易证明,当n>6 时,必有
(当n为奇数时,(n-1)/2 与n互质;当n形如 4m时,n/2-1 与n互质;当n形如 4m+2 时,n/2-2 与n互质),所以一笔画n芒星问题当且仅当n为1,2,3,4,6 时无解。
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