量化研究法二 统计原理与分析技术 第4章 抽样分配 Sampling Distributions 基本概念 ?统计分析(statistical distribution) – 基於统计的机率原理所形成的分配 ?母体分配(population distributions) – 随机变数所有可能观察值所形成的机率分配 ?抽样分配(sampling distributions) – 样本统计量的机率分配 – 主要功能是在推估母体参数 – 如样本平均数的抽样分配(sampling distribution of means) ?定义:从母体分配(μ,σ)中重复抽取无数次的样本,计 算某一个样本统计量(如平均数),则无限多个平均数会形 成一个常态分配,称之,以N~(μx,σx)表示。 2 2 ? X ,? X 母体分配与抽样分配图示 μ =125 X (a)母体分配 ? X ? ...? X n ? E ( X 1 ) ? ...? E ( X n ) n? E ( X ) ? E? 1 ? ?? ?? n n n ? ? ?X Xi (b)抽样分配 Xi 3 抽样误差与抽样标准误 ? 抽样分配与抽样误差 – 抽样分配中的样本统计量呈现波动状态(因有抽样误差) – 抽样分配的平均数表示母数所在的位置 – 抽样分配的标准差反应抽样误差的大小称为标准误(standard error of the sample mean),变异数为变异误(squared standard error of the sample mean) – 当标准误或变异误越大,表示抽样的误差越大,标准误或变 异误越小,表示抽样的误差越小 ? 标准误与变异误的概念 – 每一个样本平均数与总平均数之间离散情形的期望值,开根 2 号后即为标准误 Var( X ) ? E( X ? ? )2 ? ? X – 每一个样本具有相同的机率函数,每一个样本的离散情形的 期望值即等於母体变异数 Var( X1 ) ? Var( X 2 ) ? ... ? Var( X n ) ? ? 2 2 ?2 ? X 1 ? ...? X n ? Var ( X 1 ? ...? X n ) n? Var( X ) ? Var? ? 2 ? ?? 2 n n n n ? ? 4 中央极限定理 中央极限定理(Central Limit Theorem) 对於任何一个母体 (μ,σ2) ,样本大小为 n 的样本平均数所形成的分配, 当样本大小 n 趋近无限大时,亦趋近於常态分配(μ,σ2/n) 。 ? 样本平均数抽样分配的平均数等於母体平均数 ? 平均数抽样分配的变异数等於母体变异数除以样本数 – 变异数(又称变异误)与样本数大小成反比,或标准差(又 称标准误)与样本数大小的平方根成反比 ? ? 2 X ?2 n 或 ?X ? ? n ? 不论原始母体的形状是否为常态分配,当样本人数够大时,抽 样分配会趋近於一个常态分配 ? 样本统计量可以根据抽样分配的机率原理来推估母数,并估计 抽样误差的大小,称为中央极限定理(Central Limit Theorem)。 5 抽样分配与母体分配的关系 ?抽样分配的标准差 – 最小是0(当样本人数等於母体人数时) – 最大等於母体标准差σ(当样本人数为1时) ?在一般情形下,抽样分配的标准差会小於母体标准差,而 以母体标准差σ为极大值。 ?抽样分配的常态性受到母体常态性的影响。 – 如果母体为常态分配,无论样本人数多少,抽样分 配则必定是常态分配,但是如果母体不是常态分配, 则抽样分配随著样本数越大,越趋近常态分配 – 受限於母体分配特性,抽样分配有可能不是常态分 配,而需以样本数增加的方法来确保抽样分配的常 态性。 6 母体、样本与抽样分配的关系图示 95 μ =125 179 X 95 X ? 127.5 179 X (a)母体分配 (全体的次数分配) (b)样本分配 (一个 n=200 的样本) 122 ? X ? 126.4 130 X 117 ? X ? 125 133 X (c)抽样分配 (100 个 n=200 的样本) (d)抽样分配 (无限多个 n=200 的样本) 7 χ2分配 ? 定义 – 若X为一常态随机变数,平均数为μ,变异数为σ2, 则 E( X ) ? ? E( X ? E( X )) 2 ? ? 2 – 若将X值转换成一个标准分数(Z分数) – 将Z分数取平方 2 2 Z? X ?? ? ( X ? ?)2 ?X ??? 2 Z ?? ? ? ? ? (1) ?2 ? ? ? 2 – 此Z2被定义自由度为1的卡方随机变数,以? (1)表示 ? 卡方变数与卡方分配 – 卡方变数为恒为正值的随机变数 – 随著观察值X分数的变化,卡方变数(Z2分数)的 出现机率也呈现某种规律的变化,卡方变数的分配 称为χ2分配 8 ?从母体随机抽取v个样本,每一个分数均取Z分 数平方后相加,得到卡方变数为,通式如下 ? (2v ) ? ? Z i2 ? i ?1 v ? i ?1 v ( X i ? ? )2 ?2 ?上式称为自由度为v的卡方随机变数。其平均 数为v,变异数为2v,以期望式表示如下 E( ?(2v) ) ? v Var(?(2v) ) ? 2v 9 自由度与卡方分配 ?在不同的自由度下,卡方分配的形状有所 不同 – 当自由度小时,分布呈现正偏态不对称分布 – 当自由度越大,分布逐渐形成常态分布。 f(x) df=1 df=2 df=6 df=10 x=χ2 10 F分配 ?定义 – 若有两个独立的卡方随机变项与,各自除以自己的 自由度后相除,其比值称为F随机变项(F random variable),所形成的分配称为F分配: ? F? ? 2 ( v1