答案 1.辨别题 (1)一阶,非线性 (2)一阶,非线性 (3)四阶,线性 (4)三阶,非线性 (5)二阶,非线性 (6)一阶,非线性 2.填空题 时,分离变量得等式两端积分得 即通解为 齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为 代入原方程,确定出 原方程的通解为 由于,所以原方程是全微分方程. ,则原方程的参数形式为由基本关系式 积分得得原方程参数形式通解为 5.计算题 齐次方程的通解为因为 不是特征根。所以,设非齐次方程的特解为 代入原方程,比较系数得 确定出 证明题证明 由已知条件,方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件,因此,它的任一解都可延展到平面的无穷远。 又由已知条件,知是方程的一个解。 假如方程的非常数解对有限值 处可向的右侧(或左侧)延展.这样,过点 就有两个不同解 .这与解的唯一性矛盾,因此不能是有限值 《常微分方程》测试题4 答案 一、填空题(每题 (0,5)二、求下列方程的通解(每题10 两端同乘以积分因子,积分得 注:解方程时,也可按齐次方程求解。 解法1将方程改写为 ,这是黎卡提方程,容易得到它的一 个特解为 作变换,方程化为分离变量方程 故原方程的通解为,还有特解 解法2将方程改写为 观察知为一个整体,尝试作变量代换 回代变量得原方程得通解为,还有特解 求对应齐次方程的通解。齐次方程的通解为 求非齐次方程的特解。由叠加原理,分别求下列两个方程的特解 用待定系数法,设方程(1)、(2)的特解分别为分别代入方程(1)、(2) 解法1求解对应的齐次方程 它的系数矩阵为,特征方程为 特征根是。分别解下列线性代数方程组 得属于的特征向量分别为 求非齐次方程组的特解。根据常数变易法,求线性非齐次方程的形如 的特解,其中为待定函数,它们满足代数方程组 代入(1),即得方程组的一个特解所以,原方程的通解为 解法2方程组两式相加得 三、证明题(共15 证明由一阶线性方程通解公式,方程的任一解可表示为 由于,则存在 ,从而有,显然 以海湾的海岸线为坐标轴建立坐标系,如图所示。 考试真题(1)第四题图 设船行驶的路线为 由题意: 积分得其中 为任意常数。 积分得其中 为任意常数。 整理得船行驶的路线为 《常微分方程》测试题5答案 一、填空题 平面3.充分 9.充分必要10. 二、计算题 由于,所以原方程是全微分方程. 对应特征向量应满足可确定出 同