早期的作者认为结果是直观的,不需要证明。博尔扎诺和柯西的观点是定义一个连贯性的概念(就柯西案中的无限小数而言,在博尔扎诺案中使用实际的不平等),并提供基于这种定义的证据。反介值定理是错的“Darboux函数”是具有“介值属性”的实值函数f,即满足介值定理的结论:对于f的域中的任何两个值a和b,以及任何y在f(a)和f(b)中,a和b之间有一些c,f(c)= y。介值定理说每个连续函数都是一个Darboux函数。但是,并不是每个Darboux功能都是连续的;即介值定理的相反是错的。例如,对于x> 0和f(0)= 0,取定义的函数在x = 0时连续,这个函数在x=0处不连续,但是该函数具有介值属性。历史上,这个介值属性被建议为实数函数连续性的定义,但这个定义没有被采纳。