质数的定义:在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。
1)直观判断法
最直观的方法,根据定义,因为质数除了1和本身之外没有其他约数,所以判断n是否为质数,根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。
defisPrime(num):
for iin range(num):
for jin range(2, num):
if i % j ==0:
break
else:
returnTrue
2)直观判断法改进
上述判断方法,明显存在效率极低的问题。对于每个数n,其实并不需要从2判断到n-1,我们知道,一个数若可以进行因数分解,那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n),一个大于等于sqrt(n),据此,上述代码中并不需要遍历到n-1,遍历到sqrt(n)即可,因为若sqrt(n)左侧找不到约数,那么右侧也一定找不到约数。
from mathimport sqrt
defisPrime(num):
for iin range(num):
for jin range(2, int(sqrt(num))):
if i % j ==0:
break
else:
returnTrue
3)质数规律判断法
首先看一个关于质数分布的规律:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等;
证明:令x≥1,将大于等于5的自然数表示如下:
······6x-2,6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6x+6,6x+7······
也就是
······2(3x-1),6x-1,6x,6x+1,2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),6x+5,6(x+1),6(x+1)+1······
可以看到,不在6的倍数两侧,即6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4,由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它们一定不是素数,再除去6x本身,显然,素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是,在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。
根据以上规律,判断质数可以6个为单元快进,即将方法(2)循环中i++步长加大为6,加快判断速度,代码如下:
from mathimport sqrt
defisPrime(num):
if num ==2or num ==3:# 两个较小的数进行处理
returnTrue
if num %6 !=1and num %6 !=5:# 不在6的倍数的两侧的一定不是质数
returnFalse
tmp = int(sqrt(num))
for iin range(5, tmp+1):# 在6的倍数两侧的也可能不是质数
if num % i ==0or num % (i+2) ==0:
returnFalse
returnTrue# 剩下的全是质数
调用函数的代码如下:
for iin range(2,200):# 这里的range函数起始值必须为2,否则第3种方法运行时会把1当作质数输出
if isPrime(i):
print(i, end=' ')
方法三正确写法
from math import sqrt def is_prime(n): if n1 #因为6的倍数+2可以被2整除,6的倍数+3可以被3整除,6的倍数+4可以被2整除,6的倍数可以被6整除 #所以只有n = 6的倍数+1或者+5才有可能是素数 if n%6 != 1 and n%6 != 5: return False #除此之外,还要判断该数可否被6的倍数+1或者+5整除 #比如25虽然在24(4*6)的右边,但它可以被5(0+5)整除 #比如49虽然在48(8*6)的右边,但它可以被7(6+1)整除 for i in range(5,int(sqrt(n) + 1),6): if n%i == 0 or n%(i+2) == 0: return False return True