极限求法之一 高等数学与初等数学一个最大的区别在于从有限发展到了无限, 而极限是实 现有限到无限的首要工具, 极限学的好坏直接影响到高等数学的成绩,要学好高 等数学, 学好求极限的方法是一个关键,下面例举了部分高等数学中常用极限的 求法。 an ?0 n ?? n ! 常用的几个极限: lim n a ? 1(a ? 0) lim n n ? 1 n ?? n ?? lim lim nk ? 0 (a ? 1, k ? 0) n ?? a n lim ln n ?0 n ?? n 一、 极限的四则运算法则 极限的四则运算法则是求极限的最常用的方法,使用四则运算法则要特别注 意的是拆分的每一项的极限都要存在, 特别地在使用商的法则时分母的极限不能 为零。对于 lim f ( x) 型的极限,1)若 lim f ) 与 lim g ( x) 都存在,而 lim g ( x) ? 0 , ( x g ( x) 直接使用四则运算法则即可;若 lim g ( x) ? 0 ,此时若 lim f ( x) ? 0 ,极限不存在 0 在,为无穷大量;若 lim f ( x) ? 0 ,此时成为“ ”的不定型,求这种型式的极限 0 一个常用的方法是通过恒等变型消去分子分母的零因子,如: lim x ?a xm ? am ( x ? a)( x m?1 ? x m?2 a ? ? ? xa m?2 ? a m?1 ) ? lim x n ? a n x?a ( x ? a)( x n?1 ? x n?2 a ? ? ? xa n?2 ? a n?1 ) x m?1 ? x m?2 a ? ? ? xa m?2 ? a m?1 x n?1 ? x n?2 a ? ? ? xa n?2 ? a n?1 ? lim x ?a ma m ?1 m m ? n ? ? a na n ?1 n lim x ?0 1 ? x ?1 ( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1) ? lim x ?0 x x( 1 ? x ? 1) ? lim x ?0 1 1 ? 1? x ?1 2 0 当然,“ ”型的极限还有很多求法,下面会到。 0 二、 两个重要极限 1 ? ( x ) ?0 lim (1 ? ? ( x)) ? ( x) ?e ? ( x ) ?0 lim sin ? ( x) ?1 ? ( x) 例如: lim( x ?? x?a x 2a x ? a 2a a ) ? lim(1 ? ) (1 ? ) x ?? x?a x?a x?a 2a x2?aa 2 a 2a a ? lim[(1 ? ) ] (1 ? ) x ?? x?a x?a 2a x2?aa 2 a 2a a ? lim[(1 ? ) ] lim(1 ? ) x ?? x ?? x?a x?a ? e 2 a ?1 ? e 2 a x a a (1 ? ) x [(1 ? ) a ]a x?a x x ? lim x ) ? lim 或 lim( x x ?? x ? a x ?? a x x ?? a ?a ?a (1 ? ) [(1 ? ) ] x x ? ea ? e2 a e? a 特 别 注 意 : 型 如 lim[u( x)]v ( x ) 的 极 限 只 有 当 lim u ( x) 与 lim v( x) 均 存 在 , 且 lim u( x) ? 0 时才可以用 lim u( x)v ( x ) ? (lim u( x))lim v ( x ) ,不注意这一点,很容易出错。 为了便于计算,通常我们用恒等式 u( x)v( x) ? ev( x)ln u ( x) 进行转化后再求极限。如: 1 a ln( a x ? bx ? cx 1 lim( ) x ? lim e x x ?0 x ?0 3 x ?b x ? c x ) 3 ?e x?0 x 1 a x ? b x ? c x ?3 lim ln(1? ) 3 ?e ?e x?0 x 1 a x ? b x ? c x ?3 lim ? 3 ?e 1 a x ?1 b x ?1 c x ?1 lim ( ? ? ) 3 x?0 x x x 1 (ln a ? ln b ? ln c ) 3 ? 3 abc (此极限求解过程中用了两次等价无穷小 l n (1 x ) ~ ? x x a ? 1~ x la n x( )0 ) ? tan x ? sin x tan x(1 ? cos x) sin x 1 lim ? lim ? lim 3 3 x ?0 x ?0 x ?0 x x x cos x x sin 1 1 ? 1?1? lim ( 2 ) 2 ? x ?? 2 x 2 2 三、 极限的存在准则 1)单调有界必有极限 例如:设 an ? a ? a ? ? a ? a ,求 lim an n ?? ????????? n重根号 2sin 2 x x 2 由 a ? a ? a ,显然有 an?1 ? an 其次 an ? a ? a ? ? ? a ? 2 a ? 1 ? a ? a ? ? ? a ? a ? 1 ????? ?????? ??????????? ? ? n重根号 n ?1重根号 ? a ? a ?? ? a ? 2 a ?1 ? ? ? a ? a ?1 ????? ?????? ? ? n ?1重根号 ? a ? 2 a ?1 ? a ?1 从而 an 单调有界,极限存在,设 lim an ? l n ?? 由 an?1 ? a ? an ,两边令 n ?? 得 l? a? l 解得 l? 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ,又由 l ? 0 可知 lim an ? l ? n ?? 2 2 2)夹逼定理 例如 lim( n?? 1 1 n ? n 2 ? 2 2 n ? n 2 ?? n n n ? n 2 ) 由 k k k ? ? k n2 n ? 1 n2 ? n 2 有 1? 2 ??? n 1 2 n 1? 2 ??? n ? ? ?? ? 2 1 2 n n ?1 n2 n2 ? n2 ? n2 ? n n n 从而 n(n ? 1) 1 2 n n(n ? 1) ? ? ??? ? 2 n 2(n ? 1) n2 ? 1 n2 ? 2 2n2 n2 ? n n n n(n ? 1) 1 n(n ? 1) ? ? lim 2 n ?? 2(n ? 1) 2 2n 2 1 2 由 lim n ?? 知原极限为 1 lim x[ ] x x ? 0? 1 1 1 1 1 1 由 ? 1 ? [ ] ? 知,当 x ? 0 时,有 x ? ( ? 1) ? x ? [ ] ? x ? ? 1 x x x x x x 1 再由 lim x( ? 1) ? 1 ? x ?0 x 1 lim 1 ? 1 知 lim? x[ ] ? 1 ? x ?0 x ?0 x 3) 左右极限 lim f ( x) ? lim? f ( x) ? A ? lim f ( x) ? A x ? x0 x ? x0 x ? x0? 分段函数有分段点处的极限常用此方法来求极限。 (分段点两侧函数的表达式不 一样时用,一样时不必用此方法) 四、 等价无穷小及无穷小的性质 常用的等价无穷小有: 当x?0时 , tan x ~ x 1 ? cos x ~ a x ? 1 ~ x ln a x2 2 arctan x ~ x ex ?1 ~ x sin x ~ x arcsin x ~ x ln(1 ? x) ~ x (1 ? x)? ? 1 ~ ? x 注意:等价无穷小的代换只能在乘除时使用,加减时不一定能用,最好在加减时 不要用,否则很容易出错。 例如 2 sin 2 s i nx 3 x l i m x s i n? ( ?) lim 2 ? x ?? x ?? 2 x x x | sin 3x |? 1 ?? x x 1 limx sin 3 由 lim 1 ?0 x ?? x 1 可知 lim sin 3 x ? 0 x ?? x 所以 原式 ? 2 l i mx 2 a 1 x/ ? a ( x ?? 1x ( / ? 1) ? ) x ?? l ixm a 2x 1 / ? (1 a ?x ? / ( x 1 ) 1 / 1 ) ? lim a1/ x ? lim x 2 (1/ x ? 1/ ( x ? 1)) ln a x ?? x ?? ? ln a ? lim x2 ? ln a x ?? x ( x ? 1) ( x ? ?,1/ ( x ? 1) ?1/ x ? 0, a1/( x?1)?1/ x ?1~[1/ ( x ?1) ?1/ x]ln a 五、 函数的的连续性 若 f ( x) 连续,且 lim ? ( x ) 存在,则 lim f [? ( x)] ? f [lim ? ( x)] x ? x0 x ? x0 x ? x0 简单地说连续函数求极限与求函数值的运算顺序可以互换。例如 x ??? lim[arcsin( x2 ? x ? x) ? arcsin lim ( x2 ? x ? x) x ??? ? arcsin lim x x2 ? x ? x x ??? ? arcsin 1 ? ? 2 6 极限求法之二 六、 导数的定义 导数是用极限来定义的,反过来,我们又可以用导数的定义来求极限: 例如: 1、设 f ( x) ? x( x ?1)( x ? 2)?( x ? 2012) ,求 f '(0) 。 f ( x) ? f (0) ? lim( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? 2012) ? 2012! x ?0 x?0 解: f '(0) ? lim x ?0 xm ? am xm ? am lim m ?1 xm ? am x ?a x ? a ? mx |x ?a ? m a m?n 2、 lim n ? lim x ? a n ? x ?a x ? a n x ?a x n ? a xn ? an nx n?1 |x ?a n lim x ?a x ? a x?a 3、 1 arctan(1 ? ) ? arctan1 1 ? n ?1 1 n lim(n ? 1)(arctan(1 ? ) ? ) ? lim ? ? (arctan x) ' |x ?1 ?1 ? n ?? n ?? 1 n 4 n 2 (1 ? ) ? 1 n 4、设 f ( x) 在 x ? a 处二阶可导,求 lim h ?0 f ( a ? h) ? 2 f ( a ) ? f ( a ? h) ; h2 f ( a ? h) ? 2 f ( a ) ? f ( a ? h) f '(a ? h) ? f '(a ? h) lim ? lim 2 h ?0 h ?0 h 2h ? 1 f '(a ? h) ? f '(a) f '(a) ? f (a ? h) lim[ ? ] ? f "(a) 2 h ?0 h h 注意:此题到 lim h ?0 f '(a ? h) ? f '( a ? h) 这一步不可再用洛必塔法则,若用则会是: 2h lim h ?0 f '(a ? h) ? f '(a ? h) f "(a ? h) ? f "(a ? h) ? lim ? f "(a) h ?0 2h 2 在此求解中有两个错误,1) f ( x) 只知道在 x ? a 处有二阶导数,其它点处的二 阶导数不一定存在;2) lim h ?0 f "(a ? h) ? f "(a ? h) ? f "(a) 这一步中用了二阶导数 2 的连续性。 思考: f ( x) 在 x ? x0 处可导, lim an ? 0,lim bn ? 0 , lim 设 且 求 n ?? n ?? n ?? f ( x0 ? an ) ? f ( x0 ? bn ) an ? bn 七、 洛必塔法则 0 ? 洛必塔法则通常用于求 " " 与 " " 型不定式的极限,同时 "0 ? ? " 、 "1? " 、 " ? 0 " 、 0 ? 0 ? "00 " 及 " ? ? ? " 等型的极限也可化为 " " 与 " " 后再用洛必塔法则来求极限。 0 ? 1 例如:若 f ( x) 在 x ? a 处可导,求 lim[ f (a ? ) / f (a )]n 。( 1? ) n ?? n 1 lim x[ln f ( a ? ) ?ln f ( a )] 1 x x??? x 解:由 xlim [ f (a ? ) / f (a)] ? e ??? x ?e 1 所以 lim[ f (a ? ) / f (a)]n ? e f ( a ) n?? n f '( a ) 1 ln f ( a ? ) ? ln f ( a ) x lim 1 x??? ( a ? )?a x ?e f '( a ) f (a) 注意:利用洛必塔法则时对数列的极限最好用 x ??? 代替 n ?? 先求极限,再 求原极限。 2、 lim ( ? arctan x) ln x x ??? 2 ? 1 ( 00 ) 解: lim ( ? arctan x) x ??? 2 ? 1 ln x ?e ln( ? arctan x ) 2 x??? ln x lim ? ln( ? arctan x) 2 ? lim 又 lim x ??? x ??? ln x ? ? 1 1 ? 2 1 ? x ? ? arctan x 2 1 x 1 1 ? 2 x2 x x ? ?1 ? ? lim ? ? ? lim x ??? 1 ? x 2 ? x ??? 1 ? arctan x ? 2 1 ? x2 所以 x ??? lim ( ? arctan x) 2 ? 1 ln x ? e?1 得用洛必塔法则求极限要注意的两点是: 1、 2、 要与其它求极限的方法相结合使用; 每一步使用都要验证是否满足洛必塔法则的条件。 八、 利用中值定理求极限 e x ? esin x ? lim e? x ?0 x ? sin x x ?0 ?1 lim (? 在 0 到 x 之间, x ? 0 时, ? ? 0 ) (利用拉格朗日中值定理) ( ? 在 a 与 x 之间, x ? a 时, ? ? a ) lim x ?a xm ? am m? m?1 ? lim n ?1 xn ? an n? x ?a ? m m?n a n (利用柯西中值定理) 思考:已知 f ( x) 在 (??, ?) 内可导,且 lim f '( x) ? e , x ?? lim( x ?? x?c x ) ? lim[ f ( x) ? f ( x ? 1)] ,求 c 的值。 x ?? x?c 九、 利用泰勒公式求极限 cos x ? e x4 ? x2 2 lim x ?0 解: cos x ? 1 ? x2 x4 ? ? o( x 4 ) 2! 4! e x2 ? 2 ? 1? x ? 2 2 (? x2 2 ) 2 ? o( x 4 ) 2! x4 x4 ? ? o( x 4 ) 1 24 8 原式 ? lim ?? 4 x ?0 x 12