求定积分 ∫上限2π,下限0 (1-COSX)3次方 定积分,求解,谢谢求下,过程,急
能写下过程吗
∫(0->2π) (1-cosx)^3 dx
其中(1-cosx)^3
=(1-cosx)(1-cosx)^2
=(1-cosx)(1-2cosx+(cosx)^2)
=1-2cosx+(cosx)^2-cosx+2(cosx)^2-(cosx)^3
=1-3cosx+3(cosx)^2-(cosx)^3
一个个来
∫1dx=x
∫3cosx dx=3sinx
∫3(cosx)^2=3∫[(cos2x)+1]/2 dx
=(3/4)∫(cos2x+1) d2x
=(3/4)(sin2x+2x)
∫(cosx)^3 dx=∫(cosx)^2 dsinx
=∫[1-(sinx)^2]dsinx
=sinx-[(sinx)^3]/3
所以
原式={x-3sinx+(3/4)(sin2x+2x)-sinx+[(sinx)^3]/3} (0->2π)
=2π-3sin2π+(3/4)(sin4π+4π)-sin2π+[(sin2π)^3]/3
=2π+3π
=5π