今天讲了一种将递归式转化为求和的方法。
考虑如下递归式:
两边同时乘以
得到:
要想转化成可以求和的递归式,那么必须有:
也就是:
这时令
得到:
这时就可以转化为求和了,解出:
所以
例题1
设
个数快速排序的操作次数为
,那么有
用
取代
可以得到
两式相减可以得到
由上面方法可以得到
所以
进而可以求出
这里介绍一个概念叫做调和级数:
所以
求和三大定律
结合律、分配率、交换律。这里就不展开说了,相信你们都知道的。
来两题简单的例题说明一下。
例题2
求
普通的方法每个人应该都会,等差数列嘛。这里用求和定律来做一做。
用
取代
,得到
即
两式相加得到
所以
例题3
求
这里用到另一种求和的方法。
两边同时加上第
项,得到
所以
这里介绍另一种方法来求解。
令
求导得到
所以
同样可以得到