第九章常用图 9.1.1树及其基本性质 叶:在树中,次数为1的结点。分支结点 树枝 9.1.1树及其基本性质 定理9.1 在(n,m)树中必有m=n-1。 连通 不包含回路 定理9.3图G是树的充分必要条件是图G的每对 结点间只有一条通路。 在T中不相邻接的任意两结点间添加一条边后形 成的图有且仅有一个圈 9.1.1树及其基本性质 定理9.2 具有两个结点以上的树必至少 有两片叶。 有向树:在有向图中如果不考虑边的方向而构成树。 外向树:有向树T满足1)T仅有且仅有一个结点 它的引入次数为0; 2)T的其他结点的引入 次数均为1; 3)T有一些结点,它的 引出次数为0 父子关系8.3 二元树 内向树:有向树T满足1)T仅有且仅有一个结点 它的引出次数为0; 2)T的其他结点的引出 次数均为1; 3)T有一些结点,它的 引入次数为0。 分支结点10 9.1.3 二元树 3元完全树2元完全树 m元完全树:如满足(除叶外) 1)从根开始,保留每个父亲与其最左边儿子的连线,撤消 与别的儿子的连线; 9.1.3 二元树 有序树转化为二元树的一般步骤: 兄弟间用从左向右的有向边连接;3)左儿子为直接处于给定结点下面的结点; 右儿子为处于同一水平线上与给定结点右邻的结点。 12 9.1.3 二元树 省略边的方向13 9.1.3 二元树 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v1v2 v5 v3 v6 v4 v7 v9 v8 v10 v11 14 9.1.3 二元树 一个森林转换为二元树的一般步骤: 除第一棵二元树外,依次将每棵二元树作为左边二元树的根的右子树。 15 9.1.3 二元树 169.1.4 生成树 生成子图 生成树:若连通图G的生成子图是一棵树。17 9.1.4 生成树-破圈法 在G中寻找基本回路,找到后在此回路中删除一条边,重复该过程,直至G中无基本 回路出现为止。 18 9.1.4 生成树-破圈法 一个连通图可以有很多个生成树。19 9.1.4 生成树-避圈法 209.1.4 生成树-避圈法 练习: 219.1.4 生成树-练习 设有6个城市,它们间有输油管道连通,为了保卫油管不受破坏,在每段油管间必须派一连士兵看守, 为保证正常供应,最少需多少连士兵看守? 229.1.4 最小生成树 是一连通的有权图,则G中具有最小权的生成树。 最小生成树 现实意义23 9.1.4 最小生成树 Kruskal算法 要点:在与已选取的边不成圈的边中 选取最小者。 构造 24 9.1.4 最小生成树 设有6个城市,它们间有输油管道连通,为了减少消耗,应如何铺设输油管道? 259.1.4 最小生成树 练习: 1210 26补充:二元树的应用 1.表达式 方法是:将表达式的运算符作为分支结点, 将运算量作为叶结点画出二叉树。 27 补充:二元树的应用28 补充: 二元树的应用-练习 29补充:二元树的应用 2.前缀码 由0和1的字符串组成的集合叫前缀码,其中集合的 每个元素都不是另一元素的前缀(即左子串)。 如集合{00,10,11,010,011}是前缀码? {00,01,001} 30 补充:二元树的应用 给定一棵二元树,对每个分支点引出的 左侧的边标记为0,右侧的边标记为1。 {00,010,011}任一二元树的树叶集合 31 补充:二元树的应用 练习: 给出与前缀码{00,10,11,010,011}对应的二元树。 00010 011 10 11 32 9.2 印刷电路布线 33 电路布线 349.2.1 平面图的基本概念 平面图:设无向图,如果能把G的 所有结点和边画在平面上,使得任何两条边 除公共结点外没有其他的交点。 359.2.1 平面图的基本概念 当且仅当一个图的每个连通分支都是平面图时, 这个图是平面图。 36 9.2.1 平面图的基本概念 379.2.1 平面图的基本概念 无回路的图是平面图。 (1)对于有回路的图找出一个长度尽可能大的且 将图中那些相交于非结点的边,适当放置在已选定的基本回路内侧或外侧,若能避免除结点之外边的 相交,则该图是平面图;否则,便是非平面图。 38 9.2.1 平面图的基本概念 9.2.1平面图的基本概念 波兰数学家库拉托夫斯基 (K.Kuratowski) 1930 判别平面图充要条件 40 9.2.2 平面图的区域 平面图的区域:平面图中四周为边所包围的最小平面块。 边界:包围区域的回路称为此 区域的边界。 区域面积为有限者称为有限区域。 1,2 无限区域 长度称为面的 次数 deg(1) 41 9.2.2 平面图的区域 一个平面图有一个惟一的无限区域。42 9.2.2 平面图的区域 1750 定理9.4:设图G是一个(n,m)连通平面图, 它的区域数为r,则有欧拉公式 归纳法(m)43 9.2.2 平面图的区域 定理9.5 设图G是一个(n,m)连通平面图, 9.2.2平面图的区域 3n-6=9