牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。 1.算法理论 牛顿迭代法也称为牛顿切线法,是解非线性方程的一种方 法[2]。牛顿迭代法是取x0 之后,在这个基础上,找到比x0 更接近的方程的根,一步一步迭代,从而找到更接近方程根的 近似根。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找 方程f(x) 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) 的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广 泛用于计算机编程中。 1.1 牛顿迭代法原理。设已知方程f(x)=0 的近似根 x0,则在x0 附近f(x)可用一阶泰勒多项式p(x)=f(x0) +f'(x0)(x-x0)近似代替。因此, 方程f(x)=0 可近似 地表示为p(x)=0。用x1 表示p(x)=0 的根,它与f(x) 由于满足解得重复这一过程,得到迭代格式 这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为 1.2 牛顿迭代法的几何解析。在x0 处作曲线的切线,切 线方程为。令y=0,可得切线与x 轴的交点坐标这就是牛顿法 的迭代公式。因此,牛顿法又称"切线法"。 1.3 牛顿迭代法的收敛性。