由已知等式可得:(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=26 ①,
令a-b=m,b-c=n,则a-c=m+n,其中m,n均为自然数,
于是,等式①变为m2+n2+(m+n)2=26,即m2+n2+mn=13 ②
由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:
m=3 n=1 和 m=1 n=3.
(1)当m=3,n=1时,b=c+1,a=b+3=c+4.
又a,b,c为三角形的三边长,所以b+c>a,即(c+1)+c>c+4,解得c>3.
又因为三角形的周长不超过30,
即a+b+c=(c+4)+(c+1)+c≤30,
解得c≤ 25 3 ,因此3 25 3 ,
所以c可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
(2)当m=1,n=3时,b=c+3,a=b+1=c+4.又a,b,c为三角形的三边长,
所以b+c>a,即(c+3)+c>c+4,
解得c>1.
又因为三角形的周长不超过30,
即a+b+c=(c+4)+(c+3)+c≤30,解得c≤ 23 3 .
因此1 23 3 ,
所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.