教学目标
1.探索等边三角形的性质和判定。
2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明。
3. 经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,能有条理地表达和正确书写推理过程,渗透分类思想。
教学重难点
重点:探索等边三角形的性质与判定。
难点:等边三角形性质与判定的应用。
学情分析
本节课是人教版八年级上册第13章第3节内容,是延续了从一般三角形到等腰三角形再到等边三角形的学习,学习等边三角形的特殊性质和判定;这节内容的学习不仅是学生进一步认识特殊的轴对称图形——等边三角形,更是今后证明角相等、线段相等的重要工具,在教材中处于重要的地位,起着承前启后的作用。另外,学生在小学已了解等边三角形的三条边相等、三个角相等,并且已经掌握等腰三角形的性质及其判定,本班学生已具备了初步的自主、合作、探究的学习能力,已具备了初步的演绎推理能力。但是由于学生中存在着个体差异,所以在学习数学时会有不同的表现。
教学过程
一、创设情境,导入新知
1、复习:(1)等腰三角形的定义(设计意图:以等腰三角形的定义,复习在小学就已认识的等边三角形引出新课)
(2)等腰三角形的性质,判定方法(设计意图:以等腰三角形的性质判定方法,引出等边三角形的性质及判定方法)
二、合作探究
探究一:等边三角形的性质探索
(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角形有哪些特殊的性质?
学生先独立思考,再合作交流,归纳结论如下:
①等边三角形的三条边都相等。
②等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60 °。
③等边三角形各边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合。(三线合一)
④是轴对称图形,它有三条对称轴。
(2)你能用数学的方法证明结论②吗?
结论2证明如下:
已知:ABC 是等边三角形。 求证:∠A =∠B =∠C =60°.
证明:∵ ABC 是等边三角形,
∴ BC =AC,BC =AB.
∴ ∠A =∠B,∠A =∠C .
∴ ∠A =∠B =∠C .
∵ ∠A +∠B +∠C =180°,
∴ ∠A =60°.
∴ ∠A =∠B =∠C =60°
探究二:等边三角形的判定探索
(1)你能类比、应用等边三角形的相关性质,说出一个三角形要满足什么条件就是等边三角形?
学生先独立思考,再合作交流,归纳结论如下:
①三条边相等的三角形是等边三角形。(定义判定)
②三个角都相等的三角形是等边三角形.(性质判定)
(2)你能用数学的方法证明结论②吗?
结论2证明如下:
已知:在ABC 中,∠A=∠B=∠C.求证:ABC是等边三角形.
证明:∵ ∠A =∠B,∠B =∠C ,
∴ BC =AC, AC =AB.
∴ AB =BC =AC.
∴ ABC 是等边三角形
探究三:等边三角形的判定探索
思考:三个角都相等的三角形是等边三角形,如果简化一下条件,让一个角等于60°,这个三角形是不是等边三角形呢?如果不是,那再加一个什么条件就是等边三角形了呢?证明你的结论。
小组讨论,得出结论并证明。
得到第三种判定方法:
③有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形.(判定)
在ABC中,AB=AC,①∠A= 60°.求证ABC是等边三角形。
②∠B= 60°. 求证ABC是等边三角形。
证明:已知AB=AC.则∠ B= ∠ C
①当顶角∠A=60 °时,
∠ B= ∠ C= 60 °
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 °
∴ ABC是等边三角形.
②当底角∠ B= 60°时,
∠ C=60 °, ∠A=180 —(60° +60 °)=60. °
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 °
∴ ABC是等边三角形.
师生共同分析,根据命题的题设、结论给出已知、求证、图形,让学生尝试证明得出判定方法。
这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点,难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想,教学时关注学生得出证明思路的过程,引导学生全面、周到地思考问题,并有意识地向学生渗透分类的思想方法,展示学生完成情况。
三、例题解析,应用新知
1、已知如图,等边ABC ,∠DAC= 60°,则∠DAE=__________,AD与BC的位置关系是________-。
2、ABC是等腰三角形,周长为15cm,且∠A=60°,则BC=_______.
3、如图,在等边ABC中,AD为中线,AD=AE,则∠EDC的度数是___________.
(1)题图
4、如图,ABC 是等边三角形,DE∥BC, 分别交AB,AC 于点D,E.求证:ADE 是等边三角形.
证明: ∵ ABC 是等边三角形,
∴ ∠A =∠B =∠C =60°.
∵ DE∥BC,
∴ ∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60° .
∴ ∠A=∠ADE =∠AED.
∴ ADE 是等边三角形.
5、变式1:如图,ABC是等边三角形,在AB和AC边上截取AD=AE,并连接DE.
求证:ADE是等边三角形.
证明:∵ABC是等边三角形
∴∠A=60°
又∵AD=AE
∴ABC是等边三角形
四、课堂小结
(1)本节课学习了哪些内容?
(2)我们学习了等边三角形的哪些性质和判定方法?
(3)我们采用了从一般到特殊,类比应用的数学思想方法。
五、课堂检测,巩固提高
1、如图,ABC和BDE都是等边三角形,如果∠ABE=40°, 那么∠CBD= 度。
2、已知AD是等边ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE=______度.
3、正ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC为______度
六、布置作业
作业: 教科书82页2、4、5、12题
练习册60页