《用因式分解法解一元二次方程》教学设计
威海九中 张丽萍
教学目标
1、知识与技能:
(1)、能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题的多样性;
(2)、会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单数字系数的一元二次方程。
2、过程与方法:
(1)、理解分解因式法的思想,掌握用因式分解法解一元二次方程;
(2)、能利用方程解决实际问题,并增强学生的数学应用意识和能力。
(3)、通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程,体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。
3、情感与态度:
(1)通过学生探讨一元二次方程的解法,使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法,它避免了复杂的计算,提高了解题速度和准确程度。
(2)体会“降次”化归的思想从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
教学重难点
1.重点:用因式分解法解一元二次方程。
2.难点:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。
教学过程
一、情境引入
解方程
谁能不动笔,用眼看出方程的根?为什么?
谁能模仿上面两道题,也出一道题来考考大家?(举例子2-3个)
二、探索新知
一个数的平方等于这个数的三倍,求这个数。
解:设这个数为x。
学生讨论:1、方程两边能不能同时约去x?不能,因为如果x=0,方程两边同时除以0,没有意义。当x=0时,方程两边相等,所以x=0是方程的根,同时约去会丢根。
2、所有的一元二次方程都能用这种方法来解么?不是。
3、什么样的方程可以这样解?如果方程一边等于零,另一边可以因式分解成两个一次因式的乘积,所以再使两个一次因式分别等于零,将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程,两个一元一次方程的根,就是原一元二次方程的根。
定义:当一元二次方程一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式乘积时,上面这种解法叫做因式分解法。
板书:因式分解法
三、例题解析
用因式分解法解下列方程
例1:
解:
注:移项提取公因式x,不可以两边同时约去x,因为当x=0,如果两边同时约去x,没有意义,还会丢掉一个根,是错误的变形;
例2:(x-2)2=2x-4
解: 移项,得:(x-2)2-2x+4=0
(x-2)2-2(x-2)=0
因式分解,得:(x-2)(x-2-2)=0
整理,得:(x-2)(x-4)=0
于是,得:x-2=0或x-4=0
因此: x1=2,x2=4
由于例题比较简单,可以鼓励学生进行讲解。
学生讨论:用因式分解法解一元二次方程主要分为哪几步?1、将等式一边化为零。2、观察另一边是否有公式因,是否可以因式分解成两个一次因式的乘积。3、使两个一次因式分别为零
四、跟踪练习
1、用因式分解法解方程
(1)x-2=x(x-2)(2)
(3)3x(x-1)=2-2x (4)
四名学生上黑板板演,其他同学独立完成,完成后小组内订正答案。
2、用因式分解法解方程
两名学生上黑板板演,其他同学独立完成,完成后小组内订正答案。
学生讨论:以上两个一元二次方程还可以用什么方法来解?直接开平方也很简单。
3、用因式分解法解方程
以上三道题也能用因式分解法吗?十字相乘
教师以第一题为例,第二、三题由两名学生板演,其他学生独立完成后小组订正答案。
五、归纳小结
1、 因式分解法的一般步骤:
①将等式一边化为零。
②将等式另一边因式分解成两个一次因式的乘积。
③使两个一次因式分别为零.
2、因式分解的方法有:
提公因式法、公式法、十字相乘法。
3、用分解因式法的条件是:
方程左边易于因式分解成两个一次因式的乘积,而右边等于零。
六、能力提升
选择恰当的方法解下列方程
学生讨论:你认为以上三道题,分别用哪种方法更简便?1、因式分解法2、直接开平方或因式分解法3、因式分解法4、配方法
解一元二次方程主要有配方法、公式法、因式分解法,说一说它们有什么优缺点?
配方法:
优点:配方法可以推导出公式法。
缺点:麻烦、容易出错。
公式法:
优点:万能,直接利用公式求根。
缺点:缺乏技巧。
因式分解法:
优点:简洁、灵活。
缺点:只适用部分特殊一元二次方程,不通用。
七、巩固与应用
(一)选择题
解一元二次方程的正确方法是( )
A、直接开放得3(x+1)=2(x-1)
B、原式化为一般形式
C、分解因式得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0
D、直接得x+1=0或x-1=0
(二)填空题
小华在解一元二次方程时,只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是 。
(三)、应用题
Rt⊿ABC的三边是a、b、c,其中斜边c=5,两直角边a、b满足,
求Rt⊿ABC的周长。
八、课堂检测
解下列方程
九、布置作业
《用因式分解法解一元二次方程》课后反思
威海九中 张丽萍
《用因式分解法解一元二次方程》本节课是在学习了配方法、公式法之后的最后一种特殊方法,《课标》中对因式分解法降低了要求,作为一种解决特殊问题特殊方法。
教学中我鼓励学生自主观察,发现某些特殊解方程可以不用动笔,用眼睛就能看出答案,提高学生学习的积极性,总结可以用因式分解法的一元二次方程的特点,让学生充分体会因式分解的优点。本节课对学生来说难度较小,所以在探索尝试和例题解析部分由学生讲解,在跟踪练习部分设计有层次的练习题,让学生从提公因式法、公式法、十字相乘法三个角度解题,在能力提升部分让学生选择恰当的方法解题,体会配方法、公式法和因式分解法的优缺点并进行总结,最后设计了课堂检测部分,及时了解学生的学习情况。本节课既有大量的基础计算问题,也设置了符合学生认知实际的应用问题,力争使不同层次的学生都学有所得,提高了课堂的有效性。根据本节课所处的位置,教学中设置不同的题型,让学生选择最优化的方法,既巩固所学,有训练能力。
成功之处:
通过学生有可能出现的问题设计了相关的代表性的习题,让学生总结出用因式分解法解一元二次方程的解题思路:大致常见的有三种类型,提公因式法、公式法(平方差,完全平方公式)、十字相乘法,老师给予适时补充引导,通过见到什么题,就考虑用哪种方法,提高了解题速度,优化了解题方法,增强了学生解题感觉。
这节课的内容教材上给的特别简单,如果不做补充,学生的思维得不到训练,知识得不到拓展,能力得不到提高,所以通过查阅中考资料等,精心设计习题,同时教学关注的焦点没有只停留在教会学生上,而是引导学生如何去学,授之以渔,由学会到会学,以便终身受益。
不足之处:
过分关注学生的学习结果,而忽略了过程,处理有些知识点时,给学生留有思考的时间太少,这样使的部分学生不清楚,所以在后继学习中部分学生对于公因式为多项式的提公因式、平方差公式中的第一项和第二项均为多项式的题,部分学生模糊出错。
在习题的处理上,由于害怕时间比较紧,有时叫了举手的学生上黑板做题,这样表面上看一节课比较顺畅,而掩盖了那些做错学生的错误,这样教师得不到第一手的真实资料来了解课堂的实效性。