与三角形“四心”相关的向量结论 随着新课程对平面几何推理与证明的引入,三角形的相关问题在高考中的比重有所增 加。平面向量作为平面几何的解题工具之一,与三角形的结合就显得尤为自然,因此对三角 形的相关性质的向量形式进行探讨,就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和 探究,得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时,能引起一些启示。 问题:设点O在ABC OCOB OA 的面积的比值是____. 分析: OCOB OA ODOB OCOD OA 的重心.ACD AOD COA DOC AOCCOD BOC COABOC 证明:已知O点在 ABC OEOB ODOA ,则点O为DEF的重心, EOFBOC DOFAOC DOEAOB Word文档 AOBCOA BOC 说明:此结论说明当点O在ABC 内部时,点O把ABC 所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关 系式前面的系数之比。 应用举例:设点O在ABC OAOB OC 的面积与OBC 的面积之比是:A.2:1 B.3:1 C.4:3 D.3:2 分析:由上述结论易得: AOBCOA BOC OBCABC 当把这些点特定为三角形的“四心”时,我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。 引申:设O点在 ABC 结论1:若O为ABC OCOB OA 分析:重心在三角形的内部,且重心把 ABC 的面积三等分.结论2 分析:内心在三角形的内部,且易证SBOC AOB=sin2A:sin2B:sin2C. 由结论3 及结论: 的垂心,则OC OB OA OH 可得结论4。结论4:若H coscos sin cos cos sin cos cos sin 证明:对任意ABC OCOB OA OH ,其中O为外心,H为垂心, OCOB HA OCOA HB OAOB HC Word文档 BCAB BCAO AB BC ABAO coscos sin cos cos sin cos cos sin 应用举例:例1:已知O为ABC OCOB OA 16cos :已知ABC CABC AB OCBO OBAO ,整理后即得:OC 1615 点评:此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组:解方程组可得结果。 Word文档 BCAC AB