构造

,
是对称矩阵
如果X是对称矩阵,那么
也是对称矩阵.
基变换 ,使得变换变得对称。

关于

:

投影矩阵:
,特征:
1.
2.特征值只能是0和1,trace为1的列是要投影的列。
在好的基下面,投影矩阵就是0,1对角矩阵。
正规矩阵:满足
在复系数矩阵中,所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理,在实系数矩阵中,所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
矩阵A正规当且仅当A可以被写成
,其中
是对角矩阵,U是酉矩阵。
SVD:
; A是任意矩阵,UV是正交矩阵,
是对角矩阵,
极分解:
,Q是酉矩阵,R是正定矩阵,类似于
,R对应模长,Q对应辐角θ(
);
。
A的广义逆:
A的伪逆:
;
矩阵A可以看作是一个向量空间一组基底(A是描述一个空间,Ax是列向量的组合),也可以看成是对一个向量的线性变换(
)。