圆幂定理
该定理是一个总结性的定理,是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论的统一与归纳。根据两条与圆有相交关系的线的位置不同,有以下定理:
(1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
(2)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条
线段长的比例中项。
(3)割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于
,则有
从上述定理可以看出,两条线的位置从内到外,都有着相似的结论。经过总结和归纳,便得出了圆幂定理
定义:一点
对半径
的圆
的幂定义如下:圆幂
符号:圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。
过任意不在圆上的一点
引两条直线
,
与圆交于
两点(可重合,即切线),
与圆交于
两点(可重合,即切线),则有
考虑经过
点与圆心的直线,设
交
于
,半径为
,则有