体积和表面积、容积的区别 表面积 体积 容积 意义 六个面的面积之和 物体所占空间的( )。 容器所能( )物体的 ( )。 计算 需要 的元 素 长、宽、高(特殊 ①正方体可知道一 个面的面积②想对 面是正方形的长方 体可知道底面周长 和高) 长、宽、高或底面积和高 (或横截面的面积和长 方体的长) ①长、宽、高②放入物体 前液体的体积和放入液体 后的体积③拿出物体前和 拿出物体后液体的体积 区别 计算 公式 和方 法 规则物体: 计算方法 长方体: 长方体:V=a×b×h S 长=2×a×b+ 2×a 正方体:V=a×a×a ×+2×b×h S 正=a×a×6 规则物体: 长方体:V=abh 正方体:V=a3 但需要从里面测量 不规则物体: 排水法 常用 cm2 dm2 m2 单位 cm3 dm3 m3 L mL 计算 有多少个面积单 结果 位? 实质 有多少个体积单位? 有多少个容积单位 实际 应用 题问 题明 显特 征 ①表面积? ②共用多少铁皮? ③贴纸的面积? ③涂漆的总面积? ①体积? ①容积? ②空间的大小? ②升? ③需要三合土、砂石多少 ③最多能装水多少? 立方米? 6 个面、5 个面、4 个面的总面积 和露出面的个数无关,只 根据长、宽、高或底面积 和高计算物体中包含多 少个体积单位 容器中物体的体积,可以 为液体的体积,也可是固 体的体积 表面积实际问题解决技巧: ①抓典型特征 含有“求布料、贴纸、玻璃、瓷砖、铁皮、涂料的多少”等关键词,一定是求表面积的问题。 ②判读面的个数。 首先找题中是否含有:“无盖、上下面不贴等关键词,如果无盖,就是计算五个面的总面积,上下 面不贴就是求前后、左右四个面的面积。 其次根据问题的实际情况判断,如游泳池和鱼缸就不算上面,衣柜和洗衣机罩就不算底面等,即 求 5 个面的总面积。烟囱给长(高)的数值,一般左右(或上下)是空的,就是求四个面的总面 积。 表面积典型实际问题: 类型一:计算长方体的五个面的总面积。(无底或无盖) 计算公式:S 长=a×b+ 2×a×+2×b×h 技巧:记住求 6 个面长方体表面积的计算公式,当少算上面的面积或下面的面积时,就把 2 个长 乘宽的面,只算一个。正方体就只算 5 个正方形的面。 典型问题:亮亮家要给一个长 0.75 米,宽 0.5 米,高 1.6 米的简易衣柜换布罩,没有底面,至 少需要用不多少平方米? 同步练习: (1)计算长方体的五个面的总面积。(无底) 学校要粉刷新教室。已知教室的长是 8m,宽是 6m,高是 3m,门窗的面积是 11.4m2。如果每平方 米(求表面积的特征)需要 4 元涂料费,粉刷这个教室需要花费多少钱? (2)计算长方体的五个面的总面积。(无盖) 新建的游泳池长 50m,长是宽的 2 倍,深 2.5m,现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖,一共需 要多少平方分米(求表面积的特征)的瓷砖? 拓展延伸:如果每块瓷砖的边长是 20cm,共需要多少块瓷砖? (3)计算正方体的五个面的总面积。(无盖) 一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体,棱长是 6dm。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米(求 表面积的特征)? × 类型二:计算长方体的四个面的总面积。(无上下底) 1.缺少长×宽的两个面:一个长方体茶叶盒,长 10 厘米,宽 6 厘米,高 12 厘米。如果围着它贴 着一圈商标纸(上下面不贴),这商标纸的面积至少需要多少平方厘米? 2.缺少长×宽的两个面:一个大厅有 4 根长方体柱子,它的底面是边长为 4 分米的正方形,柱子高 3 米,把这 4 根柱子涂上油漆,涂漆的面积是多少? 3.缺少长×高的两个面:一通风管尺寸如图,求做这个通分管至少需要多少铁皮? 类型三:拼接或截断计算变化之后的物体的表面积。 计算方法:拼接:原来的总面积-重叠处减少的总面积。 截断:原来的总面积+增加的面积。 典型问题: (1)拼接:A 两个棱长为 1 厘米的正方体拼成大长方体,求大长方体的表面积与两个小正方体的 表面积? B 计算下列组合图形的表面积。 (2)截断:如图:把一个长 6 厘米、宽 5 厘米、高 4 厘米的长方体截成两个完全一样的长方体, 这两个长方体的表面积之和是多少平方厘米? 思维拓展:若使截成的两个长方体的表面积之和最大,应怎样截,此时两个小长方体的表面积之 和是多少平方厘米? 同步练习: A.拼接:用 3 个长 6cm,宽 5cm,高 3cm 的长方体木块,拼成一个如下图所示的长方体。这个长方体 的表面积是多少平方厘米? 拓展延伸:这三个相同的长方体怎样拼,拼成的长方体表面积最大?拼成的长方体表面积最小? B.截断:如图:大长方体的长为 7.5 厘米,宽为 2 厘米,高为 1 厘米,算一算,把大长方体截成 相同的小长方体,原长方体共增加了多少表面积? 类型四:凹凸问题 1. 凹陷问题 计算方法:在顶点处凹陷,各个面平移后,原来的表面积不变。 在面的中间处凹陷,原来的表面积+凹陷处立体图形周围四个面的面积。 (1)在顶点处凹。 一个棱长为 2cm 的正方体,在它的一个角上挖掉一个棱长为 1cm 的小正方体,它的表面积是多少 cm?? (2)在面的中间凹: 在一个长方体的中间挖去了一个棱长 2cm 的小正方体,求挖掉后图形的表面积. 2. 凸起问题 计算技巧:凸起时计算表面积,要把原来几个物体的表面积之和去掉两个重合面的面积。 典型例题:有一个形状如图的零件,由一个长方体和一个正方体组合而成。长方体的长和宽都是 6cm,高是 3cm,正方体的棱长是 2cm。求这个零件的表面积。 类型五:折叠问题 解题技巧: ①折叠问题求长方体的表面积,可不需折叠后再求长方体的表面积。 ②折叠问题求长方体的表面积,如果未指定面,则表面积和长方体的长、宽、高数值的顺序无关。 ③可设定长、宽、高的数值顺序,再进行计算。 (1).一块长方形铁皮,长 40cm,宽 30cm,像下图这样从 4 个角各剪掉一个边长为 5 厘米的正方形, 然后做成盒子,这个盒子的表面积是多少平方厘米? 40cm 30cm 解题技巧: 方法一: 盒子的长=长-2×正方形的边长 盒子的宽=宽-2×正方形的边长 盒子的高=正方形的边长 盒子的表面积=盒子的长×盒子的宽+盒子的长×盒子的高×2+盒子的宽×盒子的宽×2 方法二:盒子的表面积=长方形的面积-正方形的面积×4 (2)小明从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面(展开后如图,单位:厘米),这个纸盒的面积 是( )平方厘米,体积是( )立方厘米。 解题技巧:本题尽管未给出长方体的另 6 个面,但根据本题的条件,立起来的长度为高,数值为 6,标注“前”字的面中的“5”为长方体的长,标注“右”字的面中的“3”为长方体的宽。 (3).学校大门前有 5 级台阶,每级台阶长 6 米,宽 0.4 米,高 0.2 米。给这些台阶上铺地砖, 至少需要铺多少平方米地砖? 解题技巧:台阶铺瓷砖之处为盒子的长×盒子的宽×4+盒子的长×盒子的高×5 体积实际问题解决技巧: ①抓典型特征 A 含有“立方米,立方分米,立方厘米,体积是多少,能截多少块木块,能装沙子多少吨,能装 砂石多少方、铸造、锻造、水面升高、水面下降”等关键词,一定是求体积的问题。 B 含有“最大容积是多少升、可乘水多少,能装多少水,能装多少沙子,能装汽油多少升、净含量 是多少”,一般就是求容积的问题。 体积典型实际问题: 1. 直接计算体积. (1)已知长、宽、高求长方体体积或已知正方体的棱长,求正方体的体积: ①早在夏朝,中国人就已经掌握了存储冰块的技术,一块棱长 30cm 的正方体冰块,它的体积是多 少立方厘米? ②一个长方体的无盖水族箱,长是 6m,宽是 60cm,高是 1.5m,它的体积是多少? ③建筑工地要挖一个长 50m、宽 30m、深 50cm 的长方体土坑,一共要挖出多少方的土?(在工程 上,1m3 的土、沙、石等均简称“1 方”。) ④红星村要修一条长 1800m,宽 12m 的公路,要先铺 10cm 厚的三合土,再铺 6cm 后的沙石。需要 三合土、沙石各多少立方米? ⑤花园小区为居民新安装了 50 个休息的凳子,凳面的长、宽、高分别是 100cm、45cm、4.5cm.凳 腿的长、宽、高分别是 45cm、5cm、35cm.这些凳子一共至少用了混凝土多少方? ⑥长方体木块被平均分为 4 段,求每块木头的表面积是多少平方分米? 2. 计算体积实际问题的变式练习. (1)求小正方体拼成的正方体或长方体的体积: ①每个小正方形棱长为 1 厘米,分别计算下列长方体的体积。 ②.把 2 块棱长为 1.5dm 的正方休木块拼成一个长方体。这个长方体的体积是多少? (2)已知长方体的底面正方形的边长,或底面积和高,或底面周长,求正方 体或长方体的体积: ①已知底面正方形的边长和长方体的长:一个长方体纸盒,长 7m,横截面是一个正方形,边长为 5 分米。 这个长方体纸盒表面积是多少? ②已知横截面的边长和长方体的长:有一根长 0.5 米的方木料,横截面的边长为 2 厘米,这根方 木,平放时占地面积有多大?体积是多少? ③已知横截面的面积和长方体的长:家具厂订购 500 根方木,每根方木横截面的面积是 2.4dm2, 长是 3m。这些木料一共是多少方? ④已知增加的横截面的总面积和长方体的长:一个底面是正方形的长方体木料,长是 5 米,把它 截成 4 段,表面积增加 36 平方米,求长方体的体积? ⑤已知底面正方形的周长和长方体的长:一个长方体底面为周长 12 厘米的正方形,高为 3 分米, 它的体积是多少? (3)已知正方体的棱长和(或体积)和长方体的长、宽、高中的两个,求长 方体的另一个数据及长方体的体积: ①一个长方体和一个正方体的楼长总和相等。已知正方体的棱长为 7dm,长方体的宽、高分别为 5dm.4dm,那么长方体的长是多少分米? 它们的体积相等吗? ②把一个棱长 8dm 铁块铸成一个长 10dm,宽 4dm 的长方体,铸成的这个长方体铁块的高是多少分 米? (4)与体积有关的其他问题: ①已知长方体的体积,长和宽,求长方体的高: 学校运来 7.6m3 的沙子,铺在一个长 5m.宽 38dm 的沙坑里,可以铺多厚? ②大体积分成小体积,求块数: A 儿童节前,全市的小学生代表用楼长 3cm 的正方体塑料排插积术在广场中央搭起了一面长 6m、 高 2.7m、厚 6cm 的奥运心愿墙。这面墙一共用了多少块积木? B 一个长 6dm,宽 4dm,高 5dm 的长方体盒子,最多能放多少块棱长为 2dm 的正方体木块? ③体积和物体尺寸大小的比较: 容积计算典型实际问题 (1)直接计算规则物体的容积: ①A 一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体,棱长是 6 dm。此容器最大容积是多少升? B 一个木盒从外面和里面测量尺寸如下图,计算这个长方体的容积。 ②2 块棱长是 3dm 的正方体木块刚好能够放是进一个长方体纸箱,纸箱的容积是多少? ③A 某健身馆计划新建一个游泳池,该游泳池的长是 25m,宽 12m,深 1.4m. 如果游泳池全装满 水,能装多少升水? B 一长方体游冰池,长 30 米,宽 10 米,深 1.6 米,池的四壁和地面用瓷砖砌,如果雨季用来储水,最 多可乘多少水? C5 某辆汽车的油箱是长方体,长0.8米,宽0.5米,高0.3米,这个油箱最多能装汽油多少 升?如果每100升汽油能行驶7.5千米,这箱汽油最多能行驶多少千米? ④.一种牛奶的包装盒如图,它的净含量是否存在虚假?为什么? 2.计算不规则物体的体积。 ①.一个长方体水箱,长 8 分米,宽 5 分米,水深 4 分米。把一个铁球浸没在水中,水面升高到 6 分米。这个铁 球的体积是多少立方分米? ②A 一个长 5 分米,宽 2 分米,高 4 分米的长方体水缸里注入了 15 厘米深的水。将一块石头放入水中后,水位 上升到 18 厘米,这些石头的体积是多少 dm3? B 一个正方体玻璃容器棱长 2dm,向容器中到入 6L 水,再把一块石头放入水中。这时量得容器水深 17 cm。石 头的体积是多少立方厘米? C.珊瑚石的体积是多少? ③下面中,大球的体积是多少?小球的体积是多少? 乐W至县劳动镇粉笔 厂