等底等高的三角形的面积相等的应用 1、如图:平行四边形 ABCD,对角线交于点 O, 求证: S?AOB ? S?BOC 。 2、如图:平行四边形 ABCD,P 为对角线 AC 上的任一点, 求证: S?ABP ? S?ADP . 3、在平行四边形 ABCD 的两边 AD、CD 上各取一点 F、E,使 AE=CF,连 AE、CF 交 于 P,求证:BP 平分∠APC。 分析:要证 BP 平分∠APC,我们可以考虑,只要能证出 B 点到 PA、PC 的距离相等即 可,也就是△ABE 和△BFC 的高相等即可,又由已知 AE=FC 可联想到三角形的面积, 因此只要证出 S△ABE=S△BCF 即可 由平行四边形 ABCD 可得 S△ABE=S△ABC,S△BFC=S△ABC 所以 S△ABE=S△BFC,因此问题便得解。 证明:连结 AC、BE、BF ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴S△ABE=S△ABC S△BFC=S△ABC ∴S△ABE=S△BFC 又∵AE=CF 而△ABE 和△BFC 的底分别是 AE、CF ∴△ABE 和△BFC 的高也相等 即 B 到 PA、PC 的距离相等 ∴B 点在∠APC 的平分线上 ∴PB 平分∠APC 【练习】 1、在平行四边形 ABCD 中,E、F 点分别为 BC、CD 的中点,连结 AF、AE,求证:S△ABE =S△ADF 2、如图, P 为平行四边形 ABCD 内一点,且 S ?PAB ? 5 , . S?PAD ? 2 .则 S ?PAC ? __________ D P A B C 变式题:如图所示, P 为平行四边形 ABCD 内一点,且 S ?PAB ? 9 , S ?PAD ? 5 .则 S ?PAC ? __________ . D P O A B C