精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 –独家原创 PAGE1 / NUMPAGES1 高等数学极限练习题及答案 f?x??x2 x3?1 ?x?1与函数g?x??x?1相同. 错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。 ∴ f?x??x2 x3?1 ?x?1与g?x??函数关系相同,但定义域不同,所以f?x?与g?x? x?1 是不同的函数。 2、如果f?x??M,则f?x?为无穷大. 错误根据无穷大的定义,此题是错误的。、如果数列有界,则极限存在. 错误如:数列xn???1?是有界数列,但极限不存在 n 4、n?? liman?a,liman?a. n?? n n n?? 错误如:数列an???1?,lim x?? ?1,但limn不存在。 n?? 5、如果limf?x??A,则f?x??A??. 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。、如果?~?,则????o???. ? ?1,是???????∴lim?lim?1???0,即???是?的高阶无穷小量。 ???? 2 7、当x?0时,1?cosx与x是同阶无穷小. 2 xx??2sin2sin? 1?cosx1???1 ??lim?lim2??正确∵limx?0x?0x?04?x?2x2x2 ???2? 正确∵lim 11 ?limx?limsin?0. x?0xx?0x?0x 1 错误∵limsin不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 x?0x 8、 limxsin ?1? 9、 lim?1???e. x?0 ?x? ?1? 错误∵lim?1???e x?? ?x? x 10、点x?0是函数y?的无穷间断点. x xx?xx lim??1错误 lim?,lim?lim?1 x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0x x ∴点x?0是函数y?的第一类间断点. x 1 11、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值. x 1 x x 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,f?x?? ∴函数f?x?? 1 在x?0处不连续 x 1 在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值 x 二、填空题: 1、设y?f?x?的定义域是?0,1?,则?? f?1?sinx?的定义域是fex的定义域是; f?lgx?的定义域是. 答案:∵0?e?1 ∵0?1?sinx?1 ∵0?lgx?1 2x ??? ; xx??k,?x???? Z) 2?? ?x?2?2?x?0 ? x?0的定义域是2、函数f?x???0. ?x2?30?x?4? 3、设f?x??sinx2,??x??x2?1,则f???x???. 2 ?? x =. n??n xxsinsin x?lim?x?x ∵limnsin?lim n??n??xnn??1 nnx??1?1?x ??x? 5、设f?x???cos,limf?x??. ?1?x?1,则limf?x?? x?1?0x??1?02? x?1??x?1 ∵limf?x??lim?2,limf?x??lim?x?1??0 4、limnsin x??1?0 x??1?0 x?1?0 x?1?0 ?1?cosx1?x?0 6、设f?x???x2,如果f?x?在x?0处连续,则a?. 2?x?0?a 1?cosx11?cosx1 x?0?lim??f?0??a ??∵lim,如果在处连续,则fx22x?0x?022xx 7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点,则limf?x??. ∵初等函数f?x?在定义区间内连续,∴limf?x??f?x0? x?x0x?x0 8、函数y? ∵lim x?1 1 x?12 2 当x?时为无穷大,当x?时为无穷小. 1 x?1??,lim x?? 1 9、若lim ∵ x??? x x?12 ?0 1 ). 2 ?x?1?ax?b?0,则a?,b?. 11? xx2?x?2 11、f?x??2的连续区间是. x?4x?3ax?2sinx ?2,则a?12、若lim. x??x ∴aax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??x??xx?? 1 ?2 13、lim sinx ?is,limxn x??x??x 1 x x?0 1 ?, x kx lim?1?x? ?1?k ,lim?1???. ? x??x?? sin1 x?1 k ∵lim sinx11 ?lim?sinx?0 limxsin?lim x??x??xx??xxx??1 x lim?1?x??lim?1?? x?0 x?0 1x1 ??x 1??1?? ?e?1 lim?1???lim?x??ek x??x??x??x?? x??? kx 14、x?? limsin?iclarcont,m n?? x? 三、选择填空: 1、如果limxn?a,则数列xn是a.单调递增数列b.有界数列 c.发散数列 3 2、函数f?x??logax? x2?1是a.奇函数 b.偶函数c.非奇非偶函数 ∵ f??x??loga??x?2 ?1? ?log1a ?? x?x2 ?1 ??logax?x2?1??f?x? 3、当x?0时,ex ?1是x的a.高阶无穷小 b.低阶无穷小 c.等价无穷小 4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x?M,则函数f?x?在该邻域内条件下趋于??. a.x?1 b.x?1?0 c.x?1?0 6、设函数f?x??sinx x ,则limx?0f?x?? a.1 b.-1c.不存在 ∵sinx xlim ?lim ?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x ??1 limsinxsinx0x?xlim?0?0x ?1 x?0?根据极限存在定理知:limx?0 f?x?不存在。 7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在,则函数f?x?在x0点a.有定义?b.无定义 c.不一定有定义 ∵f?x当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。、数列1,1, 12,2,13,3,…,1 n ,n,…当n??时为 a.无穷大?b.无穷小c?.发散但不是无穷大 9、函数fx?在x0点有极限是函数f?x在x0点连续的 a.充分条件b.必要条件c.充分必要条件 10、点x?0是函数arctan 1 x 的a.连续点b.第一类间断点 c.第二类间断点 ∵1xlim?0?0 arctan x??? 1?xlim?0?0arctanx?2 根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x?0是函数sin 1 x 的a.连续点b.第一类间断点 c.第二类间断点 四、计算下列极限: nn 1、lim???1?n??3n n 解limn???1?n??3n?limn??n13?n)?3 4 c ) 2、lim tan3x x?0sin2x tanx33x3li?lim? 解x?0 sinx2x?02x2 3、lim??x? x??? ? ?lim x??? x??? lim x?x?x?? ? x??x?? x??x?x??x?x??x?? ?lim x??? ?2 x??x?1??? ??1 ??2lim 4、lim n?? x??? n 2 ?n?1?n2?n ? 解limn2?n?1?n2 n?? n ?n??lim n?? 2 ?n?1?n2?n 2 n 2 ?n?1?n2?n 2 n?n?1?n?n 12? 2n?1?lim?lim?1 n?? 111 n2?n?1?n2?nn?? ??2??nnn x3?x2 5、lim x?0?0x?sinx x3?x2x ?xlim?lim?limx?0?0x?sinxx?0?0x?sinxx ?0?0 xsin x? x?1 2 x?0 ?x1 ?sinx1? x x2? 6、lim x?0 xsinx?x?0 x2? ?1 5 ?lim x?0 1x2 ? 第二章 导数与微分 典型例题分析 客观题 例1设f在点x0可导,a,b为常数,则lim f?f ?x ab ?x?0 ? f? Aabf? Bf?Cf?D 答案 C解f?flim??x?0?x [f?f]?[f?f] ?lim? ?x?0?x f?ff?f ?blim?alim ?x?0?x?0b?xa?x ?f? 例2设f在x?a的某个邻域内有定义,则f在x?a处可导的一个充分条件是 1????f?f limh?f?a???f?存在 lim存在 h?0h???hh???? lim f?f 2h h?0 存在 lim f?f h 存在 h?0 答案 D 解题思路 对于答案,不妨设 1h ??x,当h???时,?x?0,则有 ? 1?f?f??? limh?f?a???f??lim存在,这只表明f在x?a处h????x?0h??x??? 右导数存在,它并不是可导的充分条件,故不对. ? 对于答案与,因所给极限式子中不含点a处的函数值f,因此与导数概念不相符和.例如,若取 ?1,x?a f?? 0,x?a? 则与两个极限均存在,其值为零,但limf?0?f?1,从而f在x?a x?a处不连续,因而不可导,这就说明与成立并不能保证f?存在,从而 与也不对. 记?x??h,则?x?0与h?0是等价的,于是 lim f?f h h?0 ??lim f?f h h?0 ?lim f?f ?h h?0 ?x 所以条件D是f?存在的一个充分必要条件. 例3设f?0,则f在点x?0可导的充要条件为 ?x?0 ?lim f?f ?f? lim 1h1h 2 h?0 f存在lim 1h1h h?0 f存在 h lim h?0 2 f存在lim h?0 ?f?f?存在 答案 B解题思路 当h?0时, 1?coshh h?0 2 lim f h 2 h?0 ?lim 2 f?f h 2 ? 1 .所以如果f?存在,则必有 ?lim f?f 1?cosh h?0 ?lim 1?coshh 2 h?0 若记u?1?cosh,当h?0时,u?0,所以 f?ff?flim?lim?f? h?0h?01?coshu于是 ? lim f h 2 h?0 ? 12 f? 1h 2 这就是说由f?存在能推出lim h?0 f存在. ? h0,而不是u?0,因此 但是由于当h?0时,恒有u?1?cos? 1f?f f???limlim2f存在只能推出存在,而不能推出f? h?0hx?0x存在. ? 当h?0时, 1?e??h?o,于是 h lim f h h h?0 ?lim f)?f h h?0 ??lim f)?f ?h?o h?0 由于当h?0时, ?h?o既能取正值,又能取负值,所以极限 lim f)?f ?h?o h?0 存在与lim f?f h h?0 ?f?存在是互相等价的.因而 极限lim 1h h?0 h f存在与f?存在互相等价. 当h?0时, 用洛比塔法则可以证明lim lim f h 2 h?0 ,所以h f?fh?sinh ?lim?lim?hh?0h?0h?sinhh h?0 3 h?sinh ? 1 由于h?0,于是由极限lim f?f h?sinh h?0 ?lim h?sinhh 3 h?0 ?h存在未必推出 h?sinh f在点x?0可导一定有存在,但存在不一定f在点x?0可导. h?0 lim f?f 也存在,因而f?未必存在. 例 函数f?|x?x|有个不可导点 01 3 答案 C 解题思路当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x0?0,x1?1,x2??1考察导数的存在性. 解将f写成分段函数: 23 ???2 ?x,?x?2)x,?x?2)x,?x?2)x, 2 22 2 x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x. 在x0?0附近,f写成分段函数: 22 ?x,x?0?23 f?|x?x|?? 22 ??x,x?0 容易得到 f?f22 ?f??lim?lim?2 ?? x?0x?0x f?f22 f???lim?lim??2 ?? x?0x?0x 由于f???f??,所以f?不存在. 在x1?1附近,f写成分段函数: 2 ?x,x?1?23 f?|x?x|?? 2 ??x,x?1 f?f2 ?f??lim?limx??4 ?? x?1x?1x?1 f?f2 f???lim?limx??4 ?? x?1x?1x?1 由于f???f??,所以f?不存在. 在x2??1附近,f写成分段函数: 2 ?x,x??1?23 f?|x?x|?? 2 ??x,x??1 f???lim f?f ? x??1 x?0x?1 由于f???f???0,所以f?存在. x??1 ? ? f???lim x?1 f?f ??lim x??1 ? x?0 ?limx?0 综合上述分析,f有两个不可导的点. 例设f具有一阶连续导数,F?f?,则f?0是 F在x?0处可导的 必要但非充分条件充分但非必要条件 充分且必要条件 既非充分也非必要条件 答案 C 分析 从F在x?0的导数定义着手.将F?f??f?f?|sinx| 解F?Ff?ff|sinx|?f|sin0| ?lim?limF???lim x?0x?0x?0x?0x?0x?0 ?f??f f?ff|sinx|?f|sin0|F?F ?lim?limF???lim ??? x?0x?0x?0x?0x?0x?0 ?f??f 于是推知F???F??的充分必要条件是f?0. ? ? ? 例 设函数f?3x?x|x|,则使f 32 存在的最高阶数 n?. 0 1 3 答案 C 解题思路 应先去掉f中的绝对值,将f改写为分段函数 ?2x3 f?3x?x|x|??3 ?4x 3 2 x?0x?0x?0x?0 ?2x3 解由f?3x?x|x|??3 ?4x 3 2 ?6x2 得f???2 ?12x x?0x?0 ?12x 且f???? ?24x 又f???lim x?0 ? ?12 f?????x?0?24 x?0x?0x?0 f?f x?0 ?lim x?0 2x?0 ? 3 x?0 ?0, f???lim f?f ? x?0 x?0 ?lim x?0 4x?0 ? 3 x?0 2 ?0 所以f?存在. f????lim f??f? ? x?0 x?0 ? ?lim x?0 6x?0 ? x?012x ? ?0 ?0 ?0 f????lim f??f? x?0 2 ?lim x?0 x?0 x?0 所以f??存在. f?????lim f???f?? ? x?0 x?0 ? ?lim x?0 12x?0 ? x?0 ? ?12 x?0 即f?????f????.因而使f x?0 f?????lim f???f?? ?24 x?0 存在的最高阶数是2. x?0 ?lim 24x?0 例f?cos|x|?x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于 A 0B 1C D 答案 C 2 解题思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在点x?0的情况. 例8设??0,f在区间内有定义,若当x?时,恒有 f?x,则x?0必是f的 间断点, 连续而不可导的点,, 可导的点,且2f’?0 可导的点,且f’?0 答案 C 解 由题目条件易知f?0,因为 | 所以由夹逼定理 f?f x |?| fxfx |?| x 2 x | 2 lim| x?0 f?f x |?lim| x?0 |?lim| x?0 x x |?0 于是f??0. ?1?e?x?,x?0,则f?为 例设f??x?0,x?0.?1 0 1 ?1 2 答案 解题思路 因f为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义, 又由于是未定式,可用洛必达法则求极限. 2 00 型 第一章 函数与极限 习题1-1 1.求下列函数的自然定义域: y? 11?x 2 ?; . ?1?x2?0 解:依题意有?,则函数定义域D??x|x??2且x??1? x?2?0? 2x?1 arccos y? ?2x?1 ?1? 解:依题意有?3,则函数定义域D??. ?2 ?x?x?6?0 y?ln; 解:依题意有?x2?3x?2?0,则函数定义域D??x|1?x?2?. 1 y?2 x?x 3 ; 解:依题意有x3?x?0,则函数定义域D??x|???x???且x?0,?1?. 1? , x?1,?sin y?? x?1 ?2, x?1;? 解:依题意有定义域D??x|???x????. y?arctan解:依题意有? 1x? ?x?0?3?x?0 ,则函数定义域D??x|x?3且x?0?. 2.已知f定义域为[0,1],求f, f, f, f?f 的定义域. 解:因为f定义域为[0,1],所以当0?x2?1时,得函数f的定义域为[?1,1]; 当0?sinx?1时,得函数f定义域为[2kπ,π]; 当0?x?a?1时,得函数f定义域为[?a,?a?1]; 当? ?0?x?a?1?0?x?a?1 12 时,得函数f?f定义域为:若a? 12 12 ,x??a,1?a?; 若a?,x?;若a? 12 ,x??. 3 .设f? 1?1?2?x?? ,其中a?0,求函数值f,f. ? ,则1?a?11??21?a?1? ??0 ,a>1, ?. ???,0 解:因为f? f? 1? 1?2?x? 1??a?1 1???2?2 4a?a?2a ,f? |x|?1,?1? 4.设f??0|x|?1, ??1|x|?1.? g?2,求f)与g),并做出函数图形. x x ?12?1x?0?1?? 解:f)??02x?1,即f)??0x?0, ??1 x?0?x ???1?1 ?21 ?0 g)??2 ??1?2 ??2? |x|?1,即g)??1 ?1 |x|?1? ?2 |x|?1 |x|?1|x|?1 |x|?1 ,函数图形略. 5.设f?? ?1?x,?1, x?0,x?0, 试证:f[f]?? ?2?x,?1, ?1, x??1,x??1. ,得证. 证明:f[f]?? ? ?1?f,f?0 1,f?0 ,即f[f]?? ?2?x,x??1,x??1 6.下列各组函数中,f与g是否是同一函数?为什么? f?ln x,g??ln ?3 ? ; 不是,因为定义域和对应法则都不相同. f?g? 是. f?2,g?sec2x?tan2x; 不是,因为对应法则不同. f?2lgx,g?lgx2; 不是,因为定义域不同. 7.确定下列函数在给定区间内的单调性: y?3x?lnx,x?; 解:当x?时,函数y1?3x单调递增,y2?lnx也是单调递增,则y?y1?y2在内也是递增的. y?解: y2? 1y1 ? ,x?. 1?x?x?11y???1? 1?x1?xx?1 1 ?x ,当x?时,函数y1?x?1单调递增,则?x1?x x?1 是单调递减的,故原函数y?是单调递减的. 8. 判定下列函数的奇偶性. y?lg?lg , 所以y?lg?0?f,所以y?0是偶函数. y?x2?2cosx?sinx?1; 解:因为f?x2?2cosx?sinx?1,f?f且f??f,所以 y?x?2cosx?sinx?1既非奇函数,又非偶函数. 2 x ?x y? a?a 2 . a ?x 解:因为f? ?f,所以函数y?22 9.设f是定义在[?l,l]上的任意函数,证明: ?a x a?a x?x 是偶函数. f?f是偶函数,f?f是奇函数; f可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明:令g?f?f,h?f?f,则 所以f?f是偶函数,g?f?f?g,h?f?f??h, f?f是奇函数. 任意函数f?数, f?f 2 f?f 2 ? f?f 2 ,由可知 f?f 2 是偶函 是奇函数,所以命题得证. 10.证明:函数在区间I上有界的充分与必要条件是:函数在I上既有上界又有下界. 证明:若函数f在区间I上有界,则存在正数M,使得x?I,都有 f?M成立,显然?M?f?M,即证得函数f在区间I上既有上界又有下界 设函数f在区间I上既有上界M2,又有下界M1,即有 f?M1且f?M2,取M?max{M1,M2},则有f?M ,即函数f在区间I上有 界. 11.下列函数是否是周期函数?对于周期函数指出其周期: y?|sinx|; 周期函数,周期为π. y?1?sinπx; 周期函数,周期为2. y?xtanx; 不是周期函数. y?cos2x. 周期函数,周期为π. 12.求下列函数的反函数: y? 3 xx 3?1 ; yy?1 解:依题意,3x? f ?1 ,则x?log3 . yy?1 ,所以反函数为 ?log3 ,x??x?1ax?by?; cx?d b?dycy?a x 解:依题意,x?y?lgx?解:依题意,x? ,则反函数f?1? b?dxcx?a . ?; ?y 12 ,所以反函数f?1? 12 ,x?R . y?3cos2x,?? ?x? π? ?. ? arccos y3 arccos x ,x?[0,3] 解:依题意,x? 2 ,所以反函数f?1? 2 . 13.在下列各题中,求由所给函数构成的复合函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: y?eu,u?x2+1,x1?0,x2?2; y?u2?1,u?ev?1,v?x?1,x1?1,x2??1. 解:y?f?ex 2 ?1 ,f?e,f?e 5 y?f?2?1,f?e4?2e2?2,f?1. 14.在一圆柱形容器内倒进某种溶液,该容器的底半径为r,高为H.当倒进溶液后液面的高度为h时,溶液的体积为V.试把h表示为V的函数,并指出其定义区间. 解:依题意有V?πr2h,则h? Vπr 2 ,V?[0,πrH]. 2 15.某城市的行政管理部门,在保证居民正常用水需要的前提下,为了节约用水,制定了如下收费方法:每户居民每月用水量不超过4.5吨时,水费按0.64元/吨计算.超过部分每吨以5倍价格收费.试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系.并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用. 解:依题意有f?? ?0.64x, ?4.5?0.64??3.2, 0?x?4.5x?4.5 ,所以 f?2.24元,f?2.88元,f?6.08元.习题1-2 1.设an? ,n?1 222 求|a1?|,|a10?|,|a100?|的值; 333 2 求N,使当n?N时,不等式|an?|?10?4 3 23|??23|?| 2n?1 成立; 求N,使当n?N时,不等式|an?解: |a1? |a100 2 34312220121?|?|?| 23|?10, ?4 成立. 2131?23|? 193, |?| 3 ? 2 |? 1 , |a10? . 要使 |an? ?9997? ?9??1110,?? 即1?4 310 23|?10 ?4 1 ,则只要n? 99979 , 取N= 故当n>1110时,不等式|an? 23|?? 成立. 2 要使|an? 成立,n? 1?3?9? , 取N??那么当n?N时, |an?|?? ?,3?9?? ?1?3?? 成立. 2.根据数列极限的定义证明: lim 1n! n?? ?0 ;lim 1n!?0|= 1n!?1n n n?? ?1. ?1? 解:???0, 要使| ?? , 只要取N???, 所以,对任意??0, ??? 存在N???,当n?N时,总有|?0|??,则lim?0. n??n!n!??? ???0,要使| N??1?11 n ?1|? ? 22n 2 ?? , 即n? n ,只要 取 ,所以,对任意的>0, 存在N??, 当n?N, 总有1|??, 则lin?? n ?.1 n?? 3.若limxn?a,证明lim|xn|?|a|.并举例说明:如果数列?|xn|?有极限,但数列?xn? n?? 未必有极限. 证明: 因为limxn?a, 所以???0, ?N1, 当n?N1时, 有|xn?a|??.不妨假设a>0, n?? 由收敛数列的保号性可知:?N2, 当n?N2时,有xn?0, 取N?max?N1,N2?, 则对 ???0 , ?N,当n?N时, 有||xn?|a|?|x|n?|a??.|故lim|xn|?|a|. 同理可证a?0 n?? 时, lim|xn|?|a|成立. n?? 反之,如果数列?|xn|?有极限, 但数列?|xn|?未必有极限.如:数列xn???1?,|xn?, |1显然lim|xn|?1, 但limxn不存在. n?? n?? n 4.设数列?xn?有界,又limyn?0.证明:limxnyn?0. n?? n?? 证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有|xn|?M, 又limyn?0, 对???0, 存在N, n?? 当n?N时, |yn?0|??, 因为对上述N, 当n?N时, |xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?,由?的任意性, 则limxnyn?0. n?? 5.设数列?x n?的一般项xn?解: 因为lim ?0 π 2 ,求limxn. n?? x?? , |cos π 2 |?1 , 所以 lim x?? π 2 ?0 . 6.对于数列?xn?,若x2k?1?A,x2k?A,证明:xn?A. 证明: 由于limx2k?1?A, 所以, ???0, ?N1?0, 当k>N1时,有|x2k?1?A|??, 同理, k?? ???0,?N2?0, 当k?N2时, 有|x2k?A|??.取N=max?N1,N2?, ???0, 当n?N时, |xn?A|?? 成立, 故xn?A. 习题1-3 1.当x?1时,y?x2?3?4.问?等于多少,使当|x?1|??时,|y?4|?0.01? 解:令|x?1|? 12 ,则32 2 ?|x?1|? 52 2 ,要使 52 |x?1|?0.01, |y?4|?|x?3?4|?|x?1|?|x?1||x?1|? 只要|x?1|?0.004,所以取??0.004,使当 |x?1|?? 时,|y?4|?0.01成立. 2.当x??时,y? 2 2x?1x?3 2 2 ?2.问X等于多少,使当|x|?X时,|y?2|?0.001? 7|x?3| 2 解:要使|y?2|?| 2x?1x?3 2 ?2|?