一、什么是曲线的凹与凸及拐点
从直观上看,图中左侧的函数曲线称为凹的,右侧的函数曲线称为凸 的.
思考:函数
,
,
有没有凹凸性?
函数
是直线,不存在凹与凸,
是凹的,
在
内是凸的,在
内是凹的.
定义:设函数
在区间I内可导,如果
是递减的,则称曲线
在区间I上是凸的(上凸的);如果
是递增的,则称曲线
在区间I上是凹的(下凸的);曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.
在下面这张图中.曲线在AB段是凸的,在BC段是凹的.凹与凸的分界点B就是拐点.
二、曲线的凹凸性与二阶导数的关系
定理一:若在
内有
,则曲线
在
上是凹的;若在
内有
,则曲线
在
上是凸的;两侧二阶导数异号的点是拐点.
可简记为:
曲线凹(
开口向上)
曲线凸(
开口向下)
定理二(拐点的必要条件):若点
是曲线
的拐点,且
处二阶导数存在,则必有
.
反之,二阶导数为零的点未必是拐点.例如函数
,在
内其二阶导数处处为零,但曲线无拐点.
此外,二阶导数不存在的点也可能是拐点.例如
的二阶导数
,在
内
,曲线
是凹的;在
内
,曲线是凸的,所以原点
是拐点,但在
处二阶导数不存在.
三、求曲线凹凸区间及拐点的步骤
拐点隐藏在那些二阶导数为0和二阶导数不存在的点中.
判定曲线凹凸性及求拐点的步骤:
(1)求定义域(如果题目指定了区间,则此步骤可省略).
(2)求二阶导数为零的点及不存在的点.
(3)列表分析.以上述点划分定义域,在各子区间确定
的符号,从而确定曲线的凹凸区间,进而确定拐点.
注意:拐点是曲线上的点,应表示为
的形式.
典型例题
例4.6.1判定曲线
的凹凸性. 提示>>
解定义域:
,
,
在
内,
,
曲线在
内是凹的.
例4.6.2讨论曲线
的凹凸性,并求出它的拐点. 提示>>
解定义域:
令
,得二阶导数为零的点为