前言
相关概念
独立重复试验
一般地,在相同条件下重复做的\(n\)次试验称为\(n\)次独立重复试验。请注意这一概念的抽象性,比如一个狙击手\(10\)次射击,就可以看成做了\(10\)次独立重复试验;再比如取了\(5\)个相同质量的灯泡,相当于做了\(5\)次独立重复试验。
介绍独立重复试验这一概念,是为二项分布做铺垫。
二项分布
一般的,在\(n\)次独立重复试验中,设事件\(A\)发生的次数为\(X\),每次试验中事件\(A\)发生的概率为\(p\),则事件\(A\)恰好发生\(k\)次的概率为\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\),(\(k=0,1,2,\cdots,n\)),此时称随机变量\(X\)服从二项分布,记为\(X\sim B(n,p)\),并称\(p\)为成功概率。
解释:二项展开式\([p+(1-p)]^n=1\)中,事件\(A\)发生\(k\)次,即对应展开式中的含\(p^k\)的项,其为\(C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\),即\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\),
若随机变量\(X\)服从二项分布,记为\(X\sim B(n,p)\),则\(E(X)=np\),\(D(X)=np(1-p)\);
简单应用
某吊灯上并联着\(3\)个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常工作的概率都是\(0.7\),则在这段时间内吊灯能正常照明的概率是________.