摘要:本文将介绍几种推导点到直线的距离公式的方法。
本文默认情况下,直线的方程为
,A,B均不为0,斜率为
,点的坐标为P(x0,y0),点
到
的距离为
。
推导一(面积法):
如上图所示,设
,
,由R,S在直线
上,得到:
,
,
所以:
,
,
所以:
,
,
于是:
,
所以从三角形面积公式知:
,
从而有:
。
推导二(三角函数斜率法):
如上图所示,直线的倾角为α,同推导一,
,
,
又有
及三角函数公式
,
代入消去α,便有:
。
推导三(求点法):
如上图所示:因为
,所以
,
所以直线PQ方程为:
,
联立
,
求出Q点的坐标为
,
所以:
。
推导四(造圆切线法):
如上图所示,以点P为圆心,作圆与直线
相切,则此圆的方程为:
,
联立直线方程
消去y得:
,
由相切的条件知:
,
即:
,
解得:
。
推导五(函数极值法):
如上图所示,该问题可以转化为求直线
上一动点Q,使得PQ的距离最短,当然我们已经知道d是最短的,这样,问题就变为了一个二元函数的条件极值问题,函数为:
,d就是函数,条件就是
,求最小值,由于距离始终大于0,我们考虑根号里面的二元二次函数极值问题,我们采用拉格朗日乘数法。
令
,
所以
,
解得:
,
。
代入函数中,即得:
。
推导六(对称求点法):
如上图所示,设
是
关于直线
的对称点,于是有:
,
解得:
,
,
所以:
。
推导七(求高法):
如上图所示,由直线方程可求得R、S的坐标,即
,
,于是三角形ROS的面积为:
,
所以:
,
所以:
。
推导八(相似三角形法):
如图所示,
,
,于是
,于是
,
而
,