题主能在预习高一内容能够提出这个问题,首先应该给予一个肯定。这涉及到数学研究,说明题主对数学的结构是有所思考的,下面我来说一下我的理解,就是为什么要引入空集?
第一个,从类比与具体化的角度,空集之于集合论就像0之于自然数集。空集不含任何元素,是集合中的一个特殊的存在。就好像以前人们很难接受0的概念一样,空集不含任何元素,它是任何集合的子集,为什么要引入呢?我们看看0在自然数中的地位,0可以表示没有东西,那么相应的来说,空集就是不含任何元素。在进行数学研究,或者说进行中学阶段的题目解决的时候,无解要怎么表示?答案就是用空集。空集可以用来表示无解,就像0可以表示没有东西。(为了数学的严谨性,这里注释一下,集合与自然数集是有联系的,上述解释是为了好理解)
第二个可以从运算的角度(在此我尽量不使用术语)。我们知道集合中有并
与交
的运算,任何集合并上空集是它本身,任何集合交空集是空集。在并
的运算中,空集相当于一个“零元”的角色,就像任何实数加0都等于那个实数。在交
的运算中,空集也相当于一个“零元”的角色,就像任何实数乘以0都等于0。至于为什么说“零元”的概念很重要,题主可以参考代数学方面的书,这对数学结构会有更深入的理解,当然这对高考用处不大,但可以当作扩展知识。
第三个,是从数学公理的角度。如果题主听过公理系统,那么就知道数学可以从几条基本公理延伸出现在的数学体系。在公理化集合论中,有一条无穷公理,描述了归纳集的存在。其中就用到了空集,将其作为最基础的定义。
可见,空集是非常重要的概念,没有了空集,集合论中会少了很多的色彩。这里只列举了三条,空集的作用还有很多,就不再阐述了。
注释一下,空集是任何集合的子集是一条推论,并不作为公理使用,要注意区分公理与推论。
至于几何化的想法,很显然最直观的想法就是“什么都没有”,就是空集,也就是上面所说的无解。
如果题主学有余力,对数学结构感兴趣,可以参考数学分析与代数学的书。当然,因为这对高考帮助不大,我并不推荐在中学阶段就进行深入系统的学习(大神除外)。
可供学习的书:菲赫金哥尔茨《微积分学教程》,柯斯特利金《代数学引论》,卓里奇《数学分析》(再次说明不推荐中学阶段研读,仅作了解)
如有错误,欢迎指正!