设.是一个连续函数,故在上有最小值和最大值由单调性知道,..因为在上是单调的,故可积,所以对任意,存在分割,其中为在上的振幅.因在上黎曼可积,故有界,记为则这里用到阿贝尔变换,同理有原式由上述证明知道得,从而所以从而.这个定理的几何意义为:若,,则由轴、、及曲线围成的曲边梯形的面积等于一个长为,宽为的矩形的面积。如果函数、在闭区间上连续,且在上不变号, 则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立:一、如果函数,在闭区间上可积,且为单调函数,则在积分区间上至少存在一个点,,使下式成立:二、如果函数、在闭区间[a,b]上可积,并且是单调递减函数,则在积分区间上至少存在一个点, 使下式成立:三、如果函数、在闭区间上可积,且并是单调递增函数,则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立: