根据Zeta函数的平凡零点的一阶性 ,Xi函数的所有零点就是Zeta函数的非平凡零点(non-trivial zeros)。根据(5)式Xi函数满足性质
,说明Xi函数是于直线
对称的,意味着Zeta函数的非平凡零点也关于
对称。现在我们再研究一下
是否意味着
。在
时我们采用定义
,则可以通过
的性质来说明
。再结合Gamma函数和三角函数的无穷乘积公式[2][4],有
。又因为
,Xi函数的零点也关于
对称。这几个结论意味着当s为Zeta函数的非平凡零点时,有:
。这也让黎曼忍不住猜测Xi函数的所有零点都在
上,形成了著名的黎曼猜想,即
。