希尔伯特变换在数字信号处理理论和应用中有着十分重要的作 用, 它维系着对离散序列进行傅里叶变换后的实部和虚部之间或者幅 度和相位之间的关系。 1 希尔伯特变换的基本原理 Hilbert 变换测量法对各次谐波都能有精确的 90°移相,给定一连 续周期信号 x(t), 连续时间信号 x(t)的希尔伯特变换 定义为: ?? x (? ) 1 ? ?? t ?? ? 1 d? ? ? ? ?? x ( t ?? ) ?? ? 1 d? ? x(t ) ? ? t (1) 由式 (1) 可得单位冲击响应 h(t)= 1 x(t ) ,由于 jh(t)= j (t ) 的傅里叶变换 是符号 sgn(w),所以希尔伯特变换器频率特性为: H( e )=—jsgn(w)= ? 记 H(j ? ) = H ( j? ) ? (? ) ? ? jw ?? j ? j x?0 x?0 e j? ( ? ) ,当 H ( j? ) =1 时: ?? ? 2 , ? ? 0 ?? 2 , ??0 信号 x(t)的希尔伯特变换可以看成信号 x(t)通过一个幅度为 1 的全通 滤波器输出, 信号通过希尔伯特变换后, 其负频率成分作+90 的相移, 而正频率成分作—90 的相移。 这类滤波器要求滤波器的零频率响应为 0, 若滤波器的阶数为偶, 则要求归一化频率为零。即如果滤波器的阶数为偶数,那么增益在频 率为 0Hz 和 fs 2 处必须降为零,希尔伯特必须是一个带通滤波器。如 果滤波器的阶数为奇数,那么增益在频率为 0Hz 处必须降为零,希 尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。 随着信息时代的到来和高速发展,数字信号处理已经成为一门极 其重要的学科和技术,并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领 域得到了广泛应用。