《线性代数》里规定了线性方程组唯一解、无穷多解、无解的条件。如下:
假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言,若n<=m, 则有
1)当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候,方程组有唯一解;
2)当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候,方程组有无穷多解;
3)当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候,方程组无解。
以上文字或许不太好理解,我们试着从最简单的二元一次方程组开始,去探究为什么会有以上三种情况。
首先列出一个方程:
x+y=2 (1)
满足条件的x、y有无穷多个,
如:(1,1);(2,0);(0,2)等。
我们给(1)式加一个方程:
x—y=0 (2)
(1)(2)联立,便可得出唯一解(1,1)
根据以上讨论,我们可以初步判断,要确定含有n个未知数方程组的唯一解,至少得存在n个方程,这也是我们在初一时便学习到的内容。
但在n个未知数、n个方程组的情况下,一定能有唯一解吗?
如果给(1)式联立一个由他本身推导而来的式子,例如:
2x+2y=4 (3)
(1)(3)联立,(1)式乘以2就把(3)式给消了,相当于仍然只有一个式子去求解两个未知数,结果自然就是无穷多个了。
于是,我们发现,若想让n元方程组有唯一解,仅仅有n个方程是不够的,这n个方程还必须得毫不关联。
可这样便够了吗?
我们再列出一个方程:
x+y=3 (4)
(1)(4)联立,两式相减,我们会得出0=2的错误等式,这个时候,方程组便无解了。
看到这里,再尝试着理解书中的文字,或许就容易多了。
1、唯一解。
所谓的“方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等”即是说:
方程组里的所有方程都是不冲突的,不会出现等式左边都是“x+y”,右边却一个是“1”,一个是“3”的情况,因为这样会得出1=3的错误等式,令方程组无解。
所谓的“方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数”即是说:
方程组里的方程,必须有n个是不能相互推出,这个n,便是未知数的个数。像前文举例的“x+y=2”和“2x+2y=4”,便只能属于是一个方程,因为后者