空间曲面及其方程
(1).曲面的方程:
.
如果一个曲面上任意一点都满足方程
,曲面外任意一点都不满足方程
,那么方程
就叫做曲面的方程,曲面叫做方程的图形.
(2).曲面的参数方程:
由曲面参数方程可见,曲面上任意一点可以由数对
表示,同时任意一个数对
得到的点在曲面上.
空间曲线及其方程
(1).空间曲线可以视为两曲面的交线.一般方程:
(2).空间曲线的参数方程:
(3).空间曲面在坐标面上的投影:以曲线
在
平面的投影为例,将
中的
消去,得到
,那么曲线
在
平面的投影即为曲线
公式证明
(1).球面
设动点
为球面上任意一点,则以
为圆心
为半径的球面满足:
1).一般方程:两边同时平方,得:
2).参数方程:Image
更一般地:
3).球坐标系:
将半径视为一个变量
,那么原空间直角坐标系中的任意一点都可视为某个球面上的一点,所以有:
由
.后者常被称为前者的球面坐标,或空间中的极坐标.
一般曲面的参数方程,由球面方程得到启发,一般是由两个参数表示的.
(2).旋转面
Image
设旋转轴
上一点
,方向向量
.旋转面母线
的方程为
那么旋转轴
设
是母线
上任意一点,
是
绕直线旋转一周路径上的任意一点.根据
1.
在母线上,有:
2.
,有:
联立消去
后得到旋转曲面方程.
(3).柱面
1).柱面方程Image
假设母线
的方向向量
,准线
设
为柱面上任意一点,那么有准线上一点
,使得
.
又
满足准线方程,所以有:
消去
就是柱面的方程.
2).圆柱面方程
假设轴
的方向向量为
,
为圆柱面上任意一点
为圆柱面半径,
是轴上任意一点.那么有:
特殊的,以
轴为轴半径为
的圆柱面方程为:
其参数方程为:
3).柱面坐标
将
视为变量,那么就可以用参数方程表示空