阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】 苏教版《数学必修2》P.112 第12 ,那么点M的坐标应满足 什么关系?画出满足条件的点M 所构成的曲线. 二、【阿波罗尼斯圆】 公元前 世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果: 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图,点 满足PB PA 的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆. PBPA .以AB中点为原点,直线AB 轴建立平面直角坐标系,则 ,则由PB PA ,轨迹为线段AB的垂直平分线; 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、【范例】 满足条件BC AC AB 的三角形ABC的面积的最大值是 解:以AB中点为原点,直线AB BCAC 中,边BC的中点为D ADBC AB 的面积的最大值是 解:以AB中点为原点,直线AB ADBC CD BD BDAD ,BC的中点为D ,所以点C的轨迹方程为 在平面直角坐标系xOy中,设点 PAPB PC PD ,则实数a的取值范围是 为半径的圆上运动.另一方面,由PC PD 上运动,因而问题就转化为直线 有交点,所以 MAMO ,求圆心C的横坐标a的取值范围. MAMO 的取值范围是12 引切线l,求直线l 的方程; 引切线,切点为Q.试探究:平面内是 否存在一定点R ,使得 PQ PR 为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在, 请说明理由. 解:(1)设切线l 方程为 1915 切线l方程为 可以找到这样的定点R,使得 PR PQ 四、【练习】1.如图,在等腰 ABC 中,已知AC AB AC边的中点为 ADAB ,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其 方程为 ,由AC边的中点为 2.如图,已知平面平面 平面的交线上的两个定点, DACB ,在平面上有一个动 ,使得APD BPC 的面积的最大值.解:将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P 所满足的几何条件. DA DAPA PADRt APAP AD APD tanBC BPC BP BP APDBPC APBP ,这样就转化为题3的题型. 在平面 以线段AB的中点为原点, AB 所在的直线为x 化简得:16 等号取得,则PAB 的切线PN PM, 分别为切点),使得PN PM 的中点O为原点, 所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐 ,由已知PN PM 2PNPM POPO ,此即P的轨迹方程. 4.已知定点 使都为MA MO 常数?若存在,试求出所有满足条件的点 的坐标,若不存在,请说明理由. 解:假设存在满足条件的点 MAMO O1O2