06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.1 引言(1)复合材料单向板是宏观均质、 线弹性、 正交各向异性, 无初应 力的。(2)各组分材料是均质、 线弹性、 各向同性的。 (3)增强材料的形状和在基体中的分布是规则的。 (4)增强材料与基体材料在界面处应变连续, 不发生相对滑移。 (5)复合材料与组分材料均处于小变形状态。06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 图4-1 单向板代表性体积单元06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 图4-2 编织单向板代表性体积单元06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 mmff1mmffmmff1111mmff11mm1ffL1VEVEEAAVAAVAAEAAEEEAAAPEEL纤维基体1121LL基体E1 的确定:混合率表达式与试验的吻合程度80~90%并联模型4.2 用材料力学方法分析刚度4.2.1 表观弹性模量E1的确定06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 0Vf X100100EfEmE1纤维基体1121LL基体06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 ffmm121fffW1mmmWfWmWW1122W1212VVWVWVWW12 的确定:纤维基体1W21LL基体W/2混合率表达式4.2.2 表观泊松比ν1 2 的确定06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 fmfmm12mffmfm12ffmm1212ffmmfffmmmffmmGGVV1GGGVGVGGGGVGVGGVVWVWVWGG纤维基体21基体Wfm /206/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 )E/E(VV1EEEVEVEEEEVEVEEEVEVWVWVWEEfmfmm2mffmmf2m2mf2f2222m2mf2f2mmff2m2mf2f纤维基体221基体2WE2 的确定:串联模型与试验值相比, 较小, 由于纤维随机排列, 兼有串联和并联的成分 基体模量正化4.2.3 表观弹性模量E2的确定06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.2.4 表观切变换量G1 2 的确定图4-6 随纤维体积比的变化情况06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 图4-7 代表性体积单元承受剪切06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 夏米斯和森德克把求刚度的微观力学方法分成许多 类:– 网络分析法, 材料力学法• 纤维提供所有纵向刚度, 基体提供横向剪切刚度及泊松比• 比较保守, 但仍有人用 , 缠绕复合材料– 独立模型法, 用 能量极值原理的变分法– 精确解, 统计法, 离散单元法– 半经验法和微观结构理论 4.3.1 能量原理4.3 用弹性力学能量原理分析刚度的上下限06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 弹性力学的极值法– Paul首次提出用 弹性力学的极值法来讨论度多 相材料弹性模量的上、 下限– 分析合金( 均匀 分布和没有优先方向)– 复合材料是各向同性的– 基体的性能用 m表示, 弥散相的性能用 d表示1VVdm mmddVEVEEddmmEE:1VEE:1V满足上述条件最简单的关系是:dm时, 混合率得出复合材料模量的上限假设复合材料组分对复合材料刚度起的作用 正比于它们的刚度和体积含量 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 ddmmEVEVE1从复合材料的柔度1/E必须附和Vm和Vd=1时为弥散材料的柔度得到柔度的混合率 =1时为基体的柔度 1/Em 由此得到的复合材料的弹性模量为下限EVE21UVE21U22对于单向拉伸试验:应变能可以写成以下两种形式06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 最小余能原理:物体表面作用 着力( 力矩) , 令足应力平衡方程和指定的边界条件的应力场, 即容许应力场, 令Uo是由应力应变关系式: ( 应力) 满 xyxyxyxzyxx)1 ( 2EG)1 (E)()21)(1 (EdV2ozx1UVyzyzxzxzxyxyzzyyxxoUU ozxoyzoxyozoyox,,,,,和应变能表达关系式得出的在引 起的物体的实际应变能U不超过Uo 下的应变能, 而且由规定载荷 oyzoxyozoyox,,,,,不一定满足位移连续条件和位移边界条件 4.3.2 E1 下限的确定06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 0ozxoyzoxyozoyox EV2V20xoEdV2dV21UVEVEV2UEVVEVVEdVEdVEdVEdVddmm2oddVmmVdVVmdm对于单向载荷试件, 满足该载荷和应力平衡方程的内 应力场为: 应变能可写为:mddmdmddmmddmm22EVEVEEEEVEVE1VEVEV2VE21oUU 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 最小势能原理物体表面作用 力为零外的表面有给定的位移, 令是任一满足指定位移边界条件的相容应变场, 即容许应变场, U*是由应力应变关系式:E ( 应变) xyxyxyxzyxx)1 ( 2EG)1 (E)()21)(1 (oUU 和应变能表达关系式得出的在位移得到的物体中的实际应变能U不超过U* 下的应变能, 因此, 由规定的 应力平衡方程和指定的边界条件的应力场 *zx*yz*xy*z*y*x,,,,,dV2*zx1UVyzyzxzxzxyxyzzyyxx*yz*xy*z*y*x,,,,,4.3.3 E1 上限的确定06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 0*zx*yz*xy*z*y*x使单轴向试件承受一个伸长L,长度, 相应于试件边界上的平均应变的内 应力场为: 是平均应变, L是试件 给定应变场下, 基体的应力为:0E21E2121*zxm*yzm*xymm2mmm*zm*ymm2mmmm*xm弥散材料的应力为:0E21E2121*zxd*yzd*xydd2ddd*zd*ydd2dddd*xd06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 *UU 代入应变能方程得到应变能表达式:2*VVE21241VE212412UdVE212412dVE212412Umm2mm2mmdd2dd2dd2*mV2mm2mm2dV2dd2ddmd由于mm2mm2mmdd2dd2ddmm2mm2mmdd2dd2dd22VE21241VE21241EVVE21241VE212412VE2106/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 mm2mm2mmdd2dd2ddVE21241VE21241E泊松比是未知的, 因此E的上限也是未知的, 按最小势能原理, 应变能表达式U*必须对不确定的常数求极小值, 以确定E的界限, 即:U02dd212 0U*2*2m12mmmmddd2*VE244VE44Umm2dddd2mmmmm2ddddd2mmVE21VE21VE21VE21时0U*06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 2mmmm2dddd22*221VE421VE42VU2/12/1dm由于基体和弥散相是各向同性的2mmmm2dddd22*221VE421VE42VU总是正值mm2dddd2mmmmm2ddddd2mmVE21VE21VE21VE21时, U*相应于以泊松比为函数的最大、 最小或拐点 0U2*2U*为绝对极小值06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 mm2dddd2mmmmm2ddddd2mmVE21VE21VE21VE21mmddVEVEEdm如果2dmmm2mm2mmdd2ddddVE21241VE21241EPaul的方法主要用 来解决各向同性复合材料, 也可以用 来解释纤维增强复合材料, 与材料力学方法得到的结果相一致 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.3.4 E2 、 G1 2 的上下限若对于代表性的体积单元承受的宏观应力为σ2 =σ , 其余的均为零, 可用同样的方法讨论表 观弹性模量E2 的上、 下限。06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 01234567891000. 20. 4Vf0. 60. 81玻璃/环氧复合材料上限下限EEmEf4.4 用弹性力学精确解法分析刚度06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 空隙纤维基体哈欣和罗森的纤维增强材料的几何形状和复合材料圆柱体模型 规则的空心纤维六角 形阵列 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 哈欣和罗森的纤维增强材料的几何形状和复合材料圆柱体模型 不规则的空心纤维随机阵列 纤维方向模量可用 混合率横向模量的表达式十分复杂06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 精确解– 利用 弹性力学知识, 求出精确解是十分复杂而困难的, 但可以用 其结果来比较材料力学方法的正确性– 多 用 圣维南半逆解法来解决– 很大程度上取决于复合材料的几何形状和纤维、 基体的特性 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 30006/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 独立模型仅研究一个插入物复合材料圆柱体的插入物的体积含量和复合材料中全部纤维的体积含量是相同的, 与纤维的具体阵列无关 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 实际纤维阵列示意图相互接触和不接触C=0 孤立的纤维和树脂接触C=1 孤立的基体纤维接触06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 Kmfmmmmfmffmfmmfmmmmfmmmfmmff2V)K( 2)GK2 (V)KK(G)GK2 (KCV)KK( 2)GK2 (V)KK(G)GK2 (KC1V12E)1 ( 2EG)1 ( 2EG)1 ( 2EK)1 ( 2EKmmmfffmmmfff对于考虑纤维接触的弹性力学方法, 蔡得到了 垂直于纤维的模量 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 mmfmmmfffmffmffmmmmfmmmfmmfmmfmmff12V)KK(G)GK2 (KV)GK2 (KV)GK2 (KCV)KK(G)GK2 (KV)GK2 (KV)GK2 (KC1mmfmfmmfmffmmfmmmffm12V)GG()GG(V)GG()GG(CGV)GG(G2V)GG(G2GC1Gmmff1VEVEKE修正的混合律K:纤维不同线系数0.9~ 106/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 哈尔平-蔡方程( Halpin-Tsai)– 近似表达比较复杂的微观力学结果的内 插法– 很简单容易设计– 能概括虽说是有限的但是比较精确的微观力学结果– 有可能将各种学派统一起来– 确定比较困难mmff1VV: 与纤维几何形状、 填实几何形状和载荷形状有关的的复合材料中纤维增强作用 的量度 /Vmfmfffmmmff12M/M1MMV11MMVEVEEM: 模量E2 、 G12 、 23 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 表4-1 硼/环氧树脂复合材料弹性常数实验值与计算值比较06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.5 用接触时的弹性力学解法分析刚度06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.6 用半经验法预测刚度用材料力学方法分析刚度, 其代表性体积单元与实际情况相差较大, 致使计算值与实验值差别较大。 用弹性力学精确解法给出的计算值接近实际, 但公式太复杂, 不便于工程应用。 为此, 可在理论分析公式的基础上, 引入一些由实验确定的经验系数, 修正理论公式使其尽可能的简化并与实验值相吻合, 这就是半经验法。 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 对纤维增强复合材料强度的预报, 还没有达到研究刚度预报那样的接近问题实质的水平• 强度准则: 宏观的强度预报, 不是破坏模型,• 微观强度分析: 材料微观破坏的机理描述• 材料的强度, 与材料的局部性能和应力状态有关, 与材料的整体性能和整体应力状态关系相对较小, 材料的不均匀 性影响较大• 而刚度的情况相反• 材料发生破坏, 总是从最薄弱的环节开始, 而后引 起整个材料的破坏 4.7 单向板沿纤维方向的抗拉强度4.7.1 均匀强度纤维06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 考虑因素– 组份材料在物理、 化学、 力学性能上的差别– 界面的粘结情况– 材料的本构关系不同, 破坏规律也不同• 纤维和基体的弹性、 塑性、 弹塑性、 粘弹性等– 体积分数– 残余应力的大小, 空隙和裂纹的大小和分布– 纤维在基体中的分布合排列– 载荷的历史和现状• 很多 描述纤维增强基体材料的强度特征的有益的模型– 表示了 对现象的实际观察和力学描述的高度结合 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 微观力学研究, 是用 纤维、 基体和界面性能特点和有关几何描述来进行复合材料强度预报• 纤维增强复合材料的强度, 包括各根纤维或纤维束的强度合同一根纤维在沿长度方向的强度分布, 基体和界面因裂纹和缺陷带来的影响等, 都是具有随机的性质, 因此采用 统计力学的方法可能会得到更好的结果• 纤维大多 相对为脆性( 承力) , 基体相对为韧性( 保护、 传递)• 相反的情况: 陶瓷增韧 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 纤维基体fmaxmmax(m )fmaxfmaxmmax等强度纤维模型凯利(Kelly) 和戴维斯(Davies) : 纤维有相同的强度并比基体脆 maxfmaxC若复合材料有多 于某一最小纤维体积含量V, 则纤维变形达到其相应最大应力时, 复合材料达到极限强度 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.7.2 变强度纤维•上述处理忽略了纤维力学性能的分散性。 实际上, 纤维与纤维之间的强度是变化的, 每根纤维的强度也有所变化, 这依赖于对它进行测量时所取的长度。 对于纤维强度的分散性, 应采用统计的方法, 可用韦伯分布函数来描述纤维的强度分布 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 )V1 ()(VfmfmaxfmaxCmaxf纤维的最大拉伸应力 基体应变等于纤维最大拉伸应变时的基体应力 纤维基体fmaxmmax(m )fmaxfmaxmmax如果假定在纤维方向的纤维应变等于基体应变, 则复合材料的极限强度为 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 如果纤维增强材料得到的强度大于单一基体得到的强度则maxmmaxC纤维起增强作用 而必须超过的临界Vf 值为maxfmaxf)()(VmmaxfmmaxmCr对于较小的纤维体积份数复合材料不可能按式子, 因为可能没有足够的纤维来控制基体的伸长, 这样纤维受到较小载荷时将有高应变并将断裂 )V1 ()(VfmfmaxfmaxCmaxf06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 )V1 ()V1 ()(VfmaxmfmfmaxfmaxCmaxfmaxfmaxf)()(Vmmaxmmaxfmmaxmmin否则, 复合材料全部破坏, 如果整个复合材料将在纤维断裂以后破坏, 实用 的Vf 的最小值为mmaxmfmfmaxfV)V1 ()(Vmaxf如果纤维在同一应变时断裂, 基体尚能承受复合材料的全部载荷, 即: 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 基体控制纤维控制)V1 ()(VfmfmaxfmaxCmaxfmaxf)(mmaxmmaxC)V1 (fmaxmmaxCminVCrVfVmaxf)(mmaxmminfVV CrfminVVVCrfVV 假设的前提缺陷的存在需用 统计理论复合材料的强度( 最大复合材料应力) 作为纤维体积含量的函数给出 基体控制纤维控制纤维控制06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 一般来讲纤维体积份数在0. 4~0. 7– Vf太小, 达不到增强基体的效果, 反而因纤维的存在和断裂消弱了 基体的强度– Vf太大, 超过0. 785后, 对正方点阵排列纤维来说, 彼此接触, 对随机排列来说纤维密集, 基体的粘结作用 变得很差, 材料脆性增大, 断裂韧性明显下降 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 统计强度分布纤维• 罗森模型– 代表性体积单元由若干根纤维和一根断裂纤维构成– 在加载和随之发生的纤维断裂时, 代表性体积单元或者改变尺寸或者在一个固定体积单元尺寸内 增加纤维断裂的根数 f0xx纤维基体06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 • 可以推断断裂纤维承受着足够高的应力, 以使其在表面缺陷处开裂, 断裂纤维引 起断裂部分周围的应力重新分布 • 应力必须从断裂纤维的一端通过断裂部分传递到另 一端 • 完成这一传递机理的是在断裂纤维一个很小范围的基体内 产生高的剪应力 • 由于基体传递剪应力的作用 ,纵向纤维应力从断裂处的零增加到与复合材料中其它任意一根纤维一样的应力, 断裂纤维周围纤维的应力增加20%左右 f0xx纤维基体06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 PL2ChxyL2Ch拉伸型剪切型沿纤维方向的压缩强度通过光弹试验验证, 破坏形式主要是纤维屈曲, 屈曲波长正比与纤维直径 基体产生横向拉压变形, Vf较小基体产生剪切变形, Vf较大两者之间4.8 单向板沿纤维方向的抗压强度06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 mfGG WUUmfLxnsinaV1nn纤维的刚度远比基体的刚度高忽略纤维的剪切变形根据铁摩辛柯( Timoshenko) 和盖尔( Gere) 研究的能量方法 能量法的一个重要原理: 计算的屈曲载荷是真实屈曲载荷的上限。 我们需要求出两种情况屈曲载荷中最低的一个控制量。 单根纤维在垂直于纤维方向屈曲时的位移用 级数形式表示为: 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 L2Chxy拉伸型CVEC2V2myydV21UyVymn2nmmaC2LEUn2n433f4fanL48hEU根据铁摩辛柯和盖尔研究 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 hPfhnnn2n22nf34m42n423f2anaEChEL24anL12hEP2f06/15/201334m4222f2fm1EChEL24mL12EcrnLh2n22an4PWn2nmmaC2LEUn2n433f4fanL48EUWUUmf假设对特定的正弦波, 第m个波时, P达到极小值 原 版 教 学 配 套 课 件 0m0m2crcf2f纤维屈曲波数2337 3839)V1 ( 3EEV2ffmffcrC2hhVf)V1 ( 3EEVV2VffmffffmaxCcr可推导试验观测: m比较大假设和纤维相比, 基体基本不受力06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 2/ 1fmfffEE)V1 ( 3V2crcrfmmE crcrffmffmaxCmmffmaxCEE)V1 (VVV)V1 ( 3EEVEE)V1 (V2ffmffmffmaxC假定基体在纤维方向上承受和纤维相同的应变06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 剪切模型yuxvxyfibermatrixdxdvdxdv)]C( u)C( u [C21yufiberdxdv假设剪应变仅是纤维方向坐标函数横向位移与横向坐标无关剪应变与y无关2Ch/2u(-c)u(c)yu06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 xyxyxyG VxyxymdV21Un212n222mmanLC2hCGUfiberdxdv2h)C( ufiberdxdvC2hyufiberxydxdvC2h1纤维剪应变可以忽略已知基体应变能仅由于剪切LxnsinaV1nn06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 2f2ffmfLmh12E)V1 (VGCr)V1 (fVGfmfCr)V1 (GfmmaxCfmffCrE06/15/2013G)V1 (V1n2U12n222mmanLC23hCGUWUmf4n2n43ffanL48hEUnL2n22an4PW屈曲波长是L/m, 波长相对于纤维直径h大时 相对较小原 版 教 学 配 套 课 件 )V1 (GfmmaxC)V1 ( 3EEVV2VffmffffmaxCcr拉伸型剪切型弹性非弹性纤维体积含量压缩强度玻璃/环氧复合材料在较宽的纤维体积含量范围内 :剪切模型有最低的复合材料强度纤维强度较低时:拉伸模型控制复合材料强度06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 图4-15 单向板沿纤维方向压缩破坏模式a)异相型屈曲模式 b)同相型屈曲模式06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 图4-16 弯折区06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 图4-19 压缩引起的剪切破坏06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.9.1 沿垂直纤维方向的抗拉强度在沿着垂直纤维方向承受拉伸载荷时, 单向板的破坏可能由基体或界面的拉伸破坏所致, 只有在极个别情况下, 即如果纤维高度取向且在横向很弱, 复合材料才能因纤维横向撕裂而破坏。 这样, 单向板在沿垂直纤维方向拉伸的破坏模式可以描述为: ①基体拉伸破坏;②界面脱粘和(或)纤维撕裂。 一般说来, 这两种破坏模式同时发生, 即单向板某些部分发生基体破坏, 而另外部分发生界面脱粘和(或)纤维撕裂破坏。 4.9 单向板沿垂直纤维方向的抗拉强度、 抗压强度与面内抗剪强度06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.9.2 沿垂直纤维方向的抗压强度•沿垂直纤维方向压缩破坏, 一般是基体剪切破坏, 有时伴随界面破坏与纤维压裂。 实验表明, 沿垂直纤维方向的抗压强度大约是抗拉强度的4~7倍 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 沿纤维方向的拉伸强度• 单向纤维增强复合材料随载荷增加的变形情况– 纤维和基体都是弹性变形– 纤维继续弹性变形弹基体塑性变形– 纤维和基体都是塑性变形– 纤维断裂继而复合材料断裂 纤维和基体的相对脆性或韧性 06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 纤维基体弹性弹性塑性塑性06/15/2013原 版 教 学 配 套 课 件 4.9.3 面内抗剪强度•在面内剪切载荷下, 单向板的破坏模式是:•①基体剪切破坏;•②伴随界面脱粘的基体剪切破坏;•③界面脱粘。