(12)年龄问题:将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为“年龄问题”。解题关键:年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似,主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。
例父亲48岁,儿子21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的4倍?
分析:父子的年龄差为48-21=27(岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的4倍,可知父子年龄的倍数差
是(4-1)倍。这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。列
式为:21(48-21)÷(4-1)=12(年)
(13)鸡兔问题:已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题解题关键:解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数。
解题规律:(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2如果假设全是兔子,可以有下面的式子:
鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例鸡兔同笼共50个头,170条腿。问鸡兔各有多少只?
兔子只数(170-2×50)÷2=35(只)
鸡的只数50-35=15(只)
(二)分数和百分数的应用
1、分数加减法应用题:分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。
2、分数乘法应用题:
是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。特征:已知单位“1”的量和分率,求与分率所对应的实际数量。
解题关键:准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确
列式。
3、分数除法应用题:求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。
特征:已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量,“另一个数”是标准量。求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系。解题关键:从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数。
甲是乙的几分之几(百分之几):甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙。甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数。
已知一个数的几分之几(或百分之几),求这个数。特征:已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“1”的量。
解题关键:准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际
数量。
4、出勤率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100%产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
5、工程问题:
是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键:把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活
运用公式。数量关系式:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率工作总量÷工作效率和=合作时间
6、纳税
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额)的比率叫做税率。
7、利息存入银行的钱叫做要本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利率。利息=本金×利率×时间
常用的数量关系式
1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
3、速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率
6、加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数
8、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
0、总数÷总份数=平均数
11、和差问题的公式
(和+差)÷2=大数(和-差)÷2=小数1
12、和倍问题
和÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数(或者和-小数=大数)1
13、差倍问题
差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数(或小数+差=大数)
14、相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间相遇时间=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇时间
15、浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度溶液的重量×浓度=溶质的重量溶质的重量÷浓度=溶液的重量
16、利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比利息=本金×利率×时间税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)

第二章 度量衡

一、概述

1、事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等,这些可以测定的客观事物的特征叫做量。把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。用来作为计量标准的量叫做计量单位。
2、数+单位名称=名数只带有一个单位名称的叫做单名数,如:5小时,3千克。
带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数,如:5小时6分,3千克500克。56平方分米=(0.56)平方米就是单名数转化成单名数。
560平方分米=(5)平方米(60平方分米)就是单名数转化成复名数的例子。
3、高级单位与低级单位是相对的.比如,"米"相对于分米,就是高级单位,相对于千米就是低级单位.

二、长度

1、什么是长度长度是一维空间的度量。
2、长度常用单位
*公里(km)*米(m)*分米(dm)*厘米(cm)*毫米(mm)*微米(um)
3、单位之间的换算
*1毫米=1000微米*1厘米=10毫米*1分米=10厘米*1米=1000毫米*1千米=
1000米

三、面积

1、什么是面积面积,就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
2、常用的面积单位
*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米
3、面积单位的换算
*1平方厘米=100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1平方米=100平方分米*1公倾=
10000平方米*1平方公里=100公顷

四、体积和容积

1、什么是体积、容积
①体积,就是物体所占空间的大小。
②容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
2、常用单位
①体积单位:*立方米*立方分米*立方厘米
②容积单位:*升*毫升
3、单位换算
①体积单位
*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米
①容积单位
*1升=1000毫升*1升=1立方米*1毫升=1立方厘米

五、质量

1、什么是质量质量,就是表示表示物体有多重。
2、常用单位*吨t*千克kg*克g
3、常用换算*一吨=1000千克*1千克=1000克

六、时间

1、什么是时间是指有起点和终点的一段时间
2、常用单位世纪、年、月、日、时、分、秒
3、单位换算
*1世纪=100年(公元1年—100年是第一世纪,公元1901—2000是第二十世纪)
*平年一年365天,闰年一年366天。
*1年12个月(一、三、五、七、八、十、十二是大月,大月有31天;四、六、九、十一是小月小月,小月有30天;平年2月有28天闰年2月有29天)
*闰年年份是4的倍数,整百年份须是400的倍数。
*1天=24小时1小时=60分一分=60秒

七、货币

1、什么是货币货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表,可以购买任何别的商品。
2、常用单位*元*角*分
3、单位换算*1元=10角*1角=10分
常用单位换算
1、长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米
2、面积单位换算
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
3、体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米
1立方厘米=1毫升11立方分米=1000立方厘米
立方米=1000升1立方分米=1升
4、重量单位换算
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤
5、人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
6、时间单位换算
1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时
1时=60分1分=60秒1时=3600秒

第三章 代数初步知识

一、用字母表示数

1、用字母表示数的意义和作用用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了,又能表达数量关系的一般规律。
2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
⑴常见的数量关系
①路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:
s=vtv=s/tt=s/v
②总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:a=bcb=a/cc=a/b
⑵运算定律和性质
加法交换律:a+b=b+a
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律:ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:(a+b)c=ac+bc减法的性质:a-(b+c)=a-b-c
⑶用字母表示几何形体的公式
①长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=2(a+b)s=ab
②正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=4as=a2
③平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用s表示。
s=ah
④三角形的底用a表示,高用h表示,面积用s表示。
⑤s=ah/2
梯形的上底用
a表示,下底
b用表示,高用
h表示,中位线用
m表示,面积用s表示。
s=(a+b)h/2s=mh
⑥圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=∏d=2∏rs=∏r2
⑦扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用s表示。
s=∏nr2/360
⑧长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用s表示,体积用v表示。
v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh
⑨正方体的棱长用a表示,底面周长c用表示,底面积用s表示,体积用v表示.s=6a2v=a3
⑩圆柱的高用h表示,底面周长用c表示,底面积用s表示,体积用v表示.
s侧=ch
s表=s侧+2s底v=sh
?圆锥的高用h表示,底面积用s表示,体积用v表示.v=sh/3
3、用字母表示数的写法
①数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“.”,或者省略不写;数与数相乘,乘号不能省略。
②当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
③数字和字母相乘时,将数字写在字母前面。
④在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。
⑤用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。
4、将数值代入式子求值
①把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的是数,后面不写单位名称。
②同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。

二、简易方程

1、等式:表示相等关系的式子叫等式。
2、方程:含有未知数的等式叫做方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件:一是含有未知数;二是等式。所以,方程一定是等式,但等式不一定是方程。
方程和算术式不同。算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。方程是一个等式,
在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时,方程才成立。
3、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
4、解方程:求方程的解的过程叫做解方程。
5、解方程的方法
⑴直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。如x-8=12
加数+加数=和一个加数=和-另一个加数被减数-减数=差减数=被减数-差被减数=差+减数被乘数×乘数=积一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=除数×商
⑵先把含有未知数x的项看作一个数,然后再解。如3x+20=41,先把3x看作一个数,然后再解。
⑶按四则运算顺序先计算,使方程变形,然后再解。如2.5×4-x=4.2,要先求出2.5×4的积,使方
程变形为10-x=4.2,然后再解。
⑷利用运算定律或性质,使方程变形,然后再解。如:2.2x+7.8x=20,先利用运算定律或性质使方程变形为(2.2+7.8)x=20,然后计算括号里面使方程变形为10x=20,最后再解。

四、列方程解应用题

在列方程解文字题时,如果题中要求的未知数已经用字母表示,解答时就不需要写设,否则首先应将所求的未知数设为x。
1、列方程解应用题的意义
*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤
①弄清题意,确定未知数并用x表示;
②找出题中的数量之间的相等关系;
③列方程,解方程;
④检查或验算,写出答案。
3、列方程解应用题的方法
①综合法:先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。
②分析法:先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。
4、列方程解应用题的范围小学范围内常用方程解的应用题:a一般应用题;
b和倍、差倍问题;
c几何形体的周长、面积、体积计算;
d分数、百分数应用题;
e比和比例应用题。

五、比和比例

1、比的意义和性质
⑴比的意义两个数相除又叫做两个数的比。
“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后
项所得的商,叫做比值。同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
⑵比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
⑶求比值和化简比求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
⑷比例尺图上距离:实际距离=比例尺
要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
⑸按比例分配在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质
⑴比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
⑵比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
⑶解比例根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例。
3、正比例和反比例
⑴成正比例的量两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定)
⑵成反比例的量两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
4、比和比例应用题
⑴在工业生产和日常生活中,常常要把一个数量按照一定的比例来进行分配,这种分配方法通常叫“按比例分配”。
⑵按比例分配的有关习题,在解答时,要善于找准分配的总量和分配的比,然后把分配的比转化成
分数或份数来进行解答
⑶正、反比例应用题的解题策略
①审题,找出题中相关联的两个量
②分析,判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比例关系。
③设未知数,列比例式
④解比例式
⑤检验,写答语

第四章 几何的初步知识

一、线和角

1、线
⑴直线直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。
⑵射线射线只有一个端点;长度无限。
⑶线段线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。
⑷平行线
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。
⑸垂线
两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

2、角

⑴从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
⑵角的分类
①锐角:小于90°的角叫做锐角。
②
③直角:等于
钝角:大于90°的角叫做直角。
90°而小于180°的角叫做钝角。
④
⑤平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平角
周角:角的一边旋转一周,与另一边重合。周角是360°。180°。

二、平面图形

1、三角形
⑴特征:由三条线段围成的图形;内角和是180度;三角形具有稳定性;从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,一个三角形有三条高。
⑵计算公式:s=ah/2
⑶分类
①按角分
A、锐角三角形:三个角都是锐角。
B、直角三角形:有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。
C、钝角三角形:有一个角是钝角。
②按边分
A、不等边三角形:三条边长度不相等。B、等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。
C、等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。
2、四边形
⑴特征:
①四边形是由四条线段围成的图形。
②任意四边形的内角和是360度。
③只有一组对边平行的四边形叫梯形。
④两组对边分别平行的四边形叫平行四边形,它容易变形。长方形、正方形是特殊的平行四边形;正方形是特殊的长方形。
⑵分类
①长方形
A、特征:对边相等,4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。B、计算公式:c=2(a+b)s=ab
②正方形
A、特征:四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
B、计算公式:c=4as=a2
③平行四边形
A、特征:两组对边分别平行的四边形;相对的边平行且相等;对角相等;相邻的两个角的度数之和为180度;平行四边形容易变形。
B、计算公式:s=ah
④梯形A、特征:只有一组对边平行的四边形;中位线等于上下底和的一半;等腰梯形有一条对称轴。B、计算公式:s=(a+b)h/2=mh
3、圆
⑴圆的认识圆是平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里,有无数条半径,每条半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。同圆或等圆的直径都相等同一个圆里,直径等于两个半径的长度,即d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
⑵圆的画法把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径);把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆。
⑶圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。
⑷圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。
⑸计算公式:d=2rr=d/2c=∏dc=2∏rs=∏r2
4、扇形
⑴扇形的认识
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。(半圆与直径的组合也是扇形)。显然,它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
圆上AB两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。顶点在圆心的角叫做圆心角。在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。扇形有一条对称轴,是轴对称图形。
⑵计算公式:s=n∏r2/360
5、环形
⑴特征:由两个半径不相等的同心圆相减而成,有无数条对称轴。
⑵计算公式:s=∏(R2-r2)
6、轴对称图形
⑴特征
①如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
②线段、角、等腰三角形、长方形、正方形等都是轴对称图形,他们的对称轴条数不等:正方形有4条对称轴,长方形有2条对称轴。
等腰三角形有2条对称轴,等边三角形有3条对称轴。等腰梯形有一条对称轴,圆有无数条对称轴。
菱形有4条对称轴,扇形有一条对称轴。