题目题型: 解答题难度: 一般来源:不详
设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根x1,2,x2.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)试比较f(1)与2的大小,并说明理由;
(Ⅲ)求|x1-x2|的取值范围.
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x2+2mx+n.
∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数
∴当x=0时,f(x)取到极大值.
∴f′(0)=0.
∴n=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=x3+mx2+p
∵f(2)=0
∴p=-4(m+2)
f′(x)=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0,x2=-

2m

∵函数f(x)在[0,2]上是减函数,
∴x2=-

2m

∴m≤-3.
∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.
(Ⅲ)由条件可得:f(x)=(x-x1)(x-2)(x-x2)
∴f(x)=x3-(2+x1+x2)x2+(2x1+2x2+x1x2)x-2x1x2.

-(2+x1+x2)=m
-2x1x2=p

,即

x1+x2=-m-2
x1x2=-
2
p=2m+4

,
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2-4m-12

=

(m-2)2-16

(m≤-3),
∴|x1-x2|≥3.