正交矩阵的逆是正交的,两个正交矩阵的积是正交的。事实上,所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是n(n−1)/2维的紧致李群,叫做正交群并指示为O(n)。行列式为+1的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为2的O(n)正规子群,叫做旋转的特殊正交群SO(n)。商群O(n)/SO(n)同构于O(1),带有依据行列式选择[+1]或[−1]的投影映射。带有行列式−1的正交矩阵不包括单位矩阵,所以不形成子群而只是陪集;它也是(分离的)连通的。所以每个正交群被分为两个部分;因为投影映射分裂,O(n)是SO(n)与O(1)的半直积。用实用术语说,一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成,如我们在2×2矩阵中看到的。如果n是奇数,则半直积实际上是直积,任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。考虑(n+1)×(n+1)右底元素等于1的正交矩阵。最后一列(和最后一行)的余下元素必须是零,而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是n×n正交矩阵;因此O(n)是O(n+1)(和所有更高维群)的子群。因为Householder正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式,一系列的这种反射可以把任何正交矩阵变回单位矩阵;因此正交群是反射群。最后一列可以被固定为任何单位向量,并且每种选择给出不同的O(n)在O(n+1)中的复本;以这种方式O(n+1)是在单位球S与纤维O(n)上的丛。