§9.1二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1、曲顶柱体的体积
设有一空间立体
,它的底是
面上的有界区域
,它的侧面是以
的边界曲线为准线,而母线平行于
轴的柱面,它的顶是曲面
。
当
时,
在
上连续且
,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积
可以这样来计算:
(1)、用任意一组曲线网将区域
分成
个小区域
,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于
轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体
分划成
个小曲顶柱体
。
(假设
所对应的小曲顶柱体为
,这里
既代表第
个小区域,又表示它的面积值,
既代表第
个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
从而
(将
化整为零)
(2)、由于
连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
(以不变之高代替变高,求
的近似值)
(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为
(积零为整,得曲顶柱体体积之近似值)
(4)、为得到
的精值,只需让这
个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设
个小区域直径中的最大者为
,则
(取极限让近似值向精确值转化)
2、平面薄片的质量
设有一平面薄片占有
面上的区域
,它在
处的面密度为
,这里
,而且
在
上连续,现计算该平面薄片的质量
。
将
分成
个小区域
用
记
的直径,
既代表第
个小区域又代表它的面积。
当
很小时,由于
连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,那么第小
块区域的近似质量可取为
于是
两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念___二重积分。
3、二重积分的定义
设
是闭区域
上的有界函数,将区域
分成个小区域
,
其中:
既表示第
个小区域,也表示它的面积,
表示它的直径。
作乘积
作和式
若极限
存在,则称此极限值为函数
在区域
上的二重积分,记作
。
即
其中:
称之为被积函数,
称之为被积表达式,
称之为面积元素,
称之为积分变量,
称之为积分区域,
称之为积分和式。
4、几个事实
(1)、二重积分的存在定理
若
在闭区域
上连续,则
在
上的二重积分存在。
声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
(2)、
中的面积元素
象征着积分和式中的
。
由于二重积分的定义中对区域
的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域
,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将
记作
(并称
为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为
。
(3)、若
,二重积分表示以
为曲顶,以
为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1、【线性性】
其中:
是常数。
2、【对区域的可加性】
若区域
分为两个部分区域
,则
3、若在
上,
,
为区域
的面积,则
几何意义:高为
的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4、若在
上,
,则有不等式
特别地,由于
,有
5、【估值不等式】
设
与
分别是
在闭区域
上最大值和最小值,
是
的面积,则
6、【二重积分的中值定理】
设函数
在闭区域
上连续,
是
的面积,则在
上至少存在一点
,使得
【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分,并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。
解:
在上连续,故二重积分存在。用平行于
轴或
轴的直线
将
剖分成
个小矩形区域
,
每个小区域的面积为
,
在小区域
上选取点
为格点
,
作积分和式
小区域的直径均为
该曲顶柱体的图形为
据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为
【例2】估计二重积分
的值,
是圆域
。
解:求被积函数
在区域
上可能的最值
是驻点,且
;
在边界上,
,
,
于是有
§9.2二重积分的计算法
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分
的计算问题。
讨论中,我们假定
;
假定积分区域
可用不等式
表示,
其中
,
在
上连续。
据二重积分的几何意义可知,
的值等于以
为底,以曲面
为顶的曲顶柱体的体积。
在区间
上任意取定一个点
,作平行于
面的平面
,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
为底,曲线
为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间
上任一点
且平行于
面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
从而有
(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把
看作常数,
只看作
的函数,对
计算从
到
的定积分,然后把所得的结果(它是
的函数)再对
从
到
计算定积分。
这个先对
,后对
的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了
,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的
(在
上连续),公式(1)总是成立的。
例如:计算
解:
类似地,如果积分区域
可以用下述不等式
表示,且函数
,
在
上连续,
在
上连续,则
(2)
显然,(2)式是先对
,后对
的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域,用平行于
轴(
轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法。
画出积分区域
的图形(假设的图形如下)
在
上任取一点
,过
作平行于
轴的直线,该直线穿过区域
,与区域
的边界有两个交点
与
,这里的
、
就是将
,看作常数而对
积分时的下限和上限;又因
是在区间
上任意取的,所以再将
看作变量而对
积分时,积分的下限为
、上限为
。
【例1】计算
,其中
是由
轴,
轴和抛物线
在第一象限内所围成的区域。
类似地,
【例2】计算
,其中
是由抛物线
及直线
所围成的区域。
【例3】求由曲面
及
所围成的立体的体积。
解: 1、作出该立体的简图,并确定它在
面上的投影区域
消去变量
得一垂直于
面的柱面
,立体镶嵌在其中,立体在
面的投影区域就是该柱面在
面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
3、配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算
而
由
,
的对称性有
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点
为中心的一族同心圆
以及从极点出发的一族射线
,将
剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域
的面积可如下计算
其中,
表示相邻两圆弧半径的平均值。
(数学上可以证明:包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,因此,这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域
上取点
,设该点直角坐标为
,据直角坐标与极坐标的关系有
于是
即
由于
也常记作
,因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,
就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分,同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】积分区域
可表示成下述形式
其中函数
,
在
上连续。
则
【情形二】积分区域
为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式
(即极点在积分区域的边界上)。
故
【情形三】积分区域
为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形(极点包围在积分区域
的内部),
可剖分成
与
,而
故
则
由上面的讨论不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其关键之处在于:将积分区域
用极坐标变量
表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。
【例4】将下列区域用极坐标变量表示
1、
2、
3、
Ê先画出区域的简图,据图确定极角的最大变化范围
;
Ë再过
内任一点
作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围
。
注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
利用此题结果可求出著名概率积分
。
而被积函数满足
,从而以下不等式
成立,再利用例二的结果有
,
,
于是不等式可改写成下述形式
故当
时有
,
即
。
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段);
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含
,
为实数)。
【例6】计算
解 此积分区域为
区域的简图为
该区域在极坐标下的表示形式为
§9.3二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件:
1、所要计算的某个量
对于闭区域
具有可加性(即:当闭区域
分成许多小闭区域
时,所求量
相应地分成许多部分量
,且
)。
2、在
内任取一个直径充分小的小闭区域
时,相应的部分量
可近似地表示为
,其中
,称
为所求量
的元素,并记作
。
(注:
的选择标准为:
是
直径趋于零时较
更高阶的无穷小量)
3、所求量
可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面
由方程
给出,
为曲面
在
面上的投影区域,函数
在
上具有连续偏导数
和
,现计算曲面的面积
。
在闭区域
上任取一直径很小的闭区域
(它的面积也记作
),在
内取一点
,对应着曲面
上一点
,曲面
在点
处的切平面设为
。 以小区域
的边界为准线作母线平行于
轴的柱面,该柱面在曲面
上截下一小片曲面,在切平面
上截下一小片平面,由于
的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面
在点
处的法线向量(指向朝上的那个)为
它与
轴正向所成夹角
的方向余弦为
而
所以
这就是曲面
的面积元素,故
故
【例1】求球面
含在柱面
(
)内部的面积。
解:所求曲面在
面的投影区域
曲面方程应取为
,则
,
曲面在
面上的投影区域
为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为
或
,可分别将曲面投影到
面或
面,设所得到的投影区域分别为
或
,类似地有
或
二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
,
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有
面上的闭区域
,在点
处的面密度为
,假定
在
上连续,如何确定该薄片的重心坐标
。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然,这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定,因此,习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域
为介于两个圆
,
(
)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解:由
的对称性可知:
而
故
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有
个质点,它们分别位于点
处,质量分别为
。
设质点系对于
轴以及对于
轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有
面上的闭区域
,在点
处的面密度为
,假定
在
上连续。 现要求该薄片对于
轴、
轴的转动惯量
,
。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线
及直线
所围成的均匀薄片(面密度为常数
)对于直线
的转动惯量。
解:转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有
面上的闭区域
,在点
处的面密度为
,假定
在
上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为
故
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