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一、复习求和符号∑
自从约瑟夫·傅立叶于1820年引入求和符号∑(大写的希腊字母sigma)以来,求和∑以及双重求和∑∑在数学公式推导,命题证明中被经常使用,掌握它的定义和性质对于提高我们的数学能力是必不可少的。
注意我们在此只讨论有限项的求和。
结合律:
∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i \sum_{i=1}^{n}( a_{i}+b_{i})=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}i=1∑n(ai+bi)=i=1∑nai+i=1∑nbi
分配律:
∑ i = 1 n r a i = r ∑ i = 1 n a i ( r 为任意常数)\sum_{i=1}^{n} r a_{i}=r \sum_{i=1}^{n} a_{i} \quad( r为任意常数)i=1∑nrai=ri=1∑nai(r为任意常数)
从函数角度:
∑ i = 1 10 g ( k , l ) f ( i , j ) = g ( k , l ) ∑ i = 1 10 f ( i , j ) \sum_{i=1}^{10} g(k, l) f(i, j)=g(k, l) \sum_{i=1}^{10} f(i, j)i=1∑10g(k,l)f(i,j)=g(k,l)i=1∑10f(i,j)
g(k, l)是与下标i无关的函数
分段:
∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i \sum_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}+\sum_{i=m+1}^{n} a_{i}i=1∑nai=i=1∑mai+i=m+1∑nai
二、二重求和的定义
有一个n行m列的数表:
a 11 , a 12 , a 13 , ⋯   , a 1 m a 21 , a 22 , a 23 , ⋯   , a 2 m a 31 , a 32 , a 33 , ⋯