证明:由xy=1得y=1x,所以y′=-1x2. 在曲线xy=1上任取一点P(x0,1x0),则过点P的切线的斜率为k=-1x02, 则切线方程为y-1x0=-1x02(x-x0),即y=-1x02x+2x0. 设该切线与x轴,y轴分别相交于A,B两点,则A(2x0,0),B(0,2x0),则S△OAB=12|OA|·|OB|=12|2x0|·|2x0|=2. 所以曲线xy=1上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.