横看成岭侧成峰 远近高低各不同 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 “横看成岭侧成峰,远近高低各不同.不识庐山真面目,只缘身在此山中.”这是宋代诗人 苏轼的著名诗名《题西林壁》.其中的“横看成岭侧成峰,远近高低各不同” 表面意思是说, 庐山从正面看,它是一道道连绵起伏的山岭;从侧面看,它是一座巍然耸立的险峰.从远处 近处高处低处看, 庐山呈现出不同的形象. 实际的意思是指同一个事物在不同的角度和不同 的时间看是不一样的. 同是一枝梅花,有人赞叹它风骨傲霜,有人则感慨它孤寂落寞;同是一块石头,有人 觉得它冥顽不化, 有人则欣赏它坚韧固守; 同样是半杯可乐, 悲观的人说: “唉, 只有半杯, ” 乐观的人说:“天啊,还有半杯.”同一种事物,理解缘何不同?其实很简单,人们观察事 物的角度不同罢了. 在思维过程中善于改变看问题的角度, 往往会收到意想不到的效果. 因此我们要善于变 换思考方式,尽可能地选择新视角,解决数学问题亦是如此. 例 (2010 年山东青岛中考题)如图 1,是用棋子摆成的图案,摆第 1 个图案需要 7 枚棋 子,摆第 2 个图案需要 19 枚棋子,摆第 3 个图案需要 37 枚棋子,按照这样的方式摆下去, 则摆第 6 个图案需要__枚棋子,摆第 n 个图案需要__枚棋子. 图1 图2 分析:解答此类问题要充分发挥数形结合的作用,注意从不同角度观察图形. 方法 1 将图形分割成六边形 如图 2,将图形分割成大小不同的六边形,从里向外,第 1 个六边形包含的棋子数为 6 ×2-6=6×1,第 2 个六边形包含的棋子数为 6×3-6=6×2,第 3 个六边形包含的棋子数为 6 ×4-6=6×3,?,第 n 个六边形包含的棋子数为 6(n+1)-6=6n,因此摆第 n 个图案需要的棋 子 数 为 6 × 1+6 × 2+6 × 3+ ? +6n+1=(1+2+3+ ? +n) × 6+1= n(n+1) × 6+1=3n(n+1)+1=3n2+3n+1. 说明:方法 1 用到了这样一个公式:1+2+3+?+n= n(n+1),我们把它叫做高斯求和 公式. 方法 2 将图形分割成三角形 ①按如图 3 的方式将图形分割成六个全等的三角形,每个三角形包含的棋子数为 1+2+3+ ? +n+1= (n+1)(n+2) , 六 个 三 角 形 包 含 的 棋 子 数 为 (n+1)(n+2) × 6=3(n+1)(n+2) , 减 去 重 复 的 六 条 边 包 含 的 棋 子 数 6(n+1) , 得 3(n+1)(n+2)-6(n+1)=3n2+3n.由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了 6 次,减去重 复的六条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子,所以结果应再加上这枚棋子,即第 n 个图案需要的棋子数为 3n2+3n+1. 图3 图4 说明:在计算棋子数时要注意正确处理重复部分,既不能多算,也不能漏算. ②按如图 4 的方式将图形分割成六个全等的三角形,每个三角形包含的棋子数为 1+2+3+?+n= n(n+1),六个三角形包含的棋子数为 n(n+1)×6=3n2+3n.加上正六边形 的中心处的棋子,得第 n 个图案需要的棋子数为 3n2+3n+1. 方法 3 将图形分割成平行四边形 如图 5, 将图形分割成三个全等的平行四边形, 每个平行四边形包含的棋子数为 n(n+1), 3 个平行四边形包含的棋子数为 3n(n+1),加上正六边形的中心处的棋子,得第 n 个图案需 要的棋子数为 3n2+3n+1. 图5 方法 4 将图形分割成菱形 如图 6,将图形分割成三个全等的菱形,每个菱形包含的棋子数为(n+1)2,3 个菱形包 含 的 棋 子 数 为 3(n+1)2 , 减 去 重 复 的 三 条 边 包 含 的 棋 子 数 3(n+1) , 得 3(n+1)2-3(n+1)=3n2+3n.由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了 3 次,减去重复的 三条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子, 所以结果应再加上这枚棋子, 即第 n 个图案 2 需要的棋子数为 3n +3n+1. 图6 方法 5 将图形分割成平行四边形和菱形 ①按如图 7 的方式将图形分割成平行四边形和菱形,则平行四边形包含的棋子数分别 为 n(n+1),两个菱形包含的棋子数为(n+1)2 和 n2 ,所以第 n 个图案需要的棋子数为 n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1. 图7 ②按如图 8 的方式将图形分割成平行四边形和菱形,则上面两个平行四边形包含的棋 子数 n(n+1),下面两个平行四边形包含的棋子数为(n+1)2,中间菱形包含的棋子数为 n2, 所以第 n 个图案需要的棋子数为 n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1. 图8 方法 6 将图形分割成菱形和三角形 如图 9,将图形分割成两个菱形和两个三角形,则每个菱形包含的棋子数为(n+1)2,每 个三角形包含的棋子数为 1+2+3+?+n+1= (n+1)(n+2),两个菱形和两个三角形包含的棋 子数为 2(n+1)2+(n+1)(n+2)=3n2+7n+4.减去重复的四条边包含的棋子数 4(n+1),得 3n2+7n+4-4(n+1)=3n2+3n. 由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了 4 次, 减去重复的 四条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子, 所以结果应再加上这枚棋子, 即第 n 个图案 2 需要的棋子数为 3n +3n+1. 图9 方法 7 将图形分割成梯形 如图 10,将图形分割成梯形,先看中心线上面的梯形,从里向外,第 1 个梯形的上底 和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为 3×1-1=2, 2 个梯形的上底和两腰(除去下 第 底的两个顶点)包含的棋子数为 3×2-1=5, 3 个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点) 第 包含的棋子数为 3×3-1=8,?,第 n 个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋 子数为 3n-1,所以这 n 个梯形含的棋子数为 3×1-1+3×2-1+3×3-1+?+3n-1=(1+2+3+? +n)×3-n= n(n+1)-n. 图 10 由对称性可知,中心线下面 n 个梯形包含的棋子数也为 n(n+1)-n,而中心线包含的 棋子数为 2n+1.所以第 n 个图案需要的棋子数为[ n(n+1)-n]×2+2n+1=3n2+3n+1. 感悟:看似一道普通的“用代数式描述图形规律”题,我们通过从不同的角度进行观 察图形、探究图形的构成,不仅体验到了探究数学的乐趣,而且培养了我们的发散思维能力 和创新思维,使我们的思维变得更加灵活.