矩阵合同的充要条件(共9篇) 矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 (一)等价: 1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价,记为A ?B 。 2、矩阵等价的充要条件: A?B?{ A.B同型,且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=B成立 3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。 (二)合同: 1、概念,两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得A?成立,则称A,B合同,记作A?B该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B均为实对称矩阵,则A? B?BPAP?B T 二次 型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数,即有相同的标准型。 (三)相似 1、概念:n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得B?P?1AP成立,则称矩阵A,B相似,记为A~B。 2、矩阵相似的性质: A~B,A~B,A A~B? TTkk?1 ~B(前提,A,B均可逆) ?1 |?E-A|?|?E?B|即A,B有相同的特征值(反之不成立) r(A)=r(B) tr(A)?tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件: ①充分条件:矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件:A~B?(?E?A)?(?E?B) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系: 设矩阵 A?(?1,?2,?,?n),B?(?1,?2,?,?m) 1、若向量组(?1,?2,?,?m)是向量组(?1,?2,?,?n)的极大线性无关组,则有m?n,即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型,虽然r(A)?r(B)但不能得出A?B。 2、若m=n,两向量组(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?m)则有矩阵A,B同型且r(A)?r(B)? A~B,A?B,A?Br(A)?r(B)?A?B 。 3、若A?B?r(A)?r(B)?两向量组秩相同,?两向量组等价,即有 A?B??(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n) 综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合