在《信号与系统》中,对于离散函数,我们主要有两种方法进行分解:
卷积:将x[n]x[n]x[n]分解为脉冲函数δ[n]\delta[n]δ[n]的加权和;离散傅里叶变换(其变体如拉普拉斯变换等):将x[n]x[n]x[n]分解为e−jkw0ne^{-jkw_0n}e−jkw0n的加权和。
我们此处仅讨论卷积的分解方法。在理解卷积之前,要先了解一下脉冲函数δ[n]\delta[n]δ[n]。
离散的脉冲函数的定义如下
注意到,函数δ[n−k]\delta[n-k]δ[n−k](其中kkk为正整数)可由函数δ[n]\delta[n]δ[n]向右平移kkk个单位而得到,例如:
而δ[n+k]\delta[n+k]δ[n+k]可以由δ[n]\delta[n]δ[n]向左平移相应kkk个单位长度得到,也就是“左加右减”。
那么,对于一个任意一个离散函数x[n]x[n]x[n],我们就可以把它分解为
x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[−1]δ[n+1]+⋯ x[n]=x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+x[-1]\delta[n+1]+\cdots x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[−1]δ[n+1]+⋯
如果想要理解卷积函数的意义,一定要对照下面的分解图理解上式。
通过观察我们可以将式子
x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[−1]δ[n+1]+⋯ x[n]=x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+x[-1]\delta[n+1]+\cdots x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[−1]δ[n+1]+⋯
写为
x[n]=∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k] x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] x[n]=k=−∞∑+∞x[k]δ[n−k]
如果我们将离散函数f[n]f[n]f[n]与g[n]g[n]g[n]的卷积p[n]p[n]p[n]记为p[n]=f[n]∗g[n]p[n]=f[n]*g[n]p[n]=f[n]∗g[n],其定义为:
p[n]=∑k=−∞+∞f[k]g[n−k] p[n]=\sum_{k=-\infty}^