问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。方程为
,系数a、b、c、d由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后,由主函数输出。
牛顿迭代法的公式是:
,设迭代到
时结束。

问题分析

牛顿迭代法是取 x0之后,在这个基础上,找到比 x0更接近的方程的根,一步一步迭代,从而找到更接近方程根的近似根。
设r是f(x) = 0的根,选取 x0作为 r 初始近似值。过点(x0,f(x0))作为曲线的切线L,L的方程为
,求出L与x轴交点的横坐标
,称x1为r的一次近似值,过点(x1,f(x1))作为曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标
,称x2为r的二次近似值,重复以上过程,得r的近似值 xn。

算法设计

(1) 在1附近找任一实数作为 x0的初值,如取 1.5,即x0=1.5。
(2) 用初值 x0代入方程中计算此时的 f(x0) 及f’(x0);程序中用变量 f 描述方程的值,用fd 描述方程求导之后的值。
(3) 计算增量 h=f/fd。
(4) 计算下一个x:x=x0-h。
(5) 用新产生的 x 替换原来的 x0,为下一次迭代做好准备。
(6) 若|x-x0|>=1e-5,则转到第(3)步继续执行,否则转到步骤(7)。
(7) 所求 x 是方程
的根,并将其输出。
下面是完整的代码:#include#includeint main() { /*函数功能是用牛顿迭代法求方程的根*/ float solution( float a, float b, float c, float d); float a, b, c, d, x; /*a,b,c,d代表所求方程的系数,x用来记录求得的方程根*/ printf("请输入方程的系数:"); scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d); x = solution(a, b, c, d); printf("所求方程的根为x=%f", x); return 0; } float solution(float a, float b, float c, float d) { float x0, x=1.5, f, fd, h; /*f用来描述方程的值,fd用来描述方程求导之后的值*/ do { x0 = x; /*用所求得的x的值代替x0原来的值*/ f = a*x0*x0*x0 + b*x0*x0 + c*x0 + d; fd = 3*a*x0*x0 + 2*b*x0 + c; h = f / fd; x = x0 - h; /*求得更接近方程根的x的值*/ } while(fabs(x-x0) >= 1e-5); return x; }运行结果:
请输入方程的系数:2 -3 4 -2
所求方程的根为x=0.694146

知识点补充

本程序的编写既可用while(表达式){循环体}也可用do{循环体}while(表达式),二者得到的结果是一样的,只是在赋初值时稍有不同。while(表达式){循环体}结构需要先判定条件,即先判断 |x-x0|>=1e-5 是否成立,这样对于 x, x0我们要在 1 附近取两个不同的数值作为初值;do{循环体}while(表达式)结构是先执行一次循环体,得到 x 的新值后再进行判定,这样程序开始只需给 x 赋初值。这里釆用do{循环体}while(表达式)结构来实现。