内容摘要:在初等数学中,我们对不等式的证明采用移项初等变形方法达到证明不等式的目的,但有些不等式仅利用此方法证起来很麻烦,甚至证不出来,因此总结了一些用高等数学的方法来证明不等式,如利用中值定理,函数单调性,函数的极值,凸凹性,概率的方法等。
关键词:不等式 证明 方法
在学习数学的过程中,不等式证明是非常重要的,下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习,我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.
1. 拉格朗日中值定理与函数单调性
1.1 拉格朗日中值定理
若函数f满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续;(ii)f在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点,使得(1),其中(1)被称为拉格朗日公式。
例、证明不等式,其中0 分析:应用拉格朗日中值定理,关键是找出函数及区间,这可结合不等式特点找,则此不等式可改为,由此猜到取,区间在[a,b].
证明:由于,取,而在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,故由拉格朗日中值定理,存在使得
又0 1.2 函数单调性
定理1.2 设函数在区间I上可导,则在上递增的充要条件是.
例、证明不等式
证明:设.则
.则
进而有
根据函数单调性则当时有: ,
.进而得.
2. 柯西中值定理
定理2.1(柯西中值定理)设函数和满足:(i)在[a,b]上都连续 (ii)在(a,b)内都可导 (iii)和不同时为0 (iv) 则存在使得.
例.,证明:.
证明:设,则.对于在[a,b]上应用柯西中值定理有:.设,考察.由于,显然当时,即.所以在时单调递减,从而有,
即.故.
3. 函数极值与最值
通过变换,把某些问题归纳为求函数极值达到证明不等式的目的。
例:设,求证:.
证明:令=-2+
当时, .当时,.
故.
4. 函数的凸凹性和詹森不等式
4.1 函数的凸凹性
定义:设函数为定义在区间上的函数,若对上任意两点和对于任意的实数总有:,则称为上的凸函数.反之,若总有:则称为上的凸函数。
函数凸凹性的判别方法:(1)为上的凸函数的充要条件是:对于上任意三点 ,总有.
(2)设为在区间上的可导函数,则下述论断互相等价:1’为上的凸函数.2’为上的增函数.3’对上的任意两点有
(3)设函数为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件是.
4.2 詹森不等式
1.定义:若函数为上的凸函数,则对任意的,有.
2.应用。例.证明不等式,其中均为正数。
证明:设,由的一阶和二阶导数,.
.可见在时为严格凸函数.依詹森不等式有:.从而有:
即:.
又因为.所以.
5. 概率
不等式的证明也可用概率的方法。
例:设函数且这里
求证:.
证明:由题所给的已知条件知非负,且,所以为某一随机变量的密度函数,则
即:
6. 隐函数
1.隐函数定理:若满足下列条件:(i)函数在以为内点的某一区域上连续;(ii)(通常称为初始条件);(iii)在内存在连续的偏导数;(iv),则在点的某临域内,方程唯一地确定了一个定义在某区间内的函数(隐函数),使得①时且;②在内连续.
不等式的证明方法有许多种,当然一道题可以有多种证明方法,下面我从一道题的证明方法来体会一下不等式证明的多样性。
例如:当时,试证:.
利用函数单调性证法:令
则.显然对任意的,有.根据不等式定理:对任意的,都有.即:。
当然还有更多证法,可见不等式证明中的灵活多样,这样可以引起学生学习兴趣,激活学生思维,是培养学生观察力、判断力、推理能力的最好催化剂。
参考文献:
[1].余元希 田万海 毛宏德《初等代数研究》
[2].华东师范大学数学系编《数学分析》
[3].盛祥耀《高等数学 》高等教育出版社
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