贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”,1654年为法国数学家B·帕斯卡重新发现。
贾宪三角的给出,开创了高阶等差级数求和问题的研究方向。朱世杰从“三角”的每条斜线上发现了“三角垜”、“撒星形垜”等高阶等差级数求和公式。
“增乘开方法”事实上简化了筹算程序,并使程序化更加合理,这对后世筹算乃至于算具的改进是有启迪意义的。
《黄帝九章算经细草》开创的数学研究方法,被后世数学家广为借鉴。
清代学术流派“乾嘉学派”在保存和整理数学著作时,就曾对《黄帝九章算经细草》等一批算书或注释或图说。
古代学者著书立说目的之一就是教育世人。
在数学知识的普及和教育过程中,贾宪重视对一般性解法的抽象,注重对知识纲要的概括,注重系统化,注重发散性思维的锻炼。从这里我们不难发现他的数学教育思想的闪光之处。
贾宪重视对一般性解法的抽象。他之所以这样做,应该是深受我国古代早已有之的“授人以鱼不如授人以渔”的教育思想影响。
据现在所知,《黄帝九章算经细草》约成书于1050年前后,此书出版后,在社会上流传较广,在一定程度上逐渐代替了《九章算术》。这也是当时社会对其数学教育思想的认可。
贾宪注重对知识纲要的概括。
他在给出“立成释锁开方法”之后,又提出“增乘方求廉法”并给出六阶贾宪三角,解释开各次方之间的联系。讨论勾股问题则先论“勾股生变十三图”,而后谈论问题的解法,给人以清晰的体系感。
他的这些尝试,都体现了对知识纲要的重视。在数学教育上,注重对知识纲要的概括,也不失为一种良好的教学方法。
现存资料显示,贾宪未涉足刘徽的分数和极限理论领域。再加上他在《黄帝九章算经细草》中所讨论的开方问题未涉及开不尽情况,他甚至把《九章算术》中有分数解的问题改题设以得整数解。这些迹象表明他的工作是建立在整数集之上的。
在此基础上,贾宪提纲挈领地概括了勾股和开方问题,给出了诸多其他问题的一般性解法,从中我们隐约可以看到系统化方法的痕迹。
事实上,以贾宪的数学知识水平,他不可能不熟知分数,也不会不了解刘徽的求微数思想,只是他对开方开不尽的问题没有研究透彻。因此在他的著述中才回避了分数,目的是把自己掌握的数学知识,系统地传于世人。
这在古代数学教育史上是难能可贵的。