前言
我们已经学习了函数的单调性,那么现在我们来探索一些常见的函数性质。
单调性
首先我们回到单调性,先讨论关于单调性的证明。
最简单的就是从定义出发,例如证明严格递增函数,只需要对于
,证明
。
此外还可以利用一些单调性相关的结论,例如复合函数的单调性。
函数图像也能帮助我们进行单调性的判断。
最后,在学习微积分后,我们还可以使用导数的正负来判断单调性。
练习:求复合函数的单调性。
关于单调性有一些简单的性质,如果f和g都是单调增(减)函数,则h(x)=f(x)+g(x)也是单调增(减)函数。
而如果f和g不仅是单调增(减)函数,还是恒正或恒负的,那么h(x)=f(x)g(x)也具有单调性。
练习:求不同情况下上述h(x)的单调性。
有时候我们也会讨论函数在某个区间内的局部单调性。
探索:单调性还有哪些作用?
奇偶性
有两类特殊的函数,奇函数和偶函数。
奇函数是指,图像关于原点中心对称的函数,即f(-x)=-f(x),自变量相反函数值相反。
偶函数是指,图像关于y轴对称的函数,即f(-x)=f(x),自变量相反函数值不变。
要注意,函数要有奇偶性,定义域必须首先关于原点对称。
另外,存在既是奇函数,又是偶函数的函数,即f(x)=0。
练习:证明这个结论。
奇函数在原点两侧具有相同的单调性,而偶函数则在原点两侧具有不同的单调性。
练习:证明这个结论。
奇偶函数相加减乘运算后的函数的奇偶性也值得讨论。
奇偶函数的复合函数也具有奇偶性。
练习:举例并讨论以上函数的奇偶性。
一个很容易通过构造证明的结论是,任意定义域对称的函数f(x),都可以由一个奇函数和一个偶函数相加而成。
练习:证明这个结论。
周期性
有些函数的值会具有周期性,定义周期为T的函数,满足:
根据定义,我们可以证明,对于周期T,-T也是周期,T的倍数nT也是周期,即周期函数有无限个周期。
练习:证明这个结论。
如果f的所有正周期中,T是最小的那个,就叫最小正周期。
值得注意的是,周期函数未必有最小正周期,例如常值函数,周期为任意非零实数。
探索:非常值函数一定有最小正周期吗?
周期函数有