证明两线段相等的方法
(一)常用轨迹
①两平行线间的距离处处相等。
②线段垂直平分线(中垂线)上任一点到线段两端的距离相等。
③角平分线上任一点到角的两边的距离相等。
④平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么,在其它直线上截得的线段也相等。
(二)三角形:
①同一三角形中,等角对等边。(等腰三角形的两腰相等,等边三角形的三边相等)
②任意三角形的外心(三角形三边垂直平分线的交点,亦即三角形外接圆的圆心)到三角形三个顶点的距离相等。任意三角形的内心(三角形三个内角角平分线的交点,亦即三角形内切圆的圆心)到三角形三边的距离相等。
③等腰三角形顶角的平分线(或底边上的高、中线)平分底边(三线合一)。三角形任一边上的中线平分该边。
④直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
⑥过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边(三角形的中位线),三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
⑦同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等。同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等。
8全等三角形的性质:全等三角形对应边,对应边上的高、中线,对应角的平分线相等。
(三)四边形:
①平行四边形对边相等,对角线互相平分。
②矩形的对角线相等,且两对角线的交点到四顶点的距离相等。
③菱形(正方形)的四边相等。
④等腰梯形两腰相等、两条对角线相等。
⑤过梯形一腰的中点与底边平行的直线,必平分另一腰(梯形的中位线)。(连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线,梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半)。
(四)正多边形:
①正多边形的各边相等。
②正多边形的中心到各顶点的距离相等、到个边的距离相等。
(五)圆中:
①同圆或等圆的半径相等、直径相等;等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。
②在同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等。
③垂径定理;垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
④切线长定理;从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
⑤圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的
(六)轴对称图形的性质:关于轴对称的两个图形的对应线段相等。中心对称图形的性质:关于中心对称的两个图形对应线段平行且相等。
(七)线段运算:
①对应相等线段的和相等;对应相等的线段的差相等。
②对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等;对应相等线段除以相等的倍数所得的商相等。
③两线段的长具有相同的数学解析式,或二解析式相减为零,或相除为1,则这两条线段相等。
求角的度数
1. 直角三角形的两个非直角互余。
2. 三角形的内角和等于180°,等边三角形的每一个内角等于60°,等腰直角三角形的两个非直角都等于45°。
3. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4. 直角90°,平角180°。
5. 角平分线分得的两个角相等,都等于该角的一半。
常用求解方法:
1、整体法(从整体着眼,寻求所求角与已知角之间的关系)
2、方程法(设未知角的度数为x,根据三角形内角和定理,得到关于x的方程,再进一步求解)
3、分类法(即分多种情况讨论)
4、构造法(在进行与角有关的计算时,为了能使用三角形内角和定理及内角与外角的关系,常常需要构造三角形或三角形的外角,这时需要添加某些线段或延长某些线段)
求线段长度的思路与方法
1、几何计算法
1直角三角形
情况一:已知了其中两边的大小,利用勾股定理,即可求出第三边的长度。
情况二:已知了三边中任一条边的长度,以及任一非直角的度数,可根据三角形内角和定理求出其他角的大小,可根据三角函数(正弦、余弦、正切)求出其他边的长度。
情况三:已知直角三角形斜边上的高,可利用等面积法求斜边上高的长度,亦可利用三角形相似求其他线段的长度。对于非直角三角形,亦可利用等面积法求某一线段的长度。
情况四:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。涉及线段的中点,常常考虑做辅助线构造三角形的中位线,进一步利用三角形的中位线解决问题。
3等腰三角形(等边三角形)
利用三线合一,构造直角三角形,然后进一步求解线段的长度。
4四边形(矩形、菱形、正方形等)或者其他多边形,构造直角三角形,利用勾股定理或三角形相似求解。
2、方程法。设出线段长度为X,寻找等量关系,列出关于X的方程,解之即可。这是数量关系复杂问题的常用解题技巧。
3、公式法。如:两点间距离公式、数轴上两点之间的距离公式等。
证明三角形全等的方法:
5、(HL:直角边,斜边定理)
证明三角形全等的一般思路:
1、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。
2、当已知两个三角形中有两角对应相等时,找夹边对应相等(ASA)或找任一等角的对边对应相等(AAS)。
3、当已知两个三角形中,有一边和一角对应相等时,可找另一角对应相等(AAS,ASA)或找夹等角的另一边对应相等(SAS)。
4、已知两直角三角形中,当有一边对应相等时,可找另一边对应相等或一锐角对应相等。
5、当已知图形中无现存的全等三角形时,可通过添作辅助线构成证题所需的三角形。
证明三角形相似的方法:
1. 平行三角形的一边构成的三角形与原三角形相似。
2. 两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
3. 三边对应成比例,两个三角形相似。
4. 二个角分别对应相等,两个三角形相似 。
5. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的判定定理的作用:
相似三角形对应高的比、相似三角形对应边的比、对应中线的比、对应角平分线的比和相似三角形周长的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。
可以通过判定两个三角形相似,间接证明两三角形对应角相等、对应边成比例,间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.