题目
如图,ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=.
初中数学
角平分线的定义
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
全等三角形的性质
HL定理
角平分线上的点到两边的距离相等
解析
1、回想一下三角形角平分线的性质和三角形外角的性质,观察已知条件可知此题需要做辅助线;
2、延长BA,作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,,设∠PCD=x°,根据角平分线的定义和性质可得∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,∠ABP=∠PBC,PF=PN;
3、由三角形外角的性质得:∠ABP=∠PBC=(x-40)°,∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,进而得到∠CAF=100°;
4、根据直角三角形全等的判定得到RtPFA≌RtPMA,从而得出∠CAP=∠FAP,至此问题也就解决了!
答案
答案:50°.
解:延长BA,作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,设∠PCD=x°.
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠PCD=x°,
∴PM=PN.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠PBC,
∴PF=PN.
∵PM=PN,PF=PN,
∴PF=PM.
∵∠PCD是BCP的外角,
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC.
∵∠BPC=40°,∠PCD=x°,∠ABP=∠PBC,
∴∠ABP=∠PBC=(x-40)°.
∵∠ACD是ABC的外角,
∴∠ACD=∠BAC+∠ABC,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,
∴∠CAF=100°.
∵在RtPFA和RtPMA中,PA=PA,PM=PF,
∴RtPFA≌RtPMA,
∴∠FAP=∠PAC=50°.
解答