进一步\uf9e4解函数的单调性、对称性、极值、最值.利用图像来讨论三次方程实根的个数等问题。三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有\uf9fd么性质?首先还得对它有感性的认识,通过Mathcad输入\uf967同的参数进\ufa08探索,经图2过多次的 实验、猜测、归纳发现它的图像有六种.如图:a为正时。原函数的图像应为上图中的(1)(3)(5)---种情况;而当a为负时,原函数的图像则为(2)(4)(6)三种情况。对函数f(×)=ax3+bx2+cx+d(a#0)进\ufa08求导:f'(x)=3ax3+2bx2+c是二次函数.令A=4b2-12ac=4(b2-3ac),下面我们系统研究三次函数的性质1.函数的定义域与值域均为R2.奇偶性:函数当且仅当b=d=0时是奇函数3.极值(1)\uf974A=O.此时f_(x)=3ax2+2bx+c=0有两个相等实根。在实根两侧导函数值同号,所以原函数单调性相同。故函数f(x)=ax3+bx+cx+d(a#-0)无极值;图像为上图中(1)(2);—-b—-%/百bz-—3a—c.x2=—丛≥#。\uf974a>o,当xO,令f'(x)=3ax2+2bx+c=0两根为×1×2,其中X1-函数值大于零,当XlX2时导函数值大于零。所以函数f(×)在X---X2处取极小值f(x2),有两个极值,图像为上图中(3);同\uf9e4\uf974a0,则f(x)在R上有两个极值。(3)\uf974在x=xo处取得极值,则必有f'(x)=3ax+2bx+c=04.单调性(1)\uf974A≤0,且a>0,则f'(x)=3ax2+2bx+c>一0恒成立。所以函数f(×)在R上是增函数,图像为上图中(1)、(5);\uf974A 40。且a0,且a>O,令f|(x)=3ax2+2bx+c=O两根为x1,X2且X1,0芍xxz--,-*f(x)在(一一,X1).(x2,+一)上单调递增,当f‘(x)O.且a0.且f(x,)・f(x2)>0。则f(x)=O恰有一个实根;(3)\uf974b2-3ac>0,且舣,)・f(x 2)=0,则Kx)=o有两个\uf967相等的实根;(4)\uf974bZ-3ac>0。且f(x1)・f(x 2)0。且f(x,)・f(x 2)>O,即函数y=f(x)极大值点和极fI(x)=3ax2+2bx+cI>0在该区间恒成立;函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在某个区间上是单调递减函数铮r(x)=3ax2+2bx+c40在该区间恒成立