定义上说,左右导数相等则该点导数存在;
有没有可能在一个题目中,某点一阶左右导数相等,但该点却不连续,或者说该点导数不存在?(其实就是李永乐复习全书51页例2.32)x=0点可导则满足该点①连续和②左右导数相等.但如果左右导数相等则一定连续,那么只要找出a,b使满足②不就直接满足①了,不是应该不需要这两个条件联立方程组了?但很显然,只随便找一组数满足②是满足不了连续的,所以我对定义的理解到底哪错了?
还有,如果有的题目给了导数表达式,可以通过计算算出某一点的数值,为什么还说因为不知道函数连续等条件,所以不能确定该点可导?有可能存在不可导而导数式在该点有数值的情况吗?
做法没有任何问题.求左右导数之前是需要考虑函数是否左右连续,否则左右导数不会存在.在连续的前提下,用定义求左右导数与用求导公式求是一样的.书上在例题之前应该给出了求分段函数导数的几种情形,好好理解
1年前追问
我知道导数存在前提是连续, 但题目中已相当于给出左右导数的表达式,可以求出左右导数的具体数值,不就相当于承认左右导数已经存在,连续这个前提自然不就满足了。所以我感觉任意一组a,b满足左右导数存在且相等,就应该满足连续啊。 或者说,求导公式的使用必须先证明可导,否则有可能在导数不存在的境况下还能求出数值?
设x0时;f(x)=f2(x)。如果f1(x)与f2(x)可导,可以求出x0时,f'(x)=f2'(x)。这时候你无法直接说f(x)在0点的左导数就是f1'(0),也不能说右导数就是f2'(0),没有定义定理支持这个结论吧?但是如果你已经知道了f(x)在0处连续,则f1(x)在0处右连续,如果f1(x)在0处又可导,那么f(x)在0处的左导数就是f1'(0)了....... (关于导数的求法,有时候会用到一个导数极限定理,这个在高数里是不介绍的,数学专业会学到。李的书上在这一章介绍的方法事实上用到这个结果了,只是没有直接点明。有点超纲了)
导数的存在与连续的关系是:若函数f(x)在x0点处可导,则在x0处连续。左右导数存在且相等是导数存在的充要条件。应该说若函数f(x)在某一点处可导,则满足左右导数存在且相等。
1年前
不在定义域范围内
1年前
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首先应该了解可导的定义:
①在此点连续
②左右导