1 二项式定理
(1)二项式定理的相关概念
一般地,对于任意正整数
,都有
.
这个式子所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做
的二项展开式,其中系数
叫做二项式系数.
(2)二项式定理的证明
由于
是
个(
)相乘,每个(
)在相乘时有两种选择,即选
或选
,并且每个(
)中的
或
都选定后,才能得到展开式的一项.因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,
的展开式共有
项,其中每一项都是
的形式.
出现的次数相当于从
个(
)种取
个
的组合数
,这样
的展开式中,
共有
个,将它们合并同类项就可以得到二项展开式.
知识拓展
①
的二项展开式中有
项,比二项式的次数多1.
②二项式系数都是组合数
,它与二项展开式的系数是两个不同的概念,在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”.
③二项式定理形式上的特点
在排列方式上,按照字母
的降幂排列,从第一项起,
的次数由
逐项减小1,直到0,同时字母
按升幂排列,次数由0逐项增加1,直到
,并且形式不能乱.
④二项式定理中的字母
是不能交换的,即
与
的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列次序是不同的,注意不要混淆.
⑤二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数
,该等式都成立,因而,对
取不同的特殊值,可以为某些问题的求解提供方便,二项式定理通常有如下两种情形:
⑥对二项式定理还可以逆用,即
,可用于式子的化简.
2 二项展开式的通项公式
(1)二项展开式的第(
)项
叫做二项展开式的通项公式,它体现了二项展开式的项数、系数、字母的次数、项的次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些指定项及其系数方面有着十分广泛的应用.
(2)通项公式的特点
①它表示二项展开式的第(
)项,该项的二项式系数是
,而不是
;
②字母
的次数与组合数的上标
相同;
③
与
的次数之和为
,