2020年6月29日更新,补充了万能公式。在《任意角三角函数与诱导公式》一文中,我们详细介绍了利用单位圆来求解任意角的三角函数值。但是很多角并不是那么容易求得的,因为单位圆求解对应角的三角函数值其本质还是要利用三角形的几何关系,一些特殊的角如
等都很容易得到,如果不是特殊角就不是那么简单了,比如
等。
有些我们是能够通过构造算得的,比如
,如下图
首先先做一个
的直角三角形
,然后延长BC至点D,使得CD=AC。显然,
。不妨设直角三角形三边长为
,根据勾股定理可知
。
所以,
,
.
那么有没有可以通过熟知的三角函数值算得未知的呢?比如
,能够根据60°与45°的三角函数值算得15°的呢?
那这公式就是本文要介绍的两角和差公式:
比如
.
注:两角和差公式其实有三组,分别是两角和差的正弦公式、余弦公式与正切公式,那么统称两角和差公式了。
接下去主要讲解:
(1)两角和差公式的证明;
(2)二倍角公式;
(3)万能公式;
(3)辅助角公式(合一变形公式);
(5)积化和差与和差化积。
一、两角和差公式的证明(Sum and Difference Identities)