1、一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
使某个一元二次不等式成立的
的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式.如果一个不等式变形为另一个不等式时,这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做不等式的同解变形.
解不等式的过程就是将不等式进行同解变形,化为最简形式的同解不等式的过程.变形时要注意条件的限制,比如:分母是否有意义等.
2、一元一次不等式(组)的解法
一元一次不等式整理成一般形式为
或
.
其中,
3、一元二次不等式的解集
由一元二次不等式的一般形式知,任何一个一元二次不等式整理成一般形式为
或
,而且我们已经知道对于一元二次方程
(
,其中
),它的解按照
可分为三种情况.相应地,二次函数
的图象与
轴的位置关系也分为三种情况,因此,对应的一元二次不等式
(或
)(
)的解集我们也分三种情况进行讨论
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两不同实根
或
有两个相等的实根
无实根
一元二次不等式的解集
的解集
或
的解集
对
的解的结构可记为:
的解为“大于大根或小于小根”;
的解为“大于小根且小于大根”.
解一元二次不等式的一般步骤如下:
(1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零;
(2)计算判别式
;
(3)当
时,求出相应的一元二次方程的根;
(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集.
精准教学方法
1、一元二次不等式的解法
解一元二次不等式
(或
)(
)的过程:
(1)看二次项系数a是否为正,否则化为正.
(2)用
判断对应方程是否有实根,确定实根.
(3)有根的情况下看根的大小(设两根为
,且
),
的解集为
或
;
的解集为
无根的情况下,
的解集为
;
的解集为