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矩阵乘积的秩
矩阵乘积 A B ABAB 的秩和矩阵 A , B A,BA,B 的秩有什么关系呢?
首先直观上说明。线性映射 A x = y A\mathbf{x}=\mathbf{y}Ax=y ,当矩阵 A AA 是列满秩矩阵时,即无关组时,映射是单射,所以定义域内一个向量 x \mathbf{x}x 对应值域内一个向量 y \mathbf{y}y ,值域内一个向量 y \mathbf{y}y 也对应定义域内一个向量 x \mathbf{x}x ,或者说,在值域和定义域内,该映射是一一映射,所以值域内所有向量张成空间的维度等于定义域内所有向量张成空间的维度。 A B ABAB 的定义域是矩阵 B BB 的向量组,值域是矩阵 A B ABAB 的向量组,所以它们张成的空间维度相等,即 r a n k A B = r a n k B rank AB = rank BrankAB=rankB ,是秩恒等映射。当矩阵 A AA 不是列满秩矩阵时,即相关组时,定义域内存在很多向量 x \mathbf{x}x 对应值域内零向量 0 \mathbf{0}0 ,或者说,在值域和定义域内,该映射是多映射,不是一一映射。零向量 0 \mathbf{0}0 不能张开空间,故变换后的空间维度会缩小,秩减小,即 r a n k A B ≤ r a n k B rank AB \leq rank BrankAB≤rankB。当矩阵 B BB 存在列向量满足 A b i = 0 A\mathbf{b_i}=\mathbf{0}Abi=0 时,变换后秩会减小;当不存在列向量满足 A b i = 0 A\mathbf{b_i}=\mathbf{0}Abi=0 时,即使矩阵 A AA 不是列满秩矩阵,变换后的秩也不会减小。 r a n k A B = r a n k B − k rank AB = rank B - krankAB=rankB−k ,其中 k kk 是矩阵 B BB 列向量组的极大无关组中满足 A b i = 0 A\mathbf{b_i}=\mathbf{0}Abi=0 列向量的数量。同理可得, r a n k A B = r a n k A − k rank