黎曼 ζ 函数 最小值 再保险 马克斯 -15年 15 即时通讯 -15年 15 黎曼 ζ 函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。 虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设), 还有待证实。黎曼 ζ 函数 是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个 (而不是通常的 )考虑到所使用的符号黎曼在他 1859 年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼 1859)。它的实现 Wolfram 语言作为 ζ [s]。 上面的图显示了“山脊” 为 和 。山脊的事实似乎减少单调 并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski 和 Saidak 2003;Borwein 贝利,2003 年,页 95 - 96)。 在实线与 ,黎曼 ζ 函数可以定义的积分 (1) 在哪里 是 γ 函数。如果 是一个整数 ,那么我们的身份 (2) (3) (4) 所以 (5) 评估 ,让 这 和代入上述身份获得 (6) (7) (8) 集成的最后表达(8)给 取消的因素 并给出了最常见的黎曼 ζ 函数, (9) 这是有时被称为 p 系列. 黎曼 ζ 函数也可以定义的多重积分通过 (10) 作为一个梅林变换通过 (11) 为 ,在那里 是小数部分(Balazard 和赛亚于 2000)。 它出现在单位平方积分 (12) 有效期为 请注意,ζ 函数 (Guillera 和 Sondow 2005)。为 一个非负整数,这个公式是由于 Hadjicostas(2002),和特殊的情况 有一个奇点 中,它可以减少发散调和级数. 和 是由于 Beukers(1979)。 黎曼 ζ 函数满足反射函数方程 (13) (哈代 1999 年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想 (欧拉、读取 1749 年,1768 年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974 年 Ayoub),证明了黎曼复杂 (黎曼 1859)。 如上所述,ζ 函数 与 一个复数被定义为 。然而, 有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括 ,对应于一个简单的极与复杂的残渣 1(“将 军”1999 年,p . 1999)。特别是,作为 , 遵循 (15) 在哪里 是 Euler-Mascheroni 常数(惠塔克和沃森 1990,p . 271)。 执行解析延拓为 ,写 (16) (17) (18) 所以重写的 立即给 (19) 因此, (20) 在这里,右边就是求和狄利克雷 η 函数 (有时也称为交替 ζ 函数)。 而这个公式定义 对于只正确的半平面 对整个复平面除了 方程(◇)可以用来分析继续它的其余部分复平面.