1、 时间序列 取自某一个随机过程,如果此随机过程的随机特征不随时间变化,则我们称过程是平稳的;假如该随机过程的随机特征随时间变化,则称过程是非平稳的。 2、 宽平稳时间序列的定义:设时间序列 ,对于任意的 , 和 ,满足: 则称 宽平稳。 3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测,以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法,并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。 4、ARMA模型三种基本形式:自回归模型(AR:Auto-regressive),移动平均模型(MA:Moving-Average)和混合模型(ARMA:Auto-regressive Moving-Average)。 (1) 自回归模型AR(p):如果时间序列 满足 其中 是独立同分布的随机变量序列,且满足: , 则称时间序列 服从p阶自回归模型。或者记为 。 平稳条件:滞后算子多项式 的根均在单位圆外,即 的根大于1。 (2) 移动平均模型MA(q):如果时间序列 满足 则称时间序列 服从q阶移动平均模型。或者记为 。 平稳条件:任何条件下都平稳。 (3) ARMA(p,q)模型:如果时间序列 满足 则称时间序列 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为 。 特殊情况:q=0,模型即为AR(p),p=0, 模型即为MA(q)。 二、时间序列的自相关分析 1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法,它简单易行、较为直观,根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图,我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性,以及时间序列的季节性。 2、自相关函数的定义:滞后期为k的自协方差函数为: ,则 的自相关函数为: ,其中 。当序列平稳时,自相关函数可写为: 。 3、 样本自相关函数为: ,其中 ,它可以说明不同时期的数据之间的相关程度,其取值范围在-1到1之间,值越接近于1,说明时间序列的自相关程度越高。 4、 样本的偏自相关函数: 其中, 。 5、 时间序列的随机性,是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性,一般给出如下准则: ①若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间,则该时间序列具有随机性; ②若较多自相关函数落在置信区间之外,则认为该时间序列不具有随机性。 6、 判断时间序列是否平稳,是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是:①若时间序列的自相关函数 在k>3时都落入置信区间,且逐渐趋于零,则该时间序列具有平稳性;②若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面,则该时间序列就不具有平稳性。 7、 ARMA模型的自相关分析 AR(p)模型的偏自相关函数 是以p步截尾的,自相关函数拖尾。MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性,偏自相关函数拖尾。这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。 三、单位根检验和协整检验 1、单位根检验 ①利用迪基—福勒检验( Dickey-Fuller Test)和菲利普斯—佩荣检验(Philips-Perron Test),我们也可以测定时间序列的随机性,这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法,与前者不同的事,后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声,而且存在自相关的情况。 ②随机游动 如果在一个随机过程中, 的每一次变化均来自于一个均值为零的独立同分布,即随机过程 满足: , ,其中 独立同分布,并且: , 称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。 ③单位根过程 设随机过程 满足: , ,其中 , 为一个平稳过程并且 ,,。 2、协整关系 如果两个或多个非平稳的时间序列,其某个现性组合后的序列呈平稳性,这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。