“连续函数必存在原函数”是原函数存在的一条重要定理。
证明该定理的一个常用方法是构建一个变上限定积分,利用导数的定义进行证明。
具体证明过程如下。
事实上,上述命题,亦可将函数f(x)的定义域区间内扩展到开区间、半开半闭区间,无穷区间,即(a,b],(a,b),(-∞,∞),证明思路和过程与上述证明基本一致。
下面给出了函数f(x)在(-∞,∞)连续必存在原函数的证明过程。
尽管将命题从闭区间扩展到无穷区间,但命题仍然是正确的。主要原因在于,两个证明过程中涉及到的关键步骤不依赖于原始区间,即积分中值定理中涉及到的区间永远是函数f(x)定义域内一个子闭区间。
不定积分、原函数、定积分的存在条件容易混淆,必须对每个定理条件进行深刻理解才有助于解决相关题目。
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