今天我们来探讨一下以下三种函数ヽ(•̀ω•́ )ゝ
下取整函数(floor)
,定义为
,计作
上取整函数(ceiling)
,定义为
,计作
取小数部分函数(sawtooth)
,定义为
,计作
注:有的书上把取小数部分函数定义为
来处理负数。这里我们使用定义
比如
开始之前读者不妨先思考一下下面几个问题
方程
是否有解?求
的值求方程
的整数解如果
代表
的四舍五入,证明
恒成立求积分
求积分
求积分
首先我们来看看取整函数的几个基本法( ¯•ω•¯ )
对于实数
有
我们知道
是满足
的唯一整数,
是满足
的唯一整数。只需把
两边乘
得到
就得证啦。
对于实数
有
的情况是显然的,
的情况只需分成整数部分和小数部分
然后我们做变换还可以得到
对于整数
和正整数
和
注意到
和
即可。
这个式子经常用于翻转上取整和下取整函数。
对于实数
有
因为
所以
同理不难证明对于实数
有
让
就有
对于实数
有
我们知道
而
所以
对于实数
和正整数
有
这个等式叫Hermite's Identity的说
容易注意到
只能等于
或者
所以存在唯一的
使得
我们将两边减去
所以
而且
那么
两边乘
就能得到
,所以
我们最后能得到
然后就证毕啦
我们令Hermite's identity中的
,其中
是整数,还可以得到
再令
还能得到
,这个等式有时十分有用。
接下来我萌来看看积分中的取整函数(๑•̀ㅂ•́) ✧
像
一样的积分,乍一看不太好积,其实分段处理就能把取整函数去掉哒。
考虑区间
积分
然后求和
同理可以推导Euler–Mascheroni常数的两种定义是等价的
和之前一样分段积分然后求和(这里
是调和级数)
那像
这样不能直接分段的积分怎么办吖?
可以先换个元呀
分离奇偶项
此处用到的Wallis product 的结论
是
当
时的结论
接下来介绍的这个结论看起来可能稍微有点吓人
对于非负整数
和正整数
有
令
有
其一个证明由Brilliant上的用户Hummus A给出,
他现在16岁,而这个定理的证明是他两年以前发的、可怕。以下是他的证明:
我们首先换元
然后用
第二次换元,再把求和和积分交换
接下来我们尝试将
换成积分的形式
引理1: 若
和
则
如果设
那么就有
容易知道
,所以引理1成立。
利用引理1我们就有
将
代入
,再交换两个积分
然后我们设
反复迭代就得到了
代入
就变成了
然后我们硬着头皮继续积分
终于积完了!最后只要再代回最初的式子
证毕
前几题的答案
无解
因为
注意到
因为