参数方程由来:圆的参数方程[特殊情形,圆心(0,0),半径R]{x=Rcosαy=Rsinα(α为参数,0≤α<2π)其参数α的几何意义是圆上动点和圆心连线的旋转角,如下图所示;
圆的参数方程[一般情形,圆心(m,n),半径R]{x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α为参数,0≤α<2π)注意:很多容易和极坐标的坐标(ρ,θ)中的θ混淆,如图所示,参数α=∠ACP;范围α∈[0,2π]
椭圆的参数方程{x=acosϕy=bsinϕ(ϕ为参数,0≤ϕ<2π)其参数ϕ的几何意义是对应的大圆或小圆半径的旋转角∠AOM,也就是椭圆的离心角.不是椭圆上动点和中心连线的旋转角∠AOP;切记!虽然∠AOM和∠AOP二者不相等,但是很显然这二者也是一一对应的,并且它们的范围都是[0,2π).
列子:已知椭圆的参数方程为{x=2costy=4sint (t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=π3,点O为原点,则直线OM的斜率为3–√。分析:这个说法是错误的,怎么纠正呢?
当t=π3时,代入得到x=2cosπ3=1,y=2sinπ3=23–√,故M(1,23–√),则kOM=y−0x−0=23–√。
化为参数方程:介绍一个容易记忆的方法:类比:cos2θ+sin2θ=1当圆为x2+y2=4时,先转换为(x2)2+(y2)2=1,cos2θ+sin2θ=1(x2)2+(y2)2=1对应上式,得到cosθ=x2,sinθ=y2,故圆的参数方程为{x=2cosθy=2sinθ(θ为参数);当然,我们还可以这样交叉对应,得到sinθ=x2,cosθ=y2,故圆的参数方程还可以为{x=2sinθy=2cosθ(θ为参数);
【说明】①由此说明,当我们取的参数不一样时,圆的参数方程是不一样的,即圆的参数方程可能不唯一。两种参数的含义不一定一样。②我们约定俗成的取法是第一种。③参数方程的参数有时候有明确的几何意义,有时候没有。当圆为(x−a)2+(y−b)2=R2时,先转换为(x−aR)2+(y−bR)2=1,对应上式,得到cosθ=x−aR,sinθ=y−bR,故圆的参数方程为{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ为参数);当椭圆为x2a2+y2b2=1时,先转化为(xa)2+(yb)2=1,对应上式得到cosθ=xa,sinθ=yb,故椭圆的参数方程为{