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§12.1微分方程的基本概念
凡表示未知函数、未知函数导数与自变量之间关系的方程,称之为微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶。
一般地,
阶微分方程的形式是
其中
是
个变量的函数,在方程Œ式中,
是必须出现的,而
等变量可以出现,也可以不出现。
在以后的讨论中,我们主要讨论Œ式的特殊形式
设函数
在区间
上有
阶导数,如果在区间
上
那未函数
就叫做微分方程Œ在区间
上的解。
如果微分方程的解含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同(这里的任意常数应相互独立,即:它们不能合并而使得任意常数的个数减少),这样的解称之为微分方程的通解。
设微分方程为
,其通解为
,其中:
为任意常数。为了确定任意常数的具体取值,通常给出条件
当
时,
或
Ž
这里
都是给定的值。
设二阶微分方程为
,其通解为
,其中:
为独立的任意常数。为了确定
的值,通常给出条件
当
时,
,
, 即
这里
都是给定的值。
上面所给出的这种条件Ž、叫做初始条件;
确定了通解中的任意常数之后所得到的解称作微分方程的特解。
求微分方程
满足初始条件
的特解,又称之为一阶微分方程的初值问题,记作
一般地讲,微分方程特解的图形是一条曲线,这一曲线称之为积分曲线。
初值问题的几何意义为:求微分方程通过点
的那条积分曲线。
【例1】一曲线过点
,且在该曲线上任一点
处的切线斜率为
,求该曲线的方程。
解:设所求曲线的方程为
,则它满足
把方程两端积分,得
(
是任意常数)
由初始条件,有
由此定出
故所求曲线的方程为
【例2】验证:函数
(
是任意常数)
是微分方程
的通解。
解:
显然
故
是微分方程的解。因
是相互独立的两个任意常数,而微分方程的阶数是二阶的,故它微分方程的通解。
§12.2可分离变量的微分方程
【定义】如果一阶微分方程能化成
的形式,那么原方程称之为可分离变量的微分方程。
为讨论这类微分方程的求解,我们先看两个引例
对于一阶微分方程
只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解
但是,并非所有的一阶微分方程都能这样求解。
例如,对于一阶微分方程
就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数,积分
求不出来。为了解决这个困难,在方程的两端同乘以
,使方程变为
这样,变量
与
被分离在等式的两端,然后两端积分得
如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?
直接验证:对方程两边关于
求导,有
可见,它确实是原方程的通解。
下面讨论可分离变量微分方程
的求解。
假定函数
和
是连续的。
设
是方程Œ的解,将它代入方程得到恒等式
将上式两端积分有
引入变量替换
,得
设
及
依次为
及
的原函数,于是有
因此,方程Œ的解满足关系式。
反之,如果
是式所确定的隐函数,那未在
的条件下,据隐函数的直接求导法有
因此,函数
满足方程Œ。
综合上述讨论有
如果可分离变量方程Œ中的
和
连续,且
,那么Œ式两端积分后得到的关系式,它用隐式的形式给出了方程Œ的解。
由于式含有任意常数,故式叫做微分方程的隐式通解(当
时,式所确定的隐函数也可认为是方程Œ的解)。
【例1】设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(
)速度为零,求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解:设伞下落速度为
,在下落时,同时受到重力
与阻力
的作用,重力大小为
,方向与
一致;阻力大小为
(
为比例系数),方向与
相反,从而伞所受外力为
据牛顿第二运动定律
,得到函数
应满足微分方程
方程是可分离变量的,分离变量得
两端积分,有
其中
由初始条件
,有
于是所求的函数为
【例2】有高为100厘米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面面积为1平方厘米,开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度
(水面与孔口中心间的距离)随时间
变化的规律。
解:由水力学知道,水从孔口流出的流量
(即通过孔口横截面的水的体积
对时间
的变化率)可用下列公式计算
这里,
为流量系数,
为孔口横截面面积,
为重力加速度。
现在,孔口横截面面积为
另一方面,设在微小时间间隔
内,水面高度由
降至
,可得到
其中
是时刻
时的水面半径,右端置负号是由于
,而
。
如图,
得到微分方程
及初始条件
方程是可分离变量的方程
将初始条件代入,定出常数
。
把
值代入并化简,得
【注记】
本例通过对微小量的分析,得到了微分方程。这种微小量分析法,是建立微分方程的一种常用方法。
§12.3齐次方程
如果一阶微分方程
中的
可写成
的函数,即
,称此方程为齐次方程。
例如
是齐次方程,因为
在齐次方程
中,引入变量替换
有
,
将它们代入齐次方程,得
分离变量,得
两边积分,得
求出积分后,再用
代替
,便得所给齐次方程的隐式通解。
【例1】解方程
解:原方程可写成
因此是齐次方程,令
,则
于是原方程变为
分离变量, 得
两边积分,得
以
代替
, 得到原方程的通解
注记: