每个样本组的平均分分别为
,方差分别为
给出零假设
:
备择假设
:样本组的均值不全相等
方差分析将会依据观测数据判定假设是否成立。
进行方差分析有3个假定条件:
每个样本的值服从正态分布每个样本的方差
相同每个样本中的个体相互独立
假定零假设正确,
,三个样本均值相等,同时根据假定条件中的2:样本的方差相同,是不是可以看成——三个样本均取自均值
=
,方差为
的同一总体。
方差分析的核心是中心极限定理。
从均值为
,方差为
的总体中抽取样本容量为
的样本组,每个样本组的均值服从均值
,方差
的正态分布。(中心极限定理)
这里需要澄清样本和总体的概念:总体有三个,分别是三个班级的所有学生,从三个总体中分别抽取出样本容量为n的三个集合,是我们所谓的样本。如下图
经过观测,如果样本的均值差异较大,可以推出,每个总体的均值不同;如果样本均值相等,每个总体的均值可能很接近。
这里的一个隐含推理就是:三个样本来自同一总体,即将整个六年级看做一个整体,不存在班级差异。这样,在抽取的样本量相同的假定条件下,抽样符合中心极限定理。可以推测样本均值的分布符合正态分布,在某一区间内的概率会大。
正态分布曲线
若
成立,我们所得的三个班级是这个曲线上的某三个点,正态分布的均值是三个样本的均值的平均数,即
,
正态分布的方差可用如下公式进行估计
,
其中
是样本数量,
是样本均值的方差。根据中心极限定理
,有
,即
可以证明这是样本方差的无偏估计,称为
的组间估计。
另一方面,如果
为假,则三个样本来自不同的总体
三个样本来自不同总体
有三个不同的分布。如果将三个班看做一个总体,则总体的方差也会更大,总体的方差可用三个样本方差的均值来估计:
,称为
的组内估计。
如果
不成立,组内估计可用于总体的方差估计。因为当
成立时,每个样本的方差相同,等于总体方差,此时方差的组间估计是更好的估计。故当组内估计和组间估计接近时,
为真。这就是方差分析的核心思路。

正式声明

设有
组样本,每组有
个独立样本,
表示每组中的第几个样本,
表示第几个样本组。
定义零假设
:
对应的备择假设
:样本均值不完全相等
可以计算每组的均值
(其中
为第
组的第
个样本)
每组方差
若k个样本来自同一总体,该总体的均值等于所有样本中的样本个体之和除以总个体数
,另一种方法是样本均值的均值
总体方差的组间估计为
总体方差的组内估计为
有了上面一段啰里啰嗦的公式之后,F检验的正式说明是:如果零假设为真,总体方差的组间估计和组内估计的比值,服从分子自由度为
,分母自由度为
的F分布
F分布和当中的拒绝域

应用

给定显著性水平
,F分布对应的临界值为
,当