一.本文所涉及的内容(Contents)
二.背景(Contexts)
之前使用SQL把十进制的整数转换为三十六进制,SQL代码请参考:SQL Server 进制转换函数,其实它是基于二、八、十、十六进制转换的计算公式的,进制之间的转换是很基础的知识,但是我发现网络上没有一篇能把它说的清晰、简单、易懂的文章,所以我才写这篇文章的念头,希望能让你再也不用担心、害怕进制之间的转换了。
下面是二、八、十、十六进制之间关系的结构图:
(Figure1:进制关系结构图)
下文会分4个部分对这个图进行分解,针对每个部分会以图文的形式进行讲解:
(二、八、十六进制) → (十进制);(十进制) → (二、八、十六进制);(二进制) ↔ (八、十六进制);(八进制) ↔ (十六进制);
三.进制转换算法(Convert)
在数字后面加上不同的字母来表示不同的进位制。B(Binary)表示二进制,O(Octal)表示八进制,D(Decimal)或不加表示十进制,H(Hexadecimal)表示十六进制。例如:(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H

(一) (二、八、十六进制) → (十进制)

(Figure2:其他进制转换为十进制)
二进制 → 十进制
方法:二进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方,第2位的权值是2的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。
例:将二进制的(101011)B转换为十进制的步骤如下:
1. 第0位1x2^0 = 1;
2. 第1位1x2^1 = 2;
3. 第2位0x2^2 = 0;
4. 第3位1x2^3 = 8;
5. 第4位0x2^4 = 0;
6. 第5位1x2^5 = 32;
7. 读数,把结果值相加,1+2+0+8+0+32=43,即(101011)B=(43)D。
八进制 → 十进制
方法:八进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是8的0次方,第1位的权值是8的1次方,第2位的权值是8的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。
八进制就是逢8进1,八进制数采用 0~7这八数来表达一个数。
例:将八进制的(53)O转换为十进制的步骤如下:
1. 第0位3x8^0 = 3;
2. 第1位5x8^1 = 40;
3. 读数,把结果值相加,3+40=43,即(53)O=(43)D。
十六进制 → 十进制
方法:十六进制数从低位到高位(即从右往左)计算,第0位的权值是16的0次方,第1位的权值是16的1次方,第2位的权值是16的2次方,依次递增下去,把最后的结果相加的值就是十进制的值了。
十六进制就是逢16进1,十六进制的16个数为0123456789ABCDEF。
例:将十六进制的(2B)H转换为十进制的步骤如下:
1. 第0位Bx16^0 = 11;
2. 第1位2x16^1 = 32;
3. 读数,把结果值相加,11+32=43,即(2B)H=(43)D。

(二) (十进制) → (二、八、十六进制)

(Figure3:十进制转换为其它进制)
十进制 → 二进制
方法:除2取余法,即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数,而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,一直到最前面的一个余数。
例:将十进制的(43)D转换为二进制的步骤如下:
1. 将商43除以2,商21余数为1;
2. 将商21除以2,商10余数为1;
3. 将商10除以2,商5余数为0;
4. 将商5除以2,商2余数为1;
5. 将商2除以2,商1余数为0;
6. 将商1除以2,商0余数为1;
7. 读数,因为最后一位是经过多次除以2才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,101011,即(43)D=(101011)B。
(Figure4:图解十进制 → 二进制)
十进制 → 八进制
方法1:除8取余法,即每次将整数部分除以8,余数为该位权上的数,而商继续除以8,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。
例:将十进制的(796)D转换为八进制的步骤如下:
1. 将商796除以8,商99余数为4;
2. 将商99除以8,商12余数为3;
3. 将商12除以8,商1余数为4;
4. 将商1除以8,商0余数为1;
5. 读数,因为最后一位是经过多次除以8才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,1434,即(796)D=(1434)O。
(Figure5:图解十进制 → 八进制)
方法2:使用间接法,先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成八进制;
(Figure6:图解十进制 → 八进制)
十进制 → 十六进制
方法1:除16取余法,即每次将整数部分除以16,余数为该位权上的数,而商继续除以16,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。
例:将十进制的(796)D转换为十六进制的步骤如下:
1. 将商796除以16,商49余数为12,对应十六进制的C;
2. 将商49除以16,商3余数为1;
3. 将商3除以16,商0余数为3;
4. 读数,因为最后一位是经过多次除以16才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,31C,即(796)D=(31C)H。
(Figure7:图解十进制 → 十六进制)
方法2:使用间接法,先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成十六进制;
(Figure8:图解十进制 → 十六进制)

(三) (二进制) ↔ (八、十六进制)

(Figure9:二进制转换为其它进制)
二进制 → 八进制
方法:取三合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每三位取成一位,接着将这三位二进制按权相加,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左(向右)取三位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足三位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足三位。
例:将二进制的(11010111.0100111)B转换为八进制的步骤如下:
1. 小数点前111 = 7;
2. 010 = 2;
3. 11补全为011,011 = 3;
4. 小数点后010 = 2;
5. 011 = 3;
6. 1补全为100,100 = 4;
7. 读数,读数从高位到低位,即(11010111.0100111)B=(327.234)O。
(Figure10:图解二进制 → 八进制)
二进制与八进制编码对应表:

二进制
八进制

八进制 → 二进制
方法:取一分三法,即将一位八进制数分解成三位二进制数,用三位二进制按权相加去凑这位八进制数,小数点位置照旧。
例:将八进制的(327)O转换为二进制的步骤如下:
1. 3 = 011;
2. 2 = 010;
3. 7 = 111;
4. 读数,读数从高位到低位,011010111,即(327)O=(11010111)B。
(Figure11:图解八进制 → 二进制)
二进制 → 十六进制
方法:取四合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每四位取成一位,接着将这四位二进制按权相加,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左(向右)取四位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足四位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足四位。
例:将二进制的(11010111)B转换为十六进制的步骤如下:
1. 0111 = 7;
2. 1101 = D;
3. 读数,读数从高位到低位,即(11010111)B=(D7)H。
(Figure12:图解二进制 → 十六进制)
十六进制 → 二进制
方法:取一分四法,即将一位十六进制数分解成四位二进制数,用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数,小数点位置照旧。
例:将十六进制的(D7)H转换为二进制的步骤如下:
1. D = 1101;
2. 7 = 0111;
3. 读数,读数从高位到低位,即(D7)H=(11010111)B。
(Figure13:图解十六进制 → 二进制)

(四) (八进制) ↔ (十六进制)

(Figure14:八进制与十六进制之间的转换)
八进制 → 十六进制
方法:将八进制转换为二进制,然后再将二进制转换为十六进制,小数点位置不变。
例:将八进制的(327)O转换为十六进制的步骤如下:
1. 3 = 011;
2. 2 = 010;
3. 7 = 111;
4. 0111 = 7;
5. 1101 = D;
6. 读数,读数从高位到低位,D7,即(327)O=(D7)H。
(Figure15:图解八进制 → 十六进制)
十六进制 → 八进制
方法:将十六进制转换为二进制,然后再将二进制转换为八进制,小数点位置不变。
例:将十六进制的(D7)H转换为八进制的步骤如下:
1. 7 = 0111;
2. D = 1101;
3. 0111 = 7;
4. 010 = 2;
5. 011 = 3;
6. 读数,读数从高位到低位,327,即(D7)H=(327)O。
(Figure16:图解十六进制 → 八进制)
四.扩展阅读
1. 包含小数的进制换算:
(ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2
=2560+176+12+0.5+0.046875
=(2748.546875)D
2. 负次幂的计算:
2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5
同底数幂相除,底数不变,指数相减,反过来
3. 我们需要了解一个数学关系,即23=8,24=16,而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的,即用三位二进制表示一位八进制,用四位二进制表示一位十六进制数。接着,记住4个数字8、4、2、1(23=8、22=4、21=2、20=1)。
五.参考文献(References)