余弦定理对解三角形是非常有用的:
这定理适用于任何三角形:

a、b和c是三角形的边。
C边c的对角

我们举个例来看看:

例子:"c" 的长度是多少?

已知: C = 37º、a = 8 和b=11

余弦定理说:c2= a2+ b2− 2ab cos(C)
代入已知值:c2= 82+ 112− 2 × 8 × 11 × cos(37º)
计算:c2= 64 + 121 − 176 × 0.798…
计算:c2= 44.44...
开平方:c = √44.44 =6.67保留两位小数

答案:c = 6.67

怎样记

怎样去记这公式呢?
公式其实是在勾股定理 上多加一点,使其适用于所有的三角形:

勾股定理:a2+ b2= c2(只适用于直角三角形)
余弦定理:a2+ b2− 2ab cos(C) = c2(适用于所有三角形)

这样记:
想英语字母 "abc":a2+b2=c2,再来一个"abc":2abcos(C),放在一起:a2+ b2− 2ab cos(C) = c2

什么时候用

在以下的情形,我们可以用余弦定理:
已知三角形的两边和两边中间的夹角,求第三边(像上面的例子)已知三角形的三边,求其角度(如以下的例子)

例子:角"C" 是多大?

长度为 "8" 的边的对角是C,所以这边是c。另外两条边是a和b。
把已知值代入余弦定理::

开始:c2= a2+ b2− 2ab cos(C)
代入 a、b 和c:82= 92+ 52− 2 × 9 × 5 × cos(C)
Calculate:64 = 81 + 25− 90 × cos(C)
重排及解:
每边减 25:39 = 81− 90 × cos(C)
每边减 81:−42 =−90 × cos(C)
两边对调:−90 × cos(C) = −42
除以 −90:cos(C) = 42/90
取逆余弦:C = cos-1(42/90)
用计算器:C =62.2°(保留一位小数)

其他形式

求角度的简易形式

上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做,但其实用 "直接" 公式会比较简单(公式只不过是重排这公式:c2= a2+ b2− 2ab cos(C))。公式可以有三个形式:
cos(C) =a2+ b2− c22ab
cos(A) =b2+ c2− a22bc
cos(B) =c2+ a2− b22ca

例子:用余弦定理(角度形式)来求角 "C"

已知三边:
a = 8,b = 6 和c = 7。
用余弦定理(角度形式)来求角C:

cos C= (a2+ b2− c2)/2ab
= (82+ 62− 72)/2×8×6
= (64 + 36 − 49)/96
= 51/96
= 0.53125
C= cos-1(0.53125)
=57.9°保留一位小数

a、b 和c的形式

你也可以重写c2= a2+ b2- 2ab cos(C) 公式为 "a2=" and "b2=" 的形式。
以下是这三个形式:
但最容易是记着 "c2=" 的形式,然后在应用时用不同的字母!
如下:

例子:求长度 "z"

字母不同!没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和z代替 c

开始:c2= a2+ b2− 2ab cos(C)
x 代替 a、y 代替 b 和z代替 cz2= x2+ y2− 2xy cos(Z)
代入已知值:z2= 9.42+ 6.52− 2×9.4×6.5×cos(131º)
计算:z2= 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)
z2= 130.61 + 80.17……
z2= 210.78……
z = √210.78…… =14.5保留一位小数。

答案:z = 14.5
留意到 cos(131º) 是负数吗?这把最后的正负号变成+(正)号了。钝角的余弦一定是负数(见单位圆)。