证 明 :AD,BE,CF 三 线 共点的充要条件是 ACD= BCE。 2016年第9期 解 析 :如 图 17,记 BAE一 CAF— a, ABD一 CBF一 口, ACD 一 , BCE— 。 对 △ABC 和 点 D,由角 元 塞 B 瓦 定 理 , 得 · sin BAD sin CBD sinZ CAD sin/ABD u 图 17 同理 ,对 △ABF 和截 线 DCE,由 角元 梅 涅 劳 斯 定理 及 BPC+ APD=180。,得 sin口一sin(/ APB4-a) c in sin( cPD一 )。 即 sin 0 · · 一 1。 ① 同理 ,对△ABC和点 E,F,由角元塞 瓦定理 ,分 别 得 旦二翌 . .— sin~—CBE sin sin(~ BAC -a) sin~EBA 一1, ② . 皇 二 sinZ FCB sin口 。 sAinBf l 一1。 sin( ABC一口) ~ ③ 将① 、② 、③相乘并整理 ,得 . 皇 . 里 皇 一 Sin F C B Sin D A C Sin E B A sin( ACB- - 0)sin sin 0sin(/A( B一 ) 由角 元塞 瓦 定 理 及 其 逆 定 理 知 ,AD,BE,CF 三 线共 点 的 充 要 条 件 是 一 1㈢ 一专[cos(/ACB一 + )一cos(ZACB -O -qD] — — ;-————————————————————————————————————一 一 一专[cos(~ACB一 + )一cos(ZACB- - 一 )] l~=>cos(/ ACB一 口+ )一 COS(Z ACB一 + 臼)㈢ 一 甘 ACD 一 BCE。 例 18 如 图 18,P 为 凸四边 形 ABDC 内一 点 ,满 足 APB+ CPD=180。。设 AB,DC的延长 线交 于点 E,BC,AD 的延 长 线 交 于点 F,求证 : BPE一 DPF。 得 B 图 1 8 解析 :设 ~BPE=a,/DPF=p。 对△ AED 和 截 线 BCF,由 角元 梅 涅 劳 斯 定 理 , sin APB sin(/BPC -a) ~ si ’n a sin,~CPD · sAin /? 十 = 1。 sin( A 十 。 因为 APB+ CPD一 180。,所 以