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-尽力写最好的讲义,尽力写最好的科普。
好久不写科普啦,今天比较闲,所以写一篇。
假设有随机的
个人处在同一房间中,那么这些人中至少有两个人的生日(不考虑年份)相同的概率是多少?这个问题被称为生日问题(birthday problem)或者生日悖论(birthday paradox)。这个问题还有一种表述方式:在一个房间要有多少人,才能使得其中两个人的生日相同的概率大于
?答案是
个人。直观上来讲,随机的
个人当中有两个人生日相同的概率是远小于
的,由于这种违反直觉的答案,所以这个问题才被称为生日悖论。这里的“悖”并非指的是逻辑上的矛盾,而是有悖于直觉。文章的最后我会解释为何会出现这种有悖于直觉的问题。
在这篇文章中, 我们就来研究一下这个问题。
总注:
代表是的事件“房间中
个被随机选中的人中,至少有两个人生日相同”的概率。
首先我们需要来做几个假设,在这些假设的基础上,我们才能来继续研究这个问题。
只考虑平年。即一年中有
天;不考虑双胞胎或者多胞胎;假设一年中的
天的出生概率是相同的。
首先,我们先来定义该问题的样本空间:
对式
这样的一个样本空间,我来做以下解释:
代表了从
月
日到
月
日的不同日期(今后若无特殊说明,本文中的日期均记作
,比如
月
日记作
)。其中
代表
,
代表
,中间的数字以此类推;
这里的
不是
次方的意思,而是指有
个人(
元组)。
假设在同一间房子里,有三个随机被选中的人(即
),假设这三个人的出生日期分别为:
,则我们可以得到一个三元组:
这个三元组就代表了这三个随机被选中的人的生日。
一般来讲,我们会得到一个
元组,这个
元组的每一个索引代表一个随机被选中的人,这个索