u 的希尔伯特变换可以认为是 u(t) 与函数 h(t) = 1/(πt) 的卷积。由于 h(t) 是不可积的,定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用柯西主值(这里记为p.v.)定义的。准确说来,函数(或信号) u(t) 的希尔伯特变换是:假设此积分作为主值存在。这就是 u 与缓增分布 p.v. 1/πt 的卷积(。另外,通过改变变量,主值积分可以显式地(Zygmund 1968,§XVI.1)写为:若希尔伯特变换接连用在函数 u 上两次,结果就是负 u:假设定义两次迭代的积分都收敛。特别地,逆变换是 −H。可以通过考虑 u(t) 的傅里叶变换的希尔伯特变换效应看出这一事实。对上半平面的解析函数,希尔伯特变换描述了边界值的实部与虚部之间的关系。也就是说,如果 f(z) 是在 Im z>0 平面内的解析函数,而 u(t) = Ref(t+0·i),假设希尔伯特变换存在,则 Imf(t+0·i) = H(u)(t) 取决于一个相加性常数。希尔伯特变换之频率响应由傅里叶变换给出: 其中 是傅里叶变换,i (有时写作j )是虚数单位,是角频率,以及即为符号函数。既然: ,希尔伯特变换会将负频率成分偏移+90°,而正频率成分偏移−90°。我们也注意到:。因此将上面方程乘上,可得到:从中,可以看出反(逆)希尔伯特变换信号 希尔伯特变换 Sinc函数 矩形函数 狄拉克δ函数 指示函数若 1