不请自来。
如果有错误和要完善的地方,欢迎指出和补充,大佬轻喷,我只是个可怜的高三狗。OwO
讲正事。
在平行投影的情况下,不存在这样的平面,使抛物线投影成椭圆和双曲线,极限情况是射线或直线。
至于原因你可以这么模糊地理解:平行投影相当于对抛物线进行拉伸或压缩,这种操作不能使抛物线变成闭合的椭圆,以及有渐近线的双曲线。
如果定量的话,我用线性代数来解释下。由于平行光投影是一种线性的变换,故令抛物线为
,对
横向放大到
倍相当于左乘矩阵
,而纵向放大到
倍相当于左乘矩阵
,两者综合起来就是左乘
。最后得到的新圆锥曲线为
,当平行光的波面与抛物线所在平面不垂直(认为光屏平行波面),那么投影将依然是抛物线。
当然伸缩的部分可以直接用高中的方法解释就行了,比如
是怎么从
变来的,这里用线代是想强调一下线性变换。
再讨论下中心投影的情况。其实想想“圆锥曲线”这名字就能联想到,互相投影是可行的。
讲细一点,为了直观方便地描述,我用GeoGebra演示一下。
想象一个圆锥面被截出了一个圆锥曲线,比如椭圆。
被截得的椭圆
现在令原点为点光源,那么这个圆锥面当然可以是原点发出的一束光线。
当然存在一个投影面,使椭圆投影成圆,比如这样:
蓝色的面是投影面
反过来,圆也可以投影成椭圆,只不过投影面是斜的。
蓝色面为投影面
再讨论一下抛物线和双曲线(一支)。如果上面情况的投影面再斜点,使其和圆锥面的一条母线平行,那么就能投影得到抛物线了。
蓝色面为投影面,黄线为投影出来的抛物线
觉得这个投影面歪了嘛?其实不要紧,毕竟圆锥面就是光线围成的。
还有双曲线:
蓝色面为投影面,黄色线为双曲线(一支)
如果反过来呢?
其实差不多,不过有点区别。由于抛物线和双曲线可以延伸到无限远,所以如果投影面和原点距离有限,那么得到的投影将会是圆或椭圆的一部分。
蓝色是投影面,黄色是双曲线,投影是DE优弧(圆的一部分)
蓝色是投影面,黄色是双曲线,投影是DFE椭圆弧
上面给出了双曲线投影成椭圆或圆(弧)的情况,至于抛物线也是类似的。
其实还有更简单的演示方法。
手电筒玩过没?;P
绘图软件: