§6.3 维数 基 坐标 矩阵 在基 下的 坐标就是 一般地,数域P上的全体 矩阵构成的线性空间 为 维的, 注: 就是 的一组基. 矩阵单位 * §6.3 维数 基 坐标 下的坐标,其中 解:设 ,则有线性方程组 解之得, . ∴ξ在基 下的坐标为 . 例6 在线性空间 中求向量 在基 * §6.3 维数 基 坐标 练习 1.已知全体正实数R+对于加法与数量乘法: 构成实数域R上的线性空间,求R+的维数与一组基. 2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里 * §6.3 维数 基 坐标 1 解: 数1是R+的零元素. 即x可由 a 线性表出. 任取R+中的一个数 a , 且 ,则a是线性无关的. 故R+是一维的,任一正实数 就是R+的一组基. * §6.3 维数 基 坐标 2 解: ① * §6.3 维数 基 坐标 下证 线性无关. 设 得齐次线性方程组 其系数行列式 ② * §6.3 维数 基 坐标 ∴方程组②只有零解: 故 线性无关. 又由①知,任意均可表成 的线性组合, 所以V为三维线性空间, 就是V的一组基. * §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间 * §6.3 维数 基 坐标 一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 §6.3 维数 · 基与坐标 * §6.3 维数 基 坐标 引入即线性空间的构造如何? 怎样才能便于运算? 问题Ⅰ 如何把线性空间的全体元素表示出来? 这些元素之间的关系又如何呢? (基的问题) 问题Ⅱ 线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达? (坐标问题) * §6.3 维数 基 坐标 一、线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义 设V 是数域 P 上的一个线性空间 (1) 和式 的一个线性组合. 称为向量组 (2) ,若存在 则称向量 可经向量组 线性表出; 使*§6.3 维数 基 坐标 若向量组 中每一向量皆可经向量组 线性表出,则称向量组 可经向量组 线性表出; 若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组 为等价的. (3) ,若存在不全为零的数 ,使得 则称向量组 为线性相关的