例 1 解下列矩阵方程 :(i)11- 1- 211111X=236;解 　　 设 A =11- 1- 211111,B =236。182005 年 6 月第 3 期 　　　　　　　 三种典型矩阵方程的简单解法Ξ收稿日期 :2005 - 1 - 10作者简介 :陈逢明 (1962 - 　 )男 福建商业高等专科学校 讲师 ( A┊B )=11- 1… 2- 211… 3111… 6→11- 1… 203- 1… 7002… 4→110… 4030… 9001… 2→110… 4010… 3001… 21→100… 1010… 3001… 2= (E┊ X)于是 　　X =32(ii)1210010100210003X =1252012- 400- 43000- 9。解 　　 设 A =1210010100210003,B =1252012- 400- 43000- 9。(A ┊ B) =1210… 12520101… 012- 40021… 00- 430003… 0100- 9→101- 2… 10100101… 012- 40021… 00- 430001… 000- 3→1010… 10140100… 012- 10020… 00- 460001… 000- 3→1010… 10140100… 012- 10010… 00- 230001… 000- 3→1000… 10310100… 012- 10010… 00- 230001… 0000- 3= (E ┊ X) ,于是 　　X =131012- 100- 23000- 3。由引理 2 及引理 3 又可得 :若 XA = B ,且| A| ≠0 ,则存在有限个初等矩阵Q1 ,Q2, …QS, 使　　　　　　　 AQ- 1即 　　　　　　 Q- 1于是有 　　　 X = BQ- 1证 　 因| A| ≠0 ,故 A 可逆 ,即 A- 1存在。 由引理 2 ,S Q- 1S - 1 …Q- 11= E(d)S Q- 1S - 1 …Q- 11= A- 1。S Q- 1S - 1 …Q- 11。(e)知存在有限个初等矩阵 Q1 ,Q2, …QS, 使A = Q1Q2…QS。又由引理 3 ,可得AQ- 1SQ- 1S - 1 …Q- 11= E及 Q- 1SQ- 1S - 1…Q- 11= A- 1。(3)由 　XA =B ,得X =BA- 1。(4)将(3) 代入(4) ,即得X =BQ- 1S Q- 1S - 1 …Q- 11。证毕上面的 (d) 式表明矩阵 A 经一系列初等列变换可变成 E。 (e) 式表明矩阵 B 经这同一系列初等列变换即变成 X。 用分块矩阵形式 ,及按矩阵的分块乘法 , (d) 、 (e)两式可合并写成A…BQ- 1S Q- 1S - 1 …Q- 11=AQ- 1S Q- 1S - 1…Q- 11… … …BQ- 1……S Q- 1S - 1…Q- 11=E…X。(f)即对矩阵A…B施行初等列变换 ,当把 A 变成 E 时 ,B就变成 X。 (f)式提供了 一个具体解矩阵方程 XA = B 的简单方法。例 2 　 解下列矩阵方程。28　　　　　　　　　　　　　　　　　 福建商业高等专科学校学报 　　　　　　　　　　　　　 2005 年 6 月 (i) X310- 121342= (0 　 2 　 3) ;解 　　 设 A =310- 121342,B = (0 　 2 　 3) 。A…B=310- 121342………023→10321- 1423………230→10021- 742- 9………23- 6→100010025………- 4315→100010021………- 433→100010001………- 4- 33=E…X,于是有 　　　　X = ( - 4 　- 3 　 3) 。(ii) X123456781=123012453。解 　　 设 A =123456781,B =123012453。A…B=123456781………123012453→1004- 3- 67- 6- 20………1000124- 3- 9→10041072- 8………1000- 1/ 3041- 3→100010- 101………1004/ 3- 1/ 3001/ 43/ 8→100010001………1004/ 3- 1/ 303/ 81/ 43/ 8=E…X,于是有 　　　X =1004/ 3- 1/ 303/ 81/ 43/ 8。利用上述矩阵方程 AX = B ,XA = B 的解法 ,综合之可得解矩阵方程 AXB = C 的简单解法例 3 　 解下列矩阵方程。(i)123221343X2153=1320331;解法一 　　 设 A =12221343,B =2153,C =132031。则有 AXB = C。又令 XB = Y,则 AY= C。(A ┊ C) =123… 13221… 2034… 13… 331→1230- 2- 5… 0- 601- 20- 6- 2… 0… 1- 8- 3→0- 2- 5… 0- 600- 1… 0- 2382005 年 6 月第 3 期 　　　　　　　 三种典型矩阵方程的简单解法 →100… 110- 20… 04001… 012→100… 1010… 0- 2001… 02= (E ┊ Y)于是 　　Y=110- 202;B…Y=2153……110- 202→1235……11- 2020→103- 1……1- 1- 2- 242- 4→1001……- 2110- 4- 104=E…X,所以 　　X =- 2110- 4- 104。解法二 　 上述求未知矩阵 X的具体过程亦可用如下方法进行。 先写出矩阵ACOB=1231322120343310002100053,然后分别对其前三行施行初等行变换及对其后二列施行初等列变换 ,当把 A 及 B 变成 E 时 ,C 就变成 X。即 　ACOB=1231322120343310002100053→(对前三行施行初等行变换) →100110100- 2001020002100053→(对后二列施行初等列变换)→100- 2101010- 4001- 1040001000001=EXOE,于是求得 　　X =- 2110- 4- 104。(ii)010100001X100001010=1- 4320- 11- 20。解法一 　　 设 A =010100001,B =100001010,C =1- 4320- 11- 20。则有 AXB = C。又令 AX = Y,则 YB = C。B…C=100001010………1- 4320- 11- 20→100010001………13- 42- 1010- 2=E…Y,于是 　　Y=13- 42- 1010- 2;(A ┊ Y) =010… 13- 4100… 2- 10001… 10- 248　　　　　　　　　　　　　　　　　 福建商业高等专科学校学报 　　　　　　　　　　　　　 2005 年 6 月 →100… 2- 10010… 13- 4001… 10- 2= (E ┊ X) ,所以 　　X =2- 1013- 410- 2。解法二 　 上述求未知矩阵 X的具体过程亦可用如下方法进行。 先写出矩阵BOCA=1000000010000100001- 4301020- 11001- 20001,然后分别对其前三列施行初等列变换及对其后三行施行初等行变换 ,当把 A 及 B 变成 E 时 ,C 就变成 X。即 　BOCA=1000000010000100001- 4301020- 11001- 20001→(对前三列施行初等列变换) →10000001000000100013- 40102- 1010010- 2001→(对后三行施行初等行变换)1000000100000010002- 1010013- 401010- 2001=EOXE,于是求得 　　X =2- 1013- 410- 2。参 考 文 献[1 ]北京大学数学力学系・ 高等代数・ 人民教育出版社 ,1978 年.[2 ]同济大学数学教研室・ 线性代数・ 高等教育出版社 ,1982 年.582005 年 6 月第 3 期 　　　　　　　 三种典型矩阵方程的简单解法