第二节 n 阶行列式的定义 介绍线性代数的思想方法及其要点, 关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处 内容要点: 内容要点: 从三阶行列式讲起,应如何定义行列式,对于更高阶行列式定义的启发于思考。 一、排列与逆序 定义 1 由自然数 1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列,称为一个 n 级排 列(简称为排列)。 例如,1234 和 4312 都是 4 级排列,而 24315 是一个 5 级排列. 例如 规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序 标准次序。 标准次序 若数 it > i s , 则称数 it 与 i s 构成一个逆序 逆序. 定义 2 在一个 n 级排列 (i1i2 L it L i s L in ) 中, 逆序 一个 n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数 记为 N (i1i 2 L i n ). 逆序数, 逆序数 根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数: 设在一个 n 级排列 i1i2 L i n 中,比 ik ( k = 1,2, L , n) 大的且排在 ik 前面的数由共有 t k 个, 则 ik 的逆序的个数为 t k , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即 n N (i1i2 L in ) = t1 + t 2 + L + t n = ∑t . k k =1 定义 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 二、n 阶行列式的定义 定义 4 由 n 2 个元素 aij (i, j = 1,2, L , n) 组成的记号 a11 a 21 L a n1 a12 a 22 L a1n L a2n L L L a n 2 L a nn 称为 n 阶行列式 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、 阶行列式, 不同列的 n 个元素 行 列 乘积 a1 j1 a 2 j2 L a njn 的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对 应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n = ( ?1) N ( j1 j 2 L j n ) a1 j1 a2 j 2 L anj n L L L L j j Lj 1 2 n an1 an 2 L ann ∑ 其中 数 aij ∑ j1 j2 L jn 表示对所有 n 级排列 j1 j 2 L j n 求和. 行列式有时也简记为 det ( aij ) 或 | a ij | ,这里 N ( j1 j 2 L jn ) 称为行列式的元素 元素,称 (?1) 元素 a1 j1 a 2 j2 L a njn 为行列式的一般项. 一般项 注: (1) n 阶行列式是 n! 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所 带的符号)各占一半; (2) a1 j1 a 2 j2 L a njn 的符号为 ( ?1) N ( j1 j 2 L jn ) (不算元素本身所带的符号); (3) 一阶行列式 | a |= a, 不要与绝对值记号相混淆. 三、对换 为进一步研究 n 阶行列式的性质,先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。 定义 5 在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续称 为对换。将两个相邻元素对换,称为相邻对换。 定理 1 任意一个排列经过一个对换后,其奇偶性改变。 借助课件设计的动画形象解释证明思路。 推论 奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数, 偶排列变成自然顺序排列的对换次 数为偶数. 定理 2 n 个自然数(n>1)共有 n!个 n 级排列,其中奇偶排列各占一半. 定理 3 n 阶行列式也定义为 D= ∑ (?1) a s i1 j1 ai 2 j 2 L ai n j n 其中 S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即 S= N (i1 i2 ? ? ? in ) + N ( j1 j2 ? ? ? jn ) 。 推论 n 阶行列式也可定义为 D= ∑ (?1) N (i1i 2 ??? i n ) ai1 1ai2 2 L ai n n , 例题选讲: 例题选讲: 排列与逆序 例 1 (教材例 1) 计算排列 32514 的逆序数. 教材例 例 2 计算排列 217986354 的逆序数, 并讨论其偶性. n 阶行列式的定义 0 0 0 1 例 4 (教材例 3) 计算行列式 D = 教材例 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 a11 0 例 5 (教材例 4) 计算上三角形行列式 教材例 L 0 a12 a 22 L 0 L a1n L a 2n (a a L a nn ≠ 0). L L 11 22 L a nn 对换 例 8 (教材例 5) 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号 教材例 (1) a 23 a31 a 42 a56 a14 a65 ; (2) a32 a 43 a14 a51 a66 a 25 . 0 0 0 0 L 0 1 0 L 2 0 0 例 9 (教材例 6) 用行列式的定义计算 Dn = L L L L L L. 教材例 n ?1 0 L 0 0 0 0 0 L 0 0 n 课堂练习 视讲课时间而定,布置课堂练习 1.若 (?1) N ( i 432 k )+ N ( 52 j14) ai 5 a 42 a3 j a 21a k 5 是五阶行列式的一项,则 i, j , k 应为何值?此时该 项的符号是什么? 0 1 0 1 1 0 1 0 2.用行列式的定义计算下列行列式: . 0 1 0 0 0 0 1 1 x 1 1 x 1 1 2 ?1 1 1 3.已知 f ( x) = 3 2 x 1 1 2x , 求 x 3 的系数. 习题布置 1. (1) (3) (5) 3. (1) (3) 4. 6. (2) (5)