矩阵的行列式是一个可以从方形矩阵(方阵)计算出来的特别的数。
矩阵是数的排列:
矩阵
(这矩阵有2行和2列)
这矩阵的行列式是(待会儿会解释计算方法):
3×6 − 8×4 = 18 − 32 =−14

用来干什么的?

行列式告诉我们矩阵的一些特性,这些特性对解线性方程组很有用,也可以帮我们找逆矩阵,并且在微积分及其他领域都很有用.

符号

行列式的符号是每边一条垂直线。
例子:
|A|代表矩阵A的行列式
(和绝对值的符号一模一样。)

计算行列式

首先,矩阵一定要是方形矩阵(就是,行和列的数目相同)。计算方法其实很简单,只不过是基本的算术,如下:

2×2 矩阵

2×2 矩阵 (2行和2列):
行列式是:
|A| = ad - bc
"A 的行列式等于 a 乘d减b乘c"

把公式记住的窍门是想:十字乘法:
蓝色 是正(+ad),红色 是负(-bc)

例子:

|B|= 4×8 - 6×3
= 32-18
= 14

3×3 矩阵

3×3 矩阵 (3行和3列):
行列式是:
|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
"A 的行列式等于。。。。。。"
乍看很复杂,但这是有规律的:
求3×3矩阵的行列式:
把a乘以不在a的行或列上的2×2 矩阵的行列式。以b和c也做相同的计算把结果加在一起,不过b前面有个负号!
公式是(记着两边的垂直线||代表 "的行列式"):
"A 的行列式等于 a 乘。。。。。。的行列式。。。。。。"

例子:

|C|= 6×(-2×7 - 5×8) - 1×(4×7 - 5×2) + 1×(4×8 - -2×2)
= 6×(-54) - 1×(18) + 1×(36)
=-306

4×4 和更大的矩阵

同一规律也适用于4×4 矩阵:
加:a乘以不在a的行或列 的矩阵 的行列式,减:b乘以不在b的行或列 的矩阵 的行列式,加:c乘以不在c的行或列 的矩阵 的行列式,减:d乘以不在d的行或列 的矩阵 的行列式,
公式是:
留意 + - + - 的规律(+a 。。。-b 。。。+c 。。。-d 。。。)。 这很重要,要牢记。
同样的规律也适用于5×5 和更大的矩阵,但通常最好是用矩阵计算器来处理大的矩阵!

并非唯一的方法

这个计算放法叫 "拉普拉斯展开"。。。。。。我喜欢它,因为规律容易记。但亦有其他的计算方法(我只想你知道)。

总结

2×2 矩阵的行列式是ad - bc3×3 矩阵,把a乘以不在a的行或列 的矩阵 的行列式。b和c也做同样的计算,但b前面有个负号!更大的矩阵也跟随相同的规律: 把a乘以不在a的行或列 的矩阵 的行列式;第一行的每个元素都这样做;然后把结果跟随 + - + - 的规律加/减起来。