我欲乘舟归去,奈何不一致连续,卒。
函数一致连续与函数连续有什么区别,到底一致连续的“一致”是什么意思?
一切从什么是连续说起。
1 连续
1.1 某点连续
点连续用极限表达式可以表示为:,我们移一下项,变成,容易看出其几何意义:
可以拖动玩玩:
1.2 函数连续
函数内每个点都连续,则此函数连续。
它的画风是这样的:
2 一致连续
设函数在区间上有定义,,,使得对于区间上的任意两点,当时,有。那么称函数在区间上一致连续
高等数学同济第七版
2.1 几何意义
这个复杂一点。我们一步步来构建:
好,上面都相对好理解,其实这就是连续,此处解释了,为什么一致连续一定也是连续的,为什么一致连续里面有“连续”这个词。
好了,下面就是一致连续的关键了,一致连续对比连续实际上多了一个条件:
这个是什么意思呢:
我们找一个比较好的展现方式来帮助你想象:
怎么办?我把这条船缩小一点,再试试:
你可以划着这条船自己试试,不合适就调整下船的大小:
那么一致连续到底是什么呢?就是如果你能够找到一条小船(真的会很小),划过整个区间,对应的函数曲线都不会刺破你的矩形,那么就一致连续了。这条小船也就是所谓的“一致”!
马同学就是这么苦口婆心,我还要继续啰嗦一下,注意。这个意思是对于确定的,我们要找到那艘船,并且对于每一个我们都要找到那艘船,不过每艘船是可以不一样的:
2.2 代数意义
几何只能帮助理解,要入微还得靠代数。
首先,我要把一致连续变成极限形式,这样方便和连续进行比较。
一致连续的极限形式是:。
和连续来比较一下:
2.3 为什么会不一致连续
就是说为什么某些连续函数会找不到一条合适的小船,“安全”的(指矩形不会被刺穿)划过整个开区间(在闭区间,一致连续和连续是等价的)呢?比如。
,从代数上来看:
上面这种形式我不知道你是否好理解,要真正理解可能需要读下我之前写过的两篇文章:无穷小量是否为0,以及请用通俗的语言解释下海涅定理。看不明白也没有关系,帮助思考嘛。
另外再给一个书上的标准答案:
两个解答的关键都是,当与皆为变量时。被约掉了。
,从几何上来说(我之前举的例子其实就是):
3 为什么会有一致连续?
据我所知,柯西在定义连续的时候,用力过猛,先定义了一致连续,后来发现这个定义比连续更强,才转身定义了连续。
黎曼在研究黎曼可积的条件的时候,发现不一定连续函数就一定可积,就想是不是一致连续才是可积的条件呢?后来也发现不是。不管怎样一致连续就在数学史上留下了痕迹。
如果大家学习了拓扑之后会发现一致连续的更多应用。
4 总结
我欲乘舟归去,奈何不一致连续,卒。