第七节函数的连续性\uf0a1 一、 函数的连续性\uf0a1 二、 函数的间断点\uf0a1 三\uf0a1 三、 小结小结思考题思考题 一、 函数的连续性1.函数的增量)(在设函数xf.,),(,)(0000的增量称为自变量在点内有定义xxxxxUxxU\uf02d\uf03d\uf044\uf0ce\uf022\uf064\uf064))(()),(())((的增量的增量相应于相应于称为函数 f称为函数ffff\uf044\uf044\uf044\uf044.0xxfxxy\uf02d\uf03dyx0xy00 xxx\uf044\uf02b0)(xfy \uf03dx\uf0440 xxx\uf044\uf02b0x\uf044y\uf044y\uf044)(xfy \uf03d 注: 1 . 增量可以是正的, 也可以是负的,还可为0.△x>0: 正增量;△x<0:负增量.2 . 函数 f(x) 相应于△x的增量也可以写成:△y=f(x0+△x) -f(x0) 2.连续的定义定义 1 设函数)(xf在)(0xU\uf064内有定义, 如果当自变量的增量 x\uf044 趋向于零时, 对应的函数的增量 y\uf044 也趋向于零, 即0lim\uf0ae\uf044x0\uf03d\uf044y 或 0)]()([lim\uf0ae\uf044x000\uf03d\uf02d\uf044\uf02bxfxxf, 那末就称函数)(xf在点0 x 连续,0 x 称为)(xf的连续点. ,0xxx\uf044\uf02b\uf03d设),()(0xfxfy\uf02d\uf03d\uf044,00xxx\uf0ae\uf0ae\uf044就是).()(00xfxfy\uf0ae\uf0ae\uf044就是 定义 1 ′ 设函数)(xf在)(0xU\uf064内有定义, 如果函数)(xf当0xx \uf0ae时的极限存在, 且等于它在点0 x 处的函数值)(0xf, 即 )()(limx\uf0ae00xfxfx\uf03d 那末就称函数)(xf在点0 x 连续. :""定义x连续的\uf065\uf03e\uf022\uf064\uf065 \uf02d\uf064\uf02d.)()(,, 0, 000\uf065\uf03c\uf064\uf03c\uf02d\uf03ef\uf024xxfx恒有时使当 例1.0, 0, 0, 0,1xsin)(处连续在试证函数\uf03d\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf03d\uf0b9\uf03dxxxxxf证, 01sinlim\uf0aex0\uf03dxxx\uf051, 0) 0 (f\uf03d又由定义1′知.0)(处连续在函数\uf03dxxf),0 (f)(limx\uf0ae0xf\uf03d 3.单侧连续;)(),() 0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf\uf03d\uf02d),() 0(,),[)(000且内有定义在若函数xfxfbxxf\uf03d\uf02b定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf\uf0db.)(0处右连续在点则称xxf 例2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性处的在讨论函数\uf03d\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf03c\uf02d\uf0b3\uf02b\uf03dxxxxxxf解) 2(lim\uf0aex)(lim\uf0aex00\uf02b\uf03d\uf02b\uf02bxxf2\uf03d),0 ( f