预备知识力场 势能
电势能
我们先来看电势能. 如果空间中存在某种分布的静电场(关于位置的矢量函数)
, 一个电荷为
的点电荷在任意位置
都会受到电场力
这样我们就得到了一个由电场力构成的力场, 与电场处处成正比.
从某点
沿着某个路径移动到另一点
, 电场对它做功为
要讨论势能的概念, 我们首先需要确保这个力场是一个保守场, 即只有上式的结果只与初末位置有关而与路径无关时才可能存在一个势能函数. 以后我们会看到电场可以分为两类: 由净电荷产生的电场是无旋的, 即保守场, 而由变化磁场产生的电场是有旋的, 即非保守场(见 “力场 势能”, “旋度 斯托克斯定理”).
这个问题有两种解决方法, 第一是要求净电荷分布不随时间变化, 且电流保持恒定1, 这类问题称为静电学(electrostatics). 在静电学问题中, 空间中没有变化的磁场, 所以所有的电场都是由净电荷产生的无旋.
第二种方法是, 在非静电学的情况下, 我们将电场中的保守场, 即净电荷产生的电场分离出来定义电势能, 即在式 2 的积分中,
并不取总电场, 而是其中的无旋部分. 例如电路中的电荷的电势能电压就是通过这种方法定义的. 因为一般来说电路不满足静电学的条件, 例如电路中的线圈的电磁感应.
记势能函数(关于位置的标量函数)为
, 就有 “力场对物体做功等于势能减少”, 或者 “势能增加等于力场做的负功” 即
根据上式, 我们只能判断两点之间的势能差, 若要完全确定势能函数, 还需要指定零势点的位置
(可以取无穷远)使得
(类比万有引力势能). 于是任意一点的势能为
例1匀强电场
假设空间中存在匀强电场
, 即电场矢量与位置无关. 以原点为零势点
, 求点电荷
在空间中任意一点
的电势能.
根据式 4, 取积分路径为原点到
的线段, 则
当
和
同方向时, 就得到了高中所学的
.
电势
注意以上公式中, 无论是做功还是势能都与电荷量
有关(成正比). 为了更直接地描述电场本身的性质, 我们可以把这些公式两边都除以
. 若定义电势
满足
则式 3 和式 4就变为
同样, 该积分只与