锥形独立基础=1/3h(上底面积+下底面积+上底边长*下底边长) 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a—边长 C=4a S=a2 长方形 a 和 b-边长 C=2(a+b) S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a 边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D-对角线长 α-对角线夹角 S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a 边的高 α-两边夹角 S=ah =absinα 菱形 a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2 =a2sinα 梯形 a 和 b-上、下底长 h-高 m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh 圆 r-半径 d-直径 C=πd=2πr S=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) 弓形 l-弧长 b-弦长 h-矢高 r-半径 α-圆心角的度数 S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环 R-外圆半径 r-内圆半径 D-外圆直径 d-内圆直径 S=π(R2-r2) =π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴 S=πDd/4 立方图形 名称 符号 面积 S 和体积 V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积 h-高 V=Sh/3 棱台 S1 和 S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积 S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长 S 底—底面积 S 侧—侧面积 S 表—表面积 C=2πr S 底=πr2 S 侧=Ch S 表=Ch+2S 底 V=S 底 h =πr2h 空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径 h-高 V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高 V=πr2h/3 圆台 r-上底半径 R-下底半径 h-高 V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径 d-直径 V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径 a-球缺底半径 V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台 r1 和 r2-球台上、下底半径 h-高 V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径 V=2π2Rr2 =π2Dd2/4 桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 三角形面积公式的应用与探究 广东省中山市东升高中 高建彪 设△ABC 的三边为 a,b,c,由解直角三角形易得三边上的高 h a ,h b ,h c ,根据面积公式 ,可以推导出另一面积公式 . 由此公式,可以直接计算已知两边及夹角的三角形面积,并解决一些与面积相关的问题. 一、应用面积公式,推导正弦定理 例 1 设△ABC 的三边为 a,b,c,求证: . 证明:由三角形面积公式,得到 , 即 . 上式同时除以 abc,得到 . 所以, . 点评:三角形面积公式由直角三角形的边角关系表示出各边上的高之后再推导出来,再运用它推导正弦定理,实质就是教材中正弦定理推导过程的简化. 二、活用代数变形,推导海伦公式 例 2 △ABC 的三边为 a,b,c,设 ,求证: .证明: = = = = = = = = . 点评:此例的结论,就是海伦公式,可以由三角形的三边 a、b、c 直接求出三角形的面积. 海伦公式据说是由古希腊数学家阿基米德解决的,但最早出现于古希腊数学家海伦(Heron)的著作《测地术》中,公式的形式漂亮,且便于记忆. 我国大数学家秦九韶在也 发现与海伦公式本质上相同的“三斜求积”公式 ,并记载于他写的《数书九章》中. 如果由三角形面积 和 ,得, ,根据 ,整理后也可得到海伦公式.三、结合面积公式,研究三角问题 例 3 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. (1)若 a=4,b=5,S=5 ,求 c 的长度; (2)若三角形的面积 S= ,求∠C 的度数; (3)若 a、b、c 成等比数列,且 a2 -c 2 =ac-bc,求∠A 的大小及的值. 解:(1)∵S= absinC,∴sinC= ,于是∠C=60°或∠C=120°. 又∵c2 =a 2 +b 2 -2abcosC, 当∠C=60°时,c2 =a 2 +b 2 -ab,c=; 当∠C=120°时,c2 =a 2 +b 2 +ab,c=. ∴ c 的长度为 或 . (2)由 S= ,得 absinC= . ∴ tanC=1,得 C= . (3)∵a、b、c 成等比数列,∴b2 =ac. 又 a2 -c 2 =ac-bc,∴b 2 +c 2 -a 2 =bc. 在△ABC 中,由余弦定理得 cosA= = = ,∴∠A=60°. 在△ABC 中,由面积公式得 bcsinA= acsinB. ∴ bcsinA=b2 sinB, 则=sinA= . 点评:解三角形时,需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系,根据条件合理选用正弦定理或余弦定理,结合三角形的面积公式来解决问题. 四、综合面积公式,探讨数学领域 例 4 已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=2,BC=6,CD=DA=4. 求四边形 ABCD 的面积. 解:如图,连结 BD,则四边形面积 S=S △ABD +S △CBD = AB·ADsinA+ BC·CDsinC ∵ A+C=180°, ∴sinA=sinC, ∴ S= (AB·AD+BC·CD)·sinA=16sinA. 在△ABD 中,由余弦定理得 BD2 =2 2 +4 2 -2·2·4cosA=20-16cosA. 在△CDB 中,BD2 =52-48cosC, ∴20-16cosA=52-48cosC. 又 cosC=-cosA,∴cosA=- , ∴A=120°,得 S=16sinA=8 . 点评:在印度婆罗摩笈多(约 593-665 后)的书中,出现了有圆内接四边形的求积公 式 (其中 a,b,c,d 为四边形的四条边,p 为四边形的周长之半). 当 d=0 时,这个公式即为海伦公式. 推广到任意四边形,则得到婆罗摩笈多公式. 三角形的面积公式有许多,例如已知三角形的三边 a、b、c 及外接圆、内切圆的半径为 R,r,则有 S△=abc/4R 与 . 又如,在△ABC 中,若 =( ), = ( ),则△ABC 的面积为 S= . 此三角形面积的向量公式可如下证明. 证明: 由上例公式,不必求三角形的边长和角度,只要知道任意两边所对应的向量即可,而其向量在已知三角形三个顶点的坐标时不难求得. 由此,我们知道三角形三个顶点的坐标,也可以得到如下面积公式. , ,则 = . 三角形面积公式的应用与探究 作者:广东省中… 文章来源:转载 点击数: 5819 更新时间:4/2/2007 点评:此例的结论,就是海伦公式,可以由三角形的三边 a、b、c 直接求出三角形的面积. 海伦公式据说是由古希腊数学家阿基米德解决的,但最早出现于古希腊数学家海伦(Heron)的著作《测地术》中,公式的形式漂亮,且便于记忆. 我国大数学家秦九韶在也发现与海伦公式本质上相同的“三斜求积”公式 ,并记载于他写的《数书九章》中. 如果由三角形面积 和 ,得 , ,根据,整理后也可得到海伦公式. 三、结合面积公式,研究三角问题 例 3 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. (1)若 a=4,b=5,S=5 ,求 c 的长度; (2)若三角形的面积 S= ,求∠C 的度数; (3)若 a、b、c 成等比数列,且 a 2 -c 2 =ac-bc,求∠A 的大小及 的值. 解:(1)∵S= absinC,∴sinC= ,于是∠C=60°或∠C=120°. 又∵c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC, 当∠C=60°时,c 2 =a 2 +b 2 -ab,c= ; 当∠C=120°时,c 2 =a 2 +b 2 +ab,c= . ∴ c 的长度为 或 . (2)由 S= ,得 absinC= . ∴ tanC=1,得 C= . (3)∵a、b、c 成等比数列,∴b 2 =ac. 又 a 2 -c 2 =ac-bc,∴b 2 +c 2 -a 2 =bc. 在△ABC 中,由余弦定理得 cosA= = = ,∴∠A=60°. 在△ABC 中,由面积公式得 bcsinA= acsinB. ∴ bcsinA=b 2 sinB, 则 =sinA= . 点评:解三角形时,需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系,根据条件合理选用正弦定理或余弦定理,结合三角形的面积公式来解决问题 钢筋工程量计算规则 1、钢筋工程,应区别现浇、预制构件、不同钢种和规格,分别按设计长度乘以单位重量,以吨计算。 2、计算钢筋工程量时,设计已规定钢筋塔接长度的,按规定塔接长度计算;设计未规定塔接长度的,已包括在钢筋的损耗率之内,不另计算塔接长度。钢筋电渣压力焊接、套筒挤压等接头,以个计算。 3、先张法预应力钢筋,按构件外形尺寸计算长度,后张法预应力钢筋按设计图规定的预应力钢筋预留孔道长度,并区别不同的锚具类型,分别按下列规定计算: (1)低合金钢筋两端采用螺杆锚具时,预应力的钢筋按预留孔道长度减 0.35m,螺杆另行计 算。 (2)低合金钢筋一端采用徽头插片,另一端螺杆锚具时,预应力钢筋长度按预留孔道长度计算,螺杆另行计算。 (3)低合金钢筋一端采用徽头插片,另一端采用帮条锚具时,预应力钢筋增加 0. 15m,两端采用帮条锚具时预应力钢筋共增加 0.3m 计算。 (4)低合金钢筋采用后张硅自锚时,预应力钢筋长度增加 0. 35m 计算。 (5)低合金钢筋或钢绞线采用 JM, XM, QM 型锚具孔道长度在 20m 以内时,预应力钢筋长度增加 lm;孔道长度 20m 以上时预应力钢筋长度增加 1.8m 计算。 (6)碳素钢丝采用锥形锚具,孔道长在 20m 以内时,预应力钢筋长度增加 lm;孔道长在20m 以上时,预应力钢筋长度增加 1.8m. (7)碳素钢丝两端采用镦粗头时,预应力钢丝长度增加 0. 35m 计算。 (二)各类钢筋计算长度的确定 钢筋长度=构件图示尺寸-保护层总厚度+两端弯钩长度+(图纸注明的搭接长度、弯起钢筋斜长的增加值) 式中保护层厚度、钢筋弯钩长度、钢筋搭接长度、弯起钢筋斜长的增加值以及各种类型钢筋设计长度的计算公式见以下: 1、钢筋的砼保护层厚度 受力钢筋的砼保护层厚度,应符合设计要求,当设计无具体要求时,不应小于受力钢筋直径,并应符合下表的要求。 钢筋的砼保护层厚度(mm) 环境条件 构件名称 砼强度等级 低于 C25 C25 及 C30 高于 C30 室内正常 环境 板、墙、壳 15 梁、柱 25 露天或室内高湿度环境 板、墙、壳 35 25 15 梁、柱 45 35 25 有垫层 基础 35 70 无垫层 注: