维普资讯 http://www.cqvip.com 成 阳师范学 院基 础教育 课程 研究 中心 安振 平 解 答 数学 问题 , 首先需 要 阅读 题 目, 理解 题 意 , 并 说 , 析 1的解 答里 面存在 一定 的思维 回路 呢 ?基 于 分 这样 的疑 问 , 者又进 一步 探索 , 到如下 简单解法 . 笔 得 在 阅读 中进 行 必要 的观 察. 观 察 是 指有 目的 、 计 而 有 划 、 持久 的感 知 、 忆 、 考 、 较 记 思 想象 等 协 同活 动 的 过 程, 这就 是解答 题 目之前 的分 析 与 思 考. 题 分 析需 解 要 一定 的 目的性 、 面性 、 细 性 和 敏锐 性 , 时 , 全 精 有 抓 住问题 的某个 细 节 特 征 , 由此展 开 并 深 入 思 考 , 能 就 找到解决 问题 的有 效途径 . 分析 2 从 将 无理 方 程转 化 为 有 理 方 程 人 手 , : 对 ②式 两边平 方 , z z 一rz 一一 . 得 2 对上 式采用 移项 , 离 出 rz , 分 于是有 r 一 z 一 一 . 很 自然 , 个等 式 右 边需 要 转 化 为 。 而 等式 这 Y, 的右边 含有字母 z 要 消去字 母 z 必然 想 到 了①式 的 , , 反 向 z 一 。 y , 是 , + 于 有 r z 一 ( + y 一 一 j’ , 。 ) yZ 例 如 , [] 文 1 中曾探讨 过这 样一 道题 目: 问题 1 已知 ., z r 为 正 数 , . +y —1 3 Y, , 均 7 且 3 7 一 , 一 r 二 =z 。 = , 求 证 :y r. x — 原 文 作 者 观 察 题 设 中 的 两 个 等 式 , 系 勾 股 定 联 即 r z 一 。 开 平 方 得 x 2 Y, y— r 理 和 射 影 定 理 , 过 构 造 直 角 三 角 形 , 用 等 面 积 通 利 法 , 现 了对 问题 的 解 答. 样 的解 法 看 起 来 自然 、 实 这 优 美 , 需 要解 题 者有 一 定 的知 识储 备 , 能 引 起 必 但 并 要 的思 维念 头 , 生 有效 的知识 对 接. 产 人们 总 习惯 于 用 现成 的 例子 去 说 明现 成 的说 法 , 是 , 但 如果 没 有 这 样 的 图形 “ 造 ” 我 们 能 不 能 给 出 问 题 的 代 数 解 构 , 答 呢? 上 面的解 答 , 到 了“ 用 无理化 为 有理 ” 代 人 消元 ” “ 移 项等 我们熟 悉 的数学变 形. 然 , 里 , 先 平方 后 这 有 开 方 , 不是 又产 生 了思 维 回路 呢?这 样 的操 作可 以 是 避 免 吗? 分 析 3 注 意到 ① 式 可 以变 形 为 z 一 一Y , : 。 而 等式② 的变 形为 z 。 r 一 一 。 = 0, 事实上 , 我们可以给 出如下解题分析途径. 记 + = , = ① = z 一 =x , z② 一 , ③ 两边 同乘 以正数 z√ | 一r 十 , 得 0 一 ( 一 r - X 一 ( 一 ) r 。 X2 ) 。 一 分 析 l 由② 式 解 出 z 得 z — : , 一 式, 消去 z 就得 , z。 + 。一 , √ ‘ 一 , 人 ① 代 : Y 一 r z 一 ( + r ) — r ) 。 。。 z ( z , 注 意到 + r >0 所 以有 x — r 一0 即有 x —r z , y z , y z 成 立. 其实 , 这里 乘 以共轭 无理 式 , 解 因式 , 就是平 分 也 方、 开方 的技巧 . 分式转 化为 整式 , 形得 变 + 0 一 ( + Y。 r yZ x2 ) = , 如 果 把 ① 式 表 示 的 关 系 看 成 圆 的 方 程 , 个 方 这 程 就 可 以转 化 为 参 数 方 程 , 么 就 有 了 三 角 换 元 那 解法. 分 析 4:由 ① 式 可 设 — Z O ,Y — zi CS s n 再 注 意 到 ① , 有 x y 一 ( + Y ) 。 zr , 以 则 r 一 。 所 Y— r z. 上 面的解 答用 到 了“ 消元 法” 化无 理方 程 为有 理 “ 方 程” 化 分式 为整 式” 这些都 是常 用的解 题技 能. “ , 通 过 上 述 解 答 我 们 不 难 发 现 , 问 题 里 没 有 分 原 式, 而在 解答 过程 中 , 分式从 无到 有再 到 无 , 是 不是 这 ( 詈,人 得 0< ) ② < 代 z 、 = 一 Z CS 2 O 0, 平 方 , 简 得 z CS 一r一 CS . 化 O 。O 0 维普资讯 http://www.cqvip.com 解 出 r , r一 (O 一 C S ) 。i O o , 。有 。 CS O 一 s c s 0 n 开 方 , r snO o , 有 —z i c s0 可以, 又如何 消 去字母 Y呢? 我 们看 看下 面 一个 常 见 的 典 型 例 子 , 见 文 [ ] 参 1 “ 力训 练” 4 . 能 第 题 二 这 个 细 节 , 可 就 于 是 — snO o 一 r . i c s 如 果 抓 住 ②