这个形式就非常的漂亮。
以上是抛物线设点的一个小技巧。
抛物线与直线交点横纵坐标之间的关系
先从本题入手。我们设
的直线方程为
由韦达定理(注:教科书上无此定理,高中考试中需证明,补上
即可)得到
我们已经表示了M点,下面根据横坐标关系写出N点横坐标
那么N点即为
至此,我们得到了
那么A选项的结论就很显然了。
小补充:本题比较特殊,动直线过焦点。但不难发现只要同号截距(抛物线确定主元,如
是二次就设横坐标为
,
是一次就看纵轴截距)固定就有固定的关系。
如我们将
改成
,那么联立求出
,得到
,那么
,进而有
这种结论我认为没必要记,重要的还在于这个设点的过程,这种设点方法可以大幅度简化运算
证明斜率乘积为定值
证毕!!!
【优化】(方法来自@Kanna):
感谢评论区@Kanna 的帮助。我们可以对上述方法进行优化。
设点
由两点式整理得
将
代入有
,则有
证毕!

仿射变换(切入正题)

B选项就进入本文的主题——仿射变换了。下面睁大眼睛看好了,可别眨眼哦。
先回顾下A选项已经证明的条件。我在这再把题图贴一遍。
可以点击放大了看
,也就是说下面这个黄色三角形的两边斜率存在乘积为定值的关系。你有没有感觉到这个夹角有某种关系。
我们不禁想,如果这个椭圆是个圆,这个乘积是-1该多好啊。
如果你对椭圆的几何性质有一定敏感度的话,应该不难发现,椭圆和圆有很多相似之处,或者说椭圆可以由圆变换而来。
本题给的椭圆方程为
,我们作如下变换
现在椭圆变成了一个圆。我们再深入浅出地感受下这个过程(严格分析好像要到高数里去研究)。我们创建了一个新的坐标系,并建立了原坐标系与新坐标系的映射关系。原坐标系中的每个点都被映射到了新坐标系中,横坐标减半,纵坐标不变。通俗的讲就是,
轴方向压缩一倍。整个图形被横向压扁。
在这个过程中,原有图形的相对位置不变,比如说一个点原来在椭圆上,现在还在椭圆上。原来的直线和椭圆相交,现在依然相交,且交点个数不变。这个很好理解。
这几个基本性质是由专有名词的,叫做同素性和结合性。[1]。
除了这两个基本性质外,还有一些性质,在本题中都会有所体现。我就先不总结了,先看题。
直线斜率k的变换
由斜率定义得
我们得到变换后的直线斜率是原直线斜率的2倍!而还记得我们之前是把横向方向压缩了一半。想象这样一个直角三角形,它的斜边就是所求直线,自然
,现在三角形被横向压扁,那么
。如果纵向伸缩也是这样的道理。一般情况我们后面总结。
于是乎
!
大概就是这个意思
好家伙,经过仿射变换,现在图是这个样子的。一个圆里有一个等腰直角三角形
,其
。而题目要求的是
。接下来要研究的是两个面积之间的关系了。
面积变换比例关系
这个我想可以用好几种方法去证明(也就是一般求三角形面积的几种方法,包括叉乘法,铅锤法)。
(1)铅锤法
思路:把三角形面积转化为规整的图形求得面积,再用原三角形的面积和辅助图形的面积成比例得到三角形面积之比。
分别在
的直线
上取
。(建议自己去画张图,当然对着题图看也行,我这就懒得画图了哈哈哈)
则得到
同理得到
设
到
的距离为
,则
则
然后还要引入一个性质,仿射变换前后共线向量模长之比不变。
换句话说就是,两个平行的线段在变换前后仍平行,且长度之比不变。
我们接下来证明这一点。
设
,则
又
,则
所以
显然得到
(同底等高)
将
代入得到
证明到这里就差不多结束了。证明有些抽象,没有画图的原因主要是这个三角形是任意三角形,钝角锐角不一。但过程中加入了绝对值保证两种情况都符合。
B选项证完了,
(
上面算过了)
(2)外积法(补充)
这是求三角形的另一种方法。定义和证明过程我这就不展开了(虽然我以前也证过,有空我写一写)。
有
[2][3]
那我们记
非平行线段长度不成比例
我们看C选项。
由于在仿射圆中,
由K型全等得(考试需稍微说明下),
,证毕!
剩余部分
就剩一个D选项了,其实D选项已经和仿射变换没什么关系了,因为仿射变换的性质已经基本上被我们都用过了。我们看下D选项的意思。
D.设
,则
结合B选项的结论,D可以转化为
得益于我们完备的设点成果,一行就能搞定。
,当且仅当
时取等
考虑到
,则
时
取到最小值
则D选项结论成立!
至此这道题就算做完了。关于仿射变换的总结等我考完期末考试再更吧。
很抱歉仿射变换在考试大题中不能运用。
我们把题目改成证明题。
如图,已知椭圆
,过抛物线
焦点
的直线交抛物线于
两点,连接
并延长分别交
于
两点,连接
,
与
的面积分别记为
。
(1)若记直线
的斜率分别为
,证明
的大小为定值,并求出。
(2)证明:
的面积
是定值
(3)证明:线段
长度的平方和
是定值
(4)证明:设
,则
点击看大图
解答:
(1)
不妨设
设
的直线方程为
,
则
证毕!
(2)
作仿射变换
有
所以
则
则
证毕!
(3)
由于在仿射圆中,
,作
因为
所以
,
从而得到
,证毕!
(4)
,当且仅当
时取等
考虑到
,则
时
取到最小值
又
,所以
证毕!
给你们瞄一眼标答:
暴算标答

参数方程解法(来自@Kanna ):

设
其中
,证明三行完成。今天累,明天写。

后续

关于仿射变换的应用,我在另一篇文章再写吧。

参考

^CNEnder23333:向量的向量积在高中数学的简单应用:https://zhuanlan.zhihu.com/p/166338066