高一数学学案 函数与映射 一、基本知识点: 1. 设 A,B 是两个 在B中 这时称 为: 集合,如果按照某种对应法则 f,对于 A 中的任意一个元素 x, 与 x 对应,则称 的映射. 的象,记作 ,称 的原象,映射 f 也可以记 2.如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 的任意一个元素,在集合 A 中 都 ,这时我们就说两个集合的元素之间存在 ,并把这个映射叫做 从集合 A 到集合 B 的 3.函数的概念: 设集合 A 是 都有 其中, 数集,对于集合 A 中的 与它对应,则这种对一个关系叫做 叫做自变量,自变量的取值范围 A 叫做函数的 称为函数在 a 处的 ,按照确定的法则 记作: ; , , 如果自变量取值 a,则由对应法则 f 确定的值 记作: 所有函数值构成的集合 4. 函数的二要素: , , 叫做这个函数的 5.两个变量之间是否具有函数关系的检验: (1) (2)根据给出的 确定 , 在其定义域中的每一个值,是否都能 6.区间的概念 区间的分类: 7.映射的类型: , , , 8.已知映射 f : ? x, y ? ? ? x ? y, xy ? , (1)求(-2,3)的象;(2)求(2,-3)的原象 9. 集合 A={1,2},集合 B={3,4},从 A 到 B 可以建立 映射? 高一数学学案 二.巩固练习: (A)组 1.对于函数 y? f (x),以下说法正确的个数是( ) (1) y 是 x 的函数; (2)对于不同的 x,y 的值也不同; (3)f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量; (4)f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 1 B 2 C 3 D 4 2 下列对应是否是从 A 到 B 的映射 (1) A ? (2) R , B ? R, f : x ? y ? 1 1? x 1 1 , n ? N *} , f : a ? b ? n a A ? {a | a ? n, n ? N *},{b | b ? ? (3)A= Cu R , B ? R, f : x ? y, y 2 ? x 作矩形的外接圆 f: (4)A={平面 M 内的矩形},B={平面 M 内的圆}, 3.下列对应法则是集合 P 上的函数的是________. (1)P=Z,Q=N*,对应法则 f:对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应; (2)P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应法则:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q; (3)P={三角形},Q={x|x>0},对应法则 f:对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应 4. 下列 y 与 x 的关系中,哪个选项中 y 不是 x 的函数( A 5. ) D y ? x ?1 B 1 B y ?1 =x C 至多 1 个 C y ? x ?1 D 至少 1 个 (B)组 。 y ?1 ? x y=f(x)与 x=1 的交点个数( ) A 0 1.下列各组函数中,表示同一函数的序号是 ① f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 ; ② f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 2 ; ③ x2 ?1 f ( x) ? , g ( x) ? x ? 1 ;④ f ( x) ? ln e x , g ( x) ? eln x x ?1 ⑤ ⑥ f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 1 ; f ? x ? ? 2x ?1, g ?t ? ? 2t ?1 ( f : A ? B 的个数是 ) 2.已知集合 A={1, 2, 3}, 集合 B={-1, 0, 1}, 满足条件 f(3)=f(1)×f(2)的映射 A.9 B.8 C.7 D.6 3. 已知集合 M={-1, 0, 1}映射 A.2 B.4 f : M ? M 满足 f ? 0? ? f ? ?1? ? f ?1? ,则这样的映射个数为( C.6 D.7 ) 高一数学学案 (2) 1. 3.映射与函数的关系: 下列对应是否是从 A 到 B 的映射 (1) A ? (2) R , B ? R, f : x ? y ? 1 1? x 1 1 , n ? N *} , f : a ? b ? n a A ? {a | a ? n, n ? N *},{b | b ? ? (3)A= Cu R , B ? R, f : x ? y, y 2 ? x 作矩形的外接圆 f: (4)A={平面 M 内的矩形},B={平面 M 内的圆}, 一、 范例讲解: (1)求(-2,3)的象;(2)求(2,-3)的原象 f : ? x, y ? ? ? x ? y, xy ? , 例 1:已知映射 例 2:已知集合 A={1,2,3},集合 B={4,5,6},映射 射有 ( ) f : A ? B ,且满足 1 的象是 4,则这样的映 高一数学学案 A.2 个 B.4 个 C.8 个 D.9 个 例 3: (1)集合 A={1,2},集合 B={3,4},从 A 到 B 可以建立多少个映射? (2)集合 A={1,2,3},集合 B={3,4},从 A 到 B 可以建立多少个映射? (3)集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,从 A 到 B 可以建立多少个映射? 四、巩固练习 1.课后习题 2.能力拓展 (1).设 A={(x,y)|x ? R,y ? R},如果由 A 到 A 的一一映射,使象集合中的元素(y+1,x+2)和原象集合中的元 素(x,y)对应.(1)原象(1,2)的象; (2)象(3,-4)的原象 (2).已知集合 A={1,2,3},集合 B={-1,0,1},满足条件(3)=f(1)×f(2)的映射 ( A.9 ) B.8 C.7 D.6 f : A ? B 的个数是 (3). 已知集合 M={-1, 0, 1}映射 A.2 B.4 则这样的映射个数为 ( f : M ? M 满足 f ? 0? ? f ? ?1? ? f ?1? , C.6 D.7 ) 4.设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1, 2,3, 4,5} ,映射 f : M ? N 满足条件“对任意的 x ? M , x ? f ( x) 是奇数”,这样的映射 f 有 个 5.点 ( a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) ,则在 f 作用下点 (3,1) 的原象为点 高一数学学案 1.下列各组函数中,表示同一函数的序号是 ① f ( x) ? x, g ( x) ? ③ f ( x) ? ⑤ f ( x) ? 。 x2 ; ② f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 2 ; x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 ;④ f ( x) ? ln e x , g ( x) ? eln x x ?1 x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 1 ; ⑥ f ? x ? ? 2x ? 1, g ?t ? ? 2t ? 1 1.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是 ( ) ( A) y ? x2 x ( B ) y ? ( x )2 (C ) y ? l g 1 x0 ( D) y ? 2l o 2gx 2、下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是 (A) A ? ??1,0,1 ?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方; (B) A ? ?0,1?, B ? ?? 1,0,1?, f : A 中的数开方; (C) A ? Z , B ? Q, f : A 中的数取倒数; (D) A ? R, B ? R? , f : A 中的数取绝对值; 3.设 A={ x │ 0 ? x ? 2 } ,B={ y │ 1 ? y ? 2 } ,在图(1)中,能表示从 A 到 B 的映 射是( 2 1 ) 2 1 0 1 2 (B) 2 1 0 1 2 (C) 2 1 0 1 2 (D) 0 1 2 (A) 4.设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? { y | 1 ? y ? 4} ,则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是( ) 2 A. f : x ? y ? x B. f : x ? y ? 3x ? 2 D. f : x ? y ? 4 ? x 2 C. f : x ? y ? ? x ? 4 高一数学学案 ?2 ? x ? 1 x ? 0 5. 设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( ? 1 2 x?0 ? ?x (A) ( ? 1 ,1) (C) ( ? ? , ? 2 ) U (0, ? ? ) (B) ( ? 1, ? ? ) ) (D) ( ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? ) 6.给定映射 f : ( x, y) ? (2 x ? y, xy) ,点 ( , ? ) 的原象是 1 6 1 6 . 7 . 已 知 函 数 f ( x) ? = 。 x2 1 1 1 , 那 么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) 2 2 3 4 1? x