解答题滚动练 4 1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知底面 ABCD 为矩形,且 AB= 2,BC=1,E,F 分别是 AB, PC 的中点,PA⊥DE. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PDE. 证明 (1)方法一 取线段 PD 的中点 M,连结 FM,AM. 因为 F 为 PC 的中点,所以 FM∥CD,且 FM=12CD. 因为四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 所以 EA∥CD,且 EA=12CD. 所以 FM∥EA,且 FM=EA. 所以四边形 AEFM 为平行四边形,所以 EF∥AM. 又 AM? 平面 PAD,EF?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD. 方法二 连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N,连结 PN. 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD∥BC, 所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE. 又 AE=EB,所以△CEB≌△NEA. 所以 CE=NE. 又 F 为 PC 的中点,所以 EF∥NP. 又 NP? 平面 PAD,EF?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD. 方法三 取 CD 的中点 Q,连结 FQ,EQ. 在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点, 所以 AE=DQ,且 AE∥DQ. 所以四边形 AEQD 为平行四边形, 所以 EQ∥AD. 又 AD? 平面 PAD,EQ?平面 PAD, 所以 EQ∥平面 PAD. 因为 Q,F 分别为 CD,CP 的中点, 所以 FQ∥PD. 又 PD? 平面 PAD,FQ?平面 PAD, 所以 FQ∥平面 PAD. 又 FQ,EQ? 平面 EQF,FQ∩EQ=Q,所以平面 EQF∥平面 PAD. 因为 EF? 平面 EQF,所以 EF∥平面 PAD. (2)设 AC,DE 相交于 G. 在矩形 ABCD 中, 因为 AB= 2BC, E 为 AB DA CD 的中点,所以AE=DA= 2. 又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA, 所以∠ADE=∠DCA. 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°, 所以∠DCA+∠CDE=90°. 由△DGC 的内角和为 180°,得∠DGC=90°. 即 DE⊥AC. 又 PA⊥DE, PA∩AC=A,PA,AC? 平面 PAC, 所以 DE⊥平面 PAC, 又 DE? 平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. 2.如图所示,A,B 是两个垃圾中转站,B 在 A 的正东方向 16km 处,AB 的南面为居民生活 区.为了妥善处理生活垃圾,政府决定在 AB 的北面建一个垃圾发电厂 P.垃圾发电厂 P 的选 址拟满足以下两个要求(A,B,P 可看成三个点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与 它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里 参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大).现估测得 A,B 两个中转站每天集中的生 活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求? 解 方法一 由条件①,得PPBA=3500=53. 设 PA=5x,PB=3x,则 cos∠PAB=?5x2?2×+1166×2-5?x3x?2=1x0+58x, 所以点 P 到直线 AB 的距离 h=PAsin∠PAB=5x 1-???1x0+58x???2 = -14x4+17x2-64 = -14?x2-34?2+225, 所以当 x2=34,即 x= 34时,h 取得最大值 15km. 即选址应满足 PA=5 34km,PB=3 34km. 方法二 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立如图 所示的平面直角坐标系, 则 A(-8,0),B(8,0). 由条件①,得PPBA=3500=53. 设 P(x,y)(y>0), 则 3 ?x+8?2+y2=5 ?x-8?2+y2, 化简得(x-17)2+y2=152(y>0), 即点 P 的轨迹是以点(17,0)为圆心、15 为半径的圆位于 x 轴上方的部分. 则当 x=17 时,点 P 到直线 AB 的距离最大,最大值为 15km. 所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中坐标为(17,15)即可. 方法三 由条件①,得PPBA=3500=53. 过点 P 作 PD 垂直于 AB,设 PD=h,AD=x,则 DB=|16-x|, 3 x2+h2=5 h2+?16-x?2, h2=-(x-25)2+225. 所以当 x=25 时,h 取得最大值 15. 答 选址应满足 PA=5 34km,PB=3 34km. 3.已知数列{an}满足 an+an+1=2n-3,n∈N*. (1)若数列{an}为等差数列,求 a1; (2)设 a1=a(a>0),? n∈N*,n≥2,不等式aa2nn+ +aa2nn++11≥3 成立,求实数 a 的最小值. 解 (1)设数列{an}公差为 d, 则 2n-3=an+an+1=a1+(n-1)d+a1+nd=2dn+(2a1-d)对? n∈N*成立, 所以???2d=2, ??2a1-d=-3, 故 d=1,a1=-1. (2)由 an+an+1=2n-3,知{an-(n-2)}为等比数列,公比 q=-1, 所以 an-(n-2)=(a+1)(-1)n-1, 故 an=(n-2)+(a+1)(-1)n-1. ①当 n 为不小于 3 的奇数时,由aan2n++aa2nn++11≥3,得?n-1+a2?2n+-?3n-2-a?2≥3, 化简得 a2+a≥-(n-3)2+2 恒成立,所以 a2+a≥2,解得 a≥1. ②n 为不小于 2 的偶数时,同理有 a2+3a≥-(n-3)2 恒成立, 因为 a>0,显然恒成立.所以 a>0.由①②得 a≥1,故 a 的最小值为 1. 4.已知椭圆 C 的方程为xa22+yb22=1(a>b>0),点 A,B 分别为其左、右顶点,点 F1,F2 分别 为其左、右焦点,以点 A 为圆心、AF1 为半径作圆 A,以点 B 为圆心、OB 为半径作圆 B.若直 线 l:y=- 33x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 15∶6. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知 a=7,问在 x 轴上是否存在点 P,使得过点 P 有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦 长之比为 3∶4,若存在,请求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)分别过点 A,B 作直线 l 的垂线,垂足为 A1,B1, 由题意得 AA1=BB1,由点到直线距离公式得 AA1=BB1=a2, 因为圆 A 以 AF1 为半径,所以半径为 a-c,被直线 l 截得的弦长为 2 ?a-c?2-???2a???2, 因为圆 B 以 OB 为半径,所以半径为 a,被直线 l 截得的弦长为 2 a2-???2a???2. 因为直线 l:y=- 33x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 15∶6, 2 所以 ?a-c?2-???a2???2= 2 34a2 15 6, 化简得 7a2-32ac+16c2=0, 两边同时除以 a2,得 16e2-32e+7=0, 解得 e=14或 e=74(舍去). 所以所求的离心率为14. (2)存在点 P,使得过点 P 有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 3∶4, 设点 P(x0,0),由题意可得直线方程为 y=k(x-x0), 则直线截圆 A 所得的弦长为 2 ?a-c?2-???|k?-17+-kx2 0?|???2, 直线截圆 B 所得的弦长为 2 a2-???|k?71-+xk02?|???2, 2 2 ?a-a2c-?2???-k????71k-+?71x+k+02????xk202????2=34, 即有 16????a-c?2-???7k1++kkx20???2???=9???a2-???7k1-+kkx20???2???,其中 a=7,c=74,a-c=241,上式整理 得,16?71k++kk2 x0?2=9?71k+-kk2x0?2,关于 k 的方程有无穷多解, 故有 7x20+350x0+343=0, 解得 x0=-1 或 x0=-49, 故存在 2 个点 P,使得过点 P 有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 3∶4,P 点坐标 为(-1,0)或(-49,0).