1 圆周率 � 的几种计算方法 姓名 李至佳 学号 06205013 专业 基础数学 摘要�本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法�正是圆周率这个数的特殊性�致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究 � 的精确值。因此�用什么样的方法计算 � 使其值更加精确�这是一个很值得研究的问题。 关键词 � 圆周率�计算方法�正多边形�连分数 一、很早以前就有了 � 从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起�经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的�而月亮由于地球的遮挡�有圆有缺。 椭圆、抛物线�双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮�或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古�数刚诞生时�肯定只在 1和许多个之间有区别。而且�很早以前�就只考虑 1 和 2 这两个数。以后因为 1 个人有 2 只脚和 2 只手�2 个人就有 4 只脚和 4 只手�1 头家畜有 4 只脚�2 头家畜有 8 只脚�等等。不久�就知道了比例的概念。 到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小�但对一个圆来说�其周长 l 与直径 d 之间的比例常数就是圆周率 � 二、 � 的几种计算方法 有一个关于圆周率的歌谣�盛行于古代�“山巅一寺一壶酒�尔乐苦煞吾�把酒吃�酒杀尔�杀不死�乐而乐。” 圆周率是圆的周长与直径之比�表示的是一个常数�符号是希腊字母 。人们为了计算圆周率�公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元 263 年用割圆术的方法求到 3.14�这被称为“徽率”。 在公元 460 年�祖冲之应用了刘徽的割圆术�也就是下面提到的正多边形的方法��算得圆周率为 3.1415926。祖冲之所求的 � 值�保持了 1000 多年的世界纪录。 1596 年�荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索�把 � 值推算到 15位小数�打破了祖冲之长达 1000 多年的纪录�后来他本人又把这个数推进到35 位。 18 世纪初�圆周率达到 72 位。19 世纪时�圆周率又求到 140 位、200位、500 位。1873 年�威廉欣克用了几十年时间�将 π 值算到 707 位。 到了 1946 年�世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国�有人在计算机上用了 70 个小时�算出圆周率达到 2035 位。1955 年达到 10 017 位�1962年达到 10 万位。1973 年达到 100 万位�1981 年日本数学家把它推算到 200万位。1990 年美国数学家继续新的计算�将值 � 推到新的顶点 4.8 亿位。 经过长时间艰苦的计算� � 值只是个近似值�这是一个永不循环的数学计算�也是数学史上的马拉松。 下面介绍几种计算 � 的方法� 2 �一� 公元前利用正多边形计算 � 公元前 1650 年�埃及人著的兰德纸草书中提出 � ��4/3� 3=3.1604。但是对 � 的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。 阿基米德计算 � 值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。 在公元前 3 世纪�古希腊的数学非常发达�为了使得数学计算简便�人们选一个以长度为直径的圆。这样圆的周长在任何内接正多边形的周长和任何外切正多边形的周长之间。这样就容易得到 � 的上下界�因为计算内接和外切正多边形的财长比较简单。阿基米德也掌握了这一原理�他从内接和外切严六边形开始�按照这个方法逐次进行下去�就得出 12、24、38、96 边的内拉和外切正多边形的财长�他利用这一方法最后得到 � 值在 223/71,22/7之间�取值为 3.14。这一方法和数值发表在他的论文集《圆的量度》中。 我国古代第一个把求圆周率近似值的方法提高到理论高度上来认识的是刘微。他独立地创造了“割圆术”�并系统而严密地用内接正多边形来求得圆周率的近似值�他从内接正六边形算起�计算到圆内接正 192 边形的面积�从而得出 3.141024�� � 3.142704 这一值�后来他沿着这一思路继续前进�一直算到圆内接正 3072 边形时�得到了 � �3927/1250� � 的值为 3.14159。这是当时得到的最精确的取值。 南北朝时期�我国的大数学家祖冲之采用刘徽的割圆术�一直算到圆内接正 24576 边形�从而推得� 3.1415926� � �3.1415927 这一成果记载在他的著作《缀术》中。可惜的是�这本书已经失传。为了应用方便�祖冲之对圆周率还给出了两个分数值 355/113 和 22/7�前者称之为“密率”�后者称之为“给率”。其中“密率”355/133 是一个很有趣的数字�分母分子恰好是三个最小奇数的重复�既整齐美观、又便于记忆。355/113=3+4 2/(7 2+8 2)也是很巧妙的组合。它与的 � 实际值相对误差只有 0.00000009 。 �二�连分数计算 � 用连分数计算 � 的人不多�要多次展开。首创连分数的是一个叫盖托蒂的数学家。布朗开罗�1620—1684�得到的表达式为 254928122 ...924 112 ������� � 这个式子源于下式 119422524928122 ...�� ������ 在一定范围内计算上式�先采用繁分数形式。 119422524928122�� ����� 再计算 3 81 4 81 85 49 2 170 98 2682 ,22 2 2 85 85 8525 85 536 2125 26612268 268 2689 268 773422661 2661� � �� � � � � �� �� � ��� � 2661 7734 2661 1039517734 7734 7734�� � � 再由 103954 7734�� 可得 4 7734 309362.976010395 10395��� � � ��� 因为在展开式中取的项数有限�所以 � 值没有超过 3。 由上可见�计算量很大�是古人对计算感兴趣吗�对现在的年轻人来讲�这是枯燥无味的�古人也许因为娱乐或兴趣而高兴这么干下去。 �三�一些计算圆周率的经典的常用公式 1、1593 年�韦达给出 2 2 2 2 2 2 22 2 2 �� � �� � � ������ 这一不寻常的公式是 � 的最早分析表达式。甚至在今天�这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字 2�通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 � 值。 2、沃利斯 1650 年给出� 2 2 4 4 6 6 8 82 1 3 3 4 5 5 7 7� � � � � � � � ����� � � � � � � ��� 3、Machin 公式 1 116 45 239arctg arctg � � � 3 5 7 2 11( 1)3 5 7 2 1nnx x x xarctgx xn��� � � � ����� �� 这个公式由英国天文学教授 John Machin 于 1706 年发现。他利用这个公式计算到了 100 位的圆周率。Machin 公式每计算一项可以得到 14 位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数�所以可以很容易地在计算机上编程实现。 还有很多类似于 Machin 公式的反正切公式。在所有这些公式中�Machin 4 公式似乎是最快的了。虽然如此�如果要计算更多的位数�比如几千万位�Machin 公式就力不从心了。 4、Ramanujan 公式 下面介绍的算法�在 PC 机上计算大约一天时间�就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算�要用 FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT 可以将两个大数的乘除运算时间由 O(n2 )缩短为 O(nlog(n))。 4 4 409801(4 )! (1103 26390 )2 24 ( !) 99n nnn nn������� 1914 年�印度数学家 Srinivasa Ramanujan 在他的论文里发表了一系列共 14条圆周率的计算公式�这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到 8 位的十进制精度。1985 年 Gosper 用这个公式计算到了圆周率的 17,500,000 位。 5、乌依塔 21 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2� �� � � � ��� 6、牛顿 2 5 8 113 3 1 1 1 1 324( )4 3 2 5 2 2 7 2 2 3 9 2��� � � � � ����� � � � � � � 7、欧拉 2 2 2 2 21 1 1 1 12 31 2 3 4 5� � � � � � � ���� 计算 � 的方法还有很多本文仅列具几种常见并且典型的计算方法。最后不得不提一句的是�为什么对于 � 的位数的竞争会持续不断呢�这也应该是相当一部分人的问题吧�可能是因为分数诞生的缘故吧� 参考文献� [1] 崛场芳数� � 的奥秘�M��北京�科学出版社�1989. [2] www.cxyx.cn/eoknews/2005-1-17/20051171009 ... 4K 2005-1-17. [3] 陈仁政著. 说不尽的π [M].北京:高教出版社,1992.