我仔细想了一想,发现这个问题里面其实蕴含了两种可能的判断,把两种判断混在一起确实会让整个问题变得混乱。
如果我们从错误本身的严重性出发,那么越是容易被修补的错误越是小错、越是难以被修补的错误越是大错;越是对全局影响不大的错误越是小错、越是对全局影响很大的错误越是大错。例如PDE做先验估计的时候常数错了一点,但既不会影响后面正则性的估计,又是很容易找到一个更好的估计的话,那就是小错;但比如做先验估计的时候弄反了一个不等式的方向,那一般来说这种错误没法弥补,又会让整个估计失效,那就是很大的错误了。
但在数学上,我们评价一个结果的意义,并不单纯是看对错,还是要考虑这个结果对于我们理解数学、思考数学有多大的意义。Euler的工作是很典型的。无论是对无穷级数、变分法还是微分方程的研究,较真来说Euler的证明全是错误的,毕竟那个年代没有严格定义的微积分。但我们都认为Euler是非常有洞见的伟大的数学家,他的很多思想也被数学界视为珍宝,这是因为尽管他的证明不严格、有错误,但是他的数学思想是非常有价值的。如果要说Euler的错误是否严重,那答案是自然的——过了百年人们才发展了严格的分析学来弥补Euler的错误。但从数学的价值出发,即使有错,Euler的工作还是有巨大的价值的。
错误本身是没有价值的,但是错误的证明、错误的结论是有可能蕴含了深刻的数学价值。从这一点来说,对或错这样简单的二元论用来分析数学成果实在是太粗糙了。