维普资讯 http://www.cqvip.com 2 0 0 7年第 6 , 期 数 学 通 讯 1 3 四 面体 的 一 种 补 形 方 法 及 其 应 用 张必平 ( 鄂 南高中老校区, 湖北 4 3 7 1 0 0 ) 如图 1 , 从 长方 体 中砍下 一个 角 , 可 以得 到直 角 四面体 P A B C . 反之 , 对于直 角 四面体 , 我们 可 以将它补 成长方体用 以解题 , 这是立 体 几何 中已经 司空 见惯 的一种补形解 法. 本 文介 _ 六 向1 本 ABl DC1 一 A1 BC1 D. ‘ . ‘ 平面A A B B与平 面DD C C 的距 离 d等手两异面直线 A B与 C D 的距离 , ‘ - d 一 2 . . 。 . ‘ 绍对于一般 四面体都适用 的另一种补形解 法. 如图 2 , 从 平行 六 面体 中砍下 四个角 , 可 以得 到 四面体 A BC D. 反之, 我们 可 以将 四面 + ? . ? 直线 A B与A B 的夹角等于A B与 C D 的 夹 角 詈 ￣ E 2 A A B B 的 面 积 体补 成图 2所 示的平 行六 面体来 解决 一些 问 题. 下 举 数例 , 予 以说 明. S _ 4 × 专 × ‘ ? ? 詈 一 导 , 平行 六面 体 A B C D A1 B C1 D的 体 一 3 . 国 图 1 长万 俸 图 Z 半 仃 六 咖恽 积 一 注 意 到 肛仙l c = V￣ - o c l P= VD - A C D l — M 一 告 , 例1 ( 2 0 0 3年全 国高 中数 学联 赛题 ) 在 . ? 四面体 A BC D 中, 设A B一 1 , c D 一√ , 直 线 . 仙 c 。 = 一 4 × 吉 = ÷ 一 专 , 选( B) . A B 与 c D 的 距 离 为 2 , 夹 角 为 詈 , 则 四 面 体 AB C D 的体积 等 于 ( A) . ( B) 1 . 例2 ( 2 0 0 5 年全 国高中数 学联赛题) 空间 四边形 C D中, f : ( ) f 一3 , l l 一7 , l l 1 1 , l l 一9 , 则 . 亩 的取值 ( ) ( A)只有一 个. ( c) 1 . ( B ) 有两 个. ( D)有 无 奔 多 个 . ( D) . ( C) 有 四个 . 解 连A C, B D 得 四面 体 AB C D. 如图 5 , 将 它 补 成 平 行 六 面 体 A Bl C Dl — A1 B C l D .由 B B1 C 图 3 例 1图 图 4 例 1图 条件得 l 一 l z +l 面 l 。 图5 例 2图 解 如图 3 , 将 四面体 A BC D 补成 平行 l l z +l G n X - l z 一1 3 0 , 维普资讯 http://www.cqvip.com l 4 ? 数 学 通 讯 2 0 0 7年 第 6期 . . l 1 z +l 茸 1 z —l l z +l 百 l z , . 根据 平行 四边 形 的对角线 的平 方和 等于 . ‘ + 6 + c r 一 _ 兰 - . . . 它 的相邻 两边 的平 方和 的两 倍 , 得 球 表 面积 s 一丌 ( 2 R ) z 一丌 ( z + 2 ( f 邱 一 f z 十f 窳 l z +I l —l f z ) l z ) , l , 6 + c 2 ) 一 莩 , 选 ( A ) . 说 明 一般 地 , 将 三 2 ( I 邱 ? . . 1 组 对 棱 分 别 相 等 的 四 面 ? . . C T A B c D 为菱形 . 上面 上蔚 . , 体, 按 图 2的方 法 补 为 平 行 六 面体 后 , 所 得 的 平 行 六 面 体为长 方体. 图7 例4 图 ? . . . 亩 一0 , 选( A) . 从以上两例 可以看到 , 按 图 2的方法将 四 面体补形 为平行六面 体 , 最 大的优势在 于补形 后 四面体的对棱位于平行 六面体 的相对 面上 , 从而平 移直线 的工作 就可以轻松地完成 了. 当 四面体 具有 某 种 特 殊性 时 , 补 成 的 平 行六 面 体 也会 具 有 一定 的 特殊 性 , 此 时利 用 例4 如图 7 , 正 四面体 A B C D 中, E, F 分别是 B C, AD 的 中点 , 求异 面直线 A E 和 C F 所 成 的角 . 解 如图 8 , 将 四 面 体 A BC D 补 成 正 方 体, 建立空间直角 坐标系 A — 这种 补形 方法 解题 将更 加方便 . 例3 已知 一个 三棱锥有 两条 棱长 为 l , x y z . 设 正方 体 的棱 长 其 余 棱长 均 为 2 , 使 这 个 三 棱 锥 的 四个 顶 点 在 同一个球 面 上 , 则这 个球 的表 面积 为 ( ) 为 单位 l , 则 = ( , l , 丢 ) , F ( 丢 , o , 丢 ) , 图 8 例 4 图 C ( O , l ' 1 ) ' 亢 一( 一 , l , 。 ( A ) 莩 . ( B 3 r . ( c ) . ( D ) 莩 . . . c o s < 亢 > = 器 ? = 解 长 为 l的两 条棱 不 可能 同在 三 棱 锥 的一个 面 内 , 必 为对棱 . 如图 6 , 将 三 棱 锥 补 成 一 — — 平 行 六 面 体 .由 三 组 对 棱 都相 等, 易 知 平 行 六 面 体 B “ 3’ ‘ . . A E和C F 所成 的角 为 a r c c o s r 、 . 的各 个 面 均 为 矩 形 , 从 而 图6 例 3图 该平 行 六面 体为 长方体 . 说 明 一般地 , 将 正 四面 体按 图 2的方 法 补 为平 行 六 面 体后 , 所 得 的平 行 六 面 体 为 方 体. r “ + b 。= 2 。 , J b : +f = l 。 , ( 收 稿 日期 : 2 0 0 6 —0 6 —0 1 ) l f +( 。