试卷 考试时间 120分钟 满分 150分 第Ⅰ卷(选择题 共 60分) 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5 分,共 60分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求) 1. 数列 1,-3,5,-7,9,……的一个通项公式为( ) A.an 2n 1 B.an ( 1) n (1 2n) C.an ( 1) n (2n 1) D.an ( 1) n (2n 1) 2.{an }是首项 a 1 3 ,公差 d a n 3 的等差数列,如果 2010 ,则序号 n 等于( ) A.667 B.668 C.669 D.670 {a } a 3.已知数列 n 满足: 1 1a ,n = 2a + n- 1 1(n ? 2) ,则 a4 =( ) A.30 B.14 C.31 D.15 4.为测一树的高度,在水平地面上选取 A、B 两点(点 A、B 及树的底部在同一直线上),从 A、 B 两点分别测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60m,则树的高度为 () A. 30 15 3 m B. 30 30 3 m 5.若等差数列{ an }的前三项和 S3 9a 且1 C. 15 30 3 m 1 ,则 S15 等于( 15 15 3 m D. ) A.210 B.225 C.255 D.360 6. △ABC中,A、B 的对边分别为 a、b, a 5 ,b 4 ,且∠A=60°,那么满足条件的△ABC ( )A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 a b c 7.若 sin A cos B cosC ,则 ABC 为( ) A.等边三角形 B.有一个内角为 30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形 8.已知某等差数列共有 10项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 9. 在△ABC中,若 a 2 , b 2 3 , B 600 ,则角 A 的大小为 ( ) A. 30 或150 B. 60 或 120 C. 30 60 D. 10.在等比数列 an 中, a20 a 21 10 , a 22 a 23 20 ,则 a 24 a 25 =( ) A.40 B.70 C.30 D.90 {a } 11. 在数列 a1 n 中, 2, a n1 an ln(1 1) n ,则 an ( ) A.2 ln n B.2 (n 1)ln n C. 2 n ln n D.1 n ln n 用心 爱心 专心 -1- 12.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第 2011 项是( ) A.2054 B.2055 C.2056 D.2057 第Ⅱ卷(非选择题 共 90分) 二、填空题(本题有个小题,每小题 4 分,共 16分.并将答案填在答题卡上) 13. 在数列 1, 0, 1 9 , 1 8 , , n n2 2 , 中, 0.08是它的第______项. a 2,b 2 3, A 30, ,则边长 C= . 14.在 ABC中,边 15.已知数列 an 为等差数列, a 1 a 2 a 3 3,a a a 567 a 9 ,则 4 . {a } 16.在等比数列 a3 n 中,若 3 2 , S 3 9, 2 q 则 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12分) 已知 an a 是公差不为零的等差数列, 1 1 且a1, a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列 2a n 的前 n 项和 Sn . 18. (本题满分 12分) 如图,A、C 两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某 日上午 8 时从 A 岛出发,以 10海里/小时的速 度,沿北偏东 75 方向直线航行,下午 1 时到达 B 处.然后以同样的速度,沿北偏东 15方向 直线航行,下午 4 时到达 C 岛. (Ⅰ)求 A、C 两岛之间的直线距离; (Ⅱ)求∠BAC的正弦值. 19. (本题满分 12分) {a } 在等差数列 a1 n 中,已知 (Ⅰ)求 an 的通项公式; 20 S ,前 n 项和为 Sn ,且 10 S 15 , 用心 爱心 专心 -2- S S (Ⅱ)求 n 的前 n项和 n及使得 n最大的序号 n的值. a 20.(本题满分 12分) {a } 已知等比数列 a2 n 中, 3 , a6 243,(1)求a4 的值,(2)求数列{a } n 的通项公式。 21.(本题满分 12分) 在 ABC 中, a,b, c 分别是角 A, B,C tan A 的对边,若 B (1)求角 的大小; (2)若 c 4, 求 ABC 面积. cosC 3 , 5 5 。 22. (本题满分 14分) 设 Sn 为 数 列 n n an 的 前 项 和 ,对 任 意 的 m 0). S N * ,都 有 n ma (m 为 常 数 ,且 m1 n 用心 爱心 专心 -3- (1)求证:数列 an 是等比数列; b (2)设数列 an 的公比 q f m ,数列 n 满足 b1 2a1, bn 求数列 bn 的通项公式; fb n1 ,n N* ) , (n 2 2n 1 (3)在满足(2)的条件下,求数列 b n 的前 n 项和Tn . 参考答案 1—6 B D D B B A 7—12 C D C A A C 1 13. 10 14. 2 或 4 15、2 12 16、 或 a 17.解:(Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 1 1 , a1, a3 , a9 成等比数列得 1 2d 1 1 =1 8d 2d , a 1 (n 1) 1 n 解得 d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项 n …………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2a n 12分 2(1 2n ) 2 n ,等比数列前 n 项和公式 Sn=2+22+23+…+2n= 1 2 = n 1 2 … 2 18.解:(Ⅰ)在△ABC中,由已知,AB=105=50,BC=103=30, ∠ABC=180-75+15=120° ………………………………………2分 据余弦定理,得 AC2 502 302 2 50 30cos120 4900 , 所以 AC=70. …………………………………………………………………5分 故 A、C 两岛之间的直线距离是 70海里. …………………………………………6分 用心 爱心 专心 -4- BC AC (Ⅱ)在△ABC中,据正弦定理,得 sin BAC sin ABC , ……………………8分 sin BAC 所以 BC sin ABC AC 30sin120 3 3 70 14 . ……………………………11分 33 故∠BAC的正弦值是 14 . ……………………………………………………………12分 19. 解:(1)由题意可知: S10 10a1 10 9 2 d S15 , 15a1 15 14 d 2 ………………2 分 a1 20,S 10 S 15即10a 1 45d 15a 1 105d ………………………………4分 d5 解得: 3 an 5 n 65 33 ……………………………………………………………6分 n(n 1) 5 n2 125 n (2)由(1) 知 Sn=na1+ 2 d= 6 6 …………………………………9 分 Sn 因为 5 25 2 3125 n 62 24 所以 n=12,13时,Sn取得最大值. …………………………………………………12分 20.解:(1) a 4 为 a2 和 a6 的等比中项,又 a 4 a 2q 2 0 ,…………………………………3 分 a4 a2a6 27 …………………………………………………………………………6分 aa6 (2) 2 q4 q4 , 243 3 81, q 3 ;…………………………………………………8 分 a q3 1 当 时, a 2 q 1 a n n1 3 ;……………………………………………………………10 分 q 当 a 3 1 时, a 2 q 1a ,n ( 3)n 1 . ………………………………………………12 用心 爱心 专心 -5-