2019 届高三 文 科 数学 测试卷(一) : 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 Ⅰ 卷 共 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 共 60 分. 在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. . 1.复数 z 的共轭复数为 z ,且   3 i 10 z   ( i 是虚数单位),则在复平面内,复数 z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合   2 5 A x x     , 1 B x y x    ,则 A B  ( ) A.   2,1  B.   0,1 C.   1,5 D.   1,5 3.阅读如下框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 10,则输出 n 的值为( ) A.0 B.1 C.3 D.4 4.已知函数    , 02 1, 0g x xf xx x   是 R 上的奇函数,则   3 g  ( ) A.5 B. 5  C.7 D. 7  5.“ 1 a  ”是“直线 2 0 ax y    和直线 7 0 ax y a    互相垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数   sin 2 y x    在π6x  处取得最大值,则函数   cos 2 y x    的图像( ) A.关于点π,06   对称 B.关于点π,03   对称 C.关于直线π6x  对称 D.关于直线π3x  对称 7.若实数 a 满足432log 1 log3aa   ,则 a 的取值范围是( ) A.2,13    B.2 3,3 4    C.3,14    D.20,3    8.在 ABC △ 中,角 B 为3π4, BC 边上的高恰为 BC 边长的一半,则 cos A ( ) A.2 55 B.55 C.23 D.53 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( ) A. 136π B. 144π C. 36π D. 34π 10.若函数   f x x  ,则函数  12log y f x x   的零点个数是( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 11.已知抛物线2: 4 C y x  的焦点为 F ,准线为 l ,点 A l  ,线段 AF 交抛物线 C 于点 B ,若 3 FA FB  ,则 AF  ( ) A.3 B.4 C.6 D.7 12.已知 ABC △ 是边长为 2 的正三角形,点 P 为平面内一点,且 3 CP  ,则 PC PA PB   的取值范围是( ) A.   0,12 B.30,2    C.   0,6 D.   0,3 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 第 3 页(共 8 页) 第 4 页(共 8 页) 第 Ⅱ 卷 共 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.计算:7log 38log 32 7   ________. 14.若 x , y 满足约束条件001x yx yy  ,则12yzx的最大值为________. 15.已知 tan 24π    ,则 sin 24π   的值等于__________. 16.已知双曲线 C 的中心为坐标原点,点   2,0 F 是双曲线 C 的一个焦点,过点 F 作渐近线的垂线 l ,垂足为 M ,直线 l 交 y 轴于点 E ,若 3 FM ME  ,则双曲线 C 的方程为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)已知数列  na 的前 n 项和是nS ,且  *2 1n nS a n   N . (1)求数列  na 的通项公式; (2)令2logn nb a  ,求数列   21nnb  前 2n 项的和 T . 18. (12 分)2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨,黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查,随机抽取80 名群众进行调查,将他们的年龄分成 6 段:   20,30 ,   30,40 ,   40,50 ,   50,60 ,  60,70 ,   70,80 ,得到如图所示的频率分布直方图.问: (1)求这 80 名群众年龄的中位数; (2)若用分层抽样的方法从年龄在   2040 , 中的群众随机抽取 6 名,并从这 6 名群众中选派 3 人外出宣传黔东南,求选派的 3 名群众年龄在   3040 , 的概率. 19.(12 分)如图,已知四棱锥 P ABCD  的底面为菱形,且 60 ABC    , E 是 DP 中点. (1)证明: PB∥ 平面 ACE ; (2)若 2 AP PB   , 2 AB PC   ,求三棱锥 C PAE  的体积. 20.(12 分)已知动点   , M x y 满足:    2 22 21 1 2 2 x y x y       . (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设过点   1,0 N  的直线 l 与曲线 E 交于 A , B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 C (点C 与点 B 不重合),证明:直线 BC 恒过定点,并求该定点的坐标. 第 7 页(共 8 页) 第 8 页(共 8 页) 21.(12 分)已知函数   ln f x x  ,     1 g x a x   , (1)当 2 a  时,求函数       h x f x g x   的单调递减区间; (2)若 1 x  时,关于 x 的不等式     f x g x  恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若数列  na 满足11n na a  ,33 a  ,记  na 的前 n 项和为nS ,求证:  ln 1 2 3 4 ...nn S       . 请考在 生在 22 、23 两 两. 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的方程为24 y x  . (1)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的参数方程是2 cossinx ty t ( t 为参数), l 与 C 交于 A , B 两点, 4 6 AB  ,求 l 的倾斜角. 23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数   3 2 f x a x x     . (1)若 2 a  ,解不等式   3 f x  ; (2)若存在实数 a ,使得不等式   1 2 2 f x a x     成立,求实数 a 的取值范围. 答案 第 1 页(共 6 页) 答案 第 2 页(共 6 页) 高三 文 科数学(一)答 案 一、选择题. 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】B 12.【答案】A 二、填空题. 13.【答案】43 14.【答案】2 15.【答案】210 16.【答案】221yxx  三、解答题. 17.【答案】(1)12 nna ;(2)   2 1 T n n   . 【解析】(1)由1 12 12 1n nn nS aS a   得  *12 , 1n na a n n   N , ∴  na 是等比数列,令 1 n  得11 a  ,所以12 nna . (2)12 2log log 2 1nn nb a n    , 于是数列  nb 是首项为 0,公差为 1 的等差数列.      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 2 1 2 2 1 4 3 2 2 1 n n n nT b b b b b b b b b b b b                  1 4 31 5 4 3 2 12n nn n n          , 所以   2 1 T n n   . 18.【答案】(1) 55 ;(2)15. 【解析】(1)设 80 名群众年龄的中位数为 x ,则   0.005 10 0.010 10 0.020 10 0.030 50 0.5 x          ,解得55 x  , 即 80 名群众年龄的中位数 55. (2)由已知得,年龄在   20,30 中的群众有 0.005 10 80=4   人, 年龄在   30,40 的群众有 0.01 10 80=8   人,按分层抽样的方法随机抽取年龄在   20,30 的群众46 24 8 人,记为 1,2;随机抽取年龄在   30,40 的群众86 =44 8人,记为 a ,b , c , d .则基本事件有:  , , a b c ,   , , a b d ,   , ,1 a b,   , ,2 a b ,   , , a c d ,   , ,1 a c ,   , ,2 a c ,  , ,1 a d,   , ,2 a d ,   , , b c d ,   , ,1 b c ,   , ,2 b c ,   , ,1 b d ,   , ,2 b d ,   , ,1 c d ,   , ,2 c d ,   ,1,2 a ,  ,1,2 b,   ,1,2 c ,   ,1,2 d 共 20 个,参加座谈的导游中有 3 名群众年龄都在   30,40 的基本事件有:   , , a b c ,   , , a b d ,   , , a c d ,   , , b c d 共 4 个,设事件 A 为“从这 6 名群众中选派 3 人外出宣传黔东南,选派的 3 名群众年龄都在   30,40 ”,则  4 120 5p A   . 19.【答案】(1)见解析;(2)36. 【解析】(1)如图,连接 BD , BD AC F  ,连接 EF , ∵四棱锥 P ABCD  的底面为菱形, ∴ F 为 BD 中点,又∵ E 是 DP 中点, ∴在 BDP △ 中, EF 是中位线, EF PB  ∥ , 又∵ EF  平面 ACE ,而 PB  平面 ACE , PB  ∥ 平面 ACE . (2)如图,取 AB 的中点 Q ,连接 PQ , CQ , 答案 第 3 页(共 6 页) 答案 第 4 页(共 6 页) ∵ ABCD 为菱形,且 60 ABC    , ABC △ 为正三角形, CQ AB   , 2 AP PB   , 2 AB PC   , 3 CQ   ,且 PAB △ 为等腰直角三角形, 即 90 APB    , PQ AB  ,且 1 PQ  ,2 2 2PQ CQ CP    , PQ CQ   , 又 AB CQ Q  , PQ   平面 ABCD , 1 1 1 1 1 32 3 12 2 2 3 2 6C PAE E ACP D ACP P ACDV V V V              . 20.【答案】(1)22+ 12xy  ;(2)见解析. 【解析】(1)由已知,动点 M 到点   1, 0 P  ,   1, 0 Q 的距离之和为 2 2 , 且 2 2 PQ  ,所以动点 M 的轨迹为椭圆,而 2 a  , 1 c  ,所以 1 b  , 所以,动点 M 的轨迹 E 的方程为2212xy   . (2)设  1 1, A x y ,  2 2, B x y ,则  1 1, C x y  ,由已知得直线 l 的斜率存在,设斜率为 k ,则直线 l 的方程为   1 y k x   , 由 22112y k xxy  得  2 2 2 21 2 4 2 2 0 k x k x k      , 所以21 2241 2kx xk  ,21 222 21 2kx xk, 直线 BC 的方程为  2 12 22 1y yy y x xx x  ,所以2 1 1 2 2 12 1 2 1y y x y x yy xx x x x   , 令 0 y  ,则    1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 12 1 1 2 1 22 222 2kx x k x x x x x x x y x yxy y k x x k x x            , 所以直线 BC 与 x 轴交于定点   2,0 D  . 21.【答案】(1)1,2   ;(2)   1, ;(3)证明见解析. 【解析】(1)由 2 a  ,得       ln 2 2 h x f x g x x x      ,   0 x  . 所以  1 1 22xh xx x   , 令   0 h x   ,解得12x  或 0 x  (舍去), 所以函数       h x f x g x   的单调递减区间为1,2   . (2)由     f x g x  得,   1 ln 0 a x x    , 当 0 a  时,因为 1 x  ,所以   1 ln 0 a x x    显然不成立,因此 0 a  . 令     1 ln F x a x x    ,则  11a xaF x ax x       ,令   0 F x   ,得1xa . ①当 1 a  时,10 1a  ,   0 F x   ,∴     1 0 F x F   ,所以   1 ln a x x   , 即有     f x g x  .因此 1 a  时,     f x g x  在   1, 上恒成立. ②当 0 1 a   时,11a ,   F x 在11,a   上为减函数,在1,a   上为增函数, ∴    min1 0 F x F   ,不满足题意. 综上,不等式     f x g x  在   1, 上恒成立时,实数 a 的取值范围是   1, . (3)由1 31 , 3n na a a   知数列  na 是33 a  , 1 d  的等差数列, 所以  33na a n d n     ,所以   112 2nnn a a n nS   , 又 ln x x  在   1, 上恒成立. 所以 ln2 2  , ln3 3  , ln4 4  ,  , lnn n  . 将以上各式左右两边分别相加,得 ln2 ln3 ln4 ln 2 3 4 n n        .因为 ln1 0 1   所以  1ln1 ln2 ln3 ln4 ln 1 2 3 42nn nn n S           , 所以   ln 1 2 3 4nn S      . 22.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 【答案】(1)2sin 4cos 0      ;(2)π4  或3π4  . 答案 第 5 页(共 6 页) 答案 第 6 页(共 6 页) 【解析】(1)∵cossinxy  ,代入24 y x  ,∴2sin 4cos 0      . (2)不妨设点 A , B 对应的参数分别是1t ,2t , 把直线 l 的参数方程代入抛物线方程得:2 2sin 4cos 8 0 t t       , ∴1 221 2224cossin8sin16 16sin 0t tt t   ,则21 2216 16sin4 6sinAB t t    , ∴2sin2  ,∴π4  或3π4  . 23.【选修 4-5:不等式选讲】 【答案】(1)3 74 2x x     ;(2)52a   . 【解析】解:(1) 2 a  时,   3 2 2 3 f x x x      , 233 2 2 3xx x   或2232 3 2 3xx x     或22 3 2 3xx x     , 解得3 74 2x    . (2)存在实数 a ,使得不等式   1 2 2 f x a x     成立,即 3 3 6 1 x a x a      , 由绝对值不等式的性质可得   3 3 6 3 3 6 6 x a x x a x a          , 即有   f x 的最大值为 6 a , ∴ 6 1 a a    ,即 6 1 a a    或 6 1 a a    , 解得52a   . ...