2.1 地图投影的基本方法 2.2 地图投影的变形 2.3 球面极坐标及其换算 2.4 地图投影的分类 投影面:将地球表面的点、线、面投影于其上的承受面 地图投影的原理是在原面与投影面之间建立点、线、面的一一对应关系 地图投影的方法: 几何透视法 数学分析法 地图投影,简单的说就是将参考椭球面上的元素(大地坐标、角度和边长)按一定的数学法则化算到平面上的过程。 二、投影方式: 1.平行投影 2.透视投影 3. 广义投影 三、地图投影实质: 建立平面上的点(用平面直角坐标或极坐标表示)和地球表面上的点(用纬度和经度表示)之间的函数关系,用数学式表达这种关系,就是: 地图投影,简单的说就是将参考椭球面上的元素(大地坐标、角度和边长)按一定的数学法则化算到平面上的过程。 地图投影的基本思想是,先将参考椭球面上的点化算到投影面上(可展曲面),再将投影面沿母线切开展为平面。 从本质上讲,地图投影就是按一定的条件确定大地坐标和直角坐标之间的一一对应关系。 沿经线直接展开? 沿纬线直接展开? 沿经线直接展开? §2.2 地图投影的变形 一、投影变形的概念 1. 投影变形产生原因——地球的形状 2. 投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在长度(距离)、角度(形状)、面积等方面完全不变。 球面经纬网经过投影之后,其几何特征受到扭曲——地图投影变形:长度(距离)、角度(形状)、面积。 二、变形椭圆	取地面上一个微分圆(小到可忽略地球曲面的影响,把它当作平面看待),它投影到平面上通常会变为椭圆,通过对这个椭圆的研究,分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。 主方向(底索定律):无论采用何种转换方法,球面上每一点至少有一对正交方向线,在投影平面上仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的坐标轴 三、投影变形的性质和大小 长度比和长度变形: 投影面上一微小线段(变形椭圆半径)和球面上相应微小线段(球面上微小圆半径,已按规定的比例缩小)之比。 m表示长度比, Vm表示长度变形 长度比是变量,随位置和方向的变化而变化。 角度变形: 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差,称为角度变形。以ω表示角度最大变形。	面积比和面积变形: 投影平面上微小面积(变形椭圆面积)dF′与球面上相应的微小面积(微小圆面积)dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形 P = a·b = m · n ( = 90)(主方向和经向纬向一致) P = m · n · sin ( ≠ 90)(阿波隆尼定理) 面积比是变量,随位置的不同而变化。	2.4 地图投影的分类 按投影变形性质分类 按正轴投影经纬网形状分类	1. 按地图投影的变形性质分类	等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等,即角度变形为零 ω=0(或a=b,m=n)。	等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等,即面积变形为零 Vp=0(或P=1,a=1/b)。 任意投影: 投影图上,长度、面积和角度都有变形,它既不等角又不等积。其中,等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影(m=1)。 地图投影的分类 根据投影面与球面相关位置的分类 3. 地图投影的分类 非几何投影 并不借助辅助投影面,而是根据某些特定要求,用数学解析方法,求出投影公式,确定平面与球面之间点与点之间的函数关系。 按经纬线形状,分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影。 正轴 圆柱 方位 圆锥 斜轴 横轴 几何投影 正轴 圆柱 方位 圆锥 斜轴 横轴 2.3 球面坐标及其换算 球面坐标的意义和换算公式 地理坐标换算球面极坐标	球面坐标系的意义 正轴投影以地理坐标?,?为参数,投影经纬网形状比较简单,计算方便。但在使用上受到地理位置的限制。例如,正轴方位投影只适用于两极地区,正轴圆柱投影适用于赤道附近地区,正轴圆锥投影适用于沿纬线延伸的中纬度地区。 当制图区域的中心点是在两极以外的任一点以及制图区域是沿经线或任一方向延伸的情况,为了减少投影误差,常采用斜轴或横轴投影。 但是,斜轴或横轴投影的经纬线形状往往是较复杂的曲线,如果直接根据地理坐标推求投影的直角坐标公式将是很复杂的。 把地球作为球体时,地理坐标也是一种球面坐标,即由通过南北地极的经圈和平行于赤道的纬圈来确定地面上任一点的位置。 球面极坐标系 现在采用另一种确定地面点位的球面坐标,为了区别起见,称之为球面极坐标。 为了简化投影公式的推导和计算工作,可以通过地理坐标与球面极坐标的换算,仍然利用正轴投影公式,就可以实现斜轴或横轴投影的计算以及经纬网的构成。 通常根据制图区域的形状和地理位置,选择一个新极点Q(?0,?0),球面上的各点便以新极点Q为原点,以方位角?和天顶距 Z 表示其位置,从而构成球面极坐标系。 球面极坐标系的建立 球面极坐标系 在地图测制中是把地球表面作为旋转椭球面处理。 地球椭球面上各点的位置,是以地理坐标即经度和纬度来确定。经纬度是一种绝对的坐标系统。 第二节 地理坐标 P,P1—北、南极 O —球心 PP1 —椭球旋转轴 子午面 子午圈(经线圈) 赤道面 平行圈(纬线圈) 过新极点Q所在的直径的所有大圆,叫做垂直圈,相当于地理坐标的经线圈。 垂直圈 垂直于垂直圈的各圆,叫做等高圈,其中通过球心的为大圆,其余为小圆。 等高圈 球面极坐标系 方位角 天顶距 过A点的垂直圈与过新极点的经线圈的交角,为方位角。从意义上来看,方位角相当于?。 A点至新极点Q的垂直圈弧长,即天顶距。从形式上来看,天顶距相当于?。 在球面三角形PQA 中,利用球面三角学的有关公式,可以求得地理坐标与球面极坐标之间的关系式: 于是,地球面上任一点A,它既可以用地理坐标?, ?确定,也可以用球面极坐标?, Z来确定,而且两种坐标系可以进行换算。 球面极坐标系 (1)由边的余弦定理,有: (2)由边正弦与邻角余弦之积的定理,有: (3)由正弦定理,有: 化简得, 球面极坐标系 空间平面截球面所得的截口是圆。过球心的平面所截得的圆称为这个球面的大圆。不在同一条直径的球面上两点能够而且只能作一个大圆。过球心与球面上任一个圆垂直的直线与球面相交两点,称为该圆的极。极与圆上各点的角距相等,如果它是大圆,则角距为90?。不在一个大圆的球面上三点,可以用三条大圆弧联结起来围成一个球面三角形。这三条大圆弧称为球面三角形的边,一般用a,b,c来表示。每两个大圆弧可以围成一个角称为球面角,这样球面三角形有三个球面角,一般用A,B,C来表示,它们称为球面三角形的六个元素。边和角的对应关系如图1所示。球面三角形三边之和大于0?而小于360?,三角之和大于180?而小于540?。 B A C c a b o 补充: 球面三角形及其基本公式 球面三角形的基本公式(基本定理)是: (1)正弦公式: (2)边的余弦公式: (3)角的余弦公式: B A C c a b o (4)第一五元素公式: (5)第二五元素公式: B A C c a b o (6)余切公式 B A C c a b o 如果球面三角形中有一个角假设A是直角的话,它称为直角球面三角形。用sinA=1,cosA=0和ctgA=0分别代入正弦公式边的余弦公式,角的余弦公式和余切公式,则可以依次得到: B A C c a b o 按投影变形性质 等角投影(Conformal Projection) 等面积投影(Equivalent Projection) 任意投影(Conventional Projection) 其中包括等距离投影(Equidistant Projection) 等角投影 等距离投影 等积投影 微分圆——正圆 a=b 不同点上长度比大小不同 a=b或m=n P=ab=mn 等角投影面积变形大,角度不变。 适用于交通图,洋流图,风向图等 面状地物轮廓投影后面积不变。 ab =1 长轴越长——短轴越短 在等积投影上以破坏图形的相似性来保持面积上的相等。因此,角度变形最大。 适用于面积精度较高的自然地图和社会经济地图。 适用于对面积精度和角度精度没有什么特殊要求的,或对面积变形和角度变形都不希望太大的用户,一般用于参考图和中小学教学用图。 等面积投影任意投影角度变形不大的投影等距离投影面积变形不大的投影面积变形增大趋向 ?p=0 角度变形增大趋向 ?=0 等角投影圆锥投影(Conical Projection) 圆柱投影(Cylindrical Projection) 方位投影(Azimuthal Projection) 伪圆锥投影(Pseudo-conical Projection) 伪圆柱投影(Pseudo-cylindrical Projection) 伪方位投影(Pseudo-azimuthal Projection) 多圆锥投影(Poly-conical Projection) 地图投影的分类 2. 按正轴投影经纬网形状分类 方位投影(Azimuthal Projection) 纬线投影为同心圆,经线投影为同心圆的直径,两经线间的夹角与相应经差成正比。在方位投影中,又分为透视方位投影和非透视方位投影。 圆柱投影(Cylindrical Projection) 纬线投影为平行直线,经线投影为与纬线垂直而且间距相等的平行直线,两经线间的距离与相应经差成正比。 圆锥投影(Conical Projection) 纬线投影为同心圆弧,经线投影为同心圆的直径,两经线间的夹角与相应经差成正比。 多圆锥投影(Poly-conical Projection) 纬线投影为同轴圆弧,其圆心位于投影成直线的中央经线上,其余经线投影为对称于中央经线的曲线。 伪方位投影(Pseudo-azimuthal Projection) 纬线投影为同心圆,经线投影为交于纬线共同中心并对称于中央直经线的曲线。 伪圆柱投影(Pseudo-cylindrical Projection) 纬线投影为平行直线,经线除中央经线投影为直线外,其余经线投影为对称于中央经线的曲线。 伪圆锥投影(Pseudo-conical Projection) 纬线投影为同心圆弧,经线投影为对称于中央直经线的曲线。 * * * * 第2章 地图投影方法、变形和分类 2.1 地图投影的基本方法 就是将参考椭球面上的元素(大地坐标、角度和边长)按一定的数学法则化算到平面上的过程。 椭球面上的各点的大地坐标,按照一定的数学法则,变换为平面上相应点的平面直角坐标,通常称为地图投影。 地理坐标为球面坐标,不方便进行距离、方位、面积等参数的量算 地球椭球体为不可展曲面 地图为平面,符合视觉心理,并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间分析 地球曲面转换成地图平面,不仅仅存在着比例尺变换,而且还存在着投影转换的问题 2.2 地图投影的变形 沿经线直接展开? 地球仪上经纬线网格和地图上比较: 面积变形和长度变形 地图投影的变形 长度变形 面积变形 角度变形 长度变形 角度变形 地图投影中不可避免地存在着变形,建立一个投影时不仅要建立(x,y)与(? ,?)之间的关系,而且要研究投影变形的分布与大小。地图投影的变形主要体现在: 为经线长度比 为纬线长度比 代入: X2 + Y2 = R2,令R=1,得 微小圆→变形椭圆 该方程证明: 地球面上的微小圆,投影后通常会变为椭圆,即以O'为原点,以相交成q角的两共轭直径的坐标轴的椭圆方程式。 长轴方向(极大值)a 短轴方向(极小值)b 经线方向 m ;纬线方向 n 据阿波隆尼定理,有m2 + n2 = a2 + b2 m·n·sinq = a·b 主方向 特殊方向 通过变形椭圆形状显示变形特征 结论:微分圆长、短半轴的大小,等于该点 主方向的长度比。也就是说,如果一点上主方向的长度比(极值长度比)已经确定,则微分圆的大小和形状即可确定。 = 0 不变 > 0 变大0 变大