一个向量的“长度”x=(p,q,r,s),也就是勾股定理向四维空间进行的很自然的类比。这就让两个向量之间的夹角很容易定义了.关于维度对人的影响,有一个很有趣也很生动的例子,我们先假设一些生活在二维空间的扁片人,他们只有平面概念。假如要将一个二维扁片人关起来,只需用线在他四周画一个圈即可,这样一来,在二维空间的范围内,他无论如何也走不出这个圈。现在我们这些生活在三维空间的人对其进行“干涉”。我们只需从第三个方向(即从表示高度的那跟轴的方向),将二维人从圈中取出,再放回二维空间的其他地方即可。在我们看来,这是一件简单的事,但在二维扁片人的眼里,却无疑是不可思议的:一个人明明被关在圈内,怎么会忽然消失不见,然后就出现在另一个地方! 再举一个例子,当我们把一个三维球体拿到二维人面前,他们会觉得“球”的概念不可思议,要么否认有球体存在,要么认为它很“神秘”。同样道理,当一个四维球体来到我们三维人面前时,我们这些三维人也只能看到圆或球,绝对不会认为是此外的图形。由于我们的想象力和理解力无法达到,因此当别人和你说这是一个四维的超球体时,你一定会觉得很神奇!