翻译: 朱小虎概率和组合导引
样本空间 一个实验的所有可能结果的集合称为实验的样本空间,记作 $S$。
事件 样本空间的任何子集 $E$ 被称为一个事件。即,一个事件是一个包含可能结果的集合。如果该实验的结果包含在 $E$ 内,那么我们称 $E$ 发生。
概率论公理 对每个事件 $E$,我们记 $P(E)$ 为事件 $E$ 出现的概率。
公理 1― 每个概率是在 0 到1之间的,包含端点,即:
\[\boxed{0\leqslant P(E)\leqslant 1}\]
公理 2― 在整个样本空间中至少一个原子事件会出现的概率是 1,即:
\[\boxed{P(S)=1}\]
公理 3― 对任何互斥事件 $E1,...,En$ 序列,我们有:
\[\boxed{P\left(\bigcup_{i=1}^nE_i\right)=\sum_{i=1}^nP(E_i)}\]
置换 一个置换是从 $n$ 个对象的池子中按照给定次序安置 $r$ 个对象。这样的安置的数目由 $P(n,r)$ 表示,定义为:
\[\boxed{P(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!}}\]
组合 一个组合是从 $n$ 个对象的池子中无序安置 $r$ 个对象。这样的安置的数目由 $C(n,r)$ 表示,定义为:
\[\boxed{C(n, r)=\frac{P(n, r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}}\]
注:对$0\leqslant r\leqslant n$,我们有 $P(n,r)\geqslant C(n,r)$
条件概率
贝叶斯规则 对事件 $A$ 和$B$ 满足 $P(B)>0$,我们有:
\[\boxed{P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}}\]
注:我们有 $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(A|B)P(B)$
分划 令$\{A_i, i\in[\![1,n]\!]\}$ 对所有 $i$,$A_i\neq\varnothing$。我们称 $\{A_i\}$ 为一个分划,当有:
\[\boxed{\forall i\neq j, A_i\cap A_j=\emptyset\quad\textrm{