应该是小学时,我们就学过圆锥的体积公式
其中
为底面半径,
为高。但是直到高中,也没有证明过。这里我给一个基于“穷竭法”的,不用微积分知识,给一个中学生也能看懂的证明。
在证明前,我想请读者注意:这个证明不涉及到任何实际的无穷过程,没有用到任何“无穷小”与”无穷大“。
首先,我们把圆锥,沿着垂直于高的方向,等距地切成
份。
这样,第
份就是一个上底面半径
,下底面半价
,高为
的一个圆台。很显然,我们可以把它装进一个与它高相同,而底面与它的下底面相同的圆柱之中;同样地,我们可以把一个高与它相同,而底面与它的上底面相同的圆柱装进其中。因此,这一个圆台的面积,满足:(第1份是一个小圆锥,但是同样满足以下的关系)
我们把这
个圆台的体积加起来,可以得到圆锥的总体积
,它满足这样的不等式:
整理一下可以得到:
下面会用到公式
化简这个不等式,得到
(注意
)
即
注意这个不等式,对于任意的正整数n都成立。
接下来我们使用反证法。
(1)假设
,对任意正整数n都成立。
然而这是不正确的。我们可以直接解这个一元二次不等式,指出它的解不包括全部正整数;一个更简单的方法,可以对不等式进行一下(任意性很大的)放缩:考虑到
,注意到
的n,就会有
,破坏原不等式,推出矛盾。
(2)如果假设
,使用左侧的不等式,同样地,可以得到
对任意正整数n都成立。
这同样是错误的。考虑
,注意到
,只要让n大于
,就会得到
因此,
只能等于
。
到这里证明就完成了。