目录: 1. Fourier 正弦展开2. 交换积分次序3. 构造含参变量函数4. Laplace 变换5. Fourier 变换6. 狄拉克函数7. 留数定理8. 黎曼引理   狄利克雷积分   ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x   \,\displaystyle \int_{0}^{\infin}\frac{\sin x}{x}dx\, ∫0∞xsinxdx 是一个比较常见的无穷积分,在很多领域有着重要应用。   下面介绍几种巧妙解法。为了您更好的阅读体验,请使用电脑浏览。 1. Fourier 正弦展开 ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x = lim ⁡ m → ∞ ∫ 0 m π sin ⁡ x x d x \int_{0}^{\infin}\frac{\sin x}{x}dx=\lim_{m\to\infin}\int_0^{m\pi}\frac{\sin x}{x}dx ∫0∞xsinxdx=m→∞lim∫0mπxsinxdx 令   h = π / k ,将区间   [ 0 , m π ]   分割成   k m   个长度为   h   的小区间,由黎曼积分的定义 \text{令}\,h=\pi/k\text{,将区间}\,[0,m\pi]\,\text{分割成}\,km\,\text{个长度为}\,h\,\text{的小区间,由黎曼积分的定义} 令h=π/k,将区间[0,mπ]分割成km个长度为h的小区间,由黎曼积分的定义 ∫ 0 m π sin ⁡ x x d x = lim ⁡ h → 0 + ∑ n = 1 k m sin ⁡ n h n h h = lim ⁡ h → 0 + ∑ n = 1 k m sin ⁡ n h n \int_0^{m\pi}\frac{\sin x}{x}dx=\lim_{h\to0^+}\sum_{n=1}^{km}\frac{\sin nh}{nh}h=\lim_{h\to0^+}\sum_{n=1}^{km}\frac{\sin nh}{n} ∫0mπxsinxdx=h→0+limn=1∑kmnhsinnhh=h→0+limn=1∑kmnsinnh 由   Fourier   正弦展开 \text{由}\,\textrm{Fourier}\,\text{正弦展开} 由Fourier正弦展开 π −