第一节 连续性方程连续性方程: 对于单组分系统或组成无变化的多 组分系统, 应用 质量守恒定律进行微分衡算得到的方程。 3- 1 连续性方程的推导y(X,Y,Z)dydzdz如图: 在流动的流体中选取一微元体, 其边长为dx, dy, dz,相应的各边长分别与x轴, y轴和z轴平行。xzdx流体在任一点( x, y, z) 处的速度u沿x,y, z方向的分量分别为ux,体的密度为ρ, ρ为x, y, z和θ的函数。因此在点( x, y, z) 处的质量通量为ρuuy,和uz , 流 根据质量守恒定律, 对此微元体进行质量衡算得:输出的质量流率- 输入的质量流率+ 累积的质量流率= 0首先分析x方向流过此微元体的质量流率:设微元体左侧平面处的质量通量为ρu设微元体左侧平面处的质量通量为ρux ,则输入微元体的质量流率= ρux dydz右侧平面处的质量通量为 ()xxuudxx则输出微体的质量流率= ()xxuudydzx 沿x方向的净输出质量流率为上述二者之差即:xudxdydzx同理: 沿y方向的净输出质量流率为ud d dyyydxdydz沿z方向的净输出质量流率为udxdydzzz 三者相加便是此微元体中流体质量流率的总输出与总输入之差:即总净输出量为:(输出的质量流率) - ( 输入的质量流率)uuxy在θ时, 微元体的质量为ρdxdydz,在θ+ d θ时, 其质量变为(())yxzudxdydzyz()()dxdydzddxdydzddxdydz 累积的质量速率为上述两项之差除以dθ于是可证流体流动时的微分质量衡算式为:uuuxyz写成向量形式为:散度此式即为流体流动时的通用 微分衡算方程,又称为连续性方程。累积质量速率=dxdydz0yxzxyz( 3- 1)()0u ( 3- 2) 适用 范围:( 1) 由于推导时没作任何假定, 故它适用 于稳态或非稳态系统。( 2) 理想流体和真实流体。( 3) 可压缩和不可压缩流体。( 4) 牛顿型流体和非牛顿型流体( 4) 牛顿型流体和非牛顿型流体。它是研究动量、 热量和质量传递过程的最基本、 最重要的微分方程之一。 3- 2 对连续性方程的分析和简化将连续性方程展开可得其另 一种形式为:uuuuxyz()0yxzxyzuuxyz上式的物理意义分析:与传递过程有关的许多 物理量( 如压力与传递过程有关的许多 物理量( 如压力、密度、 速度、 温度、 浓度等) 都是位置和时间的连续函数,( 3- 3)对于ρ有:将ρ进行全微分得:( , , , )f x y z( 3- 4) dddxdydzxyz写成全导数的形式为:ddxdydzdx dy dz d( 3- 6)( 3- 5)各项物理意义:各项物理意义:( 1) 偏导数表示某固定点处流体密度随时间的变化率。因为x, y, z固定时, 后三项均为零,dd ( 2) 全导数dd它可想象为当测量运动流体密度时, 观察者在流体中以任意速度运动( 式中为其速度分量, 该速度不一定等于流体速度) 时密度对时间的变化率。 显然, 全导度) 时密度对时间的变化率。 显然, 全导数除了 与时间和位置有关外, 还与观察者的速度有关。( 3) 随体导数D若测量流体密度时, 观察者在流体中的运动速度与流体运动的速度完全一致时, 则dxdydzddd、、D xyzdxdydzuuududd、、xyzuu、、为流体流速在三个坐标轴的分量。此时, 上述方程即可表明流体密度为位置、时间及流体速度u的函数。 此种随流体运动的导数称为“随体导数” 或“真实导动的导数称为随体导数数” , 或称拉格朗日 ( Lagrangian)导数,记为xyDuuDx随体导数中的物理量可以为标量如( 压力、密度、 温度、 浓度等) , 也可以为矢量如( 速度)真实导zuyz( 3- 7) 流体密度ρ的随体导数可表示为:DuDxxyzuuyz( 3- 8)局部导数对流导数随体导数由两部分组成, 其一为局部变化,即量在空间的一个固定点上随时间的变化,称为“局部导数”另 一部分是量的对流变化, 即该量由于流体质点的运动, 由一点移动到另 一点时该量所发生的变化, 称为“对流导数” 。 上式表明: 当流体质点在dθ时间内 , 由空间的一点( x, y, z) 移动到另 一点( x+ dx, y+ dy, z+ dz) 时, 流体密度对时间的变化率。连续性方程用 随体导数形式表达为:1uuu1xzuuuxyzDDD0y方程中的前三项是速度向量的散度现在来看