变上限积分函数,简单来说就是积分的上限或下限中出现了变量。由于之前的学习并没有见过这一类函数,包括笔者在内的很多大学生刚开始接触它的时候难免会感到“水土不服”。首先,变上限积分函数并不是很好理解;其次,教材上对于变上限积分函数的求导很少有专门的讲解。很多教材中只是在讲解微积分基本定理的时候提及了变上限积分函数,没有深入探讨求导的方法。但不管是研究生入学考试还是高等数学竞赛都会出现变上限积分函数求导的面孔,或者求极限时候遇到有变上限积分函数,欲用洛必达法则也需要对其求导。
何为变上限积分函数
定义:若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续,\(x\in [a,b]\),那么定积分\(\int_a^x f(t)dt\)存在,\(\phi(x)=\int_a^xf(t)dt\)称为\(f(x)\)的变上限积分函数。
该如何理解这个定义呢?首先变上限积分函数建立在给定的连续函数\(f(x)\)上,那么它在一个区间定积分值仅和积分上限和积分下限有关。如果积分下限\(a\)固定了,那么对于每一个\(x\)作为函数的积分上限,都有一个对应的积分值,因而这就形成了一个函数关系。我们注意到被积函数的自变量换用了字母\(t\),其实一个函数自变量用什么字母是无所谓的,换用字母是为了防止被积函数的变量和上限混同,\(t\)并不是真正的函数变量,只不过是形式上的一个记号。
变上限积分函数其他一些性质本文不予赘述,本文主要讨论变上限积分函数的求导。
一、变上限积分函数求导的原理
变上限积分函数求导的原理就是微积分第一基本定理:
如果被积函数\(f(x)\)在\([a,b]\)连续,那么变上限积分函数\(\int_a^xf(t)dt\)在\([a,b]\)可导,且\(\frac{\int_a^xf(t)dt}{dx}=f(x)\).
简单来说,就是变上限积分函数是被积函数的一个原函数,当然求导数后得到的是被积函数了。有些读者高中是理科生,学过定积分的初步内容,知道“牛顿-莱布尼兹公式”,也就是微积分第二基本定理。虽然从逻辑上讲,我们是用这个定理推得的“牛顿-莱布尼兹公式”,但是理解起来可以借用更熟悉的“牛顿-莱布尼兹公式”理解这个定理。比如说\(f(x)\)一个原函数是\(F(x)\),那么\(\int_a^xf(t)dt=F(t)|_a