以三阶方阵为例:
求任意高维度方阵的行列式最终都可以递归转化为求二阶方阵行列式问题。
转置矩阵
假设存在两个矩阵 M 和T:
其中矩阵 T 的横行由矩阵 M 的纵行组成,而其纵行又是由矩阵 M 的横行组成,那么就称矩阵 T 为矩阵 M 的转置矩阵,记为:
当转置矩阵双方均为方阵时看起来就好像是沿着对角线翻折一样。
矩阵相乘的转置等于先转置矩阵然后再倒序相乘,这一结论可以扩展到任意矩阵相乘的情形:
标准伴随矩阵
矩阵的标准伴随矩阵为其代数余子式矩阵的转置矩阵,记为adj M;以三阶方阵为例:
逆矩阵
给定一个n X n方阵 A,若存在另一n X n方阵 B,使得A*B = B*A = I,其中 I 为n X n单位矩阵,如下:
那么方阵 A 是可逆的,且方阵 B 是方阵 A 的逆矩阵,用公式表示如下:
逆矩阵通常用于变换还原,比如某向量 V 用矩阵 M 进行变换,如果要想还原回去只需要再用矩阵 M 的逆矩阵进行变换即可:
矩阵的逆矩阵等于其标准伴随矩阵除以其行列式:
当矩阵的行列式为零时上述公式是没有意义的,因此并不是所有矩阵都有逆矩阵,检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。
通过上述方法求矩阵 A 的逆矩阵详细过程如下:
正交矩阵
对于某个矩阵 A,如果其转置换矩阵等于其逆矩阵,则称该矩阵 A 为正交矩阵:
已知某个矩阵为正交矩阵,那么就可以根据上述性质快速求出其逆矩阵;以旋转变换为例(旋转矩阵为正交矩阵):
二维坐标系中 OA 以原点为基准点逆时针旋转 θ 角到OB ,旋转矩阵如下:
其逆矩阵也就是上述旋转的反向旋转矩阵,根据正交矩阵的性质可得 OB 以原点为基准点顺时针旋转 θ 角到OA 的旋转矩阵为:
逆转置矩阵
对某一矩阵 M 先计算其逆矩阵,再计算其逆矩阵的转置矩阵,最后得到的矩阵即为矩阵 M 的逆转置矩阵。
逆转置矩阵和法向量变换有关:
上图为某 3D 坐标系 Z 轴正视图,在该坐标系中存在一平面,P1、P2 为平面上两点,向量 N 为其法向量;如果该平面在 X 轴方向上缩放为原来的 0.5 倍,那平面上所有点的 X 轴坐标都缩放为原来的 0.5 倍数;但是其法向量的变换和点的变换有点不一样;如果法向量也在