《高等数学》课程下期末复习题一 1 参考答案 一、填空题:(请将正确答案填在横线上。每小题 2 分,共 10 分) 1. 方程 3 2 0 y y y      的通解为21 2x xy c e c e   . 2. 已知2 2( , )yf x y x yx   ,则 2 22(1 )( , )(1 )x yf x yy。 3. 设   1yz xy   ,则 xz2 1(1 )yy xy . 4. 交换二次积分的次序 1 0 1 dy ( , ) dyf x y x  =01 0( , )xdx f x y dy  . 5. 函数xy 2  的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !) 2 ( lnnn. 二、选择题:(每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内. 每小题 2 分,共 20 分) 1. 20( ) ( ( ) ln 2, ( )2xtf x f x f dt f x   若连续函数 满足关系式 ) 则 ( B ). (A) ln 2xe (B)2ln 2xe (C) ln 2xe  (D)2ln 2xe  2.非齐次线性微分方程 " 2 ' 5 sin 2tx x x te t    的特解形式 x ( D ). (A) ( ) sin 2tAt B e t  (B)     cos 2 sin 2te At B t Ct D t       (C) ( ) sin 2tt At B e t  ; (D)     cos 2 sin 2tte At B t Ct D t       3. 下列曲面中,( D ) 是平行 x 轴的柱面. (A)2 23 x y   (B)2 2x z y   (C)22 z x   (D)2 22 3 1 y z  . 4. ( , ) f x y 在点0 0( , ) x y 处两个偏导数存在是 ( , ) f x y 在0 0( , ) x y 处可微的( A ). (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)以上都不是 5. 设方程2 2 22 xyz x y z     确定了函数   , z f x y  ,则   , f x y 在点   1,0, 1  处的全微分 dz  ( D ). ( 2 A) 2 dx dy  (B) 2 dx dy   (C) 2 dx dy   (D) 2 dx dy  6. 在下列级数中,唯有( C )是收敛的. (A) 15 101nnn (B) 1211nnn (C) 111) 1 (nnn (D) 11n n 7. 设 D 由 x 轴, e x x y   , ln 围成,则 Ddxdy y x f ) , ( ( B ).. (A) x edy y x f dxln0 0) , ( (B) x edy y x f dxln0 1) , ( (C) yedx y x f dy010) , ( (D) yeedx y x f dy ) , (10 8. 设可微函数 f(x, y)在点 ) , (0 0y x 取得极小值,则下列结论正确的是 ( A ) . (A) ) , (0y x f 在0y y  处的导数等于零 (B) ) , (0y x f 在0y y  处的导数大于零 (C) ) , (0y x f 在0y y  处的导数小于零 (D) ) , (0y x f 在0y y  处的导数不存在 9. 幂级数111 3nnnxn收敛域是 ( A ). ( A ) [-3,3) ( B ) [-3, 3] ( C ) (-3, 3) ( D) (-3, 3] 10. 10 0( , )xdx f x y dy  ( C ). (A)12 (B) 10 0( , )ydy f x y dx  (C)1 10( , )ydy f x y dx  (D) 10 0( , )xdy f x y dx  三、计算题:(每小题 7 分, 共 56 分) 1. 设yzzxln  ,求 dz . 解:设z zxFyFzF y zzxFz y1,1,1, ln ln2' ' ',      (4 分) '' 2' '2 211= , - ,1 1( )yxz zFF z z z z yzx xx F x z y F x z yz z z z         =- (6 分) dz= 3 2( )z zdx dyx z x z y  (7 分) 2. 求函数 1 1( , ) ( 0) z f x y xy xyx y     的极值. 解 2 21 10, 0,x yz y z xx y      解得驻点 (1, 1) ; (3 分) 32, A=2, xxzx2321, 1, , 2, 3 0, A>0xy yyz B z C AC By       (6 分) 故有极小值 (1,1) 3 z  (7 分) 3. 设 ( ) ( )x yz yf xgy x  ,其中 f 和 g 具有二阶连续导数,求2 22z zx yx x y   . 解 因为 z yf g gx x     (2 分) 所以 2 2 22 2 2 3 31 1 z y y y yf g g g f gx y x x x y x            (4 分) 22 2 2 21 1               z x y x yf g g g f gx y x x y x y x (6 分) 于 是 2 220z zx yx x y    . (7 分) 4. 计算二重积分2d dDy xy x y ,其中 D 是由直线 , 1, 0 y x y x    所围成的平面区域. 解:积分区域如右图.因为根号下的函数为关于 x 的一次函数, “先 x 后 y ”积分较容易,所以 12 20 0d d d dyDy xy x y y y xy x      (4 分)  31 12 2200 02 1 2 2d d3 3 9yy xy y y yy      (7 分) 5. 计算二重积分 Ddxdyy xxy2 2,其中 D: y  x 及 1  x 2 + y 2  2 所围成的平面区域. 解:方法一:使用极坐标变换 4   454212 2 2sin cos    d d dxdyy xxyD (4 分)  214542 s i n21   d d = 0 (7 分) 方法二: 添加辅助线: y x   ,则 D 就可以看做为即与 x 又与 y轴 对称,故 1 22 2 2 2 2 20D D Dxy xy xydxdy dxdy dxdyx y x y x y       6. 判断级数  11) 1 (nnn n 是绝对收敛还是条件收敛还是发散? 解:    1 1) 1 (1) 1 (n nnn nn n (2 分) lim lim( 2 1 3 2 1 )nn nS n n               故级数发散,原级数不绝对收敛。 (4 分) 而  11) 1 (nnn n是交错级数,且11lim 0,1n nnu un n    (6 分) 故  11) 1 (nnn n条件收敛。 (7 分) 7. 求级数2 11 21nnxn的和函数. 解: 1 | |1 2| |lim21 2  xnxnnn级数收敛, 所以收敛半径为 1. 当 1 x   时都得到级数112 1nn,发散,当 1 x  时都得到级数112 1nn,发散. 所以收敛区域为 , 1 (- 1 ) . (3 分) 令  ) (x s2 11 21nnxn.  ) ( ' x s2 22111nnxx (5 分) 所以20 01 1 1( ) '( ) ln2 1 1x xxs x s x dx dxx x     (-1, 1) (7 分)  5 8.求一阶常微分方程的特解      1 01 12 2yx xy y x.     2 2221 1 11 , 11xx y xy x y yxxp x q xx        解 由 得: (2 分)    2 2( )1 12 22 1 1 arcsin1x xdx dxp x dx p x dxx xy e q x e dx C e e dx Cdxx C x x Cx                     - 通 解 : = (5 分)    20 1 1 1 arcsin y C y x x C      代入 得: 。故 方程 特 解: (7 分) 四、应用题:(本题 8 分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ,销售量分别为1q 和 2q ,需求函数分别为1 124 0.2 q p   ,2 210 0.05 q p   ;总成本函数为  1 235 40 C q q    。试问:厂家如何确定两个市场的售价,使其所获总利润最大? 解 由已知条件 收益函数  2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2, 24 0.2 10 0.05 R p p p q p q p p p p       利润函数      2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2, , , 32 0.2 12 0.05 1395 L p p R p p C p p p p p p        (3 分) 于是:1 21 232 0.4 , 12 0.1L Lp pp p      由1200LpLp  的唯一驻点1 280, 120 p p   (6 分) 根据问题的实际意义, L 存在最大值,故   80,120 是 L 的最大值点, 即:两个市场的售价分别为 80 和 120 时,可获最大利润, 最大利润   80,120 605 L  . (8 分) 五、证明题:(本题 6 分): 设yxz arctan  ,求证: 0 yzyxzx 证明: 6 2 2 222 22) () ( 11,1) ( 11y xxyxyxyzy xyyyxxz  (4 分) 02 2 2 2y xxyy xxyyzyxzx (6 分) 《高等数学》课程下期末复习题二 参考答案 一、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分): 1、若2 2( , ) ln ( ) 1 f x y y x y x      ,则 (, ) f xy 的定义域  2 2( , ) 1 D x y x y x     . 2、设    2 22 2,x yf x y x y e x y    ,则   2, 2 f 22e . 3、2 22 2( , (0,0)ln(1 )limarcsin( )x yx yx y ) 1 。 4、设函数 ( ) f u 可微,且  102f  ,则  2 24 z f x y   在点(1,2)处的全微分为   1,2d 4d 2d . z x y   解:因为2 2(1,2) (1,2)(4 ) 8 4zf x y xx    ,  2 2(1,2) (1,2)(4 ) 2 2zf x y yy      , 所以       1,2 1,2 1,2d d d 4d 2dz zz x y x yx y         . 5、若xy y x f  ) , ( ,且 0  y ,则 ) , 1 ( e f xy   = 2 . 6、 二次积分2 1 10yxdx e dy  1( 1)2e  . 7、设 ( , ) f x y 连续,且 ( , ) 2 ( , )Df x y xy f u v dudv  , 其中2 2{( , ) 2 } D x y x y x    ,则 ( , ) f x y = xy . 8、设1 | | | :|   y x D,则 ( )Dx y dxdy = 43. 解:1 1 10 0 04( ) 8 8 (1 )3xDx y dxdy dx xdy x x dx         7 9、若级数1nnu的部分和数列为2 1nnsn ,则3, 11, 2,3,(1 )nnunn n . 1( )n n nu S S  10.将函数  2 xf x e 展为 x 的幂级数为2xe0( 2)!n nnxn. 二、选择题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分): 1、方程 dy x xydx dy dx x y2 32     是( A )。 (A) 变量可分离方程 (B) 齐次方程 (C) 一阶线性方程 (D) 以上均不正确 2、设 u(x, y)在平面有界闭区域 D 上具有连续的二阶偏导数,且满足20,ux y  2 22 20u ux y   ,则 u(x, y)的( B )。 (A) 最大值点和最小值点必定在 D 的内部 (B) 最大值点和最小值点必定在 D 的边界上 (C) 最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上 (D) 最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上 3、设 f (x , y)在) , (0 0y x处偏导数存在,则 f (x , y)在该点( D )。 (A) 极限存在 (B) 连续 (C) 可微 (D)以上结论均不成立 4、21 12 20 0( )xdx f x y dy  ( D )。 (A) 1202 ( ) f r dr  (B) 10( )8rf r dr (C) 1202 ( ) rf r dr  (D) 12 20( )4f r dr 5、下列结论正确的是( C )。 (A) 若21nnu收敛,则1nnu必收敛 (B) 若21nnu收敛,则1nnu必发散  8 (C) 若1nnu收敛,则21nnu不一定收敛 (D) 若1nnu收敛,则21nnu必发散 三、计算题(共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分) 1、设直线12y x  与抛物线2y x  所围成图形的面积为1S ,它们与直线 1 x  所围成的图形面积为2S . (1) 求面积1 2S S  的值;(2)求1 2, S S 所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积之和。 解:(1) 112 2211 2021 1( ) ( )2 2S S S x x dx x x dx        2 分 1123 31021 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) (1 )2 3 3 2 4 2 2 2x x x x         故1 2S S  的面积和为1 1(1 )4 2 . 4 分 (2)1 2, S S 所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积之和为 112 4 4 221021 1[( ) ] [ ( ) ]2 2xV x x dx x x dx        5 分 112 4 4 221021 1( ) ( )2 2x x dx x x dx        1123 5 5 31025( ) ( )6 5 5 6 80x x x x        7 分 2.求 " 2 y y x    微分方程 的通解 . 解:所给方程对应的齐次方程为 " 0 y y   特征方程为 1 0    ,特征根为 i    2 分 所以对应齐次方程的通解为 *1 2cos sin y C x C x   4 分 设非其次方程的特解形式为 1 0~A x A y   yAx  代入原方程解的 2 A   , 于是非齐次方程的一个特解为  2 y x   6 分 故原方程的通解为 9 1 22 cos sin y x C x C x     . 7 分 3. 设yxz arctan  ,求z zx yx y  . 解:2 2 222 22) () ( 11,1) ( 11y xxyxyxyzy xyyyxxz  6 分 ∴ 2 2 2 20xy xy z zx yx y x y x y        7 分 4. 设 ( , ) 0 ax bz cy dz     ,验证 1d z b zc y a x   . 解:1 2( , )( ) ( ) 0x xax bz cy dz a bz dz           1 2( , )( ) ( ) 0y yax bz cy dz bz c dz         2 分 1 22 1 2 1,a cz zx d b y d b           6 分 故 2 12 1 2 11d bd z b zc y a x d b d b             7 分 5. 设2 22 22 2, 0( , ) 0, 0xyx yx y f x yx y   , 讨论 ( , ) f x y 在点(0,0) 处的连续性, 并求其偏导数. 解:因为 1 ,210 , 01 ) 1 (lim lim ) , ( lim2 2 2202 20000kkkkx kkxkx yy xxyy x fxyxyx令 所以 ) , ( lim00y x fyx 不存在, 所以 ) , ( y x f 在点(0, 0) 处不连续, 4 分 但 ( ,0) (0, ) 0 f x f y   ,则 (0,0) (0,0) 0x yf f   故 ( , ) f x y 在点(0,0) 处偏导数存在. 7 分 6.求二重积分Dydxdy,其中 D 由 y = x 2 ,y =1 及 y 轴所围成. 解: 21 10 xDydxdy dx ydy    3 分 1 y x 10 2311202|3xy d y  5 分 1303 2 2 1( 1 )3 3 4 2x d x      7 分 7. 计算二重积分2 22 2sin( )Dx ydxdyx y ,其中 积分为2 2{( ,...