12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数,负数的平方也是正数,因此,一个正数的平方根是两重的;一个正数和一个负数,负数没有平方根,因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。到了16世纪,意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》(《数学大典》)中,把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔,在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称,并和“实数”相对应。1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作,提出了一种求解一般三次方程的求解公式:形如:x3+ax+b=0的三次方程解如下:x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3当卡丹试图用该公式解方程x3-15x-4=0时他的解是:x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)在那个年代负数本身就是令人怀疑的,负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根,但卡丹不曾热心解释(-121)1/2的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。直到19世纪初,高斯系统地使用了i这个符号,并主张用数偶(a、b)来表示a+bi,称为复数,虚数才逐步得以通行。虚数闯进数的领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎没有用复数来表达的量,因此在很长一段时间里,人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的;莱布尼兹则认为:“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数,但又说:“一切形如,√-1,√-2的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。”继欧拉之后,挪威测量学家维塞尔提出把复数(a+bi)用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路。现 在,复数一般用来表示向量(有方向的量),这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛,虚数越来越显示出其丰富的内容