平面点到直线距离 点(x0, y0),直线:A*x+B*y+C=0,距离 d。 d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B) 空间点到平面距离 点(x0, y0, z0),平面:A*x+B*y+C*z+D=0,距离 d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C) 空间点到直线距离 点(x0, y0, z0),直线 L(点向式参数方程) : (x-xl)/m=(y-yl)/n=(z-zl)/p=t。 (1) 式(1)的注释:点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点,向量(m, n, p)为直线 的方向向量,t 为参数方程的参数。 空间直线的一般式方程(两个平面方程联立)转换为点向式方程的方 法,请参考《高等数学》空间几何部分。 设点(x0, y0, z0)到直线 L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线 上,所以有: (xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t 式(2)可变形为: xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl. (3) (2) 且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数 量积等于 0,即: m*(x0-xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4) 把式(3)代入式(4),可消去未知数“xc, yc, zc” ,得到 t 的表达式: t=[m*(x0-xl)+n*(y0-yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5) 点(x0, y0, z0)到直线的距离 d 就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离: d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] 其中 xc, yc, zc 可以用式(3)和式(5)代入消去。 (6)