复数吸引了著名数学家的注意,包括库默尔(1844年)、克罗内克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、乔治·皮库克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文,约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念,例如素数,推广至复数。德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了复数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数 。象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组 代表复数 ,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。 主要内容 定义 数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):z1 + z2=(a+c,b+d)z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有z=