两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式:解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之,若 z = x + iy,并且,那么 f(z) 是解析函数的充要条件是 u(x,y),v(x,y) 可微,且满足下列柯西-黎曼方程:。上述方程继续求导就得到。所以 u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得 v 同样满足拉普拉斯方程。反之,给定一个由解析函数(或至少在某点及其邻域内解析的函数)f(z) 的实部确定的调和函数,若写成下列形式:,则等式。成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ,只能得到它的微增量表达式:。φ 满足拉普拉斯方程意味着 ψ 满足可积条件:。所以可以通过一个线积分来定义 ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关,仅由起点和终点决定。于是,我们便通过复变函数方法得到了 φ 和 ψ 这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部(复变函数 f(z)) 的解析域内)有效,或者说,构造函数的积分路径不能围绕有 f(z) 的奇点。譬如,在极坐标平面 (r,θ) 上定义函数,那么相应的解析函数为。在这里需要注意的是,极角 θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。