数列求和:An=1/n,求和
问题描述:
形如1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数(还可以推广到等差数列的倒数之和);
也是P-级数(自然数数列的整数p次幂的倒数之和)的特例;黎曼zeta函数也由此得来.
(2)Euler(欧拉)在1734年,利用Newton在一书中写到的结果:ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 -,得到:
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是:
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出:
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到:
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + {1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...}
= ln(n+1)+γ(n)
当n趋于无穷大时,γ(n)收敛为常数,记成γ.
欧拉当时近似地计算得到0.577218,1761年又计算到第16位;1790年,意大利数学家马歇罗尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号,并进一步计算之.其部分数值:0.57721566490153286060651209.
这个数一般称作欧拉常数,目前没有公认的成果判定该数是否为无理数.
(3)中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单:
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...>1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...,显然后者为无数个1/2的和,是发散的.
(类似可证当p>1时,p-级数却是收敛的:
(4)附基本概念:
级数:将数列un的项 u1,u2,…,un,…依次用加号连接起来的函数
此时该数列的通项也称为级数的通项;数列的部分和也称为级数的部分和.
一般所讲的级数是指无穷项的,所以与“数列的部分和”这个概念并不等价,但他们是相关的,有时可以不加区分.
请参考:
*2 P-级数
*3 欧拉常数
或
*3 搜搜问问
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