线性微分方程　是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程:　其中方程左侧的微分算子是线性算子,　y　是要解的未知函数,方程的右侧是一个已知函数。如果　f　(　x　)　=　0,那么方程(*)的解的线性组合仍然是解,所有的解构成一个向量空间,称为　解空间　。这样的方程称为　齐次线性微分方程　。当f不是零函数时,所有的解构成一个仿射空间,由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为　非齐次线性微分方程　。线性微分方程可以是常微分方程,也可以是偏微分方程。　目录　线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间,因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为:　其中的　是一个线性的微分算子,也就是说,设有两个函数　和　以及两个常数　和　,那么:　如果　f　是零函数,那么给定若干个方程(*)的解函数:　以及同样多的常数系数:　,线性组合　仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间　V　,称为方程的解空间。如果　f　不是零函数,那么考虑相应的齐次线性微分方程:　设　是方程(*)的一个解函数。　方程(**)的任意一个解函数。则它们的和　仍然是(*)的解函数。另一方面,给定方程(*)的两个解函数:　和　。则它们的差　会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成　的形式。其中　V　是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间　V'　,并且　。　常系数齐次线性微分方程　[　编辑　]　一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的,他意识到这类方程的解都具有　的形式,其中　是某个复数。因此,对于以下方程:　我们设　,可得:　两边除以　e　 　zx　,便得到了一个　n　次方程:　这个方程　F　(　z　)　=　0称为　特征方程　。　一般地,把微分方程中以下的项　换成　z　k　,便可得到特征方程。这个方程有　n　个解:　z　1　, ..., 　z　n　。把任何一个解代入　e　 　zx　,便可以得到微分方程的一个解:　e　 　z　i　x　。由于齐次线性微分方程满足叠加原理,因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。　如果特征方程的根都不重复,我们便得到了微分方程的　n　个解。可以证明,这些解是线性独立的。于是,微分方程的通解就是　y　=　C　1　e　 　z　1　x　+