数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):z1+ z2=(a+c,b+d)z1× z2=(ac-bd,bc+ad)容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。形如的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且(a,b是任意实数)我们将复数中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。