正交曲线坐标系下梯度和散度
纯量值函数
的梯度表达式为
其中
为正交曲线坐标系的局部单位基向量。
设矢量场
在该正交曲线坐标系下的三个分量为
(即
),根据定义,它的散度为
在上图所示的曲面坐标系中,取由
六个坐标曲面元所围的体积,则有
而矢量场
在这六个面的总通量
为
因此
下面利用
求柱坐标和球坐标下的梯度和散度。
柱坐标下梯度和散度
在柱坐标下,三个坐标
与直角坐标
的关系如下:
可以计算出Lame系数
,代入
式中,可计算出梯度,散度表示式分别为
球坐标下的梯度和散度
在球坐标系下
Lame系数
分别为
同理可得梯度和散度为