伯努利分布在一次试验中,事件A出现的概率为p,不出现的概率为q=1-p。若以β记事件A出现的次数,则β仅取0,1两值,相应的概率分布为:
二项分布是指在只有两个结果的n次独立的伯努利试验中,所期望的结果出现次数的概率。在单次试验中,结果A出现的概率为p,结果B出现的概率为q,p+q=1。那么在n=10,即10次试验中,结果A出现0次、1次、……、10次的概率各是多少呢?这样的概率分布呈现出什么特征呢?这就是二项分布所研究的内容。
还是先举个例子吧。
掷一枚硬币(怎么老是硬币?小学的时候就讲了)出现正面和反面的概率各为0.5,那么掷1次,出现正面的概率肯定是0.5。掷2次、掷3次呢?
掷2次出现的结果有4个,正正、正反、反正、反反。因为p=0.5,所以每个结果出现的概率是0.5×0.5=0.25,那正面出现2次、1次、0次的概率分别是0.25、0.5、0.25。
掷3次出现的结果有8个,正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反。每个结果出现的概率是0.5×0.5×0.5=0.125,那正面出现3次、2次、1次、0次的概率分别是0.125、0.375、0.375、0.125。
统计学家们总结出了计算概率的一般公式
其中b表示二项分布的概率,n表示试验次数,x表示出现某个结果的次数。是组合,表示在n次试验中出现x次结果的可能的次数。如10次试验,出现0次正面的次数有1次,出现1次正面的次数有10次,……,出现5次正面的次数有252次,等等。其计算也有一个通式:
也可以写成:
如果这个公式你算不好,就查下面的杨辉三角形吧,每一行的数字是上一行相邻两个数字的和。在下图中,每一行表达的是
展开式的各项系数,下图列出了n=0,1,…,16时展开式中各项的系数。