性质 ①loga(1)=0; ②loga(a)=1; ③负数与零无对数. 2对数恒等式 a^logaN=N (a>0 ,a≠1) 3运算法则 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga(M/N)=logaM-logaN; ③对logaM 中M的n次方有=nlogaM; 如果 a=e^m, m 为数 a 的自然对数, lna=m, 则即e=2.718281828… 为自然对数 的底。定义: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导: 1、因为 n=log(a)(b),代入则 a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。 2、MN=M×N 由基本性质1(换掉 M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与(2)类似处理 M/N=M÷N 由基本性质1(换掉 M 和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4、与(2)类似处理 M^n=M^n 由基本性质1( 换掉{a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] M) a^[log(a)(M^n)] = 推导如下: 由换底公式(换底公式见下面)[lnx 是log(e)(x), e 称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导:log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 设e^x=b^m,e^y=a^n 则x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得:由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 4换底公式 设b=a^m , a=c^n b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………① 对①取以a为底的log(a)(b)=m……………………………..② 对①取以c为底的log(c)(b)=mn……………………………③ 对数,则,有:对数,有:③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a) ∴ log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a) 注:log(a)(b)表示以 a 为底 x 的对数。 换底公式拓展: 以e为底数和以 a 为底数的公式代换: logae=1/(lna) 5推导公式 log(1/a)(1/b)=loga(b) loga(b)*logb(a)=1 6求导数 (xlogax)'=logax+lna 其中,logax 中的 a 为底数,x 为真数; (logax)'=1/xlna 特殊的即 a=e 时有 (logex)'=(lnx)'=1/x