可化为变量分离方程,并由此求下列方程: y(1+xy)dx=xdy = 证明: 令xy=u,则x+y= 则=-,有: =f(u)+1 du=dx 所以原方程可化为变量分离方程。 令xy=u 则=- (1) 原方程可化为:=[1+(xy)] (2) 将1代入2式有:-=(1+u) u=+cx 17.求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解:设(x +y )为所求曲线上任意一点,则切线方程为:y=y’(x- x )+ y 则与x轴,y轴交点分别为: x= x - y= y - x y’ 则x=2 x = x - 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中 = 。 解:由题意得:y’= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 则y=tgx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明:设(x,y)为所求曲线上的任意一点,则y’=kx 则:y=kx +c 即为所求。 常微分方程习题2.1 1.,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 3 解:原式可化为: 12. 解15. 16. 解: ,这是齐次方程,令17. 解:原方程化为 令 方程组 则有 令 当当 另外 19. 已知f(x). 解:设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得 20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。 解:令t=s=0 x(0)== 若x(0)0 得x=-1矛盾。 所以x(0)=0. x’(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t] 习题2.2 求下列方程的解 1.= 解: y=e (e) =e[-e()+c] =c e- ()是原方程的解。 2.+3x=e 解:原方程可化为:=-3x+e 所以:x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。 3.=-s+ 解:s=e(e ) =e() = e() = 是原方程的解。 4. , n为常数. 解:原方程可化为: 是原方程的解. 5.+= 解:原方程可化为:=- ()