《通信原理》 习题 第一章 绪论 例 1-1 例 1-2 例 1-3 例 1-4第二章 随机信号分析 例 2-1 例 2-2第三章 信道 例 3-1 例 3-2 例 3-3第四章 模拟调制系统 例 4-1 例 4-2 例 4-3 例 4-4 例 4-5 例 4-6 例 4-7第五章 数字基带传输系统 例 5-1 例 5-2 例 5-3 例 5-4例 5-5 例 5-6 例 5-7第六章 正弦载波数字调制系统 例 6-1 例 6-2 例 6-3 例 6-4 例 6-5 例 6-6 例 6-7 例 6-8 例 6-9 例 6-10 第七章 模拟信号的数字传输 例 7-1 例 7-2 例 7-3 例 7-4 例 7-5第八章 数字信号的最佳接收 例 8-1 例 8-2第九章 同步原理 例 9-1 《通信原理》 习题 第1 页 【例 1-1】 某数字通信系统用正弦载波的四个相位 0、2π、 π 、23π来传输信息, 这四个相位是互相独立的。 (1) 每秒钟内 0、2π、 π 、23π出现的次数分别为 500、 125、 125、 250, 求此通信系统的码速率和信息速率; (2) 每秒钟内这四个相位出现的次数都为 250, 求此通信系统的码速率和信息速率。 解: (1) 每秒钟传输 1000 个相位, 即每秒钟传输 1000 个符号, 故 RB=1000 Baud 每个符号出现的概率分别为 P(0) =21, P⎟⎠⎞⎜⎝⎛π2=81, P(π ) =81, P⎟⎠⎞⎜⎝⎛23π=41, 每个符号所含的平均信息量为 H(X) =(21× 1+83) bit/s=1750 bit/s 2×3+41×2) bit/符号=143 bit/符号 信息速率Rb=(1000× 14(2) 每秒钟传输的相位数仍为 1000, 故 RB=1000 Baud 此时四个符号出现的概率相等, 故 H(X) =2 bit/符号 Rb=(1000×2) bit/s=2000 bit/s 【例 1-2】 已知等概独立的二进制数字信号的信息速率为 2400 bit/s。 (1) 求此信号的码速率和码元宽度; (2) 将此信号变为四进制信号, 求此四进制信号的码速率、 码元宽度和信息速率。 解: (1) RB=Rb/log2M=(2400/log22) Baud=2400 Baud T =BR1=24001 s=0. 42 ms (2) RB=(2400/log24) Baud=1200 Baud T=BR1=12001 s=0. 83 ms Rb=2400 b/s 《通信原理》 习题 第2 页 【例 1-3】 设一信息源的输出由 128 个不同符号组成。 其中 16 个出现的概率为 1/32,其余 112 个出现概率为 1/224。 信息源每秒发出 1000 个符号, 且每个符号彼此独立。 试计算该信息源的平均信息速率。 解: 每个符号的平均信息量为 1log232 +112×224 已知码元速率RB=1000 Baud , 故该信息源的平均信息速率为 Rb= RB· H(X) =6404 bit/s 【例 1-4】 一个由字母 A, B, C, D 组成的字, 对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码, 00 代替 A, 01 代替 B, 10 代替 C, 11 代替 D, 每个脉冲宽度为 5ms. (1) 不同的字母是等可能出现时, 试计算传输的平均信息速率; (2) 若每个字母出现的可能性分别为 1, PB=4试计算传输的平均信息速率。 解: (1) 每个字母的持续时间为 2×5 ms, 所以字母传输速率为 1−×× 不同的字母等可能出现时, 每个字母的平均信息量为 H(X) = log24 =2 bit/符号 平均信息速率为 Rb= RB4· H(X) =200 bit/s (2) 每个字母的平均信息量为 1log25 =1. 985 bit/符号 所以, 平均信息速率为 Rb= RB4· H(X) =198. 5 bit/s H(X) =16×321log2224 =6. 404 bit/符号 PA=51, PC=41, PD=103 RB4=31052=100Baud H(X) = -51 -41log241-41log241-103log2103 《通信原理》 习题 第3 页 【例 2-1】 设随机过程ξ (t) 可表示成ξ (t) =2cos(2π t +θ ) , 式中θ 是一个离散随机变量, 且(Ρ θ =0) =1/2、(Ρ θ =π /2) =1/2, 试求E[ξ (1) ] 及(0, 1) 。 ξ R解: 在 t=1 时, ξ (t)的数学期望为 ξΕ (1) = []12π2=+θΕttCOS)( = (Ρ θ =0) ·02π2=+θθ)(tCOS+Ρ (θ =2π) ·22π2π=θθ+ )(tCOS =2 =1 1×2cos0+21× 2cos2π 在t1=0 时, t2=1 时, ξ (t)的自相关函数 ξ R (0, 1) = []1021212π22π2==+θ+θΕtttCOStCOS,)(· )( = [] )(·θ+π2θΕ22COSCOS =Ρ (θ =0) ·0204=θCOS+Ρ (θ =2π) ·22θ4π=θCOS =2 =2 1×+042COS21×242πCOS 【例 2-2】 设z(t) =x1cost0ω-x2sint0ω是一随机过程, 若x1和x2是彼此独立且具有均值为 0、 方差为的正态随机变量, 试求 2σ(1),[] )(tzΕ[] )(tz2Ε; (2) z(t) 的一维分布密度函数 f(z) ; (3) B(t1, t2) 与R(t1, t2) 。 解: (1) =[] )(tzΕ[] t sin ωx- t 0cosx021ωΕ = cost0ω· [ ]1xΕ-sint0ω· [ ]2xΕ =0 《通信原理》 习题 第4 页 [] )(tz2Ε= (Ε)[]20201 tsin ωx- t cosxω = cos2ωt0· []12xΕ-2cost0ωsint0ω· []21xxΕ+sin2ωt0· [ ]22xΕ 因为 [又因为x1和x2彼此独立, 则有 ]12xΕ=+==σ, 同理[ ]1xD[ ]12xΕ[ ]1xD2[ ]22xΕ=σ。 2 []21xxΕ=·[ ]1xΕ[ ]2xΕ , 所以 [] )(tz2Ε= cos2ωt0·+sin2σ2ωt0·=σ 2σ2(2) 因为z(t) 是正态随机变量x1和x2经线性变换所得, 所以z(t) 也是正态随机过程。 同时 z(t) 的方差 [] )(tzD= [] )(tz2Ε-[] )(tz2Ε=σ 2所以 z(t) 的一维分布密度函数 f(z) =)exp(222σ2π1σz− (3) R(t1, t2) = [] )()(21tztz⋅Ε= (Ε)()] [tsin ωx- 2tcosxtsin ωx- 1tcosx2020110201ωω = [−Ε201021201021tsin ωtcosxx- tcostcosxωωω ]201022201021tsin ωtsinxt ωcostsinxxωω+ =σ2()210tcost−ω 因为=0, 所以有 [)(tzΕ] B(t1, t2) = R(t1, t2) - [ = R(t1, t2) ] )(1tzΕ· [] )(2tzΕ = 2σ()210tcost−ω 《通信原理》 习题 第5 页 【例 3-1】 设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为 ( )ω⎩ϕ⎨⎧−ω==dtω0 k)H( 其中, K0和td都是常数。 试确定信号s(t)通过该信道后的输出信号的时域表示式, 并讨论之。 解: 该恒参信道的传输函数为 ( )ωΗ( )ωϕω(jeH=)= dtjωek−0 冲激响应为 h(t) =K0δ (t-td) 输出信号为 y(t) =s(t) * h(t) =K0s(t-td) 讨论: 该恒参信道满足无失真条件, 所以信号在传输过程中无畸变。 【例 3-2】 黑白电视图像每帧含有 3× 10级。 要求每秒钟传输 30 帧图像。 若信道输出S/N=30 dB, 计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小带宽。 解: 每个像素携带的平均信息量为 H(x) =(log216) bit/符号=4 bit/符号 一帧图像的平均信息量为 I=(4×3×10每秒钟传输 30 帧图像时的信息速率为 Rb=(12×10S5个像素, 每个像素有 16 个等概出现的亮度等5) bit=12×105 bit 5× 30) bit/s=36 Mbit/s 令 Rb=C=Blog2(1+N) 得 B=MHzMHzNSRb61. 31001log36)1 (2log2==+ 即传输该黑白电视图像所要求的最小带宽为 3. 61 MHz。 【例 3-3】 设数字信号的每比特信号能量为Eb, 信道噪声的双边功率谱密度为n0/2, 试证明: 信道无差错传输的信噪比Eb/n0的最小值为-1. 6 dB。 证: 信号功率为 S=EbRb噪声功率为 N=n0B 令C=Rb, 得)1 (2log)1 (2log0BCnEBNSBCb⋅+=+= 由此得 BCnEBCb/120−= , =min0 nEb0lim→BC=−BCBC120lim→BC693. 02ln12ln2==−BC 6 . 1−)693. 0lg10(lg10min0==dBnEb dB 《通信原理》 习题 第6 页 【例 4-1】 根据右图所示的调制信号波形, 试画出 DSB 及AM 信号的波形图, 并比较它们分别通过包络检波器后的波形差别。 解: DSB 及 AM 波形分别如下图(a) 、 (b) 所示。 DSB信号通过包络检波后的波形图如下图(a) 所示, AM信号通过包络检波后的波形图如(b)所示。 可见, m1(t) 有严重失真, m2(t) 无失真, 说明不能用包络检波法解调DSB信号。 【例 4-2】 某调制方框图如下图(b) 所示。 已知m(t) 的频谱如下图(a) 所示, 载频ω 1<<ω 2, ω 1>ω H, 且理想低通滤波器的截止频率为ω 1, 试求输出信号s(t) , 并说明s(t) 为何种已调信号。 解: 方法一: 时域法 两个理想低通输出都是下边带信号, 上支路的载波为cosω 1t, 下支路的载波为sinω 1t。 1Am(t) cosω 1t+21Am(t) sinω 1t-2由此得 s(t) =f(t) +g(t) 1Am(t) (cosω 1t+sinω 1t) cosω 2t+21Am(t) cos(ω 2-ω 1) t-2可知, s(t) 是一个载频为ω 2-ω 1的上边带信号。 d(t) =21A(t) sinωm ˆ1t e(t) =21A(t) cosωm ˆ1t =21A(sinω)( ˆ tm1t-cosω 1t) sinω 2t =21Asin(ω)( ˆ tm2-ω 1) t 《通信原理》 习题 第7 页 方法二: 频域法 上支路各点信号的频谱表达式为 Sb(ω ) =2A[M(ω +ω 1) +M(ω -ω 1) ] Sd(ω ) =2A[M(ω +ω 1) +M(ω -ω 1) ] HL(ω ) Sf(ω ) =4A[Sd(ω +ω 2) +Sd(ω -ω 2) ] 下支路各点信号的频谱表达式为 Sc(ω ) =2jA[M(ω +ω 1) -M(ω -ω 1) ] Se(ω ) =2jA[M(ω +ω 1) -M(ω -ω 1) ] HL(ω ) Sg(ω ) =π21· Se(ω ) *{ π j[δ (ω +ω 2) -δ (ω -ω 2) ] }=4A{ [M(ω +ω 1) -M(ω -ω 1) ] HL(ω )*[δ (ω -ω}2) -δ (ω +ω 2) ] S(ω ) =Sf(ω ) +Sg(ω ) 各点信号频谱图如下图所示。 由图可知, s(t) 是一个载频为ω 2-ω 1的上边带信号, 即 1Am(t) cos(ω 2-ω 1) t-2s(t) =21Asin(ω)( ˆ tm2-ω 1) t 《通信原理》 习题 第8 页 【例 4-3】 设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f) =0. 5× 10传输振幅调制信号, 并设调制信号m(t) 的频带限制于 5 kHz, 载频是 100 kHz, 边带功率为10 kW, 载波功率为 40 kW。 若接收机的输入信号先经过一个合理的理想带通滤波器, 然后再加至包络检波器进行解调。 试求: (1) 解调器输入端的信噪功率比; (2) 解调器输出端的信噪功率比; (3) 制度增益 G。 解: (1) Si=Sc+Sm=(40+10) kW=50 kW Ni=2Pn(f) · B=(2×0. 5×10-3 W/Hz, 在该信道中-3×2× 5×103) W=10 W 5000=iiNS (2) SAM(t) =[A+m(t) ] cosω ct=Acosω ct+m(t) cosω ct 由已知边带功率值可得 kWtm10)(212= 包络检波器输出信号和噪声分别为 mo(t) =m(t) no(t) =nc(t) 所以, 包络检波器输出信号功率和噪声功率分别为 So=(t)m2 =20 kW No=(t)n c2 =Pn(f) · 2B=10 W 检波器输出信噪功率比为 2000=ooNS (3) 制度增益为 52//==oiooNSNSG 《通信原理》 习题 第9 页 【例 4-4】 设有一个频分多路复用系统, 副载波用 SSB 调制, 主载波用 FM 调制。 如果有 60 路等幅的音频输入通路, 则每路频带限制在 3. 3 kHz 以下, 防护频带为 0. 7 kHz。 (1) 如果最大频偏为 800 kHz, 试求传输信号的带宽; (2) 试分析与第 1 路相比, 第 60 路输出信噪比降低的程度(假定鉴频器输入的噪声是白噪声, 且解调器中无去加重电路) 。 思路 本系统的原理方框图如下图所示。 因为鉴频器输出噪声功率谱密度与频率平方成正比, 所以接收端各个带通滤波器输出噪声功率不同, 带通滤波器中心频率越高, 输出噪声功率越大。 鉴频器输出的各路 SSB 信号功率与它们所处的频率位置无关, 因此, 各个 SSB 解调器输入信噪比不同。 第一路 SSB 信号位于整个频带的最低端, 第 60 路 SSB 信号处于频带的最高端。 故第 60 路 SSB 解调器输入信噪比最小, 而第 1 路信噪比最高。 只要求出第 1 路和第 60 路 SSB 解调器输入噪声, 就可以确定第 60 路输出信噪比相对于第 1 路信噪比的降低程度。 解: (1) 60 路 SSB 信号的带宽为 B=[60× (3. 3+0. 7) ] kHz=240 kHz 调频器输入信号的最高频率为 fH=fL+B 当频分复用SSB信号的最低频率fL=0 时, fH=B=240 kHz, FM信号带宽为 BFM=2(Δ f+fH) =[2× (800+240) ] kHz=2080 kHz (2) 鉴频器输出噪声功率谱密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅=其他, 02400000 ,02)(22fnAffPn 第 1 路 SSB 信号的频率范围为 0~4000 Hz, 第 60 路 SSB 信号的频率范围为 236000~240000 Hz。 对 Pn(f) 在不同频率范围内积分, 可得第 1 路和第 60 路 SSB 解调器的输入噪声。 40001dffPNni==∫∫)32(10679744)(2360024000)32(10640400032204000)(020960209320220AndffPNAnfAndfAfnni××==××==∫ 与第 1 路相比, 第 60 路输出信噪比降低的分贝数为 679744) dB=(10lg10621) dB≈40 dB (10lg64频分复用SSB信号的最低频率fL不可能为 0, Ni1、 Ni60随fL增加而增加, 但两者之...