南 京 航 空 航 天 大 学 第 1 页 (共 6 页) 二○一四 ~ 二○一五 学年 第一学期 考试日期:2015 年 1 月 3 日 班号 题号 得分 本题分数 得 分 28 一 二 三 四 《 线性代数 》考试试题 试卷类型:A 试卷代号: 姓名 总分 学号 五 一、填空(2 分×14=28 分) 1. 设向量组 ?1 ? ?? 1 3 5?T , ? 2 ? ? 0 ?2 ?1? , T ? 3 ? ?? 1 ? 3 2?T ,则 r (?1 ,?2 ,?3 ) ? , 写出 ?1,? 2,? 3的一个极大无关组 A* ? 。 2. 若 A 为 3 阶方阵,且 A ? 2, ?1 ? 1, ?2 ? ?1 是 A 的特征值, A* 为 A 的伴随矩阵,则 , A* ? 2 A ? 。 ,维数 3. 实数域上线性空间 V ? ? ? ? 为 。 ? a b? ? ? a, b, c ? R ? 的一组基为 ? ?b c? ? 4. 设 A 为 3 阶 矩 阵 , 且 A ? 2 , 将 A 按 列 分 块 为 A ? (?1 ? 2 ? 3 ) , 则 行 列 式 ?1 ? ? 2 ?2? 2? ? 1 3? 3 ? ? 2? , r (?1 ? ?3 , ?2 ? ?3 , ?2 ? ?1 ) ? 。 使 。 5. 三阶矩阵 A ? ??1 ?2 ?3 ? , 则初等矩阵 P ? B ? ??1 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? , ??5 ? ?1 ? B ? AP ,若矩阵 A QA ? ? 2 ? ? ,则矩阵 B QB ? ? 4? ? ? ?1 6.三阶实对称矩阵 A ? E , A ? E 是不可逆矩阵,且 A?0 ? 0 ( ?0 为三维非零向量) , 则 A 的特征值为 ,行列式 A2 ? 3 A ? E ? 。 第 2 页(共 6 页) ? 1 2 1? ? ? 7.实对称矩阵 A 与 B ? ? 0 3 1 ? 相似,则二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? X T AX 的规范形为 ? 0 4 3? ? ? f ? ,此二次型 (填“是”或者“不是” )正 定二次型。 本题分数 得 分 32 二、计算题(要求写出主要计算过程) (8 分×4=32 分) 1 1.计算行列式值 D ? 0 0 a a 1 0 a 0 a 1 a 0 0。 a 1 ?1 0 0? ? ? 2.已知三阶矩阵 A ? ? 0 1 0 ? ,求矩阵 B ,使得满足矩阵方程 BA ? 2 B ? A 。 ? 0 ?2 4 ? ? ? 第 3 页(共 6 页) ?0 1? ? a b? ? X ? XP ? PX , P ? 3、 设线性空间 V ? ? ? 上的线性变换 A 使得 A a , b , ? R ? ?, ? ? ? 1 0 b a ? ? ? ?? ? ?1 0? ?0 1? 求 A 在基 ?1 ? ? ? ,?2 ? ? ? 下的矩阵。 ?0 1? ? 1 0? ? 2 3 2? ? ? 4.设 3 阶矩阵 A ? ? 1 4 2 ? ,判断 A 是否能与对角形矩阵相似。 ? 1 ?3 1 ? ? ? 第 4 页(共 6 页) 三、 (12 分)已知下列非齐次线性方程组(I) , (II) 本题分数 得 分 12 x1 ? x2 ? x4 ? ?2 x1 ? x2 ? x4 ? ?2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 1 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 1 (I)? (II)? ?4 x ? 2 x ? 6 x ? 4 x ? 7 ?2 x ? 4 x ? 2 x ? 7 x ? ? 2 3 4 2 3 4 ? 1 ? 1 1. 求线性方程组(I)的通解。 2. 当线性方程组(II)中参数 ? 取何值时,方程组(I)与(II)同解。 第 5 页(共 6 页) 本题分数 得 分 13 四、 (13 分) 2 2 二次型 f ? x1, x2 , x3 ? ? 2x12 ? 2x2 ? 2x3 ? 2x1x2 ? 2x1x3 ? 2x2 x3 1.写出此二次型的系数矩阵 A ; 2.用正交变换将二次型化为标准形,并写出正交变换 X ? TY 及二次型的标准形。 第 6 页(共 6 页) 本题分数 得 分 15 五( 5 ? 3 ? 15分 )证明题 1.设矩阵 A 满足 A2 ? A ,证明: r ( A) ? r ( A ? E ) ? n 。 2.设 A 为 n 阶实对称矩阵,且 r ( A) ? r ( A ? E ) ? n ,证明: A2 ? A 。 3. 设 A ? (aij ) 是三阶非零矩阵, 且满足 Aij ? aij ? 0(i, j ? 1, 2,3) , Aij 为元素 aij 的代数余子式, 则 A 的行列式等于 ?1 。