浅谈一元二次方程的应用 熊清波 贵州省毕节市七星关区生机镇生机中学,贵州 毕节 551705 摘要:一元二次方程在初中教学内容中,站着举足轻重的地位,学好一元二次方程,是学好二次函数不可或缺的捷径,也是学好高中数学的奠基工程。因此,本文将从函数入手,着重探讨一下一元二次方程的概念、形式、解法以及应用,以求对于一元二次方程有个深入的解析。 关键词:函数;一元二次方程;应用 中图分类号:G634.6 文献标识码:A 文章编号:1671-5691(2017)9-0317-01 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程,是学好二次函数不可或缺的捷径,也是学好高中数学的奠基工程。应该说,一元二次方程是初中教学的重点内容。 1 一元二次方程 1.1 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的方程,叫做一元二次方程. 1.2 一元二次方程的一般式 ,则称 为 的二次函数.顶点坐标为( , ). 经过适当变形,继而我们可以得到: (1)顶点式: ( ). (2)交点式(x 轴): .(3)两根式: ,其中 , 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标,即一元二次方程 的两个根. 1.3 一元二次方程的解法 一元二次方程的求解和应用是初中数学的重点内容,方程思想也是学习数学的一种重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程为基础,解一元二次方程的基本思想就是降次,把二次变为两个一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式为 ,特点是只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且是整式方程.如果不是整式方程,需要先把它整理成整式方程再进行判断.一元二次方程的基本解法有四种:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法. 1.4 一元二次方程解法口诀 含有一个未知数,最高指数是二次;整式方程最常见,一元二次方程式;左边二次三项式,右边是零一般式;方程缺少常数项,求根提取公因式;方程没有一次项,直接开方最合适;方程如果合家欢,十字相乘先去试;分解二次常数项,叉乘求和凑中式;如能做到这一点,十字相乘根求之;否则可以去配方,自然能够套公式。 2 一元二次方程的应用 2.1 从函数图象 看一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是个比较复杂的问题,我们可从数形结合的思想上来看,即从二次函数的图像来考察一元二次方程根的分布。设方程 的不等两根为且 ,相应的二次函数为 ,方程的根即为二次函数图象与 轴的交点. 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: 两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况: 或 ,则此时 不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 内,从而可以求出参数的值。如方程 在区间 上有一根,因为 ,所以 ,另一根为 ,由 得即为所求; 方程有且只有一根,且这个根在区间 内,即 ,此时由 可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程 有且一根在区间内,求 的取值范围。分析:①由 即得 出 ; ② 由 即得出 或 ,当 时,根, 即 满 足 题 意 ; 当 时 , 根,故 不满足题意;综上分析,得出或 . 2.2 一元二次方程根的判别式的应用 一元二次方程根的判别式,是初中数学的一个重点,中考必考知识点,它是解答数学问题的重要工具和方法,应用十分广泛,不仅用于方程的解和根的差别,而且作为一种解题方法,在代数、方程(组)、不等式、函数、几何等都有非常广泛的应用 . (1)判别抛物线 与 x 轴的交点. 若 Δ>0,则该抛物线与 x 轴有两个交点;若 Δ=0,则该抛物线与 x 有一个交点;若 Δ<0,则该抛物线与 x 轴无交点. (2)判别抛物线 与直线的位置. 将两式组成方程组,消去 y 得关于 x 的一元二次方程. 当 Δ>0时,抛物线与直线相交;当 Δ=0时,抛物线与直线相切;当 Δ<0时,抛物线与直线相离. 只要我们潜心研究,还可发现一元二次方程判别式在更多领域的应用. 在教学中,教师只要对学生认真引导,培养学生自主学习、合作学习、探究学习的学习精神,学生就会掌握更多解决数学问题的方法,感受学习成果的愉悦,提高数学兴起,也为学生终身学习数学、研究数学打下良好基础. 一元二次方程作为最基本的初等函数,它既简单又具有丰富的内涵和外延。可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;作为抛物线,可以联系其他平面曲线讨论相互之间的关系。这些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。同时,有关二次函数的内容,与近现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础。 参考文献 [1]