由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉 定理成立。 .第一个欧拉公式的严格证明,由20岁的 柯西给出,大致如下: 从多面体去掉一面,通过把去掉的面的边互相拉远,把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性,可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是,点,边和面的个数保持不变,和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数(也是欧拉示性数)的额外变换。若有一个多边形面有3条边以上,我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。(逐个)除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形(把外部数在内),。所以。设想这个多面体是先有一个面,然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面,因此要添(F-1)个面.