1、、I 故所求二面角的大小为45。. 1 广一 方法三 还原补形 B — — 例3 (2016高考浙江理数)如图 10所 图9 示,在 三 棱 台 ABC —DEF 中,平 面 BCFE上 平 面 ABC, L ACB =90。,BE =EF =FC =1,BC =2,AC=3. (1)求证 BF上平 面 ACFD; (2)求二面角 曰一AD一,的平面角的余弦值. A c 图 lO 图 l1 【思路】(1)先证 BF_LAC,再证 BF_L CF,进而可证BF上 平面 ACFD; (2)方法一 :先作二面角 B—AD—F的平面角 ,再在 RtA中计算 ,即可得二面角 B—AD—F的平面角的余弦值 ; 方法二:先建立空间直角坐标系,再计算平面 ADB和平面 ADF的法向量,进而可得二面角 B—AD—F的平面角的余 弦值. 【解析】(1)延长AD,BE,CF相交于一点 ,如图 11所 示.因为平面 BCFE上平面ABC,且 AC上BC,所以AC上平面 BCK,因此AC上BF.又因为 ∥BC,BE=EF=FC=1,BC: 2,所以ABCK为等边三角形,且 F为 CK的中点 ,所以BF上 CK.所 以 BF上平面 ACFD. (2)方法一 :过点 F作 FQ上AK,连接 BQ.因为 BF上平 面ACFD,所以BF_LAK,则AK_L平面BFQ,所以A 上BQ.所 以LBQF是二面角 —AD—F的平面角. 在 △A 中,AC-3’CK=2,得 Q,_ 在△曰q QF= ,BF 得cosLBQ,=字 所以,二面角 B-AD-F的平面角的余弦值为 方 法二 :略. 【小结】在立体几何 中,对于台体问题,常常采用“还台 为锥”的策略. 【变式训练 3】【吉林省长春市普通高中2017届高三质 量监测(理)】已知三棱锥 S—ABC,满足 sA,船 ,. sc两两垂 直 ,且 SA=船 =SC=2,Q是三棱锥 S—ABC外接球上一动 点,则点 Q到平面ABC的距离的最大值为一 【解析】由已知,sA,船 ,SC两两垂直, 可将三棱锥还原补成正方体,其棱长为 2, A 则三棱锥的外接球即正方体 的外接球.外 接球上到平面 ABC距离最大的点应该在 过球心且 和面 ABC垂直 的直径 上 ,因为 正 方体的外接球直径 和正方体的体对角线 相等 ,即 2r=2√3,故点 Q到平面 ABC距 1 ^ 离的最大值为÷(2r)=÷(2√ )= . 图 l2 C 【小结】若球面上四点 P,A,B,C构成 的三条线段 , PB,PC两两互相垂直 ,且 PA=a,PB=b,PC=C,一般 把有关 元素“还原补形”成为一个球内接长方体,利用 4R =a + b +C 求解. 总之,“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在 解题时 ,把几何体通过 “补 形 ”补成 一个 完整 的几何 体或 置 于一个更熟悉的几何体中,可以巧妙地破解空间几何体的 体积等问题.在应用时注意以下几点: 1.应用条件 :当某些空间几何体是某一个几何体的一 部分,且求解的问题直接求解较难人手时,常用该法。 2.以下情况 ,可以考虑将棱锥补成长方体或正方体 : (1)正四面体 、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面 都是直角三角形的三棱锥; (2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的 棱相等的三棱锥 ; (3)若 已知棱 锥含有线面垂直关 系 ; (4)若三棱锥的三个侧面两两垂直. 3.掌握补与割的区别与联系.两者既是对立,又是统一 的,解题过程中注意两种方法的有效结合,以达到事半功倍 的效果. 数学学 习与研 究 2018.11