亦称有限变差函数.一类重要的函数.设f(x)是[a,b]上处处有限的函数.对[a,b]的分划T:a=x0x1…xn=b,Vba(f,T)=|f(xi)-f(xi-1)|称为函数f关于分划T的变差.若对于所有分划T,变差Vba(f,T)有界,即存在正数M,使对[a,b]的任何分划T,都有Vba(f,T)≤M,则称f(x)是[a,b]上的有界变差函数.一切Vba(f,T)的上确界称为f(x)在[a,b]上的全变差,记为Vba(f),即Vba(f)= Vba(f,T).单调函数是有界变差函数的特例,有界变差函数的主要性质有:1.有界变差函数是... (本文共777字)阅读全文>>
实变函数理论是现代数学的重要基础,是现代分析数学诞生的标志之一.有界变差函数是实变函数中一类重要的常用函数,具有很多好的性质,与单调增函数和不定积分有着紧密的联系.在数学发展的历史上,有界变差函数是在考察弧长的存在问题时首先被引入的.有界变差函数在定积分概念的推广中起着主导作用,在许多其他数学积分问题中也有着重要的意义.常见的实变函数和微积分学教材(见文献[1]-[3]),大多关注有限区间上的有界变差函数,详细探讨有限区间上的有界变差函数的各种性质,但对无限区间上的有界变差函数涉及较少.在深入学习实变函数及其后续的实分析课程过程中,需要对无限区间上的有界变差函数进行研究,它具有一些与有限区间上的有界变差函数相似的性质,但两者有一些不同之处.下面从无限区间上的有界变差函数的定义和性质出发,通过具体实例的探讨,旨在帮助学生正确理解无限区间上的有界变差函数与有限区间上的有界变差函数的区别和联系.1.无限区间上的有界变差函数及其性质本文... (本文共3页)阅读全文>>
文中沿用 [1 - 2 ]的名词和记号定义 1 设∧ ={λn}为一给定的非降正数列 ,并且 ∞n =11λn=∞ ,X(t) ={xm(t) }是从 [a ,b]到叙列空间λ的抽象函数。若对 [a ,b]的任何不相重叠的闭区间列 {[an,bn]}和任何U ={um}∈λ ,X(t)满足 :sup[a ,b] ∞n =1 ∞m =1|um[xm(bn) -xm(an) ]| 1λn0使sup[a ,b] ∞n =1| ∞m =1|Um[xm(bn) -xm(an) ]| 1λn≤L故有对任一U∈λ supa≤t≤b|UX(t) | =supa≤t≤b| ∞n =1Umxm(t) |≤λ1 supa≤t≤b| ∞m =1Um[xm(t) -xm(a) ]1λ1| +| ∞m =1Umxm(a) |≤λ1 L + | ∞m =1Umxm(a)即X(t) 为有界。又从em∈λ (m =1 ,2 ,… )便可推知xm(... (本文共2页)阅读全文>>
取值于局部凸空间的有界变差函数与绝对连续函数丁天彪(基础部)摘要本文给出了取值于局部凸空间的有界变差函数的一些性质以及有界变差函数与绝对连续函数之间的关系。关键词局部凸空间有界变差函数有界函数绝对连续函数中图法分类号O177.3引言最近文[1]和文[2]分别在局部凸空间中引入了有界变差函数和绝对连续函数,推广了取值于Banach空间的抽象函数理论。本文在此基础上继续探讨以及有界变差函数与绝对连续函数之间的关系。必要的记号和概念叙述如下。X表示完备分离的局部凸空间,X*表示X的共轭空间,x(t):[α,β]→X是抽象函数。定义1[1](i)如果对f∈X*,f[x(t)]是有界变差函数,则称x(t)是弱有界变差函数。(i)若对[α,β]中任意有限个互不相交的开区间(ai,bi)[α,β]有Vβα(x,p)=dsupp∑i[x(bi)-x(ai)]>