三角形中心 三角形只有五种心 重心:三中线的交点; 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆 的圆心的简称. 当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 重心性质 重心是三角形三边中线的交点 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等 个三角形面积相等。 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小 平方和最小。 平方和最小 在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均 算术平均 三角形内心、外心、重心、垂心、旁心的性质。 我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是"欧拉线",即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未 揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是"九点圆",即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.九点圆与三角形的三 个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.九点圆又称"费尔巴哈圆","欧拉圆". 经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质: 一,是任意三角形有三条"九点线",九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外角平分线垂线得到的 四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中线中点,此九点共线.九点线经过三角 形的一条中位线,因而平行于三角形的一边. 二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角形(以下简称"旁心三 角形")的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三 个高足重合,因而第二个九点圆又可称为"十二点圆".第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与 三角形的外接圆重合,圆心在三角形的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为 2:1. 三,是一条"九心线",三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称"中点三角形")垂心,旁 心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于 三角形的外心. 四,是一些线段和的不等关系: 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于 1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁 心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于 1/2,当且仅当三角形是正 三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于 1/2,当且仅当三角形是正三角形时等 号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于 1/2,当且仅当三角形是正三角形时等 号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称"分角三角形")的周长与原三角形周长之 比小于或等于 1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于 1/2,当且仅当原三角形 是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于 1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号 成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于 1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号 成立,此时分角三角形也是正三角形. 五,是两个面积不等关系: 1,三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于 1/4,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁 心三角形也是正三角形. 2,分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于 1/4,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立, 此时 分角三角形也是正三角形. 六,是两个夹角范围,由于尚未给出严格的证明,故作为猜想提出: 三角形的九心线与欧拉线夹角 θ1 满足关系式 0°≤θ1<30° 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角 θ2 满足关系 式 0°≤θ2<30° 已经得出的结论是: 当三角形为等腰三角形时,θ1,θ2 均为 0° ; θ1,θ2 取接近 30°值时,三角形不可能是等腰三角形或直角三角形. 一个典型的实例是当三角形的三边为 34,2493,2509 时,θ1=29.658° . 七,是其它一些性质: 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合. 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合,且两质心重合,中点三角形的垂心与原三角形的外心重合,两 条欧拉线上的垂心,质心,外心排列方向相反. 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为 1:2. 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形(以下简称"垂足三角形")的第一九点圆半径之比为 2:1. 三角形内接于它的旁心三角形*. 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角,且垂直与旁心三角形的一边,从而有三 角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*. 作为特殊三角形的等腰三角形,它的九心线与欧拉线重合,并且是等腰三角形的对称轴,该线经过与三角形有 关的无数"颗"心.例如:它经过三角形本身的垂心,质心,外心,内心和一个旁心等"五心",经过三角形的旁心三角 形的五心,旁心三角形的旁心三角形的五心……,三角形的中点三角形的五心,中点三角形的中点三角形的五 心……,三角形的分角三角形的五心,分角三角形的分角三角形的五心……,三角形的垂足三角形的五心,垂足 三角形的垂足三角形的五心……,以及各三角形的复合三角形的一些心,等等. 重心是三角形三边中垂线的交点 但是为什么 ‘重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1?’ ‘重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等?’ 已知:△ABC 中,AX,BY,CZ 分别是 BC,AC,AB 边上的中线,求证:AX,BY,CZ 相交于一点 G,并且 AG∶GX=2∶1(图 3-112). 证 设 AX,BY 交于一点 G,作 AG,BG 中点 D,E. Y 分别是 BC,AC 的中点,所以 XYDE,所以,四边形 DEXY 为平行四边形,所以 GD=DA=GX,GY=GE=EB, 所以 AG∶GX=2∶1,BG∶GY=2∶1. 同理,若 BY 与 CZ 相交于一点 G′,必有 BG′∶G′Y=2∶1,G′C∶G′Z′=2∶1, 答案补充 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等的证明: 每条中线把三角形分成面积相等的两部分。 重心 O 把中线 AD 分为 2:1,则三角形 OAB 的面积为 OBD 的二倍 而 OF 平分三角形 OBA 则面积 OAF=面积 OBF=面积 OBD=1/2OAB 一画图很容易就证明出来了 重心是三角形三边中线的交点,不是三边中垂线的交点. 外心是三角形三边中垂线的交点 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1?’ 可以证明 ‘重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等?’ 正确