实验三 多项式与符号积分与微分 1、已知多项式 f ( x) = 3 x 2 + 5, g ( x) = x 3 ? x ? 1 ,计算 f + 2 g , f ? g , f 3 >> f=[0,3,0,5];g=[1,0,-1,-1];f+g+g ans = 2 3 -2 3 >> f=[0,3,0,5];g=[1,0,-1,-1];c=conv(f,g) c = 0 3 0 2 -3 -5 -5 >> f=[0,3,0,5];g=[1,0,-1,-1];c=conv(f,f);c1=conv(c,f) c1 = 0 0 0 27 0 135 0 225 0 125 用 求商 q ( x) 与余式 r ( x) , 其中 f ( x) = x 4 ? 2 x + 5, g ( x) = x 2 ? x + 2 . 2、 g ( x ) 除 f ( x ) , >> f=[1,0,0,-2,5];g=[1,-1,2];[q,r]=deconv(f,g) q = 1 1 -1 r = 0 0 0 -5 7 3 、 设 f ( x) = 4 x 4 ? 2 x3 ? 16 x 2 + 5 x + 9, g ( x) = 2 x3 ? x 2 ? 5 x + 4 , 求 u ( x), v( x) 使 得 u ( x) f ( x) + v( x) g ( x) = ( f ( x), g ( x) ) . >> syms x; >> f=4*x^4-2*x^3-16*x^2+5*x+9; >> g=2*x^3-x^2-5*x+4; >> [d,u,v]=gcd(f,g) d = x-1 u = 1/3-1/3*x v = -1+2/3*x^2-2/3*x 4、求多项式 f ( x) = x5 ? 5 x 4 + 7 x 3 ? 2 x 2 + 4 x ? 8 的根,并在有理数域上进行因式分 解. >> f=[1,-5,7,-2,4,-8];x=roots(f) x = 2.0000 + 0.0000i 2.0000 - 0.0000i 2.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i >> syms x;f=x^5-5*x^4+7*x^3-2*x^2+4*x-8;factor(f) ans = (x^2+1+x)*(x-2)^3 5、已知-1,-1,1-2i 是四次多项式 f ( x) 的根,求 f ( x) . >>clear >>clc >>a=[-1,-1,1-2*I,1+2*i] >>b=poly(a) >>f=poly2str(b,’x’) >>f=x^4 + 2 x^2 + 8 x + 5 6、判断-1 是否为多项式 f ( x) = x 4 ? 6 x 2 + 8 x ? 3 的根,若是,再判断是否为重根. > f=[1,0,-6,8,-3];x=-1;y=polyval(f,x) y = -16 7、用定积分的方法计算椭圆 x2 y2 + = 1 的周长。 9 4 b %曲线弧长公式 1 + >>clear a >>syms x >>y=((1-x^2/9)*4)^(1/2) >>dy=diff(simplify(y)) >>Y=4*int((1+dy^2)^(1/2),0,3) Y =12*EllipticE(1/3*5^(1/2)) >>vpa(Y) Y= 15.865439589290589791331663027784 ∫ [ f ' ( x )] 2 dx 8、(不定积分)用 int 计算下列不定积分,并用 diff 验证 ∫ x sin x 2 dx , ∫ dx dx ,∫ x , ∫ arcsin xdx , ∫ sec 3 xdx 1 + cos x e +1 (1)>> syms x; >> int('x*sin(x^2)',x) ans = -1/2*cos(x^2) >> syms x; >> diff(-1/2*cos(x^2),'x') ans = x*sin(x^2) (2)>> syms x; >> int('1/(1+cos(x))',x) ans = tan(1/2*x) >> syms x; >> diff(tan((1/2)*x),'x') ans = 1/2+1/2*tan(1/2*x)^2 (3)>> syms x; >> int('1/(exp(x)+1)',x) ans = -log(exp(x)+1)+log(exp(x)) >> syms x;diff(-log(exp(x)+1)+log(exp(x)),'x') ans = -exp(x)/(exp(x)+1)+1 (4)>> syms x; >> int('arcsin(x)',x) ans = x*asin(x)+(1-x^2)^(1/2) >> syms x;diff(x*asin(x)+(1-x^2)^(1/2),'x') ans = asin(x) (5)>> syms x; >> int('(sec(x))^3',x) ans = 1/2/cos(x)^2*sin(x)+1/2*log(sec(x)+tan(x)) >> syms x;diff(1/2/cos(x)^2*sin(x)+1/2*log(sec(x)+tan(x)),'x') ans = 1/cos(x)^3*sin(x)^2+1/2/cos(x)+1/2*(sec(x)*tan(x)+1+tan(x)^2)/(sec(x)+tan(x)) 2x x 1 2 x 2 1 x ,求 x 与 x 的系数 4 3 9、已知 f ( x) = 1 3 1 x 1 ?1 1 1 (1)>> A=[2*x x 1 2;1 x 1 -1;3 2 x 1;1 1 1 x]; >> det(A) ans = -7*x^2+2*x^4+12*x-x^3-8 (2)>>syms x >>f=[2*x x 1 2;1 x 1 -1;3 2 x 1;1 1 1 x] >>F=det(f) F=2*x^4-7*x^2+12*x-x^3-8 >>maple(‘coeff’,F,x,4) ans=2 >>maple(‘coeff’,F,x,3) ans=-1 10、应用 Cramer 法则求解下列线性方程组的解. ?2 x1 + x2 ? 5 x3 + x4 = 8, ? x ? 3x ? 6x4 = 9, ? 1 2 ? x2 ? x3 + 2x4 = ?5, ? ? x1 + 4x2 ? 7x3 + 6x4 = 0. ? >> A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,1,-1,2;1,4,-7,6]; >> B=[8;9;-5;0]; >> det(A) ans = -4 >> x=A\B x= 12.0000 27.0000 6.0000 -13.0000 11、验证行列式的性质:对换行列式中两行的位置,行列式反号 >> A=[1,2;3,4]; >> det(A) ans = -2 >> B=flipud(A) B= 3 1 >> det(B) ans = 2 12、求下列各极限 (1) lim (1 ? n →∞ 4 2 1 n ) n >> syms n; >> limit((1-1/n)^n,n,inf) ans = exp(-1) (2) lim n + 3 n 3 n →∞ n >> syms n; >> limit((n^3+3^n)^(1/n),n,inf) ans = 3 (3) lim ( n + 2 ? 2 n + 1 + n →∞ n) >> syms n; >> limit(sqrt(n+2)-2*sqrt(n+1)+sqrt(n),n,inf) ans = 0 (4) lim( x →1 2 1 ? ) x ?1 x ?1 2 >> syms x; >> limit(2/(x^2-1)-1/(x-1),x,1) ans = -1/2 (5) lim x cot 2 x x →0 >> syms x; >> limit(x*cot(2*x),x,0) ans = 1/2(6) lim( x + 3 x ? x) 2 x→∞ >> syms x; >> limit(sqrt(x^2+3*x)-x,x,inf) ans = 3/2 (7) lim(cos x →∞ m x ) x >> syms x m; >> limit((cos(m/x))^x,x,inf) ans = 1 (8) lim( x →1 1 1 ? x ) x e ?1 >> syms x ; >> limit(1/x-1/(exp(x)-1),x,1) ans = (exp(1)-2)/(exp(1)-1) 3 (9) lim x →0 1+ x ?1 x >> syms x ; >> limit(((1+x)^1/3-1)/x,x,0) ans = NaN 13、考虑函数 f ( x) = 3 x 2 sin( x 3 ), ? 2 < x < 2 作出图形,并说出大致单调区间;使用 diff 求 f ' ( x ) ,并求 f (x ) 确切的单调区间。 >>clear >>clc >> fplot('3*x^2*sin(x^3)',[-2 2]) >>syms x >> f=3*x^2*sin(x^3) >>df=diff(f) df= 6*x*sin(x^3)+9*x^4*cos(x^3) >>solve(df) ans=0 14、对于下列函数完成下列工作,并写出总结报告,评论极值与导数的关系, (i) 作出图形,观测所有的局部极大、局部极小和全局最大、全局最小值点的粗略位置; (iI) 求 f ' ( x ) 所有零点(即 f (x ) 的驻点) ; (iii) 求出驻点处 f (x ) 的二阶导数值; (iv) 用 fminbnd(或 fminsearch)求各极值点的确切位置; (v) 局部极值点与 f ' ( x ), f " ( x ) 有何关系? (1) f ( x) = x 2 sin( x 2 ? x ? 2), x ∈ [ ?2,2] (2) f ( x) = 3 x 5 ? 20 x 3 + 10, x ∈ [ ?3,3] (3) f ( x ) = x 3 ? x 2 ? x ? 2 , x ∈ [0,3] (1)(i)>>clc >> fplot(‘x^2*sin(x^2-x-2)’,[-2 2]) 或 >>x=-2:0.1:2; >>y= x^2*sin(x^2-x-2 >>yy=sups(y) >>plot(x,yy) (ii)>>syms x >>f= x^2*sin(x^2-x-2) >>format rat >>df=diff(f) df= 2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1) >>solve(df) ans= 0 -.7315359527751642672655396407840 (iii)>>ddf=diff(df) >>format rat >>y=taylor(dff) >>Y=sym2poly(y) >>polyval(Y,0) ans= -802/441 >>polyval(Y, -.7315359527751642672655396407840) ans= 2333/231 (iv) >> f= @(x)x^2*sin(x^2-x-2) f= @(x)x^2*sin(x^2-x-2) >>x=fminbnd(f,-2,2) x1 =-2 >>f(x1) ans =-445/147 >>F=@(x)- x^2*sin(x^2-x-2) >>x2= fminbnd(F,-2,2) x2=2 >>F(x2) ans=0 (v)若存在 x,使得 f′(x)=0,f″(x)在 x 周围异号,则 f(x)在 x 取到极值 >> (2)(i)fplot(‘3*x^5-20*x^3+10’,[-3 3]) (3)(i)fplot(‘abs(x^3-x^2-x-2)’,[0 3]) 3 15、求 f (u ) = u , u = sin (2 x ? 1) 的复合函数 >>clc >>syms x u >>f=u^3 >>u=sin(2*x-1) >>compose(f,u) ans= sin(2*x-1)^3 16、求 2x e ? 2, 1? x 2 + x 的反函数。 >>clc >>syms x >>f=exp(2*x)-2 >>finverse(f) ans= 1/2*log(2+x) >>g=(1-x)/(2-x) >>finverse(g) ans= (2*x-1)/(-1+x) 17、求曲线 F ( x, y, z ) = x 2 ? xy ? 8 x + z + 5 在点 ( 2,3,1) 处的切平面及法线方程,并作图。 >>clear >>[x,y]=meshgrid(0:0.1:5, 0:0.1:5); >>z=-(x.^2+x.*y-8*x+5); >>plot3 (x,y,z) >>figure >>mesh(x,y,z) >>hold on >>xlabel(‘x 轴’) >>ylabel(‘y 轴’) >>zlabel(‘z 轴’) >>syms x y z >>f= x^2+x*y-8*x+z+5 >>dfx=diff(f,x) dfx= 2*x+y-8 >>dfy=diff(f,y) dfy= x >>dfz=diff(f,z) dfz=1 所以 f ' x |( 2,3,1) = 2 x + y ? 8 |( 2,3,1) = ?1 , f ' y |( 2,3,1) = x |( 2,3,1) = 2 , f ' z |( 2,3,1) = 1 |( 2,3,1) = 1 ; 切平面方程为 ? ( x ? 2) + 2( y ? 3) + ( z ? 1) = 0 ,整理得 x ? 2 y ? z + 5 = 0 ; x ? 2 y ? 3 z ?1 = = 2 1 ; 法线方程为 ? 1 >>clc >>[X,Y]=meshgrid(0:0.5:5,0:0.5:5); >>Z=X-2*Y+5; >>hold on >>mesh(X,Y,Z) >>t=-1:0.1:2; >>x=-t+2; >>y=2*t+3; >>z=t+1; >>hold on >>plot3(x,y,z) plot3(x,y,z) 18、验证曲面 x + y + z = a ( a > 0 )上,任何点处的切平面在各坐标轴上的截距 之和等于 a ,并作图。 19、求椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 上平行于平面 x ? y + 2 z = 0 的切平面方程,并作图。 2 2 2 F ′ = 2 x F y′ = 4 y Fz′ = 2 z 设 F = x + 2 y + z ?1, x , , 则 2 x/1=4y/-1=2z/2,得 x=-2y,z=-4y 代入椭圆方程 1 ?4 ? ? ?2 , , ? ? 22 22 ? 得切点坐标 ? 22 则切平面方程为化简得:x-y-2*z-6/22^(1/2)=0 >>clear >>clc >> x=linspace(-1,1,30); >> y=linspace(-2^(1/2)/2,2^(1/2)/2,30); >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z1=(1-X.^2-2*Y.^2)^(1/2); >>mesh(X,Y,Z1) >>hold on >>Z2=-Z1; >>mesh(X,Y,Z2) >>[x,y]=meshgrid(x,y); >> z=(-x+y+6/22^(1/2))/2; >> mesh(x,y,z) >>xlabel(‘x 轴’) >>ylabel(‘y 轴’) >>zlabel(‘z 轴’)