首先你要学会严谨地叙述问题,只有把问题讲清楚了才能解决.
如果f(x)在x0的某领域内具有n+1阶的导数,那么f(x)在这个邻域内只能保证n+1阶Taylor展开,并不能进一步让n->oo,也就谈不上Taylor级数.
正确的叙述是:如果f(x)在x0的某个领域内无限可微,并且对此邻域内的任何x,以x0为中心的Taylor展开式的余项在n->oo时都趋于0,那么在此邻域内f(x)和它的Taylor级数相等.
关于疑问1,可以这样讲
如果f(x)在x0的某个邻域内可以(以x0为中心)展开成Taylor级数(也就是f(x)和它的Taylor级数相等的意思),那么在该邻域内任取一点y0,是否存在y0的邻域使得f(x)在此范围内可以(以y0为中心)展开成Taylor级数?
结论是肯定的.仅用实函数比较麻烦(需要用二项式定理展开,再用绝对收敛级数的交换律),从复分析的角度看比较显然(当然逻辑上讲用到了相对高级的结论),如果f(x)在x0的邻域O(x0,R)内可以展开成Taylor级数,那么利用幂级数的性质知道该级数的收敛半径至少是R,并且在此邻域内f(x)是全纯函数,取r=R-|y0-x0|,那么y0的邻域O(y0,r)包含于O(x0,R),f(x)在O(y0,r)内是解析函数,当然可以以y0为中心做Taylor展开.所以三楼的回答是有问题的.
关于疑问2,如果f(x)以x0为中心做Taylor展开,收敛半径为R,那么当|x-x0|
1年前追问
你是学数学的吧!高手!厉害!我赞同你回答的第一个问题,关于第二个问题我倾向于下面的那个回答! 你们都这么厉害,麻烦帮我看一下这个链接吧,困扰我很久了,问了很多人,一直没得到解答, 谢谢 http://zhidao.baidu.com/question/320928640.html
我再补充两句吧。 1. f(x)=sum a_n(x-x0)^n = sum a_n [(x-y0)+(y0-x0)]^n 用二项式定理展开[(x-y0)+(y0-x0)]^n,再把级数重新按(x-y0)^k排列就得到以y0为中心的Taylor级数,交换性是由收敛域内的绝对收敛性保证的。这样可以不借助复解析函数来得到结论,而且此证明同样适用于复级数。 2. 关于收敛半径的分歧,这个不是很本质的问题,不过我