学习阶段:大学物理。
前置知识:多元微积分、磁场高斯定理、磁场环路定理、力与功。
1. 磁场对电流的作用力——安培力
电流是由一连串稳定运动的电荷形成的。运动电荷在磁场中会受到洛伦兹力,而电荷被束缚在载流导线中,自然载流导线在磁场中也会受到磁场的作用力,这个力被称为安培力。法国物理学家安培在磁场对电流的作用上做出了杰出贡献。图1 电流元的安培力分析
考虑一段电流元
处在磁场
中,假设在
时间中恰有该电流元中的所有正电荷
匀速离开了,则(考虑通过该电流元右侧截面的电荷量可知)电流的大小为
,且电荷运动的速率为
.
由下文
中1.2节洛伦兹力的公式
知
那么一段曲线为
的载流导线受到的安培力就是上式做曲线积分的结果,即
这就是安培力的计算公式。
在
为匀强磁场时,可以把它从积分中拿出来,得到
这里
表示曲线
从起点指向终点的向量。也就是说,在匀强磁场中,载流导线所受的安培力只与导线的起点与终点有关,而与其曲线形状无关。
进一步,若
和
垂直,则
,这与高中所学的安培力和左手定则是相容的,如图2所示:
图2 安培力与左手定则
2. 安培力的应用
2.1 两平行直导线的相互作用力
图3 两平行直导线的相互作用力
在
处产生的磁感应强度可以用磁场环路定理计算:
则导线
每长度
受到的安培力为
根据安培力的方向可知:同向电流相互吸引,异向电流相互排斥。
2.2 平面载流线圈在匀强磁场中的受力
图4 分解匀强磁场
如图4所示,磁场
可以分解为垂直分量
和平行分量
,显然垂直分量只会导致线圈扩张或收缩,安培力的合力和合力矩均为零。这里我们假设线圈是刚性的,不会形变,那么线圈的受力只与平行分量有关。
记垂直于载流线圈且符合右手螺旋关系的单位法向量为
,则
.
图5 将线圈切割为小矩形
如图5所示,可以将线圈切割为无数小矩形,设小矩形的边长分别为
与
. 其中每一块小矩形的上下两条边与磁场平行,无安培力,而左右两条边的安培力等大反向,也就是说合力为零,而力偶矩为
任意两个相邻的矩形合并时,力矩相加