下面给出线性方程组的解法:用初等行变换将方程组的 增广矩阵化成阶梯形矩阵(最简形),再写出该阶梯形矩阵所对应的 方程组,逐步回代,求出方程组的解。因为它们为同解方程组,所以 也就得到了原方程组的解。这种方法被称为高斯消元法, 具体步骤: (1)写出线性方程组的增广矩阵。 (2)用行的初等变换将增广矩阵化为行最简形(阶梯形)。 在化的过程中,如果出现第一类情况,则原方程无解。 不然的话,必然得到一个行最简形矩阵。 (a).如果它属于第二类,则原方程组有唯一解。 (b).如果它属于第三类,则原方程组有无穷多解,选好自由变量, 然后用一般解形式表示原方程组的全部解。 第一类:有某一行,它的最右边的一个元不为零,该行的其余元都为零,以这个矩阵为增广矩阵的线性方程组中,该行的方程不能成为 等式,所以方程组无解。见下例(1). 第二类:不属于第一类,并且非零行的个数等于未知量的个数,这 时方程组有唯一解。见下例(2)第三类:如果不属于第一类,并且非零行的个数小于未知量的个数,这时取自由变量,得方程组有无穷多解。见下例(3)。 下面举例具体说明 第一行乘以(-3)加到第二行;第一行乘以(-2)加到第三行,得 由此知属于第一类,因此这个线性方程组无解。(2)这类方程组很常见,我们用一般消去法逐一说明。高斯消去 法的使用类似第一三类,读者可自行参阅得到。下面我们分几种情况 来讨论。 这种情况非常简单,不采用消元法,具体采用去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1 几个步骤即可得到方程的解。即: 凡是一元一次方程都可划成形如:ax+b=0,或ax=-b,则得解x=- 按上面法则得到3(x+1)-18-2x=6+2x-23x+3-18-2x=6+2x-2 3x-2x-2x=6-2-3+18 -x=19 x=-19 代入消元:由方程组的一个方程求出一个未知数对其他未知数的表达式,而把这个表达式带入其他方程,所获得的方程组与 原方程组同解。 设有一组一元一次方程 ,把每个方程的未知项移到方程左 边,已知项移到方程右边,合并同类项以后得到如下形式的方 假设四个系数a,b,a’,b’中有一个不为0,例如a不为0,由第一 个方程求出x 与(1)同解。这时,把由第一个方程得到的x的表达式代入第二个 方程,得 这个只含未知数y的一元一次方程,然后将解得的y 的值代入 值,即解得了未知数x、y。同理,我们也可由x 写出y 的表达式进行代入求解。 注:实际解题中我们选取表达式较为简单的量代入。 例:解方程组 再将y的值代入第一个方程得 的方程组与下面的方程组同解hA+kB=0,A=0 等于零,显然使hA和kB 于零,因而满足方程(2)。反之,凡是(2)的解,即使A和hA+kB 等于零,即使kB 等于零,但k 不等于零,故B 等于零,因而满足方 为对象。