射影射影是应用维数类比来想象四维空间的一种有效方法。射影是指用 n - 1 维空间中的图形来代表 n 维空间中的图形。比如说,电脑屏幕是二维的,而所有三维的人、地方、东西等等的照片都是以射影的形式展现在二维平面上的。这会把三维世界中的深度去除,代之以间接的信息。人眼的视网膜也是由一层二维的感受器构成的,但是人脑能够察知三维物体的真实形状;这是根据阴影、近大远小、双眼视觉等间接信息推断得来的。画家们经常利用透视来赋予二维的图画一种三维(也就是立体)的感觉。相似地,四维空间中的物体可以以数学的方法射影到三维空间中,从而使观察它们变得更容易。在这种情况下,一个四维的眼的“视网膜”是由一个三维“层”的感受器构成的。假设一个人有这样一只眼,他就可以根据三维图形中的间接信息推断出四维物体的真实形状。三维物体在人眼视网膜上留下的透视射影会造成近大远小的现象,这样大脑就可以推断出三维的深度。以同样的方式,四维物体的透视射影会造成相似的“近大远小”的效果。通过应用维数类比,我们可以从这种效果中推断出四维的“深度”。阴影一个与射影有密切关系的方法是把四维几何体的阴影在三维空间中显示出来。假设有一束光射向一个三维物体,则其阴影会在二维平面上显示出来。如此类推,光射向二维物体会产生一维阴影,射向一维物体会产生零维阴影,也就是无光的一点;另一方面,光射向四维物体会产生三维阴影。如果一个立方体的线框置于光源下,其阴影为一正方形位于另一正方形以内,并且相对的点相连。同样,如果四维正方体置于光源下,其阴影便会是一三维正方体位于另一正方体之内,并且相对的点相连。(注意,此处显示的图片乃四维正方体的三维阴影在二维平面上的投影。)边界 维度类比法也可帮我们推论出高维度物体的基本属性。例如,二维物体有一维的边界,正方形的边界为一维的线;三维物体有二维的边界(表面),正方体的表面为二维的平面。我们可以推论,四维物体便有三维的“边界”,就是超正方体的外围是三维的正方体。以上属性对如何表达四维物体的三维投影很有帮助。视觉观测作为三维空间中的生物,我们的眼睛只能看到这个世界的二维投影。生活在四维空间的生物便能看到它们的世界的三维投影。例如,它们可以同时看到一个正方体的所有六面,还能同时看到正方体中的物体;其实我们也可以同时看到二维平面上的正方形的全部四条边及其中的物体。四维生物能同一时间看到三维空间中的所有点、物