事实 r(见第一页 见第一页)在这里 提到了。 在另一个方面,对于简谐运动 对于简谐运动,发动机是根据 2 个正极值加速度建造的 而 不是单一根据θ=π。 因此, 因此 一个自由马达——由一个 7 英尺的行程和 12 英尺的 连杆组成——拥有 R/C=3.5/12=1/3.43=0.43 R/C=3.5/12=1/3.43=0.43,在根据那个比例图, ,就可以知道正 加速度最大值发生在 或者角位置远离θ=π的 的地方。 的地方 这台发动机 每个周期中十字头有 3 个极值加速度 个极值加速度,其中一个负值发生在θ=0 还有上述的 2 =0 个正极值。 1.十字头的速度和加速度 . 以曲轴的中心为坐标原点,十字头的位置 A,在图 3 中给出了 以曲轴的中心为坐标原点 其中 x=OC=± r OA=x+ω=± r OA=x+ y 和ω=CA= c y y 是在 X 轴上曲柄臂 r=OB 和连杆 c y , (1) c=BA 的投影。请注意, 的投影ω是正的,r 的投影也是正的。当在第一或者第 ,c 当在第一或者第 四象限时,应该加上ω, ,而在第二或者第三时,减去ω。 在 A 处,十字头活塞的速度是由 十字头活塞的速度是由(1)对时间的求导数: 假设 y=rsin θ和轴的角速度是不变 轴的角速度是不变的 =ω 有(2)和(3)知道: =rcos θ cos V=-y V= , 不变的,能得到: : y (3) (2) =rω cos θ= ω r V=- -ωy 1 =x′+ω′, (4) 我们注意到,x′和 和ω′能验证表 1 中列出的值。在这 2 个量中小的一个总 是在 Y 轴左边的 2 个象限 即 x 是负的; 个象限, 而大的则是在 Y 轴右边的 2 个象限里, 即 x 是正的。 同样,我们将(4) )对时间求导,可得到: V′= =-ω 将(3)代入: 1 , (5) V′=-ω 又有 Z=sin θ = 可得 V′=-ω r y r y , (6) r r 和ρ= c , √1 z =x″+ω″. (7) 个ω″是曲柄 c 在 OX 上的加速度投影,被认为是建立在ρ上的。消失的(6) 或(8)是上篇文章中处理十字头最大速度的条件。这个消失是发生在 OY 轴的 右 边 , 即 x ″ 是 负 的。 在 数 量 级 上 是 等 于 ( 8 ) 中 给 出 的 正 ω ″ 。 在 这 里 2ρz=2 ρz=1 y c =2sin α 是比ρ ρ z 大。一个正的ω″总是发生在ρz=sin α 比 这里的 x″=-ω x是简谐运动加速度公式, 表示 r 在 OX 方向上的投影;第二 (8) 1 ρ(这个导致ω″的消失)大的时候。 2.十字头最大加速度的条件 十字头最大加速度的条件 (6)式对时间求导: V″=ω y y 2c y 4c , (9) 将(3)代入得到 V″=ω y 1 3c r , (10) (10)变成零是得到最大加速度的条件,同时指出的是这个是发生在将 y=0 作为简谐运动的公式的时候。而(6)和(8)的极值在前文指出了, V ′= ω r 1 V ′=ω r 1 , , (11) (12) 下标值的曲柄在周期中的位置。V 的正负最大值是工程应用中的 r/c 的值, 而这个是小于 1/3.79 。 从公式 11 能得到最大的正加速度, r/C 的值确比 1/3.79 但 大,在(10)中趋于零代表着最大的正加速度,当这个发生了,则(12)给出了 一个相对最低的 v 和作为 r/c 趋于这个值。这是因为零和最大加速度从θ=π到 θ=±π/2 的位置变化到无穷到。对于θ=±π 2, (6)或(8)的加速度是正的, 给出: V =√ = , (13) 当 r=c 和ρ=1 是, 这个是加速度是无穷大的。 先前的调查已经显示这个 (10) 消失是如果发生的,那就是随着由(13)最给出的大加速度的角位置是从θ=π 到θ=π/2 变化的。 最大加速度的大小也是由 XX 的偏导数的到的。而这个式子是随着θ变化 的。.从(8)我们能得到: V ′= ρz , = ρ ρz ρ z 2ρz 3ρ 4 3ρ . 15 (14) 当曲柄臂在 Y 轴的左边时,我们用(14)中较低的下标和括号的消失当 1 通过转换得到: ρ z 2ρ z 所以最大值发生在θ=π和由(12)得到的。在这种场合下 Ρ= = ρ=0.26315= √ 加速度最大化。 需要指出的是当 1 = . 这就是决定了 z(或者是角θ)的关键条件,这个是通过一个给定的ρ来使 15 6ρ z 1 ρ ρz 11 9ρ 为零时, 该方程能得到 z=sin θ =0, . 1 9ρ =0. (15) =0.06956= . , (16) . sin α u 11 现在介绍变量 0 则(15)变成 u 2u 6u 的。这是因为在这个假设中,常数项 1 11 6 1 ρ 6 我们可能发现,当ρ比(16)给的小的时候, (15)和(18)是没有实数解 15ρ ρ 都大: ρ . 3ρ 1 (17) 15ρ 9ρ =0. 项 11u 应该比其余的负数项总和 6u 1 1 9ρ 是正的。看到这,那个正数 (19) 1 (18) 11u 比所有的负数项总和 6u 1 这个不等式会使 u<1 和ρ小于(16) ,还有当(19)乘以 u 时,我们能得到 ρ 都大。所以当ρ 比 √ 远不是消失,也就是根据(16)得到的 ρ=r/c 小于 1/3.79. 小时, (15)永 因此 (10) 或者 (14) 中的括号就不会消失, 即使当曲柄连杆比小于 1/3.79; 我们注意到这个范围包括工程应用中的比值 1/4.因此旧海军已有从 1 到 4 的曲柄 连杆比的三重扩张往复式蒸汽发动机。虽然一些最新的径向引擎喜欢 R335,这 个在 B-29 有使用。他拥有一个 14 英尺的连杆和 6.312 英尺的行程,或者是一些 比较长的方案中用的 3.156/14=1/4.43 。在上面的案例中十字头的最大的正加速 度发生在θ=π;对于一些简谐运动,在一个周期中也只有这么一个位置是出现 最大正加速度。 临界比 1/3.79 是非常接近 1//4 的,许多最新的发动机拥有比 1/3.79 更大的 比。因次 Liberty motor 拥有一个 12 英尺的连杆和一个 7 英尺的行程或者是 3.5 英尺的曲柄臂或是曲柄行程,这个比值是 3.5/12=1/3.43=0.29,这个值大于前面 的临界比 1/3.79。所以对于这些发动机,它们有 2 个相等的最大正加速度(也就 是一个) ,这个位置是在一个周期中的对称角,就像图 1 显示的在接近最低圈的 θ=±153° 。这个也是由(10)中的括号决定的,而不是(12) 。 3.十字头的最大正加速度 式子(15)或者是更简单的(18)的结果给出了极限值 z(即θ角) ,对于 给定的ρ,求出(6)或者(8)的最大加速度,因为后者的范围从(16)到无穷。 此时是cos θ负的,将这个解代入(6)或者(8)求出最大正加速度。同时利用 (17)来简化计算,得到: V =ω r √1 ′ 这些解可以通过 Graeffe 方法或者 Horner 方法求出。当曲柄臂到达 y 轴左边时, 次再和θ 对于 r/c= ρ的值的范围从 0.2632 到 1,图 1 给出了这个最大十字头加速度,每 最后 3 行的十字头的最大正加速度和先前的(对于θ=±π/2,当ρ=1 时)数 z ﹣ =ω r √1 z (20) π/2, π对应的加速度相比较。请注意,对于 r/c 大于 0.8 时,图 1 中 据是很接近的。 4 所有十字头最大正加速度中的最小值 或ρ 以 从表 1 中可以看书,最小的正加速度是在当V =ω r时候,对应的 r/c=0.357 ′ 1/7.837的最小值的条件是由求(8)关于ρ等于零的偏导数得到的() 。 ′ =V = 或者 ρ z u 2ρz 2u ρ 2ρz 1 ρ 1 2u ρ ′ =0 (21) (22) 对于求这些最大正加速度中的最小值的条件是(8)式在ρ和 z 共同作用下求解 得到的;也就是通过求解(15)或者更简单的(18)和(22) 。 其中有 2 个同跟的。当分解出 u 4u 8u 18u 当我们把(22)代入(18)中,我们可以得到一个关于 u 的 6 自由度方程, 13u 1 时,我们可以得到: 1=0, (23) V =ω r(0.6952)在表 1 中给出来了。 ′ 求得的方程的解给出了临界值u 对于建立在 u(或者是(22)的ρ)上的条件使(20)最小化。通过 Horner 方法 0.0703 , 其 余 的 临 界 变 量 和 最 小 图 2 是一张从θ=π到θ=±π/2,这些发生最大加速度极限位置下的不同 曲柄连杆比 XX 的最大正加速度的图标。 请注意,对于 r/c<0.2632,在一般的工程应用中,最大曲线范围正好和图 2 吻合。另一方面,对于更大一些的比值,大于 0.8,次最大加速度在θ=±π/2 的地方的区别在百分之 3,即在图上几乎看不到,并发生在曲柄臂和汽缸成直角 (θ=±π/2)的 5°位置。 关于正加速度的极值需要注意的进一步事实, 当最大的速度 XX 从θ=π (那 时 r/c=0.263)开始变化的时候,我们仍然没有它在 y=0(10)的变换率,所以在 θ=π是最低(相对)的加速度的位置。但它是一个比较平坦的最低值,只有在 最大值的时候轻微的不同。 因此, 对于 r/c=0.357, 他决定了由 (20) 在θ=±132° ′ 给出的最大值中的最小值V =ω r(0.6952);相近的最小值是在θ=π的时候的 在这个正加速度范围内是一个稳定顺畅的运行周期, 这时候曲柄臂正从一半行程 ′ V =ω r(0.643) 。相应的十字头惯性力会因此相差不超过百分之十,这意味着 ′ 远离汽缸的方向运动。r/c=0.357 所对应的最小V 点是正加速度中减少十字头磨 损的最佳比。 这篇文章中的观点和结论是私人所有,不被为官方解释或反映海军部的意 见,或后勤部。