《博弈论:原理、模型与教程》 第一部分 完全信息静态博弈 《博弈论:原理、模型与教程》 第一部分 完全信息静态博弈 第 2 章 Nash 均衡 2.2 重复剔除劣战略行为 第 2 章 Nash 均衡 2.2 重复剔除劣战略行为 (已精细订正!) 1、定义 2-3 【例 2-3】 【例 2-4】 【例 2-5】 2、定义 2-4 第 2.1 节 占优行为 第 2.2 节 重复剔除劣战略行为 第 2.3 节 Nash 均衡 第 2.1 节 占优行为 第 2.2 节 重复剔除劣战略行为 第 2.3 节 Nash 均衡 在“囚徒困境”中,“坦白”是小偷的占优战略,也就是说,相对于战略“抵赖”,“坦白”在任何情况下都是小偷的最优选择。因此,小偷只会选择战略“坦白”。 在“囚徒困境”中,“坦白”是小偷的占优战略,也就是说,相对于战略“抵赖”,“坦白”在任何情况下都是小偷的最优选择。因此,小偷只会选择战略“坦白”。 反过来也可以这么理解:相对于战略“坦白”,小偷选择“抵赖”所得到的支付都要小于选择“坦白”所的得到的。既然选择“抵赖”的所得总是小于选择“坦白”的所得,小偷当然就不会选择“抵赖”,这也就相当于小偷将战略“抵赖”从自己的选择中相对于战略“坦白”,小偷选择“抵赖”所得到的支付都要小于选择“坦白”所的得到的。既然选择“抵赖”的所得总是小于选择“坦白”的所得,小偷当然就不会选择“抵赖”,这也就相当于小偷将战略“抵赖”从自己的选择中 剔除 掉了。 。 考察更一般的 n 人博弈情形。 在 n 人博弈中,如果存在参与人 i 的占优战略的占优战略is,那么他在博弈中的战略选择问题就很简单:选择占优战略,那么他在博弈中的战略选择问题就很简单:选择占优战略is 。 但在大多数博弈问题中,参与人的占优战略并不存在。虽然不存在占优战略,但在某些博弈问题中,参与人虽然不存在占优战略,但在某些博弈问题中,参与人 i 在对自己的战略进行比较对自己的战略进行比较: 时,可能会发现这样的情形: 存在两个战略is和is (is,is iS),is 虽然不是占优战略,但与is相比,自己在任何情况下选择is 的所得都要大于选择的所得都要大于选择is的所得 。 在这种情况下,理性参与人 i 的选择又有什么样的特点呢?的选择又有什么样的特点呢? 虽然不能确定参与人 i 最终会选择什么样的战略,但可以肯定的是,理性参与人最终会选择什么样的战略,但可以肯定的是,理性参与人 i 绝对不会选择战略is。因为参与人 i 选 择战略is,还不如直接选择战略is (因为参与人 i 在任何情况下选择is 的所得都要大于选择is的所得)。 的所得)。 定义 2-3 在 n 人博弈中,如对于参与人 i ,存在战略is,is iS ,对jni jjiS s  1,有 ) , ( ) , (i i i i i is s u s s u     则称战略 则称战略is为参与人 i 的 劣战略 ,或者说战略is 相对于战略is占优。 。 在博弈中,如果战略is是参与人 i 劣战略,那么参与人 i 肯定不会选择战略肯定不会选择战略is。 。 这也是相当于参与人 i 将战略is从自己的战略集iS剔除掉,直接从战略集 } { \i is S  中选择自己的战略。参与人的这种选择行为称之为剔除劣战略行为。剔除劣行为也是理性参与人选择行为的基本特征之一参与人的这种选择行为称之为剔除劣战略行为。剔除劣行为也是理性参与人选择行为的基本特征之一 。 考察战略式博弈 考察战略式博弈n i n iu u u S S S G , , , , ; , , , , ;1 1       。如果战略is是参与人是参与人 i 的劣战略 ,那么参与人 i 将只会从战略集 } { \i is S  中选择自己 的 战 略 。 令 } { \i i is S S    , 构 造 一 个 新 的 战 略 式 博 弈n i n iu u u S S S G , , , , ; , , , , ;1 1        。此时,对战略式博弈 G 的求解问题就可以转换为对的求解问题就可以转换为对G的求解。 的求解。 【例 2-3】 考察图 2-4 中的战略式博弈,其中参与人 1 有两个战略——考察图 2-4 中的战略式博弈,其中参与人 1 有两个战略——1a 和2a ,参与人 2 有三个战略1b ,2b 和3b 。 。 从图 2-4 中可以看出: 战略2b 相对于战略3b 占优,也就是说3b 是参与人 2 的劣战略。因此,对图 2-4 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-5 中博弈的求解。 是参与人 2 的劣战略。因此,对图 2-4 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-5 中博弈的求解。 1a 1b 3b 2b 1,0 2a 参与人 1 3,2 1,1 2,2 2,0 0,1 图 2-4 战略式博弈 参与人 2 遵循上面的求解思路,如果在新构造出来的战略式博弈 遵循上面的求解思路,如果在新构造出来的战略式博弈G中,存在参与人中,存在参与人 j 的某个劣战略js,那么又可以构造出一个新的战略式博弈,那么又可以构造出一个新的战略式博弈G ,其中参与人 j 的战略集为 } { \j j js S S    。此时,对战略式博弈 G的求解问题就可以转换为对G 的求解。而参与人的这种不断剔除劣战略的行为称为重复剔除劣战略行为。参与人的这种不断剔除劣战略的行为称为重复剔除劣战略行为。 【例 2-4】 考察图 2-6 中的战略式博弈,其中参与人 1 有三个博弈——考察图 2-6 中的战略式博弈,其中参与人 1 有三个博弈——1a ,2a 和3a ,参与人 2 有三个战略1b ,2b 和3b 。 。 3a 1a 1b 3b 2b 1,0 2a 参与人 1 3,2 1,1 3,2 2,0 2,1 图 2-6 战略式博弈 参与人 2 2,1 1,3 3,2 1a 1b 2b 1,0 2a 参与人 1 3,2 2,2 0,1 图 2-5 战略式博弈 参与人 2 从图 2-6 中可以看出: 战略3b 是参与人 2 的劣战略。因此,对图2-6 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-7 中博弈的求解。 是参与人 2 的劣战略。因此,对图2-6 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-7 中博弈的求解。 从图 2-7 中又可以看出: 战略3a 是参与人 1 的劣战略。因此,对图 2-7 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-8 中博弈的求解。也就是对图 2-6 中原博弈问题的求解就可以转换为对图 2-8 中博弈的求解。 是参与人 1 的劣战略。因此,对图 2-7 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-8 中博弈的求解。也就是对图 2-6 中原博弈问题的求解就可以转换为对图 2-8 中博弈的求解。 1a 1b 2b 1,0 2a 参与人 1 3,2 3,2 2,1 图 2-8 战略式博弈 参与人 2 3a 1a 1b 2b 1,0 参与人 1 3,3 3,2 2,1 图 2-7 战略式博弈 参与人 2 2,1 1,3 2a 如果以上重复剔除劣战略的过程可以不断进行下去,直到新构造出来的博弈中每个参与人都只有一个战略,那么由所有的参与人剩下的唯一战略所构成的战略组合就是原博弈问题的解,称之为如果以上重复剔除劣战略的过程可以不断进行下去,直到新构造出来的博弈中每个参与人都只有一个战略,那么由所有的参与人剩下的唯一战略所构成的战略组合就是原博弈问题的解,称之为“重复剔除的占优均衡”。“重复剔除的占优均衡”。是 此时,也称原博弈问题是 “重复剔除劣战略可解的”。 【例 2-5】 考察图 2-9 中的战略式博弈,其中参与人 1 有三个战略——考察图 2-9 中的战略式博弈,其中参与人 1 有三个战略——1a 、2a 和3a ,参与人 2 有三个战略1b ,2b 和3b 。 。 从图 2-9 中可以看出: 战略3b 是参与人 2 的劣战略。因此,对图2-9 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-10 中博弈的求解。 是参与人 2 的劣战略。因此,对图2-9 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-10 中博弈的求解。 从图 2-10 中又可以看出: 战略3a 是参与人 1 的劣战略。因此,对图 2-10 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-11 中博弈的求解。 是参与人 1 的劣战略。因此,对图 2-10 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-11 中博弈的求解。 3a 1a 1b 3b 2b 1,0 2a 参与人 1 3,1 1,1 3,3 2,0 2,2 图 2-9 战略式博弈 参与人 2 2,4 1,3 3,2 从图 2-11 中又可以看出: 战略1b 是参与人 2 的劣战略。因此,对图 2-11 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-12 中博弈的求解。 是参与人 2 的劣战略。因此,对图 2-11 中博弈问题的求解就可以转换为对图 2-12 中博弈的求解。 2a 1a 2b 3,3 参与人 1 2,2 图 2-12 战略式博弈 参与人 2 1a 1b 1,0 2a 参与人 1 3,1 3,3 2,2 图 2-11 战略式博弈 2b 参与人 2 3a 1a 1b 2b 1,0 参与人 1 3,1 3,3 2,2 图 2-10 战略式博弈 参与人 2 2,4 1,3 2a 在图 2-12 中,参与人 2 只有一个战略 在图 2-12 中,参与人 2 只有一个战略2b ,参与人 1 选择战略1a ,因此原博弈问题的解为战略组合,因此原博弈问题的解为战略组合 ) , (2 1b a 。而 ) , (2 1b a 就是所谓的重复剔除的占优均衡重复剔除的占优均衡。 。 在某些博弈问题中,参与人 i 在对自己的战略进行比较时,还可能会发现这样的情形:在对自己的战略进行比较时,还可能会发现这样的情形: 存在两个战略is和iS   (is,is   iS ),与is相比,虽然选择相比,虽然选择is   的所得并不一定总是大于选择is的所得,但自己在任何情况下选择的所得,但自己在任何情况下选择is   的所得都不会比选择is的所得小,而且在某些情况下选择的所得小,而且在某些情况下选择is   的所得严格大于选择is的所得。显然,在这种情况下,理性的参与人。显然,在这种情况下,理性的参与人 i 将战略is从自己的选择中剔除掉也是有道理的。与定义 2-3中所定义的劣战略相仿,称战略从自己的选择中剔除掉也是有道理的。与定义 2-3中所定义的劣战略相仿,称战略is、为参与人 i 的 弱劣战略。 。 定义 2-4 在 n 人博弈中,如果对于参与人 i ,存在战略is,is   iS 对jni jjiS s  1,有 ) , ( ) , (i i i i i is s u s s u     且 且jni jjiS s   1,使得 ) , ( ) , (i i i i i iS S u S S u      则称 则称 战略is为参与人 i 的弱劣战略,或者说战略is 相对于战略is弱占优。弱占优。 有时为了表述方便,也将定义 2-3 所定义的劣战略称为严格劣战略,而将弱劣战略和严格劣战略统称为劣战略。 有时为了表述方便,也将定义 2-3 所定义的劣战略称为严格劣战略,而将弱劣战略和严格劣战略统称为劣战略。 与重复剔除严格劣战略的思路一样,也可以采用重复剔除弱劣战略的方法来求解博弈问题。 与重复剔除严格劣战略的思路一样,也可以采用重复剔除弱劣战略的方法来求解博弈问题。 但需要注意的是,在重复剔除的过程中,如果每次可以剔除的劣战略(包括严格劣战略和弱劣战略)不只一个,那么各个劣战略剔除的顺序不同,得到的博弈结果就有可能不同。除非每次剔除的都是严格列战略。在重复剔除的过程中,如果每次可以剔除的劣战略(包括严格劣战略和弱劣战略)不只一个,那么各个劣战略剔除的顺序不同,得到的博弈结果就有可能不同。除非每次剔除的都是严格列战略。 下面通过一个例子来说明这个问题。(重点!) 考察图 2-13 中的战略式博弈。在图 2-13 中,2b 和3b 是参与人 2的劣战略。 是参与人 2的劣战略。 如果首先剔除劣战略 如果首先剔除劣战略3b ,那么在新博弈中,战略3a 成为弱劣战略,如果再剔除成为弱劣战略,如果再剔除3a ,则博弈的结果为战略组合 ) , (1 1b a ;如果首先剔除劣战略;如果首先剔除劣战略2b ,那么在新博弈中,战略1a 成为弱劣战略,如果再剔除1a ,则博弈的结果为战略组合,则博弈的结果为战略组合 ) , (1 3b a 。 造成博弈结果不同的原因在于: 在原博弈中,1a 和3a 原本互不占优,但是如果先剔除原本互不占优,但是如果先剔除3b ,则1a 相对于3a 弱占优,3a 就可能因此被剔除掉;如果先剔除掉就可能因此被剔除掉;如果先剔除掉2b ,则3a 相对于1a 弱占优,1a 就可能因此被剔除掉。因此,当就可能因此被剔除掉。因此,当2b 和3b 的剔除顺序不同时,参与人 1 保留下来的战略就可能不同。的剔除顺序不同时,参与人 1 保留下来的战略就可能不同。 但是,如果只允许剔除严格劣战略,那么无论是先剔除2b 还是3b ,得到的博弈结果都是战略组合 ) , (1 1b a 和 ) , (1 3b a 。 。 为了进一步说明问题,考察图 2-14 中战略式博弈,图 2-14 中博弈与图 2-13 中博弈的不同之处仅在于战略组合 为了进一步说明问题,考察图 2-14 中战略式博弈,图 2-14 中博弈与图 2-13 中博弈的不同之处仅在于战略组合 ) , (1 1b a 下参与人 1的支付不同。 下参与人 1的支付不同。 2a 3a 参与人 1 1b 2b 3b 3,3 3,1 1,2 1,1 2,0 2,0 1a 图 2-13 战略式博弈 参与人 2 3,4 1,3 3,2 在图 2-14 中, 在图 2-14 中,1a 和3a 也是互不占优。但是,在剔除劣战略2b 和3b的过程中,无论是先剔除2b 还是3b ,只会出现1a 相对于3a 占优的情形,而不会出现占优的情形,而不会出现3a 相对于1a 占优或弱占优的情形。因此,无论剔除劣战略的顺序如何,博弈的结果都是战略组合占优或弱占优的情形。因此,无论剔除劣战略的顺序如何,博弈的结果都是战略组合 ) , (1 1b a 。 。 前面一再提到 前面一再提到 博弈分析是在假设博弈问题的结构和参与人完全理性为是在假设博弈问题的结构和参与人完全理性为 共同知识的前提下进行的,现在分析如果没有这样的假设,所得到的博弈问题的解——的前提下进行的,现在分析如果没有这样的假设,所得到的博弈问题的解—— 占优战略均衡 和 重复剔除的占优均衡是否存在。 是否存在。 当参与人理性时,如果参与人的占优战略,那么无论其他参与人参与人 1 3a 1b 2b 3b 4,3 3,1 1,2 1,1 2,0 2,0 图 2-14 战略式博弈 参与人 2 3,4 1,3 3,2 2a 1a 是否理性或者是否知道他是理性的,他都会选择占优战略。因此,如果博弈中存在占优战略均衡且所有的参与人都理性,那么博弈的结果就是占优战略均衡。也就是说,不需要完全理性为共同知识就可确保占优战略均衡为博弈的结果。但是,必须清楚:存在占优战略均衡的博弈绝对只是博弈问题中的极少数,在大多数情况下占优战略均衡是不存在的。 因此,如果博弈中存在占优战略均衡且所有的参与人都理性,那么博弈的结果就是占优战略均衡。也就是说,不需要完全理性为共同知识就可确保占优战略均衡为博弈的结果。但是,必须清楚:存在占优战略均衡的博弈绝对只是博弈问题中的极少数,在大多数情况下占优战略均衡是不存在的。 更重要的是,如果仅仅假设参与人是理性的,就会发现及时博弈问题是“重复剔除劣战略可解的”,也无法保证博弈的结果就是重复剔除的占优均衡,这是因为:在重复剔除过程的每一步中,如果只假设参与人理性,那么只能确保参与人将其劣战略剔除掉;而如果其他参与人不知道他是理性的,就不能确保其他参与人知道他已将劣战略剔除掉。在这种情况下,就不能讲原博弈问题转换为新的博弈问题,也就是说,虽然剔除劣战略行为是理性参与人选择行为的基本特征,但如果仅仅假设参与人理性是不能确保重复剔除的如果仅仅假设参与人是理性的,就会发现及时博弈问题是“重复剔除劣战略可解的”,也无法保证博弈的结果就是重复剔除的占优均衡,这是因为:在重复剔除过程的每一步中,如果只假设参与人理性,那么只能确保参与人将其劣战略剔除掉;而如果其他参与人不知道他是理性的,就不能确保其他参与人知道他已将劣战略剔除掉。在这种情况下,就不能讲原博弈问题转换为新的博弈问题,也就是说,虽然剔除劣战略行为是理性参与人选择行为的基本特征,但如果仅仅假设参与人理性是不能确保重复剔除的。 在例 2-3 中,如果参与人 1 不知道参与人 2 的理性的,他就不知道自己面临的博弈问题已由图2-4中的战略式博弈转换为图2-5中的博弈。同样,如果参与人 2 不知道参与人 1 知道自己是理性的,图2-4 中的战略式博弈也不能转换为图 2-5 中的博弈。 在例 2-4 中,要确保图 2-6 的中博弈转换为图 2-8 中的博弈,就。 在例 2-3 中,如果参与人 1 不知道参与人 2 的理性的,他就不知道自己面临的博弈问题已由图2-4中的战略式博弈转换为图2-5中的博弈。