本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 定义 设A和B是两个给定的集合, 是从集合A到集合B的一个二元关系。如果这个二元关系还满足下面的性质:对每个元素 ,存在唯一的元素 ,使得二元序偶 ,就称这个二元关系是从集合A到集合B的一个函数或者映射。记作 或者 也可改写为 ,其中y称为x的象,而x则称为y的原象。称集合A是函数的定义域,集合A中所有元素在函数 的作用下得到的所有象的集合称为函数 的象或函数 的值域。 [2] 为了进一步区分不同特性的函数,给出细分的定义。设 是从集合A到集合B的一个函数。(1)如果 ,则称函数 是从集合A到集合B的一个单射。(2)如果 ,则称函数 是从集合A到集合B的一个满射。(3)如果函数 既是从集合A到集合B的一个单射.又是从集合A到集合B的一个满射,则称它是从集合A到集合B的一个双射。 [2] 注意点 关于函数定义的几点说明:(1)如果 是从集合A到集合B的一个函数,那么集合A中每个元素必须都有象,且象必须唯一。(2)如果 是从集合A到集合B的一个函数.那么集合B中每个元素不一定都有原象,且当有原象时,原象也不一定唯一。(3)根据函数的定义可知,两个函数是否相等。需要看:二者的定义域是否相同;对于定义域内的每一个元素.它在这两个函数作用下的象是否恒相同。 [2] 函数关系的建立 方法步骤 对于实际问题,明确其中各种量及量之间的关系,建立正确的函数关系十分重要。在建立函数关系时,首先要确定问题中的自变量与因变量,再根据它们之间的关系列出等式,得出函数关系式,然后确定函数定义域,确定定义域时,不仅要考虑到函数关系的解析式,还要考虑到变量在实际问题中的含义。 [3] 建立函数关系的基本步骤:①明确问题中的因变量与自变量,并以适当记号表示;②寻找等量关系,建立函数关系;③确定函数的定义域。 举例说明 下面举例说明如何建立函数关系。例1 某商场销售某种商品8000件,每件原价70元,当销售量在5000件以内(包含5000件)时,按照原价出售,超过5000件部分,打八折销售。试建立总销售收入与销售量之问的函数关系。解:设销售量为x件,总销售收入为R元,总销售收人与销售量之间的函数关系为 例2 某工厂生产某种型号的车床,年产量为a台,分若干批次进行生产,每批次的生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半,设每年每台库存费为c元,显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高,为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量之问的关系。解:设批量为x,库存费与生产准备费的和为P(x),因年产量为a,所以每年生产的批数为 (设其为整数),则生产准备费为 ,因库存量为a,故库存费为 ,因此可得 定义域为(0,a],因本题中的x为车床的台数,批数 为整数,所以x只应取(0,a]中的a的正整数因子。例3 某牧场要建造占地100m2的矩形围墙,现有一排长20m的旧墙可供利用,为了节约投资,矩形围墙的一边直接用旧墙修,另外三边尽量用拆去的旧墙改建,不足部分用购置的新砖新建,已知整修1m旧墙需24元,拆去1m旧墙改建成1m新墙需100元,建造1m新墙需200元,设旧墙所保留的部分用x表示,整个投资用y表示,将y表示为x的函数。解:整个投资的费用包括整修旧墙的费用、拆旧改新的费用以及建造新墙的费用,所以所求函数关系为 例4 某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度将电价降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW·h),经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区的电力成本为0.3元/(kW·h),写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式。 [3] 解:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)。所以所求函数关系式为 几类常见的函数关系模型 一次函数模型 ( 为常数, ). 反比例函数模型 ( 为常数, ). 二次函数模型 ( 为常数, ). 指数型函数模型 ( 为常数, , ). 对数型函数模型 ( 为常数, , ). 幂型函数模型 ( 为常数, ). [4] 函数关系与相关关系的区分 相关关系的定义 当变量X取某个值时,变量Y的取值可能有若干个,这些数值表现为一定的波动性,但总是围绕着它们的平均数,并遵循一定的规律变动。变量之间存在的这种不确定的数量关系称为相关关系。特点:Y与X的值不一一对应;Y与X的关系不能用函数式严格表达,但有规律可循。例如:父亲身高Y与子女身高X之间的关系;收入水平Y与受教育程度X之间的关系;粮食亩产量Y与施肥量X1、降雨量X2、温度X3之间的关系;商品的消费量Y与居民收入X之间的关系;商品销售额Y与广告费支出X之间的关系。 [1] 二者的的区分 区分相关关系与函数关系的依据全凭因变量取值的确定性:若因变量的取值是确定的、唯一的,则两个变量之间的关系称为函数关系;若因变量的取值是不确定的,则两个变量之间的关系称为相关关系。例5 试判定下列变量之间属于函数关系,还是相关关系。