10.3二重积分的换元积分法
在一元函数定积分的计算中,我们常常进行换元,以达删繁就简的目的,当然,二重积分也有换元积分的问题。
首先让我们回顾一下前面曾讨论的一个事实。
设换元函数
,视其为一个由定义域
到
的映射.点
的象点为
,点x的象点为
,记
,
则由
到点
的线段长为
,
到
的线段长为
,称
为映射
在点
到点
的平均伸缩率。若
在点
处可导,则
=
即
称
是映射
在点
处的伸缩率。
对于由平面区域
到
的映射
我们有如下结论:
引理若变换
在开区域
存在连续偏导数,且雅可比行列式
,
。变换将
平面上开区域变为
平面上开区域
。
,其象点为
,则包含点
的面积微元
及与之相对应的包含点
的面积微元
之比是
,即
=
下面给出引理3.1的说明,严格的证明从略。由图3。