相反数 关于原点对称,只有 04 符号不同的两个数 有理数 整数和分数统 02 称为有理数 绝对值 05 数轴上的数a与原点 的距离,记作|a| 数轴 03 三要素:原点、正方 向、单位长度 正数和负数 01 具有方向性的数 有理数的减法 减去一个数,等于加 上这个数的相反数 即a-b=a+(-b) 加减混合运算 熟练运用加法、减法 法则及加法运算律 有理数的加法 同号相加,结果的符号不变, 并将绝对值相加 异号相加,结果的符号取绝对 值较大的那个数的符号,再用 较大的绝对值减去较小的绝对 值 互为相反数的两个数相加为0 一个数与0相加,仍得这个数 有理数的加法符合加法交换律 和结合律 义务教育课程标准实验教科书 七年级上册 人民教育出版社出版 教学目标: 1、知识与技能:掌握有理数乘法则,并能够准确运用法则进行 有理数乘法运算. 2、过程与方法:创设有趣情境,激励学生积极探究. 3、情感态度:在探究活动过程中有所发现,获得成功的体验. 教学重点:有理数的乘法法则的探究过程,并能准确运用法则进行计算. 教学难点:对有理数乘法意义的理解. 探究有理数乘法法则 我们已经熟悉了正数及零的乘法运算,引入负数后怎样进行 有理数的乘法运算呢? 我们借助数轴来探究有理数的乘法的法则 一只蜗牛沿直线l爬行, 它现在的位置恰在l上的点O l 0 (1)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行,3 分钟后它在什么位置? 0 2 4 3分钟蜗牛应在l上点O右边6cm,这可以表示为 (+2)×(+3)=+6 6 ① (2)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行,3分钟后它在什么位置 ? -8 -6 -4 -2 0 3分钟蜗牛应在l上点O左边6cm处 这可以表示为 (-2)×(+3)=-6 ② (3)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行,3分钟前它在什么位置? -8 -6 -4 -2 0 3分钟前蜗牛在l上点O左边6cm处,这可以表示为 (+2)×(-3)=-6 ③ (4)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行,3分钟前它在什么位置? 0 2 4 6 3分钟蜗牛应在l上点O右边6cm处,这可以表示为 (-2)×(-3)=+6 ④ (+2)×(+3)=+6 ① (-2)×(+3)=-6 ② (+2)×(-3)=-6 ③ (-2)×(-3)=+6 ④ 正数乘正数积为( 正 )数 负数乘正数积为( 负 )数 正数乘负数积为( 负 )数 负数乘负数的积( 正 )数 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的( 积 ) 有理数乘法法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘 任何数同0相乘,都得0. 例1:计算; (1)(-3)×9 (2) (- 1 2 )×(-2) (3) (-5)X(-3) (4)(-7)X4 解:(1)(-3)×9= -27 (异号相乘得负) (2)(- 1 )×(-2)= 1 (同号相乘得正) 2 (3)(-5)X(-3)=15 (同号相乘得正) (4)(-7)X4= -28 (异号相乘得负) 有理数相乘, 先确定积的_符_号_ 再确定积的 绝__对__值_ 数a(a≠0)的 倒数是什么? _1 _ a 乘积是1的两个互为倒数 例2 用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负。 登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为- 6℃,攀登3km后,气温有什么变化? 解:(-6)X3=-18 答:气温下降18℃. 练习 1、计算: (1)6X(-9) (2)(-4)X6 (3)(-6)X(-1) (5) 2 ? (? 9) 34 (4)(-6)X0 (6)(? 1) ? 1 34 解:(1)6X(-9)= -54 (异号相乘得负) (2)(-4)X6= -24 (异号相乘得负) (3)(-6)X(-1)= 6 (同号相乘得正) (4)(-6)X0= 0 (同0相乘得0) (5) 2 ? (? 9) ? 34 ?3 2 (6)(? 1) ? 1 ? ? 1 3 4 12 (异号相乘得负) (异号相乘得负) 2、商店降价销售某种商品,每件降5元,售出60件后,与 按原价销售同样数量的商品相比,销售额有什么变化? (-5)X60=-300,即销售额减少300 3、写出下列各数的倒数: 原数 1 -1 1 3 倒数 1 -1 3 ?1 3 5 -5 2 3 ?2 3 -3 1 5 ?1 5 3 2 ?3 2 有理数乘法法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘 任何数同0相乘,都得0. 达到的目标:正确的使用法则,准确的进行运算. 下列各式的积是正的还是负的? 2×3×4×(-5)= -120 2×3×4×(-4)×(-5)= 480 2×(-3)×(-4)×(-5)=-120 (-2)×(-3)×(-4)×(-5)=120 只考虑积的符 号,第一、三 式的积是负的, 第二、四式的 积是正的 ?思考 几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系? 负因数的个数为奇数,积为负数,负因数的个数为偶数,奇为正数. 几个不是0的数相乘,负因数的个数是__偶__数____时,积是正数; 负因数的个数是_____奇__数_时,积是负数. 例3 计算 (1) ?? 3?? 5 ? ?? ? 9 ?? ? ?? ? 1 ?? 6 ? 5? ? 4? (2) ?? 5?? 6 ? ?? ? 4 ?? ? 1 ? 5? 4 多个不是0 的数相乘, 先做哪一步, 再做哪一步? 解:(1) ?? 3?? 5 6 ? ?? ? ? 9 5 ?? ? ? ?? ? ? 1 4 ?? ? (2) ?? 5?? 6 ? ?? ? ? 4 5 ?? ? ? 1 4 ? ?3? 5 ? 9 ? 1 654 ? 5?6? 4 ? 1 54 ??9 8 先确定积的符号,再把 ? 6 各个乘数的绝对值相乘, 作为积的绝对值。 你能看出下式的结果吗?如果能,请说明理由. 7.8×(-8.1)×0×(-19.6) 几个数相乘,如果其中有因数为0,积等于__0___. (1) (-5)×8×(-7)×(-0.25) =-5×8×7×0.25 =-70 (2) ?? ? 5 ?? ? 8 ? 1 ? ?? ? 2 ?? ? 12 ? 15 2 ? 3 ? ? 5 ? 8 ?1?2 12 15 2 3 ?2 27 (3) ??1?? ?? ? ? 5 ?? ? 8 4 ? 15 ? 3 ? ?? ? 2? 2 ??? 0? ??1? 3? =0 小结 重 点 知 识: 1.几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负 因数的个是奇数时,积是负数. 2.几个数相乘,如果其中有因数为0,积等于0. 方法规律 先确定积的符号,再把各个乘数的绝对值相乘,作为积的绝对值. 探索 计算 5×(-6)=-30 (-6)×5=-30 5×(-6)=(-6)×5 一般的,在有理数中,两个数相乘交换因数的位置,积相等. 乘法交换律:ab=_b_a____ [3×(-4)]×(-5)= 60 3×[(-4)×(-5)] 60 = [3×(-4)]×(-5)=3×[(-4)×(-5)] 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等 乘法结合律: (ab)c=a_(__b__c_) 计算 5×[3+(-7)]=5×(-4)= -20 5×3+5×(-7)=15-35= -20 即 5×[3+(-7)]= 5×3+5×(-7) 一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同 这两个数相乘,再把积相加. 分配律:a(b+c)=_a_b_+_a__c__ 例5 用两种方法计算 ?? 1 ? 1 ? 1 ?? ?12 ?4 6 2? 解法1: ?? 1 ? 1 ? 1 ???12 ?4 6 2? =?? 3 ? 2 ? 6 ???12 ?12 12 12 ? =? 1 ?12=?1 12 解法2: ?? 1 ? 1 ? 1 ?? ?12 ?4 6 2? =1 ?12 ? 1 ?12 ? 1 ? 4 6 2 =3? 2 ? 6=?1 比较上面两种解法,它们在运算顺序上有什么区别?解法2用了什么 运算律?哪种解法运算量小? 解法1先做加法运算,再做乘法运算。解法2先做乘法运算,再做 加法运算 解法2用了分配律. 解法2的运算量小,因为解法1先要通分计算三个分数的和. 计算: (-85)×(-25)×(-4) =(-85)×[(-25)×(-4)] =(-85)×100=-8500 ?? ? 7 ?? ?15 ? ?? ?1 1 ?? ? 8? ? 7? =?? ? 7 ???15? ?? ? 8 ?? ? 8? ? 7? =?????? ? 7 8 ?? ? ? ?? ? ? 8 7 ?????? ?15 ?? 9 ? 1 ?? ? 30 ?10 15 ? = 9 ? 30 ? 1 ? 30 10 15 =27 ? 2=25 =1?15=15 重点知识 1.乘法的交换律 ab= ba 2.乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac 3.乘法的结合律 (ab)c=a(bc ) 重要的方法: 运算律很重要关键是在计算过程中,要灵活运用,使计算过程简便 问题1:如何简便地计算下面两个问题? 4×(-3)+3×(-3)-2×(-3)+7×(-3) 解法1:=-12+(-9)-(-6)+(-21) =-21-(-6)+(-21) =-15+(-21)=-36 比较一下 解法1和解 法2哪种方 法简单? 为什么? 解法2:原式=(4+3-2+7)×(-3) =12×(-3)=-36 解法2简单,因为逆用了 乘法的分配律(即将分 配律反过来用) 问题2:探讨一下,下面这道题如何做简便: (-23)×25-6×25+18×25+25 =(-23-6+18+1)×25 =(-10)×25=-250 问题3 x x x :字母x表示任意一个有理数,2与 的乘积,记做2 ,3与 , 的乘积记做3 x,那么你知道2 x+3 x=? 将分配律反过来利用,得出: 2 x+3 x=(2+3)x=5x 即x的2倍与x的3倍合并为x的5倍 你知道x-0.5x=? 将分配律反过来利用,得出: x-0.5x=(1-0.5)x=0.5x 一般地,合并有相同字母因数的式子时,只需要它 们的系数合并,所得结果作为系数,再乘字母因数, 即: ax+bx=(a+b)x 上式中x是字母因数,a与b分别是ax与bx这两 项的系数. 例6 计算 ? 2y ? 0.5y ? 3x ? x ? 1 x 2 解: ? 2y ? 0.5y ?(?2 ? 0.5) y ??1.5y ? 3x ? x ? 1 x ? 2 ?? ? 3 ?1? 1 ??x ? ? 5 x ? 2? 2 计算: 12x ? 20x ? (12 ? 20)x ? ? 8x x ? 7x ?5x ? (1? 7 ? 5)x ? 3x ?5a ? 0.3a ? 2.7a ? (?5 ? 0.3 ? 2.7)a ? ? 7.4a 1 3 y? 2 3 y ? 2y ? ?? 1 ? ?3 2 3 ? 2?? y ? ? 5y 3 5?x ? 2y ? 3? ? 5?x ? 2y ? 3? ? 5x ? 5? ?? 2y?? 5?3 ? ?5x ? (?5) ? (?2y) ? (?5)?3 ? 5x ?10y ?15 ? ?5x ?10y ?15 上面这两个题,运用乘法分配律可以将 式子中的括号去掉 你能把下面这两个式子中的括号去掉吗? ? (x ? 2y ? 3) ? x ? 2 y ? 3 ? (x ? 2y ? 3) ? ? x ? 2y ? 3 ? (x ? 2y ? 3) ? x ? 2 y ? 3 ? 2(x ? 2y ? 3) ? ? 2x ? 4y ? 6 比较上面各式,你能发现去括号时符号变化的规律吗? 括号外的因数是正数,去括号后式于各项的 符号与括号内式子相应各项的符号相同 括号外的因数是负数,去括号后式于各项的 符号与括号内式子相应各项的符号相反 例7 计 算 ? 3(2x ? 3) ? ?6x ? 9 3x ? (2x ? 4) ? (2x ?1) ? 3x ? 2x ? 4 ? 2x ?1 ? 3x ? 2x ? 2x ? 4 ?1 ? 3x ? 3 计算: 12(x ? 0.5) ?12x ? 6 ? 5??1 ? 1 x ?? ? 5? ? ?5 ? 5x 1 (9y ? 3) ? 2(y ?1) ? 5a ? (3a ? 2) ? (3a ? 7) 3 ? 3y ?1? 2y ? 2 ? ?5a ? 3a ? 2 ? 3a ? 7 ? 5y ?1 ? ?5a ? 5 问题:怎样计算8÷(-4)? 根据除法的意义,这就是说要求一个数,使它 与-4相乘等于8 因为(-2)×(-4)=8,所以8÷(-4)=-2 ① 另一方面有8? ?? ? 1 ?? ② ? 4? 于是有8 ?(? 4)=8??? ? 1 ?? ③ ? 4? 除法:除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数. 这个法则也可以表示成: a ? b ? a ? 1 (b ? 0) b 从有理数除法法则,容易得出: 两数相除,同号得__正____,异号得__负___,并把绝对值相 __除____。0除以任何一个不等于0的数,都得___0__. 例题示范 例8 计算:(1) (-36)÷9 (2) ?? ? 12 ?? ? ?? ? 3 ?? ? 25 ? ? 5 ? 解:(1)(-36)÷9= -(36÷9)= -4 (2)?? ? 12 ?? ? ?? ? 3 ?? ? ? 25 ? ? 5 ? ?? ? 12 ????? ? 5 ?? ? 4 ? 25 ? ? 3 ? 5 练习 计 算: ??18?? 6 ? -3 ?? 63?? ?? 7? ? 9 1? ?? 9? ? ? 1 9 0 ? ?? 8? ? 0 小结 重点知识内容: 有理数除法法则: 有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数. 这个法则也可以表示成: a ? b ? a ? 1 (b ? 0) b 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相 除。0除以任何一个不等于0的数,都得0. 例题示范 例9 化简下列分数: ?12 ? 45 3 ?12 解: ?12 ?(?12)?3 ? ? 4 3 ? 45 ? ?? 45?? ??12? ? 45?12 ? 15 ?12 4 例10 计算: (1) ?? ? ? 12557??? ? ?? 5? (2) ? 2.5 ? 5 ? ?? ? 1 ?? 8 ? 4? 解:(1) ??? ?12557??? ? ?? 5? ? ??125 ? ? 5 7 ?? ? ? 1 5 ? 125? 1 ? 5 ? 1 ? 25 ? 1 ? 25 1 5 75 7 7 (2) ? 2.5 ? 5 ? ?? ? 1 ?? ? 8 ? 4? 5?8?1 ?1 254 1、化简 2、计算 ? 72 9 ? (? 72)? 9 ? ? 8 ? ? 30 45 ?(? 30)?(? 45)? 2 3 0 ? 75 ? 0 ?? ? 36 9 ?? ? 9(?? 405)? 1 ? ? 4 1 ? 11 ? 11 9 11 (?12)?(? 4)? ?? ?11 ?? ?(?12)?(? 1)?(? 5)? ?12 ? 1 ? 5 ? ? 5 ? 5? 46 46 2 ?? ? ? 2 ?? ? ?? ? 3? ? 8 5 ?? ? ? ?? 0.25?(? ? 2)?(? 3 8)?(? 5 1 )? 4 ? 2 3 ? 8 5 ? 1 4 ? ?4 15 例12 某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元,4~6月平均每 月盈利2万元,7~10月平均每月盈利1.7万元,11~12月平均每 月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何? 解:记盈利额为正数,亏损为负数,公司去年盈亏额(单位: 万元)为 ??1.5??3 ? 2?3 ?1.7? 4 ? ?? 2.3?? 2 ? ?4.5 ? 6 ? 6.8 ? 4.6 ? 3.7 这个公司去年全年盈利3.7万元。 重要方法: 1.除法转化为乘法运算 2.混合运算如有括号先算括号内的运算,如无 括号则”先算乘除,后算加减” 3.运用除法运算解决实际问题. 养成良好的计算品质: 仔细认真,灵活简便,结果准确