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方阵问题
【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:总人数=(外边人数)?-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数×2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。
例1
在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?
解
22×22=484(人)
答:参加体操表演的同学一共有484人。
例2
有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。
解
10-(10-3×2)?
=84(人)
答:全方阵84人。
例3
有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?
解
(1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)
答:这队学生共160人。
例4
一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?
解
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)
(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)
答:棋子有40只。
例5
有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?
解
第一种方法:1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法:(5+1)×5÷2=15(棵)
答:这个三角形树林一共有15棵