完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点,今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。
(a b)2=a^2 2ab b^2,
(a-b)2=a^2-2ab b^2。
(1)公式中的a、b可以是单项式,也就可以是多项式。
(2)不能直接应用公式的,要善于转化变形,运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
结构特征:
1.左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍;
2.左边两项符号相同时,右边各项全用“ ”号连接;
左边两项符号相反时,右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内);
3..公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等数学式.
记忆口诀:首平方,尾平方,2倍首尾。
使用误解:
①漏下了一次项;
②混淆公式;
③运算结果中符号错误;
④变式应用难于掌握。
注意事项:
1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和,加上(或减去)这两项乘积的二倍,a和b可以是数,单项式,多项式。
3、不论是还是,最后一项都是加号,不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析:
(一)、变符号
例:运用完全平方公式计算:
(1)(-4x 3y)^2
(2)(-a-b)^2
分析:本例改变了公式中a、b的符号,以第二小题为例,处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a,将(-b)看成原来公式中的b,即可直接套用公式计算。
解答:
(1)16x^2-24xy 9y^2
(2)a^2 2ab b^2
(二)、变项数:
例:计算:(3a 2b c)^2
分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所以在运用公式时,(3a 2b c)2可先变形为[(3a 2b) c]2,直接套用公式计算。
解答:9a^2 12ab 6ac 4b^2 4bc c^2
(三)、变结构
例:运用公式计算:
(1)(x y)(2x 2y)
(2)(a b)(-a-b)
(3)(a-b)(b-a)
分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了,即
(1)(x y)(2x 2y)=2(x y)^2
(2)(a b)(-a-b)=-(a b)^2
(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2
完全平方公式练习题
一:填空题
1、因式分解: 9x2-1=_________________, 4x2-4x+1=_________________.
a4-b4=_________________, an+2-an=____________________
2、多项式x^2+mx+36是一个完全平方式,则m=_____________.
3、多项式x2+ax+b可以因式分解成(x-1)(x+3)则a=_______, b=______.
4、如果x=3时,多项式x3-4x2-9x+m的值为0,则m=_________,多项式因式分解的结果为_______________________.
二:选择题
1、下列从左到右的变形,属于因式分解的是( )
(A)(a+3)(a-3)=a^2-9
(B)4a2+4a+3=(2a+1)^2+2
(C)x2-1=(x+1)(x-1)
(D)-2m(m^2-3m+1)=-2m^3+6m^2-2m
2、下列各式,能用完全平方因式分解的多项式的个数为( )
①-a^2-b^2+2ab ②a^2-ab+b^2 ③a^2-a+14 ④4a^2+4a-1
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
3、用因式分解多项式3xy+6y2-x-2y时,分解正确的个数( )
①3xy+6y^2-x-2y =(3xy-x)+(6y2-2y)
②3xy+6y^2-x-2y=(3xy+6y^2)-(x+2y)
③3xy+6y^2-x-2y=(3xy-2y)+(6y2-x)
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
4.下列多项式中何者含有2x+3的因式( )
(A)2x^3+3 (B)4x^2-9 (C)6x^2-11x+3 (D)2x^2+x+3
5.下列何者是2x^2-11x-21的因式?()
(A)(x-6) (B)(x+7) (C)(2x-3) (D)(2x+3)
6.下列何者为甲×丙+乙×丙的因式 ()
(A)甲+乙×丙(B)甲+乙(C)甲+丙(D)丙+乙。
7.下列各式中,何者不是x2-4的因式? ()
(A)x+2 (B)x-2 (C)x2-4 (D)x^2。
8.a2-b2的因式不可能是下列那一个?()
(A)a2+b2 (B)a+b (C)a-b (D)a2-b2。
9.下列何者错误?()
(A)(-a+b)^2=a2-2ab+b2 (B)(a-b)(a+b)=a^2-b^2
(C)(a-b)^2=a2-2ab-b2 (D)(4+3)^2=42+8×3+32。
10.下列各式中,何者是2x^2-11x-21的因式?()
(A)2x-3 (B)x+7 (C)x-7 (D)2x+7。
11.下列何者为2x2+3x+1与4x^2-4x-3的公因式?()
(A)x+1 (B)x+2 (C)2x-3 (D)2x+1。
12.因式分解(a+2)^2-3(a+2)=()
(A)(a+2)(a-3) (B)(a+2)(a+3) (C)(a+2)(a+1) (D)(a+2)(a-1)。
13.下列何者正确?()
(A)a2-b2=(a-b)^2
(B)a^2-2ab+b^2=(a+b)(a-b)
(C)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(D)a^2+b^2=(a+b)(a-b)。
14.因式分解9x^2-1= ()
(A)(9x+1)(9x-1)
(B)(3x-1)^2
(C)(3x+1)(3x-1)
(D)(9x-1)^2
15.若5x2-7x-6=(5x+a)(x+b),则 下列正确的是
(A)a=-3 (B)b=-2 (C)ab=6 (D)a+b=5。 ( )
16.x2+mx+n=(x+a)(x+b),若m0,则()
(A)a>0,b>0 (B)a