角平分线定理涉及两个部分的相关长度,该长度由一条将对角二等分的线划分。它们的相关长度等于其他两边的相关长度。

定理

在三角形ABC中,角平分线在点D处与边BC相交。然后,根据角平分线定理,线段BD与DC的比等于边AB与AC的长度之比。
相反,当BC边上的点D以类似于AC和AB的比例将BC分开时,∠ A的角平分线就是AD。因此,根据该定理,如果D位于BC边,则,
如果D在边BC的外部,则在计算中需要应用方向角和方向线段。
当已知边长和角平分线时,应用角平分线定理。

证明

在上图中,对三角形ABD和ACD使用正弦定律。
角度∠ADC和∠BDA成对称线,因此称为相邻补角。由于补角的正弦是相等的,
Sin∠BDA=Sin∠ADC
∠DAC和∠BAD相等。因此,等式1和等式2的右边相等,因此等式的左边也必须相等。
如果∠ DAC和∠ BAD不相等,则等式1和等式2可以写为:
角度∠ADC和∠BDA是互补的,因此等式的右边仍然相等。因此,我们得到
这是重新整理了该定理的广义观点。