方差的概念很容易理解,高中时候就已经讲过
但是当我们进行抽样调查时,我们老师却告诉我们,公式要变成
我们称S为样本方差(有些材料叫修正样本方差)。此时大家一定会有疑惑,为什么要除以n-1而不是n呢?
很简单的一点一定可以想到,那就是,由于抽样调查时我们试图用抽样的样本来代替总体,但肯定不完全一样,所以样本方差和总体方差肯定是不同的。不过,由于抽样具有代表性,所以我们可以认为我们抽出的样都是随机的且可以代表总体的情况,用他们的方差代替总体的方差看上去也很正常,到底为什么差了个(n-1/n)倍呢?
原因就出在X拔(样本平均值)上。X拔虽然可以代替总体平均值,但是X拔的平方却不能代替平均值的平方。所谓的代替,就是指期望是相等的。即
。下面开始解释:
假设总体的平均值是μ(即总体期望,这里不考虑不同取值概率不同的情况),方差是σ平方。可以理解为每个数都是
xi = μ + ε
μ就是期望值,或者说是平均值,ε就是每个数的偏差,这些偏差的和为0,(比如有些比平均数高一点,有些低一点,最后加起来为0),平方和的平均数即方差σ平方(无论偏高还是偏低,他们的平方都是正数,所以可以衡量他们的离散程度,这也是方差的意义)。
Σεi = 0 ; Σε^2 = n* σ^2
关于期望的理解可以看下面这个公式,可以理解为“平均数”
那么:
第一项是常数;第二项由于ε的总体期望是0,所以为0;第三项偏差平方的总体期望可以理解为Σε^2/n = σ^2。所以:
可见通过平方的期望就是把本来隐藏的偏差给找出来,那么我们想想X拔是否会有方差?
尽管:
但是:
(D就是表示方差,Dxi = σ^2)
方差知道了,平均数也知道了,那么X拔平方期望也就可以知道了,类似于上面计算Xi平方期望一样
到这里就能看出来样本平均数的平方无法替代总体的平均数平方,他们差了方差/n。
那么根据总体方差公式