一、知识要点
1.频率与概率的估计
一般地,在大量重复实验中,如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A发生的概率,记为P(A)=p。
从概率定义可知,概率是通过大量重复实验中频率的稳定性得到的一个不小于0,但不大于1的常数,它反映了事件发生的可能性的大小。需要注意,概率是针对大量重复实验而言的,大量重复实验反映的规律并非意味着在每一次实验中一定存在。从这个意义上说,即使某事件发生的概率非常大,但在一次实验中也有可能不发生;即使事件发生的概率非常小,但在一次实验中也可能发生。
2.概率与频率的联系与区别
频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小。这说明频率与概率有联系,这是一方面;另一方面,频率与概率又有着本质的区别,不能把两者混为一谈,更不能认为频率就是概率。因为频率依赖于试验:不但依赖于试验的次数,而且依赖于具体的n次试验,在不同的n次试验中,同一事件A发生的频数和频率一般不会完全相同,而概率是客观的,它是随机事件自身的固有属性,不依赖于具体的试验而存在。概率与频率的本质联系深刻地反映在所谓“频率稳定性”上,概率论中的“大数定律”已经严格地证明:在大量重复的试验中,随着试验次数的无限增加,在大多数情况下,随机事件的频率稳定在其概率的附近而上下摆动。频率稳定性使我们可以用大量试验中随机事件的频率作为这个事件的概率的估计值。在大多数情况下,这样做是合理的,但并不能排除在少数情况下频率和概率之间有较大的差别,因此不能保证用频率估计概率时每次都能得到很好的估计值。尽管这样,还是可以把用频率估计概率作为估计概率的一种重要的方法。
二、典例精析
[例1](2007年四川卷)袋子里有2个红球,3个白球和4个黄球,每个球除颜色外都相同,从袋子中任意摸出一个球,求:
(1)P(摸到红球);
(2)P(摸到白球);
(3)P(摸到黄球);
(4)P(摸到黑球);
(5)P(摸到红球或黄球)。
[分析]我们知道,任意摸出一球,所有可能出现的结果有2+3+4=9种;摸到红球可能出现的结果数是2;摸到白球可能出现的结果数是3;摸到黄球可能出现的结果数是4;摸到黑球可能出现的结果数是0;摸到红球或黄球可能出现的结果数是2+4=6。
[解](1)P(摸到红球)=2/2