本文将讨论三块木板均不连通(但允许单点接触)的情况,给出一种不需要解复杂方程,也不需要编程的做法;以后也许会出第二篇文章讨论剩下的情况。
首先将三块木板的白色和黑色区域编号:
现在假设已经将三块木板按照谜题要求排布在平面上。既然白色与黑色区域全等,说明存在一个合同变换
将黑色区域映射到白色区域,即
注意我们假设三块木板均不连通(允许单点接触),显然变换
必须将
分别映射到
(不一定按顺序)。由尺寸关系立刻可得
,于是分两种情况:
(1)
这种情况讨论比较容易,因为
的位置关系是确定的,容易证明变换
只有下面四种可能情况:
A. 平移 2 格。
是平移变换说明
长边方向相同,
长边方向也相同;再由木板形状可知
长边方向相同,但
长边方向互相垂直,这不可能。
B. 绕1号木板中心旋转 180°。这也不可能,理由与 A 完全一样。
C. 沿1号木板中心分界线镜像翻转。注意此时
是恒等变换,因此
,于是有
,换言之 2, 3 号木板形状是全等的,显然矛盾。
D. 沿1号木板长轴翻转,再沿长轴平移 2 格。(长轴即矩形两条短边中点的连线)
此时
是平移 4 格的变换,因此
(
是平移变换),结合
可知
与
的长边方向夹角应当一致,还是与木板形状矛盾。
以上讨论看起来麻烦,其实只需要看清楚所有矩形色块的方向,很快就能看出无解。这样就只剩下第二种情况了。
(2)
这种情况实际上直接暴力列方程即可解出,但是过程非常复杂。下面的方法可以简化运算过程。