2.3.1　微分中值定理　例如,　点击图片任意处播放\暂停　物理解释:　变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.　几何解释:　证　注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.　例如,　又例如,　例1证由介值定理　即为小于1的正实根.　矛盾,　注意:　几何解释:　证　分析:　弦AB方程为　作辅助函数　拉格朗日中值公式　注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.　拉格朗日中值定理又称有限增量定理.　拉格朗日中值公式又称有限增量公式.　微分中值定理　推论　例2证例3证由上式得　几何解释:　证　作辅助函数　例4　证　分析:　结论可变形为　2.3.4　小结与思考题1　Rolle定理　Lagrange中值定理　Cauchy中值定理　罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系;　注意定理成立的条件;　注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.　思考题　试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.　思考题解答　不满足在闭区间上连续的条件;　且　不满足在开区间内可微的条件;　以上两个都可说明问题.　课堂练习题　课堂练习题答案　例如,　2.3.2　洛必达法则　定理1　,2　(L’Hospital法则)　在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.　证　定义辅助函数　例5解例6解例7解例8解例9解注意:洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法,并非最好方法!　例10　解例11　解　关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型　.　步骤:　例12　解　步骤:　步骤:　例13　解例14　解例15　解　取对数得　例16　解　极限不存在　洛必达法则失效。　注意:洛必达法则的使用条件.　洛必达法则　2.3.4　小结与思考题2　思考题　思考题解答　不一定.　例　显然　极限不存在.　但　极限存在.　课堂练习题　课堂练习题答案　一、问题的提出　2.3.3　泰勒公式　不足:　问题:　1、精确度不高;　2、误差不能估计。　分析:　2.若有相同的切线　3.若弯曲方向相同　近似程度越来越好　1.若在　点相交　三、泰勒(Taylor)中值定理　证　拉格朗日型余项　皮亚诺型余项　注意:　四、麦克劳林(Maclaurin)公式　常用函数的麦克劳林公式:　五、简单的应用　解　代入公式,得　由公式可知　估计误差　其误差　解　播放　2.3.4　小结与思考题3　播放　播放　播放　思考题　利用泰勒公式求极限　思考题解答　课堂练习题　课堂练习题答案