“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”这首诗讲到如果你从不同角度去看山峰,会有不同的视觉效果,这是似乎是一个非常简单的道理,但是仔细想想如果把这个简单的思想用数学语言说:那就是傅立叶变换。傅立叶变换简单的理解就是把一个函数(山峰)在不同的坐标系下(不同角度)去看。可见中国诗人还是思考这一点的,只不过缺乏抽象的概括(精炼的数学概括能力),这也是中国人缺乏的,而且也是正在努力追求的。
在物理学中有太多的傅立叶变换,比如说布拉格散射,X射线相当一个傅立叶变换的工具,晶体结构是在空间坐标系下的相貌,X射线照到其中后就会形成衍射峰(在k-倒空间的相貌)。通常在某个角度看待问题比较复杂,可是在一个特殊的坐标系来看,也许就非常简单。再举一个数学中的例子,也可以说是量子力学的例子,那就是矩阵(作用量),选择不同的基底就会有不同的形式(矩阵对角化就是寻找一个特殊的坐标系,进而将一个复杂的矩阵简单化,抽象出其特征)。
那么问题来了,那个所谓的傅立叶变换工具(X射线,基底)怎么寻找?如何从一个合适的角度去分析问题,这个需要我们站在一个更高的角度去看待问题(这似乎也是一个很简单的道理),但是仔细琢磨就是泛函分析里的一个想法,我们要把所有可能的傅立叶变换工具(映射)作为一个空间,研究映射(算符)空间的特性。
傅立叶变换在我日常生活也无处不在,类似的很显然的道理也很多,如果能将其抽象出来就是一个非常深奥的问题。