椭圆,是高中阶段的同学们必须要接触的最主要的几何图形。而与椭圆有关的尺规作图问题,就显得很重要。下面就介绍几个主要的尺规作图问题。
第一个问题:给定椭圆,要求 找出椭圆的中心 。这个所谓的中心,就是椭圆的两个焦点的中点。 先介绍一个结论:椭圆的平行弦的中点之轨迹是一条直线,如图。如此一来,就可以作出椭圆上有固定方向的切线。
给定椭圆,这个时候给出的椭圆光溜溜的,看不出任何线索指向它的中心,这就需要用到上面那个结论。
先在椭圆上构造两对平行弦。
分别连结每一对平行弦的中点为直线,那么两条直线的交点就是椭圆的中心,记为点 O 。
第二个问题: 作椭圆的对称轴 和 焦点 。 椭圆有两条对称轴,分别是长轴和短轴。上面 已经找到了椭圆的中心 ,趁此机会,把椭圆的对称轴和焦点也一起找出来。
以椭圆的中心 O 为圆心作一个大小适度的圆,与椭圆交于四个点。这四个点围成一个矩形,对角线交于 O 点。 那么,对角线夹角的平分线,就是椭圆的对称轴所在的直线。于是,椭圆的长轴和短轴也就做出来了。
注意,下图的方法是错的。 正确方法是:以短轴端点为圆心、半长轴为半径作圆,与常州的两个交点,就是椭圆的焦点。
第三个问题:作点 X 关于椭圆的切线。 当点 X 位于椭圆上的时候,可以利用 椭圆的光反射特性 来作图。