第四节 线性方程组的解
线性方程组的一般形式为
还可表示为Ax=b,
其中
被称为系数矩阵。
称为增广矩阵。
当b=0时,称方程组Ax=0为齐次线性方程组,
当b≠0时,称方程组Ax=b为非齐次线性方程组。
如
的系数矩阵是
,是非齐次线性方程组。
如
的系数矩阵是
,是齐次线性方程组。第一章介绍了利用行列式的性质来讨论线性方程组的解,下面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。
定理5 设线性方程组(Ⅰ)的增广矩阵
可由初等变换化为
,则Ax=b与Bx=d是同解的方程组
注意:如果是齐次线性方程组b=0,只需对其系数矩阵进行初等变换换。
定理5可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组,首先将其系数矩阵A或增广矩阵
施以初等行变换化简成为行最简形矩阵,再利用系数矩阵的秩数讨论其解。下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。
1. 齐次线性方程组的解
定理6 齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是R(A)