如何使用极限两个重要公式学?术论坛ScienceandTechnologyInnove 如何使用极限两个重要公式 (温州广播电视大学浙江温州325000)摘要:极限的重要公式1.2 是微积分的基本计算之一, 关键词:极限重要公式1.2 中图分类号:013 文献标识码:A 极限是高等数学的基础概念,它贯穿 高等数学的内容系统,是其它概念定义的 基石,极限的两个重要公式又是极限内容 中的重点和难点,称其重点是由于掌握这 部分内容以后,极限的其它知识就好理解 了;称其难点是由于比较难掌握如何使用 极限重要公式.下面就讨论如何使用极限 的两个重要公式. ,极限重要公式, 1.1 重要极限公式1lira_SillX:1 该极限的使用条件是 (1)"一0?型未定式 文章讨论如何正确使用极限两个重要公式;文章编号:1674—098x(2008)05(a)--OI57--01 觚求极限,等霉耋,慧nFix…JSl…~"………一……~… 分析:该题似乎与公式1 没有什么关系)使用的条件(2)知道,指数必须化为与分 的,但我们若是将分式同除以的话,该题转母一样的3,于是问题得到解决. 化为求两个极限和slnn_x,这两 个极限我们是可求的,本题可以解答了. 解:原式= tilnSIH17"/A""?lin1SinItTX 可见如何正确使用极限重要公式1,关键是明白应用公式的两个使用条件,尤其 对使用条件(2)的理解. 分子中的与分母必须形2极限重要公式2 12 点,是我们使用重2?1 重要极限公式2.兑明l 述(),()两点,是我仃】使用重... 要极限公式~.sln_x:1 必须满足的使用条或 件;尤其对于(2)点要求,分子sinx 么,分母也必须是什么而同为无穷小量,这样它们的极限才等于l. 1,2 举例 例1:求极限lil11. 分析:本题是用重要公式1 解题的典型 例子.我们看到当一0 时,所求极限的分 式是型的,同时分式的结构与重要公式1的形式很相似,于是我仃】就用公式1,我们 注意到所求分式的分子sin 与分母是不一样的,根据极限公式l 的使用条件(2) 分子sinx 的是什么,分母也必须是什么而 且同为无穷小量,因此我们为了使用该公 式,将分式的分母换成3,具体见下: 解.Jn—sin— 3x 3x3:3lim—sin—3x 分析:当时一0,所求极限的分式是型的,同时分式的结构与重要公式1 式很相似,我们就用公式1求解本题.我们 观察到分子sin 后是5,为了使用公式1,我 们必须将分母也变成5,于是问题得到解 解:原式(-+,f(-+1],]i:c:/1,2 分析:当-->o.时,所求的极限的表达武是"1"型,不难知道用公式2 的形式 【1jP解答本题.考虑到公式的 使用条件,我们要将指数化成与分母一样. 具体求解如下: 6)lim(1+):,…该极限的使用条件是 (1)"I´型未定式;是(2)极限重要公式2 的第一种表达式 ")im【J 犁,,分母的与指数的 形式相同且是无穷火量. (3)极限重要公式2 的第二种表达式 b)lim(1+)型,0,底数表达式中与指数的分母形式相同且是无穷小量. (4)极限重要公式2 的两种表达式是完 全等价的. 说明:i.』:述(1)和(2)是重要公式2 r1,形式")10Je 的使用条件,需要注 意的是条件(2)要求所求极限表达式中分母 是什么,则指数也必须是什么而且同为无 穷大,这样它们的极限才等于e; 上述(1)和(3)是重要公式2 的形式 b)lin](1+X):P的使用条件,需要注意的 是条件(3)要求所求极限的底数表达式中 是什么,指数分母也必须是什么,而且同 为无穷小量,这样它们的极限才等于e. 2.2 举例 例4:求极限lJ分析:当..时,所求的极限的表达式 是"r"型,同时其结构与重要公式2 很相似, 于是我们用公式2的形式")JP 例6:lim(1—2); 分析:当一0 时,所求的极限的表达式 "1"型,结构与重要公式2 b)lim(1+X):很相似,于是我们用公式2的形式b)解答本题.我们注意到所求极限 表达式的底数是一2,而指数分母是,根 据公式2 形式b)使用的条件(3)知道,指数 的分母必须化为与底数的一2x,于是问题得 到解决. 解:原式= 可见与使用极限重要公式1一样,正确 使用极限重要公式2 的关键是明白应用公 式的两组使用条件. 用两个重要公式1,2计算极限小结 i.两个重要的极限在极限计算中起很 重要的作用,要熟练掌握; ii,极限公式1是属于""型的未定 式,极限公式2是属于"1"型的未定式 iii.极限式中含三角函数或反三角函 数时,应优先考虑用~—sinx:1;极限式中 是"1"型的未定式,应优先考虑用