教学目标: 1、通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、 锥、台的体积的求法。 2、了解柱、锥、台的体积计算公式;能运 用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计 算和解决有关实际问题. 3、培养学生空间想象能力和思维能力。 复习引课: 1. 复习提问:圆柱、圆锥、圆台的表面积 计算公式是什么? S圆柱表面积 ? 2?r 2 ? 2?rl ? 2?r(r ? l) S圆锥表面积 ? ?r2 ??rl ? ?r(r ? l) S圆台表面积 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) 2. 练一练:若知道正六棱锥的侧棱长为 6, 底面边长为4, 你能求出它的高和表面积 吗? 3. 提问:我们已经学过了柱体、锥体、台 体的表面积的求法及其计算公式,现在的问 题是它们的体积如何求?是否也有相应的计 算公式? 探究新知: 回顾:还记得特殊的棱柱—正方体、长方 体,以及圆柱的体积计算公式吗? 正方体、长方体,以及圆柱的体积公式可 以统一为: V = Sh(S为底面面积,h为高) 简要介绍祖暅(gèng)原理,(教材P30) 祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。 利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式: 1、探究柱体的体积公式 结论:等底、等高的 棱柱、圆柱的体积相 等. 归纳:一般柱体的体 积 V=Sh,其中S为底 面面积,h为柱体的高。 2、探究锥体的体积公式 结论1:等底面积等高的两个锥体的体积相等。 结论2:三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积 的三分之一。 归纳:锥体的体积计算公式:V锥体 ? 1 3 Sh S为底面面积,h为高。 讨论:台体的上底面积S’,下底面积S,高h, 由此如何计算切割前的锥体的高? → 如何计算台体的体积? 解:设切割前的锥体的高为x, 则: ( x )2 ? S? ? x ? S? x ? h S h S ? S? ? x ? S? h V ? 1 S(h ? x) ? 1 S?x S ? S? 3 3 V台体 ? 1 3 (S? ? S?S ? S)h 其中S ?、S分别为上、下底面积,h为高。 V圆台 ? 1 3 (S ' ? S'S ? S)h ? 1? (r2 ? rR ? R2 )h 3 想一想:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为 一点时,台成为锥;当台体上底放大为与下底相 同时,台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便 可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。 从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 例题示范: 例1(P26) 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六 边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为 10mm,问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14)? 分析、讨论:六角螺帽 的几何结构特征怎样? → 如何求其体积? → 利用哪些数量关系求螺 帽的个数? 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差,即: V ? 3 ?122 ? 6?10 ? 3.14? (10)2 ?10 4 2 ? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3) 所以螺帽的个数为 5.8×1000÷(7.8×2.956) ≈252(个) 答:这堆螺帽大约有252个. 巩固练习: 1. 把三棱锥的高分成三等分,过这些分点且平行 于三棱锥底面的平面,把三棱锥分成三部分,求 这三部分自上而下的体积之比。 2、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2, 截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这个棱台的 体积。 (答案:2325cm3) 3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,它的轴截面 的面积为4,求圆锥的体积. 4. 高为12cm的圆台,它的中截面面积为225πcm2, 体积为2800cm3,求它的侧面积。 知识小结: 柱体、锥体、 台体的表面积 展开图 圆柱 S ? 2? r(r ? l) r ? r? 圆台 S ? ? (r?2 ? r2 ? r?l ? rl) r? ? 0 圆锥 S ? ? r(r ? l) 各面面积之和 知识小结: 柱体、锥体、 台体的体积 柱体 V ? Sh S ? S' 台体 V ? 1 (S? ? S?S ? S)h 3 S'? 0 锥体 V ? 1 Sh 3 作业:P28 习题1.3第3、4题; 课外 P30 B组第 3题.