1 1 上次的题目大家解决了没?是不是很简单? 下面是解答: 第二章 矩阵 矩阵的线性运算 定义2.1 矩阵相等的定义 定义2.2 矩阵的加法 定义2.3 矩阵的数乘运算(常数与矩阵的乘积) 注:矩阵的加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算 常用的记号: (1)零矩阵记作0 (2)(-1)A记作-A,-A称为A的负矩阵 (3)A+(-B)记作A-B,A-B称为A与B的差 性质2.1 设A,B,C是m×n矩阵,h,k是常数,那么下列结论成立: (1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+0=A (4)A+(-A)=0 (5)1A=A (6)(hk)A=h(kA) (7)(h+k)A=hA+kA (8)k(A+B)=kA+kB 矩阵的乘法运算及其性质 这一定义是矩阵乘法的基础 说明 (1)只有矩阵A的列数等于矩阵B的行数,A与B的乘积AB才有意义。 (2)A与B的乘积AB继承了左边矩阵A的行数,右边矩阵B的列数。 矩阵乘法的性质 命题2.1 如果A的第i行为零行,那么AB的第i行为零行;如果B的第j列为零列,那么AB的第j列为零列。因此,AB的非零行的个数≤A的非零行个数,AB非零列的个数≤B的非零列的个数。 性质2.2 设A,B,C是矩阵,k是常数,那么我们有下列结论: (1)(AB)C=A(BC); 结合律 (2)A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA 分配律 (3)k(AB)=(kA)B=A(kB) 注:根据矩阵乘法的定义,两个矩阵相乘是 有顺序的 ,所以矩阵乘法 不满足交换律 。 另外,矩阵乘法也不满足消去律,即AB=0无法得到A=0或B=0的结论。 方阵 定义2.5 行数和列数相等的矩阵称为方阵,行数与列数都为n的方阵称为n阶矩或者n阶方阵。 定义2.6 方阵乘方的定义 特别地,约定A^0=I 注:方阵是一种特殊矩阵,因此它有一些特别的性质,要注意条件,一定不能混淆使用这是一条很有用的性质。 矩阵的转置——矩阵的第四种运算 矩 阵的转置,简单来说就是原来的第几行,转置后相应地变成第几列。 这又是n阶矩阵的一条很有用的结论 初等矩阵及其应用 定义2.10 矩阵的初等列变换(与行变换相对应) 定义2.11 列等价的定义(与行等价对应) 定义2.12 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2.13 两个矩阵等价的定义。 定义2.14 对n阶单位矩阵I作一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵。 有了 初等矩阵,矩阵的初等变换就可以用一般矩阵与初等矩阵的乘积实现了 那6个引理这里就不一一赘述了,只要记住行变换左乘,列变换右乘就可以了。 定理2.1 设A是m×n矩阵,如果对A做一次初等行变换得到的矩阵为B,相同的初等行变换作用到m阶单位矩阵上得到的初等矩阵为P,那么B=PA;如果对A做一次初等列变换得到的矩阵为C,相同的初等列变换作用到n阶单位矩阵上得到的初等矩阵为Q,那么C=AQ。 命题2.5 如果P是初等矩阵,那么存在同阶初等矩阵Q,使得 PQ=QP=I 推论1 设P是n阶初等矩阵,那么 r(P)=n 推论2 如果矩阵A与B是行等价的,那么B与A也是行等价的。 命题2.6 设A,B,C是3个矩阵。如果A与B是行等价的,那么AC与BC也是行等价的。 引理2.7 如果矩阵A与B是行等价的,那么A与B的非零列的个数相等;如果矩阵A与C是列等价的,那么A与C的非零行的个数相等。 命题2.7 矩阵A的秩不大于A的非零行的个数,也不大于A的非零列的个数。 推论 如果去掉矩阵A的零行与零列所得矩阵为D,那么r(A)=r(D)。 引理2.8 如果矩阵A与B是行等价的,那么r(A)=r(B)。 引理2.9 如果对矩阵A作一次初等列变换得到的矩阵为B,那么r(A)=r(B)。 定理2.2 如果矩阵A与B是等价的,那么r(A)= r(B)。 定理2.3 m×n矩阵A的秩为r的充分必要条件是A等价于如下形式的m×n矩阵 命题2.8 矩阵A的秩与A的转置矩阵AT的秩相等,即r(A)=r(AT)。 定理2.4 设A是m×n矩阵,B是n×t矩阵,那么 r(AB)≤min {r(A),r(B)} 推论 如果m个矩阵A1,A2,……,Am的乘积有意义,那么 r(A1A2...Am)≤min {r(A1),r(A2),……,r(Am)} 定理2.5 设A是n阶矩阵。如果r(A)=n,那么A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。 可逆矩阵 定义2.15 设A是n阶矩阵。如果存在n阶矩阵B,使得AB=BA=In,那么称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵。不是可逆的矩阵称为不可逆矩阵。(注:可以证明AB=In 可以推出AB=BA=In) 性质2.6