本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 定义 等价无穷小的定义:设当 时, 和 均为无穷小量。若 ,则称 和 是等价无穷小量,记作 。例如:由于 ,故有 。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。求极限时,使用等价无穷小的条件 [1] :被代换的量,在取极限的时候极限值为0;被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。 定理 无穷小等价替换定理 [2] 设函数 , , ,在 内有定义,且有 (1)若 ,则 ;(2)若 ,则 。证明:(1) 。(2) 。例如:利用等价无穷小量代换求极限 解:由于 ,而 , , ,故有 。注意:等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不一定能随意 单独代换或分别代换) [1] 。如在上例中:若因有 , ,而推出 ,则得到的是 错误的结果。注:可直接榜台希等价替换的类型 (以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则)需要满足一定条件才能替换的类型若 ,则 (该条性质非常坑钻重要,这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据)变上限积分函数(积分变限函数)也可以用等价无穷小进行替换。 公式 当 时, 注:以上各式可通过泰勒展开式推导出来。 推导过程 α和β都是无穷小,且 , 存在(或 ),则有 [3] 极限 数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法,分析的各种驼才兰基本概念(连续、微分、积分和奔霸组和级数)都是建立在极限概念的基础之上,然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的,它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。