事实上,上面我们举的具有加法和乘法的复数集、一元多项式集合和n阶矩阵集合,都是一种叫做环的数学结构,在某种程度上可以看作是对具有加法和乘法的整数集(叫整数环)的推广。环的定义分为三部分,一部分是加法的性质,一部分是乘法的性质,最后一部分是加法和乘法的联系——不出所料,这第三部分不多不少,就是由乘法对加法的左右分配律组成。
中文维基百科中环的定义。此定义形式并不严格,在此只为说明左右分配律的重要性
六、最后的抬杠
当然,我们也可以想象司汤达还继续问下去:“我并不觉得那三个性质是必需的,我只觉得交换律是必需的,而无所谓左右分配律是否成立,那么负负得正吗?”
那么,这时就可以找出整数的并不是负负得正的“乘法”来了。如果这样定义运算⊗:对任意两个整数a和b,如果a和b都是自然数,则a⊗b=a×b;如果a和b中有一个是负数,那么a⊗b=-(a×b)。我们就得到了一个满足交换律却负负得负的“乘法”:如果a和b都是负数,那么a×b是正数,而a⊗b=-(a×b)则是负数。当然,这样的“乘法”再也不可能满足对整数加法的左分配律和右分配律,比如:
(-2)⊗(1+(-1)) = (-2)⊗0 = -(2×0) = 0
而
(-2)⊗1+(-2)⊗(-1) = (-(2×1))+(-(2×1) ) = (-2)+(-2) = -4
所以
如果不选交换律,选只有左分配律成立呢?我们也同样可以定义出一个运算⊗来:对任意两个整数a和b,如果a是自然数,则a⊗b=a×b;如果a是负数,那么a⊗b=-(a×b)。它满足对加法的左分配律,因为对任意整数a,b和c,如果a是自然数,那么
a⊗(b+c) = a×(b+c) = a×b+a×c = a⊗b+a⊗c
而如果a是负数,那么
a⊗(b+c) = -(a×(b+c)) = -(a×b+a×c) = (-(a×b))+(-(a×c)) = a⊗b+a⊗c
当然,它不会再满足交换律和右分配律了,例子大家可以自己举。它是负负得负的:如果a和b都是负数,那么a×b是正数,而a⊗b=-(a×b)则是负数。
只选右分配律成立当然也可以类似论证。
七、结论
于是对“负负为何得正”的问题,我们可以首先回答说,因为负负得正的乘法在实际中非常有用。
而对于象司汤达这