定义
设A是数域F上的n阶矩阵,如果存在数域F中的一个数\(\lambda \)与数域上F的非零向量\(\vec \alpha \),使得: \[ A\vec \alpha = \lambda \vec \alpha \] 则称\(\lambda \)为A的一个特征值(根)(eigenvalue),称\(\vec \alpha \)为A的属于特征值\(\lambda \)的特征向量(eigenvector)。
显然从上式可以看出,\( A\vec \alpha \)和\(\vec \alpha \)平行。
将上式做一下变换:
\[ A\vec \alpha = \lambda \vec \alpha \]
\[ A\vec \alpha - \lambda \vec \alpha = \vec 0 \]
\[ A\vec \alpha - \lambda E\vec \alpha = \vec 0 \]
\[ (A - \lambda E)\vec \alpha = \vec 0 \]
\[ (\lambda E - A)\vec \alpha = \vec 0 \]
称:
\(\lambda E - A\)为A的特征矩阵
行列式\(f(\lambda ) = |\lambda E - A|\)为A的特征多项式
\(|\lambda E - A| = 0\)为A的特征方程
\((\lambda E - A)\vec x = \vec 0\)是A关于该\(\lambda \)的齐次线性方程组
A的主对角线上元素之和称为A的迹(trace),记为tr(A),即
\[ tr(A) = a_{11} + a_{11} + \cdots + a_{nn} \]
迹和特征值有很重要的联系:
\[ tr(A) = \lambda _{1} + \lambda _{2} + \cdots + \lambda _{n} \]
特征值还和A的行列式有关系:
\[ |A| = \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n} \]
A的全部特征值和特征向量的求法
计算A的特征多项式求特征方程的全部根,即矩阵A的全部特征值对于A