版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。
如何求直线与平面的交点
今天遇到一个小问题,如何求线与平面的交点,以及如何将其高效实现,下面就从数学的原理以及编程实现来探究一下这个小问题。
目录
文章目录
问题重述与几何模型
已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),平面α:ax+by+cz+d=0,求直线P1P2与平面α的交点P。
数学分析
存在性:直线与平面的交点可能有零个,一个,或无数个。
可行性:已知直线上不重合两点,可以确定一条直线,已知直线与平面,则一定可以得到两者之间的关系。
###常规解法(联立方程)
当P1P2不与任一坐标平面平行时:$\dfrac{x-x1}{x1-x2}=\dfrac{y-y1}{y1-y2}=\dfrac{z-z1}{z1-z2} $
用 x xx表示 y yy和 z zz:
y = y 1 + ( x 1 − x 2 ) ( y 1 − y 2 ) x − x 1 y=y1+\dfrac{(x1-x2)(y1-y2)}{x-x1}y=y1+x−x1(x1−x2)(y1−y2)
z = z 1 + ( x 1 − x 2 ) ( z − z 1 ) x − x 1 z=z1+\dfrac{(x1-x2)(z-z1)}{x-x1}z=z1+x−x1(x1−x2)(z−z1)
与直线方程 a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0联立可得:
a x ( x 1 − x 2 ) + b ( ( y 1 − y 2 ) ( x − x 1 ) + y 1 ( x 1 − x 2 ) ) + c ( ( z 1 − z 2 ) ( x − x 1 ) + z 1 ( x 1 − x 2 ) ) + d = 0 ax(x1-x2)+b((y1-y2)(x-x1)+y1(x1-x2))+c((z1-z2)(x-x1)+z1(x1-x2))+d=0ax(x1−x2)+b((y1−y2)(x−x1)+y1(x1−x2))+c((z1−z2)(x−x1)+z1(x1−x2))+d=0
解该方程即可得:
x = ( −