本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 性质 基本知识 ① ;② ;③负数与零无对数.④ * =1;⑤ ; 恒等式及证明 a^log(a)(N)=N (a>0 ,a≠1)推导:log(a) (a^N)=N恒等式证明在a>0且a≠1,N>0时设:当log(a)(N)=t,满足(t∈R)则有a^t=N;a^(log(a)(N))=a^t=N;证明完毕 运算法则 ① ② ③ ④ (M,N∈R)如果 ,则m为数a的自然对数,即 ,e=2.718281828…为自然对数的底,其为无限不循环小数。定义: 若 则 基本性质:1、 2、 3、 4、 5、 6、 推导:1、因为 ,代入则 ,即 。2、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N) 由指数的性质 又因为指数函数是单调函数,所以 3、与(2)类似处理 M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N) 由指数的性质 又因为指数函数是单调函数,所以 4、与(2)类似处理由基本性质1(换掉M) 由指数的性质 又因为指数函数是单调函数,所以 或 由基本性质2(展开 ,如图1所示)基本性质4推广 推导如下: 由换底公式(见下面)[ 是 ,e称作自然对数的底] 换底公式的推导: 设 则 其中 得: 由基本性质4可得 再由换底公式 换底公式 推导一:设b=a^m,a=c^n,则b=(c^n)^m=c^(mn) ①对①取以a为底的对数,有:log(a)(b)=m ②对①取以c为底的对数,有:log(c)(b)=mn ③③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a) [2] 推导二: 注:log(a)(b)表示以a为底b的对数。换底公式拓展:以e为底数和以a为底数的公式代换:logae=1/(lna) [3] 推导公式 log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)loga(b)*logb(a)=1loge(x)=ln(x)lg(x)=log10(x) 求导数 (xlogax)'=logax+1/lna其中,logax中的a为底数,x为真数;(logax)'=1/xlna特殊的即a=e时有(logex)'=(lnx)'=1/x [4]