刚体转动惯量的测定 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量, 是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量, 它不仅取决于刚体的总质量, 而且与刚体的形状、 质量分布以及转轴位置有关。 对于质量分布均匀、 具有规则几何形状的刚体, 可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。 对于质量分布不均匀、 没有规则几何形状的刚体, 用数学方法计算其转动惯量是相当困难的, 通常要用实验的方法来测定其转动惯量。 因此,学会用实验的方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。 实验上测定刚体的转动惯量, 一般都是使刚体以某一形式运动, 通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。 测定转动惯量的实验方法较多, 如拉伸法、 扭摆法、 三线摆法等, 本实验是利用“刚体转动惯量实验仪” 来测定刚体的转动惯量。 为了便于与理论计算比较, 实验中仍采用形状规则的刚体。 【实验目的】 1 . 学习用转动惯量仪测定物体的转动惯量。 2 . 研究作用在刚体上的外力矩与刚体角加速度的关系, 验证刚体转动定律和平行轴定理。 3 . 观测转动惯量随质量、 质量分布及转动轴线的不同而改变的状况。 【实验仪器】 ZKY-ZS 转动惯量实验仪及其附件(砝码, 金属圆柱、 圆盘及圆柱) , ZKY-J1 通用电脑计时器. 图 1 转动惯量测定装置实物图 【实验原理】 根据刚体的定轴转动定律 dtdJJ\uf062 \uf03dM\uf077\uf03d, 只要测定刚体转动时所受的合外力矩及该力矩作用下刚体转动的角加速度 \uf062 , 则可计算出该刚体的转动惯量, 这是恒力矩转动法测定转动惯量的基本原理和设计思路。 一、 转动惯量 J 的测量原理 砝码盘及其砝码是系统转动的动力。 分析转动系统受力如图 2 所示: 当砝码钩上放置一定的砝码时, 若松开手, 则在重力的作用下, 砝码就会通过细绳带动塔轮加速转动。当砝码绳脱离塔轮后, 系统将只在摩擦力矩的作用下转动。 图 2 转动系统受力图 本实验中待测试件放在实验台上, 随同实验台一起做定轴转动。 设空实验台(未加试件) 转动时, 其转动惯量为0 J , 加上被测刚体后的转动惯量为 J , 由转动惯量的叠加原理可知, 则被测试件的转动惯量被测J为 0 JJJ\uf02d\uf03d被测 或 被测物JJJ\uf02b\uf03d0 实验时, 先测出系统支架(空实验台) 的转动惯量0 J , 然后将待测物放在支架上, 测量出转动惯量为 J , 利用上式可计算出待测物的转动惯量。 未加试件及外力时(将在摩擦力矩M 的作用下, 作匀减速转动, 设角加速度为0\uf03dm,0\uf03dT), 即外力矩为零时, 若使系统以某一初角速度开始转动, 则系统1 \uf062 , 则由刚体的转动定律有 JM \uf03d\uf02d (1) 10\uf062其中 rrfM \uf03d (2) 加外力后(即有外力矩) 时, 设系统的角加速度为2\uf062 , 则: Tr20\uf062Jrfr \uf03d\uf02d (3) 而 maTmg\uf03d\uf02d (4) 2\uf062 ra \uf03d 其中 m —砝码质量 , g —重力加速度, T —绳的张力 联立式(1), (2), (3) , (4) 得: )(2\uf062 rgmmamgT\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d 202)(\uf062\uf062rJMrgm\uf03d\uf02d\uf02d 2122120mrmgrJ\uf062\uf062\uf062\uf062\uf062\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d (5) 测出1 \uf062 , 以及加外力矩mgr 后的2\uf062 , 由(5) 式即可得0 J , 以及将0 J 代入(1) 试附带可得出摩擦力矩M 。 同理, 加试件后有 3\uf062JM \uf03d\uf02d 44)(\uf062J\uf062rMrgm\uf03d\uf02d\uf02d \uf062234434mrmgrJ\uf062\uf062\uf062\uf062\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d (6) 以上1 \uf062 、3 \uf062 是由摩擦力矩产生的角加速度, 其值为负, 因此(5)、(6) 式中的分母实为相加。 测 \uf062 的实验顺序可以是1 \uf062 、2\uf062 、3 \uf062 、4\uf062 , 也可以是1 \uf062 、3\uf062 、2\uf062 、4\uf062 , 更可以是(2\uf062 ,1 \uf062 ), 再(4\uf062 ,3\uf062 ), 测量方法见后。 二、 角加速度 \uf062 的测量原理 \uf062的测量采用如下方法: 实验中直接测量的是时间和角位移, \uf062 可由下列计算间接得出。 w , t=0 时的角位置为 0, 则 t 时刻角位移\uf071 为 21, \uf062设转动体系的初角速度为02021ttw\uf062\uf071\uf02b\uf03d (7) 数字毫秒计从 t=0 开始计时, 这时的计时次数为 k=0,0\uf03d\uf071;1tt \uf03d时 k=1,\uf070\uf071 \uf03d; t 时刻, 计时次数为 k, 角位移若测得与\uf070k\uf071\uf03d 。 21,\uf071\uf071相应的时间为21,tt, 计时次数为21,kk, 则: 21101\uf070121ttwk\uf062\uf071\uf02b\uf03d\uf03d (8) 22202\uf070221ttwk\uf062\uf071\uf02b\uf03d\uf03d (9) 联立式(9), (10) 得: 2211222112)( 2ttt\uf02822ttt\uf02d\uf02d\uf03d\uf071\uf071\uf062 (10) 即: \uf029221121122\uf070tttttktk\uf02d\uf02d\uf03d\uf062 (nkn\uf03d) (11) 可以选两组2211,,,tktk值计算 \uf062 的值, 也可以选多组计算几个 \uf062 值求平均; 或者多次直接测量 \uf062 值。本实验采用配套的 ZKY-J1 通用电脑计时器, 计时和记录角位移。 三、 验证平行轴定理 平行轴定理: 质量为 m 的刚体, 对过其质心 c 的某一转轴的转动惯量为CJ , 则刚体对平行于该轴、 和它相距为 d 的另一转轴的转动惯量平行J为: 2mdJJC\uf02b=平行 在上式等式两端都加上系统支架的转动惯量0 J , 则有: 200mdJJJJC\uf02b\uf02b\uf02b=平行 令JJJ=0平行\uf02b, 又CJ ,0 J 都为定值, 则 J 与2d 呈线性关系, 实验中若测得此关系, 则验证了平行轴定理。 四、 J 的“理论” 公式 设待测的圆盘(或圆柱) 质量为 m 、 半径为 R , 则圆盘、 圆柱绕几何中心轴的转动惯量理论值为 1mRJ \uf03d22 待测的圆环质量为 m , 内外半径分别为内R 、外R , 圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为 )(222外内RRmJ\uf02b\uf03d 【实验仪器介绍】 转动惯量仪: 由十字型承物台、 绕线塔轮、 遮光细棒和小滑轮组成, 如图 3 所示。 承物台转动时固定\uf071 \uf03d在载物台边缘并随之转动的遮光细棒, 每转动半圈(\uf070) 遮挡一次固定在底座圆周直径相对两端的光 电门, 即产生一个光电脉冲送入光电计时计数仪, 计数器将计下时间和遮挡次数。 计数器从第一次挡光 (第一个光电脉冲发生) 开始计时、 计数, 并且可以连续记录, 存储多个脉冲时间。 塔轮上有五个不同半径的绕线轮, 中间一个的半径为 2. 5cm, 其余每相邻两个塔轮之间的半径相差 0. 5cm。 砝码钩上可以放置一定数量的砝码, 重力矩作为外力矩, 结构如图: 图 3 转动惯量仪结构图 ●仪器使用方法: 1、 用电缆线将光电门和通用电脑计时器相连, 只接通一路(另一路备用); 2、 接通电源, 仪器进入自检状态。 a) 8 位数码显示管同时点亮, 否则本机出现错误; b) 数码显示器显示 表明制式为每组脉冲由一个光电脉冲组成, 共有 80 组脉冲(均为系统默认值) 3、 制式的调整方法: a) 如无须对制式进行修改或已经修改完备, 按“待测/+” 进入工作等待状态; b) 计时显示的前两位为每组光电脉冲数, 后两位为记录组数。 对于闪烁的数码显示器位, 直接键入数字, 即可修改此位; 如果需要修改下一位, 则须按下“/-” 键, 下一位数码显示器位闪烁, 再键入数字即可进行修改, 同时保留对其他位的修改值。 用“/-” 键能对所修改的四位数码显示器进行循环操作, 记录组数最多为 80。 4、 按“待测/+” 键进入工作等待状态: 数码显示器显示 5、 进入计时工作状态: 输入的第一个光电脉冲后开始计时和计数。 6、 计时结束: 当测量组数超过设定的记录组数时, 数码管显示为 : 计时结束。 7、 数据查询: 每按一次“待测/+” 键, 则记录组数递增一位, 每按一次“/-” 键则递减一位。 8、 电脑计时器复位, 以便进行下一此测量。 【实验内容与步骤】 1、 调节转动惯量仪底角螺钉, 使仪器处于水平状态。 2、 用电缆将光电门与仪器相连, 只接通一路. . . . .。 若用输入Ⅰ 插孔输入, 该通段开关接通, 输入Ⅱ 通段开关 必须断开。 3、 开启数字毫秒计, 使其进入计数状态。 4、 测量支架的转动惯量: ⑴给转台以初始角速度使其在摩擦力矩作用下做匀减速转动, 记下此时的54321,,,,ttttt, 由此计算只有摩擦力矩时的角加速度1 \uf062 。 ⑵将线绕在中间的塔轮上, 调节滑轮位置使绕线与台面平行。 让砝码由静止下落, 记下此时的,,,,ttttt, 由此计算在重力矩和摩擦力矩同时作用下的角加速度543212\uf062 。 计算空台的转动惯量0 J 。 5、 测量待测物的转动惯量: 加上圆盘, 测量系统的转动惯量 J ; 加上圆环, 测量系统的转动惯量 J 。 6、 已知支架的转动惯量0 J , 从而可得出待测物的转动惯量0 JJJ\uf02d\uf03d被测。 7、 将测量值与理论值相比较, 得出测量误差。 8、 验证平行轴定理: 将小圆柱分别放在离转轴 5cm, 7. 5cm, 10cm 处, 测得此时系统的转动惯量 J, 并将其与 d2值相比较,从而验证平行轴定理。 【数据记录及处理】 砝码的质量: m = 50g g=9. 8m/s2 塔轮中间一轮的半径: r=2. 5cm 圆盘 半径: r=12cm 质量 m=500g 圆环 内径: r=10. 5cm 外径 R=12. 0cm 质量 m=450g 小圆柱 质量: m=170g 载物台上各孔中心距转轴的距离, 由内到外分别为: r=5cm、 7. 5cm、 10cm 表一: 测量刚体的转动惯量: 有/无外力矩 K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 \uf062 J 1t 2t 3t 4t 5t 空台 有 \uf03d0 JJ=空台无 圆环 有 =圆环空台\uf02bJ无 圆盘 圆柱 有 =圆盘空台\uf02bJ无 5 有 =圆柱空台\uf02bJ无 7. 5 有 =圆柱空台\uf02b\uf0a2 J无 10 有 =圆柱空台\uf02b\uf0a2 \uf0a2 J无 圆环的转动惯量=圆环空台\uf02bJ-空台J= (测量值) 理论值= 圆盘的转动惯量=圆盘空台\uf02bJ-空台J= (测量值) 理论值= 比较理论值与测量值 , 计算相对误差。 表二: 验证平行轴定理: 【思考题】 1. 本实验方法为什么可以不考虑滑轮的质量及其转动惯量? 2. 本实验是如何检验转动定律和平行轴定理的? 3. 分析本实验产生误差的主要原因是什么?