第2~10题都是实际问题,其中第3、4、5、6、9、10题,虽然题材各异,但它们的数量关系都与例1类似,都是一个量比另一个量的几倍多(少)几,都是求作为比较标准(即看作“一倍”)的那个量。
这些问题,都可以让学生独立解答。练习后,教师应引导学生注意它们的共同点,并总结解决问题的经验。
第6题,其中亚洲的面积(包括岛屿)约为4400万平方千米。
第7题,题材与表现形式富有趣味。题目中提供了华氏温度与摄氏温度的关系,这个关系也可以说成华氏温度比摄氏温度的1?8倍还多32度。
练习时,可以让学生自己代入关系式解答,再引导他们用几倍多几的语言表达两种温度之间的关系。
第2题与第8题的数量关系相类似,都是某一总数由两部分组成,其中一部分为两个数的积。
第11*题,可让学有余力的学生选做。可以这样想:(36-4a)÷8是一个除法算式,当它的结果是0时,说明被除数是0,即36-4a=0;当它的结果是1时,说明被除数与除数相等,即36-4a=8。这样的方程前面尚未出现过,可以利用加减法关系,推得4a=36与4a=36-8。
最后一题为思考题。容易看出,和的最高位是1、即t=1,代入原式,得
个位上a+1=1,说明a=0。观察十位与千位,v+s=11,因此百位上v=1+1+1=3,代入v+s=11,得s=8。
3.例2。
编写意图
例2创设了购买两种水果的现实问题情境。如果撇开各数量的具体内容,就它的数学意义来讲,可抽象为两积之和的数量关系。这种数量关系在生活中经常能遇到。而且,理解了两积之和的数量关系,也就容易理解两积之差、两商之差的数量关系。在例2中组成两积的四个因数,有两个是相同的,这就可以根据分配律,得到含小括号的方程。这些都使例2具有举一反三的典型意义。
教材给出了两种方程,其一为两积之和等于已知的总数,让学生自己解答。其二为含小括号的方程,介绍了把小括号内的式子看作一个整体求解的思路和方法,并留有空白让学生自己解完。
教学建议
(1)教学例题前,可以先复习两积之和的实际问题,如:
妈妈买了2 kg苹果和3 kg梨,已知梨每千克2.8元,苹果每千克2.4元,妈妈一共要付多少钱?让学生独立列式计算,并说出数量关系:
苹果的总价+梨的总价=总钱数
2.4×2+2.8×3=13.2(元)
(2)教学例题时,可以先把复习题改为:妈妈买了2 kg苹果和3 kg梨,共付13.2元钱,已知梨每千克2.8元,苹果每千克多少钱?
学生容易看出前后两题的数量关系没变,只是已知数和未知数交换了位置。因此,完全可以让学生自己列出方程并解答。
解:设苹果每千克x元。
2x+2.8×3=13.2
然后,出示例2,即把梨的数量由3 kg改为2 kg,让学生审题后,教师可提出问题:除了像上题那样列方程之外,还可以怎样列方程?有了上面的铺垫,学生不难想到:
(苹果的单价+梨的单价)×2=总钱数
并根据这个等量关系列出方程。
接下去就可以引导学生把小括号内的2.8+x看作一个整体,先求出2.8+x=?,剩下的解题过程可以让学生在课本上完成。
(3)作为补充练习可以给出一个方程,如:(26+x)×3=150让学生口头编出具有现实意义的问题,在小组内交流。这样的练习既有助于学生掌握数量关系,又能使学生初步体会这一数量关系广泛的现实意义。
4.例3。
编写意图
例3的内容是关于地球表面海洋面积和陆地面积的计算。它的特点是问题含有两个未知数,一般通常用两个已知条件说明两个未知数的关系。如给出两个未知数的和与差,或给出两个未知数的倍数关系与两个未知数的和(或差)。
具有这种数量关系的问题,在算术中称为“和差”、“和倍”、“差倍”问题。若用算术方法解,思路特殊,需要分别教学。改用方程解,都可归结为解形如ax±bx=c的方程,思路统一,解法一致,学会其中之一的解法,其他几种就很容易类推解决。
在实际生活中,也常常会遇到一些具有这种数量关系的问题。特别是当两个数的倍数关系用分数、百分数表示时,这样的问题就更常见了。
像这样含有两个未知数的问题,在本单元之前,学生还没接触过。但它与学生以前学过的不少内容有关。比如,已知两数,可以求出它们的和、差及倍数关系,这是小学低年级的小学内容。现在,从两数的和、差及倍数关系中选取两项作已知条件,反过来求两数各是多少,这就是我们在这里讨论的问题。可见,所谓的“和差”、“和倍”、“差倍”问题,实际上是已知两数,求它们的逆思考问题。
在小学中年级,曾出现过只有两个已知条件,却要两步计算解决的实际问题。如,舞蹈队有男生20人,女生人数是男生的2倍,舞蹈队共有学生多少人?女生比男生多多少人?这类问题的特点是选取两数之一作一个条件,再从两数的和、差及倍数关系这三个量中选取一个为另一个条件,然后求三个量中的其他两个量。不难看出,例3也是这类两步计算问题的逆思考问题。
解答例3,首先碰到的第一个问题是设未知数。学生已有的经验是“求什么设什么”。现在面临一道题中要求两个未知数各是多少,究竟设哪个为x,另一个又怎样表示?这是必须突破的一个难点。就数学本身来说,和差倍关系的两个未知数,任选一个设为x都是可行的。同样,另一个未知数的表示方法也有两种,即选用两个已知条件中的任何一个都能表示。比较而言,在各种解法中,把作为比较标准的未知数设为x,则用含x的式子表示另一个未知数就比较容易。
教材采用的就是这种方法。设陆地面积为x亿平方千米,根据两个量的倍数关系这个条件表示海洋面积,再根据另一个已知条件(两部分面积的和即地球表面积),列出方程。
这里第一次出现了形如ax±bx=c的方程。考虑到学生的知识水平和接受能力,教材没有出现合并同类项等术语,而是启发学生运用乘法分配律,将原方程转化为学生已会解的形式(a±b)x=c。这与合并同类项的方法实质上是一致的。
求出陆地面积后,接下去怎样求海洋面积?有两种选择。即任选两个已知条件中的任何一个都可以。教材以两个同学互相交流的形式,对两种算法都作了介绍。
教学建议
(1)教学例3前,可以采用口答形式进行一些写出含有字母式子的填空练习。如:学校科技组有女同学x人,男同学是女同学的3倍,男同学有( )人,男女同学一共有( )人,男同学比女同学多( )人。还可以给出复习题:
地球上的陆地面积为1.5亿平方千米,海洋面积约为陆地面积的2.4倍。地球的表面积是多少亿平方千米?让学生列式计算出地球表面积是5.1亿平方千米,作为新授的铺垫和过渡。
(2)教学例3时,可以先让学生说出已知条件,并根据已知条件画出线段图(暂不标出“x” )。再让学生说出所求问题,明确要求的未知数有两个。然后利用线段图启发学生思考,先设哪一个未知数为x,根据已知条件,另一个未知数该怎样用含有字母的式子来表示。根据学生的回答在线段图上标注x和2.4x。然后引导学生想:一个条件已经用来表示第二个未知数了,还可以根据哪个条件找出等量关系列方程?由此列出课本介绍的方程。然后将方程和复习题的算式进行对比:
1.5+1.5×2.4=5.1
x+2.4x=5.1
帮助学生沟通新旧知识的联系,进一步理解数量关系。
如果学生提出不同的方法,可酌情加以比较,如:
让学生观察这些方程,容易看出解方程都比较麻烦。如果学生求出陆地面积后,怎样求海洋面积,有两种方法。学生喜欢用哪一种都可以,不必强求一律。
(3)例3的检验,应予以重视。可以提出问题:除了代入方程检验之外,还有没有其他的验算方法?学生一般能够想到,验算两个得数的和与商,看是否等于已知数。教师可以指出,在解决实际问题时,这样验算比先检查方程,再把x的值代入方程检验,更有效,也更简便。
(4)引导学生小结时,可以着重明确以下三点:第一,两个未知数怎么办?可以先选择其中一个设为x,列方程解,再求另一个;第二,两个已知条件怎么用?可以把其中一个用来写出含有字母的式子,表示另一个未知数,另一个用来列方程;第三,怎样验算?可以通过列式计算,检验两个得数的和及倍数关系是否符合已知条件。
5.关于练习十三中一些习题的说明和教学建议。
第1题,练习解含有小括号的方程。熟练之后,允许学生简化解方程过程的书写。如:
x= 11.4 x=11.4
第2题,数量关系为两积之和的实际问题。已知四张门票共11元。从插图中可以看出,成人票、儿童票各2张。
第3题,数量关系为两积之差的实际问题。如学生理解题意有困难(特别是农村学校),教师有必要作些说明。如水表有什么用处,收取的水费是怎样计算出来的。还可以从已知的101室入手,先让他们列式计算,101室第二季度的水费是不是80元。即
2.5×2788-2.5×2756=2.5×(2788-2756)=80(元)