题主你好,首先声明我写的随机过程是数学上定义的,但是通过举很多实际例子,您可以这样来理解:
早就想写随机过程了,之所以拖到现在才写的原因是因为最近看一些北大清华理工系的教学视频,深深受启发了,我买过很多书籍,其中有部分就是这些屏幕上教授写的,记得丘维声老师讲过,任何数学推导和定理定义的由来不是凭空产生的,而是水到渠成的,所以想把这篇随机过程的文章写到水到渠成。
我们每天晚上回家第一件事是做什么?如果大家细心的话会发现其实我们大多数回家第一件事是有规律性的,比如有的人回家第一件事就是“喝茶”
但是并不是你每天回家都会出现喝茶,这种不确定又有规律性的东西是如此让人着迷,而这种统计的规律性是客观存在的,而我们描述这种不确定有规律性发生的可能性大小定义为概率(我们一般随机试验比较多的时候我们用发生事件的频率来近似表示该事件发生的概率)。
好啦联系生活中实际的例子,假设我老家,有个人统计过去年夏天中100天有80天都在下雨,那么我们可以通过频率来预估未来夏天同样在这100天中某一天下雨的概率为80/100,那第一天要么下雨要么不下雨,同样第二天也是,同样一直推到第100天,我们抽象出来用数学表达式说明:
如果我们将下雨和未下雨用数字表示下雨(0)未下雨(1)很有可能出现这样一组组离散图像
这就是随机过程了,这个过程就是这100天,而每个过程特定的时刻(天数),就是一个随机的试验,这个随机试验的结果下雨要么不下雨,而以上对着100天做一次全程的试验,我们做n次全程的试验可以得到很多个不同的离散点集,随机过程是对整个过程而言的。
生活中有很多随机过程的例子,比如我们平常用的搜狗输入法,当我输入三个s时会出现如下一串词组:
很明显这个东西是按照个人习惯收集频率(概率)来进行计算显示的,这个东西就是一个随机过程。
还是举一个符合实际生活中例子我们来建立一套随机过程的数学模型,中学的时候,记得学过一篇看云识天气,课文片段描述如下:
“夏天,雷雨到来之前,在天空先会看到积云。积云如果迅速地向上凸起,形成高大的云山,群峰争奇,耸入天顶,就变成了积雨云。积雨云越长越高,云底慢慢变黑,云峰渐渐模糊,不一会,整座云山崩塌了,乌云弥漫了天空,顷刻间,雷声隆隆,电光闪闪,马上就会哗啦哗啦地下起暴雨,有时竟会带来冰雹或者龙卷风。“
我们现在根据云来就用建立一个天气预报预测模型。
首先我们假设我们只能观察到天气云层这几个状态
{晴空万里,绫纱云,薄云,卷云,积云,云山,乌云,暴雨,小雨,麻麻雨}
同时我们假定平常观察的都统计起来发现(注意,为了简化模型而假定的已经采集的数据),发现第一天晴空万里第二天出现绫纱云的概率为0.4,同理我们用矩阵表示第一天到第二天转移的状态矩阵。
假设我们知道第一天是晴天,那么就好推导了:
当数学模型建立完毕后我们可以用计算机模拟得到3天后的各个天气状况的概率,Python 代码如下:
importnumpyasnp
fromnumpyimportmat
if__name__=='__main__':
p=np.mat([[0.100,0.400,0.200,0.100,0.050,0.050,0.038,0.012,0.022,0.028],
[0.180,0.100,0.200,0.120,0.100,0.050,0.022,0.018,0.180,0.030],
[0.080,0.100,0.200,0.300,0.100,0.056,0.045,0.063,0.024,0.032],
[0.050,0.092,0.120,0.130,0.140,0.100,0.155,0.050,0.089,0.074],
[0.090,0.085,0.079,0.046,0.100,0.200,0.100,0.100,0.100,0.100],
[0.030,0.056,0.039,0.045,0.100,0.300,0.100,0.100,0.100,0.130],
[0.010,0.050,0.090,0.090,0.080,0.100,0.300,0.200,0.040,0.040],
[0.100,0.100,0.050,0.050,0.050,0.050,0.050,0.100,0.250,0.200],
[0.050,0.050,0.100,0.100,0.050,0.200,0.050,0.100,0.200,0.100],
[0.040,0.060,0.030,0.030,0.200,0.100,0.100,0.090,0.150,0.200]])
initP=np.mat(np.zeros((1,10)))
# 假设第一天为晴天
initP[0,:]=p[0,:]
n=60
print((initP*p**(n-1)))
运行后3天后各种概率如下:
其实这个状态转移矩阵是需要时常去更新的,而且一般的天气预测这个状态转移矩阵还需要有条件限制,甚至这个状态转移矩阵都可以依照概率生成,这就是随机过程,实际上我们做这个随机过程模型,是做了一个假设,假设预测只使用现有的条件,不依赖过去条件,这种性质叫做马尔科夫性(有兴趣的大佬可以了解一下)
实际上随机过程依赖于你说建立的数学模型,还可以做多方面的变通,比如泊松分布,就是一种数学模型下推导出来的,还有很多数不胜数的例子,好啦,基本随机过程就介绍完毕啦,后期博客开始进入实际问题的数学建模中,如有不足之处,希望大佬指正(*￣)￣)。