由镜像电荷位置关系,有 等效问题:两无限长线电荷构成的系统。 易知,在导体球面上电位分 别为 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为令其解为 代入上式求得上式中第二项仅为变量 的函数,而第一项及第三项 无关,因此将上式对求导,得知第二项对 3.5.圆柱坐标系中的分离变量法 为分离常数,它可以是实数或虚数。通常变量的变化范围为 ,那么此时场量随 的变化一定 是以2为周期的周期函数。因此,上式的解一定是三角 函数,且常数 cossin 为待定常数。考虑到 ,以及变量 的方程式,则前述方程可表示为 可为实数或虚数,其解可为三角函数,双曲函数或指数函数。当cossin 为待定常数。将变量 的解,而电位微分方程的通解应为三者乘积,或取其线性组合。 阶第一类柱贝塞尔函数,为m阶第二类柱贝塞尔函数。 注意:根据第二类柱贝塞尔函数的特性知,当r 若所讨论的静电场与变量z无关,则分离常数 FrEr 若所讨论的静电场又与变量无关,则0。那么,电位微分方程的解为 cossin cossin 的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中,电场强度方向垂直于导体圆柱,如图所示。 试求导体圆柱外的电场强度。 解:选取圆柱坐标系,令 轴为圆柱轴线,电场强度的方向与x 轴一致,即 当导体圆柱处于静电平衡时,圆柱内的电场强度为零,圆柱为等位体,圆柱表 面电场强度切向分量为零,且柱外的电 位分布函数应与z 无关。解的形式可取 前述一般形式,但应满足下列两个边界 条件: 此式表明,无限远处电位函数仅为cos 的函数,可见 系数 coscos cossin cossin 应为代入前式,求得柱外电位分布函数为 coscos 电场线等位面 sinsin 代入上式,得与前同理, cossin 3.6.球坐标系中的分离变量法 无关。因此,与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解,令sinsin 上式为连带勒让德方程,其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数 之和,这里 为有限项多项式。因此,要求 ,此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以,通常令 cossin 若静电场与变量无关,则m=0。那么称为第一类勒让德函数。此时,电位微分方程的通解为 设半径为a,介电常数为的介质球放在无限大的真空 中,受到其内均匀电场 的作用,如图所示。试求介质球内的电场强度。 的方向与z轴一致,即 。显然,此 时场分布以 无关。这样,球内外的电位分布函数可取为 (coscos