子集
对于两个集合A与B,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作
(或
),读作“A含于B”(“或B包含A”)。也就是说,A是B的子集,即:
任取
,总有
。
当A不是B的子集时,记作A⊈B(或B⊉A)。
说明
(1)⊆可以换用⊂,⊇可以换用⊃;⊈可以换用⊄,⊉可以换用⊅。
(2)用韦恩图表示子集为:
真子集
对于两个集合A与B,如果
,并且
,我们就说集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B
A)。
A是B的真子集:A是B的子集,且B中至少有一个元素不属于A。即A⫋B
任取
,总有
,但存在
,
。
集合相等
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。即
。
空集
不含任何元素的集合称为空集,记作
。
说明
∅与{∅}关系:{∅}是只含有一个元素的单元素集。∅与{∅}之间可以用四个符号:
中的任意一个把它们链接起来,但不能用等号连接。
非空集合
至少含有一个元素的集合叫做非空集合。
全集
如果有一个集合含有我们所要研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常用U表示。
全集是一个相对的概念,它是相对于它的一切子集而言的。
集合与集合的包含关系
集合A与集合B有且仅有下列两种关系之一:
与
说明
(1)真子集必是子集,子集不一定是真子集,即
;
(2)任何一个集合是它本身的子集,即
;
(3)空集是任何集合的子集,即
,空集是任何非空集合的真子集,即
;
(4)n元素的全部子集个数为
个,真子集为
个;
若{
}
A
{
} ,则集合A的个数为
个;
若{
}
B={
},则集合B的个数为
个。
(5)对于集合A、B、C,若
,
,则
对于集合A、B、C,若
,
,则
.
(6)注意a与{a}、数0与{0}、{0}与∅