向量几何法:运用向量的加减法规则,把要求的异面直线用向量表示,并运用向量的运算法则(例如分配律、共线向量)来求出cosθ。向量代数法:当容易找到三条两两垂直的直线时,可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系,运用代数方法计算。
异面直线所成角几何求法
1.平移法。将两条直线或其中一条平移(找出平行线)至它们相交,把异面转化为共面,用余弦定理或正弦定理来求(一般是余弦定理)。一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。
2.三余弦定理法。运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影,求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角,进而求a与b所成角。
3.三棱锥法。三棱锥(四面体)中两条相对的棱互为异面直线,设有四面体ABCD,其中AD与BC互为异面直线,那么它们所成角θ满足以下关系:
cosθ=|(AB²+CD²)-(AC²+BD²)|/(2AD*BC)
运用该公式也可以求异面直线所成角。
求异面直线的夹角的一般步骤:“作—证—算—答”
注:无论用哪种方法都应注意到异面直线所成角的范围。以及利用三角形中位线平移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移。