开和闭这两个词,即使是没有拓扑学基础的同学,也不会感到陌生。我们都知道,形如 ( a , b ) (a, b)(a,b)的区间是开区间,它是一个开集。形如 [ a , b ] [a, b][a,b]的区间是闭区间,它是一个闭集。开集和闭集并不是互补互斥的。存在既是开集又是闭集的集合,也存在既不是开集也不是闭集的集合。
R n R^nRn上的开集,是由邻域的概念推广而来。
定义.对于 R n R^nRn空间上的点 x xx,它的 δ \deltaδ邻域 U ( x , δ ) U(x,\delta)U(x,δ),是一个以 x xx为圆心, δ \deltaδ为半径的开球,也即
U ( x , δ ) = { y ∈ R n : ∣ x − y ∣ < δ } , U(x,\delta)=\{y\in R^n: |x-y|<\delta\},U(x,δ)={y∈Rn:∣x−y∣