注:本文标题不能完全描述本文内容. 由于水平和时间的限制, 本文中一定还有不少的缺点和错误, 恳请各位读者批评指正.
前段时间回答过一个这样的问题.
然而这个回答还是没有完全地表达我想表述的意思. 于是想到写这样的一篇文章来简单聊一聊.

你可能知道的:用向量外积(叉积)表示平面的法向量

在空间的右手直角坐标系中, 若向量
的坐标分别为
则两向量的外积
的坐标为
当然大学数学系的同学把这当作向量外积的定义是不合理的. 对我而言, 最能接受的定义是
定义2.80.[1]设
是空间中的两个向量, 若
与
平行, 则定义
和
的外积为
若
与
不平行, 则定义
使得:
是一个右手系;
不过浙江的高中生显然不需要知道定义[2], 而且对我们来说, 这个外积最大的作用是求平面法向量, 其次是求面积, 再次是求体积, 最后还有些奇怪的作用. 我们在这里最关心的是求平面法向量的作用.
容易证明
若直线
与
为平面
内的相交直线, 那么向量
垂直于
换句话说,
是平面
的一个法向量.
于是就有了所谓“简单的”求解平面法向量的方法. 当然, 在使用时还有一些注意点, 在文章的最后一部分会有介绍.

你可能不知道的:如何直接确定二面角余弦值的正负性

我们从一个例题开始.
【例】(2015浙江卷(理)T17(II))如图, 在三棱柱
中,
在底面
的射影为
的中点,
为
的中点.求二面角
的平面角的余弦值.
为了建系时更为标准, 这里作图时我在底面不变的条件下作了一些旋转.
我们采用更普遍的建系法(解析法).[3][4]
以
的中点
为原点, 分别以射线
为
轴的正半轴, 建立空间直角坐标系
如图所示. 由题意知各点坐标如下:
因此
设平面
的法向量为
平面
的法向量为
由
即
可取
由
即
可取
于是
由题意可知, 所求二面角的平面角为钝角, 故二面角
的平面角的余弦值为
解答中最后的“由题意可知”就很玄妙了. 在证明过程中我就没有找到哪一步证了二面角是钝角这个事情. 当然你可以证明
在平面
上的投影同
在
两侧. 这不是我们谈论的重点.
我们关心的是怎么不依赖于图形算出余弦值的值而不是绝对值. 我们给出下面一个结论.
结论二面角
的平面角的角度等于向量
与
的夹角.
当然
与
的夹角也是一样的. 但不能随意改变叉乘两项的顺序, 因为外积具有反称性而不是交换性, 改变顺序后得到向量方向就刚好相反了.
这个结论成立得益于叉积得到的法向量的方向是确定的, 即适合右手系. 若
从半平面
指向二面角内部, 那么若
从半平面
指向二面角内部. 反之相反.
比如在例题中, 我们可以列出
于是
就是下图中分别为实线和虚线的两个红色向量.
我已经尽可能画好了……
前者指向角内, 后者指向角外. 于是二面角平面角的余弦值为
我们再把本文本节最重要的事情重复一遍——
结论二面角
的平面角的角度等于向量
与
的夹角.

用外积法求解法向量解决问题的自我修养

众所周知, 高考答题时要适当装傻, 即你知道可以用叉积来求法向量, 但你不能把向量叉乘直接写在试卷上. 此时我们就可以用一种很圆滑的处理方式. 比如对于上面一道题, 我可能会这么写——
以
的中点
为原点, 分别以射线
为
轴的正半轴, 建立空间直角坐标系
如图所示. 由题意知各点坐标如下:
因此
所以平面
的法向量为
平面
的法向量为
于是
由题意可知, 所求二面角的平面角为钝角, 故二面角
的平面角的余弦值为
看, 我们写得和参考答案也差不多, 评卷人不会觉得我们用了什么特别的方法.
上述解答中有几个注意点. 请先留意注释[2].
确定二面角的三个向量最好分行写, 三个坐标值对齐更佳, 这样操作叉乘时可以方便一点. 另外建议把平面交线写在第一个位置, 否则叉乘容易搞错顺序.法向量像上面一样不列方程直接写出理论上是不可以被扣分的. 但代价就是你务必要核实算出来的是否是法向量, 即求法向量和平面上向量的内积, 确认是否为零.据说有很多同学求完法向量喜欢直接这样写
然后就去做其他题了. 这是不合适的. 还是应该要写一个答句, 或注明“设
是所求二面角的平面角”. 这是有原因的, 不过比较复杂, 懒得详细写了.
关于立体几何大题, 我暂时只想说这些了.

参考

^来自于复旦大学杨翎教授编写的(并且尚未正式出版的)解析几何教材.^注意定语“浙江的”.^点名批评百度文库上很多所谓本卷本题的解析, 都采用了左手系, 我们在实际解题时要尽可能采用右手系.^以下解答摘自于2015《浙江考试》增刊1第25页. (就不按标准引用方式写了)