首先,从图4-5的投影关系中可以得到,直角坐标下的 位移与极坐标下位移的关系为: cossin sin cos (4-12)将(8)代入(4-12)得cossin Hr 可见,I、K分别是物体沿x 的意义可参见图4-6,它代表绕对称轴的刚体转动。一般地,与轴对称应力相对应的位移不是轴对称 位移。但如果物体的几何形状、载荷和约束是轴 对称的,则必为轴对称位移,即 如果物体是实心的,由于中心处的应力不可能是无限大,故 此式表明,具有轴对称几何和载荷作用的实心物体,其应力场为均匀应力场。 受内、外压作用的圆环或圆筒圆环或厚壁圆筒,内半径为a,外半径为b,内部 外部受均压,求应力分量。 图4-7由于结构和载荷的对称性,其应力解为: 已自动满足由其余二式得: 圆筒受内压,外边界给定位移约束圆筒内半径为a,外半径为b,受内压q作用,外 边界固定。 这是一个混合边值问题。 边界条件: 图4-8显然, 已自然满足将(4-13)第一式和(4-14)第一式分别代入其 余两式,并注意到在平面应变问题中 qa位移分量: 弹性接触问题设一圆筒,其内径为a,外径为b,埋在无限大弹 性体中,内部受均压q,求应力分量. 设圆筒上的应力分量: 图4-9位移分量: 对两个结构,应力和位移均为轴对称,于是可采用公式(4-13)和(4-14)。但由于弹性常 数不同,上式中,两个结构对应的待定系数也 不同,对于圆筒设其为A、C;对于无限大弹性 体,设其为 对于无限大体,按照圣维南原理,圆孔内壁(r=b)所受的内压是平衡力系,在()对于无限大体边界条件和接触条件: 由(4-14)的第1式,并注意到(7)式,圆筒和无限大弹性体的径向位移为 Cr 由方程(6)(8)(9)可求出A、C、A,圆筒及无限大弹性体的应力分量和位移分量: 时,应力分布大致如图4-9所示。