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一开始,人类通过观察、类比、不完全归纳等经验性方法总结自然界的规律。那时候自然科学内部尚未分立,数学也没有和自然科学分开。
后来,人们从描写自然界规律的公式/方程中看出了一些普遍模式,比如两个质点之间的引力跟距离平方成反比,以及力的大小正比于质量和加速度等等。如果允许力的大小随时间变化,那么牛顿第二定律实际给出了一个常微分方程。随着对变力做功等物理过程进行定量描述的实际生产需求的出现,微积分、微分方程等数学学科诞生。
随着人类进入近代文明,一方面,人们面对的自然科学现象日趋复杂。有些科学现象暂时还无法通过数学语言来很好描述,有些科学现象可以用数学语言来描述,但是现有的数学还无法处理。比如多分子体系都可以用薛定谔方程组来描述,问题是你解不出来,连数值解都解不出来——现代计算化学的很大一部分内容就是对一定规模的分子体系进行数值分析和模拟。自然界中出现的数学模型往往过于复杂,数学家只能对其简化简化再简化,简化到某种程度才能用现有的数学工具进行分析。那么自然科学家们在 数学工具不足以完整处理实际情况、简化模型又过度失真 的情况下怎么办呢?不要忘了,人类还有另一种研究方法,就是一开始提到的经验性的方法。他们利用比如统计分析一类的方法分析实验数据,给出一些经验公式、经验结论——这些公式并不是从物理上的第一性原理进行数学推导而得到的,本质上是一些educated guess,在一定的参数范围内适用。
另一方面,数学本身的发展也开始脱离自然科学。数学一开始发展自对“模式”的研究;模式可以是直接来自于自然界的,也可以是自然界模式的抽象和一般化。比如数学家从自然界普遍存在的对称性中发展出“群”的概念,从3维空间的物理直观中抽象出任意维线性空间的概念。这些代数结构,以及其他的数学结构,都是广义的数学模式。一部分数学家不再关心数学模式与自然界之间的直接联系,而只是研究模式本身;他们发展出很大一块领域,就是所谓的“纯数学”。不过,奇妙的是,即使是纯数学中出现的看上去与自然界不相干的模式,有时候还又能回到自然界的模式。比如一开始作为抽象的几何学存在着的 黎曼几何/现代微分几何,后来成为了广义相对论的数学框架。