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预备知识切线
1我们来看一个平面上的一个光滑曲线(即处处存在切线), 我们如何描述它某点处的弯曲程度呢? 一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段, 然后做一个尽量与它吻合的圆, 当这小段的长度趋近于 0 时, 这个圆可以唯一确定. 我们把这个圆叫做密切圆(osculating circle), 把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径(radius of curvature), 曲率半径的倒数叫做曲率(curvature).
我们先来看一个半径为
的圆的一小段圆弧, 令其长度为
. 作这段圆弧两端的切线, 令它们的夹角为
, 那么显然满足
. 同理, 对于任意光滑曲线上长度为
的一段, 我们也可以做相同的处理, 但需要令
曲率的具体的计算公式取决于使用什么方式定义曲线, 最常见描述方式就是在直角坐标系中通过函数
来定义, 点
处的曲率半径为(
分别表示导数和二阶导数)
如果通过极坐标系函数
定义, 则点
处的曲率半径为
直角坐标系的推导
预备知识高阶导数, 一元函数的微分
平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数
. 我们可以通过导数计算曲线上某点切线关于
轴的夹角
.
曲线长度的微分为
其中
为了得到
, 我们对式 4 两边做微分得
所以曲率半径为
极坐标系的推导
极坐标系中, 同样可以用函数
描述曲线. 令
即
长度微分为
微分
即
注意切线方向的微分是
. 所以
把式 1 和式 13 代入, 再使用式 10 消去
得
编辑于 05-26
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