对于三维和三维以下向量的叉乘计算和叉乘矩阵的求取通过定义单位向量间的运算规则可以计算得到。
对于高维向量,这种方法显得有些繁琐不易理解且容易出错。
下面介绍另外一种方法,先举个二维的例子:
假设向量a是一个二维的向量(这里只使用二维是为了让例子容易理解)
这里引入一个反对称(anti-symmetric)矩阵H:
通过计算
,发现结果为0
由叉乘的规则,a叉乘a的结果为0:
通过对比,可以发现aH 就是a向量的叉乘矩阵,当a为列向量时
为a向量的叉乘矩阵。
如果a为三维向量,那么H为:
可以发现H就是由一个个反对称矩阵构成。
如果向量a的维数为 p ,那H就有
个子矩阵。
4、扩展
对于向量的点乘、四元数乘法都可以通过定义单位向量 i j k…之间的运算规则来推导。