组成图形的基本线条有两种,一种是线段(有两个端点),一种是闭环(没有端点)。
假设最终图形是一个个基本线条组装上去的。
最初的N个组成基本线条如果不相交,显然一定是偶数个奇点(k=2*a+0*b)。
然后将其他的基本线条添加上去...
I. 如果添加的是线段,而线段的两个端点都不与其他线条接触,交点也并非原来的端点或者交点,那么新增的交点因为有四根发散线条,并不构成新增奇点,整个图形奇点数k'=k+2,依然为偶数。
II. 如果添加的是线段,而线段的两个端点都不与其他线条接触,交点是原来的端点或者交点,那么原来的端点或者交点发散的线条数+2,那么不管新增的交点有多少个,都不改变原有端点或者交点发散数的奇偶性,也就是不会改变原有奇点的数量,整个图形奇点数k'=k+2,依然为偶数。
III. 如果添加的是线段,其中一个端点接触原有线条非端点位置,交点因为有三条发散线而成为图形中的新增奇点,同时,另一个端点接触原有线条非端点位置或不与原有线条基础,都将成为整个图形中的新增几点,而其他非端点位置焦点无论相交是什么位置,都不会新增图形中奇点(前文已经证),整个图形奇点数k'=k+1+1,依然为偶数。
IV.如果添加的是线段,其中一个端点接触原有线条端点位置或者交点位置,如果原有端点或交点发散的线条数是偶数,那么因为新增一条发散线条变成奇数,导致原有图形损失一个奇点,反之则增加一个奇点,另一个端点也是这样。而其他非端点位置焦点无论相交是什么位置,都不会新增图形中奇点(前文已经证),那么有可能出现的情况是(+1,+1)(+1,-1)(-1,-1),但无论k=k+2,还是k=K-2,还是k=k+0,依然为偶数。
V.如果添加的是闭环,那么与I情况类似,K=K+0,依然为偶数。
以上为一次添加,重复添加以此类推,根据数学归纳法,命题得证。
写完发现好冗长,各位高手有没有简单的证明?
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厉害,搞懂了一笔画问题
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学习了,很有用,终于分清楚了奇点和非奇点,谢谢
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