[心理学思考]例题所呈现的新知具有一定的挑战性,尤其当只有文字叙述时,学生往往不能直接看出几个数量之间的关系,因此会产生画图的需要。在例题教学之初,教者没有直接让学生画图,而是通过四个问题,诱发学生对画图策略的心理需求,使学生主动地采用画图的策略。在学生初次画图时,老师适当指导和帮助(尤其是如何画“长增加3米”这个难点);当学生画图之后,通过观察比较,将数与形的意义对应起来,结合已有旧知大多能解决所求问题。其中,展示交流学生画图和思考的过程,能从学生学习体验的角度把探究新知的过程充分呈现出来,加深学生对数量关系的认知;而列式之后让学生说出“18÷3求的是什么”,再次数形对照,理解列式原理;解决问题之后让学生回顾与反思,感受画图策略的价值所在。
三、灵活运用,体验策略
1.变换情境,灵活画图。
(1)出示“试一试”。
小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路,鱼池的宽减少了5米,这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米?
师:这道题目中,长方形鱼池的面积为什么会减少?
生:因为宽减少了5米。
师:你能在图上画出宽减少的情况和面积减少后的部分吗?
(生独立画图思考,列式解答。然后,师展示学生画图的过程)
师:宽减少,是往图形的哪里画图?
生:是往长方形里面画图。
师:画图之后,再和文字叙述比较一下,你有什么感觉?
生:文字很长,画图比较清楚。
师:通过画图,你发现什么变了?什么没有变?
生:宽变了,长没有变。
(师展示学生列式解答和思考的过程)
生:150÷5×(20-5):30×15=450(平方米)。
生:150÷5×20-150=600-150=450(平方米)。
师:与例题相比较,这道题画图解题时要注意什么?
生:例题是面积增加,往外面画图;这道题的减少部分画在原来长方形的里面。
(2)出示“想想做做”第1题。
下图是李镇小学的一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加6米,面积比原来增加48平方米;宽增加4米,面积也比原来增加48平方米。你知道原来试验田的面积是多少平方米吗?
师:这道题长和宽都没有告诉我们,怎么办呢?
(生画图、讨论、合作、交流)
师:经过画图,你有什么发现?
生:根据“长增加6米,面积比原来增加48平方米”可以求出原长方形的宽,因为长增加时宽没有变。48÷6=8(米)。
生:根据“宽增加4米,面积也比原来增加48平方米”可以求出原长方形的长,因为宽增加时长没有变。48÷4=12(米)。
生:再用长乘宽就可以求出原长方形的面积:8×12=96(平方米)。
师:表面上看,这道题似乎无法求解,但通过画图,可以清晰地看出长或宽增加与面积增加之间的关系,从而分别求出长和宽并解决问题。
2.系统比较,发展思维。
师:这两道题与例题在画图时有什么不同?
生:例题和“试一试”,一个是面积增加,一个是面积减少,而这道题是假设面积变化情况的。
生:前两道题,要么告诉我们长,要么告诉了宽,第三题长和宽都没有直接告诉我们。
师:通过画图来解决问题,你有哪些体会?
生:画图能使我们看得更清楚。
生:画图能使我们解决问题变得简单。
师:同学们已经能够在纸上画出图形帮助思考,已经初步掌握了画图的策略。比较高级的画图策略是在头脑里画图呢,大家一起来试试,好吗?
[心理学思考]教学例题之后呈现了两道巩固性习题。第1题是对例题的模仿性应用,学生通过画图进一步体会画图作为策略的作用;第2题是综合性应用,在长和宽都没有告诉的情况下,综合考虑面积增加与长、宽增加之间的对应关系,分别求出长和宽再解决问题。这两道练习题是对例题的延伸和发展,让学生在不同情境中不断感悟画图策略在解决有挑战性问题中的作用,同时发展学生的观察、比较、分析、推理能力。
3.拓展练习,综合应用。
出示“想想做做”第2题。
张庄小学原来有一个长方形操场,长50米,宽40米。扩建校园时,操场的长和宽各增加了8米。操场的面积增加了多少平方米?
出示题目时逐步分解进行:
(1)长增加8米,面积增加多少平方米?
师:你能在头脑里画出示意图吗?
(生在头脑里画图,并用手势比画)
师:你能列出算式计算出来吗?
[师根据学生的画图,展示课件对照,并板书:40×8=320(平方米)]
(2)宽增加8米,面积增加多少平方米?
师:你能继续在头脑里画出示意图吗?
(生在头脑里画图,并用手势比画)
师:你能列出算式计算出来吗?
[师根据学生的画图,展示课件对照,并板书:50×8=400(平方米)]
(3)长和宽各增加8米,变成新的长方形。面积增加多少平方米?
师:大家在头脑里画好图了吗?你能很快说出面积增加多少吗?
生:面积增加720平方米,列式是320+400=720(平方米)。
师:这样的思考与列式对不对呢?我们可以把头脑里画的图在纸上画出来,验证一下。
(生在纸上画图验证)
师:经过头脑里画图猜想和在纸上画图验证,大家发现增加的面积是720平方米吗?
生:不对!还有那个外面的“角”没有算进去。
师:他说的那个“角”是什么图形?面积是多少?
生:是正方形,面积是8×8等于64平方米。
师:那么增加的面积应该是多少?
生:应该是720+64=784(平方米)。
师:仔细观察我们画出的图,你还有不同的解决问题的方法吗?
(展示学生的不同解法,并分别让其解释理由)
生:(50+8)×(40+8)-50×40。
生:(50+8)×8+40×8。
生:(40+8)×8+50×8。
变式1:长和宽各减少8米,操场的面积减少多少平方米?
(生画图、讨论,叙说思路,电脑演示)
变式2:长增加8米,宽减少8米,面积改变了吗?为什么?
(生猜测,画图探究,电脑演示)
变式3:长减少8米,宽增加8米呢?为什么?
(生猜测,画图探究,电脑演示)
师:由此,你发现了什么规律?
(生答略)
[心理学思考]这道拓展题充分体现了画图策略的价值所在。教者采用一题多变的方式,让学生在运用画图策略的过程中探索变化规律,享受数学思维活动的快乐。首先,题目出示的方式具有心理暗示的效应:先以文字的“误导”让学生轻易地获得答案,再通过画图的策略寻找问题的关键,并通过对比让学生充分感受到画图的价值。接下来的“变式”设计,更是把数学思维推向高潮:由“各增加”到“各减少”的演变使学生的思维更加趋于严密,由长增加(减少)同时宽减少(增加)相同长度而猜想面积变化情况,培养学生对比推理能力,再通过“由此,你发现了什么规律”的追问让学生体悟数学辩证法思想。
四、总结评价,提升策略
总结全课。适当介绍并呈现数学、生活及其他领域运用画图策略解决问题的典型例子。
[全课思考]
画图是解决问题时经常使用的策略。为什么需要画图?怎样让学生学会画图?不是把现成的图画好展示给学生看,也不是直接告诉他们怎样画,而是让学生在思考的过程中产生画图的需要,在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。
1.引入策略。在本课之前,学生已经积累了不少画图的经验,比如画实物图、示意图、线段图等。但是,以前的画图主要是使题目更加形象和直观,而今天的画图更主要是帮助分析数量关系,确定解题思路和方法,以解决稍复杂的具有挑战性的实际问题。
在教学例题时,教师始终把画图作为一种策略让学生不断感悟:当学生面对抽象的文字叙述而一筹莫展时, 通过老师的启发引导,学生产生了画图的动机和需要;当学生首次画有变化的长方形遇到困难时教师适时指导帮助,使学生习得基本的画图方法;当学生画图后仍然停留在图形中时,教师及时诱导学生进行观察和推理;当学生画图后初步分析了数量关系时,教师又有效地引发学生确定解题思路,把图形分析转化为列式计算。
2.形成策略。本课所学习的解决问题,是长方形面积计算的灵活应用。例题呈现的是长方形面积增加的计算,“试一试”是长方形面积减少的计算,“想想做做”的两道题则更具有广泛性。尤其是“想想做做”的第2题,一题多变,让学生在计算中推理,在推理中想象,在想象中比较,在比较中发现规律。
在解决问题的过程中,画图不是最终目的,而是为了更好地思维。通过画图,让学生感悟到其作为策略的价值;通过画图,让学生积极地寻找各数量之间的关系;通过画图,让学生学会有序推理和抽象思维。
3.感悟策略。策略是什么?所谓“策略”,是“根据事情发展而制定的方针和对策”,实质是一种对解决问题方法的理解、体会和升华。
四年级下学期的学生,已经积累了一定的解决问题的实际经验(包括解决问题的基本方法和策略)。本课依据“提出实际问题+解决实际问题+反思解题活动”的教学线索,采用了回顾与分析、变式与对比、感悟与体验等渠道,逐步使学生对“画图”策略达到深刻理解和掌握水平,从而达到提升学生数学思想的目的。