如果函数在区间上连续,并且存在原函数,则如果函数区间上有定义,并且满足以下条件:(1)在区间上可积;(2)在区间上存在原函数;则定义一个变上限积分函数,让函数获得增量,则对应的函数增量根据积分中值定理可得,,(ξ在x与x+Δx之间),所以,因为,所以,即所以即证毕。因为函数在区间上可积,任取区间的分割在区间上任取一点,则有其次,对于分割,有在区间上对函数应用拉格朗日中值定理得其中因此有证毕。设函数在矩形区域上连续,如果存在一个二元函数,使得,则二重积分设D为单连通区域,与在区域D上有连续的一阶偏导数,若存在一个二元函数,使得在区域D中任意取两个点,则对连接的任意一条光滑曲线L,都有1670年,英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题,这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。