圆可能是自然界中最常见的图形了,人们很早就注意到,圆的周长与直径之比是个常数,这个常数就是圆周率,现在通常记为π,它是最重要的数学常数之一。
关于π最早的文字记载来自公元前2000年前后的古巴比伦人,它们认为π=3.125,而古埃及人使用π=3.1605。中国古籍里记载有“圆径一而周三”,即π=3,这也是《圣经》旧约中所记载的π值。在古印度耆那教的经典中,可以找到π≈3.1622的说法。这些早期的π值大体都是通过测量圆周长,再测量圆的直径,相除得到的估计值。由于在当时,圆周长无法准确测量出来,想要通过估算法得到精确的π值当然也不可能。
到了公元前3世纪,古希腊大数学家阿基米德第一个给出了计算圆周率π的科学方法:圆内接(或外切)正多边形的周长是可以精确计算的,而随着正多边形边数的增加,会越来越接近圆,那么多边形的周长也会越来越接近圆周长。阿基米德用圆的内接和外切正多边形的周长给出圆周率的下界和上界,正多边形的边数越多,计算出π值的精度越高。阿基米德从正六边形出发,逐次加倍正多边形的边数,利用勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理),就可求得边数加倍后的正多边形的边长。因此,随着边数的不断加倍,阿基米德的方法原则上可以算出任意精度的π值。他本人计算到正96边形,得出223/71