求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是将 \([A I]\) 做初等变换,如果 \(A\) 化成了单位矩阵,则单位矩阵化成了 \(A\) 的逆矩阵。
求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:
将矩阵 \(A\) 与单位矩阵 \(I\) 排成一个新的矩阵 \((A \quad I)\)将此新矩阵 \(( A \quad I )\) 做初等行变换,将它化成 \(( I \quad B )\) 的形式\(B=A^{-1}\)
若\(A\) 是一个二阶方阵
\[A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\]
则它的逆矩阵可以直接使用公式
\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\]
来计算。我们来看几个例子。
例1:求二阶矩阵
\[A=\begin{pmatrix}8&6\\ 5&4\end{pmatrix}\]
的逆矩阵。
解:因为矩阵是二阶矩阵,我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。
\[\begin{align*}A^{-1}&=\frac{1}{8\cdot4-6\cdot5}\begin{pmatrix}4&-6\\ -5&8\end{pmatrix} \\& =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-6\\ -5&8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-3\\ -\frac{5}{2}&4 \end{pmatrix}\end{align*}\]
例2:求矩阵
\[A= \begin{pmatrix} 1&0&-2\\ -3&1&4\\ 2&-3&4\end{pmatrix} \]
的逆矩阵。
解:这是一个三阶的矩阵,最简便有效的方法是初等变换法。(你可以试试用伴随矩阵的方法来求,计算量比初等变换法相差多大)我们将矩阵与单位矩阵排在一起,然后做初等变换
\[\begin{align*}(A\quad I)&=\begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots