* 设,则向量必垂直于边BC,该向量必通过ABC的垂心 * 若H是ABC(非直角三角形)的垂心, 则SBHC:SAHC:SAHB=tanA:tanB:tanC 故tanA·+tanB·+tanC·= 3.点是的外心. 证明:O是ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等) (+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点) ABCDO*若点O为ABC所在的平面内一点,满足 ,则点O为ABCDO证明:因为,所以 同理得由题意得,所以,得。故点O为ABC的外心。 *两点分别是的边上的中点,且若O是ABC的外心,则SBOC:SAOC:SAOB=sin∠BOC:sin∠AOC:sin∠AOB=sin∠2A:sin∠2B:sin∠2C 故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·= 证明:设点在内部,由向量基本定理,有,则设:,则点为DEF的重心, 又,,,∴ 若O是ABC的外心,则SBOC:SAOC:SAOB=sin∠BOC:sin∠AOC:sin∠AOB=sin∠2A:sin∠2B:sin∠2C 故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·= 4.是的内心。(其中是三边) 证明:充分性: 是的内心 = 所以,而,分别是,方向上的单位向量,所以向量平分,即平分,同理平分,得到点是的内心。 *为的内心. 内心(角平分线交点) 证明:分别为方向上的单位向量,平分, ), 同理: 得代入解得, () 化简得, * 设,则向量必平分∠BAC,该向量必通过ABC的内心; * 设,则向量必平分∠BAC的邻补角 * *O是ABC的内心充要条件是 *若O是ABC的内心,则SBOC:SAOC:SAOB=a:b:c 故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=; *设为ABC所在平面内任意一点,I为ABC的内心, * 内心I( EQ \F(aXA+ bXB+ cXC,a+b+c) , EQ \F(ayA+ byB+ cyC,a+b+c) ) 证明:由是的内心。(其中是三边)(见内心的充要条件的证明) , ∴I( EQ \F(aXA+ bXB+ cXC,a+b+c) , EQ \F(ayA+ byB+ cyC,a+b+c) ). 是的内心。(其中是三边) 若o为三角形的旁心,则a=b+c(abc是三边) *已知为的外心,求证:. 分析 构造坐