第十一章“全等三角形”简介 课程教材研究所 宋莉莉“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形,给出全等三角形的概念, 然后让学生探索两个三角形全等的判定方法,并利用三角形全等进行证明,最后学习角的平 分线的性质及相关证明。 本章教学时间约需11 课时,具体分配如下(仅供参考): 11.1 全等三角形 课时11.2 三角形全等的判定 课时11.3 角的平分线的性质 课时数学活动 小结 课时一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图: 本章的主要内容是全等三角形,主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方 法,同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节,第一节介绍全等形,包括三角形 全等的概念,全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法,及直角三角形全 等的一个特殊的判定方法。在第三节,利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质, 并利用角的平分线的性质进行证明。 学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识,七年级两册教科书中安 排了一些说理的内容,这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。通过本章的学习,可 以丰富和加深学生对已学图形的认识(如两个三角形满足一定的条件就完全一样了,角的平 分线上的一点到角的两边的距离相等),同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是 研究图形的重要工具,学生只有掌握好全等三角形的内容,并且能灵活地运用它们,才能学 好四边形、圆等内容。 从本章开始,要使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式。这既是本章的 重点,也是教学的难点。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件(“边边边” 条件)上,使学生以“边边边”条件为例,理解什么是三角形的判定,怎样判定。在掌握了 “边边边”条件的基础上,使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证,怎样正确地 表达证明过程。“边边边”条件掌握好了,再学习其他条件就不困难了。 在“三角形全等的判定”一节中,得出如下结论:三边对应相等的两个三角形全等;两 边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等。用这些结论可以判定两个三角形全等。三角形全等的这些判定方法都是可以证明的,都 可以作为定理处理。但是,这些定理(除“边边边”定理外)的证明方法都比较特殊。学生 开始学习这些判定定理时,掌握定理的内容并不困难,困难的是定理的证明,而这些特殊的 证明方法,在正式学习推理证明的开始阶段,并不要求学生掌握。所以为了突出重点,突出 判定方法这条主线,本章中上述判定方法都是作为基本事实(公理)提出来的,通过画图和 实验,使学生确信它们的正确性。值得注意的是,本节中的另一个判定方法“两个角和其中 一个角的对边对应相等的两个三角形全等”,则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个 三角形全等”证明的。 运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等”判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基 本事实(公理)提出来的,也是通过画图和实验,使学生确信它的正确性。 在“角的平分线的性质”一节中,介绍了角的平分线的作法,以及“角的平分线上的点 到角的两边的距离相等”“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。 教科书用三角形全等证明了前一个结论,并结合证明过程总结了证明一个几何命题的一般步 骤。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点,本章暂不介绍互逆 命题、互逆定理等内容,这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。本节例题让学生 证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等,并进一步让学生得出这个交点在第 三条角平分线上,即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内 心作好了准备。 本章的学习目标如下: 1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。 2.探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。 3.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平 分线的性质进行证明。 二、本章编写特点 (一)注重探索结论 在“三角形全等的判定”一节设计了8 个探究,让学生经历三角形全等条件的探索过程, 突出体现新教材的设计思想: 探究1:两个三角形满足三条边对应相等,三个角对应相等这六个条件中的一个或两个, 两个三角形是否一定全等; 探究2:三边对应相等,两个三角形是否一定全等; 探究3:两边及其夹角对应相等,两个三角形是否一定全等; 探究4:两边及其中一边所对的角对应相等,两个三角形是否一定全等; 探究5:两角和它们的夹边对应相等,两个三角形是否一定全等; 探究6:两角和其中一个角的对边对应相等,两个三角形是否一定全等; 探究7:三个角对应相等,两个三角形是否一定全等; 探究8:斜边和一条直角边对应相等,两个直角三角形是否一定全等。 探究2~7 让学生探索两个三角形满足三条边对应相等,三个角对应相等六个条件中的 三个,两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边,两边一角(包括探究3,探究4 种情况),一边两角(包括探究5,探究6两种情况),三个角,这样学生容易把握探索的 过程。 探究1、探究4、探究7 是不一定能判定全等的情况,探究2、探究3、探究5、探究6 是能判定全等的情况。这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的 情况的处理不同,尽量排除人为安排的因素,呈现更为自然。 学完三角形全等的判定方法,让学生将三角形全等的判定方法运用于直角三角形,讨论 得出直角三角形全等的判定方法。其中,斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的 判定方法,又需要学生进一步加以实验探索。 (二)注重推理能力的培养 本章在七年级下册第七章出现证明和证明格式的基础上,进一步介绍推理论证的方法。 要求学生有理有据地推理证明,精练准确地表达推理过程,是比较困难的。为了解决这个难 点,教科书做了一些努力。 1.注意减缓坡度,循序渐进。开始阶段,证明的方向明确,过程简单,书写容易规范 化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式,然后再逐步增加题目的复杂程度,小步 前进,每一步都为下一步做准备,下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等 三角形的证明问题,减缓学生学习几何证明的坡度。 2.在不同的阶段,安排不同的练习内容,突出一个重点,每个阶段都提出明确要求, 便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等,然后安排通过证明三角形全等,证明两条 线段或两个角相等的问题,从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题涉及以前学过 的平行线等内容,重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力。 3.注重分析思路,让学生学会思考问题,注重书写格式,让学生学会清楚地表达思考 的过程。例如,在“三角形全等的判定”一节证明例1 的结论“ABDACD”以前,首先 指出证题的思路:“要证ABDACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等。”为了 清楚地表达上述思考过程,引入“”“”及综合法证明的格式,把证明的过程简明地表 达出来。 (三)注重联系实际 在“全等三角形”一节,教科书从实际例子引入全等形的概念,并让学生举出一些例子。 这样做既可以使学生易于理解相关概念,也可以调动他们学习的积极性。又如,从分析平分 角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如,通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的 内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论,使学生看到理论来自实际的需要。 用三角形全等可以说明实际测量方法的道理,教科书在例题和习题中安排了测量池塘两 端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容,还安排了利用三 角形全等测量旗杆高度的数学活动。 三、几个值得关注的问题 (一)关于内容之间的联系 在“全等三角形”一节,让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等 的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念,另一方面也使学生在某些情况下 容易找到全等三角形的对应元素。 在“三角形全等的判定”一节,把三角形的画法与三角形全等判定方法的探索相结合。 也就是说,不直接给出三角形全等的判定方法,而是让学生画出与已知三角形某些元素对应 相等的三角形,画完以后,再剪剪量量,在这个基础上启发学生思考,判定两个三角形全等 需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验,就会对相关结论印象深刻。这样做的另一个 好处是,避免单独讲三角形画法的单调枯燥。 为了使学生更全面地认识“全等”和“全等三角形”,教科书安排了“阅读与思考 等与全等三角形”。这篇阅读材料以师生对话的形式对“全等”和“全等三角形”的相关问题作了进一步的介绍。全等是几何中的重要概念,是学生今后几何学习的重要基础。