第 巧卷第 9 期 20 年 9月 01 成都教育学院学报 J U N L C E G U L E E E U A IN O R A O H N D C L G O D C TO F O F W 巧- N9 o e - SP2 田1 文 章编号: 0 一 1 ( 0)9 07 一 2 : 8 94 2 1 一 01 0 1 0 40 0 ? 职业技术教育教学? 分段函数在分界点处的 极限、 连续性与可导性的例子 李秋敏 ( 四川省商业学校 四川成都 609) 1 1 0 中国图书分类号:7 . G1 5 8 文献标识码 : C 在一元微积分的教学中, 学习函数的极限与连续时, 常 遇 讨论当x N时, 到 - o 分段函数f ) - ( X在分界点X处的极限是 o 否 在; O处分段函 存 在点N 数是否连续; 以及分段函数在点X O 处 否可导。学生对这一类利用定义进行讨论的题型感到 是 无 从下手, 不知如何讨论, 现就几个例题作详细的讨论。 一、 () x- 时的极限 分段函数f 在 -x x o 对于分段函数常用以下定理来讨论极限是否存在: 如果函 () }x时的极限存在且等于 A 当且仅 数f 当x a x , 数在点、处间断。 讨论分段函数在分界点处的连续性时应按上述三个条 件依次讨论。 l 例 3 讨论函数 f ) I在 二 处 连 性 ( 二x 点x0 的 续 。 x 解 定义域( 一-,) 0 -) 0 U(, , 1 函数在点 x 0 二 处无定义, 在点 x 0 … 二 处不连续。 x , <0 一1 x 子 .1 当x x时,X的左、 }o f ) ( 右极限都存在且等于A , 即l f ) p ( =l ( 二 . A l f ) i f ) A i (= mx i x m m x 广、 - r 、一 - 例 4 讨论函数 f ) ( x -- 0 x 0 ,= 在点 x 0 二 处的连续 x , >0 +1 x 例 讨函《= ‘论数X{ ) r - 0 _- a 一,0 X 时极限是否 ‘ , -0 x当 < X, X之 V x ,+ -n ' 性。 解 函数 f ) X o ( 在点 = 处及其附近有定义, x i ( 二l x ) 1 l f 二l x l f ) i ( 一1 二一 , m ) i ( ) , m x m i ( x m +1 二1 万 ,习 存 在。 解 l f) i x ) x 二l ( 一1 二一1 l fx =l = , i( m m , m ) i i ( mx 0 】。 ,+ ,。 ,+ r . o r . s0 . i ( 不存在, lf ) x m 函数 f ) x 0 ( 在点 = 处不连续。 x , 曰心 例5 性。 'I f ) i f ) :-m( ; ( o ( . af ) n l x , l x不存在。 x m i .; .刃 ,一 1。 冲 十 ! X ,0 点 =处 连 x 在 x0 的 续 6 9 讨 数x{ 论f s 函( I )X =m c ` 0 , 二0 x 例2 讨论函数 f ) ( x .! -一 矛 , X< 今 ‘ - . 1 璐 唱 . 1 1内 ‘ X ‘ , X 一 时极限 当 - 1 , x> - 1 一. 解 二, 们 函数 f ) ( 在点 x o x = 处及其附近有定义 , 】 U 户 是 存在。 否 f i ( i i = ,0 二 , l f ) l sx 1 () 0 m x二 m n 函数 f ) x 0 二 处不连续。 ( 在点 x X+1x ,> 解 l ( = f ) i x m l i m 万 一l ￣ 1一X -一 i ( 二 i l f ) l x m x m喜 2 - -+ t 二 合 l l2’ :l f ) i f ) i ( =l ( , m x m x r0 -一 盆。 ,十 例6 性。 .- ‘ -1 - 1 一2’ 讨函“二 论数x{ ) 2 +1 x x ,< 2 一处连 7 , 续 6 的 E 点 l f ) -- i ( m x 解 函数 f ) x 2 ( 在点 = 处及其附近有定义, x i ( =l 2 + 5 l ( 二l 2 +1 二 , l f ) i (x 1 二 , f ) i (x ) 5 m x m ) i x m m ‘书2 二、 分段函数f ) ( 在分界点X处的连续性 x o 由 续的函 连 数A ) x在点X处连续必须满足三个条件: o ( 函数f ) X处及其附近有定义;2 l f ) 1 ) ( 在点 o x () ( 存 i x m } 2 - + xZ ++ lf i( m r 卡2 f) ( 2 . x 件中 要有一条不满足, 只 则函 在 ( lf ) f )以 ;) ( =( . 上条 3m x i 6 收 期 2 0 2一2 稿日 0 0一0 作 简介 李秋敏( 7 女, 者 16 9 -) 四川省商业学校教师 r、 - … 函 (在点x 2 续。( 第7页) 数f) x = 处连 下转 3 71 万方数据 第9 期 20 年 9 01 月 属前不属后 属前不属后 谭洪坤: 中专数学教学中的认知迁移 N . 9 o 柳 .0 2 1 0 A一B B一A 卜I 一 或x 引= , x 3 > < - B {1 < < 1 . x 一1 x 4 = A 合aa除 中与证卜再 故 , 口求 ( . 书例推夕可用 事高 答 项 , + ) , , 斯 1 2 3 -+ 0 的和说明, + 十 +二 1 0 及用梯形面积公式记忆。解应 用题时, 引导学生利用定义, 通项, 求和公式布列成熟的方程 组求解, 学生易于接受, 掌握。类比学等比数列, 特别在应用 时, 引人计算细菌繁殖, 存款复利等实例, 学生兴趣将更浓, 更有效地促进知识的正迁移。 2在复习初中函数概念基础上, . 引人用集合概念来叙述 的函 数定义, 并将两种函数的定义用一文氏图表示出来( 如 图2, ) 会加深对函数的理解, 并为后面学习反函数设下伏笔。 M 刀 曰 还有正、 反比例, 一次、 二次函数知识, 在平面解析几何 : 的直线, 一次曲线学习中的正迁移作用; 平面几何知识在空 Y 6 = Y 9 = 间图形( 立体几何) 中的正迁移作用; 体育比赛安排, 物品分 配, 火车票制定, 幸运抽奖中奖可能性等学生熟知实例在排 厂 2x Yz = ' 列, 组合, 概率中正迁移作用; 初中学生具备的数形结合知 一对一 多对一 识, 解释点, 面、 线、 体的运动观点, 由量变到质变的看待事物 图2 的辩证唯物主义思想方法, 在双曲线的汽车渐开线, 函数极 3简述实数系概念扩张实例, . 分类及运算规律的建立, 限概念, 导数概念学习中的正迁移作用等等。 自 然迁移到复数概念, 分类, 运算规律建立, 既巩固了对旧知 总之, 应让学生体会到初中数学的知识结构, 无时不在 识的理解, 掌握, 又降低了学习复数知识的难度, 迅速形成一 中 专数学, 从初等数学、 高等数学到工程数学的学习中表现 个 新的概念与运算规律。 出来, 学习中专数学知识并不难, 教师只有深钻初中与中专 4 在等差数列学习中, . 联系学生熟悉知识, 定义: ( 后项) 数学教材, 结合学生认知实际, 在教学中深人浅出, 浅进深 / 产 、 D=R 犷Y = 户 工 X D R 0 二R N U{} = FY 你 =f ) L. .. . 、 . 一 .前项) d常数公差)变式: 十二a十 , a: a( . 二( , a , . d代入 n 1 , ., = , 3 .不完全归纳得通项公式: = t n 1d说 2 ,. a a+( 一 )( 明 此公式可用数学归纳法设下伏笔 ), n 前 项和公式 S= n ( 接第7 页) 上 1 出, 最大限度发挥学生认知结构的正迁移作用, 使学生迅速 在中专数学学习中形成新的认知结构 , 对其后继续学习相关 专业知识学习产生巨大的正面影响。 三、 ( 在分界点x处的可导性 分段函数f ) x o 导数f 的定义讨论分段函数在分界点的可导性 (, x) 1匕lm — x一( ) r ' r ‘ t A I,、 ,d 4 f ) f )= ' " - k ( I 吻 7 二** 人 到 A Ix 、七 曰 } r }七,。二‘ 。 P j「 l E : : 户、 x 一勒 即 贝 d 导性。 解 函数 ( 在点 = 处及其附近有定义。 f ) x 1 x “ x 可导 o J m 又 l f ) l 犷 =1 i ( 二i m x } l s i l - . 1 m f = (x ) () l 2 一1 二1 x i m r1 ++ 则 () x在点 x不连续, fx在 o f) ( 在点、连续。那么函数 O ) x o 再 点x o 不可导。所以我们先讨论 函数在点 x处的连续性, ) () 1又f ) , f ) x 处连续。 . x 二 , ( 二1 :( i d 1 x在点 =1 进 一步讨论其可导性。 例 【了 讨论函数 f ) x在点 x 0 ( = l x I 二 处的可导性。 解 一x x , <0 f ) x二 ( =I} x X x 0 , > _ R - z(f i ) lx( - x 1 m ) f1 1 -(f i x1 lx( m ) l) * = f1 - - = llt￣ ll 万一一 不 , x一 1 2 r1 一 x一 1 + =2 , r t 盖一 1 .+ (x 2 一1 , u 尸了,万 =2 m f ) f ) 2故函数 f ) ( 一( x 0 ( 在点 x 1 x 二 处可导。 i x一0 l 一 , } m w 函数 f ) ( 在点 x 0 x = 处及其附近有定义 l O ) i 一 ) 0 l fx 二l x 0 …l fx i x 二l m m( x = , () i = , i () i m m m 「印 尸 o + 万旧 ,+ 二, f ) , 0又 ( =0 0 综上, 讨论分段函数 f ) 1> ( 在 < 、时的极限是否存在时, x - - 只需讨论 x o }x时的左极限与右极限是否相等; 讨论点 、处 的连续性时, 只需讨论: ) ( 、点处及其附近是否有定义; ) 1 ( 2 户、 故f) ( 在点 x 0 x = 处连续。 ( x一 二 一)0 um — 闭一 1 1— 十 X 讨论点 X处 0 i ( 是否存在; ) ( 与O,是否相等。 l f) mx ( lf ) N 3i x m ) 户、 R - F(f i ) lx( - x0 o -) m ` f0 f) f) ( 一( x 0 i m 0 ix( 织(0二 y ) }X0 + ) l ff - - x 一1 , 的可导性时, 需讨论: ) ( 、点处是否连续; ) 1 (l 2i m f ) A. ( 一 x) x X一 x 0 X7 11 0 . x , 一0 = 1,。. ul ., 不存在。 x一0 是否存在。以上问题的讨论 , 有助于学生理解定义, 再也不 觉得定义难理解、 难记忆 了。 故函数 f ) ( x 0 x在点 = 处不可导。 例 讨函f二 8 论数x{ ( ) 2 一1x 1 x , > , 1点x=1处的可 x在 < ?7 3 万方数据