大题专项四 中的立体几何 核心考点 -2- 从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整 个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主. 简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明 以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题, 后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间 想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想 贯穿整个立体几何的始终. 随堂巩固 -3- 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 平行与垂直关系的证明(多维探究) 类型一 适合用几何法证明 例1 (2018北京一零一中学模拟,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底 面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中 点,AB=AA1=2. (1)求证:平面AB1D⊥平面BB1C1C; (2)求证:A1C∥平面AB1D; (3)求三棱锥A1-AB1D的体积. 随堂巩固 -4- 题型一 题型二 题型三 题型四 (1)证明 由已知△ABC为正三角形,且D是BC的中点,所以AD⊥BC. 因为侧棱AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1,所以BB1⊥底面ABC.又因为 AD?底面ABC,所以BB1⊥AD.而B1B∩BC=B,所以AD⊥平面BB1C1C. 因为AD?平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面BB1C1C. (2)证明 连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE. 由已知得,四边形A1ABB1为正方形,则E为A1B的中点. 因为D是BC的中点,所以DE∥A1C. 又因为DE?平面AB1D,A1C?平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D. 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂巩固 -5- (3)解 由(2)可知 A1C∥平面 AB1D,所以 A1 与 C 到平面 AB1D 的距离 相等,所以1-1 = -1. 由题设及 AB=AA1=2,得 BB1=2,且 S△ACD= 23, 所以- 1 = 1 - = 1 3 ×S△ACD×BB1=13 × 3 2 ×2= 33, 所以三棱锥 A1-AB1D 的体积为 3. 3 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂巩固 -6- 解题心得从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂 直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整 个解题过程始终 沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途 径进行. 题型一 题型二 对点训练1 题型三 题型四 随堂巩固 -7- (2018河北衡水中学十七模,19)四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD, 底面ABCD是菱形,且PD=DA=2,∠CDA=60°,过点B作直线l∥PD,Q 为直线l上一动点. (1)求证:QP⊥AC; (2)当面PAC⊥面QAC时,求三棱锥Q-ACP的体积. 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂巩固 -8- (1)证明 ∵l∥PD, ∴直线l,PD确定一平面BDPQ. ∵PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, ∴PD⊥AC. 由题意知直线QP在面ABCD上的射影为DB, 又在菱形ABCD中有DB⊥AC,PD∩BD=D, ∴AC⊥平面BDPQ. ∵PQ?平面BDPQ,∴QP⊥AC. 随堂巩固 -9- 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)解 由题意得△PAC和△QAC都是以AC为底的等腰三角形,设AC 和BD的交点为O, 连接OP、OQ,则OP⊥AC,OQ⊥AC, 又OP∩OQ=O,∴AC⊥平面POQ. 又平面PAC⊥平面QAC,平面PAC∩平面QAC=AC, ∴PO⊥平面QAC,∴OP⊥OQ. 在菱形ABCD中,DA=2,∠CDA=60°, ∴AC=2,BD=2 3. 在 Rt△POD 中,OP= 2 + 2 = 7. 在 Rt△OBQ 中,设 QB=x,则 OQ= 2 + 3. 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂巩固 -10- ∴在△POQ 中,PQ= 2 + 2 = 2 + 10, 又在直角梯形 PDBQ 中,PQ= (2-)2 + (2 3)2 = 2-4 + 16, 故 2-4 + 16 = 2 + 10, 解得 x=3,即 QB=3. 2 2 ∴OQ= 221,S△POQ=12 × 7 × 21 = 2 7 4 3 . ∴VQ-ACP=VA-POQ+VC-POQ=13S△POQ·AC=763. 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂巩固 -11- 类型二 适合用向量法证明 例2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱 形,PA=AB=2,∠BAD=60°,E是PA的中点. 求证:(1)直线PC∥平面BDE; (2)BD⊥PC. 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂巩固 -12- 证明: 连接 AC,与 BD 交于点 O.因为∠BAD=60°,AB=2,底面 ABCD 为菱形,所以 BO=1,AO=CO= 3,AC⊥BD.如图,以 O 为坐标原点,以 OB,OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴,过点 O 且平行于 PA 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 P(0,- 3,2),A(0,- 3,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),D(-1,0,0),E(0,- 3,1). 题型一 题型二 题型三 题型四 随堂巩固 -13- (1)设平面 BDE 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), =(-1,- 3,1),=(-2,0,0), 由 1· = 0, 1· = 0, 得 -21 = 0, -1- 31 + 1 = 0, 令 z1= 3,得 y1=1,所以 n1=(0,1, 3). 又=(0,2 3,-2),所以·n1=0+2 3-2 3