设点电荷q位于导体球壳附近已知球壳的内半径为a外半径为b点电荷离球心的距离为f壳内为真空当球壳的电位为时试求:①球壳内外电场强度②球壳外表面上最大电荷密度③当距离f增加一倍时系统能量改变多少?习题图解①由于球壳的屏蔽作用壳内场强为零。若建立的球坐标系如习题图所示那么壳外场强与坐标变量无关。当球壳的电位为时由上题获知位于球心的镜像电荷q应为壳外的场强将由点电荷及其镜像电荷和q共同产生壳外的合成电位为式中镜像电荷离球心的距离为则壳外的电场强度为 球壳表面的电荷密度为其最大值为③系统能量的改变来自外力作的功。已知点电荷受到的电场力为由此可见若q>q<又因<故电场力的实际方向为(er)。在外力作用下当点电荷q离开球心的距离增加一倍时外力F作的功为 此功将全部转变为系统增加的能量。 证明无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值。证明以直角坐标系为例。已知无源区中电位满足拉普拉斯方程该方程的通解为。若此解在点取得极值那么在该点应有若是一维空间因可见为常数即电位函数没有极值。若是二维空间显然和不可能同时大于零或同时小于零因此不可能有极大值或极小值。同样对于三维空间和不可能同时大于零或同时小于零因此不可能有极大值或极小值。习题图综上所述无源区中的电位分布函数不可能具有极大值或极小值。因此无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值。已知无限大的平板电容器中的电荷密度k为常数填充介质的介电常数为上板电位为V下板接地板间距为d如习题图所示。试求电位分布函数。解由习题图可见电位分布仅与坐标变量x有关与坐标变量无关。因此电位方程简化为一维泊松方程。设电位分布函数则由得积分后求得 其中为待求常数。根据边界条件求得因此电位分布函数为试证直角坐标系中的电位函数及圆球坐标系中电位函数均满足拉普拉斯方程式中C为常数。