向量的内积
也称为向量的的数量积、点积
代数定义
n维平面上有,向量$a$为$[a_1,a_2,…,a_n]$,向量$b$为$[b_1,b_2,…,b_n]$。则向量$a$和向量$b$的点积公式为:
注意:上面得到的最终为标量。
几何定义
设二维空间中有两个向量$a$和$b$,$\mid a \mid$和$\mid b \mid$分别为向量$a$和$b$的大小,它们的夹角为$\theta(0\leq \theta \leq \pi)$,则内积定义为以下实数:
接着将上述定义扩展到$n$维,向量$a$和向量$b$的夹角定义为:
所以就有
向量内积的几何和物理意义
向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积,也就是同方向的积
特别的,如果一个向量如$a$是某个坐标轴的单位坐标向量,那么,两个向量的内积$a \cdot b$就是向量$b$在此坐标轴上的坐标值。这个结论非常重要,这是傅立叶分析的理论基础。
其他几何意义:从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。当内积值为正值时,两个向量大致指向相同的方向(方向夹角小于90度);当内积值为负值时,两个向量大致指向相反的方向(方向角大于90度);当内积值为0时,两个向量互相垂直。
向量内积的生活解释:单价向量乘以数量向量,得到总价格
向量内积的物理解释:一个斜坡上用力$F$斜上拉一个物体,位移为$S$(没有重力的情况下),那么这个力$F$所作的功:$w=FScos\theta$
向量的外积
也称为向量的向量积、叉积
定义:两个向量$a$和$b$的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作$a×b$.
若$a、b$不共线,则$a×b$的模是:$∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉$;$a×b$的方向是:垂直于$a$和$b$,且$a、b$和$a×b$按这个次序构成右手系.若$a、b$共线,则$a×b=0$,注意这里的$0$为零向量。
向量外积的几何意义:
$a × b$为一个新生成的向量,这个向量垂直于$a$ 和$ b$展成的平面(图中的虚线平行四边形,由线段$oa$和$ob$所确定的平面);同样向量$b × a$也垂直这个平面,但方向与$a × b$所指的方向相反,即$a × b =