样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量,样本方差或样本标准差越大,样本数据的波动就越大。 数学上一般用D=E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度,称为X的方差,D开根号为均方差. 定义 设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2},而σ(X)=D(X)^0.5(与X有相同的量纲)称为标准差或均方差。 由方差的定义可以得到以下常用计算公式: D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 方差的几个重要性质(设一下各个方差均存在)。 (1)设c是常数,则D(c)=0。 (2)设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=c^2D(X)。 (3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 (4)D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即P{X=c}=1,其中E(X)=c。 在统计学中,均方差是对于无法观察的参数 θ 的一个估计函数T;其定义为: 即,它是"误差"的平方的期望值.误差就是估计值与被估计量的差. 均方差满足等式 其中 也就是说,偏差是估计函数的期望值与那个无法观察的参数的差。 下边是一个具体例子.假设 即是一组来自正态分布的样本. 常用的两个对σ 估计函数为: 和 其中 为样本均值. 第一个估计函数为最大似然估计,它是有偏的,即偏差不为零,但是它的方差比第二个小. 而第二个估计函数是无偏的. 较小的方差某种程度上补偿了偏差,因此第二个估计函数的均方差比第一个要小. 另外,这两个估计函数的均方差都比下边这个有偏估计函数小 这个估计函数使得形如(其中c是常数)的均方差最小平均差是总体所有单位的平均值与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。 平均差是一种平均离差。离差是总体各单位的标志值与算术平均数之差。因离差和为零,离差的平均数不能将离差和除以离差的个数求得,而必须讲离差取绝对数来消除正负号。 平均差是反应各标志值与算术平均数之间的平均差异。平均差异大,表明各标志值与算术平均数的差异程度越大,该算术平均数的代表性就越小;平均差越小,表明各标志值与算术平均数的差异程度越小,该算术平均数的代表性就越大。 平均差用AD表示。