设V是由函数e和e生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的,所有它们形成了V的基。设R[x]指示所有实数多项式的向量空间;则 (1, x, x, ...)是R[x]的基。R[x]的维度因此等于aleph-0。 如上所述,一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合,同时也是极小的生成集合。可以证明,如果向量空间拥有一组基,那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基(也称为基的扩充定理),每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地,在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。