为什么要学习利用单位圆来定义三角函数?用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点,可以使抽象的问题变得直观,使学生能够深入浅出地理解三角函数的一些性质,主要体现以下方面。
1、简单、清楚,突出三角函数最重要的性质周期性.采用"单位圆定义法",对于任意角?,它的终边与单位圆交点P(x,y)唯一确定,这样,正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系,即角(弧度)对应于点P的纵坐标y正弦;角(弧度)对应于点P的横坐标x余弦。可以得到非常清楚、明确的表示,而且这种表示也是简单的。另外,"x=cos?,y=sin?是单位圆的自然的动态(解析)描述,由此可以想到,正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质(主要是对称性)的解析表述",其中,单位圆上点的坐标随着角?每隔2π(圆周长)而重复出现(点绕圆周一圈而回到原来的位置),非常直观地显示了这两个函数的周期性。
"终边定义法"需要经过"取点求距离求比值"等步骤,对应关系不够简洁;"比值"作为三角函数值,其意义(几何含义)不够清晰;"从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的"数集到数集"的对应关系不一致,而且"比值"需要通过运算才能得到,任意一个角所对应的比值的唯一性(即与点的选取无关)也需要证明;"比值"的周期性变化规律也需要经过推理才能得到.以往的教学实践表明,许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了,与"终边定义法"的这些问题不无关系。
2、有利于构建任意角的三角函数的知识结构。