二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法2009-8-31 数理方程所解决的问题与高等数学(微积分)教科书中的常微分方程有很大区别,其中最显著的特点是多数微 分方程的条件是边值问题,即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。这就是所谓的边值问题。最简单的 是二阶常微分方程的两点边值问题。二阶常微分方程的解是一个一元函数,关于这个一元函数的信息,知道的不多, 除了微分方程本身提供的之外,还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。微积分所教给我们的技巧是先求出常 微分方程的通解,再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。 进入这门课之初,先回顾初值问题,再思考边值问题。在边值问题中,数理方程课程内容中出现了一个历史上 非常著名的函数,即格林函数。 对力的分析中普遍使用一个方程:F=ma。这是著名的牛顿第二定律,其中,F 表示力,m 表示物体的质量,而 表示物体运动的加速度。由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数,再结合使用虎克定律,就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程 两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。求解上面方程需要用常数变易法。先回顾一阶常微分方程求解的方法,然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。 一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法 一阶常微分方程常数变易法,用于解源函数不为零的常微分方程问题 由分离变量:ry dx dy ryrx 从两部分解读解函数的意义。第一部分利用了初始条件的信息,第二部分利用了微分方程右端项的信息。它们分别是两个子问题的解 二、二阶常微分方程初值问题的常数变易法应用常数变易法解二阶常微分方程初值问题 在上式中,有两个未知函数待定。如果直接代入微分方程,可产生一个等式,由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人为增加一个等式,就可以构造出二元线性方程组,朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法,方 法如下,对假设的函数求一阶导数,得 在上面表达式中,令第一个方栝号为零,产生一个等式 三、二阶常微分方程两点边值的常数变易法与初值问题相似的二阶常微分方程问题如下 sincos cossin sincos cossin sincos sin cos sincos cossin sincos 这一函数被称为格林函数。另一个简单的两点边值问题如下 这一问题物理背景可解释为:在高速公路上狂奔的汽车,通过雷达测量得到了从起点到终点每一时刻的加速度f(x),需计算汽车在各个时间的位置。 简化后的方程为: 格林函数的数学意义在于,对于任意的源函数f(x),两点边值问题的解可以通过格林函数和源函数的乘积的积分形式表示出来。使这一问题的解的存在唯一性变得显然。 高效能学习的八大学习方法方法一:目 成就天才的必备素质就是远大志向,明确目标,勤奋刻苦,持之以恒,百折不挠。作为一名学生,要想在学习的道路上一路高歌,战胜各科学习困难,在考试中脱颖而出,就必须树立远大的理想,制定明确的学习目标和切实可行的计划,在日常学习中勤奋苦学,孜孜不倦,持之以恒,面对学习中上的挫折,百折不挠,勇往直前,并掌握一套正确的学习方法,科学合理地安 排好自己的时间,只有这样,才能到达成功的理想彼岸。 方法二:统筹计划学习法 正像建造楼房先要有图纸,打仗先要有部署一样,成功有效的学习也必须制定好一套切实可行的计划。所谓统筹计划学习法,就是学习者为达到一定的学习目标,根据主客观条件而制订 学习步骤的一种学习方法。统筹计划学习法包括四个方面:一是学习目标,二是学习内容,三是时间安排,四是保证落实的措施。只有综合考虑这四个方面,才能订出切实可行的规划。同时 计划要因人而异,因事而异,并根据执行情况,适当及时调整。 方法三:兴趣引导法 使学习兴趣化,是获取成功的特别重要的法则。有的同学虽然很努力地学习,但是却对学习没有兴趣。凡是这种情况,学习效率都差得很,往往是事倍功半,效率不高。所以,千万不要 只知道积极地去学,光顾着学,傻学,而要想办法培养自己的兴趣。只有将学习积极性转化为学习兴趣之后,你才有可能实现学习效率的飞跃。 方法四:高效率学习法 作为学生,谁能够高效地管理时间,科学地利用时间,抓住时间的脉搏,谁就能创造学业的成功,成就人生的辉煌。 爱时间就是爱生命,爱生命的每一部分。谁把握住时间,谁就拥有一切。 时间就是生命。“一个人一生只有三天:昨天、今天和明天。昨天已经过去,永不复返;今天已经和你在一起,但很快就会过去;明天就要到来,但也会消失。抓紧时间吧,一生只 有三天!”现在是你们人生的黄金时期,也是学习知识、吸取知识最有效率的时期,你们应善于管理时间珍惜时间,不虚度年华,使生命失去原本的灿烂光彩。 方法五:刨根质疑学习法 学习的过程是由一个“无疑—有疑—解疑—无疑”不断循环往复的过程。学须善思,思后存疑,疑后问,问后知。所以,我们在日常生活和学习过程中,要善于思考,培养“凡事问一个 为什么”的习惯。 作为一个学生,我们要善于发现问题,敢于向权威挑战,同时又要虚心求教,不耻下问,不懂的问题多问老师,向同学请教。积极参加各种有关学习的交谈、讨论、学习兴趣小组, 创设一个与别人交流的良好平台,合作解决问题。 方法六:笔 笔墨学习法又称笔记法,是利用记笔记学习的一种方法。在日常的读书、听课、复习的时候,对有一定价值和意义的材料、知识点、问题迅速及时地标记出来,记下来,然后整理成笔记,这对于巩固知识,积累材料,提高学习成绩都具有十分重要的意义。 方法七:全 打无准备的仗必输,没有预习的功课一定不会好。要想有一个高效的课堂学习,必须牢牢抓住课前预习这个关键环节。常言道:“凡事预则立,不预则废。”“预”,即准备。预习就是在教师讲课之前,学生阅读教材及相关的内容,为新课学习做好必要的知识准备。我们在预习的时候,要大体了解书本内容,思考重点,发现难点,注意方法,增强预习的主动性、针对性, 培养良好的预习习惯。 方法八:高 一个人的学生时代,大部分的学习时间是在课堂中度过的。在短短的十几年时间里每个学生几乎接受和继承了人类几千年所积累的知识中最基本、最精华的部分,由此可见课堂学习的重要性。一个学生学习的好坏,成绩的高低,关键在于课堂学习。充分利用每一节课的 45 分钟,高效学习,对提高学习质量将产生巨大的影响。 专家认为,要想听好一节课,课前必须从身心、知识、物质上做好充分准备,在上课时力求做到“五到”,即耳到、眼到、口到、心到、手到;专心致志,勤于思考,思维与老师合拍。 同时,上课时勇于发言,积极参加讨论,有机会多动手、多实践,做好笔记,才能有效地把握课堂,把课堂变成自己学习的主战场。