第二讲:二次根式 一、 二次根式判断 主要从是否满足根式下数式≥0 考虑,注意非负式的判断 例题: 1、下列式子中二次根式的个数有 ( ) ⑴ 1 1 ; ⑵ ?3; ⑶ ? x2 ? 1 ; ⑷3 8 ; ⑸ (? ) 2 ; ⑹ 1 ? x ( x ? 1) ; ⑺ x 2 ? 2x ? 3 . 3 3 C.4 个 ) D.5 个 A.2 个 B.3 个 2、下列各式一定是二次根式的是( A. ?7 B. 3 2m C. a2 ? 1 D. a b 3、 a 、 a 2b 、 x ? 1 、 1 ? x2 、 3 中是二次根式的个数有______个 4、下列式子一定是二次根式的是( A. ? x ? 2 B. x ) C. x 2 ? 2 D. x 2 ? 2 ≥ 题型总结: 1、 首先排除三次根式 2、 排除根式下为负数 ① 若是字母的最简式,如 a ? 1 , 3m 且没有字母的取值 范围,不能确定为二次根式 ② 若是字母的最简式, 并附有字母的取值范围, 如 a ? 1(a 3、根式下为字母 ≥-1), 3m (m<0) 则续要结合取值范围判断 ③ 若根式下可以写成非负的形式,如 x 2 ? 2 , 5a2 x 2 ? 2x ? 3 ,可以直接判断为二次根式 -1- 二、 最简二次根式判定 注意二次根式下可以配方的情况 例题: 1、下列二次根式中,最简二次根式是 A. 3a 2 B. 1 3 C. 153 ) D. 143 2、下列根式中,是最简二次根式的是( A. 0.2b B. 12a ?12b C. x2 ? y 2 ) D. 5ab2 3、下列二次根式中属于最简二次根式的是( A. 14 B. 48 C. a b D. x 2 ? 4 x ? 4 题型总结: 1、 首先排除根式下为小数、分数,或可以继续分解的整数 ① 平方项只以乘积形式出现,如 5abc2 不是最简 2、 根式含平方项 ② 平方项以和差形式出现,但不能配成完全平方式,如 5c2 ? b2 是最简式 ③平方项以和差形式出现,并且能配成完全平方式,如 4c2 ? 16ab ?16b2 不是最简式 -2- (三)二次根式取值范围和化简 (1) 使根式有意义的取值范围 注意分母为根式的特殊情况 例题: 1、若 x?2 x?2 成立,则 x 满足_____________________. ? 3? x 3? x ) 1 x-2 2、下列二次根式中, x 的取值范围是 x ? 2 的是( A. 2-x B. x+2 C. x-2 D. 3、若 x+y=0,则下列各式不成立的是( ) A. x 2 ? y 2 ? 0 C. x ? 2 B. 3 x ? 3 y ? 0 D. x ? y2 ? 0 y ?0 (2) 根据未知数取值范围化简。 根据未知数取值范围,确定开方后的正负号。 例题 1、实数 a 在数轴上的位置如图所示:化简: a ? 1 ? (a ? 2) ? ______ . 2 a 2、当 1 ? x 5 时, ? x ?1? 3 ?1 2 ? x ? 5 ? _____________ 。 ) B. ?1 ? a ? 1 ? a D. ?1 ? a ? a ? 1 0 1 2 3、若 a ? 1 ,则 A. C. ?1 ? a ? 化简后为( ? a ?1? ? a ?1? a ?1 1? a 0 ,化简二次根式 x B. 4、已知 xy ?y 的正确结果为( x2 D. ? ? y ) A. y ?y C. ? y (3) 根据化简结果确定未知数取值范围 1. 已知 2、若 ? x ? 2? 2 2 ? 2 ? x ,则 x 的取值范围是 。 ?2 ? a? ? ? a ? 3? 2 等于 2a ? 5 ,则 a 的取值范围是() C. 2≤a≤3 D. 20, b> 0 B. a>0, b<0 C.a<0, b<0 D. a<0, b>0 (4)将根号外因式移进根号内 例题: 1、把 m ? ,则关于 a,b 的判断正 1 根号外的因式移到根号内,得( m B. ? m C. ? ? m ) D. ? m A. m 2、已知 m<0, n>0,把代数式 m A、 ?m2n 3、把 ?1 ? x ? n 中的 m 移到根号内的结果是: C、 m2 n D、 m2 n B、 ? ?m2 n 1 中(1-x)移到根号内__________ x ?1 题型总结: 1、首先判断字母正负性 2、根号外正负性和原来一致 3、根号内保证为正数 四、根式运算 (一)根式化简 ⑴ 27 13 2 ? 12 2 ; 5 27 ⑵? abc c 3 . 2 2a 4 b (3) 2 b ? 3 3 ? ab5 ? ? ? a b ? ?3 b a ? 2 ? (二)根式混合运算 (1) 2 12 ? 3 1 ? 5 1 3 1 2 ? 48 3 3 (2) x y?y x x y?y x ? y x?x y y x?x y -4- (三)根式有理化 1、 ( 3 ? 2)2012 ( 3 ? 2)2011 =_________ 2、 ( 2 ?1)2011 ( 2 ?1)2011 =_________ (四) 、根式特殊运算 (1) 根式下因式互为相反数 例题: 1、 已知: y ? x ? 2 ? 2 ? x ? 3 ,则 (x+y) 2、 已知 y ? 2011 =_________ x2 ? 4 ? 4 ? x2 ? 1 , 求 x ? y 的值 x?2 (2) 整个根式互为相反数 例题: 1、若 a ? b ? 1 与 a ? 2b ? 4 互为相反数,则 ? a ? b ? 2、已知 b ? 3 和 2a ? 4 互为相反数,则 ? a ? b ? 2011 2011 =__________ =_________ (3) 几个非负整式相加为 0(说明每个整式都为 0) 例题 ①根式与完全平方式 1、已知 x ? 1 + ( y ? 2011)2 =0, 则 x =_______ y 2、 x ? y ? y2 ? 4 y ? 4 ? 0 ,则 xy ________ ②根式与根式 1、 已知 ? a ?1? 2 ? ?1 ? a ? 2 ? 3 ? 3 ,则 ? a ?1? 2011 ? ?a? 2012 =__________ 2011 ? b2012 的值。 2、 已知 a , b 为实数,且 1 ? a ? ? b ? 1? 1 ? b ? 0 ,求 a ③根式与绝对值 1、 2、 ?3 ? x ? + y ? 5 =0, 则 x=________,y=________ + x ? 1 =0,则 x2011 =________ ? x ? 1?? x ? 4? 题型总结:令每一个非负整式为 0,算出未知数。 (五)根式找规律 1、观察下列各式: 1 ? 1 1 1 1 1 1 ?2 , 2? ? 3 , 3? ? 4 ,……,请你将猜 3 3 4 4 5 5 . 想到的规律用含自然数 n(n ≥1) 的代数式表示出来是 -5- 2、 1 1? 2 1 ? ? 1 ? ( 2 ? 1) ( 2 ? 1)( 2 ? 1) 5?2 ? 2 ?1; 1 3? 2 ? 3? 2 ( 3 ? 2 )( 3 ? 2 ) ? 3? 2; 5?2 (1) ( 5 ? 2)( 5 ? 2) 的值; ? 5 ? 2 ,……。试求: 1 7? 6 (2) 1 n ?1 ? n (n 为正整数)的值。 (3)根据你发现的规律,请计算: 1 1 1 1 1 ( ? ? ??? ? )(1 ? 2011 ) 1? 2 3? 2 5?2 2010 ? 2009 2011? 2010 -6-