复习指津 轴对称”模型在解题中的应用 浙江台州路桥 实验 中学(318050) 王万丰 《数学课程标准》根据时代的要求,对中学数学课 程进行了新的设计,在力求打好基础的同时,更为学 生创设应用实践的空间;同时,更重视数学知识的应 用.数学在实际生活中的应用可以说是一个数学建模 的过程.数学建摸活动对数学的促进作用已得到教育 界和数学界的公认,因此,在 Et 常教学 中必须渗透数 学应用意识,逐步培养和提高数学建摸能力.在人教 版数学《轴对称》这章中的一例模型,在中考和竞赛中 都有广泛的应用. 基本模型(选 自新人教版八年级上册 131 页) :如 图,要在燃气管道 z上修建一个泵站,分别向A 、B 两 镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气 管道线最短? 我们可以把管道 l 近似地 看成一条直线,如图所示,问题 是要在 Z上找一点C ,使。 A C 与 CB 的和最 小.设 D 是 B 关于 Z 的对称点,本问题也就是要使 A C 与 CD 的和最小.在连接 A D 的线中,线段 A D 最短.因此,线段 A D 与直线 Z 的交点 C 的位置即为所求. 这一模型在解决相关最小值问题时有十分广泛 的应用. 一、 在 几何 图形 中的应用 【例 l 】 (2006 年全国数学竞赛浙江赛区初赛) 如 图,已知正方形 A BCD 的边长 为 8,M 在 DC 上 ,且 DM = 2,P 是A C 上的一个动点,则 DP + MP 的最小 值是 . 解 :连结 BD , ’. ’ 四边 形 A BCD 为正 方 形. . . A C上BD 且 B0 一D 0 . .。. D 点关 于 A C 的对称点 为 B 点 , 连接 BM ,由以上可知 BM 即为 DP + MP 的最小值.又 C M — C D —D M 一 6 .B C 一 8 . .。. B M = B C 2+ C M 一 10 , .。. DP + MP 的最小值是 10. 【例 2】 (2007年四川初中数学竞赛(初二组)初 赛试卷)在等腰 Rt/XA BC 中,CA —CB = 3,E 是 BC 上一点,满足BE 一2,P 是斜边A B 上一动点,则 P C + PE 长度 之和的最小值是 . 八 1O B 11 C .2 D 解:作 C 点关 于A B 的对 称点C ,由对称性质 C,B =