题目
已知数列{an}满足a1=a(a为常数,a∈R),an+1=2n-3an(n∈N*),设bn=

an
2n(n∈N*).(1)求数列{bn}所满足的递推公式;(2)求常数c、q使得bn+1-c=q(bn-c)对一切n∈N*恒成立;(3)求数列{an}通项公式,并讨论:是否存在常数a,使得数列{an}为递增数列?若存在,求出所有这样的常数a;若不存在,说明理由.初中数学
解答
(1)∵a1=a(a为常数,a∈R),an+1=2n-3an(n∈N*),∴
an+1
2n+1=
1
2
-
3
2
•
an
2n,又bn=
an
2n,∴bn+1=
1
2
-
3
2
bn.数列bn的递推公式是
b1=
a
2
bn+1=
1
2
-
3
2
•b1,(n∈N*).(2)∵bn+1-c=q(bn-c)(n∈N*)∴bn+1=qbn+c-qc又由(1)可知,bn+1=
1
2
-
3
2
bn∴
q=-
3
2
c-qc=
1
2
,∴q=-
3
2
,c=
1
5
,∴bn+1-
1
5
=-
3
2
(bn-
1
5
),(n∈N*)(3)由(2)知,数列{bn-
1
5
}是首项为b1-
1
5
公比为-
3
2
的等比数列.∴bn-
1
5
=(b1-
1
5
)(-
3
2
)n-1,(n∈N*)∴an=2nbn=2n[
1
5
+(
a
2
-
1
5
)(-
3
2
)n-1],(n∈N*)为所求的通项公式.考察数列an,∵an=2•3n-1[
1
5
(
2
3
)n+(
a
2
-
1
5
)(-1)n-1]1O.当a=
2
5
时,an=
1
5
•2n,此时数列an是递增数列.2O.当a≠
2
5
时,(
a
2
-
1
5
)(-1)n-1是正负相间出现,其绝对值是正常数|
a
2
-
1
5
|,而
lim
n→∞
1
5
•(
2
3
)n-1=0.故当n充分大时,an=2•3n-1[
1
5
(
2
3
)n+(
a
2
-
1
5
)(-1)n-1]的值的符号与(
a
2
-
1
5
)(-1)n-1的值的符号相同,即数列的项的值是正负相间出现的,故数列an不可能是单调数列.综上所述,当且仅当a∈{
2
5
}时,数列an是递增数列.