有一个关于数学家高斯的故事。高斯是一名杰出的数学家,但他有一个爱偷懒的老师,即所谓的教育家,就是让学生们忙起来,以便自己打个盹。他要求全班同学从1加到 100 。高斯立即给出了答案:5050,这么快? 老师怀疑他作弊,但其实没有。一个数字一个数字计算的学生是有点傻了,但高斯用公式回答了这个问题。1到n的和的公式是:sum=n(n+1)/2
那1到100的和就是:100(100+1)/ 2=5050
再谈几个让人能直观地理解这个公式的方法吧。从例子中,我们可以从1加到10,然后看看它如何应用于1到100(或1到任何数字)。
方法1:数字配对
数字配对是解决此类问题的常用方法。与其将所有数字都写在一列中,不如让我们将数字绕起来,如下所示:
1 2 3 4 5
一个有趣的模式出现了:每列的和总是11。首行增加,底行减少,所以总和保持不变。因为1 与10(我们的n)配对,所以我们可以说每列等于 n+1。那有多少对?好的,有n/2对。这就是上面的公式所给出的。
等一下,有没有奇数个配对的呢?
啊,很高兴能你提出这样的问题。如果我们从1加到9会怎样?并没有偶数个要配对的对象。 许多只会给出上面的解释,然后就这样了。 当然,我不会的。让我们从1加到9,但不是从1 开始,而是从0开始:
0 1 2 3 4
通过从 0 开始计数,我们得到了一个“额外数”(总共 10 个),因此我们可以有偶数个。但是,我们的公式看起来会有所不同。
请注意,每列的总和为n(不是像上面的n+1),因为0和9是配对的。在第2行中有n+1个项目,即一共 (n + 1)/2 对。所以,会得到:
sum=n(n+1)/2
这是与之前的公式相同。 所以,同样的公式对奇数和偶数都有效,那会不会得到一个分数呢?好的,您得到相同的公式,但原因不同。
方法2:两行法
上述方法虽有效,但处理奇数和偶数的方式不同。 有没有更好的办法呢?那让我们把它们写成两行:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
所以, 它们的和为n(n+1),再除以2就是其中1行的和。因此,最后的公式为:
sum=n(n+1)/2
方法3:长方形法
与其写出数字,不如假设我们有豆子,将 1个豆子添加到 2个豆子到 3个豆子……一直到