陶耘 狄芳
【摘要】泰勒公式是高等数学中的重要公式,它在近似计算、定理证明中发挥着重要作用.本文首先介绍了泰勒公式的两种余项,并做了比较,然后巧用两种余项,解决不同问题.
【关键词】泰勒公式;拉格朗日型余项;皮亚诺型余项;极限;拐点;不等式;级数敛散性
泰勒公式是高等数学的重要内容,因其能把复杂函数转化为多项式函数的特性,因此,在近似计算、定理证明等方面都发挥着重要作用.比较有趣的是,泰勒公式中的余项,有两种不同的形式.大部分教材对泰勒公式都有比较详细的阐述和论证,但是对这两种余项有何区别介绍较少.因此,在具体应用中,该使用哪种余项,让很多学生感觉十分迷茫.
以下我们将分别介绍带这两种余项的泰勒公式,并通过几个例子,帮助理解,拨开“迷雾”.
一、两种不同余项的泰勒公式
(一)带有皮亚诺型余项的泰勒公式
定理1 假设函数y=f(x)在点x0存在直至n阶导数,则在x0近旁有
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n),其中,o((x-x0)n)称为皮亚诺型余项.
特别地,若x0=0,则
f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+o(xn),
称它为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式.
(二)带有拉格朗日型余项的泰勒公式
定理2 假设函数y=f(x)在[a,b]上存在直至n阶的连续导数,在(a,b)内存在n+1阶导数,则对任意给定的x,x0∈[a,b],至少存在一点ξ∈(a,b),使得
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+Rn(x),
其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1,ξ介于x0与x之间,Rn(x)为拉格朗日型余项.
特别地,若x0=0,则
f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1,0