关于圆面积公式的两种算法 指导老师: 蒲和平 作者: 王帅(2011001010016) 【摘要】 本文通过运用现有所学知识用两种不同的方法推导出圆面积的计算公式2Srπ=. 【关键词】 圆; 弧长; 半径; 圆周角; 面积; 坐标系; 一 引言 中学阶段我们学过圆的面积公式2Srπ=, 但当时老师只给了我们这个公式, 却没有将其推导出来。 如何推导圆面积公式这个问题困惑了 我很久。 经过近一学期的大学高等数学的学习后, 我试着将其推导, 结果发现运用所学知识能轻易将其推导出来, 并有两种不同的方法。 二 相关知识 1 弧长公式 Lrθ= 2 圆周长公式 2πLr= 三 推导 在推导前, 我们可以先看看圆周长公式的推导方法, 从而为圆面积的推导提供思路。 圆周长公式的推导: 运用积分的思想, 我们可以将圆无限分为许多小扇形, 每个小扇形都可以近似看成一个小三角形 ,如图 每个小三角形的两个边的长都是半径 r, 所以为 等腰三角形,小三角形顶角为 θ , 腰长为 r, 底边长近似为圆弧长 Lrθ=。 用积分的思想, 以 θ (0)θ≤π≤为变量我们可以得到圆周长的公式2π200|rdrπθθ=∫2 rπ=。 我们可以借鉴上述推导方法来推导圆面积的公式。 于是有了第一种推导方法。 第一种推导方法: 我们可以将圆无限分割为许多小扇形, 每个扇形都可以近似 看作一个等腰三角形。 则每个小扇形的面积为 21122Sr r× =rθθ= 用积分的思想, 以 (0)θθ≤π≤为变量, 我们可以得到圆面积公式 2π22 20011|22Sr drπθθ==∫212rπ= 第二种推导办法: 我们可以建立一个坐标系, 将原点定为圆心, 如图 则满足方程 222xyr+=(,)rx yr− ≤≤。 建立函数 22yrx=−(0)xr≤≤, 运用积分的思想, 我们将该函数积分, 所得值为圆面积的14倍则圆面积可以表示为: 22204rSrx dxrπ==−∫。 参考文献 【1】 王绵森, 马知恩 工科数学分析基础【M】 高等教育出版社