泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面:1、幂级数的求导和积分可以逐项进行,因此求和函数相对比较容易。2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数,并使得复分析这种手法可行。3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值,并估计误差。4、证明不等式。5、求待定式的极限。实例例1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。解:根据导数表得:显然y=sinx在x=0处具有任意阶导数,并且。根据麦克劳林公式:类似地,可以展开y=cosx。例2、计算近似值,并估计误差。解:对指数函数运用麦克劳林展开式并舍弃余项:当x=1时:取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。误差为例3、欧拉公式:(其中,即一个虚数单位)证明:由于在实数范围以内,将该式子扩展到复数系内以定义指数函数,得到特别地,当上式z=ib时,有把上面的b换成x,就得到了欧拉公式。由欧拉公式,对任意一个复数z=a+ib,有即复数z的指数函数依然是一个复数,这个复数的模r=ea,幅角θ=b。若b=0,则ez=ea(cos0+isin0)=ea(1+0)=ea,与实变函数f(x)=ex在x=a时的函数值相同。