椭圆坐标 最常见的定义是 、 ; 其中, 为非负值实数, 。 在复值平面,等价关系式为 。 以下两个三角恒等式 、 表明, 的等值曲线形成椭圆,而 的等值曲线则形成双曲线: 椭圆坐标 与 的标度因子相等: , 为了简化标度因子的计算,可以用二倍角公式来等价地表达为 。 无穷小面积元素等于 。 拉普拉斯算子是 。 其它微分算子,例如 与 ,都可以用椭圆坐标表达,只需要将标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。 另外有一种在直觉上比较赋有几何性的椭圆坐标 ;其中, 、 。同样地, 的等值曲线是椭圆,而 的等值曲线是双曲线。在这里, 必须属于区间 ,而 必须大于或等于 。 使用椭圆坐标,任何在 xy-平面上的点 ,其与两个焦点的距离 , 有一个很简单的关系(回想两个焦点 与 的坐标分别为 与 ): 、 。 或者, 、 。 第二种椭圆坐标有一个缺点,那就是它与直角坐标并不保持一一对应关系: 、 。 第二种椭圆坐标 的标度因子是 、 。 所以,无穷小面积元素等于 。 拉普拉斯算子是 。 其它微分算子,例如 与 ,都可以用第二种椭圆坐标表达,只需要将第二种标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。 椭圆坐标系是几种三维正交坐标系的基础。