(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?　解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.　(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.　点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.　例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种?　解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:　∴符合题意的不同排法共有9种.　点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.　例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.　(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?　(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?　(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?　(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?　分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.　(1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次).　(2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.　(3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积.　(4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.　例4证明.　证明左式　右式.　∴等式成立.　点评这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.　例5化简.　解法一原式　解法二原式　点评解法一选用了组