古典概型 课题 古典概型 项目 内 容 理论依据或意图 教材地位及作用 本节课是高中数学 3(必修) 第三章概率的第二节古典概型的第一课时, 是在随机事件的概率之后, 几何概型之前, 尚未学习排列组合的情况下教学的。 古典概型是一种特殊的数学模型, 也是一种最基本的概率模型, 在概率论中占有相当重要的地位。 学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础, 同时有利于理解概率的概念, 有利于计算一些事件的概率, 有利于解释生活中的一些问题。 教学重点 理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求, 制订教学重点。 教 材 分 教学难点 如何判断一个试验是否是古典概型, 分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 根据本节课的内容,即尚未学习排列组合, 以及学生的心理特点和认知水平, 制定了教学难点。 析 教 学 目 标 1. 知识与技能 (1) 理解古典概型及其概率计算公式, (2) 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 2. 过程与方法 根据本节课的内容和学生的实际水平, 通过模拟试验让学生理解古典概型的特征: 试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性, 观察类比各个试验, 归纳总结出古典概型的概率计算公式, 体现了化归的重要思想, 掌握列举法, 学会运用数形结合、 分类讨论的思想解决概率的计算问题。 3. 情感态度与价值观 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系, 以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会, 尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。 使得学生在体会概率意义的同时, 感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。 根据新课程标准, 并结合学生心理发展的需求,以及人格、 情感、 价值观的具体要求制订而成。 这对激发学生学好数学概念, 养成数学习惯, 感受数学思想,提高数学能力起到了积极的作用。 项 目 内 容 师生活动 理论依据或意图 教 学 过 一 提出问题引入新课 在课前, 教师布置任务, 以数学小组为单位, 完成下面两个模拟试验: 试验一: 抛掷一枚质地均匀的硬币, 分别记录 “正面朝上”和“反面朝上” 的次数, 要求每个数学小组至少完成 20 次(最好是整十数), 最后由科代表汇总; 试验二: 抛掷一枚质地均匀的骰子, 分别记录“1 点”、“2点”、“3 点”、“4 点”、“5 点” 和“6 点” 的次数, 要求每个数学小组至少完成 60 次(最好是整十数), 最后由科代表汇总。在课上, 学生展示模拟试验的操作方法和试验结果, 并与同学交流活动感受。 教师最后汇总方法、 结果和感受, 并提出问题? 1. 用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么? 不好, 要求出某一随机事件的概率, 需要进行大量的试验,并且求出来的结果是频率, 而不是概率。 2. 根据以前的学习, 上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点? 学生展示模拟试验的操作方法和试验结果, 并与同学交流活动感受,教师最后汇总方法、结果和感受, 并提出问题。 通过课前的模拟实验的展示, 让学生感受与他人合作的重要性, 培养学生运用数学语言的能力。 随着新问题的提出, 激发了学生的求知欲望, 通过观察对比, 培养了学生发现问题的能力。 程 分 析 二 思 考 交 流 形 成 概 念 在试验一中随机事件只有两个, 即“正面朝上” 和“反面朝上”, 并且他们都是互斥的, 由于硬币质地是均匀的, 因此出现两种随机事件的可能性相等, 即它们的概率都是; 在试验二中随机事件有六个, 即“1 点”、“2 点”、“3 点”、“4 点”、“5 点” 和“6 点”, 并且他们都是互斥的, 由于骰子质地是均匀的, 因此出现六种随机事件的可能性相等, 即它们的概率都是。 我们把上述试验中的随机事件称为基本事件, 它是试验的每一个可能结果。 基本事件有如下的两个特点: (1) 任何两个基本事件是互斥的; (2) 任何事件(除不可能事件) 都可以表示成基本事件的和。 特点(2) 的理解: 在试验一中, 必然事件由基本事件“正面朝上” 和“反面朝上” 组成; 在试验二中, 随机事件“出现偶数点” 可以由基本事件“2 点”、“4 点” 和“6 点” 共同组成。学生观察对比得出两个模拟试验的相同点和不同点, 教师给出基本事件的概念, 并对相关特点加以说明, 加深新概念的理解。 让学生从问题的相同点和不同点中找出研究对象的对立统一面, 这能培养学生分析问题的能力, 同时也教会学生运 用对立统一的辩证唯物主义观点来分析问题的一种方法。 教师的注解可以使学生更好的把握问题的关键。 项 目 内 容 师生活动 理论依据或意图 教 学 二 思 例 1 从字母中任意取出两个不同字母的试验中, 有哪些基本事件? 分析: 为了解基本事件, 我们可以按照字典排序的顺序, 把所有可能的结果都列出来。 利用树状图可以将它们之间的关系列出来。 我们一般用列举法列出所有基本事件的结果, 画树状图是列举法的基本方法, 一般分布完成的结果(两步以上) 可以用树先让学生尝试着列出所有的基本事件,教师再讲解用树状图列举问题的优点。 将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。 由于没有学习排列组合, 因此用列举法列举基本事件的个数, 不仅能让学生直观的感受到对象的总数, 而且还能使学生在列举的时 过 程 分 析 考 交 流 形 成 概 念 状图进行列举。 (树状图) 解: 所求的基本事件共有 6 个: ,,, ,, 观察对比, 发现两个模拟试验和例 1 的共同特点: 试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上” 和“反面朝上” 2 个, 并且每个基本事件出现的可能性相等, 都是;试验二中所有可能出现的基本事件有“1 点”、“2 点”、“3点”、“4 点”、“5 点” 和“6 点” 6 个, 并且每个基本事件出现的可能性相等, 都是; 例 1 中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E” 和“F” 6 个, 并且每个基本事件出现的可能性相等, 都是; 经概括总结后得到: (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) 让学生先观察对比,找出两个模拟试验和例 1 的共同特点, 再概括总结得到的结论, 教师最后补充说明。 候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。 培养运用从具体到抽象、 从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力, 充分体现了数学的化归思想。 启发诱导的同时, 训练了学生观察和概括归纳的能力。 通过用表格列出相同和不同点, 能让学生很好的理解古典概型。 从而突出了古典概型这一重点。 (2) 每个基本事件出现的可能性相等。(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型, 简称古典概型。 思考交流: (1) 向一个圆面内随机地投射一个点, 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的, 你认为这是古典概型吗?为什么? 学生互相交流, 回答补充, 教师归纳。 两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。 突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。 项 目 内 容 师生活动 理论依据或意图 教 学 思考交流形成概念 答: 不是古典概型, 因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点, 试验的所有可能结果数是无限的, 虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”, 但这个试验不满足古典概型的第一个条件。 (2) 如图, 某同学随机地向一靶心进行射击, 这一试验的结果只有有限个: 命中 10 环、 命中 9 环……命中 5 环和不中环。 你认为这是古典概型吗? 为什么? 答: 不是古典概型, 因为试验的所有可能结果只有 7 个, 而命中 10 环、 命中 9 环……命中 5 环和不中环的出现不是等可能的, 即不满足古典概型的第二个条件。 过 程 分 析 三 观 察 分 析 推 导 方 程 问题思考: 在古典概型下, 基本事件出现的概率是多少? 随机事件出现的概率如何计算? 分析: 实验一中, 出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等, 即 P( “正面朝上”) =P( “反面朝上”) 由概率的加法公式, 得 P( “正面朝上”) +P( “反面朝上”) =P(必然事件) =1 因此 P( “正面朝上”) =P( “反面朝上”) = 即 试验二中, 出现各个点的概率相等, 即 P( “1 点”) =P( “2 点”) =P( “3 点”) =P( “4 点”) =P( “5 点”) =P( “6 点”) 反复利用概率的加法公式, 我们有 P( “1 点”) +P( “2 点”) +P( “3 点”) +P( “4 点”) +P( “5点”) +P( “6 点”) =P(必然事件) =1 所以 P( “1 点”) =P( “2 点”) =P( “3 点”) =P( “4 点”) =P( “5 点”) =P( “6 点”) = 进一步地, 利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率, 例如, P( “出现偶数点”) =P( “2 点”) +P( “4 点”) +P( “6 点”)=++== 即 根教师提出问题, 引导学生类比分析两个模拟试验和例 1 的概率, 先通过用概率加法公式求出随机事件的概率,再对比概率结果, 发现其中的联系。 鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、 从特殊到一般的辩证唯物主义方法来分析问题, 同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性, 突出了古典概型的概率计算公式这一重点。 据上述两则模拟试验, 可以概括总结出, 古典概型计算任何事件的概率计算公式为: 项 目 内 容 师生活动 理论依据或意图 教 学 过 三 观 察 分 析 推 导 方 程 提问: (1) 在例 1 的实验中, 出现字母“d” 的概率是多少? 出现字母“d” 的概率为: 提问: (2) 在使用古典概型的概率公式时, 应该注意什么? 归纳: 在使用古典概型的概率公式时, 应该注意: (1) 要判断该概率模型是不是古典概型; (2) 要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 除了画树状图, 还有什么方法求基本事件的个数呢? 教师提问,学生回答,加深对古典概型的概率计算公式的理解。 深化对古典概型的概率计算公式的理解, 也抓住了解决古典概型的概率计算的关键。 程 分 析 四 例 题 分 析 推 广 应 用 例 2 单选题是标准化考试中常用的题型, 一般是从 A, B, C,D 四个选项中选择一个正确答案。 如果考生掌握了考差的内容,他可以选择唯一正确的答案。 假设考生不会做, 他随机的选择一个答案, 问他答对的概率是多少? 分析: 解决这个问题的关键, 即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。 如果考生掌握或者掌握了部分考察内容, 这都不满足古典概型的第 2 个条件——等可能性, 因此, 只有在假定考生不会做, 随机地选择了一个答案的情况下, 才可以化为古典概型。 解: 这是一个古典概型, 因为试验的可能结果只有 4 个: 选择 A、选择 B、 选择 C、 选择 D, 即基本事件共有 4 个, 考生随机地选择一个答案是选择 A, B, C, D 的可能性是相等的。 从而由古典概型的概率计算公式得: 课后思考: (1) 在标准化考试中既有单选题又有多选题, 多选题是从A, B, C, D 四个选项中选出所有正确的答案, 同学们可能有一种感觉, 如果不知道正确答案, 多选题更难猜对, 这是为什么?(2) 假设有 20 道单选题, 如果有一个考生答对了 17 道题,他是随机选择的可能性大, 还是他掌握了一定知识的可能性大? 学生先思考再回答,教师对学生没有注意到的关键点加以说明。 让学生明确决概率的计算问题的关键是: 先要判断该概率模型是不是古典概型, 再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 巩固学生对已学知识的掌握。 项 目 内 容 师生活动 理论依据或意图 教 学 过 程 分 析 四 例 题 分 析 推 广 应 用 例 3 同时掷两个骰子, 计算: (1) 一共有多少种不同的结果? (2) 其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3) 向上的点数之和是 5 的概率是多少? 解: (1) 掷一个骰子的结果有 6 种, 我们把两个骰子标上记号1, 2 以便区分, 由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对, 我们用一个“有序实数对” 来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表), 其中第一个数表示 1 号骰子的结果, 第二个数表示 2 号骰子的结果。(可由列表法得到) 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种。 (2) 在上面的结果中, 向上的点数之和为 5 的结果有 4 种,分别为: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) (3) 由于所有 36 种结果是等可能的, 其中向上点数之和为 5的结果(记为事件 A) 有 4 种, 因此, 由古典概型的概率计算公式可得 先给出问题, 再让学生完成, 然后引导学生分析问题, 发现解答中存在的问题。 引导学生用列表来列举试验中的基本事件的总数。 利用列表数形结合和分类讨论, 既能形象直观地列出基本事件的总数, 又能做到列举的不重不漏。 深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解,和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。培养学生运用数形结合的思想, 提高发现问题、 分析问题、 解决问题的能力, 增强学生数学思维情趣, 形成学习数学知识的积极态度。 五 探 究 思 考 巩 固 深 化 问题思考: 为什么要把两个骰子标上记号? 如果不标记号会出现什么情况? 你能解释其中的原因吗? 如果不标上记号, 类似于(1, 2) 和(2, 1) 的结果将没有区别。 这时, 所有可能的结果将是: (1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)(2, 2)(2,3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)(3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)(4,4)(4, 5)(4, 6)(5, 5)(5, 6)(6, 6) 共有 21 种, 和是 5的结果有 2 个, 它们是(1, 4)(2, 3), 所求的概率为 这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了。 可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的点, 感受第二种方法构造的基本事件不是等可能事件, 另外还可以利用Excel 展示第二种方法中构造的 21 个基本事件不是等可能事件。 从而加深印象, 巩固知识。 要求学生观察对比两种结果,找出问题产生的原因。 通过观察对比, 发现两种结果不同的根本原因是——研究的问题是否满足古典概型, 从而再次突出了古典概型这一教学重点, 体现了学生的主体地位, 逐渐养成自主探究能力。 项 目 内 容 师生活动 理论依据或意图 教 学 过 六 总 结 概 括 加 深 理解 1. 我们将具有 (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性)(2) 每个基本事件出现的可能性相等。(等可能性) 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型, 简称古典概型。2. 古典概型计算任何事件的概率计算公式 3. 求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法(画树状图和列表), 应做到不重不漏。 学生小结归纳, 不足的地方老师补充说明。 使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识,并把学过的相关知识有机地串联起来, 便于记忆和应用, 也进一步升华了这节课所要表达的本质思想, 让学生的认知更上一层。 七 布 置 作 业 P123 练习 1、 2 题 学生课后自主完成。 进一步让学生掌握古典概型及其概率公式, 并能够学以致用, 加深对本节课的理解。 程 分 析 八 板 书 设 计 教 法 分 析 根据本节课的特点, 采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法, 通过提出问题、 思考问题、解决问题等教学过程, 观察对比、 概括归纳古典概型的概念及其概率公式, 再通过具体问题的提出和解决, 来激发学生的学习兴趣, 调动学生的主体能动性, 让每一个学生充分地参与到学习活动中来。 教 法 与 学 法 分 析 学 法 分 析 学生在教师创设的问题情景中, 通过观察、 类比、 思考、 探究、 概括、 归纳和动手尝试相结合, 体现了学生的主体地位, 培养了学生由具体到抽象, 由特殊到一般的数学思维能力, 形成了实事求是的科学态度, 增强了锲而不舍的求学精神。 评 价 分 析 评 价 设 计 本节课的教学通过提出问题, 引导学生发现问题, 经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念, 由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解; 再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。 这一过程能够培养学生发现问题、 分析问题、 解决问题的能力。 在解决概率的计算上, 教师鼓励学生尝试列表和画出树状图, 让学生感受求基本事件个数的一般方法, 从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。 整个教学设计的顺利实施,达到了教师的教学目标。