基本性质
等式两边同时加上(或减去)同一个整式,或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,或是等式左右两边同时乘方,等式仍然成立。
性质1 等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立。若a=b,那么a+c=b+c
性质2 等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,等式仍然成立。若a=b,那么有a·c=b·c;或a÷c=b÷c (c≠0)
性质3 等式具有传递性。若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an
拓展1:等式两边同时被一个数或式子减,结果仍相等。
如果a=b,那么c-a=c-b
拓展2: 等式两边取相反数,结果仍相等。如果a=b,那么-a=-b;
拓展3: 等式两边不等于0时,被同一个数或式子除,结果仍相等。如果a=b不等0,那么c/a=c/b;
拓展4:等式两边不等于0时,两边取倒数,结果仍相等。如果a=b不等0,那么1/a=1/b;
意义:等式的性质是解方程的基础,很多解方程的方法都要运用到等式的性质。如移项,运用了等式的性质1;去分母,运用了等式的性质2 。
运用等式的性质,涉及除法时,要注意转换后,除数不能为0,否则无意义。
不同的运算方法的等式,表明不同的运算方式、规则和结果。
所以说:等式,是数学的重要命脉。
数学上的确有对"等价关系"的严格定义,但那对理解物理上不同物理量之间的相等这个问题其实没有太大帮助,因为数学上用于集合论的"等价关系"限定等价建立于同一个集合内的不同元素,而物理上等式两边往往是两个集合。
但数学上的"严格定义":
等价关系需要满足3个公理:
如果x,y,z属于某个集合S
1. x=x,x首先必须等于他自己,即反身性的意思.
2. if x=y, then y=x. 这叫对称性,简单地说就是等于这个关系必须可以交换顺序,这对于某些运算比如消去律:如果a+x=b+y得到a=b,那么a+y=b+x也能得到a=b.
3. if x=y, y=z, then x=z. 这叫传递性,意思是如果有个数,有时也不是数,同时和另外两个数相等,那么另外两个数字也应该相等。
这三条用于实数的运算很显然,是人类通过现实经验总结出来的,没有理由质疑也没有方法证明。