从上面的讨论得出,对于一定的振动方式,波节和波腹的位置是固定的,可见在弦上的振动是驻波方式.
每一个简正振动都是方程(2-1-3)的一个特解,因而该方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加,因此弦上的总位移是
式中,
,称为第n次振动方式的波数,
为相应的波长。
现在我们来研究初始条件对弦振动的影响。我们假定在t=0时刻有一般形式的位移和速度
2-1-21式
此处
,
是x的任意函数,为了处理方便,我们将式(2-1-21)改写成为
其中,
仍为待定系数,将条件式(2-1-21)代入可得
对上面两个等式分别乘以
,从0到l积分,利用正弦函数的正交性可得:
2-1-24式
因此,只要
,
的具体函数形式给定就可以求出Cn,Dn,从而定出Bn,
,于是弦的振动位移就可以完全确定。2-1-24式很重要,我们一般用这个式子来求解。
至此,我们完全说清楚了弦振动的数学方程和物理意义。接下来我就要看看你在某个部位拨弦,振动的模态有什么不同。
3. 问题解决
3.1 推导在
处拨弦模态的不同
打字太累了,下面手动推导吧!
好了,至此我们推导出了在弦内
处拨弦的解。接下来我们来看下这个解的物理意义。
式中可见解仍是由不同频率的模态叠加而成的,在某个固定的模态n中,
是振幅,
是随空间波动的项,
是随时间波动的项。这一项或者这一个模态能否存在决定于这一项振幅是否为0。这一点很重要。而
是分数,因此振幅中
的模态不能存在,因此
时不能存在,
因此不能存在的模态n为:
好了,我们之前说明了不同的模态其实指的是不同的振动谐频,因此对应的
倍谐频不能够产生。举个例子,假如我们在1/3处拨弦,那么对应的发声频谱上3倍谐频及对应频率的能量就会被抑制。同样,1/2处拨弦,2倍谐频及对应的能量也会被抑制。物理意义其实是弦的驻波波节的位置被破坏,从而无法形成这个模态的驻波解。你想想,原来这个位置形成驻波解后应该振幅为0,现在却有了位移,所以就被破坏了。
3.2 1/2处拨弦的例子
再举个1/2处拨弦的例子:
如图2-5所示,一两端固定的弦,设在 t= 0时,在中央位置 x= l