第一章:整式的运算 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是 数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的 数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中 所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、 单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是 1 或―1。 6、单独的一个数字是单项式,它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是 0。 8、单项式中 只能含有乘法或乘方运算,而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的 系数包括它前面的符号。 10、单项式的 系数是带分数时,应化成假分数。 11、单项式的系数是 1 或―1 时,通常省略数字“1”。 12、单项式的 次数仅与字母有关,与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的 每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中 不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式 有几项,就叫做几项式。 5、多项式的 每一项都包括项前面的符号。 6、 多项式没有系数的概念,但有次数的概念。 7、 多项式 中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、 单项式或多项式都是整式。 整 式 的 运 算 3 3 、整式不一定是单项式。 4、 整式不一定是多项式。 5、 分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分配率。 2、几个整式相加减,关键是正确地运用去括号法则,然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤: (1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。 (2)按去括号法则去括号。 (3)合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤: (1)代数式化简。 (2)代入计算 (3)对于某些特殊的代数式,可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 1、n n 个相同因式(或因数)a a 相乘,记作 a an n ,读作 a a 的 的 n n 次方(幂),其中 a a 为底数,n n 为指数,a an n 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即: a am m ﹒a an n =am+n 。 4、此法则也可以逆用,即: a am+n = am m ﹒a an n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 (a am m )n n表示 n n 个 个 a am m 相乘 。 2、幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。 (a am m )n n =amn 。 3、此法则也可以逆用,即: a amn = = (a am m )n n = = (a an n )m m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。即 ( ab )n n =an n b b n n 。 3、此法则也可以逆用,即: a an n b b n n = = ( ab )n n 。 八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点: (1 1 )法则中的底数不变,只对指数做运算。 (2 2 )法则中的底数(不为零)和指数具有普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式)。 (3 3 )对于含有 3 3 个或 3 3 个以上的运算,法则仍然成立。 2、不同点: (1 1 )同底数幂相乘是指数相加。 (2 2 )幂的乘方是指数相乘。 (3 3 )积的乘方是每个因式分别乘方,再将结果相乘。 九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则 :同底数幂相除,底数不变,指数相减,即: a am m ÷a an n =am m- -n n (a a ≠0 0 ) 。 2、此法则也可以逆用,即: a am m- -n n = am m ÷a an n (a a ≠0 0 ) 。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义: 任何不等于 0 0 的数的 0 0 次幂都等于 1 1 ,即:a a0 0 =1 (a a ≠0 0) )。 十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂,等于这个数的 p 次幂的倒数,即: 注:在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为 0。 十二、整式的乘法 (一)单项式与单项式相乘 1、单项式乘法法则:单项式与单项式相乘, 把它们的系数、 相同 字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。 2、 系数相乘时,注意符号。 3、 相同字母的幂相乘时,底数不变,指数相加。 4、对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数一起写在积里,作为积的因式。 5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。 (二)单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。即: m(a+b+c)=ma+mb+mc 。 2、运算时注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。 3、积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。 4、混合运算中,注意运算顺序,结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果。 (三)多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式乘法法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。即: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。 2、 多项式与多项式相乘,必须做到不重不漏。 相乘时,要按一定的顺序进行,即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。 3、” 多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。 4、运算结果中有同类项的要合并同类项。 5、对于含有同一个字母的一次项系数是 1 的两个一次二项式相乘时,可以运用下面的公式简化运算:(x+a)(x+b)=x2 2 +(a+b)x+ab 。 十三、平方差公式 1、 ( a+b ) (a- - b)=a2 2 - -b b 2 2 ,即:两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。 2、平方差公式中的 a、b 可以是单项式,也可以是多项式。 3、平方差公式可以逆用,即: a a2 2 - -b b 2 2 = = ( a+b ) (a- - b) 。 1( 0)ppaa a  4、平方差公式还能简化两数之积的运算,解这类题,首先看两个数能否转化成 (a+b)•(a-b)的形式,然后看 a2 与 b 2 是否容易计算。 十四、完全平方公式 1、 即 :两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 2 倍。 2、公式中的 a,b 可以是单项式,也可以是多项式。 3、掌握理解完全平方公式的变形公式: (1 1 ) (2 2 ) (3 3 ) 4、完全平方式:我们把形如: 的二次三项式称作完全平方式。 5、当计算较大数的平方时,利用完全平方公式可以简化数的运算。 6、完全平方公式可以逆用,即: 十五、整式的除法 (一)单项式除以单项式的法则 1、单项式除以单项式的法则:一般地,单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、根据法则可知,单项式相除与单项式相乘计算方法类似,也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。 (二)多项式除以单项式的法则 1、多项式除以单项式的法则: 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。用字母表示为: 2、多项式除以单项式,注意多项式各项都包括前面的符号。 知识点(一)概念应用 1、单项式和多项式统称为整式。 单项式有三种:单独的字母( a,- -w w 等);单独的数字( 125 ,73 , 3.25 ,- -2 14562 等); 数字与字母乘积的一般形式(- - 2s, a32 , ,x 5等)。 2 2 、 单项式的系数是指数字部分,如 abc  23  的系数是  23  ( ( 注意系数部分应包含  ,因为  是常数);单项式的次数是它所有字母的指数和(记住不包括数字和  的指数),如5 3 256 y x  次数是 8 8 。 3 3 、多项式:几个单项式的和叫做多项式。 4 4 、多项式的特殊形式:2b a 等。 2 2 2 2 2 2( ) 2 ,( ) 2 , a b a ab b a b a ab b        2 2 2 2 2 212( ) 2 ( ) 2 [( ) ( ) ] a b a b ab a b ab a b a b           2 2( ) ( ) 4 a b a b ab    2 214 [() ( ) ] ab a b a b    2 2 2 22 , 2 , a ab b a ab b    2 2 2 2 2 22 ( ) , 2 ( ) . a ab b a b a ab b a b        ( ) . a b c m a m b m c m          5 5、 、 一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如 1 2312  y y x 是 是 3 3 次 次 3 3 项式。 6 6 、单独的一个非零数的次数是 0 0 。 知识点(二)公式应用 1 、n m n ma a a  n (m,n 都是正整数)如5 2 3b b b     。 拓展运用n m n ma a a   如已知ma =2, na =8, 求n ma。 解:n m n ma a a  =2 × 8=16. 2 、mn n ma a  ) ( n (m,n 都是正整数) 如12 4 3 6 2 4 3 6 22 ) ( ) ( 2 a a a a a      拓展应用m n n m mna a a ) ( ) (   。 若 2 na ,则 4 2 ) (2 2 2  n na a 。 3 3 、n n nb a ab  ) ( n (n 是正整数 ) 拓展运用n n nab b a ) (  。 4 4 、n m n ma a a  a (a 不为 0 0 ,n m,n 都为正整数,且 m m 大于 n) 。 拓展应用n m n ma a a   如若 9 ma , 3 na ,则 3 3 9      n m n ma a a 。 。 5 5 、 ) 0 ( 10  a a ; 0 (1 aaapp,是正整数) ) 。 如81) 2 (1) 2 (33   6 6 、平方差公式2 2) )( ( b a b a b a     a a 为相同项,b b 为相反项。 如2 2 2 24 ) 2 ( ) 2 )( 2 ( n m n m n m n m          7 7 、完全平方公式2 2 22 ) ( b ab a b a     2 2 22 ) ( b ab a b a     逆用:2 2 2 2 2 22 ( ) , 2 ( ) . a ab b a b a ab b a b         如2 2 24 4 ) 2 ( y xy x y x     8 8 、应用式: ab b a b a 2 ) (2 2 2    ab b a b a 2 ) (2 2 2    ab b a b a 4 ) ( ) (2 2    ab b a b a 4 ) ( ) (2 2    两位数 10a + b 三位数 100a + 10b +c c 。 9 9 、 单项式与多项式相乘: m(a+b+c)=ma+mb+mc 。 10 、、多项式与多项式相乘: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。 11、 、 多项式除以单项式的法则: : ( ) . a b c m a m b m c m          12 、 常用变形:2 2 1( (n nx y x y 2n 2n+1)=(y-x) , ) =-(y-x) 知识点(三)运算: 1、常见误区: 1、 5 6 3 5 ) 5 3 ( 2 ) 3 ( 52 2 2 2         x x x x ( 10 6 15 52 2    x x ); 2、 2 2   a a ( a ); 3、6 3 2a a a   (5a ); 4、4 4 42b b b   (8b ); 5、10 5 5x x x   (52x ); 6、4 4a a  (41a ); 7、2 2 26 ) 3 ( q p pq    (2 29 q p ); 8、2 3 6a a a   (3a ); 9、 05 5 a a (1), 0 ) 14 . 3 (0   (1); 10、2 22 ) 2 )( 2 ( b a b a b a     (2 24 ( b a  ); 11、 64 ) 8 )( 8 (2    ab ab ab ( 642 2 b a ); 12、2 2 225 16 ) 5 4 ( y x y x    (2 225 40 16 y xy x  )。 2 、简便运算: ①公式类 25 25 1 25 ) 25 04 . 0 ( 25 25 04 . 0 25 04 . 02005 2005 2005 2005 2006 2005          1 1 ) 8 125 . 0 ( 8 125 . 0 ) 2 ( 125 . 0 2 125 . 0100 100 100 100 100 3 100 300 100         ②平方差公式 1 1 123 123 ) 1 123 )( 1 123 ( 123 122 124 1232 2 2 2          ③完全平方公式 998001 1 2000 1000000 ) 1 1000 ( 9992 2      第二章 平行线与相交线 余角 余角补角 补角 角 两线相交 对顶角 同位角 三线八角 内错角 同旁内角 平行线的判定 平行线 平行线与相交线 平行线的性质 尺规作图 一、平行线与相交线 平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线。 二、余角与补角 1、 如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称其中一个角是另一个角的余角。 2、 如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称其中一个角是另一个角的补角。 3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角的度数有关,与角的位置无关。 4、 余角和补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。 5、余角和补角的性质用数学语言可表示为: (1 1 ) 则 ( ( 同角的余角(或补角)相等) ) 。 (2 2 ) 且 则 ( ( 等角的余角(或补角)相等) )。 6、余角和补角的性质是 证明两角相等的一个重要方法。 三、对顶角 1、 两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角。 2、 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。 3、对顶角的性质 :对顶角相等。 4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。 5、对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。 四、垂线及其性质 1、垂线:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足表示符号“⊥”。