这是由环的公理化定义决定的。要是没有基础,这个说起来不是那么容易,这个涉及代数基本结构。我们小学学习四则运算是按照一定认知规律进行的,加、减、乘、除,一般是这个顺序,这个顺序正好对应着代数结构由简单到复杂的过程。
我们一开始学习加法,这是一个可交换的二元运算(我们记为
),满足结合律,有单位元素0,这就构成了一个可交换幺半群的代数结构。
也就是说满足以下几条公理的集合就叫做可交换幺半群(封闭性是最基础的,就不提了)
(1)
;(加法结合律 )
(2)
;(加法交换律)
(3) 存在一个元素
,对于任意元素
,都有
;(单位元)
(注:如果只满足公理1,就叫半群。如果只满足公理1、3,就叫幺半群。)
具体到算数里的加法,
因此,算数里的加法,其实就是一个可交换幺半群的代数结构。
在此基础上,如果再引入逆元素,相当于就定义了相反数,于是顺理成章地就诱导出加法运算的逆运算——减法。这其实就构成了阿贝尔群的代数结构,除了满足前面三条公理之外,还要满足第四个公理:
(4) 对于任意元素
,都存在一个与之相对应的元素
,使得
具体到算数里,就是相反数定义
(注:如果只满足公理1、3、4,就叫做群)
以此为基础,就可用加法和逆元素来定义减法:
,减法是由加法诱导出来的。因此我们可以说,算数加、减法其实就是一个阿贝尔群的代数结构
小学学习了 加减法之后,就要开始学习乘法。这其实是在前面的基础上再引入一个新的二元运算(我们记为
),该运算满足结合律(封闭性是最基础的,就不提了),(
)合在一起还满足分配率,这就构成了环的代数结构。因此环除了满足上述四条公理外,还满足以下两条公理:
(5)
(乘法结合律)
(6)
(右分配律)
(左分配律)
如果对于运算
还满足交换律,则称为交换环:
(7)
(乘法交换律)
如果交换环还满足:(8) 对于任意元素
都有
(
为
运算的单位元,见公理(3))
则称此交换环具有零因子。对应于算数里的
因此我们可以说,算数加、减、乘法其实就构成了具有零因子的交换环的代数结构。
现在我们已经建立了环的代数结构,下