如果满足下列条件: 对任意 ,如果 ,则必然 ; 对任意 ,可以选择 ,使得 。 就说B是向量空间 的一组基。第二个条件中,将一个向量 表示成 的形式,称为向量 v在基底下的分解。 称为向量v在基底B下的分量表示。 有有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间,必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间V的一个子集 (有限或无限B满足: 它的所有有限子集 满足上面的第一个条件(即线性无关); 对任意 ,可以选择 ,以及 ,使得 。 就称B是无限维空间 的一组基。 没有装备拓扑结构的向量空间的结构不足以谈论向量的无限和,因此上述定义只包括对有限个向量求和。 设B是向量空间 的子集。则B是基,当且仅当满足了下列任一条件: 是B的极小生成集,就是说只有B能生成 ,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。 B是 中线性无关向量的极大集合,就是说B在 中是线性无关集合,而且 中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为B中向量的线性组合。如果基是有序的,则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。 如果承认良序定理或任何选择公理的等价物,那么作为推论,可以证明任何的向量空间都拥有一组基。(证明:良序排序这个向量空间的元素。