摘要 在中学数学三角函数“角的概念推广”这部分内容中, 如何求与角α终边相同的角的集合?对此有好多学生感到束手无策。本人在多年的教学经验中,总结了一种方法“周期法”可快速便捷地找到答案。
关键词 角α;角α终边;旋转周期;周期法
中图分类号O657.7+2 文献标识码A 文章编号 1674-6708(2011)35-0086-02
下面来介绍利用“周期法”解决此类问题的思路:
1 通过举例来说明“周期法”
1.1 如图
写出始边、终边与α相同的角的集合。
分析:α角的终边是一条射线,这条射线就是题目所要求的角的终边所在的位置。让我们来沿不同方向旋转α的终边OB,则得:
α+360 α-360
α+2・360α-2・360
α+3・360α-3・360
等角,这些角的终边都与角α终边相同,即与OB重合。不论角α终边沿什么方向旋转。只要旋转360度的整数倍即K周,都会落在OB上,360度即角α终边的旋转周期,如果角α终边按这个周期旋转,所形成的角的终边都与α角的终边重合。如果在直角坐标系中讨论这个问题,通常使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合。则这些终边与α角相同(默认它们始边相同)的角的集合可写为:
{x|x=α+k・360,k∈Z}.
1.2 例如:写出终边在y轴上的角的集合
本题所要求的终边位置在y轴上,y轴是一条直线,不是一条射线。这时,我们首先找出这条直线与始边(即x轴的正半轴)的最小夹角(可以是正角,也可以是负角),这个最小夹角即α角,然后让α角的终边沿一定方向旋转,每旋转一定的角度A,α角的终边就会与问题中所要求的直线重合,则这个角度A就是本问题中的周期。就拿本题而言,y轴这条直线与始边的最小夹角是90度,90度的终边沿逆时针或顺时针方向旋转,每旋转180度就会落在y轴上,这说明90度角终边的旋转周期是180度。这样我们可写出终边在y轴上的角的集合为:
{x|x=90+k・180,k∈Z}.
2 周期法求与角α终边相同的角的集合
通过以上例子,我们可以总结出写出终边在某条射线或直线上的角的集合的步骤:
1)确定α角
即先确定题目所要求的射线或直线(角的终边位置)与始边所夹的最小角α。
2)明确周期
即旋转α角的终边, 不论沿什么方向旋转,看每旋转多少度就落在了这条所要求的射线或直线上,这个旋转度数即周期T。
3) 写出集合
即写出与α角终边相同的角的集合,格式:
{x|x=α+k・T,k∈Z}.
说明:1)α角终边所在的位置如果是一条射线,α角可以是锐角,也可以是钝角,α角终边旋转的周期是一个确定的值:360度;(比如例题一)。
2)如果α角终边所在的位置是一条直线,α角一般取该直线与X轴正向的较小的夹角,如果在第一象限取正值,在第四象限则取负值;如果α角终边沿逆时针方向旋转,则周期为正,如果沿顺时针方向旋转,周期则为负值。
3 通过练习来熟悉这种方法
3.1 写出终边在x负半轴上的角的集合
分析: 终边位置x负半轴是一条射线,这条射线与始边即X正半轴的最小夹角为180度,即α=180度,让180度的终边旋转,每旋转360度就落在x负半轴上,即周期T=360 度,所以,终边在x负半轴上的角的集合为:
{x|x=α+k・360,k∈Z}.
3.2 写出终边在直线y=x上的角的集合
分析:终边位置是直线y=x,与始边即X正半轴的最小夹角是45°,即α=45°,让45度的终边旋转,每旋转180度就落在直线y=x上,即周期T=180度,所以终边在直线y=x上的角的集合为:
{x|x=45+k・180,k∈Z}.
4 巩固练习
4.1 思考题
4.1.1写出终边在x轴、y轴上的角的集合
(分析:x轴、y轴是两条直线,根据前几例的思路,可先找出这两条直线与始边的最小夹角:0度,然后让0度的终边旋转,发现它每旋转90度就落在了所要求的直线上。从而可知,终边在x轴、y轴上的角的集合为:{x|x=0+k・90,k∈Z},简化为:
{x|x= k・90,k∈Z}。)
4.1.2写出终边在x轴、y轴、y=x 、y=-x上的角的集合
(分析:先找出这四条直线与始边的最小夹角:0度,然后让0度的终边旋转,每旋转 45°就落在了所要求的直线上,可得终边在x轴、y轴、y=x、y=-x上的角的集合为:
{x|x= k・45,k∈Z}。)
通过以上思考题我们发现:如果终边位置是多条直线,只要这些直线经过同一点,而且在同一个平面内分布均匀,就可以轻而易举地给出答案。
4.2引申思考题
1)求sin(1920)
解:因为1920=α+5・360
得α=1200
所以sin(1920)= sin(120+5・360)= sin(1200)=
2)求使函数y=2+ sinx取最大值时的x值的集合
解:因为使函数y=2+ sinx取最大值时的x,就是使函数y= sinx取最大值时的x,即终边在y的正半轴上的角的集合,所以函数y=2+ sinx取最大值时的x值的集合为:
总之,只要你平时多动脑筋,勤于思考,善于总结,就会有所发现,有所收获,有所创新。
参考文献
[1]中等职业教育国家规划教材《数学》第一册.
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