数学是从生产生活中诞生的,随着数学的发展,逐渐超出了人们的想象。虚数就是数学发展过程中的一个典型例子,不过,直到今天,仍有很多小伙伴对虚数表示难以理解。本文,就与您一起来聊聊虚数其实不虚。一、现实中不应该存在的数
假设有一块边长为5米的正方形土地,现在想把这个土地扩大出39平方米并且仍旧是正方形。其实这个题目很简单,初中生应该都会,就是求方程(5+x)^2=25+39的根。最后得到的结果是x=3或x=-13。根据题意,可以得到x=3,因为边长不能是负数,所以-13是无效解。
如果前面这个例子还可以理解,那么下面这个方程就无法接受了。x^2+2x+2=0,为了求解x我们把方程变换一下(x+1)^2=-1。很明显,这个题目如果在实数范围内是做不下去的。什么数的平方会是负数呢?
这个平方后能产生负数的方程曾经在很长一段时间里困扰着数学家们,莱布尼兹就曾经认为,这是数学解析中的一个奇异,在现实中的是不存在的,所以就把它称作了虚数。
二、现实中的虚数意义
我们现在知道-1的平方根是i,让我们一起来探索一下i的性质。考虑在一根数轴上的实数,1、2、3……,如果把它们乘以-1就得到-1、-2、-3……。这些数相当于是原来那个数以原点为中心旋转180度。由于i^2=-1,这意味着,一个数两次乘以i旋转了180度。
换句话说,就是一个实数如果乘以一个i意味着旋转了90度。我们把一个实数乘以i之后的数叫做纯虚数,它位于与实数轴垂直的虚数轴上。方程x^2-6x+25=0有两个根,x=3±4i,这两个根就是在由实数数轴,以及与实数数轴垂直的虚数数轴构建的平面上的两个点相对应。我们把实数+实数i这种结构的数叫做复数。
很明显,复数的这个特点意味着这是一个超越了只有正负两个方向的实数,是一个能描述平面上所有点的方向的更广义上的数。虚数i的意义就在于与实数一起构建了一个向量空间,复数描述了这个空间中的点距离原点的距离和离开实数正方向所偏转的角度。
对于一个复数z=a+bi,其距离原点的距离为r=(a^2+b^2)^(1/2),其偏转角度为θ,tanθ=b/a。r被称为z的绝对值,用|z|来表示,θ叫做z的辐角,用arcz表示。
三、虚数(复数)与物理学
物理学中经常要计算质点的位移,有了复数这种处理就简单了很多。举个例子,某质点在t1时