匀变速直线运动的速度与位移的关系 【学习目标】 1、会推导公式2 202tv v ax − = 2、掌握公式2 202tv v ax − = ,并能灵活应用 【要点梳理】 要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系 根据匀变速运动的基本公式 0 tv v at = + , 2012x v t at = + , 消去时间 t,得2 202tv v ax − = . 即为匀变速直线运动的速度—位移关系. 要点诠释: ①式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的,因为不含时间,所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用. ②公式中四个矢量tv 、0v 、a、x 也要规定统一的正方向. 要点二、匀变速直线运动的四个基本公式 要点二、匀变速直线运动的四个基本公式 (1)速度随时间变化规律:0 tv v at = + . (2)位移随时间变化规律:2012x v t at = + . (3)速度与位移的关系:2 202tv v ax − = . (4)平均速度公式:02tx vv+= ,02tv vx t+= . 要点诠释: 运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式,应用时,要选取正方向.公式(1)中不涉及 x,公式(2)中不涉及tv ,公式(3)中不涉及 t,公式(4)中不涉及 a,抓住各公式特点,灵活选取公式求解.共涉及五个量,若知道三个量,可选取两个公式求出另两个量. 要点三、匀变速直线运动的三个推论 要点诠释: (1)在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值,即△x=aT 2 (又称匀变速直线运动的判别式). 推证:设物体以初速 v 0 、加速度 a 做匀加速直线运动,自计时起时间 T 内的位移 21 012x v T aT = + . ① 在第 2 个时间 T 内的位移 22 0 112 (2 )2x v T a T x = + − ? 2032v T aT = + . ② 即△x=aT 2 . 进一步推证可得 ①1 22 2 22n n n nx x x x xaT T T+ +− − Δ= = =323n nx xT+−= =… ②x 2 -x 1 =x 3 -x 2 =…=x n -x n - 1 ,据此可补上纸带上缺少的长度数据. (2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 即022ttv vv v+= = . 推证:由 v t =v 0 +at, ① 知经2t时间的瞬时速度 022ttv v a = + ? . ② 由①得0 tat v v = − ,代入②中,得 0 0/2 0 0 01( )2 2 2 2t tt tv v v vv v v v v+= + − = + − = , 即022ttv vv+= . (3)某段位移内中间位置的瞬时速度2xv 与这段位移的初、末速度 v 0 与 v t 的关系为 2 2021( )2x tv v v = + . 推证:由速度-位移公式2 202tv v ax − = , ① 知2 20222xxv v a − = ? . ② 将①代入②可得2 22 20022txv vv v−− = ,即2 2021( )2x tv v v = + . 要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式 要点诠释: 初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动,它自己有着特殊的规律,熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助. 设以 t=0 开始计时,以 T 为时间单位,则 (1)1T 末、2T 末、3T 末、…瞬时速度之比为 v 1 :v 2 :v 3 :…=1:2:3:…. 可由 v t =at,直接导出 (2)第一个 T 内,第二个 T 内,第三个 T 内,…,第 n 个 T 内的位移之比为:x 1 :x 2 :x 3 :x n =1:3:5:…:(2n-1). 推证:由位移公式212x at = 得2112x aT = , 2 2 221 1 3(2 )2 2 2x a T aT aT = − = , 2 231 1(3 ) (2 )2 2x a T a T = −252aT = . 可见,x 1 : x 2 : x 3 : … : x n =1 : 3 : 5 : … : (2n-1). 即初速为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比. (3)1T 内、2T 内、3T 内、…、位移之比为:2 2 21 2 31 2 3 x x x = : : :… : : :… , 可由公式212x at = 直接导出. (4)通过连续相同的位移所用时间之比 1 2 31 ( 2 1) ( 3 2) ( 1)nt t t t n n = − − − − ??? ??? : : : : : : : : . 推证:由212x at = 知12xta= , 通过第二段相同位移所用时间 22 2 2 2( 2 1)x x xta a a×= − = − , 同理:33 2 2 2 x xta a× ×= − , 2( 3 2)xa= − , 则1 2 31 ( 2 1) ( 3 2) ( 1)nt t t t n n ⋅⋅⋅ = − ⋅⋅⋅ − − : : : : : : - : : . 要点五、纸带问题的分析方法 (1)“位移差法”判断运动情况,设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为 x 1 、x 2 、x 3 …. ①若 x 2 -x 1 =x 3 -x 2 =…=1 n nx x−− =0,则物体做匀速直线运动. ②若 x 2 -x 1 =x 3 -x 2 =…=1 n nx x−− =△x≠0,则物体做匀变速直线运动. (2)“逐差法”求加速度,根据 x 4 -x 1 =x 5 -x 2 =x 6 -x 3 =3aT 2 (T 为相邻两计数点的时间间隔),有 4 1123x xaT−= ,5 2223x xaT−= ,6 3323x xaT−= , 然后取平均值,即 1 2 33a a aa+ += 6 5 4 3 2 12( ) ( )9x x x x x xT+ + − + += . 这样使所给数据全部得到利用,以提高准确性. 要点诠释:①如果不用“逐差法”求,而用相邻的 x 值之差计算加速度,再求平均值可得: 3 2 5 4 6 5 2 12 2 2 215x x x x x x x xaT T T T− − − − \uf0e6 \uf0f6= + + +\uf0e7 \uf0f7\uf0e8 \uf0f86 125x xT−= . 比较可知,逐差法将纸带上 x 1 到 x 6 各实验数据都利用了,而后一种方法只用上了 x 1 和 x 6 两个实验数据,实验结果只受 x 1 和 x 6 两个数据影响,算出 a 的偶然误差较大. ②其实从上式可以看出,逐差法求平均加速度的实质是用(x 6 +x 5 +x 4 )这一大段位移减去(x 3 +x 2 +x 1 )这一 大段位移,那么在处理纸带时,可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度,但要注意分母(3T) 2 而不是 3T 2 . (3)瞬间速度的求法 在匀变速直线运动中,物体在某段时间 t 内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻2t时的瞬时速度相同,即2tv v = .所以,第 n 个计数点的瞬时速度为:12n nnx xvT++= . (4)“图象法”求加速度,即由12n nnx xvT−+= ,求出多个点的速度,画出 v-t 图象,直线的斜率即为加速度. 【典型例题】 【典型例题】 类型一、 公式2 202tv v ax − =的应用 例 例 1、一列从车站开出的火车,在平直轨道上做匀加速直线运动,已知这列火车的长度为 l,当火车头经过某路标时的速度为 v 1 ,而车尾经过这个路标时的速度为 v 2 ,求: (1)列车的加速度 a; (2)列车中点经过此路标时的速度 v; (3)整列火车通过此路标所用的时间 t. 【答案】(1)2 22 12v val−= (2) 2 21 22v vv+= (3)1 22ltv v=+ 【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动,某一时刻速度为 v 1 ,前进位移 l,速度变为 v 2 ,所求的 v 是经过2l处的速度.其运动简图如图所示. (1)由匀变速直线运动的规律得2 22 12 v v al − = ,则火车的加速度为2 22 12v val−= . (2)火车的前一半通过此路标时,有2 2122lv v a − = ? , 火车的后一半通过此路标时,有2 2222lv v a − = ? , 所以有2 2 2 21 2v v v v − = − ,故2 21 22v vv+= . (3)火车的平均速度1 22v vv+= ,故所用时间1 22 l ltv v v= =+. 【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解,使用2 202tv v ax − = 可大大简化解题过程. 举一反三 【变式 1】在风平浪静的海面上,有一战斗机要去执行一项紧急飞行任务,而航空母舰的弹射系统出了故障,无法在短时间内修复.已知飞机在跑道上加速时,可能产生的最大加速度为 5m/s 2 ,起飞速度为 50m/s,跑道长为 100 m.经过计算发现在这些条件下飞机根本无法安全起飞.航空母舰不得不在海面上沿起飞方向运动,从而使飞机获得初速度,达到安全起飞的目的,那么航空母舰行驶的速度至少为多大? 【答案】 18.4m/s 【解析】若飞机从静止起飞,经过跑道 100 m 后,速度为 v. 由 v 2 =2ax.知 2 5 100m/s 10 10m/s 50m/s v = × × = < . 故航空母舰要沿起飞方向运动. 取航空母舰为参考系, 2 10 10m/s 31.6m/stv ax = = = , 故航空母舰行驶的速度至少为 (50 31.6)m/s 18.4m/s v′ = − = . 【高清课程:匀变速直线运动中速度与位移的关系 第 5 页】 【变式 2】某飞机着陆时的速度是 216km/h,随后匀减速滑行,加速度的大小是 2m/s2 。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来? 【答案】900m 类型二、 匀变速直线运动公式的灵活运用 例 例 2、一个做匀加速直线运动的质点,在连续相等的两个时间间隔内,通过的位移分别是 24 m 和 64 m,每一个时间间隔为 4s,求质点的初速度和加速度. 【答案】a=2.5m/s 2 ,v A =1 m/s 【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述,因而选择不同的公式,所对应的解决方法也不相同. 解法一:(基本公式法) 画出运动过程示意图,如图所示,因题目中只涉及位移与时间,故选择位移公式: 2112Ax v t at = + . ( )221(2 ) (2 )2A Ax v t a t v t = + − + . 将 x 1 =24m、x 2 =64m、t=4s 代入上式解得:a=2.5m/s 2 ,v A =1 m/s. 解法二:(用平均速度公式) 连续的两段时间 t 内的平均速度分别为: 1124m/s 6m/s4xvt= = = ,2264m/s 16m/s4xvt= = = . B 点是 AC 段的中间时刻,则 12A Bv vv+= , 22B Cv vv+= , 1 2 6 16m/s 11m/s2 2 2A CBv v v vv+ + += = = = . 得 v A =1 m/s,v C =21 m/s, 2 221 1m/s 2.5m/s2 2 4C Av vat− −= = =×. 解法三:(用△x=aT 2 法) 由△x=aT 2 ,得2 22 240m/s 2.5m/s4xaTΔ= − = . 再由2112Ax v t at = + ,解得 1m/sAv = . 【总结升华】(1)运动学问题的求解一般均有多种解法,进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律,提高灵活运用知识的能力.从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法,从而提高解题能力. (2)对一般的匀变速直线运动问题,若出现相等的时间间隔问题,应优 先考虑用判别式△x=aT 2 求解,这种解法往往更简捷. 举一反三 【高清课程:匀变速直线运动中速度与位移的关系 第 13 页】 【变式 1】例题、跳伞运动员做低空跳伞表演,他从 224m 的高空离开飞机开始下落,最初未打开降落伞,自由下落一段距离打开降落伞,运动员以 12.5m/s2的加速度匀减速下降,为了运动员的安全,要求运动员落地的速度不得超过 5m/s(g=10m/s2 ).求:运动员打开降落伞时,离地面的高度至少为多少? 【答案】99m 【高清课程:匀变速直线运动中速度与位移的关系 第 15 页】 【变式 2】火车以速度 v 1 匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距 s 处有另一火车沿同方向以速度 v 2 (相对于地面,且 v 1 > v 2 )做匀速运动,司机立即以加速度 a 紧急刹车,要使两车不相撞, a 应满足什么条件? 【答案】21 2( )2v vas−≥ 类型三、 初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用 例 例 3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑,第 5s 末的速度是 6 m/s,试求:(1)第 4s 末的速度;(2)运动后 7s 内的位移;(3)第 5s 内的位移. 【答案】(1) 4.8m/s (2) 29.4m (3) 5.4m 【解析】物体的初速度 v 0 =0,且加速度恒定,可用推论求解. (1)因为 v 0 =0,所以tv at = ,即tv t ∝ , 故 v 4 :v 5 =4:5. 第 4s 末的速度4 54 46m/s 4.8m/s5 5v v = = × = . (2)因为 v 0 =0,v 5 =6m/s,则加速度2 250 6 0m/s 1.2m/s5vat− −= = = , 所以 7s 内的位移2 27 71 11.2 7 m 29.4m2 2x at = = × × = . (3)由2 25 41 12 2x at at Δ = − 1 11.2 25m 1.2 16m2 2= × × − × × 5.4m = . 第 5 秒内的位移是 5.4m. 举一反三 【变式 1】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动,最初 3 s 内的位移为 x 1 ,最后 3s 内的位移为x 2 ,已知 x 2 -x 1 =6m;x 1 :x 2 =3:7,求斜面的总长. 【答案】 12.5m 【解析】由题意知,物体做初速度等于零的匀加速直线运动,相等的时间间隔为 3s. 由题意知1237xx= ,x 2 -x 1 =6m,解得 x 1 =4.5m,x 2 =10.5m. 由于连续相等时间内位移的比为 1:3:5:…:(2n-1), 故 x n =(2n-1)x 1 ,可知 10.5=4.5(2n-1),解得53n = . 又因为21x n x =总,所以斜面总长:254.5m 12.5m3x\uf0e6 \uf0f6= × =\uf0e7 \uf0f7\uf0e8 \uf0f8总. 【总结升华】切忌认为物体沿斜面运动了 6s,本题中前 3s 的后一段时间与后 3 s 的前一段时间是重合的. 类型四、 纸带问题的处理 例 例 4、在测定匀变速直线运动的加速度的实验中,用打点计时器记录纸带运动的时间,计时器所用电源的频率为 50 Hz.如图所示为小车带动的纸带上记录的一些点,在每相邻的两点之间都有四个点未画出.