偏导数
在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。
在xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在(x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时, f(x,y) 的变化率。
偏导数的表示符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
在数学中,一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全微分,全微分(英语:total derivative)是微积分学的一个概念,指多元函数的全增量z}在其中所有变量都允许变化)记为dz。偏导数在向量分析和微分几何,以及机器学习中是很有用的。
的线性主部,记为{\displaystyle \operatorname {d} z}
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把y固定在 y0而让 x 在x0有增量 x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)z=f(x0+x,y0)-f(x0,y0)。
偏导数如果 z 与x之比当 x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。
y方向的偏导
同样,把x固定在 x0,让y有增量 y ,如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在(x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
相关求法
当函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与f'y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在(x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对y)的偏导数,因而在