推导1:
曲率半径推导示意图
首先来考虑二维的情况。我们知道向心加速度公式为$a_c=\frac{v^2}{R}$,如果我们可以知道向心加速度和速度,就可以求出R(曲率半径)。对于任意给出一个运动方程$\vec{r}=\vec{r}(t)$,那么速度我们已经知道了,$\vec{v}=\dot{\vec{r}}$。剩下的未知量是向心加速度。
何为“向心”?其实就是加速度在该点所在的圆的半径的投影。我们知道,圆周运动的速度方向总是与半径方向垂直,所以“向心”的方向其实就是与速度垂直的方向(这也叫做“法(线)向”,所以向心加速度也叫“法向加速度”)。
$$\vec{a}=\ddot{\vec{r}},|a_c|=|\vec{a}|\cdot \sin\theta=|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|\div |\dot{\vec{r}}|$$
因此$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}$
令$\vec{r}=(x,y,0)$,则有
$$\begin{aligned}\dot{\vec{r}}=(\dot{x},\dot{y},0),\ddot{\vec{r}}=(\ddot{x},\ddot{y},0) \\ \dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}=(0,0,\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x})\end{aligned}$$
代入有:$R=\frac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^(3//2)}{|\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}|}$
如果采取三维坐标代入,可以得到三维空间曲线的曲率半径:
$$R=\frac{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3//2}}{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}$$
推导2:
在这里我们得到了关于圆周运动的两条方程
$$\vec{R}\cdot \dot{\vec{r}}=0\tag{1}$$$$\dot{\vec{r}}^2+\