法国数学家拉普拉斯有句名言:“生活中最重要的问题,绝大部分其实只是概率问题”。当代国际著名的统计学家C.R.劳说过:“如果世界中的事件完全不可预测的随机发生,则我们的生活是无法忍受的。而与此相反,如果每一件事都是确定的、完全可以预测的,则我们的生活将是无趣的。”
我长期从事概率论和随机分析研究,对概率论和数理统计学科的本质有些领悟,曾写过下面这首“悟道诗”:随机非随意, 概率破玄机;无序隐有序, 统计解迷离。本文试图通过若干日常生活中的一些例子来向大家展示概率是如何破玄机和统计是如何解迷离的。
1.什么是随机和随意?
在社会和自然界中,我们经常遇到一些事件,因为有很多不确定的偶然因素很难判断它会发生或不发生,这样的事件就是所谓的随机事件或偶然事件。概率则是对随机事件发生的可能性大小的一个度量。必然要发生的事件的概率规定为1,不可能发生的事件的概率规定为0,其他随机事件发生的概率介乎0与1之间。例如,抛一枚匀质的硬币,出现正面或反面的概率均为二分之一;掷一个匀质的骰子,每个面出现朝上的概率均为六分之一。在这两个例子中,每个简单事件(或“场景”)都是等可能发生的。一个复合事件(如掷骰子出现的点数是偶数)发生的概率就等于使得该复合事件发生的场景数目与可能场景总数之比。
什么是随意?随意就是带有主观意识的一种随机。比方说,我们知道掷一枚匀质硬币出现正面或反面的概率都是1/2。如果让某人臆想一个相继掷50次硬币的可能结果,并用1和0分别表示出现“正面”和“反面”,在一张纸上写下来,由于他考虑到接连多次出现正面或反面的可能性较小,在他写1和0时,可能有意识避免连写三个或四个以上的1或0,这样产生的0-1序列就是“随意的”,它看似随机,但与真实作一次掷50次硬币记录下的结果在统计特性上是有区别的。
2.靠直觉作判断常常会出错
下面是一个靠直觉作判断容易出错的例子。某人新来邻居是一对海归夫妇,只知道这对夫妇有两个非双胞胎孩子。某天,看到爸爸领着一男孩出门了,问这对夫妇的另一孩子也是男孩的概率是多大?许多人可能给出的答案是1/2,因为生男生女的概率都是1/2。但实际上正确答案应该是1/3,因为在已知该家至少有一男孩的前提下,他家两个小孩可能的场景是三个(按孩子出生先后次序):“男男”“男女”“女男”。只有“男男”才符合“另一孩子也是男孩”这一场景。