一、等额本息每期还款总金额计算公式
假设贷款总金额为A,月利率为β,贷款期数为k,
每期需还款总金额(本金+利息)为x,
则:
第一期还款后,欠款总金额 Q1 = A * (1 + β) - x
第二期还款后,欠款总金额 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
第三期还款后,欠款总金额 Q3 = Q2 * (1 + β) - x
= {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出 第k期还款后,
欠款总金额 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ...
= A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。
我们发现[ ]内是等比数列,等比数列求和公式是不是又忘记了?
我们一起来推导下。设y=1 + β,
则Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1),y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k,
两公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1,从而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
由此继续 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x,
第k期还款后贷款结束,因此Qk = 0,即A*(1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0,
得出等额本息每期还款本息总额 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1],这便是每期需要还款的总金额。
二、等额本息每期还款本金计算公式
等额本息每期还款总金额x公式已经有了,那么每期还款的本金是多少呢?
假设第n期还款本金为Pn,
则: