第二节 二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分 一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 ? F 引例 设在XOY平面内有一变力: ? {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 ? L ? 弧AB从A将物体移至 ,求变力F沿曲线L所作的功W。 B ? ? ? ? 解: 已知常力 0沿直线 所作的功 ? F ? l ; (1) F l W (2)分划弧AB得弧?S (弧AB中的一段),当弧?S很小时,以点 x, y)处的 ( ? ? 有向切线段l 代替弧?S;则F ? {P( x, y), Q( x, y)}在弧?S上近似不变。 ? ? ? ? B ?l 与{cos?, sin ?}同向且| l |? ?s ? l ? {cos?ds, sin ?ds} y l ? ? ds ? ?dw ? F ? l ? P cos?ds ? Q cos ?ds ? (P cos? ? Q cos ? )ds ? ? ? W ? ? dw ? ? F ? l ? ? {P, Q} ?{cos? , sin ?}ds L L L A ? W ? ? [ P( x, y) cos? ? Q( x, y) cos ? ]ds L o x ? — L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角; ( X ? — L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角。 ( Y 1. 概念 一、二型线积分的概念与性质 ? F 引例 设在XOY平面内有一变力: ? {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 ? L ? 弧AB从A将物体移至 ,求变力F沿曲线L所作的功W。 B 由于 cos?、 ?与L ? 弧AB的方向有关,故 与L ? 弧AB的 sin W 方向有关。在一型曲线 积分中,如果被积表达 式具有: ( P cos? ? Q sin ? )ds的形式,则称其为二型 曲线积分。 y dx dy 又? ? cos ? , ? sin ? ds ds ds ? ? ( P cos? ? Q sin ? )ds → dy L Δs ? ? P cos?ds ? ? Q sin ?ds L L 记为 dx o L x ? W ? ? P( x, y )dx ? ? Q( x, y )dy ?? ? Pdx ? Qdy L L 一、二型线积分的概念与性质 定 义 上连续,?、?分别是L上点( x, y)处与L同向的切向 量与X轴和Y轴的正向夹角,则积分 : 设L为光滑的平面有向弧段 P( x, y)、Q( x, y)在L , ? P( x, y) cos?ds ? ? P( x, y)dx L L Q( x, y ) cos ?ds ? ? Q( x, y )dy ? L L 分别叫做对X坐标、对Y坐标的二型曲线积分。 ? Pdx ? ? Qdy ?? ? Pdx ? Qdy L L L 记为 一、二型线积分的概念与性质 定 义 设Γ 为光滑的空间有向弧段P( x, y, z )、Q( x, y, z )、 , R( x, y, z )在Γ 上连续,? , ? , ?分别是Γ 上点( x, y, z )处 与Γ 同向的切向量与 , Y和Z轴的正向夹角则积分 X , Γ ? P( x, y, z ) cos?ds ? ? P( x, y, z )dx Γ Γ ? Q( x, y, z ) cos ?ds ? ? Q( x, y, z )dy Γ Γ ? R( x, y, z ) cos?ds ? ? R( x, y, z )dz Γ 分别叫做对X、Y、Z坐标的二型曲线积分 Γ Pdx ? ? Qdy ? ? Rdz ?? ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? Γ Γ Γ 记为 2. 性质 对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质: (1) 对函数的可加性: 如: P ( x, y) ? P2 ( x, y)]dx ? ? P ( x, y)dx ? ? P2 ( x, y)dx 1 ?[ 1 L L L (2) 对曲线L的可加性: L1 ? L2 ? Pdx ? Qdy ? ? Pdx ? Qdy ? ? Pdx ? Qdy L1 L2 (3) 曲线反向积分反号: 设L?是与L反向的同一条曲线即: ? 弧AB,L? ? 弧BA, L 则有: L? ? Pdx ? Qdy ? ?? Pdx ? Qdy L 证:当L反向时,切线也随之反 向,因此cos?、 ?也变号。 cos 同理,对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。 这里讲的是直 接计算方法。 二、二型线积分的计算 ? x ? x(t ) t ? ? — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 : ? L ;如果P( x, y )、 理 ? y ? y (t ) t ? ? — 终点参数值 1 ? ? Q( x, y )在L上连续且x(t )、y (t )在?与?之间连续,则: ? Qdy ? ? Pdx L ? ? ? ( P cos? ? Q cos ? )ds ? ?? {P[ x(t ), y(t )]x(t ) ? Q[ x(t ), y(t )]y(t )}dt L ? ? x ? x(t ) ? y ? y (t ) t ? ? — 起点参数值 设有空间光滑曲线 : ? Γ ;如果P( x, y, z )、 ? z ? z (t ) t ? ? — 终点参数值 ? ? ? ? Q( x, y, z )、R( x, y, z )在Γ上连续且x(t )、y (t )、z (t )在?与?之间连续,则: 定理2 ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ( P cos? ? Q cos ? ? R cos? )ds Γ Γ ? ? ? ? ? {P[ x(t ), y (t ), z (t )]x(t ) ? Q[ x(t ), y (t ), z (t )]y (t ) ? R[ x(t ), y (t ), z (t )]z (t )}dt ? ? 二型曲线积分直接法举例 例1 求I ? ? ( x ? y)dx ? ( x ? y)dy ? ?, L如下图: L ? x ? cost ? 解: L : ? ? t :0 ? 2 ? y ? sint ? /2 0 (t为参数) y 终点 ?I ? ? (cost ? sint )(? sint )dt ? ?? ? /2 0 1 L:2 ? y 2 ? 1 x (cost ? sint ) costdt o 起点1 x ?? ? /2 0 (? sin 2t )dt ? ?1 例2 求I ? ? L 2 二型曲线积分直接法举例1 ?1) xydx, L : y ? x从A( , ? B(1,1) ?x ? y 2 解: 以y为参数时L : ? ? ?y?y y : ?1(起) ? 1(终) y 终点 而dx ? 2 ydy 1 2 ?1 1 ? I ? ? y ? y ? 2 ydy ? 2? y dy 4 ?1 1 1 o -1 注 1:若曲线 L 的方程为 x ? j ( y ), 则可以视 y 为参 数,用定理 1公式。 4 5 1 4 ? 4? y dy ? y | 0 ? 0 5 5 4 y2 ? x 1 L: 起点 x ?y ? x 解: 以x为参数时L : ? ? ?x?x L ? ? ? Pdx ? Qdy ? ?? {P[ x(t ), y(t )]x(t ) ? Q[2x(t ), y(t )]y(t )}dt 例3 求I ? ? ? L 二型曲线积分直接法举例? xdy ? ydx, L : y x 从O ? A(1,1) 2 x : 0(起) ? 1(终) y A终点 而dy ? 2 xdx 1 0 ? I ? ? x ? (2 x)dx ? x dx ? 3? x dx 2 2 ?1 1 ?1 起点 x 1 注2:若曲线L的方程为y ? j ( x),则可以视x为参 数,用定理 公式。 1 o 例4 求I ? 直接法举例续 xdx ? ydy, L是x 2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 ? L 所围平面区域的边界曲 线的逆时针方向。 解:设L ? L1 ? L2 ? L3且 L1 : y ? 0 O(0,0) ? A(1,0); L2 : x2 ? y 2 ? 1 A(1,0) ? B(0,1); L3 : x ? 0 B(0,1) ? O(0,0) ? I ? ? xdx ? ydy ? ? xdx ? ydy ? ? xdx ? ydy ? I1 ? I 2 ? I 3 L1 以x为参数 1 设 L2 L3 1 ? I1 ???? ? xdx ? 0 ? 0dx ? 0 y ?0 2 I 2 ???? y ? sint x ? cos t y B L3 1 L2 x2 ? y 2 ? 1 ? ? /2 0 cos t (? sint ) dt ? sint cos tdt ? 0 1 1 I 3 ???? ? 0 ? 0dy ? ydy ? ? ? ydy ? ? 1 0 x ?0 2 1 1 ? I ? I1 ? I 2 ? I 3 ? ? 0 ? ? 0 2 2 0 以y为参数 o L1 1 A x 例5 直接法举例续 求I ? ? ydx ? zdy ? xdz, 其中Γ 为沿着圆x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2 , Γ ?x? x ? x?x ? ? 为L2,则L1 : ? z ? R ? x 即: z ? R ? x ( x : R ? 0) ? ? ? 2 2 2 ? y ? 2 x( R ? x) ?y ? R ? z ? x z x ? z ? R从A出发经第一卦限到 再经第四卦限回到 点 B A 解:设L位于第一卦限内的部分 L1 , 位于第四卦限内的部分 为 I1 ? 0 ? ydx ? zdy ? xdz ? ? R ? 2x ? ? ? 2 x( R ? x) ? ( R ? x) ? x ?dx R? ? 2 x( R ? x) ? ? ?R R?x ? 2 R 2 ? ?dx ? ? ?? ? ? x? ?R ? R 4 2 2x ? ? 0 2 L1 y L1 x 直接法举例续 ?x ? x ? 而L2 : ? y ? ? 2 x( R ? x) ?z ? R ? x ? ( x : 0 ? R) I 2 ? ? ydx ? zdy ? xdz ? ? L2 R 0 ? ? ? ( R ? 2 x) ? ? 2 x( R ? x) ? ( R ? x) ? x ?dx ? ? 2 x( R ? x) ? ? z ?? R 0 ??R R?x ? 2 2 R2 ? ? x ?dx ? ? ?R ? ? ? 4 2 2x ? ? 2 2 故:I ? I 1 ? I 2 ? ? ?R 2 x y L1 本节结束 其它的自学! 返回(Return) 继续下一节(Continue)