目录:
一、极值点与驻点的“纠缠”
1.驻点不一定是极值点
2.极值点也不一定是驻点
3.可导函数的极值点必定是它的驻点
二、拐点和另两者的“牵扯”
1.
拐点的横坐标是
极值点
2.
可以即是极值点,又是拐点的横坐标么?
3.连续函数的驻点不是极值点就是拐点的横坐标么?
名字纯属瞎扯,这篇文章主要是总结一下驻点、极值点、拐点间的区别和联系。

一、极值点与驻点的“纠缠”

极值点和驻点容易搞混的一个重要原因,是我们高中用了太多
去求极值点,但其实看定义我们发现,极值点并非通过导数去定义的。
驻点:给定函数
,若
,称
为驻点。
极值点:给定函数
,若对于一点
,存在的某一邻域
,都有
,称
是的极大值点;若都有
,则称
为极小值点。极大值点与极小值点统称为极值点。
如果我们直观从定义去看
驻点——它反映的是在可导的前提下,在
这一点,函数值
停止增加或减少。
极值点——它反映的是在
这一点的近旁的一个小范围内,
是最大值或最小值(在这个小范围内,函数图线是一个“峰”或“谷”)。
我们可以从以下三点去理解它们的区别与联系:

1.驻点不一定是极值点

驻点只反应你停止增加(减小),不保证你接下来会减小(增加)。
例如
,0是驻点,但不是极值点。

2.极值点也不一定是驻点

定理:(极值的必要条件):若
是
的极值点,那么
只可能是
的零点或
的不可导点。
也就是说极值点还包含不可导的情况。
最常见的
,0是极值点,但由于不可导,所以不是驻点。

3.可导函数的极值点必定是它的驻点

前两条如果说是区别的话,这条算联系了。
把极值点中不可导的情况刨除掉,那极值点就必定是驻点,但反过来未必成立——可导函数的驻点不一定是极值点。

二、拐点和另两者的“牵扯”

设函数
在点
的某邻域连续,若
是曲线
凹和凸的分界点,则称
为曲线
的拐点。
直观来看,拐点是使切线穿越曲线的点(即连续曲线的凹弧和凸弧的分界点)。
拐点和驻点、极值点最明显的一个区别就是驻点和极值点都是横坐标
,而拐点是一个点
。所以我们接下来,我们主要讨论f(x)拐点的横坐标和f(x)的驻点、极值点的关系。

1.

拐点的横坐标是

极值点

我们比较一下求拐点的步骤和求极值点的步骤:
所以仅仅从做题的角度去看,我们可以这样理解:
拐点的横坐标是
极值点。
注:这里只是从做题步骤去推断,不是严格证明,倒不能保证不会有一些特别的函数是反例。

2.

可以即是极值点,又是拐点的横坐标么?

这个是要分情况讨论的。
①在可导的情况下——不可以
我们分二阶可导和一阶可导两种情况去看。
a.假设
二阶可导
若
即是极值点,又是拐点的横坐标。
则存在
因为是极值点(这里假设是极小值),所以: