简略地说,定义域是所有输入一个函数的值,而值域则是所有函数生成的值。
对一个函数的定义来说,它们是非常重要的,

函数

函数显示输入与输出的关系:
例子:这棵树每年长高 20厘米,所以树的高度与它年龄的关系可以用函数h来显示:
h(年龄) = 年龄 × 20
所以,如果年龄是 10年,高度就是h(10) = 200厘米
"h(10) = 200" 就是说 10 和200 是有关联的: 10 → 200

输入与输出

但不是所有的值都可以这样的!
如果把不合适的数值(例如负值的年龄)输入这个函数,结果就不成立,知道正确输出的属性(例如高度一定要是正数)也会有用
所以我们需要描述函数所有允许的输入和输出。
最好是用集合 ……

集合(简:集)是由一个或多个确定的东西(通常是数字)所构成的整体。

这是一些例子:
偶数集:{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
奇数集:{..., -3, -1, 1, 3, ...}
质数集:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
小于十的三的倍数:{3, 6, 9}

函数是用集合来定义的:

函数的正式定义

函数把一个集里的每一个元素

联系到另一个集里一个独一的值

(可能是同一个集)。

定义域、值域和陪域

函数允许的输入和可能的输出都有特定的名词:

允许输入到一个函数的集合称为定义域
函数的可能输出叫培域
函数的实际输出叫值域

例子

•"A"集是定义域,
•"B"集是陪域,
•在B集里与A集有关联的元素(函数的实际输出)就是值域,也成为其图象。
在这个例子里:
定义域:{1, 2, 3, 4}陪域:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}值域:{3, 5, 7, 9}

函数的部分

函数的输出(值域)决定于函数的输入(定义域)……
…… 而定义域是随我们定义的!
定义域是函数必须的部分。改变了定义域也就改变了函数。
例子:一个简单的函数,例如 f(x) = x2的定义域(输入)可以是正整数 {1,2,3,...},值域就是集合 {1,4,9,...}
另一个函数 g(x) = x2的定义域可以是所有整数 {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},值域就是集合 {0,1,4,9,...}

虽然两个函数都是取输入的平方,它们输入的集是不同的,所以输出也是不同的。
g(x) 的值域也包括 0.
两个函数的属性也有点不同。
例如,f(x) 的的结果是独特的,但同一个 g(x) 的结果可以是从两个不同的输入而来的(例如g(-2)=4,g(2)=4)

所以定义域是函数必须的部分。

函数一定有定义域吗?

对,函数一定有定义域。但在简单的数学里,我们通常都不刻意去描述定义域,因为我们都假设定义域是:
所有 "合理" 的数值。或者,在处理自然数时,定义域就是自然数。依此类推。
但是在高级数学里,我们就要非常小心!

陪域与值域

陪域与值域都是和输出有关的集,但它们有细微的不同。
陪域是输出的可能值的集。陪域是函数定义的一部分。
而值域则是输出的实际值的集。
例子:我们可以定义函数f(x)=2x的定义域和陪域为整数(因为定义是我们建立的)。
但这个函数的值域(实际输出值)其实只是偶数。
所以陪域是整数(定义是这样),但值域是偶数。
值域是陪域的子集。
为什么需要分开为这两个集?我们有时不精确地知道值域是什么(因为函数可能很复杂或不完全清晰),但我们知道值域必然是在一个集内(例如整数或实数),所以我们可以为陪域下定义。

陪域的重要性

问题:平方根是不是函数?
如果我们把陪域(可能输出值)定义为实数,平方根就不是函数!…… 奇怪吗?
原因是一个输入值可以有两个输出值,例如f(9) = 3或-3
函数 一定要是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。所以 "f(9) = 3或−3" 就不行了!
但是若我们把陪域定义为非负实数,平方根就是函数了。
√实际上,平方根符号(√x)的意思一定是主(正)平方根,所以√x是个函数,因为陪域的定义是正确的。
因此,陪域的定义可以决定一个关系是否函数。

记法

数学家喜欢以简单的符号来代替冗赘的文字,描述定义域和陪域也一样。
这是其中一个简单的数学语言描述:

这个的意思是:函数 "f" 的定义域是 "N"(自然数),而陪域也是 "N"。
or
这两个的意思是:函数 "f" 的输入是 "x",而返回 "x2"

也可以这样写:
Dom(f) 或Dom f 的意思是:"函数 f 的定义域"
Ran(f) orRan f 的意思是: "函数 f 的值域"

怎样具体描述定义域和值域

去合建构式符号 学习怎样具体描述定义域和值域.