第1天 1 思维拓展——1、幻方(1) ————三阶幻方 1.什么叫三阶幻方? 在 3×3 的方格里,既不重复又不遗漏地填上九个连续的自然数,使每行、每列、每条对角线上的三个自然数 的和都相等,这样的图形叫做三阶幻方,相等的和叫做幻和。 想一想:类似地,你能说出什么叫做四阶幻方?什么叫做五阶幻方吗? 2.构造三阶幻方 【例 1】用 1 至 9 这九个数编制一个三阶幻方。 分析与解 (1)幻和= (2)要想构成三阶幻方,九个格中每格中的数各使用了几次? 哪个格中的数是最关键的数? (3)确定中心数: (4)确定四个角上的数: (5)成图: 【例 2】编制一个三阶幻方,使其幻和为 24。 分析与解 (1)中心数= (2)九个数分别是 (3)四个角上的数是 (4)成图: 3.应用 【例 3】 将 2,4,6,8,10,12,14,16,18 这九个数填入 3×3 的方格中, 使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解 (1)中心数= (2)幻和= (3)四个角上的数是 (4)成图: 【例 4】在下图中填上适当的数,使每行、每列、每条对角线上 8 数之和都等 于 36。 5 6 5 6 8 的三个 【例 5】 在上图的空格中填入不大于 12 且互不相同的八个自然数,使得每行、每列、每条对角 19 14 线上的三个数之和都等于 21。 10 *【思考题】在下图中填上适当的数,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。 18 小结:编制一个三阶幻方,应注意以下几点: (1) 如何求幻和?幻和= (2) 中心数与幻和有什么关系? (3) 中心数及四个角上的数在九个连续自然数中的相对位置如何? 2 1、幻方(2) ————四阶幻方及多阶幻方 一、构造四阶幻方 【例 6】用 1 至 16 这 16 个数编制一个四阶幻方。 幻和= 【例 7】用 1 至 25 这 25 个数编制一个五阶幻方。 幻和= 【例 8】用 1 至 36 这 36 个数编制一个六阶幻方。幻和= 【例 8】用 1 至 49 这 49 个数编制一个七阶幻方。幻和= 3 趣味数学: ☆ ⒈ 称苹果 有十筐苹果,每筐里有十个,共 100 个,每筐里苹果的重量都是一样,其中有九筐每个苹果的重 量都是 1 斤,另一筐中每个苹果的重量都是 0.9 斤,但是外表完全一样,用眼看或用手摸无法分辨。 现在要你用一台普通的大秤一次把这筐重量轻的找出来。 ☆ 2.砝码 用天平称量物体的重量时,总少不了砝码。用一克、二克、四克、八克……的方法设置砝码,一 般人都能想到,但这种方法需要的砝码数量太多,实际完全可以用得少一些。请你重新设计一个方案, 只用四个砝码就能用天平称量一至四十克的全部整数克的物体的重量。 幻方(2) ————构造方法 1、奇数阶幻方 n 为奇数 (n=3,5,7,9,11……) (n=2*k+1,k=1,2,3,4,5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样:把 1(或最小的数)放 在第一行正中; 按以下规律排列剩下的 n*n-1 个数: (1)、每一个数放在前一个数的右上一格 (2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列; (3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行; (4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同 一列的格内; (5)、如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向,象 是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n 为偶数,且能被 4 整除 (n=4,8,12,16,20……) (n=4k,k=1,2,3, 1 2 3 4 4,5……)先说明一个定义:互补:如果两个数字的和,等于幻方最大数 5 6 7 8 和最小数的和,即 n*n+1,称为互补。先看看 4 阶幻方的填法:将数字从 左到右、从上到下按顺序填写 9 10 11 12 这个方阵的对角线,已经用蓝色标出。将对角线上的数字,换成与它互补 13 14 15 16 的数字。这里,n*n+1 = 4*4+1 = 17;把 1 换成 17-1 = 16;把 6 换成 17-6 = 11;把 11 换成 17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 12345678 对于 n=4k 阶幻方,我们先把数字按顺序填写。写好后,按 4*4 把它划 9 10 11 12 13 14 15 16 分成 k*k 个方阵。因为 n 是 4 的倍数,一定能用 4*4 的小方阵分割。 然后把每个小方阵的对角线,象制作 4 阶幻方的方法一样,对角线上 的数字换成互补的数字,就构成幻方。下面是 8 阶幻方的作法: 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 (1) 先把数字按顺序填。然后,按 4*4 把它分割成 2*2 个小方阵 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 (2) 每个小方阵对角线上的数字,换成和它互补的数。 57 58 59 60 61 62 63 64 学习要求 4 测试 1 正数和负数 了解正数、负数、有理数的概念,会用正数和负数表示相反意义的量. 课堂学习检测 一、判断题(正确的在括号内画“√”,错误的画“×”) ( )1.某仓库运出 30 吨货记作-30 吨,则运进 20 吨货记作+20 吨. ( )2.节约 4 吨水与浪费 4 吨水是一对具有相反意义的量. ( )3.身高增长 1.2cm 和体重减轻 1.2kg 是一对具有相反意义的量. ( )4.在小学学过的数前面添上“-”号,得到的就是负数. 二、填空题