有理数的复习 初一数学 主讲教师:李颖 有理数的复习 同学们我们已经学完了有理数这一章,下面在这节 课里,我们对这一章进行一下复习。 有理数的有关概念: 一、有理数的有关概念: 1、相反意义的量:意义相反的同一种量。 2、正数和负数:象+5,+2,+213这样的数叫正数, 象?10,?3, 3 1 这样的数叫负数(描述性的定义). ? 2 3、有理数的定义:整数和分数统称有理数。 4、有理数的分类: 正整数 整数 有理数 分数 负分数 零 负整数 正分数 或 有理数 正有理数 正整数 正分数 零 负有理数 负分数 负整数 5、数轴:象规定了原点、正方向和单位长度的直线叫 做数轴。 6、相反数:只有符号不同的两个数称互为相反数,零 的相反数是零。 7、绝对值:在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值。 8、倒数:乘积是1的两个数互为倒数。 有理数的大小比较: 二、有理数的大小比较: 两个负数,绝对值大的反而小 三、有理数的运算 1、 运算法则:加法法则、减法法则、乘法法则 、 运算法则:加法法则、减法法则、 除法法则、 除法法则、乘方法则 加法法则: 加法法则: 1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 2、绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加 数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 3、互为相反数的两个数相加得零; 4、一个数与零相加,仍得这个数. 减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数; 减法法则 乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对 乘法法则 值相乘,任何数与零相乘都得零; 除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数; 除法法则 乘方法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是 乘方法则 负数,负数的偶次幂是正数. ※在使用以上法则运算时,要注意符号的确定. 2、运算律: 、运算律: (1)加法交换律:a+b=b+a (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律:ab=ba (4)乘法结合律:(ab)c=a(bc) (5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac 3、运算顺序: 、运算顺序: 先算乘方,再算乘除,最后算加、减,如果有括 号,就先算括号里面的,对于同级运算(加与减或乘与 除),应该从左到右依次计算,如果有多重括号,则应 按从里到外依次计算. [数学思想方法 数学思想方法] 数学思想方法 转化思想: 一、转化思想: 所谓“转化思想”就是将所要解决的问题转化为另一个较易 解决的问题或已经解决的问题。具体地说,就是把“新知识”转 化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“复杂”问题 转化为“简单”问题. 在本章中把减法转化为加法,把除法转化为乘法,就是体现 了转化的数学思想,有理数的运算,就是在确定符号以后,运用 运算法则将其转化为小学学过的加、减、乘、除运算. 分类讨论思想: 二、分类讨论思想: 当被研究的问题包含多种可能情况,不能一概而论时, 必须按可能出现的所有情况分别讨论,得出各种情况下相应 的结论,这种处理问题的思维方法称为分类思想. 分类必须遵循以下两条规则: 1、 每一次分类要按照同一标准进行; 2、 不重复,不遗漏。 数形结合思想: 三、数形结合思想: 数形结合就是把问题中的数量关系与形象直观的几 何图形有机地结合起来,在解题方法上互相转化,使问 题化难为易,化繁为简,从而达到解决问题的目的. 例1、 、 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 1、 ( ? ) ? ( ?0.6) ? ( ?1.5) + ( ?0.8) ? ( ? ) + 2 × ( ? ) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 解 : 原式=(? ) × (?0.6) ? (? ) + (?0.8) ?(? ) + 2 × (? ) 2 2 2 2 3 3 = (? ) (0.36 ? 1 + 0.64 + 8) = ?27 2 逆用乘法分配律 使运算简化 55 27 2、57 × + 27 × 56 28 55 27 解 : 原式=(56+1)× + (28 ? 1) × 56 28 55 27 1 = 55 + + 27 ? = 82 56 28 56 拆开使用乘法分配律 两点, 、 之间的距 例2、已知数轴上有 、B两点,A、B之间的距 、已知数轴上有A、 两点 离为1, 与原点O的距离为 离为 ,点A与原点 的距离为 。那么所有满足 与原点 的距离为3。 条件的点B与原点 的距离之和等于几 条件的点 与原点O的距离之和等于几? 与原点 的距离之和等于几? 解:∵点A与原点O的距离为3 ∴A点表示的数为 ±3 又∵AB之间距离为1 ∴当A表示的数为+3时,B点表示的数为4或2 当A表示的数为?3时,B点表示的数为?4,?2 ∴|?4|+|?2|+|2|+|4|=12 数形结合的思想 的积为负数, 例3、三个数 ,b,c的积为负数,和为正数, 、三个数a, , 的积为负数 和为正数, a b c | ab | | ac | | bc | + + + + + 且x= , | a | | b | | c | ab ac bc 的值是多少? 求ax3+bx3+cx+1的值是多少? + 的值是多少 解:∵abc<0,a+b+c>0 ∴这三个数是一负两正 不妨设a>0,b>0,c<0 则x= 分类讨论的思想 =1+1+(?1)+1+(?1)+(?1)=0 ∴ax3+bx3+cx+1=1 a b c ab ? ac ?bc + + + + + a b ?c ab ac bc 是一个五位正整数,其中a, , , 例4、 、 abcde 是一个五位正整数,其中 ,b,c, d,e为阿拉伯数码,且ae时 原式=b?a+c?b+d?c+d?e=2d?a?e,当d=9,a=1,e=0时,原 式有最大值为17 综上所述:当ae时 原式有最大值为17。 此题用到分类讨论的数学思想. 大家想一想a为什么不能是0 呢?因为a为首位,不能为0 例5、设三个互不相等的有理数,既可表示为 , 、设三个互不相等的有理数,既可表示为1, b a+b,a的形式,又可表示为 , ,b的形式, 的形式, 的形式, + , 的形式 又可表示为0, 的形式 a 的值。 求a1999+b2000的值。 解:因为三个互不相等的有理数,既可表示为1,a+b, a的形式 b 又可以表示为0, ,b的形式,于是断定a+b,a中有一 a 个为0。 b ,b中有一个为1 a b 若a=0,则 无意义,故a+b=0 b 所以a=?b,∴ =?1 a 因此b=1,a=?1 此题用到分类讨 论的数学思想 a 例6、电子跳蚤落在数轴上的某点 0,第一步从 、电子跳蚤落在数轴上的某点k k0向左跳 个单位到 1,第二步由 1向右跳2个单 向左跳1个单位到 个单位到k 第二步由k 向右跳 个单 位到k 第三步由k 向左跳3个单位到 个单位到k 位到 2,第三步由 2向左跳 个单位到 3,第四 步由k3向右跳 个单位到 4……,按以上规律跳 个单位到k 步由 向右跳4个单位到 , 步时, 了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点 100所表 步时 电子跳蚤落在数轴上的点k 示的数恰是19.94,试求电子跳蚤的初始位置k0 ,试求电子跳蚤的初始位置 示的数恰是 点所表示的数。 点所表示的数。 解:设电子跳蚤从k0点,向左跳为负,向右跳为正。 则k0+(?1)+2+(?3)+4+(?5)+……+(?99)+100=19.94 k0+50=19.94 k0=?30.06 数形结合的思想及转化的思想转化为有理数的运算. 例7、如果