第二章第二章 粘性流体流动的微分方程 粘性流体流动的微分方程 第一节 第一节 基本概念 基本概念 一、研究流体运动的两种观点(方法) 一、研究流体运动的两种观点(方法) 欧拉观点欧拉观点( (Euler Euler) 在流体运动空间内的某一固定位置固定位置处选择一固定体积 固定体积的流 体微元,来分析研究该微元体的运动状况,进行微分衡算可得 到微分方程。 换句话说, 换句话说,在流体所占据的空间中固定某一点 固定某一点(体积固定), 然后分析这点所通过流体的特性变化来研究整个流体的运动规 律。即流体的体积固定,质量是变化的。 第一节第一节 基本概念 基本概念 一、研究流体运动的两种观点(方法) 一、研究流体运动的两种观点(方法) (LagrangeLagrange) 在流体运动的空间内选择一固定的流体质点流体质点(质量固定) 且追随质点运动,观察其特性(如位置、体积等随时间)的变 化,来研究整个流动场内流体的运动规律。 第一节 第一节 基本概念 基本概念 二、偏导数、全导数和随体导数 二、偏导数、全导数和随体导数( (真实导数 真实导数) 三者定义三者定义( (以流体密度 以流体密度ρ —密度的全导数密度的全导数 则上式变为: 第一节第一节 基本概念 基本概念 二、偏导数、全导数和随体导数 二、偏导数、全导数和随体导数( (真实导数 真实导数) 三者的物理意义三者的物理意义 随时间的变化率; 表示某一固定点处密度 时间的变化率;运动时,测得的密度随 度时,观察者以任意速表示测量运动流体的密 的变化率;度随时间 速度运动时,测得的密 度时,观察者以表示测量运动流体的密 dzdy 第二节 第二节 连续性方程 连续性方程 一、连续性方程的推导 一、连续性方程的推导 研究方法 研究方法:欧拉观点 欧拉观点 理论依据 理论依据:质量守恒定律 质量守恒定律 计算依据 计算依据:输出 输出- -输入 输入+ +累积 累积=0 输入方向:输出 输入方向:输出 输入方向:输出 内任一流体质量累积速控制体 第二节第二节 连续性方程 连续性方程 一、连续性方程的推导 一、连续性方程的推导 它适用于稳态稳态或非稳态 非稳态系统、理想 理想流体或真实 真实流体、可压 可压 缩或不可压缩不可压缩流体,牛顿型 牛顿型或非牛顿型 非牛顿型流体。 连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、 连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、 最重要的微分方程之一。 最重要的微分方程之一。 写成向量形式: 几种算法符号及意义几种算法符号及意义 谢树艺,《工程数学—矢量分析与场论》 哈米尔顿( 哈米尔顿(Hamilton) Hamilton)算子: 算子: 第二节第二节 连续性方程 连续性方程 梯度: 梯度: 拉普拉斯拉普拉斯 第二节第二节 连续性方程 连续性方程 二、连续性方程的分析和简化 二、连续性方程的分析和简化 第二节第二节 连续性方程 连续性方程 二、连续性方程的分析和简化 二、连续性方程的分析和简化 率或形变速率;流体微元的体积膨胀速 --速度向量的散度,实际表示流体微元在三个轴向的线性形变速率之和。 第二节第二节 连续性方程 连续性方程 三、柱坐标与球坐标系的连续性方程 三、柱坐标与球坐标系的连续性方程 sinsin 一、用应力表示的运动方程