在这篇文章中:
我们讨论了二重积分化累次积分的一般方法。继续推广到三重积分,本篇先只讨论直角坐标下三重积分计算的基本原理。
一. 三重积分的理解
三重积分的一般表示如下:
它最佳的理解方式是——空间物体的质量,即空间物体占据空间区域
, 在点
处的体密度为
,整个空间物体的总质量就是将
累积遍整个空间区域
.
当然,三重积分也是一个“分割、近似、求和、取极限”的过程,将该过程压缩成一步到位,就是“三重积分”运算:
注1:
取所有
直径的最大值,该极限比一般极限要复杂的多(多了对任意分割);
注2:经过该过程,三重积分已经是一个精确值(不均匀空间物体的精确质量)了;
注3:既然是任意分割,在直角坐标系下,按水平竖直分割,则微元体积
:
所以,三重积分也写为:
二. 三重积分计算的基本原理
三重积分的计算,首先要转化为“一重积分+二重积分”或“二重积分+一重积分”。
当然如果把其中的“二重积分”再转化为“累次积分”代入,则三重积分就转化为了“三次积分”,这个属于二重积分化累次积分,可参考上一篇文章,不再赘述。
与二重积分类似,三重积分仍是密度函数在整个
内每一个点都累积一遍,且与累积的顺序无关(按任意路径累积)。
既然如此,按规则的路径来累积。
1. 投影法
(1) 先沿
轴方向的竖线累积, 再把
内所有竖线累积起来
记
的
轴方向下半曲面为
,下半曲面为
记
在
面上的投影为
如图,先累积竖直虚线段,即密度函数(被积函数)关于
从固定值
累积到
,表示出来为:
接着,要累积完整个
, 还需要把
上每个这样的点
都累积一遍。也就是说,对任意一点
,都有累积的一条竖直虚线段:
把它们再累积起来得到整个物体的质量(三重积分):
代入前面的
,就得到
(2) 同理,也可以先沿
轴方向的横线累积,再把
内所有横线都累积起来
记
的
轴方向后半曲面为
,前半曲面为
记
在
面上的投影为
可推得
(3)同理,也可以先沿
轴方向的横线累