2.3.2 圆的一般方程 一.圆的一般方程把圆的标准方程(x -a) 2 +(y -b) 2 =r 2 ,展开整理得,展开整理得x 2 +y 2 -2ax -2by+a 2 +b 2 -r 2 =0.D 2 2 在这个方程中 , 令D= -2a ,E= -2b ,F=a 2 +b 2 - -r 2 ,则这个方程可以表示成x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0, ①其中, ①其中D ,E ,F 为常数。 方程:x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0,这是一个,这是一个 二元二次方程,把它同一般的二元二次方程,把它同一般的二元二次方程Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 ②比较,发现它具有两个特点:(比较,发现它具有两个特点:(1 )x 2 和 和y 2 项的 系数相同 且不为0;(;(2 ) 没有xy 项 。 因为所有的圆的方程都可以表示成①的形式,所以方程①的以上两个特点就成为二元二次方程表示圆的必须具备的条件,利用这两个条件,我们可以判定哪些二元因为所有的圆的方程都可以表示成①的形式,所以方程①的以上两个特点就成为二元二次方程表示圆的必须具备的条件,利用这两个条件,我们可以判定哪些二元。 二次方程的曲线肯定不是圆 。例如可以断定方程x 2 +2y 2 -2x -3y+7=0和 和x 2 +xy+y 2 - -3x -4y+5=0所表示的曲线都不是圆。那么具备这两个条件的二元二次方程是否一定表示圆呢?所表示的曲线都不是圆。那么具备这两个条件的二元二次方程是否一定表示圆呢? 将方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 配方得2 22 24( ) ( )2 2 4D E D E Fx y    (1 )当D 2 +E 2 -4F>0 时,将方程③与圆的标准方程比较 可以看出方程 ① 表示的③的标准方程比较 , 可以看出方程 ① 表示的是以为 圆心,为半径的圆;是以为 圆心,为半径的圆;( , )2 2D E 2 2142D E F   (2 )当D 2 +E 2 -4F=0时,方程③只有实数解 ,所以方程①表示一个点时,方程③只有实数解 ,所以方程①表示一个点( , )2 2D E ,2 2D Ex y    3 当 D 2 E 2 4 ③ 没 (3 )当 当D +E -4F<0 时 , 方程 ③ 没有实数解,因而方程①不表示任何图形。因此只有当数解,因而方程①不表示任何图形。因此只有当D 2 +E 2 -4F>0时,二元二次方程时,二元二次方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0才表示一个圆,这时这个方程叫做才表示一个圆,这时这个方程叫做 圆的一般方程 。 二.圆的一般方程的应用1.同圆的标准方程一样,求圆的一般方程也是用.同圆的标准方程一样,求圆的一般方程也是用 待定系数法. 由于在圆的一般方程中含有由于在圆的一般方程中含有 三个参变数 ,必须 具备三个独立才 的条件 才能确定出 一 个圆的方程 ;2.如果已知曲线是圆,并且已知条件和圆心的坐标或半径都无直接关系,此时可设圆的一般方程再.如果已知曲线是圆,并且已知条件和圆心的坐标或半径都无直接关系,此时可设圆的一般方程再 用待定系数法求出D ,E ,F. 例1.将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆的圆心坐标和半径。(.将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆的圆心坐标和半径。(1 )x 2 +y 2 +4x -6y -12=0;(;(2 )4x 2 +4y 2 - -8x+4y -15=0。解:(。解:(1 )对方程左边配方,方程化为(x+2) 2 +(y -3) 2 =25,所以圆心坐标为,所以圆心坐标为( -2 ,3) ,半径为5.(2 )方程两边除以4 ,得x 2 +y 2 -2x+y -=0 ,配方得(x -1) 2 +(y+ ) 2 =5 ,15421所以圆心坐标为(1 ,- ) ,半径为215 例2 .求过三点A(0 ,5) ,B(1 ,-2) ,C( -3 ,-4)的圆的方程。解:设圆的方程为的圆的方程。解:设圆的方程为x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0,根据题设条件将,根据题设条件将A(0 ,5) ,B(1 ,-2) ,3 4 D C( -3 , -4) 的坐标代入方程得到关于D ,E ,F 的三元一次方程组,5 25 02 5 03 4 25 0E FD E FD E F         解这个方程组得6215DEF   得到的圆的方程是x 2 +y 2 +6x -2y -15=0. 例3 .已知一曲线是与两个定点O(0 ,0) ,A(3 ,0)距离的比为 的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线。距离的比为 的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线。21My解:在给定的坐标系中,3MCAOx设 设M(x ,y)是曲线上任意一点,点是曲线上任意一点,点M 在曲线上的条件是| | 1| | 2MOMA 由两点间距离公式,上式用坐标表示为2 22 212( 3)x yx y 两边平方并化简 , 得曲线的方程是3MCAOyx两边平方并化简 , 得曲线的方程是x 2 +y 2 +2x -3=0.配方得(x+1) 2 +y 2 =4,所以曲线是圆心为,所以曲线是圆心为( -1 ,0),半径为2 的圆。 例4 .已知△ABC 的边AB 长为2a ,若BC的中线为定长的中线为定长m ,求顶点C 的轨迹方程.解:由题意,以AB 中点为原点,边AB所在的直线为所在的直线为x 轴建立直角坐标系,EyxOCB A如图,则A( -a ,0) ,B(a ,0),设 设C(x ,y),则,则BC 中点为E ( , )2 2x a y  EyxOCB A因为|AE|=m ,所以2 2( ) ( )2 2x a ya m  化简得(x+3a) 2 +y 2 =4m 2 .C A 由于点C 在直线AB 上时,不能构成三角形,故去掉曲线与,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a) 2 +y 2 =4m 2 . (y≠0) 例5 .圆C 过点A(1 ,2) ,B(3 ,4) 且在x轴上截得的弦长为轴上截得的弦长为6 ,求圆C 的方程.解:设所求圆的方程为x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0,圆过A(1 ,4) ,B( -2 ,3) ,所以 以 D+2E+F= -5 , ①3D+4E+F= -25, ②令, ②令y=0 得x 2 +Dx+F=0 ,设圆C 与x轴的两个交点的横坐标分别是轴的两个交点的横坐标分别是x 1 ,x 2 ,由韦达定理,得,由韦达定理,得x 1 +x 2 = -D ,x 1 x 2 =F , 因为|x 1 - -x 2 |=6,所以,所以(x 1 +x 2 ) 2 - -4x 1 x 2 =36, 即D 2 - -4F=36,③联立①②③,③联立①②③22 53 4 254 36D E FD E FD F        解得122227DEF  或827DEF   所求圆的方程为x 2 +y 2 +12x -22y+27=0 或x 2 +y 2 - -8x -2y+7=0 。 练习题:1 .圆x 2 +y 2 +4x+26y+b 2 =0与坐标轴相切,那么与坐标轴相切,那么b 可以取的值是( ) A( (A )±2 或±13 (B )1 或2( (C )-1 或-2 (D )-1 或1 2 .若圆x 2 +y 2 =4 和圆x 2 +y 2 +4x -4y+4=0关于直线关于直线 l 对称,那么 l 的方程是( ) D( (A )x+y=0 (B )x+y -2=0( (C )x -y -2=0 (D )x -y+2=0 3 .如果圆x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 与x轴相切于原点,则( )(轴相切于原点,则( )(A )D≠0 ,E≠0 ,F=0 ( (B )D≠0 E=0 F=0C( (B )D≠0 ,E=0 ,F=0 ( (C )D=0 ,E≠0 ,F=0 ( (D )D=0 ,E=0 ,F≠0 4 .圆C :x 2 +y 2 -2x -6y+9=0 关于直线x- -y -1=0对称的曲线方程是( )(对称的曲线方程是( )(A )x 2 +y 2 +2x+6y+9=0 ( (B )x 2 +y 2 6x+2y+9=0C( (B )x 2 +y 2 - -6x+2y+9=0 ( (C )x 2 +y 2 - -8x+15=0 ( (D )x 2 +y 2 - -8x -15=0 5 .若方程x 2 +y 2 +ax+2ay+2a 2 +a -1=0表示圆,则表示圆,则a 的取值范围是 。2( 2, )3△ A A 6 .三 角形 △ABC 的 三 个顶点A(1 ,4) ,B( -2 ,3) ,C(4 ,-5) ,则△ABC的外接圆方程是的外接圆方程是 . x 2 +y 2 - -2x+2y -23=0 7 .方程x 2 +2xy+y 2 +x+y -2=0表示的曲线是( )(表示的曲线是( )(A )两条相交直线( (B ) 两条平行直线B( (B ) 两条平行直线( (C)不是圆也不是直线()不是圆也不是直线(D )圆