证明已知直角坐标系中的拉普拉斯方程为将代入则可见即满足拉普拉斯方程。球坐标系中的拉普拉斯方程为由于与及无关代入上述方程求得可见电位函数也满足拉普拉斯方程。习题图已知长方体金属腔的内部尺寸为如习题图所示。若侧壁及底板均接地上盖电位为试求腔内的电位分布函数。解已知直角坐标系中电位函数满足的拉普拉斯方程为应用分离变量法令 求得 式中 。为了满足和的边界条件X(x)必须为正弦函数即式中。为了满足和的边界条件Y(x)也必须为正弦函数即式中。由此求得 为了满足和的边界条件Z(z)只能是双曲正弦函数故其级数解为因得式中 利用正弦函数的正交性当n=sm=t时上式右边积分才不为零。另由上式左边可知只有当和都为奇数时才不为零因此令则最后求得习题图一根半径为a的介质圆柱放在均匀电场中如习题图所示。若介质圆柱的介电常数为试求柱内外的电场强度。解在圆柱坐标中电位所满足的拉普拉斯方程为由于电位函数与无关可令其通解为设圆柱内部的电位为圆柱外部的电位为电位函数应满足下列边界条件:当时应为有限值因此柱内电位为当时圆柱对电场的影响可以忽略若取坐标原点(,)作为电位参考点(注意电位参考点的选择对于电场强度的计算没有影响)则柱外无限远处电位为可见仅与r和有关因此柱外电位的通解为在圆柱表面上()电位应该连续即求得柱内电位的通解为在圆柱表面上电通密度应该连续即由此求得所以当时当时已知求得当时当时习题图若无限长的导体圆柱腔的内半径为a腔壁被纵向地分裂成两部分各部分的电位如习题图所示试求腔内外的电位分布。解与上题同理由于电位与无关此时通解为设圆柱内部的电位为圆柱外部的电位为电位应该满足下列边界条件:当r=时应为有限值则柱内电位为当时为零则柱外电位为当时。为了满足边界条件必须将展开成傅立叶级数即令式中 求得 再进行比较各自系数即知所以柱内电位为柱外电位为。