函数的极值 与导数二 一、复习引入 函数的导数与极值: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数____,则x0 是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0 两侧满足“_________”,则x0是f(x)的 ______,f(x0)是____;如果 f/(x) 在x0两侧满足 “___________”,则x0是f(x)的______,f(x0)是 _____.极大值与极小值统称为极值. 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切 线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切 线的斜率为___,右侧为___;曲线在极小值点 左侧切线的斜率为___,右侧为____. 二、例题选讲: 例1:求y=x3/3-4x+4的极值. 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) y’ + 0 - 0 + y ↗ 极大值28/3 ↘ 极小值-4/3 ↗ 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3. 三.探索思考: 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 可导函数的极值点一定是它导数为零的 点,反之函数的导数为零的点,不一定是该 函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处 的导数为零,但它不是极值点,原因是函数 在点x=0处左右两侧的导数都大于零. 因此导数为零的点仅是该点为极值点的 ____________,其充分条件是在这点两侧的 导数异号. 一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: 求f/(x).令f/(x)=0得到x0 (1):如果在x0附近的左侧 f/(x)>0 右侧 f/(x)<0 , 那么f(x0)是极大值; (2):如果在x0附近的左侧 f/(x)<0 右侧 f/(x)>0 , 那么f(x0)是极小值. 例2:求函数 解:函数的定义域为 的极值. 令 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 -- 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a. 练习1:求函数 的极值. 解: 令 =0,解得x1=-1,x2=1. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 y’ - 0 + 0 y ↘ 极大值-3 ↗ 极小值3 因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3. (2,+∞) ↘ 函数的极值 与导数三 求下列函数的导数: 例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 . 解:(1)由 得x=0或x=2a/3.故2a/3=4, a=6. 由于当x<0时, 当x>0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1. (2)等价于当 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-1≤0对一切 恒成立. 由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1. 反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 恒成立. 所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件. 例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=? 1处有极值,且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值. 解: 由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是: (1)设a>0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 — 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可得 ,即 . 又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a<0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 ≥0 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可得 ,即 . 又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2. 学完极值请思考: (1)函数的极值是一个______(局部、整体)的概念, 极值点是区间内部的点而不会是端点. (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内____(是、 不是)单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (3)极大值一定比极小值大码?. (4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的. 2.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.