§1.1 映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 一、集合 1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为a∈M, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为a?M, 读作a不属于M. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 集合的表示 ?列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. ?描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为 M={x | x具有性质P }. 例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集. 子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子 集, 记为A?B(读作A包含于B). A?B?若x∈A, 则x∈B. 显然, N?Z, Z?Q, Q?R. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 A∪B={x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集(简称并). A∩B={x|x∈A且x∈B}称为A与B的交集(简称交). A\B={x|x∈A且x?B}称为A与B的差集(简称差). AC=I\A={x|x?A}为称A的余集或补集, 其中I为全集. 提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所 研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (2)结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C); (4)对偶律 (A∪B)C=AC∩BC, (A∩B)C=AC∪BC. ?(A∪B)C=AC∩BC的证明 x∈(A∪B)C?x?A∪B?x?A且x?B ?x∈AC且x∈BC ?x∈AC∩BC, 所以(A∪B)C=AC∩BC. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 A×B={(x, y)|x∈A且y∈B} 称为集合A与集合B的直积. 例如, R×R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点 的集合, R×R常记作R2. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 3.区间和邻域 有限区间 数集{x|a0, 则称 U(a, δ)=(a?δ, a+δ)={x| |x?a|<δ} 为点a的δ邻域, 其中点a称为邻域的中心, δ 称为邻域的半 径. 去心邻域 。 U(a, δ)={x|0<|x?a|<δ}. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 二、映射 1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X→Y. ? y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x), ?元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; ?集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即Df=X. ?X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf =f(X)={f(x)|x∈X}. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 二、映射 1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X→Y. ?需要注意的问题 (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域Df=X; 集合Y, 即值域的范围: Rf ?Y; 对应法则f, 使 对每个x∈X, 有唯一确定的y=f(x)与之对应. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 二、映射 1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X→Y. ?需要注意的问题 (2)对每个x∈X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈Rf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf ?Y, 不一定Rf=Y . Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 例1 设 f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. f 是一个映射, f 的定义域Df =R, 值域Rf ={y|y≥0}. 例2 设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域Rf =Y. 说明: Rf 是R的一个真子集. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点 对于Rf中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 的单位圆周上的点投影到x轴的区间[?1, 1]上. 如y=4的原像就有x=2和x=?2两个. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 例1 设 f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. f 是一个映射, f 的定义域Df =R, 值域Rf ={y|y≥0}. 例2 设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应. 例3 f :→[?1, 1], 对每个x∈ [? π , π ] [? 2 2 f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域Rf =Y. f(x)=sin x . f是一个映射, 定义域D f =, 值域R f =[?1, 1]. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. ?若Rf =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; ?若对X中任意两个不同元素x1≠x2, 它们的像f(x1)≠f(x2), 则 称f为X到Y的单射; ?若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射? (1) f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. (2)设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对 每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. ?若Rf =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; ?若对X中任意两个不同元素x1≠x2, 它们的像f(x1)≠f(x2), 则 称f为X到Y的单射; ?若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射? (3) f :→[?1, 1], 对每个x∈ [? , ] , f(x)=sin x . 2 2 π π Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y∈Rf , 有唯一的 x∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : R f →X, 对每个y∈Rf , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f ?1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射? (1) f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2. (2)设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对 每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y与之对应. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y∈Rf , 有唯一的 x∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : Rf →X, 对每个y∈Rf , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f ?1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射? (3) f :→[?1, 1], 对每个x∈[? , ] , f(x)=sin x . 2 2 π π Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 2.逆映射与复合映射 复合映射 设有两个映射g : X→Y1, f : Y2→Z, 其中Y1?Y2. 则由映 射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x∈X映 射成f[g(x)]∈Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: X→Z, (f o g)(x)=f[g(x)], x∈X . 说明: 映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域Rg必须包 映射的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f 也 含在f的定义域内, Rg?Df . 否则, g与g o f也未必相同. 有意义. 即使它们都有意义, f o 不能构成复合映射. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 例4 设有映射 g : R→[?1, 1], 对每个x∈R, g(x)=sin x, 映射f : [?1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[?1, 1], f (u ) = 1? u 2 . 则映射g和f构成复映射f o g: R→[0, 1], 对每个x∈R, 有 ( f o g )( x) = f [ g ( x)] = f (sin x) = 1? sin 2 x =| cos x | . Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 三、函数 1.函数概念 定义 设数集D?R, 则称映射f : D →R为定义在D上的函数, 通常简记为 y=f(x), x∈D, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即Df=D. 说明: 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, =f(x), x∈D”来 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对 为了叙述方便, 常用记号“f(x), x∈D”或“y 还可用“g” 应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 、“F”、“?”等, 此时函数就记作y=g(x)、 y=F(x)、y=?(x) 表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 等. Jlin Institute of Chemical Technology 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号. 上页 下页 返回 退出 函数的两要素 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么 这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际 意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域. 求函数的定义域举例>>> Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个x∈D, 对应的函数值y总是唯 一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x∈D, 总 有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2+y2=r2确定的函数是一个多值函数: y = ± r 2 ? x2 此多值函数附加条件“y≥0”后可得到一个单值分支 y = y1 ( x) = r 2 ? x 2 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 函数的表示法 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解 析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平 面上的点集 {P(x, y)|y=f(x), x∈D} 称为函数y=f(x), x∈D的图形. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 函数举例 例5 函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(?∞, +∞), 其值域为Rf ={2}. 例6 函数 y =| x |= ? x x ≥ 0 . ?? x x < 0 ? 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(?∞, +∞), 其值域为Rf =[0, + ∞). Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 ? 1 x>0 例7 函数 y = sgn x = ? 0 x = 0 ? ??1 x < 0 ? . 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(?∞, +∞) , 其值域为Rf ={?1, 0, 1}. 例8 函数y=[x]. 此函数称为取整函数, 其定义域为D=(?∞, +∞), 其值域为Rf =Z. 注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部 分, 记作[x]. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 ?2 x 0 ≤ x ≤1 例9函数 y = ? . ? ? 1+ x x >1 ? 此函数的定义域为D=[0, 1]∪(0, +∞)=[0, +∞). 当0≤x≤1时, y = 2 x ; 当x>1时, y=1+x. 1) = 2 1 = 2 ; 例如 f ( 2 2 f (1) = 2 1 = 2 ; f(3)=1+3=4. 分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对 应法则用不同式子来表示的函数称 为分段函数. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 2.函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D. 如果存在数K1, 使对任一x∈X, 有f(x)≤K1, 则称函数f(x) 在X上有上界. 如果存在数K2, 使对任一x∈X, 有f(x)≥K2, 则称函数f(x) 在X上有下界. X . 如果存在正数M, 使对任一x∈X, 有|f(x)|≤M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 ?函数的有界性举例 f(x)=sin x在(?∞, +∞)上是有界的: |sin x|≤1. = 1 在开区间(0, 1) 内是无上界的. 函数 f ( x) x , 对于任一 M>1, 总有 x1 : 0 < x1 < 1 <1 , 使 这是因为 M f ( x1) = 1 > M , x1 所以函数无上界. f ( x) = 1 在(1, 2)内是有界的. 函数 x Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 (2)函数的单调性 设函数y=f(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意 两点, 且x1f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(?x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(?x)=?f(x), 则称f(x)为奇函数. ?奇偶函数举例 y=x2, y=cos x都是偶函数. y=2x, y=tan x 都是奇函数. =2 , = . Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(?x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(?x)=?f(x), 则称f(x)为奇函数. ?奇偶函数的图形特点 偶函数的图形对称于y轴 Jlin Institute of Chemical Technology 奇函数的图形对称于原点 上页 下页 返回 退出 (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l, 使得对于任一x∈D有(x±l)∈D, 且f(x+l)=f(x), 则称f(x)为周 期函数, l称为f(x)的周期. ?周期函数的图形特点 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : D→f(D)是单射, 则它存在逆映射 f ?1: f(D)→D, 称此映射f ?1为函数 f 的反函数. 按习惯, y=f(x), x∈D的反函数记成y=f ?1(x), x∈f(D). 例如, 函数y=x3, x∈R是单射, 所以它的反函数存在, = ∈ 其反函数为 1 y=x3 , x∈R. 1 y=x3 提问: 下列结论是否正确? 函数y=x3, x∈R的反函数是 Jlin Institute of Chemical Technology , x∈R. 上页 下页 返回 退出 3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : D→f(D)是单射, 则它存在逆映射 f ?1: f(D)→D, 称此映射f ?1为函数 f 的反函数. 按习惯, y=f(x), x∈D的反函数记成y=f ?1(x), x∈f(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : D→f(D) D , D→f(D)是单射, , 于是 f 的反函数f ?1必定存在, 而且容易证明f ?1也是f(D)上 的单调函数. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : D→f(D)是单射, 则它存在逆映射 f ?1: f(D)→D, 称此映射f ?1为函数 f 的反函数. 按习惯, y=f(x), x∈D的反函数记成y=f ?1(x), x∈f(D). 相对于反函数y=f ?1(x) y=f (x)来说, , 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 函数y=f(x)和y=f ?1(x)的图形 关于直线 y=x 是对称的. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 3.反函数与复合函数 复合函数 设函数y=f(u)的定义域为D1, 函数u=g(x)在D上有定义 且g(D)?D1, 则由 y=f[g(x)], x∈D 确定的函数称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函 数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)=f[g(x)]. 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 函数g在D上的 值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)?Df . 否则, 不 能构成复合函数. 例如>>> Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 4.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, D=D1∩D2≠?, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f ±g : (f ±g)(x)=f(x)±g(x), x∈D; 积 f ?g : (f ?g)(x)=f(x)?g(x), x∈D; f 商 : g f f ( x) , x∈D\{x|g(x)=0}. ( )( x) = g g ( x) Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 例10 设函数f(x)的定义域为(?l, l), 证明必存在(?l, l) 上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)=g(x)+h(x). 1 1 = [ f ( x) + f ( ? x)] , h( x) = [ f ( x ) ? f (? x)] , 证 作 g ( x) 2 2 则 f(x)=g(x)+h(x), 且 1 g ( ? x) = [ f (? x) + f ( x)] = g ( x) , 2 1 1 h( ? x) = [ f (? x) ? f ( x)] = ? [ f ( x) ? f (? x)] = ? h( x) . 2 2 提示: 如果f(x)=g(x)+h(x), 则f(?x)=g(x)?h(x), 于是 1 1 , h( x) = [ f ( x) ? f (? x)] . g ( x) = [ f ( x) + f ( ? x)] 2 2 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 5.初等函数 基本初等函数 幂函数: y=x ? (?∈R是常数); 指数函数: y=a x(a>0且a≠1); 对数函数: y=loga x (a>0且a≠1), 特别当a=e时, 记为y=ln x; 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . >>> Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 5.初等函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如, 函数 = 1? x2 , y = sin 2 x , y = cot x y 2 都是初等函数. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 双曲函数与反双曲函数 ?双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是: e x ? e?x 双曲正弦: sh x = 2 ? 双曲余弦: ch x = e x + e x 2 ? 双曲正切: th x = shx = e x ? e x chx e x + e? x Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 双曲函数与反双曲函数 ?双曲函数的性质 sh(x±y)=sh x ch y±ch x sh y, >>> ch(x±y)=ch x ch y±sh x sh y, ch2 x? sh2 x=1, sh 2x=2sh x ch x, ch 2x=ch2x+sh2x. 比较 sin(x±y)=sin x cos y±cos x sin y. ± 比较 cos(x±y)=cos x cos y sin x sin y. Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 双曲函数与反双曲函数 ?反双曲函数 双曲函数 y=sh x, y=ch x, y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x. 可以证明 y = rash x = ln(x + x2 +1) , >>> y = arch x = ln(x + x 2 ?1) , 1 ln 1+ x . y = arth x = 2 1? x Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 总结 基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出