题目
,点E是棱PB的中点。
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=
,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
答案解析
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(1) 如图,在矩形ABCD 中,AD
BC,从而AD
平面PBC ,故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面 PBC 的距离.
因PA⊥底面ABCD ,故PA ⊥AB ,
由PA=AB 知PAB 为等腰直角三角形,
又点E 是棱PB 的中点,故AE ⊥PB.
又在矩形ABCD 中,BC ⊥AB ,而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影,
由三垂线定理得BC⊥PB ,从而BC⊥平面PAB ,
故BC⊥AE,从而AE ⊥平面PBC ,
故AE 的长即为直线AD与平面PBC的距离.
在Rt PAB 中,PA=AB=
,
所以
即直线AD与平面PBC的距离为
(2)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,
则∠DFG为所求二面角的平面角.
由(1)知BC⊥平面PAB,
又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,
故AD⊥AE,从而DE=
在RtCBE中,CE=
又
,
所以CDE为等边三角形,
故点F为CE的中点,且DF=CD·
因为AE⊥平面PBC,
故AE⊥CE,
又FG⊥CE,
所以
,从而
,
且点G为AC的中点.连结DC.
则在RtADC中,
所以cos∠DFG=
即二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
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