向量内积
我想,多数读者应该非常熟悉向量内积(点积)。 虽然我不记得具体是在什么时候学的内积了, 但我认为, 但凡经过中学数学训练过的人, 解内积这种非常简单的计算那是易如反掌。
但是,可能是时间太过久远, 也可能是当年不太专注, 也可能是当年老师确实没讲, 我对向量的定义、 性质常有疑惑之处。
如果读者和我一样, 对向量的来历、 意义、 性质有着同样的困惑, 我希望这篇文章能帮您扫清这些困惑。
向量内积的结果就是投影,可以理解为A线投影在B线的长度 与B线长度的乘积。 这个意义 不难理解。
所以,主要就是尝试以尽量直观的方式来推导(而不是证明), 理解它为什么这么巧。
$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i = |\vec a||\vec b|cos\theta $$
如果您对这个证明过程并不陌生, 那可以直接跳过。
现在我们正式开始。
内积定义
不知道内积的来历,没搜到。
说到内积的定义, 或者让您求两个向量a, b的内积, 您的第一(或唯一)反应是怎么做?(目前不支持在选项里显示公式)
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聪明的选择!
没错, 既然有简单而又正确的方法, 何乐而不为呢?
设空间内有两个向量 $\vec a = [a_1,a_2,...,a_n]$ 及$\vec b = [b_1,b_2,...,b_n]$, 则二者的内积(点积)为(应该是大家熟知的定义了)
$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i $$
强行凑问题, 您猜这个是向量内积的啥定义
代数定义
几何定义
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代数与几何定义
$$ (\vec a, \vec b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i $$
这个就是向量内积的代数定义(来自百度百科)。
我想根本不会有人选择向量取模后再乘余弦值的计算方法, 即向量内积的几何定义:
$$ \vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|cos\theta $$
您觉得这两个定义等价吗? 或者说, 两个公式相等不?
不相等
看不出来
相等
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为什么