比如在这个最简单的情况中,假设真空中有一个光源和一个探测器,我们的经典直觉是光线会走穿过O点的那条直线,实际上,光子也等概率得走了经过x轴的任何一个点的折线到达探测器,比如光子可以从经过A点附近的折线到达探测器,右侧我画出了光子经过x轴上不同的点到达探测器的折线路程,显然在O点那里是有一个极值的(也就是一阶变分为0)。不同的路径对应了一个等概率事件,但由于有无限多种路径,为了得到一个非0的概率必须要考虑一个邻域的积分贡献(比如说A事件可能会在1点0分0秒-2点0分0秒之间等概率得发生,但是A事件刚好发生在某一个确定时刻1点30分00秒的可能性却是0,必须要说A点发生在1点30分00秒到1点31分00秒之间的可能性多大,才可以得到一个有限的概率1/60),而经过O点邻域红色部分的所有路径的光,从图中可以看出基本具有同样的光程(这是由光程一阶变分为0保证的,可以用泰勒展开的思想理解,在忽略二阶小量的情况下,
,在O点处导数为0,所以邻域内展开之后得到的光程几乎都跟O点一样),这也就意味着光子到达探测器时候具有几乎一样的相位,从而互相增强,而经过A点附近邻域的光,则是经过了相差许多的光程到达探测器的,因而到达探测器时相位差遍布0到2pi之间的各种可能,所以最后叠加的结果是互相抵消。
所以就可以理解,我们之所以觉得光走了O而没有走A,并不是因为O那里对应一条最短路径,而是因为光程的一阶变分在经过O的这条直线附近为0,即使右图中的光程函数上下反过来,在O处不是极小值而是一个极大值,也不影响这个结论。或者假设光程是
,那么光会走x=0的位置,虽然那里既不是极小值也不是极大值,但是那里的一阶变分为0,这里就对应于拐值。因而把费马原理表述为最小值是错误的,并没有理解其本质原因。
广相中,用线性化之后的场方程考虑光线在引力场中的偏折时,用零测地线在弯曲时空中的路径和把引力场等效为一个折射率跟时空度规tt分量关联的介质之后用费马原理得出的路径相同,这是一道很经典的练习题,@香草奶昔给出的答案即是在说明这一点。
说起来,这也是为什么我们初中还是高中的物理书中就讲过一个近似的结论,“只有当障碍物、小孔的尺寸小于波的波长时,才可以看到明显的干涉、衍射现象”,比如在此例中,如果把整个x轴都遮住,只在A处留一小孔,且小孔的尺寸小于光波长,那么经过小孔的所有光的光程差就也近似得小于光波长,所以到达探测器的光的光程差没有遍布0到2pi,于是会有一部分路径上的光没有被抵消,如果探测器位置合适,就可以看到亮纹(夫琅禾费衍射)。
----------------------------------------------一点感悟----------------------------------------------------------------------
写到这里身体感觉都要被掏空了,不过还是斗胆说一下我对相对论的一点感悟:
知乎上许多人总是说这个也是相对的那个也是相对的,时间不是绝对的,空间也不是绝对的,于是快慢没有意义,远近也没有意义,仿佛任何东西都没有办法处理了一样。其实并非如此,张量形式的引入的优越性正在于此,物理学家们在讨论问题时再也不用纠结于自己是说的哪个参考系的哪种坐标取法,张量随着坐标系变化而变化的性质保证了一个张量方程只要在某一个坐标系里成立就自动在任何一个坐标系都可以成立,物理学家们在从而挣脱了之前的对于坐标系的纠结,获得了前所未有的自由。这也是为什么广义协变原理中要求“任何物理定律都应该被写成或者至少能被写成协变的形式”。
对于参考系的要求也是如此,在有相对论之前,因为麦克斯韦方程组给出了一个定值的真空中光速,从而人们觉得必须要有一个绝对静止的参考系(以太)作为基石才能开始解决问题,而狭义相对论则移除掉这一基石,告诉我们所有的惯性系都是等价的,从惯性系出发就可以了,到了广义相对论,这一要求被继续降低,告诉我们只要找一个引力场中自由落体的参考系就可以了,甚至即使是弯曲时空中每一点都可以按照这个方式构造局域惯性系。
可以说只要你用的是一套协变的张量分析的思想,那么相对论实际上是解放了你的参考系和坐标系的选择,而不是束缚了你的选择。然而因为相对论这个名字听起来并不神秘,外加狭义相对论的数学变换非常简单,所以在国内哪怕在知乎上关于相对论的问题都如同一个雷区一样,各种妄加的理解层出不穷,这点在changhai.org 的页面上也有一篇很有趣的阅读http://www.changhai.org/articles/science/misc/anti_relativity.php(他们为什么反相对论?)