三角形的五心向量结论证明 1. O 是1 2 3PPP \uf044 的重心 \uf0db1 2 30 OP OP OP \uf02b \uf02b \uf03d ( ( 其中 , , a b c 是1 2 3PPP \uf044 三边) ) 证明:充分性: 1 2 30 OP OP OP \uf02b \uf02b \uf03d \uf0de O 是1 2 3PPP \uf044 的重心 若1 2 30 OP OP OP \uf02b \uf02b \uf03d ,则1 2 3OP OP OP \uf02b \uf03d \uf02d ,以1OP ,2OP 为邻边作平行四边形1 3 2' OPP P ,设3OP 与1 2PP 交于点3P \uf0a2 ,则3P \uf0a2 为1 2PP 的中点,有'1 2 3OP OP OP \uf02b \uf03d ,得'3 3OP OP \uf03d\uf02d ,即'3 3, , , O P P P 四点共线,故3PP 为1 2 3PPP \uf044 的中线,同理,1 2, PO PO 亦为1 2 3PP P \uf044 的中线,所以, O 为的重心。 2. 点 O 是1 2 3PPP \uf044 的垂心 \uf0db1 2 2 3 3 1OP OP OP OP OP OP \uf0d7 \uf03d \uf0d7 \uf03d \uf0d7 证明: O 是1 2 3PPP \uf044 的垂心 \uf0db3 1 2OP PP \uf05e , 3 1 2 3 2 1 3 2 3 10 ( ) 0 OP PP OP OP OP OP OP OP OP \uf0d7 \uf03d \uf0db \uf0d7 \uf02d \uf03d \uf0db \uf0d7 \uf03d \uf0d7 同理1 2 3OP PP \uf05e \uf0db3 1 1 2OP OP OP OP \uf0d7 \uf03d \uf0d7 故当且仅当1 2 2 3 3 1OP OP OP OP OP OP \uf0d7 \uf03d \uf0d7 \uf03d \uf0d7 . * * O 是 是△ △ABC 所在平面内一点2 2 2 2 2 2\uf0ae \uf0ae \uf0ae \uf0ae \uf0ae \uf0ae\uf02b \uf03d \uf02b \uf03d \uf02b AC OB BA OC BC OA 则 则 O 是 是△ △ABC 的垂心 证明:由 ,得 ,所以。同理可证 。容易得到由以上结论知 O 为△ABC 的垂心。 * * 设 \uf028 \uf029 \uf02b\uf0a5 \uf0ce , 0 \uf06c ,则向量 )cos cos(C ACACB ABAB\uf02b \uf06c 必垂直于边 BC,该向量必通过△ABC的垂心 P 1 2PP 3 OP \uf05b \uf029 \uf02b\uf0a5 \uf0ce\uf0f7\uf0f7\uf0f7\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e7\uf0e7\uf0e7\uf0e8\uf0e6\uf02b \uf03d\uf0ae\uf0ae\uf0ae\uf0ae\uf0ae, 0 ,cos cos\uf06c \uf06cC ACACB ABABAP * 若 若 H 是 是△ △ABC( 非直角三角形) 的垂心, 则 则 S △ BHC : :S △ AHC : :S △ AHB =tanA :t