无穷级数是什么?无穷级数就是无穷多个项相加。怎么理解呢?相信各位一定很清楚数列的概念,比如说1,2,3,…就是一个最简单的数列,第n项的值是n。那么我们从1开始,1+2+3+…的一直加下去,就是无穷级数了。但显然这个级数的结果是无穷大。而又比如1,1/2,1/4,…,第n项的值是2的n次方分之1,这个数列一直加下去结果又如何呢?根据等比数列的求和公式S=a1(1-q^n)/(1-q),我们很容易能算出来当n趋向于无穷大的时候,0.5^n的极限是0,那么S的极限结果就是2。所以说1+1/2+1/4+…这个级数的结果是2。当然上面所说的两个例子是常数项级数,后面还有函数项级数,其实差不多的啦。
同样是无穷多项相加得到的级数,有的是无穷大,有的却是一个定值。这就是级数的发散和收敛。敛散性是级数重要的性质,所以我们要研究它。其实理论上来说判断敛散性非常简单,表示出前n项和然后求当n趋于无穷大时的极限,极限存在就是收敛的,极限不存在就是发散的。就这样。
收敛级数有什么性质呢?可以数乘可以加,可以去掉有限项,可以任意加括号,这个很好意会。还有级数收敛的必要条件,如果一个级数是收敛的,那么当n趋于无穷大的时候,该级数的第n项值为0。
【正项级数及其审敛法】
接下来我们来讨论常数项级数的审敛法,也就是判断它的敛散性。我们先来研究正项级数及其审敛法。正项级数就是通项都是正的级数,从最简单的开始可以方便理解。首先是一个充要条件:正项级数U收敛↔部分和数列{Sn}有界。也就是说S1,S2,S3…这个数列要有界。当然很好理解,无穷级数就是Sn当n趋于无穷大时的结果嘛。Sn无界,那级数还收敛个啥啊。好的不说这个,说判断方法。
第一种方法是比较判别法。两个正项级数U和V,如果U的每一项都小于等于V的对应项,那么…如果V收敛,U也收敛!如果U发散,V也发散!怎么理解呢?“老大都收敛了,小的怎敢不收敛。小的放肆了,那只能说明老大也在放肆?”当然还有个推论,如果U的每一项都小于等于V的对应项的k倍,上述结论也成立。
第二种则是比较判别法的极限形式。U和V都是正项级数,如果当n趋向于无穷大的时候U的第n项比上V的第n项的极限等于l…如果l是一个普通的正数,那么U和V的敛散性是一样的。如果l为0,那么当V收敛时,U也收敛;如果l为无穷大,那么当V发散时,U也发散。怎么理解呢?以l=0为例。Un比上Vn都等于0了,说明当项数很大的时候,Un比Vn要小得多,大的V都收敛的话,小的U有什么理由不收敛?而对于l=∞,u比上v为无穷大,说明当项数很大时Un比Vn大得多。这样的话,小的V发散了,那比V大得多的U肯定也发散了!
第三种是比值判别法,也称达朗贝尔判别法。同样地,设U是正项级数,如果当n趋向于无穷大的时候,u的第n+1项比上第n项的极限等于ρ…如果ρ小于1,则级数U收敛;如果ρ大于1,则级数U发散。如果ρ恰好等于1,那么这个级数可能收敛也可能发散。如何理解呢?通俗地讲,如果ρ小于1,说明当项数很大的时候,后一项总是小于前一项,那这样级数的项会越来越小,小到趋近于0,那么级数肯定会收敛于一个定值;如果ρ大于1,则恰恰相反,项会越来越大,这怎么都不可能收敛了!ρ等于1的话,比值判别法就失效了。诶,怎么会失效呢?这样想,比值为1有两种可能,一种是项趋于一个定值了,这种情况级数发散,另一种是0/0的未定式产生了1,这种情况级数收敛。
第四种是根值判别法,也称柯西判别法。设U为正项级数,如果当n趋向于无穷大的时候,u的第n项的n次方根值为ρ…和比值判别法的结论完全一样:如果ρ小于1,则级数U收敛;如果ρ大于1,则级数U发散。如果ρ恰好等于1,那么这个级数可能收敛也可能发散。万一忘记结论了可以从比值判别法上面想一想。这个不太好想是怎么回事,反正记住结论就可以啦。
如果要强行说一下这背后的道理的话,也可以通俗地去想一下。n次方根可以作为一个工具,任何正数被n次方根搞了之后都会被1化。如果随着n的增大,级数第n项在开n次方根后居然还能大于1,那这只能说明它大得超过了n次方根的“压制能力”,那发散无疑了。如果结果小于1,那就说明连n次方根都没法把它带回到1,这个项实在是太小了,表明级数是收敛的。如果结果恰好等于1,那么这种判别法就失效了。一种是项趋于定值,被n次方根后结果肯定趋于1,这种是收敛的;另一种是诸如0的0次方这样的未定式产生了1,这种则是发散。
对于上面所说的失效的情况,我以p-级数为例来说明。p-级数就是通项为1/n^p的级数,当p取值不同时,级数的敛散性也不同。比如对于通项为1/n的级数,1/n的n次方根(也就是1/n的1/n次方)当n趋于无穷大时(即n的n次方当n趋于0时),极限是1,但这个级数是发散的!又如通项为1/n²的级数,1/n²的1/n次方当n趋于无穷大的时候结果也是1(这相当于1/n的2/n次方,其实相比于1/n的1/n次方没多大差别),但是这个级数又是收敛的,其结果为π²/6。
【交错级数及其审敛法】
之前说的级数都是正项级数,如果级数的各项正负相间,则是交错级数。这是怎么实现的,当然是-1的n-1次方啦。←为什么是n-1而不是n呢,因为习惯上第一项是正的。这种级数我们有莱布尼兹判别法,也就是如果每一项的绝对值都小于等于前一项的绝对值,且第n项的绝对值当n趋于无穷时的极限等于0的时候,这个交错级数就是收敛的。有这样一个定理,如果一个交错级数每项取绝对值后形成的新级数收敛,那这个交错级数一定是收敛的,反之不一定。这个很好理解。
后面咱们还有绝对收敛和条件收敛。对于一个收敛的交错级数,如果对每一项取绝对值形成的新级数也收敛,就称这个级数是绝对收敛的。如果这个新级数是发散的,则为条件收敛。比如说这个级数,通项为(-1)^(n-1)*(1/n^p),当p>1的时候是绝对收敛的;0