列向量线性相关,说明这组列向量里有一些向量可以由其它几个向量组合出来。
一般来讲,如果一组列向量的数目超过其维数,则该组列向量一定线性相关。如果这组列向量数目与向量的维数相同,又存在线性相关的情况,则这组向量就叫做“不满秩”,就是不相关的向量数比向量维数小的另一个说法。
在不满秩的情况下,用这组列向量来做组合,它的数学表达式是y=Ax,其中x是组合用的系数,A是这组列向量,y是用A中的列向量乘上系数x在加到一起后(这个运算叫组合)得到的结果。其中x是任意可选的,按理,y也可以布满n维空间的每一个角落,但由于A不满秩(列向量线性相关),A就只能“张成”n维空间的一个局部区域,比如对于一个3维空间,如果A里面是3个列向量,且线性相关,则A就只能张成一个扁平的子空间,空间的秩为2;或者张成一个直线(秩为1)。
A能张成啥样完全取决于A的列向量相关性到哪一步了,而y总是分布在A能张成的空间中。但y是充满在A中(与A同秩),还是只能占据A的一个部分,这取决于x的分布了。如果x的取值是不受限制的,或者说X是满秩的,则Y与A同秩,相互空间重叠。若X不满秩,则Y只是A中一部分。比如A为一扁平空间时,Y只是该扁平空间中的一根直线。
反过来看,若Y只是A中的一部分,则意味着x的选择受限了,X就不满秩。如果你选一个y不在A中,则你就找不到一个能使y=Ax成立的x,从方程角度看就叫无解。若A不满秩,而y选了A空间中的某点,这是可以找到无穷个x能够满足y=Ax,这些x集合形成一个子空间,可用X表示,并且有rA+rX=n的关系。