2 探索如图, 在三棱锥P - A B C 中, 0 为/k A B C 的重心, 连A 0 延长交B C 于D , 则D 为B C 的中点且A 0 —2 0 D , 在/k A B C 和A P B C 中, 由中线定理得:PCA B 2 + A C z = 2 A D 2 + 1B C z①P B 2+ P C 2= 2P D 2+ 丢|B C 2连P O , 在A P A D 中, 由斯特瓦尔特定理得:②P A 2 + 2 P D 2 = 3P 0 2 + ÷A D 2③n‘O由①、 ②、 ③式消去A D 、 P D 得:P A 2 + P B 2 - t - P C z = 3 P ( YW I ( A B 2 + B C Z +( 1)若D 是P 在底面上射影, 则P 0 j- A O ,所以P O z= P A 2- - A 02= P A 2一( 詈A D )2⑤由①、 ⑤式消去A D 得:^3P O z = 3P A 2一詈A B 2一詈C A 2+ 寺B C 2⑥n1将⑥式代入④式得:P B 2 + P c 2 + ÷A B 2 + ÷C A 2 = 2 P A 2 +23B C Z⑦连B 0 延长交A C 于E , 连P E , 同理可得:11P A 2 + P C 24 - ÷A B 2 + ÷B C z = 2 P B 2 +0Oo妻C A 2o⑧⑦一⑧得: 3P A 2+ B C z = 3P B 2十c A 2⑨由⑦、 ⑨式消去B C 得: 3P B 2 + C A 2 = 3P C 2+ A B 2⑩故3 P A 2 + B C 2 = 3 P B 2 + C A 2 = 3 P C 2 + A B 2 .( 2 )若3 P A 2 + B C z 一3 P B 2 + C A 2 = 3 P c 2 +A B 2成立. 则⑦、 ⑧式成立,由④和⑦式易得⑥式成立, 由①和⑥式易得⑤式成立,所以P A 2= P 伊4 - A O z , 即P O 上A 0 ,同理由⑧、 ④、 ①式得P 0 上B 0 ,又A 0 、 B 0 相交, 所以P O j- 面A B C .综合( 1)、 ( 2 )得, 3P A 2 + B c 2 = 3P B 2 + C A 2= 3P C 2 + A B 2 是P 在底面上的射影为底面重心的充要条件.