①心算
98 × 102 =
答案:9996
解析:(100-2)×(100+2)=100²-2²=9996
9.7 × 10.3 =
答案:99.91
解析:(10-0.3)×(10+0.3)=10²-0.3²=100-0.09=99.91
993 × 993 =
答案:986049
解析:993²=(993+7)×(993-7)+7²=1000×986+49=986049
②答案:36(平方厘米)
解析:设大正方形边长是x厘米,小正方形边长是y厘米
则有x² - y²=13,根据平方差公式(x+y)(x-y)=13
x,y是整数,所以它们的和与差也是整数。由于13是质数只能拆成13=13×1
所以只能是x+y=13,x-y=1(如果方程组不会解,可以当做和差问题,两数和是13差是1求较小的数)
解得y=6,所以小正方形面积是:6²=36(平方厘米)
③计算
2018 × 2019 - 2017 × 2020
答案:2
解析:2018与2019的平均数是2018.5,2017与2020的平均数也是2018.5
原式=(2018.5-0.5)×(2018.5+0.5)-(2018.5-1.5)×(2018.5+1.5)
=2018.5²-0.5²-(2018.5²-1.5²)=1.5²-0.5²=(1.5+0.5)×(1.5-0.5)=2
1998 × 4004
答案:7999992
解析:4004=2002×2,而1998×2002可以利用平方差公式简便运算(凑整2000)
原式=1998×2002×2=(2000²-2²)×2=8000000-8=7999992
100² - 99² + 98² - 97² + … + 4² - 3² + 2² -1²
答案:5050
解析:每两组都可以利用平方差公式
原式=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+ … + (4+3)×(4-3)+ (2+1)×(2-1)
=199+195+ … +7+3(公差是4的等差数列,共50项)
=(3+199)×50÷2=5050
或者=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+ … + (4+3)×(4-3)+ (2+1)×(2-1)
=100+99+98+97+ … +2+1=5050
④答案:211
解析:设这个数加上14后是x²,设这个数减去15后是y²。这个数可以表示为x²-14或y²+15
则有x²-14=y²+15,x²-y²=29即根据平方差公式(x+y)(x-y)=29
x,y是整数,所以它们的和与差也是整数。由于29是质数只能拆成29=29×1
所以只能是x+y=29,x-y=1,解得x=15,y=14
所以这个数是:15²-14=211