本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 方程推导 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离和为2a(2a>2c)。 以F1,F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0)。设M(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a,(a>0)即 将方程两边同时平方,化简得 两边再平方,化简得 又 ,设 ,得 两边同除以 ,得 这个形式是椭圆的标准方程。通常认为圆是椭圆的一种特殊情况 [2] 。 [3] 非标准方程 其方程是二元二次方程,可以利用二元二次方程的性质进行计算,分析其特性 [4] 。 几何性质 X,Y的范围 当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a 对称性 不论焦点在X轴还是Y轴,椭圆始终关于X/Y/原点对称。顶点:焦点在X轴时:长轴顶点:(-a,0),(a,0)短轴顶点:(0,b),(0,-b)焦点在Y轴时:长轴顶点:(0,-a),(0,a)短轴顶点:(b,0),(-b,0)注意长短轴分别代表哪一条轴,在此容易引起混乱,还需数形结合逐步理解透彻 [5] 。焦点:当焦点在X轴上时焦点坐标F1(-c,0)F2(c,0)当焦点在Y轴上时焦点坐标F1(0,-c)F2(0,c) 计算方法 ((其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长,可由圆的面积可推导出来)或 (其中 分别是椭圆的长轴,短轴的长) [6] 。圆和椭圆之间的关系:椭圆包括圆,圆是特殊的椭圆。