( 保密论文在解密后应遵守此规定)・…撇: 碜撇: 净…面 ■●■■■■■■■I■■■■■■■■I..、j“兰囊 口口正解( 0 ( o 蔓11§ 21基本引理…………………§ 22主要结果…………. …………第三章分散阶脉冲微分方程边值问题的解( n 一1( n S n )§ 31基本引理, ………………….§ 3 2 主要结果……………参考文献……………一…………致谢………….mvmJ■≈一≈”珀∞∞∞北 C o N T E N T SC h in g e a b str a c t..............n iE n g lisha b str a c t......... . . . . vL ist o fsy m b o ls. ............... . viiiC h a p te rI In tr o d u c tio na n dp r e lim in a r ie s. .,.....1§ 11 In tr o d u c tio n....... . . . . . . …1§ 12 P relim in a ries............. . 3C h a p te rII M u ltip lep o sitiv eso lu tio n so fb o u n d a r yv a lu ep r o b le m sf o rf r a ctio n a lim p u lsiv ein teg ro - d /f f eren tia ]eq u a tio n s( 0< d ≤1)...…7§ 21L e n ]In a s.......,............ . . . 8§ 22 M a in 瞄址拓. . . ………. ……. . . . . …. …. 15C h a p te r Ill S o lu tio n so f bo u n d a ry va lu ep ro blem sf o rf ra ctio n a lim p u lsived if f eren tia leq u a tio n s( n 一1< 口S n ). .......... 19§ 31 L e m m 舶……………………………………. 20§ 32 M a inresu lts…………3 0R e f e r e n c 凹.................,....3E ;A c k n o w le d g e m e n ts.......... . . . . 4 2●C口 口口授. 郭大钧教授, 孙经先教授, 龙以明教授等也做出了出色的工作( 参见文献【1一l码等)分数阶微分方程是一个相对较新的研究领域, 是对经典整数阶微分方程的推广, 可以对某些客观现象作更好的描述, 现在受到越来越多的重视和研究( 参见文献f 13- 15, 26- 37 ])脉冲微分方程是对在一系列固定时刻发生快速变化或跳跃的运动规律的描述, 在现实生活中有着广泛的应用( 参见文献【17- 20, 38制】 ). 对非线性分数阶脉冲微分方程解的研究, 将有助于更好地揭示现实世界中的现象及规律. 对人类生产实践活动也会有一定的指导作用( 已有的工作参见145- 49I等).本文主要应用非线性泛函分析中的不动点理论, 讨论几类非线性分数阶脉冲微分方程解( 包括正解)的存在性情况, 有较低阶( 0 < 口茎1)的情形, 也有任意阶( n 一1< 口茎n )的结果文章内容安排如下第一章为引言及预备知识, 主要介绍研究背景, 研究问题, 井引入后面将会用到非线性泛函分析与分数阶微积分的基本知识.第二章研究当阶数0 < 口蔓1时. 如下C a p u to 分数阶脉冲积微分方程边值问题正解的存在性。 D ou( })= I( t, u( 州n)( ￡), ( 乳)( f))t￡ ∈ ^, k = 0, 1—2, m ,A U [ t砘= ^( Ⅱ ( ‘々 )).k = 1, 2, 3, + ’ , m ,u ( 1)= 加( 0), 山末大学硕士学位论文其中。 D 。 是C sp u to 分数阶导数, J= 阳, 1】 ,1, ^= 【0, ￡l】 , ^= ( “, Ik + 1], ≈一1, 2, 3,c ( J× R + XR + × R + , R + ),0 = t o < ￡ i< b < ・< t m < ￡ m + l=, 丌I. R 十: = 扛∈ R l z≥o ’ , , ∈( T u )( t)= /Ⅳ( ￡, 8)uC s)d8,J0( su)( t)一/u( t, s)u( s)d 。 ,J0Ⅳ∈ C ( D , R + ), D = ms)∈ JxJIt≥s}, H ∈ ccYX ^毗), n - I忙“= u ( tk + )一“( t}一), 厶∈ c( R 扣R + ), 々 = 1, 2, 3,, m , 口> 1应用锥拉伸与锥压缩不动点定理, 得到了多重正解存在的充分条件第三章研究当阶数n 一1< oS n ( 其中nEz + )时, 如下C a p u to 分数阶脉冲微分方程边值问题:。 观+ “( ￡)一f( t, u( t)),n 一1( Q § n . ￡ ∈ 占. p = 0 , 1. 2, , m ,A u ( q)It。 b= k ( u ( ￡p)).u ( W ( 1)= 风u ‘q’ ( o)'g = 0 , 1. 2, , n —I, p = 1, 2, 3, . , m其中。 D 。 是C a p u to 分数阶导数, J一【0 , 1】 , 0 = to ( “( t2< …< ￡ 。 < t。 ¨ 竺I, 山掌10, fl】 , 占= ( fp, lp+ l】 , p= 1, 2, 3,, m , △u‘叫矧, = “h’ ( 0+ )一1‘( 口’ 0p- ), , ∈C ( J× R , R ). k ∈ c( R , R h 岛≠l, g = 0, 1, 2,, n 一1, P = 1. 2, 3,, m通过研究与计算, 我们得到了此边值问题的等价积分方程. 井作出构造性函数T .7: 坠掣矾'可I; l将积分方程显示表达在此基础上. 应用压缩映象原理, L era y - S ch a u d er不动点定理. A irm a n 不动点定理推论等, 得到边值问题解存在性, 存在唯一性的几个充分条件这在一定程度上推广了文献【2瑚等的工作.关键词微分方程; 分数阶; 脉冲; 边值问题: 不动点定理■口 口口山东大学硬士学位论文S o lu tio n so fF r a c tio n a l Im p u lsiv eD if f e r e n tia lE q u a t io n sS h ita oZ h o n g( S ch o o lo fM a th e m a tic s, S h a n d o n gU n iv ersity , Jin a n , S h a n d o n g , 250100)( S u p erv iso r: P ro f esso rZ h o n g li W ei)A B S T R A C TN o n lin e a r f u n ctio n a la n a ly sisis a nim p o r ta n tS U bjcctin m o d e mra a th em a ti∞. It C a llb e u se d to so lv e k in d so f n o n lin e a r p r o b le m sb y a b str a c tth e o r ie sin c lu d in g to p o lo g ic a ld e g r e e , p a r tisdo r d e r a n dc o n e , m o n o to n e o p e r a to r s, v a r ia tio n a lm e th o d Ea n d8 0o nM a n yo u tsta n d in g m a th e m a tic ia n sh a v e m a k e nsig n if ica n t c o n tr ib u tio n sin th e se f ie ld s,锄c h 衄E R o th e , M AK r a sn o sel’ sld i. P R a b in o w itz , H A m a n n . A A m b m setti. etc。∞w ell E tS㈣eo n ∞in o u ro w nc o u n tr y ,su c h ∞P r o f e sso r K u n g - C h in gC h a n g , D a ju nG u o , Jin g x ia n S u n , Y im in gL o n ga n ds0on( 11一121)A s ap r o m o tio no fcla ssicd if f eren tia l e q u a tio n sw ithin teg ero r d er , f r a ctio n a l d lf -f o ren tia leq u a tio n isar c la tiv e ly n e wsu b jecto fresea rch , w h ichc a n b eu se d tod 自c r ib eS o m e rea lp h c h o m p & b e tte rm o r eresea rch ers( [ 13- 15 2e- 37 ])Im p u lsiv ed if f eren tia l eq u a tio mC IV Il b e u se dto *p la in th ee v o lu tio np r o c e ss∞W h ic h e x p e r ie n c ea c h a n g e o f sta tea tc e r ta in m o m e n tso fIt is D 缸d i]lo r e a n d m o r e a tte n tio n a n d is stu d ie db ytim eIt isw id elyu se din th e rea lw o rld ( [ 17- 20, 38- 441)T h eref o re, w eh a v e r c ^, so ntob eliev eth a t it ism e a n in g f u l tostu d yth eso lu tio n s o f f r a c tio n a lim p u lsiv ed if f eren tia /eq u a tio n sIt c a nh e lp 岫b e tte ru n d e r sta n dth ew o r ld , a n dw ill b e u sef u l in h u m a nactj访ti凹( 【45491)In th isth e sis, w e w illstu d y th eso lu tio n s o f ac o u p leo fb o u n d a r yv a lu ep r o b le m sf o r f r a c tio n a lim p u lsiv e d if f e r e n tia l eq u a tio n s, by m P m d lS o f sev era lf ix edp o in tth e o r e m sB o thc躺∞. 10 w er o r d er ( 0 < d ≤1)a n d a r b itr a r y o r d er ( n 一1< C ts n), 日tl"eco rm id eredT h is a rticle is驰f o lf o w sInC h a p to r1w ew ill in tr o d u c e th e b a c k g r o u n d so fth estu d y ,a sw e ll蹦th e p rc-llm in a ryd ef in itio n s a n d le m m a s w h ich w ill b eu se d in th cf o llo w in g ch a p ters.InC h a p te rII W e w illstu d yth e n x iste n c eo fp ( rsitiv eso lu tio n s f o r f r a ctio n a l m l_ 山东犬学硕士学位论文慝一= 1. √氓Ⅷ'12…m '( n)( ￡)= ftK ( t. s)u( s)ds. ( su)( f)= J( 1H ( c, s)u( s)d s.f蚤i二二二二|『『?“E E 尘查查兰堡圭兰堡堡圣符号说明㈦㈨lA Il|JJ严D oc D 6△uVj81复数集实数粲非负实数集整数集正整数集自然数集复数。 的实部复数; 的虚部实数a 的整数部分数d 的模, 集合A 的基数, 矩阵8 的行列式范数R iem a n n - L io u v ille分数阶积分R iem a n n —L io u v i]le分数阶导数C a p u to 分数阶导数u 的脉冲任意存在口cRqz珥N耻h 口脉冲微分方程是对在一系列固定时刻发生快速变化或跳跃的运动规律的描述, 可表达在某些时刻以跳跃形式改变其状态的演化过程具有此特点的过程存在于诸如物理学。 化工技术, 生物学. 电子工程, 人口动力学等, 参见文献【17- 20, 3a - 44]对非线性分数阶脉冲微分方程解的研究, 将有助于更好地揭示现实世界中的现象及规律. 对人类生产实践插动也会有一定的指导作用己有工作参见f 4 5- 4 9 ]等本文主要应用非线性泛函分析中的不动点理论, 讨论几娄非线性分数阶脉冲微分方程解( 包括正解)的存在性情况. 有较低阶( 0 < n ≤1)的情形, 也有任意阶( n 一1< o f Sn )的结果文『211研究脉冲积微分方程边值问题:rl∥ ( 1)= f( t, n“k( 丁¨ )“), ( s“)( f)】 ,f ∈ J’ ,l{ Z X u l州。 = ^( “( t})).llu ( ∞)= 肌( o ),、I= 1, 2, 3, …,其中J= 【0 , ∞), 0 < 岛< ￡ 2< …( “(, “一oo, J’ = J\{ “, ￡2,, ￡‘, …), J~: =扣E 酬z ≥o ), f ∈ c ( J× R + × R + x R + , R + ), △u b。 = u ( 1k + )一u ( ￡- 一), “∈G ( R + , R + ), 121, 2…3, u( oo)2&恐“( ￡)・肛1受此启发, 本文在第二章研究当阶散0 ( aS 1时, 如下C a p u to 分数阶脉冲积微分方程边值问题正解的存在性:。 睨+ u( ￡)= 巾, u( 0, ㈣)( t), ( 轧)( 吼￡∈ 儿t= 0, 1…2- m ,△u lH . = ^( u ( “))'k 一1, 2, 。 , m ,u ( 1)= 口u ( o ),f P l 。 I磁+ u( ￡)= f( t, Ⅱ ( ￡)),2< n 妄3, t∈ 矗, , = o , 1, 3…. m ,△…tq = q ( “( 0)),△“’ Ik~毒, , ( u( ‘))T△u ” l口c, = E 扣( tP ))TP = 1. 2. 3…, m ,u ( o )= 一Ⅱ ( 1)’ u ’ ( O )= - u ’ ( 1), u “( o )= 一u “( 1J'●其中。 D o 是C a p u to 分数阶导数, J= 阻, l】 , 0 = ‘o < ￡ I< t2< …< ￡ 。 <￡m + l= 1, ^= 【o , t1】 , 占= ( 々 . o 时1). P = 1. 2, 3. …m , △“1c: ~等u ( ‘+ )一“( ~一), △u ’ Il= t, = ∥ ( tP + )一∥ ( 年一), ∥ It: f , = “” ( ~+ )~“” 0p - - ), I∈ c( yxR 赶), 0。 ‘, e∈ c( R . R ). P = 1 2, 3,m作为其推广, 本文第三章研究当阶数n —l< o Sn ( 其中n ∈ z + J时, 如下C a p u to 分数阶脉冲微分方程边值问题:l。 D 0+ Ⅱ ( t)= J( t. u( t)),n 一1< o ≤n , ￡ ∈ 占, P = 0 , 1, 2, , m ,{ △u …I一~= k ( u ( ~)),( P 2)J“…( 1)= 岛uI“( o).口= 0. 1, 2, . . , n一1, p= 1, 2…3, m .●其中。 D a 是C a p u to 分散阶导数, J= 【0 , l】 . 0 暑to < t1( t2< …< t。 < k + 】 =1, J0= 【0t￡l】 t占= ( ~. ‘P + 1), p= 1, 2. 3., m , △Ⅱ ‘“If: ~= u( 。 ’ ( 知+ )一u∽( ‘一). f∈c ( yx R , R ), 岛∈ c( R , R ), 岛≠l, 口= 0, 1, 2…, n , p = 1. 2. 3, , m .一2一 给出后面将用到的非线性泛函分析及分数阶微积分中的定义与引理:定义1. 1( 【l】 )设E 为B a n a ch 空间, P 为E 中非空凸闭集, 并且满足( 8 )T ∈ 只^≥0 }h ∈ P ,( b )z ∈ 只一z ∈ P = }z = 日( 口为E 中零元素), 则称P 为E 中的一个锥定义1. 2( 【11)设F l, 局为B a n a ch 空间, DC 吕. 算子^: D _ . 岛, 若^连续并且是紧算子, Ⅲ怖A 为全连续算子jI理1. 1( 范数形式锥拉伸与锥压缩不动点定理( 1】 )设E 为B a n a ch 空问. P 为E 中的锥, n j. n 2为E 中有界歼集, 日∈ n h 吼c啦, 其中目是E 中零元素, 盈为n l的闭包设算子A P n ( 如\f 11)_ P 为全连续算子假设如下两个条件之一成立:( a )悄z【1 SIIxll, Vz∈ P n ∞州l^z0≥lIx ll, Vz ∈ P n m 2,( b)Il^z0 2…I, V z∈ P n a 隅; ll船0茎iIx ll, V f ∈ P n a n 2,其中触t为旺“= I, 2)的边界. 则^在P n ( 啦\n 1)中至少有一个不动点.引理1. 2( L cra y - S ch a u d er[ 1]1设E 为B a n a ch 空间, A : E - ’ E 为全连续算子,井且集合V 一仁∈ FJz = A A x , 0 < ^( 1}是有界的, 则A 在E 中闭球B 中必有不动点, 其中B = 扣∈ E …z 』 曼, ?}, R = su “肛0 Iz = A A z , 0 < ^< l}引理1. 3( A ltm a n 定理的推论f 1】 )设E 为B a n a ch 空问, n 为E 中有界开集,0En , A : n _ E 为全连续算子, 满足则A 在而中必有不动点M 训E ㈣,№∈ 舳,3 山东大学硕士学位论文定义1. 3( 【13】 )设陋, q 为实数域R 上的有限闭区间, 口∈ C ( R ea > o ), 函数, 的阶为口的P d em a nn- L io u ville左侧分数阶积分盘定义为( 剐㈤: = r≮≠巾冲( …),右侧分数阶积分堆定义为●( 舢㈨: = J( ‘1箐巾)dt( 川).G a m m a 函数r ( 。 )定义为注1,1r( z): = /t’ 1e—d t,R e z > 0 ,其中t“= d “‰f ￡ )G a m m a 函数满足关系r( z+ 1)= ; r( 。 ),R e z > 0定义1. 4 ( 【1踟)设【tt. 明为实数域R 上的有限闭区问, a ∈ C ( P L ea ≥O ), 函数, 的阶为n 的R iem a n n —L io u v ille左侧分数阶导数D 鲁定义为●右侧分数阶导数D 墨定义为娘, )( z)( 兰)“( 州№)( 釜)4f≮芒手巾冲c…, ,( 一兰)” ( 州№)( 一未)“』 6案等” 皿㈣x其中n = f R e D + U , 当o ∈ N 时: n = 口, 当n ∈ N 时定义1. 5( 11司)f的阶为D 的C aputo左侧分数阶导数。 昧定义为设陋, q 为实数域R 上的有限f jj区间, ☆∈ c( R ea ≥o ). 函数‘c。 酬= 一卜薹掣卜∥ 胁∽吐 些童奎耋堡圭兰堡篁苎右侧分数阶导数。 D }定义为t。 。 *, , =(。 二[ , 。 , 一。 : 。 ftk。 )(b)ca—c, ‘])tz, 忙c。 , ,其中n = f R D n + 11, 当o ∈ N 时; n = n , 当口∈ N 时; I理1. 4( 【13】 )设鼬o≥0, n如上定义若, ∈ ^伊陋, 啦, 则f%似2)与( 。 D 墨, )( z)在陋, 州上几乎处处存在. 并且( a )当n ∈ N 时,( 。 踟㈣= J( 。 ≮等p)( ￡)dl,( 。 跟, )( z)= ( -1)“Z5( LI【-。 x)一"-叫。 -I[ “m )df’( b )当口∈ N 时,( c%, )( z)= , …( z), ( 。 昧, )( z)= ( 一lrf00( z)引理1. 51[ 131)若P ea > 0 , R e口> 0 , 则对任意函数f ∈ p ( a , b )( 1茎p 兰+ 。 。 ), 方程( , 墨t, )( 。 )= ( , 茹4, )( z). 以及( 世啦, )( z)= ( 』 譬8, )( z)关于z在k 叫上几乎处处成立; 若d + p > 1, 上述方程关于z在Ia , 卅上的每点都成立引理1. 6( [ 131)设R e口> 0, 若, ∈ L ” ( o , 6)或f ∈ c[ o , 啊, 则( B )当趾o ∈ z+ 或o ∈ z+ 时,( 。 %取, )( z)= , ( z). f赡证, )( # )= , ( z);( b )当R e口∈ z + , 且1m 口≠0 时,( C D * 剐∽训圹等等( …r“,( 。 雅伽∽- , ( 妒等等( hr… 山东大学硕士学位论文———————。 。 。 。 ’ 。 o●■■●■■●6引理1. 7 ( f 13])设R eo > o , n 如上定义, 若f ∈ A C ” 陋, 卅或f ∈ C 4 扛, 州, 则( 氆c吩, )( 垆心一萎掣( …一( 疆。 昧, )( z)= m )一- - x( - - 1)e“f( e)( a)( 、 b一￡)+●注1. 2^c陋. 叫表示陋, 叫上的绝对连续函数全体4pk tq2{ , : k t∞。 cI扩1, ∈ A C la, q}( D : 2羞)巴 第二章分数阶脉冲积微分方程边值问题的多重正解( 0 < n ≤1)f。 巩+ u( f): f( g, “CO , ( ru)( f), ( su)( ￡】 )_ lE ^, 々= o, l, 2…, m ,!△“叫. : 州。 ( ￡。 )), k: 1. 2,u ( 1)= 卢u ( o ),, m ,( P 1I其中。 D 4 是C a p u to 分数阶导数, J= 呻, l】 , o = ￡ o < c1< ￡ 2( …( tm < tm + 1=I, J0= 旧, tl】 ^= ( ￡h tt¨ 】 , t= 1, 2, 3., 丌1. R + . _ 忙∈ R lz 兰o }. f ∈c ( J× R + × R 十xR + , R + ),( T um )= Z ‘即, 咖∽她K ∈ c( o , Ⅱ 巴十), D = { ( ￡ , 5)∈ J× Jlt≥8h 打E c( g × ^Il+ ), △训扛“= u ( tl+ )一( 跚( f)= Z 1肌, 咖( 3)她( 7u)( 。 )2上” ( ‘, 5)“( 姚( 5“)( ‘)。 Jc” ( ¨ )“( 3)d81tt( “一), u ( ￡☆+ ). u ( “一)分别表示- ( 0在“处的右极限与左极限, Ik ∈ G 【R ¨ 皿- ), 女=1, 2, 3, . . m , 芦> 1记, : = J、 { tl, ￡2, ￡3, , ￡m }’6. - m a x { t^+ l一“I女= 0, 1, , m ),n= s。 upZ ‘即, 州sc。 。 . h; s。 up, f。 lH 化州sc 一定义PC( ZR )= { …JR luE c( Jk ). k = 0. 1, . , m ; u ( “+ )存在, 々 = 1t2,. m ),B P C ( 4 Ⅱ )= “∈ P C ( J,R )l¨ p m ( ￡)I< o 。 }则日P c( ^R )是以11u 0 = 哪p lu ( ￡ )1为范敷的B a n a ch 空间定义剧叼¨ R + )= { uE B P C ( a . R )lu ( ±)≥o , ￡∈ J),o = ( “EB P C ( J,R )Ii; n, fu0)≥口’ IIuII}则B P C ( J,R + )是B P C ( J,R )中的锥, 口是B P C ( J,R + )中的锥若u ∈ B P C ( J,R )n A C ( JiR )满足( P 1), 井且u ( ￡ )> 0 , ￡ ∈ J, 则称u 为分数阶脉冲边值问题( P 1)的正解7 些垒奎兰堡圭兰堡篁三§ 2. 1基本引理定义算子^为( 蛐)= 古( 南萋胁廿l, ( 一∽删吐( 洲胁奢㈧埘, )1+ 亩拍卜妒1㈦小…札江, ,( 5“)( 5))“+ 高小一。 n( m ), …岬洲)山+ 妻伽‰m引理2. 1“EB P O ( J,皿})n A O ( J'. R )是问题( P 1)的解, 当且仅当u ∈ 口是.t EJ k , k = 0 , 1, 2 , , m方程“( E )= ( A u )( t)的解证首先证明算子A 映B P C ( J,豫})到0对任意u ∈ B ec( J,R + ), 取” l兰…|.记则故M I: = sup_ [ f( t, u, u, w 】 I f ∈ Zo !u 茎rl, 0茎” 茎≈。 ” 1, 0蔓"茎^‘’ l}f( t, u( ￡), ( ru)㈨( 鼠)( f))兰M ,V ￡ ∈ J( 2. 2)由于^( u ( 枷蔓Ⅳl: 2叩“( u )10如!n, l= l, 23一tm }・( 24)●川蛇两1I丽1 m 备+ lz. tl( t,- s)。 - lf( s,u( s),( T um ¨刚州出+ 喜㈣i))),( 2. 5)一8一攀q¨∑M飘镐 _ ●- - _ ●_ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 。 。 。 。 ’ 。 。 ’ ———1。 。 ’ 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ’ —————————————————————.坐童查兰堡圭兰堡丝兰∽州吣矗∞喜序。 叫“m , “ncr∞㈤∞州枷¨ 泓t!者( 觜…1)一1怛。 ,‘因此^u ∈ B P C ( J,R + )对任意￡ ∈ J,击( 高薯￡。 慨~s, 4- lf( 8,ucnm m ¨ 删c枷如+ 姜州u‰,s呼( 4u)( 。 ))s( 4u)( ‘)5罂“4“)( ‘))2㈣s矗( 志薯￡, 帆一妒。 邝, uc“cnm ¨ 轧m 胁+ 喜脚札, , )【2”因此盼( ^u)( ￡), ≥口“II“II( 28)故A ,t∈ a 从而A 映B P C ( J,R + )到口.记a ( ￡): = f ( t, "( ￡), ( 丁、 - )( ￡), ( sⅡ )( f )), ￡∈ J若“∈ B P C ( J,R + )nA O ( JiR )是问题( P 11的解, 则由引理1. 7 , 结合分数阶积分定义知“” ~。 一)+ ‘, 譬一““~“+ )+ 志f( h妒。 1删州“, k¨ , 2…n、( 29自( 2. 9)知泖)叫0)+ 志小叫“∞)血蚓¨ , 】 ,u( fI)- u( 0)+ 高小卜srⅥ州s¨ ( ^l+ )= u ( ￡1)+ , l( “( “))= 泖)+ 志J( “( 1l叫” Ⅵ州¨ 聃( ftm9 刈0)+ 高Z “( 1l计Ⅵ帕+ 高肛叫“俐s+ 11( u( 11))+ , 2( “( 如)),坤)= u( c2+ )+ 高f( ㈠)” Ⅵ刚s~( o)+ 志小- 一广k㈤如+ 南1 f( t2- 8)“州s2“( o)+ 南上( 卜s)” 1a( 8)¨ 丽, .+ 南fo重复上述过程, 则有“a ㈨ss)。 一1a ( s)d s+ II扣( ￡】 ))+ 如( u( 屯)). ￡∈ ( t2, ￡3】吣卜uc0: + 丽1从h t,. ¨ 妒~㈤¨ 南肛妒~∽出江埘+ ∑^( u( t, )),￡∈ ^, k= 0, I. 2…, m ,井且有u ( 1)= n ( ￡ . + 1)叫o)+ 志瓤㈣rⅥ帕官州u, ・怛“’ .矿一∞)如+ 妻脚( fi)): au( o), Z( 2 12)l= l情: l∑Ⅻ帅高=}m邮件条界一姚号l 生垒奎兰堡圭兰堡丝兰放心, : 古( 南散. m 叫一∞灿+ 缸他, , )代入( 210 )式, 则有怛㈣・u㈣= 古( 南薯￡。 他一矿。 巾m + 喜脚m , , )+ 志妻胁一广Ⅵ州s+ 丽1/. ( 。 妒。 邢冲+ 吾m ( 蛳“¨ 。 0, 1’ 21即u ( t)= ( A u )( O , t∈ J由^“∈ Q 可知u ∈...