学了两三学期的微积分以后就要利用导数来完整地练习解微分方程了。导数是一种数据相对于另一种的变化速率。例如,速度随着时间的变化率就是速度关于时间的导数(和斜率相比较一下)。每天这种变化率都会出现很多次,例如,复利定律中,利息增加的速度和账户金额成比例,用dV(t)/dt=rV(t) 和V(0)=P 可以表示出来(P就是初始金额),V(t)是时间的函数,表示目前的账户金额数(用以不断评估利息),r是目前利率(dt是极短的时间间隔,dV(t)是无穷小金额,是V(t)在这个时间的变化,他们的商是增加速率)。虽然信用卡利息通常是每日累积计算,以APR(年度增加率)来表示,这个微分方程还是可以可以解出一个方程,得到连续解V(t)= Pe ^(rt)。本文将教你如何解决最常见类型的微分方程,尤其是力学和物理方程。
步骤
方法1 的4:
基本方法
定义导数。当变量倾向于0的时候,函数(一般是y)增量和变量(一般是x)增量的比值会取得一个极限值,这就是导数(也称为微分系数,特别在英国)。或者说在一瞬间,变量的微小变化造成的函数的微小变化。以速度距离,速度就是距离对时间的瞬时变化。下面比较一阶导数和二阶导数:一阶导数即原导数的函数。例如:“速度是距离关于时间的一阶导数。”二阶导数即函数导数的导数。例:“加速度是距离对时间的二阶导数。”
不要混淆阶数(最高导数阶数)和次数(导数的最高次数)。最高导数次数是由最高阶导数的阶数决定的。导数的最高次数则是导数中的项的最高次数。比如图一的微分方程是二阶、三次导数。
了解如何区别通解、完全解和特解。完整解包含一些任意常数,任意常数的数目和导数的最高阶数相等(要解开n阶微分方程,需要进行n次积分,每次积分都需要加入一项任意常数)。例如在复利定律里,微分方程dy/dt=ky是一阶导数,完整解y = ce^(kt) 正好有一个任意常数。特解是用特定数字带入通解来获得的。方法2 的4:
解一阶微分方程
一个一阶一级的微分方程可以表达为M dx + N dy = 0,M和N分别是x和y的函数。为了解决这个微分方程,按如下步骤来做:
看看这个变量是否可分离。一个微分方程若可以表达为f(x)dx + g(y)dy = 0,则其变量可分离。f(x)是只关于x的函数,g(y)是只关于y的函数。这些都是最容易解的微