北京邮电大学 人工智能学院硕士在读
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首先要明确一点,
是定义在
上的偶函数,因此想在整个定义域将其精确表达为一个正弦级数是不可能的,我们先来尝试将
分解为傅里叶级数:
其中
因为
是偶函数,所以
,由三角函数系
在
上的正交性,
,所以
在
的傅里叶级数就是它本身:
。如果从泛函的角度来看,这是不证自明的,毕竟
就是三角函数规范正交基之一嘛。
为了强行将
分解为正弦级数的形式,我们不得不考虑缩小函数周期,我们知道
的周期为
,因此上面将其分解为傅里叶级数时也是取的
这一积分区间,如果我们只取
周期的一半,也就是只考虑
,然后对其作奇式延拓(odd extension):
我们再来对
作傅里叶级数展开,注意此时
是奇函数,因此
也就是
,进一步计算
:
因此
进一步化简:
因此
虽然看起来我们将一个偶函数表达成了一个奇函数,但实际上该等式只在
上成立,这类反直觉的等式实际上非常非常多,比如最简单的
和
,这些看似不可能的等式在一定程度上也是推动数学一直向前发展的动力之一。

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