第三章习题 (一) 1.计算积分 ? ( x ? y ? ix 2 )dz ,积分路径 C 是连接由 0 到 1+ i 的直线段。 c 2.计算积分 ? | z | dz ,积分路径是(1)直线段; (2)上半单位圆周; (3)下半 ?1 1 单位圆周。 3.利用积分估值,证明 (1) (2) ? (x c 2 ? iy 2 )dz ? 2 ,其中 C 是连接-i 到 i 的直线段; ? iy 2 )dz ? ? ,其中 C 是连接-i 到 i 的右半圆周。 ? (x c 2 4.不用计算,验证下列积分之值为零,其中 C 均为单位圆周| z |=1。 (1) ? c dz ; cos z (2) ? c dz ; z ? 2z ? 2 2 (3) ? e2 dz ; (4) ? z cos z 2 dz . c c z 2 ? 5z ? 6 ?2?i ?2 5.计算: (1) ? 6.求积分 ( z ? 2)2 dz ; (2) ? ? ? 2i 0 z cos dz 。 2 ? 2? a 0 (2 z2 ? 8 z? 1d )z 之值,其中积分路径是连接 0 到 2? a 的摆线: x ? a(? ? sin ? ), y ? a(1 ? cos ? ). 7. (分部积分法)设函数 f ( z ), g ( z ) 在单连通区域 D 内解析,? 、? 是 D 内两点。 试证 ?? ? ? f ( z ) g ?( z )dz ? [ f ( z ) g ( z )]? ? ? g ( z ) f ?( z )dz. ? ? 8.由积分 ? c dz 之值证明 z?2 ? ? 0 1 ? 2 cos ? d? ? 0, 其中 C 取单位圆周 | z |? 1 。 5 ? 4 cos ? 9.计算( C :| z |? 2 ) (1) ? 2z 2 ? z ? 1 dz ; c z ?1 (2) ? 2z2 ? z ?1 dz . c ( z ? 1) 2 10.计算积分: sin ? 4 z dz , (j=1,2,3) ?c j z 2 ? 1 (1) C1 :| z ? 1|? 11.求积分 从而证明 1 1 ; (2) C2 :| z ? 1|? ; (3) C3 :| z |? 2 . 2 2 ez ?| , 1) ?c z d z( C: | z ? ? 0 ec o?s c o s ( s?i n d? ) ?? . 2 2 3? 2 ? 7? ? 1 12.设 C 表圆周 x ? y ? 3, f ( z ) ? ? d? ,求 f ?(1 ? i) 。 c ? ?z 提示:令 ? (? ) ? 3? 2 ? 7? ? 1. 13.设 C : z ? z (t )(a ? t ? ? ) 为区域 D 内的光滑曲线, f ( z ) 于区域 D 内单叶解析 且 f ?( z ) ? 0, w ? f ( z) 将 C 映成曲线 ? ,求证 ? 亦为光滑曲线。 提示: 光滑曲线 C 的特点是: C 是若尔当曲线且 z?(t ) ? 0 连续于 a ? t ? ? . 现 要证 ? : w ? f [ z (t )] 亦具有类似的性质. 14. 同前题的假设, 证明积分换元公式 沿 ? 连续. 15.设函数 f ( z ) 在 z 平面上解析,且 | f ( z ) | 恒大于一个正的常数,试证 f ( z ) 必 为常数. 16.分别由下列条件求解析函数 f ( z ) ? u ? iv . (1) u ? x2 ? xy ? y 2 , (2) u ? ex ( x cos y ? y sin y), (3) v ? y , x ? y2 2 ? ?(w)dw ? ? ?[ f ( z )] f ?( z)dz. ? c 其中 ?(w) f ( i)? ? 1 ? ; i f(0) ? ; 0 f(2) ? 0. ? ?2 ?2 ? 17.设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,试证: ? 2 ? 2 ? | f ( z ) |2 ? 4 | f ?( z ) |2 . ? ?x ?y ? 18.设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,且 f ?( z) ? 0 ,试证 ln | f ?( z ) | 为区域 D 内的调 和函数。 19.设流体流动的水平及垂直分速为 ky、kx(k>0 为常数) ,试求复势并画出势 线及流线。 1 ,试分别求出沿圆周 z ?1 1 1 (1) C1 :| z ? 1|? ; (2) C2 :| z ? 1|? ; (3) C3 :| z |? 3 , 的流量及环量。 2 2 20.某流动的复势为 f ( z ) ? 2 (二) 1.设函数 f ( z ) 在 0 ?| z |? 1 内解析,且沿任何圆周 C :| z |? r,0 ? r ? 1 的积分值为 零。问 f ( z ) 是否必须在 z ? 0 处解析?试举例说明之。 2.沿从 1 到-1 的如下路径求 ? c 1 dz . 2 (1)上半单位圆周; (2)下半单位圆周,其中 z 取主值支。 3.试证 ? z ?1 dz ? 8? ,其中 C 为圆周 | z ?1|? 2 。 c z ?1 4.设 a,b 为实数, s ? ? ? it (? ? 0) 时,试证 | ebs ? eas |?| s || b ? a | emax{a,b}?? . ? ?? 5.设在区域 D= D ? ? z | arg z |? ? ,内的单位圆周 | z ? 1|? 1 上任取一点 z,用 2? ? D 内曲线 C 连接 0 与 z ,试证 Re ? dz ? ? . 2 c 1? z 4 6.试计算积分 ? (| z | ?e c z sin z )dz 之值,其中 C 为圆周 | z |? a ? 0. 7.设(1) f ( z ) 在 | z |? 1 上连续; (2)对任意的 r (0 ? r ? 1) , ? 试证 | z| ? r f ( z )dz ? 0 , ? |z ? | 1 f ( z) d ? z 0 . 8 . 设 ( 1 ) 函 数 f ( z ) 当 | z ? z0 |? r0 ? 0 时 是 连 续 的 ; ( 2 ) M? 表 | f (z) | 在 (3) lim rM (r ) ? 0 。试证 Kr :| z ? z0 |? r ? r0 上的最大值; r ??? r ??? Kr lim ? f ( z )dz ? 0 . 提示:应用积分估值定理。 9.证明: (1)若函数 f ( z ) 在点 z ? a 的邻域内连续,则 lim ? r ? 0 | z ? a| ? r f ( z) dz ? 2? if (a ) ; z?a (2)若函数 f ( z ) 在原点 z=0 的邻域内连续,则 lim ? 2? r ?0 0 f (rei? )d? ? 2? f (0). 10.设函数 f ( z ) 在 | z |? 1 内解析,在闭圆 | z |? 1 上连续,且 f (0) ? 1 ,求积分 1 1 ? dz ? 2 ? ( z ? )? f ( z) ? ? 2? i | z|?1 ? z ? z 之值。 11.若函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,C 为 D 内以 a,b 为端点的直线段试证:存在 数 ? ,| ? |? 1,与 ? ? C 使得 f (b) ? f (a) ? ? (b ? a) f ?(? ) . 12.如果在 | z |? 1 内函数 f ( z ) 解析,且 | f ( z ) |? n 1 . 1? | z | 试证: | f ( n) ? 1? (0) |? (n ? 1)! ?1 ? ? ? e(n ? 1)!, (n ? 1, 2, ). ? n? n ,然后应用柯西高阶导数公式。 n ?1 提示:可取积分路径为圆周 C :| z |? 13.设在 | z |? 1 上函数 f ( z ) 解析,且 | f ( z) |? 1 , 试证: | f ? ( 0? ) |. 1 注:很清楚,由 f ( z ) ? z 知,这是可能的最好界。 14.设 f ( z ) 为非常数的整函数,又设 R,M 为任意正数。试证:满足 | z |? R 且 | f ( z) |? M 的 z 必存在。 提示:用反证法,并应用刘维尔定理。 15.已知 u ? v ? ( x ? y)( x2 ? 4xy ? y 2 ) ? 2( x ? y) ,试确定解析函数 f ( z ) ? u ? iv . 16. 设 (1) 区域 D 是有界区域, 其边界是周线或复周线 C; (2) 函数 f1 ( z ) 及 f 2 ( z ) 在 D 内解析,在闭域 D ? D ? C 上连续; (3)沿 C, f1 ( z) ? f2 ( z) ,试证:在整个 闭域 D 上, f1 ( z) ? f2 ( z) .