本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 代数平方差公式 定义 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,用字母表示为 。文字表达式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。此即平方差公式 [2] 。公式特征:左边为两个数的和乘以这两个数的差,即左边是两个二项式的积,在这两个二项式中有一项(a)完全相同,另一项(b与-b)互为相反数;右边为这两个数的平方差即右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。字母的含义:公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。 说明 当除式是两个数之和以及这两个数之差相乘时,积是二项式。这是因为具备这样特点的两个二项式相乘,积的四项中,会出现互为相反数的两项,合并这两项的结果为零,于是就剩下两项了。而它们的积等于乘式中这两个数的平方差,即 ,两数的和与这两数的差的积,就是它们的平方差,请看下列:[正推导平方差公式] [逆推导平方差公式] 变化形式 公式 有4种形式变化:位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 常见错误 平方差公式中常见错误:(注意)①学生难于跳出原有的定式思维,如典型错误;(错因:在公式的基础上类推,随意“创造”)②混淆公式;③运算结果中符号错误;④变式应用难以掌握。 注意事项 公式的左边是个两项式的积,有一项是完全相同的。右边的结果是乘式中两项的平方差,相同项的平方减去相反项的平方。公式中的a,b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式。 三角平方差公式 三角函数公式中,有一组公式被称为三角平方差公式: 这组公式是化积公式的一种,由于酷似平方差公式而得名,主要用于解三角形。 例题 一,利用公式计算(1) 解:原式 = = = = = (2) 解:原式 = = (3) 解:原式= (4) (5) (6) 解(1)中可以把3x看作a,2看作b, 即: (即为 )同样的方法可以完成(2)、(3)。如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征。比如(2)应先作如下转化: 。如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则。