定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积设旋转体是曲线y=f(x)(0,axb),直线x=a,x=b 轴旋转而生成.任取一微区间[x,x+dx],如图1.有P(x,y),Q(x+dx,y+Δ y),由弧微分中的讨论知: 轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA,线段PQ yds+o(dx),显然Δ +o(dx),故有从而旋转体的侧面积为 相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式,这里不列出了. 例18 求抛物线y =2px(0xa)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积. 由式得侧面积为 例19 轴旋转而成的环体的表面积.故对哪个半圆周都有 代入公式即得所求表面积为 弧长微分故表面积为 我们说过椭圆的周长不能准确计算,但椭圆的旋转面积却能准确算出来.当e 习题 29.求抛物线y =4x,直线x=8所围成图形绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积. 求旋转下列曲线所成曲面的面积 33.x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0t2π )分别绕x