(代数里也有关于复数的 "欧拉公式",
本页面讲的是关于几何和图表的欧拉公式)
欧拉公式
在一个不和自己交叉的多面体中,
面的个数加顶点(角)的个数减棱的个数
永远等于 2
公式可以写成这样:F + V − E = 2
以立方体为例:
立方体有 6面,8个顶点,和12条棱,
那么:
6 + 8 − 12 =2
要理解为什么是这样的,想象在立方体上加一条棱
(例如在其中一面上加一条对角线)。
这样便多了一条棱和一个面:
7+ 8 −13= 2
同样,如果加一个顶点
(例如在其中一条棱的中心),也会多了一条棱。
6 +9−13= 2.
"不管怎么样,答案都是 2"
(但只在这种多面体上成立……继续看下去!)
柏拉图固体例子
我们用五个柏拉图固体来试试看(注意:欧拉公式可以用来证明只可能存在五个柏拉图固体):
名称面(F)顶点(V)棱(E)F+V-E
四面体
4462
立方体
68122
八面体
86122
十二面体
1220302
二十面体
2012302
球体
所有柏拉图固体(和很多其他多面体)