提示:本文没有通性通法,只是做了一道题的小感想
阅读本文需要特征根的相关知识,具体内容可以参考:
顺便膜一下这个大佬orzzzzzzzzzz
这居然是一道某个不愿意透露姓名的高中的某催眠老师的数列作业题:
已知数列
满足:
,
,求
的通项公式.
本来以为这又是一道可以用特征根公式解决的小问题,结果定睛一看,是三阶递推……
是没见过的操作。
于是,两个人各自开始了自己的无聊之旅:
乱搞一通
做不出的时候就胡乱分析,比如先退一格然后减一减:
①
②
②-①后移项,稍加观察可以得到一个很有对称美感的式子(我才不会告诉你「胡乱分析」和「稍加观察」也花了我5分钟2333333)
这个看起来很像是一个累乘的好素材!
不难发现:
也就是……
这……是……个……等……差?那么爽的吗?
试一试开头几项,发现显然不可能是等差:
是哪里出了问题呢?花了5分钟检查推导过程以后,发现原来是因为n的取值范围问题:n只能是偶数。检验开头的几个偶数项,也满足这一条件。
如果偶数项有这样的结论,那么奇数就没有吗?稍微改变一下形式,我们可以发现
有
,n为奇数。检验
也满足该条件。
能不能把奇偶两种情况联系起来呢?
首先,为了方便研究,把递推公式写作如下形式:
把奇数的情况代入偶数的情况,不难发现:
,
把偶数的情况代入奇数,也有相似的结论。
因此,对于这个数列,我们有:
显然,要根据n的奇偶性分别求数列的通项。
此处略去特征根法求二阶递推数列通项的过程。得到最终结果(有点吓人):
由此,我们通过累乘和奇偶性分类把该数列降阶为二阶递推数列,并由此求出了该数列的通项。
做完后,去问亲爱的小朋友:“你分奇偶性了吗?”
答曰:“为什么要分类???”
于是获得了名场面:
特征根的高阶推广?
首先,对于三阶递推数列,
我们有和二阶递推数列类似的特征根方程
如果方程有三个不相等的实数根
,那么通项公式可以写作
,其中系数由给定的项决定,通常为前三项。
篇幅所限,此处略去证明。
猜测该数列有三阶递推公式
分别将
代入递推公式,使用