1 甜在心馒头店
公司楼下有家馒头店:
每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?
老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):
均值为:
按道理讲均值是不错的选择(参见“如何理解最小二乘法?”),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖,
的时间不够卖:
你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。
2 老板的思考
老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用
来表示:
然后把
的三个馒头(“甜在心馒头”,有褶子的馒头)按照销售时间放在线段上:
把
均分为四个时间段:
此时,在每一个时间段上,要不卖出了(一个)馒头,要不没有卖出:
在每个时间段,就有点像抛硬币,要不是正面(卖出),要不是反面(没有卖出):
内卖出3个馒头的概率,就和抛了4次硬币(4个时间段),其中3次正面(卖出3个)的概率一样了。
这样的概率通过二项分布来计算就是:
但是,如果把
的七个馒头放在线段上,分成四段就不够了:
从图中看,每个时间段,有卖出3个的,有卖出2个的,有卖出1个的,就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。
解决这个问题也很简单,把
分为20个时间段,那么每个时间段就又变为了抛硬币:
这样,
内卖出7个馒头的概率就是(相当于抛了20次硬币,出现7次正面):
为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”,干脆把时间切成
份:
越细越好,用极限来表示:
更抽象一点,
时刻内卖出
个馒头的概率为:
3
的计算
“那么”,老板用笔敲了敲桌子,“只剩下一个问题,概率
怎么求?”
在上面的假设下,问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为:
那么:
4 泊松分布
有了
了之后,就有:
我们来算一下这个极限:
其中:
所以:
上面就是泊松分布的概率密度函数,也就是说,在
时间内卖出
个馒头的概率为:
一般来说,我们会换一个符号,让
,所以:
这就是