证明 任给集合A,由子集的定义有 由于x为假,所以整个蕴涵式xxA对一切x为真,因此 推论空集是唯一的。 证明 假设存在空集 求A={a,b,c}的全部子集。解:将A的子集从小到大分类: 0元子集,即空集,只有1个:。 1元子集,即单元子集,有3个:{a},{b},{c}。 3元子集,有1个:{a,b,c}。定义:设A为集合,把A的全体子集构成的集合 叫做A的幂集,记作P(A)(或2 个元素。例如:A= 不产生歧义的对象的汇集一块便构成集合.集合常用枚举法: 湖大教学楼={复临,中楼,东楼,北楼,前进楼} 描述法:偶数集={除以2余为0的所有整数} 子集AB:A中的每个元素都是B的元素 幂集P(A)={A的所有子集的集合}=2 011={2,3}, 101={1,3},A 110 ={1,2},A 111 ={1,2,3} 集合的运算并,交,补(绝对补),差(相对补-),和对 称差等。 定义设A,B为集合,由A和B的所有元素组成的 集合称为A与B的并集,可表示为: 其文氏图:对于n个集合A 定义:设A,B为集合,由同时属于集合A和集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集, 可符号化表示为: 当两个集合的交集是空集时,称它们是不交的。下面例子中的B和C是不交的, 其文氏图如下: 定理:设A,B为集合,则下列交换律成立。 定理:设A,B,C为任意三个集合,则下列结合律成立。 证明用逻辑等价的方法证明(2) 对任意x, 所以(AB)C=A(BC)成立。 定理:设A,B为任意二个集合,则下列吸收律 成立。 证明集合等式的证明还可以利用一些集合恒等式证明。 (1)对任意x, A成立。定理:设A,B,C为任意三个集合,则下列分配律 成立。 证明用逻辑等价的方法证明。 (1)对任意x, 所以A(BC)=(AB)(AC)成立。(2)证明同(1)。 定义:设A,B为任意二个集合,由属于A但不属于B的 元素构成的集合,称为A和B的差,又称为集合B对于A 的补集或相对补集,记为AB。可符号化表示为: 其文氏图如下:A-B=A (2)证明同(1)。定义:设A,B为集合,由属于A而不属于B的所 有元素和属于B而不属于A的所有元素组成的集 合,称为集合A与B的对称差,记为AB。可符 号化表示为: 文氏图为:AB=(A-B)(B-A) 第三章集合与关系 1、AB={由同时属于A与B的元素组成} 2、AB={由属于A或属于B的元素组成} 3、A-B={由属于A但不属于B的元素组成} 4、A={全集U中不属于A的元素组成}=U-A 3.23.2 定义3.1.1 如果集合A中任何元素都是B的元素, 则A=B,即两个集合相等。名称 等式 恒等律 3.23.2 以下性质可根据相等定义得到,与命题逻辑性质一 证明对任意x, 证明利用集合恒等式证明 自然数集合包含无限多元素,用空集和后继集可 以把所有自然数定义为集合。 定义:设A是一集合,A的后继集A ={1,2,3}{{1,2,3}}={1,2,3,{1,2,3}} 例:对于空集,求(1) ,……。以这些集合为元素构成的集合{0,1,2,3,……}是自然数集合。 定义3.4.2 用空集和后继集(紧跟在n后面的自然数)可以把 所有自然数定义为集合,即 由此可见,任一个自然数都是一个集合的名称。 定义:设E是全集,集合A是E的子集,定义集合A的特征函数为: 根据特征函数的定义,可以得到一个长为n的0-1串表示集合A。 例:设E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={1,2,3,4,5},集合B={2,4,6,8,10},利用特征 函数表示集合A和B。 集合A的元素是1到5的整数,6到10的整数不属于集合A,用特征函数表示集合A为1111100000;集合B的元素是大于1且小于等于 10 的偶数,用特征函数值表示集合B为0101010101。 例:设E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={1,2,3,4,5},集合B={2,4,6,8,10},计算~A, 集合A可表示为1111100000,集合B可表示为0101010101。 因此,把1111100000的每一位取反得: 0000011111,即~A={6,7,8,9,10} AB表示为1111100000 1010101010=1010100000,所以,AB=A~B={1,3,5}。 第三章 集合与关系 1、|A|=集合A的元素数 2、例题:24人中(书上缺少此条件),会英=13、日=5、德=10、法=9,同时会英日有2人,会德、法、 英中任意二种有4人,会日语的不懂法德语,只会1 令同时会三种语言为x人,只会英为y1,只会法为y2, 只会德语y3 y1+2+4-x+x+4-x=13 y2+4-x+4-x+x=9 y3+2(4-x)+x=10 y1+y2+y3+3+2+3(4-x)+x=24 y1y2 y3 4-x4-x 4-x 5-2 y1=4,y2=2, y3=3 因为公共部分算了两次!例:A1={蓝球队}=10,A2={足球队}=13,双重身份球员3 人,请问这二个球队总共多少人? +(-1)n-1 +(-1)n-1 加奇数个集合相交-偶数集合相交例题:设校足球队的球衣有38件,蓝球有15件,排球有20 件,三队总数为58人,3个同时参加3队,请问同时参加 二队有多少? |=18例题在[1,300]整数中能被3或5或7整除的整数的个数。 解:A3示能被3整除的数,A5能被5整除,A7能被7整除. 能被3整除的个数:|A3|=300/3=100 能被5整除的个数:|A5|=300/5=60 能被7整除的个数:|A7|=300/7=42 能被3与5同时整除的个数:|A3A5|=300/15=20 能被3与7同时整除的个数:|A3A7|=300/21=100/7=14 能被5与7同时整除的个数:|A5A7|=300/35=60/7=8 能被3、5、7同时整除的个数:|A3A5A7|=2 能被3或被5或被7整除的个数:|A3A5A7| =|A3|+|A5|+|A7|-|A3A5|-|A3A7|-|A5A7|+|A3A5A7| =100+60+42-20-14-8+2 =162 第三章 集合与关系 序偶和有序n元组 定义 由两个元素a和b按一定的顺序排列成的二 元组叫做一个有序对(也称序偶),记作(a,b), 其中a是它的第一元素,b是它的第二元素。 一般说来有序偶具有以下特点: 两个有序偶相等,即(a,b)=(c,d)的充分必要条 nn定义由n个元素a 按一定的顺序排列成的一个序列(a ),称为有序n元组,其中a 元素。例如n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组,(1,2,5),(1,2,3)等是三维空间直角 坐标系中点的坐标。 ,i=1,2,…,n。定义3.4.1 将具有次序的两对象写在一块,称为序偶即有秩序 的二个对象,记为或。 如:,,,,定义3.4.2 序偶,a代表操作码,b代表地址码,显然来自两个不同的集合。 定义3.4.3 食堂,教室>。定义3.4.4 如果是n-1 元组,而