拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方程。偏微分算子或(可以在任意维空间中定义这样的算子)称为拉普拉斯算子。拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域内定义的函数φ,使得在的边界上等于某给定的函数。为方便叙述,以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍:固定区域边界上的温度(是边界上各点位置坐标的函数),直到区域内部热传导使温度分布达到稳定,这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域边界处的温度函数φ本身,而是φ沿的边界法向的导数。从物理的角度看,这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果(对热传导问题而言,这种效果便是边界热流密度)。拉普拉斯方程的解称为调和函数,此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数,如果它们都满足拉普拉斯方程(或任意线性微分方程),这两个函数的任意线性组合同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将各种通解线性组合起来,以满足所有边界条件。