以下是公理化定义:设随机实验E的样本空间为Ω。若按照某种方法,对E的每一事件A赋于一个实数P(A),且满足以下公理:(1)非负性:P(A)≥0;(2)规范性:P(Ω)=1;(3)可列(完全)可加性:对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,……,An,……,有,则称实数P(A)为事件A的概率。设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA,若当试验次数n很大时,频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动,且随着试验次数n的增加,其摆动的幅度越来越小,则称数p为随机事件A的概率,记为P(A)=p。事件包括单位事件、事件空间、随机事件等。在一次随机试验中可能发生的唯一的,且相互之间独立的结果被称为单位事件,用e表示。在随机试验中可能发生的所有单位事件的集合称为事件空间,用S来表示。例如在一次掷骰子的随机试验中,如果用获得的点数来表示单位事件,那么一共可能出现6个单位事件,则事件空间可以表示为S={1,2,3,4,5,6}。 上面的事件空间是由可数有限单位事件组成,事实上还存在着由可数无限以及不可数单位事件组成的事件空间,比如在一次直到获得国徽面朝上的随机掷硬币试验中,其事件空间由可数无限单位事件组成,表示为:S={国,数国,数数国,数数数国,数数数数国,···},注意到在这个例子中"数数数国"是单位事件。将两根筷子随意扔向桌面,其静止后所形成的交角假设为α,这个随机试验的事件空间的组成可以表示为。随机事件是事件空间S的子集,它由事件空间S中的单位元素构成,用大写字母A,B,C...表示。例如在掷两个骰子的随机试验中,设随机事件A="获得的点数和大于10",则A可以由下面3个单位事件组成:A={(5,6),(6,5),(6,6)}。 如果在随机试验中事件空间中的所有可能的单位事件都发生,这个事件被称为必然事件,表示为;相应的如果事件空间里不包含任何一个单位事件,则称之为不可能事件,表示为。事件的计算因为事件在一定程度上是以集合的含义定义的,因此可以把集合计算方法直接应用于事件的计算,也就是说,在计算过程中,可以把事件当作集合来对待。A的补集不属于A的事件发生联集A∪B或者A或者B或者A,B同时发生交集A∩B事件A,B同时发生差集A\B不属于B的A事件发生)空集A∩B=∅A,B事件不同时发生子集B⊆A如A发生,则B也一定发生在轮盘游戏中假设A代表事件“球落在红色区域”,B代表事件"球落在黑色区域",C代表事件"球落在绿色区域",因为事件A和B没有共同的单位事件,因此可表示为概率P(AB)=0。注意到事件A和B并不是互补的关系,因为在整个事件空间S中还有一个单位事件C,其即不是红色也不是黑色,而是绿色,因此A,B的补集应该分别表示如下:以及。条件概率一事件A在一事件B确定发生后会发生的概率称为B给之A的条件概率;其数值为(当时)。若B给之A的条件概率和A的概率相同时,则称A和B为独立事件。且A和B的此一关系为对称的,这可以由一同价叙述:“当A和B为独立事件时,P(A∩B)=P(A)P(B)”看出。人们普遍认为,对将要发生的机率的一种不好的感觉,或者说不安全感(俗称“点背”)是实际存在的。下面列出的几个例子可以形象阐述人们有时对机率存在的错误的认识:(1)六合彩:在六合彩(49选6)中,一共有13983816种可能性,普遍认为,如果每周都买一个不相同的号,最晚可以在13983816/52(周)=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的,因为每次中奖的机率是相等的,中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。(2)生日悖论:在一个足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员),不可思议的是,在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。(3)轮盘游戏:在游戏中玩家普遍认为,在连续出现多次红色后,出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的,即出现黑色的机率每次是相等的,因为球本身并没有“记忆”,它不会意识到以前都发生了什么,其机率始终是18/37。(4)三门问题:在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中,在参赛者的对面有三扇关闭的门,其中只有一扇门的后面有一辆汽车,其它两扇门后是山羊。游戏规则是,参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门,但是这扇门仍保持关闭状态,紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门,这时主持人问参赛者,要不要改变主意,选择另一扇门,以使得赢得汽车的机率更大一些?正确结果是,如果参赛者改变初衷,他的中奖概率将变成2/3。因为打开山羊门的那一刹那,本来的选择结果已经从1/3几率变到了1/2几率,如果改变初衷此时将是1/2中奖的几率。有三种可能的情况,全部都有相等的可能性(1/3)︰参赛者挑山羊一号,主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。参赛者挑山羊二号,主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。参赛者挑汽车,主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。在头两种情况,参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。