标准形式的抛物线方程

原点顶点:
y2= 4ax(向右打开,a> 0)
y2= -4ax(向右打开,a> 0)
x2= 4ay(打开,a> 0)
x2= -4ay(打开,a> 0)
在(h,k)处的顶点:
(y-k)2= 4a(x-h)(向右打开,a> 0)
(y-k)2= -4a(x-h)(向右打开,a> 0)
(x-h)2= 4a(y-k)(打开,a> 0)
(x-h)2= -4a(y-k)(打开,a> 0)

顶点形式的抛物线方程

原点顶点:
y =轴2(打开,a> 0)
y = -ax2(打开,a> 0)
x = ay2(向右打开,a> 0)
x = -ay2(向左打开,a> 0)
在(h,k)处的顶点:
y = a(x-h)2+ k(打开,a> 0)
y = -a(x-h)2+ k(打开,a> 0)
x = a(y-k)2+ h(向右打开,a> 0)
y = -a(y-k)2+ h(向左打开,a> 0)

截距形式的抛物线方程

y = a(x-p)(x-q)(打开,a> 0)
y = -a(x-p)(x-q)(打开,a> 0)
x = a(y-p)(y-q)(向右打开,a> 0)
x = -a(y-p)(y-q)(向左打开,a> 0)

一般形式的抛物线方程

y =轴2+ bx + c(打开,a> 0)
y = -ax2+ bx + c(打开,a> 0)
x = ay2+ by + c(向右打开,a> 0)
x = -ay2+ by + c(向左打开,a> 0)

解决的问题

问题1:
找到抛物线的标准形式方程,该方程的原点为顶点,焦点为(0,1)。
解决方案:
在xy平面上绘制顶点(0,0)并聚焦(0,1)。
抛物线的起点是顶点。
以原点顶点打开的抛物线的标准形式方程式:
x2= 4ay
顶点与焦点之间的距离为1个单位。
即a = 1。
x2= 4(1)y
x2= 4y
问题2:
求出抛物线的标准形式方程,其顶点位于(2,-1),焦点位于(-1,-1)。
解决方案:
在xy平面上绘制顶点(0,0)并聚焦(0,1)。
抛物线在(2,-1)处向左敞开。
在(h,k)处向左敞开的抛物线的标准方程式:
(y-k)2= -4a(x-h)
顶点(h,k)=(2,-1)。
(y + 1)2= -4a(x-2)
顶点与焦点之间的距离为3个单位。
即a = 3。
(y + 1)2= -4(3)(x-2)
(y + 1)2= -12(x-2)
问题3:
找到抛物线的顶点形式方程:
向左或向右打开,顶点(0,0),通过(-16,2)
解决方案:
抛物线的顶点形式方程,在原点处向左或向右打开顶点:
x = ay2
它通过(-16,2)。替换(x,y)=(-16,2)。
-16 = a(2)2
-16 = a(4)
将每一边除以4。
-4 = a
抛物线的顶点形式方程:
x = -4y2
问题4:
找到抛物线的顶点形式方程:
向左或向右打开,顶点(-1,-2),通过(11,0)
解决方案:
抛物线的顶点形式方程,其顶点在(h,k)处向左或向右打开:
x = a(y-k)2+ h
顶点(h,k)=(-1,-2)
X = A(Y + 2)2- 1
它通过(11,0)。替换(x,y)=(11,0)。
11 = A(0 + 2)2- 1
11 = A(2)2- 1
11 = 4a-1
每边加1。
12 = 4a
将每一边除以4。
3 =一个
抛物线的顶点形式方程:
X = 3(Y + 2)2- 1
问题5:
写出如下所示的抛物线的截距形式方程。
解决方案:
上述抛物线的截距形式方程:
y = a(x-p)(x-q)
因为x截距是(-1,0)和(2,0),
x = -1 -----> x + 1 = 0
x = 2 -----> x-2 = 0
然后,
y = a(x +1)(x-2)
它通过(0,-4)。替换(x,y)=(0,-4)。
-4 = a(0 +1)(0-2)
-4 = a(1)(-2)
-4 = -2a
将每一边除以-2。
2 =一个
抛物线的截距形式方程:
y = 2(x +1)(x-2)
问题6:
找出一般形式的抛物线方程:
向上或向下打开,顶点(3,1),通过(1,9)
解决方案:
首先,找到顶点形式的抛物线方程,然后将其转换为一般形式。
抛物线的顶点形式方程,其顶点在(h,k)处打开或向下:
y = a(x-h)2+ k
顶点(h,k)=(3,1)。
y = a(x-3)2+1
它通过(1,9)。替换(x,y)=(1,9)。
9 = a(1-3)2+1
9 = a(-2)2+1
9 = 4a +1
每边减去1。
8 = 4a
将每一边除以4。
2 =一个
抛物线的顶点形式方程:
y = 2(x-3)2+1
将上述顶点形式方程转换为一般形式。
y = 2 [x2-2(x)(3)+ 32]+ 1
Y = 2(X2- 6X + 9)+ 1
分发。
Y = 2×2- 12倍+ 18 + 1
Y = 2×2- 12倍+ 19
问题7:
用顶点形式写出抛物线的以下一般形式方程。
Y = 3×2- 18倍+ 29
解决方案:
Y = 3×2- 18倍+ 29
Y = 3(X2- 6×)+ 29
Y = 3 [X2- 2(X)(3)+ 32- 32] + 29
Y = 3 [(X - 3)29] + 29
Y = 3(X - 3)2- 27 + 29
y = 3(x-3)2+ 2