在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.函数 y = A. {x x ≥ 0} ( ?∞,1] ∪ [ 2, +∞ ) x( x ? 1) + x 的定义域为( B. {x x ≥ 1} ) D. {x 0 ≤ x ≤ 1} (文)若不等式 x ? x ≤ 0 的解集为 M ,函数 f ( x) = ln(1 ? x ) 的定义域为 N ,则 M ∩ N 为( A. [ 0,1) ) B. ( 0,1) C. [ 0,1] D. ( ?1,0] ) C. {x x ≥ 1} ∪ {0} ) 2.等比数列 {an } 中, a5 = 4, a7 = 6 ,则 a9 = ( A.8 B.9 C.-8 D. -9 8.(理)函数 f ( x ) = x + 1 + x 2 ( x ≤ 0) 的反函数 f ?1 ( x ) 是( ) 3.(理)已知 a = 1, b = 6 , a ? (b ? a ) = 2 ,则向量 a 与 b 的夹角是( A. r r r r r r r π 6 4 3 2 r r r r r r (文)已知向量 a = (1,1), b = (2, x ) ,若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是( A.-2 B.0 4.下列命题正确的是( A.若 a > b ,则 a > b 2 2 B. π C. π D. π x2 + 1 x2 + 1 ?1 A. f ( x ) = ( x ≥ 1) B. f ( x) = (0 < x ≤ 1) 2x 2x ?1 C. f ?1 ( x ) = ) x2 ? 1 ( x ≥ 1) 2x D. f ?1 ( x ) = x2 ? 1 (0 < x ≤ 1) 2x x ? 1 ,则 f (2) = ( D.10 ) ) C.1 ) B.若 D.2 (文)已知函数 y = f ( x) 的反函数 f ?1 ( x ) = A.1 B.3 C.5 1 1 > ,则 a < b a b b ,则 a < b ) C.直线过圆心 D.相离 ) 9.直线 x cos α + 3 y + 2 = 0 ( α ∈ R )的倾斜角范围是( A. ? 0, ? ∪ ? ,π ? ? 6? ? 6 ? C.若 ac > bc ,则 a > b D.若 a < ? π? ? 5π ? 5.直线 y = x + 1 与圆 x 2 + y 2 = 1 的位置关系是( A.相切 B.相交但直线不过圆心 B. ? ? π π ? ? π 5π ? , ?∪? , ?6 2 ? ? 2 6 ? ? 4π 6.(理)如果函数 y = 3cos(2 x + ? ) 的图像关于点 ( , 0) 对称,那么 ? 的最小值为( 3 A. C. ? 0, ? 5π ? ? 6 ? ? D. ? ? π 5π ? , ?6 6 ? ? π 6 B. π 4 C. π 3 ) D. π 2 10.椭圆 x 2 + my 2 = 1 的离心率为 3 ,则 m 的值为( 2 C. ) (文)函数 f ( x ) = sin x + cos x 的最小正周期是( A.2 或 1 2 B.2 1 或4 4 D. 1 4 1 x2 y2 11.已知 a > 1 ,则双曲线 2 ? = 1 的离心率 e 的取值范围是( a (a + 1) 2 A. ( 2, 2) B. ) (1)求 sin C 的值; (2)求 ABC 的面积。 ( 2, 5 ) C. ( 2,5 ) D. 2, 5 ( ) ; 18. (12 分) (文)解关于 x 的不等式 ax 2 ? (2a + 1) x + 2 < 0 ( a > 0 ) (理)已知 f ( x ) = lg( x + 1), g ( x ) = 2 lg(2 x + t ) ( t ∈ R , t 是参数) (1)当 t = ?1 时,解不等式 f ( x ) ≤ g ( x) ; (2)如果当 x ∈ [ 0,1] , f ( x ) ≤ g ( x) 恒成立,求参数 t 的取值范围。 19.(12 分)在数列 {an } 中,已知 a1 = 2, an +1 = ?x ? y +1 ≥ 0 ? x+2 y 12.若实数 x, y 满足 ? x + y ≥ 0 ,则 z = 3 的最小值是( ?x ≤ 0 ? A.0 B.1 C. 3 D.9 ) 二.填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.设函数 f ( x ) = 2 an (n ∈ N ? ) , an + 1 ( x + 1)( x + a ) 为奇函数,则 a = ______________。 x (文) (1)求 a2 , a3 的值; (2)求证: { 14.设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,Sn = a1 (3n ? 1) (n ≥ 1) , a4 = 54 , a1 的数值是______。 且 则 2 1 ? 1} 为等比数列。 an 1 ? 1} 为等比数列; an 15.(理)已知抛物线 y = ? x 2 + 3 上存在关于直线 x + y = 0 对称的相异两点 A, B , 则 (理) (1)求证: { AB = __________。 (文)抛物线 y = 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是__________。 16.给出以下命题: ①命题“存在 x ≥ 0 ,使得 x + 1 > 3 x ”的否定是“对任意的 x ≥ 0 ,都有 x + 1 ≤ 3 x ” ; 2 2 (2)求证:1< an ≤2 20. 12 分) ( 已知双曲线 C : x2 y2 3 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 3 , 右准线方程为 x = , 2 a b 3 (1)求双曲线 C 的方程; ②若 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图像关于 A(1, 0) 对称; ③若直线 l 的倾斜角为 α ,则其斜率为 tan α ; ④ x ∈ (0, (2)已知直线 x ? y + m = 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,且线段 AB 的中点在圆 π 2 ) ,函数 y = sin x + 2 2 的最小值是 2 2 ; sin x 2 x 2 + y 2 = 5 上,求 m 的值。 21.(12 分)已知椭圆 C 中的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 ⑤若函数 f ( x ) = log 3 ( ? x + 2mx ? m + 36) 在区间 [ -3,) 上是减函数,则 ?4 ≤ m ≤ ?3, 其 2 中正确命题的序号是______________。 三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分 y= 1 2 2 5 x 的一个焦点,且椭圆的离心率等于 , 4 5 4 17.(10 分)在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B = , cos A = , b = 3 3 5 2 π (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, y 轴于 M 点, MA = λ1 AF , 交 若 uuur uuu r uuur uuu r MB = λ2 BF ,求证: λ1 + λ2 为定值。 22.(12 分) (文)设 x = 1 和 x = 2 是函数 f ( x) = x + ax + bx + 1 的两个极值点, 5 3 (1)求 a 和 b 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间。 (理)若存在常数 k 和 b ,使得函数 f ( x) 和 g ( x) 对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f ( x) ≥ kx + b 和 g ( x) ≤ kx + b ,则称直线 l : y = kx + b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直线”已 知 h( x) = x 2 , ? ( x) = 2e ln x 。 (1) 求 F ( x) = h( x) ? ? ( x) 的极值; 函数 h( x) 和 ? ( x) 是否存在隔离直线?若存在,求出隔离直线方程;若不存在,请 说明理由。 (2) 3 秦安一中 2009—2010 学年度第一学期高三第二轮检测试题 解得: x ≥ 5 5? ? ∴原不等式的解集为 ? x x ≥ ? 4 4? ? (6 分) 数学答案 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, (2)当 x ∈ [ 0,1] 时, f ( x ) ≤ g ( x) 恒成立,即当 x ∈ [ 0,1] 时, 1 2 3理 3文 4 5 6理 6文 7理 7文 8理 8文 9 10 11 12 ?x +1 > 0 ? 恒成立 ?2 x + t > 0 ? 2 ? x + 1 ≤ (2 x + t ) (8 分) C B C D D B A D A A D C A C B B 只有一项是符合题目要求的。 二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. -1 14. 2 15. (理) ?x +1 > 0 ? 恒成立 ∴当 x ∈ [ 0,1] 时, ? x > ?2t ? ?t ≥ ?2 x + x + 1 ,即当 x ∈ [ 0,1] 时, t ≥ ?2 x + 于是转化为求 ?2 x + 令u = x + 1 恒成立 (10 分) 3 2 15 15. (文) 16 16.①②⑤ x + 1 的最大值问题: 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分 17.(10 分) x + 1, 则 x = u 2 ? 1 ,当 x ∈ [ 0,1] 时, u ∈ ?1, 2 ? ? ? 4 2π 3 (1)因为 A, B, C 为 ?ABC 的内角,且 B = , cos A = ,所以 C = ? A ,sin A = 3 5 3 5 π 1 17 ?2 x + x + 1 = ?2(u 2 ? 1) + u = ?2(u ? )2 + ,当 u = 1 ,即 x = 0 时, 4 8 ?2 x + x + 1 有最大值 1,∴ t 的取值范围是 t ≥ 1 (12 分) 2π 3 1 3+ 4 3 于是 sin C = sin( ? A) = cos A + sin A = 3 2 2 10 (2)由正弦定理得 a = (5 分) b sin A 6 = sin B 5 (文) (12 分)原不等式可化为: (ax ? 1)( x ? 2) < 0 (10 分) 即 a ( x ? 2)( x ? ) < 0 因为 a > 0 ,所以 ( x ? 2)( x ? ) < 0 当0 < a < (3 分) 当a = 1 1 6 3 + 4 3 36 + 9 3 于是 ?ABC 的面积 S = ab sin C = × × 3 × = 2 2 5 10 50 18.(12 分)(理) 1 a (4 分) (1)已知 t = ?1 时, f ( x ) ≤ g ( x) ,即 lg( x + 1) ≤ 2 lg(2 x ? 1) ,此不等式等价于: 1 a (6 分) ?x +1 > 0 ? ?2 x ? 1 > 0 ? 2 ? x + 1 ≤ (2 x ? 1) 1 1 时,不等式的解集是: {x 2 < x < } ; 2 a 1 时,不等式的解集是: 2 φ 4 当a > 1 时,不等式的解集是: 2 ? 1 ? ? x < x < 2? ? a ? 因为点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 + y 2 = 5 上,所以 m 2 + (2m) 2 = 5 ,故 m = ±1 (12 分) 21.(12 分) (12 分) 19.(理) (12 分) (1)由 an +1 = 2 an 1 1 1 1 1 1 1 1 ,得 = + ,即 ? 1 = ( ? 1) ,又 ? 1 = ? , an + 1 an 2 2an an +1 2 an a1 2 (1)设椭圆 C 的方程为 x2 y2 + = 1(a > b > 0) ,则由题意知 b = 1 a2 b2 (2 分) ?1 ? 1 1 ∴数列 ? ? 1? 是首项为 ? ,公比为 的等比数列 2 2 ? an ? 1 2n ? 1 (2)由等比数列的通项公式得: = n , an 2 Q n ≥ 1 时, 2 ≥ 2 , 2 ? 1 ≥ 1 ,∴ 1 < an ≤ 2 n n 即 1? (6 分) 1 2 5 2 = ,∴ a = 5 2 a 5 x2 + y2 = 1 5 (5 分) 1 an = 1 + n 2 ?1 (12 分) ∴ 椭圆 C 的方程为 (6 分) (2) 设 A, B, M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), M (0, y0 ) , 由(1)知 F 点的坐标是 (2, 0) , Q MA = λ1 AF ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 (2 ? x1 , ? y1 ) (4 分) (12 分) uuur uuu r (文) (1) a2 = (2)同理(1) 20(12 分) 4 8 , a3 = 3 7 ∴ x1 = 2λ1 1 + λ1 y1 = y0 1 + λ1 (8 分) ?a 3 ? = ? 3 (1)由题意得 ? c ?c = 3 ?a ? 2 将 A 点的坐标代人到椭圆 C 的方程中得: ( 2 λ12 + 10λ1 + 5 ? 5 y0 = 0 y 1 2λ1 2 ) + ( 0 ) 2 = 1 ,去分母整理得: 5 1 + λ1 1 + λ1 (10 分) (2 分) y2 解得 a = 1 , c = 3 , b = 2 所以双曲线的方程为: x ? =1 2 2 2 (6 分) 同理由 MB = λ2 BF 可得: λ2 + 10λ2 + 5 ? 5 y0 = 0 2 2 2 ∴ λ1 , λ2 是方程 x 2 + 10 x + 5 ? 5 y0 = 0 的两个歌。∴ λ1 + λ2 = ?10 uuur uuu r (2)设 A, B 两点的坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , (12 分) ?x ? y + m = 0 ? 2 2 由 ? 2 y2 得 x ? 2mx ? m ? 2 = 0 =1 ?x ? ? 2 x + x2 所以 x0 = 1 = m , y0 = x0 + m = 2m 2 22.(理) (12 分) (8 分) (1)Q F ( x ) = h( x ) ? ? ( x ) = x 2 ? 2 x ln x ( x > 0) ∴ F ' ( x) = 2 x ? (10 分) 2e 2( x ? e )( x + e ) ,当 x = e 时, F ' ( x ) = 0 = x x (3 分) 5 Q 当 0 < x < e 时, F ' ( x) < 0 ,此时 F ( x) 递减; 当x> 1 , 由题意 f (1) = 5 + 3a + b = 0 ,f (2)= 2 ×5+ 2 ×3a + b =0(4 分) 1 4 2 e 时, F ' ( x) > 0 ,此时 F ( x) 递增 (6 分) 解得: a = ? 25 , b = 20 3 ' 4 (6 分) 2 2 2 ∴ 当 x = e 时, F ( x) 取极小值,其极小值为 0 (2)由(1)可知函数 h( x ) 和 g ( x ) 在 x = 的隔离直线,则该直线过这个公共点。 设隔离直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? e = k ( x ? e ) , 即 y = kx + e ? k e ,由 h( x ) ≥ kx + e ? k e ( x ∈ R ) , 可得 x ? kx + e ? k e ≥ 0 ,当 x ∈ R 时恒成立。 2 (2)由(1)知 f ( x ) = 5 x ? 25 x + 20 = 5( x ? 1)( x ? 4) e 处有公共点,因此若存在 h( x) 和 ? ( x) = 5( x + 1)( x + 2)( x ? 1)( x ? 2) 当 x ∈ ( ?∞, ?2) ∪ ( ?1,1) ∪ (2, +∞ ) 时, f ' ( x ) < 0 因此 f ( x ) 的单调递减间是 ( ?∞, ?2), ( ?1,1)(2, +∞) (8 分) f ( x) 的单调递增区间是 (?2, ?1), (1, 2) (12 分) Q ? = ( k ? 2 e ) 2 ,∴ 由 ? ≤ 0 得 k = 2 e 下面证明 ? ( x) ≤ 2 ex ? e 在 x > 0 时恒成立。 令 G ( x ) = ? ( x ) ? 2 ex + e = 2e ln x ? 2 ex + e 则当 G ( x ) = ' (8 分) 2e 2 e ( e ? x) ?2 e = ,当 x = e 时, G ' ( x ) = 0 x x Q 当 0 < x < e , G ' ( x) > 0 ,此时函数 G ( x) 递增; 当x> e 时, G ' ( x) < 0 ,此时函数 G ( x) 递减; (10 分) ∴ 当 x = e 时, G ( x) 取最大值,其最大值为 0 从而 G ( x ) = 2e ln x ? 2 ex + e ≤ 0 ,即 ? ( x ) ≤ 2 ex ? e( x > 0) 恒成立 ∴ 函数 h( x) 和 ? ( x) 存在唯一的隔离直线: y = 2 ex ? e (12 分) (文) (1) f ' ( x ) = 5 x 4 + 3ax 2 + b (2 分) 6