线性空间
向量空间
定义:
设$v$为$n$维向量的集合,如果集合$v$非空,且集合$v$对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合$v$为向量空间
向量组的秩
线性组合与线性表示
向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m $线性表示的充分必要条件是:
$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_mx_m=\beta$有解
线性相关及线性无关
性质
包含零向量的任何向量组线性相关;有两个向量相等的向量组线性相关;单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关;两个向量对应分量成比例,线性相关基本向量组或单位坐标向量组线性无关
定理
$n$维向量组$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$线性相关,若$n=m$则$|A|=0$$n$维向量组$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$线性无关,若$n=m$则$|A|\neq0$部分相关则整体相关整体无关则部分无关n维向量组线性无关,把每个向量的维数增加后,得到的新向量组仍线性无关n维向量组线性相关,把每个向量的维数增加后,得到的新向量组仍线性相关向量组 $A(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$线性无关,而向量组$B(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta)$线性相关,则向量$\beta$必能由向量组$A$线性表示且表示式唯一$m>n$时,$m$个$n$维向量必线性相关.