极值点,最值点,驻点和拐点,都是微积分中的概念。
注意:分段函数也是一个函数,分段函数并不是多个函数。
极值点
极值的定义从x点的某领域展开,在这个领域内,f(x)的值总是大于等于其它值,或者小于等于其它值,x点就是一个极值点;
在极值的定义中,并没有约定极值点一定是函数的连续点;
在极值的定义中,存在等于符号,这表示如果在x的某领域内,函数是一个常数函数,x也是一个极值点;这时,x既是极大值,也是极小值;
在某区间,函数如果严格单增单减,没有极值点;
极值点的存在,一定需要某领域,领域意味着这个点左右两边还有一块定义域;
极值点可以可导,也可以不可导,没关系;
如果极值点可导,其导数等于零。
极值点的第一充分条件
函数在点x处连续,在x的某去心领域内可导,如果导数在x点左右领域内反号,即一正一负(不能等于零),x比为极值点。
至于是极大值点还是极小值点,看看左右两边导数的正负情况。
x点处连续可导,x点是极值点,但是不能推导出x点左右领域导数反号;左右导数反号只是一个充分条件,并不是必要条件。
极值点的第二充分条件
x点二阶可导,x一阶导数等于零,x二阶导数不等于零:
二阶导数大于零,x为极小值;
二阶导数小于零,x为极大值;
这也只是个极值的充分条件。
最值点
最值就是最大值和最小值;在定义中,最值的比较有等号;
取到最值的点,就是最值点,定义中并没有约定最值点一定是函数的连续点;
根据我们讨论最值的区间,有的时候,可以没有最值点;(极值点和最值点可以同时不存在,比如在无穷区间单增单减的函数)
最值点可能是极值点,也可能是闭区间的端点;
如果最值点的取得不再闭区间的端电上,这个最值点同时也是一个极值点;
最值点可以可导,也可以不可导,没关系;
如果最值点可导,最值点如果不取区间端点,其导数和极值点一样,等于零;如果最值点去区间端点处,函数在此点只是单侧可导,导数不一定等于零。
驻点
驻点,也叫稳定点或临界点;
驻点的定义是函数一阶导数等于零的点;
从驻点的定义可以看出,驻点一定是一个可导点,并且导数等于零,因此驻点一定是函数的连续点;
极值点和最值点都有可能是驻点,在这些点都可导