A.24 B.28 C.36 D.48
解析:对于一些比较复杂的容斥问题建议画出维恩图,然后套用三集合的标准形式或者非标准形式进行解题。
代入三集合容斥原理标准形式:72=36+28+6x-2x-2x-10+x,解得x=6,所以参加了学校法律援助协会的人有6x=36人,答案选C。
3.(2018年421联考安徽卷第38题)一个班级组织跑步比赛,共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人,报名参加100米比赛的有27人,参加200米比赛的有25人,参加400米比赛的有21人。如果每人最多只能报名参加2项比赛,那么该班最多有多少人未报名参赛?
A.11 B.12 C.13 D.14
解析:很明显这是一道三集合的容斥问题。根据题意:总人数=报名参加比赛的人+未报名参加比赛的人。所以要使未报名参加比赛的人最多,那么报名参加比赛的人应该最少。而题目中说“每人最多只能报名参加两项比赛”,即不存在参加三项比赛都参加的人。
由此,最理想的情况是所有人都参加两项比赛时,参加比赛的人数是最少的(理解这一点在容斥问题中非常重要,当所有人都参加一项时,参加比赛的人数最多;当所有人都尽可能参加比赛时,参加比赛的人数最少)。
如果所有人都参加两项比赛,人数为(27+25+21)/2=36.5,求最少,向上取整为37。(求最少,向上取整;求最多,向下取整)。
所以未报名参赛的人数有50-37=13人。答案选C。
4.(2018年421联考安徽卷第35题)联欢会上,有24人吃冰淇淋、30人吃蛋糕、38人吃水果,其中既吃冰淇淋又吃蛋糕的有12人,既吃冰淇淋又吃水果有16人,既吃蛋糕又吃水果的有18人,三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西,那么只吃一样东西的人数是多少?
A.12 B.18 C.24 D.32
解析:根据题目画出维恩图:
由题目可知,只吃冰淇淋又吃水果的有10人,只吃冰淇淋又吃蛋糕的有6人,只吃蛋糕又吃水果的有12人,所以分别计算只吃冰淇淋的人数为24-10-6-6=2人,只吃蛋糕的人数为30-6-6-12=6人,只吃水果的人数为38-10-6-12=10人,只吃一样东西的人数为2+6+10=18人。
答案选B。

三.小结

1.容斥问题类型较为单一,简单问题直接列式,复杂问题先画图,再列式。
2.容斥问题的两集合公式:
(非A且非B=0)。
3.容斥问题的三集合公式:
标准形式:
(非A且非B且非C=0)。
非标准形式:
(非A且非B且非C=0)。
4.学会画两集合问题和三集合问题的维恩图。
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