高中数学必修二优质学案高效专题 球的体积和表面积 1、一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球 面上,则此球的表面积是( ) A、3 ? B、4? C、3 3 ? D、6? 2.已知正方体 ABCD ? A'B'C'D' 棱长为 1,顶点 A,B,C,D 在 半球的底面内,顶点 A',B',C',D' 在半球球面上,则此半球的 体积是 ( ) A. 3 ? 6 B. 2 ? 2 C. 3 ? 2 D. 6 ? 2 3.若球的体积与其表面积相等,则球的半径为( ). A.1 B.3 C.2 D.1 2 4.直径为 10cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直 径为 2cm 的小球,如果不计损耗,则可铸成这样的小球的个 数为( ). A.110 B.115 C.120 D.125 5.棱长为 a 的正方体的内切球的表面积等于_________. 6.圆柱形容器的内壁底面半径为 5cm,两个直径为 5cm 的小球浸没于容器中,若同时取出这两个小球,则是水面下 降_________. 高中数学必修二优质学案高效专题 答案提示: 1、A. 解析: 对于本题,若直接去想图画图,则不利于解答。 但若把问题特殊化,在如右图所示的正方体模型C中去找图, 将四棱锥 S— ABC 置放于正方体中,由正方体的性质和已知条件 可知,正方体的棱长是 1,所以,正方体的S 对角线长 是 3 ,由于正方体外接球的直径与正方体的对角线 长相等,故,此球的表面积 S=4? ( 3 )2 =3? ,所以应选 A。 2 B 2. D. 依题意,正方体底面 ABCD的中心 O 即为球心, A 所以球的半径 R ? A'O ? 1 ? ( 2 )2 ? 6 , 2 2 所以半球的体积为 1 ? 4 ? ? ( 6 )3 ? 6 ? . 23 2 2 3.B. 由于 4 ? R3 = 4? R2 ,解得 R = 3. 3 4.D. 由 4 ? ?53 =n? 4 ? ?13,解得 n=125. 3 3 5.因为内切球的直径等于正方体的棱长, 所以内切球的表面积 S = 4? (a )2 =? a2 . 2 6.由水面下降的体积等于两球的体积之和,得 25?h= 2 高中数学必修二优质学案高效专题 × 4 ? (5)3 , 32 解得 h = 5 ,即水面下降的高度为 5 cm. 3 3