1、对数的定义、性质与对数恒等式

定义
一般地,如果
的b次幂等于N,即
,那么b叫做以a为底N的对数记作
,其中a叫做对数的底数N叫做对数的真数读作“b等于以a为底N的对数”
性质
负数和0无对数
1的对数等于0,即
等于1,这里图片制作错误!

(1)对数恒等式
等于x,这里图片制作错误!
证明:设
,根据对数与指数间的关系得
,.将其代入
,得
.故结论得证.
温馨提示
公式
称为对数恒等式,在应用时,注意公式的结构特点及各字母的取值范围,即
.
(2)指数式与对数式的互化
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系,当
时,
用图表示为:

2、常用对数与自然对数

名称
定义
符号
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
简记作lgN
自然对数
以e为底的对数叫做自然对数,e是无理数,e≈2.71828
简记作lnN

3、对数的运算法则

如果
,
,那么我们就有:

运算
数学表达式
自然语言描述
积的对数
正因数积的对数等于同底数的各因数对数的和
商的对数
两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数
幂的对数
正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数

4、对数换底公式及其推论

设

,

,则

推论: