一、填空题1. 设矩阵A=,则A3的秩为______.
1.解 利用矩阵乘法,容易计算得
由于A3中非零子式的最高阶数为1,故由矩阵的秩的定义,即知r(A3)=1.
本题综合考查矩阵乘法运算及矩阵的秩的概念.
2. 设α为3维单位列向量,E为3阶单位矩阵,则矩阵E-ααT的秩为______.
2.解1
若取单位向量α=(1,0,0)T,则矩阵
的秩为2,本题作为填空题,要求一般成立的结果,自然应对个例成立,所以矩阵E=ααT的秩为2.
解2
设3维单位列向量
,
矩阵的左上角的2阶子式为,所以矩阵E-ααT的秩至少是2;又由αTα=1,得(E-ααT)α=α-α(αTα)=0,知齐次线性方程组(E-ααT)x=0存在非零解α,所以矩阵E-ααT的秩小于3,综上知矩阵E-ααT的秩为2.
解3
记矩阵A=E-ααT,则由αTα=1,易得A2=A,由此知A不可逆.(否则A可逆,用A-1左乘A2=A两端,得A=E,这与A≠E矛盾(若A=E,则ααT=O,但ααT≠0)),所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3),因此A有特征值为0.设A按列分块为A=(β1,β2,β3),则由A2=A可得Aβj=βj(j=1,2,3),这表明βj是A的属于特征值1的特征向量.以上说明A有特征值λ1=0,λ2=1.再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和=,知A的另一特征值λ3=1.因此,A的全部特征值为0,1,1.因为A是3阶实对称矩阵,所以,A相似于对角矩阵M=diag(0,1,1).因相似矩阵有相同的秩,从而得r(A)=r(M)=2.
本题综合考查矩阵运算及矩阵的秩的概念及计算。本题也可利用方阵E-ααT的行列式等于0,从而推出方阵E-ααT的秩小于3,读者可以一试.
3. 设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=______.
-1.解由A≠O,不妨设a11≠0,由已知的Aij=-aij(i,j=1,2,3),得
,
及A=-(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵.以下有两种方法:
方法1 用AT右乘A=-(A*)T的两端,得
AAT=-(A*)AT=-(AA*)T=-(|A