第二节　一.数学概念　1　.　特征值与特征向量　:　设A为n阶方阵,　若数　和n维的非零列向量　x　,使关系式　Ax　=　λ　x　成立,　则称数　λ　为方阵　A　的特征值,　非零向量　x　称为　A　的对应与特征值　的特征向量。　2　.　特征多项式　3　.　特征方程　二.原理,公式和法则　1　.　求特征值与特征向量的方法　:　(1)　(　实用于抽象矩阵　)　;　(2)　(　实用于具体矩阵　)　;　(3)　(　主要用于求特征向量　)　。　2　.　主要公式　设是A的特征值,　x　是A的对应于特征值　所对应的特征向量,则有　注:　特征值与特征向量指　A　可逆时。　3　.　特征值与特征向量的性质　设是A的n个特征值,则有　3)　A　可逆的充分必要条件是　A　没有零特征值。　4)　A　不可逆的充分必要条件是　A　有零特征值。　5)　方阵　A　不同的特征值对应的特征值是线性无关的。　三.重点、难点分析　本节的重点是理解特征值也特征向量的概念,求A的特征值与特征向量,掌握求特征值与特征向量的各种方法。难点是方阵　A　不同的特征值所对应的特征向量线性无关的证明;求方阵　A　特征值与特征向量的各种方法。　四.典型例题　例1.求方阵　的特征值和特征向量。　解:A的特征多项式为　所以　A　的特征值为　。　当时,解方程　(　A　-2　E　)　x　=　0　。由　得基础解系　所以　是对应于　的全部特征向量。　当　,解方程　(　A　-　E　)　x　=　0　。由　得基础解系　所以　是对应于　的全部特征向量。　例2.求矩阵　的特征值和特征向量。　解　所以　A　的特征值为　。　当时,解方程　(　A　+　E　)　x　=　0　。由　得基础解系　所以　是对应于　的全部特征向量。　当时,解方程　(　A　-2　E　)　x　=　0　。由　得基础解系　所以对应于　的全部特征向量为　以上例　1　、例2都有二重特征值,　而例　1　中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量,例2中二重特征值对应两个线性无的特征向量,这对于下面将要学习的方阵对角化是　分重要　的,希望引起同学们的注意。　例3.设3阶方阵　A　满足　,且矩阵　A　的秩为2,求　A　的特征值。　解　:设　是A的特征值,　x　是A的关于　所对应的特征向量,则有　,在是两端右乘　x　,得即即由于　,所以　得又A的秩为2,得　A　的特征值为　例3是一个抽象矩阵求特征值的