万方数据 目 录摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·iAbstract⋯⋯⋯.⋯.⋯...⋯⋯.......⋯......⋯......⋯·-·⋯⋯⋯⋯··iii目录⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。V第一章绪论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·1.1背景知识⋯⋯.⋯-⋯⋯·⋯⋯⋯··⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·1.2经典Navier—Stokes方程组⋯⋯⋯⋯⋯·⋯··⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1.3圆柱坐标体系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一1.4历史研究背景⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯·⋯···⋯··--⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·1.5常用记号⋯⋯⋯⋯⋯.....-⋯·⋯·····⋯···⋯·⋯⋯⋯⋯⋯⋯一第二章u。5ff2 1-I拘Ladyzhenskaya-Prodi—Serrin判别准则的局部结果⋯⋯⋯2.1重要的引理⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·⋯2.2 呼分量上的局部Ladyzhenskaya广Prodi—serrin判别准则--⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三章 ∥分量上的LadyzhensI则a-Prodi—Serrin判别准则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.1重要的引理...⋯⋯⋯⋯····⋯··⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯’参考文献⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯攻读学位期间取得的研究成果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯致谢⋯⋯⋯⋯.⋯⋯·⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·⋯⋯⋯⋯⋯‘浙江师范大学学位论文独创性声明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一33学位论文使用授权声明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·33学位论文诚信承诺书⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯35l,●24678坫均均舶四乩万方数据 第一章 绪论1.1背景知识Navier-Stokes方程最早是由法国数学家Claude..Louis.Navier和英国数学家George-Gabriel..Stokes于十九世纪提出的用于描述粘性流体的物理运动,该方程可以看成是抛物,双曲,椭圆类方程的耦合.Navier-Stokes方程是一个非常有趣的方程,许多数学家一生致力于去研究该方程.虽然目前该方程在全局解的存在性方面取得了许多重大的研究成果,但是Navier.Stokes方程依然还有很多实质性的问题没有解决,最新的研究成果可以参考f1,15,17,18,22,29.从数学研究的角度看,3D Navier-Stokes方程是法国数学家J.Leray[131在1934年证明了如果对于初始值在正则性充分好的情况下,不可压Navier-一Stokes方程存在至少一个整体弱解;毛E1951年,Hopf在文I缺[11]中,将Leray在【13】的结果推广到有界区域的情形,并给出了一个全新的证明;后来数学家们为了纪念这两位数学家,于是将这类弱解称为Leray.Hopf弱解.尽管Leray—Hop碣蜀解是整体存在的,但是其唯一性和强解的全局存在至今没有解决,该问题是当今数学界最具有挑战性的猜想之一.在2000年,美NClay数学研究所(Clay Mathematics Institute)将3D Navier--Stokes方程的光滑解的全局适定性问题列为七大”千禧年大奖难题“(Millennium PreizeProblems)之一,由菲尔兹获得者Pefferman对其做了详尽的介绍.本章将简单的回顾问题的研究背景,轴对称Navier—Stokes方程的导出,经典的研究结果,以及普遍通用的记号,同时还给出几个重要的引理,这些引理将为后面的证明发挥重要的作用.f熏主要:二_Vp2 z,△%(1.1)其中u(z,t):嗽×(0,。。)_÷瓜3为流体的速度场,L,为流体的粘性系数,P:1R3 x(0,O(3)j酞是压力项.迄今为止,对于上述Navier-Stokes系统投入,大量的研究工作,但是系统(1.1)对于任意大的初始值的全局适定型问题依然是一个具有挑战性的问题,参考[6,7,1 7】.万方数据 2对于经典的Navier-Stokes方程建立在一个分量上在正则性准则方面的研究成果可以参考周勇教授[27-29].本文主要研究的问题是系统(1.1)在轴对称初始值的情况下建立在分量护上的正则性准则.如果uo是轴对称的,那么系统(1.1)的解依然也是轴对称[16,25].因此,可以将铭(。,t)写成如下形式:“(。,t)=Ur r,名,t)e,+札9(n z,t)ee+矿(7’,名,t)e:,即矿,u8,矿是与0无关的量1.3圆柱坐标体系定义1.1.(轴对称函数的定义)若函数钍(z):R3_R3在圆柱坐标e,,eO,ez下,礼(z)可以写为“(z)=Ur(r, z)·岛+护(r, 孑)·e日+矿∽z)·e;,其中乱7∽ z),札8(r, z)钆2(r, z)都与口无关,则称函数u(z)为轴对称函数,三维笛卡尔坐标的标准正交基:e1=(1,0,o),e2=(0,1,o),e3=(0,0,1)圆柱坐标的标准正交基为:e,=(兰,堑r,o)=(coS移,sin咿,o),印=(一罟,兰r,o)=(-sin0,c。s0,o),根据上面的式子,可以推导出岛er=eoOo印=--e,辞e,=0 西eD=0.(1.2)(1.3)下面我们将分别推导梯度算子,散度算子,涡量算子在圆柱坐标下的表达式,如果速度场函数u扛):R3 o IR3,那么du=考办+筹枷+爱如圭号乱.矗F=(V),dr+(V)口rdO+(V)。dz.万方数据 于是可以推出散度算子:++亏=品e,+吾刍e。+昙Uz% dr r d∥利用之前1.2的关系,可以得到即亏.u=(筹e,+筹印+百OUze。+。+。+。)X7.“涡量算子(curl)在圆柱坐标下的推导:V×饥+---Le,.×e,×(Ou。2L面巳在(1.2)式下,得到u=V×uu8e,+0)+uOeo+t,ez)+札,鲁+u。鲁籼;鲁) 籼r秀籼oi扣乜看J.Ou8 .Ou:Oe,ae日. ae。、+面e口+面ez机r丽十札。丽籼z丽J警e。+警e。+“,鲁+咖鲁+u:豢) 瓦印+瓦ez栅r瓦札8瓦籼z瓦JU口瓦岛岛刁弛瓦L每釉碡勃印+印一旧h勃n也溯》 嚆争Ⅳ絮e沁一身1-务"瞎争 竺移矿w尝 絮蒜势 蛐∥础护础圬甜玄re诎一蛙.∥一Z %第焉《袅豁 甜丽甜矿甜丽。卜r 喏尝等争 篙《学学丝如+堂硼 1一r+■心a丽 1一rv丝觇乜p.):<堕加×。屹一卜札汁吧珏一秽口1a铲c罨有甜矿a一珊cs—rq印一r+M一升￡一,rr,一C焉争滢a丽/,,一/丝硼,嘞/\U一汜熊倦、●/、●/万方数据 4拉普拉斯算子△在圆柱坐标下表示为:V2扎=V‘(Vu,=(未e,+r0 0i+晏e:)·(筹e,+警筹+塞e。)=即嘉(等e,+挚舅+b舰-72e:)+等品(筹+詈嘉+笔吃) 2白‘丽I丽唧+了历+ 吃J+7丽I丽+了丽+瓦吃J+e:爱(e,筹+詈嘉+象e:),最后△可以表示为△=吾ar(r辞)+去霹+硬在文献【20】中,Neustupa已经证明了如果方程组(1.1)中的初始值呦为轴对称的,那么方程组(1.1)将有局部轴对称光滑.从而经典的Navie卜Stokes方程组在轴对称坐标系下为:(1.4)其中金=a+1/,r研+札2见.系统(1.1)在初始值咖为轴对称的,系统(1.1)的涡量方程组为:I金∽7~∥(霹+谚+÷or一击)u7~(u7辞+u。晚)ur=0,J金u。~Ⅳ(霹+鳄+÷辞一去)u8~塾塑r趟一塾警=o,I击u2~∥(群+彰+;缉)ug一∞”辞+u3岛)“3=0,l∽f仁o=喵e,+u:e日+∽je。.1.4历史研究背景V.矗=0,V×面=u8e口(1.5)对于无旋轴gvJ"称Na,vier—Stoke8方程(u。=0的情况)的全局正则性问题最早是由苏联数学家ukhovSkii和Yudovich[251解决,然后数学Ladyzhenskayadu{E[t2]e0独立的证明了无旋轴对称Navier.-Stokes;方-程的全局适定性问题.后来Leonardi.Malek.Necas乘lPokorny在f16】中对无旋轴对称Navier.-Stokes方程的全局适定性问题给出了更为简练的证明,但是对于一般的情形(札。≠0)的情况,其全局遁定性依然是一个很具有挑战性的公开问题.易叭+=譬华也一+户矿扩以乞,≯土一斗。o~一~矽札4辞露矿 坦坦坦印+++曙鳄鳄霹h+++, 群群群¨ 僻僻孵牝矿护妒铷D一及D一小一D一眈-三叩万方数据 在2000年Neustupa禾IPokorny在文章[20】中证明了在札7分量上的完全serrin型准则,并且在∥分量上得到了如下结论:定理1.1.(1eo],定理1)设u是系统(1.1)唯一的光滑轴对称解,如果&、口满足:其中让。|k。(o,T;L8)<。。,兰+西3≤丽7,&∈【了20,∞】,卢∈[6,。。],兰+昙s 1一丽9,&∈【了20,。。],卢∈随。。],那么这个解可以往丁后继续延拓.’2002圭gChae—Lee[3】证明了轴对称Navier—stokes方程在分量¨上的完全serrin型准则,即:定理1.2.r【3],定理1)设u是系统(1.1)唯一的光滑轴对称解,如果满足其中u8IIL。(o,T;L口)<∞,五2+否3≤2 a∈(1,。。】卢∈(薹,∞),那么这个解可以继续往T后延拓.2014年中科院张平研究员和张挺教授[26]证明了有旋轴对称NaVier.Stokes方程小初值的全局适应性问题,同时改进了【20】中关于扩分量上的正则性准则结果.定理1.3.r【26],定理4)设u是系统(1.1)的局部轴对称解,如果满足乱口l|Ln(o,r;L口)<。。万方数据 6其中或者边界情形五2+万3<1卢∈(6,吲,三+吾=·,(&=4,卢=6),那么这个解可以继续往T后延拓,关于轴对称Navier—Stokes方程的全局存在的最新结果可以参考[5,9,10]1.5 常用记号函数.厂在空间L;’18中的范数定义为:并且我们定义:氤兰u r|e,+“2.e。1<&<。。詹=。。.汀玎泸碡叫渺洲㈣呦Z姆,●●,●,、●【ll泸万方数据 第二章 ∥分量上的Ladyzhenskaya_Prodi—Serrin判别准则的局部结果2014年,张平,张挺f26]发表在IMRN上的文章对轴对称,Navier-Stokes方程建立在“。上的Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin型判别准则取得突破性的进展,即如果占为任意给定正实数,u∈c(0,T;H2(R3))n L乙(o,F;直3(酞3))为轴对称Navie卜stokes方程的唯一解|I扎8l,<6IIL。(o,T;L口)<co,其中a,p满足n=4卢=6,那么这个唯一解乱可以继续往T后延拓.本章的内容是改进J2:i莶iLadyzhenskaya-Prodi—Serrin判别准则的结果,即可以做到如下定理:定理2.1.设6>o为给定的实数,并且u∈c(o,T;月2(碾3))n L乞。(o,T+;铲(R3))为轴对称Navier—Stokes方程的唯一解,如果满足:越。I,圳L。(o,T+;L8(R3))<∞其中三+吾=-,4≤卢≤6, (2.,)那么该唯一解可以继续往T+后延拓.注2.1.【22]在文N[61m证明了如果uo∈H2,那么系统(1.1)就有一个局部解且唯一Nu在[O,T+)上,使得u∈c([o,T4);日2(R3))n L2。。([o,T);膏3(肽3)),并且它的爆破准则为u∈LOO([o,T+);H1(Ⅱ≈3))n L2([o,T);H2));在证明定理2.1之前我们需要引入几个重要的引理,这些引理在轴对称Navier—St...