4.6 6 函数展开为正弦函数与余弦函数 一、相关问题 1.什么叫奇延拓、偶延拓,为什么有时需将 ( ) f x 进行延拓? 解 有时将 ) (x f 在 [0, ] \uf070 展成傅立叶级数,为便于计算傅立叶系数, 将 ) (x f 开拓到( ,0) \uf070 \uf02d , 使其开拓后的函数在 ( , ) \uf070 \uf070 \uf02d 是奇函数(这时, 0 \uf03dna )或偶函数(这时, 0 \uf03dnb ),即所谓 ) (x f 的奇开拓或偶开拓, 也称 ) (x f 的奇式展开或偶式展开。 二、相关知识 1.正弦级数和余弦级数有什么区别与联系? 2.如何将一个函数展开成正弦级数和余弦级数? 解 请自行根据教材整理。 三、练习题 1.将函数 ( ) 1 f x x \uf03d \uf02b, (0) x π \uf0a3 \uf0a3 分别展开成正弦级数和余弦级数。 解 先求正弦级数。为此对函数 ) (x f 进行奇延拓。 \uf0f2 \uf0f2\uf02b \uf03d \uf03d\uf070 \uf070\uf070 \uf0700 0sin ) 1 (2sin ) (2nxdx x nxdx x f b n\uf070\uf0700 2]cos sin cos[2nnxnnxnnx x\uf02d \uf02b \uf02d \uf03d \uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf0d7 \uf0d7 \uf0d7 \uf03d \uf02d\uf0d7 \uf0d7 \uf0d7 \uf03d\uf02b\uf0d7\uf03d \uf02d \uf02d \uf03d 6, 4, 2, 2 , 5 , 3 , 1 2 2) cos cos 1 (2nnnnn nn\uf070\uf070\uf070 \uf070 \uf070\uf070\uf02c 函数的正弦级数展开式为 ] 4 sin43 sin ) 2 (312 sin2sin ) 2 [(21 \uf0d7 \uf02b \uf02d \uf02b \uf02b \uf02d \uf02b \uf03d \uf02b x x x x x\uf070\uf070\uf070\uf070\uf070(0\uf03cx\uf03c \uf070 )\uf02e 在端点0 x \uf03d及 x\uf070 \uf03d处 级数的和显然为零\uf02c 它不代表原来函数 ) (x f 的值。 再求余弦级数。为此对 ) (x f )进行偶延拓\uf02e \uf0f2 \uf0f2\uf02b \uf03d \uf03d\uf070 \uf070\uf070 \uf0700 0cos ) 1 (2cos ) (2nxdx x nxdx x f a n\uf070\uf0700 2]sin cos sin[2nnxnnxnnx x\uf02d \uf02b \uf02d \uf03d \uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf0d7 \uf03d \uf02d\uf0d7 \uf03d\uf03d \uf02d \uf03d 5, 3, 1, 4 , 6 , 4 , 2 0) 1 (cos222nnnnn\uf070\uf070\uf070\uf02c 2 ]2[2) 1 (20200\uf02b \uf03d \uf02b \uf03d \uf02b \uf03d\uf0f2\uf070\uf070 \uf070\uf070\uf070xxdx x a 函数的余弦级数展开式为 ) 5 cos513 cos31(cos412 12 2\uf0d7 \uf02b \uf02b \uf02b \uf02d \uf02b \uf03d \uf02b x x x x\uf070\uf070 (0\uf0a3 x \uf0a3 \uf070 )\uf02e 2.将函数\uf0ef\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf0a3 \uf0a3\uf02d\uf03c \uf0a3\uf03dl xx l pxpxx M2l 2) (2l0 2 ) ( 展开成正弦级数。 解 对 ( ) M x 进行奇延拓,则 a 0 (n 0,1,2 )n\uf03d \uf03d ] sin2) (sin2[2sin ) (2220 0dxlx n x l pdxlx n pxldxlx nx Mlblllln \uf0f2 \uf0f2 \uf0f2\uf02d\uf02b \uf03d \uf03d\uf070 \uf070 \uf070\uf02e 对上式右边的第二项\uf02c 令 t l x \uf03d \uf02d, 则 )] () (sin2sin2[20220dtlt l n ptdxlx n pxlblln\uf02d\uf02d\uf02b \uf03d\uf0f2 \uf0f2\uf070 \uf070 ] sin2) 1 ( sin2[220120dtlt n ptdxlx n pxllnl\uf0f2 \uf0f2\uf02b\uf02d \uf02b \uf03d\uf070 \uf070\uf02e 当 2,4,6 n \uf03d 时, 0nb \uf03d; 当1,3,5 n \uf03d \uf0d7时, 2sin2sin242 220\uf070\uf070\uf070 nnpldxlx nxlpbln\uf03d \uf03d\uf0f2\uf02e 于是得 ) 5sin51 3sin31(sin2) (2 2 2\uf0d7 \uf02d \uf02b \uf02d \uf03dlxlxlx plx M\uf070 \uf070 \uf070\uf070(0 x l) \uf0a3 \uf0a3 。 3. \uf028 \uf029 \uf028 \uf02921 0 f x x x \uf070 \uf03d \uf02d \uf0a3 \uf0a3 ,用余弦级数展开,并求\uf028 \uf0291211nnn\uf02d\uf0a5\uf03d\uf02d\uf0e5的和。 解 由于 22002 2(1 ) 23a x dx\uf070\uf070\uf070\uf03d \uf02d \uf03d \uf02d\uf0f2 2 1202 4(1 )cos ( 1) 1,2,nna x nxdx nn\uf070\uf070\uf02b\uf03d \uf02d \uf03d \uf02d \uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020 \uf03d\uf0f2 所以 2 1021 1( 1)( ) cos 1 4 cos 02 3nnn naf x a nx nx xn\uf070\uf070\uf02b\uf0a5 \uf0a5\uf03d \uf03d\uf02d\uf03d \uf02b \uf03d \uf02d \uf02b \uf020 \uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020\uf020 \uf0a3 \uf0a3\uf0e5 \uf0e5 令 0 x \uf03d ,有 2 121( 1)(0) 1 43nnfn\uf070\uf02b\uf0a5\uf03d\uf02d\uf03d \uf02d \uf02b \uf020\uf0e5 又 (0) 1 f \uf03d ,所以 1 221( 1)12nnn\uf070\uf02b\uf0a5\uf03d\uf02d\uf020 \uf03d\uf0e5 4.设 \uf028 \uf02920cos , ,nnx a nx \uf070 \uf070\uf0a5\uf03d\uf03d \uf02d\uf0e5,求2a 。 解 将 ) ( ) (2\uf070 \uf070 \uf0a3 \uf0a3 \uf02d \uf03d x x x f 展开为余弦级数 ) ( cos02\uf070 \uf070 \uf0a3 \uf0a3 \uf02d \uf03d \uf0e5\uf0a5\uf03dx nx a xnn,其系数计算公式为\uf0f2\uf03d\uf070\uf0700cos ) (2nxdx x f a n 。 根据余弦级数的定义,有 x d x xdx x a 2 sin12 cos202022 \uf0f2 \uf0f2\uf03d \uf0d7 \uf03d\uf070 \uf070\uf070 \uf070 =\uf0f2\uf0d7 \uf02d\uf070 \uf070\uf0700 02] 2 2 sin 2 sin [1xdx x x x = 1 ] 2 cos 2 cos [12 cos10 0 0\uf03d \uf02d \uf03d\uf0f2 \uf0f2\uf070 \uf070 \uf070\uf070 \uf070xdx x x x xd 四、思考题 1.同样一个函数在同样的区间上是否既可以用正弦级数表示,又可以用余弦级数表示? 解 可以,如把 x x f \uf03d ) ( 在 (0,2) 内展开。