在某点
连续的判定:
在该点
的双侧极限均存在且相等,且等于函数在该点的取值:
。
这个证明可以推广到整个开区间
上。
相应地,左连续或右连续指的是仅有一侧极限与该点函数值相等。在该点连续的充要条件就是左右都连续。
开区间连续推广到闭区间连续的要求:区间左端点右连续,右端点左连续。
连续函数的一些性质:
根据极限的四则运算法则,可以知道函数的四则运算保持连续性不变。连续函数复合以连续函数仍是连续函数。当
在
处连续,且
时,有:
(复合函数极限计算可交换次序)
单调函数:
当
,
(
),则称函数递增(严格递增)且单调。(同理可定义递减或单调递减)
可用区间之间连续的一一满射导出函数严格单调。
反函数的连续性:
若
在区间内一一满射(存在反函数
),且本身连续,那么
在对应区间也连续。
即一个连续函数有单值反函数,则反函数必连续。
每个初等函数在其定义域内部都是连续的。
间断点: