关于不画图图解线性规划的方法的一些思考 高中的线性规划试题的传统解法往往需要画图,特别是在需要画出如 (3 , 6),( 5 , 7 )等坐标值中含有无限小数的点时需要消耗很多精力且难以保证精 77 13 13 确,此时如果有不用画图的方法,就可创造很大的便利。 f: 3 + ≥ 6 网上流传着这样一种解法,如图所示:已知{ : 4 + 5 ≥ 20 : 3 + 2 ≤ 12 求(2x+3y)的最大值与最小值 解法:分别联立方程 i 与 a; f 与 i; a 与 f, 得到三组解(20 , 12),(10 , 36), 77 11 11 (0,6)分别代入 2x+3y 中,取得到的三个值中的最大值与最小值即可得出最小值为76, 7 最大值为 18 其中 d 的方程为 2x+3y=18 但是,这种方法有一个缺陷导致结果有时正确有时错误(我想大家都试过), : 3 + ≤ 6 这 种 方 法 忽 略 了 这 种 情 况 : 当 x, y 满 足 { : 4 + 5 ≥ 20 时 ( 可 行 域 如 下 图 ) : 3 + 2 ≤ 12 2x+3y 便只能在 B 点取最小值而取不到 C 点的值,与上述解法得到的值不符,而取不到 C 点的原因是其坐标(即 a, i 的交点坐标)不满足 f 的不等式 1: 1 + 1 ≥ 1 所以,若 x, y 满足{2: 2 + 2 ≥ 2 求 p=m x+ n y 中 p 的最大值与最小值 3: 3 + 3 ≥ 3 1: 1 + 1 = 1 解法:令{2: 2 + 2 = 2 ,分别联立1 与2 ,1 与3,2与3 , 得到三组解 3: 3 + 3 = 3 (a, b),(c, d),(e ,f) 1: 1 + 1 ≥ 1 观察{2: 2 + 2 ≥ 2 三个式子中有哪个(或哪些)不对,若1不对则舍弃解(e, f) 3: 3 + 3 ≥ 3 若2不对则舍弃(c,d),若3不对则舍弃(a, b)(联立的两个方程得到的解要满足剩 余的不等式,否则舍去) 然后拿未被舍弃的值代入 m x+ n y 中取得到的最大值与最小值为 p 的最大值与最小值 由于试题中一般让你求值时就已经暗示把无穷大或无穷小排除了,所以不必考虑 1: 1 + 1 ≥ 1 2: 2 + 2 ≥ 2 以此类推,若是已知 3: 3 + 3 ≥ 3 … {: + ≥ 求 p=m x +n y 中 p 的最大或最小值时,则 1: 1 + 1 = 1 2: 2 + 2 = 2 令 3: 3 + 3 = 3,然后两两联立,之后按下述方法排除所得的解 … {: + = 若(a ,b)是1, 3联立的解,则将其依次代入2, 4, 5, 6…中,若得到的不等式都正确则 不舍去,否则舍去 若(c ,d)是2, 5联立的解,则将其依次代入1, 3, 4, 6, 7,8…中,若得到的不等式都正 确则不舍去,否则舍去 …… 将未舍去的解代入 p 的表达式中,得到的所有 p 的值当中的最大(小)值即为 p 真正 的最大(小)值 方法 2:两个边在坐标轴上的四边形 : + ≥ 若 x, y 满足{: + ≥ 且可行域为封闭图形,求:p=m x+ n y ③的最大 ≥ , ≥ 值 1: 1 + 1 = 1 ① 解法:令2: 2 + 2 = 2 ② ③ = a① + b② 1 + 1 = 1 则{2 + 2 = 2 1 + 2 ≥ 即可解出 p 的最小值 2:面积问题 在求三角形可行域面积是,死方法是利用点到直线的距离公式求出三角形的高, 再利用两点间距离公式求底,以此求面积,而高中常用的解法一般是 “割补平移”的 方式求解 这里介绍另一种方法:向量的向量积。 向量有数量积 a?b=||||?, ? ,以及坐标公式12 + 12,结果是一个数 而向量的向量积的结果是一个向量, 两个向量 a 和 b 的向量积写作 a×b (有时也被写成 a∧b,避免和字母 x 混淆) 模长:(在这里 θ 表示两向量之间的 夹角(共起点的前提下)(0° ≤ θ ≤ 180°), 它位于这两个矢量所定义的平面上。) 方向(这不是重点):a 向量与 b 向 量的向量积的方向与这两个向量所在平面 垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确 定满足“右手定则”的结果向量的方向的方 法是这样的:若坐标系是满足右手定则的, 当右手的四指从 a 以不超过 180 度的转角 转向 b 时,竖起的大拇指指向是 c 的方向。) 而三角形面积有? = 0.5 所以向量积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量 a,b 共起点时,所构成平行 四边形的面积 而对于平面直角坐标系中的向量 a (1, 1),b(2, 2) 说,有 |a×b|=12 ? 12 Tip:由于 a×b= -b×a,所以12 ? 12的结果有可能是负数 所以若→ = (1, 1) →= (2, 2) ,则有: ? = 0.5|12 ? 12| 用这个公式求可行域就方便得多