其实还是因为没有理解清楚等价无穷小量的替换这个方法。深层的去理解等价无穷小量的替换
目录
1.等价无穷小量和泰勒展开式的联系
2.为什么加减时我们一般不用等价无穷小量的替换
3.为什么乘除时可以无顾忌的用等价无穷小量的替换?
4.什么时候可以在加减中用等价无穷小量的替换?
1.等价无穷小量和泰勒展开式的联系
泰勒展开式:
定理:若
在
点的某个邻域内有直到
阶连续导数,那么在此邻域内有
。
注:这里只写x=0处的泰勒展开,仅仅是因为懒。
我们用泰勒展开式,来对函数在一点附近的函数进行近似,近似式的阶数越高,近似程度越好。
都是近似,等价无穷小量和泰勒展开的关系是什么呢?
的泰勒展开:
的泰勒展开:
......
无穷小量的等价,不过取了泰勒展开式的第一项去等价罢了。
等价无穷小量就是精度较低的泰勒展开。
仅仅从做题的角度来说,就是你能用等价无穷小量去做的题,用泰勒展开一定可以,但反过来未必。
我们用泰勒展开的方法来看这个经典的例题:
例1:
的泰勒展开:
的泰勒展开:
∵ 分母只是
的3阶无穷小量,所以我们分子也只需取到3阶即可(3阶以后的无穷小量,除以
,还是无穷小量),即
。2.为什么加减时我们一般不用等价无穷小量的替换
我们清楚了等价无穷小量和泰勒展开之间的关系之后,这个问题的答案我们很容易得到。
为什么加减不行?
本质是因为加减可能会导致项的抵消,抵消后,根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似,但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项,对后续的近似无能为力。
我们还拿上文中的例题去看:
例如1:
用等价无穷小量的错误做法:∵
,
∴
的泰勒展开:
的泰勒展开:
上面的例子中,产生错误的原因是什么呢?
(注:下面我把泰勒展开式中的含
的项称为一阶代表元,含
的项称为二阶代表元...以此类推。仅仅为了利于表述和理解。)
就是当
的一阶代表元
(也就是它的等价无穷小量)与
的一阶代表元
(也是它的等价无穷小量)消掉之后,按理说该二阶代表元站出来了(因为分母是三阶的),对