在数学中,我们把极限
$$\lim_{x->\infty}(1+1/x)^x$$
记为e,并且可以计算出e=2.7182818284590452353602...,这是一个与π同等重要的数(甚至有些书认为它比π更重要)。和π一样,这个数也是一个“无理数”。现在我们来证明一下
假设$e=p/q$是有理数,其中p,q是正整数。根据e的麦克劳林展开式,我们有:
$$p/q=e=1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!}+\varphi^{q+1}/{(q+1)!}\tag{1}$$$$p/q-(1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!})=\varphi^{q+1}/{(q+1)!}\tag{2}$$
其中$\varphi \in(0,1)$
于是,我们将(2)两边同时乘上q!,在左边得到了一个整数,而右边=$\varphi^{q+1}/{(q+1)}$为非整数,于是两者并不相等。这与两者相等矛盾!于是假设并不成立,e是无理数。
这个通过麦克劳林展开式是一个相对简单的证明,当然前提是要懂得e的麦克劳林展开式。相对于维基百科上提供的证明来说,我觉得这个证明相对简洁、直观!
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分类:数学研究 标签:证明,无理数

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明显基本是通过牛顿广义二项式张开。然后证明收敛近视分母求和。

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苏剑林|BoJone,科学空间博主,数学、天文、理论物理、写作、阅读、计算机、中国象棋、厨房爱好者......目前28岁,还在单调递增。正在追一科技打杂,并致力于分享科学之美~
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