第三章三角恒等变形 课时二倍角公式及其应用 栏目 导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 1.二倍角公式 名称 简记符号 公式 适用范围 二倍角的 正弦公式 二倍角的余弦公式 二倍角的正切公式 其中kZ2sin αcos α-12tan 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 2.倍角公式的变形 (1)因为sin 可以变形为cos 其中公式称为升幂公式,称为降幂公式.(2)常用的两个变形: (sin α+cos α+2sinαcos α+cos (sinα-cos α-2sinαcos α+cos α-1栏目 导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 1.判断正误.(正确的打“”,错误的打“”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( (2)存在角α,使得sin2α=2sin (3)对于任意的角α,cos2α=2cos 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 解析:(1)错误.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的, 而二倍角的正切公式,要求α 故此说法错误.(2)正确.当α=kπ(kZ)时,sin 2α=2sin 时,cos2α=2cos 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 sin110sin 20 cos 解析:选B.原式=cos 20sin 20 cos sin40 cos 50 sin40 sin 40 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 tan15 1-tan 2tan15 1-tan tan30= 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 4.若sin 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 1.对倍角公式的三点说明 (1)前提:所含各三角函数有意义. (2)联系:公式S 时,得到的一组公式,即倍角公式是和角公式的特例.(3)倍角公式中的“倍角”的相对性:对于两个角的比值等于 倍.这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的. 栏目 导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 2.二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广 泛.常用形式:1+cos 2α=2cos 1-cos2α=2sin 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 化简求值 求下列各式的值: (1)cos 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 (1)原式=2sin (2)原式=1-2cos (3)原式=tan 12-1 tan 12=-2 1-tan 122tan 12=-2 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 应用二倍角公式化简(求值)的策略 (1)化简求值关注四个方向:分别从“角”“函数名”“幂” “形”着手分析,消除差异. (2)公式逆用:主要形式有2sin αcos α=sin sinαcos sin2α,cos 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 1.(1)计算: cos 10+ 3sin 10 1-cos 80 (2)求sin6sin 42sin 66sin 78的值. 栏目 导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 解:(1)原式= cos10+ sin10 2sin 2sin40 2sin 40 (2)原式=sin6cos 48cos 24cos 12 sin6cos 6cos 12cos 24cos 48 sin12cos 12cos 24cos 48 16cos sin24cos 24cos 48 16cos 2sin48cos 48 16cos sin96 16cos 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 给值求值 (1)已知α cos2α=__________,tan 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 所以sin2α=2sin αcos cos2α=1-2sin 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 (2)因为sin ,所以2α(π,2π),从而sin 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 把本例(1)中的条件“sin ”,求sin2α,cos 2α,tan 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 解:因为sin α+cos ,所以(sinα+cos 即1+2sinαcos ,sin2α=2sin αcos ,所以cosα0,从而有 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 (2)由(1)知,f(x)=2sin 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 (1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式,不仅 要熟练正用,还要逆用,变形应用.如本例中两个关键步骤: 2(sin2ωx+cos 的范围进行判断.(2)在判定函数单调性和求单调区间时,应在给定区间内求解, 如本例中 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 1.sin 12cos 12的值等于( 12cos 12=sin 12sin 12=sin 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 2.如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍,那么它的顶角的余 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 解析:选D.由题设易知,等腰三角形的腰长是底 边长的2 倍,如图所示,在ABC 中,AB=AC, 为BC边的中点,设BAD=θ, 因为AB=4BD,所以sin 故cosBAC=cos 2θ=1-2sin 栏目导引 栏目 导引 第三章 三角恒等变形 3.已知α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- 所以2tan .因为α是第二象限的角, 所以tan α