§向量法求二面角 例1 (2010 江西卷 20) 如图,?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD , AB ? 2 3 .(1)求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大 小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值. 练习:1..若二面角的两个半平面的法向量分别为 和 ,则这个 (4,2,0) (3,-6,5) 二面角的余弦值是( A.0 B. ) 3 2 C. 1 2 D. 2 2 2.(2011 年全国新课标)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 课后作业: 1. .如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD.底面 ABCD 为边长是 1 的正方形,PA=1,求平面 PCD 与平面 PAB 夹角的大小为____________. 2. 如图,正方体的棱长为 1, B1C ? BC1 ? O ,求: (1) AO 与 A1C1 所成的角; (2) AO 与平面 AC 所成角的正切值; (3)平面 AOB 与平面 AOC 所成的角. 1 4. (2011· 辽宁)如图, 四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, PD∥QA, QA=AB= PD. 2 (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q - C 的余弦值. BP- 5. (2012·天津改编)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥ BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1. (1)证明:PC⊥AD; (2)求二面角 A-PC-D 的正弦值. 6. ABCD ? A1 B1C1 D1为直四棱柱,底面ABCD是直角梯形, ?DAB=?ADC=90O,AD ? CD ? a,AA1 ? AB ? 2a (1)求异面直线AC1和B1C所成角; 求AC1和底面B1 BCC1所成角; (2) (3)求二面角C1 ? AB1 ? A1的大小。 7. .正三角形 ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现 将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A—DC—B(如图②).在图②中求平面 ABD 与平面 EFD 所成二面角. 8. 如图,三棱锥 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD⊥ 平面 PAB.