通信原理1第3章 随机过程 第3章 随机过程\uf06c 3.1 随机过程的基本概念\uf06e 什么是随机过程?\uf075 随机过程是一类随时间作随机变化的过程, 它不能用 确切的时间函数描述。 可从两种不同角 度看:2\uf075 角 度1: 对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 第3章 随机过程【例】 n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形\uf070 样本函数\uf078i (t): 随机过程的一次实现, 是确定的时间函数。\uf070 随机过程: \uf078(t) ={\uf0781 (t), \uf0782 (t), …, \uf078n (t)}是全部样本函数的集合是全部样本函数的集合。3( ) t\uf078t012( )t( )t( )tn\uf078\uf078\uf078\uf04d 第3章 随机过程\uf075 角 度2: 随机过程是随机变量概念的延伸。\uf070 在任一给定时刻t1上, 每一个样本函数\uf078i (t)都是一个确定的数值\uf078i (t1), 但是每个\uf078i (t1)都是不可预知的。\uf070 在一个固定时刻t1上, 不同样本的取值{\uf078i (t1), i = 1, 2, …, n}是一个随机变量, 记为\uf078(t1)。是一个随机变量, 记为\uf078(1)4\uf070 换句话说, 随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。\uf070 因此, 我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。\uf070 这个角 度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。 第3章 随机过程\uf06e 3.1.1随机过程的分布函数\uf075 设\uf078(t)表示一个随机过程, 则它在任意时刻t1的值\uf078(t1)是一个随机变量, 其统计特性可以用 分布函数或概率密度函数来描述。\uf075 随机过程\uf078(t)的一维分布函数:5\uf075 随机过程\uf078(t)的一维概率密度函数:若上式中的偏导存在的话。])([\uf078),(11111xtPtxF\uf0a3\uf03d1111111),(),(xtxFtxf\uf0b6\uf0b6\uf03d 第3章 随机过程\uf075 随机过程\uf078(t) 的二维分布函数:,;,(txxF\uf075 随机过程\uf078(t)的二维概率密度函数:\uf07b\uf07d221121212)(,\uf078)() ,xtxtPt\uf0a3\uf0a3\uf03d\uf0782121212221212),;,(\uf0b6),;,(xxttxxFttxxf\uf0b6 \uf0d7\uf0b6\uf03d6若上式中的偏导存在的话。\uf075 随机过程\uf078(t) 的n维分布函数:xxF,(21\uf075 随机过程\uf078(t) 的n维概率密度函数:\uf07b\uf07dnnnnnxtxtxtPtttx\uf0a3\uf0a3\uf0a3\uf03d)(,\uf078,)(,\uf078)(),,;,,221121\uf078\uf04c\uf04c\uf04cn21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(\uf0b6\uf0b6\uf0b6\uf0b6\uf03d\uf04c\uf04c\uf04cx\uf04c\uf04cxttxxFttxxf,,,;,,,,,,;,,, 第3章 随机过程\uf06e 3.1.2 随机过程的数字特征\uf075 均值( 数学期望) :在任意给定时刻t1的取值\uf078(t1)是一个随机变量, 其均值\uf0a5\uf03d111()(fxtE \uf078式中 f(式中 f (x1, t1) - \uf078(t1)的概率密度函数t )\uf078(t )的概率密度函数\uf05b\uf05d \uf0f2\uf0a5\uf02d111),dxtx7由于t1是任取的, 所以可以把 t1直接写为t,x1改为x,这样上式就变为\uf05b\uf078\uf05d\uf0f2\uf0a5\uf0a5\uf02d\uf03ddxtxxftE),()(1 第3章 随机过程\uf05b\uf05d\uf0f2\uf078(t)的均值是时间的确定函数, 常记作a ( t ), 它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :\uf0a5\uf0a5\uf02d\uf03ddxtxxftE),()(1\uf078( ) t\uf0788t012( )t( )t( )tn\uf078\uf078\uf078\uf04da (t ) 第3章 随机过程\uf075 方差方差常记为\uf0732( t )。 这里也把任意时刻t1直接写成了 t 。因为\uf05bξD\uf07d\uf07b2)]()([\uf078)]([\uf078tatEtD\uf02d\uf03d\uf028 \uf029t\uf05d\uf028 \uf029t(\uf028 \uf029 \uf028 \uf029ξt\uf028 \uf029)(t\uf028 \uf029t\uf02b\uf05b[\uf05d222ataξE\uf02b\uf02d\uf03d\uf03d9所以, 方差等于均方值与均值平方之差, 它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。\uf028 \uf029t\uf05b\uf05d)]([)(2)]2222atξEtaξEtatξE\uf02d\uf03d\uf02d212)]([),(tadxtxfx\uf02d\uf03d\uf0f2\uf0a5\uf0a5\uf02d均方值均值平方 第3章 随机过程\uf075 相关函数式中,量。 可以看出, R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数\uf07b)][()([),(tatEttB\uf02d\uf03d\uf0a5\uf0a5\uf078(t1)和\uf078(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变2121212212121),;,()]()\uf078([\uf078),(dxdxttxxfxxttEttR\uf0f2 \uf0f2\uf0a5\uf0a5\uf02d\uf0a5\uf0a5\uf02d\uf03d\uf03d10\uf075 协方差函数式中 a ( t1) a ( t2) - 在t1和t2时刻得到的\uf078(t)的均值f2(x1, x2; t1, t2) - \uf078(t)的二维概率密度函数。\uf07d21212122211221121),;,()]()][([] )()(dxdxttxxftaxtaxtat\uf02d\uf02d\uf03d\uf02d\uf0f2 \uf0f2\uf0a5\uf02d\uf0a5\uf02d\uf078\uf078 第3章 随机过程\uf070 相关函数和协方差函数之间的关系(),(21tRttB\uf03d若a(t1) = a(t2), 则B(t1, t2) = R(t1, t2)\uf075 互相关函数)()(),2121tatat\uf02d)]()\uf068([\uf078),(2121ttEttR\uf078\uf068\uf03d11式中\uf078(t)和\uf068(t)分别表示两个随机过程。因此, R(t1, t2)又称为自 相关函数。 第3章 随机过程\uf06c 3.2 平稳随机过程\uf06e 3.2.1 平稳随机过程的定义\uf075 定义:若一个随机过程\uf078(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关, 也就是说, 对于任意的正整数n和时间起点无关, 也就是说, 对于任意的正整数n和所有实数\uf044, 有,,,,,(2121nnttxxxf\uf04c;12则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,简称严平稳随机过程。),,,,,,(),2121\uf044\uf02b\uf044\uf02b\uf044\uf02b\uf03dnnnntttxxxft\uf04c\uf04c\uf04c; 第3章 随机过程\uf075 性质:该定义表明, 平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变, 即它的一维分布函数与时间t无关:)(),(11111xftxf\uf03d而二维分布函数只与时间间隔\uf074 = t2– t1有关:,;,(21212ttxxf13\uf075 数字特征:可见, ( 1) 其均值与t无关, 为常数a;( 2) 自 相关函数只与时间间隔\uf074有关。);\uf074,()212xxf\uf03d\uf05b\uf078(t\uf05d\uf0f2)\uf03d\uf0a5\uf0a5[\uf078E\uf0a5\uf02d\uf03d\uf03dadxxfxtE1111)()()(\uf074);\uf074,()]()\uf078(,21212211121\uf074\uf02bRdxdxxxfxxtttR\uf03d\uf03d\uf0f2 \uf0f2\uf0a5\uf02d\uf0a5\uf0a5\uf02d 第3章 随机过程\uf075 数字特征:可见, ( 1) 其均值与t 无关, 为常数a ;可见, ( 1) 其均值与t 无关, 为常数a ;( 2) 自 相关函数只与时间间隔\uf074 有关。把同时满足( 1) 和( 2) 的过程定义为广义平稳随机过程。 显然, 严平稳随机过程必定是广义平稳的, 反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声, 大多 数可视为平稳的随机过程。 因此, 研究平稳随机过程有着很大的实际意义。\uf05b\uf078(t\uf05d\uf0f2)\uf03d\uf0a5\uf0a5[\uf078E\uf0a5\uf02d\uf03d\uf03dadxxfxtE1111)()()(\uf074);\uf074,()]()\uf078(,21212211121\uf074\uf02bRdxdxxxfxxtttR\uf03d\uf03d\uf0f2 \uf0f2\uf0a5\uf02d\uf0a5\uf0a5\uf02d14 第3章 随机过程\uf06e 3.2.2 各态历经性\uf075 问题的提出: 我们知道, 随机过程的数字特征( 均值、相关函数) 是对随机过程的所有样本函数的统计平均,但在实际中常常很难测得大量的样本, 这样, 我们自然会提出这样一个问题: 能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?15\uf075 回答是肯定的。 平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用 的特性, 称为“各态历经性”( 又称“遍历性” ) 。 具有各态历经性的过程, 其数字特征( 均为统计平均) 完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。\uf075 下面, 我们来讨论各态历经性的条件。 第3章 随机过程\uf075 各态历经性条件设: x(t)是平稳过程\uf078(t)的任意一次实现( 样本) ,则其时间均值和时间相关函数分别定义为:1lim)(TTT\uf0f2\uf0f2\uf02d\uf0f2\uf02d\uf0a5\uf0ae\uf03d\uf03d22//2/2/11)(TTTdttxtxa16如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。\uf0a5\uf0ae\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d2/)()(limT)()()(\uf074TdttxtxTtxtxR\uf074\uf074\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf03d\uf03d)(\uf074)(\uf074RRaa 第3章 随机过程\uf075 “各态历经” 的含义是: 随机过程中的任一次实现都经历了 随机过程的所有可能状态。 因此, 在求解各种统计平均( 均值或自 相关函数等) 时, 无需作无限多 次的考察, 只要获得一次考察, 用 一次实现的“时间平均” 值代替过程的“统计平均” 值即可, 从而使测量和计算的问题大为简化。问题大为简化17\uf075 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程, 反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声, 一般均能满足各态历经条件。 第3章 随机过程\uf075 [例3-1] 设一个随机相位的正弦波为)(\uf078t其中, A和\uf077c均为常数; \uf071是在(0, 2π)内 均匀分布的随机变量。 试讨论\uf078(t)是否具有各态历经性。【解】 (1)先求\uf078(t)的统计平均值:数学期望\uf0f2\uf0f2\uf07022\uf03d\uf0f2\uf070)cos(\uf071\uf02b\uf077\uf03dtAc18\uf02b\uf03d\uf03d\uf0702\uf071d\uf0702sint\uf071\uf077\uf078[A01)cos()]()(tAtEtac\uf02d\uf03d\uf0702\uf071d\uf071\uf077\uf071\uf0770)sincos(costcc0]sinsincos[cos202\uf0700\uf03d\uf02d\uf0f2\uf070\uf071d\uf071\uf077\uf071d\uf071\uf077ttAcc 第3章 随机过程自 相关函数1]]2\uf0712\uf071))((cos[cos[))((coscos]}2\uf071)(cos[)({cosE2)]cos()cos([)]()\uf078([\uf078),(2\uf0702212122212121\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d\uf02b\uf0d7\uf02b\uf03d\uf03d\uf0f2\uf0f2d\uf071d\uf071ttttA2ttttA2AttttAtAtAEttEttRcccc\uf077\uf077\uf077\uf077\uf077\uf077\uf071\uf077\uf071\uf07719令t2– t1= \uf074, 得到可见,只与时间间隔\uf074 有关, 所以\uf078(t)是广义平稳过程。\uf078(t)的数学期望为常数, 而自 相关函数与t 无关,0)(cos22\uf07112201212\uf02b\uf02d\uf03d\uf02d\uf03dttccc\uf077)(\uf074cos2),(221\uf074\uf077RAttRc \uf03d\uf03d 第3章 随机过程(2) 求\uf078(t)的时间平均值\uf0f2 \uf02d1\uf0a5\uf0ae\uf03d\uf02b\uf03d220)cos(1limTTTcdttATa\uf071\uf077\uf0f2 \uf02d\uf0a5\uf0ae\uf02b\uf02b\uf0d7\uf02b\uf03d22])(cos[)cos(limT)(\uf074TTccdttAtATR\uf071\uf074\uf077\uf071\uf0772220比较统计平均与时间平均, 有因此, 随机相位余弦波是各态历经的。\uf0f2\uf0f2\uf02d\uf02d\uf0a5\uf0ae\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d2222})2\uf0712\uf077cos(cos{2limTTTTTc\uf074cc\uf074dttdtTA\uf077\uf077\uf074\uf077cA2cos2\uf03d)(\uf074)(\uf074,RRaa\uf03d\uf03d 第3章 随机过程\uf06e 3.2.3 平稳过程的自 相关函数\uf075 平稳过程自 相关函数的定义: 同前\uf075 平稳过程自 相关函数的性质\uf070— \uf078(t)的平均功率\uf070\uf070\uf074的偶函数— \uf074的偶函数)]([\uf078) 0 (R2tE\uf03d))(())((\uf074RRR21\uf070— R(\uf074)的上界即自 相关函数R(\uf074)在\uf074 = 0有最大值。\uf070— \uf078(t)的直流功率\uf070表示平稳过程\uf078(t)的交流功率。 当均值为0时, 有R(0) = \uf0732。\uf074\uf02d\uf03d R) 0 (R)(\uf074R\uf0a322a)]([\uf078)(\uf03d\uf03d\uf0a5tER2)() 0 (R\uf073\uf03d\uf0a5\uf02d R 第3章 随机过程\uf06e 3.2.4 平稳过程的功率谱密度\uf075 定义:\uf070 对于任意的确定功率信号f (t), 它的功率谱密度定义为fFmi lfPT)(\uf0a5\uf0aeTTf2)(\uf03d22式中, FT( f )是f (t)的截短函数fT(t) 所对应的频谱函数t02T2T\uf02d( )f t( )Tf t 第3章 随机过程\uf070 对于平稳随机过程\uf078 (t) , 可以把f (t)当作是\uf078(t)的一个样本; 某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均, 故\uf078 (t)的功率谱密度可以定义为平均, 故\uf078 (t)的功率谱密度可以定义为23\uf05b\uf05dTfFEm\uf0a5\uf0aei lTfPEfP\uf078Tf2)()()(\uf03d\uf03d 第3章 随机过程\uf075 功率谱密度的计算\uf070 维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自 相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。 这种关系对平稳随机过程同样成立, 即有\uf0f2\uf0a5\uf0a5\uf02d\uf02d\uf03d\uf074d\uf074(\uf077(\uf077\uf074j\uf078eRP))24简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。 它在平稳随机过程的理论和应用 中是一个非常重要的工具, 它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。\uf0f2\uf0a5\uf0a5\uf02d\uf03d\uf077d\uf077(\uf0702\uf074(\uf077\uf074j\uf078ePR)1))()(\uf074 \uf0dbfP\uf078R 第3章 随机过程\uf070 在维纳-辛钦关系的基础上, 我们可以得到以下结论:\uf0d8 对功率谱密度进行积分, 可得平稳过程的总功率:PR) 0 (\uf0f2上式从频域的角 度给出了 过程平均功率的计算法。\uf0d8 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度也就是说每一样本函数的谱特性都能很功率谱密度。 也就是说, 每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。