§ 8.2 运用公式法——立方和(差) 公式(一)一、 教学过程(一) 复习提问1、 完全平方公式;2、 乘法公式中的立方和(差) 公式;(二) 新课1、 引入:将乘法公式中的立方和(差) 公式反过来用, 就得到了因式分解的立方和(差) 公式了。a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2)将立方和(差) 公式用语言叙述(请学生回答) : 两个数的立方和(或者差) , 等于这两个数的和(或差) 乘以它们的平方和与它们积的差(或和) 。2、 分析公式:教师提问:(1) 在立方和(差) 公式中, 分解后的第一个因式是和(或差) 由谁决定?(2) 第二因式中两数乘积的符号与第一个因式有无关系?(3) 第二个因式中两数乘积的符号与第一个在式有无关系?以上三问题由学生回答后, 教师再归纳答案: 分解后的第一个因式是和还是差是由前面是立方和还是立方差决定的, 如果是立方和, 那么后面第一个因式就是两个数的和, 如果是立方差, 第一个因式就是两上数的差。 学习知识• 那一年我们都哭了我喜欢那些让我笑起来的人, 就算是我不想笑的时候。 第二个因式不是完全平方式, 完全平方式应该是两上数的平方和加(或减) 这两个数乘积的2倍, 而立方和(差公式中的第二因式只是这两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积。第二个因式的两数积的符号是和第一个因式是和还是差密切相关, 若是和则第二个因式中两数积的符号为负, 则第二因式中两数积的符号就为正。3、 例题:请学生举两个立方和、 立方差的例子。x3+8,27-8a3例如:等等若将它们分解因式, 考虑到它们既不能提取公因式, 又不能用平方差、 完全平方公式, 因此就考虑用立方和(差0公式。对照立方和公式我们来看 x3+8x3+8= x3+23=( x2-x2+4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)再对照立方差公式看27-8a327-8a3=33-(2a)3=(3-2a)(9+3·2a+4a2a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2)=(3-2a)(9+6a+4a2) 说明类似这样的多项式, 可以处用立方和(差) 公式来分解因式。例1 把下列各式因式分解:(1) 27-x6解: 27-x6=33-(x2)3=(3-x2)[32+3·x2+(x2)2]=(3-x2) (9+3x2+ x4)说明:x6可以看成是 x2的立方, 因此可以用立方差公式, 对于结果中的 3-x2这个因式还能继续分解吗? 为什么? (请学生回答)不能再继续分解了, 因为没有一个有理数的平方能够等于3。33ba(2) 1+分析: 让学生观察题目的特点: 1可以看在是13,可以看成是的立方, 这样就可以利用立方和公式了。解: 1+=1+( )3=(1+ )(1-2+ ) 4833aba8a2ab833aba2ab2abab22ba 课堂练习:1、 填空:(1) 64a3=( )3; (2) 125n6( )3;(3) 0.001x3=( )3; (4) -27a3b3=( )32、 把下列各式因式分解:(1) a3+1 (2) 1-3m3(3) 1-27y3 (4) 27+x3注意: 由于立方是一个数的奇次幂, 因此立方后的符号和底数的符号是一致的, 这一点平方有区别, 练习中的-27a3b3=(-3ab)3, 而在平方米关系中如(p-q)2=(q-p)2是可以的, 而在立方关系中这个等式不能成立。例2 将多项式27m3-n3分解因式分析: 27m3可以看成是(3m)3, 因此可以用公式。解: 27m3-n3=(3m)3-n3=(3m-n)( 9m2|+3mn+n2) 说明: 注意后面因式中的符号以及积不能写成2倍, 这是学生最易出错的地方, 教师上课定要反复说明。 若将此题改成-27m3+n3怎样解? 把此题作为课堂练习一种方法: 可以看在是-3m 与n 的立方和另一种方法: 根据加法交换律, 可以写成n3-27m3, 再用立方差公式分解因式课堂练习:将下列各式分解因式:(1)8p3-q3;(2)125m3+8n3;(3)Q3+8b3;(三) 小结