教育经验与德育园地 对微分方程解的存在唯一性的研究 李勃 哈尔滨师范大学 黑龙江省哈尔滨市 150000 摘 要:大量的微分方程无法用初等解法求出它的通解,但实际问题中所需要的往往是满足某 种 初始 条件 的解 ,因 此对 解的 存在 唯一 性的 探究 显 的尤 为重 要.本 文举 例说 明一 阶微 分方 程解 的存 在 唯一性. 关键词:微分方程 解的存在性 解的唯一性 格朗瓦尔不等式 所谓微分方程的初值问题 dy dx = f ( x, y), y ( x0 ) = y0 的 解是指在定义 区间上的连 续可微函数 ( ) y = y ( x) ,使得在 x 的导数值恰好等于 f x, y ( x ) ,并且满足初始条件 y ( x0 ) = y0 .现在微分方程 初值问题的解的存在唯一性已被广泛地研究. 微分方程初值问题的解是在某一个区间上存在的,例如初值问题 dy = y2 , y (0) = 1 dx 的解是 y = 1 ,它在 (-?,1) 上存在.而同一方程满足初值问题 y (1) = -2 的解为 y = 2 ,它的 1- x 1- 2x 存在区间为 ? ?è 1 2 , +? ? ÷? .对于一般方程,我们不 可能 通过求 其解 析解的方法来 说明它有唯一解 或多个解. 因此需要一种方法来研究它有唯一解或多个解. 一、解的存在唯一性定理 { } 定理 1 (解的存在性) 设在矩形区域 D = ( x, y ) ? R2 a < x < b, c < y < d 内连续,如果说 ( x0 , y0 ) ? D , 则 存 在 e > 0 和 函 数 y ( x) , 定 义 于 区 间 ( x0 - e , x0 + e ) 内 , 是 初 值 问 题 dy dx = f ( x, y) , y ( x0 ) = y0 的解. 注:对于初值问题 dy dx = f ( x, y), y( x0 ) = y0 只要 f ( x, y ) 连续,就一定有解在某一区间上存在.如果确定存在区间的 e 很小,那么解的存在范围 可能就很小,也就是说,解只可能短时间存在,必须注意存在性定理对解的区间存在性的限制. 定义 1 (利普希茨条件、利普希茨常数) 函数 f ( x, y ) 在矩形区域 { } R = ( x, y) ? R2 x - x0 ? a, y - y0 ? b 连续.如果有常数 L >0,使得对所有 ( x, y1 ) ,( x, y2 ) ? R 都有 - 197 - 教育经验与德育园地 f ( x, y1 ) - f ( x, y2 ) ? L y1 - y2 , 则称 f ( x, y ) 在 R 上关于 y 满足利普希茨条件, L 称为利普希茨常数. 定理 2 (解的唯一性)若 f ( x, y ) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希茨条件.如果 ( x0 , y0 ) ? D , 并且 y1 ( x ), y2 ( x ) 是初值问题 dy = dx f ( x, y), y (x0 ) = y0 在区间 ( x0 - e , x0 + e ) 内的两个解,那 么对任意的 x ? ( x0 - e , x0 + e ) , y1 ( x) = y2 ( x ) 即解是唯一的. 注:解的唯一性定理可以使用格朗瓦尔不等式来验证. 定义 2 (格朗瓦尔不等式) 设 x (t ), L(t ) ? C ([a,b], R) ,C ? 0 为常数,满足 0 ? x(t) ? C + ò tL(s) a x(s ) ds, "t ?[a, b] 则 "t ?[a, b] ,有 0 ? x (t ) ? C ? exp é ê ? ò t L a ( s ) ds ù ú ? 特别当 C = 0 时, x (t ) ? 0 , "t ?[a,b] . 二、定理的应用 例 讨论初值问题 dy =1+ y2, y(0) = 0 dx 解存在唯一的区间. 解 : 对任意给定的正数 a, b ,函数 f ( x, y ) = 1+ y 2 均在矩形区域 R = {( x, y) x ? a, y ? b} 内连续,且对 y 有连续的偏导数.计算 M = max f ( x, y) = 1+ b2 ( x, y)?R h = min ìía, ? 1 b +b 2 ü ? ? 由于 a和 b 都可以任意取,我们先取 b ,使得 b 1+ b2 最大,显然 b = 1时, 1 b +b 2 = 1 2 为b 1+ b2 的 最大 值. 故可 取 a = 1, b = 1 , 此时 由定 理 2.1 得到的初值问题解的存在唯一的区间是 -1 ?x?1 . 2 2 用解的存在唯一性定理一次时最多能得到此题解在 x ? 1 内存在,但是为了使问题的结果更好,可 2 以再一次使用解的存在唯一性定理.令 y1 = y ? ?è 1 2 ? ÷? ,以点 P1 = ? ?è 1 2 , y1 ? ÷? 为矩形区域中心,讨论新的 - 198 - 教育经验与德育园地 初值问题 dy dx = 1+ y2, y ? ?è 1 2 ? ÷? = y1 这样就可以使初值问题解的存在唯一区间向右扩展.在矩形区域 R1 = ìí( x, y) ? x-1 2 ? a, y - y1 ü ? b? ? 中有 M = max ( x, y)?R1 f ( x, y) = 1+ ( y1 + b)2 , h = min ì?ía, ?? 1+ ( b y1 + b )2 ü? ? ?? ( ) 当 b = 1+ y12 时, 1+ ( b y1 + b)2 取得最大值 h1 = 1+ 1 + y12 y1+ 1 + y12 2 .故我们取 b = 1 + y12 , a=h , 可以得到上题的解在 1 2 ? x ? 1 2 + h1 上存在.这样,将两次得到的解结合起来,我们得到了初值问题的 解存在区间 1 2 ? x ? 1 2 + h1 ,已 经 将解 的 存在 区 间向 右 扩展 了 一步 .这 一 过程 当 然还 可 以重 复 下去 .事 实上,初值问题的解是 y = tan x ,它的存在区间是 x < p . 2 三、结束语 本文重点介绍了常微分方程解的存在唯一性定理,并列举了三个实例来说明常微分方程中解的存 在唯一性的重要应用. 参考文献 [1]王高雄,常微分方程.高等教育出版社,2004 [2]周义仓,秦军林,常微分方程及其应用.科学出版社,2005 [3]王玉文,史俊平,侍述军,刘萍,常微分方程简明教程.科学出版社, 2010 [4]张芷芬,丁同仁,黄文灶,董振喜,常微分方程定性理论,科学出版社,1985 - 199 -