阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之 一。 理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有: 弹性力(k 为弹簧的劲度系数,x 为振子偏离平衡位置的位移): Fs = ? kx 阻尼力(c 为阻尼系数,v 为振子速度): 假设振子不再受到其他外力的作用,于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动 方程: 其中 a 为加速度。 [编辑] 运动微分方程 上面得到的系统振动方程可写成如下形式,问题归结为求解位移 x 关于时间 t 函数的二阶常微分方程: 将方程改写成下面的形式: 然后为求解以上的方程,定义两个新参量: 上面定义的第一个参量,ω n,称为系统的(无阻尼状态下的)固有频率。 第二 个参量,ζ ,称为阻尼比。根据定义,固有频率具有角速度的量纲,而阻尼比 为无量纲参量。 阻尼比也定义为实际的粘性阻尼系数 C 与临界阻尼系数 Cr 之比。 ζ = 1 时,此时的阴尼系数称为临界阻尼系数 Cr。 微分方程化为: 根据经验,假设方程解的形式为 其中参数 一般为复数。 将假设解的形式代入振动微分方程,得到关于 γ 的特征方程: 解得 γ 为: [编辑] 系统行为 欠阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的典型位移-时间曲线 系统的行为由上小结定义的两个参量——固有频率 ω n 和阻尼比 ζ ——所决定。 特别地, 上小节最后关于 γ 的二次方程是具有一对互异实数根、 一对重实数根还 是一对共轭虚数根,决定了系统的定性行为。 [编辑] 临界阻尼 当 ζ = 1 时, 的解为一对重实根,此时系统的阻尼形式称为临界阻尼。现实生 活中,许多大楼内房间或卫生间的门上在装备自动关门的扭转弹簧的同时,都 相应地装有阻尼铰链,使得门的阻尼接近临界阻尼,这样人们关门或门被风吹 动时就不会造成太大的声响。 [编辑] 过阻尼 当 ζ > 1 时, 的解为一对互异实根,此时系统的阻尼形式称为过阻尼。当自动 门上安装的阻尼铰链使门的阻尼达到过阻尼时,自动关门需要更长的时间。 [编辑] 欠阻尼 当 0 < ζ < 1 时, 的解为一对共轭虚根,此时系统的阻尼形式称为欠阻尼。在欠 阻尼的情况下,系统将以圆频率 相对平衡位置作往复振动。 [编辑] 方程的解 ? 对于欠阻尼体系,运动方程的解可写成: 其中 是有阻尼作用下系统的固有频率,A 和 φ 由系统的初始条件(包括振子的初始 位置和初始速度)所决定。该振动解表征的是一种振幅按指数规律衰减的简谐 振动,称为衰减振动(见上图中 ? 的位移-时间曲线所示)。 对于临界阻尼体系,运动方程的解具有形式 其中 A 和 B 由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周 期运动。 ? 对于过阻尼体系,定义 则运动微分方程的通解可以写为: 其中 A 和 B 同样取决于初始条件,cosh 和 sinh 为双曲函数。该振动解表征 的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以 看出,过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。