3.1.3 导数的概念和几何意义(1 ) 一、教学目标 (一)知识目标 1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. 2.通过函数图象直观了解导数的几何意义. (二)能力目标 掌握用定义法求函数的导数的一般步骤,并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题. (三)情感目标 通过“极限法”的学习,提高学生的数学素质,加强学生分析问题和解决问题的能力,认识事物之间的相互联系,会用联系的观点看问题. 二、教学重点 导数的定义与求导的方法. 三、教学难点 对导数概念的理解. 四、教学过程: (一)复习引入 师:前面我们研究了两类问题,一类来自物理学,涉及平均速度和瞬时速度;另一类问题来自几何学,涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来? 生:这两类问题都涉及到以下几件事: (1)一个函数 f(x); (2)f(x+d)-f(x); (3)dx f d x f ) ( ) ( − +; (4)当 d 趋于 0 时,dx f d x f ) ( ) ( − +趋于一个确定的常数. 师:很好,我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域,但有着相同的数学模型,今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义. (二)探求新知 1.增量、变化率的概念 对于函数 ) , ( ), (0 0 0y x P x f y = 是函数图象上的一点, ) , (1 1y x Q 是另一点,自变量从x 0 变化为 x 1 时,相应的函数值有 y 0 变为 y 1 ,其中 x 1 -x 2 叫做自变量 x 的增量,记为 △ x, y 1 -y 0 叫做函数的增量(也叫函数的差分),记为 △ y,则 ). ( ) (0 1x f x f y − = ΔxyΔΔ叫做函数的变化率(或函数 ) (x f 在步长为 △ x 的差商). ★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限. ★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限. 2.导数定义 设函数 ) (x f 在包含x 0 的某个区间上有定义,如果比值dx f d x f ) ( ) (0 0− +在 d趋于0时,(d≠0)趋于确定的极限值,则称此极限值为函数 ) (x f 在 x=x 0 处的, 导数或微商,记做