向量的内积与外积 1、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作 向量 a 和向量 b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤ 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数,记作 a?b。 若 a、b 不共线,则 a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉; 若 a、b 共线,则 a?b=+(-)∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律); (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律); (a+b)?c=a?c+b?c(分配律); 向量的数量积的性质 aa a2。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1 、 向 量 的 数 量 积 不 满 足 结 合 律 , 即 : (a?b)?c≠a?(b?c) ; 例 如 : (a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b。 2、向量的向量积 定义:两个向量 a 和 b 的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作 a×b。若 a、b 不共线,则 a×b 的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉; a×b 的方向是:垂直于 a 和 b,且 a、b 和 a×b 按这个次序构成右手 系。若 a、b 共线,则 a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量 AB/向量 CD”是没有意义的。