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二重积分:
二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值;
举例说明:二重积分的现实(物理)含义:
二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高=立体体积二重积分计算平面薄皮质量,即:面积 × 面密度 = 平面薄皮质量
二重积分的定义式:
∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)d\sigma∬Df(x,y)dσ其中
x xx与 y yy叫做积分变量, f ( x , y ) f(x,y)f(x,y)叫做被积函数, d σ d\sigmadσ叫做面积元素, D DD叫做积分区域
二重积分的表达形式:
1、直角坐标形式: ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint_Df(x,y)dxdy∬Df(x,y)dxdy其中 d x d y 叫做直角坐标系中的面积元素dxdy叫做直角坐标系中的面积元素dxdy叫做直角坐标系中的面积元素
2、极坐标系形式: ∬ D f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ d θ \iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ其中 ρ d ρ d θ \rho d\rho d\thetaρdρdθ叫做极坐标系中的面积元素
二重积分的计算法:将二重积分转化为二次积分计算
1、在直角坐标系下, f ( x , y ) 中x的取值区间为[x0,x1],则可推到出y的取值区间为[g(x0),g(x1)]f(x,y)中x的取值区间为[x_0,x_1],则可推到出y的取值区间为[g(x_0),g(x_1)]f(x,y)中x的取值区间为[x0,x1],则可推到出y的取值区间为[g(x0),g(x1)],则有 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ x 0 x 1 d x ∫ g ( x 0 ) g ( x 1 ) f ( x , y ) d y \iint_Df(x,y)dxdy = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{g