向量的内积(点乘)
定义
概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:
a和b的点积公式为:
这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)
定义:两个向量a与b的内积为a·b= |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a=a·0= 0;若a,b是非零向量,则a与b****正交的充要条件是a·b= 0。
向量内积的性质:
a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a= 0. (正定性)a·b=b·a. (对称性)(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).|a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.
向量内积的几何意义
内积(点乘)的几何意义包括:
表征或计算两个向量之间的夹角b向量在a向量方向上的投影
有公式:
推导过程如下,首先看一下向量组成:
定义向量c:
根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:
根据关系c=a-b有:
即:
a∙b=|a||b|cos⁡(θ)
向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:
θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:
a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间
a∙b=0→ 正交,相互垂直
a∙b