本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 定义 对于线性非时变离散时间系统来说,若序列x(n)是系统的输入,h(n)是系统在单位脉冲作用下的单位脉冲响应,则由于输入序列x(n)可表示为一系列脉冲的线性组合,所以,根据线性系统的叠加性质,系统的输出在系统初始不储能的条件下(零状态响应)可由图1式求得。 上式在运算过程存在序列的翻转、移位、相乘和相加,所以称为卷积和。x(n)*h(n)表示两个序列相卷煮射婚挨积的运算符号,驼去巩故式①也就是卷积的定义式。为了与离散傅里叶变换的循环卷积以及周期序列的周期卷积相区别,通常所指的卷积又称为线性卷积。卷积运算符合交换率,可写成另一种等效形式。 线性卷积的计算可以用解析法,也可以用图解法。若两 个序列的长度分别为N1和N2,则卷积结果的总长度应为L=N1+N2-1。 同理,对线性非时变连续系统来说,若连续时间信号x(t)是系统的输入,h(t)是系统在单位脉冲作用下的单位冲激响应,则系统在零状态的输出为它们的卷积积分。 线性卷积是数字信号处理中最常见的一种基本运算,不仅用于系统分析还用于系统设计。如果代表滤波器的脉冲响应则卷积运算就是一种线性滤波,y(n)是信号x(n)通过滤波器后的响应。 基本理论 线性卷积是对线性移不变(LSI)系统的输入输出关系的描述,体现系统的特性。 线性卷积的表达式为图3,一般情况,现实的系统为因果系统,有k=max(N1,N2),定义它们的N点圆周卷积为如图6。 圆周卷积与线性卷积之间的关系:当有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2,取N>=max(N1,N2),当N>=N1+N2-1,则线性卷积与圆周卷积相同。 对于线性卷积,一般直接比较麻烦,由上可知当取点数足够多时(点数不够补零),可求解圆周卷积即可,而圆周卷积又可通过FFT实现,从而实现线性卷积通过FFT和IFFT实现。