第六节 行列式按一行(列)展开 一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则 1 第二章 行列式 a11 ? a1k ? ? 0 b11 ? b1n ? ? bn1 ? bnn 例ak1?akk 设D? c11 ? c1k ? ? c n1 ? c nk b11 ? b1n a11 ? a1k ? , D1 ? det(a ij ) ? ? ? , D2 ? det(bij ) ? ? bn1 ? bnn a k 1 ? a kk 证明 D ? D1 D2 . 2 2 ? 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行(列)展开 第二章 行列式 证明 对D1 作运算 ri ? krj,把D1 化为下三角形行列式 p11 0 设为 D1 ? ? ? ? p11 ? pkk ; pk 1 ? pkk 对D2 作运算 ci ? kc j , 把D2 化为下三角形行列式 q11 0 设为 D2 ? ? ? ? q11 ?qnn . qn1 ? pnk ? 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行(列)展开 3 3 第二章 行列式 对D的前 k 行作运算 ri ? krj,再对后 n 列作运 算ci?kc j , 把D化为下三角形行列式 p11 ? ? 0 q11 ? ? q n1 ? qnn , pk 1 ? pkk D? c11 ? c1k ? ? c n1 ? c nk 故D?p11 ? pkk ? q11 ?qnn ? D1 D2 . ? 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行(列)展开 4 4 第二章 行列式 例 计算 1 2 3 0 0 2 1 0 0 0 D ? 1 0 1 0 0. 1 0 6 4 3 1 2 3 4 3 解D? 2 1 0? 2 1 1 0 1 ? ?1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ? 2 ? 2 ? 1? 0 2 4 2 1 ? ?4 ? 1 ? 3 ? 2? ? ?? 6? ? ?? 2? ? 12. ? 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行(列)展开 5 5