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基本概念
这里介绍的基本概念都是来自现代概率,建立在各种集合理论、测度论之上,与古典概率(\(\frac{期望结果}{全体结果}\))在定义上有着许多不同。
样本空间
概率论中,样本空间是一个实验或随机试验所有可能结果的集合,而随机试验中的每个可能结果称为样本点。通常用\(S\),\(\Omega\)或\(U\)表示。例如,如果抛掷一枚硬币,那么样本空间就是集合\(\{正面,反面\}\)。如果投掷一个骰子,那么样本空间就是\(\{1,2,3,4,5,6\}\)。
这个比较好理解,就是全体可能出现的结果的集合。
概率空间
概率空间\(( \Omega , F , P )\)是一个总测度为1的测度空间(即\(P ( \Omega ) = 1\)).
第一项\(\Omega\)是一个非空集合,有时称作“样本空间”。\(\Omega\)的集合元素称作“样本输出”,可写作\(\omega\)。
第二项\(F\)是样本空间\(\Omega\)的幂集的一个非空子集。\(F\)的集合元素称为事件\(\sum\)。事件\(\sum\)是样本空间\(\Omega\)的子集。集合\(F\)必须是一个σ-代数:
\(\Phi \in \mathcal { F }\);若\(A \in \mathcal { F }\),则\(\overline { A } \in \mathcal { F }\);若\(A _ { n } \in \mathcal { F } , \quad n = 1,2 , \ldots\),则\(\bigcup _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } \in \mathcal { F }\)
\(( \Omega , F )\)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合,在此集合上可定义其概率。 第三项\(P\)称为概率,或者概率测度。这是一个从集合\(F\)到实数域\(R\)的函数,\(P : F \mapsto R\)。每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值。 概率测度经常以黑体表示,例如\(\mathbb { P }\)或\(\mathbb {Q}\),也可用符号”Pr”来表示。
这段话是对概率空间的一个严