题目
如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合),过点A作AF⊥AE,交边CB的延长线于点F,连接EF交边AB于点G.(1)求证:BF=2DE;(2)若FE平分∠AFB,连接CG,求证:四边形AGCE为菱形;(3)当点E在边CD上移动时,AEG能否成为等腰三角形?如果能,请直接写出线段DE的长;如果不能,请说明理由.初中数学
四边形综合题
解析
(1)根据题意和相似三角形的判定定理证明ABF∽ADE,根据相似三角形的性质证明即可;(2)证明AFE≌CFE,得到FA=FC,得到AFG和CFG,得到四边形AGCE为平行四边形,又EA=EC,根据菱形的判定定理证明结论;(3)分AG=AE,GA=GE,EA=EG三种情况,根据全等三角形的性质、相似三角形的性质计算即可.
解答
(1)证明:∵AF⊥AE,∴∠FAB+∠GAE=90°,又∠DAE+∠GAE=90°,∴∠FAB=∠DAE,又∠ABF=∠ADE=90°,∴ABF∽ADE,∴BFDE=ABAD=2,∴BF=2DE;(2)证明:∵FE平分∠AFB,AF⊥AE,∠ECF=90°,∴EA=EC,在AFE和CFE中,⎧⎨⎩∠AFE=∠CFE∠FAE=∠FCEFE=FE,∴AFE≌CFE,∴FA=FC,∴AFG和CFG,∴∠FAG=∠FCG,∴∠DAE=∠FCG,∴∠AED=∠GCD,∴AE∥GC,又AG∥EC,∴四边形AGCE为平行四边形,又EA=EC,∴四边形AGCE为菱形;(3)解:当四边形AGCE为菱形时,AG=AE,设DE为x,则(4-x)2=22+x2,解得x=32;当GA=GE时,∠GAE=∠GEA,∴∠GAF=∠GFA,∴GA=GF,即G为FE的中点,则FB=BC=2,∴DE=12FB=1;当EA=EG时,∠EAG=∠EGA,∴∠FAB=∠GFB,∴FAB∽GFB,∴BF2=BG•BA,设DE=y,则AG=2y,GB=4-2y,FB=2y,4y2=(4-2y)×4,解得y=√5-1.则DE=√5-1.