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三维欧式空间点到直线的距离计算方法。
使用叉积的表示方法
直线用固定点O对应的向量o⃗和直行的方向单位向量a⃗0 表示;任意点Q 对应的向量q⃗。 则利用向量叉积或外积的几何意义,外积的模等于两个向量为邻边的平行四边形的面积,从而可以得到三维空间点到直线的距离公式。
所用到的叉积或外积,仅在三维空间有定义,所以,适用范围也仅限三维空间。因为点和直线没有在上关系时恰好唯一确定一个平面,所以,图示可以仅用二维图表示。
http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html
叉积的定义方法,
最舒服的应该是:
a×b=[a]×b=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥⎡⎣⎢b1b2b3⎤⎦⎥
其中一个关键的反对称矩阵的定义是这样的:
[a]×=def⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥
这个表示方法在计算机视觉的针孔相机标定中有特殊重要的地位。
我感觉这个表示方法比常见的如下的计算行列式的办法舒服些:
u×v=∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣
要想了解更多,请看维基百科;尽量英文版本,内容丰富准确。
不使用叉积的定义方法
不使用叉积也能轻松表达。当然不是直接代数结果的形式。我说的是使用矩阵。投影矩阵。这个办法实际上在另外一篇博客里面已经使用过。
其几何意义是:
(1)计算直线外的点P与直线上固定点X之间的差值向量;
(2)计算沿直线方向W的初等平行投影矩阵;
(3)把差值向量PX沿直线方向作投影得到新向量。新向量的模就是点P到直线XW的距离。
具体的公式此处就不再写了。