例1.解方程.(x一1)/(2+x)=(3一x)/(2十x)+2
解:方程两边同乘(2+x),得
x一1=3一x+2(2+x)
整理得0x=8
此方程无解,所以原分式方程无解.
例2,解方程x/(x一1)一1=3/[(x一1)(x+2)]
解:方程两边同乘(x一1)(x+2),得
x(x+2)一(x一1)(x+2)=3
整理得x十2=3
解得x=1
检验,x=1时,(x一1)(x+2)=0,故x=1是原分式方程的增根,原分式方程无解.
以上两例造成分式方程无解的原因不同,例1方程无解是因为分式方程化为整式方程后,整式方程本身无解,例2是分式方程化为整式方程后,整式方程有解,但这个解是增根,则原分式方程无解.
三.有增根的分式方程就是无解方程,无解的分式方程一定有增根吗?
有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根.如,
解方程:2x/(x十1)十1/(x²十x)=(x十1)/x.
解:去分母,得x(x一2)=0
解得x=2或x=0,此时x=0是增根,原方程并非无解,还有一根x=2,而像方程(x十2)/x=1,去分母化为,0=一2,此方程虽无解,但原方程无增根.
四.在分式方程有增根或无解条件下,如何求含参数的值呢?
(一)在分式方程有增根条件下求参数的值
我们知道,增根不是原分式方程的根,但它是去分母后所得整式方程的根,同时增根还能使原方式方程的最简公分母为零.利用这一点就能解一类含参数的习题.