由于墨卡托投影为了保证投影后达到等角航线(航向角和经度所成的夹角保持不变),那么可以认定
。
等等,各位看到这里肯定会问,墨卡托设计的为什么需要等角航线?为什么是要和经度夹角而不是维度夹角?其实我写的时候也想了下,我们不妨大胆猜测下:
墨卡托设计出来的投影是为了航海用的,当时航海导航全靠指南针,指南针指向南北两极,与经线平行,那么要根据地图找到航行路线上的陆地的话,一定要根据地图上的所指的角度进行航线行驶(想象下航海电影中主角拿出地图,地图上压着个指南针,然后用尺子画出两点的直线,再量下这条直线和经线的夹角,最后指挥舵手往哪里哪里打几度方向。电影果然没欺骗我们)。
回归正题,由于
,那么
可得出
那么根据
得
的原函数为
,
的反函数
称为高德曼函数
,
(这里由于为了和截图对应需要把
变为了
)