将多面体的投影看作球面多面体,显然其拓扑结构与原多面体相同,则其欧拉示性数不变,于是只需证明该多面体的欧拉示性数满足欧拉多面体公式。借助引理2计算各球面多边形的面积,相加后即为单位球面的面积($4\pi$),得到等式$$ 2 \pi V - 2 \pi E + 2 \pi F = 4\pi $$两边同时除以$2\pi$即得$$ V - E + F = 2 $$证毕。之后,在1811年,柯西(Augustin-Louis Cauchy)也给出了一个截然不同的证明。他所用到的工具是图论(graph theory)以及三角剖分。考虑将一个凸多面体「压扁」成一个图。对于图,同样可以定义顶点数V、边数E、面数F,以及欧拉示性数$\chi$。需要留意的是,在压扁的过程中丢失了一个面,即轮廓之外的区域。因此,只需要证明这个图满足
$$ V - E + F = 1$$下一步,给图中所有非三角形的多边形添加对角线,直到图中所有多边形均为三角形。每添加一条对角线将一个面一分为二,$E$增加1,$F$也增加1,但$\chi$保持不变。接下来,重复以下步骤:通过去除一条或两条边,每次去除一个面,直到只剩下一个三角形为止。通过类似的方法也可以验证这一操作不会改变$\chi$。对于一个三角形,$$ \chi = V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1 $$由于以上操作均不改变$\chi$,因此最初的图的欧拉示性数也为1,即凸多面体的欧拉示性数为2,证毕。