例1.若$F'(x)=f(x)$,且在$[a,A]$中无瑕点,则
\[\int_a^A f(x)=F(A)-F(a) \]
若同时$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$存在有限,则
\[\int_a^{+\infty} f(x)=F(+\infty)-F(a) \]
例2.
\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin(bx)dx, a>0 \]
例3.
\[\int_0^{+\infty}\sin(x)dx \]
\[F(x)=-\dfrac{a\sin(bx)+b\cos(bx)}{a^2+b^2}e^{-ax} \]
由$F(+\infty)=0, F(0)=-\dfrac{b}{a^2+b^2}$,可得
\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin(bx)dx=\dfrac{b}{a^2+b^2} \]
类似有
\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{a}{a^2+b^2} \]
\[=\cos(x)|_0^{+\infty} \]
$\cos(x)$在$+\infty$处无极限
无穷积分收敛性的判别
无穷积分定义:
\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx \]
定理1.(Cauchy收敛准则)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续,则无穷积分$\int_a^{\infty}f(x)dx$收敛的充要条件为,对$\forall \epsilon>0$,$\exists B=B(\epsilon)>a$,使得
\[\left|\int_{b_1}^{b_2}f(x)dx\right|B \]
定理2.(绝对收敛则收敛)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续,且无穷积分$\displaystyle\int_a^{\infty}|f(x)|dx$收敛,则积分$\displaystyle\int_a^{\infty} f(x) dx$收敛
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例4.(非Cauchy收敛)判定无穷积分的敛散性<