概述
在几何光学中,从光的折射、全反射、光的色散到透镜成像,贯穿始终最关键的就是光的折射定律。光的折射定律指出:折射光线总在入射光线和法线所决定的平面内,折射光线和入射光线分居于法线的两侧;入射角的正弦和折射角的正弦之比,对于任意给定的两种介质来说是一个取决于这两种介质绝对折射率的常数。假定入射光所在介质的折射率为n。,入射角为i,折射光所在介质的折射率为n:,折射角为r,则折射定律的表达式为:n12=sinθ1/sinθ2。
由于光的折射定律在几何光学中的重要性,为了让学生全面了解和牢牢地掌握该定律,很有必要在实验验证的基础上给学生一个完整的推导证明,然后再应用折射定律解释一些与光的折射有关的自然现象,例如海市蜃景。
费马原理推导广
通常,光波的波前是可以利用透镜、棱镜、衍射元件如光栅和全息图等光学元件通过相位变化的逐渐累积而被调控的,变换光学提出以后¨ ,控制光波波前的思想得以更进一步的发展,各种控制和变换光波波前的新型的光学器件被设计出来,例如,利用超材料使光线反常弯曲,产生了负折射现象,实现了平面波和球面波的转换等,这些控制光波波前的方法是基于麦克斯韦方程组的坐标协变性和坐标变换的思想提出的,与此不同的是,研究者们在光路中引入波长尺度的相位突变可以产生新的控制波前的自由度,同时,光的传播符合费马定理。这样,我们就可以从费马原理出发推导出广义的折射和反射定律。[1]
定律推导
如图1所示,一束光从折射率咒 的介质1入射到折射率 的介质2,电场矢量在垂直于入射面方向的分量称作s波,平行于入射面的分量称作P波,坐标系中 轴垂直纸面向外,根据电磁场的连续条件吲列出电场的S波在界面处满足的方程:
中时间部分和空间部分分离,并令入射光、反射光和折射光中的S波复振幅分别为:
求一阶导数并化简可得:
的两边会发现其右边与时间无关,而左边却含有exp Ei(Am 一∞z) ]时间因子,只存在两种可能,第一种,当一O时,方程的左边为零(即与时间无关),这就要求方程的右边也为零,即有Am一0;第二种,当叫 一∞ 时,则因子:
将这一结果代人式(3)并整理后可得:
仔细观察式(6),其左边为一个不为零的常量,这就要求方程右边与时间无关,即有∞ =0。综合上述两种情况均可得出同一个结论,即反射光束和折射光束的角频率都与