高中数学分组分配问题,什么情况下要除以一个全排列? 平均分组,一定要除以组数的全排列。 ? 分组不同于排列,因为排列要顺序,而分组,组与组之间是没有顺序的。 例如:把1,2,3,4,5,6分为三组每组两个,可能是(1,2)(3,4)(5,6)也可能是(1,2)(5,6)(3,4)或者(5,6)(1,2)(3,4)和(5,6)(3,4)(1,2)和(3,4)(1,2)(5,6)和(3,4)(5,6)(1,2).一共有A(3,3)种不同的组别,但这些组都是一样的,所以得除以A(3,3)[就是组数的全排列]. 又例如: 6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法 1.分给甲乙丙三人,每人2本; 2.分为三堆,每堆2本. 解:1. 先给甲:六本选两本,选法为: 6*5除以2=15 再给乙:四选二,选法为: 4*3除以2=6 剩下就是丙的了,选法为:C(2,2)=1 所以分给甲乙丙三人,每人2本;不同的选法为:15*6=90 即不同的选法为: C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=15*6*1=90; 2. 因为每次挑2本作为一堆,实际上是考虑了顺序的,会有重复,重复数为堆数的全排列A(3,3),故需把分好的三堆的选法数[C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)],除以堆数的全排列A(3,3),得不同的选法为: [C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)]/A(3,3)=15. 问题关键在于理解排列与组合的区别:组合是无序的,排列是有序的。 ?分成3堆的话3个元素进行有序组合,相同的3个元素一共有3的阶乘种排列方法,而题2.分为三堆,每堆2本.要求的是无序的组合,所以除以3的阶乘。就是排列组合学上所说的消序,也可以理解成消去重复元素的意思,比如12 ,21是两种排列,却是一种组合,平均分组需消去重复元素,即组合只有一个,需除以二的阶乘,原理是一样的。 当然题1.分给甲乙丙三人,每人2本。也可这样解:先分成三堆,每堆2本。不同的分法为: [C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)]/A(3,3)=15. 再把三堆分给甲乙丙三人,不同的分法为: A(3,3)=6. 由乘法原理得,分给甲乙丙三人,每人2本的分法为: 15*6=90. ???