1、平均变化率
(1)平均变化率的概念
般地,对于函数
是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式子
表示,我们把这个式子称为函数
从
到
的平均变化率,习惯上用
表示,即平均变化率为
上式中
的值可正可负,但
不为0.
为常数函数时,
.
(2)求函数的平均变化率的步骤
①求自变量的增量:
;
②求函数值的增量:
;
③求函数的平均变化率:
.
(3)平均变化率的几何意义
(3)平均变化;的几何意义
设
是曲线
上任意不同的两点,函数
的平均变化率
为割线
的斜率,如图
(4)平均变化率的物理意义
平均变化率的物理意义是运动规律为
的物体在某一时间段内的平均速度.
温馨提示
(1)
是一个整体符号,而不是
与
相乘
(2)
,
是定义域内不同的两点,因此
,但
可正也可负;
是对应
的改变量,
的值可正可负,也可为零.因此,平均变化率可正可负,也可为零.
(3)注意自变量与函数值的对应关系,公式中若
,则
;若
,则
.
(4)在平均变化率中,当
取定值后,
取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当
取定值后,
取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.
2、瞬时速度
如果物体的运动规律是
,那么物体在时刻
的瞬时速度
就是物体在
到
这段时间内,当
时平均速度的极限,即
.
温馨提示
①瞬时速度实质是平均速度当
时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度
,再对平均度取权限.
3、导数
一般地,函数
在
处的瞬时变化率是
.
我们称它为函数
在
处的导数,记作
,
即
.
温馨提示
①当
时,若比值
的极限存在,则
在
处可导;若
的极限不存在,则
在
处不可导或无导数.
②自变量的增量
可以为正,也可以为负,但