权方和不等式的巧妙应用 郭鸿伟1 王娅 权方和不等式简介: 若ai > 0, bi > 0则 2 a 2 (a + a + an ) 2 a12 a2 + + + n ≥ 1 2 成立 b1 b2 bn (b1 + b2 + bn ) 当 ai = λbi 时,等号成立。利用权方和不等式可以巧妙的解决一些极值问题并且可以方便的 证明一些数学竞赛中关于不等式的命题。现举例如下: 例 1、已知 a,b,c 均大于 0,且 a+b+c=1 ,求证: a + b + c ≤ 3 2 2 2 ( a + b + c )2 a b c 证明: a + b + c = + + ≥ 1 1 1 (1 + 1 + 1) 所以: 1 ≥ ( a + b + c )2 a+ b+ c≤ 3 (1 + 1 + 1) + 例 2、已知 x、y ∈ R 且 1 + 2 = 1 ,求 x + 2 y 的最小值。 x y (1 + 2) 解: 1= 1 + 2 = 1 + 4 ≥ x y x 2y 即: x = 3 , y = 3 。 2 x + 2y x + 2 y ≥ 9 当 1 = 2 的时候等号成立。 x 2y 例 3、已知 a,b,c,d 均大于 1,且 1 + 1 + 1 + 1 = 3 a b c d 求证: a + b + c + d ≥ a 1 + b 1 + c 1 + d 1 证明:对于根号不等式的证明,一般要把根号去掉: 令: u= a 1 , v = b 1 , w = c 1 , t = d 1 则: a = u + 1 , b = v + 1 , c = w + 1 , d = t + 1 那么只要证明: u + 1 + v + 1 + w + 1 + t + 1 ≥ u + v + w + t 成立。 即: u + 1 + v + 1 + w + 1 + t + 1 ≥ u + v + w + t) ( 因为: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 + 1 + 1 + 1 = 3 u 2 + v 2 + w2 + t 2 = 1 u 2 + 1 v 2 + 1 w2 + 1 t 2 + 1 u 2 + 1 v 2 + 1 w2 + 1 t 2 + 1 作者简介:郭鸿伟(1983-) ,男,福建人,硕士研究生,研究方向:系统工程理论方法与实践 作者简介:王娅(1983-) 女,山东人、理学学士,硕士研究生,研究方向:初等数学解题方法 , 则: 1= u 2 2 2 2 (u + v + w + t) + v + w + t ≥ u 2 + 1 v 2 + 1 w2 + 1 t 2 + 1 u 2 + 1 + v 2 + 1 + w 2 + 1 + t 2 + 1 2 很明显原不等式成立。 权方和不等式还可以推广成如下形式: m m an +1 (a1 + a2 + an ) m +1 a1m +1 a2 +1 若 ai > 0, bi > 0, m > 0 则 m + m + + m ≥ 成立。 b1 b2 bn (b1 + b2 + bn )m 当 ai = λbi 的时,等号成立。 + 例 4、已知: a,b,c ∈ R 且 1 + 8 + 1 = 1 ,求 a + b + c 的最小值。 a2 b2 3 c2 (1 + 2 + 1) 解: 1= 1 + 8 + 1 ≥ a2 b2 c2 (a + b + c)2 (a + b + c) ≥ 8 ,当 1 = 2 = 1 时, a b c 即: a=2 , b=4 , c=2 时等号成立。 例 5、设 a > 1 , b > 1 ,求证: a2 b2 + ≥ 8 (第 26 届全俄竞赛题) b 1 a 1 证明: a2 b2 (a + b)2 ( a + b) 2 此时只需求出 的最小值即可。 + ≥ b 1 a 1 a + b 2 a+b2 x2 (x > 2) x2 令: f ( x ) = x2 4x 则: f ( x) = 令 f ' ( x ) = 0 得 x = 0 (不合题意) x = 4 ,很明显当 x = 4 的时候, 2 ( x 2) ' f ( x) 有最小值为 8。也就是当 a = 2 , b = 2 时候,不等式等号成立。 以上的几个例子可以看出, 利用权方和不等式可以很方便的解决一些不等式问题。 类似权方 和不等式这样的著名不等式还有很多,如:柯西不等式,Minkowski 不等式等,如果能熟练 掌握好这个不等式,那么对不等式解题是有很大帮助的。