§ 6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构00==线性方程组AX线性方程组AX的系数矩阵相同的齐次的系数矩阵相同的齐次(4. 1)\uf062与非齐次线性方程组 定义11\uf03dAX方程组) 。组(或对应的齐次线性称为(4. 1) 的导出 解;多个解,时, (4. 1) 有唯一时, (4. 1) 有无穷kX\uf02b\uf02b2\uf04c (2)(3);有解rank\uf03drank\uf02b1 (1)广矩阵, 则AX为(4. 1) 的增 ,(4. 1) 的系数矩阵矩阵A是线性方程组AA\uf03d(设 定理10nnAA\uf02brankArankAArankrankA\uf03d\uf03cAXns\uf03d\uf0db~~\uf03d\uf03d\uf0b4~),\uf062~\uf062\uf062的任意常数。r的一个基础解系,0=k,是导出组AXk1 , 称为特解。是(4. 1) 的一个解X\uf02d,\uf04c其中X1,通解为nrnrnrnkXXXkXkX\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d,,,,220210\uf04c 。量式子\uf061\uf02bnx(4. 1) 可表示为向\uf061\uf02bxx11,增广矩阵的列向量组为,为证明: 设A的列向量组\uf062\uf0612\uf062,\uf061,\uf061,\uf061\uf061,\uf061,\uf061\uf03d\uf02bnnnIII\uf04c\uf04c\uf04c22121)(,)(,可由(I) 线性表出,\uf062) 线性表出, 而(I)解,必要性: (4. 1) 有;得,,秩秩(II) 等价。\uf061\uf0611线性表出, 故(I) 与\uf061\uf06121可由(II)于是(II) 可由(IArankrankAnn~},\uf061,,{},\uf061,,{\uf03d\uf03d\uf062\uf04c\uf04c2 组的秩, 有II)(秩由部分组的秩不大于全IIIr)(\uf03d部分组,(IV) 是(II) 的\uf062,则极大无关组,(III) 是(I) 的设,, 则\uf061,\uf04c充分性: 若\uf061{1秩\uf061,\uf061,\uf061\uf061,\uf061,\uf061\uf062\uf061,\uf061{\uf061,\uf061,rrjjjjjjnnrrArank秩rankA,,},},~2121212\uf04c\uf04c\uf04c\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d,解。故方程组(4. 1) 有可由(I) 线性表出,从而(III) 线性表出,可由 \uf062,关。 由本章§ 2的例4) 线性相\uf061j,,2, 由秩的定义, (IV r即秩(IV),\uf061,\uf061\uf062rjjrIV)(1\uf04c\uf03d\uf0a3\uf0a3\uf03d秩秩 解解A意。 对于(4. 1) 的任\uf062(特解) , 有是(4. 1) 的一个解0只有零解。 设=AX(4. 1) 有解,\uf062(2)00AXXAXnArankrankA\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d\uf068\uf068(,~;是(4. 1) 的唯一解, 故00的解,=是导出组AX,,0000000XXXXAXAX\uf03d\uf03d\uf02d\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf068\uf068\uf068\uf062\uf062\uf068\uf068,) , 令, 令反之, 对任意常数反之, 对任意常数;, 即线性表出,\uf03d0kX0的解, 可由基础解系=导出组AX是, 由(2) ,(3)\uf068\uf068\uf068X\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf02d\uf02dX\uf03c\uf03d\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d\uf02d\uf02d221102211210,,,~ArnrnrnrnrnkkkkXkXkXXkXkXkXXXnrrankrankA\uf04c\uf04c\uf04c\uf04c是(4. 1) 的解。\uf078\uf062\uf062\uf078A\uf078\uf03d\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02bk\uf02b(\uf02b\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d\uf02d\uf02d022110221101),,,rnrnrnrnrnXkXXkAAXXkXkXkX\uf04c\uf04c 是任意常数。一般地, 对AX其中的全部解, 称为通解,\uf062是综上,rnrnrnkkAXXkXkXkX\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b,,\uf04c\uf04c122110化为阶梯形矩阵施行一系列初等行变换~阵β (4. 1) 的增广矩\uf03d\uf03dAA\uf062 ),(~(4. 1) 的通解。得出的一个基础解系, 就可0特解和的一个\uf067, 有解时, 求出是) 有解的充要条件同解。 于是, (4. 10~与同解,\uf067β 与, 则AX)0\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d\uf03dBXBXBXBrankrankBAXBXBB\uf067,( 的通解。