借这个题目介绍一下拓扑学里的一个经典问题,让学过一学期拓扑的初学者了解下现代拓扑学的口味。这个问题的名字我一说出来,不少数学爱好者必然会心一笑,它就是——球面线性无关向量场个数问题。
其实这个问题很自然:给定维数的球面,其上面可以容许的逐点线性无关的切向量场,最大数目是多少?换句话说,球面的极大平凡子丛的秩是多少?我们先看一些特殊的维数。
所有偶数维的球面都没有非零切向量场,也就是说它们没有平凡子丛。这是广义的毛球定理。当球面维数为2时,就是经典的毛球定理。用比较通俗的语言说,每一个毛球上面都有至少一个旋;或者从大气运动的角度说,如果风向跟地表相切的话,那么不管风在地表怎么分布,都存在一个静风点。我随便找了一篇相关的科普文章,希望即使完全没学过大学数学的人,也能有所收获:
而在奇数维的情形,我们知道,1,3,7维单位球面是可平行化的,也就是切丛平凡,所以它们对应的无关切向量场数目就是1,3,7。这得益于 存在于代数世界的3个可除代数:复数,四元数,八元数。其余维数球面,可以证明它们都是不可平行化的。到这里,应该有些人会觉得这个问题已经足够有趣了——对它的部分情形的讨论,已经涉及了 毛球定理 和 可除代数分类(Hurwitz's theorem)两个著名定理。而这个问题的完整答案,又会长什么样呢?
我不打算回顾这个问题的研究历史,我直接给出它的最终答案:
定理(Frank Adams,1962)
N-1维球面上恰有ρ(N) − 1个逐点线性无关切向量场。其中ρ(N) 是所谓的Radon–Hurwitz number,定义如下:
把N写作
,其中A为奇数,B为自然数,又把B写作B=c+ 4d, 0 ≤c< 4. 则:
附维基链接:
说实话,这也是一个表述简单但是证明却高度技术化的问题。球面切向量场这种概念,不少工科生在工科课程里都接触过吧。极大无关切向量组的数量,在数学上也是非常自然的问题。谁能在看到它的第一眼,想到它能和 数论函数建立联系呢?
这个问题的完全解决,毫无疑问是代数拓扑发展史上里程碑式的成就。但是也请注意,这是代数拓扑在上世纪60年代就已经达到的水平。我希望正在学习拓扑的数学爱好者们,能够借这类有趣的问题开阔一下眼界,培养一下数学口味;拓扑不是只有 开集3公理、连通性、可分性、覆盖空间、单纯(上)同调等等基础概念,它还有cobordism theory, K theory, homotopy theory, 以及和微分几何和数学物理的联系——比如怪异光滑结构;代数拓扑自身发展到后面也变得代数化,范畴化,比如model category, spectrum等等。这个学科真的有太多太多经典的、有趣的内容,你们不要把它当成“验证定义”式的学科;无论是业余爱好者还是专业研究人员,都可以在数学中发现美,欣赏美,这也是做数学的一部分意义。