定理1(1) 当周期为 \uf070时, 它的傅里叶系数为0\uf03dan2 的奇函数)(xf展开成傅里叶级数 ), 2 , 1(sin)(2\uf070), 2 , 1 , 0(0\uf04c\uf04c\uf03d\uf03d\uf03d\uf0f2\uf070nnxdxxfbnn (2) 当 周期为 \uf0702 的偶函数)(xf展开成傅里叶级数时, 它的傅里叶系数为2\uf070bn), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(0\uf04c\uf04c\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d\uf0f2\uf070nnnxdxxfan证明,)() 1 (是奇函数设xf\uf0f2\uf070\uf03d\uf070\uf02d\uf070nxdxxfancos)(10\uf03d), 3 , 2 , 1 , 0(\uf04c\uf03dn奇函数 \uf0f2\uf070\uf03d\uf0700sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1(\uf04c\uf03dn同理可证(2)定义 如果定义 如果))( ff为奇函数 傅氏级数为奇函数, 傅氏级数bbi\uf0e5n\uf0e5\uf03d\uf0a5\uf0f2\uf070\uf03d\uf070\uf02d\uf070nxdxxfbnsin)(1偶函数定理证毕.(xnxnsin1称为正弦级数. 如果)(xf为偶函数, 傅氏级数nxaan\uf0e5\uf03dncos210\uf02b\uf0a5称为余弦级数. 例 1 设,[\uf070\uf02d傅氏级数. )(xf是周 期为 \uf0702 的 周 期 函 数,它 在xx\uf03d),将f)\uf070上的表达式为f()(x展开成解所给函数满足狄利克雷充分条件.(见下图)y\uf070\uf02d\uf070\uf070\uf070\uf02d\uf0702\uf070\uf02d 2\uf070\uf02d 3\uf0703x0和函数图象 ( )f xx\uf070\uf04c点处连续在=(2k +1) ,(k = 0,± 1,± 2,)不,(\uf0700)(0)2fff\uf070\uf02d \uf02b\uf02d\uf02b因此, 的傅氏级数收敛于22)( \uf070\uf02d\uf02b\uf070\uf03d, 0\uf03d1) )\uf070\uf02b((2( ),f xx xkf\uf0b9在连续点处,的傅氏级数收敛于 ,2)() 1\uf02b2 (为周期的奇函数是以时\uf070\uf070\uf0b9xfkx\uf051), 2 , 1 , 0(, 0\uf04c\uf03d\uf03d\uf05cnan\uf0f2\uf0f2\uf03d\uf07000sin))(2\uf0702nxdxxf( fbn\uf0f2\uf0f2\uf03d\uf07000sin2\uf070nxdxxn\uf0700\uf02b\uf02d\uf070\uf03d2]sincosn[nnxnxx\uf070\uf02d\uf03dnncos2,) 1\uf02d(2n1\uf02b\uf03dn), 2 , 1(\uf04c\uf03dn )3sin312sin21(sin2)(\uf04c\uf02d\uf02b\uf02d\uf03dxxxxf.sin) 1\uf02d(211\uf0e5\uf03dn\uf0a5\uf02b\uf03dnnxn),3,;(\uf04c\uf070\uf0b1\uf070\uf0b1\uf0b9\uf02b\uf0a5\uf03c\uf03c\uf02d\uf0a5xx )5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy\uf02b\uf02d\uf02b\uf02d\uf03dxxy \uf03dy \uf03d观察两函数图形 例 2 将周期函数tEtusin)(\uf03d展开成傅氏级数,其中 E 是正常数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.,,))( 为偶函数t( 为偶函数tuu\uf051\uf051)(tuEE, 0\uf03d\uf03d\uf05cnb\uf0f2\uf03d\uf070\uf07000)(2dttuat0\uf070\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d 2\uf0f2\uf070\uf03d\uf0700sin2tdtE,4\uf070E\uf03d), 2 , 1(\uf04cn \uf0f2\uf070E\uf03d\uf0700cos)(2ntdttuan\uf0f2\uf070\uf03d\uf0700cossin2ntdttE\uf0f2\uf0e9\uf0ea\uf0eb\uf02d\uf02d\uf02b\uf03d\uf070\uf070E\uf0700]) 1sin() 1[sin(dttntn\uf070\uf0f9\uf0fa\uf0fb) 11cos() 11cos(\uf0fa\uf0ea\uf02d\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d\uf03dtntn) 1) 1( \uf0b9n( \uf0b9n\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf02b\uf03d\uf03d\uf070\uf02d\uf02d\uf03d12, 02,] 1)2[(42knknkE当当), 2 , 1(\uf04c\uf03dk0\uf02d\uf02b\uf02dnn \uf0f2\uf070\uf03d\uf07001cos)(2tdttua\uf0f2\uf070\uf03d\uf0700cossin2tdttE, 0\uf03d)6cos3514cos1512cos3121(4\uf070)(\uf04c\uf02d\uf02d\uf02d\uf02d\uf03dtttEtu)(\uf02b\uf0a5\uf03c\uf03c\uf02d\uf0a5x].1422cosn21 [2\uf0701\uf0e5\uf03dn\uf0a5\uf02d\uf02d\uf03dnxE 二、 函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓).(2,], 0 [)(xFxf函数为周期的延拓成以上定义在设\uf070\uf070,0)(0)()(\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf03c\uf03c\uf070\uf02d\uf070\uf0a3x\uf0a3\uf03dxgxxfxF令),()2(xFxF\uf03d\uf02b \uf070且则有如下两种情况.\uf0ee\uf0ed\uf0ec偶延拓奇延拓 2. 在[0,\uf070]上的函数展成正弦级数与余弦级数奇延拓], 0 [\uf0ce),(\uf070xxf偶延拓\uf070\uf02dxo\uf070yxo\uf070y\uf070\uf02d周期延拓 F (x)f (x) 在 [0 , \uf070 ] 上展成正弦级数周期延拓 F (x)余弦级数f (x) 在 [0 , \uf070 ]上展成机动目 录上页下页返回结束 奇延拓:)()(xfxg\uf02d\uf02d\uf03d\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf03c\uf03c\uf070\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d\uf070\uf0a30\uf03cx\uf03d0)(00)()(xxfxxfxF则xy00\uf070\uf070\uf070\uf070\uf02d的傅氏正弦级数)(xf\uf0e5\uf03d1n\uf0ab\uf0a5sin)(nnxbxf)0 (\uf070\uf0a3\uf0a3 x 偶延拓:)()(xfxg\uf02d\uf03d\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf03c\uf03c\uf070\uf02d\uf02d\uf070\uf0a3\uf0a3\uf03d0)(0)x()(xfxxfxF则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)xxy(xf\uf0e5\uf03d1n\uf02b\uf0ab\uf0a50cos2)(nnxaaxf)0 (\uf070\uf0a3\uf0a3 x0\uf070\uf070\uf02d 例 3 将函数)0 (1)(\uf070\uf0a3\uf0a3\uf02b\uf03dxxxf分别展开成正弦级数和余弦级数. 解 (1) 求正弦级数.\uf0f2\uf070\uf070\uf03d\uf0700sin)(2nxdxxfbn\uf0f2\uf02b\uf070\uf070\uf03d\uf0700sin) 1(2nxdxx去掉端点, 将 f(x) 作奇周期延拓,)coscos1 (2\uf070\uf02d\uf070\uf070\uf02d\uf0702\uf03dnnn\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf03d\uf02d\uf03d\uf02bn\uf070\uf0d7\uf070\uf03d\uf04c\uf04c, 6 , 4 , 22n, 5 , 3 , 12nn当当1\uf070xyo\uf070\uf02d ]3sin) 2(312sin2sin) 2[(2\uf0701\uf04c\uf02d\uf03c\uf02b\uf070\uf02b\uf070\uf02d\uf02b\uf070\uf03d\uf02bxxxx)0 (\uf070\uf03c x注意: 在端点 x = 0 \uf070 级数的和为0 与给定函数注意: 在端点 x = 0, \uf070 , 级数的和为0 , 与给定函数f(x) = x + 1 的值不同 . (2) 求余弦级数.2a,)(进行偶延拓对xf\uf0f2\uf070\uf02b\uf0702\uf03d00) 1(dxx, 2\uf02b\uf070\uf03d\uf0f2\uf02b\uf070\uf03d\uf0700cos) 1(nxdxxan222\uf0ef\uf0ec\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf04c, 6 , 4 , 2042n当x\uf0701y\uf070\uf02do) 1(cos\uf02d\uf070\uf070\uf03dnn\uf0ef\uf0ee\uf03d\uf070\uf02d\uf03d\uf04c, 5 , 3 , 1nn当]5cos513cos31(cos4\uf07012122\uf04c\uf02b\uf02b\uf02b\uf02d\uf02b\uf070\uf03d\uf02bxxxx)0 (\uf070\uf0a3\uf0a3 x )7cos715cos513cos31(cos4\uf070121222xxxxx\uf02b\uf02b\uf02b\uf02d\uf02b\uf070\uf03d\uf02b1\uf02b\uf03d xy 1. 周期为 2\uf070 的奇、 偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数2. 在 [ 0 , \uf070 ] 上函数的傅里叶展开法2. 在 [ 0 , \uf070 ] 上函数的傅里叶展开法内 容小结• 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数• 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数 3、 需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;22]]0 [, 0 [的傅氏级数唯的傅氏级数唯一展成周期为展成周期为上上在在bb;,.\uf070\uf070).(,],[.xfc级数处处收敛于值点时上连续且只有有限个极在\uf070\uf070\uf02d 1. 在 [ 0 , \uf070 ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答 不唯一 延拓方式不同级数就不同答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习 一、 判断题 1.\uf05b\uf070 , 0\uf05d)( 在xf上连续且符合狄利克雷条件, 则它的余弦级 数 处 处 收 敛 ,且 在\uf05b\uf05d\uf070 , 0上 收 敛 于f(x) 。( ) 定义在2. 定义在]][[上的任意函数上的任意函数只要符合狄利克雷, 只要符合狄利克雷,\uf070\uf070\uf02d)(xf的条件, 就既可展成正弦级数, 也可展成余弦级数。( ) 二填空题 1.为 。 \uf02d\uf03dxxf)0 (2)(\uf070\uf0a3\uf070\uf0a3\uf02d\uf03dxxxf展 成 正 弦 级 数2.为 。 )()(\uf070\uf0a3\uf070\uf0a3x展 成 余 弦 级 数 三 选择题 1. 求\uf05b\uf070 , 0\uf070\uf070,\uf02d\uf05d)( 在xf上的正弦级数, 实际上就是求( )中\uf05b\uf05d)(在xf上的傅立叶级数。 \uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf070\uf02d\uf02d\uf0a3\uf0a3),\uf03d0(0),()()(xxfxxfxFA\uf070 \uf0ec\uf0ed\uf0ec\uf0a3\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf07000)),((xxxxff\uf070\uf0a3\uf070\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf0a3\uf02d\uf0a3\uf03d0),()()(xxfxFB \uf0ee\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf070\uf02d\uf0a3\uf0a3\uf03d0),(0),()()(xxfxxfxFC\uf070 \uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf070\uf0a3\uf0a3\uf03d0, 00),(2)()(xxxfxFD\uf070 2. 设\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf03c\uf03c\uf02d\uf070\uf02b\uf03c\uf03c2\uf070\uf03d0,0 ,x)(xxxxF\uf070展 成 傅 立 叶 级 数 , )sincos(210xn\uf070bxn\uf070aan\uf0e5\uf03dnn\uf0a5\uf02b\uf02b 则系数n a满足( ) (A))2 , 1 , 0( 0\uf04c\uf03d\uf03dnan (B))2 , 1\uf03d( 0,2\uf0700\uf04c\uf03d\uf03dnaan(C))2 , 1\uf03d( 0\uf04c\uf0b9nan (D))2 , 1\uf03d( 0, 00\uf04c\uf0b9\uf03dnaan 一、 设)(xf是周期为 \uf0702 的周期函数, 它在\uf070\uf02dx,2),[\uf070\uf070\uf02d上的表达式为达式为\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf0ef\uf0ec\uf0702\uf03c\uf03c\uf0a3\uf0a3\uf0702\uf02d\uf0702\uf02d\uf03c\uf0a3\uf070\uf02d\uf03dxxxxxxff,,))((..练习题\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf070\uf03c\uf0a3\uf0702\uf0702x,二、 将函数和余弦级数 .)0 (2)(2\uf070\uf0a3\uf0a3\uf03dxxxf分别展开成正弦级数 三、 将以 \uf0702 为周期的函数2)(xxf\uf03d在),(\uf070\uf070\uf02d内展开成傅里叶级数, 并求级数\uf0e5\uf0a5\uf03d\uf02b\uf02b\uf02d01121) 1(nnn的和 .四、 证明:当\uf070\uf0a3\uf0a3 x0时,\uf0e5\uf0a5\uf03d\uf0706\uf02b\uf070\uf02d\uf03d122224cosnxxnnx. 一、nxnnn\uf070xfn\uf0e5\uf03dnnsin]2sin22) 1\uf02d([)(11\uf0a5\uf02b\uf070\uf070, 1\uf0b1\uf02b\uf03d. ), 2\uf0b1, 0,) 1\uf02b2 ((\uf04c\uf03d\uf0b9nx二、nxxffnsin]]2))2(() 1\uf02d[([(4\uf070\uf0a3 x))((33233\uf0e5\uf0e5\uf02d\uf070n\uf02d\uf03d练习题答案nn) )0 (\uf070\uf03c; )0 (cos) 12n(832)(12\uf070\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf02b\uf070\uf03d\uf0e5\uf03dn1n\uf0a5xnxxfn.三、),(sin) 1\uf02d(211\uf070\uf070\uf02d\uf0ce\uf03d\uf0e5n\uf0a5\uf03d\uf02bxnxxn; 4\uf070\uf02d.