第一节第一节基本概念基本概念二、偏导数、全导数和随体导数二、偏导数、全导数和随体导数((真实导数真实导数))三者的物理意义三者的物理意义随时间的变化率表示某一固定点处密度−−∂∂θρ时间的变化率运动时测得的密度随度度时观察者以任意速表示测量运动流体的密dd−−θρ的变化率度随时间速度运动时测得的密度时观察者以表示测量运动流体的密ddddddDDθθθθρzuyuxuzyx===−−(x,y,z)xdxzydzdy第二节第二节连续性方程连续性方程一、连续性方程的推导一、连续性方程的推导研究方法研究方法:欧拉观点欧拉观点理论依据理论依据:质量守恒定律质量守恒定律计算依据计算依据:输出输出输入输入累积累积==(*)()ddd)(zyxxuxx∂∂=ρ输入方向:输出()ddd)(zyxyuyy∂∂=ρ输入方向:输出()ddd)(zyxzuzz∂∂=ρ输入方向:输出()ddddddzyxzyxθρ∂∂=率内任一流体质量累积速控制体)()()()(=∂∂∂∂∂∂∂∂⇒θρρρρzuyuxuzyx第二节第二节连续性方程连续性方程一、连续性方程的推导一、连续性方程的推导()()()()yzxuuuxyzρρρρθ∂∂∂∂=∂∂∂∂()(a)uρρθ∂∇⋅=∂Gzkyjxi∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅=∇−−∇哈密尔顿算子式中它适用于稳态稳态或非稳态非稳态系统、理想理想流体或真实真实流体、可压可压缩缩或不可压缩不可压缩流体牛顿型牛顿型或非牛顿型非牛顿型流体。连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重要的微分方程之一。最重要的微分方程之一。写成向量形式:几种算法符号及意义几种算法符号及意义谢树艺《工程数学矢量分析与场论》哈米尔顿(哈米尔顿(Hamilton)Hamilton)算子:算子:ijkxyz∂∂∂∇=∂∂∂GGG()uuuuijkuijkxyzxyz∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂GGGGGG()()yzxxyzuuuuijkuiujukxyzxyz∂∂∂∂∂∂∇⋅==∂∂∂∂∂∂GGGGGGG第二节第二节连续性方程连续性方程梯度:梯度:散度:散度:()ijijkjixuu∂∂×=×∇∑∑∑δδ拉普拉斯拉普拉斯∑∂∂=∇⋅∇=∇iix旋度旋度第二节第二节连续性方程连续性方程二、连续性方程的分析和简化二、连续性方程的分析和简化()()()()yzxuuuxyzρρρρθ∂∂∂∂=∂∂∂∂选择单位质量流体研究其体积为v按照拉格朗日观点:)(=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⇒θρρρρρzuyuxuzuyuxuzyxzyxDD()DDyzxuuuuxyzρρρθρθ∂∂∂⇒⋅=∇⋅⋅=∂∂∂G或D()Dvvρρθ=⇒=DD()DDvvρρθθ⇒=式()与式()比较得:D()Dyzxuuuvuvxyzθ∂∂∂=∇⋅=∂∂∂G第二节第二节连续性方程连续性方程二、连续性方程的分析和简化二、连续性方程的分析和简化D()Dyzxuuuvuvxyzθ∂∂∂=∇⋅=∂∂∂G率或形变速率流体微元的体积膨胀速式中−−θDDvvu∇⋅G进一步简化分析:()若为稳态流动则)()()(=∂∂∂∂∂∂zuyuxuzyxρρρ=∂∂θρ()若为不可压缩流体则)(=∂∂∂∂∂∂zuyuxuzyx--速度向量的散度实际表示流体微元在三个轴向的线性形变速率之和。yxzθdrrdzdθdr第二节第二节连续性方程连续性方程三、柱坐标与球坐标系的连续性方程三、柱坐标与球坐标系的连续性方程()()())(=∂∂∂∂∂∂′∂∂zruzurrurrρρθρθρθ柱坐标系的连续性方程球坐标系的连续性方程xzrrdθdrφdθd()()())(sinsinsin=∂∂∂∂∂∂′∂∂φθρφθθρθθρθρurururrrr