一个多项式函数的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言,如果函数的雅可比行列式为一个非零实数(相当于其不存在复零点),则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。 MATLAB代码 MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。syms r l fx=r*cos(l)*cos(f);y=r*cos(l)*sin(f);z=r*sin(l);J=jacobian([x;y;z],[r l f])结果:J =[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)][ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)][ sin(l), r*cos(l), 0 ] 面积元证明 二维下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立证明:对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元,即小曲边四边形ABCD,其中A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),这个曲边四边形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成。利用中值定理可知:(u+△u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+△v)-(u,v)=Ndv式中M,N为偏导数形式,可以通过简单计算得出。当变化量很小时,将(u+△u,v)-(u,v)近似看为dx(u,v)(u,v+△v)-(u,v)近似看为dy(u,v),故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv式中M*N为二维Jacobi行列式的展开形式。由此得证。