a(n+1)+1=3(an+1)/(an+2)
1/[a(n+1)+1]=1/3+1/3(an+1)
于是我们就有了1/[a(n+1)]-1/2=1/3[1/(an+1)-1/2]
设bn=1/(an+1)-1/2
则有
b1=1/(a1+1)-1/2
bn=1/3b(n-1)
所以有bn=b1*(1/3)^(n-1)
于是有1/(an+1)-1/2=[1/(a1+1)-1/2](1/3)^(n-1)
(1)第一问不明白你什么意思,任意的a1值都可以使得数列为无穷。
(2)a1=2,则有1/(an+1)=1/2[1-(1/3)^n]
因为an<=41/40,所以有1/(an+1)>=40/81
于是就有了1/2[1-(1/3)^n]>=40/81
解得(1/3)^n<=1/81=(1/3)^4.
所以就有了n>=4.
(3)因为an<an+1
所以有就有了1/(an+1)-1/2>1/[a(n+1)+1]-1/2
即[1/(a1+1)-1/2](1/3)^(n-1)>[1/(a1+1)-1/2](1/3)^n
化简后我们可以得到1/(a1+1)-1/2>0
所以有-1<a1<1.
于是有-1<m<1.