3.5 NP-Hard问题
NP-Hard问题。NP-Hard问题是这样一种问题,它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条(就是说,NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广)。NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法,但它不列入我们的研究范围,因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法,NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上,由于NP-Hard放宽了限定条件,它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。
不要以为NPC问题是一纸空谈。NPC问题是存在的。确实有这么一个非常具体的问题属于NPC问题。下文即将介绍它。
四.举例
下文即将介绍逻辑电路问题。这是第一个NPC问题。其它的NPC问题都是由这个问题约化而来的。因此,逻辑电路问题是NPC类问题的“鼻祖”。
逻辑电路问题是指的这样一个问题:给定一个逻辑电路,问是否存在一种输入使输出为True。
逻辑电路问题属于NPC问题。这是有严格证明的。它显然属于NP问题,并且可以直接证明所有的NP问题都可以约化到它(不要以为NP问题有无穷多个将给证明造成不可逾越的困难)。证明过程相当复杂,其大概意思是说任意一个NP问题的输入和输出都可以转换成逻辑电路的输入和输出(想想计算机内部也不过是一些 0和1的运算),因此对于一个NP问题来说,问题转化为了求出满足结果为True的一个输入(即一个可行解)。
有了第一个NPC问题后,一大堆NPC问题就出现了,因为再证明一个新的NPC问题只需要将一个已知的NPC问题约化到它就行了。后来,Hamilton 回路成了NPC问题,TSP问题也成了NPC问题。现在被证明是NPC问题的有很多,任何一个找到了多项式算法的话所有的NP问题都可以完美解决了。因此说,正是因为NPC问题的存在,P=NP变得难以置信。P=NP问题还有许多有趣的东西,有待大家自己进一步的挖掘。攀登这个信息学的巅峰是我们这一代的终极目标。现在我们需要做的,至少是不要把概念弄混淆了。
NP问题就是指其解的正确性可以在多项式时间内被检查的一类问题。比如说数组求和,得到一个解,这个解对不对呢,显然是可以在多项式时间内验证的。再比如说SAT,如果得到一个解,也是能在多项式时间内验证正确性的。所以SAT和求和等等都是NP问题。然后呢,有