例.如图,直线y=-x+m与坐标轴交于A、B两点,已知点C(2,0),设点P为线段OB的中点,连接PA、PC,若∠CPA=45°,则m的值是________;
解析:
构造方法1:构造“一线三垂直模型”
如图1,作CD⊥PC交PA于点D,作DE⊥x轴于点E,
则PCD是等腰直角三角形,OPC≌ECD,
由题可知:OB=OA=m,OP=CE=m/2,OC=DE=2,
tan∠PAO=OP:OA=DE:AE=1:2,
∴AE=4,∴2+m/2+4=m,解得m=12.
构造方法2:构造“相似共角模型”
如图2,在x轴负半轴上取一点D,使OP=OD,连接PD,
则OPD是等腰直角三角形,APC∽ADP,
则PA*2=AC×AD,即OP*2+OA*2=AC×AD,
即(m/2)*2+m*2=(m-2)(m+m/2),
解得m=12.
构造方法3:构造“一线三等角模型”
如图3,在y轴负半轴上取一点D,使OC=OD,连接CD,由∠B=∠APC=∠PDC=45°,∠DPC=∠BAP,
∴ABP∽PDC,∴AB:PD=BP:DC,
即√2m:(m/2+2)=(m/2):2√2,
解得m=12
构造方法4:构造正方形的“半角模型”
如图4,构造正方形OPED,由于P是中点,∠OBA=45°,
∴E点在直线BA上,则OP=PE=DE=OD=m/2,
CD=m/2-2,由ED//OB,可得AF:AP=DF:OP=EF:BP可得EF=DF,
则EF=DF=m/2,由正方形“半角模型”结论可得
CF=OC+EF=m/4+2,在RtCDF中,
由勾股定理可得(m/2)*2+(m/2-2)*2=(m/4+2)*2,
解得m=12
构造方法5:“三角函数和角公式模型”
如图5,作PD//OA交AB于点D,则
tan∠DPA=tan∠PAO=OP:OA=1:2,
∵tan(∠DPA+∠OPC)=tan45°=1,
由三角函数和角公式结论可得:
tan∠OPC=1/3=OC:OP,解得m=12.