分数除法的计算步骤是比较容易学会的,例如
\begin{align}
\frac{3}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{3\times 8}{4\times 3} = 2 ,
\end{align}
也就是把后面的当做除数的分数分子分母倒过来,然后按照乘法计算,计算的过程中需要注意分子分母消掉相同的因子(分子分母同除以某个数)的技巧。
但是,这样的教学,对于为什么分数相除要这样计算是不明白的。当然,教材也注意到了这个问题。因此,大多数教材是从两个方面来解决这个问题的:分数除法的意义和问题背景,分数除法的计算。这个思路没有丝毫问题,我们也从这连个方面来解决这个问题。
我们先来看计算的问题。我写下来每一个步骤和这个步骤的理由,
\begin{align}
\frac{3}{4} \div \frac{3}{8}
= (3\div 4) \div (3\div 8) (分数线可以看做除法,分数的意义) \\
= (3\div 4) \div 3 \times 8 (除法去括号)\\
= 3\div 4 \div 3 \times 8 (再去括号,结合律) \\
= 3 \div 3 \times 8 \div 4(乘除法交换律,先除掉容易除的)\\
= 1 \times 8 \div 4 (计算除法的结果)\\
= 1 \times 2 (乘除法结合律) \\
= 2 (计算乘法的结果)
\end{align}
或者更一般地,
\begin{align}
\frac{3}{4} \div \frac{3}{8}
= (3\div 4) \div (3\div 8) (分数线可以看做除法,分数的意义)\\
= (3\div 4) \div 3 \times 8 (除法去括号)\\
= 3\div 4 \div 3 \times 8 (再去括号)\\
= 3 \div 4 \times 8 \div 3(乘除法交换律,先除掉容易除的)\\
= (3\div 4) \times (8 \div 3) (乘法加括号,结合律)\\
=\frac{