《博弈论:原理、模型与教程》第一部分 完全信息静态博弈 Nash均衡 2.2 重复剔除劣战略行为 (已精细订正!) 1、定义2-3 【例2-3】 【例2-4】 【例2-5】 2、定义2-4 第2.1 占优行为第2.2 重复剔除劣战略行为第2.3 Nash均衡 在“囚徒困境”中,“坦白”是小偷的占优战略,也就是说,相 对于战略“抵赖”,“坦白”在任何情况下都是小偷的最优选择。因此, 小偷只会选择战略“坦白”。 反过来也可以这么理解:相对于战略“坦白”,小偷选择“抵赖” 所得到的支付都要小于选择“坦白”所的得到的。既然选择“抵赖” 的所得总是小于选择“坦白”的所得,小偷当然就不会选择“抵赖”, 这也就相当于小偷将战略“抵赖”从自己的选择中剔除掉了。 考察更一般的n人博弈情形。在n 人博弈中,如果存在参与人i ,那么他在博弈中的战略选择问题就很简单:选择占优战略 但在大多数博弈问题中,参与人的占优战略并不存在。虽然不存在占优战略,但在某些博弈问题中,参与人i 在对自己的战略进行比 较时,可能会发现这样的情形:存在两个战略 的所得。在这种情况下,理性参与人i的选择又有 什么样的特点呢?虽然不能确定参与人i 最终会选择什么样的战略, 但可以肯定的是,理性参与人i 绝对不会选择战略 (因为参与人i在任何情况下选择 的所得)。定义2-3 在n人博弈中,如对于参与人i ,存在战略 为参与人i的劣战略,或者说战略 占优。在博弈中,如果战略 是参与人i劣战略,那么参与人i 肯定不 会选择战略 。这也是相当于参与人i将战略 中选择自己的战略。参与人的这种选择行为称之为剔除劣战略行为。剔除劣行为也是理性参与人选择行为的基 本特征之一。 考察战略式博弈 参与人i的劣战略 ,那么参与人i 将只会从战略集 。此时,对战略式博弈G的求解问题 就可以转换为对G 的求解。 【例2-3】 考察图2-4 中的战略式博弈,其中参与人1 有两个战略 ,参与人2有三个战略 从图2-4中可以看出:战略 参与人2的劣战略。因此,对图2-4 中博弈问题的求解就可以转换为 对图2-5 中博弈的求解。 参与人13,2 1,1 2,2 2,0 0,1 图2-4 战略式博弈 参与人2 遵循上面的求解思路,如果在新构造出来的战略式博弈G 存在参与人j的某个劣战略 ,其中参与人j的战略集为 。此时,对战略式博弈G的求解问题就可以转换为对G 的求解。而参与人的这种不断剔除劣战略的行为称为重复剔除劣战略行为。 【例2-4】 考察图2-6 中的战略式博弈,其中参与人1 有三个博弈 ,参与人2有三个战略 参与人13,2 1,1 3,2 2,0 2,1 图2-6 战略式博弈 参与人2 2,1 1,3 3,2 参与人13,2 2,2 0,1 图2-5 战略式博弈 参与人2 从图2-6 中可以看出:战略 是参与人2的劣战略。因此,对图 2-6 中博弈问题的求解就可以转换为对图2-7 中博弈的求解。 从图2-7 中又可以看出:战略 是参与人1的劣战略。因此,对图2-7 中博弈问题的求解就可以转换为对图2-8 中博弈的求解。也就 2-6中原博弈问题的求解就可以转换为对图 2-8 中博弈的求 参与人13,2 3,2 2,1 图2-8 战略式博弈 参与人2 1,0参与人1 3,3 3,2 2,1 图2-7 战略式博弈 参与人2 2,1 1,3 如果以上重复剔除劣战略的过程可以不断进行下去,直到新构造出来的博弈中每个参与人都只有一个战略,那么由所有的参与人剩下 的唯一战略所构成的战略组合就是原博弈问题的解,称之为“重复剔 除的占优均衡”。此时,也称原博弈问题是“重复剔除劣战略可解的”。 【例2-5】 考察图2-9 中的战略式博弈,其中参与人1 有三个战略 ,参与人2有三个战略 从图2-9中可以看出:战略 是参与人2的劣战略。因此,对图 2-9 中博弈问题的求解就可以转换为对图2-10 中博弈的求解。 参与人13,1 1,1 3,3 2,0 2,2 图2-9 战略式博弈 参与人2 2,4 1,3 3,2 从图2-10 中又可以看出:战略 是参与人1的劣战略。因此, 对图2-10 中博弈问题的求解就可以转换为对图2-11 中博弈的求解。 2-11中又可以看出:战略 是参与人2的劣战略。因此, 对图2-11 中博弈问题的求解就可以转换为对图2-12 中博弈的求解。 参与人13,1 3,3 2,2 图2-11 战略式博弈 1,0参与人1 3,1 3,3 2,2 图2-10 战略式博弈 参与人2 2,4 1,3 在图2-12中,参与人2 只有一个战略 ,参与人1选择战略 就是所谓的重复剔除的占优均衡。 在某些博弈问题中,参与人i 在对自己的战略进行比较时,还可 能会发现这样的情形:存在两个战略 的所得,但自己在任何情况下选择 的所得小,而且在某些情况下选择 的所得。显然,在这种情况下,理性的参与人i 将战略 从自己的选择中剔除掉也是有道理的。与定义2-3 3,3参与人1 2,2 图2-12 战略式博弈 参与人2 中所定义的劣战略相仿,称战略 、为参与人i的弱劣战略。 定义2-4 在n人博弈中,如果对于参与人i ,存在战略 为参与人i的弱劣战略,或者说战略 有时为了表述方便,也将定义2-3所定义的劣战略称为严格劣战 略,而将弱劣战略和严格劣战略统称为劣战略。 与重复剔除严格劣战略的思路一样,也可以采用重复剔除弱劣战 略的方法来求解博弈问题。 但需要注意的是,在重复剔除的过程中,如果每次可以剔除的劣 战略(包括严格劣战略和弱劣战略)不只一个,那么各个劣战略剔除 的顺序不同,得到的博弈结果就有可能不同。除非每次剔除的都是严 格列战略。 下面通过一个例子来说明这个问题。(重点!) 考察图2-13 中的战略式博弈。在图2-13 是参与人2的劣战略。 如果首先剔除劣战略 成为弱劣战略,如果再剔除 原本互不占优,但是如果先剔除 3,33,1 1,2 1,1 2,0 2,0 图2-13战略式博弈 参与人2 3,4 1,3 3,2 掉;如果先剔除掉 就可能因此被剔除掉。因此,当 的剔除顺序不同时,参与人1保留下来的战略就可能 不同。但是,如果只允许剔除严格劣战略,那么无论是先剔除 为了进一步说明问题,考察图2-14