1956 日在医院逝世,享年53 冯诺伊曼是二十世纪最重要的数学家之一,在纯粹数学和应用数学方面都有杰出的贡献。他的工作大致可以分为两个时期:1940 年以前,主要是纯粹数学的研究:在数理逻辑 方面提出简单而明确的序数理论,并对集合论进行新的公理化,其中明确区别集合与类;其后,他研究希尔伯特空间上线性自伴算子谱理论,从而为量子力学打下数学基础;1930 起,他证明平均遍历定理开拓了遍历理论的新领域;1933年,他运用紧致群解决了希尔伯 特第五问题;此外,他还在测度论、格论和连续几何学方面也有开创性的贡献;从1936~ 1943 年,他和默里合作,创造了算子环理论,即现在所谓的冯诺伊曼代数。 1940 年以后,冯诺伊曼转向应用数学。如果说他的纯粹数学成就属于数学界,那么他 在力学、经济学、数值分析和电子计算机方面的工作则属于全人类。第二次世界大战开始, 冯诺伊曼因战事的需要研究可压缩气体运动,建立冲击波理论和湍流理论,发展了流体力 学;从1942 年起,他同莫根施特恩合作,写作《博弈论和经济行为》一书,这是博弈论(又 称对策论)中的经典著作,使他成为数理经济学的奠基人之一。 冯诺伊曼对世界上第一台电子计算机ENIAC(电子数字积分计算机)的设计提出过建 议,1945 月他在共同讨论的基础上起草EDVAC(电子离散变量自动计算机)设计报告初稿,这对后来计算机的设计有决定性的影响,特别是确定计算机的结构,采用存储程序以及 二进制编码等,至今仍为电子计算机设计者所遵循。 1946 年,冯诺依曼开始研究程序编制问题,他是现代数值分析——计算数学的缔造者 之一,他首先研究线性代数和算术的数值计算,后来着重研究非线性微分方程的离散化以及 稳定问题,并给出误差的估计。他协助发展了一些算法,特别是蒙特卡罗方法。 40 年代末,他开始研究自动机理论,研究一般逻辑理论以及自复制系统。在生命的最 后时刻他深入比较天然自动机与人工自动机。他逝世后其未完成的手稿在1958 年以《计算 机与人脑》为名出版。 冯诺伊曼的主要著作收集在《冯诺伊曼全集》(6 卷,1961)中。 无论在纯粹数学还是在应用数学研究方面,冯诺依曼都显示了卓越的才能,取得了众 多影响深远的重大成果。不断变换研究主题,常常在几种学科交叉渗透中获得成就是他的特 集合论,数学基础冯诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的,是关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理 推广,注明的日期是1922 年,那时冯诺依曼还不满18 岁。另一篇文章讨论一致稠密数列, 用匈牙利文写就,题目的选取和证明手法的简洁显露出冯诺依曼在代数技巧和集合论直观 结合的特征。 1923 年当冯诺依曼还是苏黎世的大学生时,发表了超限序数的论文。文章第一句话就 直率地声称“本文的目的是将康托的序数概念具体化、精确。他的关于序数的定义,现在已 被普遍采用。 强烈企求探讨公理化是冯诺依曼的愿望,大约从l925 年到l929 年,他的大多数文章 都尝试着贯彻这种公理化精神,以至在理论物理研究中也如此。当时,他对集合论的表述处 理,尤感不够形式化,在他1925 年关于集合论公理系统的博士论文中,开始就说“本文的 目的,是要给集合论以逻辑上无可非议的公理化论述”。 有趣的是,冯诺依曼在论文中预感到任何一种形式的公理系统所具有的局限性,模糊 地使人联想到后来由哥德尔证明的不完全性定理。对此文章,著名逻辑学家、公理集合论奠 基人之一的弗兰克尔教授曾作过如下评价:“我不能坚持说我已把(文章的)一切理解了,但可 以确有把握地说这是一件杰出的工作,并且透过他可以看到一位巨人”。 1928 年冯诺依曼发表了论文《集合论的公理化》,是对上述集合论的公理化处理。该 系统十分简洁,它用第一型对象和第二型对象相应表示朴素集合论中的集合和集合的性质, 用了一页多一点的纸就写好了系统的公理,它已足够建立朴素集合论的所有内容,并借此确 立整个现代数学。 冯诺依曼的系统给出了集合论的也许是第一个基础,所用的有限条公理,具有像初等 几何那样简单的逻辑结构。冯诺依曼从公理出发,巧妙地使用代数方法导出集合论中许多 重要概念的能力简直叫人惊叹不已,所有这些也为他未来把兴趣落脚在计算机和“机械化”证 明方面准备了条件。 20 年代后期,冯诺依曼参与了希尔伯特的元数学计划,发表过几篇证明部分算术公理 无矛盾性的论文。l927 年的论文《关于希尔伯特证明论》最为引人注目,它的主题是讨论 如何把数学从矛盾中解脱出来。文章强调由希尔伯特等提出和发展的这个问题十分复杂,当 时还未得到满意的解答。它还指出阿克曼排除矛盾的证明并不能在古典分析中实现。为此, 冯诺依曼对某个子系统作了严格的有限性证明。这离希尔伯特企求的最终解答似乎不远了。 这是恰在此时,1930 年哥德尔证明了不完全性定理。定理断言:在包含初等算术(或集合论) 的无矛盾的形式系统中,系统的无矛盾性在系统内是不可证明的。至此,冯诺依曼只能中 止这方面的研究。 冯诺依曼还得到过有关集合论本身的专门结果。他在数学基础和集合论方面的兴趣一 直延续到他生命的结束。 量子理论的数学基础,算子环,遍历理论在1930~l940 年间,冯诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中,创作更趋于成熟, 声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中,冯诺依曼选择了量子理论的数学 基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。 1927 年冯诺依曼已经在量子力学领域内从事研究工作。他和希尔伯待以及诺戴姆联名 发表了论文《量子力学基础》。该文的基础是希尔伯特1926 年冬所作的关于量子力学新发 展的讲演,诺戴姆帮助准备了讲演,冯诺依曼则从事于该主题的数学形式化方面的工作。 文章的目的是将经典力学中的精确函数关系用概率关系代替之。希尔伯特的元数学、公理化 的方案在这个生气勃勃的领域里获得了施展,并且获得了理论物理和对应的数学体系间的同 构关系。对这篇文章的历史重要性和影响无论如何评价都不会过高。冯诺依曼在文章中还 讨论了物理学中可观察算符的运算的轮廓和埃尔米特算子的性质,无疑,这些内容构成了《量 子力学的数学基础》一书的序曲。 l932 世界闻名的斯普林格出版社出版了他的《量子力学的数学基础》,它是冯诺依曼 主要著作之一,初版为德文,1943 年出了法文版,l949 年为西班牙文版,l955 年被译成英 文出版,至今仍不失为这方面的经典著作。当然他还在量子统计学、量子热力学、引力场等 方面做了不少重要工作。 客观地说,在量子力学发展史上,冯诺依曼至少作出过两个重要贡献:狄拉克对量子 理论的数学处理在某种意义下是不够严格的,冯诺依曼通过对无界算子的研究,发展了希 尔伯特算子理论,弥补了这个不足;此外,冯诺依曼明确指出,量子理论的统计特征并非 由于从事测量的观察者之状态未知所致。借助于希尔伯待空间算子理论,他证明凡包括一般 物理量缔合性的量子理论之假设,都必然引起这种结果。 对于冯诺依曼的贡献,诺贝尔物理学奖获得者威格纳曾作过如下评价:“在量子力学方 面的贡献,就是以确保他在当代物理学领域中的特殊地位。” 在冯诺依曼的工作中,希尔伯特空间上的算子谱论和算子环论占有重要的支配地位, 这方面的文章大约占了他发表的论文的三分之一。它们包括对线性算子性质的极为详细的分 析,和对无限维空间中算子环进行代数方面的研究。 算子环理论始于1930 年下半年,冯诺依曼十分熟悉诺特和阿丁的非交换代数,很快就 把它用于希尔伯特空间上有界线性算子组成的代数上去,后人把它称之为冯诺依曼算子代 1936~l940年间,冯诺依曼发表了六篇关于非交换算子环论文,可谓20 世纪分析学 方面的杰作,其影响一直延伸至今。冯诺依曼曾在《量子力学的数学基础》中说过:由希 尔伯特最早提出的思想就能够为物理学的量子论提供一个适当的基础,而不需再为这些物理 理论引进新的数学构思。他在算子环方面的研究成果应验了这个目标。冯诺依曼对这个课 题的兴趣贯穿了他的整个生涯。 算子环理论的一个惊人的生长点是由冯诺依曼命名的连续几何。普通几何学的维数为 整数1、2、3 等,冯诺依曼在著作中已看到,决定一个空间的维数结构的,实际上是它所 容许的旋转群。因而维数可以不再是整数,连续级数空间的几何学终于提出来了。 1932 年,冯诺依曼发表了关于遍历理论的论文,解决了遍历定理的证明,并用算子理 论加以表述,它是在统计力学中遍历假设的严格处理的整个研究领域中,获得的第一项精确 的数学结果。冯诺依曼的这一成就,可能得再次归功于他所娴熟掌握的受到集合论影响的 数学分析方法,和他自己在希尔伯特算子研究中创造的那些方法。它是20 世纪数学分析研 究领域中取得的最有影响成就之一,也标志着一个数学物理领域开始接近精确的现代分析的 一般研究。 此外冯诺依曼在实变函数论、测度论、拓扑、连续群、格论等数学领域也取得不少成 果。1900 年希尔伯特在那次著名的演说中,为20 世纪数学研究提出了23 个问题,冯诺依 曼也曾为解决希尔伯特第五问题作了贡献。 一般应用数学1940 年,是冯诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前,他是一位通晓物理学的登峰 造极的纯粹数学家;此后则成了一位牢固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关 注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。研究同时他还不断创新,把 非古典数学应用到两个新领域:对策论和电子计算机。 冯诺依曼的这个转变一方面来自他长期对数学物理问题的钟情;另一方面来自当时社 会方面的需要。