什么是分式方程?
分式方程是数学学科内的一种术语,等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程。分式方程是初等数学知识的重点,也是难点,是学习方程式的基础知识点。解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
分式方程常见应用题型
(1)行程问题有路程、时间和速度三个量,其关系式是路程=速度×时间,一般式以时间为等量关系。
(2)工程问题有工作效率、工作时间和工作总量三个量,其关系式是工作总量=工作效率×工作时间。
(3)增长率问题,其等量关系式是原量×(1+增长率)=增长后的量,原量×(1+减少率)=减少后的量。
分式方程应用题解题技巧及步骤
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些。解题时要注意检验,一是要检验所求的解是否是原方程的解,二是要检验所求的解是否符合题意。解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,正确列出方程,再进行求解。另外,还要注意从多角度去思考、分析,注意检验和解释结果的合理性。
列分式方程解应用题的一般步骤是:
①找等量关系(审):理解题意,弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的基本关系;
②设:设未知数,用含x(或其他字母)表示某个未知数,由该未知数与其他数量的关系,写出表示相关量的式子;
③列:找出相等关系,列出分式方程;
④解:解这个分式方程;
⑤检验:双重检验,先检验是否为增根,再检验是否符合题意;
⑥答:写出答案。
例1、某公司投资一个工程项目,现在甲、乙两个工程队均有能力承包这个项目。公司调查发现:乙队单独完成该工程的时间是甲队的2倍;甲、乙两队合作完成工程需要20天;甲队每天的工作费用为1000元,乙队每天的工作费用为550元。根据以上信息,从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队?应付工作费用多少元?
分析:本题属于工程问题,可依据“工作量=工作效率×工作时间”这个关系式,结合题意找出解题的切入点。
解:设甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需要2x天。根据题意得
,解得x=30。
经检验,x=30是原方程的解,且x=30,2x=60都符合题意。
∴若选择甲队,应付30*1000=30000(元);若选择乙队,应付60*550=33000(元)
∴公司应选择甲工程队,应付工作费用为30000元。
说明:本题是一个探究性的综合题,考查分析、比较、决策能力,充分体现了新课标的理念。本题涉及数据较多,要注意将问题分解为两个子问题,一是工程问题,二是费用问题。