当X1、X2、Xn相互独立且都服从N(0,1)时,Z= 的分布称为自由度等于n的分布,记作Z(n),它的分布密度 p(z)=式中的=,称为Gamma函数,且=1, =。分布是非对称分布,具有可加性,即当Y与Z相互独立,且Y(n),Z(m),则Y+Z(n+m)。证明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令Y=X+X+X,Z=X+X+X,Y+Z= X+X+X+ X+X。
2、+X,即可得到Y+Z(n+m)。2. t分布 若X与Y相互独立,且XN(0,1),Y(n),则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布,记作Z t (n),它的分布密度P(z)= 。 请注意:t分布的分布密度也是偶函数,且当n30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时, t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布 若X与Y相互独立,且X(n),Y(m),则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布,记作ZF (n, m),它的分布密度 p(z)=请注意:F分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当ZF (n, m)时。
3、,F (m ,n)。4. t分布与F分布的关系若Xt(n),则Y=XF(1,n)。证:Xt(n),X的分布密度p(x)= 。Y=X的分布函数F(y) =PY0时,F(y) =P-=1-F()=的数,双侧分位数是使PX2=1-F(2)=0.5的数2。因为1-F()=,F()=1-,所以上侧分位数就是1-分位数x 1-;F(1)=0.5,1-F(2)=0.5,所以双侧分位数1就是0.5分位数x 0.5,双侧分位数2就是1-0.5分位数x 1-0.5。2)标准正态分布的分位数记作u,0.5分位数记作u 0.5,1-0.5分位数记作u 1-0.5。 当XN(0,1)时,PX u 1-=1- F 0,1。
4、 (u 1-)=,故根据标准正态分布密度曲线的对称性,u=-u 1-。例如,u 0.10=-u 0.90=-1.282,u 0.05=-u 0.95=-1.645,u 0.01=-u 0.99=-2.326,u 0.025=-u 0.975=-1.960,u 0.005=-u 0.995=-2.57