第一章 误差和数据处理习题解答 1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差: (1)视差; (2)天平零点漂移; (3)千分尺零点不准; (4)照相底版收缩; (5)水银温度计毛细管不均匀; (6)电表的接入误差。 解: (1)忽左忽右,属随机误差; (2)往单方向漂移属系统误差;随机漂移属随机误差; (3)属系统误差,应作零点修正; (4)属系统误差; (5)按随机误差处理; (6)属系统误差,可作修正。 2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小: (1)米尺因低温而收缩; (2)千分尺零点为正值; (3)测密度铁块内有砂眼; (4)单摆公式测重力加速度,没考虑θ ≠0; (5)安培表的分流电阻因温度升高而变大。 解: (1)使结果偏大; (2)使结果偏大,属系统误差,修正时应减去这正零点值; (3)使密度值偏小; (4)使结果偏小: 当θ ≠0 时,单摆公式为: T 0 ? 2? l g (1 ? 1 4 sin 2 ? 2 ) 或 g ? 4? l 2 T 2 0 2 (1 ? sin 2 ? 2 ) 2 若用θ =0 的 g 0 ? 4? l T0 2 近似,结果偏小; (5)分流电阻变大,分流变小,使结果偏大。 3、用物理天平( ? 仪 =0.020g)称一物体的质量 m,共称 5 次,结果分别为 36.127g、 36.122g、36.121g、36.120g 和 36.125g。试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确 定度。 解: m ? Sm ? 3 6 .1 2 7 ? 3 6 .1 2 2 ? 3 6 .1 2 1 ? 3 6 .1 2 0 ? 3 6 .1 2 5 ? 3 6 .1 2 3 6 2 2 2 ? 3 6 .1 2 3 0 g 2 2 2 (3 6 .1 2 7 ? 3 6 .1 2 3) ? (3 6 .1 2 2 ? 3 6 .1 2 3) ? (3 6 .1 2 1 ? 3 6 .1 2 3) ? (3 6 .1 2 0 ? 3 6 .1 2 3) ? (3 6 .1 2 5 ? 3 6 .1 2 3) ? (3 6 .1 2 3 ? 3 6 .1 2 3) 6 ?1 =0.0026g, 说明: 平均值的有效数字比测量值多了一位, 这是由于经多次测量随机误差减小的缘故, 是正常、合理的。 (未考虑天平的仪器误差) 。 已知: ? 仪 =0.020g, u ? Sm ? ?仪 ? 2 2 0 .0 0 2 6 ? 0 .0 2 0 2 2 ? 0 .0 2 0 g ∴ m ? m ? u ? (36.123 ? 0.020) g 。 相对误差 u rm 说明: ? u m ? 1 0 0 % ? 0 .0 6 % 。 ①本题测量的随机误差大大小于天平的仪器误差,故实际上可写成 uB≈Δ 仪; ②本题的 Sm 最好用计算器的统计计算功能计算; ③相对误差必须以%为单位,不能写成 0.0006,更不能写成 0.0006g。 4、一个铅圆柱体,测得其直径 d =(2.04±0.01)cm,高度 h =(4.12±0.01)cm, 质量 m =(149.18±0.05)g: (1)计算铅的密度ρ ; (2)计算铅密度ρ 的相对不确定度和绝对不确定度。 解: (1) ? ? m V ? m ?( d 2 ? ) h 2 4m ?d h 2 ? 4 ? 1 4 9 .1 8 ? 1 0 3 .1 4 2 ? ( 2 .0 4 ? 1 0 ?2 2 ?3 ?2 ) ? 4 .1 2 ? 1 0 ? 1 1 .0 8 ? 1 0 kg / m 3 3 说明: ①计算需列出公式和数式,在数式里进行单位换算,使结果的单位成为 g·m·s 制单 位。单位换算采用×10n 的式子,用计算器很容易计算。 ②π 的位数最好比数式各乘除因子中有效数字最短的位数多一位, 以避免π 取位太少带 来的计算误差(不少学生按中学习惯,常取π =3.14) 。 (2) u r ? ? u? ? ? ( um m ) ? (2 2 ud d ) ?( 2 uh h ) ? 2 ( 0 .0 5 1 4 9 .1 8 ) ? (2 ? 2 0 .0 1 2 .0 4 ) ?( 2 0 .0 1 4 .1 2 ) 2 ? 1 . 1 ? 10 ?7 ? 1 . 0 ? 10 3 ?4 ? 6 ? 10 3 ?6 ? 1 . 0 ? 10 3 ?4 3 ? 0 . 010 ? 100 % ? 1 . 0 % ∴ u ? ? u r ? ? ? ? 1.0% ? 11.08 ? 10 kg / m ? 0.11 ? 10 kg / m ? ? ? ? u ? ? (1 1 .0 8 ? 0 .1 1) ? 1 0 kg / m 3 3 说明: ①这里应用了可忽略原则。 ②乘除绝对不确定度的计算要先算出相对不确定度。 ③d2 对 u r ? 的贡献为 2 (1)N =X +Y - 2Z; (2) Q ? k 2 ( A ? B ) ,k 2 2 ud d ,而不是 2 ud d 。 5、写出下列函数的不确定度表达式,绝对不确定度或相对不确定度只写出一种: 为常量; (3) ? ? (4) k ? m m3 ? m2 mg ?x n ?o ; ,不考虑 g 的误差; c i ,其中 ci 都为常量。 2 2 2 (5) C ? ?m i ?1 i 解: (1) u N ? u X ? uY ? (2u Z ) 说明: ①这里及以下的计算都假定各直接测量量都是完全独立的随机误差; ②2Z 对不确定度的贡献为 2 u Z ,不是 2 u Z 。 (2) u Q (3) u? ? k 2 u A2 ? u B 2 ? 2 2 k 2 (2 Au A ) ? (2 Bu B ) 2 2 ? k ( Au A ) ? (BuB ) 2 2 ? ? ( um m ) ?( 2 u ( m 3? m 2 ) m3 ? m2 ) ?( 2 u?0 ?0 ) ? 2 ( um m ) ? 2 um3 ? um2 2 2 (m3 ? m2 ) 2 ?( u?0 ?0 ) 2 (4) uk k ? ( um m ) ?( 2 u ?x ?x ) 2 说明:g 看作常数,对相对不确定度无贡献。 (5) u C ? ? (C u i i ?1 n mi ) 2 说明: ①加减应先求合成不确定度;乘除先求相对不确定度。 ②对于较复杂的计算, 也可按完全非独立随机误差的不确定度传递方法处理, 计算的结 果稍为偏大。 6、写成科学表达式: (1)R =(17000±1000)km; (2)C =0.001730±0.000005; (3)m =(1.750±0.001)kg,写成以 g、mg、T(吨)为单位; (4)h =(8.54±0.02)cm, 写成以μ m、mm、m、km 为单位. 解: (1)R =(1.7±0.1)×104km。 说明:若不写成科学表达式,不确定度 1000 km 有 4 位有效数字,不符合要求。 (2)C =(1.730±0.005)×10-3。 (3)m =(1.750±0.001)kg=(1.750±0.001)× 3g=(1.750±0.001)× 6mg 10 10 -3 =(1.750±0.001)×10 T。 说明:有效数字不因单位变换而改变。 (4)h =(8.54±0.02)cm=(8.54±0.02)× 4μ m=(8.54±0.02)× mm 10 10 -2 -5 =(8.54±0.02)× 10 m=(8.54±0.02)× 10 km。 7、按照误差理论和有效数字运算规则,改正以下错误: (1)N =(10.8000±0.2)cm; (2)28cm = 280mm; (3)L =(28000±8000)mm; (4)0.0221× 0.0221=0.00048841; (5) 400 ? 1500 12 . 60 ? 11 . 6 ? 600000 . 解: (1)N =(10.8±0.2)cm。测量值的最后位和误差位对齐。 (2)28cm = 2.8× 2mm。有效数字的位数(和相对误差相当)不因单位转换而改变。 10 (3)L =(2.8±0.8)× 4mm。误差的有效数字只能取一位。 10 (4)0.0221× 0.0221≌0.000488=4.88×104。3 位有效数字乘 3 位有效数字,结果一般仍 为 3 位有效数字。 (5) 400 ? 1500 12 . 60 ? 11 . 6 ? 400 ? 1500 1 .0 5 ? 6 . 0 ? 10 。 说明:实验数据的运算和纯粹的数学运算是不同的,数学运算完全正确的,从实验数据 的运算来看也许是错的,所以在实验数据的运算时一定要符合有效数字的运算规则。 8、试利用有效数字运算规则计算下列各式的结果: (1)258.1+1.413; (2)27.85-27.1; (3)728× 0.10; (4) 36 . 00 2000 ? 2 ? 10 2 ; (5) 80 . 00 ? ( 7 . 58 ? 5 . 078 ) 。 ( 4 . 7 ? 15 . 281 ) ? 0 . 00100 解; (1)258.1+1.413=259.5; (2)27.85-27.1=0.8; (3)728× 0.10=7.3×10; (4) 36 . 00 2000 ? 2 ? 10 2 2 . 000 ? 10 ? 2 ? 10 80 . 00 ? ( 7 . 58 ? 5 . 078 ) 80 . 00 ? 2 . 50 4 (5) ? ? 1 . 00 ? 10 。 ( 4 . 7 ? 15 . 281 ) ? 0 . 00100 20 . 0 ? 0 . 00100 3 2 ? 36 . 00 ? 2 . 0 ? 10 ?2 ; 说明:运算是先因子内加减,后乘除。 9、计算下列结果及不确定度: (1) N ? A? B? 1 3 C , A =(0.5768±0.0002)cm; B =(85.07±0.02)cm; C =(3.247±0.002)cm; (2)N =A-B, A =(101.0±0.1)cm; B =(100.0±0.1)cm; (3)V =(1000±1)cm3,求 1 =; V (4) R ? a b x a =(13.65±0.02)cm; b =(10.871±0.005)cm; x =(67.0±0.8)Ω ; (5) N ? h1 h1 ? h 2 h1 =(45.51±0.02)cm; 解: (1) N ? A ? B ? uN ? uA ? uB ? ( 2 2 h2 =(12.20±0.02)cm。 1 3 ? 3 . 247 ? 84 . 56 cm 1 3 C ? 0 . 5768 ? 85 . 07 ? , ? 0 . 0cm 2 2 uC 3 ) ? 2 0 .0 0 0 2 ? 2 2 0 . 0 0 2 2 0?. 0 2 ( ? 3 ) ,0 .0 2 ∴ N ? uN ? ( 8 4 . 5 ? 6 0 .c m ) 0。 2 说明:要充分应用可忽略原则。 (2)N =A-B =101.0-100.0=1.0cm, uN ? uA ? uB ? 2 2 0 .1 ? 0 .1 ? 0 .1 4 ? 0 .2 cm 2 2 , ∴ N ? uN ? ( 1 . 0? 0 . c m 2 ). 说明:两个大数减成一个小数,其相对误差将大大增加。 (3) N ? 1 V ? 0 . 001000 ? 1 . 000 ? 10 ?3 cm ?3 , ?3 uN ? uV V ? N ? 0 .0 0 1 ? 1 .0 0 0 ? 1 0 ?3 ?3 ? 0 .0 0 1 ? 1 0 ?3 cm ?3 , ∴ N ? u N ? (1.000 ? 0.001) ? 10 cm 。 说明:V 和 1 V 的相对误差是相等的。 (4) R ? a x ? 13 . 65 ? 67 . 0 ? 84 . 1? , b uR ? ( ua 10 . 871 u 2 2 ) ? ( b )? a b 2 ux 2 ( ?) R ? x 2 0 .0 2 2 ( ? ) 1 3 .6 5 2 0 .0 0 5 2 ( ? ) 1 0 .8 7 1 2 0 .2 8 ( ? ) 6 7 .0 8 4 .1 ? 0 . 0015 ? 0 . 0005 ? 0 . 012 ? 84 . 1 ? 0 . 012 ? 84 . 1 ? 0 . 012 ? 84 . 1 ? 1 . 0 ? ∴ R ? u R ? (84.1 ? 1.0) ? 。 (5) N ? h1 h1 ? h 2 ? 45 . 51 45 . 51 ? 12 . 20 ? 45 . 51 33 . 31 ? 1 . 366 , u N 可用式(绪—16)的普遍公式来做。也可作如下运算: N ? 1 1? h2 h1 , u ∴ uN N ? (1 ? h2 h1 ) u h2 ? 1? u h1 h1 2 ?3 h2 ? h1 ( u h1 h1 ) ?( 2 uh2 h2 ) 2 h1 1? h2 h2 h1 h2 h1 h1 ? h 2 h1 uh2 h2 ( 0 . 02 45 . 51 ? 8 . 5 ? 10 ?4 2 ? h2 h1 ? h 2 u h1 h1 ( u h1 h1 ) ?( 2 uh2 h2 2 ) , ∴ uN ? h1 ? h 2 ? ( ) ?( 2 ) ?N ? 2 h1 h 2 ( h1 ? h 2 ) 0 . 02 12 . 20 ? 0 . 001 ) 2 2 ( ) ?( 2 uh2 h2 ) 2 45 . 51 ? 12 . 20 ( 45 . 51 ? 12 . 20 ) ) ?( ? 0 . 500 ? ( 4 . 4 ? 10 ?4 ) ? (1 . 6 ? 10 2 ?3 ) 2 ? 0 . 500 ? 1 . 7 ? 10 ∴ N ? ? N ? 1 . 366 ? 0 . 001 。 说明:不能用 uN N ? ( u h1 h1 ) ?( 2 u h 1? h 2 h1 ? h 2 ) 2 ,因为 h1 和 h1-h2 之间不是完全独立的。 10、 计算下列结果: (1)L = L1(a +b),求 L。已知 a =1(常数) b =2.0× , 10 L1=3.18795 cm (2) V ? ? r h , 2 -3 求 V,已知 2r =1.3984× 2 m;h =5.0× 2m。 10 10 ?3 解: (1) L ? L 1 ( a ? b ) ? 3 . 18795 (1 ? 2 . 0 ? 10 ) ? 3 . 18795 ? 1 . 0020 ? 3 . 1943 cm 。 说明:1 为数学常数,可取无限多位: 1 ? 2 . 0 ? 10 ? 3 ? 1 . 0000 ? 0 . 0020 ? 1 . 0020 ,而不 是 1 ? 2 . 0 ? 10 ? 3 ? 1 ? 0 . 0020 ? 1 。 (2) V ? ? r 2 h ? 3 . 14 ? 1 4 ? (1 . 3984 ? 10 ?2 - - ) ? 5 . 0 ? 10 2 ?2 ? 7 . 7 ? 10 ?6 3 m 。 11、力敏传感器的灵敏度 K 与传感器所受外力 F 以及传感器的输出电压 ? U 的关系为 ? U ? K F 。实验得到力敏传感器灵敏度的测量数据如下: 表 11 力敏传感器灵敏度的测量数据 外力/ 9.8 ? 10 N 输出电压/mV ?3 0.0 0.0 0.5 15.0 1.0 30.0 1.5 45.0 2.0 59.0 2.5 74.7 3.0 89.6 3.5 104.6 试用作图法、逐差法以及最小二乘法求解力敏传感器的灵敏度 K 值。 解:1)作图法: K=(74.7-15)/2.5-0.5=29.85/9.8*10-3=3.046*102mV / N=30.5V / N 2)逐差法 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 ? (?u4 ) ? k ? 输出电压 ? u / m v 0.0 15.0 30.0 45.0 59.0 74.7 89.6 104.6 1 4 ? 5 9 .5 4 ? 0 .5 ? 2 9 .8 ? 3 ? 1 0 / 单 位 ? ? ? ?u ? ? ?u 4 4?i ? ?ui ? / m v 59.0 59.7 59.6 59.6 (5 9 .0 ? 5 9 .7 ? 5 9 .6 ? 5 9 .6 ) ? 5 9 .5 m v ? (?u4 ) 4F 不确定度分析: 3)最小二乘法 y ? a ? bx ? yi ? b ? xi n a ? y ? bx ? b ? xy ? x y x ?x 2 2 ? n ? xi yi ? n ? xi 2 ?x? ? ?? x ? i i yi 2 i 1 2 3 4 5 6 7 8 ? xi 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 14.0 yi 0.0 15.0 30.0 45.0 59.0 74.7 89.6 104.6 417.9 xi yi 0.0 7.5 30.0 67.5 1.08 ? 10 1 .8 7 ? 1 0 2 .6 7 ? 1 0 2 xi2 0.0 0.25 1.0 2.25 4.0 6.25 9.0 12.2 35.0 yi2 0.0 225 900 2025 3481 5580 8028 10941 2 2 3 .6 6 ? 1 0 1.03 ? 10 2 3 3.118 ? 10 4 ∴ b? a ? 8 ? 1 .0 3 ? 1 0 ? 1 4 ? 4 1 7 .9 3 8 ? 3 5 ? 1 4 .0 ? 2 ? 2 .3 9 ? 1 0 84 3 ? 2 8 .9/单位 4 1 7 .9 ? 2 8 ? 1 4 .0 8 2 5 .9 8 ? 3 .02/单位 ∴ y ? 3 ? 28 x