贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯(Thomas Bayes,1702-1761)发展,用来描述两个条件概率之间的关系,比如P(A|B)和P(B|A)。按照定理6的乘法法则,,可以立刻导出贝叶斯定理:如上公式也可变形为例如:。一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗,别墅的主人有一条狗,狗平均每周晚上叫3次,在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9,问题是:在狗叫的时候发生入侵的概率是多少?人们假设A事件为狗在晚上叫,B为盗贼入侵,则,,,按照公式很容易得出结果:。另一个例子,现分别有A,B两个容器,在容器A分别有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球,现已知从这两个容器里任意抽出了一个球,且是红球,问这个红球是来自容器A的概率是多少?假设已经抽出红球为事件B,从容器A里抽出球为事件A,则有:,,,按照公式,则有:。