1.3.2 判断函数单调性的常用方法: ( 1 )定义法 ( 2 )导数 【求可导函数f ? x ?的单调区间的步骤】 ?1? 确定定义域; ? 2 ? 求f ? ? x ? ; 令f ? ? x ? ? 0解不等式 ? f ? x ?的单调递增区间; ? 3? ? 令f ? x ? ? 0解不等式 ? f ? x ?的单调递减区间; ? 4 ? 写出相应的单调区间. 注:单调区间不能以“并集”出现。 (1)求定义域及导数y=f′(x); (2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a,b]上恒成立问题 (3)由不等式恒成立求参数范围; (4)验证等号是否成立. 【已知函数y=f(x),x∈[a,b]的单调性,求参数的取值范围的步骤】 【课前训练】 已知函数f ? x ? ? x ? ax ? 1, 是否存在实数a,使得f ? x ? 3 在 ? ?1,1? 上单调递减?若存在,求出a的取值范围, 若不存在,说明理由. 2 2 分析:易 ? f ( x)? ? 3x ? a, 只f ( x)? ? 3x ? a ? 0, x ? (-1,1)恒成立。即a ? 3x 大,x ? (-1,1),又 2 ? 0 ? 3x ? 3 ? a ? 3。验,综上... 2 探究、如图,函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少? 在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么变化规律? y=f(x) y y=f(x) a b cd e o f g h x 函数极值的定义 1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a)比它在点x=a 附近 其它各点的函数值都小,我们就说f(a)是函数的一个 极小值.点a叫做极小值点. 2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近 其它各点的函数值都大,我们就说f(b)是函数的一个 极大值,点b叫做极大值点. 3)极大值与极小值统称为极值. 4)极大值点,极小值点统称为极值点 f(b) 注:函数的极大值、极小值未必 是函数的最大值、最小值. a 即:极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值 b f(a) 【注意】 1.正确理解极值的概念:极大值与极小值统称为 极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极 值点是自变量的值,极值指的是函数值. 请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由 定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函 数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的 整个定义域内最大或最小. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域 内极大值或 极小值可以不止一个. (3) 极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的 极大值未必 大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值 点,而f(x4)>f(x1). (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成 为极值点. (5)严格单调函数无极值 @注:求出f′(x)=0的根和 f′(x)无意义的点,这些点都称为 可疑点,再用定义去判断. 观察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究方 法,看极值与导数之间有什么关系? y x x0左侧 f?(x) >0 增 x0 极大值 x0 x0右侧 减 f?(x) f?(x) =0 f?(x) <0 o a y x0 b x f(x) x x0左侧 f?(x) f?(x) <0 f(x) 减 x0右侧 f?(x) =0 f?(x) >0 极小值 增 o a x0 b x 请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值? 左正右负为极大,右正左负为极小。 新知探究: ?若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? y f (x)?x3 f?(x)=3x2 当f?(x)=0时,x =0, 而x =0不是该函数的极值点. 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极点? O x x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0 f?(x0) =0 注意:f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件 思考:充要条件?见书P29 【跟踪训练1】课本P29页 1T (书p28) 1 3 例1.求函数 f(x) ? x -4x +4的极值. 3 总结:【求可导函数f(x)的极值的步骤】 (1)确定函数的定义区间,求导数f′(x). (2)求方程f′(x)=0的根. (3) 用函数的导数为 0的点,顺次将函数的定义区间分成若干 小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如 果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x) 在这个根处无极值. 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就 必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号. 【跟踪训练2】课本P29 2 【例2】已知函数f ? x ? ? x3 ? 3ax 2 ? bx ? a 2在x ? ?1时 有极值0,试求实数a、b的值. 提示:由f (?1)? ? 3 ? 6a ? b ? 0①, f (?1) ? 3a ? b ? a ? 1 ? 0② 解①②得... 2 2 【变式训练】 已知 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=1 与 x=-3 3 2 变式答: 时,都取得极值. 1)a=-0.5,b=-2 (1)求 a,b 的值;2)f极大= f(-2/3)=49/27 f极小= f(1)= =-0.5 3 (2)若 f(-1)=2,求 f(x)的单调区间和极值. 思考: 练1. .函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的 图象如下图所示,则函数f(x) ( ) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、两个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 f′(x) [ 分析 ] [解析] 通常给出函数图象或与函数极值有关的命 设f′(x)与x轴的4个交点,从左至右依次为x1 题形式,进行辨别和判断函数极值的存在情况 、x2、x3、x4, 当x0,f(x)为增函数, 当 x1f(x1). (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成 为极值点. (5)严格单调函数无极值 @注:求出f′(x)=0的根和 f′(x)无意义的点,这些点都称为 可疑点,再用定义去判断. 小结:【求可导函数f(x)的极值的步骤】 (1)确定函数的定义区间,求导数f′(x). (2)求方程f′(x)=0的根. (3) 用函数的导数为 0的点,顺次将函数的定义区间分成若干 小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如 果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x) 在这个根处无极值. 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就 必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号. 1.课本P32习题1.3 A组5(1.3); 2、设函数f ? x ? ? ax3 ? bx 2 ? cx , 在x ? 1和x ? ?1处有极值, 且f(1)=-1。 试求a、b、c的值,并求出相应的极值. 1.3.2(2) 【提升例题】设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R, (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数 a的取值范围. 参 ? 思考提高 ? . *【提升例题】 求实数a的取值范围. 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R,(1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根, [解] (1)f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,解得x1=- 2,x2= 2. 因为当x> 2或x<- 2时,f′(x)>0; 当- 20,f(x)为增函数, 当 x10,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1) 内的极值. 解:( Ⅰ )由函数f(x)图象过点(-1,-6),得m-n=-3, …① 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称,所以- 2m ? 6 =0,所以m=-3, 2?3 代入①得n=0. 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由f′(x)<0得00,x 取足够 小的负数时,有 f(x)<0,所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一 个交点. 尝试完成作图情形。 N型曲线 ( ) 5 结合 f(x)的单调性可知,当 f(x)的极大值 +a<0, 27 5 即 a<-27时, 它的极小值也小于 0, 因此曲线 y=f(x) 与 x 轴仅有一个交点,该交点在(1,+∞)上;当 f(x)的极 小值 a-1>0,即 a>1 时,它的极大值也大于 0,因此曲线 1 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,该交点在(-∞,-3)上. 5 综上可知,当 a∈(-∞,-27)∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. [点拨] 利用极值判断方程根的问题,实际上是利用连续函数 变式:一个交点;两个呢? 的一个原理,即若连续函数f(x)在区间(a,b)内,存在f(a)· f(b)<0 ,则f(x)与x轴至少有一个交点. 思考:P32 B组:2T 课下:… 课下思考 课下思考 ●? 2014广州高二检测 . ?