李建波
【摘要】 二项式定理是高中数学一块很重要的知识点,三项展开式系数问题频繁出现在各类大小考试中,此类问题既是高考的重要考点也是学生的难点,因此,本文分别介绍三项展开式系数问题的四种处理方法(定义法、分解因式法、分组法、赋值法),供大家参考借鉴.
【关键词】 三项式;分解因式法;分组法
三次项展开式系数问题既是高考重点也是学生难点,下面介绍四种破解之法.
一、定义法
定义法是利用乘方的定义、多项式运算法解决问题的方法.
例1 求(1+2x-3x2)6展开式中含x5項的系数.
解 将(1+2x-3x2)6看成六个相同的因式相乘,根据组合的定义和多项式乘法法则可以将x5项的系数分为三类.(ⅰ)在6个因式中取两个-3x2,一个2x,三个1,则乘积含有x5项有C26C14C33种取法,此种取法对应的系数为C26C14C33(-3)2×21×13=1 080.(ⅱ)在6个因式中取一个-3x2,三个2x,两个1,则乘积含有x5项有C16C35C22种取法,此种取法对应的系数为C16C25C22(-3)1×23×12=-1 440.(ⅲ)在6个因式中取零个-3x2,五个2x,一个1,则乘积含有x5项有C56C11种取法,此种取法对应的系数为C56C11(-3)0×25×11=192.
所以x5的系数为1 080-1 440+192=-168.
二、分解因式法
分解因式法是将三项式分解成两个二项式的积,再利用二项式定理展开求解的方法.
例2 求(x2+3x+2)5的展开式中含x项的系数.
解(x2+3x+2)5=[(x+1)(x+2)]5=(x+1)5(x+2)5=(C05x0+C15x1C25x2+…+C55x5)·(C0525x0+C1524x1+C2523x2+…+C5525x0),
所以x的系数为C05C15·24+C15C05·25=240.
三、分组法
分组法是将三项式添加括号变成两项,再利用二项式定理展开的方法.
例3 求(x-x-1-1)5的展开式中的常数项.
解(x-x-1-1)5=[(x-x-1)-1]5=C05(x-x-1)5+C15(x-x-1)4(-1)1+…+C45(x-x-1)1(-1)4+C55(-1)5,
利用二项式定理知:
(x-