将中的 x取作π就得到:这个 恒等式也叫做 欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个 超越数: 自然对数的底e, 圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1;以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。当r=0或1时式子的值为0,当r=2时值为1,当r=3时值为a+b+c。设△ABC的 外心为O, 内心为I,外接圆半径为R,内切圆半径为r,又记 外心、内心的距离OI为d,则有(1)式称为欧拉公式。为了证明(1)式,我们现将它改成(2)式左边是点I对于⊙O的 幂:过圆内任一点P的弦被P分成两个部分,这两个部分的乘积是一个定值,称为P关于⊙O的幂。事实上,如图3.21,如果将OI延长交圆于E、F,那么因此,设AI交⊙O于M,则因此,只需证明或写成比例式为了证明(5)式,应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边;另一个以长2R、MI为边。前一个不难找,图3.21中的△IDA就是,D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形,所以一边是直径ML,另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。容易证明因此(5)式成立,从而(1)式成立。因为,所以由欧拉公式得出一个副产品,即拓扑学又称“连续几何学”。