有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
解答:
A, 甲发生,则丙不会发生,有影响,A错.
B, 甲发生,丁发生的概率为1/6, 甲不发生,丁发生的概率仍为1/6,因为当第一次确定之后,加起来等于7的只有一种可能. B正确
C,乙发生,则丙发生的概率为1/6,乙不发生,则丙会根据第一次取出的数字决定是否为8,概率可能为0,所以有影响,C错
D,丙,丁互斥
选B
二,选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2.5分,有选错的得0分。
9. 有一组样本数据
, 由这组数据得到新样本数据
, 其中
为非零常数. 则
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
解答:
排除法,A,B很容易排除,令
,则其平均数和中位数都为0,而新样本都为c,不等,排除两个剩下的都选(多选题嘛)
10. 已知 O 为坐标原点, 点
.则
解答:
可以看到这四个点都是半径为1的圆上的点,所以选项A正确.其中点A是固定的,其他的都是变动,所以B错.C项可以直接用点乘去运算,他们都等于
,D选项左边为
右边为
(或者用特殊法,令
,则左边为0,右边与
有关),所以D错
选AC
11. 已知点 P 在圆
上,点A(4,0), B(0,2) , 则
A. 点P到直线 A B 的距离小于10
B. 点P到直线 A B 的距离大于2
C. 当
最小时,
D. 当
最大时,
解答:
算出直线AB方程:
,利用点到直线的距离公式得到
,
所以最大距离为
,选项A正确.
最小距离
,选项B错误.
当BP与圆相切的时候,
取最大最小,利用勾股定理可以知道此时
.
12. 在正三棱柱
中,
, 点P满足
则
A. 当
时,
的周长为定值
B. 当
时, 三棱锥
的体积为定值
C. 当
时,有且仅有一个点 P , 使得
D. 当
时,有且仅有一个点 P , 使得
平面
解答:
由已知得 P 为正方形
内一点,
A项,当
时,
, 即
所以 P 在线段
上,所以
周长为
与P的位置有关,所以周长不是定值.
B项,当
时,
所以 P 在线段
上, 三棱锥
的底面积固定,
因为
/ / 平面
,
所以 P 到平面
距离不变,即h不变,
故B项正确。
C项, 当
时,
这个时候P点在中线
上,P分别取
点都会垂直,所以C错.
D项,当
时,
P点在中线
上,只有
时,
平面
,所以D正确
选BD
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共20 分。
13. 已知函数
是偶函数,则a=_______
解答:
偶函数:
,嫌麻烦找个特例:
代入
,解得a=1
14. 已知 O 为坐标原点,抛物线
的焦点为F, P 为C上一点, P F 与x轴垂直, Q 为x轴上一点,且
. 若
, 则C的准线方程为___________
解答:
可以算出
, 根据相似三角形比例可以得到
, 代入数据:
,解得p=3,所以准线方程为:
.
15. 函数
的最小值为__________
解答:
有绝对值,去绝对值,主要其定义域为x>0
分段函数求极值,不需要画图再利用他的增减性找最值,他的图像无非就是一段段的增减函数组合而成,所以只需要比较极值点和端点即可.
端点有:
,极值点,求导(此处略)令导数等于0的点,这里只有1,
,比较得到最小值为1
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmX12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dmX12dm . 20dmX6dm两种规格的图形,它们的面积之和
,对折2次共可以得5dmX12dm ,10dmX6dm,20dmX3dm三种规格的图形,它们的面积之和
.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______:如果对折n次,那么
=______
.
解答:
每次对折要么长变少一半,要么宽变少一半,理论上一个变两个,两个变四个,但是这里只是观察他的图形,第二次对折的时候有两个的长宽相等了,算一个,所以每次对折只会产生一个新的规格.
所以第四次对折产生了5种不同规格的图形.
仔细观察会发现不同图形的面积都是相等的,只需要知道其中一个的面积就可以算出那一次的面积和.

对折次数单个面积个数面积和
110*12=1202240
25*12=603180
32.5*12=304120
...
k120*(1/2)^(k-1)k+1单个面积*个数

单个面积是一个等比数列
第k次面积和
等比等差的乘积,错位相减法求和(有空可以单独写个教程)
错位相减得到:
所以
,
故本题正确答案为:5 ;
.
四、解答题: 本题共 6 小题,共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
17. (10 分)
已知数列
满足
(1) 记
, 写出
, 并求数列
的通项公式;
(2) 求
的前 20 项和.
解答:
(1)
可以列出前面几项观察:1,2,4,5,7,8,10,11...
所以
,观察发现
的偶数项是个等差数列,公差是3.
验证:
则数列
是以 2 为首项, 3 为公差的等差数列
.
(2)
数列
的前 n项和为
,所以
.
令
(即
的奇数项),则
即
的前 20 项和为
18.(12 分)
某学校组织"一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题冋答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束. A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分。
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ,能正确回答B类问题的概率为0.6 . 且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列:
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由。
解答:
(1)
X可能取的值为:0,20,100
P(X=0)=1-0.8=0.2
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32
P(X=100)=0.8×0.6=0.46
所以得到X的分布列:

X020100
P0.20.320.48

(2)
(期望最大,就是要比较数学期望,大的就选)
有(1)得E(X)=0×0.2+20×.032+100×0.48=54.4
如果先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y的可能取值为:0,80,100
P(Y=0)=1-0.6=0.4
P(Y=20)=0.6×(1-0.8)=0.12
P(Y=100)=0.6×0.6=0.48
所以得到Y的分布列:

Y080100
P0.40.120.48

E(Y)=0×0.4+80×.012+100×0.48=57.6
所以E(Y)>E(X), 所以小明应该选择先回答B类问题.
19. (12分)
记
的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 已知
, 点D在边 A C
上.
.
(1) 证月: BD=b :
(2) 若AD=2 DC, 求
.
解答:
(1)
由正弦定理得到:
,而
,
所以BD*b=ac, 又因为
, 所以 BD=b
(2)
由图可知,
,又AD=2 DC,BD=b
由余弦定理得到
在BDC中:
①
在BDA中:
②
(消掉
) 第①式乘以2加到第②式得到
两边除以
,整理得到:
解得
或
而
分子分母除以
代入分别得到
或
(舍去).
20. (12 分)
如图, 在三棱锥 A-BCD 中,平面 A B D
平面B C D, AB=AD, O 为BD的中点.
(1) 证明 OA
CD.
(2) 若OCD 是边长为 1 的等边三角形, 点E在棱 A D 上, D E=2 E A,
且二面角 E-BC-D 的大小为45°, 求三棱锥 A-B C D 的体积.
解答:
(1)
由于 AB=AD, O 为BD 的中点, 所以OA
BD
而平面 A B D
平面B C D,所以OC
平面 A B D,从而OC
OA
又BD∩OA=O, 所以OA
平面OCD, 又因为CD在平面OCD上,所以 OA
CD.
(2)
求体积一定要学会转化思维,把要求的三棱锥转化到可以利用到条件的三棱锥.
过E作EH∥OA, 由于OA
平面OCD, 所以EH
平面OCD (转化到E-BCD)
因为D E=2 E A, 所以DH=2OH=
.
由于OCD是边长为 1 的等边三角形,O 为BD的中点,所以OB=OC=OD,
所以BCD为直角三角形,BC=BD sin∠D=2×sin60°=
.
过H作HF∥CD,所以HF⊥BC,根据比例
,可以求出HF=
连接EF,由于EH
平面OCD
所以∠EFH为二面角 E-BC-D 的平面角,即∠EFH=45°,所以HF=EH=
三棱锥 A-B C D 的体积
.
21.(12分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知点
, 点M满足
, 记M的轨迹为 C .
(1) 求C的方程:
(2) 设点 T 在直线
上, 过T的两条直线分别交 C 于A, B 两点和 P, Q 两点,
且
, 求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.
解答:
(1)
由于
,所以C的轨迹为焦点在x轴的双曲线中的一支,
,2a=2,即a=1,所以
所以C的轨迹方程为:
(2)
(由
,我们至少要蒙T在x轴的,两条直线对称时候是成立的,这时候斜率和为0,一定要写!过程复杂没有关系,中间添加代入方程然后韦达定理,,8分轻松搞定!)
言归正传:
设
,直线AB的斜率为
,直线PQ的斜率为
,
则直线AB的方程为:
联立方程组
得到:
(这个看起来复杂了一点,但是改卷老师是承认的,而这个化简过程只要2分钟!!有兴趣的同学可以看看我之前将的内容)
(一般同学就算到这里即可,保险起见加上,反正都是背公式)
因为
,
(这来看不懂的同学可以看看我下面的文章,在弦长公式的视频前面10分钟吧,讲的就是这个知识点)
所以
代入整理得到:
同理:
(这来直接把下标1改成2即可)
因为
,
所以
所以
因为
所以
即
即直线 A B 、 P Q 的斜率之和为 0 .(蒙对了(#^.^#))
22. (12 分)
已知函数
.
(1) 讨论
的单调性;
(2) 设a, b 为两个不相等的正数,且
, 证明:
解答:
(1)
定义域为x>0
所以当0<x<1时,
,
为增函数,
所以当x>1时,
,
为减函数.
(2)
由
,两边除以ab:
即
,即
,令
,
由(1),不妨设0<p<1,q>1,问题变为证明:2<p+q<e.
(i)
先证p+q>2,即证 p>2-q.
若q>2,显然有p+q>2,若1<q<2,则0<2-q<1.
由于f(x) 在(0,1)上递增,所以我们只需要证明f(p)>f(2-q),
从而转化为证明f(q)>f(2-q) (f(p)=f(q))
构造新函数g(x)=f(2-x)-f(x), 1<x<2
当1<x<2时,
,所以g(x)< g(1)=0, 1<x<2.
所以 g(q)= f(2-q)-f(q) <0,从而 f(q)>f(2-q).
(ii)
再证p+q<e, 即证 q<e-p.
所以在(0,1)上, f(x)>0.
而f(e)=0, 所以当
时候,无法在(0,1)找到p使得f(p)=f(q).
因此我们可以断定1<q<e, 从而0<e-q. 又e-p>e-1>1, 所以0<e-q<1(接下来和(i)类似)
由于f(x) 在x>1上递增,所以我们只需要证明f(q)>f(e-p),
从而转化为证明f(p)>f(e-p), (f(p)=f(q))
构造新函数h(x)=f(e-x)-f(x), 0<x<1
方程
在(0,1)有一个根设为u.
则在(0,u)上,h(x)递减,而且小于0,因为
在(u,1)上,h(x)递增,h(x)<h(1)=f(e-1)-f(1)<0
所以当 0<x<1时,
,所以h(x)<0
所以 h(p)= f(e-p)-f(p) <0,从而 f(p)>f(e-p),证毕.
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