三角形面积公式
一:定义与公式
定义:三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。
面积公式:$\mathrm{S}=\mathrm{ah} / 2$
三角形分类:
锐角三角形:三个角都小于90度。
直角三角形:可记作Rt。其中一个角必须等于90度。
钝角三角形:有一个角大于90度。
三角形的性质:
1 、在平面上三角形的内角和等于$180^{\circ}$(内角和定理)。
2 、在平面上三角形的外角和等于$360^{\circ}$(外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中,若一个角等于30度,则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点,三条高线的所在直线交于一点,三条中线交于一点。
11、三角形三条中线长度的平方和等于它的三边的长度平方和的$3 / 4$。
12、 等底同高的三角形面积相等。
13、 底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上(三线合一)。
16、 在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边。
17、 在斜ABC中恒满足:tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
18、ABC中恒有:$[\tan (\mathrm{A} / 2)+\tan (\mathrm{B} / 2)][\tan (\mathrm{A} / 2)+\tan (\mathrm{C} / 2)]=\sec ^{2}(\mathrm{~A} / 2)$。
19、三角形具有稳定性。
二:例题
经典例题——解答题
1.在$\Delta A B C$中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知$b=8, \quad c=3, \quad A=\frac{\pi}{3}$.
(1)求a;
(2)求$\Delta A B C$的面积.
1.(1)$a=7$;(2)$6 \sqrt{3}$.
【分析】
(1)由余弦定理即可求得a的值;
(2)利用面积公式即可求解.
【详解】
(1)由余弦定理得:$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$,
即$a^{2}=8^{2}+3^{2}-2 \times 8 \times 3 \cos \frac{\pi}{3}=73-24=49$,
所以$a=7$,
(2)$\Delta A B C$的面积为
$S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 3 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6 \sqrt{3}$.
2.在ABC中,$\sqrt{3} a \cos B=b \sin A$.
(1)求∠B;
(2)若b=2,c=2a,求ABC的面积.
2.(1)$\frac{\pi}{3}$;(2)$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.
【分析】
(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB,进而可求B;
(2)由余弦定理及已知条件可求a,c的值,然后结合三角形的面积公式可求.
【详解】
解:(1)在ABC中,由正弦定理,
因为$\sqrt{3} a \cos B=b \sin A$,
所以$\sqrt{3} \sin A \cos B=\sin B \sin A$,
因为sinA≠0,
所以$\sqrt{3} \cos B=\sin B$,
所以tanB$=\sqrt{3}$,
因为0