关于钟面角公式及钟面角的几种求法 金坛市第三中学 孙瑜 摘要: 文章对苏科版数学用书 P164 页课程资源关于钟面角的计算公式提出了质疑: 公式没有考虑到钟面角需要在o0 -o180 的范围内, 某些角度的钟面角用此公式是错误的。 在此基础上面作者介绍了钟面角的另一种计算公式, 同时介绍了钟面角的几种不同求法。 关键词: 钟面角公式 钟面角 求法 苏科版数学教学用书 P164 页课程资源关于钟面角的计算公式是这样的, 钟面角的计算公式:①当时针在分针的前面时, 钟面角=,65 . 030nnmooo−+ ②当时针在分针的后面时, 钟面角=.5 . 0306nmnooo−− 其中 m 表示时针所指钟面的时钟数, n 表示分针所指钟面的分钟数, 即 m 点 n 分。 笔者认为此公式有个细节表述上的错误, 未考虑到钟面角需在oo1800 −的范围内, 举两个例子。 (1) 求 1 时 48 分时钟面角的度数 (2) 求 11 时 13 分时钟面角的度数 解: (1) 1 时 48 分时, 时针在分针的后面, 此时48, 1==nm, 钟面角nmnooo5 . 0306−−= 485 . 0130486×−×−×=ooo o234=>o180 解: (2) 11 时 13 分时, 时针在分针的前面, 此时13,11==nm, 钟面角nnmooo65 . 030−+= 136135 . 01130×−×+×=oo o5 .258=>o180 所以, 上述公式需要修正。 一、 钟面角公式的计算与修正 钟面角是指时针和分针在某一刻所成的夹角, 通常情况指oo1800 −的那个角。 我们知道钟表的表面被均分为 12 大格, 60 小格, 每一大格对应oo3012360=÷的角, 每一小格对应oo660360=÷的角, 这样, 时针每小时转过o30 , 即每分钟转过oo5 . 06030=, 分针每分钟转过.6 no当某时刻为 m 点 n 分时, 钟面上分针最后一圈转过的角度为no6, 而时针转过 的角度为,5 . 030nmoo+ 上述公式应修正为: (1) 当时针在分针的前面时,nnmooo65 . 030−+=α, (2) 当时针在分针的后面时,.5 . 0306nmnooo−−=α 若α 在 0—o180 时, α 即为钟面角, 若α 大于o180 , 钟面角为.360α−o 求夹角, 为了便于运算, 把时针和分针都以零点(12 点) 为角的始边, 按顺时针旋转一定的角度, 然后求这两者的差的绝对值, 即()nmnnmooooo5 . 5−3065 . 030=−+=α,( 注意到上述两种分类, 是互为相反数的关系) 当α 在o1800 −之内, α 即时针与分针所夹的角。 当α 大于o180 时, 时针与分针所夹得角为α−o360, 此为 m 点 n 分时的钟面角公式。 二、 钟面角(m 点 n 分) 的几种求法 例: 分别求(1) 2 时 5 分(2) 2 时 20 分(3) 2 时 45 分时钟面角的度数。 (方法一) 解 : (1) 2 时 5 分时, 时针在分针的前面, nnmooo65 . 030−+=α5655 . 0230×−×+×=oooo5 .32=o180 故钟面角的度数为ooo5 .1725 .187360=− (方法二) 用修正过的钟面角公式, 再如上例: 分别求(1) 2 时 5 分(2) 2 时 20 分(3) 2时 45 分时钟面角的度数。 解 : (1) 2 时 5 分时,, 5, 2==nm nmoo5 . 5−30=α55 . 5−230××=oooo1805 .32<= 故钟面角的度数为o5 .32 (2) 2 时 20 分时,20, 2==nm nmoo5 . 5−30=α205 . 5−230××=oooo18050 <= 故钟面角的度数为o50 (3) 2 时 45 分时,.45, 2==nm nmoo5 . 5−30=α455 . 5−230××=oooo1805 .187>= 故钟面角的度数为.5 .1725 .187360ooo=− (方法三) 在实际应用中, 最好先画个草图, 仍以零点(12 点) 为角的始边, 分别计算出分针最后一圈转过的角度以及时针转过的角度, 然后用大的减小的, 结果如果小于o180 的,即为钟面角的度数, 结果大于o180 的, 就用o360 再减一次, 这也是钟面角度数的通法, 对于分钟数不是 2 的倍数, 也可用此法, 只是结果是分数或小数。 解 : (1) 画草图, 分针最后一圈转过的角度为,3056oo=×时针转过的角度为.1805 .32305 .62,5 .6255 . 0230ooooooo<=−=×+× 故钟面角的度数为o5 .32。 (2) 画草图, 分钟最后一圈转过的角度为oo120206=×, 时针转过的角度为,1805070120,70205 . 0230ooooooo<=−=×+× 故钟面角转过的角度为o50 (3) 画草图, 分针最后一圈转过的角度为oo270456=×, 时针转过的角度为ooooooo1805 .1875 .82270,5 .82455 . 0230>=−=×+× 故钟面角的度数为ooo5 .1725 .187360=− 此外, 还可用下面方法求钟面角。 再如上例分别求(1) 2 时 5 分(2) 2 时 20 分(3) 2 时 45 分时钟面角的度数 (方法四) 解 : (1) 2 时 5 分 2 时整, 分针与时针夹角为,60230oo=× 从 2 时 到 2 时 5 分 ,分 针 旋 转 了oo3056=×,时 针 旋 转 了oo5 . 255 . 0=×, 所以 2 时 5 分时, 时针与分针的夹角为oooo5 .32305 . 260=−+=α (2) 2 时 20 分 2 时整, 分针与时针夹角为,60230oo=× 从 2 时到 2 时 20 分, 分针旋转了oo120206=×, 时针旋转了oo10205 . 0=×, 所以 2 时 20 分, 时针与分针的夹角为()oooo501060120=+−=α (3) 2 时 45 分 2 时整, 分针与时针夹角为oo60230=× 从 2 时到 2 时 45 分, 分针旋转了oo270456=×, 时针旋转了oo5 .22455 . 0=× 所以 2 时 45 分时, 时针与分针夹角为ooooo5 .1725 .2260270360=++−=α (方法五) 注意到时针运动速度为o5 . 0/分, 分钟运动速度为o6 /分, 分针运动的速度是时针的 12 倍, 且分针转动同时, 时针也在转动, 此例还可以用以下方法求解。 分别求(1) 2 时 5 分(2) 2 时 20 分(3) 2 时 45 分时钟面角的度数。 解: (1) 2 时 5 分时, 分针正好指向 5, 时针指向 2 至 3 这个大格的1211个大格, 所以此时时针与分针的夹角为1处, 则时针与分针之间为12oo5 .32121130=×。 (2) 2 时 20 分时, 分针正好指向 4, 时针指向 2 至3这个大格的31处, 则时针与分针之间为321个大格, 此时, 时针与分针的夹角为oo5032130=×。 (3) 2 时 45 分时, 分针正好指向 9, 时针指向 2 至 3 这个大格的435个大格, 此时时针与分针的夹角为3处, 则时针与分针之间为4oo5 .17243530=×。 最后, 试用两种方法分别求(1) 1 时 48 分(2) 11 时 13 分时钟面角的度数。 附联系方式: 通讯地址: 金坛市东环一路 411 号 姓名: 孙瑜 固定电话: 0519—82364441 单位: 江苏省金坛市第三中学 邮箱: 675524582@qq.com 邮编: 213200 手机: 13861107281