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平均值
平均值的概念很简单:所有数据之和除以数据点的个数,以此表示数据集的平均大小;其数学定义为
以下面10个点的CPU使用率数据为例,其平均值为17.2。
方差、标准差
方差这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度;其数学定义为:
标准差与方差一样,表示的也是数据点的离散程度;其在数学上定义为方差的平方根:
为什么使用标准差?
一个标准差 68%, 两个标准差 95%, 三个标准差 99%。
标准差定义是总体各单位标准值( xi)与其平均数(μ)离差平方和的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。
所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一,即变异数),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。
标准计算公式:
假设有一组数值X₁,X₂,X₃,......Xn(皆为实数),其平均值(算术平均值)为μ,公式如图1。
标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式为
一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差约为17.08分,B组的标准差约为2.16分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
一个标准差 68%, 两个标准差 95%, 三个标准差 99%。
与方差相比,使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处:
表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致,更适合对数据样本形成感性认知。依然以上述10个点的CPU使用率数据为例,其方差约为41,而标准差则为6.4;两者相比较,标准差更适合人理解。表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致,更方便做后续的分析运算。在样本数据大致符合正态分布的情况下,标准差具有方便估算的特性:66.7%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内,而99%的数据点将会落在平均值前后3