版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。首先间断点可以分为第一类和第二类间断点,而在这些间断点中还有一个细分就是函数在该点该点是否有定义,这里我们讨论的对象是有定义的点处的间断点,因为如果原函数在该点无定义的话,那么导数肯定是不存在的。假设该点的函数值为
确定了研究的对象之后,这里先给出一个结论:第一类间断点的导数必不存在
第一类间断点分为跳跃间断点和可去间断点
跳跃间断点
跳跃间断点就是:在该点的左右极限都存在,但是不相等即
右极限:
、左极限:
右导数:
记为
左导数:
记为
由于
和
的关系是不确定的,可以是等于其中某个,也可以和两个都不相等,对于前者来说,假如
那么
存在
不存在,也就是
故该点导数不存在;对于后者而言两者的左右导数都不存在,该点的导数自然不存在
可去间断点
依旧采用上面的符号,可去间断点就是左右极限都存在,且相等即
,但是
和
的关系是确定的,即
,也就是该点的左右导数都不存在,故该点导数不存在。
总结:在实际做有关导数的题时凡是遇到有定义的可疑点(这种点通常是分段函数的分段点),直接求该点的左右极限判断函数在该点的连续性,通过这一步如果是间断点也可以直接判断断点的类型,如果是第一类间断点,那么该点的导数肯定不存在,如果该点连续,也需要用导数的定义对该点单独求导(方法是求左右导数,看看左右导数是否相等),不可大意,因为连续不一定可导
最后还要强调的一点就是,函数在其间断的领域内一定是有定义的,换句话说就是孤立的点不可能是间断点的
连不连续和分段是没有关系的,分段也是可以连续的