圆的面积公式和周长公式是数学的基础内容,但是真正我们可以完全推导却需要一些微积分的知识才能够完成,许多情况大家还容易出现循环证明的问题,我们也犯过同样的错误,写一篇小文章记录下来,也供大家参考吧。出发之前,我们以一句话作为我们在迷雾中探索的指南针:
我们目前尚无法知道曲线,我们的数学手段都是在用直线逼近曲线。
(一)证明的旅行地图
圆的周长公式和弧长公式说的都是同一件事情,那就是
圆弧的长度和半径的长度成正比,具体的数值是一个叫做
的常数。
圆的面积公式和扇形的面积公式说的都是同一件事情,那就是
扇形的面积和弧长成正比,具体的数值是
所以圆的面积、扇形的面积、弧长的公式、周长的公式之间如果相互论证就有循环论证的嫌疑。如果我们最先开始的时候不知道圆周长和半径之间是正比关系,我们要怎么从本源开始出发证明这一系列的公式呢,下图就是我们的旅行地图:
(二)泰勒公式来证明2个重要的三角函数极限
我们知道正弦和余弦在
附近的泰勒展开式如下,
所以,我们可以得到2个重要的极限

(二)用面积大小关系和夹逼准则来证明圆的面积公式

假设
是圆的2n等分角,也就是
,由三角形的面积关系可知,