下图中点Q'和Q''分别为切点。 为什么这样作出的直线是切线,这需要证明。下面蓝字内容理解了,上面的作图的道理就明白了。 如下图所示。(1)首先证明过椭圆焦点向椭圆任意一条切线引垂线,垂足一定位于椭圆的辅助圆上。(2)其次证明在椭圆的辅助圆上任取一点,连接这点与焦点,则与这两点连线垂直且过这点的直线就是椭圆的切线。 下面证明(1)。如下图所示。有一条椭圆的切线m,切点为G。 过焦点F作这条切线的垂线FD, 点D为 垂足。 我们将证明垂足D一定在辅助圆上。 因为点G在椭圆上,所以,FG+GF'是定值(AA')。过点F作切线DT的垂线,垂足为D(注意,这时我们还不知道D在不在辅助圆上)。延长F'G,延长FD,两延长线交于点E。因为∠FGD=∠F'GT(因为DT为切线),∠EGD=∠F'GT(对顶角相等),所以,∠FGD=∠EGD。于是,三角形DFG全等于三角形DEG(角边角)。所以,FD=DE;FG=EG。连接OD。又因为FO=OF',所以OD为三角形FEF'的与边EF'平行的中位线,所以OD=EF'/2=(EG+GF')/2=(FG+GF')/2=AA'/2。这说明点D位于以AA'为直径的圆即辅助圆上。即过焦点向切线所作的垂线与切线相交于辅助圆上。 下面证明(2)。如下图所示。在辅助圆上取一点D,连接FD,过点D作FD的垂线DT(即m)。延长FD至点E,使DE=FD。连接EF'(其中F'为椭圆另一焦点),EF'与直线m交于点G。 在三角形FEF'中,点O和点D分别是边FF'和FE的中点,所以,EF'=2DO。DO为辅助圆的半径,是定值,所以,EF'也是定值,即EG+GF'是定值,并且这个定值为椭圆的长轴长。又因为三角形FDG与三角形EDG全等,所以FG=EG。所以,FG+GF'是定值,且等于椭圆的长轴长。这就说明,点G到椭圆两个焦点的距离之和(GF+GF')等于定长(椭圆长轴长),所以,点G在椭圆上。目前还不能说明DG就是切线,还需要证明∠FGD=∠F'GT。这个很容易证明,因为∠FGD=∠EGD(全等三角形对应角相等),∠EGD=∠F'GT(对顶角相等)。这样一来,我们就证明了直线m即DT是椭圆的切线,切点为点G。 最后,回到开始的作图问题,我们要证明这样的作图方法可以得到椭圆切线。从作图过程可以得出三角形FPP'是直角三角形。如下图所示。从而FP'垂直于PP'(即