入读国际高中或就读美高的同学普遍三角函数(trigonometric function)学得不是很好,有些还停留在画三角形、按计算器才能计算sin、cos、tan的水平,很大原因是国外教材注重自我探究,通过一系列的循循善诱来给出结论,但国内是反过来的,先给出结论然后给出大量的例子来展现结论。一个很典型的例子就是诱导公式,很多国际高中考试是允许带公式表的,而关于诱导公式有很多,更夸张的是除了一份度制的还会有一份弧度制的,整整一大张,但其实就是“奇变偶不变,符号看象限”十字口诀。而积分对于高中生而言也是一块难点,换元法(by substitution)、分部积分法(by parts)等都是需要掌握。那么当三角函数遇到积分,就是恶梦的开始。本文基于A-Level further math对于三角函数积分的要求,结合IB、AP的内容,总结一下三角函数积分的常见方法与技巧。
基本知识:
(1)换元法
(2)分部积分法
(3)常见三角函数积分
(4)降幂公式
(由二倍角公式推得
)
(5)积化和差公式
(6)反三角函数求导
(7)关于
的积分
一、换元法(By substitution)
对于一次的
与
,以及
都是可以计算的,
所以对于三角函数积分,如果能够通过换元能变成
那么就是可以积分的。
Question 1: Find
Solution: 令
注:换元法的标志
,一般找
Question 2: Find
Solution: 令
,
稍微难一点还有利用恒等式
进行转化后求解的。
Question 3: Find
Solution: 因为
所以
二、降幂
对于
,可以想办法把它变成一次的,只要是一次的,我们都是能积分的。
Question 4: Find
Solution: 因为
所以
三、积化和差
注:在IB、AP中是不要求积化和差公式的,即使在国内高中也不强调,不过在A-Level further math是要求的。
对于
都可以转化为两个一次的正余弦相加,所以就能积分。
Question 5:Find
Solution