谢邀,严格单调、处处可导的函数的导数不一定连续(即使这个函数是勒贝格或者黎曼可积),题主的反例是对的,我这里给另一个反例。
下面的论文中
http://www.jstor.org/stable/pdf/10.4169/amer.math.monthly.120.06.566.pdf
构造了一个反例:单调递增处处可导但是导函数不连续的例子,这个例子的构造思路的:首先构造一个非负的不连续函数
使得每个点都是勒贝格点,事实上这个函数
同时也是黎曼可积的。然后构造
跟据实分析的定理可以保证
.你也注意到了,这个函数只是单调但是非严格单调的,但是没关系,我们构造
这个函数就是严格单调,而且导数依然不连续。