题目
将函数f(x)=1-x2(0≤x≤π)展开成余弦级数,并求

∞
n=1
(-1)n-1
n
的和.大学数学
无穷级数的函数项级数
解析
利用f(x)作偶周期严拓,求出f(x)的展开式,再令x=0即可求得级数的和.
解答
解:将f(x)作偶周期延拓,则有bn=0,n=1,2,…a0=
2
π
∫π
0
(1-x2)dx=2(1-
π2
3
)an=
2
π
∫π
0
f(x)cosnxdx=
2
π
[
∫π
0
cosnxdx-
∫π
0
x2cosnxdx]=
2
π
[0-
∫π
0
x2cosnxdx]=
-2
π
[
x2sinnx
n
.
π
o
-∫π
0
2xsinnx
n
dx]=
2
π
2π(-1)n-1
n2=
4(-1)n-1
n2所以f(x)=1-x2=
a0
2
+
∞
n=1
ancosnx=1-
π2
3
+4
∞
n=1
(-1)n-1
n2cosnx,0≤x≤π令x=0,有f(0)=1-
π2
3
+4
∞
n=1
(-1)n-1
n2又f(0)=1,所以
∞
n=1
(-1)n-1
n2=
π2
12