还记得初中学过的二次函数
吗?
当
时,开口向上,是“凹下去”的形状(类似山谷);
当
时,开口向下,是“凸出来”的形状(类似山峰)。
把二阶导看成二次函数的系数
,
你就可以很直观地记住:
二阶导>0,开口向上,是凹的,有极小值;二阶导<0,开口向下,是凸的,有极大值。
反过来,根据开口朝向,可以直接判断二阶导是否大于0。比如在下图中,把曲线拐弯的地方,想象成二次函数的抛物线,开口向上,就是
,即此处二阶导大于0。开口向下,就是
,此处二阶导小于0。
可能你感觉,我这是强行把二阶导和二次函数扯上关系。非也!我并没有生拉硬套。我前面所说的,并不仅仅是一种关联记忆的方法,二阶导和二次函数在数学上是有关系的,类似一阶导和一次函数的关系。
求函数
在某一点
处的二阶导
,实际上是在求什么呢?
简单点说:
把函数在很小的范围内泰勒展开,可以忽略高次项,保留低次项,近似为二次函数。因此,求函数在某点的二阶导,等价于求该近似函数在此点的二阶导。也就是说,你求出的二阶导,就是那个近似二次函数的二次项系数
!
详细点说:
把函数在点
处泰勒展开,有
我们知道,如果把函数在
附近很小的范围内作泰勒展开,可以忽略高次项,保留低次项。
对上面这句话的简单理解:当
逐渐接近
时,
的绝对值会越来越小。只要
的绝对值小到一定程度,肯定会小于1。
绝对值小于1的数,有个性质,其高次幂会越来越趋近于0,比如
;
;
。这样
在n比较大时,会非常接近于0。分母上
也会很大,所以整体上n越大高次项越小。
如果我们做一个比较粗糙的近似,忽略3次及以上的项,保留低次项(其实在
较为接近
时,这个近似也足够精确了,因为高次项非常接近于0,几乎对最终的函数值没影响),
原来的函数就可以近似为类似
的形式,如下
对上式两边求二阶导可知,求
在
处的二阶导,约等于求近似二次函数的二次项系数。
题外话(可以不看):
如果我们再做一个更粗糙一点的近似,忽略2次及以上的项,可以得到
此时近似函数就是一条直线,这也是我们比较熟悉的