离散数学经过几十年发展,基本上稳定下来。一般认为,离散数学包含以下学科:
1) 集合论,数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础,也是计算机科学的基础。
2) 图论,算法图论;组合数学,组合算法。计算机科学,尤其是理论计算机科学的核心是算法,而大量的算法建立在图和组合的基础上。
3) 抽象代数。代数是无所不在的,本来在数学中就非常重要。在计算机科学中,人们惊讶地发现代数竟然有如此之多的应用。但是,理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗?一直到大约十几年前,终于有一位大师告诉我们:不是。
D.E.Knuth(他有多伟大,我想不用我废话了)在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics。 Concrete这个词在这里有两层含义:
第一,针对abstract而言。Knuth认为,传统数学研究的对象过于抽象,导致对具体的问题关心不够。他抱怨说,在研究中他需要的数学往往并不存在,所以他只能自己去创造一些数学。为了直接面向应用的需要,他要提倡“具体”的数学。
在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中,数学家关心的都是最根本的问题--公理系统的各种性质之类。而一些具体集合的性质,各种常见集合,关系,映射都是什么样的,数学家觉得并不重要。然而,在计算机科学中应用的,恰恰就是这些体的东西。Knuth能够首先看到这一点,不愧为当世计算机第一人。
第二,Concrete是Continuous(连续)加上discrete(离散)。不管连续数学还是离散数学,都是有用的数学!前面主要是从数学角度来看的。