斜边相等的直角三角形中,以等腰直角三角形的面积和周长最大。解:首先证明面积最大的是它将等腰Rt△ACB,任意Rt△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径。(其实这样做是为了满足斜边AB相等,且是直角三角形).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)由三线合一可知O和F重合,且易证OC>C'F'(根据垂径定理和直径是最长的弦得到)。而CF是△ABC的高,C'F'是△ABC'的高,由面积公式可知等腰Rt△ABC面积最大。其次解:证明周长最大的还是它延长BC到E,使CE=CA.延长BC'到D,使C'D=C'A.连接DE,AD,AE.∵AC'⊥BD,AC⊥BE∴△AC'D,△ACE都是等腰直角三角形∴∠AEB=∠ADB=45°∵D,E在线段AB同侧∴ABED四点共圆∵AC=BC=CE∴∠EAB=90°(直角三角形斜边中线定理逆定理)∴∠EDB=90°∴BE>BD又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.∴AC+CB>AC'+C'B.∵Rt△ACB周长=AB+(AC+CB).Rt△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).∴等腰Rt△ABC周长最大。