拓扑空间 X 上的子集 A 是闭合的,当且仅当 A 的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于 A。 这一表述的价值在于,它可以用在收敛空间的定义中,而收敛空间比拓扑空间更普通。 注意,这一表述仍然依赖背景空间 X,因为序列是渗符主否在 X 中收敛依赖于 X 中的点。 性质 (1)A是闭集当且仅当它的补集是开集。设A是闭集,用Ac表示其在度量空间内的补集,根据开集的定义,只需要证明Ac中的点都是内点即可。任取一点x∈Ac,若假设x不是Ac的内点,则根据内点的定义,在x的任意一个邻域内,都至少有一点不属于Ac,即在x的任意一个邻域内,都至少有一点属于A。并且很明显,这一点不可能是x自身(因为x∈Ac)。根据极限点的定义,因为x的任意一个邻域内都有一点属于A,并且这一点不是x,所以x是A的极限点。再根据A是闭集的条件,得到x∈A,矛盾。因此假设不成立,x一定是Ac的内点。根据x的任意性可知,Ac中每一点都是内点,所以Ac是开集。或者干脆从边界的角度出发,因为A和Ac共用边界,所以如果A是闭集,那么A包含它的边界,因此Ac不可能包含边界,于是Ac是开集。反之,如果Ac是开集,那么Ac不含边界,因此边界点属于A,因此A是闭集。(2)任意一个集合的导集和闭包都是闭集。导集的概念在定义中有提到,闭包的概狼尝白念可以从导集中得到。把集合与集合的导集之并称为集合的闭包,用符号 表示,即 。有的教材不利用导集的概念而是直接用邻域的概念定义闭包,设x是度量空间中的一点,如果x的任意一个邻域与A的交集都非空,那么把这样的x所组成的集合叫做A的闭包。还有的教材把A的所有内点与边界点所组成的集合叫做A的闭包。这些定义都是等价的。(3)A是闭集当且仅当 。充淋签分性:若 ,则由性质(2),因为 是闭集,所以 是闭集。必要性:若 是闭集,则根据定义, 。又根据闭包的定义, (4)任意多个闭集之交为闭集,有限个闭集之并为闭集。可通过闭集的补集是开集来证明。设 是一组闭集,其中a可以是有限个也可以是无限个,每个闭集的补集为 ,根据性质(1), 是一组开集。又设 ,根据补集的性质, 。因为任意多个开集之并为开集,即等号右边是开集,所以等号左边也是开集。因此 是闭集。有限个闭集之并为闭集同理可证。要注意的是,无限个闭集之并不一定还是闭集。如取一组闭集 ,当k→∞时,其并集为 ,不再是闭集。(5)闭集与开集的