1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数 的情况 2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关 系 3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴 的交点问题 ? 定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常 二次函数 数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 ? 图象:是一条抛物线。 ? 图象的特点:(1)有开口方向,开口大小。 (2)有对称轴。(3)有顶点(最低点或最 高点)。 y y o x o x 二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系 y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2 ? 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上(或向下)平移得到: ? 当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k ? 当k<0时,抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k 二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左(或向右)平移得到: ? 当h>0时,抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2 ? 当h<0时,抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2 ? 二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系 ? 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到. ? 当a﹥0时:抛物线开口向上。 二次函数y=ax2+bx+c的性质 4ac-b2 b b ? 对称轴是x=,顶点坐标是 (, ) 2a 2a 4a ? 当a﹥0时,在对称轴的左侧,即当x<- b 时, 2a y随x的增大而减小; 在对称轴的右侧,即当x ﹥ - b 2a 时, y随x的增大而增大。 简记左减右增。抛物线有最 低点,当x=- b 时, y最 2a 2 小值= 4ac-b 4a y o x ? 当a < 0时:抛物线开口向下。 b 4ac-b2 b ? 对称轴是x=2a ,顶点坐标是(- 2a , 4a ) ? 在对称轴的左侧,即当x <- b 时,y随x的 2a 增大而增大; 在对称轴的右侧,即当 b x ﹥ - 2a 时, y随x的增 大而减小。简记左增右减。 抛物线有最高点, 当x=- b 2a 2 4ac-b 时, y最大值= 4a y o x 引言 在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数 及其图象有关的问题。 如:被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行; 抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等. 利用二次函数的有关知识研究和解决这些问 题,具有很现实的意义。 本节课,我将和同学们共同研究解决这些问 题的方法,探寻其中的奥秘。 复习. 1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。 > 0 = 0 < 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 , 2、在式子h=50-20t2中,如果h=15,那么 50-20t2= 15 ,如果h=20,那50-20t2= 20 如果h=0,那50-20t2= 0 。如果要想求t的值,那么我 们可以求 方程 的解。 问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单 位:s)之间具有关系:h=20t–5t2 2 考虑下列问题: 20= 20 t 20 –20 5ttt 20.5= –– 55 t2t2 15= (1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2) 球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? 0= 20 t – 5 t2 h=0 (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间? (4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ? h t 解:(1)解方程15=20t-5t2 即: t2-4t+3=0 h 20 10 o t1=1,t2=3 ∴当球飞行1s和3s时,它的高度为15m。 (2)解方程20=20t-5t2 1 2 即: t2-4t+4=0 h = 20t - 5t 3 4 2 ∴当球飞行2s时,它的高度为20m。 (3)解方程20.5=20t-5t2 即: t2-4t+4.1=0 t t1=t2=2 2-4×4.1<0,所以方程无解, 因为 (-4) 那么为什么 你能结合图 那么为什么 从上面我们看出, 对于二次函数 只在一个时 形指出为什 ∴球的飞行高度达不到 20.5m。 2 两个时间球 h= 20 t – 5 t 中,已知h 的值,求时间 间求得高度 么在两个时 2 2-4t=0 ( 4 )解方程 0=20t-5t 即: t 的高度为零 为20m呢?t?其实就是把函数值h换成常数,求 间球的高度 呢? t1=0,t2=4 为15m吗?一元二次方程的解。 ∴球的飞行0s和4s时,它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。 为一个常数 (定值) 那么从上面,二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何? 一般地,当y取定值时,二次函数为一元 二次方程。 如:y=5时,则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。 想一想,这一个旋转喷水 头,水流落地覆盖的最大 如图设水管AB的高出地面2.5m,在B处有一自动旋 面积为多少呢? 转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数 练习一: y=-0.5x2+2x+2.5描述,在所有的直角坐标系中,求 水流的落地点D到A的距离是多少? 分析:根据图象可知,水流的 落地点D的纵坐标为0,横坐 标即为落地点D到A的距离。 即:y=0 。 -1 A 0 y B 解:根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0, D x 解得x1=5,x2=-1(不合题意舍去) 答:水流的落地点D到A的距离是5m。 边观察边思考 1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 的图象如图所示。 y = x 2 - x +1 2 y = x +x- 2 2 y = x - 6x +9 (1).每个图象与x轴有几个交点? 答:2个,1个,0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? 2个根, 2个相等的根,无实数根 (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 分析 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2-4ac的情况如何。 b2 – 4ac <0 Y b2 – 4ac =0 b2 – 4ac >0 . O X 二次函数与一元二次方程 的关系 (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共 点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函 数值为0,因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的 一个根 二次函数与一元二次方程 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何?(b2-4ac如何) 2 – 4ac > 0 b (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点 b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0 (方程没有实数根) (方程有两个不相等的实数根) (方程有两个相等的实数根) 思考:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 b2-4ac ≥0 . 练习:看谁算的又快又准。 1.不与x轴相交的抛物线是( D ) A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3 2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 1 个 1 ,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有_ 数根,则m=__ 交点. 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=____ . (0,2) ,与x轴交 4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点____ (1,0) (2,0) 于点___ _. K≠0 5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 2-4ac≥0 b 2 图象知,关于x的方程ax +bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=___ -3.3 6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则 k的取值范围( B ) 7 4 7 B:k ? 且k ? 4 7 C :k <4 7 D:k <且k ? 4 A:k ? 0 B 0 6.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人 梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线 3 y=- x 2+3x+1 5 的一部分,如图 (1)求演员弹跳离地面的最大高度; (2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起 跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明 理由。 解(1) ∵ 3 y=- x 2+3x+1 5 = - 3 5 19 ( x - )2 + 5 2 4 3 - <0 5 ∴函数的最大值是 19 4 19 4 答:演员弹跳的最大高度是 (2)当x=4时, 米 3 y=- ? 42+3 ? 4+1 5 =3.4=BC,所以这次表演成功。 例1:已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1 (1)求证:无论m为何值,函数y的图像与x轴总有 交点,并指出当m为何值时,只有一个交点。 (2)当m为何值时,函数y的图像经过原点。 (3)指出(2)的图像中,使y<0时, x的取 值范围及使y>0时, x的取值范围 例2:王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击 1 8 y =x + x 球,其飞行路线满足抛物线 ,其 5 5 中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水 平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m. (1)请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴. (2)请求出球飞行 的最大水平距离. 2 (3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行 的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应 满足怎样的抛物线,求出其解析式. ●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 桌,然后告诉老师? 论 这节课应有以下内容: 二次函数与一 元二次方程的 关系 交 当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定,求x的值时,二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时, 二次函数就为一元二次方程。 两个交点 二 轴次 的函 交数 点与 x b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一个交点 点 没有交点 二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解 作业 课本:p23页 复习巩固 第1题 拓展探索 第6题 选做题:如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线 y=-x2+3.5运行,然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时,球出手离地面 的高度为2.25米,请问他距离篮框中 心的水平距离是多少? 升华提高 弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系 如果抛物线 y=ax 2 +bx+c 与x轴有公共点(x 0 ,o), 那么x=x 0 就是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根. 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0 体会两种思想: 数形结合思想 分类讨论思想 下课! 结束寄语 ? 时间是一个常数,但对勤奋者来说, 是一个“变数”. ? 用“分”来计算时间的人比用“小 时”来计算时间的人时间多59倍.