若函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立其中,a、b、满足:。二重积分的中值定理设f(x,y)在有界闭区域D上连续,是D的面积,则在D内至少存在一点,使得:定理证明在上连续,因为闭区间上连续函数必有最大最小值,不妨设最大值为,最小值为,最大值和最小值可相等。对两边同时积分可得:同除以从而得到:由连续函数的介值定理可知,必定,使得,即:命题得证。在上Riemann可积,考虑下列两种情况:(1)在上单调递减且在时,,那么存在使得.(2)在上单调递增且在时,,那么存在使得.只需证明第一种情况,第二种情况于此类似.