排列组合问题之插板法 插板法是用于解决“相同元素” 分组问题, 且要求每组均“非空”, 即要求每组至少一个元素; 若对于 “可空” 问题, 即每组可以是零个元素, 又该如何解题呢? 首先给各位公务员考友看一道题目: 例 1. 现有 10 个完全相同的球全部分给 7 个班级, 每班至少 1 个球, 问共有多少种不同的分法? 【解析】: 题目中球的分法共三类: 第一类: 有 3 个班每个班分到 2 个球, 其余 4 个班每班分到 1 个球。 其分法种数为 。 第二类: 有 1 个班分到 3 个球, 1 个班分到 2 个球, 其余 5 个班每班分到 1 个球。 其分法种数 。 第三类: 有 1 个班分到 4 个球, 其余的 6 个班每班分到 1 个球。 其分法种数 。 所以, 10 个球分给 7 个班, 每班至少一个球的分法种数为: 。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算, 比较繁锁, 若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难, 因此我们需要寻求一种新的模式解决问题, 我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将 10 个相同的球排成一行, 10 个球之间出现了 9 个空档, 现在我们用“档板” 把 10个球隔成有序的 7 份, 每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是 1 个、 2 个、3 个、 4 个), 借助于这样的虚拟“档板” 分配物品的方法称之为插板法。 由上述分析可知, 分球的方法实际上为档板的插法: 即是在 9 个空档之中插入 6 个“档板 ” (6 个档板可把球分为 7 组), 其方法种数为 。 由上述问题的分析解决看到, 这种插板法解决起来非常简单, 但同时也提醒各位考友,这类问题模型适用前提相当严格, 必须同时满足以下 3 个条件: ①所要分的元素必须完全相同; ②所要分的元素必须分完, 决不允许有剩余; ③参与分元素的每组至少分到 1 个, 决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题: 例 2. 有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里, 共有( ) 种不同方法. A. 35 B. 28 C. 21 D. 45 【解析】: 这道题很多同学错选 C, 错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”, 而忽略了“插板法” 的适用条件。 例 2 和例 1 的最大区别是: 例 1 的每组元素都要求“非空”,而例 2 则无此要求, 即可以出现空盒子。 其实此题还是用“插板法”, 只是要做一些小变化, 详解如下: 设想把这 8 个球一个接一个排起来, 即 , 共形成 9 个空档(此时的空档包括中间 7 个空档和两端 2 个空档), 然后用 2 个档板把这 8 个球分成 3 组, 先插第一个档板, 由于可以有空盒, 所以有 9 个空档可以插; 再插第二个板, 有 10 个空档可以插, 但由于两个板是不可分的(也就是说当两个档板相邻时, 虽然是两种插法, 但实际上是一种分法), 所以共 种。 例 3. (1) 已知方程 , 求这个方程的正整数解的个数。 (2) 已知方程 , 求这个方程的非负整数解的个数。 【解析】: (1)将 20 分成 20 个 1, 列出来: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 在这 20 个数中间的 19 个空中插入 2 个板子, 将 20 分成 3 部分, 每一部分对应“1” 的个数, 按顺序排成 ; ; ; 即是正整数解。 故正整数解的个数为 , 解法非常简单。 【解析】: (2) 此题和例 2 的解法完全相同, 请各位考友自己考虑一下。 【提示】: 今后我们利用“插板法” 解决这种相同元素问题时, 一定要注意“空” 与“不空” 的分析, 防止掉入陷阱。 例 3 的两题相比较, 可以很明显地看出“空” 与“不空” 的区别。 【总结】: “非空” 问题插板法原型为: 设有 个相同元素, 分成 ( ) 组, 每组至少一个元素的分组方法共有 ;“可空” 问题插板法问题原型为: 设有 个相同元素, 分成 ( )组, 则分组方法共有 种方法。 练习 1. 有 10 级台阶, 分 8 步走完。 每步可以迈 1 级、 2 级或 3 级台阶, 有多少中走法?(答案为 ) 老子曰: 夫物芸芸, 各复归其根, 归根曰静, 静曰复命。 在平时的学习中, 我们应当学会寻找共性, 寻找根源, 从本质上理解归纳各种问题。 公务员资讯网会员整理版 www.lfz8.net www.gwylt.com