首先, 若X是BX = 0的解, 则CX = ABX = 0, 即X也是CX = 0的解. 反之, 若X是CX = 0的解, 有ABX = CX = 0, 即Y = BX是AY = 0的解. 而由A列满秩, AY = 0只有零解, 故BX = Y = 0, 即X也是BX = 0的解。 综合两方面, BX = 0与CX = 0同解。 还有一种方法: 由A列满秩可得r(B) ≥ r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n = r(B) (n表示A的列数), 故r(C) = r(AB) = r(B)。 因此BX = 0与CX = 0解空间维数相等,又易见前者的解空间包含于后者, 因此二者解空间相同。
扩展资料 举例:
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,秩r(A)=n,证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解: 设α是齐次方程组Bx=0的解,则Bα=0.那么ABα=A(Bα)=A0=0,即α是方程组ABx=0的解. 若α是齐次方程组ABx=0的解,则ABα=0,那么Bα是齐次方程组Ax=0的解。因为秩r(A)=n,所以Ax=0只有0解,故Bα=O,从而α是齐次方程组Bx=0的解,因此ABx=0与Bx=0同解。