题目
设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根.(1)求n的值;(2)求证:f(1)≥2.初中数学
解答
(1)f′(x)=3x2+2mx+n.∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数∴当x=0时,f(x)取到极大值.∴f′(0)=0.∴n=0.(2)∵f(2)=0∴p=-4(m+2)f′(x)=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0,x2=-

2m
3

∵函数f(x)在[0,2]上是减函数,∴x2=-

2m
3

≥2∴m≤-3.∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.