Hawgent 皓骏动态数学课程系列 Since 1990 s’ 动态数学范例教程 深入学科,彻底突破数学教学和数学学习中的重点难点问题 开展数学实验、数学教学、数学学习和数学研究的必备工具 皓骏(广州)数学技术中心 Hawgent Technology Centre in Mathematics 内容介绍 Hawgent 皓骏提供了功能强大、操作简便的工具,但并不希望作 为数学教师的我们将大量的时间和精力耗费在学习技术和制作资源 方面,因此也提供了大量与课程教学、探究实验、自主学习等方面的 资源,从小学到高中,从课内到课外,具有几千件,并且还会不断补 充和更新。 不过,仍然有许多数学教师或者在校师范生希望自己尝试动手做 一做,或者按照自己的设计制作出更有个性化的作品。Hawgent 皓骏 团队为了满足部分人的愿望,于是就编写了这本教程。 这本教程以学习制作常用的教学资源为主线、以介绍 Hawgent 皓骏动态数学软件的主要功能为目标,故为范例教程。 这是第一版本,必定还存在许多的不足。在使用过程中,如有任 何问题或建议,还望不吝赐教。 欢迎联系我们。 邮件 QQ 群:367878041 目录 第一部分 动态数学入门 1 1.1 什么是动态数学 1 1.2 了解Hawgent 皓骏2 1.3 认识软件界面7 第二部分 几何图形与变换 10 2.1 经过一点的直线 10 2.2 三角形的三条高线 12 2.3 测量三角形的内角和 13 2.4 三角形内角的直观说明 15 2.5 勾股定理的直观说明 19 2.6 在平面上滚动的车轮23 2.7 圆在圆上滚动27 2.8 翻折得到轴对称图形32 2.9 等分圆周设计的图案35 2.10 直线与圆的位置关系39 2.11 圆与圆的位置关系41 2.12 研究圆幂定理43 2.13 毕达哥拉斯树46 2.14 二叉树48 2.15 多边形的密铺50 2.16 密铺曲线53 2.17 平面中的变换61 第三部分 函数、方程及图像71 3.1 二次函数的图像71 3.2 反比例函数的图像75 3.3 指数函数及其反函数的图像76 3.4 参数方程曲线77 3.5 极坐标方程曲线81 3.6 分段函数的图像82 3.7 描点连线画函数图像86 3.8 美丽的玫瑰线89 3.9 根据通项公式画数列的图像92 3.10 根据递推公式画数列的图像94 第四部分 解析几何问题98 4.1 固定长度的线段在滑动98 4.2 斜率之积为定值的两直线交点的轨迹99 4.3 根据定义构造椭圆和双曲线 102 4.4 根据定义构造抛物线 105 4.5 构造标准圆锥曲线 106 4.6 研究圆锥曲线的光学性质 107 4.7 多驱动点下的轨迹 108 第五部分 三角函数关系 116 5.1 利用正弦线画正弦函数的图像 116 5.2 y =sin(x)-> 3sin (2x+pi /4) 的动态变换 118 5.3 由两边及一边对角解三角形 123 5.4 三角函数曲线的变换 128 5.5 正弦波的叠加 131 第六部分 算法与编程 135 6.1 Hawgent 皓骏的编程环境 135 6.2 了解系统中的函数 143 6.3 求最大公约数的程序 149 6.4 判断是否为闰年的程序 150 第七部分 概率与统计 152 7.1 随机得到一个100 以内的自然数 152 7.2 模拟随机抛硬币实验 154 7.3 掷骰子实验 162 7.4 利用抛豆估计π 165 7.5 模拟转盘游戏 169 第八部分 专题介绍 174 8.1 变量尺 174 8.2 属性对话框 175 8.3 案例的操作 183 8.4 截图工具 185 8.5 对象间的关联 187 8.6 视口的作用 190 8.7 对象组 192 8.8 作图规则 194 8.9 对象的轨迹 199 8.10 对象的跟踪203 8.11 两类迭代204 8.12 文本与公式212 8.13 初识测量214 8.14 插入多媒体223 8.15 语音合成225 8.16 统计表格227 8.17 动作按钮228 8.18 图形变换235 8.19 程序设计239 第一部分 动态数学入门 1.1 什么是动态数学 “任意三角形ABC ...”、“点P 在圆上O 上运动过程中...”、“周长固定的长方形”... ,这些 都是我们常用的几何语言。这些语言所对应的情景,在传统教学手段下,只能要求学生充分 发挥想象能力。相对于我们所生活的多姿多彩的空间而言,高度抽象化了的语言以及图形对 于刚学习数学学生来说是难以接受的。 计算机的出现使这种现象渐渐发生改变。利用计算机所作的图形不仅直观、形象,而且 具有动态性,易于观察和理解。 若利用计算机所作的几何图形,在被拖动过程中仍保持几何性质不变,如三角形还是三 角形、圆上的点还是圆上的点、平行还是平行、垂直还是垂直、中点还是中点...,那么这样 的图形就称为动态几何图形。 构造动态几何图形的计算机软件,就叫做动态几何软件(Dynamic Geometry Software )。 动态几何的名称于上世纪80 年代中期开始出现,经过了20 多年的发展,动态几何吸引 了越来越多人的关注,它在数学教育上的价值已经得到充分肯定。 目前具有动态几何功能的软件就有几十种,其中被中国数学教师所广泛了解的就有 Geometer's Sketchpad 、Hawgent 皓骏、Z+Z 超级画板、Cabri、AutoGraph 、Derive 、GeoGebra 等。 由于计算机在动态几何方面的成功,也促使人们开始研究计算机在数学的其他领域的教 育功能。 因此,计算机代数系统(Computer Algebra System )、动态统计软件(Dynamic Statistics System )、随机实验平台(Probability Simulation Platform )等相继出现并被广泛实验应用。 计算机代数系统最重要的应用就是数值计算与符号运算。 动态统计软件能方便地处理大量的数据并且按照人们所熟悉的形式展现。 随机实验平台能够模拟概率事件并且自动记录和计算实验结果。 动态几何软件、计算机代数系统、动态统计软件、随机实验平台等都属于动态数学软 件(Dynamic Mathematics Software )。 可以说:动态数学的出现,让数学和数学教学的面貌焕然一新。因为,它能: 让数学变得更直观、更形象、更便于理解,从而帮助更多的人学好数学; 让数学变得更有趣、更好玩、更有吸引力,从而帮助更多的人喜欢数学。 1 1.2 了解Hawgent 皓骏 Hawgent 皓骏动态数学软件能够处理几何、代数、三角、概率、统计、算法、微积分等 数学知识内容。目前已经实现的核心功能主要包括以下几个方面: 动态数学作图 能够直接构造出几十种常见的几何图形,当图形被拖动、平移、旋转或放缩过程中,图 形之间的几何性质始终保持不变。具体来说,包括: 点:能直接绘制直线、圆弧、曲线、轨迹等对象上的点,中点、垂足、坐标点、比例点、 旋转放缩点、直线或圆锥曲线上的参数点,两条直线的交点、直线与圆锥曲线的交点、直线 与圆弧的交点,等等。 直线:能直接绘制向量、射线、直线,平行线、垂线、角平分线、一个点和一个约束条 件确定的直线、两个约束条件确定的直线、一次方程对应直线、两圆的公切线、圆锥曲线的 切线。 多边形:能直接等腰三角形、直角三角形、等边三角形、平行四边形、等腰梯形、正方 形、(圆内接/圆外切)正n 边形等,n 可以是字母或表达式。 圆:能直接绘制已知圆心和半径的圆(3 种方式)、已知圆心和切线的圆、已知直径的 圆,经过三个点的圆。 圆弧:能直接绘制经过三个点的圆弧、角所对的圆弧、已知圆上的弧。 标注:能直接对线段和角进行标注,并可以设置标注符号的数量、间隔值、长度等,标 注符号可以被单独选中。 一般函数/方程曲线:直接输入即可绘制对应的曲线,表达式可以是显性方程、参数方 程或极坐标方程,表达式中的系数、自变量范围、曲线样点个数可以是字母或表达式,可以 设置是否画样点、样点大小、样点的间断值、是否填充为矩形区域、是否绘制折线段等属性。 二次曲线:可直接绘制过三个点的标准抛物线、过五点的一般圆锥曲线、二次方程对应 的二次曲线、已知焦点准线和离心率的圆锥曲线、已知焦点并过定点的椭圆/双曲线、已知 焦点和长/实半轴的椭圆/双曲线。 迭代:包括几何迭代和变量迭代;几何迭代中可显示或隐藏迭代中的某个对象;变量迭 代中可具有多个迭代变量,可设置迭代变量的初始值和表达式,迭代变量可作为点的坐标绘 制对应的图像;可选择是否完整迭代,迭代次数可以是字母或表达式。 2 动态图形变换 包括反射、平移、旋转、放缩、仿射、中心对称、点绕点旋转放缩等变换方式;选择要 进行变换的对象和变换的条件,可以直接进行图形变换;若变换的条件是动态的或是参数, 那么变换图形会根据变换条件的改变而改变。 反射变换:选中要变换的对象和作为对称轴的直线即可直接进行反射变换。 平移变换:指定要平移的对象和两个点确定的向量即可直接进行平移;选中要变换的对 象然后分别输入x 轴平移量、y 轴平移量即可进行平移,这里的平移量可以是字母或者表达 式。 旋转变换:指定要旋转的对象、旋转中心、旋转角度即可进行旋转,其中旋转中心还可 以通过输入x 坐标、y 坐标的方式而实现,这里的x 坐标、y 坐标、旋转角度均可以是字母 或者表达式。 放缩变换:指定要变换的对象、放缩中心、沿x 轴放缩量、沿y 轴放缩量即可进行放缩, 其中放缩中心还可以通过输入x 坐标、y 坐标的方式而实现,这里的x 坐标、y 坐标、沿x 轴放缩量、沿y 轴放缩量均可以是字母或者表达式。 中心对称点:指定要变换的点和对称中心即可做出中心对称点。 旋转放缩点:指定要变换的点、中心、旋转角度和放缩倍数即可做出旋转放缩点,这里 的旋转角度、放缩倍数均可以是字母或者表达式。 仿射变换:可以进行坐标系到三角形的仿射变换,也可以进行三角形到三角形的放射变 换。 动态测量计算 具体来说,包括: 能够测量点的坐标、两点的距离、点到直线的距离、角度、两直线的夹角、多边形的面 积、随机整数、随机浮点数等等。 3 测量结果能够自动以“字母+数字”的变量形式被记录,测量结果能够参与计算;测量 和运算的结果允许利用指定的变量进行表示和记录。 具有嵌套测量功能,即支持形如利用n 直接表示f(n)的测量形式和结果。 当图形发生变动时,测量和计算结果会对应发生改变。 支持数值计算和符号运算。 程序运行环境 它的功能包括: 具有能够编写程序、运行程序的环境。 支持数值计算和符号运算。 支持赋值、判断、循环等语句;能够自定义函数,也可以调用系统内部的函数,函数的 参数支持通过鼠标选择和键盘输入等方式获得。 每个程序按钮可以有多个动作,按钮的动作可以自动连续播放,可以设置不同动作之间 自动播放的等待时间。 随机过程模拟 具体来说,包括: 根据系统提供的随机数、符号函数、动画控制函数等函数可以进行随机过程实验,例如 模拟抛硬币、抛豆子和掷骰子等随机实验过程; 在随机实验进行过程中,能够即时统计实验过程中的实验的总次数、每种结果出现的次 数和频率等数据。 4 动态数据处理 能够生成统计表格,可以同时显示统计表格对应的柱形图、折线图和饼形图。 统计表格能够与曲线关联,显示绘制曲线样点的纵、横坐标。 能够自动计算、记录和显示变量迭代中的数据。 具有回归分析、函数拟合等功能。 智能公式文本:具有普通文本和公式文本,在普通文本中文本内容能够自适应文本的 宽度,在公式文本中利用键盘输入的数学公式能够自动以传统格式显示,包括分数、根式、 乘方、求和、求积、向量、上标、下标、上文本、下文本、方程组、不等式组、文本颜色、 填充颜色等格式和内容。 5 动态参数控制 大致来说,包括: 变量控制框:可同时设置多个变量,为每个变量分别设置最小(大)值、变化间隔、小 数位数、是否以π为单位等属性。 变量拖动尺:每个变量尺可单独设置变化范围和小数位数,能拖到左右端点位置。 动画控制框:可对所有半自由点控制运动或停止,能分别设置每个对象的运动类型、运 动步数、运动间隔时间等。 对象跟踪轨迹 跟踪:所有数学对象均可以被跟踪,单击作图区空白处跟踪不会消失但可以被擦除并重 新显示,可以设置跟踪样本的数量。 轨迹:主动点可以有单个或多个,可以针对每个主动点设置运动区间、每个运动区间的 运动次数、运动的总次数、运动类型、绘图的最小间断值等。 6 自动推理计算 具体来说,包括: 能自动记录几何图形之间的逻辑关系,从而使得图形在变化过程中数学性质保持不变。 根据图形之间的逻辑关系,能够自动推导和计算图形之间的代数关系,从而能够实现图 形变换、动态测量、几何迭代、轨迹生成等过程。 具有智能推理和计算功能:测量得到的结果,能够继续进一步的运算;能够利用指定的 变量记录测量或运算的结果。 能够自动求解方程、方程组、不等式等常见代数问题。 动态资源管理 媒体对象:具有普通文本和公式文本,左右拖动普通文本边界时内容能自动换行,公式 文本包括分数、根式、乘方、积分、上下标、乘积、求和、文本颜色、填充背景、下文本、 上文本、向量、上划线等格式和内容;能够插入图片、音频、视频和语音合成等对象。 对象编辑:对象能够前后移动;文本/图片能够与点进行关联;点/线/圆/曲线/文本/ 按钮被复制、粘贴后仍然是点/线/圆/曲线/文本/按钮,具有宏与迭代功能。 命令编辑:可以对现有的菜单、命令进行编辑,也可以自定义作图命令并添加到指定的 位置。 1.3 认识软件界面 为了更加尽快熟悉 Hawgent 动态数学软件的上述功能,让我们首先了解一下它的工作 界面吧。 Hawgent 动态数学软件启动后窗口如下: 7 利用 Hawgent 动态数学软件工作,主要就是通过菜单栏中的菜单命令来实现。菜单栏 中包括缺省的 【文件】、【编辑】、【视图】、【画图】、【三维】、【变换】、【测量】、【插入】、【属性】、【工具】和【帮助】等菜单项。 菜单栏下是常用工具栏,就是将经常用的命令放在这里,提高我们的工作效率。 从左至右,依次是: 新建:建立一个新的Hawgent 皓骏文档; 打开:打开一个新的Hawgent 皓骏文档; 保存:保存当前的Hawgent 皓骏文档; 删除:删除在工作区中所选择的对象; 剪切:将所选择的对象,移动到剪切板当中; 复制:将所选择的对象,复制到剪切板当中; 粘贴:将剪切板中的对象,粘贴到工作区当中; 上一页:激活当前文档中的上一个案例,如果存在的话; 下一页:激活当前文档中的下一个案例,如果存在的话; 选择:让光标(由画图状态)转换到选择状态; 画图:让光标(由选择状态)转换到画图状态; 缩小:缩小某个对象。如果什么都不选择,则缩小坐标系的单位长度;若选择的是点, 则缩小点的大小;若选择的是线段,则缩小画线的宽度;所选择的是文本,则缩小文本的字 号;…… 放大:放大某个对象。如果什么都不选择,则放大坐标系的单位长度;若选择的是点, 则放大点的大小;若选择的是线段,则放大画线的宽度;所选择的是文本,则放大文本的字 号;…… 工具栏下面的空白区域就是作图等工作的主要区域,简称为作图工作区。 作图工作区下方是状态栏,具有“连续选择”的开关,选择该选项后,不需要按住Ctrl 键即可连续选择多个对象;被选择的对象,其序号会显示在状态栏的右侧部分。 8 作图工作区右侧是资源管理区,其中本地资源选项框中可以显示出本地已经加载的资源, 如下图所示,单击某个目录下方的资源可以直接打开该文件. 在线资源选项卡,则可以更新和下载 Hawgent 皓骏服务器上所提供的最新资源,打开 后,会自动保存到本地. 9 第二部分 几何图形与变换 2.1 经过一点的直线 在平面上,经过一个点的直线有多少条呢?我们可以在计算机上画出经过任意两个点的 一条直线,然后其中一个点位置固定的情况下,拖动另外一个点,引导学生探索这个问题。 (1)在新的文档页面中,勾选状态栏中的连续选择。 (2 )单击【图画】工具,作出两个自由点A 和点B 。 (3 )单击 【选择】工具依次选择点A 和点B ,打开画图菜单,选择直线/直线作出一条 直线。 (4 )打开画图菜单,选择跟踪。跟踪直线AB 。 拖动点B ,可以观察到经过点A 的直线的运动轨迹,如图2.1.1 所示: 图2.1.1 【思考与练习】 如上图所示,蓝色圆以点A 为中心、经过点B ,点C 是圆A 上的任意点,红色圆以C 为圆心经过点B (图2 )。当点C 在圆周上运动时跟踪圆C 留下的图形,如图2.1.2 所示,这 叫心脏线或者苹果曲线。请你自己动手展示生成苹果曲线的过程,结果如图2.1.3 所示。 图2.1.2 10 图2.1.3 11 2.2 三角形的三条高线 利用动态几何软件画出的图形,其形状可以被任意改变,而图形在改变过程中,所包含 的几何关系始终保持不变,这可以帮助我们探索与发现图形中所隐含的内在规律。 (1)在新的文档页面中,勾选状态栏中的连续选择。 (2 )执行 【画图】菜单下的【参数点】命令,输入横坐标-2 ,纵坐标 0 ,确定后作出 坐标为(-3,0 )的参数点A ;同理坐标为(-3,0 )的参数点B ,单击【画图】工具在任意恰当 位置作出自由点C,然后依次连接画任意三角形ABC 。 (3 )依次选择点A 和线段BC ,执行【画图】菜单下【约束点】命令的【垂足】命令 作出点A 到对边BC 的垂足D 和垂线段AD ,同理作出点B 到对边CA 的垂足E 和垂线段 BE ;作出点对C 到边AB 的垂足F 和垂线段CF。 (4 )单击【选择】工具,返回到选择状态。 (5 )同时选择直线AD 、BE 和CF,在属性菜单中设置【画线类型】为:虚线。结果 如图2.2.1 所示: 图2.2.1 对于垂直关系,我们往往需要标注出直角符号。例如要将∠ADC 的角标注出来,就首 先要选择三个点,分别是角的始边上的点、角的顶点、角的终边上的点,然后执行标注角的 命令。操作步骤如下: (6 )依次选择点A 、点D 和点C,单击【画图】菜单中的【标注角】命令。 (7 )重复类似操作标注∠BEA 和∠CFB。 (8)选择角的标注符号,可以通过【属性】菜单中的【填充】工具将其内部填充。结 果如图2.2.2 所示: 图2.2.1 【思考与练习】 12 三角形的三条中线、三条角平分线也分别交于一点,请你动手完成展示和探索这两个性 质的内容。 要做三角形中的这类交点,可以通过【画图】菜单下【点】中的【内心】、【外心】和【垂心】等命令直接实现。 2.3 测量三角形的内角和 利用计算机作出的三角形,可以被任意改变形状,能够更加普遍地探究三角形三个内角 测量值之和的规律。 (1)在新建文档中,作点C 可任意拖动三角形ABC (参考2.2 (1))。 (2 )依次选择点A 、点B 和点C,执行【测量】菜单下的【角度】命令,结果得到∠CAB 的测量值,如图2.3.1 所示: 图2.3.1 当图形比较简单时,我们一般习惯用角的顶点的名字表示这个角,例如在这里表示为 ∠B ,所以我们可以将角的名称进行修改。操作步骤如下: (3 )右击测量文本,如图2.3.2 进入编辑状态,将字符ABC 修改为B ,显示位数改为2 位如图2.3.3 所示,然后确认。 图2.3.2 图2.3.3 (4 )重复类似操作测量角A 和角C 的值,并且按照上面的要求编辑测量结果名称。 (5 )单击【测量】菜单下的【测量表达式】命令,打开测量表达式对话框。如图2.3.4 13 所示,由于之前测量的值分别用v001、v002、v003 记录,这是计算机系统自动产生的名称, 而且这样做的好处是:之前测量得到的结果容易被以后所运用。 图2.3.4 (6 )在【表达式】编辑框中输入:v001+v002+v003;然后单击单击【确定】按钮得到测 量结果。 图2.3.5 表达式显示结果 (7 )此时会发现结果为弧度制的 3.14,我们右击表达式结果,如图 2.3.6 修改参数: 图2.3.6 (7 )最后关闭参数对话框,结果如图2.3.7 所示。拖动点C,观察拖动过程中角度值得 变化。 图2.3.7 拖动点C,观察拖动过程中角度值的变化情况。 【思考与练习】 如何测量三角形的外角和?同时实验探索或检验三角形外角和的规律。 14 2.4 三角形内角的直观说明 我们可以通过将一个角平移、将另一个角旋转直观地说明了三角形内角和等于平角的 道理,见下节的【思考与练习】。在这一节中,将通过同时两个角旋转来直观说明。 (1)画任意三角形ABC 。 (2 )选择A 点和B 点,执行 【画图】菜单下【约束点】中的【中点】命令作AB 边的 中点D 、同理作出BC 边的中点E 、A C 边上的中点F 。 (3 )同时选择点A 、点B 和点C,执行 【画图】菜单下【约束点】中的【重心】命令, 作出三角形ABC 的重心G。结果如图2.4.1 所示: 图2.4.1 下面要完成以点E 为中心、以t 为旋转角,将∠C 旋转: (4 )打开菜单中执行 【插入】菜单下【变量】命令,此时,在弹出的输入框中填入变 量名:t、最小值0 :和最大值180。如图2.4.2 所示: 图2.4.2 确认后出现变量控制尺,用鼠标拖动线段上的点可以改变变量t 的值。 图2.4.3 变量控制线条 (5 )依次选择C、E 、G 、F 四点(注意F 在最后),执行【变换】菜单中【旋转】命令,如图2.4.4 所示:在弹出的用户输入对话框中输入:t,单击【确定】按钮完成。结果作 15 出点H 、点I 、点J 。 图2.4.4 (6 )依次选择点E 、点H 、点I 和点J ,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【多边形】 命令,作出多边形FHIJ 。结果如图2.45 所示: 图2.4.5 *注:以下为方便起见,在不至于引起歧义的情况下,在描述执行多级菜单命令 的时候约定采用“执行【1】【2 】„„ 【n 】”来代替“执行【1】菜单下的【2 】子 菜单中的„„ 【n 】命令。” 如此次的“作执行【画图】【直线】【垂线】命令”等 价于“执行【画图】菜单下【直线】子菜单中的【垂线】命令”, 此外,有些简单常见的操作往后会不在说明具体操作过程而只是简单描述。 下面要完成以点D 为中心、以-t 为旋转角,将∠B 旋转: (7 )依次选择B 、E 、G 、F 四点(注意F 在最后),执行菜单中 【变换】【旋转】命令,在弹出的用户输入对话框中输入:-t,单击【确定】按钮完成。结果作出点K 、点L 、 点M 。 (8 )依次选择点E 、点H 、点I 和点J ,执行【作图】【多边形】命令,作出多边形DLMN 。 (9 )依次选择点A 、点D 、点G 和点F ,执行【画图】【多边形】命令,作出多边形 ADGF 。结果如图2.4.6 所示: 16 图2.4.6 为了使得图像美观,可以给三个多边形填充不同的颜色: (10)选择一个多边形的,在【属性】菜单下【填充颜色】命令中选择一种颜色为多边 形设置填充颜色。按此操作给其他两个多边形填上恰当的颜色,如图2.4.7 所示。 图2.4.7 拖动变量控制尺上的控制点,观察变化过程。 【思考与练习】 (1)将三角形通过如图2.4.8 所示变换,可以直观说明三角形的面积等于底边与高的乘 积的一半。请你在计算机上完成能动态展示这一过程的实验。 图2.4.8 (2 )将梯形形通过如图2.4.9 所示变换,可以直观说明梯形的面积等于上、下底边之和 17 与高的乘积的一半。请你在计算机上完成能动态展示这一过程的实验。 图2.4.9 (3 )放缩操作和旋转操作的方法类似,请你动手设计一个放缩对象的变换。 18 2.5 勾股定理的直观说明 勾股定理是几何中最著名的定理之一,也叫毕达格拉斯定理。据说毕达格拉斯发现这个 定理时认为这是神赐予的,于是杀了100 头牛祭祀,大摆宴席。 到今天为止,证明勾股定理的方法有上百种之多。在本节中我们将通过计算机的动态演 示直观地说明勾股定理。 (1)新建一个文档。 (2 )执行【画图】【参数点】【坐标点】命令,作出坐标点A (-2 ,0 ),同理作出坐标 点B (2 ,0 )。 (3 )依次选择点B 和点A ,执行 【画图】【多边形】【直角三角形(已知一条直角边的 直角三角形)】命令,作出直角三角形ABC 。 (4 )依次选择点C 和点B ,执行【画图】【多边形】【正方形】命令作出正方形CBDF。 (5 )依次选择点A 和点C,执行【画图】【多边形】【正方形】命令作出正方形ACFG 。 (6 )依次选择点B 和点A ,执行【画图】【多边形】【正方形】命令作出正方形BAHI 。 结果如图2.5.1 所示: 2.5.1 下面我们要将正方形ABIH 分割成四部分。操作步骤如下: (6 )线段AI 、BH ,作线段AI 、BH 的交点J 。隐藏线段AI 、BH 。 (7 )依次选择点J 和线段AC ,作过点J 与AC 垂直且的直线。作出该该直线与线段 HI 的交点K 。隐藏刚才所作的直线。结果如图2.5.2 所示: 19 图2.5.2 (8)依次选择点J 、K ,执行【变换】【旋转】命令,输入旋转次数:1 次,旋转角度: 90,点击【确定】得出K 绕J 旋转90 度得出的点L 。 (9 )依次选择点J 、K 、I 、L ,执行【画图】【多边形】【多边形】命令,作出多边形JKIL 。 (10)依次选择多边形和点J ,执行【变换】【旋转】命令,设置旋转次数为3 次,角 度为:90 。点击【确定】完成该步操作。结果如图2.5.3 所示。 图2.5.3 将正方形ABIH 内的四部分分别以不同的向量平移而出,操作步骤如下: (11)作线段JA 、JG 、JF 、JC ,并分别在这四条线段上作点M 、N 、O、P 。 (12 )依次选择四边形AJ 和点J 、点P ,执行【变换】【平移】命令,作出四边形AJ 按向量JP 平移后的图形,隐藏四边形AJ ,隐藏线段JC ,把平移后的四边形的填充颜色改 为绿色。 20 (13 )依次选择依次选择四边形BJ 和点J 、点M ,执行【变换】【平移】命令,作出四 边形BJ 按向量JP 平移后的图形,隐藏四边形BJ ,隐藏线段JA ,把平移后的四边形的填充 颜色改为绿色。 (14)依次选择依次选择四边形IJ 和点J 、点N ,执行【变换】【平移】命令,作出四 边形BJ 按向量JP 平移后的图形,隐藏四边形IJ ,隐藏线段JG ,把平移后的四边形的填充 颜色改为绿色。 (15 )依次选择依次选择四边形HJ 和点J 、点O,执行【变换】【平移】命令,作出四 边形BJ 按向量JP 平移后的图形,隐藏四边形HJ ,隐藏线段JF ,隐藏点J ,把平移后的四 边形的填充颜色改为绿色。完成后结果如图2.5.4 所示 图2.5.4 下面将正方形CBDE 按照指定的向量平移而出,操作步骤如下: (16)作线段CD 和BE ,作线段CD 和线段BE 的交点Q,隐藏线段CD 和线段BE 。 (17)作线段AF 和CG,作线段AF 和线段CG 的交点R ,隐藏线段AF 和线段CG。 (18)作线段QR,作线段QR 上一点S 。 (19)依次选择点C、B 、D 、E ,执行【画图】【多边形】【多边形】命令,作出多边形 CBDE。 (20 )依次选择依次选择四边形CBDE 和点Q、点S ,执行【变换】【平移】命令,作 出四边形CBDE 按向量QS 平移后的图形,隐藏四边形CBDE、线段QR 和点Q 把平移后的 四边形的填充颜色改为红色。