... 辽宁省鞍山市台安县中考数学模拟试卷(3 月份) 一.选择题(共 8 小题,满分 24 分) 1.绝对值等于 2 是( ) A.2 B.﹣2 C.2 或﹣2 D. 2.下列计算一定正确的是( ) A.(a3)2=a5 B.a3?a2=a5 C.a3+a2=a5 D.a3﹣a2=a 3.如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体,从左面看几何体得到的图形是( ) A. B. C. D. 4.如图,直线 AB∥CD,∠C=44°,∠E 为直角,则∠1 等于( ) A.132° 5.不等式组 B.134° C.136° 的解集在数轴上表示为( ) D.138° A. B. C. D. 6.如图,已知点 E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以 O 为位似中心,按比例尺 1:2,把△EFO 缩 小,则点 E 的对应点 E′的坐标为( ) ... ... A.(2,﹣1)或(﹣2,1) B.(8,﹣4)或(﹣8,﹣4) C.(2,﹣1) D.(8,﹣4) 7.下列说法正确的个数是( ) ①一组数据的众数只有一个②样本的方差越小,波动性越小,说明样本稳定性越好③一组数据 的中位数一定是这组数据中的某一数据④数据:1,1,3,1,1,2 的众数为 4 ⑤一组数据 的方差一定是正数. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 8.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E,则下列结论:①DE=CD;②AD 平分∠CDE;③∠BAC=∠BDE;④BE+AC=AB,其中正确的是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二.填空题(共 8 小题,满分 24 分,每小题 3 分) 9.据统计,今年无锡鼋头渚“樱花节”活动期间入园赏樱人数约 803 万人次,用科学记数法 可表示为 人次. 10.一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行,已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性 都相同,那么它停在 1 号板上的概率是 . 11.分解因式:a3﹣a= . 12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,点 B 的坐标分别为(0,2),(﹣1,0),将线段 AB 沿 x 轴的正方向平移,若点 B 的对应点的坐标为 B'(2,0),则点 A 的对应点 A'的坐标 为 . ... ... 13.关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 . 14.如图,四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若四边形 ABCO 为平行四边形,则∠ADB= . 15.如图所示,D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,DE∥AC,若 S△BDE:S△CDE=1:3,则 S△BDE: S 四边形 DECA 的值为 . 16.如图,点 A 在双曲线 上,点 B 在双曲线 y= 上,且 AB∥x 轴,C、D 在 x 轴上,若四 边形 ABCD 为矩形,则它的面积为 . 三.解答题(共 2 小题,满分 16 分,每小题 8 分) 17.(8 分)先化简,再求代数式( +x﹣1)÷ 的值,其中 x=3tan30°. 18.(8 分)如图:已知:AD 是△ABC 的角平分线,DE∥AC 交 AB 于 E,DF∥AB 交 AC 于 F. (1)求证:四边形 AEDF 是菱形; (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 AEDF 是正方形? ... ... 四.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 19.(10 分)某初中在“读书共享月”活动中.学生都从家中带了图书到学校给大家共享阅读.经 过抽样调查得知,初一人均带了 2 册;初二人均带了 3.5 册:初三人均带了 2.5 册.已知 各年级学生人数的扇形统计图如图所示,其中初三共有 210 名学生.请根据以上信息解答 下列问题: (1)扇形统计图中,初三年级学生数所对应的圆心角为 °; (2) 该初中三个年级共有 名学生; (3)估计全校学生人均约带了多少册书到学校? 20.(10 分)如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等, 且分别标有数字 1,2,3. (1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ; (2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动 转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是 3 的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解). 五.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 21.(10 分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图 1),完全开启后,把手 AM 的仰 角 α=37°,此时把手端点 A、出水口 B 和点落水点 C 在同一直线上,洗手盆及水龙头的相 关数据如图 2.(参考数据:sin37°= ,cos37°= ,tan37°= ) ... ... (1)求把手端点 A 到 BD 的距离; (2)求 CH 的长. 22.(10 分)如图,AB 为⊙O 的直径,割线 PCD 交⊙O 于 C、D,∠PAC=∠PDA. (1)求证:PA 是⊙O 的切线; (2)若 PA=6,CD=3PC,求 PD 的长. 六.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 23.(10 分)如图,已知直线 y= x 与双曲线 y= 交于 A、B 两点,且点 A 的横坐标为 . (1)求 k 的值; (2)若双曲线 y= 上点 C 的纵坐标为 3,求△AOC 的面积; (3)在坐标轴上有一点 M,在直线 AB 上有一点 P,在双曲线 y= 上有一点 N,若以 O、M、P、 N 为顶点的四边形是有一组对角为 60°的菱形,请写出所有满足条件的点 P 的坐标. ... ... 24.(10 分)甲、乙两车分别从相距 480km 的 A、B 两地相向而行,乙车比甲车先出发 1 小时, 并以各自的速度匀速行驶,途经 C 地,甲车到达 C 地停留 1 小时,因有事按原路原速返回 A 地.乙车从 B 地直达 A 地,两车同时到达 A 地.甲、乙两车距各自出发地的路程 y(千米) 与甲车出发所用的时间 x(小时)的关系如图,结合图象信息解答下列问题: (1)乙车的速度是 千米/时,t= 小时; (2)求甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间 x 的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (3)直接写出乙车出发多长时间两车相距 120 千米. 七.解答题(共 1 小题) 25.如图,在等腰直角△ABC 中,∠C 是直角,点 A 在直线 MN 上,过点 C 作 CE⊥MN 于点 E, 过点 B 作 BF⊥MN 于点 F. (1)如图 1,当 C,B 两点均在直线 MN 的上方时, ①直接写出线段 AE,BF 与 CE 的数量关系. ②猜测线段 AF,BF 与 CE 的数量关系,不必写出证明过程. (2)将等腰直角△ABC 绕着点 A 顺时针旋转至图 2 位置时,线段 AF,BF 与 CE 又有怎样的数 量关系,请写出你的猜想,并写出证明过程. (3)将等腰直角△ABC 绕着点 A 继续旋转至图 3 位置时,BF 与 AC 交于点 G,若 AF=3,BF=7, 直接写出 FG 的长度. ... ... 八.解答题(共 1 小题,满分 14 分,每小题 14 分) 26.(14 分)已知:如图,抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A(﹣1,0)、B 两点(A 在 B 左),y 轴交于点 C(0,﹣3). (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 是线段 BC 下方抛物线上的动点,求四边形 ABDC 面积的最大值; (3)若点 E 在 x 轴上,点 P 在抛物线上.是否存在以 B、C、E 、P 为顶点且以 BC 为一边的平 行四边形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. ... ... 一.选择 1. 【解答】解:∵|2|=2,|﹣2|=2, ∴绝对值等于 2 是±2, 故选:C. 参考答案 2. 【解答】解:A、(a3)2=a6,错误; B、a3?a2=a5,正确; C、a3+a2=a3+a2,错误; D、a3﹣a2=a3﹣a2,错误; 故选:B. 3. 【解答】解:从左面看易得上面一层左边有 1 个正方形,下面一层有 2 个正方形. 故选:A. 4. 【解答】解: 过 E 作 EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥EF, ∴∠C=∠FEC,∠BAE=∠FEA, ∵∠C=44°,∠AEC 为直角, ∴∠FEC=44°,∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°, ∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°, 故选:B. ... ... 5. 【解答】解: , 由①得,x>1, 由②得,x≥2, 故此不等式组得解集为:x≥2. 在数轴上表示为: . 故选:A. 6. 【解答】解:以 O 为位似中心,按比例尺 1:2,把△EFO 缩小, 则点 E 的对应点 E′的坐标为(﹣4× ,2× )或[﹣4×(﹣ ),2×(﹣ )], 即(2,﹣1)或(﹣2,1), 故选:A. 7. 【解答】解:①一组数据的众数可以有一个也可以有多个,①说法错误; ②样本的方差越小,波动越小,说明样本稳定性越好,②说法正确; ③一组数据的中位数不一定是这组数据中的某一数据,③说法错误; ④数据:1,1,3,1,1,2 的众数为 1,④说法错误; ⑤一组数据的方差一定是正数或 0,⑤说法错误, 故选:B. 8. 【解答】解:①∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB, ∴DE=CD; 所以此选项结论正确; ②∵DE=CD,AD=AD,∠ACD=∠AED=90°, ∴△ACD≌△AED, ... ... ∴∠ADC=∠ADE, ∴AD 平分∠CDE, 所以此选项结论正确; ③∵∠ACD=∠AED=90°, ∴∠CDE+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°, ∵∠BDE+∠CDE=180°, ∴∠BAC=∠BDE, 所以此选项结论正确; ④∵△ACD≌△AED, ∴AC=AE, ∵AB=AE+BE, ∴BE+AC=AB, 所以此选项结论正确; 本题正确的结论有 4 个,故选 D. 二.填空题 9. 【解答】解:803 万=8 030 000=8.03×106. 故答案为:8.03×106. 10. 【解答】解:因为 1 号板的面积占了总面积的 ,故停在 1 号板上的概率= . 11. 【解答】解:a3﹣a, =a(a2﹣1), =a(a+1)(a﹣1). 故答案为:a(a+1)(a﹣1). 12. 【解答】解:∵将线段 AB 沿 x 轴的正方向平移,若点 B 的对应点 B′的坐标为(2,0), ... ... ∵﹣1+3=2, ∴0+3=3 ∴A′(3,2), 故答案为:(3,2) 13. 【解答】解:由已知得:△=4﹣4k>0, 解得:k<1. 故答案为:k<1. 14. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形, ∴∠ADC+∠ABC=180°, ∵ 四边形 ABCO 为平行四边形, ∴∠AOC=∠ABC, 由圆周角定理得,∠ADC= ∠AOC, ∴∠ADC+2∠ADC=180°, ∴∠ADC=60°, ∵OA=OC, ∴平行四边形 ABCO 为菱形, ∴BA=BC, ∴=, ∴∠ADB= ∠ADC=30°, 故答案为:30°. 15. 【解答】解:∵S△BDE:S△CDE=1:3, ∴BE:EC=1:3, ∵DE∥AC, ∴△BED∽△BCA, ... ... ∴S△BDE:S△BCA=( )2=1:16, ∴S△BDE:S 四边形 DECA=1:15, 故答案为:1:15. 16. 【解答】解:过 A 点作 AE⊥y 轴,垂足为 E, ∵点 A 在双曲线 上, ∴四边形 AEOD 的面积为 1, ∵点 B 在双曲线 y= 上,且 AB∥x 轴, ∴四边形 BEOC 的面积为 3, ∴矩形 ABCD 的面积为 3﹣1=2. 故答案为:2. 三.解答题 17. 【解答】解:原式=( + )÷ =? =, 当 x=3tan30°=3× = 时, 原式= = . 18. 【 解答】解:(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ... ... ∴DE∥ AF,DF∥AE, ∴四边形 AEDF 是平行四边形(有两组对边相互平行的四边形是平行四边形), ∴∠EAF=∠EDF(平行四边形的对角相等); 又∵AD 是△ABC 的角平分线, ∴∠EAD=∠EDA(平行四边形的对角线平分对角), ∴AE=DE(等角对等边), ∴四边形 AEDF 是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形); (2)由(1)知,四边形 AEDF 是菱形, ∵当四边形 AEDF 是正方形时,∠EAF=90°,即∠BAC=90°, ∴△ABC 的∠BAC=90°时,四边形 AEDF 是正方形. 四.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 19. 【解答】解:(1)由题意可得: 初三年级学生数所对应的圆心角为:360°×(1﹣35%﹣30%)=126°; 故答案为:126°; (2)该初中三个年级共有:210÷35%=600(人); 故答案为:600; (3)由题意可得:2×30%+3.5×35%+2.5×35%=2.7(册). 20. 【解答】解:(1)∵在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中,奇数的有 1、3 这 2 个, ∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 , 故答案为: ; (2)列表如下: 1 1 (1,1) 2 (2,1) ... 3 (3,1) ... 2 (1,2) (2,2) (3,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) 由表可知,所有等可能的情况数为 9 种,其中这两个数字之和是 3 的倍数的 有 3 种, 所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为 = . 五.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 21. 【解答】解:(1)过点 A 作 AN⊥BD 于点 N,过点 M 作 MQ⊥AN 于点 Q, 在 Rt△AMQ 中, . ∴ , ∴ , ∴AN=AQ+Q=12. (2)根据题意:NB∥GC. ∴△ANB~△AGC. ∴ , ∵MQ=DN=8, ∴BN=DB﹣DN=4, ∴ . ∴GC=12, ∴CH=30﹣8﹣12=10. ... ... 答:CH 的长度是 10cm. 22. 【解答】(1)证明:连接 BD; ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠BDA=90°; ∵∠PAC=∠PDA,∠CAB=∠CDB, ∴∠PAC+∠CAB=∠PDA+∠CDB=∠BDA=90°, ∴∠PAB=90°, ∴PA 是⊙O 的切线. (2)解:设 PC=a; ∵CD=3PC, ∴CD=3a; ∵PA 是⊙O 的切线,PCD 是割线, ∴PA2=PC?PD, 即 62=a?(a+3a), 解得 a=3, PD=PC+CD=a+3a=4a, ∴PD=12. 六.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 23. 【解答】解:(1)把点 A 的横坐标为 代入 y= x, ∴其纵坐标为 1, ... ... 把点( ,1)代入 y= ,解得:k= . (2)∵双曲线 y= 上点 C 的纵坐标为 3, ∴横坐标为 , ∴过 A,C 两点的直线方程为:y=kx+b,把点( ,1),( ,3),代入得: , 解得: , ∴y=﹣ x+4,设 y=﹣ x+4 与 x 轴交点为 D, 则 D 点坐标为( ,0), ∴△AOC 的面积=S△COD﹣S△AOD= × ×3﹣ × ×1= . (3)设 P 点坐标(a, a),由直线 AB 解析式可知,直线 AB 与 y 轴正半轴夹角为 60°, ∵以 O、M、P、N 为顶点的四边形是有一组对角为 60°的菱形,P 在直线 y= x 上, 当点 M 只能在 x 轴上时, ∴N 点的横坐标为 a,代入 y= ,解得纵坐标为: , 根据 OP=NP,即得:| |=| ﹣ |, 解得:a=±1. 故 P 点坐标为:(1, )或(﹣1,﹣ ). 当点 M 在 y 轴上时,同法可得 p(3, )或(﹣3,﹣ ). 24. 【解答】解:(1)根据图示,可得 乙车的速度是 60 千米/时, 甲车的速度是: ... ... (360×2)÷(480÷60﹣1﹣1) =720÷6 =120(千米/小时) ∴t=360÷120=3(小时). 故答案为:60;3. (2)①当 0≤x≤3 时,设 y=k1x, 把(3,360)代入,可得 3k1=360, 解得 k1=120, ∴y=120x(0≤x≤3). ②当 3