如何快速判断可逆矩阵(2篇)	以下是网友分享的关于如何快速判断可逆矩阵的资料2篇,希望对您有所帮助,就爱阅读感谢您的支持。 篇一:如何快速判断可逆矩阵 2.4 可逆矩阵 授课题目 2.4 可逆矩阵 授课时数:4课时 教学目标:掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念,可逆矩阵的性质,求逆矩阵的公式 可逆矩阵的判定,用初等变换求逆矩阵,用初等变换求解矩阵方程 教学重点:可逆矩阵的判定,用初等变换求逆矩阵,求逆矩阵的公式,用初等变换求解矩阵方程 教学难点:用初等变换求逆矩阵,用初等变换求解矩阵方程 教学过程: 一、可逆矩阵的定义及性质 1、可逆矩阵的定义 解Ann??B时需要满足CA=-I的C的存在性问题。 定义1,对于n阶矩阵A,若存在n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B使得 AB=BA=I 则称A为可逆矩阵(或非奇异矩阵),或A可逆称B为A的逆矩阵 从下面几点加深理解:1要求A是方阵,非方阵不加以讨论(广义逆);2条件是两等式成立(双边乘A等于单位阵);3能否用BA=I(单边)定义,4若A可逆,A的逆矩阵是否唯一?5条件“AB=BA=I”中,A,B的相互性 2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性 证 事实上设B1,B2都是A的逆矩阵,便有 o 00 B1?B1I?B()=(B1A)B2?IB2?B2 1AB2 A可逆,用A表示A的唯一的逆矩阵,AA=AA=I 3、可逆矩阵的性质 设A,B可逆 ?1 1)A可逆且(A)=A; ?1?1 ?1?1?1 证 由于AA?AA2)(AB) ?1 ?1?1 ?1 (A?1)?A ?I,知A与A?1互为逆矩阵,且?B?1A?1(穿脱原理) ?1 ?1 证 因为A,B均可逆,知A,B存在,且有 1 (B?1A?1)(AB)?B?(A?1A)B?B?1IB?B?1B?I (AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AIA?1?AA?1?I 所以AB可逆,且(AB) ?1 ?B?1A?1 (A1A2?An)推广 3)(A) T ?1 ?1 ?1?1?1?1 ?AnAn?1?A2A1 ?(A?1)T 两运算可交换顺序 ?1 ?1 证 因为A可逆,有AA?AA?I,两边取转置得 (A?1A)T?(A?1)TAT?AT(A?1)T?I (A) 所以A可逆,且(A)? 4、可逆性的初步判定 1)初等矩阵的可逆性 初等矩阵是可逆的,它们的逆是同类的初等矩阵。 TT?1?1T 1 Pij?1?Pij,Di(k)?1?Di(),Tij(k)?1?Tij(?k) k 2)不可逆矩阵的实例 ?0nn?? ??11?????不可逆???1?1? (推广:有一行(列)为零时) ?? ??11??10????,??0010?????? 二、可逆矩阵的判定: 1、基本定理 定理2.4.1 初等变换不改变矩阵的可逆性 证设A经过一次初等行变换得到B,那么存在一个初等矩阵E,使得EA=B。由 于初等矩阵可逆,当A可逆时,EA也可逆,即B可逆。另一方面,A?E?1B,当B可逆时,E?1B可逆,即A可逆。对列变换的情形可类似的证明。 2、几个充要条件 Th.2.4.2 A可逆?A?In Th.2.4.3 A可逆?A?P1,?Ps,Pi是初等阵 证设A 可逆,则A的等价标准形为In,即存在初等矩阵 P1,P2,?,Ps,Q1,Q2,?,Qt,使得Ps?P2P1AQ1Q2?Qt?In,于是 1?1?1 A?P1?1P2?1?Ps?1InQ?t?Q2Q1 1?1?1?P1?1P2?1?Ps?1Q??Qt2Q1 故A可表示成一些初等矩阵的乘积。 Th.2.4.4 A可逆?A只经过行初等变换化为In 证 因为A可逆?存在初等矩阵 P1,P2,?,Ps使得A=P1P2?Ps??Ps?1?P2?1P1?1A?I,?A经过s次初等变换化成I。 Th2.4.5 设A,B是两个n阶矩阵,则|AB|=|A||B| ?,As都是n阶矩阵,则 推论1 设A1,A2, |A1A2?As|?|A1||A2|?|As| Th2.4.6 A可逆?A?0 证 必要性 设A可逆,则存在A使得AA ?1 ?1 ?I,由定理5得|AA?1|?|A?1A|?|I|?1,所以|A|?0 充分性 由定理2,存在 P1,P2,?,Ps,Q1,Q2,?,Qt,使得Ps?P2P1AQ1Q2?Qt?E(r)nn 两边取行列式,由推论1得|Ps|?|P2||P1||A||Q1||Q2|?|Qt|?|Enn|当|A|?0时, (r) 因此A与In等价。故A可逆。|E(r) nn|?0,从而Enn?In. (r) 10先给出方阵行列式的定义; 20介绍AB?AB(同行列式乘法定理) 30给出A可逆?AB?I(单边的定义) 三、逆矩阵的求法 1、初等变换法 1) 原理 设ps?p1A?I,ps?p1I?A?1 ps?p1(A,I)?(ps?p1A,ps?p1I)=(I,A?1) 2)初等变换方法 (A,I)???(I,A-1) ?0 ? 例设A??1 ?2? 解1 因为 2?? 14? 判定A是否可逆,若可逆,求A?1. ?10?? 1 ?012100??114010???[1,2]?? (A,E)??114010??????012100? ?2?10001??2?10001????? ?114010??102?110???[3?2(3)],[1?2(?1)]??[3?1(?2)] ??????012100?????????012100? ?0?3?80?21??00?23?21??????1002?11? ??[2?3(1)],[1?3(1)] ???????0104?21? ?00?23?21??? ? ?100213(?)?2?????0104 ?3?001??2? ?11? ? ?21? 1?1?? 2? 所以A可逆,A ?1 ??2???4?3???2? ?11? ? ?21? 1?1?? 2? ?I? ??A?列?行?1?1???????(I,A)或???A? (A,I)?I?? ?? 2.伴随矩阵法 1) 伴随矩阵 设Aij是矩阵 ?a11a12?a1n???aa?a222n? A??21???????aa?a?n1n2nn? 中aij的代数余子式,矩阵 ?A11?A12 ??A?????A1n 称为A的伴随矩阵 2) 求逆矩阵的公式 A ?1 A21?An1? ? A22?An2? ??? ? A2n?Ann? ? 1* A(牢记AA*?A*A?AI) A ?123??? 例2 设A??221? ?343??? 判定A是否可逆,若可逆,求A. ?1 解 因为|A|=2,所以A可逆。又A11?2,A12??3,A13?2,A21?6,A22??6,A23?2,A31??4,A32?5,A33??2 所?1?26?4?? 1*1?3??1 A???3?65????以A? 2?A??222?2???1 ? ?1?3????2?1? ?2??5??3 2?1?1??3 ?2? ?5??3 2?1?1?? 3 所以A可逆,A ?1 四.可逆分块矩阵的逆矩阵 1、缺角阵的逆矩阵 ?A0? 设A,B分别是m,n阶可逆矩阵,则有Laplace定理知m+n阶分块矩阵D??? CB?? 是可逆矩阵,得D进行相同的分块,令D ?1 ?1 ?X ??11?X21X12? ?由于 X22? ?A0??X11X12??Im DD?1???????X ?CB??21X22??00?? In? 根据分块矩阵的乘法计算出左端,并比较等式两边,得AX11?Im??AX12?0?? ?CX11?BX21?0??CX12?BX22?In ?1 (1)(2)(3)(4) ?1 有(1)、(2)式得X11?A,X12?A0?0 代入(4)式得X22?B 代入(3)式得BX21??CX11??CA所以X21??BCA ?1 ?1 ?1 ?1 ?A?1 所以D???1?1 ??BCA ?10? ?1?B? 利用分块矩阵的知识可推得下列公式 设A,B可逆. ?A①??C??A②??0? 0??B??C??B?? ?1 ?A?1 ????B?1CA?1??A?1???0? 0??; ?1?B? ?1 ?A?1CB?1?? ?1?B??A?1CB?1?? ?1?B?B?1?? ?1?1??ACB? ?0A? ③??BC?????CA?④??B0???? ?1 ?A?1 ???0??0???A?1? ?1 ②,,学生思考回答。 2、准对角矩阵的逆矩阵 ?A1? ?A2????? 反对角矩阵的逆矩阵 ?????As?? ?1 ?A1?1 ? ?A2?1?? ???????? ??1?As? ??????A?sA1??A2? ?? ??? ?1 ???????A?1?1?1As? ?? ??? 其中Ai可逆,i?1,?,s 五、一类矩阵方阵的简便解法 解A?=B(A可逆)的简便方法 (A,B)? ??(I,AB)解?A=B的简便方法 行?1 ?A?列?I? ??????B????BA?1? ???? 施行初等行变换得到矩阵C,则以C为增广矩阵的线性方程组必与(1)同解。 ?101???11????? 例3 ?1?11?X??10?求X ??110??01????? 解 用初等变换的方法 ?101?11??101?11? ????[2?1(-1)],[3+1(1)] ????????0?102?11?1110?? ?? ?011?12???11001? ?????101?11??100?20? ??[1?3??[3?2(1)],[2(-1)](-1)] ?????????010?21???????010?21? ?00111??00111????? ??20? ?? 所以X???21? ?11??? 篇二:如何快速判断可逆矩阵 哈尔滨师范大学 学年论文题目浅谈可逆矩阵的判定、求法 学生赵怀志 指导教师 高鹤 讲师 年级2010级专业数学与应用数学 系别数学与应用数学系 学院数学科学学院 哈尔滨师范大学 2012年11月论文提要在高等代数中矩阵占有很重要的部分, 而可逆矩阵又是矩阵比较重要的一类, 在多项式理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等相关理论中具有极其重要的地位,为此本文从最基本的矩阵出发阐述了可逆的定义、性质及相关的应用,体现了数学的逻辑性及严密性的特点,从整体把握可逆矩阵的思想方法,希望对大家有所帮助。 浅谈可逆矩阵的判定、求法 赵怀志 摘要:本文主要介绍了有关可逆矩阵的定义、判定、性质、求法,。对可逆矩阵相关知识做了一个较为详尽的总结。 关键词:可逆 单位矩阵 初等变换。 1 预备知识: 定义1 由m?n 个实数a ij 排成的一个 m 行n 列的矩形数表 ?a 11 a 21A = a m 1? 称之为 m ?n 矩阵,位置( a 12a 22 a m 2 a 1n ? ?a 2n ? ? ?a mn ?? 表示(强调两个足标的意义)。 i , j )上的元素,一般用a ij 矩阵可简记为A m ?n 或A ={a ij }或A ={a ij }m ?n . 特殊矩阵: 方矩阵 若m=n ,称A 为n 阶(方)矩阵,也可记作 A n . (强调矩阵的(主)对角线,) 而a 11, a 22, , a nn 称之为对角元素;(反主对角线)。 当m=n =1 时,即A=(a 11), 此时矩阵退化为一个数a 11. 即a ij =b ij , 矩阵相等 若同型矩阵A ={a ij }m ?n 和B ={b ij }m ?n 在对应位置上的元素都相等 i =1, , m ; j =1, , n , 零矩阵 所有元素都为零的矩阵,称之为零矩阵。一般记作O ;或Om?n . 注意,不同型的零矩阵是不相等的。 负矩阵 设A={a ij }m ?n ,称矩阵 -A ={-a ij } 为矩阵A 的负矩阵。 三角矩阵 设A ={a ij }是n阶矩阵。 1)若A 的元素满足 a ij =0, 2)若A 的元素满足 a ij =0, i >j ,称A 是上三角矩阵; i ?a 11a 12 0a 22 A = 00? a 1n ? ? a 2n ? ? ? a nn ?? 和?a 110 a 21a 22A = a ?n 1a n 20?? 0? ? ? a nn ?? 。 对角矩阵 若元素满足 a ij =0, i ≠j ;其形状是 ?a 110 0a 22A = 00?0? ? 0? , ? ? a nn ?? 记作 A =diag {a 11, a 22, , a nn }=diag {a ii }. 单位矩阵 对角元素为1的对角矩阵,记作E 或E n (n 阶),即?1 0E = ?00 0? ? 1 0? ? ? 0 1? 零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。 矩阵基本运算: 加法运算设 A ={a ij } 和B={b ij } 是m?n 的矩阵,A 与B 的加法(或称和),记作A+B,定义为一个m ?n 的矩阵 ?a 11+b 11a 12+b 12 a 22+b 22 a +b C ={c ij }=A +B = 2121 a +b ?m 1m 1a m 2+b m 2a 1n +b 1n ? ? a 2n +b 2n ? ? ? a mn +b mn ?? a 1n -b 1n ? ? a 2n -b 2n ? ? ? a mn -b mn ?? ?a 11-b 11a 12-b 12 a 21-b 21a 22-b 22 矩阵的减法: A -B =A +(-B ) = a -b ?m 1m 1a m 2-b m 2 由定义,容易验证矩阵的加法满足下列运算法则(其中A , B , C , O 为同型矩阵)。 (1) 交换律 A +B =B +A (2) 结合律 (A +B ) +C =A +(B +C ) (3) A +O =A (4) A -A =O 数乘矩阵: 数λ与矩阵A ={a ij }m ?n 的乘积(称之为数乘),记作λA 或A λ,定义为一个m ?n 的矩阵 ?λa 11λa 12 λa 22 λa C ={c ij }=λA =A λ= 21 λa ?m 1λa m 2 λa 1n ? ? λa 2n ? 。 ? ? λa mn ?? 由定义,数乘运算满足下列运算法则(设A , B , O 是同型矩阵,λ, μ是数): (1) 数对矩阵的分配律 λ(A +B ) =λA +λB (2) 矩阵对数的分配律 (λ+μ) A =λA +μA (3) 结合律 (λμ) A =λ(μA ) (4) 0A =O 矩阵乘法: 设A ={a ij }是一个m ?s 矩阵,B ={b ij }是一个s ?n 矩阵,A 与B 的乘法,记作AB ,定义为一个m ?n 的矩阵 C =AB ={c ij },其中 s c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a is b sj =∑a ik b kj k =1 (i =1, 2, , m ; 由定义,不难看出(强调): j =1, 2, , n ) . (1) 只有在左矩A 的列数和右矩阵B 的行数相等时,才能定义乘法AB ; (2) 矩阵C=A B 的行数是A 的行数,列数则是B 的列数; (3) 矩阵C=AB在 的乘积之和。 注: 矩阵乘法不满足交换律(对一般情况而言) , 若两个矩阵A 和B 满足 (i , j ) 位置上的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素 AB =BA 则称矩阵A 和B 是可交换的,如1)单位矩阵与任何(同阶)矩阵可交换,即成立 AI =IA 。 2)任何两个对角矩阵也都是可交换的。 3)一个矩阵与任何(同阶)矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。 矩阵乘法也不满足消去律,但矩阵乘法仍满足分配律和结合律: (1) 分配律 A (B +C ) =AB +AC ; (B +C ) A =BA +CA 。 (2) 结合律 (AB ) C =A (BC ) 。 (3) 数乘结合律 λ(AB ) =(λA ) B =A (λB ) , 其中 λ 是一个数。 (4) AI =IA =A 。 矩阵转置: 设?a 11a 12 a 21a 22 A = a ?m 1a m 2 ?a 11a 21 a 22 a A T = 12 a ?1n a 2n T a 1n ? ? a 2n ? ? ? a mn ?? a m 1? ? a m 2? ? ? a mn ?? , 将A 的行和列对应互换得到的n ?m 矩阵,定义为的A 转置矩阵,记作A 。 T T 由定义可知,(A ) ij =(A ) ji ,即A 在位置上的元素是矩阵A 在位置(j , i ) 上的元素。 2主要理论 一 定义 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵,若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得 AB =BA =E 那么A 叫作一个可逆矩阵(或非奇异矩阵),而B 叫作A 的逆矩阵。 注 若矩阵A 可逆,那么A 的逆矩阵由啊唯一决定。 二 判定(以下列出的均为充要条件,即可由这些定理判定矩阵A 是否为可逆矩阵):定理1设矩阵A 为n 阶可逆矩阵, 矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B AB =BA =E . 定理2 设矩阵A 为n 阶矩阵, 则以下几个命题是等价的: (1)矩阵A 可逆; (2)矩阵A 的行列式A ≠0; (3)矩阵的A 伴随矩阵A *可逆; (4)矩阵的A 伴随矩阵A 的行列式A *≠0. 证(1)(2) 因为矩阵A 可逆, 所以存在n 阶矩阵使AB =BA =E , 因此AB ===1, 所以A ≠0. A *A * (2)(1)当A ≠0时, 因为AA =A A =A E , 所以A =E =A , 所以存在 A A * * * -1* (3)(2)因为矩阵A 可逆, 所以A *≠0, 且存在(A *)使A *(A )=E 成立, 则A≠0A ≠0一定有(否则假设), 1*-1**-1?* , 由此可以推得矩阵为零矩A =A =?E A =A A =A =0A A A A E A ()()()???*? 阵, 从而可得A 也为零矩阵, 则A *≠0. 这与A *≠0相矛盾, 所以A *≠0. (3)(4)和(4)(3)与(1)(2)和(2)(1)的证明方法一样. 定理3 矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B 使得AB =E (BA =E ). 证 (必要性) 矩阵A 可逆时, 由定义可知存在n 阶矩阵B 使得AB =BA =E , 所以存在n 阶矩阵B 使得AB =E . (充分性) 由AB =E 两边同时取行列式可得AB =A B =E =1, 所以A ≠0, 由定理2可知矩阵A 可逆. 定理4 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 为满秩矩阵(即r (A )=n ). 证 因为矩阵A 为满秩矩阵等价于A *≠0, 而由定理2知A ≠0又等价于矩阵A 可逆, 因此矩阵A 为满秩矩阵等价于矩阵A 可逆. -1 A *A *A * =E =A , 所以矩阵A 可逆. 使得A A A A * (2)3因为AA *=A *A =A E , 所以AA *=A A *=A E =A , 又因为 * A ≠0, 所以A *≠0, 由(2)(1)的过程可知矩阵A 的伴随矩阵A 可逆. 定理5 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 等价(对矩阵A 施行初等变换可以使矩阵A 转化为单位矩阵E ). 证 (必要性) 因为矩阵可逆, 所以A ≠0. 由定理4知, 又因为r (E )=n , 所以r (E )=r (E )=n , 即矩阵A 与单位矩阵E 是等价的. (充分性) 由矩阵A 与单位矩阵E 等价可得r (E )=r (E )=n , 所以由定理4知矩阵A 可逆. 定理6 矩阵A 为可逆矩阵的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX =B 的解唯一. 证 齐次线性方程组AX =B 的解唯一等价于A ≠0, 又等价于矩阵A 可逆. 定理7 矩阵A 可逆的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方AX =B 的解唯一. 定理8 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的特征值均不为0. 证 (必要性) 假设矩阵A 有一个特征值为λ1=0, 则λ1E -A =0, 又因为 n λ1E -A =-A =(-1)A , 所以A ≠0; , 由此可得矩阵A 不可逆这与矩阵A 可逆相矛盾, 所以由矩阵A 可逆可得矩阵A 的特征值均不为0. λn (其中(λi ≠0, i =1, 2, , n ), 因(充分性) 设矩阵A 的全部特征值为λ1、λ2、 为λ1λ2 λn =A , 而λ1λ2 λn ≠0, 所以A ≠0, 因此矩阵A 可逆. 三.性质: -1 性质1 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵, 若矩阵A -1可逆, 且(A -1)=A . 证明 因为矩阵A 可逆, 所以AA -1=E =A -1A , 所以矩阵A -1可逆. 设B =A -1则-1 A -1B =E , B -1=A , 即(A -1)=AA -1. 性质2 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵, 当k ≠0时, 则kA 可逆, 且(KA )= -1 1-1 A . K 证明 因为矩阵A 可逆,所以存在矩阵B 使AB =BA =E ,即B =A -1,又因 ?1??1? 为k ≠0, 所以kAB =kBA =kE , 所以(kA )? B ?= B ??(kA )=E , ?k ??k ? 所以kA 可逆, 且(kA )= 且(A T )=(A -1). -1 性质4 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵, 则A -1=A . -1 T 1-11A =B . k k -1T 性质3 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵, 若矩阵A T 可逆, 且(A T )=(A -1). T T -1T -1 证明 因为矩阵A 可逆, 且A (A )=(A A )=E T =E , 所以矩阵A T 可逆 -1 证明 因为矩阵A 可逆, 所以AA -1=E , 所以AA -1=A A -1=E =1, 所以 A -1= 1-1 , 即A -1=A . A 性质5 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵, 若AB =0, 则B =0. 证明 因为矩阵A 可逆, 所以它的逆矩阵A -1存在, 使AB =0两边都左乘A -1 可得A -1AB =A -10=0, 又因为AA -1=E , 所以EB =0, 即B =0. 性质6 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵, 若AB =AC , 则B =C . 证明 因为矩阵A 可逆, 所以A -1存在, 因为使AB =AC 两边都左乘A -1可得A -1AB =A -1CA , 所以EB =EC , 即B =C . -1 性质7 若矩阵A 、B 均为可逆矩阵, 则矩阵AB 可逆且(AB )=B -1A -1. -1-1 证明 因为矩阵A 、B 为可逆矩阵, 所以它们的逆矩阵A 、B 均存在, 又由-1-1-1-1-1-1-1(B A )(AB ) =(B A ) AB =B (A A ) B =B B =E 于-1-1-1-1-1-1 (AB )(B A ) =(AB ) B A =A (B B ) A =AA =E 所以(AB ) -1 (B -1 A -1)=(B -1A -1)=E , 所以矩阵AB 可逆且(AB )=B -1A -1. -1 A K 均为n 阶可逆矩阵, 则矩阵A 1A 2 A K 可逆, 且推论 若矩阵A 1、A 2、 -1-1-1-1 (A 1A 2 A k )=A k A 2A 1 . 性质8 可逆阵A 的乘方仍可逆且(A )=(A ) 证明 可借助性质7,令A 1=A 2= =A k =A ,即可得证。 m -1 -1m 四.求法: 方法1 定义法:设A 是数域p 上的一个n 阶方阵,如果存在p 上的n 阶方阵B ,使得AB =BA =E ,则称A 是可逆的,又称B 为A 的逆矩阵. 当矩阵A 可逆时,逆矩阵由A 惟一确定,记为A -1. 例1:设A 为n 阶矩阵,且满足2A 2-3A +5E =0,求A -1. 【解】 2A 2 - 3A + 5E = 02A 2 - 3A = - 5E 23 ∴ -A 2 - A =E 552323 ∴A (-A - E) = -A - E = E 5555 23 ∴A 可逆且 A-1= -A - E 55 方法 2 伴随矩阵法:A -1= 1* A . A 定理n 阶矩阵A =αij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异. 且?A 11 A 1 A -1= 12 A ?A 1n A 21 A 22 A 2n A n 1?? A n 2? ? ? A nn ? ?A 11 A 其中A ij 是A 中元素αij 的代数余子式. 矩阵 12 ?A 1n 的伴随矩阵, 记作A *,于是有A -1= 1* A . A A 21 A 22 A 2n A n 1?? A n 2? 称为矩阵A ? ? A nn ? 注 对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵. 注意A *=(A ij )n ?n 元素的位置及符号. 特别对于2阶方 ?a 11 阵A = ?a 21 a 12??a 22-a 12?* ?,其伴随矩阵A = ?, 即伴随矩阵具有“主对角元素a 22?-a a ?2111? 互换,次对角元素变号”的规律. ?A B ? 对于分块矩阵 ?不能按上述规律求伴随矩阵. C D ??ij ?101? ? 例2:已知A = 210?,求A -1. -32-5??? 【解】 | A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆. 由已知得 A 11= - 5, 1 2 A = 1= 7103, A A 21= 2, 2 2 A A A 31= - 1, 3 2 = -2 32, A = 23, 3 A = - 2= 1 ?5 - ?-52-1? 2 1*1 ? -1 A = 10-22?= 5 A =A 2 ? ?7-21? 7 ?21?-?2? -11? 1?-1? 2?1 初等变换 →(E A -1) 方法3 初等变换法:(A E )???? 注:对于阶数较高(n ≥3)的矩阵,采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便. 在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换. ?A ?初等列变换?E ? → -1?求得A 的逆矩阵. 也可以利用 ????? ?E ??A ? 当逆矩阵可逆可利用 ?A ?初等列变换?E ?初等变换-1 A B ????→E A B , ()() C ?????→ CA -1? ???? 求得A -1B 和CA -1. 这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法,仅通过初等变换 即求出了A -1B 或CA -1. 例3:求矩阵 ?12-1? ?A = 310? -10-2??? 的逆矩阵。 ?12-1100??12-1100? ? ? 310010→0-53-310(A , E )= ? ? -10-2001? 02-3101????? 1?10 5 3 → 01- 5 9 00- 5? ?2 -9 2-1 即求的→A = 3 1 ?9 15351-5-491-32-9 22?? 0? 100-59 ? 12-0?→ 010 ? 53? 21 1?001? 59??1?9??1-? 3??5?-?9? 491-32-9 1?9??1-? 3??5?-?9? 方法4 用分块矩阵求逆矩阵:设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵,则: ?A -1?A C ? ?= O B ???O ?O ?O A ? = -1 ? B O ???A -1-1 ?A -1-A -1CB -1??A O ? ? ?= -1-1 B -1??D B ??-B DA B -1??O ? -1 ?A -1O ??A 0? ? ?= B -1??0B ??0 -1 0? ?B -1? ? 0052? 例4:已知A = 00 21?1 1-00? ? ,求A -. 2?1100?? 【解】 将A 分块如下: ? 00 52?00 ?A = 21 ?A 1? ??O O ? 1-2 00?= ? ??A 2?11 00?? 其中A ? 52??21?,?A ?1-2?1=2= ?11?? 可求得A -11*?1-2?11= A A 1?-25?,?A -12=A A * 1?12?1=2= 2 3?-11?? ? 0012? 3?-11?从而A -1=? 0 A 32? 1??A -1 1 0?=00-? 33? 1-200? ??-2500?? 方法5 用Caley -hamilton 定理求逆矩阵: 设A 是数域P 上的n 阶方阵 f (λ)=λE -A =A n +a -11A n + +a n A +a n E =0 为A 的特征多项式,则:f (λ)=λE -A =A n +a n -11A + +a n A +a n E =0 于是-1a (A n -1 +a -21A n + +a n -1E ) 因此 1a (A n -1 +a 1A n -2+ +a n -1E ) ?2-例5:已知A = 24? 232? ?,求A -1. ?-11-1?? 【解】 A 的特征多项式f (λ)=λE -A =λ3-4λ2+7λ+10 由Caley -hamilton 定理知:f (A )=AE -A =A 3-4A 2+7=0 ?-52-16? 1 ?-1 A 2-4A +7E )= 024? A =(10 5010? ?? 方法6 三角矩阵的一种求逆法: ?t 11t 12 0t 22 定理:如果n 阶矩阵= ?00 t n -1 0 t 2n -1 t n ??t 2n ? 可逆, ??t nn ? t -1αn ? ?t 22-1α2n ? ? ?t nn -1?? ?t 11-1t 11-1α12 0t 22-1 那么他的逆矩阵是T = 00? t 11-1αn -1 t 22α2n -1 1 ?αii +1=-t i - +1i +1?t ii +1(i =1, 2, , n -1)? 其中? -1 αij +1=-t jj -1t ij -∑αkj t ik t kk i =1, 2 , n -2; j =3, 4, , n )(?i ?13 0-1 例6:求上三角阵A = 00 ?0012? ?13? 的逆矩阵. ?25?02? 【解】 由定理知: -1 α12=-t 22?t 12=3 1 2 1-1-1 α13=-t 33t 13-α23t 12?t 22=-2 -1α23=-t 33t 23=--1α34=-t 44t 34=- 5 2 14 12 1-1 α24=-t 44t 24-α34t 23?t 33=- 1-1-1α14=-t 44t 14-(α24t 12t 22+α34t 13t 33)=- 1?? 13-2- 2? ? 11 0-1? 24?-1 A = ? 15 00-? 24? 1? 000??2? 3 结束语 本文关于可逆矩阵的判定本文给出了相应的判定方法,从整体上把握了可逆矩阵本身的性质,思路清晰,进而又详细介绍了可逆矩阵的若干求法并且每种求法都配以相应的例题,尽管如此,可逆矩阵的求法还有很多,由于本文篇幅及本人水平有限,在本文里不能一一列举。最后,衷心希望本文对大家用所帮助。 参考文献: (1)高等代数(第三版)王萼芳、石生明 高等教育出版社 2003年7月(2)线性代数(数学专业用)李尚志编著 高等教育出版社 2008年4月(3)高等代数 (第五版)张禾瑞 郝鈵新 高等教育出版社 2007年6月	1