实际比原计划多修百分之几? 已知一个数是多少求这个数 一个数是另一个数的百分之几 (一)复习准备 1. 解答“一个数是另一个数的百分之几”用什么方法? (用除法) 2. 解答“一个数是另一个数的百分之几”的应用题, 关键是什么? (找应用题中的标准量,也就是单位“1”, 谁是标准量, 谁就做除数。 ) 3. 口答, 只列式不计算。 (用投影出示) (1)5 是 4 的百分之几? 4 是 5 的百分之几? (2)甲数是 50, 乙数是 40, 甲数比乙数多多少? 甲数比乙数多的数是乙数的百分之几? (3)甲数是 48, 乙数是 64, 甲数比乙数少多少? 甲数比乙数少的数是甲数的百分之几? 4. 板书应用题。 一个乡去年计划造林 12 公顷, 实际造林 14 公顷。 实际造林是原计划的百分之几? 分析: 通过读题, 在这道题中, 谁是标准量? 你是从哪句话中找出来的? 应怎样列式呢? 如果将这道题的问题变为“实际造林比原计划多百分之几? ”, 应该怎样分析解答呢? 这就是我们这节课要继续研究的比较复杂的百分数应用题。 板书课题: 百分数应用题 (二)学习新课 1. 出示例 3。 例 3 一个乡 去年计划造林 12 公顷, 实际造林 14 公顷。实际造林比原计划多百分之几? (1)学生默读题。 (2)例 3 与复习题 4 比较, 有什么异同? (两道题条件相同, 问题不同。 ) 问题不同在哪儿? (复习题 4 求的是实际造林是计划造林的百分之几, 例 3 是求实际造林比原计划多百分之几。 ) 教师在例 3 中用红笔画出“多”字。 (3)在这道题中, 谁是单位“1”? 是从哪句话中找到的? 教师用双引号画出单位“1”。 (4)求实际造林比原计划造林多百分之几是什么意思? 学生分组讨论。 (意思是: 实际造林比原计划多的公顷数是原计划的百分之几? ) 板书: 多的公顷数是计划的百分之几? (5)根据多的公顷数是计划的百分之几这句话, 怎样列文字表达式? 板书: 多的÷计划的 (6)怎样列式计算呢? 板书: (14-12)÷12 =2÷12 ≈0.167 =16.7% 答: 实际造林比原计划多 16.7%。 问: 14-12 是在求什么? 问: 为什么除以 12, 而不除以 14 呢? (7)还有其它的解法吗? (学生讨论) 汇报讨论结果: 板书: 14÷12-1 ≈1.167-1 =0.167 =16.7% 答: 实际造林比原计划多 16.7%。 问: 14÷12 得到的是什么? 再减去 1 又得到什么? 2. 把例 3 中的问题改为“原计划造林比实际造林少百分之几? ” 问: 你怎样理解“原计划造林比实际造林少百分之几”这句话的? 问: 谁做单位“1”? (实际公顷数) 问: 怎样用文字算式表达? 板书: 少的÷实际的 问: 怎样列式计算? 投影订正: (14-12)÷14 =2÷14 ≈0.143 =14.3% 答: 原计划造林比实际造林少 14.3%。 问: 14-12 得到什么? 为什么再除以 14 呢? 问: 还有不同的解法吗? 板书: 1-12÷14 问: 为什么例 3 与改变后的题得数不同? (单位“1”不同。 ) 问: 这两道题有什么相同之处? (解题思路完全一样。 ) 3. 把例 3 的一个条件改变。 一个乡去年计划造林 12 公顷, 实际造林比原计划多 2 公顷。 实际造林比原计划多百分之几? (1)学生独立思考解答。 (2)指名说解题思路。 (3)板书算式: 多的公顷数÷计划的 2÷12≈0.167=16.7% 答: 实际造林比原计划多 16.7%。 问: 此题和例 3 相比较, 哪儿相同, 哪儿不同? (条件不同, 问题相同, 解题思路相同。 ) 4. 把 3 题的问题稍作改变。 一个乡去年计划造林 12 公顷, 实际造林比原计划多 2 公顷。 原计划造林比实际造林少百分之几? (1)学生只列式不计算。 (2)说解题思路。 板书: 少的÷实际的 2÷(12+2) 巩固反馈 1. 分析下面每个问题的含义, 然后列出文字表达式。 (1)今年的产量比去年的产量增加了百分之几? (2)实际用电比计划节约了百分之几? (3)十月份的利润比九月份的利润超过了百分之几? (4)1999 年电视机的价格比 1998 年降低了百分之几? (5)现在生产一个零件的时间比原来缩短了百分之几? (6)第二季度的产值比第一季度提高了百分之几? (7)十一月份比十月份超额完成了百分之几? (8)男生人数比女生人数多百分之几? 2. 在练习本上只列式不计算。 (投影出示) (1)某校有男生 500 人, 女生 450 人。 男生比女生多百分之几? (2)某校有男生 500 人, 女生 450 人。 女生比男生少百分之几? (3)一种机器零件, 成本从 2.4 元降低到 0.8 元。 成本降低了百分之几? (4)某工厂计划制造拖拉机 550 台, 比原计划超额了 50 台。 超额了百分之几? 3. 判断题。 男生比女生多 20%, 女生就比男生少 20%。 ( ) 成数和折扣 (一)复习准备 1. 把下列各数化成百分数。 2. 李庄去年种小麦 50 公顷, 今年种小麦 60 公顷。 今年比去年多种小麦百分之几? 3. 小华家承包了一块菜田, 前年收白菜 41.6 吨, 去年比前年多收了 25%。 去年收白菜多少吨? 师述: 农业收成, 有时用成数来表示。 今天我们就来学习有关成数和折扣的应用题。 板书: 分数应用题 (二)学习新课 1. 成数的含义。 师述: 什么是成数呢? “几成”就是十分之几, 如“一成”就是十分之一, 也就是 10%。 (1)填空: “三成”是十分之( ), 改写成百分数是( )。 “三成五”是十分之( ), 改写成百分数是( )。 (2)把下面的“成数”改写成百分数。 七成 二成五 五成 九成九 十成 二成八 七成四 八成二 2. 出示例 1。 例 1 小华家承包了一块菜田, 前年收白菜 41.6 吨, 去年比前年多收了二成五。 去年收白菜多少吨? (1)学生默读。 (2)这道题和复习中的第三题有什么不同之处? (3)指名学生说解题思路。 师述: 在列式计算时, 我们可以直接把“成数”化成百分数, 用百分数进行列式计算。 板书: =41.6×(1+25%) =41.6×1.25 =52(吨) 答: 今年收白菜 52 吨。 3. 练习。 小丽家承包了一块地, 前年收小麦 8000 千克, 去年比前年增产一成半。 去年收小麦多少千克? 4. 折扣的含义。 师述: 工厂和商店为了推销商品, 有时将商品减价百分之几销售, 这就是平常说的打“折扣”销售。 某种商品打“八折”出售, 就是按原价的 80%出售, 也就是减价 20%。 打五折出售, 就是按原价的( )%出售, 也就是减价( )%。 5. 出示例 2。 例 2 商店出售一种录音机, 原价 330 元。 现在打九折出售, 比原价便宜了多少元? (1)学生读题。 (2)问: 打九折出售是什么意思? (3)求比原价便宜了多少元? 你想怎样解答? (4)指名说解题思路。 板书: 方法(一) 330-330×90% =330-297 =33(元) 方法(二) 330×(1-90%) =330×10% =33(元) 答: 比原价便宜了 33 元。 6. 课堂小结。 今天我们学习了哪些知识? 师述: 今天我们学习了有关“成数”和“折扣”的知识, 知道了“成数”和“折扣”的含义, 以及“成数”和“折扣”与分数和百分数之间的关系, 并且学习了有关“成数”和“折扣”的一些实际的、简单的应用题。 (三)巩固反馈 1. 填空: (1)某县今年棉花产量比去年增产三成。 这句话的意思是( )是( )的 30%。 (2)一块麦地, 改用新品种后, 产量增加了四成五。 这句话的意思是改用新品种后产量是( )的( )%。 (3)一种皮茄克打九折出售。 这句话的意思是( )是( )的 90%。 (4)一批旧书打五五折出售。 这句话的意思是现价比( )便宜了( )%。 2. 把下面的折扣数改写成百分数。 七折 九折 六五折 八五折 六八折 3. 把下面的百分数改写成“成数”。 75% 60% 42% 100% 95% 4. 一套西服, 商店在节日里按八五折优惠出售。 西服的原价是 560 元, 西服现售价多少元? 5. 东门乡去年的棉花产量比前年增加二成。 去年的棉花产量是 267.6 吨, 前年的棉花产量是多少吨? 6. 一种画册原价每本 6.9 元, 现在按每本 4.83 元出售。 这种画册按原价打了几折? 7. 张利在减价商品柜台买了一个水壶, 打“八五”折, 实际花了 25.5 元。 这个水壶原价多少元? 8. 小强花 315 元买了一台收录机, 这台收录机是打七五折出售的。 小强买这台收录机少花了多少元? 保险和税收 保险包(一)复习准备 1. 甲数是 12, 乙数是 15。 甲数是乙数的百分之几? 乙数是甲数的百分之几? 2. 甲数是 120, 它的 75%是多少? 3. ( )与( )的比率叫做利率。 4. 利息=( )×( )×( ) 师述: 前几天我们学习了有关储蓄的知识, 今天我们来学习有关保险和税收的知识。 板书: 百分数应用题 (二)学习新课 1. 导入。 师述: 为了减少企业、 个人财产和生命遇到灾害时所受的损失, 中国人民保险公司开办了各种保险业务。在一定时期内, 参加保险的企业或个人向保险公司交纳一定数量的保险费,如果财产或人身受到自然灾害(如洪水, 干旱等)或意外事故, 造成损失, 保险公司就负责按照预先的规定给予赔偿。 板书: 交到保险公司的钱叫保险费。 师述: 参加保险的财产价值称为保险金额。 板书: 保险金额 师述: 保险费是由保险金额乘以保险费率得到的。 保险费率和银行利率一样, 是由保险公司确定。 板书: 保险费率 板书: 保险费=保险金额×保险费率 2. 出示例 3。 例 3 林海家参加了中国人民保险公司的家庭财产保险, 参加保险的财产价值是 9800元。 如果每年的保险费率是 0.3%, 林海家每年应付保险费多少元? (1)学生读题。 (2)问: 这道题求什么? (3)问: 怎样计算保险费? 板书: 9800×0.3%=9800×0.003=29.4(元) 答: 林海家每年应付保险费 29.4 元。 追问: 为什么用 9800×0.3%, 而不是用 9800÷0.3%? 3. 练习。 赵华家今年参加家庭财产保险, 保险金额是 8000 元, 保险费率是 0.3%。 需交保险费多少元? 4. 税收的意义。 师述: 税收是国家财政收入的主要来源, 税收取之于民, 用之于民。 根据《中华人民共和国个人所得税法》 规定, 我国公民有依法纳税的义务。 在日常生活中和生产中我们经常会遇到一些百分数应用题。 如“合格率”“成活率”“浓度”“利率”“利润”等。 我们一旦遇到这样的问题该如何解决呢? 这个你不要担心, 只要你掌握了分数应用题的基本解法, 百分数应用题对你来说那也是小菜一碟。 因为百分数应用题与分数应用题基本相似, 只要找准单位“1” , 找到对应关系, 问题就轻而易举解完了。 下面要讲两个问题, 浓度问题与经济问题。 一起来看吧! 一、 浓度问题 例: 现有浓度为 16%的糖水 40 千克, 要得到含糖 20%的糖水, 可采用什么方法? 分析: 将浓度变大, 通常首先会想到往溶液中加溶质, 其实, 反过来可用“蒸发”的方法减少水的质量来达到目的。 若用加糖的方法, 水的质量不变; 若用蒸发的方法, 糖的质量不变。 解法 1: 采用加糖法, 水的质量保持不变。 原糖水中含水 40×(1-16%) =33. 6(克) , 也就是现在糖水中也含水 33. 6 克,现在水的浓度就是(1-20%) , 现在糖水的质量为 33. 6÷(1-20%) =42(克) 。糖水增加的质量就是要加的糖的质量, 所以要加糖 42-40=2(克) 。 解法 2: 采用蒸发法, 糖的质量保持不变, 原糖水中含水 40×16%=6. 4(克) , 即为现在糖水中糖的质量。 现在糖水中含糖 20%, 可求出现在糖水的质量 6. 4÷20%=32 (克)。 所以蒸发水 40-32=8 (克)。 可以加糖 2 克, 或者蒸发 8 克水来得到所有的糖水。 方法点睛: 本题为典型的溶液混合题, 只要抓住不变量, 将混合前后各个量之间的关系联系起来。 有时候利用不同的不变量, 会有不同的解法。 二、 利润问题 例 1: 甲、 乙二人原有的钱数相同, 存入银行, 第一年的利率为 4%, 存入一年后利率降至 2%, 甲将本息继续存入银行, 而乙将一半本息存入银行, 一半本钱投资股市, 投入股市的获利 20%。 两年后, 甲赚到的钱比乙赚到的钱的一半还少 144 元, 则甲原来有多少元? (利息税忽略不计) 分析: 本题为利息问题, 本金×(1+利息×期数) =本息。 解: 设甲和乙原来的钱数都是 x。 甲在银行存了两年, 第一年利息为 4%, 钱变成了 x(1+4%) , 接着再存了一年, 第二年利息是 2%, 本息和为 x(1+4%) (1+2%) , 两年赚的钱为 x(1+4%) (1+2%) -x=0.0608x。 乙先将所有的钱在银行存了一年, 本息和为 x(1+4%) , 第二年将一半本息接着存入银行, 一半本钱投入股市, 存入银行的一年后本息和为 1/2 x(1+4%) (1+2%) , 投入股市的钱一年后收入为 1/2 x(1+20%) , 乙两年赚的钱为 1/2x(1+4%) +1/2 x(1+4%) (1+2%) +1/2 x(1+20%) -x=0.1504x。 已知甲赚的比乙赚的一半还少 144 元, 得到(144+0.0608 x) ×2=0.1504 x, 解之得 x=10000 元。 所以甲原来有 10000 元。 方法点睛: 计算本息时最好写成 x(1+4%) 。 所以在计算所有增加或减少分率时都应该这样处理, 一般公式为单位“1”×(1±增加或减少分率) 。 例 2: 国家规定个人发表文章、 出版图书获得稿费的计算方法是 A 稿费不高于 800 元的不纳税; B 稿费高于 800 元又不高于 4000 元的应缴纳超过 800 元的那一部分的 14%的税; C 稿费高于 4000 元的应缴纳全部稿费的 11%的税。 今得知李老师获得一笔稿费, 并且依法缴纳个人所得税 420 元, 问李老师这笔稿费是多少元? 又得知张老师也获得一笔稿费, 依法缴纳个人所得税 550 元, 问张老师这笔稿费是多少元? 分析: 先估计这笔稿费大致有多少元? 属于哪个档次? 再进行计算。 解: 第一档的不纳税, 第二档的要纳税(4000-800) ×14%=448(元) 即李老师稿费低于 4000 元, 那么李老师的稿费为 420÷14%+800=3800(元) 张老师的所得税高于 448 元, 应该应第三档的来计算, 即张老师的稿费为 550÷11%=5000(元) 。 所以李老师的稿费 3800 元, 张老师的稿费为 5000 元。 方法点睛: 算这类型题目时, 先确定档次, 再进行计算。 典型例题精练 1. A、 B、 C 三瓶糖水的浓度分别为 20%、 18%和 16%, 他们混合后得到 100 克浓度为 18.8%的糖水, 如果 B 瓶糖水比 C 瓶糖水多 30 克, 那么 A 瓶糖水有多少克? 2. 《中华人民共和国个人所得税法》 规定, 公民全月工资、 薪金所得不超过 2000 元的部分不必纳税, 超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额, A 不超过 500 元的按 5%的税率收取; B 超过 500 元至 2000 元的部分按 10%的税率收取; C 超过 2000 元至 5000 元的部分按 15%的税率收取……某人一月份应交纳税款150 元, 小学数学解题常见错误分析: 分数百分数应用题 2009-12-21 09:56:22 来源: 奥数网 文章作者: 匿名 进入论坛 分数、 百分数应用题 分数、 百分数应用题是小学数学较难学好的内容之一, 小学生解题时容易把解法混淆,该用乘法解答的却用除法解答, 该用除法解答的却用乘法解答。其次是在解答稍复杂的分数、百分数应用题时, 难以找到题目中数量的对应关系。 正确辨认应用题中的“标准数”, 这是解答分数、 百分数应用题的关键。 在确定“标准数”时, 要特别注意分析应用题中含有“分率”或“百分率”的词句。 当正确地确定题中的“标准数”以后, 就可以找出题中各个数量间的对应关系。 当确定了题中的数量对应关系以后, 再看题中的已知条件是什么, 要求的是什么, 从而正确地选择解法。 (1) 求一个数是另一个数的几(百) 分之几的应用题 解答“求一个数是另一个数的几(百) 分之几”的应用题, 关键是要明确谁与谁比, 被比的为标准量, 然后用标准量作除数, 求出商以后用分数或百分数表示出来。 解答这类问题常见的错误是不能正确地确定谁是标准量, 尤其有些题中, 标准量并不明显, 因此, 常常发生错误。 例 1 人民机床厂计划生产 320 台机床, 结果多生产了 40 台。 实际完成了计划的百分之几? [解](320+40) ÷320=360÷320 =1.125=112.5%。 答: 实际完成了计划的 112.5%。 [常见错误] 320÷(320+40) =320÷360 ≈0.889=88.9%。 答: 实际完成了计划的 88.9%。 例 2 育红小学三月份支出电费 40 元, 四月份支出电费 32 元, 四月份支出的电费比三月份节省了百分之几? [解](40-32) ÷40 =8÷40=0.2=20%。 答: 四月份比三月份节省了 20%。 [常见错误] (1)(40-32) ÷32 =8÷32 =0.25=25%。 答: 四月份比三月份节省了 25%。 例 3 春光小学今年有学生 840 人, 比去年增加 40 人, 今年的学生人数比去年增加百分之几? [解]40÷(840-40) =40÷800 =0.05=5%。 答: 今年的学生人数比去年增加 5%。 [常见错误] (1)(840-40) ÷840 =800÷840 ≈0.952=95.2%。 答: 今年的学生人数比去年增加 95.2%。 (2)(840-40) ÷840 =800÷840 ≈0.952=95.2%。 1-95.2%=4.8%。 答: 今年的学生人数比去年增加 4.8%。 例 4 火炬童服厂九月上旬生产童服 8085 件, 经检验有 55 件不合格。 求这批童服的合格率。(百分号前面保留一位小数。) [解](8085-55) ÷8085 =8030÷8085 ≈0.993=99.3%。 答: 这批童服的合格率是 99.3%。 [常见错误] 55÷(8085-55) =55÷8030 ≈0.007=0.7%。 答: 这批童服的合格率是 0.7%。 [分析] 以上 4 个例题, 都是属于求一个数是另一个数的几(百) 分之几的应用题, 解答这类题的关键是找准“标准”量, 而“标准”量是在比较中得来的, 如求甲数是乙数的几(百) 分之几,则以乙数为“标准”, 若求乙数是甲数的几(百) 分之几, 则以甲数为“标准”。 学生在解题时,由于很难判定谁与谁比, 所以常常出错。 如例 1 要求“实际完成了计划的百分之几”, 而错解中则恰恰弄反, 求出了“计划是实际完成的百分之几”。 例 2 中要求“四月份比三月节省百分之几”, 而错解求的是“四月比三月节省的电费是四月份的百分之几”。 要避免出现这种错误,要对应用题中的特殊问句加以正确的理解。 如例 1 的“完成了计划的百分之几”, 这句问话的意思是完成数是计划数的百分之几。 例 2 中所问“四月份支出的电费比三月份节省了百分之 几”, 正确理解是“四月份比三月份节省的电费是三月份的百分之几”。 例 3 的第二种错解是学生经常出现的, 它求的是“去年的学生人数比今年减少百分之几”。 用这种方法解题的学生总以为, “去年的学生人数比今年减少百分之几”, 就是“今年的学生人数比去年增加百分之几”。 其实这是不相等的, 其理由和甲数比乙数多几就是乙数比甲数少几, 但甲数比乙数多百分之几, 一般决不是乙数比甲数少百分之几一样。 这种错误与学习整数求差的定势影响有关, 只要弄清了道理就不会犯这类错误了。 (2) 求一个数的几(百) 分之几是多少的应用题 求一个数的几(百) 分之几是多少的应用题, 题中已知一个具求它的几(百) 分之几是多少, 用乘法计算。 例 1 一种收录机, 原来每台售价 450 元, 现在降价 25%, 价多少元? [解] 450×(1-25%) =450×0.75 =337.5(元) 。 答: 现在每台售价 337.5 元。 [常见错误] 450×25%=112.5(元) 。 答: 现在每台售价 112.5 元。 例 2 红林乡 计划今年造林 800 公顷, 实际超过原计划 15%多少公顷? [解]800×(1+15%) =800×1.15 =920(公顷) 。 答: 实际造林 920 公顷。 [常见错误] 800×15%=120(公顷) 。 答: 实际造林 120 公顷。 从图中可以看出, 求的是还剩下几分之几是多少页, 这样, 就不致于出现错解中的情况了。 (3) 已知一个数的几(百) 分之几是多少, 求这个数的应用题 已知一个数的几(百) 分之几是多少, 求这个数的应用题, 解题时应先找出标准量, 即“单位 1”的量, 然后设要求的数量为 x, 根据求一个数的几(百) 分之几是多少(用乘法计算) 来列出方程求解, 也可以直接用除法求出答案。 对于这一类应用题, 极容易与求一个数的几(百) 分之几是多少的应用题相混淆。 例 1 一种白布每米的价钱是 3.6 元, 正好是一种花布价钱的 8/9。 花布每米的价钱是多少元? [解]设花布价钱每米为 x 元。 答: 水的体积为 237.6 立方厘米。 例 3 小明身高 144 厘米, 比小华矮 1/7。 小华身高多少厘米? [解]设小华的身高为 x 厘米。 已知一个数的几(百) 分之几是多少, 求这个数的应用题, 由于题目的数量关系比较隐蔽, 正确算式的算理不容易分析, 且分析出来又难弄懂, 因此解答这类应用题学生极容易发生错误, 其原因是找不准“单位 1”的量, 因此很难确定用乘法计算还是用除法计算。 再说“甲数比乙数少几分之几”是否就是“乙数比甲数多几分之几”, 一直模糊不清, 因此小括号里究竟是用加法算还是用减法算始终拿不准。 要能正确且顺利地解答这类应用题, 必须从题目的已知条件入手, 加强分析, 真正弄懂算式的 这里为什么都用除法算式, 直接从算式本身去分析道理较抽象, 若从已知两因数的积和其中一个因数, 求另一个因数必然用除法, 若这样去理解就容易掌握这个算法的算理了。 (4) 较复杂的分数、 百分数应用题 较复杂的分数、 百分数应用题, 由于题中“单位 1”的量不断变化, 已知量与未知量所对应的分率也随着变化, 一般难于找准这种变化规律, 因而也很难确定用乘法计算, 还是用除法计算。 由此, 解题时常常出现错误。 例 1 玩具厂原有职工 128 人, 男职工人数占总数的 25%, 后来又调进 [常见错误] 例 3 有一批货物, 分 3 天运完。 第一天运走 30%, 第二天比第一天多运走 80 吨, 第三天比第二天多运走 80 吨。 问这批货物共有多少吨? [解](80+80×2) ÷(1-30%×3) =240÷(1-90%) =240÷0.1 =2400(吨) 。 答: 这批货物共有 2400 吨。 [常见错误] (80+80) ÷(1-30%×3) =160÷(1-90%) =160÷0.1 =1600(吨) 。 答: 这批货物共有 1600 吨。 [分析] 只有理解了题目的数量关系才能分析出错解的原因。 根据题意可作出下图。 从图中可以看出, 三天除运走这批货物的 90%外, 还多运了 240 吨, 即这 240 吨货物正好占这批货物总量的 10%, 这样很快地求得这批货物的总量。 然而上面错解对第三天比第二天多运 80 吨。 不能转换成第三天比第一天多运 160 吨, 而这种转换一般容易忽略也较难理解。 适当利用线段图, 可以较好地揭示这种数量关系的本质, 防止出现上述错误。 例 4 师徒两人加工一批零件, 原计划师傅加工零件的个数是徒弟的 这批零件共有多少个? [分析] 很多复杂的应用题学生往往没有真正弄清题目中的数量关系, 而是采取瞎猜乱碰的作法去列式, 这道题的错解就是这样。 题中由于乙队原有人数不知道, 后又从甲队调入若干人到乙队, 调入后的甲、 乙队人数也都不知道, 这给学生解题带来了一定的困难。 对于较难解答的复杂应用题, 我们一般采用一定办法转化条件, 使之化难为易。 这道题的一个特点是调入前后两队共有的人数是不变的(100 人) , 答: 甲原有钱 360 元, 乙原有钱 490 元。 [分析] 较复杂的分数、 百分数应用题一般较难列式, 就是列出算式, 也不容易分析出算式的算理。 题目已知甲乙二人共有钱数, 若设甲原有钱数为 1, 如果能求出乙原有钱数是甲原有钱数的几分之几, 则甲原有钱数可求出。 根据题目的另外一个条件可作出下图。 3÷[48%-(1-55%) ]×(1-48%) =3÷[0.48-0.45]×0.52 =3÷0.03×0.52 =52(人) 。 答: 育红小学六年级现有男生 52 人。 [常见错误] (3+3) ÷[48%-(1-55%) ]×(1-48%) =6÷[0.48-0.45]×0.52 =6÷0.03×0.52 =104(人) 。 答: 育红小学六年级现有男生 104 人。 [分析] 由题目条件可知, 转走 3 名男生同时转来 3 名女生, 因此全年级总人数没有变, 变化的只是男生人数与女生人数。 要求现有男生多少人, 只有先求出六年级学生总人数。 从图中可知, 女生由于转来 3 人, 使女生占总人数的百分率由 1-55%=45%上升到 48%, 显然总人数为 3÷[48%-(1-55%) ], 而现在的男生, 占总人数的 1-48%=52%, 这样就可以列出解答的算式。 上面错解的学生却误认为转走 3 名又转来 3 名, 这一进一出, 两者相差 6 人, 由于对应分率的部分数找错, 因此求出的学生总数、 男生人数都是正确答案的 2 倍。 必须指出的是如果从男生人数的改变以及男生人数所占学生总人数分率的变化来求总人数, 可列出本题的另一算式: 3÷[55%-(1-48%) ]×(1-48%) 。 相对于这种解法也可以出现另一种错误算式: (3+3) ÷[55%-(1-48%) ]×(1-48%) 。 例 9 两所小学的高年级学生共同参加表演团体操。 甲校学生 450 人调出 [常见错误] 45016× ÷57 = 45017× ×56 =105(人) 。 答: 乙校原有学生 105 人 [分析] (5) 工程问题 工程问题实质是一个分数问题, 题目中的工作总量一般不是具体的数量, 因而常常用“单位 1”表示。 这样, 工程问题就是“单位 1”与几分之几的关系问题。 例如一件工程, 甲 20 天完成乙 25 天完成, 两人合作, 多少 例 1 一项工程, 甲队单独做要 12 天, 乙队单独做要 15 天。 甲队先做 3 天后, 余下的两队合做, 还要多少天完成? [常见错误] 例 3 一批零件, 由甲车间加工, 需 5 小时完成, 由乙车间加工, 需 7 小时完成。 现由两个车间合作 2 小时, 还剩下 198 件没有加工。 求合作时间内乙车间加工零件多少件? 上面错解中如果前面的算式是求出零件总数的话, 仍旧是对的, 但总数减去剩下的 198件, 只是甲、 乙两车间合作加工零件数, 并不是乙车间 2 小时加工的零件数。 例 4 甲、 乙两个打字员要打一份稿件, 甲单独打要 5 小时完成, 乙单独打要 4 小时完成, 甲乙合打若干小时后, 甲因事离开, 余下的乙用 3 小时打完。 问打完这份稿件甲乙各打了几小时? 甲打的时间实际上就是两人合打的时间, 乙打的时间则是比两人合打的时间多 3 小时。 上面错解在计算甲、 乙两人合打的时间时, 把工作总量仍旧取作 1, 实际上这时的工作总量应除去乙单独完成的剩余工作量, 由于两人合作的工作总量找错, 则由此计算的合打时间必然错。 例 5 一个水池装有甲、 乙两个进水管和一个出水管, 单独开甲管 8 分钟可将空池注满,单独开乙管要 10 分钟注满, 单独开出水管 5 分钟可把一池水放完。 如果三管同时开放, 多少时间可把空池注满? 例 6 一辆载客汽车从甲城到乙城需要 8 小时, 一辆装货汽车从乙城到甲城需 7 小时。客车从甲城、 货车从乙城同时相向而行, 行了 6 小时, 两车相遇后又相距 170 千米。 求甲乙两城的距离。 [分析] 这是一道行程问题, 解答过程既运用了有关工程问题的知识, 又需要用到较复杂的分数应用题的有关知识。 由题目的条件可知, 甲城、 乙城之间的 例 7 蓄水池有甲、 丙两条进水管和乙、 丁两条排水管。 要灌满一池水, 单开甲管需要3 小时, 单开丙管需要 5 小时, 要排完一池水, 单开乙管需要 4 小时, 单开丁管需 6 小时,现在池内