第三章 三角恒等变形 § §3 二倍角的三角函数 第 第 1 课时 二倍角公式及其应用 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 1. . 二倍角公式 名称 简记符号 公式 适用范围 二倍角的 正弦公式 S 2α sin 2α =_____________ α∈ ∈R 二倍角的 余弦公式 C 2α cos 2α =_____________ = =_________ =_________ 二倍角的 正切公式 T 2α tan 2α =__________ α ≠ π2 ++kπ , α ≠ π4 + kπ2, , 中 其中 k ∈Z 2sin αcos α cos 2 α -sin 2 α 1 -2sin 2 α 2cos 2 α -1 2tan α1 -tan 2 α 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 2. 倍角公式的变形 (1) 因为 sin 2 α+ +cos 2 α =1, ,式 所以公式 C 2α 可以变形为 cos 2α =___________ =____________; ;① ① 或 或 cos 2 α = 1 +cos 2α2, ,sin 2 α = 1 -cos 2α2. ② 其中公式 ① 称为升幂公式 , ② 称为降幂公式. (2) 常用的两个变形: (sin α +cos α) 2 = =sin 2 α+ +2sin αcos α +cos 2 α =1 +sin 2α , (sin α -cos α) 2 = =sin 2 α- -2sin αcos α +cos 2 α =1 -sin 2α. 1 -2sin 2 α 2cos 2 α -1 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 1. . 判断正误.( 正确的打 “√” , 错误的打 “×”) (1) 二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2) 存在角 α ,得 使得 sin 2α =2sin α 成立.( ) (3) 对于任意的角 α ,cos 2α =2cos α 都不成立.( ) × × √ 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 解析:(1) 错误.二倍角的正 弦、余弦公式对 任意角都是适用的 ,而二倍角的正切公式, , 要求α ≠ π2 ++kπ(k ∈Z) 且α ≠ π4 ++kπ(k ∈Z), ,故此说法错误. (2) 正确.当 α= =kπ(k ∈Z)时 时, ,sin 2α =2sin α. (3) 错误.当 cos α= = 1-- 32时, ,cos 2α =2cos α. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 2.sin 110°sin 20°cos 2 155° -sin 2 155°的值为( ) A. . - 12 B. . 12 C. .32 D. . -32 解析:选 选 B. . 原式=cos 20°sin 20°cos 2 25° -sin 2 25°=12 sin 40°cos 50°=12 sin 40°sin 40°= 12 . 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 3.tan 15°1 -tan 2 15°= =________ . 解析: 原 式= 12 ×2tan 15°1 -tan 2 15°= 12 tan 30°==36. 答案:36 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 4. .若 若 sin α= =55,则 则 cos 4 α -sin 4 α =________. 解析:cos 4 α- -sin 4 α =(cos 2 α +sin 2 α)(cos 2 α -sin 2 α) = =cos 2 α -sin 2 α =1 -2sin 2 α =1 -2× ×       552 = 35 . 答案: 35 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 1. . 对倍角公式的三点说明 (1) 前提 :所含各三角函数有意义. (2) 联系式 :公式 S 2α , ,C 2α , ,T 2α 式 是在公式 S α + β , ,C α + β , ,T α + β 中 , 分别令 β =α 时, , 得到的一组公式, ,. 即倍角公式是和角公式的特例. (3) 倍角公式中的 “ 倍角 ” 的相对性于 :对于两个角的比值等于 2的情况都成立, ,如 如 6α 是 是 3α 的 的 2 倍 倍, ,3α 是 是 3α2的 的 2 倍.这就是说 ,“ 倍 ” 是相对而言的,是描述两 个数量之间的关系的. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 2. . 二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中 , 二倍角的余弦公式最为灵活多样 , 应用广泛.常用形式:① ①1 +cos 2α =2cos 2 α ,② ②cos 2 α = 1 +cos 2α2, , ③ ③1 -cos 2α =2sin 2 α ,④ ④sin 2 α = 1 -cos 2α2. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 化简求值 值 求下列各式的值: (1)cos π5 cos2π5; ;(2) 12 --cos 2 π8 ;;(3)tanπ12 -1tan π12. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 【 解】 】 (1) 原式=2sin π5 cosπ5 cos2π52sin π5=sin 2π5cos 2π52sin π5 =sin 4π54sin π5=sin π54sin π5= 14 . (2) 原式=1 -2cos 2 π82=-2cos 2 π8 --12=- 12 cosπ4 =-24. (3) 原式=tan 2π12 --1tanπ12=-2·1 -tan 2π122tanπ12=-2× ×1tan π6= --233=-2 3. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 应用二倍角公式化简( 求值) 的策略 (1) 化简求值关注四个方向:分别从 “ 角 ”“ 函数名 ”“ 幂 ” “ 形 ” 着手分析 , 消除差异. (2) 公式逆用:主要形式有 2sin αcos α =sin 2α, , sin αcos α= = 12 sin 2α ,cos α= = sin 2α2sin α ,,cos 2 α- -sin 2 α =cos 2α, ,2tan α1 -tan 2 α ==tan 2α. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 1.(1) 计算: cos 10°++ 3sin 10°1 -cos 80°= =________. (2)求 求 sin 6°sin 42°sin 66°sin 78° 的值. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 解:(1) 原式=2       12 cos 10°++32sin 10°2sin 2 40°=2sin 40°2sin 40°= = 2. 故填 2. (2) 原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° = 24 sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°2 4 cos 6° = 23 sin 12°cos 12°cos 24°cos 48°16cos 6° = 22 sin 24°cos 24°cos 48°16cos 6°= 2sin 48°cos 48°16cos 6° =sin 96°16cos 6°=cos 6°16cos 6°=116 . 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 给值求值 (1) 已知 α ∈       π2 ,π , ,sin α= =55, ,则 则 sin 2α =__________, ,cos 2α =__________ ,tan 2α =__________. (2) 已知 sin       π4 ++α sin       π4 -α = 16 ,且 且 α ∈       π2 ,π ,求 求 tan 4α . 的值. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 【 解】 】 (1) 因为 α ∈       π2 ,π , ,sin α= =55, 以 所以 cos α =- 2 55, 以 所以 sin 2α =2sin αcos α =2× ×55×       - 2 55=- 45 , cos 2α =1 -2sin 2 α= =1 -2× ×       552 = 35 , tan 2α= = sin 2αcos 2α =- 43 . 故填- 45 , 35 , - 43 . 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 (2) 因为 sin       π4 -α = =sin       π2 -       π4 +α = =cos       π4 +α , 为 则已知条件可化为 sin       π4 ++α cos       π4 +α = 16 , 即 12 sin       2       π4 +α = 16 ,以 所以 sin       π2 ++2α = = 13 , 以 所以 cos 2α= = 13 . 因为 α ∈       π2 ,π ,以 所以 2α ∈(π, ,2π), , 而 从而 sin 2α- =- 1 -cos 2 2α =- 2 23, 以 所以 tan 2α= =sin 2αcos 2α =-2 2, , 故 故 tan 4α= =2tan 2α1 -tan 2 2α =-4 21 -( -2 2) 2 = 4 27. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 把本例(1) 中的条件“ “sin α= =55” 改为“ “sin α+ +cos α= =55” ,求 求 sin 2α ,cos 2α ,tan 2α 的值. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 为 解:因为 sin α +cos α= =55, 所以(sin α +cos α) 2 = 15 , 即 即 1 +2sin αcos α= = 15 ,,sin 2α =2sin αcos α =- 45 . 因为 α ∈       π2 ,π ,以 所以 cos α<0, ,以 所以 sin α -cos α>0,, 以 所以 sin α -cos α= = (sin α -cos α) 2 = = 1 -sin 2α= = 3 55, 以 所以 cos 2α =cos 2 α- -sin 2 α= =(cos α +sin α)(cos α -sin α) =55×       - 3 55=- 35 ,以 所以 tan 2α= =sin 2αcos 2α = 43 . 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 (1) 三角函数求值问题的一般思路一是对题设条件变形 , 将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变形 , 将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢 , 以便将题设条件代入结论. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 (2) 另外 , 注意几种诱导公式的应用 , 如: ① ①sin 2x =cos       π2 --2x =cos       2       π4 --x = =2cos 2       π4 --x -1 =1 -2sin 2       π4 --x ; ② ②cos 2x =sin       π2 --2x =sin       2       π4 --x =2sin       π4 --x cos       π4 --x ; ③ ③cos 2x =sin       π2 ++2x =sin       2       π4 ++x =2sin       π4 ++x cos       π4 ++x . 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 2. 已知 cos α =- 34 ,,sin β= = 23 ,α 是第三象限角 ,β ∈       π2 ,,π . (1)求 求 sin 2α 的值; (2)求 求 cos(2α +β) 的值. 解:(1) 因为 α 是第三象限角, ,cos α =- 34 , 以 所以 sin α- =- 1 -cos 2 α =-74, 以 所以 sin 2α =2sin αcos α =2× ×       -74×       - 34= 3 78. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 (2) 因为 β ∈       π2 ,π , ,sin β= = 23 , 以 所以 cos β- =- 1 -sin 2 β =-53, cos 2α =2cos 2 α- -1 =2× ×916 --1= = 18 , 以 所以 cos(2α +β) =cos 2αcos β -sin 2αsin β = 18 ×       -53- 3 78× 23 =-5 +6 724. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 二倍角公式在实际中的应用 焊接工王师傅遇到了一个难题:如图所示 , 有一块扇形钢板, ,为 半径为 1 米 米, , 圆心角 θ = π3 ,, 施工要求按图中所画的那样 ,板 在钢板 OPQ 上裁下一块平行四边形钢板 ABOC, , 要求使裁下的定 钢板面积最大.试问王师傅如何确定 A 的位置 , 才能使裁下的钢板符合要求?最大面积为多少? 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 【 解】 】 接 连接 OA, , 设∠ ∠AOP =α, ,过 过 A 作 作 AH ⊥OP, ,为 垂足为 H, ,在 在 Rt △AOH 中 中, ,OH =cos α ,AH =sin α, , 以 所以 BH= =AHtan 60°=33sin α, , 以 所以 OB =OH -BH =cos α- -33sin α, , 形 设平行四边形 ABOC 的面积为 S , 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 则 则 S =OB·AH= =       cos α- -33sin α · ·sin α =sin αcos α- -33sin 2 α = 12 sin 2α--36(1 -cos 2α)= = 12 sin 2α++36cos 2α- -36 =13       32sin 2α+ + 12 cos 2α --36=13 sin       2α+ + π6-36. 于 由于 0<α< π3 , 所以 π6 <2α++ π6 <56 π , 当 当 2α+ + π6 = π2 ,即 即 α = π6 时, ,S max =13 -36=36, 当 所以当 A 是PQ︵的中点时 , 所裁 钢板的面积最大 , 最大面积为36平方米. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 解决此类实际问题 ,角 应首先确定主变量角 α 以及相关的常量与变量, , 建立关于角 α 的三角函数式, , 再利用和( 差) 角公式或二倍角公式求解.对于求三角函数最值的问题 , 一般利用三角函数的有界性来解决. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 3. 如图 ,点 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的 的仰角为 θ ,由 由 B 点到 E 点的方向前进 30 m 至点 C 处 处 , 测得顶端 端 A 的仰角为 2θ, ,进 再沿刚才的方向继续前进 10 3 m 到 到 D 点 点 ,点 测得顶点 A 的仰角为 4θ, ,求 求 θ 的物 大小和建筑物 AE 的高. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 解: 因为∠ ∠ACD =θ +∠ ∠BAC , 所以∠ ∠BAC =θ ,以 所以 AC =BC =30 m. 又因为∠ ∠ADE =2θ+ +∠ ∠CAD, , 所以∠ ∠CAD =2θ, , 以 所以 AD =CD =10 3 m. 在 在 Rt △ADE 中 中, ,AE =AD·sin 4θ =10 3sin 4θ, , 在 在 Rt △ACE 中 中, ,AE =AC·sin 2θ =30sin 2θ, , 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 以 所以 10 3sin 4θ =30sin 2θ, , 即 即 20 3sin 2θcos 2θ =30sin 2θ, ,以 所以 cos 2θ= =32. 为 又因为 2θ∈ ∈       0, , π2,以 所以 2θ= = π6 , 所以 θ =π12 . 以 所以 AE =30sin π6 ==15(m). . 所以 θ =π12 ,物 建筑物 AE 的高为 15 m. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 规范解答 关于三角函数性质的综合问题 ( 本题满分 12 分) 已知函数 f(x) =4cos ωx ·sin       ωx + π4 (ω>0) 的最小正周期为 π. (1)求 求 ω 的值; (2) 讨论 f(x) 在区间       0, , π2上的单调性. 栏目导引 探究案 讲练互动 应用案 巩固提升 预习案 自主学习 第三章 三角恒等变形 [ 解] (1)f(x) =4cos ωx ·sin       ωx + π4 = =2 2sin ωx ·cos ωx +2 2cos 2 ωx = = 2(sin 2ωx +cos 2ωx)+ + 2 = =2sin       2ωx+ + π4+ + 2. (4 分) 为 因为 f(x) 的最小正周期为 π ,且 且 ω>0...