一、教材上一致连续性的知识
先回顾下什么是一致连续性。首先把教材上的定义给出来
定义:如果在区间C上,存在
,使得对C上任意的x1和x2,当
时,对任意的
,都有
成立。那么我们就说f(x)在区间C上一致连续。
为什么要有一致连续这个概念呢?是因为我们发现有些函数的连续性要更强,于是把这种更强的连续性定义为一致连续。什么意思呢?如下所述。
我们先回顾下连续性的概念。f(x)在x0连续,则意味着存在一个
,当
,对任意的
都有
成立。那么这里面就存在两个问题:
第一:此时所取得
不仅与
有关,而且还与x0有关。也就是由x0和
共同决定了
的值。
第二:连续性实际上研究的是x0的一个开领域
的性质,是一个局部性质。
然而在研究过程中,我们发现有些函数的
的值仅仅依赖于
,也就是说在整个区间上存在一个共同的
(不依赖于区间上的每一点),只要x落入该
邻域,就能保证在x0的连续性。这是多么强而且多么好的一种连续性啊。这种较强的连续性有如下两点:
第一:在整个区间上存在一个仅仅依赖于
的
就可以保证f(x)在所有点连续。
第二:因为第一的良好的性质,该连续性的研究对象就变成了整个区间,而不是一个依赖于x0的
邻域(因为如此良好的性质,单个邻域自然连续,就没有研究的必要了)。
所以一致连续与连续性最本质的区别就是,连续性研究的是一个局部性质,也就是研究的是每一个x0的局部
邻域的性质,而一致连续研究的是整个区间上的性质,是整体性的。
二、为什么闭区间上连续和一致连续等价
说这个问题前,首先要说一个预备知识,即闭区间上的有限覆盖定理。
有限覆盖定理:如果H是闭区间C的一个无限开覆盖,那么必定能从H中挑出有限个开区间(注意半开半闭的不算)将C完全覆盖住。
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我再通俗说一下这个定理吧,说白了就是如果有无限个开区间可以覆盖住C,注意一定是开区间,半开半闭的都不算,那么就能从这无限个开区间中挑出有限个来完成对C的覆盖。在这里一定要注意,只有闭区间才有有限覆盖定理,开区间没有。
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那么好了,教材上有一个定理,说的是闭区间上如果连续,则必一致连续。也就是说闭区间上连续和一致连续等价。如何来理解呢?教材上有严谨的证明,感兴趣的可以去翻看。在这里笔者结合有限覆盖定理来通俗的解释下。
首先在闭区间上一致连续,那么必然连续。这是显然的,不难理解吧。因为一致连续性更强。
关键是,如果闭区间上连续,怎么就能导出一致连续了呢?想一想连续和一致连续最本质的区别是什么?上面说的很清楚,就是存在一个共同的
保证在每一个点都能连续。如此,我们便知道我们的思路方向了。定理不是说闭区间连续就一直连续吗?那么就意味着闭区间上的连续性肯定能保证存在这个共同的
,那么问题就变成了我们如何来寻找个共同的
。我们沿着这个思路来分析。
上面说了,连续性研究的是局部性质,也就是如果f(x)在闭区间C上连续,那么在C上每一点x0的
领域上,都有
。在这里,如果穷尽C上的每一个点,那么连续性中的每一点所对应的
邻域是不是就构成了对C的一个无限开覆盖呢?显然是的。那么根据有限覆盖定理,在这无穷个开覆盖中,也即
中,肯定能挑出来有限个开区间
实现对C的覆盖。而且根据我们的取法可知f(x)在这些开区间中都是连续的。也就是即保证了C中每一点都在这些开区间中,有保证了其上的连续性。
好了,那么我再顺势取
,从而就是我们要找的这个
了。也就是说这个
保证了无论什么样的xi,f(x)都能在
上连续。详细见下图。
好了,上面的论述告诉大家闭区间上共同的是存在的,而且我们也找到了。因此闭区间上连续肯定就一致连续了。
如此相信大家对闭区间上连续和一致连续的等价性有本质的理解了。
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那么问题来了,闭区间上连续和一致连续等价,为什么开区间就不行呢?这是因为在开区间上无法保证有限覆盖(具体可见数学分析教材的说明),自然就保证不了能够取到共同的
了。那么就没法保证开区间上连续能够导出一致连续了。
然而开区间(a,b)上满足什么条件,才能得到f(x)在其上一致连续呢?
很简单,在a点右极限存在,在b点左极限存在即可。证明如下:
令
,那么F(x)在闭区间[a,b]上连续,自然有F(x)也在开区间(a,b)上一致连续(以为(a,b)是[a,b]的子集)。而F(x)在开区间(a,b)上实际上就是f(x),也就是说f(x)此时在(a,b)上一致连续。
三、一致连续的几何意义
说到底,一致连续是比连续更强的一种连续。强在何处呢?上文说了,强在有一个共同的
。那么除了从解析方面来理解外,从几何方面又该如何理解呢?
其实从几何方面不难理解。根据定义就能看出来,一致连续性保证的是当f(x)从一点x1到另一点x2,如果自变量x的变化非常小一致与小于一个
,那么f(x)的变化也应该是非常小一致与小于一个
。说白了,就是一直连续性保证的是函数图像更加平滑,而在整个区间上避免了突然出现陡峭、笔直等尖锐的变化。注意此刻一致连续性的重要性就凸显了,是整个区间的性质,整个区间避免比较突兀的走势变化。
最常用的反例就是1/x这个函数了,1/x在其定义区间上不一致连续。从几何意义上怎么看呢?在这里笔者再赘述一下吧。如下图