学好基础知识江苏省兴化市大垛镇板桥高级中学初中部(225700 ) 　 丁冬一、已知条件中直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,则可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.图 1例 1　 如图 1 ,已知 AB 是 ⊙ O 的 直 径,AC 是 ⊙ O 的弦,点 D 为AB 延长线上一点,连接CD ,且 ∠ OCA = 25° ,∠ D =40°. 判断直线 CD 与 ⊙ O 的位置关系,并证明你的结论 .解 　 直线 CD 与 ⊙ O 相切.理由如下:∵　 OA = OC , ∠ OCA =25°,∴　∠ A =∠ OCA =25°.又 ∵　∠ DOC 是 △ AOC 的外角,∴　∠ DOC =∠ A +∠ OCA =25°+25°=50°.　　 在 △ DCO 中,∵　∠ D =40° , ∠ DOC =50°,∴　∠ DCO =90° ,即 　 CD ⊥ OC .∵　 直线 CD 经过半径 OC的外端点 C ,并且垂直于半径 OC ,∴　 直线 CD 与 ⊙ O 相切.二、若条件中给出了直线与圆的公共点,但没有给出过这个点的半径,则可以连接公共点和圆心,然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.例2　 如图2 ,在 Rt△ABC 中, ∠ C =90° , ∠ ABC 的角平分线交 AC 于点 D,点O 是AB 上一点, ⊙ O 过 B 、 D 两点,且分别交 AB 、BC 于点 E 、 F . 求证: AC 是 ⊙ O 的切线 .图 2证明 　 连接 OD .∵　 OB = OD ,∴　∠ OBD =∠ ODB .∵　 BD 平分 ∠ ABC ,∴　∠ OBD =∠ DBC ,∴　∠ ODB =∠ DBC .∴　 OD ∥ BC .又∵　∠C =90° ,∴　∠ ADO =90°,即 　　 AC ⊥ OD .∴　 AC 是 ⊙ O 的切线 .三、当直线与圆的公共点不确定时,则应过圆心作该直线的垂线,然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来证明.图 3例 3　 如 图 3 ,AB 是 ⊙ O 的 直 径, AC和 BD 是它的两条切线,CO 平分 ∠ ACD .求证: CD 是 ⊙ O 的切线.证 明 　 过 点 O 作OE ⊥ CD ,垂足为 E .∵　 AB 是 ⊙ O的直径,∴　 OA 是 ⊙ O 的半径.∵　 AC 是 ⊙ O的切线,∴　 OA ⊥ AC .∵　 CO 平分 ∠ ACD ,　　 OA ⊥ AC ,　　 OE ⊥ CD ,∴　 OA = OE .又∵　OA = r ,∴　 OE = r .∴　 CD 是 ⊙ O 的切线.(责审 　 王敬庚)·3