解析几何中角平分线问题的解法 高中数学中, 涉及三角形重心、 垂心、 内心、 外心的题目非常多, 解题中一定要抓住 “心” 的性质,选择合适的角度,找准切入点。下面我们以“内心”为例,就解析几何部分内容, 总结一下这类题目的解法。 三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心, 也就是说叫平分线是内心的根本, 由此我 们可以得到如下的结论: 如图 1,O 是△ABC 的内心,AD 是∠BAC 的平分线,则 1.点 O 到三角形三边的距离相等(内切圆半径) ; 2.∠CAD=∠BAD; A AB BD ? DC ; 3. AC 当然,包含变形的形式,如: O B 4. (对称性)点 C 关于 AD 的对称点在 AB 上(或其延长线上) ; 点 B 关于 AD 的对称点在 AC 上(或其延长线上) 。 在具体问题中,必须根据实际情况使用不同的性质。 AB AC AO ? ? BD DC OD 等。 D 图1 C x2 y2 ? ?1 9 【例 1】设 M 是椭圆 25 上一点,F1,F2 为左、右焦点,I 是△MF1F2 的内心,直 | MI | 线 MI 交 x 轴于 N 点,则 | NI | 等于 4 (A) 5 5 (B) 4 3 (C) 4 4 (D) 3 如果只关心答案,根据选择题的特点可考虑特殊情况:取 M 与椭圆短轴顶点重合,就 能迅速得出选 B. 注意到本题是求一个比值, 联想到性质 3 是十分自然的, 但要充分注意三角形 MF2N 中 | MI | 也能利用性质 3,况且求 | NI | 想到三角形 MF2N 也很正常。如果目光只集中在△MF1F2 上, 则难以取得进展。 详细解题过程如下: y M I F1 N F2 x 图2 解法 1:如图 2,∵I 是△MF1F2 的内心,∴MN 是∠F1MF2 的平分线, | F1 M | | F2 M | ? | F N | | F2 N | , 1 ∴ 连结 F2I,同样有 F2I 是∠MF2N 的平分线,于是有 | MI | | F2 M | | NI | = | F2 N | , | F1 M | | F2 M | ? | F2 N | , 根据比例的性质,由 | F1 N | | F2 M | | F1 M | ? | F2 M | 2a 5 ? ? 2c 4 , 得 | F2 N | = | F1 N | ? | F2 N | | MI | 5 所以 | NI | = 4 ,选 B. 还可更灵活一些,对性质 1 进行深层的应用。为例使图形更加清楚,我们取出△MF1F2, 如图 3,作 IA⊥F1F2 于 A, MB⊥F1F2 于 B,连结 F2I,F2I,由点 I 到三角形三边的距离相 等,用面积法得出相应的关系。 解法 2:作 IA⊥F1F2 于 A,MB⊥F1F2 于 B,连结 IF1,IF2, 因 I 是 △ MF1F2 的 内 心 , 所 以 I 到 △ MF1F2 各 边 的 距 离 都 相 等 , 且 都 等 于 IA , 设 | IA |? m, | MB |? n ,由 S?F1MF2 ? S?MIF ? S?MIF2 ? S?IF 1 1F2 ,得 1 1 1 1 2 ︱F1F2︱×︱MB︱= 2 ︱F1F2︱×m+ 2 ︱MF1︱×m+ 2 ︱MF2︱×m n a?c 5?4 9 ? ? ? n ? m ( 2 c ? 2 a ) c 4 4, 即 2c ,所以 m | NI | m | MI | 5 ? ? | NI | = 4 . 因△IAN∽△MNB,所以 | NM | n M I F1 图3 N A B F2 解法 2 是建立在椭圆的定义上,否则面积法就无用武之地。 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 【例 2】已知 P 为双曲线 a 上一动点,F1,F2 是双曲线的焦点,自 F2 作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 Q,则 Q 点的轨迹是 (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆 P Q F1 F2 图4 解:如图 5,延长 F2Q 与 PF1 交于点 A,因 F2Q⊥PQ,且 PQ 是∠F1PF2 平分线,所以︱PA ︱=︱PF2︱,︱QA︱=︱QF2︱(这里实际上应用了角平分线的对称性) , 根据双曲线的定义, ︱PF1︱-︱PF2︱= 2 a ,于是有︱PF1︱-︱PA︱= 2 a ,即︱AF2 ︱= 2 a , 连结 OQ,在△AF1F2 中,由︱QA︱=︱QF2︱,︱F1O︱=︱OF2︱,得 OQ∥AF1,且 1 1 ︱OQ︱= 2 ︱AF2︱= 2 ×2 a = a , 因此 Q 点的轨迹是以 O 为圆心, a 为半径的圆。 P A Q F1 O F2 图5 这种解法利用了性质 4 以及双曲线的定义,它的主要思想是通过对称把长度进行转换 (本题中的︱PA︱=︱PF2︱) ,这种方法应用比较普遍。 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 注:在椭圆中有类似的结论:设 P 是椭圆 a 上的一个动点,自 F2 作△PF1F2 外角平分线的垂线(如图 6) ,垂足为 Q,则 Q 点的轨迹是圆。 y P Q F1 F2 x 图6 【例 3】已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1) ,B(-4,-7) ,C(-2,-2) , 求角 A 的平分线的长。 解:如图 7,设 AD 为角 A 的平分线, 2 2 ︱AB︱= (?4 ? 2) ? (?7 ? 1) ? 10 , A(2,1) ︱AC︱= ( ?2 ? 2) ? ( ?2 ? 1) ? 5 , 由角平分线的性质得 2 2 | BD | | AB | 10 ? ? ?2 | DC | | AC | 5 , B (-4, -7) D 图7 即点 D 分 BC 所成的比为 2,设 D( x, y ) ,则 C