当f为狄利克雷特征时,又称作狄利克雷L函数,也有与黎曼猜想相应的广义黎曼猜想 为了方便对数论函数作讨论,此处引入狄利克雷卷积 : 设 , 于是显然 觉得不显然?请看证明 事实上, 为了处理两个求和号,将所有可能的m与n的积相同的项合并,不妨设mn=k,那么 于是,如果数论函数 ,亦即 (此时, 与 可通过默比乌斯反演公式相互转换) 那么 通常两侧的求和有一个是相对简单的函数,或是和 直接相关的函数 如果对 的求和较简单,可以将 与 相联系,反之可以将 与 相联系 即 , 如下表所示: 目标函数名 g(n) h(n) G(s)或H(s) g(n)或h(n)与ζ函数的联系 莫比乌斯函数 欧拉函数 除数函数 刘维尔函数 冯·曼戈尔特函数 ζ函数与数论函数存在的联系可以通过佩龙公式转化为它和数论函数的求和的关系:设 则由佩龙公式, 其中右上角的'表示如果x是整数,那么求和的最后一项要乘以 。 这样做的其中一个结果就是ζ函数和素数分布的关系。 此函数和素数的关系已由欧拉所揭示: 这是一个延展到所有的素数p的无穷乘积,被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。 如果对上式取对数,则可得到 上式的证明过程 首先留意到 ,由此,可以将乘积转化为求和 将其中的 展开为幂级数,得到 黎曼阶梯素数计数函数 可以使用黎曼素数计数函数 建立 与素数分布的进一步联系,这也是黎曼在他的论文论小于给定数值的素数个数中使用的函数,定义如下: 其中 那么可以建立 与 的零点ρ的联系,称为黎曼显式公式 黎曼显式公式的证明 实际上,由J(x)的定义同样有: 为使用Mellin 变换,将J(x)乘以 后对x积分,得到 注意到 与上式相同 即 在此处使用Mellin变换后,得到 再将阿达马乘积公式代入,逐项积分即得所求 而 与 的联系可以通过莫比乌斯反演公式完成。 然而 的表达式过于复杂,如下的切比雪夫函数更为常用。 切比雪夫函数 第一切比雪夫函数 定义为 而更常用的第二切比雪夫函数 定义为 其中,如前文定义的 第二切比雪夫函数与第一切比雪夫函数的关系,可看做“等同于”黎曼素数计数函数与素数计数函数的关系。 第二切比雪夫函数 与 的零点ρ有如下的联系 而 与 的联系可以通过阿贝尔求和公式: 其中κ如前文所定义,则由阿贝尔求和公式 解析延拓之后的ζ函数具有零点,他们分别是分布有序的平凡零点(所有负偶数),以及临界带 内的非平凡零点。 以 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则 遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式: 。 ζ函数满足如下函数方程: 对于所有C\{0,1}中的s成立。这里,Γ表示Γ函数。