答案 (悬停鼠标):

公式

最后我们把这规律写成一个公式。
可是,"在杨辉三角里找系数"怎样写成公式……?
其实是有这个方程的:

通常这叫 "n选取k",因为它是在n个里选取k个的不同方式的数目。
你可以在 组合和排列里了解更多
"!" 代表 "阶乘",例如 4! = 4×3×2×1 = 24
和杨辉三角相对是这样:
(注意:最上一行是零行,
左边第一行也是零行!)

例子:杨辉三角里第4行,第2项是 "6".

我们来看看这公式对不对:
是对的!你自己去用另一个值来试试。

全部放在一起

最后我们把全部放在一起成为一个公式。
可是这里有很多东西……真的可以用一个公式写下来吗?
当然可以!我们可以用总和符号来显示不限数量的项的和:
总和符号
现在用一个公式写下来:
二项式定理

应用

来看看例子。
我们用来做n= 3:
其实……通常只要记着规律就会很容易:
第一项的指数从n 开始,然后向下走第二项的指数从0 开始,然后向上走从杨辉三角里找系数,或用n!/(k!(n-k)!)来计算
像这样:

例子:(x+5)4是什么?

从指数开始:x450x351x252x153x054
加上系数:1x4504x3516x2524x1531x054

然后写下答案(包括所有计算,例如 4×5, 6×52等):
(x+5)4= x4+ 20x3+ 150x2+ 500x + 625
有时你只需要其中一项:

例子:在(2x+4)8里,x3的系数是什么?

x3的指数是:
(2x)345
系数是"8选取5"。我们用杨辉三角或直接计算:
n!k!(n-k)!=8!5!(8-5)!=8!5!3!=8×7×63×2×1= 56
我们得到:
56(2x)345
简化为:
458752x3
很大的系数,对不?
最后给你一个惊艳的例子:

例子:e(欧拉数)

你可以用二项式定理去计算e (欧拉数)。
e =2.718281828459045…….(数字无限延续,并不重复)
它可以用以下的公式来计算:
(1 + 1/n)n
(n越大,值越准)
这公式是个二项式,对不?我们来用二项式定理:
首先,我们可以拿走1n-k,因为他永远等于 1:
同时,奇妙的是,当n趋近无穷大,大部分剩下来的都趋近1:
剩下来的是:
只把首几项加起来,我们得到e ≈ 2.7083...
试试多算几项来得到更准确的近似值!

艾萨克·牛顿Isaac Newton

附注:在大约公元1665年,艾萨克·牛顿爵士发表了一个"广义"的二项式定理,它并不局限于整数的指数:0、1、2……希望将来我可以为你解释。