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本文为常微分方程课程笔记,主要内容为:
利用级数法研究常系数线性齐次ODE,并得到其求解方法利用Picard序列导出常数变易法,进而得到线性非齐次ODE的求解方法
1 常系数线性齐次常微分方程的求解
1.1 级数法
在ODE基本定理中我们证明了:如下的线性ODE系统
当
,
均解析时,方程存在唯一的解,且解是解析的.
由于解的解析性,我们可以将解表示为
,级数法的想法正是将解表示为级数形式,并代入原方程求解对应项系数,进而得到解的级数表达式.
【例】作为级数法求解ODE的例子,我们讨论下面的方程
设方程的解为
,代入方程有
即数列满足
,方程的解可以写为
考虑
其中
(这里引入的目的在1.2中将得到说明)
对上式两边分别求导可依次求得
和
,代入即为原方程的解为.
【注】:严格来说到这里并没有结束. 还需要说明
,
,
构成的解系是线性无关的(级数法的并不总是保证这一点),需要通过朗斯基行列式进行判定.
1.2 常系数线性齐次常微分方程
简便起见,下面以二阶的情况为例讨论,更高阶的情况是类似的.
设解的形式为
,考虑到
代入原方程可化简为
则问题转化为求解数列
.
式等价于
利用线性代数的相关知识可以求解得:
令
,设求出的特征根分别为
,
(即方程
的解)
(1)当
时
如果不考虑参数的具体形式,则解的结构为
(2)当
时
类似上面,如果只考虑解的结构,则有
综合上面的讨论有,二阶常系数线性齐次ODE的解为
上面的结论还可以推广到n阶的情况.
2 线性非齐次方程的求解
2.1 常数变易法
常数变易法通过将线性非齐次ODE转化为线性齐次ODE,进而降低求解难度,下面以一阶线性ODE系统为例进行说明:
设方程的解具有下面的形式
代入原方程并化简可得
这是一个线性齐次ODE,求解该方程并代入有
其中
为由初值确定的常数.
即为原方程的解.
2.2 常数变易法的原理