欧拉首先考察多面体的所有二面角之和(记为 )及所有立体角之和(记为 ),看它们是否有某种简单的性质。欧拉从最简单的多面体—四面体开始考察。四面体由四个三角形围成(图1),为了便于 计算,欧拉考察了两种退化的情形。 (1)四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个顶点所连成的线段(图2)。 (2)四面体退化成一个平面凸四边形和它的两条对角线(图3)。 对于情形(1)(图2),三角形三边处的二面角皆为0,内部三条线段处的二面角皆为 .三角形三个顶点处立体角皆为,内部顶点处的立体角等于2 (即半个单 可见四面体的二面角之和与立体角之和都与四面体的形状有关,没有类似于三角形内角和定理这样简单的性质.