宁德师专学报(自然科学版)Journal NingdeTeachers College (Natural Science) Vol.22 No.3 Aug. 收稿日期:2008-12-20 作者简介: 陈文生(968-),男,讲师,江苏宿迁人,主要从事基础数学的教学与研究. E-mail: chenwensheng1@126.com 摘要: 主要讨论了 Taylor 公式余项的几种形式, 并分析了各种形式在具体应用中的特点. 最后, 通过几 个例题给予验证说明. 关键词: Taylor 公式; 22.3文献标码: 文章编号:004-29 (200 3-23-3 Taylor公式余项的几种形式及应用 陈文生 宿迁高等师范学校数学系,江苏 宿迁 2238) 引言及预备知识用多项式近似表达函数是高等数学中近似计算与理论分析的一个重要内容. 而建立在微分学基础 上的泰勒定理[1]给出的 Taylor 公式是这一重要内容的具体表现. 处次可微,则可写出Tay- lor 公式: ,称为n阶Taylor 多项式,而Rnx)=fx)-T x)称为n阶余项. 若以x-x 处的Taylor公式: 因简单的变量代换即可将表面上更一般的公式2)转化为特殊情形公式),故下面只以公式)展开讨论. Taylor公式余项的几种形式的讨论 Taylor公式)中,T x)是否为fx)的一个很好的近似计算公式,主要取决于对余项 x)能作出什么估计,可能这一问题会有多种不同解答,但不同的答案给出了余项不同的形式,下面对此作一探讨. 定理 x)可表示为如下几种形式: 采用数学归纳法.容易验证得 于是lim x,不妨设x>,作辅助函数 n+1,在[,x]上,应用柯西中值公式,知存在 如上,此时令φ(t=x-t,对 上述证明是基于柯西中值公式的巧妙应用,当需要导出某个含“中值”的“余项时,采用类似的方法很有效. (x是哪种形式,本质上都是统一的,只是形式不同,但在应用不同形式的余项时,所得的“余项估计可能不同. 当然,还有其他形式的余项,如在文献 中,作者讨论了带积分型形式余项的Taylor 公式及应用. 应用分析与举例相比而言,皮亚诺型余项)形式上最为简单,对f(x满足的条件要求较少也较弱,它仅用于阐明 ,用它得不出较好的结论.但它应用也较广泛,尤其在求解 较复杂函数的极限问题,包括对二元函数极限问题的处理中