一轮复习 19---------如何判断一个数列是等差数列 知识点归纳 判断或证明数列是等差数列的方法有: \uf028 \uf0291 定义法:1 n na a\uf02b\uf02d \uf03d 常数( * n N \uf0ce ) \uf0db \uf07b \uf07dna 为等差数列; 【注】①求出的常数即为公差 d ; ② n 的范围,1,n nn N a a\uf02a\uf02b\uf0ce \uf02d 12,n nn a a\uf02d\uf0b3 \uf02d \uf028 \uf0292 中项公式法:1 22n n na a a\uf02b \uf02b\uf03d \uf02b ( * n N \uf0ce ) \uf0db \uf07b \uf07dna 为等差数列; \uf028 \uf0293 通项公式法:na pn q \uf03d \uf02b ( * n N \uf0ce ) n (关于 的“一次函数”) \uf0db \uf07b \uf07dna 为等差数列; \uf028 \uf0294 前 n 项求和法:2nS An Bn \uf03d \uf02b ( * n N \uf0ce ) (缺常数项的“二次函数”) \uf0db \uf07b \uf07dna 为等差数列; 例 1 \uf028 \uf029 1 在数列 \uf07b \uf07dna 中,1 111, 2 2 ,2nnn n nnaa a a b\uf02b\uf02d\uf03d \uf03d \uf02b \uf03d ,证明:数列 \uf07b \uf07dnb 是等差数列. \uf028 \uf0292 已知数列 } {na 的前 n 项和为nS ,且1 12 0n n n nS S S S\uf02d \uf02d\uf02d \uf02b \uf0d7 \uf03d\uf028 \uf0292 n≥ , 证明:1nS\uf0ec \uf0fc\uf0ed \uf0fd\uf0ee \uf0fe为等差数列. 例 2 已知正项数列 } {na\uf028 \uf029, 0nn N a\uf02a\uf0ce \uf03e 的前 n 项和为nS ,满足 2 1n nS a \uf03d \uf02b , 求证: \uf07b \uf07dna 为等差数列. 例 3 已 知 数 列 } {na 的 通 项 公 式 是 2 1nna \uf03d \uf02d , 若 数 列\uf07b \uf07d nb 满 足\uf028 \uf0291 21 1 14 4 4 1nnbb b bna\uf02d \uf02d \uf02d\uf03d \uf02b \uf04c ( n N\uf02a\uf0ce ),证明: \uf07b \uf07dnb 是等差数列. 练习: 1. 已知数列 \uf07b \uf07dna 是等差数列,则使 \uf07b \uf07dnb 为等差数列的数列是( ) (A)n na b \uf03d (B)nnab1\uf03d (C)n na b \uf02d \uf03d (D)2n na b \uf03d 2. 已知nS 为等差数列 \uf07b \uf07dna 的前 n 项和, ) (\uf02b\uf0ce \uf03d N nnSbnn. 求证:数列 \uf07b \uf07dnb 是等差数列. 3. 设nS 为数列 \uf07b \uf07dna 的前 n 项和, ) (\uf02b\uf0ce \uf03d N n pna Sn n, .2 1a a \uf03d ⑴求常数 p 的值; ⑵求证:数列 \uf07b \uf07dna 是等差数列. 4. 已知函数 ( )3 1xf xx\uf03d\uf02b,数列 \uf07b \uf07dna 满足11 a \uf03d ,\uf028 \uf029 1( ) *n na f a n N\uf02b\uf03d \uf0ce 求证:数列1na\uf0ec \uf0fc\uf0ed \uf0fd\uf0ee \uf0fe是等差数列 5. 已知数列 } {na 中,135a \uf03d ,数列112nnaa\uf02d\uf03d \uf02d , \uf028\uf0292, * n n N \uf0b3 \uf0ce ,数列 \uf07b \uf07dnb 满足11nnba\uf03d\uf02d( * n N \uf0ce ). \uf028 \uf0291 求证:数列 \uf07b \uf07dnb 是等差数列; \uf028 \uf0292 求数列 } {na 的最大项与最小项,并说明理由. 6. 已知数列{a n },a 1 =1,a n =λa n - 1 +λ-2(n≥2).当 λ 为何值时,数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列,并求其通项公式 7. 8. 9. 10. 11. 12. 设数列 \uf07b \uf07dna 的前 n 项和为nS ,若对于任意的正整数 n 都有2) (1 nna a nS\uf02b\uf03d 证明:{a n }是等差数列. 设 { }na 是等差数列,求证:以 b n =na a an\uf02b \uf02b \uf02b \uf04c2 1 * n N \uf0ce 为通项公式的数列 { }nb 为等差数列。