考研——积分上限的函数(变上限积分) 知识点 ( )( )xaF xf t dt=∫ 形如上式的积分, 叫做变限积分。 注意点: 1、 在求导时, 是关于 x 求导, 用课本上的求导公式直接计算。 2、 在求积分时, 则把 x 看作常数, 积分变量t在积分区间],[xa上变动。 (即在积分内的 x 作为常数, 可以提到积分之外。) 关于积分上限函数的理论 定理 1 如果)(xf在],[ba上连续, 则)(xf在(a, b) 上可积, 而)(xf可积, 则∫=xadttfxF)()(在],[ba上连续。 定理 2 如果)(xf在],[ba上有界, 且只有有限个间断点, 则)(xf在(a, b) 上可积。 定 理 3 如 果)(xf在],[ba上 连 续 ,则∫=xadttfxF)()(在],[ba上 可 导 ,而 且 有).(])([)(xfdttfdxdxFxa==′∫ ========================================== 注:( Ⅰ) 从以上定理可看出, 对)(xf作变上限积分后得到的函数, 性质比原来的函数改进了 一步: 可积改进为连续; 连续改进为可导。 这是积分上限函数的良好性质。 而我们知道, 可导函数)(xf经过求导后, 其导函数)(xf′甚至不一定是连续的。 ( Ⅱ) 定理( 3) 也称为原函数存在定理。 它说明: 连续函数必存在原函数, 并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。 我们知道, 求原函数是求导运算的逆运算, 本质上是微分学的问题; 而求定积分是求一个特定和式的极限, 是积分学的问题。 定理( 3) 把两者联系了起来,从而使微分学和积分学统一成为一个整体, 有重要意义。 重要推论及计算公式: d∫d∫d∫下限的。 > 题型中常见积分限函数的变形和复合情况: xxF0)(推论 1 )(])([xfdttfdxbx−= <变上限积分改变上下限, 变号。 > 推论 2 )()]ϕ([ϕ])([)(xxfdttfdxxcϕ′= <上限是复合函数的情况求导。 > 推论 3 )()]ϕ([ϕ)()]ψ([ψ])([)()(xxfxxfdttfdxxxψϕ′−′= <上下限都是变的时候, 用上限的减去(1) 比如 ∫−=dttftx)()( (被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.) 在求)(xF′时, 先将右端化为∫∫∫∫−=−xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式, 再对 x 求导。 分离后左边的部分要按照(uv)' =u' v + uv' 进行求导!(重点) xdtxttfxF0)()( (2) 比如 ∫−=( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来) 在求)(xF′时, 先对右端的定积分做变量代换xtu−=(把 x看作常数), 此时,dudt =,0=t时,xu−=;xt =时,0=u, 这样,)(xF就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数:∫∫∫−−−+=+=000)()()()()(xxxduuufduufxduufuxxF, 然后再对 x 求导。 ( 3 ) 比如 ∫=10)()(dtxtfxF (这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去) 在求)(xF′时, 先对右端的定积分做变量代换xtu =(把 x看作常数), 此时,xdudt =,0=t时,0=u;1=t时,xu =, 于是,)(xF就化成了 以 u 作为积分变量的积分上限函数:∫=xduufxxF0)(1)(, 然后再对 x 求导。 有积分限函数参与的题型举例 (1) 极限问题: 例 1 ∫∫xt0−→xxlimdttttdt0230)sin(sin2 (提示: 0/0 型, 用洛必达法则, 答: 12) 例 2 xdttxx∫+∞→lim0sin(提示: 洛必达法则求不出结果, 用夹逼准则, 0=<|sinx|=<1。 答:π2) 例 3 已知极限1sin1lim→x00=++−∫xxdtcttabxe, 试确定其中的非零常数.,,cba (答:. 1, 1, 1−===cba) (2) 求导问题 例 4 已知 \uf8f4\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f1=−=∫∫.sin,)cos1 (00ttuduyduux求.dxdy (参数方程, 你懂的! 答:)cos1 (t2sintt−) 例 5 已知 . 0cos00=+∫∫xyyttdtdte求.dxdy (答: )cos()cos(xyxexyyy+−) 例 6 求∫−xdttxdxd02)sin( (答: 2sin x ) 例 7 设)(xf在),(+∞−∞内连续且, 0)(>xf 求证 ∫∫=xxdttfdtttfx00)()()(ϕ 在), 0 ( +∞ 内单调增加. (同济高数课本 Unit5-3 例题 7) (3) 最大最小值问题 例 8 在区间], 1 [ e 上求一点 ξ , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小. (提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:∫∫−+=exxdtttdtxA)ln1 (ln)(1, 然后求出)(xA′,再求出其驻点. 答:e=ξ.) 例 9 设0≥x, n 为正整数. 证明 ∫−=xntdtttxf022sin)()( 的最大值不超过.) 32)(22 (1++nn e ξ y = ln x x y 1 1 O (提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.) (4) 积分问题 1)(dxxxf, 其中(xf例 10 计算∫(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取1−) 0∫=21sin)xdttt. )(xu为积分上限函数. 答: ).11(cos2例 11 设)(xf在),(+∞−∞内连续, 证明 .])([))((000∫ ∫∫=−xuxdudttfduuxuf (提示: 对右端的积分施行分部积分法.) 例 12 设\uf8f4\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f1><≤<−0≤≤=. 2, 0, 212, 10)(xxxxxxxf 求∫=Φxdttfx0)()(在),(+∞−∞内的表达式. (说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的 x, 积分变量 t在], 0 [x 内变动. 答: .21, 21) 2(211, 1021, 00)(22\uf8f4\uf8f3\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1>≤<−−≤≤<=Φxxxxxxx) (5) 含有未知函数的变上限定积分的方程(称为积分方程) 的求解问题 例 13 设函数)(xϕ连续, 且满足 .)()()(00∫x∫−+=xϕxxdttxdtttϕexϕ 求).(xϕ (答: )sin(cos21)(exxx++=ϕ) (说明: 这类问题总是通过两端求导, 将所给的积分方程化为微分方程, 然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: xxxsincos)(+=ϕ) 例 14 设)(xf为正值连续函数, , 1) 0 (f= 且对任一0>x, 曲线)(xfy = 在区间], 0 [x 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有)(xf的积分上限函数. 答: ))0(2)(>+=−xeexfxx (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等. 例 15 设)(),(xgxf均在],[ba上连续, 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式: .)()())()((222∫∫∫≤bababadxxgdxxfdxxgxf 说明: 本题的通常证法是从不等式0)]()([≥−∫badxxtgxf出发, 由关于 t的二次函数非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下: xxxdttfdttgtfxF令.)()(])()([)(222∫∫∫⋅−=aaadttg 则. 0)(=aF 求出)(xF′并证明. 0)(≤′ xF 从而)(xF单调减少, 于是得 . 0)()(=≤aFbF 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例. 例 16 设)(xf在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一, 10<< λ 有.)()(100∫∫≥dxxfdxxfλλ (提示: 即证 .1)()(100∫∫≥dxxfdxxfλλ 于是作,)()(0xdttfxFx∫= 只需证)(xF单调减少即可得结论.) 利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题. 例 17 设)(),(xgxf在],[ba上连续. 求证: 存在),(ba∈ξ, 使 ∫∫=ξξξ(ξ(abdxxfgdxxgf)())(). (提示: 令∫∫⋅=bxxadttgdttfxF)()()(. 对)(xF在],[ba上用 Rolle 定理即可证得结论) 关于积分限函数的奇偶性与周期性 定理 4 设 ( ) xf连续,( )x( )t∫=xdtf0ϕ.