介值介值,总要介于值而取之。
通常来说,介值定理之所以需要闭区间,是因为这样一来就可以找到对应的端点值,进而确定端点值之间某一个值的存在性。
你这下可好,直接来了个开区间。。。这样一来,端点处便没有了定义,所以一下子也搞不清楚你想要介于哪些值呢?
秉着没有条件也要制造条件的思想,可以给你几种强行使用的情况:
如果要是以开区间端点处函数的左右极限为介值区间,那么只要函数在开区间内连续就好了,哪怕函数在某一个端点处趋于无穷也没关系。要是想在开区间中任取两点对应的函数值为介值区间,那么同样还是函数在开区间内连续。
不过题主可能直接呵呵。。。你直接说开区间连续不就好了,还分什么情况?!
其实分情况只是一个使用规范,而最重要的是,开区间内函数连续还有另一个名字——内闭一致连续。