根据我所使用的那个“收敛半径”的含义,这种情况下肯定是Taylor级数一定是收敛到f本身的。 如果采用幂级数固有的收敛半径定义,也存在收敛半径为0的例子,这时候除了展开的中心点之外Taylor级数是发散的,也就谈不上收敛到原来的函数了。事实上任何序列都可以作为某光滑实函数在某点的高阶导数序列,不过这个构造比较麻烦,了解一下结论就行了。我可以这样总结你回答的两个问题吗: 1、x0可以在定理所确定的范围内变动,理由是:用二项式定理展开[(x-y0)+(y0-x0)]^n,再把级数重新按(x-y0)^k排列就得到以y0为中心的Taylor级数,交换性是由收敛域内的绝对收敛性保证的。这样可以不借助复解析函数来得到结论,而且此证明同样适用于复级数。 2、用书上公式所求出的收敛半径是级数收敛于f(x)的上确界,所以在它所求出的收敛半径内,级数肯定收敛于f(x)
第一问是对的 第二问你显然没有理解我说的话,慢慢看几遍,不要急。 对于收敛半径和收敛域的问题,看看我写的两个定义,这两个定义对于光滑的非解析实函数是不同的,先想清楚你想要的是什么。 光滑的实函数和解析函数是有本质区别的,粗略得讲光滑函数是可以改动一些定义的,也可以把局部光滑的函数逐段拼接起来,甚至可以把不光滑的函数磨光,但是解析函数是不能随意修改定义域内的函数值的,任何局部都决定了一切。再给你一个简单的例子。 在(-2,1/2)上f(x)=1/(1-x),区间外随便定义,那么f(x)在x=0的邻域内可以Taylor展开,且在(-2,1/2)上收敛,幂级数固有的收敛半径(第一个定义)是1,但是作为收敛到原来的函数的收敛半径(第二个定义)是1/2。想清楚你具体要的是什么,不要背结论或者直接套公式。
因为我不是学数学的,所以有好多东西不理解,谢谢 现在我重新整理一下第二个:幂级数的收敛半径(第一个定义求出来的)只要求幂级数收敛,而泰勒展开式的收敛半径不仅要求收敛,而且要收敛到f(x),应该是这个意思吧! 如果真是这样的话,那么同济教材在提到将函数展开成x的幂级数时,首先将其幂级数写出来,然后有一步是求出它的收敛半径,看图片吧,写不完了!
这次的理解大体上是对的。 如果形式上对f(x)做Taylor展开sum an(x-x0)^n,那么Cauchy-Hadamard公式得到的收敛半径表明了幂级数g(x)=sum