我们知道高中解析几何或立体几何题中时常需要知道点到线的距离或点到面的距离。下面我们给出这两个公式以及它们的巧妙证明。点到线的距离
已知直线
的方程为
,平面上任意一点
到该直线的距离
的公式为:
证明的方法非常之多,我们这里给出一种巧妙的做法,设从
做
的垂线得到垂足的坐标为
,则很显然
为
的法向量,
也为
的法向量(后有证明),那么我们有:
又因为
在
上,因此有
,代入上式即得:
点到面的距离
已知平面
的方程为
,空间任意一点
到该平面的距离
的公式为:
利用同样的做法,设从
做
的垂线得到垂足的坐标为
,则很显然
为
的法向量,
也为
的法向量(后有证明),那么我们有:
又因为
在
上,因此有
,代入上式即得:
线和面的法向量
对直线
,
为其法向量;对平面
,
为其法向量。