巷道转弯区域流场特征及局部通风阻力系数计算研究-论文

为了得到准确的巷道转弯区域局部通风阻力系数计算...论证了CFD模拟方法能够准确计算巷道转弯区域局部通风阻力,采用CFD模拟与数值分析相结合的方法构建了以风量和转弯角度为自变量的巷道转弯区域局部阻力系数计算公式。

相关系数——皮尔逊相关系数的公式及其理解

一些前置知识,期望、方差、协方差概念及其相关公式参见 定义 皮尔逊相关系数,简称相关系数,严格来说,应该称为“线性相关系数”。这是因为,相关系数只是刻画了X,Y之间的“线性”关系程度。换句话说,假如X与Y有...
一些前置知识,期望、方差、协方差概念及其相关公式参见带你深入理解期望、方差、协方差的含义

定义

皮尔逊相关系数,简称相关系数,严格来说,应该称为“线性相关系数”。这是因为,相关系数只是刻画了X,Y之间的“线性”关系程度。换句话说,假如X与Y有其它的函数关系但非线性关系时,用相关系数来衡量是不合理的。
相关系数定义为:
ρ X , Y = cov ⁡ ( X , Y ) σ X σ Y = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] σ X σ Y = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( Y 2 ) − E 2 ( Y ) \rho_{X, Y}=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E\left[\left(X-EX\right)\left(Y-EY\right)\right]}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E(X Y)-E(X) E(Y)}{\sqrt{E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)} \sqrt{E\left(Y^{2}\right)-E^{2}(Y)}}ρX,Y=σXσYcov(X,Y)=σXσYE[(X−EX)(Y−EY)]=E(X2)−E2(X)E(Y2)−E2(Y)E(XY)−E(X)E(Y)
c o v covcov为协方差, σ \sigmaσ为标准差。
相关系数有以下性质:
若 X , Y X,YX,Y相互独立,则 ρ X , Y = 0 \rho_{X, Y}=0ρX,Y=0,但 ρ X , Y = 0 \rho_{X, Y}=0ρX,Y=0 不能推出 X , Y X,YX,Y相互独立,等于0的情况称不相关,即独立则不相关,反过来不一定。第一条的例外:当 ( X , Y ) (X,Y)(X,Y)为二维正态时,由相关系数=0能推出 X , Y X,YX,Y独立− 1 ≤ ρ X , Y ≤ 1 -1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1−1≤ρX,Y≤1,小于0时为负相关,大于0时为正相关,为当且仅当 X , Y X,YX,Y有严格线性关系时取等

应用

实际应用中,通常用 r rr表示相关系数,假如我们有一组样本点 (x,y),怎么计算它们的相关系数?
基于样本对期望、方差、协方差进行估计,也就是:
E ( X ) = X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i E(X)=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_iE(X)=Xˉ=n1i=1∑nXi σ X 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \sigma_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}σX2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2 cov ⁡ ( X , Y ) = 1 n − 1 ∑ n i = 1 ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) \operatorname{cov}(X, Y)=\frac{1}{n-1}{\sum_{n}^{i=1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}cov(X,Y)=n−11n∑i=1(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ) (之所以除以n-1而不是除以n,是因为我们是用样本去估计总体,除n-1才是统计学上的“无偏估计”,这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差 )
上面的任何一个公式看不懂可以看这篇博客
将上述公式代入定义中得,
r = ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ˉ ) 2 r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}r=∑i=1n(Xi−Xˉ)2∑i=1n(Yi−Yˉ)2∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)
当计算出相关系数后,可以通过以下取值范围判断变量的相关强度:

|r|相关强度
0.8-1.0极强相关
0.6-0.8强相关
0.4-0.6中等程度相关
0.2-0.4弱相关
0.0-0.2极弱相关或无相关

理解

协方差的定义是从方差而来的, X XX的方差是 E ( X − E X ) E(X-EX)E(X−EX)与 ( X − E X ) (X-EX)(X−EX)的乘积的期望,如今把一个 ( X − E X ) (X-EX)(X−EX)换为 ( Y − E Y ) (Y-EY)(Y−EY),其形式接近方差,又有 X , Y X,YX,Y二者的参与,由此得出协方差的名称。
从功能上来说,其实协方差(Covariance)就足以刻画两个变量的相关关系。解释参见:协方差的意义
但是协方差是带有“单位”的,它和 X , Y X,YX,Y的数值有关,假如 X XX的数值量级整体都远远大于 Y YY,那么就会使得计算出来的协方差很大,它的值是不可比较的,并不能统一地度量。所以我们需要将其无量纲化(单位化),以消除数值量级差异的影响,于是就引入了皮尔逊相关系数,其在协方差的基础上除以各自的标准差,这样就消除了单位,使得计算出来的值介于-1和1之间,相互之间是可比较的,不用受单位的影响。
其它理解角度:https://www.zhihu.com/question/19734616
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折弯系数计算表.xls

2019-10-29 11:12:44
钣金折弯系数计算,只需输入钣金厚度,折弯角度即可,

光纤干涉式振动传感器中顺变柱体刚度系数的计算方法

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从能量分配角度分析了光纤干涉式顺变柱体传感器的工作原理,给出了复合顺变柱体的等效刚度系数计算公式。采用有限元分析方法对复合顺变柱体进行固有频率的仿真,并得出光纤缠绕起始位置应该距离中间惯性振子5 mm的...

理论力学单自由度小阻尼受迫振动阻尼系数近似公式的推到

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对于单自由度小阻尼受迫振动阻尼系数近似公式的推到有许多方法: 1.可以从基本表达式出发,一点一点的推到,也就是从振幅的表达式出发,求解出来最大振幅频率,然后求出最大振幅的表达式,让振幅等于最大振幅的一半,...
对于单自由度小阻尼受迫振动阻尼系数近似公式的推导有许多方法:
1.可以从基本表达式出发,一点一点的推到,也就是从振幅的表达式出发,求解出来最大振幅频率,然后求出最大振幅的表达式,让振幅等于最大振幅的一半,求解两个驱动 ,频率由表达式一步步的变换就可以得到解析解,然后近似变换得到近似公式,但是过程有点繁琐,而且近似变换放在最后,没有发挥应有的功能。
2.也可以由振动方程的形式,直接从能量的角度出发,应用积分方法与公式变换加上近似变换,舍去高阶小项得到
3.从振幅表达式出发,直接推导,中间过程近似舍去高阶小项,就可以了,下面从第三个思路出发,给出示例,注释放在了图形的后面
注:B:振幅,k:固有角频率,p:振动角频率,n:阻尼系数,h:驱动力与物体质量的比值
总结:1.对于解析解的精确求解,大部分人都会得到同样的答案,就是所谓的条条道路通罗马,然而对于一些近似变换,就是仁者见仁,智者见智了,能够快速准确的找到主要矛 盾是艺术的,也就是两点论中的重点论是一个艺术的东西,找到这个艺术的当然也是艺术的。
2.由于有些单位一有时被人们认为不是通常意义上的单位,其实这是不对的,因为不是所有的单位一都是对等的,不要被个人的习惯所困惑,比如弧度与转等

Modularity的计算方法——社团检测中模块度计算公式详解

万次阅读2018-06-13 15:54:44
仅仅是为了和之前第一版的modularity计算公式相兼容。 把这个公式变形一下: Q=12m∑ij(Aij–kikj2m)(sisj+1)2 这样就可以看出,后面的因子 12(sisj+1) 是为了确保求和时只对i和j属于同一个社团的情况进行求和。由于...
Modularity,中文称为模块度,是Community Detection(社区发现/社团检测) 中用来衡量社区划分质量的一种方法。要理解Modularity,我们先来看社团和社团检测的概念。

社团检测

社团检测,就是要在一个图(包含顶点和边)上发现社团结构,也就是要把图中的结点进行聚类,构成一个个的社团。关于社团(community),目前还没有确切的定义,一般认为社团内部的点之间的连接相对稠密,而不同社团的点之间的连接相对稀疏。
社团检测算法的输入是一张图:
上图可以用边表(edge list)文件表示:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
01
02
03
12
13
24
45
47
56
57
58
68
78
710
89
910
912
913
1011
1012
1112
1113
1213

在计算机中,也可能以邻接矩阵的方式存储这张图:
邻接矩阵A,
Aij=1表示结点i 和 结点j 之间有一条边,
Aij=0表示结点i 和 结点j 之间没有边。特别的,这里结点自己和自己的连接是0,即
Aii=0,不考虑结点自己和自己的连边。
输入图后,社团检测算法会输出一种社团划分,例如下面这个样子
具体的输出文件可能这样:

1
2
3
0123
45678
910111213

每行表示一个社团,里面的数字表示属于该社团的结点编号。

公式中用到的字母

在不同的文献中,可能用不同的字母表示相同的东西,这样就给理解造成了一定困难。本文中的所有公式都使用下面的字母定义。
和图相关的
用n表示图的结点个数,这里n=14(结点编号0到13)
用m表示图中边的个数,这里m=23(上图中共23条边)
用k表示图中结点的度(degree),无向图中一个结点的度就是该结点连出去的边的条数。显然图中14个结点都有自己的度,我们用
ki来表示结点i的度。例如:
k0=3,k5=4,k6=2。
用A表示图的邻接矩阵。邻接矩阵A,
Aij=1表示结点v 和 结点w 之间有一条边,
Aij=0表示结点i和 结点j之间没有边。无向图的邻接矩阵是对称的,即
Aij=Aji。特别的,这里结点自己和自己的连接是0,即
Aii=0,不考虑结点自己和自己的连边。

Modularity第一版

Newman 在2003年的论文 “Finding and evaluating community structure in networks” 中首次提出了modularity的定义,在论文中用来度量自己的社团检测算法的好坏。
Consider a particular division of a networkinto k communities. Let us define a k×k symmetric matrixe whose element
eijis the fraction of all edges in thenetwork that link vertices in community i to vertices incommunity j [49].
假设社团划分把一个网络划分为k个社团,定义一个k*k的矩阵e。
eij表示连接 社团i 和 社团j 的边的数目 占 总边数 的比例。特别的,
eii表示的是社团i和社团i之间的边占总边数的比例,也就是社团i内部的边占总边数的比例。
结合我们的例子
例子中,边数m=23 。社团1内部有5条边,于是有
e11=523。
社团2和社团3之间有2条边,这样看来
e23=223。那么
e32等于多少?如果你没有看这句话后面的注释,也许你会以为
e32=e23=223。但其实不是的,我们看后面的注释:
[49] As discussed in [33], it is crucial to make sure each edgeis counted only once in the matrix eij—the same edgeshould not appear both above and below the diagonal.Alternatively, an edge linking communities i and j canbe split, half-and-half, between the ij and ji elements,which has the advantage of making the matrix symmetric.Either way, there are a number of factors of 2 inthe calculation that must be watched carefully, lest theyescape one’s attention and make mischief.
这里说,在矩阵e中,每条边要确保只计数了1次。一条边的计数不能同时出现在e矩阵的对角线上方和下方。如果
e32=e23=223,那么连接社团2和社团3的两条边就分别计数了2次。因此,可以的情况是:
,
e32=223,e23=023或者
,
e32=023,e23=223或者
,
e32=123,e23=123
一种可行的方法是,把社团i和j之间的边分成2份,分别计入
eij和
eji,这样可以保证e是对称的。这样计算
eij时,分母上就会多一个2 。
我们这个图中,社团1内部有5条边,社团2内部有7条边,社团3内部有8条边。社团1和社团2之间有1条边,社团1和社团3之间有0条边,社团2和社团3之间有2条边。可以得到e矩阵如下:

123
1
523
12×123
12×023
2
12×123
723
12×223
3
12×023
12×223
823

这样,矩阵e的迹
tr(e)=∑ieii,也就是矩阵对角元素的和,就表示了社团内部的边的比例。这个值越大,代表社团内部联系越紧密。然而这样有一个缺陷,如果把整张图分成1个社团,这个值就是最大值1 。
So we further define the row (or column) sums
ai=∑jeij, which represent the fraction of edges that connectto vertices in community i.
因此定义了一个e的行和a,
ai=∑jeij,它表示连接到 社团i 中的边占总边数的比例。这句话是不准确的。
因为上面e矩阵中,我们对不同社团之间的边要除以2,因此这里连接到 社团i 中的边是有不同权重的,完全在社团i中的边权重为1,而只有一端在社团i中的边权重就是
12。
由于权重的不同,如果把一条边看做有两个端点,准确的说法是
ai=∑jeij,它表示连接到 社团i 中的边的端点数(相当于社团中所有点的度相加) 占总端点数(2m) 的比例 ,即
ai=kCi2m
kCi表示社团i内部所有点的度数之和。
例子里我们的a如下:

a
1
523+12×123+12×023=
1146
2
12×123+723+12×223=
1746
3
12×023+12×223+823=
1846

In a network in which edgesfall between vertices without regard for the communitiesthey belong to, we would have
eij=aiaj.
这句话我还没看懂,看懂的可以再评论区教下博主0.0
Thus we candefine a modularity measure by
Q=∑i(eii–ai2)=Tre–||e2||
where ||x|| indicates the sum of the elements of the matrixx.
模块度的公式,定义是:
Q=∑i(eii–ai2)=∑ieii–∑iai2
如果用
ei表示社团i内部的边数,则
eii=eim。然后把
ai=kCi2m代入,就可以得到计算modularity最常用的公式
Q=∑i(eim–(kCi2m)2)
我们用定义算一下我们这个例子中划分的模块度:
Q=523+723+823–(1146)2–(1746)2–(1846)2=5531058=0.52268431
还可以推导一下,得到矩阵公式:
Q=∑i(eii–ai2)=∑ieii–∑iai2=Tre–||e2||
要证明这个,就是要
∑iai2=||e2||。 由于ai=∑jeij,也就是
∑i(∑jeij)2=||e2||
注意到e是对称的。也就是e矩阵的每行求和,然后平方,再相加 等于 e矩阵平方再求和。(我还没看懂,看懂的可以再评论区教下博主0.0)
可以验证用矩阵公式算也会得到同样的Q。
这里顺便比较一下∑iai2和||e2||
∑iai2=(523+146+0)2+(146+723+123)2+(0+123+823)2
e2=(52314601467231230123823)×(52314601467231230123823)=
我感觉第一个式子拆开后,正好就是后一个式子里面矩阵中的元素两两相乘。最后累加结果也相同。

Modularity第二版

Newman论文中的定义
2006年,Newman 在论文“Modularity and community structure in networks”中重新定义了modularity,目的是为了满足spectral properties。原话为:
Here we take a different approach based on areformulation of the modularity in terms of the spectral propertiesof the network of interest.
Suppose our network contains n vertices.
n 表示图的结点个数
For a particulardivision of the network into two groups let s_i = 1 if vertex ibelongs to group 1 and s_i = -1 if it belongs to group 2.Observing that the quantity12(sisj+1)is 1 if i and j are in the samegroup and 0 otherwise
论文中的例子是分为了2个社区。然后定义了si,si=1表示结点i属于社团1,si=−1表示结点i属于社团2 。那么12(sisj+1)的值就可以表示结点i和j是否在同一个社团,在同一个社团时值是1,在不同社团时值是0.
And letthe number of edges between vertices i and j beAij, which willnormally be 0 or 1, although larger values are possible innetworks where multiple edges are allowed.(The quantitiesAijare the elements of the so-called adjacency matrix.)
让Aij表示 结点i 和 结点j 之间边的数目, 一般无权图中Aij的取值是0或者1。但可以扩展到两点之间多条边的情形。
这里有2点文中没到的:
1. 无向图的邻接矩阵是对称的,即Aij=Aji。因此,如果把矩阵A的所有元素相加,得到的值是图中边的数目的2倍:2m=∑Aij。
2. 自己和自己的连接在矩阵中是0,即Aii=0。
At the sametime, the expected number of edges between vertices i and j ifedges are placed at random iskikj2m, wherekiandkjare thedegrees of the vertices andm=12∑ikiis the total number of edgesin the network.
同时,如果把同一个图中的边随机放置,则结点i和结点j之间边数的期望值是kikj2m(解释见下一节)。其中ki和kj表示结点i和结点j的度,m=12∑iki是图中边的个数。
Thus the modularity Q is given by the sum ofAij–kikj2m over all pairs of vertices i, j that fall in the samegroup.
Aij–kikj2m表示的是结点i和结点j之间的连边数,减去 随机情况下 结点i和结点j之间的期望连边数。(关于随机情况的讨论在下面)
we can then express the modularity as
Q=14m∑ij(Aij–kikj2m)(sisj+1)
The leading factor of14mis merelyconventional: it is included for compatibility with the previousdefinition of modularity (17).
Q计算公式前面的14m仅仅是为了和之前第一版的modularity计算公式相兼容。
把这个公式变形一下:
Q=12m∑ij(Aij–kikj2m)(sisj+1)2
这样就可以看出,后面的因子12(sisj+1)是为了确保求和时只对i和j属于同一个社团的情况进行求和。由于用s=1和-1只能表示有2个社团的情况,在多个社团时,我们可以引入记号δ(i,j),δ(i,j)=0表示结点i 和j不在同一个社团,δ(i,j)=1表示结点 i 和j在同一个社团。这样计算公式就变成了
Q=12m∑ij(Aij–kikj2m)δ(i,j)
其实就是下面的意思:
在同一社团Q=12m∑i,j在同一社团(Aij–kikj2m)
再来看一下这个式子中各个项的意义:
Aij表示 结点i 和 结点j 之间边的数目
kikj2m表示 随机放置边的情况下,结点i和结点j 之间边数的期望值
带上前面的求和号,
∑i,jAij就表示 社团内部实际的 边 的数目 的2倍(2倍是因为ij和ji会计算2次)
∑i,jkikj2m就表示 随机放置边的情况下,社团内部边数的期望值 的2倍(2倍是因为ij和ji会计算2次)
最后除以2m,之所以是2m,就是因为前面的边数都是2倍,这样一除就可以得到边的比例。(其实有没有12m是无所谓的,乘以常数并不影响求最值的问题)
12m∑i,jAij就表示社团内部实际的边数的比例
12m∑i,jkikj2m就表示 随机情况下社团内部期望的边数的比例
因此,Modularity的定义可以看做:
在社区内部的边的比例,减去边随机放置时社区内部期望边数的比例。
期望边数kikj2m的来源
参考论文Finding community structure in networks using the eigenvectors of matrices
每个结点的度不变,边重新连接,这就需要一个已知每个结点的度,来随机生成图的模型。图生成模型最重要的特征就是两个点i和j之间连边的概率(或者叫边的数目的期望值),记为Pij,那么Pij会满足什么性质呢?
1.每个结点度不变,最终总边数也不会变。因此随机连边后,图中的边数期望值等于原来真实图中的边数
∑i,jPij=∑i,jAij=2m
2.对每个节点来说,它的度也不会变,就有
∑jPij=ki
在满足这两个式子的情况下,随机的进行连边。这样在选定了一个点(边的一个端点)后,选另一个点(边的另一个端点)时,会选到结点i的概率,就只与结点i的度ki有关。而一条边的两个端点进行选择的时候都是独立随机的。因此Pij,选到i的概率与ki有关,选到j的概率与kj有关,就可以写成
Pij=f(ki)f(kj)
由于Pij=Pji,因此上面两个函数f是相同的。
∑jPij=∑jf(ki)f(kj)=f(ki)∑jf(kj)
根据上面性质中的第二个式子∑jPij=ki,就有
f(ki)∑jf(kj)=ki
由于∑jf(kj)并不包含i,可以看出f(ki)和ki之间是倍数关系,不妨设
f(ki)=Cki
C是常量。代入上面性质的第一个式子∑i,jPij=∑i,jAij=2m,有
∑i,jPij=2m
∑i,jf(ki)f(kj)=2m
∑i,jCkiCkj=2m
C2∑ijkikj=2m
∑ijkikj是可以用m表示的。假设结点编号从1到n,则
2m=k1+k2+…+kn
(2m)2=(k1+k2+…+kn)2
平方展开,正好等于n个k值两两相乘,这正好等于∑ijkikj。即
(2m)2=(k1+k2+…+kn)2=∑ijkikj
再回到上面的式子,C2∑ijkikj=2m就变成了
C2(2m)2=2m
C=12m
因此求得Pij
Pij=f(ki)f(kj)=C2kikj=kikj2m
这个结果,当m非常大的时候,就等于configuration model中的概率
configuration model
configuration model是一种生成图的模型,它已知每个结点的度ki,然后随机生成边。
结点i的度ki可以看做结点i有ki个端点(stub)可以连接
所有结点的端点的个数为ln=∑iki=2m
我们的图来说就是这样:
因为我们的原图有23条边,因此有46个端点。然后端点之间随机相连,每个端点连1次。例如连接5次后可能这样
现在的问题是,这样把边随机放置后,结点v和结点w之间边数的期望值是多少。
可以这样考虑,在一次随机选择两个末梢连边时,选定结点i的末梢后,选择另一个端点时共有2m-1中选择,而i和j连接的选择共有kj种,概率就是kj2m−1。而结点i共有ki个端点,也就是这样的选择机会有ki次。因此i和j相连的概率为
Pij=kikj2m−1
当m很大的时候,2m-1中的-1可以去掉,这样就和modularity中的概率一致了。

版本二和版本一的关系

版本二从不同的角度定义了modularity,但是两个版本其实是相等的。也就是说
版本一:(c是社团个数)
Q=∑ic(eii–ai2)=∑ieii–∑iai2
版本二:
在同一社团Q=12m∑i,j在同一社团(Aij–kikj2m)
这两个相等,也就是
在同一社团∑ieii–∑iai2=12m∑i,j在同一社团(Aij–kikj2m)
先看第一项
在同一社团∑iceii=12m∑i,j在同一社团(Aij)
eii表示的是社团i内部边的比例,求和后就是所有社团内部的边的比例。右边的求和∑(Aij就等于内部边数的2倍,除以2m也就是社团内部边的比例。这两个相等是容易看出的。
再看第二项
在同一社团∑icai2=12m∑i,j在同一社团(kikj2m)
在版本一中,ai表示连接到 社团i 中的边占总边数的比例。这里连接到 社团i 中的边是有不同权重的,完全在社团i中的边权重为1,而只有一端在社团i中的边权重就是1/2。
乘以2的话,2∗ai就正好是社团i内结点的度数之和 占总边数的比例(完全在社团i中的边权重为2,而只有一端在社团i中的边权重就是1,正好是度数之和)
在乘以m,就可以去掉比例,2m∗ai是社团i内结点的度数之和。也就是,ai=社团i内结点的度数之和 / 2m
ai2就是社团i内结点的度数之和的平方 /(2m)2
右边在同一社团在同一社团右边=12m∑i,j在同一社团(kikj2m)=1(2m)2∑i,j在同一社团(kikj)
度数之和的平方,展开正好就是右边的 社团内部的度数两两相乘再相加在同一社团∑i,j在同一社团(kikj)
因此这两个是相等的
在同一社团Q=∑ieii–∑iai2=12m∑i,j在同一社团(Aij–kikj2m)

针对有权图和重叠社团的推广

参考论文:Identification of overlapping community structure in complexnetworks using fuzzy c-means clustering
上面的Modularity公式,可以写成下面的形式:
Q=∑k(ekkm–(dk2m)2)
其中,ekk表示社团k内部的边数,dk表示社团i内部所有点的度数之和,m表示图中边的个数。
在有权图中,相当于把原来有一条边算作1,现在算作权值w的。
而针对重叠社团的情况,根据所属社团的个数,给边的贡献加一个权值:
若 结点i 属于 n 个社团(其中包括社团k),则定义wik=1n。而在无重叠的情况下,wik=1,且k仅有一个
ekk=12∑i,j∈Ckwik+wjk2Aij
系数 1/2 是因为社团内的一条边 ij和ji 会计算两次
A是图的邻接矩阵,Aij也就是对应边的权值。
为了求得社团内部边的度数,先计算社团连出去的边数:
ekout=∑i∈Ck,j∉Ck(wik+(1–wjk))Aij
dk=2ekk+ekout

C++代码计算

Modularity计算的C++代码 | 雅乐网
转自:http://www.yalewoo.com/modularity_community_detection.html

相机水平视角计算公式

千次阅读2017-11-14 20:34:00
变焦系数,如果为定焦镜头,系数为1,默认为定焦镜头; 本文转自fengyuzaitu 51CTO博客,原文链接:http://blog.51cto.com/fengyuzaitu/1897204 ,如需转载请自行联系原作者
“相机镜头的焦点”即为镜头焦距,就是相机镜头镜片到焦点的距离,在相机确定的情况下,镜头的焦距决定了视角的大小(水平视角 HFOV 和垂直视角 VFOV),即在测绘的正射作业中决定了相机所能采集到的地物的长宽范围。
以35mm胶片相机为例,胶片的图像格式是36mm宽24mm高。如果镜头焦距为24mm,则水平视角为74°,可看作是一个广角镜头
水平视角 74 = 2 * artan(胶片宽/2/镜头焦距) = 2 * artan(36/2/24)
如果镜头焦距扩大3倍到72mm,水平视角将减少为28°,这将产生一个更高的放大倍数并被看作是一个长焦镜头。在同样的航高下,相机镜头光轴垂直于地面,广角镜头比长焦镜头所能拍到的范围要大,但是分辨率要小(由于同样面积的CMOS要记录更大的面积,所以单位面积的地物均摊到的像元数量就少了);变焦系数,如果为定焦镜头,系数为1,默认为定焦镜头;
本文转自fengyuzaitu 51CTO博客,原文链接:http://blog.51cto.com/fengyuzaitu/1897204,如需转载请自行联系原作者

吸收媒质反射束Goos-Hnchen位移的直接计算公式

2021-02-09 15:08:27
本文导出了从吸收媒质上反射的s和p两种偏振的Goos-...若令消光系数等于零,它们就简化成McGuilk和Carniglia给出的仅用于非吸收媒质的公式。吸收媒质的位移,在任何不为零的入射角度时都有。在镓的表面上,位移有几个波长。

关于最小二乘法快速计算公式汇总

万次阅读2019-04-13 17:36:44
直线公式:y = ax + b; 所求参数 :(a,b); 最终算法矩阵:根据样本拟合圆 圆的展开方程: x² + y² + aX + by +c = 0; 所求参数:(a,b,c) 最终转化的圆心:(-a/2, -b/2); 转化的半径: 最终矩阵...

贝塞尔曲线轨迹计算公式util

千次阅读2017-02-23 10:43:27
package com.imooc.beziertest; import android.graphics.PointF; public class BezierUtil { /** ...* B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2t * (1 - t) * P1 + t^2 * P2, t ∈ [0,1] ...* @
贝塞尔曲线

论文研究-RGB颜色空间的矢量-角度距离色差公式.pdf

2019-09-13 06:13:36
并根据颜色分量的重要程度用动态系数调整RGB颜色间的空间距离和矢量角度值,从而得到了一种全新的RGB颜色空间的色差度量公式。通过高复杂度图像的颜色量化实验证明该色差公式在颜色量化中的性能达到了CIELUV色差公式...

171031_扭矩和功率的计算公式推导及记忆方法

千次阅读2017-10-31 09:29:34
扭矩和功率及转速的关系式,是电机学中常用的关系式,近期在百度知道上常有看到关于扭矩和功率及转速的相关计算式的问答,一般回答者都是直接给出计算公式,公式中的常数采用近似值,常数往往不容易记住,本文的目的...

关于android手机充电时间的计算公式

千次阅读2014-11-03 16:19:13
最近在做android手机电池管理相关的项目,其中有一个需求是计算手机充电时间的。翻阅了一些资料和一些相关的竞品,发现每个产品的在手机充电时长的计算上多不是很统一,后来翻阅了物理学的一些知识和文章,总算给出...

Modularity的计算方法——社团检测中模块度计算公式详解(转)

千次阅读2018-05-20 10:49:13
仅仅是为了和之前第一版的modularity计算公式相兼容。 把这个公式变形一下: Q=12m∑ij(Aij–kikj2m)(sisj+1)2 这样就可以看出,后面的因子 12(sisj+1) 是为了确保求和时只对i和j属于同一个社团的情况进行求和。由于...

理财产品收益计算公式揭密,破解6种获利模式

千次阅读2008-08-05 16:54:00
和基金0011那种股票涨跌多少投资回报率就涨跌多少"的单细胞相比,挂钩海外股票型银行理财品种无疑是多了一个"心眼就是那些"读上去如天书般"的收益计算公式。 但未必是每种收益计算公式都是投资陷阱.通过对比6种被...
产品设计

通达信扣底计算公式,提前一天知道明天的均线价

千次阅读2018-05-15 15:51:47
,无论任一时间系数,均线要继续上扬,即最近之 10 个单位的成本总和要越大,平均成本才会越大。因此直接目测即可先期 感知。上升趋势,扣抵成本价位在目前价位之下,大抵均线会持续上扬 ----- 此即继续上升走势。...

钣金折弯系数

2018-06-25 15:24:07
PROE折弯系数计算公式: PROE在进行钣金的折弯和展平时,会自动计算材料被拉伸或压缩的长度。计算公式如下: L=0.5π×(R+K系数×T)×(θ/90) L: 钣金展开长度(Developed length) R: 折弯处的内侧半径(Inner ...

镜头主要参数与光 源选型,选型焦距计算公式,CS、C接口工业镜头与M12镜头的关系知识。

万次阅读多人点赞2016-06-08 10:50:17
数值孔径等于由物体与物镜间媒质的折射率n与物镜孔径角的一半(a\2)的正弦值的乘积,计算公式为N.A=n*sina/2。数值孔径与其它光学参数有着密切的关系,它与分辨率成正比,与放大率成正比。也就是说数值孔径,直接...

高压压水试验渗透系数的求取

2020-05-08 10:58:30
从紊流非达西流角度出发,利用压水孔水压、压水段长度、观测孔水压和流量等参水,推导出高水压条件下岩体渗透系数计算公式。结合某矿下组煤底板压水试验成果,分析了不同水流状态下计算的渗透系数的差异性,得出水流状态...

从向量的角度理解皮尔逊相关系数

千次阅读2013-03-28 15:13:00
高中数学学的向量中有一个重要的公式用于计算两个向量之间的夹角: 在笛卡尔坐标系中有向量 (x1,y1)和(x2,y2),他们间夹角的cos值等于 向量内积 除以 两个向量摸的乘积。 如果你仔细比较一下 求向量夹角的公式和...

数字信号处理①之信号的合成、分解、相关性及傅里叶系数的计算

千次阅读2019-04-19 02:05:57
文章目录一、信号的合成和分解(一)傅里叶级数(二)将正弦波合成方波二、信号的相关性及傅里叶系数的计算(一)信号的相关性(二)傅里叶系数(三)相关性的验证及幅值、相位的计算三、信号的分解从信号合成到信号...
信号合成信号分解相关性

计算歌曲相似度:Jaccard系数

千次阅读2014-02-15 16:02:38
什么是Jaccard系数 其公式如下: 可以看出,其含义是集合A、B中相同的个数,除以A与B交集个数。可以看出,Jaccard系统主要关注的是元素是的个体是否相同,而不能用数值具体表示其差异。从这个意义上讲,我认为适合...
Jaccard歌曲相似度推荐系统

STM32 FOC SDK2.0中使用hall传感器获取电角度的公式解析

千次阅读2020-03-23 16:04:37
1. 概述:函数 在使用霍尔传感器获取位置信息时,使用函数 s16 HALL_GetRotorFreq ( void )获取转子电角度增量信息。函数简介原文如下: 2. 参数简介: dpp(digit per PWM) 格式:dpp格式表达的是速度在一个...
经验分享

汇总从代数角度与几何角度理解相似度计算方法(以机器学习Mahout框架为主线)

千次阅读2014-12-22 22:57:37
能灵活运用到各种计算模型中,自己在研究机器学习之Mahout框架时,源代码中也实现了很多相似度计算方法,本文结合机器学习Mahout框架中各种相似度计算方法的实现,并且从代数角度和几何角度来理解相似度的计算方法。...
机器学习Mahout数据挖掘

调整兰德系数(Adjusted Rand index,ARI)的计算

千次阅读多人点赞2020-04-27 16:50:38
从广义的角度来将,ARI是衡量两个数据分布的吻合程度的。 优缺点 优点: 1.)对任意数量的聚类中心和样本数,随机聚类的ARI都非常接近于0; 2.)取值在[-1,1]之间,负数代表结果不好,越接近于1越好; 3.) 可...

常见的距离算法和相似度(相关系数)计算方法

千次阅读2018-05-19 12:18:48
Jaccard系数主要用于计算符号度量或布尔值度量的个体间的相似度 ,无法衡量差异具体值的大小,只能获得“是否相同”这个结果,所以Jaccard系数只关心个体间共同具有的特征是否一致这个问题。Jaccard系数等于样本集...

Excel在统计分析中的应用—第二章—描述性统计-方差系数的计算及应用

2018-01-17 01:29:47
“方差、标准差和四分位数偏差,其均为含有量纲的值,因此会受到计量单位不同或者改变而变得缺乏可比性,而方差系数则是从相对的角度,通过比值来衡量分散程度,因此消除了量纲的影响。” “标准差系数,又称为均...

通俗解释协方差与相关系数

千次阅读多人点赞2018-09-18 11:17:34
其中标准差的计算公式为: σ X = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( X i − X ˉ i ) 2 \sigma_X=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(X_i-\bar X_i)^2} σ X = N − 1 1 i = 1 ∑ N ( X i − X ˉ i ) 2 ...
机器学习协方差