高中物理图像中“面积”的意义和应用 崔伟健 【摘 要】物理图像中图线的斜率、截距、渐近线、与坐标轴包围的“面积”、图线与图线的交点都 具有一定的物理意义。正确理解和把握物理图像的意义,尤其是图像中“面积”的意义,有助于多角度 审视物理情景,全方位掌握物理过程,深层次理解物理规律,高质量解决物理问题。 【期刊名称】《物理之友》 【年(卷),期】2018(034)008 【总页数】3 【关键词】物理图像;“面积”;物理意义 高中物理中第一次接触到图像“面积”的意义,是在推导匀变速直线运动位移与时间关系时,教材中利 用“微元法”说明v-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示位移。图1为一匀变速直线运动的v-t图 像,当把时间分割为无限个无限小的时间元Δt,每一个Δt时间内可以认为物体做匀速运动,则小矩形的 “面积”可表示该段时间内物体的位移元Δx,然后对这些位移元求和,就可以用图线与坐标轴包围的 梯形“面积”来表示t时间内物体的位移。这种利用微元法处理,看图线与横轴包围“面积”的方法 ,还适用于a-t、F-t、P-t、i-t、F-x、E-x、p-V图像,现将高中阶段常见的图形的“面积”的意义总 结如下。 1 v-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示位移 例1:某同学欲估算飞机着陆时的速度,他假设飞机在平直的跑道上做匀减速运动,飞机在跑道上滑行 的距离为x,从着陆到停下来所用的时间为t。实际上,飞机的速度越大,所受的阻力也越大,则飞机着陆 时的速度应是( )。 解析:该同学假设飞机做匀减速运动,所用的时间为t,画出相应的v-t图如图2中所示的虚线。根据图 像的的意义,虚线与横轴包围的“面积”表示位移。因为位移为x,得出初速度为实际上当飞机的速度 减小时,所受的阻力减小,因而它的加速度会逐渐减小,v-t图像的斜率减小,画出相应的v-t图像如图2所 示的实线。根据图像的的意义,实线与横轴包围的面积表示位移,所以飞机着陆时的初速度因此选项 C正确。 2 a-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示速度变化量 例2:一质量为2kg的物体受水平拉力F的作用,在粗糙水平面上做加速直线运动时的a-t图像如图3所 示,t=0时其速度大小为2m/s,滑动摩擦力大小恒为2N,求0~6s内合力的功和6s时拉力的瞬时功率。 解析:由于物体加速运动时,加速度随时间成线性变化,由Δv=aΔt可知图线与横轴包围的梯形“面积 ”即为6s内速度的增量,所以Δv=18m/s,所以6s时的速度为v=v0+Δv=20m/s,另由动能定理可得 0~6s内合外力的功由牛顿第二定律F-f=ma,得6s时的拉力F=f+ma=10N,所以6s时拉力的瞬时功率 P=Fv=200W。 3 F-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示冲量 例3:原来静止的物体受合外力作用时间为2t0,作用力随时间变化情况如图4所示,求0~2t0时间内合 外力的功和合外力的冲量。 解析:由ΔI=FΔt可知F-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示冲量。在0~t0时间内合外力冲量为 t轴上方三角形的“面积”,在t0~2t0时间内合外力冲量为t轴下方三角形的“面积”,所以0~2t0时 间内合外力冲量为零。再根据动量定理可知2t0时的速度为零,根据动能定理,0~2t0时间内合外力的 功等于动能变化,也为零。 4 i-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示电量 例4:如图5所示为一电流随时间的变化图像,求电流的平均值。 解析:根据Δq=iΔt可知i-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示电量,由图线得出一个周期内的电 量为根据电流的平均值定义式可知 5 E-x图像中图线与横轴包围的“面积”表示电势差 令电场中两点沿电场线方向的距离为Δx,当Δx很小时,可认为两点间的电场为匀强电场,再根据公式 U=Ed应用微元求和可分析得出E-x图像与x轴所围的“面积”代表电势差。 例5:空间有一沿x轴对称分布的电场,其电场强度E随x变化的图像如图6所示,试判断(x1,0)和(x1,0)两点的电势高低以及(x1,0)和(x3,0)两点的电势高低。 解析:(x1,0)和(-x1,0)两点对应的E-x图线与横轴包围的“面积”相等,表示两点与O点的电势差 相同,所以它们的电势相等。(x1,0)和(x3,0)两点的电场强度相等,由于与横轴包围的“面积”不相等 ,所以两点电势不等,由于沿着电场的方向电势降低,所以(x1,0)的电势高于(x3,0)的电势。 6 P-t图像中图线与横轴包围的“面积”表示功 例6:放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用,在0~6s内该拉力的功率与时间的图像如图7所 示,求0~6s内拉力做的功。 解析:由W=Pt得P-t图像与横轴包围的“面积”表示功。所以0~2s内拉力做的功等于图像与横轴 包围的三角形“面积”,2~6s内拉力做的功等于图像与横轴包围的矩形“面积”,所以0~6s内拉力 做的功等于两个“面积”之和,即为70J。 7 F-x图像中图线与横轴包围的“面积”表示功 如作用力F为恒力,则F-x图像中,图线与横轴包围的矩形“面积”表示恒力所做的功。如作用力是变力 ,在高中阶段利用F-x图像定量计算的变力是随位移成线性变化的力。把位移进行无限等量分割,在极 短位移Δx内可以认为作用力是恒定的,其所做的功可以用如图8的矩形面积表示,此面积称为该段位移 内的元功ΔW,在发生位移为x的整个过程中,力F所做的功等于所有元功之和,即梯形的“面积”, 。 例7:请利用弹簧弹力做功和功能关系,推导劲度系数为k的弹簧在其弹性限度内的弹性势能公式。 解析:在高中阶段,弹簧的弹性势能公式是不作要求的。但我们可以通过分析得到:弹簧的弹力与其 形变量成正比,如图9所示,则在发生形变量x的过程中,弹簧弹力随x由零均匀增加到F=kx,则弹簧弹力 克服外力做功为即图线与横轴包围的三角形面积。根据功能关系,弹簧中的弹性势能增加了从而推知 弹簧的弹性势能公式为 8 p-V图像中图线与横轴包围的“面积”表示功 由W=FΔL,得W=pSΔ