矛盾! 故( )f x 无有理根。 (ii) 当(1)1,snmsns≥>−+是正整数且1s > 时, (因为1s = 的情况为上述所证明) 。 此时, 在( )f x 中, 令 x =1spy−, 得 1( )f x()sf py−= (1)(1)(−1)11011...snnsnnsnna pya pyapya−−−−−=++++ 令)(][) 1−() 1−() 1−)(1(11110) 1−(ygppasypasypayapnsnnnnnsnns−−−−=++++\uf04c 由定理的条件显然知,( )g y 的系数),, 2 , 1=() 1−(nipasii\uf04c均为整数 因为(1)1,snmsns≥>−+,1s >是正整数, 且由定理 3. 1. 2 的 (1) (2) 知 0†p a ,nsn) 1−nsmpa(p1) 1−(|−−, 但nsn) 1−nsmpa(p) 1−(/ |− 又由定理 3. 1. 2 中 (3) (ii) 知,))(1() 1−(|insininsmpap−−−−− 其中1,2,.....i =,(1)1msn−−− 及 ) 1−)(1(1n1)2-(s211,,,|−−−snspapapap\uf04c, 同时(1)(1)msnsnsnn−−≤−−= 由(i) 证明知 ( )g y 无有理根, 故( )f x 无有理根。 3. 2 整系数多项式有理根的求法 定理 3.2.1【5】设既约分数0≠sr, 多项式srx −除整系数多项式 1110( )f x...nnnna xaxa xa−−=++++ 所得的商式为02211)(bxbxbxpnnnn+++=−−−−\uf04c 余式为常数c, 多项式srx −除多项式nnnxaxaaxg01)(+++=−\uf04c 所得的商式为)(xq, 则 (ⅰ )sr为)(xf的一个根的充要条件为)(xp的各系数都能被 s 整除, 并且0=c; (ⅱ ) sr为)(xf的一个根的充要条件是sr为)(xq的一个根; (ⅲ) 当sr为)(xf的一个根时,)()(1021−−−+++−=nnnxbxbbsrxq\uf04c 证明 (ⅰ ) 充分性是很明显的. 下面证必要性. 因sr是多项式)(xf的一个根, 故存在整系数多项式011cxcnn++−−\uf04c使 ))(()(011cxcrsxxfnn++−=−−\uf04c 从而 ))(()(011scxscsrxxfnn++−=−−\uf04c 这时,0=c,=)(xp011scxscnn++−−\uf04c,)(xp的各系数均能被 s 整除 (ⅱ ) 充分性: 若sr为)(xq的一个根, 则0)()(01=+++−nnnrsarsaa\uf04c 在上式两边同乘以nsr)(, 有0)()(011=+++−−asrasrannnn\uf04c 故sr为)(xf的一个根. 必要性: 显然类似可证. (ⅲ) 若sr为)(xf的一个根, 则)()(srxxf−=)(xp, 即 ))((011011bxbsrxaxaxannnnnn++−=+++−−−−\uf04c\uf04c 于是,))((...