重庆文理学院电子电气工 程学院 重庆 永川 402160 要:阶跃信号及冲激信号作为理想信号在 电路中有非常重要的作用 ,阶跃信号和冲激信号存 在着导数关系,他们作为 基本信号能够够成其他信 关键词:冲激信号;阶跃信号;傅里叶函数 在实际工程信号中通常将 信号分解为某种基本信号 或函数之和,各基本信号 分别作用于线信系统,则 系统响应就是个基本信号 所引起的响应之和。比如 时域分析法中的冲激信号 ,和阶跃信号,他们属于 理想信号,利用他们可以 简明的便利的表述电路的 激励和响应。因 为他们在一个间断点上的 导数用一般方法菇垃首言 重庆文理学院电子电气工程学院 重庆 永川 402160 摘要:阶跃信号及冲激信号作为理想信号在电路中有非常重要的作用,阶跃信号和 冲激信号存在着导数关系,他们作为基本信号能够够成其他信号。 关键词:冲激信号;阶跃信号;傅里叶函数 在实际工程信号中通常将信号分解为某种基本信号或函数之和,各基本信号分别 作用于线信系统,则系统响应就是个基本信号所引起的响应之和。比如时域分析法中的 冲激信号,和阶跃信号,他们属于理想信号,利用他们可以简明的便利的表述电路的激 励和响应。因为他们在一个间断点上的导数用一般方法不好确定,所以称为奇异函数。 一、阶跃信号及冲激信号的定义 (1)、什么是阶跃信号? 阶跃信号可以用表示用理想化的开关接通信号源的情况,如图1(a)所示。 (a)一般阶跃信号 b)单位阶跃信号 理想阶跃信号图1(a)表示当时间t=0 时,电路接通电压为E 的直流电压源,电路电压源两端的 变化曲线,此时,电路上的电压可以表示为式(1)所示的阶跃信号。 时刻的阶跃信号,他的跃变发生在 跃变为1的单位阶跃信号,他较u(t)延迟了 时刻发生的单位阶跃信号激励任何一个函数 f(t)乘以单位阶跃信号后,其乘积在阶跃之前为零,在阶跃之后保 持原f(t)的值。例如以正弦函数cos (t),就只剩下t》0范围内仍为原来函数cos )和另一个函数相乘,有将后者从 之前全部切除的作用。(2)、什么是冲激信号 下面把一个用单位阶跃信号表示的电压信号源直接加到一个电容上,如图3所示。 在理想电容肾功能施加单位阶跃信号激励如果电容器的电容值为C,根据电容的电压电流关系可以求得电容器的引线上的电流 时,函数u(t)的导数等于零;但当t=0时,此导数不存在,因而电流也无法确定。 图(4)是一种非理想直流源接入的情况,它表示加到电容器上的电压 )在一定的时间范围 范围内,充电电流为i= 呈现矩形脉冲形状。如将纵坐标尺度乘以C,则该图即代表电流波形。这一导数曲线下的面积 S=1。如果当 值逐渐减小而趋近于零,则电压 这个脉冲的宽带也趋近于零,而脉冲高 则无限趋大,但是无论值如何变小,脉冲面积始终保持为 1。在这中情况下,就 得到了一个极限脉冲函数,它在t 时,函数值都为零,在t=0处,函数值无限大,而 脉冲面积为1,记这个极限脉冲函数为 如图5所示。 称为冲激偶,她也可以对一个普通函数1取极限求得。图6--(a) 所示为三角形脉冲 ,其底宽成为2,高度为 如图6—(c)所示,它是正、负极性的两面积相等的两个冲激,其强度均为无限大,如图6—(d)所示。由此可见, 的一阶导数二、冲激函数与阶跃函数的关系。 (1)、根据以上讨论可知,阶跃函数和冲激函数的关系式 (2)、一个LTI 系统,当其初始状态为零时,输入为单位冲激函数 所引起的响应称为单位冲激响应,用好h(t)表示。 一个LTI 系统,当其初始状态为零时,输入为单位阶跃函数所引起的响应称 为单位阶跃响应,用g(t)表示。 通过讨论可知,h(t)与g(t)的关系式 三、阶跃信号与冲激信号的运用阶跃信号和冲激信号作为基本信号可以用它们来构成各种不同的信号。 (1)、对单位阶跃信号进行积分时,可得 (10)由此式定义的函数 R(t)称为单位斜变函数。斜变函数 AR(t)的乘数 单位斜变函数(2)、如图8 所示的矩形脉冲函数g )常数为门函数,其宽度为,幅度为1, (11)利用移位阶跃函数,门函数可表示为 门函数(3)、如图9 所示的符合函数,其幅度为1,即(13)利用阶跃函数,符合函数可以表示为 sgn 符合函数(4)、单位冲激信号的频谱密度函数是常数1,则根据傅里叶变换的对称性,有常数 (直流信号)f(t)=1 的傅里叶变换(频谱密度函数)为(15)单位冲激函数δ(t)与常数1 构成一个傅里叶变换对 (16)再根据傅里叶变换的频移性质,可知指数函数的频谱为频域的冲激函数 (17)再根据欧拉公式,可导出正弦函数的傅里叶变换(频谱)为离散频谱: (19)一般地,对于周期函数(傅立叶级数展开式的指数形式) 为正整数)(20) 利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为 为正整数)(21) 综上所述,周期函数的傅里叶变换(频谱密度函数),是位于周期函数各次谐波频 处的频域冲激函数串,频率间隔是周期函数的基频ω1,冲激强度等于相应的傅立叶系数Cn 可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。通过引入冲激函数的概念,把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数,则周期函数的离散频谱都 可以用冲激函数串方便地表示。 周期矩形脉冲的时域波形求其离散频谱。我们知道通过傅立叶级数的方法,求出其傅立叶系数为 其中ω1=2π/T为基频。由式(7)可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为 其离散频谱图如下图所示:图10 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示 四、总结 冲激信号和阶跃信号为奇异函数,在电路的响应中有很重要的作用,同时在函数的 傅里叶变化中冲激信号也有非常重要的应用。作为基本信号许多信号都可以由冲激信号 和阶跃信号构成。 参考文献 [1]刘树棠译.信号与系统.西安交通大学出版社.1998 [2]吴大中.信号与线性系统分析.高等教育出版社.2009 [3]曾大正,张宝俊沈庭芝,唐晓英.信号与系统.第二版.北京理工大学出版社.2002 [4]高俊,刘孝贤,孙国霞.信号与系统分析山东大学出版社.2008 重庆文理学院电子电气工 程学院 重庆 永川 402160 摘要:阶跃信号及冲激信 号作为理想信号在电路中有 非常重要的作用,阶跃信号 和冲激信号存在着导数关系 ,他们作为基本信号能够够 成其他信号。 关键词:冲激 信号;阶跃信号;傅里叶函 在实际工程信号中通常将信号分解为某种基本信号或 函数之和,各基本信号分别 作用于线信系统,则系统响 应就是个基本信号所引起的 响应之和。比如时域分析法 中的冲激信号,和阶跃信号 ,他们属于理想信号,利用 他们可以简明的便利的表述 电路的激励和响应。因为他 们在一个间断点上的导数用