圆心的三个重要几何性质:第一,圆心在过切点且与切线垂直的直线上;第二,圆心在每一条弦的中垂线上;第三,两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
3设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线
上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的标准方程是 .
解析由题意可设圆心为
,如图所示,由已知得
,解得
,所以
.所以圆C的标准方程是
或
.
答案
或
2、圆的一般方程的求法
如果已知条件中圆心的位置不确定,则可以利用圆的一般方程.
在圆的一般方程
中含有三个相互独立的参数D、E、F,因此,必须具备三个独立的条件才能确定圆的一般方程,方法为待定系数法.
一般步骤:
①设圆的一般方程为
;
②根据条件列出方程组;
③解方程组,求D、E、F的值;
④得圆的一般方程
例4如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为
,
,
,则该三角形的外接圆方程为 .
解析因为三角形三边所在的直线方程分别为
,
,
,
所以三角形的三个顶点分别是
,
,
.
设三角形外接圆的方程为
,
则
,所以
所以该三角形外接圆的方程为
.
答案
3、巧用圆系方程解题的方法
若所求的圆过已知两圆的交点或过一直线与一圆的交点,则可考虑将圆的方程设为过这两种交点的圆系方程的形式,常见的圆系方程有如下几种:
(1)过直线
与圆
的交点的圆系方程为
.
(2)过两圆
和
的交点的圆系方程为
,
此圆系不含圆
.
注意当
时,所得方程是两圆的公共弦所在的直线方程.
例5求圆心在直线
上,且经过两圆
和
的交点的圆的方程.
解析设经过两已知圆的交点的圆的方程为
,
则其圆心坐标为
.
∵所求圆的圆心在直线
上,∴
,解得
.
∴所求圆的方程为
.
4、与圆有关的最值问题的解法
(1)与圆的代数结构有关的最值
①形如
形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
②形如
形式的最值问