多面体外接球半径常见求法 知识回顾: 定义 1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个 球是这个多面体的外接球。 定义 2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个 球是这个多面体的内切球。 球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系: . 球面被经过球心的平面截得的圆叫 .被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积 S= 球与棱柱的组合体问题 1. 正方体的内切球: 球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长 为 a ,球半径为 R 。 如图 3,截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ? ;球的体积 V= . a ; 2 2. 与正方体各棱相切的球: 球与正方体的各棱相切, 切点为各棱的中点, 如图 4 作截面图, 圆O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 R ? 2 a。 2 3. 正方体的外接球: 正方体的八个顶点都在球面上, 如图 5, 以对角面 AA1 作截面图得, 圆O 为 矩形 AA1C1C 的外接圆,易得 R ? A1O ? 3 a。 2 图3 图4 图5 一、 公式 法 例 1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 9 ,底面周长为3,则这个球的体积为 8 . 小结 本题是运用公式 R ? r ? d 求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式. 2 2 2 1 二、多面体几何性质法 例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 . 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a、b、c ,则就可以将这个三棱 锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ,则有 2R ? a2 ? b2 ? c2 . 变式 1:三棱锥 O ? ABC 中,OA, OB, OC 两两垂直,且 OA ? OB ? 2OC ? 2a ,则三棱锥 O ? ABC 外接球的表面积为( A. 6? a 2 ) 2 B. 9? a C. 12? a 2 D. 24? a 2 四、寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 , S、A、B、C、D 都在同一球面上,则此球的体积为 . D S C O1 B A 图3 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思 法值得我们学习. 想方 变式 1:求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 2 变式 1:底面边长为 3 的正三棱柱外接球的体积为 32? ,则该三棱柱的体积为 3 五、确定球心位置法 1:三棱锥 P ? ABC 中,底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形, 三棱锥外接球的半径为( ) PA ⊥底面 ABC ,且 PA ? 2 ,则此 A. 2 B. 5 C. 2 D. 21 3 六.构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成 的直角三角形便可得球半径。 例 4.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上, 又知球 O2 与此正三棱柱的 5 个面都相切, 求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。 分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。 图6 练习 1 、球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 2、.在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、C .如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且 PA ? PB ? PC ? a , 那么这个球的表面积是______. 3 3:一棱长为 2 a 的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不 至于变形时的球的体积。(答案为 V ? 3 4 ? 2a ? 3 ? 6 3 a ) 2 4、 (2006 年广东高考题)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表 面积为 5 、 (2007 年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三 条棱长分别为 1, 2,3 ,则此球的表面积为 . 6、 (2006 年全国卷 I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则 这个球的表面积为( A. 16? ). B. 20? C. 24? D. 32? 7、(2008 年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其 外接球的表面积是 . 8、 (2003 年全国卷)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则 此球的表面积为( A. 3? ) B. 4? C. 3 3? D. 6? 9、 (2008 年浙江高考题)已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA ? 平面ABC ,AB ? BC , DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于 . 10、已知球面上的三点 A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为 13,求球心到平面 ABC 的距离. 11、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积 是( ) A. 16π 9 B. 8π 3 C.4π D. 64π 9 4