第四章　随机变量的数字特征　随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述,知道随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征。然后随机变量的概率分布往往不容易求得的。　随机变量的这些统计特征通常用数字表示的。这些用来描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征。其中最重要的是数学期望(均值)和方差二种。4.1　数学期望与方差　一.数学期望　随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.　(一)离散型随机变量的数学期望定义1　离散型随机变量X　有概率函数　P(X=xk)=Pk　(k=1,2,....)若级数　绝对收敛,则称这个级数为X　的数学期望　=　例1　甲在机床上生产某产品,若一等品能赚5元,二等品赚3元,次品亏2元.甲生产时一等品、二等品及次品的概率为0.6,0.3,0.1.问生产每件产品平均能创造多少财富?分析:　x　-2　3　5　p　0.1　0.3　0.6　数学期望为3.7元.表示生产一件产品能创造3.7元　(二)连续型随机变量的数学期望　定义　设连续型随机变量　有概率密度　若　绝对收敛,则　称为　的　数学期望　随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量　x及它所取的数和相应频率的乘积和.　　=　(1)　)　2　3　(　)　(　-　=　ò　µ　µ　-　dx　x　x　E　j　x　例2　计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量　的数学期望　可见均匀分布的数学期望为区间的中值.　2.随机变量函数的数学期望定理1　设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)(1)若X是离散型随机变量,它的分布律为P{X=xk}=pk.　K=1,2,..若(2)若X是连续型随机变量,它的概率密度为f(x).　　定理1表示:求E(Y)时,不必知道Y的分布,而只要知道X的分布　定理2　设Z是随机变量X和Y的函数,Z=g(X,Y)(g是连续函数),那么Z也是一个随机变量,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则　这里假设上式右边的积分绝对收敛.若(X,Y)为离散型随机变量,其分布律为P{X=　,　Y=i,j=1,2,则例3　已知X在[-a,a]上服从均匀分布,试求Y=X3-kX和Y2=(X3-kX)2的数学期望　解:由(8)式,得到　3.　数学期望的性质　(1)　E(C)=C.2)　E(　+C)=E　+C　证明: