第四节 无穷小与无穷大 一 无穷小与无穷大的概念 二 无穷小与无穷大和极限的关系 三 无穷小的运算性质 一、无穷小与无穷大的概念 1.无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 定义 1 如果对于任意给定的正数? (不论它多么小), 总 存在 正数 ? ( 或正 数 X ), 使 得对 于适 合不 等式 0 ? x ? x0 ? ? (或 x ?X )的一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) ? ?, 那末 称函数 f ( x)当 x ? x0 (或 x ? ? )时为无穷小, 记作 lim f ( x) ? 0 (或 lim f ( x) ? 0). x? x0 x?? 例如, ?lim sin x ? 0, ?函数sin x是当x ? 0时的无穷小. x?0 ?lim 1 ? 0, x x?? ?函数 1 是当x ? ?时的无穷小. x ? lim n?? (?1)n n ? 0?, 数列{(?1)n }是当n n ? ?时的无穷小. 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么 小),总存在正数 ?(或正数 X ),使得对于适合不等 式0 ? x ? x0 ? ? (或 x ? X )的一切 x,所对应的函 数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) ? M , 则称函数 f ( x)当 x ? x0 (或 x? ? )时为无穷小 , 记作 lim f ( x) ? ? (或 lim f ( x) ? ?). x? x0 x?? 特殊情形:正无穷大,负无穷大. lim f ( x) ? ?? (或 lim f ( x) ? ??) x? x0 ( x??) x? x0 ( x??) 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2.切勿将lim f (x) ? ?认为极限存在. x?x0 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大. 例如,当x ? 0时,y ? 1 sin 1 xx y ? 1 sin 1 xx 是一个无界变量,但不是无穷大. (1)取 xk ? 1 2kp ? p (k ? 0,1,2,3,L) y( xk ) ? 2kp ? p 2 , 2 当k充分大时, y( xk) ? M . 无界, (2)取 xk ? 1 2kp (k ? 0,1,2,3,L) 当k充分大时,xk ? ? , 但 y( xk ) ? 2kp sin 2kp ? 0 ? M . 不是无穷大. 例 证明 lim 1 ? ?. x?1 x ? 1 证 ? M ? 0. 要使 1 ? M , x ?1 y? 1 x?1 只要 x ?1 ? 1 , 取 ? ? 1 , M M 当0 ? x ? 1 ? ? ? 1 时,就有 1 ? M .?lim 1 ? ?. M x ?1 x?1 x ? 1 定义:如果 lim x? x0 f ( x) ? ?,则直线x ? x0是函数y ? f (x) 的图形的铅直渐近线. 二、无穷小与无穷大和极限的关系 1.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 lim f ( x) ? A ? f ( x) ? A ? ?( x), x? x0 其中?( x)是当 x ? x0 时的无穷小. 证 必要性 设 lim f ( x) ? A, 令 ?( x) ? f ( x) ? A, x? x0 则有 lim ?( x) ? 0, ? f ( x) ? A ? ?( x). x? x0 ??x?是 x ? x0 时无穷小. 充分性 设 f ( x) ? A ? ?( x), 其中 ?( x)是当x ? x0时的无穷小, 则 lim f ( x) ? lim ( A ? ?( x)) ? A ? lim ?( x) ? A. x? x0 x? x0 x? x0 2. 无穷小与无穷大的关系 定理2 (1)若lim f (x) ? 0,( f (x) ? 0),则 x?? lim 1 ? ?. x?? f (x) (2)若lim f (x) ? ?,则 x?? lim 1 ? 0. x?? f (x) 即: 无穷大的倒数为无穷小,非零无穷 小的倒数是无穷大. 证 (2)设 lim f ( x) ? ?. x? x0 ??? ? 0,?? ? 0,使得当0 ? x ? x0 ? ?时 恒有 f (x) ? 1 , 即 1 ? ? . ? f (x) ?当x ? x0时, f 1 为无穷小. (x) 注 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论. (1) 设 lim f ( x) ? 0,且 f ( x)? 0. x? x0 ??M ? 0,?? ? 0,使得当0 ? x ? x0 ? ?时 恒有 f (x) ? 1 , M 由于 f ( x) ? 0, 从而 1 ? M. f (x) ?当x ? x0时, f 1 为无穷大. (x) 意义 1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问 题(无穷小); 2.给出了函数f ( x)在 xo附近的近似表达 式 f ( x) ? A,误差为? ( x). 三、 无穷小的运算性质 定理3 同一过程中,有限个无穷小的代数 和仍是无穷小. 证:设?及?是当x ? ?时的两个无穷小, ? ? ? 0, ?X1 ? 0, X2 ? 0,使得 当 x ? X 时 1 恒 有 ? ??; 2 当 x ? X 时 2 恒 有 ? ??; 2 取 X ? max{ X1, X2 }, 当 x ? X时, 恒有 ??? ? ? ? ? ?