定义域
相当容易!但有一点复杂的是,你要考虑函数的定义域。
定义域是函数所有输入值的集.
函数要可以运用在所有的输入上,所以你要自己决定用正确的定义域!
例子:√x(x 的平方根)的定义域
负数是没有平方根的(除非用虚数,但在这里我们不用),所以定义域不能包括负数:
√x 的定义域是所有非负实数
在实数直线上像这样:
{ x
| x ≥ 0}
[0,+∞)
定义域一定要正确,不然结果就会有问题了!
复合函数的定义域
两个定义域都要正确(符合函数和第一个函数)。
例如,(gº f)(x) = g(f(x)):
f(x)的定义域要正确,g(x)的定义域也要正确
例子:f(x) = √xandg(x) = x2
f(x) = √x的定义域是所有非负实数
g(x) = x2的定义域是所有实数
复合函数是:
(gº f)(x)= g(f(x))
= (√x)2
= x
通常 "x" 的定义域是所有实数 ……
…… 但因为在这里它是个复合函数,所以我们也要考虑 f(x)的定义域
因此,这个复合函数的定义域是所有非负实数
为什么要考虑两个定义域?
想象函数是机器 …… 第一个函数用火烧一个洞(只能在金属上烧),第二个函数把洞钻大一点(可以钻木头或金属):
你看到最后结果是的钻出来的洞,所以你可能以为这个复合机器用在木头和金属上都可以。
但是,如果你把木头放进gº f 这个复合机器里,第一个函数f 就会把木头烧掉!
所以 "机器里面" 的运作是重要的。
分解函数
你也可以反过来把一个函数分解成几个函数的复合。
例子:(x+1/x)2
这个函数可以是几个函数的复合:
f(x) = x + 1/x
g(x) = x2
结果是:
(gº f)(x)= g(f(x))
= g(x + 1/x)
= (x + 1/x)2
有时这个方法可以帮助我们简化一个复杂的函数。
总括
"函数复合" 是把一个函数的输出作为另一个函数的输入。(gº f)(x) = g(f(x)), 先运用 f(),然后运用 g()一定要符合第一个函数的定义域有一些函数可