平均数不等式　,或称　平均值不等式　、　均值不等式　,是数学上的一组不等式,也是基本不等式的推广。它是说:　如果　是正数,则　其中:　简记为:“　调几算方　”　时的情形　[　编辑　]　第一个不等号　第二个不等号　第三个不等号　证明方法　[　编辑　]　关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法:　(注:在此证明的,是对n维形式的均值不等式的证明方法。)　用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。　引理:设A≥0,B≥0,则　,且仅当B=0时取等号。　注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。　原题等价于:　,　当且仅当　时取等号。　当n=2时易证;　假设当n=k时命题成立,即,当且仅当　时取等号。　那么当n=k+1时,不妨设　是、中最大者,则设,,根据引理　,当且仅当　且时,即　时取等号。　利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式,同时还有柯西归纳法等等方法。