作业及其提示 第五章:相似矩阵及二次型 ? 1 1 ?1? ? ? 1.试用施密特法把向量组??1, ? , 2 ? 3 ? ? ? ? ??? 0 ?1 1 ?1 0 1 1 1 0 ??正交化 ??? ?? 1 ?? ?? ?1?? 答案:b1 ? ?1, b2 ? 1 3 ? ? ??? ?123?????; b3 ? 1? 5 ? ??? 3 3 4 ? ? ??? 2.判断下列矩阵是不是正交矩阵,并说明理由 ?? 1 ? 1 1 ?? ? 2 3? (1)?? ? 1 2 1 1? 2? ?1 ? ? 3 1 2 ? ?1? ? ?? 1 ? 8 ? 4 ?? ? 9 9 9? (2)?? ? 8 9 1 9 ? 4 9 ? ? ? ? ? ? 4 9 ?4 9 7? 9 ? ? 答案与提示:(1)不正交,(2)正交。用正交定义条件进行验证。 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 3.设x为n维列向量, xT x ? 1,令H ? E ? 2xxT ,求证:H是对称的正交阵 证:? H T ? (E ? 2xxT )T ? ET ? (2xxT )T ? E ? 2xxT ? H。? H对称。 又? H T H ? H 2 ? (E ? 2xxT )2 ? E ? 4xxT ? 4xxT ? E,? H是正交阵 4.设A与B都是n阶正交矩阵,证明(1)A?1, A*, AT也是正交矩阵; (2)AB也是正交矩阵 证(1)? A正交,? AAT ? AT A ? E,? AT正交 ? AAT ? AT A ? E,? AT ? A-1,? A-1正交 ?( A*)T A* ? ( A A?1)T ( A?1 A ) ? A ( A?1)T A?1 A , 且? AT ? A , ( A?1)T ? ( AT )?1, A正交 ?( A*)T A* ? AT A ( AT )?1 A?1 ? AT A ( AAT )?1 ? E。 即A*正交 (2)略 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 5.求下列矩阵的特征值和特征向量 (1)???? 12 -41????, ( 2)????? 1 2 3 2 1 3 3 3 ???,并问它们的特征向量是否两两正交 6 ?? 解:(1)A ? ?E ? 1? ? 2 ?1 4 ? ? ? (? ? 2)(? ? 3) ? 0 : ?1 ? 2, ?2 ? 3 ( A ? 2E)x ? 0 : ( A ? 2E) ? ???? ?1 2 ?21???? ? ???? 1 0 1 0 ???? :同解方程x1 ? ? x2 特征向量:? ? (?1, 1)T ( A ? 3E) x ? 0 : ( A ? 3E ) ? ???? ?2 2 ?11???? ? ???? 2 0 1 0 ???? :同解方程:x1 ? ? 1 2 x2 特征向量? ? (?1, 2)T ?? T ? ? 0,所以不正交 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 5.求下列矩阵的特征值和特征向量 ?? 1 (2)? 2 2 1 33 ???, 并 问它 们的 特征 向量是 否两 两正 交 ?? 3 3 6?? 1? ? 2 3 ? (1? ?) 1? ? 0 10 0 解:(2)A ? ?E ? 2 1? ? 3 ? 2 1? ? 3 ? ?(1? ?) 2 3 ? ? 3 3 3 6?? 3 3 6?? 3 6 6?? ? ?(1? ?)?(? ? 9) ? 0, ?1 ? 0, ?2 ? ?1, ?3 ? 9 解( A ? 0E)x ? 0,得:特征向量? ? ??1, ?1, 1?T 解( A ? E)x ? 0,得:特征向量? ? ??1, 1, 0?T 解( A ? 9E)x ? 0,得:特征向量? ? ?1, 1, 2?T 经验证,特征向量正交。 6.设A为n阶矩阵,证明AT 与A的特征值相同。 证:? AT ? ?E ? AT ? (?E)T ? ( A ? ?E)T ? A ? ?E ?特征多项式相同,则特征值相同。 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 7.设A2 ? 3A ? 2E ? 0,证明A的特征值只能取1或2。 证明:设??A? ? A2 ? 3A ? 2E,则??A?的特征值为????,设特征向量为p 则:??A?p ? ????p,???A? ? 0,?????p ? 0,又? p ? 0,????? ? 0, (? ?1)(? ? 2) ? 0,?? ? 1, ? ? 2. 8.设? ? 0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值,证明?也是n阶矩阵BA的特征值 证:设p是?对应的特征向量,p ? 0,且:? ABp ? ?p,即:B( ABp) ? ?Bp ?(BA)Bp ? ?(Bp). 令:Bn?m pm?1 ? qn?1.则:易得:q ? 0.假定q ? 0,即:Bp ? 0, ABp ? 0, 即ABp ? ?p ? 0,? p ? 0,?? ? 0,与已知? ? 0矛盾。即得:q ? 0. 由于(BA)Bp ? ?(Bp).?(BA)q ? ?q.??为BA的特征值。 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 9.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求 A3 ? 5A2 ? 7 A. 答案与提示:18。 ??A? ? A3 ? 5A2 ? 7 A,则:??? ? ? ?3 ? 5?2 ? 7?。 ??1? ? 3,??2? ? 2,??3? ? 3,??A? ? ??1???2???3? ? 18 10.设方阵A ? ?? ? 1 ?2 ?2 x ? ? 4 2 ???与? ? ?? ? 5 y ???相似,求x, y. ?? ? 4 ? 2 1 ?? ?? ? 4?? 答案与提示:???xy ? ? 4 , 5 由:A ? ?E ? ? ? ?E ? (5 ? ?)(y ? ?)(?4 ? ?) 1?? ?2 ?4 5?? 0 ?5?? 1 0 ?1 A ? ?E ? ? 2 x ? ? ? 2 ? ? 2 x ? ? ? 2 ? (5 ? ?) ? 2 x ? ? ? 2 ?4 ?2 1?? ?4 ?2 1?? ?4 ?2 1?? 10 0 ? (5 ? ?) ? 2 x ? ? ? 4 ? (5 ? ?)[(x ? ?)(?3 ? ?) ? 8] ?4 ?2 ?3?? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 11.设A与B都是n阶方阵,且A ? 0,证明:AB与BA相似。 证:? A ? 0,? A可逆,存在A?1,令P ? A P?1ABP ? A?1ABA? BA,? AB与BA相似 12.设矩阵A ? ?? ? 2 3 0 1 1 x ???可相似对角化,求x. ?? 4 0 5?? 答案与提示:x ? 3 由 A ? ?E ? 0,解出:?1 ? ?2 ? 1, ?3 ? 6 解( A ? E)x ? 0,只要R( A ? E) ? 1,即可 13.设3阶方阵A的特征值为?1 ? 1, ?2 ? 0, ?3 ? ?1, 对应的特征向量依次为 ?1? ? 2 ? ??2? p1 ? ?? ? 2?, p2 ? ? ?? ? 2?, p3 ? ? ? ?1 ? ?, 求A. ?? 2?? ?? 1 ?? ?? 2 ?? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 ?? ? 1 0 2 ?? ?3 3? 第五章:13.答案与提示:A ? ? ? 0 1 3 2 3 ??. ? p1, p2 , p3是不同特征值的特征向量, ?2 2 ? ? ? 3 3 0? ? ?将p1, p2 , p3单位化,令P ? ( p1, p2 , p3 ),由P?1AP ? ?, 推出:A ? P?P?1 14.已知p ? ?1, 1, ?1?T 是矩阵A ? ?? ? 2 5 ?1 a ?? ?1 b 参数a, b及特征向量p所对应的特征值。 2 3 ???的一个特征向量,试求 ? 2?? 答案与提示:根据Ap ? ?p, 对应求出:a ? ?3,b ? 0, ? ? ?1. 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 15.设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3。特征值6对应的特征向量为 p1 ? ?1, 1, 1?T ,求A. 答案与提示: 解 设 ?1 ? 6, ?2 ? ?3 ? 3, 由于实对称矩阵对于不同特征值对应的特征向量互相正交, 则对应于 ?2 , ?3的特征向量 p2 , p3 满足方程: p1T x ? 0, 即 ?1,1,1???? x1 x2 ?? ? ? 0, x1 ? x2 ? x3 ? 0. ? ? x3 ? ? ? ?1? ? ?1? 得基础解系 P2 ? ? ? 1 ? ?, P3 ? ?? 0 ? ?. ?? 0 ?? ?? 1 ?? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 ??1 P ? (P1, P2 , P3 ) ? ?1 ??1 ?1 1 0 ? 1?? 0 ?, 1 ?? P ?1 ? 1 P* |P| ? 1 3 ?? ? ?? 1 ?1 ?1 1 2 ?1 1 ?? ? 1?. 2 ?? A ? P?P ?1? ??1 ?1 ??1 ?1 1 0 ?1?? ??6 0 ?? ?0 1 ?? ? ? 0 0 3 0 00 ???? 3?? 1 3 ?? ? ?? 1 ?1 ?1 1 2 ?1 1 ?? ? 1?. ? ?? ? 4 1 2 ?? ? ? 1 1 4 1 1 ?? 1 ?. 4 ? ? 16.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵 (1)A ? ?? ? 2 ?2 ?2 1 0 ?? ? 2?. ?? 0 ? 2 0 ?? ?? ? 2 2 1 ?? ? 3 3 3? 答案与提示:P ? ? ? ? 1 3 ?2 3 2? 3? ? 2 1 2? ? ? 3 3 3 ? ? 求出特征值为1,4,-2。对应解出特征向量,排出P 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 ? 2 2 ?2? 1(6 2)A ? ? ? 2 ? 5 ? 4?. ?? ? 2 ? 4 5 ?? ?? ? 2 ?5 ? 答案与提示:?1 ? ?2 ? 1, ?3 ? 10, P ? ? ? 1 5 ? ? 0 ?1 4 2? ? 5 5 25 5 0 ? 1 ?? 3 ?2 3 2 ? ? ?, ? ? ? ? ?? 1 ? ?? 1 ?? ? 10?? 3 ? ? 17.设A ? ? ? 0 ?3 4 ? ?, 求A100 : 答案与提示:P?1AP ? ?, A100 ? P?P ?1 ??0 4 3?? 先将A对角化求出P ?1 1 A100 ? ? ?0 1 ??0 1 2 ????1 ? 2?? 0 1 ???? 0 0 5100 0 0 ???? 3 0 ?? 0 5100 ???? 0 1 1 ?1 ?4 2 1 ?? ? ?? 1 3 ? ?? ? ? ? 3 0 0 1? (?1) ? 5100 3? 5100 0 ? 4 ? 4 ? 5100 ?? 0? 3? 5100 ? ? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 18.用矩阵记号表示下列二次型 (1)f ? x2 ? 4xy ? 4 y2 ? 2xz ? z2 ? 4 yz. ?? 1 A ? ?2 2 4 1 ?? 2 ?, f ? ?x, y, z ?A??? x y ?? ? ??1 2 1?? ?? z ?? 1(8 2)f ? x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? 2x1x2 ? 4x1x3 ? 2x1x4 ? 6x2 x3 ? 4x2 x4 ?? 1 ?1 2 ?1?? ?? x1 ?? 答案:A ? ? ? ??? ?1 2 ?1 1 3 ?2 3 1 0 ?102 ?????, f ? ?x1, x2 , x3 , x4 ?A?? ??? x2 x3 x4 ? ? ??? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 19.求一个正交矩阵,化下列二次型为标准形 (1)f ? 2x12 ? 3x22 ? 3x32 ? 4x2 x3 答案与提示:特征值为:?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? 5, 对应的( A ? ?E) X ? 0的 基础解为:p1 ? ?0, ?1, 1?T , p2 ? ?1, 0, 0?T , p3 ? ?0, 1, 1?T . ?? ? 0 1 P ? ? ? ? 2 2 0 ? ? 2 0 ?2 ? 0 2 2 2 ? ? ??, ? ? ? ? ?? ? ?? 1 0 0 0 2 0 0 ?? 0 ?, f ? y12 ? 2 y22 ? 5 y32 5 ?? 2? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 19.求一个正交矩阵,化下列二次型为标准形 (2)f ? x12 ? x22 ? x32 ? 2x1x2 ? 2x1x4 ? 2x2 x3 ? 2x3x4 答案与提示:特征值为:?1 ? ?2 ? 1, ?3 ? 3, ?4 ? ?1, 对应的( A ? ?i E) X ? 0的 基础解为:p1 ? ?1, 0, 1, 0?T , p2 ? ?0, 1, 0, 1?T , p3 ? ??1, ?1, 1, 1?T , p4 ? ?1, ?1, ?1, 1?T , ?? 1 ?2 ? ? 0 P?? ? 1 ?2 ? ?? 0 0 ? 1 1 ?? 1 2 0 1 2 ?1 2 1 2 1 2 ?1 2 ?1 2 1 ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ?? 1 ?0 ? ??? 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 ?? ?001?????, f ? y12 ? y22 ? 3y32 ? y42 2 2 2 ?? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 20.证明:二次型f ? xT Ax在 x ? 1时的最大值为方阵A的最大特征值。 证:令对角化正交变换为P,则:x ? Py, PT P ? E且:xT x ? yT PT Py ? yT y. ? x ? 1? y ? 1,即; y12 ? y22 ? ? ? yn2 ? 1, f (x) ? f (Py) ? ?1 y12 ? ?2 y22 ? ?? ?n yn2.其中?i (i ? 1,2,?, n)为A的特征值 设?1为?i (i ? 1,2,?, n)中最大者,则 f ? ?1 y12 ? ?2 y22 ? ? ? ?n yn2 ? ?1 y12 ? ?1 y22 ? ? ? ?1 yn2 ? ?1. 取?y1, ? yn ? ? ?1, 0, ? 0?,则f (Py) ? f [P?y1, ? yn ?T ] ? ? ?112 ? ?2 02 ? ? ? ?n 02 ? ?1 ? fmax 即得: f ? ?1 y12 ? ?2 y22 ? ? ? ?n yn2 ? ?1 ? fmax 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 21.用配方法化下列二次型成规范型 (1)f (x1, x2 , x3 ) ? x12 ? 2x32 ? 2x1x3 ? 2x2 x3 答案与提示:f ? x12 ? 2x1x3 ? x32 ? x32 ? 2x2 x3 ? x22 ? x22 ? (x1 ? x3 )2 ? (x2 ? x3 )2 ? x22 ? y12 ? y22 ? y32 其中x ? ?? ? x1 x2 ?? ? ? Py ? ?? P? y1 y2 ?? ?, P ? ?? ? 1 0 ?1 0 1 ?? 1? ?? x3 ?? ?? y3 ?? ?? 0 1 ?1?? 21.用配方法化下列二次型成规范型 (2)f (x1, x2 , x3 ) ? 2x12 ? x22 ? 4x32 ? 2x1x2 ? 2x2 x3 答案与提示:f ? 2x12 ? x22 ? 4x32 ? 2x1x2 ? 2x2 x3 ? [x12 ? 2x2 (x1 ? x3 ) ? (x1 ? x3 )2 ] ? (x1 ? x3 )2 ? 2x12 ? 4x32 作业及其提示 21.(2)续 第五章:向量组的线性相关性 ? (x1 ? x2 ? x3 )2 ? (x1 ? x3 )2 ? ( 3x3 )2 ? y12 ? y22 ? y32 ??0 1 ? 3 ?? 其中x ? ?? ? x1 x2 ?? ? ? Py ? ?? P? y1 y2 ?? ?, P ? ? ? ? 1 ?? x3 ?? ?? y3 ?? ? ? ? 0 ? ?1 0 3? 2 3? 3 ? ? 3? 3 ?? 22.判别下列二次型的正定性 (1)f ? ?2x12 ? 6x22 ? 4x32 ? 2x1x2 ? 2x1x3 答案与提示:正定。A ? ?? ? ?2 1 1 ?6 1 0 ?? ?, 用主子式法判定即可 ?? 1 0 ? 4?? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 2(2 2)f ? x12 ? 3x22 ? 9x32 ?19x42 ? 2x1x2 42x1x3 ? 2x1x4 ? 6x2 x3 ?12x3x4 ?? 1 ?1 2 1 ?? 答案与提示:正定。A ? ? ? ??? ?1 2 1 3 ?3 0 ?3 9 ?6 ?1096 ?????, 用主子式法判定即可 23.设U为可逆矩阵,A ? U TU ,证明f ? xT Ax为正定二次型。 证明:设U为可逆矩阵,A ? U TU,f (x) ? xT Ax ? xTU TUx ? (Ux)T (Ux) ? ? ?U n?n xn?1 ? qn?1 ? q1, q2 , ? qn ,? f (x) ? qT q ? q12 ? q22 ? ? ? qn2 ? 0 ??x ? 0,?U可逆?Ux ? 0,即q ? 0,? f ? 0 即f ? xT Ax为正定二次型 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 24.设对称阵A为正定阵,证明存在可逆矩阵U ,使得A ? U TU. 证:设A对称且正定,则存在正交矩阵P,与对角矩阵? ? diag(?1, ?2,?, ?n ) ?i ? 0, i ? 1,2,?, n.使得:P?1AP ? PT AP ? ?.即: A ? P?P?1 ? P?PT A? P?PT ? ?? ?1 P? ? ? ? ? PT ? ?? P? ?1 ? ?? ?n ?? ??? ???? ?1 ?? ? ?n ?????? ?? ?PT ?n ??? ?? ?1 令U ? ? ? ??? ?? ?PT ,则:A ? U TU.结论成立。 ?n ??? 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 25.试证:(1)A正定,则A?1与A*也正定; (2)A与B均为n阶正定矩阵,则( A ? B)也为正定矩阵。 证:? A正定,? A的特征值全为正。且存在P正交,使得:P?1AP ? ?. (P?1AP)?1 ? ??1.P?1A?1P ? ??1.设? ? diag(?1,?, ?n ), 则:?-1 ? diag( 1 ,?, 1 )。? A?1与??1相似,? A?1的特征值与??1的相同, ?1 ?n 为:1 ?1 ,?, 1 ?n 。? ?i ? 0,? 1 ?i ? 0,i ? 1,2,?, n.特征值均为正,即A?1正定。 ? AA* ? A E, A* ? A A?1.? P?1 A A?1P ? A ??1即:P?1A*P ? A ??1 即:A* ? A A?1与 A ??1相似。特征值相同,为:A , i ? 1,?, n. ?i ? A正定, ?i ? 0,? A A ? 0,? ?i ? 0,i ? 1,?, n.? A*的特征值均为正,即正定。 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 2( 5 2)证:设 f1 ? xT Ax, f2 ? xT Bx,,则; f (x) ? xT ( A ? B)x ? xT Ax ? xT Bx, ? A、B正定,??x, f1(x) ? xT Ax ? 0, f2 (x) ? xT Bx ? 0 ? f (x) ? f1(x) ? f2 (x) ? 0.? A ? B正定。 26.选择题 (1)设? ? 2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵(1 A2 )?1有一个特征值等于( ) 3 ( A) 4 ; (B) 3; (C) 1 ; (D) 1 3 4 2 4 答案:B.提示:f ( A)的特征值为f (?) (2)设A为n阶可逆矩阵,?为A的一个特征值,则A的伴随矩阵A*的一个特征值是( ) ( A)??1 A n ; (B)??1 A ; (C)? A ; (D)??1 A n?1; 答案与提示:B. A* ? f ( A) ? A A?1, f ( A)的特征值为f (?) 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 26(. 3)设A为n阶可逆矩阵,且Ak ? 0(k为正整数),则( ) ( A) A ? 0; (B) A有一个不为零的特征值; (C) A的特征值全为零; (D) A有n个线性无关的特征值。 答案与提示:C. Ak ? ?k E ? 0, ? ?k E ? 0?(?k )n ? 0 ? ?k ? 0 ? ? ? 0 26(. 4)设?0是n阶矩阵A的特征值,且齐次线性方程组(?0E ? A) X ? 0 的基础解系为?1和?2,则A的属于?0的全部特征向量是( ) ( A)?1和?2; ( B)?1或?2; (C)c1?1 ? c2?2 (c1, c2全不为零);(D)c1?1 ? c2?2 (c1, c2不全为零)。 答案与提示:D. 作业及其提示 第五章:向量组的线性相关性 26(. 5)下列二阶矩阵可对角化的是( ) ( A)???? 1 ?4 15????; (B)????11 ?54 ????; (C)???? 1 0 10 ????; (D)???? 0 ?1 12 ???? 答案与提示:C. 求特征值,解( A ? ?i ) X ? 0,逐个看基础解系 是否对应2个线性无关的特征向量。