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1.问题

推广成,如何证明 根号 p(p是素数)是无理数
素数:一个大于1的自然数,如果除了1和它自身外,不能被其他自然数整除(除0以外)的数称之为素数。

2.思路

反证法:
假如
( p ) = a b \sqrt{(p)} = \frac{a}{b}(p)=ba 其中, a, b互质的整数。
然后,
a 2 = p b 2 a^2 = p b^2a2=pb2
假如
a aa 没有质因子 p,那么, a 2 a^2a2 也没有质因子 p。矛盾!
所以, a aa具有质因子 p,而且 a 2 a^2a2 具有 p 的 倍数个 质因子 p.
所以, b 2 b^2b2 也具有质因子 p。
再假如 b不具有质因子 p, 那么 b 2 b^2b2 也没有质因子 p,矛盾。
从而, b bb 具有质因子 p。
又因为 a, b 都含有质因子 p, 矛盾。
故 p是无理数。

3.特殊

证明根号2是无理数的解法。
参考: