利用函数的二阶导数可以判定函数的凹凸区间与拐点。二阶导数为正,则函数是凹的;二阶导数为负,则函数是凸的。而在某点左右,二阶导数变号,则该点为函数的拐点。笔记下载:函数的凹凸性与拐点
1,凹凸性的定义:关于函数曲线的凹凸性的定义有好几种。我们列举如下 :
我们称曲线是凹的,有以下几种定义:
曲线的切线在曲线下方;曲线切线的斜率是增加的;曲线上连接两点的线段在曲线上方。
同样,我们称曲线是凸的,也有几种定义:
曲线的切线在曲线上方;曲线切线的斜率是减少的;曲线上连接两点的线段在曲线下方。
2,定义:对于曲线凹凸性的定义,我们采用第二种方法。
若在某个区间内,曲线的切线斜率增加, 我们称曲线在此区间是“凹”的(开口朝上);若某个区间曲线的切线斜率减少,我们称曲线在该区间内是“凸”的(开口朝下)。
3,由上面的定义,我们可以用函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
定理:若函数在某区间内二阶可导, \(f^{\prime\prime}(x)>0\),则函数在此区间上是凹的;若\(f^{\prime\prime}(x)