本文转载于公众号:超级数学建模 微信号 :supermodeling 信我 我拿过诺贝尔奖 8岁表妹拿了一道小学题来问我。 看着题目,不禁让我这样一个接受过高等教育的美男子弯着腰,屈着膝,右手托着下颌,陷入深思。 《思想者》 如何优雅的跟表妹讲解这道小学题目呢? 花里胡哨的乘法 首先,对于A×B,如果A、B都是一个数,那么一定等于B×A。但是,如果代表的不是一个数,而是一个矩阵呢? 那么问题又来了,什么是矩阵? 由 m × n 个数排成的m行n列的数表称为m行n列的数块,简称m × n矩阵。 由 m × n 个数排成的m行n列的数表称为m行n列的数块,简称m × n矩阵。 比如这个样子: 记得我第一次看到的时候,心里也是充满质疑:这玩意还能做乘数啊?而结果当然就是无所不能的数学让我自扇耳光,能! 话虽如此, 但 矩阵参与乘法运算的时候,还是有限制的。 第一,只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同时才有意义,否则你会乘不下去的。 第二,对于大部分乘法运算律,矩阵都能满足,像结合律、分配律。唯独对于乘法交换律,矩阵乘法并不能满足。没错,就是这么不讲道理! 我们都知道,乘法交换律是一种计算定律,两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变,用字母表示a×b=bxa。 这个傲娇的矩阵如果不满足交换律,那正确应该怎么乘?就举小学数学题这个栗子: 换个位置结果还会相等吗? 你会发现,因为不同的相乘次序会有不同的乘积,这就使得A×B不再等于B×A,所以这道小学判断题的答案就是: 表妹:那这花里胡哨的乘法能做什么啊? 最优的买菜选择 来个生活中栗子,假如我要把这两天的菜钱进行统计分析。 第一天:去了村头农贸市场买1斤肉,3斤蔬菜。 第二天:去了村尾王大妈那里买2斤肉,1斤蔬菜。 用矩阵来表示需要买的材料: 接着,就要看价格了。 用矩阵来表示单价的话,我们就可以写成: 把它们两个进行相乘,就会得到一个消费矩阵: 在得出的结果里,我们可以很清晰的看到 所有组合的消费可能性 ,一比较下来,就知道以后 一定要和王大妈打好关系 。 另外,在这个过程也会发现: 如果材料消耗翻倍,花的钱数也翻倍。 如果去不同的菜市场,也会得到不同的花钱数量。 如果材料消耗翻倍,花的钱数也翻倍。 如果去不同的菜市场,也会得到不同的花钱数量。 表妹,你怎么就开始抓头发了呢?还没讲完。 编制密码 再来一个基于 Hill 密码 的栗子:运用矩阵论原理的替换密码。 先给个背景:假定26个英文字母与数字之间有以下对应关系: A B C ...... X Y Z 1 2 3 ...... 24 25 26 现在有个众所周知的机密信息: 超模君帅炸了 ,换成拼音首字母就是: CMJSZL ,再换成数字就是: 3、13、10、19、26、12 ,我们把它写成这样: 然后选一个三阶的矩阵,例如: 再然后进行加密: 输出的密码就是新的一串数字: 59、36、33、107、69、50 。 你看,这样加密以后,就没人知道超模君帅炸了。 我们欠矩阵乘法一个诺贝尔奖 当然,矩阵乘法的应用还有很多,除了上面两个栗子,还能应用于 人口迁移模型、生产管理、生态统计、配方、路径 等等问题。 而关于矩阵,早在我国数学名著《九章算术》里,曾记载着用分离系数法表示线性方程组,比较接近矩阵的框架,但只是作为线性方程组的标准表示与处理方式,未涉及到运算。 再到后来19世纪,英国数学家凯利首次提出矩阵概念。19世纪中叶,矩阵的算术运算被 确定 下来,其中就包括矩阵乘法。 20世纪20年代,基于经典力学的旧量子遇到了瓶颈,需要新的理论来取代。而物理学家海森堡在全新的量子理论中必须借助一种奇怪的乘法, 这种乘法的结果取决于相乘的次序,即A×B-B×A未必是0。 可能是因为海森堡偏科太严重了,怎么想也想不出来,后来在导师玻尔的帮助下,才发现这奇怪乘法竟然是数学界都知道的矩阵乘法。 海森堡也因此成功创建了作为量子力学的重要组成部分—— 矩阵力学 ,获得诺贝尔物理学奖。 这也告诉我们 不要偏科,否则本属于你的诺贝尔奖就有可能飞走了。 马云曾说: 数学是未来存活于世界的顶级能力! 记得要关注 「超级数学建模」 0~99岁都可以关注的数学科普公众号