算术几何平均值不等式January 24, 2013 对于任意n个正数,当且仅当a 一般思路:归纳法构造法 调整法 极值法。 Part ,要证明的结论为An+1 n+1为简化符号,可记作P:a G,其中na 1.1化化化简简简命命命题题题,,,减减减少少少变变变量量量数数数::: 由条件(1),命题化为A na+xn+1 ng+xn+1 带入条件(2)得ng n+1设法凑出( 以利用归纳假设(但实际并不一定会用到),于是ng n+1在不至混淆的前提下化简符号得 nb n+1 1.1.1二二二项项项展展展开开开 由问题背景知道上式取决于a b,只剩下a,b两个变量,又有n次方项,二项展开是此种情况下的常用方法; 考虑x ,可取x是n+1个正数中最大的那个,令a +h,带入上式并将其中an+1 展开到第二项即得证。 1.1.2二二二项项项展展展开开开 同上,但是取x是n +1个正数中最小的那个,令b k+1n+1 n+1left n+1j+na n+1 1.1.3二二二项项项展展展开开开 继续化简,减少变量个数; 由问题背景知道(3)式取决于a 1.2化化化简简简命命命题题题,,,减减减少少少变变变量量量数数数::: 由条件(2),命题化为(a 1.2.1二二二项项项展展展开开开 联系问题背景知,上式中取决于x a;只剩下a,x两个变量,又有n次方项,再结合该式的结构,可以考虑二项展 na,可取x是n+1个正数中最大的那个,令x 将上式右端展开即得证。