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牛顿法(Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数
的泰勒级数的前面几项来寻找方程
的根。
目录
方法说明
蓝线表示方程f而红线表示切线. 可以看出xn+1比xn更靠近f所要求的根x.
首先,选择一个接近函数
零点的
,计算相应的
和切线斜率
(这里
表示函数
的导数)。然后我们计算穿过点
并且斜率为
的直线和
轴的交点的
坐标,也就是求如下方程的解:
我们将新求得的点的
坐标命名为
,通常
会比
更接近方程
的解。因此我们现在可以利用
开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:
已经证明,如果
是连续的,并且待求的零点
是孤立的,那么在零点
周围存在一个区域,只要初始值
位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果
不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
其它例子
第一个例子
求方程f(x) = cos(x) −x3的根。两边求导,得f'(x) = −sin(x) − 3x2。由于-1 ≤ cos(x) ≤ 1(对于所有x),则-1 ≤x3≤ 1,即-1 ≤x ≤ 1,可知方程的根位于0和1之间。我们从x0= 0.5开始。
第二个例子
牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。
求a的m次方根。
- a= 0
设
,
而a的m次方根,亦是x的解,
以牛顿法来迭代:
(或
)