事实上,容易发现上式的全部复根为 由于n为奇数,所以可以将除了z=a外的其他根及其共轭一一配对,即 看做一对, 则通过二次方程的韦达定理可以还原出每对根的最小多项式: 按照韦达定理,有 由于最小多项式首项系数为1,故 ,由此得到这对根最小多项式为 注意到k的取值上限为 ,将每一对根的最小多项式相乘, 还有z=a这个根的最小多项式 ,乘在一起,得到 令 ,代入上式,有: 此时,上述乘积中的 仅和N有关,记作 ,上式变为 而利用二项式定理,将等式左边展开: 两式相减,考虑一次项,为 这正是等式的左边的一次项 而等式右边的一次项只能是连乘积中的全部1与连乘积外的C(n)x相乘,为使两边相等,必须有 ,于是上式变为 另一方面,令 ,有 于是,代入上式,得到 令N→∞,则右端大O符号的诸项都变为无穷小。另一方面,左端可写为: 于是上式变为 此时,只需比较左右两端展开式的三次项系数,即可得出结果。 欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式: 这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆,其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中看到。 通过这条公式,容易证明当 时, 1749年,欧拉通过大胆的计算发现了 发现ζ(s)与ζ(1-s)之间存在某些关系。 将欧拉所做的一切牢牢地置于坚石之上的是黎曼,他在1859年的论文论小于给定数值的素数个数以及未发表的手稿中做出了多项进展: 第一积分表示: 完备化的ζ,即黎曼ξ函数: ,满足函数方程 第二积分表示: ,则 黎曼 - 冯·曼戈尔特公式:以 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则 黎曼猜想:ζ函数的所有非平凡零点的实部非常有可能均为 第三积分表示: ,其中围道γ逆时针环绕负实轴 黎曼-西格尔公式:给出计算ξ函数的数值的方法 零点的计算:计算了虚部介于0与100的所有零点的数值 素数的分布公式:引入黎曼素数计数函数,给出了它与ζ函数的关系 1896年,雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了 的所有非平凡零点的实部均小于1,即 上无非平凡零点,从而完成了素数定理的证明。 1900年,希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,提出了23道最重要的数学问题,黎曼假设在其中作为第8题出现。 之后,希尔伯特提出了希尔伯特-波利亚猜想,具体时间及场合未知。 1914年,哈那德·玻尔和爱德蒙·兰道证明了玻尔-兰道定理:含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点,表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。 1921年,哈代和李特尔伍德证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 。 1942年,阿特勒·塞尔伯格更进一步,证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为 ,这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度,而临界线 对于临界带 的测度为0。 ζ函数原本定义在右半平面 上,并且在此区域内为全纯函数 解析延拓后在全局具有积分表达式 满足函数方程 特别地,如果考虑正规化的ζ,即黎曼ξ函数 那么它满足函数方程 黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例: 这种类型的级数被称作狄利克雷级数。