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所谓“比较判别法的极限形式”,我默认你说的是以下定理:
对于两给定的正项级数
和
,若极限
(其中
),则两级数的敛散性是一致的(要么都收敛,要么都发散)。证明:依数列极限的
定义,有
,使得:
。
由于
,可以任选某一足够小的
使得
,此时则有
。根据比较判别法知
若收敛则
亦然;同时,由
知
,故同样使用比较判别法于
,得出
若收敛则
亦然。
当两级数中有一者发散时,另一者的发散性也由比较判别法立即得出。