传送带问题难点形成的原因:
1、对于物体与传送带之间是否存在摩擦力、是滑动摩擦力还是静摩擦力、摩擦力的方向如何,等等,这些关于摩擦力的产生条件、方向的判断等基础知识模糊不清;
2、对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动,判断错误;
3、对于物体在传送带上运动过程中的能量转化情况考虑不全面,出现能量转化不守恒的错误过程。
一、传送带模型分析
情景
传送带类别
图示
滑块可能的运动情况
滑块受(摩擦)力分析
情景1
水平
一直加速
受力f=μmg
先加速后匀速
先受力f=μmg,后f=0
情景2
水平
v0>v,一直减速
受力f=μmg
v0>v,先减速再匀速
先受力f=μmg,后f=0
v0
受力f=μmg
v0
先受力f=μmg,后f=0
情景3
水平
传送带长度l,滑块一直减速到达左端
受力f=μmg(方向一直向右)
传送带长度l≥
,v0
受力f=μmg(方向一直向右)
传送带长度l≥
,v0>v,滑块先减速再向右加速,最后匀速,到达右端速度为v
减速和反向加速时受力f=μmg(方向一直向右),匀速运动f=0
情景4
倾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
先加速后匀速
先受摩擦力f=μmgcosθ,后f=mgsinθ
情景5
倾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
先加速后匀速
先受摩擦力f=μmgcosθ,后f=mgsinθ
先以加速度a1加速,后以加速度a2加速
先受摩擦力f=μmgcosθ,后受反向的摩擦力f=μmgcosθ
情景6
倾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
先加速后匀速
先受摩擦力f=μmgcosθ,后f=mgsinθ
一直匀速(v0>v)
受摩擦力f=mgsinθ
一直匀速(v0=v)
受摩擦力f=0
先以加速度a1加速,后以加速度a2加速
先受摩擦力f=μmgcosθ,后受反向的摩擦力f=μmgcosθ
情景7
倾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
一直匀速
受摩擦力f=mgsinθ
先减速后反向加速
受摩擦力f=μmgcosθ
二、应用举例
【例1】如图1所示,一水平传送装置由轮半径均为R=
m的主动轮O1和从动轮O2及传送带等构成。两轮轴心相距8.0 m,轮与传送带不打滑。现用此装置运送一袋面粉,已知这袋面粉与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.4。(g取10 m/s2)求:
(1)当传送带以4.0 m/s的速度匀速运动时,将这袋面粉由左端O2正上方的A点轻放在传送带上后(设面粉初速度近似为零),这袋面粉由A端运送到O1正上方的B端所用的时间为多少?
(2)要想尽快将面粉由A端送到B端,主动轮O1的转速至少应为多大?
【解析】设这袋面粉质量为m,其在与传送带产生相对滑动的过程中所受摩擦力f=μmg。故其加速度为a=
=μg=4.0 m/s2。
(1)若传送带的速度v带=4.0 m/s,则这袋面粉加速运动的时间t1=v带/a=1.0 s,在t1时间内的位移x1为x1=
at12=2.0 m。
其后以v=4.0 m/s的速度做匀速运动,
x2=lAB-x1=vt2,
解得:t2=1.5 s。
运动的总时间为:t=t1+t2=2.5 s。
(2)要想时间最短,这袋面粉应一直向B端做加速运动,由lAB=
at′2可得t′=2.0 s。
面粉到达B端时的速度v′=at′=8.0 m/s,即传送带运转的最小速度。
由v′=ωR=2πnR可得:n=4 r/s=240 r/min。
【例2】如图2所示,质量为m的物体从离传送带高为H处沿光滑圆弧轨道下滑,水平滑上长为L的静止的传送带并落在水平地面的Q点,已知物体与传送带间的动摩擦因数为μ,则当传送带转动时,物体仍以上述方式滑下,将落在Q点的左边还是右边?
【解析】物体从P点滑下,设水平滑上传送带时的速度为v0,则由机械能守恒mgH=
mv02,可得
。
当传送带静止时,分析物体在传送带上的受力知物体做匀减速运动,a=μmg/m=μg。
物体离开传送带时的速度为
,
随后做平抛运动而落在Q点。
当传送带逆时针方向转动时,分析物体在传送带上的受力情况与传送带静止时相同,因而物体离开传送带时的速度仍为
,随后做平抛运动而仍落在Q点。
(当v02
当传送带顺时针转动时,可能出现五种情况:
(1)当传送带的速度v较小,
时,分析物体在传送带上的受力可知,物体一直做匀减速运动,离开传送带时的速度为
,因而仍将落在Q点。
(2)当传送带的速度
,因而将落在Q点的右边。
(3)当传送带的速度
=v0时,则物体在传送带上不受摩擦力的作用而做匀速运动,离开传送带时的速度
,因而将落在Q点的右边。
(4)当传送带的速度
,因而将落在Q点的右边。
(5)当传送带的速度v较大
,因而将落在Q点的右边。
综上所述:
当传送带逆时针转动或顺时针转动且速度
当传送带顺时针转动且速度
【例3】如图3所示,绷紧的传送带,始终以2 m/s的速度匀速斜向上运行,传送带与水平方向间的夹角θ=30°。现把质量为10 kg的工件轻轻地放在传送带底端P处,由传送带传送至顶端Q处。已知P、Q之间的距离为4 m,工件与传送带间的动摩擦因数为μ=
,取g=10 m/s2。求:
(1)通过计算说明工件在传送带上做什么运动;
(2)求工件从P点运动到Q点所用的时间。
【解析】(1)对工件进行受力分析,由牛顿第二定律得:
μmgcosθ-mgsinθ=ma,
代入数值得:a=2.5 m/s2。
则其速度达到传送带速度时发生的位移为x1=
=0.8 m可见工件先匀加速运动0.8 m,然后匀速运动3.2 m。
(2)匀加速时,由x1=
t1得t1=0.8 s,
匀速上升时t2=
=1.6 s,
所以工件从P点运动到Q点所用的时间为t=t1+t2=2.4 s。
【例4】如图4所示,传送带与水平面夹角为37°,并以v=10m/s运行,在传送带的A端轻轻放一个小物体,物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5,AB长16 m,求:以下两种情况下物体从A到B所用的时间。
(1)传送带顺时针方向转动;
(2)传送带逆时针方向转动。