\ue50a2010-12-16　15:02:30　\ue50b　阶微分方程初值问题的数值　解法高阶微分方程　初值问题的数值　解法高阶微分方程　初值问题的数值　解法　高阶微分方程　1、微分方程的基本概念1.1微分方程的定义1.2　解微分方程1.3　基本概念2、一阶微分方程2.1　微分方程的解2.2　微分方程的通解不一定包括所有的解2.3　微分方程解法　一——可分离变量的微分方程2.3.1　可分离...　0、博主高数相关章节目录　1、数列　1、微分方程的基本概念　1.1微分方程的定义　1.2　解微分方程　1.3　基本概念　2、一阶微分方程　2.1　微分方程的解　2.2　微分方程的通解不一定包括所有的解　2.3　微分方程解法一——可分离变量的微分方程　2.3.1　可分离变量的微分方程的定义　ϕ　(　y　)　d　y　=　ψ　(　x　)　d　x　\phi(y)dy=\psi(x)dx　ϕ　(　y　)　d　y　=　ψ　(　x　)　d　x　2.3.2　求通解的步骤　2.3.3　例题——两端积分求通解　2.4　微分方程解法二——一阶线性微分方程　2.4.1　线性齐次方程　d　y　d　x　+　P　(　x　)　y　=　0　\frac{dy}{dx}+P(x)y=0　d　x　d　y　　+　P　(　x　)　y　=　0　2.4.2　线性非齐次方程　d　y　d　x　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)　d　x　d　y　　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　2.4.2.1　待定系数　2.4.2.2　一阶线性方程解的结构　2.4.2.3　例题——一阶非齐次线性微分方程　2.4.3　伯努利方程　d　y　d　x　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　∗　y　n　\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)*y^n　d　x　d　y　　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　∗　y　n　2.4.3.1　伯努利方程的推导　2.4.3.2　伯努利方程的通解　3、高阶微分方程　3.1　微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程　3.1.1　y　(　n　)　=　f　(　x　)　y^{(n)}=f(x)　y　(　n　)　=　f　(　x　)　型的方程　3.1.2　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　y''=f(x,y')　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　型的方程(不含未知数　y　y　y　,含自变量　x　x　x　)　3.1.2.1　定义　3.1.2.2　例题——　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　y''=f(x,y')　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　型求原方程　3.1.3　不含有　y　、　y　y　(　k　−　1　)　y、y'、...、y^{(k-1)}　y　、　y　y　(　k　−　1　)　3.1.3.1　例题——　y　、　y　y　(　k　−　1　)　y、y'、...、y^{(k-1)}　y　、　y　y　(　k　−　1　)　型例题　3.1.4　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　y''=f(y,y')　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　型的方程(含未知数　y　y　y　,缺自变量　x　x　x　)　3.1.4.1　例题——　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　y''=f(y,y')　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　型例题　3.2　微分方程解法四——高阶线性微分方程　3.2.1　二阶线性微分方程　3.2.2　二阶齐次方程的结构　3.2.3　二阶非齐次线性方程的解的结构　3.3　微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程　3.3.1　常系数齐次线性微分方程定义　3.3.2　二阶常系数齐次线性微分方程的解　)　3.3.2.2　两个相等实根(　Δ　=　0　\Delta=0　Δ　=　0　)　3.3.2.3　一对共轭复根(　Δ　<　0　\Delta<0　Δ　<　0　)　3.3.3.4　公式总结　3.3.4　n阶常系数齐次线性微分方程的解　3.4　微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程　3.4.1　f　(　x　)　=　e　λ　x　P　m　(　x　)　f(x)=e^{\lambda　x}P_m(x)　f　(　x　)　=　e　λ　x　P　m　　(　x　)　型3.4.1.1　定义　3.4.1.2　例题　3.4.2　f　(　x　)　=　e　λ　x　[　P　l　(　x　)　c　o　s　ω　x　+　P　n　(　x　)　s　i　n　ω　]　f(x)=e^{\lambda　x}[P_l(x)cos\omega　x+P_n(x)　sin\omega]　f　(　x　)　=　e　λ　x　[　P　l　　(　x　)　c　o　s　ω　x　+　P　n　　(　x　)　s　i　n　ω　]　型3.4.2.1　求解公式　3.4.2.2　例题　3.4.2.3　生活中的应用　1、数列　1、微分方程的基本概念　1.1微分方程的定义　1.2　解微分方程　解微分方程是求导的逆运算　1.3　基本概念　2、一阶微分方程　2.1　微分方程的解　2.2　微分方程的通解不一定包括所有的解　2.3　微分方程解法一——可分离变量的微分方程　2.3.1　可分离变量的微分方程的定义　ϕ　(　y　)　d　y　=　ψ　(　x　)　d　x　\phi(y)dy=\psi(x)dx　ϕ　(　y　)　d　y　=　ψ　(　x　)　d　x　2.3.2　求通解的步骤　2.3.3　例题——两端积分求通解　2.4　微分方程解法二——一阶线性微分方程　2.4.1　线性齐次方程　d　y　d　x　+　P　(　x　)　y　=　0　\frac{dy}{dx}+P(x)y=0　d　x　d　y　　+　P　(　x　)　y　=　0　2.4.2　线性非齐次方程　d　y　d　x　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)　d　x　d　y　　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　2.4.2.1　待定系数　2.4.2.2　一阶线性方程解的结构　2.4.2.3　例题——一阶非齐次线性微分方程　2.4.3　伯努利方程　d　y　d　x　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　∗　y　n　\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)*y^n　d　x　d　y　　+　P　(　x　)　y　=　Q　(　x　)　∗　y　n　2.4.3.1　伯努利方程的推导　2.4.3.2　伯努利方程的通解　3、高阶微分方程　3.1　微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程　3.1.1　y　(　n　)　=　f　(　x　)　y^{(n)}=f(x)　y　(　n　)　=　f　(　x　)　型的方程　3.1.2　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　y''=f(x,y')　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　型的方程(不含未知数　y　y　y　,含自变量　x　x　x　)　3.1.2.1　定义　3.1.2.2　例题——　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　y''=f(x,y')　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　型求原方程　3.1.3　不含有　y　、　y　y　(　k　−　1　)　y、y'、...、y^{(k-1)}　y　、　y　y　(　k　−　1　)　3.1.3.1　例题——　y　、　y　y　(　k　−　1　)　y、y'、...、y^{(k-1)}　y　、　y　y　(　k　−　1　)　型例题　3.1.4　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　y''=f(y,y')　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　型的方程(含未知数　y　y　y　,缺自变量　x　x　x　)　3.1.4.1　例题——　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　y''=f(y,y')　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　型例题　3.2　微分方程解法四——高阶线性微分方程　3.2.1　二阶线性微分方程　d　2　y　d　x　2　+　P　(　x　)　d　y　d　x　+　Q　(　x　)　y　=　f　(　x　)　\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)　d　x　2　d　2　y　　+　P　(　x　)　d　x　d　y　　+　Q　(　x　)　y　=　f　(　x　)　3.2.2　二阶齐次方程的结构　3.2.3　二阶非齐次线性方程的解的结构　3.3　微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程　3.3.1　常系数齐次线性微分方程定义　3.3.2　二阶常系数齐次线性微分方程的解　3.3.2.1　两个不相等实根(　Δ　>　0　\Delta>0　Δ　>　0　)　3.3.2.2　两个相等实根(　Δ　=　0　\Delta=0　Δ　=　0　)　3.3.2.3　一对共轭复根(　Δ　<　0　\Delta<0　Δ　<　0　)　3.3.3.4　公式总结　3.3.4　n阶常系数齐次线性微分方程的解　3.4　微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程　3.4.1　f　(　x　)　=　e　λ　x　P　m　(　x　)　f(x)=e^{\lambda　x}P_m(x)　f　(　x　)　=　e　λ　x　P　m　　(　x　)　型3.4.1.1　定义　3.4.1.2　例题　3.4.2　f　(　x　)　=　e　λ　x　[　P　l　(　x　)　c　o　s　ω　x　+　P　n　(　x　)　s　i　n　ω　]　f(x)=e^{\lambda　x}[P_l(x)cos\omega　x+P_n(x)　sin\omega]　f　(　x　)　=　e　λ　x　[　P　l　　(　x　)　c　o　s　ω　x　+　P　n　　(　x　)　s　i　n　ω　]　型3.4.2.1　求解公式　3.4.2.2　例题　3.4.2.3　生活中的应用　解决振动和共振一类用正余弦描述的物理问题　本篇内容总结可降阶的　高阶微分方程　。　可降阶的　高阶微分方程　的分类　y(n)=f(x)　(n≥2)　,y的高阶导数是一个关于x的函数;　f(x,y’,y’’),有x,有y’,有y’’,就是没有y;　f(y,y’,y’’),有y,有y’,有y’,'...　本篇内容总结可降阶的高阶微分方程。　可降阶的高阶微分方程的分类　y　(n)　=f(x)　(n≥2)　,y的高阶导数是一个关于x的函数;　f(x,y’,y’’),有x,有y’,有y’’,就是没有y;　f(y,y’,y’’),有y,有y’,有y’,'就是没有x;　Case1:y　(n)　=f(x)　(n≥2)　此类微分方程的解法没什么技术含量,就是一阶一阶往下降　例题　Case2:f(x,y’,y’’)　例1　例2　Case3:　f(y,y’,y’’)　例1　总结　三种可降阶的高阶微分方程　第一种纯x,一阶一阶往下降就完了　第二种缺y,那就不要y了,把p=y’,dp/dx=y’‘代入　第三种缺x,那就不要x,把p=y’,p(dp/dy)=y’'代入　本篇完。　高阶　可降　阶微分方程　问题:缺y项的微分方程如何求解?换元时y''=dp/dx,还是y''=p·dp/dx?　反函数　高阶　导数:什么时候将x看作y的函数呢?　目录　一、问题　疑问:在做微分方程的题时,发现自己总是分不清也记不住,何时用换元法做。主要的问题包括以下两个。　一是,缺y项的微分方程如何求解?换元时y''=dp/dx,还是y''=p·dp/dx?这属于　高阶可降解方程　的内容。　二是,一般微分方程的解都是y当作x的函数,而有时不可解得。那么什么时候将x看作y的函数呢?这属于　反函数高阶导数　的内容。　二、高阶可降阶微分方程　1.　概念理解　高阶:二阶及二阶以上的微分方程。　可降阶:与之对应的是不可降阶类型,在此列出三种可降阶类型。　2.　解法　y的n阶导　=　x的函数类型。　接连积分n次　,便得到含有　n个任意常数的通解　。　等式中　不显含(缺少)y　,所以后续也不要引入　y才更方便,设y'=p,y''=dp/dx=p'。　等式　不显含(缺少)x　,所以不引入　新的x,设y'=p,y''=dp/dx=dp/dy　·dy/dx=p·dp/dy。　具体步骤如下(摘自《高等数学》)。　3.　例题　T14是缺少y的类型,所以代入dp/dx,不引入新的变量。　T15是缺少x和y的类型,按道理是均可,不过此题若用dp/dx,可以　积分得到一个含p的隐函数,下一步无法继续积分　。此处用dy则可以做。　三、反函数高阶导数　1.　概念理解　反函数的导数和原函数导数的关系,与阶数有关。他们的一阶导互为相反数,但二阶甚至更高阶则不是且更复杂。高于二阶的反函数导数问题在做题中很少遇到,这部分属于数学分析的内容,可以参考相关书目。但是一阶、二阶要记住。　一阶:二阶:　推导:　2.　例题　因为出现了　y'的三次方,所以想到反函数高阶导数　,凑出。　注:这只是一种dx/dy的题型,还有一些,当dy/dx不好积分时,可考虑用dx/dy。　四、小结　1.　高阶可降阶微分方程解法:　① 　,　接连积分n次　,得含有　n个任意常数的通解　。　② 　,　缺少　y　,　设y'=p,y''=p'。　③ 　,　缺少　x　,　设y'=p,y''=p·dp/dy。　2.　反函数高阶导数,看到　y'　三次方想到。　一阶:二阶:　为求　高阶　Volterra积分　微分方程　的数值解,提出CAS小波法.利用CAS小波的正交性质,及小波矩阵的稀疏性,同时给出了CAS小波的积分算子矩阵,运用小波算子矩阵将　高阶　积分　微分方程　化为线性代数方程组,简化计算,提出了CAS小波...　本文列举了　微分方程　的公式,当做一个笔记,如果后面有地方用得上就回来翻翻...目录1　微分方程　2　一阶方程2.1　一阶线性　微分方程　2.2　变量可分离2.3　齐次方程2.4　伯努利方程2.5　全　微分方程　3　高阶　方程3.1　可降解方程3.1.1　y.　本文列举了微分方程的公式,当做一个笔记,如果后面有地方用得上就回来翻翻。　当然本文是为了求解模型中用得上的微分方程而书写的,并非是为了考研或者本科课程应试,所以不会有例题,只会有对应的解法。同时公式和解法不一定是完全的,后面如果还遇到了到时候再进行补充。　对了宝贝儿们,卑微小李的公众号【野指针小李】已开通,期待与你一起探讨学术哟~摸摸大!　1　微分方程　要了解微分方程,得从微分说起,微分的核心是　变化率　。就比如速度　v　=　d　x　d　t　v=\frac{dx}{dt}　v　=　d　t　d　x　　,即每一时刻距离的变化;而加速度　a　=　d　v　d　t　a=\frac{dv}{dt}　a　=　d　t　d　v　　,即每一时刻速度的变化。　有了这个概念后,我们再来看微分方程,简单来说就是　由变化率构成的一个方程　。其使用场景为:　描述相对变量比绝对量更容易时　。　微分方程分为两部分:　常微分方程(Ordinary　Differential　Equations,　ODE):函数自变量只有一个,如:　y　′　(　x　)　=　p　y　+　q　y'(x)=py+q　y　′　(　x　)　=　p　y　+　q　。　偏微分方程(Partial　Differential　Equations,　PDE):函数有多个自变量,如:　∂　T　∂　t　(　x　,　y　,　t　)　=　∂　2　T　∂　x　2　(　x　,　y　,　t　)　+　∂　2　T　∂　y　2　(　x　,　y　,　t　)　\frac{\partial　T}{\partial　t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial　x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial　y^2}(x,y,t)　∂　t　∂　T　　(　x　,　y　,　t　)　=　∂　x　2　∂　2　T　　(　x　,　y　,　t　)　+　∂　y　2　∂　2　T　　(　x　,　y　,　t　)　微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程,具体的组成(解法)如下图:　2　一阶方程　2.1　一阶线性微分方程　形如:　y　′　+　p　(　x　)　y　=　q　(　x　)　y'+p(x)y=q(x)　y　′　+　p　(　x　)　y　=　q　(　x　)　若:　q　(　x　)　=　0　q(x)=0　q　(　x　)　=　0　,则是一阶线性齐次微分方程;　q　(　x　)　≠　0　q(x)≠0　q　(　x　)　\ue020　　=　0　,则是一阶线性非齐次微分方程;　通解:　y　=　e　−　∫　p　(　x　)　d　x　[　∫　q　(　x　)　e　∫　p　(　x　)　d　x　d　x　+　c　]　y=e^{-\int　p(x)dx}[\int　q(x)e^{\int　p(x)dx}dx+c]　y　=　e　−　∫　p　(　x　)　d　x　[　∫　q　(　x　)　e　∫　p　(　x　)　d　x　d　x　+　c　]　2.2　变量可分离　形如:　∫　g　(　y　)　d　y　=　∫　f　(　x　)　d　x　\int　g(y)dy=\int　f(x)dx　∫　g　(　y　)　d　y　=　∫　f　(　x　)　d　x　解法:　d　y　d　x　=　g　(　y　)　f　(　x　)　→　G　(　y　)　=　F　(　x　)　+　c　\frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)}　\rightarrow　G(y)=F(x)+c　d　x　d　y　　=　f　(　x　)　g　(　y　)　　→　G　(　y　)　=　F　(　x　)　+　c　就是将　d　y　dy　d　y　与dxdx　d　x　移到一边,其余的移动到另外一边。　2.3　齐次方程　形如:　d　y　d　x　=　f　(　y　x　)　\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})　d　x　d　y　　=　f　(　x　y　　)　解法:　令yx=u\frac{y}{x}=u　x　y　　=　u　,则dy=udx+xdudy=udx+xdu　d　y　=　u　d　x　+　x　d　u　代入原方程。　2.4　伯努利方程　形如:　y　′　+　p　(　x　)　y　=　q　(　x　)　y　n　y'+p(x)y=q(x)y^n　y　′　+　p　(　x　)　y　=　q　(　x　)　y　n　解法:　等式两边同时除　y　n　y^n　y　n　,得到　y　−　n　y　′　+　y　1　−　n　p　(　x　)　=　q　(　x　)　y^{-n}y'+y^{1-n}p(x)=q(x)　y　−　n　y　′　+　y　1　−　n　p　(　x　)　=　q　(　x　)　令y1−n=uy^{1-n}=u　y　1　−　n　=　u　;　对第二步结果求导得:　(　1　−　n　)　y　−　n　y　′　=　d　u　d　x　→　y　−　n　y　′　=　u　′　1　−　n　=　1　1　−　n　d　u　d　x　(1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx}　\rightarrow　y^{-n}y'=\frac{u'}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}　(　1　−　n　)　y　−　n　y　′　=　d　x　d　u　　→　y　−　n　y　′　=　1　−　n　u　′　　=　1　−　n　1　　d　x　d　u　　;　将步骤3结果与步骤2结果代入步骤1:　1　1　−　n　d　u　d　x　+　u　p　(　x　)　=　q　(　x　)　\frac{1}{1-n}　\frac{du}{dx}+up(x)=q(x)　1　−　n　1　　d　x　d　u　　+　u　p　(　x　)　=　q　(　x　)　;　接着依据步骤4的情况来选择使用什么通解公式求解。　2.5　全微分方程　形如:　P　(　x　,　y　)　d　x　+　Q　(　x　,　y　)　d　y　=　0　P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0　P　(　x　,　y　)　d　x　+　Q　(　x　,　y　)　d　y　=　0　就是说函数　P　P　P　和函数　Q　Q　Q　都是包含了　x　x　x　和yyy的。　解法:　线积分法:　Φ　(　x　,　y　)　=　∫　x　0　x　P　(　x　,　y　)　d　x　+　∫　y　0　y　Q　(　x　,　y　)　d　y　\Phi(x,y)=\int_{x_0}^x　P(x,y)dx+\int_{y_0}^y　Q(x,y)dy　Φ　(　x　,　y　)　=　∫　x　0　　x　　P　(　x　,　y　)　d　x　+　∫　y　0　　y　　Q　(　x　,　y　)　d　y　或Φ(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy\Phi(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}　P(x,y)dx+Q(x,y)dy　Φ　(　x　,　y　)　=　∫　(　x　0　　,　y　0　　)　(　x　,　y　)　　P　(　x　,　y　)　d　x　+　Q　(　x　,　y　)　d　y　偏积分法:　∂　Φ　∂　x　=　P　(　x　,　y　)　,　∂　Φ　∂　y　=　Q　(　x　,　y　)　\frac{\partial　\Phi}{\partial　x}=P(x,y),　\frac{\partial　\Phi}{\partial　y}=Q(x,y)　∂　x　∂　Φ　　=　P　(　x　,　y　)　,　∂　y　∂　Φ　　=　Q　(　x　,　y　)　,第一个等式对　x　x　x　积分得　Φ　(　x　,　y　)　=　∫　P　(　x　,　y　)　d　x　+　ψ　(　y　)　\Phi　(x,y)=\int　P(x,y)dx+\psi　(y)　Φ　(　x　,　y　)　=　∫　P　(　x　,　y　)　d　x　+　ψ　(　y　)　,代入第二个等式求　ψ　(　y　)　\psi(y)　ψ　(　y　)　,即可得　Φ　(　x　,　y　)　\Phi(x,y)　Φ　(　x　,　y　)　凑微分法:凑微分得　Φ　(　x　,　y　)　\Phi(x,y)　Φ　(　x　,　y　)　3　高阶方程　3.1　可降解方程　3.1.1　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　y''=f(x,y')　y　′　′　=　f　(　x　,　y　′　)　解法:　令y′=P(x)y'=P(x)　y　′　=　P　(　x　)　,则y′′=P′(x)y''=P'(x)　y　′　′　=　P　′　(　x　)　代入原方程:　P　′　(　x　)　=　f　(　x　,　P　(　x　)　)　P'(x)=f(x,P(x))　P　′　(　x　)　=　f　(　x　,　P　(　x　)　)　,求P(x)P(x)　P　(　x　)　将P(x)P(x)　P　(　x　)　积分求得通解　3.1.2　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　y''=f(y,y')　y　′　′　=　f　(　y　,　y　′　)　解法:　令y′=P(y)y'=P(y)　y　′　=　P　(　y　)　,　y　′　′　=　d　P　d　y　d　y　d　x　=　P　d　P　d　y　y''=\frac{dP}{dy}　\frac{dy}{dx}=P\frac{dP}{dy}　y　′　′　=　d　y　d　P　　d　x　d　y　　=　P　d　y　d　P　　代入原方程得:　P　d　P　d　y　=　f　(　y　,　P　(　y　)　)　P\frac{dP}{dy}=f(y,P(y))　P　d　y　d　P　　=　f　(　y　,　P　(　y　)　)　求解　P　(　y　)　P(y)　P　(　y　)　得dydx\frac{dy}{dx}　d　x　d　y　　对P(y)P(y)　P　(　y　)　积分求得通解　3.2　高阶常系数微分方程　定义:　a　n　d　n　y　d　x　n　+　a　n　−　1　d　n　−　1　y　d　x　n　−　1　a　1　d　y　d　x　+　a　0　y　=　f　(　x　)　a_n　\frac{d^ny}{dx^n}　+　a_{n-1}　\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}a_1　\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)　a　n　　d　x　n　d　n　y　　+　a　n　−　1　　d　x　n　−　1　d　n　−　1　y　a　1　　d　x　d　y　　+　a　0　　y　=　f　(　x　)　若:　f　(　x　)　=　0　f(x)=0　f　(　x　)　=　0　,则为齐次方程;　f　(　x　)　≠　0　f(x)≠0　f　(　x　)　\ue020　　=　0　,则为非齐次方程。　由于我现在还用不上高阶常系数非齐次微分方程,所以没有看特解的求法,如果以后看了在做补充。　高阶常系数齐次微分方程解的结构为:　y　=　c　1　y　1　(　x　)　+　c　2　y　2　(　x　c　n　y　n　(　x　)　y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+...+c_ny_n(x)　y　=　c　1　　y　1　　(　x　)　+　c　2　　y　2　　(　x　c　n　　y　n　　(　x　)　齐次方程的解法为:　先将非齐转换为齐,即令　f　(　x　)　=　0　f(x)=0　f　(　x　)　=　0　找到特征方程的特征根,假设微分方程为　y　′　′　+　2　y　′　+　y　=　0　y''+2y'+y=0　y　′　′　+　2　y　′　+　y　=　0　,特征方程为　λ　2　+　2　λ　+　1　=　0　\lambda^2+2\lambda+1=0　λ　2　+　2　λ　+　1　=　0　,其特征根:　λ　1　=　λ　2　=　−　1　\lambda_1=\lambda_2=-1　λ　1　　=　λ　2　　=　−　1　,即λ\lambda　λ　最高为多少次,那么就有多少个特征根　通过特征根形式来寻找通解公式。　现在问题转换为了特征根形式,特征根从大方向上来说一共有3类:　每个特征根都是单重根;　有重根;　有复数根。　3.2.1　都是单根　通解为:　y　=　c　1　e　λ　1　x　+　c　2　e　λ　2　x　c　n　e　λ　n　x　y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_nx}　y　=　c　1　　e　λ　1　　x　+　c　2　　e　λ　2　　x　c　n　　e　λ　n　　x　3.2.2　有重根　通解为:　y　=　c　1　e　λ　x　+　c　2　x　e　λ　x　c　n　x　n　−　1　e　λ　x　=　e　λ　x　(　c　1　+　c　2　x　c　n　x　n　−　1　)　y=c_1e^{\lambda　x}+c_2xe^{\lambda　x}+...+c_nx^{n-1}e^{\lambda　x}=e^{\lambda　x}(c_1+c_2x+...+c_nx^{n-1})　y　=　c　1　　e　λ　x　+　c　2　　x　e　λ　x　c　n　　x　n　−　1　e　λ　x　=　e　λ　x　(　c　1　　+　c　2　　x　c　n　　x　n　−　1　)　3.2.3　有复数根　λ　=　α　±　i　β　\lambda　=　\alpha　\pm　i\beta　λ　=　α　±　i　β　,这里虽然复数是成对出现,但是当做是一个根。　先给出通解形式,再补充点推导过程。　通解:　y　=　c　1　e　α　x　c　o　s　β　x　+　c　2　e　α　x　s　i　n　β　x　y=c_1e^{\alpha　x}cos\beta　x+c_2e^{\alpha　x}sin\beta　x　y　=　c　1　　e　α　x　c　o　s　β　x　+　c　2　　e　α　x　s　i　n　β　x　推导过程:　先补充欧拉方程:　e　i　x　=　c　o　s　x　+　i　s　i　n　x　e^{ix}=cosx+isinx　e　i　x　=　c　o　s　x　+　i　s　i　n　x　由欧拉公式进行推导,先推导　λ　=　α　+　i　β　\lambda　=　\alpha　+　i\beta　λ　=　α　+　i　β　:　e　(　α　+　i　β　)　x　=　e　α　x　+　i　β　x　=　e　α　x　(　c　o　s　β　x　+　i　s　i　n　β　x　)　=　e　α　x　c　o　s　β　x　+　i　e　α　x　s　i　n　β　x　=　c　1　e　α　x　c　o　s　β　x　+　c　2　e　α　x　s　i　n　β　x　\begin{aligned}e^{(\alpha　+　i\beta)x}　&=　e^{\alpha　x　+　i　\beta　x}　\\&　=　e^{\alpha　x}(cos\beta　x　+　isin\beta　x)　\\&　=　e^{\alpha　x}cos\beta　x　+　i　e^{\alpha　x}sin\beta　x　\\&　=　c_1e^{\alpha　x}cos\beta　x+c_2e^{\alpha　x}sin\beta　x\end{aligned}　e　(　α　+　i　β　)　x　　=　e　α　x　+　i　β　x　=　e　α　x　(　c　o　s　β　x　+　i　s　i　n　β　x　)　=　e　α　x　c　o　s　β　x　+　i　e　α　x　s　i　n　β　x　=　c　1　　e　α　x　c　o　s　β　x　+　c　2　　e　α　x　s　i　n　β　x　　这里　c　2　c_2　c　2　　实际上是包含了　i　i　i　的。　同理,　λ　=　α　−　i　β　\lambda　=　\alpha　-　i\beta　λ　=　α　−　i　β　如下:　e　(　α　−　i　β　)　x　=　e　α　x　−　i　β　x　=　e　α　x　(　c　o　s　β　x　−　i　s　i　n　β　x　)　=　e　α　x　c　o　s　β　x　−　i　e　α　x　s　i　n　β　x　=　c　1　e　α　x　c　o　s　β　x　+　c　2　e　α　x　s　i　n　β　x　\begin{aligned}e^{(\alpha　-　i\beta)x}　&=　e^{\alpha　x　-　i　\beta　x}　\\&　=　e^{\alpha　x}(cos\beta　x　-　isin\beta　x)　\\&　=　e^{\alpha　x}cos\beta　x　-　i　e^{\alpha　x}sin\beta　x　\\&　=　c_1e^{\alpha　x}cos\beta　x+c_2e^{\alpha　x}sin\beta　x\end{aligned}　e　(　α　−　i　β　)　x　　=　e　α　x　−　i　β　x　=　e　α　x　(　c　o　s　β　x　−　i　s　i　n　β　x　)　=　e　α　x　c　o　s　β　x　−　i　e　α　x　s　i　n　β　x　=　c　1　　e　α　x　c　o　s　β　x　+　c　2　　e　α　x　s　i　n　β　x　　因为　c　o　s　(　−　x　)　=　c　o　s　x　,　s　i　n　(　−　x　)　=　−　s　i　n　x　cos{(-x)}=cosx,sin(-x)=-sinx　c　o　s　(　−　x　)　=　c　o　s　x　,　s　i　n　(　−　x　)　=　−　s　i　n　x　,所以可以获得上面公式,这里　c　2　c_2　c　2　　是包含了　−　i　-i　−　i　的。　4　参考　[2]3Blue1Brown.【官方双语】微分方程概论-第二章:什么是偏微分方程?[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1q4411p7NX[3]math也是柠檬精.半小时内搞定一阶常微分方程(带技巧和例题)[EB/OL].　https://www.bilibili.com/video/BV1qJ411A7QK?from=search&seid=10597070231979640473　[5]柠檬草嘉6的店.可降解的高阶微分方程[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/c05bb71cdcccda38376baf1ffc4ffe473368fda4.html[6]风车飞了的店.全微分方程的解法[EB/OL].　https://wenku.baidu.com/view/faefc09dc4da50e2524de518964bcf84b8d52d6c.html　高阶　线性　微分方程　在各个领域有着较为广泛的应用,对于一类的　高...本文结合　高阶　线性　微分方程　的　解法　与MATLAB的编程功能展示其简便的运算过程,提高　高阶　线性　微分方程　的求解速率,对　高阶　线性　微分方程　的应用推广有一定的意义。　【Mark下】三个　微分　公式三元函数,二阶或者更　高阶　的　微分　非线性　方程　利用Finite　Difference　Method展开,在利用牛顿迭代的方法,解　方程　,其下是考虑到电脑无法存储大量举阵情况下的分布　解法　。如果是N　mesh　grids,可以...　一　理论部分　二　C语言编程　关于　高阶　常系数非齐次线性　微分方程　特解的求法,国内的《常　微分方程　》教材大多采用待定系数法进行求解,当方程的阶数较高时此方法较为繁琐。文章除了介绍　高阶　方程的待定系数法外,还介绍了常数变易法、拉普拉斯变换法、...　本文归纳常见的常　微分方程　的一般　解法　。...　高阶　常系数　微分方程　(n阶)　欧拉方程(n阶)　1.可分离变量的　微分方程　(一阶)　这类　微分方程　可以变形成如下形式:　f(x)dx=g(y)dyf(x)dx=g(y)dyf(x)dx=g(y)dy　...　利用　高阶　变系数之间的关系,通过适当的线性变换,得到了五阶变系数线性非齐次方程常系数化的条件,给出了一类　高阶　变系数线性非齐次　微分方程　的新　解法　.　python对于常微分方程的数值求解是基于一阶方程进行的,　高阶微分方程　必须化成一阶方程组,通常采用龙格-库塔方法.　scipy.integrate模块的odeint模块的odeint函数求常微分方程的数值解,其基本调用格式为:　sol=...　3　龙格　-　库塔法　/*　Runge-Kutta　Method　*/　建立　高　精度的单步递推格式　单步递推法的基本思想是从　(　xi　,　yi　)　点出发　欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2　阶　以某一斜率沿直线达到　点?考察改进的欧拉法可以将...　常　微分方程　初值问题数值　解法　一、问题提出　科学计算中经常遇到　微分方程　(组)初值问题,需要利用Euler法,改进Euler法,Rung-Kutta方法求其数值解,诸如以下问题:　(1)　(3)　(4)利用四　阶　标准R-　K...　目录常微分方程一、绪论二、一阶微分方程的初等　解法　三、一阶微分方程的解的存在定理四、　高阶微分方程　五、线性微分方程组六、非线性微分方程　一、绪论　二、一阶微分方程的初等　解法　三、一阶微分方程的解的存在定理　...　二阶可降　阶微分方程　的求解3.　高阶　常系数线性微分方程的求解　前言　本文主要介绍了考研范围的微分方程的求解类型及对应的求解方法,主要内容参考自张宇《闭关修炼》,希望本文对您有所帮助。　Ⅰ.首先介绍一些关于微分...　你必须先将　高阶　的ODE改写成一阶的ODEs系统,使得它可以采用MATLAB　ODE求解器。　这是一个如何将二阶　微分方程　改写成两个一阶　微分方程　以便利用MATLAB的诸如ODE45等求解器求解的例子。下面的方程组包含了一个一阶与一...　利用Taylor展开工具提出常　微分方程　初值问题的一类单步求　解法　,并证明该方法的相容性、稳定性和收敛性。该方法克服了传统单步法的缺点,既不使用　高阶　导数,同时在每一步计算时使用的函数值的个数又明显少于传统方法的...　3)可分离变量的　微分方程　:g(y)dy=f(x)dx型,这类　微分方程　的　解法　是两边同时积分;需要注意的是,虽然可以化为这种类型,但不一定能求出解的。4)齐次　微分方程　:可化为dy/dx=G(y/x)的方程。可令u=y/x,并变换成可分离...　另一方面,能够求解的　微分方程　也是十分有限的,特别是　高阶　方程和偏　微分方程　(组).这就要求我们必须研究　微分方程　(组)的　解法　,既要研究　微分方程　(组)的解析　解法　(精确解),更要研究　微分方程　(组)的数值...　基于微分方程组理论和矩阵理论,采用待定矩阵方法和按列比较方法,给出了非齐次项为二次多项式与指数函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,对二种...为　高阶微分方程　组的　解法　研究提供了一条有效的途径。　基于微分方程组理论和矩阵理论,采用按列比较方法和待定矩阵方法,给出了非齐次项为二次多项式与指数函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式。...为　高阶微分方程　组的　解法　研究提供了一条有效的途径。　基于微分方程组理论和矩阵理论,采用待定矩阵方法和按列比较方法,给出了非齐次项为三角函数与指数函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,对3种...为　高阶微分方程　组的　解法　研究提供了一条有效的途径。　另一方面　能够求解的　微分方程　也是十分有限的　特别是　高阶　方程和偏　微分方程　(组).这就要求我们必须研究　微分方程　(组)的　解法　既要研究　微分方程　(组)的解析　解法　(精确解)　更要研究　微分方程　(组)的数值　解法　(近似解...　实验五、常　微分方程　初值问题的数值　解法　　常　微分方程　的求解问题在实践中经常遇到,因此研究常　微分方程　的数值　解法　就很有必要。欧拉方法是最简单、最基本的方法,利用差商代替微商,就可得到一系列欧拉公式。这些...　具体包括:常　微分方程　的初等　解法　、线性常　微分方程　组、　高阶　常系数线性方程、常　微分方程　的幂级数　解法　、常　微分方程　基本理论、常　微分方程　定性理论初步和一阶偏　微分方程　。　本书在编写中注重开拓读者思路,在许多知识点的...　周总结　这周完成了常　微分方程　的复习,所谓的　微分方程　就是方程式中含有导数的方恒,其形式为F(y(n),y(n−1),...,y,x)F(y^{(n)},y^{(n-1)},...,y,x)F(y(n),y(n−...一阶常　微分方程　的　解法　可分离变量的方法　...　1.ode23:　显式的单步Runge-Kutta低阶(2　阶到3　阶)解法　。适用具有一定难度对精度要求不　高　,或者f(t,y)...Tspan　=　[t0,tN]是常　微分方程　求解区域;或具体节点.　例:linspace(a,b,step)　y0是表示初始条件　例1:　function　t