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复数
复数C的定义如下:
其中R和I是实数,j是虚数,即
。
C的共轭复数C*:
极坐标下表示复数:
其中
,
是该向量和实轴(x轴)的夹角。
根据欧拉公式:
有:
‘
另外,复函数F(u)可表述为:
其中,R(u)和I(u)分别表示实分量函数和虚分量函数。
一维
冲激
连续变量t的单位冲激表示为:
并且满足如下等式:
一个冲激具有如下的取样特性:
其中f(t)在t=0处是连续的。
在任意点
的冲激表示为
,它的取样特性为:
。
对于离散变量x,单位离散冲激
如下:
并满足:
类似的,有取样特性:
或者:
无限多个分离的周期冲激单元
之和是一个冲激串
:
下图是一个冲激串:
傅里叶变换
傅里叶变换是空间域到频率域的变换。
连续函数f(t)的傅里叶变换为:
给定
可通过傅里叶反变换得到f(t),即:
上面两式称为傅里叶变换对。
求上图“盒状”函数f(t)的傅里叶变换:
最后一步根据
。另外最后一步是一个sinc函数:
sinc(0) = 1,对于m的其他所有整数,sinc(m) = 0。
傅里叶谱(频谱)为:
和
的曲线如下图:
从图中可以看出
和
的零值位置与“盒状”函数f(t)的宽度W成反比。
前面提到的周期为
的冲激串
的傅里叶变换为:
它仍是一个冲激串,周期变为1/
。这种周期的反比关系与“盒状”函数及其变换之间的关系是类似的,这点很重要。
卷积
两个函数的卷积用
表示(定义):
卷积定理(与傅里叶变换的关系):
其中,
分别是f(t),h(t)的傅里叶变换,
表示左边的式子通过傅里叶变换得到右边的式子,右边的式子通过傅里叶反变换得到左边的式子。如:
取样
取样的方法是用一个周期为
的冲激函串作为取样函数去乘f(t)得到
:
每个取样值可通过积分得到:
取样的傅里