构造长方体巧解!!!!!球与内接三棱锥的组合体问题"贾冬梅!!设一个顶点上各棱长分别为/! 0! 1的长方体" $ & ’ ( "!$!&!’!内接于球5! 也即它的八个顶点在同一球面上!由长方体特殊的几何性质可知! 它的八个顶点到体对角线中点的距离都是/3"C0""C1"!所以体对角线的中点也就是球心5! 从而长方体的体对角线长 等 于 球5的 直 径!设 球 的 半 径 为-!则/3长方体与球之间的已知条件和所求问题沟通起来!在遇到球与内接三棱锥的组合体问题时! 若将三棱"C0"C1"." -! 借助这个等量关系! 完全可以使锥补成长方体! 便可使问题迎刃而解! 省时又省力!一#利用垂直构造长方体因为长方体一个顶点上的三条棱两两垂直! 所以若一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直! 可将这三条侧棱当成长方体一个顶点上的三条棱补成长方体!例% !已知球面上有四个点+! "! $! &! 如果+ "! + $! + &两两互相垂直! 且+ " .+ $ .+ & ./!求这个球的表面积和体积!解析!因为+ "! + $! + &两两互相垂直且相等!所以以共顶点+的三条棱+ "! + $! + &能补成正方体! 且此正方体内接于球! 从而正方体的体对角线长即为球的直径! 所以" -.3 # /! -.3 #"/! >球 .# & /"!@球 .3 #"& /请同学们思考#!若平面+ " $! 平面+ $ &! 平面+ & "两两互相垂直! 其它条件不变! 求这个球的表面积和体积! " & 平面+ " $! 平面+ $ &! 平面+ & "两两互相垂直’等价于& + "! + $! + &两两互相垂直’! $"三棱锥+ ( " $ &中! 三条侧棱+ "! + $! + &两两互相垂直! 且+ " ./! + $.0! + &.1! 若空间一点5到四个顶点+! "! $! &的距离相等! 求这个距离!" 满足题意的点5就是三棱锥+ ( " $ &的外接球的球#!心! 答案是/3"C0""C1"! $例! !如图!! 已知球5的面上四点"! $! &!’! ’ " ’平面" $ &! " $’$ &! ’ " .!! " $ .!! $ & 方法点拨!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!责编\ue000 顾!俊!梁!莹!邮箱\ue000# $ % $ & ’ ( ) ’ ’ )!) * +, - . /! " " #年第$期 + (!!!!!!!. 3 #! 求球5的体积!图!!!图"解析!虽然本题不存在一个顶点上两两互相垂直的三条棱! 但注意到’ " ’平面" $ &! " $ ’$ &!仍可将其补成长方体" 如图"# ! 由题意! 它内接于球5! 易求球的半径- .3 %"! @球 .3&& !% %评注!不但具有线面垂直关系的三棱锥可以补成长方体! 某些具有线面垂直关系的四棱锥也可以补成长方体!二!利用对棱相等构造长方体因为长方体相对面的对角线长度相等! 所以在遇到对棱相等的三棱锥时! 以相等的对棱当作长方体相对面的对角线将其补成长方体!例& !将例!中" + "! + $! + &两两互相垂直#改为" + "! + $! + &两两所成角均为& , *# ! 其它条件不变! 求这个球的表面积和体积!解析!由题意! 得三棱锥+ ( " $ &是正四面体" 如图## ! 当然有+ " .$ &! + $ ." &! + & ." $! 以+ "! $ &! + $! " &! + &! " $分别为面对角线构造正方体" 如图$# ! 它必内接于球5! 设正方体棱长为2! 则/.3 " 2! 2.3 ""/! 体对角线长为3 &"/! 球的半径为-.3 &$/! >球 .#"& /"! @球 .3 &-& /#!图#!!图$例’ !设三棱锥+ ( " $ &中! + " .$ &. 3 # $!+ $ ." & . 3 $ !! + & ." $ .%! 求这个球的表面积和体积!解析!以+ "! $ &! + $! " &! + &! " $分别为面对角线构造长方体" 类似于图$# ! 设长方体一个顶点上的三条棱长分别为2! 3! 4! 则25"C3"C4"C2".# $!".$ !!"." %3464!三式相加除以"! 得体对角线的平方为% ,! 易求外接球的半径为- .3"% "! >球 .% , &! @球 .3! " % "#& !