比如函数\(f(x)=x^2\cos(\frac{1}{x})\),并补充定义\(f(0)=0\),通过补充定义使得函数成为连续函数。首先此函数在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上都是可导的,要说明此函数可导只需说明它在\(x=0\)处可导。注意到\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\cos(\frac{1}{x})}{x}=\lim\limits_{x\to0}x\cos(\frac{1}{x})=0\),因此\(f'(0)\)存在且\(f'(0)=0\).因而函数是处处可导的。但是\(x\ne0\)时,\(f'(x)=2x\cos(\frac{1}{x})+\sin(\frac{1}{x})\),这说明\(\lim\limits_{x\to0}f'(x)\)不存在,也就是说导函数在\(x=0\)处不连续。这就是一个函数可导但是导函数不连续的例子。