如图,在ΔABC中,M、N是BC边上不同的两点,使得直线AM和AN关于∠BAC内角平分线对称,
求证:ABC,AMN外接圆相切。(2012年高中数学联赛几何题变形)
思路分析:
依题意,∠BAM=∠CAN,若两圆相切,则A显然为公切点。两圆圆心距和半径都不太好算,圆心和切线倒是不难确定,因此可以考虑用上面的判定(2)(3)(4)。所以本题对应的就可以得到三种证明方法,都是不难说明的。
证法一:
设ABC和AMN外心为O,O',
依题意∠BAM=∠CAN,则
∠BAO'=∠BAM+∠MAO'
=∠CAN+90°-∠ANM
=90°-(∠ANM-∠CAN)
=90°-∠C
=∠BAO
∴A,O,O'共线,
即ABC,AMN外接圆相切。
证法二:
设AI为ABC外接圆切线,
依题意∠BAM=∠CAN,则
∠IAN=∠IAC+∠CAN
=∠B+∠BAM
=∠AMC,
∴AI为AMN外接圆切线,
即ABC,AMN外接圆相切。
证法三:
设AM,AN交ABC外接圆于M',N',
依题意∠BAM=∠CAN,则
M'N'//MN,
由上述判定(4)知
AM'N',AMN外接圆相切,
即ABC,AMN外接圆相切。
注:
(1)本题结构相对简单,证明也不难。据说是2012年全国高中数学联赛二试几何题的原始形式,后来经过审题人的改编,将证明结果改成求证A,O,O’共线。当然通过上述证法一可以发现改编以后难度更简单了。此联赛题应该是近二十年来最简单的联赛几何题目了。
(2)本题中公切点即为点A,角度关系也比较明确,所以适合上述判定中的(2)(3)(4),当然不难发现上述三种证法殊途同归,最终都是通过简单倒角完成证明。
(3)本题应该还有很多其他的证法,相对而言上述三种方法应该是自然而简单的。
(4)本题中AM、AN一般称为∠BAC的等角线,是角平分线的推广。此图形中还有很多有趣而复杂的性质,这里不再赘述。不过本题的结论也算是一个重要而有用的性质。
已知:如图,两圆交于P,R两点,过P的直线l和l',其中l与两圆交于A,B,
ABR的外接圆在A,B处的切线交于C,CR交AB于D。类似的对直线l'得到A',B',C',D',
证明:DD'P和CC'R的外接圆相切。
(2020年沙雷金几何奥林匹克通讯赛第8题)
思路分析:
本题图形相对比较复杂,过程也比较曲折,
基本思路是先画出准确图形,挖掘图形的基本性质,
然后从结果入手,
找到公切点,证明此点在两个圆上,
最后再证明过此点的一个圆的切线与另一个圆相切。
画出准确图形以后,
容易发现,
AC和A'C',BC和B'C'交点M,N分别在两个圆上。
此相交两圆结构是常见图形,如果对此图形比较熟悉,
容易知道其中有很多等角,
进一步AA',BB'交点L在圆RAB,RA'B'上,
这些都不难通过倒角证明。
下面从结果入手,DD'P和CC'R的外接圆相切,
公切点是谁呢?此点一定有丰富的性质。
在准确的图形下面可以发现,似乎DPD'R共圆,
要证明它,需要证明CC'MRN共圆即可,
这样公切点即为R。
下面只需证明过R的一个圆的切线为另一个圆的切线,
这个也容易通过倒角完成证明。
这就得到了第一种证明,具体证明过程如下:
证明一:
设AA'交BB'于L,AC交A'C'于M,BC交B'C'于N,
则∠RBB'=∠RPB'=∠RAA',
∴ALBR共圆,同理A'RB'L共圆。
∴∠MAP=∠ALB'=∠MA'P,
∴MAA'P共圆,同理NB'BP共圆。
又∠A'MR=∠RPB'=∠C'NR,
则C'MRN共圆,同理C也在此圆上。
∴∠APA'=∠AMA'=∠C'MC=∠C'RC=∠DRD',
则DPD'R共圆。
设XY为过R的圆PDD’的切线,
则∠XRC'=∠YRD'=∠RPB'=∠RNC',
∴XR为圆RCC'的切线。
综上DD'P和CC'R的外接圆相切于R点。
思路分析二:
本结构中有很多的等角和相似,
可以考虑直接通过
RAB∼RA'B'证明DPD'R共圆,
而本结构中又有CRD,C'RD',
所以最好利用判定(4)证明两圆相切。
这个由相似三角形对应角相等,
对应线段成比例即可得到。
证明二:
依题意∠RAB=∠RA'B',∠RBA=∠RB'A',
∴RAB∼∠RA'B'。
又由相切知C,D和C',D'为相似对应点,
∴∠RDB=∠RD'B',
则DPD'R共圆。
又由相似对应知RC/RD=RC'/RD',
∴CC'//DD',
由上述判定(4)知
DD'P和CC'R的外接圆相切于R点。
注:
(1)这是刚结束不久的今年的沙雷金几何奥林匹克第一阶段通讯赛的第8题,通讯赛共24题,难度基本是递增的。本题算是其中的中档题目。
(2)本题虽然构图比较复杂,结果让证明两个三角形的外接圆相切看起来也挺“可怕”。但是结构很常见,对本结构熟悉的读者不难入手。上述证法一反复利用倒角,得到多组四点共圆,最终利用前文中的判定(3)完成证明,是一种常见而自然的思路。对完全四边形比较熟悉的读者不难发现其中的点R为四条直线AB,A’B’,AA’,BB’构成的完全四边形的密克点。证法二抓住相交两圆的核心性质——旋转相似,利用相似对应一语中的、直击肯綮,利用判定(4)秒杀本题。本题刻画了相交两圆的最基本最核心的性质,两种证明方法从不同角度阐释了此结构的性质,都值得初学者揣摩学习。
(3)因为判定(2)和(3)是等价的,所以本题应该也可以用判定(2)完成证明。以后类似问题我们尽量选择其中的判定(3),一般不再用判定(2)再证明一遍。
本文通过两个中档难度的题目展示了如何判定两圆相切的问题,上述四种判定方法都很简单,但是运用之妙、存乎一心,还有不少相对困难的此类问题值得探究。欲知后事如何,且听下回分解。
参考文献
[1] 一种证明两圆相切的方法 金磊 《中等数学》 2015年第10期