基本内容第三节不定积分的分部积分法 问题 解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数. (uv) vdx.分部积分公式 adv=uv 分部积分法的关键是正确选择”和卩求不定积分Jxcosxdx cosxdx cosxd(—) =[cos [sinxdx xd(sinx)=xsinx 再次使用分部积分法 -2jxd(eJf xarctanxdx. arctan xdx arctanxd(—) —arctan 求不定积分Jarcsinxdx. Jarcsinxdx ´sinxdx 注意循环 形式 cosx)-Je siiixdr说明2 单纯的反三角函数、对数函数积分,可直接 运用分部积分; 求不定积分jesinxdx =Je cosxdr cosx)4-C不定积分可通过解方程求得,但要注意 结果 可连续几次利用多次分部,但 每次应 塞同一 类函数; =Jsecxd(tanx) Jtanxd(secx)=sec dx=sec xdx=sec xtan 4-lnsecx xdx=-(secx 求不定积分Jsin(lnK)dx 例求不定积分Jsin(lnx)dx =xsin(lnx) —Jxd[sin(Inx)] =xsin(ln cos(lnx)dx =xsin(ln sin(lnx)dx sin(lnx)dr diiJsin(ln x)dr \2x+1 求不定积分Jsin 2x+1 dr Jsin\´2x cosudu=—“cosM+sinM+C 说明4:有时应结合换元积分,先换元后再分部; JA/WQCU=Jxcl/Cx) A/(X)-j/(x)dx,由已知可得 JVCr)dx=2+C, 两边同时对x 求导仝得 xf(x)-jf(x)dx=—2x 被积函数中含有抽象函数的导函数,常考虑用分 部积分; 说明6 :利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 求积分Jx(lnx)"dx(n —Jx(lnx)w_1 dx ;x2(]nx)"_/”_i,(”wN*,">l), Jxlnxdx j^d(lnx)=—Inx-J-dr 所以对任意确定的〃>1,由递推公式都可求得血. *dx.求下列不定积分 111*)血=J—dx4-Je inxdx=J—dr 4-Jinx(1(^´ 、dxvl Xe-^dx •单纯的反三角函数、对数函数积分,可直接运用分部积分; •不定积分可通过解方程求得,但要注意结果 •被积函数中含有抽象函数的导函数,常考虑用 分部积分; 6利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式。 arctan arctan *dx.解原式=j( dr4-Je "dx dx练习题 填空题: sinxdx arcsinxdx 5、计算片arctan xdx 可设 6、计算J xe~ 二、求下列不定积分:]、jx 已知豊^是/(")的原函数,xf\x)dx UAcos nxdx dx;4、cos xdx; arctanx cos/ix RUG2sinx l)sinxdx +1)d(—cos cosxdx 2)sinx+2cosx 求不定积分J"cos2xdx :=Jcos2xd(e cos2x-t-2je cos2x sin2x cos2xdx cos2xdxJe