结合律是加法里非常基本的东西,为了一个w,连结合律都不要了,这成本有点大——不光是结合律本身,多少数学定理证明过程中不自觉都用了它,扔了它就都得重来,建立新体系。新体系不是不能建,但是费心费力又(暂时)无卵用,所以大家还是在老实用旧的——而旧的里面,为了保住结合律,就不能这么玩。 欢迎读者们发挥自己的想象力,尝试为 w 给出运算方式。但是你会发现,无论怎么规定w和别的数字之间的关系,只要你还坚持 1 / 0 = w,你就没法让它和你从小学习的基本数学不矛盾。还是那句话,你可以另立门户,在w的基础上建立起你的新数学,但它和大部分传统数学是不相容的,而且肯定会非常不好用,所以我们用了一个不能除以零的体系是非常合理的。 大三篇 你可能会提出反对:有那么多的定义方式,我都试过?要是没试过,我怎么知道不会某一天冒出来一个能够自洽的办法? “新发现推翻旧结论”这种事情,在生物里可以有,化学里可以有,物理里可以有,唯独数学里没有。因为数学建立在逻辑上,个案有例外,逻辑没有例外。当然我们的数学还没有完成最终公理化,还要面对哥德尔的幽灵,但至少在这个例子里,如果w是一个真正的数,那它就违反了一些非常重要的公理,而这些公理的地位可是非常之深。 比如有一组基本的公理叫“ 皮亚诺公理 ”,其中有一条说,每一个确定的自然数都有一个确定的后继,后继也是自然数;另一条说,自然数 b=c,当且仅当 b 的后继 =c 的后继。 那w是谁的后继呢——或者说,谁加上1能得到 w 呢?显然所有其他的数字都已经有了自己的后继,w 在其中没有位置,没有任何其他的数加上1能成为 w。那么就只能是1+w=w了,可那就直接和第二句话矛盾。而没有皮亚诺公理,整个自然数的体系都不能成立。 这里假定w是自然数。其他情况会略微复杂一些,但无论如何,类似的事情发生在w的各种定义里。如果你想把 w 当成一个数,那就没法和我们现有的实数兼容。所以我们在几乎所有场合下都只能宣布,不能除以 0。 大四以上篇 既然我们之前说了个“几乎”,那就是有例外的——在个别奇葩场合下,可以。 比如有一个东西叫做“复无穷”,它是扩充复平面上的一个点,真的是有定义的一个点。在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式。这么做的原因就说来话长了,但它不是平常意义上的运算——比如你不能把0拿回来,不能写 1 = 0 * ∞。 另外,“