1. 《几何原本》中的命题 　成书于公元前3世纪的欧几里得《几何原本》,共有13 卷,内有命题合计465 个 .其中在第2卷的命题5是这样叙述的:命题5　如果平分一条线段,再将其分成不相等的两段.则由不等两段构成的矩形与两分点之间3 6·课外园地· 　 　 　　　　　　　　　　 数学通讯 — 2015 年第 8 期(下半月) 一段上的正方形的和等于原来线段一半上的正方形.[ 1 ]这个命题用现在的代数符号表示出来就是:ab + (a - b2)2 = ( a + b2)2 .显然,从代数运算的角度来看,这个等式可轻而易举证出,但它的应用却很丰富.2.古代数学中的应用:几何法解一元二次方程在古代数学的历史上,代数学的核心内容是解方程,这在古埃及、古巴比伦、古希腊以及中国、印度和阿拉伯的数学文献中都有记载,特别是对一元二次方程,更是情有独钟.在没有求根公式之前,历史上代数和几何方法都曾起过重要的作用,但最终代数方法取得优势,成了现在我们教材上的方法.但不可否认的是,从数学史的角度来说,几何方法的影响要比代数方法更深远 [2 ] .而且,古代数学家在用几何法构造平面几何图形来求根时,更体现出了他们的非凡智慧.比如,上述《几何原本》卷2中的命题5 ,就解决了远早于欧几里得那个时代的记载于古巴比伦美索不达米亚泥版数学文献中的一类二次方程:x2 +c = bx .此方程变形一下即为:x ( b - x ) = c ,相当于说:将已知长度为 b 的线段分成两部分( x 和 b -x ),使其构成的矩形面积为已知数 c .图1应用命题5 ,构造图形如图 1 ,使 AB = b , D是所求的点, DB = x,假设已求得点 D,则AD =b - x .作矩形 AKND ,其中 AK = BD = x ,设S 矩形 AKND = c.取AB 的中点 C ,分别以 DB 和 CB 为一边作正方形 DNMB和 CEFB . 显然, K , M , N 共线, B , N , E共线.因为 S 矩形 CLND = S 矩形 NGFM ,故 S 矩形 CLMB = S DGFB ,所以 S 矩形 AKLC = S 矩形 DGFB ,两边同加上 S 矩形 CLND ,则有S 矩形 AKND = S 矩尺形 CLNGFB = c .因 为 S 正方形 LEGN = S 正方形 CEFB - S 矩尺形 CLNGFB =(b2 )2 -c ,于是可得 CD =(b2 )2 -槡c ,从而得 x =DB = CB - CD =b2-(b2 )2　-槡c , AD =b2+(b2 )2　-槡c ,此即为方程的两个根.欧几里得的这些命题,对后世的数学家解一元二次方程都起到了十分重要的影响.所以,在数学史上,用几何法解决代数问题曾流行很长时间,因为当时的数学家们认为,这样解方程才更具直观性.3.现在高考中的应用:向量数量积的再理解 　对《几何原本》卷2的这个命题5进行新的变形后,又可解决现在高考题中的许多向量题.将命题5的等式推广到平面向量,即变形为:a · b = (a + b2)2- (a - b2)2.此恒等式也称为极化恒等式,从几何的角度来解释就是:图2两向量的数量积为两向量的和一半长度的平方减去差一半长度的平方,如图 2 , →\ue5c6 \ue5c6OA ·→ \ue5c6 \ue5c6OB =|→ \ue5c6 \ue5c6OC |2 -| → \ue5c6 \ue5c6CA |2 ( C为AB 的中点) .再通俗一点,就是以→ \ue5c6 \ue5c6OA ,→ \ue5c6 \ue5c6OB 两向量为边构成 △ OAB,则可重新理解数量积: →\ue5c6 \ue5c6OA ·→ \ue5c6 \ue5c6OB 便是以 AB 为底边的中线长度的平方减去 AB 长度一半的平方.笔者把这个作为两向量数量积的第二几何意义,第一几何意义便是教材上说的:数量积 a · b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 | b | · cosθ的乘积.对向量数量积拓展到两个几何意义后,高考题中的许多向量题都可用几何法去解决,既直观又简洁明了.例1　(2012年浙江省理科高考题)在 △ ABC中, M 是 BC 的中点,AM =3 , BC =10 ,则→ \ue5c6 \ue5c6AB ·→ \ue5c6 \ue5c6AC= .此题就可直接应用数量积的第二几何意义,答案是-16.例 2 　( 2013 年 浙 江 省 理 科 高 考 题 ) 设△ ABC , P 0 是边 AB 上一定点,满足 P 0 B =14 AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有→ \ue5c6 \ue5c6PB ·→ \ue5c6 \ue5c6PC ≥ P 0→ \ue5c6 B ·P 0→ \ue5c6 C,则.( A ) ∠ ABC =90° .　　　 ( B ) ∠ BAC =90 ° .( C ) AB = AC . ( D ) AC = BC .该题是浙江省当年理科选择题中最难的一题,无论是建系用坐标法做,还是用向量代数法做,都很麻烦,但如果用第二几何意义做就立马迎刃而解.由题意可知,当 P 在 P 0 时, →\ue5c6 \ue5c6PB ·→ \ue5c6 \ue5c6PC 取最小值 . 如图 3,取BC 的中点 D ,连 PD ,则→ \ue5c6 \ue5c6PB ·→ \ue5c6 \ue5c6PC =4 6数学通讯 — 2015 年第 8 期(下半月)　 　　　　　　　　　　　 ·课外园地· 图 3|→ \ue5c6 \ue5c6PD |2 -| → \ue5c6 \ue5c6DC |2 ,因为|→ \ue5c6 \ue5c6DC | 固 定,要→ \ue5c6 \ue5c6PB ·→ \ue5c6 \ue5c6PC 取 最 小 值,只 需|→ \ue5c6 \ue5c6PD | 最小即可.由于点 P 在边 AB 上动,因此 只 要 点 D 到 边AB 的距离最小就行了,于是就得出 DP 0⊥ AB.取AB 的中点E,连ED,则P 0 是 BE 的中点,故 DP 0 是 △ BDE 的中线,立得 DB = DE ,从而得出 BC = AC ,故应选( D ) .从上述方法可知,用《几何原本》中的命题5得出的两向量数量积的第二几何意义来解决,既简便又不用太多计算,只要分析就行,这也很符合高考命题者的意图:多点想少点算.虽然此题要添线,但只要想到此方法,所要添的线也就不难了.在2014年的各省高考题及各种高考模拟卷中,用此方法或公式来解向量题,都给学生带来了福音.例3　已知向量 a , b , e 满足 | e |=1 , a · e =1 , b· e =2 ,| a - b |=2,则a · b 的最小值为 .这是一道高三模拟考试题目,方法很多,但到最后都要用到极化恒等式才方便.方法一:“向量代数法” .因为3= a · e + b · e = (a + b )· e =| a + b |cos θ ,所以 | a + b |=3cos θ,故| a + b |2 = 9cos2θ,所以a · b = (a + b2)2- (a - b2)2=94cos2θ-1≥ 94 -1=54 .方法二:“向量坐标法” .设 a = ( 1 , m ), b = ( 2 , n ),于是 a + b = ( 3 , m +n ),所以a · b = (a + b2)2- (a - b2)2= 14 [9+ ( m + n )2 -4 ]= 14 [5+ ( m + n )2 ]≥ 54 .方法三:“向量几何法” .构造图形如图4 ,由 a · e =1 , b · e =2可知,点A 、 B 分别在直线 x =1 与 x =2 上移动,且 保持AB =2,取AB 的中点 C,连OC ,由第二几何意义知,a · b =|→ \ue5c6 \ue5c6OC |2 -| → \ue5c6 \ue5c6CA |2 =| → \ue5c6 \ue5c6OC |2 -1.由图4可图 4知,点 C 在直线 x = 32上运动,故 a · b 取最小值 时,只 要→ \ue5c6 \ue5c6OC 最小即可.所以,当 C (32 ,0 )时,|→ \ue5c6 \ue5c6OC | min =32 ,于是得 a · b 的最小值为(32 )2 -1= 54 .方法四:“向量不等式” .由于3= ( a + b )· e ≤| a + b | ,所以a · b = (a + b2)2 - ( a - b2)2 ≥ 94 -1=54 .上面的四种方法由于都用到了极化恒等式或其几何意义,都非常简单,尤其是第四种方法,简直就是“秒杀”!由此可见该命题在解决向量题方面的威力.4.结束语 　数学历史上一代代数学家得出的众多命题,不能让它们湮没在历史尘埃中,尤其如《几何原本》这类集当时数学命题之大成者,更应让它重放光彩,特别是他们解题的构思,无疑会对现代的学生有所启示,成为解决各种数学问题之源泉.而这需要工作在一线的数学教师深入挖掘,对古代的这些命题用全新的视角进行拓展,并不断变式,使之古为今用.如《几何原本》卷2的命题5 ,能为向量的解题带来这么简捷的方法.本文仅是抛砖引玉,希望有更多的数学教师去揭开古代数学家留下的神秘面纱,让它在现代数学中也有一席之地,并让数学家们的巧妙构思启迪学生,拓展学生的思维,从而培养学生深邃的数学思想 [3 ] .参考文献:[ 1 ] 　 欧几里得 . 几何原本(兰纪正 、朱恩宽译)[ M ] . 南京:译林出版社, 2011.[ 2 ] 　 汪晓勤、韩祥临 . 中学数学中的数学史[ M ] . 北京:科学出版社, 2002.[ 3 ] 　 沈金兴.一道高考题的多种证法隐含的数学文化[ J ] .数学通报, 2011 ,8 : 40-42.(收稿日期:2015-04-01 )