运算封闭是数学中一个重要概念。对于一个集合,如果其中任意两个数在进行一种运算后,结果仍在这个集合中,那么我们说这个集合对于这种运算是封闭的。
换句话说,封闭研究这样一个问题:当我定义了一种运算后,所可能产生的所有结果是什么?对于向量而言,问题就是,当我初始拥有了一定数量的向量后,对他(们)进行加法和数乘运算,所可能产生的整个向量集合是什么?这就引出了向量空间的概念,我们之后会讲到。
以二维平面直角坐标系为例,i, j 分别是沿xy坐标轴方向的单位向量(1,0) 与(0,1)。那么,坐标平面上的任意一个向量,都可以看作是 i 和j(称为基向量)的缩放再相加的结果。基向量缩放的倍数对应向量的各个分量,即向量对应的坐标。例如,向量 (3,-2) 就可以看成是 3倍i 与-2倍j 相加的结果。
一组基向量就对应一个坐标系,选择不同的基向量就构造出了不同的坐标系。同一个向量,在不同的坐标系下(即采用不同的基向量),其坐标值也要相应地发生变化。
这一“将向量进行缩放再相加”的操作,即线性组合。
在二维平面中,选取 2 个向量,然后考虑它们所有可能的线性组合,我们会得到什么呢?这取决于我们选择的 2 个向量。
通常情况下,我们会得到整个平面:
如果不巧,选择的 2 个向量恰好共线的话,那它们的线性组合就被局限在一条过原点的直线上了。
向量 v, w 的 全部线性组合所构成的向量集合称为向量 v, w 所张成的空间。张成的空间,实际上就是通过加法和数乘这两种运算,能获得的所有可能的向量集合是什么。
将线性组合的想法扩展到 3 维空间中。想象 3 个3维向量,它们所张成的空间会是什么样的呢?这取决于我们选择的 3 个向量。
通常情况下,我们会得到整个 3 维空间当选择的 3 个向量共面时,它们所张成的空间是一个过原点的平面当3个向量共线时,它们所张成的空间是一条过原点的直线当3个向量都是零向量时,它们所张成的空间只包含零向量
显然,在考虑向量所张成的空间时,有些向量是多余的。例如,情况 b ,确定一个平面只需要 2 个向量,而我们却用了 3 个向量,这意味着,有1个向量是多余的;情况 c,确定一条直线只需要 1 个向量就够了,而我们用了 3 个向量,有2个向量是多余的。数学上,我们用线性相关来描述这样的现象。
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