从代数的意义上说,整数集、有理数集等等,都是最朴素的代数系统。在构建这些最朴素的代数系统,即群、环、域时,只有加法和乘法是基础性的代数运算,减法和除法不是,而是附加的。
对于自然数,只有加法和乘法能够确保有意义,即对于任意
成立
对于整数,加法、乘法和减法都有意义,但是减法并不是直接被定义出来的。所谓减法有意义,叙述为对于任意
存在
使得
然后
对于有理数,四则运算都有意义,但除法也不是直接被定义出来的。对于任意
当
时存在
使得
然后当
时
以上的运算带有相应的运算律,于是整数集是一个环,有理数集是一个环,也是一个域。
这里为什么要求
呢?是因为假设允许
那么存在
使得
但是由环的性质,我们证明对于任意
成立
产生了矛盾,所以不允许存在