图 图 1.3 苏州 城区 剪切波速与深度经验关系(战吉艳, 2009 )除了四种典型且应用广泛的速度模型外,还有一些学者提出了以下几种模型来描述剪切波速与深度的关系(表 1.3),这些模型目前为止使用较少,但可以很好地描述当地的剪切波速分布特征。表 表 1.3 剪切波速 与深度关系模型作者 速度模型 地区曾勇(1986)dsc Z b a V ) (    西安、徐州、鞍山胡钧(1997)csbZ a V   上海李铮(2007)bzsae V  南京河西施晓文(2015)b Z a V s   ln安徽吉阳核电厂贺为民(2016)3 2dZ cZ bZ a V s    河南省长垣县4 3 2eZ dZ cZ bZ a V s     曾勇统计了西安、徐州和鞍山等地区的剪切波速的分布规律,提出了一种非线性速 长安大学硕士学位论文8度模型(表 1.3) [31] 。此模型有四个参数,是在复杂幂函数模型基础上加上一个常数,这个模型不会像简单幂函数模型使地表的剪切波速近乎于零,也不会像线性模型无法反映剪切波速随深度呈曲线关系的规律。此模型在进行回归分析中需要用到高斯-牛顿法来确定待定系数。回归结果显示,此模型得到的经验公式相关系数大于或等于幂函数和线性函数模型得到的相关系数,说明此模型有利于提高估算波速的预测精度。胡钧等提出的模型(表 1.3)有三个参数,是在简单幂函数基础上加一个常数 a ,代表趋于埋深为零(地表)的位置时,剪切波速趋于 a (m/s) [32] 。其拟合出的上海各类土剪切波速回归曲线见图 1.4。图 图 1.4 上海剪切波速与深度的关系曲线( 胡钧,1997 )图 图 1.5 南京河西地区剪切波速与深度的关系曲线(李铮 2007 )李铮等研究南京河西地区剪切波速随埋深的变化规律时,发现指数函数模型(表1.3)对当地剪切波速与深度关系进行拟合更具代表性 [33] ,此模型的剪切波速值随埋深的增加,增长率逐渐加快,其拟合曲线见图 1.5。施晓文等对安徽吉阳核电厂第三系砂岩剪切波速进行统计,得出其经验关系曲线,如图 1.6 所示。不难看出,剪切波速与深度关系拟合效果最好的为对数函数模型(表 1.3),拟合优度在 0.95 以上,说明对数函数模型适合当地的地层分布情况 [34] 。贺为民等提出的一元三次和一元四次多项式模型(表 1.3)适用于剪切波速与深度散点图中存在两个以上拐点的情况,见图 1.7 [35] 。对河南省长垣县地区地层的剪切波速分布特征来说,其拟合优度大于幂函数、线性函数和一元二次函数模型。 第一章 绪论9图 图 1.6 剪切波速与深度的关系曲线( 施晓文,2015 )图 图 1.7 长垣县土层剪切波速与埋深关系( 贺为民,2016 )1.2.3 间接构造法在钻孔测量剪切波速过程中,得到的速度剖面中的剪切波速代表两个相邻深度之间的走时平均速度,而不是既定深度处的实际速度。当相邻深度之间的厚度较小时,走时平均速度可以认为是速度的近似值。然而,当相邻深度之间厚度太大时,走时平均速度与实际速度有一定差距,不能与实际速度混淆。因此,直接构造法具有一定的局限性。Wang 等提出了一种新方法—间接构造法来构造剪切波速与深度的关系 [9] 。这种方法是以走时作为中间变量,首先建立走时与深度之间的回归关系式,然后根据走时与深度的关系式推导出剪切波速与深度的关系。Wang 等选取来自日本的 643 个钻孔和加利福尼亚的 135 个钻孔数据,通过美国《国家地震减灾计划》(NEHRP)基于 Vs(30)定义的场地分类对日本和加利福尼亚钻孔进行场地划分,按场地类别统计走时和深度的资料。经统计分析得到了不同场地类别情况下的走时与深度的关系式,而后计算出剪切波速与深度关系的参数,分别得到相对应的幂函数和线性函数方程式来描述日本和加利福尼亚地区与场地有关的剪切波速和深度的关系。结果表明:(1)走时和深度之间具有很强的相关性;(2)除了日本的 E 类和加利福尼亚的 D 类场地,幂函数模型比线性模型更切合实测数据,说明场地类型对剪切波速有一定的影响;(3)不同地区相同场地类别地表剪切波速相差不大但是速度梯度有差异,即速度随深度变化快慢不同。目前间接法应用还不广泛,其过程较为复杂,工作量也较直接法大,但在统计分析 长安大学硕士学位论文10的原始数据上,直接法是以某段深度内的平均走时为统计数据,而间接法是以实际得到的既定深度处的走时为统计数据,误差较小。综上所述,无论是直接构造法还是间接构造法,对不同地区的各类岩土类型求得的最优速度模型及其相应参数均不相同,即剪切波速的分布带有明显的地域土质特征。所以大范围的数据所统计出来的结果不一定适用于小区域,不同区域的经验公式也不能通用,必须根据需估算地区已有资料统计分析出只适合当地条件的变化规律。并且人们为了避免剪切波速误差带来的影响,得出更贴近观测值、预测精度更高的公式,不断地提出新模型、新方法,考虑更多的影响因素,比如地质成因、场地类别、覆盖层厚度、土层物理状态等等。与此同时,应尽可能收集更多的数据,数据越少,离散程度越大,不能很好地反应客观规律。1.3 主要研究内容本文以西安城区为研究范围,基于西安地震小区划和西安地铁三号线地震安评共510 个钻孔剪切波速资料,其中包括 108 个深孔(90 米)和 402 个浅孔(30 米),研究西安地区剪切波速与深度的统计关系,建立适用于西安地区的剪切波速与深度的经验公式,主要研究内容如下:(1)根据西安地震小区划的工程地质分区情况,利用直接法对具有相似土体结构的各地质亚区进行剪切波速与深度的统计分析,并分为 30 米和 90 米统计区间,得到不同工程地质分区剪切波速与深度的经验关系。(2)对于西安地区常见的岩土类型,利用直接法对三个主要工程地质区中的不同土类进行剪切波速与深度的统计分析,并分为 30 米和 90 米统计区间,得到不同土类剪切波速与深度的经验关系及其适用范围。(3)基于 30 米深度范围内各工程地质分区的剪切波速数据资料,运用间接法对各地质亚区不同地层结构的剪切波速进行统计分析,并将其与之相对应的直接法结果进行对比分析。 第二章 基于直接法的剪切波速与深度关系研究11第二章 基于直接法的剪切波速与深度关系研究2.1 引言剪切波速是岩土抗震工程领域中的一个重要参数,缺乏剪切波速资料的场地需要估算剪切波速值。已有研究证明,剪切波速与深度之间具有很强的相关性。本章基于回归分析原理,按照西安地震小区划工程地质分区情况,利用收集的钻孔波速资料,分别对不同工程地质亚区和不同岩土类型的剪切波速与深度的关系进行统计分析,为缺少钻孔资料的场地提供参考。2.2 回归分析原理回归分析是数理统计中一种常用的统计分析方法。通过研究几个特定变量之间的相关关系,用适当的数学模型将变量间的关系表达出来,建立一个相关性较好的回归方程(通常称为经验公式),并用于预测今后因变量的变化。对于回归分析的类别,依据需研究的自变量个数,可分为一元回归分析和多元回归分析;依据自变量和因变量之间的线形关系,又可分为线性回归分析(问题)和非线性回归分析(问题)。2.2.1 回归方程的建立回归方程的建立,通常基于最小二乘法。最小二乘法是利用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种计算方法。即当2) ˆ Q i iy y ( 最小时,得到回归参数的估计值。1、一元线性模型对于一元线性回归方程,利用普通最小二乘法即可得到参数估计值。其模型如下:    bx a y (2.1)其中,  服从正态分布 ) , (20 N  。根据数学分析中求极值的原理,要想使得误差平方和 Q 最小,需要令 Q 对参数 a 和b 求偏导,并使其均等于零,即0 )ˆˆ ( 2Q1    nii ix b a ya(2.2)0 )ˆˆ ( 2Q1    nii ix b a yb(2.3) 长安大学硕士学位论文12根据以上两个方程式即可求得参数 a 和 b 的估值:x b y a   ˆ (2.4) 2) () )( (ˆx xy y x xbii i(2.5)2、一元非线性模型对于一元非线性回归模型,有一类可以直接换元,比如多项式方程,可直接利用普通最小二乘法进行参数估计。有一类需将其对数化转换为线性模型,求出线性回归参数后,再变换回原模型参数。但这一类模型在进行对数变换的过程中造成因变量形态的改变,失去了原来模型残差平方和最小的意义,导致得不到原模型的最优回归参数,进而造成回归模型与原数据间产生偏差较大的情况。所以对于此类模型,将其直接作为非线性模型分析往往比较有利。因此,本文对于除多项式模型的其余非线性模型,均采用非线性最小二乘法进行回归分析。(1)多项式回归分析算法多项式回归算法原理仍然是普通最小而成法。其模型形式如下:          pp xx x y22 1 0 (2.6)其中,  服从正态分布 ) , (20 N  。对于所得的 n 组观察数据 ) , , 2 , 1 )( , ( n i y xi i  ,则有                           pn p n n nppppx x x yx x x yx x x y 22 1 0222 2 2 1 0 2121 2 1 1 0 1(2.7)设  Tny y y , , ,2 1  Y ,  Tn   , , , 2 1 β ,  Tn   , , , 2 1 εpn n nppx x xx x xx x x    2222 2121 1111X (2.8)则式(2.7)可写成矩阵形式:ε βX Y   (2.9)根据最小二乘法原理,当估计值? ? ?与实际观测值iy 之间的残差平方和最小时,可求 第二章 基于直接法的剪切波速与深度关系研究13得回归参数iˆ,即))ˆ( )ˆmin(( ) ˆ ( min min12β X Y β X YT    nii iy y Q (2.10)对其求偏导,则有0ˆ2 2ˆ)ˆ( )ˆ(ˆ     β X X Y Xββ X Y β X YβT TTQ(2.11)即当1)  X X T ( 存在时,Y X X X βT T 1)ˆ( (2.12)(2)非线性回归分析高斯牛顿法是一种最常用的非线性最小二乘最优化方法,其利用了目标函数的泰勒展开式把非线性函数的最小二乘化问题化为每次迭代的线性函数的最小二乘化问题。