下面的线性变换中,仅仅有一个线性无关特征向量,从而不能相似对角化(更多详情,点击如何理解特征值与特征向量了解)。
2.3 对角化还需要注意线性空间的基域的选择。
考虑下面的线性变换:平面上的逆时针旋转90度的变换:从图中可以看出这个旋转变换没有实特征向量,然而这个矩阵是可以对角化的。因为,它存在两个线性无关的复特征向量。因此,把这个矩阵看作复数域上的二维线性空间的变换,他是可以相似对角化的:
3、如何进行矩阵的相似对角化
如果一个
矩阵
可以对角化,这
个线性无关的特征向量便构成了一个相似变换矩阵
,特征值按照相应的位置排列,即构成了相似对角矩阵
:
需要注意的是,相似变换矩阵
并不是唯一的,因为对应一个特征值的特征向量的选择有无数多个。而在实对称矩阵情况下,相似变换矩阵往往会选择为正交矩阵,因为正交矩阵有更好的性质(更多详情,敬请期待)。
4 矩阵的相似对角化的几何理解