由于流动问题的原型和模型属性相同,因此描述流动问题原型的微分方程组和描述流动问题的模型的微分方程组应具有相同的形式,即具有不变性。 显然,如果能通过形式的变换及测量单位的改变,使原型的微分方程组与模型的微分方程组恒等,实质上就满足了流动的相似条件,亦即两流动相似。 单值性条件相似及两微分方程组的系数相等,是两流动相似的充要条件。 在使两方程组恒等的过程中,也相应的确定了相似判据。 既为了简单,又不失一般性,由二元实际流动微分方程组讨论得到相似判据。 (5.8.10) (5.8.11a) (5.8.11b) (5.8.12) (5.8.13) 边界条件:1)在物体壁面上 (5.8.14) 2)在无穷远处 (5.8.15) 初始条件:在时 (5.8.16) 引入一些表征粘性流动问题的特征物理量将上列方程组化为无纲量方程 特征长度: 特征速度: 特征时间; 特征压力: 特征密度: 特征温度: 特征粘性系数: 特征定容比热: 特征定压比热: 特征导热系数: 特征重力: 用这些特征量去除相应的物理量便得到无量纲物理量,在相应符号上加“~”表示,于是:	将以上关系式代入方程组(5.8.10)~ (5.8.13)中,整理得到 (5.8.17a) (5.8.17b) (5.8.17c) (5.8.17d) (5.8.17e) 边界条件:1)在物体壁面上 (5.8.18) 2)在无穷远处 (5.8.19) 初始条件:在时 (5.8.20) 几何边界相似的两个流场,如果流动似相似的,则它们应满足相同的无量纲方程(5.8.17)。 反之,当已知两流动的物理量满足了以上各无量纲方程时,那么这两个流动就是相似的。 由此我们可得出两流动相似的判据。 如果两流动似相似的,它们都应满足以上方程组,因此对两流动的特征物理量必须满足以下条件: 下面分别对以上无量纲数进行讨论。 1、称为斯特鲁哈尔数,通常用表示 (5.8.21) 因为在斯特鲁哈尔数中包含了特征时间,所以它是和流动非定常性有关的数。 我们可以从无量纲方程组看到,如果流动是定常的,那末在各方程中均不会出现数,亦即流动相似与它无关。 而对于非定常流,若要两流动相似,必须满足斯特鲁哈尔数相等这个条件。 因此,斯特鲁哈尔数似表征非定常流动相似的判据。 2、这个无纲量数,在不可压缩流中称欧拉数,以Eu表示 (5.8.22) 它主要是表征压力对流动的影响的相似判据。 对于可压缩流体而言,利用声速公式,可将Eu改写为 (5.8.23) 由此看出,相似判据对可压缩流体而言是表示气体物性和马赫数影响的判据,特别是当两流动的相等时,则马赫数的相等是流动相似的必要条件。 所以,马赫数作为相似判据来说就是表征可压缩性流动影响的相似准则。 3、是和质量力(一般与重力)有关的一个无量纲数。 通常把称为弗鲁德数: (5.8.24) 此无量纲数还有另外一个含义。 我们研究分析无量纲动量方程可以看到,流体质点运动的惯性力的量级为1时,那末重力产生的质量力的量级则为,因此,惯性力: 重力= 由此可知,表示惯性力与重力的比值。 所以在重力起作用较大的流动中,流动相似必须考虑数相等的问题。 4、与粘性有关的无量纲量,其倒数就是雷诺数: (5.8.25) 我们从动量方程中可以看出雷诺数的物理意义乃是惯性力与粘性力的比值。 基于这一点,在考虑粘性影响方面,雷诺数似必须首先满足的相似准则。 5、是与热传导有关的无纲量数。 它可化为 (5.8.26) 令,则(5.8.27) 称为普朗特数。 无量纲形式的微分方程组(5.8.17)式的解将把无量纲的因变量、、、表示成为自变量、、和以及包括在微分方程式和初边条件内的所有无量纲组合数的函数。 在目前所考察的情形中,无量纲组合数为、、、和。 因此,解应当具有如下的形式: (5.8.28) 显然,如果两种流动的边界几何相似,无量纲边界条件式(5.8.18)和(5.8.19)及初始条件式(5.8.20)相同,在相互对应的点上和对应的瞬时,各同名无量纲组合数均具有相同的值。 即,,, 则这两个流动所得到的无量纲形式的解必然相同。 即在相互对应的点上和对应的瞬时,无量纲速度和无量纲压强都具有相同的值。 在相似理论中,把这些无量纲组合数叫做相似准则。 由此可见,流体动力学相似的必要与充分条件是: 1) 流体边界几何相似。 2) 包括在微分方程组内和初边条件内的各同名相似准则相等。 3) 有相同的无量纲边界条件和切始条件。 应该指出,在实际流动中要保证两个流动的各同名相似准则都相等是难以办到的。 一般只能做到满足部分相似准则,这样的相似称为部分相似。 但是,实现部分相似时,必须根据具体问题确定最主要的相似准则并使之满足相似要求。 例如,对于定常流动。 局部导数为零,数不出现;在重力可以忽略的情形下,可以删去。 显然,对于粘性流体的流动,最重要的相似准则是数 5.8.2 量纲分析的基本理论 1.基本量纲与导出量纲 目前国际上规定允许使用的基本物理量的量纲(基本量纲)有以下几个 长度 米 质量 千克(公斤) 时间 秒 热力学温度 开[尔文] 电流 安[培] 物质的量 摩[尔] 发光强度 坎[德拉] 其余各物理量的量纲都是导出量纲。 导出量纲都可写为基本量纲指数幂乘积的形式 。 量纲公式的这一形式是由下列条件决定的:任一派生量的两个数值之比与基本测量单位的大小无关。 例如,在LMT族中,面积这个物理量是一个派生量。 但是这两个面积的比值,无论是在CGS系统中还是在MTS系统中应彼此相等。 对于某一有量纲量y,为简单起见,假设y是一几何量,因此,y只与长度项有关 其中为一些线段长度。 y在下相应值以表示。 的值以及的值与测量的测量单位有关。 把及都放大几倍,那么即 (5.8.29) 的值在为任意值下都应相等。 由式(5.8.29)得或(5.8.30) 由此看到,任一几何量用按不同长度测量单位量度时的数值,只和长度测量单位的比例有关。 由式(5.8.30)可得 由此可得 (5.8.31) 而(5.8.32) 当时,代入上式得 (5.8.33) 由此得 (5.8.34) 将式(5.8.34)对微分,并令得 (5.8.35) 积分后得 (5.8.36) 当时,,因此 (5.8.37) 对于与几个基本测量单位有关的有量纲量,如果只改变其中某一个基本单位的大小也可得到式(5.8.37)的结论。 如果我们改变三个基本量的测量单位的大小,那么 (5.8.38) 这样就证明了量纲公式的形式。所以任一物理量的量纲公式 (5.8.39) 如果特征量是无量纲量,则,因此 不同性质的特征量不能进行比较,如一体积不能和一面积比较大小,也不能和一作用力比较。 因此,在表示物理现象的关系式中,等式或不等式两边的量纲应该相同。 2.有量纲量与无量纲量 凡改变量度单位时其数值随之改变的物理量叫有量纲量。 长度、质量、力等都是有量纲量。 反之,凡改变量度单位时其值不变的物理量叫无量纲量,例如角度、绝热指数,功与能之比等。 无量纲量的量记为1。 3.量纲独立量与量纲不独立量 在一组描述某力学现象的物理量中,凡其量纲不能写成其余物理量量纲指数幂乘积形式的物理量叫量纲独立量。 反之,若其量纲能写成其余物理量量纲指数幂乘积形式,这种物理量就是量纲不独立量。 例如,描述液体在管内流动的物理量是压力差,管径,管长,密度,粘性系数,平均速度,管径粗糙度。 在上述七个物理量中,先选定量纲独立量,,,。 这三个量中每一个量的量纲都不能用其余两个物理量量纲指数幂乘积形式写出,因此它们的量纲是独立的。 其余四个量的量纲可分别表示为,, 量纲独立量与量纲不独立量是相对的。 例如,这里也可选,,为量纲独立的量,这样,,,的量纲就是不独立的。 同时,在这个例子中只有三个基本量纲出现,因此量纲独立的量最多只有三个。 因为所有物理量的量纲都可以由基本量纲导出,所以,当一组物理量中有个基本量纲出现时(对力学现象,),则量纲独立的量最多只有个。 所有量纲不独立量的量纲都可用量纲独立量的量纲指数幂乘积的形式来表示。 例如,描述液体在管内流动的一组七个物理量,,,,,,中,若取,,的量纲是独立的,则,,,的量纲可分别表示为 或或或或只有两边相应的指数相等,上述四个恒等式才能成立。 因此 , , ,,, ,,, 所以 当然有一些量的量纲不需经过计算即可看出,例如。 4.主定量和被定量 在描述某力学过程的一组(全部)物理量中,凡对描述该过程起主要和决定作用的物理量叫主定量,由主定量决定的物理量则叫被定量。 要找出描述一个力学过程的全部物理量并正确地区分出哪些是主定量哪些是被定量,这也许是量纲分析最关键的也是最难的步骤。 对于已经建立了数学模型的力学模型,这一步骤是相当容易实现的。 例如,在描述力学过程的微分方程组及其定解条件之中,方程中的自变量,方程中表示物性,运动学或动力学状态的各种常系数(如粘性系数,线性波动过程的波速,重力加速度,比热比,等等)以及在定解条件中出现的各种参数(有量纲和无量钢的)都是主定量;而待求函数就是被定量。 对于那些尚无数学模型或数学模型尚不完善的力学过程,要正确选定哪些是主定量哪些是被定量,常要依靠人们通过长期深入的观察所积累的经验。 特别是我们既不可把本来起重要作用的主定量漏掉而使结果荒谬或未说明现象的本质;同时也不应把那些确实不起重要作用甚至根本不起作用的因素作为主定量选进来。 否则要么使一个简单问题复杂化,要么得出荒谬的结果。 5.定理 上一节介绍了通过方程的无量纲化导出无量纲参数的方法,并导出了几个最常用的无量纲参数。 还有另一种方法,在不如道数学方程的情况下,也可用它来导出无量纲参数,建立有纲物理量之间的关系,这种方法就是量纲分析。 这里不打算全面讨论量纲分析理论,而只介绍其基本思想。 由数学公式表述的物理定律,使表征所研究现象的各有纲量相互联系起来,这些有纲量的具体数值依赖于所选用的度量单位制。 另一方面,物理定律本身应不依赖于单位制的选择。 这种情况说明,有纲量之间的函数相关必然具有某种特有的结构,而量纲理论则提供了确定上述相关结构的方法。 方法的基本根据是任何数学方程的各项必须含有相同的质量、长度和时间等量的量纲,而超越函数如和等的自变量则必须是无量纲的。 为寻找有纲量间的函数关系,首先要确定对所研究现象起主要作用的诸有纲量,即定义该现象的有纲量。 当描写所研究现象的数学方程已知时,定义该现象的诸有纲量自然是知道的。 但在相反的情况下就要根据对物理本质的认识来确定这些有纲量。 定义该现象的有纲量确定后,可着手寻求未知的函数相关式。 为此要应用所谓的定理。 现简述如下; 假定描写某一现象的特征量有那么这些特征量应该有一关系式 (5.8.40) 应用纲量分析的方法,确定(5.8.40)式可能采取的最简单的形式。 特征量之间的关系式是其本质的联系。 因而与表征他们的数的任意性无关,即与选择怎样的测量单位系无关。 在另一测量单位系中,式(5.8.40)中所含的特征量分别为,根据以上结论应有: (5.8.41) 也就是说该式的函数与式(5.8.41)的相同。 这一点是量纲分析的基础。 它提供了能用更少变数的函数表征现象的特征的可能性,从而大大简化现象的理论研究和实验研究。 这一点可以有下面讨论的定理表示出来。 对于特征量如果不存在这样的数使 为无量纲量,我们就称是量纲无关,否则就称为量纲相关。 例如,长度,速度和能量就是三个量纲无关的,而长度,速度和加速度则是量纲相关的。 一组特征量称为量纲无关是其中任一个量与其余的量都是量纲无关。 在力学现象中,最大量纲独立数为3,因此包含三个以上的特征量的组合都不是量纲无关的。 下面推导定理。 设在中量纲独立的量为,其余的个特征量可以组成无纲量组合 (5.8.42) 特征量为纲量相关,所以可有无量纲组合 (5.8.43) 将式(5.8.42)和(5.8.43)代入(5.8.40)中得 (5.8.44) 或(5.8.45) 在给定的测量系族里,可以改变测量单位系统,使量纲无关的特征量中只有一个特征量改变数值,其余的特征量都保持不变,例如使改变,不变。 无纲量表达式和预测量系统的改变无关,也都保持不变,而函数的形式也不变。 因此可以得出结论:函数与无关。 类似的可以证明函数与都无关。 所以式(5.8.45)可以写为: (5.8.46) 再将式(5.8.42)和(5.8.43)代入(5.8.46)最后得到 (5.8.47) 这就是定理,它说明了依赖于几个变数的函数,可以表示成更少一些变数的函数。 现举例说明定理的应用。 我们以光滑管中粘性不可压缩流体的流动为例,应用定理研究特征量之间的关系。 与此流动有关的特征量:管道内径,管道长度,流体的密度,流体的粘性系数,通过管截面的流量,管道在此长度上的压力降。 我们所要确定的研究内容是:在给定的条件下,需要多大的压力降才能保证通过给定的流量,亦即需要建立下列关系式 (5.8.48) 在LMT系族中,各特征量的量纲 在我们这里讨论的问题中,量纲独立的特征量的个数不能大于3,由特征量和组成的组合是量纲无关的,那么由和可写出的无量纲组合为 根据定理有 因此 (5.8.49) 经验表明,对于足够长的管道(),当其他特征量给定时,与成正比。 因此当时,函数可表示为 (5.8.50) 或者 (5.8.51) 如果以平均速度和阻力系数代入式(5.8.51)中,则可化为 (5.8.52) 式(5.8.52)表明,当用实验方法去确定管道中的压力降时,在不同的条件下,即用不同的流体、不同的管径、不同的流量进行实验,所得实验结果按式(5.8.52)来处理时,应当都落在同一条曲线上。 实验结果证实了这一结论。 这一结论是十分有意义的,它使我们在某种条件下进行的实验所获得的结果,可以用在其他条件下。 从上面的例子可以概括出应用量纲分析的步骤: 确定描述现象的所有特征量,并确定特定的特征量。 这就要求对所讨论的问题有比较透彻的了解,否则降会得出错误的结果。 确定测量单位系统,写出全部特征量的量纲。 在主要特征量中选出一族最大量纲无关特征量,然后再作出其余主要特征量组合及待定特征量的无量纲组合。 应用定理列出无量纲形式的关系式。 5.9 奇异摄动法简介 奇异摄动法是应用数学的一个重要方法,已经在力学中有着广泛的应用。 当工程科学问题中出现无纲量的小参数时,利用摄动发作渐进展开,往往可以得到简单而又有效的结果,并有助于对该科学问题得到深刻而透彻的理解。 首先研究一个二阶常微分方程: (5.9.1) 式中为小参数,也称摄动量,一撇和两撇分别表示对x的一阶和二阶导数。 边界条件为: (5.9.2a) (5.9.2b) 假设该微分方程的解可以展开为的幂级数: (5.9.3) 将幂级数解代入(5.9.1)有: (5.9.4) 按的幂次排列,此方程式可写为: (5.9.5) 视所研究问题的精度确定所取小参数的幂次。 令的各次幂的系数为零,得到关于的递推方程 (5.9.6a) (5.9.6b) 积分(