如果n是奇数,至少有一个实数特征值+1或−1;对于3×3旋转,关联着+1的特征向量是旋转轴。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n正交矩阵形成了一个群,即指示为O(n)的正交群,它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如,分子的点群是O(3)的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质,它们是字数值线性代数中很多算法比如QR分解的关键,通过适当的规范化,离散余弦变换(用于MP3压缩)可用正交矩阵表示。数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如,经常需要计算空间的正交基,或基的正交变更;二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式±1和所有模为1的特征值是对数值稳定性非常有利的。一个蕴涵是条件数为1(这是极小的),所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大。很多算法为此使用正交矩阵如Householder反射和Givens旋转。有帮助的不只是正交矩阵是可逆的,还有它的逆矩阵本质上是免花费的,只需要对换索引(下标)。置换是很多算法成功的根本,包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现;它们的特殊形式允许更有限的表示,比如n个索引的列表。同样的,使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如,Givens旋转只影响它所乘的矩阵的两行,替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候,腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换。