这一步是最难的,我们一时看出来它们怎么会相等。那么可能就需要作辅助线。我们知道, SA是FA'的中垂线,SB是FB'的中垂线,所以,我们可以作一个以点S为圆心,以SF为半径的圆,这个圆当然经过点A'、F、B'。 再连接SB'。 如下图所示。 请您注意观察上图,可以发现,∠FSB'是弧FB'对着的圆心角,且是 ∠ 4的两倍;而∠3是弧FB'对着的圆周角。所以,∠3=∠4。就这么简单。辅助线找到了,两个角的联系就出来了。所以,我们就最终证明了∠1=∠4。同理可以证明标蓝的角也相等。那么两个三角形也就相似了。 请您特别注意,这个性质对抛物线的任何两条切线都是正确的。 这也是我们进一步得出前面作图方法的理论依据的关键所在。 于是,我们就再作一条切线,这条切线与原两条切线中的某一条,比如SA,也构成抛物线的两条切线。 从而也具有上述性质。 具体来说,如下图所示,设新作出的切线为c(红色直线),它与抛物线的相切点为E,它与之前的两条切线的交点为C和D。 如下图所示。 那么,对SA和CD这两条切线来说,类似的两个相似三角形在哪里呢? 想一下前面那两条切线时,两个相似三角形是怎么作出来的,也就容易找出这里的两个相似三角形了。 这是非常重要的一步,考验您对几何洞察力。 相信在你看了下图之后,一定会觉得自己的数学水平将会大大提升。连接CF,连接EF。所以,要找的两个相似三角形是:ACF和CEF。其中 ∠1= ∠5。前面已经得到 ∠1= ∠4, 从而 ∠5= ∠4 。