向量的维数就是向量中含量空间的维数是向量空间任何一个基中含的向量的个数.
判断向量组的线性相关性就是看方程x1A1+x2A2+...+xkAk=0有没有非零解.把它展开就是一个线性方程组,系数矩阵有k列,其行数就是向量的维数。
若向量的维数小于k,那么方程组有非零解(方程个数小于未知量个数时,齐次线性方程组非零解,因为系数矩阵的秩≤行数<未知量个数)。
扩展资料
举例:
求一个单位向量a使其与(1,1-1,1)t,(1,-1,-1,1)t(2,1,1,3)t都正交:
与3个向量正交的向量(x1,x2,x3,x4)满足
x1+x2-x3+x4
=0x1-x2-x3+x4
=02x1+x2+x3+3x4=0
系数矩阵为
1 1 -1 1
1 -1 -1 1
2 1 1 3
-->
1 0 0 4/3
0 1 0 0
0 0 1 1/3基础解系为 (4,0,1,-3)^T所以与3个向量都正交的向量为 k(4,0,1,-3)^T单位化得 ±(1/√26)(4,0,1,-3)^T,即为所求。
--这里k可正可负,所以有个正负1。