点到平面的距离的几种求法http://www.DearEDU.com 云南会泽实验高中 线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解.异面直线的距离也常 常须转化为线面距离,进而转化为点面距离求解. 所以点面距离是学习其它空间距离的 基础. 弄清点到平面的距离的概念及理解一些相关定理是掌握点面距离的前提条件, 教学过程中让学生掌握点面距离与线面距离、面面距离之间的相互转化是教学的重点.关键词 平面距离 Abstract distancebetween twoplanes alwaysturned distancebtween distancebetween two lineswhich differentplanes alsoneed distancebetween line solve.so distancebetween point basic learningother kinds spacedistance, Clarifying distancebetween point understandingsome relat ice theoms distancebetween point lane.Dur ing teaching process, focalpoint letstudents master transform distancesbetween point plane.Key words point plane distance 引言立体几何中的距离是建立在弄清概念、恰当作图、严格论证的基础上的. 空间中的距离 有八种点与点、点到直线、点到平面、两平行直线、两异面直线、平行平面、平行于 平面的直线与该平面、两点间的球面距离;其中点与点、点到直线、点到平面的距离 是基础,而异面直线的距离、线面平行的距离一般均可通过化为点到平面的距离来求. 这些知识点及处理能力均为高考的重要内容,因此熟练掌握求点到平面的距离的常用 方法是立体几何中应重视的课题. 点到平面的距离的求法是研究得比较多的一个问题,也是一个很陈旧的问题,在国内 外探索“点面距离求法”通常是建立在定义的基础之上. 通过一些例题进而总结出一些 基本方法. 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平 面的垂线段长. 例:(如图 的距离就是线段PA 点到平面的距离有如下三条性质:(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离. (2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点 的连接线段长度的最小值. 例题求解已知ABCD是边长为 的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面,且GC=2,求点 直接作出所求距离求其长解法一:(如图 2)为了作出点 到平面EFG 的距离,延长 FE CB的延长线于M, GM,作BNBC,交GM于N,则有BNCGBN平面 ABCD BNEM 作BPEM,交EM 平面BPN平面EFG 作BQPN,垂足为Q BQ平面EFG BQ是点B到平面 EFG 的距离 BNBP PN PBNRt BNPB BQ PN 1111 引理1:(如图 3)若二面角 CDAB 到平面N的距离AO=d,则有 也就是二面角的大小,而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角. 解法二:(如图 EFBP BP,这就是点B到二面角C- EF-G 的棱EF的距离.连结AC交EF于H,连结GH 易证GHC就是二面角C-EF-G的平面角. ,GH=22 于是由(1)得所求之距离11 11 GHCBP 利用斜线和平面所成的角引理 (如图5)OP 为平面 的一条斜线,OP 注:经过OP OP所成的锐角就是 θ,这里并不强求要作出点A在 射影B,连结OB 解法三:(如图6),设M为FE与CB的延长线的交点,作GM BR EBGM 平面BER平面EFG又ER为它们的交线 REB就是EB与平面EFG所成的角 由MRBMCG,可得10 MGCG MB RB MG MB CG RB 在RtREB中11 11 sin sin ERBR BER 于是由(2)得所求之距离11 11 sinsin BEREB (3)利用三棱锥的体积公式解法四:(如图 7)设点 到平面EFG 的距离为 连结BF,则有体积关系: BEF 连结BF,则GH EF ,于是有GC GHEF BDEF AF22 ACCH GC GH 11 11 GHEF GC 利用点到平面的距离公式引理 如图8)PO 为平面 的垂线段,PA为斜线段, APAP PO OAPO PA APPO 解法五:(如图 为原点,CB所在直线为 轴,DC所在直线为 轴,CG所在 直线为 轴建立空间直角坐标系xyz GE(4,-2,-2) GF(2,-4,-2) =(X,Y,Z)为平面EFG 的法向量,则由 B到平面DEF 的距离 11 11 利用直线到平面的距离确定解法六(如图 10)连结 BD,AC,EF. BD 分别交 EF 因为ABCD 是正方形. 分别为AB AD的中点, EF//BD, AO的中点 BD EF BD//平面 EFG BD 和平面 EFG 的距离就是点 到平面EFG 的距离 AC BD HCEF 平面ABCD GC EF EF平面 HCG HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线 由两平面垂直的性质定理知OK 平面EFG 线段 OK 的长就是点 到平面EFG 的距离 正方形ABCD 的边长为 HCGRt HCGHKO 1111 HGGC HO OK 解法七(如图11)把平面 EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面. ABCD—A1B1C1D1经过 的截面所在的平面.MG BP//MG,交CG P,连结DP. 则有 平面 GTM// 平面 PDB 它们之间的距离就是所求之距离. 于是可以把点 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离 又同三棱柱GQN—PDB 的体积有关,所以可以利用三棱柱 的体积确定所求之距离. 则有三棱柱 GQN—PDB 的体积 的关系式:BN CDBPDB 易求出BN=2/3,CP=4/3,PB=PD= 于是平行平面间的距离11 11 EFG的距离为 11 方法总结求点到平面的距离的常用方法有: 定义法过平面外一点作平面的垂线,直接求出这点到垂足的距离. (2)射影定位法 根据已知条件,确定平面外一点在平面内射影的位置. 再求这两点的 距离. 转化法通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式 10 点线距离 在平面内找出(或作出)一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新 平面和原平面垂直,则这点到这条直线的距离. 即为点到平面的距离. 20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行,则这条直线到平面的距离等 于点到平面的距离. 30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行,则这两平行平面的距离等 于点到平面的距离. 等体积法将点到平面的距离视为一个几何体的高,又能够容易求出这个几何体的 体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离. (5)公式法 建立恰当的坐标系,能够确定平面的方程及点的坐标. 运用点到平面的距 离公式即可求出距离. 参考文献 周家山.点到平面距离的求解策略[J]. 数学通讯, 2004. 6:12~13 点到平面的距离[J].数学通讯, 1996. 10:1~3. 从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究, 2004. 7:11~13. 点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报, 2003. 10:12~13. 用向量求距离的统一解法[J].数学教学, 2003. 10:34~36. 成都:高等教育出版社,1992:131~142. 刘增利.高中数学教材知识资料包[ 北京:北京教育出版社,2004:256~27