第十三章 轴对称 13.3.2 等边三角形 (第1 1 课时 ) 三边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 A B C AB=AC=BC 提出问题: 等边三角形有哪些特殊的性质呢? 根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质: ① 从边看 ; ② 从角看 ; ③ 从重要线段看; ④ 从对称性看 1 1 、等边三角形的内角都相等吗? ? 为什么? ? A AB B C C∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C( 等边对等角) ) ∵ CB=AC ∴ ∠A=∠C( 等边对等角) ) 又 ∵∠ A+∠B+∠C=180 ° ∴ ∠A=∠B=∠C=60 ° 探究性质一 等边三角形的内角都相等,并且每一个内角都等于 60 °. A AB B C C等边三角形性质: 如何用符号语言来表达呢? ∵ ∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 ° 2 2 、等边三角形有 “ 三线合一 ” 的性质吗? ? 为什么? ? 结论: : 等边三角形 每条边上的中线, , 高和所对角的平分线 都三线合一。 A AB B C C探究性质二 D E F 3 3 、等边三角形是轴对称图形吗? ? 有几条对称轴? ? 探究性质三 A AB B C C结论:等边三角形是轴对称图形,有3 3 条对称轴. . 图形 等腰三角形 性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等, 对称轴(3条) 等边三角形 对称轴(1条) 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 知识要点 例1 如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数. 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵∠ABE=40°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°. ∵BE=DE, ∴∠D=∠EBC=20°, ∴∠CED=∠ACB-∠D=40°. 典例精析 方法总结:等边三角形是特殊的三角形,它的三个内角都是60°,这个性质常应用在求三角形角度的问题上,一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质. 变式训练: 如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,延长BC到E,使得CE=CD.求证:BD=DE. 证明:∵△ABC是等边三角形,BD是角平分线, ∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°. 又∵CE=CD, ∴∠CDE=∠CED. 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED, ∴∠CDE=∠CED=30°. ∴∠DBC=∠DEC. ∴DB=DE(等角对等边). 例2 △ABC为正三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,∠BQM等于多少度? . 方法总结:此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用,一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等,而后利用全等及等边三角形的性质,求角度或证明边相等. 图①、图②中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形. (1)如图①,线段AN与线段BM是否相等?请说明理由; (2)如图②,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论. 拓展提升: 图① 图②