关于混合偏导数的注记第24 濮阳职业技术学院JournalofPuyangVocationalandTechnicalCollege Vo1.24No.4 Aug.2011 关于混合偏导数的注记 薛凌霄,鄢智强 (1.福建农林大学计算机与信息学院,福建福州 350002;2.福建广播电视大学,福建 福州350003) 摘要:高等数学中提到,二元函数的两个二阶混合偏导数在连续的条件下具有无序 性.对此结论很多学生的理解出现偏差, 本文给出一些注记,并予以说明. 关键词:二元函数;混合偏导数;求导次序 中图分类号:0172 文献标识码:A 文章编号:1672—9161(2011)04—0132—02 对于许多二元函数而言,它们的混合偏导数都是相等的,但是有些函数求混合偏导数时,与求导次 设,,y:Jxyx+-Y乒x2+y2;~0xy 于是(0,o)=o)=lim ovoxAy 缸.+0注意本例中f(x,Y1 在(0,01 点的两个混合偏导 数不相等.但当混合偏导数连续时,可以肯定混合 偏导数与求导次序无关. 二,定理及注记 关于混合偏导数相等的条件有如下定理: 定理1 无序性定理(克莱罗(Clairaut)定理):若 二元函数Z=f(x,Y)的两个二阶混合偏导数,在 区域D 内连续,则在D 内必有 ￡='成立. 对于三元及三元以上的函数,也可类似地定义高阶偏导数,且在偏导数连续的条件下,高阶混 合偏导数与求导顺序也无关(混合偏导数的无序 若fx,fy,fx在点(Xo,Yo)的某邻域内存在, 在点(X0,yo)处连续,则frxo,yo)存在,且fx(xo,Yo)= frxo,yo). 告诉我们,二元函数的二阶混合偏导数只要求出一个是连续的,那么另一个不需求出也知道 它一定存在,且等于已求出的混合偏导数. 若fx,fy在点(X0,Yo)的某邻域内存在,fx (X0,Yo)的某去心邻域内存在,且lim￡x,Y)存在,则'xo,yo)存在,且xo,yo)='xo,yo). 若fx,fy在点(X.,Yo)的某邻域内存在且在 点(xo,Yo)可微,则fx(xo,Yo):fy(X0,Yo). 是比定理1条件弱的两个混合 偏导数相等的充分条件. 收稿日期:2011—05 一l4 基金项目:福建农林大学青年教师基金项目(2010021). 作者简介:薛凌霄(1982 一),女,福建仙游县人,福建农林大学讲师,硕士,主要从事高 等数学教学与研究工作. l32—三,问题及分析 以上几个注记可以很好地利用无序性求解混合 偏导数.但是,学生课后做了这样一个练习: ~z=xlnxy 事实上,这个理解出现了偏差,如何理解无序性?指的是两个同阶的连续的高阶混合偏导数若要 相等,两个混合偏导数对x 的偏导次数一样时,可以通过交换,将对x 求偏导的先后次序转a'Zaz ....化为另一个.本题中对x 次,它们的偏导次数不一样,根本就不相等.但若混合偏导是连续的,则墓啬3z03z axay&~,OxOx 在科学和工程技术的实际应用中,往往认为所 出现的偏导数是连续的,所以不介意求偏导的次 序.例如就概括了六种不同次序的四阶混合 偏导数 fxyy,￡yy,fyy,fxyy,fyy,'". 求高阶偏导数时,只需要逐次地求偏导数就可 一一Y&OyY''.'一 分析:本题由2个方程确定,确定了1 个二元函 都是独立的.解法l(直接法)由所给的两个方程丽边对x 求导,得: 塞y+z+x4-妾一IJJOX 妾…s+zX1+dz(2) 由(2)可得妄=代入(1 all…一. 1-cos(x+上式对Y 可知混合偏导如何求要视题目而定,有时利用无序性可以减少很多工作量.同样,若f 阶的连续偏导数,就可简写偏导数为: okf(.