前言

为什么要引入极坐标呢?自然是觉得极坐标系有其自身表达上的优越性。
我们知道,通过直角坐标系,平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合。根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系,这就是研究几何问题的坐标法。
由于现实问题的复杂性,有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便。为便于用代数方法研究几何图形,需要建立不同的坐标系。在建立某些几何图形的方程时,用极坐标系、柱坐标系和球坐标系会更加方便。
比如涉及到某一个点\(P\),在直角坐标系下其表示为\(P(x,y)\),对应到极坐标系下表示为\(P(\rho,\theta)\),如果同时刻画距离\(|OP|\),则在直角坐标系下为\(|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\),是二元根式函数问题,在极坐标系下为\(|OP|=\rho\),就是一元一次函数,相关的运算就简单的多了。[再比如学生上大学后在学习二重积分区域是圆的时候,直角坐标是要积分带根号的,运算难度比较大,而对于极坐标就不存在这样的问题.]

基础概念

在平面内取一个定点\(O\) ,自点\(O\) 引一条射线\(Ox\) ,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 (通常取逆时针方向) ,这样就建立了一个极坐标系。点\(O\) 称为极点,射线\(Ox\) 称为极轴。平面内任一点\(M\) 的位置可以由线段\(OM\)的长度\(\rho\) 和从射线\(Ox\) 到射线\(OM\) 的角度\(\theta\) 来刻画(如图所示)。
这两个数组成的有序数对\((\rho,\theta)\) 称为点\(M\) 的极坐标。\(\rho\) 称为点\(M\) 的极径,\(\theta\) 称为点\(M\)的极角。一般认为\(\rho\geqslant 0\)特殊情况下,也容许\(\rho