一、 教学背景的分析已学习 : 二面角 及二面角 的平面角 的概念会会: 建立空间直角 坐标系进行向量坐标运算求平面的法向量已掌握: 用 向量求解线线角 、 线面角 的方法建立空间直角 坐标系 二、 教学目 标的确定1通过类比异面直线所成的角 、 直线与平面所成角 的解决3通过经历向量法求二面角 大小的推导过程, 培养大胆探索精神索精神, 提高学习提高学习2在探究用 向量法求二面角 大小的过程中,体会数形结合、 类比转化的数学思想转化的数学思想, 进进方法, 得到用 向量求二面角 大小的方法, 并能用 之解决有关问题, 体会向量方法在研究几何问题中的作用 .立体几何的兴趣.一步提高空间想象能力、 分析问题和解决问题的能力. 重点:用 法向量夹角 求二面角 的方法的探究及应用教学的重点和难点教学的重点和难点二、 教学目 标的确定重点和难点难点:二面角 与两个半平面的法向量夹角 的关系 三、 教学方法的选择教师启发引 导学生自 主探究学生自 主探究1 1教学方法教学方法多 媒体辅助2 2教学手段教学手段 四、 教学过程的设计与实施2探究方法11温故知新温故知新3实践操作4归纳总结 四、 教学过程的设计与实施\uf062如何度量二面角 α—l—β的大小1 1温故知新l\uf061ABO 1 1温故知新四、 教学过程的设计与实施异面直线所成的角|\uf071\uf0711v2v\uf03e\uf03d\uf03c21,vv\uf0712v1v\uf03e\uf03c\uf02d\uf03d21,vv\uf070\uf071 四、 教学过程的设计与实施1 1温故知新直线与平面所成的角a\uf072n\uf072直线的方向向量为\uf072n, 平面的法向量为\uf061\uf071\uf072nBa\uf03e\uf03c\uf02d\uf03dna,2\uf070\uf0712,\uf070\uf02d\uf071\uf03e\uf03d\uf03cna\uf061\uf071a 四、 教学过程的设计与实施1 1温故知新设计意图通过复习 二面角 平面角 的知识, 类比线线角 、 线面角 的解决方法, 自 然引 出 用 向量探究二面角 的大小. 四、 教学过程的设计与实施22探究方法探究方法1温故知新3实践操作4归纳总结 四、 教学过程的设计与实施2 2探究方法问题1:二面角 的平面角能否转化成向量的夹角 ?AOB\uf0d0lAOB\uf061\uf062\uf03e\uf03d\uf03cOBOA,\uf071二面角\uf03e\uf03d\uf03c\uf0d0OBOAAOB, 四、 教学过程的设计与实施2 2探究方法12,n n\uf071 \uf03d\uf03c\uf03e\uf075\uf072 \uf075\uf075 \uf072二面角 四、 教学过程的设计与实施2 2探究方法设计意图从平面角 出 发, 引 导学生发现二面角 的求解可由向量的夹角 来确定, 从而调动学生探究这一问题的积极性. 四、 教学过程的设计与实施2 2探究方法问题2:求直线和平面所成的角 可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角 , 那么二面角 的大小与两个半平面的法向量的夹角 , 那么二面角 的大小与两个半平面的法向量有没有关系?\uf072n\uf061\uf071al\uf061\uf0621n\uf075\uf0722n\uf075\uf075 \uf072 2 2探究方法四、 教学过程的设计与实施思考: 法向量的夹角 与二面角 平面角 的关系 四、 教学过程的设计与实施 2 2探究方法四、 教学过程的设计与实施\uf03e\uf03d\uf03c21,nn\uf071121212coscos,n\uf075\uf072 \uf075\uf075 \uf072nn nn n\uf071\uf0b7\uf03d\uf03c\uf03e\uf03d\uf075\uf072 \uf075\uf075 \uf072\uf075\uf072 \uf075\uf075 \uf072 2 2探究方法四、 教学过程的设计与实施根据教师引 导, 由学生发现该二面角 的求解可由向量的夹角 来确定, 调动学生探究这一问题的主动性和积极性.根据教师引 导, 由学生发现该二面角 的求解可由向量的夹角 来确定, 调动学生探究这一问题的主动性和积极性.\uf03e\uf03c\uf02d\uf03d21,nn\uf070\uf071121212coscos,n\uf075\uf072 \uf075\uf075 \uf072nn nn n\uf071\uf0b7\uf03d \uf02d\uf03c\uf03e\uf03d \uf02d\uf075\uf072 \uf075\uf075 \uf072\uf075\uf072 \uf075\uf075 \uf072 通过教师引 导和学生的交流讨论通过教师引 导和学生的交流讨论, 培养学生的空培养学生的空四、 教学过程的设计与实施2 2探究方法设计意图间想象能力、 逻辑思维能力和乐于探索的精神;通过实物教具、 板书画图、 课件演示, 帮助学生理解法向量夹角 与二面角 大小的关系. 2 2探究方法四、 教学过程的设计与实施问题3:法向量的夹角 与二面角 的大小什么时候相等, 什么时候互补?再次演示课件 2 2探究方法四、 教学过程的设计与实施当法向量1n ,2 n 一个指向二面角内, 另一个指向二面角外时, 面角的大小\uf071二面角的大小\uf03e\uf03d\uf03c21,nn\uf071;当法向量1n ,2 n 同时指向二面角内或二面角外时, 二面角的大小\uf03e\uf03c\uf02d\uf03d21,nn\uf070\uf071. 四、 教学过程的设计与实施2 2探究方法设计意图进一步探究法向量的夹角 与二面角 大小的关系,结合规律加深学生对这一难点内 容的理解. 2探究方法1温故知新四、 教学过程的设计与实施33实践操作实践操作4归纳总结 四、 教学过程的设计与实施3 3实践操作已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90° ,SA⊥平面ABCD, SA= AB= BC= 1 ,,21\uf03dAD求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值. 四、 教学过程的设计与实施3 3实践操作设计意图本题的特点是图中没有出 现两个平面的交线, 不能直接利用 二面角 的平面角 或者垂直于棱的向量的夹角 解决, 利用 法向量的夹角 解决体现了 向量求解立体几何问题的优越性. 四、 教学过程的设计与实施3 3实践操作已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90° ,SA⊥平面ABCD, SA= AB= BC= 1 ,,21\uf03dAD求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值. 3 3实践操作四、 教学过程的设计与实施解: 由 SA⊥平面 ABCD, AB⊥AD, SA, AB, AD 两两互相垂直. 以 A 为坐标原点, AD 所在的直线为 x 轴, AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 1( ,0,0)2,,2设平面 SCD 的法向量为),,(zyxn \uf03d, 则转化为坐标运算, 得 \uf0ec(0,0,1)S,S(1,1,0)C1( ,0, 1)22SD \uf03d\uf02d\uf075\uf075\uf075 \uf072,(1,1, 1)( , ,SC \uf03d\uf02d\uf075\uf075\uf075 \uf072,)0\uf03d\uf0b7 SDn,0\uf03d\uf0b7 SCn, \uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf02d\uf02b\uf03d\uf02b. 0, 02x1zyzx 取 z=1, 则) 1 , 1, 2 ( \uf02d\uf03dn, 3662110) 1\uf02d(0221,cos\uf03d\uf0b4\uf0b4\uf02b\uf0b4\uf02b\uf0b4\uf03d\uf0d7\uf0d7\uf03e\uf03d\uf03cADnADnADn. 3 3实践操作四、 教学过程的设计与实施 四、 教学过程的设计与实施3 3实践操作设计意图通过对无棱二面角 问题的解决, 使学生经历从建立坐标系到探究法向量的坐标及角 的取值的过程, 较好地掌握如何利用 法向量的夹角 求二面角 大小的方法. 3 3实践操作四、 教学过程的设计与实施总结出 利用 法向量求二面角 大小的一般步骤:1) 建立坐标系, 写出 点与向量的坐标;2) 求出 平面的法向量, 进行向量运算求出 法向量的夹角 ;3) 通过图形特征或已知要求, 确定二面角 是锐角 或钝角 , 得出 问题的结果. 四、 教学过程的设计与实施3 3实践操作设计意图明确向量法的解题步骤, 培养学生概括、 总结的能力和意识. 3 3实践操作四、 教学过程的设计与实施正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2, 点Q是BC的中点, 求二面角 A—DQ—A1的余弦值.的中点, 求二面角 ADQ巩固练习 :A1的余弦值. 2探究方法1温故知新四、 教学过程的设计与实施3实践操作44归纳总结归纳总结 4 4归纳总结四、 教学过程的设计与实施\uf0d8两种方法半平面内 分别垂直于棱的向量的夹角两个平面的法向量的夹角 求解数形结合类比转化\uf0d8两个思想\uf0d8一个步骤用 法向量求二面角 大小的步骤 四、 教学过程的设计与实施4 4归纳总结设计意图引 导学生对所学的数学知识、 思想方法进行小结,有利于学生对已有的知识结构加深理解。 4 4归纳总结课后作业:课后作业:1、 如图所示, 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ,试用 多 种方法求二面角 A1- BD- C1的余弦值试用 多 种方法求二面角 A1四、 教学过程的设计与实施BDC1的余弦值.2、 P111练习 A第3题, 练习 B第2题 四、 教学过程的设计与实施板书设计 用向量法求二面角的大小 1、 n \uf0b7\uf03d\uf0713、 例题 解: SA、 AB、 AD 两两垂直, 以 A 为坐标原点, ADAD、 AB、 AS 所在的直线分别为 x 轴, ABAS 所在的直线分别为轴 由0\uf03d\uf0b7 SCn,0\uf03d\uf0b7 SDn, 得 \uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf0ee\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf02b, 022x1zx\uf03e\uf03d\uf03c21,nn\uf071,2121cosnnn 2、 \uf03e\uf03d\uf03c21,nn\uf071 \uf03e\uf03c\uf02d\uf03d21,nn\uf070\uf071 2121cosnnnn \uf0b7\uf03d\uf071 2121cosnnnn \uf0b7\uf02d\uf03d\uf071 y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0), S(0,0,1), D) 0 , 0 ,21(, C(1,1,0,) 1\uf02d, 1 , 1 (\uf03dSC,) 1\uf02d, 0 ,21(\uf03dSD, ) 0 , 0 ,21(\uf03dAD为平面 SAB 的法向量, 设平面 SCD 的法向量为),,(zyxn \uf03d, \uf03d\uf02d\uf02b. 0zy取 z=1, 得) 1 , 1, 2 ( \uf02d\uf03dn, 36,cos\uf03d\uf0d7\uf0d7\uf03e\uf03d\uf03cADnADnADn\uf03e\uf03cADn,\uf051与二面角大小相等 \uf05c 平面 SAB 与平面 SCD 的所成 二面角的余弦值36 五、 教学效果的评价与反思学习效果评价设计项目A(优秀)B(良好)C(合格)个人评价同学评价教师评价旧知识掌握情况牢固比较牢固一般课前预习情况自己主动完成依照同学才完成不能完成独立思考积极程度积极较积极一般交流讨论情况有交流讨论有交流没有交流参与学习的积极性很高比较高一般本节课的掌握情况好较好不好课后作业完成情况独立完成与同学合作完成不能完成 五、 教学效果的评价与反思1、 以课标为中心, 加强知识形成过程的教学。教学反思2、 几何画板演示、 实物教具和传统板书教学有效结合。3、 在教师的引 导下, 学生的主体性得到了 充分体现。4、 注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。 教学反思五、 教学效果分析 www.themegallery.com