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###Z=X+Y型概率密度的求解###
@(概率论)
Z = g ( X , Y ) Z = g(X,Y)Z=g(X,Y)
总结过一次,一般方法是可以由分布函数再求导得到概率密度,计算一定更要小心才能得到正确的解。
F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( g ( X , Y ) ≤ z ) = ∫ ∫ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(g(X,Y)\leq z) \\ = \int\int_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdyFZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(x,y)≤zf(x,y)dxdy
特别当 Z = X − Y Z = X-YZ=X−Y时,推导:
F Z ( z ) = P ( X + Y ≤ z ) = ∫ ∫ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y 或者=∫−∞+∞dy∫−∞z−yf(x,y)dyF_Z(z) = P(X+Y \leq z) = \int\int_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy \\ 或者 = \int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)dyFZ(z)=P(X+Y≤z)=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy或者=∫−∞+∞dy∫−∞z−yf(x,y)dy
从而求得概率密度是:
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx \\ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)