在不能解 y 的情况下求导数
隐与显
函数可以是显函数或隐函数:
显函数:"y = x 的某个函数",若已知 x 则能直接求 y。
隐函数:"y 和x的某个函数等于另一个式子"。已知 x 不能直接求 y。
例子:圆形
显形式隐形式
y = ± √ (r2− x2)x2+ y2= r2
在这格式里,y 被表达为
x 的函数。在这格式里,函数是
以y和x同时表达。
x2+ y2= 32的图
怎样做隐微分
对x微分把所有dydx移到一边解dydx
例子:x2+ y2= r2
对x微分:
ddx(x2) +ddx(y2) =ddx(r2)
我们逐项来做:
ddx(x2) = 2x用幂次方法则ddxxn= nxn−1
ddx(y2) =2ydydx用链式法则(解释在下面)
ddx(r2) = 0r2是个常数,所以导数是 0
得到:
2x + 2ydydx= 0
把所有dydx移到一边
ydydx= −x
解dydx:
dydx=−xy
链式法则应用在dydx上
我们仔细看看ddx(y2) 怎样变成2ydydx
链式法则表明:
dudx=dudydydx
代入u = y2:
ddx(y2) =ddy(y2)dydx
得到:
ddx(y2) = 2ydydx
我们基本上是先对 y 微分,然后乘以dydx
另一个常见的记法是用’来代表ddx
链式法则应用在’上
链式法则可以用’ 记法来表达:
f(g(x))’ = f’(g(x))g’(x)
g(x) 是函数 "y",所以:
f(y)’ = f’(y)y’
f(y) = y2, so f’(y) = 2y:
f(y)’ = 2yy’
也可以写成:f(y)’ = 2ydydx
同样,我们只不过是先对 y 微分,然后乘以dydx
显
我们现在用方程的显形式来求导数。
用显微分法来求导数,我们需要解方程来求 y,然后取微分最后把 y 的方程代入结果
例子:x2+ y2= r2
每边减 x2:y2= r2− x2
取平方根:y = ±√(r