虞玉华三角函数作为初等函数的一种,与其他函数一样,学习及研究的相关内容都是一样的,也就是说,我们研究三角函数的性质都是包括函数的单调性、周期性和奇偶性等等.那么,我们运用导数来解决三角函数的问题的思路也是一样的.下面我们用几个具体的例子来归纳这类问题的解题方法.一、三角函数的单调性例1函数,(并)=CO S2菇一2cos2÷ 的一个单调递增区间是().A.(子,挚)B.(詈,詈)C.(o,子)D.(一詈,詈)分析原函数中角是不统一的,所以可以先统一角,得到.厂(石)=CO S2算一CO S.17—1,通过观察容易发现,这个函数是由二次函数y=u2一u一1及u=eosx复合而成的.因此,要找出这两个函数共同的增区间或减区间,使用导数的方法求函数的单调区间是一种非常有效的方法.f’ ( z) =si nx( 1—2cosx) ,令f’ ( 茗) >0,则{:云l>0’ 或{≥≯再与右图相结合,可以解得算∈(2竹一号,2k' tr)或算∈(2klr+詈,2k-rr+叮r),k∈z.在这个区间内的,只有A选项符合.点评单调性常常又和极值联系在一起的.用导数来求函数的单调性,令导数值为0,就可以得出极值点,再根据极值点以及相邻区间上的导数值的正负判断就可以得到函数的单调,厂 历一0力划h图l区间.二、三角函数的周期性例2讨论函数八茁) =CO S6石+si n6石的周期性.分析对原函数求导得:厂’ ( 石) =6cos5算( 一si nx) +6si n32;CO Sz)=一6si nxcosx( CO S4并一si n4髫) ( CO S4菇一si n4并)=一3si n2石c。s2戈=一丁3si n4Ⅸ.从导函数中可以看到,,’ (茹)是以÷ 为周期的连续性函二数,且八T)=八0)=1,所以原函数f(x)也是以i Tf为周期的周二期性函数.点评用导数法来求函数的周期性,可以设定八石) 是定义在R上的非常值可导函数,如果该导函数,’ ( 算) 是以r为周期的连续性函数,且,( T) =,( 0) ,那么f( 髫) 也是以丁为周期的函数.三、三角函数的图象例4如图2所示,函数Y=÷ 一2si nx的图象大致是/().分析根据已知可得:原函数是一个奇函数,所以八0) =0,A图像不过原点,可以排除.当戈=21T时,),=1r,B选项排除.当算一+m 时,y一+*,可以排除D 选项.使用导数的方法也可以轻松排除B、D选项.辩社舡噼AB图2CD由Y7=÷ 一2cosx,令Y’ =0,可以得到co蹦=_1在R上有Z肆无数个解,也就是函数Y=÷ =一2si nx在R上有无数个极值二点,即函数关于原点对称,是一个奇函数.