南京林业大学 各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为 G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ (y/x) 令u=y/x 则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以 u+xdu/dx=φ (u),即du/[φ (u)-u]=dx/x 两端积分,得∫du/[φ (u)-u]=∫dx/x 最后用 y/x 代替 u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令 Q(x)=0 则dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce-∫P(x)dx,再令 y=ue-∫P(x)dx 代入原方程 ∫ ∫ 解得 u= Q(x) e∫P(x)dxdx+C,所以 y=e-∫P(x)dx[ Q(x)e∫P(x)dxdx+C] ∫ 即y=Ce-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx Q(x)e∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) ∫ y(n-1)= f(x)dx+C1 ∫ ∫ y(n-2)= [ f(x)dx+C1]dx+C2 依次类推,接连积分 n 次,便得方程 y(n)=f(x)的含有 n 个任意常数的通解 ②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p 则y”=p’,所以 p’=f(x,p),再求解得 p=φ (x,C1) ∫ 即dy/dx=φ (x,C1),所以 y= φ (x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 1 南京林业大学 令y’=p 则y”=pdp/dy,所以 pdp/dy=f(y,p),再求解得 p=φ (y,C1) ∫ 即dy/dx=φ (y,C1),即dy/φ (y,C1)=dx,所以 dy/φ (y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程 r2+pr+q=0 特征方程 r2+pr+q=0 的两根为 r1,r2 微分方程 y”+py’+qy=0 的通解 两个不相等的实根 r1,r2 两个相等的实根 r1=r2 一对共轭复根 r1=α +iβ ,r2=α -iβ rx rx y=C1e 1 +C2e 2 rx y=(C1+C2x)e 1 α y=e x(C1cosβ x+C2sinβ x) 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求 y”+py’+qy=0 的通解 y0(x),再求 y”+py’+qy=f(x)的一个特解 y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程 y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=Pm(x)eλ x 型令y*=xkQm(x)eλ x[k 按λ 不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重 根依次取 0,1 或2]再代入原方程,确定 Qm(x)的m+1 个系数 ② f(x)=eλ x[Pl(x)cosω x+Pn(x)sinω x]型令y*=xkeλ x[Qm(x)cosω x+Rm(x)sinω x][m=max﹛l,n﹜,k 按λ +iω 不是特征 方程的根或是特征方程的单根依次取 0 或1]再代入原方程,分别确定 Qm(x)和Rm(x)的m+1 个系数 2