作者:小米,哆嗒数学网群友。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文
概率是数学里刻画随机性的一个有力工具。借助概率模型,我们可以严格地讨论像“将一枚硬币随机抛起,得到正面或反面的概率为多少”这类随机现象。
很多时候,概率可以用数学公式准确地表述我们一些直观的感觉。例如,对于“今天是阴天,所以更有可能下雨”这个论断,我们就可以借助概率中相关性的概念来理解。
但是有的时候,如果仅从直观上对“随机性”进行理解而不经过严格的数学推理,却可能导出一些错误的结论。例如有名的“伯特兰悖论”:考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选圆上的弦,则此弦的长度比三角形的边较长的概率为多少?伯特兰提出了三种“随机”选取弦的方法,却导出了不一样的结论。
“伯特兰悖论”说明,在用概率处理问题时,我们需要明确随机性是如何产生的。这个过程的严格化是由柯尔莫格洛夫的概率论公理化解决的。并不是所有的“随机性”都能够在数学上站得住脚。例如,在1到10之间随机(等概率地)选取一个整数是可以做到的,而从全体自然数中随机(等概率地)选取一个整数则是不可能的。
今天我们要讨论的问题也是一个乍看上去与直觉相悖的例子。假设有一路公交,每班车发车间隔有50%的机率是10分钟,有50%的机率是20分钟。现在你到家楼下的车站坐车,又假设每分钟有一名乘客到达车站等车,那请问当你上车时,乘客排队的平均队伍长度是多少?
直觉上答案应该是(10+20)/2=15。理由如下:由于乘客到达的速率恒定,所以上车时队伍的长度与你坐上的车的发车间隔成正比;由于发车间隔有50%的概率是20分钟(对应队伍长度20人),有50%的概率是10分钟(对应的队伍长度为10人),所以平均下来应该是20和10的平均数,即15人。
这个论证有没有问题呢?我们把问题适当抽象一下,也许可以看出一点端倪。假设发车间隔以50%的概率为a,50%的概率为b,那么按照前面的论证,平均队伍长度应该是(a+b)/2。但是,我们可以考虑一种极端情况,就是a很小而b很大的情况。比如假设a是1秒钟,b是1小时。这样,我们可以把相隔一秒钟的两辆车几乎认为是“同时”到达的。那么我们就面对着如下的情况:很多辆车可能一起到站,但是下一次有车隔1个小时。在这种情况下,因为我们很难刚好碰上有车到站的时刻,队伍的长度其实会是1个小时的队伍,也就是b。