漫谈高数曲线积分的物理意义
从函数到定积分,曲线积分到环路积分。
定积分的求解---牛顿.拉布尼茨公式有什么几何意义? 简单的说,因为F(b)-F(a)在几何上是f(x)的原函数F(x)在y轴上的线段长度,那么 这个长度如何表示呢? F(b)-F(a)可以写成在区间[a,b]上面的累加Sigma(F'(x)*delta(x)),那么这个Sigma就是f(x)的定积分了。反向构 造的方法联系了不定积分和定积分。
最简单的积分是写成这样的,用算子S[x,a,b]表示在区间(a,b)内对x求积分,那么函数y=x^2在(1,2)区间内的投影面积,就是 S[x,1,2](x^2)。积分可求的唯一条件是y可以表示成x的函数f(x),也就是曲线上,x和y的值,一一对应且唯一对应。什么情况不能称为函 数? 例如椭圆方程对应的图形,x,y的值不是一一对应,所以椭圆方程里面的x,y不是函数关系。这个放到计算机程序里面很好理解,一个不依赖于外部变量的函数 y=function(x),唯一的x应该确定唯一的y。否则这就不是函数了。既然积分可以写为算子形式,那么N重积分就是N阶积分算子作用于积分式的效 果,里层的积分结果包含了外层的变量而已。同理,高阶微分方程可以看成1阶微分算子的叠加结果。所以我们只讨论一阶的情况----高阶的讨论类似。