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举例求解矩阵的特征值和特征向量
(先明确:只有方阵才能求出特征值,非方阵只能求奇异值。)
直接举一个例子:求下面矩阵M的特征值和特征向量。
M = [ 4 6 0 − 3 − 5 0 − 3 − 6 1 ] M =\begin{bmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{bmatrix}M=⎣⎡4−3−36−5−6001⎦⎤
设矩阵M的特征值为 λ \lambdaλ,列出矩阵M的特征方程:矩阵M减去, λ \lambdaλ乘以和M同等大小的单位矩阵E。再让它们整体的行列式的值等于0即可。如下所示:
∣ M − λ E ∣ = 0 (1) |M - \lambda E| = 0\tag{1}∣M−λE∣=0(1)
求解(1)式的步骤如下:
∣ M − λ E ∣ = [ 4 − λ 6 0 − 3 − 5 − λ 0 − 3 − 6 1 − λ ] = ( 1 − λ ) [ 4 − λ 6 − 3 − 5 − λ ] = ( λ − 1 ) 2 ( λ + 2 ) |M - \lambda E| = \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 & 0 \\ -3 & -5-\lambda & 0 \\ -3 & -6 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda) \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 \\ -3 & -5-\lambda \end{bmatrix} = (\lambda -1)^{2}(\lambda + 2)∣M−λE∣=⎣⎡4−λ−3−36−5−λ−6001−λ⎦⎤=(1−λ)[4−λ−36−5−λ]=(λ−1)2(λ+2)
所以特征值为1和-2,重数是1。
然后,把每个特征值 λ \lambdaλ带入到下方的线性方程组 ( M − λ E ) x = 0 (M - \lambda E)x = 0(M−λE)x=0,求出特征向量。
当 λ 1 = − 2 \lambda_{1}=-2λ1=−2时,解线性方程组: ( M − ( − 2 ) E ) x = 0 (M - (-2)E)x = 0(M−(−2)E)x=0。
∣ M + 2 E ∣ = [ 6 6 0 − 3 − 3 0 − 3 − 6 3 ] ⇒ 先变成增广矩阵[6600−3−300−3−630]⇒再初等行变换[110000000−110]|M + 2E| = \begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 \\ -3 & -3 & 0 \\ -3 & -6 & 3 \end{bmatrix} \xRightarrow{先变成增广矩阵} \begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -3 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 3 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{再初等行变换} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}∣M+2E∣=⎣⎡6−3−36−3−6003⎦⎤先变成增广矩阵⎣⎡6−3−36−3−6003000⎦⎤再初等行变换⎣⎡10010−1001000⎦⎤
所以, x 1 + x 2 = 0 ; − x 2 + x 3 = 0 x_{1}+x_{2}=0; -x_{2}+x_{3}=0x1+x2=0;−x2+x3=0。随便带一个值,一般取 x 3 = 1 x_{3}=1x3=1,可解得 x 2 = 1 , x 1 = − 1 。 x_{2}=1,x_{1}=-1。x2=1,x1=−1。
解得: x 1 = − 1 , x 2 = 1 , x 3 = 1 x_{1}=-1,x_{2}=1,x_{3}=1x1=−1,x2=1,x3=1,所以 λ 1 \lambda_{1}λ1的特征向量为: p 1 = [ − 1 1 1 ] 。 p_{1} =\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}。p1=⎣⎡−111⎦⎤。
当 λ 2 = λ 3 = 1 \lambda_{2}=\lambda_{3}=1λ2=λ3=1时,解线性方程组: ( M − E ) x = 0 (M - E)x = 0(M−E)x=0。
∣ M − E ∣ = [ 3 6 0 − 3 − 6 0 − 3 − 6 0 ] ⇒ 先变成增广矩阵[3600−3−600−3−600]⇒再初等行变换[120000000000]|M - E| = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{先变成增广矩阵} \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{再初等行变换} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}∣M−E∣=⎣⎡3−3−36−6−6000⎦⎤先变成增广矩阵⎣⎡3−3−36−6−6000000⎦⎤再初等行变换⎣⎡100200000000⎦⎤
所以, x 1 + 2 x 2 = 0 ; x 3 = 0 x_{1}+2x_{2}=0; x_{3}=0x1+2x2=0;x3=0。随便带一个值,这里取 x 1 = − 2 x_{1}=-2x1=−2,可解得 x 2 = 1 。 x_{2}=1。x2=1。
解得: x 1 = − 2 , x 2 = 1 , x 3 = 0 x_{1}=-2,x_{2}=1,x_{3}=0x1=−2,x2=1,x3=0,所以 λ 2 \lambda_{2}λ2特征向量为: p 2 = [ − 2 1 0 ] 。 p_{2} = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}。p2=⎣⎡−210⎦⎤。
再取, x 1 = x 2 = 0 , x 3 = 1 x_{1}=x_{2}=0,x_{3}=1x1=x2=0,x3=1,可解得 λ 3 \lambda_{3}λ3的特征向量为: p 3 = [ 0 0 1 ] 。 p_{3} = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}。p3=⎣⎡001⎦⎤。
综上所述:矩阵M的特征值为 λ 1 = − 2 , λ 2 = λ 3 = 1 \lambda_{1}=-2,\lambda_{2}=\lambda_{3}=1λ1=−2,λ2=λ3=1。对应的特征向量为: p 1 = [ − 1 1 1 ] p_{1} =\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}p1=⎣⎡−111⎦⎤、 p 2 = [ − 2 1 0 ] 、 p 3 = [ 0 0 1 ] p_{2} = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}、p_{3} =\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}p2=⎣⎡−210⎦⎤、p3=⎣⎡001⎦⎤。
如何再继续进行矩阵的特征分解呢?
接下来进行矩阵的特征分解,上面已经求出了矩阵M的特征值和特征向量了,下面就非常简单了。
设矩阵Q为矩阵M的特征向量按列组成的矩阵。将特征向量按照从大到小、从左到右按列排列构成Q。 Λ 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值。(按照刚才特征向量的位置,把对应特征值从上往下排列)如下所示:
Q = [ − 2 0 − 1 1 0 1 0 1 1 ] , Λ = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] 。 Q= \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix} ,Λ= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-2 \end{bmatrix} 。Q=⎣⎡−210001−111⎦⎤,Λ=⎣⎡10001000−2⎦⎤。
所以最后,方阵M的特征值分解为:
M = Q Λ Q − 1 = [ − 2 0 − 1 1 0 1 0 1 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] [ − 2 0 − 1 1 0 1 0 1 1 ] − 1 M=QΛQ^{-1}= \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix}^{-1}M=QΛQ−1=⎣⎡−210001−111⎦⎤⎣⎡10001000−2⎦⎤⎣⎡−210001−111⎦⎤−1
最后注意:
能够进行特征分解的矩阵,要满足以下两个条件:
1.如果矩阵的所有特征根都不相等,那么绝对可以特征分解。
2.如果矩阵有等根,只需等根(重特征值)对应的那几个特征向量,是线性无关的。那么也可以特征分解。如果不是就不能了。
综合说:就是要有n个线性无关的特征向量。