华中科技大学何仰赞 温增银编 电力系统基础 河南工程学院电气信息工程学院 2016年11月 第十一章 电力系统的潮流计算 ? ? ? ? ? 11-1 开式网络的电压和功率分布计算 11-2 简单闭式网络的功率分布计算 11-3 复杂电力系统潮流计算的数学模型 11-4 牛顿-拉夫逊法潮流计算 11-5 P-Q分解法潮流计算 11-1 开式网络的电压和功率分布计算 一、已知供电点电压和负荷节点功率时的计算方法 如图已知A点电压和多个负荷点功率 馈电干线供电:全线多点供电。馈:赠与。输电线是点对点。 讨论:考虑线路?型等值电路。已知首端电压 与末端功率,如何做近似处理?逐步逼近? 1.计算变电所运算负荷 (设全网未知节点电压为VN) 1 2 ?QBi ? ? BiVN (i ? 1,2,3 ) 2 将线路充电功率与负荷功率 合并,得到变电所运算负荷 运算负荷:意指不能测量(含线 路充电功率),只能计算的负荷。 开式网络及其等值电路 Sb ? SLDb ? j?QB1 ? j?QB2 ? P b ? jQb Sc ? SLDc ? j?QB2 ? j?QB3 ? P c ? jQc Sd ? SLDd ? j?QB3 ? P d ? jQd 简化的等值电路 简化的等值电路 2.从末端d点开始,依次计算出各段功率 损耗和功率分布。 ??2 P3??2 ? Q3 ?SL3 ? ( R3 ? jX 3 ) ?? ? Sd S3 ? ? S3 ?? ? ?SL3 S3 2 VN ??2 P2??2 ? Q2 ?? ? Sc ? S3 ? ?SL2 ? ( R2 ? jX 2 ) S2 ? ? S2 ?? ? ?SL2 S2 2 VN ?? ? Sb ? S2 ? S1 各段末端功率 2 2 ?? ?? P ? Q ?SL1 ? 1 2 1 ( R1 ? jX1 ) VN ? ? S1 ??? ?SL2 S1 各段首端功率 3.从首端A点开始,依次计算出各段电压降落和各节点电压 ? 1 ? Q1 ?X1 ) VA ?VAb ? ( P 1R ? ? 1 ) VA ? VAb ? ( P 1 X1 ? Q 1R Vb ? (VA ? ?VAb ) 2 ? (? VAb ) 2 已知首端功率与首端 电压,计算末端电压 ? 计算Vc ,最后用 Vc 及 S3 ? 计算Vd 。 接着用Vb 及 S2 用第一次得到的节点电压计算结果重复以上的计算,可以提高计算精度。(即迭代概念) 4.已知变电压器低压侧负荷SLD,计算高压侧负荷S?LD 实际的配电网中,负荷并不都接在馈电干线上,节点都接有降压变压器。 ? ? SLDb ? ?STb ? ?S0b SLDb 2 2 PLDb ? QLDb ?STb ? ( RTb ? jX Tb ) 2 VN I % ?S 0b ? ?P0b ? j 0 S Nb 100 ? ? j?QB1 ? j?QB2 Sb ? SLDb 同理可得 Sc 和 Sd 二、两级电压的开式电力网 开式网络及其等值电路 已知末端功率SLD和首端电压VA, 求末端电压Vd和网络的功率损耗。 ① ② 作含理想变压器的 等值电路。 将第二段段线路参 数归算到第一段。 ? ? k 2 R2 , X 2 ? ? k 2 X 2 , B2 ? ? B2 k 2 R2 11-2 简单闭式网络的功率分布计算 一、两端供电网络的初步功率分布 带两个负荷的两端供电网络 问题:如何确定所有线路功率流向的首、末端,以便能够 用计算开式网的方法计算闭式网络电压分布与功率分布? 1.设未知节点电压为 V 1 ? V 2 ? VN?0 ,(不考虑线路功率损耗) I 1 ? S 1/ VN * I 2 ? S 2/ VN * 2.列a-b之间的电压降方程 Va ? Vb ? Z a1I a1 ? Z12 I12 ? Z b2 I b2 ? Z a1I a1 ? Z12 ( I a1 ? I1 ) ? Z b2 ( I a1 ? I1 ? I 2 ) (Z12 ? Zb2 ) I1 ? Zb2 I 2 Va ? Vb I a1 ? ? Za1 ? Z12 ? Z b2 Za1 ? Z12 ? Z b2 ? ( Z12 ? Z b2 ) S 1/ VN ? Z b2 S 2/ VN Va ? Vb ? Z a1 ? Z12 ? Z b2 Z a1 ? Z12 ? Z b2 ( Z12 ? Z b2 ) S 1? Z b2 S 2 (Va ? Vb )VN ? Z a1 ? Z12 ? Z b2 Z a1 ? Z12 ? Z b2 类似力矩平衡项 * * * * * * I a1VN ? * Sa1 ? ( Z 12 ? Z b2 )S1 ? Z b2 S2 Z a1 ? Z 12 ? Z b2 Z a1 S1 ? (Z a1 ? Z 12 )S2 Z a1 ? Z 12 ? Z b2 * * * * * * * * * ? (V a ? V b )VN Z a1 ? Z 12 ? Z b2 * * * * * 循环功率项 ? Sa1,LD ? Scir 同理可以得到: Sb2 ? ? (V b ? V a )VN Z a1 ? Z 12 ? Z b2 * * * * * ? Sb2,LD ? Scir 3.电源初步功率分布方程的一般形式 Sa1 ? ?Z S i i ?1 * k k * i ? (V a ? V b )VN Z? * * * * * Z? Z? 对于均一网络(各线段单位长度的阻抗值都相等或各线段的R/X相等)有: Sbk ? Z? * ? Z ?i Si i ?1 * ? Sa1,LD ? Scir ? (V b ? V a )VN * ? Sbk ,LD ? Scir 沿线有多个负荷的两端供电网络 Sa1 ? ? S Z l ? S l ? Pl i ?1 i 0 i k * k k l? l? l? 结论:在均一电力网中有功功率和无功功率的分布彼此无关。 Sbk ? ? S l ? ? Pl ? ? Q l ? i ?1 i i k Z 0 l? * ? i ?1 i i l? i i ? i ?1 i i l? k i i ?j ?Q l i ?1 k i i l? k ? i ?1 ?j i ?1 二、闭式电力网中的功率分布和电压损耗计 1.在功率分点拆开成两个开式网(因为功率分点是两侧线路功率流向的末端) 例:若S12与Sb2均为正,则节点2为功率分点。 2.从末端开始推算电源功率。(设未知节点电压为额定电压) 3.从电源点开始推算各节电压。 电压损耗可以不计电压降落横分量。 ?V ? PR ? QX V V 1 ? Va ? ?V 4.若有功分点和无功分点不重合,则在无功分点拆开。 5.具有分支线的两端供电网络讨论。 (节电3与节点2,哪点电压最低?) 三、含变压器的简单环网的功率分 用戴维南等值原理计算环网中的环 流,环流的共轭与相应的额定电压之积 即为循环功率Scir。 变比不同( k1 ? k2 ) 的变压器 并联运行。 VA1 ?VA2 ? VA (k1 ? k2 ) Scir ? ST1 ? (V A1 ? V A2 )VN?H Z ?T1 ? Z ?T2 Z ?T2 SLD Z ?T1 ? Z ?T2 * * * * * * * ? V A (k1 ? k2 )VN?H Z ?T1 ? Z ?T2 * * * Scir ? Scir ST2 ? Z ?T1 SLD Z ?T1 ? Z ?T2 * * * ? Scir 变比不同的变压器并联运行 时的功率分布 ?E? ? VA1 ?VA2 ? VA (k1 ? k2 ) ——环路电势 VN?H —— 高压侧额定电压 环路电势可由环路的开口电压确定。 (1) 开口在高压侧,阻抗相应归算至高压侧: k ?E? ? VP ? VP? ? VP? ( 1 ? 1) ? VP? (k? ? 1) k2 (2)开口在低压侧,阻抗相应归算至低压侧: ?E ? Ve ? Ve? ? Ve? ( k1 ? 1) ? Ve? (k? ? 1) k2 k? ? k1 k2 —— 等值变比 最好是从一端开始,顺着环流方向经变压器走一圈到达 另一端(注意,不要跨过断口),会自然得到等值变比。 环路电势的确定 若VP? 和 Ve? 未能给出,也可分别以相应电压级的额定电压 VN?H 和 VN?L代替。 于是,循环功率便为: Scir ? 2 VN ?H ( k? ? 1) Z ?T1 ? Z ?T2 * * ? 2 VN ?L ( k ? ? 1) Z T1 ? Z T2 * * 四、环网中的潮流控制 功率的自然分布——在环形网络中,与阻抗成反比的功率分布。 经济功率分布——在环形网络中,使有功损耗最小的功率分布。 计算最小 举例:1?,3 ? 线路;10MW负荷 举例:先推导双电源供单负荷的简单情况。 有功损耗 另问2?,4 ? ,8 ?线路;14MVar补偿? 类推:直接给出如下一般经济功率分布结论。 ?PL ? 2 2 2 2 2 P P P22 ? Q2 3 ? Q3 1 ?Q 1 ? R1 ? R2 ? R3 V2 V2 V2 2 2 2 2 2 2 ( Pb ? Pc ? P (P P 1 ) ? (Qb ? Qc ? Q1 ) 1?P b ) ? (Q1 ? Qb ) 1 ? Q1 ? R1 ? R2 ? R3 2 2 2 V V V 令: ??PL ? 2 P 2( Pb ? Pc ? P 2( P 1) 1?P b) ? 21 R1 ? R ? R3 ? 0 2 2 2 ?P V V V 1 ??PL ? 2Q1 2(Qb ? Qc ? Q1 ) 2(Q1 ? Qb ) ? 2 R1 ? R ? R3 ? 0 2 2 2 ?Q1 V V V 得到经济 P 1ec ? 功率分布: Pb ( R2 ? R3 ) ? Pc R2 R1 ? R2 ? R3 Q1ec ? Qb ( R2 ? R3 ) ? Qc R2 R1 ? R2 ? R3 简单环网的功率分布 讨论:为何该功率分布与电抗无关? (因为不是按电路分析原理得到的结果,不受电路方程约束) 结论:在环形网络中,经济功率分布与电阻成反比。 注意:在每段线路的比值R/X都相等的均一网络中,功率的自然分布与 经济分布相等。 环网中潮流控制的必要性: 1. 自然功率分布会使某些线路过负荷. (自然功率分布不安全) 2. 最小有功损耗要求功率按线段电阻分布. (自然功率分布不经济) 在环网中引入环路电势使产生循环功率,是对环网进行潮流控制和 改善功率分布的有效手段。 ? ,假定其产生与S 同方向的循环功率,且满足: 在环网中引入附加电势 ?E 1 S1 ? Scir ? S1ec 就可以使功率分布符合经济分布的要求: 所需附加电势则为: Scir ? Slec ? S1 ? (P 1ec ? P 1 ) ? j(Qlec ? Q 1) ? P cir ? jQcir ? V ? ?E ? Z? S cir N Pcir R? ? Qcir X ? P X ? Qcir R? ? j cir ? ? ?Ex ? j?Ey VN VN ??x——类似环流产生电压降落纵分量 ??y——类似环流产生电压降落横分量 ? /Z ? Scir ? VN E ? Scir X??R ? ,令 R ? =0 结论: VN (?Ex ? j?Ey ) VN ?Ex VN ?Ey 横向电势产生有功循环功率; ? ? ?j ? jX ? X? X ? 纵向电势产生无功循环功率。 高压网络中 调整环网中的变压器变比对于比值X/R较大的高压网络,主要作用是 改变无功功率分布。 要求同时调整有功功率和无功功率,这就要采用一些附加设备来产生 所需的环路电势: 1.利用加压调压变压器产生附加电势。 2.利用FACTS(Flexible AC Transmission System)装置实现潮流控制。 例一:V1=115kV—5+j20 ?— V2 — -j10 ?— V3 — 5+j20 ?— V4 — S4=40+j30MVA。计算 1 、4点之间的电压损耗(忽略电压降落横分量)以及2、3、4各点的电压值。(借此预先提 出串补偿概念,并且要分组串补) 例二:两台降压变压器并联运行,T1: 5.6MVA, 34.13/10.5, VS%=6.5, 5.39+j31.85? (折算到 高压侧); T2 : 2.5MVA, 35/10.5, VS%=7.3, 2.22+16.4? (折算到高压侧); SLD=6.2+j4 MVA。计 算:(a)假定变比相同时,各变压器输出的视在功率;(b)变比为标注值时,各变压器输出 的视在功率;(c)试分析,什么条件下可以认为并联运行变压器的负荷分配与它们的容量成 正比?为什么?(d)并联运行变压器的变比不同时,主要影响有功功率还是无功功率分布? 为什么?。 11-3 复杂电力系统潮流计算的数学模型 一、功率方程 简单电力系统(三节点)如图: 注入网络节点功率: Si ? P i ? jQi ? ( P Gi ? P LDi ) ? j (QGi ? QLDi ) 网络方程为: ? ?Y V ? ? ? I i i1 1 ? Yi 2V2 ? Yi 3V3 节点电流: Ii ? Si Vi * * (i ? 1,2,3) ? ( Pi ? jQi ) Vi 简单电力系统 * 代入上式便得 P i ? jQi Vi * ? Yi1V1 ? Yi 2V2 ? Yi 3V3 (i ? 1,2,3) 功率方程,是电压的非线 性方程组,必须迭代求解。 问题:注意等值电路图,在节点导纳矩阵元素中,是否包含发电机与负荷的导纳? 说明:在稳态计算中,发电机与负荷均用注入功率模型,即不考虑它们的内部阻抗。 (回顾,在4-1节中已经有说明) n个节点网络的潮流方程为: Pi ? jQi Vi * ? ? YijV j j ?1 n 或 Pi +jQi ? Vi ? Yij V j j ?1 n * * (i ? 1, 2, , n) 潮流方程 二、节点的分类 对每个节点可列2个方程(有功功率,无功功率)。 可解的基 每个节点有4个变量(P、Q、V、δ ),必须给定其中2个,求解2个。 本条件 按已知条件,将节点分为三类: 分析:有6种给定变量的可能组合,只取其中3种有实际意义 1. PQ节点 给定P与Q, 求解? 通常变电所都属于这一类节点; 某些发电厂送出的功率在一定时间内固定时,该厂母线; 既不接发电机也没有负荷的联络节点(亦称浮游节点)。 2. PV节点 给定P与V ,求解? 选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所。 3. 平衡节点 给定V与δ ,求解? 一般选择主调频发电厂为平衡节点。(也可以选择出线最多的发电厂) 三、潮流计算的约束条件 (考虑电压偏移、安全性与稳定性) 1.所有节点电压必须满足 (电压偏移) Vi min ? Vi ? Vi max (i ? 1, 2, , n) (安全性) 2.所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足 P Gi min ? P Gi ? P Gi max QGi min ? QGi ? QGi max 3.某些节点之间电压的相位差应满足 (稳定性) ?i ? ? j ? ?i ? ? j max 11-4 牛顿-拉夫逊法潮流计算 一、牛顿-拉夫逊法的基本原理 1.单变量非线性方程 则 (0) f ( x) ? 0 (0) 给出近似解 x ( 0 ) ,它与真解的误差为 ?x x ? x(0) ? ?x(0) 满足 f ( x(0) ? ?x(0) ) ? 0 (0) 在 x 处展成泰勒级数,略去 ?x 的二次及以上阶次项 ?0 f ( x(0) ? ?x(0) ) ? f ( x(0) ) ? f ?( x(0) )?x(0) ? 解得 用 ?x (0) 修正 近似解 x (0) 由上式立即 写出一般迭 代格式 ?x (0) f ( x (0) ) ?? f ?( x (0) ) (0) x ?x (1) ? ?x (0) (1) 得到的 x 仍为近似解 因为泰勒级数略去了高次项 意指求解变量修正值的方程 修正方程 f ( x( k ) ) ? ? f ?( x( k ) )?x( k ) 收敛判据 或 f ( x ( k ) ) ? ?1 ?( x(k ) ) ? ? 2 x( k ?1) ? x( k ) ? ?x( k ) 2.多变量非线性方 n个联立非线性方程 f1 ( x1 , x2 , ? , xn ) ? 0 ? f 2 ( x1 , x2 , ? , xn ) ? 0 ? ? ? ? ? f n ( x1 , x2 , ? , xn ) ? 0? ? 或紧凑格式 F(X ) ? 0 修正方程 当然与单变量类 似,迭代格式为: F ( X ( k ) ) ? ?J ( k ) ?X ( k ) 其中 J = dF ( X ) dX X ( k ?1) ? X ( k ) ? ?X ( k ) 收敛判据 或 函数相量对变量相量的导数是 一个矩阵——雅可比矩阵,解 释每个元素的表达式。 ? max ? ?x ? ? ? (k ) i (k ) max fi ( x1( k ) , x2 , 2 (k ) , xn ) ? ?1 ? 函数为F(X),变量为。后续潮流计 算方程紧凑格式中,注入不平衡量 ?W对应函数F,电压V对应变量X。 二、节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算 1.基本方程分析 潮流计算的功率方程 将 P i +jQi ? Vi ? Yij V j n * * 填空,问答 代入得到 ? ? e ? jf V i i i n Yij ? Gij ? jBij n j ?1 对PV节点给定 Vi ,则 Vi 2 ? ei 2 ? fi 2 举例说明:某系统有5个节点 其中 ? Pi ? ei ? (Gij e j ? Bij f j ) ? f i ? (Gij f j ? Bij e j ) ? j ?1 j ?1 ? ? n n Qi ? f i ? (Gij e j ? Bij f j ) ? ei ? (Gij f j ? Bij e j )? ? j ?1 j ?1 ? 直角坐标下,牛顿— 拉夫逊法求解方程组 2个PQ节点, P、Q已知, 可列2个P方程,2个Q方程。 2个PV节点, P、V已知, 可列2个P方程,2个V方程。 1个平衡节点, e 、f均已知, 无方程可列。因为P、Q均未给定 m个PQ节点 n-1 - m个PV节点 一般情况: 1个平衡节点 1,2,3……m , m+1 , …… n-1 , n 方程个数:n-1个P方程,m个Q方程,n-1 -m个V方程。总计2(n-1)个方程 2.修正方程式 建立 F(X)=0 标准形式的函数 n ? ? j ?1 j ?1 ? n n ? ?Qi ? Qis ? Qi ? Qis ? fi ? (Gij e j ? Bij f j ) ? ei ? (Gij f j ? Bij e j ) ? 0 ? j ?1 j ?1 ? ? ?Vi 2 ? Vis2 ? Vi 2 ? Vis2 ? (ei2 ? f i 2 ) ? 0 ? ? 定义: ?Pi=Pis ? Pi ? Pis ? ei ? (Gij e j ? Bij f j ) ? f i ? (Gij f j ? Bij e j ) ? 0 n 函数相量 ?W ? [?P ?Q1 1 变量相量 ?V ? [?e1 ?f1 与 F ( X ) = 0 形式的对应关系 可立即写出 修正方程为 ?W ? ? J ?V 2 ?P ?Qm ?P ?Vm ?P ?Vn2?1 ]T m m?1 ?1 n?1 ——注入不平衡列向量 ?em ?fm ?em?1 ?fm?1 ?en?1 ?fn?1 ]T ΔW ? F ΔV ? ΔX ——变量的修正列向量 填空:某网络有20个节点,其中平衡节点1个,PV节 点2个,其它为PQ节点。 N-R法直角坐标表示的修正 方程中,与不平衡列向量元素?Pi、 ?Qi 、 ?Vi2对应 的方程个数分别为_____, _____, _____。 计算过程:给定电压初值及 已知的Vis Pis、Qis,计算不 平衡量?W与雅可比矩阵,求 解电压变量的修正量?V。 ? ??P 1 ? ?e 1 ? ? ??Q1 ? ?e 1 ? ? ? ? ??Pm ? ?e1 ? ? ??Qm ? ?e1 J ?? ? ??Pm ?1 ? ?e 1 ? 2 ? ??Vm ?1 ? ?e 1 ? ? ? ? ??Pn ?1 ? ?e1 ? 2 ? ??Vn ?1 ? ?e 1 ? ??P 1 ?f1 ??Q1 ?f1 ??Pm ?f1 ??Qm ?f1 ??Pm ?1 ?f1 2 ??Vm ?1 ?f1 ??P 1 ?em ??Q1 ?em ??Pm ?em ??Qm ?em ??Pm ?1 ?em 2 ??Vm ?1 ?em ??P 1 ?f m ??Q1 ?f m ??Pm ?f m ??Qm ?f m ??Pm ?1 ?f m 2 ??Vm ?1 ?f m ??P 1 ?em ?1 ??Q1 ?em ?1 ??Pm ?em ?1 ??Qm ?em ?1 ??Pm ?1 ?em ?1 2 ??Vm ?1 ?em ?1 ??P 1 ?f m ?1 ??Q1 ?f m ?1 ??Pm ?f m ?1 ??Qm ?f m ?1 ??Pm ?1 ?f m ?1 2 ??Vm ?1 ?f m ?1 ??P 1 ?en ?1 ??Q1 ?en ?1 ??Pm ?en ?1 ??Qm ?en ?1 ??Pm ?1 ?en ?1 2 ??Vm ?1 ?en ?1 ??Pn ?1 ?f1 ??Vn2?1 ?f1 ??Pn ?1 ?em ??Vn2?1 ?em ??Pn ?1 ?f m ??Vn2?1 ?f m ??Pn ?1 ?em ?1 ??Vn2?1 ?em ?1 ??Pn ?1 ?f m ?1 ??Vn2?1 ?f m ?1 ??Pn ?1 ?en ?1 ??Vn2?1 ?en ?1 ??P 1 ? ?f n ?1 ? ? ??Q1 ? ?f n ?1 ? ? ? ? ??Pm ? ?f n ?1 ? ? ??Qm ? ?f n ?1 ? ? ??Pm ?1 ? ?f n ?1 ? ? 2 ??Vm ?1 ? ?f n ?1 ? ? ? ? ??Pn ?1 ? ?f n ?1 ? ? ??Vn2?1 ? ?f n ?1 ? ? J为雅可比矩阵 前面N-L数学方法中已详细解释各元素的对应关系,解释简略 方程组 雅可比矩阵中,当 i ? j 时 ? ?Pi=Pis ? ei ? (Gij e j ? Bij f j ) ? f i ? (Gij f j ? Bij e j ) ? 0 ? j ?1 j ?1 ? n n ? ?Qi ? Qis ? f i ? (Gij e j ? Bij f j ) ? ei ? (Gij f j ? Bij e j ) ? 0 ? j ?1 j ?1 ? 2 2 2 2 ? ?Vi ? Vis ? (ei ? f i ) ? 0 ? ? n n 雅可比矩阵中,当 i ? j 时 ? ??Pi ??Qi ?? ? ?(Gij ei ? Bij f i )? ?e j ?f j ? ? ??Pi ??Qi ? ? ? Bij ei ? Gij f i ? ?f j ?e j ? ? ??Vi 2 ??Vi 2 ? ?? ?0 ?e j ?f j ? ? 1) 对 j 下标求导很简单。 2) 如果两节点之间没有 直接相联的支路,则对应 的雅可比矩阵元素为零。 雅可比矩阵与节点导纳矩 阵具有相似的稀疏性。 n ? ??Pi ? ?? (Gij e j ? Bij f j ) ? Gii ei ? Bii f i ? ?ei j ?1 ? n ? ??Pi ? ?? (Gij f j ? Bij e j ) ? Bii ei ? Gii f i ? ?fi j ?1 ? ? n ??Qi ? ? ? (Gij f j ? Bij e j ) ? Bii ei ? Gii f i ? i ?ei j ?1 ? n ? ??Qi ? ?? (Gij e j ? Bij f j ) ? Gii ei ? Bii f i ? ?fi j ?1 ? ? 2 2 ??Vi ??Vi ? ? ?2ei , ? ?2 f ? ?ei ?fi ? 对 i 下标求导比较复杂,证明其中之一 n ??Pi ? ? ? (Gij e j ? Bij f j ) ? (2Gii ei ? Bii fi ) ? Bii fi ?ei j ?1, j ?i ? ?? (Gij e j ? Bij f j ) ? Gii ei ? Bii fi j ?1 n 修正方程式?W= ?J?V还可以写成分块矩阵形式 ? J11 ? ?W1 ? ? J ? ?W ? 21 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? W n ?1 ? ? ? J n ?1,1 J12 J 22 J n ?1,2 ? ?Pi ? ? Wi ? ? ? ? ?Qi ? J1, n ?1 ? ? ?V1 ? ? ?V ? J 2,n ?1 ? ?? 2 ? ?? ? ?? ? J n ?1, n ?1 ? ? ?Vn ?1 ? ? ?ei ? ?Vi ? ? ? ? ?f i ? 对于PQ节点 ? ??Pi ? ?e j J ij ? ? ? ??Qi ? ? ?e j ? ??Pi ? ?f j ? ? ??Qi ? ? ?f j ? ? ? ??Pi ? ?e ? ?Pi ? j ?ei ? ? ? ? W ? J ? ? ? ? V ? i ij 2 对于PV节点 i ? ?f ? ? ??V 2 ? ?Vi ? i ? i? ? ?e j ? ? 式中,?Wi 和 ?Vi都是二维列向量;Jij是2×2 阶方阵。 ??Pi ? ?f j ? ? 2? ??Vi ? ?f j ? ? 雅可比矩阵特点: 先讨论节点导纳矩阵的特点 (1)不具有对称性。 (2)是稀疏矩阵。(若 Yij ? 0,则雅可比矩阵的子块 Jij ? 0 ,分 块形式的雅可比矩阵同节点导纳矩阵一样稀疏。) (3)不是常数矩阵,每次迭代须重新计算。各元素都是节点电压的函数 牛顿-拉夫逊法计算潮流的流程框图 迭代结束后 1.计算出平衡节点的功率 Sn ? ?SL? ? ? Si 2.计算支路功率 回顾:架空线路首端(电 源)功率的计算过程。必 须考虑功率损耗后,才能 确定首端(电源)功率。 Sij ? P i +jQi 填空:已知4节点网络注 入功率分别为S1、S2、S3、 S4,则网损为????。 ?i 0 ? Vi (Vi ?Vj ) y ?ij ? Vi 2 y Sij V i yi 0 yij Vj S ji y j0 三、节点电压用极坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算 节点电压极坐标形式 Vi ? Vi ??i ? Vi (cos ?i ? jsin ?i ) 极坐标下,牛顿— 拉夫逊法求解方程组 n 节点功率方程写成 Pi ? Vi ? V j (Gij cos ? ij ? Bij sin ? ij ) ? ? 极坐标下,已知相量的 j ?1 ? 模不变,相角变化,圆 ? n 方程不用求解,类似直 Qi ? Vi ? V j (Gij sin ? ij ? Bij cos ? ij ) ? 角坐标下x或y不变的直 ? j ?1 ? 线;而直角坐标下,已 式中 ?ij ? ?i ? ? j n-1 -m个PV节点 1个平衡节点 1,2,3……m , m+1 , …… n-1 , n 比直角坐标形式的 方程个数:n-1个P方程,m个Q方程。总计(n-1+m)个方程 方程式少了n-1-m个 讨论:?? ,H ,N ,K , ? P H N ? ? ? ? ? ?? ? 修正方程式 L 的量纲是什么?为使 J 矩 ?? ??Q ? ? ? ?K ? ? ? L? ? ? ?V/V ? 阵各元素的量纲一致,理解 为何要用?V/V形式的相量。 m个PQ节点 知相量的模不变,则要 用圆方程来约束求解。 ? ?P1 ? ? ?Q1 ? ? ?? 1 ? ? ?V1 / V1 ? ? ?Q ? ? ?? ? ? ?V / V ? ? ?P ? ?P = ? 2 ? ; ?Q = ? 2 ? ; ?? = ? 2 ? ; ?V/V = ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Q ? ? ? V / V ? P ? m? ? n ?1 ? ? m m? ? n ?1 ? 填空:某网络有20个节点,其 中平衡节点1个,PV节点2个, 其它为PQ节点。N-R法极坐标 表示的修正方程中,与不平衡 列向量元素?Pi与 ?Qi 对应的方 程个数分别为____, ____。 方程组 n ? ?P ? P ? V i is i ? V j (Gij cos ? ij ? Bij sin ? ij ) ? j ?1 ? ? n ?Qi ? Qis ? Vi ? V j (Gij sin ? ij ? Bij cos ? ij ) ? ? j ?1 ? Hij ? ??Pi ?? j Nij ? V j Lij ? V j ??Pi ?V j ??Qi ?V j 雅可比矩阵中,当 i ? j 时 对 j 下标求导容易 ??Qi Kij ? ?? j H ij ? ?VV i j (Gij sin ? ij ? Bij cos ? ij ) ? ? Nij ? ?VV ( G cos ? ? B sin ? ) i j ij ij ij ij ? ? Kij ? VV ( G cos ? ? B sin ? ) i j ij ij ij ij ? ? Lij ? ?VV i j (Gij sin ? ij ? Bij cos ? ij ) ? 雅可比矩阵中,当 i ? j 时 H ii ? Vi 2 Bii ? Qi ? ? Nii ? ?Vi 2Gii ? Pi ? ? 2 Kii ? Vi Gii ? Pi ? Lii ? Vi 2 Bii ? Qi ? ? 对 i 下标求导复杂,证明其中之一 H ii ? n ??Pi ? Vi ? V j (Gij sin ? ij ? Bij cos ? ij ) ?? i j ?1, j ? i n 再用?型电路说明: ? Vi ? V j (Gij sin ? ij ? Bij cos ? ij ) 参数: 0.01S/1S/0.01S j ?1 运行状态:10V,1.1A(11W) / ?VV i i (Gii sin ? ii ? Bii cos ? ii ) 9V,-0.91A(-8.19W) ? Vi 2 Bii ? Qi 相邻节点接地:101W/81.81W 从物理意义上比较Vi2Bii与Qi的大小:(后面有需要,以便印象深刻) 显然:101>>11, 81.81 >>8.19 Vi2Bii的意义是:与 i 所有相邻节点接地(即对称短路)时,在节点 i 加正常电压,电源必须提供的 巨大短路功率。Qi的意义是:正常运行时,电源注入节点 i 的功率。 显然, |Vi2Bii|>>|Qi | 计算步骤和程序框图与直角坐标形式的相似(略)。 11-5 P-Q分解法潮流计算 修正方程式 简化一 : 高压输电线的参数X>>R。则 ??P ? ?H ? ? ??Q ? ?K ? ? ? N ? ? ?? ? ? ? L? ? ? ?V/V ? ??P 在输电线路电压降落纵分量与横分量讨论中已有结论 节点电压相位主要影响母线有功注入,数学描述 N ? ?V ? 0 节点电压幅值主要影响母线无功注入,数学描述 K ? ??Q ? 0 解耦的修正方程式 ?P = ? H ?? ?Q = ? L?V/V ?? 要求记住简化假设与结果 简化结果是,将1个高阶方程组分解为2个低阶方程组。(解耦或降阶) 简化二: 一般情况下,线路两端电压的相角差不大,可以认为: cos ?ij ? 1 Gij sin ? ij ?? Bij 令 Gij sin ?ij ? 0 当与某节点相邻的节点全接地时,该节点自导纳消耗的无功功率远 大于正常状态下注入节点无功功率Qi,即: 令 Qi ? 0 Vi 2 Bii Qi 因此,矩阵H和L的 元素被简化为: 修正方程式 Hij ? VV i j Bij Lij ? VV i j Bij (i, j ? 1, 2, (i, j ? 1, 2, , n ? 1) , m) ?P = ? H ?? ?Q = ? L?V/V 将简化的H和L元素代入,得到 ? ?Q1 ? ? V1 B11V1 V1 B12V2 ? ?Q ? ? ? 2 ? ? ? ? V2 B21V1 V2 B22V2 ? ? ? ? ? ? ?Vm Bm1V1 Vm Bm 2V2 ? ?Qm ? ? ?Q1 ? ? V ? ? 1 ? ? B11 ? ?Q2 ? ? ? V ? ? ? ? B21 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? Bm1 ? ?Qm ? ? ? Vm ? ? V1 B12V2 ? V1 B11V1 ? ?P 1 ? ? VB V ? ?P ? V2 B22V2 ? 2 ? ? ? ? 2 21 1 ? ? ? ? ? ? ? ?Pn ?1 ? ?Vn ?1 Bn ?1,1V1 Vn ?1 Bn ?1,2V2 V1 B1, n ?1Vn ?1 ? ? ??1 ? ? ?? ? V2 B2,n ?1Vn ?1 ? ?? 2 ? ?? ? ?? ? Vn ?1 Bn ?1, n ?1Vn ?1 ? ? ?? n ?1 ? V1 B1,mVm ? ? ?V1 / V1 ? ? ? V2 B2 mVm ? ? ? ?V2 / V2 ? ? ?? ? ?? Vm BmmVm ? ? ?Vm / Vm ? ? ?P 1 ? 量纲是? ?V ? ? 1 ? ? B11 ? ?P2 ? ? ? V ? ? ? ? B21 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? Bn ?1,1 ? P ? n ?1 ? ? ? Vn ?1 ? ? 量纲是? B12 B22 Bn ?1,2 B1,n ?1 B2,n ?1 量纲是? ? ?V1??1 ? ?? ? ? ?V2 ?? 2 ? ?? ? ?? ? Bn ?1,n ?1 ? ?Vn ?1?? n ?1 ? B12 B22 Bm 2 B1m ? ? ?V1 ? ? ? B2 m ? ? ? ?V2 ? ? ?? ? ?? Bmm ? ? ?Vm ? 等式左右量纲 相同,便于记 忆公式形状。 写成紧凑格式 ?P/V = ? B'V ?? ?Q/V = ?B'' ?V 简化结果是,将变系数雅可比矩阵变为常数矩阵。(B',B"是导纳矩阵的虚部) 要求记住简化假设与结果 实用计算中, B?(第一导纳矩阵虚部)一般不计 接地支路影响。讨论原因? P-Q分解法潮流计算流程框图 (1)用注入不平衡量做收敛判据。先计算注入不平 衡量,后立即判断收敛。若收敛,则P(或Q)指针置0, 再检查Q (或P)指针是否为0,决定是否结束迭代。 (2)若P与Q均不收敛,则全部迭代,然后P与Q指 针均置1,继续下一次收敛判断。 (3) P或Q任一个不收敛进入下一次迭代后, 立即 将Q或P指针置1,并判断Q或P是否收敛。 讨论:(P-Q分解法与N-L法比较) 1.每次迭代的计算量; 2.要求迭代次数;(收敛速度) 3.总的计算量; 4.计算结果的精度是否改变? (收敛判据不能变) 回顾: 再叙述P-Q分解法两个简化(假设) 的数学表达式(或语言描述)及简化结 果。