函数一致连续与函数连续有什么区别,到底一致连续的“一致”是什么意思?
一切从什么是连续说起。
1 连续
1.1 某点连续
点连续用极限表达式可以表示为:
,我们移一下项,变成
,容易看出其几何意义:
可以拖动玩玩:
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1.2 函数连续
函数内每个点都连续,则此函数连续。
它的画风是这样的:
2 一致连续
设函数
在区间
上有定义,
,
,使得对于区间
上的任意两点
,当
时,有
。那么称函数
在区间
上一致连续
高等数学同济第七版
2.1 几何意义
这个复杂一点。我们一步步来构建:
好,上面都相对好理解,其实这就是连续,此处解释了,为什么一致连续一定也是连续的,为什么一致连续里面有“连续”这个词。
好了,下面就是一致连续的关键了,一致连续对比连续实际上多了一个条件:
这个是什么意思呢:
我们找一个比较好的展现方式来帮助你想象:
怎么办?我把
这条船缩小一点,再试试:
你可以划着这条船自己试试,不合适就调整下船的大小:
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那么一致连续到底是什么呢?就是如果你能够找到一条
小船(真的会很小),划过整个区间,对应的函数曲线都不会刺破你的矩形,那么就一致连续了。这条小船也就是所谓的“一致”!
马同学就是这么苦口婆心,我还要继续啰嗦一下,注意
。这个意思是对于确定的
,我们要找到那艘船,并且对于每一个
我们都要找到那艘船,不过每艘船是可以不一样的:
2.2 代数意义
几何只能帮助理解,要入微还得靠代数。
首先,我要把一致连续变成极限形式,这样方便和连续进行比较。
一致连续的极限形式是:
。
和连续来比较一下:
2.3 为什么会不一致连续
就是说为什么某些连续函数会找不到一条合适的
小船,“安全”的(指矩形不会被刺穿)划过整个开区间(在闭区间,一致连续和连续是等价的)呢?比如
。
,从代数上来看: