《通信原理》习题 第一章 绪论 例1-1 例1-2 例1-3 例1-4 第二章 随机信号分析 例2-1 例2-2 第三章 信道 例3-1 例3-2 例3-3 第四章 模拟调制系统 例4-1 例4-2 例4-3 例4-4 例4-5 例4-6 例4-7 第五章 数字基带传输系统 例5-1 例5-2 例5-3 例5-4 例5-5 例5-6 例5-7 第六章 正弦载波数字调制系统 例6-1 例6-2 例6-3 例6-4 例6-5 例6-6 例6-7 例6-8 例6-9 例6-10 第七章 模拟信号的数字传输 例7-1 例7-2 例7-3 例7-4 例7-5 第八章 数字信号的最佳接收 例8-1 例8-2 第九章 同步原理 例9-1 《通信原理》习题 第1页π3π 【例1-1】 某数字通信系统用正弦载波的四个相位 0、 、π、 来传输信息,这四 2 2 个相位是互相独立的。 π 3π (1) 每秒钟内 0、 、π、 出现的次数分别为 500、125、125、250,求此通信系统 2 2 的码速率和信息速率; (2) 每秒钟内这四个相位出现的次数都为 250,求此通信系统的码速率和信息速率。 解: (1) 每秒钟传输 1000 个相位,即每秒钟传输 1000 个符号,故RB=1000 Baud 1 π 1 1 3π 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 每个符号出现的概率分别为 P(0) ,P⎜ ⎟ ,P(π) ,P⎜ ⎟ ,每个符号所含 2 2 8 8 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 的平均信息量为 1 2 1 3 H (X)=( ×1+ ×3+ ×2)bit/符号=1 bit/符号 2 8 4 4 3 信息速率Rb=(1000×1 )bit/s=1750 bit/s 4 (2) 每秒钟传输的相位数仍为 1000,故RB=1000 Baud 此时四个符号出现的概率相等,故H(X)=2 bit/符号 Rb=(1000×2)bit/s=2000 bit/s 【例1-2】已知等概独立的二进制数字信号的信息速率为2400 bit/s。 (1) 求此信号的码速率和码元宽度; (2) 将此信号变为四进制信号,求此四进制信号的码速率、码元宽度和信息速率。 解: (1) R =R /log M=(2400/log 2)Baud=2400 Baud B b 2 2 1 1 T s=0.42 ms R 2400 B (2) R=(2400/log 4)Baud=1200 Baud B 2 1 1 T s=0.83 ms R 1200 B Rb=2400 b/s 《通信原理》习题 第2页 【例 1-3】设一信息源的输出由 128 个不同符号组成。其中 16 个出现的概率为 1/32, 其余 112 个出现概率为 1/224。信息源每秒发出 1000 个符号,且每个符号彼此独立。试计 算该信息源的平均信息速率。 解:每个符号的平均信息量为 1 1 H (X)=16× log 32 +112× log 224 =6.404 bit/符号 2 2 32 224 已知码元速率RB=1000 Baud ,故该信息源的平均信息速率为 R = R ·H (X)=6404 bit/s b B 【例1-4】一个由字母 A,B,C,D 组成的字,对于传输的每一个字母用二进制脉冲 编码,00 代替 A,01 代替 B,10 代替 C,11 代替 D,每个脉冲宽度为 5ms. (1)不同的字母是等可能出现时,试计算传输的平均信息速率; (2)若每个字母出现的可能性分别为 1 1 1 3 PA , PB , PC , PD 5 4 4 10 试计算传输的平均信息速率。 解: (1)每个字母的持续时间为 2×5 ms,所以字母传输速率为 1 RB4 =100Baud 2 5×10× −3 不同的字母等可能出现时,每个字母的平均信息量为 H (X)= log 4 =2 bit/符号 2 平均信息速率为 R = R ·H (X)=200 bit/s b B4 (2) 每个字母的平均信息量为 1 1 1 1 1 1 3 3 H (X)= - log2 - log2 - log2 - log2 5 5 4 4 4 4 10 10 =1.985 bit/符号 所以,平均信息速率为 R = R ·H (X)=198.5 bit/s b B4 《通信原理》习题 第3页 【例 2-1】设随机过程ξ (t)可表示成ξ (t)=2cos(2πt +θ) ,式中θ是一个离散随机 Ρ θ=0)=1/2、Ρ(θ π/2)=1/2,试求E[ξ (1)]及(0,1)。 变量,且(Rξ解:在t=1时,ξ (t)的数学期望为 [ ] ΕξCOS2(1) Ε( 2t π ) θ + t 1 π Ρ COS2θ=0)·( 2t π ) θ + +Ρ(θ )· = ( θ 0 COS2 ( 2t π ) θ + π 2 θ 2 1 1 π ×2cos0+ ×2cos 2 2 2 =1 在t =0时,t =1时,ξ (t)的自相关函数 1 2 2 ( 2 R )(0,1)= · COS2 (Ε2t π ) θCOS+[ t π θ + ] ξ 1 2 t1 0 t2 1, [ ] 2 2· Ε2COS( θ ) COS π+θ 2 π 2 Ρ(θ4=0)·0COS θ 0 +Ρ(θ )·4COS θ π 2 θ 2 1 2 1 2 π 4 ×0COS + × COS 4 2 2 2 =2 【例2-2】设z(t)=xcosω t -x sinω t 是一随机过程,若x 和x 是彼此独立且具有均值 1 0 2 0 1 2 为0、方差为σ2 的正态随机变量,试求 2 [ ] [ ] (1)Εz (t ) ,zΕt( ) ; (2) z(t)的一维分布密度函数 f(z); (3)B(t,t )与R(t ,t )。 1 2 1 2 解: (1) [ ] [ ] x cos tΕz-(t x) sin Εt ω ω 1 0 2 0 = cos [ ] [ ] ω t ·Εx -sinω t ·Εx 0 1 0 2 =0 《通信原理》习题 第4页22[][( ) ] x cos ztΕ-t x( )sin Ε t ω ω 1 0 2 0 2 2 2 2 [ ] [ ] [ ] = cos ω t ·Εx 1 -2cosω t sinω t ·Εx x +sin ω t ·Εx 0 0 0 1 2 0 2 2 2 2 2 2 因为 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Εx 1D x =+Ε x D x σ ,同理Εx σ =。 1 1 1 2 又因为x 和x 彼此独立,则有 1 2 [ ] [ ] [ ] Εx x Εx ·Εx ,所以 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 [ ] zΕt( ) = cos ω t ·σ +sin ω t ·σ σ = 0 0 (2)因为z(t)是正态随机变量x和x 经线性变换所得,所以z(t)也是正态随机过程。 1 2 同时 z(t)的方差 2 2 2 [ ] [ ] [ ] D z t ( ) zΕt( ) -Εz (t ) σ = 1 z 2 exp( ) − 所以 z(t)的一维分布密度函数 f(z) π2σ 2σ2 [ ] (3) R(t,tΕz( t)= ) ⋅z( t ) 1 2 1 2 x cos t - x sin t x cos t - x sin Εt [( ω ω )( ω ω ) ] 1 0 1 2 0 1 1 0 2 2 0 2 [ 2 x cos t cos t - x x cos t sin Εωt ω ω ω − 0 1 0 2 1 2 0 1 1 0 2 x x sin t cos t x sin t sin ωt ω +ω 2 ω ] 1 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 cosσ t ω ( −t ) 0 1 2 因为 [ ]=0,所以有 Εz (t ) [ ] [ ] B(t ,t )= R(t ,t )- Εz( t ) ·Εz( t ) 1 2 1 2 1 2 = R(t ,t ) 1 2 2 = cosσ t ω ( −t ) 0 1 2 《通信原理》习题 第5页 【例3-1 】设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为 H( ) ⎧k ω 0 ⎨ ϕω ω⎩ ( )− td 其中,K 和t 都是常数。试确定信号s(t)通过该信道后的输出信号的时域表示式,并讨论之。 0 d 解:该恒参信道的传输函数为 ( )ϕj ω( ) j −t ω d ω (H )ω Η e k e0 = 冲激响应为 h(t)=K δ(t-t) 0 d 输出信号为 y(t)=s(t)* h(t)=K s(t-t ) 0 d 讨论:该恒参信道满足无失真条件,所以信号在传输过程中无畸变。 5 【例3-2】 黑白电视图像每帧含有 3×10个像素,每个像素有 16 个等概出现的亮度等 级。要求每秒钟传输 30帧图像。若信道输出S/N=30 dB,计算传输该黑白电视图像所要求的 信道的最小带宽。 解: 每个像素携带的平均信息量为 H(x)=(log216) bit/符号=4 bit/符号 一帧图像的平均信息量为 I=(4×3×105 5 ) bit=12×10 bit 每秒钟传输 30 帧图像时的信息速率为 5 Rb=(12×10 ×30) bit/s=36 Mbit/s S 令R=C=Blog (1+ ) b 2 N R 36 得BbMHz 3.61 MHz Slog 1001 log (1 ) 2 + 2 N 即传输该黑白电视图像所要求的最小带宽为 3.61 MHz。 【例3-3】 设数字信号的每比特信号能量为E,信道噪声的双边功率谱密度为n /2,试b0证明:信道无差错传输的信噪比E /n 的最小值为-1.6 dB。 b 0 证: 信号功率为 S=E R b b 噪声功率为 N=n B 0 S E C 令C=R C B B b log (1=+ ) log ,得(1+ ⋅ ) b 2 2 N n B 0 C C C lim −1 lim − E B E B 2 ln 2 B 2 1 − 2 由此得 b , b min C C ln 2 0.693 n C B / n →0 C →0 1 0 0 B B B E (10 lg100lg.693) b min 1.6 dB − dB n 0 《通信原理》习题 第6页 【例 4-1】 根据右图所示的调制信号波形,试画出 DSB 及AM 信号的波形图,并比较它们分别通过包络检波器后的波形差 别。 解:DSB 及AM 波形分别如下图(a)、(b)所示。 DSB信号通过包络检波后的波形图如下图(a)所示,AM信号通过包络检波后的波形图如(b) 所示。可见,m (t)有严重失真,m (t)无失真,说明不能用包络检波法解调DSB信号。 1 2 【例4-2】 某调制方框图如下图(b)所示。已知m(t)的频谱如下图(a)所示,载频ω