古典概型考点 学习目标 核心素养 基本事件 了解基本事件的特点 数学抽象 古典概型的定义 理解古典概型的定义 数学抽象 古典概型的概率 公式 会应用古典概型的概率公式 解决实际问题 数学运算、数学建 预习教材P233-P238的内容,思考以下问题: 1.古典概型的定义是什么? 2.古典概型有哪些特征? 3.古典概型的计算公式是什么? 问题导学 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验,其数学模型称为古典 概率模型,简称古典概型. (1)有限性:样本空间的样本点只有______; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性______. 有限个 相等 名师点拨 古典概型的判断 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个 特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型: 样本点个数有限,但非等可能. 样本点个数无限,但等可能. 样本点个数无限,也不等可能. 2.古典概型的概率公式 一般地,设试验E 是古典概型,样本空间Ω包含n 个样本点,事件 包含其中的k个样本点,则定义事件A 的概率 其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件 “所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件数是( A.3B.4 C.5 D.6 解析:选D.事件 个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).故选D. 若书架上放有数学、物理、化学书分别是5 (2019河北省石家庄市期末考试)将一枚骰子连续抛掷两次,则向 上点数之差的绝对值不大于3 的概率是( 2936 解析:选B.由题意,连续抛掷两次骰子共有 66=36 种情况;绝 对值大于3 的有(1,5),(1,6),(2,6),(5,1),(6,1),(6,2)共种,所以绝对值不大于3有:36-6=30 种,故所求概率P= 30 36 下列概率模型:在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任 取一点; 某射手射击一次,可能命中0 某小组有男生5人,女生3 人,从中任选1 人做演讲; 一只使用中的灯泡的寿命长短; 中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量,给该 品牌月饼评“优”或“差”. 其中属于古典概型的是________. 解析:不属于,原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限 多个,不满足有限性;不属于,原因是命中 环,„,10环的概率不一定相同,不满足等可能性;属于,显然满足有限性 和等可能性;不属于,原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数, 有无限多种可能,不满足有限性;不属于,原因是该品牌月饼被 评为“优”或“差”的概率不一定相同,不满足等可能性. 答案: 样本点的列举 一只口袋内装有5 个大小相同的球,白球3 (1)法一:采用列举法.分别记白球为1,2,3 号,则样本点如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5)共10 个(其中(1,2)表示摸到1 由于每次取2个球,每次所取2 个球不相同,而摸到(b,a)与(a, b)是相同的事件,故共有10 个样本点. 个样本点,法二中“2个都是白球”包括(a,b),(b,c),(a, 个样本点.样本点的三种列举方法 (1)直接列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合 于较为简单的试验问题. (2)列表法:将样本点用表格的方式表示出来,通过表格可以弄 清样本点的总数,以及要求的事件所包含的样本点数.列表法 适用于较简单的试验的题目,样本点较多的试验不适合用列表 (3)树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复 杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用 于较复杂的试验的题目. 袋中有 个标号分别为1,2 个球除颜色、标号外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出1 个球,求样本点的个数. 个球的所有可能结果用树状图表示如图所示: 共24 个样本点. 古典概型的概率计算 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5 (2)(2018高考江苏卷)某兴趣小组有2 名男生和3 名女生,现从 中任选 支不同颜色的彩笔,有10 取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红,黄),(红,蓝), 名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中 任选2 名学生有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc, 共10 种情况,其中恰好选中2 名女生有ab,ac,bc,共3 10求古典概型概率的步骤 (1)判断是否为古典概型. (2)算出样本点的总数n. (3)算出事件A 中包含的样本点个数m. (4)算出事件A 的概率,即P(A)= 在运用公式计算时,关键在于求出m,n.在求n时,应注意这n 种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错. 1.如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称 20解析:选C.从1,2,3,4,5 个不同的数,共有如下10 个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3, 4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5), (3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为 2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2 解析:选C.如图可知从5个点中选取2 个点的全部情况有(O, 选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A,B),(A, 数学建模——古典概型的实际应用已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取 名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7 名同学分别用A,B,C,D,E,F,G 表示,现 从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设(1)由已知,甲,乙,丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取 名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 (ii)由(1)设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自 乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7 种.所以事件M发生的概率P(M)= 如何建立概率模型(古典概型)(1)在建立概率模型(古典概型)时,把什么看作一个样本点(即一 个试验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个 样本点出现.对于同一个随机试验,可以根据需要(建立概率模 型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型. (2)注意验证是否满足古典概型的两个特性,即样本点的有限 性;每个样本点发生的可能性相等. (3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题. (2019 高考天津卷)2019 年,我国施行个人所得 税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、 住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某 单位老、中、青员工分别有72,108,120 人,现采用分层抽样 的方法,从该单位上述员工中抽取25 人调查专项附加扣除的享 受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25 人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6 分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6 人中随机抽取2 人接受采 员工项目 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相 同”,求事件M发生的概率. 解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采 用分层抽样的方法从中抽取25 位员工,因此应从老、中、青员 工中分别抽取6 (2)从已知的6人中随机抽取2 人的所有可能结果为(A,B), 所以事件M发生的概率P(M)=11 15 人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小. 同时掷两颗骰子,点数和为7 的概率. 近三天中有一天降雨的概率. 10 个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率. 解析:选B.为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而不适合等可能性,故不为古典概 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组 的可能性相同),则两人参加同一个学习小组的概率为 解析:选A.甲乙两人参加学习小组,若以(A,B)表示甲参加学习小组 A,乙参加学习小组 B,则一共有如下情形:(A,A), 3.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为( 解析:选C.从五个人中选取三人有10种不同结果:(甲,乙, 种,故所求的概率为 1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个 数是另一个数的2 倍的概率是________. 解析:可重复地选取两个数共有16 种可能,其中一个数是另一 个数的2 倍的有1,2;2,1;2,4;4,2 5.一只口袋装有形状大小都相同的6只小球,其中2 只球都是白球”的概率的几倍?解:记两只白球分别为a ;两只黄球分别为c 从中随机取2只球的所有结果为(a )共15种结果. 所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8