连续
设$y=f(x)$ 在$x_0$ 有定义,若
$\displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$
则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
另外一种定义:
在点 $x_0$ 附近,如果自变量的该变量是无穷小时,对应的因变量的该变量也是无穷小,则这个函数在点 $x_0$ 处连续。
通俗地说,所谓“连续”,就是不间断。放到函数上,就是没有“断点”(但是可以有“拐点”)。
二元函数的连续性定义与一元函数类似。
导数
定义
导数(Derivative)是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
导数的几何定义是:曲线上的纵坐标对点的横坐标的导数是曲线在该点的切线的斜率。
导数的物理意义之一是:位移s对时间t的导数是瞬时速度,即$v=\frac{ds}{dt}$
可导
函数可导定义:
(1)设f(x)在$x_0$ 及其附近有定义,则当 $\displaystyle\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{a}}$ 存在, 则称 f(x) 在$x_0$ 处可导。
(2)若对于区间 (a,b) 上任意一点 (x,f(x)) 均可导,则称 f(x) 在(a,b) 上可导。
左导数:$\displaystyle\lim_{\Delta{x}\to0^-}{\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{a}}$
右导数:$\displaystyle\lim_{\Delta{x}\to0^+}{\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{a}}$
连续函数可导条件:函数在该点的左右偏导数都存在且相等。
即就是一个函数在某一点求极限,如果极限存在,则为可导,若所得导数等于函数在该点的函数值,则函数为连续可导函数,否则为不连续可导函数。
微分
在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。
定义
若y=f(x) 在处可导,则函数的增量