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两个变量间的相关关系第二课时 . 1、相关关系 (1)概念:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 (2)相关关系与函数关系的异同点。 相同点:两者均是指两个变量间的关系。 不同点:函数关系是一种确定关系; 相关关系是一种非确定的关系. 一、复习回顾: 2、正相关与负相关 3、线性相关 二.观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图,这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢?对此,我们从理论上作些研究. 我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线,该直线的方程叫回归方程 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 那么,我们该怎样来 求出这个回归方程? 请同学们展开讨论, 能得出哪些具体的 方案? . 方案1:先画出一条直线,测量出各点与它的距离,再移动直线,到达一个使距离的和最小时,测出它的斜率和截距,得回归方程。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 如图 : . 方案2:在图中选两点作直线,使直线两侧的点的个数基本相同。 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为回归方法。 方案3:如果多取几对点,确定多条直线,再求这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图 我们还可以找到更多的方法,但怎样的方法是最好的? 回归直线: 实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点到此直线的距离最小”. 以上公式的推导较复杂,故不作推导,但它的原理较为简单:即各点到该直线的距离的平方和最小,这一方法叫最小二乘法。(参看如书P89) 人们经过实践与研究,已经找到了计算回归方程的 斜率与截距的一般公式 例1、某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图; (2)求线性回归直线方程; (3)预测当广告费支出为7百万元时的销售额. 三、求线性回归方程 1.求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: 第一步,计算平均数 , 第二步,求和 , 第三步,计算 第四步,写出回归方程 练习:观察两相关变量得如下表: x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 求两变量间的回归方程 解: ∴所求回归直线方程为 y=x 例2、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出Y关于x的线 性回归方程Y=bx+a; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? x 3 4 5 6 Y 2.5 3 4 4.5 例3、有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表: 摄氏温度(℃) -5 0 4 7 12 热饮杯数 156 150 132 128 130 15 19 23 27 31 36 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数. 当x=2时,y=143.063. * * * *