反比例函数的对称性 一. 教材分析: 这一节课是基于学生在已经掌握了反比例函数主要性质的基础上安排的。 本节课的主要内容是反比例函数的对称性, 包括轴对称的性质和中心对称性两部分。 在这两个知识点的给出上, 我主要采用由学生亲自 动手操作的方式,让他们自己观察总结出有关结论, 并由此进一步强化两种对称性的理解和认识。 二. 教学目标 (一) 德育目 标: 向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点; 使学生体会事物有规律变化的观点. (二) 知识目标: 1. 根据所画反比例函数图象, 通过动手操作, 直观观察, 发现并掌握反比例函数图象的轴对称性. 2. 通过旋转, 进一步理解反比例函数图象是以原点为中心的中心对称图形, 并感悟中心对称图形的数学含义. (三) 能力目标: 1. 培养学生作图、 观察、 分析、 总结能力。 2. 进一步培养其数形结合的数学方法. 三. 教学重点: 反比例函数的对称性 教学难点: 获得反比例函数对称性有关结论的过程. 四. 教学方法: 观察法, 启发探索引导法. 五. 使用教具: 三角板, 多媒体, 几何画板. 六. 教学过程: 1. 知识回顾: 师问: ①什么是轴对称图形? ②什么是中心对称图形? (如果不能准确描述定义, 可以举例子说明, 比如哪些图形是轴对称图形,哪些图形是中心对称图形) 生 1: 我们学过的轴对称图形有: 等腰三角形, 矩形, 正方形等 生 2: 矩形, 平行四边形, 正方形为中心对称图形 师: 轴对称, 中心对称的实质是什么呢? 生生讨论得出。 由于中心对称的知识点出现在八年级(上) 册, 学生们对此有些生疏了 , 针对这种请况, 教师根据学生掌握的实际情形, 进行了适当的复习, 有必要的进行实物演示. 2. 创设情景, 动手操作, 引入新课. 师: 同学们, 我想你们对反比例函数图象的画法已了 如指掌, 现在咱们一起画出反比例函数 y=2x 的图象. 请大家准备好活页纸, 画图象. (其中 x 的取值由教师给出. ) 请一位同学到黑板上来画. 列表, y=2x x … -4 -2 -1 -12 12 1 2 4 … … … y 描点, 连线 y=2x o x 师: 画完 y=2x图象以后, 大家齐动手, 折一折, 想一想, ①反比例函数图象即双曲线是轴对称图形吗?②如果是, 它有几条对称轴?③你能写出对称轴的表达式吗? y y=x x , y=-x 由学生们观察, 总结, 教师点拨. 生: 解: ①是轴对称图形. ②有两条对称轴. ③对称轴的表达式为: y=x, y=-x. 当学生们总结完毕, 教师板书: 双曲线是轴对称图形, 并且对称轴有两条. 用几何画板演示轴对称性. 重要结合图象理解图象上每一个点关于直线 y=x 与 y=-x的对称点都在图象上. 3. 进一步讨论双曲线的对称性. 出示例题: 观察 y=2x 的图象, 回答下列问题. 师: (1) . 点 A(2, k) 在 y=2x的图象上, A 点的坐标是什么? 学生掌握熟练 生: (2, 1) 师: 你是怎么算出的? 生: 根据反比例函数的特征: 2k=2 , 得到 k=1 (2) . 你能写出点 A 关于原点的对称点'A 的坐标吗? (教师可以适当补充有关中心对称的知识. ) 点'A 在反比例函数的图象上吗? 生: 能, 因为这两个点关于原点对称, 所以'A (3) . 点 A, 'A 的连线一定过哪一点? (4) . 分别过点 A 和'A 作 x 轴的垂线, 垂足分别为 B,'B , 则下列关系正确吗?为什么? (A) OA=O'A (B) ∠AOB=∠'A O'B (C) 点 A、 O、'A 在同一条直线上. 这又说明什么问题呢? 可以让学生畅所欲言, 通过这一道题可以进一步理解反比例函数图象是以原点为中心的中心对称图形, 并感悟中心对称图形的数学含义. 教师板书: 双曲线也是以原点为对称中心的中心对称图形. 4. 做一做 这是一道数学综合题, 涉及正比例函数与反比例函数. 例: 正比例函数 y=1k x 的图象与反比例函数 y=2kx的图象交于 A, B 两点. 其中 A 的坐标为( 3 , 2 3 ) . (1) 分别写出这两个函数的表达式. (2) 你能求出点 B 的坐标吗?你是怎样求的, 与同伴交流. 分析: (2) 由于正比例函数图象经过原点, 且反比例函数图象又是中心对称图形,可知 A, B 两点关于原点对称, 能马上写出 B 点坐标, 也可以联立方程组求交点坐标.应鼓励学生用自 己的语言表达求点 B 的思路. 此题体现了中心对称的应用. (3) . 变式题, 如果是一次函数图象与正比例函数图象有两个交点, 能按上述方法求吗?这又说明什么问题? 5. 拓展思路. 同学们, 你们能根据学过的反比例函数的图象, 在下面的图象中选出 y=1x的图象吗? (A) (B) (C) (D) 分析: 这道题有一定难度, 出现了绝对值, 因此应引导学生考虑去绝对值. 1x (x>0) 第一象限的分支与y=1x在第一象限的分支相同 y=1x= -1x (x<0) 第三象限的分支可以根据点的符号特征以及反比例函数的对称性来解决. 根据学生们的掌握情况, 可以接着提问: 对于下列函数 y =1x , y=1x, y =1x 它们的图象分别是上述图象的哪一个? 七. 课堂小结 i. 反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形, 它有两条对称轴, 分别是 y=x, y=-x; 它的对称中心是原点. ii. 进一步理解两种对称的数学含义以及在做题中的应用. 八. 课堂反思 由于课改加大了反比例函数的比重, 知识点明显比原来教材的难, 所以我本着紧扣课本内容和教学大纲的原则, 将课本中零散的关于反比例函数对称性的习题, 融合成为了 一节课。 这些习题分别出自教材 143 页的试一试, 147 页的做一做的第二题, 149 页的复习题的第 5 题, 还有 151 页 C 组的 1、 2 两题。 其中出现的知识点有正比例函数的性质, 中心对称, 轴对称, 绝对值等等, 而绝对值的加入无疑会加大本节课的难度, 所以在涉及绝对值的练习题时, 我根据学生掌握情况灵活地提出问题, 并决定解决问题的个数。 唐山市初中骨干教师培训作业 教 学 设 计 姓名: 王 静 单位: 迁安市夏官营初级中学 时间 : 2007 . 7 . 20