换元法

在我们写出换元法的公式之前,我们先写清楚它的作用区间。这个是数学的惯例,我们写一个公式或者是定理或者是式子,都需要标明适用范围。我们假设函数f(x)在区间[a, b]上连续。
函数\(x=\phi(t)\)满足:
\(\phi(\alpha) = a, \phi(\beta) = b\)\(\phi(t)\)在区间\([\alpha, \beta]\),或者\([\beta, \alpha]\)上具有连续导数,值域是[a, b],那么:
\[\int_a^bf(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\phi(t)]\phi'(t)dt \]
这个式子成立非常明显,但为了严谨,我们还是来证明一遍。
等式的左边很简单就是我们常见的积分函数,我们假设f(x)在区间[a, b]上的原函数是F(x),那么等式左边根据牛顿-莱布尼茨公式,可以得到:
\[\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \]
所以我们重点关注的是等式右边,等式右边也做类似处理,我们假设\(\Phi(t) = F(\phi(t))\)。
我们对\(\Phi(t)\)求导,可以得到:
\[\Phi'(t) = \frac{dF}{d\phi}\cdot \frac{d\phi}{dt} = f(x)\cdot \phi'(t) = f[\phi(t)]\cdot \phi'(t) \]
通过求导我们可以发现,\(\Phi(t)\)是\(f[\phi(t)]\cdot \phi'(t)\)的原函数。所以:
\[\begin{aligned} \int_\alpha^\beta f[\phi(t)]\phi'(t)dt &= \Phi(\beta) - \Phi(\alpha)\\ &= F[\phi(\beta)] - F[\phi(\alpha)] \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned} \]
所以我们就证明完了,整个证明过程并不难,比较困难的点在于我们在处理等式右边的时候是怎么想到令\(\Phi(t) = F(\phi(t))\)的呢?