相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关,“牵一发而动全身”。本章知识要点如下:1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式如 、 、 和 。 常用到下列性质:若 阶矩阵 有 个特征值 ,则有 ; 若矩阵 有特征值 ,则 、 、 、 、 、 分别有特征值 、 、 、 、 、 ,且对应特征向量等于 所对应的特征向量; 2.相似矩阵及其性质定义式为 ,此时满足 、 、 ,并且 、 有相同的特征值。 需要区分矩阵的相似、等价与合同:矩阵 与矩阵 等价( )的定义式是 ,其中 、 为可逆矩阵,此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵 ,并有 ;当 中的 、 互逆时就变成了矩阵相似( )的定义式,即有 ;矩阵合同的定义是 ,其中 为可逆矩阵。 由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系:若 与 合同或相似则 与 必等价,反之不成立;合同与等价之间没有必然联系。 3.矩阵可相似对角化的条件包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量;充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量;充分条件1是 有 个互不相同的特征值;充分条件2是 为实对称矩阵。 4.实对称矩阵及其相似对角化阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵 ,即有正交矩阵 使得 ,而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。 可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂:直接相乘来求 比较困难;但如果有矩阵 使得 满足 (对角矩阵)的话就简单多了,因为此时 而对角阵 的幂 就等于 ,代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为,不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量,而且 中的 、 也分别是由 的特征向量和特征值决定的。 五、二次型 本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”,其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。 本章知识要点如下:1.二次型及其矩阵表示。2.用正交变换化二次型为标准型。3.正负定二次型的判断与证明。