知识的回顾 ? 支路电流法(以支路电流为变量求解方程) ? n个节点,b条支路的电路图. (1)假设各支路电流的参考方向和网孔的 巡回方向。 (2)对(n-1)个节点列KCL方程。 对(b-n+1)个网孔列写以支路电流为 变量表示 的 KVL方程,并加入元件VCR约束 条件。 (3)求解b个支路方程,从而求解各支路电流。 缺点:这种方法比较解方程比较繁琐。 (b-n+1)个网 (1) 选定一组网孔,标明网孔电流及其参考方向; 孔方程 (2) 以网孔电流的方向为网孔的巡行方向,列写实质是KVL方 程;(自电阻,互电阻,电压源) (3) 求解上述方程,得各网孔电流; (4)原电路非公共支路的电流就等于网孔电流。 原电路公共支路的电流等于网孔电流的代数和。 1、网孔公共支路中含有电流源(增加一组电压变量) 知识回顾 (引入以网孔电流为独立变量,列写KVL方程) 网孔分析法: 2、网孔非公共支路中含有电流源(少列一组网孔电流方程) 习题类型 3、网孔中含有受控电压源,受控电流源 (当独立电源处理,控制量用网孔电流表示) 3.4 节点电压法(教材p78) ? 以独立的节点电压为未知量的节点方程。 当从方程求得节点电压后,再回到原图利 用欧姆定律就可以求出各支路电流。这种 分析方法就是所谓的节点分析法,或节点 电压法。 注意:节点电压法是以基尔霍夫电流定律为基 础的。 节点电压法 节点电压: 选取某一个节点为参考节点(电位为0),则其余的每一 个节点到参考节点的压降称为该节点的节点电压。 R5 a Va iS R1 R2 US + b Vb R3 Va ? U ad c Vc Vb ? U bd Vc ? U cd R4 d 节点电压的参考极性:是以参考节点为 负,其余独立节点为正。 节点电压法的推导 (1)标出所有支路电流的参考方向 推导节点电压 方程步骤: (2)选择参考点,标出节点电压 (3)用节点电压表示各支路电流 (4)列出n-1个KCL方程 (5)将各支路电流代入,得结点方程 (6)解方程组 i1=(Va-Vb)/R1 =(Va-Vb)G1 Vc i4 R4 i2 i2=(Vb-0)/R2 =VbG2 i3=(Vb-Vc)/R3 =(Vb-Vc)G3 R5 i5 Va + Vb US R1 i1 R3 iS i3 R2 i4=(Vc-0)/R4 =VcG4 i5=(Va-Vc-US)/R5 =(Va-Vc-US)G5 推导节点电压法 R 5 i5 + U S R1 Vb R3 i1 R2 i3 i2 Va S is=i1+i5 ----(1) i1=i2+i3 ----(2) i1=(Va-Vb)/R1 =(Va-Vb)G1 i3=i4-i5 -----(3) =VbG2 Vc i3=(Vb-Vc)/R3 =(Vb-Vc)G3 i4 i4=(Vc-0)/R4 =VcG4 R4 i5=(Va-Vc-US)/R5 =(Va-Vc-US -----(1) -----(2) (G1 ? G5 ) Va ? G1Vb ? G5Vc ? iS ? G5U S ? G1Va ? (G1 ? G 2 ? G3 ) Vb ? G3Vc ? 0 ? G5Va ? G3Vb ? (G3 ? G4 ? G5 )Vc ? ?G5U S -----(3) 自电 自电 自电 互电 节点电压法方程式 一般情况,对于具有m 个节点的电路,有 G11V1 ? G12V2 ? ? ? G1mVm ? ? is1 ? ?U s1G1 G21V1 ? G22V2 ? ? ? G2mVm ? ? is 2 ? ?U s 2G2 其中 Gkk:自电导(为正) ,k=1,2,…m Gjk:互电导(为负),j≠k Gm1V1 ? Gm 2V2 ? ? ? GmmVm ? ? ? ? i ? ?U sm sm Gm ? i : k=1,2,…m ,流进结点k的全部电流源电流的代数和 ?U G : k=1,2,…m ,与结点k相联的电压源串联电阻支路转换 sk sk k 成等效电流源后流入结点k的源电流的代数和 从上式可以看出节点方程有以下的规律性: (1)G11 = G1+G5,是连于节点1的所有电导之和。 (2)G22 = G1+G2+G3,是连于节点2的所有电导之和。 (3)G33 = G3 + G4+G5,是连于节点3的所有电导之和。 (4)G11、G22和G33称为自电导,恒取正。其余元素是独立 节点间的公共电导,称互电导。只要两节点间(除参考 点外)有公共电导,则互电导恒取负。 方程右端? iS1、? iS2和? iS3分别为流入节点1、2和3的 R 5 i5 + U S 电流源代数和,流入取正,流出取负。 (G1 ? G5 ) Va ? G1Vb ? G5Vc ? iS ? G5U S ? G1Va ? (G1 ? G 2 ? G3 ) Vb ? G3Vc ? 0 Va iS R1 i1 Vb R3 i3 R2 i2 Vc i4 R4 ? G5Va ? G3Vb ? (G3 ? G4 ? G5 )Vc ? ?G5U S 节点分析法的步骤: (1) 首先将电路中所有电压型电源转换为电流型电 源。(不转换也可以,注意电流源的方向) (2) 在电路中选择一合适的参考点,以其余独立节 点电压为待求量(有的可能已知,如支路只有纯 理想电压源的情况)。 (3) 列出所有未知节点电压的节点方程,其中自电 导恒为正,互电导恒为负。 (4) 联立求解节点电压,继而求出其余量。 节点电压法的习题 I1 20k? VA 解: +120V + I4 10k? VB 40k? I3 I5 20k? 例1.用节点法求各支路电流。(类型1:支路含有电压源与电阻串联) 参考节点 (1) 列节点电压方程: (0.05+0.025+0.1)VA-0.1VB= 120/20 I2 40k? -240V + U - -0.1VA+(0.1+0.05+0.025)VB=-240/40 (2) 解方程,得: VA=21.8V, VB=-21.82V (3) 各支路电流: I1=(120-VA)/20k= 4.91mA I3= VB-U= (VB +240)/40k= 5.45mA I5= VB /20=-1.09mA I2= (VA- VB)/10k= 4.36mA I4= VB /40=0.546mA 节点电压法的习题 (类型1:支路含有电压源与电阻串联) 例2. 用节点法求图所示的电流i,已知R =3Ω, 1 R2=R3=2Ω,R4=4Ω,us=2V,is=1A。 解: uS 1 1 1 1 1 ( ? ? )Va ? ( + )Vb ? is ? R1 R2 R3 R2 R3 R2 uS 1 1 1 1 1 ? + )Va +( ? ? )Vb ? ( R2 R3 R2 R3 R4 R2 Va -Vb i= R3 节点电压法的习题 类型2:仅含纯理想电压源支路的节点电压法: - US1 + (1)对只含一条纯理想电压源 支路的电路,可取纯理想电压 Va 源支路的一端为参考结点。 则Vb= Us4为已知。 只需对节点1、3列节点电压方程 ( R1 R5 - US2 + + US3 - R2 V b + .V c US4 - R6 R3 U U U 1 1 1 1 1 ? ? )Va ? Vb ? Vc ? ? S1 ? S 2 ? S 3 R1 R2 R3 R2 R1 R1 R2 R3 U S1 1 1 1 1 1 ? Va ? Vb ? ( ? ? )Vc ? R1 R5 R1 R5 R6 R1 节点电压法的习题 类型3:对含两条或两条以上纯理想电压源支路,但它们汇集于 一结点的电路,可取该汇集点为参考结点。 - US1 + - US2 + R1 b 则 Va= Us3 ,Vb= Us4为已知。 R5 Va + US3 - R2 V .V c + US4 - 故只需对节点3列结点电压方程 R6 1 1 1 1 1 U S1 ? Va ? Vb ? ( ? ? )Vc ? R1 R5 R1 R5 R6 R1 节点电压法的习题(同类型教材P80例3-5) 类型4:如果电路中含有一个以上的纯理想电压源支路, 且它们不汇集于同一点(考虑增加电流变量) - US1 + - US2 + IX R5 如图选择参考结点, Va + US3 - R2 V b + .V 则Vb=US4成为已知值, 需对 节点1、3列写方程。 US2 US3 1 1 1 ( ? )Va ? Vb ? ? I X ? ? R2 R3 R2 R2 R3 1 1 1 ? Vb ? ( ? )Vc ? I X R5 R5 R6 c US4 - R6 R3 再补充约束方程: Vc-Va=Us1 节点电压法的习题(类型5:支路电流源与电阻串联) 列出如下节点方程(如图) 解: 电路中含有与is(或受控 电流源)串联的电阻R2, R2所在支路电流唯一由 电流源is确定,对外电路 而言,与电流源串联的 电阻R2无关,不起作用, 应该去掉。 所以其电导1/R2不应出 现在节点方程中,则节 点电压方程如下所示: u3 R4 u1 R2 R1 + us is R6 R5 R3 u2 中国计量学院 吴霞 电路分析 续上题 u3 R4 u1 R3 R2 R1 + us is R6 R5 u2 ?1 1 ? us 1 ? + ? u1 - u3 = ? is R1 ? R1 R4 ? R4 ? 1 1 ? 1 ? + ? u2 - u3 =is R5 ? R5 R6 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? u1 ? u5 ? ? ? ? ? u3 ? 0 R4 R5 ? R3 R4 R5 ? 电路分析 中国计量学院 吴霞 小结:对于含电流源支路的电路,列节点电位方程 时应按以下规则: A I2 RS R1 Is U1 + _ I1 R2 1 1 U1 UA( ? ) ? ? IS R1 R 2 R1 方程左边:按原方法编写,但不考虑电流源支路的电阻。 方程右边:写上电流源的电流。其符号为:电流朝向 未知节点时取正号,反之取负号。 节点电压法的习题(类型5) 例2 应用节点电压法求U和I。 I 1? - U 20A + 3 解: V1 ? 100V V2 ? 100 ? 110 ? 210V 1 1 1 1 ( ? )V3 ? V2 ? V1 ? 20 2 2 2 2 解得: V3 ? 175 1? - 90V + 2 - 100V 2? 2? V3 ? U ? 20 ?1 ?U ? V3 ? 20 ? 195 + - 110V V2 ? 90 ? I ? 1 求得 I ? ?(V2 ? 90) /1 ? ?120 A + 1 节点电压法的习题(类型6:含受控电流源支路) 例 列如下图(a)所示的节点方程。图中u是b、d两端的电压。 d (a) 图3-20 (b) 解 (1) 先把受控源当作独立源看列方程; (2) 用节点电压表示控制量。 节点电压法 弥尔曼定理 例 R1 IS3 R2 Va ----适用于只含有两个结点的电路 U S1 R1 1 R1 R4 US4 + Va ? ? US 4 R4 ? IS3 + US1 1 1 ? R2 ? R4 R3 · US ? R ? ? IS Va ? 1 ?R 节点电压法 应用举例(2) 电路中含电流源的情况 设: B U 则: A I2 RS R1 Is E1 B I1 + _ R2 ?0 E1 ? IS R1 UA ? 1 1 1 ? ? R1 R 2 RS ? E1 ? IS R1 UA ? 1 1 ? R1 R 2 例3. 试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。 方法1: 增设一个理想电压源支路电流变量I ,再增加一个补充方程: + Us_ I G1 2 1 G3 G2 G5 G4 3 (G1+G2)U1-G1U2 = - I -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 -G4U2+(G4+G5)U3 =I 补充方程: U1-U3 = US 方法2: 选择合适的参考点 1 U1= US G1 G2 -G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 + G3 2 3 U_ -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 s G G 4 5 节点电压法 应用举例(3) 节点电压法小结 出为负;对电压源与电阻串联组合,应将其等效变换为电流源与 电阻并联的组合) ? 3、如果电路存在无电阻串联的电压源或受控电压源,如何处理。 ? 4、如果电路存在与电流源或受控电流源串联的电阻,则该电阻 不起作用,在列写节点方程时,该电阻不应写在方程中。 ? 5、列方程后,求出节点电压,依照支路电路与节点关系,求出 各支路电流。 ? 1、任意选定一个参考节点,确定电路中其余(n-1)个独立节点。 ? 2、对各独立节点列写节点电压方程 ? (自导为正,互导为负;方程右边是流入节点的电流源为正,流 网孔分析法与节点分析法的比较 ? 常用网孔分析法与节点分析法来分析复杂 电路,这些方法的优点是联立求解的方程 数目少。 ? 当电路只含有独立电压源而没有独立电流 源时,用网孔分析法容易。 ? 当电路只含有独立电流源时而没有电压源 时,用节点分析法更容易些。 网孔分析法只适用平面结构电路。 节点分析法适用连通电路(都是电流源用节点分析法好) 例1.确定较好的方法来求解图示电路。如果求解 的是图(a)所示电路中的电压。 b a 电路(a)更适合 用结点分析法。