凡是一个素数是四倍金字塔数的因子数,以后就不是梅森合数的因子数。在4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)数列中的数,有不等于6NM+-(N+M)的数乘以6加上1都是梅森素数。在2^P-1平方根以下的素数都以素因子在以前准梅森数中出现了,那这个梅森数必是梅森素数。但它的逆定理是不成立的。如果还没有出现在以前的准梅森数中的素数,它也不定是梅森合数的因子数。17世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想:当2p-1 中的p是质数时,2p-1是质数。他验算出:当p=2、3、5、7、17、19时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明p=31时,2p-1是质数。 p=2,3,5,7时,2p-1都是素数,但p=11时,所得2,047=23×89却不是素数。梅森去世250年后,美国数学家科尔证明,267-1=193,707,721×761,838,257,287,是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪,人们先后证明:第10个梅森数是质数,第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难。迄今为止,人类仅发现49个梅森质数。美国中央密苏里大学于2016年1月7日发现的质数,为迄今发现的最大质数,同时是一个梅森质数。由于这种质数珍奇而迷人,它被人们称为“数学珍宝”。值得一提的是,中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列,巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年正式提出了梅森素质分布的猜想,这一重要猜想被国际上称为“周氏猜测”。(GIMPS)项目于2016年1月7日找到人类已知的最大素数274,207,281-1,该素数有22,338,618位,是第49个梅森素数。