线性代数
任意n-1个向量都线性无关 是否能推出n个向量都线性无关,若推不出,为什么矩阵相似对角化的时候 若特征值a对应特征向量为p1 特征值b=c 两个线性无关的特征向量为p2 p3 根据定理p1 与p2 线性无关 p1与p3线性无关 根据已知 p2 与p3线性无关 为什么书本就直接说明了 p1 p2 p3线性无关?
以n=4为例,取X1=(1,0,0,0),X2=(0,1,0,0),X3=(0,0,1,0),X4=(1,1,1,0),则任取三个向量线性无关,但这四个向量线性相关.
而特征向量的意思是方阵Ap1=ap1,Ap2=bp2,Ap3=bp3.若p1,p2,p3线性相关,则a=b.与a,b为两个不同特征值矛盾.这其中特征向量由于其特殊性质才推出线性无关的.
1年前追问
若p1,p2,p3线性相关,则a=b. 这个是定理的逆否命题么? 如果不用反证法证明 而直接证明容易么 谢谢
可以理解为特征值a的特征向量p1,与另一个特征值b的特征向量的线性组合(a1p2+a2p3)是线性无关的。因为同一个特征值的特征向量的线性组合也是特征向量,因为A(a1p2+a2p3)=b(a1p2+a2p3)。那么自然p1与p就是线性无关的,则任意p1,p2,p3的线性组合可以看为p1与一个b的特征向量p'的线性组合,不为0。所以p1,p2,p3线性无关
我想到一个比较严谨的证明 你看下 是否正确
你是说
【N个向量中任意N-1个向量都线性无关】能否推出【这N个向量线性无关】?
不行
例如:A=(1 0) B=(1 1) C=(0 1),这三个向量任意两个线性无关,但是这三个向量线性相关
1年前