关于判定9的倍数的简易方法 河南陈英民 在计算工作中,9 对于速度的作用是很大的。在乘法中,9 乘任何数,都可用见子下减 子的方法得积 在除法中,9 脒任何数,都可fI {j见子加子的变通方法求商 (这两种方法,笔 者曾在 《 从几种数的数理关系略谈心算法的研究》巾作过简单介绍) 。此外,还有很多的数 乘以9 ,能够取得快速效果的方法。如毛凤翔同志的 《 为简易快速乘法补遗》中指出的:凡 被乘数由任意有限个相同数字,末位数字为比首位数字大1 的数字所组成的数,乘以9 ,其 积用心算,瞬间就可算出。台计找错时.要用9 除其差判断错误之所在。如此等等。 根据9 的这些特点,演绎推之,它的倍数加以灵活运用 也能取得快速瞬效果。如 乘 任何数都可用3 乘求得初积,再在初积首位的下位减去初积的数字就得终积。以此类推, 36、45、54、63⋯ ⋯,都可用类似的方法,快速得HI结果。所以熟练地掌握9 及其倍数的特 点,对于速算是大有帮助的。 9 是很直观的,勿庸多说,它的更多的功能还有待于我们继续进行新的探索,这里也不 作赘述。本文拟就如何快速判定某数是否9 的倍数. 绍,供广大珠算爱好者使用时参考。 . 及它又是q 的几倍的方 法 作一舟 . 一、 9的整数倍判定法 所谓9 的倍数,是指它的整数倍而言 (为了叙述的方便,以下简称倍数) .判定某数是 否9 的倍数和倍数又是几的方法,通常用的多是9 除法。即:凡是用9 能够除尽 敷,就一 定是9 的整数倍。本文所要介绍的方法,其理也是如此,但不需要实际去除,而是用心算判 定。其方法是:把所要判定的数的各位数字相加之和,看其是否等于9或多个9。凡等于9 或多个9 的数,就必定是9 的倍数。如:1 8、27、36、45、54、63、 72、81 ,这些数的两位 数字相加之和都等于9 ,所以它必然是 9 的整数 倍。再如351、432、306、4536、72&1、 3654、963 9等,它们的各位数字相加也都等于9 .而4536、7281 、3654、963 9四个数都等于 多个 9 ,从而可以肯定这些数都是9 的倍数。 二、关于判定某数是9的若干倍数的方法 在判定某数是9 的倍数的基础上,还需要判定它是9 的多少倍。这种判定,要根据某敷 的位数和含9 的个数确定。其规律是: A 、1、由两位且含单个9 的数字组成的数,其倍数的位数必是一位 (99除外,它虽系两 位.但却含双9 ,其判定方法为各自位上的补数) 。判定它是多少个整数倍的方法有二 ①被判定数的首位数字加 1。如27的首位数字加l 等于3 、则知27是9的3倍;3B的首位数 字加 1是 4 ,可以判定36是9 的4 倍。 ②取被判定数末位数字的补数。如27末位数字的补数是3 ,所1 ~ 227是9 的3 倍;72的末位敷 字的 补数是8,因而8就是72含9 的 倍数。 维普资讯 http://www.cqvip.com 2 、由三位内含单9 的数字组成的数的判定方法 首先确定它的倍数的位数为两位。然后根据下列规律进行判定。 ①被判定数的首位数字 就是倍数的首位数字,被判定数的末位数字的补数,就是倍数的末 位数字。如1 26、31 5、61 2、 11 ,它们的倍数的首位数字分别是1、3 、6、7 ;末位数字 分别是4 、5 、8 、9 .其倍数则分别为1 4、3 5、68、79。 上方法,可以归纳为一句话,即 首相同 尾互补 ②被判定数的末位数字是 ⋯ 0 的 其倍数的首似是 位数字也是 0 ,如8lo、180、270、630⋯ ⋯,它们的补数 则分 别为90、2o、3o、70⋯ 0 ” 左边末位数字的朴数,倍数的末 ●_●口 3 、由四位及四位以上,且含单9 的数字组成的数的判定方法 它的判定方法,与三位数的判定方法基本相同.只是随着被判定数的位数增 多,其倍 的位数也相应地增加 因之,倍数的首末两值数宁中间的数字也需要判定.所以其要解决了 当中数字的方法就可以了。不过,这个方法也很简单,其规律是: 倍数的第二位数字,是被判定数的前两位数字之和;倍数的第三位数字,是竣判定数的 前三位数字之和⋯⋯ 直至9 位数字的倍数,均可毹此类推 ( 因为位数再多的数,内舍就不是 个9 了) 。如用一句话归纳,即:首相同. 有位数上的数字之和 例 1、1125的倍数是125,其首位同为 1,中间为前两位数字之和,等 于 2 ,末 位 互 补 为 一互补,中问数字为被判定数的各该位前边所 2 ; 例2 、51 12的倍数是568.其首同为5 .例 3、23121的倍数是2569.即首同为 2 6 ,末位互补为 9 ; 例4 、61002的倍数是6778 7 ,末位互补为8 ;例 5 、420102的倍数是46678.即:首 同为 4 6 ,第四位为4 + 2 + 0 + l = 7 .末位互补为8 再例从略。 B、由三位及以上且内含双9 的数字组成的数的判定方法 1 由三位数字组成的数的判定法 这类题型的判定规律.可 归纳为:①倍数的位数为两位;②倍数是:首加1.尾互补;③9 为首者.倍数是三位 其首为 1 ,中问是 0 ,尾互补。 例 1 、792、693、189,其首位加1 .则倍数的首化分别是 8 、7 . 2 .倍数的末位 分 别是 8 、7 、l ;倍数则分别是88、 、2 , 例 2 、981、972、963.其首位加 l 都是1 0.垲∞补数分别是9 、8 、 7 。它们各自的 倍数 就是109、108、107 2 由四位数字组成的数的判定方法 此类题型有下列四种情况; 间等于前两位数字之和为6 ,末位互补为8 第 二 他 为 2 + 3 = 5 ,第 三 位 为2 + 3 + 1 = 即:首同为 6 第 二 位 6 -7 1 = 7 ,第 三 位 为6 + 1 + 0 = 第 二 位4 + 2 = 6 ,第 三 位4 + 2 + 0 = - l 2 , 维普资讯 http://www.cqvip.com ①被判定数的前两位数字之和等于9 的 。 方法是:首加1.中间为 别是504、809、405、706; ②前两位数字之和大于9 的 方法是:首加1 .尾互补.中间数等于前两位数字之和,减去9 之后的差数。如:r8l2、 87I2、575I、6732.它们倍数的首位分别是8 、9 、6 、7 。中间数 则是7 + 8 —9 = 6 ,8 + 7 —9 = 6 .5 + 7 —9 = 3.6 + 7 —9 = 4 8 。其倍数就是:868、9B8、B39、748。 ③前两位数字之和小于9 而前三位数字之和大于9 的.其判定方法是;首相同,尾互补,中 间为前两位数字之和加 1。如2574.其倍数的首位是 2 的补数为6,所以内含两个9 的2,374是9 的286倍。诸如3258、61 65、4356、8055等,它 们的首位分别是:3、 6 、4 、8 中间数字分别是 3 + 2 + 1 = 6 ,6 + 1 + 1 :8 , 4 + 3 + 1 = 8,8 + 0 + 1 = 9 .末位互补分别是 2、5、4、5,其借数就是36 2- 0” .尾互补 如:4536、7281、3645、6354,它们的倍数分 末位数 字则 为8 、8 、9 、 中间数字为 2 + 5 + 1 = 8 ,尾 6 85 、 4 84 、 8 95 。 再如43 83、61 92、7I 64等.它们的前三位数字之和都大于9 ,前两位数字之和都小于 9 。按照上述求法 即可得出倍数分别为487、688,796。 ④前三位数字之和等于9 的判定方法 其规律是:首相同.尾互补.中间为被判定数的第三位数 字的补数。如I 269、3429、 441 9、5049、5l39等.它们的倍数分别为I4I、3 8I、491、56l、57l C、由四位内含三个 9 的数字组成的数的判定法 这类题型的规律有三种情况: a、前两位数字之和为 9 .后两位 各 为 9。如 63 99、3699 1899、8I 99等。求倍数的方法是:首加 1.尾互补.中间数字为第三位数字的补数 (与前 三位数字之和等于9 的中间数字判定方法相同) 。据此可知,它们 的倍数 分别为7 '11、 4599、5499、7299、2799、 4 “、 5 1 I、 6 1l 、 8 1 l 、 3 儿 、 2 I I 、 9 I I 。 b、9 为首.中间两位数字之和等于9 或大于9 的。 如9639、9729、 9I89、9297、97 '92,9594 ⋯等等。判定倍数的方法是:首加1为lo.中间为被判定数的第二位数字加 1 ,尾互补. 由此可知,它们的倍数分别是:10 I、l 081、l 02I、1033、1088、l066。 c、前两位都为9 后两位之和为 9 的。如:998I 、9 9I 8 ,9972、9927、9936 、9963、 9945、9954等。其判定方法是:倍数的位数为四位 前两位为各自 的朴数,中间为 o , 尾互补。所以,其倍数分别为:I109、1l02、I1 08、1103、11 04、l 107、1105、1l06。 关于判定9 的倍数的介绍 本文拟就到此为止 因为数是无限多、无限大的,都有它各 自的规律可循,不过,要掌握它,,也就不够简易了。鉴于实用可能,不再赘述。上述方法 如能熟练掌握,当可收事半功倍之效。仅此奉献,以飧读者。 作者单位:河南省内黄县交通局 ·l 3 维普资讯 http://www.cqvip.com