第 4 讲 1 上讲回顾 析(合)取式, 析(取)取范式,小(大)项,主析(合)取范 式等基本概念 析(合)取范式的求解方法(直接法 直接法) 直接法 主析(合)取范式的求解方法(真值表法和直接法 真值表法和直接法) 真值表法和直接法 特别注意: ☆☆ 由真值表确定小(大 项的方法 项的方法; 由真值表确定小 大)项的方法 直接法求主析(合 取范式时填加变元的方法 取范式时填加变元的方法; 直接法求主析 合)取范式时填加变元的方法 2 本讲内容 主析(合)取范式的编码表示 永真蕴涵的概念 常用永真蕴涵公式(13组) 永真蕴涵的证明方法(3种) 永真蕴涵的相关定理 3 §5范式 范式 4.主析(合)取范式的编码表示 主析 合 取范式的编码表示 为了确保主析(合)取范式编码表示的唯一性,对 各命题变元的位置安排一固定的次序。 (1)小项的编码 二进制编码 记为m (J0,J1…Jn-1) 二 ,约定小项中的: 变元P对应 Ji为1,变元否定? P对应Ji为0 。 ? 十进制编码(略) 例(按照P,Q,R的顺序): 4 §5范式 范式 m(i) 十 十进制数 0 1 2 3 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111 小项 ?P ∧ ? Q ∧ ? R ? P ∧ ? Q ∧R ? P ∧Q ∧ ? R P ∧ ? Q ? ∧R P∧?Q∧?R P ∧ ? Q ∧R P ∧Q ∧ ? R P ∧Q ∧R m(0)十 m(1)十 m(2)十 m(3)十 m(4)十 m(5)十 m(6)十 m(7)十 4 5 6 7 5 §5范式 范式 例:求(P∧Q)∨(?P∧R)的小项编码表达。 (按照P、Q、R的次序) 解:原式 ?(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R) ? m(111) ∨ m(110) ∨ m(011) ∨ m(001) 二 二 二 二 ? m(111) ∨ m(110) ∨ m(011) ∨ m(001) 二 二 二 二 ? m(7) ∨ m(6) ∨ m(3) ∨ m(1) //小项的十进制编码 小项的十进制编码 十 十 十 十 ? ∑m7,m6,m3,m1 ? ∑1,3,6,7 6 §5范式 范式 (2)大项的编码 二进制编码 记为M (J0,J1…Jn-1) 二 ,约定大项中的: 变元P对应 Ji为0,变元否定? P对应Ji为1 。 ? 十进制编码(略) 7 §5范式 范式 例:求(P∧Q)∨(?P∧R)的大项编码表示 (按照P,Q,R的次序) 解:原式 ?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R) ∧(?P∨Q∨?R) ?M(000) ∧ M(010) ∧ M(100) ∧ (101) 二 二 二 二 ? M(000) ∧ M(010) ∧ M(100) ∧ (101) 二 二 二 二 ? M (0) ∧ M (2) ∧ M (4) ∧ M (5) 十 十 十 十 //小项的十进制编码 小项的十进制编码 ? ∏ M0,M2,M4,M5 ? ∏0,2,4,5 8 §5范式 范式 大项和小项十进制编码的和刚好为2n 在上例中,(P∧Q)∨( ?P∧R) ?∑1,3,6,7 ? ∏0,2,4,5 例:写出(P∨ ?Q)的主析(合)取范式编码表示 9 §5范式 范式 P F F T T Q F T F T P ∨?Q T F T T 主析取范式为: (?P∧?Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q) 主合取范式为: P ∨?Q P∨?Q ? ∏1 ? ∑0,2,3 10 §5范式 范式 5.主范式的个数 对命题公式: 21个); 一个命题变元有四个不同的真值表(2 22个); 二个命题变元有16个不同的真值表(2 n n个命题变元可构成22 个不同的真值表。 ∴得到结论: 2n 个 对于含有n个命题变元的命题公式,必定可写出2 主析(合)取范式,若排除永真式或永假式,则实 n 际可写出( 22 -1)个主析(合)取范式。 11 §6永真蕴含式 永真蕴含式 《定义》命题公式A称为永真蕴含命题公式B,当且 定义》 仅当A→B是一个永真式,记作: A?B 说明: “A?B”读作“A永真蕴含B”,“A蕴含B”, “A推得B” 与→区别 区别! 区别 “? ”是关系符,A? B不为命题公式。 例:证明:P? P∨Q; PΛQ? P (1)真值表法 证明:P→(P∨Q)和(PΛQ)→P为永真式 12 §6永真蕴含式 永真蕴含式 P F F T T Q F T F T P→(P∨Q) (P∨ F F T T T T T T F T T T (PΛQ)→ (PΛQ)→P F F F T T T T T F F T T (2)等价公式法 P→(P∨Q) ? ?P∨(P∨Q) ? T (PΛQ)→P ??(PΛQ)∨P ??P∨ ?Q∨P ?T 13 §6永真蕴含式 永真蕴含式 《定理》A,B是命题公式,A?B的充分必要条件是 定理》 A?B且B?A。 证明: (1)A?B,则A? B且B?A A 则 若A?B,则A?B为永真式 又(A?B)?(A→B)Λ(B→A) ∴(A→B)Λ(B→A)也为永真式 即A? B且B?A (2) A? B且B? A,则A?B(略) 则 略 此定理把“?”和“? ”之间建立了相应的关系。 14 §6永真蕴含式 永真蕴含式 常用的永真蕴含式 I1 P?P∨Q (Q?P∨Q) I2 PΛQ? P (PΛQ? Q) I3 PΛ(P→Q) ?Q I4 (P→Q)Λ?Q? ?P I5 ?PΛ(P∨Q) ? Q I6 (P→Q)Λ(Q→R) ? (P→R) I7 P→Q)Λ(R→S) ? (PΛR→QΛS) I8 (P?Q)Λ(Q?R) ? (P?R) I9 ?P ?P→Q 15 §6永真蕴含式 I10 Q? P→Q I11 ?(P→Q) ? P I12 ?(P→Q) ? ?Q I13 (P∨Q)Λ(P→R)Λ(Q→R) ? R 证明上述永真蕴含式的方法有三种: 关系符改为“ ”联结词, (1)把“? ”关系符改为“→”联结词,证明为永 真式。 真式。 (a)真值表法 真值表法 (b)命题演算法 等价公式法 命题演算法(等价公式法 命题演算法 等价公式法) 16 §6永真蕴含式 (2)找出使单条件命题前件为“T”的所有真值 找出使单条件命题前件为“ 指 看能否导致后件均为“ 派,看能否导致后件均为“T”,若为 “T”, 则永真蕴含关系成立。 则永真蕴含关系成立。 P F F T T Q P→Q T T F T 17 ☆☆ F T F T §6永真蕴含式 永真蕴含式 例:PΛ(P→Q) ? Q 前件为“T”,则P和(P→Q)均为“T”, ∴Q也为“T”, ∴PΛ(P→Q) ? Q成立 18 §6永真蕴含式 (3)找出使单条件命题后件为“F”的所有真值指 )找出使单条件命题后件为“ 的所有真值指 看能否导致前件均为“ 若为“ , 派,看能否导致前件均为“T”,若为“F”, 则永真蕴含关系成立。 则永真蕴含关系成立。 P Q F T F T P→Q T T F T 19 ☆☆ F F T T §6永真蕴含式 永真蕴含式 例:?QΛ(P→Q) ? ?P 后件为“F”,则P为“T”, 代入前件得 (ⅰ)若Q为T,则?QΛ(P→Q)为“F”; (ⅱ)若Q为F,则?QΛ(P→Q)为“F”; ∴?QΛ(P→Q) ? ?P成立 若后件简单则可选用(3);若前件简单则可选用(2)。 二种方法是互为独立的,只需使用一种即可。 20 §6永真蕴含式 永真蕴含式 三个结论: (1)一个命题公式等价于一个永真式,则一定 为永真式。 ? (2)一个永真式永真蕴含一个命题公式,则该 命题公式一定为永真式。 ? (3)一个永假式永真蕴含一个命题公式,则该 命题公式可能是永真式、永假式或可满足式。 ? 21 §6永真蕴含式 永真蕴含式 《定理》A,B,C为命题公式,若A?B,且B?C, 定理》 则A?C。 证明: ∵A?B,且B?C, ∴(A→B)Λ(B→C)为永真式, 由I6:(A→B)Λ(B→C) ? (A→C), ∴(A→C)也为永真式; 即A?C成立 22 §6永真蕴含式 永真蕴含式 《推论》若A?B1 、B1 ? B2...Bm ?B,则 推论》 A?B。 《定理》若A?B,A?C,则 定理》 (BΛC) A?(B C) 另外 证明: 一种 ∵A?B 且 A?C, ∴(A→B)和(A→C)均为永真式, 证法? ∴若A为“T”,则B、C均为“T”, ∴A→(BΛC)也为“T”, 结论:A?(BΛC)。 23 §6永真蕴含式 永真蕴含式 可用等价公式证明: (A→B)Λ(A→C) ?(?A∨B)Λ( ?A∨C) ? ?A∨(BΛC) ?A→(BΛC) 由于(A→B)Λ(A→C)为永真式, ∴A→(BΛC)也为永真式,即A?(BΛC) 《定义》H1,H2….Hm,Q均为命题公式,若 定义》 (H1 ΛH2Λ…Hm ) ?Q,则称: H1,H2….Hm,共同蕴含Q,并记作: H1,H2….Hm ?Q 24 §6永真蕴含式 永真蕴含式 《定理》若 (H1 ΛH2Λ…Hm ),P ?Q,则 定理》 (H1 ΛH2Λ…Hm ) ?(P→Q)。 证明: (H1 ΛH2Λ…ΛHm ΛP)→Q ??(H1 ΛH2Λ…ΛHm ΛP)∨Q ?( ? H1 ∨ ? H2 ∨ … ∨ ? Hm ) ∨ ( ? P ∨Q ) ??(H1 ΛH2Λ…ΛHm ) ∨ ( P→ Q ) ?H1 Λ H2 Λ …. Λ Hm→(P→Q)也为永真式 ∴ ( H1 ΛH2 Λ …. Λ Hm )?(P→Q)成立 25 本讲小结 掌握主析(合)取范式的编码表示(关键是小项和 大项的二进制编码! 大项的二进制编码 ) 理解永真蕴涵的概念 理解并记忆常用永真蕴涵公式(13组) 13组 掌握永真蕴涵关系的证明方法(3种,特别是根据 种 特别是根据 →联结词真值表的本质含义得出的后 种方法) 联结词真值表的本质含义得出的后2 联结词真值表的本质含义得出的后 理解永真蕴涵相关定理的证明过程,并会灵 活运用 26