如果不看二阶导(实际上有的函数也不是二阶可导的),光看一阶导的话,函数的凹凸性与导数的正负无关,只和导数的单调性有关
我们先看看函数凹凸性的定义
国内的某些高等数学教材与数学专业教材关于凹凸的定义是反过来的,为了统一起见,我们把Convex function称为凸函数或下凸函数,把Concave function称为凹函数或上凸函数.
凸函数是这么定义的:
设函数
在区间
上有定义,若对任意一对点
,
,和任意的
,成立不等式
则称
为区间
上的凸函数.
如果把那个不等号改成严格不等号,就是严格凸函数的定义.
而把不等号反向,就是凹函数的定义.
可见,凸函数的定义并不依赖二阶导数甚至导数的存在性,实际上一个函数是不是凸函数,和它是不是可导确实没关系,不可导的函数依旧可能是凸函数.
我们看看一个函数是凸函数的条件
函数
在区间
上是凸函数的充要条件是:
对任意的
以及
,有
如果把上述不等式的不等号都改成严格不等号,就是一个函数是严格凸函数的充要条件.
证明:
假设函数
在区间
上是凸函数
显然有恒等式
令
,显然有
由函数
的凸性可得
并且
所以
这样就有
又由
,
则
又由
,
从而
必要性得证
充分性的证明直接从最后一步反推回去就行,因为每两步之间的推导基本上是等价的.
以上就是一个函数是凸函数的充要条件.
严格凸函数的话,每一步的不等号改成严格不等号即可.
而在函数可微时,自然可以推出这样的结论:
函数
在区间
上连续,在
上可导,则函数
在区间
上是凸函数的充要条件是:
在
上单调递增.
如果把单调递增改成严格单调递增,就是严格凸函数的充要条件.
这个可由之前的定理结合导函数的定义,以及Lagrange中值定理推出
当函数
是凸函数时
设
点
与
满足:
,那么很显然
即
令
,
,得
显然必要性得证
当函数
是严格凸函数时
任取一点