这个问题好玩!
首先确认一下这是个良定义的问题,即自由度不多不少:
五边形的各个边长均固定。由于C为直角,所以可以看成顶点B、C、D都固定了,剩下的部分是一个各边长度固定的四边形DEAB,由四边形的不稳定性,它还有一个自由度。而「有一对内角互补」的条件恰好固定这个自由度,bingo!
然后证明,互补的一对内角之间必须夹着一个顶点:
D、E不能互补,否则AE与DC将平行,顶点A处将变成凹的。同理A、B不能互补。A、E不能互补,否则DEAB将成为平行四边形,BCD将成为正三角形,与C是直角矛盾。B、D不能互补,因为顶点A、E中总有一处会是凹的。证明过程略,本质原因是
。于是只剩下D、A或E、B可以互补,两对角的地位是相同的,所以不妨设D、A互补。
如图建立平面直角坐标系,设边长为1,于是有
。
设
,则
。
因为角D、A互补,所以
。
在三角形EAB中使用余弦定理,
,
代入各点坐标得
,
整理得
。
再考虑到
,可以解得
。
于是角D的大小就是
这是唯一解,题主的模拟还是挺准确的。
是一个规矩数,所以用尺规作图可以作出题主想要的图形。
不过,既然题主是要设计家具,几何上的尺规作图并没有意义。
用计算机作图的话,只要把各个点的坐标算到足够精确就行了。
上面已经给出了顶点E的坐标,顶点A的坐标就留给题主自己去算啦。