因数与倍数
整数(正整数,0,负整数)被除数÷除数=商(被除数是商和除数的倍数,商和除数是被除数的因数。)
12÷6=2(12是6和2的倍数,6和2是12的因数。)
如果a×b=c(a,b,c均为不等于0的自然数)
则1.c是a的倍数,c也是b的倍数。2.a是c的因数,b也是c的因数。
倍数和因数的特征:3.倍数和因数是相互依存的关系。(不能单独说谁是谁的因数和倍数。)
找一个数的倍数,乘法算式法(没有最大的倍数。)
12=1×12=2×6=3×4
所以12的因数有:1,2,3,4,12(从小到大排列写出因数)
结论:一个数的因数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
2和5的倍数特征
总结:2的倍数特征:1.个位上是0,2,4,6,8的整数都是2的倍数。127=120+7
5的倍数特征:2.个位上是0,5的整数都是5的倍数。2485=2480+5
3.在整数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数)
不是2的倍数的数叫做奇数(奇数除以2余1,偶数除以2没有余数)
个位上是1,3,5,7,9的数都是奇数。
奇数+偶数=奇数(1+2=5) 奇数+奇数=偶数(1+2=5) 偶数+偶数=偶数(2+2=4)
奇数×奇数=奇数(1×1=1) 奇数×偶数=偶数(1×2=2) 偶数×偶数=偶数(2×2=4)
3的倍数特征
3的倍数,总是每3个数出现一次。
3的倍数特征:一个数各位数上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
例:87=8+7=15,15是3的倍数,(87÷3=29)所以87也是3的倍数
9的倍数特征:一个数各位数上的数字之和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
例:24=2×10+4=29+2+4
判断同时是2和3的倍数?同时是3和5的倍数?同时是2,3,5的倍数?
24 40 55 60 75 96 300
2的倍数有:24 40 60 96 300
3的倍数有:24 60 75 96 300
5的倍数有:40 55 60 75 300
同时是2和3的倍数有:24 60 96 300 (看它是否同时满足2和3的倍数特征)
同时是3和5的倍数有:60 75 300 (看它是否同时满足3和5的倍数特征)
同时是2,3,5的倍数有:60 300 (看它是否同时满足2,3和5的倍数特征)
质数与合数
举例:1的因数:1。2的因数:1,2。3的因数:1,3。4的因数:1,2,4。5的因数:1,5。6的因数:1,2,3,6
质数的定义:一个数,如果只有1和它本身两个因数,那么这样的数叫做质数(或素数)(像2,3...)。
合数的定义:一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,那么这样的数叫做合数(像4,6...)。
1只有一个因数。所以,既不是质数也不是合数。
结论:100以内最小的质数是2,最大的质数是97。2是质数中唯一的偶数,2和3是质数中唯一的相邻自然数。
筛法:古代希腊数学家,埃拉土斯特尼。
分辨质数合数方法:1.只有两个因数的数一定是质数,有3个或3个以上因数的数是合数。
2.个位上的数是如果是0,2,4,6,8和5的数不含2和5一定不是质数。质数个数上的数一定是1,3,7,9
3.对于无法一眼看出是质数还是合数的数,我们可以用比它小的数去试除。
整数=因数×因数=小数×大数,例:36=6×6=2×18
30用短除法分解质因数:30=2×3×5
公因数与最大公因数的求法:
12的因数有:1,2,3,4,6,12。16的因数有:1,2,4,8,16。
12和16的公因数有:1,2,4。最大的一个是4(也可以说,4是12和16的最大公因数)
结论:这两个数所有的公因数,都是它们最大公因数的因数。
1.列举法2.筛选法(12,18)=6 3.分别分解质因数(公有质因数的乘积就是最大公因数)
4.短除法(把它们的所有公因数相乘所得的积就是它们的最大公因数)
求最大公因数的两种方法
特殊情况:1.两个数中一个数是另一个数的因数(12,24)=12,较小的数就是他们最大公因数。
2.两个数是相邻的自然数或是两个不同的质数(13,17)=1。刚它们的最大公因数是1。
3.最大公因数为1的两个数为互质关系(1和7互质)。
公倍数与最小公倍数的求法:
4的倍数有:4,8,12,16,20,24...。6的倍数有:6,12,18,24,30,36...
12,24既是4的倍数也是6的倍数,我们把它们称为,4和6的公倍数。其中最小的一个是12(所以,12是4和6的最小公倍数。)
1.列举法2.扩大倍数法(大数翻倍法)3.分解质因数((公有质因数)*(独有质因数)就是最小公倍数。)
4.短除法(所除的商只有公因数为1,也就是互质为止)
例:8的质因数:8=2×2×2。12的质因数:12=2×2×3。
则它们的公有的质因数:2,2。8独有的质因数:2,12独有的质因数:3。
则它们的最小公倍数:公有的质因数×独有的质因数:2×2×2×3=24
例:
求最小公倍数的两种方法
特殊情况:1.两个数中一个数是另一个数的倍数,例:15和45的最小公倍数为45。较大的数就是它们的最小公倍数。
2.两个数是相邻的自然数或是两个不同的质数,例:20和21的最小公倍数为:20×21=420。则它们的乘积就是最小公倍数。