排列、组合的概念和公式典型例题分析排列、组合的概念和公式典型例题分析排列、组合的概念和公式典型例题分析排列、组合的概念和公式典型例题分析例例例例1111设有3名学生和4个课外小组\ue03f\ue03a1\ue03b每名学生都只参加一个课外小组\ue043\ue03a2\ue03b每名学生都只参加一个课外小组\ue03d而且每个小组至多有一名学生参加\ue03f各有多少种不同方法\ue045解\ue03a1\ue03b由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个\ue03d而不限制每个课外小组的人数\ue03d因此共有种不同方法\ue03f \ue03a2\ue03b由于每名学生都只参加一个课外小组\ue03d而且每个小组至多有一名学生参加\ue03d因此共有种不同方法\ue03f点评由于让3名学生逐个选择课外小组\ue03d故两问都用乘法原理进行计算\ue03f要例例例例2222排成一行\ue03d其中不排第一\ue03d不排第二\ue03d不排第三\ue03d不排第四的不同排法共有多少种\ue045解依题意\ue03d符合求的排法可分为第一个排、、中的某一个共3类\ue03d每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出\ue042要\ue03d∴符合题意的不同排法共有9种\ue03f点评按照分“类”的思路\ue03d本题应用了加法原理\ue03f为把握不同排法的规律\ue03d“树图”是一种具有直观形象的有效做法\ue03d也是解决计数问题的一种数学模型\ue03f例\ue011例\ue011例\ue011例\ue011判断下列问题是排列问题还是组合问题\ue045并计算出结果\ue03f\ue03a1\ue03b高三年级学生会有11人\ue042①每两人互通一封信\ue03d共通了多少封信\ue045②每两人互握了一次手\ue03d共握了多少次手\ue045\ue03a2\ue03b高二年级数学课外小组共10人\ue042①从中选一名正组长和一名副组长\ue03d共有多少种不同的选法\ue045②从中选2名参加省数学竞赛\ue03d有多少种不同的选法\ue045\ue03a3\ue03b有2\ue03d3\ue03d5\ue03d7\ue03d11\ue03d13\ue03d17\ue03d19八个质数\ue042①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商\ue045②从中任取两个求它的积\ue03d可以得到多少个不同的积\ue045\ue03a4\ue03b有8盆花\ue042①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆\ue03d有多少种不同的选法\ue045②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法\ue045分析\ue03a1\ue03b①由于每人互通一封信\ue03d甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信\ue03d所以与顺序有关是排列\ue043②由于每两人互握一次手\ue03d甲与乙握手\ue03d乙与甲握手是同一次握手\ue03d与顺序无关\ue03d所以是 组合问题\ue03f其他类似分析\ue03f\ue03a1\ue03b①是排列问题\ue03d共用了封信\ue043②是组合问题\ue03d共需握手\ue03a次\ue03b\ue03f\ue03a2\ue03b①是排列问题\ue03d共有\ue03a种\ue03b不同的选法\ue043②是组合问题共有种不同的选法\ue03f\ue03d\ue03a3\ue03b①是排列问题\ue03d共有种不同的商\ue043②是组合问题\ue03d共有种不同的积\ue03f\ue03a4\ue03b①是排列问题\ue03d共有种不同的选法\ue043②是组合问题\ue03d共有种不同的选法\ue03f例\ue012例\ue012例\ue012例\ue012证明\ue03f证明左式右式\ue03f∴等式成立\ue03f点评这是一个排列数等式的证明问题\ue03d选用阶乘之商的形式并利用阶乘的性质\ue03d可使变形过程得以简化\ue03f\ue03d例例例例5555化简\ue03f解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式\ue03d并利用阶乘的性质\ue043解法二选用了组合数的两个性质\ue03d都使变形过程得以简化\ue03f例例例例6666解方程\ue042\ue03a1\ue03b\ue043\ue03a2\ue03b\ue03f解\ue03a1\ue03b原方程 解得\ue03f\ue03a2\ue03b原方程可变为∵\ue03d\ue03d∴原方程可化为\ue03f即\ue03d解得第六章第六章第六章第六章排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理一、考纲求一、考纲求一、考纲求一、考纲求要要要要1.掌握加法原理及乘法原理\ue03d并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义\ue03d掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质\ue03d并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质\ue03d并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构二、知识结构二、知识结构二、知识结构三、知识点、能力点提示三、知识点、能力点提示三、知识点、能力点提示三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明说明说明说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础\ue03d掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例例例例11115位高中毕业生\ue03d准备报考3所高等院校\ue03d每人报且只报一所不同的报名方法共有多少种?\ue03d解\ue0425个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名\ue03d因而每个学生都有3种不同的报名方法\ue03d根据乘法原理\ue03d得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=3(种)5(二)排列、排列数公式说明说明说明说明排列、排列数公式及解排列的应用题\ue03d在中学代数中较为独特它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同\ue03d内容抽象\ue03d解题方法比较灵活\ue03d历届高考主考查排列的应用题\ue03d都是选择题或填空题考查.\ue03d要例例例例2222由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数\ue03d其中小于50000的偶数共有()A.60个B.48个C.36个D.24个解因为求是偶数\ue03d个位数只能是2或4的排法有P\ue043小于50000的五位数\ue03d万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P;在首末两位数排定后\ue03d中间3个位数的排法有P\ue03d得PPP\ue04436(个)要121333332131由此可知此题应选C.例例例例3333将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里\ue03d每格填一个数字\ue03d则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解\ue042将数字1填入第2方格\ue03d则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种\ue03d即2143\ue03d3142\ue03d4123\ue043同样将数字1填入第3方格\ue03d也对应着3种填法\ue043将数字1填入第4方格\ue03d也对应3种填法\ue03d因此共有填法为3P=9(种).13例四例五可能有问题\ue03d等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质 说明说明说明说明历届高考均有这方面的题目出现\ue03d主考查排列组合的应用题且基本上都是由选择题或填空题考查.要\ue03d例例例例4444从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台\ue03d其中至少有甲型与乙型电视机各1台\ue03d则不同的取法共有()A.140种B.84种C.70种D.35种解\ue042抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C·C种\ue043甲型2台乙型1台的取法有C·C种14524521根据加法原理可得总的取法有C·C+C·C=40+30=70(种)24545221可知此题应选C.例例例例5555甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程\ue03d甲公司承包3项\ue03d乙公司承包1项\ue03d丙、丁公司各承包2项\ue03d问共有多少种承包方式?解\ue042甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C种\ue04338乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C种\ue04315丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C种\ue04324丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C种.22根据乘法原理可得承包方式的种数有C8×C×C×C=×1=1680(种).3154222(四)二项式定理、二项开式的性质展说明说明说明说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的开法则\ue03d在数学中它是常用的基础知识\ue03d从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现\ue03d主考查二项开式中通项公式等\ue03d题型主为选择题或填空题.展要展要 例例例例6666在(x-)的开式中\ue03dx的系数是()106展A.-27CB.27CC.-9CD.9C610101010464解设(x-)的开式中第γ+1项含x\ue03d106展因T=Cx(-)\ue03d10-γ=6,γ=4γ+1γ1010-γγ于是开式中第5项含x6\ue03d第5项系数是C(-)=9C展4101044故此题应选D.例例例例7777(x-1)-(x-1)\ue03c(x-1)-(x-1)+(x-1)的开式中的x的系数等于23\ue041\ue040展解\ue042此题可视为首项为x-1\ue03d公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和则其和为\ue03d在(x-1)中含x的项是Cx(-1)=-20x\ue03d因此开式中x的系数是-20.63363332展(五)综合例题赏析例例例例8888若(2x+)=a+ax+ax+ax+ax\ue03d则(a+a+a)-(a+a)的值为()4012340241323422A.1B.-1C.0D.2解\ue042A.例例例例99992名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检\ue03d每校分配1名医生和2名护士\ue03d不同的分配方法共有()A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P\ue0442种\ue03d分护士方法有C=6种\ue03d所以共有6×2\ue04412种不同的分配方法。2242应选B.例例例例10101010从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台\ue03d其中至少有甲型与乙型电视机各1台\ue03d则不同取法共有().要 A.140种B.84种C.70种D.35种解\ue042取出的3台电视机中\ue03d甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.∵C·+C·C=5×6+10×4=70.245421∴应选C.例例例例11111111某小组共有10名学生\ue03d其中女生3名\ue03d现选举2名代表\ue03d至少有1名女生当选的不同选法有()A.27种B.48种C.21种D.24种解\ue042分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类\ue042∵C·C7+C=3×7+3=24\ue03d13312∴应选D.例例例例12121212由数学0\ue03d1\ue03d2\ue03d3\ue03d4\ue03d5组成没有重复数字的六位数\ue03d其中个位数字小于十位数字的共有().A.210个B.300个C.464个D.600个解\ue042先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P·P5=600个.155由对称性\ue03d个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.∴有×600=300个符合题设的六位数.应选B.例例例例13131313以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有().A.70个B.64个C.58个D.52个 解\ue042如图\ue03d正方体有8个顶点\ue03d任取4个的组合数为C=70个.48其中共面四点分3类\ue042构成侧面的有6组\ue043构成垂直底面的对角面的有2组\ue043形如(ADBC)的有4组.11∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)应选C.例例例例14141414如果把两条异面直线看成“一对”\ue03d那么六棱锥的棱所在的12条直线中\ue03d异面直线共有().A.12对B.24对C.36对D.48对解\ue042设正六棱锥为O—ABCDEF.任取一侧棱OA(C)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.16∴共有C6×4=24对异面直线.1应选B.例例例例15151515正六边形的中心和顶点共7个点\ue03d以其中三个点为顶点的三角形共个(以数字作答).解\ue0427点中任取3个则有C=35组.37其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).∴三角形个数为35-3=32个.例例例例16161616设含有10个元素的集合的全部子集数为S\ue03d其中由3个元素组成的子集数为T\ue03d则的值为。解10个元素的集合的全部子集数有\ue042S\ue044C+C+C+C+C+C+C+C+C+C+C0=210=1024010101010101010101010101234567891其中\ue03d含3个元素的子集数有T=C=120310 故=例例例例17171717例例例例17171717