和物理学中的向量一样,线性代数中的向量也是有大小和方向的,但必须注意的是:线性代数中的向量不能像物理学中的向量那样随意挪动。线性代数中的向量全部是以原点为起点的向量。
以二维平面直角坐标系为例,线性代数中,向量的坐标由一对数字构成。这一对数字指示了如何从向量的起点(即坐标原点)出发到达向量的终点。第1个数字 -2 告诉我们从原点出发沿 x 轴负方向移动 2 个单位的距离,第2个数字 3 告诉我们从原点出发沿 y 轴正方向移动 3 个单位的距离,然后我们就能到达向量的终点了。
关于“向量”的概念就先说到这里。虽然本章节使用的向量基本都是二维直角坐标系中可以用箭头来表示的几何向量,但记住向量可以是任何东西,可以是多项式,是数组,是函数等等,只要能满足特定的性质即可。
如果将向量看看成是某种形式的运动,那么两个向量相加就是相继执行向量对应的运动。以下图两个向量为例,先沿 x 轴正方向移动 1 + 3 个单位,再沿 y 轴正方向移动 2 + (-1) 个单位,最终的结果就是两个向量相加的结果。这也对应了向量加法的数学形式,即把向量中对应的元素相加。
向量的数乘运算就是对向量进行缩放,更精确的说是将向量中的各个元素分别进行缩放。例如,乘以2相当于将这个向量拉长为原来的两倍,乘以1/3相当于将这个向量缩短为原来的1/3,乘以-1相当于将这个向量调转方向。这个拉伸、压缩以及反向的过程就称为“缩放”。这里的2、1/3、-1或任何用于缩放的数值,称为“标量” scalar。标量,就是一个单独的数字,一般用小写英文字母来表示。