整系数多项式有理根的求法一、整系数多项式有理根的检验 多项式的求根问题历来是多项式 理论的重要内容之一, 为了 尽可能减少有理根的判别范围, 除考虑多 项式首项系数及常数项 外,再利用次高项和一次项系数作辅助, 得到 整系数多项式有理 根判别的一个必要条件, 从而使整系数多项式有理 根检验的范围 得到缩小。为讨论方便,给出下面定理。 【定理 1.1 】设是一个整系数多项式。 若有理数是的一个根, 整除的最高次项系数,而整除的常数 ,这里是一个整系数多项式。在定理中令或,不难得到下面的推论。 推论1.1] 若是整系数多项式的有理根,则必全为整数。 推论1.2] 若是整系数多项式的有理根 推论1.3] 若整系数多项式各项系数之和为素数,则有理数 必须 满足或。 推论1.4] 若整系数多项式的常数项为奇数,而为偶数,则 不是 【定理1.2 】设是一个整系数多项式,若有理数 (其中是的 一个 推论1.5] 设,,若,则一定不是的有理根。 推论1.6] 设,若,则一定不是的有理根。 二、整系数多项式有理根的求法【定理 2.1 】设既约分数,多项式除整系数多项式,所得的 商式为,余式为常数,多项式除多项式所得的商式为,则 一个根的充要条件为的各系数都能被整除,并且;(ii)为的 一个根的充要条件是为的一个根;(iii)当为的一个根时,。 由以上定理及相关推论 第一步,判定是否存在有理根;第二步,若有 求出和的所有因数;第三步,用的因数做分母, 因数做分子,列出所有可能的既 约分数; 第四步, 先判断出是否为的, 再对第二步求出的既约分数进 检验,如果与都是整数,那么的根可能是含有这个;如果两数不全为 整数,那么的根一定没有这个; 第五步, 检验第三步选出来的既约分数可能会是的根, 用综合除法),如果除得余数为零,那么是的根,反之,不是的根。 我们用以下例子简要说明上述方法的应用。【例】求整系数多项式的全部有理根。 解:,的因数是;的因数 是。于是可能的有理根是 第一步:经计算,,所以不是的有理根。第二步:因为,所以不 是的有理根。 第三步:因为不是整数,所以 不是的有理根。第四步:因为时,, 所以不是的有理根。 这样, 经过上述四步 ,可能的有理根只可能是 下面用综合除法来检验:这说明是的根。 同理可知:是的根。 经综合除法检验得知的有理根为和。