题目
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=
,点E是棱PB的中点。
(1)求直线AD与平面PBC的距离;(2)若求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
初中数学
解答
解:(1)如图,在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,由PA=AB知PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB又在矩形AB-CD中,BC⊥AB,而AB是PB在底面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,在RtPAB中,
所以
;(2)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为所求的二面角的平面角由(1)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而
在RtCBE中,
由
所以CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD·
因为AE⊥平面PBC,设AE⊥CE,又FG⊥CE,知
从而
,且G点为AC的中点连结DG,则在RtADG中,
所以
。