基础解系的任意线性组合构成了该齐次线性方程组的一般解,也称通解。要证明一组向量为齐次线性方程组的基础解系时,必须满足以下三条:(1)这组向量是该方程组的解;(2)这组向量必须是线性无关组,即基础解系各向量线性无关;(3)方程组的任意解均可由基础解系线性表出,即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。另外,这组向量所含向量的个数,其中是未知量的个数,即系数矩阵的列数求法一:先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解,即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式,然后将此一般解改写成向量线性组合的形式,则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量。由此易知,齐次线性方程组中含几个自由未知量,其基础解系就含几个解向量。求法二:先确定自由未知量,不妨设AX=b的系数矩阵A的秩为r,并假设A经过初等行变换化为如下形式:则AX=0分别可化为如下的同解方程组:令自由未知量xr+1,xr+2,……,xn分别取n-r组数[1,0,...,0],[0,1,...,0],...,[0,0,0,...,1],将其带入方程组,分别带入x1,x2,……,xr分别取n-r组数,这样就得到基础解系所含的n一r个线性无关的解,即【例题1】:已知齐次线性方程组的一组基础解系为,则下列结论是否正确?a.也为的一组基础解系。b.向量组能被向量组线性表出,则也是的基础解系。c.向量组与向量组可以互相线性表出,则也是的基础解系。d.向量组与向量组是等价的向量组,则也是的基础解系。【解析】:a.正确。 首先因是线性方程组的3个解向量,它们的线性组合也是的解。再证它们是线性无关的。证明方法有很多种,最简单的方法是:设,矩阵的列秩等于3,而通过列初等变换可把化为,(初等变换不改变矩阵的秩),所以的列秩也为3. 列向量组为的3个线性无关的解向量,满足前面提出的3条(见证明),所以它们构成的一组基础解系。b.不正确。因为能被线性表出,根据定理,,这不能保证(例如,则线性相关),即有可能成为的一组线性相关解,故不能构成的一组基础解系。c.正确。两组向量可以互相线性表出,故,且有满足,即它们为的3个线性无关解,故构成的一组基础解系。d.不正确。因为的个数为4,故不能构成的基础解系,实际上,因为两组向量等价,故等秩,向量组是线性相关的。