看了前面的介绍,估计大家对假设检验的概念已经有了大致的理解,本篇重点介绍一下假设检验的两个重要的理论基础。
如马逢时老师书中介绍的,假设检验的分析方法包含两条基本的原理:带概率性质的反证法原理和小概率事件原理。
带概率性质的反证法原理
反证法(Proof by Contradiction),又称为归谬法、背理法。在证明数学问题时,先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而证明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立。
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立,即反设;
2.由这个假设出发,经过正确的推理导出矛盾,即归谬;
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题结论正确,即结论。
这三个步骤中,归谬是最重要的,常见的归谬包括这三类:与已知条件矛盾;与已知的公理、定理、定义矛盾;自相矛盾。
在数学中,
是无理数就是用反证法证明的。证明过程如下:
第一步,反设:如果
是有理数,则必有
其中p,q是互质的正整数。
第二步,归谬:两边平方,则有
则p为偶数,设p=2r,则有
则q也是偶数,这与p、q互质矛盾。
第三步,结论:因此假设不成立,
是无理数。
反证法是数学中常用的方法,德国数学家希尔伯特就说:“禁止数学家使用反证法,就像禁止拳击手使用拳头。”
假设检验所使用的反证法与此最大的不同点是带有概率,即用概率来判断命题是否成立。