【思路】由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折 叠后得到一个正四面体,如图5 所示.作AF平面DEC,垂足为F,F 即为DEC 的中心.再利用三角形相似求出外接球半径,继而求出球的 表面积.但是,如果考虑到正四面体的对称性,把它放在正方体中,就 可以使问题变得更简洁. 【解析】由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=,如 所示.显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球.因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为22.所以外接球直径2R=62,所以 R=64,所以外接球的表面积S 已知三棱锥P-ABC,PA=BC=5,PB=AC=34,PC=AB=41,求三棱锥的体积. 【思路】如按常规求法,需求三棱锥的底面积和高,而高很难求出. 由已知三组相对棱相等这一特点,联想长方体对面不平行的对角线恰 好组成对棱相等的三棱锥,因此可把三棱锥P-ABC 补成长方体,再将 长方体分割成三棱锥P-ABC 和四个相同体积的三棱锥. 【解析】分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线,将原三 棱锥补成一个长方体,如图8 所示,则VP-ABC=V 长方体-4VP-ABP′ 设长方体长宽高分别为a,b,c,则有: a2+b2=25,a2+c2=34,b2+c2=41a=3,b=4,c=5 VP-ABC=345-416345=20, 所以三棱锥P-ABC 的体积为20(立方单位) 【小结】对对边相等的三棱锥问题,可以考虑补成长方体来处理, 会使问题会简洁许多. 【变式训练2】过正方形ABCD 的顶点A 作PA面AC,设PA=AB, 求平面PAB 和面PCD 所成二面角的大小. 【解析】此图可补形为正方体ABCD-PQ,显然所求二面角即为正方 体的对角面PQCD 与侧面PQBA 角的大小为45.方法三还原补形 例3(2016 高考浙江理数)如图10 所示,在三棱台ABC-DEF 平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.