关于圆周率 π 的几种计算方法 【摘要】本文主要讲述了如何运用微积分,级数和概率统计等高等数学的知 识,并借助计算机 Mathematica 软件来求 π 的近似值。 【关键词】圆周率 π;微积分 众所周知,圆周率 π 是平面上圆的周长和直径之比,它等于 3.141592653…. 古人计算圆周率,一般是用割圆法.即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周 长.阿基米德(Archimedes)用正 96 边形得到圆周率小数点后 3 位的精度;我国 宋代的祖冲之得到 π 的近似值为 3.141592….后来进入到了大学,学习了高等数 学,工程数学和概率论等课程,我们可以运用所学的知识来计算 π 的近似值,并 通过 Mathematica 程序提高计算的精度. 1.运用微积分求 π 由定积分的计算我们可知那么我们只要计算出这个积分的值就得到了 π 的 值. 在微积分里,我们知道一般的要计算定积分,也就是计算曲线 y=f(x)与直线 y=0,x=a,x=b 所围成曲边梯形 T 的面积.为此,用一组平行于 y 轴的直线 x=(a), 将 曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,总面积 S 分成这些小曲边梯形的面积之和.如果 取 n 很大,使每个小曲边梯形的宽度都很小,可以将它上方的边界 f(x)()近似看 作直线段,将每个小曲边梯形近似看作梯形来求面积,就得到梯形公式.具体公 式如下: 梯形公式:设分点将积分区间 [a,b] n 等分,记所有曲边梯形的宽度都为 h, 记=f().则第 i 个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积.将所有的这些梯形面积 加起来就得到,这就是梯形公式. 如果更准确些,将第 i 个小曲边梯形的上边界=f()()近似的看作经过三 点(x,f (x))( x =)抛物线段,就得到辛普森(Simpson)公式: 所以我们选取不同的 n,用梯形公式和辛普森公式计算 的近似值. 选取 n=1 000,10 000,100 000,…等,观察 n 值增加所导致的 S 值的变化 情况,直到 n 的增加所导致的 S 的变化小于给定的误差界.给定的 n 越大那么 π 的值就越精确.此外还可以比较同一个 n 值下梯形公式和辛普森公式计算结果的 差别,从而确定两个方程的精度差别. 2.运用级数求 π 但是,这个式子不适合用来计算 π,因为上这个无穷序列式收敛很慢,我们 知道比 1 越小,该级数收敛的越快.所以我们令=arctan,由正切的倍脚公式可得 tan 2= ,tan 4=. 设,故 tan=,可得 所以,此外在高等数 arcsinx 也可以用来表示 π.由于 积分得并令 x=,得泰勒级数是无穷级数,实际计算的时候只能取它的有限 项,会产生误差.我们可以简单的用下列公式来估算误差 B,B<,利用(1)式我们 可以通过取展开式的前 n 项来计算 π 的近似值,n 越大,所得的结果越接近 π. 3.用概率模型的方法求 π 法国科学家布丰曾经做过一个实验,取白纸一张,在上面画许多间距为 l 的等 距平行线;取一根长度为 s(s