[问答题]
有6种不同颜色的球,分别记为1,2,3,4,5,6,每种球有无数个。现在取5个球,求在以下的条件下:
1、5种不同颜色,
2、4种不同颜色的球,
3、3种不同颜色的球,
4、2种不同颜色的球,
它们的概率。
这一题在于不能用概率去乘以去算,因为只是颜色的组合,一堆球在手上,有几种颜色哪里会需要考虑取球的顺序呢,所以上面很多答案都是有待商榷的。强调,我们只需要去考虑颜色组合的种类种数,不需要考虑取球的顺序。
我的看法:找出所有可能的事件。
5种颜色:C(5/6)=6;
4种颜色:首先6种里面选4种,C(4/6)=15种,接下来有一重复的颜色,在已取到的四个中选择,C(1/4)=45,15*4=60种;
3种颜色:同理C(3/6)=20,若有一种颜色重复两次,C(1/3)=3,若各有一种颜色重复一次,C(2/3)=3,这里可以假设一下,已取得了A,B,C,接下来的情况重复一种只有(AA或BB或CC),重复两种就是(AB,AC,BC)。所以是20*3+20*3=120种;
2种颜色:同理C(2/6)=15,若一种颜色重复三次,二选一2种,若一种重复一次一种两次,也是两种。也可以假设我们已取到了A,B,重复三次(AAA或BBB),另一种(AAB,ABB)。所以15*2+15*2=60种;
1种颜色:C(1/6)=6;
总的六个球取五个颜色的可能性有252种。所以需求概率分别为6/252,60/252/,120/252,60/252。
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既然每种颜色的球都是无数的话,就相当于有6个不同颜色的球,拿了之后再放回去。
针对所有可能是6的5次幂为7776;
1.5种颜色:先选5个颜色,那就是C(6,5),那么考虑到任意选择顺序,p(5,5) = 5!,结果是C(6,5) * P(5,5) = 720,所以概率是720/7776=5/54。
2.4种颜色:先选4个颜色,那就是C(6,4),那么肯定会有重复颜色,挑出重复颜色(从四种不同的颜色中挑出一种)是C(4,1).考虑到任意拿球顺序是P(5,5),去掉重复的是2!.结果是C(6,4)*C(4,1)*5!/2!=3600,所以概率是3600/7776=25/54。
3.3种颜色:先选3个颜色,那就是C(6,3),那么重复颜色是两种可能,比如abccc和abbcc,前者是C(3,1)*5!/3!,后者是C(3,2)*5!/2!/2!,结果是C(6,3)*(C(3,1)*5!/3!+C(3,2)*5!/2!/2!)=3000,所以概率是3000/7776=125/324。
4.同理,一种是abbbb,一种是aabbb.前者是C(2,1) * 5!,后者是C(2,1)*5!/2!/3!.结果是C(6,2)*(C(2,1)*5!/4!+C(2,1)*5!/2!/3!)=450,所以概率是450/7776=25/432
5.就一种颜色,那就是6种,概率是6/7776=1/1296。
这个。。。是高中数学很经典的排列组合题吧~~排列用C,组合用A。既然题目说是无数个,就相当于有放回的取6个不同颜色的球。因此,所有情况是6^5=7776,充当分母
A5种:C65A55=720
A4种:C64C41A55/2=3600
A3种:C63[C31A55/(3!)+C32A55/(2!*2!)]=3000
A2种:C62[C21A55/(4!)+C21A55/(3!*2!)]=450
A1种:C61[A55/5!]=6
算完在草稿纸上验算一下有没有算漏掉:A5+A4+A3+A2+A1=7779=6^5,说明准确无误,
再算概率:
P5=A5/7776
P4=A4/7776
感觉众说纷云,个人理解是,既然每个球的个数是无限多的,只能吧这个其空间分为6个集合,每个集合被访问的概率是1/6,这是一个逼近的值;
1、5个不同颜色球的概率:由于是共取5次,说明每次都要不同;第一次在整个集合中选取1个,则概率是1,当确定了其颜色a之后,在选取一个不同a的,则其概率是5/6,依次可得(1)*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6);
2、4个不同颜色球的概率:由于是共取5次,前四次是一样的,即为(1)*(5/6)*(4/6)*(3/6),此时已知这四个不同颜色具体是什么了,也就是说已知这四个球所在的是哪几个集合,则最后一次其概率是(4/6),总的就是(1)*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(4/6);
3、按照2的思考,则为(1)*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(3/6);
4、按照2的思考,则为(1)*(5/6)*(2/6)*(2/6)*(2/6);
1:5/54 = 1 * 5/6 * 4/6 * 3/6 * 2/6
2:5/18 = 1 * 5/6 * 4/6 * 3/6
每种球的个数无限,因此拿出一个球对各种颜色的比例没有影响
抽第一个有6种选择,第二个有5种选择,以此类推,第五个有两种选择,得到第一题
1.(6*5*4*3*2)/(6^5)=5/54
2.(6*5*4*3)/(6^4)
3.(6*5*4)/(6^3)
4.(6*5)/(6^2)
球有无数个,因此答案肯定是和球的具体个数无关的,那么问题简化为有六个不同颜色的球,有放回的取五次,问。。。。
这样就简单了
由于求无数:故去掉各颜色求的概率为1/6
1,概率为:1*5/6*4/6*3/6*2/6 = 5/54
2,有两球颜色要重合:概率为1/6:1/6*1/6*5/6*4/6*3/6
3,有3球颜色要重合:1/6*1/6*1/6*5/6*4/6
4,有4球颜色要重合:1/6*1/6*1/6*1/6*5/6
C65 C64 C63 C62