选修 4-4-2 参数方程 考纲点击 1.了解参数方程, 了解参数的意义. 2. 能选择适当的参数写出直线、 圆和圆锥曲线的参数方程 3.了解圆的平摆线、 渐开线的形成过程, 并能推导出它们的参数方程. 考点梳理 1.参数方程的概念 一 般 地 ,在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,如 果 曲 线 上 ①\uf8f2\uf8f4\uf8f1y=g(t).____________的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数:\uf8f3\uf8f4 x=f(t),并且对于 t 的每一个允许值, 由方程组所确定的点 M(x, y)都在②__________, 那么方程叫做这条曲线的参数方程, t 叫做参变数, 简称③______.相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做④__________. 2. 直线的参数方程 过定点 P0(x0, y0)且倾斜角为 α 的直线的参数方程为⑤__________________(t 为参数), 则参数 t 的几何意义是⑥______________. 3. 圆的参数方程 圆心为(a, b), 半径为 r, 以圆心为顶点且与 x 轴同向的射线, 按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角 α 为参数的圆的参数方程为⑦__________________α∈[0,2π). 4. 椭圆的参数方程 以椭圆的离心角 θ 为参数, 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为⑧____________________θ∈[0,2π). 答案: ①任意一点 ②这条曲线上 ③参数 ④普通方程 x=x0+tcosα,y=y0+tsinα ⑤\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 ⑥ 有 向 线 段P0P 的 数 量 ⑦\uf8f3\uf8f4 \uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=a+rcosα,y=b+rsinα ⑧\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=acosθ,y=bsinθ 考点自测 1.已知直线 l 的参数方程为\uf8f3 \uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f1 x=-1-22t,y=2+22t(t 为参数),则直线 l 的斜率为( ) A. 1 B. -1 C.22 D. -22 解析: 直线 l 的参数方程可化为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= - 1+ tcos3π4,y= 2+ tsin3π4,故直线的斜率为 tan3π4= - 1. 答案: B 2. 过点 M(2,1)作曲线 C:\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=4cosθ,y=4sinθ(θ 为参数)的弦,使 M 为弦的中点, 则此弦所在直线的方程为( ) A. y-1=-12(x-2) B. y-1=-2(x-2) C. y-2=-12(x-1) D. y-2=-2(x-1) 解析: 由于曲线表示的是圆心在原点, 半径为 r= 4 的圆,所以过点 M 的弦与线段 OM 垂直, ∵ kOM=12, ∴ 弦所在直线的斜率是- 2. 故所求直线方程为 y- 1= - 2(x- 2). 答案: B 3. 圆(x-r)2+y2=r2(r>0), 点 M 在圆上, O 为原点, 以∠MOx=φ 为参数, 那么圆的参数方程为( ) \uf8f2\uf8f4\uf8f1 C.\uf8f3\uf8f4 A.\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1x=rcosφ,y=rsinφ B.\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=r(1+cosφ),y=rsinφ\uf8f2\uf8f4\uf8f1y=rsin2φ x=rcosφ,y=r(1+sinφ) D.\uf8f3\uf8f4 x=r(1+cos2φ), 解析: 如图, 设圆心为 O′ , 连接 O′ M. ∵ O′ 为圆心, ∴ ∠MO′ x= 2φ. \uf8f2\uf8f4\uf8f1y= rsin2φ.答案: D ∴\uf8f3\uf8f4 x= r+ rcos2φ, 4. 直线\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=1+45t,y=1-35t(t 为参数)被曲线 ρ= 2cos\uf8ed\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f6θ+π4所截的弦长为__________. 解析: 将方程\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= 1+45t,y= - 1-35t, ρ=3x+ 4y+ 1= 0, x2+ y2- x+ y= 0. \uf8eb\uf8f712, -12, 半径为2cos\uf8ed\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f6θ+π4分别化为普通方程: 圆心 C\uf8ed\uf8ec\uf8f8\uf8f622, 圆心到直线的距离 d=11100=75. 10, 弦长= 2 r2- d2= 212-答案:75 5. 设直线 l1的参数方程为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=1+t,y=1+3t(t 为参数), 直线 l2的方程为 y=3x+4, 则 l1与 l2间的距离为__________. 解析: 将直线 l1的参数方程化成普通方程为 y= 3x- 2,又 l2: y= 3x+ 4, 故 l1∥ l2上取一点(0, - 2), 其到 l2: 3x- y+ 4= 0 的距离就是 l1与 l2的距离, 即 d=|0+ 2+ 4|10=3 105. 答案:3 105 疑点清源 1.过定点 P0(x0, y0), 倾斜角 为 α 的直线参数方程的标准式x= x0+ tcosα,y= y0+ tsinα到点 P0(x0, y0)的数量, 即 t= |PP0|时为距离. 使用 该式时直线上任意两点 P1、 P2对应的参数分别为 t1、 t2, 则|P1P2|= |t1- t2|,P1P2的中点对应的参数为12(t1+ t2). 为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 (t 为参数), t 的几何意义是直线上的点 P 2. 对于形如\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= x0+ at,y= y0+ bt(t 为参数), 当 a2+ b2≠1 时,应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题. 3. 解答参数方程的有关问题时, 首先要弄清参数是谁,代表的几何意义是什么; 其次要认真观察方程的表现形式, 以便于寻找最佳化简途径. 题型探究 题型一 参数方程与普通方程的互化 例 1.已知某曲线 C的参数方程为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=1+2t,y=at2(其中 t是参数, a∈R), 点 M(5,4)在该曲线上. (1)常数 a=__________. (2)曲线 C 的普通方程为____________. 答案: (1)1 (2)(x- 1)2- 4y= 0 点评: 化参数方程为普通方程, 关键是消去参数建立关于x, y 的二元方程 F(x, y)= 0, 常用方法有代入消元法, 加减消元法, 恒等式法, 方法的选取是由方程结构决定的, 需要注意变量 x、 y 的取值范围. 常用的消参数公式有: ①t·1t= 1; ②sin2θ\uf8f7\uf8f61+ t2+ cos2θ= 1; ③\uf8ed \uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f6t+1t2-\uf8ed\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f6t-1t2= 4; ④\uf8ed\uf8ec\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f7\uf8f62t1+ t22+\uf8ed\uf8ec\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f71- t22= 1. 变式探究 1 下列参数方程与方程 y2=x 表示同一曲线的是( ) \uf8f2\uf8f4\uf8f1 \uf8f2\uf8f4\uf8f1 A.\uf8f3\uf8f4x=t,y=t2(t 为参数) B.\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=sin2t,y=sint(t 为参数) C.\uf8f3\uf8f4x=t,y= |t|(t 为参数) D.\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=1-cos2t1+cost,y=tant(t 为参数) 答案: D 题型二 直线和圆的参数方程 例 2.已知直线 C1:\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=1+tcosα,y=tsinα(t 为参数), C2:\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=cosθ,y=sinθ(1)当 α=π(θ 为参数). 3时, 求 C1与 C2的交点坐标; (2)过坐标原点 O 作 C1的垂线, 垂足为 A, P 为 OA 的中点, 当 α 变化时, 求 P 点的轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线. 解析: (1)当 α=π的普通方程为 x2+ y2= 1. 3时, C1的普通方程为 y=3(x- 1), C2联立方程组\uf8f3\uf8f4\uf8f7\uf8f6\uf8f2\uf8f4\uf8f1 y=x2+ y2= 1,3(x- 1),解得 C1与 C2的交点坐标为(1,0),\uf8ed\uf8ec\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f712, -32. (2)C1的普通方程为 xsinα- ycosα- sinα= 0, 过坐标原点 O 作C1的垂线方程为 xcosα+ ysinα= 0. \uf8f2\uf8f4\uf8f1xcosα+ ysinα= 0,得 A 点坐标为(sin2α, - sinαcosα). 故当 α 变化时, P 点轨迹的参数方程为: 解方程组\uf8f3\uf8f4 xsinα- ycosα- sinα= 0, \uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=12sin2α,y= -12sinαcosα(α 为参数), 即\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 4x- 1= - cos2α,4y= - sin2α消去参数 α, 得 P 点轨迹的普通方程为 \uf8ec\uf8eb\uf8f84(α 为参数). \uf8ed\uf8f7\uf8f6x-12+ y2=116. 故 P 点的轨迹是圆心为\uf8ed\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f614, 0 , 半径为14的圆. 点评: 本题考查了 直线和圆的位置关系以及两条直线的位置关系, 一般地, 与直线 Ax+ By+ C= 0(A2+ B2≠0)平行和垂直的直线方程分别为 Ax+ By+ C′ = 0(C′ ≠C)和 Bx- Ay+C″ = 0. 变式探究 2 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 C:x=5cosθ-1,y=5sinθ+2则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于__________. \uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 (θ 为参数)和直线 l:\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=4t+6,y=-3t-2(t 为参数),答案: 4 6 题型三 圆锥曲线的参数方程 例 3.在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为x=cosφ,y=sinφ(a>b>0, φ 为参数). 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 l: θ=α 与 C1、 C2各有一个交点. 当 α=0 时, 这两个交点间的距离为 2, 当 α=π\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 (φ 为参数), 曲线 C2的参数方程为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x=acosφ,y=bsinφ 2时, 这两个交点重合. (1)分别说明 C1、 C2是什么曲线, 并求出 a 与 b 的值; (2)设当 α=π4时, l 与 C1、 C2的交点分别为 A1、 B1.当 α=-π4时, l 与 C1, C2的交点分别为 A2, B2, 求四边形 A1A2B2B1的面积. 解析: (1)C1是圆, C2是椭圆. 当 α= 0 时, 射线 l 与 C1, C2交点的直角 坐标分别为(1,0)(a,0), 因为这两点间的距离为 2, 所以 a= 3. 当 α=π2时, 射线 l 与 C1, C2交点的直角 坐标分别为(0,1),(0, b), 因为这两点重合, 所以 b= 1. (2)C1, C2的普通方程分别为 x2+ y2= 1 和x29+ y2= 1. 当 α=π4时, 射线 l 与 C1交点 A1的横坐标为 x=交点 B1的横坐标为 x′ =3 1022, 与 C210. 当 α= -π4时, 射线 l 与 C1, C2的两个交点 A2, B2分别与A1, B1关于 x 轴对称, 因此四边形 A1A2B2B1为梯形. 故四边形 A1A2B2B1的面积为(2x′ + 2x)(x′ - x)2=25. 点评: 对于参数方程或极坐标方程应用 不够熟练的情况下, 我们可先化直角坐标的普通方程, 这样思路可能更加清晰. 变式探究 3 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα.\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 (α 为参数)M 是 C1上的动点, P 点满足OP→=2OM→, P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2的方程; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 θ=π3与 C1的异于极点的交点为 A, 与 C2的异于极点的交点为 B, 求|AB|. 解析: (1)设 P(x, y), 则由条件知 M\uf8ed\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f6x2,y2. 由于 M点在 C1上, 所以\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x2= 2cosα,y2= 2+ 2sinα.即\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= 4cosα,y= 4+ 4sinα. 从而 C2的参数方程为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1x= 4cosα,y= 4+ 4sinα(α 为参数). (2)曲线 C1的极坐标方程为 ρ= 4sinθ, 曲线 C2的极坐标方程为 ρ= 8sinθ. 射线 θ=π3与 C1的交点 A 的极径为 ρ1= 4sinπC2的交点 B 的极径为 ρ2= 8sinπ3, 射线 θ=π3与3. 所以|AB|= |ρ2- ρ1|= 2 3. 归纳总结 •方法与技巧 1. 直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义, 有如下常用结论: ①直线与圆锥曲线相交, 交点对应的参数分别为 t1, t2, 则弦长l= |t1- t2|; ②定点 M0是弦 M1M2的中点⇒t1+ t2= 0; ③设弦 M1M2中点为 M, 则点 M 对应的参数值 tM=t1+ t22(由此可求|M2M|及中点坐标). (2)圆锥曲线的参数方程主要应用 于设圆锥曲线上的点, 从而讨论最值或距离等问题. 2. 参数方程化为普通方程: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数, 常用 的消参方法有代入消去法、 加减消去法、 恒等式(三角 的或代数的)消去法, 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程, 不要忘了 参数的范围. 3. 普通方程化为参数方程: 化普通方程为参数方程的基本思路是引 入参数, 即选定合适的参数 t, 先确定一个关系 x= f(t)(或 y= φ(t)), 再代入普通方程 F(x, y)= 0, 求得另 一关系y= φ(t)(或 x= f(t)). 一般地, 常选择的参数有角 、 有向线段的数量、 斜率, 某一点的横坐标(或纵坐标). 普通方程化为参数方程需要引 入参数, 选择的参数不同, 所得的参数方程也不一样. •失误与防范 在曲线方程之间的互化时, 要做到互化准确, 不重不漏,保持转化前后的等价性. 新题速递 1.(2013·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1与 C2\uf8f2\uf8f4\uf8f1 的 参 数 方 程 分 别 为\uf8f3\uf8f4x= 5cosθy= 5sinθ(θ 为 参 数 ,0≤θ≤π2) 和\uf8f3 \uf8f4__________. \uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f1x=1-22ty=-22t(t 为参数), 则曲线 C1 与 C2的交点坐标为 解析: 曲线 C1与 C2的直角 坐标方程分别为: x2+ y2=5(0≤x≤ 5, 0≤y≤ 5)和 y= x- 1. \uf8f2\uf8f4\uf8f1 代入 y= x- 1, 得 y= 1. ∴ 交点坐标为(2,1). 答案: (2,1) 由\uf8f3\uf8f4x2+ y2= 5,y= x- 1消去 y 得: x2- x- 2= 0, 解得 x= 2. 2. (2012·辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中, 圆 C1: x2+y2=4,圆 C2: (x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1, C2的极坐标方程, 并求出圆 C1, C2的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程. 解析: (1)圆 C1的极坐标方程为 ρ= 2, 圆 C2的极坐标方程为 ρ= 4cosθ. \uf8f2\uf8f4\uf8f1 故圆 C1与圆 C2交点的坐标为\uf8ed解\uf8f3\uf8f4ρ= 2,ρ= 4cosθ得 ρ= 2, θ= ±π3, \uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f62,π3,\uf8ed\uf8ec\uf8eb\uf8f8\uf8f7\uf8f62, -π3. (2)解法一: 由\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= ρcosθ,y= ρsinθ, 得圆 C1与 C2交点的直角 坐标分别为(1,3), (1, -x= 1,y= t,3). 故圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 -\uf8eb3≤t≤ 3. \uf8ed\uf8ec\uf8f8\uf8f7\uf8f6或参数方程写成\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= 1,y= y,-3≤y≤ 3 解法二: 将 x= 1 代入\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= ρcosθ,y= ρsinθ,得 ρcosθ= 1, 从而 ρ=1cosθ. 于是圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f1 x= 1,y= tanθ,-π3≤θ≤π3. 3. (2013·新课标 全 国 卷)已 知 曲 线 C1 的 参数方程是x=2cosφy=3sinφ轴建立极坐标系, 曲线 C2的极坐标方程是 ρ=2.