主要用到x(1-x)<=1/4,当0<=x<=1, 且等号当且仅当x=1/2.
根据这个我们有:
a_{n+1}>1/ ( 4(1-a_n)) >=a_n,所以单调递增,所以极限一定存在,设为a。
再对不等式 (1-a_n)a_{n+1}>1/4两边取极限,得到(1-a)a>=1/4(思考:为何取极限后大于号变成了大于等于号?)然而显然0<=a<=1.(思考:和上面类似的问题,为什么这里我又加了等于号?)根据第一句话“当且仅当”部分,a=1/2.
延伸思考:如果我一开始就让a_1>1/2,那么会发生什么?它还会收敛到1/2么?