原理证明:
正方形与十字架:
如图:若在正方形内,AE⊥GF,则AE=GF;反之相等不一定垂直
矩形与十字架:
如图:矩形ABCD中,若BF⊥CF,则BE:CF=AB:AD
当BE与CF保持垂直,在相应边运动,比值关系仍然成立。
等腰直角三角形与十字架:
如图:三角形ABC为等腰直角三角形。
D为BC中点,BF⊥AD
则:AF:CF=2:1
∠BDA=∠CDF
∠AFB=∠CFD
∠AEC=135°
AE:EC=√2
典型例题:
(1)(2020•拱墅区一模)如图所示,正方形ABCD中,E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于G,交CD于F,若BG=2BE,则DF:CF的长为( )
A、(√5-1)/3 B、(√5+1)/3
C、√5/3 D、2/5
【分析】
根据题意,先设BE=a,则BG=2a,然后根据线段垂直平分线的性质,可以得到AG=GE,利用勾股定理可以得到GE的长,然后根据题意可以证明ABE≌GMF,从而可以得到BE=ME,然后即可用含a的代数式表示出DF和CF的长,从而可以得到DF:CF的长.
【解答】
解:作GM⊥CD交CD于点M,连接GE,
设BE=a,则BG=2a,则GE=√5a,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∵GM⊥CD,
∴∠CMG=90°,
∴四边形BCMG是矩形,
∴BG=CM=2a,GM=BC,
∵FG垂直AE,并且平分AE,
∴AG=GE=√5a,
∴AB=2a+√5a,
∵∠FGM+∠AGF=90°,∠AGF+∠GAE=90°,
∴∠FAM=∠EAB,
在ABE和GMF中:
(∠BAE=∠MGF,AB=GM,∠ABE=∠GMF)
∴ABE≌GMF(ASA),
∴BE=MF,
∴MF=a,
∵DF=CD\ufe63CM\ufe63MF,AB=CD=2a+√5a,
CF=CM+MF=2a+a=3a,
∴DF=2a+√5a\ufe632a\ufe63a=√5a-a,
∴DF:CF=
(√5a\ufe63a):(3a)=(√5-1)/3 ,
故选:A.
(2)(2017秋•鼓楼区期末)如