发现多面体的面数(F)顶点数(V)和棱数(E)之间的关系,就先从观察入手,拿几个多面体来,数 一数它们的面数、顶点数和棱数,列成一个表,例如 但是,由于数据太少,靠少量数据得出的公式难以令人信服。可能欧拉还会通过多面体的“生成法”进一步去考虑这个问题。例如,在四面体或六面体之外,加一个顶点,使它和靠近 那一面的各个顶点联起来,作成一个新的多面体。然后,再考虑F、V、E的变化情况,结果发 的增加数相同,所以公式中F+V-E的数值保持不变。 一般说来,设想多面体外增加一点A和靠近它的那一面(例如有n个顶点的面)的各顶点 联起来,这就增加了n 个边,也就是E 增加了数目n;另一方面,又增加了(n-1)个面,外加顶点 A、(F+V)的数值也增加了(n-1)+1=n,因此, 总保持不变。可以相信,欧拉正是通过观察——归纳——猜想才得出多面体欧拉公式的。 类比法是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似之点后,推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方法。多面体可以和多边形类比,正如一个多边形 是平面的一部分一样,一个多面体是空间的一部分。一个多边形有确定的顶点数V 和确定的