(1)求点A,C的坐标;
(2)反比例函数y=
的图象经过点B,求k的值;
(3)在y轴上是否存在点P,使以P,B,D为顶点的三角形与以P,O,A为顶点的三角形相似?若存在,请写出满足条件的点P的个数,并直接写出其中两个点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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解:(1)解一元二次方程x2﹣12x+36=0,解得:x1=x2=6,
∴OA=OC=6,
∴A(﹣6,0),C(6,0);
(2)如图1,过点B作BE⊥AC,垂足为E,
∵∠BAC=45°,
∴AE=BE,
设BE=x,
∵BC=4
,
∴CE=
,
∵AE+CE=OA+OC,
∴x+
=12,
整理得:x2﹣12x+32=0,
解得:x1=4(不合题意舍去),x2=8
∴BE=8,OE=8﹣6=2,
∴B(2,8),
把B(2,8)代入y=
,得k=16.
(3)存在.
如图2,若点P在OD上,若PDB∽AOP,
则
,
即
解得:OP=2或OP=6
∴P(0,2)或P(0,6);
如图3,若点P在OD上方,PDB∽AOP,
则
,
即
,
解得:OP=12,
∴P(0,12);
如图4,若点P在OD上方,BDP∽AOP,
则
,
即
,
解得:OP=4+2
或OP=4﹣2
(不合题意舍去),
∴P(0,4+2
);
如图5,若点P在y轴负半轴,PDB∽AOP,
则
,即
,解得:OP=﹣4+2
或﹣4﹣2
,则P点坐标为(0,2
﹣4)或(0,4+2
)(不合题意舍去).
∴点P的坐标为:(0,2)或(0,6)或(0,12)或(0,4+2
)或(0,2
﹣4).
解答题中等范雪霁
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