第二章 函数 §3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间,判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f(x)=x、f(x)=x2的图像,并指出f(x) =x、f(x) =x2的图 像的升降情况如何? 答案 两函数的图像如右: 函数f(x)=x的图像由左到右是 上升的;函数 f(x) = x2 的图像 在y轴左侧是下降的,在y轴右 侧是上升的. 答案 梳理 单调性是相对于区间来说的,函数图像在某区间上上升,则函数在该 区间上为增函数.反之则为减函数. 很多时候我们不知道函数图像是什么样的,而且用上升下降来刻画单 调性很粗糙.所以有以下定义: 一般地,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数 x1,x2∈A,当x1f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是 减少的, 有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递减的 . 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,就称函数y =f(x)在该子集上具有单调性;如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或是减少的,我们分别称这个函数是增函数或减函数,统称为单调函数. 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道f(x)=x2在(-∞,0]上是减少的,f(x)= (-∞,0)上是减少的,这两个区间能不能交换? 答案 1 在区间 x f(x)=x2的减区间可以写成(-∞,0),而f(x)= 1 的减区间 x 1 (-∞,0)不能写成(-∞,0],因为0不属于f(x)= 的定义域. x 答案 梳理 一般地,有下列常识: (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题, 所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端 点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D?定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 题型探究 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单 调区间,以及在每一单调区间上,它是增加的还是减少的? 解 y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x) 在区间[-5,-2],[1,3]上是减少的,在区间[-2,1],[3,5]上是增加的. 解答 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的 子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开, 不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么是增加 的,要么是减少的,不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y=|x2-2x-3|的单调区间,并指出单调性. 解 2 ? x ? -2x-3,x<-1或x>3, 先画出 f(x)=? 的图像,如图. 2 ? ?-?x -2x-3?,-1≤x≤3 所以y=|x2-2x-3|的单调区间有(-∞, - 1] , [ - 1,1] , [1,3] , [3 ,+ ∞ ) ,其中 递减区间是 ( - ∞ ,- 1] , [1,3] ;递增区 间是[-1,1],[3,+∞). 解答 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x)= x 在其定义域上是增函数. 证明 反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间 上任意取 x1 , x2 且 x10 时,f(x)>1.求证:函数f(x)在R上是增函数. 证明 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f(x1)-f(x2),但可以借助 题目提供的函数性质来确定 f(x1)-f(x2)的大小,这时就需要根据解题需 要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n) =f(m)· f(n),且当x>0时,02a-1, 解 2 解得 03, 2 ∴所求 a 的取值范围是(3,+∞). 解答 当堂训练 1.函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图像如图所示,则此函数的增区间是 A.[-2,0] B.[0,1] D.[-1,1] √ C.[-2,1] 1 2 3 4 5 答案 6 2.函数y= 的减区间是 x A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0),(0,+∞) √ D.(-∞,0)∪(0,+∞) 1 2 3 4 5 答案 3. 在下列函数 f(x) 中,满足对任意 x1 , x2∈(0 ,+ ∞) ,当 x1f(x2)的是 A.f(x)=x2 C.f(x)=|x| B.f(x)= √ 1 x D.f(x)=2x+1 1 2 3 4 5 答案 4. 已知函数 y = f(x) 满足: f( - 2)>f( - 1) , f( - 1)f(1),则x的取值范围是 A.x<1 B.x>-1 D.x<-1或x>1 √ C.-10 或 >0.对减函数的判断,对任意 x1f(x2),相应地也可用一个不等式来替代:(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 或 f?x1?-f?x2? <0. x1-x2 3.熟悉常见的一些单调性结论,包括一次函数,二次函数,反比例函 数等. 4.若f(x) , g(x)都是增函数, h(x)是减函数,则:①在定义域的交集(非 1 空 ) 上, f(x) + g(x) 递增, f(x) - h(x) 递增,②- f(x) 递减,③ 递减 f?x? (f(x)≠0). f?x1? 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x),证明单调性时,也可以作商 f?x2? 与1比较. 本课结束