1对于序列s0, s1, …,sn, 若存在一个整数t,0≤ t≤ n, 使得s0 ≤ s1 ≤ … ≤ st同时st≥st+1 ≥sn; 则称该序列是单峰的。单峰性序列中有个最大值, 它可以是一个元素, 也可以是两个元素。第五章 二项式系 数5.4 二项式系数的单峰性 2例如1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 3 5 7 9 7 5 3 1均是单峰序列。定理5.4.1 设n为正整数, 则二项式序列是单峰序列。;,.......2,1,0\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebnnnnn 3当 n是偶数时:\uf8eb当n是奇数时:\uf8eb<\uf8f7\uf8f7\uf8f810\uf8eb+n) 1(;2/,.......10\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb<<\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb<\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ednnnn\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb>\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−>>\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebnnnnnn/1.......2\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8f6\uf8eb+=\uf8f7\uf8f7\uf8f8n\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−<<\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb2/ ) 1(2/ ) 1(,.......nnnnnn\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb>\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−>>\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ednnnn1.......2/ 4证明: 考虑二项式序列中两个相邻的系数的比,令1≤k≤n。 于是:kknknkkknknkknkknkknknknknknkn1)!()!1()!)(1()!1()!( !)!1()!1()!1()!1(!)!( !!1+−=−−−+−−=−+−−=+−−−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb 5相邻系数的大小关系完全由k与n-k+1的大小决定。当 k< n - k+1 (分母小于分子)时, 相邻项比大于1 ; 此刻k 的位置应该在前一半里,即:k < (n +1) / 2。如果n是偶数, 上式等价于:k ≤ n / 2;如果n是奇数, 上式等价于:k ≤(n-1)/2; 6这两中情况下二项式系数的后项都大于前项,属递增。当 k= n - k+1 时 2k = (n +1) 。如果n是偶数,2k ≠ (n +1) ;如果n是奇数,2k = (n +1) ;对于偶数n, 二项式系数中没有相等的相邻项,对于奇数n, 二项式系数中有唯一相等的相邻项 7它们是:二项式系数按照先增后减的方式变化。关于弱取整与强取整定义: 对任意实数x , 令\uf8f0 \uf8fb x表示小于或等于x的最\uf8ee \uf8f9 x大整数。称为 x的弱取整。\uf8ee \uf8f9 x表示大于或等于x的最小整数。称为 x的强取整。\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb+\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−2/ ) 1(2/ ) 1(nnnn和\uf8f0 \uf8fb x 8例如:33122312−=\uf8fa\uf8fb\uf8fa\uf8ef\uf8f0\uf8ef−=\uf8fa\uf8fb\uf8f9\uf8fa\uf8ef\uf8f0\uf8ee\uf8ef22123212−=\uf8fa\uf8fa\uf8f9\uf8ef\uf8ef\uf8ee−=\uf8fa\uf8fa\uf8ef\uf8ef;212,212+=\uf8fa\uf8fa\uf8f9\uf8ef\uf8ef\uf8ee−=\uf8fa\uf8fb\uf8fa\uf8ef\uf8f0\uf8efnnnnn是奇数时:当222nnnn=\uf8fa\uf8fa\uf8f9\uf8ef\uf8ef\uf8ee=\uf8fa\uf8fb\uf8fa\uf8ef\uf8f0\uf8ef是偶数时:当 9推论5.4.2 对于正整数n, 二项式系数:nn,1,0的最大者为:该定理可以通过二项式系数的单峰性定理5.4.1和弱取整函数与强取整函数的性质观察得到。\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebnnn,........2\uf8f0\uf8fb\uf8ee\uf8f9\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb2/2/nnnn 10第五章 二项式系 数5.5 多项式定理5.5 多项式定理二项式定理仅仅给出了两个数之和的n次幂的(x+y)n展开公式, 我们可以将公式推广到三个(x+y+z)n甚至t个数的和的n次幂展开式:(x1+x2+…… +xt)n 11在一般公式中, 二项式系数被多项式系数代替,并且把多项式系数定义为:\uf8ebnnnn321....其中n1,n2,…,nt都是满足的非负整数∏=it==\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8edtittnnnnnnnn1321!!!!....!!!∑=i=inn1 12由P39 页3.4节多重集合的知识可知, 多项式系数表示重数分别为n1, n2 ,…..,nt的t种不同类型物体的多重集的排列个数。对于非负整数n和k, 从n元集合中选择k 个类型元素和未选中的n-k个类型元素按多项式系数理解可以为:),....,2 , 1 , 0()!( !k!nkknnknknkn=−⇒\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−⇒\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb 13上式表示重数分别为k 和n-k的两种类型物体多重集的排列个数。在这种记法中, 对于正整数n和k的二项式系数的Pascal公式为:\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−−+\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−⇔\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed1\uf8eb−−+\uf8f7\uf8f7\uf8f8n\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb −n=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebknknknkknknknkkn111111 14多项式系数的Pascal公式为:n我们可以通过几个实际例子来验证这个公式。令 t = 3, n1+ n2+ n3= n 于是有:\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−....++\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−1+\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb11........1....11....321321321321ttttnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 15\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=⋅⋅=⋅⋅−×=⋅⋅−×++=⋅n⋅−!⋅!+⋅⋅(−!⋅!+⋅⋅−!⋅!=−−+−−+−(n−)!=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−n+\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−+\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−32132132132132132133212321132( !1321( !n321321321321!!!!!!!)!n1(!!!)!n1)(!)!1(n!)!1(n!)!1)!1!)!1(!)!1)!1(n!!1()!1n(111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 16上面我们讨论了 多项式展开式系数的一些结论, 接下来我们继续讨论多项式展开式项的有关结论。例:对于三项式 (x+y+z)3我们利用直接乘积的方法将它展开:(x+32123232223123122122133323133216333333)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+++++++++=+ 17通过上面的展开式可以看出,(x+y+z)3展开后的多项式中的每个单项式都具有:xiyjzk形式, 其中i,j,k 都是非负整数并且i+j+k = 3,而该项的系 数正好是:对于更一般地多项式展开, 我们有下列定理:!!!! 3j⋅3kikji⋅=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb 18定理5.5.1 设n是一个正整数, 则对于所有的x1, x2, …,xt其中求和对n1+n2+……+nt= n的所有的非负整数解n1, n2, ……, nt进行。利用和式可以将上式改写成:tntn2n1tntxxxnnnnxxx.........).....(212121∑\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=+++ 19证明: 二项式 (x+y)n展开方式可以用n个(x+y)相乘得到, 同理(x1+x2+…… +xt)n也可以用n个(x1+x2+…… +xt)相乘得到。 对于n个因子中的每一个,选择t个数x1,x2,…… ,xt中的一个进行乘积, 用这种方法得到共有tn项, 而且每一项都可以写成:x1n1x2n2…… xtnt 的形式, 其中n1,n2,…,nt,是∏=i∑+\uf04c∑=i=++≥n\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ed\uf8ebtnitnnnnnnntiittxnnnnx1210,,,1,,,2121\uf04c\uf04c 20非负整数, 其和n1+n2+……+nt= n。 通过选择n 个因子中的n1个x1, 剩下的n - n1个因子中的 n2个为x2,…… ,剩下的n - n1-…… - nt-1个因子中的 nt个为xt, 得到x1n1x2n2…… xtnt项。 由乘法原理, 项x1n1x2n2…… xtnt出现的次数为:\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−−⋅⋅\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−⋅\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb −n⋅\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebttnnnnnnnnnnnnn.........21321211 21这个数等于多项式系数:∏=i=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebmimnnnnnn121!!,,\uf04c例 在(x1+x2+x3+x4+x5)7的展开式中, 求x12x3x43x5项的系数;解: 由于n1=2, n2=0, n3=1, n4=3, n5=1 ;而 n=7 22420! 1 ! 3 ! 1 ! 0 ! 2! 7131027==\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f7\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb例在(2x1-3x2+5x3)6的展开式中x13x2x32的系数为:360006006025) 3−( 8×! 2 ! 1 ! 3! 65) 3−(22136213−=×−==×\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb 23结合广义排列原理我们得到下列结论:定理:将n个不同的元素分放在t个盒子T1,T2,…Tt中,在T1中放n1个, 在T2中放n2个, …… 在Tt中放nt个,其中ni(i=1, 2, …, t)满足:\ue006, 在同一盒子中元素之间的次序不计,则共有种放法。证明: 该定理也可以这样描述: 假设一个n项序∑=i=tinn1!!..!!,,2121ttnnnnnnnn=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb\uf04c 24列S包含1类的n1个相同的对象,2类的n2个相同的对象,…,t类的nt个相同的对象。 那么, 总的排序数。我们给n项的每一项指定位置来构造S的序列。我们为1类的n1个项指定位置有种方法。\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8ed指定之后, 我们可以为2类的n2个项指定位置, 有\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed种方法, 等等。 根据乘法原理,\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8eb1nn\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8eb −n21nn\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebtnnnn\uf04c,,21 25排列的方法数为:!!..!!! 0 !t)!()!( !2)!()!( !1n!.....,,2112121112121121ttttmnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn=− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−−−⋅−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−−−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb −⋅\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−\uf04c 26推论:有n1个白球, n2个黑球… … nm个红球排成一排, 假定同色球之间没有区别, 则其排列数为:\uf8ec\uf8ec\uf8ed例 将一副扑克牌(52张) 分发给4个人, 每人得13张牌, 则共有多少种不同的牌局?解:\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8eb⋅ ⋅ ⋅+++mmnnnnnn\uf04c\uf04c,,212128410)365. 5 () !13(!5213,13,13,13\uf8ed52⋅==\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8eb 27例 用字母a,b,c组成5个字母的单词, 每个单词中a, 最多出现2次, b最多出现1次, c最多出现3次。 这种单词共有多少个?解: 字母a,b,c构成序列(a,b,c)对应数量分别为:(2,0,3),(2,1,2),(1,1,3)三类情况, 有加法原理, 共有:! 560! 3 ! 1 ! 1+! 5! 2! 1 ! 2! 5! 3 ! 0! 2=+ 28例 在(x+y+z)9的展开式中找到x2y3z4的系数。解:因为 (x+y+z)9=(x+y+z)(x+y+z)…(x+y+z) 共九项可以每次从9项中的2项选择x,从9项中的3项选择y, 从9项中的4项选择z,然后相乘可以得到x2y3z4。 于是 (x+y+z)9的展开式中x2y3z4的系数299\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8f8\uf8f8为:1206! 4 ! 3 ! 2! 9! 0 ! 4! 4! 4 ! 3! 7! 7 ! 2! 9432932==⋅⋅=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8eb−−⋅\uf8f7\uf8f7\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb −⋅\uf8f7\uf8f7\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb 29本题也可以直接利用多项式系数公式求(x+y+z)9的展开式中x2y3z4的系数。关于多项式(x1+x2+…… +xt)n展开的项数,我们在3.5节P43已推出: 展开式项数为:\uf8ebn1206! 4 ! 3 ! 2! 94329321==\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebnnnn\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed−+nt1 305.6 牛顿二项式定理1676年, 牛顿推广了二项式定理并得到它的(x+y)α式中α为任意实数。 然而, 对展开式,于一般的指数α, 这个展开式将是一个无穷级数,还需判定收敛性、 收敛半径等问题。 我们将只局限于叙述定理和某些特殊情况。定理5.6.1 设α是一个实数, 则对于所有满足的x和y, 有: 31如果α是正整数n, 那么对于上述展开式变成:这与二项式定理一致其中kkkyxkyx−∞=∑\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebα=+αα)0(!) 1+)......(k2)(α1(αkk−−−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebααα0,=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb≥knnkknknknyxknyx−=∑\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=+0)( 32如果选择z为分数 z = x / y则:( x + y )α= ( zy + y )α= yα ( z + 1 )α于是利用牛顿二项式定理, 再考虑到级数的收敛半径, 对满足\uf8e6 z\uf8e6 <1的任意 z 有:如果选择α为负整数, 设n是一个正整数, 令α = - n 则:kk∑=zkyx∞\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebα=+0)(α 33因此, 对于\uf8e6 z\uf8e6 <1, 我们有公式:\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−+−=+−+−=−++−=+−−−−−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ebαkknknnknkknnnkknnnknkkkk1) 1(!) 1)......(1() 1(!) 1)......(1() 1(!) 1)......(1( 34用 – z 代替 z , 又得到:kk∑=knnzkknzz∞−\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb−+−=+=+01) 1()1 (1)1 (kk∑=\uf8f6knnzkknz−z∞−\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed1\uf8eb−+=−k=−01)1 (\uf8ebn1)1 (如果 n = 1则, 我们能得到与用无穷级数展开函数的同样形式:1=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8eb=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed+kkz±11 35∑=∞∞≤−=+0)1() 1(11kkkzzz收敛半径∑=≤=−0)1(11kkzzz收敛半径利用函数展开成级数的上述公式将展开, 给出一个组合推导:nz−− )1 (zzzzznn−⋅−⋅−=−=−−11......1111)1 (1)1 ( 36我们从第一个因子中取zk1, 从第二个因子中取zk2, ……, 从第n个因子中取zkn, 得到这个乘积中的一项zk , 其中k1, k2,…..kn ,为非负整数,k1+ k2+…..+kn = k,zk= zk1 zk2……. zkn = zk1+k2……+ knnnzznzzzzzzz...)1 ()(...)1 (⋅.........)1 (⋅...)1 ()1 (12222+++=+++⋅++++++=−个因子 37因此, 得到zk的不同方法数, 即展开式中zk的系数, 等于n元方程:k1+ k2+…..+kn= k 的非负整数解的个数,\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8edk这个数就是:在微积分中我们利用微分的知识进行过近似计算:现在我们可以利用牛顿二项式定理近似计算。fxxf≈∆+)(0\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8eb−+kn1nz)1 (1−xxfx∆⋅′+)()(00 38