第四章:刚体一章习题解答 习题 4—1 ? M = 如图所示,X 轴沿水平方向,Y 轴竖直向下,在 t=0 时刻将质量为 m ? ;在任意时刻 t,质点对原点的角动量 L = 的质点由 a 处静止释放,让它自由下落,则在任意时刻 t,质点对原点 O 的力矩 。 解:作用于质点上的重力为 ? ? G = mgj 任一时刻 t 质点 (也是重力的作用点 ) 的位 置矢量为 ? ? ? r = bi + gtj 据定义,该重力对原点 O 点的力矩为 ? ? ? ? ? ? ? M = r × G = (bi + gtj ) × mgj = bmgk 任一时刻 t 质点的动量为 ? ? ? P = mv = mgtj O b a X v=gt Y 习题 4―1 图 据定义,质点对原点 O 的角动量为 ? ? ? ? ? ? ? L = r × P = (bi + gtj ) × mgtj = bmgtk ? v1 习题 4─2 我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运 卫星 动,地球的中心 O 为椭圆的一个焦点(如图), 已知地球半径 R=6378km, 卫星与地面的最近距 离 l1=439km,与地面的最远距离 l2=238km。若 卫星在近地点 A1 的速度 v1=8.1km/s,则卫星在 远地点的速度 v2= 。 A2 l2 ? v2 R O l1 A1 习题 4―2 图 解: 卫星受到地球引力(有心力)的作用, 对地心 O 的角动量守恒。 因此 ( R + l1 )mv1 = ( R + l 2 )mv 2 解得 v2 = ( R + l1 ) 6378 + 439 ? v1 = × 8.1 = 6.3 km/s (R + l2 ) 6378 + 238 习题 4—3 光滑圆盘面上有一质量为 m 的物体 A,栓在一根穿过圆盘中心光滑 小孔的细绳上,如图所示。开始时,物体距离圆盘中心 O 的距离为 r0,并以角 速度 ω 0 绕圆盘中心 O 作圆周运动,现向下拉绳,当物体 A 的径向距离由 r0 减少 到 r0 2 时,向下拉的速度为 v,求下拉的过程中拉力所作的功。 分析:下拉过程并不是缓慢的,在下拉过程中的任一时刻,物体的速度不是 刚好沿半径为 r 的切线方向,而是既有切向分量,又有法向分量。另一方面, 此 题可以考虑用动能定理求拉力的功,这就得先求出物体的末态速度。 解:设在末态物体的速度的切向分量为 vt, 法向分量为 vn(亦为下拉速度)。由角动量守恒可 得 ?r ? r0 mv 0 = ? 0 ?mv t ?2? 所以,末态速度的切向分量 ? v 习题 4―3 图 r0 A O ω0 vt = 2v 0 = 2r0ω 0 由质点动能定理,下拉的过程中拉力所作的功 A = Ek ? Ek 0 = 1 1 2 2 m( v t2 + v n ) ? mv 0 2 2 1 1 = m (2r0ω 0 ) 2 + v 2 ? m(r0ω ) 2 2 2 3 2 2 1 = mr0 ω 0 + mv 2 2 2 [ ] 习题 4—4 质量为 m1 的粒子 A 受到第二个粒子 B 的万有引力作用,B 保持在原 ? 点不动。最初,当 A 离 B 很远(r = ∞)时,A 具有速度 v 0 ,方向沿图中所示直线 Aa,B 与这条直线的垂直距离为 D。粒子 A 由于粒子 B 的作用而偏离原来的路 线,沿着图中所示的轨道运动,已知这轨道与 B 之间的最短距离为 d,求 B 的质 量 mB。 解:粒子 A 在粒子 B 的有心力场中运动,系统的角动量和机械能均守恒。 因此,我们可以得到 A ? v0 D d D ? m1 v 0 = d ? m1 v mm 1 1 2 m1 v 0 = m1 v 2 ? G 1 B 2 2 d 联立①、②两式解得 B 的质量为 ① ? v a ② 习题 4―4 图 B 2 ( D 2 ? d 2 )v0 mB = 2Gd 习题 4—5 在光滑的水平面上,一根长 L=2m 的绳子,一端固定于 O 点,另一 端系一质量 m=0.5kg 的物体,开始时,物体位于位置 A,OA 间距离 d=0.5m, 绳 子处于松弛状态。 现在使物体以初速度 vA=4m/s 垂直于 OA 向右滑动, 如图所示, 设以后的运动中物体到达位置 B,此时物体速度的方向与绳垂直。则此刻物体对 O 点角动量的大小 LB= ,物体速度的大小 vB= 。 解:由质点角动量守恒定律有 d ? mv A = L ? mv B O ? vB B 因此,物体在 B 点时对 O 点的角动量为 LB = L A = d ? mv A = 0.5 × 0.5 × 4 = 1 kg? m 2 /s 物体在 B 点时的速度为 d ? vA A 习题 4―5 图 d 0.5 × 4 vB = ? v A = = 1 m/s L 2 习题 4—6 一质量为 m 的质点沿着一条空间曲线运动,该曲线在直角坐标系下 ? ? ? 的定义为: r = a cos ω ti + b sin ω tj ,其中 a、b、 ω 皆为常数,则此质点所受的对 ? 原点的力矩 M = 解:依定义,质点的加速度 ? ? ? ? ? dv d 2 r ? a= = 2 = ?ω 2 (a cos ω ti + b sin ω tj ) = ?ω 2 r dt dt 质点受到的力为 ? ? ? F = ma = ? mω 2 r ? ;该质点对原点的角动量 L = 。 因此力矩 ? ? ? ? ? M = r × F = ? mω 2 r × r = 0 因为 ? ? ? ? dr v= = ?aω sin ωti + bω cos ωtj dt 所以质点角动量为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? L = r × P = r × mv = (a cos ω ti + b sin ω tj ) × m(?aω sin ω ti + bω cos ω tj ) ? ? ? = (abmω cos 2 ω t )k + (abmω sin 2 ω t )k = abmω k 习题 4—7 两个匀质圆盘 A 和 B 的密度分别为 ρ A 和 ρ B ,若 ρ A > ρ B ,但两圆 盘的质量和厚度相同,如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为 JA 和 JB,则: [ ] (A) J A > J B 。(B) J A < J B 。