2017年1月1日 理科考试研究·数学版·25·椭圆焦点三角形面积公式推导及应用内蒙古赤峰市宁城高级中学024200 郭晓辉摘要:椭圆上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫焦点三角形.在椭圆中,焦点三角形是一个引人注目的三角形,它的面积是一个非常重要的几何量.在解决有关焦点三角形问题中,如果能灵活地应用焦点三角形的面积公式,往往可以使复杂问题简单化,减少运算量,使问题迎刃而解.关键词:三角形面积公式;椭圆焦点;性质;几何量;教学研究在高中数学解析几何椭圆部分题中经常会出现椭圆上一点与两焦点构成的三角形问题,那么如何快速的找准切入点解决这类问题呢?下面介绍一种利用椭圆焦点三角形面积公式解决这类问题的方法.一、公式推导^,2.,2已知椭圆鼍+鲁=1(o>b>0)中,F。,Fz为椭圆“ ￡,的左右焦点,焦距为2c,P为椭圆上任意一点,￡Fl朋2=0则有证明设PFl‘m,PF2=rt 则有m+n=2a,在椭圆中有b2=a2一c2,.·.4b2=4a2一(2c)2,4b2=(m+n)2一(2c)2=m2+n2+2ran一(2c)2...坐:翌:±芷二堕):±兰塑翌COSO+1.‘’2mn一 2mn1‘4b2,'2 0I 22 02一ran“cos 2’6=mncos虿1·.’Js矾%2寺,帆sin0,.mncos2了0 sin日62=—i暑一告啪sin觚s2导虿啪81删∞8虿一.0 0’8m虿c08虿.‘..s明PF2=b2tan等』√二、公式应用例1 (1993全国高考题)在面积为1的△P删1中,tanM=i1,tanN=一2,建立适当的坐标系,求出以二M,Ⅳ为焦点且过点P的椭圆方程.分析此题为典型的椭圆焦点三角形面积问题,只需找到对应的相等关系即可解决.解以MN所在直线为戈轴,线段MN的中垂线为Y轴建立直角坐标系一方面,tanP=一tan(M+Ⅳ)+#糕=÷另一方面,tanP=—寺1一tan。。_.1:.。2tan等 3从而组舻2五毳2}解得tan虿P=}或tan虿P=一3(舍去)由刚得到的结论可得62=s△删—专=3作P Q 上b i n C O S,i81n虿垂足为Q,设I PQ l=^,I NQ I=m,由tanM=丽h=告=tan/_PNQ=鲁=2,易得危=等,X S△,删=了1·2c Z,n j一二·警=1,得c2=季,所以。2=竽,故所求的椭圆的方程为等+孚=l