在冯·诺依曼的工作中,希尔伯特空间上的算子谱论和算子环论占有重要的支配地位,这方面的文章大约占了他发表的论文的三分之一。它们包括对线性算子性质的极为详细的分析,和对无限维空间中算子环进行代数方面的研究。算子环理论始于1930年下半年,冯·诺依曼十分熟悉诺特和阿丁的非交换代数,很快就把它用于希尔伯特空间上有界线性算子组成的代数上去,后人把它称之为冯·诺依曼算子代数。1936~1940年间,冯·诺依曼发表了六篇关于非交换算子环论文,可谓20世纪分析学方面的杰作,其影响一直延伸至今。冯·诺依曼曾在《量子力学的数学基础》中说过:由希尔伯特最早提出的思想就能够为物理学的量子论提供一个适当的基础,而不需再为这些物理理论引进新的数学构思。他在算子环方面的研究成果应验了这个目标。冯·诺依曼对这个课题的兴趣贯穿了他的整个生涯。算子环理论的一个惊人的生长点是由冯·诺依曼命名的连续几何。普通几何学的维数为整数1、2、3等,冯·诺依曼在著作中已看到,决定一个空间的维数结构的,实际上是它所容许的旋转群。因而维数可以不再是整数,连续级数空间的几何学终于提出来了。1932年,冯·诺依曼发表了关于遍历理论的论文,解决了遍历定理的证明,并用算子理论加以表述,它是在统计力学中遍历假设的严格处理的整个研究领域中,获得的第一项精确的数学结果。冯·诺依曼的这一成就,可能得再次归功于他所娴熟掌握的受到集合论影响的数学分析方法,和他自己在希尔伯特算子研究中创造的那些方法。它是20世纪数学分析研究领域中取得的最有影响成就之一,也标志着一个数学物理领域开始接近精确的现代分析的一般研究。此外冯·诺依曼在实变函数论、测度论、拓扑、连续群、格论等数学领域也取得不少成果。1900年希尔伯特在那次著名的演说中,为20世纪数学研究提出了23个问题,冯·诺依曼也曾为解决希尔伯特第五问题作了决定性贡献。应用数学1940年,是冯·诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前,他是一位通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家;此后则成了一位牢固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。研究同时他还不断创新,把非古典数学应用到两个新领域:对策论和电子计算机。冯·诺依曼的这个转变一方面来自他长期对数学物理问题的钟情;另一方面来自当时社会方面的需要。第二次世界大战爆发后,冯·诺依曼应召参与了许多军事科学研究计划和工程项目。1940~1957年任马里兰阿伯丁试验弹道研究实验室科学顾问;1941~1955年在华盛顿海军军械局;1943~1955年任洛斯·阿拉莫斯实验室顾问;1950~1955年,陆军特种武器设计委员会委员;1951~1957年。美国空军华盛顿科学顾问委员会成员;1953~1957年,原子能技术顾问小组成员;1954~1957年,导弹顾问委员会主席。冯·诺依曼研究过连续介质力学。很久以来,他对湍流现象一直感兴趣。l937年他关注纳维—斯克克斯方程的统计处理可能性的讨论,1949年他为海军研究部写了《湍流的最新理论》。冯·诺依曼研究过激波问题。他在这个领域中的大部分工作,直接来自国防需要。他在碰撞激波的相互作用方面贡献引人注目,其中有一结果,是首先严格证明了恰普曼—儒格假设,该假设与激波所引起的燃烧有关。关于激波反射理论的系统研究由他的《激波理论进展报告》开始。冯·诺依曼研究过气象学。有相当一段时间,地球大气运动的流体力学方程组所提出的极为困难的问题一直吸引着他。随着电子计算机的出现,有可能对此问题作数值研究分析。冯·诺依曼搞出的第一个高度规模化的计算,处理的是一个二维模型,与地转近似有关。他相信人们最终能够了解、计算并实现控制以致改变气候。冯·诺依曼还曾提出用聚变引爆核燃料的建议,并支持发展氢弹。1947年军队发嘉奖令,表扬他是物理学家、工程师、武器设计师和爱国主义者。博弈论冯·诺依曼不仅曾将自己的才能用于武器研究等,而且还用于社会研究。1928年,冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理,从而宣告了博弈论的正式诞生。由他创建的对策论,无疑是他在应用数学方面取得的最为令人羡慕的杰出成就。现今,博弈论主要指研究社会现象的特定数学方法。它的基本思想,就是分析多个主体之间的利害关系时,重视在诸如下棋、玩扑克牌等室内游戏中竞赛者之间的讨价还价,交涉,结伙,利益分配等行为方式的类似性。博弈论的一些想法,20年代初就曾有过,真正的创立还得从冯·诺依曼1928年关于社会博弈理论的论文算起。在这篇文章中,他证明了最小最大定理,这个定理用于处理一类最基本的二人对策问题。如果对策双方中的任何一方,对每种可能的策略,考虑了可能遭到的最大损失,从而选择“最大损失”最小的一种为“最优”策略,那么从统计角度来看,他就能够确保方案是最佳的。这方面的工作大致已达到完善。在同一篇论文中,冯·诺依曼也明确表述了n个游戏者之间的一般对策。博弈论也被用于经济学。经济理论中的数学研究方法,大致可分为定性研究为目标的纯粹理论和以实证的、统计的研究为目标的计量经济学。前者称为数理经济学,正式确立于20世纪40年代之后。无论在思想上或方法上,都明显地受到对策论的影响。数理经济学,过去模仿经典数学物理的技巧,所用的数学工具主要是微积分和微分方程、将经济问题当成经典力学问题处理。显然,几十个商人参加的贸易洽谈会,用经典数学分析处理,其复杂程度远远超过太阳系行星的运动,这种方法的效果往往很难是预期的。冯·诺依曼毅然放弃这种简单的机械类比,代之以新颖的博弈论观点和新的数学—和凸性的思想。1944年,冯·诺依曼和摩根斯特恩合著的《博弈论和经济行为》是这方面的奠基性著作。将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域,从而奠定了这一学科的基础和理论体系。论文包含了博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际应用的详细说明。这篇论文以及所作的与某些经济理论的基本问题的讨论,引起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究,时至今日,这已是应用广泛、羽毛日益丰盛的一门数学学科。有些科学家热情颂扬它可能是“20世纪前半期最伟大的科学贡献之一”。