原帖在这里:PCA(Principal　Component　Analysis)是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示,可用于提取数据的主要特征分量,常用于高维数据的降维。网上关于PCA的文章有很多,但是大多数只描述了PCA的分析过程,而没有讲述其中的原理。这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理,帮助读者了解PCA的工作机制是什么。　当然我并不打算把文章写成纯数学文章,而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理,所以整个文章不会引入严格的数学推导。希望读者在看完这篇文章后能更好的明白PCA的工作原理。　一般情况下,在数据挖掘和机器学习中,数据被表示为向量。例如某个淘宝店2012年全年的流量及交易情况可以看成一组记录的集合,其中每一天的数据是一条记录,格式如下:　其中“日期”是一个记录标志而非度量值,而数据挖掘关心的大多是度量值,因此如果我们忽略日期这个字段后,我们得到一组记录,每条记录可以被表示为一个五维向量,其中一条看起来大约是这个样子:　注意这里我用了转置,因为习惯上使用列向量表示一条记录(后面会看到原因),本文后面也会遵循这个准则。不过为了方便有时我会省略转置符号,但我们说到向量默认都是指列向量。　我们当然可以对这一组五维向量进行分析和挖掘,不过我们知道,很多机器学习算法的复杂度和数据的维数有着密切关系,甚至与维数呈指数级关联。当然,这里区区五维的数据,也许还无所谓,但是实际机器学习中处理成千上万甚至几十万维的情况也并不罕见,在这种情况下,机器学习的资源消耗是不可接受的,因此我们必须对数据进行降维。　降维当然意味着信息的丢失,不过鉴于实际数据本身常常存在的相关性,我们可以想办法在降维的同时将信息的损失尽量降低。　举个例子,假如某学籍数据有两列M和F,其中M列的取值是如何此学生为男性取值1,为女性取值0;而F列是学生为女性取值1,男性取值0。此时如果我们统计全部学籍数据,会发现对于任何一条记录来说,当M为1时F必定为0,反之当M为0时F必定为1。在这种情况下,我们将M或F去掉实际上没有任何信息的损失,因为只要保留一列就可以完全还原另一列。　当然上面是一个极端的情况,在现实中也许不会出现,不过类似的情况还是很常见的。例如上面淘宝店铺的数据,从经验我们可以知道,“浏览量”和“访客数”往往具有较强的相关关系,而“下单数