你也许想先阅读积分入门!
积分
我们可以把曲线下面的面积切成一片片,当这些片的宽度趋近零时,它们面积的和便是曲线下面的面积:
也有积分法则 来帮我们求答案。
记法
"积分" 的符号像英语字母 "S"
(源自英语 "Sum"(总和)):
把要求积分的函数(叫被积函数)放在积分符号后面,
最后放dx来代表积分的方向是 x(片沿 x 的宽度趋近零)。
定积分
定积分有起点和终点:有从 a 到b的区间。
起点和终点的值放在"S" 符号的下面和上面,像这样:
不定积分
(没有指定值)定积分
(从a到b)
定积分是不定积分在a和b的值的差:
例子:
2xdx 从1到2的定积分:
不定积分是:∫2x dx = x2+ C
在x=1:∫2x dx =12+ C在x=2:∫2x dx =22+ C
减:
(22+ C) − (12+ C)
22+ C − 12− C
4 − 1 +C − C = 3
"C" 被消去…… 所以求定积分时我们可以不理 C。
答案可以直接写为:
我们可以求那个图形(梯形)的面积来检验答案:
对了,面积是 3.
(不赖!)
再看一个例子:
例子:
cos(x)dx 从0.5 到1.0 的定积分:
(注意:x 的单位一定要是弧度)
不定积分是:∫cos(x) dx = sin(x) + C
C 可以不理(如上):
= sin(1) − sin(0.5)
= 0.841…… − 0.479……
=0.362……
现在我们用以下的例子来表明一个论点:
例子:
sin(x)dx 从0到1的定积分:
不定积分是:∫sin(x) dx = −cos(x) + C
起点是 0,那么我们可不可以求 x=1 的值为面积?
−cos(1) = −0.540……
什么?在x=1 的面积是负数?不,我们一定要减去积分在 x=0 的值,我们不可以假设它是零。
正确的做法是求两个值的差(C 会消去,所以不用写下来):
= −cos(1) − (−cos(0))
= −0.540……− (−1)
=0.4