大家想过角速度在其他维度中的推广没有?我们先不看难想的四维空间,先来看一下二维空间中的角速度。
二维角速度
请问这个逆时针旋转的圆盘,它的角速度是什么样的?我想很多物理书上都说它是垂直于纸面向上的。然而我们知道,二维空间里面根本就不存在这个“垂直于纸面向上”的方向,所以这种说法其实是不对的。
在二维空间中物体的转动方向就只有顺时针和逆时针两种,所以实际上用一个标量就可以描述了。更准确地,一个伪标量,因为和三维情形一样,照了镜子以后会反号。
那么圆盘上任何一点的线速度呢?三维空间里面是,如果我们认为二维角速度是标量,那么我们可以把这个表达式“降维”成
好了,二维我们已经知道可以定义成(伪)标量了,那么,四维呢?情况就复杂了,因为四维还涉及到了双旋转,标量和矢量都不行了,只能用二阶张量,即一种可以表示成矩阵的量。我们发现这样类比下去维度越高就会越复杂,那么,有没有一种简单的,对所有维度都一样的表达呢?
答案是有的,我们可以从线速度的表达式入手。我们不妨把线速度换一种写法:
其中最右边的那个列向量就是向径,而那个矩阵就是我们想要的东西,它就是2-矢量的矩阵表示。而且我们发现这个定义在三维空间也行得通,如,那么它的线速度按照上面的方式就可以表示为
同样是一个矩阵乘以向径的列向量,只是矩阵的阶数变了而已。我们已经发现这个矩阵的一个性质了:它是反对称的。 好了,为了更深入地探讨2-矢量,我们需要了解一下它的定义以及性质。
外代数
2-矢量其实是外代数中的n-形式的一种特殊情况,我们先来看一下它的定义。 对于两个矢量和,定义楔积“”为一种2-矢量:
其中楔积满足以下几个性质:
线性性,即常数可以提出来,以及分配律:反对称性:
所以矢量和它自己的楔积总是为0 比如,有两个矢量和,那么它们的楔积就为
其中就是2-矢量的单位基底,就类似于矢量的基底一样。在二维空间中有1个,三维空间中有3个。
那么这样定义出来的2-矢量的几何意义是什么呢?我们知道,标量,即0-形式就是一个点,矢量,即1-形式就是一条线,那么,2-矢量就是一个面了。
图片来自维基百科
我们发现其实就类似于矢量之间的叉乘,它的“方向”也是由右手螺旋定则确定的。如果我们用2-矢量来表示角速度,那么它的“方向”就表示物体的旋转