题目
设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根x1,2,x2.(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)试比较f(1)与2的大小,并说明理由;(Ⅲ)求|x1-x2|的取值范围.初中数学
解答
(Ⅰ)f′(x)=3x2+2mx+n.∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数∴当x=0时,f(x)取到极大值.∴f′(0)=0.∴n=0.(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=x3+mx2+p∵f(2)=0∴p=-4(m+2)f′(x)=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0,x2=-

2m
3

∵函数f(x)在[0,2]上是减函数,∴x2=-

2m
3

≥2∴m≤-3.∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.(Ⅲ)由条件可得:f(x)=(x-x1)(x-2)(x-x2)∴f(x)=x3-(2+x1+x2)x2+(2x1+2x2+x1x2)x-2x1x2.∴

-(2+x1+x2)=m
-2x1x2=p,即
x1+x2=-m-2
x1x2=-
1
2
p=2m+4,∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2=
m2-4m-12=
(m-2)2-16(m≤-3),∴|x1-x2|≥3.