1.
? 2. 〔(C→(C∧D))→E ? 3. ? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ? 8. ? 9. ? 10. ? 11. ? 12. E→〔(H∨H)→(A∧H)〕 → A A∨B C→D →C D C∧D C→(C∧D) E A→E /∴A?E (假设) (4∨引入) (1、5→销去) (假设) (6、7→销去) (7、8∧引入) (7-9→引入) (2、10→销去) (4-11→引入)
83
? 13. ? 14. ? 15. ? 16. ? 17. ? 18. ? 19. ? 20. ? 21. ? 22. ? 23. 证毕。 (四) 1. ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 3.
→ E ((H∨H)→(A∧H) →H H∨H H H→H H∨H A∧H A E→A AE
(假设) (3、13→销去) (假设) (15∨引入) (16∨重言) (15-17→引入) (18→∨等值) (14、19→销去) (20∧销去) (13-21→引入) (12、22∧引入)
(A∧B)→C (A→C)→D B∨E B /∴B→(D∧E) (假设) (反设) (5∧等值) (3、4∨销去) (6、7∨销去) (2、8→销去) (9→等值) (10∧销去) (4、11∧引入) (1、12→销去) (10∧销去) (13、14∧引入) (5-15销去) (4-16→引入)
4. → 5. 6. 7. 8. 9.
→(D∧E) D∨E E D (A→C) A∧C A A∧B C C C∧C D∧E B→(D∧E)
? 10. ? 11. ? 12. ? 13. ? 14. ? 15. ? 16. ? 17.
84
证毕。 (五) 1. (P→Q)→R ? ? ? ? ? ? ? ? 2. (P→S)∧(Q→S) /∴R→U (反设) (3→等值) (4∧销去) (1、5→销去) (6→等值) (2∧销去) (2∧销去) (7∧销去) (7∧销去) (8、10→销去) (9、11→销去) (12、13∧引入) (3-14销去)
3. →(R→U) 4. 5. 6. 7. 8. 9. R∧U R (P→Q) P∧Q P→S Q→S P Q S S S∧S R→U
? 10. ? 11. ? 12. ? 13. ? 14. ? 15.
证毕。 七、运用命题演算的方法解答下列问题 1.(1) A→(B∧C)
?(2) C→D ?(3) (D→A) ?(4) D∧A ?(5) ?(6) A B∧C 问:这组前提中是否含有逻辑矛盾? (3→等值) (4∧销去) (1、5→销去) (6∧销去) (2、7→销去) (4∧销去) (8、9∧引入)
?(7) C ?(8) D
?(9) D ?(10) D∧D
85
所以,这一组前提中含有逻辑矛盾。 2.(1) A→(B∧C) ? (2) ? (3) ? (4) B→D A→B D→(C∨B) 问:A、B、C、D是否都出席了宴会? (反设) (3、5→销去) (1、6→销去) (7∧销去) (5、8∧引入) (5-9销去) (2、10→销去) (4、11→销去) (10、12∨销去) (12∧等值) (1、14→销去) (15、10、13、11∧引入)
? (5) → B ? (6) ? (7) ? (8) ? (9) ?(10) (11) ?(12) ?(13) ?(14) ?(15) ?(16) A B∧C B B∧B B D C∨B C (B∧C) A A∧B∧C∧D
?所以,A、B、C、D四个国家的外交官都出席了宴会。 ?3.(1) ? (2) ? (3) ? (4) ? (5) ? (6) ? (7) ? (8) A∨B∨C (A∧B)→C (A∧B)∨C A∨B∨C A∨(B∨C) A∨(B∨C) A→(B∨C) A→(B∨C) 问:三人中哪两个人至少有一个是罪犯? (2→∨等值) (3∧等值) (4∨结合) (1∨结合) (5→∨等值) (6→∨等值)
86
? (9) →(B∨C) ? (10) ? (11) ? (12) ? (13) A A A∧A B∨C
(反设) (7、9→销去) (8、9→销去) (10、11∧引入) (9-12销去)
所以,三人中B、C二人至少有一人是罪犯。 4.智者指着一瓶酒向一个卫兵问道:“这瓶酒是毒酒,他(指另一士兵)将回答 ‘是’,对吗?” 如果被问者回答“对”,那么智者所指的酒不是毒酒(即美酒);如果被问者回答 “不对”,那么智者所指的酒是毒酒。 (推演过程参看教材89-90页例题)。
87
第五章
传统谓词逻辑