第七节 旋转体的体积计算 ? 内容提要 1.旋转体的体积; 2.平行截面面积为已知的立体的体积. 教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。 1.旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴. 圆柱 圆锥 圆台 一般地,如果旋转体是由连续曲线 y ? f ( x)、直线x?a、 x ? b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋 转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为 x y y ? f (x) x ?[a,b] 在[a, b]上任取小区 o x x ? dx x 间[ x, x ? dx], 取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素,dV ? ?[ f ( x)]2 dx ? ? 旋转体的体积为 V ? b ?[ f ( x)]2 dx ? b ?y2dx a a 类似地,如果旋转体是由连续曲线 x ? ? ( y)、直线 y ? c 、 y ? d 及y轴所围成的 曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体,体积为 y ? V ? d ? [? ( y)]2 dy c ? ? d ?x 2dy c d x ? ?( y) c o x 例1. 求由曲线 y ? x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形 绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 解 如图, 选x为积分变量 y y? x 由旋转体的体积公式,得??1Vx ? ?( 0 x )2 dx ?? 1 xdx 0 o x ? x2 ? 1 ? ? 22 0 例2. 求由曲线 x 2 ? 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形 分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积. y 解 如图, 绕x轴旋转体的体积, 选x为积分变量 (2, 1) 1 ? ? Vx ? ? ? 12 ? 2 ? 2 ?( x 2 )2 dx 04 ? 2? ? ? 16 2 x 4dy ? 2? ? ? ? 0 16 x5 5 2 ? o 8? 5 y2 ? 4x x 0 绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量 ? ? Vy ? 1 ?( 0 4 y )2 dy ? ? 1 4 ydy? 4? ? y2 1 ? 2? 0 2 0 2 2 2 例4 求星形线 x3 ? y3 ? a3 (a ? 0) 绕x轴旋转 构成旋转体的体.积y222解?y3 ? a3 ?