集合论中,若两个集合有相同的元素,则它们相等。那么,所有的空集都是相等的,即空集是唯一的。考虑到空集是实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,因为所有的有限集合是紧致的,所以空集是紧致集合,。空集的闭包是空集。 公理集合论 在诸如策梅罗-弗兰克尔集合论的公理集合论中,空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。使用分离公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如:若 A 是集合,则分离公理允许构造集合 ,它就可以被定义为空集。 空集和零 根据定义,空集有 0 个元素,或者称其势为 0。然而,这两者的关系可能更进一步:在标准的自然数的集合论定义中,0 被定义为空集。实数0与空集是两个不同的概念,不能把0或{0}与Ø混为一谈。 范畴论 若A为集合,则恰好存在从{ }到A的函数f,即空函数。结果,空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。空集只能通过一种方式转变为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。空集是任何非空集合的真子集。 [1] Ø只有一个子集,没有真子集。{Ø}有两个子集,一个是Ø一个是它本身定义:不含任何元素的集合称为空集。