直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
AD=DE,
∴ADB≌EDC(SAS),
∴AB=CE,∠B=∠DCE,
∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE=90°,
∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴ABC≌CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点,
∴DE是ABC的中位线,
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
【证法3】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∵∠BAC=90°,
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形),
∴AE=BC(矩形对角线相等),
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。