以下讨论基于实数域。
首先,二次型的等价关系可以由矩阵的合同关系来转化,实数域上的二次型的矩阵是一个实对称矩阵,而实对称矩阵一定是合同与一个对角矩阵的(要求矩阵特征不为二,这是最准确的表述,但实际上也用不着)。
但是貌似并没有给出合同对角化的方法,那有什么方法可以对角化,同时能与合同关系联系起来呢?那就是正交相似。一个正交相似的矩阵既能让矩阵对角化,恰好能构成一个合同关系。于是关于正交的问题就解决了。
接下来拓展一下标准二次型为何要涉及到单位化。
二次型可以看做是二维平面上曲线,而二次型的等价关系本质上就是看曲线的性质一不一样,比如一个椭圆,左右旋转还是一个椭圆,拉伸或是收缩后还是椭圆,巧一点的会变成一个圆,但不管拉伸还是旋转都不改变它们的本质:椭圆(圆也是椭圆,只不过两个焦点重合为一个圆心)。这就是二次型的等价关系。
那什么样的曲线是最简单的?当然是关于y轴或x轴对称的最简单。但是一般的二次型所对应的平面曲线往往不合人意,否则考试也就没意思了。
那怎样把二次型转化为我们所期望看到的样子呢?于是可以联想到正交变换,正交变换是保持度量不变的线性变换,也就是说如果你对一个向量进行正交变换,那么只会改变它的位置和方向,而不会改变它的长度,如果是对一组向量进行正交变换,那么它们的相对位置上的任何关于度量的性质都是不会改变的(前提是同一组基)。于是我们可以对原来的坐标系进行一个正交变换,使问题变得容易处理。
而线性变换是在一组基上做变换,正交变换同样如此,于是可以在原坐标系选择一组标准正交基作为基,而我们想要得到的新的坐标系,就可以通过原坐标系上的基对新坐标系上的基进行一个过渡,而过渡后保持度量不变的必要条件就是所选取的新坐标系上的基也一定是标准正交基。如果假设原坐标系的基是单位向量所组成,那么原坐标系的标准正交基到新坐标系的标准正交基的过渡矩阵不正好就是新坐标系的标准正交基本身吗?那这个过渡矩阵不就是标准化的正交矩阵吗?而这个过渡矩阵的列向量其实就是最初那个二次型矩阵的正交的特征向量进行单位化后的结果。这也就解释了为何二次型标准化需要对正交矩阵单位化。
(前面没有提到标准化的本质是什么,现在补充一下,标准化其实就是找到这样一个能够使得二次曲线关于y轴或x轴对称的新坐标系的过程,在新的坐标系下也就是标准化后,二次型所对应的曲线类