注意到本题是多连 体,应考虑位移的单值条件。因此,先求 出应变分量,再积分求出位移分量,然后 再考虑单值条件。 由物理方程求出应变分量, 代入几何方程,得由前两式积分,得 cosln sinln 立,两边都必须等于同一常数G。这样,得到两个常微分方程, sincos sin 再将上式的代入 sincos sin cosln 显然,式(d)中第二项是多值项。为了保证位移的单值性,必须 将式(a)、(f)代入应力公式,得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答: 试由书中式(4-21)的解答,导出半平面 体(平面应力问题) 在边界上受一水平集 中力F作用下的应力和 位移的解答。 cossin 以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量, 再代入几何方程,分别积分求出位移 分量: 第四章例题两边对 积分,得 lnsin lnsin 再将式(a)和(b)代入几何方程的第三式,分开变量后,两边分别为 的函数, 各应等于同一常数G,即 两边对 积分,得 lncos 于是得两个常微分方程。式(c)中的前一式为 代入的表达式;并由 sincos cos cossin cos lncos sincos cos lnsin 而另两个刚体位移分量H和K,因未有约束条件不能求出。 代入,得最后的位移解, coscos lncos sincos lnsin 水平位移是在半平面体的左半表面,铅直沉陷是 圆盘的直径为d,在一直径AB的两端点受到一对大小相同,方向相反的集中力F的 作用,试求其应力。 例题6 解:本题可应用半平面体受铅直集中力的 解答,进行叠加而得出。 (a)假设GH以下为半平面体,在A点 的F作用下,引用书中式(4-22)之解, (b)假设IJ以上为半平面体,在B点的F作用下,类似地得出 ,并有显然,在圆周上有 BMAM coscos 因此,圆盘在对径受压时,其应力解是(a),(b),(c)三部分解答之和。 两者合成为圆周上的法向分布压力 了消除圆周上的分布压力,应在圆周上施加分布拉力 其对应的应力分量为 最大压应力发生在圆盘的中心,得到CD线上的应力分量 现在来计算水平直径CD线上的值。对于 读者试求出CD线和AB线上的水平正应力 值,并证明在中心线AB上, 为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力, 便是劈裂试验的参考解答。 第四章例题图示的曲杆,其截面为狭矩形,内外半 径分别为r和R,在两端受有力矩M的作用, 试求其应力。 例题7解:本题中每一个截面上,内力都是M, 因而也属于轴对称问题,可以引用轴对 称应力解: 在主要边界上,边界条件是 由于 ,后两式自然满足,而其余两式为 在两端部,或者任一截面 上式中第一式自然满足。对于后两式,注意有积分式 得到 注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由 lnln lnln lnln 其中曲杆中的应力分量为 lnln ln lnln ln 例题8图示的三角形悬臂梁,在上边界 受到均布压力q的作用,试用下列应力的 函数 tancos cos sin 解:应力函数应满足相容方程和边 界条件,从中可解出常数 cossin tan (sin tan costan cos sin sintan cos sin 第四章例题在截面mn 上,正应力和切应力为 sintan cossin tan