最小二乘法公式 ∑(X--X 平)(Y--Y 平) =∑(XY--X 平 Y--XY 平+X 平 Y 平) =∑XY--X 平∑Y--Y 平∑X+nX 平 Y 平 =∑XY--nX 平 Y 平--nX 平 Y 平+nX 平 Y 平 =∑XY--nX 平 Y 平 ∑(X --X 平)^2 =∑(X^2--2XX 平+X 平^2) =∑X^2--2nX 平^2+nX 平^2 =∑X^2--nX 平^2 最小二乘公式(针对 y=ax+b 形式) a=(NΣ xy-Σ xΣ y)/(NΣ x^2-(Σ x)^2) b=y(平均)-ax(平均) 最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列 成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym);将这些数据描绘在 x -y 直 角坐标系中(如图 1), 若发现这些点在一条直线附近, 可以令这条直线方程 如(式 1-1)。 Y 计= a0 + a1 X (式 1-1) 其中:a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定 a0 和 a1,应用《最小二乘法原理》,将实 测值 Yi 与利用(式 1-1)计算值(Y 计=a0+a1X)的离差(Yi-Y 计)的平方和 〔∑(Yi - Y 计)²〕最小为“优化判据”。 令: φ = ∑(Yi - Y 计)² (式 1-2) 把(式 1-1)代入(式 1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式 1-3) 当∑(Yi-Y 计)²最小时,可用函数 φ 对 a0、a1 求偏导数,令这 两个偏导数等于零。 (式 1-4) (式 1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式 1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式 1-7) 得到的两个关于 a0、 a1 为未知数的两个方程组,解这两个方程组得 出: a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式 1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式 1-9) 这时把 a0、a1 代入(式 1-1)中, 此时的(式 1-1)就是我们回归的元线 性方程即:数学模型。 在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统 计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于 1 越好;“F” 的绝对值越大越好;“S”越趋近于 0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式 1-10) * 在(式 1-1)中,m 为样本容量,即实验次数;Xi、Yi 分别任意一组实验 X、Y 的数值。