李群中有两种群比较特殊,一类叫可解群,一类叫半单群。
我们用李群
的李代数
来定义这两类群。
的导出子李代数(记作
)定义为
生成的子代数。这是
的一个理想。如果我们可以持续的生成越来越小的导出子代数
,最终得到
,则我们称这个李代数是可解李代数,相应的李群为可解李群。相反的,如果
则我们称李代数为半单李代数,对应的李群为半单李群。
一般我们要证明一个关于李群或李代数的结论,我们一般先给他做导出子代数,如果可以变小,则考虑用归纳法,因为
结构很简单,是个平凡的李代数,因此可解李代数的很多结论都是用归纳法证明的。如果做了几步之后导出李代数不变了,则我们就得到了一个半单的李代数。下面我们主要说说半单李代数或李群的重要性质。这里我们考虑的是非紧致的李群。
上一讲忘记提了,在我们定义了李群的伴随表示之后,还可以继续诱导出李代数的伴随表示:
,对于
。
用李代数的伴随表示我们可以定义李代数的killing form,它是一个特殊的二次型:
,定义为
,这里
表示线性映射的trace。半单李代数的一个重要性质就是killing form是非退化的,即
能推出
。
半单李代数的另一个重要性质是存在一个李代数自同构
,满足
以及
是一个正定二次型。我们称这个自同构为Cartan involution。它不是唯一的。
作为一个线性映射,有两个特征值,1和-1 。1的特征向量空间我们记作
,-1的特征向量空间我们记作
,则我们有下面的Cartan分解:
。很容易看出
,
,
,所以
是一个李代数,
不是一个李代数,只是一个线性空间,而
通过李括号作用在
上。我们记
对应的李群为
,它是一个紧致李群,而且是
的极大紧致李子群。于是在李群层面上,Cartan分解写成
。
通过伴随表示作用在
上。
虽然不是李代数,但是其中存在一个最大的交换子代数
(交换的意思是对于任意的
),我们称之为Cartan子代数。Cartan子代数对应的李群我们记作
,这是一个对角子群,意思是它的伴随表示可以被对角化。
注:Cartan子