数字敏感度
(1)数列是否可以转化为:某数的平方 + 另外一项的形式
5=2^2+1
10=3^2+1
27=5^2+2
(2)二阶等差数列
2,3,5,8,12,17
2,3,5,8,12,17
题目 1:
7 or 22
已知: 3 + 4 ⇒ 19, 5 + 6 ⇒ 41, 问1+3⇒?
题目的解不唯一:
(1) 解法 1
(3+4)=(3+4+3*4) ⇒ 19
(5+6)=(5+6+5*6) ⇒ 31
即f(x,y)=x+y+x×yf(x,y)=x+y+x×y
则:(1+3)=(1+3+1*3) ⇒ 7
(2)解法 2
(1+3) = (5+6)-(3+4) ⇒ 41-19 = 22
题目 2:
101 103 107 115 122 127 137 148 ⇒ ?
此题的函数为:
f(n)=f(n−1)+g(f(n−1))f(1)=101
f(n)=f(n−1)+g(f(n−1))f(1)=101
其中 g(f(n−1))g(f(n−1)) 表示 f(n−1)f(n−1) 的各位数字之和,
148 + 13 = 161
题目 3:二阶等差数列
5,10,26,65,145 ⇒ ?
5=2^2+1
10=3^2+1
26=5^2+1
65=8^2+1
145=12^2+1
2,3,5,8,12 构成二阶等差数列,则其下一项为 12+5=17,
17^2+1 = 290;
0, 1, 3, 8, 21, ?, 144
(n-1 + n+1)*3
=> (21 +144)/3 = 165
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第一种----等差数列:是指相邻之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减的一组数。
1、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。
[例1]1,3,5,7,9,()A.7B.8C.11D.13
[解析]这是一种很简单的排列方式:其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2,所以括号内的数字应为11。故选C。
2、二级等差数列。是指等差数列的变式,相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列.
[例2] 2, 5, 10, 17, 26, (), 50A.35B.33C.37D.36
[解析]相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9,
是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。
3、分子分母的等差数列。是指一组分数中,分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。
[例3]2/3,3/4,4/5,5/6,6/7,()A、8/9B、9/10C、9/11D、7/8
[解析]数列分母依次为3,4,5,6,7;分子依次为2,3,4,5,6,故括号应为7/8。故选D。
4、混合等差数列。是指一组数中,相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。
[例4]1,3,3,5,7,9,13,15,,(),()。
A、1921B、1923C、2123 D、2730
[解析]相邻奇数项之间的差是以2为首项,公差为2的等差数列,相邻偶数项之间的差是以2为首项,公差为2的等差数列。
第二种--等比数列:是指相邻数列之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减的一组数。
5、等比数列的常规公式。设等比数列的首项为a1,公比为q(q不等于0),则等比数列的通项公式为an=a1q n-1(n为自然数)。
[例5] 12,4,4/3,4/9,()A、2/9B、1/9C、1/27D、4/27
[解析]很明显,这是一个典型的等比数列,公比为1/3。故选D。
6、二级等比数列。是指等比数列的变式,相邻两项之比有着明显的规律性,往往构成等比数列。
[例6]4,6,10,18,34,()A、50B、64C、66D、68
[解析]此数列表面上看没有规律,但它们后一项与前一项的差分别为2,4,6,8,16,是一个公比为2的等比数列,故括号内的值应为34+16Ⅹ2=66故选C。
7、等比数列的特殊变式。
[例7] 8,12,24,60,()A、90B、120C、180D、240
[解析]该题有一定的难度。题目中相邻两个数字之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数,但它们是按照一定规律排列的:3/2,4/2,5/2,因此,括号内数字应为60Ⅹ6/2=180。故选C。此题值得再分析一下,相邻两项的差分别为4,12,36,后一个值是前一个值的3倍,括号内的数减去60应为36的3倍,即108,括号数为168,如果选项中没有180只有168的话,就应选168了。同时出现的话就值得争论了,这题只是一个特例。
第三种—混合数列式:是指一组数列中,存在两种以上的数列规律。
8、双重数列式。即等差与等比数列混合,特点是相隔两项之间的差值或比值相等。
[例8]26,11,31,6,36,1,41,()A、0B、-3C、-4 D、46
[解析]此题是一道典型的双重数列题。其中奇数项是公差为5的等差递增数列,偶数项是公差为5的等差递减数列。故选C。
9、混合数列。是两个数列交替排列在一列数中,有时是两个相同的数列(等差或等比),有时两个数列是按不同规律排列的,一个是等差数列,另一个是等比数列。
[例9]5,3,10,6,15,12,(),()
A、2018B、1820C、2024 D、18 32
[解析]此题是一道典型的等差、等比数列混合题。其中奇数项是以5为首项、公差为5的等差数列,偶数项是以3为首项、公比为2的等比数列。故选C。
第四种—四则混合运算:是指前两(或几)个数经过某种四则运算等到于下一个数,如前两个数之和、之差、之积、之商等于第三个数。
10、加法规律。
之一:前两个或几个数相加等于第三个数,相加的项数是固定的。
[例11] 2,4,6,10,16,()A、26B、32C、35D、20
[解析]首先分析相邻两数间数量关系进行两两比较,第一个数2与第二个数4之和是第三个数,而第二个数4与第三个数6之和是10。依此类推,括号内的数应该是第四个数与第五个数的和26。故选A。
之二:前面所有的数相加等到于最后一项,相加的项数为前面所有项。
[例12] 1,3,4,8,16,()A、22 B、24C、28D、32
[解析]这道题从表面上看认为是题目出错了,第二位数应是2,以为是等比数列。其实不难看出,第三项等于前两项之和,第四项与等于前三项之和,括号内的数应为前五项之和为32。故选D。
11、减法规律。是指前一项减去第二项的差等于第三项。
[例13] 25,16,9,7,(),5A、8 B、2C、3D、6
[解析]此题是典型的减法规律题,前两项之差等于第三项。故选B。
12、加减混合:是指一组数中需要用加法规律的同时还要使用减法,才能得出所要的项。
[例14]1,2,2,3,4,6,()A、7B、8C、9D、10
[解析]即前两项之和减去1等于第三项。故选C。
13、乘法规律。之一:普通常规式:前两项之积等于第三项。
[例15] 3,4,12,48,()A、96B、36C、192D、576
[解析]这是一道典型的乘法规律题,仔细观察,前两项之积等于第三项。故选D。
之二:乘法规律的变式:
[例16]2,4,12,48,()A、96B、120C、240D、480
[解析]每个数都是相邻的前面的数乘以自已所排列的位数,所以第5位数应是5×48=240。故选D。
14、除法规律。[例17]60,30,2,15,()A、5B、1C、1/5D、2/15
[解析]本题中的数是具有典型的除法规律,前两项之商等于第三项,故第五项应是第三项与第四项的商。故选D。
15、除法规律与等差数列混合式。
[例18]3,3,6,18,()A、36B、54C、72D、108
[解析]数列中后个数字与前一个数字之间的商形成一个等差数列,以此类推,第5个数与第4个数之间的商应该是4,所以18×4=72。故选C。
思路引导:快速扫描已给出的几个数字,仔细观察和分析各数之间的关系,大胆提出假设,并迅速将这种假设延伸到下面的数。如果假设被否定,立刻换一种假设,这样可以极大地提高解题速度。
第五种—平方规律:是指数列中包含一个完全平方数列,有的明显,有的隐含。
16、平方规律的常规式。
[例19]49,64,81,(),121A、98B、100C、108D、116
[解析]这组数列可变形为72,82,92,(),112,不难看出这是一组具有平方规律的数列,所以括号内的数应是102。故选B。
17、平方规律的变式。之一、n2-n
[例20]0,3,8,15,24,()A、28B、32C、35D、40
[解析]这个数列没有直接规律,经过变形后就可以看出规律。由于所给数列各项分别加1,可得1,4,9,16,25,即12,22,32,42,52,故括号内的数应为62-1=35,其实就是n2-n。故选C。
之二、n2+n
[例21]2,5,10,17,26,()A、43B、34C、35D、37
[解析]
这个数是一个二级等差数列,相邻两项的差是一个公差为2的等差数列,括号内的数是26=11=37。如将所给的数列分别减1,可得1,4,9,16,25,即12,22,32,42,52,故括号内的数应为62+1=37,,其实就是n2+n。故选D。
之三、每项自身的平方减去前一项的差等于下一项。
[例22]1,2,3,7,46,()A、2109B、1289C、322D、147
[解析]本数列规律为第项自身的平方减去前一项的差等于下一项,即12-0,22-1=3,32-2=7,72-3=46,462-7=2109,故选A。
第六种—立方规律:是指数列中包含一个立方数列,有的明显,有的隐含。
16、立方规律的常规式:
[例23]1/343,1/216,1/125,()A、1/36B、1/49C、1/64D、1/27
[解析]仔细观察可以看出,上面的数列分别是1/73,1/63,1/53的变形,因此,括号内应该是1/43,即1/64。故选C。
17、立方规律的变式:
之一、n3-n
[例24]0,6,24,60,120,()A、280B、320C、729D、336
[解析]数列中各项可以变形为13-1,23-2,33-3,43-4,53-5,63-6,故后面的项应为73-7=336,其排列规律可概括为n3-n。故选D。
之二、n3+n
[例25]2,10,30,68,()A、70B、90C、130D、225
[解析]数列可变形为13+1,23+1,33+1,43+1,故第5项为53+=130,其排列规律可概括为n3+n。故选C。
之三、从第二项起后项是相邻前一项的立方加1。
[例26]-1,0,1,2,9,()A、11B、82C、729D、730
[解析]从第二项起后项分别是相邻前一项的立方加1,故括号内应为93+1=730。故选D。
思路引导:做立方型变式这类题时应从前面几种排列中跳出来,想到这种新的排列思路,再通过分析比较尝试寻找,才能找到正确答案。
第七种—特殊类型:
18、需经变形后方可看出规律的题型:
[例27] 1,1/16,(),1/256,1/625A、1/27B、1/81C、1/100D、1/121
[解析]此题数列可变形为1/12,1/42,(),1/162,1/252,可以看出分母各项分别为1,4,(),16,25的平方,而1,4,16,25,分别是1,2,4,5的平方,由此可以判断这个数列是1,2,3,4,5的平方的平方,由此可以判断括号内所缺项应为1/(32)2=1/81。