简介

共轭复数
共轭复数,两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。
当虚部不为零时,共轭复数就是实部相等,虚部相反,如果虚部为零,其共轭复数就是自身。(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate)。[1]

公式

根据定义,若z=a+bi(a,b∈R),则zˊ=a-bi(a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称(详见附图)。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数。在复平面上。表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭"。如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反。[2]
共轭复数有些有趣的性质:

代数特征

(1)|z|=|z′|;
(2)z+z′=2a(实数),z-z′=2bi;
(3)z· z′=|z|^2=a^2+b^2(实数);

加法法则

复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

减法法则

两个复数的差为实数之差加上虚数之差(乘以i)
即:z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i

乘法法则

复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i^2 = -1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即:z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+(bc+ad)i.

除法法则

复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算。
即:

开方法则

若z^n=r(cosθ+isinθ),则z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2,3……n-1)

共轭法则

z=x+iy的共轭,标注为z*就是共轭数z*=x-iy
即:zz*=(x+iy)(x-iy)=x-xyi+xyi-yi=x+y
即,当一个复数乘以他的共轭数,结果是实数。
z=x+iy 和z*=x-iy 被称作共轭对

运算特征

(1)(z1+z2)′=z1′+z2′
(2) (z1-z2)′=z1′-z2′
(3) (z1·z2)′=z1′·z2′
(4) (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0)
总结:和(差、积、商)的共轭等于共轭的和(差、积、商)。

模的运算性质

① | z1·z2| = |z1|·|z2|
②| z1|-| z2|≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
③| z1-z2| = | z1z2|,是复平面的两点间距离公式,由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线
PS:z′表示复数z的共轭复数(实际形式为z上一横),z″表示复数z的共轭复数的共轭复数(为z上两横),即z〃=z。

参考

^王静先,王昭海. 共轭复数的性质在初等几何问题中的应用[J]. 考试周刊,2011,(41):55-56.^洪楠. 关于共轭复数的三个结论及其应用[J]. 新高考(高二版),2009,(03):33-34+43-44.