“幻方”的口诀
小学时,老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目,记得金庸先生写的著名的
武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年,而黄蓉
不到一分钟就完成那个幻方,那么有没有什么诀窍呢?后来,在一些书上看到,对于
奇数阶的幻方,有如下的口诀:
一居首列正中央,依次斜填左上方;
左出框时向右写,上出框时往下放;
遇到重合无处填,退居原数右邻行。
举例(3阶幻方):
注:*表示还没有填数字的空位置
步骤(1):即“一居首列正中央”
步骤(2):即“依次斜填左上方,左出框时向右写(上一行最右列)”
步骤(3):即“上出框时往下放(左一列最下一行)”
步骤(4):即“遇到重合无处填”,(也就是左上方已经写有数字),“退居原数右邻行”,
(将要填写的数字放到本行靠右一列)
步骤(5):
步骤(6):
步骤(7):注意:左上角位置的左上方位置是右下角,即6的左上方是已经填写了数据的4的位置,
根据口诀“遇到重合无处填”,此时
步骤(8):即“上出框时往下放(左一列最下一行)”
步骤(9):即“依次斜填左上方,左出框时向右写(上一行最右列)”
只要是奇数阶魔方,都可根据此“口诀”构造。
双偶阶幻方
n为偶数,且能被4整除 (n=4,8,12,16,20……) (n=4k,k=1,2,3,4,5……)
先说明一个定义:
互补:如果两个数字的和,等于幻方最大数和最小数的和,即n*n+1,称为互补。
先看看4阶幻方的填法:将数字从左到右、从上到下按顺序填写:
这个方阵的对角线,已经用蓝色标出。将对角线上的数字,换成与它互补的数字。
这里,n*n+1 = 4*4+1 = 17;
把1换成17-1 = 16;把6换成17-6 = 11;把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写。写好后,按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数,
一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字
换成互补的数字,就构成幻方。
下面是8阶幻方的作法:
(1) 先把数字按顺序