一、 整体观察在解题之前, 首先观察待求与已知条件的关系, 着眼于全局, 以宽广的思维意识处理问题, 这种方式能避免繁冗。 例 1 求函数 =1 + sinx + cosx + (sinx + cosx) 的值域分析: 将 sinx + cosx 看作是一个整体, 为了方便地计算,引 进参数 t, 从而简化运算解: 设 t= sinx + cosx= sin(x + ) ∴ t [ - , ] 则原函数可化为 =t + t + 1=(t + ) + 因为 t [ - , ] , ..所以当 t= 时, =3 + ; 当 t=— 时, = 所以函数的值域为 [ , 3 + ] 　　二、 整体配对就是将所给的一个命题配上一个它的对偶命题, 所构成的对偶式, 如正弦配余弦, 然后对两个式子进行运算, 可简化求解。例 2 求证: cos cos cos … cos = ( n N )证明 : 设 a= cos cos cos … cos , b= sin sin sin … sin 则 a b= sinx sin sin sin … sin = sin sin sin … sin sin = b因为 b ≠ 0, 所以 a= ∴ 三、 整体代入在代入已知量求值问题中, 把握问题全局, 认清 相关量之间的联系, 整体代入求解。例 3 已知 tan( ) = m , 求 sin2 分析: 若从 tan( ) = = m tan = , 再将 tan 代入 sin2 = 高等教育 70 赤子 | www.c hina c hizi.org | 201 3.1 1。 这种常规思路, 顺理成章, 但运算繁难。 若将 tan( ) = m 作为整体代入, 则灵活简便得多。解 : sin2 = - cos( + 2 ) = - cos2( + ) = - = 四、 整体构造这是一种将研究对象视为局部, 依此拓展为一整体, 通过对整体的研究, 求得局部的思考方法。例 4 不查表, 求 A=sin1°sin3° sin5° …sin89° 的值。分析 将 A 看作局部 , 构造整体B= sin1°sin2°sin3°sin5° …sin89° , 将问题化为求整数 B。B= (sin1°sin89° )(sin2°sin88° ) …(sin44°sin46° )sin45° =(sin1°cos1° ) (sin2°cos2° ) …(sin44°cos44° )sin45° = 44sin2°sin4° … sin88° = 从而 A= 五、 化弦(切) 法例 5 已知 tan =2, 求 : ⑴ ⑵ sin - sin cos + 5cos 解: ⑴ = = = = - 3⑵ sin - sin cos + 5cos = = = = = 点评: 利用齐次式的结构特点( 如果不具备, 通过构造办法得到) , 进行弦、 切互化, 就会使解题过程简单。六、 数形结合数形结合是数学的重要思想方法, 它不仅对沟通代数, 三角 与几何的内 在联系有指导意义, 而且对开阔思路, 完善思维品质有着重要的作用。 分析题目 的数形特征, 从形中觅数, 数中思形, 把抽象的“数” 转化为直观的“形” , 往往能避免繁琐计算。例 6、 在 ABC 中,已 知 AB= , cosB= ,AC 边 上 的 中 线BD= , 求 sinA分析与解 设 E 为 BC 的 中 点, 连接 DE, 则 DE ∥ AB 且DE= AB = 设 BE=x, 在 BDE 中, 利用余弦定理可得:BD = BE + ED - 2BE・ED・cos ∠ BED ∴ x + + 2・ ・ ・x = 53x + 4x - 7=0解得 x = 1, x = - ( 舍去 ) 故 BC =2从而 AC =AB + BC - 2AB・BC・cosB= ∴ AC = ∵ sinB = ∴ = ・ ∴ sinA = 七、 巧用有界性例 7 求函数 = 的最值解析: 由 = cosx - 2sinx = - sin(x + ) = - sin(x + ) = 考虑到 ∣ sin(x + ) ∣ ≤ 1 得∣ ∣ ≤ 1解出 ≥ 所以 = , 无最大值八、 类比联想例 8 已知 为非零常数, x R, 且 (x + ) = 。 问 (x) 是否是周期函数? 若是, 求出它的一个周期; 若不是, 请说明理由。分析: 由 于探索的是周 期函数的问题, 容易联想到三角函数。 又 (x + ) = 的结构形式极易与 tan(x + ) = 进行类比, 故可把 tanx 看成是 (x) 的一个原型实例, 且题中的 相当 于实例中的 。 由于周期函数 tanx 的周期 T =4・ , 故可猜想 (x) 也为周期函数, 且周期为 4 .解: (x + 2 ) = 〔 (x + ) + 〕 = = = - 则 (x + 4 ) = 〔 (x + 2 ) + 2 〕 = - = (x)所以 (x) 是周期函数, 且 4 是它的一个周期。解决三角函数问题, 方法颇多, 只要我们做问题的有心人,重视观察, 善于联想, 勤于分析、 总结, 简捷、 明了 的神来之笔油然而生。 高等教育