一、球的内接三棱锥的底定高动此类问题转化为求球的内接三棱锥的高的最大值.例1 已知点A,8,C,D均在球0上,AB=BC=一2,ff怕,AC=3,若三棱锥D—ABC体积的最大值为半,则4球0的表面积为( )(A)36竹 (B)16耵1‘(C)12耵 (D)半丌解析:设AABC的外接圆的圆心为0,则当DO,j-平面ABC时,如图1,三棱锥D—ABC的体皇积最大,此时,%一佃。=÷·号× 33 2一。√(万)2一‘虿3)2 DO·D金g-.jcD:i1.f年yDO。,所以争”擎jDO。-3.在AABC中,3 2=(万)2+(万)2—2×万×万c。sB,即c。sB=≠去=一丁1,解得B=1200.i故sinl200=2r,解得r=怕·从而R2=(后)2+(R—D01)2,即R2=3+R2—6R+9,解得R=2,于是,S球表=4"trR2=16亿故选(B).例2 AABC的三个顶点在球0的一个截面上,AB=1,AC=2,/BAC=60。,点P在球面上运动,且三棱锥P—A曰c的体积最大值为型学,则球D的表面积为( )(A)20,tr (B)16竹(c)25盯 (D)2_0订解析:如图2,在AABC中, 尸BC2=22+1 2—2 x 2×1×cos60。一‘j=3,所以BC2+AB2=AC2,从而,+』ni、、AC为AABC外接圆的直径.设/\·L/ 、、AC的中点为0。.。o/、 j:()『二///7亡因为三棱锥P—ABC的底面“ 、B~。全嚣望昊雾裟箍吴’誓凳图2当其高最大时,其体积最大.因为一当P0,上平面ABC时,三棱锥P—ABC的高最大,最大po。,此时有÷×虿1×l×万×PD。=半,由此解得PO。=2+万.设球的半径为R,连接OC,在RtAOCO,中,OC2作者简介:武增明(1965一),男,云南省玉溪人,本科,中学高级教师,主要从事高中数学教学研究·34·/了万方数据 =CO;+ooj,所以有R2=1 2+[(2+万)一R]2,解得R=帕,则球0的表面积为S=4,trR2=20,tr.故选(A).例3表面积为16'rr的球面上有四个点P,A,B,c,且AABC是边长为狮的等边三角形,若平面PAB上平面ABC,则棱锥P—ABC体积的最大值为一解析:设球的半径为尺,一AABC的外接圆的半径为r,则//+ ,,?冀\依题意,得4,rrR2=16"rr,解得R//,,一一亨≯:o:、\2厶C ,,’未务、、、j由正弦定理,得蒜smO=、兮≥。·一二矽’ U” \、L/2r,解得r=2. \一~⋯一/从而AABC的外接圆的半图3径就是球的半径,即AABC的外接圆的圆心就是球心.因为三棱锥P—ABC的底面AABC的面积是定值,即S枷c=i1×狐×2、/百sin60。=够.所以当三棱锥P—ABC的高最大值时,其体积最大.取AB的中点记为D,当PD上AB时,PD的值最大,如图3,即三棱锥P—ABC的高最大,此时,PD=h厣萨=石西:、瞪—’:尽.故三棱锥P—ABC的体积的最大值为诈枷。=i1 5雠·PD=百1×矩×万=3.二、球的内接三棱锥的底动高定此类问题转化为求球的内接三棱锥的底面三角形的面积的最大值,进而转化为求圆内接三角形的面积的最大值.例4 AABC的三个顶点在球D的一个截面上,在AABC中,内角A,日,C所对的边分别为a,b,c,若B=60。,n+2c=3,点P在球面上,且点P到平面ABC的距离为12,则三棱锥P—ABC的体积的最大值是一解析:由三角形的面积公式及均值不等式,得s伽。=÷⋯sinB=譬口·2c≤譬·(半)2=面积的最大值为尝.所以三棱锥P—ABc的体积的最大值为÷×鉴×1,一塑1。8‘三、球的内接三棱锥的底动高动此类问题转化为求球的内接三棱锥的底面三角形的面积的最大值和相应高的最大值.这时,要注意到底面三角形的面积取得最大值的同时,相应的高取得最大值.1.先用几何的方法确定高何时最大,然后去算出此时的高的值,再去算底面三角形的面积的最大值⋯.例5 三棱锥P—ABC内接于球0,球0的表面积是24,rr,/BAC=孚,Bc=4,则三棱锥P—ABC的最大体积是—.解析:设球的半径为R,AABC的外接圆的圆心为0,,AABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则依题意,得4,rrR2=24,rr,由此解得R=√石.在AABC中,由余弦定理,得16=b2+c2一bc,即16+6c=62+c2.由均值不等式,得16+bc=b2+c2≥2bc,由此得bc≤16,当且仅当b=c=4时,6c取得最大值16,这时S△僦取得最大值÷×16×sin60。=4届.此时,三棱锥P—ABC的高的最大值为R+00。,iffi oo。=孚,故尺+00。=厢+垣3=警.所以三棱锥P—ABC的最大体积是÷×了1×16×。in60。×华:单.例6 求半径为R的球内接正三棱锥的最大体积.解析:正三棱锥底面积和高是影响球内接正三棱锥体积变化的两个变量,它们又都和正三棱锥底面三角形外接圆的半径相关.于是,引进底面三角形外接圆半径这一中间变量,利用它消去底面积和锥高中的一个,把留下的那一个作为函数的自变量.如图4,由射影定理,得0。A2=PO。·0。S.若设正三棱锥的高PO。堕32,当且仅当口=2c=吾时等号成立,所以△ABc的 为^,则。。A2=^(2R一矗).而Js△僦=争B2=娴霸翩.35.万方数据 !塞!塑 垒堡丝鲎亟《字(2DiAsin60。)2=等m尺一^).所以K枷。=÷.S△删·^=万Th2(2R训=万.告·虿h·(2R —h)≤妻+了h+(2R一^)万[王乏-兰],:Jp图4筹k3.当争=2R一^,即^=÷霞时,球内接正三棱锥有最大体积铷,.例7 已知三棱锥P—ABC的所有顶点都在表面积为16耵的球0的球面上,AC为球0的直径.当三棱锥P—ABC的体积最大时,设二面角P—AB—C的大小为0,则sin0=( )(A)T2(B)鱼3(c)孚 (D)孚解析:设球O的半径为R,则依题意,得4,trR2=16,tr,解之得R=2.记三棱锥P_卅Bc的体积P为y,设其高为h,则y。,,7 7//7。:\\、\\、、.一、?、12了1 s伽^一◇__基⋯.≥f当且仅当S△僦的值最大,\、、\'2~一二音,7,,且h的值最大时,‰大.\\~一一/7因为当PO上平面ABC时.PO的值最大,即h的值最大.y.s伽。=扣B·曰c≤虿1·=÷·(2R)2=R2=4,当且仅当AB=Bc时,等号成咔立,即S△僦取得最大值4.故当且仅当AB=BC,且h=PO时,y最大,此时h=2,BC=短,此时,过0作BC的平行线交AB于点D,连接PD,如图5,则A_PDO=0,OD=拉,PD=佰,所以sin0=丝:三:鱼,从而选(c).PD 3佰”⋯”1一一⋯2.过三棱锥的一条棱作对棱的垂面,转化为求对棱间的距离的最大值(两动异面直线间的距离的最大值)‘11例8 =--St锥A—BCD内接于半径为√亨的球0中,AB=CD=4,则三棱锥A一曰cD的体积的最大值为( )(A)43 (B)83(c)了16(D)3了2解析:满足条件的三棱锥A—BCD有无数个.为使棱AB,CD的长与三棱锥A—BCD的体积联系起来,可作平面PCD,使棱AB上平面PCD,垂足为P;又作P日j-CD,垂足为H,则总有n埘。=了1-s△PcD·AB=百1.CD.PH.AB:pH.设AB,CD的中点分别为E,F,则OE上AB,OF j-CD,如图6.又因为线段P日是异面直线 jAB,CD的公垂线段,B≮所以PH≤EF≤OE+OF,当且仅当0,E,F三点共线,且P与E重合、H与F重合时,两个不等式的等号同时成立,妗。图6从而P日。。=2~/石万r刁=2~/(万)2—22=2,于是(n一脚)。。