对一些特殊的函数,例如幂指函数,或者乘、除、指数特别多的函数,用通常的求导法来求导数,可能会有一些困难,要么是没有可用的公式,要么就是太复杂,这时候,对数求导法就比较好的解决了这个问题。
笔记下载:对数求导法
对数求导法的方法是将函数两边同时取对数,利用对数函数的性质与运算规律,可以将幂指函数化成函数的积,将函数的乘除化成加减,然后利用隐函数求导法来求导,从而大大简化了求导的过程。
对于幂指函数来说,它们的导数可以通过对数求导法来求,也可以通过复合函数求导法则来求。我们看看如何使用这两种方法来求幂指函数的导数。
例1:求\(y=x^{\sin x}\) 的导数。
解:我们用两种方法来求这个函数的导数。
(I)用复合函数的求导法则。这个函数我们不能直接应用复合函数的求导法则来求,那是因为它即不是幂函数,也不是指数函数。所以它的复合规则不是幂函数与指数函数的复合。如果要应用复合函数的求导法则,就要先弄懂它的复合规则。
我们将这个函数变形,取\(e\) 底再取对数,\[y=x^{\sin x}=e^{\ln (x^{\sin x})}=e^{\sin x\ln x}\]现在我们可以就用复合函数求导法则,这是一个指数函数的复合函数。
\[y’=\left(e^{\sin x\ln x}\right)’=e^{\sin x\ln x}(\sin x\ln x)’=e^{\sin x\ln x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]
我们再用对数求导法来求这个函数的导数。
(II)对数求导法。对函数两边取对数,我们有\[\ln y=\sin x\ln x\]两边对 \(x\) 求导,将\(y\) 看成是 \(x\) 的函数,应用隐函数求导法则, 我们有
\[\frac{1}{y}y’=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\]两边同乘以 \(y\),就有\[y’=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]将\(y\) 的表达式代进去,就得到了\[y’=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]
我们现在看另外一种题型。
例2:设\[y=\frac{\sqrt[3]{3x^2-5}\sqrt[5