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1.(变力的功)
根据物理学知识,力是一个矢量,在数学中可以用向量来表示:
位移也是一个矢量,在数学中同样用一个向量来表示,记作:
则力F在点
处产生一个位移
,所做的功是一个标量
2,当平面坐标
处质点在力的作用下沿着弧线运动时产生一个非常小的位移
, 由于位移非常小,则是的力可以用一个近似值来替代
,在这小段位移中的功可以表示为
取积分便得到,质点整个运动过程所做的功 : (在各个坐标轴方向上取积分求和)
2. 对坐标的曲线积分的定义:
3.空间曲线的情形:(各个坐标分量方向的积分的和,由于功是俩向量的内积,因此是对应坐标相乘取积分。)
4.对坐标的曲线积分的计算,同对弧长的曲线积分由类似的计算公式:
5.在里F的作用下,质点沿正向运动产生的正功,沿负向运动产生的是负功 。 因此,对坐标的积分是有方向的 。
6.在引入参数方程之后,曲线积分中的P和Q实际都是关于t的医院函数 , 实际上是在
上对函数
的一元函数做定积分。
7.形如:
的积分,可以看成是缺少项
的曲线积分 。 按照实际意义,可以理解为,力F的y分量横为零。
8.例题:
计算曲线积分
,其中L为抛物线
上从点A(1,-1)到点B(1,1)的一段弧。
解答:
方法一:
根据曲线积分的计算方法,把y看成参数,则有
于是
方法二:
也可以把,积分曲线表达式中的x看成参数,由于二次函数
关于自变量y 的反函数,x=x(y) 不存在,所以需要分段考虑,在分段区间上行,就可以保证反函数存在,然后利用曲线积分的分段可加性几
TIP:在对坐标的积分,利用参数方程进行计算的时候,下限是参数在起点处的取值 ,上相是参数在终点处取得的值;这区别于对弧长的曲线积分;对弧长的曲线积分,转化为定积分的时候,积分下限是参数取值的下限,积分上限取值是参数的取值上限。
对坐标的曲线积分,当积分曲线平行于坐标轴时:
当积分曲线平行于x轴时:
,这是因为这时,参数方程可以写成:
于是
。 (即是,积分变量y无法取得增量,因此,转化而来的定积分的积分区间长度为0,因此为零。)
类似地,积分弧段是平行于y轴的直线时:
,若
,则曲线积分是零。
记忆技巧:积分弧段平行于x轴时,只有x分量;积分弧段平行于y轴时,只有y分量 。
例题:
计算曲线积分:
其中L为一条折线,OAB,这里O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,0),(1,1) 。
解答:由于这是积分弧段,是分段光滑的,根据曲线积分的分段可加的性质得
根据平行于坐标轴的积分的运算规律(于x轴平行,无法取得y的增量,只有x ;于y轴平行,无法取得x的增量,只有y。)
例题:
设L为xoy 面内x 轴上从点(a,0)到点(0,b)的一段直线,证明: