第11 讲 积分变上限函数及性质 知识点 1:有关积分变上限函数概念及性质的命题 x 1. 积分变上限函数的定义:称函数(x ) a f (t )dt 为积分变上限函数 2. 积分变上限函数的性质: x 性质 1:设函数f (x ) 在[a,b] 上连续,则其积分变上限函数(x ) a f (t )dt 在[a,b] 上是可导的,且(x ) f (x ) 。 x 性质 2 :设函数f (x ) 在[a,b] 上连续,则其积分变上限函数(x ) a f (t )dt 是f (x ) 的一个原函数。 3.积分上限函数的求导公式: d h ( x ) 公式 1: dx (g (x ) f (t)dt) f ([h(x)]h (x) f [g(x)]g (x) ; d x x 公式 2 : ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; dx a g x f t dt g x a f t dt g x f x d x 公式 3 :dx (a f ()dt) ,其中是x ,t 的二元函数,一般通过换元,即令 u ,最 终转化为公式 1 的形式。 题型 1:直接对积分变上函数求导: l nx f (x ) F x ( ) f t (t )d ,则F (x ) ________ 。 例1:设 为连续函数,且1 x 1 1 1 1 1 解: 由公式1 得 F (x ) f (ln x)(ln x ) f ( ) ( ) f (ln x ) f ( ) ( 2 ) x x x x x d x 例2:设 连续,则f(x ) xf t 。 0 ( )dt ________ dx d x d x x 解: 由公式2 可得 xf t x f t f t xf x 0 ( )dt [ (0 ( )dt)] 0 ( )dt ( ) dx dx d x 2 2 例3:设 为连续函数,则f(x ) 0 tf (x t )dt ________ dx 解: 令x2t2 u ,则2tdt du 当t 0 时, 2 u x 当t x 时,u 0 2 x 2 2 0 du 1 x 则tf x t f u f u du 0 ( )dt x 2 ( )( 2 ) 2 0 ( ) 2 1 x 2 所以原式 f u du f x x 。 ( 2 0 ( ) ) ( ) 题型 2:有关积分变上函数极限与连续的命题: 2 1 x t 例1:求正常数a 与b ,使等式lim 0 2 dt 1 成立。 x 0 bx sin x a t 解: 由罗比塔法则得 2 x 2 原式 lim a x x 0 b cos x 由于分子极限为零,且原式极限为1,所以b 1,从而有 2 x 2 2 a x 1 x 2 原式 lim lim 1 x 0 b cos x a x 0 1 2 a x 2 所以 a 4 。 sin x 2 3 4 ( ) f x sin t dt 例2gxx(x ) x 0 f (x ) 是g (x ) 的 :设 0 , ,则当 时, ( ) (A) 等价无穷小 (B ) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D ) 低阶无穷小 解: 由于极限 sin x 2 sin t dt sin 2 (sin ) cos 0 x x lim lim 3 4 2 3 x 0 x x x 0 3x 4 x x 2 1 2 2 cos 0 lim 2 3 (sin (sin x ) ~ x ) x 0 3x 4x 3 所以选(B ) 1 x 2 例3:设函数f x 3 0 sin t dt, x 0 ,在x 0 处连续,则a _______. ( ) x 0, x 0 解: 由于函数f (x ) 在x 0 处连续,lim f (x ) a x 0 2 1 x 2 sin x 1 而lim sin t dt lim x 0 x 3 0 x 0 3x 2 3 1 则a32x0 sin 3tdt 例4:求极限lim x x 0 3 t 0 t e dt 2 2 x x sin 3tdt sin 3tdt x 2 x 0 0 sin 3 2 解:lim lim lim x 3 x x 0 3 t x 0 x x 0 x e t e dt t3 t t 0 0 e d 2sin 3x 2 sin 3x 2 lim ex lim 6 ex 6 2 2 x 0 x x 0 3x x 2 f (u)du dt 2 t 例5:已知f (x)连续,且f (2)=3,求lim . 2 x 2 (x 2) x 2 x 2 ( ) dt 2 ( ) dt f u du 2 t f u du 2 t x f (u)du 解lim lim lim 2 x 2 (x 2) x 2 (x 2)2 x 2 2(x 2) 2 x f (u)du lim x 2 2(x 2) f (x ) 1 1 3 lim lim f (x ) f (2) . x 2 2 2 x 2 2 2 题型 3:有关积分变上函数微分的命题: 2 x cost d 2 y 例1:设 2 t2 1 ,求2。ytcos t cos udu dx 1 t 2 u 2 2 2 2 2t 2 cos t 2t sin t cos t 2 dy y t 2 t 解: t dx x 2t sin t2 t d 2 y (t ) 1 dx2 x 2t sin t 2 t d 2 y 1 2 dx 2 t 2 y 2 x dy 例2:设y y (x ) 是由方程 et dt cos tdt 0 所确定的隐函数,求.0 0 dx 解: 对方程两边分别求关于x 的导数得 2 y e y cos x 0 cos x 整理得 y 2 y e f (x ) 1 例3:设连续函数f (x ) 满足lim 2 ,令F (x ) 0 f (xt )dt ,求F (0) . x 0 x f (x ) f (x ) 解:由lim 2 lim f (x ) lim x 0 x 0 x x 0 x 0 x 又f (x ) 连续,故f (0) 0 1 1 F (x ) 0 f (xt )dt F (0) 0 f (0)dt 0 1 x 1 0 f (xt )d(xt ) 0 f (u )du F (x ) 0 f (xt )dt x x x F (x ) F (0) 0 f (u )du f (x ) F (0) lim lim 2 lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 2x 题型 4 :有关积分变上函数导数的应用问题: 例1:设函数f (x ) 在区间[a,b] 上连续,在区间(a,b) 内可导,且f (x ) 0 ,证明函 1 x 数F (x ) a f (t )dt 在(a,b) 单调递减. x a x (x a) f (x) f (t )dt a 证明: F (x ) 2 (x a ) ( ) ( ) ( ) () x a f x x a f [ , ] a x ( )2 x a ( )[ ( ) ()] x a f x f [ , ] a x ( )2 x a 由于 f (x ) 0 所以 f (x ) 单减 所以 f (x ) f () 0 ( x ) 所以 F (x ) 0 1 x 所以 F x f t t 在(a,b) 单调递减. ( ) a ( )d x a x ln t 2 例2:求函数I (x ) e t2 t dt 在区间[e,e ] 上的最大值。 2 1 ln x 2 解: I x x e e ( ) 2 0 [ , ] x x 2 1 I (x ) 2 2 则在[e,e ] 上单调增,则最大值为I (e ) 2 2 2 e ln t e 1 I (e ) 2 dt ln td ( ) e (t 1) e t 1 2 e 2 ln t e dt 1 e 1 t e t t e ln e 1e ( 1) 1 x 例3:设f (x ) 在(, ) 内连续,且F (x ) 0 (x - 2t ) f (t )dt ,试证:若f (x ) 单调不 减,则F (x ) 单调不增. x x x 证:F (x ) d d f (t )dt xf (x ) 2xf (x ) x f (t ) t 2tf (t ) x 0 0 0 x 0 f (t)dt xf (x) f ()x xf (x) x[ f () f (x)] , 其中 在x与0之间.当x0 时, x ,由f(x ) 单调不减有 f () f (x ) 0 ,即;当 F (x ) 0 x 0 时, x ,由f (x ) 单调不减有f () f (x) 0 ,即F (x ) 0 ;综 上所述知F (x) 单调不增. 题型 5:有关积分变上函数的解析式的命题: 2 x x , 0 x 1 例1:设函数f (x ) ,求F (x ) 0 f (t )dt 在0 x 2 上的表达式。 2 x, 1 x 2 解: 当0 x 1 时3xx2xF(x ) 0 f (t )dt 0 t dt 3 当1x 2 时2x12x7xFxftdt t dt t dt x ( ) ( ) (2 ) 2 0 0 1 6 2 x 3 3 , 0 x 1 综上所述F (x ) 2 7 x 2x , 1 x 2 6 2 题型 6:有关以积分变上函数作为辅助函数的积分证明问题: 例1:设f (x ) 为[0,1] 上的连续非负单调递减函数,证明对于0 1 ,不等式 0 f (x )dx f (x )dx 成立。 分析: 要证 f (x )dx f (x )dx ,即要证明 f (x )dx f (x )dx 0 0 0 x 将 换成x (x ) ,考虑函数F (x ) x f (x )dx f (x )dx (x ) 0 x 证明: 令F(x ) x f (t )dt f (t )dt (x ) 0 则 F (x ) 0 f (t )dt f (x ) 0 f (t )dt 0 f (x )dt 0 [ f (t ) f (x )]dt 0 所以 F (x ) 单调增, 又因为 F () f (t )dt 0 (0, f (x ) 0) ,所以F () 0 ,即0 f (x )dx f (x )dx >0 0 即0 f (x )dx f (x )dx 题型 7 :有关积分变上限函数的积分命题 x sin t 例1:设f (x ) 0 dt ,计算0 f (x )dx t sin x 解:显然f x ,由分部积分公式得 ( ) x 0 f (x )dx 0 f (x )d ( x ) f (x )( x ) 0 0 ( x ) f (x )dx f (x ) 0 (x ) dx 2 x 题型 8:有关积分变上限函数性质的命题 x 例1:若f (t)是连续函数且为奇函数,证明0 f (t)dt 是偶函数;若f (t)是连续函数且为 x 偶函数,证明0 f (t)dt 是奇函数. x 证:令F (x ) 0 f (t )dt . 若f (t)为奇函数,则f (-t)=- f(t),从而 x x x F (x ) f (t )dtt u f (u )du f (u )du F (x) , 0 0 0 x 所以F (x ) 0 f (t )dt 是偶函数. 若f (t)为偶函数,则f (-t)=f (t),从而 x x x F (x ) f (t )dtt u f (u )du f (u )du F (x ) , 0 0 0 x 所以F (x ) 0 f (t )dt 是奇函数.