用补形法解决立体几何问题刘合平(湖南省邵东县第一中学　422800)　　 几何中, 常将不太容易计算或不熟悉的图形的某些部分适当地向外延伸或者补加、移位, 构成一个便于计算或推导的几何图形, 这就是所谓的补形法.在教材中, 推导圆台面积、体积公式就是将圆台补形成圆锥而加以解决的.例 1　 把直角三角形 ABC 沿直角C 的平分线CD 折成平面角为θ的二面角 A -CD -B, 求 BC 与平面 ACD 所成的角 .解 　CD是直角C的平分线, 如图1, 可以把直角三角形 ABC 补成两个正方形 GFEC 和 CEBH, 翻折后形成直三棱柱 GCH—FEB , 显然 ∠BEF = θ.作BM ⊥ EF , 垂足 M 在FE 或其延长线上.∵面 BEF ⊥ 面 ACD, ∴BM ⊥ 面 ACD, 故∠BCM 为 BC 与平面 ACD 所成的角.设 BC = a, 则 BE =22a, BM =22asinθ,　　∴　sin∠BCM =BMBC=22sinθ,　∠BCM = arcsin(22sinθ).　　　　　　　　　图 1　　 评注 　 在 图中,AB、AD 、BD 及CF 这些线条可以不画出, 由于提供了一个直三棱柱作为背景, 使有关元素的位置突出和明朗.本题若从右边图形直接 入手, 则CB 在平面 ACD 内的射影位置就很难判断了.翻折问题的作图都可仿此.例 2　三棱锥 V -ABC 中, VA ⊥底面 ABC, 且VA = AB =BC, ∠ABC =90°, 则 VB 和AC 所成的角是 .解 　将三棱锥补成一个正方体, 如图 2.易知VB 与 AC 成 60°的角.　　即1 -2 +m ≤0,9 -6 +m ≤0,且1 -2n +5 ≤ 0,9 -6n +5 ≤ 0.　　解得 m ≤-3, 且 n ≥3.所以, m 的取值范围为(-∞, -3] , n 的取值范围为[ 3, +∞).例 4　已知 A ={x|x 2 +2ax +(a 2 -4)<0},B ={x|x 2 -(a +2)x +2a <0}, 若 A ∩ B =B ,求实数 a 的取值范围.解 　令 f(x)= x 2 +2ax +(a 2 -4),g(x)= x 2 -(a +2)x +2a =(x -2)(x -a),则方程 g(x)=0 的根为 x 1 =2, x 2 = a.由 A ∩ B = B , 得 B A, 知集合 B 对应的区间必被集合 A 对应的区间所覆盖.作 f(x)、g(x)的图像, 如图 4, 有f(a)≤0,f(2)≤0,即 　4a 2 -4 ≤0,a 2 +4a ≤0.　　　　　图 4　　解得 -1 ≤ a ≤0.故 a 的取值范围为[ -1, 0] .说明 　 题中只判断出 B 所对应区间的两个端点 2和 a, 由该区间被 A 所对应区间覆盖,结合二次函数根的分布情况 , 无论 2 与 a 谁大谁小,都有 f(2)≤0, f(a)≤0, 从而避开了对 a 分类讨论.由上述诸例的解答, 我们看到, 运用函数思想解决这类问题, 解法新颖、别致、巧妙, 避免了对字母的分类讨论, 学生也易于掌握.