欧拉定理 对于n维空间中的简单多面体,其零维对象数(即顶点数)D0、一维对象数(即边数)D1、二维对象数(即面数)D2、三维对象数(即体数)D3、……、n维对象数Dn: 其中符号为正负号交替出现,等式一边是各维对象数的重复加减,等式另一边是1。一般以V(Vertex)表示零维对象(即顶点)数D0,以E(Edge)表示一维对象(即边、棱)数D1,以F(Flat surface)表示二维对象(即面)数D2,以S(Solid)表示三维对象(即体)数D3,以P表示四维对象数D4。对于一般的三维空间,该公式表达为: 由于对于一个三维物体,其体数S总是1,则该公式可变形为: 三维空间中定理子式的证明 证明 如图(1)多面体,设顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,将其余的面拉平,使它变为平面图形,如图(2)我们在两个图中求所有面的内角总和Σα一方面,在图(1)中利用面求内角总和。设有F个面,各面的边数分别为n1,n2,…,nF,各面的内角总和为:Σα = [(n1-2)·180°+(n2-2)·180°+…+(nF-2) ·180°]= (n1+n2+…+nF -2F) ·180°=(2E-2F) ·180°= (E-F) ·360°(1)另一方面,在图(2)的拉开图中,利用顶点来求内角总和。设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·180°,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360°,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180°。所以,多面体所有各面的内角和为:Σα = (V-n)·360°+(n-2)·180°+(n-2)·180°=(V-2)·360°. (2)由(1)(2)得(E-F) ·360°=(V-2)·360°所以 V+F-E=2. 意义 (1)数学规律:公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律;(2)思想方法创新:在定理的发现及证明过程中,在观念上,假设它的表面是橡皮薄膜制成的,可随意拉伸;在方法上将底面剪掉,然后其余各面拉开铺平,化为平面图形(立体图→平面图)。(3)引入拓扑新学科:“拉开图”与以前的展开图是不同的,从立体图到拉开图,各面的形状,以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化,而顶点数,面数,棱数等不变。事实上,定理在引导大家进入一个新几何学领域:拓扑学。我