xy≥0,求证\[81 x^4-36 x^3 (9 y+1)+6 x^2 (9 y+1)^2-4 x \left(9 y \left(9 y^2+3 y-5\right)+1\right)+(3 y+1)^2 \left(9 y^2-2 y+1\right)\ge0\]
当且仅当(x,y)=$\left(0,-\frac{1}{3}\right)$或$\left(\frac{1}{3}, 0\right)$时取等.
如何证明呢
来源:把这帖中的椭圆x²+8y²=1改为直角双曲线x²-y²=1,则点A,B,C中必有一实两虚或一虚两实.将G点的轨迹方程中的$x$换成$\sqrt x$,$y$换成$\sqrt y$就得\[81 x^4-36 x^3 (9 y+1)+6 x^2 (9 y+1)^2-4 x \left(9 y \left(9 y^2+3 y-5\right)+1\right)+(3 y+1)^2 \left(9 y^2-2 y+1\right)=0\]
这个不等式可以扩展到$xy\geq 0$ 或者 $x\leq 0, y\geq 0$. 即从一,三象限成立, 扩展成 一,二,三象限成立。并且在第二象限有一个孤立的零点,$(x,y)=(-\frac{1}{6},\frac{1}{6})$. 四次曲线有一个孤立零点,它的亏格是0,也就是说是有理曲线。可以用过定点$(-\frac{1}{6},\frac{1}{6})$的直线的斜率来参数化原曲线。 换句话说,可以解出原方程的所有实解。我用maple 解了一下,获得的参数方程是
\[
x=\frac{(608763t^2 - 679442t + 549763)(-441 + 31t)^2}{6(583653t^2 - 296130t + 178441)^2},\quad
y=-\frac{(1214643t^2 - 1276858t + 516083)(-401 + 779t)^2}{6(583653t^2 - 296130t + 178441)^2}
\]
可以看到总有 $x\geq 0, y\leq 0$, 除去那个孤立零点外,整条曲线都在第四象限(与坐标轴有两个切点)。也就是说一,二,三象限有相同的符号,随便取个值,比如$(0,1)$, 即可确定其符号。
这个解法是通过几何思路来得到的,可以完全代数化,缺点是计算量较大。
回复2#yao4015
好方法!学到了