·平方关系:
sin^2α+cos^2α=1
1+tan^2α=sec^2α
1+cot^2α=csc^2α
·积的关系:
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系:
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数:
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式:
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t),其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B
·倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
·三倍角公式:
sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)
cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)
tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
·半角公式:
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
·积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
·其他:
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
证明:
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (积化和差)
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证