计算π的历史
圆周率π可能是科学界内外最广为人知的自然常数了。早在公元5世纪时,南朝宋数学家祖冲之用割圆法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间,印度的数学家也将圆周率计算到了小数点后5位。历史上首个π精确无穷级数公式(即莱布尼茨公式)直到约1000年后才由印度数学家发现。20世纪以来,随着计算机技术的快速发展,π的精度也在极速提高。截至2019年,π的十进制精度已高达1013位。虽然几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位,当前依然有许多科学家和爱好者为了打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法等原因,不断地向π的更高位数发起挑战。
圆周率有许多优美的数学性质,由此产生的计算圆周率的公式和算法也有成千上万。借《并行计算》实验课的机会,我对其中比较有趣和有意义的一些算法进行了一波研究,实现了代码并进行了一些测试。
方法0:蒲丰投针与蒙特卡洛方法
在介绍蒙特卡洛方法之前,先讲一个概率学上的故事:
在1777年,法国数学家蒲丰(也有译作布丰)设计了一个投针试验,实验方式如下:
1) 取一张白纸,在上面画上许多条间距为a的平行线。
2) 取一根长度为l(l≤a) 的针,随机地向画有平行直线的纸上掷n次,观察针与直线相交的次数,记为m。
3)计算针与直线相交的概率.
蒲丰经过计算,得出这个概率是:
。由此蒲丰惊奇地发现:有利的扔出与不利的扔出两者次数的比,是一个包含π的表示式.如果针的长度等于a/2,那么有利扔出的概率为1/π.扔的次数越多,由此能求出越为精确的π的值。
一些数学家在这个问题上进行了实验,结果如下:
在概率学上,蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子,他首次使用随机实验处理确定性数学问题,为概率论的发展起到了一定的推动作用。
那么在计算机中,我们也可以借鉴蒲丰投针的思想,利用随机事件发生的频率来预估出圆周率的值。当然,由于计算机能够很方便地生成随机数,没有必要使用投针的方式,只需随机生成点就可以计算出圆周率。以下描述一种简单的算法:
首先在(0,1)中生成两个随机数x,y,令(x,y)为坐标系中的一个点,那么它将均匀地分布在(0,0),(1,1)的正方形内。然后统计其中到原点的距离小于1的点的数量。这些点分布在以原点为圆心、半径为1的四分之一