当换算长度 时,属于长梁;若荷载作用点距梁两端的换算长度均 时,可忽略该荷载对梁端的影响,这类梁称为无限长梁;若荷载作用点仅距梁一端的换算长度 时,可忽略该荷载对这一端的影响,而对另一端的影响不能忽略,这类梁称为半无限长梁,无限长梁可化为两上半无限长梁。 刚性梁(3.11(b)),当换算长度 时,属于刚性梁。这时,可认为梁是绝对刚性的,即EI→∞或2→0。
长梁、短梁和刚性梁的划分标准主要依据梁的实际长度与梁和地基的相对刚度之乘积,划分的目的是为了简化计算。事实上,长梁和刚性梁均可按上一节介绍的公式进行计算,但长梁、刚性梁与短梁相比有其自身的一些特点,较短梁相比,计算可以进一步简化。
1.长梁的计算 (一)无限长梁作用集中力Pi的计算 式(3.10)可写为 (3.32)
1.长梁的计算 最后可得无限长梁右半部分的挠度、转角、弯矩及剪力: 其中 对于梁的左半部分,只需将式(3.33)中Q和改变符号即可。
(二)无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 如图3.13(a)所示无限长梁,作用集中力偶, 尽管mi作用点并不一定在梁的对称截面上,但只要mi作用点到两端满足 ,则mi作用点,就可看作是梁的对称点,因而可把梁分为两根半无限长梁(图3.13(b)、(c))。梁对称截面上的反对称条件为
(二)无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 代入式(3.10)得A1=A2=A3=0及 ,最后得无限长梁右半部分的变形及内力为: (3.34) 对于左半部分,只需将上式中y与M变号即可。
(三)半无限长梁作用初参数的计算 故有B1=-B3,B2=-B4 如图(3.14)所示的半无限长梁,梁端作用 有初参数,因 ,故可借助挠曲方程齐次解的结果,为了方便分析,采用式(3.11)的形式: 由 代入上式得 故有B1=-B3,B2=-B4
(三)半无限长梁作用初参数的计算 再由 得 最后得 (3.35) 如梁端作用有初参数 、 ,则可得 、 与、之间的关系为
(四)半无限长梁在梯形荷载作用下的计算 如图3.15所示的半无限长梁,作用分布荷载q、q,挠曲方程为式 (3.7)。容易验证, 是式(3.7)的一个特解,故在梯形分布荷载作用 下半无限长梁任一截面的变形与内力为:
2. 刚性梁的计算 如图3.16所示的则性梁,梁端作用有初参数 和 ,并有梯形分布的荷载作用,显然,地基反力也呈梯形分布,按静定梁的平衡条件,可得刚性梁的变形与内力为: (3.37)
5.算例 [例题3.1]如图3.17所示,两端自由的弹性地基梁,长l=4m,宽b=0.2m,EI=1333×103N.m2,地基的弹性压缩系数K=4.0×104kN/m3,求梁1、2及3截面的弯矩。
解:(1)判断梁的类型 考虑集中载距右端为1m, ,故属短梁。 (2)计算初参数 据式(3.31)中M、Q表达式为
将各数值代入后得 (3)计算各截面的弯矩
[例题3.2]已知弹性地基梁DE,长度l及弹性特征系数 为已知,作用荷载如图3.18所示,如果 ,试求截面的挠度 、转角 、弯矩 及剪力 。
解:(1)由于 ,故为无限长梁。 (2)求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形,然后再叠加得出地基梁总内力和总变形。应当注意,对于集中力作用情况,要分清所求截面是作用点左边,还是右边,如所求截面在作用点左边,则需将所求得的相应项改变符号。 由式(3.33)和式(3.34)得2010-4-6
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