第四章 习题4-1解选柱坐标系,在所求无源区内电位函数满足 只和相关 方程化为 由得1如图一,根据题意可知电位函数满足拉普拉斯方程。采用球坐标系 ,方程化为 积分得 42解 图一 根据边界条件 可得 2 3 43解选择直角坐标如图,由恒定电场的泊松方程可得 方程可化为设两板间距离为d,代入边界条件44解选择柱坐标系,根据恒定电磁场的拉普拉斯方程, 1 ,只在方向上有变化,所以由 时2可见,利用拉普拉斯方程与安培环路定理求出来的结果一样。4-5解选择柱坐标系,设电流为方向(1)a. 的无源区中 b. 时,所求区域为有源区0 故无意义 由而只有方向的分量故只和相关 由的连续性 c.时 由可知只与相关 时 故时 只有方向分量,只和相关 由得连续性,从区域可得 所以 2)时时 得时 由此可见。两种方法求得的、相同4-6解1)2) 其中 47解1利用镜像法 的空间中 在导体表面只存在法向场,所以2 4-8 解要使得则 49解利用镜像法可知 图一 图二如图一所示上半空间中如图二所示下半空间故在上半空间中 在直角坐标系下找出x,y,z与的关系, 图一 图二, ,下半空间中 4-10解1)时2)时411解要求导体上半空间的位函数(用镜像法) 1根据镜像法 P点到的距离为 由得平面上的面电荷密度平面上的 球面上的电荷 2)面电荷密度在平面上12解(镜像法)由题意可将球体对的吸引力转换为镜像电荷对的吸引力。4-13.解1 利用叠加原理,设圆柱内只有,则利用镜像法, 且时, 设只有,同理, 且时, 又圆柱接地, 故, 其中, (2)产生的电场为产生的电场为产生的电场为产生的电场为 若使两电荷线间作用力为0,则必在处的场的叠加为0, 即所以两电荷线之间的距离为。4-14.解(分离变量法求位函数)由于场内无电荷分布,且与在z无关,所以满足二维拉普拉斯方程及边界条件设,由边界条件可知电位在y方向有两个零点,所以应为三角函数,又因为时所以可设又因为时由得x方向上有一个零点,应为双曲函数,且时,又由边界条件时, 两边同乘以对从0到积分,且设由三角函数正交性可得 的特解为4-15.解由电位函数满足方程 ,及边界条件设,代入上述方程 由边界条件可知电位在方向有两个零点,又时,对应的应为双曲函数,且时,将时,代入设两边同乘以并将在上积分,由三角函数正交性得 4-16.如图所示系统,求的位函数解由题意可知时,列方程 ,及边界条件 由边界条件可知电位在方向上有两个零点,所以可设 又时, 所对应的应为双曲函数, 时, 时, 两边同乘以并在上对y积分,4-17.解利用叠加原理,将槽分为两个如图所以图(a) 图(b)1 求,函数满足拉普拉斯方程, 由题意可设将代入两边同时乘以使在上积分,得2同理求,3求,4-18解与无关令带入方程令得1) 当时由时 时得 故 无解2)时由得得为欧拉方程解为由 所以;两边同乘以 从0到积分,利用三角 n1.2.4-19.已知,其余五个面电位皆为零,求腔内电位分布。