1485. 2 有界变差函数教学目 的 本节介绍有界变差函数的 性质. 证明 有界变差函数的Jordan 分解定理. 教学要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan 分解定理.定义 1 设 f 是定义在区间],[ba上的实值函数. 对],[ba的任一分割,}{0niixP== 其中niix0}{=满足,10bxxxan=<<<=L 作和式:. )1−()(),(10∑=i−=niinfxfxfxxVL称),(0nfxxVL为 f 关于分割b=niix0}{=的变差. 令)( fVa}.],[},,{ : )n,,(sup{00分割是baxxxxVnfLL称)( fVab为 f 在],[ba上的全变差. 若,)(+∞M为一常数. 则 f 是],[ba上的有界变差函数.证明 对],[ba的任一分割,}{0niix= 我们有).()()()(),(1111110abMxxMxxMxfxfxxVniiiniiiniiinf−=−=−≤−=∑=∑=∑=−−−L因此).()(abMfVab−≤ 所以∈f].,[baV 149下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数.例 3 设\uf8f4\uf8f3\uf8f4\uf8f2\uf8f1=≤<=. 00, 101xsin)(xxxxf若若则 f 是] 1 , 0 [上的连续函数. 但 f 在] 1 , 0 [上不是有界变差函数. 事实上, 对任意, 1≥n 作] 1 , 0 [的分割niix0}{=使得. 1,, 1,]2)π[(, 1, 010−=+−===−niinxxxinLπ则∑=i∑=i−−−\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f7\uf8f7\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ec\uf8ec\uf8eb+−++−−>−=1211102)π(12) 1(11sin1xsin),(nniiiinfininxxxxxVπππL ∑=k∑=k−−+>−=\uf8f7\uf8f7\uf8f8\uf8f7\uf8f7\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed\uf8ec\uf8ec\uf8eb+++−=2121) 1(1)(212) 1(1nnkinkkπkππππ令令∞→n知道.)(+∞=fVab 因此 f 在] 1 , 0 [不是有界变差函数.定理 2 有界变差函数具有如下性质:). i (若∈f, ]b,[aV 则 f 是有界函数.).ii (若∈f, ]b,[aV,1R∈α则∈fα, ]b,[aV 并且b).()(αfVafVabα≤).iii(若∈gf,, ]b,[aV 则∈+ gf, ]bb,[aV 并且).()()(gVafVagfVabb+≤+ (1)).iv(若∈gf,, ]b,[aV 则∈gf. ]b,[aV).v (若∈f, ]b,[aV 则对任意 , c , bca<< 成立b+).()()(fVcfVafVacb= (2)证明 我们只证明)iii(和) v (, ) i (, ) ii (和)iv(的证明留作习题. 150对],[ba的任一分割,}{0niix= 我们有∑=i−−+−−+=niiiingfxgxfxgxfxxV1110)()()()(),,(L ).()()()()()(1111gVafVaxgxgxfxfbbniiiniii+≤−+−≤∑=∑=−−因此gf +是],[ba上的有界变差函数, 并且(1) 式成立. 故)iii(得证.往证) v (成立. 对],[ca的任一分割niix0}{=和],[ bc的任一分割,}{0mi=ix′ 将它们合并后得到],[ba的一个分割.0′0bxxcxxam′n=<<==<<=LL我们有 ).(),,()()()()(),,(),,(011110′0fVaxxVxfxfxfxfxxVxxVbm′fmii′i′niiim′fnf≤=−++−=+∑=∑=−−LLL分别对],[ca的分割和],[ bc的分割取上确界得到c).()()(fVafVcfVabb≤+ (3)另一方面, 对任意, 0>ε 存在],[ba的一个分割,}{b0niix= 使得.)(),,(0ε−>fVaxxVnfL设.1kkxcx≤ni<− 则},,,,{110cxxxk−L和},,,{nkxxcL分别是],[ca和],[ bc的分割. 注意到在ix0}{=中增加一个分点 c 后, f 关于新的分割的变差不会减小. 因此我们有b≤<−Lε).()(),,,(),,,(),,,,,,(),,()(10100fVcfVaxxcVcxxVxxcxxVxxVfVabcnkfkfnkkfnf+≤+=−−LLLL由0>ε的任意性得到).()()(fVcfVafVabcb+≤ (4)综合(3) , (4) 两式得到(2) 式. 因此结论) v (得证.设 f 是],[ba上的有界变差函数. 则对任意],,[bax∈ 由定理 2) v (知道 f 也是],[xa上的有界变差函数. 因此)( fVax是],[ba上的实值函数, 称之为 f 的变差函数. 由定理 2) v (容易知道)( fVax是单调增加的. 151定理 3 (Jordan 分解定理) f 是],[ba上的有界变差函数当且仅当 f 可以表成, hgf−= 其中 g 和 h 是],[ba上的单调增加的实值函数.