设长方体的长、宽、高分别为 长方体—4V 在四面体ABCD中,设AB 直线AB与CD 的距离为2,夹角为 ,则四面体的体积等于 解法1 如图 将四面体ABCD 补成四棱锥 A—BDCE,且BE CD,BE ,CD面ABE,所以CD 与AB 的距离即 为CD到平面ABE的距离,亦即C到平面ABE的距离 也就是三棱锥C—ABE 解法2 如图 把四面体ABCD 补成三棱柱 ABE—FCD,则面ABE 面CDF,AB CF,且CF 1,则AB与CD 的距离就是平面ABE 与平面FCD 中学数学杂志 2014 年第11 ZHONGXUESHUXUEZAZHI 解法3 如图6,把四面体ABCD 补成平行六面 体,则四面体的体积是平行六面体体积的 结论 在四面体ABCD中,设AB 线AB与CD 的距离为h,夹角为θ,则四面体的体积 如图7,PA平面ABC,ACB 90,且PA a,则异面直线PB与AC 解析 如图7 所示,把三棱锥 P—ABC 直线PB与AC 连结PD,在RtPDB中,tanPBD 如图8,四棱锥S—ABCD 的底面是边长 的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB 求证:BCSC; 求面ASD与面BSC 所成二面角的大小. 因为BC面SDCC ,所以BCSC. B,则面ASD与面BSC 所成的二面角, 即为面ADSA 所成的二面角.因为A SC,所以CSD为所求二面角的平面角,CSD 在四棱锥P—ABCD 底面ABCD 为矩形,侧棱PA 底面ABCD,AB 2.求直线AC与PB 解析 如图9 所示,把四棱锥P—ABCD补成长 —ABCD,连结 PC AC,所以 BPC PB所成角,连结 BC 中,由余弦定理可得:cosBPC 14.故AC 与PB 把互相垂直的两长(正)方形补成长(正) 如图10,已知正方形ABCD和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB 1,M是线段EF的中点. 求证:AM平面BDE; 求二面角A—DF—B的大小. 解析 如图10, 将原几何体补成长方体 ABCD—FB 设AC与BD 的交点为 O,连结 OE,则易知 OE AM,故AM 平面BDE. 作AGDF,连BG,则BG DF,所以AGB 为所求 二面角的平面角,在RtAGB 中,易求AGB 解析 由条件知AC CB,如图11,把直三棱 柱ABC—A 补成长方体ABCD—A CD中,CD 图12例10 在正三棱柱 ABC—A 中学数学杂志 2014 年第11 解析 如图12,把原正三棱柱补成直平行六面 体ABCD—A 则四边形ABCD 为菱形, 60.设BB a,连结AD 将四棱锥补成三棱锥例11 在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中,ABC 90,SA面ABCD,SA ,求面SCD与面SAB 所成二面角的正切值. 解析 如图13,延长BA、CD 交于E,连结SE. 因为AD 1,SESB. 又因为SA 面ABCD,所以面SEB 面ABCD, 因为BC EB,所以BC 面SEB,BC SE, 所以SE 面SBC,SE SC,BSC 是所求二面 角的平面角,又因为SB 图14例12 如图14,在长方体ABCD—A 2,E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB 解析 如图14,把原长方体补上一个大小与之 相等的长方体 BGHC—B GH上取一点 连结EF 中,由余弦定理易得cosEC 2114 例题讲解要“打开窗户说亮话”安徽省怀远县包集中学 去教室听课,常遇到这种情况:对于例题教学,老师在台上是不停的讲,学生在下面是不停的记,老师 讲到下题了,上题还没记完. 下课后便问学生,为什么 要记得那么详细? 学生回答很简单:怕忘了! 简单的 三个字,让笔者陷入深思,引发了对“例题应如何讲 解”的思考.例题讲解是实现“知识掌握,能力培养,意 识内化,品质提升”的主渠道,是数学教学的重要组成 部分;例题讲解必须让学生心里透亮,使之知其然,更 知其所以然. 达到融会贯通,触类旁通,才不会出现 “上课记笔记,下课看笔记” 的被动状态. 这就要求例 题的讲解要打开窗户说亮话———依据题目特征,结合 学生思维特点,化生为熟、化繁为简、化难为易,讲清 讲透讲明白.促进学生从“为何如此” 的疑惑到“原来 如此”的顿悟再到“不过如此”的通透,学生岂能再忘. 下面是笔者的思考与实践. 正本清源 从概念上讲清 的值域为R,求实数a 的取值范围. 分析 这是道常规题,表现在常见、常错、常说不 .此时老师纠错,应从病源上讲清. 学生之所以错,是没有把 “值域”,“定义域” 等概念搞清楚,老师应引导学生澄 清这样几个问题. 什么是值域? 值域是{f(x) 的定义域);值域是 R,即函数值要对应全所有的实数,一 个都不能少; 满足 中学数学杂志 2014 年第11