1 《高等数学》课程下期末复习题一 参考答案 一、填空题:(请将正确答案填在横线上。每小题 2 分,共 10 分) 1. 方程 3 2 0 y y y      的通解为21 2x xy ce c e   . 2. 已知2 2( , )yf x y x yx   ,则 2 22(1 )( , )(1 )x yf x yy。 3. 设   1yz xy   ,则 xz 2 1(1 )yy xy . 4. 交换二次积分的次序 1 0 1 dy ( , ) dyf x y x  =01 0( , )xdx f x y dy  . 5. 函数xy 2  的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !) 2 (lnnn. 二、选择题:(每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内. 每小题 2 分,共 20 分) 1. 20( ) ( ( ) ln2, ( )2xtf x f x f dt f x   若连续函数 满足关系式 ) 则 ( B ). (A) ln2xe (B)2ln2xe (C) ln2xe  (D)2ln2xe  2.非齐次线性微分方程 " 2 ' 5 sin2tx x x te t    的特解形式 x   ( D ). (A) ( ) sin2tAt B e t  (B)    cos2 sin2te At B t Ct D t       (C) ( ) sin2tt At B e t  ; (D)    cos2 sin2tte At B t Ct D t       3. 下列曲面中,( D ) 是平行 x 轴的柱面. (A)2 23 x y   (B)2 2x z y   (C)22 z x   (D)2 22 3 1 y z  . 4. ( , ) f x y 在点0 0( , ) x y 处两个偏导数存在是 ( , ) f x y 在0 0( , ) x y 处可微的( A ). (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)以上都不是 5. 设方程2 2 22 xyz x y z     确定了函数 , z f x y  ,则 , f x y 在点 1,0, 1  处的全微分 dz  ( D ). 2 (A) 2 dx dy  (B) 2 dx dy   (C) 2 dx dy   (D) 2 dx dy  6. 在下列级数中,唯有( C )是收敛的. (A) 15 101nnn (B) 1211nnn (C) 111) 1 (nnn (D) 11n n 7. 设 D 由 x 轴, e x x y   , ln 围成,则 Ddxdy y x f ) , ( ( B ).. (A) x edy y x f dxln0 0) , ( (B) x edy y x f dxln0 1) , ( (C) yedx y x f dy010) , ( (D) yeedx y x f dy ) , (10 8. 设可微函数 f(x, y)在点 ) , (0 0y x 取得极小值,则下列结论正确的是 ( A ) . (A) ) , (0y x f 在0y y  处的导数等于零 (B) ) , (0y x f 在0y y  处的导数大于零 (C) ) , (0y x f 在0y y  处的导数小于零 (D) ) , (0y x f 在0y y  处的导数不存在 9. 幂级数111 3nnnxn收敛域是 ( A ). ( A ) [-3,3) ( B ) [-3, 3] ( C ) (-3, 3) ( D) (-3, 3] 10. 10 0( , )xdx f x y dy  ( C ). (A)12 (B) 10 0( , )ydy f x y dx  (C)1 10( , )ydy f x y dx  (D) 10 0( , )xdy f x y dx  三、计算题:(每小题 7 分, 共 56 分) 1. 设yzzxln  ,求 dz . 解:设z zxFyFzF y zzxFz y1,1,1, ln ln2' ' ',      (4 分) '' 2' '2 211= , - ,1 1( )yxz zFF z z z z yzx xx F x z y F x z yz z z z         =- (6 分) 3 2dz=( )z zdx dyx z x z y  (7 分) 2. 求函数 1 1( , ) ( 0) z f x y xy xyx y     的极值. 解 2 21 10, 0,x yz y z xx y      解得驻点 (1, 1) ; (3 分) 32, A=2, xxzx2321, 1, , 2, 3 0, A>0xy yyz B z C AC By       (6 分) 故有极小值 (1,1) 3 z  (7 分) 3. 设 ( ) ( )x yz yf xgy x  ,其中 f 和 g 具有二阶连续导数,求2 22z zx yx x y   . 解 因为 z yf g gx x     (2 分) 所以 2 2 22 2 2 3 31 1 z y y y yf g g g f gx y x x x y x            (4 分) 22 2 2 21 1               z x y x yf g g g f gx y x x y x y x (6 分) 于是 2 220z zx yx x y    . (7 分) 4. 计算二重积分2d dDy xy x y ,其中 D 是由直线 , 1, 0 y x y x    所围成的平面区域. 解:积分区域如右图.因为根号下的函数为关于 x 的一次函数, “先 x 后 y ”积分较容易,所以 12 20 0d d d dyDy xy x y y y xy x      (4 分)  31 12 2200 02 1 2 2d d3 3 9yy xy y y yy      (7 分) 5. 计算二重积分 Ddxdyy xxy2 2,其中 D: y  x 及 1  x 2 + y 2  2 所围成的平面区域. 解:方法一:使用极坐标变换 4   454212 2 2sin cos    d d dxdyy xxyD (4 分)  214542 s in21   d d = 0 (7 分) 方法二: 添加辅助线: y x   ,则 D 就可以看做为即与 x 又与 y轴 对称,故 1 22 2 2 2 2 20D D Dxy xy xydxdy dxdy dxdyx y x y x y       6. 判断级数  11) 1 (nnn n 是绝对收敛还是条件收敛还是发散? 解:    1 1) 1 (1) 1 (n nnn nn n (2 分) lim lim( 2 1 3 2 1 )nn nS n n             故级数发散,原级数不绝对收敛。 (4 分) 而  11) 1 (nnn n是交错级数,且11lim 0,1n nnu un n   (6 分) 故  11) 1 (nnn n条件收敛。 (7 分) 7. 求级数 的和函数. 解: 1 | |1 2| |lim21 2  xnxnnn级数收敛, 所以收敛半径为 1. 当 1 x   时都得到级数112 1n n,发散,当 1 x  时都得到级数112 1n n ,发散. 所以收敛区域为 , 1 (-1 ) . (3 分) 令  ) (x s2 11 2 1nnxn .  ) ( ' x s2 22111nnxx (5 分) 所以20 01 1 1( ) '( ) ln2 1 1x xxs x s x dx dxx x     (-1, 1) (7 分) 8.求一阶常微分方程的特解      1 01 12 2yx xy y x. 5     2 2221 1 11 , 11xx y xy x y yxxp x q xx        解 由 得: (2 分)    2 2( )1 12 22 1 1 arcsin1x xdx dxp x dx p x dxx xy e q x e dx C e e dx Cdxx C x x Cx                      - 通解: = (5 分)    20 1 1 1 arcsin 1 y C y x x      代入 得: 。故方程特解: (7 分) 四、应用题:(本题 8 分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ,销售量分别为1q 和 2q ,需求函数分别为1 124 0.2 q p   ,2 210 0.05 q p   ;总成本函数为  1 235 40 C q q    。试问:厂家如何确定两个市场的售价,使其所获总利润最大? 解 (1)由已知条件先考虑无条件极值: 收益函数  2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2, 24 0.2 10 0.05 R p p p q p q p p p p       利润函数      2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2, , , 32 0.2 12 0.05 1395 L p p R p p C p p p p p p        (2 分) 于是由:112232 0.4 =012 0.1 =0LppLpp   得唯一驻点1 280, 120 p p   (4 分) 根据问题的实际意义, L 存在最大值,故   80,120 是 L 的最大值点, 即:两个市场的售价分别为 80 和 120 时,可获最大利润, 最大利润   80,120 605 L  . (5 分) (2)由已知条件考虑条件极值,即在1 2p p  的条件下求极值:      2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2, , , 32 0.2 12 0.05 1395 L p p R p p C p p p p p p         1 2p p   把 代人上式得:  21 1 1 1, 0.25 44 1395 L p p p p     于是令  1 1 1, 0.5 44=0 L p p p    ‘ 得唯一驻点188 p  根据问题的实际意义, L 存在最大值,故   88,88 是 L 的最大值点, 6 即:两个市场的售价统一为 88 时,可获最大利润,最大利润   88,88 541 L  (8 分) 五、证明题:(本题 6 分): 设yxz arctan  ,求证: 0 yzyxzx 证明:2 2 222 22) () ( 11,1) ( 11y xxyxyxyzy xyyyxxz  (4 分) 02 2 2 2y xxyy xxyyzyxzx (6 分) 《高等数学》课程下期末复习题二 参考答案 一、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分): 1、若2 2( , ) ln( ) 1 f x y y x y x      ,则 ( , ) f x y 的定义域 2 2( , ) 1 D x y x y x     . 2、设   2 22 2,x yf x y x y e x y    ,则 2, 2 f 22e . 3、2 22 2( , (0,0)ln(1 )limarcsin( )x yx yx y ) 1 。 4、设函数 ( ) f u 可微,且 102f  ,则 2 24 z f x y   在点(1,2)处的全微分为  1,2d 4d 2d . z x y   解:因为2 2(1,2) (1,2)(4 ) 8 4zf x y xx    ,  2 2(1,2) (1,2)(4 ) 2 2zf x y yy      , 所以      1,2 1,2 1,2d d d 4d 2dz zz x y x yx y         . 5、若xy y x f  ) , ( ,且 0  y ,则 ) , 1 ( e f xy   = 2 . 7 6、二次积分2 1 10yxdx e dy  1( 1)2e . 7、设 ( , ) f x y 连续,且 ( , ) 2 ( , )Df x y xy f u v dudv  , 其中2 2{( , ) 2 } D x y x y x    ,则 ( , ) f x y = xy . 8、设1 | | | :|   y x D,则 ( )Dx y dxdy = 43. 解:1 1 10 0 04( ) 8 8 (1 )3xDx y dxdy dx xdy x x dx        9、若级数 1nnu的部分和数列为2 1nnsn ,则3, 11, 2,3,(1 )nnunn n  . 1( )n n nu S S  10.将函数  2xf x e 展为 x 的幂级数为2xe  0( ) 2!n n nnxn. 二、选择题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分): 1、方程   dy x xydx dy dx x y2 32     是( C )。 (A) 变量可分离方程 (B) 齐次方程 (C) 一阶线性方程 (D) 以上均不正确 2、设 u(x, y)在平面有界闭区域 D 上具有连续的二阶偏导数,且满足20,ux y  2 22 20u ux y   ,则 u(x, y)的( B )。 (A) 最大值点和最小值点必定在 D 的内部 (B) 最大值点和最小值点必定在 D 的边界上 (C) 最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上 (D) 最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上 3、设 f (x , y)在0 0( , ) x y 处偏导数存在,则 f (x , y)在该点( D )。 (A) 极限存在 (B) 连续 (C) 可微 (D)以上结论均不成立 8 4、21 12 20 0( )xdx f x y dy  ( D )。 (A) 1202 ( ) f r dr   (B) 10( )8rf r dr (C) 1202 ( ) rf r dr   (D) 12 20( )4 f r dr 5、下列结论正确的是( C )。 (A) 若21nnu收敛,则1nnu必收敛 (B) 若21nnu收敛,则1nnu必发散 (C) 若1nnu收敛,则21nnu不一定收敛 (D) 若1nnu收敛,则21nnu必发散 三、计算题(共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分) 1、设直线12y x  与抛物线2y x  所围成图形的面积为1S ,它们与直线 1 x  所围成的图形面积为2S . (1) 求面积1 2S S  的值;(2)求1 2, S S 所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的旋转体的体积之和。 解:(1) 112 2211 2021 1( ) ( )2 2S S S x x dx x x dx        (2 分) 1122 3 3 21021 1 1 1 1 1 5 1( ) ( ) (1 )2 3 3 2 6 2 2 2x x x x         ??? 故1 2S S  的面积和为5 1(1 )6 2 . (4 分) (2)1 2, S S 所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积之和为 112 4 4 22101 1[( ) ] [ ( ) ]2 2xV x x dx x x dx        (5 分) 112 4 4 22101 1( ) ( )2 2x x dx x x dx        9 1123 5 5 31021 1( ) ( ) ( )6 5 5 6 30 15 2x x x x          (7 分) 2.求 " 2 y y x    微分方程 的通解 . 解:所给方程对应的齐次方程为 " 0 y y   特征方程为 1 0    ,特征根为 i   (2 分) 所以对应齐次方程的通解为 *1 2cos sin y C x C x   (4 分) 设非其次方程的特解形式为 1 0~A x A y   代入原方程解的 2 A , 于是非齐次方程的一个特解为  2 y x   (6 分) 故原方程的通解为 1 22 cos sin y x C x C x     . (7 分) 3. 设yxz arctan  ,求z zx yx y  . 解:2 2 222 22) () ( 11,1) ( 11y xxyxyxyzy xyyyxxz  (6 分) ∴ 2 2 2 20xy xy z zx yx y x y x y        (7 分) 4. 设 ( , ) 0 ax bz cy dz     ,验证 1d z b zc y a x   . 解:1 2( , )( ) ( ) 0x xax bz cy dz a bz dz           1 2( , )( ) ( ) 0y yax bz cy dz bz c dz         (2 分) 1 22 1 2 1,a cz zx d b y d b           (6 分) 故 2 12 1 2 11d bd z b zc y a x d b d b             (7 分) 5. 设2 22 22 2, 0( , ) 0, 0xyx yx y f x yx y    , 讨论 ( , ) f x y 在点(0,0) 处的连续性, 并求其偏导数. 10 解:因为 1 ,210 , 01 ) 1 (lim lim ) , ( lim2 2 2202 20000kkkkx kkxkx yy xxyy x fxyxyx令 所以 ) , ( lim00y x fyx 不存在, 所以 ) , ( y x f 在点(0, 0) 处不连续, (4 分) 但 ( ,0) (0, ) 0 f x f y   ,则 (0,0) (0,0) 0x yf f   故 ( , ) f x y 在点(0,0) 处偏导数存在. (7 分) 6.求二重积分Dydxdy,其中 D 由 y = x 2 ,y =1 及 y 轴所围成. 解: 21 10 xDydxdy dx ydy    (3 分) 2311202|3xy d y  (5 分) 1303 2 2 1(1 )3 3 4 2x dx      (7 分) 7. 计算二重积分2 22 2sin( )Dx ydxdyx y ,其中 积分为2 2{( , )|1 4}. D x y x y     解:积分区域如图. (1 分) 使用极坐标变换 cos , sin x r y r     , 由对称性,可只考虑第一象限部分,即 2 22 2sin( )Dx ydxdyx y =412 22 2sin( )Dx ydxdyx y  (4 分) 220 1sin4rd rdrr  4   (7 分) 8、求幂级数0(2 1)nnn x的收敛域,并求其和函数。 解:12 1lim lim 12( 1) 1nn nna nRa n     (1 分) 1 y x 11 当 1 x  时 ,1(2 1)( 1)nnn 发散 故收敛域为 ( 1,1)  。 (3 分) 2 1 2 120 0 0(2 1) ( )' ( )' ( )'1n n nn n ntn x t x t tt          + + (5 分) 22 2 21 1 ( 1,1)(1 ) (1 )t xt x     (7 分) 四、应用题(8 分) 某公司通过电台及报刊两种方式做某种产品的推销广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用 x 1 (万元)及报刊广告费 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式: R=15+14x 1 +32x 2 -8x 1 x 2 -2x 1 2 -10x 2 2 (1) 求在广告费用不限情况下的最优广告策略; (2) 求在限定广告费用为 1.5 万元的情况下的最优广告策略。 2 21 2 1 2 1 2 1 22 11 121 22(1) ,( ) 15 13 31 8 2 1013 8 4 00.75 1.2531 8 20 0L R x x x x x x x xLx xx xL xx xx                   解: 是无条件极值 此时的利润函数为由极值存在的必要条件得方程组 (2 分) 2 2 22 21 1 2 221 24, 8, 2016 0, 4 00.75, 1.25 .L L LA B Cx x x xAC B AL x x                   由 知利润函数 在 处达到极大值即为最大值 (4 分) 12 1 2 1 22 21 2 1 2 1 2 1 22 1111 22 21 2(2)( , , ) ( 1.5)15 14 32 8 2 10 ( 1.5)13 8 4 00 31 8 20 01.5 0F x x R x xx x x x x x x xLx xxxLx xx xLx x                             当广告费用限定为1.5万元时问题转化求条件极值.利用拉格朗日乘数法有又由极值存在的必要条件得方程组 1.5 (7 分) (8 分) 五、证明题(6 分): 已知 f(x)在[0,a]上连续,利用二重积分证明: 20 0 2 ( ) ( ) [ ( ) ]a a axf x dx f y dy f x dx    解: 更换积分次序可得 0 0 00 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a yxa y a xf x dx f y dy dy f x f y dxf y dy f x dx f x dx f y dy        ( 3 分) 0 0 0 00 020 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ]a a a x a ax xa aa a axdx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dydx f x f y dydx f x f y dy f x dx          