向量操作 通过改变一个四维向量的长度而不改变它的方向,我们可以对一个向量进行伸缩。这可以被想象成沿着原向量的方向伸长或缩短一段长度。一个长度为负数的向量与和它方向相反、长度相等的正数的向量互为相反向量。这可以想象成面沿着原向量的方向倒着走。 如果沿着两个首尾相接的向量运动,那么描述这种运动的直接结果的向量就叫做这两个向量的向量和。例如,如果一个人从点A开始沿某一向量运动到点B,又从点B开始沿另一个向量运动到点C,那么这两个向量的和向量就是从点A径直到点C的向量。向量组合 给定一组四维向量,我们可以对它们进行任意的伸缩和求和操作来得到新的四维向量。以这种方式得到的所有的四维向量的集合就叫做这一组向量的组合。这种组合可以认为是一个点通过沿着一组向量中的某些向量移动所能达到的所有位置的集合。 给定几何图形X和向量集合S,如果从几何图形X内的一个点出发,沿着向量集合S的线性组合中的向量运动,能够到达X内所有其它的点,那么我们就说这个向量集合S可以张出几何图形X。向量基底 能够张出一个几何图形X的最小向量集合叫做X的一组基底。不是所有的向量集合都是基底,因为它们可能含有赘余的向量。如果一个向量能通过集合中其他向量经过伸缩、求和而得到,那么这个向量就是赘余的。例如,如果一个集合中有两个平行的向量,那么它们中的一个可以被移除而 X 中的所有点仍然可以达到,因为能通过那个被移除的向量达到的点一定可以通过那个与它平行的向量达到。或者,如果一个向量是其他两个的和,那么它也完全可以被移除。零向量总是赘余的,因为它并不能让一个人达到任意一个除他已经能够达到的点之外的点。