定义1.2 [瑕积分]如果 在任意有限区间 都是Riemann可积, 且极限 存在, 则把瑕积分定义为否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分 当 时, 该无穷积分收敛; 当 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分 当 时, 该瑕积分收敛; 当 时, 该瑕积分发散.例1.3 例1.4 如果被积函数 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 则无穷积分 收敛当且仅当 是 的有界函数. 2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分 收敛时, 无穷积分 也收敛. 当无穷积分 发散时, 无穷积分 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 存在, 则(1) 当 时, 积分 与 同敛散.(2) 当 时, 如果 收敛, 则 也收敛.(3) 当 时, 如果 发散, 则 也发散.注:对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分 的敛散性.提示:无. \QED例2.3 积分 是发散的.证明:注意到 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑 由于且 则积分 与 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分 是收敛的.证明: 都是瑕点. 把积分区间拆成 与 (在 区间内, 出现瑕点的地方是 而在 区间内, 出现瑕点的地方是 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意而 则 收敛. 另一方面, 并注意到 则 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] 在 上的积分收敛的充分必要条件是: 当 时, 例3.2 积分 是收敛的.证明:我们只需要看被积函数在 的积分即可. 作变量代换 则 则因此积分是收敛的. \QED注:f在 积分存在不能推出 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分 是发散的.证明:【方法一】只需要考虑 的一个周期. 由于 固定m, 取 则 因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 由例3.2, 积分 是收敛的, 但是积分 发散, 则原积分发散. \QED注:方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 时, 根据幂函数 的性质, 必有 利用这个技巧可以去掉绝对值. 4 Dirichlet判别法定理4.1 [Dirichlet判别法]设 在 有界, 函数 在 中单调, 且 则积分 收敛.证明:设 则又 则 当