上一节,我们讨论了单个随机变量的情况,这一部分,我们讨论多随机变量的情况。这一部分主要包括如下几个内容:
1,如何从1走向多
2,多和1又是什么关系
3,多和多之间是什么关系
4,多和多没有关系的情况
5,多纬随机变量的函数的分布律
老子说,一生二,二生三,三生万物,确实,多了之后,带来了很多1没有的复杂性。
上面的东西其实就是对应多元随机变量的几个基本概念:
联合分布律、边缘概率、条件概率、独立与非独立关系
很多教材这几个概念都是分开讲的,但是,我认识这几个概念是密不可分的,应该先给一个整体的概念,看下面的图:
这是一个连续性的随机变量,离散型的自行脑补。
联合分布,就是上图三维分布示意图中的z轴的值。离散型记为P(X,Y),连续型概率密度记为f(x,y).
边缘分布,就是对于一个固定的x,所有y的和(离散)或者积分(连续)。离散型记为P(X),连续型的概率密度记为f(x)。其实,这就是忽略另一纬度的表示,也就是降维表示。对于西瓜的例子,如果X,Y分别表示形状和色泽,那么P(X,Y)就是在我们知道有两个纬度时候的概率,而P(X)就是我们只知道有X时候的表示,可见一部分Y的值,被压缩到同一个X中了。连续性的见下图的解释。
条件分布,有两种,在已知Y的前提,X的条件概率,或者是已知X的前提,Y的条件概率。这里有点绕。注意两点,第一,在已知Y的前提,X的条件概率,是概率空间的压缩,也就是条件概率一般大于联合分布的概率。第二,这是理解上特别注意的,条件概率不是在上面图中的一条线有意义,其是整个平面有意义的,也就是虽然是条件概率,还是对整个XY平面全部有定义的。这里有点绕,如果看不明白,你就多看几遍。
两个随机变量的关系,大的来分,第一种,没有任何关系,就是相互独立的随机变量,第二种,两个随机变量有某种“不正当关系”。相互独立的随机变量,就是所有二纬事件空间内,联合概率等于两个随机变量的边缘概率乘积。不独立,就复杂了,有各种因素导致不独立,我觉得如果认真深入研究不独立,需要深入的“泛函分析”和“测度论”的知识,但是,也有几种粗略的研究,就是后面会讲到的“协方差”以及“信息论”。协方差,只是研究线性关系,当然,非线性关系,只有“泛函分析”才能处理的。“信息论”也是一种讨巧的方法。
以上就