2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题7 二次函数与菱形存在性问题 我们已经知道菱形是特殊的平行四边形,它的判定方法一共有五种,分别是 四边都相等的四边形是菱形;两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ;邻边相等的平行四边形 是菱形;对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ;一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形. 在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种. 二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目,结合了“分类讨论思想”,“方程思想”“菱形的判定方法”, 势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多,纵观历年中考真题,菱形存在性问题主要是以“两定两动” 为设问方式,其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的;两动指的 是其中一个动点在一条直线或者抛物线上,另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者 抛物线上. 【例1】(2020•阜新)如图,二次函数y=x 轴上的一动点,PMx轴,交直线AC 于点M,交抛物线于点N. (1)求这个二次函数的表达式; 仅在线段AO上运动,如图,求线段MN 的最大值; 为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【例2】(2020•重庆)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x +bx+c与直线AB 相交于A,B 两点, 为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求PAB 面积的最大值; (3)将该抛物线向右平移2 个单位长度得到抛物线y=a 0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D 为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D, 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 【例3】(2019•阿坝州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax +bx+c经过原点O,顶点为A(2,4). (1)求抛物线的函数解析式; (2)设点P 为抛物线y=ax +bx+c的对称轴上的一点,点Q 在该抛物线上,当四边 形OAQP 为菱形时,求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,抛物线 y=ax +bx+c在第一象限的图象上是否存在一点 M,使得点 到直线OP 的距离与其到x 轴的距离相等?若存在,求出直线OM 的函数解析式;若不存在,请说明理由. 【例4】(2019•辽阳)如图