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线性相关(Linear dependent)与线性无关(Linear independent)对于理解子空间的基,子空间的维数,以及矩阵的秩等等是重要的.
1 线性相关与线性无关
考虑R^2 空间中的一组向量v1和v2和v3:
v3= (-0.5)v1 => 0.5v1+v3=0(零向量). 这表明v3可以表示为v1的线性组合,可以通俗的理解为. v3可以用v1来表示.但是从图中可以看出v2和v1,v3就不能互相表示,
如果一组向量中的任意一个可以表示为其他向量线性组合,那么这组向量称为线性相关的.否则是线性无关的。
很明显共线的向量线性相关的。
数学定义如下:
如果线性空间X中的向量组x1,x2,...,xj存在如下线性关系:
k1x1+k2x2+,...,+kjxj=0, (1)
其中k1,...,kj为不全为零的实数.则称x1,x2,...,xj线性相关.如果只有当k1,...,kj全为零时才满足(1)式,则称x1,x2,...,xj线性无关.
2 线性无关的性质
下边给出线性无关的一些性质:
(i) 若向量x1,...,xj线性无关,则每一个向量xi 都不是零向量
证明:假设存在一个零向量.就设为x1好了,则有:
1x1 + 0x2 +,...,+0xj = 0(零向量)这说明此事的x1,...,xj是线性相关的,与条件矛盾,因此就证明了线性无关的向量组每一个向量都不是零向量.
(ii)设向量x1,,,,,xn张成线性空间X,若X中的向量y1,...,yj线性无关,则有j