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问题提出后,很多人对此很感兴趣,纷纷进行试验,但在相当长的时间里,始终未能解决。而利用普通数学知识,每座桥均走一次,那这七座桥所有的走法一共有5040种,而这么多情况,要一一试验,这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢?因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。 1735年,有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉,请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后,认真思考走法,但始终没能成功,于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢? 1736年,在经过一年的研究之后,29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文,圆满解决了这一问题,同时开创了数学新一分支---图论。 在论文中,欧拉将七桥问题抽象出来,把每一块陆地考虑成一个点,连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。若可以画出来,则图形中必有终点和起点,并且起点和终点应该是同一点,由于对称性可知由A或C为起点得到的效果是一样的,若假设以A为起点和终点,则必有一离开线和对应的进入线,若我们定义进入A的线的条数为入度,离开线的条数为出度,与A有关的线的条数为A的度,则A的出度和入度是相等的,即A的度应该为偶数。即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数,而实际上A的度数是3为奇数,于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发,由于B、D的度数分别是5、3,都是奇数,即以之为起点都是无解的。 有上述理由可知,对于所抽象出的数学问题是无解的,即“七桥问题”也是无解的。 由此我们得到:欧拉回路关系 由此我们可知要使得一个图形可以一笔画,必须满足如下两个条件: 1. 图形必须是连通的。 2. 途中的“奇点”个数是0或2. 我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此来判断“七桥问题”,4个点全是奇点,可知图不能“一笔画出”,也就是不存在不重复地通过所有七桥。 欧拉的这个考虑非常重要,也非常巧妙,它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论,但想到这一点,却是解决难题的关键。 1736年,欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报 七桥问题
告中,阐述了他的解题方法。他的巧解,为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。 七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题,而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论,人们通常称之为 加里宁格勒地理
欧拉定理。对于一个连通图,通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。 此题被人教版小学数学第十二册书收录.在95页。 此题也被人教版初中第一册收录.在121页. 一笔画:⒈凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图。 ⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点),一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点终点。 ⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)七桥问题
18世纪的欧洲,有一位伟大的数学家,全欧洲的科学家都以他为师表,都称自己是他的学生,他就是大数学家欧拉。
1736年,为欧拉在彼得堡担任教授时,他解决了一个有趣的“七桥问题”,这个趣题一直流传到现在,并相信它是拓朴学产生的萌芽。
当时与普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河,这条河有两个支流,还有一个河心岛,共有七座桥把两岸和岛连起来。
有一天,人们教学的时候,有人提出一个问题:“如果每座桥走一次且只走一次,又回到原来地点,应该怎么走?”当时没有一个人能找到答案。
这个问题传到住在彼得堡的欧拉耳中,当然,他不会去哥尼斯堡教学,而是把问题画成一张图:小岛、河岸画成点,桥画成连结点的线,他考虑:如果能从一个点开始用笔沿线画(就像人过桥一样)笔不准离开纸(人连续走路),同一条线不准画两遍(每个桥只经过一次),所有线都画完,最后能否回到原来的出发点?这就是“一笔画”问题。
欧拉意识到他所研究的几何问题是一种新的几何学,所研究的图形与形状和大小无关,最重要的是位置怎样用弧连结,这张图就是一个网络。
欧拉为什么能抽象出这张图呢?是他利用了几何的抽象化和理想化来观察生活,初一几何开始讲点、线、面,这些几何概念是从现实中抽象化和理想化而来,笔尖点在纸上是一个点。
在地图上一个城市是一个点,在欧拉眼中,岛和陆地抽象成点,马路可看成线,欧拉眼中,桥抽象成线,直线是笔直的生活中没有完全精确的笔直线,这是理想化了,正因为数学的这种抽象,才使数学具有“应用的广泛性”这一特点。
欧拉怎样解决的这个问题呢?若一个顶点发出的弧的条数为奇数时,称为奇顶点;发生的弧的条数为偶数时,称为偶顶点,一笔画一定有一个起点、一个终点和一定数目的通过点,分两种情况考虑:
第一种:起点和终点不是同一点,把集中在起点的所有弧画完为止,有进有出,最后一笔必须画出去,所以起点必须是奇顶点;另一方面把集中在终点的所有弧线画完为止,最后一笔必须画进来,因此,终点也必须是奇顶点;其它经过的点,有几条弧画进来,必有同样多的弧画出去,必是偶顶点。
第二种:起点和终点为同一点,又画出去,又画进来,必为偶顶点,其它顶点有进有出也都是偶顶点,因此,欧位得出以下结论:
1.全是偶顶点的网络可以一笔画。
2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2。
3.如果一个网络有两个奇顶点,它就可以一笔画,但最后不能回到原来的出发点,这时,必须从一个奇顶点出发,然后回到另一个奇顶点。
用欧拉的发现去分析七桥问题,这张图上的A、B、C、D全是奇顶点,因此,不能一笔画,所以,游人一次走遍七桥是不可能的。
看完欧拉的解法,启发我们:生活中许多问题用数学方法解决,但首先要抽象化和理想化,其中点和线的抽象又是最基本的。
所以是无解滴~~~~·
谢谢采纳~喵~
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七桥问题Seven Bridges Problem
著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题,他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题,证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。