圆周率π是人类获得的最古老的数学概念之一,早在大约3700年前(即公元前1700年左右)的古埃及人就已经在用256/81(约3.1605)作为π的近似值了。几千年来,人们一直没有停止过求π的努力。
你也许能写出 π= 3.1415926535,利用Mathematica软件容易求出π到几百位:
In[1]=N[Pi,100]
Out[1]=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068
下面我们介绍几种π的计算方法:
一、祖冲之的计算方法
据史料记载,某年祖冲之家新建了一所房屋,他将最大的一个房间铺成地板,选择房间的中心点作为圆心,根据房间的大小,画出一个最大的圆,首先在圆周上作出一个三角形,将圆周三等分,然后将每段弧两等分,即将圆周六等分,依此进行下去,一直进行到不能够分下去为止。第N次,圆周被分成3N等分,用3N等分后正3N边形的边长来近似计算3N等分后的每段弧长,祖冲之就是用这种方法,将圆周率的精确度计算到3.15926与3.15927之间。
二、幂级数展开法
从十七世纪中叶起,人们开始用更先进的分析方法来求π的近似值,其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数。
Mathematica计算:
In[2]= k=20000;S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]
Out[2]= 3.14154265358982449
该方法收敛速度太慢,更快的公式有:
Mathematica计算:
In[3]= k=10;
S2=N[4*Sum[(-1)^(n-1)*(1/2)^(2n-1)/(2n-1)+(-1)^(n-1)*(1/3)^(2n-1)/(2n-1),
{n,1,k}],20]
Out[3]= 3.14159265358979323846
3、数值积分方法
由数值积分的方法我们可以知道:
因此,可以利用数字积分法来计算π的近似值。
Mathematica计算:
梯形法:
In[4]= a = 0; b= 1;y[x_]:= 4