相关系数

15.1 相关系数的概念

著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数(Correlation coefficient)。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算,同样以两变量与各自平均值的离差为基础,通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度;着重研究线性的单相关系数。
依据相关现象之间的不同特征,其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数(相关系数的平方称为判定系数);将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数;将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。相关系数的计算公式为:
复相关系数(multiple correlation coefficient):反映一个因变量与一组自变量(两个或两个以上)之间相关程度的指标。它是包含所有变量在内的相关系数。它可利用单相关系数和偏相关系数求得。其计算公式为:
当只有两个变量时,复相关系数就等于单相关系数。Excel中的相关系数工具是单相关系数。

15.2 相关系数工具的使用

CORREL 和PEARSON 工作表函数均可计算两个测量值变量之间的相关系数,条件是每种变量的测量值都是对 N 个对象进行观测所得到的。(丢失任何对象的任何观测值都会导致在分析中忽略该对象。)相关系数分析工具特别适合于当 N 个对象中的每个对象都有两个以上的测量值变量的情况。它提供一张输出表(相关矩阵),其中显示了应用于每个可能的测量值变量对的 CORREL(或PEARSON)值。
与协方差一样,相关系数是描述两个测量值变量之间的离散程度的指标。与协方差的不同之处在于,相关系数是成比例的,因此它的值与这两个测量值变量的表示单位无关。(例如,如果两个测量值变量为重量和高度,当重量单位从磅换算成千克时,相关系数的值并不改变。)任何相关系数的值都必须介于 -1 和+1 之间(包括 -1 和+1)。
可以使用相关系数分析工具来检验每对测量值变量,以便确定两个测量值变量是否趋向于同时变动,即,一个变量的较大值是否趋向于与另一个变量的较大值相关联(正相关);或者一个变量的较小值是否趋向于与另一个变量的较大值相关联(负相关);或者两个变量的值趋向于互不关联(相关系数近似于零)。
【例】9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表示)的6个性状资料见表,作相关系数计算。
表15-1 试验数据
(1)建立一张工作表,输入数据:
图15-1 EXCEL数据输入
(2)从“数据”选项卡选择“数据分析”,从“数据分析”列表框中选择“相关系数”,单击“确定”弹出相关系数对话框。
图15-2 相关系数对话框
数据区域可包括变量名称,但不包括样本编号。每个变量的样本按行排列的选择“逐行”按列排列的选择“逐列”。若包括变量名称,则选择“标志位于第一列”
(3)单击“确定”得偏相关系数如下表。
图15-3 结果输出
Excel分析工具中的“相关系数”仅计算出相关系数的值,并未进行相关性检验。相关系数检验可由相关系数临界值来判断。
相关系数为可决系数的平方根,可决系数为回归平方和与总误差平方和之比,而F统计量为回归均方和与总均方和之比,由于可借助F临界值求得相关系数临界值。即:
本例中n=9,在G9单元格输入=SQRT(FINV(0.05,1,7)/(FINV(0.05,1,7)+7)),在B12输入=IF(ABS(B4)>$G$9,"相关性显著","不显著")并复制,得:
图15-4 由函数判断显著性
协方差

16.1 协方差的概念

在概率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。两个实数随机变量X与Y之间的协方差定义为: COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中,E是期望值。

16.2 协方差工具的使用

当您对一组个体进行观测而获得了 N 个不同的测量值变量时,“相关”和“协方差”工具可在相同设置下使用。“相关”和“协方差”工具都会提供一张输出表(矩阵),其中分别显示每对测量值变量之间的相关系数或协方差。不同之处在于协方差的取值在 -1 和+1 之间,而协方差没有限定的取值范围。相关系数和协方差都是描述两个变量离散程度的指标。
“协方差”工具为每对测量值变量计算工作表函数 COVAR 的值。(当只有两个测量值变量,即N=2 时,可直接使用 COVAR,而不要使用“协方差”工具。)