精品文档 精品文档 PAGE 精品文档 v1.0	可编辑可修改 证明两角相等的方法 黄冈中学	初三数学备课组 【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型,	此类证明看似简单,	但方法不当也会带来 麻烦,特别是在中考有限的两个小时中。	恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果。在 教学中总结了一些定理(或常见结论)以及几种处理方法,仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线: 1)对顶角相等; 2)等角的余角(或补角)相等; 3)两直线平行,同位角相等、内错角相等; 4)凡直角都相等; 5)角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 1)等腰三角形的两个底角相等; 2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一); 3)三角形外角和定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和 4)全等三角形的对应角相等; 5)相似三角形的对应角相等. 3、四边形 1)平行四边形的对角相等; 2)菱形的每一条对角线平分一组对角; 3)等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆1)在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等; 2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.,圆心角相等. 11 v1.0	可编辑可修改 (3)圆周角定理:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半	. (4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补	;并且每一个外角都等于它的内对角	. (5)三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角	. 6)正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角. 7)从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角; 5、利用等量代换、等式性质	证明两角相等	. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 A (一)利用全等相关知识证明角相等 例1已知:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD D E 交于点O,且BD CE. O 求证:AO平分 BAC. B C 分析:要证AO平分 BAC,因为CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,所以只要证明 OD=OE;若能证明若能证OBD≌OCE即可,因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE,而BD=CE,故问题得到解决. 证明:∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在OBD和OCE中ODB=∠OEC BOD=∠COEBD=CE ∴OBD≌OCE OD=OE CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E AO平分BAC. 说明:本例的证明运用了对顶角相等,角的平分线性质的逆定理 A D 例2如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是梯形内一点,ED⊥AD,BE=DC, o . E ∠ECB=45 22 B F C v1.0	可编辑可修改 求证:∠EBC=∠EDC 分析:要证明∠EBC=∠EDC,容易想到证全等,而图中没有全等的三角形,如果 能构造出两个全等的三角形即可。延长	DE与BC交于点于点	F,这样就很容易证 BEF≌DCF,从而问题得到解决。证明:延长DE与BC交于点于点F AD∥BC,ED⊥AD DF⊥BC ∴∠BFE=∠DFC=90° o ∵∠ECB=45 ∴∠ECB=∠CEB=45o CF=EF 在RtBEF和RtDCF中EF=CF,BE=DC RtBEF≌RtDCF ∴∠EBC=∠EDC 说明:本例运用全等三角形的对应角相等,来证明两角相等 例3如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,CD∥BA,四边形AEBC是平行四边形.求证:∠ABD=∠ABE. 分析:要证∠ABD=∠ABE,若能证ABD≌ABE即可.因为可证BE =AC=BD,AE=BC=AD,而AB为公共边,故问题得到解决. 证明:∵四边形	ABCD是等腰梯形,∴	AD=BC,AC=BD. ∵四边形AEBC是平行四边形,∴	BC=AE,AC=BE. ∴AD=AE,BD=BE. 又∵AB=AB,∴ABD≌ABE. ∴∠ABD=∠ABE. 说明:本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等. 总结:这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质,在中考中也是常考的题型,在33 v1.0	可编辑可修改 证明过程中,特别要抓住一些基本图形,同时还要注意常用辅助线的作法。 (二)利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例4.已知:ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足, 求证:⑴G是CE的中点;⑵∠B=2∠BCE. A 分析:⑴已知中多垂直和中线条件, E 可联想直角三角形斜边上的中线性质; G B D C 要证明G是CE的中点,结合已知条件DG⊥CE, 符合等腰三角形三线合一中的两个条件, 故连结DE,证明DCE是等腰三角形,由DG⊥CE, 可得G是CE的中点. ⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,BE=DE,∠B转化为∠EDB. 证明:⑴连结DE, ∵∠ADB=90°,E是AB的中点, ∴DE=AE=BE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) , 又∵DC=BE,∴DC=DE, 又∵DG⊥CE, ∴G是CE中点(等腰三角形底边上的高平分底边)	. ⑵∵DE=DC,∴∠DCE=∠DEC(等边对等角), ∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE(三角形的外角等于两不相邻内角的和)	, 又∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE 直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,	其特殊性质有:直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半;等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式:	已知等腰和高、已知顶角平 分线和高、已知等腰和底边中线	.	特殊三角形与线段和角的相等、	线段和角的倍半关系有着 密切关系. 例5如图,直线	AC∥BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、 44 v1.0	可编辑可修改 ④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点	P落在某个部分时,连结	PA,PB, 构成	PAC,	APB,	PBD三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是0角.) (1)当动点	P落在第①部分时,求证:	APB	PAC	PBD; (2)当动点	P落在第②部分时,	APB	PAC	PBD是否成立(直接回答成立或不 成立) (3)当动点P在第③部分时,全面探究 PAC, APB, PBD之间的关系,并写出动 点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明. ③ ③ C ③ C C A A A ② P ① ② ① ② ① B D B D B D ④ ④ ④ 分析:本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质 (1)解法一:如图	1 延长BP交直线AC于点E AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD. ∠APB=∠PAE+∠PEA, ∠APB=∠PAC+∠PBD. 解法二:如图	2 过点P作FP∥AC, ∴∠PAC=∠APF. ∵AC∥BD,	∴FP∥BD. ∴∠FPB=∠PBD. ∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD. 解法三:如图	3, AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°即∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°. 又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD. 2)不成立. 3)(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是 图1 图2 图3 55 v1.0	可编辑可修改 PBD=∠PAC+∠APB. 当动点P在射线BA上,结论是∠PBD=∠PAC+∠APB. 或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°, ∠PAC=∠PBD(任写一个即可)	. 当动点P在射线BA的左侧时, 结论是∠PAC=∠APB+∠PBD. 选择(a)	证明: 如图4,连接PA,连接PB交AC于M AC∥BD, ∠PMC=∠PBD. 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM, ∴∠PBD=∠PAC+∠APB. 选择(b)	证明:如图	5 ∵点P在射线BA上,∴∠APB=0°. AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC. ∴∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD. 选择(c)	证明: 如图6,连接PA,连接PB交AC于F ∵AC∥BD,	∴∠PFA=∠PBD. ∵∠PAC=∠APF+∠PFA,∴∠PAC=∠APB+∠PBD 总结:这类题主要考查平行线的性质,三角形的内角和, 解角的度数时,一般运用三角形的角及外角的关系, 图5 图6 外角性质及其应用,在求 把所求的角集中在同一个三角 形中,然后利用内角和求角度,	在证明角之间的关系时,	常考虑利用三角形的内角 和定理和外角性质,若题中没有三角形,常通过作辅助线构造三角形。 (三)利用四边形的相关知识证明角的有关问题 例6已知:如图,在ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使,连结FC.求证:∠F=∠A. 66 v1.0	可编辑可修改 分析:要证明∠F=∠A,由图知只要证明四边形	AEFC是平行四边形即可。 证明:∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB EB=ED ∴∠EBD=∠EDB ∴∠EDB=∠ACB EF∥AC E是AB的中点 AE=EB DF=DE,EB=ED AE=EB=DF=DE AE+EB=DF+DE 即AB=EF AB=AC EF=AC 又∵EF∥AC ∴四边形	AEFC是平行四边形 ∴∠F=∠A 说明:本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等,平行四边形的对角相等。 (四)利用圆的相关知识 例7如图,已知	BC是直径,	AB	AG,AD⊥BC. 求证:(1)∠EAF=∠AFE (2)BE=AE=EF 分析:由BC是直径,得到∠	BAC是直角,再利用	AB	AG, 得到∠ABE=∠BAE;再证∠EAF=∠FAE。 证明:(1)∵BC是直径 77 v1.0	可编辑可修改 ∴∠BAC=90o ∴∠ABE+∠EFA=90o	,∠BAE+∠EAF=90o ABAG ∴∠ABE=∠BAE ∴∠EAF=∠AFE (2)略 说明:本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等,等角的余角相等 例8已知:如图,AD为锐角ABC外接圆的直径,AE⊥BC于E,交⊙O于F。求证:∠1=∠2 分析:∠1和∠2分别是	BD和CF所对的两个圆周角,故只需证 BD=CF,但不易证明,由于∠ 2+∠C=90o,联想到把∠ A 1放到直 1 2 o 角三角形中,连结	BD,可得∠ABD=90,从而问题得证。 证明:连结BD ∵AD为直径 o ∴∠ABD=90 o ∴∠1+∠D=90 ∵AE⊥BC于E ∴∠2+∠C=90o ∵∠C=∠D ∴∠1=∠2 总结:此题关键是见直径构造 90o的圆周角 例9	已知:如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,CD⊥AB 于D,若AE=AC,BE交⊙O于点F,连结EF、DE.求证:(1)AE2=AD·AB; A B C C DF (2)∠ACF=∠AED.	D	O	B 分析:(1)因为AE=AC,要证AE2=AD·AB,实际上证	AC2 F =AD·AB,可转化成比例式,放入三角形中用相似三角形	E 来证明。 88 v1.0	可编辑可修改 2)欲证∠ACF=∠AED,又知∠ACF=∠ABE,则只需证∠AED=∠ABE,由(1)得ADE∽AEB,对应角相等得证 证明:(1)连结BC. AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. 又∵CD⊥AB于D,∴∠ADC=90°. 而∠CAB=∠DAC,∴CAB∽DAC. ACABADAC 2 ,∴AC=AD·AB. 2 又AE=AC,∴AE=AD·AB. 2 AE AB (2)由(1),AE=AD·AB,∴ AD . AE 在AED和ABE中,∠EAB=∠DAE, ∴EAB∽DAE.∴∠ABE=∠AED. 而∠ABE=∠ACF, ∴∠ACF=∠AED. 总结:圆周角定理可提供等角、直角等结论,进而可用于相似三角形判定,从而可得比例式,求线段长等结论,解决此类问题是灵活选用圆周角定理和相似等内容,并适时添加辅助线。 (五)利用三角函数求两角之间的关系 例10	已知抛物线	y	ax2	bx	c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与 y轴交于点	C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点	D,抛物线的顶点为	M,直线 y=x+5经过D、M两点. 1)求此抛物线的解析式; 2)连接AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由	. 解:(1)∵CD∥x轴且点C(0,3), ∴设点D的坐标为(x,3)	. ∵直线y=x+5经过D点, 3=x+5.∴x=-2. 即点D(-2,3). 99 v1.0	可编辑可修改 根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为	M(-1,y), 又∵直线	y=x+5经过M点, y=-1+5,y=4.即M(-1,4). ∴设抛物线的解析式为 ya(x 1)2 4. ∵点C(0,3)在抛物线上,∴a=-1. 即抛物线的解析式为y x2 2x 3. 2)作BP⊥AC于点P,MN⊥AB于点N. 由(1)中抛物线	y	x2	2x	3可得 点A(-3,0),B(1,0), AB=4,AO=CO=3,AC=32. ∴∠PAB=45°. ∵∠ABP=45°,∴PA=PB=22. ∴PC=AC-PA=2. 在RtBPC中,tan∠BCP=PB=2. PC 在RtANM中,∵M(-1,4),∴MN=4.∴AN=2. tan∠NAM=MN=2. AN ∴∠BCP=∠NAM. 即∠ACB=∠MAB 说明:本例第二问判断∠	ACB和∠MAB的大小关系是通过构造直角三角形,通过计算这两个 角的三角函数值来解决问题的。	在解决这类问题时如果不能用全等等方法来寻找思路时,	不 妨从直角三角形入手,分别计算所求角的三角函数值,从而使问题得到解决	.同时还要注意 通过一些特殊的点,可能构成特殊的三角形。 【智能巧练】 ⒈如图,ABC中,∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点	D,则∠D与1010 v1.0	可编辑可修改 ∠A的比是________ A A P' D P B CE B C ⒉.已知,如图,在2ABC中,AC=ADAB。 求证:∠ACD=∠ABC。 ⒊如图,已知:平行四边形 ABCD中,E是CA延长线上的点, F是AC延长线上的点,且AE=CF D EA 求证:⑴∠E=∠F; ⑵BE=DF B C F ⒋如图,ABC中,高BD、CE交于点F,且CG=AB,BF=AC,连接AF, 求证:AG⊥AF G	A	A E	E D	F F B	C	B	D	M	C 第4题	第5题RtABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC上任意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别为F、 E,M为BC中点,试判断	MEF是什么形状的三角形,并说明之	. 6.已知:如图,	AD是ABC外角∠EAC的平分线,交	BC的延长线于点	D.延长DA交ABC 的外接圆于点	F. ⑴求证:∠FBC=∠FCB; 1111 v1.0	可编辑可修改 ⑵若FA	2	3,AD	4	3,求FB的长. F A	E	A	B N M	H B	C	D D	C 第7题	第8题7.梯形ABCD中AB在以上前提下,试将下列设定中的两个作为题设,另一个作为结论 组成一个正确的命题,并证明这个命题	.	①AD=BC	②MN⊥BC	③AM=DM 8.⑴如图,已知直线	AB过圆心O,交⊙O于A、B,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线l交⊙O于C、D,交AB于E,且与AF垂直,垂足为	G,连结AC、AD. 求证:①∠BAD=∠CAG;②AC·AD=AE·AF. ⑵在问题⑴中,直线	l向下平行移动,与⊙	O相切,其他条件不变. ①请你画出变化后的图形,并对照图,标记字母; ②问题⑴中的两个结论是否仍成立如果成立,	请给出证明;如果不成立,请说明理由. B B F O · ·O A l A CG 图(2) D E 图(1) 9.如图,⊙O的内接ABC的外角∠ACE的平分线交⊙	O于点D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥BC, 垂足为E,给出下列	4个结论: ①CE=CF;②∠ACB=∠EDF;③DE是⊙O的切线;④	AD=BD; D O F E C A	B 1212 v1.0	可编辑可修改 其中一定成立的是(	) A.①②③	B.	②③④	C.	①③④	D.	①②④ 10.已知,如图,在四边形	ABCD中,AB=DC,E、F分别为BC、AD的中点,BA、CD的延长线 分别与EF的延长线交于	H、G. 求证:∠BHE=∠CGE 11.已知:AB是⊙O的直径,弦	CD⊥AB于M,点E是ACB上一动点. ⑴如图1,若DE交AB于N,交AC于F,且DE=AC,连结AD、CE, 求证:①∠CED=∠ADE②DN2=NF·NE ⑵如图2,若DE与AC的延长线交于F,且DE=AC,那么DN2 =NF·NE的结论是否成立若 成立请证明,若不成立请说明理由. A	A E	O	O F N	C	M	D C	M	D	N E	B B	F 图1	图2 【答案点击】 ⒈1∶2;	⒉证明ACD∽ABC;	⒊证明ABE≌CDF,或连结	ED、FB,证明平行四 边形	EBFD;	⒋证明CAG≌BFA,∴∠G=∠BAF,∵∠G+∠GAE=90°,∴∠	BAF+∠ GAE=90°,∴AG⊥AF;	⒌MEF是等腰	Rt,连结	AM,证AME≌BMF	6、⑴∵ 1313 v1.0	可编辑可修改 DAC=∠FBC,∠EAD=∠FAB=∠FCB,∵∠DAC=∠EAD,∴∠FBC=∠FCB⑵证明FBA∽ FDB,得FB=6	7	、题设①②	结论③	证明略8、⑴①略,②连结	DF,可证得ACE∽ AFD,⑵结论仍成立	. 9、分析	①可证得CDF≌CDE,得CE=CF成立; ②∠ACB和∠EDF(无直接关系,找相关的角)	:∠ACB与∠ACE邻角互补,∠EDF也和∠ACE 互补(四边形的内角和	360°),同角的补角相等,即∠	ACB=∠EDF; AD所对的圆周角为∠DCA,BD所对的圆周角为∠DAB,∵∠DAB=∠DCE(四边形的外角等于不相邻的内角),又∠DCA=∠DCE,∴∠DCA=∠DCE, AD=BD,故选D. 一般的,证明线段相等或角相等,	可根据条件寻找三角形,	证三角形全等;无三角形全等时, 可找与之相关连的线段或角,	探索等量关系;证明弧相等,可以转化为证明弧所对的圆周 角或圆心角相等,即转化为证明角相等的问题	. 10、提示: 连结BD,取BD的中点M,连结FM、EM.只需证FM=EM,即可证得∠	BHE=∠CGE. 11、⑴证明:①∵	DE=AC, ∴DE	AC,AE	CD ∴∠CED=∠ADE ②连结CN ∴CN=DN,∠NCF=∠ADE(圆的轴对称性质) ∵∠CED=∠ADE,∠CNF=∠ENC ∴NCE∽NFC ∴NC	NE,NC2NENF NF	NC DN2=NF·NE 【自主检测】 1.已知如左图,在	ABC中,	∠BAC=90°,AB=AC,M为AC的中点,AD⊥BM。 1414 v1.0	可编辑可修改 求证:∠AMB=∠DMC A E M B D	C 2.	如右图在ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,G在AC边上并且∠GDC=∠EFB, 求证:∠AGD=∠ACB 3、如图,在	ABC中,∠B=90,点G、E在BC边上,且AB=BG=GE=GC。 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB A B	E	C D 4、如图,ABC內接于圆,D是弧BC的中点,AD交BC于E, 求证:∠ABD=∠AEC 5、已知:AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接 AC,过点C作直线CD⊥AB 于点D,E是AB上一点,直线 CE与⊙O交于点F,连结AF,与直线CD交于点G. 求证:∠ACD=∠F. C D E B A O G F 答案: 1、过点C作CF⊥AC交AD的延长线于	F. 1515 v1.0	可编辑可修改 证明:ABM≌ACF,再证MCD≌FCD 2、分析:CD∥EF	∵EF⊥AB,CD⊥AB∴CD∥EF ∴∠DCB=∠EFB∵∠GDC=∠EFB∴∠DCB=∠GDC ∴GD∥CB∴∠AGD=∠ACB 3、分析	先证明AGE∽CGA,再利用外角性质 4、分析	要证明两个角相等, 可放入两三角形	ABD、AEC,证三角形相似, 条件有两个:∠	D=∠C,∠BAD=∠CAD(等弧所对的圆周角相等) 证明:∵D是弧BC的中点, ∴∠BAD=∠CAD ∵∠D=∠C,∴ABD∽AEC ∴∠ABD=∠CEA 5、分析	要证明∠ACD=∠F,可通过角之间的转化, 已知中AB是⊙O的直径是关键的条件, 连结BC,得∠ACB=90°,∠ACD=∠B(直角三角形母子三角形中的对应角相等)	, F=∠B,(同弧所对的圆周角相等). 证明:⑴连结BC,∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角为直角),即∠ACD+∠DCB=90° CD⊥AB∴∠DCB+∠B=90°,∴∠ACD=∠B(同角的余角相等)∵∠F=∠B,∴∠ACD=∠F(等量代换). 证明角相等时,如果没有三角形全等,	我们常找与它们都相关或都有联系的角作为桥梁,	实 现角之间的转化,从而证明它们的等量关系	.	直角三角形的母子三角形中相等的角、	成比例 的线段要熟悉. 1616