小项的性质与小项的编码!朱隆尹!,刘于江!,许景飞!,丁树良"$% !&&&;"#江西师范大学 计算机学院,江西 南昌(!#赣南师范学院 数学与计算机系,江西 赣州$$&&" ’)摘要:通过真值表技术把一个命题演算的合式公式化成主析取 (主合取)范式在数理逻辑教学中是比较抽象的内容,如果把握住小项的编码的性质,这个问题就比较容易理解#本文论述了小项的几个重要性质和编码,在教学实践中收到了较好的教学效果#关键词:主析取范式;小项;编码中图分类号:( !%文献标码:)文章编号:!&&%*+$$"(" & &")&,*&&" !*&$众所周知,命题演算的合式公式 (- . / /0 1 23 . 40 1 23 5 / 6,简记为7 0 0) 的范式有重要作用!在文献 [!] 中指出,在逻辑理论中判明公式的一些性质要用到范式, 在论证命题演算的完全性时也要用到范式,在工程技术的线路设计方面也有极重要的作用!主析取范式可以用来判别一个公式是否永真,从而证明"由#蕴含,即#";主合取范式可以判明一个公式是否为矛盾式!而且只要约定例题变元的出现顺序,主析取/主合式析取如果存在则必唯一,这对于比较两个公式是十分方便的!在讲授化一个7 0 0!为主析取范式/主合取范式时,动手操作不太难,但其中道理却不太容易弄懂!我们以小项 (大项) 的编码为突破口, 将道理阐述清楚!文中记号和术语与文献 ["]相同!设$ % %!中若出现了&个命题变元’!,…,’&使用真值表技术将!化成主析取范式时,只需将!所有为真 (为!) 的真值指派"!,…,"&对应的小项("!"",…"&析取即可!而将!化为主合取范式时,只要将!为&的所有的真值指派"!,…,"&所对应的大项)"!,"",…"&合取即可!这里"* "{&,!},* + !,",…&!这种做法蕴含了永假式无主析取范式, 而永真或无合取范式!所以从计算角度来看,写出!的主析取范式或主合取范式是不困难的 (当然变元个数&较大, 这种用真值表技术写主范式的做法是不可取的,我们可以改用等价变换的方法), 然而要说清楚为什么这样写出的析取 (合取) 式,便与!等价的道理,却要了解小项和大项的性质!定义! &个命题变元’!,…,’&合取式称为小项或布尔合取, 若其中每个变元或其否定必须且只须有一个出现一次!由定义!,知&个命题变元’!,…,’&,可以且只可以组成"&个小项!为了区分这些小项,我们用小写体(加上&位二进制足标来记小项!用#,*表示’*或’*,对于小项#’! $#’"$…$#’&用一个&位二进制数 ("!,…,"&) 与之对应!其中!"第,期朱隆尹,等小项的性质与小项的编码!收稿日 期:" &&"*&8*!&作者简介: 朱隆尹 (!8’ 9—),男,江西南康人,赣南师范学院数学与计算机系教师#　万方数据 !! "!,若!",若!$#!取为$!#!取为$!$# %…%!$# %…%"#!只要%个命题变元依字典顺序排列,则!$! %!$%与二进制数!!,…,!%建立起了一一对应的关系&我们用’!!!#!%来记变元的$ % %&以下考察的’!!,!#,…,!%真值何时取!,这等价于要求!指派真值!,于是!",而此时与!#!对应的!!恰为"&回忆小项编码规则,即 (!) 式,便可以导出:小项性质!当小项真值指派与编码相同时,小项真值为!,而对于其他#%(!种真值指派小项’!!,!#,…,!%的真值为";注意到 (!!,…,!%)&(! )!,…,! )%) 时,当且仅当存在!,使!! &! )!,这表明小项’!!,!#,!%与中恰有一个小项第!个合取分量为$!,而另一个小项第!个合取分量为$!,于是有小项性质#(!!,…!%)&(! )!,…,! )%) 时,’ !!,!#,…,!% % ’ ! )!…! )%为永假式 (#)又由于%个命题变元$!,…$%恰可以构成个#%个不同的小项,而对$!,…$%其不同真值的指派有也只有#%种,如前所述,对于每种不同真值指派,有且只有一个小项真值为!;于是将所有#%个小项析取时,我们有!,…!’!!!#…!%永真!$! %!$%,即’ !!,!#,!%仍然是含%个命题$!%!$#%…%!$%中每个分量!#!均#!为时,对指派!,而此时与!#!对应的!!恰为!&当!#!为$!时,对$!应指派小项性质&’(!!…!%)"(",…")(&)若将 (!!,…,!%) 转化为十进制数,则 (&) 式也可以表示为’#%(!* " "’*( !如果规定大项!$! )…)!$%与一个%位二进制数对应,且! ! "!, 若!##!取为$!",若!$#!取为$"!则立即可以看到足码相同的大小项之间有关系&小项性质’注意到任给的$ % % ",#,$,下列两个命题 (,) 与 (-) 等价;(,)" )# *" +" ) $且" %# *" +" % $(-)# *" +$由 (-) 得 (,) 是显然的,而由 (,) 有# *" +# %(" )#)*" +# %(" ) $)*" +(# % "))(# % $)*" +(" )$))(# % $)*" +(" )#)% $ *" +(" ) $)% $ *" +$,即得 (-)&于是, 如 果我们已 经将$ % % "化成了 主析取范式, 则 应用 这一事实和 (’), 立即 由.! " !’* !记/. "{",!,#,…,#%(!}({*!,*#,…* .} 知"(,.’!!…!%(+!!…!%(’)"(’0-/ .+0这是因为由 (&),知’.! " !’*!))(’.! " !’* !.! " !’*!)) ’0-/.’0( !且由 (#) 及分配律,有’　万方数据! " !’*!%’0-/.’0( "由于 (’.! " !’*!)( !, (’##赣南师范学院学报# "" #年 !("了* + +!的主析取范式与主合取范式之间的关系,从而只要能求出!的主析取范式,则相应的主合取范式立即可以导出,反之亦然)而且!主合取范式有!项,则其主析取范工必定为#,-!项)余下的问题是,由真值表中!为!对应的所有小项$% .,…,$% !的析取为什么就恰好是!!!" # !$%")# ",便有 ("!" # !$%")#"&$’!$&于是!#"!" # !$%"#"&$’!$&#%&$’!(&)这样, 便彻底弄清楚的主析取范式呢?这又等价于要证明!与"根据命题公式!#"为定义, 即只要证 (! &")!(! ’") 永真, 故我们只要证 (! &!!" # !$%"为何是等值的两个公式)"" # !$%")!(! ’"" # !$%") 永真,亦即对于命题变元/!…,/,的任一组真值的指派,!和"!!" # !$%"的真值相同)令"#"对于使!为真的/!,…,/,的真值指派,必有一项且仅有一项$ % " ${$% .,…,$% !为真,故"为真;反之"为真,则在$% .,…,$% !中有一项且仅有一项为真,于是!为真)对于使!为假的/!,…,/,的真值指派,有且仅有一项$& $ ’!其真值为真,而$ % " (’!," #!,#,…,!,故每个$%"均为假,从而"为假;反之,如果"为假,当且仅当每个$%"为假," #!,#,…,!,这时可以断言!也为假,事实上如果存在某一组使"为假的/!,…,/,的真值指派#!, …,#,使!为真,则由"的构造知相应的小项$#!…#,应该是"的某一个析取项,而且对于/!,…,/,这组特定的指派,$ #!…#,应该为真这与"为假矛盾)当然以上分析在讲课时可能会感到过于抽象, 我们不妨举一些具体的例子, 比如, # #时,只有两个命题变元0,1考察其##个小项及大项的性质, 由此导出上述一些大项, 小项的性质 (大项性质可由小项性质对偶导出);然后再举一些简单的例子,讲明应用真值表技术化公" # !$%")式!为主析取 (主合取) 范式的做法,最后才进一步抽象, 这样有实例, 有理论, 效果可能更好一些)参考文献:[!]王宪钧$数理逻辑引论 [%]$北京: 北京大学出版社会,!&&’$[#]左孝凌,李为温,刘永才$离散数学 [%]$上海: 上海科学技术文献社,!&’#$! " # $ % & ’ ( #% ) *+) , - * .) /- 0 1 .) . & # (2()*+ , - . /0 1 -!,+ 2* 3 4 / 5 1 6 - .!,7*8 1 - . / 9 : 1!,; 2<=> ? 4 / @ 1 6 - .#(!) ( 2 & 3 42 , 56 7$ / 8 & 9 : ; 9 / &) < 2 , , 2 ,= 9 2 6 3 9 : 4’> 7 . . 9 ? 9,< 2 , @ 3 7 8 AB !""",> 3 % , 2;#)> 7$ / 8 & 9 :6 7 . . 9 ? 9,A % 2 , ?B % C 7 :$ 2 . D , % E 9 : 4 % & F,C 2 , 6 3 2 , ? AA""# C,> 3 % , 2)3 4 5 & ( % , &:2 D’EF : @ 6 D 1 G : @ 06 H E D F 6 I DD ,D F 6 - E 9 , FJD ? : K : @ @9 , FJ : L9 , FJ 4 @ 6, 9D ? :I 6 @ I 4 @ 4 E, 9M F , M , E 1 D 1 , - E1 - D ,D ? :M F 1 - I 1 M 6 @L 1 E 54 - I D 1 G :- , FJ 6 @9 , FJD ? F , 4 . ?D ? :D : I ? - 1 N 4 :, 9D F 4 D ?D 6 H @ :1 -D ? :D : 6 I ? 1 - ., 9 J 6 D ? :J 6 D 1 I 6 @@ , . 1 I$ O ? :- 6 D 4 F :, 9D ? :: - I , L 1 - ., 9 J 1 - 1 D : FJD ,. F 6 E MD ? 1 EM F , H @ :J1 E: 6 E 1 : FD ,4 - L : F E D 6 - L$ O ? :D ? : E 1 EE ? ,K EE : G : F 6 @1J M , F D 6 - DI ? 6 F 6 I D : F E, 9 J 1 - 1 D : FJD ,6 - L1 D E: - I , L 1 - .,P ? 1 I ?? 6 E. , , L: 9 9 : I D1 -D : 6 I ? 1 - .M F 6 I D 1 I :$6 # 78 - ( * 5:M F 1 - I 1 M 6 @L 1 E 54 - I D 1 G :- , FJ 6 @9 , FJ;J 1 - 1 D : FJ;: - I , L 1 - .A#第Q期朱隆尹,等小项的性质与小项的编码　万方数据