待定系数法是数学中一种常用的方法,在我们已经预先知道了形式(根据我们的经验、推理或题目条件),只是不确定系数时使用.比如我们知道一个函数是二次函数,要求它的解析式,就可以设它的解析式为$y=ax^2+bx+c$,去求$a,b,c$的值.这种方法在求函数的解析式、数列的通项公式、曲线的方程时经常使用.比如,已知数列的递推公式为$$a_{n+1}=3a_n-4,$$求数列的通项公式,我们可以通过待定系数法去构造一个等比数列$$a_{n+1}-\lambda =3(a_n-\lambda ),$$解得$\lambda =2$,从而得到数列$\{a_n-2\}$是一个公比为$3$的等比数列($a_1\ne 2$时).
对于递推公式$$a_{n+1}=c\cdot a_n+f(n),$$其中$c\ne 1$为常数,$f(n)$是关于$n$的多项式函数或指数函数时,都可以用待定系数法,根据$f(n)$的形式构造一个等比数列$\{a_n-g(n)\}$.
例题一 (1)已知数列$\{a_n\}$的递推公式为$a_{n+1}=3a_n+2n-1$,$a_1=1$,求$a_n$.
(2)已知数列$\{b_n\}$的递推公式为$b_{n+1}=3b_n-2n^2+4n+4$,$b_1=1$,求$b_n$.
分析与解(1)由$2n-1$的形式知,可以令$$a_{n+1}-[a(n+1)+b]=3[a_n-(an+b)],$$于是有$$a(n+1)+b-3(an+b)=2n-1,$$比较系数得$$a=-1,b=0.$$即数列$\{a_n+n\}$是首项为$a_1+1=2$,公比为$3$的等比数列,所以$$a_n+n=2\cdot 3^{n-1},$$从而$a_n=2\cdot 3^{n-1}-n$.
(2)由$-2n^2+4n+4$的形式知,可以令$$b_{n+1}-[a(n+1)^2+b(n+1)+c]=3[b_n-(an^2+bn+c)],$$于是有$$a(n+1)^2+b(n+1)+c-3(an^2+bn+c)=-2n^2+4n+4,$$比较系数得$$a=1,b=-1,c=-2,$$即数列$\{b_n-n^2+n+2\}$是首项为$3$,公比为$3$的等比数列,所以$$b_n-n^2+n+2=3^n,$$从而$b_n=3^n+n^2-n-2$.
例题二 已知数列$\{a_n\}$的递推公式为$a_{n+1}=2a_n+3\cdot 5^n$,$a_1=6$,求$a_n$.
分析与解我们想把$3\cdot 5^n$拆开,以得到一个等比数列,于是令$$a_{n+1}-\lambda \cdot 5^{n+1}=2(a_n-\lambda \cdot 5^n),$$于是有$$\lambda \cdot 5^{n+1}-2\lambda \cdot 5^n=3\cdot 5^n,$$解得$\lambda =1$,即数列$\{a_n-5^n\}$是一个首项为$1$,公比为$2$的等比数列,所以$$a_n-5^n=1\cdot 2^{n-1},$$从而$a_n=5^n+2^{n-1}$.
注这个类型的递推公式求通项公式还有一个通法是两边同时除以$2^{n+1}$,再用累加法求通项.也可以两边同时除以$5^{n+1}$,再用待定系数法去解决.
最后给出一道练习:
已知数列$\{a_n\}$的递推公式为$a_{n+1}=2a_n+n-1$,$a_1=0$,求$a_n$.
答案$a_n=2^{n-1}-n$.