任意　瘽⇒　∇　×　u　瘽瘰故对一个矢量场,如果有势,要求无旋。另外,无旋即满足可积性条件瘨瘲瘳瘩,故是可积的。　无旋看上去是三个标量方程,就对矢量场有三个约束,如果真如此,速度场就成常场了。遗憾的是　这三个标量方程不是完全独立的(仅两个独立)　,仍需要一个标量场(也就是势)去描述这个矢量场。　计算线积分时不依赖于路径,此时可以定义速度势　ϕ　瘽rAu·dl　⇒　∇ϕ　瘽u一般代表能量的势会加个负号,不过速度势为计算方便没有这么做。　对比瘨瘶瘩,发现又是一致的。　上式即　u　瘽∂ϕ　∂x　,　v　瘽∂ϕ　∂y　为课上结果,将∇用极坐标下表示可得到极坐标下结果。三维情况将∇用直角坐标、柱坐标、球坐标下　表示代入即可得到相应表达。　瘹4复势　二维直角坐标系下速度场无旋无散,∇　×　u　瘽瘰,　∇　·　u　瘽　瘰瘬可以得到　u　瘽∂ψ　∂y　瘽∂ϕ　∂x　v　瘽−∂ψ　∂x　瘽∂ϕ　∂y　瘨瘴瘰瘩　满足复变函数里的癃癡癵癣癨癹瘭癒癩癥癭癡癮癮方程,可以构造解析函数,即复势,复速度　w瘨z瘩瘽ϕ瘫iψ　⇒　dw瘨z瘩dz　瘽u−iv　特别提一下点源　w瘨z瘩瘽Q瘲π　癬癮瘨z　−　z0瘩　癑为源单位时间向外速度通量　这里∇　·　u|z=z0　瘽　∞瘬不满足无散条件瘬会导致多值。本应取条从z0到无穷的割线将空间变成单连通区域以　避免多值(复变函数里癬癮瘨z瘩也是多值函数,同样这么做)　,但复势不是物理量,是辅助确定速度定义出　的函数,其导数复速度单值即可,不必为此懊恼。　由式瘨瘴瘰瘩还可以得到ψ、ϕ满足癌癡癰癬癡癣癥方程　∂2　ψ　∂x2　瘫∂2　ψ　∂y2　瘽瘰∂2　ϕ　∂x2　瘫∂2　ϕ　∂y2　瘽瘰而癌癡癰癬癡癣癥方程有个非常好的性质:边界条件给定的情况下其解唯一(同电动力学里的唯一性定理)　。故　可以用镜像法(方法正确性可以从癇癲癥癥癮第二公式得到)凑边界条件(一般是法向速度为瘰)就很容易得　到ψ,　ϕ。　注意:在一些奇异的点(点源、点涡、偶极子等)不算满足癌癡癰癬癡癣癥方程,也认为是边界(或者　用δ函数表示)　。　顺带提一句,ψ　瘽const瘱瘬ϕ　瘽const瘲两条曲线交点处垂直,因为求全微分有　瘰瘽dψ　瘽∂ψ　∂x　dx瘱瘫∂ψ　∂y　dy瘱瘽−vdx瘱瘫udy瘱瘰瘽dϕ　瘽∂ϕ　∂x　dx瘲瘫∂ϕ　∂y　dy瘲瘽udx瘲瘫vdy瘲⇒dx瘱dx瘲瘫dy瘱dy瘲