先介绍一位数学家:布鲁克·泰勒( Brook Taylor ),1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿,1731年11月30日逝世于伦敦,是一名英国数学家,他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。那么泰勒公式是如何用来计算sin45的值呢,当然这里用sin45为例,泰勒公式能计算的函数多了。首先,设sin是一个函数,表达成:f(x)=sinx,也有写有y=sinx,实质是一样的。这个函数除了几个特殊值,我们可从三角学来求得,如sin90=1,sin0=0等,其他值根本无法求得。如果能把这个f(x)=sinx分解成一个幂级数,先不管这个f(x)能否真的能够分解为下式,这里先假设能分解为下式:
式中尽管把函数f(x)展开成一个级数,但各项的系数a还是未知的,所以无法用①式求任意函数值。为了求各项系数,对公式①进行逐项求导数(或说多次求导),可以得到f(x)的各阶导数式,如下:
上面4个式子,是分别对f(x)求一阶、二阶、三阶、n阶导数得到。这里用到了微积分的知识。对于任意的一个x,上面1到5式都应该成立,这里设x=0(对应于f(x)=sinx就相当于sin0)就能通过①—⑤来求得各个系数的值:
把x=0代入①式,得a0=f(0);
把x=0代入②式,含x的第二项及后面各项,都变为0,所以有:f’(0)=a1,即系数a1的值为函数f(x)取x=0时的一阶导数的值。对于sinx的一阶导数为cosx,所以f’(0)=cos0=1。