(这个魔术也是我学来的)
【魔术简介】
魔术师将点数为A-10的10张纸牌交给一位不知情的观众,观众随机排列这10张纸牌(即观众选择全排列之一)后,面朝上展示给助手(但不向魔术师展示),之后将所有纸牌翻转,背面朝上按照原次序排在桌面上。助手从中选择6张,并按照一定的顺序逐一翻开展示给魔术师看,之后魔术师便可以指出背面朝上的4张纸牌的点数。
【魔术揭秘】
根据鸽巢原理,在1-10的任一个排列中,都存在长度为4的递增子序列或长度为4的递减子序列。
因此助手留下的4张牌就是这个排列中的一个长度为4的递增子序列或长度为4的递减子序列。
而至于到底是递增子序列还是递减子序列可以由助手翻开6张牌的方式来“告知”魔术师——如果助手从左到右翻转这6张牌,就表明是递增子序列;如果助手从右向左翻转这6张牌,就表明是递减子序列
下面给出一个完整的魔术示例:假设观众如图方式排列这10张牌(从左到右)。
其中有递增子序列3, 5, 8, 10,也有递减子序列10, 7, 4, 2。
如果助手决定使用递增子序列,他留下前4张牌,并且将另外6张牌以从左往右的顺序翻开,魔术师意识到缺失的4个数字是3, 5, 8和10,而且是递增的;如果助手决定用递减子序列,他将印有数字10, 7, 4, 2的纸牌留下,并且将另外六张牌以从右往左的顺序翻开,魔术师意识到缺失的4个数字是2, 4, 7和10,而且是递减的。
(Erdős, Szekeres)每个由
个互不相等的实数组成的序列中,必定含有一个至少由
项组成的递增子序列,或有一个至少由
项组成的递减子序列。
证明:
假设序列是
,从
开始的最长的递增子序列的长度记为
。如果
,那么就把
放入标号为
的盒子。
如果不存在含有一个
的递增子序列,那么盒子的标号只需要
。
由鸽巢原理,将
个元素
放入这些盒子里,至少有一个盒子里有
个元素,这
个元素组成一个递减子序列——因为如果有
,则将
加到以
开始的最长的递增子序列前面,可以得到一个长度为
的递增子序列,与
(即
和
在同一个盒子里)产生矛盾。
注:这一结果是最好的。
所谓“最好”