第 1 页 共 6 页 扩散:指流体在没有对流混合情况下,流体由分子的随机运动引起的质量传递的一种性质。 本构方程:是反应物体的外部效应与内部结构之间关系的方程。对运动的粘性流体而言,外部黏 性应力与内部变形速度之间的关系成为本构方程。 ?? xx , ? xy , ? xz ? ? ? ?u ?v ?? 变形速度张量: ?s ? ? ?? yx , ? yy , ? yz ? ,其中, ? xx ? , , ? yy ? , ? zz ? ?x ?y ?z ?? , ? , ? ? ? zx zy zz ? 1 ? ?? ?u ? 1 ? ?u ?v ? 1 ? ?v ?? ? ? ? ? ? , , ? ? ? ? ? ? xy ? ? yx ? ? ? ? ? ? ? ? ? xz zx yz zy ? ? 2 ? ?x ?z ? 2? 2? ? ?z ?y ? ? ?y ?x ? 雷诺应力:在不可压缩流体的雷诺方程中, - ? ui?u ? j 称为雷诺应力(i,j=1,2,3)当 i=j 时为法相 雷诺应力,不等时称为切向雷诺应力。 镜像法:是确定干扰后流场的方法之一,是一种特别的奇点法。 粘性:流体微团发生相对滑移时产生切向阻力的性质。 D? ? 0 的流体称为不可压缩流体。不可压缩均质流体: ? ? C 不可压缩流体: Dt 可压缩流体:密度随温度和压强变化的流体称为可压缩流体。 紊流:是一种随机的三维非定常有旋流动。紊流的基本特征:1,不规则流动状态;2,参数随时 间空间随机变化;3,空间分布大小形状各不相同漩涡;4,具有瞬息万变的流动特征;5,流动参数 符合概率规律;6,相邻参数有关联。 流体:通常说能流动的物质为流体,液体和气体易流动,我们把液体和气体称之为流体。严格地 说:在任何微小剪切力的持续作用下,能够连续不断变形的物质称为流体,流体显然不能保持一定的 形状,即具有流动性。 耗散函数: pij ' ?u j ?xi ' 称为耗散函数 ? , ? 表示单位时间内单位体积流体由机械能耗散成热能 ? ? pij ?u j ?? ? ?u j 2 ? ? ?? ? ' ? ? ?divV? ij ? 2?? ij ? ?xi ?? 3 ? ? ?xi ? p xx , p xy , p xz ? ? ? 应力张量:? p ? ? ? p yx , p yy , p yz ? 称为应力张量, 它是描述运动黏性流体内任一点应力状态的物理量。 ?p , p , p ? ? zx zy zz ? 简述题 1, 流体连续性介质假设内容, 必要性, 合理性?是否适用含有气泡液体?高空稀薄气体层是否成立? 内容:把流体可看成是由无限多连续分布的流体微团组成的连续介质。必要性:不假设不能用数学解 析来完成。合理性:工程上微观流体的运动,流体介质为含有为数众多的分子,可以忽略分子间隙, 认为流体是连续的,适用于含有气泡的液体。高空稀薄气体层假设不成立,其分子距和设备尺寸可以 比拟,不再是可以忽略不计了。 2,拉法和欧拉法定义?为什么采用欧拉法? 拉格朗日方法又称随体法,是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。欧拉法, 又称为局部法,是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手,来研究整个流体运动的,即 研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。欧拉法描述流体的流动比拉格朗日法 优越的三点原因:一是利用欧拉法得到的是场,便于采用场论这一数学工具来研究;二是采用欧拉法, 加速度是一阶导数,而拉格朗日法,加速度是二阶导数,所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程 和二阶偏微分方程,在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易;三是在工程实际中,并不 关心每一质点的来龙去脉。因此,欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。而拉格朗日法在研究爆炸现 象以及计算流体力学的某些问题中是方便的。 3,何为紊流模式理论?为什么要引入? 第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页 找出平均连续方程和平均运动方程中,雷诺应力与时均值 ui , p 的关系式,使方程组(连续方程组和运 动方程组)闭合的理论,称为紊流模式理论。因为在平均连续方程和平均运动方程中,未知除了各运 动参数的时均值 ui , p 外还有各运动方程中的雷诺应力 u j u i , 找出 u j u i 与流场中的时均值 ui , p 的关系 式,称为紊流模式理论, u j u i = f ui p ' ' ' ' ' ' ? ? 4,何为粘性流体的本构方程?矢量和张量,以及每一项的物理意义。 ? 2 ? ' 2 ? ' ? ? p xx ? ? p ? 2?? xx ? ? ? ? 3 ? ?? ? ? p ? 3 ?divV ? 2?? xx ? ? p ? p xx ? ? ? ? ? ? 2 ? ' 2 ? '? ? p yy ? ? p ? 2 ?? yy ? ? ? ? ? ?? ? ? p ? ?divV ? 2 ?? yy ? ? p ? p yy ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 2 ? ' 2 ? ' ? p zz ? ? p ? 2?? zz ? ? ? ? ? ?? ? ? p ? ?divV ? 2 ?? zz ? ? p ? p zz ? 3 ? 3 ? ? ? pxy ? pyx ? 2?? xy , pxz ? pzx ? 2?? xz , pzy ? pyz ? 2?? yz 2 ? ? pij ? ?? p ? ( ? ' ? ? )divV ?? ij ? 2?? ij 3 ? ? 5,正交曲线坐标系下连续方程,推导直角、圆柱、球坐标下连续性方程 ? ?? 1 ? ? ??v1h2 h3 ? ? ? ??v2 h1h3 ? ? ? ??v3h1h2 ?? ? 0 ? ? ?t h1h2 h 3 ? ?q1 ?q2 ?q3 ? 对于直角坐标(x,y,z)中: h1 ? 1, h2 ? 1, h3 ? 1. V1 ? u,V2 ? v,V3 ? w. q1 ? x, q 2 ? y, q3 ? z. ,所以 ?? ? ? ? ? ??u ? ? ??v ? ? ??w? ? 0 ?t ?x ?y ?z 对于圆柱坐标 ?r ,? , z ?中: h1 ? 1, h2 ? r , h3 ? 1. V1 ? Vr ,V2 ? V? ,V3 ? Vz . q1 ? r , q 2 ? ? , q3 ? z. ,所以 ?? 1 ? ??vr r ? ? 1 ? ??v? ? ? ? ??v z ? ? 0 ? ?t r ?r r ?? ?z 对 于 球 坐 标 ?R,? , ? ? 中 : h1 ? 1, h2 ? R, h3 ? R s ? . i V1 ? Vr ,V2 ? V? ,V3 ? V? . q1 ? R, q 2 ? ? , q3 ? ? . n , 所 以 ?? 1 ? 1 ? ??V? sin ? ? ? 1 ? ??V? ? ? 0 ? 2 ?VR R 2 ? ?t R ?R R sin ? ?? R sin ? ?? 6,比较可压流体与不可压流体微分形式和积分形式连续方程 ? ? 可压,微分: ? ?? 1 ? ? ??V1h2 h3 ? ? ? ??V2 h1h3 ? ? ? ??V3 h1h2 ?? ? 0 ? ? ?t h1h2 h 3 ? ?q1 ?q 2 ?q3 ? ?? dV ?t cV 积分: ? ?Vn dA ? ? ? cs 不可压,微分: ? 1 ? ? ??V1h2 h3 ? ? ? ??V2 h1h3 ? ? ? ??V3 h1h2 ?? ? 0 ? h1 h2 h 3 ? ?q1 ?q 2 ?q3 ? 第 2 页 共 6 页 第 3 页 共 6 页 积分: ?? ? 0 ,则 ? ?V n dA ? 0 ?t cs 对于不可压缩流体中定常流动和非定常流动的连续方程无区别。 7,流体本构方程式如何建立的?并写出粘性流体本构方程? 按斯托克斯根据牛顿内摩擦定律提出的关于应力与变形速度之间一般关系的 3 个假设得到本构方程。 假设 1:切向应力与变形速度呈线性关系。假设 2:在流体内每一点,变形速度主轴均与应力主轴重 合。假设 3:每一点的平均法相应力是由不直接依赖于变形速度压强以及同体变形速度成比例的附加 应力组合而成。这样假设是为了在变形速度为零时,将应力与变形速度关系化为应力等于流体静压强 关 系 , 方 程 : 2 ? ? ' pij ? ?? p ? ?divV?? ij ? 2?? ij ? ?? ij p ? pij , ? ij 为 3 ? ? ? ? ? ? kroneker 符 号 ? ?u j ?u i 2 ?u ? 2 ? ' pij ? ?? ?divV ?? ij ? 2?? ij ? ? ? i ? ij ? ? ? ? ? ?x 3 ?xi ? 3 ? ? i ?x j 8.试写出粘性流体的 N-S 方程,以此方程出发写出不可压缩流体和不可压缩定常流体的 N-S 方程 ? ?p ? ? ' 2 ? ? ?u j )? ? ? u i ? Du i ? ? f ? ? ( ? ? ) div ? ( ? ? ? ? V? ?? 3 i Dt ? ? ? ?xi ?xi ?x j ? ?x j ?xi ? ? 或? Du Dt i ?? f i ? ?f ?P i ? ? DV ? ? f ? ? ' ( Pij)或矢量式? ?xi Dt ' ?P ? ? ? f ? div?P? ij 不可压缩 divV ? 0, ? ?常数,? ? 0 ? Du Dt i ?? ?p ?u f ? ? ? ( ?u ? ) ? ? f ? ?f ?x ?x ?x ?x ?p ? i j j i i i j i i ?? ? u ?x ?x 2 i j j DV 矢量: ? Dt ? ? ? f ? ?P ? ? ? 2 v i j j ? ? u ?u 不可压缩定常: ? ? 常数,忽略质量力: ?x 矢量式: ? (V ? ?)V ? ??P ? ? ? V 2 ? ? ? ?P ?? ?x 1 ? i ?? ? u ?x ?x 2 i j j 公式各项意义: Dt ( 2 ui ui ) ? D 1 f u ? ?u i i 1 i ?x ?P ? i ? ?x ( Pij u j ) ? ' i ?P 1 ' ij ?u ?x j (动能方程) i 左一项:单位时间内,单位质量流体的动能的变化,也可以认为惯性力的做功率;右一项:质量力的 做功率;右二项:压强梯度的做功率;右三项:能量运输项;右四项:单位时间内粘性应力所做的变 形功 Du i u Dt ' ' j = ? ui u k ' ' ' ' ?u ? j k x — uu j ' ' k ?u j ? xk ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ?u ' u u k ?u j ? u j ? u' 1 ? P u j ? P ui i j ? u u ? u i j i i ? ? 2v ? ( ? )? ( ? ) ?v ? xk ? xk ? xk ? xk ? xk ? ? xi ? xj ? ?xi ?x j ? (不可压缩流体紊流的雷诺应力输运方程) 第 3 页 共 6 页 左一: (衰变)雷诺应力的局部变化和(对流项)由于 第 4 页 共 6 页 平均运动的迁移变形引起变化;右一和右二:雷诺应力所做的变形功率;右三:反应三次速度相关变 化;右四:脉动压强做功率的时均值在空间的变化;右五:脉动变形功率的时均值;右六:表示黏性 扩散;右七:黏性耗散 ' ? ? ?p ?u j ?u i ? ? D? 1 2? ? ?? 1 ? ' ?p ? ?u ? ? ? D ? ?? ui ? ui ?? ? ui?ui? ? (不可压缩流体紊流 ? e ? ui ? ? ? f ui ? ? ? j ? ?xi Dt ? 2 ?xi ? ?xi ?? ?x ?x j ? Dt ? 2 ? ? ? ? ? ? ?? i ? 的平均总能量方程)左一:单位时间内单位体积流体能量的变化,右一:质量理所做功对单位时间内 单位体积流体总能量的贡献;右二:压强合力所做的功对单位时间内单位体积流体总能量的贡献;右 三:黏性应力合力所做功引起的单位时间内单位体积流体能量的变化;右四:单位时间内单位体积流 体脉动动能的变化量。 ? D? 1 ? ? e ? ui ui ? ? Dt ? 2 ? f u ?? i i 1 1 ? ? (pu ) ? ? ?x ?x i i (2?? ij u j ? i 2 1 ? ?T ?divV? ij u j ) ? (? ) 3 ? ?xi ?xi (直角坐标系中的总能量方程)左一:单位时间内单位质量流体总能量的变化,右一:质量力所做功 对单位时间内单位质量流体总能量的贡献;右二:压强合力所做功对单位时间内单位质量流体总能量 的贡献;右三:黏性应力合力所做功引起的单位时间内单位质量流体能量的变化;右四:单位时间内 加给单位质量流体的热量。 9,得到紊流平均方程的思路,并从可压缩流体瞬时值的连续方程出发,利用时均值和脉动值的性质, 证明下式为可压缩流体紊流脉动的连续方程?并说明各项物理意义。 思路: (1)写出粘性流体瞬时方程; (2)将瞬时方程中的瞬时值用时均值和脉动值代替,带入到黏性 流体基本方程组后,再将方程时均化; (3)利用值用时均值和脉动值的性质对方程简化,得到紊流时 均方程; (4)紊流瞬时方程减去紊流时均方程,化简得到紊流的脉动方程。 证明: ?? ? ( ?u ) ? ( ?v) ? ( ?w) ?? ? ( ? u i ) ? ? ? ? 0或 ? ? 0式一 ?t ?x ?y ?z ?t ? xi 将? ? ? ? ? , ui ? ui ? u i 带入式一 ,对方程进行时间平均 ' ' ' ' ' ? ? ? (? ? ? ) ? ( ? ? ? )(ui ? u i )? ? 0 ? ? ? ?t ?xi ? 利用时均值和脉动值的性质,可得 则得到紊流的时均方程 ? ? 0, ? u ? 0, ? u ' ' ' i i ?0 ' ' ?? ? ? ( ? ui ? ? ui ) ? 0式二 式一减去式二得可压缩流动紊流脉动运动的连 ?t ?xi ' ' ' 续性方程 ?? ?t ' ? ? ? xi ( ? ui ? ui ? ? ? ui ? ? ui ' ' ' ?? 0 第一项为单位时间内,控制体内质量变化的脉动值。第二项为单位面积上时均质量的空间输送。第三 项单位时间上脉动质量的空间输运。第四项单位面积上脉动动量的空间输运。第五项单位面积上脉动 质量的空间输运。 10, 试写出粘性不可压缩流体动力学基本方程组, 说明该方程独立未知物理量有几个, 为使方程闭封, 还需要补充哪几个方程。 ?ui ?0 1. ?xi 2 ?u j Dui ?u 1 ?p 1 ? ? fi ? ? [? ( i ? )] Dt ? ?xi ? ?x j ?x j ?xi 3 ?u ?u j D 1 1 ?P 1 ? 1 ? ?T (e ? ui ui ) ? f i ui ? ui ? [u j ? ( i ? )] ? (? ) 。当认为 f x 等已知, ? 、 ? 为常 Dt 2 ? ?xi ? ?xi ?x j ?xi ? ?xi ?xi 第 4 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 数,并忽略 ? ? 时,独立未知量有 u、v、w、p、T、e 6 个。为使方程封闭,补充方程 e=cT(c 为比热 D? ? (? ? ?)V ? V? 2 ? Dt 容),就变成 5 个方程、5 个未知数:u、v、w、p、T ,方程组封闭。 11 , 据 不 可 压 缩 流 体 N-S 方 程 , 导 涡 量 的 输 运 方 程 ( 海 姆 霍 兹 方 程 ) 注 . ? ? 2w ? ? ? V 答:二维不可压缩流体的 N-S 方程 ?u ?u ?u 1 ?P ? 2u ? 2u ?u ?v ? fx ? ? v( ? ) ?t ?x ?y ? ?x ?x 2 ?y 2 ?后 v 为运动粘度系数 ?v ?v ?v 1 ?P ? 2v ? 2v ?u ?v ? fy ? ? v( ? ) ?t ?x ?y ? ?y ?x 2 ?y 2 ?u ?v ? ?0 ?x ?y 1 ?v ?u ( ? ) 2 ?x ?y ? 连续性方程为: ? 旋转角速度为: wz ? w ? 设质量力有势。并在?和?两式中消去压强 P,可得 ?w ?w ?w ?2w ?2w ?u ?v ? v( 2 ? 2 ) ?t ?x ?y ?x ?y 将涡量表达式 ? ? 2w ? ? ?V 代入, 可得 或 Dw ? v? 2 w Dt D? ? (? ? ?)v ? v? 2 ? 该式称为涡量输运方程: 它说明涡量的随 Dt 体变化等于涡量因摩擦而产生的耗散。 12,已知拉格朗日描述 x ? aet y ? be?t 求速度加速度的欧拉体? ux ? ?x dx ? ae t ? x ; ? dt ? Inx ? t ? x ? et ? a ? 1 ?t x ?y dy vy ? ? ?be ?t ? ? y : ? ? y ? Iny ? ?t ? y ? e ?t ? b ? 1 ?t dt ? u x ? et v y ? e ?t ? ax ? et a y ? ?e ? t DV ?V DV ?V ?0, ? 0 ,和 (v ? ?)v ? 0 , 和 (v ? ?)? 的物理意义,若 V ? 0,说明 Dt ?t Dt ?t 13.设速度场 V,说明 的物理含义。 DV ?V 答: ( 1) , 表示速度 V 的全导数, 表示速度的当地导数, (v ? ?)? 表示速度的迁移导数。 Dt ?t DV ?V (2),当 V ? 0 时, a = =0 表示流体的定常流动,即加速度为 0, =0 表示流体的当地加速度为 Dt ?t 0,也即流体当地速度不变。单位时间内流进某一固定管道的流体输入量无变化。 (v ? ?)? =0 表示流体 质点所流经的截面是没有变化的,故其迁移加速度为 0. 14.以欧拉法变数(a、b、c)给出流体的运动规律,x=a e 2t ;y=b e t ;z=c e t ,求(1)速度场(2)流动 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页 是否定常(3)t=0 时过空间点(1,2,1)的迹线(4)质点的加速度 dx dy dz ? 2ae 2t ? 2 x ,v= ? be t ? y ,w= ? ce t ? z 解: (1)u= dt dt dt dx ? 2 dt ? ln x ? 2t ? x= e 2t ,所以 a=1 x dy ? dt ? ln y ? t ? y= e t ,所以 b=1 y dz ? dt ? ln z ? t ? z= e t ,所以,c=1 z 所以,u=2 e 2t ,v= e t ,w= e t (2)u,v,w 是关于 t 的函数,故不是定常流动 (3)t=0 时,将 x=1,y=2,z=1 代入 ? 1=a e 2t ,2=b e t ,1=c 所以,a=1,b=2,c=1,所以迹线为:x= e 2t ,y=2 e t ,z= e t (4) a x ? du dv dw ? 4e 2 t ; a y ? ? et ; a z ? ? et dt dt dt 2 ?2 以拉格朗日变数(a,b,c)给出流体运动规律, x ? ae?2t , y ? b?1 ? t ? , z ? ce2t ?1 ? t ? 求:1,速度场;2,流动是否定常;3,t=0 时, (1,1,1)点迹线 ?x ?y ?z 2 ?3 ? ?2ae? 2t ; v ? ? 2b?1 ? t ?; ? ? ? 2ce 2t ?1 ? t ? ? ?1 ? t ? ?t ?t ?t 2y 2 zt ,? ? 1, , , , , ,? u ? ? 2 x , v ? 1? t 1? t u? ? ? 2,非定常流动, u,v,w 是关于 t 的函数 3,a=1,b=1,c=1 代入 ? 2 x ? ?2ae?2t 同理: x ? e?2t , y ? ?1 ? t ? , z ? e2t ?1 ? t ? 2 ?2 15 ,试写出可压缩流体非定常三维流动的连续性方程,并证明该连续方程可以写成如下形式, ?p ? a 2???v ? ? 0 ,同时说明 a 的物理意义 ?t ?? ?p ?? ? ???v ? ? 0,? p ? ? k RT ? ? k? k ?1 RT 证明: ?t ?t ?t ?? ?P ?P ? ?? ??v ?,? ? ?k? k ?1???v ?RT ,即 ? k? k ?1???v ?RT ? 0 又 ?t ?t ?t 则 a 2 ? k? k ?1 RT ,? a ? kp k ?1 RT 由 1 式有 ?p ?t ? k? k ?1 RT ?t ?? 即 ?p ? a 2 ,所以 a ? dp d? ,a 为扰动波的传播速度,即当地声速是温度的单值函数。 ?? 第 6 页 共 6 页