导数与三角函数的结合(导数与三角函数结合)已知函数其中为参数且()当时判断函数是否有极值()要使函数的极小值大于零求参数的取值范围()若对()中所求的取值范围内的任意参数函数在区间(a-,a)内都是增函数求实数a的取值范围【分析】定义域上的可导函数在点处取得极值的充要条件是且在两侧异号【解析】()当时则函数在(-∞+∞)内是增函数故无极值(),令得由及(),只考虑的情况当x变化时的符号及的变化情况如下表:(-∞)+-+极大值极小值因此函数在处取得极小值且要使>,必有可得所以()由()知函数在区间(-∞)与内都是增函数由题设函数在(a-,a)内都是增函数则a需满足不等式组由(),参数时要使不等式关于参数恒成立必有综上解得a≤或所以a的取值范围是(-∞]∪[)已知函数f(x)=axsinx-(a∈R)且在上的最大值为()求函数f(x)的解析式()判断函数f(x)在(π)内的零点个数并加以证明.【思路点拨】 ()分a=、a<和a>三种情况求函数f(x)的最大值()先用零点存在性定理判断有无零点再根据函数的单调性判断零点的个数.【规范解答】 ()由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx)对于任意x∈()有sinx+xcosx>当a=时f(x)=-不合题意.当ax∈()时f′(x)>从而f(x)在()内单调递增又f(x)在上的图象是连续不断的故f(x)在上的最大值为f()即a-=解得a=综上所述函数f(x)的解析式f(x)=xsinx-()f(x)在(π)内有且只有两个零点.证明如下:由()知f(x)=xsinx-从而有f()=-又f(x)在上的图象是连续不断的所以f(x)在()内至少存在一个零点.又由()知f(x)在上单调递增故f(x)在()内有且仅有一个零点.当x∈π时令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx由g()=>g(π)=-π<且g(x)在π上的图象是连续不断的故存在m∈(π)使得g(m)=由g′(x)=cosx-xsinx知x∈(π)时有g′(x)<从而g(x)在(π)内单调递减.当x∈(m)时g(x)>g(m)=即f′(x)>从而f(x)在(m)内单调递增故当x∈m时f(x)≥f()=>故f(x)在m上无零点当x∈(mπ)时有g(x)f(π)<且f(x)在mπ上的图象是连续不断的从而f(x)在(mπ)内有且仅有一个零点.综上所述f(x)在(π)内有且只有两个零点.