第一部分:函数、极限和连续
本章共有七种考查类型,接下来详细介绍七种类型和解题方法。
一.复合函数及函数的几种特性
1.函数的特性单调性、有界性、奇偶性和周期性,对于函数的有界性,对应方法有两种
(1)函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上有界。
(2)函数在开区间上(a,b)连续,且极限X趋近于a+,X趋近于b-时存在,则函数在开区间(a,b)有界。
2.单调性问题利用定义或者求导解决。
二.极限的概念和性质
1.理解函数极限和数列极限的定义,唯一性(双侧定义,左右极限都相等),局部有界性和局部保号性。
2.数列极限存在法则:夹逼准则和单调有界数列必有极限。(必考)
3.极限的本质:无限趋近但不等于。(即使你给我整个世界,我也只在你身边。)
三.求函数的极限
解决思路:
1.化简先行(等价替换,注意是X趋近于0,恒等变形,抓大头)
2.判别类型(7种未定式)
3.使用工具(洛必达、泰勒)
4.注意事项(总结盲点)
补充:
1.洛必达使用条件:当X趋近于a,或者趋近于无穷(无穷大或者无穷小都可以),函数都趋近于0或者都趋近于无穷大。
2.无穷大-无穷大,制造分母,通分。
3.遇到e和对数函数要兴奋,提取变成1-cosx,等价无穷小代换,及时使用洛必达法则。
4.常用思路就是判断类型,化简,洛必达或者泰勒+无穷下代换。
形成自己解题的模板,对于总是出现的错误,及时整理出来,使其显性化,比如:及时提取不为的0的函数,如何把函数分开,前提是什么?这都是自己不熟悉的点,还有对于洛必达之后较为复杂的计算能力不够。
4.求数列的极限
这是考验的难点,也是热点。
通常思路三种:
1.通项已知且易于连续化,用归结原则。
2.通项已知且不易于连续化,用夹逼准则。
3.通项由递推式给出,用单调有界准则。
5.确定极限中的参数
通常还是用洛必达和泰勒化简求导,不过难点在于对于极限基本运算法则的掌握
两个基本结论:
图片发自简书App
六.无穷小量及其阶的比价
三种:高阶无穷小、等价无穷小、同阶无穷小,判断阶数,然后运用等价无穷小代换、泰勒或者洛必达。
七.函数的连续性及间断点的类型
第一类间断点:可去间断点(左右极限相等但不等于该点的函数值)和跳跃间断点
第二类间断点:无穷间断点和震荡间断点
问题:如何判断间断点的个数?数量总是出错?
解决方案:
1.寻找无定义点:就是让分母为0的点或者对数函数无定义点。
2.然后利用极限运算法则进行计算验证,若左右极限都为同一常数则为可取间断点,若值为无穷,则为无穷间断点。
我的总结:
注意基本运算把失误降到最低,比如-1的三次方,通常无定义点都为分母为0的数,一一来求极限即可。
要通过例题打通知识之间的阻碍,比如08年的真题和积分中值定理相关联。
图片发自简书App