先看一个例子:设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ,设构件的密度分布函数为ρ(x,y),设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续,求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量;对于密度不均匀的物件,就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径,∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界,在L上任意插入一点列把L 分成 n个小弧段的长度为ds,又是L上的任一点,作乘积,并求和即,记λ=max(ds) ,若的极限在当λ→0的时候存在,且极限值与L的分法及在L的取法无关,则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分,记为:;其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分曲线,对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。(上述定义并不完全严谨,给出新的定义):在矢量场A中,任取一连接点P0与P1的光滑曲线c,此时向量OP0记作R0,向量OP1记作R1,用ΔR表示位于曲线C的切线上,以切点为始点而模(其中ΔR为粗体)等于弧元ΔR的小矢量,作标积,A是ΔR始点的矢量,是A在弧的切线上的投影。将所有弧元ΔR的标积相加,并使弧元数量无限制增加且使得每一弧元长度趋向于0,求U的极限,所以。称U为矢量A沿曲线c的曲线积分。