课程内容:
《圆的一般式方程》
圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2
把它展开得到:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
任何圆的方程都可以通过展开化成形如:
x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程 ①
请大家思考一下:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆?
将①配方法,得:
②
(1)当D2+E2-4F>0时,②表示以
为圆心,以
为半径的圆;此时①称作圆的一般方程。
即称形如x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的方程为圆的一般方程。
(2)当D2+E2-4F=0时,方程②表示一个点
;
思考:我们学习了圆的一般方程和圆的标准方程,请大家比较这两种方程,并归纳它们各自的特点?
(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和半径一目了然;
(2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构,更适合方程理论的运用。
例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。
求圆的方程常用“待定系数法”,用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或者D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程。
关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程。
例2.求圆心在直线l:x+y=0上,且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程。
练习:
1.求下列各圆的一般方程:
(1)过点A(5,1),圆心在点C(8,-3)
(2)过三点A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)