首先令
化简变限积分得到
提出
得到
使用等价无穷小替换
并使用常数替换极限为常数的因子
得到
使用泰勒公式得到
最后使用洛必达法则
下面附上一些常用泰勒展开和等价无穷小,考试的时候务必要记住:
其中 ①式减②式可以得到
1减③式可以得到
④式减1可以得到
⑤式减1,可以得到
还有一些要记住

2.变限积分求极限

一句话,变限积分求极限,一般用洛必达法则,既然应用了洛必达法则,那么变限积分的求导一定又是过不去的一道坎。这个我打算放到求导那章整理。
此外,某些变限积分的极限化简可以用泰勒公式来简化.
例1
这道题常规做法是用洛必达化为
实际上用泰勒展开也可以做
例2
原式
例3
这道题分母为1,不能用洛必达,又是趋于无穷不能用泰勒,只能用夹逼准则了。
当
时
趋于0且单调递减
故当
时有
由于
可以被当作常数
故
由于上式左右两端在
时候的极限都为0
故由夹逼准则

3.数列求极限

数列求极限的方法主要用到了夹逼准则、单调有界准则、化为定积分求解
例题1:
证明:(1)
(2)设
,则数列极限存在
解:
(1)遇到有根式的分母,首先想到的是分子分母有理化,不等式左右两侧分母无法进一步有理化,只能分式中间开始有理化,同时乘以
,使用平方差公式得到:
变形得到:
上式很容易看出成立。
(2)数列极限,要用到单调有界准则,至于怎么用,第一问给了提示。首先判断数列的单调性,让
故数列单调递减,这样只要证明数列大于某个数就行了,由第一问的结果可以将数列放缩为:
故
有界,则
有极限。
例题2:
设数列
满足:
,证明
收敛,并求
解:可以用拉格朗日证明数列的单调性
由于
单调,故
单调递减
由于
的具体公式没有给出,而仅仅只给出了
,所以采用
数学归纳法。
当
时,
假设
时
当
时
则
故对所有
都有
由于
单调有界,故有极限。
这个时候,不妨设极限为一个常数
设
则
故由
得到
求得
,故极限为0。