贾宪三角和等幂和问题 周加清 提起贾宪三角,大家都知道是关于二项式 a+b 乘方后,求得展开式中各项系 数的一种非常方便的方法。例如: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 - 8 + 28- 56+ 70- 56 + 28- 8 + 1 1 - 9 + 36 - 84 + 126- 126 + 84- 36 + 9 – 1 以上就是一个十阶的贾宪三角,利用它可以很方便的求得 1-9 次幂的二项 式 a+b 的展开式的各项系数。但是,这贾宪三角和等幂和问题又有什么关系呢? 大家不妨往下看,我可以用一个个数据来回答大家。 首先,我在这里必须和大家说明,贾宪三角所显示的二项式的幂指数与等 幂和问题中 K 值(指数)不是完全对等的,而是贾宪三角中的 1 次幂对应等幂 贾宪三角中的 2 次幂对应等幂和问题中的 1 次幂, 以下类推。 和问题中的 0 次幂, 另外,在二项式 a+b 中,b<0,所展开的二项式如上表中的第 8;9 项。 下面我就给大家演示一下: 二项式 1 – 1. 1 – 2 + 1. 1 - 3 + 3 – 1. 等幂和问题 1 – 2. 1 – 2 + 3. 1 – 2 + 3 – 4. 0 0 1 1 1 1 – 2 =0 1 – 2 * 2 + 3 =0 12 –3* 22 + 3*32 – 42 =0 . . 0 即 1 – 20 =0 11 – 21 – 21 + 31 = 0 12 – 22 – 22 – 22 + 32+ 32 + 32 – 42 =0 现在大家应该对贾宪三角和等幂和问题之间的关系有了一点了解了吧。 但 是,可能大家都会说,这样不行,在等幂和问题中不允许有重复的数字出现。那 我现在把贾宪三角的二项式的展开式重新配置一下,看看能不能满意。 例如:1 – 2 + 1 可以转化成 1 – 1 – 1 + 1 ,按等幂和问题数字配置的方 法就变成 1 – 2 – 3 + 4 。到了这里,相信大家都已经明白了,第一个 K=1 的等 幂和数据已经出来了,也就是 1 + 4 = 2 + 3。 下面,我再做一个三角给大家看看,这样就能更加对贾宪三角和等幂和 问题的关系有更深的了解。我在这里以 K=3 为例: 0 (1) 6 6 (2) (3) 61. (4) 1 8 27 64 125 (5) 相信大家都知道上面的三角形是怎么回事了吧,对了,第 5 行是 1、2、 3、 5 的 3 次方, 4 行是下面一行相邻两个数的差, 4、 第 也就是 53-43, 3-33, 3-23, 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 -1 的值。第 3 行又是第 4 行的差,也就是(5 -4 )-(4 -3 )(4 -3 )-(3 -2 ) , , (3-2)-(2-1)的值。第 2 行、第 1 行以此类推,到最后,一个 K=3 的等幂和 数据就这样产生了:13 – 4*23 + 6*3 3– 4* 43 +53。即 13 + 6*33 +53 =4*23 +4*43。 上面这些数据仅仅是为了说明一个问题, 也就是贾宪三角和等幂和问题的关 系。也只是理论上的推导而已,而且,这些数据是不符合等幂和问题数据的规则 的。那么,如何来利用贾宪三角的原理来推导一个真正的等幂和数据呢?请看下 面: -1 -1 (1) ( 1 — 2 ) — ( 3 — 4 ) (2) 上面的(1)是表示(2)的结果,也就是 1-2;3-4 的差,由于它们的差相 等,所以(1-2)=(3-4) ,也就是 1-2=3-4,移一下位置就是 1+4=2+3。这就是 K=1 的等幂和数据,再看下面: 4 4 (1) (-3 -7 ) ( -9 -13 ) (2) ( 1 - 4 )- ( 9 16 ) ( 16 25 )- (36 - 49) (3) 很明显第(3)行里都是自然数的平方,第(2)行是第(3)行里两个数的 差,而第(1)行就是第(2)行里两个数的差,而且它们的数值是相等的,所以 第(3)行的两组数的数值也应该是相等的,即 1-4-9+16=16-25-36+49。也就是 说:12-22-32+42=42-52-62+72,再移一下位置就是 12+52+62=22+32+72。 从上面的数据已经可以完全的说明利用贾宪三角可以推导等幂和数据,到 此,我的任务也完成了。谢谢大家! 周加清 2012 年 3 月 7 日 T:13391273871 7 19 37 12 18 24