本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 相关定义 方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A),rk(A)或 。 m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。 设A是一组向量,定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1. 在m*n矩阵A中,任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。 例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。 定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作rA,或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得: 若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r A=0 (5)r(A+B)=r(A)+r(B) 即r(A)+r(B)-n r(A)+r(B)<=n (8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ) [4] (9)若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。