预备知识集合,充分必要条件
我们来回顾高中学的几何矢量(geometric vector),也叫欧几里得矢量(Euclidean vector).本文中简称为 “矢量”.粗略地说,矢量是空间中的一些有长度有方向的箭头.我们对它的位置不感兴趣,所有长度和方向相同的矢量都视为同一矢量.本书中矢量用正黑体表示,如$\boldsymbol{\mathbf{a}} $.在手写时,可以在字母上方加箭头表示,如$\overrightarrow{a}$.特殊地,如果一个矢量的长度等于 1,那么它就是一个单位矢量,本书中在矢量上面加上 “^” 符号表示单位矢量,如$\hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} $.为了与矢量区分,我们把单个的实数或复数称为标量.
1. 几何矢量
矢量(vector)又被翻译为向量.这个概念最初来自直观的几何矢量.早在民国时期,学者们引入 vector 的概念时就将它译成了汉语.由于当时的物理学家和数学家没有太多交集,物理学家将它翻译为向量,而数学家翻译为矢量.90 年代时,国家名词委员会商议确定一个统一的 vector 译名,但却无法轻易割舍两个译名中的任何一个,因为它们都非常信达雅地表明了 vector 的含义:向量即有方向的量,矢量即像箭矢一样的量.大概是出自物理学家和数学家的互相尊重,最后确定的方案是双方互换译名,从此物理学界称矢量,数学界称向量1.本书中不区分两个译名的使用.
本词条中讨论的几何矢量是经典物理学中最长见的一类矢量,是一种具有长度和方向的量,因此可以画成箭头来表示.生活中这样具有长度和方向的量十分常见:速度有大小有方向,因此可以表示为箭头,箭头的长度代表速度的大小;加速度也有大小,有方向;我从一个地方运动到另一个地方,那么从起点到终点可以画一根箭头,这箭头就是位移矢量.不止在生活中,一切领域里具有方向和大小概念的量都被称为几何矢量.
为什么要强调是 “几何” 矢量呢?在数学中,矢量的含义要比几何矢量更广泛,也就是说,几何矢量虽然是数学家所研究的矢量的一种,但不是唯一的一种,广义来说任何矢量空间中的元素都叫做矢量.以后会看到,本文介绍的矢量是一个 “实数域上的赋范线性空间” 中的元素.这个名字听起来很吓人,但它其实只是三个概念的结合:实数域,范数和线性空间.实数域即我们所熟悉的实数,它作