卷积公式的由来
卷积公式最开始来自于古典概型。
如题,掷两次公平的骰子,点数之和等于8的概率。
设随机变量
为第一次掷得的点数,随机变量
为第二次掷得的点数。因此不考虑点数之和等于8的条件,则有
种样本空间。根据条件
, 相当于给随机变量的取值限定了范围。设掷骰子的概率密度函数为
, 则该事件的概率为
将该例子拓展到连续型随机变量。
设
是二维连续型随机变量,它具有概率密度
.
, 求
的概率。
同理
由此可得卷积公式:
离散随机变量的卷积公式
连续随机变量的卷积公式
可得随机变量和的概率密度函数等于随机变量概率密度函数的卷积
卷积公式在信号系统中的应用
卷积公式在信号处理领域最重要的应用来自于,两个信号时域上的卷积运算的傅立叶变换等于两个信号在频域上的相乘。
我们可以利用这个性质进行信号滤波。比如在频域中我们将任意信号与门信号相乘,相当于将高次谐波分量给剔除掉了,这也叫做低通滤波,平滑了信号。
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而保留曲线边缘的滤波又称高通滤波,这一特征可以用来边缘检测[1]。
中心极限定理的证明
在生活中,许多随机变量由许多随机因素综合影响,那么随机变量和的分布服从高斯分布 [2]。
首先,设随机变量
相互独立,
,
并服从同一概率密度函数
。
因为随机变量和的概率密度等于随机变量概率密度的卷积 [2]。
令
, 则
的均值为
,标准差为
将随机变量标准化
,得
将概率密度函数求傅立叶变换得
当
傅立叶逆变换求的随机变量和的概率密度函数
可见,大量独立同分布的随机变量之和服从高斯分布。
此外,证明中心极限定理的过程可以用来引出随机变量的特征函数或矩量母函数。
特征函数与矩量母函数
由定义得
由定义可以看出随机变量的特征函数是随机变量的共轭傅立叶变换。
并且特征函数的第
项是随机变量
的第
中心矩
。拓展下随机变量的中心矩代表了随机变量的数字特征。从母函数可以看出随机变量的概率密度函数可以有中心矩的组合来表示。
另外特征函数还有一个重要的性质
这个性质同