二次型这一大章准备用两章写完,本章是:二次型(上)。
本章包含了:
二次型概念
标准型、规范型概念和求解方法
二次型转为标准型的三种解法
合同变换、合同矩阵、合同关系
惯性指数和惯性定理
二次型常见的混淆性质
本章参考视频系列:
厦门大学 高等代数课程 第九章 二次型_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili
学习时间,本章全部看完所需最低时间:四个小时
现在开始~
1、二次型的基本构成:两个未知数的相乘,这两个未知数无论相同还是不同都不重要,只要两个就是二次型。
2、二次型的判别:(视频有)
简单举例:
这样是三次了,不是二次;
这样的只有一次,也不是二次。
如这种:
或者是
,显然这两种都是二次型。
而
这样也是二次型,无论加减几项,只要每一项都是二次的,就是二次型。
3、二次型的组成和提取:xT*A*x(其中A为对称阵),这样的结果代表一个B(详见下文)。一个足够标准的B是我们二次型的理想结果,即是目标化为标准型。B不够标准,就继续使用x=Py,进行变换,注意A矩阵就是x,之后的每一次产生新的“A”都代表x.(具体——详见下文。这里只是小总结。)
4、求二次型f(x1,x2,x3)的对称矩阵A:
(1)
先写主对角线,主对角线的构成元素是方程每一项的系数(只含有相同的项的系数)
除了主对角线的其它元素:
判别每一项是否还有有多个不同的未知数,比如:(注意对应关系)
E12和E21对应的x1x2中,不仅仅只有x2,还有x1,所以有两个不同的未知数,所以,
x1x2的系数3 除以2,得到3/2,填入E12和E21,
同理E13和E31对应的是x1x3,两个不同的未知数,系数为1,即1/2
而E23和E32对应的是x2和x3,但此处没有存在,所以
认为为0,所以E23和E32为0
(2)
方程的第一、第二或三项都没有多个未知数,所以认为为0,
即除了对角线上有具体数字外,其它位置都是0
5、求对称矩阵A的二次型f(x1,x2,x3):
(1)
刚才说了f(x1,x2,x3)是由多项式多个项构成,
而第1、2、3项前面的系数 正