1. 平面基本方程:一般式点法式截距式0\ue002\ue000(\ue000)0\ue000xDCzByAx)0(222\ue00a\ue000)\ue000zCBA1\ue002\ue000\ue000xczbyax三点式01313131212121z1y1x\ue002\ue001\ue001\ue001\ue001\ue001\ue001\ue001\ue001\ue001zzyyxxzyxzzyyx0()(00\ue002\ue001\ue000) 0\ue00a\ue001(abc\ue000\ue001zCyyBxA0212121\ue002\ue0001\ue000BCCBBAA22121CCBAA\ue002\ue0022.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn \ue00e\ue002\ue008021\ue002\ue00en\ue009 nn021\ue002n, 0:22222\ue002\ue000\ue000\ue000\ue003DzCyBxA},,{2222CBAn \ue002\ue001, 0:11111\ue002\ue000\ue000\ue000\ue003DzCyBxA},,{1111CBAn \ue002\ue001二. 空间直线方程\ue000 空间直线方程\ue000 线面之间的关系一、空间直线方程xyzo001111\ue002\ue002\ue000\ue000\ue000\ue000\ue000\ue000(不唯一)DDzzCCyyBBxxAA22221\ue0032\ue003L因此其一般式方程1. 一般式方程直线可视为两平面交线\ue00b),,(0000zyxM2. 对称式方程已知直线上一点,,{nms \ue002故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.例如, 当, 0\ue00amxx0\ue001\ue012\ue011\ue010\ue002\ue00200yyxx设直线上的动点为sMM//0则),,(zyxMnyy0\ue001\ue002pzz0\ue001\ue002此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为),,(0000zyxM),,(zyxM,0时\ue002\ue002pnm和它的方向向量},p\ue001s\ue0013. 参数式方程x设得参数式方程 :tpzznyymx\ue002\ue001\ue002\ue001\ue002\ue001000tmt nt pxyzxyz\ue000\ue000\ue000\ue002\ue002\ue002000 例1.用对称式及参数式表示直线\ue012\ue011\ue010解:先在直线上找一点.\ue002\ue002z\ue000\ue000\ue000\ue001\ue002\ue000\ue000\ue000043201 xzyzyx632\ue002\ue001\ue001yzy再求直线的方向向量2, 0\ue001\ue002\ue002zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为1 , 1 , 1 {是直线上一点 .)2, 0 , 1 (故\ue001. s},1\ue0021s ,nn\ue001} 3 , 1\ue0012n\ue009, 2{2\ue002\ue002n\ue0012ns\ue005\ue005\ue0001ns\ue004故所给直线的对称式方程为参数式方程为\ue013\ue012\ue013\ue011\ue010\ue001\ue001\ue002\ue001\ue002\ue000t2\ue002tzytx3 4141\ue001x1\ue001\ue002y32\ue001\ue000\ue002z解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.}.3, 1\ue001, 4{\ue001\ue00221nns\ue009\ue002312111\ue001\ue002kjit\ue002例 2 一直线过点方程. ) 4 , 3, 2 ( \ue001A\ue007 且和 y 轴垂直相交\ue007求其解: 因为直线和 y轴垂直相交, , 0 ( \ue001所以交点为取BAs \ue002\ue001\ue001),4, 0, 2 (\ue002所求直线方程.440322\ue002\ue000\ue002\ue001zyx\ue007则2\ue007、)\ue001若 122221111),,(,,( MMLzy\ue001xMzyxM\ue00a\ue00b:L——两点式方程。注\ue004),0, 3B121121121zzzzyyyyxxxx\ue001\ue002\ue001\ue002\ue001\ue001例 3 求过) 3 , 1 , 2 (M且与 L:12131\ue001\ue002\ue001\ue002\ue000zyx垂直相交的直线方程. 解: 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面\ue003) 1( 2) 2( 3\ue001再求已知直线与该平面的交点N,\ue010\ue001),4 , 1, 2 (70) 3\ue001(\ue002\ue001\ue000\ue001zyx\ue0071由\ue013\ue012\ue001\ue013\ue011\ue002\ue000\ue002\ue001\ue002tztytx213LM\ue003N代入平面方程\ue007得,73\ue002(t交点)73,713,72(\ue001N取方向向量 MN) 3\ue001.7z3, 1\ue0011\ue0017y13, 27x2\ue001\ue001\ue001\ue0026\ue001\ue002所求直线方程为43122\ue001\ue002\ue001\ue0022 L1 L\ue006二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角则两直线夹角 \ue006 满足cos\ue00621, LL{1m设直线\ue001 222n p\ue00022m 1n\ue00021p 1mm21n\ue000 \ue002两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为\ue002122pn21m\ue00022p\ue000\ue000},,{, }1p,,222211pnmsns\ue002\ue0012121ssss \ue00e\ue0021s2s特别有:21) 1 (LL \ue00521//L) 2 (L0212121\ue002\ue000\ue000ppnnmm212121ppnnmm\ue002\ue00221ss \ue00521//ss 例4. 求以下两直线的夹角\ue0011 L解: 直线直线二直线夹角\ue006 的余弦为 cos\ue002\ue006 \ue00213s\ue001411:1\ue000\ue002\ue001\ue002zyxL\ue012\ue011\ue010} 1 , 4\ue001k\ue002\ue000\ue002\ue0002\ue000x002:2zyxL \ue001 ) 1(\ue0012) 2\ue001 ) 2\ue00022\ue000 ) 4\ue00921\ue000 2\ue000) 4(\ue001\ue00622\ue002从而4\ue007的方向向量为的方向向量为2L} 1\ue001, 2, 2{\ue001\ue0021((21\ue009\ue001\ue001\ue00921\ue0002) 1((\ue000, 1 {\ue002j12010112is \ue002当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角\ue006 称为直线与平面间的夹角;L\ue0032. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为平面 \ue003 的法向量为则直线与平面夹角 \ue006 满足cos(sin\ue002s \ue00e.2}\ue007,n\ue006222222CBApnmpCnBm\ue000A\ue000\ue000\ue000\ue000\ue000\ue002直线和它在平面上的投影直,{pms \ue002n \ue002\ue001},,{CBA\ue001\ue00e),ns\ue006nsn\ue002sn特别有:L) 1 (\ue003\ue003\ue005//) 2 (L0\ue002\ue000\ue000\ue000\ue001pCnBmApCnBmA\ue002\ue002ns//ns\ue005解: 取已知平面的法向量421\ue0011\ue002\ue0003\ue002\ue0012zy\ue001x则直线的对称式方程为0432\ue002\ue001zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量. 垂} 1 , 3\ue001, 2{\ue002n\ue001n例5. 求过点(1,\ue00c2 , 4) 且与平面1. 空间直线方程一般式对称式参数式\ue012\ue011\ue010\ue0020\ue000z\ue000\ue001\ue0000\ue002\ue000\ue000\ue0000022221111DzCyBxADzCyBxA\ue013\ue012m\ue013\ue011\ue010\ue000\ue002\ue000\ue000\ue002\ue000\ue002t pzzt nyytmxx000pznyymxx0\ue001\ue002\ue002\ue001) 0(222\ue00a\ue000pn内容小结,1111111p\ue001zzn\ue001yym\ue001xxL\ue001\ue002\ue001\ue002\ue002\ue001\ue00d直线0212121\ue002\ue000p\ue000ppnnmm,2222222pzznyymxxL\ue002\ue00d212121pnnmm\ue002\ue0022. 线与线的关系直线夹角公式:},,{1111pnms \ue002s \ue002\ue001},,{2222pnm\ue001021\ue002\ue002\ue00es\ue009ss21LL \ue005L21// L021s2121cosssss \ue00e\ue002\ue006, 0z\ue002\ue000\ue002\ue000\ue000xDzzCyBx\ue001AxC\ue000pBnAm\ue002B\ue002\ue000平面 \ue003 :直线 L :L⊥\ue003L // \ue003夹角公式\ue00d0\ue002CpnAm\ue006sin,pnyym\ue001\ue001\ue0023. 面与线间的关系},,{CBAn \ue002s \ue002\ue001},,{pnm\ue0010\ue0020\ue009 n\ue00ens\ue002snsns \ue00e\ue002L\ue003\ue006