一、一周知识概述
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
注意:
(1)q是指从第2项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即
(2)由定义可知,等比数列的任意一项都不为0,因而公比q也不为0.
(3)公比q可为正数、负数,特别当q=1时,为常数列a1,a1,……;q=-1时,数列为a1,-a1,a1,-a1,…….
(4)要证明一个数列是等比数列,必须对任意n∈N+,an+1÷an=q,或an÷an-1=q(n≥2)都成立.
2、等比数列的通项公式
由a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳得出an=a1qn-1.此公式对n=1也成立.
注意:
(1)通项公式an=a1qn-1是通过不完全归纳法得出的.
(2)由等比数列通项公式可得
,当q>0且q≠1时,y=qx是一个指数函数,而
是一个不为0的常数与指数函数的积.因此等比数列{an}的图象是
的图象上的一群孤立点.
(3)公式中含四个量a1,an,d,n,如已知任意三个,可求第四个量.
3、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
注意:
(1)如果G是a与b的等比中项,那么
,即
.所以两个同号的数才有等比中项,而且等比中项有两个,它们互为相反数.
(2)当a>0,b>0时,
也叫做a,b的几何平均数.
(3)在等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等比中项.
4、等比数列的判定方法
(1)an=an-1·q(n≥2),q是不为零的常数,an-1≠0
{an}是等比数列.
(2)an2=an-1·an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0)
{an}是等比数列.
(3)an=c·qn(c,q均是不为零的常数)
{an}是等比数列.
5、等比数列的性质
设{an}为等比数列,首项为a1,公比为q.
(1)当q>1,a1>0或0