相信实数和数轴对大家来说已经是非常熟悉了,不仅如此,我们还知道:实数与数轴上的点是一一对应的。所以,比如有两个实数集中的数字
,它们可以分别被唯一的标识在数轴上,进而成为数轴上的点
,如图片1所示。数字
被画在数轴上之后称为(数轴的)原点。而且负实数将被画在原点的左侧;正实数则被画在原点的右侧。所以,图片1中:
0}\tag{1}"/>
在图片1中,还有两个符号,分别是
。这两个符号称为数字
的绝对值。而一个数字的绝对值总是正的。所以,一个实数的绝对值在数轴上表现为这个数字举原点的距离。而距离是一种长度。所以,我们可以说:一个实数被画在数轴上之后,它到原点的距离(即这个数字的绝对值)就是这个实数的“长度”。这里特意强调长度这个词是为了在我们接下来讲解复数的长度(复数的模)的时候有一个过渡。
图片1:数轴与数轴上的点。
我们发现,要表示数轴上的一个点那么只需要一个维度就可以了,比如:
表示的就是数轴上值为
的点。
后来数学家发现实数集不够用了,于是便对数系进行了扩充。复数从此登上了数学的舞台。一个复数的代数形式为:
其中,
均为实数;
称为单位虚数。
称为复数
的实部,而实数
与单位虚数
放在了一起,所以称为复数
的虚部。
注意:复数
的虚部是
而不是
!
由于一个复数
需要同时通过他的实部和虚部进行描述,所以,只有一个维度的话是无法描述一个复数的,描述一个复数需要两个维度,一个维度分给它的实部,而另一个维度当然是给它的虚部啦~这就说明,一个复数要被画在一个平面上,这个平面称为复平面。而且,复数与复平面上的点也是一一对应的关系。
图片2:复平面和复平面中的点。
如图片2所示,我们表示复平面内的点的时候是通过一条有向线段进行表示的(这种表现形式与平面向量十分相似)。
注:图片2中的红色线段实际上是有箭头的。只不过箭头有点小hhh,被红点掩盖了。后面的图中可能也有这个毛病,大家见谅。
而被分配给实部的那一个维度变成了实轴,即图片2中的
,即实轴上的点表示的是复数
的实部;而另一个被分配给虚部的维度变成了虚轴,即图片2中的
,即虚轴上的点表示的是复数
的虚部。
那么现