Sin36° ,Cos36° 的几种计算方法 杨川皇者 于2016 年10 月27 日 §三角函数(代数)法一、利用二倍角公式及和差化积公式 ?sin36? ? sin ?90? ? 54?? ? cos54? ? cos ?36? ?18?? 那么 2sin18? cos18? ? cos 36? cos18? ? sin 36? sin18? 2sin18? cos18? ? cos 36? cos18? ? 2sin 2 18? cos18? 2sin18? ? cos 36? ? 2sin 2 18?, ? 4sin 2 18? ? 2sin18? ? 1 ? 0 ?sin18? ? 5 ?1 , 4 cos18? ? 10 ? 2 5 4 2sin18? ? 1 ? 4sin 2 18? 从而可以得到 cos36? ? 5 ?1 , 4 sin 36? ? 10 ? 2 5 4 二、利用五倍角公式 sin 5? ? 16sin5 ? ? 20sin 3 ? ? 5sin ? 取5? ? ? , ? ? ? sin ? ? 16sin 5 ? 5 5 ? 36? , ? 20sin 3 ? 5 ? 5sin ? 5 , 0 ? 16sin 4 ? 5 ? 20sin 2 ? 5 ?5 设x?sin 2 ,则16x 2 ? 20x ? 5 ? 0 5 5? 5 5? 5 解得 x1 ? , x2 ? 8 8 ? ? 5 ? ? 4 ? x ? sin 2 ? 5 ? sin 2 ? 4 ? 1 2 ?sin ? 5 ? 5? 5 8 则cos ? 5 ? 1 ? sin 2 ? 5 ? 3? 5 8 化简为 sin 36? ? 10 ? 2 5 5 ?1 ,cos36? ? . 4 4 §几何法 作一个顶角为 36°的等腰三角形(如图),BD 为∠ABC 的角平分线 BD∩AC=D,AN⊥BC 且AN∩BC=N,依图可知:∠A=36°;∠B=∠C=72°;∠1=∠2=36°;∠3=72° 易知:BDC∽ABC 令:BC=BD=AD=1;CD=x 则有: CD BC ? ?? ?1 ? x ?1 ? x ? BC AC 5 ?1 ? x ? 0, ? x ? 2 于是有: cos ?C ? cos 72? ? NC 0.5 5 ?1 ? ? AC 1 ? 0.5 5 ? 1 4 ? ? ? cos 72? ? 1 ? sin 2 36? 所以 sin 36? ? 10 ? 2 5 5 ?1 ,cos36? ? . 4 4 §正五边形作法(尺规作图) 正五边形 EFGHI 中明显有∠4=∠5=∠6=∠7=∠8=72°, 不妨选 OEF 作考虑: 过O作OM⊥EF;OM∩EF=M,则∠EOM=∠MOF=36° 令:OF=R(R 为所要作正五边形外接圆的半径,同时也是单位一) 有: (如上图) 以PQ 中点 L 为圆心,PQ 为直径作⊙L,已知 RS⊥PQ,S∈⊙L,连结 PS,SQ 由PRS∽SRQ 可知: 最后在半径为单位一的圆上以 SR 的长为弦作正五边形即可。