第七章 第五节 空间曲面及其方程 本节主要内容 一、空间曲面方程的概念 二、几种常见曲面的方程 1、球面 2、柱面 3、旋转曲面 曲面的实例: z 水桶的表面、台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被 ?P(x, y, z) 看成是点的几何轨迹. o y 曲面方程的定义: x 如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系: (1)曲面S 上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程, 而曲面S 就叫做方程的图形. z (x, y, z) F((xxx,,yy,,z)) 00 .M . M? (x, y, z) o y x 1—1 {( x, y, z) F (x, y, z) 0} {M M } 解析几何的两类基本问题: (1)已知几何图形,求其方程; (2)已知方程分析图形的形状及其位置. 下面再考察两例曲面方程 例1 xOy坐标面的方程 : z=0 与xOy坐标面平行的平面的 方程 : z=c x z zc z0 o y 下面再考察两例曲面方程 例3已知A(1,2,3),B(2,1,4),求线段AB 的 垂直平分面的方程. 解设M( x, y, z)是所求平面上任一点, 根据题意有 | MA || MB |, A x 12 y 22 z 32 M(x, y, z) B x 22 y 12 z 42 , 化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0. 球面的方程 z 例1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、 半径为R 的球面方程. 解设M( x, y, z)是球面上任一点, o M(x, y, z) M0 ( x0 , y0 , z0 ) y 根据题意有 | MM0 | R x x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 特殊地:球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2 上、下半球面的方程分别是: 球心在原点的上、下zz0 R2 (x x0 )2 ( y y0 )2 半球面的方程分别是: z R2 x2 y2 z z0 R2 (x x0 )2 ( y y0 )2 z R2 x2 y2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 即x2 y2 z2 2x0 x