有人问希尔伯特(德国数学家,著名的希尔伯特23问的提出者,数学界的无冕之王,天才中的天才):假若你五百年后能够复活,你最想知道或者体验什么?他的回答是"有人证明出来黎曼猜想了吗?"究竟是一个什么样的猜想,让一个数学家在五百年以后复活的时候都念念不忘?就让科普君今天带你来进入这个猜想的提出者--德国数学家--黎曼的世界吧。
波恩哈德·黎曼
波恩哈德·黎曼于1826年出生在汉诺威王国(今德国)的小镇布列斯伦茨,他在六个兄弟姐妹中排行第二,他的父亲是当地路德会的一个牧师。当时的汉诺威并不繁荣,而作为一个乡村牧师,生活也并不富裕,甚至可以说是十分拮据的。后来有人就说,黎曼家的孩子虚弱的体质和早逝,都是由于他们小时候严重营养不良的结果。黎曼在6岁的时候开始接触算术,他的父亲是他的启蒙老师,他天生的数学才能立即显示了出来,他不但解决了所有他父亲给他的问题,还自己发明了一些更加困难的问题来为难他的兄弟姐妹。到黎曼10岁的时候,他跟随一个职业教师学习高级算术和几何。但是很快,他的老师发现自己得跟着这个学生走了,因为他的解题方法要比自己的更好。
美丽的汉诺威
黎曼14岁的时候,跟随祖母去了汉诺威,并且在那里上了中学。但是两年后,祖母去世了,他只好转去别的中学,以便能够步行回家。他在那个中学呆了4年,这是黎曼一生中最幸福的4年。中学校长注意到黎曼的数学才能,允许他随便用学校的图书馆,还可以不用去上数学课。黎曼在图书馆里借走了勒让德的《数论》。6天后,黎曼又把书还了回来,并告诉校长自己已经掌握了这本书的内容了。校长觉得很奇怪,这是一本那么厚的书,难道他真的都看完了吗?他问了黎曼书里的几个问题,黎曼回答得非常全面。这也许就是黎曼对素数感兴趣的起点吧,勒让德是万万没有想到自己的这个小小的鱼饵居然能引出如此巨大的一个怪兽的。黎曼在中学时读的不仅有勒让德的书,他还通过学习欧拉的著作熟悉了微积分学,并且学会了欧拉研究数学的技巧。
1846年,黎曼成为了哥廷根大学的一个学生,不过他学的是哲学和神学,因为这个专业能够让他获得一个体面的工作和不菲的薪水来补贴他的家庭,但是他也去旁听了一些数学讲座,包括高斯关于最小二乘法的讲座等。黎曼根本无法忘记数学的魅力,他只能向他的父亲请求同意自己换专业,他的父亲非常痛快地答应了他。在哥廷根大学学了一年之后,黎曼觉得这里的教学水平太落后了,于是他转学去了柏林大学,跟随着雅克比、狄利克雷、施泰纳和爱森斯坦等人,进入崭新的、充满活力的数学中去。他从雅克比那里学到了高等力学和高等代数,从狄利克雷那里学到了数论和分析,从施泰纳那里学到了现代几何,又从爱森斯坦那里学到了椭圆函数。
柏林大学
黎曼在柏林大学期间的学习是十分勤奋且刻苦的。希维尔斯特后来回忆说:在1847年秋假的时候,黎曼看到巴黎科学院《院刊》上面有关于柯西新发表的关于单复变量解析函数的论文时,他立即深入其中开始研究,一连好几个星期没有出门,最后得出一个结论:这是一门新的数学。而最终,在4年后黎曼的博士论文--《单复变量函数的一般理论的基础》--中,他给出了单复变量解析函数的基本定义。他的博士导师高斯在看到这篇文章后,给予了它极高的评价,他认为"这篇文章不仅满足了博士论文所要求达到的标准,而且远远超过了这个标准"。黎曼也因为这篇论文而成为了复变函数论的奠基人之一。
柯西-黎曼方程
博士毕业后,黎曼只能当一名无薪俸的大学教师(他们的薪俸来自学生的学费),并且要提交一篇论文当就职论文,还要等两年半的时间。1852年秋天的时候,黎曼趁狄利克雷来哥廷根休假的机会,向他请教了关于自己论文的一些事情,狄利克雷十分欣赏黎曼,他们两个人几乎整天都在一起讨论,并给于了黎曼非常好的建议。最后,1854年,当黎曼在被任命他的讲师职务之前,他还需要做一次就职演讲,他提交了三个题目。他希望能被选上前两个题目,因为他已经做好了比较充分的准备。但是很明显的,他的导师高斯并不这么认为,他想要考察黎曼是否真的"富有灿烂丰富的创造力"。于是高斯选了第三个题目(这是高斯已经考虑了60年且还没想明白的一个问题),这让黎曼有些措手不及,他别无选择,只要硬着头皮开始准备。在这段时间里,黎曼由于过度劳累而病倒,但是当他身体稍微恢复一点以后,就立即投入到研究中去。最终,在7周后的演讲中,他的论文《论作为几何学基础的假设》获得了一致的好评。这不仅是整个数学史上的一篇伟大的杰作,更由此创立了黎曼几何学。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。1915年,爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论--广义相对论。应该说对于广义相对论的创立,黎曼功不可没。数学界公认,黎曼几何是黎曼对数学的最大贡献,由此黎曼成为了近现代最伟大的几何学家,没有之一。
黎曼几何
黎曼通过了就职演讲,可以开始教课了。他的第一节课来了8个学生,这让黎曼非常高兴,因为他本来以为最多只能有个2,3个学生来的。到1855年,黎曼被任命为副教授,这样他就可以有一份年薪相当于200美元的固定收入了,但是就在那年,他的父亲和一个妹妹去世了,赡养家庭的负担落到了黎曼和他的哥哥的肩膀上。而到了1857年,他的哥哥也去世了,虽然黎曼这时候的年薪已经涨到了300美元,但是他还要赡养三个妹妹,生活依然无比拮据。这年,黎曼发表的关于阿贝尔函数的研究论文,引出黎曼曲面的概念 ,将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念,阐明了后来为罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。
黎曼曲面
1859年,黎曼发表了著名论文《不超过已知数的素数个数》,在此文中黎曼首先提出了用复变函数论,特别是用ζ函数研究数论的新思想和新方法,从而开创了解析数论的新时期,并在这篇论文中提出了让很多大数学家望而却步的黎曼猜想。
黎曼猜想
1860年,黎曼又开始撰写他的论文《关于热传导的一个问题》,在这篇文章中,他发展了二次微分形式的全部方法,而二次微分形式是相对论的基础。
到了1862年,黎曼终于结婚了,但是很快,他患上了肺炎,虽然中间恢复了一阵子,但是长期以来的营养不良和超负荷工作还是完全击垮了他的身体。1866年,黎曼去世了,不到40周岁。
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一,他的著作不多,但却异常深刻,极富于对概念的创造与想象,他的每一篇论文几乎都开创了数学的一个领域。他的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展,许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理,在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。