第1 0卷 第2 期齐齐哈尔 师 范学院学报 ( 自然科 学版)Te a ehe r ‘、rol.I oNo19 9 0年6月.Jo u r n alof Qiqiha r,College(Natu r al Seie n e e)Jut z c1 9 9 0偶数阶反对称行列式的一种计算法张慧敏(数学系 )摘要对 称 矩 阵的行 列 式 ( 即反 对称 行 列 式 ) 值的 一 种规律性 计算法反 对 称拒 阵的 行 列 式 的值本文藉 助反 对称 拒阵的 合 同标 准形及 化 合 同 标 准形 的 方法,给出 了偶数 阶反从 而得出一些特殊,.关键 词反 付称 拒 阵反 对称 行 列 式初等变换合同我 们已经 知道及其计算有无规律? 本文藉助反 对 称矩阵的合 同标 准形 及化合同标准形的方 法提供一种反对称矩阵行列式 的计算法使奇数阶反对称行列式 的值为其特 例式值的一般计算 法及求出一 些特殊 反 对称 矩阵的 行列式 的值定义设A 是一个施行下 列三 种变换之一)对 矩阵刀任 意两 列 ( 或行) 及 相 l a J 两 行 (或 列 ) 同时施行第一种初等变换2)对 矩阵刃 的任一 列 ( 或行)及相 同的行 ( 或 列 ) 同时施行第二种 初等变换;)对 矩阵月的任意两 列 ( 或 两行) 及相 同两行( 或 列 ) 同时 施 行第三种初等变换,奇数 阶反对称行列式的值恒等于 零,那 么偶数 阶 反对称矩阵行 列式的值,,从而得 出偶数阶反对 称 行列.n阶反对称 矩阵,( 或对 称 矩阵) 对月 施行一个 合 同变换指 的是对A:1;3。一三种 初 等变换 的定义 见张禾瑞 《高等代 数 》第王 版第13 9 页 定义2可施行到行列式 {A I 上称 为对行列式 }A l 施 行 合同变换三 种初等变换对应 的初等矩阵分 别用尸《高等代数 》均指 张禾瑞一 书记文 〔1〕命题1令月是 数域F的反 对称 矩阵。以上 三种 合 同 变 换,.;J ,Di(k ),T;;(k ) 表 示.本文 以下 所 提 到 的.。_L一 个n阶反对称矩阵,即满 足月‘=一搜,则刀必 与如下形式1 1C 口门1生合同,l 八曰八讨 11( 见文 〔1〕35 1 页 习题5) 本文称B 为月 的合 同标准形.证 明略.本文19 89年1 1 月 1 5[ l 收 到. 齐齐哈尔师范学院学报 ( 自然科学版 )第1 0卷命题2证取 行列式奇数阶反 对称矩 阵的行列式的值等 犷零由命题1{尸刀 {异召奇数 阶.( 或奇数阶反对 称行列式 的值等 于零、阶可逆 矩 阵P使尸{尸,A与B 合 同,即存在n,‘月尸二方,尸‘表示尸 的转找阵,/刀尸卜 】即产日月1{尸卜 }B {故}座i当月是奇数 阶时1月卜,故0当A是偶数 阶 时,故 】A}若矩阵B 中对=O。,’ 尸 ‘午 。’,则 1川=0证毕若B「}J对 角线上 除形 如‘_甘 天 、工V的一阶块外还有零,则{ B 卜。,、一/一角线J:只 有形如‘_份 天 、1!钩、、 J/阶块时,}: 卜!一{ 厂=( , l .是二 阶块(阵尸的行列 式 {尸 {的位 决定于是有命题 3证一{ ;)的 个数 ,、、 列式 ,“ ,恒为‘·J立是 卜之{刀 1的了}‘〔 由; ,」’逆侧,此介同变换_卜.一l z ’l尸.但 实 际上 {P l 的值 可体 现在对行列式 }引 施 行-:偶数 阶反 对 称矩 阵 的行列式 的位 可经一 系 列 合同变 换求得l朴命题1知且 与B 合 同即指月可经一系 列 介同变 换得 到B山 定义 合同 变换有三类第一类 合同变 换即交换月的第i即p.,.即存在 可逆 矩 阵尸,使尸产月尸=B,:,,j两 列 同时交换卫的第i其中尸、j两行,相 当对且右乘、左乘等矩阵一类 初等矩 阵尸,J ,‘、 ,月 尸* :二刀l ,‘t,=尸;J ,月i与刀合 同,刀1仍 是反 对一称.这种合1 司变换 施行到行 列式 }A }上同时应 用 行列 式性 质3第二类 合 1 司变换到第] ’f其(相 当对 }A } 应 用行列式 性质1 0第二类 合同变 换左分别乘以第二类 初 等矩 阵D将这 种合同变换 施行到 行列式 }A}质5见 文 〔1〕命题5故尸等 犷对月施行的一 些列 的初等变 换所对应 的初等矩阶之 积即尸百,不 改变其值.}了望卜 1刃:{.( 相 当对 }J}的行、列,_见 〔1〕IH 页 命题3即刀 的第i列 乘 以k 后 加到第了 列).,_L,1 司时一再将尺 的第i行乘 以 九后 加丁上,相 当 对月右乘第三 类初 等矩阵犷月;j(左).左 乘T。 i(的,即Tij‘(的月T;3(/ z )二刀,,「},丁、:‘(凡)二7’J 、(k ),‘;二 一月,.这种 合同变换施 行 到行 列式 !月}见 〔1〕命 题 1 0)即将月 的第i列乘以左寺 。同时 将月的第 讨丁也乘 以k即D行列式 扩大 k一[,也不 改变 其位.,,,相当对月右、;( } c ),;( j c )刀 刀‘( k )二月, ,其 中D‘i( } c )二D;( / e )、刀, ‘二-一月;._上,Z倍( 相 当对 !理}应 川行列式 性,)。.二EIE:⋯ 百5,、表 示三种初等矩阵,则}p l一1百,1 {百2卜二IEs{一ID;,(k,)卜{刀;:(kZ) 1⋯}{l)。(态,) 1=kl左2⋯ h,(t‘S)·( !P;s{=1,{7’;J(k ) 1=1,}D、(k) 1=k )因此,求一个偶 数阶 反对称行列 式的值即对月作合同变换化为B,可按上 述 方法对 }刀 }作合同变换使之 化为 {B {只须 注 意如对 }刀{施 行第二类合同变换时,(其B 同 命题1 ),,, 第2期张慧教:偶数阶反 对称 行 列 式的一 种 计算法其值扩大左例 1“倍求,这 时及时乘以l/k“ ,即使行列式值不 变.见下例.0一21段04一 32一10{{,解对 1且 l 施行第一种合同变换,即交换第2,3列、接着交换2,3行得:01一23l只1240一 2l一3一120施行第三 种合同变换,将第2列乘 以2加到第3列上,同时将第二行乘 以2加 到第3行上,得:01031AI043一100再将第2列的一 3倍,第2行的一3倍分别加到第4列第4行上得:00!月 {0一4+41 2O一11 20将第1列的一4倍到 第3,1倍分别加到第3,4行_仁得:4列.上,同时将第1行的一4倍,倍分别加l刀 }0000一00最 后 施行第二 种合同变换,将第1 24歹 J、00一 1 20第4行同 时乘以k二弃,这时 行 列式 }A }扩大1 乙“二击仇此 时及 时乘 以一协一=1 4 4,}左 } 不变。即相 当提公 因子1 2又2 2,得一01且卜1 4 4’一1}0}!O000「=1 4 4Xl=1 4 4 8齐 齐哈尔师 范学院学报 ( 自然科学版 )第10卷注:此例应 用命题3给出 了一般偶数阶反对称行列式的计算规律:叹土n Un曰1111 n Un 村1‘1 ) 用合同变换将 1月 l 化为 IB{=2) 只须注 意使用第二 种 合同变换的次数,每次乘 以早二,如计算过程没使用第二种合“ j同变换,则 1月】=}B】(等于。或1 ).以下利 用命题3讨论一 些特殊 反对称矩 阵的性质.01一10 1 1二i厂尸 |一|l |l - -命题4形如A=的n阶 (n为偶数)反对称矩阵的行1一1。)列式值等于1证。1)验证n二 2时,结论成 立,即,卫土一一J.土n一一月102) 归纳假设n一 2阶形如上述 反对称矩阵的行列式结论成立,往证n阶(n是偶数)结论成 立。由命题3,令\(111又块一一分一一、 11l |.|.|le sl |.11一 1一 110000 0 2二o1 0 0二o/了||11!.lr e一一尸\11|||.|l e s|了才、 |||||||l1 土 1 上UJ.土。八⋯一一}\0111011一 101一 1一 1二⋯{ 第2期张慧敏:偶数阶反对称行 列 式 的一种 计算法⋯、⋯!.!l1.一, l 一/o一 111一 1一 l一 1到一0 1 |1/|、l e e1!.1.!l一 l一 1一 l一 lAn一2口~ 2⋯.1矛/尸‘IAn尸,=n I I/⋯⋯」:,0、厂0110OO. 土n U!l!尸1一 1{一101{(l )1一 1An一 2O口一2一 1夕一一||l l r a|.|、、l !r ellJ;//!lr!⋯lJJ J JI LL、、一一由归纳假设,存在n一 2阶可 逆矩阵T,一 20l1一 11一 10101一 11一 11l···一 1一 1IT。一:l=1一 1一 1一 1一 1||//0000001八U l 上/ ‘1 1一 |11.5 1.1!七一一使T产。一 2通。 一ZT。 一:二B。一 2土\0.。 ,一且 l月。一 2卜 IBn一:卜1.一1}⋯’。1一1001一10,/由 (1 )}A。l=l月n一:1=或 令尸:=1T( P:取尸=尸1尸:,11八U有尸产月。尸二尸2O一 2IA。P,) P:OOOT。一 2A。一 2、/,八、 ,l{⋯{{ 竺}}火‘o一一上O{了’。一2「八日 1 1一/l|e sl、|⋯尸n1 土/‘|!|l r ell、一一 10齐齐哈尔 师 范学院学报 ( 自然科学版 )第1 0卷卜1. !l山. 1n U,土n”八曰IL/一=B。,Le eJ|11/,1 n UU1 1。一.、一}:。一::。一 2,工n一:少于 是}尸‘月尸卜 }尸 l“IA 】二又 】尸1=故 IAI二1证毕。、l|le s| |e s,11|了J/aa/了|laao命题5形如月=!B },而 }B I=],O口J口0口的偶数阶反对称矩 阵 的行列式 的值 等于a”.11⋯10,.几.]一一。.事实1二,}刀 】=a”01一 1一 1=a”x]=a命题6形 如刀二一 101的偶数阶反对称矩 阵传可逆,一 1一 1一1⋯O其刀-r)一11O1一 l110一111一 11一 111一I···一 IJ1一1刀一’仍是反对称矩 洲产/01土( 其,F:主对角线上方 与主对角 线相邻且 平行线上的元 索都是一 1以后的平行线 同前两条交错出 现 )证 明略推论 1形如上述刀,下一条平行线上 的元索都是]上 述A,一’可 用数学归纳法 按定义证 之。.一‘的反对称矩阵的行列式 的值等 犷1.0a推 论2形 如、堂l二一。0(a今 O的偶数阶反对称知 阵l叮逆 1 1第2期张慧敏:偶数阶反 对称 行 列式 的一 种计算法其逆Al一‘=kGA-n,A一’形如命题6所述。以上提供的反对称行列式的合同变 换式计算法当对行列 式 IA}的行及列 同时应用行列式某种性质行列式的反对称性直到最 后变成最简单的反对称行列式 }B}易于掌握且便于检验每一步骤是否有错误行之有效同时得到奇数 阶反对称行 列式的值恒为零或完全 由对 }AI 所施行的第二类合同变换决定这种方 法也可用 来计算对称行 列式的值个对角形 矩阵合同( 见文 〔1〕定理9,可施行 到任意阶反对称行列式上在变换过程中保证每一合同变换不改变这样计算目标明确比只对行或 列单独使用某种性质有规律性偶 数阶反 对 称行列式的值或为零,即相,,.,、方法,,,且.:,,。.其根据是数域F上任一n阶对称 矩阵都能与一.1.2).参考文献张 朱 瑞 等.高 等 代数,第 3 版,北 京:商 等 教育 出 版 比,北京 大 学 数 学 力学 系.高 等 代 数.北 京:高 等 教 育出版矛 L,19 3 319 7 8ACom putatio n alMethodof Anti一sym metrieDete rm in a nt w ithEv e nNum berOrde rZ ha ng11uim in(Depa rtoe :Itof 卜 lat}i ematic s)A bstra etInthispape rw iththeaidofthee o ngr u e nte a n a nie al fol一mofa ntisym metriematrix, a ndtheme thodeha ng ingthec o ngr u e n te a n o nie alfor一m,ar egula re ale ulatingmethodo nthede te rm in a n tv alu eofantisym me triematrixw ithe 、一e nn um be ro rde r15g iv e n.Andthedete rm in a ntv alu e sofs omespe eialia nt isy订lmetriematrixa r eobtain ed。KeyWo rdsAntisym metriematrix八n tisy m mctriede te rm in a nt E lemo n ta r3·tr a n sformatio nCo ngr u e nttr a n sformat io n