数出下图中有多少个长方形? 【思路导航】 数图中有多少个长方形和数三角形的方法一 样,长方形是由长、宽两对线段围成,线段 CD 上有 3+2+1=6(条)线段,其中每一条与 AC 中一条线段对应,分别作为长方形的长和宽,这里共有 6×1=6(个)长方形,而AC 上 共有 2+1=3(条)线段也就有 6×3=18(个)长方形。它的计算公式为: 长方形的总数= 长边线段的总数×宽边线段的总数 (3+2+1)×(2+1)=18(个) 答:图中共 有18 个长方形 ∠BOD 2 个;由3个基本角构成的角有:∠AOD 1 个。所以,图中一共有 3+2+1=6(个) 角。 练习 2 :数出图中有几个角? (1) ( 2) 【例题 3】数出右图中共有多少个三角形? 【思路导航】 方法一: 我们可以采用按边分类数的方法。 以PA 为边的三角形有: PAB、 PAC、 PAD、 3 个;以PB 为边的三角形还有:PBC、PBD 2 个;以PC 为边的三角形还有:PCD 1 个。所以, 图中共有三角形 3+2+1=6(个) 。方法二:把图中三角形 PAB、PBC、PCD 看做基本 三角形来数,那么,由1个基本三角形构成的三角形有:PAB、PBC、PCD 3 个;由2个基本三角形构成的三角形有: PAC、PBD 2 个;由3个基本三角形构成的三角形有: PAD 1 个。所以,图中一共有 3+2+1=6(个)三角形。方法三:我们发现,要数出图中三 角形的个数,只需数出线段 AD 中包含几条线段就可以了,即3+2+1=6(个) 。所以图中共 有6个三角形。 练习 3:数出图中共有多少个三角形? (1) (2) 【例题 4】数出下图中有多少个长方形? 【思路导航】数图中有多少个长方 形和数三角形的方法一样,长方形是由长、宽两对线段围成,线段 CD 上有 3+2+1=6(条) 线段, 其中每一条与 AC 中一条线段对应, 分别作为长方形的长和宽, 这里共有 6×1=6 (个) 长方形,而AC 上共有 2+1=3(条)线段也就有 6×3=18(个)长方形。它的计算公式为: 长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数 (3+2+1) × (2+1) =18 (个) 答: 图中共有 18 个长方形。 练习 4: (1) 数出下图中有多少个长方形? (2) 数出下图中有多少个正方形? OC B A P D C B A F E D CBA K GIHGF E D CBA D C B A 知识要点 爸爸给晶晶出了一道题: “小朋友们在路的一边植树,先植一棵树,以后每隔 3 米植一棵,已经植了 9 棵,问第一棵和第九棵树相距多少米?”晶晶一看,随口答题: “27 米。 ”同学们,晶晶答对了吗? 这一类应用题我们通常称为“植树问题” 。解答这类问题的 关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式, 一般在不封闭的线路上植树,棵数=总距离÷间隔长+1;在封闭的线路上植树,棵数=总 距离÷间隔长。 另外, 生活中还有一些问题, 可以用植树问题的方法来解答。 比如锯木头、 爬楼梯问题等等,这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离” 、 “间隔长” 、 “棵数”对应起来。 二、精讲精练 【例题 1】小朋友们在路的一边植树,先 植一棵树,以后每隔 3 米植一棵,已经植了 9 棵,问第一棵和第九棵树相距多少米? 【思 路导航】要得出正确的结果,我们可以画出如下的示意图: 根据“已经植了 9 棵” ,从图 中可以看出,第一棵树和第九棵树之间的间隔是 9-1=8(个) ,每个间隔是 3 米,所以第一 棵和第九棵相距 3×8=24 (米) , 具体列式如下: 3× (9-1) =3×8=24 (米) 答: 第一棵和第九棵树相距 24 米。 练习 1: (1)在路的一侧插彩旗,每隔 5 米插一面,从 起点到终点共插了 20 面,这条道路有多长? (2)在学校的走廊两边,每隔 4 米放一盆菊 花,从起点到终点一共放了 20 盆,这条走廊长多少米? 【例题 2】在一条长 42 米的大路 两侧栽树,从起点到终点一共栽了 14 棵,已知相邻两棵树之间的距离都相等,问相邻两棵 树之间的距离是多少米? 【思路导航】根据“在路的两侧共栽了 14 棵树”这个条件,我 们可以先求出每一侧栽了 14÷2=7 (棵) 树, 那么从第 1 棵树到第 7 棵树之间的间隔是 7-1=6 (个) 。42 米长的大路平均分成 6 段,每段是 42÷6=7(米) 。列式如下: 42÷(14÷2-1) =42÷(7-1)=42÷6 =7(米) 答:相邻两棵树之间的距离是 7 米。 03 米6米9米12 米15 米18 米21 米24 米9棵8棵7棵6棵5棵4棵3棵2棵1棵练习 2:在公园一条长 30 米的路的两侧放椅子,从起点到终点共放了 12 把椅子,相邻两把 椅子的距离相等,相邻两把椅子之间相距多少米? 【例题 3】把一根钢管锯成小段, 一共花了 28 分钟,已知每锯开一段需要 4 分钟,这根钢管被锯成了多少段? 【思路导航】 我们先求出钢管被锯开了 28÷4=7(处) ,因而被锯开的段数有 7+1=8(段) 。列式如下: 28÷4+1 =7+1 =8(段) 答:这根钢管被锯成了 8 段。 练习 3: 一根圆木锯成 2 米长的小段,一共花了 12 分钟。已知每锯下一段要 3 分钟,这根圆木长多少米? 【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯,甲跑到 4 楼时,乙恰好跑到 3 楼,照这样计算,甲跑到 16 楼时,乙跑到了多少楼? 【思路导航】解答爬楼梯问题时,不能以楼层进行计算,而要用 楼梯段数进行计算,因为第一层楼是不用爬的, “楼层数-1”才是要走的“楼梯段数” ,根据 题意“甲跑到 4 楼时,乙恰好跑到 3 楼” ,实际上是说“甲跑 3 段楼梯与乙跑 2 段楼梯所用 的时间相同。 ”照这样计算,甲跑到 16 楼,也就是跑了 15 段楼梯,应是甲跑 3 段楼梯所用 的时间的 5 倍,在同一时间里,乙跑的楼梯段数也是他跑 2 段楼梯的 5 倍,也就是这时乙跑 了10 段楼梯, 即他跑到了第 10+1=11 (楼) 。 列式如下: (3-1) ×[ (16-1) ÷ (4-1) ]+1 =2×5+1 =11(楼) 答:甲跑到 16 楼时,乙跑到了 11 楼。 练习 4:小明和小红两人爬 楼梯比赛,小明跑到第 4 层时,小红跑到第 5 层,照这样计算,当小明跑到第 16 层时,小 红跑到了第几层? 【例题 5】 一个圆形跑道长 300 米, 沿跑道周围每隔 6 米插一面红旗, 每两面红旗中间插一面黄旗,跑道周围各插了多少面红旗和黄旗? 【思路导航】在圆周上 插旗,插的面数正好等于分成的段数,所以插了红旗 300÷6=50(面) ,由于每两面红旗中 间插一面黄旗, 所以黄旗的面数就等于红旗的面数, 也是 50 面。 300÷6=50 (面) 答:跑道周围插了 50 面红旗和 50 面黄旗。 练习 5: (1)有一个正方形水池,周长是 200 米。如果沿着水池周围每隔 10 米装一盏红 灯, 再在相邻的两盏红灯中间等距离地装 4 盏黄灯。 问水池周围一共装了几盏红灯?几盏黄 灯? (2)一条公路长 480 米,在两旁植树,两端都植。每隔 12 米植一棵樟树,两棵樟 树中间又等距离地栽了 3 棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵?