引理 1 　 对 m ×n 矩阵 A 施行初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的 m阶初等矩阵 ;对 m ×n 矩阵 A 施行初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 n 阶初等矩阵。引理 2 　若 A 为可逆方阵 ,则存在有限个初等矩阵P1,P2, …PL,使 A = P1P2…PL。引理 3 　 初等矩阵皆可逆 ,且其逆矩阵也是初等矩阵。由引理 2 及引理 3 可得 :若 AX=B ,且| A| ≠0 ,则存在有限个初等矩阵 P1,P2, …PL,使　　　　　　　P- 1即 　　　　　　P- 1于是有 　　　　 X= P- 1证 　 因| A| ≠0 ,故 A 可逆 ,即 A- 1存在。 由引理 2 ,知L P- 1L - 1 …P- 11A = E(a)L P- 1L - 1…P- 11= A- 1。L P- 1L - 1…P- 11 B。(b)存在有限个初等矩阵 P1,P2, …PL,使A = P1P2…PL。又由引理 3 ,可得　　　　　　　P- 1即 　　　　　　P- 1由 AX=B ,得 X= A- 1B。L P- 1L - 1…P- 11 A = E,L P- 1L - 1 …P- 11= A- 1。(1)(2)将(1)代入(2) ,即得X= P- 1L P- 1L - 1…P- 11 B。 　　　　 证毕上面的(a)式表明矩阵 A 经一系列初等行变换可变成E。 (b) 式表明矩阵 B 经这同一系列初等行变换即变成 X。用分块矩阵形式 ,及按矩阵的分块乘法 , (a) 、(b) 两式可合并写成P- 1L P- 1L - 1 …P- 11(A ┊B) = (P- 1L P- 1L - 1 …P- 11A ┊ P- 1L P- 1L - 1…P- 11 B) =(E┊ X)(c)即对矩阵(A ┊B)施行初等行变换 ,当把 A 变成 E 时 ,B 就变成 X。 (c) 式提供了一个具体解矩阵方程 AX=B 的简单方法。