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本文转载自:传送门 知乎作者:三川啦啦啦
等价无穷小替换,本质上是一个选择估计值精确度的问题。我下面通过一个非常通俗易懂的例子来说明.
我问
\(\LARGE \frac{\pi-3}{0.1}\approx ?\)
答:约等于1.
什么,\(\pi = 3.1_{\cdots}\) 代入上式,
\(\LARGE \frac{\pi-3}{0.1}=\frac{3.1-3}{0.1}=\frac{0.1\ldots}{0.1}\approx 1\)
这个时候,我们只需要用到 π 的估计值 3.1就够了.
但是,若问
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.0415}\approx ?\)
这个时候,如果我们仍然选择 π 的估计值 3.1代入上式,就会出现灾难性后果:
\(\LARGE \frac{0}{0.0415}\approx 0\)
这个约等于就跟玩一样,明明约等于 1 才更准确啊!
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.0415}=1.002232616621519_{\cdots}\)
导致这个后果的原因是什么呢?
你看,如果我使用 π 稍精确一点估计值3.14(而不是3.1),代入结果
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.041}\approx\frac{0.040}{0.041}\approx 1\)
问题又来了(这是一个关键性问题),
为什么在第二种情况,我们选择了π 更精确的估计值3.14,而没有选用3.1?
前后两道例题的区别在哪里?
前后两个例子的区别在于——对误差项估计的精确程度要求不同,前一道题对 π 的估计只精确到了十分位(0.1),而后者对 π 的估计精确到了百分位(0.01).
我们会发现分母是一个对精确度要求的明显指标——分母数量级越小,对分子的变化越敏感(想想反比例函数在0点的性态),于是对估值的精度要求变高.
其实等价无穷小的替换,无非也是这种情况,下面仅说明一例.
我们知道
\(\LARGE ln(1+x) \sim x , \vert x \vert