4.2导数的乘法与除法法则 前面学习了导数的加法与减法法则,下面进行复习回顾: 对于导数的乘法与除法法则,我们 能否给出这样的结论呢? 答案是否定的,那么如何求导数的乘法与除法?请进入本节课的学习! 1.了解两个函数的乘、除的求导公式.2.会运用公式,求含有和、差、乘、除综 合运算的函数的导数.(重点) 3.函数和、差、乘、除导数公式的应用, 运用导数的几何意义,求过曲线上一点的 切线.(难点) 探究点1 导数乘法公式的推导应用 提示: 计算导数的步骤 处的导数为我们来求 处的导数.解析:给定自变量x 的一个改变量x,则函数值改变量为 lim2x 处的导数值为因此, 的导数为 抽象概括一般地,若两个函数f(x)和g(x) 的导数分别是 ,我们有 比较与加减法则的不同 特别地,当 思考交流:下列式子是否成立?试举例说明. 3x2x 6x 显然同理 求下列函数的导数:解:(1)函数y=x 之积,由导数公式表分别得出 (2)函数是函数 之积,由导数公式表分别得出 (3)函数是函数 之积,由导数公式表分别得出 根据函数乘法的求导法则,可得 解:(1)函数是函数 =sinx与g(x)=x之商,由导数公式表分别得出 由求导的除法法 (2)函数是函数 (x)=lnx之商,根据导数公式表分别得 2xln 求下列函数的导数:解析: 3xsinx 探究点2导数四则运算法则的灵活 运用 较为复杂的求导运算,一般综合了 和、差、积、商的几种运算,要注意: (1)先将函数式化简,化为基本初等函 则运算法则和公式求导,注意公式法则的层次性. (lnx+sin x)是函数f g(x)=lnx+sin x的积,由导数公式表 及和函数的 求导法则分别得出 由求导的乘法法 2xln (2)函数可以看成是函数f (x)=cosx-x 的商,由导数公式表及差函数的求导法则分 别得出 由求导的除法法 2xcos 2xxsin 4x8x 2x2x 【提升总结】利用导数公式及导数运算法则求导的方法 观察函数的结构特征,紧扣导数运算法 则,联系基本初等函数的导数公式,分 析函数能否直接应用导数公式求导. 观察 分析 对不易于直接应用求导公式的函数, 适当运用代数、三角恒等变换,对函 数进行化简,优化解题过程. 求导时应尽量避免使用积或商的求 导法则,可在求导前先化简,然后 求导,以简化运算. 变形 化简 解:首先求函数的导函数将x=1代入f′(x),得所求切线的斜率 探究点3应用导数运算法则求曲线 的切线 已知函数 的图像在点M(-1, f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,求函数y= f(x)的解析式. 由函数 f(x)的图像在点 M(-1,f(-1))处的切线方 程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0, 即f(-1)=-2, 由切点为M点得f′(-1)=- 解析:【变式练习】 所以 -a-6 =-2,a1+b-2a+6 或a=-6,b=-1(由b+10,故舍去b=-1), 所以所求函数解析式为f(x)= 2x-6 1.函数的导数是 2.函数的导数为( 5.(2012新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点 (1,1)处的切线方程为_____________. 【分析】通过求导得切线斜率,一点一斜率可确定 切线方程,最后将方程化为一般式. 解析:由曲线方程得,所以 曲线y= x(3ln x+1)在点(1,1)处切线的斜率 +3x-8在x=2处的切线的方程. 因为所以 又因为 切线过点 所以代入点斜式 得切线方程为 1.函数乘除的求导公式.2.会运用公式求含有和差乘除综合运算的 函数导数. 3.运用导数的几何意义,求过曲线上一点 的切线. 如果你问一个善于溜冰的人怎样获 得成功时,他会告诉你:“跌倒了, 爬起来。”这就是成功。