第四章 平面问题极坐标解法 §4-1 极坐标中的基本方程与边界条件 §4-2 极坐标中的应力函数 相容方程 §4-3 应力轴对称问题及其相应的位移 §4-4 圆环或圆筒问题 §4-5 曲梁的纯弯曲 §4-6 含小圆孔平板的拉伸 §4-7 楔形体在楔顶或楔面受力 §4-8 轴对称问题的位移解法 图4-17 代入相容方程并化简,可得 求解可得 (12) 应力分量为 边界条件: (14) 将应力表达式代入上面边界条件,可求解得到A、 B、C、D四个待定常数,代回应力表达式(13), 即可得到应力解答 4. 半平面体边界上受法向压力 对于楔顶受集中力P的问题,令 则问题就变为一个半平面体受法向集中荷载问 题,这就是著名的符拉芒(Flamant)问题, 如图(4-18)所示. 则应力分量为: (4-25) 图4-18 利用坐标变换式(见§5-1(5-3?)式或者习题 (4-2)),可得直角坐标系下的分量形式 : (4-25?) 第二组面力所对应的问题较为复杂,可从其所 受面力分析入手。在外边界上边界条件为: 在内边界上,无外力作用,边界条件为: (4(a)) (4(b)) 由应力函数与应力分量的关系: (4-8) 可以看出,要满足外边界条件(4(a)),则应力 函数? 中应当含有 因子。而从内边界到 外边界 和 都是变化的,即与r 有关,? 是r 的函数,由此可假设,应力函数: 必须满足相容方程,则: (5) 这是欧拉型常微分方程,求解可得 (6) 将应力函数(6)代入(4-8)得应力分量: 代入边界条件(4)得方程: (7) 由此解得: 在求解过程中,应用了 将系数A、B、C、D代回(7)式得 (8) (4-21) 根据叠加原理,将与两组面力相对应的两组解答 (3)和(8)相加,即得到问题的解答: 环向应力分量的分布特点: 沿孔边周向: 由以上分析可见,最大环向应力发生在孔的边 缘处,其值为3q,随着距孔边距离的增大, 环向应力迅速衰减至无孔状态时的应力q, 这一现象即是孔边应力集中现象。 孔边应力集中现象是一种局部现象,在约5倍 于孔边距离时,该处的应力已不受孔的影响,这也 从数值上验证了圣维南原理。 利用上述结果,通过叠加原理,可以得到 等值或不等值拉压、纯剪切、孔边均匀压 力等含小孔平板的应力解答。 §4-7 楔形体在楔顶或楔面受力 1. 顶端受集中力P的问题(图4-15) 取图示坐标系,P是任意集中力,它与楔体 中心线夹角为?,楔顶角为?。 下面采用半逆解法求解 用量纲分析方法来寻求问题的应力函数。描述 问题的物理、几何参数有P、?、?、r、? ,其中,P是单位厚度上的力(由平面问题的载荷特 性),量纲是[力][长度]-1,?、?、?为无量纲量,r的量纲是[长度]。显然,应力分量的表达式是由P、?、?、r、? 构成,而应力的量纲是[力][长度]-2 故从量纲上看,应力分量在形式上应为 其中,F 为无量纲函数。我们注意到应力分 量与应力函数的关系(4-8),应力函数? 在r 的幂次上应比应力分量高两次,即 由上式,可以假设 (1) 代入相容方程得: (2) 化简后得: 这是一个常系数常微分方程,其解为 于是: (3) 由此,得各应力分量: 边界条件: (ⅰ)侧面边界 已自动满足 在顶端,受一集中力作用,应力很大,要超过弹性极限,因此必须考虑O点附近以外的区域。为此,取以楔顶为圆心,r为半径的扇形体,如图4-15(b)所示,由该扇形块的平衡得出由力的边界条件转换而来的平衡条件: (ⅱ)平衡条件: 将 代入上式: 求解后,可得 应力分量 这个解答称为密切尔解答。 2. 楔块顶端受一集中力偶M的问题(图4-16)。 从量纲的角度,应力的形式应为 应力函数在r 的幂次上比应力高两次,故有形式: 由此,可假设应力函数: 图4-16 将上式代入相容方程得: 化简可得 求解可得: (6) 该问题是一个反对称问题,即 是关于 ?的奇函数, 是关于?的偶函数,由应力分量 与应力函数的关系可知,? 应是?的奇函数,故A=0D=0应力分量: (7) 式中待定系数B、C由边界条件确定。 (ⅰ)左右两边界上: (8) 显然,第一式已自动满足。由第二式得: (9) (ⅱ)由扇形体的力矩平衡 (10) 此即集中力矩M转化以后的边界条件。 将表达式(7(c))代入上式,积分后得 将B,C代回式(7),即得英格立斯解答: 3. 楔形体侧边受均布荷载的问题(图4-17) 两个侧面受均布剪力q,本问题同上面两问题求解 思路一样。