特征频率 或固有频率 是系统趋于振动时的特定离散频率。许多类型的系统中都存在固有频率,例如,在乐器或 RLC 电路中,固有频率表现为驻波模式。本文主要描述机械结构中的特征频率研究,但其中的许多概念具有普遍的适用性。
当结构在特定的特征频率下振动时,会变形为相应的形状,我们称为特征模态。特征频率分析只能提供模态的形状,而不能提供任何物理振动的振幅。仅当已知实际激励和阻尼特性时,才能确定实际的变形大小。
确定结构的特征频率是结构工程的重要组成部分。以下列出此类分析的一些目的:
确定周期性激励不会产生可能造成过度应力或噪声辐射的共振确定周期性激励会在压电振子等器件中产生共振基于所有固有频率均高于负载频谱这一事实,检查结构准静态分析是否恰当研究适用于后续动态响应分析的时间步或频率选择为基于模态叠加的后续分析提供特征模态通过研究振型,深入分析设计更改如何影响特定的特征频率
音叉在一阶固有频率(440 Hz)下的自由振动。位移被明显放大。
单自由度系统
无阻尼
我们来研究一个由质量块和弹簧组成的简单系统作为入门介绍,如下图所示。
具有单自由度(DOF)的无阻尼系统。具有单自由度(DOF)的无阻尼系统。
质量块的运动方程为
但是,如果质量块不受外力作用,则仍可能存在非零解。可以立即证实
满足运动齐次方程,但前提是
其中, 是固有角频率,单位为 rad/s。它与固有频率(单位:Hz)的关系可以表示为。只要不会产生混淆,有时可以采用更宽泛的说法,直接将 称为固有频率。
上述解可以解释为:质量块一旦开始振动过程,就可以在没有任何外部激励的情况下完全以这个频率进行自由振动。举个例子,如果您拉伸弹簧后再松开,质量块会以这个频率永远振动。但实际生活中总存在或多或少的阻尼,所以振动最终会逐渐消失。
上述特征频率表达式在刚度和质量如何影响特征频率方面表现出非常普遍的特性:
在自由振动 下,系统能量守恒。质量块的动能转化为弹簧应变能,反之亦然。
阻尼系统
假设系统中也存在黏滞阻尼,则运动方程为
具有黏滞阻尼的单自由度系统。具有黏滞阻尼的单自由度系统。
在分析谐振动时,使用复数表示法非常方便,其中谐函数表示为。这种表示法可用于以下方程。在复数表示法中,位移可以写为,其中 为复数值大小。在