谢邀。
首先回答问题:不一定连续,可以有震荡间断点,栗子:把f(t) =sin(1/t)*t^2的可去间断点t=0补充定义f(0) =0,得到的新函数可导,导函数在t=0处间断。
然后是题主的证明的问题,左侧等号是定义式,问题肯定在右边。右边的问题在于洛必达法则使用条件的“比值存在”不保证成立。
题主不妨把我上面举的栗子代进去试试,比值是不存在的(是振荡的) 。
多说一句,洛必达很强但其实使用条件挺苛刻(对于数学系研究的奇奇怪怪的函数来说) ,同时使用条件过强还是个充分条件…适用性挺低的。洛必达本质其实就是拉格朗日中值定理的推论,这个问题如果从拉格朗日中值定理的角度出发就容易发现问题:中值趋于A不能保证整体趋于A,毕竟中值只是“存在一点”,这样也能比较容易想到振荡间断这种反例。