我们记
这样构造的目的是:通过简单的恒等变换可以得到
换句话说,图形
的形状都是已知的!这样我们可以先在平面上排出
的形状,再用
确定变换
。枚举可知
只有两种不全等的形状,下面分开讨论。
A.
现在确定变换
。我们知道,平面上的合同变换只有三种:平移(平移距离可为零)、旋转、滑移反射(滑移距离可为零)。平移变换复合三次依然是平移变换,不可能将
映射到
,因此只要考虑旋转以及滑移反射。
A1.
是旋转变换。此时
也是旋转变换,旋转中心相同,旋转角是变换
的三倍。找旋转中心很容易,只要取两组对应点作中垂线,交点即为旋转中心。由于矩形旋转到矩形有两个方向可以对上,因此有两个旋转中心:
和
。
先看旋转中心为
的情况,此时变换
的旋转角度为逆时针转
。分别画出三种情况对应的排布图:
可以看到前两个是满足谜题要求的解,最后一个不满足不重叠的条件。
再看旋转中心为
的情况,此时变换
的旋转角度为逆时针转
。同样分别画出三种情况对应的排布图:
后两个是满足谜题要求的解,第一个不满足不重叠的条件。
A2.
是滑移反射变换。此时
也是滑移反射变换,反射轴相同,滑移距离是变换
的三倍。首先确定反射轴位置,镜面必然与
长轴夹角的某条角平分线平行,并且
对应点分列反射轴两侧,与反射轴距离相等。容易看出可能的反射轴位置只有两个,如图所示:
两种情况对应两种可能的
,分别验证即可。图我懒得画了,总之两种情况算出来的结果都有重叠,不满足条件。
现在我们来看区域
的另一种排布,讨论过程与之前完全一样。
B.
(其中区域
有重叠)
此时
仍然不可能是平移变换,理由同前。
B1.
是旋转变换。此时
也是旋转变换,旋转中心相同,旋转角是变换
的三倍。容易算出旋转中心坐标为
或
,逐一验证可知所有解均有重叠,不满足要求。
B2.
是滑移反射变换。此时
也是滑移反射变换,反射轴相同,滑移距离是变换
的三倍。容易算出反射轴方程为
或者
,逐一验证可知两种情况对应的解均有重叠,不满足要