二元函数极限证明 二元函数极限证明 设 p=f(x,y),p0=(a,b),当 p→p0 时 f(x,y)的极限是 x,y 同时趋 向于 a,b 时所得到的称为二重极限。 此外,我们还要讨论 x,y 先后相继地趋于 a,b 时的极限,称为二次 极限。 我们必须注意有以下几种情形:’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等,但二重极限仍可能不存在 2 函数 f(x)当 x→x0 时极限存在,不妨设:limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意 ε>0,存在 δ>0,使当|x-x0|<δ 时,有|f(x)a|<ε 而|x-x0|<δ 即为 x 属于 x0 的某个邻域 u(x0;δ) 又因为 ε 有任意性,故可取 ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取 m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在 δ>0,当任意 x 属于 x0 的某 个邻域 u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3 首先,我的方法不正规,其次,正确不正确有待考察。 1 / 29 二元函数极限证明 1 , y 以 y=x^2-x 的 路 径 趋 于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1 而 y=x 的路径趋于 0 结 果是无穷大。 2,3 可以用类似的方法,貌似同济书上是这么说的,二元函数在 该点极限存在,是 p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有 y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当 x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再 0 处是波动的所以不 存在 而当 x->0,y->0 时 由|sin(1/x)|<=1 得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而 x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当 x->0,y->0 时,f 的极限就为 0 这个就是你说的,唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你 说的 正无穷或负无穷或无穷,我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 2 / 29 二元函数极限证明 (一)时函数的极限: 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍 几何意义. 例 1 验证例 2 验证例 3 验证证…… (二)时函数的极限: 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 4 验证例 5 验证例 6 验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例 7 验证例 8 验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义:单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例 9 验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: th 类似有:例 10 证明:极限不存在. 例 11 设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 3 / 29 二元函数极限证明 =§2 函数极限的性质(3 学时) 教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不 等式性质以及有理运算性等。 教学重点:函数极限的性质及其计算。 教学难点:函数极限性质证明及其应用。 教学方法:讲练结合。 一、组织教学: 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或 简证. 二、讲授新课: (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4 若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有) 注:若在 th4 的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) 4 / 29 二元函数极限证明 (二)利用极限性质求极限:已证明过以下几个极限: (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限 作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例 1(利用极限和) 例 2 例 3 注:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 §2 二元函数的极限 (一)教学目的: 掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与联 系. (二)教学内容:二元函数的极限的定义;累次极限. 基本要求: (1)掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与 联系,熟悉判别极限存在性的基本方法. (2)较高要求:掌握重极限与累次极限的区别与联系,能用来处理 极限存在性问题. 5 / 29 二元函数极限证明 (三)教学建议: (1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别,教 会他们求多元函数极 限的方法. (2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系,通过举例介 绍判别极限存在性的较完整的方法. 一二元函数的极限 先回忆一下一元函数的极限:limf(x)?a 的“???”定义(c31): x?x0 0 设函数 f(x)在 x0 的某一空心邻域 u(x0,?1)内由定义,如果对 ???0, 当 x?u(x0,?) , 即 |x?x0|?? 时 , 都 有 |f(x)?a|??,???0,???1, 则称 x?x0 时,函数 f(x)的极限是 a. 类似的,我们也可以定义二元函数的极限如下: 设二元函数 f(x,y)为定义在 d?r2 上的二元函数,在点 p0(x0,y0) 为 d 的一个聚点, a 是 一 个 确 定 的 常 数 , 如 果 对 ???0,???0 , 使 得 当 p(x,y)?u(p0,?)?d 时,0 都有|f(p)?a|??,则称 f 在 d 上当 p?p0 时, 以 a 为极限。记作 p?p0p?dlimf(p)?a 6 / 29 二元函数极限证明 也可简写为 limf(p)?a 或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a 例 1 用定义验证 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222 证 明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在(2,1)的邻域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6},则有 |x?xy?y|?? 由二元函数极限定义 lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例 2f(x,y)??x?y, ?0,(x,y)?(0,0)? 7 / 29 二元函数极限证明 证明 lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 证|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 对于二元函数的极限的定义,要注意下面一点: p?p0 8 / 29 二元函数极限证明 limf(p)?a 是指:p(x,y)以任何方式趋于 p0(x0,y0),包括沿任何 直线,沿任 何曲线趋于 p0(x0,y0)时,f(x,y)必须趋于同一确定的常数。 对于一元函数,x 仅需沿 x 轴从 x0 的左右两个方向趋于 x0,但是 对于二元函数,p 趋于 p0 的路线有无穷多条,只要有两条路线,p 趋 于 p0 时,函数 f(x,y)的值趋于不同的常数,二元函数在 p0 点极限就 不存在。 ?1,0?y?x2 例 1 二元函数 f(x,y)?? ?0,rest 请看图像(x62),尽管 p(x,y)沿任何直线趋于原点时 f(x,y)都 趋于零,但也不能说该函数在原点的极限就是零,因为当 p(x,y)沿抛 物线 y?kx,0?k?1 时,f(x,y)的值趋于1而不趋于零,所以极限不存 在。 (考虑沿直线 y?kx 的方向极限).?x2y ,? 例 2 设函数 f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求证 limf(x,y)?0 9 / 29 二元函数极限证明 x?0 y?0 证明因为|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以,当(x,y)?(0,0)时,f(x,y)?0。 请看它的图像,不管 p(x,y)沿任何方向趋于原点,f(x,y)的值都 趋于零。 通常为证明极限 limf(p)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在, 或证明沿某两 p?p0 个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关. 但应注意,沿任何方向的极限存在且相等??全面极限存在.例 3 设函数 (x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y 10 / 29 二元函数极限证明 ?0,? 证明函数 f(x,y)在原点处极限不存在。 证明尽管 p(x,y)沿x轴和y轴 趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零,但沿直线 y?mx 趋于原点时 x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样,请看它的图象,例1沿 任何路线趋于原点时, 极 限都是 0,但例2沿不同的路线趋于原点时,函数趋于不同的值, 所以其极限不存在。 例4 非正常极限极限 lim (x,y)?(x0,y0) 11 / 29 二元函数极限证明 判别函数 f(x,y)? xy?1?1x?y 在原点是否存在极限. f(x,y)???的定义: 12x?3y 例 1 设函数 f(x,y)?证明 limf(x,y)?? x?0y?0 证| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??时,都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y) 12 / 29 二元函数极限证明 | ??m 12x?3y 请看它的图象,因此是无穷大量。 例 2 求下列极限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim 13 / 29 二元函数极限证明 ln(1?x?y) x?y 22 . 二.累次极限:累次极限 前面讲了 p(x,y)以任何方式趋于 p0(x0,y0)时的极限,我们称它 为二重极限,对于两个自变量 x,y 依一定次序趋于 x0,y0 时 f(x,y)的 极限,称为累次极限。对于二元函数 f(x,y)在 p0(x0,y0)的累次极限 由两个 limlimf(x,y)和 limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在点(0,0)的两个累次极限. 22 例 2f(x,y)?,求在点(0,0)的两个累次极限. 例 3f(x,y)?xs(请你支持:)in 14 / 29 二元函数极限证明 1y ?ysin 1x ,求在点(0,0)的两个累次极限. 二重极限与累次极限的关系: (1)两个累次极限可以相等也可以不相等,所以计算累次极限 时一定要注意不能随意改变它们的次序。 例函数 f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的两个累次极限是 y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0 15 / 29 二元函数极限证明 ?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 (2)两个累次极限即使都存在而且相等,也不能保证二重极限 存在例 f(x,y)? xyx?y xyx?y ,两个累次极限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0 16 / 29 二元函数极限证明 但二重极限却不存在,事实上若点 p(x,)沿直线 y?kx 趋于原点 时, kx f(x,y)? x?(kx) ? k1?k 二重极限存在也不能保证累次极限存在 二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可见二重极限存在,但 1x limsin x?0 和 limsin y?0 1y 不存在,从而两个累次极限不存在。 (4)二重极限极限 lim 17 / 29 二元函数极限证明 (x,y)?(x0,y0) f(x,y)和累次极限 limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,则必相等.(证) (5)累次极限与二重极限的关系 若累次极限和二重极限都存在,则它们必相等 二元函数极限的研究 作者:郑露遥指导教师:杨翠 摘要函数的极限是高等数学重要的内容,二元函数的极限是一元 函数极限的基础上发展起来的,本文讨论了二元函数极限的定义、二 元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单 讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原 因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。 关键词二元函数极限、累次极限、二重极限、连续性、判别法、 洛必达法则、运算定理 1 引言 函数的极限是高等数学中非常重要的内容,关于一元函数的极限及 其求法,各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限 的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。例如,在极运算法 则上,它们是一致的,但随着变量个数的增加,二元函数极限比一元函数 18 / 29 二元函数极限证明 极限变得复杂得多,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极 限的求法介绍不够详二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要 属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数值 的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是,一般来说,二 元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的 难度。本文就二元函数极限的问题作如下探讨求一元函数的极限问题, 主要困难多数集中于求未定型极限问题,而所有未定型的极限又总可转 化为两类基本型即 00 与∞∞型,解决这两类基本未定型的有力工具是 洛泌达(lhospital)法则。类似地,二元函数基本未定型的极限问题也 有相似的洛泌达法则。为了叙述上的方便,对它的特殊情形(即 (x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相应的法则与定理。二元函数的 极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当 自变量趋向于某一个定值时,函数 值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是,一 般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还 是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如 下探讨。 §2.3 二元函数的极限与连续 定义 设二元函数有意义,若存在 19 / 29 二元函数极限证明 常数 a, 都有 则称 a 是函数当点趋于点 或 或 趋于点时的极限,记作 。 的方式无关,即不,当(即)时,在点的某邻域内或 必须注意这个极限值与点 论 p 以什么方 向和路径(也可是跳跃式地,忽上忽下地)趋向 分接近,就能使。只要 p 与充与 a 接近到预先任意指定的程度。注 意:点 p 趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多(图 8-7)。 图 8-7 同样我们可用归结原则,若发现点 p 按两个特殊的路径趋于点时, 极限 在该点 存在,但不相等,则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。 极限不存在。这是判断多 20 / 29 二元函数极限证明 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在 二元函数极 限理论中都适用,在这里就不一一赘述了。例如若 有 ,其中 。 求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用 夹逼定理 来计算。例 4 求。解由于 , 而 ,根据夹逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 ( 。例 6 求。解 21 / 29 二元函数极限证明 由于理知 且,所以根据夹逼定 .例 7 研究函数 在点 处极限是否存在。解当 x2 +y2≠0 时,我们研究函数,沿 x→0,y=kx→0 这一方式趋于 (0,0 )的极限,有值,可得到不同的极限值,所以极限 不存在,但 ,。很显然,对于不同的 k 。 注意:极限方式的 的区别,前面两个求 本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是 求二元函数的 极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数极限都不存在,因 为对任何 22 / 29 二元函数极限证明 ,当 时 , 。它关于原点的两个累次 的第二项不存在极限;同理对任何 时,的第一项也不存在极限, 但是因此 。 由例 7 知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。由例 8 可知,二 重极限存 在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理 1 若累次极 限 都存在,则 三者相等(证明略)。推论 若但不相等, 则二重极限 不 存在 和二重极 限 23 / 29 二元函数极限证明 , 由于 , 存在。定义设 在点的某邻域内有意义, 且称 函 数 ,则 在 点 处 连 续 , 记 上式称为函数(值)的全增 量 。 则。 24 / 29 二元函数极限证明 定义 增量。 为函数(值)对 x 的偏 二元函数连续的定义可写为 偏增量。 若 断点,若 在点 为函数(值)对 y 的 处不连续, 则称点 是 的间 在某区域 在区域 g 上连续。若 在闭区域 g g 上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在 g 的连界点 处成立 , 则称 25 / 29 二元函数极限证明 为连续曲面。 在闭域 g 上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、cantor 定理,对于 二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果:定理 2 设 在平面有界闭区域 g 上连续,则 (1)必在 g 上取到最大值,最小值及其中间的一切值;(2 ) ,当 时,都有 。以上关于二元函数的 在 g 上一致连续,即 极限和连续的有关性质和结论在 n 元函数中仍然成立。 函数极限的证明 (一)时函数的极限: 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍 几何意义. 26 / 29 二元函数极限证明 例 1 验证例 2 验证例 3 验证证…… (二)时函数的极限: 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 4 验证例 5 验证例 6 验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例 7 验证例 8 验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义:单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例 9 验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: th 类似有:例 10 证明:极限不存在. 例 11 设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2 函数极限的性质(3 学时) 教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不 等式性质以及有理运算性等。 教学重点:函数极限的性质及其计算。 教学难点:函数极限性质证明及其应用。 27 / 29 二元函数极限证明 教学方法:讲练结合。 一、组织教学: 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或 简证. 二、讲授新课: (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4 若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有) 注:若在 th4 的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限:已证明过以下几个极限: (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限 作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 28 / 29 二元函数极限证明 例 1(利用极限和) 例 2 例 3 注:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 函数极限证明 函数极限的性质证明 函数极限的定义证明 利用函数极限定义证明 11 用定义证明函数极限方法总结 29 / 29