引言 矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论,有关矩阵的秩的等式或不等式的证明,常常和向量组的秩,线性方程组的解等密切相关,推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧,对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的秩,记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论. 证明: 设为两个同阶矩阵,则有r(A\ufe62B)≤r(A)\ufe62r(B) 证设=,,…,, = 则+=+,+,…,+ 不妨设列向量的极大线性无关组为,,…,. (1rn); 列向量的极大线性无关组为,,…. (1sn). 则++…+; =++…+; 则+= ++…++++…+; 即+的列向量可由,,…,,,,…线性表出, 故. 若=,则. 证记,由=,知的每一列都是解, 即,=1,2,…, 又因的基础解系所含向量个数为, 换言之, 的所有解所构成的向量组的秩为.故, 即. 3.若, 证明+=n. 证,,=, 由结论2知r+r; 再由结论1知,+,综上所述, +=n. 4 若证明: +. 证 ,由结论2知+. 又因 知, 即+. 综上所述,+. 5.矩阵 ,,证明:+-. 证设=,=,=则存在可逆矩阵,使=. 及=. 故= ==. 则===. 因== 则中还有个线性无关行向量, 故则,即+-. 6.设为的伴随矩阵,则伴随矩阵的秩为: = 证若=时,即可逆,因, 则有,故. 若时,, =, 由结论2知+, 即=1.也就是=0,或=. 假设=0,则的所有阶子式为0, 这与=矛盾. 故=. 若当