本文为原创文章,未经本人允许,禁止转载。转载请注明出处。1.导数
1.1.导数的定义
当函数$y=f(x)$的自变量$x$在一点$x_0$上产生一个增量$\Delta x$时,函数输出值的增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x$趋于$0$时的极限$a$如果存在,$a$即为在$x_0$处的导数,记作$f’(x_0)$或$\frac{df(x_0)}{dx_0}$。
即$f’(x_0)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
个人理解:
导数的计算方式类似于三角函数中的$tan$,即该点切线的斜率,反应曲线变化的快慢。
\ud83d\udc49导数是对函数进行线性逼近。
这么说的原因可以参照函数导数的一个等价定义:
如果存在一个实数$L$,使得$f(x)$满足,
\[f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+o(x-x_0),x\to x_0\]
那么$f(x)$在$x_0$处可导且导数$f’(x_0)=L$。
从上式可以很容易的看出,导数是对函数进行的线性逼近,而导数的值就是直线的斜率。
1.1.1.连续与可导
函数$y=\mid x\mid$的图像见下:
函数在原点处虽然连续但是不可导,无法进行线性逼近。因此连续和可导有如下关系:
连续不一定可导可导一定连续
那么如何对上述函数进行逼近呢?答:可以左右两边各做一次逼近。
1.2.高阶导数
\[f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\]
高阶导数的应用:可用二阶导数判断函数为凸函数或者为凹函数。
$f(x)$在区间[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,那么:
$f’^\prime(x)\geqslant 0$时为凸函数($f’^\prime(x)>0$时称为严格凸函数)$f’^\prime(x)\leqslant 0$时为凹函数($f’^\prime(x)