线性控制系统工程 第20章 相位滞后和滞后-超前校正 第20章 相位滞后及超前-滞后校正 ▽相位滞后环节的传递函数 ? 相位滞后网络 R1 vi vo 1+τs = G (s) = c vi 1+ βτs R + R2 τ = R2C , β = 1 R2 R2 vo C -1/τ -1/βτ M(ω) = (βτω) ?1 (τω) 1/βτ 1/τ ?Μ ω 2 +1 +1 90° ?1 2 φ(ω) = tan τω? tan βτω β >1, 设计相位滞后校正装置包括确定τ 和 β。 1/β 1/τ ?Μ 最大相位滞后发生在 ωm = 1 τ τ β ω 90° ?M = ?20lg β 注:设计中不是使用校正装置的相频特性,而是 利用其高频衰减。 相位滞后校正过程 例: K GH(s) = s(1+0.2s) (1) 单位斜坡输入作用下误差不大于 0.32% → K > = 316 (2) 最大超调量为 20 %. → k <= 6.3 画出对应于 K=316的伯德图 ω (rad / s) 60 1 10 100 M db 40 20 0 0 φ ω = 5rad / s -90 -180 PM = 45° 图.20.3 K=316的校正前系统 要求相位裕度 PM = 45? 发生在频率 ω = 5 rad/s处。 1 相位滞后校正: 用相位滞后环节将在ω = 5 rad/s频率处校正前系统的增益减小为 0db 。 2 在相位滞后校正过程中, 假设不会改变复 合后的相位。 但是将10%的安全裕度加到要求的 相位裕度上。 45? + 10% = 50? → ω = 3 rad / s 3 新的增益穿越频率ωgc’=3 rad / s 4 在ωgc’= 3 rad/s处, 校正前幅值需 由 40dB 降为0dB 20lg β = 40 → β =100 ω (rad / s) 60 1 10 100 M db 40 20 0 40db 0 ′ ω gc φ -90 -180 PM = 50° 图.20.4 确定新的增益穿越频率 确定τ : 两个转折频率低于频率ωgc’=3。 这由以下两个因素来确定: (1) 较高的转折频率 1/ τ 需要满足校正装置 在该转折频率处引起的相位滞后量不超过 设计过程中相位裕度要求的10%。 通常 1/ τ = ωgc’/10。 (2) 较低的转折频率不能太小, 要保持带宽 不变。 通常1/ τ = ωgc’/10。 1 τ = 0.1 ′ = 0.3 rad / s ωgc τ = 3.34 βτ = 334 校正装置的传递函数 1+3.34s Gc (s) = 1+334s 校正后的开环传递函数 316(1+3.34s) GH(s) = s(1+0.2s)(1+334s) 60 0.01 0.1 1.0 ω (rad / s ) 10 M db 40 校正后幅值 40db 20 0 φ 0 ωp ωm ωZ 校正后相位 ω gc PM = 50° -90 -180 -270 图.20.5 校正后系统的伯德图 2 1.8 1.6 1.4 幅值 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 校正前 时间 (s) 1.2 1.0 (a) 幅值 0.8 0.6 校正后 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间 (s) (b) 图.20.6 校正前和校正后系统的闭环阶跃响应 相位滞后校正的讨论 (P433) 1. 相位滞后校正提供了一种积分控制形式。 2. 相位滞后校正需提供必要的阻尼比以限 制要求的超调量。 3. 滤波器的设计过程比相位超前校正系统 简单一些,因为零极点转折频率的选择不 是特别严格。 4. 相位滞后校正减小了开- ( 闭-) 环系统 的带宽。 5. 调节时间大大增加。 6. 相位滞后校正可以使相位裕度变化超 过 90? (相位超前 < 90? 图. 19.7) k v = 30, γ ≥ 40 o , h dB k 10dB, ω c ≥ 2.3 o 例6-4 ≥ ′ ωc = 9.77 s (0.1s + )(0.2 s + 1) γ ′ =?17.2o kv = 30, γ ≥ 40 , hdB ≥ 10dB, ω ≥ 2.3 o 设计校正网络使图示系统 ω= 2.7时 时 φo(2.7)= –133o c o Gc(s) =3.7s+1 41s+1 OK ωc = 2.39 ′′ γ ′′ = 45.1o h′′ =14.2dB 超前超前-滞后校正 采用超前-滞后复合校正方法比单独使 用超前或滞后校正方法能满足更多的性 能要求。 超前超前-滞后环节的传递函数 超前-滞后环节可 以由相位超前和相 位滞后网络串联来 构成。 其中α,β, τ,T 是独立的。 vi C1 缓冲放大器 R1 R2 R3 C2 R4 vo 图.20.7 由独立环节组合而成的超前-滞后网络 vo (1+αTs)(1+τs) Gc (s) = = vi (1+Ts)(1+ βτs) 校正环节可以由下面的电网络来替代: C1 R2 vi R1 R3 C2 vo 但α,β,τ,T 的值不独立, 因此并不使用。 假设α< β → 滞后部分的转折频率低于超前 部分的转折频率。 1 1 M db β ?20 log10 α βτ τ 1 αT 1 T 0 log10 ω φ 0 log10 ω 图.20.9 超前-滞后滤波器的伯德图 伯德图的特征 1. 滤波器仅产生衰减而增益没有改变 (α< β ) 2. 低频幅值为1,而高频幅值为 ?β ? ?M = ?20lg? ? ?α ? 3. 相位先滞后,后超前, 但高频 和低频时的相位皆为零。 4. 最大相位滞后和最大相位超前 发生在各自滤波器的转折频率之间。 例题 20.1 问题: 系统具有如下的开环传递函数: K GH(s) = 2 s(1+ s) 设计一个相位滞后校正环节, 使其闭 环系统具有如下性能指标: (1) 阻尼比 ζ = 0.5 (2) 速度误差不超过 10% 解: 对于 (2) 1 1 =10 K = Kv = = ess 0.1 画出 K=10的伯德图: PM=0, 系统是不稳定的。 对于(1) ,PM=50?。PM 要求 o o φ = 50 +10%= 55 以上的 PM 发生在频率ω = 0.27处, 并且该 处幅值为 31dB。 ? = 20l β = 31 dB M g → β = 35.5 ω (rad / s ) 80 60 0.001 0.01 0.1 1.0 10 M db 40 M=31db 20 0 K = 10 φ ω = 0.27 -90 -180 -270 ωgc PM = 55° 图.SP20.1.1 零点转折频率设置在新增益穿越频率的 1/10处,即 1 ωz = = 0.027 rad / s ω = 0.27. τ ωp = 1 1+τs 1+37s G (s) = = c 1+ βτs 1+1296s βτ = 0.00077 rad / s 校正后的开环传递函数为 10(1+37s) GcGH(s) = 2 s(1+ s) (1+1296s) ω (rad / s ) 0.001 80 60 A 0.01 0.1 1.0 10 M db 40 20 校正后 B 0 ′ ω gc C D φ -90 E F 校正后 G -180 -270 H 图.SP20.1.2 例6-5 设未校正系统开环传递函数如下,试 设计校正网络使: 1)在最大指令速度为180/s时,位置滞后误 差不超过1o; 2)相角裕度为 45o±3o; 3)幅值裕度不低于10dB; 4)动态过程调节时间t s不超过3秒。 k G( s ) = s(s / 6 + 1)(s / 2 + 1) 80 60 40 20 0dB -20 -40 0.1 采用滞后超前校正 [-20] ′ ωc = 12.6 γ ′ = ?55.5o 例6-5图1 图 26.8 1 3.5 ω 10 100 [-60] γωb =100, a=50(6-8)0.5s+1 =58.25o, ω′′可取 ωa=1 a= 取 ′′ 45o,ts=2.7s, 由 ~(6-10)求得 ∴ = 3.5 求得 0.01s+1 -60 -80 ? (3.5) = ?180ο 0 L0(3.5)=26.8dB 取 ωb =2 降阶 3.5 c 例6-5图2 图 ω′′ = 3.29 c 180(s+1) G(s) = s(s/6+1)(50s+1)(0.01s+1) √ ′′=27.7dB h γ ′′= 42.8o ts=1.65s 作业 P461 20.4