以下是新高考卷的两到压轴题的讲解点拨:
2021新高考导数大题讲解点拨题目:已知函数
(1) 讨论
的单调性; (2) 设
为两个不相等的正数,且
,证明
这道导数题的话,嗯,显然属于极值点偏移问题。但遗憾的是,高中教材似乎无此概念。于是,我们抛开“极值点偏移”这个概念再来审视此题。看看能否有新的收货:
第一问·讨论单调性
故有:
当
,
,
单调递增当
,
,
单调递减
第二问·证明不等式
先设法将条件方程相同变量的式子挪至一侧
由题 等式两侧同时除以 ab
不妨令
,则有:
所求证
结合函数
在
单增,
单减,则必有
一个在
上,另一个在
上。
为更精确地锁定
范围,先大致画出
图像:
这里涉及一些极限知识,不难,暂且不细说。
因此,不妨令
接下来又该如何证明呢?容易想到的是:我们要设法用上(1)式。于是,我们这样变形所证:
这样看来,所要证明的两个不等式:
都落在了
上,也就是函数
的减区间上。
于是我们想到:证明自变量的不等关系可以转化成证明函数值的不等关系,即——
证明:
再加上:
,上面的函数不等式就转化成:
然后呢?
然后本题就成功的转化成证明:
了!接下来谁再说不会,是不是该回去补补最基础的证明函数不等式了?
2021