问:(1)2008年与1992年相 比,该地区社会商品零售额共增长多少?年平均增长 速度是多少?(2)若2002年社会商品零售额为30亿 元,按此平均速度,2009年的社会商品零售额应为 多少? 解答: (1)1993-1997年期间(以1992年为基期)每年平均增长10%: 5 x1997 ? 1 ? 10% x1992 x1997 5 ? (1 ? 10%) x1992 1998-2002年期间每年平均增长8.2%: 5 x2002 ? 1 ? 8.2% x1997 x2002 ? (1 ? 8.2%)5 x1997 2003-2008年期间每年平均增长6.8%: 6 x2008 ? 1 ? 6.8% x2002 x2008 6 ? (1 ? 6.8%) x2002 ? 所以,以1992年为基期,2008年与1992年相比,该地区 社会商品零售额的发展速度为: x2008 x1997 x2002 x2008 ? ? ? x1992 x1992 x1997 x2002 ? (1 ? 10%)5 ? (1 ? 8.2%)5 ? (1 ? 6.8%) 6 ? 3.544273649 ? 354.43% ? 所以,2008年与1992年相比该地区社会商品零售额总共增长 了354.43%-100%=254.43%。 1992年至2008年之间的年平均发展速度为: 16 x2008 16 ? 3.544273649 = 1.082294504 ≈ 108.23% x1992 1992年至2008年之间的年平均增长速度=108.23%-1=8.23% 。 (2)若2002年社会商品零售额为30亿元,按8.23%的平均增长 速度,则2009年的社会商品零售额应为: ?2009 ? 30 ? (1 ? 8.23%)7 ? 52.1861 x (亿元) 13.某企业加工的产品直径X是一随机变量,且服从方差 为0.0025的正态分布。从某日生产的大量产品中随机抽 取6个,测得平均直径为16厘米。试在0.95的置信度下, 求该产品直径的均值置信区间。 解: 本例属于总体方差已知时总体均值的估计;而且产 品数量N很大,可采用放回抽样的有关公式计算。 样本平均数 X ? 16 ?X ? ? 0.0025 ? ? 0.0204 n 6 样本平均数的标准差 临界值 z0.05/ 2 ? 1.96 ? ? ?? 2? X =1.96×0.0204=0.04 抽样极限误差 所求μ的置信区间: 16-0.04<μ<16+0.04 ,即(15.96,16.04)。 14.【根据例5-7改编 】某企业加工的产品直径X是一随 机变量,且服从方差为0.0025的正态分布。从某日生产 的65件产品中随机抽取16件,测得平均直径为10cm。试 在0.95的置信度下,求该产品直径的均值置信区间。 解: 本例总体为正态分布,总体方差已知,且产品数 量N已知,故采用不放回抽样的有关公式计算。 由于 ? X ? ?2 ? N ?n? 0.0025 ? 65 ? 16 ? ? ?? ? ? ? 0.01 n ? N ?1 ? 16 ? 65 ? 1 ? z? /2 ? z0.05/2 ? 1.96 抽样极限误差 ? ? ?? 2? X =1.96×0.01=0.0196 所求产品直径的均值μ的0.95置信区间为: 10-0.0196<μ<10+0.0196,即(9.9804cm,10.0196cm) 15.某企业加工的产品直径X是一随机变量,且服从正 态分布,但总体方差未知。若从某日生产的大量产品 中随机抽取6个,测得平均直径为16厘米,样本方差为 0.0025。试在0.95的置信度下,求该产品直径的均值 置信区间。 解:本题属于总体方差未知时总体均值的估计;且产品数量 N 很大。 样本平均数 X =16 样本平均数的标准差 临界值 S 0.05 SX = = =0.0204 n 6 ( n-1) t0.05 / 2 (6 ?1) ? 2.5706 ? = t? / 2 抽样极限误差 S =2.5706×0.0204=0.0525 n 所求μ 的置信区间为: 16-0.0525<μ <16+0.0525 即 (15.95,16.05) 16.【课堂练习】某企业加工的产品重量X是一随机变 量,且服从正态分布,但总体方差未知。若从某日生 产的大量产品中随机抽取16件,测得平均重量为10公 斤,样本方差为0.0016。试在0.95的置信度下,求该 产品重量的均值置信区间。 解:本题属于总体方差未知时总体均值的估计;且产品数量 N 很大,可用放回抽样公式计算。 已知 n=16, X =10, S 2 ? 0.0016 ,1-?=0.95 样本平均数的标准差 临界值 SX ? 0.0016 S2 ? =0.01 n 16 t? /2 ( n-1) = t0.05/ 2 (16 ?1) ? t0.025 (15) =2.131 ? = t? /2 ( n-1) S X =2.131×0.01=0.02131 抽样极限误差 所求产品重量的均值μ 的 0.95 置信区间为: X ? t? /2 ( n-1) S X = 10?0.02131 即 (9.97869 公斤,10.02131 公斤) 17.【补充例题】已知某种灯泡的寿命服从正态分布, 现从一批灯泡中随机抽取 16只,测得其使用寿命(小 时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命 95%的置信区 间。 16灯泡使用寿命的数据 1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470 解:已知X~N(?,?2),n=16 ,1-? = 95%, t?/2(n-1)= t0.025(15)=2.131。 根据样本数据计算得: X? ?X i ?1 n i n n 23840 ? ? 1490 16 i S? ?? X i ?1 ?X? 2 n ?1 9200 ? ? 24.77 16 ? 1 所以,总体均值? 在95%的置信水平下的置信区间为 S 24.77 X ? t? 2 ? 1490 ? 2.131? n 16 ? 1490 ? 13.2 ? ?1476.8,1503.2 ? 此 即 , 该 种 灯 泡 平 均 使 用 寿 命 的 95% 置 信 区 间 为 1476.8小时~1503.2小时。 18.【根据例5-12改编】对某型号电池进行电流强度 检验。根据以往正常生产的经验数据,已知电流强度 的标准差σ=0.4安培。采用随机重复抽样方式,需要 在99.73%的概率保证下,抽样平均电流的误差范围不 超过0.08安培,试求必要的抽样单位数。 解:已知 ?=0.4, ? X ? 0.08 ,1-?=99.73%, z? 2 =3 由于采用随机重复抽样方式,必要的样本容量为: z? /2? 3 ? 0.4 n? ? = 225 (个) 2 2 ?X 0.08 2 2 2 2 所以,应抽225个电池作样本,才能保证抽样调查 的准确性。 19.【补充例题】对某型号电子元件的寿命,采用随机 不放回抽样方式进行检验。根据以往的经验数据, 正常情况下寿命的标准差为σ=48小时。现假定这种 电子元件的数量非常多,并要求在95%的概率保证下 抽样平均寿命的误差范围不超过10小时,试求必要 的抽样单位数。(提示:Z0.05=1.645;Z0.025=1.96) 解: 已知σ=48, ? X ? 10 ,1-?=95%, z? /2 ? 1.96 由于这种电子元件的数量非常多,可以采用放回 抽样的公式计算,所以必要的样本容量为: z? /2? 1.96 ? 48 n? ? ? 88.51 2 2 ?X 10 2 2 2 2 也即,需要抽取89个电子元件进行检验,才能保 证抽样调查的准确性。 20.【课堂练习】对某型号电子元件的寿命,采用随机 不放回抽样方式进行检验。根据以往的经验数据, 正常情况下寿命的标准差为σ=48小时。若某日生 产这种电子元件的数量为2000个,要求在95%的概 率保证下抽样平均寿命的误差范围不超过10小时, 试求必要的抽样单位数。(提示:Z0.05=1.645; Z0.025=1.96) 解: 已知 ?=48,N=2000, ? X ? 10 ,1-?=95%, z? 2 = z0.05 2 =1.96 由于是不放回抽样,所以必要的样本容量为: 2 2 2 2 Nz? ? 2000 ? 1 . 96 ? 48 /2 n? ? ? 84 .76 2 2 2 2 2 2 N? ? z? / 2? 2000 ?10 ? 1.96 ? 48 也即,需要抽取85个电子元件进行检验,才能保 证抽样调查的准确性。 21. 某企业1995-2006年的产品销售量如下表(万件),试 用最小二乘法拟合其直线趋势方程,并预测2008年销售量。 年份 1995 1996 1997 t 1 2 3 销售量yt 54 50 52 ?t ? a ? bt 解: 设直线趋势方程为: y n?tyt ? ?t?yt 12 ? 6744 - 78 ? 931 b? ? 2 2 n?t ? (?t ) 12 ? 650 - 782 8310 ? ? 4.84266 1716 1998 1999 2000 2001 2002 4 5 6 7 8 67 82 70 89 88 931 78 a ? y ? bt ? - 4.84266 ? ? 46.10606 12 12 ∴ ? t ? 46.10606 ? 4.84266t y 2008年销售量的预测值为: ?14 ? 46.10606 ? 4.84266 ? 14 y 2003 2004 2005 2006 9 10 11 12 84 98 91 106 ? 113.(万件) 9 其他重点 ? 算术平均数、调和平均数、几何平均数的适用场合和计算公式; ? 根据组距式分组资料计算众数、中位数,众数、中位数的应用场合; ? 各种常用相对数的计算; ? 4种常用的连续型随机变量的生成方式、分布密度曲线; ? 大数定理和中心极限定理的主要结论(思想); ? 抽样分布的含义,样本平均数的抽样分布; ? 参数的点估计和区间估计的基本概念、优良标准; ? 每章后面的选择题,应通过看书掌握与其相关的知识要点; ? 第十二章统计综合评价,以掌握书上的要点为主。 ? 其他(对照“统计学期末复习重点(2011.秋)”)