在线性代数中,一个矩阵A　的　列秩　是A的线性独立的　纵列　的极大数目。类似地,　行秩　是A的线性独立的　横行　的极大数目。　矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵　A　的秩。通常表示为r(　A　),rk(　A　)或rank 　A　。　目录　行秩列秩相等性　[　编辑　]　矩阵的行秩与列秩相等,是线性代数基本定理的重要组成部分.　其基本证明思路是,矩阵可以看作线性映射的变换矩阵,列秩为像空间的维度,行秩为非零原像空间的维度,因此列秩与行秩相等,即像空间的维度与非零原像空间的维度相等(这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间:原像空间)。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。　给出这一结果的两种证明.　第一个证明是简短的,仅用到向量的线性组合的基本性质.　第二个证明利用了正交性[1].　第一个证明利用了列空间的基,　第二个证明利用了行向量空间的基.　第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵,第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间,也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.　证明一　[　编辑　]　令　是一个　的矩阵,其列秩为　.　因此矩阵　的列空间的维度是　.　令是的列空间的一组基,构成　矩阵　的列向量　,并使得　的每个列向量是　的　个列向量的线性组合.　由矩阵乘法的定义,存在一个　矩阵　,　使得　.　(　的　元素是　与　的第　个列向量的点积.)　现在,由于　,　的每个行向量是　的行向量的线性组合,这意味着　的行向量空间被包含于　的行向量空间之中.　因此　的行秩　≤　的行秩.　但　仅有　行,　所以　的行秩　≤　=　的列秩.　这就证明了　的行秩　≤　的列秩.　把上述证明过程中的“行”与“列”交换,利用对偶性质同样可证　的列秩　≤　的行秩。更简单的方法是考虑　的转置矩阵　,则　的列秩　=　的行秩　≤　的列秩　=　的行秩.　这证明了　的列秩等于　的行秩.　证毕.　证明二　[　编辑　]　令是矩阵,其行秩是　.　因此　的行向量空间的维度是　,设是的行向量空间的一组基.　如果把这组基当作原像列向量看待,则向量集　是线性独立的。　这是因为对一组标量系数　,如果:　其中　.　则可以推出有两个事实:　(a)　是　行向量空间的线性组合,　即　属于　的行向量空间;(b)　由于　=　0,　正交于　的所有行向量,从而正交于　的行向量空间的所有向量.　事实(a)与(b)结合