我们讲分开讨论每一个小部分,主要是看看数学公式如何定义,以及例子和计算的问题。
多个随机变量的联合分布,多个随机变量,其实就是从不同纬度对样本空间进行编号,例如,我们西瓜的例子。
随机变量X是通过颜色对样本空间编号。
随机变量Y是通过形状对样本空间编号。
对于离散型的随机变量,则使用联合分布律和相应的图标表示:
图表:
如果大于二维,我们只有使用张量方式表示了。
不过,没有人这么干了。
对于连续性,我们最关心联合概率密度,联合概率密度同样有两种理解和定义方式:
1)分布函数定义:
2)概率密度定义:
概率密度的应用中,最多的就是知道概率密度,求指定范围空间内的概率。解决办法就是求积分,
第一步,确定XY所定义个范围G
第二步,在范围G上对概率密度函数f(x,y)进行积分
两个例子:
离散型随机变量的例子:随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能 地取一个值,另一个随机变量Y在1到X中等可 能地取一个整数值,试求(X,Y)的分布律。
这个例子,说明X和Y有一定关系,就是Y的取值范围收到X的影响。其实,这个例子是知道X的边缘分布,以及Y的条件分布,来求联合分布。
1,当X等于1的时候,Y也只能取1。而且,X等于1的时候的概率是1/4,当然P(X=1,Y=1)=1/4
2,当X等于2的时候,Y可以取1和2。而且,X取2的时候,把所有Y值压缩在一起的概率是1/4。然后在分清Y的不同值,当Y=1,概率是1/4*1/2=1/8,当Y=2,概率也是概率是1/4*1/2=1/8。因此P(X=2,Y=1)=1/8和P(X=2,Y=2)=1/8。
3,当X等于3的时候,Y可以取值1、2和3。和上面一样的分析,P(X=3,Y=1)=1/12,P(X=3,Y=2)=1/12,P(X=3,Y=3)=1/12.
4,当X等于4的时候,Y可以取值1、2、3和4。同样分析可以得出,P(X=4,Y=1)=1/16,P(X=4,Y=2)=1/16,P(X=4,Y=3)=1/16,P(X=4,Y=4)=1/16.
上面分析利用到了,概率为0的,就是不可能事件的定义。补充成完整的二元分布。
上面是比较好理解的求解方法,如果使用较为抽象,或者正式的数学方法,如下方式分析: