原子与真空场相互作用Hami l toni an为Hdt) =一d( t) · B( t) (3.1)在相互作用绘景中,d(t)=d(11)(3Ie一+4t2)(31)e“ 。+h.c.。E(t)=E(+’ (t)+E㈠(t),E(+)(t)和E(一1(t)分别代表电磁场的正频分量和负频分量。考虑旋波近似并采用正规排序(即总把湮灭算符a放在右边)打j (t)=一d[(11){3f∈一+{2)(3{∈+)E” ’ @)∥ “ +h.c.i相互作用绘景中系统密度算符的运动方程为螋dt=三ih刚t),删L⋯、。,,,、。/J则有小)=p(0)+熹Z‘ 刚班觯’ )】出’将(3.4)代X(3.3),得dp冉(t):一去九胁(c),[HI(t’ ),p(t’ )】】班’出舻厶r叫r门” H吖“ ~对场求迹,得—dpA—(t):一面1/”打F旧(t),陟(n∥)舭’dtJ^2o” ’ 。‘ 。11。、。’ ’ ‘ ⋯、。77⋯ 、。7’ 1“ 。f13Born—Markov近似,p(t’ )一PA0)加(O),上式可简化为—dpA—(t):一面1fttrr[Hi(q,[研(np^(t)加(0)lldtdtJ铲u。。’ 。叫。。7川“ 。。7’ ’。(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)[胁㈤(硒(f),加(z)pF(o)】7=H,(t)Ht(t’ )J 口A(t)PF(o)一。乩(t)P_(t)P,(O)Ht(t’ )一日f(f)pA(t)pF(0)日j (t)+pA(t)pF(O)H小7)凰(t) (3.8)21 ⑧硕士学位论文MASTER’ S T}IESIS让我们先来看第~项,由于电磁场处于真空态pp(o)=fo)(Otr,Hl (t)Hi (t' )pA(t)pF(0)=d2(f1)(3l E一+12)(31e+)(E(+’ (t)E(一’ (t’ ))× (C3)(1l i ++13)(2l E一)e“ o一‘ ’ p^(t)(3.9)令7r=t—t’ ,并考虑到系统处于稳态,即t,t’ 一0(3一两1上ft￡rP日(t)日巾’ )pn(t)p,(o)d≠ +=一豢J(。cm{31￡一十12)(3陋+)(E(+’ (『)E(一j(o)× 13)(1I∈+十13)捌∈一)e” a'rPA(t)dr=一(7i J 1)(1』+K21I)(2f+K1』2)(1 J +72 J 2)e2 J)以(≠ ) (3.10)其中1。=鬃￡一c(u)￡+,饥=豢辞G油)i一” 雨d2w㈨舭:=鍪∞E,田e(u)=/(E‘ +’ (r)E(一’ (o))e‘ “ 7打J 0再对兵余各I史进行类似的计算.我们Ⅱ】求得埭子算符的期望值满足的运动方程为丢(Ann)=一2%(Ann)一Km(4nm)一Km(Amn)鑫《An3)—一‰一‰)<‰n)一Km(Am3)丢(以12)=一【7z+72+i(“ 匕一“ z)№:)一K1㈨)一Kj似22)(311)其中n≠ m,n,m=1,2,从此方程可以看出,系数%和K。分别代表原子自发发射速率以及由自发发射诱导的量子干涉强度。如果将原子置于自由空间中,那么c就是~个各向同性张量,从而有K。:0。即只有当原子的两个偶极矩阵元不正交时才可能出现由自发发射诱导的量子干涉。22 § 3.2真空各向异性诱导量子干涉为了在前面所讨论的原子系统中得到量子干涉,我们将原子置于两块平板之间,这两块板其中一块其磁导率趋于无穷大( “ _÷ 。o) ,另一块是良导板(E_÷ 。。)。为了讨论真空各向异性对量子干涉的影响,首先我们要将两介质板之间的电磁场量子化,根据前面正则量子化的讨论我们知道,首先要求出此系统的各个电磁模式。我们假定将良导板置于z=0,将无穷导板置于z5z·矢势A( r) 满足Hel mh01tz方程v:A(r)+嬖A(r):o(3.12)作Fouri er变换A(r)=研1/扩kA(岫彬)et却(313)将(3.13)代入(3,12),得嚣A(蛐一)+≈纵蚰彬)=。(3“ )其中琏=譬一k2。此微分方程的通解为A(k,“ ^,。)_cl cos(k;z)+c2si n(k。z)(3.15)由边界条件A;(o):如(o)=訾{。:。=o及謦I;;z=警f;:l =以。(f)=o得A(。)=c18i n(k。。)文十c2si n(k;2)多+c3cos(kzg)2(3· 16)其中k:=(扎+1/2)丌/f,n=0,1,2,⋯。我们可将不同的模式区分为TE波和TM波,对于TE波,有A==0,可· A2O,可取AT8=vxfN± sin(k。。)e’ 。9](3,17)对于TM波,有B:=0,v-A=0,可戢A7M=V× 可× 【芝咖m纠砂P1(3.18)23 引入i 是为了表示E与B垂直,引入“ 女是为了后面归一化的需要,上式可以进一步写成AT8( k,r) =i NIkl ( k x自)sin(女。。)e’ 。9Ar吖(k,,)=一掣生【盘也sin(‰z)+ikicos(k;z))∥ k9(3.19)现在我们通过正交归一关系来确定归一化因子Ⅳ/d3rA*TE(k,r)A他(k,,r)Jrf=l Ⅳ}2(27r)2%26(k—k,)7 dzsi n(k:z)si n(k:, z)J 0=lⅣ12(2Ⅱ)2≈2d(k—k’ );d。一=6(k—k’ )k。, (3.20)从而得到Ⅳ=、/j 7蕊/2F。同样由TM波的正交归一关系得到《=《十k2。根据标准的正则量子化流程,引入对易关系陋:,,ar]=氏r6。,6(k—k,)(3,21)其中A=1,2分别代表TM偏振和TE偏振。矢势舂(r,t)可写为A(r,牡∑/r执√去呲(r)融面“ Mcl(3 z2)可证明此时系统的Hami l toni an为∑,d2kr‰(a+a女+1/2)。吼)=一讪㈦萎/d2k~/警啡胤A。-iwkt砒](3zs)从而知道它‘ 州(r,￡)=iE.fd2k、/警A± (r)j2e一饥。,又E(一’ (r,t)=【E(+’ (r,t)l+,注意到(01稚a:,+Io>=艮k,dM,“ 。一,则有(它(+br)宅(一’ (r,o))=∑/d2k警越(r)A岔(r)e⋯t7(3T24)^.n。一 于是(u):f。。(E(+)(r,t)EC-’ (r,o))eiWrdT:” d(u—u女)∑警A㈣A孙)c(u)=/(E(+’ (r,t (r,o))=” d(u—u女)∑芝;:兰A2(r)A2+(r)J Ol 。‘(3.25)这样我们就可以来计算自发发射系数%和量子干涉强度K。,它们可表示成%=钾】【ri ‰)+ri i (‰)}/2,K。=馏1F1‰)一r,“ %)]/2吖沪器薹N【1-警硝cos2【(n州叫f]r//(加嘉粪[1十学确s掰№+1/2)州1](326)其中馏’ =罴实际上是两能级原子在自由空间中的衰变率,Ⅳ是女“ /” 一1/2的整数部分。为了研究偶极矩阵元的有效平行度,我们定义量子干涉的相对强度P=K/7。在自由空间中,如果两偶极矩阵元互相垂直的话,P=0;如果互相平行,P=1;而当它们互相反平行时。P=一1。从上面的方程我们可以知道r上与r//之间的差别越大,K就越大。总而言之,由两块板所导致的真空各向异性能够诱导跃迁11) 一÷ 13) 和12) -÷ 13) 之问的量子干涉。图f3 1) 演示了数值计算结果,图中示出了量子干涉强度P随原子位置s的演化,s是原子与下扳之间的距离,s以l 为单位。l 被选择以入。为单位。l =A。的情况以实线表示,f=2Ao以虚线表示,f=l OAo以点线表示,其中Ao=肄。我们可以看出当原子非常靠近良导板时,量子干涉强度p=1。这是因为在靠近良导板的区域,从模函数的表达式可以看出,仅有沿z方向偏振的模才能够存在。尽管原子偶极矩吐=去( i 4-没) 是互相垂直的,但由于场模仅沿z方向偏振,所以只有原子偶极矩的z分量才被选择与场相耦台,于是我们有一=7,从而导致p=1。这表示真空场的各向异性能够诱导原子偶极矩互相平行。同样,在靠近无穷磁板的区域,仅仅沿xy方向偏振的模才能够存在,从而导致p=一l 。当原子从边界向中问移动时,P的振幅减弱并且表现出谐振,这是因为两板之间的导波模在z方向形成了驻波。这些驻波的叠加导致25 模密度变得依赖于位置而且导致了沿z方向偏振和沿xy平面偏振的模密度之间差异的减小。从而当原子向中间移动时,原子所感受到的真空各向异性变弱了。从图中我们可以看出,随着两板之间距离的增加,谐振变密,这是因为随着l 的增加,两板之间所能容纳的模式也变多了。我们同时也计算了两板的磁导率均趋近于无穷的情况,此时r1和r//变成u加嚣三N(· 一簪垮枷s/f)%” 嘉【1+圣N(,+簪)cos2(⋯棚l(3,27)(3,28)此时N是‰f/丌的整数部分,我们可以看出在截止频率以下时,即女oz肺<1,此时r上沁)=0,r//(w)=3rc/2kol 。此时p=-1,刚好与两个良导板的情况相反。数值计算结果在图(3 2)中,所有的参数与前面我们所讨论的情况相同。由于此模型的对称性,此时p也是相对与两板中心对称的,可以发现对于某些小的l ,对于两板之间任意的原子位置,p总是小于0,表示量子干涉一直存在。1 Dn5△n0‘ O 5.1 0图3.1:量子干涉强度p与原子位置s之间的关系,对应的是个无穷磁板和· 个完美导板的情况 图3.2:量子干涉强度p与原子位置s之间的关系,对应的是两个完美导板的情况§ 3.3小结总之,我们研究了置于两平行板间的一个v型三能级原子的量子干涉行为,这两块板中至少一块其磁导率趋于无穷大,我们证实7即使原子两偶极矩互相垂直,但由于真空的各向异性,量子干涉依然能够产生。当原子靠近其中一块板时,量子干涉现象就变得异常显著,量子干涉强度相对于原子位置表现出谐振,随着两板问距离的增加,谐振变密。 ⑧硕士学位论文MASTER’ S T}IESIS第四章 腔中原子的受激发射前面我们主要讨论了介质中原子的自发发射理论,接下来我们简要讨论原子的受激发射。关于受激发射的一个重要理论就是共振荧光理论。从前面的章节我们知道,由于真空起伏,处于激发态的原子能够自发发射一个光子并跃迁到基态,光子的频率等于跃迁频率。现在的问题是,如果原子被一个外场相干驱动的话,原子的行为会如何?我们考虑一个置于单模腔中的V型三能级原子,并集中研究了其共振荧光压缩谱,在第1节中我们将简要介绍我们的模型并导出原子密度算符的运动方程,在第2节中我们将给出压缩谱的定义并计算此模型的压缩谱,并对计算结果进行讨论。§ 4.1 V型三能级原子与腔场相互作用模型我们考虑这样一个V型三能级原子,它由两激发态11)和J 2)及基态J o)组成,激发态与基态之间的跃迁由一个单模腔场和一个相干激光场驱动,其频率分别为u。和蚍,原子算符用A陆=i l )(≈№≈=0,1,2)表示,对相干场作一个幺正变换,原子一场耦合系统密度算符的主方程为其中卢=一。【矾+Hc+研,纠+LAp+ccP, (4.1)=( △ 一w21) A11+AA2· _+f22( A02 4-A20)+Ql ( Aol 4-Al o)=60+n=92( o十A02+A20a) +gl ( a+AoI+AIoⅡ)=娶(2A01pAl o—pAl l —Anp)+:箬(2A。2pA2。一pA22一A22p)=K( 2apa+一o+ap—pa+o) ,巩暖研∞锄 其中W2l =u2一ul ,6=u。一uL,还有△ =w2一“ L。巩是原子及其与相干场相互作用的能量。风是腔场的Hami l toni an,研代表原子与腔模的相互作用。n,0=1,2) 是在相干场驱动下原子跃迁IJ ) +÷ l o) 0=1,2) 的Rabi 频率,9,是原子跃迁与腔模之间的耦合常数。CAp茅fl CC,P分别代表由真空库诱发的腔场的损耗及原子的自发发射。竹0=1,2) 就是能级IJ ) 的自发发射速率。同时我们也在这里假定原子偶极矩d。o和d20互相垂直,于是就不可能由跃迁{1) H l o)和12)÷ ÷ l o)自发产生量子干涉。为了简单起见,在下面我们假定Ql =呸=Q,gl =92=g,7l =他=√和△ =址1/2。我们假定原子与腔场之间是弱耦合并且我们所考虑的是一个低Q腔,于是有K》g》7,这就是所谓的坏腔近似,同时考虑到CAP是一个小量,可暂时从主方程中去掉。