对一个大整数求倒数,用 牛顿法可以快速达到很高的精度,但需要的空间很大,如果求一个10^300数量级的 质数p的倒数,其循环节长度有可能达到p-1,没有一台计算机的内存能够储存整个循环节的数据,如果用普通的 除法,只需储存余数,占用的内存不大,可却可能要计算p-1次,不可能算完,请问有什么好的方法解决这个问题吗?只要有循环节的长度就可以,不用输出循环节的内容 这个问题的另一种描述:给定大整数n(可能是质数也可能是合数,且不知道这个数的分解形式),求最小的k使10^k ≡1 (mod n) 对a^k ≡1 (mod n) 若n与a互素,求分母n的欧拉函数值ψ(n).那么循环节长度k必是ψ(n)的约数. 若n与a有公因子,显然无解. 根据这个性质,对每个约数试验就可以了. ψ(n)的求法: 设n=p1^c1*p2^c2*...*pk^ck;(pi为素数) 那么,ψ(n)=(p1-1)*p1^(c1-1)*(p2-1)*p2^(c2-1)*...*(pk-1)*pk^(ck-1). 因此求ψ(n)与将n因数分解密切相关. 如果n有300位的话,对300位数分解是困难的. 当然,以上只是对a^k ≡1 (mod n)(a为与n互素的任意数)形式来讨论的.如果a=2,可能有更好的办法. 事实上提出这个问题的初衷,是发现大数分解问题可以转化为求一个大数的倒数的循环节的长度 给定n,在RSA加密中,n肯定是两个质数的积,设n=p*q,此时1/n的循环节的长度l|gcd(p-1,q-1), 假定知道l的因数分解,l=l(1)^c(1)*l(2)^c(2)*...*l(k)^c(k),则l有∏[c(i)+1]个约数,将这些约数分别加上1,如果某个约数y(j)加一后是质数,则y(j)+1有可能是n的约数,对所有