定义新运算可以作为数学问题,如:例1、x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.分析我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据"△"的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,1△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.(1△2)*3=a*3,按"*"的定义: a*3=ma+3n,在只有求出m,n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k,m,n的值.通过1*2 =5可以求出m,n的值,通过(2*3)△4=64求出 k的值.解因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m,n均为自然数,所以解出:①当m=1,n=2时:(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64,解出k=2.②当m=3,n=1时:(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l,n=2,k=2.(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。分析与解:该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和,再算后面的商。这里a代表数字8,b代表数字5。8 ★ 5 = (8 + 5)÷ 5 = 2.6例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎(9◎2)。分析与解:根据定义,要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。6◎(9◎2)=6◎9*2-9+2=6◎7=6×7-(6+7)=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111;2Δ5=2+22+222+2222+22222;8Δ2=8+88。求6Δ5。分析与解:仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字,而加数分别是一位数,二位数,三位数,……“Δ”后面的数字是几,就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070例5.设p,q是两个数,规定:pΔq=3×p-[p+q]÷ 2,求7Δ[2Δ4]。分析与解:根据定义,要先算括号里面的。这里的符号“Δ”就是一种新的运算符号。7 Δ 【 2 Δ 4 】=7 Δ【2×3-[2+4]÷2】=7 Δ 3=3×7-[7+3]÷2=16