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对数公式的换算,对于算法复杂度的推导非常重要。但是我总忘,这次特地总结一下常用的对数公式,以备后用。

名称公式
和差log ⁡ α M N = log ⁡ α M + l o g α N \log_\alpha MN=\log_\alpha M+log_\alpha NlogαMN=logαM+logαN
换底公式log ⁡ α x = log ⁡ β x log ⁡ β α \log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}logαx=logβαlogβx
次方公式log ⁡ a n x m = m n log ⁡ a x \log_{a^n}x^m=\frac{m}{n}\log_axloganxm=nmlogax
互换M log ⁡ a N = N log ⁡ a M M^{\log_aN}=N^{\log_aM}MlogaN=NlogaM
倒数log ⁡ a b = ln ⁡ b ln ⁡ a = 1 log ⁡ b a \log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{1}{\log_ba}logab=lnalnb=logba1
链式log ⁡ γ β log ⁡ β α = ln ⁡ β ln ⁡ γ ln ⁡ α ln ⁡ β = ln ⁡ α ln ⁡ γ = log ⁡ γ α \log_\gamma \beta\log_\beta\alpha=\frac{\ln \beta}{\ln \gamma}\frac{\ln \alpha}{\ln \beta}=\frac{\ln \alpha}{\ln \gamma}=\log_\gamma\alphalogγβlogβα=lnγlnβlnβlnα=lnγlnα=logγα
还原α log ⁡ α x = x = log ⁡ α α x \alpha^{\log_\alpha x}=x=\log_\alpha \alpha^xαlogαx=x=logααx

基底是 e ee还是2的问题