最小二乘法的核心思想是通过最下化误差的平方和,试图找到最可能的函数方程 。例如在二维坐标系中存在五个数据点(10,20)、(11,23)、(12,25)、(13,27)、(14,26),希望找出一条该五个点距离最短的直线,根据二元一次方程:y=ax+b
因此,将五个点分别带入该二元方程得到如下:
20=10a+b
23=11a+b
25=12a+b
27=13a+b
26=14a+b
由于最小二乘法是尽可能使得等号两边的方差值最小,因此 :
因此求最小值即可通过对S(a,b)求偏导数获得,并使得一阶倒数的值为0,则:
即得到关于求解未知变量a、b的二元一次方程:
通过计算上述二元一次方法即得到a=0.0243,b=24.1708。因此,在上述五个点中,通过最小二乘法得到直线方程:y=24.1708+0.0243x 是使得五个点到该直线距离最小的直线。
最小二乘法虽然看似是一个直线方程的问题,但是在实际应用中却应用非常广泛,因为它得到的方程可以视为一个函数模型,该函数模型可以对后续的工作带来极大的便利。例如在某种疾病是在两种条件下发生的,但是需要当这两种条件满足一定关系时才会促发疾病,因此医生就可以通过患病样本获得患病情况下的两种条件值,标记到一个二维坐标中,通过最小二乘法,可以将患病的两种条件通过函数表达出来,从而当有另外一个新疑似患者就医时,则可以根据二元一次方程确定是否可能患有该疾病。
上述过程均是通过线性问题的求解方式进行阐述,但是在更多的时候,需要解决的问题不是一个线性问题,它需要通过多项式拟合的方式进行处理,但是原理和求解方式均一致。虽然最小二乘法易于实现,在各行各业中都被广泛使用,但是它的计算量也比较大,当样本数据不断增加后,计算量会明显增加,在阶数更高时计算量则更为复杂。为解决更多问题,后来也基于最小二乘法衍生出了移动最小二乘法、加权最小二乘法以及偏最小二乘法等。
本文分类:传统机器学习