标 准差的合成在科研协作和管理中常常用到。 四分差公式 Q= Q3 ? Q1 2 式中, Q 表示四分差; (4.12) Q1 表示第 1 四分位数; Q3 表示第 3 四分位数。 分差反映的是数据分布中中间 50%数据的离散情况,不受极端值的影响, 常用于衡量中位数的代表性。其适用条件是:第一,通常与中位数配合使用; 第二,一组数据有极端值出现时,常用四分差描述其散布情况;第三,一组 数据的两端有个别数据模糊不清或分组资料有不确定组限时。 第一四分位数与第三四分位数计算公式: 第一四分位数与第三四分位数计算公式: N ? Fb 4 Q1 = Lb + ?i f Q1 3N ? Fb 4 Q3 = Lb + ?i f Q3 式中, Lb 表示该四分位数所在组的下实限; (4.13) (4.14) f Q1 、 f Q3 表示 Q1 、 Q3 所在组的次数; Fb 表示该四分位数所在组下一组对应的向上累积次数; i 表示组距; N 为总次数 差异系数 差异系数又称变异系数、相对标准差,是标准差与平均数的比值,不具 有实际测量单位 CV = σ X × 100 (4.15) 式中 , CV 表示变异系数; σ 表示标准差; X 表示平均数 适用于: (1)两个或两个以上的样本所使用的观测工具不同,所测量的 : 特质不同,进行观测值差异程度的比较; (2)两个或两个以上的样本所使用 的观测工具和测量的特质相同,但样本间的水平相差较大时进行观测值差异 程度的比较。差异系数大,表明数据的离散程度大,反之数据的离散程度就 小。 标准分数 标准分数是以算术平均数为参照点,以标准差为单位,表示每一个原始 数据在其团体中的相对位置,是一个相对位置量数。 Z= X?X S (4.16) 式中, X 表示原始数据; X 表示原始数据的算术平均数; S 表示原始数据的标准差 标准分数主要用于:确定原始分数在其团体中的相对位置;比较不同单 位的观测值相对位置的高低;用于考试分数的合成;用于表示标准测验分数 百分等级 百分等级是指一组有序数据中某一数据以下所含次数占总次数的百分 比。百分等级越低,个体在团体中所处的地位越差 PR = 100 × (1 ? R ) N (4.17) 式中:PR 为百分等级;R 为给定分数在团体中的等级;N 为总次数 适用范围:未分组资料计算百分等级 PR = ( Fb + f ( X ? Lb ) 100 ). i N (4.18) 式中:X 为给定的计算百分等级的分数; Fb 为 X 所在组以下各组次数之和; Lb 为 X 所在组的精确下限; f 为所在组的次数; i 表示组距; N 为总次数。 适用范围:编制成次数分布表的数据资料计算百分等级 第五章 相关系数 积差相关 积差相关是研究两变量间直线相关方向和程度最基本、最常用的方法, 基本公式为: r= ∑ xy NS x S Y (5.1) 式中, x 、 y 分别为 X 变量和 Y 变量的离差; S x 、 S y 分别为 X 变量和 Y 变量的标准差;N 为成对观测值的个数。 积差相关系数的适用条件: 第一,必须是成对观测值,且一般不能少于 30 对数据。 第二,两列变量各自总体的分布服从正态分布,或接近正态的单峰对称 分布。 第三,两列变量都是连续变量且两列变量之间是线性相关。 r= 1 N ∑Z X ZY (5.2) 式中, Z X 为 X 变量的标准分, Z Y 为 Y 变量的标准分 适用条件同公式(5.1) ,适用于用标准分数计算相关系数。 r= ∑X 或r 2 ? ∑ XY ? (∑ X ) N ∑ X ∑Y N 2 ∑Y 2 (∑ Y ) ? N 2 (5.3) = N ∑ XY ? ∑ X ∑ Y N ∑ X 2 ? (∑ X ) 2 N ∑ Y 2 ? (∑ Y ) 2 (5.4) 式中, r 为积差相关系数;X、Y 分别为两变量的原始观测值;N 为观测 值的对数 适用于用原始观测值直接求 r ,比较简便。步骤为:第一步,求两列变 量各自原始观测值之和,即 ΣX 和 ΣY ;第二步,求两列变量成对观测值之 积 XY 和积的和 ΣXY ;第三步,分别求出 X 和 Y ,并计算 ΣX 和 ΣY ; 2 2 2 2 第四步,代入公式(5.3)或(5.4)求出 r 。 r= (5.5) N ∑ X ′Y ′ ? ∑ X ′∑ Y ′ N ∑ X ′ 2 ? (∑ X ′ 2 ) N ∑ Y ′ 2 ? (∑ Y ′) 2 式中, X ′ 是 X 变量各数值与其估计平均数之差;Y ′ 是 Y 变量各数值与 其估计平均数之差 适用于利用假定平均数的方法计算积差相关系数。 斯皮尔曼等级相关 是指两列以次序排列的等级变量间的相关,公式为 rR = 1 ? 6∑ D 2 N ( N 2 ? 1) (5.6) 式中, rR 为斯皮尔曼等级相关系数;D 为两列变量每对数据等级之差; N 为等级数据的对子数 适用范围: (1)两列变量的资料为等级变量,且具有线形关系; (2)两列连续变量按大小顺序排列成等级; (3)不要求总体服从正态或单峰对称分布。 计算步骤: 第一步,确定等级,将两列变量按一定顺序分别定出等级; 第二步,计算每一对等级之差 D 及 D ,并求出 ΣD ; 2 2 第三步,将有关数据代入计算公式(5.4) ,求出 rR 肯德尔和谐系数 又叫肯德尔 W 系数, W= SS R NK ( N 2 ? 1) 12 2 2 (5.7) 式中, SS R = ∑R ? (∑ R ) 2 N ,为 R 的离差平方和; R 为每个被评对 象评定的等级之和; N 为被评定对象的个数; K 为评定者个数 应用范围: 两列以上等级变量间的相关分析。 一是 K 个被试或评价者对 N 件事物或 N 个作品进行等级评定的一致性程度;二是同一个评定者对 N 件事 物或 N 个作品先后评定 K 次,其等级之间的一致性程度。评价者评定等级差 异较大,各被评对象分别获得的等级总和差异就很小。 WC = SS r NK m3 ? m ( N 2 ? 1) ? K ∑∑ 12 12 2 2 (5.8) 式中, SS R = ∑R ? (∑ R ) 2 N ,为 R 的离差平方和; R 为每个被评对 象评定的等级之和; N 为被评定对象的个数; K 为评定者个数; m 为相同 等级数。 应用范围同公式(5.7) ,主要用于评定等级相同等级出现较多时,是对 W 系数的校正公式。 点二列相关系数 rpb = 式中, Xp ?Xq St pq (5.9) p 与 q 分别为二分变量中各自占总体的比例, p + q =1; X p 为 连续变量中与 p 对应部分的平均数; X q 为连续变量中与 q 对应部分的平均 数; St 为连续变量全部观测值的标准差。 适用条件:一个变量是正态连续变量,另一个变量是真正的二分称名变 量;一个变量是正态连续变量,另一个变量并非是真正的二分称名变量,而 是双峰分布的变量。 计算步骤为:第一步,分别计算二分变量中每项所占比例;第二步,分别计 算二分变量中比率为 p 项与 q 项所对应的连续变量的平均数;第三步,计算 连续变量标准差;第四步,将有关数据代入公式(5.9) ,求 rpb 。 Φ 相关 rΦ = (a + b )(c + d )(a + c )(b + d ) ad ? bc (5.10) 适用条件:两列变量均为二分名义变量,即同一组资料按两个标志分类,且 每个标志下只有两个点值,表明变量的某种属性,并把资料整理成 2×2 列联 表的形式。 Σ Y1 X1 X2 Σ a Y2 b d b+d a+b c+d a+b+c+d c a+c