106 CNIC-01744 IAPCM-0036 热稠密物质的电子压强及能量的计算 朱希睿 (北京应用物理与计算数学研究所,北京,100088) 摘 要 在球元胞、中心力场、Fermi 统计近似下,用平均原子模型得到计算电子压强和能量所需要的全部原子参数。通过去掉束缚电子对压强的贡献,简化了计算过程,计算得到热稠密物质26 Fe, 37 Rb 在任意温度和密度下的单电子能级、电子压强以及电子总能量。 关键词:等离子体 平均原子模型 电子压强 电子能量 107 Calculations of Electronic Pressure and Energy in Plasma at Arbitrary Temperature and Matter Density (In Chinese) ZHU Xirui (Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing, 100088) ABSTRACT An approach is presented for calculating electronic pressure and energy for arbitrary matter density and temperature. The self-consistent-field treatment is based on Thomas-Fermi model in the iterative procedure. The Fermi statistics and the central-field approximation are adopted for giving an average atom representation, and the contributions of boundary electron are ignored in calculating electronic pressure. Calculation results are presented and discussed for the 26 Fe and 37 Rb atoms at several temperatures and matter densities. Key words:Plasma, Electronic pressure, Electronic energy, Average atom model 108 引 言 在球元胞、中心力场、Fermi 统计近似下,用现有的含温有界自洽场 AA 原子模型来计算电子压强、电子能量所需要的全部原子参数,通过去掉束缚电子对压强的贡献,简化计算过程;计算了热稠密物质26 Fe, 37 Rb 在任意温度和密度下的单电子能级、电子压强、电子总能量。本程序可以用来计算任意热稠密物质的单电子能级、电子压强以及电子总能量。 1 工作背景 在现代自然科学和工程中有很多问题,例如天体演化,地球内部构造,激光聚变等,均涉及到当处于高温、高压甚至超高温、超高压状态时,物质所发生的变化过程,迫切地需要物质在高温高压状态下的物态方程数据。但是,就目前实验室技术水平看,试验上所能达到的压力和温度范围,与上述要求相比,还是极其有限的。对那些目前还难以达到的压力及温度区,只能靠理论计算来得到物态方程数据。电子计算机的发展和计算方法的改进,加之新的物态方程实验手段,使得用理论方法计算的物态方程变得较为可靠和更加实用了。特别是这些年来,激光打靶,辐射流体,惯性约束聚变等领域的研究,强烈地牵引着物态方程的研究、发展。从某种意义上讲,所用物态方程的好坏,直接关系到物理问题解决的好坏。 物态方程涉及物质的原子结构和整体构型,因具体物质和温度密度分区而异,很难用统一的理论或实验加以描述。对物态方程的研究一直是国内外研究的热点。 近年来,物态方程的实验室技术有了长足的进展,但从原理上说,物态方程所研究材料的环境条件需从很低压力到若干亿大气压,从绝对零度到几千万度直至亿度以上,因而,大范围物态方程参数的获得必须靠实验数据理论计算、理论与实验数据之间的插值得到。在压强大于 10 TPa 的极高压区,TF 或 TFD 模型提供了与实验数据符合得很好的物质物态方程;而在压强为 1~10 TPa 的“中间过渡区”则有各种理论模型。Zink 将分布在原子内的电子分为束缚电子和自由电子,给出了包括电子壳层效应的解析拟合势。Rozsnyai 则假设原子内电子是按 Fermi 统计分布,从而构造出一个具有分数布居数的虚拟平均原子,进而将 ZinkTFS [1] 方法发展成一种自洽场方法。 我们的目的就是从平均原子模型出发,考虑离子实的激发,通过计算原子的环境效应(交换、集体等),并引进一些能带理论的结果,逐步向过渡区推进。现在只是初步开始计算等离子体的电子压强,而且温度不是很低。在国内,吉林大学 [2, 3] 曾做过该方面的工作,但从发表的文章来看,压缩比只推进到 D/D 0 =20 附近。 我们利用平均原子模型,计算了26 Fe, 37 Rb 的电子压强和电子能量。 2 关于平均原子模型 109 在一定温度和密度下,由于原子间存在着相互作用,使热稠密宏观物质存在着孤立原子和各价离子的各种激发态。即使在低密度时,解 Saha 方程求出所有态的能量和波函数,再经适当的平均求出我们感兴趣的物理量,无疑是很困难的。1972 年 Rozsnyai [4] 建立了含温有界相对论自洽场平均原子模型(简称 AAM),实际是把 TFL(或 TFS)理论发展成为自洽场理论。该理论是处理等离子体原子结构的有效方法,在研究等离子体辐射不透明度领域取得了巨大成功,沿用至今。 在这里,我们使用了平均原子模型,使问题简化。假设在高温高压下,我们研究的体系中的原子为以原子核为球心的球对称体,其半径 R 0 由下式决定: 3 / 100)43(D NARπ= 这里 N 0 =6.022045 × 10 23 为阿佛伽德罗常数, A 为摩尔质量, D 为物质密度。 宏观物质就是由这些无相互作用的球元胞组成,压强、能量等宏观热力学量可由单个球元胞算出。这是 TF 模型、 TFD 模型的基本假设。它是一个将多中心复杂问题转化为一个球对称的单中心简单问题。进一步将球元胞中电子分为束缚电子和自由电子,并假设电子按 Fermi 统计分布,这样产生一个分数布居数的虚构平均原子。 在相对论 TF 近似下, 2 4 2 2 2 2)] ( ' [ )] ( [ r rV c m r V c p − − − = ε (1) 其中, p 为电子的动量。 电子密度由下式决定: ε εερεµ εd )] ( [1} )] ( ' [ )] ( {[ 8) () (/ ) (2 / 1 2 4 2 23 30r Ver rV c m r Vc hrrkT−+− − − π=∫∞− (2) 这里, c 是光速, h 是普朗克常数, m 是电子质量, T 是温度, k 是波尔兹曼常数, V(r)是电子的势能(不是势函数)。 ) (0r ε 是电子在势场中的本底能量, ) ( ) ( ) (0r q r V r + = ε (3) 2 / 1 2 4 2} )] ( ' [ { ) ( r rV c m r q + = (4) 由于式( 2 )中的 ε 含有静能本底 ) (0r ε , µ 中也含有质能本底,所以做代换: 20) (mcr+ →+ →µ µε ε ε (5) 这样,新的 ε 和 µ 就是通常意义下的电子能量和化学势,即不含相对论质能本底。应用这样的代换, 令: kTr q mc r VZ) ( ) (2− + −=µ (6) 并将式( 3 )代入,得: 114 图 6 Fe 在 10 倍常密度下,温度分别为 kT=0,100 eV 图 7 Rb 在常密度下,温度分别为 kT=0,100 eV 图 8 Rb 在 10 倍常密度下,温度分别为 kT=0,100 eV 116 图 11 Fe 原子的电子压强(取对数)在不同温度下随密度的变化 图 12 Rb 原子的电子压强(取对数)在不同温度下随密度的变化 图 13 Rb 原子的电子压强(取对数)在不同密度下随温度的变化 1174 结 论 (1) 在高温情况下,随密度的增加,电子压强平稳地缓慢增大,而电子能量则几乎是一条直线。 原因:这主要是因为在高温状态下,原子内的电子一直处于自由电子气状态,因而压强和电子能量都没有受到原子的壳层结构的影响,表现在电子压强和电子能量上都呈现很平滑的变化;随密度的增加,一方面,电子压强增大;另一方面,电子与核之间的距离也会随之发生变化,随着密度的不断增加,自由电子与核之间的距离缩短,因而造成电子能量下降的趋势,但由于温度过高,这种趋势不会很明显。 (2) 在温度不是很高的情况下,随密度的增加,电子的压强也在增大,但增大一段后,电子压强会有台阶式的突增,相应的,电子能量这时也会有台阶式的突降;随着密度的继续增加,电子能量会出现台阶式的突然增大,相应地,电子压强也会出现一个台阶;随着物质密度的增加,电子能量会逐渐稳定增大,相应地,电子压强也会比较稳定地增大。 原因 :这是因为在温度不是很高的情况下,随密度的增加,电子不再是以自由电子气的状态存在,而是具有一定的壳层结构;这时,随密度的增加,电子压强逐渐增大,电子能量逐渐减小,这和高温情况下的变化规律很相似;但是随着物质密度的进一步增加,电子会开始从高壳层往较低的未满的低壳层回填,这时,原子的壳层效应便开始显现出来,电子能量有了台阶式的突降,电子压强也有了台阶式的增大;随着密度的进一步增加,电子不断回填未满的低壳层,等到低壳层全部被电子填满,这时,电子能量便开始增大,出现台阶状,相应地电子压强也会出现较平稳的增大。 参 考 文 献 1 Zink J W. Phys. Rev., 1968, 176(1): 279 2 Xue Fuzeng, PAN Shoufu. Chinese Journal of Pressure Physics. 1991, 5(1): 71 (in Chinese) 3 LI Zhaoning, PAN Shoufu. Chinese Journal of Pressure Physics. 1991, 5(3): 220 (in Chinese) 4 Balazs F. Rozsnyai, Relativistic Hartree-Fock-Slater Calculations for Arbitrary Temperature and Matter Density. Phys. Rev., 1972, A5(3): 1137