离散离散数学 数学 第三章 集合与关系 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如,全体整数 全体中国人 26个英文字母 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 定义:集合中的对象叫集合的元素,或成员。 通常用大写的英文字母来标记一些集合。 例如, N:代表自然数集合(包括0), Z:代表整数集合, Q:代表有理数集合, R:代表实数集合, C:代表复数集合。 11 1.列举法 列举法是列出集合的所有元素,元素之间用逗号 隔开,并把它们用花括号括起来。 N={1,2,3,},C={2,4,6,,2n,}, 描述法描述法不要求列出集合中的所有元素,只要把 集合中的元素具有的性质或所满足的条件描述出 来即可。 可以用谓词公式描述集合中的元素具有的性质 或所满足的条件。一般地,用B={ }表示集合B是由具有性质P的元素x构成。 例如,B={ x是小于10的正整数} 注意:谓词P(x)的范围一定要明确清楚,否则, 集合无法构造。如:A={x|P(x)},P(x):x是公 园里的美丽的花。} 归纳法归纳法是通过归纳定义集合,主要由三部分组 指出某些最基本的元素属于集合;指出由基本元素构造新元素的方法; 指出该集合的界限。 如:集合A按归纳法定义如下: (1)0和1都是集合A的元素; (2)如果a、b是A的元素,则ab和ba也是A的 元素; (3)有限次地使用(1)(2)后所得到的字符 串都是A的元素。 集合中的元素可以具有共同性质,也可以表面上 看起来不相干。 如{2,Tom,计算机,广州} 在集合论中,规定元素之间是彼此相异的,并且 是没有次序关系的。 例如,{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集 定义3.1.2有限个元素构成的集合A,称为有限 集,其中包含的元素个数称为该集合的元素数, 记为|A|。无限个元素构成的集合称为无限集。 定义3.1.3 不含任何元素的集合称为空集,记为。空集可以符号化表示为={x|xx} 定义3.1.4 所考虑的所有对象的集合,称为全集, 记为E。 对于任一元素x,有xF,x 定义:设A,B为集合,当且仅当它们恰有完全相同的元素时,称A与B相等,记作A=B。符号 化表示为 定义:设A,,B为两个集合,如果B中的每个元素都是A中的元素,则称B为A的子集合,简称 子集。这时也称B被A包含,或A包含B。记作 集合B的每一个元素都属于A,但集合A中至少有一个元素不属于B),则称B是A的真子集。这 定理:空集是一切集合的子集。