复数模的运算与几何意义 复数与坐标平面内的点具有一一对应关系,由此可定义复数的模:若复数 z=a+bi,则 z 的模|z|=2 2b a \uf02b ,复数的模具有优美的运算性质和直观的几何意义. [ [ 母题结构 ]: (Ⅰ)(模的运算):|z 1 z 2 |=|z 1 ||z 2 |;|z|2 =|z 2 |,|21zz|=| || |21zz. (Ⅱ)(几何意义):复数的两层几何意义:复数 z=a+bi←→Z(a,b)←→ OZ =(a,b). (Ⅲ)(模的意义)①|z-z o | \uf0db z 对应的点 Z 与 z o 对应的点 Z o 的距离;②|z-z 1 |=|z-z 2 | \uf0db 复数 z 对应的点 Z 在线段 Z 1 Z 2 的垂直平分线上,其中 Z 1 、Z 2 分别是复数 z 1 、z 2 的对应点;③|z-z 0 |=R \uf0db 复数 z 对应的点 Z 在以点 Z 0 为圆心,半径为 R 的圆上,其中 Z 0 是复数 z 0 的对应点;④|z-z 1 |+|z-z 2 |=|z 1 -z 2 | \uf0db 复数 z 对应的点 P 在线段 Z 1 Z 2 上,其中 Z 1 、Z 2 分别是复数 z 1 、z 2 的对应点. [ [ 母题 解析 ]: 略. 1. 模的运算 子题类型Ⅰ: : (2010 年课标卷高考试题)已知复数 z=2) 3 1 (3ii\uf02d\uf02b,则|z|=( ) (A)41 (B)21 (C)1 (D)2 [ [ 解析 ]: 由 z=2) 3 1 (3ii\uf02d\uf02b\uf0de |z|=2| 3 1 || 3 |ii\uf02d\uf02b=222=21.故选(B). [ [ 点评 ]: 利用复数模的运算性质求复数的模,无需把所给复数化成 a+bi 的形式,可直接求解,减少计算量,是解决该类高考试题的最佳途径. [ [ 同类试题 ]: 1.(2013 年课标Ⅱ卷高考试题)|i \uf02b 12|=( ) (A)2 2 (B)2 (C) 2 (D)1 2.(2013 年山东高考试题)复数 z=ii2) 2 ( \uf02d(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B) 41 (C)5 (D) 5 2. 几何意义 子题类型Ⅱ: : (2003 年上海春招试题)复数 z=ii m2 12\uf02b\uf02d(m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 [ [ 解析 ]: 由 z=ii m2 12\uf02b\uf02d=51(m-2i)(1-2i)=51(m-4)-52(m+1)i;如果在第一象限,则\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf03c \uf02b\uf03e \uf02d0 10 4mm,而该不等式组无解.故选(A). [ [ 点评 ]: 复数的几何意义:复数 z=a+bi←→点 Z(a,b);本题把复数的几何意义与解不等式进行有机结合,不仅体现了知识的交汇,而且呈现了逆向思维. [ [ 同类试题 ]: 3.(2007 年复旦大学保送生考试试题)复数 z=ii a2 12\uf02b\uf02d(a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) 040 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019 年课标高考母题 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4.(1989 年全国高中数学联赛试题)若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数 z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3. 模的意义 子题类型Ⅲ: : (2002 年北京高考试题)己知 z 1 ,z 2 ∈C,且|z 1 |=1,若 z 1 +z 2 =2i,则|z 1 -z 2 |的最大值是( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 [ [ 解析 ]: 令 z 1 、z 2 对应的点分别为 P、Q,A(0,2),由|z 1 |=1 \uf0de 点 P 在圆 x2 +y 2 =1 上;又由 z1 +z 2 =2i \uf0de 点 Q 满足: OP + OQ = OA ,且|z 1 -z 2 |=|PQ|=| OP - OQ |=|2 OP -( OP + OQ )|=|2 OP - OA |≤2| OP |+| OA |=4,当且仅当 z 1 =-i,z 2 =3i 时,等号成立.故选(C). [ [ 点评 ]: 复数的几何意义有两个层次:复数 z=a+bi←→点 Z(a,b)←→向量 OZ =(a,b);复数模的意义:|z-z o | \uf0db z 对应的点 Z 与 z o 对应的点 Z o 的距离;由此作图,根据几何直观是解决模的最值问题的最佳选择. [ [ 同类试题 ]: 5.(1990 年广东高考试题)如果 z 1 ,z 2 是复数,且|z 1 |=3,|z 2 |=4,|z 1 -z 2 |=5,那么|z 1 +z 2 |的值是 . 6.(2003 年安徽春招试题)若复数 z 满足|z-1|=|z-2|=|z-i|,则 z= . 4. 子题系列: : 7.(2013 年广东高考试题)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 8.(2010 年江苏高考试题)设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为 . 9.(2013 年辽宁高考试题)复数 z=11\uf02d i的模为( ) (A)21 (B)22 (C) 2 (D)2 10.(2013 年课标Ⅱ卷高考试题)|i \uf02b 12|=( ) (A)2 2 (B)2 (C) 2 (D)1 11.(2013 年山东高考试题)复数 z=ii2) 2 ( \uf02d(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B) 41 (C)5 (D) 5 12.(2013 年重庆高考试题)已知复数 z=ii2 15\uf02b(i 为虚数单位),则|z|= . 13.(2017 年江苏高考试题)已知 z=(1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 . 14.(2017 年高考全国Ⅲ理科试题)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) (A)21 (B)22 (C) 2 (D)2 15.(2017 年山东高考试题)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3 i,z z =4,则 a=( ) (A)1 或-1 (B) 7 或- 7 (C)- 3 (D) 3 16.(2017 年高考全国Ⅲ文科试题)在复平面内表示复数 z=i(-2+i)的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 17.(2011 年山东高考试题)复数 z=ii\uf02b\uf02d22(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) 2019 年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 041 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 18.(2005 年辽宁高考试题)复数 z=ii\uf02b\uf02b \uf02d11-1 在复平面内,z 所对应的点在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 19.(2005 年浙江高考试题)在复平面内,复数ii\uf02b 1+(1+ 3 i)2 对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 20.(2004 年北京春招试题)当32900\uf0de cosB-sinA<0,sinB-cosA>0.故选(B). 5. 解: :在复平面内,令 z 1 ,z 2 对应的点分别为 A,B,则|OA|=3,|OB|=4,|AB|=5 \uf0de △OAB 是直角三角形 \uf0de |z 1 +z 2 |=|AB|=5. 6. 解: :在复平面内,令点 A(1,0),B(2,0),C(0,1),由|z-1|=|z-2|知,复数 z 对应的点 P 在线段 AB 的垂直平分线 x=23上,又由|z-1|=|z-i|知,复数 z 对应的点 P 在线段 AC 的垂直平分线 y=x \uf0de y=x=23\uf0de P(23,23) \uf0de z=23+23i. 7. 解: :由 i(x+yi)=3+4i \uf0de |i||x+yi|=|3+4i| \uf0de |x+yi|=5.故选(D). 8. 解: :由 z(2-3i)=6+4i \uf0de |z|=2. 9. 解: :|z|=|11\uf02d i|=| 1 |1\uf02d i=22.故选(B). 042 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019 年课标高考母题 10. 解: :|i \uf02b 12|=| 1 |2i \uf02b=22= 2 .故选(C). 11. 解: :|z|=|ii2) 2 ( \uf02d|=| || 2 |2ii \uf02d=5.故选(C). 12. 解: :|z|=|ii2 15\uf02b|= 5 . 13. 解: :由 z=(1+i)(1+2i) \uf0de |z|=|1+i||1+2i|= 2 \uf0d7 5 = 10 . 14. 解: :由(1+i)z=2i \uf0de |1+i||z|=|2i| \uf0de |z|= 2 .故选(C). 15. 解: :由 z z =4 \uf0de |z|=2 \uf0de a=1 或-1.故选(A). 16. 解: :由 z=i(-2+i)=-1-2i.故选(C). 17. 解: :由 z=ii\uf02b\uf02d22=51(3-4i).故选(D). 18. 解: :由 z=ii\uf02b\uf02b \uf02d11-1=i-1.故选(B). 19. 解: :由ii\uf02b 1+(1+ 3 i)2 =2) 3 4 1 ( 3 i \uf02b \uf02b \uf02d.故选(B). 20. 解: :由 3m-2>0,m-1<0.故选(D). 21. 解: :由(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i 在第二象限 \uf0de a<-1.故选(B). 22. 解: :由 sin2>0,cos2<0.故选(D). 23. 解: :在复平面内,令 z,-2+2i,2+2i 对应的点分别为 P,A,B,则|PA|=|z+2-2i|=1,|z-2-2i|=|PB|≥|AB|-1=3.故选(B). 24. 解: :令 z 1 =i 则 z 1 对应的点 Z 1 (0,1),设 z 对应的点为 P,则|z-i|=|3+4i| \uf0db |PZ 1 |=5 \uf0db 点 P 的轨迹是圆.故选(C). 25. 解: :在复平面上,设 A(0,-1),B(0,1),M(-1,-1),P:z,则|AB|=2,由|z+i|+|z-i|=2 \uf0de 点 P 在线段 AB 上 \uf0de |x+i+1|=|PM|≥|AM|=1.故选(A). 26. 解: :在复平面上,设 A(-1,-1),B(1,1),C(0,-1),则|AB|=2 2 \uf0de |z+1+i|+|z-1-i|=2 2 点 P 在线段 AB 上 \uf0de M=|BC|= 5 ,m=22. 27. 解: :在复平面内,令点 A(-21,0),B(23,0),由|z+21|=|z-23| \uf0de 复数 z 对应的点 P 在线段 AB 的垂直平分线 x=21上;又由|z|=1 \uf0de 点 P 在圆 x2 +y 2 =1 上\uf0de y= \uf0b123\uf0de z=21\uf0b123i \uf0de 复数 z 的集合是{21\uf0b123i}.