例题一、
面对这道题,用等价/高阶/低阶无穷小显得不能用(因为是趋近于无穷),但是,我们就要比谁更大,即寻找最大项(张帆老师把这个叫“大哥理论”),然后使用无穷大替换(即用最大项替换全部),在
的时候,分子分母的最大项是幂次最高项,在
的时候分子分母的最大项是幂次最低项,所以对这道题来说,我们应该寻找幂次最高项,对分子来说,
和
是同一幂次的,所以,最大幂次是1,所以我们就把边上那个1和根式里面的
忽略掉就行了,对于分母来说,最大幂次也是1,至于
的幂次,因为
始终是小于等于一的,所以可以把他的幂次当作是常数,也就是0,可以忽略掉,这样一来公式就变成了
由于
是趋向于负无穷的,所以原式等价于
也就是1。
例题二、
基本操作,
里的东西减去个1然后等价无穷小替换.
变成了
我们知道,等价/高阶/低阶无穷小替换的本质其实是转化为幂函数的形态,所以为了在0处能够把sinx和cosx转化为幂函数,在加减法的环境下应用等价无穷小,就要用到麦克劳林公式(平时老师说不能在加减法情况下应用等价无穷小是因为精度不够,应用了麦克劳林公式就能确保精度,那么到底要展开到哪几项呢?因为分子分母的最大项精度要保持一致才能互相消去,比如这道题就要分母上下可以同时展开到
的一次幂就能互相消去。),其中
的展开是
而
的展开是
,所以
保留最大项目
,
保留1,而分子中的
也可以展开为
(这里用到了一个展开公式 (
当然你直接用麦克劳林也行,只不过用公式会更快一点),由于分母最大项是1次幂,所以保留
即可这样原式就变成了
例题三、
这道题需要用到一个小技巧,即
,则分母变为
,
在
的时候接近于e,由于非零因式直接带入原则所以可以去掉,剩下来的用以上两个例题的技巧可以轻松解决(事实上,类似
这样的式子有一个特点,那就是
型,这一类型的极限一般是提取一个公共因子使得成为
类型)。
例题四、
由于是
所以可以用泰勒公式展开得到:
例题五、
这里要注意
的时候分为
和
两类,
的时候
,先等价无穷小替换,得到
以及
原式变成
而
的时候原式变成了
这个时候要求趋向于无穷的时候,虽然幂函数不适用于这种情况,但幂函数找最大项的本质是无穷大替换,所以我们可以用到速度的阶的理论,在x趋向于无穷或者0的时候,指数函数>>幂函数>>对数函数,这个式子里ln里的1完全可以被替换掉,因此原式就变成了
同理,以下极限也可以应用这个理论,用一个因式替换全部:
例题六、
遇到有
的式子,可以先想办法合并
例题七、
第一步先通分化为乘除法得到
此时,分母无穷小替换得
此时,我们可以想到,分子的最大项为次数最小的项,通过对分子进行麦克劳林展开可以发现,
次数最小的项不是
就是
,当然由于
被消掉了,因此展开得到分子:
注意,这里有些同学可能觉得分子化到
就够了,没必要化到
项,事实上,因为分母的最小项是
,所以分子务必也要化到
来确保精度。
例题八、
遇到
的时候要首先想到平方差公式来化简,如在这道题使用平方差公式化简后变成
例题九、化幂指函数为对数
这一类的题比较特殊,比如下面这道题会有同学将两个重要极限之一
带入求得答案1,事实上,这个答案是错误的,正确的答案是1
设函数
在
的某领域内有定义,且
,求
用同样方法化为对数做。
例题十、
某些函数等价无穷小也比较难替换,可以用拉格朗日中值定理来等价无穷小替换
数列极限: