第二节　向量组的线性相关性与　线性无关性　　定义1　设α1　,α2　,…,αm　,β是一组n维　向量,若存在m个实数　k1　,k2　,…,km使得　β　=　k1α1　+　k2　α2　+　…　+　km　αm　,则称β可以　由α1　,α2　,…,αm线性表示(　linear　representation　)。或称α1　,α2　,…,αm线性　表示(linear　generate)β。　例如:α1　=　(1,　2,　0)　T,α2　=　(1,　0,　3)　T,　α3　=　(3,　4,　3)T,则α3　=　2α1　+　α2　,即存在实数k1　=2,k2=1使得α3　=　k1α1　+　k2α2,故α3可以　由α1　,α2线性表示。(大家想一想,这里的常　数k1　=2,k2=1是怎么求出来的?)　　定义2　设α1　,α2　,…,αm是一组n维向量,　如果存在m个不全为0的常数k1,k2,…,km使得　k1　α1　+　k2　α2　+　…　+　km　αm　=　0,则称向量组　α1　,α2　,…,αm线性相关(linearly　dependent);否则,称向量组α1,α2,…,αm　线性无关。　　例1　若一个向量组仅由一个向量α组成,　则　由定义2　易知它线性相关的充要条件是α　=　0　。　　例2　若一个向量组仅由α,β两个向量组成,　则α,β线性相关是指α,β这两个向量的分　量对应成比例,换句话说,即是指α与β平行　或α,β共线。　证明:　α,β线性相关　存在不全为0的　两个数k1,k2使得k1α　+　k2β　=　0　,不妨假设　k1　0,则由k1　α　+　k2　β　=　0　知α　=　β,　此即　说明α　,β的分量对应成比例。　≠　　注:　类似可以证明,若一个向量组仅由α,　β,γ三个向量构成,则α,β,γ线性相关　的充要条件是α　,β　,γ共面。　　上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无　关的定义,下面我们将用肯定的表述来说明线　性无关这个概念。为此,我们先检查线性相关　的定义。称α1,α2,…,αm　线性相关是指　存在不全为0的m个常数k1,k2,…,km使得　k1　α1　+　k2　α2　+　…　+　km　αm　=　0　,　这即是说:　以k1,k2,…,km为未知数的方程(实际上,　若按向量的分量来看,这是一个方程组):　k1　α1　+　k2　α2　+　…　+k