以下列举一些常用函数的泰勒公式:我们知道,根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有:于是:其中误差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确。于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式:来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足:于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An,显然有:,所以;,所以;,所以;,所以;至此,多项的各项系数都已求出,得:以上就是函数的泰勒展开式。接下来就要求误差的具体表达式了。设,令得到:进而:根据柯西中值定理:其中θ1在x和x0之间;继续使用柯西中值定理得到:其中θ2在θ1和x0之间;连续使用n+1次后得到:其中θ在x和x0之间;同时:而:进而:综上可得:一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn。函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况,即是泰勒公式的特殊形式,若f(x)在x=0处n阶连续可导,则下式成立:其中表示f(x)的n阶导数。当,其中δ在0与x之间时,公式称为拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式;当时公式称为带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式。实际应用中,泰勒公式需要截断,只取有限项,一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。