测量的不确定度和数据处理 测量不确定度 ............................................................................................................................................................1 采用不确定度的必然性 ....................................................................................................................................1 测量不确定度的 B 类分量...............................................................................................................................1 三种仪器误差分布 ............................................................................................................................................3 合成标准不确定度和展伸不确定度 ................................................................................................................7 实验数据处理 ............................................................................................................................................................8 参考文献 ..................................................................................................................................................................10 摘要 文章澄清了测量不确定度教学中易混淆的一些概念,给出了实用的展伸不确定度公式;在数据 处理中,倡导利用回归法;提出在作图法中画出误差杆,以更明确地表明实验的精度。 关键词 误差,测量不确定度,标准差,展伸不确定度,数据处理,误差杆,回归法。 测量不确定度 采用不确定度的必然性 国际计量局等七个国际组织于 1993 年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表示指南 ISO 1993 (E)” (以下简称《指南》)。几年来国际与国内的科技文献开始采用不确定度概念,我国各个高校也不 断开展这方面的讨论,改革教学内容与方法,以求与国际接轨。虽然一些学者对《指南》的有些内容持批 评态度[注 1],但总的趋势是在贯彻《指南》的同时,不断改善它。 测量不确定度定义为测量结果带有的一个参数,用以表征合理赋予被测量量的分散性,它是被测量客 观值在某一量值范围内的一个评定。不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类:符合统计规律的, 称为 A 类不确定度,而不符合统计规律的统称为 B 类不确定度。测量不确定度的理论保留系统误差的概念, 也不排除误差的概念。这里的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值(用更高级的仪器的测量值) 的偏差。 测量不确定度的 B 类分量 仪器的最大允差Δ仪 测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为 B 类不确定度,记为ΔB 。它包含了由测量者估算产生 的部分Δ估和仪器精度有限所产生的最大允差Δ仪。Δ仪包含了仪器的系统误差,也包含了环境以及测量 者自身可能出现的变化(具随机性)对测量结果的影响。Δ仪可从仪器说明书中得到,它表征同一规格型 号的合格产品,在正常使用条件下,一次测量可能产生的最大误差。一般而言,Δ仪为仪器最小刻度所对 应的物理量的数量级(但不同仪器差别很大,一些常用仪器的最大允差见第 26 页)。 测量者的估算误差Δ估 测量者对被测物或对仪器示数判断的不确定性会产生估算误差Δ估。对于有刻度的仪器仪表,通常Δ 估为最小刻度的十分之几,小于Δ仪(因为最大允差已包含了测量者正确使用仪器的估算误差)。比如, 估读螺旋测微器最小刻度的十分之一为 0.001 毫米,小于其最大允差 0.004 毫米;估读钢板尺最小刻度的 十分之一为 0.1 毫米,小于其最大允差 0.15 毫米。但有时Δ估会大于Δ仪。比如,用电子秒表测量几分钟 的时间,测量者在计时判断上会有 0.1-0.2 秒的误差。而电子秒表的稳定性为 10-5 秒/天,显然仪器的最大 允差小得实在可以忽略。又如第 30 届国际物理奥林匹克竞赛实验题中要测量一个摆杆的质心到一端的距 离。将摆杆放到一个“⊥”型物上并使之平衡,测量支撑点到摆一端的距离。由于“⊥”型物棱宽为 2mm , 摆杆在棱上移动±1mm 均能保持平衡,使得一次测量的估算误差应为±1mm ,大于钢直尺的最大允差Δ 仪=0.15mm 。在拉伸法测金属丝杨氏模量实验中,由于难以对准金属丝被轧头夹住的位置,钢丝长度的估 算误差可达±(1-2)mm 。在暗室中做几何光学实验,进行长度测量时,长度的估算误差也可达±(1-2) mm 。如果Δ估和Δ仪是彼此无关的,B 类不确定度ΔB 为它们的合成: 若Δ估和Δ仪中,某个量小于另一量的三分之一,平方后将小一个数量级,则可以忽略不计。由于一 般而言,Δ估比Δ仪小(正常使用下已包含其中),在以下的讨论中仅以Δ仪表示ΔB。 B 类分量的标准差 多次用同一规格型号的不同仪器测量同一物理量,测量值可能不同。这些测量值与平均值之差也是按 一定概率分布的。正态分布是连续型随机变量中最常用、最重要的分布。一般而言,在相同条件下大批生 产的产品,其质量指标一般服从正态分布。如某个数量指标 X 是很多随机因素之和,而每种因素所起的作 用均匀微小,则 X 为服从随机分布的变量。例如,工厂大量生产某一产品,当设备、技术、原材料、工艺 等可控制的生产条件都相对稳定,不存在系统误差的明显因素,则产品的质量指标近似服从正态分布。如 果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的概率都相等(如长度块规在一定温度范围内由于热胀冷缩导致 的长度值变化),就为均匀分布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。 一次测量值的 B 类标准差为 其中 C 称为置信系数。在最大允差范围内,对于正态分布,C=√9 =3;对于三角分布,C= √6,对 于均匀分布,C=√3。第 32 页给出几种常用仪器的误差分布以及 C 的取值,见下表[注 2]: 仪器名称 误差分布 C 米尺 正态分布 3 游标卡尺 均匀分布 √3 千分尺 正态分布 3 物理天平 正态分布 3 秒表 正态分布 3 符合正态分布的测量列中某次测量值与平均值之差落在[-σ,σ]之间的概率为 68.3%,落在[-2σ,2σ] 之间为 95.55%,落在[-3σ,3σ]之间的概率为 99.73%(见图 1),所以仪器的最大允差规定为Δ仪=3σ。不 同的分布,在相同范围内的置信概率有所不同。不明确这一点,在合成不确定度的 A 类分量和 B 类分量时, 就无法给出正确的置信概率和置信区间。为了说明这一点,先要做一些数学铺垫。 三种仪器误差分布 按照概率统计理论[注 3],若 x 是连续型随机变量,其概率密度函数为 f(x),则其数学期望值为 其方差为 标准差为 对于等精度测量,随机量 x1, x2 ,, xn , 其数学期望值(即平均值)为 方差为 标准差为 设随机变量 X 在[a,b]上服从均匀分布(见图 2),即 其平均值为 其方差为 其标准差为 特例:当 a = -Δ仪 ,b =Δ仪时,σ(X)=Δ仪/√3 ≈0.577Δ仪。也即如果仪器误差符合均匀分布,其 一次测量值与标准值之差落在[-σ,σ]内的概率为 57.7%,低于正态分布相应的 68.3%;而落在[-√3σ, √3σ]内的概率就已经达到 100%,与正态分布有很大不同(比较图 1 和图 2)。 设随机变量 X 在[-Δ仪 ,Δ仪]上的分布为三角分布(见图 3) 由其对称性易得测量列的平均值为 方差为 标准差 X 落在[-σ, σ]之间的概率 P(σ),如图 3 中阴影的面积,P(σ)=0.758;而 P(2σ)=0.966。三 种分布的标准差以及各置信区间相应的概率如下表: 分布 正态分布 三角分布 均匀分布 标准差σ Δ/3 Δ/√6 Δ/√3 P(σ) 0.683 0.758 0.577 P(2σ) 0.955 0.966 1 P(3σ) 0.997 1 1 因此,不能笼统地说测量误差落在标准差范围内的概率为 68.3%,落在两倍标准差范围内的概率为 95.5%。在合成标准不确定度时,要注意区分不同的分布。 合成标准不确定度和展伸不确定度 将 A 类和 B 类标准差合成得到置信概率 P=0.68 的合成标准不确定度: 若考虑到测量次数,还应 t 因子修正。将合成标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的包含因 子(或称覆盖因子)K,得到增大置信概率的不确定度叫做展伸不确定度(或扩展不确定度)。通常取置信 概率为 0.95,K=2。对正态分布,k0.95=1.96 ≈ K=2。这时的展伸不确定度为 考虑到通常测量 6 次左右,查阅 t 因子表,t0.95=2.57, t2/6≈1,C=3, K≈k0.95=1.96,(K/C)≈0.5。所以, 置信概率 P=0.95 的展伸不确定度的便于操作的公式为 用均匀分布或三角分布得到的 B 类标准不确定度与服从正态分布的 A 类标准不确定度来计算合成不确 定度时,要用到卷积运算,其结果和σ与Δ仪之比有关,可参阅[文献 4]。注意到不确定度的统计学意义 和在上述操作中的近似,在实际工作中,常常忽略不同分布的差别(有时也不知道是什么分布),而把Δ 仪 当成均匀分布,取置信因子 C=√3。这样得到一种较为保守的公式 其置信概率应记为 P≥0.95。 实验数据处理 几种常用方法 列表法、作图法、逐差法和回归法。 误差杆的概念和应用 在研究两个物理量之间的关系时,常用到作图法。在作图法中,一对测量值确定一个点,叫做“数据 点”(教材第一册 43 页)。如果在作图时用线段标示出测量值的不确定度±Δ仪,则将会更全面地反映出 实验的精度。线段的长度为 2Δ仪,这种小线段称为误差杆。考虑到通常选比较容易测量的物理量作为自 变量,常用横坐标表示之,且其Δ仪较小,所以在作图中往往只需沿纵坐标方向画出误差杆。如果绝大多 数数据点可以拟合成一条直线(或曲线),只有一个点偏离甚远,就要考虑这一对测量值的可靠性了。严 格地讲,应该重新测量。但有时无法或没必要重做实验,可不可以舍弃这个点呢?一般来说,在有限范围 内,两个物理量之间的关系多为连续的;反映其关系的曲线不大可能有大的突然起伏。我们可以参照测量 不确定度理论中剔除坏值的 3σ原则来处理。如果该点到按其他点拟合的曲线的距离大于 1.5 倍误差杆的 长度,就可以舍弃该点。不画出误差杆就难以判断。要注意,曲线拟合是对多个数据点的统计学意义下的 操作,若一共只有 3、4 个点,就不能草率地舍弃任何一个点了。 还要注意,各个数据点的误差杆长度不一定相等。或者,对数据做某种处理(如取对数)后,再进行 作图,误差杆的长度也会变化。譬如,某 1.0 级的电压表的量程为 100 伏,对于测量值为 20.0 伏、30.0 伏、 40.0 伏和 50.0 伏,它们的最大允差均为±1.0 伏。若纵坐标为电压,则误差杆的长度都是 2×0.1 伏;而若 以电压值的对数为纵坐标,则误差杆的长度为 2×ΔV/V=0.2/V,电压值不同,误差杆长度就不同。 作图法和回归法的比较 作图法的最大优点是直观。在诸多数据点的拟合中,如果发现有一个点明显偏离所拟合的曲线,就需 要在这个点所处物理条件附近,再进行仔细的实验,查明是否是实验误差,还是有新的现象或规律。但作 图法需较长时间,曲线拟合过程中会引入误差;求解实验方程参数及其不确定度比较麻烦。用回归法只需 按动计算器的几个键,就可以确定实验方程的参数及其不确定度。但如果实验数据有误,或所拟合的方程 形式不合适,则相关系数小,必须重新检查数据或方程形式,由于不直观,一时难以断定问题之所在。 若数据点可以拟合为一条直线,线性方程的一般形式为 数据为 Xi 和 Yi,每次测量的最大允差为ΔXi 和ΔYi,i = 1,2,…,n。拟合直线的斜率 m 的相对不确定度 为 * 式中 分别为相应测量值最大允差的平方平均值。 截距的不确定度为 ** 概率论给出回归法线性拟合的斜率的标准差为 式中 n 为 X(或 Y)的测量数据个数,r 为相关系数。 截距的标准差为 如果两组物理量之间的关系确实为线性,按 * 和 ** 式由各个测量值最大允差计算得到的 m 和 b 一般大于由回归法计算得到的结果。前者只考虑每次测量值的仪器最大允差,而不考虑各个数据点对于所 拟合的直线的偏离情况(线性拟合的程度由眼睛直观判断)。而回归法则相反,不考虑每次测量值的仪器 最大允差,只考虑各个数据点对于所拟合的线性关系的偏离情况。