第 1 页 共 1 页 最全的待定系数法求递推数列通项 用待定系数法求递推数列通项公式初探 摘要: 本文通过用待定系数法分析求解 9 个递推数列的例题, 得出适用待定系数法求其 通项公式的七种类型的递推数列,用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项 相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列 数列在高中数学中占有重要的地位,推导通项公式是学习数列必由之路,特别是根 据递推公式推导出通项公式, 对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点,递推公式 千奇百怪,推导方法却各不相同,灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高,解题 的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和 公式法。但是对比较复杂的递推公式,用上述方法难以完成,用待定系数法将递推公式 进行变形, 变成新的数列等差数列或等比数列。 下面就分类型谈谈如何利用待定系数法 求解几类数列的递推公式。 一、 an ?1 ? pan ? q 型( p、q 为常数,且 pq ? 0, p ? 1 ) 例题 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 1 ,试求其通项公式。 分析:显然,这不是等差或等比数列,但如果在 an ?1 ? 2an ? 1 的两边同时加上 1,整理 为 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 此时, an ?1 ? 1 和 an ? 1 看作一个整体, 把 或者换元, bn ?1 ? an ?1 ? 1 , 令 那么 bn ? an ? 1 , bn ?1 ? 2bn ,b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,因此,数列 ?an ? 1? 或 ?bn ? 就是以 2 为首项, 即 以 2 为公比的等比数列 an ? 1 ? 2 n ,或者 b ? 2n ,进一步求出 a ? 2n ? 1 。 n n 启示:在这个问题中,容易看出在左右两边加上 1 就构成了新的等比数列 ?an ? 1? ,那 不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时,该怎么办呢? 第 2 页 共 2 页 最全的待定系数法求递推数列通项 其实,已知 an ?1 ? 2an ? 1 ,可变形为 an ?1 ? ? ? 2(an ? ? ) 的形式,然后展开括号、移 项后再与 an ?1 ? 2an ? 1 相比较,利用待定系数法可得 2? ? ? ? 1, ? ? 1 。 这样,对于形如 an ?1 ? pan ? q (其中 p、q 为常数,且 pq ? 0, p ? 1 )的递推数列, 先变为 an ?1 ? ? ? p(an ? ? ) 的形式,展开、移项,利用待定系数法有 ( p ? 1)? ? q , ? ? q p ?1 即 an ?1 ? q q ? p(an ? ) p ?1 p ?1 ? q q ? , 公比为p的 等比数列 则数列 ?an ? ? 首项为 a1 ? p ?1 p ? 1? ? an ? q q q q ? (a1 ? ) p n ?1即an ? (a1 ? ) p n ?1 ? p ?1 p ?1 p ?1 p ?1 因此,形如 an ?1 ? pan ? q 这一类型的数列,都可以利用待定系数法来求解。 那么,若 q 变为 f (n) , f (n) 是关于 n 非零多项式时,该怎么办呢?是否也能运用待 定系数法呢? 二 a n ?1 ? pa ? qn ? r ( pq ? 0, 且p ? 1) 型 n 例题 2.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 3n ? 1 ,试求其通项公式。 分析:按照例题 1 的思路,在两边既要加上某一常数同时也要加上 n 的倍数,才能使新 的数列有一致的形式。先变为 an?1 ? ? (n ? 1) ? ? ? 2(an ? ? n) ? 1 ,展开比较得 ? ? 3,即 an ?1 ? 3(n ? 1) ? 2(an ? 3n) ? 4 进一步 an?1 ? 3(n ? 1) ? 4 ? 2(an ? 3n ? 4) 则 数 列 ?an ? 3n ? 4? 是 a1 ? 3 ?1 ? 4 ? 8首项为a1 ? 3 ?1 ? 4 ? 8公比为2 的 等 比 数 列 , 所 以 an ? 3n ? 4 ? 8 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 , an ? 2n ? 2 ? 3n ? 4 第 3 页 共 3 页 最全的待定系数法求递推数列通项 同样,形如 a n ?1 ? pa ? qn ? r 的递推数列,设 an ?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y ) 展开、 n ? ( p ? 1) x ? q 移项、整理,比较对应系数相等,列出方程 ? ?( p ? 1) y ? x ? r q ? x? ? p ?1 ? ? q r ?y ? x ? r ? ? 2 ? p ? 1 ( p ? 1) p ?1 ? ? q q r q q r ? (n ? 1) ? ? ? p ? an ? n? ? 2 2 p ?1 ( p ? 1) p ?1 p ?1 ( p ? 1) p ? 1? ? ? 解得 即 an ?1 ? ? q q r ? q q r n? ? 则数列 ?an ? 为首项,以 p 为公比 ? ? ? 是以 a1 ? 2 2 p ?1 ( p ? 1) p ? 1? p ? 1 ( p ? 1) p ?1 ? 的等比数列。于是就可以进一步求出 ?an ? 的通项。 同理, a 若 也可以构造新的等比数列, ? pa ? f (n) 其中 f (n) 是关于 n 的多项式时, n?1 n 利用待定系数法求出其通项。比如当 f (n) ? qn 2 ? rn ? s =时,可设 an ?1 ? x(n ? 1)2 ? y (n ? 1) ? z ? p(an ? xn 2 ? yn ? z ) 展开根据对应系数分别相等求解方程即可。 f (n) 为 n 的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。 而如果当 f (n) 是 n 的指数式,即 f (n) ? q n ? r 时,递推公式又将如何变形呢? 三 a n ?1 ? pa ? rq n ? s 型 ( pqr ? 0, 且p ? 1, q ? 1, p ? q ) n 例题 3.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 2n ,试求其通项 an 。 分析 1:由于 an ?1 ? 3an ? 2n 与例题 1 的区别在于 2n 是指数式,可以用上面的思路进行变 形,在两边同时加上 2 ? 2 n 变为 an ?1 ? 2n ?1 ? 3an ? 3 ? 2n 即 an ?1 ? 2n ?1 ? 3(an ? 2n ) 则数列 ?an ? 2n ? 是首项为 3,公比为 3 的等比数列 an ? 2 n ? 3n ,则 第 4 页 共 4 页 最全的待定系数法求递推数列通项 a n ? 3n ? 2 n 分析 2:如果将指数式先变为常数,两边同除 2 n?1 an ?1 3an 1 3 an 1 ? ? ? ? ? 2n ?1 2n ?1 2 2 2n 2 就回到了我们的类型一。进一步也可求出 an ? 3n ? 2 n 。 例题 4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 ,试求 ?an ? 的通项 an 。 分析:若按例题 3 的思路 2,在两边同时除以 2 n?1 ,虽然产生了 了 an ?1 a 、 n ,但是又增加 n ?1 2n 2 4 ,与原式并没有大的变化。所以只能运用思路 1,在两边同时加上 10 ? 2 n 整理 n?1 2 an?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 3(an ? 5 ? 2n ) ? 4 进一步 an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) 则数列 ?an ? 5 ? 2n ? 2? 是首项为 15,公比为 3 的等比数列 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 15 ? 3n ?1 ? 5 ? 3n 即 an ? 5(3n ? 2n ) ? 2 启示:已知数列 ?an ? 的首项, an?1 ? pan ? rq n ? s( pqr ? 0且p ? 1, q ? 1, q ? p) 1)当 s ? 0 ,即 an ?1 ? pan ? rq n 由例题 3 知,有两种思路进行变换,利用待定系数法构造 首项和公比已知或可求的等比数列。 思路一:在两边同时除以 q n?1 ,将不含 an ?1和an 的项变为常数,即 an ?1 p an r ? ? ? q n ?1 q q n q r ? ? ?a q ? ? ? 为前面的类型一,再用类型一的待定系数法思想可得数列 ? n ? 最终求解出 ?an ? n p ? q ? ? 1? q ? ? ? ? 的通项。 第 5 页 共 5 页 最全的待定系数法求递推数列通项 思路二:在两边同时加上 qn 的倍数,最终能变形为 an ?1 ? xq n ?1 ? p (an ? xq n ) 对应系数相等得 ( p ? q) x ? r ,即 x ? r p?q 即 an ?1 ? r r ? q n ?1 ? p(an ? ? qn ) p?q p?q ? ? r 求出数列 ?an ? ? q n ? 的通项,进一步求出 ?an ? 的通项。 p?q ? ? 2)当 s ? 0 时,即 an ?1 ? pan ? rq n ? s 由例 4 可知只能在选择思路二,两边既要加 qn 的倍数,也要加常数,最终能变形为 an ?1 ? xq n ?1 ? y ? p(an ? xq n ? y ) 比较得 x,y 的方程组 ?( p ? q ) x ? r ? ? ( p ? 1) y ? s r ? ?x ? p ? q ? 即? ?y ? s ? p ?1 ? 于是 an ?1 ? r s r s ? q n ?1 ? ? p(an ? ? qn ? ) p?q p ?1 p?q p ?1 ? r s ? 求出数列 ?an ? ? qn ? ? 的通项,进一步求出 ?an ? 的通项。 p?q p ? 1? ? 四: an? 2 ? pan?1 ? qan ? f (n)型 (已知a1 , a2 其中 f (n) 可以为常数、n 的多项式或指数式) 以 f (n) =0 为例。 2 1 例题 5.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an ,试求 ?an ? 的通项。 3 3 分析:这是三项之间递推数列,根据前面的思路,可以把 an?1 看做常数进行处理,可变 1 为 an ? 2 ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ) ,先求出数列 ?an ?1 ? an ? 的通项 3 1 an ?1 ? an ? (? ) n ?1 3 第 6 页 共 6 页 最全的待定系数法求递推数列通项 然后利用累加法即可进一步求出 ?an ? 的通项 an 。 对于形如 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 的递推数列,可以设 an ? 2 ? xan ?1 ? y (an ?1 ? xan ) 展开,利用 ?x ? y ? p 对应系数相等,列方程 ? ? xy ? q 于 是 数 列 ?an ?1 ? xan ? 就 是 以 a2 ? xa1 为 首 项 , y 为 公 比 的 等 比 数 列 , 不 难 求 出 ?an ?1 ? xan ? 的通项进一步利用相关即可求出 an 。 同理, an ? 2 ? pan ?1 ? qan ? f (n) 当 f (n) 为非零多项式或者是指数式时,也可结合前 面的思路进行处理。问题的关键在于先变形 an? 2 ? xan?1 ? y (an?1 ? xan ) ? f (n) 然后把 an ?1 ? xan 看做一个整体就变为了前面的类型。 五: an?1 ? p ? an r ( p ? 1且p ? R ?,r ? 0, r ? 1) 型, ?an ? 为正项数列 例题 6.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 2an 2 ,试求其通项 an 。 分析:此题和前面的几种类型没有相同之处,左边是一次式,而右边是二次式,关键在 于通过变形, 使两边次数相同, 由于 an ? 0 , 所以可联想到对数的相关性质, an ?1 ? 2an 2 对 两边取对数,即 lg an ?1 ? lg(2an 2 ) ? lg 2 ? lg an 2 ? 2 lg an ? lg 2 就是前面的类型一了,即 lg an?1 ? lg 2 ? 2(lg an ? lg 2) lg an ? lg 2 ? (lg 2) ? 2n ?1 ? lg 22 n?1 变形得 an ? 2 2 n ?1 ?1 对于类似 an?1 ? p ? an r ( p ? 1且p ? R ?,r ? 0, r ? 1) 的递推数列,由于两边次数不一致, 又是正项数列,所以可以利用对数性质,两边同时取对数,得 lg an ?1 ? lg p ? an r ? r lg an ? lg p 第 7 页 共 7 页 最全的待定系数法求递推数列通项 lg p ? ? 然后就是前面的类型一了,就可以利用待定系数法进一步构造数列 ?lg an ?1 ? ? 为已 r ? 1? ? lg p ? ? 知首项和公比的等比数列了。求出 ?lg an ?1 ? ? 最终就可以得出 ?an ? 的通项。 r ? 1? ? 同样,如果将 an?1 ? p ? an r ( p ? 1且p ? R ?,r ? 0, r ? 1) 中的 p 换为指数式 qn 时,同样 可以利用相同的方法。即: an?1 ? q n ? an r (q ? 1且q ? R ?,r ? 0, r ? 1) 两边取对数 变为类型二 lg an ?1 ? lg(q n ? an r ) ? r lg an ? n lg q lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? r (lg an ? xn ? y) 即可进一步得出 ?an ? 的通项。 以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解, 接下来再看看比较复杂的分式型递 推数列。 六: an ?1 ? ran ? s ( pr ? 0)型 pan ? q an ,试求其通项 an 。 3an ? 2 例题 7.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 分析:这是一个分式型数列,如果去分母变为 3an ?1an ? 2an ?1 ? an ? 0 后就无法进行处理 了。两边同时取倒数 3a ? 2 1 1 ? n ? 2? ? 3 an ?1 an an 就是前面的类型一了。 ?1 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 3? an ?1 ? an ? ?1 ? 1 所以数列 ? ? 3? 是首项为 ? 3 ? 4 ,公比为 2 的等比数列,不难求出 a1 ? an ? an ? 1 2 n ?1 ?3 例题 8.