用极 坐标表示边界简单,使边界条件简化。 第四章平面问题的极坐标解答 在A内任一点( ,)取出一个微分 体,考虑其平衡条件。 微分体由夹角为的两径向线和距离 第四章平面问题的极坐标解答 第四章 平面问题的极坐标解答 注意: 轴向y轴方向 转向为正。 第四章平面问题的极坐标解答 微分体上的作用力有: 体力— ,以坐标正向为正。 应力— 面分别表示应力及其增量。 应力同样以正面正向,负面负向的 应力为正,反之为负。 作用力第四章 平面问题的极坐标解答 考虑通过微分体形心C 向,列出三个平衡条件: 应用假定:(1)连续性,(2)小变形。 平衡条件平衡条件 第四章 平面问题的极坐标解答 sinsin coscos 通过形心C的向合力为0, 第四章平面问题的极坐标解答 上式中一阶微量相互抵消,保留到二阶微 式(a)中第一、二、四项与直角坐标的方向相似;而 第四章 平面问题的极坐标解答 —是由于 面面积大于 —是由于面上的 第四章平面问题的极坐标解答 coscos sinsin 通过形心C的向合力为0, 第四章平面问题的极坐标解答 式(b)中第一、二、四项与直角坐标的方程 相似,而 —是由于 面的面积大于 面引起 —是由于面上的切应力 第四章平面问题的极坐标解答 通过形心C的力矩为0,当考虑到二阶微量时,得 第四章平面问题的极坐标解答 几何方程—表示微分线段上形变和位移 之间的几何关系式 过任一点作两个沿正标向的微分线 第四章平面问题的极坐标解答 1.只有径向位移 ,求形变。 变形后为,各点的位移 如图。 几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 PAPA 线应变PB PBPB PBPB PA线应变在小变形假定下, 几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 转角 PA 转角PB 此项表示,由于径向位移所引起的环向 线段的伸长应变。 几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 2.只有环向位移 ,求形变 变形后为,各点的位移如图 几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 线应变 PA 线应变PB 转角PA 几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 转角 PB OP变形后切线 变形前切线 (使直角扩大,为负值切应变 此项表示:环向位移引起的环向线段的转 角(极坐标中才有)。 几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 几何方程第四章 平面问题的极坐标解答 为正交,极坐标中的物理方程 直角坐标中的物理方程是代数方程, 故物理方程形式相似。物理方程 极坐标中的物理方程也是代数方程, 第四章 平面问题的极坐标解答 平面应力问题的物理方程: 物理方程对于平面应变问题,只须作如下同样变 第四章平面问题的极坐标解答 边界条件—应用极坐标时,弹性体的 边界面通常均为坐标面,即: 常数常数,或 边界条件故边界条件形式简单。 第四章 平面问题的极坐标解答 以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系,用于: 物理量的转换; 从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的 方程。 第四章 平面问题的极坐标解答 函数的变换:将式 代入,坐标变量的变换: 坐标变换第四章 平面问题的极坐标解答 cossin sincos cossin sincos 坐标变换第四章 平面问题的极坐标解答 导数的变换: 将对 的导数,变换为对 的导数。 函数,即是通过中间变量 坐标变换第四章 平面问题的极坐标解答 第四章平面问题的极坐标解答 注意:系数中也包含 第四章平面问题的极坐标解答 拉普拉斯算子的变换:由式(f)得二阶导数 第四章 平面问题的极坐标解答 其中 如式(g)所示。 3.极坐标中应力用应力函数 表示 ,可考虑几种导出方法:2.极坐标中的相容方程 从平衡微分方程直接导出(类似于直角坐标系中方法)。 相容方程应力公式 第四章 平面问题的极坐标解答 应用特殊关系式,即当x轴移动到与轴重合时,有: sincos sin cos sin cos sin cos 应力公式第四章 平面问题的极坐标解答 sincos sincos )]cossin ,得出的公式。 比较两式的的系数,便 得出 的公式。 sincos ,sincos 应力公式第四章 平面问题的极坐标解答 4.极坐标系中按应力函数 求解,应满足: 上的应力边界条件(设全部为应力边界条件)。 第四章平面问题的极坐标解答 应力分量不仅具有方向性,还与其作 用面有关。 因此,应力分量的坐标变换关系,应 按以下方式得出。 1.已知 第四章平面问题的极坐标解答 dsac ds ab ds bc )的三角形微分体,厚度为1,如下图A,考虑其平衡条件。 第四章 平面问题的极坐标解答 sinsin cos cos ds ds ds cossin sin cos dsds yx xy sincos sincos )cossin (cos sin 第四章平面问题的极坐标解答 sincos cossin 面的三角形微分体,厚度为1,如图B,考虑其平衡条 第四章平面问题的极坐标解答 应用相似的方法,可得到 sin(cos cos sin cossin cossin cossin sincos 第四章平面问题的极坐标解答 应力数值轴对称—仅为 的函数, 应力方向轴对称— 轴对称,即绕轴对称,凡通过此轴 的任何面均为对称面。 轴对称应力问题: 轴对称应力问题第四章 平面问题的极坐标解答 第四章平面问题的极坐标解答 lnln 相容方程成为常微分方程,积分四次得的通解, 第四章平面问题的极坐标解答 应力通解:将式(c)代入式(a),第四章 平面问题的极坐标解答 将应变代入几何方程,对应第一、二式分 别积分, 应变通解:将应力(d)代入物理方程,得对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。 (4)求对应的位移:第四章 平面问题的极坐标解答 第四章平面问题的极坐标解答 即得两个常微分方程, cossin 第四章平面问题的极坐标解答 cossin sincos 其中代入 ,得轴对称应力对应的位移通解, —为绕o点的刚体转动角度。位移通解 第四章 平面问题的极坐标解答 说明 (2)在轴对称应力条件下,形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。 (3)实现轴对称应力的条件是,物体形状、 体力和面力应为轴对称。 (1)在轴对称应力条件下,式(c),(d),(e) 为应力函数、应力和位移的通解,适用 于任何轴对称应力问题。 说明 第四章 平面问题的极坐标解答 轴对称应力及对应的位移的通解(d)、(e)已满足相容方程,它们还必须满足边界 条件及多连体中的位移单值条件,并由 此求出其系数A、B及C。 说明 轴对称应力及位移的通解(d)、(e),可以用于求解应力或位移边界条件下的任何 轴对称问题。 对于平面应变问题,只须将换为 第四章平面问题的极坐标解答 圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变 问题)受内外均布压力,属于轴对称应力问 题,可以引用轴对称应力问题的通解。 问题 第四章 平面问题的极坐标解答 问题 第四章 平面问题的极坐标解答 边界条件是 边界条件第四章 平面问题的极坐标解答 由应力边界条件可得: 边界条件 第四章平面问题的极坐标解答 考察多连体中的位移单值条件。 圆环或圆筒,是有两个连续边界的多 连体。而在位移解答中, sincos 条件是自然满足的,而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a) 单值条件第四章 平面问题的极坐标解答 是一个多值函数:对于 是同一点,但式(d)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值, 单值条件第四章 平面问题的极坐标解答 ,便可得出拉梅解答,单值条件 第四章平面问题的极坐标解答 解答(e) 的应用: (1)只有内压力 ,成为具有圆孔的无限大薄板(弹性体)。 单值条件第四章 平面问题的极坐标解答 单值条件的说明: (1)多连体中的位移单值条件,实质上就 是物体的连续性条件(即位移连续性 条件)。 (2)在连续体中,应力、形变和位移都应 按位移求解时:取位移为单值,求形变(几何方程)也为单值,求应力(物理方程)也 单值条件第四章 平面问题的极坐标解答 按应力求解时:取应力为单值,求形变(物 理方程)也为单值,求位移(由几何方程积 分),常常会出现多值项。 对于单连体,通过校核边界条件等,位 移单值条件往往已自然满足; 对于多连体,应校核位移单值条件,并 使之满足。 按应力求解时,对于多连体须要校 核位移的单值条件。 单值条件 第四章平面问题的极坐标解答 本题是两个圆筒 的接触问题,两个均 为轴对称问题(平面 应变问题)。 1.压力隧洞—圆筒埋在无限大弹性体中,受 有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性 常数分别为 压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答 不符合均匀性假定,必须分别采用两 个轴对称解答: 第四章平面问题的极坐标解答 应考虑的条件: (1)位移单值条件: (2)圆筒内边界条件: (3)无限远处条件,由圣维南原理 压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答 的接触条件,当变形后两弹性体保持连续时,有 压力隧洞第四章 平面问题的极坐标解答 2.一般的接触问题。 完全接触:变形后两弹性体在S上仍然保持连续。 这时的接触条件为:在S上 当两个弹性体,变形前在S 上互相接触, 变形后的接触条件可分为几种情况: II 接触问题第四章 平面问题的极坐标解答 有摩阻力的滑动接触:变形后在S上法向保持连续,而切向产生有摩阻力的相对 滑移,则在S上的接触条件为 其中C为凝聚力。接触问题 第四章 平面问题的极坐标解答 局部脱离:变形后某一部分边界上两弹性体脱开,则原接触面成了自由面。在 此部分脱开的边界上,有 光滑接触:变形后法向保持连续,但切向产生无摩阻力的光滑移动,则在S上的接 触条件为 接触问题第四章 平面问题的极坐标解答 在工程上,有许多接触问题的实际例子。 如机械中轴与轴承的接触,基础结构与地基 的接触,坝体分缝处的接触等等。一般在接 触边界的各部分,常常有不同的接触条件, 难以用理论解表示。我们可以应用有限单元 法进行仔细和深入的分析。 接触问题 第四章 平面问题的极坐标解答 压力q作用,试求其解答。有限值条件 第四章 平面问题的极坐标解答 引用轴对称问题的解答,并考虑边 上的条件,上述问题还是难以得出解答。这时,可以考虑所谓有限值条 件,即除了应力集中点外,弹性体上的 应力应为有限值。 有限值条件第四章 平面问题的极坐标解答 在弹性力学问题中,是在区域内和边界 上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件 后,建立基本方程及其边界条件来进行求解 的。一般地说,单值条件和有限值条件也是 应该满足的,但是这些条件常常是自然满足 的。而在下列的情形下须要进行校核: (1)按应力求解时,多连体中的位移单 值条件。 有限值条件 第四章 平面问题的极坐标解答 在弹性力学的复变函数解法中,首先排 除不符合单值条件和有限值条件的复变函 数,从而缩小求解函数的范围,然后再根据 其他条件进行求解。 (2)无应力集中现象时, 处的应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。 有限值条件第四章 平面问题的极坐标解答 工程结构中常开设孔口,最简单的为圆 本节研究“小孔口问题”,应符合(1)孔口尺寸