ex 导数公式的推导及简单应用 ◎唐孝法 韩广发 (江苏农林职业技术学院 212400) 【摘 要】【摘要】本文利用极限的基本知识、复合函数求导法则,在高职高专 学生的知识范围内推导出指数函数的求导公式. 【期刊名称】数学学习与研究:教研版 【年(卷),期】2012(000)001 【总页数】1 【关键词】【关键词】极限;复合函数;指数函数;等价无穷小 由于高职高专教学的特点,通常我们在介绍导数公式的时候,都是直接给出基 本公式,忽略其证明.特别是,很多高职高专的教材中不介绍反函数的求导公式. 那么,学生在学习的时候只能是机械地记忆导数公式,很难理解导数公式的由 来.例如,ex 的导数公式就是直接给出的.本文的目的,就是利用极限的知识、 复合函数求导法则,在高职高专学生的知识范围内推导出指数函数的求导公式. 让学有余力的学生能够更好地理解相关内容,加深对公式的理解. 一、预备知识 我们首先来回顾一下相关的基础知识、基本概念: 1.第二个重要极限 2.导数的定义 3.复合函数导数 如果 u=φ(x)在点 x 可导,而 y=f(u)在点 u=φ(x)可导,则复合函数 y=f [φ(x)]在点 x 可导,且其导数为: 二、幂函数 xα 与指数函数 ex 求导法则的关系 首先我们利用导数的定义来推导函数 lnx 的导数公式: 1.lnx 的导数公式的推导 下面我们利用 lnx 与 xα 的导数公式和复合函数的求导法则来推导 ex 的导数公 式: 2.ex 导数公式的推导 由(xα)'= αxα-1,则 (exα)'= αxα-1exα = exα(xα)'. 令 u =xα,则可得(eu)'=euu'. 所以(ex)'=ex·x'=ex. 事实上,我们也可利用 ex 的导数公式与复合函数的求导法则反过来推导出 xα 的导数公式: 三、一些应用 在高职高专讨论范围类,还有很多结论我们也是直接给出的.这些结论,我们可 以利用 ex 导数公式加以简单证明,以加深学生对这些结论的记忆和理解: 1.ax 的导数公式 2.ex-1 ~x(x→0) 证明 由导数的定义 【参考文献】 [1]杨天明.高等数学[M].南京:南京大学出版社,2009. [2]蒋银山.幂指函数求导方法归纳[M].考试周刊,2011. [3]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.