1. 引言
虽然外界不大能区分“概率论”和“统计学”的差别,但是在概率统计专业内的人士们看来,这两者无论从思维方式、课程学习还是学术训练角度来看,区别还是相当明显的。比如我了解的北大概率统计系的情况,概率论和数理统计分属不同的教研室,日常的学术活动也大相径庭。研究生除了第一年会一起上专业基础课之外,之后就少有交集。我当年的体会是,在统计专业同学们的眼中,“概率论跟基础数学没有什么区别”;而在概率专业的同学看来,“统计学不像是数学”。这些对彼此颇为玩味的看法至少表现出二者之间不小的差别,即便同在“概率统计专业”的屋檐下。当然,随着统计学在我国逐步确立为一级学科,概率和统计的这种“隔阂”也许会更加明朗化。
但不可否认的是,无论统计学的未来如何发展,其主干课程中必然少不了像概率论、随机过程这样的概率基础课程。以前我在科学网上针对概率论专业的同学如何选择和学习课程发表过一些建议,因此针对咱们COS读者的背景,我重新整理了一份关于概率课程学习的若干想法,希望能对大家有所帮助。
2. 概率论要怎么学?
都说概率论是研究“随机现象”的数学,那么相对于研究“非随机现象”的数学,概率论的学习有哪些特别之处呢?
小时候咱们学数学都是从数数开始。比如学习1+1的时候,老师们会拿出两个苹果,用实物演示“一个苹果加一个苹果等于两个苹果”。正是这种基于直截了当的“观测”,我们接受起“1+1=2”这件事来就略显自然。然而,如果要理解“质地均匀的硬币出现正反面的可能性都等于二分之一”这件事,就并非那么顺利了。即便主观上我们会认同这个结果,但从观测的角度却是一个永远无法回答的问题。我们能观测的只能是有限的样本以及永远都在变化着的频率,而这个“真实的可能性”,也即“概率”的确切值,却是无法观测的。因此,概率的定义本身就曾经是一个大难题。即便在早年研究赌博问题的时候,一些数学家即能根据排列组合的方法计算一些简单的离散概率(即大家熟知的古典概型),但那主要是基于人们对概率的一些朴素认识,离构建一套完整的数学理论还差得很远。
因此,大家在学习概率论的时候,最先遇到、也是最重要的一个问题就是“如何定量描述随机现象”,即如何给出概率的定义。随着二十世纪30年代苏联数学家柯尔莫哥洛夫(1903-1987) 运用分析学中的测度理论(measure theory)完成了概率论的公理