利用三角函数的性 (隐含条件)质——万能代换公式。故sin2d+sin2p当sind E【0,2,3]时的最解:利用万能代换公式有 大值应在sino【=2,3处取得y=[t92()【/2)+2tg(x/2)+1]/[3+t92()【,2)]即sin2仅+sin2B的最大值为4/9。由此得:(y一1)t92(“2)一2域)【,2)+3y一1=O(y≠1)说明:在利用隐含条件解三角函数最值的由上述方程中判别式△≥O得0≤v≤4,3 问题时,一定要注意题中已知的隐含条件。如例.’.有vm旺=4,3 vⅡdn=o 8中只注意sind的有界性.不去挖掘隐含条件例6求函数y=(BiIl】【一3),(sillx+3)的最值。0≤8iIm≤∞。将会误以为所求最大值为1/2。解:由函数y=(sinx一3)“sillx+3)可知y≠1 例11求函数y=(t920—ot920+1)“t920+将函数变形为ysiIlx+3y=sill】【一3 (1)ct92e一1)的最值。贝|Jsinx=(一3y一3)/(y一1)解:将原函数去分母整理为:‘.‘一1≤sinx≤1(y一1)t940一(y+1)t920+(y+1)=0.’.一1≤(一3y一3)/(y一1)≤1 (2)’.‘t920为实数贝U解为一2≤v≤一(1,2) .‘.△=(y+1)2—4(y+1)(y—1)≥02nlr一讹,n∈z时,ymax=一(1/2)将y=一(1/2)代人(1)式得8iIlx一1,即当x= &口(3y一5)(y+1)≤0.‘.一1≤y≤5/3将y=一2代入(1)式得siIlx=1,即当x=故原函数ym“=5,3,ylllin一12nlr+1舵,n∈z时,vmin=一2 考虑到v的限制条件例7求函数y=(sin2x一3sinx+3),(2一silⅨ)的最 y≠一1,女口y=一1时日B么t920=0大值。 .‘.ct920无意义,从而原函数无意义解:将函数化为y=2_sirⅨ+1,(2_siIlx)-1 圆.’.一1不为原函数的最小值。易知:1≤2一sinx≤3 即原函数只有最大值为5,3据(2)式有 8求导法2一sinx+1,(2一sinx)≤3+1,3=10/3 例12求函数y=2‘弘-t92x在区间【O,1r,2】上.’.y=10/3—1=7,3的最值。当2一sinx=3即sinx一1时取等号 解:‘.+函数y=2峪一t92x是【0,吡]上的连续.’.yma)【=7,3函数。5应用数形结合的原则求导得:y,-28ec2x一2t鼯?sec2x例8求y=(2一sinx)“2一cosx)的最值。 =28ec2x(1一t茚)解:因cos2x+sin2x=1,点(cosx,sill】【)是单位 ’.’x∈【O,吡】圆上的点。 .‘.x=耐4是唯一的驻点.‘.y=(2一sil】x)/(2一c删就表示从点(2,2)向单当O≤x<Ⅱ,4。y々加州4(x<霄,2,y’<0位圆所引的直线的斜率,最值就是两 .。.x=1T饵时.v极大=1切线的斜率.内只有一个极值,故为(o,讹)上的最值。由于连续函数y=2t野一t92x在开区间(0,讹)令过点(2,2)的切线方程为:v一2=k(x一2)即kx—v+2—2k=O又‘.’lim(2t萨一t92x)一∞因原点(O,O)到切线的距离为1)r+订,2.’.12—2k J“k2+1)1/2=1而x=0时,v=0k=(4±)/3,ymin=(4一),3(图1).’.函数y=2t铲一t92x在区间【O,讹】上的最6利用函数的单调性 大值是1。无最小值.例9已知x∈(一州2,州2),求cosx,2+2,cosx求三角函数的最值问题.以上我们给出了的最小值。 八种解法.这些解法在中学数学教学中是常用解:设t=cos】【,2,则cosx,2+2,cosx=t+1/t到的,但我们在求最大值时,不能过分拘泥于上‘.‘x E(一袍,1T/2).’.t宦(0,1/2)述这几种求法的形式,可以通过适当灵活的处令f(t)=t+1/t,并设0