如何求圆的切线方程 在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系。众所周知,在圆上的点可以作 一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切。在历年高考中,常常出现在 选择题中。本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考。 1、 利用几何性质来求切线方程 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径。因此,利用点到直线的距离公式即可 以求出切线方程。 例1已知圆 C 的方程是 x ? ( y ? 1) ? 4 ,圆外一点 P(3,2) ,求经过点 P 且与圆 C 相切的直线方程。 解:当过 P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线。故设所求的直线的斜率为 k, 直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 3) 。 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离 d 等于半径 2,即: 2 2 ?2 1? k 2 1? k 2 3? 2 6 解之,得: k ? 5 3? 2 6 ( x ? 3) 所以,切线方程为: y ? 2 ? 5 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错。设直线方程时,一定 要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解。 2、 利用方程的判别式来求切线方程 当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时方程与直线联立方程,利用判别式 等于零即可以求出切线方程。 例2已知圆 C 的方程是 x ? ( y ? 1) ? 4 ,圆外一点 P(2,2) ,求经过点 P 且与圆 C 相切的直线方程。 解:当过 P 的直线的斜率不存在时,直线 x=2 是圆的切线。当过 P 的直线的斜率存在 时,设所求的直线的斜率为 k,直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 2) 。 2 2 d? |1 ? 2 ? k (0 ? 3) | ? | 3k ? 1| 直线方程与圆的方程联立,可得: (1 ? k ) x ? 2k (1 ? 2k ) x ? 4k ? 4k ? 3 ? 0 2 2 2 因为直线与圆只有一个公共点,故??4k (1 ? 2k ) ? 4(1 ? k )(4k ? 4k ? 3) ? 0 2 2 2 2 解之,得: k ? ? 3 4 故所求的切线方程是: x ? 2, y ? 2 ? ? 3 ( x ? 2) 4 点评:利用判别式求解时,计算量比较大。本题注意不能漏解了 x=2。 3、 利用垂直关系求切线方程 当已知