§5.7 广义积分
【引例】计算曲线
与
轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义,所求的曲边梯形面积应为
。
显然,这一积分再不是普通的定积分,因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验:
编程计算
的值,并作出这些值的图象,观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab程序gs0504.m。
一、积分区间为无穷区间的广义积分
【定义一】
设函数
在区间
上连续, 任取
,如果极限
存在,则称此极限值为函数
在无穷区间
上的广义积分,并记作
,亦即
此时,也称广义积分
收敛;
如果上述极限不存在, 则称广义积分
发散。
类似地
设函数
在区间
上连续,任取
,如果极限
存在,则称此极限值为函数
在无穷区间
上的广义积分,
记作
,亦即
此时,也称广义积分
收敛;如果上述极限不存在, 则称广义积分
发散。
类似地
设函数
在区间
上连续,如果广义积分
与
同时收敛,则称上述两广义积分之和为函数
在无穷区间
上的广义积分,记作
。
亦即
这时,也称广义积分
收敛;如果上述极限不存在,则称广义积分
发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。