例题四、
由于是
所以可以用泰勒公式展开得到:
例题五、
这里要注意
的时候分为
和
两类,
的时候
,先等价无穷小替换,得到
以及
原式变成
而
的时候原式变成了
这个时候要求趋向于无穷的时候,虽然幂函数不适用于这种情况,但幂函数找
最大项的本质是无穷大替换,所以我们可以用到速度的阶的理论,在x趋向于无穷或者0的时候,指数函数>>幂函数>>对数函数,这个式子里ln里的1完全可以被替换掉,因此原式就变成了
同理,以下极限也可以应用这个理论,用一个因式替换全部:
例题六、
遇到有
的式子,可以先想办法合并
例题七、
第一步先通分化为乘除法得到
此时,分母无穷小替换得
此时,我们可以想到,分子的最大项为次数最小的项,通过对分子进行麦克劳林展开可以发现,
次数最小的项不是
就是
,当然由于
被消掉了,因此展开得到分子:
注意,这里有些同学可能觉得分子化到
就够了,没必要化到
项,事实上,因为分母的最小项是
,所以分子务必也要化到
来确保精度。