设整数a,b,c为三角形的三边长,满足a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只市场计算1次)
由题设条件:a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=13
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=26 (1)
符合等式(1)只有(0,1,5;1+25=26)和(1,3,4;1+9+16=26)两种可能.
而(0,1,5)不合题意,舍去.
若a-b=1,b-c=3,a-c=4.由a+b+c<30,可得:
a=11,b=10,c=7;
a=10,b=9,c=6;
a=9,b=8,c=5;
a=8,b=7,c=4;
a7,b=6,c3;
a=6,b=5,c=2.
共有6种.
若a-b=3,b-c=1,a-c=4,由a+b+c<30,可得:
a=12,b=9,c=8;
a=11,b=8,c=7;
a=10,b=7,c=6;
a=9,b=6,c=5.
a=8,b=5,c=4.
共有5种.
合计6+5=11.