坐标的应用(讲义)知识点睛 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线,当我们把两条数轴如图放置,就能构成平面直角坐标系;它们有共同的原点,水 平方向的数轴我们叫x轴或横轴,铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴; 我们用有序实数对(a,b)来表示平面直角坐标系内的坐标;数轴把平面直角坐标系分成四个部分,分别是第一象限,第二象限,第三 象限,第四象限。每一个象限内的符号:(,),(,),(, 每一个点(a,b)的坐标由两部分组成:A、它的符号,由它在坐标系中的位置决定;B、它的长度,a的绝对值表示点到纵轴的距离,b 的绝对值表示点到横轴的距离,一般需做横平竖直的垂线; 关于x轴对称的两个点,x相同,y相反;关于y轴对称的两个点,x相反,y相同;关于原点对称的两个点,x、y都相反;于x轴平行的 直线,y相同,x不同,可表示为y=b;于y轴平行的直线,x相同,y 不同;可表示为x=a; 坐标系中求线段长的方法:如果两个点的连线平行于x轴或y轴,则其 线段长等于大坐标-小坐标;如果不平行,则运用两点之间的距离 公式:L= 如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A(-1,0),B(0,4),顶点C,D在第二象限内,则C,D两点的坐标分别是_______, (分别过C、D两点构造双垂直模型,正方形四边均相等,因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。) 在平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(-2,-3),B (5,-2),C(2,4),D(-2,2),求四边形ABCD的周长和面积. (构造直角三角形,将坐标转化为线段长,利用勾股定理求出各边长即可;将此四边形补成正方形,通过“补形以做差”,利用大正方形 面积减去三个小直角三角形面积即可。) 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点. (1)求ABC的面积.(2)如果在第二象限内有一点P(m, ),是否存在点P,使四边形ABOP的面积与ABC的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存 在,请说明理由. 总结提升: 1、此题需将坐标转化为线段长,方法是:如果两个点的连线平行于x 轴或y轴,则其线段长等于大坐标-小坐标;如果不平行,则运用两 点之间的距离公式:L= 2、平面直角坐标系中,我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。比如此题就可以OA为共同的底边分割成两个小三角形 求四边形的面积。 18. 如图,在平面直角坐标系中,A(x ),取线段AB的中点M,分别作A,B到x轴的垂线段AE,BF,取EF的中点N,则MN 是梯形AEFB的中位线,故MNx轴,利用梯形中位线的知识,我们 可以得到点M的坐标是____________(用x (牢记中点坐标公式)已知点M(-4,2),将坐标系向下平移3个单位长度,再向左平移3个单 位长度,则点M在新坐标系内的坐标为______. (总结提升:牢记点的平移和坐标系的平移不同;坐标系的平移相当于 把点向反方向平移;) 34. 如图,35. 将ABC绕点C(0,36. -1)旋转180得到A′B′C,37. 设点A的坐标38. 为(a,39. b),40. B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1) D.(-a,-b-2) (总结提升:由于旋转180,根据旋转的性质,对应点到旋转中心的距离相等,且又在一条直线上,所以我们可以利用中点坐标公式 直接求出。) 42. 如图,已知A( ,0),B(0,2),把AOB绕点A顺时针旋转60后得到AO′B′,则点B′的坐标是( (总结提升:首先把坐标转化为线段长,可以得出三角形AOB是一个含有30角的直角三角形,又由于旋转角是60,所以A B′垂直于横 轴,再把线段长转化为坐标即可。) 50. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(4,1),B(0,3),请在x轴上 找一点P,使得点P到点A,B两点距离之和最小,则点P的坐标是 -2-1 (总结提升:这是一个典型的奶站问题,做点B关于横轴的对称点,连接此对称点和A点,于横轴的交点就是所求的点。求出直线的表达式, 然后求出和横轴的交点即可。) 62. 如图,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,其中A(2,0), B(2,2 ),连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A′的位置上,则点A′的坐标为________. 总结提升:欲求点A′的坐标,我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点;根据折叠的轴对称性质,折叠是一种全等变换,则BOA=BOA′=60, 则A′OG也=60,则我们构造的小直角三角形是一个含有30角的直 角三角形,根据三边关系比,可求出相应线段的长,然后转化为点的坐 标即可。 74. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,A点坐标为(0, 2),E是线段BC上一点,且AEB=60,沿AE折叠后B点落在点F处 那么F点的坐标是________. (总结提升:此题道理同上,我们过F点做横轴的平行线,与BC相交与点H;根据折叠的轴对称性质,BEA=AEF=60,则角FEH=60, 我们构造的是一个含有30角的直角三角形,根据其三边关系比, 分别求出三边的长度,然后用2-BH即是F的纵坐标,2-HF的相反数 就是F的横坐标。) 86. 已知A(-2,0),B(3,0),C(0, -1),以A,B,C三点为顶点 作平行四边形,则第四个顶点的坐标为: -2-1 -1 -2 -6-5 -4 -3 这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角 线,以便不重不漏,由于在平面直角坐标系中,我们选择横轴或 纵轴上的线段,以方便计算; 若以AB为边,根据平行四边形的对边平行且相等,我们过点C做AB的平行线,则有两种情况,分别过两个D点做此平行线的垂 线,则可以构造两个小直角三角形,与相应的三角形对应全等, 借助于其三边的关系即可求出点D的坐标; 若以AB为对角线,根据平行四边形的对边平行且相等,分别做两边的平行线相交与D点即可,然后再过D点做横轴的垂线构 造直角三角形解题即可。 97. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,-2),在y轴上确定点P, 使AOP为等腰三角形,则符合条件的点P坐标为:_____ -2-1 -4-3 (总结提升:这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的 存在性的题目。我们常用的处理模式是:“一条线,两个圆”,也就是先 做定线段OA的垂直平分线,与纵轴的交点即是其中的一个点,然后分 别以两个定点为圆心,定长线段为半径画圆,与纵轴的交点即是其他的 点。当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。) 如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(6,0),C(0,2),点 M是OA的中点,点P在线段BC上运动,当OMP是腰长为3的等腰三 角形时,则P点的坐标为:__________________ 根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型,我们先判断谁是定点,谁是动点,然后按照“一条线、两个圆”的 模型解题; 由于此题的特殊性,一条线不再使用,我们只考虑分别以两个定点为圆心,定长线段为半径做圆,然后过这两个圆与BC的交点向横轴 做垂线,构造直角三角形,运用勾股定理解题即可。总共三个点。 113. 如图,方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形,A,B两点在 小方格的顶点上,位置分别用(2,2),(4,3)来表示,请在小方 格的顶点上确定一点C,连接AB,AC,BC,使ABC的面积为2个平 方单位,则点C的位置有__个. 总结提升:1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置; 2、由于A、B两点是定点,而C是动点,我们先随意确定一个C点的位 置,使得由此构成的三角形的面积是2; 3、根据平行线间的距离处处相等,为此我们过确定的C的位置做线段 AB的平行线,这条平行线上的格点即是我们所求的点; 4、同时在线段AB的另一侧,也一定存在着另一条等距离的平行线,我 们再看看有几个格点,两项相加,即是全部的点。 三、回顾与思考 【参考答案】 一、知识点睛 1.坐标转线段长,线段长转坐标; 2.平移线段一线两圆二、精讲精练 1.(-4,5),(-5,1) 5.(-1,5)6.D 7.B 8.(3,0) 9.(-1, 11.(1,1),(5,-1),(-5,-1)12.(0, ),(0,-4)13.( 14.7坐标的应用(随堂测试) 1.如图,平面直角坐标系中有一矩形OABC,其中A(4 2.如图,在平面直角坐标系中,其中A(2,0),ABO=30,在y轴上取一点P,使PAB是等腰三角形,则符合条件的点P坐标为 在平面直角坐标系中,ABC三个顶点的坐标分别为(2,3),(5,-2),(-2,0),求ABC的周长和面积. (分割以求和,补形以作差)10. 如图,已知A(0,4),B(2,0),把线段AB绕点A逆时针旋转90, A.(6,4)B.(4,6) C.(6,5) D.(5,6) (构造双垂直模型解题即可)15. 如图,图形关于点D(0,-2)成中心对称,若点A的坐标是(2,3), (运用中点坐标公式解题即可)22. 在平面直角坐标系中,点C坐标为(0, ),点E坐标为(1,0),将COE沿直线CE折叠,点O落在点D处,则点D的坐为 (过点D做横轴的垂线,构造含30角的直角三角形,利用其三边关系比解题即可) 30. 在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0), (0,-3),(-2,-1),以这三点为平行四边形的三个顶点,则第 四个点的坐标为:_____________. -1 -4 -3 -2 -1-2 -3(按照“三个定点、一个动点”求平行四边形的村庄行解题模型解题 即可) 36. 如图,在平面直角坐标系中,已知点P(2,1),点T是x轴上的一 个动点,当PTO是等腰三角形时,点T的坐标为:______ -2-3 -1 (根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性解题模型解题即可) 41. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(5, 4),点P为线段BC上动点,当POA为等腰三角形时,点P的坐标 47.把ABC放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,1),点B的坐 标为(2,1),点C的坐标为(4,3),如果要使ABD与ABC 全等,则点D的坐标为:__________________ -1-2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 -6 (总结提升:由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB,因此此题实质上是一个轴对称性质的题;由于AB平行于横轴,所以我们以AB 为折痕,把原三角形翻折过去,对应的点就是D点的一个位置;再做出 线段AB的垂直平分线,以之为折痕,把原三角形再翻折过去,对应点则 是另一个D点的位置。最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻 折一次就可以得到第三个D点的位置。利用中点坐标公式求即可。) 【参考答案】 3453 2.B3.(-2,-7) ,4),(3,4),(2,4)8.(-2,3),(4,-1),(-2,-1) 坐标的应用(每日一题) 1.如图所示,已知边长为1 的正方形OABC在直角坐标系中,B,C两点 在第二象限内,OA与x轴的夹角为60,求点B的坐标. (注意到此题中出现了含有30角的直角三角形,过点A分别做横 轴和纵轴的垂线,构造双垂直模型即可) 2.慧慧在一次数学课上,将一副30,60,90和45,45,90 的三角板如图放在直角坐标系中,发现点A的坐标刚好是( 求图中两个三角板的交点P的坐标.(注意到此题中出现了含有30角和45角的特殊直角三角形,我 们可以利用其三边关系比,先求出有关线段的长,然后过点P做横 轴的垂线,设此垂线长为a,把OA表示为含有a的代数式,列方程解 题即可。) 3.如图所示,A(- ,0),B(0,1)分别为x轴,y轴上的点,ABC为等边三角形,点P(3,a)在第一象限内,且满足2SABP 总结提升:1、首先根据题目中提供的条件,计算出等边三角形的面积; 2、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形ABP的面 积;先求出直线AP的表达式,设其与纵轴的交点是H,然后用“大 坐标-小坐标”求出BH的长,则三角形ABP就被我们分隔成了分别 以BH为共同底边的两个小三角形,左边小三角形的高是A点横坐标 的绝对值,右边小三角形的高是P点横坐标的绝对值,据此列方程 解题即可。 4.如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,点A在第一象限, OE是AOB的中线,已知OB=OE=5,SAOB =15.求A、E两点的坐标. (总结提升: 1、为了求点E的坐标,我们过点E做横轴的垂线,根据等底同高的 两个三角形面积相等,则三角形OEB的面积等于大三角形面积的一 半;然后根据三角形面积公式求出高即是E点的纵坐标,然后再用 勾股定理求出其横坐标即可; 2、为了求点A的坐标,注意到点E是AB两点的中点,代入中点坐标 公式求解即可。) 5.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为平行四边形,其中O为坐 标原点,且点B(4,4),C(1,3),OB,AC相交于点D. 求A,D两点坐标; 求四边形OABC的面积. 总结提升: 根据平行四边形的性质,对角线互相平分,因此D点是O、B两点的中点,先利用中点坐标公式求出点D的坐标,再根据 点D也是A、C两点的中点,代入中点坐标公式求出点A的坐 标即可; ,分别求出有关线段的长,可以判定此平行四边形是菱形,根据菱形面积 公式=两条对角线乘积的一半,分别计算出两条对角线的长度 即可求出。 【参考答案】 OA与x轴的夹角为60AOE=30 在RtAOD中,OA=1,AOD=30 AD= ,ADO=60AB=1 BD=1- ,BDE=60DE= B在二象限点B的坐标为( 设AD=x,在RtAOB和RtAOC, AOB=30,OAC=45 PD=AD=x,OD= ,0),B(0,1)OA= ,OB=1由勾股定理得AB=2 ABC为等边三角形 SABC SAOB+S梯形BODP -SADP OE是AOB的中线E是AB的中点 A,E两点的坐标分别为(3,6),(4,3)5.解:(1)