各位别用算术平方根反驳我了,你用初中规定反驳复变函数,不脸红么?
正文开始
等于多少?可能很多人都知道,是2。
但是对一个负数开根号呢?比如
是多少??
托很多科普文章的福,大家都知道
,因为
。
但是。。你稍微想想,为什么不是
呢?毕竟
也是没问题的啊?
然后有人说了,初中就学过了,
,但是我们只取正的,叫算数平方根。所以对
,我们也取正的就可以了。(当然此时你还意识不到复数不能比大小,正负也就无从谈起了。)
但是,如果不是开二次方,是开三次方呢?
是多少?是
么?
为什么不是
呢?
毕竟
没问题啊。
于是,开三次根号八,居然有三个解!
函数的定义是什么?一个自变量对应唯一一个因变量?但是开三次方这个函数,居然一个自变量对应三个因变量?
到此为止,你应该以经发现了,只要你承认
,你就不可避免地要回答一个问题,
到底是正二还是负二?开根号到底是有几个解?
看来复数,并不只是
这么简单。
复数定义
设有一对有序实数
,遵从
加法:
乘法:
则称这一对有序实数
定义了一个复数
,其中
为
的实部,
为虚部。
复数减法为加法的逆运算
虚数单位
原来我们要先定义一对实数,并满足两个运算法则,然后
就是我们要的虚数单位
了。
给读者留个小作业,验证
的平方为负一。
复数运算
共轭复数:
与
互为共轭,共轭复数的乘积为实数,因为
。
复数除法:我们可以用共轭复数来记算除法
复数几何表示
既然复数是两个实数组成的一对,那我们把第一个实数画在横轴上,第二个实数画在纵轴上,于是就有了复平面
原来复数好似是复平面上的一个向量,共轭复数关于实轴对称。
复数的极坐标和指数表示
由上图,我们发现
,于是我们把复数写成极坐标的形式
其中
为复数的模,
为复数的辐角。
大名鼎鼎的欧拉公式已上线:
,于是复数也可以写成指数形式
。
原来复数还不能完全看成是向量,因为乘法时是模相乘辐角相加,并不是向量的点乘或者叉乘。