冯·诺伊曼 -	纯粹数学

冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925年-1940年,主要可分为以下六个方向。
1.集合论与数学基础
冯.诺伊曼借助与ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理,给出了序数及超限序数形式化的新定义,这种定义一直沿用至今。冯·诺伊曼的博士毕业论文“集合论的公理化”。他所建立的公理体系经P.贝尔纳斯和K.哥德尔完善之后,形成了公理化集合论中又一新的系统NBG系统。
2.测度论
测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位,但他给出了许多很有价值的方法和结果。
3.遍历理论
冯·诺伊曼在这一领域的首要成就,是证明了平均遍历定理。第33卷《数学纪事》刊登的他的颇有影响力的文章“古典力学中的算子方法”,标志着对遍历理论系统研究的开端。
4.群论
冯·诺伊曼的一个著名成果,是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题。1933年,他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”,证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群的条件下的得到了肯定的回答。
5.算子理论
对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个可科学生涯,这方面的论文占他全部著述的三分之一,他在这个领域有着二十多年的领导地位。冯·诺伊曼的谱理论形成,加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》一书问世,标志着数学领域中又一新的分支泛函分析的诞生。算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”。这篇论文还包括了“交换子”、“因子”等重要定义,以及二次交换子定理。
格论
正则环是冯·诺伊曼引入的新概念。冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法,其中主要是关于格的分配性:数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等。他最早发现,在布尔代数中,交与并的运算必然是无穷分配的,而这种分配性又等价于连续性。他在格论方面的工作主要通过1935年-1937年高级研究院讲义《复域几何》、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播。
应用数学
1940年以后,随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展,冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中,主要是计算数学和对策论两方面的工作。
1.计算数学
冯·诺伊曼从数值稳性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索。1946年,他和V.巴格曼、D.蒙哥马利合作,向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”,对线性方程组的各种解法进行了系统的阐述,并探讨了利用计算机进行求解的可能性。1947年,他又同H.哥德斯坦研究了高阶矩阵的数值求逆,并给出了严格的误差估计,特别是对150阶求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果。在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况是,冯·诺伊曼创造了人工粘性法。电子计算机产生之后,冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法,从而推动了计算数学的兴起与形成,也使他成为现代科学计算的奠基人之一。
2.对策论与数理经济
冯·诺伊曼是对策论(又称博奕论〕的创始人和现代数理经济学的开拓者之一。对策理论作为学科的真正创立,则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”开始的。1940年,奥地利经济学家O.摩根斯坦与冯·诺伊曼经过四年合作出版了《对策论与经济行为》。这部著作对1928年的论文进一步阐述,如增加了“分配”、“控制”的概念,定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解。全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的。书中另一重要成果是对策论在经济理论基本问题中的应用。

冯·诺伊曼 -	去世时间

1957年2月8日,诺依曼与世长辞。