三向量a、b、c共面的充要条件是[abc]=0.(1)a×b=-b×a(2)(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)(3)(a+b)×c=a×c+b×ca×(b+c)=a×b+a×c(4)[abc]= [bca]= [cab](5)a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0(1)由向量外积的定义得,当a=0或b=0时,a×b=0,满足a×b=-b×a.当a、b均为非零向量时,|a×b|=|b×a|,但根据右手法则,向量a×b和b×a的方向相反,故a×b=-b×a.综上,a×b=-b×a.(2)当λ=0时,由向量外积的定义得,(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)=0.当λ>0时,λa和a的方向相同,λb和b的方向相同,λ(a×b)和a×b的方向相同,根据右手规则,(λa)×b、a×(λb)、λ(a×b)的方向相同.而依据向量外积的定义,|(λa)×b|=|a×(λb)|=|λ(a×b)|,于是(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).当λ<0时,同理(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).综上,(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).(3)当a=0或b=0或c=0时,(a+b)×c=a×c+b×c.(证明(a+b)×c=a×c+b×c后,结合法则(1),可证a×(b+c)=a×b+a×c,故只需证(a+b)×c=a×c+b×c.当a、b、c均不是非零向量时,若a∥b,由向量外积的定义,易证(a+b)×c=a×c+b×c.若a∥c或b∥c,由向量外积的定义,也易证(a+b)×c=a×c+b×c当a、b、c均不是非零向量且两两不平行时,不妨设有一平面α,直线l⊥α,垂足为P,C为l上异于P上的点,A,B为任意两点,以PA,PB为邻边作平行四边形PADB.作A,B,D到平面α的投影A',B',D‘.设a为从P到A的向量,b为从P到B的向量,c为从P到C的向量,d为从P到D的向量,a'为从P到A'的向量,b'为从P到B'的向量,d'为从P到D'的向量,根据向量加减法法则,可证d=a+b,d'=a'+b'.先证a×c=a'×c.根据向量叉乘的定义,|a×c|=|a||c|sin=|a'||c|=|a'×c|.