首先,你试用期两个月,应该签了一年以上不满三年的劳动合同了。根据劳动法,试用期不可延长。如果觉得你不合格,用人单位可以提供相关依据辞退你。另外,试用期劳动者是可以提前三日解除劳动合同的,现在你的情况是你主动提出辞职,那么在你书面申请的三日之后,就可以办理辞职了。跟公司招不招得到人没有关系。工作交接不是你的责任。你的叙述来看,你还是个很负责人的员工^_^,最好自己和公司人事部再做沟通,因为你找下家工作单位的时候,需要离职证明或退工单的,直接走人的话不算真正辞职。实在不行申请劳动仲裁。
注意到你问题补充里说,转正后才能签订劳动合同?也就是说你和公司没有签订任何合同或者协议是么?这样的话公司本来就有问题了。建立劳动关系,就需要订立劳动合同,试用期是含在劳动合同内的。公司这么做的话本身就是违反劳动法的嘛。