例题二、
基本操作,
里的东西减去个1然后等价无穷小替换.
变成了
我们知道,等价/高阶/低阶无穷小替换的本质其实是转化为幂函数的形态,所以为了在0处能够把sinx和cosx转化为幂函数,在加减法的环境下应用等价无穷小,就要用到麦克劳林公式(平时老师说不能在加减法情况下应用等价无穷小是因为精度不够,应用了麦克劳林公式就能确保精度,那么到底要展开到哪几项呢?因为分子分母的最大项精度要保持一致才能互相消去,比如这道题就要分母上下可以同时展开到
的一次幂就能互相消去。),其中
的展开是
而
的展开是
,所以
保留最大项目
,
保留1,而分子中的
也可以展开为
(这里用到了一个展开公式 (
当然你直接用麦克劳林也行,只不过用公式会更快一点),由于分母最大项是1次幂,所以保留
即可这样原式就变成了
例题三、
这道题需要用到一个小技巧,即
,则分母变为
,
在
的时候接近于e,由于
非零因式直接带入原则所以可以去掉,剩下来的用以上两个例题的技巧可以轻松解决(事实上,类似
这样的式子有一个特点,那就是
型,这一类型的极限一般是提取一个公共因子使得成为
类型)。