o(α)的意思就是说比无穷小α更高阶的无穷小.
高阶无穷小的定义:
如果limβ/α=0,那么就说β是比α高阶的无穷小,记作β=o(α).【这只是记法,一种符号】
(注意:α,β都是在同一自变量的变化过程中的无穷小,且α≠0,limβ/α也是在这个变化过程中的极限.)
例如:lim(x→0)x²/3x=0,
可以理解为,在x→0的过程中,x²→0比3x→0“快些”,3x→0比x²→0“慢些”(看它们的图像就可以理解);也可以进一步理解为x²比3x多很多0,一比,于是lim(x→0)x²/3x=0,反过来,我们可以不规范的理解1/0=∞,所以lim(x→0)3x/x²=∞.
如何理解等价无穷小的充分必要条件?
β=α+o(α)
证明:
必要性 设α~β,则
lim(β-α)/α
=lim(β/α-1)
=limβ/α-1
=0,
因此β-α=o(α)【由高阶无穷小定义可知】,即β=α+o(α).
充分性 设β=α+o(α),则
limβ/α
=lim[α+o(α)]/α
=lim[1+o(α)/α] 【还是高阶无穷小定义limo(α)/α=0】
=1,
因此α~β.