设函数f(x)=(ae^x+1)/(ae^x+b);其中a大于0,求f(x)在[0,+∞)内的最小值
解:f '(x)=[(ae^x+b)ae^x-(ae^x+1)ae^x]/(ae^x+b)²=(abe^x-ae^x)/(ae^x+b)²=[a(b-1)e^x]/(ae^x+b)²
当b=1时f '(x)≡0,此时f(x)≡1,既无最大值,也无最小值。
当b>1时,在[0,+∞)内恒有f '(x)>0,即f(x)在[0,+∞)内单调增,其最小值=f(0)=(a+1)/(a+b);
当b<1时,在[0,+∞)内恒有f '(x)<0,即f(x)在[0,+∞)内单调减,无最小值,但有极限:
x→+∞limf(x)=x→+∞lim[(ae^x+1)/(ae^x+b)]=x→+∞lim[(ae^x)/(ae^x)]=1.