静电场参考习题 三、计算题 1. 如图所示,真空中一长为L的均匀带电细直杆,总电荷为q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度. 解:设杆的左端为坐标原点O,x轴沿直杆方向.带电直杆的电荷线密度为?=q / L,在x处取一电荷元dq = ?dx = qdx / L,它在P点的场强: 总场强为 方向沿x轴,即杆的延长线方向. 2.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形,沿其上半部分均匀分布有电荷+Q,沿其下半部分均匀分布有电荷-Q,如图所示.试求圆心O处的电场强度. 解:把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ? 它在O处产生场强 按??角变化,将dE分解成二个分量: 对各分量分别积分,积分时考虑到一半是负电荷 =0 所以 3. “无限长”均匀带电的半圆柱面,半径为R,设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为?,试求轴线上一点的电场强度. 解:设坐标系如图所示.将半圆柱面划分成许多窄条.dl宽的窄条的电荷线密度为 取?位置处的一条,它在轴线上一点产生的场强为 如图所示. 它在x、y轴上的二个分量为: dEx=dE sin? , dEy=-dE cos? 对各分量分别积分 场强 4. 实验表明,在靠近地面处有相当强的电场,电场强度垂直于地面向下,大小约为100 N/C;在离地面1.5 km高的地方,也是垂直于地面向下的,大小约为25 N/C. (1) 假设地面上各处都是垂直于地面向下,试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度; (2) 假设地表面内电场强度为零,且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生,求地面上的电荷面密度.(已知:真空介电常量=8.85×10-12 C2·N-1·m-2) 解:(1) 设电荷的平均体密度为?,取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面,底面?S平行地面)上下底面处的 场强分别为E1和E2,则通过高斯面的电场强度通量为: ·=E2?S-E1?S=(E2-E1) ?S 高斯面S包围的电荷∑qi=h?S? 由高斯定理(E2-E1) ?S=h?S??/( 0 ∴ =4.43×10-13 C/m3 (2) 设地面面电荷密度为(.由于电荷只分布在地表面,所以电力线终止于地面,取高斯面如图(2) 由高斯定理 ·= -E?S= ∴ ( =-( 0 E=-8.9×10-10 C/m3 5. 一半径为R的带电球体,其电荷体密度分布为 ????????=Ar (r≤R) , ??=0 (r>R), A为一常量.试求球体内外的场强分布. 解:在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳,该壳内所包含的电荷为 在半径为r的球面内包含的总电荷为 (r≤R) 以该球面为高斯面,按高斯定理有 得到	, (r≤R)	方向沿径向,A>0时向外, AR) 方向沿径向,A>0时向外,AR) 处为电势零点,计算圆柱体内、外各点的电势分布. 解:(1) 取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示).面上各点场强大小为E并垂直于柱面.则穿过该柱面的电场强度通量为: 为求高斯面内的电荷,rR时,包围在高斯面内总电荷为: 由高斯定理 解出 (r >R) (2) 计算电势分布 r≤R时r>R时9.一真空二极管,其主要构件是一个半径R1=5×10-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2=4.5×10-3 m的同轴圆筒形阳极B,如图所示.阳极电势比阴极高300 V,忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力.(基本电荷e=1.6×10-19 C) 解:与阴极同轴作半径为r (R1