不论如何操作,不论操作多少次,总是不能得到β-范式。
下面就是Ξ函数超越busy beaver的办法。定义一个新符号:Ω,作为一种公式。它在β-规约中的地位相当特殊:
对于形如(((Ωa)b)c)的公式,如果a能够通过β-规约得到I,那么把(((Ωa)b)c)变换为b,否则变换为c。
这个符号有能力引起一些悖论。可以证明存在一个这样的公式p,它可以β-规约为(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)。引出的问题是,p能不能β-规约为I呢?如果能,那么根据新规则,(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)将变换为(((SI)I)((SI)I)),它就不能β-规约为I;如果不能,那么根据新规则,(((Ωp)(((SI)I)((SI)I)))I)将变换为I。对于任意的公式,它是否会引起这样的悖论,是不可判定的(没有通用的算法),这就使得它比busy beaver还要强大。
最后,Ξ函数定义如下:在含有Ω的SKI演算中,从所有长度不超过n的公式开始,通过β-规约,所能得到的最长的β-范式的长度记作Ξ(n)。