1904年,瑞典数学家科赫提出了一种图形:将一个正三角形的每条边平分为三份,再以每条边中间的一份为边,向外做正三角形,这个过程称为一次迭代。
一次迭代
经过一次迭代,正三角形变为了12条边。我们再将每条边平分成三份,向外做更小的正三角形,称为二次迭代。然后不停地重复这个过程,直到无限次迭代,就形成了科赫雪花。
2次、3次迭代
科赫雪花的周长有多大呢?设最开始的三角形边长为1,经过一次迭代,每条边的边长都变为了原来的4/3,所以周长会变为原来的4/3。经过N次迭代,周长就变为
当迭代次数无穷多,N无限大时,科赫雪花的周长就会变为无穷大——这是因为它的边非常的崎岖。相比来讲,地球虽然看起来比雪花大很多,但是它的直径却是一个有限值——大约12800km。雪花的周长比地球直径还要大。
地球直径
科赫雪花的周长是无限长,但是面积是有限的——这是显而易见的,因为可以用一个圆形把雪花罩住,所以雪花的面积小于圆形的面积。
科赫雪花面积是有限的
具体来讲:最初的正三角形有三条边,迭代时每一条边都会变为4条边,所以经过N-1次迭代之后总边数为
进行第N次迭代时,雪花的每条边都会向外凸起,形成新的小三角形。设最初的三角形面积为1,每次迭代构造的小三角形边长为原来三角形的1/3,面积是原来三角形的1/9,所以进行第N次迭代时,生成的每个小三角形面积为:
所以,第N次迭代增加的所有小三角总面积为:
于是经过无限次迭代,可以利用等比数列求和得到雪花的总面积为
总面积比原来增加了60%。
三.谢尔宾斯基地毯
除了科赫雪花,还有一种比较有名的分形结构——谢尔宾斯基地毯。它是由波兰数学家谢尔宾斯基在1916年提出的。
谢尔宾斯基地毯的构造方法是:将一个正方形均分为9个小正方形,再将中间的正方形去掉,称为一次迭代。然后对余下的8个小正方形做同样操作,直到无限次。
构造谢尔宾斯基地毯
这个图形看起来无限镂空,我们很容易计算它的面积:每次迭代时,去掉的黑色部分都占白色部分面积的1/9,所以余下白色面积的 8/9。设最初白色正方形面积为1,经过N次迭代之后剩余的白色面积为
我们发现,只要迭代次数无穷多,这张地毯的面积是趋近于0的,这和科赫雪花周长趋向于无穷大有异曲同工之妙。
四.自相似性<