正弦定理(或称正弦定律)对解三角形非常有用:
asin A=bsin B=csin C
它适用于任何三角形:

a、b和c是边。
A、B和C是角。
(边a对着 角A、
边b对着 角B,
边c对着 角C)。

定理说:
边a的长度 除以 角A的正弦
等于边b的长度 除以 角B的正弦,
也等于边c的长度 除以 角C的正弦
好,我们用一个三角形来计算一下:

asin A= 8sin(62.2°)= 80.885……=9.04……
bsin B= 5sin(33.5°)= 50.552……=9.06……
csin C= 9sin(84.3°)= 90.995……=9.05……

答案都差不多是相同的!
(若我们的计算有完全的准确度,答案便会是完全相同的)。
你可以看到:
asin A=bsin B=csin C

有什么用?

举个例看看:

例子:求边"c" 的 长度

正弦定理a/sin A = b/sin B = c/sin C
代入已知值:a/sin A = 7/sin(35°) = c/sin(105°)
拿走 a/sin A (在这里没用):7/sin(35°) = c/sin(105°)
用代数来重排及解:
换边:c/sin(105°) = 7/sin(35°)
每边乘以 sin(105°):c = ( 7 / sin(35°) ) × sin(105°)
计算:c = ( 7 / 0.574…… ) × 0.966……
计算:c =11.8(保留一个小数位)

求未知角度

在上面的例子,我们求未知边长……
……但我们也可以用正弦定理来求未知角度。
求角度时,最好把分数倒转(把a/sin A变成sin A/a,等等):
sin Aa=sin Bb=sin Cc

例子:求角B

开始:sin A / a = sin B / b = sin C / c
代入已知值:sin A / a = sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
拿走 "sin A / a":sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
每边乘以 4.7:sin B = (sin(63°)/5.5) × 4.7
计算:sin B = 0.7614……
反正弦:B = sin-1(0.7614……)
B =49.6°

有时会有两个答案!

我们要注意一个微妙的细节:
可能有两个答案。

假设我们知道 角A和边a与b。
我们可以把边a放在左边或右边(如图),从而得到两个结果(一个小三角形和一个大三角形)
两个答案都是对的!

这只会在 "两边和非夹角" 的情形发生,亦不会一定发生,但我们仍然需要留意。
想: "我可以把那条边放到另一边来得到另一个正确的答案吗?"

例子:求角R

这三角形用不同的标志:PQR 而不是 ABC。没关系,就在正弦定理用 P、Q 和R就行了。

开始:sin R / r = sin Q / q
代入已知值:sin R / 41 = sin(39°)/28
每边乘以 41:sin R = (sin(39°)/28) × 41
计算:sin R = 0.9215……
反正弦:R = sin-1(0.9215……)
R =67.1°

慢着!还有另外一个角的正弦是等于 0.9215…… 的!
计算器不会给你这个答案,但sin(112.9°) 也是等于 0.9215……
那么,我们怎样得到 112.9°这个答案?
其实很简单……把67.1°从180°减去,像这样:
180° - 67.1° = 112.9°
故此,R 可以有两个答案:67.1°和112.9°:
两个都是对的!每个三角形都有 39°的角及 41 和28 长的边。
所以,一定要记得去检查,看看可不可以有另一个答案。
……有时候会有两个答案(如上)……有时候只有一个答案(如下)

我们以前也看过这个三角形。
你可以尝试把 "5.5" 长的边放到右边,但这样不会形成一个符合给定条件的三角形,所以也不会导致一个合理的答案。
故此,这算题只有一个答案。