第一章 习题课 1 把一个均匀带电量为+Q的球形肥皂泡由半径r 吹胀 1 到r , 则半径为R (r1 < R< 2 的场强大小E由( 电势U由( Q r )的高斯球面上任一点 2 )变为( Q Q 4 0R2 pe 0 ); 4pe 0R )变为( 4 0r )。 pe 2 2 在一个带有负电荷的均匀带电球外,放置一电偶极子,其 电矩方向如图。当电偶极子被释放后,该电偶极子将: (A)沿逆时针旋至电矩方向沿径向指向球面而停止。 (B)沿逆时针旋至电矩沿径向指向球面,同时沿电力线 方向向着球面移动。 v v p (C)沿逆时针旋至电矩沿径向指向球 r 面,同时逆电力线方向远离球面移动。 (D)沿顺时针方向旋转至电矩沿径向 朝外,同时沿电力线方向向着球面移动。 3 如图,在边长为a 的正方形平面的中垂线上距中心O 点 0.5a处有一电量为q 的正点电荷,则通过该平面的电场 q a 强度通量为: 6e0 .q 0.5a a q 思考:求通过圆面的电通量 ? a o 4 图示为一具有球对称性分布静电场 R 的E~r关系曲线,请指出该静电场是 E 1 由哪种带电体产生的。 E 2 r ⑴ 半径为R的均匀带电球面; ⑷ r ⑵ 半径为R的均匀带电球体; R O ⑶ 半径为R,体密度r=Ar(A为常数)的非均匀带电球体; ⑷ 半径为R,体密度r= A/r(A为常数)的非均匀带电球体。 r r 1 r 2 1 S p 球内:S E× d =E× 4 r = òòò rdV = ò r 4p r '2 dr' òò A = 2 Ar2 p = ò 4p r '2 dr' 0 r' e 0 e 0 r 1 e0 1 e 0 0 \ E= A 2e0 S 5 A和B为两个均匀带电球 r 体,A带电量+q,B带电量 A q,作一与A同心的球面S为 +q 高斯面,如图示,则( D D)。 B q (A)通过S面的电场强度通量为零,S面上各点的场强为零。 (B)通过S面的电场强度通量为 q e 0,S面上场强的大小 E =q (4 0r2) 。 pe 为 (C)通过S面的电场强度通量为 - q e0 ,S面上场强的大小 为 E=- q (4 0r2) 。 pe (D)通过S面的电场强度通量为 q e0 ,但S面上的场强不能 直接由高斯定理求出。 6.已知:两均匀无限大薄板相互垂直,电荷面密度为s和 s . s 求:空间各点的E 。 +s 2 s E = 2 0 e 7.一段半径为a 的细圆弧,对圆心的张角为q ,其上均匀分布 0 正电荷q,如图。试以a,q,q 表示出圆心O处的电场强度。 0 dq q Y dl = adq dE = 解: = l 4 0a2 pe dq =ldl a 0 q 由对称性可知: Ex = òdEx = 0 dq l × adq dEy = cosq = cosq 2 2 4 0a pe 4 0a pe q O a l E = Ey = ò dEy = ò cosq d q 4 0a pe l q 0 q q 0 = sin = sin 2 2 0a pe 2 2 0a q 0 pe 2 2 q - 0 2 q 0 d q X v d dEy E dE x v \ E = q 0 v - q sin j 2 2 0a q 0 pe 2 8.真空中一均匀带电细直杆,长2a,总电量+Q,沿OX轴固定 放置。一运动粒子质量为m,带电+q,在经过轴上的C点时, 速率为v 。求:⑴粒子在经过X轴上C点时,它与带电杆间的 相互作用电势能(设无穷远处为电势零点) ⑵粒子在电场 力作用下运动到无穷远处的速率v (设v 远小于光速)。 ∞ ∞ a a a Q ) 解 :(1 dx 2 a W =qUc dUc = 4pe 0 ( 2 - x) a a Q ln3 Uc = dUc= 8 0a pe - a O x dx . X C ò qQ \W = ln3 8 0a pe 1 2 1 2 ( ) mv - mv = W 2 2 2 \ v = qQ ln3 + v2 4 0am pe r r r r r r E P = r' () E P = 1 1 r 2 3 e e r r3 0 r r r r 0 r r (r - r') = EP = E P + E2P = a 1 3 0 e 3e 0 9.一半径为R 的球体均匀带电,电荷体密度为r,球内有一半 1 径为R 的小空腔,腔心与球心相距为a。求:⑴空腔中心的场 2 强 ⑵该点的电势。 ( ) U = U P + U P 2 P 1 2 roR2 ' a .r' r r . r . o P r r 1 R r 1 r r r R U P =ò E × d =ò E内 × d + ò E 外 × d r r 1 1 r 1 P r R 1 1 R 1 r r Q r = ò × dr + ò × dr = 3R2 - r2 1 2 r 3 R14 6 0 e e 0 pe 0r r 对空腔中心r = a Uo' = 3R2 - a2 1 1 6 0 e 2 r R2 -r 2 2 Uo'2 = 同理 :UP2 = 3R2 - r' 2e 0 6 0 e 2 2 2 r 3 R - R2 - a 1 \ Uo' = Uo'1 + Uo'2 = 6 0 e ( ) ( ) ( ) [( ) ] 10.把一块原来不带电的金属板B,移近一块已带有正电荷Q 的金属板A,平行放置,设两板面积都是S,板间距离是d,忽略 Qd 边缘效应,当B板不接地时,U = 2e0S AB Qd B板接地时,U = e0S 。 AB q + q2 q - q2 s1 = s 4 = 1 s2 = - s 3 = 1 2S 2S Q Q -Q Q + + + E×DS = 2S DS E×DS = + + + e0 + + + + + + Q E = 2e 0S + + + s1Q s2 s3 s4 B Q A S DS e0 Q E = e 0S 11.已知一平行板电容器,极板面积为S,两板间隔为d,其中充 满空气,当两极板上加电压U时,忽略边缘效应,两极板间的 相互作用力F= U2e0S 2d 2 q 2 2 1 =C U F =qE=q 2 0S e 2e 0S C= e 0S d 12.两个半径不同带电量相同的导体球,相距很远。今用一 细长导线将它们连接起来,则 ⑴各球所带电量不变; ⑵半径大的球带电量多; ⑶半径大的球带电量少 ⑷无法确定哪个导体球带电量多。 13.金属球A内有两个球形空腔,此金属球本身不带电,而球 外远处有一点电荷q(q到球心O之距离r>>球半径R)。今在 空腔中分别放点电荷q 和q ,则作用在点电荷q上的电场力 1 2 (q1 +q2) q q 1 F= 4 r2 。 q pe 0 R r q O 2 14.半径为R的不带电的金属球,在 A 球外离球心O距离为l 处有一点电 荷,电量为q 。若取无穷远处为电 + + 势零点,则静电平衡后金属球的电 + R q l q + O + + 势U= 4 pe 0l 。 + . . . . 练习: 1.(1503)一厚为b的“无限大”带电平板, 其电荷体密度分布为r=kx (0≤x≤b),式中k为一正的常量. 求: P P (1)平板外两侧任一点P 和P 处的电场强度大小; P 1 2 x O x (2)平板内任一点P处的电场强度; b (3)场强为零的点在何处? 解:(1)设场强大小为E,作柱形高斯面如图. S 1 2 1 b kS b kSb2 2 2 SE = rSdx = xdx = 得到 E =kb /(4e ) 0 e0 ò0 e 0 ò0 2 0 e (2)过P点垂直平板作一柱形高斯面, 设该处场强为 E k 2 b2 kS x kSx2 x - ÷ E = (E + E) = ò0 xdx= S 2 0 e è 2 ÷ e0 2e 0 2 S b E S 2 (3) 令 - = 0 得: = b/ 2 x x x P E 2 v v ò E× dS = q/e0 S E S E d x b 练习: 练习: 2.(1197)一半径为R的“无限长”圆柱形带电体, 其电荷体密度为 r=Ar(r≤R),式中A为常量. 试求:(1)圆柱体内、外各点场强大 小分布;(2)选与圆柱轴线的距离为l(l>R)处为电势零点,计算 圆柱体内、外各点的电势分布. v v 解:(1)取半径为r, 高为h的高斯圆柱面. E ×d S = 2p rhE R òS r rR时, ò V E = Ar2 / (3 0 ) (r≤R) e R 3 r dV = ò 2 Ah 2 dr = 2 AhR /3 p r p 0 V 0 3 E= AR / (3 0r) (r>R) e 3 3 l R A l AR d r A 3 3 AR l 2 (2)r≤R时, =ò Edr= ò = (R - r )+ 3 lnR U r dr+ ò × r r 3 R 3 e e 0 e0 e 0 r 9 0 3 l l AR dr AR3 l × = ln r>R时, U = ò Edr = òr r 3 0 r e 3 0 e r 2 p rhE = 2p AhR 3 /(3 0 ) e 练习: 3. 一内外半径分别为R1及R2的导体球壳,该球内同心 地放置一半径为R 的导体球,让球壳和小球分别带上电 量Q及q。 试求: (1)小球及球壳内、 外表面的电势; (2)两球的电势差; (3)若球壳接地, 再求两球的电势差。 R2 R1 Q R q 已知:R1、R2、 Q、 q、R Q+ q 求:(1)UR , UR1 , UR2 (2) UR UR1 q R2 (3)接地后的 UR UR1 q R1 解:(1)球壳内表面带电为q R 外表面带电为Q + q 1 2 3 由高斯定理可得到各区域的场强: q E = R < r R E = 1 2 2 3 2 r r r r R1 R 4 0r pe r r 2 U R = ò E1 × dr + ò E 2 × dr + ò E3 × dr R R1 R 2 R1 R q + Q q 2 =ò dr + ò 0×dr + ò dr 2 R 4pe r 2 R1 R 4 2 pe r 0 0 q 1 1 q + Q = - ÷+ 4pe 0 è R R1 4 0 R pe 2 q+ Q E2 =0 E = E = 1 3 2 4 0r pe 4 0r2 pe R2 R2 r r r r UR1 = ò E × d + ò E × d r r R1 2 3 q R 1 R 2 Q + q R q q q+ Q = ò 0×dr+ ò dr 2 R R 4 r 1 2 pe 0 q+ Q =UR2 = 4 0R pe 2 R r R1 r 1 (2) R - U R1 = ò E1 × dr = ò U R R2 R q 4 0r pe 2 dr q 1 1 = - ÷ 4 0 è R R pe 1 E2 =0 E =0 (3)接地后 E = 3 1 2 4 0r R r pe 地 r r r 1 U R = ò E1 × dr = ò E1 × dr R2 R R R1 q R1 = ò dr R p 2 R 4 pe 0r . q 1 1 = - ÷ = U R -UR 1 4 0 è R R pe 1 思考:⑴用一导线将内球和外球内壳连接,则Up,UQ= q+Q q + Q UP = UQ = 4pe 0 R2 4 0r pe Q q Q ? E2 =0 E =0 (3)接地后E = 3 1 2 4 0r r pe R 地 r r r 1 U R = ò E1 × dr = ò E1 × dr R2 R R R1 q R1 = ò dr R 4 pe 0r2 q 1 1 = - ÷ = U R -UR 1 4 0 è R R pe 1 q - q + q' q' - ' q Q . R p 思考:⑴用一导线将内球和外球内壳连接,则Up,UQ= q+Q q + Q UP = UQ = 4pe 0 R2 4 0r pe Q ⑵外球壳接地断开后再将内球接地,则Up,UQ= ' ' ' q - q - q+ q + + = 0 4 0R 4 0R 4 0R pe pe 1 pe 2 ? ?