奇偶性是函数的基本性质,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于$y$轴对称.一般地,如果一个函数的图象关于点$(a,b)$中心对称,或者关于直线$x=m$对称,我们称这样的函数具有对称性(严格来说是具有广义奇偶性).
问题一 如果函数$f(x)$满足函数方程$f(x+1)=f(-x+1)$,那么函数$f(x)$具有什么性质?
问题二 如果函数$f(x)$的对称中心为$(1,2)$,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?
问题三 如果函数$y=f(x+1)$是奇函数,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?
问题四 函数$y=f(x+1)$关于$x=1$对称的函数解析式是什么?
本篇针对这四个问题一一解决,我们先从基本的概念开始.在本篇中,默认抽象的$f(x)$(即没有给出解析式的$f(x)$)定义域为$\mathcal{R}$,且函数方程都是对定义域内所有$x$成立的.为了方便,我们把“函数图象关于$\cdots$的对称”简要说成“函数关于$\cdots$的对称”.
一、轴对称
函数$f(x)$的图象关于直线$x=a$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称(考虑数轴上点的对称),则它们对应的函数值相等,如图:
关于$a$对称的点的横坐标$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=2a$,所以我们通过“和”去考虑就可以很好地绕开$f$括号内的各种形式上的变化,得到:
若两个数的和为定值$2a$时,对应的函数值相等,那么这个函数的图象关于直线$x=a$轴对称.反之也成立.
比如:(1)若$f(x)=f(4-x)$,括号内的和为$4$,所以$f(x)$关于直线$x=2$对称;
(2)若$f(-x-1)=f(x-3)$,括号内的和为$-4$,所以$f(x)$关于直线$x=-2$对称;
(3)如果$f(x)$的对称轴为$x=2$,那么有$$\begin{split} &f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(2-x),\\&f(2x+2016)=f(-2x-2012),\cdots.\end{split}$$
二、中心对称
函数$f(x)$的图象关于点$(a,b)$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称,则它们对应的函数值关于$b$对称.