连续函数
设
是定义在实数域
的子集
上的函数,称函数
在某一点
连续,是指:
对任意给定的
,当其满足不等式
的时候,
均有
对于绝大部分情况,当点
不是孤立点而是集合
的极限点时候,函数
在点
处连续可以等价描述为:
有界
设函数
是定义在实数域
的子集
上的函数.
如果存在实数
,使得对一切
都有
,则说函数
是有上界的;
如果存在实数
,使得对一切
都有
,则说函数
是有下界的;
如果存在实数
,使得对一切
都有
,则说函数
是有界的.
有界性定理(Weierstrass第一定理)
设实数
,设
是定义在闭区间
上的连续函数.
那么
是有界函数,
也即存在着有限的常数
和
,使得当
时
原则上,从实数系的每个基本定理(及与之等价的命题)都可以证明有界性定理,这里选取几种证明方法
证明:
(一)使用Bolzano-Weierstrass定理
陶哲轩《分析》,P194
菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷,P143
定光桂《极限论与微分学新探》,P243
常庚哲、史济怀《数学分析教程》上册,P111
许少溥、姜东平《数学分析教程》上册,P140——141
梅加强《数学分析》,P85——86
华东师范大学《数学分析》上册,P168——169
设函数
在闭区间
上无界
则对于每个正实数
,都存在一个
使得
所以对每个
,存在
使得
那么可以找到一个序列
(
)
使得
根据Bolzano-Weierstrass定理(又称凝聚定理、列紧性定理或致密性定理)
这个序列
(
)一定含有收敛子列
(
)
设
由于
,则它的极限
又
是闭区间
上的连续函数
由Heine归结原则
有
而按照之前的假设
这样可得
这与之前的假设是矛盾的
所以
是有界函数
命题