如图11-7所示,设有一平面余弦行波,在无吸收的均匀无限介质中沿
轴的正方向传播,波速为
。取任意一条波线为
轴,并取
作为
轴的原点。假定
点处(即
处)质点的为
图11-6
现在考察波线上另一任意点
,该点离开
点的距离为
,平衡位置位于
点的质点在时刻
的位移将是多少呢?因为振动是从
点处传过来的,所以
点振动的相位将落后于
点。如果振动从
传到
点所需的时间为
,那么,在时刻
,
点处质点的位移就是
点处质点在
时刻的位移,(从相位来说,
点将落后于
点,其相位差为
)。由于所讨论的是平面波,而且在无吸收的均匀介质中传播,所以各质点的振幅相等(理由见下节),于是
点处质点在时刻
的位移为
图11-7
若介质中的波速为
,则
,代人上式并将下角标
省去得到
上式所表示的是波线上任一点(距原点为
)处的质点任一瞬时的位移,这就是我们所需要的沿
轴方向前进的平面简谐波的波函数。
我们把单位长度上波的相位变化称为角波数,用
表示,它的数值等于
长度内所包含的完整波的个数,则
。
利用关系式
和
及
,可以将平面简谐波的波函数改写成多种形式
(11-3a)
(11-3b)
(11-3c)
为了弄清楚波函数的物理意义,必须作进一步分析。在波函数中含有
和
两个自变量,可分别讨论如下:
最后,如果
和
都在变化,那么这个波函数将表示波线上各个不同质点在不同时刻的位移,或更形象地说,这个。
在导出上述平面余弦波的波函数时,我们假定波动是沿着
轴的正方向传播的,如果
,则
应该波形的传播速度
和介质中质点的振动速度
。