《统计学》 by William Mendenhall, Terry Sincich
第4章 离散随机变量
4.3 随机变量的期望值和方差
随机变量 Y 的期望值(或均值,mean) 用记号E(Y) 表示,具体定义如下:
定义4.4设Y是一个离散随机变量,概率分布为p(y), 则Y的均值或期望值是:
μ = E(Y) = Σ[所有y] y p(y)
上面的定义可以理解为,各采样的值乘上权重得出整个样本空间的"均值"。(积分的含义)
定义4.5设Y是一个离散随机变量,概率分布为p(y), 又设g(Y) 是Y的一个函数,则g(Y)的均值或期望值是:
E[g(Y)]=Σ[所有y] g(y) p(y)
可以看出4.4是4.5 的一个特殊形式。
定义4.6设Y是一个离散随机变量,概率分布为p(y), 则Y的方差是:
σ^2 = E[(Y-μ)^2]
从上面定义看出,方差定义为(Y-u)^2的期望值。这里使用了定义4.4。
方差具有如下性质:
σ^2 =E[(Y-μ)^2]= E(Y^2) - μ^2
证明:
E[(Y-μ)^2]
= E(Y^2 - 2Yμ+μ^2)
= E(Y^2) - E(2μY) + E(μ^2)
= E(Y^2) - 2μ E(Y) +E(μ^2)
= E(Y^2) - 2μμ+μ^2
=E(Y^2) - μ^2
上面的证明使用了如下定理:
定理4.1设Y是一个离散随机变量, 概率分布为p(y), c是一个常数,则c的期望值(或均值)是:
E(c) = c (即常熟的均值是其自身)
证明:
令Y=c, p(y) = 1/n, 则μ = E(Y) = Σ[所有y] y p(y) = n*c*1/n = c。
定理4.2设Y是一个离散随机变量, 概率分布为p(y), c是一个常数,则cY的期望值(或均值)是:
E(cY) = cE(Y)
证明:
由E[g(Y)]=Σ[所有y] g(y) p(y), 得出:
E(cY) =Σ[所有y] cyp(y) = cΣ[所有y] y p(y) = cE(Y)
定理4.3设Y是一个离散随机变量, 概率分布为p(y), 令g1(Y),