异面直线所成角的 几种 求法 异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的。因此,通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线,形成角,然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键,而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角 例 1:如图,在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别是相邻两侧面 BCC 1 B 1 及 CDD 1 C 1的中心。求 A 1 E 和 B 1 F 所成的角的大小。 解法一:(作图法)作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。 作法:连结 B 1 E,取 B 1 E 中点 G 及 A 1 B 1 中点 H, 连结 GH,有 GH//A 1 E。过 F 作 CD 的平行线 RS, 分别交 CC 1 、DD 1 于点 R、S,连结 SH,连结 GS。 由 B 1 H//C 1 D 1 //FS,B 1 H=FS,可得 B 1 F//SH。 在△GHS 中,设正方体边长为 a。 GH=46a(作直线 GQ//BC 交 BB 1 于点 Q, 连 QH,可知△GQH 为直角三角形), HS=26a(连 A 1 S,可知△HA 1 S 为直角三角形), GS=426a(作直线 GP 交 BC 于点 P,连 PD,可知四边形 GPDS 为直角梯形)。 ∴Cos∠GHS=61。 所以直线 A 1 E 与直线 B 1 F 所成的角的余弦值为61。 解法二:(向量法) 分析:因为给出的立体图形是一个正方体, 所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,BB 1 为 z 轴,设 BC 长度为 2。 B A C D F E B 1 A 1 D 1 C 1 G H S R P Q B A C D F E B 1 A 1 D 1 C 1 则点 A 1 的坐标为(0,2,2),点 E 的坐标为(1,0,1), 点 B 1 的坐标为(0,0,2),点 F 的坐标为(2,1,1); 所以向量1EA 的坐标为(-1,2,1),向量 F B 1 的坐标为(2,1