直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),
∴AB=CE,∠B=∠DCE,
∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE=90°,
∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
拓展资料:
逆命题1
原命题1:如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
逆命题1:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形,且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心,以中线长为半径作圆,则该边成为圆的直径,该三角形的另一个顶点在圆上,该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角,所以逆命题1成立。
逆命题2
原命题2:如图,如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线,那么它等于AC的一半。
逆命题2:如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点,另一端D在斜边AC上,且BD等于AC的一半,那么BD是斜边AC的中线。
逆命题2是不成立的。举一个反例。