关于求三角函数最小正周期的问题,是三角函数的重点和难点,教科书和各种教参中虽有讲解,但其涉及到的题目类型及解决方法并不多,学生遇到较为复杂一点的问题时,往往不知从何入手。本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法,仅供参考。
一、定义法
直接利用周期函数的定义求出周期。
例1. 求函数
(m≠0)的最小正周期。
解:因为
所以函数
(m≠0)的最小正周期
例2. 求函数
的最小正周期。
解:因为
所以函数
的最小正周期为
。
二、公式法
利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.
或
的最小正周期
。
2.
的最小正周期
。
3.
的最小正周期
。
4.
的最小正周期
例3. 求函数
的最小正周期。
解:因为
所以函数
的最小正周期为
。
例4. 求函数
的最小正周期。
解:因为
,
所以函数
的最小正周期为
。
三、转化法
对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为
等类型,再用公式法求解。
例5. 求函数
的最小正周期。
解:因为
所以函数
的最小正周期为
。
例6. 求函数
的最小正周期。
解:因为
其中
,
所以函数
的最小正周期为
。
四、最小公倍数法
由三角函数的代数和组成的三角函数式,可先找出各个加函数的最小正周期,然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注:
1. 分数的最小公倍数的求法是:(各分数分子的最小公倍数)÷(各分数分母的最大公约数)。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
例7. 求函数
的最小正周期。
解:因为csc4x的最小正周期
,
的最小正周期
,由于
和
的最小公倍数是
。
所以函数
的最小正周期为
。
例8. 求函数
的最小正周期。
解:因为
的最小正周期
,
最小正周期
,由于
和
的最小公倍数是
,
所以函数