1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件,求得到次品数的期望和方差?2、设某射手对同一目标射击,直到射中R次为止,记X为使用的射击次数,已知命中率为P,求E(X)、D(X)。这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式,证明过程中提供变换技巧,然后把这两个题目作为例题。先定义一个符号,用S(K=1,N)F(K)表示函数F(K)从K=1到K=N求和。公式1:C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N)公式1 证明:方法1、可直接利用组合数的公式证明。方法2、(更重要的思路)。从M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中,包含这一个元素的有C(M-1,N-1)种组合,不包含这一个元素的有C(M-1,N)种组合。因此,C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N)公式2:S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N) (M》=N)证明:C(M,N)是从M个物品中任选N个的方法。从M个物品中任意指定M-N个,并按次序编号为第1到第M-N号,而其余的还有N个。则选出N个的方法可分类为:包含1号的有C(M-1,N-1)种;不包含1号,但包含2号的有C(M-2,N-1)种;。。。。。。不包含1到M-K号,但包含M-K+1号的有C(K-1,N-1)种。。。。。。不包含1到M-N-1号,但包含M-N号的有C(N,N-1)种不包含1到M-N号的有C(N,N)种,而C(N,N)=C(N-1,N-1)由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法,因此S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N)公式3:S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N) (P,Q)=N)证明:一批产品包含P件正品和Q件次品,则从这批产品中任选N件的选法为C(P+Q,N)。而公式里面的K表示选法中正品数量,C(P,K)*C(Q,N-K)表示N件产品中有K件正品,N-K件次品的选法。K从0到N变化时,就包含了所有不同正品、次品数的组合。因此,S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N)公式4(一种变换技巧):S(K=0,N)K*C(M,K)=S(K=0,N-1)M*C(M-1,K)证明:S(K=0,N)K*C(M,K)=S(K=1,N)K*C(M,K)=S(K=1,N)K*M!/K!/(M-K)!=S(K=1,N)M*(M-1)!/(K-1)!/(M-K)!=S(K=1,N)M*C(M-1,K-1)=S(K=0,N-1)M*C(M-1,K)公式5(公式4的同种)S(K=0,N)K*(K-1)*C(M,K)=S(K=0,N-2)M*(M-1)*C(M-2,K)证明:(类似上式)S(K=0,N)K*(K-1)*C(M,K)=S(K=2,N)K*(K-1)*M!/K!/(M-K)!=S(K=2,N)M*(M-1)*(M-2)!/(K-2)!/(M-K)!=S(K=2,N)M*(M-1)*C(M-2,K-2)=S(K=0,N-2)M*(M-1)*C(M-2,K)公式4用于求数学期望,公式4、公式5结合起来可用于求方差。例1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件,求得到次品数的期望和方差?解:(本题利用公式3、4、5)有K件次品的概率为:P(K)=C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)E(X)=S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)=S(K=0,149)1000*C(999,K)*(14000,149-K)/C(15000,150)=1000*C(14999,149)/C(15000,150)=10D(X)=S(K=0,150)(K-10)*(K-10)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)=S(K=0,150)(K*K-K-19*K+100)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)=S(K=0,150)K*(K-1)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)-19*S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)+100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)=S(K=0,148)1000*999*C(998,K)*C(14000,148-K)/C(15000,150)-19*S(K=0,149)*1000*C(999,K)*C(14000,149-K)/C(15000,150)+100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)=1000*999*C(14998,148)/C(15000,150)-19*1000*C(14999,149)/C(15000,150)+100=138600/14999=9.240616041此题推广形式为:设M件产品中有P件次品,从中拿出N件(N《=P),求得到次品数的期望和方差?E(X)=P*N/MD(X)=P*(P-1)*C(M-2,N-2)/C(M,N)+(1-2*P*N/M)*P*C(M-2,N-2)/C(M,N)+(P*N/M)^2例2、设某射手对同一目标射击,直到射中R次为止,记X为使用的射击次数,已知命中率为P,求E(X)、D(X)。解:射中R次,使用的射击次数为K次(K>=R),则前K-1次射中R-1次,第K次射中了,概率为:P(K)=C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)(以下暂时用W表示无穷大)射中R次,使用的射击次数可为R次、R+1次...W次因此S(K=R,W)P(K)=1 (这是概率的特点)即:S(K=R,W)C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=1以上证明的式子是另一个公式,即无论P,R是什么数都成立,以下将应用这一公式。E(X)=S(K=R,W)K*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=S(K=R,W)K*(K-1)!/(R-1)!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)=S(K=R,W)R*K!/R!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)=S(K=R,W)R*C(K,R)*P^R*(1-P)^(K-R)=R/P*S(K=R,W)C(K,R)*P^(R+1)*(1-P)^(K-R)令K1=K+1,R1=R+1,则E(X)=R/P*S(K1=R1,W)C(K1-1,R1-1)*P^R1*(1-P)^(K1-R1)利用以上公式得E(X)=P/RD(X)=S(K=R,W)(K-R/P)^2*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=S(K=R,W)(K*K-2*K*R/P+R*R/P/P)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=S(K=R,W)[K*(K+1)-(K+2*K*R/P)+R*R/P/P]*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=S(K=R,W)[K*(K+1)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)-S(K=R,W)(K+2*K*R/P)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)+S(K=R,W)R*R/P/P*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=(推导过程同求E(X),略)=R(R+1)/P/P-(2*R+P)*R/P/P+R*R/P/P=(1-P)*R/P/P