经济数学基础 概率论与数理统计 第三讲 概率的运算法则 第三节 概率的运算法则 一、概率的加法公式 二、条件概率 三、概率的乘法公式 一、概率的公理化定义 设E是随机试验,?是它的样本空间,对E的每一 个事件A,将其对应于唯一实数,记为P(A ),称为事件 A的概率,如果集合函数P(?)满足下列条件: 1 非负性 对任一个事件A有P( A) ? 0 2 规范性 对必然事件?, 有P(?) ? 1 3 可列可加性 若A1 , A2 ,?是两两互不相容的事件 则P(? Ai ) ? ? P( Ai ) i ?1 i ?1 ? ? 二.概率的加法法则 性质1 P(?) ? 0 性质2(有限可加性) 若事件A1 , A2 ,?, An 两两互不相容,则P( A1 ? A2 ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? P( An ) 性质3 性质4 对任一事件A有P( A) ? 1 ? P( A) P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) 若事件A, B满足A ? B,则有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) P( A) ? P( B) 证明 性质3 性质3 对任一事件A有P( A) ? 1 ? P( A) 证明: 因为 A ? A ? ? 且AA ? ? 由性质2可得 1 ? P(?) ? P( A ? A) ? P( A) ? P( A) P( A) ? 1 ? P( A) 证明 性质4 P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) 证明:因为 A ? A? ? A( B ? B ) ? AB ? AB 且AB ? AB ? ? P( A - B) ? P( AB ), 所以 P( A) ? P( AB) ? P( AB ), 又 于是 P( A - B) ? P( A) ? P( AB) 例1 设有一批产品共100件,其中5件是次品,任取3件,求:至少有一件是次品的概率。 解 法一. 设A为“任取三件至少有一件次品”,Bi表示“任取 三件恰好有i件次品”,则A?B1 ? B2 ? B3 , 且B1 , B2 , B3两两互不相容。于是 P(A ) = P(B 1 热B 2 = 1 2 C5 C 95 B 3 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) + P(B 3 ) 2 1 C5 C 95 C 3 100 + C 3 100 + 0 C 53C 95 C 3 100 0.1440 法二. A表示“任取三件全是正品”,而3C95 P( A) ? 3 ? 0.8560 C100 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.8560 ? 0.1440 例2 袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一只, 有放回地抽三次,求三次抽取“颜色全同”、“至 少一只红球”的概率. 解P("颜色全同 " ) ? P ("全红"?"全黄"?"全白" ) ? P (全红) ? P (全黄) ? P (全白) ? 1 1 1 1 ? 3? 3? 3 3 3 3 9 P ("至少一只红球 " ) ? P ("无红球" ) 23 19 ? 1 ? P ("无红球" ) ? 1 ? 3 ? 3 27 若A,B互不相容,有P( A ? B) ? P( A) ? P( B). 一般地, 定理1(加法公式) 对任意两个事件A、B有P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) 证明:因为 且A?B?A?BA?A?(B?AB) A( B ? AB) ? ?, AB ? B 故P( A ? B) ? P( A) ? P( B ? AB) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) P( A ? B) ? P( A) ? P( B). 定理1可以推广到多个事件的情形。 推论1 若A1, A2, A3为任意三个事件,则P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A2 A3 ) ? P( A1 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) 一般地,对任意n个事件A1 , A2 ,?, An 可由归纳法证得。 例3 在例2中,求“取到的三个球里没有红球或 没有黄球”的概率. 解P("无红或无黄 " ) ? P ("无红"?"无黄" ) ? P ("无红" ) ? P ("无黄" ) ? P ("无红"且"无黄" ) 8 8 1 5 ? ? ? ? 27 27 27 9 例4 设A、B为两事件, 且设 P( B) ? 0.3, P( A ? B) ? 0.6 求P( AB) 解P( AB) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) 而P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) 所以 P( A ? B) ? P( B) ? P( A) ? P( AB) 于是 P( AB) ? 0.6 ? 0.3 ? 0.3 例5 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求A、B、C 都不出现的概率. 解:因为A、B、C 都不出现的概率为 P( ABC ) ? 1 ? P( A ? B ? C ) = 1?P(A)?P(B)?P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)?P(ABC) = 1?1/4?1/4?1/4+0+1/6+1/6?0 =1?5/12 = 7/12 二、条件概率 前面讲的概率问题没有什么附加条件,但实际中 可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如: (1)已知某人艾兹检查为阳性,求他患艾兹的概率; (2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖,求 第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑:已知某人已经活了 x岁, 求他能再活y岁的概率。 例6:E:将一枚硬币抛二次,观察正反面出现的情况。 Ω={HH,HT,TH,TT} A=“至少有一次为H”={HH,HT TH} B=“两次为同一面”={HH,TT} 已知事件A发生的条件下,求事件B发生的概率。 解:(1)事件A发生这个条件告诉我们,试验的结果{TT} 不能出现,而只出现{HH,HT ,TH},这时B要发生只能出现 结果{HH}。从而 P(“事件A发生的条件下事件B发生”)=1/3 ? P( B | A) P(“事件A发生的条件下事件B不发生”)=2/3 ? P( B | A) def def (2)如果没有事件A发生这个条件则事件B发生的概率为: 2 1 1 P ( B ) ? ? ? P ( B | A) ? 4 2 3 (3) 事件A与事件B同时发生的概率为: 3 1 P( A) ? , P( AB) ? 4 4 从而有公式: P( AB) 1 P( B | A) ? ? P( A) 3 定义1 设A, B是两个事件,且P( A) ? 0,称P( AB) P( B A ) ? P( A) (3) 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 可以验证,条件概率P(?|A)满足概率公理化定义中的 三条公理 1 非负性 2 规范性 对任一个事件B,有0 ? P( B | A) ? 1 P(? | A) ? 1 3 可列可加性 对两两互不相容的事件B1 , B2 ,? Bn, ?有P(? Bi | A) ? ? P( Bi | A) i ?1 i ?1 ? ? 由此可知,前面推出的概率的性质对条件概率同 样适用,例如: P(? | B) ? 0; P ( A | B) ? 1 ? P ( A | B); P ( A1 ? A2 | B ) ? P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ? P ( A1 A2 | B ) 概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 联系:事件A,B都发生了 区别: (1)在P(B|A)中,事件A,B发生有时间上的差异, A先B后;在P(AB)中,事件A,B同时发生。 (2)样本空间不同,在P(B|A)中,事件A成为样本 空间;在P(AB)中,样本空间仍为 因而有 ?。 P( B | A) ? P( AB) 例7 一袋中有10 个球,其中3个黑球,7个白球, 依次从袋中不放回取两球。试求:已知第一次取出的 是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率. 解记Ai ? { 第i次取到黑球 } ( i ? 1, 2) 因为 所以 3 P ( A1 ) ? 10 3? 2 1 P( A1 A2 ) ? ? 10 ? 9 15 P( A1 A2 ) 2 P( A2 A1 ) ? ? P( A1 ) 9 例8 考虑恰有两个小孩的家庭,若已知某一家有 男孩求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一 个是男孩,求这家有两个男孩(相当于第二个也 是男孩)的概率(假定生男生女为等可能) 解:设A表示有男孩,B 表示有两个男孩,A1 表示第一 个是男孩,我们有 Ω ={(男,男) , (男,女) , (女,男) , (女,女)} A={(男,男) , (男,女) , (女,男)},B={(男,男)} A1={(男,男) , (男,女)} 于是得 P(A) ? 3 4 1 P(AB) ? P(B) ? 4 1 P(BA1 ) ? P(B) ? 4 所求的两个条件概率为 P(AB) 1 4 P(B| A) ? ? ? P(A) 3 3 4 1 P(BA 1 1) 4 P(B| A1 ) ? ? ? 1 P(A 2 1) 2 1 三、概率的乘法公式 定理1 (乘法公式) 设P( A) ? 0, 则有P( AB) ? P( B A) P( A) 一般地,若A1 , A2 ,? An 是n个事件,且P( A1 A2 ? An?1 ) ? 0 则由归纳法可得: P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )? P( An | A1 A2 ? An?1 ) 由于A, B的位置具有对称性,因此,若P( B) ? 0 则由 P( AB) P( A B ) ? P( B) 可得 P( AB) ? P( A B) P( B) 例8 关于某产品的检验方案为从100件中任取一件,无放回, 如为次品,认为不合格;如为正品,再抽一件;如此连续至多4 次,如连续抽取4件正品,则认为这批产品合格,现假定这批产 品中5%是次品,问产品被拒收的概率 。 解设A?{产品被拒收} Bi ? {第i次抽得正品}, i ? 1,2,3,4 则 因此 A ? B1B2 B3 B4 P( A) ? 1 ? P( A ) ? 1 ? P( B1B2 B3 B4 ) ? 1 ? P( B1) P( B2 | B1) P( B3 | B1B2 ) P( B4 | B1B2 B3 ) 95 94 93 92 ?1? ? 0.188 100 99 98 97 例9:据以往资料,某一3口之家,患某种传染病的概率有 以下特点: P(孩子得病)=0.6,P(母亲得病|孩子得病)=0.5 P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4 求“母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率。 解:设A={孩子得病},B={母亲得病},C={父亲得病} P( A) ? 0.6, P( B | A) ? 0.5, P(C | AB) ? 0.4 P( ABC ) ? P(C | AB) P( B | A) P( A) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.18 作业 习题3