普通物理 A (2)练习册 第 12 章 真空中的静电场 一、选择题 1(C),2(A),3(C),4(D),5(B), 二、填空题 (1). 0,? / (2?0) ; (4). 参考解答 (2). 0 ; (5). 0,pE sin? ; (3). -2×103 V; q0 q 4 ?? 0 ?1 1? ? ?r ? r ? ?; b ? ? a 三、计算题 1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状,设电荷均匀分布, 电荷线密度为?,四分之一圆弧 AB 的半径为 R,试求圆心 O 点的场强. A ∞ O ∞ 解:在 O 点建立坐标系如图所示. 半无限长直线 A∞在 O 点产生的场强: B ? E1 ? ? E2 ? ? E3 ? ? ? ? ?i ? j ? 4?? 0 R 半无限长直线 B∞在 O 点产生的场强: ? ? ? ?? i ? j ? 4?? 0 R ∞ y 四分之一圆弧段在 O 点产生的场强: ? E2 A O B ? ? ? ?i ? j ? 4?? 0 R ? E3 ? E1 x ∞ 由场强叠加原理,O 点合场强为: ? ? ? ? E ? E1 ? E2 ? E3 ? ? ? ? ?i ? j ? 4?? 0 R 2. 一“无限长”圆柱面,其电荷面密度为: ??= ?0cos ???,式中??为 半径 R 与 x 轴所夹的角,试求圆柱轴线上一点的场强. z O 解:将柱面分成许多与轴线平行的细长条,每条可视为“无限长”均匀 带电直线,其电荷线密度为 ? = ?0cos? Rd?, 它在 O 点产生的场强为: x ?? R y 1 dE ? ? ? ? 0 co s ? d ? 2?? 0 2?? 0 R dE dEy dEx O y R d? x 它沿 x、y 轴上的二个分量为: ?0 dEx=-dEcos? = ? co s 2 ? d ? 2?? 0 ?0 sin? co s ? d ? dEy=-dEsin? = 2?? 0 2? ? ? 0 积分: E x ? ? ? co s 2 ? d ? = 0 0 2?? 2? 0 0 2? ? 0 E y ? ?? sin ? d(sin ? ) ? 0 0 2?? 0 ∴ ?? ? ? ? ? E ? Exi ? ? 0 i 2? 0 3. 如图所示,一厚为 b 的“无限大”带电平板 , 其电荷体密 度分布为?=kx (0≤x≤b ),式中 k 为一正的常量.求: (1) 平板外两侧任一点 P1 和 P2 处的电场强度大小; (2) 平板内任一点 P 处的电场强度; (3) 场强为零的点在何处? P1 O x P P2 x b 解: (1) 由对称分析知,平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面.设 场强大小为 E. 作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小为 S,如图所示. 按高斯定理 E ? d S ? S ? ? ? ?q /? 0 ,即 2SE ? 1 ?0 ? b 0 ?S d x ? kS ?0 ? b 0 xd x ? kSb2 2? 0 E S dx b E S S E 得到 E = kb2 / (4?0) (板外两侧) (2) 过 P 点垂直平板作一柱形高斯面,底 面为 S.设该处场强为 E ? ,如图所示.按高斯 定理有 ?E? ? E ?S ? kS ?0 xdx ? kSb x 2 S x P E? ?0 2? 0 得到 E? ? k 2? 0 ? 2 b2 ? ? ?x ? 2 ? ? ? ? (0≤x≤b) 2 (3) E ? =0,必须是 x ? b2 ? 0 , 可得 x ? b / 2 2 R O 4. 一 “无限大” 平面, 中部有一半径为 R 的圆孔, 设平面上均匀带电, 电荷面密度为?.如图所示,试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直 线上各点的场强和电势(选 O 点的电势为零). ? 2 解:将题中的电荷分布看作为面密度为?的大平面和面密度为-?的圆盘叠加的 结果.选 x 轴垂直于平面,坐标原点O在圆盘中心,大平面在 x 处产生的场强为 ? σx ? E1 ? i 2? 0 x 圆盘在该处的场强为 ∴ ? ?? ?σx ? 1 ?1 ? ?i E2 ? 2 2 ? 2? 0 ? x R ? x ? ? ? ? ? ? σx E ? E1 ? E2 ? i 2? 0 R 2 ? x 2 P O x 该点电势为 U ?? 0 x ? 2? 0 xd x R2 ? x2 ? ? R ? R2 ? x2 2? 0 ? ? - 5.一真空二极管,其主要构件是一个半径 R1=5×10 4 m 的 圆柱形阴极 A 和一个套在阴极外的半径 R2=4.5×10 3 m 的 同轴圆筒形阳极 B,如图所示.阳极电势比阴极高 300 V, 忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力. (基本 电荷 e=1.6×10 19 C) B R1 R2 A 解: 与阴极同轴作半径为 r (R1