第九讲平面向量的数量积 本节主要内容:平面向量数量积的物理背景、数量积的定义及其几何意义、数量积 的性质、数量积的运算律、数量积的坐标表 示、平面向量的模、向量的夹角等内容,通 过本节学习,进一步加深对平面向量的运算 的认识,掌握通过向量的坐标表示,将几何 问题转化为代数问题来解决的方法,领悟数 学知识间的内在联系和数形结合的重要数学 思想,提高合情推理能力. 对于平面向量的数量积的要求如下:通过物理中"功"等实例,理解平面向量数 量积的含义及其物理意义; 体会平面向量的数量积与向量投影的关系; 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向 量数量积的运算; 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 本节在高考中以选择题、填空题考查本章的基本概念和性质,重点考查平 面向量的数量积的概念及应用,重点体 会向量为代数几何的结合体. 平面向量的综合问题是属于新的热 点题型,其形式为与直线、圆锥曲线、 解三角形、三角函数等联系,解决角度、 垂直、共线等问题,以解答题为主. 1.平面向量数量积的物理背景我们知道,如果一个物体在力F 用下产生位移s,那么力F 所做的功 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a ,它们的夹角是,则数量 ).我们规定,零向量与任何向量的数量积为0. 两个向量的数量积与实数与实数的积有很大区别: (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量, 符号由cos 的符号所决定; (2)两个向量的数量积称为内积,写成a 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分符号“ 在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替; ,因为其中cos有可能为0. (4)已知实数 则abbc 共线的向量,而右端是与a 不一定共线.10 3.“投影”的概念定义: 方向上的投影. 注意:(1)投影也是一个数量,不是 向量,它可正可负,可以为零; 钝角时投影为负值;当为直角时投影 4.向量的数量积的几何意义数量积a 的乘积.12 同向的单位向量. 6.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a 7.平面向量数量积的坐标表示(1)已知两个非零向量 轴上的单位向量,那么 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a xxyy 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (平面内两点间的距离公式).18 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; 21 (这些和实数比较类似);22 PAPB PC PAPB PB PC PC PA 的垂心;23 ACAB AB AC 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在直线);24 (4)向量PA PB PC 共线存在实数 使得PA PB PC OCOA OB 的轨迹是直线AB 三.典型例题选讲26 向量都成立; (6)对任意向量a 归纳小结:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系,重点 清楚0 2(06湖南)已知| 归纳小结:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问 题.本题是将数量积运算与一元二次方 程的根以及三角函数建立联系,体现向 量知识的学科内应用.如在平面向量与 三角函数的交汇处设计考题,其形式多 样,解法灵活,极富思维性和挑战性. 31 例3(2009浙江卷理)设向量a A.3B.4 C.5 D.6 32 解析:对于半径为1的圆有一个位置 是正好是三角形的内切圆,此时只有三个 交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变 化,能实现4 个交点的情况,但5 个以上 的交点不能实现.所以答案为B. 33 归纳小结:平面向量与平面几何、解析几何有密切联系,也是常考的知识交汇点,应引起 足够的重视,并充分挖掘他们之间的内在联 系,从本质上理解各个知识点.本题中由 的模为边长构成的三角形为直角三角形,且此直角三角形的内切圆半径为1,从而易得交点 个数. 34 例4(2009全国卷理)设a -1D.1 归纳小结:本题考查平面向量的数量积运算,同时和三角函数 结合,考查最值的计算,侧重基 本知识和基本方法的应用的落实. 37 例5(2009宁夏海南卷理)已知O OAOB OC NANB NC PAPB PB PC PC PA A.重心外心 垂心 B.重心 外心 内心 C,外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三 角型的垂心) 答案:C. 39 OAOB OC NANB NC 心;因为PAPB PB PC PC PA PAPC PB ,即CAPB ,同理,AP BC 的垂心.故选C.40 归纳小结:本题将平面几何中的重心,外心,垂心用平面向量的运算的形 式表现出来,充分体现出平面向量和平 面几何的密切联系,同时再现了向量的 工具性作用. 41 例6(2009安徽卷理)给定两个长度为1的平面向量 ,它们的夹角为 .如图 所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变 的最大值是________.OB OA和OCxOAyOB 解析:设AOC OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB 所以2[cos cos(120 cos3sin 2sin( 归纳小结:若直接从OCxOA yOB 的最大值,显然有困难.本题通过利用向量的数量积 运算实现了用三角函数表示x ,进而由三角函数求出x 的最大值,同时也为我们提供了一种求分量x 的方法.45 使MPMN ,PMPN ,NMNP 成公差小于零的等差数列. 的夹角,求tan PMMP PNNP MNNM MPMN PMPN NMNP 因MPMN ,PMPN ,NMNP 所以,点P的轨迹是以原点为圆心, 为半径的右半圆.48 PMPN PMPN PMPN PM PN sintan cos 归纳小结:本题将平面向量的数量积与数列、三角函数、解析几何的知识 联系起来,题目虽然较综合,但要求为 基础知识和基本方法的考查,以后的学 习过程中应逐步培养和提高综合应用数 学知识的能力. 51 四.本专题总结向量知识,向量观点在数学、物理等学 科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代 数形式和几何形式的“双重身份”能融数形 于一体,能与中学数学教学内容的许多主干 知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应 引起足够的重视.数量积的考查主要在求 模长;求夹角;判垂直的问题中. 52 在学习过程中,应注重数学思想方法的应用: 数形结合的思想方法 由于向量本身具有代数形式和几何形式 双重身份,所以在向量知识的整个学习过 程中,都体现了数形结合的思想方法,在 解决问题过程中要形成见数思形、以形助 数的思维习惯,以加深理解知识要点,增 强应用意识. 53 化归转化的思想方法向量的夹角、平行、垂直等关系的研 究均可化归为对应向量或向量坐标的运算 问题;三角形形状的判定可化归为相应向 量的数量积问题;向量的数量积公式,沟 通了向量与实数间的转化关系;一些实际 问题也可以运用向量知识去解决. 54 分类讨论的思想方法如向量可分为共线向量与不共线 向量;平行向量(共线向量)可分为同 向向量和反向向量;向量 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同,有 正数、负数和零三种情形;定比分点公 的位置不同,可以大于零,也可以小于零.