已知点A(x0,y0),方程为y=kx+b,求点B(x1,y1)。因为A、B两点关于直线L1对称,所以A、B连线线段的中点C(x3,y3)在直线L1上。可列出关系式:y3=kx3+b。所以y1+y0/2=y3,x1+x0/2=x3。可求出x1和y1(x0、y0、k、b已知)。
求一条直线对称点的坐标
①设所求对称点A的坐标为(a,b)。
②根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。
③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。
④联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。举例:
①已知点B的坐标为(-2,1),求它关于直线y=-x+1的对称点坐标。
②设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,b+1/2=-(a-2/2)+1,可得:a+b=3(1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称,所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,所以直线AB的斜率为1。AB斜率:b-1/a+2=1(2)
③联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3所以该点的坐标为(0,3)
对称点公式
求点A(x1,y1)关于直线l:ax+by+c=0的对称点B(x2,y2)
1、斜率方面
直线L的斜率为K1=-a/b
那么由AB所构成的直线与L是垂直的关系
所以K2=a/b=y1-y2)/(x1-x2)方程①
2、点线方面
对称点与A的中点必在直线上
所以a(x1+x2)/2+b(y1+y2)/2+c=0方程②
联立上述方程,通过代入法