本文主要介绍线性方程组求解与解的结构问题进行了讨论,对于线性方程组的基本定义和定理,大家务必要深刻了解,在了解的基础上,大家一定要去练习基本习题,加深印象,同时这一板块,也是我们考研中的重点问题,希望大家重视.设线性方程组为
引入向量
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
显然可知,线性方程组(1)有解的充分必要条件为向量
可以表示成向量组
的线性组合.
定理1.(线性方程组有解判别定理)线性方程组(1)有解的充分必要条件为它的系数矩阵秩等于增广矩阵的秩.
定理2.数域K上n元线性方程组(1)有解时,如果它的系数矩阵A的秩等于n,那么方程组(1)有唯一解,如果A的秩小于n,那么方程组有无穷多个解.
推论1.数域K上n元齐次线性方程组,有非零解的充分必要条件为:它的系数矩阵的秩小于未知量的个数n.
定理3.数域K上n元齐次线性方程组的解空间W的维数为
其中A是方程组的系数矩阵,从而当齐次线性方程组有非零解时,它的每个基础解系所含解向量的个数都等于 n - rank(A) .
推论 2.如果 n 元非齐次线性方程组
有解,那么它的解唯一的充分必 要条件是:
例1.讨论a取什么值时,下述数域K上线性方程组有唯一解?有无穷多个解?无解?
解:对于以上线性方程组的增广矩阵作初等行变换:
当
时,上述最后一个矩阵为
从而有 rank(A)=1, 此时系数矩阵 A 的秩为 1, 因此当 a=1 时,方程组有解, 且有无穷多个解.
下面设
于是
于是当
时,增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩,方程组有唯一解;当
时,系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,即方程组无解.
例2.(南开大学2005)齐次线性方程组
的一般解以
作为自由未知量,
(1)求
满足的条件.
(2) 求齐次线性方程组的基础解系.
证明:(1)由条件知,方程组系数矩阵的秩为2,系数矩阵
(2)易求得基础解系为
例3.证明线性方程组
只有零解,其中
为整数.
证明:令
则
其中
都是整数且都是 3 的倍数,则原方程组的系数行列 式为:
易知
从而由 Cramer 法则可知该方程组只有零解.