先来看一道类似的题目
1975年的IMO(国际数学奥林匹克竞赛)的第4题
这题想要求的是
做这道题首先需要知道一个引理:
也就是n和d(n)除以9后余数相同。
这个很好证明,先将n写为:
因为我们知道
也就是对任意整数
,运用同余的乘法运算(multiplication of congruence):
又因为同余的加法运算(addition of congruence):
所以:
接下来我们还需要知道另一个东西:欧拉定理
如果正整数
和整数
互质,那么就有
。
其中欧拉函数
是「小于
的正整数中和
互质的数」的个数
a,b互质意味着gcd(a,b) = 1(a, b的最大公约数为1)。
举个例子,假设a是3,n是10。那么gcd(3, 10) = 1。
小于10的正整数有{1,2,3,4,5,6,7,8,9},其中与10互质的有{1,3,7,9},也就是说
。
所以通过欧拉定理,
。
接下来我们就可以开始解题啦!
我们首先知道gcd(4444,9) = 1,以及
。那么通过欧拉定理,我们知道:
又因为
,所以 :
而
,也就是
,所以:
也就是
因为我们前面提到
,所以:
将这条引理多用两次,可得
知道了这个后我们就可以开始缩小
的范围了。
首先我们知道
(n的位数)。
什么意思呢?假设n是个6位数,那么n最大就是999999,所以
。
而对于任意一个正整数n, n的位数是
,所以:
当然也有另一个方向:
所以
的位数小于等于17776位:
这两个其实差不多,因为159993和159984都是6位数。
所以
你可以很容易得出
,因为54是两位数。但其实我们可以进一步缩小,因为
,而如果你把1到54每个的数字之和(d(n))算出来,你会发现最大的是49,因为d(49)=13。当然这点也可由观察得知。
所以我们得知
,而我们上面又算出
!
那么只有一个数字是符合这两个条件的!也就是
!
啊。。终于写到这了。。
题主的问题
看懂了这题之后,我们再回来看看题主说的这题。
题主要求的是
,注意这个是两层,而IMO那题是三层。
同样的我们要先算
模9。
因为gcd(2021, 9) = 1,所以通过欧拉定理,我们得知:
,以及
所以:
又因为
:
因此,由我们之前的引理可知:
通过再次使用引理,我们知道
。
接下来我们就是要再次来缩小范围了,还记得我们上面说过
(n的位数),以及对于任意一个正整数n, n的位数是
。
在这里就是
所以
其实这里我们还可以缩小,因为
,那么
可以实现的最大数值应该是在
的时候。
也就是:
注意!到目前为止,所有的步骤都是可以通过简单的手算得出。
如果我们这时适当地引入计算器去算出
。那么可以进一步地缩小范围
因为
那么我们就知道
可以实现的最大数值应该是在
的时候。所以:
到这里就差不多了,也和另一位高赞答主的答案一样。
所以现在我们已知:
和
满足这两个条件的
只有
,也就是题主的问题描述。
进一步缩小范围,我暂时也没有答案。
不过我看到题主在另一个高赞的评论里写到,是看到了
那道题才想到的这一道。那么我这里假设题主其实想求的是三层的,
。
我们知道
,也就是说能实现
最大值的
是39。
所以
,以及我们用多一次引理可得
。
那么
可能的答案就是
中的一个。
如果我们能进一步缩小范围,也就可以回去把
的29和38给排了,因为这两个的进一步数字之和是11,但其它的是2。