第一条公理是说 至少有一个对象是自然数然后记做0。 当然记做什么其实无所谓,在符号里边 它只是一个符号而已。 第二个公理是说,如果n是一个自然数的话 那么n呢必然会有一个直接后继,记做为n' 这里头就引入了一个叫做"直接后继"的概念,直接后继 第三个是说,0呢不是任何自然数的直接后继,也就是它是最初始的那个 第四条公理是说如果 自然数m,n它们的直接后继m'和n'相同的话 那么m就等于n。 那么这个呢就确定了什么? 自然数一个线性的性质,它是直链,一条直链,它不会有分叉 那么第五个就是,没有不满足上述条件的对象是自然数 那么就相当于有一种纯粹的条款的意思了 那么我们如何构造,通过集合来构造一个集合族? 或者说构造一个很大的一个集合,一个无线集合能够满足这些公理呢? 我们就来先分析一下,用集合来定义自然数需要考虑的几个问题 因为到目前为止我们在集合介绍了集合的概念 集合的之间的关系,以及呢集合之间的这个运算 那么我们实际上所掌握的东西并不多,就是屈指可数的那几个 那么首先呢,因为在自然数的5个公理里边 它首先提到了一个,有一个至少有一个自然数称之为0 那么我们也要找一个集合来代表这个0,对吧? 那么这个集合呢当然是越简单越好,越简单越好 那么最简单的集合是什么?我们就想到了空集嘛,空集肯定是一个最简单的集合 然后呢找一种 运算来定义这个他提出来的"直接后继" 因为直接后继呢就相当于像归纳定义里边,它有一个归纳的一个规则 它有一个自然数它就有一个直接后继,然后呢再直接后继,再直接后继……这么一个 所以呢我们需要有一个运算,把这个集合呢进行变化 变化,因为你不能老是空集,如果老是空集的话永远都 得不到下一个自然数。 所以呢我们必须要有一个运算来定义 这个直接后继。 那这个运算呢我们无非就是并、 交、 差、 补 是吧?那实际上只有三个,就是并运算、 交运算和差运算 那么这些运算,哪个适合做这个直接后继呢? 我们想可能那种会使得这个集合 越来越多的这个运算可能会比较合适 因为你空集本来就已经是很小的一个集合了,你还让它越来越少的话,比如说像交集 交运算或者差运算,它是让它变得越来越少 那么这空集已经不能再少了,对吧?所以呢也许 只有并运算才适合这个直接后继,也许啊 然后呢当然,还要要求这个运算呢,就像第三条公理那样,0不是任何的直接后继 那么既然0不是任何自然数的直接后继的话