文章来源:科学大院
“三维世界”的概念,我们早已耳熟能详,但第四维的概念常常蒙着一层惹人疑惑的神秘色彩。作为被长度、高度和宽度所限的生物,我们哪儿来的胆量高谈阔论四维空间?
用尽我们三维头脑的所有智慧,是否有可能想象出四维超空间的模样?
四维的立方体或者球体看起来会是什么样子?
如果要你想象一头尾巴长满鳞片、鼻孔喷出火焰的巨龙,或者一架内设游泳池、机翼上有网球场的奢华飞机,你会在脑海中绘出一幅画面,试图描摹这件物体突然出现在你眼前的时候会是什么模样。
而这幅画的背景自然是正常的三维空间,你熟悉的所有物体,包括你自己在内,都存在于这样的空间里。如果这就是“想象”的确切含义,那么我们似乎不太可能想象出以正常三维空间为背景的四维物体,正如三维物体不可能被挤进平面一样。
但是,等等,从某种意义上说,我们的确能将三维物体压进平面,只要画一幅画就行。
不过在这种情况下,我们借助的当然不是液压机床或者其他什么物理力量,而是一种名为几何“投影”的绘画技巧。要将某件物体(比如说一匹马)压进平面,看看下图,你立即就会明白这两种方式有何区别。
将三维物体“压在”二维面上的两种方法,左边的方法是错的,右边的法子才对
以此类推,现在我们可以说,如果非要将四维物体“挤入”三维空间,那它难免会有些零件左右支棱,但我们的确可以讨论各种四维图形在我们这个三维空间中的投影。不过你必须记住,既然三维物体在二维面上的投影只有两个维度,那么四维超物体在普通三维空间内的投影也必然是三维的。
为了更清楚地理解这一点,首先我们不妨试想一下,生活在二维面上的影子生物该如何理解三维立方体的概念;我们能够轻而易举地想象这一幕,是因为我们生活在“更高级”的三维空间里,所以我们才能从上方,也就是从第三个方向,观察这个二维世界。
要将一个立方体“压进”二维面,唯一的办法就是按照下图所示的方法将它“投射”到这个面上。如果我们的二维朋友看到这个投影,以及旋转立方体得到的其他方向的投影,那么他们至少会对这个名为“三维立方体”的神秘物体形成一些粗浅的理解。
二维生物惊讶地望着三维立方体投射在他们生活的二维面上的影子
他们当然无法“跳出”自己所在的二维空间,像我们一样亲眼观察这个立方体的模样,但通过二维投影,他们至少会发现,这个立方体拥有8个顶点和12条边。