第15课时 数列求和 掌握一些简单数列的求和方法 1.公式法:直接应用等差数列,等比数列的前n项和公式,以及正整数的平方 和公式、立方和公式等进行求和. 2.倒序相加(乘)法:如果一个数列满足与首末两项等距离的两项之和(积)为一定 值,可采用推导等差数列前n项和的方法进行求和. 3.错位相减法:若数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,则数列{anbn}可 采用推导等比数列前n项和的方法进行求和. 4.裂项相消法:例如若数列{an}为等差数列,d为等差数列的公差, Sn= + ,其中 , 则Sn采用 裂项相消法进行计算. 5.常见求和公式 12+22+32+?+n2=n(n+1)·(2n+1); 13+23+33+?+n3=[ n(n+1)]2 1.在等比数列{an}(n∈N*)中,若a1=1,a4= ,则该数列的前10项和为 ( ) 答案:B 2.数列{an}的前n项和为Sn,若an= ,则S5等于( ) 答案:B 3. 设f(n)=2+24+27+210+?+23n+10(n∈N),则f(n)等于( A. (8n-1) B. (8n+1-1) C. (8n+3-1) D. ) (8n+4-1) 解析:f(n)=2+24+27+210+?+23n+10= (8n+4-1). 答案:D 4.若数列{an}的通项公式为an=4n-1,bn= 项和是( ) ,则数列{bn}的前n A.n2 B.n(n+1) C.n(n+2) D.n(2n+1) 解析:a1+a2+?+an= +?+bn= 答案:C =n2+2n. =2n2+n,则bn=2n+1,因此 b1 + b2 (1)若数列{an}{bn}成等差或等比数列,则可利用公式求数列{an±bn}的前n项和. (2)对通项是类似于an= 项和. (3)若数列{an}成等差,{bn}成等比,可利用错位相差法求数列{anbn}的前n项和. 类型的数列可利用裂项相消法求数列 {an} 的 前 n 【例1】根据下列数列的通项公式,求数列{an}的前n项和Sn. (1)an= ; (2)an=n(n+1); (3)an= (4)an=n·2n; (5)an=an(an-1). ; (2)an=n(n+1)=n2+n,∴Sn=a1+a2+?+an=(12+1)+(22+2)+?+(n2+n) =(12+22+?+n2)+(1+2+?+n)= n(n+1)(n+2). (4)∵an=n·2n,∴Sn=a1+a2+?+an=2+2×22+?+n2n,① ∴2Sn=22+2×23+?+(n-1)2n+n2n+1. ② ①-②得:-Sn=2+22+23+?+2n-n2n+1=2(2n-1)-n2n+1, ∴Sn=(n-1)2n+1+2. (5)①若a=0,则an=0,∴Sn=0.②若a=1,则an=0,∴Sn=0.③若a=-1, 则an=1-an. =n- Sn=a1+a2+?+an=(1-a)+(1-a2)+?+(1-an) =n+ ④若a≠0,a≠±1,则an=an(an-1)=a2n-an, Sn=(a2-a)+(a4-a2)+?+(a2n-an)=(a2+a4+?+a2n)-(a+a2+?+an) = 等差数列的前n项和公式的推导利用了“倒序相加法”,实际上是推导梯形面 积公式的方法.“倒序相加法”适合于到两端等距离两项的和为定值的数列 求和问题,比如证明: 等. 【例2】求在区间内分母是3的所有不可约分数之和,其中区间记为[a,b](a、b为 自然数,且a0),x1、x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)= . (1)求m的值; (2)已知数列{an}满足an=f(0)+ (3)若Sn=a1+a2+?+an,求Sn. ,求an; (1)若数列{an}为等差数列,且a1>0,d<0,则Sn存在最大值. (2)若数列{an}为等差数列,且a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 【例3】在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项的和为Sn. (1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值; (2)求Tn=|a1|+|a2|+? +|an|. 解答:a16+a17+a18=3a17=-36?a17=-12.又a9=-36, ∴公差d= =3.首项a1=a9-8d=-60,∴an=3n-63. (1)解法一:设前n项的和Sn最小,则 ? n=20或21.这表明:当n=20或21时,Sn取最小值,最小值为S20=S21=-630. 解法二:Sn=-60n+ ∵n∈N*,∴当n=20或21时,Sn取最小值 (202-41×20)=-630. (41n-n2); (2)由an=3n-63≤0?n≤21,∴当n≤21时,Tn=-Sn= 当n>21时,Tn=-a1-a2-?-a21+a22+?+an=Sn-2S21 = (n2-41n)+1 260. 变式3.等差数列{an}中,a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1,S2,?,S12中,哪个值最大,并说明理由. 【方法规律】 一、数列求和需掌握以下解法 1.直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意等比数列的公比q与1的讨论. 2.错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的 求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广. 3.分组转化法:把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等差、等比数列,再 求和. 4.裂项相消法:把数列的每一项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. 5.倒序相加法:把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程 的推广). 二、数列求和应注意 1.直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程. 2. 重点通过数列通项公式观察数列特点和规律,在分析数列通项的基础 上,判断求和类型,寻找求和的方法,或拆为基本数列求和,或转化为基 本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断. 3. 含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论. (2010· 上海春)(本题满分4分)设n阶方阵 任取An中的一个元素,记为x1所在的行和列,将剩下的元素按原来的位置关 系组成n-1阶方阵An-1,任去An-1中的一个元素,记为x2所在的行和列,……; 将最后剩下的一个元素记为xn,记Sn=x1+x2+·xn,则 · · 【考卷实录】 【答题模板】 解析:根据题意Sn用n的表达式是确定的,不妨将x1,x2,?,xn分别取An中主 对角线上的值1,2n+3,4n+5,?,2n2-1,则Sn=x1+x2+?+xn=1+(2n+3) +(4n+5)+?+(2n2-1)=n+ (2n+2)=n3. 答案:1 【分析点评】 1.本题的立意新颖背景设置独具斧心,巧夺天工,很难一眼看出问题的庐山真 面目. 2.本题的关键是数列求和,标准答案是利用题目要求的一种特殊情况找出了Sn. 体现了从具体到抽象的数学思想,也可考虑从A2,A3,A4,?入手归纳Sn的表 达式. 3.而考卷实录中提供答案产生错误的原因,由于对xn=2n2-1观察的不够准确采 用了错误的求和方法,实质上1+(2n+3)+(4n+5)+?+(2n2-1)是等差数列 的前n项和. 点击此处进入 作业手册