1 第一章 有理数 (一)有理数 1、 有理数的分类: 按有理数的定义分类: 按有理数的性质符号分类: 正整数 正整数 整数 零 正有理数 有理数 负整数 正分数 正分数 有理数 0 分数 负整数 负整数 负有理数 负分数 2、 正数和负数用来表示具有相反意义的数。 (二)数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的 一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数) ※注意:数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。 (三)相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数, 它们位于原点的两侧, 且到原点的距离相等。 0的相反数是0 (四)绝对值 在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 1、一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。 a (a>0) 即对于任何有理数a,都有|a|= 0(a=0) –a(a<0) 2、绝对值的计算规律: (1)互为相反数的两个数的绝对值相等. (2)若|a|=|b|,则a =b或a =-b. (3)若|a|+|b|=0,则|a|=0,且|b|=0. 3、相关结论: (1)0的相反数是它本身。 (2)非负数的绝对值是它本身。 (3)非正数的绝对值是它的相反数。 (4)绝对值最小的数是0。 (5)互为相反数的两个数的绝对值相等。 (6)任何数的绝对值都是它的正数或0,即|a|≥0。 2 (五)倒数 1、定义:乘积为“1”的两个数互为倒数。 2、求法:颠倒这个数的分子和分母。 3、a(a≠0)的倒数是 1 a . (六)有理数比较大小: 比较两个负数的大小,绝对值大的反而小。 比较两个负数的大小的步骤如下: ①先求出两个数负数的绝对值; ②比较两个绝对值的大小; ③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。 ※注意:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数; 数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。正数在原点的右边,负数在原点的左边。 (七)有理数的运算 1.有理数加法法则: ①同号两数相加,取相同符号,并把绝对值相加。 ②异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时取绝对值较大的数的符号,并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加,仍得这个数 2.使用运算简化,通常有下列规律:①互为相反的两个数,可以先相加; ②符号相 同的数,可以先相加; ③分母相同的数,可以先相加; ④几个数相加能得到整数,可以 先相加。 2. 有理数减法法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数。 ※注意:有理数减法运算时注意两“变”:①改变运算符号 ②改变减数的性质符 号(变为相反数) 有理数减法运算时注意一个“不变”:被减数与减数的位置不能变换,也就是说,减 法没有交换律。 3. 有理数乘法法则: ①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。 ②任何数 与0相乘,积仍为0。③多个有理数相乘,判断积的符号:先数负号的个数,当负号的个数 为奇数时积为负数,当负号的个数为偶数时积为正数。 4. 有理数除法法则: ①两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 ②0除以任何非0的数都得0。③0不可作为除数,否则无意义。 5. 有理数的乘方 1、定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。 ※注意:①一个数可以看作是本身的一次方,如5=51 ; ②当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数。 ※乘方的运算性质: