追求极简生活,等着朴金子
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关于基本不等式,你只需要记这一个公式,一个口诀,一个注意点,一堆变形!!
一个公式:
一个口诀:一正、二定、三相等
一正:
二定:定的是上述的公式
三相等:当且仅当
时取等
一个注意点:一道题里尽量不要用两次基本不等式
因为不等号方向可能传递不过去,取等条件也可能传递不过去
变形1:(最重要)
题目中经常涉及的是
之间的转换
与
的转换:
①
转
:
;(基本公式)
②
转
:
(基本公式反过来表示)
与
的转换:
③
转
:
(基本公式)
④
转
:
(基本公式反过来表示)
与
的转换:
⑤
转
:
证明思路:(记得
平方后会出现
,再结合公式④)
⑥
转
:
例1:已知
,则
的最小值为________
分析:目标是将
转成
,利用公式②
(当且仅当
时取等号)
设
解得
,答案:4
例2:已知三角形ABC中,
,
,求三角形周长的最小值
解:余弦定理
有:
(注意目标是周长,即
,目标:
)
配方得到
(当且仅当
时取等号)
化简得到
变形2:(最常考)
型如
的题型,在题里去找
,然后把两者相乘
例3:(2012浙江卷)若正数
满足
,则
的最小值是______
解:同除
得到:
变形3:
均值不等式:
(
,当且仅当
时取等)
“算术平均数”大于“几何平均数”(别问几何平均数是啥)
有人会问,这不就是把
除过去了嘛,算啥变形啊?
确实没啥用,有用的是它的拓展:
(
,当且仅当
时取等)
例4:当
证明:
P.S.1
如果你更喜欢背公式(但是我不推荐),以上变式1与变式2的公式可以硬背成:
第一个不等号:是我总结的变式2
第二个不等号:几何平均数小于代数平均数,对应公式①②
第三个不等号:代数平均数小于平方平均数,对应公式⑤⑥
P.S.2
“一正”如果不为正怎么办?提括号!
当
时,
P.S.3
当取等条件不在定义域内怎么办?对勾函数图象!
例5:当
时,求
的最小值.
分析,如果用基本不等式,取等条件为
,不在定义域内
所以只能用对勾函数图象,在
上递减,
上递增
最小值在
处取得,最小值为
还有要补充的....想不起来了,就这些吧
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