房间的正中间悬浮着一个正方形的金属框。五位画家看到这般奇迹后,立即拿出纸和笔,把这个金属框的样子画了下来。但是,由于五位画家观察这个金属框的角度不同,它们画出来的结果也互不相同。请问,这五位画家画出来的结果都是对的吗?换句话说,有没有哪一幅图或者哪几幅图根本不可能是一个正方形的透视图?
首先,我们简单解释一下透视图背后的数学模型。假设人眼和实物之间有一个矩形的画布。将实物中的任意一点 X0与人眼相连,都会与画布有一个交点 X ,那么在人眼看来,实物上的 X0点和画布上的 X 点是完全重合的。我们就说,这个 X 点是 X0点在画布上的像。把实物中的每一个点在画布上的像都描出来,我们就能得到实物在这块矩形画布上的透视图了。假设实物上有一条线段 A0B0,那么人眼、 A0点、 B0点就确定了空间当中的一个平面。由于线段 A0B0上的任意一点与人眼的连线都在这个平面上,因而这条线段的像一定在这个平面与矩形画布的交线上。这说明,任意一条直线在画布上的像仍然是一条直线。
在这个意义下, A 、 B 、 C 、 D 、 E 这五幅图究竟画得对不对呢?我们先来说明,图D和图 E 是对的。事实上,我们将会证明,任意一个两组对边都不平行的凸四边形 ABCD 都可以看作是从某个角度观察正方形所得到的透视图。假设这个四边形的对角线 AC 和BD 交于点 O ,再假设它的两组对边分别交于点 P 和点 Q ,如下图所示。过点 A 作平行于 PQ 的直线 l ,令PO 、 QO 、 BD 所在直线分别与直线 l 交于 M 、 N 、 S 。现在,过直线 l 作与四边形 ABCD 所在平面垂直的平面 γ 。分别以 AS 、 MN 为直径,在平面 γ 上作半圆,两个半圆交于点 O0。过PQ 所在直线也作一个与四边形 ABCD 所在平面垂直的平面 π ,显然平面 π 和平面 γ 平行。反向延长 OO0,与平面 π 交于点 Z 。延长 ZB 、 ZC 、 ZD ,与平面 γ 交于 B0、 C0、 D0。根据刚才讲到的透视图理论,如果人眼在 Z 处观察平面 γ 上的四边形 AB0C0D0,得到的就是四边形 ABCD 了。下面我们证明,四边形 AB0C0D0是一个正方形。
首先注意到, Z 、 B0、 C0构成了一个平面,且线段 QCB 也在这个平面上。这个平面与 γ 交于 B0C0,与π