若圆内任意弦AB、弦CD交于点P,则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)。
定理的证明:
连结AC,BD;
由圆周角定理的推论,得∠A=∠D,∠C=∠B。
PAC∽PDB;
PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD(若连结AD,BC也可证明)。
扩展资料:
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。
当P点在圆内时称为相交弦定理,当P点在圆上时称为切割线定理,当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。
相交弦定理的推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。若a:b=b:c,则称b为a、c的比例中项。
这个推论揭示了弦与直径垂直相交的性质。推论在解题中有较广泛的应用,并给出了作两条已知线段比例中项的方法。