复变函数与积分变换 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 引言: 在十六世纪中叶,G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x ?10 ? x ? ? 40 时引进了复数。他发现这个方程没有根,并 把这个方程的两个根形式地表为 5 ? ?15与5 ? ?15 。在当时, 包括他自己在内,谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上, 复数被Cardano引入后,在很长一段时间内不被人们所理睬,并 被认为是没有意义的,不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪, 随着微积分的产生与发展,情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果,复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler 公式 e ? cos? ? i sin ? 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。 然而一直到威瑟尔( C.Wessel 挪威.1745-1818)和阿尔冈( R.Argand 法国.1768-1822)将复数用平面向量或点来表示,以及K.F.Gauss (德国1777-1855)与汉密尔顿W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义 复数 a ? ib 为一对有序实数后,才消除人们对复数真实性的长久 i? 疑虑,“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 卡尔达诺(Cardano, Girolamo, 1501-1576) 意大利医生、数学家、占星术家。一般称其英文拼法名字卡当 (Cardan)。1501年9月24日生于帕维亚,1576年9月21日死于罗马。 早年学习古典文学、数学和星占学,后入帕维亚大学读医学,1526年获医学 博士学位。1534年成为数学教师。1539年到米兰医学院任教,1543年成为帕 维亚大学医学教授。他在医学上曾是闻名全欧的医生,也是第一个记载斑疹 伤寒病医疗方法的人。 在数学上以记载三次和四次代数方程的一般解法而著称,发表在1545年 出版的《大术》一书中。他说明解法取自另一数学家塔尔塔利亚,并且一名 叫费罗的人在 30年前已得知,但都没有证明,他本人用几何方法对三次方程 求解公式进行了证明。实际上塔尔塔利亚只告知了两种特例情形,而卡尔达 诺叙述的公式具有一般性,因此后人称这一公式为「卡尔达诺公式」或「卡 当公式」。 书中还记载了他的学生费拉里发现的四次代数方程的一般解法,还有代 数基本定理和韦达定理的初级形式,解方程中虚根的使用等许多方程的基本 理论。 他被誉为16世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物和百科全书式的学者, 一生共写了各种类型论著200多种,内容涉及力学、机械学、天文学、化学、 生物学、密码术、及占星术等等。 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 复变函数的理论和方法在数学,自然科学和工程技术中有着 广泛的应用,是解决诸如流体力学,电磁学,热学弹性理论中平 面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念,理论和方法是实变函数在复数领域 的推广和发展。 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对 象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,第一章 将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上 的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解 析函数理论和方法奠定必要的基础. 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 §1.1复数及其表示法 一对有序实数( 复数与复变函数 )构成一个复数,记为 . i ? ?1 . x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), 称为 Z 的共轭复数。 两个复数相等 特别地, ? 他们的实部和虚部都相等 与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小. 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 复数的表示法 1.代数形式 : z ? x ? iy ? x ? iy ? 平面XOY 上的点 z( x, y) 1)点表示:复数z 虚轴 y y r z(x,y) 复平面 ? 0 x x 实轴 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 y y 2) 向量表示: ? 复数z=x+iy ? 矢径z z=x+iy ? z | x |?| z |, | y |?| z |, | z |?| x | ? | y |, zz ?| z | ?| z | 2 2 ? ? z ? z ? r ? x 2 ? y 2 ----复数z的模 ? z与x轴正向的夹角? 0 x x ----复数z的辐角(argument) 记作Arg z=q . 任何一个复数z?0有无穷多个幅角,将满足 - ? M 的所有点的集合, 其中实数 M>0 , 称为无穷远点的邻域. 即它是圆 |z|=M 的外部且包含 无穷远点本身. 不包括无穷远点本身 的仅满足 |z|>M 的所有点称为无穷 远点的去心邻域, 也记作 M<|z|M M 0 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻 域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的 每个点都是它的内点, 则称G为开集 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来. 设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意 小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所 有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作?D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即 存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|