风洞(wind tunnel):能人工产生和控制气流,以模拟 飞行器或物体周围气体的流动,并可量度气流对物体的作 用以及观察物理现象的一种管道状实验设备,它是进行空 气动力实验最常用、最有效的工具。 1 第三章 今日内容: 运动的描述 一.运动学的两类基本问题 二.相对运动 2 第三章 运动的描述 运动计算 二.运动学的两类基本问题 ? r (t ) ? ? dr v? dt ? 2? ? dv d r a? ? 2 dt d t s ? R? d? ?? dt 2 d? d ? ?? ? 2 dt dt 3 第三章 运动的描述 运动计算 二.运动学的两类基本问题 一.已知质点运动方程,求任一时刻的速度、加 速度;(微分法) ? ? r (t ) ? v , ? a; ? (t ) ? ? , ? 二.已知加速度(或速度)及初始条件,求质点任 一时刻的速度和运动方程。(积分法) ? ? ? ? ? a(t ) , (t ? 0时 r0 , v0 ) ? v (t ) , r (t ) 4 第三章 运动的描述 一类运动 例题1 . 湖面上有一小船,在岸边高为H的崖上纤夫 通过绞车以匀速率 v0 收绳,将船拉向岸边。如果绳 子的质量可以忽略,初始绳长为l,试问船的速率 v 是多少?船的加速度a又是多少? v l H 5 第三章 运动的描述 v 一类运动 解:建立如图所示的一维坐标系 l H x O 已知水面距绳的高度为H,初始时刻 t=0 时滑轮距小船的绳长为l , 则此后某时刻 t 船 的位置 ? ? ? r ? xi ? ( l ? v 0 t ) 2 ? H 2 i 这就是小船的运动方程。 6 第三章 运动的描述 一类运动 所以小船的运动速度为 ? dr dx ? ( l ? v0 t )v0 ? u? ? i ?? i dt dt ( l ? v0 t )2 ? H 2 小船运动的加速度为 ? 2 2 v0 H 2 d r d x? a? 2 ? 2 i ?? [(l ? v0 t )2 ? H 2 ]3 2 dt dt 2 加速度的值越靠近岸越大。 7 第三章 运动的描述 一类运动 例题2.距海岸(视为直线)500米处有一艘静止的 船,船上的探照灯以转速n=1r/min旋转,当光束与 岸边成60度角时,光束沿岸边移动速度多大? 解:首先建立 p 的运动方程 x(t) x ? h ? tg? ? h ? tg?t dx h d? h? vp ? ? ? 2 d t cos ? d t cos2? 2?n ? ? ? ? 60 ? ? ? 30 和?= 60 x vp ? 2? 500? 60 ? 69.8 m s-1 vp ? cos2 30? ? A ? h P o 8 第三章 运动的描述 一类运动 讨论: ?h v? cos? ? v p ? vcos? ? ? h ? v A ? h P o v ?h 对吗? 错在哪里? v ? 改正: p ? ? ? cosr ? cos 2?? ? ?r1 ?r2 ? ? ? v p ? lim ? lim ? lim ? v1 ? v 2 ?t ? 0 ? t ?t ? 0 ? t ?t ? 0 ? t x vp ? ? v ? r? ? ?r1 A ? r ? v2 ? r p A x ? ?r2 ? ?r p p? ? xv p o 9 o ? v1 第三章 运动的描述 二类运动 例题3.已知:质点沿直线运动, a ? a(t ) ; t ? 0 : x ? x0 v ? v0 求:v( t ) , x( t ) 解: a ? dv dt d v ? ad t dx v? dt d x ? vd t t 0 ? v v0 d v ? ? ad t t 0 t 0 ? x x0 d x ? ? vd t t 0 t 0 t v ? v 0 ? ? adt v ? v 0 ? ? adt * x ? x 0 ? ? vdt x ? x 0 ? ? vd t * 0 10 第三章 运动的描述 二类运动 dv dv dx vdv a? ? ? ? dt dx dt dx ? ? vdv ? ? adx ? v ? v ? 2? adx * 2 v0 x0 2 0 x0 v x x 思考: 若加速度a =恒量,下面三式成为什么形式? v ? v 0 ? ? adt t 0 v ? v 0 ? at 1 2 x ? x0 ? v 0 t ? at 2 2 2 v ? v 0 ? 2a ( x ? x0 ) 11 x ? x0 ? ? vdt t 0 v ? v ? 2 ? adx 2 2 0 x x0 第三章 运动的描述 和 ? =恒量时的形式 t 0 二类运动 类比:写出用角量表示的圆周运动公式 v ? v 0 ? ? adt x ? x0 ? ? vdt t 0 v ? v 0 ? at 1 2 x ? x0 ? v 0 t ? at 2 2 2 v ? v 0 ? 2a ( x ? x0 ) ? ? ? 0 ? ? ? dt t v ? v ? 2 ? adx 2 2 0 x x0 0 t ? ? ?0 ? ? t 1 2 ? ? ? 0 ? ?0t ? ? t 2 ? 2 ? ? 02 ? 2? (? ? ? 0 ) 12 ? ? ? 0 ? ? ? dt 0 ? ? ? ? 2 ? ? d? 2 2 0 ? ?0 第三章 运动的描述 二类运动 例题4.如图x-t 曲线为抛物线的一部分。曲线在a 点处切线与x轴夹角为45? ,求质点运动方程并作出 a-t,v-t 图。 分析:x-t 曲线为抛物线 d x a? ? 常数 2 dt 匀变速直线运动 2 x(m) a(m / s 2 ) 45? b t (s) 解:1) a ? ? t ? 0 : va ? tg45? ? 1 t ? 1 : v b ? tg0? ? 0 vb ? va a? ? ?1 ?t o a ?1 o c 1 2 3 t (s) 2.5 13 第三章 运动的描述 x(m) 45? b 二类运动 2) v ? ? v ? va ? at ? 1 ? t 1 v(m / s?1 ) 1 t (s) 2 a o o c 3 t (s) 1 2 2.5 1 2 t 3) x ? x0 ? va t ? at ? t ? ; x0 ? ? 2 2 由t ? 2.5 时 x ? 0 得:x0 ? 0.625 5 1 2 ? x? ?t? t 8 2 ?SI? 14 第三章 运动的描述 二类运动 练习.一艘快艇在速率为v0 时关闭发动机,其加速度 a=-kv2,式中k为常数,如果关闭发动机后又行驶 x 距离,那么快艇速率为多少? 证明: a ? ? ? ? dv dv dx vdv ? ? ? ? ? kv2 dt dx dt dx dv ? ? kdx v v dv x ?v0 v ? ?0 ? kdx v ln ? ? kx v0 15 ? v ? v 0 e ? kx 第三章 今日内容: 运动的描述 一.运动学的两类基本问题 二.相对运动 16 第三章 运动的描述 相对运动 转盘参考系 地面参考系 17 第三章 运动的描述 相对运动 一. 时间与空间 ? 小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B 。 地面上人测得车通过 A、B 两点间的 距离和时间与车上的人测量结果相同 。 ? v B A 在两个相对作直线运动的参考系中, 时间的测 量是绝对的,空间的测量也是绝对的, 与参考系无 关, 时间和长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的 18 基础 。 第三章 运动的描述 相对运动 二. 运动的绝对性和描述运动的相对性 物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系 19 第三章 运动的描述 相对运动 只有相对确定的参考系才能具体描述物体 的运动,选择的参考系不同,对同一物体运动 的描述不相同。 一个坐标系 中的描述 变换 另一个坐标 系中的描述 三.低速 (v? ?c )下的变换 分别从 S (o ? xyz )系和 S ?(o? ? x?y?z?)系 描述质点 P 的运动 20 第三章 运动的描述 y O? 相对运动 y? ? rPO ? ? P ? rPO 位置矢量 ? ? ? rPO ? rPO? ? rO?O 推广: ? ? ? ? ? rPO ? rPA ? rAB ? rBC ? rCO O ? ? ? 位移矢量: ?rPO ? ?rPO? ? ?rO?O ? ? ? 速度矢量: v PO ? v PO? ? vO?O ? ? ? ? ? 推广: v PO ? v PA ? v AB ? vBC ? vCO x? x ? 当aO?O ? 0时, ? ? 则a PO ? a PO? 加速度矢量(当o, o?间只有相对平动时) ? ? ? a PO ? a PO? ? aO?O 21 第三章 运动的描述 相对运动 设S?系相对于S系沿x方向以速率u运动,x//x?, y//y?, z//z? ;以O和O?重合时为计时起点 S y S ? y? ? u x? o? 时间测量 与参考系 无关 ut z z? o x 空间测量 与参考系 无关 ? x ? ? x ? ut ? y? ? y 伽利略 ? ? 坐标变换 z ? ? z ? ?t ? ? t ? ?v ?x ? v x ? u 伽利略 ? v ? ? v ? y y 速度变换 ? z ?v ? ? v z 22 第三章 运动的描述 相对运动 四.变换参考系的运动学意义: 处理问题简便 例题1.一条船平行于平直海岸航行,离岸距离为 D,速率为u。一艘快艇从港口出发去拦截这条船, 快艇速率v(v