学习阶段:初中数学,高中数学。前置知识:平面纯几何,三角变换与解三角形。最近在知乎经常看到这道题,我在此整理一下我的解法。1. 题目
如图1所示,已知角度均已标明,求
.
图1 题图
2. 题目正确性分析
待求的是角度,角度具有平移、放缩不变性。首先固定
边,作
与
度角找到点
,再接着作
与
角找到点
,联结
,此时每个角度都是固定的。因此这是一道正确的题目,待求的角度确实有一个确定的值,不是脑筋急转弯什么的。
但是这题的确有难度,光通过角度关系是不可能求解的,一定要利用到边角关系。接下来,我给出解三角形(高中)与纯几何(初中)两种解法。
3. 解三角形
设待求的角为
,设
,由正弦定理得
三式全部相乘得到
故
.
4. 纯几何法
图2 纯几何法
如图2所示,延长
交
于
;作
的角平分线,交
于
;过
作
,垂足为
;取
中点为
,联结
.
易知
(定理:30°角所对直角边为斜边一半。定理:斜边中线为斜边一半),四边形
为矩形,那么
.
由于
是
中点,
是
中点,故
,
. 因为
,故
,得
,那么
.
由于
且
,故
平分
,故
.
5. 总结