等额本息、等额本金是两种常见的还款方式,是常见的金融术语,我们购房贷款时也会遇到这两个还款方式的选择。等额本息的每期还款总金额(本金+利息)是固定的,那么这个数值是怎么计算出来的呢?近期业务开发中刚好遇到等额本息的相关需求,整理记录了一下计算公式与推导过程。
一、等额本息每期还款总金额计算公式
假设贷款总金额为A,月利率为β,贷款期数为k,每期需还款总金额(本金+利息)为x,则:
第一期还款后,欠款总金额 Q1 = A * (1 + β) - x
第二期还款后,欠款总金额 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
第三期还款后,欠款总金额 Q3 = Q2 * (1 + β) - x = {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出,第k期还款后,欠款总金额 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ... = A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。
我们发现[]内是等比数列,等比数列求和公式是不是又忘记了?我们一起来推导下。设y=1 + β,则Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1),y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k,两公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1,从而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
由此继续 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x,第k期还款后贷款结束,因此Qk = 0,即A*(1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0,得出等额本息每期还款本息总额x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1],这便是每期需要还款