这是抖音刷到的题目本身不难,一看这样问就知道a肯定不好硬求,但凑a^3 且因子里包含 条件等式就可以。这样的思路是不会错的。
网上解法:
a^2=-5a-25;
a^3=a(a^2);
a^3=a(-5a-25);
a^3=-5(a^2+5a);
a^3=-5(a^2+5a+25)+125;
a^3=125;
我的习惯是不看答案先自己解出来为止所以我的解法不同
a*(a^2+5a+25)=a*0;
a^3+5a^2+25a=0;
a^3+5(a^2+5a+25)-125=0;
a^3=125;
这样做大部分人理解没难度 ,但对于大部分人来说真正的困扰是 以为这样a就是5 想不出来什么虚数的3次方刚好是个实数,那么把a=5 代入a^2+5a+25=0;发现不成立就开始懵圈了,有的喊无解有的难解释。
首先根据 代数基本定理(没错这条定理名字就奇葩的叫这个。而不是 把 一堆基础的定理归为基本定理)n次方程在复数范围内有n个解,所以 除了5 a还有2个解。我们只要知道 存在这样的虚数就好。
这种虚数有特点 为了i可以相互消除,这种根是1+/- √3i;我们用1+√3i.举例,根据牛顿大佬的二项式公式(你也可以根据杨辉三角的经验主义算法做)(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3;
所以(1+√3i)^3 =1+3√3i+3(-3)+(-3)*(√3i);
粗体的虚数相互消除得
(1+√3i)^3 =-8;
刚好是实数;
所以a^3=-125/8*(-8);a^3=-(5/2)^3*(1+√3i)^3;
a^3=-(5*(1+√3i)/2)^3;
a=-(5*(1+√3i)/2);
这样a^3=125可以解释了,再验证下条件 a^2+5a+25=0;
a^2+5a+25=(5*(1+√3i)/2)^2-5*(5*(1+√3i)/2)+25
=25*(1+2√3i-3)/4-25*(1+√3i)/2+25
=25*(-2)/4+25√3i/2-25/2-25√3i/2+25 //粗体相消
=-25/2-25/2+25
=0;证明完毕 别忘了 为了少做一半我们只用1+√3i.举例,实际上1-√3i.还