硕博学位论文[优质毕业论文社区] 轴对称Navier—Stokes方程正则性准则的两个结果 Two Results RegularityCriterion Axi—symmetricNavier-Stokes Equations 作者: 指导教师:——旦噩Supervisor: 一专业:基础数学 Major" 学位: 理学题士一Degree: Pure Mathematics Master Science授予单位: Institute:—Zhejia—ngNor—mal University— May,2016 万方数据 [优质毕业论文社区] 摘要Navier—Stokes除了在具有特殊初始值的情况下具有全局光滑解,对于一般情况下的 大初值问题的全局适定性依然是方程领域研究的重点.1968年,M.R.Ukhovskii和V.I. Iudovich在文章【251和o.A.Ladyzhenskaya在文章[12】分别独立的证明了无旋轴对 称Navier—Stokes方程(护=0)的全局适定性. 后来数学家S.Leonardi,J.Mglek,J.Ne6as,M.Pokorn多在文章[16】中简化了[25】和 |121对无旋轴对称Naier—Stokes方程全局适定性证明结果. 对于有旋轴对称Navier-Stokes方程的全局适定性方面,2014年张平研究员和张挺 教授在文章【26]中证明了有旋Navier.Stokes方程的小初值解的全局存在问题.并证明 Tu9分量上的局部Ladyzhenskaya-Prodi—Serrin型判别准则. 本文研究的主要内容是建立在U。上,不可压轴对称Navier—Stokes方程的完全serrin型 正则性准则的相关问题.全文共分为三章. 第一章主要回顾了3维不可压轴对称Navier—Stokes正则性问题的研究背景,相关定 义,经典结果,以及几个重要的引理. 第二章主要内容是证明了有旋轴对称Navier—Stokes方程serrin型准则的局部结果, 即如果系统(1.1)的局部解"It8满足: q口I|tt。I,6IIL。(o,,、。;L口(R。))<(30 那么该局部解可以继续往T8后延拓.第三章主要内容是在文章[4,26】基础上,用另一种简便的方法证明3维不可压轴对 称Navier—Stokes方程建立在u。分量J:89Ladyzhenskaya-Prodi—Serrin型准则. 关键词: Navier—Stokes方程;轴对称;有旋;正则性准则 万方数据 [优质毕业论文社区] Abstract The initial data Navier-Stokesequations except have some special structure,we do knownwhether Navier-Stokesequations exist aunique smooth global solution.This Droblern stillavery challenge problem。For initialdata Naier—Stokesequations axi.symmetric,in1968,M.R.Ukhovskii V.I.IudovichDroved generMizedsolution,uniqueness axi—symmetricNaier—Stokes equarions without swirl.Almost sametimes,Ladyzhenskaya OA. paper【12】independentlyproved sameresults Later,S.Leonardi,J.Mglek,J.Ne芒as,M.Pokorn:尹【16】give arefined proof sameresult f251and【12].For axi—symmetricNavier—Stokes equations 2014,ZhaIlgPet.a1.in paper【26]proved globalsmooth solution smallinitial data.and obtained part Ladyzhenskaya-Prodi—Serrin criteria the"it8-In paperwe study axi-symmetricfluid swirl.The thesis contain8 tllree chapters.In Chapter one,we briefly survey Droblemsstudied relateddefintions,known results,notions,as welll somelemmas which playcrucial roles tileremaining parts In secondchapterwe obta.ined some results angularcomponent Prodi—serrin criterion.that is:Letu8 localsolution system(1.1),andsatisfies: localsolution can continuedbeyond thirdchapter,based paper【4,26】,weuse amore simple method completeangular component Ladyzhenskaya-Prodi。 Serrin criterion Keywords:Navier-Stokes equations;Axi—symmetric;Swirl;Regularity criterioll 万方数据 [优质毕业论文社区] 目录摘要………………………………………………………………… iAbstract……….….…...…….......…......…......… iii目录…………………………………………………………………。 V第一章绪论………………………………………………………… 1.1背景知识…….…-…… 1.3圆柱坐标体系…………………………………………………一1.4历史研究背景……..…………… 第二章u。5ff21-I拘Ladyzhenskaya-Prodi—Serrin判别准则的局部结果……… 2.1重要的引理…………..………………… 2.2呼分量上的局部Ladyzhenskaya广Prodi—serrin判别准则--……………… 第三章 分量上的LadyzhensI则a-Prodi—Serrin判别准则………………… 3.1重要的引理...………… 攻读学位期间取得的研究成果……………………………………………致谢………….…… 浙江师范大学学位论文独创性声明………………………………………一33学位论文使用授权声明………………………………………………… 33 学位论文诚信承诺书……………………………………………………35 万方数据[优质毕业论文社区] 第一章 绪论 1.1背景知识 Navier-Stokes方程最早是由法国数学家Claude..Louis.Navier和英国数学家George- Gabriel..Stokes于十九世纪提出的用于描述粘性流体的物理运动,该方程可以看成是抛 物,双曲,椭圆类方程的耦合.Navier-Stokes方程是一个非常有趣的方程,许多数学家一 生致力于去研究该方程.虽然目前该方程在全局解的存在性方面取得了许多重大的研究 成果,但是Navier.Stokes方程依然还有很多实质性的问题没有解决,最新的研究成果可以 参考f1,15,17,18,22,29. 从数学研究的角度看,3D Navier-Stokes方程是法国数学家J.Leray[131在1934年证明 了如果对于初始值在正则性充分好的情况下,不可压Navier-一Stokes方程存在至少一个 整体弱解;毛E1951年,Hopf在文I缺[11]中,将Leray在【13】的结果推广到有界区域的情形, 并给出了一个全新的证明;后来数学家们为了纪念这两位数学家,于是将这类弱解称 为Leray.Hopf弱解.尽管Leray—Hop碣蜀解是整体存在的,但是其唯一性和强解的全局存 在至今没有解决,该问题是当今数学界最具有挑战性的猜想之一. 在2000年,美NClay数学研究所(Clay Mathematics Institute)将3D Navier--Stokes方 程的光滑解的全局适定性问题列为七大”千禧年大奖难题“(Millennium Preize Problems)之一,由菲尔兹获得者Pefferman对其做了详尽的介绍. 本章将简单的回顾问题的研究背景,轴对称Navier—Stokes方程的导出,经典的研究 结果,以及普遍通用的记号,同时还给出几个重要的引理,这些引理将为后面的证明发挥 重要的作用. f熏主要:二_Vp 2z,% (1.1) 其中u(z,t):嗽(0,。。)_瓜3为流体的速度场,L,为流体的粘性系数,P:1R3 是压力项.迄今为止,对于上述Navier-Stokes系统投入,大量的研究工作,但是系统(1.1)对于 任意大的初始值的全局适定型问题依然是一个具有挑战性的问题,参考[6,7,1 万方数据[优质毕业论文社区] 2对于经典的Navier-Stokes方程建立在一个分量上在正则性准则方面的研究成果可 以参考周勇教授[27-29]. 本文主要研究的问题是系统(1.1)在轴对称初始值的情况下建立在分量护上的正 则性准则.如果uo是轴对称的,那么系统(1.1)的解依然也是轴对称[16,25].因此,可以 将铭(。,t)写成如下形式: “(。,t)=Ur 1.3圆柱坐标体系定义1.1.(轴对称函数的定义)若函数钍(z):R3_R3在圆柱坐标e,,eO,ez下,礼(z)可以写 为“(z)=Ur(r, 与口无关,则称函数u(z)为轴对称函数,三维笛卡尔坐标的标准正交基: e1=(1,0,o),e2=(0,1,o),e3=(0,0,1) 圆柱坐标的标准正交基为: e,=(兰,堑r,o)=(coS移,sin咿,o), 根据上面的式子,可以推导出岛er=eo Oo印=--e, 西eD=0.(1.2) (1.3) 下面我们将分别推导梯度算子,散度算子,涡量算子在圆柱坐标下的表达式,如果速度场 函数u扛):R3 oIR3,那么 =(V),dr+(V)口rdO+(V)。dz.万方数据 [优质毕业论文社区] 于是可以推出 散度算子: drrd 利用之前1.2的关系,可以得到 X7.“涡量算子(curl)在圆柱坐标下的推导: (Ou。2L面巳 在(1.2)式下,得到 u8e,+0)+uOeo+t,ez) .Ou8.Ou: Oe, ae日. ae。、 万方数据[优质毕业论文社区] 4拉普拉斯算子在圆柱坐标下表示为: V2扎=V‘(Vu,=(未e,+r0 0i+晏e:) 在文献【20】中,Neustupa已经证明了如果方程组(1.1)中的初始值呦为轴对称的,那么方程组(1.1)将有局部轴对称光滑.从而经典的Navie卜Stokes方程组在轴对称坐标系下为: (1.4) 其中金=a+1/r研+札2见.系统(1.1)在初始值咖为轴对称的,系统(1.1)的涡量方程组 (1.5)对于无旋轴gvJ"称Navier—Stoke8方程(u。=0的情况)的全局正则性问题最早是由 苏联数学家ukhovSkii和Yudovich[251解决,然后数学Ladyzhenskayadu{E[t2]e0独立 的证明了无旋轴对称Navier.-Stokes;方-程的全局适定性问题.后来Leonardi.Malek. Necas乘lPokorny在f16】中对无旋轴对称Navier.-Stokes方程的全局适定性问题给出了更 为简练的证明,但是对于一般的情形(札。0)的情况,其全局遁定性依然是一个很具有 挑战性的公开问题. 万方数据[优质毕业论文社区] 在2000年Neustupa禾IPokorny在文章[20】中证明了在札7分量上的完全serrin型准则, 并且在分量上得到了如下结论: 定理1.1.(1eo],定理1)设u是系统(1.1)唯一的光滑轴对称解,如果 &、口满足: 其中 那么这个解可以往丁后继续延拓.’2002圭gChae—Lee[3】证明了轴对称Navier—stokes方程在分量上的完全serrin型准则, 定理1.2.r【3],定理1)设u是系统(1.1)唯一的光滑轴对称解,如果满足其中 u8 IIL。(o,T;L口)<, 那么这个解可以继续往T后延拓.2014年中科院张平研究员和张挺教授[26]证明了有旋轴对称NaVier.Stokes方程小初 值的全局适应性问题,同时改进了【20】中关于扩分量上的正则性准则结果. 定理1.3.r【26],定理4)设u是系统(1.1)的局部轴对称解,如果满足 万方数据[优质毕业论文社区] 6其中 或者边界情形 那么这个解可以继续往T后延拓,关于轴对称Navier—Stokes方程的全局存在的最新结果可以参考[5,9,10] 1.5 常用记号 函数.厂在空间L;’18中的范数定义为: 并且我们定义:氤兰u r|e,+“2.e。 万方数据[优质毕业论文社区] 第二章 分量上的Ladyzhenskaya_Prodi—Serrin判别准则的 局部结果 2014年,张平,张挺f26]发表在IMRN上的文章对轴对称Navier-Stokes方程建立在“。 上的Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin型判别准则取得突破性的进展,即如果占为任意给 定正实数,uc(0,T;H2(R3))n L乙(o,F;直3(酞3))为轴对称Navie卜stokes方程的唯一 解|I扎8l,<6IIL。(o,T;L口)o为给定的实数,并且uc(o,T;月2(碾3))n 那么该唯一解可以继续往T+后延拓.注2.1.【22]在文N[61m证明了如果uoH2,那么系统(1.1)就有一个局部解且唯一 Nu在[O,T+)上,使得 并且它的爆破准则为uLOO([o,T+);H1(3))n L2([o,T);H2)); 在证明定理2.1之前我们需要引入几个重要的引理,这些引理在轴对称Navier— Stokes程的判别准则的证明中发挥了巨大的作用.在文献【22】中证明了如果系 统(1.1)00的初始值‰H2(腿3),那么系统(1.1)在【o,T+)就存在一个局部唯一解札,使 得“c(o,T;H2(R3))ALPo。(o,T;由3(瓞3)),其中P为解的最大存在时间. 万方数据 [优质毕业论文社区] 82.1重要的引理 引理2.1.f,【3】,引理2)如果札是轴对称向量函数,diV u=o并且u=curl u是速降函数 在心,那么矗和e日可以表示为奇异积分的形式: V豇(z)=Ca;9(。)ed x)+【K车(叫8ed)1(z), 其中K0)和日(z)是齐次度为一3的矩阵函数,半表示卷积.引理2.2.根据引理2.1并.Calderon—Zygmund奇异积分算子的酽有界性,lo和C2与函 数uOA,对于10独Aq-u,使得 IIW—llp+11-譬11p<_cIIvu怯, 锄L,呲II ull护 引理2.6.如果u是一个充分光滑的向量函数场,那么存在常数C1(p)>0,C2都独立于t￡, 使得对于l1慨(嘲;L。)Ilu。1r>1怯(;Lt), 其中理1和卢l满足 J=II“71,1|IL。(K,T);L。)IIU01,1II:。(健,T);L。)|IuOl,2lIIL。(K,71);L。)在插值不等式的作用下,可得 其中卵满足 等;IlL。。。K,卅;L,,,ll等;ll:。。。瞎,卅;L。,ll等;lI::;,卅;L。。,, Q1—}:翌+三三旦 (2.9)(2.10) 因为兰+=1,4a8,4卢6,所以(2.10)并fi(2.11)在4卢6满足条件 j由下面的项所控制, 』GII弓;Il三。K,司;L。, II等;II二-三,卅;L。。, 1|等;Ili。。K,卅;L。,‘lIu日 ,,Il:。。【。,卅;L一, !;(了(:II!;晏ll:。—r II!;;lI:。。【;,。,;L。,)罟.(:ll!;宴11i。_—II Zrt 114L。。。;,T];L;,)!尹 -0j芋《:。。晤,刀;L。, 11凯口-,s 万方数据[优质毕业论文社区] 14 11u81哪睡嘴m.在(2.8)式的假设之下,这里存在一个常数岛>0,充分靠近P,使得 对J做如下处理 再回到(2.9),可得uO州4‰烈础+怿|fi2(‰矾硐,稍已缸孙 下面将证明定理2.1证明.为了简化证明过程,取J=l和如由引理2.13所确定的,于是有 显然易知 努+(11牡11州[0'巩俨)+II慨h咖。)) =(州【0Col;HI)+￡2(穿))+骋。(L 圭r+limnT-}T+ r=(11让11州旧t)+11"11纠[0,吼)<。。 可以重新写成如下形式 现在我们估计.首先,因为轴对称流体的性质,有Wll驴S CllullL。 (2.12) 万方数据[优质毕业论文社区] 第二章 U9分量上的LADYzHENSKA、隐擅RoDI。SERRIN判别准则的局部结果 15 和”z。ffz,。!;GIIV“,”三。cR。,:至G(1l寺()r 030 Ldz,JIL。c*ts,—-fI!;;:f}L。。。。。,—L fI!;;lfL。。。。。,). 所以可得 是否有界.引理2.6证实了上面的证明,因此该证明完成. 口2.2 譬分量上的局部Ladyzhenskaya-Prodi—Serrin判别准则 从20(}2年D.Chae在文章f3l中证明了关于的完全serrin型正则性准则后,很多数 学家尝试给ur和u=分量上建立serrin型准则,2015年Chen hui在文章[4】中证明了在分 量uz_k的serrin型准则,但是分量上的serrin型准则依然是一个公开问题,下面的定理 试图建立在譬分量上的局部结果: 定理2.2.令札为系统(1.1)的局部唯一轴对称解,并且 如果满足? (2.13)在证明上述定理之前,我们先给出一个所必须的引理. 引理2.14.若令“是系统(1.1)局部唯一的轴对称解,则 Il与I二lIL—c。,T;L。,+IlV!芋IIL。c0,T;L。,(“专至|li。+II札。I|:。) e够p(II!}I|La 其中(d,卢)满足昙+1,3<卢oo.qu 3一口+2一口扛 万方数据[优质毕业论文社区] 16 证明.500方程的两边同时乘以尝,然后在瓞3空间上进行积分,可得 于是得到 (Gagliardo-Nirenherg不等式and叼=lc酬l!。+cllT…~IlL。。i。 2L2 磊d”了wo忆2。+IIV譬I Ji。_0R给定的实数,并且 LI。(o,T4;疗3(R3))为轴对称Navier—Stokes方程的局部唯一解.如果满足: 其中 ,3<5_