利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值,自从二十世纪八十年代以来,一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略,希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法
例1. 在数列{an}中,
,求通项公式an。
解:对原递推式两边同除以
可得:
①
令
②
则①即为
,则数列{bn}为首项是
,公差是
的等差数列,因而
,代入②式中得
。
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 定义构造法
利用等比数列的定义
,通过变换,构造等比数列的方法。
例2. 设在数列{an}中,
,求{an}的通项公式。
解:将原递推式变形为
①
②
①/②得:
,
即
③
设
④
③式可化为
,则数列{bn}是以b1=
为首项,公比为2的等比数列,于是
,代入④式得:
=
,解得
为所求。
2.
(A、B为常数)型递推式
可构造为形如
的等比数列。
例3. 已知数列
,其中
,求通项公式
。
解:原递推式可化为:
,则数列
是以
为首项,公比为3的等比数列,于是
,故
。
3.
(A、B、C为常数,下同)型递推式
可构造为形如
的等比数列。
例4. 已知数列
,其中
,且
,求通项公式an。
解:将原递推变形为
,设bn=
。 ①
得
②
设②式可化为
,比较得
于是有
数列
是一个以
为首项,公比是-3的等比数列。
所以
,即
,代入①式中得:
为所求。
4.
型递推式
可构造为形如
的等比数列。
例5. 在数列
中,
,求通项公式
。
解:原递推式可化为
,比较系数可得:
,
,上式即为
是一个等比数列,首项
,公比为
。
所以
。
即
,故
为所求。
三、函数构造法
对于某些比较复杂的递推式,通过分析结构,联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数,再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。
例6. 在数列
中,
,求通项公式an。
分析:首先考虑所给递推式与公式
的联系。
解:设
,则
同理
,
,…。
即
,猜想
。下面用数学归纳法加以证明(证明略)。
由于
即
,解得
,于是
为所求。