下面的这个习题可以称得上是平面向量中最优美的一个结论,并且这个结论对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的五心相关的问题,有着决定性的基石作用.已知\(P\)为三角形\(ABC\)内一点,求证:\[s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0,\]其中\(s_A\)、\(s_B\)、\(s_C\)分别是\(\triangle BPC\)、\(\triangle CPA\)、\(\triangle APB\)的面积.
延长\(AP\)交边\(BC\)于点\(Q\),则
\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB+\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AQ},\]
且根据共线向量的表达,有
\[\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AB}.\]
从而可得
\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AB}.\]
对上式应用向量的换底公式(\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\)),将所有的向量改写为以\(P\)为起点的,
\[-\overrightarrow{PA}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\left(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}\right)+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\left(\