在该问题中,外边界是直线边界,内边界为 圆曲线边界,这样直接求解,有一定困难。通过 下述分析,我们可以将其转换为圆环问题,在极 坐标下求解。 与无孔板比较,由于圆曲线内边界仅是该问题的 很小一部分边界,由圣维南原理可知,在离边界 足够远的地方,应力将不受该段边界条件的影响。 由此,可在平板上取一与圆孔同心半径为b的大 圆,b>>a。这时,大圆上每一点应力分量由受单 向均匀拉伸的无孔板应力场确定,即大圆边界上有 sin(cos cos sin cossin cossin cos sin sincos 原问题转化为如下新问题,在外边界上:显然,第一组面力所对应的问题是圆环外边界 受均匀拉力的问题,由(4-15)式,该问题的 解答是。 第二组面力所对应的问题较为复杂,可从其所受面力分析入手。在外边界上边界条件为: (4-8)可以看出,要满足外边界条件(4(a)),则应力 函数 中应当含有 因子。而从内边界到 外边界 BrAr BrAr Aa由此解得: (4-21)根据叠加原理,将与两组面力相对应的两组解答 (3)和(8)相加,即得到问题的解答: 由以上分析可见,最大环向应力发生在孔的边缘处,其值为3q,随着距孔边距离的增大, 环向应力迅速衰减至无孔状态时的应力q, 这一现象即是孔边应力集中现象。 孔边应力集中现象是一种局部现象,在约5倍 于孔边距离时,该处的应力已不受孔的影响,这也 从数值上验证了圣维南原理。 利用上述结果,通过叠加原理,可以得到 等值或不等值拉压、纯剪切、孔边均匀压 力等含小孔平板的应力解答。 顶端受集中力P的问题(图4-15)取图示坐标系,P是任意集中力,它与楔体 中心线夹角为,楔顶角为。 下面采用半逆解法求解 用量纲分析方法来寻求问题的应力函数。描述 问题的物理、几何参数有P、、、r、 中,P是单位厚度上的力(由平面问题的载荷特性),量纲是[力][长度] -1 ,、、为无量纲量, r的量纲是[长度]。显然,应力分量的表达式是 构成,而应力的量纲是[力][长度] -2 故从量纲上看,应力分量在形式上应为其中,F 为无量纲函数。我们注意到应力分 量与应力函数的关系(4-8),应力函数 化简后得:这是一个常系数常微分方程,其解为 sincos sincos sincos sincos BrAr sincos 由此,得各应力分量:边界条件: ()侧面边界 已自动满足在顶端,受一集中力作用,应力很大,要超过弹性 极限,因此必须考虑O点附近以外的区域。为此,取 以楔顶为圆心,r为半径的扇形体,如图4-15(b) 所示,由该扇形块的平衡得出由力的边界条件转换 而来的平衡条件: ()平衡条件: sinsin coscos 方向平衡条件方向平衡条件 sincos sin cossin cos sinsin sincos 求解后,可得应力分量 sinsin sin sin cos cos 楔块顶端受一集中力偶M的问题(图4-16)。从量纲的角度,应力的形式应为 应力函数在r的幂次上比应力高两次,故有形式: 图4-16将上式代入相容方程得: 该问题是一个反对称问题,即是关于 的奇函数, 是关于的偶函数,由应力分量 与应力函数的关系可知, 应是的奇函数,故 式中待定系数B、C由边界条件确定。()左右两边界上: cos2B (10)此即集中力矩M转化以后的边界条件。 将表达式(7(c))代入上式,积分后得 cos(sin cossin cos cos(sin cos(sin 楔形体侧边受均布荷载的问题(图4-17)两个侧面受均布剪力q,本问题同上面两问题求解 思路一样。