一、矩阵的加法与减法
1、运算规则
设矩阵
,
,
则
简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!
注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的.
2、运算性质(假设运算都是可行的)
满足交换律和结合律
交换律
;
结合律
.
二、矩阵与数的乘法
1、运算规则
数
乘矩阵A,就是将数
乘矩阵A中的每一个元素,记为
或
.
特别地,称
称为
的负矩阵.
2、运算性质
满足结合律和分配律
结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)A =λA+μA.
分配律:λ(A+B)=λA+λB.
典型例题
例6.5.1已知两个矩阵
满足矩阵方程
,求未知矩阵
.
解由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
1、运算规则
设
,
,则A与B的乘积
是这样一个矩阵:
(1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即
.
(2) C的第
行第
列的元素
由A的第
行元素与B的第
列元素对应相乘,再取乘积之和.
典型例题
例6.5.2设矩阵
计算
解
是
的矩阵.设它为
想一想:设列矩阵
,行矩阵
,
和
的行数和列数分别是多少呢
是3×3的矩阵,
是1×1的矩阵,即
只有一个元素.
课堂练习
1、设
,
,求
.
2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A.如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?请算算试试看.并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算.
3、设列矩阵
,行矩阵
,求
和
,比较两个计算结果,能得出什么结论吗?
4、设三阶方阵
,三阶单位阵为
,试求
和
,并将计算结果与A比较,看有什么样的结论.
解:
第1题
.第2题
对于
,
.求