实数域上的偶数阶反对称行列式取值一定是非负实数,且可以取遍所有非负实数。
证明思路如下:首先,假设A是一个实数域上偶数阶反对称矩阵,断言A的实特征值只有0。(这个可以作为题主练习)
从而,如果A有实特征值,则A行列式必须是0;如果A没有实特征值,则A的复特征值都是以共轭复数的形式成对出现,从而A的行列式等于所有复特征值的乘积,故大于0。
举例子的话,显然偶数阶0矩阵就是行列式为0的偶数阶反对称矩阵;另一个常见的二阶反对称矩阵是(0 1;-1 0),它的行列式是1,对任意的正实数a,√a倍的上述矩阵的行列式就是a。