棱锥的体积 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 练习1: 练习2: 小结: 1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想,形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。 NEXT RETURN V A B C D E BC=6, ED=4, AV=8. 解: RETURN E V A B C D BC=6, ED=4, AV=8. 例5、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上. (1).若点G在A1B1上滑动, H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化? (2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少? A B C D A1 B1 C1 D1 G H E F A D B C E θ 证明:在平面BCD内,作DE ⊥BC,垂足为E, 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。 根据三垂线定理,AE ⊥ BC。 ∴ ∠AED=θ。 例6:已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD, 侧面ABC与底面所成的角为θ 求证:V三棱锥= SABC·ADcosθ = SAB C · ADcosθ = × BC · AEcosθ· AD V三棱锥= SB CD · AD = × BC · DE· AD 例6:已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD, 侧面ABC与底面所成的角为θ 求证:V三棱锥= SABC·ADcosθ A D B C E θ 问题1、ADcosθ有什么几何意义? F 结论: V三棱锥= SAB C · DF 例6、已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD, 侧面ABC与底面所成的角为θ 求证:V三棱锥= SABC·ADcosθ A D B C E θ 结论: V三棱锥=VC-AED+VB-AED 问题2、解答过程中的 × BC · AEcosθ· AD其中 AEcosθ· AD可表示什么意思? ∵AEcosθ=ED ∴SAED= ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED,故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。 分析: 将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥, 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几?(请 列出三棱锥体积表达式) A B C D A’ C’ B’ D’ 问题1、你能有几种 解法? 问题2、如果这是一 个平行六面 体呢?或者 四棱柱呢? 从一个正方体中,如图那样截去四个三棱锥,得 到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体 积的几分之几? C D A B 问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。 你能有几种解法? 问题1、你能有几种 解法? 解一、补形,将三棱 锥补成一个正方体。 解二、利用体积公式 V四面体= SBCD·h 解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABE E * 复习: 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体=Sh 3、柱体体积公式的推导 柱体体积公式的推导: 等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等 体积相等 ∵V长方体=abc ∴V柱体=Sh α 问题:对比柱体体积公式的推导及结论,猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论? α h1 S1 h1 S2 h S h S 取任意两个锥体,它们 的底面积为S,高都是h + 平行于平面α的任一平面去截 + 截面面积始终相等 = 两个锥体体积相等 α h1 S1 h1 S2 h S h S 证明:取任意两个锥体,设它们的底面积为S,高都是h。 把这两个锥体 放在同一个平面α上,这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平 面内, 用平行于平面α的任一平面去截它们, 截面分别与底面相似, 设截面和顶点的距离是h1,截面面积分别是S1\S 根据祖搄原理,这两个锥体的体积相等。 = + = 先割后补 先补后割 与三棱柱相对照,请猜想三棱锥体积公式。 A B C A1 C1 B1 与三棱柱相对照,请猜想三棱锥体积公式。 A B C A1 C1 B1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 与三棱柱相对照,请猜想三棱锥体积公式。 B C A’ B’ C A’ C1 B1 A B C A1 A B C A1 C1 B1 把三棱锥1以ABC为底面、 AA1为侧棱补成 一个三棱柱。 猜测三棱锥的体积公式: A B C A1 C1 B1 连接B1C,然后 把这个三棱柱 分割成三个三 棱锥。 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。 1 2 3 猜测三棱锥的体积公式: 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。 B C A1 B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A1 C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A C1 B1 A B C A1 B C A’ B’ C A’ C1 B1 A B C A1 1 2 3 猜测三棱锥的体积公式: B C A1 B1 2 C A1 C1 B1 3 A B C A1 1 三棱锥1、2的底 ABA’、B’A’B 的面积相等。 C A1 C1 B1 3 A B C A1 1 B C A1 B1 2 B C A’ B’ 2 A B C A1 1 B C A1 B’ 2 A B C A1 1 三棱锥1、2的底ABA’、B’A’B的面积相等, 高也相等(顶点都是C)。 A 1 B C A1 B1 2 B C B’ 2 A B C 1 B C A1 B1 2 A B C 1 高ABCA1 1 C A1 C1 B1 3 B C A1 B1 2 三棱锥2、3的底 BCB’、C’B’C 的面积相等。 A B C A1 1 C A1 C1 B1 3 B C A1 B1 2 B C A1 B1 2 B C A1 B1 2 B C A1 B1 2 B C A1 B1 2 B C A1 B1 2 B C A1 B1 2 B C A1 B1 2 B C A B1 2 三棱锥2、3的底BCB1、C1B1C的面积相等。 高也相等(顶点都是A1)。 高V1=V2=V3= V三棱柱 猜测:如果三棱锥的底面积是S,高是h,那么 它的体积是 V三棱锥= V三棱柱= Sh A B C A1 1 C A1 C1 B1 3 B C A1 B1 2 定理二:如果三棱锥的底面积是S,高是h,那么 它的体积是 V三棱锥= Sh 定理证明: 已知:三棱锥1(A1-ABC)的底面积S,高是h. 求证: V三棱锥= Sh 证明:把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥,就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。 三棱锥1、2的底ABA1、B1A1B的面积相等, 高也相等(顶点都是C);三棱锥2、3的底 BCB1、C1B1C 的面积相等,高也相等 (顶点都是A1) ∵V1=V2=V3= V三棱锥。 ∵V三棱柱= Sh。 ∴V三棱锥= Sh。 A B C A1 C1 B1 1 2 3 猜测:n棱锥的体积公式: Vn棱锥= Vn棱柱 任意锥体的体积公式: 定理三:如果一个锥体的底面积是S, 高是h,那么它的体积是 V锥体= Sh 小结: 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理二:如果三棱锥的底面积是S,高是h, 那么它的体积是 V三棱锥= Sh 定理三:如果一个锥体的底面积是S,高是h, 那么它的体积是 V锥体= Sh 例1.如图是一石柱, 石柱顶上部是一个正四 棱锥,下部是一个正四棱柱. 已知正四 棱柱底面边长0.5米, 高1米, 正四棱锥 的高是0.3米.石料比重d为每一立方米 2400千克. 求这个石柱的重量. 解: V棱锥= V棱柱= 所以石柱的重量 P=(V棱柱+V棱锥)×d=660(千克). 0.5米 1米 0.3米例2.在三棱锥V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10, 三个侧面与底面所成的二面角均为60o, VO⊥平面ABC, 交平面ABC于O. B A C V E O F D (2) 求 三棱锥的高. (3) 求 三棱锥的体积. (1) 求证: O是ABC的内心. OD为VD在平面ABC内的射影, 根据三垂线定理, 得VD⊥AB.于是∠VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角. ∠VDO=∠VEO=∠VFO=60o. C V 解:(1)连结CO并延长交AB于D, 过O在平面ABC 内分别作AC、BC的垂线, F、E为垂足. 连结VD、VF、VE. A E O F D B RETURN 因为VO⊥平面ABC,CD⊥ AB, 显然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即点O到ABC三边距离相等. 因此 O是ABC的内心. C V E O F D A B 例3. 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面 角为120o, 底面边长a, 求它的高、体积. A B C D S E O A B C D S E O 解:连结AC、BD交于O,连结SO, 则SO为正四棱锥的高. 过B作BE⊥SC, E为垂足.连结DE, 则∠DEB为二面角D-SC-EB的平面角, 所以DEB=120o. A S B C D E O 连结OE, 例4.如图三棱锥V-ABC中, D为BC上一点,E为AV上一点, BC⊥ED, BC⊥AV, ED⊥ AV, 已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求:三棱锥的体积. V A B C D E *