讲一讲万有引力在椭圆轨道中的运用。我们先对圆形轨道做相关计算,如下,中心天体为
,环绕天体为
,
根据万有引力提供向心力,计算环绕天体的运行速度
,周期
,
则,
由,
,
解得,环绕速度
,
从而得到环绕天体的动能为,
。
由,
,
解得,
,
或者,
,即开普勒第三定律,环绕天体运行周期的平方与半长轴的立方之比为常数,该常数只与中心天体相关,在圆形轨道中,半长轴即为圆形轨道半径。
下面,我们求解一下引力势能,根据万有引力做功等于势能的变化量,我们将环绕天体从距离中心天体
处移动到无穷远处,则,
,
我们规定无穷远处势能为
,对上式积分,则环绕天体距离中心天体
处的势能
为,
,
解得,
,
然后其机械能为,
,
且满足机械能守恒。
下面,我们进入椭圆轨道计算,如下,中心天体(假设为太阳)为
,环绕天体为
,轨道半长轴为
,半短轴为
,椭圆焦距为
,近日点为
,远日点为
,椭圆轨道定律也就是开普勒第一定律。
椭圆轨道运行周期仍旧借鉴上文圆形轨道结论,根据开普勒第三定律可以求解得到,
。
下面,我们想要求解几处特殊位置的运行速度,如近日点
处
,远地点
处
,
我们根据开普勒第二定律可知,环绕天体与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等,即,
(1)
然后我们根据引力势能公式和机械能守恒可知,
(2)
联立(1)(2)解得,
,
,
或者,根据椭圆中的几何关系
,化解上式也可以表示为,
,
,
注意上式速度与圆形轨道速度对比记忆!
同样得到,在椭圆轨道上的机械能大小为,
,
机械能同样守恒,且与圆形轨道公式十分类似,只是用半长轴替换了半径而已。
于是,根据机械能守恒,我们可以求解
处速度,即短轴与轨道交界处
,
处的机械能为
,
处的引力势能为
,
处的动能为,
,
解得,
,
该速度表达式与圆形轨道上的速度十分相似,同样只是用半长轴替