2 4 数 学通 报 2 0 1 1年 第 5 0卷 第 1 2期 三棱锥顶点在底面上的射影 为底 面重心的充要条件 谢 绍 义 ( 武 汉 市 新 洲 区 第 一 中 学 邾城 校 区 4 3 0 4 0 0 ) 1 问题 ( 1 ) 若 0是 P 在底 面上 射影 , 则 PO_ . _ AO, 大家 知 道 , 对于一个三棱锥 , 三 条侧 棱 相 等 ( 或 三侧棱 与底 面成等 角) 是顶 点在底 面上 的射 影 为底 面外心 的充 要条件 ; 三侧 面与底 面成 等角 ( 或 三顶 点到底 面 三边 等 距 ) 是 顶 点在 底 面 上 的射 影 为底 面 内心或 旁心 ( 射 影在 三角形 内为 内心 、 射影 在 三角形 外为 旁心 ) 的充要 条件 ; 二对对 棱垂 直是 所 以 P O 2 P A 。 - A O 2 = P A 一 f 2 A D ) ⑤ 由① 、 ⑤式 消去 AD得 : 3 P O2 — 3 PA 。 一 2A B。 3 P 一 3 P A 。 一 AB 。 一 2C A +÷B Az + B c 。 一 ⑥ u L J J 将 ⑥式代 入④ 式得 : 顶 点在底 面上 的射 影 为底 面 垂 心 的充 要 条件 . 我 们 自然会 问 : 顶 点在 底 面 上 的射 影 为底 面重 心 的 充要条 件是什 么 呢? 2 探 索 PB + PC 。+ Z - AB 。+ ÷ C A。一 2 P A + B C 。 ⑦ 连B O延 长交 AC 于 E, 连 P E, 同理 可得 : 如图, 在 三棱锥 P - AB C 中, 0 为△AB C 的重 心, 连 AO延 长交 BC于 D, 则 D为 B C 的中点 且 A0— 2 0 D, 在 △AB C 和 △P B C 中, 由 中 线 定 理得 : P P A + PC 。+ ÷ AB + ÷ B C 。一 2 P B。 十 C A ⑦ 一⑧得 : 3 P A 4 - BC 一3 PB +C A +AB ⑧ ⑨ ⑩ 由⑦ 、 ⑨ 式 消 去 BC得 : 3 P B +C A 一3 P C 故 3 P A +B C 一3 P B +C A :3 PC + AB . C ( 2 ) 若 3 P A +B C 。 = = = 3 P B +C A 一3 P C + AB 。 成 立 .则 ⑦ 、 ⑧式 成立 , 由④和 ⑦式 易 得 ⑥式 成 立 , 由 ① 和 ⑥ 式 易 得 AB - F AC。 =2 AD。 + l Bc ① ⑤式成 立 , 所 以 PA 一 Po2 4 - A( ) 2 , 即 P0一 - AO, P B。 +PC =2 PD +aBc ② 同理 由⑧ 、 ④、 ①式 得 P O上B O, 又 A0、 B0相交 , 所以 P 0j _ 面 AB C . 连P O, 在 AP AD 中 , 由斯 特瓦 尔特定 理得 : P A 。 +2 P D 一3 P 0 +妻A 9 D 由① 、 ②、 ③式 消去 AD、 P D得 : ③ 综合 ( 1 ) 、 ( 2 ) 得, 3 P A +B C 一3 P B 。 4 - C A 一3 PC +AB。 是 P在 底 面上 的射 影 为 底 面重 心 的充 要条 件. 定理 三棱 锥任 一侧棱 平方 的 3 倍 与 对棱 平 PA 4 - PB + PC = 3 PO2 +I ( AB ￣ BC 。 + 方之 和为 定值 是该 三棱锥 顶点在 底 面上 的射影 为 底 面重 心 的充 要条件 . 2 0 1 1 年 第 5 O卷 第 1 2期 3 反 思 数 学通报 例 1 如图, 在 四面体 AB C D 中, AB一3 , AC B c一4 , AD一5 , C D一8 , DB一 平面 B C D 所 成角 的正 弦值 . — 以上探 索过 程 较 复 杂 , 有 简单 方 法 吗?经 过 , 求 AD 与 笔者的再 思 考, 发 现用 向量 方法 很 简 单 , 过 程 如下 : 因为 0 为 AAB C 的重 心 , 所 以 D 为 BC 中点 , 所以 ) . 一 1( 一蕊 ) , 商一 专 ( 商+ C D 因为 A0= = : 2 0 D, 解 + BC 。 作 AO上平面 B C D, 垂 足为 0, 所 以 葡一 号 + 詈 商一 号 ( + 商+ - F &. 、 因为 3 AB 。 +C D。 :3 AC 。 + DB 一 3 AD。 所 以 0为△BC D 的重 心 , 连 DO交 BC 于 E, 则/ ' ADO 为 AD 与 平 面 B C D 所 成 的角 , C 又 因 为 D E 。 一 1 ( D B 。 + C D ) 一 B C 。 一 萼 , 所 以 OD= DE一 , ( 1 ) 若P 0上面 A B C , 则葡 ? 一 0 一0 , 葡 . 所 以 A0一 , , l AD2 ~O D 一, / 5 , 所以( +商 + ) ? ( 一商 ) 一o , 所以 z + . 一 商 z +商 . , 所以 3 两 。 +( 两 一 ) 。 一3 商 z +( 一 ) z 所 以 s i n . A D O - 一 譬 , 故 AD 与平面 B C D 所 成 角的正 弦值为 . 例 2 在三 棱 锥 V—AB C中, V A 一8 , V B一 即3 z + z 一3 商 z + z N￣ P - b? 蕊 一0 得3 赢 z +蔚 z 一3 z + z 7 , AB 一1 2 , BC=6 , 且 在 底 面上 的射 影 0 为底 面 重心 , 求侧 面 V AB 与底 面 ABC所 成二 面 角 的 余 弦值. 解 因为 在底 面上 的射影 0 为底 面重 心 , 故3 2 . z +砣 3 商 z + z 一3 z + 由上 述定理 得 3 V A +B C 。 一3 V B +C A。 ( 2 ) 若3 z + z 一3 商 z +蕊 z 一3 z + z 成立 , 即 3? 8 +6 一 3?7 +C A , 所以 C A= 9 , 由海 伦 公 式 得 S △ A B 一 下 2 7 , S△ 一 由3 z + z 一3 商 z + z , 易得 ( +商 + )?( 一商 ) 一0 , 即 POJ _ AB, ÷￣ / 1 4 3 , 同理 由 3 z +赢 z 一3 z + z 可得 P O _ J — C A, 由重 心性质 得 S / , o a B 一了 1 s △ AB 。 一 导 、 / , . 所 以侧 面 V AB 与 底 面 ABC 所 成 二 面 角 的 故 P O上面 ABC . 余 弦值 为 S△ 一 综合( 1 ) 、 ( 2 ) , 上述定 理得 证. 4 应 用 瓜 1 43 S&V A B 下 面举 例说 明上述 定理 的应用 .