《高等数学基础》 第一章 函 数 内容导航 ? 前言 ? 基本初等函数 ? 来自原来函数的新函数 ? 初等函数 第一章 函 数 前 言 ? 微积分是现代数学和许多科学技术的 基础和工具。微积分的研究对象是函 数,因为函数是数学最基本的概念和 数学模型——万事万物都可以用函数 来刻划表示,然后微积分研究其规律。 本章将复习函数知识,为微积分的学 习打下基础。 ? 1-1 基本初等函数 函数基础知识 什么是函数?如果变量x的每一个值都有变量y的唯一一个值与之对应,称 y是自变量x的函数,记为y=f(x),其中f为对应法则、y为函数名。x的变化范 围为的定义域(D),相应y的变化范围为的值域(R)。也可以说x是输入量, y是输出量。 函数的表示有表格法、图象法及公式法,这三种表示都同样适用。如经济 生中有许多数量关系表格为函数的表格法表示,而如雷达散点图、人的心电 图等为函数的图像表示法表示。 1-1 基本初等函数 值得注意,函数表现事物相互关系的规律,也表达了这样一种思想:通过 某一事实的信息去推知另一事实。例如,我们知道了一个圆的半径则可推知 它的面积,由一物体的运动性质和运动规律得知它的运动路程。 函数有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。 基本初等函数 我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和 反三角函数统称为基本初等函数,现将其总结如下: 1-1 基本初等函数 函数 图 -1 -0.5 a=1 1 a=2 1 1 a=1/2 a=-1 75 50 25 0.5 0.8 0.8 0.6 0.6 0.5 1 0.4 0.4 -1 -0.5 -25 -50 0.5 1 像 -0.5 0.2 0.2 -75 -100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -1 -0.5 0.5 1 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞) 值 域 (-∞,+∞) [0,+∞) [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 单调性 单调增 (-∞,0]内递减 [0,+∞)内递增 单调增 (-∞,0) 和 (0,+∞)内分 别递减 1-1 基本初等函数 表1.2 指数函数与对数函数 函 数 1-1 基本初等函数 y=ax (a>0,a≠1) a>1 01 4 y=logax (a>0,a≠1) 00) x 1 解 我们可先画出 y ? x 2 和y ? 的图像,再对 应同个x将 x x2与x-1相迭加。 取点列表: 1 X 1 1/4 65/16 1/2 9/4 1 2 3/2 35/12 2 9/2 X2+x- y 9/2 y ? x2 ? y=x2 1 x 35/12 2 y=1/x 0 1/2 1 3/2 2 x 1-2 来自原来函数的新函数 函数的复合 函数与函数的加减乘除可以得到新函数。 此外,将一个u=u(t)替换另一个函数y=f(x)的自变量x则 得到新函数y=f[u(t)],我们就说y是一个复合函数,或是 一个“函数的函数”,记作: y=f(u(t)) 例如 1-2 来自原来函数的新函数 y ? cos x是y ? u , u ? cos x复合而成的复合函数。 说 明:复合函数y=f(u(t))中,f是外层函数,g是内层函数 注意: ①“复合不是加减乘除”!复合是一种新运算; ②复合函数的分解,通常从最外层向内逐层分 解,所得的每个函数大都是基本初等函数。 1-2 来自原来函数的新函数 例2 将下列各函数表示成x的复合函数: (1) 解 (1) y ? u , u ? 1 ? sin x (2) 复合过程 y ? ln u, u ? 1 ? v 2 , v ? e x y? u u ? 1 ? sin x y? 1 ? sin x (2) (1) y ? ln u ? ln(1 ? v 2 ) ? ln(1 ? (e x ) 2 ),即y ? ln(1 ? e 2 x ) y ? cos 1 ? x 2 例3 指出下列函数的复合过程: (2) y?e tan2 x 解 (1) y ? cos 1 ? x 2 分解过程 y=cos u,u=v2,v=tanx (2) y ? eu , u ? v 2 , v ? tan x 1-3 初等函数 由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的复合所构成 的函数,称为初等函数。 1-3 初等函数 1? x 2 例如: y ? (1 ? x ? 2 x 3 ) 3 、y ? x 、y ? ln(1 ? sin x ) 等都是初等函数. 我们常见的函数都是初等函数,微积分主要研究初等函数。 分段函数一般不是初等函数,但绝对值函数除外(如y=|x|)。 1-4 数学模型:函数的应用 基本初等函数的应用 幂函数 用一个正方形的面积S来给出其边长a的函数关系,即为 1 分数指数幂: 2 1-3 初等函数 a? s ?s 类似的,表示在一个岛上所发现的物种的平均数与该岛的面积的关 系也会有分数指数幂,即若N是物种数量,A是岛的面积,有 N ? k A ? kA 3 1 3 (其中其中k是与岛所处的地域有关的常数) 注意:实际中的正比例与反比例关系,都可以用幂函数表示。 1-4 数学模型:函数的应用 三角函数 三角函数的显著特征是周期性,具有周期性的事物,可 考虑用适当的三角函数来刻划。如月圆月缺、交流电、经济规律、人 的心脏跳动、血压、人的生理、情绪等都有周期性,都可以运用三角 函数。 1-3 初等函数 例如,某地海平面(海潮)变化规律为: y ? 1.51 ? 1.5 cos( 2? t ) ? 1.51 ? 1.5 cos( 0.507 t ) 12.4 又如,家庭中的交流电电压的变化规律为: V ? V0 cos(100?t ) 1-4 数学模型:函数的应用 指数函数 指数函数则只有两种类型:指数增长y=ax(a>1)和指数衰 减y=ax(0