1)的通解,其中为任意常数 这样,求解方程( 1)实质就归结为求全微分函数. 设开区域是一个单连通域 ,函数及. 第四节全微分方程 内容分布图示 返回内容要点: 一、全微分方程 如果方程 (4.1)的左端恰好是某个函数 则称方程(4.1)为全微分方程.此时,方程(4.1)可写成 du因而 就是方程(4.1)的通解,其中C为任意常数. 这样,求解方程(4.1)实质就归结为求全微分函数 根据第十章第三节的定理2,有定理1 设开区域D是一个单连通域,函数 在D内具有一阶连续偏导数,则方程(4.1)为全微分方程的充分必要条件是在D内处处成立 (4.2)并且此时,全微分方程(4.1)通解为 (4.4)其中 是D内任意一点.二、积分因子法 如果方程 (4.5)不是全微分方程,但在上述方程两端乘上因子 为方程(4.5)的积分因子.根据上述定义,积分因子应满足下列条件: 一般说来,求方程(4.5)的积分因子不是易见容易的事.这里,我们不深入讨论这个问题, 但在一些比较简单的情形下,则可利用观察法来求得积分因子,这种方法要求记住一些常见 的全微分表达式, ydyxdx (lnxy xyydx xdy ydyxdx 等等.而可选用的积分因子,有 ,等等.