我这里有个最通俗有趣和直观的方法,是用三角形来证明的。
如果根号3是无理数,则不存在互质的整数p和q,使得
;
那么我们用反证法,假设存在这样的p和q满足
,也就是
;
以p和q为边长,作两个等边三角形:
等边三角形的面积和边长的平方成正比,根据
可知,白色三角形的面积是灰色三角形的3倍。
我们把3个灰色三角形分别塞进白色三角形的三个角里,见下图:
灰色三角形重叠出了3个深灰色的小三角形,同时中间留了块白色的空隙;
这个图形十分直观,一看就明白:因为3个灰色三角形的面积之和等于大三角形的面积,所以重叠部分的面积一定等于留空部分的面积。
所以说,白色小三角形的面积,等于3个深灰色小三角形的面积之和,也就是单个深灰色小三角形面积的3倍。
设白色小三角形的边长是n、深灰色小三角形的边长是s,则有
,也就是
。
记住上面的结论,然后看看n和s到底是多少:
看大三角形的任意一条边就能算出,
;
再看灰色三角形内侧,可知
,代入一下即得
。
因为p和q都是整数,所以n和s当然也是整数。
好了,最开始我们假设存在
且p和q互质,现在又找到一对n和s也满足
,且n小于p、s小于q,说明
必然是
约分后的结果,与p和q互质的假设相矛盾。
所以根号3是无理数。
扩展小思考:
为什么三个灰色三角形塞进大三角形之后一定会有重叠和中间的空隙?为什么不是下面这两种情况?
答:如果要像左图那样不重叠,则
,与
矛盾;
如果要像右图那样不留空隙,则
,也与
矛盾。