题型:解答题 难度:0.65 引用次数:341 更新时间:2020/9/22 17:11:14 题号:11161370 向量的概念:具有大小和方向的量称为向量. (没有位置、不能比较大小)
(1)数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
(2)向量的表示方法:
①具有方向的线段,叫做有向线段,以
为始点,
为终点的有向线段记作
,
的长度记作
.用有向线段
表示向量,读作向量
;(有向线段的三要素:起点、方向、长度)
②用小写字母表示:
. (印刷时,用黑体小写字母,手写时,小写字母要带箭头)
(3)向量与有向线段的区别和联系:
①向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段;
③向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段.
2、向量的模:向量
的大小――长度称为向量的模,记作
.(能比较大小)
3、零向量:长度等于零、方向是任意的向量,记作
. (注意
与
的含义与书写区别)
4、单位向量:长度为一个单位长度的向量.与非零向量
共线的单位向量
.
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量:(1)若非零向量
的方向相同或相反,则
,又叫共线向量;
(2)规定
与任一向量平行.
说明:综合(1)(2)才是平行向量的完整定义;三点
共线
共线;
向量平行无传递性,即
,
不能推出
(
可能为
).
注意:共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同.
6、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明:①平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
②共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
7、相等向量:若非零向量
方向相同且模相等,则向量
是相等向量.
(1)相等向量:
模相等,方向相同;
(2)相反向量:
模相等,方向相反.
说明:任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
二、向量的加法
1、三角形法则

原理
已知向量
,在平面上任取一点
,作
,
,再作向量
,则向量
叫做
与
的和(或和向量),记作
,即
.
图示

注意:(1)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个向量的终点.
(2)零向量与任一向量
的和都有
.
2、平行四边形法则

原理
已知两个不共线向量
,作
,
,则
三点不共线,以
为邻边作平行四边形,则对角线上的向量
,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.
图示

3、多边形法则

原理
已知
个向量,依次把这
个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第
个向量的终点为终点的向量叫做这
个向量的和向量,这个法则叫做向量求和的多边形法则.
图示

4、向量加法的运算律

运算律
交换律
结合律

三、向量的减法
1、相反向量:与
长度相等、方向相反的向量,叫做
的相反向量,记作
.
(1)规定:零向量的相反向量仍是零向量;
(2)
;
(3)
;
(4)若
与
互为相反向量,则
,
,
.
注意:相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
2、向量的减法:已知向量
与
(如图),作
,
,则
,向量
叫做向量
与
的差,并记作
,即
,由定义可知:
(1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量;
(2)一个向量
等于它的终点相对于点
的位置向量
减去它的始点相对于点
的位置向量
,或简记为“终点向量减始点向量”;
(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.
注意:在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.
四、数乘向量
1、数乘向量的定义:实数
和向量
的乘积是一个向量,记作
.
(1)长度:
,
(2)方向:
(
)的方向:当
时,与
同方向;当
时,与
反方向.
特别地,当
或
时,
或
,
中的实数
叫做向量
的系数.
(3)几何意义:就是把向量
沿着
的方向或
的反方向放大或缩小.
(4)运算律:设
,则①
,②
;③
.
注意:①实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,如
均无法运算;
②
的结果为向量,所以当
时,得到的结果为
而不是
.
2、向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算.
3、两个非零向量
的夹角:已知非零向量
与
,记
,则
(
)叫做
与
的夹角.
说明:①当
时,
与
同向;
②当
时,
与
反向;
③当
时,
与
垂直,记
;
④注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,夹角范围为
.
4、平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量
与
,它们的夹角是
,则数量
叫
与
的数量积,记作
,即有
(
).
规定
与任何向量的数量积为
.
说明:两个向量的数量积与向量同实数积的区别:
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由
的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积,写成
,书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
(3)
,
.
(4)在实数中,若
,且
,则
,
但是在向量中,若
,且
,不能推出
,∵其中
.
(5)已知实数
(
),则
,但是向量
不能推出
,
如图:
,
,
但
.
(6)在实数中有
,但是在向量中
,
显然,这是因为左端是与
共线的向量,而右端是与
共线的向量,而一般
与
不共线.
5、向量
在
方向上的投影:设
为
的夹角,则
为
在
方向上的投影.
投影也是一个数量,不是向量.当
为锐角时投影为正值;当
为钝角时投影为负值;当
为直角时投影为
;当
时投影为
;当
时投影为
.
6、向量的数量积的几何意义:数量积
等于
的长度与
在
方向上投影
的乘积.
7、向量的运算:

运算
向量形式
坐标形式:
加法
求两个向量和的运算
平行四边形法则:
起点相同,对角线为向量和,
记:
.
三角形加法法则:
首尾相连,记:
.
减法
求
与
的相反向量
的和的运算叫做
与
的差
三角形减法法则:
起点相同的两个向量的差,箭头从后指向前,记:
终点相同的两个向量的差,箭头从前指向后,记:
运算律:①交换律:
;②结合律:
;③
+
.
数乘
实数
与向量
的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作
,
是一个向量,
.
方向:
时,
与
同向;
时,
与
反向;
时,
.
运算律:①
;②
,
;
③
,
,
.
数量积

五、向量的坐标运算
1、平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
2、平面向量的坐标表示:
(1)在平面直角坐标系中,分别取与
轴、
轴方向相同的两个单位向量
作为基底.对于平面内的一个向量
,有且只有一对实数
,使
,把有序数对
叫做向量
的坐标,记作
,其中
叫做
在
轴上的坐标,
叫做
在
轴上的坐标.在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
(2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标;②设
,则
,
.
(3)若
是坐标原点,设
,则向量
的坐标
就是终点
的坐标,即若
,则
点坐标为
,反之亦成立.
注意向量坐标与点的坐标的区别:要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息.
3、线段的定比分点及
:设
是直线
上的两点,
是
上不同于
的任一点,则一定存在实数
,使
,
叫做点
分
所成的比.有三种情况:
(内分) (外分)
(
) (外分)
(
)
(1)定比分点坐标公式:若点
,
,
为实数,且
,则点
坐标为
,我们称
为点
分
所成的比.
(2)点
的位置与
的范围的关系:
①当
时,
与
同向共线,这时称点
为
的内分点;
②当
(
)时,
与
反向共线,这时称点
为
的外分点.
(3)若
分有向线段
所成的比为
,点
为平面内的任一点,则
;
特别地
为
的中点
.
4、向量的重要定理、公式、结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用.
(2)三角形不等式:
.
证明:①非零向量
不共线时,
的方向与
的方向都不同且
;
②非零向量
共线时,设
,
与
同向时,
的方向与
相同且
,
的方向与
相同且
,
与
异向时,
的方向与
相同且
,
的方向与
相同且
;
③
至少有一个
时
.
(3)重要结论:若
,则
.
(4)向量的模:
;
非零向量
与
的夹角:
.
(5)非零向量
共线或垂直的坐标表示:
①向量共线:
;
②向量垂直:
.特别地
.
(6)两个向量的数量积的性质:设
为两个非零向量,
是与
同向的单位向量.
①
;
②当
与
同向时,
;当
与
反向时,
. 特别的
或
;
③
;
;
.
④
.
(7)向量共线定理和向量基本定理
①向量共线定理(两个向量之间的关系):向量
与非零向量
共线的充要条件是有且只有一个实数
,使得
.
变形形式:已知直线
上三点
,
为直线
外任一点,有且只有一个实数
,使得:
.
特别提醒:共线向量定理应用时的注意点:向量共线的充要条件中要注意“
可能不存在,也可能有无数个.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系):若
是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任一向量
,有且只有一对实数
,使
.
特别提醒:不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
基底的不唯一性:只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量
都可被这个平面的一组基底
线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
(8)线段定比分点坐标公式的向量形式:若直线
上三点
,且满足
(
),在直线
外任取一点
,设
,
,可得
.
重要结论:若直线
上三点
,
为直线
外任一点,
则
.
证明:
,则
,
则
.
(9)在
中:
重心——中线的交点:重心将中线长度分成
;
垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等.
①若
,重心坐标为
.
②若
为
重心,则
,
,
,
.
证法1:设
,
,
,
,
为
重心.
证法2:如图
,则
,
∴
三点共线,且
分
为
,∴
是
的重心.
③
为
垂心;
证明:如图
是
的垂心,
垂直
垂直
,
是垂足,
,
同理
,
为
垂心.
④向量
(
)所在直线过
内心(是
角平分线所在直线);
⑤
为
内心;
证明:∵
分别为
方向上的单位向量,∴
平分
,
∴
,令
,∴
,
化简得
,
∴
.
⑥
为
外心;
⑦
为
内一点,
,则
.
重要结论:
,
,
.
结论1:对于
内的任意一点
,若
的面积分别为
,则:
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零,权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2:对于
平面内的任意一点
,若点
在
的外部,并且在
的内部或其对顶角的内部所在区域时,则有
.
结论3:对于
内的任意一点
,若
,则
的面积之比为
.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零,则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4:对于
所在平面内不在三角形边上的任一点
,
,则
的面积分别为
.