指数不等式、对数不等式的解法 例题 指数不等式、对数不等式的解法·例题 例 5- 3-7 解不等式: 解 (1)原不等式可化为 x2-2x-1<2(指数函数的单调性) x2-2x-3<0 (x+1)(x-3)<0 所以原不等式的解为-11。 原不等式同解于 例 5- 3-8 解 [法一] -1- 所以原不等式的解为 x>3。 [法二] 原不等式同解于 logx+1(x2-x-2)>logx+1(x+1) 所以原不等式的解为 x>3。 注 解这类对数不等式,要注意真数为正数,并须对底数的分类讨论。 解 原不等式可化为 22x-6×2x-16<0 令 2x=t(t>0),则得 t2-6t-16<0 (t+2)(t-8)<0 -20,故 00 且 a≠1,解不等式 解 原不等式可化为 令 logax=t,则得 -3- 当 00 (t+1)(t-3)>0 t<-1,或 t>3 当 a>1 时,则有 4-t2>1-2t t2-2t-3<0 (t+1)(t-3)<0 -10 时, f(x)>1, f(1)=a。 解关于 x 的不等式 f(x2+x-4) >a2。 分析 由题设条件容易联想到 f(x)是指数型函数,又 a2=f(1)·f(1)=f(2), 故原不等式同解于 f(x2+x-4)>f(2)。于是,问题归结为先确定 f(x)的单调性,再 解一个二次不等式。 =0,否则,对任意 x∈R,有 f(x)=f((x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已知矛盾,所以对任意 x∈R,有 f(x)>0。 现设 x,y∈R,且 y=x+δ(δ>0)。则 f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x) =f(x)[f(δ)-1]>0(∵δ>0,∴f(δ)>1)。 故 f(x)在 R 内是增函数。于是原不等式同解于 x2+x-4>2 x2+x-6>0 x<-3 或 x>2 -4- 注 本题的关键是确定函数 f(x)的单调性,而不必求出它的具体表达式。 -5-