2.1 矩阵的概念 引例 ? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1 n x n ? b1 ?a x ? a x ? ?? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 1、设有 线性方程组 ? ???????????? ? ? ?a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? bn ? 系数 aij ?i , j ? 1,2,?, n?, 的解取决于 ? ? 常数项 bi ?i ? 1,2 ,? , n? 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 ? a11 ? ? a 21 ? ?? ? ? a n1 ? a12 a 22 ? an2 ? a1 n ? a2n ? ? ? a nn b1? ? b2? ? ?? ? bn? ? 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 某企业生产4种产品,各种产品的季度产值 (单位:万元)如下表: A 1 2 B C D 数 表 80 75 75 78 98 70 85 84 3 4 90 75 90 90 88 70 82 80 ? 80 ? 98 ? 抽象 ? 90 ? ? 88 75 75 78 ? ? 70 85 84 ? 75 90 90 ? ? 70 82 80 ? 描述各种产品各季度的产值 揭示产值随季度的变化规律、 年产量等 2. 某航空公司在A,B,C,D四城市 之间开辟了若干航线 ,如图所 示表示了四城市间的航班图,如 果从A到B有航班,则用带箭头 的线连接 A 与B. 到站 B A C 四城市间的航班图情况常用表格来表示: D D A A B C D B C 发站 为了便于观察,把表中的 0,就得到一个数表: 改成1,空白地方填上 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 还可以把这张表表达的更简洁一些: ?0 ? ?1 ?1 ? ?0 ? 1 0 0 1 1 1 0 0 0? ? 0? 1? ? 0? ? 矩阵的概念 由m ? n个数aij ?i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n?排列成的 一个m行n列的矩形数表, 称为一个m ? n矩阵. a11 a21 ? am1 a12 a22 ? am 2 ? ? ? a1n a2 n ? amn A ? ? ? ? ? ? ? ? a11 a12 ? a1n ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ? ? (a ij ) m?n ? 常用大写字母A、B、C等来表示矩阵. 元素是实数的矩阵称为实矩阵,是复数的矩阵称为复矩阵 例如 ? 1 0 3 5? ? ? ? ? 9 6 4 3? 是一个 2 ? 4 实矩阵, ? 13 6 2i ? ? ? 是一个 3 ? 3 复矩阵, ? 2 2 2? ? 2 2 2? ? ? ? 1? ? ? ? 2? ? 4? ? ? 是一个 3 ? 1 矩阵, 是一个 1 ? 4 矩阵, 是一个 1 ? 1 矩阵. ?2 3 5 9 ? ?4? 例如: 线性方程组 ?a11 x1 ? a12 x 2 ? ... ? a1n x n ? b1 ?a x ? a x ? ... ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ... ... ... ... ?... ? ?a m 1 x1 ? a m 2 x 2 ? ... ? a mn x n ? bm ? a11 ? ? a 21 A?? ... ? ?a ? m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ? ? ... a 2 n ? ... ... ? ? ... a mn ? ? 系数矩阵 增广矩阵 ? a11 ? ? a 21 A?? ... ? ?a ? m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn b1 ? ? b2 ? ... ? ? bm ? ? ? b1 ? ? ? ? b2 ? 常数项矩阵 B ? ? ? ? ? ?b ? ? ? m? ? x1 ? ? ? ? x2 ? 未知量矩阵 X ? ? ? ? ? ?x ? ? ? n? ? a1 j ? ? ? ? a2 j ? x j的系数矩阵 A j ? ? ? ? ( j ? 1,2,..., n) ? ? ?a ? ? mj ? 矩阵与行列式是两个不同的概念 行列式 行数=列数 矩阵 行数、列数可以不等 代表数值、代数式 可以展开 仅是一张矩形数表 不能展开 几种特殊形式的矩阵 ●行矩阵(行向量)——只有一行的矩阵。 ?1 2 ? ?1 2 ? 2? ? ? ?0? ?9? ? ? ? 4? ? a1 a2 ... an ? ? a1 ? ? ? ? a2 ? ?? ? ? ?a ? ? ? m? ●列矩阵(列向量)——只有一列的矩阵。 ?1 ? ? ? ? ?1 ? ●方阵——行数和列数相等的矩阵。如: 1 1 1? ? ?0 0? ? ? 2 2 2? ? ? ? ?0 0? ?0 0 0? ? ? 二阶方阵 三阶方阵 ? a11 a12 ...... a1n ? ? ? ? a21 a22 ...... a2 n ? ? ...... ? ? ? a a ......a ? ? n阶方阵 nn ? ? n1 n 2 。 0m?n ●零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵,简记作 如 ? 0 ... 0? ?0? ? ? ?0? ?0? ? ? ?0 0? ? ? ?0 0? ?0 00? ? ? ?0 00? ●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零,其它的 元素都为0的方阵,简记作 ? 。 ?0 0? ? ? ? 0 2? ?2 0 0 ? ? ? 0 0 0 ? ? ?0 0 ?9? ? ? ? a1 ? 0 ? ?? ? ?0 ? 0 ? 0? ? a2 ? 0 ? ? ? ?? ? 0 an ? ? ●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵, 简记作 En 。如: ?1 0 0? ? 1 0? ? ? ? E 1 0 ? ? E3 2 ?0 ? ? ? 0 1? ?0 0 1? ? ? ? 1 0...... 0 ? ? ? ? 0 1......0 ? ? E n ? ...... ? ? ? 0 0......1 ? ? ? ? ●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的 元素不全为0的方阵。如: ? 2 1 2? ? ? 0 1 0 ? ? ? 0 0 1? ? ? ? a11 a12 ...... a1n ? ? ? 0 a ...... a 22 2n ? ? ? ...... ? ? ? 0 0 ...... a ? ? nn ? ? ●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零,下方 的元素不全为0的方阵。 ?2 0 0? ? ? 4 1 0 ? ? ?5 3 7 ? ? ? ? a11 ? a ? 21 ?? ? ?a ? n1 0 ? ? a22 ? 0 ? ? ? ?? ? an 2 ? ann ? ? 0 ? ●同型矩阵:有相同的行数与相同的列数的 两个矩阵,称为同型矩阵。 1 1 0 1? ? 如: A ? ? ? ? 0 4 3 ?7 ? ?1 1 1 1? B?? ? ? 0 0 0 0? 只有矩阵 A 与矩阵 B 同型 ?0 5 4? ? ? C ? ?1 2 3? ?0 0 0? ? ? ?7 8 9? D?? ? ? 1 2 3? ●相等矩阵:若 A、B两矩阵同型 且对应位置上 的元素相等,则称 A、B 相等,记 作A? B 。 注意:同型是相等的必要条件。 ? 2 0 0? ? ? ? 2 0? 0 2 0 ? ? ? ?0 2? ?0 0 2? ? ? ? ? ? 1? ?1 1? ? ? ? ? 1? ?0 0 0? ? ? ?0 0 0 0 ? ? ? ?0 ?0 0 0? ? ? ? ?1 0 ?1 0? ? ? ? ? ?0 1 ?0 1? ?0 0 ? 0? ? 0? 0? ? 0? 1? ? 判断下列各组矩阵是否相等 (1) ? ? 8 ? ? (?3) 2 ? 5 ?? sin ? 2 6 ? 0 9 ?1 ? ? ? ?2 2 ? ? 9 2.5 0.5 ? ? 0 8 ? (2) ? 0 0 0? ?0 0 0? ? ? ? ? 0 0? ?0 0? ? ? (3) ?1 0 0? ?0 1 0? ? ? ? ?0 0 1? ? ? ?1 0? ?0 1? ? ? 19 ?x?2 例1:已知 A ? ? ? 0 ? 3x z ? 1 z ? 7 ? B?? ? x z ?1 ? ?0 求 x, y , z 的值。 关 系 式 y ? x z ? 7? ? 1 5 ? ,且 , A?B , ? x ? 2 ? 3x ? y ? x ? z ?1 ? ? ?1 ? x ? ?5 ? z ? 1 x ?1 y?2 z?4 ?1 2 ? x 3 ? ?1 x 设A ? ? ?, B ? ? 6 5z ? ?2 ?y 6 已知A ? B,求x, y, z 3 ? ?, z ? 8? 矩阵的应用 例:甲乙丙丁戊五人从图书馆借来一本小说,他们约 定读完后互相交换,这五本的厚度以及他们五人 的阅读速度差不多。因此,五人总是同时换书, 经四次交换后,他们读完了这五本书,现已知: (1)甲最后读的书是乙读的第二本书 (2)丙最后读的书是乙读的第四本书 (3)丙读的第二本书是甲在一开始就读了 (4)丁最后读的书是丙读的第三本书 (5)乙读的第四本书书是戊读的第三本书 (6)丁第3次读的书是丙一开始读的书 试根据以上情况说出丁第二次读的书是谁开始读的书?