(1)　向量垂直的充要条件为内积为零;　(2)　3　1　2　1　arg　0　z　z　z　z　\uf02d　\uf03d　\uf02d　或\uf070等价于　3　1　2　1　z　z　z　z　\uf02d　\uf02d　为实数,即向量　3　1　z　z　\uf02d　与21zz\uf02d平行,从而　1　2　3　,　,　z　z　z　共线.　证明　(1)设111222i,izxyzxy\uf03d\uf02b\uf03d\uf02b,则　1　z　和2z相互垂直的充要条件为　1　2　1　2　0　x　x　y　y　\uf02b　\uf03d　,或12120zzzz\uf02b\uf03d.由于　1　2　1　2　1　2　1　2　1　2　1　1　Re(　2　2　z　z　z　z　z　z　z　z　z　z　\uf03d　\uf02b　\uf03d　\uf02b　从而,　1　z　和2z相互垂直的充要条件为　1　2　Re(　)　0　z　z　\uf03d　.　《数学物理方法》学习指导　上海交通大学数学科学学院　王健　9　(2)因为过　1　z　与2z的直线方程为　1　2　1　　z　z　t　z　z　t　\uf03d　\uf02b　\uf02d　\uf0ce　\uf02d\uf0a5　\uf02b\uf0a5　,所以　3　z　在该　直线上的充要条件是:存在　0　(　,　)　t　\uf0ce　\uf02d\uf0a5　\uf02b\uf0a5　,使得　3　1　0　2　1　(　)　z　z　t　z　z　\uf03d　\uf02b　\uf02d　,　即31021zztzz\uf02d\uf03d\uf02d,从而　3　1　2　1　arg　0　z　z　z　z　\uf02d　\uf03d　\uf02d　或\uf070.注:复平面上四点　1　2　3　4　,　,　,　z　z　z　z　共圆周的充要条件为　1　4　3　4　1　2　3　2　arg　:　0　z　z　z　z　z　z　z　z　\uf0e6　\uf0f6　\uf02d　\uf02d　\uf0f7　\uf0e7　\uf0f7　\uf0e7　\uf03d　\uf0f7　\uf0e7　\uf0f7　\uf0f7　\uf0e7　\uf02d　\uf02d　\uf0e8　\uf0f8　或.\uf070例题　1.5　求下列曲线在映射　2　w　z　\uf03d　下的像曲线方程:　(1)双曲线　2　2　9　x　y　\uf02d　\uf03d　;　(2)双纽线　2　cos2　r　\uf071　\uf03d　.　分析　确定平面曲线在映射下的像,应根据所给曲线的表示形式而把映射用相应的方式　表示.　(1)中曲线方程用直角坐标表示,故将映射　2　w　z　\uf03d　用代数形式表示;　(2)中曲线方　程用极坐标表示,因此,映射　2　w　z　\uf03d　用指数形式表示.　解设iiezxyr\uf071\uf03d\uf02b\uf03d,iiewuv\uf06a\uf072\uf03d\uf02b\uf03d,则　2　2　,　2　u　x　y　v　xy　\uf03d　\uf02d　\uf03d　,　2　,　2　r　\uf072　\uf06a　\uf071　\uf03d　\uf03d　.　(1)z　平面上的双曲线　2　2　9　x　y　\uf02d　\uf03d　在映射　2　w　z　\uf03d　下的像为直线　9　u　\uf03d　.　(2)双纽线方程可表示为　2　cos2　r　\uf071　\uf03d