最后介绍几种常用的求解 逆矩阵的方法。 1 矩阵的概念 1.0 矩阵的定义 定义 1:令F是一个数域,用F上的?? ×??个数 ?? (??= 1,2,? ,??; ??= 1,2, ? ,??) 排成 ??行??列的 ???? 矩阵列,则称为 ?? ×??阵,也称为一个 F 上的矩阵,简记为 ?? 。 ???? ?? ?? ? ?? 11 12 1?? ?? ?? ? ?? 21 22 2?? ??= ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ??1 ??2 ???? 1.1 逆矩阵的定义 定义 2:设??是数域 F 上的 ??阶方阵,若数域 F 上同时存在一个 ??阶方阵 ??, 使得 ????= ????= ?? ?? - 1 则称??是??的逆矩阵,记作: ??= ?? 。 - 1 - 2 矩阵可逆的判定 2.0 矩阵可逆判定的前提 对于一个矩阵,要判定该矩阵是否可逆,首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。跟 要判断一个四边形是不是正方形一样,如果四边形不是矩形,那么也就不可能是正方形。如 果已经是矩形,那么就需要进一步判定是不是正方形。内容不一样,但思想是相通的。这里 要判定矩阵是否可逆,最基本的前提就是:矩阵必须是方阵!在满足该前提的情况下,再去 讨论矩阵是否可逆才具有意义,否则是没意义的。 2.1 由定义判定 由“2.0 矩阵可逆判定的前提”和定义“ 1.1 逆矩阵的定义”可知,从满足前提的矩阵可 知,若存在一个方阵 ??,使得矩阵 ????= ????= ??,那么就可以称矩阵 ??是可逆的,矩阵 ??就是 ?? - 1 矩阵 ??的逆矩阵。记作: ??= ?? 。 如果不存在方阵 ??使得 ????= ????= ??,那么就说矩阵 ??是不可逆的。但是这种通过定义判 ?? 断的方法存在局限性,只适用于很直观,很简单的矩阵。下面通过一个例子来分析。 例子 1:设存在一个方阵 ??和方阵 ??,如下所示: 2 0 0 3 - 1 1 ??= 0 2 0 ??= 2 0 1 0 0 2 1 - 1 2 解析:从题目可知矩阵 ??和矩阵 ??同时满足可逆的前提条件。但对于矩阵 ??来说,定义无 法直接给出矩阵 ??的逆矩阵,因而无法判断 ??是否可逆。但是却可以马上判断出矩阵 ??是可逆 的,并且可以马上写出矩阵 ??的逆矩阵 ??,即: ????= ????= ?? ?? 1 1 0 0 0 0 2 2 2 0 0 2 0 0 1 0 0 1 1 0 2 0 0 0 = 0 0 0 2 0 = 0 1 0 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2.2 矩阵秩的判定 定理 1:设??是数域 F 上的 ??阶方阵,若??可逆,那么 r ?? = ??。 从定理 1 可知,一个矩阵可逆,矩阵必须是满秩的。在例子 1 中,矩阵 ??很明显是满秩。 即r ?? = 3 ,即矩阵 ??是可逆的。那么对于矩阵 ??是否可逆,则需要经过矩阵的初等变换求出 矩阵 ??是否是满秩的。 3 - 1 1 3 - 1 1 2 1 3 - 1 1 0 2 1 ??= 2 0 1 = 3 3 = 0 1 - 1 2 2 5 3 3 0 - 0 0 2 3 3 经过初等变换,可以得出 r ?? = 3 , 那么矩阵 ??也是可逆的。 2.3 行列式判别法 定理 2:设??是数域 F 上的 ??阶方阵,若?? ≠0 ,那么 ??是可逆的。 对于例子 1 中的方阵 ??和方阵 ??,可以求出 ?? = 8 ≠0 ,那么方阵 ??可逆。对于方阵 ??,要 求相对应的行列式 ??的值。通过行列式的性质可将 ??化简。 - 2 - 3 - 1 1 3 - 1 1 2 1 3 - 1 1 0 2 1 ?? = 2 0 1 = 3 3 = 0 = 4 ≠0 1 - 1 2 2 5 3 3 0 - 0 0 2 3 3 由于 ?? ≠0,所以通过行列式判断 ??也是可逆的。 2.4 特征值判别法 定理 3:设??是数域 F 上的 ??阶方阵,若存在特征向量 λ使得 ??- ????= 0 ,若特征向量 λ中的 任意的一个元素 ??? ≠0,那么 ??是可逆的。 ?? 对于例子 1 中的矩阵 ??有??- ????= 0 ,即: 3 - λ - 1 1 ??- ????= 2 - λ 1 = 0 1 - 1 2 - λ 解析: 2 2 - ?? - ??2 - ?? 3 - ?? = 0 2 ??- 1 ??- 2 = 0 ?? = 1, ?? = ?? = 2 1 2 3 通过求解矩阵 ??的特征值,对于 ??? ≠0 ,所以矩阵 ??是可逆的。 ?? 3 逆矩阵的求解 3.1 定义法求逆矩阵 从定义 2 和2.1 可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性,只适用于很直观,很简单 的矩阵。 3.2 初等变换求逆矩阵 定义 3:矩阵的初等变换对调矩阵中任意两行(列)的位置。用一非零数乘以矩阵的某一行(列) 。将矩阵中的某一行(列)乘以常数加到另一行(列) 。 定义 4:若??是数域 F 上可逆的 ??阶方阵,则??可以通过初等变换为单位矩阵 ??, 在变换的过程中, - 1 - 1 当??转换为 ??时,相应的 ??也转换为 ?? 。记为: ???? → ???? 对于例子 1 中的矩阵 ??,由于判定的结果是可逆的, 那么下面将利用初等变换法来求出矩 - 1 阵??的逆矩阵 ?? 。 解析: - 1 ???? → ???? 1 1 1 1 - 0 0 3 3 3 3 - 1 1 1 0 0 2 1 2 - - - → 2 0 1 0 1 0 - -- → 0 - 1 0 - -- → 3 3 3 1 - 1 2 0 0 1 2 5 1 0 - - 0 1 3 3 3 - 3 - 1 1 1 1 1 - 0 0 1 1 0 0 3 3 3 1 - 3 2 1 2 3 3 3 - - - → 0 - 1 0 - -- → 1 - 1 0 3 3 3 0 1 2 2 5 1 2 1 1 1 0 - - 0 1 0 0 1 - 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 - - 4 4 4 4 4 4 1 0 0 3 5 1 - 1 3 5 1 - - - → 0 1 0 - - ,根据定义 4 ,那么 ?? = - - 4 4 4 4 4 4 0 0 1 1 1 1 1 1 1 - - 2 2 2 2 2 2 1 1 1 - 4 4 4 3 - 1 1 1 0 0 - 1 3 5 1 ???? = = = ?? 2 0 1 - - 0 1 0 ?? 4 4 4 1 - 1 2 0 0 1 1 1 1 - 2 2 2 1 1 1 - 4 4 4 3 - 1 1 1 0 0 - 1 3 5 1 ?? ??= 2 0 1 = 0 1 0 = ?? - - ?? 4 4 4 1 - 1 2 0 0 1 1 1 1 - 2 2 2 3.3 伴随矩阵求逆矩阵 ? - 1 ?? ? 定理 4:??阶矩阵 ??可逆的充要条件是 ??非奇异 , 那么 ?? = ,??为矩阵 ??的伴随矩阵。 ?? 定义 5:伴随矩阵: ?? ?? ? ?? 11 12 1 ?? ?? ?? ? ?? ? 21 22 2 ?? ? ?? = , ?? 是??中?? 的代数余子式。 ??为矩阵 ??的伴随矩阵。 ? ? ? ? ???? ???? ?? ?? ? ?? ??1 ??2 ???? 定义 6: ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? + ? + ?? ?? = ?? ?? ??11 11 21 21 31 31 ??1 ??1 ??,??=1 1?? 1 ?? ?? ?? ??+ ?? 若??≠??, 则?? ?? = 0 ;??= ??, ?? ?? = ??,其中 ?? = (- 1) ????,??=1 1?? 1 ?? ??,??=1 1?? 1?? ???? ???? 分析步骤: ?设??阶矩阵 ??是非奇异阵,那么 ??可逆。那么 ????如下所示: ?? ?? ? ?? 11 12 1?? ?? ?? ? ?? 11 12 1?? ?? ?? ? ?? 21 22 2 ?? ?? ?? ? ?? ? 21 22 2 ?? ????= ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ??1 ??2 ???? ?? ?? ? ?? ??1 ??2 ???? ? 根据定义 6 可知 ????的值为 ????。 ∵若??≠??, 则?? ?? ?? = 0 ;若??= ??, ?? ?? ?? = ?? ??,??=1 1?? 1 ?? ??,??=1 1 ?? 1?? - 4 - ∴ ?? 0 ? 0 1 0 ? 0 ? 0 ?? ? 0 0 1 ? 0 ????= = ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? ?? 0 0 ? 1 例子 1 中的矩阵 ?? ∵通过前面的判别分析可以知道矩阵 ??是可逆的。 ∴矩阵??是非奇异的。 下面用矩阵伴随矩阵法求出矩阵 ??的逆矩阵。 ?求出伴随矩阵 ?? 。 1 1 - 1 ? ?? = - 3 5 - 1 - 2 2 2求出矩阵 ??的行列式 ??。 3 - 1 1 ?? = 2 0 1 = 4 1 - 1 2 ? - 1 ??根据定理 4 求出矩阵 ??的逆矩阵 ?? = ?? 1 1 1 - 4 4 4 ? 1 1 - 1 - 1 ?? 1 3 5 1 ?? = = × - 3 5 - 1 = - - ?? 4 4 4 4 - 2 2 2 1 1 1 - 2 2 2验证 ????= ????= ?? ?? - 1 - 1 ???? = ?? ??= ?? ?? 1 1 1 - 4 4 4 3 - 1 1 1 0 0 - 1 3 5 1 ???? = 2 0 1 - - = 0 1 0 = ?? ?? 4 4 4 1 - 1 2 0 0 1 1 1 1 - 2 2 2 1 1 1 - 4 4 4 3 - 1 1 1 0 0 - 1 3 5 1 ?? ??= 2 0 1 = 0 1 0 = ?? - - ?? 4 4 4 1 - 1 2 0 0 1 1 1 1 - 2 2 2结论 用伴随矩阵的方法和初等变换法所求的结果是一致的, 只不过伴随矩阵的方法比较繁琐, 当矩阵的阶数高于 3 阶时,初等变换法相对较方便。除此以外还有其他的一些其逆矩阵的方 法,比如:分块矩阵求逆矩阵,分解矩阵求逆矩阵,递推法求逆矩阵,特征多项式法等多种 - 5 - 方法。这里就不一一介绍这些方法了。在实践中只有最简便的方法,才是最实用的,很多的 方法虽然可以求出逆矩阵,但是方法太过复杂,但不能忽略那些思想,也许在某一个领域, 这种思想才是最实用的。 4 总结 在求解一个矩阵的逆矩阵,很多人往往直接求解而不注重分析一个矩阵是否可逆,甚至 有人直接拿着一个不是方阵的矩阵去求解逆矩阵,他就不会想到一个矩阵要可逆,最基本的 前提:矩阵必须是一个方阵。然而也有很多的人知道这个前提,虽然知道怎么求解一个矩阵 的逆矩阵,但是却不会去判断一个矩阵是否可逆。这样做很多时候只会浪费时间去求一个不 可逆的矩阵。本文中也介绍了几种判断矩阵可逆的方法,虽然不是很全面,但是对一般矩阵 可逆的判断已经足够了。在知道矩阵可逆之后,再去求解矩阵的逆矩阵才是明智的。对于矩 阵的逆矩阵求解,本文介绍了两种求一般矩阵逆矩阵的方法,初等变换法,伴随矩阵法,对 于不是研究的人员这已经足够了。 ?? ?? - 1 1 ?? -?? 最后,在面对一个 2 阶方阵 求逆矩阵时,也可以直接套公式 ?? = , ?? ?? ????-???? -?? ?? 这是伴随矩阵法求二阶逆矩阵的过程,也是较为方便的。 参考文献 [1] 姚慕生, 《高等代数学》 [M], 上海:复旦大学出版社(第二版) ,2002 [2] 张禾瑞,郝炳新, 《高等代数》 [M], 北京:高等教育出版社(第五版) ,2007 [3] 同济大学数学系编, 《线性代数》 [M], 北京:高等教育出版社(第五版) ,2007 - 6 -