在实直线上,闭区间 [-M,M](M大于0)属于开球B(0,M+e)(e是任意整数)
开球B(0,M)属于闭区间 [-M-e,M+e]。12.5.2 证明命题12.5.5:设紧致度量空间(X ,d),则其完备有界。
1,有限集合度量空间有界,完备。
2,无限集合度量空间。
假设不完备,则存在X中元素构成的柯西序列A不收敛,根据紧致假设,A有收敛子序列B,由引理12.4.9,A与B收敛于同一极限,矛盾。
假设无界,则对X中元素a1,球B1(a1,r),存在X中元素a2(选择公理,或者用下确界定义保证a2存在)不属于B1,否则B1包含X,矛盾。对B1UB2(a2,r),有a3不属于并集,否则由三角不等式可得B(a1,d(a1,a2)+r)包含X,矛盾。对B1UB2UB3(a3,r),有a4不属于并集,如果过程有限,即B1U……UBn包含X,则B(a1,d(a1,a2)+d(a2,a3)+……+d(a(n-1),an)+r)包含X,矛盾。因此可得无限序列A(ai(i为正整数),由于d(ai,aj)≥r,因此A不是柯西序列,A的任意子序列也不是柯西序列,根据引理12.4.7,A没有收敛的子序列,与假设紧致矛盾。
12.5.3 证明:设欧几里德空间(
,d),d=
或
或
,并设E
,则E紧致等价于E是有界闭集。
一方向由推论12.5.6直接得出。
反之,假设E有界闭。
设Rn中集合K:={x/xi∈[ai,bi](xi是x的第i分量)},容易证明K是Rn中有界闭集,记作闭矩形。先用紧致的序列定义证明K紧致。对K中任意序列D,D的第1分量数列,是[a1,b1]中的序列,由海涅-博雷尔定理得有收敛的子序列,因此通过位置对应关系,我们可得到D的子序列D1,使得D1的第一分量序列收敛在[a1,b1]中。接下来对D1的第2分量序列也可以得到收敛的子序列,…由于收敛序列的子序列收敛,我们最终得到D的子序列Dn,且Dn的所有分量序列都收敛在[ai,bi]中。根据命题12.1.18可得Dn依欧几里得度量,出租车度量和上确界范数度量都收敛在K中某点。因此K紧致。由E有界,E的每个分量都有界,因此E可以被一个闭矩形K覆盖。Rn完备,由命题12.4.12(b)得E完备,由(a)得E是K的闭集,由定理12.5.10