正四面体是棱长都相等的三棱锥,在高考中常常围绕它求外接球半径或内切球半径,或者三棱锥体积等等,高考考得比较频繁,所以我们要对它充分掌握,在这里我们来推导它的外接内切球半径。
我们画一个正四面体和外接球,设棱长为a,则每一面上的高为二分之根号3a。
然后在高AD上取点E,使AE=2DE,E为等边三角形ABC的中心,底面外接圆的圆心,连接PE,则pe垂直底面。
在三角形PAE中,使用勾股定理,求出PE。
然后在PE上取一点O,则PO=AO=r,oE=三分之根号6a-r,利用勾股定理。
所以棱长a的为正四面体外接球半径为四分之根号6a。