本文试图用具体例子和小的数字来解释各个排列组合公式的意义,用图表的形式列举出来,由浅显到深,让大家彻底地直观地理解各个公式的含义。
写在前面:如何数清楚一个事有多少种可能性,在生活中用的并不多,但在数学里是一个很有趣、也很常考的板块,叫做计数或者排列组合。
排列组合问题简单起来可以非常简单,比如:一个“田”字里有多少个正方形?难起来也可以非常难,中国的高考、高中数学联赛和美国的 AMC、AIME 都会重点考察这个板块。
很多同学一遇到排列组合公式 P 呀C呀什么的就不清楚,这很正常,因为初学者在不一一列举的情况下,很难直观地想清楚哪些算重了,哪些算漏了。我自己作为学生刚接触这个的时候也是这样,每次一遇到排列组合题就很慌,后来发现,学习的关键是:你先得非常明确一些基本模型,这些基本模型往往只用很小的数字就能说明,想清楚后再做一些数字大的问题就轻松了。
本文内容包括:
一:P 的由来
二:C 的由来
三:5 个组合数的公式直观解释
四:10 个常见题型和方法
现在开始!
一:P 的由来
所谓排列组合,排列在组合之前,咱们要聊的第一个概念是“排列”,排列的英文是 Permutation 或者 Arrangement,因此在数学符号中,用P或者 A 表示都可以,二者意思完全一样。
我们常见的 P 右边会跟两个数字(或字母),右下角的数字 n 表示总数,右上角的数字 m 表示抽出的个数。整个符号的意思是“从n个人中,有顺序地抽出 m 个人的抽法数”,可以读作“P n 抽m”。那么,到底什么叫做有顺序的?我们来举个数字很小的例子:
比如:班里有三名同学,成绩前两名有几种可能性?
咱们可以用乘法原理:选第一名有 3 种可能性,选第二名有 2 中可能性,因为第一名那个人不可能同时又是第二名了,将这两步相乘起来。(如果你不太理解乘法原理,可以看看下图直观列举的表示。)
这个公式需要注意的是:虽然书上每次讲到这个公式时一般以阶乘(factorial)的形式给出,但实际计算中,往往不用阶乘。我的记法是:从大的数字开始往小乘,乘“小的数字那么多”个。
二:C 的由来
咱们聊的第二个概念是“组合”,它比排列更常用,组合的英文是 Combination,因此在数学符号中用 C 表示,美国和英国