前面我们看到,二阶行列式的计算方法是“对角线法则”:
主对角线元素积与副对角线元素积的差
那么这个法则对其他的行列式适用吗?
三阶行列式
三阶行列式
二阶行列式的法则并不适用三阶行列式。三阶行列式的计算方法如下
三阶行列式的值
这个依然叫“对角线法则”,不过是复杂版的:主对角线乘完以后元素位置要平移一下继续相乘,直到x、y、z分别开过头以后,再分别减去x、y、z开头的副对角线乘积。
任意阶行列式的计算
为了计算更高阶行列式,我们需要引入两个概念:全排列和逆序数。
全排列比较简单,我们在高中就学过:n个不同元素的不同排列法一共有
全排列
在这些排列中,如果规定从小到大是标准次序,则每有两个元素不是标准次序就称为一个“逆序”。比如32514中,3在2前面,3在1前面,5在1前面,5在4前面,2在1前面。
逆序数就是排列中逆序的数目,用t表示,比如
逆序数
逆序数没有计算方法,就是靠数出来的!每次看一个数,看前面有比它大的有几个。
如果逆序数是奇数,这个排列叫奇排列,否则叫偶排列。标准次序逆序是0,所以是偶排列。
n阶行列式
n阶行列式的值
n阶行列式一共有n!项(因为是a的第二个下标的全排列)每一项都是不同行不同列的n个元素的积当第二下标的排列是奇排列符号为负,否则为正。
你可以自己验证一下二阶和三阶行列式也符合以上规律。
其他计算方式
也可以用第一下标排列计算
第一下标全排列
也可以同时计算第一下标和第二下标的逆序数
同时排列
行列式等于其任意某行(或某列)的各元素与其对应代数余子式乘积之和。这里引入代数余子式概念:行列式的元素aij的代数余子式是把它所有行列的所有元素都删掉(变成了n-1阶)的行列式记为
余子式
,则代数余子式
代数余子式
行列式性质
行列式转置后值不变互换行列式中两行,值变为相反数行列式中两行成比例,行列式为0行列式中一行所有元素乘以一个数后加到另一行,行列式值不变