公理在数学体系中不需证明,也无法证明。唯心主义者抓住这一点大做文章。说什么公理是人们主观“约定”的,不反映客观世界的“先验”的东西。妄图用否定公理的客观性来否定数学理论来源于客观世界。
辩证唯物主义认为,数学公理是客观的。之所以说它是客观的:
第一,公理的内容是客观的。数学上任何一个公理,其内容都是来源于外部世界,是对客观世界事物数量关系及其规律的正确反映。离开被反映的客观世界,就不可能有任何认识。更谈不上对客观事物的正确认识,也就不可能产生出各种数学公理。先要有被反映的事物存在,才能引起人脑的反映,产生正确的认识。存在第一性,意识第二性。先有存在,后有意识,这是一条颠扑不破的真理。虽然公理可以表现为逻辑体系的出发点,但它决非整个认识过程的出发点。在人们认识过程的长河中,公理是研究的结果,而不是研究的出发点。人类认识运动的秩序,总是由认识个别特殊的事物,逐步扩大到认识一般事物,在占有大量感性材料的基础上,进行概括、分析、演绎、推理,从而得出概念、理论性的东西。因此,公理同其他任何事物一样,是人们认识史上一定阶段的产物。我们曾在欧氏平面几何中学习过五条著名的公理,即“两点确定一条直线”;“直线可以任意延长”;“有圆心和半径可以作一个圆”;“凡直角都相等”和“过一点只能作一条直线与另一条直线平行”。这些几何公理是在公元前三世纪由欧几里德为了证明几何学中一些定理的需要总结出来的。但此以前人类早就在生产斗争实践中研究了几何学。现在发现较早的几何学《草本》是在公元前1650年写的。那里没有公理,但有丰富的几何经验、公式和各种几何定理。由此看出,把数学看成由几条公理推出来的唯心论观点是站不住脚的。
第二,检验公理的标准也是客观的。这个标准就是实践。任何一种理论的正确与否,都要用实践这把尺子量一量。凡经实践证明,它正确反映了客观世界,这种理论就称之为真理。否则就是谬误。公理是人们公认的真理,它不需要逻辑证明,但不等于说不要实践证明。恰恰相反,正是因为人类亿万次实践证明了它正确地反映了客观实际,才定义它为公理。甲量等于乙量,乙量等于丙量,则甲量等于丙量。这个被人们看作“不证自明”的公理,并非它是什么“先天知识”。而是因为前人反复实践,认识了客观事物之间有着这样一种传递性,并通过知识的传授世世代代传下来,才成为“不证自明”的东西。即使是这样,人们仍然要有实践经验作基础,才能理解这条公理。假如对一个隔绝于自然界和社会之外,没有数量关系概念的小孩来说,这个“不证自明”的东西,对他也是一道难题。
第三,公理是客观的,还在于它的相对性。辩证唯物主义认为,任何客观真理都是相对真理和绝对真理的辩证统一。公理作为前人经过亿万次实践证明它反映了客观事物,因而被人们当作真理。从这个意义上讲,它是绝对的,无条件的。但在人类认识这个长河中,它同其他真理一样是相对而言的,有条件的。例如前面提到的欧氏“第五公设”即第五公理,在地球这个不大广阔的空间里,实践证明了它是正确的。但是,把它放到宇宙这个广阔的空间里,它就不能成立了。非欧几里德几何学证明,在平面内过一点可以作无数条直线与已知直线不相交。爱因斯坦创造的相对论告诉我们,时间和空间的几何性质是由事物的分布和运动状态决定的。广义相对论指出引力场的时间、空间特性依赖于物质质量的分布。质量愈大,分布愈密,引力场愈强,则空间的曲率也就愈大。例如,在太阳系里,由于太阳本身巨大的质量(其质量占整个太阳系质量总和的99.86%),产生了强大的引力场,引起周围时空的弯曲,当遥远的恒星的光线经过太阳附近时,由于太阳周围空间弯曲的原因,光线的路线也就发生弯曲。现代天文学和物理学已经证明“过一点只能作一条直线与另一条直线平行”这一公理已不完全正确了。三角形三内角之和也不等于180度。面对这种情况,人们需要建立一种新的平行公理,反映各种不同性质的空间的实际情况。为解决这一矛盾,非欧几里德几何学应运而生了。
数学的相对独立性
数学来源于客观世界,但又有高度的抽象性。它是从人类的需要中产生的,是从现实世界抽象出来的规律。但它在一定发展阶段又和现实世界相脱离。意识的相对独立性具有普遍性。一切科学当它从客观世界抽象出来后就和现实相脱离,并且作为某种独立的东西与现实世界相对立。这是因为,人类认识客观世界总的秩序是,从个别具体事物开始,经过头脑加工思考,认识了客观事物的本质和规律,形成了一般抽象的概念。然后运用这些概念去认识新的具体事物。如此无限循环下去,人们的认识不断丰富和发展。当人们在实践基础上,经过思维作用,形成对事物规律认识的时候,正是在这个阶段上,人们的认识有了相对的独立性,进而可以运用它去分析客观事物,解决实际问题,并在此过程中检验抽象出来的概念、理论是否符合客观实际,修正错误的东西,丰富和发展原有的理论。这是人们认识事物的普遍规律。今天,数学从现实世界分离出来,作为一门相对独立的科学而存在,并且广泛运用于各个领域。这只是表面上掩盖了它起源于外部世界的事实。我们决不能被这一点蒙住眼睛,把数学误认为某种”先验的东西“,是人类理性的自由创造物和想象物。这样势必滑入唯心主义的泥坑。
二、数学中的辩证法内容
我们周围的物质世界是由无数相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的事物所形成的统一整体,充满着矛盾和斗争。数学是研究客观世界关系和空间形式的科学。因此,客观世中的对立统一规律、质量互变规律、否定之否定规律等辩证内容必然在数学中反映出来。不仅高等数学中充满着辩证法,就连初等数学也充满着矛盾,是对立统一的。数学中的数总是一分为二,成对地出现。如正数与负数、整数与分数、奇数与偶数、有理数与无理数、实数与虚数、有限数与无限数…..等等。形的概念也是如此,直线与曲线、方与圆、弧与弦、平行与相交等等,都是“形”这个统一体的两个方面。数学中的各种运算方法也是对立统一,相互联系,相互依赖,相互转化的。加与减,乘与除,乘方与开方,指数与对数,微分与积分,等等,都是互为逆运算的。它们之间并不是僵死的,孤立的,而是相比较而存在,相斗争而发展,在一定条件下相互转化。正数与负数可以按大小顺序通过“零”(在数轴上是原点)从一方面转到另一方面。a=–(–a),就是这种转化的具体形式。同样有理数与无理数也可以相互转化。转化的形式是当有理数无限逼近无理数,取其极限。这时有理数就转化为无理数了。而无理数每次近似取舍的值都是有理数。如1.414…..= ;。微分的无限积累可以转化为积分。反之,积分的无限可分又转化为微分。设有函数y=f(x),先将y=f(x)微分,则有;再将微分的结果再积分,
从而又还原为原函数。
的式子表达了微分与积分转化的过程。由此看出数学中处处充满着辩证法。下面从具体一些事例,谈谈数学中辩证法的内容。
“1”的辩证法
“1”是自然数的“排头兵”。人们最早形成数的概念是从“1”开始的。小孩学数学也是从“1”开始的。度量各种事物的单位也是“1”。如1公里,1小时……“1”是初等数学中最简单的概念之一。
怎样看待“1”。辩证法和形而上学有着根本不同的看法。形而上学者认为1就是1,2就是2。他们俩把1看成是凝固的、僵死的、一成不变的,没有矛盾的。唯物辩证法认为“1”是一与多的对立统一,是一对矛盾的两个方面。;“1”发展出“多”,“多”中包含“1”。这是显而易解的。任何一个大的自然数都是由“1”加“1”不断地加下去而得来的。电子计算机的“加法器”正是利用这个道理设计的。现实世界中的各种物质都是由一个一个基本单位组成的。一仓库麦子是一颗颗麦粒堆积起来的。大河中的流水可算多了,可它是一滴一滴水汇集起来的。任何一个“多“都可以分解为多个“1”,这是无疑的。辩证法还认为,不仅“多”中包含“1”,而且“1”中也包含“多”。例如10个0.1相加等于“1”。“多”寓于“1”之中。“多”与“1”的关系是矛盾的普遍性与特殊性的关系,共性与个性、一般与个别的关系。如果把整个“宇宙”看成“1”,宇宙是由无数多的天体组成的。目前人们利用射电望远镜观察到离地球达一百亿光年(光束每秒30万公里,一光年就是光一年所走的路程)的天体和宇宙的10亿个星系。然而,这只是人类目前认识能力所达到的界限,并不是宇宙的边缘。由此可见,宇宙这个大“1”,包含了无限之“多”。在微观世界中也是如此。一个分子是由若干个原子组成的。一个原子又由一个核子和多个电子组成的。一个核子又是由多个质子和中子组成。随着人们认识 的深化,今后还会认识到比质子、中子更小的基本粒子。由此可见,一个分子也是由无数多个可分的基本粒子组成的。
“1”在现实世界中如此,在纯数学中也是这样,显示了它的无限多样性。例如;
1=
1 ……
1=......
1=
1=
从以上式子看出,数学家们早就把“1”当作“多”来处理。尽管他们在理论上已经这样做了。可是由于传统的形而上学思想的影响,一些人把“1”和“多”对立起来,割裂开来,在实践中不承认“1”与“多”的辩证关系,看不到两者的内在联系。只有代表无产阶级先进思想的——马克思哲学诞生后,马克思、恩格斯把唯物辩证法引入数学,透彻地剖析“1”与“多”这对矛盾运动的规律,揭示了它们之间内在的本质的、必然的联系。恩格斯在《自然辩证法》(第237页)一中指出“再没有什么比1更多样化了“。无论从理论和实践上讲,这个结论是千真万确的。各方面都证明“1”比其他任何数有更多的不同的内容、不同性质和不同的表现形式。我们不能把“1”当作纯粹的“1”来理解和运用。“1”中有“多”,“多”中有“1”,“1”转化为“多”,“多”转化为“1”。这就是“1”与“多”的辩证法。
“0“是有与无的对立统一
一提到“0“,人们往往会理解为”无“的意思。其实”0“不是绝对的“无”,而是有与无的对立统一。关于这一点,我国古代哲学家老子就谈过这个问题。他说:“三十辐共一毂,当其无,有车之用。埏埴以为器,当其无,有器之用,凿户牖以为室,当其无。有室之用,故有之以为利,无之以为用。”这话的意思是,三十个条辐集中插在一个车轴上只有当中间是空无的,才有车轮的作用。用陶泥做器皿,只有当中间是空无的,才有容器的作用。。开凿门窗造房屋,只有门窗中间是空无的,才有房屋的作用。所以“有”给人们的利益只有与“无”联系起来,才能起作用。这些话虽然很玄乎,但有辩证法思想。
唯物辩证法认为,任何东西的灭亡都是转化为另一种事物,决不是化为绝对的“无”。从纯粹的数学观点看,“0”是对任何定量的否定,在这个意义上讲它表示“无”。但从辩证的关系来看,“0”具有丰富的内容。正如恩格斯说的:“作为一切正数与负数之间的界线,作为既不是正又不是负的中性数,”零“不只是一个非常确定的数。而且它本身比其他一切被它所限定的数都更重要。事实上,零比其他一切数都有更丰富的内容。”《自然辩证法》(第238页)。在现实世界中,“零”表示一个客观事实的量。在物理学和解释几何中,“0”不是代表“无”,而是代表客观世界中一个实体。例如:通常说的c,并不是没有温度,而是能在温度计上可以显示出来,人们也可以感觉出来的的一个实实在在的温度。这个温度是水的凝固点。当温度降到C,水就由通常的液态变为固态。在时间概念上的“零”点,它绝不是表示没有时间,而是一个实实在在的时间,一天的开端。在笛卡尔坐标系中,“0”是一个实实在在的点,即坐标原点。在失量代数里,“0”表示终点与起点的重合,没有固定方向,即“零向量”。在微分运算中的 即决不意味着无,而是一个实实在在的量,即导函数。这个导函数通过首先取差,随后又将它扬弃,从而函数自变量x消失了,随之函数改变量y也消失了,才出现 的形式。原函数通过二次否定,不是回到原来的出发点,而是解决了初等数学中解决不了(即0不能作除数的课题)。马克思在《数学手稿》中对这一过程作了精辟的概括:“首先取差然后再把它扬弃,这样在字面上就导致无,理解微分运算的全部困难(正象理解否定的否定本身时那样),恰恰在于要看到微分运算是怎样区别这样的简单手续并因此导出实际的结果。” 由此可知,微分运算中的
,它是变量x的自我否定,仅仅是字面上导致无。是转化不是消失,是既被克服又被保存,“按其形式来说是被克服了,按其现实内容来说是被保存了。(马克思选集第三卷第178—179页)。变量x在经过二次否定之后已经起了质的变化,”它通过部分部分地与自己结合,部分地与原函数中的x结合,给出了最终的‘导数’”。式上消失为0,伴之也消失为0。它们在量上虽然消失了,但函数对于变量X的依赖关系(即质的关系)依然保留着,而且发展了。
与其他数量的相互关系上看。它不仅有确定的内容。而且其容与含义比其他任何数都丰富。把0与正、负数联系起来看,”0“是正数与负数的分界线。在整个有理数中,”0“是一个真正的中性数。它既不是正数,也不是负数。”0“还有一个独特的性质,就是0乘以任何数都是得0。诸如此类,足以看出”0“具有丰富的内容,不能简单视为绝对的“无”。
“0”是自我否定规律在数学上的反映。否定之否定规律是客观世界一个普遍规律,它揭示了事物内部矛盾的斗争及其旧事物向新事物转化的过程。“0”是一事物否定它事物的标志,是旧事物向新事物转化的临界点,又称为质变点”。5-5=0,这道连幼儿园小孩也会算的算术题,单从算术上看它表示无。但将它移入现实世界中,赋予它的实际内容后,这里的“0”不再表示“无”了,而有其特定的内容。举例讲,假如是5粒麦子,将它播种在一定条件下的泥土里。几天后原来的麦子没有了,长出了五棵麦芽。对原有的麦粒而言,它们消失了,在数量上变成”0”.从这个意义上讲5-5=0,表示“无“。但这个无不是绝对的,而是相对的。对于旧的麦粒种子来说,确实不存在了。但它并没有灭亡,而是转化为五棵麦苗。麦苗否定了麦粒,旧事物转化为新事物”0“就是这种否定的标志,是事物发展的环节而不是中断。它介于新旧事物之间,既是旧事物发展的终点,又是新事物发展的起点。在旧事物中它表示”无“,而在新事物中它代表”有。“0”就是“有”与“无”的对立统一。