平行和垂直一、知识提要 一、证明两直线互相平行常用的定理 利用角 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行。 利用第三线 都平行或都垂直于第三线的两直线平行。 利用比例式 如图,ABC 中,如果 EC AE DB AD 那么DEBC。其他 三角形中位线平行于第三边。 梯形中位线平行于两底。 平行四边形对边平行。 二、证明两直线互相垂直常用的定理 按垂直定义:即证明两直线相交所成的四个角中,有一个是直角。 直角是 180的一半,常见的 180有:平角,邻补角,平行线的同旁内角,三角 形内角和。 在三角形中证明直角: 如果一个角等于其他两个角的和,那么这个角是直角。 若一边平方等于其他两边的平方和,则这边所对的角是直角。 若一边中线等于这边的一半,则这边所对的角是直角。 等腰三角形顶角平分线(或底边中线)是底边上的高。 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。 图形的性质: 菱形对角线互相垂直。 正方形对角线互相垂直。 二、典型例题例1、从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线,两个垂足的 连线平行于这个角的对边。 已知:在ABC 中,BD,CE 是角平分线,AMBD, ANCE, 求证:MNBC。 证明:分别延长AM,AN 交BC FMBAMB BM=BM,AMB=FMB, AMBFMB, AM=FM, 同理可证 AN=GN, MN 是AFG 的中位线, MNFG,即MNBC。 例2、已知:AD 是RtABC 斜边上的高,角平分线BE 交AD EGBC交BC 求证:FGAC,AGBE。证明: 到ABC的两边距离相等, 即EA=EG,EBC=ABE,BFD,AEF 分别是EBC,ABE 的余角 且BFD=AFE, AFE=AEF, 得AF=AE=EG,且EGAF 故AFGE 是菱形 FGAE,AGFE, 即FGAC,AGBE。 例3、已知:如图AD是等腰直角ABC斜边上高,BM,BN三等分 ABC 求证:ENBM证明:连结CN 并延长交AB ABC是等腰直角三角形 根椐轴对称图形的性质得CM,CN 也三等分ACB 是ACE的内心 EN 是AEC 的平分线 3060 3045 1=ABMENBM 三点在同一直线上,ABD和BCE 都是等边三 角形,AE交BD 于M,CD 求证:MNAC证明:在等边ABD 和BCE 60BMCE, BCAB ME AM CEBD NE BN NEBN ME AM MNAC例5、已知:正方形ABCD 作PEAB,作PFBC, 求证:PDEF 分析:要证明PDEF,可证PMF= 而1=4,只要证3=4,可用边角边证BEFGPD证明:延长DP 交EF 于M,作PGDC 交DC 作PHAD交AD PEAB,PFBC,PGDC,PHAD,PG=PF,PH=PE,PF=EB,PE=FB,PH=GD,DGP=FBE= PG=EB,DG=FB在GPD 和BEF DGP=FBEDG=FB GPDBEF, PDEF。三、习题精练 1、如图,已知四边形ABCD 中,A=D,AB=DC, 求证:ADBC 2、如图已知:菱形ABCD 为BC边上一点,AE 交BD 交DC的延长线于G。 求证: 3、ABC 为BC中点,过D 的直线交AC 交AB的延长线于F。 求证: 4、ABC 为BC中点,过D 的直线交AC 于E,交BA 的延长线于F。 求证: 5、如图,已知:ABC 分AC为1:2 两部分,D 为BF 中点,AD