微积分应用课题一 最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以 从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公 式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性 关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , ?, , 则在 平 面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出 这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下 面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量 之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映 了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越 小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反 映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这 一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进 一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很 大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系 数 , 的方法称为最小二乘法. 由极值原理得 , 即 解此联立方程得 (*) 问题 I 为研究某一化学反应过程中, 温度 ℃)对产品得率 (%)的影 响, 测得数据如下: 温度 ℃) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 (%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 (1) 利用“ListPlot”函数, 绘出数据 的散点图(采用格式: ListPlot[{ , , ?, }, Prolog->AbsolutePointSize[3]] ); (2) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 注意观察有何特征? (采用 格式: Show[Graphics[Line[{ , , ?, }]] , Axes->True ]) ; (3) 根据公式(*), 利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小 的程序, 求经验公式 ; (程序编写思路为: 任意给定两个集合 A (此处表示温度)、B(此处表示 得率), 由公式(*)可定义两个二元函数(集合 A 和 B 为其变量)分别表示 和 . 集合 A 元素求和: Apply[Plus,A] 表示将加法施加到集合 A 上, 即各 元素相加, 例如 Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合 A 元素的个 数, 即为 n; A.B 表示两集合元素相乘相加;A*B 表示集合 A 与 B 元素对应相 乘得到的新的集合.) (4) 在同一张图中显示直线 及散点图; (5) 估计温度为 200 时产品得率. 然而, 不少实际问题的观测数据 , , ?, 的散点图明显地不能用线性 关系来描叙, 但确实散落在某一曲线近旁, 这时可以根据散点图的轮廓和 实际经验, 选一条曲线来近似表达 与 的相互关系. 问题 II 下表是美国旧轿车价格的调查资料, 今以 表示轿车的使用 年数, (美元)表示相应的平均价格, 求 与 之间的关系. 使用年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均价格 2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 (1) 利用“ListPlot”函数绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征? (2) 令 , 绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征? (3) 利用“Line”函数, 将散点 连接起来, 说明有何特征? (4) 利用最小二乘法, 求 与 之间的关系; (5) 求 与 之间的关系; (6) 在同一张图中显示散点图 及 关于 的图形. 思考与练习 1. 假设一组数据 : , , ?, 变量之间近似成线性关系, 试利用集合 的有关运算, 编写一简单程序: 对于任意给定的数据集合 , 通过求解极 值原理所包含的方程组, 不需要给出 、 计算的表达式, 立即得到 、 的 值, 并就本课题 I /(3)进行实验. 注: 利用 Transpose 函数可以得到数据 A 的第一个分量的集合, 命令 格式为: 先求 A 的转置, 然后取第一行元素, 即为数据 A 的第一个分量集合, 例如 (A 即为矩阵 ) = (数据 A 的第一个分量集合) = (数据 A 的第二个分量集合) B-C 表示集合 B 与 C 对应元素相减所得的集合, 如 = . 2. 最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新 计算 与 的值, 并与先前的结果作一比较.