§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程 列差分方程 差分方程的特点 常系数线性差分方程的求解 解法 2.特解 三.零输入响应+零状态响应 求初始状态(0-状态) 由初始状态(0-状态)定C1,C2 注意 X 第*页北京电子科技学院 用差分方程描述线性时不变离散系统 由实际问题直接得到差分方程 由微分方程导出差分方程 由系统框图写差分方程 差分方程的特点 一.用差分方程描述线性时不变离散系统 线性:均匀性、可加性均成立; 时不变性 二.由实际问题直接得到差分方程 例如: y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数):出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为: y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n) 三.由微分方程导出差分方程 后差 或前差 若用后差形式 若在t=nT 各点取得样值 当前输出 前一个输出 输入 n代表序号 四.由系统框图写差分方程 1.基本单元 加法器: 乘法器:	延时器 单位延时实际是一个移位寄存器,把前一个离散值顶出来,递补。 标量乘法器 系统框图 例1 如图框图,写出差分方程 解: 一阶后向差分方程 一阶前向差分方程 五.差分方程的特点 (1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值,而且还与前面输出值有关,每个输出值必须依次保留。 (2)差分方程的数阶:差分方程中变量的最高和最低序号差数为阶数。 如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值,那么描述它的差分方程就是几阶的。 (4)差分方程描述离散时间系统,输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系,应该会写会画。 (3)微分方程可以用差分方程来逼近,微分方程解是精确解,差分方程解是近似解,两者有许多类似之处。 1.迭代法 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 2.时域经典法:齐次解+特解; 4. z变换法?反变换?y(n) 一.迭代法 解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。 由递推关系,可得输出值: 例2 二.时域经典法 1.齐次解:齐次方程的解 指数形式 求待定系数 C由边界决定 代入原方程, 齐次解 求差分方程齐次解步骤 差分方程? 特征方程?特征根? y(n)的解析式?由起始状态定常数 根据特征根,解的三种情况 求解二阶差分方程 特征方程 齐次解 定C1,C2 解出 特征根 2.有重根 特征方程 给定边界条件即可求出常数 3.有共轭复数根 设P,Q为待定系数 为减幅正弦序列 为等幅正弦序列 为增幅正弦序列 线性时不变系统输入与输出有相同的形式 输入 输出 (r与特征根重) 例3 代入原方程求特解 特解 1.零输入响应:输入为零,差分方程为齐次 C由初始状态定(相当于0-的条件) 齐次解: 2.零状态响应:初始状态为0,即 求解方法 经典法:齐次解+特解 卷积法 求系统的零输入响应。 例4 题目中 ,是激励加上以后的,不能说明状态 为0,需迭代求出 。 解得 零输入响应与输入无关