拉普拉斯方程的基本解满足,其中的三维δ函数代表位于的一个点源。由基本解的定义,若对u作用拉普拉斯算子,再把结果在包含点源的任意体积内积分,那么。由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式,所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域,那么根据高斯散度定理。求得在以点源为中心,半径为r的球面上有,所以。经过类似的推导同样可求得二维形式的解。格林函数是一种不但满足前述基本解的定义,而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如,可以满足,。现设u为在V内满足泊松方程的任意解:,且u在边界S上取值为g,那么我们可以应用格林定理(是高斯散度定理的一个推论),得到。un和Gn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件,可将这满足狄利克雷边界条件的公式化简为。所以格林函数描述了量f和g对点函数值的影响。