泰勒级数是把一个函数展开来显示的无穷级数,像这些:

(还有很多)

近似值

你可以用泰勒级数的头几项来估计函数的近似值。
这里是越来越准确的cos(x)近似值。红线是cos(x),蓝线是近似值(自己画图来看看):

1 − x2/2!
1 − x2/2! + x4/4!
1 − x2/2! + x4/4! − x6/6!
1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + x8/8!

(你可以在复数的欧拉公式 看到更多泰勒级数的用法。)

背后的理念是什么?

为什么可以把一个函数变成幂的级数?
你想得到这个:
f(x) = c0+ c1(x-a) + c2(x-a)2+ c3(x-a)3+ ……
选一个 "a" 的值来求这些: c0、c1、c2、等等……
这是用导数算出来的……

简短回顾:导数告诉我们函数在任何一点的坡度。

你需要知道函数f(x)的导数和这些导数基本规律:
常数 的导数是 0x 的导数是 1xn的导数是nxn-1(例子:x3的导数是3x2)
我们用这个符号’ 来代表 "的导数"。
好,开始:
求c0:以x=a,所有 (x-a) ,剩下的是:
f(a) = c0的项都等于零
所以c0= f(a)
求c1:取f(x) 的导数:
f’(x) = c1+ 2c2(x-a) + 3c3(x-a)2+ ……
设x=a,所有 (x-a) 的项都是零:
f’(a) = c1
所以c1= f’(a)
求c2:再取导数:
f’’(x) = 2c2+ 3×2×c3(x-a) + ……
设x=a,所有 (x-a) 的项都等于零:
f’’(a) = 2c2
所以c2= f’’(a)/2
看到规律了吗?每项是
高一个阶的导数…………除以在这项以下所有的指数的积(我们可以用阶乘记号 来写,例如 3! = 3×2×1)
结果是:
这便是求泰勒级数每一项的规律:取导数,除以 n!。

例子:cos(x) 的泰勒级数

我们只需要知道:
cos(x) 的导数是 -sin(x)sin(x) 的导数是 cos(x)
以a=0:
c0= f(0) = cos(0) = 1c1= f'(0)/1! = -sin(0) = 0c2= f''(0)/2! = -cos(0)/2! = -1/2!c3= f'''(0)/3! = sin(0)/3! = 0c4= f''''(0)/4! = cos(0)/4! = 1/4!等等……
所有奇项都是零,所以:
cos(x) = 1 − x2/2! + x4/4! −……
你自己用 sin(x) 来试试!
你也可以用其他的函数,重点是你需要知道函数 f(x) 的导数是什么。
注意:麦克劳林级数是a=0的泰勒级数。我们上面的例子都是麦克劳林级数。