1772年,法国数学家范德蒙德(Vandermonde, A. - T.)以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。瑞士数学家欧拉(Euler, L.)则于1771年以 及于1778年以 表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。1830年,英国数学家皮科克(Peacock, G)引入符号Cr表示n个元素中每次取r个的组合数。1869年或稍早些,剑桥的古德文以符号nPr 表示由n个元素中每次取r个元素的排列数,这用法亦延用至今。按此法,nPn便相当于n!。1872年,德国数学家埃汀肖森(Ettingshausen,B. A. von)引入了符号(np)来表示同样的意义,这组合符号(Signs of Combinations)一直沿用至今。1880年,鲍茨(Potts , R.)以nCr及nPr分别表示由n个元素取出r个的组合数与排列数。1886年,惠特渥斯(Whit-worth, A. W.)用Cnr和Pnr表示同样的意义,他还用Rnr表示可重复的组合数。1899年,英国数学家、物理学家克里斯托尔(Chrystal,G.)以nPr,nCr分别表示由n个不同元素中每次取出r个不重复之元素的排列数与组合数,并以nHr表示相同意义下之可重复的排列数,这三种符号也通用至今。1904年,德国数学家内托(Netto, E.)为一本百科辞典所写的辞条中,以Arn表示上述nPr之意,以Crn表示上述nCr之意,后者亦也用符号(n r)表示。这些符号也一直用到现代。此外,在八卦中,亦运用到了排列组合。 定义及相关 定义及公式 排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同)个不同的元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 或 表示。计算公式: 排列组合计算公式 此外规定0! = 1组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。计算公式: ; 。其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!×n2!×...×nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m)。 符号 C-Combination 组合数 [1] A-Arrangement 排列数(在旧教材为P-Permutation)N-Number 元素的总个数M- 参与选择的元素个数!- Factorial阶乘 基本计数原理 ⑴加法原理和分类计数法 ⒈加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。⒉第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。⒊分类的要求 :每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。⑵乘法原理和分步计数法⒈ 乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。⒉合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同。3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。 二项式定理 . [2] 通项公式:a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i二项式系数:C(in)杨辉三角:右图。两端是1,除1外的每个数是肩上两数之和。系数性质:⑴和首末两端等距离的系数相等; ⑵当二项式指数n是奇数时,中间两项最大且相等;⑶当二项式指数n是偶数时,中间一项最大;⑷二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同,都是2^(n-1);⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n 组合数的奇偶 奇偶定义:对组合数C(n,k)(n>=k):将n,k分别化为二进制,若某二进制位对应的n为0,而k为1 ,则C(n,k)为偶数;否则为奇数。下面是判定方法:结论:对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数。证明:对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数。证明:利用数学归纳法:由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);对应于杨辉三角:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1………………可以验证前面几层及k = 0时满足结论,下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下,C(n,k)满足结论。1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数:则有:(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) == k-1;由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位,下同)必然是不同的,所以n-1的最后一位必然是1。现假设n&k == k。则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。因为n-1的最后一位是1,则n的最后一位是0,所以n&k != k,与假设矛盾。所以得n&k != k。2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数:则有:(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) != k-1;现假设n&k == k.则对于k最后一位为1的情况:此时n最后一位也为1,所以有(n-1)&(k-1) == k-1,与假设矛盾。而对于k最后一位为0的情况:则k的末尾必有一部分形如:10; 代表任意个0。相应的,n对应的部分为:1{*}*; *代表0或1。而若n对应的{*}*中只要有一个为1,则(n-1)&k == k成立,所以n对应部分也应该是10。则相应的,k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立,与假设矛盾。所以得n&k != k。由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时,n&k != k。3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数:则有:(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) != k-1;显然,k的最后一位只能是0,否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。所以k的末尾必有一部分形如:10;相应的,n-1的对应部分为:1{*}*;相应的,k-1的对应部分为:01;则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.所以n的对应部分也就为 :1{*}*; (不会因为进位变1为0)所以 n&k = k。4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数:则有:(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) == k-1;分两种情况:当k-1的最后一位为0时:则k-1的末尾必有一部分形如:10;相应的,k的对应部分为 : 11;相应的,n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)相应的,n的对应部分为 : 1{*}1;所以n&k = k。当k-1的最后一位为1时:则k-1的末尾必有一部分形如:01; (前面的0可以是附加上去的)相应的,k的对应部分为 : 10;相应的,n-1的对应部分为 : 01; (若为11,则(n-1)&k == k)相应的,n的对应部分为 : 10;所以n&k = k。由3),4)得出当C(n,k)为奇数时,n&k = k。