1、参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
,并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点
都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数.简称参数.
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
关于参数的几点说明:
(1)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.
(2)同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不同.
(3)在实际问题中要确定参数的取值范围.
2、参数方程和普通方程的互化
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.否则,互化就是不等价的.
(1)参数方程化为普通方程的过程就是消参过程,常见方法有三种:
①代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数;
②三角法:利用三角恒等式消去参数;
③整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.
(2)普通方程化为参数方程需要引入参数.
如:①直线l的普通方程是
,可以化为参数方程
(t为参数).
②在普通方程
中,令
,可以化为参数方程
(
为参数).
3、圆的参数方程
(1)圆心为原点,半径为r的圆的参数方程
如图,如果点P的坐标为
,圆的半径为r,
,根据三角函数定义,知点P的横坐标x、纵坐标y都是
的函数,即
(
为参数).
并且对于
的每一个允许值,由方程所确定的点
都在圆O上.