正四面体的外接球半径的求法 正四面体是一种比较灵活的多面体,而球又是高中教材中唯一保留下来的旋转体,此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。现把求四面体外接球的半径的几种方法总结如下,本人认为很有代表意义,希望它对高三备考的师生能有启发作用。 如右图:已知正四面体 A \uf02d BCD ,H 为底面的中心,O为外接球的球心,设棱长为 a,外接球半径为 R,内切球半径为 r,试求 R. 方法一:易知 R+r=AH=63a ,由等积法得: V A \uf02d BCD \uf03d V O \uf02d ABC \uf02b V O \uf02d BCD \uf02b V O \uf02dCDA \uf02b V O \uf02d DAB所以: 13AH \uf0d7 S \uf044BC D \uf03d 4 \uf0d713r \uf0d7 S \uf044BC D 故 r \uf03d14AH , R \uf03d34AH 所以 R \uf03d64a . 方法二:如图 \uf044AH M可得 R \uf03d64a . \uf040 \uf044BN M 所H MAM\uf03dO NO A,即13\uf03drR,又由 R+r=AH=63a方法三: 如图设延长 AH交球面上一点 K,则 AK=2R,在直角三角形 ABK中由射影定理得 AB2\uf03d AH \uf0d7 AK 即 a2\uf03d63a \uf0d7 2R 故得 R \uf03d222264a . 方法四:如图正四面体可补成一个边长为的外接球即为正四面体的外接球,而a 的正方体,显然正方体故可得 R \uf03d64a . 3( a) \uf03d 2R 小结:此四种方法立体交叉,思想性、艺术性各有千秋,对培养学生的空间想象能力以及综合解题能很有帮助。