谢谢网友“付祥526”邀请!首先,三角形内角和180°是必然的规律,因为可以得到合理地证明。
中学阶段有多种证明三角形内角和的方法,以下简单列举三种:
第一种方法:通过做平行线将三个角转化成一个平角,刚好就是180°。
如图①,ABC中,延长BC到D,过C作CE‖BA
∴∠B=∠ECD(同位角相等),且∠A=∠ACE(内错角相等)
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角)
把上述角代换,得:
∠ACB+∠B+∠A=180°
∴三角形内角和等于180度
第二种方法:用拼图法,跟第一种方法原理类似,都是将三角形的三个角转化到一个角。这也是证明题常用的方法。如图②。
第三种方法:如图③利用圆来证明,也很清楚。
三角形都有外接圆,∠A对BC弧,∠B对AC弧,∠C对AB弧。
定理:圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
∴∠A+∠B+∠C=1/2(BC弧+AC弧+AB弧)
就是:∠A+∠B+∠C=1/2×360°=180°
∴三角形内角和等于180度。
任意多边形内角和的证明更简单了,我们可以以任意点为顶点,连接它与其他所有不相邻点,将n边形分成(n-2)个三角形,所以任意多边形内角和就是(n-2)×180°了。
无刻度度量的几何
讨论欧氏几何首先需要明确线段或两点间的距离是欧几里得几何规定的度量,即这个度量是没有刻度的。在《几何原本》基础几何的开篇中提到了欧氏几何面临作图的三大问题:①三等分任意角问题、②倍立方问题、③化方为圆问题。其难处在于作图只允许没有刻度的直尺和圆规。
第五公设
同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于两个直角(180°),则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。与此同时,任意三角形的内角和等于两个直角是第五公设的等价命题之一。如图1
图1 第五公设与任意三角形
有网友提出了证明“任意三角形内角和”的方法①“通过作平行线将三角形的三个角转化成一个平角”,方法②“用拼图法移动得到一个平角”等。目前,任意三角形的内角和等于两个直角没有得到学界确认的证明,这些方法需要商榷。
欧几里得所设的5条公设
公设I.1:过现点可作一条直线(以两点间的距离处理的线段图形)。
公设I.2:直