字面意思看,一致收敛说明这列函数在每一点处的收敛速度是一样的。
下面从定义严格说明一下:
{f_n(x)}一致收敛到f(x):对任意ε,存在N>0,使得对所有n>N,|f_n(x)-f(x)|<ε对所有的x都成立。
{f_n(x)}点点收敛到f(x):对任意一点x,对任意ε,存在N>0,使得对所有n>N,有|f_n(x)-f(x)|<ε。
那么我刚才说的收敛速度是什么意思呢?就是说对于给定的一个ε,要到第几项,才能保证f_n(x)已经足够接近f(x)了。(“足够接近”的意思是|f_n(x)-f(x)|<ε|)
一致收敛说:给了一个ε,就能保证不管你在哪一个x处,只要到了第N项,f_n(x)就足够靠近f(x)
点点收敛就做不到了,它只能说,给了一个ε,对于每一点x,能找到一个N,使得从第N项开始,f_n(x)足够靠近f(x),但是要注意这个N是取决于x的。也就是说,对于不同的x,N的值可能是不同的。所以说点点收敛不能保证{f_n(x)}在每一点的收敛速度是一致的。