由于该等式不具有普遍性规律,用公式不好表达,于是先采用类比推理,得出通项,在采用数学归纳法来证明通项。
(i)类比证明得出通项:设人数为n(保证n有意义,n为正整数,而且n为偶数)
当n=2时,共有1种分法;
当n=4时,共有1*3种分法;
当n=6时,共有1*3*5种分法;
当n=2k时,共有1*3*5*...*(n-1)。(k≥1且k∈N)
(ii)数学归纳法证明通项:
由γ和(i)可知,如果可以证明
=99*97*95*...*3*1的话,那么关于这个问题就可以可得一个另外的好表示的解了。
整理出通项为:
=(n-1)*(n-3)*...*3*1(n≥2且n∈N)
证明:当n=2时,等式左边=
=1,等式右边=1
∴左边=右边,等式成立
假设当n=m时等式成立(m≥2且n∈N)
∴
=(m-1)*(m-3)*...*3*1
那么当n=m+2时,
=
*
=
*
=(m+1)(m-1)*(m-3)*...*3*1
等式依然成立
∴当n≥2且n∈N时,等式都成立。
∴对于n个人两两为一组,共有(n-1)*(n-3)*...*3*1(n≥2且n∈N)种分法;
当n=100时,共有99*97*95*...*3*1种分法。
∂:因为最开始做题的时候,知道有重复项,但是介于选项里的通项,没有得出来,而且重复项的消除想的也不是那么明显,所以先将有重复项的提出来,再去解决重复项。没有先分组,而是先分次数。