二重积分 习题课 知识要点 解题技巧 典型例题 知识要点 一、二重积分的概念与性质 (一)二重积分的定义,几何意义与物理意义 1. 定义 平面上有界闭区域D上二元有界函数 z = f (x, y)的二重积分 I ? ?? f ( x , y ) d? ? lim ? f (? i ,?i )?? i 其中 ? 是各小闭区域的直径中的最大值. 2. 几何意义 当连续函数 z ? f ( x , y ) ? 0时, 二重积分I表示以D为底, z =f (x, y)为曲顶, 侧面是 以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶 柱体的体积. 一般情形, D n ? ?0 i ?1 f ( x , y ) d? ? xOy平面上方的曲顶柱体体积 ?? D 减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 3. 物理意义 若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面 密度为连续函数 ? ( x , y ), 则它的质量M为: M ? ?? ? ( x , y ) d? . D (二)二重积分的性质 (重积分与定积分有类似的性质) 性质1(线性运算性质) 设?、? 为常数, 则 [?f ( x , y ) ? ? g ( x , y )]d? ?? D D D ? ? ?? f ( x , y )d? ? ? ?? g ( x , y )d? 性质2 将区域D分为两个子域 D1 , D2 , ( D ? D1 ? D2 ) ?? D f ( x , y )d? ? ?? f ( x , y )d? ? ?? f ( x , y )d? D1 D2 对积分区域的可加性质. 性质3(几何应用) 若? 为D的面积 ? ? ?? 1 ? d? ? ?? d? D D 注 d? 既可看成是以D为底, 以1为高的 ?? D 柱体体积. 又可看成是D的面积. 性质4(比较性质) 设f ( x , y ) ? g( x , y ), ( x , y ) ? D, (保序性) 则 特殊地 f ( x , y )d? ? ?? g ( x , y )d? ?? D D f ( x , y ) d? ? ?? f ( x , y ) d? ?? D D 性质5(估值性质) 设m ? f ( x , y ) ? M , σ为D的面积, 则 m ? ? ?? f ( x , y )d? ? M? D 几何意义 设f ( x , y ) ? 0, ( x , y ) ? D, 则曲顶 柱体的体积介于以D为底,以m为高和以M为高的 两个平顶柱体体积之间. 二、在直角坐标系中化二重积分为 累次积分 (1) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续. D ? {( x , y ) a ? x ? b,?1 ( x ) ? y ? ? 2 ( x )}, ? 2 ( x ) 在区间[a, b]上连续. 其中函数? 1 ( x )、 ?? D b a b a f ( x , y )d? ?2 ( x ) ?1 ( x ) y y ? ? 2 ( x) D f ( x, y )dy O ? ? dx ? ? ? (? y ? ?1 ( x) ?2 ( x ) ?1 ( x ) f ( x, y )dy )dx a b x 先对y 后对x的二次积分 (2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续. D ? {( x , y ) c ? y ? d ,? 1 ( y ) ? x ? ? 2 ( y )}, ? 2 ( y ) 在区间[c, d]上连续. 其中函数? 1 ( y )、 f ( x , y )d? ?? D ? ? dy ? c d y d x ? ? 1( y) D x ? ? 2 ( y) ? 2 ( y) ?1 ( y) f ( x, y )dx c O x ? ? (? c d ? 2 ( y) ?1 ( y) f ( x, y )dx)dy 先对x 后对y的二次积分. 三、在极坐标系中化二重积分为累次积分 (1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续. D ? {( x , y )? ? ? ? ? ,?1 (? ) ? r ? ? 2 (? )} 其中函数 ?1 (? )、? 2 (? )在区间[? , ? ]上连续. ? ?? f ( r cos ? , r sin ? ) r drd? D f ( x , y )d? ?? D ? 2 (? ) 1(? ) r ? ? 2 (? ) r ? ?1 (? ) D ? θ ? A ? ?? d? ?? ? f ( r cos ? , r sin ? )r dr; 极坐标系中的面积元素 O r dr d? (2)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续. D ? {( x , y )? ? ? ? ? ,0 ? r ? ? (? )} 其中函数 ? (? )在区间[? , ? ]上连续. f ( x , y ) d? ? ?? d? ?0 ?? D ? ? (? ) f ( r cos ? , r sin ? )r dr ; r ? ? (? ) D ? ?? O A (3)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续. D ? {( x , y ) 0 ? ? ? 2π,0 ? r ? ? (? )} 其中函数 ? (? )在区间[? , ? ]上连续. f ( x , y ) d? ?? D r ? ? (? ) D o ? ? d? ? 0 2π ? (? ) 0 f ( r cos ? , r sin ? )r dr θ A 极坐标系下区域的面积 ? ? ?? r dr d? . D 2 2 x ? y ?1 D 求: 2 y ? x 与直线y=x-2围成的区域。 其中D是由抛物线 y? y 1 x xy A ? ? (? dy)dx y ? 2 0 ? x y ? x?2 x2 ? y2 ? 1 A ? ?? xy d? x ? ? (? 1 4 x xy x2 ? y2 ? 1 O x y?? x x ?2 dy)dx y A ? ? (? 2 ?1 y 2 y ?2 xy x2 ? y 2 ? 1 dx)dy y?2 x ? y2 y ? ?1 x ? y?2 O x 例1.二重积分换成累次积分 计算积分 ?? D xy 1? y 3 dxdy 其中:D表示区域 x ? 0, x ? 1, y ? 1, y ? x2 解 ?? D xy 1? y 1 1 3 dxdy y 1 y ?1 y ? x2 ? ? dx? 2 0 x xy 1 ? y3 y dy O 1 x ? ? dy? 0 1 xy 1 ? y3 y x? y 0 dy 1 O 1 x 3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分 2 2 | x ? y ? 1 | d? , 其中 例 计算二重积分 ?? D ? {( x, y ) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1}. 解 将D分成D1与D2两部分. 2 2 | x ? y ? 1 | d? ?? D D 1 y D2 D1 x2 ? y2 ? 1 O 1 x 2 2 ? ?? (1 ? x 2 ? y 2 )d? ? ?? ( x ? y ? 1)d? D1 D2 其中 ?? (1 ? x ? y )d? ? ?0dx ?0 2 2 D1 1 1? x 2 (1 ? x 2 ? y 2 )dy ?? ( x ? y ? 1)d? ? ? dx ? 2 2 D2 1 1 1? x 0 2 2 ( x ? y ? 1) dy 2 计算 ?? (| x | ? | y |)dxdy , D :| x | ? | y |? 1, x ? 0 D 解 积分区域D关于x轴对称, 被积函数关于y为偶函数. 记D1为D的y≥0的部分. 则 原式= 2 y ? x? y ?1 ?1 1 D1 ?1 o x ?? (| x | ? | y |)dxdy D1 0 D1 x ? y ? ?1 ? 2?? ( y ? x )dxdy ? 2? dx ? ?1 1? x 0 ( y ? x )dy 2 ? 3