1.3 概率的加法公式和乘法公式 05 级药学 概率的加法公式并能正确运用 30 条件概率和乘法公式并能正确运用 30 事件独立的概念及其判断方法 20 理解掌握概率的加法公式并能正确运用 理解掌握条件概率和乘法公式并能正确运用 掌握事件独立的概念及其判断方法 小班理论课 启发讲解 () 1()PBPBAA 成立吗? 1 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 1.3 概率的加法公式和乘法公式 一、加法公式 定理 1 若事件 A、B 互不相容,则 ()( )( ).P A BP AP B 解释:如右图,A+B:12mmmm个等概基本事件 1212()( )( ).mnmnP ABP AP BnA A),(,P AA 互不相容,且)A 互不相容,则 ( ) 推论 1 若有限个事件12,,n1212(()()nnP AAAP AP AA,, 推论 2 若事件 12nA A( )12nAAU,则 12() 1nP AP AP A P A推论 3 对立事件的概率满足 ( ) 1例 1 袋中装有 2 个红球,3 个白球,4 个黑球. 从中每次任取一个,并放回,连取两次,求 (1) 取得的两球中无红球的概率. (2) 取得的两球中无白球的概率. (3) 取得的两球中无红球或无白球的概率. 解: 设 A =“无红球”, B =“无白球”,则 229229(3) A(?( )P A  (1) 749813681( )P A  (2) 6( ))P B  B =“无红球或无白球” ( )( )P A BP AP B 定理 2 设 A、B 为任意两个事件,则 (解释: 看右图,AB 基本事件个数为 k ,Amn)( )( )().kP A BknP AP BP ABmB 基本事件个数为12m 。 因此 ()P A B1212mkmnmn( )( )()P AP BP AB A B 1m2mn 加法公式 2 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 说明: 加法公式可推广到有限个事件的情形。 例如,若 A、B、C 为任意三个事件,则 )(例 2 如图所示,设开关 A,B,C 开或闭是等可能的,试求灯亮的概率。 解:令 M={灯亮}, A,B,C 分别表示开关闭合,则M故 (( )1218例 3 一盒试样共有 20 支,放置一段时间后发现,其中有 6 支澄明度较差,有 5 支标记已不清楚,有 4 支澄明度和标记都不合要求.现从中随意取出1支,求这一支无任何上述问题的概率. 解 记 A = “ 澄 明 度 较 差 ” , B =“ 标 记 不 清 ” , 则620所求概率为 (因为 AB而 ((( )P A B( ))( )( )()()()()P A B CP AP BP CP AP AB( )P BCP ABP AC4981P ABC1681例 1 (3)解答: 3681A B C6981()P B  )()P MP AP A(P A B C( )( )P B ( )P CP M  ())()()()14P CP AB( )(P AC(12P BC(18P ABC(P AB P ACP BC 又因( )),P B))78) ,14. P ABC ,所以33 ( )0.3,P A P AB 。 A B)520( )0.25,P B )420()0.2,P AB  ,所以 (()() 1, ()P AB( )P A B)P A B , ( )(0.35P A BP AP BP AB故 () 1) 1 0.35 0.65.P ABP A B   二、条件概率与乘法公式 1.条件概率 例如,假定男、女的出生率相等,现考察有两个孩子的家庭,求 (1) 至少有一个女孩的概率。 (2) 大孩子是女孩的概率。 (3)已知两个孩子中至少有一个女孩,求大孩子是女孩的概率。 解:记 A=“至少有一个女孩”,B=“大孩子是女孩”,等概基本事件组为(男,男) , (男,女) , (女,男) , (女,女) 3 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 (1)3412( )( )P A P B  (2) (3)所有可能的基本事件为 A 所包含的(男,女), (女,男) , (女,女), 其中 B 包含 2 个,故所求概率为2.3定义: 在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率称为条件概率, 记作 ( | ).定理 3 在事件 A 发生的前提下,事件 B 发生的条件概率等于事件 A 与 B 同时 P B A 发生的概率与事件 A 发生的概率之比,即()( | ).( )P ABP AP B A 说明:11()( | )( )mmm nm nP ABP AP B A 例 4 下表是死亡者分属各年龄组的概率,试求一个 60 岁以上者,但享年未超过 70 岁的概率。 年龄 (0,10] … (60,70] (70,80] 80 合计 死亡概率(%) 3.23 … 18.21 27.28 33.58 100 解: 记A=“死亡年龄超过60岁”, B=“享年为超过70岁”, 所求概率为P(B|A). 由表知, () 18.21%(( )P AB ( ) 18.21% 27.28% 33.58%18.21%79.07%79.07%,P A  所以,)( | )23.03%.P ABP AP B A 2.乘法公式 由定理 3 得: (定理 4 有限个事件的积的概率等于一系列事件的概率之积, 其中每个因子是)( ) ( | )P ABP A P B A或 ()( ) ( | )P ABP B P A B 它前面的一切事件都已发生的前提下的条件概率。 !2121312121()( ) (|) (|)(|)nnnP AA证 以 n=3 的情形证明之,余类似。 AP A P A A P A AAP A AAA 12312312312121312()()() (|)( ) (|) (|)P AA AP AA AP AA P A AAP A P A A P A AA 4 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 例 5 某种疾病能导致心肌受损害,若第一次患该病,则心肌受损害的概率为 0.3,第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时,心肌受损害的概率为 0.6,试求某人患病两次心肌未受损害的概率. 解:设 A1=“第一次患病心肌受损害”,A2=“第二次患病心肌未受损害”,由题设可知:121(|)0.6,AP A A|P A A ) 10.7 0.4 0.28. P( )=0.3,所求概率为12().P A A 11( ) 1P A A三、事件的独立性 ( ) 0.7,)P AP A (( ) (2121(|(|)0.4,P A A  所以12121)P A P A A例如,设袋中有 3 白球 4 黑球,抽取两次,每次取一个,记 A=第 1 次黑47若抽取是放回的,则( | )7若抽取是不放回的,则 ( | )球,B=第 2 次黑球,则( )P B AP B A.P B  4( );P B0.5 ( ).P B 定义 如果事件 A 发生与否不影响事件 B 的发生, 即 ( | )则称事件 B 独立于事件 A. ( ),P B AP B说明:两个事件独立总是相互的。因为 ( | )(( )定理 5 两个事件 A、 B 独立的充要条件是它们的积事件的概率等于其( ),P B AP B则 )( ) ( | )( )( | )( ).P ABP BP A P B AP BP A BP A 各自概率的积。即 ()( ) ( )P ABP A P B 证 必要性:因为 A 与 B 独立, ( | )P AB(( | )( )( ) ( )(P B AP BP A P BP AB 故 (P AB)( ) ( | )( ) ( | )P A P B AP A P B A 充分性:因为),而)( ) ( ),P A P B所以( )P B AP B,故 A 与 B 独立. 5 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 例 6 根据下表考察色盲与耳聋两种并之间是否有联系。 聋(A) 非聋( A ) 0.0796 合计 色盲(B) 0.0004 0.0800 非色盲( B ) 合计 0.0046 0.9154 0.9200 0.0050 0.9950 1.0000 解: ( )0.0050, ( )P A P B所以耳聋与色盲是相互独立的两种病。 0.0800, ()0.0004P AP B0.0050 0.0800P AB, 因为 ( ) ( )0.0004()P AB 例 7 已知某人群的妇女中,有 4%得过乳腺癌,有 20%是吸烟者,而又吸烟又患上乳腺癌的占 3%,问不吸烟又患上乳腺癌的占多少?吸烟与患乳腺癌有关联否? 解 记 A=“一名妇女有乳腺癌”,B=“一名妇女是吸烟者”,则已知 ( )0.04 0.03由 (系。 0.04, ( )P AB0.20, (,故不吸烟又患上乳腺癌的占 1%。 )0.03P AP B)P AB,所以 ()( )()P ABP AP AB 0.010.030.008( ) ( )P A P B,则两者不是相互独立的,也就是两者有关补充说明:如果 A 与 B 相互独立,则 A 与 B ,A 与 B 以及 A 与B 都是相互独立的。 ,之不成立。 若 n 个事件12,,nA AA 相互独立,则有1212()( ) ()()nnP AAAP A P AP A,但反在实际问题中,事件的相互独立性往往根据实际问题的背景来判断。 例 8 某系统有甲乙两个元件串联组成,在一次运行中每个元件失效的概率分别为 0.1 和 0.2。试求在一次运行中该系统失效的概率。 解 设 A=“甲失效”,B=“乙失效”,C=“系统失效”。 A 与 B 相互独立,所以 ( )()( )( )0.28.()( )( )( ) ( )P CP A B0.1 0.2 0.1 0.2P AP BP AB P AP BP A P B 本次课小结: 为了讨论有关系的事件的概率,必须了解概率的加法定理、条件概率与概率乘法定理。在应用加法定理时首先要搞清楚所涉及的事件是否互斥(三个以上的事件是否两两互斥?) 。使用概率的乘法公式时,首先要搞清楚所涉及的事件是否相互独立?条件概 6 率与事件乘积的概率的联系由公式)|()()(ABPAPABP表示。了解事件的独立性以及事件的互不相容性对于计算一些事件的概率可起简化作用。 思考: () 1()PBPBAA 成立吗?