一、学习要求
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力.
能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明(包括引出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆.)
二、重点难点
重点是正弦、余弦、正切的倍角公式以及二倍角的余弦的两种变形:cos2α=2cos2α-1及cos2α=1-2sin2α.
难点是倍角公式与前面学过的同角三角函数的基本关系式,诱导公式、和(差)角公式的综合运用.
三、学法点拨
1、二倍角的正弦、余弦、正切
在和角公式S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)中,令α=β就可以得出对应的二倍角的三角函数公式.
点拨:
(1)倍角公式是和角公式的特例.
(2)因为sin2α+cos2α=1所以公式C2α还可变形为:
cos2α=2cos2α-1或cos2α=1-2sin2α.
(3)公式成立的条件:C2α中α∈R;S2α中α∈R;T2α中α≠
(k∈Z)时,显然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式,即:
(4)理解二倍角的含义:二倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况,还可以运用于诸于将4α作为2α的2倍,将α作为
的2倍;将
作为
的2倍;将3α作为
的2倍;将
的2倍等等情况.
(5)注意公式的逆用:
例如:
2、半角的正弦、余弦、正切
在倍角公式cos2α=1-2sin2α、cos2α=2cos2α-1中以α代替2α,以
代替α,即得:cosα=1-2sin2
,cosα=2cos2
-1,所以有
即得:
称之为半角公式.
点拨:
(1)半角公式中正、负号的选取由
所在象限确定.
(2)称公式
为降幂公式.
(3)
可看做
的半角;
可看做3α的半角;
可看做α的半角;2α可看做4α的半角等等.
(4)公式
成立的条件为:α≠2kπ+π(k∈Z).
(5)
k∈Z.
说明:半角公式不要求记忆.
3、积化和差与和差化积公式
将公式S(α+β)加上S(α-β)即可得:
,另外将公式S(α+β)减去S(α-β)、C(α+β)加上C(α-β)、C(α+β)减去C(α-β)可得出另三个公式,即得积化和差公式如下:
在上述公式中令α+β=θ,α-β=φ可得以下和差化积公式:
点拨:
(1)积化和差公式的推导,用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”的思想.
(2)正确地运用积化和差与和差化积公式的关键在于对式子的深刻观察:①观察角度的和差特点;②观察式子的整体结构特点.
说明:积化和差与和差化积公式不要求记忆.
四、示例解析
1、利用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行求值.
例1、已知
,求sinα,cosα,tanα的值.
例2、求tan20°+2tan40°+4tan10°-tan70°的值.
2、利用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简.
例3、化简:
3、利用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行证明.
例4、求证:
.
例5、已知:2sinα=sinθ+cosθ,sin2β=sinθ·cosθ.
求证:
.
例6、已知tanx=a,求
的值.