黎曼ζ函数ζ(s)的定义如下: 设一复数s,其实数部份> 而且:它亦可以用积分定义: 在区域{s 此无穷级数收敛并为一全纯函数。(上式中Re表示复 考虑过s为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到s>1。 波恩哈德黎曼认识到:ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域 1)上的全纯函数ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。虽然黎曼的ζ 函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应 用统计学中(参看齐夫定律(Zipf´s Law)和齐夫-曼德尔布罗特定律(Zipf-Mandelbrot Law)),还有物理,以及调音的数学理论中。 和素数的关系[编辑] 主条目:证明黎曼ζ 函数的欧拉乘积公式 此函数和素数的关系已由欧拉所揭示: 这是一个延展到所有的质数p 的无穷乘积,被称为欧拉乘积。这是几何级数的 公式和算术基本定理的一个结果。 ζ(s)的零点很重要,因为特定的涉及到函数ln(1/ζ(s))的路径积分可以用来估 算质数个数函数π(x)。这些路径积分用留数定理计算,所以必须知道被积式 的奇异点。 我们可以用莫比乌斯函数μ(n)表达ζ 函数的倒数如下 对于所有实部>1 的复数s。这和上面ζ(2)的表达式一起可以用来证明两 个随机整数互质的概率是6/π \frac{}{}==函数值 函数满足如下函数方程:对于所有C\{0,1}中的s 成立。这里,Γ 表示Γ 函数。这个公式原来用 来构造解析连续性。