矩阵的特征值与特征向量的求 法及其应用 学 院: 数学与计算科学学院 专 业: 信息与计算科学 班 级: 2007级信本1班 指导老师: 胡晚秋(助教) 作者姓名: 陈苏刚 ? 引言 ? 在多数《高等代数》教材中,我们引入特征值与特征 向量是为了解决线性空间线性变换的性质与属性,也是为 了描述线性空间中线性变换的特征值与特征向量。我们知 道,在有限维空间内,取了一组基后,线性变换可以用矩 阵表示,为了利用矩阵来研究线性变换,对于每个给定的 线性变换,我们希望找到一组基使得它的矩阵具有最简单 的形式,为了在选择了适当的基以后,一个线性变换的矩 阵可以化成简单形式,此时我们需研究特征值与特征向量。 为了这个目的,我们先介绍特征值与特征向量的概念,在 本文中我们主要是研究矩阵的特征值与特征向量的求法, 以及这些方法的应用。 一、 矩阵的特征值与特征向量的概念与性 质 1 矩阵的概念以及特征值与特征向量的概念 ? a11 ? a 矩阵的概念: m ? n 个数排成的 m 行 n 列的表格 A ? ? 21 ? ... ? ? a n1 a12 a 22 ... an2 ... ... ... ... a1 n ? ? a2 n ? ... ? ? a nn ? 简记为 A ? ( a ij ) m ? n 成为一个 m ? n 矩阵,当 m ? n 时,称 A 为 n 阶方阵,称 ? A ? ( ? a ij ) m ? n 为 A 的负矩阵。 矩阵特征值与特征向量的概念:设 ? 是数域 P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于 数域 P 中一数 ? 0 ,存在一个非零向量 ? ,使得 ? ? ? ? 0? 那么 ? 0 称为 ? 的一个特征值,而 ? 称为 ? 的属于特征值 ? 0 的特征向量。 2 矩阵的特征值与特征向量的关系 特征向量不是被特征值所唯一决定的 ,但相反,特征值却是被特征向量唯一决定的, 因为,一个特征向量只能属于一个特征值。下面我们将利用这两者之间的关系在知道特征值 的基础上来求特征向量。 3 特征值特征向量的性质 性质 1:矩阵 A 的属于不同的特征值的特征向量线性无关. 性质 2:实对称矩阵的特征值都是实数. 性质 3:实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交 性质 4:特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和,特征值的乘积等于矩阵行列式的值。 二、矩阵的特征值与特征向量的求法 1 直接法-利用特征多项式来求特征值与特征向量 对于具体的数字矩阵 A ? ( a ij ) m ? n ,求 A 的特征值与特征向量,我们一般利用特征多项式 来求特征值特征向量,可用如下定理证明: 定理 1:设 A 是 n 阶方阵, E 为 n 阶单位阵, ? 为待求特征值,若对于矩阵 ( A ? ? ) T 施行 一系列行初等变换,可以得到上三角矩阵 B ( ? ) 的主对角线上元素乘积为零,求得 ? 值即为矩 阵 A 的特征值。 其具体步骤如下: 第一步:由 A ? ? E ? 0 求得 A 的 n 个特征值,设 ?1 , ? 2 , ...? n 是 A 的互异特征值,其重数分 别为 r1 , r2 , ...rt 且 r1 + r2 +...rt = n 第二步: 求解齐次线性方程组 ( A ? ? i E ) x ? 0 ( i ? 1, 2, ...t ) , 其基础解系就是 A 对应特征值 ? i 的线性无关的特征向量。设基础解系为: p i1 , p i 2 , ... p is 特征向量为: k i1 p i1 ? k i 2 p i 2 值与特征向量。 i i i i (1 ? s i ? ri ) 。则 A 对应特征值 ? i 的全部 ? ... ? k is p is ( k i 1 , k i 2 , ...k is 不 全 为 0 ) , 下举例应用此法求具体矩阵的特征 2 利用特征多项式的化简求矩阵的特征值与特征向量 求特征多项式 A ? ? E 时,最好先用行列式的性质化简,并提出 ? 的一次因式,然后展开 计算,如果求出 n 阶方阵 A 的特征多项式 A ? ? E ? ( ? 1) ? ? a n ?1 ? n ?1 ? ... ? a1 ? ? a 0 ............. ,且 n n 其中 a i ( i ? 0,1,...n ? 1) 均为整数,则 A 的整数特征值(如果有的话)应是常数项 a 0 的因子,因 此可以通过对 a 0 的所有整数因子的验证来求出 A 的特征值。 如上所述,如果只写出特征多项式的前两项与常数项,就有 ? E ? A ? ? ? ( a11 ? a 22 ? ... ? a nn ) ? n n ?1 ? ... ? ( ? 1) A n ,如果 ? E ? A 在数域 P 上能分解为一次因 式的乘积, 由根与系数的关系可知,a11 ? a 22 ? ... ? a 22 的全体特征值的和为 a11 ? a 22 ? ... ? a nn(称 为 A 的迹),记为 T r ( A ) ,而 A 的全体特征值的积 A ,这样我们就得到第二种计算矩阵的特 征值与特征向量的方法,下面我们举例说明: 3 由下面的两个定理得到第三种求解方法 定理 2:设 A 为 n 阶方阵, ? 为待求特征值,如果对矩阵 ( A ? ? E ) 施行一系列的初等变 换, 就可以得到上三角矩阵 B ' ( ? ) , B ' ( ? ) 的主对角线上元素乘积为零, 令 求得 ? 值即为矩阵 A 的特征值。 定 理 3 : 设 齐 次 线 性 方 程 组 AX ? 0 , A 为 n 阶方阵, R ( A) ? r ? n ,且 ? a 1 1 ... ? A ? ... ... ? ? a n 1 ... ? . . . 0c1 1 .c .n ? ? 1 . ?1 1 ? ? . . . . . . . . . . . . . . ? ? a n 1? ?0 . . . 1c r 1 .c . r ? n ? r . ? ... ? ? ? ? ? 0 . . . 0 0 . . .? ? a1 n ? ? ?. . . . . . . . . . . . ?. . ? ? . . . 0 0 . . .? ?0 . C 0 . 0 . . . . . . 若将 C 的主对角线上的元素 0 改写为-1, 那这些改写成-1 的元素所在的列 ? 1 , ? 2 , ...? n ? (改 r 写后的列)即为齐次线性方程组 A X ? 0 的基础解系,下面我们举例来使用此种方法来解决具 体的数字矩阵的特征值与特征向量的问题。 4 由以下两个定理得到求矩阵的特征值与特征向量的一种新方法 定理 4:设齐次线性方程组 Am ? n ? 0 的系数矩阵 A 的秩数 r ? n ,P A Q ? ? r ? 0 ?E 0? ? 0? 的非奇异 矩阵 Q m ? n 的后 n ? 1 列使构成线性方程组的一个基础解系,证明我们在此就省略了。 定理 5: n 阶矩阵 A 的特征矩阵 ( ? E ? d1 (? ) ? * (? E ? A) ? ? ? ... ? ? * 0 d 2 (? ) ... * ... ... ... ... 0 ? A ) 经列的初等变换可成为下三角矩阵 ? ? 0 ? ? G (? ) ... ? ? d n (*) ? ,在这其中 d 1 ( ? ), d 2 ( ? ), ...d n ( ? ) 即为矩阵 A 的特 征多项式是 f ( ? ) ? ? E ? A 的根。即得到第四种计算矩阵的特征值与特征向量的方法,即:由 定理 4 可知道,当 ? ?? E ? A ? ? E ? ? 经过初等列变换得到 ? ?G (? ) ? ? ? Q (? ) ? 时,对于矩阵 ri 的每个特征值 ? i ,如 果 G ( ? i ) ? n ? ri , 则在矩阵 ? ?G (? ) ? ? ? Q (? ) ? 中恰有 ri 个 0 列,则在矩阵 G ( ? i ) 中与这 ri 个 0 列相对应的列 便是齐次线性方程组 ( ? i E ? A ) X ? 0 的基础解系, 也就是矩阵 A 的属于特征值 ? i 的线性无关的 特征向量;另一方面,若矩阵 G ( ? i ) 中的零列少于 ri 列,那么就对矩阵 ? ?G (? ) ? ? ? Q (? ) ? 继续做列初等 变换,一直到 G ( ? i ) 中列的个数为 ri 个为止,然后再同上取 Q ( ? i ) 中与这个 0 列所对应的列, 依次下去便可求得矩阵 A 的特征值与特征向量。下举例用 此法求矩阵的特征值与特征向量。 5 对于抽象矩阵,要根据特征值与特征向量的定义及其性质推导出特 征值到的取值 下面我们举个例子来说明此种题目的解法 例 3.5:已知 B 2= B ,求 B 的特征值 解:我们设 ? 是 B 的一个特征值, ? 是 ? 所对应的特征向量由特征值的定义即得 B ? 用 B 左式两端,并带入已知条件 B 2 ? B ,则有: ?? = B ? = B ( B ? ) = B ( ?? ) = ? B ? = ? ? 2 ? ?? , 于是 ? - ? 2) ? = 0, 又 因 为 ? 是 特 征 向 量 , 所 以 ? ? 0, 所 以 ? - ? 2= 0 ,所以 B 的特征值便只 ( 能是 0 或 1 注:因为满足条件 B 2= B 的矩阵很多,上题中我们仅求出了这一例矩阵的特征值的取值 范围,如果想要明确究竟是哪些特征值,我们还需要更多的已知条件。当然若想要求它的特 征向量则需要看具体的已知条件,具体问题具体分析,这里我们就不做过多的研究了。 三、矩阵特征值特征向量的简单应用 二次曲面的主轴问题,提出了有关矩阵的特征值特征向量的问题。用长期摄动法解决天 体力学问题,比如说,求近近日点或轨道面升交点的运动平均角速度解长期(又称久期、永 年)方程也可以归结为矩阵特征值问题后来不断地发现新的需要,特别是社会科学领域中对 矩阵的特征值特征向量的需要,不断地为矩阵特征值问题的研究注入新的动力,下面我们仅 举一个其在管理科学中的应用的例子:即生产系统的设计问题 要设计一个系统,这个系统是由 n 个完成工作的单元组成的,并且其中的每个单元都有 m 种不同的操作。我们现在设第 j 个单元进行的第 i 个操作数量记为 m ji ,并且记进行操作所用 的时间为 t ji ,单位时间所需费用为 c ji , 由此我们可以得到单位操作费用为: e ji ? 此时我们称矩阵 E ? ?e ji ?m ? n 为系统的效率矩阵。我们另设第 j 个单元的费用为 p j ( j ? 1, 2, ...m ) c ji t ji m ji , ,且系统进行第 i 个操作的数量为 v i ( i ? 1, 2 ,... n ) ,则系统完成工作所需费用 为 p ? Ev ,我们称 p 和 v 分别为此系统的费用向量与容量向量,现在我们的问题在于如何确 定任务的数量比例,也就是说如何确定 v 的各分量以使系统的费用最大或者最小,为此我们 ( E v) E v) v ( E E )v ( ? 考虑 v 的 R 商: R ( v ) ? T T v v v v T T T ,由此我们知道 R ( v ) 的最大(或最小)值就是 对称矩阵 E T E 的特征值, v 是对应的特征向量。 ? 小结 ? 结束语:我们知道矩阵的特征值与特征向量有很多的应用, 依据对上面讨论的几种求矩阵的特征值与特征向量的方法 加以应用可以方便的求出矩阵的逆矩阵、伴随矩阵与矩阵 的的多项式等的特征值与特征向量,并且可以求出矩阵的 高次幂,并且我们举出了它们在管理学中的应用,从而可 以说明研究矩阵的特征值与特征向量的重要性,并且它在 诸如地理学方面应用的前景很大,需要我们未来去研究。 谢谢各位老师! 在此特别感谢我的指导老师胡晚秋老师 在我的论文写作过程中对我耐心的帮助与指 导.