泰勒定理的展开终究不够奥利给很多时候都很快就碰上自己的奇点了,洛朗展开给了一种新的想法。洛朗展开在
点展开,就区别于泰勒展开的以
为圆心一圈又一圈往外走,洛朗展开是以
为圆心, 但不再要求必须要从
处一点点蜗牛爬爬地向外一圈圈扩展,而是变成了可以任意向外以及向内扩展直到遇到奇点。假设函数就两个奇点,下图给了三种洛朗展开的可能所以说要洛朗展开一定要给解析域要说清楚在哪里展开!
如果内半径
无限小,
那个地方的奇点不存在,亦即只有
处是奇点。如果能够满足
,那么称之为可去奇点也就是不当成奇点看,在
的邻域进行洛朗展开其实就是泰勒展开。(干脆 内半径
等于0,那也是泰勒展开)
那就是回想一下泰勒级数的推导,是用的是单连通区域的柯西定理再配合着几何级数一起来处理柯西积分公式就得到了泰勒展开式;洛朗级数的推导也是一样的过程,用的是复连通区域上的柯西定理配合几何级数一起处理柯西积分公式。
是不是觉得系数的形式和泰勒定理一毛一样,真一样就好了,再给出泰勒级数的系数对比一下
人家后面还有个连等,那是可以直接计算出泰勒级数里面的系数
的,至于洛朗展开的系数,就没那么好运气了,并没有后面那个连等,原因很简单,泰勒级数解析域是收敛圆,收敛圆内部全解析;洛朗是保证环域解析而已,当然前面说过了,可去奇点的时候是可以当做泰勒级数计算的。
4. 留数定理
书上讲解留数定理的时候用的是函数
,那么
的收敛圆是含有奇点的,而前面进行柯西积分公式和泰勒级数理解的时候,
是收敛圆里是全解析的。
所以自己专门换成了函数
,有
,
是收敛圆围线中含有m阶极点的函数,函数
还是一样的全解析;把
在