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高等数学同时被 2 个专栏收录
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通过矩阵来研究二次函数(方程),这就是线性代数中二次型的重点。
1 二次函数(方程)的特点
1.1 二次函数
最简单的一元二次函数就是:
给它增加一次项不会改变形状:
增加常数项就更不用说了,更不会改变形状。
1.2 二次方程
下面是一个二元二次方程:
给它增加一次项也不会改变形状,只是看上去有些伸缩:
1.3 小结
对于二次函数或者二次方程,二次部分是主要部分,往往研究二次这部分就够了。
2 通过矩阵来研究二次方程
因为二次函数(方程)的二次部分最重要,为了方便研究,我们把含有
个变量的二次齐次函数:
或者二次齐次方程称为二次型。
2.1 二次型矩阵
实际上我们可以通过矩阵来表示二次型:
更一般的:
可以写成更线代的形式:
所以有下面一一对应的关系:
在线代里面,就是通过一个对称矩阵,去研究某个二次型。
2.2 通过矩阵来研究有什么好处
2.2.1 圆锥曲线
我们来看下,这是一个圆:
我们来看改变一下二次型矩阵:
哈,原来椭圆和圆之间是线性关系呐(通过矩阵变换就可以从圆变为椭圆)。
继续:
咦,双曲线和圆之间也是线性关系(准确的说是仿射的)。
其实圆、椭圆、双曲线之间关系很紧密的,统称为圆锥曲线,都是圆锥体和平面的交线:
从上面动图可看出,一个平面在圆锥体上运动,可以得到圆、椭圆、双曲线,这也是它们之间具有线性关系的来源(平面的运动是线性的、或者是仿射的)。
2.2.2 规范化
再改变下矩阵:
这个椭圆看起来有点歪,不太好处理,我们来把它扶正,这就叫做规范化。
如果我们对矩阵有更深刻的认识,那么要把它扶正很简单。
往下读之前,请先参看我在如何理解特征值下的回答。
首先,矩阵代表了运动,包含:
旋转
拉伸
投影
对于方阵,因为没有维度的改变,所以就没有投影这个运动了,只有:
旋转
拉伸
具体到上面的矩阵:
我把这个矩阵进行特征值分解:
注意我上面提到的正交很重要,为什么重要,可以参看我在如何理解特征值中的解释。
对于二次型矩阵,都是对称矩阵,所以特征值分解总可以得到正交矩阵与对角矩阵。
特征值分解实际上就是把运动分解了:
那么我们只需要保留拉伸部分,就相当于把矩阵扶正(图中把各自图形的二次型矩阵标注出来了):
所以,用二次型矩阵进行规范化是非常轻松的事情。
2.2.3 正定
正定是对二次函数有效的一个定义,对方程无效。
对于二次型函数,
:
为正定二次型,
为正定矩阵
,则
为半正定二次型,
为半正定矩阵
,则
为负定二次型,
为负定矩阵
,则
为半负定二次型,
为半负定矩阵
以上皆不是,就叫做不定
从图像上看,这是正定:
半正定:
不定:
既然二次型用矩阵来表示了,那么我们能否通过矩阵来判断是否正定呢?
下面我分别给出了二次型的图形,以及对应的特征值矩阵的图形,你可以自己动手试试(3D窗口可以通过鼠标旋转,方便观察),得出自己的结论:
起码,我们可以观察出这个结论,特征值都大于0,则为正定矩阵。
3 总结
在很多学科里,二次型都是主要研究对象,很多问题都可以转为二次型。线代作为一门数学工具,在二次型的研究中也发挥了很好的作用。
此处可以查看最新版本(可能不定期更新):如何理解二次型?