海明码(也叫汉明码)具有一位纠错能力。本文以1010110这个二进制数为例解释海明码的编码和校验方法。
编码
确定校验码的位数x
设数据有n位,校验码有x位。则校验码一共有2x种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确,剩下2x-1种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有n+x位,因此x应该满足
2x-1 ≥ n+x
使不等式成立的x的最小值就是校验码的位数。在本例中,n=7,解得x=4。
确定校验码的位置
校验码在二进制串中的位置为2的整数幂。剩下的位置为数据。如图所示。

位置1234567891011
内容x1x21x3010x4110

求出校验位的值
以求x2的值为例。为了直观,将表格中的位置用二进制表示。

位置00010010001101000101011001111000100110101011
内容x1x21x3010x4110

为了求出x2,要使所有位置的第二位是1的数据(即形如**1*的位置的数据)的异或值为0。即x2^1^1^0^1^0 = 0。因此x2 = 1。
同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。

位置00010010001101000101011001111000100110101011
内容01110100110

因此1010110的海明码为01110100110。
校验
假设位置为1011的数据由0变成了1,校验过程为:
将所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的数据分别异或。
***1: 0^1^0^0^1^1 = 1
**1*: 1^1^1^0^1^1 = 1
*1**: 1^0^1^0 = 0
1***: 0^1^1^1 = 1
以上四组中,如果一组异或值为1,说明该组中有数据出错了。***1 **1* 1***的异或都为1,说明出错数据的位置为1011。

海明码简单分析

确定校验位个数

海明码的码组长度需要符合:2^r – 1 (r代表校验位个数)
为什么是这个公式呢?因为:只有这样才能保证校验位足够覆盖整个需要校验的码组。
比如说:校验位有3位,那就是2^3 = 8 – 1 = 7 这样就可以校验长度为7的码组,如果按实际来说,也就是信息位 4 位,校验码 3 位。
通过上面分析,我们知道校验位 r 加上信息位 k 就等于 2^r – 1 , 这也就是为什么书上有 k + r