平方差公式 【题型一】利用平方差公式计算 题型一】 1. 位置变化: (1) (5 + 2 x )(? 5 + 2 x ) (2) (ab + x )( x ? ab ) 符号变化: (3) (? x + 1)(? x ? 1) (4) ? 2 ? ?2 ?? m ? 0.1n ?? ? 0.1n ? m ? 3 ? ?3 ?? 系数变化: (5) (2m + 3n )(2m ? 3n ) (6) ? ? 3a ? ? ? 1 ?? 1 ? b ?? ? 3a + b ? 2 ?? 2 ? 指数变化: (7) ? 3 x 2 + y 2 y 2 + 3 x 2 (8) ? 2a 2 + 5b 2 ? 2a 2 ? 5b 2 ( )( ) ( )( ) 2.增项变化 (1) ( x ? y + z )(? x + y + z ) (2) (? x + y + z )( x + y ? z ) (3) ( x + 2 y ? 1)(x ? 2 y + 1) (4) x ? 3 x + 9 x + 3 x + 9 2 2 ( )( ( ) 3.增因式变化 (1) ( x + 1)( x ? 1) x 2 + 1 (2) ? x ? ) ? ? 1 ?? 2 1 ?? 1? ?? x + ?? x + ? 2 ?? 4 ?? 2? 【题型二】利用平方差公式判断正误 题型二】 4.下列计算正确的是( 下列计算正确的是( ) 2 2 A. (5 x + 2 y )(5 x ? 2 y ) = (5 x ) ? (2 y ) = 25 x 2 ? 4 y 2 B. ( ?1 + 3a )( ?1 ? 3a ) = ( ?1) 2 + (3a ) 2 = 1 + 9a 2 C. (? 2 x ? 3 y )(3 y ? 2 x ) = (3 y ) ? (2 x ) = 9 y 2 ? 4 x 2 2 2 D. ( x + 4 )( x ? 2 ) = x 2 ? 8 【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例 题型三】 5.用平方差公式计算. 用平方差公式计算. (1) 403× 397 (2) 29 3 1 × 30 4 4 (3) 99 × 101 × 10001 (4) 2007 ? 2006 × 2008 2 【题型四】平方差公式的综合运用 题型四】 6.计算: 计算: (1) x 2 ? ( x ? 2 y )( x + 2 y ) + ( x 2 ? y )( y + x 2 ) (2) ( x ? 1)( x + 1) x + 1 ? x + 1 2 4 ( ) ( ) 【题型五】利用平方差公式进行化简求值与解方程 题型五】 7.化简求值: (2b + 3a )(3a ? 2b) ? (2b ? 3a )(2b + 3a ) ,其中 a = ?1, b = 2 . 化简求值: 8.解方程: 5 x + 6(3 x + 2 )(? 2 + 3 x ) ? 54? ? x ? 解方程: ? ? 1 ?? 1? ?? ? x + ? = 2 3 ?? 3? 【题型六】逆用平方差公式 题型六】 9.已知 x 2 ? y 2 = 6, x + y ? 2 = 0 ,求x?y?5的值. 9. 【创新题】 创新题】 10.观察下列算式: 10.观察下列算式: 3 2 ? 1 = 8 = 8 × 1,5 2 ? 32 = 16 = 8 × 2,7 2 ? 5 2 = 24 = 8 × 3,9 2 ? 7 2 = 32 = 8 × 4,L, 根据上式的特点,你能发现什么规律?请你用代数式将其表达出来,并说明该规律的正确性 【中考题】 中考题】 11. 2005·茂州市) (2005 11. 2005·茂州市)已知 A = ( a + 2)( a ? 2), B = 2? 6 ? ( ? ? 1 2? a ? ,求A+B. 2 ? 12. 2004·江苏) (2004 12. 2004·江苏)计算 (2a + b )(2a ? b ) 的结果是( ( A. 4a ? b 2 2 ) C. 2a ? b 2 2 B. b ? 4a 2 2 D. b ? 2a 2 2 平方差公式作业 1. ( ?3 x + 4)(?3 x ? 4) 等于( A. (3 x) 2 ? 4 2 2.在① 2 2 a 2 ) 2 B. 4 ? (? 3 x ) C. ? (? 3 x ) ? 4 2 2 D. 3 x ? 4 2 2 ( ) a 2 1 ? 1 ?? 1 ? = 4a 2 ;② ? ? x + 1??1 + x ? = 1 ? x 2 ;③ (m ? 1) 2 (1 ? m) 3 = (m ? 1) 5 ; 9 ? 3 ?? 3 ? a + 2b + 3 ④2 × 4 ×8 = 2 b 中,运算正确的是( ) A.②① 3.计算: (1) 199 × 201 B.②③ C.②④ (2) 1.02 × 0.98 D.③④ (3) ? 0.5 x ? ? ? 1 ?? 1 ? ?? x + 0.2 ? 5 ?? 2 ? (4) (4 x + 6 y )(2 x ? 3 y ) 4.若M(3 x ? y 2 ) = y 4 ? 9 x 2 ,那么代数式 M 应是( A. ? 3 x + y 2 ) 2 ( ) B. ? y + 3 x 2 C. 3 x + y D. 3 x ? y 2 5.解方程: (2 x ? 3)(? 2 x ? 3) + 9 x = x(3 ? 4 x ) . 6.若x?4+(2 x ? y + 3) = 0 ,求x2?y2的值. 2 二.提搞部分 【典型例题】 典型例题】 例题 例1.用平方差公式计算: (1) ? 3 x ? 4 3 x ? 4 2 2 ( )( ) (2) ( x ? y + 1)( x + y ? 1) (3) 3( a ? 2b)( a + 1 3 2 b) 3 例2. 用简便方法计算(1) 504 × 496 (2) 5000 ? 4999 × 5001 2 例3.计算 (2 + 1)(22 + 1)(2 4 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 思考:化简 ( a + 1)( a 2 + 1)( a 4 + 1)( a 8 + 1) ??? ( a1024 + 1) (其中 a≠1) 例4.已知 x 2 ? y 2 = 27, x ? y = 3 ,求:(1) x + y ; (2) y x 例5.计算:502×498 1.01×0.99 30.8×29.2 25.5×24.5 例6.有十位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场) ,用x1 , y1 顺次表示第一号选手胜与负的场数; 用x2 , y2 顺次表示第二号选手胜与负的场数; ??? 用x10 , y10 顺次表示第十号选手胜与负的场数。 求证: x1 + x2 + ??? + x10 = y1 + y2 + ??? + y10 2 2 2 2 2 2 练习 一.填空题: 1. 1.01× 0.99 = 3. ( x + y + 2)( x + y ? 2) = 5.若x2?y2=44, x ? y = 11 则x+y= 二、选择题 1.在下列多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是( A. ( x ? y )( ? x + y ) B. ( a 3 ? b3 )( a 3 + b3 ) ) D. ( ?m ? n)( m ? n) ) 10002 2. = 2522 ? 2482 4. ( x ? 2 y )( x + 2 y )( x 2 + 4 y 2 ) = C. (c 2 ? d 2 )( d 2 + c 2 ) 2.对于任意整数 n,能够整除代数式 ( n + 3)( n ? 3) ? ( n + 2)( n ? 2) 的整数是( A.4 B.3 C.5 D.2 ) 3.若正整数 x,y 满足 x 2 ? y 2 = 64 ,则这样的正整数对 ( x, y ) 的个数是( A.1 三.解答题: 1.运用平方差公式计算 (1) 1997 ? 1996 ×1997 × 1998 3 B.2 C.3 D.4 (2) (2a + 4b )(3a ? 6b ) a + 4b 2 ( 2 ) (3) 1 1 1 1 (1 + )(1 + )(1 + ) 2 2 4 16 (4) (a ? b ? c + d )( a + b ? c ? d ) (5) (3 + 1) 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 2 4 8 ( )( )( )( 16 +1 ) 2. ?1 ? ? ? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? 1 ? 2 ??1 ? 2 ? L ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? 2 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? 9 ?? 10 ? 3. 100 ? 99 + 98 ? 97 + 96 ? 95 + L + 2 ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4.化简求值 ? 2a 2 ? ( a + b )( a ? b ) ? ?( 2 ? a )( a + 2 ) + ( ?b ? 2 )( 2 ? b ) ? ,其中 a = ?1, b = ? ? ? ? 1 2 5. 解方程: (3 x ) ? (2 x + 1)(3 x ? 2 ) ? 3( x + 2 )( x ? 2 ) = 0 2 6. 已知 2 96 ? 1 可以被在60至70之间的两个整数整除,则这两个整数是多少? 三、解答题 1. 计算:(1) 992 ? 952 ( x + 2)( x ? 2) ? x 2 (2) ? ? 3 ?? 3 1 ? ? 1 x + y 2 ?? ? y 2 ? x ? 4 ?? 4 3 ? ? 3 (3) ( x + 5) 2 ? ( x ? 5) 2 (4) (2 x + y + a - 3b)(2 x - y + a + 3b) (5) (m + 2 )(m ? 2 ) m + 4 2 ( ) (6) (12 + 32 + 52 + ??? + 992 ) ? (22 + 4 2 + 6 2 + ??? + 1002 ) 2.试求: 8 × (9 + 1) × (9 2 + 1) × (94 + 1)(98 + 1) + 1 的个位数字。 3.解方程 (2 x ? 1)(2 x + 1) ? 3( x + 2)( x ? 2) = ( x + 1)( x ? 2) + 12 4.设m, n 为自然数且满足 1 + 9 + 9 + 2 + m = n ,则m, n 的值为多少? 2 2 2 2 2 2 一.填空题 1.若x?y=2, x 2 ? y 2 = 10 则x+y= 3. ( x + 1)( x ? 2) ? ( x ? 3)( x + 3) = 二、选择题 1.下列多项式乘法中,可以用平方差公式计算的是( A. (? a + b)( a ? b) B. ( x + 2)(2 + x ) C. ? ) D. ( x ? 2)( x + 1) 2. (1 + x)(1 ? x)(1 + x 2 ) = 4. 99 ×101 = 1 ? ?1 ?? x + y?? y ? x? 3 ? ?3 ?? ) 2.在下列各式中,运算结果是 x 2 ? 36 y 2 的是( A、 (? 6 y + x )(? 6 y ? x ) C、 ( x + 4 y )( x ? 9 y ) 3.在① 3 a m B、 (? 6 y + x )(6 y ? x ) D、 (? 6 y ? x )(6 y ? x ) 2 3 5 ( ) 2 2 = 9a 2 ;② (? 5m + 1)(1 + 5m ) = 1 ? 25m 2 ;③ (a ? 1) (1 ? a ) = ?(a ? 1) ; m+n+6 ④ 2 × 4 × 64 = 2 n 中,运算正确的是( C、③④ ) D、②④ ) A、①② B、②③ 4. ( x + y + a ? b )( x ? y + a + b ) 的第一步计算中,正确的是( A、 ( x + b ) ? ( y ? a ) 2 2 B、 x ? y 2 ( 2 )(a 2 ? b2 ) C、 ( x + a ) ? ( y ? b ) 2 2 D、 ( x ? b ) ? ( y + a ) 2 4 2 5. ( x ? 1)( x + 1) x + 1 ? x + 1 的值是( 2 ( ) ( ) ) C、2 D、1 A、0 B、-2