现在,整数范围内的加、减、乘的竖式计算有两个基本要求:第一是相同数位对齐,第二是从个位算起。(也就导致了计算要先写右边,再写左边。)但是,由于我们写字的习惯是从左往右。因此,在最初的竖式教学中,多数孩子不喜欢列竖式来计算。往往是在口算出结果后,再把得数写在竖式中去。进而也可以说明,为何有的孩子计算正确,但是竖式却没有进位点,与退位点辅助记录符号的情形。
教材按照从易到难的逻辑安排,先是不进位加,再进位(减法则是先不退位减,再退位减)。在不进位,不退位的竖式计算的时候,孩子习惯也喜欢从左往右算,也能做对。但是,这种习惯但又能获得正确的结果为以后的进位加,退位减制造了一定的思维障碍(部分孩子在最开始的时候,总是会忘了进位或者退位而导致计算错误)。当然,这些障碍导致的错误在老师要求孩子不断的练习竖式计算中会慢慢的得到解决,最终让孩子获得竖式计算的能力。(就算是没有明白算理。算法还是能掌握的)
其实,从历史的视角看,计算的过程与方法是多种多样的,当下我们所学的标准方法(列竖式)是人们长期以来约定俗成,认为书写最简洁、工整的方法是无数种计算方法经过演变并筛选出来的。因此,在教学这一块知识的时候,需要适当回眸历史,审视历史发张进程中的多种计算方法,一来可以让孩子感受多样化的算法,二来可以让隐藏在算法背后的想法显现出来,寻找对学生的学习最自然的方法。在顺应了孩子最自然的方法后,让孩子经历竖式简化的过程,最终明白现有竖式的优势,让冰冷的美丽重现当初火热的思索。下面让我们经历竖式的历史发展过程:
1.加减法竖式
我们可以发现,加法算式既可以从左往右算,也可以从右往左算。可以发现,上图的竖式与现在不同的是,每一位上的各个数字相加后的总和要全部写出来,并且另占一行。好处在于把现在所说的“进位数字”全部写出来,避免了对“进位数字”的记忆,但是,数学格式冗长,写法没有现在的竖式简洁。
古代印度的加法竖式出现了一个“进位行”,起到了帮助记忆计算过程的作用,而且在计算过程中不需要根据进位而改变现有的数据。同时,可以随个人喜好来决定是 “从左往右算”还是“从右往左算”,很好的避免个体书写习惯的障碍。
古代印度的减法竖式,可以发现011011这一行是“借位行”,最后的结果是384689-011011=274579。也可以随个人喜好来决定是 “从左往右算”还是“从右往左算”。
现在的竖式就是在古代印度竖式的基础上去掉了“进位行”与“借位行”,同时要求孩子要用符号帮助记录进位或者退位,且要按照从个位算起的原则。(简洁性的后面,伴随着记忆性的增加,这也就成了当下我们竖式计算教学中的重点——突破算理,掌握算法。)
2.乘法竖式
这个过程是从高位算起的,而且每算一步,计算结果都另起一行,避免了计算过程中的进位。由此可以看出,所谓“从个位算起”并不是唯一确定、且不能违背。现在要求从个位算起,是简洁性与规定的统一。
3.除法竖式
(1)由乘法竖式演变而来的除法竖式
先写64,横线上写8,由于8比64中的6大,因此退一位写在4的上面。因为8乘8正好等于64,因此,在8的上面写了一个8,与8的乘积为64,正好没有余数。
上图是比较复杂的除法竖式,如果把45的位置做下调整,就成了现在的除法竖式。
(2)现在德国的除法竖式如下图:
图6-12的计算过程是首先在最左边纵向罗列出除数423的1至9倍,而后从被除数高位看,发现除数423的5倍2115最接近被除数的前四位2202,这时就将2115写在2202下做减法,同时将“5”记录在右侧。减得的结果是878,在左侧除数的倍数中发现除数423的2倍846最接近878,所以重复前面的过程,将846写在878下面做减法,将2记录在右侧5的旁边。以下类推。
这个过程直到减法结果为0,说明数22028148中包含了52076个除数423,也就是这个除法的结果是52076。这个除法竖式与现在数学课程中的除法竖式并没有本质的差别,只不过现在的写法中罗列除数的倍数这个过程省略了,将商写在了被除数的上方。
(3)逐渐演变成现在的标准除法竖式
由此可以看出,现在的竖式具有简洁性与工整性,但是也隐藏了部分孩子原生态的思维。教学的时候,建议让孩子经历竖式历史发展的过程,让孩子的思维逐阶而上……