1.二次根式的有关概念: (1)二次根式:式子 a(a≥0)叫做二次根式. (2)最简二次根式需满足两个条件: ①被开方数不含分母; ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式. 2.二次根式的性质: (1)( a)2=a(a≥0). a(a>0) ; ; (2) a2=|a|= 0(a=0) -a(a<0). (3) ab= a· b(a≥0,b≥0). (4) a a = (a≥0,b>0). b b 二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为 非负数. 3.二次根式的运算: (1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式; (2)二次根式的乘法: a· b= ab(a≥0,b≥0); a (3)二次根式的除法: = b a (a≥0,b>0). b 运算结果中的二次根式,一般都要化成最简二次根式 或整式. 1.(2013·山东)9 的算术平方根是 A. 3 C. ±3 【答案】 A B. -3 D. 81 ( ) 2.(2013·资阳)在函数 y = 围是 A. x ≤1 C. x <1 【答案】 D 1 中,自变量 x 的取值范 x -1 ( B. x ≥1 D. x >1 ) 3.(2013·南京)计算 3 - 2 1 的结果是__________. 2 【答案】 2 4.(2013·泰安)化简: 3( 2- 3)- 24-| 6-3|= __________. 【答案】 -6 1 -1 5.(2013·泰州)计算: 2 +|3tan30°-1|-(π-3)0. 【解析】 原式=2+|3× 3 -1|-1=2+| 3-1|-1=2 3 + 3-1-1= 3. 题型一 二次根式的概念与性质 1. 对于二次根式,它有意义的条件是被开方数非负. 2. 注意二次根式性质 ( a)2=a(a≥0), a2=|a|的区别. 【典例 1】(2012·荆门)若 x -2y +9与|x -y -3|互为相反 数, 则 x +y 的值为 A. 3 C.12 【解析】 ( B.9 D.27 ) ∵ x -2y +9与|x -y -3|互为相反数, ∴ x -2y +9+|x -y -3|=0, 又∵ x -2y +9≥0,|x -y -3|≥0, x -2y +9=0, x =15, ∴ 解得 x -y -3=0, y =12. ∴x +y =12+15=27. 【答案】 D 2k -1 【类题演练 1】 若等式 = k -3 数 k 的范围是 1 A.k >3 或 k < 2 C. k ≥ 1 2 B.03 2 k -1 恒成立,则实 k -3 ( ) 【解析】 ∴k >3. 【答案】 1 k ≥ , 2k -1≥0, 2 要使等式成立,必须 解得 k -3>0, k >3, D 题型二 二次根式的运算 a = b 1. 二次根式化简,依据 ab= a· b(a≥0,b≥0), a (a≥0,b>0),前者将被开方数变形为有 m 2(m 为正整 b 数)的形式, 后者分子、 分母同时乘一个适当的数使分母 变形为 m 2(m 为正整数)的形式,即可将其移到根号外. 2. 二次根式加减,即化简之后合并同类二次根式. 3. 二次根式乘除的结果要化简为最简二次根式或整式. 【典例 2】 下列计算正确的是 A. 8+ 2= 10 C.3- 2=3 B. 3- 2=1 D. 14× 7=7 2 ( ) 【解析】 A. 8+ 2=2 2+ 2=3 2; B,C 中均不是同类二次根式,不能合并; D. 14× 7= 7×2× 7=7 2. 【答案】 D 【类题演练2】 1 = 2 2 (2013·泰州)下列计算正确的是 B. 2+ 3=5 ( ) A. 4 3-3 3=1 C. 2 D. 3+2 2=5 2 【解析】 A. 4 3-3 3= 3; B,D 不能加减合并; C. 2 1 1 =2× = 2. 2 2 C 【答案】 题型三 二次根式的混合运算 二次根式混合运算是把若干个知识点综合在一起,计 算时要认真仔细.可以适当改变运算顺序,使运算简便. 【典例3】 计算: (1)(3 2-1)(1+3 2)-(2 2-1)2; 【解析】 原式=(3 2)2-1-[(2 2)2-4 2+1] =18-1-8+4 2-1=8+4 2. (2)( 10-3)2014×( 10+3)2013. 【解析】 原式=( 10-3)2013×( 10+3)2013×( 10-3) =[( 10-3)( 10+3)]2013×( 10-3) =[( 10)2-32]2013×( 10-3) =(10-9)2013×( 10-3) =1×( 10-3)= 10-3. 【类题演练 3】 先化简: 1 2 -6 3 3 24- 2 12 ,再求它 的近似值(精确到 0.01, 2≈1.414, 3≈1.732). 【解析】 原式= 6 1 - 3 3 6+3 3=3 3 ≈3×1.732≈5.20. 题型四 二次根式运算中的技巧 充分利用 a中的隐含条件 a≥0 ,化简 a2时应注意 a 1 x- 2 的正负性, 熟练进行公式变形可以使运算简便, 如 x = 1 x+ 2 x -4,x 2+xy +y 2=(x +y )2-xy 等. 【典例 4】 (1)已知 x =2- 3,y=2+ 3,求 x 2+xy+y2 的值; 【解析】 ∵x =2- 3,y =2+ 3, ∴x +y =(2- 3)+(2+ 3)=4, xy =(2- 3)×(2+ 3)=1, ∴x 2+xy +y 2=(x +y )2-xy =42-1=15. 1 1 (2)已知 x + =-3,求 x - 的值. x x 【解析】 1 1 x- 2 x+ 2 ∵ x = x -4=(-3)2-4=5, 1 ∴x - =± 5. x 【类题演练 4】 (1)若 y = 3x -6+ 6-3x +x 3,则 10x +2y 的平方根为__________; 3 x - 6 ≥0 , 【解析】∵ ∴x =2,∴y =8,∴10x +2y =36, 6-3x ≥0, ∴10x +2y 的平方根为±6. 【答案】 ±6 (2)已知 a=3+2 5,b=3-2 5,求 a2b-ab2 的值. 【解析】 =-44 5. a2b-ab2=ab(a-b)=(3+2 5)(3-2 5)×4 5 技 法 联 通 1.二次根式中,被开方数一定是非负数,否则就没有意 义. 2. a(a≥0)表示非负数 a 的算术平方根,是一个非负数, 所以 a具有双重非负性, 算术平方根的非负性主要用于 两方面: (1)若 n 个非负数的和为零, 则每一个非负数都 等于零; (2)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个 条件,做题时要善于发现,巧妙求解. 3.求 a2时,注意确定 a 的大小,当问题中由已知条件不 能直接判定 a 的大小时,就要分类讨论. 【典例 1】 已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,试化简: (a+b+c)2+ (a-b-c)2+ (b-c-a)2+ (c-a-b)2. 【错解】 原式=(a+b+c)+(a-b-c)+(b-c-a)+(c- a-b)=a+b+c+a-b-c+b-c-a+c-a-b=0. 【析错】 上述解答错误地认为 a2=a,忽视了 a2=a 的 条件是 a≥0 ,当 a<0 时, a2=-a.在使用 a2=|a|时,应 首先判断 a 的正负性. 【纠错】 +2b+2c. 原式=|a+b+c|+|a-b-c|+ |b-c-a|+|c-a - b|= (a+ b + c) + (b + c - a) + (c + a- b) + (a+ b - c) =2a 名师指津 注 意 区 别 公 式 ( a )2 = a 与 a2 = |a| = a(a≥0) , 解决此类问题时, a2的结果是非负数|a|, -a(a<0). 还有 a,b,c 作为△ABC 的三边长,利用“两边之和大 于第三边 ” 及 “ 两边之差小于第三边 ” 可知 a+ b + c>0,a-b-c<0,b-c-a<0 及 c-a-b<0. a2-1 a2-2a+1 1 【典例 2】 已知 a= ,求 - 的值. 2 2+ 3 a+1 a -a 【错解】 (a+1) (a-1) (a-1)2 原式= - = a- 1 (a+1) a(a-1) a-1 1 - =a-1- . a a(a-1) 1 当 a= 时, 2+ 3 1 原式= -1-(2+ 3)=-1-2 3. 2+ 3 【析错】 由已知得 a= 1 =2- 3<1,∴ a2-2a+1 2+ 3 = (a-1)2=|a-1|=1-a,而不是 a-1. 1 【纠错】 ∵a= <1,∴a-1<0. 2+ 3 ∴ a2-2a+1= (a-1)2=|a-1|=1-a. (a+1) (a-1) 1-a 1 ∴原式= - =a-1+ . a (a+1) a(a-1) 1 1 ∴当 a= 时,原式= -1+(2+ 3)=3. 2+ 3 2+ 3 名师指津 挖掘题目中的隐含条件是解决数学问题的关 键之一, 本例中的隐含条件 a2-2a+1= (a-1)2= |a-1|=1-a 是进行二次根式化简的依据,同学们应注 意分析能力的培养,提高解题的正确性. x -2 1.若式子 有意义,则 x 的取值范围为 x -3 A. x ≥2 B. x ≠3 D. x ≥2 且 x ≠3 C. x ≥2 或 x ≠3 ( ) 【解析】 【答案】 x -2≥0, 由 得 x ≥2 且 x ≠3. x -3≠0, D 2.计算 2 1 -6 2 1 + 8的结果是 3 B.5- 2 D.2 2 ( ) A.3 2-2 3 C .5- 3 【解析】 原式=2× 1 1 -6× +2 2= 2-2 3+2 2 2 3 =3 2-2 3. 【答案】 A 3. 使代数式 2 x -1 有意义的 x 的取值范围是__________. 3-x 【解析】 2x -1≥0, 3-x ≠0, 1 x ≥ 且 x ≠3 2 1 ∴x ≥ 且 x ≠3. 2 【答案】 4.有下列计算:①(m 2)3=m 6;② 4a2-4a+1=2a-1 ;③m 6÷m 2 =m3;④ 27× 50÷ 6=15;⑤2 12-2 中正确的运算有__________. 3+3 48=14 3.其 【解析】 ∵(m 2)3=m 6,∴①正确; 1 a> 2a-1 2 , 1 a= 2 2 ∵ 4a -4a+1= (2a-1) =|2a-1|= 0 ∴②错误; 2, 1 a< 1-2a 2 , ∵m 6÷m2=m 4,∴③错误; ∵ 27× 50÷ 6=3 3×5 2÷ 6=15 6÷ 6=15,∴④正确; ∵2 12-2 3+3 48=4 3-2 3+12 3=14 3,∴⑤正确. 【答案】 ①④⑤ 5.已知 m =1+ 2,n =1- 2,求代数式 m 2+n 2-3mn 的值. 【解析】 由 m =1+ 2,n=1- 2,得 m +n 2-5mn = 22-5×(-1) m +n=2,mn=-1, 则 m 2+n2-3mn = = 9=3. 按时完成课后强化训练5,全面提升自我! 单击此处进入课后强化训练5