学习目标 1. 掌握等比数列的定义,理解等比中项的概念. 2 .掌握等比数列的通项公式及推导过程. 3 .能应用等比数列的定义及通项公式解决问题. 回顾与复习 1 1 、等差数列定义: 如果一个数列从第二项开始,每一项与 前一项的差等于 同一个常数 ,这个数列 叫做 等差数列 。 数学表达式: d=a n n - -a a n n- -1 1 (n≥2) 或 d=a n+1 - -a a n n 2 2 、等差数列的通项公式: a a n n =a 1 1 +(n- - 1)d (n∈N*) 3 3 、等差数列通项公式的推导方法: a a n n =a m +(n- - m)d (n,m∈N*) 归纳法 累加法 一、引入新课: 1. 细胞分裂个数组成数列: 1,2,4,8,16,鬃? 2.“ 一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.” 得到数列: 1 1 1 11, , , , ,2 4 8 16鬃? 3. 病毒感染的计算机数构成的数列: 2 3 41,20,20 ,20 ,20 ,鬃? (1)1,2,2 2 ,2 3 ,… 观察下列数列的相邻两项,并说出它们的 特点. 1 、定义: 如果一个数列从第2项 项 起,每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数 , 那么这个数列就叫做 等比数列, 这个常数叫做 公比 ,记为q( (q ≠0 ). 数学语言: *11( 2 N ).nnnnaq n naaqa  且或探究:等比数列的定义 1 n na a q ,161,81,41,21…… (2)2 3 41,20,20 ,20 ,20 ,鬃?(3) 名 名 称 称 等差数列 等比数列 定 定 义 义 如果一个数列从第2 2项起,每一项与前一项的 差 都等于 同一个常数 ,那么这个数列叫做等差数列. . 这个常数叫做等差数列的公差,用d d表示 如果一个数列从第 第2 项起 , 每一项与它 前 一项的 比都等于 同一个常数 数, 那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比,用 q 表示. 课堂互动 (1) 1 ,3 ,9 ,27 ,81 ,… (3) 5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,… (4) 1 ,-1 ,1 ,-1 ,1 ,… 是 是, 公比 q=3 是 , 公比 q= x 是 是, 公 比q= -1 (7) 2 3 41, , , , , ( 0) x x x x x(2)  ,161,81,41,21是 是, 公比 q= 12观察并判断下列数列是否是等比数列: : 是 是, 公比 q=1 (5) 1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,… (6) 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,… 不是等比数列 不是等比数列 1. 各项不能为零, , 即 0na 2. 公比不能为零, , 即 0 q 4. 数列 a, a , a , … 0 a 时, , 既是等差数列 又是等比数列; 0 a 时, , 只是等差数列 而不是等比数列. . 3. 当 q>0 ,各项与首项 同号 当 当 q<0 ,各项符号 正负相间 对等比数列的理解 等比中项 如果在a a 与b b 中间插入一个数G G ,使a a ,G G ,b b 成等比数列,那么G G 叫做a a 与b b 的 等比中项 。 ab G  abG21 1{ } , , , ( 2) .n n n na a a a n  2、等比数列 中相邻三项 的关系) 2 (1 12        n a a an n n思考: :1 、若G 2 = =ab ,则a ,G ,b 一定成等比数列吗? 提示: 不一定,若a =G =b =0 时,不满足. 所以a ,G ,b成等比数列 成等比数列 ⇔G 2 = =ab(ab≠0) . 等比数列通项公式的推导: : 等比数列通项公式的推导(归纳法) q a a1 2q q a ) (1 q a a2 321 qa q q a ) (21 q a a3 431 qa … … 1 1   n n q a a d a a  1 2d n a a n ) 1 (1  d d a    ) (1d a a  2 3d a 21 d d a    ) 2 (1d a a  3 4d a 31 … … 等差数列通项公式的推导( 归纳法) d a an n 1q a an n1归纳法 证明: 21aqa=32aqa=1nnaqa-=将等式左右两边分别相乘可得: 1   nq化简得: 11  n nqaa即: 11    nnq a a 此式对n=1 也成立 ) (11         N n q a ann∵ ∵ ……   1   nq q ……     1 2312nnaaaaaa…… ∴ ∴ 累乘法推导 等比数列通项公式的推导: : 在等比数列{a a n n }中,若已知某一项为a a m , , 公比为 q, 求该数列的任意项a a n n 。 等比数列通项公式的 推广公式: a n = =a m q n-m ( (a m ≠0,a n ≠ 0,m,n ∈Z ) + 等比数列的通项公式: : (n ∈N ﹡ , q≠0 )) 11nna a q 例如:数列{a n } 的首项是a 1 =1, 公比q=2, 则通项公式是: ______ 上式还可以写成 nna 221 可见,这个等比数列 的图象都在函数 的图象上,如右图所示。 xy 221  0 1 2 3 4 n a n 8 7 6 5 4 3 2 1 · · · ·  的点 函数的图象上一些孤立的图象是其对应的 等比数列 结论na :思考: 等比数列的通项公式与函数有怎样的关系? -12 nna  结论: 等比数列的图象与指数函数之间的关系: 11{ }.nn nxaa a qqay qq= ?= ?等比数列 通项公式可整理为: ,它的图象是函数 的图象上的孤立点 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 6.3 等比数列 31 18 2q q   , ;412   a4 112 ( )2nna  1212 4 813 11 12 22 256a a q        .5 8118  a a , ,  na例 例1 在等比数列 中, 13a .求 81, 18 5    a a 解 解 由 有 (2)除以(1)得 21 q 将 代人(1),得 所以,数列的通项公式为 本例题求解过程中,通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法. 411 a q    ,(1) 7118a q    ,(2) 变形1、 等比数列{a n } 中,a 1 =2,q=-3, 求a 8 与 与a n . 变形 2 、 等比数列{a n } 中,a 1 =2, a 9 =32, 求q. 变形3、 等比数列{a n } 中,a 1 + a 3 =10,a 4 +a 6 =5/4, 求 求q 的值. 变形4、 等比数列{a n } 中,a 3 + a 6 =36,a 4 +a 7 =18, a n =1/2, 求n. 0 1 22 2 22 3 3 3 ... ? 例 :9是等比数列 ,,,的第几项13 ?m是该数列中的项吗?若是变 :,是第几项式0 1 112 2 21 13 1 3 3 .nnna q a a q       , ,12219 3 3 525nnn     ,即2 , ,即9为该数列的第 项.1123 3 n=2m+3nm 分析:令 ,则解: 3 { } 3 , { }nn n na a a  例 :已知 的通项公式 求证: 是等比数列.{ } 3 1{ } .:,nn nna na  已知数列 的前 项和为S 求证:数列 是式等比数列变定义法,只要看 1(nnaq q na 是一个与 无关的非零常数)11 11 3 1 2 n a S      分析:当 时, ;111 1 1 12 3 1 (3 1)3 3 3 3 3 2 3n nn n nn n n n nn a S S                当 时,,1 11 2 3 2 3 .n nn nn a a       当 时,也满足1212 33 ( 2).2 3nnnnana   为常数 已知数列{a n } 满足a 1 = =1 ,a n +1 ==2a n + +1. (1) 求证:数列{a n + +1} 是等比数列; (2) 求数列{a n } 的通项公式. 【 思路点拨 】 将递推公式变形,然后利用等比数列的定义判定. 例 例4 【解】 (1) 证明:因为 a n + 1 = =2a n + +1 , 以 所以 a n + 1 + +1 =2(a n + +1) . 由 由 a 1 = =1 ,知 a 1 + +1 ≠0 ,可得 a n + +1 ≠0. 所以 an + 1 + +1a n + +1= =2(n ∈N * ) . 所以数列{a n + +1} 是等比数列. (2) 由(1) 知, {a n + +1} 是以a 1 + +1 为首项,2 为公比的等比数列. 所以a n + +1 =2·2 n -1 ==2 n , , 即 即a n = =2 n - -1. 【 名师点评 】 已知数列的递推关系求通项公式时,要先判断该数列是否为等差数列或等比数列,若是等差或等比数列,则按等差或等比数列的通项公式求解;若不是等差或等比数列,一般先将递推公式变形,构造一个等差或等比数列,从而求出通项公式. 变式训练 已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n , , S n = 13 (a n --1)(n ∈N * ) . (1)求 求 a 1 , ,a 2 ; ; (2) 求证:数列{a n } 是等比数列. 解:(1)由 由 S 1 = 13 (a 1 --1) , 得 得 a 1 = 13 (a 1 --1), ,∴ ∴a 1 =- 12 . 又 又 S 2 = 13 (a 2 --1) , 即 即 a 1 + +a 2 = 13 (a 2 --1) ,得 a 2 = 14 . (2) 证明:当 n ≥2 时, 由 由 a n = =S n - -S n - 1 = 13 (a n --1)- - 13 (a n - 1 - -1), , 得a na n - 1 =- 12 ,又 a 2a 1 =- 12 ,, 所以{a n } 是首项为- 12 ,公比为- 12 的等比数列. 数 数 列 等 等 差 数 列 等 等 比 数 列 定 定 义 公差(比) 定义变形 通项公式 一般形式 小结:填写下表 an+1-a n =d qaann1d 叫 叫 公差 q叫 叫 公比 an+1=a n +d an+1=a n q a n = a 1 +(n-1)d a n =a 1 q n-1 a n =a m +(n-m)d a n =a m q n-m m na adm n   mn m naaq   你有什么收获?中项