三个集合容斥问题是公务员考试的常考题型,大部分考生虽然熟知三集合容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C,但是不一定能把题目做对,究其原因是没有理解公式的准确含义。下面通过一道典型例子讲解下蕴含在这个公式下的深层次含义。
【例】
某公司组织运动会,据统计,参加百米跑项目的有86人,参加跳高项目的有65人,参加拔河项目的有104人。其中,至少参加两种项目的人数有73人,三项都参加的有32人。则该公司参赛的运动员有( )人。
A.89 B.121 C.150 D.185
【错误解析】
设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C,运用三集合容斥问题公式“A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C”求解。由A∩B+B∩C+A∩C表示的是参加两种项目的总人数,可得A∩B+B∩C+A∩C=73-32=41。而A∩B∩C=32,则A∪B∪C=86+65+104-41+32=246(人)。没有答案。
【错解门诊】
上述解法虽然选对了公式,但是没有算出正确答案,其最大的错误在于没有真正理解A∩B+B∩C+A∩C的含义。
A∩B+B∩C+A∩C=只参加两种项目的人数+3×参加三种项目的人数。而至少参加两种项目的人数有73人=只参加两种项目的人数+参加三种项目的人数。两式对比发现,前式比后式多了“2×参加三种项目的人数”。
【正确解析】
选C。设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C,根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C,A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137,A∩B∩C=32,则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。
【指点迷津】
对于三个集合容斥问题,建议画出文氏图来辅助求解。具体操作过程如下:
确定分类标准→把集合对应圈圆→确定各圆圈位置关系→确定各集合逻辑、数量关系。
一般地,三个集合容斥问题的文氏图如下:
上图中需要注意的是:A∩B+B∩C+A∩C=只重复两次的情况+3×重复三次的情况。
这样,A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=三个圆各自情况之和-只重复两次的情况-2×重复三次的情况。
从上述解析中可以看出,对于容斥问题,仅仅通过背背、套套公式是不能解决问题的,而是要真正理解公式所表达的含义,只能这样才能做到举一反三,不会出现“本来会做,但是换种说法就不会做”的情况。
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