记正四面体 ABCD 因此,只要求出 (方程思想)如图 因为在正四面体ABCD vBCD是正三角形, O1 是其中心, 所以 平面BCD,所以OO1 O1D.所以, 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 (几何法)如图 vABC的中心. 连结DO 三点共线,EO EGEA MAD,从而有 EGEA 12a1 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 12a1 知识联系: 正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心 重合, 半径之比为 B2;正四面体的内切球的球心与外接 球的球心重合, 半径之比 (体积法)如图 正四面体ABCD的体积为 每个面的面积为 连结OA,OB, OC, OD, Sr,从而 a1故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 12a1 方法拓展应用: 利用体积分割法,可得其内切球的半径为 各面面积均为S的棱锥内的任意一点到各 面的距离之和为定值 以正四面体的各棱为正方体的面对角线, 将其补形为正方体. 由于过不共面的四点有且只 有一个球, 所以正四面体的外接球也是正方体的外接球. 设正方体的棱长为 2x,所以 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 12a1 解后反思: 由此解法知, 正方体的内切球也是与正四 所以,与正四面体的各棱都相切的球的半径为 30ZHONGXUESHUXUEZHAZHI 中学数学杂志 2008年第 北京建工学院100044 中央民大附中100081 即可求出这一类最值,程序如 的最小值分析 利用 2tanx#3cotx 25故最小值为 25, 的最小值分析 提出因子 10方法拓展: 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外接球也是以 这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球, 若设其三条侧棱长分别为 O为它们的公共点,则PO 到两两垂直且共点于O的三条直线m, (坐标法)如图 建立如图所示的空间直角坐标系, 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 12a1 说明 解法5中不需证明球心在高线上, 避免了严格 的逻辑论证, 从而降低了思维难度, 但对运算能力提出了 较高要求. 31 中学数学杂志 2008年第