一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质
①具有平行四边形的一切性质;
②矩形的四个角都是直角;
③矩形的对角线相等;
④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;
⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质
①具有平行四边形的一切性质;
②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;
⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。
3.正方形的性质
正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质
①边:四边相等,对边平行;
②角:四个角都是直角;
③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;
④正方形是轴对称图形,有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为 ( )
A.360 B.90
C.270 D.180
例2 如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC与BD相交于点O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的长。
例3 如图, O是矩形ABCD 对角线的交点, AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度数。
例4 菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长________ 。
例5 如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由.
二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定
①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有三个角是直角的四边形是矩形;
④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
③四条边都相等四边形是菱形;
④对角线垂直平分的四边形是菱形。
3.正方形的判定
①菱形+矩形的一条特征;
②菱形+矩形的一条特征;
③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。
说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。
例1. 如图,在ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A、D分别作BC与AB的平行线,并交于点E,连续EC、AD。
求证:四边形ADCE是矩形。
例2.如图,ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,ED⊥BC,DF//AB.
求证:AD与EF互相垂直平分。
例3.已知如图,在ABC,∠ACB=900,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。
求证:四边形CDEF是菱形。
三、矩形、菱形、正方形与函数综合题1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题;
2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;
例1.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3).
(1)求k的值;
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。
例2.如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k值为______.
例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m