设 、 分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的 和 方向分量(这里仅考虑二维流场),那么不可压缩条件为:,无旋条件为:。若定义一个标量函数 ,使其微分满足:,那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数 称为流函数,因为它在同一条流线上各点的值是相同的。 的一阶偏导为:,无旋条件即令 满足拉普拉斯方程。 的共轭调和函数 称为速度势。柯西-黎曼方程要求。所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数,虚部为流函数。根据麦克斯韦方程组,二维空间中不随时间变化的电场 (u,v) 满足:,和,其中 ρ 为电荷密度。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件:,所以可以构造电势函数 φ 使其满足。第二个麦克斯韦方程即:,这是一个泊松方程,当空间不包含自由电荷时,方程等号右边变为0,方程变为拉普拉斯方程。