下面我们来看几个这样的例子:
伽利略发现在均匀重力场中自由落体的速度和它落下的时间成正比:
\[ v \propto t. \]
这个正比例系数就是重力加速度\( g \):
\[ v = g t. \]
落体的速度是下落距离对时间的导数,因此我们可以用积分计算在某一时间自由落体落下的距离:
\[ y = \int v\,dt = \int_0^t gt\,dt = \textstyle{\frac{1}{2}} gt^2. \]
Robert Hooke 发现拉伸一个弹簧所需要的力和拉伸距离之间成正比:
\[ F \propto x. \]
这一关系的正比例系数是弹簧的弹力系数\( k \)9:
\[ F = k x. \]
于是弹簧被拉伸以后的势能等于外力做的功,也就是:
\[ U = \int F\,dx = \int_0^x kx\,dx = \textstyle{\frac{1}{2}} kx^2. \]
牛顿发现施加在一个物体上的力和它的加速度成正比:
\[ F \propto a. \]
这个正比例系数就是物体的质量\( m \):
\[ F = m a. \]
于是这个运动物体的能量,也就是动能,等于外力通过将质量为\( m \) 的物体加速到速度\( v \) 所做的功,也就是:
\[ \begin{split} K = \int F\,dx = \int ma\,dx & = \int m\frac{dv}{dt}\,dx \\ & = \int m\frac{dx}{dt}\,dv \\ & = \int_0^v mv\,dv \\ & = \textstyle{\frac{1}{2}} mv^2. \end{split} \]
看了以上在物理学中出现的二次型的例子以后,我们再回到圆的几何学上来,这时你可能已经有了一些不详的预感。这是可以理解的。
图15 -将圆分解成圆环
如图15所示,在计算圆的面积时,我们可以把圆想象成由一系列周长为\( C \) 宽度为\( dr \) 的圆环组成的。每一个圆环的面积是\( C\,dr \):
\[ dA = C\,dr. \]
我们知道,圆的周长和它的半径成正比: