自然对数　ln(x)　的函数图像。　自然对数　(　Natural　logarithm　)是以e为底数的对数函数,标记作ln(x)或log　e　(x),其逆函数是指数函数e　x　。　目录　数学表示方法　[　编辑　]　自然对数的一般表示方法为　。数学中也常见以　表示自然对数。[1]若为了避免与基为10的常用对数混淆,可用“全写”　。　双曲线扇形　是笛卡尔平面{(　x　,　y　)}上的一个区域,由从原点到(　a　,　1/　a　)和(　b　,　1/　b　)的射线,以及双曲线xy　=　1围成。在标准位置的双曲线扇形有　a　=　1且b>1,它的面积为ln(　b　)[2],此时双曲线扇形对应正双曲角。　当直角双曲线下的两段面积相等时,x的值呈等比数列,x　2　/x　1　=x　1　/x　0　=k,y的值也呈等比数列,y　2　/y　1　=y　1　/y　0　=1/k。　约翰·纳皮尔　在1614年[3]以及　Jost　Bürgi　(英语:　Jost　Bürgi　)　在6年后[4],分别发表了独立编制的对数表,当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算,来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数,当时还没出现有理数幂的概念,直到1742年William　Jones　(英语:　William　Jones　(mathematician)　)　才发表了现在的幂指数概念[5]。按后世的观点,Jost　Bürgi的底数1.0001　10000　相当接近自然对数的底数e,而约翰·纳皮尔的底数0.9999999　10000000　相当接近1/e[6]。实际上不需要做开高次方这种艰难运算,约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算,　Henry　Briggs　(英语:　Henry　Briggs　(mathematician)　)　建议纳皮尔改用10为底数未果,他用自己的方法[7]于1624年部份完成了常用对数表的编制。　1649年,　Alphonse　Antonio　de　Sarasa　(英语:　Alphonse　Antonio　de　Sarasa　)　将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年,伊萨克·牛顿推广了二项式定理,他将1/(1+x)展开并逐项积分,得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[10],他也独