命题用大写英文字母P,Q,⋯,P1,P2,⋯, 表示。如果一个命题是真的,就说它的真值是1;如果一个命题是假的,就说它的真值是0。我们也用1代表一个抽象的真命题,用0代表一个抽象的假命题。
2.1.2逻辑联结词
当我们用命题组成新的句子的时候,使用了语法中的逻辑联结词,下面我们介绍五种逻辑联结词(或称命题的五种运算)。我们将看到,它们和自然语言里的联结词是有所不同的,它们是自然语言里的联结词的逻辑抽象。若干个原子命题通过命题逻辑联结词而构成的新命题称为复合命题。
定义2.1.1.设P是一个命题,命题“P是不对的”称为P的否定。记以¬P,读作非P。¬P是真的当且仅当P是假的。
例如:P:上海是一个城市。¬P:上海不是一个城市。
定义2.1.2.设P,Q是两个命题,命题“P或者Q”称为P,Q的吸取,记以P∨Q,读作P或Q。规定P∨Q是真的当且仅当P,Q中至少有一个是真的。
例如,P:今天下雨,Q:今天刮风,P∨Q:今天下雨或刮风。
自然语言中的“或者”一词有不可兼得意思。例如,“我到北京出差或者到广州取度假”表示的是二者只能居其一,不会同时成立。按照联结词“∨”的定义,当P,Q都为真时,P∨Q也为真,因此“∨”所表示的“或”是“可兼或”,对于“不可兼或”,我们不可以用“∨”来表示。
定义2.1.3.设P,Q是两个命题,命题“P并且Q”称P,Q的合取,记以P∧Q,读作P且Q。规定P∧Q是真的当且仅当P和Q都是真的。
例如,P:2×2=5,Q:雪是黑的,P∧Q:2×2=5并且雪是黑的。
定义2.1.4.设P,Q是两个命题,命题“如果P,则Q”称为P蕴涵Q,记以P→Q。规定P→Q是假的当且仅当P是真的而Q是假的。
例如,P:f(x)是可微的,Q:f(x)是连续的,P→Q:若f(x)是可微的,则f(x)是连续的。
有定义知,当P是真的,Q是真的时,命题P→Q时真的。这和日常生活中语言“如果⋯则⋯”的意思是一致的。但如果P是假的,则不管Q是真的还是假的,命题“如果P,则Q”在命题逻辑中都被认为是真命题。例如:P:2×2=5,Q:雪是黑的,于是,命题“如果2×2=5,则雪是黑的”是真命题。这和人们日常生活中语言不一致。
定义2.1.5.设P,Q是两个命题,命题“P当且仅当Q”称为P等价Q,记以P↔Q。规定