§3.3 开环传递函数 二阶系统的时间响应及动态性能 二阶系统的标准数学模型 闭环传递函数(标准形式) 二阶系统的分类 根据特征根的分布情况,将系统分为四类 s1,2 ? ???n ? ?n ? ? 1 2 响应无振荡 响应含振荡 ? ?0 特征根落在右半平面,系统的响应是发散的。 欠阻尼与无阻尼 欠阻尼二阶系统的极点表示方法 (1)直角坐标表示 (2)极坐标表示 wd 有阻尼的自然振荡频率 ? ? ? wn ? ? ?? ? ? ? ?cos ? ? ? ? 2 sin ? ? 1 ? ? ? ? 欠阻尼的阶跃响应 Y ( s) ? 正弦函数 余弦函数 ?n 2 s s 2 ? 2?? n s ? ?n s ? 2?? n 1 ? ? 2 s s ? 2?? n s ? ?n 2 s ? ?? n 1 2 sin ? t cos ? t ? (s2 ? ? 2 ) s (s2 ? ? 2 ) ? ? n ? ? ? s ?s ? ?? n ?2 ? (?n 1 ? ? 2 ) 2 ?s ? ?? n ?2 ? (?n 1 ? ? 2 ) 2 ?? s ? ?? n ?? n 1 ? ? ? 2 2 s ?s ? ?? n ? ? ?d ?s ? ??n ?2 ? ?d 2 y (t ) ? 1 ? e ???nt ? ? ? sin ?d t ? ?cos ?d t ? 2 1?? ? ? ? ? 2 t ?0 ? 1? e ???nt 1?? sin(? d t ? ? ) ? ? arccos? 欠阻尼响应曲线 振荡环节 ? ? arccos? e???nt 1?? 2 1 y (t ) ? 1 ? sin(?d t ? ? ) 第一项为单位阶跃响应的稳态分量, 第二项为动态分量,它是一以指数规律衰减的正弦振荡波, 振荡频率为wd,单位阶跃响应y(t)衰减速度取决于共轭复数 极点负实部??n值大小, ??n(衰减系数)越大,共轭复数极 点离虚轴越远, y(t)衰减得越快. 无阻尼响应曲线 y (t ) ? 1 ? e???nt 1??2 sin(?d t ? ? ) ? 1 ? sin( wn 1 ? ? 2 t ? arccos ? ) ? 1 ? sin( wnt ? ? 1 ? cos( wnt ) ? 2 ) 欠阻尼标准二阶系统的动态性能指标计算 y (t ) ? 1 ? e???nt 1??2 sin(?d t ? ? ) (1)峰值时间tp 由 dy (t ) ?0 dt 得 tan? ? tan( ?d t p ? ? ) 即 w d t p ? 0, ? , 2? , 3? ?d t p ? ? ? tp ? ?d 因为tp是阶跃响应越过稳态值到达第一个峰值所需要的时间,所以 (2)超调量 ? % 将tp ? tp ? ?d y (t ) ? 1 ? 带入阶跃响应函数 e???nt 1?? 2 sin(?d t ? ? ) 得 y(t p ) ? 1 ? e ??? 1?? 2 2 1?? sin(? ? ? ) 因为 所以 sin(? ? ? ) ? ? 1 ? ? 2 h(t p ) ? 1 ? e ??? 1?? 2 即 ?% ? e ??? 1?? 2 ?100% ?% ? e ??? 1?? 2 ?100% 结论:超调量只与阻尼系数有关,阻尼系数越大,超调量越小。 (3)调节时间TS y (t ) ? 1 ? e???nt 1??2 sin(?d t ? ? ) 其响应曲线的包络线为 1 1? e ???nt 1?? 2 由图可见,实际响应的收敛速度比包络线的 收敛速度要快,因此,采用包络线代替实际 响应曲线来估算调节时间是可靠的。 由 |z(t)-1|≤? 一般 ? 取为0.05 即? e ???nt 1?? 2 ? 0.05 ln 0.05 ? 0.5 ln(1 ? ? 2 ) ts ? ? ? wn 3 ts ? ?w n 0.3 ? ? ? 0.8 结论:调节时间与闭环极点的实部值成反比,实部值越大,即极点离虚轴越 远,调节时间越短,同时,该调节时间为工程近似计算,即实际调节时间还 与阻尼系数相关。 二阶欠阻尼系统动态性能指标与极点分布关系 夹角越大, 阻尼系数越 小,即超调 量越大 s1,2 ? ???n ? ?n ? 2 ? 1 ? 要获得满意的系统动态性能,应该适当选择参数,使闭环极点位于 45度附近,并根据情况尽量使其远离虚轴,以提高系统的快速性。 最佳阻尼比 结论: (1)当阻尼系数过大时,系统响应滞缓,调节时间很长,系统快速性差; (2)阻尼系数过小,虽然响应的起始速度较快,但因为振荡强烈,衰减缓慢, 所以调节时间亦长,快速性也差。 (3)对于5%的误差带,当 ? ? 0.707 时,调节时间最短,即快速性最好,这时 超调量较小,故平稳性也是很好的,所以把称为最佳阻尼比。 例 给定典型二阶系统的设计指标:超调量 ? % ? 5% 调节时间 t s ? 3s 峰值时间 t p ? 1s 试确定系统极点配置的区域,以获得预期的响应特性。 解 : 依题 ? % ? 5% ? ? ? 0.707 (? ? 45?) ts ? 3.5 ? ?n ? ?3 , ? ? ?n ? 1.05 1 ? ? 2 ? n ? 3.14 ; tp ? 1? ? 2?n ?1? 06年 上升时间tr y (tr ) ? 1 ? e???ntr 1?? 2 sin(?d tr ? ? ) ? 1 得 ? ?? tr ? ?d 例 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图所示。 试确定系统的闭环传递函数。 解 系统闭环传递函数 K ?? . 2 n ?( s ) ? 2 s ? 2?? n s ? ? n2 由阶跃响应曲线有 1 h(?) ? lim s ?( s) R( s) ? lim s ?( s ) ? ? K ? ? 2 s ?0 s ?0 s ? ? t ? ?2 p ? ? ?n 1? ? 2 ? ?? o ? e ??? 1?? 2 ? 2.5 ? 2 ? 25 o o o ? 2 ? 联立求解得 ? ? ? 0.404 ? ?? n ? 1.717 2 ? 1.7172 5.9 ?( s ) ? 2 ? s ? 2 ? 0.404? 1.717s ? 1.7172 s 2 ? 1.39s ? 2.95 开闭环增益对二阶系统性能指标的参数 1 开环增益会影响系统的性能指标 ?改变指标的原因: G( s) ? K0 s(Ts ? 1) 开环增益 K 0 ?( s) ? K B K0 KB ? T 2 1 s(Ts ? 1) ? K 0 s ? s ?1 K0 K0 KB K 0 变化→特征多项式系数变化→特征根变化→ h(t ) 变化→性能变化 开环增益变化对性能的改善是有限的,指标对 K 0 的要求 往往是矛盾的只能采取折中方案,兼顾不同的要求。 ? ?? ? ?? n ? ? ? ?? K 0 ? ?? ?? ?? ? ?? ? % ?? “稳”与“准”两项指标相矛盾 ? ? e ? ? ? ? ss 2.闭环增益 K B 不改变系统性能指标,K B 只改变 输出的比例尺度 常见改善二阶系统的响应措施 结论1: 可见,引入比例-微分控 制(即附加了开环零点 的作用),使系统的等 效阻尼比加大了,从而 抑制了振荡,使超调减 弱,可以改善系统的平 稳性。微分作用之所以 能改善动态性能,因为 它能产生一种早期控制, 能使实际超调量出现之 前,就产生一个修正作 用。 但是: 即相当于增加一个闭环零点,会带来超调 附加闭环零点的作用 闭环零点不会影响闭环极点,因而不会影响单位阶跃响应中 的各模态,但是它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数,由 此影响系统的动态性能。 结论:附加闭环零点可使系统响应速度加快,但峰值时间提前,超调量增加。 附加闭环极点的作用 j 0 j 0 j 增加极点是削弱了阻尼 结论1: 还是增加了阻尼? 结论2: 增加的极点越靠近原点 越怎样? 0 j 0 两种控制方案的比较 两种控制方案兼顾了系统的响应的快速性和平稳性 (1)微分控制作用于系统输入,速度反馈作用于系统输出,在相同 阻尼程度下,微分控制将比速度反馈控制产生更大的阶跃响应超调 量。 (2)微分作用对输入噪声有明显的放大作用,当输入端噪声严重时, 不宜选用比例-微分控制。由于输入端是低能量的误差信号,要求比 例-微分有足够大的放大作用。速度反馈不需要放大器,且具有滤波 作用;比例需要放大器,对输入噪声有明显的放大作用,当噪声严 重时,不宜选用比例-微分控制。 自动控制原理 本次课程作业 P109 3.4 3.5 M3.3 常见改善二阶系统的响应措施 K=0.216 注明:二阶系统定量结论仅适用典型二阶系统