用特殊记号
表示它,写成公式的话,长这样:
你大概觉得写这篇文章的人莫名其妙,堆砌几个八竿子打不着的概念,完全不知所云。
但是假如我说,上面这些东西都和四圆相切有关,你愿意继续阅读吗?
随后的内容会用到反演变换与笛卡尔定理,如果你对二者的概念和性质感到陌生,可以先看看此系列的前两篇文章:
进入正题前,再简单整理一下我们之前探索“四圆相切问题”时得到的重要结论:
阿波罗尼奥斯定理(Apollonius' Theorem)对于给定的三个两两相切(但不公切于一点)的圆
,恰好存在两个圆与
均相切。笛卡尔定理(Descartes' Theorem)假设四个两两相切的圆
的有向曲率分别为
,则它们满足关系:
反演变换保圆性的完整内容反演变换中的广义圆(圆与直线)保持形状不变,反形的大小和位置也可以由若干已知量简单导出。
(接上篇)
费了大力气推导完笛卡尔定理,先休息一下,看三个例子。

四、阿波罗尼奥斯垫(Apollonian Gasket)

假定我们已经有三圆相切的图案,即三个圆的曲率
已知,带入笛卡尔定理:
为了求出满足四圆相切的
,可以把上式整理一下:
它是一个关于
的一元二次方程,恰好有两个解,这与阿波罗尼奥斯定理的内容对应:有两个不同的圆能够将“三圆相切”补全为“四圆相切”。假设其中一个圆是
,那么四个圆
两两相切。
接下来从中取出三个圆,比如
。根据阿波罗尼奥斯定理,存在两个不同的圆与这三个圆相切,而其中一个我们已经知道了:
,另一个圆则是全新的,把它加入图案。
想象此过程无限执行下去:找出所有三圆相切的组合,对于每组中的三个圆来说,求出两个与它们都相切的第四个圆,并剔除我们已知的圆,把剩下的圆加入图案。最终得到的就是分形图案“阿波罗尼奥斯垫(Apollonian Gasket)”。