一、映射

映射是集合与集合之间的一种对应关系,数集到数集的映射即为函数。
定义1设
为非空集, 若存在对应法则
, 使得对每个
都有唯一确
定的
与之对应, 则称对应法则
为从
到
的映射. 记为
, 其表达形
式为
;
称为映射
的定义域,记为
;
在映射
下的像:
,称为映射
的值域, 记为
。
例如, 定积分是可积函数集到实数集的映射, 求导运算是可导函数集到函数集的映射, 线性变换就是线性空间到线性空间的映射.
关于映射的几点说明:
注意:上面的(1)表明通常所说的映射都是单值映射,即一个自变量
只能对应一个因变量
,否则对应多个因变量
,是集值映射.
定义2若
, 则
, 则称
为单射:
若
, 即
, 都存在
使得
, 则称
为满射:
既单且满的映射,称为双射:

二、逆映射

只有双射才可以定义逆映射。用映射定义来写:
定义3设
为双射, 则对每个
, 都有唯一确定的
满足
(即与之对应). 该对应法则就确定了一个映射
, 称为
为
的逆映射,其表达式为
.

三、复合映射

定义4设映射
,
, 若
, 则对每个
, 都有唯一确定的
满足
, 该对应法则就确定了一个映射
称为
与
的复合映射,其表达式为
.
注意:可构成复合映射的条件是:
.

四、函数

定义5从数集到数集的映射,称为函数。用映射定义来写:
设非空数集
,若存在对应法则
,使得对每个
都有唯一确定的
与之对应,
则称该对应法则
为
上的函数,其表达式记为
.
称为函数
的定义域,记为
;
称为函数
的值域,记为
.

五、反函数

定义6设
为双射,则它的逆映射
, 称为
的反函数。用映射定义来写:
对每个
,都存在唯一确定的
,使得
(即与之对应),该对应法则记为
,其表达式为
.
习惯上记为
注1:定义中 “设
为双射” ,改成 “ 设
为单射” 也是一样的,因为右端用
, 就隐含了该映射是满射。
注2:求反函数,一般是由
反解出
, 并求定义域,要注意中间步骤可能出现的限制条件。

六、复合函数

定义7设函数
,
, 若
, 则对每个
, 都存在唯一确定的
满足
(即与之对应),则该对应法则确定一个函数
, 其表达式为:
说明:若引入中间变量
, 则
复合函数的主要用途,就是将表达式复杂的函数拆成若干个简单函数的复合。
注:也可以引入多个中间变量;可构成复合函数的条件是,
.