以 求如下曲线在点(1.1.1)的点的切线及法平面为例,首先我们观察这个曲线的表达式,我们可以看做是两个曲面的交线,这种表达形式称为曲线的一般方程,也称为交面式曲线方程。
观察:首先观察曲面的第一个式子,它是一个球面的表达式,而第二个式子是一个空间平面的标准表达式,而点(1.1.1)是这两个平面上的点。
先分别求两平面在该点的法向量;我们可以先把曲面的标准方程转化成隐形方程,即分别转化成F(x^2-3x,y^2,z^2),G(2x,-3y,5z)的形式,那么它们各自的法向量就是图片中的形式。
那么知道了它们各自在(1.1.1)的法向量如何求曲线的方向向量呢?实际上曲面的方向向量之积就是我们所要求的切线的方向向量,既是图片所显示的运算结果。
从而求出曲线在(1.1.1)的切线方程的点向式方程。如图所示
当我们知道点向式方程之后,我们很容易就能求出法平面方程,就是图片中的形式,记得一定要化为最简形式,这种表达形式是曲面的一般方程形式。