平面向量 第 平面向量的概念及线性运算 讲 1 【复习指导】本讲的复习,一是要重 【高考会这样考】 .考查平面向量的线性运算.1 .考查平面 向量的几何意义及其共线条件.2 视基础知识,对平面向量的基本概念,加减运算等要熟练掌握,二是要 掌握好向量的线性 别. 运算,搞清这些运算法则和实数的运算法则的区 基础梳理 .向量的有关概念 1 向量:既有大小又有方向 的向量,其方向是任意 的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(1) 的.0 零向量:长度等于(2) 个单位的向量.1 单位向量:长度等于(3) 与任一向量共线.0 平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向 量,规定:(4) 相等向量:长度相等且方向相同的向量.(5) 向量的线性运算.2 相反向 运算律 ) 求两 量:长度相等且方向相反的向量.(6) 或几何意义(法则 义 定 向量运算 个向量和的运算 三角形法则 交换律: (1) 结合律:(2) 加法 . a+b=b+a b(+a=c+)b+ a( ) c+ 平行四边形法则 的相反向量 b 与 a 求 ) ab-(+a=b-a 的差 b 与 三角形法则 的和的运算叫做 b- 减法 向量的数乘运 算及其几何意义.3 ,它的长度与方向规定如下:aλ 的积是一个向量, |;|a||λ|= 这种运算叫向量的数乘,记作 a 与向量 λ 定义:实数(1) aλ|①λ 时,0=λ 的方向相反;当 a 与 aλ 时,0<λ 的方向相同;当 a 与 aλ 时,0>λ②当 0. =a 是两个实数,则 μ,λ 运算律:设(2)+aλ=a)μ +λ(;②a)λμ(=)aμ(λ①. bλ+aλ=)b+a(λ ;③aμ - 1 - 共线向量定理.4 . aλ=b,使得 λ 共线的充要条件是存在唯 一条规律 一般地,首尾顺次 一一个实数 b 与 0)≠a(a 向量 相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量 终点的向量. 两个防范向量共线的充要条件中要注意(1) 可 能不存在,也可能有无数个.λ 否则,”0≠a“证明三点共线问题, 可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系,当两向量共线且有(2) 公共点时,才能得出三点共线; 另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条 直线不重合. 双基自测→上的中点,则向量 AB 的边 ABC (等于 BC BA+BCD. BA-BCC.+ 是 △ D) 版 教 材 习 题 改 编 A 人 教 ( . 1 . ) CD1111→→→→→→→→ BA-BC.-B .- BA A 2222 .判断下列四个命题:2|a|; ③若 b=a,则|b|=|a|;②若 b=a,则 b∥a①若 .) (正确 的个数是.|b|=|a|,则 b=a;④若 b∥a,则|b|= 4 .D 3 .C 2 .B 1 .A .) (是不共线的任意三点,则 以下各式中成立的是 F,E,O.若 3→→→→→→→→→→→→= EFA. OE-OF=-EFD. OE+OF=-EFC. OE-OF=EFB. OE+OF→→→ 形)四川(2011· .4 BEB. .) (=EF+CD+BA 中,ABCDEF 如图,正六边 →→→ 0 .A CFD. ADC. ________. =λ 共线,则 b-a2 与 bλ+a 是两个不共线 平面向量的概念 考向一下列命 也共线 c 与 a 共线,则 c 与 b 共 向量,且向量 b 与 a.设 5 题中正确的是? 】1【例 .) ( 线,b 与 a.A .任意两个相等的非零向量的始点与终点是一 个平行四边形的四个顶点 B C 都是非零向量 b 与 a 不共线,则 b 与 a.向量 .有相同起点的两个非零向量不平行 D 给出下列命题: 】1【训练→→ -2- 为平行四边形的充要条件; ABCD 是四边形 DC=AB 是不共线的四点,则 D,C,B,A①若 b=a②若 ;c=a,则 c=b, 是 b=a③ ;b∥a 且|b|=|a|的充要条件 一定相等.|b|+|a|与|b+a|均为非零向量,则 平面向量的 b 与 a④若 .________其中正确命题的序号是 线性运算 考向二【例 如图,? 】2 .) (的中点,则 CA,BC, 0 =DF+CF-BDB. 0 =CF-CE+ AB 的边 ABC 分别是△ F,E,D→→→→→→ 0 =CF+BE+ADA. →→→→→→-BE-BDD. ADC. 0 =FC →→→→→DC2=BD 满足 D,若点 b=AC,c=AB 中,ABC 在△ 】2【训练 =AD,则 .) (21122512 c+bD. b c -bC. A. 应用 考向三 若(1) b-c B. c+ 33333333 共线向量定理及其 不共线.b 与 a 设两个非零向量? 】3【例→→→ 三点共线;D,B,A 求证: .)b-a3(=CD,b8+a2= 共线.bk+a 和 b+ak,使 k 试确定实数(2) BC,b+a=AB →→) 兰州模拟 (2011· 】 3 【训练三点 C , B , A ,那么 )R∈μ , λ(bμ+a=AC,b+aλ=AB 是不共线的向量,b,a 已知 (共线的充要条件是 μ-λ.B =-λμ.C 1= -3- .) 1 2 =μ+λ.A 1 =λμ.D ——有关平面向量中新定义问题解题策略 11 难点突破这类问 题的一般难度较大.从近两年课改区高考试题可以看出高考以 选择题形式考查平面向量中新定义的问题,特点是背景新颖, 信息量大,通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能 力.解答这类问题,首先需要分这是破解新定义信息然后应用 到具体的解题过程之中,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚, 析新定义的特点, 题难点的关键所在.(2012·? 】1【示例,)q, p(=b,)n,m(=