定理3(齐次线性差分方程通解结构定理)如果y1(t),y2(t),…,yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解,则方程 的通解为:yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t),其中A1,A2,…,An为n个任意(独立)常数。定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为:y(t)=yA(t)+ (t),即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t),这里A1,A2,…,An为n个任意(独立)常数。齐次差分方程的通解将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt,t=0,1,2,…。假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代,算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………方程的通解为yt =A(-a)t ,t=0,1,2,…如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为:yt =y0(-a)t。非齐次方程的通解与特解迭代法求通将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,…。逐步迭代,则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………由数学归纳法,可得yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。