5.1Pascal 公式 称为二项式系数。来自于二项式展开定理: 关于二项式系数有如下基本定义: 的系数从第m+1项的展开式开始相加.该项前的系数为0. n+1展开式中取 n+2展开式中取 定理5.1.1(pascal公式)对于满足1kn-1 的所有整数k和n,均有: 证明:设S是含有n个元素的集合。显然S的组合 。另一方面,任意从S中取出一元素x,那么,集合S 的所有k-组合均不含x,且其 数目为 ;集合S 共有个,如果把x添加进所有这样的 (k-1)-组合中,就形成了所有包含x的k-组合, 根据加法原理,于是: 本定理的证明中,实际上把集合S的众多k- 组合构成的X集合(由组合为元素)划分成了两个 部分A和B,A中是由不含x的k-组合构成, 10B中是由含x的k-组合构成,那么:X=A+B A中的k-组合是n-1个元素的集合S 那些k-组合,故:A=B中的k-组合它的每一个组合中固定了选 取x,其余再选择k-1个元素,即通过把x 添加 k=3,。于是在S中去掉元素x }的3-组合。在S中含有元素x的B的3-组合是:{ }在这些组合中去掉每个中的x就成为: 12它们刚好是{a, }的2-组合。因此二项式系数不一定只能用公式来求,在1653 年由Psscal推导出命名为“Psscal三角形”的数 组,在1261年,中国宋朝数学家杨辉推导出命 名为“杨辉三角形”;它们都能求二项式系数。 10 1015 1020 Pascal三角形图14 该三角形中的每一项,但不是最左边和斜边上 等于1的那些项,都可以通过上一行的两项 加在一起而得到:一项在自己上方,另一项在 自己上方的左边。利用这个三角形可以轻松地 求出二项式系数。 1010 1520 15 图2.8.1杨辉三角 16 杨辉三角中有如下特征: 左、右两边线上的数字都是1;关于中高 线对称;不在左、右边界上的任一数,都是 其两肩上方二数之和;每条横线上的数从左至 右,与图中高线相交之前是递增的,在这之后 是递减的;除顶点外的每个数恰为由顶点下滑 到该数的全部不同的路径数。 每条横线上最大的数是: 17通过Pascal三角形和杨辉三角形我们可以验证 对称式: 和式: 185.2 二项式定理 二项式系数的名字来自在二项式定理中的使 用。该定理最初的少数情形就是我们熟悉的一 些代数式。 例如 19由以上几个代数式可以看出二项式(x+y) 展开后有下列特征: 展开后共有n+1 3)元素x由n到0按降幂排列而元素y是由0到n按升幂排列; 4)每个单项式的系数等于对应的二项式系数。 20 定理5.2.1 设n是一个正整数,则对于任何x,y 用和式写出,即由前面的结论,我们可以得到如下等价形式: 21由对称式得: 交换x与y的位置得: 下面我们先用排列和组合原理来推导二项式 定理: 我们从第一个因子(a+b)中选择a或b,从第 二个因子(a+b) 中选择a或b,从第三个因子 中选择a或b,然后将选择的a或b乘起来,然后将所有这样的乘积加起来,就得到了展 开式。 如果我们从所有的因子中都选择a并且相乘,就 得到aaa项,如果从第一因子中选择a,第二 23 因子中选择b,第三因子中选择a并且相乘就得 到aba项。 在二项式定理展开式中,项式a n-k 可由从k个因式中选择b,从其他n-k个因式中选a而得到。 但是这有 种方法,因为 选k项的方法数。因此an-k 从而有:这个结果就是二项式定理.下面再用归纳证明; 24证明:用归纳法证 如果n=1 公式变成: 显然成立。现在假设对于正整数n公式成立, 证明对于n+1时公式成立; 这就是用n+1代替n后的二项式定理,由归纳法该定理成立。 27 公式应用时,常常出现y 1的情况,因此我们把它作为一个特殊的公式记述如下: 定理5.2.2令n为一正整数。则对所有的x,有: 当n=2,3,4时就是代数中经常用到的平方、立方 公式。可以用杨辉三角形得到系数。 285.3 一些恒等式 下面考虑与二项式系数相关的一些恒等式: 证明: 中的x=1,y=-1代入:30 证明:将上式中的(-1) 左边32 证明:由恒等式2),对2)式中的n用n-1替换,再对等式两端乘以n得: 左边33 证明:对等式 求导得: 对其两边再求导得:34 35该等式说明,杨辉三角形第n行上的系数的 平方和是 证明:设S是2n个元素的集合, 正好是S集合 的n-组合的组合数,将S化分成两个子集A,B 每个子集都有n个元素。再用对集合S的划分来划分S的每个n-组合,假设每个n-组合中的n个36元素是分别来自A中的k个和B中的n-k,这里 ,共n+1个部分,由加法原理: 其中每个C 是从每个n-组合通过集合A中选择k个元素和B中选择n-k个元素,分别有 38本次课我们介绍了二项式定理和一些 恒等式,要求能够利用二项式定理证明 相关的结论。 掌握恒等式证明的方法。 39 作业如下:P 97 6,7, 16, 19 在(3x-2y)18 的展开式中,x 13的系数是什么? 用二项式定理证明对任意实数推广求和 4016. 通过积分二项式的表达式,证明对正整数n有19. 通过观察 并使用恒等式(5-14),求级数1 41下次上课内容:5.4-5.7 二项式定理的单峰性、 牛顿二项式定理、多项式定理