一个图G由顶点和边构成,通常将顶点的集合记为V,边的集合记为E。边由其连接的起点和终点表示。下面是一个典型的图
图的边可以是有方向的,也可以是没有方向的,前者称为有向图,后者称为无向图。邻接矩阵是图的矩阵表示,借助它可以方便地存储图的结构,用线性代数的方法研究图的问题。如果一个图有n个顶点,其邻接矩阵W为n×n的矩阵,矩阵元素
表示边(i,j)的权重。如果两个顶点之间没有边连接,则在邻接矩阵中对应的元素为0。对与上面的图,它的邻接矩阵为
无向图的邻接矩阵为对称矩阵。
对于无向图,顶点的加权度是与该顶点相关的所有边的权重之和。如果无向图的邻接矩阵为W,则顶点i的加权度为邻接矩阵第i行元素之和
加权度矩阵D是一个对角矩阵,其主对角线元素为每个顶点的加权度,其他位置的元素为0
对于上面的无向图,它的加权度矩阵为
拉普拉斯矩阵
在前面二元函数的例子中,一个点只与上下左右4个采样点相邻。图的顶点的连接关系可以是任意的,下面将拉普拉斯算子推广到图。如果将图的顶点处的值看作是函数值,则在顶点i处的拉普拉斯算子为
其中
是顶点i的所有邻居顶点的集合。这里我们调换了
和
的位置,和之前的拉普拉斯算子相比,相当于多了一个负号。