两平行平面间距离公式的几种推导方法(图文) 论文导读:运用向量方法推导两平行平面间的距离公式,不仅能够加深学生对向 量、射影、两向量的数量积等概念的理解与把握,还能使学生对射影和两向量的 数量积之间的关系有更加深刻的认识,同时也可以提高学生运用已学知识的能 力。运用此方法推导两平行平面间的距离公式,不仅可以加深学生对平面划分空 间问题的理解,使学生能够通过离差的符号来判断给定点和平面的位置关系,还 能使学生更好的掌握平面的法式方程,对法式方程的特点有更加深刻的认识,同 时也可以巩固分类讨论的思想方法。 距离问题是空间解析几何中重要的研究对象之一,也是一个难点。文[1]详细介绍了两点间的距离公式、点到平面的距离公式、点到直线的距离公式、两异 面直线间的距离公式。本文主要讨论两平行平面间距离公式的几种推导方法,加 深对距离问题的认识,有助于培养发散性思维能力,也体现了一题多解的思想。 已知两平行平面和,设它们之间的距离为,下面通过不同的方法推导出的表达式。 两平行平面和间的距离为两平面上点间距离的最小值。根据平面和的方程,它们的一个法向量可设为。在平面和上分别任取一点和,设向量与向量的夹角为, 则两平行平面和间的距离,其中为与同方向的单位向量。 由于点和分别在平面和上,故有和,即:,。由此可得两平行平面和间距离的表达式如下: 运用向量方法推导两平行平面间的距离公式,不仅能够加深学生对向量、射影、两向量的数量积等概念的理解与把握,还能使学生对射影和两向量的数量 积之间的关系有更加深刻的认识,同时也可以提高学生运用已学知识的能力。 坐标原点与两平行平面和间的位置关系有如下五中情况(这里假定平面在平面的上方,另外的情况可类似讨论):坐标原点在两平行平面和的上方;在平 面上;在平面和之间;在平面上;在平面和的下方。 因为在平面的法式方程中可以直接得到坐标原点到该平面的距离,所以先把平面和的方程化为法式方程。法式化因子为,要满足条件,,根据和的符号来 决定的符号。设平面和的法式化因子分别为和,则。 在平面和方程的两端分别同时乘以相应的法式化因子,可得平面和的法式化方程,即,。由此可得坐标原点到两平行平面和的距离分别为:,。 如何判定坐标原点与两平行平面和间的位置关系呢?首先求出与平面和间的离差和,然后根据离差和的符号来判定具体的位置关系。 运用此方法推导两平行平面间的距离公式,不仅可以加深学生对平面划分空间问题的理解,使学生能够通过离差的符号来判断给定点和平面的位置关系, 还能使学生更好的掌握平面的法式方程,对法式方程的特点有更加深刻的认识, 同时也可以巩固分类讨论的思想方法。 两平行平面和间的距离等于平面上任意一点到平面的距离,可根据点到平面的距离公式来求两平行平面间的距离。设点的坐标为,因为点在平面上,故有, 该推导方法把求两平行平面间的距离问题转化为求点到平面的距离问题。运用此方法来推导两平行平面间的距离公式,不仅能够使学生更好的掌握点到平 面的距离公式,而且还能增强前后知识的连贯性。 在平面上任取一点,过点作平面的垂线,设垂足为,于是两平行平面和之间的距离。因为,而平面的一个法向量为,故,于是有:,即。 因为点在平面上,所以有,即有下式成立:,所以。因为点在平面上,所以,从而。 该推导方法是把求两平行平面间的距离问题转化为求两点间的距离问题,这是一种化归的思想方法,能够使学生更好的掌握化归的思想方法。论文发表。 文章用四种不同的方法推导出了两平行平面间距离的计算公式。掌握这些推导方法,可以加深学生对所学知识的理解,能够培养学生灵活运用所学知识解 决问题的能力,有利于提高学生的创造性、发散性思维能力,对学习和掌握解析 几何研究问题的方法有很大帮助。