【证法3】(赵爽证明)以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜 边作四个全等的直角三角形,则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o,∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o, 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。
【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形, 12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2x1/2ab+1/2c²∴ a²+b²=c²。
【证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED,∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c,∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o,∠BCP = 90o, BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则a²+b²=S+2x1/2ab,c²=S+2x1/2ab∴a²+b²=c².
证法6】(项明达证明)做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o,QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90o, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90o, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o, ∴ ∠QBM = ∠ABC,又∵ ∠BMP = 90o,∠BCA = 90o,BQ = BA = c,∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).