。 ● ● 解题技巧与方法 垒阃 俪倦咿挑稀糯 榔 瀛 ◎谭泽仁 (湖南师大附中,湖南 长沙 410081) 【摘要】高考数学中,立体几何是培养学生的空间想象 力的主要素材,也是学生学习的难点,因此在实际教学 中, 寻求有效的培养学生空间想象力的方法和途径,是摆在一 线教师面前一个很现实的问题.本文将对空间几何体中几 种常见的补形法予以全面分析,帮助学生树立空间模 型与 思想,巧妙破解空间几何体 中的难题. 【关键词】高中数学;立体几何;补形法 补形法是数学中一种常用的独特方法 ,通过补形能够 发现未知几何体与已知几何体 的内在联系.这种方法蕴含 了一种构造思想,同时也反映了对立统一的辩证思想. 利用补形法解决立体几何问题的基本步骤是: 第一步 :把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟 悉的或简单的几何体,把不完整的图形补成完整的图形 ; 第二步:运用常见几何体的知识等计算结果; 第三步:得出结论. 在高考中,补形法既可以在选择填空题中体现,也可以 在解答题中体现,常见的补形法有对称补形、联系补形和还 原补形,还原补形主要涉及台体中“还台为锥”.下面结合实 例进行剖析 : 方法一 对称补形 例 1 (2015-唐 山模拟)如图1所示,△ABC中,AB= 8,BC=10,AC=6,DB上平面ABC,且 AE∥FC ∥BD,BD=3, FC=4,AE:5.则此几何体的体积为一 E E 一,,,一, 、、、 图 1 图 2 【常规解法 】如图 2所示 ,取 CM =AN=BD,连接 DM, MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一 个 四棱锥 所 以 何体= 棱柱+ 棱椎. 由题知三棱柱 ABC—NDM的体积为 =÷×8×6 x3=72. 四棱锥 D—MNEF的体积为 =÷×. s梯形 ‘DⅣ=_专-×寺(1+2)x6×8=24, 则几何体的体积为 V=Vi 4- =72+24=96. 【补形法】用“补形法”把原几何 体补成一个直三棱柱 ,使 AA =BB = CC =8,所以 何体=÷ 棱柱=÷× s△^船 ·AA =丁1×24×8=96. 【小结】比较上述两种方法,补形 图3 法显然比分割法要简洁得多,计算量也很小,但要抓住图形 的对称性,巧妙的补成熟悉的几何体,并找到原几何体与补 形后的几何体的关系,实现化繁为简的奇效. 【变式训练 1】如图4所示,在等腰梯形 ABCD中,AB= 2DC=2, DAB=60。,E为 AB的中点,将 △ADE与 △BCE 分别沿 ED,EC向上折起 ,使 A,曰重合,则形成的三棱锥的 外接球的表面积为 D C C ● · · ● 图 4 图 5 【思路】由已知条件知,平 面图形 中 AE=EB:BC= CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体 ,如图 5 所示.作 AFt平面 DEC,垂足为 ,,F即为△DEC的中心.再 利用三角形相似求出外接球半径 ,继而求出球的表面积.但 是,如果考虑到正四面体 的对称性 ,把它放在正方体中,就 可以使问题变得更简洁. 【解析 】由已知条件 知,平 面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折 叠后得到一个正四面体.把正四面体放在 正方体中,如图 6所示.显然,正 四面体的 外接球就是正方体 的外接球.因为正四面 体的棱长为 1,所以正方体的棱长为 所 图6 以外接球直径 2R= ,所以 R= ,所以外接球的表面积 s球=挚. 方法二 联 系补 形 例2 已知三棱锥 P—ABC,PA=BC=5,朋 :AC= 4,PC:AB= l,求三棱锥的体积. 【思路】如按常规求法 ,需求三棱锥的底面积和高,而高 很难求出.由已知三组相对棱相等这一特点,联想长方体对 面不平行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥,因此可把 三棱锥 P—ABC补成长方体 ,再将长方体分割成三棱锥 P— ABC和四个相同体积的三棱锥. 图 7 图 8 【解析】分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角 线 ,将原三棱锥补成一个长方体 ,如 图 8所示,则 圳 = 方体 一4 一 ^BP,. 设长方体长宽高分别为 o,b,c,则有: r +b =25, fa:3, {0 +c 34, {b=4, 【b +c =41 【c=5 一 伽 =3×4×5—4×÷ ×3 x4×5=20, 所以三棱锥 P—ABC的体积为 20(立方单位). 【小结】对对边相等的三棱锥问题 ,可 以考虑补成长方 体来处理,会使问题会简洁许多. 【变式训练2】过正方形 ABCD的顶点 A作 上面 AC, 设 PA=AB,求平面 PAB和面 PCD所成二面角的大小. 故学学习与研究 2018.11 (下转 131页 ) E 罅 ● 的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十 位与个位上的数字得到 132,这三个新三位数的和为 213+ 321+132=666,666÷111=6,所 以 F(123)=6. (1)计算 F(243),F(617); (2)若 s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+Y (1≤ ≤9,1≤Y≤9, ,Y都是正整数),规定:k= ,当 F(5)+F(t)=18时,求 k的最大值. 解 (1)F(243)=(423+342+234)÷111=9; F(617)=(617+176+671)÷111=14. (2)‘.’s,t都是“相异数”,s:100x+32,t=150+Y, .’.F(s)=(302+10x+230+ +100x+23)÷111= + 5,F(t)=(5' 10+Y+100y+51+105+10y)÷111=Y+6. .‘,(t)+F(s)=18, .’. +5+Y+6 = +Y+11=18. .。. +Y=7. ‘. 1≤ ≤9,1≤),≤9,且 ,Y都是正整数, .·.{ :或( ;:或{ ;:或{ ;:或{ i: 或 .’ ‘.‘ 是 “相异数”,.’. ≠2, ≠3. ‘. ‘t是“相异数 ”,.’.y≠1,y#5. .·. 或 或 解题 技巧 与方法 , ~f F(s 或 ?’ = =扣 = = 或 = -_’ 5 后的最大值为}. ● 。 . ._.-I, I . ● 综上所述,新定义题型在中考试题 中以选择题 、填空 题、解答题的形式出现 ,试题涉及对纯代数或纯几何知识点 或代数和几何相结合的综合题型的考查 ,有种乱花渐欲迷 人眼的感觉,但也有其解答策略.一般是运用新定义的法则 转化成常规方法解答的题型即可.新定义型试题考查 了学 生的阅读能力 、迁移能力和创新能力,旨在培养学生自主学 习、主动探究的学习方式 ,又给学生创造了一个探索创新的 机会,是中考数学试题的一个亮点;新定义型试题鼓励重视 数学应用的教与学 ,用相关的知识灵活解决问题.在解决这 一问题的时候,阅读理解能力成为打开问题第一道大门的 “金钥匙”,所以平时对学生数学阅读能力的培养必须重视 起来.新定义题型立足于课标 ,不拘泥于课标,新颖而迷人 眼的问题情境要求教师培养学生透过现象看问题本质的方 法 ;要求教师在完成教学任务同时注重学生创新思维能力 的培养,也为教师 日常教学工作指明了新的导向.千变万化 的题型,迥异的解答策略,是数学魅力所在 ,更是命题人的 创新精神所在.也是我们教育工作者必备的精神品质. (上接 129页) 【解析】此图可补形为正方体 ABCD一 s PQRS,显然所求二面角即为正方体的对角面 Q l PQcD与侧面PQBA所成的角,而此角为45。, I川A、、。