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矩阵常用来使得坐标系或者矢量的计算书写更加方便,看上去更加直观。
想象一下,我们用矩阵立体地表示坐标,远远比平面的,一行行奇长的书写要好看。而且矩阵的书写也恰当地包含了线性计算,比如[a b c][x y z]T就优雅的表示了[ax by cz]T,这不就是矢量的点乘吗?
矩阵的运算包括1)乘法,2)倒置,3)逆矩阵。
1)乘法
设矩阵AB,只有A的列数与B的行数相当的情况下,A才可乘以B。且得到的新的矩阵行数为A的行数,列数为B的列数。
2)倒置
倒置记为AT,【T为右上标】即矩阵本身的行列互换。
3)逆矩阵
逆矩阵A^(-1),A^(-1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵。有关伴随矩阵自行补习。
=================================分割线,以下篇幅介绍坐标变换======================================
设坐标系O-X1Y1Z1,绕O-Z1旋转θ角度之后,得到坐标系O-X2Y2Z2。设坐标系O-X1Y1Z1上有一点F坐标为[x1,y1,z1],此点在坐标系O-X2Y2Z2上的坐标[x2,y2,z2].
写成矩阵形式[x2;y2;z2]=[cosθ,sinθ,0;-sinθ,cosθ,0;0,0,1][x1,y1,z1]。由于不方便书写,这里忽略推导过程。
这里用C(1->2)表示[cosθ,sinθ,0;-sinθ,cosθ,0;0,0,1],即C(1->2)为坐标系1到坐标系2的,按照O-Z1为轴旋转θ角度的变换矩阵。
这里注意是C(1->2)左乘[x1,y1,z1]。
同理按照O-X1和O-Y1为轴旋转θ角度的变换矩阵分别为[1,0,0;0,cosθ,sinθ;0,-sinθ,cosθ],和[cosθ,0,-sinθ;0,1,0;sinθ,0,cosθ]。
任意的旋转都可以视为分别绕XYZ三轴独立旋转得到,假设绕XYZ三轴独立旋转的变换矩阵分别为Cx(1->2)、Cy(1->2)、Cz(1->2)。
若依次按照X-Y-Z的次序旋转,则总的变换矩阵为C(1->2)=Cz(1->2)Cy(1->2)Cx(1->2);【次序由右向左写】。
又由于三轴坐标系中的变换矩阵一定为正交矩阵,所以C(2->1)=C(1->2)^(-1)=C(1->2)^(T);
这是因为:
1.直角三轴坐标系中的变换矩阵一定为正交矩阵。
2.正交矩阵与其置换矩阵必然互为逆。
3.正向变换矩阵与逆向变换矩阵的乘积必为ln,即正变一次,逆变一次即还原。即C(1->2)C(2->1)=ln,即C(2->1)=C(1->2)^(-1);
4.结合第二点,C(1->2)^(-1)=C(1->2)^(T)
补充关于求逆的过程
如果AB=C;那么两边同时直乘B^(-1),可得AB(B^(-1))=CB^(-1),
左边AB(B^(-1))=A(BB^(-1))=A,右边即CB^(-1)。