-圆的面积公式是如何推导出来的?
许多答案都提到了,比如laszloSun的答案
我小学时王老师就是这样教的,但当时还是有疑惑,为啥那个花边就能当成直线呢?
https://en.wikipedia.org/wiki/Area_of_a_circle#Using_polygons
用微积分、三角函数也能证,但有两个问题,一是不直观不适合理解,二是三角函数本来就是圆定义的有循环证明的嫌疑,微积分的基础也很少有人触及只是把结论拿来用。。。总之这样证我觉得不够根本
所以这里尝试说得更基础更直观一些,尽量解除疑惑(不指望你能看完,只是告诉你这件事是可以说清楚的):
思路还是,把一圆分成n个扇形,然后插成一个近似于长方形的东西
1. 这个长方形的宽是r,长是圆的半周长
所以面积是
长方形面积公式,这个实是面积的定义
2.
的定义是圆的半周长和半径r之比
这是个定义不需要证明
3. 当切的份数很多时,插成的形状的面积趋近于那个长方形的面积
这里趋近的意思是,给定任意一个正数
,存在一个正整数N使得对所有切的份数n>N,都有:面积的差值小于
实是极限的定义,小学虽然碰到了但大概不会说出来以防止零乱
为此,要考虑两个正n边形,一个是那个圆的内接正多边形,另一个是外切正多边形,把这两个正多边形分别像刚开始那样插成两个长方形
4. 一开始那个近似长方形的东西的面积介于这两个长方形之间
这个符合直觉吧?还用展开证明吗?
5. 这两个长方形的面积当n很大时趋近于同一个值
4和5合起来就是所谓的`夹逼原理`,就是用两条直线去夹那一个花边,需要证明的是
6. 当n足够大时,直线所夹的那个区域的面积趋于0
https://en.wikipedia.org/wiki/Area_of_a_circle#Using_polygons
比如
是那n个扇形之一
是内接正n边形的一个角,
是外切正n边形的一个角,那个大一点的长方形和小一点的长方形的面积的差值~
,那
是趋于
的,一个有限的值
而CP的长度是
这个涉及三角函数,但是我们只是用它来表示一下,想说明的是
7. 当n很大时,CP的长度趋于0