相关公式
①等差数列的\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\)
②等比数列的\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1,q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q},q\neq 1}\end{array}\right.\)
③\(1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}\);
④\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=\cfrac{[1+(2n-1)]\cdot n}{2}=n^2\),注意求和项数为\(n\)项;
⑤\(2+4+6+\cdots +2n=\cfrac{(2+2n)\cdot n}{2}=n^2\),注意求和项数为\(n\)项;
⑥\(1^2+2^2+3^2+\cdots+ n^2=\cfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\);
⑦\(1^3+2^3+3^3+\cdots+ n^3=[\cfrac{n(n+1)}{2}]^2\);
⑧由\(a_{n+2}-a_n=2\)可知,数列中奇数项成等差,公差为\(2\);偶数项成等差,公差为\(2\);
⑨由\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)可知,数列中奇数项成等比,公比为\(2\);偶数项成等比,公比为\(2\);
廓清认知
求和第一步: 欲求和,先认清数列的通项公式,以\(a_n\)为“抓手”。
如数列\(1\),\(\cfrac{1}{1+2}\),\(\cfrac{1}{1+2+3}\),\(\cdots\),\(\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)求和时,
必须首先认识到通项公式:\(a_n=\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\),
求和第二步:认清结构,合理选择恰当的方法,
法1、公式求和法;适用范围:等差类型或等比类型或者能知道求和公式的类型;
法2、分组求和法;适用范围:把数列中的每一项分成两项或者几项,然后有效分组转化为等差求和或等比求和类型或能知道求和公式的类型;
法3、并项求和法;适用范围:数列中常含有