关于有理数系的严格理论,可用如下方法建立。在Z×(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系:设 p1,p2 Z,q1,q2 Z - {0},如果p1q2=p2q1。则称(p1,q2)~(p2,q1)。Z×(Z -{0})关于这个等价关系的等价类,称为有理数。(p,q)所在的有理数,记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于,即(p,1)所在的等价类,就把整数集嵌入到有理数的集中。因此,有理数系可说是由整数系扩大后的数系。 　　有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。有理数边界根据定义,无限循环小数和有限小数(整数可认为是小数点后是0的小数),统称为有理数,无限不循环小数是无理数。 　　但人类不可能写出一个位数最多的有理数,对全地球人类,或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数,对每个地球人来说,可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界,竟然紧靠无理数,任何两个十分接近的无理数中间,都可以加入无穷多的有理数,反之也成立。 　　竟然没有人知道有理数的边界,或者说有理数的边界是无限接近无理数的。定理:位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的,尽管它的定义是有有限位,但它是无限趋近于无理数的,以致于没有手段进行判断。 　证明:假设位数最多的非无限循环有理数被写出,我们在这个数的最后再加一位,这个数还是有限位有理数,但位数比已写出有理数多一位,证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明:由:0a=0,0b=0,得出0a=0b。两边除以零,得出0a/0=0b/0。化简,得:a=b。以上谬论一个假设,就是某数除以0是容许的,并且。x若某数学系统遵从域的公理,则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作,即值是方程中x的解(若有的话)。若设。因此,方程没有解(当时),但是任何数值也可解此方程(当时)。在各自情况下均没有独一无二的数值,所以未能下定义。整数,是序列{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}中所有的数的统称,包括负整数、零(0)与正整数。