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预备知识电势 电势能
单个导体的电容量
一个导体的电容等于电荷量除以电势
例1导体球的电容
若规定无穷远处为零势点, 由高斯定理, 半径为
, 带电为
的导体球的电势为
, 所以其电容为
两导体之间的电容量
若两导体带等量异种电荷1
, 电势差为
, 则两导体间的电容量同样被定义为
现在来证明两导体间的电容只与他们的形状, 相对位置以及空间中的电介质分布有关, 而与电荷量无关. 这就要求证明电势差始终与电荷
成正比, 如果我们假设量导体表面的电荷面密度
始终与
成正比(证明见, 那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与
成正比. 而电势差
(式中的 “
” 分别代表带电荷量为
的导体表面上的一点, 积分路径任意选取)和场强成正比也就是和
成正比. 证毕.
例2平行板电容器
电容器中最常见也是最基本的模型就是平行板电容器, 我们假设空间中存在均匀的电介质, 介电常数为
空间中两块面积为
的方形导体板相距为
平行放置, 带电量分别是
, 如果忽略边缘效应(即假设只有两板之间的长方体空间中存在匀强电场), 由高斯定理,两板之间的电场为
, 电势差为
, 所以电容等于
可见在相同介质中, 平行板电容器的电容量与板的面积成正比, 与距离成反比, 比例系数为
. 这就是为什么
也被称为电容率. 当不存在电介质时,
, 所以
被称为真空中的电容率.
例3同心球壳电容器
若有两个半径分别为
和
的同心球壳导体 (
), 电荷量分别为
和
, 求两球壳间的电容量.
由高斯定理两球壳间的电场只与小球壳的电荷量有关, 所以两球壳的电势差为
所以电容量为
当
时, 球壳的面积为
, 两板间距为
, 则上式的电容趋于平行板电容器的电容.
对比式 6 和式 1 可以发现两个足够近的导体获得的电容量要比单个导体大得多, 这也是为什么电路中的电容都有两个极.
电压与电流的关系
若电容器两端的电压随时间变化为
, 那么如何计算流过电容器的电流2呢? 如果我们定义从
极流入从
极流出的电流方向为正方向, 那么
, 对
两边求时间导数得
习题1
试证明在交流电路中, 流经电容的电流的相位比电压的相位提前
.
电容器的能量
为了改变电容器的电荷量
, 我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体, 为了不影响电荷及电场的分布, 从
开始, 我们每次只从
移动极少量的电荷
到
,移动的过程中外力需要克服电场力做功
, 而
又是
的函数, 第
次移动前, 电荷量为
, 由定积分 的思想
可见电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比. 注意电容器的能量本质上是导体表面上连续电荷分布的电势能, 所以另一种计算上式的方法就是直接使用式 18 得
1. 这里的
不一定要求大于零,
号只是一个用于区分两个导体的记号而已, 不代表电荷的正负.
2. 我们在讨论电路的时候习惯性地说电流 “流过电容器”, 而事实上并没有电荷在电容器内部从一极移动到另一极.
编辑于 05-29
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