1、作一个角等于已知角 A D E C B A’ D’ B’ C’ E’ 1、作射线A’B’ 2、以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AB,AC于D、E 3、以点A’为圆心,以AD长为半径作弧交A’B’于D’ 4、以点D’为圆心,以DE长为半径作弧,交前弧于E’ 5、作射线A’C’,∠C’A’B’就是所作的角 A B C D 已知:AB=CD,AD=CB, 求证:AB∥CD ,AD∥CB 1.3 探索三角形全等的条件(7 7 ) 八年级( ( 上册) ) 初中数学 一、情境创设 工人师傅常常利用角尺平分一个角.如图,在 ∠ AOB 的两边 OA 、 OB 上分别任取 OC = OD ,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点 C C 、 D D 重合,这时过角尺顶点 M M 的射线 OM 就是 ∠ AOB 的平分线. 二、探索活动1 1 1 .说 说 请按序说出木工师傅的 “操作”过程. 取:OC=OD 移:CM=DM 画射线OM 以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交射线OA、OB于点C、D. 分别以点C、D为圆心,大于 CD的长为半径作弧,两弧在 ∠AOB的内部交于点M. 1 2 作射线OM C D M ∴ 射线OM 就是所求作的图形. 2 2 . 作与写 用直尺和圆规在图中按序将木工师傅的“操作”过程作出来,并写出作法. 3 3 .证 证 请对你的作法进行证明. 证明: 在△MOC 和△MOD 中, ∴△ △MOC≌ ≌△ △MOD (SSS ), ∴∠COM= =∠ ∠DOM , 即 即OM 平分∠ ∠AOB . 4 4 .用 用 用直尺和圆规完成以下作图: (1 1 ) 在 图(1 1 ) 中 把∠ ∠MON 四等分. (2 2 ) 在图(2 2 ) 中 作出平角∠ ∠AOB的 的平分线. O B A图(2) N OM图(1) 结论: 过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线. OC =OD , OM =OM , CM =DM , C D M 1.3 探索三角形全等的条件(7 7 ) 三、探索活动2 1 1 . 观察思考 在作角平分线图的基础上,作过C 、D的 的直线l (如图),观察图中射线 线OM 与直线l 的位置关系,并说明理由. MDCBOAl 2 2 . 问 题变式 你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗(如图,经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线PQ )? B AP3 3 . 比较 直线l 直线AB 点O PQ⊥直线AB 点P OM⊥直线l 分析:作图的关键是在直线AB上确定C、D两点,使得PC=PD;确定点Q,使得CQ=DQ. 如图: PC=PD , QC=QD , PQ 、 CD 相交于点E E ,求证: PQ⊥CD P C D Q E 1.3 探索三角形全等的条件(7 7 ) 4 4 . 作法. 步骤3 3 作直线PQ . 步骤1 1 以点P 为圆心,适当的长为半径作弧,使它与直线AB交于C 、D . C D Q · P ∴ 直线PQ 就是经过直线AB 外一点P 的AB 的垂线. A B 5 5 . 归纳总结. . 经过一点可用直尺和圆规作一条直线与已知直线垂直. 步骤2 2 分别以点C 、D 为圆心,大于 CD 的长为半径作弧,两弧交于点Q . 2 1 用直尺和圆规作一个直角三角形,使它的两条直角边分别等于 a a 、 b b . ba 1.3 探索三角形全等的条件(7 7 ) 五、拓展延伸 如图,已知A 、B 是l 上的两点,P是 是l 外的一点. (1 1 )按照下面画法作图(保留作图痕迹): ①以A 为圆心,AP 为半径画弧; ②以B 为圆心,BP 为半径画弧; ③设两弧交于点Q (Q 与P 分别在l的两旁); ④连结PQ. (2 2 )求证:PQ ⊥l. lPA B 1.3 探索三角形全等的条件(7 7 ) 六、课堂小结 作已知角的角平分线 过直线上的一点作已知直线的垂线 过直线外的一点作已知直线的垂线 特例 变式 过平面上一点作已知直线的垂线 作图依据 : :SSS 1 1 .已知: ∠ AOB (如图) 求作:(1 1 ) ∠ AOB 的平分线 OC ; (2 2 )作射线 OD ⊥ OC (两种作法); (3 3 )在 OC 上取一点 P P ,作出点 P P 到∠ AOB 两边的垂线段,并比较这两条垂线段的大小关系(要求保留作图痕迹,不写作法和证明过程) . . AO B