题目
叙述并证明直线与平面垂直的判定定理.高中数学
直线与平面垂直的判定
解析
根据定理画出图形,只需把直线表示出向量,利用向量的数量积为0即可证明垂直.
解答
解:定理叙述:若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线,则该直线与此平面垂直.如图,已知:直线b⊆π,c⊆π,b∩c=A,a⊥b,a⊥c,求证:a⊥平面π.证明:设p是平面π内任意一条直线,则只需证a⊥p,设直线a,b,c,p的方向向量分别是⃗a,⃗b,⃗c,⃗p,只需证⃗a⊥⃗p,
∵b∩c=A,∴b与c不共线,直线b,c,p在同一平面π内,根据平面向量基本定理存在实数λ,μ使得⃗p=λ⃗b+μ⃗c,则⃗a•⃗p=λ(⃗a∙⃗b)+μ(⃗a∙⃗c),∵a⊥b,a⊥c,∴⃗a∙⃗b=0,⃗a∙⃗c=0,∴⃗a∙⃗p=0,即a⊥p,所以直线a垂直于平面π.