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以下是在向量中的运算,即类似
,而不是矩阵中的运算!

内积(inner product, scalar product,dot product)

根据翻译,内积又叫标量积、点积,还叫数量积。是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
两个向量
和
的点积定义为:
使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1矩阵,点积还可以写为:
其中,
指示矩阵a的转置。注:有的同学觉得是
,其实都没有错,到底是a的转置矩阵乘b,还是a乘b的转置取决于向量的矩阵表示方法,即一个n维向量,是用n*1的矩阵表示还是用1*n的矩阵表示。一般情况下,线性代数中,向量(vector)用列(column)而不是行(row)来表示,即N*1的矩阵表示一个N维向量。所以用a的转置矩阵乘b。疑问主要是因为对“向量”和“矩阵表示”没有区分。前面的两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]并不代表他是1*n的矩阵表示。
点积有两种定义方式:代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系,向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出,也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。
代数定义
设二维空间内有两个向量
和
,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:
几何定义
设二维空间内有两个向量
和
,
和
表示向量a和b的大小,它们的夹角为
,则内积定义为以下实数:
该定义只对二维和三维空间有效。这个运算可以简单地理解为:在点积运算中,第一个向量投影到第二个向量上(这里,向量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的),然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值。