杨辉三角的规律以及定理 1 二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即 二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b) 的展开式来探讨。 由上式得出: 3 2 (a+b)2=a2+2ab+b2 此代数式的系数为: 1 2 1 3 则(a+b) 的展开式是什么呢?答案为: a +3a2b+3ab2+b3 4 由此可发现, 此代数式的系数为: 1 3 3 1 但 似乎没有什么规律,所以让我们再来看看(a+b) 的展开式。 展开式为:a 1 4 6 4 4 +4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1 由此又可发现,代数式的系数为: 1 似乎发现了一些规律,就可以发现以下呈三角形的数列: (11 ) (11 ) (11 ) (11 ) (11 ) (11 ) 1 (11 ) 6 5 4 3 2 1 0 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 杨辉三角形的系数分别为: 1, (1,1) , (1,2,1) , (1,3,3,1) , (1,4,6,4,1) (1,5,10,10,5,1) , (1,6,15,20,15,6,1) , (1,7,21,35,35,21,7,1)所以:(a+b) =a +7a b+21a b +35a b +35a b +21a b +7ab +b 。 由上式可以看出,(a+b) 等于 a 的次数依次下降 n、n-1、n-2…n-n,b 的次数依次上升,0、1、2…n 次方。系数是 杨辉三角里的系数。 n 7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 2 杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下: 1 1 1 1 1 1 1 …… 相加得到的数是 1,2,4,8,16,32,64,…刚好是 2 的0,1,2,3,4,5,6,…n 次幂,即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的n-1 次幂 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1 5 1 1 ( 1 ) ( 1+1=2 ) (1+2+1=4 ) (1+3+3+1=8 ) (1+4+6+4+1=16 ) (1+5+10+10+5+1=32 ) (1+6+15+20+15+6+1=64 ) 5 10 10 6 15 20 15 6 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 (2) (3) 1 (4) 1 (5) 1 (6) 5 1 6 1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 5 10 10 6 15 20 15 把斜行(1)中第 7 行之前的数字相加得 1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第 7 行之前的数字相加得 1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第 7 行之前的数字相加得 1+3+6+10=20 把斜行(4)中第 7 行之前的数字相加得 1+4+10=15 把斜行(5)中第 7 行之前的数字相加得 1+5=6 把斜行(6)中第 7 行之前的数字相加得 1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第 7 行中的数字对比,我们发现它们是完全相同的。 1 1 1 1 1 1 1 6 5 15 4 3 6 10 10 2 3 4 1 1 1 1 5 1 1 20 15 6 由上面可得:杨辉三角中 n 行中的第 i 个数是 i-1 中前 n-1 个数之和,即第 n 行的数分别为 1、(1)中第 n 行 之前的数字之和、(2)中第 n 行之前的数字之和、(3)中第 n 行之前的数字之和、(4)中第 n 行之前的数字之和、…、 (n-3)中第 n 行之前的数字之和、1。 总结杨辉三角对于我们好理解的规律,如下六点: 1、 每个数等于它上方两数之和。 2、 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。 3、 第n行的数字有 n+1 项。 (n-1) 4、第n行数字和为 2 。 (2 的(n-1)次方) n 5 (a+b) 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[1] 6、 第n行的第 m 个数和第 n-m 个数相等,即C(n,m)=C(n,n-m),这是组合数性质