求函数周期的方法 一、 定义法 周期函数的定义: 设函数 f ( x ) 定义在数集 D 上, 若存在常数T>0, ?x ? D ,且f(x+T)=f(x),则f?x?为周期函数,称其中最小的正常数T为最小正周期。 例1:求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 例2:求函数 y ? sin2 x 的最小正周期 根据定义?T ? 0 , 因为sin2 ? x ? T ? ? sin2 ? x ? ? 0 , 即2sin 2x ? T T 2x ? T T cos 2 cos sin ? 0 , 亦即sinx?T? s?i n? ? T ? 2 2 2 2 2 ,由此可得 0 sin ? 2x ? T ? ? 0 或者 sin T ? 0 由于 sin ? 2x ? T ? ? 0 的通解为 T ? K ? ? 2 x ,显然它是依赖于 x ,因此求不出依赖 于x的非零常数解,即这样的T不能作为周期。 由sin T ? 0 ,得最小的非零正数解为 T ? ? ,即它不依赖于 x ,所以 y ? sin 2 x 是 周期函数,且其周期为 T ? ? . 性质结论: (1) 若T是y?f(x) , x ∈A的周期,则?T也是 y ? f ( x) 的周期. ( 2 ) 若T是y?f(x) , x ∈ A 的周期,且x?nT ? A(n ? Z ) , 则nT 也是y?f(x) 的周期. (3) 设f(x)有最小正周期 T ,那么除 ?nT (n ? 1, 2,3??) 外,函数 f ( X ) 无其 他周期。 (4) 若f?x?是周期函数,则f?x?也是周期函数,反之不正确。 1 (5)若f?x?是定义在 ? ??, ??? 上的周期函数,且f?x??0,则 1 也f?x? 是周期函数,且与 f ? x ? 相同的周期。 (6) f ? x ? 是定义在 ? ??, ??? 上的周期函数, f ? x ? ? 0 , 若且则1也f?x? 是周期函数,且与 f ? x ? 相同的周期。 (7) 可导的周期函数的导函数也是周期函数。 又若对于原函数存在的连 续的周期函数 f ( x) (T是其最小正周期)有, ? f ( x)d x ? 0 ,则其原函数 0 T 也是周期函数,且它们的周期相同。 例: f ( x) ? sin 2 x ,因为 (sin 2 x)?