一、创设情境 由上节内容可知,一个命题条件的充分性和必要性可分为四类:充分不必要条件;必要不充分条件;既充分又必要条件(充要条件) ;既不充分也不必要条件。 探讨下列生活中名言名句的逻辑关系. (1)水滴石穿 (2)骄兵必败 (3)有志者事竞成 (4)头发长,见识短 (5)名师出高徒 (6)放下屠刀,立地成佛 (7)兔子尾巴长不了 (8)不到长城非好汉 (9)春回大地,万物复苏 (10)海内存知己 (11)蜡炬成灰泪始干 (12)玉不琢,不成器 :由于生活语言不可能象数学命题一样准确,因此学生不同观点的碰撞在所难免,作为教师,只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理,就应该肯定,在这里答案应该是开放的,不同的观点应允许共存,关键是只要学生能“学会数学地思维” ,教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分. 二、活动尝试 在数学中有很多可逆的命题,如(1)若 a 是无理数,则 a+5 是无理数; (2)若 a>b,则a+c>b+c; (3)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实根,则判别式Δ >0. 这些可逆的命题, 反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。 本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。 三、师生探究 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件: (1)p:x>2,q:x>1; (2)p:x>1,q:x>2; (3)p:x>0 ,y>0,q:x+y<0; (4)p:x=0,y=0,q:x解: (1)∵x>2x>1,∴p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)∵x>1x>2,但 x>2x>1,∴p 是 q 的必要条件,q 是 p 的充分条件. (3)∵x>0 ,y>0x+y<0,x+y<0x>0 ,y>0,∴p 不是 q 的充分条件,p 也不是 q 的必要条件;q 不是 p 的充分条件,q 也不是 p 的必要条件. (4)∵x=0,y=0xy=0,∴q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要条件. 在问题⑷中,p 既是 q 的充分条件,p 又是 q 的必要条件,此时,我们统说,p 是 q 的2+y2=0. 2+y2=0,∴p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;又 x2+y2=0x=0,充分必要条件,简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念. 四、数学理论 1如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq。我们就说,p 和 q 互为的充要条。 :⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq 且 pq” ;也表示“p 等价于 q”. ⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分” , “仅当”表示“必要”. 四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应该: ⑴确定条件是什么,结论是什么; ⑵尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有:直接证法或间接证法) ; ⑶确定条件是结论的什么条件.、 ⑷充要性包含:充分性 pq,必要性 qp 这两个方面,缺一不可。 五、巩固运用 两条不重合的直线 l1、l2(共同前提).l1与 l2的斜率分别为 k1、k2,且 k1=k2是 l1∥l2的什么条件? 延伸:如何改变命题的条件(或结论),使命题的条件是结论的充要条件呢? 把命题的结论改为“l1∥l2,且 l1、l2都有斜率”即可. 设 A={x|-2≤x≤a} ,B={y|y=2x+3,x∈A} ,M={Z|Z=x2,x∈A}.求使 MB 的充要条件是什么? ∵A={x|-2≤x≤a},M={Z|Z=x2,x∈A}. ∴B={y|y=2x+3,x∈A}={y|-1≤y≤2a+3}. 当-2≤a<0 时,M={Z|a2≤Z≤4}. 当 0≤a≤2 时,M={Z|0≤Z≤4}. 当 a>2 时,M={Z|0≤Z≤a∴当-2≤a<2 时,MB4≤2a+3,即1当 a>2 时,MBa综上可知,所求的充要条件为12}. 2≤a≤2; 2≤2a+3,即 20” 是 “|x+y|=|x|+|y|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. “A∩B=A”是 A=B 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在下列电路图中,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的什么条件: 如图(1)所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 条件; 如图(2)所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 条件; 如图(3)所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 如图(4)所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 4.抛物线 y=ax条件; 条件; 2+bx+c (a≠0)的对称轴为 x=2 的充要条件是______________; 5.判断下列各题中条件是结论的什么条件: 2+ax+1>0 的解集为 R,结论 B∶06} ,B={x||x|>a,a∈N+}.当 a 为何值时. ①A 是 B 的充分而不必要条件; ②A 是 B 的必要而不充分条件; ③A 是 B 的充要条件. 八、参考答案: 1. A 2.B3.图(1):充分但不必要条件;图(2):必要但不充分条件; 图(3):充要条件;图(4):既不充分也不必要条件. 4.4a+b=0 5.(1)∵△=a2+ax+1>0 恒成立.故 BA. 而当 a=0 时,ax故 A 为 B 的必要不充分条件. BA∪B=B, 而当 A=B 时,A∪B=B,即 qp, ∴p 为 q 的充分不必要条件. 2-x-2>0” 的充分条件, 不存在实数 p, 使 “4x+p<0” 是 “x2-4a<0,即 00 恒成立,∴AB. (2)∵A6. p≥4 时, “4x+p<0” 是 “x2-x-2>0”的必要条件. 思考题:试寻求关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根的一个充要条件. 2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根 方程在(0,1)内有实根0解法 1:关于 x 的方程 x) 0 (0f0) 1 (0120fm0mn01204m2nnmn0011n0204m2mnm. 解法 2: 方程在(0,1)内有实根 ) 110x0xx) 1)(1(0) 1(2(00x2121x21xxx0mn010204m2nnm奎屯王新敞新疆n0011n0204m2mnm.