二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法 August 1, 2013 / 算法 这篇文章讲无权二分图(unweighted bipartite graph)的最大匹配 (maximum matching)和完美匹配(perfect matching),以及 用于求解匹配的匈牙利算法(Hungarian Algorithm);不讲带权二 分图的最佳匹配。 二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨 越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为 两个不相交集 U 和 V ,使得每一条边都分别连接 U、V 中的顶点。 如果存在这样的划分, 则此图为一个二分图。 二分图的一个等价定义是: 不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰,我 们以后都把它画成图 2 的形式。 匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中 任意两条边都没有公共顶点。 例如, 图 3、 图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。 我们定义匹配点、 匹配边、 未匹配点、 非匹配边,它们的含义非常显然。 例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、 4-7 为匹配边,其他边为非匹配边。 最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图 的最大匹配。图 4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。 完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它 就是一个完美匹配。