庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域,最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群,构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数,并发现这种函数作为代数函数的'单值化函数的效用。
1883年,庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年,他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年,他进而研究一般解析函数论,研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系,它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题,在1881-1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中,创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系,可以判定解的稳定性。
庞加莱猜想
庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的:“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为:“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻:一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面,而一个吹胀的气球则可以视为二维球面,二者之间的点存在着一一对应的关系,同时橡胶膜上相邻的点仍是吹胀气球上相邻的点,反之亦然。
1885年,瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖,引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖,还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后,他又进行了大量天体力学研究,引进了渐进展开的方法,得出严格的天体力学计算技术。
庞加莱还开创了动力系统理论,1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是,在引力作用下,转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外,还有三种庞加莱梨形体存在。
庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性,这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉
普拉斯算子的特征值问题,给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数