齐次方程的求解实际上是通过变量替换,将方程化为可分离变量的方程。
变量替换法在解微分方程中,有着特殊的作用。但困难之处是如何选择适宜的变量替换。一般来说,变量替换的选择并无一定之规,往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造。对于初学者,不妨多试一试,尝试几个直接了当的变量替换。
【例2】求下列微分方程的通解
解1、令
,则
原方程化为
即
解2、
令
,原方程可化为
(其中
)
【例3】设河边点
的正对岸为点
,河宽
,两岸为平行直线,水流速度为
。有鸭子从点
游向点
,设鸭子(在静水中)的游速为
,且鸭子游动方向始终朝着点
,求鸭子游过的迹线。
解:设水流速度为
,鸭子游速为
,则鸭子实际运动速度为
。
取
为坐标原点,河岸朝顺水方向为
轴,
轴指向对岸,设在时刻
鸭子位于点
。
设鸭子运动速度为
故有
而
,
从而
由此得到微分方程
即
令
,则
,
,代入上面的方程有
分离变量得
积分得
以条件
时
代入上式,得
,故鸭子游过的迹线为
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