一、微积分与概率论
1、 微分学:
中国教科书中通常首先学习导数,例如中学时期的切线方程,函数单调性,零值点和极值点个数等等,而直到大学时期才引入微分的概念,导致大多数人通常并不了解微分和导数之间的关系。
函数在点a处可微,指它的值在所研究点的邻域内其变化近似是线性的,并且这种近似的误差是(x-a)的高阶无穷小。而导数描述的是,微分定义中线性变化的速度,即系数。即,f(x)-f(a)=L*(x-a)+o(x-a),等式右边是函数f(x)在a点处的微分,而系数L就是其导数f'(x)。
当函数一阶导数的线性逼近不能满足运算要求时,通常会对无穷小量o(x-a)继续逼近,因为没有更好的办法,所以数学家选择继续使用高阶导数线性逼近。于是这也就诞生了一元微分学中的巅峰成就:泰勒公式。而数学史上最美的欧拉公式,也可以由exp(x),sinx和cosx的泰勒展开推导出来。微分方程同样也可以从泰勒展开的角度求解其解析函数。