一个粒子,比如电子和光子,它们的自旋非零,在自由度的完备集合中就需要包含自旋这个离散变量。对于一个亚原子粒子还有可能包括一些其它离散变量比如同位旋。　图1.　经典和量子谐振子的对比　上图是经典和量子谐振子概念对单个无旋粒子的比较(图片来自Wikipedia)。　这两个过程差别很大。　经典过程(A-B)表示为粒子沿轨迹的运动。　量子过程(C-H)没有这样的轨迹。　相反,它表现为一个波　这里纵轴表示波函数的实部(蓝色)和虚部(红色)。　(C-F)显示了薛定谔方程的四种不同的驻波解。　(G-H)还显示了两个不同的波函数,它们是薛定谔方程的解,但不是驻波。　图2.　氢原子中不同能量电子的波函数。每一点的亮度代表了在该点处观察到电子的概率:点的亮度越亮,观察到电子的概率越大。