这种问题肯定是早就已经被前人研究透彻了的,本来想随便找本书抄一抄就完了……
结果,尼玛好死不死翻出来的居然是柯斯特利金的《代数学引论》(我明明记得这个问题它有过程的)……
【摘自第一卷——《代数学引论·基础代数》(高教社版本)】。
结果记忆太模糊。。。又见“留作习题答案略,给了提示就不难”。。。喏~!思路作者给指出来了,中间过程自己脑补一下吧。。。喂喂这不赖我啊,我只是个抄书匠而已……书上就这么写的~
唉~算了,自己挖的坑还是自己填上吧……
以下列出所需的中间步骤并逐一补充细节。
一、“‘显然’的递推关系
关于这一点,本题下@qfzklm的答案:
已经写得很清楚了,此处不赘。
二、
:
将递推关系代入
的幂级数表达式,得到——
。
另一方面,
。
立刻得到
。
【解二次方程就算了吧啊……哎~!那个初中没毕业的刷什么知乎啊!好好做作业去!这个答案是第三级的,很黄很暴力,不适合未成年的你散了散了。。。】
三、“如果幂级数
满足
,
,则
(姑且认为泰勒展开式存在)”:
若
,则
,将其展成麦克劳林级数:
。
四、“‘简单’的代换给出了最后的表达式”:
首先,验证一个“丑陋”的公式……
引理:
。
证明:对
进行归纳。初始情况应从
开始,此时左边等于
,右边等于
。现归纳地假设公式对于
成立,即
。考虑
的情形,此时左边为:
,显然等于右边。归纳假设成立,引理得证。
其次,将
代入三、之结论
,得
;而由于
,作变量代换:
,则第
项系数
,依引理即有——
,其中
即是众所周知的(第
个)明安图—欧拉—卡塔兰数。
特喵的每一回抄书写答案都跟不是抄的一样……