现在,设 P 是由这些特征向量作为纵列的矩阵:则 P 对角化了 A,简单的计算可验证:注意特征值 出现在对角矩阵中。对角化可被用来有效的计算矩阵 A 的幂,假如矩阵是可对角化的。比如我们找到了是对角矩阵,因为矩阵的积是结合的,而后者容易计算,因为它只涉及对角矩阵的幂。在找到线性递归序列比如斐波那契数列的项的闭合形式的表达中这是非常有用的。例如,考虑下列矩阵:计算 M 个各次幂揭示了一个惊人的模式:上面的现象可以通过对角化 M 来解释。要如此我们需要由 M 的特征向量组成的 R2 的基。一个这样的特征向量基给出自这里的 ei 指示 Rn 的标准基。逆的基变更给出自直接计算证实所以,a 和 b 是分别是对应于 u 和 v 的特征值。根据矩阵乘法的线性,我们有切换回标准基,我们有前面的关系用矩阵形式表达为因此解释了上述现象。