如上图所示梯形体,如何求出其体积V计算公式?
划分思路:将两端切割,分成中间规则的正梯形体和两头相同的几何体。
V=V1+2V2
对于正梯形体,其体积可以由其切面梯形面积乘以长获得。
切面梯形面积S1= (a1+a)*h/2
因此V1=S1*b1=(a1+a)*h*b1/2
下面单独分析V2如何求。
V2属于将一个梯形体沿着斜边进行切割,如果是长方体,则正好等于一半的体积。可对于边长不等的梯形体,又该如何计算体积呢?
简单的方法就是利用微积分。
求出面积abx随高度h变化的函数,在0-h内进行积分,即可得到该形状的体积。
假设从底部向上,高度h→x的变化由0~h。
易知,a关于x的函数a(x)=a1+(a-a1)(h-x)/h
同样,bx关于x的函数b(x)=(b-b1)(h-x)/2h
推导过程如图所示,根据三角形等比例定理。x在0~h上,随着x的增加,可以得到等比例b(x)/(h-x)=bx/h,其中bx=(b-b1)/2。a(x)同理。
因此,底面积S2=a*bx,则构造函数S2(x)= a(x)* b(x)
S2(x)= [a1+(a-a1)(h-x)/h]* (b-b1)(h-x)/2h
对S2(x)在0~h内积分即可得到V2。