一元函数y = f(x),
:
二元函数z= f(x,y)的积分:
f(x,y)在xy平面的投影的区域是R,其二重积分称之为区域R上f(x,y)dA的二重积分,表示为:
dA表示R上的一小块面积。
用黎曼和计算体积
一元积分采用黎曼和分块,二重积分也是类似的思路,如下图所示:
R区域分成了多个小块,每块的面积是ΔA。设第i块的面积是ΔAi,ΔAi中心点在xy平面对应的值是(xi, yi),那么第i小块的高是f(xi, yi),面积是f(xi, yi)ΔAi:
这个式子对应三维空间中函数图像下方R区域内所有小柱体的体积之和。如果取积分,就是对所有小块面积ΔA取极限,使其趋近于0,就得到了二重积分:
计算二重积分
计算方法的来源