平方差公式练习题精选(含答案) 一、 基础训练 1. 下列运算中, 正确的是( ) A. (a+3) (a-3) =a2-3 B. (3b+2) (3b-2) =3b2-4 C. (3m-2n) (-2n-3m) =4n2-9m2 D. (x+2) (x-3) =x2-6 2. 在下列多项式的乘法中, 可以用平方差公式计算的是( ) A. (x+1) (1+x) B. (12a+b) (b-12a) C. (-a+b) (a-b) D. (x2-y) (x+y2) 3. 对于任意的正整数 n, 能整除代数式(3n+1) (3n-1) -(3-n) (3+n) 的整数是( ) A. 3 B. 6 C. 10 D. 9 2=x2+kx+25, 则 k=( ) 4. 若(x-5) A. 5 B. -5 C. 10 D. -10 5. 9.8×10.2=________; 6. a2+b2=(a+b)2+______=(a-b)2=_______. 2+________. 7. (x-y+z) (x+y+z) =________; 8. (a+b+c)9. (12210. (1) (2a-3b) (2a+3b) ; (2) (-p2+q) (-p2-q) ; x+3)2-(1x-3)2=________. (3) (x-2y)2; (4) (-2x-12y)2. 11. (1) (2a-b) (2a+b) (4a2+b2) ; (2) (x+y-z) (x-y+z) -(x+y+z) (x-y-z) . 12. 有一块边长为 m 的正方形空地, 想在中间位置修一条“十” 字型小路, 小路的宽为n, 试求剩余的空地面积; 用两种方法表示出来, 比较这两种表示方法, 验证了什么公式? 二、 能力训练 13. 如果 x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方, 那么常数 k 的值为( ) A. 4 B. 2 C. -2 D. ±2 14. 已知 a+1a=3, 则 a2+21a, 则 a+的值是( ) A. 1 B. 7 C. 9 D. 11 15. 若 a-b=2, a-c=1, 则(2a-b-c)2+(c-a)2的值为( ) A. 10 B. 9 C. 2 D. 1 16. │ 5x-2y│ · │ 2y-5x│ 的结果是( ) A. 25x2-4y2 B. 25x2-20xy+4y2 C. 25x2+20xy+4y2 D. -25x2+20xy-4y2 17. 若 a2+2a=1, 则(a+1)2=_________. 三、 综合训练 18. (1) 已知 a+b=3, ab=2, 求 a2+b2; (2) 若已知 a+b=10, a2+b2=4, ab 的值呢? 20. 观察下列各式的规律. 12+(1×2) 22+(2×3) 32+(3×4)2+22=(1×2+1)2+32=(2×3+1)2+42=(3×4+1)2;2; 2; … (1) 写出第 2007 行的式子; (2) 写出第 n 行的式子, 并说明你的结论是正确的. 参考答案 1. C 点拨: 在运用平方差公式写结果时, 要注意平方后作差, 尤其当出现数与字母乘积的项, 系数不要忘记平方; D 项不具有平方差公式的结构, 不能用平方差公式, 而应是多项式乘多项式. 2. B 点拨: (a+b) (b-a) =(b+a) (b-a) =b2-a2. 3. C 点拨: 利用平方差公式化简得 10(n2-1) , 故能被 10 整除. 2=x2-2x×5+25=x2-10x+25. 4. D 点拨: (x-5)5. 99. 96 点拨: 9. 8×10. 2=(10-0. 2) (10+0. 2) =10-0. 2=100-0. 04=99. 96. 6. (-2ab) ; 2ab 7. x2+z2-y2+2xz 点拨: 把(x+z) 作为整体, 先利用平方差公式, 然后运用完全平方公式. 8. a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 点拨: 把三项中的某两项看做一个整体, 运用完全平方公式展开. 9. 6x 点拨: 把(1222-(1222210. (1) 4a2-9b2; (2) 原式=(-p2)x+3) 和(1x-3) 分别看做两个整体, 运用平方差公式(12x+3)x-3)2=(1x+3+1x-3) [1x+3-(12x-3) ]=x· 6=6x. 2-q2=p4-q2. 点拨: 在运用平方差公式时, 要注意找准公式中的 a, b. (3) x4-4xy+4y2; (4) 解法一: (-2x-12 解法二: (-2x-12y)2=(-2x)2+2·(-2x) ·(-12y) +(-12y)2=4x2+2xy+14y2. y)2=(2x+12y)2=4x2+2xy+14y2. 点拨: 运用完全平方公式时, 要注意中间项的符号. 11. (1) 原式=(4a2-b2) (4a2+b2) =(4a2)2-(b2)2=16a4-b4. 点拨: 当出现三个或三个以上多项式相乘时, 根据多项式的结构特征, 先进行恰当的组合. (2) 原式=[x+(y-z) ][x-(y-z) ]-[x+(y+z) ][x-(y+z) ] =x2-(y-z) =x2-(y-z)2-(y-z)2-[x2-(y+z)2-x2+(y+z)2] 2 =(y+z)2 =(y+z+y-z) [y+z-(y-z) ] =2y· 2z=4yz. 点拨: 此题若用多项式乘多项式法则, 会出现 18 项, 书写会非常繁琐, 认真观察此式子的特点, 恰当选择公式, 会使计算过程简化. 12. 解法一: 如图(1) , 剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2. 解法二: 如图(2) , 剩余部分面积=(m-n)2=m2-2mn+n2, 此即完全平方公式. 2. ∴(m-n) 点拨: 解法一: 是用边长为 m 的正方形面积减去两条小路的面积, 注意两条小路有一个重合的边长为 n 的正方形. 解法二: 运用运动的方法把两条小路分别移到边缘, 剩余面积即为边长为(m-n) 的正方形面积. 做此类题要注意数形结合. 13. D 点拨: x2+4x+k2=(x+2)2=x2+4x+4, 所以 k2=4, k 取±2. 14. B 点拨: a2+21a=(a+1a)2-2=32-2=7. 15. A 点拨: (2a-b-c)2=(2+1)2+(c-a)2=(a+a-b-c)2+(c-a)2=[(a-b) +(a-c) ] 2+(c-a)2+(-1)2=9+1=10. 16. B 点拨: (5x-2y) 与(2y-5x) 互为相反数; │ 5x-2y│ · │ 2y-5x│ =(5x- 2y)2 =25x2-20xy+4y2. 17. 2 点拨: (a+1)18. (1) a2+b2=(a+b)2=a2+2a+1, 然后把 a2+2a=1 整体代入上式. 2-2ab. ∵a+b=3, ab=2, ∴a2+b2=32-2×2=5. (2) ∵a+b=10, ∴(a+b) a2+2ab+b2=100, ∴2ab=100-(a2+b2) . 又∵a2+b2=4, 2=102, ∴2ab=100-4, ab=48. 点拨: 上述两个小题都是利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中(a+) 、 ab、 (a2+b2) 三者之间的关系, 只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者. 2>(-4+3x) (3x+4) , 2+2×3x· (-4) +(-4) 9x2-24x+16>9x2-16, 19. (3x-4) (3x)2>(3x)2-42, -24x>-32. x<43. 点拨: 先利用完全平方公式, 平方差公式分别把不等式两边展开, 然后移项, 合并同类项, 解一元一次不等式. 20. (1) (2007) (2) n2+[n(n+1) ] 2+(n+1) 证明: ∵n2+[n(n+1) ] 2+(n+1) =n2+n2(n+1) =n2+n2(n2+2n+1) +n2+2n+1 =n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1 =n4+2n3+3n2+2n+1. 而[n(n+1) +1] 2=[n(n+1) ] 2+2n(n+1) +1 =n2(n2+2n+1) +2n2+2n+1 =n4+2n3+n2+2n2+2n+1 =n4+2n3+3n2+2n+1, 所以 n2+[n(n+1) ] 2+(n+1)2+(2007×2008)2+(2008)2=[n(n+1) +1] 2. 2 2=(2007×2008+1)2 2+n2+2n+1 2=[n(n+1) +1] 2.