答案确实就是Catalan数,我简单讲一两句吧
先考虑一个问题:
一个质点初始时刻位于原点,每一步向
轴正方向或负方向前进一步.
现在该质点第一步来到了点
,并于
步后回到原点,在中途不触碰原点,问该质点运动的可能的路径数有多少.
显然,这个质点第
步来到了点 1
而第
步也必然位于点1
从第
步到第
步这中间的
步,是从点
出发最后回到点
当然必然是其中
步沿着正方向,
步沿着负方向
先假设不考虑这
步不允许接触原点的禁忌,那么总共有
种走法
现在,只要从这
种走法中,把接触到原点的走法全部删了就行了
任意一种接触到原点的走法,都可将其在第
步之前最后一次离开原点前的所有步骤关于原点作一次反射,变成从点
出发,经历
步到达点
同样,从点
出发,经历
步到达点
的所有走法,也都可以在第
步之前最后一次穿越原点前的所有步骤关于原点作一次反射,变成从点
出发,中途穿过原点,最后再回到点
这样,上述第
到
的
步,就等价于从点
出发,经历
步到达点
必然是
步沿正方向,
步沿负方向
总共有
种走法
那么可以得到,从点
出发,
步后回到点
的走法,一共有:
种不同走法
它的一个等价问题是:
从原点到
点的除端点外不接触直线
的单调路径个数为
把上述质点移动问题的步骤数从
改成
的话,走法就是一共有
种
这也就是Catalan数
该质点移动的问题便等价于原问题,第k个盒子里取到黑球认为是质点往正方向移动一步,反之取到白球认为是质点往负方向移动一步
为了更加便于理解,原问题也可以做个完全等价的小变化:
事先多放2个盒子,增加一黑一白两个球,在第0个盒子里放一个黑球,第2n+1个盒子里放一个白球
原问题要求等价为任取前m(0≤m<2n+1)个盒子,其中黑球数目大于白球
在研究二项分布时,有类似这样的题目:
甲、乙两人赌博,每次赌博甲若输了,支付给乙一块钱,反之则乙付给甲一块钱
每一次赌博二者