自己理解的正弦波正弦量、平均值、有效值的推导 wxleasyland@sina.com 2013.1.30 有点忘记怎么推导了,自已再重新理解下。 一、基本公式 对于一个时间函数的正弦波: 即函数是 u=F(t),注意 u≠sin(t),F≠sin。 但是它是一个正弦波,故 u=sin(￡),￡与 t 存在关系 即:u=F(t)=sin(￡),￡与 t 存在关系,￡的单位是角度,t 的单位是秒。sin 只能对“角度” ,不能对“秒”“秒”要转换成“角度”才能 sin。 。 现在来求解￡是什么,发现: O 点,t=0 时,￡=0 A 点,t=T 时,￡=2π B 点,t=2T 时,￡=2×2π 即￡与 t 的关系是 ￡=(2π/T)×t 故得:u=F(t)=sin(￡)=sin((2π/T)t) !! !! 另, 角速度=2π/t 角频率ω=2π/T=2πf,T 为周期,f 为频率 故最终:u=sinωt !! !! 即 t 乘以ω后,就变成角度了,ωt 是角度,就可以 sin 了! 二、对于各种提前、延后的情况: 数学上的角度 sin 曲线 (￡为角度) 工程上的时间 sin 曲线 (t 为时间,T 为周期) 正常 u=sin￡ u=sinωt 提前 u=sin(￡+π/2) u=sin(ωt+π/2) =sin(ωt+ω×T/4) 延后 u=sin(￡-π/2) u=sin(ωt-π/2) =sin(ωt-ω×T/4) 即 sin 函数里面的都是角度! 时间需要乘以ω转成角度。 角度要转成时间,就要除以ω。 π/2=ω×T/4,即 T/4 相当于是π/2。 三、平均值 时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。 1. 正弦波平均值肯定为 0。 把角度当作时间来简化计算。 把 2π当作周期 T,把小片段角度 d￡当作小片段时间 dt。 在一个周期 T 内的平均值,即是∫u×dt/T,即相当于∫u×d￡/2π 用角度时:u=sin￡ 则∫u×d￡/2π=∫sin￡×d￡/2π 在 0~2π区间作积分: 故∫sin￡d￡/2π=(-cos2π+cos0)/2π=0 2. 全波整流的平均值: 只要计算 0~π即可: ∫sin￡d￡/π=(-cosπ+cos0)/π=2/π=0.6366 即平均值=峰值的 0.6366 倍。 3. 半波整流的平均值 计算 0~π,但周期要按 2π算: ∫sin￡d￡/2π=(-cosπ+cos0)/π=2/2π=0.3183 即平均值=峰值的 0.3183 倍。 四、有效值 时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。 1. 正弦波有效值 把角度当作时间来简化计算。 把 2π当作周期 T,把小片段角度 d￡当作小片段时间 dt。 在一个周期 T 内的有效值,即是计算一个周期 T 内的热量值相同的等效电压: 一个周期 T 内的热量值(假设电阻 R=1) :∫u^2×dt,即相当于∫u^2×d￡ 用角度时:u=sin￡ 则∫u^2×d￡=∫sin2￡×d￡ 在 0~2π区间作积分: 故∫sin ￡d￡=(2π/2-1/4×sin4π)-(0/2-1/4×sin0)=π 等效电压 Uo 产生的热量值=Uo^2×2π等于∫sin2￡d￡=π 故:Uo^2×2π=π 最终得:Uo=0.707 即有效值等于峰值的 0.707 倍 2 2. 全波整流的有效值: 只要计算 0~π即可: 故∫sin2￡d￡=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2 故:Uo^2×π=π/2 最终得:Uo=0.707 即有效值等于峰值的 0.707 倍 3. 半波整流的有效值 只要计算 0~π,但周期要按 2π算: 故∫sin2￡d￡=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2 故:Uo^2×2π=π/2 最终得:Uo=0.5 即有效值等于峰值的 0.5 倍 五、汇总 平均值 0 峰值的 0.6366 倍 正弦波有效值的 0.9 倍 峰值的 0.3183 倍 正弦波有效值的 0.45 倍 有效值 峰值的 0.707 倍 峰值的 0.707 倍 峰值的 0.5 倍 正弦波 全波 半波 总之,sin 函数里面一定是角度。时间需要乘以ω转成角度。角度可以等效成时间 来计算。