求解的方法如下所示
设
,则有
若对于任意
成立,可以令
或者表示为
所以求解三次方程化解为求解一个二次方程:
根据二次方程求根公式,判别式为
,设
.所以得到
即
或者
或者
其中
.所以得到
为了方便起见,可以统一写成以下的形式
其中
显然,当
当
的时候,易知
由于
故而原方程有一个实数根和另外两个相等的实数根.
当
时候,我们可设
所以得到
所以原方程有三个不相等的实数根.
方法二:盛金公式法(包含有三角函数求解的方法)
由于系数
设
,则系数化为
则判别式化为
所以设
,重新定义判别式
.则
所以得到
设
,所以原方程中的根可以表示为
或者简写为
当
时候,这时我们考虑到三角函数中三倍角公式
实际上对应于这样的一个方程表达式:
它的根分别为
.
如此,对上述方程的根扩大m倍数,即
,则可以得到方程
对应于三次方程化简的形式
,则对照系数表达式可以得出:
所以有
所以原方程中的根可以表示为
,其中
.
一元四次方程
一元四次方程的一般形式可以表达为
其中
,经过配方可以得到
令
.
通过化简,设
可以得到一元四次方程
求解方法也有多种多样的方法,下面介绍这几种方法
方法一:带入求解方法(置换群方法)
设
,则可以得到
其中
所以有
带入原方程中得到
令
所以得到
所以得到一个三次方程
即方程
设
设
为方程的三个解,则方程的解为
由于
.
可见在产生四次方程根的时候,产生了四个多余的根.所以就有以下的结论:
当
的时候,公式变为:
当
当
时候,由三次方程可知
中一个为实数,另外两个为共轭复数,不妨设
所以当