定义:给定向量组
:
,以及向量
,若存在一组数
,使得
则称向量
可由向量组
线性表示,也称向量
是向量组
的一个线性组合,
称为这个线性组合的系数。
解读:向量组
(由几个向量组成)中的
(也就是每个
都是一个向量,其中
表示第
个向量第
个元素,因为向量默认表示为列向量,故而我加了转置符),把系数
看做一个系数向量
,那么
(向量组,这里要把
拆开来的,所以就是
个
乘以
的
个
)。
线性相关
定义:在向量空间
的一组向量
:
,如果存在不全为零的数
,使得
则称向量组
是线性相关的。
解读:线性相关表示的是向量组
内的向量
的相关与否,转换成之前讲过的方程,即:
,把向量组
作为系数矩阵
,
那么
就可以转换为
(1.1)
所以“线性相关”就是这个齐次线性方程组存在非零解(
不为
)。
线性无关
定义:在向量空间
的一组向量
:
,如果“不”存在不全为零的数
,使得
则称向量组
是线性无关的。
解读:“线性无关”就是这个齐次线性方程组(1.1)只有零解(
)。
为什么要讲“线性相关”和“线性无关”,因为如果向量组内的向量线性相关,那么该向量组内至少有一个向量可以被其他向量线性表示,在“向量的线性表示”中,可以把向量
加入到由向量组
中,构成新的向量组
,那么向量组
(
)必定线性相关,因为其中的向量
可以被其他的向量