在自然数中有一类数非常特殊,它们叫质数又叫素数。质数指那些大于1的,且除了1和它自身之外再没有其它约数的自然数。
合数是指除了1和它自身之外还有其它约数的自然数。
自然数1既不是质数也不是合数。
100以内的质数有25个,{2、3、5、7、11......},2是质数中唯一的偶数。
质数在自然数的世界中承担着重要的角色,就像元素对于化学或者粒子对于物理一样,从一定的的意义上讲,自然数是由素数构成的。为什么这么讲呢?
我们看一下算数基本定理:
大于1的自然数n都可以分解成有限个质数的乘积n=p1^a1 x p2^2 x ...x pn^an; p1、p2、......、pn都是质数,a1、a2、......、an都是大于0的自然数。
这就是分解质因数,算数基本定理告诉我们两件事:
对于任一大于1的自然数,一定可以分解成以上的形式对于任一大于1的自然数,这个分解形式具有唯一性(不计质数的排列次序)
质数是不是有限个?当然不是,我们看看欧几里得是怎么证明的:
假设质数个数是有限的,有n个,把所有的质数有小到大排列p1、p2、......、pn存在N=p1 x p2 x......x pn +1, N一定大于pn如果N是质数,说明存在一个大于pn的质数N;如果N是合数,那么N一定可以被某个质数整除,但所有的n个质数p1、p2、......、pn都不能整除N,因为它们除N都余1,一定在n个质数之外还有质数,所以假设不成立,质数有无限多个。
来个题玩玩:
证明存在自然数n,使得n+1、n+2、......、n+2019都是合数。
其实只需使得n=2020!+1,那么2020!+2、2020!+3、......、2020!+2020都是合数。这个证明很容易,但结论却很有趣,换句话说,你总可以找到任意多个连续的自然数,它们中都不会出现质数。
再来一个:
从1~100,任意取一些不同的数相乘使得它们的乘积是平方数,有多少种取法?
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