《葡萄酒桶的立体几何》一书,很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作,称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。开普勒创造的求圆面积的新方法,引起了一些人的怀疑。他们问道:开普勒分割出来的无穷多个小扇形,它的面积究竟等于不等于零?如果等于零,半径OA和半径OB就必然重合,小扇形OAB就不存在了;如果客观存在的面积不等于零,小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。面对别人提出的问题,开普勒自己也解释不清。卡瓦利里的求解方法卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生,他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。卡瓦利里认为,开普勒把圆分成无穷多个小扇形,这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积,就不好确定了。但是,只要小扇形还是图形,它是可以再分的。要是真的再细分下去,那分到什么程度为止呢?这个问题,使卡瓦利里陷入了沉思。一天,当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时,他灵机一动:布可以看成面积!布由棉线织成,要是把布拆开,拆到棉线就停止了。我们要是把面积像布一样拆开,应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度,把面积分到直线就应该不能再分了。于是,他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量,直线是平面面积的不可分量。卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想,可以把长方体看成为一本书,组成书的每一页纸,应该是书的不可分量。这样,平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的,这样也是有道理的。卡瓦利里紧紧抓住自己的想法,反复琢磨,提出了求圆面积和体积的新方法。1635年,当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候,意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中,卡瓦利里把点、线、面,分别看成是直线、平面、立体的不可分量;把直线看成是点的总和,把平面看成是直线的总和,把立体看成是平面的总和。卡瓦利里还根据不可分量的方法指出,两本书的外形虽然不一样,但是,只要页数相同,薄厚相同,而且每一页的面积也相等,那么,这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理,适用于所有的立体,并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理”。事实上,最先提出这个原理的,是我国数学家祖暅。比卡瓦利里早1000多年,所以我们叫它“祖暅原理”。在一个圆里画一个最大的正方形,正方形占圆面积的约63.7%,在一个圆外画一个最