第 2 节 消元 代入消元法(1) 要点突破 一、 代入法解二元一次方程组 由二元一次方程组中的一个方程, 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来, 再代入另一方程, 实现消元, 进而求得这个二元一次方程组的解。 代入法解二元一次方程组需要注意以下几点: ①正确用代入法解二元一次方程组的一般步骤; ②从方程组中选一个系数比较简单的方程变形; ③求得的两个未知数的值要用大括号括起来。 二、 用代入法解二元一次方程组的一般步骤: ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形, 用含有 x(或 y) 的代数式表示 y(或x), 即变成 y=ax+b(或 x=ay+b) 的形式。 ②将 y=ax+b(或 x=ay+b) 代入另一个方程中, 消去 y(或 x) 得到一个关于关于 x(或y) 的一元一次方程; ③解这个一元一次方程, 求出 x(或 y) 的值; ④把求得的 x(或 y) 的值代入 y=ax+b(或 x=ay+b) 中, 求出 y(或 x) 的值。 ⑤把求得的 x, y 的值用“{” 联立起来, 就是方程组的解。 典例剖析: 例 (2007年南京市) 解方程组425xyxy+=−= 思路探索: 由x+y=4变形得y=4-x③, 把③代入②求得x的值。 解析: 由①得: y=4-x③ 把③代入②得: 2(4)5xx−−= 解得: x=3 把x=3代入③得: y=1 ∴这个方程组的解为31xy== 规律总结: 利用代入法解二元一次方程组的一般步骤: 1° 选择一个系数比较简单的二元一次方程, 把这个方程化成 ykx b+ (或 x=kyb=+) 的形式。 2° 将 ykx b+ (或 x=kyb=+) 代入另一个方程, 得到一个关于x(或y) 的一元一次方程,解这个一元一次方程, 求出x(或y) 的值。 3° 将求得的x(或y) 的值代入 ykx b+=(或 xkyb=+) 中, 求出另一个未知数。 课时达优: 一、 精心填一填, 你会轻松(每题 5 分, 共 30 分) 1、 已知35xy+=, 用含 x 的式子表示 y= __________________, 用含有 y 的代数式表示x=________________. ①② 2、 方程532xy−= − 的一个解中2x =, 那么这个解中, y=___________. 3、 若方程1yx= −的解也是方程325xy+=的解, 则 x=_______, y=________. 4、 用代入消元法解方程组3237yxyx=−+= 可以消去未知数_____, 把____代入____. ②5、 若3125xkyk== −−+是方程3226xy−=的解, 则 k =_______。 6、 若12xy== −是方程组71mxnymxny+−== −的解, 则 m=_______, n=_______. 二、 耐心选一选, 你会开心(每题 5 分, 共 30 分) 7、 下列用代入法解方程组323112xyxy−==− 的步骤, 其中最简单, 正确的是( ) A、 由①, 得23yx+=③, 把③代入②, 得231123yy+×=− B、 由①, 得32yx=−③, 把③代入②, 得 3112(32)xx=−− C、 由②, 得11 3−2xy=③, 把③代入①, 得11 3−322xx−= D、 由②代入①, 得1122yy−−=(把 3x 看作一个整体) 8、 对于方程 3x-2y-5=0, 用含 y 的代数式表示 x, 应是( ) 3yx=− A、 y=6x-10 B、225 C、1(235)xy=+ D、615xy=+ 9、 若 352220xyxy+++−−=, 则223xxy−的值是( ) A、 14 B、 -4 C、 -12 D、 12 10、 已知 x+3y=0, 则3232yxyx+−的值为( ) A、13 B、 -13 C、 3 D、 -3 11、 若方程组431(1)3xyaxay++=−=的解 x 与 y 相等, 则 a 的值等于( ) A、 4 B、 10 C、 11 D、 12 12、 已知32xy= −= −是方程组12axcycx by−+==的解, 则 a, b 间的关系是( ) A、 491ba−= B、 321ab+= C、 491ba−= − D、 491ba+= ①①② 三、 细心做一做, 你会成功(共 40 分) 13、 用代入法解下列方程组 (1)37xyx+== (2)411yxxy+=2=3 14、 用代入法解下列方程组 (1)2332xyyx=+= (2)452(1)5(1)x y-xy=+=− 15、 已知21xy== −是方程组431axy+−bx bya==−的解, 求 a, b 的值. 16、 已知 x+y=30, x-y=20, 求21(53 )y12.7x−−的值. 第二课时 代入消元法(2) 要点突破 本节课继续学习代入消元法, 代入消元法的第一步是选一个系数比较简单的方程, 怎么的方程才是系数比较简单的 方程, 并不是系数越小, 要根据具体问 题具体讨论, 如283354xyyx== −−这个方程中 x 的系数成倍数关系, 我们就应该把第一方程直接代入第二个方程。 学习了本节课的内容, 你还能发现许多巧妙的代入方法。 典例剖析: 例1: 解方程组5613(1)7181(2)xyxy++== − 思路探索: 本题如果直接使用代入法解题, 计算过程较繁琐, 仔细观察题目我们可以发现两个方程中y的系数正好呈倍数关系, 因此我们可以把6y看作一个整体代入(2) 式。 解析: 由方程(1), 得613 5−yx=③ 把③代入方程②, 得 73(135 )x1x+−= − 。 整理, 得840x = ∴52xy== − 规律总结: 本题是将6y作为一个整体代入方程(2), 这种方法叫整体代入法。 整体代入法适合两个方程中有呈倍数关系的的方程组, 是解方程或方程组常常采取的一种方法。 例 2:(2007 上海市) 2001 年以来, 我国曾五次实施药品降价, 累计降价的总金额为 269 亿元,五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示, 表中缺失了 2003 年、2007 年相关数据. 已知 2007 年药品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍, 结合表中信息, 求 2003 年和 2007年的药品降价金额. 年份 2001 2003 2004 2005 2007 降价金额(亿元) 54 35 40 思路探索: 我们可以设表中缺失的两个数据为x、 y, 根据题目中提供的两个相等关系“已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍”“累计降价的总金额为269亿元” 列出两个二元一次方程, 从而得出一个二元一次方程组。 解析: 设 2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 x 亿元、 y 亿元. 根据题意, 得6543540269yxxy=+ +++= 解方程组, 得20120xy== 答: 2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元 规律总结: 列二元一次方程组解决实际问题, 设出两个未知数, 根据题目中的两个相等关系,列出一个二元一次方程组, 解这个二元一次方程组。 课时达优: 一、 精心填一填, 你会轻松(每题 5 分, 共 30 分) 1、 在式子 mxny+中, 当 x=5, y=-1 时, 这个式子的值为 0; 当 x=3, y=5 时, 它的值是 28, 则 m=______, n=_______. 2、 已知方程组35471xyxy−−==与46ax by−+ax by==的解相同, 则 a=________, b=_________。 3、 已知 a-3b=2a+b-15=1, 则2243aabb−++的值为___________。 4、 若关于 x、 y 的二元一次方程组2351xykxyk+=+=−的解 x 与 y 的差是 7, 则 k=______。 5、 若 x=12时, 关于 x、 y 的二元一次方程组212axyxby−=-=的解, x、 y 互为倒数, 则 a-2b=_________。 6、 把一个长方形的长减少 4cm, 宽增加 2cm, 得到一个正方形, 它的面积与原长方形的面积相等, 则原来长方形的长为_______, 宽为________。 二、 耐心选一选, 你会开心(每题 5 分, 共 20 分) 7、 解方程组3476(1)91025(2)mnmn−−=+的最好方法是( ) A、 由(1) 得743+nm+=, 再代入(2) B、 由(2) 得25 10+9+nm=, 再代入(1) C、 由(1) 得374mn=, 再代入(2) D、 由(2) 得925 10mn=, 再代入(1) 8、 已知24xy= −=和41xy==都是方程 yax b+=的解, 则( ) A、125ab== B、123ab= −= C、121ab== − D、121ab= −= − 9、 已知甲、 乙两人的收入之比为 3∶ 2, 支出之比为 7∶ 4, 一年后, 两人各余 400 元, 若甲的收入为 x 元, 支出为 y 元, 可列出的方程组为( ) A、4002740034xyxy−=+= B、4003440027xyxy=+−=C、4002440037xyxy−==-D、4002740034xyxy−=−= 10、 古代有这样一个寓言故事: 驴子和骡子一同走, 它们驮着不同袋数的货物, 每袋货物都是一样重的。 驴子抱怨负担太重, 骡子说: “你抱怨干吗? 如果你给我一袋, 那我所负担的就是你的两倍; 如果我给你一袋, 我们才恰好驮的一样多!” 那么驴子原来所托货物的袋数是( ) A. 5 三、 细心做一做, 你会成功(共 50 分) B. 6 C. 7 D. 8 11、 已知方程10mxny+=的解为12xy= −=及21xy== −, 求 3m+7n 的值. 12、 解方程: (1)3() =(-)1214(1)3(5)xyyx−−=+ (2)4523157xyxy−=−= −- (3)532222xyxy=−= 13、 已知方程组629 3= −xyxyk= −−有正整数解, 求 k 的值. 14、 解方程组:232(2 )y14x5+3(23 )y24045xyxxy−++=−−+= 15、 开学后书店向学校推销两种素质教育图书, 如果按原价买这两种书共需 880 元, 书店推销时, 第一种书打了八折, 第二中书打了 七五折, 结果两种书共少用了 200 元。 那么这两种书的原价各是多少元? 第三课时 消元(3) 要点突破 一、 加减消元法 通过加减达到消元目 的, 从而求得方程组的解的方法叫做加减消元法。 加减消元法的理论依据是: 等量加等量, 和相等; 等量减等量, 差相等; 互为相反数两数相加得 0。 二、 什么时候可以运用加减消元法 当方程组中两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时, 我们就可以运用加减消元法, 运用时我们只需将两个方程的两边分别相加或相减, 就能消去这个未知数, 得到一个一元一次方程, 注意: ①正确用加减法解二元一次方程组的一般步骤; ②求解不完整, 只求一个未知数的值; ③方程两边同乘以一个不等于零的数, 容易出现漏项。 运用加减消元法解方程组时, 首先要观察两个方程同一个未知数的系数, 如果系数相等,那就将这两个方程直接相减; 如果系数互为相反数, 则将两个方程相加, 就可以消去该未 知数。 典例剖析: 例 : (2007 年长春) 方程组34231xyxy+=−= −,的解是( ) A、11xy= −= − B、11xy== C、22xy= −= D、21xy= −= − 思路探索: 观察方程组, 我们可以发现y的系数分别是3和-3, 它们是一对互为相反数, 我们将方程①和方程②相加就可以消去y, 得到一个关于x的一元一次方程。 解析: ①+②得: 3x=3 x=1 把x=1代入方程①代入方程② 1+3y=4 y=1 解得:11xy== 规律总结: 当二元一次方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时, 这时我们可以将两个方程通过相加或相减达到消元的目的。 课时达优: 一、 精心填一填, 你会轻松(每题 5 分, 共 30 分) 1、 方程组231252xyxy−+== −中, x 系数的特点是_____________, 方程组548746xyxy+−==中, y的系数的特点是________________, 这两个方程组用_________消元法解较方便。 2、 用加减法解方程组2925xyxy+−== − 解: ①+②, 得____________, 即____________. ①-②, 得____________, 即____________. 所以方程组的解为_________________. 3、 用加减法解方程组2728xyxy+==+①②可将方程①两边同乘以__________, 再与方程②相_____。 4、 方程组1325yxxy= −+=的解________(填“是” 或“不是”) 方程3213xy−=的一个解。 5、 若 26、 一个两位数的十位数与个位数的和是 9, 如果这个两位数加上 27, 那么恰好成为个位数与十位数对调后组成的两位数, 求原来的两位数为________。 34ab+=和 35ab− = − 能同时成立, 则 a=_______, b=_______。 ①② 二、 耐心选一选, 你会开心(每题 5 分, 共 30 分) 7、 用加减法解方程组235283xyxy−−==时, ①-②得( ) A、 52y = B、118y =- C、112y =- D、 58y = 8、 已知2728xyxy+==+, 那么 xy−的值是( ) A、 -1 B、 0 C、 1 D、 2 9、 方程组326254xyxy−-②==①将①×2-②×3 得( ) A、 3y=2 B、 4y+1=0 C、 y=0 D、 7y=10 10、 关于 x、 y 的二元一次方程组24xyaxya+−==的解是二元一次方程35280xy−−=的一个解, 则 a=( ) A、 3 B、 2 C、 7 D、 6 11、 若方程组323xykxyk−==−−的解中 x 与 y 相等, 则 k 的值为( ) A、 1 B、23 C、12 D、 -23 12、 已知方程组32mxayaxny+−== −的解是14xy= −= −, 则 m, n 的关系是( ) A、三、 细心做一做, 你会成功(共 40 分) 165mn−= B、1611mn−= C、1611mn+=- D、165mn+= − 13、 用加减消元法解方程组 (1)231121xyyx+=−= (2)220.230.32.8xyxy+=+= (3)32(21)4214(1)2xyyxx−+=++=− (4)233222x523(23 )y(+32 )y625xyxyx++=++=+ 14、 甲、乙两人同解方程组232AxByCxy−−== −, 甲正确解得11xy== −, 乙因抄错 C, 解 得26xy== − .求 A、 B、 C 的值。 15、 若方程组451xyax by+−== −与393418xyaxby+=−=有公共解, 求 a 、 b 的值. 16、 下面给出的三个方程组234567xyxy++==,23234xyxy+=+=及345969798xyxy+=+=的解相同吗?你能得出什么结论? 将上述三方程组推导为一般形式, 并证明你的结论。 第四课时 消元(4) 要点突破 一、 加减消元法的一般步骤: (1) 根据“方程两边都乘(或除以) 同一个不等于 0 的数, 所得方程与原方程是同解方程” 的原理, 将原方程组化成有一个未知数的系数的绝对值相等的形式, 即同一个未知数的系数相等或互为相反数。 (2) 根据“方程两边都加上(或减去) 同一个数, 所得方程与原来方程是同解方程” 的原理, 将变形后的两个方程相加(或相减), 消去一个未知数, 得到一个一元一次方程; (3) 解这个一元一次方程, 得到一个未知数的值; (4) 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中, 求出另一个未知数, 从而得 到方程组的解。 (5) 将两个未知数的值用“{” 合写在一起。 注意: 事实上, 所有的二元一次方程都可以用“代入法” 解, 也都可以用“加减法” 解。但是, 通过...