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如果拿破仑在滑铁卢打胜仗,则秦始皇是同性恋
[P: 拿破仑在滑铁卢打胜仗; Q: 秦始皇是同性恋]
如果张学友举办过慈善演唱会,则克林顿和莱温斯基传过丑闻
[P: 张学友举办过慈善演唱会; Q: 克林顿和莱温斯基传过丑闻]
如果IQ博士的作者是鸟山明,则地球是圆的
[P: IQ博士的作者是鸟山明; Q: 地球是圆的]
第一个例子仅因为P 事实上是假的,后两个仅因为Q 事实上是真的,同样都使得P→Q 成立,进而令P 是Q 的充分条件,且Q 是P 的必要条件。
(I) 是最弱的充分必要条件,同时也是大多逻辑书会用的版本,但仍有逻辑书会触及另一种较强的充分必要条件。 在较强的意思之下, P 要是Q 的充分条件,或者Q 要是P 的必要条件,须得以下这点成立
(II). 必然地,如果P ,则Q
(或:不可能, P 且非Q)
即使事实上P 不为真,即使事实上Q 为真,使不足以使(II) 成立。 (II) 明显包含了模态词,要使(II) 成立,除了P 和Q 事实上的真假,还需要两者的真假有必然连系。 举例来说,“小明是单身汉”是“小明是男人”的充分条件,同时后者是前者的必要条件,不是因为
(2). 如果小明是单身汉,则小明是男人
而是因为
(3). 必然地,如果小明是单身汉,则小明是男人
(或:不可能,小明虽是单身汉,但却不是男人)
只要事实上小明不是单身汉,或者事实上小明是男人, (2) 都会成立。 但这个意思的充分必要条件太弱,“单身汉”和“男人”之间的连系需要用模态词才能捕捉,因此要用(3) 来理解这个较强的充分必要条件。 然而, (II) 的模态词也有歧义。 “必然”可以指“生物学上必然”、“科技上必然”、“物理上必然”、“形而上学上必然”、“数学上必然”、“概念上必然”等等,到底是哪个意思,还要视乎脉络而定。 日常条件句的歧义使得“若且唯若”也有歧义 。
(4). 如果甲摄取了过量水分,甲会水中毒
[P: 甲摄取过量水分;Q: 甲水中毒]
(5). 如果植物在被放在无光的环境,它会无法进行光合作用
[P: 植物在被放在无光的环境;Q: 植物无法进行光合作用]
(6).如果我们平放两张一样的高塔照片,我们会产生其中一栋塔倾斜的错觉
[P: 我们平放两张一样的高塔照片;Q: 我们会产生其中一栋塔倾斜的错觉]
(7).如果p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n都是质数,则p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n以外尚有其他质数
[P: p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n都是质数;Q: p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n以外尚有其他质数]
自然语言的条件句许多时候都暗藏模态概念。 例如, (4) 通常用来表达摄取过量水分在生物学上必然会水中毒; (5) 同样是生物学上的必然:植物吸收不到光就一定不能进行光合作用; (6) 表达在心理学上,平放高塔照片必然会产生错觉; (7) 表达的是,对于每个有限的质数集,必定尚有质数不在该集合内。 我们理解这些条件句时,常常自动把模态成分加入去,将这些句子的意思解读得更强。 在这几个例子,我们依然会说P 是Q 的充分条件,而且Q 是P 的必要条件。 (4) - (7) 表面上没有模态成分,实质上被解读成有,因为我们很多时候会用(4') - (7') 来理解(4) - (7) :
(4'). 这是生物学上必然的:如果甲摄取了过量水分,甲会水中毒
(5'). 这是生物学上必然的:如果植物在被放在无光的环境,它会无法进行光合作用
(6').这是心理学上必然的:如果我们平放两张一样的高塔照片,我们会产生其中一栋塔倾斜的错觉
(7').这是数学上必然的:如果p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n都是质数,则p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n以外尚有其他质数
日常条件句时常隐含模态,稍一不慎,便会将两种强弱不同的充分必要条件混为一谈。
哲学讨论用到充分必要条件,甚少将意思限于实质条件句的程度,也就是什少限于(I) 的程度。 举个具体例子:在形而上学讨论“个人等同”(personal identity),其中一种理论主张“甲和乙有一样的记忆”是“甲和乙是同一个人”的充分条件。 用较弱的意思,即是
(8). 如果甲和乙有一样的记忆,则甲和乙是同一个人
(并非,甲和乙有一样记忆但不是同一个人)
在较强的意思之下,它会是
(9). 必然地,如果甲和乙有一样的记忆,则甲和乙是同一个人
(不可能,甲和乙有一样记忆但不是同一个人)
他们所讲的“充分条件”不是(8) ,而是(9) 。 因为,这个领域的讨论经常提到一个反对,这反对要设想一个可能出现的情境,在该情境里甲和乙虽然有一样的记忆,但却不是同一个人。 换句话说,这个反对是要指出:
(10). 有可能,甲和乙有一样记忆但不是同一个人
然而, (10) 和(8) 没有冲突;即使(10) 是真的,也不代表(8) 是假的。 比较: (P∧~Q)与~(P∧~Q)没有冲突,两者可一齐为真。 与(10) 相冲突的是(9) ;一旦(10) 为真, (9) 便不是真的。 比较: (P∧~Q)与~(P∧~Q)相矛盾。 因此,合理的解释是,最初讲的“充分条件”要用(9) 来理解。
除此之外,知识论讨论“知识”(knowledge)的充分必要条件,考虑的不只是现实情况拥有知识的人同时拥有哪些性质(例如,拥有合理的真信念),更要考虑可能出现的情况里,拥有知识的人会否有相同性质。 规范伦理学(normative ethics)研究道德对错的充分必要条件,由许多反驳可见,伦理学家想要的充分必要条件还要涵盖有可能出现的情况,例如效益主义对于道德对错的判断要涵盖代罪羊(scapegoat)、铁道问题(trolley problem)等情境。 若果这些讨论的充分必要条件都没有模态成分,仅仅是最弱的意思,那么,这些非现实的情境和例子都会是不相干的。
其实,充分必要条件的复杂性绝不只以上,再简略谈多两个关于充分必要条件的问题。
第一个问题是,很多逻辑书的定义使我们没有办法一致地说“非充分、非必要”。 许多逻辑书都是用命题逻辑的实质条件句来定义“充分条件”和“必要条件”:
P是Q的充分条件= Df P → Q
P是Q的必要条件= Df Q → P
假设P 是“小明用功读书”、 Q 是“小明交到女朋友”。 很明显(虽然很可怜) P 既不是Q 的充分条件,也不是Q 的必要条件。 根据定义,充分必要条件不成立,即是相应的实质条件句是错的,也就是:
¬ ( P → Q ) ∧ ¬ ( Q → P )
但实质条件句只在一种情况错:前项真而后项假的情况。 因此,非必要、非充分的情况即是:
( P ∧ ¬ Q ) ∧ ( Q ∧ ¬ P )
最后等于要P 、 Not-Q 、 Q 、 Not-P 一起成立,但这显然不可能。 换句说话,根据许多逻辑书的定义,说某条件“既非充分亦非必要”已经蕴涵矛盾。 可是显然真的有非充分、非必要的情况;逻辑书的定义无法正确捕捉“充分条件”和“必要条件”的用法。
用命题逻辑的实质条件句定义充分必要条件尚有许多问题,例如“单身”和“单身汉”根本就不是命题。 建议不用命题逻辑,改用述词逻辑,但只要仍用实质条件句来定义,类似的例子应该仍会出现(只需将论域设定成只有一个物件),因为第一个问题本质上就是实质条件句的问题 。
问题二,即使不用实质条件句,充分必要条件的定义往往仍涉及条件句(conditional)。 第二个问题远比第一个复杂,因为这个问题指出条件句(不只是实质条件句)本身就极麻烦。 撇除当代的讨论不谈(例如不管反事实条件句(counterfactual conditional)),许多年前Ian Wilson已经留意到英文的条件句至少有两个功用:用来做解释(explanation)和用来做推论(inference)。 固中原理大可不谈,最重要的是许多哲学家和逻辑学都觉得充分必要条件能够“互置”:
P 是Q 的充分条件 ⇔ 如果P 则Q ⇔ Q 是P 的必要条件
例如, Richard Taylor 在他的经典文章《宿命论》(fatalism)中就表明“P是Q的充分条件”与“Q是P的必要条件”可以互换。 可是,这个“互置”的性质未必毫无问题。
试想像小王是个十分胆小的人,只要听到狗叫一定会哭。 我们会同意条件句:
1. 如果狗叫,则小王会哭
另一个条件句看来起也是真的:
2. 如果小王没有哭,则没有狗叫
这情况可用“充分条件”来表达:
3. “狗叫”是“小王哭”的充分条件
然而,如果用“必要条件”来表达,听起来就有点奇怪:
4. “小王哭”是“狗叫”的必要条件
个中原因在于,我们可以用“狗叫”来解释“小王哭”(cf. 1, 3),但却不能用“小王没有哭”来解释“没有狗叫”(cf. 2, 4 )。 比如,如果有人问你小王为什么哭,你大可答他“因为刚才有狗叫”;但如果有人问你为什么没有狗叫,你大概不会说“因为小王没有哭”。 借用Wilson 的分区,我们可说1是解释用的条件句前项“狗叫”可解释后项“小王哭”但2不是解释用的条件句前项“小王没有哭”不可解释后项“没有狗叫”。
不过, 1 和2都是推论用的条件句:如果狗叫,我们便有理由推论小王会哭;如果小王没有哭,我们也可借此推论没有狗叫。 解释用和推论用的条件句分别对应到Wilson 的“reason why”和“reason for thinking”。
充分条件:
如果条件A是结论B的充分条件:A与其他条件是并连关系,即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立(就像是个人英雄主义),如下图:
用法:
1.如果条件A存在,B肯定成立,即A→B(箭头表示能够推导出)
2.如果B不成立,则说明所有可能的条件都不存在,因此A肯定也不存在,即非B→非A
3.如果条件A不存在,而条件C、D可能存在,也可以使得B成立,即不能导出非A→非B
必要条件:
条件A是结论B的必要条件:A与其他条件是串联关系,即条件A必须存在,且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。(团结的力量)如下图:
用法:
我简单表示为A+…→B(中间的点表示还有其他条件)
1.如果B成立了,说明所有条件都存在,肯定存在条件A。即B→A。
2.如果条件A不存在,串联少了一个条件,B也肯定不能成立,即非A→非B。
3.如果B不成立,可能是C,D不存在但A存在,只是C、D掉链子了,即不能导出 非B→非A。
试题中的用法:
先判断出各个关键词之间是充分还是必要关系,然后用关键词和箭头画出之间的关系,例如:A是B的充分条件,A’是B的必要条件,则画出来A→B←.....+A’,然后根据必要条件A’+…→B能推导成B→A’的特点转化为A→B→A’
然后根据四个正确推论:A→B ,非B→非A,B→A’,非A’→非B和
两个错误推论:非A→非B ,非B→非A’即可进行判断。
对于公务员考试中此类题的简单解题方法,我在专栏里做了详细介绍,需要的话请移步专栏:充分必要条件 - 简单解题方法,如果完全理解消化了的话,应该就能很顺利地解决这类题目了。
下面先举一个例子简单说明试题中的做法:
例题:只有住在广江市的人才能够不理睬通货膨胀的影响;如果住在广江市,就得要付税;每一个付税的人都要发牢骚。
根据上述判断,可以推出以下哪项一定是真的?
(1)每一个不理睬通货膨胀影响的人都要付税。
(2)不发牢骚的人中没有一个能够不理睬通货膨胀的影响。
(3)每一个发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响
分析:先一句句分析:
只有住在广江市的人才能够不理睬通货膨胀的影响
“只有。。。才。。。”在这里表示必要条件,“住在广江市”是“不理睬通货膨胀”的必要条件,但是不充分(因为有可能不光“住在九江”,还得“有九江户口”等条件才能“不理睬通货膨胀”),标记为:住在广江市+...→不理睬通货膨胀,根据必要条件A+…→B的正确推论B→A的特点,转化为:不理睬通货膨胀→住在广江市。
(注:“只有。。。才。。。”也可能表示充分必要条件,区别是这个条件是不是导致结论的唯一条件。比如“只有触犯了刑法才按照刑法进行处罚”,“触犯了刑法”是“按照刑法进行处罚”的唯一条件,因此是充分必要条件。而本题中,仅仅“住在广江市”,如果没有收入等,那也不能够“不理睬通货膨胀”,因此需要其他条件进行串联才能够导致“不理睬通货膨胀”,因此在此题中是仅仅是必要条件而不是充分必要条件。)
如果住在广江市,就得要付税
“如果。。。就。。。”表示充分条件,住在广江市是付税的充分条件,标记为:住在广江市→付税。
每一个付税的人都要发牢骚
“。。。都要。。。”也表示充分条件,付税是发牢骚的充分条件,标记为:付税→发牢骚。
然后连起来就是:不理睬通货膨胀→住在广江市→付税→发牢骚。
对于(1),根据上面画出来的推导链条,充分条件能连续推导,很明显是对的。
对于(2),根据充分条件推理的非B→非A的特点,以不发牢骚为起点反推,不发牢骚→不付税,不付税→不住在广江市,不住在广江市→理睬通货膨胀,也就是说没有人能够不理睬(双重否定即肯定),因此(2)也正确。
对于(3),由于充分条件推理只能非B→非A,不能够B→A,因此推导不回去。
注:判断是“充分条件”还是“必要条件”还是“充分必要条件”,最好不记关键词而是应该理解判断表达的意思,因为很多句子没有“只有”、“才”、“就”等关键词。
如果条件能够导致后面的结论,那就是充分条件,比如“住在九江要付税”,可以理解出“住在九江”已经能够导致“付税”成立,那么“住在九江”就是“付税”的充分条件;
如果结论想要成立必须需要前面的条件,就是必要条件,如“付税需要住在九江”,可以理解出“住在九江”是“付税的一个条件,但可能需要其他条件,比如“月薪需要超过3500”,因此“住在九江”就是“付税”的必要条件,表示很必要,但是还不够充分导致结论;
如果前面的条件是后面结论成立的唯一条件,那么就相互是充分必要条件。这个比较容易判断。
@一只猪
,对于你提的问题,我试着推导解释了一下,请批判式阅读。
1、如果p是q的充分条件,那么q一定是p的必要条件。
解释:“p是q的充分条件”,根据充分条件图:
如果q(B)不成立,则说明所有可能的条件都不存在,因此p(A)肯定也不存在,也就是说q的存在对于p的存在是必要的。因此q一定是p的必要条件。
2、如果p是q的必要条件,q一定是p的充分条件。
解释:“p是q的必要条件”,根据必要条件图:
如果q(B)成立,则说明包括p(A)在内所有可能的条件肯定都存在,因此p(A)肯定也存在,也就是说q的存在对于p的存在已经很充分,不需要别的其他条件。因此q一定是p的充分条件。
3、p对于q是不充分的,q对于p一定不必要。
分两种情况:
1)p对于q是必要不充分的,那么q对于p一定是充分不必要条件。
解释:“p对于q是必要不充分的”,根据必要条件图:
如果q(B)成立,则说明包括p(A)在内所有可能的条件肯定都存在,因此p(A)肯定也存在,也就是说q的存在对于p的存在已经很充分,不需要别的其他条件。因此q一定是p的充分条件。
“p对于q不充分”是说除了p必须还有其他条件共同存在才能导致q存在。只能推断出p和q不是充分必要条件。这句话不能得出其他推论。
在“q是p的充分条件”的基础上,假如q也是p的必要条件,那么q就是p的充分必要条件,那么p也是q的充分必要条件,与1)“p对于q是必要不充分的”相矛盾,且与“p和q不是充分必要条件”相矛盾,因此q不是p的必要条件。
因此,q对于p一定是充分不必要条件。
2)p对于q是不必要不充分的,那么q对于p不充分也不必要。
解释:“p对于q是不必要不充分的”,则p和q没有任何关系,因此q对于p不充分也不必要。
综合1)和2),q对于p一定不必要。
4、如果p对于q不必要,q对于p一定不充分。
分两种情况:
1)p对于q充分不必要,那么q对于p一定必要不充分。
解释:“p对于q是充分不必要的”,根据充分条件图:
“p对于q是充分的”,就是说如果q(B)不成立,则说明所有可能的条件都不存在,因此p(A)肯定也不存在,也就是说q的存在对于p的存在是很必要的。因此q一定是p的必要条件。
“p对于q是不必要的”,说明不一定需要p存在,而是存在其他条件也能够导致q存在,因此q存在不一定是因为p存在,还有可能是其他条件存在,因此q的存在不能推导出p存在,因此q是p的不充分条件。
因此,q对于p一定是必要不充分条件。
2)p对于q不充分不必要,那么q对于p一定不必要也不充分。
解释:“p对于q是不充分不必要”,则p和q没有任何关系,因此q对于p不必要也不充分。
综合1)和2),q对于p一定不充分。
充分条件
如果A能推出B,那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集,即属于A的一定属于B,而属于B的不一定属于A,具体的说若存在元素属于B的不属于A,则A为B的真子集;若属于B的也属于A,则A与B相等。
定义
如果A能推出B,那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集,即属于A的一定属于B,而属于B的不一定属于A,具体的说若存在元素属于B的不属于A,则A为B的真子集;若属于B的也属于A,则A与B相等。
分类
生活
生活中常用“如果……,那么……”、“若……,则……”和“只要……,就……”来表示充分条件。例如:
1. 如果这场比赛踢平,那么中国男足就能出线。
2. 总参命令:若飞机不能降落则直接伞降汶川。
不过生活中使用这些关联词语时人们往往并不考虑必要性。也就是说,满足A,必然B成立时,我们就说,如果A,那么B,或者说只要A,就B。这样就表达了条件的充分性,至于条件A是不是结果B必需的我们没有考虑。例如:
只要活着,我就要写作。
从客观上看,不满足“活着”,必然“不能写作”。所以“活着”是“我要写作”的充分必要条件。但是实际上说话人在说这句话时,他只想表达满足“我活着”时必然“我要写作”。至于“不活着就不能写作”的情况虽然大家都知道,但不是说话人要表达的意思。
所以生活中这些关联词语只是表达条件是充足的、充分的这个意思,而没有考虑必要性,这和逻辑学的严格定义是不同的。
充分条件的其他说法:充分的条件、充足条件、充足的条件。
逻辑学
定义:如果有事物情况A,则必然有事物情况B;如果没有事物情况A而未必没有事物情况B,A就是B的充分而不必要条件,简称充分条件。紧跟在“如果”之后 。
充分条件是逻辑学在研究假言命题及假言推理时引出的。
陈述某一事物情况是另一件事物情况的充分条件的假言命题叫做充分条件假言命题。充分条件假言命题的一般形式是:如果p,那么q。符号为:p→q(读作“p蕴涵于q”)。例如“如果物体不受外力作用,那么它将保持静止或匀速直线运动”是一个充分条件假言命题。
根据充分条件假言命题的逻辑性质进行的推理叫充分条件假言推理。充分条件假言推理,就是以充分条件假言命题为大前提,通过肯定前件或否定后件而得出结论的推理。这种推理结构由三部分组成,其中大前提是充分条件假言判断,小前提和结论是由这个充分条件假言判断的前件或后件组成的判断。列宁说过:“任何科学都是应用逻辑。”
”体现在刑事侦查中,侦查人员发现的大量证据即物证、人证等为小前提,推出结论的思维过程便是充分条件假言推理在刑事侦查中的运用。侦查的任务是通过现场勘查、调查访问,获取犯罪发生的情况及作案人的线索。在此基础上,警察要对案情进行分析判断,断定案件的性质、提出侦查假设,这包括确定案件发展的方向,猜测作案人的范围、制定破案的方向,然后实行侦查,最终破案。在此过程中,从立案、侦查到结案,侦查员要探究因果关系必须运用逻辑学,特别是关系到对案件侦破关键性意义重大的侦查假设和推理,都体现着充分条件假言推理在刑事侦查中的重要地位。
数学
有命题p、q,如果p推出q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;如果p推出q且q推出p,则p是q的充分必要条件,简称充要条件。
例如:x=y推出x^2=y^2,则x=y是x^2=y^2的充分条件,x^2=y^2是x=y的必要条件。
a、b一正一负推出ab