1利用介值定理例1证明方程X 5+ X 一1= 0 有一个正根。证明: 设f ( x )= f + x —I, 则f ( x )在[ 0 , 1]上连续, 且f ( 0 )=一I 0 , 由介值定理知存在一点∈ E ( 0 , I), 使得f ( ∈ )= O , 即∈ 是方程f + x ~I= 0 的一个正根。2利用中值定理…我们常常将所要证明的问题转化为证明导数零点的存在性,由中值定理证明之。例2设函数f ( X )在( o , I]上连续, 且』 jf ( x )d x = o , 证明在开区间( 0 , 1)内方程f ( 1一X )+ f ( X )= O 至少有一个根。证明: 设F ( 并)= JoIf ( I—f )+ 尺f )]d t, 贝HF ( o )= 0 ,F ( 1)= fl[ “1一t)+ f( t)]出= 厶l—t)出= Il八t)dt= 0,由洛尔定理知至少存在一点妊( 0 , 1), 使F ≮∈ )= 0 , 即f ( 1一毒)+ f ( 专)= O例3设a b > 0 , 证明方程( I—x )e 。 ( a —b )一a e “+ b e 4 = 0 在a与b 之间至少有一根。证明: 设f ( x )= x e+ , 由a b> o 知以÷与÷为端点的区问不包aD含原点, 故f ( x )在以—L 与÷为端点的区问上满足拉格朗日中值定aD4 63 利用导数例4 设函数f ( x )在x = 0 处可导, 且对任意的实数x 、 Y 满足方程火z+ , , )= 又茹)+ 灭, , ), 证明: f ( x )一f ( 0)x - ; 0。证明: 由条件f ( x + Y )= f ( x )+ f ( Y )知f ( o )= 0 , 于是对任意的实数X ,州= 五盛监等}世= 矗晶趔』 掣: n. m. 薹掣: “. m. 世蝉: 八o), 故/k△州△石△删x’八笫)= 以O )x + c , 令并= 0 得c = 0 , 所以以x )一八0 )z ; 0 。4 利用最值例5假设f ( x )在[ a , b ]上可微, 若f - ( a ) 0 , 则H x )= 0 在( a , b )内至少有一个根。证明: Nf; ( n)=“凸厶旦土掣 0 时,对妊[ a , b ], 存在y E [ ayb], 使得f“), )I o