PART 1 知识预备----微积分与导数简单介绍
一.导数
先甩出导数定义:
设函数
在点
的某个邻域内有定义,当自变量
在
处取得增量
(点
仍在该邻域内)时,相应地,因变量取得增量
;如果
与
之比当
时的极限存在,那么称函数
在点
处可导,并称这个极限为函数
在点
处的导数,记为
,即:
也可记作:
,
,
对于没接触过导数的同学来说,这一段可能是晦涩难懂的。但相信我,我接下来会尽量用朴素的语言来尽可能地使你接受.
首先,我们来把导数拉下神坛:导数不是什么一堆看不懂的数学符号,也不是一大坨晦涩难懂的数学术语,它是个及其简洁美丽的数学工具,简单来看,导数就是斜率.
我们来举几个例子.
先从简单的开始:我们先来研究函数
f(x)=2x+3
我们很容易知道,这条直线的斜率
.
现在我们回想一下,自己是怎么知道斜率的?
大多数人应该是一眼看到
前面的系数为
,便得出了斜率为
的结论.但这背后的原因又是什么呢?
有些人可能会带着一脸鄙夷回答我:“众所周知,直线方程的斜截式就是
,那
前面的系数自然不就是
了么?”但那为什么
就代表着斜率呢?难道斜率写在了
的脸上么?我看它这么瘦小也写不下两个大字啊?
显然这个问题并没有表面上这么简单,深层次的原因我们稍后探讨.
我们先用我们学过的求斜率的方法进行求解:
在直线上取不同的两点
,方便起见,在这里我们取
和
.
易得:
现在,我们不断缩短两点间的距离,直到很小为止,不妨令一点坐标为
,另一点的横坐标要多
,即
于是,由
可得:
是不是感觉
式似曾相识?
没错,如果对
,那么上式就是导数的定义.
现在我们尝试对
应用导数:
类似的,读者可以用相似的方法试着证明一下对于任意一次函数
,
恒成立.这里省去不写.
前面我们简单联系了导数的使用,不给大家喘息机会,我们继续.
想要获得喘息机会请点锁屏键,站起来,喝口水,活动一下.
下面我们开始研究函数
同样