由于这个定理和奔驰的logo很相似,我们把它称为奔驰定理.
这个定理也可以利用三角恒等式证明,记\(\angle APB=\alpha\),\(\angle APC =\beta\)、\(PA=x\)、\(PB=y\)、\(PC=z\),欲证等式左边与\(\overrightarrow{PA}\)作数量积\[\begin{split}&\quad \left(s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}\right)\cdot\overrightarrow{PA}\\&=\dfrac 12yz\sin\left[2\pi-\left(\alpha+\beta\right)\right]\cdot x^2+\dfrac 12zx\sin\beta\cdot xy\cos\alpha+\dfrac 12xy\sin\alpha\cdot zx\cos\beta\\&=\dfrac 12x^2yz\left[-\sin\left(\alpha+\beta\right)+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\right]\\&=0,\end{split}\]同理,欲证不等式左边与\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)作数量积得到的结果也均为\(0\).而向量\(\overrightarrow{PA}\)、\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)不共线,因此欲证明等式左边为零向量,等式得证.
事实上,根据这个定理,我们容易得到三角形的五心的向量表达:
重心\(G\)满足
\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0,\]
外心\(O\)满足
\[\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]
内心\(I\)满足
\[\beg