在线性代数中秩的定义:
一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地,行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或rank A。
m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足的。
所以矩阵列空间、行空间的维度相等,并且为矩阵的秩不是偶合而是必然的。任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换为阶梯形矩阵,而阶梯形矩阵的秩对于其中非零行的个数。
所以矩阵秩的计算方法:用初等行变换把矩阵化为阶梯形,则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。
例子如下:
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那每次求解矩阵的秩都需要去初等变换计算咯
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这样看的话确实明白了不少
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首先,讲到矩阵的秩,几乎必然要引入矩阵的SVD分解:X=USV',U,V正交阵,S是对角阵。如果是完全SVD分解的话,那S对角线上非零元的个数就是这个矩阵的秩了(这些对角线元素叫做奇异值),还有些零元,这些零元对秩没有贡献。
有了这个前提,我们就可以用各种姿势来看秩了: