证:必要性
因为A与B的行向量组等价
所以A可经初等行变换化为B
所以存在可逆矩阵P,使得 PA=B
易知 AX=0 的解是 PAX=0 的解.
反之,PAX=0 的解 也是 P^-1PAX=0 即AX=0 的解
所以 AX=0 与PAX=0 同解
即Ax=0与Bx=0同解.
充分性
由Ax=0与Bx=0同解
知A,B 的行简化梯矩阵相同
即存在可逆矩阵P,Q,使得 PA=QB
所以 Q^-1PA=B
所以 A与B的行向量组等价.
1年前
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这个证明大概写一下
充分性
因为齐次方程组Ax=0与Bx=0同解
当两个方程有唯一解,那么解相等
且为0,所以A,B秩相同
所以A与B相抵,所以行向量等价
有无穷多解,且标准基础解基唯一,即存在解向量矩阵秩为n-r
所以r(A)=r(B),所以A,B相抵
必要性
矩阵A,B经过行初等变换可以化为行标准阶梯矩阵,且该矩阵唯一
1年前