将?代入式 (4-8),得应力分量: 位移分量: 将(4-9)式代入本构方程(4-3)得应变分量为 几何方程: 积分可得位移分量: (2) 将(4-10)的第2式及(2)式代入几何方程 的第二式: 积分得: 将式(2)和式(3)代入几何方程第三式: (3) 若要上式恒定成立,只可能是两边都等于某个 常数F,于是有 (4) 由上式解得: 将(4(b))两边对?求导,方程变为: 其解: 则由式(4(b))得: 轴对称应力相应的位移分量: (4-11) 式中,A、B、C、H、K、I为待定系数,由边界 条件和约束条件确定。式(4-9)表明,待定系 数H、K、I与应力无关,它们代表刚体位移。 对应于无应力状态的位移为: (8) 下面讨论待定系数H、K、I的物理意义。首先, 从图4-5的投影关系中可以得到,直角坐标下的 位移与极坐标下位移的关系为: (4-12) 将(8)代入(4-12)得 可见,I、K 分别是物体沿x 和y 方向的刚体平移, H 的意义可参见图4-6,它代表绕对称轴的刚体转动。 一般地,与轴对称应力相对应的位移不是轴对称 位移。但如果物体的几何形状、载荷和约束是轴 对称的,则必为轴对称位移,即 则由(4-11)式,有 代入(4-9)式得应力: 位移: 如果物体是实心的,由于中心处的应力不可能 是无限大,故 此时,应力分量为: 此式表明,具有轴对称几何和载荷作用的实心物体, 其应力场为均匀应力场。 §4-4 圆环或圆筒问题 1 受内、外压作用的圆环或圆筒 圆环或厚壁圆筒,内半径为a,外半径为b,内部 受均压 外部受均压 ,求应力分量。 图4-7 由于结构和载荷的对称性,其应力解为: 解: 边界条件: 其中边界条件: 已自动满足 由其余二式得: 解之得: 应力分量: 2 . 圆筒受内压,外边界给定位移约束 圆筒内半径为a,外半径为b,受内压q作用,外 边界固定。 这是一个混合边值问题。 边界条件: 解: 图4-8 显然, 已自然满足 将(4-13)第一式和(4-14)第一式分别代入其 余两式,并注意到在平面应变问题中 由此可解得: 应力分量: * * 在求解弹性力学问题时,无论选取什么形式的 坐标系都不会影响问题本质的描述,但却涉及到解 决问题的难易程度。 在平面问题中,对于圆环、楔形、扇形之类的 物体,用极坐标比用直角坐标方便得多。这时,物 体的边界线与坐标线重合,边界条件的形式最为简 单。 在极坐标系中,平面内任一点的位置由径向坐 标r和环向坐标?表示。在平面上r不变的曲线称为? 坐标曲线,它是以原点为圆心的圆;平面上?不变 的曲线称为r坐标曲线,它是过O点的直线。 在极坐标中, 由于两切线相互垂直,所以极坐标是一种正交 曲线坐标。 过这 一点沿r和?增加的方向引两条坐标曲线的切线矢 量,就构成了该点的一个局部标架。 随点的位置不同局部标架的方向将发生变化。 图4-1 在极坐标系中,应力分量、应变分量、位移 分量和外力分量的定义、记号和正负号都是参 照局部标架来定义和规定的。比如r 面上的正 应力,用 表示,称为径向正应力,其上剪 应力用 表示。? 面上的正应力,用表示,称为环向(或切向)正应力,其上剪应力 表示为 . 图4-2 §4-1 极坐标中的基本方程与边界条件 1. 平衡微分方程 根据极坐标的特点,用两个同心圆柱面和两个 径向平面从弹性体中截出一个扇形微单元体PABC。 由于单元体尺寸很小,可以认为各微面上的应 力是均匀分布的。按泰勒级数展开,在两个弧面上, 由于有位置dr的变化,其上相应的正应力和剪应力 的变化量为 和;同样两个径向平面由于位置差d?,其上正应力和 剪应力的变化分别为 和;微元体的体力: 下面研究微元体的平衡,将微元体上所受的力向 微元体中心的径向方向投影,得径向平衡方程: 将微元体上的作用力向中心的切向方向投影,得切 向平衡方程: 将微元体上的作用力对中心取矩得: 剪应力互等仍然成立. 由于d?是个小量,故有 和 简化以后,除以 ,再略去高阶小量,得: 这就是平面问题极坐标下的平衡微分方程。 2. 几何方程 下面考察过物体内一点P的两个正交线元 的变形。 和 分别表示线元PA和PB的相对伸长, 即径向和切向正应变, 表示该两个正交 线元直角的变化,即剪应变。 分别表示P点的径向和环向位移。 假定正交线元PA、PB的变形分两步完成: 第1步:只有径向位移,而没有环向位移(图4-4(a))。 这时,径向线元PA移到P?A?,环向线元PB移到P?B?。; P点的位移为 B点的位移为 A点的位移为 径向线元PA的正应变: 环向线元PB的正应变: 直角的变化(剪应变): 第2步:只有环向位移,而没有径向位移(图4-4(b))。 径向线元PA移到 ,环向线元PB 移到 。 P点的位移: A点的位移: B点的位移: 径向线元PA的正应变: 环向线元PB的正应变: 直角的改变量(剪应变): 将(3)~(5)三式与(6)~(8)三式分别 叠加,得物体的任一点P的应变: 这就是极坐标平面问题几何方程。 3. 本构方程 由于极坐标与直角坐标都是正交坐标,只是通 过同一点的两组坐标架相对转动了一个角度,而材 料又是各向同性的,与方向无关。所以,只须将直 角坐标下本构方程中的x、y用r、?替换即得极坐标 下的本构方程如下: 或者 4. 边界条件 力的边界条件: 这里的外法线方向余弦(l, m)是对局部标架定义的, 、 表示沿r和?方向的给定面力分量。 位移边界条件: §4-2 极坐标中的应力函数 相容方程 已知在直角坐标中的相容方程为 (常体力),式中拉普拉斯算子 同样,在极坐标系中,也可得到类似的应力函数 表示的控制方程,为了导出极坐标下的相容方程, 最简单的办法是对算子进行变换。直角坐标与极 坐标的关系如下: 或将r 和? 分别对x、y 求偏导数: 根据复合函数求导的链式法则,并引用(2)式得 由此,对坐标x、y的二阶偏导为: *