第三章 自然哲学的数学原理　　牛顿力学 ——理想模型质点: 当物体的线度和形状可以忽略不计时, 将物体抽象为一个具有质量, 占有位置的“点” 。如: 地球绕着太阳公转。一: 质点、 质点系第一节、 运动的描述运动的描述v离散质点的集合,连续质点的集合。质点系: 质点的集合。(太阳-地球)(地球自转)\uf077质点, 质点系是理想的物理模型 . 目的是突出研究对象的主要性质 , 忽略次要的因素 . 二: 参考系和坐标系运动是绝对的, 运动的描述是相对的。参考系:参考的物体——叫参考系。为描述一个物体运动而选定的另一个作为坐标系 ——在参考系上建立带有标尺的数学坐标,简称坐标系。v参考系乙甲v\uf072(参考系不同, 描述物体的运动也不同)参考系 xyzoPr直角坐标极坐标系O极轴径向角向r\uf061P(自然坐标系n\uf076\uf074\uf076P常见的坐标系:直角坐标系, 极坐标系, 柱坐标系,球坐标系, 自然坐标…...),\uf061r),,zyx( 常见的坐标系:球坐标系, 自然坐标…...x柱坐标yzoPr\uf06a),,(zr \uf06ayzoPr\uf06a),\uf06a,\uf071r(\uf071x球坐标系注: 适当地选择参考系和坐标系, 对解决力学问题是非常重要的 OPPr\uf076\uf0ae\uf03d\uf0d8 定义:做P点的位置矢量为:从参考点O指向空间P点的有向线段叫, 简称位矢或矢径。 表示Pr\uf072一. 位矢、 速度、 加速度定义及在直角坐标中的描述1.位置矢量(位矢) ——描述质点在空间的位置OPPr\uf072xyz\uf0d8 直角坐标描述xyzo \uf02d单位矢量:kji\uf072\uf072\uf072,,i\uf072j\uf072k\uf072 yxzo\uf028\uf029 zyxP,,r\uf072直角坐标中位矢的表达式\uf076\uf02b\uf03dzxykjizyxr\uf076\uf076\uf076\uf02b222zyxrr\uf02b\uf02b\uf03d\uf03d\uf076大小:jiyxr\uf076\uf076\uf076\uf02b\uf03d二维直角坐标中的表达式xyr\uf07622yxr\uf02b\uf03d 质点运动的参数方程:\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf03d\uf03d\uf03d)()()(tzztyytxx消去参数 t质点运动的轨迹方程在直角坐标系中, 质点运动方程\uf076)(\uf02b\uf03dkjitztytxr\uf076\uf076\uf076)()(\uf02b) (tr\uf076r\uf076\uf03d随时间变化的函数称为质点的运动方程。)(tr\uf076质点的运动方程yxzo\uf028\uf029 zyxP,,r\uf072zxy 解: 先写参数方程\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf02d\uf03d\uf03d\uf05c222tytx参数方程:消去 t 得轨迹方程422xy\uf02d\uf03d例2. 已知: 质点的运动方程jti t2r\uf072\uf072\uf072)2 (2\uf02d\uf02b\uf03d求:质点的轨迹;(SI)抛物线kjizyxr\uf076\uf076\uf076\uf076\uf051\uf02b\uf02b\uf03d2x/t \uf03d 定义: 质点沿曲线运动2.位移矢量(位移) : 描述质点位置变动的大小和方向AOrAAr\uf072\uf072At,时刻:BrBBr\uf072B\uf072tt,:时刻\uf044\uf02b末位矢初位矢位移△r位矢增量ABrrr\uf072\uf02d\uf03d\uf044位置变化的净效果 位移: 是矢量, 表示质点位置变化的净效果,与质点运动轨迹无关, 只与始末点有关。路程: 是标量, 是质点经过的实际路径的长度, 与质点的运动轨迹有关。比较位移和路程△rABs\uf044ABr \uf03d\uf044ABs \uf03d\uf044 tr\uf076v\uf076\uf044\uf044\uf03d平均速度△rABOrArB定义:Ar\uf072\uf072At,时刻:BrBtt,:时刻\uf044\uf02b位移r\uf072\uf0443.速度: 描述质点运动的快慢和方向ABB\uf0a2当B点趋于 A 点, 即 △t 趋于0时, 平均速度的极限则为A 点的瞬时速度(速度) 1、 是位矢对时间的一阶导数,2、 方向: 轨道的切线上, 指向前进的一侧。瞬时速度:瞬时速度, 简称速度。 表示为:当△ t 趋于0时,平均速度的极限值为tr\uf076dd\uf03dABB\uf0a2B\uf0a2 \uf0a2v\uf072r\uf072\uf044tr\uf076v\uf076t\uf044\uf044\uf03d\uf0ae\uf0440lim kjizyxr\uf076\uf076\uf076\uf076\uf02b\uf02b\uf03d直角坐标系中的速度表示:\uf076\uf072\uf03d大小:222222\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6\uf02b\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6\uf02b\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6\uf03d\uf02b\uf02b\uf03ddtdzdtdydtdxvvvv\uf076zyx\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf03d\uf03d\uf03ddtdzvdtdyvdtdxvzyx///dtrdvkvjvivktzjtyit\uf076xt\uf076r\uf076v\uf076zyx\uf076d\uf076\uf072\uf076\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf03d\uf03dddddddd 例题1、 有一质点沿 x 轴作直线运动, t 时刻的坐标为SI)(25 . 432ttx\uf02d\uf03d试求: (1) 第2秒内的平均速度;(2) 第2秒末的瞬时速度;解: (1) 第2秒内的平均速度为)sm(5 . 0\uf02d1) 25 . 4 ()2225 . 4 (121 -3212\uf0d7\uf03d\uf02d\uf02d\uf0b4\uf02d\uf0b4\uf03d\uf02d\uf02d\uf03dxxv(2) 第2秒末的瞬时速度txvvxdd /2)\uf03d\uf03d)sm-1\uf0d7\uf02d\uf03d\uf0b4\uf02d\uf0b4\uf03d\uf05c( 6262922v1)(\uf02d\uf06d\uf06d\uf06d\uf03d\uf0a2xx226932tttt\uf02d\uf03d\uf0b4\uf02d\uf0b4\uf03d24.5负号: 与 x 正向相反一维运动kvjvivktzjtyit\uf076xt\uf076r\uf076v\uf076zyx\uf076\uf076\uf072\uf076\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf03d\uf03dddddddddxdttd/dtt.d/ )2 (543\uf02d\uf03d( 2t 4222y2x\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf03dvvvv\uf072j t2ijtidttdjdttdidttdjdt\uf072dyidtdxdt) (r dv\uf072-\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf0722222122\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf03d)()(例题2 、 已知质点的运动方程为\uf072\uf0722)(\uf02b\uf03djti ttr\uf0722jti t2tr\uf072\uf072\uf0722)(\uf02b\uf03d解: 由求质点运动的速度,及其t=1s的速度大小ktzjtyitxtr\uf076v\uf076\uf076\uf072\uf076dddddddd\uf02b\uf02b\uf03d\uf03d222222\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6\uf02b\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6\uf02b\uf0f7\uf0f8\uf0f6\uf0e7\uf0e8\uf0e6\uf03d\uf02b\uf02b\uf03ddtdzdtdydtdxvvvv\uf076zyxtvvyx22\uf03d\uf03d ;其中:1223.32. 662\uf02d\uf03d\uf02b\uf03d\uf05csmv二维空间的运动xyr\uf076 解: (1) 先写参数方程\uf0ee\uf03d\uf0ed\uf0ec\uf02d\uf03d\uf03d222tytx消去 t 得轨迹方程422xy\uf02d(2) 位置矢量:例3. 已知: 质点的运动方程jti t2r\uf072\uf072\uf072)2 (2\uf02d\uf02b\uf03d求:(1) 质点的轨迹;(2) t = 0s 及t = 2s 时, 质点的位置矢量(3) t = 0s 及t = 2s 时,质点的速度大小(SI)抛物线oyPx20r\uf072-24kjizyxr\uf076\uf076\uf076\uf076\uf02b\uf02b\uf03djr\uf072\uf0722\uf03d\uf03d0tt = 0时, x = 0 y= 2t = 2时, x = 4 y = -2jirt\uf072\uf072\uf072242\uf02d\uf03d\uf03d2r\uf072Q (3) t=0和t = 2s 时质点的速度大小jti t2r\uf072\uf072\uf072)2 (2\uf02d\uf02b\uf03d由质点的运动方程:jtij )dtdtdtd(idtdtjdt)td(idtt)d(jdtdyidtdxdtr dv\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf07222222222\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b\uf03d\uf02d\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf03d22y2x1222tvvvtvvyx\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf02d\uf03d\uf03d-1sm\uf0d7\uf03d\uf03d\uf03d47. 45222vtoyxQ0r\uf0722r\uf072P2-24\uf0711020-smvt\uf0d7\uf03d\uf03d 结论:jti t2r\uf072\uf072\uf072)2 (\uf02b2\uf02d\uf03d2若质点的运动方程:oyxQ0r\uf0722r\uf072P2-24\uf071则质点的轨迹方程42xy\uf02d\uf03d抛物线jtitr\uf072v\uf072\uf072\uf07222 \uf02d\uf03d\uf03ddd速度:22212tvvvyx\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d速度大小: 课堂练习:322-31ttx \uf03d运动方程为:、 一质点作直线运动,求, 任意时刻的速度, 以及 t=1s 的速度。2、 一电子在电场中运动, 其运动方程为1 9y2tx\uf03d\uf03d,求(1) 、 轨迹方程;(2) 、 任意时刻的速度。22t- △t 内质点的速度变化, 称为平均加速度.tv\uf044\uf044\uf072A v\uf076BB v\uf076AA v\uf076v\uf076\uf044设质点A v\uf072t 在 A :B v\uf072经△t 到 B:ABv\uf072v\uf072v\uf072\uf02d\uf03d\uf044在△t 内速度改变:tv\uf076a\uf076\uf044\uf044\uf03d平均加速度ABA v\uf076A v\uf076B v\uf076v\uf076\uf0444.加速度矢量:描述质点速度变化快慢的物理量 瞬时加速度 —— 当△t 趋于0时, 平均加速度的极限, 简称加速度。tv\uf076a\uf076t\uf044\uf044\uf03d\uf0ae\uf0440lim加速度等于速度对时间的一阶导数,位移对时间的二阶导数。ABAv\uf076Bv\uf076Av\uf076v\uf076\uf044方向: 总是指向曲线的凹侧。tv\uf076dd\uf03d2tr\uf076tr\uf076td)d(d2ddd\uf03d\uf03dtr\uf076v\uf072dd\uf03d 直角坐标系表示:\uf076\uf076\uf03ddkajaiaktvjtvitvtv\uf072a\uf076zyxzyx\uf076d\uf076\uf076\uf076\uf076\uf076\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf03d\uf03ddddddddkvjvivktzjtyitxtrvzyx\uf076\uf076\uf076\uf076\uf072\uf076\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf03dddddddd\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf03d\uf03d\uf03ddtdvadtdvadtdvazzyxx///y222zyxaaaaa\uf076\uf02b\uf02b\uf03d\uf03d 例4: 已知:)SI()2 (22jti tr\uf072\uf072\uf072\uf02d\uf02b\uf03d求:加速度r\uf072\uf03djtidttditv\uf072\uf072\uf072\uf07222)2 (2\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b\uf03ddtd(2t)d d解:jjtvitvjaiaa\uf072yxyx\uf072\uf072\uf072\uf072\uf0722\uf02d\uf03d\uf02b\uf03d\uf02b\uf03ddddd方法二\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d\uf03dtdtdyvdtdxvyx2/2/0\uf03ddtdvx\uf03dx a2\uf02d\uf03ddtdvy\uf03dy a\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf02d\uf03d\uf03d222tytxj/dt\uf072vda\uf072\uf0722\uf02d\uf03d\uf03d 课堂练习:322-31ttx \uf03d运动方程为:、 一质点作直线运动,求, t=1s 的加速度。2、 一电子在电场中运动, 其运动方程为1 9y2tx\uf03d\uf03d,求:任意时刻的加速度。22t- 描述质点运动的基本物理量小 结位置:)\uf076(,tr\uf072r\uf072位矢\uf076速度变化率:加速度22tr\uf072tv\uf072a\uf072dddd\uf03d\uf03dkjizyxr\uf076\uf076\uf02b\uf02b\uf03d位移12r\uf072r\uf072r\uf072\uf02dd\uf072\uf03d\uf044位置变化:位置变化率:速度trv\uf072\uf03dd