三次函数性态的五个要点⒈三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数⒉三次函数y=f(x)的图象与x 轴交点个数⒊单调性问题⒋三次函数f(x)图象的切线条数⒌融合三次函数和不等式,创设情境求参数的范围三次函数的对称中心1.三次函数有对称中心的证明证明:因为f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0的对称中心是,即所以f(x)=ax3+bx2+cx+d如果能写成f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0那么三次函数的对称中心就是。所以设f(x)=a(x+m)3+p(x+m)+n得f(x)=ax3+3amx2+(3am2+p)x+am3+pm+n所以3am=b; 3am2+p=c; am3+pm+n=d;所以m=b/3a; p=(3ac-b2)/3a; n=d+(2b3)/(27a2)-bc/(3a)所以f(x)=a(x+b/3a)3+(c-B2/3a)(x+b/3a)+d+2b3/27a2-bc/3a得证。2.推广如果f(x)是一个n次多项式,n>=2(因为直线的对称中心从狭义上讲是没有对称中心 而在广义上讲是无数个对称中心),其次项系数是,次项系数是,则有⑴:如果y=f(x)的图像是中心对称图形,其对称中心是(-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));⑵:如果y=f(x)的图像是轴对称图形,其对称轴是x=-a1/n/a0.三次函数,其导数为。易证当有两个不相等的实数根时,f(x)具有极大值和极小值。而当有两个相等的实数根或没有实数根时,f(x)不具有极值。若f(x)有极值,设在和处取得,则满足关系式,因此以下用来介绍两种求三次函数极值的方法。