练习二 函数及导数的应用 ——导数的应用 一、选择题: 1.函数 f(x)=x+eln x 的单调递增区间为--------------------------------------------------------------------------( A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,0)和(0,+∞) D.R ) ) 2.已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是----------( A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) ) 2 3.设函数 f(x)= +ln x,则----------------------------------------------------------( x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 D.x=2 为 f(x)的极小值点 4.已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=-------------------------------------------( A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 ) ln x 5.若 f(x)= ,ef(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)1 ) 6. 函数 f(x)=x3-3x-1, 若对于区间[-3,2]上的任意 x1, x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤t, 则实数 t 的最小值是 ( A.20 B.18 C.3 D.0 7. f(x)是定义在(0, +∞)上的非负可导函数, 且满足 xf′(x)+f(x)≤0, 对任意正数 a, b, 若 a0),则获得最大利润时 的年产量为-------------------------------------------------------------------------------------------------------------( ) A.1 百万件 B.2 百万件 C.3 百万件 D.4 百万件 9.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R). 若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点, 则右边图象不可能为 y=f(x)的图象是 10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),设其导函数为 f′(x),当 x∈(-∞,0]时,恒有 xf′(x)F(2x-1)的实数 x 的取值范围是---------------------------------------------------------( ) 1? 1 ? A.(-1,2) B.? C.? D.(-2,1) ?-1,2? ?2,2? 二、填空题: 11. 已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值, 则实数 m 的取值范围是 . 12. 已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值, 若 m∈[-1,1], 则 f(m)的最小值为 . 13. 函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值, 其图象在 x=1 处的切线平行于直线 6x+2y+5=0, 则 f(x)极大值与极小值之差为 . 14.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是 . 15.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是________. 16.已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),且函数 g(x)=f′(x)+6x 的图象关于 y 轴对称. 则 m+n= . 三、解答题: 1 17.已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值;(2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. 1 3 18.设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴. 2x 2 (1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)的极值. 19.已知函数 f(x)=x3-ax2+3x.(1)若 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在 x∈[1,a]上的最大值和最小值. 二、参考答案 一、选择题:ACDAA AACDA 二、填空题: 11.(-∞,-3)∪(6,+∞) 14.(-∞,-1)∪(0,1) 12.-4 15.(-2,2) 13.4 16. -3 b 1 17.解:(1)∵f′(x)=2ax+ .又 f(x)在 x=1 处有极值 . x 2 ? ?f ∴? ? ?f 1 = , 2 1 ? ?a=2, 1 即? 解得 a= ,b=-1. 2 ? =0, ?2a+b=0. 1 (2)由(1)可知 f(x)= x2-ln x,其定义域是(0,+∞), 2 x+ 1 且 f′(x)=x- = x x- x .由 f′(x)<0,得 00,得 x>1. 所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). 1 3 a 1 3 18.解:(1)因 f(x)=aln x+ + x+1,故 f′(x)= - 2+ . 2x 2 x 2x 2 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f′(1)=0, 1 3 从而 a- + =0,解得 a=-1. 2 2 1 3 (2)由(1)知 f(x)=-ln x+ + x+1(x>0), 2x 2 1 1 3 3x2-2x-1 f′(x)=- - 2+ = = x 2x 2 2x2 x+ 2x2 x- . 1 1 因x =- 不在定 义域内,舍去. 令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=- ? 3 3? 2 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3. 1?? 3 19.解:(1)∵f′(x)=3x2-2ax+3≥0 在[1,+∞)上恒成立,∴a≤?2? ?x+x? min=3(当 x=1 时取最小值). ? ? ∴a 的取值范围为(-∞,3]. (2)∵f′(3)=0,即 27-6a+3=0,∴a=5,f(x)=x3-5x2+3x,x∈[1,5],f′(x)=3x2-10x+3. 1 令 f′(x)=0,得 x1=3,x2= (舍去).当 10, 3 即当 x=3 时,f(x)取极小值 f(3)=-9.又 f(1)=-1,f(5)=15, ∴f(x)在[1,5]上的最小值是 f(3)=-9,最大值是 f(5)=15.