1.写出在惯量主轴坐标系中,刚体对定点的惯量张量、动量矩以及动能的表达式。 2.写出刚体对定点O的转动惯量的一般表达式,以及 各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中的转动惯 量表达式,并说明各元素的物理意义。 3.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否 成立?为什么? 4.在求解刚体的定点转动问题时, 为什么常采用固联于 刚体的惯量主轴坐标系? 1、写出在惯量主轴坐标系中,刚体对定点的 惯量张量、动量矩以及动能的表达式。 答:惯量主轴坐标系中,刚体对定点的惯 量张量为 惯量主轴坐标系中,刚体对定点的动能表达式为 2、写出刚体对定点O的转动惯量的一般表达式, 以及各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中 的转动惯量表达式,并说明各元素的物理意义。 xyzx yz zz yy xx zz表示在以O点为原点的直角坐标系中, 刚体对x轴、y轴和z轴的转动惯量; zx表示在以O点为原点的直角坐标系中, 刚体对x轴、y轴和z轴的惯量积; α、β和γ分别表示瞬时轴对x轴、y轴和z轴的方向余弦; 如果x轴、y轴和z轴为惯量主轴,则zz表示在以O点为原点的直角坐标系中, 刚体对x轴、y轴和z轴的转动惯量。 3.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否 成立?为什么? 答:不成立。因为: 建立瞬心坐标系 等式右边第2项为零,即 (内力与相对位矢在同一直线上)但第3项(惯性力矩)不为零,故 对瞬心来说, dt 4.在求解刚体的定点转动问题时,为什么常采用固联 于刚体的惯量主轴坐标系? zzyy xx 答:这样选取的坐标系,必然是与刚体关联着转动的活动坐标系,在此坐标系中刚体的惯量矩阵是对角化 的,且不随时间变化: 角动量为: 请推导分量请推导分量 表达式 表达式 xxdm 惯量张量惯量张量 转动惯量 转动惯量 yxxy xzzx zyyz xydm 惯量积惯量积 zyzx yz yy yx xz xy xx zyzx yz yy yx xz xy xx 惯量矩阵惯量矩阵 二、刚体的转动动能 三、转动惯量三、转动惯量 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置. 注意 zzzy zx yz yy yx xz xy xx xyzx yz zz yy xx zz zy zx yz yy yx xz xy xx 可见:要计算对某轴的转动惯量J,算出惯量系数,把该轴的方向余弦代入公式即可。 注意:选刚体坐标系,惯量系数为常数,α,β,γ 刚体的转动动能重新表示刚体的转动动能重新表示 质点组动能——柯尼希定理 1、刚体绕固定点转动时动能表示: 当刚体绕固定点O转动时,任意位置r处质点的速度为: 刚体对通过质心的瞬时转轴的转动惯量 注意若转轴方向不变,就是刚体绕轴的转动惯量 若所选的坐标轴是对于O点的惯量主轴,则转动动 能为: mvmv 其中dm 惯量主轴及其求法惯量主轴及其求法 据解析几何理论,适当选取坐标轴方向(旋转)可使 方程中的交叉项消失,该旋转后的坐标轴为惯量主轴, 对该惯量主轴的转动惯量J xx, zz称为主转动惯量。 选惯量主轴为坐标轴: yyxx 惯量主轴惯量主轴:刚体绕过定点的特殊方向的轴转 :刚体绕过定点的特殊方向的轴转 动,在这个方向上, 动,在这个方向上,LL与与ωω方向一致。 方向一致。 确定惯量主轴的方法: 几何法:适用于几何对称,分布均匀刚体((11)若刚体有一对称轴,如 )若刚体有一对称轴,如oz oz轴,则该轴为惯量主轴 轴,则该轴为惯量主轴 (22))如刚体有一对称面,则此面的法线为惯量主轴 如刚体有一对称面,则此面的法线为惯量主轴 如xoy平面,若必有 xz 速度瞬心可在平面图形内,也可在平面图形外.且它的位置不是固定不变,而是随着时间变化的. (2)速度瞬心的确定 (a)当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时,图形上与固定面的接触点C即为该图形的瞬心. 已知在某瞬时图形上任意两点A和B速度的 方位且它们互不平行.则 通过两点A和B分别作速 的垂线其交点C即为瞬心. (c)已知在某瞬时图形上A和B两点的速度互相平行,且垂直于A B的连线 ,但速度大小不等.则此时 AB直线与两速度矢量 B两点的速度的方位互相平行,但不垂直于A 如图,一半径为R的乒乓球与水平面摩擦系数为. 开始时, 使球质心以vC0 向右运动, 并具有逆时针方向的初 始角速度 C0