磨磨蹭蹭的总算到了收敛准则。。这一章知识连贯性非常强
陈纪修写的就是好,比华师版学的稀里糊涂的明白了太多。。。
大概捋一下思路吧。
首先在之前我们知道了收敛数列一定有界。
但反之 有界数列不一定收敛。
那么加上什么条件可以使一个有界数列收敛起来呢??
1.我们发现单调的,有界数列必然收敛。(由数列本身出发去研究它的敛散性。
由此引出一类题,这类题往往与通项有关,我们可以通过一个关系式,判断出它是有界的,再通过判断单调性(前后两项做比或做差) ,得出它收敛。在n趋于无穷时解方程。得到极限。
应用方面,有斐波那契兔子问题,pi,e两个无理数的估算
我们发现这个方法是从数列本身开始研究的,所以在
如图两道例题中,都是从数列本身,发现了一些性质。(有点 经验归纳的感觉)
其中在斐波那契问题上,我们更是把数列拆成了奇 ,偶 两个子列,结果发现他们都收敛,且最后的收敛式相同,所以得出了原本的数列收敛于0.618,黄金分割数。
pi的问题,用到了一点三角函数放缩的技巧公式,这一点在数项级数中也可以看到。
而画重点 的 e的问题,则由两个数列有相同极限作结。(和斐波那契相似,都是两个数列,一个单增,一个单减。
还有 数项级数用到很多的 “p级数”不妨称之为p数列。
得到了老崔之前讲过的 Euler常数。
???薛老上课时,饶说1+1/2+1/3+1/4+.....1/n 等于ln n 正确吗???应该再加上一个 Euler常数?? 可以约等于?? Euler 是0.5多的一个数……
2. 如果不能得到数列单调;只考虑数列是有界的话,只能得到一个稍弱一点的结论,即Bolzano-Weierstrass定理 :
有界数列必有收敛子列。
这个是通过闭区间套定理证明的。
(陈佬在书中上面也先介绍了闭区间套定理,和子列。子列真的很方便。闭区间套定理还可以说明实数集不可列(反证) )
相应的 波尔查诺 魏尔斯特拉斯定理对于无界数列: 若{xn}是一个无界数列,它一定存在一个是无穷大量的子列。
撇开1. 2. (考虑 到斐波那契这种,(虽然两个子列都单调,但它本身并不单调
很多数列都是这种本身不单调的。
所以有必要从数列本身出发寻找它收敛的充要条件。