题目
设整数a,b,c(a≥b≥c)为三角形的三边长,满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.初中数学
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三角形边角关系
解析
根据已知得出(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=26①,令a-b=m,b-c=n,则a-c=m+n,代入可得出符合条件的m和n的值的组合,分别代入讨论,根据b+c>a可得出c的最小范围,根据周长不超过30可得出c的最大值范围,进而可得出符合题意的三角形的个数.
解答
解:由已知等式可得:(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=26 ①,令a-b=m,b-c=n,则a-c=m+n,其中m,n均为自然数,于是,等式①变为m2+n2+(m+n)2=26,即m2+n2+mn=13 ②由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:{m=3n=1和{m=1n=3.(1)当m=3,n=1时,b=c+1,a=b+3=c+4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b+c>a,即(c+1)+c>c+4,解得c>3.又因为三角形的周长不超过30,即a+b+c=(c+4)+(c+1)+c≤30,解得c≤253,因此3