N人共有M元的情况下:
最终的分布是 在标准(N-1)-单纯形(Simplex)上 边长为M的格点上的随机游走(Random walk) 的稳态分布 的各分量的分布;随机游走相当于求解离散空间的热传导方程(Heat equation);在一定条件下,稳态分布近似单纯形上的均匀分布——对称狄利克雷分布(Dirichlet distribution),其分量服从指数分布(Exponential distribution)。
注:以下是每分钟「某个人」给另一个人钱的情况,而不是每分钟(还有钱的)「每个人」给另一个人钱情况。请注意这两者的区别,详细见评论。
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一个极重要的隐含假设是,我们不允许负债。令x_i表示第i个人的钱数,则所有的可行状态在以下空间内:
这是一个边长(一个顶点到另一个顶点的格点数)为M的(N-1)-单纯形上的所有整数点。
(注意一般地标准单纯形的定义是在实空间上的,是内部的所有实数点。在这里我们盗用了这个术语...)
易知状态的总数为C(M+N-1, N-1)。当N=100,M=100*100 时(100人每人100元),状态总数的量级在10^240的级别。直接求解几乎不可能..
例如,当有3人每人有2元(共6元)时,状态空间是边长为6的2-单纯形(正三角)上的所有整数点。
当初始状态为绝对平均的 (222) 时,随时间变化相当于以该点为起始 在这个空间上的无偏随机游走。
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这样的随机游走理论上是可以得到稳态的。考虑一个简单的2人各2元的情况,状态空间为 (40), (31), (22), (13), (04);状态转移矩阵为
易得稳态分布为[1,2,2,2,1]/8。
直观上,在除了边界的区域上分布应该是均匀的。(未证明)
但由上述,状态空间极大,钱数多时像这样直接求解十分困难。
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一般地,令
为时间为n时状态为x的概率,定义格点上的算子Δ如下
其中d(x,y)是两点之间的距离。d(x,y)=1 表示x和y是相邻的,可以从一点转移到另一点。
则状态转移方程可以写为
其中α控制转移的速度。
有没有发现和热传导方程有点像?
其实上述定义的Δ算子就是图上的离散Laplacian (Discrete Laplace operator),方程是图上的离散热传导方程。随机游走的稳态分布可以近似看作是热传导的终态。(未证明)
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====A HUGE GAP=====
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注意到 M钱数多->格点密集,N人数多->单纯形维数高。
我们考虑在某种条件下,以连续热传导方程近似格点上的随机游走。进一步地,忽略对边界上的讨论,将终态视为单纯形上的均匀分布。(未证明)
(注意这里有一个极大的gap,我们未严格讨论在什么情况能用连续Laplace算子代替图上的Laplacian)
User:Skinnerd/Simplex Point Picking这里讨论了如何在单纯形上随机取样或模拟随机游走。注意到单纯形上的均匀分布相当于参数α=(1,1,...,1)的狄利克雷分布,其分量服从指数分布(?)。具体地:
则t_i是标准N-单纯形上的均匀分布。
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若上述成立,500人各500元时最终大概会变成这样子:
此外我们注意到,当N变大时,单纯形维数高,由于维数灾难,大部分点是在“边角”处的。
N-单纯形的体积是
单纯形的中心(最均匀的分布)距离最近的边界(其中1人为0其他人均匀分布)的距离是
单纯形内接球在单纯形中的占比为
也就是说,人数超过10人时,经过一定时间的交换,几乎一定至少有一个人“破产”。
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