§ § 1.4.21.4.2正弦余弦函数的性质正弦余弦函数的性质(1) 定义域----------------------周期周期(2) 值域单性(6) 周期性(4) 奇偶性(3) 单调性(5) 对称性 ( 2( 2\uf070 ,0)0)( ,1)2\uf070要点回顾. 正弦曲线、 余弦函数的图象1) 图象作法---几何法五点法2) 正弦曲线、 余弦曲线y11正弦曲线( ,-1)23\uf070( \uf070 ,0)\uf070x6\uf070yo-1-\uf0702\uf0703\uf0704\uf0705\uf070-2\uf070-3\uf070-4\uf0701\uf070余弦曲线(0,1)( ,0)2\uf070( \uf070 ,-1)( ,0)23\uf070( 2\uf070 ,1)x6\uf070o-1-\uf0702\uf0703\uf0704\uf0705\uf070-2\uf070-3\uf070-4\uf070(0,0) 在生活中的周期性现象! 思考1: 今天是2012年3月 21日 , 星期三, 那么7天后是星期几? 30天后呢? 为什么?因为因为30=2+7x4 所以30天后与2天后相同,故30天后是星期五 1.一般地, 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T, 使得当x取定义域内 的每一个值时, 都有f(x+T)=f(x), 那么 函数f(x)就叫做周期函数周期函数概念非零常数T叫做这个函数的周期周期2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么 这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。最小正周期。说明 : 我们现在谈到三角 函数周 期时, 如果不加特别说明, 一般都是指的最小正周期。 xyo-2\uf070·-\uf070\uf070·2\uf070·3\uf070·4\uf070··正弦函数)(sinRxxy\uf0ce\uf03d结合图像: 在定义域内 任取一个,\uf070k2由诱导公式可知:xsinxk\uf0702k\uf070x)2sin(\uf03d\uf02b\uf02b)()(xfx)fR\uf03d\uf04a正弦函数是周期函数, 周期是(sinxxy\uf0ce\uf03d即 思考3: 余弦函数是不是周期函数? 如果是, 周期是多 少?由诱导公式可知:xk\uf070xcos)2cos(\uf03d\uf02b即)()2(xfk\uf070xf\uf03d\uf02b性质1: 正弦函数y=sinx, 余弦函数y=cosx都是周期函数, 且它们的周期为最小正周期是 \uf0702) 0,(2\uf0b9\uf0cekzkk\uf070 XX+2πyx02\uf0704\uf070-2\uf070y=sinx(x∈R)自 变量x增加2π时函数值不断重复地出现的yxx三角函数的周期性:o4π8πxoy6π12π3.T是f(x)的周期, 那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数) :1.,()( )f x( )f x.sin()sin,424f xTTyxx\uf070\uf070\uf070\uf02b\uf03d\uf03d\uf02b\uf03d例定义是对定义域中的值来说的只有注意:每一个个别的满足不能说值:是的周期如sin()sin.323\uf070\uf070\uf070\uf02b\uf0b9但是2sin()sin ,sin.22xxxyx\uf070\uf070\uf02b\uf070\uf03d\uf03d就是说 不能对 在定义域内的每一个值使因此 不是的周期 \uf04a判断下列说法是否正确(1)时,则一定不是的周期3x\uf070\uf03d2\uf070sin()sin3xxx\uf02b\uf0b92\uf0703siny\uf03d( )√(2)时,则一定是的周期7\uf0706x\uf03d2\uf070sin()sin3xx\uf02b\uf03d2\uf0703sinyx\uf03d( )× 求下列函数的周期:xy\uf03d,2sin) 2 (解:(1) ∵ 对任意实数(f(f有i (sin(RxxyRxxyRx\uf0ce\uf02d\uf03d\uf0ce\uf03d\uf0ce),621sin(2) 3 (,cos3) 1 (\uf070))22\uf070(())22\uf07033i33))ffxcos x\uf05c是以2π 为周期的周期函数.(2)\uf05b\uf05dsin(2 )sin(22 )\uf070sin 2() ,sin2xxxyx\uf070\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf05c\uf03d\uf051是以π 为周期的周期函数.sin\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf03dxxxx (3)112sin()2sin(2 )\uf07021\uf0e9\uf0ea\uf0eb6262sin(4 )\uf070,26xxx\uf070\uf02d\uf070\uf02d\uf070\uf02d\uf03d\uf02b\uf0f9\uf0fa\uf0fb\uf03d\uf02b\uf05112sin()2266yx\uf070\uf02d\uf05c\uf03d是以4 π 为周期的周期函数. 12\uf070xyycos3\uf03d函数周期\uf0702\uf03dT22\uf07022\uf07012 \uf070xy2sin\uf03d)621sin(2\uf070\uf02d\uf03dxy)621sin(2\uf070\uf02d\uf02d\uf03dxy\uf070\uf03dT\uf0704\uf03dT\uf0704\uf03dT21 函数及函数的周期RxxAy\uf0ce\uf02b\uf03d),sin(\uf06a\uf077RxxAy\uf0ce\uf02b\uf03d),cos(\uf06a\uf077两个函数RxxAy\uf0ce\uf02b\uf03d),sin(\uf06a\uf077RxxAy\uf0ce\uf02b\uf03d),cos(\uf06a\uf077\uf077\uf0702\uf03dT(其中为常数且A≠0)\uf06a\uf077,, A的周期仅与自 变量的系数有关, 那么如何用 自 变量的系数来表述上述函数的周期? 解:\uf028 \uf029f x\uf028\uf029sinAx\uf077\uf066\uf02b\uf03d\uf051\uf028\uf028\uf029sin2\uf070Ax\uf077\uf066\uf02b \uf02b\uf03d\uf029sin2\uf070Ax\uf077\uf066\uf02b\uf03d\uf02b\uf0e9\uf0eb\uf0f9\uf0fb2\uf070\uf077sinsinAAxx\uf077\uf077\uf0ea\uf0eb\uf066\uf02b\uf066\uf02b\uf0e9\uf0ea\uf0f9\uf0fa\uf0fa\uf0fb\uf0e6\uf0e7\uf0e7\uf0e8\uf0f6\uf0f7\uf0f7\uf0f8\uf03d\uf02b\uf02b2\uf070\uf0772f x\uf0e6\uf0e7\uf0e8\uf0f6\uf0f7\uf0f8\uf03d\uf02bT\uf070\uf077\uf05c\uf03d sin(),cos(),(, ,\uf077 \uf06a2\uf070\uf077yAxxRyAxxRA\uf077\uf0ce\uf06a\uf02b其中\uf077\uf06a\uf02b\uf03d\uf0ce\uf03d一般地, 函数及函数为常归纳总结,0,0):.AT\uf077\uf0b9\uf0b9\uf03d数 且的周期为 P36 练习 1练习2: 求下列函数的周期3sin) 1 (课堂练习 :Rxxy\uf0ce\uf03d,4438\uf070342\uf070442\uf070\uf03d32\uf070\uf03d\uf0b4\uf03d\uf03dTRxxyRxxyRxxy\uf0ce\uf02b\uf03d\uf0ce\uf03d\uf0ce\uf03d),431sin() 4 (,cos21) 3 (,cos) 2 (\uf07024\uf0701\uf070\uf03dT\uf07022\uf03d\uf03dT\uf0706\uf0702\uf0701332\uf03d\uf0b4\uf03d\uf03dT 当堂检测(1) 下列函数中, 最小正周期是 \uf070 的函数是(1sinxyA\uf03d、)22cos2xyB\uf03d、xyCcos\uf03d、xyDcos\uf03d、(2) 函数xy\uf070sin\uf03d的最小正周期为_____。D D2 20),3sin(\uf03e\uf02b\uf03d\uf077\uf070\uf077xy3\uf070___6 6\uf03d\uf077(3) 已知函数的周期为, 则(4)函数的最小正周期是2)\uf0701 (cosxy\uf02d\uf03d4 练习 题.求下列函数的周期:32\uf070\uf03dT\uf0706\uf03dTxy3sin) 1 (\uf03d3cos) 2 (xy \uf03di33) 3 () 3 (x))i (sin() 4 () 4 (\uf07010\uf0708\uf03dT\uf0702\uf03dT\uf070\uf03dT4siny \uf03d\uf070\uf02b\uf03dxyRxxy\uf0ce\uf02b\uf03d),32cos() 5 (\uf070 一般地, 函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ) (其中A ,ω,φ为常数,且 A≠0, ω≠0 ) 的周期是:2(0)T (0)T\uf077• 3.图象法:周期求法:• 1.定义法:• 2.公式法:\uf070\uf077\uf03d\uf0b9 (1) 周期函数、 周期及最小正周期的概念.小结(2) 正(余) 弦函数的周期.;(3)函数及函数的周期RxxAy\uf0ce\uf02b\uf03d),sin(\uf06a\uf077\uf0702RxxAy\uf0ce\uf02b\uf03d),cos(\uf06a\uf077\uf077\uf03dT 课外作业:P46 习 题1.A组 第3题 2. 是不是周期函数? 为什么?是不是周期函数? 为什么?sinxxy \uf03dy1.y=sinx(x∈ [0,4π ])是周期函数吗?思考:x3.已知函数时,的周期是4, 且当, 求(1), (5), (16).ff( )f x1\uf02by\uf03d\uf03dx2( )f xf思考:吗?2(5)5126f\uf03d\uf02b \uf03d] 2 , 2[\uf02d\uf0cex 2. 奇偶性(1) ( )f xsin ,x xR\uf03d\uf0cexR\uf0ce任意()sin()fxx\uf02d\uf03d\uf02dsin x\uf03d \uf02d( )f x\uf03d \uf02d( )f xsin ,x xR\uf05c\uf03d\uf0ce为奇函数(2) ( )f xcos ,x xR\uf03d\uf0cexR\uf0ce任意()cos()fxx\uf02d\uf03d\uf02dcos x\uf03d( )f x\uf03d( )f xcos ,x xR\uf05c\uf03d\uf0ce为偶函数 正弦函数的图象正弦函数的图象探究x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d2\uf070\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dyO\uf07023\uf070\uf070225\uf070\uf07031\uf02d12. 奇偶性余弦函数的图象问题: 它们的图象有何对称性?x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d2\uf070\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dyO\uf07023\uf070\uf070225\uf070\uf07031\uf02d1 中心对称: 将图象绕对称中心旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。轴对称: 将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。 x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d2\uf070\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dy1O\uf07023\uf070\uf070225\uf070\uf07031\uf02dP'P正弦函数的图象53113,,,,2222222222x\uf070\uf070\uf070\uf070\uf070\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d\uf04c\uf04c对称轴:,2xk\uf070kZ\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce(,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)\uf070\uf070\uf02d\uf070\uf04c\uf04c对称中心:(,0)k\uf070kZ\uf0ce 余弦函数的图象, 0 ,, 2x\uf070\uf070\uf070\uf03d\uf02d\uf04c\uf04c对称轴:'P2\uf070\uf02dP\uf0702x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dyO\uf07023\uf07025\uf070\uf07031\uf02d1,xk\uf070kZ\uf03d\uf0ce3\uf0705\uf070(,0),(,0),(,0),(,0)2222\uf070\uf02d\uf070\uf04c\uf04c对称中心:(,0)2k\uf070kZ\uf070\uf02b\uf0ce 练习\uf070\uf02b• 为函数的一条对称轴的是( )sin(2)3yx\uf03dy114\uf070.3A x\uf03d \uf02d.2B x\uf070\uf03d.0D x \uf03d.12C x\uf070\uf03dx2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d2\uf070\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dO\uf07023\uf070\uf070225\uf070\uf07031\uf02d12x\uf070\uf03d解: 经验证, 当时 232x\uf070\uf070\uf02b\uf03d12x\uf070\uf05c\uf03d为对称轴 例题函数的对称轴和对称中心• 求sin(2)3xyx\uf070\uf03d\uf02b23z\uf070\uf03d\uf02b解(1) 令则sin(2)sin3yxz\uf070\uf03d\uf02b\uf03dsinyz\uf03d的对称轴为,2zk\uf070kZ\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce23322xk\uf070\uf070\uf070\uf02b\uf03d\uf02b解得: 对称轴为,122xkkZ\uf070\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce(2)sinyz\uf03d的对称中心为 (,0) ,k\uf070kZ\uf0ce\uf07023xk\uf070\uf070\uf02b\uf03d对称中心为62xk\uf070\uf03d \uf02d\uf02bzk\uf070\uf03d(,0) ,Z62kk\uf070\uf02d\uf070\uf02b\uf0ce 解(1) 令则的对称轴为\uf070x\uf02b4242• 求函数的对称轴和对称中心\uf070\uf02b1cos(2\uf070kz \uf03d\uf070k\uf03dx\uf03d2kx\uf02d\uf03d2\uf070k\uf02b21\uf070\uf03d\uf02b\uf05ckx\uf070\uf070\uf070\uf0701cos()24xyx\uf070\uf03d\uf02b142\uf03dzzcos\uf03d)4yx\uf070\uf03d\uf02bzycos\uf03d\uf05c1\uf070\uf070Zkk\uf070\uf0ce\uf02dk,,2\uf0cek\uf0702解得: 对称轴为zcos\uf03d\uf070kz\uf02b\uf03d的对称中心为对称中心为Z20 ,\uf070\uf02by) 2 (z\uf0ce),(\uf070\uf070,2\uf07024\uf0ce2\uf070Zkkx\uf02b\uf03d\uf05c,2k2Zk\uf0ce\uf02b),0 ,22 ( x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d2\uf070\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dy1O\uf07023\uf070\uf070225\uf070\uf07031\uf02dP'P正弦函数的图象5533111133小结,,,,22222x\uf070\uf070\uf070\uf070\uf070\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d\uf04c\uf04c对称轴:,2xk\uf070kZ\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce(,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)\uf070\uf070\uf02d\uf070\uf04c\uf04c对称中心:(,0)k\uf070kZ\uf0ce 余弦函数的图象, 0 ,, 2x\uf070\uf070\uf070\uf03d\uf02d\uf04c\uf04c对称轴:'P2\uf070\uf02dP\uf0702x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dyO\uf07023\uf07025\uf070\uf07031\uf02d1,xk\uf070kZ\uf03d\uf0ce3\uf0705\uf070(,0),(,0),(,0),(,0)2222\uf070\uf02d\uf070\uf04c\uf04c对称中心:(,0)2k\uf070kZ\uf070\uf02b\uf0ce 探究: 正弦函数的最大值和最小值x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d2\uf070\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dyO\uf07023\uf070\uf070225\uf070\uf07031\uf02d13. 最值最大值:2\uf070\uf02d\uf070\uf03dx当时, 有最大值1\uf03dy\uf070k2\uf02b最小值:2\uf03dx当时,有最小值1\uf02d\uf03dy\uf070k2\uf02b零点:)(Zkkx\uf0ce\uf03d \uf070 探究: 余弦函数的最大值和最小值x2\uf0702\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf0702\uf02d2\uf070\uf02d5\uf070\uf02d23\uf070\uf02dyO\uf07023\uf070\uf070225\uf070\uf07031\uf02d13. 最值最大值:0\uf03dx当时, 有最大值1\uf03dy\uf070k2\uf02b最小值:\uf070\uf03dx当时,有最小值1\uf02d\uf03dy\uf070k2\uf02b零点:)(2Zkk\uf070x\uf0ce\uf02b\uf03d\uf070 例1.下列函数有最大、 最小值吗? 如果有, 请写出取最大、 最小值时的自变量x的集合, 并说出最大、 最小值分别是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR\uf03d\uf03d \uf02d\uf02b\uf0ce\uf0ce(1);(2)解: 这两个函数都有最大值、 最小值.cosy\uf03d(1) 使函数使函数cos ,yx x\uf03d(1) 使函数取得最大值的x的集合, 就是取得最大值的x的集合, 就是取得最大值的x的集合2,}x xkkZ\uf070\uf03d\uf0ce1,xxR\uf02b\uf0ceR\uf0ce{ |(21) ,x xkk\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce的最大值是1+1=2; 最小值是cos1,xxR\uf02b\uf0ce1,xRxR\uf02b\uf0ce,y\uf0ce{ |使函数y取得最小值的x的集合, 就是取得最小值的x的集合}Z使函数cosx xy\uf03dcos ,\uf03d函数-1+1=0.y\uf03d 例1.下列函数有最大、 最小值吗? 如果有, 请写出取最大、 最小值时的自变量x的集合, 并说出最大、 最小值分别是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR\uf03d\uf03d \uf02d\uf02b\uf0ce\uf0ce(1);(2)解:(2) 令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是}Z\uf070\uf03d \uf02d\uf02b 3sin ,2\uf02byt tR\uf03d \uf02d\uf070\uf0cek{ |t t\uf070,22k\uf070\uf03d \uf02d\uf0ce222xtk\uf070\uf03d \uf03d \uf02d\uf02b 由4xk\uf070得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2 ,\uf070\uf03d \uf02d3sin2 ,\uf03d \uf02d{ |x x\uf03dyx xR\uf03d \uf02d{ |x x\uf0ce,}4k\uf070kZ\uf02b\uf0ce同理, 使函数取最小值的x的集合是yx xR\uf0cek,}4k\uf070Z\uf070\uf02b\uf0ce函数取最大值是3, 最小值是-3。3sin2 ,yx xR\uf03d \uf02d\uf0ce 例题\uf070\uf02bx\uf070\uf070\uf02d\uf070\uf02d3\uf07022\uf070\uf02d5\uf07023\uf070\uf02dyO\uf0703\uf0702\uf07025\uf0702\uf07031求使函数取得最大值、 最小值的自变量的集合, 并写出最大值、 最小值。)22cos(3\uf03dxy22\uf02d\uf02d1\uf02d化未知为已知分析: 令2z2\uf070\uf02b\uf03d xz则ycos3\uf03d • P46 A2最值问题1(4)sin2123xy\uf070\uf0e6\uf0e7\uf0e8\uf0f6\uf0f7\uf0f8\uf03d\uf02b123xz\uf070\uf03d\uf02b解: 令1sin22zy \uf03dy要使有最大值,使原函数取得最大值的集合是|4,3k\uf070kZx x\uf070\uf0ec\uf0ed\uf0ee\uf0fc\uf0fd\uf0fe\uf03d\uf02b\uf0ce1sin2zy \uf03d要使有最小值,必须必须2,,zzk\uf070k\uf070kkzz\uf070\uf03d \uf02d\uf02b\uf0ce必须12,2zk\uf070kz\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce2322k\uf070x\uf070\uf070\uf03d\uf02b\uf02b43xk\uf070\uf070\uf03d\uf02b2\uf07012322xk\uf070\uf070\uf03d \uf02d\uf02b\uf02b5\uf07043k\uf070x\uf03d \uf02d\uf02b使原函数取得最小值的集合是5\uf070|4,3xk\uf070kZx\uf0ec\uf0ed\uf0ee\uf0fc\uf0fd\uf0fe\uf03d \uf02d\uf02b\uf0ce 31(3)sin226yx\uf070\uf0e6\uf0e7\uf0e8\uf02d\uf02d\uf0f6\uf0f7\uf0f8\uf03d因为有负因为有负号, 所以结论要相反最大最大3sin2yz\uf03d \uf02d最大最大sinyz\uf03d最小最小