x2 y2 例2.已知椭圆 ? ? 1, 直线l : y ? 4 x ? m, 4 3 若椭圆上存在两个不同点关于该直线对称, 求m的取值范围. A B y l o x 解:假设存在A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=4x+m ①对称 1 1 ∵AB⊥l ∴kAB=,可设直线AB: y=- x+b② 2 2 4 4 x y 把②带入 ? ?1 4 3 化简得:13x2-8bx+16b2-48=0 ∵AB与椭圆有两个不同的公共点 13 ∴△=64(39-12b)>0 ?b2< 4 1 x1 ? x2 4b 12b 设AB的中点为M,则xm= = ,ym=- xm+b= 4 2 13 13 13 将M坐标代入①式得:b= ? m 4 13 2 13 2 13 4 13 2 2 2 2 ? b =( 4 ) m < 4 ?m < 13 ? ? 13 0得m < ? 13 随堂练习: 1.过点(0,1),斜率为 5 的直线与双曲线 2 y x2 ? ? 1 只有一个公共点,则m=______. m x2 y 2 2.已知椭圆 9 ? 4 ? 1 ,过点(0,m)且相互垂 直的两条直线 l1 , l总与椭圆有公共点,则实 2 数m的范围为___________. 3.斜率为1的直线与椭圆 求线段AB 的垂直平分线在x轴上截距的取 值范围. x2 ? y2 ? 1 交于A、B两点, 4 x2 2 变题1:已知椭圆 +y =1,求斜率为2的平行弦 4 的中点轨迹方程; x2 2 变题2:已知椭圆 +y =1,过A(2, 2)的直线l与椭圆相交, 4 求l被截得弦的中点轨迹方程; x2 作业:已知椭圆 ? y2 ? 1 2 (1)求直线y=x-1截椭圆所得的弦|AB|的长; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过A(2,1)的直线l与椭圆相交, 求l被截得的弦的中点轨迹 方程。