1.意义和定义--从三个方面看线性相关性 如果向量组 中有向量可以用其它的s- 1个向量线性表示,就说 线性相关. 如果向量组中每个向量都不可以用其 它的s-1个向量线性表示,就说 线性无关. 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数 使得 说明:意义和定义是一致的.比如设不为0,则 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量. 线性无关即要使得必须 全为0. “有没有非零解”.如果令 线性相关(无关)齐次方程组AX=0有非零解(无非零解(只有零解)). n个n维向量线性相关 n个n维向量线性无关 线性相关至少有一个可以用其 他向量线性表示。 线性无关向量组的每个部分组都无关。当向量的个数s大于维数n时, 一定线 性相关。 例如若无关,则 一定无关。 如果无关,而 相关,则 如果可以用 线性表示,并且t 推论如果两个线性无关的向量组互相等价,则它 们包含的向量个数相等。 表示方式不唯一(有无穷解)相关 例2(07)设向量组线性无关,则下列向 量组线性相关的是( 1.定义的一个部分组 称为它的一个极大 无关组,如果满足: 线性无关。ii) 再扩大就相关。 的一个极大无关组.称(I)中所包 含向量的个数为 的秩。记作 条件ii)可换为:任何都可用 线性表示。也就 如果每个元素都是零向量,则规定其 ii)的每个含有k个向量的无关部分组 一定是极大无关组。 向量组的秩的计算方法:阶梯形矩阵B 如果有零行,则都在下面。各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格 单调上升。(或各行左边连续出现0的个数自上而 下严格单调上升,直到全为0。) 台角:各非零行第一个非0元素所在位置。 简单阶梯形矩阵(最简形矩阵):(1)台角位置的元素都为1; 是特殊的阶梯形矩阵,特点为: (2)台角正上方的元素都为0。 每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和 简单阶梯形矩阵。 1313 一个矩阵用行初等变换化得的阶梯形矩阵不是唯一的, 化出的简单阶梯形矩阵是唯 (03四)给定向量组()a1=(1,0,2),a2=(1,1,3), a3=(1,-1,a+2)和()b1=(1,2, a+3),b2=( 2,1 ,a+6), b3=(2,1,a+4). 当a为何值时()和()等价? a为何值时()和()不等价? 例4(06)设均为n维列向量,A为 线性相关,则线性相关. 线性相关,则线性无关. 线性无关,则线性相关. 线性无关,则线性无关. 3.有相同线性关系的向量组两个向量组若有相同个数的向量: 同解,则称它们有相同的线性关系。例如,当A经过初等行变换化为B时,A的列向 量和B的列向量组有相同线性关系。 它们对应的部分组有一样的线性相关性。的对应部分组是 当两个向量组有相同的线性关 相关,有不全为0的使得 从而也是的解,则有 极大无关组相对应,从而秩相等。有相同的内在线性表示关系。 2,1,2,3 ,找出一个极大无关组,并将其余向量用线性无关组表示。 (1,0,1)(0,1,1) (1,3,5) (1,2,3)(1,3,5) 定义一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相 位于这些行列交叉处的个元素,不改变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A 的秩,记作r(A)。并规定零矩阵的秩等于0。 可逆只有零解, 唯一解。 Ax命题 初等变换保持矩阵的秩。 A可逆时,于是 例10(08数一)设为3维列向量,矩阵 证明:()秩 矩阵的等价两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称 它们等价. 矩阵的等价的充分必要条件为它们类 型相同,秩相等. 例11(04)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有( (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 例12(93数一)设,矩阵 ,使得 时,A可逆,从而也可逆,秩为n。 时,它的每个余子式(都是n-1阶子 式)都为0,从而代数余子式 也都为0,于是 时,A有n-1阶非0子式,从而存在代数余子式 不为0,于是 ,又因为此时 A不可逆, ,所以 。于是 由于,得到 。因此 例13(03)设,已知 ,找出一个极大无关组,并把其它向量用此极大无关组线性表示。