学园┃ ACADEMY 2013 年 第 1 期 -76- 大学数学中不等式的证明方法 吴 莹 中央财经大学管理科学与工程学院 【摘 要】不等式在科学研究中的地位很重要,但对不等式的证明有些同学无从下手,用什么方法是个难题,所以本文对大学数学中遇到的不等式的各种证明方法进行归纳总结,并给出了相应的例子。 【关键词】数学归纳法 导数 单调性 中值定理 最值 积分 【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2013)01-0076-02 一 证明不等式的方法 1.用数学归纳法证明不等式 数学归纳法是证明一些与自然数有关命题的基本方法,是数学证明的有力工具。但是用数学归纳法证明不等式时,却往往受挫, 不过若能掌握若干技巧, 将会使证明获得成功,到达胜利的彼岸。 下面我们试对数学归纳法如何证明不等式进行举例说明。 2! 31+例 1, 证明不等式)!2(! 523! 41+++++nnL<2k1 (1) 分析:当 n=k 时,有)!2(! 53! 4! 3++++kL<2k1成立; 则当 n=k+1 时,)!3(1)!2(! 53! 42! 31++++++++kkkL<21 )!3(1+从上式,无法判断 n=k+1 时是否成立,但是有: 3! 4! 3+n! 315! 4! 31! 4! 3! 3! 212+n因此可以改变命题成立的充分条件,求证: 3! 4! 3+k证明:由已知得: 1! 32! 32! 3) 1(2)!2()!3(++kkn=k+1 时也成立。 由以上两种情况可知,不等式(2)成立,从而对于命题(1)也成立,即得证。 2.用导数及单调性证明不等式 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如,求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质,因++kk。 )!2(! 521++++nL<)!3(1! 5−4! 4+n1+n32++++++nnL =)!2(1) 2+(! 51413++−+−+−nL =)!2(1+)!1(! 41111−++−++−nL =)!2(1− )!2(! 521++++kL<)!2(1+21−n (2) 当 n=1 时,左式=61=,右式=33++1,61<31,所以成立。 当 n=k 时,假设)!k2(! 5! 411+++kkL<)!21(1++21−nk。 当 n=k+1 时, 左边)!3()!2(! 5(+3! 4++++++++kk1L< )!3() 311121+−+=−++kkkk<)!3(1+2−k,所以 此,很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在不等式证明时的作用。 解题思路:运用导数知识证明不等式,常用的方法是利用函数的单调性。对于一些不易入手的不等式证明,可利用导数思想,先通过要证明的不等式构造一个函数,再判定其函数单调性来证明不等式成立。 例 2,证明:若函数 f,g 在区间(a,b]上可导,且 f'(x)>g'(x) ,f(a)=g(a) ,则在(a,b]内有 f(x)>g(x) 。 证明:构造 F(x)=f(x)-g(x) ,由已知,得:F(x)在[a,b]上可导且 F(a)=0。 又∵F'(x)=f'(x)-g'(x)>0,x∈(a,b] 。 ∴F(x)在[a,b]上严格单调递增,即∀x∈(a,b] ,有 F(x)>F(a)=0,也就是 f(x)>g(x) ,∀x∈(a,b] 。 3.利用导数求出函数的最值后,再证明不等式 在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数, 用导数求出该函数的最值; 由当该函数取最大 (或最小)值时不等式都成立, 从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。 例 3,求证:n 为正整数,当 n≥3,2n>2n+1。 证明:由已知得,要证原式,即需证:2n-2n-1>0(n≥3)成立。 设 f(x)=2x-2x-1(x≥3) ,则 f'(x)=2xln2-2(x≥3) 。 又∵x≥3,则 f'(x)≥23ln2-2>0,所以 f(x)在[3,+∞]上是增函数。 ∴ f(x)的最小值为 f'(3)=23-2× 3-1=1>0。 所以,n≥3 时,f(n)≥f(3)>0,即 n≥3,2n>2n+1成立。 4.利用拉格朗日中值定理证明不等式 中值定理是证明不等式的重要工具, 在此以拉格朗日中值定理举例说明如下: 例 4,对 f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理, 试证:对 x > 0,有 0 < x)1ln(+证明:对∀x > 0,f(u)=ln(1+u)在[0,x]上连续,在(0,x)可导,由拉格朗日中值定理知, ξ−+=xxx+11< )1ln(x+xxx11−< 1。 ∃ ∈(0,x) , 使得ξ+=−111ln)1ln() 0 ()(xfxf,即ξ+=+1)1ln(xx> x,又∵ln(1+x)< x(x>0) ,则xx+1< ln(1+x)< x, 即x10, 0 0,有qxpp11+≥x。 证明:对 x 分两种情况讨论: 当 01 时,1−pt1tdt,即≤1,不等式两边关 1pxp于 t 从 x 到 1 积分,得:dtttp∫−11≤∫)1 (−≤1-x, 从而qxp当 x≥t≥1时,则当 p>1时,p11+≥x。 1−pt≥1,不等式两边关于 t 从 1 到 x 积分,得:dttxp∫−11≥∫xdt1,即)1 (1ppx−≥x-1, 从而qxpp11+≥x。 故对于任意的 x > 0,有qxpp11+≥x,且不等式等号当 且仅当 x=1 时成立。 二 结束语 本文归纳总结大学数学中数学归纳法、单调函数法、最大最小值方法、中值定理方法和积分不等式性质方法,并通过实例说明五种不等式的证明方法的可操作性。 参考文献 [1]