例 1 设 z = e usinv,u = xy,v = x + y,求\ue785z\ue785x,\ue785z\ue785y.计算复合函数的偏导数时,如果我们把因变量、中间变量及自变量的依赖关系用下面的图表示,则链式法则体现为:找出所有从z 到 x 的“链”,先将同一链上前一变量对后一变量求偏导数(或导数),并相乘;再把不同链上所得的结果全部相加。解 根据链式求导法则,可得\ue785z\ue785x=\ue785z\ue785u·\ue785u\ue785x+\ue785z\ue785v·\ue785v\ue785x= (e u sinv)·y + (e u cosv)·1= e u (ysinv + cosv)= e xy [ysin(x + y)+ cos(x + y)]\ue785z\ue785y=\ue785z\ue785u·\ue785u\ue785y+\ue785z\ue785v·\ue785v\ue785y= (e u sinv)·x + (e u cosv)·1= e u (xsinv + cosv)= e xy [xsin(x + y)+ cos(x + y)]例 2 设 z = arctan(u - v 2),而 u = lnx,v = sinx,求dzdx .解 函数 z 是型.根据链式求导法则,可得dzdx=\ue785z\ue785u· dudx+\ue785z\ue785v· dvdx=11 + (u - v 2 )2 ·1·1x+11 + (u - v 2 )2 ·(-2v)·cosx把 u = lnx 与 v = sinx 代入上式得dzdx=11 + (lnx - sin 2 x)21x- sin2( )x例 3 设 z = e u sinv + x 2,其中 u = x + y,v = xy,求\ue785z\ue785x,\ue785z\ue785y.解 函数 z 是型.根据复合函数求导法则,可得\ue785z\ue785x=\ue785z\ue785u·\ue785u\ue785x+\ue785z\ue785v·\ue785v\ue785x+\ue785z\ue785x· dxdx= (e u sinv)·1 + (e u cosv)·y +2x·1= e x + y [sin(xy)+ ycos(xy)]+2x\ue785z\ue785y=\ue785z\ue785u·\ue785u\ue785y+\ue785z\ue785v·\ue785v\ue785y= (e u sinv)·1 + (e u cosv)·x= e x + y [sin(xy)+ xcos(xy)]例 4 设 z = ln(e x + e y ),y = x 3,求dzdx .解法一dzdx=\ue785z\ue785x· dxdx+\ue785z\ue785y· dydx=1e x + e y ·ex ·1 + 1e x + e y ·ey ·3x 2=e x +3x 2 e ye x + e y=e x +3x 2 e x3e x + e x3解法二 把 y = x3代入 z = ln(e x + e y )中,得到 z = ln(e x + e x3 )dzdx=1e x + e x3 ·[ex+ e x3 ·(3x 2 )]= e x +3x 2 e x3e x + e x3例 5 设 z = uv + sint,u = e t,v = cost,求dzdt.解法一 利用链式求导法则,则dzdt=\ue785z\ue785ududt+\ue785z\ue785vdvdt+\ue785z\ue785tdtdt= v·e t + u·(- sint)+ cost·1= e t cost - e t ·sint + cost解法二 利用四则运算求导法则,则dzdt=d(uv)dt+d(sint)dt=\ue785(uv)\ue785ududt+\ue785(uv)\ue785vdvdt+ cost= ve t + u·(- sint)+ cost= e t cost - e t sint + cost参考文献:[1]同济大学数学教研室. 高等数学(上册)[M]. 北京:高等教育出版社,2002.[2]黄立宏. 高等数学上册[M]. 上海:复旦大学出版社,2010.— 3 3 2 —