1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容: 前面介绍了利用行列式求解线性方程组,即 Cramer 法则。但是 Cramer 法则有它的局限性: ?1. D ? 0 ??2. 所解的线性方程组存在系数行列式(行数=列数) 同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组,即 Cramer 法则无法用上的-――用“矩阵” 的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一.矩阵的概念 ?x1 ? 2x2 ? 3x3 ? 1 ???2x1 ? 4x2 ? 6x3 ? ?2 ? ? x1 ? x2 ? x3 ?1 1 ?2 3 它的系数行列式 D ? ?2 4 ?6 ? 0 1 1 ?1 此时 Cramer 法则失效,我们可换一种形式来表示: ? 1 ?2 3 1 ? A ? ? ? ?2 4 ?6 ?2 ? ? ?? 1 1 ?1 1 ?? 这正是“换汤不换药”, 以上线性方程组可用这张“数表”来表示,二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来,排成一个长方形阵式,《孙子兵法》中说道:长方 形阵为矩阵。 ? 1 ?2 3 ? A ? ? ? ?2 4 ?6 ? ? ?? 1 1 ?1?? 这也是矩阵,是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成,称为“系数矩阵” 而“ A ”多了一列常数列,称为以上方程组的“增广矩阵”。 注意:虽然 D 和 A 很相像,但是区别很大。 D 是行列式,实质上是一个数,而 A 是一张表 格,“数是数,表是表,数不是表,表也不是数”,这是本质意义上不同。况且,行列式行数必须 与列数相同,矩阵则未必。 关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地,对于线性方程组: 1 ? a11x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?? ? ? a21x1 ? a22 x2 ? ? ? a2n xn ? b2 ???????????? ??am1x1 ? am2 x2 ? ? ? amn xn ? bm ? a11 a12 他的系数矩阵: ? ? a21 a22 ? ? ? am1 am2 a1n b1 ? a2n b2 ? ? ? ? amn bm ?m?n 称为 m 行 n 列的矩阵,简称 m ? n 矩阵, 有时标记在右下角。 1)当 m ? n 时,称 m ? n 矩阵为长方阵(长得像长方形); 2)当 m ? n 时,称矩阵为 n 阶方阵(长得像正方形),简称方阵; 3)当 m=1 时只有一行,即(a11 a12…a1n)称之为行矩阵(或行向量); ?a11 ? 4)当 n=1 时矩阵只有一列,即 ??a ?? 21 ? ? ? 称之为列矩阵(或列向量); ??a m1 ? ? 另外,行列式 a11 a12 是由以上 m ? n 矩阵 1,2 两行和 1,2 两列上交点的四个元素组成的 a21 a22 一个 2 阶行列式,称为该矩阵的二阶子式。 二.特殊矩阵 ? ? ? ? a11 a12 ?a1n ? ? (上三角) ? 0 ?? a22 ? ?a2n ? ? ? ??? 0 0 ?ann ??? ?? a11 0 ? 0 ?? (下三角) ? ? ??? a21 ? an1 a22 ? an2 ? 0? ? ? ? ann ? ??? 上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵 ?? a11 0 ? 0 ?? (对角) ? ? ??? 0 ? 0 a22 ? 0 ? ? ? 0? ? ann ? ??? ?? 0 ? 0 a1n ?? (次对角) ? ? ??? 0 ? an1 ? ? 0 a2(n?1) ? 0 0? ? 0 ? ??? ?1 0 0? (单位阵) E ? ? ? 0 1 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 1 ? ? (零矩阵)所有元素全为零,记为 Om?n “单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的 1 和 0 。 2 ?同型:两矩阵行数、列数对应相等 三.矩阵相等 ??对应元素相等 例如,矩阵 A ? ???? a11 a21 a12 a22 a13 a23 ????, B ? ?1 ??? 3 0 1 9? ? 3??, 若 A = B ,则 a11=1, a12=0, a13=9, a21=-3, a22=1, a23=-3. 四.矩阵的四则运算 过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则,今后将学习的概率中的事件也有加 法和乘法的运算,即事件的并和事件的交。今天,数表――矩阵也有加减乘除的四则运算法则。 1.加法(减法) A?B ? (aij ? bij ) 即对应位置上的元素进行加减运算 例 1 设矩阵 解: A ? ????3? 0 2 ? 5 4 ? 1????, B ? ???? ? 0 2 ? 3 2 14???? ,求 A+B,A-B. A ? B ? ????3? 2 0 5 ? 4?1???? ? ???? 0? 2 ? 3 3 14???? ? ????1? 3 2 0 2 0????, A ? B ? ???? 3 ? 2 0 5 ? 4 ? 1???? ? ???? ? 0 2 ? 3 3 14???? ? ???? 5? 2 ? 3 8 ?? 82????. 注意: c ? ? ? ? 1 3 2 4 ? ? ? 与 A,B 则不能进行加法运算,可见,只有同型矩阵才能进行加减法运算。 运算规则: (1)加法交换律 A + B = B + A; (2)加法结合律 (A+B)+C = A+(B+C); 2.数乘 一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素,这点与行列式根本不同. ?1 ? 2? ? 1 ? 2? 例2 设两上 3×2 矩阵 A,B 为 A ? ??2 0 ??, B ? ? ? 3 2 ? ? ,求 5A ? 4B ??1 3 ?? ???1 ? 2?? 解: 先做矩阵的数乘运算 3A 和 2B,然后求矩阵 3A 和 2B 的差 3 ? 5?1 5? (?2) ? ? 5 ?10? 因为 5 A ? ? ? 5? 2 5?0 ? ? ? ??10 0 ? ? , ?? 5?1 5? 3 ?? ?? 5 15 ?? ?? 4 ?1 4B ? ? 4?3 ?? 4 ? (?1) 4 4 ? 4 ? (?2) ?2 (?2) ?? ? ?? ? ?4 ? ? 12 ??? 4 ? 8? 8 ??, ? 8?? ? 5 ? 2? ? 4 ? 8? ? 1 6 ? 所以 5A ? 4B ? ??10 0 ? ? ? ? ? 12 8 ? ? ? ??? 2 ? 8?? ?? 5 15 ?? ??? 4 ? 8?? ?? 9 23?? 运算规则: 1.分配率:数对矩阵的分配律 k(A+B)=kA+kB,矩阵对数的分配律(k+ l )A=kA+ l A 2.结合率:数与矩阵的结合律(k l )A=k( l A)= l (kA) 3.矩阵乘矩阵 矩阵与矩阵相乘,两张表格拿来乘,不是简单的对应元素相乘,另有其规则。 ?1 2 ? 例3 A ? ? ? 3 4 ? ? ?? 5 6 ? ?3?2 ?1 2 ? B ? ? ? 3 4 ? ? 2?2 解: ?1 2 ? A ? B ? ? ??? 3 5 4 6 ? ??? ? ?1 ? ? 3 2? 4 ? ? ?1?1? 2?3 1? 2 ? 2? 4 ? ? ? ? 3?1? 4 ? 3 3? 2 ? 4 ? 4 ? ? ?? 5?1? 6? 3 5? 2 ? 6? 4 ?? 矩阵乘矩阵,即左矩阵的行乘右矩阵的列 得到的新矩阵的第 i 行第 j 列元素是原来 左矩阵的第 i 行元素与右矩阵第 j 列元素 乘积之和。 ? 7 10 ? ? ??15 22 ? ? ?? 23 34 ??3?2 例4 ?3 2 ?1? A ? ? ? 0 ?3 5 ? ? 2?3 ?1 B ? ? ? ?5 ?? 0 3? 0 ? ? 6 ??3?2 4 ?1 3? 解: AB ? ? ? ? 3 0 2 ?3 ?1? 5 ? ?2?3 ? ? ?5 ?? 0 0 ? ? 6 ? ?3?2 ? ?7 3 ? ? ??15 30 ? ? 2?2 ?1 BA ? ? ? ?5 ?? 0 3? 0 6 ? ? ? ?3?2 ? ? ? 3 0 2 ?1? ?3 5 ? ?2?3 ? 3 -7 14 ? ? ? ? ?15 ?10 5 ? ? ?? 0 ?18 30 ? ?3?3 可见 :1)矩阵乘法未必满足交换率 2)新矩阵与原矩阵关系――型状上的规律性:新矩阵的行数与列数即为:原左矩阵的行 数和原右矩阵的列数。 3)而原左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相等,才能进行乘法。 例 5 设矩阵 求 AB 和 BA A ? ???? 2 1 24????, B???? 2 ?1 ?12???? 解: AB ? ???? 2 1 24???????? 2 ?1 ?12???? ? ???? 2?2 1? 2 ? ? 4 ? (?1) 2 ? (?1) 2 ? (?2) 1? (?2) ? ? 24??11))???? ? ???? 0 0 00???? 例 5 中矩阵 A 和 B 都是非零矩阵,但是矩阵 A 和 B 的乘积矩阵 AB 却是一个零矩阵。这在数 与代数式的运算中是没有的。 矩阵的行列式 矩阵 A 的行列式称为矩阵的行列式,记为 det A 或 A 。 例如 ?1 2? A ? ? ? 3 4 ?? 12 则 A? 34 特殊的,对于方阵乘积的行列式有如下非常类似于一般代数运算的运算律: 5 若 A 与 B 均为 n 阶方阵,则两个方阵乘积的行列式等于每个方阵行列式的乘积。 即 det(AB) ? det Adet B ? det(BA) (证明略) 例如 det ???? ???? 1 4 53???????? -2 3 04 ???? ???? = det ???? 1 4 53???? det ???? -2 3 04 ???? = ? 5? (?8) ? 40 若两个矩阵 A 和 B 满足 AB=BA,则称矩阵 A 和 B 是可交换的. 练习: A ? ???? ?1 1 24????, B ? ????10 34????. 因为 AB ? ???? ?1 1 24???????? 0 1 34???? ? ???? 4 2 180????, BA ? ???? 0 1 34???????? ?1 1 24???? ? ???? 4 2 180???? 即 AB=BA,所以,矩阵 A 和 B 是可交换的。 例6 设矩阵 求 AB 和 AC. A ? ???? ? ? 2 3 64????, B ? ???? 2 1 150????, C ? ???? ? ? 6 3 24????. 解: AB ? ???? ? ? 2 3 64???????? 2 1 150???? ? ????00 00???? AC ? ???? ? ? 2 3 64???????? ? ? 6 3 24???? ? ???? 0 0 00???? 在例 6 中,显然不能从 AB=AC 中消去矩阵 A 而得到 B=C。这说明矩阵乘法不满足消去律. 一般地,当乘积矩阵 AB=AC,且 A≠O 时,不能消去矩阵 A 而得到 B=C。 总之,矩阵乘法不满足交换律、消去律,但矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方,即矩阵乘 6 法满足下列运算规则: 运算规则: 1、乘法结合律 (AB)C=A(BC); 2、左乘分配律 A(B+C)=AB+AC; 右乘分配律 (B+C)A=BA+CA; 3、数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),其中 k 是一个常数. 特别地,当 A 是 n 阶矩阵时,我们记 AA…A= Am , m个 Am 称为矩阵 A 的 m 次幂,其中 m 是正整数。当 m=0 时,规定 A0 =E。显然有 Ak Al =Ak+l,(Ak)l =Akl, ( Ak )l ? Akl 其中 k,l 是任意正整数.由于矩阵乘法不满足交换律,因此,一般地 (AB)k≠Ak Bk . 例 7 设矩阵 求矩阵 Am,其中 m 是正整数. 解: 因为,当 m =2 时, A ? ???? 1 0 12????, A2 ? ????10 12 ???????? 10 12???? ? ???? 1 0 2 ? 1 2???? 设 m = k 时, Ak ? ????10 2 ? 1 k ???????? 10 12???? ? ????10 2 ? 2 1 ? k ???? ? ???? 1 0 2(k ? 1 1)????, 则 Ak?1 ? Ak A ? ????10 2 ? 1 k ???????? 10 12???? ? ???? 1 0 2 ? 2 1 ? k ???? ? ???? 1 0 2(k ? 1 1)????, 所以,由归纳法原理可知 Am ? ???? 1 0 21m????. 五.矩阵的转置 将一个 m×n 矩阵 7 ? a11 a12 ? a1n ? A ? ? ? ? a21 ? a22 ? ? a2n ? ? ? ?? ??am1 am2 ? a mn ? ? 的行标和列标互换后所得的 n×m 矩阵,称为 A 的转置矩阵,记作 AT 或 At 即 ?a11 a21 ? am1 ? AT ? ??a12 ?? a22 ? ? ? am2 ? ? ?. ? ??a1n a2n ? amn ? ? 例如: ?1 ? ? 4 2 5 3 ?T 6 ? ? ?1 ? ? ??? 2 3 4? 5 6 ? ??? ?1? ,有时列向量用转置来表示: ? ? 2 ? ? ? ?1 ?? 3 ?? 2 3?T 容易验证矩阵的转置满足下列运算规则: (1)(AT)T=A; (2)(A+B)T=AT+BT; (3)(kA)T=kAT,(k 为实数); (4)(AB)T=BTAT. 例8 已知 A ? ???? ?1 6 05 ????, B ? ?? ??? 1 4 3 542 ?????, C ? ???? 0 1 1 0 52???? ,求 ABT ? 4C 解: ABT ? 4C = ???? ?1 6 5 0 ???? ?? ??? 1 4 3 2?t 4? 5 ??? +4 ???? 10 1 0 5 2 ???? = ???? ?1 6 05 ???? ???? 1 2 4 4 53???? +4 ???? 0 1 1 0 52???? = ???? 9 6 16 24 1282???? + ???? 0 4 4 0 280???? ? 9 20 42? = ???10 24 26??? 如果矩阵 A=(aij)满足: A = AT 即它的第 i 行第 j 列的元素与第 j 行第 i 列的元素相同,即 aij=aji(i,j=1,2,…,n) 则称 A 是对称矩阵。 8 显然,对称矩阵一定是方阵。. 显然,单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是对称矩阵的特例. 9