假设ƒ是一个多元函数。例如:
因为曲面上的每一点都有无穷多条切线,描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线,并求出它的斜率。通常,最感兴趣的是垂直于y轴(平行于xOz平面)的切线,以及垂直于x轴(平行于yOz平面)的切线。
一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如,欲求出以上的函数在点(1, 1, 3)的与xOz平面平行的切线。下图显示了函数的图像以及这个平面
下图中显示了函数在平面y= 1上是什么样的。
我们把变量y视为常数,通过对方程求导,我们发现ƒ在点(x, y, z)的。我们把它记为:
于是在点(1, 1, 3)的与xOz平面平行的切线的斜率是3。
在点(1, 1, 3),或称“f在(1, 1, 3)的关于x的偏导数是3”。
定义
函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数:
也就是说,每一个x的值定义了一个函数,记为fx,它是一个一元函数。也就是说:
一旦选择了一个x的值,例如a,那么f(x,y)便定义了一个函数fa,把y映射到a2+ay+y2:
在这个表达式中,a是常数,而不是变量,因此fa是只有一个变量的函数,这个变量是y。这样,便可以使用一元函数的导数的定义:
以上的步骤适用于任何a的选择。把这些导数合并起来,便得到了一个函数,它描述了f在y方向上的变化:
这就是f关于y的偏导数,在这里,∂是一个弯曲的d,称为偏导数符号。为了把它与字母d区分,∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”,而不是“dee”。