设向量c由两个向量a与b按下列方式定出:c的模|c|=|a||b|sin;c的方向垂直于a与b所决定的平面(即c既垂直于a,又垂直于b),c的指向按右手规则从a转向b来确定。那么,向量c叫做向量a与b的外积,记作a×b,即c=a×b。|a×b|的值与以a,b为邻边的平行四边形的面积的值相同.一般地,对向量外积的研究仅限于三维空间中.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则可证明a×b=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)=.其中i,j,k分别是沿x,y,z轴正方向的单位向量。a×b=的证明需要以(a+b)×c=a×c+b×c和(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)为前提.设已知三个向量a,b和c。如果先作两向量a和b的外积a×b,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(a×b)·c,这样得到的数量叫做三向量a,b,c的混合积,记作[abc].设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3).因为a×b==i+j+k,所以[abc]=(a×b)·c=x3+y3+z3=.向量的混合积[abc]是这样一个数,它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.如果向量a、b、c组成右手系(即c的指向按右手规则从a转向b来确定),那么混合积的符号是正的;如果a、b、c组成左手系(即c的指向按左手规则从a转向b来确定),那么混合积的符号是负的.