对于实对称矩阵,其不同的特征方向是正交的,取自不同特征方向上的特征向量之间自然是正交的。对于y=Ax的表达式,如果x的取向与特征方向同(或反),则y也必与特征方向同(或反),这时无论是x还是y,都是这个 特征方向上的特征向量,它们共线。
特征值是啥?特征值只不过是同一个特征方向上,一个x与Ax计算而得的y之间的比值,λ=y/x。λ为正,意味着y与x同向,λ为负,意味着y与x反向。在一般情况下,y/x是不能算的,唯有在矩阵的特征方向上,y与x居然可以做除法了。
如果根据特征方程计算所得的特征值有重根,这只意味着在不同的特征方向上,由y/x得到的λ在数值上一样而已,它并不意味着这两个特征方向就指向一个方向了,在这两个有同样特征值的不同的 特征方向上取到的特征向量,它们之间还是不同向的,在实对称矩阵这里,它们还是正交的,与不同的特征值(自然对应不同的特征方向)下的特征向量之间是正交的是一回事。