一.前言
本篇文章介绍的内容是高考不考、大学要会的基础知识,属于高中数学和大学数学的衔接,目标读者主要是参加了高考的同学
因为看到网上的内容相对零散,所以我觉得有必要作一个整合,并且希望在尽量通俗的讲解过程中,让尽可能多的同学学懂,毕竟这不是拔高内容,而是必会知识!
由于本文属于初等数学的范围,所以会投稿到初等数学的专栏
二.知识讲解
1.认识另外三个小伙伴
首先说cot
我估计部分高中生应该学过cot。它叫余切,和tan互为倒数。所以,在直角三角形里,tan是对边/邻边,那cot自然是邻边/对边了
其次是sec,它叫正割
类似地,cos和sec互为倒数,直角三角形里是斜边/邻边
这里我多说一句,我建议大家学一下sec的读音,否则一说到它就叫s e c,这不方便叫
来想一个场景
老师说:同学们,s i n 30 得多少啊
注意啊,不是sin,是s i n
所以我觉得学学读音有必要啊
好啦第三个伙伴,是csc,叫余割,它和sin互为倒数,同样地这个也建议学一下读音,其它内容类比之前的即可
2.画图像
注意啊是画图,我觉得初学时应该自己探究着画。一方面,亲自动手和直接看图像肯定是不一样的;另一方面,这个过程一定程度上也锻炼了探究能力
引个路,咱们首先画y=secx,不妨拿起笔和纸,尝试一下
注意最开始可以找图像上的几个点(结合sec和cos互为倒数),然后像线绳串珠子一样,画出大致的图像
因为有现成的图,所以我就不画了啊,但初学时一定要自己画一遍
来看标准图和自己画的是否大致相同
图1 y=secx
如果把图放大,你会感觉y=secx的每个单元(也就是每半个周期)像啥?是不是有点像大铲子。。。。。。
图2 y=secx在一个周期内的一支
由于在二.1中我们说过,cos和sec互为倒数,所以实际上,我们还可以借助cos的图像来得到y=secx
来把它们画在一块
图3 y=cosx和y=secx
我觉得这么记住y=secx的图像是最好的
所以同样地,y=cscx的图像也是一样的研究方法
这里给出图像,其它的请读者按之前的思路进行
图4 y=sinx和y=cscx
这里我强调一个点,就是周期性
由图3和图4可知,正割函数和余割函数都是以2pi为最小正周期的
但我们知道,正切函数的最小正周期是pi
所以若根据tan与cot互为倒数来演变画图像,我们可以知道y=cotx的最小正周期也为pi
当然画y=cotx也可以找特殊点再串线来画
探究过程请读者进行
这里同样直接给出图像
图5 y=cotx
在画出图像后,请读者分别从函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性六个方面进行研究
3.六边形记忆法
这个方法我觉得真的很好,也借此来总结和添加相关公式
直接上图
图6 六边形记忆法
先来观察一下,看看能发现哪些规律
我们先从宏观角度来审视
纵向的看,六边形的左半都为“正”,右半都为“余”
类似地,横向的看,最上面一行为“弦”,中间一行为“切”,而最后一行为“割”
我一般喜欢简称为“正余弦切割”
也建议大家在画出这个六边形时,可以分别把这五个字标在图上,这样更清晰些
从微观角度看,主要可以得到3条规律
我喜欢叫它为“邻,间,对”
诶,大家有没有想到化学里的二甲苯?
图7 二甲苯的三种同分异构体
反正我是这么类比着记的
来,首先看对位(比如tan和cot)
诶,这不就是我们最开始讲到的互为倒数吗?
没错
而且六边形里的三对都符合
这就是“对”的规律
其次呢,我们看“邻”
比如sin和cos
我们会看到六边形的中心有个1
所以我们会想到sin^2+cos^2=1
也正是最上面的阴影三角形
类似的,就有tan^2+1=sec^2,cot^2+1=csc^2
这个大家能联想到什么呢?
我想到的是杨辉三角
图8 杨辉三角
说白了,就是由两个肩上扛的数得到下面那个数
我觉得这么记比较好
最后一个是“间”的规律
也就是六边形每个顶点都等于与它相邻的两个函数的乘积
比如sec=tan*csc
ok,在已经能吃透六边形的内在规律后,我们再来把公式详细地摆出来
图9 同角三角函数的基本关系式
我想现在再来看这堆公式就不会觉得难记了
三.总结
本文主要讲了cot,sec,csc的图像和一些常用公式
其实我感觉三角函数补充这些就基本够用了
当然了还有一个部分没讲到,即反三角函数
虽然应用并不深入
但笔者水平有限,不能透彻的理解一些内容
所以也希望学得较好的高手可以考虑在这个方向上深耕
OK,如果觉得讲得还不错,可以多多点赞收藏,或者偷偷点爱心也行(疯狂暗示),谢谢大家