教学目标: 教学目标: 1、经历在三角函数某个单调区间上建立反三角函数的过程. π π 2、理解反正弦函数 y=arcsinx 是函数 y = sin x, x ∈ ? ? , ? 的 ? 2 2? ? ? 反函数而不是正弦函数 y=sinx 的反函数. 3、理解反正弦函数 y=arcsinx 的概念,掌握符号 arcsinx 的 含义,并会用以表示角的大小. 4 4、知道反正弦函数的图像,掌握反正弦函数的性质. 教学重点与难点: 教学重点与难点: 教学重点:反正弦函数 y=arcsinx 的概念、图像及性质 . 教学难点:反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1,1]的产生和从本质 上处理正弦函数y=sinx(x∈R)的反函数问题. 教学方法: 教学方法:启发、讨论、操作. 教学手段: 教学手段:多媒体辅助教学. 教学过程: 教学过程: 一、复习引入 1、复习反函数的概念: 一般地,对于函数y=f(x).设它的定义域为D, 值域为A.如果对A中的任意一个值y,在D中总 有唯一确定的x值与它对应,满足y=f(x),这样得 到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数. 提问:怎样的函数存在反函数? 答:自变量与因变量是一一对应的函数存在反函数. 自变量与因变量是一一对应的函数存在反函数. 易知单调函数必存在反函数. 2、思考: 为什么? 正弦函数y=sinx是否存在反函数? y ? 2π ?π 1 2 O π 6 y =sin x π 2π 3π 4π x [说明] 因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应, 正弦函数的自变量与因变量是多对一的. 因此定义在R上的正弦函数y=sinx不存在反函数. 应该选取 怎样的区 3、讨论: 间,使得 正弦函数不存在反函数,但可选取某一 y=sinx存 区间使得y=sinx在该区间上存在反函数. 在反函数? y ? 2π ?π O y =sin x π 2π 3π 4π x 选择区间依据两个原则: 选择区间依据两个原则: ? π π? 选 区 ? 取 间- ,? ? 2 2? ( )y =sin x在 取 区 上 单 函 ; 1 所 的 间 是 调 数 (2)在 区 上 =sin x的 域 [? , 该 间 y 值 为 11. ] 二、反正弦函数 1、反正弦函数的定义: π π 函 y =sin x, ∈[? ,] 反 数 做 正 函 数 x 的 函 叫 反 弦 数 2 2 (inverse e sin function) 记 y =arcsin x, ∈ ? , , 作 x [ 11. ] π π 其 域 [? ,] 值 为 . 2 2 (1)“arcsin”是反正弦函数的函数名,是一个整体符号. “ ”是反正弦函数的函数名,是一个整体符号. ? π π? (2)当 ∈[?11时 arcsin x表 一 角 这 角 ?? , ? x , , ] 示 个 , 个 是 ? 2 2? 内 弦 为的 个 度 角 正 值 x 那 弧 制 . 2 2 ? π π? 重 等 1 sin 要 式:(arcsin x) = x, ∈ ? , x [ 11 ] 例 : 如 arcsin 表 ? 示- ,? 正 值 的 . 内 弦 为 角 3 3 ? 2 2? 2、反正弦函数的图像: π π 函 y =arcsin x, ∈[?11与 数 =sin x, ∈[? ,] 数 x , 函 y ] x 2 2 互 反 数 所 图 关 直 y= x对 . 为 函 , 以 像 于 线 称 π 2 y y=x π 2 y = arcsin x, ∈[?11 x , ] - 2 π o y =sin x, ∈[? ,] x π 2 2 - 2 π π x 3、反正弦函数的性质: y = arcsin x, ∈[?11 ?1 x , ] π 2 y 定义域 值域 单调性 奇偶性 分段 ? π π? ?? 2,? 2? ? [-, ] 11 o 1 - 2 x π 在? , 单 递 [? 1上 调 增 1] 奇 数 函 ? (01时 y∈?0 π ? ) x∈ , , ,? ? 2? x >0 , 时 arcsin x是 个 角 一 锐 ; x <0 , 时 arcsin x是 个 角 一 负 . ? π ? x∈(?10)时 y∈?? , , , 0? ? 2 ? 重 等 2 arcsin ?x) =?arcsin x, ∈ ? , 要 式: ( x [ 11 ] 三、例题与练习 例1、求下列反正弦函数的值. 3 (1) arcsin 2 π 3 π π π 3 π arcsin = 解Q :sin = , 且 ∈[? ,] ∴ 2 3 3 2 3 2 2 2 π (2) arcsin 0 =0 (3) arcsin(? ) =? 4 2 1 π π (4) arcsin = (5) arcsin 1= 2 6 2 (6) arcsin(?1) = ? π 2 (7) arcsin π 3 不 在 存 例2、求下列反正弦函数的函数值. 2 2 1 1 (1) sin(arcsin ) = (2) sin[arcsin(? )] = ? 3 3 3 3 1 1 1 3 (3) sin[arcsin(? )] = ? (4) cos[arcsin(? )]= 2 2 2 2 1 π (4)解Q :arcsin ? ) = ? ( 2 6 1 π 3 cos[arcsin(? )] =cos(? ) = ∴ 2 6 2 π 1 3 (5) cos(arcsin ) =cos = 3 2 2 3 (6) cos[arcsin(? )] 5 3 π (6)解 设 : arcsin ? ) =α α∈(? , ( , 0) 2 3 5 4 3 4 ∴ α = ? ?cosα = 即 sin cos[arcsin(? )] = 512 5 5 5 1 (7) tan( arcsin ) 2 13 12 π (7)解 设 : arcsin =α α∈(0 ) , , 13 2 12 5 ∴ α = ?cosα = sin 13 13 α 1?cosα 2 1 12 2 ∴tan = = 即 ( arcsin ) = tan 2 13 3 2 sin α 3 ex1、求下列反正弦函数的函数值. 1 1 1 1 (1) sin( arcsin ) ? cos( arcsin ) 2 3 2 3 1 1 (2) cos[arcsin + arcsin(? )] 3 5 1 π 解(1 设 : arcsin =α α∈(0 ) ) , , 3 2 α α ∴ 式=sin ?cos 原 2 2 1 1 1 1 = sinα = ? = 2 2 3 6 1 1 (2) cos[arcsin + arcsin(? )] 3 5π 1 解(2)设 : arcsin =α α∈(0 ) , , 3 2 1 2 2 ∴ α = ?cosα = sin 3 1 3 π 设 arcsin ? ) = β, ∈(? , ( β 0) 5 2 1 2 6 ∴ β = ? ?cosβ = sin 5 5 2 2 2 6 1 1 ∴ 式=cos(α +β)= 原 ? ? ?(? ) 3 5 3 5 8 3 +1 = 15 ex2 是 题 、 非 : 3 π ( )arcsin 1 = ( 2 3 3 (2)arcsin = ( 3 2 ) (5)sin arcsin 2 = 2 ( ( ) ×) ) π ? 3? 2 π ?? ? = (7)arcsin? ? 3 ( ? 2? π (3 arcsin1= 2kπ + , ∈Z ( ) ) k 2 π 1 (8)arcsin = ( ) 6 2 π ? π? (4)arcsin?? ? = ?arcsin ( ) 3 ? 3? ×) π? π ? (6)sin?arcsin ? = ( 10? 10 ? × ×) × × 例3、用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x. 3 π π (1) sin x = x ∈ [? , ]; 5 2 2 3 3 ? π π? 解(1 Qx∈?? ,?且 x = : ) sin ∴x =arcsin 5 ? 2 2? 5 1 π π (2) sin x = ? x ∈ [? , ]. 4 2 2 1 ? π π? (2)Qx∈?? ,?且 x = ? sin 4 ? 2 2? 1 ? 1? ∴x =arcsin?? ? = ?arcsin 4 ? 4? 3 π 找到主值 (1) sin x = x ∈ [ ,π ]; 区间的角 5 2 π ?π ? 解(1 Qx∈? , ? ?π ?x∈[0 ] : ) , π 2 ?2 ? 3 3 ∴ ?x =arcsin π ∴ (π ?x) =sin x = sin 5 3 5 ∴x =π ?arcsin 找到主值 5 3π 1 (2) sin x = ? x ∈ (π, ). 区间的角 43 2 π π (2)Qx∈(π ) ?π ?x∈(? , , 0) 2 1 2 1 ∴ (π ?x) =sin x = ? ∴ ?x =arcsin sin (? ) π 4 4 1 ∴x =π +arcsin 4 ex3、用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x. 3 5π (1) sin x = ,x ∈ (2π, ); 5 2 1 π (2) sin x = ? ,x ∈ (?π, ); ? 45 2 π π (2)Qx∈(? , ) π? 解(1 Qx∈(2 , ) : ) π 2π 2 π ?π + x∈(0 ) , ?2 ?x∈(? , π 0) 2 1 2 3 ∴ (π + x) = ?sin x = sin ∴ ( 2 ?x) = ?sin x = ? sin π 4 5 1 3 ∴ + x =arcsin π ∴ π ?x =arcsin ? ) 2 ( 4 5 3 1 ∴x = 2 +arcsin π ∴x = ? +arcsin π 5 4 3 (3) sin x = ? x ∈ [?π,]. 0 3 π 3 (3 当 ∈[? , , = ?arcsin ) x 0] 时 x 2 3 3 π 当 ∈[? , ] , = ? +arcsin x π? 时 x π 2 3 3 3 ∴x = ?arcsin 或 = ? +arcsin x π 3 3 说明:用反正弦函数值表示角x时,若角x不在主 值区间内,则应先将角化到主值区间内再 用反正弦函数值表示角x. 四、课堂小结 1、反正弦函数的定义、图像和性质. 2、反正弦函数值arcsinx的含义. ( )arcsin x是 个 度 角 ; 1 一 弧 制 α (2)这 角 正 等 x, sin 个 的 弦 于 即 (arcsin x) = x; (3 这 角 范 是? ,] ) 个 的 围 [ . 2 2 π π 3、两个重要等式: sin (arcsin x) = x, ∈[?11 x , ] arcsin ?x) = ?arcsin x, ∈[?11 ( x , ]