数学家可不想浪费宝贵的精力画盒子,所以发明了更好的表示函数的方式,什么也不用画。在数学上,我们的函数可以定义为:
这和上面的示意图是等价的,因为我们可以明确看到函数的输入是x,我们的函数称为f,并且我们知道函数在输入上加2,并返回x + 2作为输出。
值得注意的是,函数名和输入的字母选择是任意的。我可以说输入是“a”,将函数称为“add_two”(加二):
这和之前的函数定义完全等价。
这里关键的一点是,有了函数定义,我们可以看到如何转换任何输入。给定函数f(x) = x + 2,我们会知道如果输入是10做什么,或者如果输入是10000做什么。所以我们不用像之前那样列出一个表格。
这里需要指出的是,我们即将使用的函数的输入和输出都是数字。然而,函数可以接受任何你喜欢的东西作为输入,并输出任何你喜欢的东西(甚至什么都不输出)。例如,我们可以在编程语言中编写一个函数,接受一个文本字符串作为输入,并输出字符串的第一个字母。下面是用Python编程语言写的一个例子:
def get_first_letter(my_string): return my_string[0] get_first_letter('Hello World') # 结果为 'H'
译者注:这里仅为示例,实际定义函数的时候还需要考虑输入字符串为空的情况,需要捕获IndexError异常或先行判断字符串是否为空。
用图像表示函数
函数的主要优势之一是让我们知道如何转换任何输入,所以我们可以利用这一知识可视化函数。回到之前的例子f(x) = x + 2. 它的图像是这样的:
底下的横轴表示输入数字,相应地,左侧的纵轴表示输出值f(x) = x + 2. 例如,我们看到,表示函数的蓝线穿过了x = 1处的(白色)纵线和f(x) = 3处的(白色)横线。这从图像上显示了f(1) = 1 + 2 = 3.
函数的参数
函数最重要的特征之一是参数。参数是函数内部不必作为输入传入的数字。在我们的例子f(x) = x + 2中,数字“2”是一个参数,因为我们需要它来定义函数,但没有将它纳入函数的输入。
参数之所以重要,是因为它们直接决定输出。例如,定义另一个函数h(x) = x + 3. 函数f(x) = x + 2和新定义的函数h(x) =