1 道题,已知每人 至少做对 1 道题,做对 1 道的有 7 人,5 道全对的有 6 人,做对 2 道和 3 道的 人数一样多,那么做对 4 道的人数有多少人? 解:对 2 道、3 道、4 道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对 181-1×7-5×6=144(道). 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多, 我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的 人( (2+3)÷2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对 4 道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人). 答:做对 4 道题的有 31 人. 二、“两数之差”的问题 鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎 样去解呢? 例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票, 共花 6 元 8 角.已知 8 分的邮票比 4 分的邮 票多 40 张,那么两种邮票各买了多少张? 解一:如果拿出 40 张 8 分的邮票,余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样 多. (680-8×40)÷(8+4)=30(张) , 这就知道,余下的邮票中,8 分和 4 分的各有 30 张. 因此 8 分邮票有 40+30=70(张). 答:买了 8 分的邮票 70 张,4 分的邮票 30 张. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:譬如,假设有 20 张 4 分,根据条件“8 分比 4 分多 40 张”,那么应有 60 张 8 分.以“分”作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560. 比 680 少,因此还要增加邮票.为了保持“差”是 40,每增加 1 张 4 分,就要 增加 1 张 8 分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张). 因此 4 分有 20+10=30(张) 分有 60+10=70(张). ,8 例 8 一项工程,如果全是晴天,15 天可以完成.倘若下雨,雨天一天只能完成晴天的 4/5 的工作量,现在知道施工期间雨天比晴天多 3 天,这项工程要多少天才能完成? 解:类似于例 3,我们设工程的全部工作量是 150 份,晴天每天完成 10 份, 4 雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的方法,晴天有 (150-8×3)÷(10+8)= 7(天). 雨天是 7+3=10 天,总共 7+10=17(天). 答:这项工程 17 天完成. 请注意,如果把“雨天比晴天多 3 天”去掉,而换成已知工程是 17 天完成, 由此又回到上一节的问题.差是 3,与和是 17,知道其一,就能推算出另一个.这 说明了例 7、例 8 与上一节基本问题之间的关系. 总脚数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢? 例 9 鸡与兔共 100 只,鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只? 解一:假如再补上 28 只鸡脚,也就是再有鸡 28÷2=14(只) ,鸡与兔脚数 就相等,兔的脚是鸡的脚 4÷2=2(倍) ,于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只 数是 (100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 鸡是 100-38=62(只). 答:鸡 62 只,兔 38 只. 当然也可以去掉兔 28÷4=7(只).兔的只数是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:假设有 50 只鸡,就有兔 100-50=50(只).此时脚数之差是 4×50-2×50=100, 比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是 100, 一只兔换成一只鸡,少了 4 只兔脚,多了 2 只鸡脚,相差为 6 只(千万注意, 不是 2).因此要减少的兔数是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只数是 50-12=38(只). 另外,还存在下面这样的问题:总头数换成“两数之差”,总脚数也换成“两数 之差”. 例 10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗, 每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多 13 首,总字数却反而 少了 20 个字.问两种诗各多少首. 解一:如果去掉 13 首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差 13×5×4+20=280(字). 每首字数相差 7×4-5×4=8(字). 因此,七言绝句有 28÷(28-20)=35(首). 五言绝句有 35+13=48(首). 答:五言绝句 48 首,七言绝句 35 首. 解二:假设五言绝句是 23 首,那么根据相差 13 首,七言绝句是 10 首.字 ,28×10=280(字) ,五言绝句的字数,反而多了 数分别是 20×23=460(字) 5 460-280=180(字). 与题目中“少 20 字”相差 180+20=200(字). 说明假设诗的首数少了.为了保持相差 13 首,增加一首五言绝句,也要增一 首七言绝句,而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200÷8=25(首). 五言绝句有 23+25=48(首). 七言绝句有 10+25=35(首). 在写出“鸡兔同笼”公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例 7、 例 9 和例 10 三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算 式子与“鸡兔同笼”公式对照一下,就会发现非常有趣的事. 例 7,假设都是 8 分邮票,4 分邮票张数是 (680-8×40)÷(8+4)=30(张). 例 9,假设都是兔,鸡的只数是 (100×4-28)÷(4+2)=62(只). 10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是 (20×13+20)÷(28-20)=35(首). 首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与“鸡兔同笼”公式比较, 这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢? 当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数 学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事. 例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶, 运费按到达时完好的瓶子数目计算, 如有破损, 破损瓶子不给运费, 还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 每只 2 角, 元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只? 解:如果没有破损,运费应是 400 元.但破损一只要减少 1+0.2=1.2(元). 因此破损只数是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17(只). 答:这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶. 请你想一想,这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗? 例 12 有两次自然测验,第一次 24 道题,答对 1 题得 5 分,答错(包含不 答)1 题倒扣 1 分;第二次 15 道题,答对 1 题 8 分,答错或不答 1 题倒扣 2 分, 小明两次测验共答对 30 道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分, 问小明两次测验各得多少分? 解一:如果小明第一次测验 24 题全对,得 5×24=120(分).那么第二次只 做对 30-24=6(题)得分是 8×6-2×(15-6)=30(分). 两次相差 120-30=90(分). 比题目中条件相差 10 分,多了 80 分.说明假设的第一次答对题数多了,要 减少.第一次答对减少一题,少得 5+1=6(分) ,而第二次答对增加一题不但不倒 扣 2 分,还可得 8 分,因此增加 8+2=10 分.两者两差数就可减少 6+10=16(分). 6 (90-10)÷(6+10)=5(题). 因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少 5 题,也就是第一次答对 19 题,第二次答对 30-19=11(题). 第一次得分 5×19-1×(24- 9)=90. 第二次得分 8×11-2×(15-11)=80. 答:第一次得 90 分,第二次得 80 分. 解二:答对 30 题,也就是两次共答错 24+15-30=9(题). 第一次答错一题,要从满分中扣去 5+1=6(分) ,第二次答错一题,要从满 分中扣去 8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差 6+10=16(分). 如果答错 9 题都是第一次,要从满分中扣去 6×9.但两次满分都是 120 分.比 题目中条件“第一次得分多 10 分”,要少了 6×9+10.因此,第二次答错题数是 (6×9+10)÷(6+10)=4(题)? 第一次答错 9-4=5(题). 第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分). 第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分). 三、从“三”到“二” “鸡”和“兔”是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一 节例 5 和例 6 就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把“三种” 转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法. 例 13 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共 232 支, 共花了 300 元.其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍.已知铅笔每支 0.60 元,圆珠笔每 支 2.7 元,钢笔每支 6.3 元.问三种笔各有多少支? 解:从条件“铅笔数量是圆珠笔的 4 倍”,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔 和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元). 现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出,钢笔支数 是 (300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220÷(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 答:其中钢笔 12 支,圆珠笔 44 支,铅笔 176 支. 例 14 商店出售大、中、小气球,大球每个 3 元,中球每个 1.5 元,小球每 个 1 元.张老师用 120 元共买了 55 个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一 样多.问每种球各买几个? 解:因为总钱数是整数,大、小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是 整数,而且还是 3 的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出 3 元.就可买 2 个中 球,3 个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 7 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中、小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可买 10 个中球,15 个小球. 答:买大球 30 个、中球 10 个、小球 15 个. 例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系,例 14 是从两种东西的总钱数之 间相等关系(倍数关系也可用类似方法) ,把两种东西合井成一种考虑,实质上 都是求两种东西的平均价,就把“三”转化成“二”了. 例 15 是为例 16 作准备. 例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3 千米,回来时下坡速度为每小时走 6 千米,求他的平均速度是多少? 解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离÷所用时间 去时走 1 千米,要用 20 分钟;回来时走 1 千米,要用 10 分钟.来回共走 2 千米,用了 30 分钟,即半小时,平均速度是每小时走 4 千米. 千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)÷2=4.5 千米. 例 16 从甲地至乙地全长 45 千米,有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度 是每小时 3 千米,平路上速度是每小时 5 千米,下坡速度是每小时 6 千米.从甲 地到乙地,李强行走了 10 小时;从乙地到甲地,李强行走了 11 小时.问从甲地 到乙地,各种路段分别是多少千米? 解:把来回路程 45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时 下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程,根据例 15,平均速度是每小 总脚数 90, 时 4 千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数 10+11=21, 鸡、兔脚数分别是 4 和 5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是 6÷2=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用了 10-3=7(小时)行走路程是 45-5×3=30(千米). 又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小时). 行走路程是 3×4=12(千米). 下坡行走的时间是 7-4=3(小时).行走路程是 6×3=18(千米). 答:从甲地至乙地,上坡 12 千米,平路 15 千米,下坡 18 千米. 做两次“鸡兔同笼”的解法,也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例 16 是非常典型 的例题. 例 17 某种考试已举行了 24 次,共出了 426 题.每次出的题数,有 25 题, 或者 16 题,或者 20 题.那么,其中考 25 题的有多少次? 解:如果每次都考 16 题,16×24=384,比 426 少 42 道题. 每次考 25 道题,就要多 25-16=9(道). 每次考 20 道题,就要多 20-16=4(道). 就有 9×考 25 题的次数+4×考 20 题的次数=42. 8 请注意,4 和 42 都是偶数,9×考 25 题次数也必须是偶数,因此,考 25 题 的次数是偶数,由 9×6=54 比 42 大,考 25 题的次数,只能是 0,2,4 这三个 数.由于 42 不能被 4 整除,0 和 4 都不合适.只能是考 25 题有 2 次(考 20 题有 6 次). 答:其中考 25 题有 2 次. 例 18 有 50 位同学前往参观,乘电车前往每人 1.2 元,乘小巴前往每人 4 元,乘地下铁路前往每人 6 元.这些同学共用了车费 110 元,问其中乘小巴的同 学有多少位? 解:由于总钱数 110 元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往 的人数一定是 5 的整数倍. 如果有 30 人乘电车, 110-1.2×30=74(元). 还余下 50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有 40 人乘电车 110-1.2×40=62(元). 还余下 50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明 假设的乘电车人数又多了.30 至 40 之间,只有 35 是 5 的整数倍. 现在又可以转化成“鸡兔同笼”了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11. 答:乘小巴前往的同学有 11 位. 在“三”转化为“二”时,例 13、例 14、例 16 是一种类型.利用题目中数量比例 关系,把两种东西合并组成一种.例 17、例 18 是另一种类型.充分利用所求个数 是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑 是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成“二”的问题了.在小学算术的范 围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程 组等代数方法去求解. 容斥问题 一、知识点 1、集合与元素:把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由 一些成员组成的,集合的这些成员,叫做这个集合的元素。 如:集合 A={0,1,2,3,……,9},其中 0,1,2,…9 为 A 的元素。 2、并集:由所有属于集合 A 或集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集, 记作 A∪B,记号“∪”读作“并”。A∪B 读作“A 并 B”,用图表示为图中阴影部分表 示集合 A,B 的并集 A∪B。 9 例:已知 6 的约数集合为 A={1,2,3,6},10 的约数集合为 B={1,2,5,10}, 则 A∪B={1,2,3,5,6,10} 3、交集:A、B 两个集合公共的元素,也就是那些既属于 A,又属于 B 的元素, 它们组成的集合叫做 A 和 B 的交集,记作“A∩B”,读作“A 交 B”,如图阴影表示: 例:已知 6 的约数集合 A={1,2,3,6},10 的约数集合 B={1,2,5,10},则 A∩B={1,2}。 4、容斥原理(包含与排除原理): (用|A|表示集合 A 中元素的个数,如 A={1,2,3},则|A|=3) 原理一: 给定两个集合 A 和 B, 要计算 A∪B 中元素的个数, 可以分成两步进行: 第一步:先求出∣A∣+∣B∣(或者说把 A,B 的一切元素都“包含”进来,加在 一起); 第二步:减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素) 总结为公式:|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 原理二:给定三个集合 A,B,C。要计算 A∪B∪C 中元素的个数,可以分三步 进行: 第一步:先求∣A∣+∣B∣+∣C∣; 第二步:减去∣A∩B∣,∣B∩C∣,∣C∩A∣; 第三步:再加上∣A∩B∩C∣。 即有以下公式: ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣ 二、例题分析: 例 1 求不超过 20 的正整数中是 2 的倍数或 3 的倍数的数共有多少个。 分析:设 A={20 以内 2 的倍数},B={20 以内 3 的倍数},显然,要求计算 2 或 3 的倍数个数,即求∣A∪B∣。 10 解 1:A={2,4,6,…20},共有 10 个元素,即|A|=10 B={3,6,9,…18},共有 6 个元素,即|B|=6 A∩B={既是 2 的倍数又是 3 的倍数}={6,12,18},共有 3 个元素,即|A∩B|=3 所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13, A∪B 中共有 13 个元素。 即 解 2:本题可直观地用图示法解答 如图,其中,圆 A 中放的是不超过 20 的正整数中 2 的倍数的全体;圆 B 中放的是不 超过 20 的正整数中 3 的倍数的全体,其中阴影部分的数 6,12,18 是既是 2 的倍数 又是 3 的倍数的数(即 A∩B 中的数)只要数一数集合 A∪B 中的数的个数即可。 例 2 某班统计考试成绩,数学得 90 分上的有 25 人;语文得 90 分以上的有 21 人;两科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少 人? 解:设 A={数学成绩 90 分以上的学生} B={语文成绩 90 分以上的学生} 那么,集合 A∪B 表示两科中至少有一科在 90 分以上的学生,由题意知, ∣A∣=25,∣B∣=21,∣A∪B∣=38 现要求两科均在 90 分以上的学生人数,即求∣A∩B∣,由容斥原理得 ∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8 点评:解决本题首先要根据题意,设出集合 A,B,并且会表示 A∪B,A∩B, 再利用容斥原理求解。 例 3 某班同学中有 39 人打篮球,37 人跑步,25 人既打篮球又跑步,问全班参 加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少? 解:设 A={打篮球的同学};B={跑步的同学} 则 A∩B={既打篮球又跑步的同学} A∪B={参加打篮球或跑步的同学} 11 应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人) 例 4 求在不超过 100 的自然数中,不是 5 的倍数,也不是 7 的倍数有多少个? 分析:这个问题与前几个例题看似不相同,不能直接运用容斥原理,要计算的是 “既不是 5 的倍数,也不是 7 的倍数的数的个数。”但是,只要同学们仔细分析题 意,这只需先算出“100 以内的 5 的倍数或 7 的倍数的数的个数。”再从 100 中减 去就行了。 解:设 A={100 以内的 5 的倍数} B={100 以内的 7 的倍数} A∩B={100 以内的 35 的倍数} A∪B={100 以内的 5 的倍数或 7 的倍数} 则有∣A∣=20,∣B∣=14,∣A∩B∣=2 由容斥原理一有:∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32 因此,不是 5 的倍数,也不是 7 的倍数的数的个数是:100-32=68(个) 点评:从以上的解答可体会出一种重要的解题思想:有些问题表面上看好象很不 一样,但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系,应当善于将一个问 题转化为另一个问题。 例 5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组,参加数学小组的 有 23 人,参加语文小组的有 27 人,参加外语小组的有 18 人;同时参加数学、 语文两个小组的有 4 人,同时参加数学、外语小组的有 7 人,同时参加语文、 外语小组的有 5 人;三个小组都参加的有 2 人。问:这个年级参加课外学科小 组共有多少人? 解 1:设 A={数学小组的同学},B={语文小组的同学},C={外语小组的同学},A ∩B={数学、语文小组的同学},A∩C={参加数学、外语小组的同学},B∩C={参加 语文、外语小组的同学},A∩B∩C={三个小组都参加的同学} 由题意知:∣A∣=23,∣B∣=27,∣C∣=18 ∣A∩B∣=4,∣A∩C∣=7,∣B∩C∣=5,∣A∩B∩C∣=2 根据容斥原理二得: 12 ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣ =23+27+18-(4+5+7)+2 =54(人) 解 2: 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数,然后求出最后 结果。 设 A、B、C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合,其图分割成七 个互不相交的区域,区域Ⅶ(即 A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合, 由题意,应填 2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合,其人数为 4 -2=2(人)。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合,其人数为 7-2=5 (人) 区域Ⅴ表示仅参加语文、 。 外语小组的同学的集合, 其人数为 5-2=3 (人) 。 区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合,其人数为 23-2-2-5=14(人)。同理 可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出,分别填入相应的区域内,则参加 课外小组的人数为; 14+20+8+2+5+3+2=54(人) 点评:解法 2 简单直观,不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计 算出来了,因此提供了较多的信息,易于回答各种方式的提问。 例 6 学校教导处对 100 名同学进行调查,结果有 58 人喜欢看球赛,有 38 人喜 欢看戏剧,有 52 人喜欢看电影。另外还知道,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但 不喜欢看电影)的有 6 人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有 4 人,三种都喜欢的有 12 人。问有多少同学只喜欢看电影?有多少同学既喜欢 看球赛又喜欢看电影(但不喜欢看戏剧)?(假定每人至少喜欢一项) 解法 1:画三个圆圈使它们两两相交,彼此分成 7 部分(如图)这三个圆圈分别 表示三种不同爱好的同学的集合,由于三种都喜欢的有 12 人,把 12 填在三个 圆圈的公共部分内(图中阴影部分),其它 6 部分填上题目中所给出的不同爱好 的同学的人数(注意,有的部分的人数要经过简单的计算)其中设既喜欢看电影 又喜欢看球赛的人数为 χ,这样,全班同学人数就是这 7 部分人数的和,即 16+4+6+(40-χ)+(36-χ)+12=100 13 解得 χ=14 只喜欢看电影的人数为 36-14=22 解法 2:设 A={喜欢看球赛的人},B={喜欢看戏剧的人},C={喜欢看电影的人}, 依题目的条件有|A∪B∪C|=100,|A∩B|=6+12=18(这里加 12 是因为三种都喜 欢的人当然喜欢其中的两种),|B∩C|=4+12=16,|A∩B∩C|=12,再设|A∩C|=1 2+χ 由容斥原理二:|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 得:100=58+38+52-(18+16+х+12)+12 解得:х=14 ∴36-14=22 所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为 14,只喜欢看电影的人数为 22。 点评:解法 1 没有用容斥原理公式,而是先分别计算出(未知部分设为 х)各个 部分(本题是 7 部分)的数目,然后把它们加起来等于总数,这种计算方法也叫 “分块计数法”,它是利用图示的方法来解决有关问题,希望同学们能逐步掌握此 类方法,它比直接用容斥原理公式更直观,更具体。 例 7、某车间有工人 100 人,其中有 5 个人只能干电工工作,有 77 人能干车工 工作,86 人能干焊工工作,既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人? 解:工人总数 100,只能干电工工作的人数是 5 人,除去只能干电工工作的人, 这个车间还有 95 人。 利用容斥原理,先多加既能干车工工作又能干焊工工作 的这一部分,其总数为 163,然后找出这一公共部分,即 163-95=68 例 8, 某次语文竞赛共有五道题 (满分不是 100 分) 丁一只做对了 , (1) (2) 、 、 (3)三题得了 16 分;于山只做对了(2)、(3)、(4)三题,得了 25 分; 王水只做对了(3)、 (4)、 (5)三题,得了 28 分,张灿只做对了(1)、 (2)、 (5)三题,得了 21 分,李明五个题都对了他得了多少分? 解:由题意得:前五名同学合在一起,将五个试题每个题目做对了三遍,他们的 总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是 16+25+30+28+21=120。因此, 14 五道题满分总和是 120÷3=40。所以李明得 40 分。 例 9,某大学有外语教师 120 名,其中教英语的有 50 名,教日语的有 45 名, 教法语的有 40 名,有 15 名既教英语又教日语,有 10 名既教英语又教法语,有 8 名既教日语又教法语,有 4 名教英语、日语和法语三门课,则不教三门课的外 语教师有多少名? 解:本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数,才能求出不教这 三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥 原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为 50+45 +40-15-10-8+4=106(人)不教这三门课的外语教师的人数为 120-106=14(人) 行程问题 两个速度不同的人或车,慢的先行(领先)一段,然后快的去追,经过一段时间 快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时,快的与慢的从同一地点同 时出发, 同向而行, 经过一段时间快的领先一段路程, 我们也把它看作追及问题, 因为这两种情况都满足 速度差×时间=追及(或领先的)路程 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题, 在分析其中某两个的运动 情况的同时,还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置,他(它)与前两者 有什么关系。 分析复杂的行程问题时,最好画线段图帮助思考 理解并熟记下面的结论,对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。 (3)甲的速度是 a,乙的速度是 b,在相同时间内,甲、乙一共行的 【例 1】甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行。如果两人都按原定 15 速度行进,那么 4 小时相遇;现在两人都比原计划每小时少走 1 千米,那么 5 小时相遇。A、B 两地相距多少千米? 【分析】可以想象,如果甲、乙两人以现在的速度(比原计划每小时少走 1 千米)仍然走 4 小时,那么他们不能相遇,而是相隔一段路。这段路的长度是多 少呢?就是两人 4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走,他们 5 小时相遇,换句话说,再行 1 小时,他们恰好共同行完这段相隔的路。这样,就 能求出他们现在的速度和了。 【解】1×4×2÷(5-4)×5=40(千米) 这道题属于相遇问题,它的基本关系式是:速度和×时间=(相隔的)路程。 但只有符合“同时出发,相向而行,经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面 的关系式。不过,当出现“不同时出发”或“没有相遇(而是还相隔一段路)”的情 况时,应该通过转化条件,然后应用上面的关系式。 【例 2】小王、小张步行的速度分别是每小时 4.8 千米和 5.4 千米。小李骑 车的速度为每小时 10.8 千米。小王、小张从甲地到乙地,小李从乙地到甲地, 他们三人同时出发,在小张与小李相遇 5 分钟后,小王又与小李相遇。小李骑车 从乙地到甲地需多长时间? 【分析】为便于分析,画出线段图 36-1: 图中 C 点表示小张与小李相遇地点,D 点表示他们相遇时小王所在地点。 根据题意,小王从 D 点、小李从 C 点同时出发,相向而行,经过 5 分钟相 遇。因此,DC 的长为 这段长度也是相同时间内,小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从 三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分) 这就是说,小张行完 AC 这段路(也就是小李行完 CB 这段路)用了 130 分 16 钟,而小李的速度是小张速度的 2(=10.8÷5.4)倍,所以小李行完 AC 这段路 只需小张的一半时间(65 分)。 【解】(留给读者完成,答案是 195 分钟。) 【例 3】上午 8 点 8 分,小明骑自行车从家里出发, 8 分钟后,爸爸骑摩托 车去追他,在离家 4 千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家,到家后又立即回 头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是 8 千米。问这时是几点几分? 【分析】 先画出示意图图 37-1 如下 (图 37-1 中 A 点表示爸爸第一次追上小明的地方,B 点表示他第二次追上小明 的地方)。从图 37-1 上看出,在相同时间(从第一次追上到第二次追上)内, 小明从 A 点到 B 点,行完(8-4=)4 千米;爸爸先从 A 点到家,再从家到 B 点, 行完(8+4=)12 千米。可见,爸爸的速度是小明的(12÷4=)3 倍。从而,行 完同样多的路程(比如从家到 A 点),小明所用的时间就是爸爸的 3 倍。 由于小明从家出发 8 分钟后爸爸去追他,并且在 A 点追上,所以,小明从 家到 A 点比爸爸多用 8 分钟。这样可以算出,小明从家到 A 所用的时间为 8÷(3-1)×3=12(分) 【解】8÷(3-1)×3×X2=24(分) 【例 4】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发,相向而行。甲车每小时行 45 千米,乙车每小时行 36 干米。相遇以后继续以原来的速度前进,各自到达目 的地后又立即返回,这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相 遇地点相距 40 千米。A、B 两地相距多远? 【分析】我们同样还是画出示意图 37-2(图 37-2 中 P、M、N 分别为第一 17 次、第二次、第三次相遇地点): 设 AB 两地的距离为“1”。由甲、乙两车的速度可以推知:在相同时 通过演示我们还可以知道,第二次相遇时,甲、乙两车一共行完了 3 个全程 (AB+BM+BA+AM);第三次相遇时,它们一共行完了 5 个全程(AB+BA+AN +BA+AB+BN)。 下面, 我们只要找出与“40 千米”相对应的分率 (也就是 MN 占全程的几分之 几)。 【解】 注意:为了保证计算正确,应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的 方向。 我们来讨论封闭线路的行程问题。 解决封闭路线中的行程问题,仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式,搞清 路程、速度、时间三者之间的关系。 封闭路线中的行程问题,可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求 两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时,还可以借助图示直观地解决。 直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题,实质上也是封闭路线中的行程 18 问题。 【例 5】甲、乙两名同学在周长为 300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练 习跑步,甲每秒钟跑 3.5 米,乙每秒钟跑 4 米,问:他们第十次相遇时,甲还需 跑多少米才能回到出发点? 【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点,实质上只要知道甲最后一 次离开出发点又跑出了多少米。 我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共 跑了多远。不难知道,这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍(3 00×10=3000 米) 因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米, 。 乙的速度为每秒钟跑 4 米, 由上一讲我们可以知道,这段时间内甲共行 1400 知道甲还需行 100(=300-200)米。 1400÷300=4(圈)……200(米) 300-200=100(米) 【例 6】如图 38-1,A、B 是圆的一条直径的两端,小张在 A 点,小王在 B 点,同时出发逆时针而行,第一周内,他们在 C 点第一次相遇,在 D 点第二次 相遇。已知 C 点离 A 点 80 米,D 点离 B 点 60 米。求这个圆的周长。 【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇,小张行 了 80 米,小王行了“半个圆周长+80”米,也就是在相同的时间内,小王比小张多 行了半个圆周长,然后,小张、小王又从 C 点同时开始前进,因为小王的速度 比小张快,要第二次再相遇,只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇 到第二次相遇小王比小张多走的路程(一个圆周长)是从开始到第一次相遇小王 比小张多走的路程(半个圆周长)的 2 倍。也就是,前者所花的时间是后者的 2 倍。对于小张来说,从一开始到第一次相遇行了 80 米,从第一次相遇到第二次 相遇就应该行 160 米,一共行了 240 米。这样就可以知道半个圆周长是 180(= 240-60)米。 【解】(80+80×2-60)×2=360(米) 【例 3】2 点整以后,经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直? 19 【分析】分针的速度比时针快,2 点整时,分针在时针后面 2 格,要使分 针与时针第一次垂直,分针应在时针前面 3(=12÷4)格。也就是说,这段时间 内分针应比时针多走 5 格。而分针每小时走 12 格,时针每小时走 1 格。 后,时针才能与分针第一次垂直。 每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。 时针与分针第三次垂直,分针应比时针多跑(5+12=)17 格。所以要经 推理原理 解数学题, 从已知条件到未知的结论, 除了计算外, 更重要的一个方面就是推理。 通常,我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。 【例 1】有一座四层楼(图 25-1),每层楼有 3 个窗户,每个窗户有 4 块 玻璃,分别是白色和蓝色,每个窗户代表一个数字,从左到右表示一个三位数, 四个楼层所表示的三位数分别是 791,275,362,612。那么,第二层楼代表哪 个三位数? 【分析】仔细观察图 25-1 和组成四个三位数的 12 个数字,“2”出现 3 次, 两次在个位,一次在百位。容易看出图 2(a)代表“2”,再从“6”、“7”都出现两次, 并根据它们所在的数位以及与“2”的关系,可推知:图 25-2 中(b)、(c)分别 代表“6”和“7”。 【解】第二层楼代表 612。 【例 2】有 8 个球编号是①至⑧,其中有 6 个球一样重,另外两个球都轻 1 克。为了找出这两个轻球,用天平称了 3 次。结果如下: 第一次 ①+②比③+④重 第二次 ⑤+⑥比⑦+⑧轻 第三次 ①+③+⑤与②+④+⑧一样重,那么,两个轻球的编号是__和__。 【分析】从第一次称的结果看,③、④两球中有一个轻;从第二次称的结果 20 看,⑤、⑥两球中有一个轻;从第三次称的结果看,①、③、⑤三球中有一个轻, ②、④、⑧三个球中也有一个轻。综合上面推出的结果,可找出两个轻球。 【解】两个轻球的编号是④和⑤。 说明:在上面的推理中,我们省去了一步,也就是:排除了①、③、⑤与②、 ④、⑧中都没有轻球的那种可能。因为容易用反证法导出“⑥、⑦”都是轻球”这一 结论与第二次称的结果相矛盾。 【例 3】如图 25-3,每个正方体的六个面上分别写着 1~6 这六个数字,并 且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于 7。把这样的五个正方体一个 挨着一个连接起来后,紧挨着的两个面上两个数字之和都等于 8。图 3 中打“?” 的这个面上所写的数字是__。 【分析】根据题意,容易推知拐弯处的那个正方体的右侧面上写的数字可能 是“2”,也可能是“5”。但用反证法可把第 1 种情况排除。怎样排除?(留给读者 完成) 【解】打“?”的这面上写着“3”。 【例 4】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛,每队与另两支队各 赛一场。已知:(1)意大利队总进球数是 0,并且有一场打了平局;(2)荷兰 队总进球数是 1,总失球数是 2,并且该队恰好胜了一场。按规则:胜一场得 2 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分。问德国队得了__分。 【分析】由条件(2)知,荷兰队胜了一场,而不进球是不可能胜的,但它 的总进球数只有 1,说明这场比赛它以 1∶0 取胜。又因为它总失球数 2,所以 另一场比赛以 0∶2 输了。再由条件(1)知:以 2∶0 赢荷兰队的不可能是意大 利队(因为意大利队没有进球),只可能是德国队(记 2 分)。既然荷兰队输给 德国队,那么它胜的一场一定是对意大利队,而且比分为 1∶0。德、意两队以 0∶0 踢平(各记 1 分)。 【解】德国队得了 3 分。 【例 5】某楼住着 4 个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的 10 岁, 最小的 4 岁。最大的男孩比最小的女孩大 4 岁,最大的女孩比最小的男孩也大 4 岁。最大的男孩多少岁? 21 【分析】最大的孩子(10 岁的)不是男孩,就是女孩。如果 10 岁的孩子是 男孩,那么,根据题意,最小的女孩是 6 岁(6=10-4),从而,最小的男孩是 4 岁,再根据题意,最大的女孩是 8 岁(8=4+4)。这就是说,4 个女孩最小的 6 岁,最大的 8 岁,其中必有两个女孩同岁,但这与已知条件“他们的年龄各不相 同”矛盾。所以 10 岁的孩子不是男孩,而是女孩。最小(4 岁)的孩子也是女孩。 【解】最大的男孩是 4+4=8(岁)。 在上面的分析中, 我们用了这样的性质: 如果 4 个自然数只能取三种不同的 值,那么其中必定有两个数相等。 【例 6】一次象棋比赛共有 10 名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个 队,每个选手都与其余 9 名选手各赛 1 盘,每盘棋的胜者得 1 分,负者得 0 分, 平局双方各得 0.5 分。结果,甲队选手平均得 4.5 分,乙队选手平均得 3.6 分, 丙队选手平均得 9 分。那么,甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少? 【分析】这次比赛共需比 9+8+7+……+2+1=45(盘)。因为每盘比赛 双方得分的和都是 1 分(1+0=1 或 0.5×2=1),所以 10 名选手的总得分为 1× 45=45(分)。每个队的得分不是整数,就是“a.5”这样的小数。由于乙队选手平 均得 3.6 分,3.6 的整数倍不可能是“a.5”这样的小数。所以,乙队的总得分是 1 8 或 36。但 36÷3.6=10,而三个队一共才 10 名选手(矛盾)。所以,乙队的总 分是 18 分,有选手 18÷3.6=5(名)。甲、丙两队共有 5 名选手。 由于丙队的平均分是 9 分,这个队总分只可能是 9 分、18 分(不可能是 27 分。因为 27+18=45,甲队选手总得分为 0 分),丙队选手人数相应为 1 名、2 名,甲队选手人数相应为 4 名、3 名,经试验,甲队 4 名选手,丙队 1 名选手。 【例 7】将 1~8 这 8 个自然数分成两组,每组四个数,并使两组数之和相 等。从 A 组拿一个数到 B 组后,B 组的数之和将是 A 组剩下三个数之和的 2 倍; 从 B 组拿一个数到 A 组后,B 组剩下的三个数之和是 A 组五个数之 【分析】1~8 这 8 个数之和为 36,分成的两组每组 4 个数之和为 36÷2=1 8。第一次拿数后,A 组剩下三数的和为 36÷(1+2)=12,拿出 接下去推就容易了,只要把剩下的 1、2、4、5、7、8 分成两组,其中 A 组另三 22 个数之和为 18-6=12。 【解】A 组:1,4,6,7;B 组:2,3,5,8。 教练员提示语 在运用试验法(排除法)时,应想办法使试验的次数尽可能少些,这就需要 用足题目所给的已知条件, 并有意识地寻找别的限制条件。 如例 2 中“0.5 的整数 倍不是整数, 就是小数部分为 0.5 的带小数”, “3.6 的整数倍不可能是 a.5 这种形 式”等。另外,像例 2、例 3 中“总分 45 分”、“共 10 名选手”、“A 组剩下三数之和 为 12”等,都是推理的重要根据。 逻辑推理问题。解这类题通常要借助于表格。 【例 8】五封信,信封完全相同,里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜 色的卡片。现在把它们按顺序排成一行,让 A、B、C、D、E 五人猜每只信封内 所装卡片的颜色。 A 猜:第 2 封内是紫色,第 3 封是黄色; B 猜:第 2 封内是蓝色,第 4 封是红色; C 猜:第 1 封内是红色,第 5 封是白色; D 猜:第 3 封内是蓝色,第 4 封是白色; E 猜:第 2 封内是黄色,第 5 封是紫色。 然后,拆开信封一看,每人都猜对一种颜色,而且每封都有一人猜中。请你 根据这些条件,再猜猜,每封信中夹什么颜色的卡片? 【分析】把已知条件简明地记录在表格中(如图 27-1)。选择其中一只信 封作为“突破口”。比如第 3 封,A 猜的是黄色,D 猜的却是蓝色。由已知条件, 这只信封内的卡片不是蓝色,就是黄色。假如第 3 封是蓝色,那么逐步推理可导 出矛盾:白色卡片没人猜对,见图 27-1,“白”这栏下面 5(×)、4(×)。这说 明假设不正确,第 3 封内应是黄色。由此推出其它各封内的颜色(见图 27-2 中 的“√”)。 【例 9】赵、钱、孙、李四人,一个是教师,一个是售货员,一个是工人, 一个是机关干部。试根据以下条件,判断这四人的职业。 (1)赵和钱是邻居,每天一起骑车上班; 23 (2)钱比孙年龄大; (3)赵在教李打太极拳; (4)教师每天步行去上班; (5)售货员的邻居不是机关干部; (6)机关干部和工人互不相识; (7)机关干部比售货员和工人年龄都大。 【分析】由条件(4)和条件(1)可知赵、钱都不是教师。由条件(2)和 条件(7),可推知孙不是干部。如果是的话,钱不是工人或售货员,钱又不是 教师。于是,钱也是干部,矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说 明。 教练员提示语 解逻辑推理问题,需要借助表格,使已知条件及推出 的有用结论一目了然。在表格中,对正确的(或不正确的)结果要及时注上“√” (或“×”),以免影响推理的速度,或被错误信息干扰思路。 除了常用的反证法、排除法外,还需要掌握一些简单的逻辑知识。比如“两 件互相矛盾对立(不能都存在)的事,如果一件不正确,另一件必定正确”。 数字推理题型及讲解 I 数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各 数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为 答案. 按照数字排列的规律, 数字推理题一般可分为以下几种类型: 一、奇、偶:题目中各个数都是奇数或偶数,或间隔全是奇数或偶数: 1、全是奇数: 例题:1 5 3 7 ( ) 24 A .2 B.8 C.9 D.12 解析:答案是 C ,整个数列中全都是奇数,而答案中只有答案 C 是奇数 2、全是偶数: 例题:2 6 4 8 ( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 解析:答案是 D ,整个数列中全都是偶数,只有答案 D 是偶数。 3、奇、偶相间 例题:2 13 4 17 6 ( ) A.8 B. 10 C. 19 D. 12 解析:整个数列奇偶相间,偶数后面应该是奇数 ,答案是 C 练习:2,1,4,3,( ),5 99 年考题 二、排序:题目中的间隔的数字之间有排序规律 1、例题:34,21,35,20,36( ) A.19 B.18 C.17 D.16 解析:数列中 34,35,36 为顺序,21,20 为逆序,因此,答案为 A。 三、加法:题目中的数字通过相加寻找规律 1、前两个数相加等于第三个数 例题:4,5,( ),14,23,37 A.6 B.7 C.8 D.9 注意:空缺项在中间,从两边找规律,这个方法可以用到任何题型; 解析:4+5=9 5+9=14 9+14=23 14+23=37,因此,答案为 D; 练习:6,9,( ),24,39 // 1,0,1,1,2,3,5,( ) 2、前两数相加再加或者减一个常数等于第三数 例题:22,35,56,90,( ) 99 年考题 A.162 B.156 C.148 D.145 解析: 22+35-1=56 35+56-1=90 56+90-1=145,答案为 D 25 四、减法:题目中的数字通过相减,寻找减得的差值之间的规律 1、前两个数的差等于第三个数: 例题:6,3,3,( ),3,-3 A.0 B.1 C.2 D.3 答案是 A 解析:6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3 提醒您别忘了:“空缺项在中间,从两边找规律” 2、等差数列: 例题:5,10,15,( ) A. 16 B.20 C.25 D.30 答案是 B. 解析:通过相减发现:相邻的数之间的差都是 5,典型等差数列; 3、二级等差:相减的差值之间是等差数列 例题:115,110,106,103,( ) A.102 B.101 C.100 D.99 答案是 B 解析:邻数之间的差值为 5、4、3、(2), 等差数列,差值为 1 103-2=101 练习:8,8,6,2,( ) // 1,3,7,13,21,31,( ) 4、二级等比:相减的差是等比数列 例题:0,3,9,21,45, ( ) 相邻的数的差为 3,6,12,24,48,答案为 93 例题:-2,-1,1,5,( ),29 ---99 年考题 解析:-1-(-2)=1 ,1-(-1)=2,5-1=4,13-5=8,29-13=16 后一个数减前一个数的差值为:1,2,4, 8,16,所以答案是 13 5、相减的差为完全平方或开方或其他规律 例题:1,5,14,30,55, ( ) 相邻的数的差为 4,9,16,25,则答案为 55+36=91 6、相隔数相减呈上述规律: 26 例题:53,48,50,45,47 A.38 B.42 C.46 D.51 解析:53-50=3 50-47=3 48-45=3 45-3=42 答案为 B 注意:“相隔”可以在任何题型中出现 五、乘法: 1、前两个数的乘积等于第三个数 例题:1,2,2,4,8,32,( ) 前两个数的乘积等于第三个数,答案是 256 2、前一个数乘以一个数加一个常数等于第二个数,n1×m+a=n2 例题:6,14,30,62,( ) A.85 B.92 C.126 D.250 解析:6×2+2=14 14×2+2=30 30×2+2=62 62×2+2=126,答案为 C 练习:28,54,106,210,( ) 3、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方,... 例题:3/2, 2/3, 3/4,1/3,3/8 ( ) (99 年海关考题) A. 1/6 B.2/9 C.4/3 D.4/9 解析:3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A 六、除法: 1、两数相除等于第三数 2、两数相除的商呈现规律:顺序,等差,等比,平方,... 七、平方: 1、完全平方数列: 正序:4,9,16,25 逆序:100,81,64,49,36 间序:1,1,2,4,3,9,4,(16) 27 2、前一个数的平方是第二个数。 1) 直接得出:2,4,16,( ) 解析:前一个数的平方等于第三个数,答案为 256。 2)前一个数的平方加减一个数等于第二个数: 1,2,5,26,(677) 前一个数的平方减 1 等于第三个数,答案为 677 3、隐含完全平方数列: 1)通过加减化归成完全平方数列:0,3,8,15,24,( ) 前一个数加 1 分别得到 1,4,9,16,25,分别为 1,2,3,4,5 的平方,答 案为 6 的平方 36。 2)通过乘除化归成完全平方数列: 3,12,27,48,( ) 3, 12,27,48 同除以 3,得 1,4,9,16,显然,答案为 75 3)间隔加减,得到一个平方数列: 例:65,35,17,( ),1 A.15 B.13 C.9 D.3 解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是:65 等于 8 的平方 加 1,35 等于 6 的平方减 1,17 等于 4 的平方加 1,所以下一个数应该是 2 的 平方减 1 等于 3,答案是 D. 练习 1:65,35,17,(3 ),1 A.15 B.13 C.9 D.3 练习 2:0, 2, 8,18,(32 ) A.24 B.32 C.36 D.52( 99 考题) 八、开方: 技巧:把不包括根号的数(有理数),根号外的数,都变成根号内的数,寻找根号内的 数之间的规律:是存在序列规律,还是存在前后生成的规律。 九、立方: 1、立方数列: 例题:1,8,27,64,( ) 解析:数列中前四项为 1,2,3,4 的立方,显然答案为 5 的立方,为 125。 2、立方加减乘除得到的数列: 28 例题:0,7,26,63 ,( ) 解析:前四项分别为 1,2,3,4 的立方减 1,答案为 5 的立方减 1,为 124。 十、特殊规律的数列: 1、前一个数的组成部分生成第二个数的组成部分: 例题:1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,( ) 答案是:13/21,分母等于前一个数的分子与分母的和,分子等于前一个数的分 母。 2、数字升高(或其它排序),幂数降低(或其它规律)。 例题:1,8,9,4,( ),1/6 A.3 B.2 C.1 D.1/3 解析:1,8,9,4,( ),1/6 依次为 1 的 4 次方,2 的三次方,3 的 2 次方(平 方),4 的一次方,( ),6 的负一次方。存在 1,2,3,4,( ),6 和 4, 3,2,1,( ),-1 两个序列。答案应该是 5 的 0 次方,1。 数字推理题型及讲解 II 以上我们介绍了数字推理的基本题型和规律,下面我们归纳总结: 数字推理的主要是通过加、减、乘、除、平方、开方等方法来寻找数列中各个数 字之间的规律,从而得出最后的答案。 在实际解题过程中,我们根据相邻数之间的关系分为两大类: 一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系,产生规律, 主要有以下几种规律: 1、 相邻两个数加、减、乘、除等于第三数 2、 相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数 3、 等差数列:数列中各个数字成等差数列 4、 二级等差:数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列 29 5、 等比数列 :数列中相邻两个数的比值相等 6、 二级等比:数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列 7、 前一个数的平方等于第二个数 8、 前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数; 9、 前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数; 10、 隔项数列:数列相隔两项呈现一定规律, 11、 全奇 、全偶数列 12、 排序数列 二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。 1、 数列中每一个数字都是 n 的平方构成或者是 n 的平方加减一个常数构成, 或者是 n 的平方加减 n 构成 2、 每一个数字都是 n 的立方构成或者是 n 的立方加减一个常数构成,或者是 n 的立方加减 n 3、 数列中每一个数字都是 n 的倍数加减一个常数 以上是数字推理的一些基本规律,考生必须掌握。但掌握这些规律后,怎样运用 这些规律以最快的方式来解决问题呢? 这就需要学员在对各种题型认真练习的基础上, 应逐步形成自己的一套解题思路 和技巧。 这里我们提供为刚刚接触数字推理题型的学员提供一种最基本的解题思路, 学员 按照这种思路来训练自己,能够逐步熟悉各种题型,掌握和运用数字推理的基本 规律。当学员对题型和规律已经很熟悉后,就可以按照自己的总结的简单方法来 解答问题。 第一步,观察数列特点,看是否存是隔项数列,如果是,那么相隔各项按照数列 的各种规律来解答 第二步,如果不是隔项数列,那么从数字的相邻关系入手,看数列中相邻数字在 加减乘除后符合上述的哪种规律,然后得出答案。 第三步,如果上述办法行不通,那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点,寻 找规律。 30 当然,也可以先寻找数字构成的规律,在从数字相邻关系上规律。我们这里所介 绍的是数字推理的一般规律,学员在对各种基本题型和规律掌握后,很多题是可 以直接通过观察和心算得出答案的。 例题: 1、4,5,7,11,19 ( )(2002 年试题) A、27 B、31 C 35 D 41 解题思路:1、首先此题不是隔项数列。两个数相加不等于第三数。两个数相减 的差为 1,2,4,8,分别是 2 的 0 次方,1 次方,2 次方,3 次方,因此,答案 应为 19 加上 2 的 4 次方,即 35,答案为 C。 例题 2:34 36 35 35 ( )34 37 ( )(2002 年试题) A36,33 B33,36 C37,34 D34,37 解题思路:首先观察数列,看是否为隔项数列。此数列,隔项分别为 34 35 () 37 和 36 35 34 ( )两个数列,答案为 A。 数的运算问题 1、 考生首先要明确出题者的本意不是让考生来花费大量时间计算, 题目多数情 况是一种判断和验证过程,而不是用普通方法的计算和讨论过程,因此,往往都 有简便的解题方法。 2、 认真审题,快速准确地理解题意,并充分注意题中的一些关键信息;通过练 习,总结各种信息的准确含义,并能够迅速反应,不用进行二次思维。 3、 努力寻找解题捷径。大多数计算题都有捷径可走,盲目计算可以得出答案, 但时间浪费过多。直接计算不是出题者的本意。平时训练一定要找到最佳办法。 考试时,根据时间情况,个别题可以考虑使用一般方法进行计算。但平时一定要 找到最佳方法。 4、 通过训练和细心总结,尽量掌握一些数学运算的技巧、方法和规则,熟悉常 用的基本数学知识; 5、 通过练习,针对常见题型总结其解题方法; 6、 学会用排除法来提高 31 数学运算主要包括以下几类题型: 基本解题方法: 1、尾数排除法:先计算出尾数,然后用尾数与答案中的尾数一一对照,利用排 除法得出答案; 2、简便计算:利用加减乘除的各种简便算法得出答案。 通过下面的例题讲解,来帮助您加深对上述方法理解,学会灵活运用上述方法解 题。 1、加法: 例 1、425+683+544+828 A.2480 B.2484 C.2486 D.2488 解题思路:先将各个数字尾数相加,然后将得到的数值与答案的尾数一一对照得 出答案。尾数相加确定答案的尾数为 0,BCD 都不符合,用排除法得答案 A; 例 2、1995+1996+1997+1998+1999+2000 A.11985 B.11988 C.12987 D.12985 解析:这是一道计算题,题中每个数字都可以分解为 2000 减一个数字的形式 2 000×6-(5+4+3+2+1)尾数为 100-15=85 得 A 注意:1、2000×6-(5+4+3+2+1)尽量不要写出来,要心算; 2、1+2+。。+5=15 是常识,应该及时反应出来; 3、各种题目中接近于 100、200、1000、2000 等的数字,可以分解为此类数字 加减一个数字的形式,这样能够更快的计算出答案。 例 3、12.3+45.6+78.9+98.7+65.4+32.1 A.333 B.323 C.333.3 D.332.3 解析:先将题中各个数字的小数点部分相加得出尾数,然后再将个位数部分相加, 最后得出答案。 本题中小数点后相加得到 3.0 排除 C,D 小数点前的个位相加得 2+5+8+8+5+2 尾数是 0,加上 3 确定 答案的尾数是 3.答案是 A。 解题思路:1、先将小数点部分加起来,得到尾数,然后与答案一一对照,排除 其中尾数不对的答案,缩小选择范围。有些题目此时就可以得到答案。 2、将个位数相加得到的数值与小数点相加得到的数值再相加,最后得到的数值 32 与剩下的答案对照,一般就可以得到正确的答案了。 2、减法: 例 1、9513-465-635-113=9513-113 -(465+635)=9400-1100=8300 例 2、489756-263945.28= A.220810.78 B.225810.72 C.225812.72 D.225811.72 解析:小数点部分相加后, 尾数为 72 排除 A, 个位数相减 6-1-5=0, 排除 C 和 D, 答案是 B。 3、乘法: 方法: 1、将数字分解后再相乘,乘积得到类似于 1、10、100 之类的整数数字,易于 计算; 2、计算尾数后在用排除法求得答案。 例 1、1.31×12.5×0.15×16=A.39.3 B.40.3 C.26.2 D.26.31 解析:先不考虑小数点,直接心算尾数: 125×8=1000 2×15=30 3×131=393 符合 要求的只有 A 例 2、119×120=120×120-120=14400-120=。。。80 解析:此题重点是将 119 分解为 120-1,方便了计算。 例 3、123456×654321= A. 80779853376 B.80779853375 C.80779853378 D.80779853377 解析:尾数是 6,答案是 A。此类题型表面看来是很难,计算起来也很复杂,但我 们应该考虑到出题本意决不是要我们一点一点地算出来,因此,此类题型用尾数 计算排除法比较容易得出答案。 例 4、125×437×32×25=( ) A、43700000 B、87400000 C、87455000 D、43755000 答案为 A。本题也不需要直接计算,只须分解一下即可: 125×437×32×25=125×32×25×437=125×8×4×25×437=1000×100 ×437=43700000 5、混合运算: 例 1、 85.7-7.8+4.3-12.2=85.7+4.3-(7.8+12.2)=90-20=70 33 4532=4532×(79÷158)=4532÷2=2266 例 2、计算(1-1/10)×(1-1/9)×(1-1/8)×……(1-1/2)的值: A、1/108000 B、1/20 C、1/10 D、1/30 解析:答案为 C。本题只需将算式列出,然后两两相约,即可得出答案。考生应 掌握好这个题型,最好自行计算一下。 34