量子的波函数,根据哥本哈根诠释,只是概率波幅。由于平面波无限延展,所以在任何一个小区间找到粒子的概率几乎都是零。即,归一化常数
趋于零。但(1)式中,振幅是一个任意值。这一点差别可以在有限宽的无限深势阱中消除。
在有限宽无限深势阱中,量子波函数和经典波函数形式是一样的,都有波长的分立性要求,都是驻波。差别在于,量子波函数的振幅受归一化条件限制,而经典波没有限制。但归一化条件只是因为要求粒子数为1,即,对于一个量子的波函数,所有可能波动模式概率之和加起来只能等于1。
我们把平面波当成波函数的一个特例,发现光子的量子波函数和经典描述形式是一致的。但是经典描述物理含义清楚,但量子概率幅描述需要诠释。
式(2)中,如果将粒子包含的能量
当成一整份,那么其空间分布函数
的模方就是该粒子在空间的能量密度分布。所以波函数就是能量密度分布函数。

波动涉及的相互作用

我们在前面已经说明,在标准模型中,只有电磁相互作用是能在实验室表现的长程低能相互作用。如果仔细分析所有的经典波动现象,如声波,电磁波,地震波,水波,等,可以发现涉及的基本相互作用只有电磁相互作用(水波有重力,但是是常数)。
而在实际应用中,薛定谔方程描述的量子现象都是电磁现象(如果一定要给出别的势场,也可以求解薛定谔方程,但是基本上都是假想情况。这里也不讨论原子核物理,原子核物理涉及强相互作用)。
也就是说,我们在凝聚态、原子分子物理、光学、化学、材料、生物,……,等学科中,讨论的各种量子现象,其实都是电磁相互作用下的物理现象。
在电磁作用主导的物理体系中,波是最基本的表象。

油滴实验(Walking droplet experiments)

油滴实验,是指在振动的水面上产生一个小油滴,振动水面可以产生各种波动现象,通过观察油滴的运动轨迹来模拟各种量子现象,也叫流体力学量子模拟(Hydrodynmic quantum analogs)。参考:Bush,"Quantum mechanics writ large".Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.107(41): 17455–17456.
油滴实验可以模拟双缝干涉(Fort, E.; Couder, Y. "Single-Particle Diffraction and Interference at a Macroscopic Scale".Physical Review Letters.97(15): 154101),隧道效应(Couder; et al. "Dynamical phenomena: Walking and orbiting droplets".Nature.437: 208),量子化轨道(Eddi; et al. (June 2009). "Unpredictable Tunneling of a Classical Wave-Particle Association".Physical Review Letters.102(24): 240401.),塞曼效应(Eddi; et al. "Level Splitting at Macroscopic Scale".Physical Review Letters.108(26): 264503),量子围栏(Eddi; et al. "Level Splitting at Macroscopic Scale".Physical Review Letters.108(26): 264503.),等等。
在油滴实验中,实际上是水波的波动现象。水波现象与量子效应的相似性来自于量子的物质波性质。但是,油滴实验由于有油滴示踪,还可以帮助我们理解粒子性,以及概率幅是怎么回事。实验大量统计油滴轨迹,轨迹的统计性质表现出各种量子性,或者波动性。

波函数的物理根源