不一定,整条实数线也是连续闭区间,而y=x就没有最值。连续闭区间并不是充分条件,连续甚至都不是必要条件。(假设你有两个不连续的闭区间,那么在这两个区间上两个有最值的函数比较一下最值就可以了)
这个想法是有定理的,你需要的不是连续闭区间,而是n维实数的紧子集(在n维实数中等同于有界闭集)。(而在微积分中用到的有界闭空间基本都是连续闭空间,所以题主有这个想法也是有道理的,只是度量空间千种万种,不是每个都像实数这么温柔)
定理:以紧度量空间M为定义域的连续函数f的值域f(M)也是紧度量空间。
推论:若M是紧度量空间,且f:M->R在M上连续,那么存在两点x,y,使得f(x)=max(f(M)), f(y)=min(f(M))。