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科目:数学 知识点:格林公式2-平面上曲线积分与路径无关的条件 公众号:摆渡考研工作室 摆渡提供最优质的的课程与资料,提供经济学与数学同步辅导
以下内容为摆渡数学复习全书中考点解析部分,并不是全书完整的表述,部分内容可能会有看不懂情况,属于正常现象,多看看即可。
1. 梳理
设
是一个区域
以及
区域
内具有一阶连续偏导数.
如果对于
内任意指定的两个点
以及
内从点
的任意两条曲线
, 等式可得:
恒成立,就说曲线积分
在
内与路径无关,否则便说与路径有关.
推论:如果曲线积分与路径无关,那么
即
从而
2. 定理
设区域
是一个单连通域,若函数
与
在
内具有一阶连续偏导数,则曲线积分
在
内与路径无关(或沿
内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是
在
内恒成立
证明: 先证明充分性:因为
是单连通的,所以闭曲线
所围成的闭区域
全部在
内,于是式在
上恒成立. 应用格林公式,有
因为被积函数
在
上恒为零,从而右端的曲线积分也等于零.
再证必要性:现在要证的是: 如果沿
内任意闭曲线的曲线积分为零,那么公式(1)成立。
用反证法来证. 假设上述论断不成立,那么
内至少有一点
,使
不妨假定
因为
与
在
内连续,可以在
内取得一个以
圆心、半径足够小的圆形闭区域
, 使得在
上恒有
于是由格林公式及二重积分的性质就有
3. 二元函数的全微分求积
定理
设区域
是一个单连通域,若函数
与Q
在
内具有一阶连给偏导数,则
在
内为某一函数
的全微分的充分必要条件是
在
内恒成立
证: 先证必要性.假设存在某一函数
,使得
则必有
从而
由于
具有一阶连续偏导数,所以
与
连续,因此
即
再证充分性。
因为
, 所以曲线积分在区域
内与路径无关, 于是可把这条曲线积分写作, 令起 点
,终点为
, 则曲线积分为
所以当起点
固定时,这个积分的值取决于终点
,因此,它与
及
构成函数关系,把这函 数记作
,即
下面来证明这函数
的全微分就是
.因为
与
都是连续的,因 此只要证明
按偏导数的定义,有
由(1)可得:
即可得
因为
常数,按对坐标的曲线积分的计算法,上式成为
应用定积分中值定理,得
所以
同理可得:
例题
验证
在右半平面
解:依题意可得:令
就
即可得:

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列1
发布于 04-17
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