评注:本题与例2 类似,利用向量的平行四边形法 则,将向量AM 用三角形的两边向量表示,再根据三角形外心性质,向量数量积的几何意义,可以求解。 例4.在直角梯形ABCD 中,ADAB,ABDC,AB=4,AD=DC=2,设点N DC边的中点,点M是梯形ABCD 内或者边界上的一个动点,求AM的最大值。 解析:在直角梯形中,易求 ,因为点M在直角梯形ABCD内或者边界上 运动,要求 AM的最大值,只须求向量AM 投影最大即可,显然,当点M在点C处时,AM 的投影最大,先求出点C到直线AN 的距离,与点D 评注:本题也可以直接利用向量数量积的坐标方法,建立坐标系直接求得,过程也简单,而利用数量积的几何意义更能清楚感受点M的运动过程中数量积的变化,更直 例5.设点P是半径为1 ABAP 的取值范围。 解析:因为点P 运动到与直线AB 垂直,且与圆相切的两个位置时,如图5 所示,AP 此时AB AP 的范围为 水平放置,很明显看到当点P运动到圆心O 的左右两侧时,向量 AP 例6.已知圆C的方程为 为坐标原点,则OQ OP 的最大值为 解析:如图6所示,动点P 上运动,当运动到与直线OQ 垂直且与圆相切的两条切线的切点 上的投影为2cos OQOP 的最大值为2 上的投影达到最大,只须过点P作OQ 的垂线,使垂足与 的距离最远即可,根据图形,很容易知道这些垂线与圆相切时的点P就是所求的点。 例7.已知圆M: 为AB的中点,点F 在正方形边 AD 动,如图7(1)所示,当正方形ABCD绕圆心M转动 ME的最大值。 解析:在正方形绕着圆心M转动的过程中,向量 ME ME最大, 只须向量OF 方向上的投影最大,而F点在线段 AB 上运动,当点F 运动到端点 maxME 长度不变,但方向一直在改变,要使数量积最大,首先要求两个向量所成的角为锐角,其次是OF 三点共线时,投影最大,从而求得最值。