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如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
(1)证明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.
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题型:解答题
知识点:特殊的平行四边形
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【答案】
(1)证明:延长AE、BC交于点N,如图1(1),
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在ADE和NCE中,
∴ADE≌NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°\ufe63∠BAE=∠DAE.
在ABF和ADE中,
∴ABF≌ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
证明:延长AE、BC交于点P,如图2(1),
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.
∴MA=MP.
在ADE和PCE中,
∴ADE≌PCE(AAS).
∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC.<