两角和差公式的证明方法有很多种,这里主要介绍两种相对简单的证明方法:向量法与面积法。证明的思路都是先证明其中一个公式成立,然后通过诱导公式推得其它公式成立。如果不清楚诱导公式的可以参考《任意角三角函数与诱导公式》一文。
(1)向量法
在单位圆上取两个角
,其终边与单位圆的交点分别是P与Q,其坐标分别为
,
。
根据向量点乘可知(如果不清楚,可以先看一下:《向量点乘(Scalar product)》):
而
,所以
。
这里已经证明了一个公式了,那么接下去就只需要变形与诱导公式了。
将
变成
,那么就可以套用上述公式了。
再利用诱导公式可知:
又因为
所以,
,
套用已知公式
可知:
因此,
最后,
因此,
那么
如何证明呢?
其实有了上面的公式就很简单了,
接着上下同除以
,整理一下可得:
下面我们介绍另一个方法,面积法。
(2)面积法
已知
,过点R作PQ的垂线,垂足为X,
,如上图所示。
显然
根据三角形面积计算公式可知:
而
所以
因此,
于是在上式的基础上通过变形与诱导公式就能完整推出所有的两角和差公式了,类似的可以仿照第一种方法,这里就省略了。
向量法与面积法都是两种比较简单的推导两角和差公式的方法,不过向量法需要一点向量点乘的知识,不像面积法只需要知道三角形面积公式就可以了。所以,面积法可能更加容易被接受。不过在推导过程种都需要公式的变形,这一点就很好的体现了数学中化归的思想。
二、二倍角公式(Double-Angle Identities)
有了上述两角和差公式后,我们就可以推得以下公式
(1)
因为,
,令A=B可得:
(2)
因为,
,令A=B可得:
又因为
所以,
(3)
因为
,令A=B,可得:
得到二倍角公式后,我们还可以推得其它的,比如
(1)降幂公式
上述公式只需要把
移项化简就得到:
(2)半角公式
把降幂公式种
变成
,然后两边开根号就可以得到半角公式:
可能还有知友有疑问,