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不清楚你指的是瑕积分∫[2,∞) 1/(xlnx) dx发散还是级数∑{n>=2} 1/(nlnn)发散.但由于函数1/(xlnx)在x>=2时恒正且单调递减,所以由级数的积分判别法可知此瑕积分和级数的敛散性相同.下面证明瑕积分∫[2,∞) 1/(xlnx) dx发散:
∫[2,∞) 1/(xlnx) dx
=∫[ln2,∞) 1/t dt(换元t=lnx)
=lnt|[ln2,∞)
=ln∞-lnln2
=∞,
所以瑕积分发散,级数也发散.证毕
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