这是一个没有定论的问题。
我个人是支持自然数包含「0」的,并且:
中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93),参照国际标准ISO 31-11规定:
----维基百科
下面尝试描述下关于这个问题的各个方面。
1 现实生活
数数的时候,我们一般从1开始数:
尺子却是从0开始丈量:
那么是从“0”开始“自然”,还是从“1”开始“自然”,在不同历史不同文明中颇有争论。
我们看看数学家是怎么认识这个问题的?
2 皮亚诺公理
朱塞佩·皮亚诺 (1858-1932)是意大利数学家、逻辑学家、语言学家。
他在1889年发表的《算术原理新方法》中提出了定义自然数的五个公理,史称皮亚诺公理:
从这篇历史文献来看,公理明确指出自然数是从1开始的,翻译为易读的语言大概是(关于这五个公理的详细解释请参考“为什么1+1=2,需要证明?”,不过此文是从0开始介绍自然数的):
公理1:1是自然数。公理2:每一个确定的自然数
,都有一个确定的后继数
,
也是自然数。公理3:1不是任何自然数的后继数。公理4:不同的自然数有不同的后继数。公理5:任意关于自然数的性质,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数
为真时,可以证明它对
为真,那么命题对所有自然数都真。
简而言之,皮亚诺公理通过1和它的后继数们,构成了自然数:
这些自然数在不同的文化中有不同的命名:
很显然,就上述五个公理而言,从0开始还是从1开始都是符合的:
哪怕从22开始都可以,不过从22开始很不符合常识,这个就不讨论了。
那么究竟应该0还是从1开始自然数呢?
3 加法
3.1 加法、减法、整数
有了皮亚诺公理,就比较容易定义加法了(关于加法的定义,请参考这篇文章,下面的用法比较通俗,可能产生混淆):
那么如果有0的话,可以这么来表示“原地踏步”:
抵消相加效果,使之“原地踏步”的运算,就是加法的逆运算,减法(其实可以跳过“原地踏步”这个定义,可自行思考):
我觉得更有用的是,有了0之后,还可以定义相反数:
则
为相反数。这样就可以通过加法,把自然数扩展到整数:
3.2 群论