在微分方程(1)-基本概念及分类 中,介绍了微分方程的基本概念,并总结了几种常见的一阶微分方程形式,它们分别是:
可分离变量方程 Separable Equations齐次方程 Homogeneous Equations (注意这里是狭义的“齐次”)恰当方程 Exact Equations线性方程 Linear Equations伯努利方程 Bernoulli Equations
下面分别介绍这几类常见微分方程的解法[1]。
【注意】
为了方便理解,每种解法后面都配有计算实例,在无法理解为什么这样解的时候可以参考一下对应的计算实例,希望有所帮助。
这五类一阶常系数微分方程解法依据求解的难易程度依次递进,最好按照本文顺序阅读。
1. 可分离变量方程 Separable Equations
方程通解
对于一阶可分离变量的微分方程:
为求其解,只需两端积分:
其中,
代表任意常数。
在实际情况中,上式的积分结果往往无法得到解析表达式。因此,通常采用数值方法得到近似解。就算上式的积分结果可以得到解析表达式,也可能得不到
关于变量
的显式表达式,那么解将保留隐式表达式。
例子:
求解:
此方程可以写为以下形式:
显然,此为可分离变量的微分方程。其中,
。其解为:
或写为:
为了求解
,先得到解的隐式表达式:
其中,
。求解得到
的显式表达式:
初值问题的解
对于初值问题:
其可以通过上面的可分离变量微分方程解法进行求解,并通过附加的初值条件确定常数
的值。或者直接通过以下定积分进行求解:
其中
和
为积分变量。
2.齐次方程Homogeneous Equations
【注意】这里的“齐次”与一般的线性齐次微分方程中的“齐次”不是同一个概念,注意区分。
对于齐次微分方程:
其具有以下特性:
那么其可以通过代换令
,其中,
也是关于
的函数,使之变为可分离变量的微分方程:
这样,可以用解可分离变量的方法得到变量
与变量
之间的关系。再通过“逆代法”求解原方程。或者,将原式写为:
并令
,相应的微分为:
通过简