第 3 章 向量空间 在许多数学领域中,都有使用加法和乘法的运算.它们通常遵循着统一的代数法则.关于包含加法和乘法的数学系统称为向量空间或线性空间. 教学目的: 了解向量空间概念、 向量间的线性运算、 子空间概念 教学重点: 向量空间 教学难点: 子空间结构 内容简介: 向量空间及其线性运算、 子空间及其 2 个重要子空间 教学要求: 了解向量空间、 子空间、 行(列) 空间、 2 个重要子空间、 熟悉向量线性运算 教学内容: 一、 向量空间概念 首先我们介绍重要的欧几里德向量空间nR . 设有nR ,, 2 , 1=n, R 为实数集合. nR 中的常数乘法和加法定义为 αα=n xxxxαα21和+++=+nnyxyxyxyx2211. 其中1122,nnnxyxyxyRxy==∈,且α 为常数. 根据nR 集合上运算的定义,可以建立一个数学系统.nR 上的加法和常数乘法运算遵循着的特定的代数法则,这些法则构成了定义向量空间概念的公理. 向量空间的公理 定义3.2 设V 为一定义了加法和常数乘法运算的集合. V 中的每一对元素 x 和 y ,可惟一对应于V 中的一个元素yx+,且对每一V 中的元素 x 和每一个常数α ,可惟一对应V 中的元素 x空间. α .如果集合V 连同其上的加法和常数乘法运算,满足下面的公理,则称为向量A1 对V 中的任何 x 和 y ,xyyx+=+. A2 对V 中的任何 x , y , z ,)()(zyxzyx++=++ A3 V 中存在一个元素 0,满足对任意的Vx∈,有xx=+0. A4 对每一,存在V 中的一个元素x−,满足0)(=−+xx. A5 对任意常数α 和V 中的元素 x 和 y ,有yxyxα+α=α+ )(. A6 βα,∀,V ∈∀x,有()xxxβ+α=β+α. A7 βα,∀,V ∈∀x,有(x=))( xβxα=αβ. A8 V ∈∀x,有1⋅ x. 我们称集合V 为向量空间的全集.它的元素称为向量,并用黑斜体小写字母或希腊字母表示.常数常指实数. 定义 3.1 中含有两个运算的封闭性.即 Vx∈,且R∈α,则Vx∈α. C1 若C2 若Vyx∈,,则Vyx∈+ )(. 二、 若干实例 除了nR 关于加法和常数乘法运算构成向量空间外,还有一些常见的向量空间.例如: 例 3.1 向量空间 [] baC , 以[] baC ,表 示所有定 义 在 闭 区 间 [] ba,上的 实 值连续 函 数集合, 加 法运算为)()())((xgxfxgf+=+,常数乘法运算为)())((αxfxfα=.所定义的两种运算满足 A1-A8. 例 3.2 向量空间n P 以n P 表示次数小于的所有实系数多项式集合.定义qp +和 pα为 )()())((xqxpxqp+=+,且)())((αxpxpα= n P 连同所定义的加法和常数乘法运算,构成了一个向量空间. 例 3.3 以nmR×表示所有nm×实矩阵集合.定义其上的加法和常数乘法运算就是通常的矩阵的加法和常数乘法. nmR×连同矩阵的加法和常数乘法运算,构成一个向量空间. 除了公理以外,我们还可讨论向量空间其他性质,其中有些是向量空间中的特殊元素. 定理 3.1 设V 为向量空间,且 x 为V 的任一元素,则 (ⅰ ) 00 =x. (ⅱ ) 0=+ yx,则xy−=. (ⅲ) xx−=− ) 1(. 证明留给读者完成. 对于向量空间nR 而言,我们定义向量空间相等概念. 定义 3.2 设()()nnnnRyyyyRxxxx∈=∈=,,,,,,,2121的对应分量都相 等,即n),1,2,(i ==iiyx. 则称这两个向量是相等的,记作yx =. 例 3.4 设C 为复数集合.定义C 上的加法和常数乘法分别为 (证明在这些运算下, C 为一向量空间. 例 3.5 证明 0 元素在向量空间中是惟一的. ) (+) (=) (+)idbcadicbia++++, (α)biabiaα+α=+ 例 3.6 设yx,和 z 为向量空间V 中的向量.证明:若zxyx+=+,则zy =. 三、 子空间 为了更好地研究向量空间V ,方法之一就是可以先研究其子系统. 定义 3.3 若 S 为向量空间V 的非空子集,且S 满足如下条件: (ⅰ ) α∀,若Sx∈,则x∈αS. (ⅱ ) 若Syx∈,,则Syx∈+ )(. 则称 S 为V 的子空间. 由定理 3.1 知, S 关于V 中的加法和常数乘法运算,满足所有八个公理,且满足向量空间定义中的所有条件.从而,我们可以得到结论:向量空间的任何子空间仍为向量空间. { } 0 和V 是V 的子空间.所有其他子空间称为真子空间,而{ } 0 称为零子空间. 例 3.7 设(){}321321,xxxxxxST===.证明 S 为3R 的子空间. 证 因为()1,1,1TS∈,所以 S 非空. (ⅰ ) 若()SaaaxT∈=,,,则(α)SaaaxT∈=α,α,α. (ⅱ ) 若()SaaaxT∈=,,, ()SbbbyT∈=,,,则 ()SbababayxT∈+++=+,,. 由于 S 非空,且满足定义 3.3 所有条件,故有 S 为3R 的子空间. 例 3.8 设 A 为一nm×矩阵,并设( )AN为所有齐次方程组0=Ax的解的集合.即( ) {} 0nN AxR Ax=∈=,则( )AN为nR 的子空间. 证 因( )AN∈0,所以( )AN非空.若( )ANx∈,且α 为一常数,则 (α)( )x00 =⋅==ααAxA. 故( )ANx∈α.若( )ANyx∈,,则 ()( )x( )y000=+=+=+AAyxA. 故( )ANyx∈+ )(. 从而( )AN是nR 的一个子空间.且称子空间( )AN为 A 的零空间. 例 3.9 设有齐次线性方程组 =−++−=+x+x+x−x=−+−=+3+x+x−0234506320230543215432532154321xxxxxxxxxxxx 记其系数矩阵为 A ,求( )AN. 解 应用初等行变换将 A 化为行最简形. −−−−−−→−−−−−−=0000000000632105210112345632103012311111A. 543,,xxx为自由变量,分别设为γ,β,α. 则有 ++=++++=1006501032001216γ3β2α5γ2βγβαγβααx. 为0=Ax的解.向量空间( )AN包含所有形如 ++100650103200121γβα 的向量,其中γ,β,α均为常数. 在所有子空间中,有一类子空间地位非常重要,它对研究空间结构起着关键作用. 定义 3.4 设nα,α,α,21为向量空间V 中的向量, nn kkkαα2α1++21(其中n k,kk,,21为常数)称为向量nα,α,α,21的线性组合.向量nα,α,α,21的所有 线性组合构成的集合称为nα,α,α,21的有限生成.向量的有限生成记为 ),α,,α(α21nspan. 例 3.9 中 A 的零子空间( )AN是由向量()T0 , 0 , 1 , 2 , 1,()T0 , 1 , 0 , 3 , 2,()T1 , 0 , 0 , 6 , 5有限生成的. 设(0 , 0 , 1)(0 , 1 , 0)(1 , 0 , 0)TTTeee,,321===,则()21,eespan为3R 的子空间,且有()3213,,eeespanR =. 一般地 定理 3.2 若nα,α,α,21为向量空间V 中的元素,则),α,,α(α21nspan为V的一个子空间. 证 设k 为一常数, (α)nniiispankα,α,αα,211∈=∑= (α)nniiispankkkαα,α,α,211∈=∑=. 再设 (α)nniiiniiispanlkα,α,αβ,αα,2111∈==∑=∑=, ()α(α)nniiiispan∈lkα,α,βα,211∑=+=+ 因此, (α)nspanα,α,,21是V 的子空间. 在 3.4 节中,我们将探究在什么情况下,有(α)nspanα,α,,21=V . 例 3.10 确定下列集合是否构成nR 的子空间. (a) (例 3.11 求下列矩阵的零空间. ){} 132321=+ xxxxxT (b) (){}3213212xxxxxxT== (a) −−32222111 (b) −n−111422331 例 3.13 设V 是的子空间. nn×实矩阵组成的向量空间, W 为所有n×对角矩阵,证明: W 是V 3.3 线性无关 教学目的: 理解向量组的线性相关性 教学重点: 线性相关性 教学难点: 线性无关 内容简介: 线性相关性 教学要求: 理解线性相关性 教学内容: 向量空间的结构如何?以及如何才能清楚地表示出向量空间V 中的元素?或者说集合V 中的向量如何依赖于其他向量?有必要引入线性相关和线性无关的概念,这些概念在线性代数理论中以至一般地在数学中都是极其重要的,而且是本质的. 在向量空间3R 中,任取 3 个向量321,α,αα,其中312122α α,kααα=+≠,k∀为常数.令),α,α(α321spanS =,则有),(α21αspanS =. 一、 线性相关性概念 定义 3.5 如果向量空间V 中的向量rα,α,α,21,对常数r k,kk,,21满足 022α11α=+++rr kkkα. 则只有021====r kkk,则称向量rα,α,α,21是线性无关的. 例 3.14 证明向量()()()5,2,3,4 ,0,3, 3,1 ,−0,0,4,2αβγ===是线性无关的. 证 设有0=++γzβyαx成立, 得到齐次方程组 =++=+−=z+=024043303205zyxyxyxx 于是解为0===zyx. 因此, γ,β,α线性无关. 注意到上例中的向量γ,β,α构成一个阶梯形矩阵: −240013304325. 我们可以得出结论:阶梯形矩阵的非零行向量是线性无关的,不再证明加以推广. 定理 3.3 阶梯形矩阵的各非零行向量总是线性无关的. 定义 3.8 如果存在不全为 0 的常 数r k,kk,,21,使得向 量空间 V 中 的向 量rα,α,α,21满足 022α11α=+++rr kkkα. 则称rα,α,α,21是线性相关的. 例 3.15 设321,,eee分 别 为33×单 位 矩 阵 的 三 个 列 向 量 , (1 , 2 , 3)Tx=. 则123,,,e e e x 是线性相关的. 证 因为32123eeex++=,即023321=−++xeee 所以,它们是线性相关的. 定 义 3.8 中 的 关 键 是 存 在 一 组 不 全 为0 的 常 数r k,kk,,21. 即 除 了021====r kkk外,方程022α11α=+++rr kkkα还有其他解,等价于说方程有无穷解. 对于多于一个的向量的线性相关概念可等价地定义如下: 定理 3.4 当且仅当rα,α,α,21中的某一个是其余向量的线性组合时,它是线性相关的. 证 设rα,α,α,21中, 不妨设i α , 可以由其余向量线性组合表示, 则有 i α =1α11α−11α+1iiiirαrkkkk−++++++, 得 1α11α−11α+10iiiiirαrkkkkα−−++++++=. 所以,rα,α,α,21是线性相关的. 反之, 设向量组线性相关, 有1α10,0iirαrikkkkα++++=≠, 则有 i α =111111iiriirkkkkkkkkαααα−+−+−++ −+ −++ −. 所以i α 是其余向量的线性组合. 由定理 3.4,可以获得许多有用的推论. 注 1 根据rα,α,α,21线性相关或无关,把集合{}12,,,αrα α称为相关或无关.特别定义空集合是无关的 . 注 2 若向量rα,α,α,21中有两个是相等的,则它们相关. 注 3 两个向量12,α α 相关的充要条件是其中一个是另一个得倍式. 注 4 包含一个相关子集的集合本身是相关的. 注 5 如果集合{添加 }12,,,αrα α无关,则这些向量的任何子集是无关的. 对于一类特殊情况,即设12,,,nnx xxR∈,判断它们的线性相关性,还可以借助于矩阵的行列式值判定,或借助于它们构造的矩阵的奇异性判定,即有 定 理 3.5 设12,,,nx xx为nR 中 的 n 个向 量,令矩阵()1,2,,nXx xx=. 向 量12,,,nx xx线性相关的充要条件是矩阵 X 为奇异的. 证 设有n 个常数12,,,nk kk, 使1 1k x220nnk xk x+++=.即 ()120,,,,TnX K⋅Kk kk==. 当且仅当 X 奇异时, 方程组有无穷解.即有不全为 0 的解。 因此, 当且仅当 X 奇异时, 12,,,nx xx线性相关. 定理 3.5 还告诉我们,当且仅当 X 是非奇异矩阵时, 12,,,nx xx线性无关的. 例 3.16 判断向量(解 因为 ) () ()1,2,0 , 2,6, 3 , 3,10, 6−−的线性相关性. 12026303106−−=. 所以向量组是线性相关的. 例 3.17 λ 取何值时,向量(解 由 ) (, 3,0, 2 , 2, 1, 5−) ()1, 2,−λ− −线性无关. ()1-230-2372-1-5λλ= −+. 当7λ ≠ −时,向量组线性无关. 对于定义 3.4 中所描述的有限生成子空间()12,,,αnspan α α而言, 12,,,αnα α的线性相关性起着决定性作用.最重要的就是12,,,αnα α线性无关,此时,它们的线性组合 是惟一的. 定理 3.6 设12,,,αnα α是向量空间V 中的 n 个向量,,即1α12α2nαnkkkα=+++,此表达式惟一当且仅当12,,,αnα α线性无关. 证 设12,,,αnα α线性无关, 1α12α2nαnkkkα=+++,另有1α12α2nαnlllα=+++. 两式相减可得 1()0niiiikl α=−=∑. 因为12,,,αnα α线性无关,系数必全为 0. 因此 i=1,2,,niikl=. 即表达式惟一. 反之,设12,,,αnα α线性相关,则存在不全为 0 的常数12, ,l l,nl使得 10niiilα==∑与1niiikαα==∑相加,得 1()αniiiiklα==+∑. 由于il 不全为 0, 从而至少存在一个 i , 有iiilkk+≠.与 α 的表达式惟一矛盾, 故12,,,αnα α必线性无关. 定理 3.6 的深层次含义是:当12,,,αnα α线性无关时, ()12,,,αnspan α α是最小的(即集合中所有的因素均为有限生成向量空间所必需的). 例 3.18 确定下列nR 中的向量是否线性相关. (a) () () ()0,1,0, 0,1,1, 1,0,1TTT (b) () () () ()0,0,1, 0,2,0, 3,0,0, 3,4,5TTTT 例 3.19 确定下列2 2×中的向量是否线性无关. R (a) 0110,1001    (b) 011000,,100010       (c) 011022,,100020−       例 3.20 设 , ,α β γ 是线性无关向量组.证明,,2βαβ α+β α−γ+−也是线性无关的. 3.4 基和维数 教学目的: 了解并掌握基与维数 教学重点: 向量空间基 教学难点: 向量空间基 内容简介: 向量空间基、 维数 教学要求: 了解向量空间基、 维数, 熟悉求线性方程组解空间基的方法 教学内容: 一、 基概念 在 3.2 节里,我们探讨过一个问题, 即设,1,2,,iV inα ∈=, V 为向量空间.何时12(,,,α)nVspan α α=.事实上,当12,,,αnα α构成向量空间V 的基时等式成立.先引出定义. 定义 3.9 当且仅当向量空间V 中的向量12,,,αnα α满足 (ⅰ ) 12,,,αnα α线性无关,(ⅱ ) 12,,,αnα α,α ()Vα ∈线性相关. 时,称12,,,αnα α是向量空间V 的基. 我们可以将向量空间V 称为有限维数n ,或维的,记作dimVn=. 向量空间{ } 0 定义为 0 维.当一个向量空间不是有限维时,则把它称为无限维的. 以下是几个常见的向量空间.它们均是有限维的. 例 3.21 nR 是n 维的, m n×是m nR×维的. 解 设ie 为第i 个分量为 1,其余分量为 0 ...