比较法比较法是证明不等式的最基本方法,具体有"作差"比较和"作商"比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式(或分式)时,常用作差比较,当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)例1已知a+b≥0,求证:a3+b3≥a2b+ab2分析:由题目观察知用"作差"比较,然后提取公因式,结合a+b≥0来说明作差后的正或负,从而达到证明不等式的目的,步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。∵(a3+b3)(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证明: =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)2≥0a+b≥0∴(a-b)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 设a、b∈R+,且a≠b,求证:aabb>abba分析:由求证的不等式可知,a、b具有轮换对称性,因此可在设a>b>0的前提下用作商比较法,作商后同"1"比较大小,从而达到证明目的,步骤是:10作商20商形整理30判断为与1的大小证明:由a、b的对称性,不妨解a>b>0则aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b∵ab0,∴ab1,a-b0∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba>1,又abba>0∴aabb>abba练习1 已知a、b∈R+,n∈N,求证(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)
基本不等式法利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 变形有:(1)若a、b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取等号)(2)若a、b∈R+,则a+b≥ 2ab (当且仅当a=b时,取等号)(3)若a、b同号,则 ba+ab≥2(当且仅当a=b时,取等号)例3 若a、b∈R, |a|≤1,|b|≤1则a1-b2+b1-a2≤1分析:通过观察可直接套用: xy≤x2+y22证明: ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1∴b1-a2+a1-b2≤1,当且仅当a1+b2=1时,等号成立练习2:若 ab0,证明a+1(a-b)b≥3
综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式性质推算出要证明不等式。例4,设 a0,b0,a+b=1,证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252证明:∵ a0,b0,a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252练习3:已知a、b、c为正数,n是正整数,且f (n)=1gan+bn+cn3求证:2f(n)≤f(2n)
分析法从理论入手,寻找命题成立的充分条件,一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时,便可推出原不等式成立,这种方法称为分析法。例5:已知a0,b0,2ca+b,求证:c-c2-ab