“长方形面积” 与“平行四边形面积”相对应, “长方形的长”与“平行四边形 的底”相对应,“长方形的宽”与“平行四边形的高”相对应。 在此种种对应的基础上,平行四边形的面积公式才得以水到 渠成,跃然而出。还有利用长方形推导圆面积公式、利用长 方体推导圆柱体体积公式以及圆柱侧面(曲面)与其展开图 (长方形)之间都无处不体现着一一对应的思想。就是在计 算面积时也要强调对应,如计算三角形面积时,要向学生强 调底与高的对应关系,否则极易出错。 在生活中也处处体现着对应思想。如给学生编学号,一个学生对应于一个学号,一个学号也只能对应于一个学生;居民 身份证与居民本人的对应关系等等,不一而足。 通过以上例子我们可以看出,在计算教学和应用题教学中,通过对应方法确能使较为复杂的问题化隐蔽为直观,化难为 易,使学生迅速、顺利地解决了问题。 对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。10 小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思 。如直线(数轴)上的点与表示具体大小的数的一一对应,又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数(分率) 的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。 这是解决数学问题的重要策略。是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。如几何形体的等积变换、解方程的同解 变换、公式的变形等。在计算中也常常用到转化,如甲乙 (零除外)=甲,又如除数是小数的除法可以转化成除数是 整数的除法来计算。在解应用题时,常常对条件或问题进行 转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整 数学的思维离不开符号的形式(图、表),这样可大大地简化和加速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要 求。如定律a.b=b.a,公式S=vt 等都是用字母表示数和量的 一般规律,而运算的本身就是符号化的语言。所以说,符号 化思想方法是数学信息的载体,也是人们进行定量分析和系 统分析的一种载体。 分类的思想方法不是数学独有的方法,数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分 11 类,若按能否被2 整除可分为奇数和偶数,若按约数的个数 分则可分为质数、合数和 1。又如三角形既可按角分,也可 按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果,从而产生 新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的 正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和 建构。 比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中,教师善于引导学生比 较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快 地找到解题途径。 类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。 如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边 形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容 易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 它是方程解法的重要原理,解题时可将某个条件用别的条件进行代换。 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后12 按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以 适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是 一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形 象、具体,从而丰富解题思路。 它是逻辑思维中的基本思想,当顺向思维难于解答时,可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法,有时可以借线段 把有可能解决的或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类以便解决可较易解决的问题,以求得解决,这就是“化归”。而数学知识联系紧密,新知识往往是旧知识的引申和 扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题,对独 立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。 集合思想是近代数学的最基本思想,许多重要的数学分支,如数理逻辑、实变函数、概率统计等都建立在集合理论 的基础上。小学数学采用直观手段,利用图形和实物渗透集 合的思想。如在数的认识时出现韦恩图,在讲述公约数和公 倍数时孕伏了交集的思想方法。 数和形是数学研究的两个主要对象,数离不开形,形离不13 开数。一方面抽象的数学概念,复杂的数量关系,借助图形 使之直观化、形象化、简单化;另一方面复杂的形体可以用 简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观 帮助分析数量关系。 数据处理方法随着现代化的发展进程,越来越深入到社会生活的各个领域。小学数学中的统计图表是一些最基本的统 计方法。求平均数应用题就是体现出数据处理的思想方法。 数学课程标准在学习内容制订中就十分强调要发展学生的 统计观念。 事物是从量变到质变的,极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。这个变化过程中存在一个“关节点”,在 小学数学讲述圆的周长、面积知识时,就以“极限”为“关节 点”。“化曲为直”地从有限中认识无限,从近似中认识精确, 从量变中认识质变。 思维要有序,即要按照一定的顺序,有条理地,全面地观察和思考问题。如果思维无序,观察或思考时杂乱无章,就 容易造成思维的重复或遗漏。 例15 左图中有几个三角形? 对数学问题的观察和分析应从宏观和大处着手,整体把14 握,化零为整往往不失为一种更便捷更省时的方法。 恩格斯说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数, 微分和积分也就立刻成为必要的了。”