裂项相消法求和 所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 项彼此相消,就可以化简后求和. 邻的两 一些常用的裂项公式: 1 1 1 (1) ? ? n?n ? 1? n n ? 1 1 1 1 1 (2) ? ( ? ) (2n ? 1)?2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n (3) ? ( ? ) (4) n ?1 ? n n(n ? 2) 2 n n ? 2 注意:根式在分母上时可考虑利用分母有理化,因式相消求和 小试身手 应该怎样拆项? [思考探究] 用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么? 提示:数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这是用 裂项相消法的前提.一般地,形如{ }({an}是等差数 列)的数列可选用此法来求. 裂项法求和 1 1 1 1 * 例:求数列 1, , , , ?, ,? (n ? N ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n 的前n项和 1 2 1 1 ? an ? ? ? 2( ? ) 提示: 1 ? 2 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1 1 ? 2n ? 1? ? 1 1? ?1 1 ? ? ? Sn ? 2[?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?1 ? ?? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1? ? n ?1? n ?1 当堂训练 1.数列{an}的前n项和为Sn,若an= ,则S5等于 ( A.1 B. ) C. D. 解析:∵an= ∴S5=a1+a2+a3+a4+a5 , 答案:B 当堂训练 求和 裂项法求和 1 1 1 1 ? ? ?? 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1) 1 1 1 1 ? ( ? ) 提示: (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1 ∴ 1 1 1 ? ??? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 3 3n ? 1 3n ? 1 当堂测试 在等差数列{an}中,a5=5,S3=6. (1)若Tn为数列{ }的前n项和,求Tn; (2)若an+1≥λTn对任意的正整数n都成立,求实数λ的最大值. [思路点拨] [课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 解得:a1=1,d=1, 所以an=n, 所以 Tn= , (2)若an+1≥λTn,即n+1≥λ ∴λ≤ 又,,=n+ +2≥4,当且仅当n= ,即n=1时取 等号.任意n∈N*,不等式成立,故λ≤4, ∴λ的最大值为4.