曲线运动定理:物体做曲线运动时,受到的法向分力指向曲率圆的圆心,且大小和曲率成正比。
数学语言:
则物体的法向加速度
这给出了我们一个求曲率圆半径
的方法:
说是这么说,但是曲率半径该怎么处理呢?
对于任何函数
,它都相当于参数方程:
然后我们把它看成是一个质点的运动:
在水平方向上,质点做匀速直线运动。
在竖直方向上,质点按照
的时间规律做变速运动。
那么,在水平方向上,有:
在竖直方向上,有:
对整体有:
而对于加速度,我们还要再求一次导。
在水平方向上,加速度为0.
在竖直方向上,加速度为函数的二阶导数,即:
于是对整体有:
但是求曲率半径需要的是加速度的垂直分量,怎么办呢?
很简单,由向量积的性质:
而速度和加速度的矢量以及速度的大小是已知的,因此可以求出加速度的垂直分量:
最后代入公式
注意r需要为正数
曲率