2000 年第 9期 中学数学月刊 · 43 · 又设{b, I)的首项为 b, 公差为 d, 则 f 46 + 6d 一60 , f6—9 , l (6+ d) + (6+ 3d)一34 ld一4 b 一 9+ 4(, 2—1) 一4n+ 5. .‘.A 一{9, 81, ⋯ , 3 ⋯ } , B 一{9, 13, ⋯ , 4, 2+ 5, ⋯ } 欲证 A C B , 当且仅当 3 ∈B (7 , 2∈N+) , 即 证 3 ” 一4p + 5 (户∈N+ ) , 也就是证 P 一 ∈N+. 下面用数学归纳法证明: ÷ H · H ·H ·H ·H ·H ·H ·H · H ·H ·H ·H · H ·H ·H ·H ·H ·H ·H ÷ 侧棱长相等的棱锥体积的最大值 曾建国 ( 江西省宁都 中学 342800) + H ·H ·H ·H ·H ·H ·H ·H · H ·H ·H · H ·H ·H ·H ·H ·H ·H ·H + 侧棱长均为相等定长的棱锥 , 体积何时 最大 , 最大值是多少? 对这一问题, 笔者研究后得到 :命题设 , z棱锥的 , z条侧棱长均为 , 则 当且仅当它为正 , z棱锥, 且侧棱与底面所成 角为 arctan 时, 体积取最大值, V 一 厶 ~ / 厂 .2 m . ’ 证明 由于侧棱长相等 , 则顶点在底面 内的射影是底面的外心 , 即底面是 圆内接 , z 边形. 因为同一个 圆的内接 , z边形 中, 以正 , 边形面积最大, 所 以当题设 中 , z棱锥的高相 同时, 以正 , z棱锥体积最大. 即所求的体积最 大的棱锥必为正 , z棱锥. (1)当 " 一1 时, 显然. 2k一 (2)假设 P 一 是正整数. _l、『 , l 3 ‘ ” 一5 9 · 3 一5 则当 一k+ l 时, — 一 一一 — 丁 一 4 9p + 1O∈N+ , 即当7 一是 + 1 时, P一 — ∈N 0 z, “— — 【 由(1) , (2) 可知, 对任意正整数 , P ∈N+ 1. ·. AC B ~ 2 a %.一 集一 6 下面求侧棱长为 的正, z棱锥的体积的 最大值. 如图 1, 设正 , z 棱锥的侧棱与底面 所成 的 角为 0, 则 棱锥的高为 / sin 0, 底 面 半 径 为 / cos A 0, 底面正 , z边形的 面积为 : S 一 , 2。 S AA1OA 2 一, z·1 (1c。 s .sin , 则正 ” 棱锥的体积为: A 2 A . 图 1 一号 ⋯ 删 s in in 一一_=- ‘ .· . . 。 0 . ·。 ‘ 0Si n cos sin. . — —‘ 令 —C OS 0· sin 0, 则 y Z — c。 s 0 .si nZ0 一 1 c。 s 0 .c。 s 0 . 2sin 0 ≤ 专 ( 坐 ’ )。 一 锦~ 6 维普资讯 http://www.cqvip.com · 44 · 中学数学月刊 2000年第 9期 一 ·c 号 。 = . .·.j, ≤ 丢 旦 , 当 且 仅 当 c 。 s z 一 2 sin z , 即 t 一 时取 等号, 即 当 一 t 时, 体积 有最大值: ⋯一詈 n b · 一 2 7 · . sin . s, 证毕. 由 上 可 知。 in 一 三, 表明 体 积 最大 时, 侧棱长与高的比是 厂 : 1. 特别地 , 当 :3 时, 底面半径为 , 底面正三角形的 3一 1 边长为 一 ~ / 厂 , 即有 : 推论 侧棱长均为 的三棱锥 中, 当且 仅当三条侧棱两两垂直时, 体积有最大值百 1 一类分装组合问题的巧解 (湖北省武汉市新洲二 中 430413) ‘ _ . . . 。 . 。 _ 。 . _ - 0 . 排列组合中有这样一类分装组合问题:个相同元素分装到m个不同盒中, 问有 多少种装法. 本文就来谈谈这个问题在不同 题 目要求下的思与解. 例 1 (要求每盒非空) 将 10 个相 同小 球分别装入 3个不同盒中且每盒非空. 问有 多少种不同装法? 思与解将 10 个小球排成一排, 在其两 两之间的 9个空档 中任取两个划上竖线 , 这 样就将 10个小球分成了 3组. 如下图所示.o o o Io o Io o o o o 将每组小球顺序装入三个盒中, 则划竖 线的方法数就等于题中所求的装法数, 共有 C = 36种装法. 将 这里所用的方法, 我们称之为“ 划竖线 法”. 这种方法可直接用于求解“每盒至少一 个”的分装问题. 但是 , 如果配以适 当的思维 技巧 , 则它能快速而准确地求解“每盒至少几 个”或“几个盒中依次不少于几个”或“每盒可 空”等各种题 目要求的分装组合问题.