电磁场理论 课程性质 电磁场理论是高等学校理工科电子类或信息 类专业必修的一门专业基础理论课,其任 务是介绍宏观电磁场和电磁波的基本规律, 基本性质、基本分析方法和基本工程应用。 课程特点 1、基础知识广 2、课程系统性强 3、推导和计算难 4、概念多且抽象 课程学习目的 通过学习要求学生能完整地理解和掌握宏观 电磁场的基本性质和基本规律,对电子信 息工程中的电磁现象和电磁场问题能用场 的观点进行分析和计算。课程考核重要考 查学生是否掌握电磁场与电磁波的基础理 论、基本知识及简单的分析应用。 本章内容 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 学习基本要求 1、理解标量场与矢量场的概念;了解标量场的等值 面和矢量场的矢量线的概念。 2、熟练掌握直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 3、矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析 中最基本的概念,应深刻理解;掌握散度、旋度 和梯度的计算公式和方法。 4、散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重 要定理,应熟练掌握和应用。 5、理解亥姆霍兹定理的重要意义。 1. 标量和矢量 1.1 矢量代数 标量:一个只用大小描述的物理量。 矢量:一个既有大小又有方向特性的物理量,常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示:一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示: A eA A eA A 矢量的大小或模: A A A 矢量的单位矢量: eA A A 常矢量:大小和方向均不变的矢量。 注意:单位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示 z 矢量用坐标分量表示 A ex Ax ey Ay ez Az Ax A cos Ay A cos Az A Ay Ax O y x Az A cos A A(ex cos ey cos ez cos ) eA ex cos ey cos ez cos 2. 矢量的代数运算 (1)矢量的加减法 B 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 边的平行四边形的对角线,如图所示。 在直角坐标系中两矢量的加法和减法: A B A 矢量的加法 A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz ) 矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 rr rr AB B A 结合律 r rr rr r A (B C) (A B) C B A AB B 矢量的减法 (2)标量乘矢量 kA exkAx eykAy ez k Az (3)矢量的标积(点积) A B ABcos AxBx AyBy Az Bz AB B A ——矢量的标积符合交换律 B A 矢量 A与 B 的夹角 AB A B 0 A// B A B AB ex ey ey ez ez ex 0 ex ex ey ey ez ez 1 (4)矢量的矢积(叉积) A B en ABsin 遵循右手螺旋法则 用坐标分量表示为 A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx ) 写成行列式形式为 ex ey ez A B Ax Ay Az Bx By Bz A B B A 若 A B ,则 A B AB 若 A // B ,则 AB 0 A B B AB sin A 矢量A 与B 的叉积 (5)矢量的混合运算 ( A B) C AC B C —— 分配律 ( A B) C A C B C —— 分配律 A (B C) B (C A) C ( A B) A (B C) ( AC)B ( A B)C —— 标量三重积 —— 矢量三重积 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系,称为正 交曲线坐标系;三条正交曲线称为坐标轴;描述坐标轴的量称为 坐标变量。 在电磁场与波理论中,三种常用的正交曲线坐标系为:直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。 1. 直角坐标系 坐标变量 x, y, z 坐标单位矢量 ex , ey , ez z z z 0 (平面) ez P ey ex 点 P(x0,y0,z0) o y y y 0 (平面) x x x 0 (平面) 直角坐标系 位置矢量 r ex x ey y ez z 线元矢量 r dl erxdx ery dy erzdz 面元矢量 r dSx erxdlydlz erxdydz r dSy r eydlxdlz r eydxdz r dSz erzdlxdly erzdxdy z dSz ezdxdy dz dS y eydxdz dx o dy dSx exdydz y x 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 体积元 dV dxdydz 2. 圆柱坐标系 坐标变量 ,, z 坐标单位矢量 rrr e ,e ,ez z z (平面) 0 P(0,0, z0) 0 (圆柱面) 0(半平面) 圆柱坐标系 位置矢量 rr er erzz 线元矢量 r dl r e d r e d r ezdz 面元矢量 r dS er dl dlz er ddz r dS r e dl dlz r e d dz r dSz r ez dl dl r ez d d 体积元 dV dddz 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 3. 球坐标系 坐标变量 r,, (圆锥面) 0 r (球面) r0 P(r0,0,0 ) 坐标单位矢量 rrr er , e , e (半平面) 0 球坐标系 位置矢量 rr errr 线元矢量 r dl r erdr er rd er rsin d 面元矢量 r dSr err dl dl errr2sindd r dS r e dlr dl erzrsindrd r dS r edlrdl errdrd 体积元 dV r2sindrdd 球坐标系中的线元、面元和体积元 4. 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系 eeez ex cos sin 0 圆柱坐标与 球坐标系 er e e e sin cos 0 ey sin cos 0 e 0 0 1 ez 0 0 1 ez cos sin 0 直角坐标与 球坐标系 er e ex sin cos cos sin ey sin sin cos sin ez cos sin e sin cos 0 y e ey e ex 单位圆 o x 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 z ez er e 单位圆 e o 柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系 1.3 标量场的梯度 标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应,称在 该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量,称该场为标量场。 例如:温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量,称该场为矢量场。 例如:流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场。 基于数学角度,场是定义在空间区域上的函数: 静态标量场和矢量场可分别表示为:u( x, y, z)、 r F (x, y, z) r 时变标量场和矢量场可分别表示为:u(x, y, z,t) 、 F(x, y, z,t) 1. 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 等值面方程: u(x, y, z) C 等值面的特点: 标量场的等值线(面) ? 常数C 取一系列不同的值,就得到一系列不 同的等值面,形成等值面族; ? 标量场的等值面充满了场所在的整个空间; ? 标量场的等值面互不相交。 2. 方向导数 定义: Δl M0 r l M | lim u u(M ) u(M0) l M0 l 0 l 方向导数的概念 意义:方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 ? ? ? u l u l u l r —0— u(M)沿 方向l 增加; r —0— u(M)沿 方向l 减小; r —0 — u(M)沿 方向l 无变化。 计算公式: 在直角坐标系中 | lim u u u cos u cos u cos l M0 l0 l x y z 式中:cos、cos、cos —— r 的l 方向余弦。 特点:方向导数既与点M0有关,也与 r l 方向有关。 问题:在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少? 3. 标量场的梯度( gradu 或 u ) | 概该点念的:g等ra值du面的erl法ul线m方,ax 向其的中单erl位矢量ul,取且得规最定大等值值的面方的向值,增即加过 的方向为正法线方向。 意义:描述标量场在某点的最 大变化率及其变化最大的方向 梯度的表达式: 直角坐标系 gradu erx u x er y u y erz u z 哈密顿算符 r ex x r ey y r ez z 矢量微分算符 gradu r (ex x r ey y r ez z )u u 圆柱坐标系 球坐标系 u er u er 1 u erz u z u err u r r e 1 r u r e 1 r sin u 梯度的性质: ? 标量场的梯度是矢量场,它在空间某点的方向为在该 点标量场变化最大(增大)的方向,其数值为变化最 大方向上标量场的空间变化率。 ? 标量场在某个方向上的方向导数,是梯度在该方向上 的投影。即梯度与该方向的单位矢量的点积: u l u r el ? 标量场中某点的梯度垂直于过该点的等值面(或切平 面),并且指向标量场增加的方向。 梯度运算的基本公式: C 0 ((Cu u)v) Cu u v (uv) uv vu f (u) f (u)u 例1.2.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2+y2-z 描述了空间标量 场。试求: (1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度,以及表示该梯度方向 的单位矢量。 (2) 求该函数 沿单位矢量 r el r ex cos 60o r ey cos 45o r ez cos 60o 方向的方向导数,并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较,得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式,可求得P点的梯度为 P r [(ex x r ey y r ez )(x2 z y2 z)]P (erx 2x ery 2y erz ) (1,1,1) erx 2 ery 2 erz 表征其方向的单位矢量 r el P P erx 2x ery 2 y erz (2x)2 (2 y)2 (1)2 r ex 2 3 r ey 2 3 r ez 1 3 (1,1,1) (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知,沿el 方向的方向 导数为 l r el r (ex 2x r ey 2 y r ez ) r (ex 1 2 r ey 2 2 r ez 1) 2 x 2y 1 2 对于给定的P 点,上述方向导数在该点取值为 l x 2 y 1 2 1 2 2 2 P (1,1,1) 而该点的梯度值为 (2x)2 (2 y)2 (1)2 3 P (1,1,1) 显然,梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率,即 P 最大的方向导数,故 l 恒 成立。 P P 1、求标量场 u xy2 yz3 r uur uur ur 在点M(2,-1,1)处的梯度 及沿矢量l 2ex 2ey ez 方向的方向导数。 1.4 矢量场的通量与散度 1. 矢量线 概念:矢量线是一条曲线,其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。 意义:形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。 矢量线方程: dx dy dz Fx (x, y, z) Fy (x, y, z) Fz (x, y, z) r F M drr rr rr drr O 矢量线 2. 矢量场的通量 问题:如何定量描述矢量场的大小? ern 引入通量的概念。 在讨论通量之前,先介绍面积元矢量 dS ern ——面积元的法向单位矢量; 面积元矢量 r dS r endS ——面积元矢量; 如果曲面 S 是由闭合曲线C围成的开曲面,则按右手螺旋 法则规定 r en 的方向。 如果曲面 S 是闭合曲面,则规定曲面的法向矢量由闭合曲 面内指向外,即外法线方向。 通量的定义 矢量场分布所在区域中任一点P, 在P附近取一面积元ds,其法向单 位矢量为 ern ,该点的矢量场为 F F(x,ry, z) en P dS 则定义 d r F erndS 面积元矢量 r ——矢量场 F 穿过面积元 dS的通量。 矢量场穿过有限大面积S的通量为: d S rr F dS S r F erndS 如果曲面 S 是闭合的,则矢量场穿过闭合曲面的通量是 蜒 S Fr r dS S r F erndS 通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 0 0 0 通过闭合曲面有 净的矢量线穿出 有净的矢 量线进入 进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 3. 矢量场的散度 r divF 设想有一包围P点的闭合曲面,逐渐收缩到 P点附近,则该闭合曲面所包含的体积将逐渐减 少,且矢量场穿过闭合曲面的通量也逐渐减少。 F(x,eryn, z) P dS 面积元矢量 但在一般情况下,两者之比有一极值,该极值 与闭合曲面的形状无关。 r r r divF ( x, y, z) lim ?S F(x, y, z) dS V 0 V 称为矢量场的散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元 体积之比的极限。 散度的意义:矢量场穿过包围单位体积的闭合曲面 的通量,又称为通量密度。 rr r divF lim ?S F dS V 0 V divF>0 divF<0 divF=0 散度的计算式: rr ? 直角坐标系 r divF lim F dS S Fx Fy Fz V 0 V x y z divF uur (ex x uur ey y ur ez z ) uur (ex Fx uur ey Fy ur ez Fz ) r F 圆柱坐标系 球坐标系 r F ( F ) F Fz z r F 1 r2 r (r2Fr ) 1 r sin (sin F ) 1 r sin (F ) 散度的有关公式: C C 0 (C为常矢量) (Cf ) C f (kF ) k F (k为常量) ( f F ) f F F f (F G) F G 4. 散度定理(高斯定理) VS 从散度的定义: ur ur ur divF V ? F d S 该式只对微小体积 V成立。 对于有限大体积V,分成许多 S1 S2 en2 en1 体积的剖分 小体积 ΔV1、ΔV2…… 对每一个小体积有: ur ur uur divF V1 ? F d S1 ur ur uur divF V1 ? F d S1 ur ur uur divF V2 ? F d S2 …… ur ur uur divF Vm ? F d Sm + 左 =右 ur 左: divF dV V为整个有限体积 V 右:各个小体积对应曲面的通量之和 VS S1 S2 en2 en1 体积的剖分 (1)V内两个相邻体积的分界面:在此公共面上,对于两个体 积元而言,其外法线方向刚好相反,因此其通量等值异号,相 加时相抵消。 (2)V的外表面:外表面上的小面元的通量不会被抵消。 r rr V divFdV ? S F dS 散度定理是矢量的闭合曲面积分与该矢量的散度 体积分之间的一个变换关系,在电磁理论中有着广 泛的应用。 1.5 矢量场的环流与旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通 量源的矢量源,它所激发的矢量场的矢量线是闭合的,它对于 任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中对某个闭合 路径的积分不为零。 例如:水流的流速场。 如磁场强度沿任意闭合曲线的积分与通过该闭合曲线所围曲 面的电流成正比,即 uur r ? C H (x, y, z) dl 0I 上式建立了磁场的环流与电流的关系,即安培环路定理 磁感应线 磁感应线要 么穿过曲面 磁感应线要么同时 穿入和穿出曲面 环流的概念 矢量场对于有向闭合曲线C 的环流定义为该矢量场对有向 闭合曲线C 的线积分,即r r ? C F (x, y, z) dl 如果矢量场对任意闭合回路的环流恒为零,称该矢量场为无 旋场,又称为保守场。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零,称该矢量场为 有旋矢量场,能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。如:电 流是磁场的旋涡源。 2. 矢量场的旋度( r F ) 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面 内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点的矢 量场与旋涡源的关系,引入矢量场的旋度。 (1)环流面密度 过点M 作一微小曲面S ,它的边界曲线记为C,曲面的法 线方向 nr与曲线的绕行方向成右手螺旋法则。当S0 时,极限 ? r rotn F lim S 0 1 S rr F dl C 称为矢量场在点M 处沿方向 nr 的环流面密度。 r n F 特点:其值与点M 处的方向 nr有关,而与曲线 C的形状无关。 M S C (2)矢量场的旋度 ur rotF 概念:矢量场在 M 点处的旋度为一矢量,其数值为M 点的 环流面密度最大值,其方向为取得环量密度最大值时面 积元的法线方向,即 ur r r rotF ur n lim ?C F dl S 0 S max 环流面密度与旋度的关系 矢量场 r F 在 M 点r处沿方向 r en 的环流 面密度 r rotn F , 等于 旋度 rot F 在该方向上的投影,即 r rotn F ern r rotF 旋度的计算公式: 直角坐标系 r F erx Fz y Fy z ery Fx z Fz x erz Fy x Fx y rrr ex ey ez x y z Fx Fy Fz 圆柱坐标系 er er erz r F 1 z F F Fz 球坐标系 r er r re r sin r e r F 1 r2 sin r Fr rF r sin F 旋度的有关公式: 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 r C 0 r r ( fC) f C r r r ( fF) f F f F rr r r (F G) F G rr r rr r (F G) G F F G r ( F ) 0 (u) 0 3. 斯托克斯定理 从旋度的定义出发,可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环 流等于该矢量场的旋度在此闭合曲线所围的曲面的通量,即 rr rr ? C F dl S F dS 方向相反大小 相等结果抵消 斯托克斯定理是闭合曲线 积分与曲面积分之间的一个变 换关系式,也在电磁理论中有 广泛的应用。 n S C 图 1曲.5.5面曲的面的剖划分分 4. 散度和旋度的区别 v v F 0, F 0 v v F 0. F 0 v v F 0, F 0 v v F 0, F 0 1.6 无旋场与无散场 1. 矢量场的源 散度源:是标量,产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于(或正比于)该封闭面内所包围的源的总和, 源在一给定点的(体)密度等于(或正比于)矢量 场在该点的散度; 旋度源:是矢量,产生的矢量场具有涡旋性质,穿过一曲面 的旋度源等于(或正比于)沿此曲面边界的闭合回 路的环量,在给定点上,这种源的(面)密度等于 (或正比于)矢量场在该点的旋度。 2. 矢量场按源的分类 (1)无旋场 仅有散度源而无旋度源的矢量场, r F 0 rr ? 性质: F dl 0 ,线积分与路径无关,是保守场。 C 无旋场可以用标量场的梯度表示为 r F u 根据斯托克 斯定理 r F (u) 0 例如:静电场 r E 0 r E (2)无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场,即 r F 0 rr 性质:? S F dS 0 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 根据高斯定理 r r F A r r F ( A) 0 例如,恒定磁场 r r r B 0 B A (3)无旋、无散场(源在所讨论的区域之外) r r F 0 F u r F 0 (u) 0 2u 0 (4)有散、有旋场 这样的场可分解为两部分:无旋场部分和无散场部分 r F (rr ) r Fl (rr ) r FC (rr ) u(rr ) Ar (rr ) 无旋场部分 无散场部分 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算 ? 标量拉普拉斯运算2u 作用于标量函数 概念: (u) 2u 2 —— 拉普拉斯算符 计算公式: 直角坐标系 2u 2u x2 2u y 2 2u z 2 圆柱坐标系 2u 1 ( u ) 1 2 2u 2 2u z 2 球坐标系 2u 1 r2 r (r2 u ) r r2 1 sin (sin u ) r2 1 sin2 2u 2 ? 矢量拉普拉斯运算 r 2F 作用于矢量函数 概念: r 2F ( r F) ( r F) 仅在直角坐标系中: r 2 F erx2 Fx er y2 Fy erz 2 Fz r 即 (2F)i 2Fi (i x, y, z) 注意:对于非直角分量, r (2F)i 2Fi 如: r (2F) 2F 2. 格林定理 设任意两个标量场 及,若在区域 V 中具有连续的二阶偏 导数,那么,可以证明该两个标量场 及 满足下列等式: S , V en V ( 2)dV ? S n dS 式中S 为包围V 的闭合曲面, 为标 量场 在 S 表面的外法线 ern n 方向上 的偏导数。 根据方向导数与梯度的关系,上式又可写成 r V ( 2)dV ? S () dS 以上两式称为标量第一格林定理。 基于上式还可获得下列两式: r ? (2 2)dV ( ) dS V S ? (2 2)dV ( )dS V S n n 上两式称为标量第二格林定理。 格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。 因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上 场的求解问题。 此外,格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此, 如果已知其中一种场的分布,即可利用格林定理求解另一种场 的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。 1.8 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理: 1、若矢量场在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,源 分布在有限区域中,则当矢量场的散度及旋度给定后,该矢量场 便可确定 亥姆霍兹定理表明:在无界空间区域,矢量场可由其散度 及旋度确定。 2、若在有界区域,矢量场不但与该区域中的散度和旋度有 关,还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。 亥姆霍兹定理表明:在有界区域,矢量场可由其散度、旋度 和边界条件确定。