复函数于流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow)。一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Julia set) 是建基于复平面上的点的。我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数,使得定义的各种复变初等函数,当z变为实变数x(y=0)时与相应的实变初等函数相同。注意根据这些定义,在z为任意复变数时,①.哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来②.哪些相应的实变初等函数的性质不再成立③.出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)证明:把yi代入泰勒级数,借助和来化简即可;同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna借助eix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理。