从同一总体内抽取若干大小相同的样本,各样本的样本相关系数总会有波动。即根据样本数据是否有足够的证据得出总体相关系数不为0的结论
要判断不等于
的
值是来自总体相关系数
的总体,还是来自
的总体,必须进行显著性检验
显著性检验是事先对总体(随机变量)的参数或总体分布形式做出一个假设,然后利用样本信息来判断这个假设(备择假设)是否合理,即判断总体的真实情况与原假设是否有显著性差异
由于来自
的总体呈白噪声或者其他特殊分布
(为什么?看图第一行中间、第三行)
因为样本间没有线性相关性,可能会杂乱无章(即什么关系也没有),也可能呈现出一些非线性关系(更高阶的关系Pearson相关系数并不能表示出来)
图片来自Wiki
关于
会在第 3 章继续探讨
但是来自
的总体的所有样本相关系数
是呈对称分布(好好思考一下为什么)
所以
的显著性检验可以用双侧
检验来进行
(1)建立检验假设:
零假设:样本都是从
的总体中抽取的样本
备择假设:样本都是从
的总体中抽取的样本
检验分为两种:
一种是总体近似服从二维正态分布一种是总体严格服从二维正态分布
(2)构造
统计量,计算相关系数
的
值:
若数据近似服从二维正态分布,且样本容量
不是特别小,此
就近似服从
分布
如果数据严格服从二维正态分布
样本相关系数
的密度函数为:
是gamma 函数,
是高斯超几何函数。
特殊情况下,当总体相关系数
时(假定两个随机变量是正态无相关的)
样本相关系数
的密度函数为:
是beta 函数,此密度函数碰巧就是统计量
就是自由度为
的
分布,即
(3)计算
值和
值,做结论
在 R语言 中有cor.test()函数
# r的显著性检验, # 参数alternative默认是"two.side"即双侧t检验 # 参数method默认"pearson" > cor.test(x1, x2)	Pearson's product-moment correlation data: x1 and x2 t = 10.743, df = 10, p-value = 8.21e-07 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.8574875 0.9888163 sample estimates: cor 0.9593031
R 的cor.test()在这里给出的结果还是比较丰富的。
这段检验该如何解读?
值为
自由度是
,在显著性水平
上拒绝
,接受
认为该人群身高和体重成正线性关系置信度为
的区间估计是
,意思是总体线性相关系数
取值在
上的概率是
的点估计为
这段代码检验了身高和体重的Pearson相关系数为
的原假设
即假设总体相关度为
,则预计在一百万次中只会有少于一次的机会见到
这样大的相关度
(即