本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 定义 设函数 在区间 有定义, ,若 , 有 (或 ),则称 是函数 的一个极大值(或极小值), 是函数 的一个极大值点(或极小值点)。极大值与极小值统称为极值;极大值点与极小值点统称为极值点。上面的不等号若严格成立,则称为严格极值点,对应函数值称为严格极值。 [1] 注意:(1)极值点只关心 在 内的局部函数值,不关心是否可导。因此函数 在极值点 处可能不可导,如 在 处不可导。(2)极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。(3)极值点出现在函数的驻点(导数为0的点)或不可导点处(导函数不存在,也可以取得极值,此时驻点不存在)。(4)可导函数 的极值点必定是它的驻点。但是反过来,函数的驻点却不一定是极值点,例如 ,点 是它的驻点,却不是它的极值点。(5) 极值点上的导数为零或不存在,且函数的单调性必然变化。 定理 若函数 在 处可导,且 是函数 的极值点,则 注:若去掉“函数 在 处可导”的条件,则函数 的极值点 处不一定有 ,如 ;此外,若 ,则 不一定是极值点,如 在 处,有 ,但 不是 的极值点。 [1] 判别方法 (1)若函数 可导【第一判别法】若函数 可导, ,且 , 有 (或 )同时, 有 (或 ),则 是函数 的极大点(或极小点)【第二判别法】若函数 存在二阶导数, 是函数 的稳定点,即 ,而 ,则当 时, 是函数 的极小点;当 时, 是函数 的极大点。(2)若函数 在一些点不可导,则需要用定义判断。 [1] 计算方法 (1)单变量函数的极值求法a. 求导数 ;b. 求方程 的根;c. 检查 在函数图象左右的值的符号,如果左正右负,那么 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 在这个根处取得极小值。特别注意: 无意义的点也要讨论,即可先求出 的根和 无意义的点,这些点都称为可疑点,再用定义去判断。 例如: 在 的导数是不存在的。(2)二阶连续偏导数的函数 的极值求法,叙述如下:a. 解方程组 , ,求得一切实数解,即可求得一切驻点;b. 对于每一个驻点 ,求出二阶偏导数的值 ;c. 定出 的符号,判定 是否是极值,是极大值还是极小值。注意:当函数仅在区域D内的某些孤立点 不可导时,这些点不是函数的驻点,但这种点有可能是函数的极值点,要注意另行讨论。 极值点与稳定点 方