当用矩阵方程形式
表示线性方程组时,
的列数就是变量的个数,其行数是方程的个数. 方程有多种情形.
欠定
方程的个数少于变量的个数;可能无解,也可能有多解
超定
独立方程的个数多于变量的个数;可能有解,也可能无解
非奇异
独立方程的个数等于变量的个数,行列式不为零;存在唯一解
相容
至少存在一个解
不相容
不存在解
由长方阵表示的线性系统的分类.求不相容方程组
和
的解:
矩阵代表三个变量的两个方程:LinearSolve 给出欠定方程组的一个解:当矩阵代表欠定方程系统时,矩阵有一个非平凡的零空间. 此时,零空间由单个向量张成:LinearSolve 给出的解,加上零空间的基向量的线性组合,仍然是解:独立方程的个数是矩阵的秩MatrixRank[m]. 多余方程的数目是Length[NullSpace[m]]. 注意,这两个量之和总是等于m 的列数.
产生一个求解形如
的方程的函数
在某些应用中,会希望多次求解形式为
的方程组,其具有相同的
,但不同的
. 在Wolfram 语言中能这样有效地做,那就是使用LinearSolve[m] 来产生一个单一的LinearSolveFunction,应用于任意多的向量.应用于一个向量:将这个向量作为一个明确的第二自变量给予LinearSolve,能得到相同的结果:但是能将f 应用于任何的向量:
给出一个最小二乘问题
的解的向量
.
求解最小二乘问题.这个线性系统是不相容的:
LeastSquares 求解一个向量
使得
在最小二乘的意义上最小化:特征值和特征向量
m 的特征值列表
m 的特征向量的列表
形如{eigenvalues,eigenvectors}({特征值,特征向量})的列表
etc.
数字特征值
etc.
p 位精度的数字特征值
m 的特征多项式
特征值和特征向量.
是矩阵
的特征值是指存在非零向量
使得
. 则称
为特征向量.
求
×
矩阵的特征值一般涉及到求
次多项式方程. 因此,对于
,结果一般不能用显式根式来表达. 然而