第一章节在温习狭义相对论并引入张量描述时候必然会讲的东西,所以这条性质对任何正经学过相对论的人来说就跟常识一样平凡。不过因为这有悖于只“听说”过狭义相对论的人“没有什么东西是绝对”的哲学世界观,因而很有可能会被人问到,那我干脆具体解释下这样以后再有人对此发难时可以不必再费口舌。
假设在二维平面(也就是说是平直的二维空间)上,有A、B两个确定的点,那我如果问,通过A-B两点的所有曲线里,长度极值的是哪一条?那肯定是连接AB的这条直线,如果再追问这个AB的长度是多少,大家也可以根据
很简单的求出来,比如两厘米。
但是现在假设还是在同一个二维平面(即还是之前的平直二维空间)上,只是画坐标系的时候因为手抖画得如右边那样歪七扭八,在这个新的坐标系里,再问A和B之间的长度极值的曲线是哪一条?依然是刚才那条直线,尽管可能在新的坐标系里它的解析方程可能已经不在是一个直线的方程,但是却不会改变它路程最短的性质,如果再问这条曲线的长度是多少,它依然是两厘米,这说明,虽然坐标系变了,但是我们也知道坐标系不是之前的直角坐标系因而不能再用同一种计算距离的方法了,这个“计算距离的方法”就是度规张量
,引出度规张量之后,线元的长度就可以写成一个协变的形式:
在坐标系发生某种变换的时候,一个张量根据其指标在上还是在下,作的变换刚好相反(指标在下的叫协变张量,在上的叫逆变张量)。在我们做坐标变换的时候,x和y坐标都要发生变换,而度规张量却会按跟x、y相反的方式变化两次(也就是我们都知道要按不同的方法去求距离这件事的具体数学描述),所以最后所有的变化抵消掉,因而任凭你怎么开心怎么取坐标系,取得再奇形怪状,也不会影响二维平面给定曲线的距离,这个
是坐标系不变量。
不过爱因斯坦告诉我们,时间和空间应该被当做一个整体考虑,那我们把上面例子中的y轴换成时间轴t,就得到了一个时空示意图(这里相当于一维空间+一维时间)
刚才的例子中讨论的点,在时空图中代表事件,比如A可以代表百米赛跑的起跑枪声鸣响,B可以代表某个运动员冲过终点。在A、B之间有因果关联的情况下,类时曲线连接,即世界线,因为这是有静质量的粒子可能的运动路径,世界线就对应于刚才的例子中的曲线。而刚才的例子中曲线的长度,在这里就对应于世界线的长度,叫做固有时。(A、B之间没有因果关联的情况下也可以有类空曲线连接,对应的曲线长度叫做固有距离proper length,但是包括光在内都不可能走类空的路径)类似于刚才的距离定义式,固有时的微元
(这里是否有负号取决于度规的范式用的是[-1,1,1,1]还是[1,-1,-1,-1])
不同于在平直空间里的平方和相加,在平直的时空(即闵氏时空)中,把度规张量具体代入后,其表达式为,
从空间的间隔是个负的贡献可以直观得理解为什么空间里两定点间的短程线,在平直时空中却成为了两定点间固有时的长程线,当然我后边会在弯曲时空里给出一个更直接的证明。
由于固有时的定义式也是个指标平衡的张量方程,所以固有时是个坐标系不变量。(这样通过总的上下指标相等的各种张量缩并得到的量,广相里称为标量,但是它比一般物理书中说的标量具有更好的性质——坐标系不变性,比如密度因为没有方向,我们也可以叫它标量,但是它并不是一个坐标系不变量。)
所以虽然狭义相对论告诉我们,各种不同的惯性运动的观测者的时空结构会发生变换,因而对于同样的两个事件,不同的观测者会给出不同的时间间隔(也就是这个观测者建立的坐标系的坐标时)和空间长度(也就是这个观测者建立的坐标系的坐标长度),但是因为固有时是个标量,即坐标系不变量,因而并不会有任何变化。那这个不变化的标量,有什么物理意义呢?
2.固有时是沿着给定世界线运动的时钟所流逝的时间。
这个也很好理解,如果一个理想时钟沿着某条世界线运动,那么在这个钟表自己的参考系里,自己的空间位置从来没有发生过变化,所以固有时定义式中跟空间移动有关的求和都没有了,所以固有时只跟坐标时,即这个理想时钟的时间流逝有关。即使在弯曲时空里,因为总可以取到黎曼正则坐标系即局域惯性系,总有
。
所以说固有时的大小确实可以表示连接时空两点的世界线上时间流逝的快慢,大了就表明走这条世界线的人(单摆、原子钟、具有固定半衰期的粒子等等)所经历的时间更久。
3.光走的世界线(类光测地线)的长度(固有时)是0,因而其路径又叫零测地线
这个有若干种办法去理解,比如光速是速度极限,随着速度接近光速,时间流逝的速度会越来越慢,所以对于光速这个极限,时间是不流逝的,因而固有时是0.
当然也可以用光速不变原理来推出,比如在闵氏时空里,我们要任何参考系里测到的真空光速都是c,所以自然有
。(事实上之所以闵氏时空的度规tt分量跟空间方向分量反号也正是为了满足光速不变原理,只有用[-1,1,1,1]才能在光速不变的原理下给光的世界线构造一个坐标系不变的固有时出来,因而最后结果是0也就不意外了。)
时空某一点处所有类光测地线的集合构成了一个光锥,所有的有静质量粒子都只能在这个光锥内运动,其世界线对应的固有时为正值,也就是所谓的有静质量粒子的速度都不可能达到或者超过光速(因而时间都是在流逝的)。
有了这些就可以论证类时测地线的最大固有时特性了,上边讨论的都是世界线,也就是所有有质量粒子可能走的路径,测地线只是一种特殊的世界线,即除了引力之外没有受到其他任何外力的物体的运动对应的世界线,当然我们把引力看成了一种纯粹的时空弯曲效应,那么没有任何外力就是说物体在走这种弯曲时空上的“直线”。当然,弯曲时空里的直线已经不像我们所认识的平面空间里的直线那么直观了,用数学语言描述的话,类时测地线就是平移自己的切矢量的类时曲线,
这里的
是在弯曲时空里对张量求微分的算符,用形象语言描述这一式子就是说,沿着测地线的切矢量(也就可以理解为速度矢量,只是这里是四维速度)方向看过去,测地线的切矢量没有发生变化。这跟我们的对直线的感觉是一致的,或者说这是对牛顿第一定律的到弯曲时空一种推广。
中除了普通的偏导数,还包括了一个描述时空性质的联络,在广相里我们把联络取为克里斯托弗联络,因为这样做,可以使得平移自己切矢量的曲线同时也是长度极值的曲线(我们也可以直接从要求世界线的长度变分为0求出克里斯托弗符号的表达式),这样就跟我们在平直时空的期待更加一致。换句话说,在这种联络下,类时测地线是固有时极值的曲线。
知道了是极值,距离回答楼主的问题就还差一步了,就是回答到底是固有时极大值还是固有时极小值。这个在平直时空也就是闵氏时空中是很容易判断的,不过我还是直接给出一个在弯曲时空的普遍证明,这个证明其实也很简单
比如此图中(取自Wald的General Relativity的图9.5,在Carroll的Space time and Geometry中也有一样的证明,图3.3),类光测地线具有的固有时都是0,而类时测地线具有的固有时都是正值,由于类时测地线(
)总可以被一系列折返的类光测地线(
)逼近,因而我们在微小的任何一段里都可以选择一条比类时测地线更贴近类光测地线的类时曲线来连接,从而让这一小段的固有时更接近于0,也就是使固有时减小。换句话说,对类时测地线的微小路径改变可以使其固有时变小,而我们又知道类时测地线的固有时是邻域内各种类时路径的极值,因而只能是极大值。
这个结论有什么用呢?这说明当我们走测地线的时候,时间流逝是最快的,这其实也是双生子佯谬的现代解释:即,双胞胎里走测地线(没有去外太空旅行)那个人年龄会更大,因为他的世界线固有时是极大值,这也是为什么说固有时极大值说明时间流逝是快而不是慢。由于固有时是在狭义相对论里就可以定义的概念,所以说双生子佯谬(只要去太空旅行那个不是去黑洞附近兜了一圈)纯粹是一个狭义相对论问题。有很多人认为狭义相对论不能处理有加速度的问题,这是很荒谬的,狭义相对论可以处理平直时空的任何问题,有加速度的运动无非在平直时空里得到一条弯曲的世界线,对这个世界线我们一样可以用微积分的办法对固有时微元求和得到一个固有时,并比较固有时大小。关于双生子佯谬以及固有时的意义,可以参考关于时钟佯谬这篇文章(这个作者也是我很喜欢的一个科普作者,不过阅读其文章可能需要一定的数理基础)。
另外还有一个比较有意思的事,那就是因为我们掉入黑洞之后都不可避免的会掉入奇点去,所以我们一旦进入视界面(即有了一个确定的事件A),当t>某个有限值时候我们一定都会位于r=0的奇点,比如取定t_1,r=0,代表了一个事件B,假设我们掉入黑洞和奇点可以不死的话,那么你掉进了视界面之后可千万别挣扎,不要去尝试启动火箭、引擎什么的想要抵抗这个掉落,因为你一定会从事件A到事件B,那么你胡乱挣扎只能导致你偏离测地线从而减小这两段之间的固有时,也就是说。。你会死得更快。。当然,这个纯属脑洞大开,只是为了更形象得说明时空中的类时测地线和空间里的曲线在长度上是多么不同。
-------------------------------------------------------------错误二-----------------------------------------------------------
关于费马原理,我们可以用两段费曼的话来解释清楚,第一段来自于Lewis H Ryder的Quantum Field Theory一书中第五章的题头,是F.J.Dyson回忆的一段话,也是我最喜欢的一段诠释:
Thirty-one years ago, Dick Feynman told me about his 'sum over histories' version of quantum mechanics. 'The electron does anything it likes,' he said. 'It goes in any direction at any speed, forward or backward in time, however it likes, and then you add up the amplitudes and it gives you the wave-function.' I said to him, 'You're crazy.' But he wasn't.斗胆翻译一下,就是说,费曼告诉我“一个电子会做它想做的任何事情,它以它喜欢的任何方式出现在空间的任何角落,以任何一种速度往任何一个方向移动,走遍任何可能的一条路径。你把所有的这些可能的幅度都求和,得到的就是电子的波函数。”我对他说“你疯了吧!” 然而他没有。
在这种诠释下,其实根本不存在什么运动路径,无论听起来多么荒谬,这确是在量子层次上理解自然界的结论。这里的电子当然也可以换成费马原理里的光子,那么同样的,光子也可以走任意一条路径,那么为什么在经典情形下,我们依然可以觉得光子是沿着某种确定路径传播的呢?这就要搬出费曼的第二段话了,而且它自动在这个随心所欲的光子的假设下论证了费马原理,
(来自于费曼物理学讲义第二卷第19章)
You remember that the way light chose the shortest time was this: If it went on a path that took a different amount of time, it would arrive at a different phase. And the total amplitude at some point is the sum of contributions of amplitude for all the different ways the light can arrive. All the paths that give wildly different phases don’t add up to anything. But if you can find a whole sequence of paths which have phases almost all the same, then the little contributions will add up and you get a reasonable total amplitude to arrive. The important path becomes the one for which there are many nearby paths which give the same phase.(注意光程等于路程乘以折射率,因而正比于光传播的实验室参考系的时间,对于特定频率的光来说就决定了最终的相位和初始的相位之间的关系)也就是说,光确实是走了空间中所有可能的路径,只是那些不处于“光程一阶变分为0”的路径上的光,在达到了我们接收的点时,因为相位不同而互相抵消掉最终没有任何贡献,只有处于“光程一阶变分为0”附近的路径上的光线到达的时候具有的相位接近,才能累积出贡献。