设级数与的n项部分和分部是与,由上述不等式,有 若级数收敛,根据定理1,数列有上界,从而数列也有上界,再根据定理1,级数收敛. 若级数发散,根据定理1,数列无上界,从而数列也无上界,再根据定理1,级数发散. 推论 有两个正项级数与,且1)若级数收敛,且,则级数也收敛; 2)若级数发散,且,则级数也发散. 证明 1)若级数收敛,且,由已知条件,,有或,即,有,根据定理2,级数也收敛.2)若级数发散,且,由已知条件,,有或,即,有,根据定理2,级数也发散.若级数发散,且,由已知条件,有,即,有,根据定理2,级数也发散. 从比较判别法的内容,我们可以得出以下几点启示: (1)比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断; (2)比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数. (3)要证明某一个级数收敛,需要找一个通项比大的收敛的整形级数,即,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大; (4)要证明某一个级数发散,需要找一个通项比小的发散的正项级数,即,也就是需要将所求的级数通项缩小. 比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法:只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论.常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-级数,因此,正项级数比较判别法的关键是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项. 3.2.2 活用比较判别法 (1) 当所求级数的通项中出现关于n的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数. 例1 判别级数的敛散性. 分析: 考虑通项,分子的最高幂是0(只有常数1 ),分母的最高幂是2,这时通项接近,原级数也接近于级数,这是的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛. 事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是,至多差一个系数. 解: 因为(分母缩小,分数放大),又由于收敛.则由此比较判别法,原级数也收敛. 例2 判别级数的敛散性. 分析: 考虑通项,分子n的最高幂是1,分母n的最高幂是4,这时通项接近,原级数也接近于级数,这是的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛. 解: 因为(分子放大,分数放大),又由于收敛,则由比较判别法,原级数也收敛. 例3 判别级数的敛散性. 分析: 考虑通项,分子n的最高幂是