一、三角形内角平分线定理的多种证明方法 已知,如图 1,AM 为ABC 的角平分线,求证 AB/AC=MB/MC 方法一:(面积法) 证明:三角形 ABM 面积 S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形 ACM 面积 S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形 ABM 面积 S:三角形 ACM 面积 S=AB:AC 又三角形 ABM 和三角形 ACM 是等高三角形,面积的比等于底的比, 即三角形 ABM 面积 S:三角形 ACM 面积 S=BM:CM,所以 AB/AC=MB/MC 方法二(相似形) 证明:如图 2,过C作CN 平行于 AB 交AM 的延长线于 N 三角形 ABM 相似三角形 NCM, AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC,所以 AC=CN,所以 AB/AC=MB/MC 方法三(相似形) 证明:如图 3,过M作MN 平行于 AB 交AC 于N,可得三角形 ABC 相似三角形 NMC, 故AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC, 又可证明∠CAM=∠AMN 所以 AN=MN,所以 AB/AC=AN/NC , 所以 AB/AC=MB/MC 如图 3 方法四(正弦定理) 证明:如图 4,作三角形的外接圆,AM 交圆于 D, 由正弦定理,得: AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以 AB/AC=MB/MC 如图 2 如图 1 如图 4 二、三角形内角平分线定理的应用 阅读下面材料,按要求完成后面作业。 三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。 已知:如图 1,ABC 中,AD 是角平分线, 求证: = 。 分析:要证 = ,一般只要证 BD、DC 与AB、AC 或BD、AB 与DC、AC 所在的三角形相似,现在 B、D、 C 在一条直线,ABD 与ADC 不相似,需要考虑用别的方法换比。在比例式 = 中,AC 恰好是 BD、 DC、AB 的第四比例项,所以考
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菏泽市初中数学优质课 教学设计 单位:登禹中学 任教科目:数学 姓名:李松松 Tel: 15865150980 §1. 4.1 角平分线 授课教师:登禹中学 李松松 教材: 北师大版义务教育课程标准实验教科书 八年级 下册 一、教材分析 1.教材的地位与作用 本节课是北师版八年级下策第一章《三角形的证明》的第四节第一课时的内容,主要探讨了角平 分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用,本节是继七年级上册角平分线的定义和七年级下册角平 分线的性质探索之后,更进一步地用严谨的数学语言推理论证角平分线的性质定理及逆定理. 角平分线的有关证明是在垂直平分线的有关证明之后,一方面是证明方法和严谨的思维的延续, 另一方面也为后续的学习打下了坚实的基础,从更广泛的意义的层面上讲,三角形的证明为后期平行四 边形的有关证明做了前期的准备. 2.教学目标: 知识技能:理解并掌握角平分线的性质定理及其逆命题的证明方法和简单应用. 数学思考:文字语言描述的几何学命题如何证明. 解决问题:尝试用推理的方法论证,通过共同讨论规范书写格式. 情感态度:培养学生严谨思维的能力,培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识,感受数学的 规范和美. 3.教学重点、难点: 重点:角平分线的性质定理及逆定理的证明. 难点:证明中的基本步骤. 4.教材处理: 首先,我把本节课定为定理证明课。因此,在教学目标的设定上也遵循了证明为主、探索和应用为 辅的原则,让学生用更多的时间考虑几何证明的方法、感受几何证明的严谨和尝试规范的书写. 其次,我将按照新课程标准的要求,把知识的探索归纳放给学生,老师只做引导工作,在学生遇到 困难时及时帮助学生,让学生真正参与课堂,给学生充分的时间与空间,动手实验,动脑思考.力图构 建学生主动探索、获取知识的平台,使学生真正成为实践的探索者、知识的构建者、愉快的收获者. 再次,我会借助多媒体课件更加清晰地展示一些重要的图形和优美的证明过程. 二.教学方法与手段 本节课在教法上体现教师的“启发引导”,帮助学生实现认识上与态度上的跨越;在学法上突出学 生的“探索发现”,在教学过程中立足于让学生自己去观察、去发现、去创造.利用多媒体展示、老师示 范证明,增强教学的直观性、实效性. 1 三.教学过程 (一)课堂流程图 温故知新 推理论证 总结提升 反思训练 讨论展示 知识应用
角平分线定理 角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个 相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。 三角形的角平分线定义:三角形顶点到其内角的角平分线交对边的 点连的一条线段,叫三角形的角平分线。 【注】三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。角的平分线是射 线。 拓展:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的 距离相等!(即内心)。 定理 1:在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 逆定理:在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相 等的点在这个角的角平分线上。 定理 2: 三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两 邻边对应成比例, 如:在ABC 中,BD 平分∠ABC,则AD:DC=AB:BC 提供四种证明方法: 已知,如图,AM 为ABC 的角平分线,求证 AB/AC=MB/MC 已知和证明 1 图 证明:方法 1:(面积法) SABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, SACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴SABM:SACM=AB:AC 又ABM 和ACM 是等高三角形,面积的比等于底的比, 证明 2 图 即三角形 ABM 面积 S:三角形 ACM 面积 S=BM:CM ∴AB/AC=MB/MC 方法 2(相似形) 过C作CN‖AB 交AM 的延长线于 N 则ABM∽NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB/AC=MB/MC 证明 3 图 方法 3(相似形) 过M作MN‖AB 交AC 于N则ABC∽NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB/AC=MB/MC 方法 4(正弦定理) 作三角形的外接圆,AM 交圆于 D, 由正弦定理,得, 证明 4 图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, ∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180° sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB/AC=MB/MC
角平分线定理 目录 角平分线的定义 提供四种证明方法: 编辑本段角平分线的定义 角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两 个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。 三角形的角平分线定义:三角形顶点到其内角的角平分线交对边的 点连的一条线段,叫三角形的角平分线。 【注】三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。角的平分线是射 线。 拓展:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离 相等!(即内心)。 定理 1:在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 逆定理:在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相 等的点在这个角的角平分线上。 定理 2:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两 邻边对应成比例, 如:在ABC 中,BD 平分∠ABC,则AD:DC=AB:BC 编辑本段提供四种证明方法: 已知,如图,AM 为ABC 的角平分线,求证 AB/AC=MB/MC 已知和证明 1 图 证明:方法 1:(面积法) SABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, SACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴SABM:SACM=AB:AC 又ABM 和ACM 是等高三角形,面积的比等于底的比, 证明 2 图 即三角形 ABM 面积 S:三角形 ACM 面积 S=BM:CM ∴AB/AC=MB/MC 方法 2(相似形) 过C作CN‖AB 交AM 的延长线于 N 则ABM∽NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB/AC=MB/MC 证明 3 图 方法 3(相似形) 过M作MN‖AB 交AC 于N则ABC∽NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB/AC=MB/MC 方法 4(正弦定理) 作三角形的外接圆,AM 交圆于 D, 由正弦定理,得, 证明 4 图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, ∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180° sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB/AC=MB/MC
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12.3 角的平分线的性质(第2课时) 教学目标: 知识与技能: 1、掌握角平分线判定定理的内容、证明及应用 2、会运用角平分线判定定理证明一射线是角的平分线,并且能判断一个点在一个角的 平分线上。 过程与方法: 让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论。 情感、态度、价值观: 1、培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验, 2、培养学生团结合作精神 教学重点:角平分线判定定理的运用 教学难点:角平分线判定定理的证明 教学过程: 一、复习 1、角的平分线性质定理的内容是什么?其中题设、 结论是什么? 2、角平分线性质定理的作用是证明什么? 3、填空 如图: ∵OC 平分∠AOB, ∴AC=BC(角平分线性质定理) O A C B 二、新课 1、逆向思维探求角平分线的判定定理 问:把角平分线性质定理的题设、结论交换后,得出什么命题?它正确?如何证明? 指出:以上问题是我们今天所要解决的重点。 2、证明上面提问得出的猜想: 如果一个点到角的两边的距离相等,那么这个点在角的平分线上。 已知:PD⊥OA 于D,PE⊥OB 于E,PD=PE A 求证:点P在∠AOB 的平分线上 D 分析: ∠AOP=∠BOP C 直角DOP≌直角EOP (PD⊥OA,PE⊥OB) O E P B PD=PE PO=PO 证明: (学生板书) 3、引导学生得出角平分线判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 4、理解角平分线是到角的两边距离相等的点的集合 (1)角平分线上任意一点到角的两边的距离都相等(即在角平分线上找不到一个到 角的两边的距离不相等的点) (2)在角的内部,到角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上。 (即在角的内部 找不到一个到角两边距离相等,而不在角的平分线上的点) 即:角平分线上的点是到角两边距离相等的点,或者说到角两边距离相等的点也是角 平分线上的点 由此得:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 3、定理的应用 (1)现有一条题目,两位同学分别用两种方法证明,问他们的做法正确?那一种方法 好? 已知: , CA⊥OA 于A,BC⊥OB 于B,AC=BC 求证: OC 平分∠AOB 证法 1:∵CA⊥OA,BC⊥OB ∴∠A=∠B A 在AOC
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实用标准文档 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号: 学员姓名: 年级:初二 辅导科目:数学 课时数:3 学科教师: 授课类型 授课日期时段 T 角平分线 C 专题精讲 教学内容 1. 角平分线的作法(尺规作图) ①以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,交OA、OB 于C、D 两点; ②分别以 C、D 为圆心,大于 CD 长为半径画弧,两弧交于点 P; ③过点 P 作射线 OP,射线 OP 即为所求. 2. 角平分线的性质及判定 (1)角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何表达:(角的平分线上的点到角的两边的距离相等) 如图所示,∵OP 平分∠MON(∠1=∠2), PA⊥OM, PB⊥ON, ∴PA=PB。 (2)角平分线的判定:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 几何表达:(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.) 如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB, ∴∠1=∠2(OP 平分∠MON) (3)三角形三个内角平分线的性质:三角形三条内角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等。 3. 角平分线性质及判定的应用 文案大全 实用标准文档 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路; ②实际生活中的应用. 例:一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且到河上公路桥头的距离为 300 米.在 下图中标出工厂的位置,并说明理由. 【例题讲解】 1.在ABC 中,AC⊥BC,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB,AB=7 ㎝,AC=3 ㎝,求BE 的长。 A E C D B 2.如图:在ABC 中,∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于E,F 在AC 上,BD=DF; 求证:CF=EB A F E C D B 3.如图,P 为∠AOB 内一点,OA=OB,且OPA 与OPB 面积相等,求证∠AOP=∠BOP. 文案大全 实用标准文档 4.如图,AB=AC,AD=AE,BD、CE 交于 O,求证 AO 平分∠BAC. 【同步练习】 1.在RtABC 中,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于E,则: ⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢? ⑵哪条线段与 DE 相等?为什么? ⑶若AB=10,BC=8,AC=6, 求BE,