用待定系数法求an=Aan-1+B型数列通项
例:数列{an}满足a1=1且an+1+2an=1,求其通项公式。
解:由已知,an+1+2an=1,即an=-2 an—1+1
令an+x=-2(an-1+x),则an=-2 an-1-3x,于是-3x=1,故x=-13
∴ an-13 =-2(an-1-13 )
故{ an-13 }是公比q为-2,首项为an-13 =23 的等比数列
∴an-13 =23 (-2)n-1=1-(-2)n3
评注:一般地,当A≠1时令an+x=A(an-1+x)有an=A an-1+(A-1)x,则有
(A-1)x=B知x=BA-1 ,从而an+BA-1 =A(an-1+BA-1 ),于是数列{an+BA-1 }是首项为a1+BA-1 、公比为A的等比数列,故an+BA-1 =(a1+BA-1 )An-1,从而
an=(a1+BA-1 )An-1-BA-1 ;特别地,当A=0时{an}为等差数列;当A≠0,B=0时,数列{an}为等比数列。
推广:对于an=A an-1+f(n)(A≠0且A∈R)型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。
例:数列{an}满足a1=1且an=2an-1+13n(n≥2),求an。
解:令an+x•13n=2(an+x•13n-1)则an=2an-1+ 2x•13n-1-x•13n=53 x•13n-1=5x•13n
而由已知an=2an-1+13n故5x=1,则x=15 。故an+15 •13n=2(an-1+15 •13n-1)
从而{an+15 •13n}是公比为q=2、首项为a1+15 •13=1615 的等比数列。
于是an+15 •13n=1615 ×2n-1,则an=1615 ×2n-1-15 •13n=115 (2n+3-13n-1)
评注:一般情况,对条件an=Aan-1+f(n)而言,可设an+g(n)=A[an-1+g(n-1)],则有Ag(n-1)-g(n)=f(n),从而只要求出函数g(n)就可使数列{ an+g(n)}为等比数列,再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g(n)与an-1+g(n-1)中的对应关系。特别地,当f(n)=B(B为常数)时,就是前面叙述的例8型。
这种做法能否进一步推广呢?对于an=f(n)an-1+g(n)型数列可否用待定系数法求通项公式呢?
我们姑且类比做点尝试:令an+k(n)=f(n)[an-1+k(n-1)],展开得到
an =f(n)an-1+f(n)k(n-1)-k(n),从而f(n)k(n-1)-k(n)= g(n),理论上讲,通过这个等式k(n)可以确定出来,但实际操作上,k(n)未必能轻易确定出来,请看下题:
数列{an}满足a1=1且an=n2nan-1+1n+1 ,求其通项公式。
在这种做法下得到n2nk(n-1)-k(n)=1n+1 ,显然,目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k(n)来。
通过Sn求an
例10:数列{an}满足an =5Sn-3,求an。
解:令n=1,有a1=5an-3,∴a1=34 。由于an =5Sn-3………①
则 an-1 =5 Sn-1-3………②
①-②得到an-an-1=5(Sn-Sn-1) ∴an-an-1 =5an
故an=-1 4 an-1,则{an}是公比为q=-14 、首项an=34 的等比数列,则an=34 (-14 )n-1
评注:递推关系中含有Sn,通常是用Sn和an的关系an=Sn-Sn-1(n≥2)来求通项公式,具体来说有两类:一是通过an=Sn-Sn-1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系,再根据新的递推关系求出通项公式;二是通过an=Sn-Sn-1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n-1项和的关系,再根据新的递推关系求出通项公式