本次教学活动我个人的教学 思路是以教学目标的确定、教学方法的选择、教学 过程的设计为主. 2 教学目标的确定 按照普通高中数学课程新课标要求,结合课本中的这个问题,我个人拟定了以下几个该问题的教学目标: (1) 通过解决课本上这个问题,使学生更进一步理解等可能事件发生的等可能性,从而掌握求等可能事件的概率. (2) 课本上这个问题正是概率论中二项分布的一个特例.因为问题中的概率正好是(r=0,1,2, …,n),所以研究课本上这个问题有利于学生对研究概率论中的二项分布有着重要意义. (3) 课本上这个问题是与二项式系数有关,而二项式系数是一组特定的组合数,所以研究课本上这个问题有利于学生进一步认识组合数很有作用. (4)由杨辉三角演变成课本上这个问题或由课本上这个问题还原成杨辉三角,使学生进一步掌握了数形结合以及变换与转化的数学思想和方法. (5) 回答课本上这个问题,有利于培养学生分析问题和解决问题的数学能力. (6)解决课本上这个问题使学生掌握了化抽象为具体,由特殊到一般的数学思维和方法,同时,可以培养学生归纳总结和猜想的数学思维. 3 教学方法的选择 问题需要解决的是弹子数的分配,如何分配弹子数是本节课教学的主要任务,本节课教学的重点和难点是让学生知道每个弹子每过一个竖直通道向左或向右的可能性是一样;让学生会算每个弹子每过一层竖直通道的概率是多少,教学上只要突破这两点,弹子数如何分配是学生顺理成章的事.要突破刚才提到的两点,我个人认为教学方法上需要做到以下几点:首先,引入例题,将问题变简单化、具体化、特殊化,设法使学生从引入例题中受到启发,促使学生想到解决问题的思路,找到解决问题的途径.同时,引入例题是将问题难度降低,便于消除学生一看见问题中通道密密麻麻就产生畏惧心理,从而增强学生信心,提高学生解决问题的兴趣. 其次,从引入例题的教学过程设计入口,设法将问题由简单慢慢引伸拓展,不自然而然引出课本上这个问题该怎么解.例题教学注重启发式教学.教师问,学生答;教师提示,学生完成..例题教学设计时,充分发挥学生探究能力,使学生从管道层数少的特殊路径(第3,4,5层)慢慢探究到管道层数多的一般路径(第n和n+1层); 化抽象为具体,使学生从管道层数少的具体路径(第3,4,5层)慢慢探究到管道层数多的抽象路径(第n和n+1层),计算概率也同样如此. 总之,解决问题整个过程始终遵循由特殊到一般的规律,学生考虑问题的思维用到由特殊到一般的数学思维. 不论从特殊路径走到一般路径还是从具体路径走到抽象路径,充分发挥学生课堂上主体作用.数路径,算总路径,求概率,无一不是学生自己完成,使学生真正体验了组合数在解决问题的整个过程中确实发挥着重要作用.用组合数表示路径,用二项式系数之和表示总路径,学生归纳总结和猜想出规律,用规律解决问题.当然了学生用杨辉三角的递推关系归纳总结和猜想,自然少不了用二项式系数的性质加以验证. 最后,指导学生互化杨辉三角和课本上这个问题,即由杨辉三角如何演变成课本上这个问题或由课本上这个问题如何还原成杨辉三角,使学生彻底揭穿课本上这个问题真正原形是杨辉三角.为了巩固和应用,最后补充了一道题. 4 教学过程的设计 4.1引入例题 如图1所示,有一从O往下依次分支的管道,1球从管道的入口O落入管道,试分别计算从管道的出口A、B、C、D脱出的概率.(已知在管道的分叉处,球以相同的概率落入每一分支) 图1 解 因为球落入第4层第1个竖直通道的路径只有1条,落入第4层第2个竖直通道的路径有3条,第3个有3条,第4个有1条. 所以所求概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=; 回顾上题,我们不难发现该题的解题思路是:先数各个竖直通道的路径,然后求出总路径,最后求出等可能事件概率.考虑到本文提出的问题和这时候引入的例题之间有着从特殊到一般的关系,我又将该题的教学过程重新设计.具体做法: 4.2数路径 教师先让学生数第4层各通道的路径,学生数得:1,3,3,1;教师减少1层,学生数得:1,2,1;教师又增加1层,学生数得:1,4,6,4,1.照这样下去,师问:第n层各通道的路径怎么数? 学生一时无法数.怎么办?教师打算请学生把刚才数到的数改用组合数表示. 师问:刚才数到第4层的路径1,3,3,1,换用组合数怎么表示? 刚开始学生不是很顺利就能写出1= C,3= C,3= C,1= C,而是教师提示组合数与第几层第几个通道有关以后学生才顺利写得出以上组合数. 紧接着学生又把第5层数到的路径1,4,6,4,1也用组合数表示. 学生表示1= C,4= C,6= C,4= C,1= C. 师:照这样下去,第n层第m个通道的组合数该怎么表示? 学生答:第n层第m个通道组合数记为C. 顺水推舟,教师让学生表示第n+1层各通道的组合数,学生表示为C,C,C,…,C.(1) 师:大家想想,刚才让大家数路径对问题究竟有何用? 学生想:肯定有用.假若路径不数,那么球通过各层通道的概率怎么求呢?再说路径数不清,直接影响到求概率,影响到计算分配球数,所以前边数路径是为后边计算分配球数作准备. 学生总算把各层通道路径数清楚了,下边做什么呢?当然是集中考虑求各层通道的概率. 4.3求概率 师:怎么求上题中第4层各通道的概率?少1层和多1层的概率又该怎么求? 学生求得:P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=;少1层的概率为,,;多1层的概率为,,,. 师:以上求概率时你们是如何算得第3、第4、第5各层通道的路径总数?从上面求路径总数你们有没有发现什么规律?第n+1层各通道的路径总数又该怎么算呢? 学生通过算第3、第4、第5各层通道的路径总数为4、8、16,总结出算路径总数有规律:路径总数为二项式系数之和.从而学生回答第n+1层各通道的路径总数为C+C+C+…+C+…+C+ C =2.(2)(这里,假如有学生忘了二项式系数之和怎么求?教师不妨再给学生复习这个关系式是如何推出来.) 师:既然大家已经把各层通道的路径会数了,也会求各层通道的路径总数,那么,请大家结合以上求出的式子(1)和(2),计算出第n+1层各通道的概率. 学生算出概率:,,,…,.(3) 师:虽然引入的例题只提到1个球,不过这1个球使我们完完全全搞懂了球通过各层通道的可能性是一样,使我们彻彻底底明白了这1个球通过各层通道的概率.本文提出的问题虽然提到了2颗弹子,不过我们考虑这2颗弹子中的每个弹子与引入例题中的1个球通过各层通道的可能性还是一样,所以按照以上所求出第n+1层各通道的概率(3),我们可以计算这2颗弹子通过各层通道时是怎么分配?水到渠成,学生计算出所有弹子通过各层通道时分配数分别是C,C,C,…,C,…,C, C. 4.4验证 以上学生表示第n+1层各通道的组合数分别为C,C,C,…,C.学生之所以这样表示,是因为学生通过归纳总结和猜想,正确与否还得让学生验证. 教师先让学生仔细观察杨辉三角的图形(图2),使学生发现其中有这样一个有趣的数字排列规律存在:从杨辉三角图中一个确定的数开始(例如10),根据杨辉三角的基本性质,它是它左右肩上的两数之和(10=4+6);然后把左肩固定,而考虑右肩,它又是它左右肩上的两数的和(6=3+3).这样进行下去,总是把左肩固定,而对右肩运用这一规则,我们便可以得出:杨辉三角中,从一个数的“左肩”出发,向右上方作一条和左斜边平行的直线,位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是:10=4+6=4+(3+3)=4+[3+(2+1)],即1+2+3+4=10. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 图2 将上面的规律推广,我们可以得到:在杨辉三角中,第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和,等于第m+1条斜线上的第n个数.根据这一性质,教师请学生猜想下列数列的前n项和: 1+1+1+…+1=;1+2+3+…+=;1+3+6+…+=;1+4+10+…+=; 一般有+++…+=(n>r).学生用杨辉三角最基本性质 =+来证: +++…+ =+++…+ =++…+ =… =+ =. 由杨辉三角可知,三角形的两条斜边都是数字1,其余的数都等于它肩上的两个数字相加,通过以上验证,学生猜想是对的,第n+1层各通道的组合数表示为C,C,C,…,C也对. 4.5变形 联想杨辉三角,把课本上问题中各层通道的路径写成如下形状(图3),发现它正好是杨辉三角,这是课本上问题还原成纯数学的“杨辉三角”;反之,给杨辉三角的数字“配上”管道(图4),它又变成课本上问题. 入口 第一层 第二层 第 三层 第二 第四层 通道 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …… 1 CC… C C…C 1 1 C C … C … C 1 图3 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 C C … C … C 1 图4 问题的应用 为了巩固课本上的这个问题,教师补充了下一个题: 下图所示是在竖直平面内的一个“通道游戏”. 图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相通,若竖直线段有一条的为第一层,有二条的为第二层,依此类推,现有一颗小弹子从第1层的通道里向下运动.求: 该小弹子落入第4层第2个竖直通道的概率(从左向右数); (2)猜想落入第n+1层的第m个通道里的概率; (3)该小弹子落入第n层第m-1个竖直通道的路径数与该小弹子落入第n层第m个竖直通道的路径之和等于多少? (假设在交点处小弹子向左或向右是等可能的) 答案:(1)因为在交点处小弹子向左或向右是等可能的. 所以小弹子落入第4层第1个竖直通道的路径只有1 条,落入第4层第2个竖直通道的路径有3条,第3个有3条,第4个有1条. 所以所求概率P==. (2)利用杨辉三角的特点可猜想所求的概率P==. (3)因为+=,所以该小弹子落入第n层第m-1个竖直通道的路径数与该小弹子落入第n层第m个竖直通道的路径数之和等于该小弹子落入第n+1层第m个竖直通道的路径数. 5 O A B C D