【证法11】(利用切割线定理证明)在 RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得AC²=AExAD=(AB+BE)(AB-BD) =(c+a)(c-a)= c²-a²,即b²=c²-a²,∴ a²+b²=c².
【证法12】(利用多列米定理证明)在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c(如图). 过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有ABxDC=ADxBC+ACxBD,∵ AB = DC = c,AD = BC = a, AC = BD = b,∴ AB²=BC²+AC²,即 c²=a²+b².
【证法13】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF) = CE+CD= r + r = 2r,即 a+b-c=2r,∴ a+b=2r+c.∴(a+b)²=(2r+c)²即a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²∵ S△ABE=1/2ab,∴ 2ab=4S△ABE,又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r =1/2(2r+c+c)r=r²+rc,∴4(r²+rc)=4S△ABC,∴4(r²+rc= 2ab∴a²+b²+2ab=2ab+c², ∴ a²+b²=c².
【证法14】(利用反证法证明)如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.假设a²+b²不等于c².,即假设 AC²+BC²不等于AB²,则由 AB²=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD22可知 AC²不等于ABxAD,或者 BC²不等于ABxBD. 即 AD:AC≠AC:AB,或者 BD:BC≠BC:AB.在ΔADC和ΔACB中,∵ ∠A = ∠A, ∴ 若 AD:AC≠AC:AB,则∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中,∵ ∠B = ∠B,∴ 若BD:BC≠BC:AB,则 ∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90o,∴ ∠ADC≠90o,∠CDB≠90o.这与作法CD⊥AB矛盾. 所以,AC²+BC²=AB²的假设不能成立.∴ a²+b²=c²
【证法15】(辛卜松证明)设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD(a+b)=a²+b²+2ab;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分,则正方形ABCD的面积为∴ (a+b)²=4x1/2ab+c²=2ab+c²,∴ a²+b²+2ab=2ab+c². ∴a²+b²=c².
【证法16】(陈杰证明)设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). 在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC,则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a, ∴(b+a) DM = EM―ED = (b+a)―a = b. 又∵ ∠CMD = 90o,CM = a, ∠AED = 90o, AE = b, ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o, M∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o,∴ ∠ADC = 90o.∴ 作AB∥DC,CB∥DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o,∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB,在ΔABF和ΔADE中,∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE,∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90o,BF = DE = a.∴ 点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中,∵ AB = BC = c,BF = CG = a,∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG . ∵c²=S₂+S₃+S₄+S₅ b²=S₁+S₂+S₆ a²=S₃+S₇ S₁=S₅=S₄=S₆+S₇, ∴a²+b²=S₃+S₇+S₁+S₂+S₆ =S₂+S₃+S₁+(S₆+S₇) =S₂+S₃+S₄+S₅ =c²∴ a²+b²=c².