作幺正变换D=e2(H^+凰)。pe一2∽A+tl c)‘ ,于是主方程变成Ot(e-‘ etp)=一ie。c‘ 瞄(t),纠 (4.2)其中岛(t)=g[b(t)a+exp(i 6t)+^E】,西(t)=exp(i HAt)Dexp(一i HAt),D=Aol +A02,我们引入算符x) ( =e-Ectp根据方程(4.2),可证明x满足如下的方程(4.3)戈(t)=-i ge“ ‘ a+,D(t))((t)∥ 。+fo,x(t)D+(f)]e_讯一i ge“ 【D(t),x(t)n+e讹+[西+(t),nx(￡)]e圳2 (4.4)由于g是小量,利用Born.Markov近似,即x( t) 2 Pc(o)以(t),虮x(t)! 以(￡) (4.5)在方程(4.4)中对腔场求迹就得到原子约化密度算符以的主方程,它具有下面的形式Po。;A(￡)=一92f{e一‘ 8+讨’ 7[D+(t)D(t-r)pA(￡)一b(t—r)卢A(￡)D+o)]十九.c.)drJ 0(4.6) 最后,作逆变换把原子密度算符加变回原来绘景中的肌,再把原子自发发射项白p加回去,就得到原子约化密度算符纵的主方程为卢=一i [H^,p]十要(Dps++SpD+一D+Sp—pS+D)+;(2A。IpAl。一pAll一Anp)+;(2A。2pA2。一pA22一A22p)(4.7)其中1。=292/K代衷原予与腔模之削的耦台。S=一/ e-{“ +25) 7D( 一r) dr=B0400+口l J 411+J %A22+BaAto+B4Am+魄A20+风A02+B742l +BsAl 2(4.8)其中系数日(2=0,1,⋯,8)为口oBlB2B3且风B6B1风一27J ,rl e(1+f)一he(1一E、一4q2E(2(1+f)/24q2fE2f1—012-ti e( 1+E)-ti e(1一e)一8"3叩(1一E2)/2∞(1一f2)/e一2町2(1一E)2叩2(1十E)一2矿(1+￡)2矿(1一E)” (1+E)2/2q(1一e)2/2其中,扣)=百币牟丽j =冗(nf2T)一江(nQr),¨ =是,E=器还有噶=;、/霹—丽是约化Rabi频率。方程( 4.7) 的第一项代表原子的相干演化.第二项代表原子与腔模之阳J 的耦合,剩下的项代表真空库对原子的影响。我们可以得到原子算符的运动方/{o)f( -1)f(1)/(-2),(2)(4肛胆0,0,胆胆,,+一一}00矿一一0卜n卜一+郇哪嘲冲嘲砰郇哪0∽m。沪㈡02一斗EE2E一卜带” 卅坼h卅⋯小” o州邓。印一砸唧州。却娜婶婶婶婶oo ⑧硕士学位论文MASTER’ S T}IESIS程为Ao=一;(7一i w21)p1_o+i n(Pl l —Poo+P12)一萼[BoPoo—Bl (p11+P12)一B3(P01+P02)+B4Pi o 4-B6P20—B8(p21+p々2)]出o=-E‘ ( ,y4-i w2z) pl o+1Q( p22一Poo+P21)一等[BoPoo—B2(/02l 4-P22)一Bs(pol +P02)+B4mo 4-B6p20—B7(/0tt+/01-2)1k2i =一( ,y4-ia;21)p21一ia(/001一P20)一軎[Bo/00l+磁p20+B4pl t 4-域P2t4-B6p2i +B;加2】卢ll=一“ /Pti 一2n(p01一/010)一(BoP01+琊pl o4- B4pt l 4-联Pi t+B6p2t 4-B;p12)p22=--7/022一i Q( p02一P20) 一( BoP02+Bj p20+B4pm 4-日:p2l 4-尽6p22+联P22),(4.10a)(4,10b)(4。10c)(4,10d)(4,10e)从此方程中我们可看出原子与腔场之间的耦合导致了量子干涉项的出现,如方程( 4.10a) 中的一BsP20,这些项与此V型三能级原子两偶极矩不正交时由自发发射诱导产生的量子干涉项非常相似,我们可以看出这些项均正比于原子与腔场之间的耦合强度%,我们希望这些项能导致共振荧光谱的压缩增强。§ 4.2 共振荧光谱的压缩增强共振荧光相振幅中的压缩效应是一个有意义的课题,它在通讯、高精度测量和原子光谱中都有广泛的应用。理论研究表明,一个二能级原子的共振荧光的一个相振幅能够被压缩到真空极限以下f17,181,这个效应同时也得到了试验的证实【19] o原子与腔相互耦合系统中的压缩效应也得到了广泛的研究,Nha[20]研究了库对原子一腔耦合系统中压缩效应的影响,在传统观点中,由于库的作用会导致系统的退相干,从而导致压缩减弱。但他的研究31 结果表明,在一定的条件下,库对压缩起支持的作用。Zhou和Swai .[21]tt算了坏腔近似下由一个相干场驱动的原子一腔弱耦合系统中共振荧光谱的相振幅,他们发现适当调节腔的频率,压缩会大大增强或间弱。Gao等人f221研究了V型三能级原子和^型的四能级原子中自发发射诱导的量子干涉对共振荧光压缩谱的影响,他们发现量子干涉会大大增强相振幅中的压缩效应。最近,Fi cek和Swai n[29]提出了一个方案在两电偶极矩互相垂直的v型三能级原子中模拟量子干涉,他们同时发现这个系统能够实现可观的压缩。前面我们介绍了一个由相干场驱动的原子一腔耦合模型,这个模型最初被Peng等人f231用来研究原子布屠、共振荧光谱及吸收谱。结果表明在适当的条件下会有超窄谱线出现,而我们知道超窄谱线的出现往往是与压缩效应相关联的。我们想研究的问题是,这样一个模型是否能表现出压缩效应?如果答案是肯定的话,那么腔诱导量子干涉能否导致压缩增强?定义E(+)(r,t)和E(一】(r,t)分别为荧光场的正频分量和负频分量,再引入一个缓慢变化的电场算符,其相位为p.杰口(r,t)=;【立(上.(r,￡)e‘ (uc件日)+宜(一1(r,t)e—t¨ c抖∞】=宜1(r,t)cos口+它2(r,t)si nP (4.11)其中宜1(r,t)和宜2(r,∞分别为荧光场相对于相干驱动场的i n—phase振幅和out.of-phase振幅。电d r,t)的『F规变化为(:【AE。(r,t)]2:)=(:立。(r,t),壹。(r,t):)=(去)2￡如z妣￡奶奶沙巾“ 1)+∽“ _圳吼也(州A或(叫z)(4.1 ⑧硕士学位论文MASTER’ S T}IESIS其中(A,色)=(A.宜)一(A).(色),于是时间正规算符.它定义为于(:宜日(r,ti),杰口(r,如):)=÷ 【(自圹’ (r,t1),丘扩’ (r,f2))e4¨ c(‘ t+∽+2研e01一t2)+(宜5+’ (r,t2),宜;+’ (r,t1))e2¨ c(tl+t2)+2“ e(t2一t1)+(亩圹1(r,ta),宜5一’ (r,t2))e一2pc(tl+t2)+"]e(t2一ti)+(宜5_(r,t2),宜纩’ (Lti))e1¨ 。(‘ 1+“ )+2810(t1一t2)+(壶5-’ r,ti),宜5+’ r,t2))e曲z(t2-t1)十(壶5~’ (r,t2),杰}+’ (r,t1))e“ 。(tl-t。)】 (4.13)在稳态F,方程( 4.12) 可表不为¨ 墙(r)】2)=去仁幽仁舭⋯巩魄氓讯⋯))(414)压缩谱定义为[28】:s(叫,口):2去/_。。dr∥ ” 于(:晰,t),宜口(r,t+r):)(4· 15)在辐射区域,原子发射荧光的正频部分具有如下的形式E圹’ (r,t)=一去p;n× (n× 弘o。)A010—r/c)+u;n× (n× #02)A02(￡一r/c)]e一4“ L(‘ ~’ /。’ (4.16)其中n是观察方向的单位矢量,假定wl ≈u2并且n垂直于原子偶极矩加1和Ⅳ02上式可以被重新写成E}+’ (r,f)=,(r)[“ olAol(旬+#02A02(≠ )]e一“ c‘ (4.17)其中,(r)=u}/c2 rl f=t—r/c。将方程(4 17)代入方程(4.13),我们得到于(:Eo(r,t),E8(r,t+下):)=;弘2,2(r)Re{[(Aol(￡十下),A01(￡))+(A02if+下),A∞(￡))十p((Aol (f+r),A02(≠ ))+(402(≠ +丁),A 01(f)))Je24(。+。c’ /。’+(Al o(t+r),Aoi (f))十(A20(￡+r),A02(≠ ))+p((Am(i +r),.402(f))十(A20(f+7.),Aol (幻))) (4.18)33 ⑧硕士学位论文MASTER’ S T}IESIS其中p度量原予两偶极矩之间的平行度,在我们的模型中,P=0。将(4.18)4弋入(4.15),并取e2“ oz, r/。=1,并用!等≯来度量压缩谱,我们就得到稳态下荧光场正规噪音谱的i n.phase振幅和out.of-phase振幅Sin(ouO(u)=Re仁dr舰州(△ ‰(t+帕‰㈣)+( AA20( t+r) AA02( t) ) -4-( AAol 0+r)× AAm( t) ) 士( AA02( t+T) AA02( t) ) ], (4.19)其中△ A=A一(A),双时关联函数l i m¨ o。(AA;o(饥】(t+r)AAo。(t))可利用量子回归定理从前面推导的光学Bl och方程得到。当S山。∞∞)<o时,荧光的相振幅就表现出压缩效应。如果相干场是一个强场,我们可以推导出荧光压缩谱的解析形式。首先我们把系统转换到修饰态表象中去,修饰态即原子与相干光场耦合系统的本征态,巩l Q)=k J o) 它具有如下的形式』o)=三【4qIo)一(1 4-E)f1)一(1一e)f2}]16)=E10)+2叩11)一2叩12)J c)=;[4qIo)+(1一E)11)+(1+E)j 2)], (4.20)相应的能量本征值分别为A。=一Q,,九=o*nx。=皿。由于相干场是强场,所以嚼》7,%。故我们可以应用Secul ar近似,此时修饰态布居的运动方程可以写成pnn=一(R。6+R。c)P。。+R。。P。。+R她胁6p妯=一(R6。+Rb。)Pbb+R6p。。+R∞Pa。pcc=一(月cn+R。6)m6+R。。pk。+Rb。Pod, (4.21) 其中R郇(o,p=Ⅱ,b,c)代表原子从上面一个修饰态子能级i 口)到下面一个修饰态子能级l 卢)的跃迁速率,它可以表示成冗抛=咒。。=;(1一e2)2民6=;(1+E2)f2+%E2n(fl,)R曲.=j(1+E2)E2+%E2冗(一n,)冗。。=i(1一一)+%4q2冗(29)R。。=j(1一E4)+7c4q2冗(一2Q,),(4.22)应用量子回归定理,定义这样一个列矢量Rt(t)=f(AA20(t)AAok(O)>,(AA02(t)AAo^(o)),(AA22(t)AAok(O)),(AAl o(t)△ Ao^(o)),(AAot(t)AAok(O)),(AAl l (t)△ ^o^(o)),(AA21(t)AAok(0)>,(AA。2(t)△ A。k(o))]r. (4.23)则t>0时fk( t) ( 女=1,2) 满足爰剐牡MRk(￡)(4.24)其中川是一个8X 8的矩阵,它的具体形式可以从光学Bl och方程中推导而得,对其进行Fouri er变换,当t_÷ 。。时,压缩谱可以表示成如下形式5:[。(。t)∞)=8Re∑‰(洳)燧(o)+吲一面)眉(o)J =1L4j (i w)用(0)+L4J (一i W)R{(o)L≈(i w)嗣(o)士L2,(一i ∽)弼(o)L5J (i u)R;(o)士L卸(一i 叫)R{(o)】, (4.25)其中砭(o)是R女(t)的初值,L幻(s)是矩阵￡(s)=(sl —M)一1的矩阵元,,是单位矩阵。 ⑧硕士学位论文MAS’ fER’ S TI-l ESIS经过复杂的计算,OU￡一of-phase振幅有4个峰,其中两个内峰为s01( 2) ( u) =其中Ref垡粤尝尝!孕丛生(!± !笠型堕L‘(8十r3n一{QR)b+r,一~瓶云T=_亍丐—一{,2土山继2昔罨嵩.辫-,.嚣w嵩等’ /坠-4k勰ze)r3。2j(一2E4+e2+3)+誓[4矿冗(o)+f2冗(珥)+4,72冗(2Q,)】,F36=j(一2一+E2+3)+鲁【4叩27己(o)+E27已(一Q,)+4矿冗(一2Q,)】,r4=一孔1一e2),r5=;(3+E4)+萼{16∞2冗(o)+E2限(Q,)十冗(一Q,)]+47/2限(2n,)+冗(一2D,)】),n32nr+考附丑o)十E2z㈨+4q2Z(21-2,)],吼=Qr+考[4叩2工(o)+(2z(一n,)+4r/2工(一2吼)],n522Qr十軎{E2陋(n,)一z(一Q,)]+4r/。【z(2Qr)一工(一2Q,)】}.f4.271它们位于眦4-珥。两个外峰为‰灿)地(燕fs=4-iw q一羔k。).(428)孳靠?分裂位于“ L± 2Qr从上面两个方程中我们可以看出在强场作用下。ut一堂“ aS。振竺.中不会产生压缩,正如我们所预料的一样。下面我们再来看i n—phase振幅,其中心峰为。鼠“ ∽划科再蒜学告丽k。。+两面丽2Nio(丽s)j丽b,。],(4-29)(s+r3。)(s+r36)=T瓦J8⋯J,【4‘ 29) 其中^k(s)=4772(2s+I’ 3。-/-r36一I"4一rs)pnⅡP“+2” 2(9,~1)(r4&。+Psp, , 。)黜+2叩2(9一+1)[(疗+r3。)卢c。+(s+r3b)Pa。]户抽(4.30)位于u=WL。i n—phase振幅的两个外峰具有如下形式‰灿)地(要罄毫Is=tiw熟k跏),(43· )位于uL士2珥,从公式上看来,这三个蜂也不会表现出压缩效应。最后让我们来看两个内峰,它们具有如下的形式Si 。t(2)(u)=剐坚塑≮舞等嚣餮墨鲁茅坠塑型k:一,(20+Fa, 一, -r4二垫独! 一一I.‘2[(s+F3。一i Cta)(s+r’ 3b一。n4)一I、;]” 22“. (8矿一e2)[8町2(s十r3。十r4+i fh)pbb—E2(s+r36+r4+i Q4)Pa。】。十————1F玎i丽西F玎i习万j可——一b=千“. e2(s十r∞一r4+i f23)po。 l 1十砸再瓦忑面顼再瓦再面确“ =干叫(4.32)分别位于“ =uL 4-皿。解析解和数值解表明,i n—phase振幅只有在这两个峰附近才能表现出压缩效应。为了看得更清楚一点,我们假定腔与驱动场是共振的,即d=0。此时我们有n( x) =72( -z) ,z( z) =-z( 一o) ,R。b=R。b,R。。=R。。,and F3。=r鼬=F3,此时s{t11(2)∽)的分母是『F定的,即压缩只有当S。。(2)¨ )的分子为负时爿‘ 会出现,此时形成一个双模压缩场。当J =0时,从修饰态和居演化方程可以看出,修饰态l a) 和fc) 被相干场和腔场等效的驱动,则有P。。=P。此吲Snt( 2) ( u) 可简化为蹦㈦=鲢型蔷辫咎案等≯.㈠。。,37 ⑧硕士学位论文MASTER’ S T}IESIS明显Ez(r3一114)p。。是正的,如果我们想得到压缩,最起码分子中的第一项必须是负的。由于r3+n>0,于是我们有两个选择,要么8叩2>E2,8口2p砧(E2m或者8目2<E2,8r/2m>E2p。。但是从修饰态布居演化方程中我们可以推出在稳态时譬.譬=丛生a号丝型型>1,所以只有在8矿<E2时我们才有可能得到压缩。另~方面,从...