的Taylor展开(准确来讲是Maclaurin级数)应该很熟悉吧
实际上,你要是遇到过让你求级数
的和的问题,你应该知道,其中一个经典方法就是利用
证明:
首先,根据广义牛顿二项式定理
即
(
)
由D'Alembert比式判别法,很容易得出其收敛半径为
取
得
再用
取代
即得
再对其逐项求积分,得
(
)
这里,
上幂级数的收敛性没有任何疑问,直接用D'Alembert比值判别法即可
而端点
处
的收敛性也可使用D'Alembert比值判别法
处则使用Leibniz判别法判定收敛性
或者,注意到
这可由Wallis公式
推出
所以端点处的收敛性也可由Tauber定理证明,此处亦不详细展开
的Maclaurin级数的推导要复杂一些,详细过程可见我这个回答:
简单来说,就是利用幂级数的除法
指数函数的Maclaurin级数:
考虑幂级数的除法
对于足够小的
,这个商式可以表示为幂级数
不妨令
那么有
比较
的系数,有
两边同时乘以
,有
,
很明显,这就是Bernoulli数
所以
其中数列
是Bernoulli数,
注意到
令
(
)
则
用
取代
,可得
注意到
那么显然
由于
所以
其中数列
(
)满足:
(有的时候这个
也被称作Bernoulli数)