一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程表面力表面力第三节第三节运动方程运动方程dyxyxyyττ∂−∂dxyxyxxττ∂∂dxyxyxxττ∂−∂上述个剪应力可以使微元体旋转且彼此不独立。如图的四个剪应力对于旋转轴线产生力矩:ddd(dd)()ddd(dd)()(ddd)(xyxyxyxyyxyxyxyxxxxyzxxyyyzxxyzryyτττττττρ⎡⎤∂∂⎛⎞⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎡⎤∂∂⎛⎞⎛⎞−−=⋅⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦)(角加速度)(xyyxrττρ∴−=⋅)(角加速度)当微元体积趋近于当微元体积趋近于使使rr趋近于趋近于xyyxττ=zxxzττ=yzzyττ=力矩=质量力矩=质量××旋转半径旋转半径××角加速度角加速度一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程表面力表面力第三节第三节运动方程运动方程(x,y,z)xyz)(后yxτ)(左xxτ)(下zxτyyyxyxd∂∂ττxxxxxxd∂∂ττzzzxzxd∂∂ττzyyzzxxzyxxyττττττ===因此实质上因此实质上个应力只有个应力只有个应力为独立个应力为独立变量即变量即个法向应力和个法向应力和个剪应力个剪应力dddd)d(dddd)d(dddd)d(dyxyxzzzxzxyyzyzyxxFyxzxzxyxyxyxxxxxxxSx⋅−⋅∂∂⋅−⋅∂∂⋅−⋅∂∂=τττττττττ)(ddd)(dzyxzyxFzxyxxxSx⋅∂∂∂∂∂∂=⇒τττ如图在如图在xx方向的净表面力分量:方向的净表面力分量:一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程将式(a)和式()代入式(a)中并整理得:第三节第三节运动方程运动方程D(a)DyxzxxxxuxXxyzτττρρθ∂∂∂=⋅∂∂∂方向:D(b)DyxyyyzyuyYxyzτττρρθ∂∂∂=⋅∂∂∂方向:D(c)DyzzxzzzuzZxyzτττρρθ∂∂∂=⋅∂∂∂方向:xx方向以应力表示的运动方程方向以应力表示的运动方程同理可得:以应力表示的粘性流体运动微分方程以应力表示的粘性流体运动微分方程二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速率之间的关系剪应力剪应力每一剪应力与其相应两方向上的形变速率有关。经分析推导其关系为:第三节第三节运动方程运动方程a)(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂⋅==xuyuyxyxxyμττb)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂⋅==xuzuzxzxxzμττc)(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂⋅==yuzuzyzyyzμττ二、应力与形变速率之间的关系二、应力与形变速率之间的关系法向应力法向应力当流体运动时法向应力由两部分组成:其一是流体压力它使流体微元承受压缩而发生体积形变体积形变其二是由流体的粘性引起它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩进而发生线性形变线性形变。各法向应力与形变速率之间的关系各法向应力与形变速率之间的关系:第三节第三节运动方程运动方程a)(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−=zuyuxuxupzyxxxxμμτb)(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−=zuyuxuyupzyxyyyμμτc)(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−=zuyuxuzupzyxzzzμμτ静压力静压力使流体产生体积形变使流体产生体积形变粘性力粘性力使流体在法线方向上使流体在法线方向上拉伸或压缩进而发生线性形变拉伸或压缩进而发生线性形变三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程((NNSS方程方程))将式(a)、(b)、(a)代入式(a)得:第三节第三节运动方程运动方程DDyzyzxxxyzxxuuuuuXpxxxyzuuuuyxxzρρμμθμμ⎡⎤∂⎛⎞∂∂∂∂=⋅−⋅−⋅⎢⎥⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎣⎦⎡⎤∂⎛⎞⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎣⎦⎝⎠⎣⎦DDyzxxxxxuuuuuuupXxxyzxxyzμρρμθ∂⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⇒=⋅−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠()D(a)DxxupXuuxxμρρμθ∂∂⇒=⋅−∇∇⋅∂∂G()D(b)DyyupYuuyyμρρμθ∂∂⇒=⋅−∇∇⋅∂∂G()D(c)DzzupZuuzzμρρμθ∂∂⇒=⋅−∇∇⋅∂∂G三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程((NNSS方程方程))将上三式写成向量形式:第三节第三节运动方程运动方程()D()DguFpuuμρρμθ⇒=⋅−∇⋅∇⋅∇∇⋅GJJGGG以质量、粘度和流动状况表示的运动微分方程以质量、粘度和流动状况表示的运动微分方程奈维奈维斯托克斯斯托克斯((NavierNavierStokesStokes))方程或牛顿型流体的运动方程方程或牛顿型流体的运动方程讨论:(讨论:())对于稳定或非稳定可压缩或不可压缩理想或非理想流体均适用。但需说明该方程仅适用于牛顿型牛顿型。(())各项意义:惯性力惯性力质量力质量力压力梯度压力梯度粘性力粘性力()uupFug⋅∇∇∇∇−=μμρθρDD三、粘性流体的运动方程三、粘性流体的运动方程((NNSS方程方程))对于不可压缩运动流体的运动方程可简化为:第三节第三节运动方程运动方程D(c)DzzzzuuuupZzxyzρρμθ⎛⎞∂∂∂∂⇒=⋅−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠D()DguFpuρρμθ=⋅−∇∇GJJGGD(d)DguFpvuθρ=−∇⋅∇GJJGG或:D(a)DxxxxuuuupXxxyzρρμθ⎛⎞∂∂∂∂⇒=⋅−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠D(b)DyyyyuuuupYyxyzρρμθ⎛⎞∂∂∂∂⇒=⋅−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠写成向量形式:四、以动压头表示的不可压缩四、以动压头表示的不可压缩NNSS方程方程yzxppΔΔyyΔΔzzΔΔxxXXpp第三节第三节运动方程运动方程D(a)DxxxxuuuupXxxyzρρμθ⎛⎞∂∂∂∂=⋅−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠D(a)Dxdxxxupuuuxxyzρμθ⎛⎞∂∂∂∂=−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠D(c)Dzzzzduuuupzxyzρμθ⎛⎞∂∂∂∂=−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠D(b)Dyyyyduuuupyxyzρμθ⎛⎞∂∂∂∂=−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠xpxpxppppdsds∂∂∂∂=∂∂⇒=zypzyxXzypΔΔ=ΔΔΔΔΔρzpZypYxpxppXsss∂∂=∂∂=∂∂=Δ−=ρρρ同理:柱坐标柱坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂−∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂−=∂∂−∂∂∂∂′∂∂=′)()(DDzuururrurrrrpXzuuruururuuuurrrrrrzrrrrrθθνρθθθθθθ分量:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂−∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂∂∂′∂∂=′)(DDzuururrurrrprXzuuruuururuuuurzrrθθθθθθθθθθθθθνθρθθθθ分量:⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂∂∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂∂∂′∂∂=′)(DDzuurrurrrpXzuuururuuuuzzzzzzzzzrzzθνθρθθθθ分量:球坐标球坐标φθθθφθθθθθνρφθθθθφθθφθφθ∂∂−−∂∂−−∂∂∂∂∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂⎩⎨⎧∂∂−=−∂∂∂∂∂∂′∂∂=′ururururururrurrrrpXruuuruururuuuurrrrrrrrrrrrsincotsin)(sinsinsin)(DD分量:⎭⎬⎫∂∂−−∂∂∂∂∂∂∂∂⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂−=−∂∂∂∂∂∂′∂∂=′φθθθθφθθθθθνθρθφθθθθθφθθθθθφθθφθθθθθurruurururrurrrprXruruuuruururuuuurrrsincossinsin)(sinsin)(cotsinDD分量:球坐标球坐标⎪⎭⎪⎬⎫∂∂∂∂−∂∂∂∂∂∂⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂−=∂∂∂∂∂∂′∂∂=′φθθφθθφθθθθθνφθρθφθθθθφθφφφφφφθθφφφφθφφφururruururrurrrprXruuruuuruururuuuurrsincossinsinsin)(sinsin)(sincotsinDD分量:FluentModelingFluentModelingwwwfluentcomwwwfluentcom