通信原理电子教案 第3章 随机过程 第3章 随机过程 第三章 随机过程 --本章是本书的数学基础。 3.1随机过程的基本概念 3.2平稳随机过程 3.3高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5窄带随机过程 3.6正弦波加窄带随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结 2018/10/28 通信原理 2 第3章 随机过程 通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程,分析与研究通 信系统,总是离不开对信号和噪声的分析。 ● 随机信号:通信系统中的信号通常总带某种随机性。不 可预测,不能用确定函数表示的信号。 ● 随机噪声:通信系统必然遇到噪声。不可预测(热噪 声)。简称噪声。 ● 随机过程:从统计学的观点看,随机信号和 随机噪声统 称为随机过程。 统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪 声分析中来。 2018/10/28 通信原理 3 第3章 随机过程 3.1随机过程的基本概念 考察: 假设有无数台性能相同的接收机,在同样条件下不 加信号测试其输出。 得到一系列噪声波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。 理想时,波形应一致,但实际不然 ?1 (t ) ? 2 (t ) 找不到两个完全相 同的波形。 ? ? ? n (t ) t1 t2 t 图2-1 n部接收机的输出波形 2018/10/28 通信原理 4 第3章 随机过程 ?1 (t ) ? 2 (t ) ? n (t ) ? ? t1 t2 t 图2-1 n部接收机的输出波形 讨论: ●每一条曲线ξi(t)都是一个随 机起伏的时间函数--样本 函数(确知信号)。 ●无穷多个样本函数的总体 在统计学中称作随机函数的 总集--随机过程ξ(t) 。 ●每一条曲线ξi(t)都是随机过 程的一个实现/样本。 ●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值ξ(t1) ,发 现他们的值是不同的-- 是一个随机量(随机变量)。 2018/10/28 通信原理 5 第3章 随机过程 概括: 随机过程ξ(t)的含义/属性有两点: (1)ξ(t)是t 的函数,是由所有的样本函数构成的; (2)ξ(t)在任一时刻 t1上的取值ξ(t1)不是确定的,是一个 随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布 的。故随机过程可以看做是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。 概率论:随机变量分析--分布函数和概率密度 2018/10/28 通信原理 6 第3章 随机过程 3.1.1 随机过程的分布函数 1. 分布函数和概率密度 (1)一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1),则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1(x1,t1)=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 (3.1.1) 2018/10/28 通信原理 7 第3章 随机过程 ●一维概率密度函数 若一维分布函数对x1的偏导数存在,则 ?F ? x1 , t1 ? f1 ? x1 , t1 ? ? ?x1 叫做随机过程ξ(t)的一维概率密度。 (2)二维描述--随机过程不同时刻取值之间的相互关系 ●二维分布函数 若随机过程ξ(t)在时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1),而在时 刻t2的取值是随机变量 ξ(t2),则ξ(t1)与ξ(t2)构成一个二元随机 变量[ξ(t1),ξ(t2)],称 F2(x1,x2;t1,t2)= P[ξ(t1)≤x1;ξ(t2)≤x2 ] 为随机过程ξ(t)的二维分布函数 2018/10/28 通信原理 8 第3章 随机过程 ●二维概率密度函数 若二维分布函数对x1和x2二阶偏导数存在,则 ? 2 F2 ? x1 , x2 ; t1 , t2 ? f 2 ? x1 , x2 ; t1 , t2 ? ? ?x1?x2 叫做随机过程ξ(t)的二维概率密度。 ●同理,可以定义随机过程的多维分布函数及多维概率密 度分别为 Fn ? x1 , x2 ,? xn ; t1, t2 ,?tn ? ? P[ ? (t1 ) ? x1 , ? (t2 ) ? x 2 , ?, ? (tn ) ? x n ] ? n Fn ? x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ? f n ? x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t1 ,..., t n ? ? ?x1?x2 ...?xn 2018/10/28 通信原理 9 第3章 随机过程 统计独立 对于任何 n个随机变量 ξ(t1),ξ(t2),..., ξ(tn),如果下式成 立 fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn) =f1(x1,t1)f2(x2,t2)...fn(xn,tn) 则称这些变量是统计独立的,否则就是不独立的或相关的。 意义: ●可以把随机过程 ξ(t) 当作一个多元的随机变量来看待, 而用这个多元随机变量ξ(t1),ξ(t2),...,ξ(tn)的分布函数或概 率密度来描述随机过程的统计特性。 ●显然,n 越大,对随机过程的描述越充分。 2018/10/28 通信原理 10 第3章 随机过程 3.1.2.随机过程的数字特征 引言 ●问题:随机过程的分布函数(或概率密度)族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中:难;不必。 ●措施:用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性, 更简单方便。 ●方法:求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时 间平均”两种。 统计平均: 对随机过程ξ(t)某一特定时刻不同实现的可能 取值ξ(ti)--随机变量 ,用统计方法得出的种种平均值叫统 计平均。 时间平均:对随机过程ξ(t)的某一特定实现即样本函数ξi(t) , 用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。 2018/10/28 通信原理 11 第3章 随机过程 (一)统计平均 1.均值 随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量ξ(t)的均值 称为随机过程的均值,也称为统计平均或数学期望。即 E[? (t )] ? 注:t1→t,x1 →x ? ?? ? xf ( x,t )dx 1 记为 ??? ? a (t ) 物理意义:均值代表随机过程的摆动中心。 2.均方值 随机变量ξ(t)的二阶原点矩 E[? (t )2 ] ? ? ?? ? x 2 f1 ( x,t )dx 通信原理 12 称为随机过程ξ(t)的均方值。--相对于横轴的振动程度 。 2018/10/28 第3章 随机过程 3.方差 随机变量ξ(t)的二阶中心矩 D[? (t )] ? E{? (t ) ? E[? (t )]}2 ? E[? (t )]2 ? [ E? (t )]2 ? ? ?? 记为 2 ??? ? ?( t) ? x 2 f1 ( x,t )dx ? [a (t )]2 称为随机过程ξ(t)的方差。 --相对于均值的振动程度 。 2018/10/28 通信原理 13 第3章 随机过程 4. 协方差与相关函数--随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时,常用协方差函数B(t1,t2)和相 关函数R(t1,t2)来表示。 (1)相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩 R(t1,t2 ) ? E[? (t1 )? (t2 )] ? ? ?? ? ?xx 2 ? 2 f 2 ( x1,x2;t1,t2 )dx1dx2 ?? 称为随机过程ξ(t)的相关函数。 (2)协方差函数 (3)协方差与相关函数的关系 2018/10/28 通信原理 14 第3章 随机过程 (2)协方差函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶中心混合矩 B(t1,t2 ) ? E{[? (t1 ) ? a(t1 )][? (t2 ) ? a(t2 )]} ? ? ?? ?? ? ? [x ? 1 ? a(t1 )][ x2 ? a(t2 )] f 2 ( x1,x2;t1,t2 )dx1dx2 称为随机过程ξ(t)的协方差。 (3)协方差与相关函数的关系 显然,有以上两式可得 B(t1,t2)=R(t1,t2)-E[ξ(t1)]E[ξ(t2)] 若E[ξ(t1)]或E[ξ(t2)]为零,则 B(t1,t2)= R(t1,t2) 这里的R(t1,t2)及B(t1,t2)由于是衡量同一过程的相关程度, 因此又常分别称为自相关函数和自协方差函数。 2018/10/28 通信原理 15 第3章 随机过程 5.互协方差与互相关函数--不同随机过程间的关系 (1)互相关函数 设ξ(t)与η(t)分别表示两个随机过程,则互相关函数定义为 Rξη(t1,t2)=E[ξ(t1)η(t2)] 如果两个随机过程的互相关函数为零,即下列条件成立 Rξη(t1,t2)= 0 则称它们是不相关的---正交的随机过程。统计独立的两 个随机过程是不相关的。 (2)互协方差 互协方差定义为 Bξη(t1,t2)=E{ξ(t1)-a(t1)]E[η(t2)]--a(t2)]} 若 Bξη(t1,t2)= 0 则两个过程是不相关的。 2018/10/28 通信原理 16 第3章 随机过程 (二)时间平均 --非周期函数平均值 1.平均值(或直流分量) 设 ξi(t) 是随机过程 ξ(t) 的一个典型的样本函数,则样 本函数的时间平均为 1 A ??? ? lim T ?? T ? ???dt T 2 T ? 2 1 a ? A? lim ??i ? t ? ? ??T ?? T 注:结果与时间无关,为常数。 ? T 2 T ? 2 ?i ? t ?dt 2. 均方值(或总平均功率) 1 2 A? lim ??i ? t ? ? ??T ?? T 2018/10/28 ? T 2 T ? 2 2 ? ? ? i ? t ?? ?dt 通信原理 17 第3章 随机过程 3.方差(或交流功率) ? 2 ? A ? ??i ? t ? ? a ? ? 1 ? lim T ?? T ? 2 ? 2 ? T 2 T ? 2 ? ??i ? t ? ? a ? ? dt 4.自相关函数 样本函数ξi(t)的自相关函数定义为 R ?t ? ? A ? ??i ? t ? ?i ? t ? ? ? ? ? 1 ? lim T ?? T ? T 2 T ? 2 ? ??i ? t ? ?i ? t ? ? ? ? ?dt 2018/10/28 通信原理 18 第3章 随机过程 ●自相关函数的性质: R ?t ? ? A ? ??i ? t ? ?i ? t ? ? ? ? ? 1 ? lim T ?? T ? T 2 T ? 2 ? ??i ? t ? ?i ? t ? ? ? ? ?dt 2 R ? 0? ? A ? ? ? ? t ?? ? 均方值(平均功率) 这是当然 R ? 0 ? ? R ?? ? R ?? ? ? R ? ?? ? 偶函数 2018/10/28 通信原理 19 第3章 随机过程 3.2 平稳随机过程 3.2.1定义 1.狭义平稳随机过程 假设一个随机过程ξ(t),如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关,即对于任意的t 和τ,随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn) =fn(x1,x2,...,xn;t1+τ,t2+τ,...,tn+τ) 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。 2018/10/28 通信原理 20 第3章 随机过程 fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn) =fn(x1,x2,...,xn;t1+τ,t2+τ,...,tn+τ) 显见,平稳随机过程具有如下特点: ■统计特性将不随时间的推移而不同。它的一维分布与t无 关,二维分布仅与时间间隔τ有关。 ■数字特征变得“平稳”、简单: 数学期望与 t 无关:a(t)= a ; 自相关函数只与τ有关:R(t1,t1+τ)=R(τ). 2018/10/28 通信原理 21 第3章 随机过程 2.广义平稳随机过程 一随机过程ξ(t),如果它满足: (1)数学期望与 t 无关,即:a(t)=a ; (2)自相关函数只与时间间隔τ有关,即: R(t1 , t1+τ)=R(τ) 。 则 称ξ(t)是广义平稳的随机过程。 意义: ●平稳随机过程具有各态历经性--十分有趣,非常有用。 ●通信系统中所遇到的信号与噪声,大多数可视为平稳的随 机过程。 2018/10/28 通信原理 22 第3章 随机过程 3.2.2 平稳随机过程的各态历经性 1.各态历经随机过程 假设ξ(t)是一个平稳随机过程,如果有下列式子成立 a?a R ?? ? ? R ?? ? 则说ξ(t)为具有各态历经性(遍历性)的平稳随机过程.。 2.各态历经的含义 随机过程的任一实现(样本函数),都经历了随机过程的 所有的可能状态。 3.各态历经随机过程的特点--好处 任何一个实现都能代替整个随机过程。给实际测量、分析 计算带来极大方便。 2018/10/28 通信原理 23 第3章 随机过程 ? [例3-1] 设一个随机相位的正弦波为 ? (t ) ? A cos(? c t ? ? ) 其中,A和?c均为常数;?是在(0, 2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论?(t)是否具有各态历经性。分析 【解】(1)先求?(t)的统计平均值: 数学期望 a(t ) ? E[? (t )] ? ? A cos( ? c t ? ? ) 0 2? A ? 2? ? 2? 1 d? 2? 0 (cos ?c t cos ? ? sin ?c t sin ? )d? 2? 2? A ? [cos ?c t ? cos ?d? ? sin ?c t ? sin ?d? ] ? 0 0 0 2? 2018/10/28 通信原理 24 第3章 随机过程 ? 自相关函数 R(t1 , t 2 ) ? E[? (t1 )? (t 2 )] ? E[ A cos(? c t1 ? ? ) ? A cos(? c t 2 ? ? )] A2 ? E{cos? c (t 2 ? t1 ) ? cos[? c (t 2 ? t1 ) ? 2? ]} 2 A2 A 2 2? 1 ? cos? c (t 2 ? t1 ) ? cos[ ? ( t ? t ) ? 2 ? ] d? c 2 1 ? 0 2 2 2? A2 ? cos? c (t 2 ? t1 ) ? 0 2 ? 令t2 – t1 = ?,得到 A2 R(t1 , t 2 ) ? cos? c? ? R(? ) 2 ? 可见, ?(t)的数学期望为常数,而自相关函数与t 无关, 只与时间间隔? 有关,所以?(t)是广义平稳过程。 2018/10/28 通信原理 25 第3章 随机过程 ? (2) 求?(t)的时间平均值 1 T2 a ? lim ??T A cos(? c t ? ? )dt ? 0 T ?? T 2 1 T2 R(? ) ? lim ??T A cos(? c t ? ? ) ? A cos[? c (t ? ? ) ? ? ]dt T ?? T 2 T A2 T 2 ? lim {??T cos?c?dt ? ??T2 cos(2?ct ? ?c? ? 2? )dt} T ?? 2T 2 2 ? ? A2 ? cos?c? 2 比较统计平均与时间平均,有 a ? a , R(? ) ? R (? ) 因此,随机相位余弦波是各态历经的。 2018/10/28 通信原理 26 第3章 随机过程 3.2.3 平稳随机过程的自相关函数 --特别重要,因为: (1)平稳随机过程的统计特性,如数字特征等,可通过相关 函数来描述; (2)相关函数揭示了随机过程的频谱特性。 1.相关函数的性质 设ξ(t)为实平稳随机过程,相关函数 R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)] 具有如下性质: (1) R(0)=E[ξ2 (t)]= s ---ξ(t)的平均功率。 (2) R(τ)=R(-τ) (3) | R(τ)|≤R(0) (4) R(∞)=E2[ξ(t)]=a2 (5) R(0)-R(∞)=σ2 2018/10/28 ---R(τ)是偶函数。 --- R(τ) 的上界。 ---ξ(t)的直流功率。 ----方差,ξ(t)的交流功率。 通信原理 27 第3章 随机过程 3.2.4 平稳随机过程的自相关函数 R(τ)与功率谱密度 Pξ(ω)的关系 ---相关函数R(τ)的又一重要性质。 设:ξ(t)平稳,R(τ)绝对可积 ?? ? ?? R ?? ? d? ? ? ? ? 则 P ? ?? ? ? ?? ? R ?? ?e ? j?? d? ? 1 R ?? ? ? 2? ?? ? j?? P d? ? ? ? ?e 简记为:Pξ(ω)←→R(τ) 意义:平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为 傅里叶关系。 2018/10/28 通信原理 28 第3章 随机过程 假 设 f(t) 为 时 间 无 限 信 号 ( 功 率 信 号 ) , 若 用 fT(t)代表f(t)在-T/2