为什么圆锥是圆柱的三分之一
对大学生用微积分;对中学生用祖暅原理;Yong实验探究的方法既感性又有说服力。如圆锥容器Yu同底三分之一高的圆柱容器盛满水的体积相等之Lei的方法。 祖暅(gen)原理:对于每一对应Ping面,面积均相等,则这些面构成的体积相等 Qiu表面积:4*pi*r*r 建立三Wei坐标系,x^2+y^2+x^2=R^2; Jiang球分成n份平行于yz平面的圆,利用勾Gu定理r=sqr(R^2--x^2) 把每Ge圆的周长积起来便是 ∫sqr(R^2--x^2)dxLi用牛顿-莱不尼茨定理即可算得 微积Fen: 设圆锥高为h,底部半径为r,Ba圆锥等分为k份,每份看做一个小圆柱。 Ze第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。 Ze第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3 Zong的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3 Er1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6 Ze总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6 KYue大,这个总体积越接近于圆锥的体积。 DangK为无穷大时,则1/k等于0。即总Ti积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体Ji的三分之一。