二面角 1.如图三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC = 2 ,D 是BC 的中点,且ADC 是3P边长为 2 的正三角形,求二面角 P-AB-C 的大小。 解CDBA2.如图在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、 SC 于D、E,又SA =AB,BS =BC, 求以 BD 为棱,BDE 与BDC 为面的二面角的度数。 S 解: D E C A B 3. 如图:ABCD 是矩形,AB =8,BC =4,AC 与BD 相交于 O 点,P 是平面 ABCD 外一点,PO⊥面ABCD,PO =4,M 是PC 的中点,求二面角 M-BD-C 大小。 解: P M D C N OR S A B 4.如图ABC 与BCD 所在平面垂直,且AB =BC =BD,∠ABC =∠DBC =1200 ,求 二面角 A-BD-C 的余弦值。 A 解: E B C -1- D 5.已知正方体 AC',M、N 分别是 BB',DD'的中点,求截面 AMC'N 与面 ABCD,CC'D'D 所成的角。 解: D’ C’ A’ B’ N D M C A B 6.如图 AC⊥面BCD,BD⊥面ACD,若AC =CD =1,∠ABC =30°,求二面角 C AB D 的大小。 A 解: E D C F B 7. 三棱锥 A-BCD 中,∠BAC =∠BCD =90°,∠DBC =30°,AB =AC = 6 ,AD =4,求 二面角 A-BC-D 的度数。 解: A O C B D 9. 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠A=60°, PC⊥平面 ABCD,PC=a,E 是PA 的中点. (1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二 面角 A—EB—D 的平面角大小. 解析: -2- 10. 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别在棱 AB、BC 上,G 在11对角线 BD1 上,且AE= 4 ,BF= 2 ,D1G∶GB=1∶2,求平面 EFG 与底面 ABCD 所成 的二面角的大小. 11. 如图,设ABC—A1B1C1 是直三棱柱,E、F 分别为 AB、A1B1 的中点,且AB=2AA1 =2a,AC=BC= 3 a. (1)求证:AF⊥A1C (2)求二面角 C—AF—B 的大小 12.如图 ABCD A1B1C1D1 是长方体,AB=2,AA1 AD 1,求二平面 AB1C 与A1B1C1D1 所成二面角的大小. -3- 1 13. 在正方体ABCD A1B1C1D1 中,KBB1 , M CC1 , 且BK 4 BB1 , CM 3 4 CC1 ..求:平面 AKM 与ABCD 所成角的大小. 14. 如图,将边长为 a 的正三角形 ABC 按它的高 AD 为折痕折成一个二面角 C AD C . (1)若二面角 C AD C 是直二面角,求CC 的长; (2)求AC 与平面 CCD 所成的角; (3)若二面角 C AD C 的平面角为 120°,求二面角 A CC D 的平面角的正切 值. -4- 参考答案 解:由已知条件,D 是BC 的中点 P ∴ CD =BD =2 又ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2 ∴ D 是ABC 之外心又在 BC 上∴ABC 是以∠BAC 为直角的三角形, ∴ AB⊥AC, 又PC⊥面ABC ∴ PA⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角, C D B A 易求 ∠PAC =30° 2、解:∵ BS =BC,又DE 垂直平分 SC S ∴ BE⊥SC,SC⊥面BDE ∴ BD⊥SC,又SA⊥面ABC D ∴ SA⊥BD,BD⊥面SAC ∴ BD⊥DE,且BD⊥DC E C A 则∠EDC 就是所要求的平面角 设SA =AB =a, B 则BC =SB = 2 a 且AC = 3 易证 SAC∽DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解:取OC 之中点 N,则MN∥PO P ∵ PO⊥面ABCD ∴ MN⊥面ABCD 且MN =PO/2 =2, M 过N作NR⊥BD 于R,连MR, D C 则∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 N 过C作CE⊥BD 于SOR S 则1RN = CE 在RtBCD 中A ,CD·BC =BD·CE B 2 ∴ CE CD BC 8 BD 5 -5- ∴ RN 4 5 tan MRN MN 5 RN 2 ∴ MRN arctan 5 2 4. 解:过A作AE⊥CB 的延长线于 E, 连结 DE, ∵ 面ABC⊥面BCD ∴ AE⊥面BCD ∴ E 点即为点 A 在面 BCD 内的射影 ∴ EBD 为ABD 在面 BCD 内的射影 设AB =a 则AE =DE =ABsin60°= 3 a 2 ∴ AD = 6 cos ABD 1 , 2 4 ∴ sin∠ABD = 15 4 ∴ SABD 1 a2 2 15 4 15 a 2 8 又BE 1 a 2 ∴ S BDE 1 2 3a1a 22 3 a2 8 ∴ cos SBDE 5 SABD 5 5. 解:设边长为 a,易证 ANC'N 是菱形 且MN = 2a ,A'C = 3a D’ A’ ∴SAMC'N = MN 1 AC' 6 a 2 2 2 由于 AMC'N 在面 ABCD 上的射影即 为正方形 ABCD A ∴ SABCD = a 2 N D -6- C’ B’ M C B ∴ cos1 a2 6 6 a2 3 2 ∴ 1 arccos 6 3 取CC'的中点 M',连结 DM' 则平行四边形 DM'C'N 是四边形 AMC'N 在CC'D'D 上的射影, SDM'C'M = 1 a 2 2 ∴ cos2 1 a2 2 6 a2 6 6 2 ∴ 2 arccos 6 6 6. 解:作DF⊥AB 于F,CE⊥AB 于E, A ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD = 2 ,BC = 3 , AB =2, BD = 2 C 在RtABC 中, CE AC BC 1 3 3 , AB 22 E D F B 同理 DF AD BD 2 2 1 AB 2 ∴ BF BD 2 DF 2 1 ∴ EF 2 1 1 1 22 AE AC 2 CE2 1 2 ∴ CD2 CE2 DF2 EF2 2EF DFcos ∴ cos 3 3 -7- 即所求角的大小为 arccos 3 。 3 7、解:由已知条件∠BAC =90°,AB =AC, A 设BC 的中点设为 O,则OA =OC = 3 BC = 2 3 B DC BC tan 30 0 2 3 3 2 3 ∴ AD2 AO2 OC2 CD2 2AO CDcos O C D 解之得: cos 1 2 ∴ 150 9、解析:(1)设O是AC,BD 的交点,连结 EO. ∵ABCD 是菱形,∴O 是AC、BD 的中点, ∵E 是PA 的中点,∴EO∥PC,又PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD,EO 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABCD. (2)EO∥PC,PC 平面 PBC, ∴EO∥平面 PBC,于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离. 作OF⊥BC 于F, ∵EO⊥平面 ABCD,EO∥PC,PC 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABCD,于是 OF⊥平面PBC,OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离. a a33 3 由条件可知,OB= 2 ,OF= 2 × 2 = 4 a,则点 E 到平面 PBC 的距离为 4 a. (3)过O作OG⊥EB 于G,连接 AG ∵OE⊥AC,BD⊥AC ∴AC⊥平面 BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角 A—EB—D 的平面角 11 3 ∵OE= 2 PC= 2 a,OB= 2 a OE OB 3 1 ∴EB=a.∴OG= EB = 4 a 又AO= 2 a. AO 2 3 23 ∴tan∠AGO= OG = 3 ∴∠AGO=arctan 3 . 评析 本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法, 三垂线定理及逆定理的应用. 10、设G在底面 ABCD 上的射影为 H,H∈BD, GH GB 2 ∵ D1D = D1B = 3 -8- 2 ∴GH= 3 作HM⊥EF 于M,连GM,由三垂线定理知 GM⊥EF,则∠GMH=θ就是平面 BFG 与底 GH 面ABCD 所成的二面角的平面角,tanθ= HM . 下面求 HM 的值. 建立如图所示的直角坐标系,据题设可知. 12 1 1 H( 3 , 3 )、E( 4 ,0)、F(1, 2 ) ∴直线 EF 的方程为 y0 x1 4 1 0 1 1 2 = 4, 即4x-6y-1=0. 由点到直线的距离公式可得 4 1 6 2 1 33 11 |HM|= 42 62 = 6 13 , -9- 2 6 13 4 13 4 13 ∴tgθ= 3 · 11 = 11 ,θ=arctg 11 . 说明 运用解析法来求 HM 的值是本例的巧妙所在. 11、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解(1)∵AC=BC,E 为AB 中点,∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1 为直棱柱,∴CE⊥面AA1BB 连结 EF,由于 AB=2AA1 ∴AA1FE 为正方形 ∴AF⊥A1E,从而 AF⊥A1C (2)设AF 与A1E 交于 O,连结 CO,由于 AF⊥A1E,知AF⊥面CEA1 ∴∠COE 即为二面角 C—AF—B 的平面角 ∵AB=2AA1=2a,AC=BC= 3 a 2a 2 2a ∴CE= 2 a,OE= 2 a,∴tan∠COE= 2 =2. ∴二面角 C—AF—B 的大小是 arctan2. 12、解析:∵ 平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1 ,∴ 平面 AB1C 与平面 A1B1C1D1 的交线 l 为 过点 B1 且平行于 AC 的直线.直线 l 就是二平面 AB1C 与A1B1C1D1 所成二面角的棱.又AA1 ⊥平面 A1B1C1D1 ,过A1 作AH⊥l 于H,连结 AH.则AHA1 为二面角 A l A1 的平面角.可tan AHA1 求得 5 arctan 2 .因此所求角的大小为 5 π arctan 2或5214 、 解析:DC DC 1 a ( 1 ) 若CDC 90 , ∵ AC=a , ∴ 2 ,∴ CC 2 a 2. (2)∵ AD DC ,AD⊥DC,∴ AD⊥平面 DCC .∴ ACD 为AC 与 平面 DCC 所成的角,在Rt ADC 中, DC DC 1 2 AC ,∴ DAC 30,于是 ACD 60. (3)取CC 的中点 E,连结 AE、DE,∵ DC DC ,AC AC,∴ AE CC , DE CC , ∴ ∠ AED 为二面角ACC D 的平面角,∵CDC 120 , - 10 - CD CD 1 a 2 ,∴ DE 1 a AD 3 a 4 , 在Rt AED 中,2,∴ tan AED AD DE 3a 2 1a 2 3. 4 - 11 -