有什么分别?

我们在使用 "组合" 这个词时,通常都不会讲究物件的次序。换句话说:

"我的水果沙拉是苹果、葡萄和香蕉的组合"我们并不理会水果的次序,我们可以说:"香蕉、葡萄和苹果" 或 "葡萄、苹果和香蕉"。都是同样的水果沙拉。
"保险箱的密码是 472"。这个数字组合的次序就重要了。"724" 打不开保险箱。"247" 也不行。一定要是4-7-2。

因此,在数学中我们用精确的语言:

如果次序不重要,就叫组合。
如果次序重要就叫排列。
比较精确的名字应该是 "排列锁"!

换句话说:
排列是有序的组合。

记住:要 "排" 列就需要次序,不然堆成一 "组" 就可以了……

排列

有两种基本排列:
可重复:像暗码锁的暗码。暗码可以是 "333"。不可重复:例如赛跑的首三名。一个人不能同时是第一名和第二名。

一、重复排列

这是最容易计算的。
当一个东西有n个不同类型时 …… 我们每次就有n个选择!
例如:选3个,排列是:
n × n × n
(n 自乘 3次)
一般来说:从有n个不同类型的东西里选r个的排列是:
n × n × ...(r次)
(换句话说,选第一个时有n个可能,然后选第二个时也有n个可能,依此类推,每次乘以 n。)
用r的指数来写比较简单:
n × n × …… (r次) =nr
例子:暗码锁的暗码有三个数字,每个数字可以是(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9)里的其中一个:
10 × 10 × … (3次) = 103= 1,000个排列
公式就是:

nr
其中n是被选择的东西的个数,而我们要选r次
(可以重复,次序重要)

二、不重复排列

在这个情况下,每选一个后我们就要把选择的可能减少一个。
例如,16个桌球有几个不同次序的排列?
选了 "14" 号球后,我们不能再选它,所以剩下来的选择可能就少了一个。
因此:第一个由 16个可能,第二个只有 15个可能,接下来就是 14,13 等等。排列的总数是:
16 × 15 × 14 × 13 × … = 20,922,789,888,000
但我们可能只需要选 3个球,所以排列个数只是:
16 × 15 × 14 = 3,360
换句话说,有3,360 不同的方法去从 16个球里排列 3个球。
不可以重复,选择可能每次减少一个。
怎样用数学语言来描述呢?答案:用 "阶乘函数"

阶乘函数(符号:!)的意思是把一系列逐项减小的自然数相乘。例子:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 247! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,0401! = 1
注意:惯例是0! = 1。很有趣,没有数字相乘的结果是 1!不过使用这个惯例,我们可以简化很多方程。

所以,选所有桌球的排列是:
16! = 20,922,789,888,000
但如果我们只选 3个,我们不需要乘以 14 以下的数。我们怎样表达这个呢?除以13!

16 × 15 × 14 × 13 × 12 …
= 16 × 15 × 14 = 3,360

留意16! / 13! = 16 × 15 × 14
公式是:

n!(n − r)!
其中n是被选择的东西的个数,而我们在其中需要选r个
(不重复,次序重要)

例子:"16个球里排列 3个"是:

16!=16!=20,922,789,888,000= 3,360

(等于:16 × 15 × 14 = 3,360)

例子:10个人里可以有几个第一和第二的排列?

10!=10!=3,628,800= 90

(等于:10 × 9 = 90)

记法

还有更简单的记法,不需要把整个公式写出来:
例子:P(10,2) = 90

组合

有两种组合(次序不重要):
可重复:例如口袋里的硬币 (5,5,5,10,10)不可重复:例如彩票号码 (2,14,15,27,30,33)

一、重复组合

这个最难解释,我们待会儿再讲。

二、不重复组合

这就是彩票背后的原理。数字逐个抽出来,如果抽出我们选择了的号码(不论次序),我们就中奖了!
最简单的解释是:
假设次序重要(即是排列),然后调整为次序不重要的答案。
回到上面桌球的例子,假设我们只需要知道选了哪 3个桌球,而次序不重要。
上面计算量 16 选3有3,360个不同排列。
但如果次序不重要,其中很多排列就变成相同的了!
例如,假设选了 1、2 和3号球。有以下可能:

次序重要次序不重要

所以排列比组合有大 6倍的可能。
我们可以用上面排列的公式来计算 "1 2 3" 可以有几个不同排列。答案是:
3!= 3 × 2 × 1 = 6
(另一个例子:4样东西可以有4!= 4 × 3 × 2 × 1 = 24个不同排列方法。你可以自己去试试!)
因此,如果次序不重要,我们就需要把排列的公式以选择出来的东西的排列个数减小:
这个公式非常重要,它有自己的记法:

其中n是被选择的东西的个数,我们在其中需要选r个
(不重复,次序不重要)

通常可以这样说:"n 取r"(例如 "16 取3")

记法

除了用上面的 "大括号",也可以用以下的记法:
要牢记这个公式:
n!r!(n − r)!

例子

桌球的例子就是(次序不重要):

16!=16!=20,922,789,888,000= 560

也可以这样做:

16×15×14=3360= 560

留意公式的对称:
换句话说,16 取3和16 取13 是相等的。想想:每一次选要的 3个时,你也选了剩下的 13个不要,所以 选 3个和选 13个的组合个数是相同的。

16!=16!=16!= 560

杨辉三角

我们也可以用杨辉三角来计算这些数值。去第 "n" 行(顶行是第 0),然后向右 "r" 个位就是合适的数值。这是第 16行附近:

一、重复组合

现在我们来看重复组合 ……
有五种冰激凌口味:香蕉、巧克力、柠檬、草莓和香草。
我想要三球(节食?什么节食?)。有几个选择?
我们用英语字母来代表口味:{b, c, l, s, v}。这是一些选择:
{c, c, c}(3 球巧克力){b, l, v}(香蕉、柠檬和香草各一球){b, v, v}(一球香蕉,两球香草)
(就是:从n=5个东西里选r=3个。
次序不重要,可以重复!)
我不可以描述怎样计算答案,但我可以告诉你一个特别技巧。
想象冰激凌在桶五个桶里。我们可以说:"向右移到下一个桶,挖三球,再移过三个桶"。这样就有 3球巧克力了!
就好像命令一个机械人去挖冰激凌!
我们可以用图来显示:
(箭头代表移,圆代表挖)。
上面的三个例子就是这样:

{c, c, c}(3球巧克力):
{b, l, v}(香蕉、柠檬和香草各一球):
{b, v, v}(香蕉一球、香草两球):

我们现在可以不考虑口味,我们有一个更简单的问题:"有几个方法排列箭头与圆?"
注意一定有 3个圆(3个球)和 4个箭头(向右移 4次)。
所以有r + (n−1)个位置,而我们要在r个位置放个圆。
就像:"有r + (n−1)个桌球,我们要选r个"。现在问题和上面的桌球例子一样,不过数字有点不同:

其中n是被选择的东西的个数,我们在其中要选r个
(可以重复,次序不重要)

如果我们选箭头,就是 "有r + (n−1)个位置,要在(n−1)个位置放个箭头",答案是一样的:
那么,这个例子的答案是多少?

(3+5−1)!=7!=5040= 35

有35个不同的组合去在 5种口味里选 3球冰激凌。

结论

我们讲了很多。我建议你再看一遍这个页面!
但是,了解这些公式背后的原理只是个开始,在现实生活里应用这些公式也不容易。
至少你现在懂得怎样计算这 4个情况的排列与组合了:"次序重要/不重要" 以及 "可/不可重复".