1 1 00 数学实验开头篇 1,什么是数学实验? 也许你是第一次听说数学实验,但我们从学习数学的开始就已经进行数学实验活动了。比如: 用铅笔算一算; 拿尺子量一量; 用木棍摆一摆; 在纸上画一画; …… 在学习数学和研究数学的过程中,数学实验都起到了重要的作用,是不可或缺的重要手段。例如下面有一排算式: 1×8+1; 12×8+2; 123×8+3; 1234×8+4; 12345×8+5; 123456×8+6; 1234567×8+7; 12345678×8+8; 123456789×8+9; 对于这些算式来说,需要首先计算出结果,才能发现和研究他们的结果所存在的规律; 再例如:给你三根木棍,你要先试一试、摆一摆才能知道它们是否能够组成一个三角形。当然学习了更多的知识之后就只需要量一量、算一算就能进行准确地判断。 2,实验工具有哪些? 前面我们提到了铅笔、尺子、木棍、纸张,还包括三角板和圆规等等,都是数学实验的常用工具。 然而,以计算机为代表的信息技术在近几年来的飞跃发展,为我们提高数学实验的效率提供了更好的工具。 2 Hawgent 皓骏数学技术团队所开发的 Hawgent 皓骏动态数学软件就是专门为我们开展数学实验而服务的工具。 图 1 软件的下载网站为:http://www.hawgent.com 3,动态数学软件能做什么? 运算。例如计算 1×8+1;12×8+2;123×8+3;1234×8+4;12345×8+5;123456×8+6;1234567×8+7;12345678×8+8;123456789×8+9;操作过程是: 激活右侧的程序工作区;输入:“1*8+1;”,其中这里的分号表示一个算式或命令的结束,是不可缺少的,需要是英文状态下的符号;将光标放在命令的结尾位置,按 F8 键,即可执行该命令从而得到运算结果,运算结果显示在下一行、以#结束;将光标放在#之后按Enter 键即可转到下一行,继续输入,然后继续执行运算结果。如图 2 所示是在 Hawgent 皓骏动态数学软件中的运算结果: 3 图 2 程序工作区也叫做运算工作区,可以进行输入和运算。认真观察一下,这些式子的运算结果有什么规律? 作图。例如,单击【画图】工具,进入画图状态,在空白处任意位置单击鼠标即可做出一个点 A;单击【选择】工具,退出画图状态;选择点 A,单击”已知圆心和半径的圆”工具,在弹出的对话框中输入:2,单击【确定】按钮,即可作出以点 A 为圆心、半径为 2 的圆;然后再单击【画图】工具,在圆上取一点 B 并连接半径 AB,在圆外取一点 C 并连接 BC,如图 3 所示;请问当点 C 在圆上什么位置时折线段 ABC 最短,什么时候折线段 ABC 最长呢? 图 3 测量。例如可以测量 AB 的长度,再测量 BC 的长度,然后把它们加起来,操作是:选择点 A 和点 B,单击”距离”工具,即可得到线段 AB 的长度测量值,类似地可以测量线段BC 的长度;单击”表达式”工具,在弹出的对话框中输入:v000+v001,即可显示为 AB+BC,单击【确定】按钮,即可得到 AB+BC 的值。可以观察到当 AB+BC 最小时,A、B、C 三个 4 点在同一条直线上,即折线段 ABC 最短;当 AB+BC 最大时,A、B、C 三个点也在同一条直线上,即折线段 ABC 最长。想一想,为什么? 图 4 动画。点 B 是圆周上的点,所以它可以在圆周上运动,通过鼠标拖动可以实现。当然,我们也可以让点 B 在圆周上均匀地、自动地运动,操作是:单击“视图”菜单下的“动画框”命令,如图 5 所示,选择运动类型为:一次运动,然后在左侧选择点 B,再单击右上角的“运动”按钮,即可让点 B 绕圆 A 运动一周。 顺便想一想,当点 B 在圆周上运动的过程中半径 AB 扫描过的区域是什么图形? 图 5 跟踪。选择点 B、点 C,单击“中点”工具,作出线段 BC 的中点 D;按住【Ctrl】键,同时选择点 D 和线段 BC,单击“作图”菜单下“直线”子菜单中的“垂线”命令,即可做出过点 D 与 BC 垂直的直线。当点 B 在圆周上运动的过程中,垂线所扫描过的区域又是什么图形呢?对于这些通过想象无法判断的问题,可以通过跟踪的方式来呈现:选择 BC 的垂线,单击“跟踪”工具,即可得到它的跟踪对象;鼠标右键单击跟踪对象,打开它的属性对话框,通过“画线颜色”工具设置一种你所喜欢的颜色。最后,让点 B 运动,即可看到跟踪垂线的结果,如图 6 所示。但是问题还没有结束,不妨再多想一想:这个区域有什么特点? 5 你能否给它取一个形象而恰当的名字? 图 6 变换。我们学习过的平移、旋转、轴对称等图形变换都可以在 Hawgent 皓骏动态数学软件中轻松实现。但是,Hawgent 皓骏动态数学软件中的变换的意义更加一般也更加普遍。而且更加重要的是,在图形变换过程中,图形之间的关系保持不变,圆上的点还是圆上的点、中点还是中点、垂直还是垂直等等,这就是 Hawgent 皓骏动态数学软件的核心价值,我们把这种性质称之为动态几何,也叫做逻辑动漫。实验一下:当点 C 变换到圆 A 的内部时,如图 7 所示,单击“清除跟踪”命令,再次让点 B 运动,BC 的垂线所扫描过的区域是什么图形?为什么会是这个图形? 图 7 …… 6 随着数学实验课程的开展,对 Hawgent 皓骏动态数学软件的学习和研究不断深入,会了解和掌握它更多的功能。 4,数学实验的任务有哪些? 玩。与传统的数学课堂不同,数学实验课主要的任务就是玩。当然,玩的是 Hawgent皓骏动态数学软件,玩的更加是数学。因为数学水平的高低决定了玩 Hawgent 皓骏动态数学软件的层次。 探。与传统的纸、笔、直尺、圆规等相比,Hawgent 皓骏动态数学软件是更加高效的数学实验工具,利用它在简短的时间内我们就可以就探索、发现和研究许多有趣的数学问题。 创。检验学习效果最好的方式,就是看能否灵活运用所学习的知识。Hawgent 皓骏动态数学软件就为我们提供了一个数学应用、数学实践和数学创作的环境。当然作品做出来了、做得漂亮了,数学的水平也自然而然地得到了提高。 学。相对于已经掌握的数学知识,我们不了解、不懂得的数学知识更广、更多,这就是所谓的“知道的越多,会发现不知道的更多”。因此,总体来说,数学实验课程的核心任务就是帮助我们学习、学会、学好更多的数学知识。 5,如何才能上好数学实验课? 认真听讲。像其他学科都必须遵守的规则一样,认真听讲是出色完成数学实验课程的第一步,也是最为关键的一步。听讲解、听指令、听安排… 主动思考。认真听,更要主动思考。集中精力,紧跟思维,积极思考老师提出的问题,主动考虑解决问题的办法和方式。 积极动手。动手操作和练习,是数学实验课的主要任务。但是一节课的时间非常短暂,所以要珍惜课堂上的每一秒钟。因为,只有亲自动手了、操作了、体验了才会有更加深刻的认识、感受和理解。 按时训练。每周一节课,每周一次作业。可以周末在家里的时间操作和完成。优秀的作品将会不断地被呈现在网站上,供他人欣赏和学习。 【拓展训练】 1,得到属于你的百变曲线 打开文件“0-百变曲线.dmr”,你就可以看到如图 8 所示的界面: 7 图 8 单击按钮【a 增加】一次,字母 a 的值就增加 1,其他按钮的作用是类似的。 在最下方是一个尺子,单击它一下,然后松开鼠标,然后再移动光标到它的中间位置处,这时单击鼠标同时按住鼠标左右移动即可改变字母 k 的值。 当 a、b、c、k 的值不同时,百变曲线的形状可能是不同的。当然,这时 a=b=c=k=0,也是百变曲线的一种状态。 改变 a、b、c 或 k 的值,找出 10 幅你最喜欢的百变曲线,并说明理由,同时为它取个形象的名字。 【思考问题】 1,国王与象棋 你听说国王与象棋的故事吗?讲述的是古印度时期,有个大臣发明了象棋而使国王十分高兴,他决定要重赏这位大臣。发明象棋的大臣说:“我不要你的重赏 ,陛下,只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第 1 个格子里放 1 粒,在第 2 个格子里放 2 粒,在第 3 个格子里放 4 粒,在第 4 个格子里放 8 粒,依此类推,以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到放满第 64 个格子就行了”。“区区小数,几粒麦子,这有何难”,国王暗自高兴。 你能否计算一下,这些小麦有多少粒? 进一步,你能否估计一下这些小麦有多重? 请你上网查询一下,今年我国小麦的产量。并粗略比较一下这两个数字。 2,折纸与珠峰 你知道“世界屋脊”珠穆朗玛峰的高度吗? 8 你知道普通一张报纸的厚度吗? 我们把一张报纸对折 1 次它的厚度就变成原来的 2 倍,再对折 1 次它的厚度就变为原来的 4 倍,接着再对折第 1 次它的厚度就变为原来的 8 倍…… 这个对折的过程继续下去,你认报纸的厚度是否可能超过珠穆朗玛峰的高度?可否粗略估算一下需要对折多少次?在现实当中,可以实现吗?如果你认为可以,请你亲自动手做一做;如果你认为不可以,请说明你的理由。 9 01 快速入门学 技术 1,认识软件的界面 启动 Hawgent 皓骏动态数学软件后,就自动打开了一个新的文档。Hawgent 皓骏动态数学软件中的一个文档,就像我们的一个作业本。 最上方是标题栏,显示了文档的标题,即名字。在这里,文档的标题是什么? 图 1 下方的文件、编辑、视图、画图、三维、变换、测量、插入、属性、…..各种工具的菜单,所以这一栏叫做菜单栏。我们今后做任何事都需要对应的工具。通过这些菜单的名字,你能想象一下它们都包含了哪些工具吗? 图 2 菜单栏下...