预备知识电势 电势能

单个导体的电容量

一个导体的电容量(capacitance)等于电荷量除以导体电势(导体平衡时为等势体)
\begin{equation} C = \frac{Q}{V} \end{equation}
要证明任意导体的势能和电荷量成正比,根据式 21,当导体上的电荷密度分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 乘以常数 $\lambda$,空间中任意一点的电势同样会乘以 $\lambda$.所以对于某个形状的导体,其电容是固定的.

例1导体球的电容

若规定无穷远处为零势点,由高斯定律,半径为 $R$,带电为 $Q$ 的导体球的电势为 $V = Q/(4\pi\epsilon_0 R)$,所以其电容为
\begin{equation} C = \frac{Q}{V} = 4\pi\epsilon_0 R \end{equation}

两导体之间的电容量

若两导体带等量异种电荷1$\pm Q$,电势差为 $V$,则两导体间的电容量同样被定义为
\begin{equation} C = \frac{Q}{V} \end{equation}
现在来证明两导体间的电容只与他们的形状,相对位置以及空间中的电介质分布有关,而与电荷量无关.这就要求证明电势差始终与电荷 $Q$ 成正比,如果我们假设量导体表面的电荷面密度 $\sigma$ 始终与 $Q$ 成正比(证明见,那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与 $Q$ 成正比.而电势差
\begin{equation} V = \int_+^- \boldsymbol{\mathbf{E}} (r) \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \end{equation}
(式中的 “$\pm$” 分别代表带电荷量为 $\pm Q$ 的导体表面上的一点,积分路径任意选取)和场强成正比也就是和 $Q$ 成正比.证毕.

例2平行板电容器

图1:平行板电容器,两板间距位 $d$
电容器中最常见也是最基本的模型就是平行板电容器,我们假设空间中存在均匀的电介质,介电常数为 $\epsilon$.两块面积为 $S$ 的方形导体板相距为 $d$ 平行放置,带电量分别是 $\pm Q$,如果忽略边缘效应(即假设只有两板之间的长方体空间中存在匀强电场),由高斯定律,两板之间的电场为 $E = {\sigma}/{\epsilon} = Q/(S\epsilon)$,电势差为 $V = Ed = Qd/(S\epsilon)$,所以电容等于
\begin{equation} C = \frac{Q}{V} = \epsilon \frac sd \end{equation}
可见在相同介质中,平行板电容器的电容量与板的面积成正比,与距离成反比,比例系数为 $\epsilon$.这就是为什么 $\epsilon$ 也被称为电容率.当不存在电介质时,$\epsilon = \epsilon_0$,所以 $\epsilon_0$ 被称为真空中的电容率.

例3同心球壳电容器

若有两个半径分别为 $r$ 和$R$ 的同心球壳导体($r