本文总结了微分方程中的一些基础知识

第一节——微分方程的基本概念

第一节主要给出了基本概念——微分方程的定义;阶;解;通解;特解;初值条件;初值问题
着重理解的是两个——阶和通解
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶
举例:
为三阶微分方程
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解(任意常数互相独立,不能合并,,详见第六节线性相关性)

第二节——可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程的一般解法——
①将所给方程写成一端只含有 y 的函数和 dy ,另一端只含 x 的函数和 dx
②两端分别积分后化简
举例:求微分方程
的通解
解: ①

第三节——齐次方程

如果一阶微分方程可以化为
,那么可采取齐次方程的一般解法——
①设
则
,
②两边积分后以
代替
,便可得所给齐次方程的通解
举例:解方程
解:⑴化简
⑵令
,
,
⑶分离变量并且两端积分得
⑷带入
得
或

第四节——一阶线性微分方程

此节阅读书上推导过程后(看不懂可私信问我哦)记住两个公式即可
一阶线性齐次微分方程
的通解
一阶线性非齐次微分方程
的通解
此种题目一般解法都是带公式,但要注意
和
的灵活变换
举例: 解方程
这一题初看小伙们就想用齐次方程的解法,试了试绝望……为啥配不好……
这么写的本质原因还是你没有理解
和
的地位相同
解:⑴上下颠倒
⑵移项配成一阶线性非齐次微分方程标准形式
此时的
再代入公式即可求得通解

第五节——可降阶的高阶微分方程

一.
型的微分方程
解法:两边同时求
次积分即可,此种题目较为简单,基本遇不到
二.
型的微分方程
解法:设
则
,这样可将原方程化为可分离变量的方程,再对其求积分即可
举例:
解:设
,代入方程并分离变量后有
两端积分得
即
{
}
再次积分即可
三.
型的微分方程
解法:令
则
代入原方程后分离变量求两次积分即可
举例:求微分方程
通解
解:设
则
代入原方程,得
在
时约去
并分离变量得
两端积分后得
即
再分离变量并两端积分得
或

第六节——高阶线性微分方程

此节主要掌握4个定理和线性相关与无关即可(证明自己阅读书籍),为下面几节的学习做知识上的准备
二阶齐次线性微分方程:
(1)
定理一:如果函数
是方程(1)的两个解,那么
也是方程(1)的解,其中
是任意常数
概念:设
为定义在区间I上的
个函数,如果存在
个不全为0的常数
使得当
I时有恒等式
成立,那么称这
个函数在区间I上线性相关;否则称线性无关
举例:1,
线性相关,可取
;1,
线性无关
定理二:如果
是方程(1)的两个线性无关的特解,那么
就是方程(1)的通解,其中
为任意常数
定理三:设
是二阶非齐次线性方程
(2)的一个特解,
是与方程 2 对应的齐次方程 1 的通解,则
是二阶非齐次线性微分方程 (2)的通解
定理四:设非齐次线性方程 (2)的右端
是两个函数之和,即
,而
分别是方程
与
的特解,则
就是原方程的特解

第七节:常系数齐次线性微分方程

(1)其中
是常数 ,则称方程(1)为二阶常系数齐次线性微分方程
解法:看特征方程根的分类,直接代入公式即可

第八节:常系数非齐次线性微分方程

本节主要掌握
型即可,另一类型请自行阅读
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式:
其中
是常数
解法:写出所给方程中
的值,代入特征方程中判断设出特解,而后求出未定系数即可
设特解为
设特解为
设特解为
(此三种皆针对
为一次多项式而设,若
为二次,则将
换成
即可,依次类推……)
举例:求微分方程
的一个特解
解:①先写出已知条件
,
,
,
为一次多项式
②计算出
不是特征方程
的根,所以设特解
③代入方程得
求得
即可
(考虑到一些实际情况本文中有一些点并没有涉及,例如可化为齐次的方程;伯努力方程……感兴趣的小伙伴可私聊我)

练习:

(尝试用两种解法)
(要答案的,私信我)码字不易点个赞吧