初中数学解题思路之等积法
延安新区外国语学校高旭
等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。在解题中,灵活运用等面积法解答相关问题,可以使解题思路清晰,解题过程简捷。下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用。
一、求三角形的高
例1.如图1所示,在ABC中,AB=10,BC=6,AC=8,求AB边上的高CD的长。
解:在ABC中,
∴ABC是直角三角形.
利用三角形面积计算公式得,
即
二.求图形的面积
例2. 如图2所示,O的半径为3,OA=6,AB切O于B,弦BCOA,连接AC,则图中阴影部分的面积是多少?
分析:连接OB、OC,将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形0BC的面积是解决此问题的切入点和关键.
解:连接OB、OC,
由BCOA知,OCB与ACB的边CB上的高相等.
故由等积性质可知,
易知,∠BOC=.
以.
三.求三角形内切圆半径
例3.如图3所示,已知O是ABC的内切圆,∠C=,AC=4,BC=3. 求
O的半径.
解:设O的半径为r,连接0A、0B、OC、OE、OF、OG..
O是ABC的内切圆,
∴OG⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且
OE=OF=OG=r.
在RtABC中,由勾股定理,得
于是由,得
即
四.求函数的解析式
例4.如图4所示,线段AB=8,直线m与o相切于点 D,且mAB,P是直线m上的一点,PB交以AB为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y与x的函数关系式.
分析:因为AB是O的直径,所以AC⊥BP,又因为把直线m与o相切于点 D,且mAB,所以DO⊥AB,BP和AC看成三角形的底和高,于是很自然地连接AP、OD,利用同一个三角形的面积相等的性质,就可以得到x与y的关系.
解:连结AP,
AB是O的直径,
∴AC⊥BP.
又直线m与o相切于点 D,且mAB,
∴DO⊥AB
即ABP的AB