有一无盖立方体纸箱,若将其沿棱剪成展开图,问有多少种不同形式的展开图? 解因总面数是 5,不会出现 5 个面全部排成一行(列)的情形. (1) 当一行(列)面数最多是4时,有两种情形(注意对称性), 如图)(2) 当一行(列)面数最多是 3 时,剩下的两个面位于这一行(列)的同一侧有两种不 同情形,如图 15-2(b) (3) 剩下的两个面位于这一行(列)的异侧有三种不同情形,如图(4) 当一行(列)的面数最多是 2 时,仅一种情形,如图所示. 总数为 2+2+3+1=8 种,即有 8 种不同的展开形式. 探究正方体的展开图 将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面,共有哪些不同的图形呢? 要搞清这个问题,最好是动手实践,比如找一些正方体纸盒,沿着棱按不同方式将其剪 开(但不要剪断,六个面要通过边连在一起),展成平面,再观察、对比一下不同形状的图 形有哪些。 如果不容易找到足够的正方体纸盒,还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板,利用 逆向思维,先猜测正方体展开图会有哪些不同形状,并将它们画在纸板上,再将周围多余部 分剪去,然后沿所画直线直行折叠,看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。这种探究方法虽 然有点麻烦,但操作简便易行,快速有效。事先可多画一些纸板(六个正方形边与边对齐, 任意连接成不同的平面图形),经过逐个验证,记录下所有可以折叠成正方体的图形,再将 这些图形分类,总结并寻找出其中的规律。 那么,沿棱剪开展开一个正方体,究竟有哪些不同的形状呢?如果不考虑由于旋转或翻 折等造成相对位置的不同,只从本质上讲,有以下三类共 11 种。 一、“141 型”(共6种) 特点:这类展开图中,最长的一行(或一列)有4个正方形(图1~图6)。 理解:有4个面直线相连,其余 2 个面分别在“直线”两旁,位置任意。 二、“231 型”与“33 型”(共4种) 特点:这类展开图中,最长的一行(或一列)有3个正方形(如图 7~图10)。 理解:在“231 型”中,“3”所在的行(列)必须在中间,“2”、“1”所在行(列)分 属两边(前后不分),且“2”与“3”同向,“1”可以放在“3”的任意一个正方形格旁边, 这种情况共有 3 种,而“33 型”只有 1 种。 三、“222 型”(只有 1 种) 特点:展开图中,最多只有 2 个面直线相连(图11)。 评注:⑴将上面 11 个图中的任意一个,旋转一定角度或翻过来,看上去都与原图似有 不同,但这只是图形放置的位置或方式不同。实际上,它与原图能够完全重合,不能算作一 个独立的新图,而从上面 11 个图中任取两个,不论怎样操作(旋转、翻折、平移等),它们 都不可能完全重合,即彼此是独立的、不同的图形。 ⑵对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图,如果图中含有“一”字型、“7”字型、“田”字型、“凹”字型,就一定不能折成正方体。概括地说,只要不符合上 述“141”、“231”和“33”、“222”的特点,就不能折成正方体。