先求球面与圆锥面的交线:x²+y²+z²=1与z=√3√(x²+y²)相交得:
x²+y²+3x²+3y²=1,则x²+y²=1/4,此时z=√3/2
因此球面与圆锥交于曲线:x²+y²=1/4,z=√3/2
下面求圆锥的半顶角α:在圆锥面上任取一点(1,0,√3),可求得tanα=1/√3,因此α=π/6
下面用球坐标:
∫∫∫z√(x²+y²+z²)dxdydz
=∫∫∫ rcosφr*r²sinφ drdφdθ
=∫[0---->2π] dθ∫[0---->π/6] cosφsinφ dφ∫[0--->1/2] r⁴ dr
其中:∫[0---->2π] dθ=2π
∫[0---->π/6] cosφsinφ dφ=∫[0---->π/6] sinφ dsinφ=(1/2)sin²φ |[0---->π/6]=1/8
∫[0--->1/2] r⁴ dr=(1/5)r⁵ |[0--->1/2]=1/160
因此:原积分=2π*(1/8)*(1/160)=1/640