在 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间 到 的一个选定线性同构。 证明:这个证明利用了 的标准基是有序基的事实。 首先假设 是线性同构。可以定V的一组有序基 如下: 其中的 是 的标准基。 反过来说,给定一个有序基,考虑如下定义的映射 φ(x) =x1v1+x2v2+ ... +xnvn, 这里的x=x1e1+x2e2+ ... +xnen是F的一个元素。不难检查出φ是线性同构。 这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构F→V。 确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标:如果对于向量v∈V,φ(v) = (a1,a2,...,an) ∈F,则aj=aj(v)的分量是v的坐标,在v=a1(v)v1+a2(v)v2+ ... +an(v)vn的意义上。 从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射,因为φ是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基,叫做对偶基。