设P=ɑy+2xlny+, 在闭区域D上用格林公式即得 I=Pdx+Qdy=-dxdy-Pdx+Qdy 注意到,在直线NM上y=0,dy=0 Pdx+Qdy=Pdx=2xlnɑdx=0-==-ɑ-2x(1+)=-ɑ 于是 I=-dxdy=-ɑdxdy= ɑπR2 2.2 结论 当曲线积分中的积分区域并非封闭的时候,若要用格林公式,需要先作适当 的辅助线以构建封闭曲线,并切记,所添加辅助线的线积分必须易于计算。 有奇点存在格林公式的应用3.1 引例 求I=dx+dy,其中曲线 是以原点为圆心,R为半径的封闭圆周取逆时 针方向,且R; 分析:设曲线L 围成的闭区域为 D,它是一个半径不确定的圆面。随着半径 增大闭区域D的面积也增大,并会取到点(0,),值得注意的是该点是奇点, 被积函数在该点无定义,因此不能盲目运用格林公式,需分情况讨论; 方法:先设P=, Q=,通过求偏导数可得== 其中 x2+(2y-1)20 所围成的新的闭区域D′上,由于去掉了奇点(0,),可对此直接用格林公式: Pdx+Qdy-Pdx+Qdy=-dxdy=0 其中曲线L 均为逆时针方向,因此I=Pdx+Qdy=Pdx+Qdy=xdx+(4y-2)dy 在闭区域内用格林公式即得 I=odxdt=0 3.2 结论 在闭区域中使用格林公式计算曲线积分时,请注意积分区域中是否存在被积 函数无定义的点,如果存在则不能直接使用公式。 结语格林公式使用前提要求严格,最值得注意的有两条。其一,积分曲线必须是 封闭曲线,若不封闭则要添加辅助线使之闭合,并且添加部分的线积分必须易于 计算;其二,被积函数在积分区域上应有连续的偏导数,若存在奇点(即函数P、 在该点无定义或偏导数不存在或偏导数不连续)则不可直接用公式,此时需要去掉奇点间接计算。 参考文献: [1]