由于一元函数的定积分是展布于数直线上的区间,而二元函数的定义域为平面区域,我们曾经 由曲边梯形的面积引出了定积分概念,现在从求曲顶柱体的体积引 出二重积分的概念. 所谓“曲顶柱体”是指这样一个立体:它的底面是x 平面上的有界区域D,它的顶是定义在D 上的曲面 ,侧面是以D的边界曲线C 为准线、其母线平行于Z 轴的柱面(如图6 所示).我们原来学过平顶柱体的体积计算方法,即底面积乘以高,而 对曲顶柱体的体积计算还没有涉及.我们可以仿照以前计算曲边梯 形面积的方法来探讨这个问题.思路为:把曲顶柱体分割成若干个小曲顶柱体,使每个小曲顶柱体 趋近于平顶柱体(以平代曲),计算出每个小曲顶柱体的近似体积并相加就得到曲顶柱体的体积的近 似值,用极限的方法处理这个近似值得到曲顶柱体的体积. 具体操作步骤为: 为底,于是将原曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体. 为底的平顶柱体的体积来近似代替第i 个小曲顶柱体的体积 (注:区域直径表区域内任意两点距离的最大值)图6-1 显然,这个近似值的大小既与区域D的分割T 相关,也与点 )表示n个小区域的直径的最大值, 那么可自然地定义下面极限为曲顶柱体的体积: 由此可见,曲顶柱体的体积计算完全归结为与定积分形式类似的特定结构和式的极限.