对应角(同位角)相等,对应边成比例比这两个三角形便是相似的。
但我们不需要知道三条边和三个角……六个里知道两个或三个通常就足够了。
有三个方法去判定两个三角形是不是相似的:AA、SAS和SSS:

AA

AA代表 "角、角",英语 "angle, angle",意思是两个三角形有两个角是相同的。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,这两个三角形便是相似的。

例子:这两个三角形是相似的:

如果两个角是相同的,第三个角也会是相同的,因为三角形的内角和是 180°。
在这个例子里,缺少的角是 180° − (72° + 35°) = 73°
所以 AA 也可以称为 AAA(因为若两个角相同,则三个角都相同)。

SAS

SAS 代表 "边、角、边",英语 "side, angle, side",意思是在两个三角形里:
两组对应边成比例对应的夹角相等。
如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,这两个三角形便是相似的。

例子:

在这个例子里:
一对边的比是 21 : 14 =3 : 2另一对边的比是 15 : 10 =3 : 2两条边之间的角在两个三角形里都是 75°
这些已经足够使得我们确定这两个三角形是相似的。

用三角学

我们可以用三角学的余弦定理来求另外两条边的长度:

例子(续)

在三角形ABC 里:
a2= b2+ c2- 2bc cos Aa2= 212+ 152- 2 × 21 × 15 × Cos75°a2= 441 + 225 - 630 × 0.2588……a2= 666 - 163.055……a2= 502.944……所以 a = √502.94 =22.426……
在三角形XYZ 里:
x2= y2+ z2- 2yz cos Xx2= 142+ 102- 2 × 14 × 10 × Cos75°x2= 196 + 100 - 280 × 0.2588……x2= 296 - 72.469……x2= 223.530……所以 x = √223.530…… =14.950……
我们看看这两条边的比:
a : x = 22.426^ : 14.950^ =3 : 2
和上面的一样!
注意:我们也可以用正弦定理来说明另外两条边是等长的。

SSS

SSS 代表 "边、边、边",英语 "side, side, side",意思是两个三角形的三组对应边成比例。
如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形便是相似的。

例子:

在这个例子里,对应边的比是:
a : x = 6 : 7.5 = 12 : 15 =4 : 5b : y = 8 : 10 =4 : 5c : z =4 : 5
比是相同的,所以三角形是相似的。

用三角学

我们可以用三角学里的余弦定理来显示说明两个三角形的角是相等的:
在三角形ABC 里:
cos A = (b2+ c2- a2)/2bccos A = (82+ 42- 62)/(2× 8 × 4)cos A = (64 + 16 - 36)/64cos A = 44/64cos A = 0.6875所以角A =46.6°
在三角形XYZ 里:
cos X = (y2+ z2- x2)/2yzcos X = (102+ 52- 7.52)/(2× 10 × 5)cos X = (100 + 25 - 56.25)/100cos X = 68.75/100cos X = 0.6875所以角X =46.6°
A 和X是相等的!
同样,我们也可以说明角B 和角Y 相等,并且角C 和角Z 也相等。