冲激信号及阶跃信号 重庆文理学院 电子电气工程学院 重庆 永川 402160 摘要\ue007 阶跃信号及冲激信号作为理想信号在电路中有非常重要的作用\ue006阶跃信号和冲激信号存在着导数关系\ue006他们作为基本信号能够够成其他信号。 关键词\ue007冲激信号\ue008阶跃信号\ue008傅里叶函数 在实际工程信号中通常将信号分解为某种基本信号或函数之和\ue006各基本信号分别作用于线信系统\ue006则系统响应就是个基本信号所引起的响应之和。比如时域分析法中的冲激信号\ue006和阶跃信号\ue006他们属于理想信号\ue006利用他们可以简明的便利的表述电路的激励和响应。因为他们在一个间断点上的导数用一般方法不好确定\ue006所以称为奇异函数。 一、阶跃信号及冲激信号的定义 \ue0041\ue005 、什么是阶跃信号\ue00a 阶跃信号可以用表示用理想化的开关接通信号源的情况\ue006如图 1\ue004a\ue005所示。 杨盼 \ue004a\ue005一般阶跃信号 b\ue005单位阶跃信号 图 1 理想阶跃信号 图 1\ue004a\ue005表示当时间 t=0 时\ue006电路接通电压为 E 的直流电压源\ue006电路电压源两端的变化曲线\ue006此时\ue006电路上的电压可以表示为式\ue0041\ue005所示的阶跃信号。 ,t,00ft0Et\ue004\ue002\ue016\ue017\ue018\ue004 \ue005= \ue0041\ue005这里把函数器非零之的开始时刻作为时间零点\ue006即时间的起算点的零时刻。当函数的幅度为 E=1 时\ue006该函数称为单位阶跃信号\ue006记为 u\ue004t\ue005 \ue007 10tt00ut\ue004\ue002\ue016\ue018\ue017\ue006\ue004 \ue005=\ue006 \ue0042\ue005 这个函数称为单位阶跃信号\ue006当它乘以常数 E 时\ue006就成为了式\ue0042\ue005所示的一般阶跃信号。 函数 u\ue004t\ue005发生跃变的时刻是 t=0。而他\ue004tt=t 时刻。此结论很容易证明。根据式\ue0043\ue005的定义\ue006有 1t \ue001 \ue005是延时了1t 时刻的阶跃信号\ue006他的跃变发生在1111tt,,ut tt tt t\ue004\ue002\ue016\ue018\ue017\ue004 - \ue005= \ue0043\ue005 所以函数1ut t\ue004 - \ue005 是在1t=t 处由 0 跃变为 1 的单位阶跃信号\ue006他较 u\ue004t\ue005延迟了1t 如图 2 所示。 图 2 延时了1t 时刻发生的单位阶跃信号激励 任何一个函数 f\ue004t\ue005乘以单位阶跃信号后\ue006其乘积在阶跃之前为零\ue006在阶跃之后保持原 f\ue004t\ue005的值。例如以正弦函数cos t\ue004t\ue005 \ue006就只剩下 t》0 范围内仍为原来函数cos t\ue00c \ue006在t\ue001 \ue00d\ue002 \ue002\ue00d 范围内本是连续的\ue008但cos t\ue00c 。所以单位阶跃信号\ue00c u1ut t\ue004 - \ue005 和另一个 函数相乘\ue006有将后者从1t 之前全部切除的作用。 (2)、什么是冲激信号 下面把一个用单位阶跃信号表示的电压信号源直接加到一个电容上\ue006 如图3所示。 图 3 在理想电容肾功能施加单位阶跃信号激励 如果电容器的电容值为 C\ue006 根据电容的电压电流关系可以求得电容器的引线上的电流为 ( )dt( )du ti tC\ue003 \ue0044\ue005 在理想的电流源和电容器的状态下\ue006当 t\ue011 0 时\ue006函数 u\ue004t\ue005的导数等于零\ue008但当 t=0时\ue006此导数不存在\ue006因而电流也无法确定。 图\ue0044\ue005是一种非理想直流源接入的情况\ue006它表示加到电容器上的电压\ue00bc u ( ) t =1电流为 i=C\ue00bc u t\ue004 \ue005 在一定的时间范围2\ue0012\ue00b时\ue006i=0。 \ue004a\ue005 \ue004b\ue005 图 4 非理想信号及其导数 图 4 中电源电压的导数代表电流波形。这一导数曲线下的面积 S=1。如果当\ue00b 值逐渐减小而趋近于零\ue006则电压( )度1得到了一个极限脉冲函数\ue006它在 t\ue011 0 时\ue006函数值都为零\ue006在 t=0 处\ue006函数值无限大\ue006而脉冲面积为 1\ue006记这个极限脉冲函数为 ( ) t'( )cu t 呈现矩形脉冲形状。如将纵坐标尺度乘以 C\ue006则该图即cu t 逐渐趋近于一单位阶跃信号\ue008同时\ue006\ue00b则无限趋大\ue006但是无论\ue00b 值如何变小\ue006脉冲面积始终保持为 1。在这中情况下\ue006就'( )cu t 这个脉冲的宽带\ue00b 也趋近于零\ue006而脉冲高\ue007\ue006则 ( )\ue0031\ue019\ue007( )0 ,0t\ue007td ttt\ue007表示在 t=0 处的冲激\ue006在 t=1t 处出现的冲激可以写为是常数\ue006则 a ( ) t度为 a 的负冲激。冲激函数\ue001\ue00d\ue01e\ue019\ue01f\ue020\ue003\ue011\ue01a \ue0045\ue005 冲激函数 ( ) t\ue007\ue0071()tt\ue001。如果 a表示出现在 t=0 处\ue006强度为 a 的冲激函数。如果 a 为负值\ue006则表示强1()tt\ue007\ue001和 a ( ) t\ue007如图 5 所示。 \ue004a\ue005 \ue004b\ue005 图 5 延时1t 和 a 倍的 ( ) t\ue007 ( ) t\ue007的一阶导数'( ) t\ue006 其底宽成为2\ue00b \ue006 高度为1\ue007( )称为冲激偶\ue006 她也可以对一个普通函数1取极限求得。 图6--(a)所示为三角形脉冲f t\ue005\ue00b\ue006 波形下面积等于 1.当0\ue00b \ue00f 时\ue006'( )ft\ue005如图 6—\ue004c\ue005所示\ue006它是正、负极性的两面积相等的两个冲激\ue006其强度均为无限大\ue006如图 6—\ue004d\ue005所示。由此可见\ue006 ( ) t\ue007的一阶导数'( ) t\ue007的面积等于零\ue006即 '( )0t dt\ue007\ue00d\ue001\ue00d\ue003\ue01a \ue0046\ue005 图 6 ( ) t\ue007的一阶导数 二、冲激函数与阶跃函数的关系。 \ue0041\ue005 、根据以上讨论可知\ue006阶跃函数和冲激函数的关系式 ( )dt( )( )dtt\ue008\ue007\ue003 \ue0047\ue005 ( )t\ue007tx d x\ue008\ue001\ue00d\ue003\ue01a \ue0048\ue005 \ue0042\ue005 、一个 LTI 系统\ue006当其初始状态为零时\ue006输入为单位冲激函数 ( ) t应称为单位冲激响应\ue006用好 h\ue004t\ue005表示。 \ue007所引起的响 一个 LTI 系统\ue006当其初始状态为零时\ue006输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应\ue006用 g(t)表示。 通过讨论可知\ue006h\ue004t\ue005与 g(t)的关系式 'g( )( )h tt\ue003 \ue0049\ue005三、阶跃信号与冲激信号的运用 阶跃信号和冲激信号作为基本信号可以用它们来构成各种不同的信号。 \ue0041\ue005 、对单位阶跃信号进行积分时\ue006可得 ,00( )( )0,tt tR tudt\ue00b \ue00b\ue001\ue00d\ue01a\ue004\ue002\ue016\ue018\ue003\ue003\ue017 \ue00410\ue005 由此式定义的函数 R(t)称为单位斜变函数。斜变函数 AR(t)的乘数 A 表示函数的斜率。 图 7 单位斜变函数 \ue0042\ue005 、如图 8 所示的矩形脉冲函数g t\ue00b\ue004 \ue005 常数为门函数\ue006其宽度为\ue00b \ue006幅度为 1\ue006即 10,22gttt\ue00b\ue004 \ue005\ue00b\ue00b\ue004\ue016\ue019\ue019\ue017\ue019\ue019 \ue018\ue004\ue006 \ue00411\ue005 利用移位阶跃函数\ue006门函数可表示为 g tu tu t22\ue00b\ue00b\ue00b\ue004 \ue005= \ue004 + \ue005- \ue004 - \ue005 \ue00412\ue005 图 8 门函数 \ue0043\ue005 、如图 9 所示的符合函数\ue006其幅度为 1\ue006即 1 t>01,sgn t =0t\ue000\ue016\ue018\ue017\ue001\ue002\ue006\ue004 \ue005 \ue00413\ue005 利用阶跃函数\ue006符合函数可以表示为 sgn t = ( )( )2 ( ) 1u tu tu t\ue001\ue001 \ue003\ue001\ue004 \ue005 \ue00414\ue005 图 9 符合函数 \ue0044\ue005 、单位冲激信号的频谱密度函数是常数 1\ue006则根据傅里叶变换的对称性\ue006有常数\ue004直流信号\ue005f\ue004t\ue005\ue0091 的傅里叶变换\ue004频谱密度函数\ue005为 \ue006F( )=F 12\ue00c\ue009\ue007 \ue00c\ue013 \ue003\ue015\ue004 \ue005 \ue00415\ue005单位冲激函数 δ\ue004t\ue005与常数 1 构成一个傅里叶变换对 \ue007( )1t\ue00e \ue00416\ue005再根据傅里叶变换的频移性质\ue006可知指数函数的频谱为频域的冲激函数 002jtF e\ue00c\ue009\ue007 \ue00c \ue00c\ue013\ue015\ue01b\ue003\ue001\ue01d\ue004\ue005 \ue00417\ue005再根据欧拉公式\ue006可导出正弦函数的傅里叶变换\ue004频谱\ue005为离散频谱\ue007 \ue006\ue006\ue006000cos (sin ()\ue006() () ())t)\ue00a \ue00c\ue00a \ue00c\ue009 \ue007 \ue00c \ue00cj\ue00c \ue00c\ue00c \ue00c\ue013\ue013\ue013\ue003\ue009 \ue007 \ue00c \ue00c\ue000\ue000\ue000\ue001\ue001\ue001\ue015\ue015\ue015F \ue00418\ue005000(t\ue013\ue003\ue015F \ue00419\ue005 一般地\ue006对于周期函数\ue004傅立叶级数展开式的指数形式\ue005 1( )jntTnnf tC e\ue00c\ue000\ue00d\ue00f\ue001\ue00d\ue003\ue012\ue006\ue004n 为正整数\ue005 \ue00420\ue005 利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为 \ue00611( )( )jn tjn tTTnnnnFF f tFC eC F e\ue00c\ue00c\ue00c\ue000\ue00d\ue000\ue00d\ue012\ue00f\ue001\ue00d\ue00f\ue001\ue00d\ue013\ue014\ue01b\ue01c\ue013\ue01b\ue013\ue003\ue003\ue003\ue015\ue01d\ue015\ue01d\ue015\ue012 12()nnCn\ue009\ue007 \ue00c\ue00c\ue000\ue00d\ue012\ue00f\ue001\ue00d\ue003\ue001\ue006\ue004n 为正整数\ue005 \ue00421\ue005 综上所述\ue006周期函数的傅里叶变换\ue004频谱密度函数\ue005\ue006是位于周期函数各次谐波频率 nω1 处的频域冲激函数串\ue006频率间隔是周期函数的基频 ω1\ue006冲激强度等于相应的傅立叶系数 Cn 的 2π 倍。 可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。 通过引入冲激函数的概念\ue006把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数\ue006则周期函数的离散频谱都可以用冲激函数串方便地表示。 例\ue007有脉幅为 E、脉宽为 τ、周期为 T 的周期矩形脉冲信号 fT\ue004t\ue005\ue006如下图所示\ue007 图 9 周期矩形脉冲的时域波形 求其离散频谱。我们知道通过傅立叶级数的方法\ue006求出其傅立叶系数为 1T2Tjn t1nT-2n1TCf (t)edtan2EST\ue00c\ue00c\ue00b\ue004\ue00b\ue001\ue003\ue003\ue010\ue010\ue01a\ue005\ue006\ue004 =0\ue0061, 2,.....\ue005 其中 ω1\ue0092π/T 为基频。由式\ue0047\ue005可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为 \ue006111( )( )2()2() ()2TTnnnnETF f tCnSan\ue00c\ue00b\ue00b\ue003\ue001\ue00d\ue00c\ue009\ue007 \ue00c\ue00c\ue009\ue007 \ue00c\ue00c\ue000\ue00d\ue012\ue000\ue00d\ue012\ue003\ue001\ue00d\ue013\ue003\ue003\ue001\ue003\ue001\ue015F 112() ()2nnETSan\ue00c\ue00b\ue00b\ue009\ue007 \ue00c\ue00c\ue000\ue00d\ue012\ue003\ue001\ue00d\ue003\ue001 111() ()2nnESan\ue00c\ue00b\ue00b \ue00c\ue007 \ue00c\ue00c\ue000\ue00d\ue012\ue003\ue001\ue00d\ue003\ue001 其离散频谱图如下图所示\ue007 图 10 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示 四、总结 冲激信号和阶跃信号为奇异函数\ue006在电路的响应中有很重要的作用\ue006同时在函数的傅里叶变化中冲激信号也有非常重要的应用。 作为基本信号许多信号都可以由冲激信号和阶跃信号构成。 参考文献 [1]刘树棠译.信号与系统.西安交通大学出版社.1998 [2]吴大中.信号与线性系统分析.高等教育出版社.2009 [3]曾大正\ue006张宝俊沈庭芝\ue006唐晓英.信号与系统.第二版.北京理工大学出版社.2002 [4]高俊\ue006刘孝贤\ue006孙国霞.信号与系统分析山东大学出版社.2008