两个重要极限的推广与应用 摘要:极限在数学分析中占有很重要的地位,不但是一个基本的数学概念,而且也是数学分析的基石。两个重要 极限又是极限中的重点和难点,所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推 广形式,还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度,为了帮 助同学们更容易掌握这部分内容,本文将结合实例对其进行深入分析,来探究两个重要极限的基本形式及其推广 与应用。 关键词:重要极限推广形式应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords: Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置, 它贯穿了整个数学分析的内容,是积分和 微分的基石,也是一个基本概念,而利用两个重要极限 lim 牛=1和lim(1十1)x = e 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可 以简化极限计算的步骤,节约时间,而且过程清晰明了,使人易懂。对丁数学专业的 学生,更应该熟练掌握这部分内容,并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这 部分内容,本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、	归纳 和探讨。 两个重要极限的基本形式及其推广形式 1.1	lim 拶t	⑴ 运用lim W=1这个极限时我们一定要注意以下几个方面: 分数线上面的x要与分数线下面的x要保持一致。 公式中的x一般要趋近丁 0,并且号要符合0型的未定式。 式子中的x不但可以表示一个未知数,而且可以代表一个式子。 sin x	通过数学中的变量替换,我们知道当limg(x^0时lim 一厂=1可以推厂为 F=1 ⑤这一重要极限我们可以记做1.2]血男=1,其中代 ⑤这一重要极限我们可以记做 1.2 lim 一(1 1)x =e x , x 1 或lim (1 x) x =e x J0 同样,在应用这个重要极限时我们也要注意几个方面: ①同(1)式中的x一样,此处的x可以表示一个未知数X,也可以表示一个式 子。 1 ②当iimg(xi时有1皿("疝)「 1 或当 lim g(x) =°时有lim(1 +g(x))g(x) =e X ^0	xf ③由②中可以看出此处的x可以趋近丁 0,也可以趋近丁 8,但必须与(3)和(4)中保持一致。 ④由(3) (4) (5) (6)我们可以看出公式中括号内加号后面的部分与括号外的 籍次互为倒数,并且基本形式与推广形式都可以转化为 1*这种类型的极限问题。 类比丁 lim ^^ =1,这一重要极限我们可以记做ljm(1+:)A=e,其中A代 表一个未知量。 求极限时两个重要极限的具体应用 2.1 iim — =1及其推广公式的应用 sin x 例1求5iim x 0 分析:由公式(1)我们可以直接得到 解: sinx q —氏51im 厂-5 1 - 5 sin3x 例2求ixmT 分析:观察题目我们看出,由丁当XT 0时有3xt 0,如果我们把分母中的x变成3x就可以运用公式(2)来解这道题目,因此 解: sin3x|i sin3x |im^ sin 3x lim i— X 10 - 3x 3 c sin 3x=3 li、m 飞T =3 3sin 2x 分析:在解这道题时我们要先利用三角函数把	tanx转化为sinx,然后再把分子和 分母都转化为公式中的形式,再利用上面给出的公式,这样就可以解决这道题 分母都转化为公式中的形式,再利用上面给出的公式, 这样就可以解决这道题Bo 解: 3 sin 2 x	3 sinli 3 sin 2 x	3 sin lixm0布茶=岫4sin 3x - lixml 4 tan 3xcos 3x 3 sin 2x 3 sin 2xF叫4^7 =4lixm0 茹云 cos3x cos 3x sn^ 2X ―2^	cos3x sin 3x c	3x 3x 3 2Umsin 3 2 Um ―2^	cos3x sin3x 4m 3x 1 1 1 2 1 2 1 - cos X 例4求2 |im 1 X >0 2	分析:观察题目我们可以看到,题中有1-COSX ,我们可以利用三角函数公式将 其先转换成sin 2 X	——,然后再利用上面的推广公式就可以很顺利的解决这道题目了。 2 解: 2 2「1 - cos x 2 2(sin—)2 2 4 X sin (— 2 X N)2 X ~2 1= 2 — 1 2 =1 2 aic _! 例5求lim守书 m 3m 1 分析:通过观察可以看出,把分子上的未知数转化到分母上可以凑成推广公式的 形式,再利用其就可以计算出该题 解: 2 ? 1 3m s i n— lim ―』	m mr ' ' ;3m -1 .1 s i n—	- m 3m— 的:1 3m2 -1 m . 1sin 彻^肿—2_1 m =1	3 =3 3m 1 2-2 ixm(1 X) 1 =e或lim(1 +x)X =e及其推广公式的应用 X :0 1	1 例6求5原(1 m m "5 分析:观察可以看出,先做一下等价变形,然后再利用基本形式就可以计算出答 1	1、?lim 1	1、 ?lim(1	) 5m, m m-5 1	1 x m	1 x 5.. 7llm [(1	) (1	) ] 5m, m	m 4lmm(1	m)mlmm(1 1』 =—e 1 5 1 一52-2cosx2 例8 求lixmpcos^ 分析:通过观察我们可以看出,先运用三角函数的二倍角公式把分子和分母都转化为正弦函 数,然后再把分子和分母分别凑成推广形式,再利用公式即可解出这道题。 解: .	2-2cosx2llx .	2-2cosx2 llxm0	1-cosx mo ^—x 2 x 2sin - 2 2(sln|)2 2 sin 2 _2 / ? x、2 (sin —) 2 =1 1 =1 例7求llm(1 —4x)xx )0 分析:在解这道题时, 我们要注意括号中	1之后的符号是正号还是负号