定积分与二重积分、三重积分有3点不同:
一、三者的概述不同:
1、定积分的概述:定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
2、二重积分的概述:二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。
3、三重积分的概述:设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数,将Ω任意分割为n个小区域,每个小区域的直径记为rᵢ(i=1,2,...,n)。
体积记为Δδᵢ,||T||=max{rᵢ},在每个小区域内取点f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ),作和式Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)Δδᵢ,若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关);
则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。
二、三者的几何意义不同:
1、定积分的几何意义:表示平面图形的面积。
2、二重积分的几何意义:表示曲顶柱体体积。
3、三重积分的几何意义:表示立体的质量。
三、三者的注意事项不同:
1、定积分的注意事项:一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
2、二重积分的注意事项:平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。
3、三重积分的注意事项:当积分函数为1时,就是其密度分布均匀且为1,质量就等于其体积值。当积分函数不为1时,说明密度分布不均匀。
定积分与二重积分、三重积分均是高等数学中重要内容,其中,定积分是学习二重积分、三重积分的基础。
参考资料来源:百度百科-定积分
参考资料来源:百度百科-二重积分
参考资料来源:百度百科-三重积分