函数与极限 一、函数的连续性(continuity) 二、函数的间断点(points of discontinuity) 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题 经济数学一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 四、小结 思考题 第七节 函数的连续性 三、初等函数的连续性 1.函数的增量(increment) 注意: 2.连续的定义 即:函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值. 例1 证 由定义2知例2 证3.单侧连续 定理 例3 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 5.基本初等函数的连续性 1.可去间断点(a removable discontinuity) 例4 解 注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例4中, 例5 解2.跳跃间断点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 左右极限相等,则为可去间断点; 左右极限不相等,则为跳跃间断点. 例5中的间断点为跳跃间断点. 3.第二类间断点 例6 解例7 解 注意 函数的间断点可能不只是个别的几个点. 这时也称其为振荡间断点. 狄利克雷函数(Dirichlet’s function) 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. 判断下列间断点类型: 例8 解 定理1 例如, 1. 连续函数的和、差、积、商的连续性 定理2 严格单调递增(递减)的连续函数必有 严格单调递增(递减)的连续反函数 . 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 2. 反函数与复合函数的连续性 定理3 例9 定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 3. 初等函数的连续性 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的去心邻域内没有定义. 注意 例10 例11 解解注意 2. 初等函数在连续点求极限可用代入法. 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 4. 初等函数的连续性 (1)初等函数在其定义区间上连续; (2)初等函数的连续性在求极限时的应用: 代入法。 * * 指出下列函数在指定范围内的间断点,并说明这些间断点的类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续 . 1.在上 . 2.,在上 . 讨论函数 的连续性,若有间断点,判断其类型 . 五、试确定的值,使, (1)有无穷间断点;(2)有可去间断点 . 一、1.一类,二类; 2.一类,一类,二类. 二、为跳跃间 断点. 三、1.为第一类间断点; 2. 为第二类间断点. , 填空题: 1.指出 在是第_______类间断点;在是第_____类间断点 . 2.指出在是第________类间断点;在是第______类间断点;在是第_____类间断点 . 研究函数的连续性,并画出函数 的图形 . 定义1 设函数在内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即或,那末就称函数在点连续,称为的连续点. 定义2 设函数在内有定义,如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即 那末就称函数在点连续. 若?在??连续,则、在? 是否连续?又若、在?连续, 在?是否连续? 在连续, 故、在都连续. 在不连续, 、在连续 ??从这个定义我们可以看出,函数在点??处连续,必须满足以下三个条件: ??(1)函数在点??处有定义; ??(2)极限 存在,即??(3) . 设,,试研究复合函数与的连续性. 在上处处连续 在上处处连续 . 四、和为第一类间断点. 五、(1) (2).