卫福山(上海市松江二中) 第一课时 《北京青年报》 2002年2月24日 报道:中国第一座高 108 m的摩天轮在锦 江乐园起吊了第一根 钢质主支架.上海这座 摩天轮的诞生将以此 高度跻身世界三大摩 天轮之列. 讨论 y x o 考察摩天轮上吊篮与轮环的某一个连接点. y p OP0 绕O点按逆时针 方向,匀速运动,经 过t分钟后达到 OP. 角速度:ω半径:R. t? O ? p0 y ? R sin(?t ? ? ) x 一般地, y ? A sin(? x ? ? ) 在物理和工程技术的许 多问题中,都要遇到形如 y=Asin(ωx+φ)的函数解析式 (其中A,ω,φ是常数),如 交流电、振动和波等. 1 例1.作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象. 2 解:1. 列表: x sin x 2 sin x 0 0 0 0 ? 2 ? 3? 2 2? 0 0 0 1 0 0 0 ?1 2 ?2 1 sin x 2 1 2 ?1 2 2. 描点、作图: y 2 1 O y=2sinx y=sinx 2? ? x 1 ?1 y= sinx 2 ?2 周期相同 作图 y 2 1 O y=2sinx y=sinx 2? ? 2 1 y = sinx ?1 y 2 x ?2 1 2? O ?1 ?2 ? x y 2 1 2? O ? 2 y=2sinx x ?1 y= 1 sinx ?2 一、函数y=Asinx(A>0)的图象 y 2 1 2? O ? x ?1 ?2 y=2sin x的图象可以看作是把 y=sin x的图象上所有 点的纵坐标伸长到原来的 2倍. 1 y= 2sin x的图象可以看作是把 y=sin x的图象上所有 点的纵坐标缩短到原来的 1 倍. 2 ? 函数y=Asin x (A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或 缩短(当00)图象 y 1 y=sin1 x 2 2? O ? y=sin x 3? 4? x ?1 y=sin 2x y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sin x的图象上所有 2 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变). y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sin x的图象上所有 1 点的横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变). ?函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看作 是把 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短 (当?>1时)或伸长(当00时)或向右(当φ<0时) 平移|φ|个单位而得到的. 第二课时 复习图象与性质关系: 1.y ? sin x ? y ? A sin x; 2.y ? sin x ? y ? sin ? x; 3.y ? sin x ? y ? A sin ? x; 4.y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ). 四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 π π 例4 .作函数 y ? sin( 2 x ? )及 y ? sin( 2 x ? )的图象. 3 4 x π 2x ? 3 π 6 5π 12 2π 3 11 π 12 7π 6 0 0 π sin( 2 x ? ) 3 y 1 O ?1 ? 2 1 ? 0 3? 2 -1 π y ? sin( 2 x ? ) 3 2? 0 π 6 π 2 ? x y=sin2x y 1 π O 8 ?1 ? ? 2 π y ? sin( 2 x ? ) 3 ? 7? 6 x 6 π y ? sin( 2 x ? ) 4 想一想? y 1 π 2 π 6 它们的周期有何关系? ? x π O 8 ?1 周期相同 ?函数y=sin(ωx+φ) 的图象可以看作是把 y=sinωx 的图象 上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平 ? 移| |个单位而得到的. ? 练习: 1.怎样由函数 的图象? 2.怎样由函数 的图象? 的图象? y ? 3 sin x x π y ? 3 sin( ? ) 的图象得到函数 2 2 6 x 2 y ? 3 sin( x π ? ) 2 6 的图象得到函数 y ? 3 sin 3.怎样由函数 y ? 3 sin( x π x π ? ) 的图象得到函数y ? 3 sin( ? ) 2 6 2 6 x π 问题:怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2 sin( ? )的图象? 2 6 y ? sin x 所有点的横坐标 伸长为原来的多少倍? 所有的点向哪边 平移多少个单位? 所有点的纵坐标 伸长为原来的多少倍? x y ? sin 2 x π y ? sin( ? ) 2 6 x π y ? 2 sin( ? ) 2 6 π π 例5 作函数 y ? sin( x ? ) 及 y ? sin( 2 x ? ) 的图象. 3 3 1 O π y ? sin( x ? ) 3 5? 6 ? 5π 3 7π 6 2? x π ? ? π?1 3 6 7π 12 π y ? sin( 2 x ? ) 3 作图Flash 问:y ? sin(x ? ? )与y ? sin(?x ? ? )的图象有何关系? ?函数y=sin(?x +φ) (? >0且?≠1)的图象可以 看作是把 y=sin(x +φ) 的图象上所有点的横坐标 1 缩短(当?>1时)或伸长(当00,ω>0),x∈R 的图象可以看作是用下面的方法得到的: 途径1: 1.先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右 (φ<0)平行移动| φ|个单位; 2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或 伸长(0<ω<1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变); 3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩 短(01)或 伸长(0<ω<1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变); 2.再把所得图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0)平 ? 行移动 | |个单位; ? 3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩 短(00,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时 ,A 就表示 这个量振动时离开平衡位置的最大距离, 通常把它叫做这个振动的振幅 ; 往复振 动一次所需要的时间 T=2π/ω, 它叫做 振动的周期 ; 单位时间内往复振动的次 数 f=1/T=ω/2π, 它 叫 做 振 动 的 频 率 ;ωx+φ叫做相位 ,φ 叫做初相 ( 即当 x=0 时的相).