——神奇的三角形
在以直线的线段为边的封闭图形中,三角形是最基础的最简单的图形。三角形,体现了“边、角、形”的最基础关系;也是反映“数与形”结合的最基础的系列关系。所以,三角形、勾股定理、三角函数,成为平面几何学的重点。
在数与形的结合的几何图形中,最初是三角形的边与角的实际数量关系;再就是用抽象的直角坐标,以“形”表“数”,表示“数与数”的关系、“形与数”及“数与形”的关系。 这其中,三角形与圆形,尤为突出凸现了“数与形”的标配关系。 这中,最基础的又最奇妙的就,算是“三角形”。“三角形”是几何学中的“万能钥匙”。
(一)、三角形的奇特性
三角形,有三个角、三条边。三条直线边围成三个角,这种封闭图形就是“三角形”,又叫“三边形”。三角形的三个内角的角度之和,为一百八十度1800)。
三角形是角与边长关系最稳定的图形。 若改变一个角的角度,就必然会改变其对应的边长。若改变三角形一条边长,就必然会改变的那个角的角度。三角形的“边与角”的关系十分稳定。有“变”则相应跟着“变”;不“变”就都不“变”。边角的“伴侣”关系“铁”得很。
三角形有三个顶点,且只有三个角的顶点。三角形内在隐函的特殊线段,都与这三个顶点相关:
将一个角的角度,平分为两半的线,叫角平分线。角平分线上的任一点,到角的两边线的距离都相等。
三角形的角平分线是将顶角平分为两半、并从顶点引向对边的边线相交点的线段。三角形的三条角平分线相于一点,叫三角形的内心。三角形的内心,是与三条边相切的内切圆的圆心。
三角形的边线中点与对应角顶点的连线,叫中线。三角形的三条边的中线,相交于一点,叫作外心。外心是三角形外接圆的圆心。 三角形三条边中点与中点连线,叫中位线。中位线平行于底边,且为底边的一边。
三角形的角顶点到底边(或底边的延长线)的垂直线,叫角垂角线;三条边的角垂线,相交于一点,这一点叫作三角形的重心。通常将角垂线叫做三角形的高。三角形的面积等于底边乘
高之积的二分之一。
三角形的“角平分线、角中线、角垂线”,是三角形内在的隐含的三种特殊钱段。这也是三角形“作图、证明、计算”的重要的辅助线,是可以根据需要,允许随时添加的这类线段。 这三大辅助助线、以其相关的定理,是三角形的已知条件中,不言自明的间接的已知条件。