这是我最喜欢的几何谜题之一:你能否在纸上画一个钝角三角形,然后把它分割成若干个锐角三角形?令人难以置信的是,这竟然是可以办到的!继续看下去之前,大家不妨先自己想一会儿。每次我在课堂上提出这个问题的时候,学生们总会疯狂而盲目地进行尝试。根据我的观察,绝大多数人都会先画一个不那么钝的钝角三角形(其实这本质上并不会简化我们的问题),然后作出一系列类似于图 1 的尝试,但最后都以失败告终。此时我往往会反复强调:要有方法啊,要有方法!首先,想必很多人已经注意到了,我们必须在钝角里引出一条线(如图 2 所示),这样才能把钝角给消除掉。接下来,则是很少有人意识到的一点:我们不能让这条线一直延伸到对边,否则原三角形将会被分成一个锐角三角形和一个钝角三角形(或者两个直角三角形),这并不能解决根本问题。也就是说,这条线在到达对边前就必须得分岔。最后一个关键的问题就是,分成几岔?显然,分成三岔(如图 3 所示)是不够的,因为这样只能把一个周角分成四份,它们不可能都是锐角。为了让所有的角都是锐角,我们至少要让这条线分成四岔(如图 4 所示)。最后,再把一些没有连起来的点连起来,我们就得到一个像模像样的答案了(如图 5 所示)。
有的读者或许会说,等等,等等,你怎么敢肯定,图5中的每个小三角形都是锐角三角形呢?其实,我也不敢肯定。不过,我并没有说图 5 就是最终的答案。为了证明确实有一个钝角三角形能被分成若干个锐角三角形,我们需要给出一个确凿的、能供他人进行验证的例子。图5并不是一个确凿的例子,但它给我们提供了构造这种例子的思路,或者更贴切地说,构造这种例子的模板。借助这个模板,我们很容易得到下面这种构造方案。
如图,首先,画一个正五边形 ADEFG 。然后,找出它的中心 O ,将它分别与 A 、 D 、 E 、 F 、 G 相连。最后,延长 AD 和FE 并交于点 B ,延长 AG 和EF 并交于点 C 。那么,整个大三角形 ABC 将会成为一个顶角为 108° 的等腰三角形。这就是一个绝对让人信服的例子,我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数,从而说明每个小三角形的确都是锐角三角形。
那么,能否把任意一个钝角三角形都分割成若干个锐角三角形呢?这下子,问题就变得复杂得多了。为了给出一个肯定的答案,我们必须想出一种能够适用于所有钝角三角形的通用分割方案,并且证