如果打开任意一篇题为《世界上最美的10个数学公式》的文章,其中几乎一定会有欧拉恒等式或欧拉公式出现。遗憾的是,它们并非本文的话题。除了上文提到的欧拉公式外,还有一条相对没有那么出名的公式也常常被称为欧拉公式。为避免混淆,本文将其称作欧拉多面体公式(Euler’s polyhedron formula):
$$ V - E + F = 2 $$
其中,$V$为任意**凸多面体(convex polyhedron)**的顶点数,$E$为棱数,$F$为面数。恰巧,继$0$、$1$之后,下一个自然数$2$也在此出现了。实际上,欧拉多面体公式的左手边是一个可用于描述任意多面体表面的量,称为欧拉示性数(Euler characteristic),记作$\chi$。对任意多面体表面
$$ \chi = V - E + F $$
例如,对所有五个柏拉图体(即正多面体),欧拉多面体公式都是成立的:
正四面体正方体正八面体
V486
E61212
F468
正十二面体正二十面体
V2012
E3030
F1220