例子

在线性方程组网页上的一个例子是:

例子:解

x + y + z = 62y + 5z = -42x + 5y - z = 27
我们在那个网页用"消元法"去解……但我们也可以用矩阵!
用矩阵来解其实比较容易,因为我们可以用电脑程序(例如矩阵计算器)来做所有"繁复的运算".
当然,我们首先需要把题写成矩阵形式。

矩阵形式?

矩阵是数的排列,对不对?
矩阵
看看以下的方程式:

x+y+z=6
2y+5z=-4
2x+5y-z=27

这组方程式可以写成一排列的数:

111=6
025=-4
25-1=27

再进一步,我们可以把在 "=" 两边的数分开:

1116
025和-4
25-127

现在看上去好像两个矩阵。
其实还有一个矩阵,就是[x y z]。基于矩阵乘法(见矩阵乘法),我们应该这样写:
我们知道 x + y + z = 6 等等资料,所以方程组可以写成:
酷!

矩阵解法

把这三个矩阵称为 "A", "X" 和"B",方程组便是:
AX = B
其中:
A 是x,y 和z的系数的 3x3 的矩阵X 是x,y 和z,B 是6,-4 和27
答案(参见逆矩阵)的公式是:
X = A-1B
这个公式的意思是:x、y 和z的值(X 矩阵)等于A 矩阵的逆乘以B 矩阵。
现在我们用这个来解方程组.
首先要求A 矩阵的逆(假设它存在!)
(我把 1/行列式 放在矩阵外面,这样矩阵里面的数便可以简单点)
然后把A-1乘以B (也是用矩阵计算器):
做好了!解是:
x = 5、y = 3 和z = -2
和在线性方程组 网页里算出来的一样。
这是个干净利落和优雅的解法,并且:人来想,电脑来做。

好玩吗?……再来一遍!

这次把矩阵 "X" 放在前面。
很多人以为上面的做法是唯一的做法,但其实也可以按照以下的方法来做。
这样:
XA = B
因为矩阵特别的乘法,我们要用另一个形式来写下矩阵。我们需要把行和列对调("转置"):
XA = B 像这样:

矩阵解法

答案是(也参见逆矩阵):
X = BA-1
A-1是:
和上面的逆矩阵差不多,但是转置(行与列对调)了。
接下来把B 乘以A-1::
答案和上面的一样:
x = 5、y = 3 和z = -2
这方法没有那么整齐,但仍然算出了正确的答案。矩阵方程通常可以用不同的方法来解,但我们要小心不要把行和列弄错!