引言 现在国内外关于瑕积分敛散性的判别方法的研究非常丰富,取得了很好的成果,其 中不乏有所突破的地方,例如:李灼庭发表的《关于瑕积分敛散性教学上的一些问题》 在瑕积分的教学中收到了很好的效果.又如:石秀文和张广慧发表的《瑕积分敛散性的 判断技巧》和《瑕积分敛散性的判别方法与应用》更加丰富了瑕积分的敛散性判别方 法与应用. 瑕积分收敛性的判断是学生学习的难点之一,判断瑕积分收敛的方法有多种,《数 学分析》教材上给出的常用的方法主要有定义法、比较法、柯西判别法、狄利克雷判 别法和阿贝尔判别法.本文将通过对瑕积分收敛性的几个特性及判断瑕积分收敛的一 些技巧和规律的研究,使学习者能够更快、更好的掌握瑕积分收敛性的判断方法. 含参量瑕积分又是瑕积分的一个重要分支,对含参量瑕积分的探讨,又能更好的 来研究瑕积分的收敛性.瑕积分收敛的判别方法在含参量瑕积分收敛中也有重要的应 用,从而推出含参量瑕积分一致收敛的判别方法. 由于瑕积分的复杂性,导致其运算过程往往是很复杂的,利用怎样的方法,才能 使瑕积分的运算更简便,本课题也将给予研究. 本文分为四大部分:即摘要,引言,正文和总结.而正文又分为三大章. 第一章:瑕积分敛散性的判别方法和应用,着重介绍瑕积分敛散性的判别方法以 及这些方法在实际问题中的应用.第一节叙述瑕积分的定义;第二节给出瑕积分的一些 基础性质;第三节列出瑕积分敛散性的判别方法,如:比较法;柯西判别法等等;第 四节主要是瑕积分判别法的应用举例;第五节是关于柯西判别法的延伸. 第二章:含参量瑕积分一致收敛的判定和应用,着重介绍瑕积分中的含参量瑕积 分敛散性的判别方法以及其在实际问题中的应用.第一节叙述含参量瑕积分的定义;第 二节列出了含参量瑕积分敛散性的判别方法,如:柯西判别法;M 判别法;狄利克雷 判别法等等;第三节主要是一些应用举例. 第三章:瑕积分计算的简化,着重解决瑕积分与定积分之间的关系,讨论何种情 形下瑕积分才可以转化为定积分的运算,并给出一些瑕积分能够转化为定积分计算的 例子. 正文通过这三章,解决了在实际生活中遇到的瑕积分的一些问题,达到了本文的研 究目的,收到了预期良好的效果. 1 2 瑕积分敛散性的判别方法和应用 2.1 瑕积分的定义 定义 2.1 f 定义在区间 ?a,b? 上,在点 a 的任一右邻域内无界,但在任何闭区间 [u, b] ? (a,b) 上有界且可积.如果存在极限 lim u?a? b ?u f ( x)dx ? J ,则称此极限为无界函数 f 在 ?a,b? 上的反常积分,记作 b J ? ?a f (x)dx, 并称反常积分 b ?a f ( x)dx 收敛.如果极限 ? ?b lim f (x)dx ? u?a? u J 不存在,这时也说反常积分 b f (x)dx 发散. a 在定义中,被积函数 f 在点 a 近旁是无界的,这时点 a 称为 f 的瑕点,而无界函数反 ? 常积分 b f (x)dx 又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为 b 时的瑕积分: a b u ? ? f (x)dx ? lim f (x)dx. a u?b? a 其中 f 在[a,b) 有定义,在点 b 的任一左邻域内无界,但在任何?a,u? ? ?a,b? 上可积. 若 f 的瑕点 c ? (a,b) ,则定义瑕积分 b c b u b ? ? ? ? ? f (x)dx ? f (x)dx ? f (x)dx ? lim f (x)dx ? lim f (x)dx. a a a u?c? a v?c? v 其中 f 在 [a,c) ? (c,b] 上有定义,在点 c 的任一邻域内无界,但在任何 ?a,u? ? ?a,c? 和 [v,b] ? ?c,b? 上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的. 又若 a 、 b 两点都是 f 的瑕点,而 f 在任何[u,v] ? (a,b) 上可积,这时定义瑕积分 b c b c v ? ? ? ? ? f (x)dx ? f (x)dx ? f (x)dx ? lim f (x)dx ? lim f (x)dx, a a c u?a? u v?b? c 其中 c 为 (a,b) 内任一实数.当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是 收敛的. ? 例 1 瑕积分 1 dx 的值. 0 1? x2 解 被积函数 f (x) ? 1 在 [0,1) 上连续,从而在任何[0,u] ? [0,1) 上可积, x ?1 1? x2 为其瑕点.依定义求得 ? ? 1 dx u ? lim dx ? lim arcsin u ? ? . 0 1 ? x 2 u?1? 0 1 ? x 2 u?1? 2 2 ? 例 2 讨论瑕积分 1 dx (q ? 0) 的收敛性. 0 xq 解 被积函数在 ?0,1? 上连续, x ? 0为其瑕点.由于 ? { 1 dx ? 1 1?q (1?u1?q ),q?1(0 ? u ? 1), u xq ? ln u ,q ?1 ? ? 故当 0 ? q ?1时,且 1 dx ? lim x 0 q u?0? 1 dx u xq ? 1 1? q ,则瑕积分收敛; 而当 q ? 1 时,瑕积分发散于 ?? . ? ? 注 当 0 ? q ?1时,瑕积分 b dx a (x ? a)q ? (b ? a)1?q 1? q 收敛,而当 q ? 1 时,瑕积分 b dx a (x ? a)q 发 散于 ?? . 2.2 瑕积分的性质 类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质,瑕积分同样可由函数极限 ? ? lim b f (x)dx ? b f (x)dx 的原意写出相应的命题. u?a? u a ? 定理 2.1[1] 瑕积分 b f (x)dx (瑕点为 a )收敛的充要条件是:任给 ? ? 0 存在? ? 0, a 只要 u1 、 u2 ? (a, a ? ? ) ,总有 ? ? ? b b f (x)dx ? f (x)dx ? u2 f (x)dx ? ?. u1 u2 u1 ? 性质 1 设函数 f1 与 f 2 的瑕点同为 x ? a , k1、k2 为常数,则当瑕积分 b a f1(x)dx 与 ? ? b a f 2 (x)dx 都收敛时,瑕积分 b a [k1 f1 ( x) ? k2 f 2 ( x)]dx 必定收敛,并有 b b b ? ? ? a [k1 f1 (x) ? k2 f2 (x)]dx ? k1 a f1 (x)dx ?k2 a f 2 (x)dx 性质 2 设函数 f 的瑕点为 x ? a , f 在 (a,b] 的任一内闭区间[u,b] 上可积.则当 ? ? ? ? b f (x) dx 收敛时 b f (x)dx 也必定收敛,并有 b f (x)dx ? b f (x) dx . a a a a ? 性质 3 设函数 f 的瑕点为 x ? a, c ? (a,b) 为任一常数.则瑕积分 b f (x)dx 与 a ?c f (x)dx 同敛态,并有 a b c b ?a f (x)dx ? ?a f (x)dx ? ?c f (x)dx , 3 ? 其中 b f (x)dx 为定积分. c 2.3 瑕积分的收敛判别法 ? ? 定义 2.2 当 b f (x) dx 收敛时,称 b f (x)dx 为绝对收敛.称收敛而不绝对收敛的 a a 瑕积分是条件收敛, 判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下: 定理 2.2 (比较法则) 设定义在 (a,b] 上的两个函数 f 与 g ,瑕点同为 x ? a ,在任 何 [u,b] ? (a,b] 上 都 可 积 , 且 满 足 f (x) ? g(x), x ?(a,b] , 则 当 b ?a g(x)dx 收 敛 ? ? ? 时, b f (x)dx 必定收敛(或当 b f (x)dx 发散时, b g(x)dx 亦必发散). a a a ? ? 当选用 b dx 作为比较对象 b g(x)dx 时,由比较法则得到以下三个重要推论, a (x ? a) p a 推论 1 设 f 定义于 (a,b] , a 为其瑕点,且在任何[u,b] ? (a,b] 上可积,则有: ? (i)当 f (x) ? 1 (x ? a) p ,且 0 ? p ? 1时, b a f (x) dx 收敛; ? (ii)当 f (x) ? 1 , 且 p ? 1时, b f (x) dx 发散. (x ? a) p a 推论 2 设 f 定义于 (a,b], a 为其瑕点,且在任何[u,b] ? (a,b] 上可积.如果 lim (x ? a) p f (x) ? ? ,则有: x?a? ? (i)当 0 ? p ? 1, 0 ? ? ? ??时 b f (x)dx 收敛; a ? (ii)当 p ? 1, 0 ? ? ? ??时 b f (x)dx 发散. a 推论 3 设定义在 (a,b] 上的两个函数 f 与 g ,瑕点同为 x ? a ,又若 g(x) ? 0,且 lim f (x) ? c ,则有: x?a? g(x) ? ? (i)当 0 ? c ? ??时,由 b g(x)dx 收敛可推知 b f (x) dx 也收敛; a a ? ? (ii)当 0 ? c ? ??时,由 b g(x)dx 发散可推知 b f (x) dx 也发散. a a 4 2.4 瑕积分收敛判别法的应用举例 ? 例 1 判别下列瑕积分的收敛性:(1)[2] 1 ln xdx ; 0x ? (2) 2 x dx 1 ln x 解 本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号 ? ln x 在 (0,1] x 上恒为负, x 在 (1,2] 上恒为正,所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事. ln x (1)此瑕积分的瑕点为 x ? 0 .由上述推论 3,当取 p ? 3 4 ? 1时,有 所以瑕积分(1)收敛. 3 ? ? lim x4 ? x?0? ln x x ? ? lim x?0? ln x 1 x?4 ? 1 lim (4x4 x?0? ) ? 0, (2)此瑕积分的瑕点为 x ? 1.当取 p ? 1时,由 故该瑕积分发散. ? ? lim(x ?1) ? x ? lim x ?1 ? 1, x?1? ln x x?1? ln x ? 例 2[3] 讨论反常积分 ?(a) ? ?? x a?1 dx 的收敛性 . 0 1? x 解 这是一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. ? ? 把反常积分 ?(a) 写成: ?(a) ? 1 0 xa?1 1? x dx ? ?? 0 x? 1? dx x ? I (a) ? J (a) . (i)先讨论 I (a) .当 a ?1 ? 0 ,即 a ? 1时它是定积分;当 a ?1时它是瑕积分,瑕点为 x ? 0.由于 lim x?0? x1?a ? xa?1 1? x ?1, 根据定理 2.2 推论 2,当 0 ? p ? 1? a ? 1, 即 a ? 0 且 ? ? 1 时,瑕积分 I (a) 收敛;当 p ? 1 ?? ?1,即? ? 0 且 ? =1 时, I (?) 发散. (ii)再讨论 J (? ) ,它是无穷积分.由于 lim x??? x2?? ? x? ?1 1? x ? 1 lim x??? 1 ? x ? 1, 5 根据定理 2.2 推论 2,当 p ? 2 ?? ? 1,即 a ?1且 ? ? 1时, J (? ) 收敛;而当 p ? 2 ?? ? 1, 即? ?1且 ? ? 1 时, J (? ) 发散. 综上所述,把讨论结果列如下表: ? ? ?0 I (?) 发散 J (? ) 收敛 ?(? ) 发散 0?? ?1 收敛 收敛 收敛 由此可见,反常积分 ?(? ) 只有当 0 ? ? ? 1时才是收敛的. ? ?1 定积分 发散 发散 ? 例 3 讨论反常积分 ?? e?x ln xdx 的收敛性 . 0 1 解 ? ? ? ?? e?x ln xdx ? 1e?x ln xdx ? ?? e?x ln xdx , 由 lim x 2 e?x ln x ? 0 , 知 瑕 积 分 0 0 1 x?0? ? ? 1e?x ln xdx 收敛,又由于 lim x2e?x ln x ? 0, 知无穷积分 ?? e?x ln xdx 收敛,从而可知反常 0 x??? 1 ? 积分 ?? e?x ln xdx 是收敛的. 0 2.5 柯西判别法的延伸及应用 以下设函数 f (x) 以 a 为瑕点,在闭区间?a,u?上可积[5]. 一、若两个函数 f 与 g ,瑕点同为 x ? a ,且 g(x) ? 0, lim f (x) ? c , x?a? g(x) 由柯西判别法则 ? f (x)dx 与 ? g(x)dx 同敛散. ? ? 则 (1) b 1 dx 与 a ?(x) b1 dx a (x ? a)k 同敛散,即 k ?1时收敛,k ? 1 时发散. ? ? (2) b a ( ?(x) x ? a)k dx 与 b a ( x 1 ? a)k dx 同敛散. 注 若直接用柯西判别法,由上可知(1)取 p ? k ,即 k ?1时收敛, k ?1时发散, 同理(2) p ? a ? k ,这样参数 k 就容易确定了. 例 1 讨论瑕积分收敛性: ? (1) 21 1 (ln x)a dx ? (2) ? 1 dx 0 sin x ? (3) 11? cos x dx 0 xa 解 (1) lna x ? lna ?1? (x ?1)? ~ (x ?1)a,(x ?1) ,故 a ?1时收敛, a ?1时发散. 6 即 k ?1时收敛, k ?1时发散. 若用柯西判别法,由上可知取 p ?a , lim(x ?1)a x?1 1 lna x 1 ? lim x?1 lna x ?1 即 a ?1时收 敛, a ?1时发散.即 k ?1时收敛, k ?1时发散, lim(x x?1 ?1)a 1 lna x ? lim x?1 1 lna x ?1即 a ?1时 收敛, a ?1时发散. (2)0 为瑕点,易知其收敛. ? (3)当 a ? 0 , 1 0 1 ? cos xa xdx 为定积分,当 a ? 0 时,0 为瑕点,取 p ? a ? k ,易知其收敛 情况,那么熟知其等价性参数就容易确定了. 二、 (i)若 f 定义于?a, ??? ,在任何有限区间?a,u?上可积,且 lim x p f (x) ? ? x?? ? 由柯西判别法,则瑕积分与 b f (x) dx 同敛散. a 因为 lim(x ? a)p x?a f (x)?(x) ? A lim(x ? a) p x?1 f (x) ? ?1 A ??. ? ? 同为正数或同为 ?? ,所以由柯西判别法 b f (x) dx 与 b f (x)?(x)dx 的参数 p 的值相 a a 等. 例 2 讨论瑕积分收敛性 ?1 (1) 0 1 x ? x dx ? (2) 1 0 arctan 1? x3 xdx ? (3)[9] 2 x dx 1 (x ?1)(x ? 2) ? ? 解 (1)被积函数的瑕点为 1,故 1 0 1 x ? x dx 与 1 0 1 dx 同收敛;若用柯西判别 1? x 法,由上可知,取 p ? 1 2 ,则 ? ?1, 故收敛. ? ? (2)被积函数的瑕点为 1 1 0 arctan 1? x3 xdx 与 1 0 1 1 ? dx x 敛散性相同,应用柯西判别法可 知 p ?1,? ? ? 12 , 故收敛. (3)被积函数的瑕点 1 和 2.,所以 ? ? ? 2 1 x 3 dx ? 2 (x ?1)(x ? 2) 1 x dx ? (x ?1)(x ? 2) 2 3 2 (x x ?1)( x ? 2) dx ? J1 ? J2 ? ? 3 J1 ? 2 1 x 3 dx ? 2 (x ?1)(x ? 2) 1 1 x ?1 x dx (x ? 2) ?3 与2 1 1 dx x ?1 同收敛 .用 柯西 判 别法 ,由 上可 知 (1) 取 则 p ?1 2 , ? ?1 ,同理 J2 与 7 ?2 3 2 1 dx 用柯西判别法,由上可知(1)取 p ? 1 2 ,则 ? ?1故收敛,若熟悉了性质 2,可先 2? x 用性质 2 将形式上复杂的被积函数的瑕积分转化为简单函数的瑕积分,这将有助于简 化问题,从而更容易确定参数 p . (ii)若被积函数含有因 ln x 且 0 为瑕点,我们要熟悉极限 lim x?0+ x? lnm x ? 0(? ? 0, m? N?), ? ? 0取 p ? 1 且使上式中 a ? 0 即可知收敛. 例 3 判断瑕积分的收敛性 ? (1) 1 2 (ln x) dx 0 ? (2) 1 ln x dx 0 1? x2 ? (3) 1 ln x dx 0x 解 (1)被积函数的瑕点为 0, lim x?0? x? lnm x ? 0(? ? 0, m? N?), p ?1 2 ,则 ? ? 0 柯西判别法可知收敛. (2)被积函数的瑕点为 0 和 1 故 ? ? ? 1 0 ln x dx ? 1 2 1? x2 0 ln x 1 dx ? 1? x2 1 2 ln x 1? x2 dx ? J1 ? J2 由性质 2 及性质 3 知收敛. lim 1? x ln x ? lim 1? x x ?1 1 ? 0 , x?1? 1 ? x2 x?1? 1? x 1? x 即 p ? 1 2 ,则 ? ? 0 所有(2)收敛. (3)被积函数的瑕点为 0, lim xp ln x ? lim 1 x p-2 ln x ? ? x?0? x x?0? 由性质 3 知, p ? 1 ? 0 ,则 ? ? 0 ,柯西判别法可知须使 p ?1,故取 p ? 3 ,积分收敛. 2 4 通过实例使我们看到,以上三点是瑕积分收敛的基本的特性,在瑕积分的敛散性讨 论中起到了很重要的作用. 8 3 含参量瑕积分一致收敛的判定和应用 3.1 含参量瑕积分的定义 定义 3.1 设 f (x, y) 在区域 R1 ? ?a,b???c, d ? 上有定义.若对 x 的某值, y ? d 为函 数 f (x, y) 的瑕点(一下的含参量瑕积分未加说明都同此),则称 d ?c f (x, y)dy (1) 为含参量 x 的瑕积分. 定义 3.2 对任给的正数 ? ,总存在某正数 ? ? d ? c ,使得当 0 ?? ? ? 时,对一切 x ??a, b?,都有 d ?d ?? f (x, y)dy ?? ,则称含参量瑕积分(1)在上 ?a, b? 一致收敛. 3.2 含参量瑕积分一致收敛的判别法 ? ? 定理 3.1(柯西收敛准则) ? 含参量瑕积分 d c f (x, y)dy 在 a, b 上一致收敛的充要 条件是:对任给的正数 ? ,存在不依赖于 x 的 ? ? 0 ,使得当 0 ??? ?? ? ? 时,对一切 x ??a, b?,都有 d ??? ? f ( x, y) ?d?y d ?? (2) 证明 [必要性]由(1)在 x ??a, b?上一致收敛,故对任给的 ? ? 0 ,存在 ? ? ? (0 ? ? ? d ? c) ,使得 0 ??? ?? ? ? 时,有 d f (x, y)dy ? ? 与 d f (x, y)dy ? ? 同时 d ?? 2 d ??? 2 ? ? ? ? ? 成立.则有 d ??? f (x, y)dy ? d d f (x, y)dy ? f (x, y)dy ? d d f (x, y)dy ? f (x, y)dy ? ? d ?? d ?? d ??? d ?? d ??? [充分性]由所给条件知:对任给正数 ? ,存在不依赖于 x 的? (0 ? ? ? d ? c) 使得当 0 ??? ?? ? ? 时,对一切 x ??a, b?,都有 成立.令? ? ? 0,则有 d ??? ? f (x, y)dy ? ? d ?? d ? f (x, y)dy ? ? d ??? 成立.由定义 2 知:含参量瑕积分(1)在?a,b?上一致收敛. ? 注 根据含参量瑕积分 d f (x, y)dy 一致收敛的柯西准则,我们可以给出其非一致收敛 c 充要条件: ??0 ? 0 ,对 ?? ? 0(? ? d ? c ), ?0 ? ?1 ? ?2 ? ? , ?x0 ??a,b? 有 9 ? d ??1 d ??2 f (x0, y)dy ? ?0 定理 3.2(魏尔斯特拉斯 M 判别法) 设有函数 g( y) ,使得 f (x, y) ? g(y),?a ? x ? b,c ? y ? d ? (3) 若 d ?c g( y)dy 收敛,所以由瑕积分的柯西收敛原则知:对于任给的 ? ? 0 ,存在 ? ? ? 0 ( 0 ? ? ? d ? c ),对于任意的? ,? ? ,且 0 ??? ?? ? ? ,有 d-?? g( y)dy ? ? 又由(3)可 d-? 得 ? ? ? d??? f (x, y)dy ? d ??? f (x, y)dy ? d-?? g( y)dy ? ? . d ?? d ?? d-? 故由定理 3.1 ? 知:含参量瑕积分 d c f (x, y)dy 在?a,b?上一致收敛. 定理 3.3(Heine 归结原则) 含参量瑕积分 d ?c f (x, y)dy 在 ?a,b? 上一致收敛的充 要条件是:对任意递增数列?An? ( A1 ? c ), An ? d (n ? ?) 时,相应的函数项级数 ? ? ? ? n?1 An?1 An f (x, y)dy ? ? un (x) n?1 (4) 在 ?a, b? 上一致收敛. 证明 [必要性]因为(1)在?a,b?上一致收敛,由定理1 知对任给的 ? ? 0 ,必存在 ? ? 0 (0 ? ? ? d ? c) ,当 0 ??? ?? ? ? 时,对一切 x ??a,b? ,总有 d-? ? ? f (x, y)dy ? ? d-? (5) 成立. 令?n ? d ? An ,由 An ? d (n ? ?) 且 An 递增.则?n ? 0 (n ? ?) 且递减.由数列极限 定义,对上述? ? 0 ,存在正整数N,只要 m ? n ? N 时,就有 0 ? ?m ? ?n ? ? ,于是 un (x) ? un?1(x) ? ? um(x) ? ? = An?1 f (x, y)dy ? ? Am?1 f (x, y)dy An Am ?= Am?1 f (x, y)dy An ?= d??m?1 f (x, y)dy ? ? . d ??n ? ? 根据函数项级数柯西一致收敛准则函数项级数(4)在 a,b 上一致收敛. 10 [充分性]用反证法.假设(1)在?a,b?上非一致收敛,则存在某一正数 ?0 ? 0 ,使得 对于 ?? ? 0( 0 ? ? ? d ? c ),存在相应的 0 ??? ?? ? ? 和 x???a,b? ,有 ? d-? ? d-? f (x?, y)dy ? ?0. 现取?1 ? min?1, d ? c? ,则存在 0 ? ?2 ? ?1 ? ?1及 x1 ??a,b? ,使得 ? d ??2 d ??1 f (x1, y)dy ? ?0 一般的取 ? n ? min ?1 ? ? n ,?n?1 ??n ? ? ( ? n ? 2 ),则有 0 ? ?n?1 ? ?n ? ?n 及 xn ??a,b? 使得 ? d ??n?1 d ??n f (xn , y)dy ? ?0 (6) 令 An ? d ??n ,则?An? 是是递增数列, 且有 lim x?? An ? d .考察级数 ? ? ? ? ? un (x) = n?1 n?1 An?1 An f (x, y)dy 由(6)式知存在正数 ?0 ? 0 ,对任意正整数N,只要 n ? N 就有 某个 xn ??a,b? ,使 ? un (xn ) ? An?1 n f (xn , y)dy ? ?0 这与函数项级数(4)在 ?a, b? 上一致收敛的条件矛盾,故(1)在 ?a, b? 上一致收敛. ? 定理3.4(狄利克雷判别法) 若含参量瑕积分 d f (x, y)g(x, y)dy 满足: c (1)对一切 c ? d? ? d ,含参量正常积分 d? ?c f (x, y)dy 对参量 x 在 ?a, b? 上一致有界, 即存在正数M ,对任何 c ? d? ? d ,及一切 x ??a,b? , ?d? f (x, y)dy ? M . c (7) (2)对每一个 x ??a,b? ,函数 g(x, y) 关于 y 单调且当 y ? d 时,对参量 x , g(x, ? y) 一致收敛于0.则含参量瑕积分 d c f (x, y)g(x, y)dy 在 ?a, b? 上一致收敛. 证明 由(1)可知:对一切 c ? d ?? ? d 及一切 x ??a,b? ,存在正数 M ? 0 ,有 d ?? ?c f (x, y)dy ? M (8) 由条件(2)可知:对任意的 ? ? 0 ,存在与 x 无关的? ? 0 (? ? d ? c) ,使得当 0 ??? ? ? ,且 11 d ? y ? d ??? 时,对于任意的 x ??a,b? ,有 g(x, y) ? ? (9) M 从而当 0 ??? ? ? 时,有积分中值定理和(8)、(9)可以得到 d ?? ? f (x, y)g(x, y)dy d ??? ? ? = g(x, d ???) ? f (x, y)dy + g(x, d ??) d ?? f (x, y)dy d ??? ? ? ? M? ? M MM = 2? . 其中 ? 在d ?? 和 d ? ??? 之间.故由定理1知含参量瑕积分 d c f (x, y)g(x, y)dy 在 ?a, b? 上一 致收敛. ? 定理3.5(阿贝尔判别法) 若含参量瑕积分 d f (x, y)g(x, y)dy 满足: c ? (i)含参量瑕积分 d c f (x, y)dy 在?a,b?上一致收敛; (ii)对每一个 x ??a,b? ,函数 g(x, y) 为 y 的单调函数,且对参量 x , g(x, y) 在?a,b?上 ? 一致有界,则含参量瑕积分 d c f (x, y)g(x, y)dy 在 ?a, b? 上一致收敛. 证明 由(ii)知存在 M ? 0 ,对参量 x ??a,b? ,有 g(x, y) ? M (10) ? 因为(i)含参量瑕积分 d c f (x, y)dy 在?a,b?上一致收敛,所以由定理1知:对任给的 ? ? 0, 存在与 x 无关的? ? 0 (? ? d ? c) ,使得 0 ??? ?? ? ? 时,有 d ??? ? ? f (x, y)dy ? d ?? M 故对任意 x ??a,b? ,由积分中值定理和(10)、(11)可得: (11) d ??? ? f (x, y)g(x, y)dy d ?? ? ? = g(x, d ??) ? d ??? f (x, y)dy ? g(x, d ???) f (x, y)dy d ?? ? ? d ??? ? ? ? g(x, d ??) f (x, y)dy ? g(x, d ???) f (x, y)dy d ?? ? ? ? M? ? M MM ? 2? . 其中? 在 d ?? 和 d ??? 之间. 12 故由定理3.1 ? 知,含参量瑕积分 d c f (x, y)g(x, y)dy 在?a,b?上一致收敛. 定理3.6 设法 f (x, y) 在?a,b???c,d ? 上连续,对任何 x ??a, b? , d ?c f (x, y)dy 收敛, ? 且 d c f (b, ? y)dy 发散,则 d c f (x, y)dy 在上 x ??a,b? 不一致收敛. 证明 ? 用反证法,若 d c f (x, y)dy 在 x ??a,b? 上一致收敛,由柯西收敛准则:对任给 的 ? ? 0 ,存在? ? 0 (? ? d ? c) ,当 0 ??? ?? ? ? 时,对一切 x ??a,b? 有 ?d??? f (x, y)dy ? ? , d ?? 根据假设 f (x, y) 在?a,b???d ??, d ???? 上连续,对含参量正常积分应用连续性定理,令 x ? b? ,有 ?d??? f (b, y)dy ? ? . d ?? ? 这与所设含参量瑕积分 d c f (b, ? y)dy 发散相矛盾.故 d c f (x, y)dy 在 x ??a,b? 不一致收敛. 3.3 含参量瑕积分判定收敛法的应用 ? 例1[12] 证明含参量瑕积分 1 sin xy dy(x ? ?0,1?) 在 (0,1) 上一致收敛. 0 |y ? x| 证明 因为 ? ? ? 1 sin xy dy= x sin xy dy+ 1 sin xy dy , 0 |y ? x| 0 y ? x x y ? x ? 所以对于含参量瑕积分 x sin xy dy ,由于 0 y?x ? ? ? x sin xy dy ? x sin xy dy ? x 1 dy ? 2 ? , x?? y ? x x?? y ? x x?? y ? x 故对于任给的 ? ? 0 ,取 ?1 ? ? 2 ? 4 ,当 0 ? ? ? ?1 时,即有 x x?? sin xy dy y?x ? ? .因此,对于 0 ? x ? 1它是一致收敛的. ? 对于积分 1 sin xy dy ,由于 x y?x ? ? x?? sin xy dy ? x y?x x ?? x 1 dy ? 2 ? , y?x 13 故对任给的 ? ? 0 ,取?1 ? ? 2 4 ,当 0 ? ? ? ?1 时,即有 ? x?? sin xy dy ? ? , x y?x ? 因此,对于 0 ? x ? 1它是一致收敛的,于是积分 1 0 sin xy dy ,对于 ?x ??0,1? 上一致收 y?x 敛. ? 例2 证明含参量瑕积分 2 y x dy 对 ?x??0, 2? 一致收敛. 0 3 ( y ?1)( y ? 2)2 证明 易见 y ? 1, y ? 2 是瑕点,将积分分成在 (0,1) 及 (1,2) 上的两个积分. 当 0 ? y ? 1且 x ??0,0.5? 时,有 yx ? 1 3 ( y ?1)( y ? 2) 3 (1? y)(2 ? y)2 当1? y ? 2 且 x ??0,0.5? 时,有 yx ? 2 3 ( y ?1)( y ? 2) 3 (1? y)(2 ? y)2 (12) (13) 易证(12)、(13)右端的函数在区间 (0,1) 和 (1,2) 上的积分收敛,所以由定理2知 ?2 y x dy 在?0, 2? 上一致收敛. 0 3 ( y ?1)( y ? 2)2 例3 ? 证明含参量瑕积分 1 ln( xy )dy 0 在 ? ?? 1 b , b??? ?b ?1? 上一致收敛. 证明 由条件可知 ln(xy) ? ln x ? ln y ? ln x ? ln y ? lnb ? ln y , ? ? 而 1?ln b ? ln y?dy 收敛.所以由定理3.2知 0 1 0 ln( xy)dy 在 ? ?? 1 b , b ? ?? ( b ? 1)上一致收敛. ? 例4 判断含参量瑕积分 1 0 1 yx sin 1dy y 在开区间 ?0,2? 是否一致收敛. ? ? 解 因为 1 1 sin 1dy 发散,所以由定理3.6知 0 yx y 1 0 1 yx sin 1dy y 在开区间 ?0, 2? 非一致 收敛. 14 ? 例5 证明含参量积分 e1 ?xy 1 dy 在?0, d ? 上一致收敛. 0 y 证明 ? 由于 1 0 1 dy 收敛(当然,对于含参量 x ,它在?0, d ? 上收敛).函数 y g(x, y) = e? xy ,对每个 x ??0, d?单调,且对任何的 0 ? x ? d,0 ? y ? 1,都有 g(x, y) ? e?xy ? 1, ? 故由定理3.5知 1 0 1 yx sin 1dy y 在?0, d ? 上一致收敛. 15 4 瑕积分计算的简化 4.1 瑕积分计算可简化的第一种情形 瑕积分与定积分的本质差别,在于被积函数在有限积分区间上是否有界.求定积分 的计算最终归于牛顿—莱布尼兹公式的应用,由于瑕积分不满足公式的条件(被积函数 连续或仅有有限个第一类间断点),通常瑕积分不能像定积分一样按牛顿—莱布尼兹公 式计算.但根据实践,我们发现一些瑕积分不只形似定积分,且完全可以用牛顿—莱布 尼兹公式计算,既快捷又准确. ? 例1 求 1 1 dx . 0 1- x 解 属于瑕点 x ?1在上限的瑕积分,按定义有 ? ? 1 1 dx = lim 1?? 1 dx 0 1- x ? ?0? 0 1- x ? = - lim 1?? d (1? x) ? ?0? 0 1? x = - lim 2 ? ?0? 1? x |10?? = - lim 2( ? -1) ? ?0? =2 . 利用牛顿——莱布尼兹公式,同样有 ? ? 1 0 1 dx = 1- x 1 d (1? x) = -2 0 1? x 1? x |10 =2 . 显然,上面两种解法,后一解法较前一解法每步骤都省略了极限符号,若可行的话,则起 到了简化计算的作用. ? 例2 求 8 dx . -1 3 x 解 属于瑕点 x ? 0 在中间的瑕积分,按定义有 ? ? ? 8 dx ? 0 dx ? 8 dx -1 3 x -1 3 x 0 3 x ? ? ? lim ?1 dx ? lim 8 dx x x ?1?0? -1 3 ?2 ?0? ?2 3 = lim ?1 ?0? 3 2 2 x3 |?1 ?1 + lim ?2 ?0? 3 2 2 x3 |8 ?2 16 利用牛顿——莱布尼兹公式. = lim ?1 ?0? 3 2 2 x3 |?1 ?1 + lim ?2 ?0? 3 2 ? 2 ? 4 ? ?23 ? ? ? ? =? 3 ?6 2 =9 . 2 ? ? ? 则 8 dx ? ?1 3 x 0 dx ? ?1 3 x 8 0 dx 3x ? 3 2 2 x3 |0?1 ? 3 2 x 2 3 |80 = ? 3 2 ? 3 2 ? 4 ? 9 2 . 上述两例表明,牛顿——莱布尼兹公式用于解此类瑕积分,既快又准,这不是偶然的巧 合. 对上述例子归纳,我们有 定理4.1 对于瑕积分 b ?a f (x)dx ,若被积函数 f (x) 的原函数 F ( x) 在积分区间 ? a, b? ? 上连续,则该瑕积分一定收敛,且可以用牛顿——莱布尼兹公式. b f (x)dx = a F (x) |ba ? ? ? 证明 设 b f (x)dx 为瑕积分, F(x) 为 f (x) 的一个原函数且在 a,b 上连续.若 b 为 a 瑕点,则 ? ? b f (x)dx = lim b?? f (x)dx = lim F(b ?? ) ? F(a) ? F(b) ? F(a) . a ? ?0? a ? ?0? 同理,若 a 为瑕点,则 b ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) . 若 c ??a,b? 为瑕点,则 ? ? ? b f (x)dx ? c f (x)dx + b f (x)dx a a c ? F(c) ? F(a) + F(b) ? F(c) ? F(b) ? F(a) . ? 例3[13] 求 e dx . 1 x 1? ln2 x 解 属于瑕点 x ?1在下限的积分.可先试着找原函数,然后观察原函数的连续性, 最后决定能否用牛顿——莱布尼兹公式. ? ? e 1x dx ? 1? ln2 x e 1 x d (ln x) 1? ln2 x ? arcsin ln x |1e ? ? 2 . 注 这里 arcsin ln x在?1,e? 上连续. 结论[9]:上述求瑕积分的方法,有一定的局限性,当原函数在积分区间上连续时,可采用 17 上述方法.当原函数在积分区间上不连续时,仍需采用定义求. ? 例4 求 1 ?1 1 x5 dx . 解 易知 1 x5 的一个原函数是 ? 1? 4 1 x4 .由于 1 x4 在 ??1,1? 上不连续,故不能套用牛顿 ? ——莱布尼兹公式.否则,将导致若下错误: 1 ?1 1 x5 dx = ? 1 4 x?4 |1?1 =0 ? ? ? 正确的解法应该是: 1 1 dx = 0 1 dx + 11 dx 而 ?1 x5 ?1 x5 0 x5 ? 不存在,所以 1 ?1 1 x5 dx 发散. ? ? 0 ?1 1 x5 dx = lim ? ?0? ?? 1 ?1 x5 dx = lim ? ?0? ? 1 4 x?4 |??1? = 1 lim (1? ? ?4 ) , 4 ? ?0? 4.2 瑕积分计算可简化的第二种情形 设 f (x) 在 ?a,b? 上连续, lim f (x) ? ? , x ? ?(t) 在??, ? ?上单调且有连续导数,同时 x?a? ? ? 有?(?) ? a, ?(? ) ? b .则广义积分 b f (x)dx 与 ? f [?(t)]??(t)dt 的敛散性相同,进一步, a ? 若除? 点外,均有 F?(t) ? f [?(t)]??(t) ,则有 (1)若 F (t ) 在 ?? , ? ? 上连续,则 b ?a f ? (x)dx = ? ? f [?(t)]??(t)dt = F(? ) ? F(?) (此处不一 定有 ? ? ? ,下同) (2)当 F (t ) 在 ?? , ? ? 上无界时则 b ?a f ( x)dx ?= ? ? f [?(t)]??(t)dt 发散. 证明 不妨设 x ? ?(t) 递增,这时 ? ? ? ,对任意的 ? ? 0, 存在 ?t ? 0 ,使得 ? ? ? ? ?(? ? ?t) ,且 ? ? ?0 等价于 ?t ? ?0 . ? ? ? b f (x)dx = lim b f (x)dx = lim ? f [?(t)]??(t)dt = lim [F(? ) ? F(? ? ?t)] a ? ??0 a?? ?t??0 ? ??t ?t ??0 (1)当 f (t) 在??, ? ? 上连续时, b ?a f ( x)dx = F (? ) ? F (? ) . 18 (2)当 f (t) 在??, ? ?上无界时,这时只有 lim F(t) ? ? ,所以 t?? ? ?b f (x)dx = lim [F(? ) ? F(? ? ?t)]发散. a ?t ??0 类似的[14],可以证明当瑕点在区间?a,b? 的右端点或内部时,(只要瑕点个个数为 有限个)上述结论仍然成立,并可统一叙述为: 定理4.2 设函数 f (x) 在闭区间?a,b? 上除有限个瑕点 c1, c2 , cr 外,在其余各点都 连续, x ? ?(t) 在??, ? ?上单调且有连续的导数,?(?) ? a, ?(? ) ? b ,则广义积分 ? ? b f (x)dx 与 ? f [?(t)]??(t)dt 的敛散性相同,若除瑕点对应的点外,均有 a ? F?(t) ? f [?(t)]??(t) ,则有 (1)若 F (t ) 在 ?? , ? ? 上连续,则 b ?a f ? (x)dx = ? ? f [?(t)]??(t)dt = F(? ) ? F(?) . (2)当 F (t ) 在 ?? , ? ? 上无界时则 b ?a f ( x)dx ?= ? ? f [?(t)]??(t)dt 发散.证明可以仿照以 上进行,这里不再重复. ? 例1 计算 3 2xdx . 0 3 x2 ?1 解法一(按以上方法计算) x ?1为瑕点 设 u ? x2 ?1, du ? 2xdx , ? ? 3 2xdx ? 8 ?1 u 2 du 0 3 x2 ? 1 ?1 = 3 2 2 u3 |8? 1 =9 . 2 ? ? ? 解法二(按定义计算) 3 2xdx = lim 1??1 2xdx + lim 3 2xdx = 9 . x ?1 2 0 3 2 x ?1 x ?1 ?1?0? 0 3 2 ?2 ?0? 1??2 3 2 两种运算结果一直,显然解法二比较麻烦. ? 例2 1 ?1 1 x2 dx . 解 x ? 0 为瑕点,因为 1 x2 的原函数 ? 1 x 在 ??1,1? 上有无穷间断点,所以 ?1 1 dx 发散. ?1 x2 19 ?? 例3 求 2 dx . 0 cos x sin x 解 x ? 0 , x ? ? 为瑕点,令 t ? sin x , cos x ? 1?t4 , dx ? 2tdt , 2 cos t ? ? ? ? ? ? 2 dx = 0 cos x sin x 1 2dt = 1 0 1?t4 2 1 [ 1 0 1? t ? 1 1? t ? 2 1? t2 ]dt ,显然 1 1 dt , 0 1? t 12 0 1?t2 dt 收敛,而 1 1?t ? 的原函数 ? ln(1 ? t ) 在 ?0,1? 内无界.所以 ?2 0 dx cos x sin x 发散. 20 5 总结和展望 本文通过对瑕积分敛散性的判别方法和应用、含参量瑕积分一致收敛的判定和应 用、瑕积分计算的简化的讨论,列出了瑕积分和含参量瑕积分敛散性的判别法,如柯 西判别法、狄利克雷判别法等等,给出了判别法在瑕积分和含参量瑕积分在实际问题 中的应用.通过对这些判别法的归纳、总结,使我们能较快的掌握这些方法,提高在实 际问题中解题的速度和效率,达到了研究目的,收到了预期效果. 瑕积分是数学分析中的一个重点、难点,本文所做的这些还远远不能解决瑕积分 中复杂多变的问题,由于本人所学的知识有限,希望在以后的学习工作中能够更深入 地研究瑕积分,以使得瑕积分敛散的判别及应用越来越完善. 21 参考文献 [1]同济大学数学教研室.高等数学(上)[M].北京:高等教育出版社,1993:60-70. 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