《 数学之友 》 2 0 1 2年第 2 4期 例析一类二元函数不等式的证法 解题 探 索 卞维 清 ( 江苏省溧水 高级 中学 , 2 1 0 0 0 0 ) 函数 与不 等式 既是 中学数 学 的重点 , 也是难 点. 函数 背 景下 的不等 式证 明 问题 在 近几年 的高 考试 题 ( 1 ) 求 口 , b的值 ; 中大量出现 , 已成为高考 的热点题型. 这类问题往往 以函数 知识 为 主 , 渗 透 不 等 式 思想 , 具 有 形 式灵 活 、 思维 性 强 、 知识交 汇点 多等 特点. 如何 处理这 类 问题 ( 2 ) 关 于 的 方 程 , ( ) + m = 0 在 【 ÷ , e 】 内 有 两个不相等的实数根 , 求 m的取值范围 ; ( 3 ) 令g ( x )= )一 , 常数 c E R, 若g ( ) 的 图象与 轴 交 于 A( , 0 ) , 8( x , 0 ) ( 。 < : ) 两点 , 线段 A 的 中点为 C ( x o , 0 ) , 求证: g ( )< O . 呢?转 化. 通过转 化使 不 等式 问题得 到简化 , 而转 化 过 程往 往包 含着 多 种数 学 思 想 的综合 运 用. 本 文 就 一 类 二 元 函数 不 等 式 证 明方 法 略 作 探 讨 , 供 读 者 解: ( 1 ( ) = 导一 2 b x . 由题意 , 可知 a - 参 考. 2b=0 ’ 所 以 口= 2 , 6 =1 . 方法一 : 间接 法证 明 例1 已知函数 ) =e 一 ( + 1 )一 1 ( ≥O ) . ._ . ● ( 2 ) 令h ( x ) = ) + m , 则h ( ) = ÷ , ’ 一 2 x . ( 1 ) 求 函数 , ( ) 的最 小值 ; ( 2 ) 若0 ≤ 1 ≤ 2 , 求证 : e 一 一1>I n ( 2 +1 ) 一 当 ∈( 0, 1 ) 时, h ( )>0 , h ( ) 在( 0, 1 ) 单 调增 ; l n ( 1 +1 ) . 1 当 ∈( 1 ,+∞ ) 时, h ( )<0, h ( ) 在( 1 ,+ ∞) 单 调减. ? ≤1 ? , 解: ( 1 ) 厂( )=e 一 当 ≥0时 , e ≥1 , ( 1 )> O , . _ 所 以 { ( ÷ ) ≤ 0 , 解 得 m , E ( - , + 2 】 . 【 ^ ( e ) ≤ 0 所 以 当 ≥0时 ( ) >0 I . 则函数 ) 在[ O , +。 o ) 上单调递增 , 所 以 函数 ) 的最 小值 为 , ( 0 )= 0 . ( 2 ) 由( 1 ) 知, 当 > 0时 ‘ . ‘ ( 2 ) 由 题 设 可 右 : I f ( x , ) - cx l = 0 . , )一 : : 。 )> 0 . 两 式相减 得 : c ( x 1 一 2 )= 2 ( 1 n x 1 一l n x 2 )一( 一 ) . 2 > 1, 2 一 I ’ . . )=e 一 一 l n ( x 2 一 1 +1 )一1> 0 . 贝 0 。 : 竺 3 f , 1 一 , 一( 。 + ) . 即e 托一 —l >I n ( 2 一 1 +1 ) . ? . 。 l n ( x 2 一 1 +1 ) 一[ 1 n ( x 2 + 1 ) 一 l n ( x 1 +1 ) ] =1 I n 1 1 ———————— ——一 一 ≥0, U, : g t ( )= 厂( 0 )一 c = 一 2 x o —c == — — — = -一 X1+3 f 2 一0 1 2+ 1 ‘ . + , . e 一 一1> I n ( 2 +1 )一l n ( l +1 ) . 4 1+ X2 2 ( 1 n x 1 一I 2 ) X 1 一 2 评注: 将( 2 )