1、三角形的三个角平分线交于一点,该点即为三角形的内心。2、三角形的内心与三角形位置关系:现有AI交BC于点D;BI交CA于点E;CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。(i)IX:IY:OZ=1:1:1(ii)BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b(iii)BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)(iv)AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))(v)△IBC,△ICA,△IAB面积比为a:b:c3、r=S/p。4、△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。6、点O是平面ABC上任意一点,点O是△ABC内心的充要条件是:a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。7、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是:向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。8、△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么△ABC内心I的坐标是:[ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)]。9、(欧拉定理)△ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI2=R2-2Rr。10、内角平分线分三边长度关系:如图:△ABC中,AD是∠A的角平分线,D在BC上,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径,R2是△ACD的外接圆半径,则有:BD/CD=AB/AC证明:由正弦定理得b/sinB=c/sinC,d=2R1sinB=2R2sinC,∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD, CD=2R2sinCAD,∠CAD=∠BAD,∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC1