三角形全等的证明
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
找全等三角形的方法
(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;
(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。
缺个角的条件:
缺条边的条件:
构造辅助线的常用方法
1.关于角平分线的辅助线
当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质:
①角平分线具有对称性;
②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法:
(1)截取构全等
如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有OED≌OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例:如上右图所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。
提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等
利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。
则有:DE=DF,OED≌OFD。
例:如上右图所示,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求证: