在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2 ,试求其通项 an 。 3an ? 2 第 8 页 共 8 页 最全的待定系数法求递推数列通项 分析:此题比例题 7 的区别多了常数项,两边取倒 1 1 ? ?4 ? ?3 an ?1 an ? 2 左右两边 1 1 与 并不一致。但可以对照例题 7 的思路,取倒数之后分母会具有一 an ?1 an ? 2 致的结构,根据等式和分式的性质,我们可在两边同时加上某一常数,整理: 2 ? 2x ? ? (3 x ? 1) ? an ? ? a ?2 3x ? 1 ? ? an ?1 ? x ? n ?x? 3an ? 2 3an ? 2 此时如果 2x ? 2 2 ? x ,那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得 x1 ? ? , x2 ? 1 3x ? 1 3 因此 2? ? ?1? an ? ? 2 3? an?1 ? ? ? 3 3an ? 2 an ?1 ? 1 ? (an ?1 ? 1) 4 3an ? 2 (an ?1 ? 1) 4 , 3an ? 2 此时可选择其中一个递推式按照例题 7 的方式进行处理,这里选择 an ?1 ? 1 ? 两边取倒 1 an ?1 ? 1 ? 3an ? 2 1 1 3 ?? ? (an ?1 ? 1) 4 an ? 1 4 4 回到了类型一 3 1 1 3 ? ?? ( ? ) an ?1 ? 1 5 4 an ? 1 5 1 根据类型一的方法易求出: an ? 4 ? ( ?4) n ?1 ? 1 6 ? ( ?4) n ?1 ? 1 现在我们将两式相比: an ?1 ? 2 2 an ? 3 ??1? 3 an ?1 ? 1 4 an ? 1 第 9 页 共 9 页 最全的待定系数法求递推数列通项 2? ? ? an ? 3 ? 则数列 ? ? 是我已知首项和公比的等比数列,进一步化简求出 an 。 ? an ? 1 ? ? ? 通过以上两个例题可知,形如 an ?1 ? 的综合能力要求较高。 ran ? s ( pr ? 0) 这一类型的递推数列,对学生 pan ? q 1、如果右边分子缺常数项,即 s ? 0 ,那么直接对两边取倒数即可得: 1 q 1 p ? ? ? an ?1 r an r 此时,若 q q ? 1 ,那就是我们熟悉的等差数列,若 ? 1 ,那就是前面的类型一——用待 r r 定系数法求解。 2、若 s ? 0 , 就需要先变形, 使左边和右边分子结构一致。 两边同时加上某一个常数( x ) (r ? xp )(an ? s ? xq ) r ? px pan ? q an ?1 ? x ? 然后令 s ? qx ? x ,解出 x 的值。 r ? px 而另一种思路是直接设 an ?1 ? ran ? s 变形之后为 pan ? q y ( an ? x ) pan ? q an ?1 ? x ? 然后展开,根据对应项系数相等得二元方程组 ? y ? xp ? r ? ? x( y ? q ) ? s 求出 x, y 。 两种思路都是解 x 的一元二次方程,设其解为 x1 , x2 。 an ?1 ? x1 ? y1 (an ? x1 ) y (a ? x2 ) 和an ?1 ? x2 ? 2 n p(an ? q) p(an ? q) 若 x1 ? x2 时,那就只能利用例题 7 的方法,两边取倒数,部分分式整理即可转变为 第 10 页 共 10 页 最全的待定系数法求递推数列通项 类型一。 p(an ? q) p(an ? x1 ) ? p(q ? x1 ) p(q ? x1 ) 1 1 p ? ? ? ? ? an ?1 ? x1 y1 (an ? x1 ) y1 (an ? x1 ) y1 an ? x1 y1 最终求出 an 。 当 x1 ? x2 时, 可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解, 但是此时计算量颇大, 于是直接将两式相比得: an ?1 ? x1 y1 an ? x1 ? ? an ?1 ? x2 y2 an ? x2 ?a ? x ? a ?x y 所以数列 ? n 1 ? 是首项为 1 1 ,公比为 1 的等比数列。进一步求出 an 。 a1 ? x2 y2 ? an ? x2 ? 七: an ?1 ? ran 2 ? s ( pr ? 0, p ? 2r , q 2 ? 4rs ? 0)型 pan ? q 例题 9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an 2 ? 3 ,试求其通项 an 。 2an ? 2 分析: 本题属于分式非线性递推式, 与类型五又有相似之处, 所以我们可以结合类型五、 六的思路,进行变换: 两边同时加上某个常数,设最终变为: an ?1 ? x ? ( an ? x ) 2 2 an ? 2 与原式比较,对应系数相等,得 x2 ? 2 x ? 3 解方程得 即有: x1 ? ?1, x2 ? 3 (an ? 3) 2 an ?1 ? 3 ? 2 an ? 2 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2 2an ? 2 对单个式子进行处理,无从下手,两式相比得 第 11 页 共 11 页 最全的待定系数法求递推数列通项 an ?1 ? 3 ? an ? 3 ? ?? ? an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 2 然后,两边取对数得: ? a ?3? a ?3 an ? 3 lg n ?1 ? lg ? n ? ? 2 lg an ?1 ? 1 an ? 1 ? an ? 1 ? 2 ? a ? 3? a ?3 则数列 ?lg n ? lg 5 ,公比为 2 的等比数列。 ? 是首项为 lg 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ? lg n?1 an ? 3 ? lg 52 an ? 1 进一步解得 an ? 52 ? 3 5 2n?1 n ?1 ?1 ? 1? 5 4 2n?1 ?1 显然, 按照例题 9 的思路, 形如 an?1 ? ran 2 ? s ( pr ? 0) 这一类型的参数 p、q、r、s 必 pan ? q 须满足一定的条件,所得方程应有两个不相等的实根。 现在来探讨应该满足哪些条件? ran 2 ? s r (an ? x) 2 ?x? 设 an ?1 ? x ? ,即: pan ? q pan ? q ran 2 ? s r (an ? x)2 ?x? pan ? q pan ? q 所以 ran 2 ? xpan ? xq ? s ? ran 2 ? 2rxan ? rx 2 p ? 2r , rx 2 ? qx ? s ? 0 对应系数相等得 方程 rx 2 ? qx ? s ? 0 要满足 ? ? q 2 ? 4rs ? 0 设方程的两根为 x1 , x2 则有 an?1 ? x1 ? an?1 ? x2 ? r (an ? x1 )2 pan ? q r (an ? x2 )2 pan ? q 第 12 页 共 12 页 最全的待定系数法求递推数列通项 两式相比得 an ?1 ? x1 ? an ? x1 ? ?? ? an ?1 ? x2 ? an ? x2 ? lg 2 两边取对数得 an ?1 ? x1 a ?x ? 2 lg n 1 an ?1 ? x2 an ? x2 ? a ?x ? a ?x 数列 ?lg n 1 ? 是首项为 lg 1 1 ,公比为 2 的等比数列。 a1 ? x 2 ? an ? x2 ? ? a ?x ? 求出 ?lg n 1 ? 的通项再整理一下就得出了 ?an ? 的通项,问题就得以解决了。 ? an ? x2 ? 本文主要是通过例题的分析讲解,并进行归纳总结概括而形成的,是我在平时的学 习中, 通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路,对用待定系数法求解递推数列 的初步探讨和认识。例题的深度层层深入,前面的类型是后面的基础,特别是第一种类 型, 是学习其他几种类型的充分依据,其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进 行求解。 参考文献 [1]李春雷 用不动点法探究递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2006.05 期 [2]用待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2007.07 期 [3]例析待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2009.07 期