计数方法与技巧(插板法概念)
计数方法与技巧(插板法例题1)
计数方法与技巧(插板法例题2)
插板法就是插板法就是在n个元素间的(n-1)个空中插入 若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1)组的方法。
应用插板法必须满足三个条件:
(1) 这n个元素必须互不相异
(2) 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?
问题的题干满足 条件(1)(2),适用插板法,c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
a 凑元素插板法 (有些题目满足条件(1),不满足条件(2),此时可适用此方法)
1 :把10个相同的小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
2: 把10个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以放空球,有几种情况?
b 添板插板法
3:把10个相同小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?
4:有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等,这类数共有几个?
5:有一类自然数,从第四个数字开始,每个数字都恰好是它前面三个数字之和,直至不能再写为止,如2349,1427等等,这类数共有几个?
答案:
1、3个箱子都可能取到空球,条件(2)不满足,此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球,则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?
显然就是 c12 2=66
2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个,小球剩8个放3个箱子,然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球,则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子,每箱至少1个,几种方法? c8 2=28
3、 -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球,-表示空位
11个空位中取2个加入2块板,第一组和第三组可以取到空的情况,第2组始终不能取空
此时 若在 第11个空位后加入第12块板,设取到该板时,第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
4、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数,只要求出前2位有几种情况即可,设前两位为ab
显然a+b