由分步计数原理可得共有A5A2A2?480 种不同的排法 枪命中恰好有3枪连在一 起的情形的不同种数为 20 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不 能连续出场,则节目的出场顺序有多少 个独唱共有A5 种,第二 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A6 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A5A6 30四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总 排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:A7/A3 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7 种坐法,则共有A7种方法。 四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5 人,要求从左至 右身高逐渐增加,共有多少排法?C10 名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推,由分步计数原理 共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的 排列数为m种练习题: 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原 节目单中,那么不同插法的种数为42 层大楼一楼电梯上来 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A4 并从此位置把圆形展 成直线其余7人共有(8-1)!种排法即7! 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 1m形排列共有An 练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 7.8人排成前后两排,每排 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A4 个位置上的特殊元素丙有A4种,其余 人在5个位置上任意排列有A5 种,则共有A4A4A5 练习题:有两排座位,前排11个座位,后排12 个座位,现安 人就座规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法. 个组成复合元共有C5 种方法.再把 个不同的盒内有A4 种方法, 根据分步计数原理装球的方法共有C5A4 且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位数有 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有A2种排法,再 排小集团内部共有A2A2 种排法,由 分步计数原理共有A2A2A2种排法. 1.计划展出10幅不同的画,其中1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两 端,那么共有陈列方式的种数为A2A5A4 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A2A5A5 例10.有10个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个,有多少 种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间 形成9个空隙。在9个空档中选6个位 置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有C9 种分法。 个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1 块隔板,插入n 个元素排成一排的n-1 个空隙中, 所有分法数为Cn?1 10个相同的球装 个盒中,每盒至少一有多少装法?C9 .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数C103 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10 的偶数,不同的 取法有多少种?解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很 困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数5 个偶数的取法有C5,只含有 个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取法共有 123123C5C5?C5。再淘汰和小于10 的偶数共 种,符合条件的取法共有C5C5?C5?9 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 练习题:我们班里有43位同学,从中任抽5 人,正、副班长、团 支部书记至少有一人在内的 本不同的书平均分成3堆,每堆2 本共有多少分法? 分三步取书得C6C4C2 种方法,但这里出现重复计数的现象, 不妨记6 本书为ABCDEF,若第一步取 EF该分法记为(AB,CD,EF),则C6C4C2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A3 取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C6C4C2/A3 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An(n 为均分的 组数)避免重复计数。 练习题: 将13个球队分成3 组,一组5 个队,其它两组4 有多少分法?(C13C8C4/A2) 2.10 名学生分成3 组,其中一组4 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 (1540) 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安 名,则不同的安排方案种数为______(C4C2A6/A2?90) 十三.合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8 人能能唱歌,5 舞,现要演出一个2人唱歌2 人伴舞的节 解:10演员中有5 人只会唱歌,2 人只会跳舞3 人为全能演员。 选上唱歌人员为标准进行研究 人中没有人选上唱歌人员共有C3C3 种,只会唱的 人中只有1人选上唱歌人员 112C5C3C4种,只会唱的5 人中只有2 人选上唱歌人员有C52C52 种,由分类计数原理共有 解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确。分步层次清楚,不 重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 成人2小孩乘船游玩,1 号船只能乘1人,他们任选2 人共有多少乘船方法.(27)本题还有如下分类标准: 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其 盏,求满足条件的关灯方法有多少种?解:把此问题当作一个排队模型在 的五个盒子,现将5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好 有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 取出2个与盒子对号有C5 种还剩下3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果 1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张 别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种?(9) 12.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4 种可选颜色,则 不同的着色方法有 72 十六.分解与合成策略 例16.30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=235 依题意可知偶因数必先取2,再从其余 个因数中任取若干个组成乘积, 练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线 个顶点构成四体共有体共C8?12?58,每个四面体有 对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?58?174 对异面直线 例17.25 人排成55 方阵,现从中选3 人,要求3 人不在同一行 也不在同一列,不同的选法有多少种? 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种 在中间,也不种在两端的花盆里,问有 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不 同的排法. 练习题:某人射击8枪,命中4 枪命中恰好有3枪连在一 起的情形的不同种数为 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不 能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演 前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且 两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 例4.7人排队,其中甲乙丙3 人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插 层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电 梯,下电梯的方法 人围桌而坐,共有多少种坐法?练习题:6颗颜色不同的钻 石,可穿成几种钻石圈 7.8人排成前后两排,每排 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题:有两排座位,前排11个座位,后排12 个座位,现安 人就座规定前排中间的3个座位不 能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法. 务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位 1.计划展出10幅不同的画,其中1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在 两端,那么共有陈列方式的种数为______ 例10.有10个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个,有多少 种分配方案? .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数_____ 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10 的偶数,不同的 练习题:我们班里有43位同学,从中任抽5 人,正、副班长、团 支部书记至少有一人在内的 本不同的书平均分成3堆,每堆2 本共有多少分法? 将13个球队分成3 组,一组5 个队,其它两组4 有多少分法? 2.10名学生分成3 组,其中一组 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安 十三.合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8 人能能唱歌,5 舞,现要演出一个2人唱歌2 人伴舞 成人2小孩乘船游玩,1 号船只能乘1人,他们任选2 例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其 盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少 练习题:某排共有10 个座位,若 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?(120) 的五个盒子,现将5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好 有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡, 2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 例17.:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马 走到B的最短路径有多少种? 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71 个数 (3)捆绑法:相邻问题捆绑处理的方法,即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列; (4)插空法:不相邻问题插空处理的方法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; (7)定序问题除法处理的方法,即可以先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全排列. 1.一位老师和5位同学站成一排照相,老师不站在两端的排法 A.450B.460 C.480D.500 个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单. 要从5名女生,7 名男生中选出5 名代表,按下列要求, 分别有多少种不同的选法? (1)至少有1名女生入选; (2)至多有2名女生入选; (1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元 素中去选取. (2)“至少”、“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或 间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维, 用间接法处理. 3.某校开设A类选修课3 类选修课4门,一位同学从中 A.30种B.35 C.42种D.48 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用 数学思想和方法解决排列组合问题. 类办法中有m1 种不同的方 类办法中有m2 种不同的方法,„,在第 类办法中有mn m1种不同的方 步有m2种不同的方法,„,做第n 步有mn 种不同的 方法,那么完成这件事共有: 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往 往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素 和特殊位置优先策略 然后排首位共有C4最后排其它位置共有 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种 在中间,也不种在两端的花盆里,问有 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不 同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同522A5A2A2?480种不同的排法 枪命中恰好有3枪连在一 起的情形的不同种数为 20 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不 能连续出场,则节目的出场顺序有多 解:分两步进行第一步排2个相声和3 个独唱共有A55 种,第二 舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾 A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A6 新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3 人顺序一定共有多少不同的排法 )对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:A7/A3 种坐法,则共有A7种方法。 四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5 人,要求从左至 右身高逐渐增加,共有多少排法?C10 名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推,由分步计数原理 共有1. 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前 又增加了两个新节目.如果将这两个节目插 入原节目单中,那么不同插法的种数为42 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7 六.环排问题线排策略 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A4 并从此位置把圆 形展成直线其余7人共有(8-1)!种排法即7! 练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 7.8人排成前后两排,每排 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排. 个特殊元素有A4 个位置上的特殊元素丙有A4种,其余 人在5个位置上任意排列有A5 种,则共有A4A4A5 练习题:有两排座位,前排11个座位,后排12 个座位,现安 人就座规定前排中间的3个座位不 能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法. 个组成复合元共有C5 种方法.再把 个不同的盒内有A4 种方法, 根据分步计数原理装球的方法共有C5A4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任 务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有A2种排法,再 排小集团内部共有A2A2 种排法, 由分步计数原理共有A2A2A2种排法. 1.计划展出10幅不同的画,其中1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两 端,那么共有陈列方式的种数为A2A5A4 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A2A5A5 例10.有10个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个,有多少 种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间 形成9个空隙。在9个空档中选6 个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法 共有C9种分法。 10个相同的球装 个盒中,每盒至少一有多少装法?C9 .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数C103 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10 的偶数,不同的 解:这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难,可用总体淘 汰法。这十个数字中有5 个偶数5 个偶数的取法有C5,只含有 数的取法有C5C5,和为偶数的取法共有C5C5?C5。再淘汰和小于10的偶数共9 种,符合条件的取法共有C5C5?C5?9 练习题:我们班里有43位同学,从中任抽5 人,正、副班长、团支 部书记至少有一人在内的 本不同的书平均分成3堆,每堆2 本共有多少分法? 分三步取书得C6C4C2 种方法,但这里出现重复计数的现象, 不妨记6 本书为ABCDEF,若第一 AB,第二步取CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则C6C4C2 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A3 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C6C4C2/A3 将13个球队分成3 组,一组5 个队,其它两组4 有多少分法?(C13C8C4/A2) 2.10 名学生分成3 组,其中一组4 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 (1540) 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安 名,则不同的安排方案种数为______(C4C2A6/A2?90) 十三.合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8 人能能唱歌,5 舞,现要演出一个2人唱歌2 人伴舞 解:10演员中有5 人只会唱歌,2 人只会跳舞3 人为全能演员。 选上唱歌人员为标准进行研究 人中没有人选上唱歌人员共有C3C3 种,只会唱的 人中只有1人选上唱歌人员 112C5C3C4种,只会唱的5 人中只有2 人选上唱歌人员有C52C52 种,由分类计数原理共有 成人2小孩乘船游玩,1 号船只能乘1人,他们任选2 人共有多少乘船方法.(27)本题还有如下分类标准: 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其 盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少 的五个盒子,现将5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好 有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 取出2个与盒子对号有C5 种还剩下3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结 1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张 别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种?(9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4 种可选颜色,2