ζ函数最早出现于1350年左右,当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散,即 奥里斯姆对调和级数发散的“证明” 之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉,他给出了调和级数呈对数发散。 欧拉对调和级数发散速度的证明 为了求出调和级数的部分和,使用欧拉-麦克劳林求和公式(当然,亦可使用阿贝尔求和公式): 注意到其中的 是一个常数。实际上,这就是欧拉-马斯刻若尼常数γ再考虑剩下的一个积分,也就是 由于被积项非负,又有 ,于是 最终得到 除此之外,他还在1735年给出了巴塞尔问题的解答,得到 的结果。欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题中看到,然而那是他的第一个证明,因而广为人知。 事实上,那个证明虽有不严谨之处,但是欧拉仍然有自己的严格证明。 欧拉对 的严格证明 下面将写出欧拉对上式的证明中缺失的严格论证的部分,即对连乘积公式的证明部分,而不涉及最终的系数比较 首先考虑当n为奇数时,将 分解为连乘积形式。