求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,这是高二数学人教版(A)版本倡导的传统的方法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几何法求解,这是高二数学人教版(B)倡导的方法,下面举例说明两种方法的应用。例:长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解法1:平移法
设A1C1与B1D1交于O,取B1B中点E,连接OE,因为OE//D1B,所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角C1OE中
所以异面直线
图1
解法2:补形法
在长方体ABCD?DA1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体,将AC平移到BE,则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角,在BD1E中,BD1=3,
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图2
解法3:利用公式
、
2,则
,
,
所以
图3
解法4:向量几何法:
为空间一组基向量
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图4
解法5:向量代数法: