基本方法有特殊位置、特殊元素优先处理,间接法,捆绑法,插空法,缩倍法,隔板法.
①相邻
一般用捆绑法和插空法来处理.
所谓捆绑法,就是将相邻元素捆为一个,作一个元素处理.此时应注意其内部排列.
所谓插空法,就是用不相邻元素插其他元素的空.此时应注意其他元素排列.
例4:有5盆各不相同的菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则这5盆花不同的摆放种数是____.
黄菊花必须相邻,用捆绑处理,将2盆黄菊花捆为一个元素.因5盆菊花各不相同,应考虑其内部排列
;白菊花不相邻,用插空处理.现将其他元素(2盆黄菊花、红菊花)全排列
,有3个空;用白菊花插空,顾及顺序,有
.由分步乘法计数原理, 有
种.
例5:6把椅子排成一排,3人随机就坐,则:
(1)任何两人都不相邻的坐法种数有____.
不相邻,用插空法.但此处椅子无所谓顺序,只需插空
种.
(2)恰有两个空座位相邻的坐法总数有____.
“相邻”则想到捆绑.3个空位是完全相同的,故两个空座位无所谓哪两个;3人有区分,顺序排列
;将2个不同元素(两个空位、一个空位)插入形成的4个空,有
;由分步乘法计数原理,有
种.
②定序
一般用缩倍法来处理.
有m个不同元素排成一列,其中n个元素之间的先后顺序确定不变,先将这m个元素全排列,有
种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他m-n个元素的位置不动,把这n个元素交换顺序,有
种排法,其中只有一个排列符合题意,因此共有
种满足条件的不同排法.若n个元素定序有多种,应在后面乘上.
例6:将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有几种?
A,B均在C的同侧,则有ABC,CBA,BAC,CAB四种排法.由缩倍法,有
种.
③分配
此类特点是要求每处至少分得数目,并进行分配.
一般用隔板法处理.
例7:将组成篮球队的10个名额分到7所学校,每所学校至少有一个名额,名额分配有多少种?
名额无所谓顺序,只需将学校排成一排,用6个板插入10个名额中的9个空,将其分成7份.有
种.