一、基本概念
在学习常微分方程之前,我们先了解一些基本的概念;我们在中学的时候都学过解方程(如:
),不过那都是函数方程(
,即含有未知数x的方程)。
因此,我们就引出了一个新的概念,什么是微分方程?
(1)微分方程:未知函数及其导数或微分的关系式,如:
)。
由此,我们便可知道函数方程是关于未知数x的,而微分方程是关于x的导数或微分的;微分方程的英文名叫differential equation,简称D.E.。
我们这一章复习的是常微分方程,什么是常微分方程呢,这个“常”又代表什么呢?
(2)常微分方程:一个未知函数及其导数或微分的关系式, 如:
。
这个“常”(Ordinary)表示平常,也就是在一般情况(理想情况)下的微分方程,即只有一个未知函数;正是因为如此,所以我们在尚未进行特殊说明的情况下,默认D.E.表示常微分方程。
既然我们已经知道了什么是常微分方程了,那么它的解又是什么呢?(有问题,就应该有答案啊)
(3)解:能使D.E的关系式恒成立的函数,形如
。
先回顾一下我们熟悉的函数方程,它的解是什么?是满足函数关系式的未知数,也就是
(C一般为常数);不难推出D.E.的解也是要满足关系式,是长成
这个样子。
(4)通解:带有常数C的解,如:
(有两项)。
(5)通积分:隐函数形式的通解,如:
。
注:某D.E.通解的项和该D.E.的阶相同,即二阶D.E.的通解就有两项,下文会介绍什么是阶。
①
和②
有什么区别呢?
(5)阶:D.E.中的最高阶导数或微分称为这个D.E的阶,如:①是1阶,②是2阶。
(6)齐次:D.E.中不含未知函数和常量,如:①是齐次,②是非齐。
(7)线性:D.E中的导数或微分只有一次,如:①是二次,②是一次。
注:“线性”这个概念在代数上一般都是指一次,如:
就是线性的,而
是非线性的;从几何上看也很好理解,
是一条直线,而
是一条曲线。
(8)定解条件:其实就是一些已知信息,能用来确定解中的常数C。
(9)初始条件:定解条件中最常见的一种,给出初始条件的问题称为初值问题,也叫柯西问题。
(10)特解:常数C确定后的通解