作为一门基础的科学,数学于我们生活之中无处不在。大到日月星辰,小到微观世界,都有数学的影子。
5月21日,求是科技基金会顾问、西湖大学理论科学研究院院长田刚教授,在求是西湖大讲堂第三讲的现场,以“庞加莱猜想与几何化”为主题,分享了二者的关系,带来了解决庞加莱猜想的数学家们的故事,并在学术分享之余,解答了在场师生们关于数学的疑问。
对于很多高中毕业后没有继续专业学习数学的人而言,庞加莱猜想也许是一个比较陌生的词汇,但这样解释,你或许会明白它的重要性与意义所在:
2000年,克雷数学研究所选出7个数学难题,并宣称只要解出一道千禧年大奖难题,可以获得100万美元的奖励。庞加莱猜想就是其中之一,并且是唯一被解出的难题。其他剩余的六道分别为NP完全问题、霍奇猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。
作为法国最伟大数学家之一,庞加莱在1904年提出了著名的庞加莱猜想,它给出了最简单的三维空间——三维球体——的拓扑刻画描述。自此以后的百年间,不断有数学家向这个猜想发起挑战,最终,在2002年,Perelman用几何化的方法解决了这个重大猜想,而且证明了三维拓扑空间都可归结到具有齐性几何结构的空间。
此次讲座,田刚教授用较为浅显的语言解释了庞加莱猜想是如何被解决,探讨了它与几何学之间的紧密联系。如果想搞清楚这是什么,先让我们把时间倒退回公元前。
说起几何,不得不提起欧几里得的著作——《几何原本》。这本巨著中共有13卷,涵盖了5条公理或公设,23个定义,467个命题。其中,五条公设中的前四条都非常基本且显而易见,但是第五条却不是那么显然。
第五条公设是通过一个已知点,能且仅能作一条直线与已知直线平行。这条到底是作为公设而独立存在,还是可以依据其他四条公设通过逻辑推理推导出来,这就是让数学家们争论了长达两千多年的“平行线理论”。
后来,这个问题当然是解决了。俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的雅诺什发现第五公设不可证明,并创立了非欧几何学。另外,德国数学家高斯也发现了第五公设不可证。其实非欧几何在我们实际生活中也经常出现,比如很多珊瑚的外形实际上呈非欧双曲几何的形式。
随后,在1851年,又一位伟大的数学家黎曼,创立了黎曼几何,引进了曲率的概念,他证明了曲率是个内涵不变量。所有的欧几里得几何和非欧几何都属