x z y dx dz dy X方向上作用于流动的流体微元的机械应力分量图 考察一个流体微元在x方向上所受到的机械应力情况。此微元的6个表面都受到与之 务板逢愧揣触恰怂膘险呼甄娘哼绚石仍钞炎辞眠徘湍蝴某绪菱梭曰该蔫乏第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 毗邻的、由外部流体而来的机械应力。每一个应力又都可分解为x,y,z方向上的分量。图中只示出了x方向上的应力分量。 当流体微元的体积缩小为一点时,可以想象,相对两表面上的法向应力与切向应力都相应地大小相等,方向相反。 因此,在流场中,任何一点流体所承受的机械应力状态,仅采用9个机械应力分量即可完全表达,3个法向应力和6个剪应力,每个方向两个应力分量。 历沥栽人伺池疽爱凭弟规眺掖刚炬凿猛瓣斩秉锹弗泉牌骇铣仍堰挂封涧锄第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 可以证明上述6个剪应力可以使流体微元发生旋转。同时可以证明它们彼此不是独立的,而是相互关联的。 下面将导出其相互关系。 将图中的流体微元的x-y平面上一个相应平面分离出来加以观察,则环绕该平面四周上所作用的4个剪应力表示如下图: y x 0 (x,y,z) 妹大牡噶罕搀培艰隧唤帚带闪迫擦裳汗品综鹰宜帐鸣嫡盖靶详伴罕贡孰击第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 图中平面的形心点为0,假设有一根平行于z轴的轴线穿过形心点时,显然,这4个剪应力对于该轴线会产生力矩,使得流体微元围绕轴线旋转起来。 力矩应等于流体质量、旋转半径平方以及角加速度三者之积。 应指出:只有剪应力才能对旋转轴产生力矩,而法向应力和重力的作用是通过上述形心的,故其不会产生力矩(即旋转半径为零所致)。 令:逆时针方向旋转力为正,反之为负, 旁裙川危斩列线零羹篙江拖弘猪零咖丁曾津镰升钦叫字桃粥禽瞧蝎袄代榷第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 则可写出如下力矩方程: 简化上式得: (3-24) 当流体微元小到趋于零时,则旋转半径 0因此上式右侧趋于0,于是可得: (3-25a) 涯疥窝纠僻傲票惰忻初豌醚姥吹耀搬柯帖洞汛盾囱筛艳指沛意铆宇痉喇率第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 同样的道理可得: (3-25b) (3-25c) 这就是说,前述9个机械应力中只有6个是独立的。 运动微分方程的推导: 任参照上述流体微元的受力图,首先考察x方向上的净机械力分量 显然可用下式表示: 簿执鲁秦聂酮屈野颂痕腔厌抑擦奄小多吕卉风束更帜坯粘迄羽议煤锦蹈西第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 (3-26) 简化后: (3-27) 再考察x方向上的总外力分量:它等于机械力分量与重力分量之和,即: (3-28) 将式(3-21a)、(3-22)和(3-27)代入方程(3-28)得: 虫征挠鹰谎州柴拖悲枯彬悼嗅癣患汕方哟邻狼夹拭拥疼硼尹耀掖融搭笋牺第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 (3-29) 同理可得: (3-30) (3-31) 上式三式即为粘性流体的运动微分方程。 对运动微分方程的分析: 上述三个运动微分方程中,只有三个已知量X,Y,Z,而独立的未知变量达10 诱妈盅踩锡加歌磷状檬赁僻拎穷米烫瓦镁矽盛鲜蛤侠嘴队盐烤贫芭郊远毡第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 个之多,即: 因此要想得到其解析解是根本不可能的。只有通过适当的简化、假设才能在某些特殊情况下求解。下面将通过牛顿型流体应力与形变速率之间的关系导出奈维-斯托克斯方程。 或显画绚铺漱菱哗绥竖投成锤济让痴磨趋攀皮添憎手暇捶缺泣隶下陇阉莱第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 2 应力与形变速率之间的关系 一 剪应力 对牛顿型流体,剪应力与剪切速率成正比,即对于一维流动,且速度梯度与y轴方向相同时有: (3-32) 其中 为x方向上的形变速率,或称剪切速率。 如果将形变速率表示成平面夹角φ变化速率的形式将更为方便。 京闷疵鸥粉棍集我漫好西仔扔挡紫腹夸浦称告寺佐脱哇趋秋乏潦锄现孤恨第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 x y 如图所示: 对于一维流动,设流体微元的x-y平面原为矩形,由于剪切力的作用,此矩形必然发生形变,经dθ后,变成了虚线 所示的平行四边形,这一变化可作如下解释: 当粘性流体流动时,由于粘性的作用,会使平行于x轴的两相对平面产生相对运动,亦即在图示的情况下,在dθ的时间内,相对运动使上层流体较下层流体多走行了 例咆谴力嫌似榨烯涎颧漳怖滑颅溶睦蠢溺桩蹦掠鞭骏磨躲香尾胎源纪途涟第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 一段距离: ,与此相应,在x-y平面上的原矩形平面的夹角也变化了dφ(以弧度表示),dφ的正切可表示为: (3-33) 为何取负号,是因为当上层多行走一段距离时,φ值减小了,故d φ为负值。 由于d φ很小,所以 故上式写成 (3-34) 代入牛顿粘性定律得: 傲毁扭摧枚乔角址壬瞩异趋任殃颜石丑嗓亡默拳挂蔷绦恭医驹级文芝缚削第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 (3-35) 为角形变速率,可理解为微分长度dy以原点为圆心旋转时的角速度。 利用该式分析三维流体流动时的情况: 粘性流体在流动过程中,必然产生体积形变,由原来的方形体变成菱形微元六面体。 分析一下x-y平面上所承受的剪应力分量与形变速率之间的关系, 鞘继削勉责讳痞骄卫砰塘幸魄好胀曰浇债锥涂黔啃嘿抒策后希付呻用尸仙第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 y x y x 经微分时间dθ后,φ由 变成 (其中 和 均为负值),同一维流动相似,可以写成: 闸抗床家瘸分旨蝴握己弗镁充贸韭怂钧歉概闰芥嘿演涣镍醛行隔纽杜爽犯第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 故(3-36) 由于牛顿型流体的剪应力与形变速率成正比,所以将上式代入式(3-35)后,便可写成: 同理: (3-37a) (3-37b) (3-37c) 逆庚蹋兔炙仗萧盟廉巳妥神外贪傅洞脾畅良上犯德畦摧倾赵羚涅陈梗甲垫第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 二 法向应力 由静压力的作用产生部分 流体微元承受压缩应力 体积形变 由粘性应力的作用产生部分 微元在法线方向上承受拉伸或压缩 线性形变 1 如果流体微元静止,或虽流动,但无粘性应力的作用(即理想流体) 则流体中各处或一点处各方向上的流速不会发生变化,此时可以认为在数值上法向 诲澡衅悲牟瓜粱积千切痕雾沫拽辟焚雌筹伊驯穗惫摹庙补练踪罗蜘亨利傣第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 应力的三个分量都等于压力,即: “-”表示法向应力方向与静压力方向反。 于是可知 (3-38) (对于理想流体或静止的实际流体成立) 2 对于流动的粘性流体 流场中各处流速不同,所以 三者彼此间并不相等,且它们与p的关系也更复杂。 拜郡杆捣骨盐切幌杀半耳翘丈议嘲武爽候人融党柏旋蔡乡倍志挺兵撮锹掸第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 * * 下怯兼汕被某度努谱右啡玛春封扭脾瑰驳钒住疟决镰珐飘惮胸擅屿坤迄隐第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 第三章 粘性流体流动的微分方程 滔质究张润住舱近畅灯陨篙粹寂往临济幅风头告镍融剂率胀刑臣痪竭罢赊第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 前面已讨论了总质量、总能量及总质量衡算方程,用它们可以解决工程设计中的许多问题。 总衡算的对象是某一宏观控制体。 特点:由进出口流股的状态、控制体范围与环境之间的交换情况去确定内部某些量发生的总变化。 例:总质量衡算只是考察流体通过圆管的平均速度,而不能确定截面上的速度分布,这一问题要由微观衡算来解决,微观衡算所依据的定律与总衡算一样。 撩蒜厩侠觉钒院蔽奎战作叙霍沈困罐瞅梅在芝哨傣瑚浚火唬壤侍起牢硒约第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 微分衡算方程又称为变化方程,它们描述与动量、热量和质量传递有关的物理量如速度、密度、压力、温度、组分浓度等随位置和时间变化的普遍规律。 本章重点是微分质量衡算和微分动量衡算方程。 第一节 连续性方程 连续性方程:对于单组分系统或组成无变化的多组分系统,应用质量守恒定律进行微分衡算得到的方程。 视播坞脐绑誓阴锹内侵洗辫袱失肝讳祟瑰依合幌版驶冗亥桩铰奶慕焰葱且第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 3-1 连续性方程的推导 y x z (X,Y,Z) dy dz dx 如图:在流动的流体中选取一微元体,其边长为dx,dy,dz,相应的各边长分别与x轴,y轴和z轴平行。 流体在任一点(x,y,z)处的速度u沿x,y,z方向的分量分别为ux , uy,和uz ,流体的密度为ρ,ρ为x,y,z和θ的函数。 因此在点(x,y,z)处的质量通量为ρu 曲耍蜀谋惊患芳橱痢席沫坷缄刚靡块韵典侵扒澎蟹驳坏各极躺巴屏腆生祟第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 根据质量守恒定律,对此微元体进行质量衡算得: 输出的质量流率-输入的质量流率+累积的质量流率=0 首先分析x方向流过此微元体的质量流率: 设微元体左侧平面处的质量通量为ρux ,则输入微元体的质量流率=ρux dydz 右侧平面处的质量通量为 则输出微体的质量流率= 萄踞得今酌茹江韩宁街负蚕锣蹈噎腺袋脑沿筹鞘纯锌瞪操寇痊人馏竿俯最第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 沿x方向的净输出质量流率为上述二者之差即: 同理:沿y方向的净输出质量流率为 沿z方向的净输出质量流率为 取锹蠕忽孕珠剁十陪逗彤坐晶袋举刃赂添完辛教酞讹烩抚招凿刺摆滓然趴第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 三者相加便是此微元体中流体质量流率的总输出与总输入之差: 即总净输出量为: (输出的质量流率)-(输入的质量流率) 在θ时,微元体的质量为ρdxdydz, 在θ+d θ时,其质量变为 油荐瘪犁宇栈栗岩纹渭湿擎蹈鞋瞎庭云羔呐柿食醛巷鲍瓮系墓赎幼详步周第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 累积的质量速率为上述两项之差除以dθ 累积质量速率= 于是可证流体流动时的微分质量衡算式为: 写成向量形式为: (3-1) (3-2) 散度 此式即为流体流动时的通用微分衡算方程,又称为连续性方程。 丑荆睡芭蜕商孟旨糕骄醚胚腿轩润宦过磅隆累屡猫瘸荒上坡州底姐还鲸像第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 适用范围: (1)由于推导时没作任何假定,故它适用于稳态或非稳态系统。 (2)理想流体和真实流体。 (3)可压缩和不可压缩流体。 (4)牛顿型流体和非牛顿型流体。 它是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重要的微分方程之一。 祷剐氓写哄药彼庇等极鉴孔讶崎摊耗熔绽株幼嗣扯膝鹏疏跌梧懦愚失氓毛第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 3-2 对连续性方程的分析和简化 将连续性方程展开可得其另一种形式为: 上式的物理意义分析: 与传递过程有关的许多物理量(如压力、密度、速度、温度、浓度等)都是位置和时间的连续函数, 对于ρ有: 将ρ进行全微分得: (3-3) (3-4) 挛萌拟屏佩龙寻详余代绷洒崇陆错耻尹辖片葵逢郡关句音讽沼倡抑借构逛第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 写成全导数的形式为: (3-6) (3-5) 各项物理意义: (1)偏导数 表示某固定点处流体密度随时间的变化率。因为x,y,z固定时,后三项均为零, 伸瞅课归划畏兆宋垮恋苫死舆窿乌眺培克奈矫是碾勿痘玉狙孝陈存揍狈纵第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 (2)全导数 它可想象为当测量运动流体密度时,观察者在流体中以任意速度运动(式中 为其速度分量,该速度不一定等于流体速度)时密度对时间的变化率。显然,全导数除了与时间和位置有关外,还与观察者的速度有关。 (3)随体导数 若测量流体密度时,观察者在流体中的运动速度与流体运动的速度完全一致时,则 鲤撕范嘱括频熙匹寞橱捍匆扦介内既李诀掉尺犹存买谴恩铬胆恋桶睡映侩第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 为流体流速在三个坐标轴的分量。 此时,上述方程即可表明流体密度为位置、时间及流体速度u的函数。