所谓常数变易法,就是在求得相应齐次方程的通解后,将齐次方程的通解里的任意常数用关于自变量的任意函数代替,然后代入到原非齐次方程里去,从而求得非齐次方程的特解的一种方法。
我们都知道一阶线性微分方程的常数变易法,那是我们的高等数学里学到的一阶线性微分方程的公式的由来。其实,对于任何高阶线性微分方程,我们都可以用常数变易法来求得非齐次方程的通解。 这里我们仅讲述二阶方程的常数变易法,更高阶的方程可以用同样的方法求得方程的通解。
所谓常数变易法,就是在求得相应齐次方程的通解后,将齐次方程的通解里的任意常数用关于自变量的任意函数代替,然后代入到原非齐次方程里去,从而求得非齐次方程的特解的一种方法。由非齐次方程的解的定理,我们只需要将齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解,就得到了齐次方程的通解。我们在求一阶非齐次方程的通解的过程中,用的就是这一方法。现在我们将它推广到二阶去, 为叙述简便, 我们只考虑常系数方程的情形。