定理的证明
张景中院士在《新概念几何》中利用「共边定理」证明「梅涅劳斯定理」和「塞瓦定理」,证明长度均为一行,而且引理本身也是足够简明直观,介绍如下:
共边定理
该定理有四种情况,如下图:
图1
这个定理的证明就不用多说了吧!
接下来利用共边定理逐个击破:
塞瓦定理(Ceva's theorem)(赛娃)
三角形内三线交于一点,则有以下关系:
图2
证明
(看好了,就一行)
Q. E. D
梅涅劳斯定理(Menelaus' theorem)
过三角形一边上的点做一直线,分别与其余两边或其延长线所截,则满足一下关系:
图3
证明
(坐稳,开车了!)
Q. E. D
两个定理的联系
证明过程体现了两个定理的相似性。实际上这两个定理互为「对偶定理」,即只要证明其中一个,另一个自然成立。这是因为在射影平面中,确定一条直线和确定一个点,都需要三个坐标(齐次坐标),于是面空间与点空间形成了自然的同构,而这样的同构映射保持结合性不变,所谓结合性,就是指「点在线上」、「线过某点」这样的结合关系。
对偶图形包含两个方面:
图元素互换:「点」与「线」互换;结合性互换:「共点」与「共线」互换。
它们俩的逆定理也是成立的,这根据三角形的唯一性可以得到。
应用
在实际生活中,我能想到的是寻找据点发射炮弹。
就比如李云龙把一群小鬼子围在一个三角形区域,他打算从三个顶点向三角形内部的鬼子据点发射意大利炮,那么这个时候利用塞瓦定理,就可以减少测量次数,确定发射角度。历史上有人用「帕普斯定理」这样干的,所以就以此类推吧。
总之,在实际上生活中,如果遇到解三角形问题的时候,都可以考虑使用这两个定理,此处不再多讲。
在平面几何中,这两个定理的地位可以说举足轻重,应用广泛。
你从来没有对这些现象好奇过吗:
为什么三角形三条中线过同一点?为什么三角形三条高线过同一点?为什么三角形三条角平分线过同一点?为什么三角形垂直平分线过同一点?
……
而这些情况,都可以收纳到塞瓦定理中,多么美妙!