(1 )欲求小球速度的最大值,求 v2 的极值即可,即d v2d θ=0 时取得极值 . 似乎到此结束,因为这个式子求导数比较麻烦,起初我们只做定性分析 . 我们分析了两种情况:当 m  M 时,槽体几乎不动,获得的动能可以忽略,此时 m 在槽底时速度最大 .当 m  M 时,小球 m 下落初始阶段几乎不受槽体的影响,接近自由落体状态,速度不断增加.当 m 快要到槽底时, vy 接近于0 , v x 1 也接近于0(由动量定理可知),所以小球合速度 v 接近于0.因此 v 起初增加,快到槽底时减小,所以 v 的最大值不在槽底,最大值发生位置由 dv2d θ=0确定.图 3据此我们推定,速度的最大值不在槽底.但后来的事 证 实这个 推 定不完 全正确.我们借助Excel ,采用( 1 )计算出不同角度的速度平方值,发现 k 值较小时(如 k =1.3 )小球下落过程中速度一直增加,极大值发生在槽底(θ =90° ) .于是,只好把 dv2d θ =0展开,并解出极值点的位置sin θ ( sin2θ + k2cos2θ )sin2θ + k cos2[ ]θ′ =0.(1- k2 )sin3θ + k2sin θ(1- k ) sin2θ +[ ]k′ =0.3 ( 1- k2 )sin2θ cos θ + k2cos θ(1- k ) sin2θ + k-(1- k2 )sin3θ + k2sin θ[(1- k ) sin2θ + k ]2(2 ( 1- k ) sin θ cos θ ) =0.化简后得到(1- k2 )(1- k ) sin4θ +k ( 1- k )( 2 k +3 ) sin2θ + k3 =0 ,(2 )或者cos θ =0.解方程得sin2θ = k 2k +3- 8 k 槡 +92 ( k2 -1 ), (3 )或者 cosθ =0.(4 )并不是所有的 k 值都能使得( 3 )式中的 sin θ有解,当 k 值接近于 1 时,代入( 3 )式得到的值可能大于 1 ,θ 无解,极大值点应改用( 4 )式确定 . 那么k 取何值时 sin θ 有解?我们可以把 sin2θ =1 代入原方程,得 2 k2 -2k -1=0 ,解得k =槡 1+ 32= M + mm,即mM槡 = 3-1.所以 mM< 槡 3-1 时( 3 )式无解,极大值点由 cos θ =0确定,θ =90°.综上,当 mM< 槡 3-1时, θ =90°时速度最大.当mM≥ 槡 3-1时, sin2θ = k 2k +3- 8 k 槡 +92 ( k2 -1 )时速度最大,式中 k = M + mM.看似简单的最大值问题,解题过程却有些曲折.面对学生的质疑,无法直接否定时更应认真对待,想当然的认为标准答案是正确的,可能会错过验算机会.本文采用图像法、求导法、数值分析等方法多途径验算最大值,以确定可靠的结果.参考文献:1　 李海龙 .恢复系数在竞赛中的灵活运用[ J ] . 物理教师,2018 ( 6 ): 85-86.2　 刘 世 明 .小 球 的 运 动 轨迹 [ J ] . 物 理 教 师, 2014 (11 ):58-59.(收稿日期:2018-08-24 )—0 7—Vol.40No.1( 2019 )物 　 理 　 教 　 师PHYSICS　TEACHER第40卷第1期2019年