导数 是在函数上任何一点的坡度。
有很多法则可以帮助我们去求导数。
例子:
常数(像3)的坡度永远是 0直线(像2x 是2,3x 是3,以此类推)等等。
以下是一些常用的法用来求函数的导数(例子在下面)。注意:这个符号’ 的意思是 "的导数"。.

常见函数函数
导数
常数c0
直线x1
axa
平方x22x
平方根√x(½)x-½
指数exex
axln(a) ax
对数ln(x)1/x
loga(x)1 / (x ln(a))
三角 (x 的单位是弧度)sin(x)cos(x)
cos(x)−sin(x)
tan(x)sec2(x)
反三角sin-1(x)1/√(1−x2)
cos-1(x)−1/√(1−x2)
tan-1(x)1/(1+x2)
法则函数
导数
乘以常数cfcf’
幂次方法则xnnxn−1
加法法则f + gf’ + g’
减法法则f - gf’ − g’
积法则fgf g’ + f’ g
商法则f/g(f’ g − g’ f )/g2
倒数法则1/f−f’/f2
链式法则
(为"复合函数")f º g(f’ º g) × g’
链式法则	(用’)f(g(x))f’(g(x))g’(x)
链式法则	(用ddx)dydx=dydududx

"的导数" 也可以写成ddx
所以ddxsin(x) 和sin(x)’ 是 一样的,只不过写法不同

举例

例子:sin(x) 的导数是什么?

从上面的列表我们可以看到答案是cos(x)
可以写为:
sin(x) = cos(x)
或:
sin(x)’ = cos(x)

幂次方法则

例子:

x3是什么?

问题是 "x3的导数是什么?"
我们可以用幂次方法则,以n=3:
xn= nxn−1
x3= 3x3−1=3x2

例子:

(1/x) 是什么?

1/x 等于x-1
我们可以用幂次方法则,以n=−1:
xn= nxn−1
x−1= −1x−1−1=−x−2

乘以常数

例子:

5x3是什么?

cf 的导数 = cf’
5f 的导数 = 5f’
幂次方法则:
x3= 3x3−1= 3x2
所以:
5x3= 5
x3= 5 × 3x2=15x2

加法法则

例子:x2+x3的导数是什么?

加法法则说:
f + g 的导数 = f’ + g’
所以我们可以求每项的导数,然后求它们的和。
幂次方法则:
x2= 2x
x3= 3x2
所以:
x2+ x3的导数 =2x + 3x2

减法法则

变量不一定是x,我们可以相对于v来求导数:

例子:

(v3−v4) 的导数是什么?

减法法则说:
f − g 的导数 = f’ − g’
所以我们可以求每项的导数,然后求它们的差。
幂次方法则:
v3= 3v2
v4= 4v3
所以:
v3− v4的导数 =3v2− 4v3

加法、减法、乘以常数和幂次方法则

例子:

(5z2+ z3− 7z4) 的导数是什么?

幂次方法则:
z2= 2z
z3= 3z2
z4= 4z3
所以:
(5z2+ z3− 7z4) = 5 × 2z + 3z2− 7 × 4z3=10z + 3z2− 28z3

积法则

例子:cos(x)sin(x) 的导数是什么?

积法则说:
fg 的导数是 = f g’ + f’ g
在这个例子里:
f = cosg = sin
根据上面的列表:
cos(x) = −sin(x)
sin(x) = cos(x)
所以:
cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)
=cos2(x) − sin2(x)

倒数法则

例子:

(1/x) 的导数是什么?

倒数法则说:
1/f 的导数 = −f’/f2
若f(x)= x,f’(x) = 1
所以:
1/x 的导数是 = −1/x2
结果和在上面用幂次方法则求的一样。

链式法则

例子:ddxsin(x2) 的导数是什么?

sin(x2)是由sin()和x2结合而成:
f(g) = sin(g)g(x) = x2
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x)
导数分别是:
f'(g) = cos(g)g'(x) = 2x
所以:
ddxsin(x2) = cos(g(x)) (2x)
= 2x cos(x2)
链式法则也可以写成:dydx=dydududx
让我们用这个公式来再做一遍上面的例子:

例子:ddxsin(x2) 的导数是什么?

dydx=dydududx
设u=x2,所以 y = sin(u):
ddxsin(x2) =ddusin(u)ddxx2
分别微分:
ddxsin(x2) = cos(u) (2x)
代入 u = x2和简化:
ddxsin(x2) = 2x cos(x2)
结果和上面一样!
再来看看一些链式法则的例子:

例子:

(1/cos(x)) 的导数是什么?

1/cos(x)是由1/g和cos()结合而成:
f(g) = 1/gg(x) = cos(x)
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)
导数分别是:
f'(g) = −1/(g2)g'(x) = −sin(x)
所以:
(1/cos(x))’ = −1/(g(x))2× −sin(x)
= sin(x)/cos2(x)
注意:sin(x)/cos2(x)也是tan(x)/cos(x),或其他不同的形式。

例子:

(5x−2)3的导数是什么?

链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)
(5x-2)3是由g3和5x-2结合而成:
f(g) = g3g(x) = 5x−2
导数分别是:
f'(g) = 3g2(用幂次方法则)g'(x) = 5
所以:
(5x−2)3= 3g(x)2× 5 = 15(5x−2)2