高中数学必修二优质学案高效专题 球的体积和表面积 【课时目标】 1.了解球的体积和表面积公式.2.会 用球的体积和表面积公式解决实际问题.3.培养学生的空 间想象能力和思维能力. 1.球的表面积 设球的半径为 R,则球的表面积 S=________,即球的 表面积等于它的大圆面积的________倍. 2.球的体积 设球的半径为 R,则球的体积 V=________. 一、选择题 1.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积 比是( ) A. 6π 6 B. π 2 C. 2π 2 D.3 π π 2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到 原来的( ) A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 D.3 2倍 3.正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A.1∶ 3 B.1∶3 C.1∶3 3 D.1∶9 4.若三个球的表面积之比为 1∶2∶3,则它们的体积之 比为( ) A.1∶2∶3 B.1∶ 2∶ 3 高中数学必修二优质学案高效专题 C.1∶2 2∶3 3 D.1∶4∶7 5.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5,且它 的 8 个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( ) A.25π B.50π C.125π D.以上都不对 6.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是 球半径的 3 倍,圆锥的高与球半径之比为( ) A.4∶9 B.9∶4 C.4∶27 D.27∶4 二、填空题 7.毛泽东在《送瘟神》中写到:“坐地日行八万里”.又 知地球的体积大约是火星的 8 倍,则火星的大圆周长约 ________万里. 8.将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中, 水面升高 4 cm,则钢球的半径是________. 9.(1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体 是________; (2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是 ________. 三、解答题 10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯 口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使 冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料? 高中数学必修二优质学案高效专题 11.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形, 在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正 好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 能力提升 12.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生 画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形,如图所 示,则( ) A.以上四个图形都是正确的 B.只有(2)(4)是正确的 C.只有(4)是错误的 D.只有(1)(2)是正确的 13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这 个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点, 求这三个球的表面积之比. 高中数学必修二优质学案高效专题 1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半 径可构成直角三角形,进行相关计算. 2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将 球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算. 3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立 体几何问题转化为平面几何问题,运用方程思想与函数思想 解决,融计算、推理、想象于一体. 球的体积和表面积 答案 知识梳理 1.4πR2 4 作业设计 2.43πR3 高中数学必修二优质学案高效专题 1.A [先由面积相等得到棱长 a 和半径 r 的关系 a= 6π 3 r,再由体积公式求得体积比为 66π.] 2.B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2倍, 则体积扩大到原来的 2 2倍.] 3.C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长 a,外 接球的直径等于 3a.] 4 . C [ 由 表 面 积 之 比 得 到 半 径 之 比 为 r1∶r2∶r3 = 1∶ 2 ∶ 3 , 从 而 得 体 积 之 比 为 V1∶V2∶V3 = 1∶2 2∶3 3.] 5 . B [ 外 接 球 的 直 径 2R = 长 方 体 的 体 对 角 线 = a2+b2+c2(a、b、c 分别是长、宽、高).] 6.A [设球半径为 r,圆锥的高为 h,则13π(3r)2h=43πr3, 可得 h∶r=4∶9.] 7.4 解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径 的 2 倍,日行 8 万里指地球大圆的周长,即 2πR 地球=8,故 R 地球=4π(万里),所以火星的半径为2π万里,其大圆的周长为 4 万里. 8.3 cm 解析 设球的半径为 r,则 36π=43πr3,可得 r=3 cm. 9.(1)球 (2)球 解析 设正方体的棱长为 a,球的半径为 r. 高中数学必修二优质学案高效专题 (1)当 6a2=4πr2 时,V 球=43πr3= π6a3>a3=V 正方体; (2)当 a3=43πr3 时,S 球=4πr2=6 3 π6a2<6a2=S 正方体. 10.解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须 V 圆锥≥V 半球,V 半球=12×43πr3=12×43π×43, V 圆锥=13Sh=13πr2h=13π×42×h. 依题意:13π×42×h≥12×43π×43,解得 h≥8. 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm,高大于或等于 8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr h2+r2, 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小,所以高为 8 cm 时, 制造的杯子最省材料. 11.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所 示为圆锥的轴截面. 根据切线性质知,当球在容器内时,水深为 3r,水面的 1 半径为 3r,则容器内水的体积为 V=V 圆锥-V 球=3π·( 3 r)2·3r-43