这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1,ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函数, 的零点为偶数s=2n,这些位置是可能的零点,但s为正偶数时, 为不为零的规则函数,只有s为负偶数时,ζ函数才有零点,称为平凡零点。 欧拉计算出ζ(2k),对于偶整数2k,使用公式 其中B2k是伯努利数。从这个,我们可以看到ζ(2) = π/6, ζ(4) = π/90, ζ(6) = π/945等等。(OEIS中的序列/)。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。 为正偶数时的函数值公式已经由欧拉计算出。但当 为正奇数时,尚未找到封闭式。 这是调和级数。 A078434 该值用于计算具有周期性边界条件的玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度以及磁系统的自旋波物理。 A013661 即巴塞尔问题。这个结果的倒数回答了这个问题:随机选取两个数字而互质的概率是多少? A002117 称为阿培里常数。 A0013662 黑体辐射里的斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩近似。 其中γ是欧拉-马歇罗尼常数= 同样由欧拉发现,ζ函数在负整数点的值是有理数,这在模形式中发挥着重要作用,而且ζ函数在负偶整数点的值为零。 事实上 Bn是白努利数。 因为 B2n+1 =0,故ζ函数在负偶整数点的值为零。 ,x>1。 , , , , , , , , , , , , , , , 临界线上的数值计算可以通过黎曼-西格尔公式完成。 与之相关的,林德勒夫猜想:对于任意给定的实数 ,