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今天的文章聊聊高等数学当中的极限,我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限,大家应该都非常熟悉。
大部分比较简单的函数或者数列,我们可以很直观地看出来它们的极限。比如\(\frac{1}{n}\),当n趋向于无穷大的时候,\(\frac{1}{n}\)的极限是0,再比如当n趋向于无穷大的时候,\(n^2\)的极限也是无穷大,等等。但是对于一些相对比较复杂的函数,我们一时之间可能很难直观地看出极限,因此需要比较方便计算极限的方法,今天的文章介绍的正是这样的方法——夹逼法和换元法。

夹逼法

夹逼法在数学领域其实非常常用,在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单,对于某一个函数f(x),我们知道它的表达式,但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x),然后证明:\(g(x)\leq f(x) \leq h(x)\)。通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。
说白了,就是直接求解不方便的函数,我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解,类似于“曲线救国”。
明白了夹逼法的概念之后,我们再来看一下它在数列极限当中的应用。当下存在数列\(\{x_n\}\)我们需要确定它的极限,我们找到了另外两个数列\(\{y_n\}\)和\(\{z_n\}\)。如果它们满足以下两个条件:
\(\exists n_0 \in N\),当\(n > n_0\)时,有\(y_n \leq x_n \leq z_n\)。\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}y_n=a, \lim_{n \to +\infty}z_n=a\)
那么,数列\(\{x_n\}\)的极限存在,并且\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}x_n=a\)。从直觉上来看,上面的式子应该非常直观,但是我们还是试着从数学的角度来证明一下,顺便回顾一下极限的定义。
证明过程如下:
根据极限的定义,对于数列\(\{x_n\}\)而言,对于任意\(\epsilon\)都存在\(n_0 > 0\),使得对于任意:\(n > n_0\),都有\(|x_n - a|