本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。 简介 环绕有限面积的区域边缘的长度积分,叫做周长,也就是图形一周的长度。周长用字母C表示。 公式 圆:C=πd=2πr (d为直径,r为半径,π) 三角形的周长C = a+b+c(abc为三角形的三条边) 四边形:C=a+b+c+d(abcd为四边形的边长) 特别的:长方形:C=2(a+b) (a为长,b为宽) 正方形:C=4a(a为正方形的边长) [1] 多边形:C=所有边长之和。 扇形的周长:C = 2R+nπR÷180˚ (n=圆心角角度) = 2R+kR (k=弧度) 面积与周长 如果以同一面积的三角形而言,以等边三角形的周界最短; 如果以同一面积的四边形而言,以正方形的周界是最短; 如果以同一面积的五边形而言,以正五边形的周界最短; 如果以同一面积的任意多边形而言,以正圆形的周界最短。周长只能用于二维图形(平面、曲面)上,三维图形(立体) 如柱体、锥体、球体等都不能以周界表示其边界大小,而是要用总表面面积。 总表面面积 = 该立体所有面的面积和。 相关教学 内容标准 “周长的认识”是义务教育数学第一学段三年级(上册)的学习内容,课程标准关于“周长的认识”的学习内容,实际上包含三个层面:首先是让学生认识到周长的概念,并能在实际生活中体验周长;其次是让学生掌握测量周长的方法和过程;最后是体验和感受数学在生活中的应用。 课程目标 课程标准对于“周长的认识”这一具体的课程内容,在内容标准中明确指出了目标要求,即“指出并测量具体图形的周长,探索并掌握长方形、正方形的周长公式”。此外,在数学课程的总体目标中,“获得一些初步的数学实践活动经验,能够运用所学的知识和方法解决简单的问题;感受数学在日常生活中的作用”,也是对于“周长的认识”的目标要求。 这里的课程目标,其实是知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度目标的细化和具体体现,这些目标要求涉及第一学段“学段目标”的如下要求:知识与技能目标中的“获得初步的测量(包括估测)的技能”;数学思考目标中的“在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中,发展空间观念”;解决问题目标中的“了解同一问题可以有不同的解决办法。有与同伴合作解决问题的体验。初步学会表达解决问题的大致过程和结果”;以及情感与态度目标中的“在他人的鼓励与帮助下,对身边与数学有关系的某些事物有好奇心,能够积极参与生动、直观的数学活动。感受数学与日常生活的密切联系。经历观察、操作、归纳等数学思考过程的合理性。在他人的指导下能够发现数学活动中的错误并及时改正”。 [2] 一种平面图形周长测量仪 随着社会的发展,各式各样的仪器孕育而生,目的都是为了满足人们实际生活和工作的需要。周长和面积测量仪也不例外,它的目的同样是帮助人们方便、快捷、准确地测量任意平面图形的周长和面积。 一种周长和面积测量仪的原理主要是利用了变换器原理,将一条曲线按照任意给定的规律转换成另一条曲线。该机构应有两个自由度,以使一点被迫沿导引线运动时,各构件上一些确定的点描绘出完全确定的轨迹。该测量仪器将连杆、滑块、滚轮三者巧妙地结合起来,具有结构简单、测量精准度高、使用方便等特点。 测量仪器的结构分析 如图1所示,d为平面内任意图形。整个机构由连杆、滑块、滚轮组成。在连杆 的长度段上,设 和 是滑块,且只能在导引直线轨道内滑动。C是一半径为r的滚轮,且保证在测量过程中作纯滚动。 机构运动学分析:只有在自由度大于等于2的情况下,才能保证滚轮C作纯滚动。很容易计算出该机构的自由度F = 2。 周长测量仪原理分析 当A点沿着被测图形的轮廓绕行时,滑块B被迫沿着导引直线轨迹运动,滚轮也跟着做纯滚动。这样就可以利用滚轮转动的角度来计算出曲线的长度。 如图2所示,假设A点运动到A’点,B点运动到点B',这时,C点运动到C'点。设A点移动了ds距离,B点移动了dl距离。滚轮滚动的角度如图3所示。设滚轮滚过角度为da。滚轮无论顺时针旋转还是逆时针旋转,角度计数器都记录正值。 再将直线AC复制到B‘点处,得到直线 。设A'C'与偏移的角度为 。 微线段AA’的长度: B点移动的距离: 由上述两式联立, 对式(3)进行积分就可得到曲线的长度s。 [3]