【摘要】阿基里斯追乌龟的悖论已经存在了 2000 多年,学术界一直没有给出令人满意的解释。本文从数学、物理和哲学的角度进行了全方位分析,比较彻底地破解了这一悖论。
【关键词】无穷;芝诺悖论;乌龟;阿基里斯
在初中课堂上,班主任邀请到三位专家为学生做讲座。一位数学家,一位物理学家,一位哲学家。
班主任作为讲座的主持人,他在黑板上写出了第一个问题:
【1】如图 1 所示,古希腊著名战将阿基里斯的正前方 9 米处有一只乌龟,二者向同一方向做匀速直线运动。阿基里斯的运动速度是 1 米/秒,乌龟的运动速度是 0.1 米/秒。问:
(1)阿基里斯能否追上乌龟?
(2)如果阿基里斯能追上乌龟,他需要用多长时间才能追上乌龟?乌龟被追上时,共跑了多少米?
图1 阿基里斯追乌龟(10倍速度)
班主任邀请数学家和物理学家分别上场解答。
首先登场的是数学家。
数学家来到黑板前面,开始他的演讲——
同学们请看,阿基里斯要想追上乌龟,他必须要经过乌龟在前面走过的每一个点,二者之间总是存在着一段距离
。
第
阶段,
,当阿基里斯从
点(
)运动到
点(
),所花时间为
;可以算出,
秒。在这段
秒的时间里,乌龟并没有闲着,它从
点爬到了更远的
点(
)。此时,阿基里斯与乌龟之间的距离
米。
第
阶段,
,当阿基里斯从
点(
)运动到
点(
),所花时间为
;可以算出,
秒,在这段
秒的时间里,乌龟没有闲着,它从
点爬到了更远的
点(
);阿基里斯与乌龟之间的距离
米。
第
阶段,
,当阿基里斯从
点(
)运动到
点(
),所花时间为
;可以算出,
秒,在这段
秒的时间里,乌龟没有闲着,它从
点爬到了更远的
点(
);阿基里斯与乌龟之间的距离
米。
第
阶段,
,当阿基里斯从
点(
)运动到
点(
),所花时间为
;可以算出,
秒,在这段
秒的时间里,乌龟没有闲着,它从
点爬到了更远的
点(
);阿基里斯与乌龟之间的距离
米。
这个过程可以无限进行下去……
为了方便理解,我们将上面的部分数据集中地列于表 1。
可以看出,乌龟的运动轨迹是一个有规律的等差级数(级差
为前两项差的
):
除去首项 0,从第 2 项开始,阿基里斯的运动轨迹与乌龟的运动轨迹完全一致: