分为两种情况:
1、如果三点共线,那么到三点距离之和最小的点就是中间的那个点。
2、如果三点不共线,则这三点可构成一个三角形,此时此点就是费马点。
费马(Pierre De Fermat )是法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马点”。
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
扩展资料
求费马点举例:
有甲乙丙三个村庄,要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小?将此问题用数学模型抽象出来即为:
在△ ABC中确定一点P,使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下:分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点,则该点 即为所求P点。
证明:如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中,AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° , ∠APD=∠ABD=60°
同理:∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心,PA为半径作圆交PD于F点,连结AF,
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°,已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ,同样连结GA、GB、GC、GD,以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°,记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合,且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
以上是简单的费马点问题,将此问题外推到四点,可验证四边形的对角线连线的交