通过比较,可以发现事物的相同点和不同点,更容易找到事物的变化规律。找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律,常常包含着事物的序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,本文就此类题的解题方法进行探索:
一、基本方法——看增幅
(一)如增幅相等(实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n 个数可以表示为:a 1+(n-1)b ,其中a 1为数列的第一位数,b 为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n 位的总增幅。然后再简化代数式
a 1+(n-1)b 。
例:4、10、16、22、28„„,求第n 位数。
分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅都是6,所以,第n 位数是:4+(n-1) 6=6n -2
(二) 、比值相等(等比数列) :
例:2、4、8、16、„。第n 项为:a n =2n
(三)如增幅不相等,但是增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,即二级等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n 位的数也有一种通用求法。
基本思路是:1、求出数列的第n -1位到第n 位的增幅;
2、求出第1位到第第n 位的总增幅;
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n 位数。
举例说明:2、5、10、17„„,求第n 位数。
分析:数列的增幅分别为:3、5、7,„„,增幅以同等幅度增加。那么,数列的第n-1位到第n 位的增幅是:3+2×(n-2)=2n-1, 总增幅为:〔3+(2n-1)〕×(n-1)÷2=(n+1)×(n-1) =n -1
所以,第n 位数是:2+ n2-1= n2+1
此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。
(四)增幅不相等,但是增幅同比增加,即增幅为等比数列,
如:2、3、5、9、17、„.
分析:数列2、3、5、9,17„。的增幅为1、2、4、8„. 即增幅为等比数列,比为:2。
那么,增幅数列(等比数列)1、2、4、8„. 的和为多少求出来加上第一位数就是第n 位数, 即增幅数列(等