本文的主要工作如下:第一 根据解析函数的定义判断,第二 CauchyRiemann条件证明函数的解析性,第三 根据初等函数的解析性判断,第四 利用 积分形式的等价定理,第五 关于幂级数形式的等价定理,第六 根据导函数的解析性判断, 第七 根据级数判别函数的解析性。 关键词:解析函数;连续性定义;CauchY-Riemann;积分;初等函数;幂级数;导函数; 级数;实解析函数;复解析函数。 Abstract: analyticfunction locallygiven convergentpower series. analyticfunction can realanalytic functions complexanalytic function. Both themhave something alsoimportant differences. alsodefined theultrametricdomain. ideahas important application modernnumber theory arithmeticalgebraic geometry. importantobject complexvariable analytic function analyticfunction. Analytic function theory has important applications numbertheory, electrical, engineering otheraspects. analyticfunction verywide, manycomplicated calculations solved fluidmechanics aviationmechanics problem, hasmade importantcontribution. hasdepth differentialequation, integral equation, probability theory, numbertheory otherdisciplines, far-reachinginfluence mainwork follows:firstly, analyticfunction makejudgment; secondly, according CauchyRiemann’s conditions, analyticfunction; thirdly, makeanalytic judgment elementaryfunction; fourthly, equivalencetheorem integralform; fifthly, about powerseries; sixthly, guidefunction analyticjudgment; seventhly, according discriminantfunctions. Keywords: analytic function; continuity definition; Cauchy-Riemann;integration; elementary function; power series; derivative; series; real analytic functions; complex analytic functions. 引言:解析函数是局部上由收敛幂级数给出的函数,解析函数可分成实解析函数 和复解析函数。二者有类似之处,也存在重要的差异。另外也在超度量域上也是 可以定义为解析函数,这套想法在现代数论与算术代数几何中有作重要的应用。 解析函数也是复变函数研究的一个重要对象,解析函数理论同时也在数论、电学、 工程等多方面都有作重要的应用价值,解析函数的涉及面很广,在很多复杂的计 算过程都是用它来解决的。在运用复变函数论解决航空力学和流体力学等方面的 问题上也是做出了巨大贡献的。它已经深入我们学习的积分方程、微分方程、数 论和概率论等学科,对这些学科的发展是有极其深远的影响的。解析函数也是复 变函数论主要研究的对象,在复变函数和数学的整个发展的历史时期都占据着很 重要的地位,它在不断延续和发展的同时也影响了很多学科的发展。 一、解析函数的概念 的某个领域内的任意一处可导,而且在 )不仅在 内任一点解析,则称f(z)在区域 D内解析。 注:1)如果函数f(z)在区域 内的解析,那么D内每一点都是它的内点,从而 D是开区域。 2)如果函数f(z)是闭圆盘 上解析,指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。 不一定解析。但是f(z)在区域D内解析和可导是等价的。 4)一个解析函数不可能仅有一个点或一条曲线上解析;所有解析点的集合必 母为零的点)在D内解析。所以由此定理可以知道:A:所有的多项式在复平面内是处处解析; 根据解析函数的定义判定要考察函数在某一点的解析性,首先看函数在该点是否有定义,然后看函数 在该点极其领域内是否可导。 定义: 称为解析点,否则称为奇点。 例1:讨论函数f(z)=1/z 的解析性。 dzdw 内解析:f(z)在D内处处解析。函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。 在区域内:解析可导 则由解析的定义可知 在整个复平面上解析 内解析.例如: 复变函数 y),如何判别其解析性?()设函数w=f(z)= 内解析。即存在 ib 为Cauchy-Riemannf方程即 并且满足柯西黎曼Cauchy-Riemann)方程。 ,并且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann)方程。于是有 根据CauchyRiemann 条件证明函数的解析性 由于复变函数的表示法的不同, 下面给出三个相互等价的定理. 其在应用中 可根据题目中的函数而灵活运用 复变函数 内有定义,则在区域 内解析的充要条件: 最重要的方法之一.另外, 应用 CauchyRiemann 条件证明函数解析性还有另外 两种等价的定理. 定理1: 设函数 内连续,且满足 处处不满足C-R条件,所以f(z)在 平面上处处不解析。由上例可看出这两种形式的 CauchyRiemann 条件各有其方便之处, 在做题 可以选择适当的形式,从而简化证明过程. 下面再介绍另一种形式的 CauchyRiemann 条件. 定理 内任一点上的两个相互垂直的方向 是按逆时针方向,则函数 内解析的充要条件是: 证明必要性:由zyzte sincos sin cos 同样,若令可得 同样对v(x,y)用完全相同的过程且设无穷小量为 由条件全相等的,因此有 可知上式两个括弧是完 这说明了函数论成立。 处可导,所以定理的结 根据初等函数的解析性判定若复变函数是初等函数,则我们可以根据初等函数的解析性来进行判定 1)指数函数 在整个复平面上解析;指数函数: 定义对任意的复数 yi 2)对数函数lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析; 对数函数定义为指数函数的反函数。我们把满足方程 称为对数函数,记作Lnz lnln lnln iArgz Arg是多值的,于是对于每个非零z,复对数Lnz 也就是多值的。 3)幂函数 为负数时,幂函个面上解析; 正整数时,幂函数在整 去原点以外的整个复平面上解析;虚数时 为既约分数、无理数、 ,在除去原点和负实轴的复平面上解析; cscsec cot tan 在各自的定义域内解析。