在之前的文章中,我介绍了概率论的基本概念和基本公理。数学家会为这些感到兴奋,但在实践中,概率论中比较常用的是概率分布。
概率分布用于许多领域,但我们很少看到相应的解释。通常作者会假定读者已经了解概率分布了。本文将尝试解释什么是概率分布。
什么是概率分布?
回忆一下,随机变量是值为一个随机事件的结果的变量(如果不知所云,请温习下本系列的第一篇)。例如,掷骰子的点数或抛硬币的结果是随机变量。
概率分布是随机变量所有可能结果及其相应概率的列表。
例如,均匀6面骰的概率分布为:
更明确地说,这是一个有限支持的离散单元概率分布的例子。这读起来比较拗口,所以让我分解这一表述,逐步理解。
离散(discrete)这意味着如果我选择任意两个连续的结果,我无法取得位于两者之间的结果。例如,考虑投掷六面骰的结果1点和2点,我没法得到两者之间的点数(例如,我没法掷出1.5点)。在数学上,我们会说,结果列表是可数的(不过我不会进一步定义可数集和不可数集了,否则就没完没了了)。你大概可以猜想,当我们涉及连续(continuous)概率分布时,这一点会不成立。
单元(univariate)这意味着我们只有一个(随机)变量。在这一情形下,我们只有掷骰的结果。相反,如果我们有不止一个变量,那我们称其为多元分布(multivariate distribution)。如果我们有两个变量,那么这一多元分布的特例称为二元分布(bivariate distribution)。
有限支持(finite support)这意味着结果的数目是有限的。基本上,支持是定义概率分布的结果。所以,在我们的例子中,支持是1、2、3、4、5、6. 由于这些值不是无限的,所以我们说这是有限支持的概率分布。
函数入门
我们为何谈论函数?
在上面的投掷六面骰的例子中,只有六种可能的结果,所以我们可以在一个表格中写下整个概率分布。但在很多场景中,结果的数量可能很大,用表格罗列会很枯燥乏味。更糟的是,可能结果的数目也许是无限的,在那样的情形下,就没法编写表格了。
为了免去为每个分布编写表格的麻烦,我们可以转而定义一个函数。函数允许我们简洁地定义一个概率分布。
所以,让我们首先介绍一般意义上的函数,接着再介绍用于概率分布的函数。
什么是函数?