◇ 甘 肃 张 利 梅 “补 形法 ” 即将 题 目所 给 的 不 规 则 几 何 体 还 原 成 长方体、正方体 、棱柱 、圆柱 等特殊 的几何 体 ,从而 利 用 特 殊几 何体 的性质 简 洁解 题 .下 面就 常 用 的补 形 策 略举 例分 析 . 1 将不 规 则 的几何 体 补形 成规 则 的几 何体 #群 —■ 例 1 ( 2015 年 山 东 卷 ) 在 梯 形 A BCD 中 , A B C= ,A D //B C ,BC 一2A D 一2A B 一2,将梯形 A BCD 绕 A D 所 在 的 直 线 旋 转 一 周 而 形 成 的 曲 面 所 围成 的几何 体 的体 积为 ( ) . A 警;B ;C ≥;D 2丌 如图 1,先将梯形 A BCD 补形 ,解析 成 矩 形 A B CM ,再 将 矩 形 A BCM 绕 A D 所在 的直 线旋 转一 周 形 成 的 几 何 体 为 圆 柱.又 R t △ CDM 绕 A D 所在 的直 线 旋 转 一 周 形 成 的 几 何 体 为 圆锥 ,故 易 知 梯 形 A B CD 绕 A D 所 在 的直 线旋 转 一 周 形 成 的几 何 体 是 圈 l C 圆柱 被挖 去 一个 倒放 的 圆锥 而 形 成 的几 何 体 ( 这个 几 何体也可 以理解为 :通 过补形 ,即增加 一个倒放 的圆 锥 可形 成 圆柱 ). 于是 ,结合图形易知所求体积为 圆柱一V圆锥一7c× 1。× 2一寺×7c×1 × 1一 . 舞 占 本题求解关键在于,以圆柱为背景 画出对应 揖 的几何体 ,以便 灵 活 运 用 分 割 与 组合 思 想,, 巧 求体 积. 2 将 侧 棱 两两垂 直 的 三棱锥 补 形成 长 方体 例 2 已知正三棱锥 P-A BC 的 4 个顶点都在半 径为√3 的球面上 ,若 3 条侧棱 PA 、PB 、PC 所在直线 两两 互相 垂 直 ,则球 心 到截 面 A BC 的距 离 为 . 如 图 2 所示 ,因为 正 三 棱 /解析 锥 P-A BC 的 3 条侧 棱 长 相等 ,所 以可将 其 补形 为 正方 体 (特 殊 的 长 方 体 ) ,则 易 知 球 心 0 为 正 方 体 对 角 线 PD 的 中 点 ,且 PO = √3 ,进 而可求得 正方体 的棱 D 图 2 长 为 2.设 点 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 h ,则 根 据 V~ABc—VBPA ,得÷s△仙 矗一 1 s△朋 PB,所以 1× x ( 2 ) 。× 矗:==百1 x 1 × 2× 2× 2, 解得 一竽. 又易 知 P O上 平 面 A BC ,故 球 心 到 截 面 A BC 的 距 离 为 P O 一^ 一 一 一 . 彝三篓 蓑篓 莹 翥言 形 为 一 个 长 方 体 ,且 易知 该 三 棱 锥 的 外 接 球 半 径 为 孵 . 3 将 四面体 补形 成 多种 几何体 僦 —’ 例 3 在四面体 A BCD 中,设 A B 一1,CD 一√3 , 直 线 A B 与 CD 的距 离 为 2,夹 角 为 兀/3 ,则 该 四 面 体 的体 积等 于 . 解 法 1 如 图 3,将 四面 体 A B CD 补成三棱 柱 A BE —F CD ,则 面 A B E // 面 CDF ,A B //CF ,且 CF 一1,则直线 A B 与 CD 的距离 就 是平 面 A B E 与平 面 F CD 的距离 ,即三棱柱的高 h===2, 且 DcF 一詈或 .于是,V柱体一 S△c1) ·^一 CD·CF·sin詈×2一号. 1 1 故所求四面体的体积为÷ 柱体一寺. 解 法 2 如 图 4 所 示 ,将 四 面 体 A B CD 补成平行六面体 ,则易知 该四面体 的体 积是平行 六面体 体 积 的 1/3 ,且 V 平行六面体一 S 底· h 一 ×1 x,/g× sin詈×2一号.故所 求 四面 体 的体积 为 ] /2. 图4 舞 釜 票蓑 体 积 问题.利 用 上 述 解 析 给 出 的 2 种 不 同方 法 ,可 得 一般 结论 :在 四面体 A B CD 中,设 A B 一口,CD —b,直 线 A B 与 CD 的距 离 为 h ,夹 角 为 0,则 该 四面 体 的体 积 一 1&bh s in 0. b 综 上 ,灵 活运 用 “补 形 法 ” ,可 巧 妙 求 解 立 体 几 何 中有关 体 积 、距 离 等 问题 ,且学 且悟 . ( 作 者单位 :甘 肃皋 兰县 一 中) 数1 9理 化