“奇偶原理”非常简单,但有时在解题中会起到“四两拨千斤”的作用。“奇偶原理”回顾:
奇+奇=偶;奇+偶=奇;偶+偶=偶;
奇-奇=偶;奇-偶=奇;偶-偶=偶;
奇*奇=奇;奇*偶=偶;
(加减不改变奇偶性)
下面是AwesomeMath2018数学夏令营试题:
Question: Find, with proof, all triples (x, y, z) of positive integers such that
咋一看,这道题非常复杂,一个方程三个未知数,且x在指数上,根本无法求解,连有多少个解都很难知道。那么,接下去看如何利用上述“奇偶原理”举重若轻的解决上述问题。
(1) 判断x, y, z的奇偶性
因为x, y, z都是正整数(不能等于零),因此
必定为偶数。LHS为偶数,那么RHS也必定为偶数,所以
必定为奇数,那么y、z中一个为奇数,另一个为偶数。不妨假设,y为奇数, z为偶数。
(2) 确定x的值
根据上述分析,令
,
, 带入式子
,
化简:
,
两边同除以2,可得:
.
根据上式,可知RHS必定是奇数,那么LHS也只能是奇数。而如果x>2,那么LHS是偶数,上式必定不成立。因此,x=1。
(3) 计算y, z的值
至此,已经知道x=1,带入方程中化简可得:
.
因为y, z为正整数,所以k为自然数,n为正整数,且
。
因为k(k+1)必定为偶数,那么根据“奇偶原理”,n也必定是偶数,而偶数的平方末位只有可能是:0,4,6;再考虑连续两位整数的乘积其末位数字只有可能是:0,2,6。而LHS末位是4,那么
与k(k+1)之和末位是4的,n只有可能是2,8,12,18,22。那么只需要验证z=4, 16,24, 36,44五种情况就可以了。带入
,只有z=44时,y=9符合。
综上所述,(x, y, z)=(1,9,44) 或(1,44,9)。
一道难题通过简单的奇偶分析,一步一步推导,最后竟只有两组解,这是多么美妙的一个过程!
P.S. 一己拙见,欢迎交流指正。
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