§2多重积分、曲线积分与曲面积分
一、多重积分
1.二重积分
连续函数f(x,y)在有限可求积的平面区域Ω内的二重积分
式中
,
,
是对Ω中的所有
的下标i,j求和.
[特定区域内二重积分的计算公式]

积分区域Ω
计算公式(积分限应从小到大)
设
,则

[二重积分的变量替换(雅可比式)]若连续可微分的函数
把平面Oxy上的有界闭区域Ω单值映射到平面
上的闭区域Ω',其雅可比式为
则
例若
则
所以
2.三重积分
[直角坐标下的三重积分]假设有界区域V由下列不等式
a≤x≤b,
≤y≤
,
≤z≤
确定,其中
,
,
,
都是连续函数,且函数f(x,y,z)在V上是连续的,则函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分
有时采用下面公式计算:
式中
是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面(图6.3).
例设V表示在第一卦限中由曲面
和坐标平面所围成的封闭区域,则当一切常数都是正的时候,有
这种类型的积分称为狄利克莱积分,它在计算重积分时经常用到.
[圆柱坐标下的三重积分] (图6.4)
(一般地,0≤
≤2π)
式中V为直角坐标中的有界区域,V'是区域V在圆柱坐标系中的表达式.
[球面坐标下的三重积分] (图6.5)
(一般地,0≤
≤2π,0≤θ≤π)
式中V'是区域V在球面坐标系中的表达式.
[三重积分的变量替换(雅可比式)]若连续可微函数
把Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'u
w空间的闭区域V',并且当(u,
,w)∈V'时其雅可比式
则
3.多重积分
[直接计算多重积分]若函数f(
)在由下列不等式所确定的有界闭区域Ω内是连续的:
a≤
≤b
式中a,b为常数,
(
),
(
),…,
(
),
(
)为连续函数,则对应的多重积分可按下面公式计算:
[多重积分的变量替换(雅可比式)]若连续可微函数
=
(
),i=1,2,…,n
把O
空间内的有界闭区域Ω双方单值地映射成O'
空间内的有界闭区域Ω',并且在闭区域Ω'内雅可比式
则
特别,根据公式
变换成极坐标(r,
)时,有:
二、曲线积分

[对弧长的曲线积分]若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:
的各点上有定义并且连续(图6.6)则
式中ds为弧的微分,
等.这个积分与曲线C的方向无关.
[对坐标的曲线积分]若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C:
的各点上连续,这曲线的正方向为t增加的方向,则
当曲线C的正向变更时,积分的符号改变.
[全微分的情形]若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C上连续,并且
式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数,则
式中(
)为积分曲线C的始点,(
)为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下,积分值与曲线C的形状无关,只与曲线的始点和终点有关(图6.7).
在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分
的充分必要条件是:在区域V内等式
成立.这时函数u可按下面公式求得:
式中(
)为区域V内的某一固定点.

[格林公式]
1°曲线积分与二重积分的关系.设C为逐段光滑的简单(无自交点)闭曲线,围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边,若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏导数在S+C上连续,则有格林公式:

2°曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q,
在区域S上连续,且
则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零,即
因而由S中的A到B的积分与线路无关(图6.8),即
三、曲面积分
[对曲面面积的曲面积分]
1°若S为逐片光滑的双侧曲面*
z=z(x,y) ((x,y)
)
式中σ为曲面S在Oxy坐标面上的投影,z(x,y)为单值连续可微函数,函数f(x,y,z)在曲面S的各点上有定义并连续,则
此积分与曲面S的方向(法线的方向)无关.
2°若曲面S由连续可微函数
((u,
)∈Ω)
给定,则
式中
*曲面上某一点的法线方向的选定,唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向,它们就是选定方向的
法线在曲面上连续移动(不经过曲面边缘)的指向,所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定
的法线方向,曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变,曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为
双侧曲面.
[对坐标的曲面积分]若S为光滑的双侧曲面,
为它的正面,即由法线方向n(cosα, cosβ,cosγ)所确定的一侧,P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)为在曲面S上有定义并且连续的函数,则
若曲面S由连续可微函数
((u,
)∈Ω)
给定,则
式中
[斯托克斯公式]若C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线,P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上连续可微函数,则
[高斯公式]若S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶偏导数在V+S上连续,则有高斯公式:
式中cosα,cosβ,cosγ为曲面S的法线正方向的方向余弦.
四、 重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算
[二重积分的近似计算公式]
式中
对于不同的积分区域Ω选取不同的常数,
是求积系数,R是余项.
Ω为圆形C:
≤
Ac=π

n
图示
R
(±h,0)
(0,±h)
n
图示
R
(±h,0)
(±h,0)
(0,±h)
(±
h,0)
(±
h,±
h)
k=1,2,…,10

Ω为正方形S:|x|≤h,|y|≤h,
=4

n
图示
R
(±h,±h)
(±h,0)
(0,±h)
n
图示
R

Ω为正三角形T:外接圆半径为h,

n
图示
R
(h,0)

Ω为正六边形H:外接半径为h,

n
图示
R
(
h,0)

[三重积分的近似计算公式]
式中
对于不同的积分区域V选取不同的常数,
是求积系数,R是余项.
V为球体S:
≤
.
=
π

n
图示
R

V为立方体C:|x|≤h,|y|≤h,|z|≤h.
=8

n
图示
R
中心到6个面的距离的6个中点
6个面的中心
8个顶点
n
图示
R
6个面的中心
12个棱的中点
每个面的对角线上到每个面中心距离为
的4个点(共
24点)

Ω为四面体T.
为四面体体积

n
图示
R
4个顶点
4个面的重心
T的重心
4个顶点
6个棱的中点

[曲线积分的近似计算公式]

圆周
:
上的曲线积分
[曲面积分的近似计算公式]
球面
:
上的曲面积分

n
图示
R
n
图示
R