一、定义
设函数
在区间
上连续,设
为区间
上的一点,考察定积分
如果上限
在区间
上任意变动,则对于每一个取定的
值,定积分
都有一个对应值,所以它在区间
上定义了一个函数,记为
该函数就是积分上限函数。
二、变限积分函数求导公式
如果函数
连续,
和
可导,那么变限积分函数的求导公式可表示为
[推导过程]
记函数
的原函数为
,则有
或
则对
运用牛顿-莱布尼茨公式
可得
由函数和的求导法则
可得
由复合函数的求导法则
可得
由(2)式
可知
,则(8)式可改写为
三、定理
定理1 如果函数
在区间
上连续,则积分上限函数
在
上具有导数,且导数为:
四、应用
求极限
令函数
,则函数
在
处连续,运用洛必达法则(L'Hôpital's rule)则有
这是一个典型的变限积分函数的求导,根据变限积分函数求导公式(3)可得
则有