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这一篇是为了后面着色效果的数学基础做积累,之前我们使用矩阵的大部分情况都是直接的仿射空间变换,就是仿射空间A变换到仿射空间B,使用矩阵也都是如下:
矩阵T*齐次坐标V = 齐次坐标V'
其计算细节也就是矩阵行与向量列的点积,其计算意义也就是获得新仿射空间中的坐标分量,也聊了很多了。
这次我们就来学两个矩阵的操作,一个是矩阵的转置操作(得到转置矩阵),一个是矩阵的逆操作(得到逆矩阵)。
①.先看下数学上怎么定义转置矩阵的:
将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵,转置矩阵的行列式不变。
这里我用4x4矩阵演示一下,因为三维图形开发中使用4x4矩阵。
同时转置矩阵有以下的运算性质:
前三个应该不难理解,可能一眼就看出来了,第四个运算性质要稍微演示一下:
第四个公式推导,可以用4x4矩阵推算一下,因为我们三维图形学中基本也就只用4x4矩阵了,推导一遍可以加深印象。
然后将推导过程印在脑海里,后面碰到相关计算就能一目了然了。
②再来看看数学上怎么定义逆矩阵的:
存在矩阵M以及矩阵N,假如M*N = 矩阵I(Identify Matrix单位矩阵),那么矩阵M和矩阵N互为逆矩阵。
这么一看逆矩阵有个很大的作用就是“还原变换”,什么意思呢,假设M与N互为逆矩阵,那么M·N·齐次坐标A得到的还是原来的齐次坐标A,那么就意味着还原了这个变换,从仿射空间角度来讲就是,仿射空间A经过矩阵M变换到仿射空间B,那么仿射空间B经过M的逆矩阵N变换就还原成了仿射空间A。
那么逆矩阵又有哪些运算性质呢?如下:
第一个一目了然了。
第二个稍微需要描叙一下:
第三个可能也需要推算一下:
好,到这里,转置矩阵和逆矩阵的常用公式性质都演示了一遍,顺便说下为什么要观察学习这两个矩阵操作呢?或者说这两个矩阵操作具体有什么用呢?就为了好玩推出一些稀奇古怪的公式定理?nonono,这和后面需要在三维图形学中的特异空间推导有极大关系,这里先提前做好知识储备工作,后面就来上实际的CG shader应用。
so,我们接下来继续。