外接球的常规题型用通用解法就可以解决。一般的,题目会给你一个有数据的三棱锥,再告诉一两个线面关系(面面的大多是垂直关系),让求该三棱锥的外接球表面积等。而我们的通用解法就是:
①拿草稿纸画图 找到三棱锥的底面,像把它放到桌子上一样把它放平,这个底面通常都是面ABC;
②现在我们有一个放平的底面以及另一个竖起来的面(比如面ABC,面PAB);
③在稿纸上手动把这个三棱锥的外接球补全,它的底面就处在球的一个横切面上。至于底面在球体内的位置是靠上还是靠下可以自行根据棱长进行判断,当然判断不了的情况也是有的,不行就不管它,把球补全就可以。P、A、B、C这些字母的摆放可自行调整;
④底面所在横切面是个圆,即底面三角形的外接圆,我们可以把它们单独拎出来先放到一边以便计算;
⑤然后回到球里面,点出该外接圆的圆心O1,过圆心O1作一条与底面垂直的直线;⑥同样地,作出另一个竖起来面的外接圆,点出圆心O2,过点O2作与这个面垂直的线;
⑦两条直线的交点即外接球的球心O,所以我们现在已经找到球心啦;
⑧连接O和A、B、C中的一点(自己看连哪个比较好咯,这里假设是点A),就是将球心和三棱锥的一个顶点连接起来了,这就是我们要求的球半径;再将O和O1连起来,我们得到一条垂直下来的线段;看到三角形AOO1,AO1⊥OO1,所以我们要求AO,在这个直角三角形里面求就好啦 over
(这后面还通常会出现一个矩形来求线段长度 不好表述 待会就知道啦)
现在来两道题实操一下 (其实步骤不算多的(或许是因为我没有算...?) 要看懂来 看懂了就搞掂了!)
【常规】等边三角形ABC,边长为2√3。PAC⊥ABC,AP=PC=2,求外接球表面积?
求O1O这种竖下来的小线段→构造一个矩形→用到题目给的面面垂直条件。O1O是竖直的,也就是平行于PAC的截面圆的所在平面,它俩都是直直的下来的(这很关键);然后O2和O共线,这条线垂直于那个直直下来的面,所以这条线也是打横的,也就是平行于ABC所在平面的。所以我们过点O2作一条平行于OO1的线交AC于点K,就能得到一个平行四边形KO1OO2;又因为垂直条件,所以这个平行四边形又是一个矩形。所以要求OO1的长度就在这个矩形里求,把它转换为同等长度的KO2。
【常规】三棱锥A-BCD中,BC⊥BD,