请你利用【插入】 菜单中的【普通文本】命令插入一个段文本文字,按后设置你自己喜欢的字体和填充颜色, 然后将该文本进行仿射变换。 (2 )建立一个从三角形COB 到三角形AOB 的仿射变换,然后将多边形IJK 进行变换, 点C 动画过程中,变换得到的多边形有什么特点? (3 )将不需要显示的对象隐藏,例如上图中的坐标系、椭圆、平行四边形AOBD 和平 行四边形COBE。 34 2.9 等分圆周设计的图案 在动态几何工具平台中,利用简单的几何图形和设置就可以设计许多漂亮的图案。下面 我们设计一个漂亮的五角星。 (1)在新建文档中,作两个点OA,依次选择O、A 执行【画图】【圆和圆弧】【已知圆 心和半径的圆】作出一个圆。 (2 )在圆上作一点C,依次选中C和圆心O,执行【变换】【旋转】在弹出的对话框中 输入旋转次数:4 ,旋转角度:360/5 。如图2.9.1 所示,然后点击确定得出与B 一起五等分 圆周的点C、D 、E 、F 。 图2.9.1 (3 )连接线段AC 、CE、EB 、BD 、DA 。如图2.9.2 所示: 图2.9.2 (4 )如图 2.9.3 (左)所示,作出线段之间的交点。然后隐藏线段,结果如图 2.9.3 (右)所示: 35 图2.9.3 (8 )依次选择B 、G、C、H 、D 、I 、E 、J 、F 、K 共十个点,作多边形,;隐藏除点A 和点O 之外其他点,结果如图2.9.4 所示: 图2.9.4 (9 )右击多边形的边界,打开其属性对话框,如图2.9.5 所示:选择 【径向填充】选项 卡,选择合适的渐变颜色,勾选【填充】,单击【确定】按钮完成。 36 图2.9.5 结果如图2.9.6 所示,拖动点B ,可以让五角星绕其中心旋转。 图2.9.6 最终效果图 【思考与练习】 (1)请你利用旋转的方式,通过点A 作出圆内接正五边形的其他顶点。 (2 )请你设计出如图2.9.7 两幅图案。 37 图2.9.7 38 2.10 直线与圆的位置关系 首先作出一个圆和一条直线。具体操作如下: (1) 在新建文档中,作出一个圆O。 (2 ) 在圆上取一点A,测量AO的距离。 (3 ) 插入参数mo,取值范围为-2 到2 ,如图2.10.1 所示: 图2.10.1 (3 )依次选择OA 两点,作过OA 的直线。 (4 )选择该直线,执行【画图】【约束点】【直线上的参数点】,填入参数数为mo ,如图2.10.2 所示,确定后得到新点B 。 图2.10.2 (5 )测量OB 的距离。 (6 )依次选择点B 和直线OA,执行 【画图】【直线】【垂线】作出一条以B 为垂足垂 直于OA 的直线。 增加直线m 移动到与圆O 相切的位置的动画按钮,操作如下: (7 )执行【插入】【常用按钮】【变量一次运动】命令,按图 2.10.3 修改命令: VarAnimation(mo,v001/v000,1,20,3); 39 图2.10.3 (8)确定后移动变量控制条的控制点可以控制直线的移动,见2.10.4 :按相切按钮, 直线会移到相切的位置,请注意过程中OA、OB 之间的距离关系。 图2.10.4 最终效果 【思考与练习】 请你利用另外一种思路设计一个探索直线与圆的位置关系的实验,能够方便地改变和表 现直线与圆的三种位置关系。 40 2.11 圆与圆的位置关系 作出两个半径固定、而圆心可以被随意拖动的圆,具体操作如下: (1)在新建文档中,插入变量a ,和b ,作坐标点A (a ,0 )、B (b ,0 )。 (2 )拖动变量可知点使得A点和B点分开到合适的位置。以点A 为圆心作半径为2 的圆,以点B 为圆心作半径为3 的圆。如图2.11. 1所示: 图2.11.1 增加圆A 移动到分别与圆B 外切和内切的动画按钮,操作步骤如下: (3 )作点A 的动画按钮,如图2.11.2 所示,设置动画频率为:300,设置参数a 的范 围为:a 到b-5,选择运动类型为:3 (一次运动),设置按钮的名称为:外切。 图2.11.2 外切按钮参数 (4 )作点A 的动画按钮,如图2.11.3 所示,设置动画频率为:300,设置参数a 的范 围为:a 到b-1,选择运动类型为:3 (一次运动),设置按钮的名称为:内切。 41 图2.11.3 内切按钮参数 作出两圆的交点和公切线,具体操作如下: (5 )选择两个圆,通过【画图】菜单中【直线】子菜单下的【两圆的公切线】命令即 可作出两圆的公切线段。 增加控制四条公切线显示或隐藏的开关按钮,操作如下: (6 )插入一个按钮,按图2.11.4 修改参数(注意这里的12、15、18、21 分别对应着对 像列表中对应对象的序号。),按【增加动作】添加显示公切线的动作。接着按图2.11.5 给该 按钮增加隐藏公切线的功能,按【增加动作】再按确定完成该按钮。 图2.11.4 图2.11.5 42 通过拖动点a 或者拖动点b 的控制条可以改变两圆的位置关系,单击【外切】按钮则圆 A 移动到与圆B 外切的位置,单击【内切】按钮则圆A 移动到与圆B 内切的位置。最终效 果如图2.11.6 所示: 图2.11.6 单击【公切线】按钮,则隐藏公切线;再次单击【公切线】按钮,则公切线被重新显示。 【思考与练习】 (1)增加控制两圆的交点开关按钮【交点】。 (2 )可以根据需要增加两圆半径大小的说明文本,并测量两圆的圆心距。 (3 )与圆B 外切(内切)时,圆A 可能有两个位置,请增加圆A 移动到另外一个位置 的动画按钮。 (4 )若点A 和点B 是平面上的完全自由点,以点A 为圆心的圆的半径为2 ,以点B 为 圆心的圆的半径为3 。如何设计点B 的运动,使得圆B 与圆A 分别外切和内切? 2.12 研究圆幂定理 相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线定理统称为圆幂定理。计算机可以直观、连 续地将一种形式转化为另一种形式,从而反映圆幂定理几种形式之间的联系与统一。 (1)在新建文档中,作出任意点A ,并以点A 为圆心作半径为2 的圆。 (2 )在圆A 外任意取一点B ,在圆A 的圆周上任一取一点C,连接线段BC ,作出线段 BC 与圆A 的另外一个交点D ,结果如图2.12.1 所示: 43 图2.12.1 (3 )选择点 B 和圆,执行【画图】【直线】【过圆锥曲线外一点的切线】,得到过点 B 的圆A 的两条切线段和两个切点,删除其中一条切线段和切点,标记剩下的切点为E 。结果 如图2.12.2 所示: 图2.12.2 拖动圆上的点C,可以发现,当点C“越过”点E 到达靠近点B 的圆弧上时,如图图2.12.3 所示,点C 和点D 重合在一起。 图2.12.3 因为直线与圆有两个交点,而计算机并不能识别我们在什么时候需要显示两个交点中的 哪一个。所以,就出现了这种情形。下面我们设计一种方法解决这个问题: (4 )将点C 拖动到左边位置,删除点D 。 (5 )作出点A 到直线BC 的垂足F 和垂线段AF (自动产生)。 (6 )作出点C 关于直线AF 的轴对称点G,结果如图2.12.4 所示: 44 图2.12.4 (7 )隐藏线段AF 和点F 。将点G 的名字修改为D ,将点B 的名字修改为P ,连接线 段PD 。 (8 )按照以上的方法,作出另外一条割线PMN ,结果如图2.12.5 所示: 图2.12.5 (9 )测量线段PC 、PD 、PM 、PN 的长度,计算线段PC 和PD 的长度之积,计算线段 PM 和线段PN 的长度之积。 (10)测量线段PE 的长度,计算线段PE 的长度的平方。结果如图2.12.6 所示: 图2.12.6 若将点P 拖动到圆A 之内,则有如图2.12.7 的情形: 45 图2.12.7 其中点C 和点M 是圆上的任意点可以被拖动。 2.13 毕达哥拉斯树 画出的直角三角形,操作如下: (1)在新建文档中画出点A 和B 。 (2 )以AB 为直径作一个圆。 (3 )依次选取圆B点、A 点执行【画图】【圆和圆弧】【圆周上的圆弧】,然后隐藏之前 作的圆,在圆弧上取一点C,隐藏圆弧。 画出直角三角形各个边对应的正方形: (4 )依次选择A 、C 执行【作图】【多边形】【正方形】作出正方形,修改属性让新作的 正方形另外两点的字母处于显示状态,同样方法作出CB 和BA 所对应的正方形。分分别给 三个正方形填充不同的颜色。结果如图2.13.1 所示: 图2.13.1 (5 )依次选择点A 和点B ,执行 【画图】【几何迭代】命令,在输入框中按照图2.13.2 填写迭代信息: 46 图2.13.2 (6 )给迭代对象填充适当的颜色即可完成,拖动点C,观察勾股数的动态变化。如图 2.13.3 所示: 图2.13.3 【思考与练习】 (1)利用【工具】菜单中的【迭代】子菜单下的命令可以快速完成迭代作图。例如本 节的勾股树就可以选择两个点后执行【工具】【迭代】【勾股树】命令作出试试通过该方法作 出一个勾股树图案,和本节的结果对比一下异同之处。 (2 )通过本节学习的内容,完成如图2.13.4 所示图案。 47 图2.13.4 谢尔品斯基三角形 2.14 二叉树 首先增加参数的变量控制尺,并将对应的参数设置在一定的范围之内: (1)增加参数a、b、c、d 的变量控制尺,如图2.14.1 所示,设置参数a 的改变范围为: -180 到180,设置参数b 的改变范围为:0 到1,设置参数c 的改变范围为:-180 到180, 设置参数d 的改变范围为:0 到1。 图2.14.1 生成一个迭代对象: (2 )画任意线段AB 。 (3 )依次选择点A 、点B ,执行【画图】【参数点】【旋转缩放点】命令,设置旋转角 参数(度数)为:a 放缩参数为b 。做出点A 绕点B 的旋转放缩点C.,连接BC (4 )与(3 )类似,做出点A 绕点B 的旋转放缩点D ,设置旋转角参数(度数)为:C, 缩放参数为d ,连接BD ,结果如图2.14.2 所示: 图2.14.2 (5 )选择点A 、点B,执行【画图】【几何迭代】命令,如图2.14.3 设置迭代参数:迭代 规则中勾选对象AB 、BC 和BD ,设置两组迭代点,分别把A 点迭代为点B 和点C,点B 和点D ;设置迭代的次数为:5 。 48 图2.14.3 (6 )单击【确定】按钮完成。 (7 )删除点C 和点D 。结果如图2.14.4 所示: 图2.14.4