此文原本是我在触乐网的《〈群星〉〈无敌号〉中描述的自我复制机器是什么?》(cv8018038)一文下面的评论,经过了一些扩写,补充了一些图片。
题图来自维基共享资源,作者 Peter J. Yost。
冯·诺伊曼提出自我复制机器的构想,是在 1948 年的一次演讲中——演讲的内容后来被整理成论文《The General and Logical Theory of Automata》。
他所构想的机器,或者叫自动机(Automata),由ABC 三个部分组成:
部分 A 是一台用来制造机器的机器。只要你给它输入合适的指令和充分的材料,它就能根据指令构造出任意的机器。这一部分又被称为通用构造器(Universal constructor)。
部分 B 的工作很简单:把任何指令复制一份。
部分 C 负责控制整个机器的运行。在它的控制下,当机器收到一段指令的时候,A 会根据指令构造出一台机器,然后 B 会把指令复制一份,复制出来的指令又会被传给 A 刚造出来的机器。
现在,只要能找到一段用来构造 A+B+C 的指令 I,并把它传给机器,机器就能无限复制下去了。只要修改指令,机器还能在复制的同时生产别的东西。
这一构想和生物的中心法则有着异曲同工之妙:DNA 扮演了这里的指令 I 的角色;而DNA 的复制、转录、翻译成蛋白质,所需的各种酶则可对应于机器的各个部分。
但当时中心法则还未被发现。为了证明自己的构想可行,冯·诺依曼和波兰数学家 Stanislaw Ulam——喜欢数论的朋友可能听说过他的乌拉姆螺旋——一起,提出了一个新的数学模型:元胞自动机(Cellular Automata)。
元胞自动机的世界是一个无限的正方形网格,每个格子称为一个“细胞”,每个细胞都处于某种状态。在每个回合中,每个细胞会按照同样的规则,根据本身的状态和“邻居”的状态来改变自己的状态。
一个蓝色的细胞,和它的四个红色的邻居。在有的规则下,邻居的范围可以更大,比如包括四个粉红色的鸽子。图片来自维基共享资源,作者 Torchiest。
这一模型确实适合实现冯·诺依曼的构想:无限多的细胞,可以作为构造机器的材料。机器可以由细胞搭建而成,指令也可以由一长串不同状态的细胞来表示。
冯·诺依曼设计了一套相当复杂的元胞自动机规则,每个细胞有多达 29 种可能的状态。他没有真的构造出一台自我复制机,只是证明了它的存在——当然,对于数学家来说,证出来比造出来更重要。直到 1995 年,Renato Nobili 和Umberto Pesavento 才真正实现了这一构想,不过他们所用的规则与冯·诺依曼原本的规则略有不同,细胞的状态达到了 32 种。又过了几年,William Buckley 在冯·诺依曼原本的规则中也造出了自我复制机。
Nobili 和Pesavento 的自我复制机。指令储存在右侧的长条中,其细胞数要远远超过左侧的机器主体部分,图片只显示了它的一小部分。图片来自维基共享资源。
冯·诺依曼之后的数学家试着简化这一套规则。比如说,Edgar Codd 在1968 年提出的规则只有 8 种状态,不过他也没能实际构造出一个自我复制机。再往后,Christopher Langton 在1984 年构造出了名为 Loops 的元胞自动机,同样是 8 种状态,只需 86 个细胞就能实现自我复制。不过,他已偏离了冯·诺依曼的道路:这一“机器”并不符合冯·诺依曼提出的架构,不包含通用构造器,除了自我复制,什么都不能干。
Loops 自我复制的过程还挺好看的:
图片来自 Adam P. Goucher 的博客:cp4space.hatsya.com
元胞自动机火出圈外,靠的还是康威的生命游戏。
生命游戏的规则特别简单,每个细胞只有两种状态:死和活。“邻居”的定义是环绕细胞的8格。每一回合中:
如果一个活细胞有2个或3个邻居活着,则保持活着;
如果一个死细胞有3个邻居活着,则会活过来;
其他情况下细胞都会死去。
这么简单的规则也能构造出自我复制机吗?
最初,康威本人也不知道这简单的规则后面隐藏着怎样的复杂性。他悬赏50美元来寻找第一个无限增长的图样。获得这50美元的是 Bill Gosper:他发现了一种称为“滑翔机枪”的图样,能周期性地发射一种叫“滑翔机”的简单图样。
Gosper 的滑翔机枪。图片来自 LifeWiki。
更妙的是,把八架滑翔机撞在一起,就能合成一把新的滑翔机枪:
用滑翔机合成滑翔机枪。图片为自制,合成配方来自 Catagolue。
滑翔机能撞出枪,就能撞出别的东西。这种用滑翔机合成其他图样的机制,称为“滑翔机合成反应”(Glider synthesis)。这正是通用构造器所需要的反应。于是,我们只需要设计出这样一台机器,它能根据输入的指令,在指定的时间,指定的地点,往指定的方向发射滑翔机。而指令本身也可以由一长串的滑翔机组成。
按此思路,康威在 1982 年证明了生命游戏的世界中也存在着通用构造器和自我复制机。他的证明可以在《Winning Ways for Your Mathematical Plays》一书中找到。当然,也只有证明,没有实际的构造。直到 2013 年,Dave Greene 才构造出生命游戏中的第一台自我复制机。
Dave Greene 的自我复制机的局部。图片来自 LifeWiki。
生命游戏中的自我复制机极为复杂,构造起来非常困难。但在一些与生命游戏接近的元胞自动机规则中,自我复制的图样却极为常见,复制的方式也多种多样。比如说,只要把生命游戏规则的第二条改成:
如果一个死细胞有3个或6个邻居活着,则会活过来;
得到的规则称为 HighLife。这个规则中有一个非常简单、非常常见,又能自我复制的图样。它太简单了,很难称得上是一台机器:
HighLife 的自我复制机。图片来自 LifeWiki。
再比如说,如果把生命游戏的规则改成:
不管细胞本身的状态;
如果一个细胞有奇数个邻居活着,下一回合它也会活着;
如果一个细胞有偶数个邻居活着,下一回合它会死去。
在这个规则下,所有的图样都会自我复制!
一个点在上述规则中的自我复制。图片为自制。
能不能在生命游戏中也实现这种形式的自我复制?
想法很简单:只要在生命游戏中构造一种模拟别的元胞自动机的机器就可以了。
用生命游戏模拟别的元胞自动机并不是什么新鲜事,比如说著名的OTCA metapixel(参见BV1ws411f7Xn,那里模拟的是生命游戏本身,但它也能模拟别的元胞自动机)。但在OTCA metapixel 中,代表死细胞的不是空白,而是处于另一种状态下的OTCA metapixel。我们要先用许多个OTCA metapixel 搭建出一个舞台,才能在上面模拟别的元胞自动机。这样的机器并不适合用来实现自我复制。
于是,这台机器本身就需要有自我复制的能力。它模拟的只是活细胞,死细胞则由空白的空间来代表。它必须通过自我复制来产生新的细胞,死亡则通过自我拆除来实现。