浅谈排列组合中的分组问题广东石油化工学院高州师范学院309 数学(2)班 【摘要】排列组合不仅是高中数学的重点内容,而且在实际中有广泛应用,一直是高考的热点之一,考题一般都以实际生活为背景, 以应用题的形式出现。文章简单阐述了排列组合的基本定义、分类加 法计数原理和分步乘法计数原理、排列组合数公式,重点论述介绍了 排列组合题的解题方法及其解题思路。 【关键词】排列与组合 加法原理 乘法原理 排列、组合以其独特的研究对象和研究方法,在高中数学教学中占有特 殊的地位,是高考必考内容之一,它既是学习概率的预备知识,又是进一步 学习数理统计、组合数学等高等数学的基础,因此学好排列与组合至关重要。 排列组合问题是高考必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活, 不易掌握,实践证明,备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运 用,下面就介绍几类典型排列组合题的解答策略。 对“排列组合”的概述1、基本定义及公式 排列:从n 个不同的元素中取出 m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做 n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。 组合:从 个不同的元素中取出m个元素合成一组,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。 排列数与组合数公式:An 2、排列组合题的解题依据及方法分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第一类中有m 种不同的 方法,在第二类方案中有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n 种不同 的方法。 分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第一步有m 种不同的方法, 做第二步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn 种不同的方法。 分类法:问题分成互斥各类,根据加法原理,可用分类法; 位置法:问题考虑先后次序,根据乘法原理,可用位置法; 问题反面简单明了,可用排除法. 转化法:复杂排列用转化法,选取后排,转化为组合问题,利用转化公式 粘合法:某些元素必须在一起的紧密排列用“粘合法”,紧密结合的粘成小组,组内外分别排列; 某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法,无需分离的站好实位,在空位上 进行排列。 本不同的书甲乙丙3 人每人2 本,有多少种不同的分法? 分成3 堆,每堆2 本,有多少种不同的分法? 分成3 堆,一堆1 本,一堆2 本,一堆3 本,有多少种不同的分法? 分给甲乙丙3 人,一人1 本,一人2 本,一人3 本,有多少种不同的分法? 分成3 本,另外一堆4本,有多少种不同的分法? 解析:对于问题,首先从6 本不同的书选出2 本来给甲,选出的2 ,其次,从剩下的4本书中选出2 本书来给乙,为C4 ,整个解题过程应用的是分步计数原理,所以最终的分法数为C6 对于问题,与问题的相同在于都是均匀分组,差别仅仅在于,一个是分给3 人,一个是分成3 堆,即分成的3 组之间,一个是有顺序的,一个是没有 顺序的,所以问题的解决可以在问题解决的基础上对3 组进行消序,即C6 对于问题,解决方法与问题一样,用分步计数原理,先从6本不同的书 中选出1 本来,再从剩下的5 本书中选出2 本来,最后剩下的3 本作为一堆,最 终的分法数为C6 对于问题(4),分析题目,可见问题(4)与问题(3)的相同在于都是不均匀分组,差别在于问题(3)是分成3 堆,即分成的3 堆无顺序,问题(4)是分 人,即分成的3组有序,所以问题(4)的解决可以在问题(3)的基础上, 对于问题(5),这是局部均匀无序的分组分配问题,需要在对局部均匀的组进行消序即可,消序后各组之间按无序对待。所以在之分的基础上,再对均匀的 两组进行消序即可,具体解法:(C6 女坐成一排,男女均不得相邻。解:(1)N1=P8 从总体P8 女不得相邻,也就是必须分开,意味着题意本身就是分离排列,自然可用间隔法——6 男先坐实位,再在七个空位中排列2 女,即N1=P6 总结解题方法:解决分离排列的问题可以用粘合法结合排除法,也可直接用间隔法。(学生容易得出这样的结论) 为了澄清学生的模糊认识,可适当的将问题变化一下,例2(1)改为“5 女都不得相邻”问两种答案P8 都对吗?解:P8 =14400前一答案用排除法,排除了都相邻,得到的是“3 女不都相邻”的坐法,其 中自然包括了2 女相邻的情形,因此把题意理解错误了,把不符合条件的种数也 算进去了,导致失误;而间隔法在6 个空位中排了3 女,保证了3 女都不相邻, 题意理解正确,答案显然对。解决分离排列的问题应该用间隔法,既直接又不易 出错。 题目要求3 女都不得相邻,而P8 相邻,“都相邻”并不是“都不相邻”的反面,“都不相邻”的反面除了“都相邻”之外,还有“两个相邻,另一个不相邻”。 计算“两个相邻,另一个不相邻”有多少种排法? 解析:首先是哪两个相邻,这是组合问题,显然C3 =3120302=21600因此,如果在粘合法结合排除法的基础上,继续做下去,仍能得出正确结果: (P8 =36000-21600=14400(2)常见的 错误解答:用间隔法,N2=P5 这样排法,女的不相邻,男的就不一定不相邻。男不得相邻,女也不得相邻,必须男女都坐好,即男的坐奇数位,女的坐偶数位, 或者对调,正确的坐法种数为N2=2P4 直线与圆相离,直线上六点A1、A2、A3、A4、A5、A6,圆上四点B1、B2、B3、B4,任两点连成直线,问所得直线最多几条?最少几条? 所成直线可分为两类:已知直线上与圆上各取一点或圆上取两点,得到直 线最多条数N1=C6 +1(条)所成直线条数最少时,重合的直线最多,需用排除法减去重合的直线条数。 因此时由已知直线上与圆上各取一点连成的直线已经有重复。而重复的直线,即 是由圆上取两点连成的直线(如图),排列重复,便得直线最少条数N2=C6 涉及排列组合最值问题,要化繁为简)二、从应用题的条件上看,可分为没有限制条件问题和有限制条 件问题。 (1)若是没有限制条件的排列或组合问题,可直接根据有关公式求得结果。 (2)若是有限制条件的排列组合问题,一般都是对某个(些)元素的位置 加以限制,被限制的元素,称为特殊元素,被限制的位置称为特殊位置,解决这 类问题通常有以下三种方法: 以元素为主,即先满足对特殊元素的要求,再考虑其它元素(元素分析法) 以位置为主,即先满足对特殊位置的要求,再考虑其它位置(位置分析法) 先不考虑限制条件,计算出排列数或组合数后,再减去不合要求的排列数或组 合数。 4(1)某人去四个单位做报告,每个单位只讲一次,有多少种不同的轮讲方法? 的值分别是多少:某人去四个单位做报告,实质上就是 个单位做报告的顺序,四个单位都要讲,就是四个单位排顺序,所以n=4,m=4,是全排列问题,所以 A4 1=24(种)(2)某铁路段上有10 个火车站,问这10 个车站要准备多少种不同的普通客 车票? 解:每张客车票上印有两个站,这两个站是着铁路上的 10 个站(n=10.m=2)又因火车票上的两个站,一个站是起点站,另一个站是终点站,而起点站,终点站互换以后是两张不同的 火车票,所以这个问题是从10 个站中任意选 =109=90(种) 本不同的书,5名同学去借,每人最多只能借一本,并且全部借完, 那么有多少种不同借法? 解:这个问题可以换个说法:5 名同学去借3 本不同的书,就是5 名同学只 人借到,也就是5人种选出3 人去拿3 本不同的书,所以n=5,m=3 是排列问 题,所以A5 =543=60(种)以上三道题,主要分清n 个数字,问可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解:此题是取出数字后要组成三位数,显然是排列问题,所以 A5 3=60(个)(2)某小组共有8 人,现在要选出2 人去参加某个会议,有多少种不同的选 人种选出2人企业参加会议,是组合问题,所以C8 个数字,可以组成多少个没有重复数字的四位数 六个数字中0不能放在最高位,即0 不能是千位数字, 所以0 是特殊元素,最高位(千位)是特殊位置,因此要先满足特殊位置,也就 是千位数的位置,只能由 中德任意一个数字来占,有A5 种,其余三个位置,由其它 个数字来占,有A5 种,因为是分两步进行,所以用乘法,即A5 中任意选出4个数字,可以组成多少个没有重复数字的四 位奇数 解:此题要求是四位奇数,也就是个位数的位置上的数是奇数数字,所以个 位的位置是特殊位置,1,3,5 是特殊元素,所以先满足特殊位置,也就是个位的 位置由 1,3,5 种不同选法,再满足其它三个位置,5个数 字中个位占了一个,还有4 个数字,4 个数字中任选3 个去占其它三个位置,有A4 种不同方法,因为是分两步进行的,所以两步的种数做乘法,即A3 种不同品牌的电视机,摆成一排展销,其中()甲种品牌电视机要摆放在正中间,问有多少种不同的摆放方法? ()若甲种品牌电视机只能摆在两端,有多少种不同的摆放方法? 解:()此题是有限制条件的问题,也就是甲种品牌电视机要求摆放在 正中间,所以甲种品牌电视机为特殊元素,正中间位置为特殊位置,所以先满足 特殊位置,特殊元素,即把甲种品牌电视机先放在正中间,再满足其它四个位置, 所以A4 ()甲种品牌电视机是特殊元素,首末两个位置是特殊元素,先满足一端,先把甲种品牌电视机放在第一个位置,则有 A4 种不同摆法,如果甲种品牌电视机放在最后一个位置上,则有 A4 种不同摆法,因为把甲种电视机放在第一个位置和最后一个位置是两类方法,所以2 A4 人参加4100 米的接力赛,其中甲冲刺技术 好,规定他跑最后一棒,乙,丙起跑技术不过硬,规定乙丙不跑第一棒,问有多 解:因为规定甲跑最后一棒,所以从其余5人中选3 人跑其它三棒,又乙丙不跑 第一棒,所以第一棒由除去甲乙丙以外的3 人中选1 人,还有第2,3 棒,则由其 人(除去甲,除去跑第一棒的队员)中任选2人,所以A3 =343=36(种)三、方法补充 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时 进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是 多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解 题策略。 (1)元素相同问题隔板策略(名额分配或相同物品的分配问题,适宜采用 隔板法) 10个运动员名额,分给 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空 隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分 给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有C9 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5.下面分情况讨论: 颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4 合并成一个单元格,此 时不同的着色方法相当于4 个元素1,3,5,24 的全排列数A4 颜色不同且3、5颜色相同时,与情形()类似同理可得A4 分别合并,这样仅有三个单元格.从4 种颜色中选3 种来着色这三个单元格,计有C4 种方法.由加法原理知:不同着色方法共有2 A4 =48+24=72(种)(3)递推法 10一楼梯共 10 级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少种不同的走法? 分析:设上n 梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级,有an-1种走法,第二类是最后 一步跨 两级 法原理知:an=an-1+ an-2, 据此, a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 梯共有89种不同的方法。 为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1 块隔板,插入n 个元素排成一排的n-1 个空隙中,所有分法数为Cn-1 m-1 (4)几何问题 例11 (1)四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3 它们和点A在同一平面上,不同的取法有3C5 从中任取3个点确定一个平面,共能确定多少个平面? 解:C10 +6+26=29(个)(5)用转换法解排列组合问题 例12 某人连续射击8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与 “不中”报告结果,不同的结果有多少种? 解:把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相 邻的排列问题即A5 (6)概率法例13 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课, 如果数学必须排在体育之前,那么该天的课程表有多少种排法? 解析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育 之前的概率相等,均为1/2,故本例所求的排法种数就是所有排法的1/2,即1/2A6 这七个数字组成没有重复数字的七位数中,(1)若偶数2,4,6 次序一定,有多少个? (2)若偶数2,4,6 次序一定,奇数1,3,5,7 的次序也一定的有多少个? 14同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别 人送出的卡片,则不同的分配方法有 即三个人有两种错排,两个人有一种错排.(9)重排问题求幂策略 例15 名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 种不同的排法。解析:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约 束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地 (10)环排问题线排策略例16 人围桌而坐,共有多少种坐法?解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以 固定一人A4 ,并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!种排法即7! (11)合理分类与分步策略例17 在一次演唱会上共10 名演员,其中8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要 演出一个2 人唱歌2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 人只会唱歌,2人只会跳舞 人为全能演员。以选上唱歌人员为标准进行研究。 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1/nAm 只会唱的5人中,没有人选上唱歌人员共有C3 只会唱的5人中,只有1 人选上唱歌人员有C5 种,只会唱的5人中, 只有2人选上唱歌人员有C5 (12)构造模型策略例18 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在6 19设有编号 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法? 个球与盒子对号有C5 4,5号球有只有 种装法,由分步计数原理有2C5 解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要 贯穿于解题过程的始终。 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型, 排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决. 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或 画出树状图会收到意想不到的结果 (14)多排问题直排策略 例20 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少 排法? 个位置上的特殊元素甲乙有A4 种,其余的5人在5 个位置上任意排列有A5 (这是多排问题直排策略法,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究。) 四、总结 排列组合历来是学习中的难点,排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘, 题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。只有对基本的解题策略熟练掌握, 根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的 问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类 旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。 参考文献: [1]陈守礼,《名师授课录》,中学数学高中版,上海教育出版社,1989 月17号,219 至225 [2]裘新华,《全国高类成人高等学校招生考试统考教材》,数学理科,北京邮电大学出版社,2003 年,297 至300 [3]