兰州工业学院第一届大学生数学建模竞赛 参赛基本信息专用页 承 诺 书 我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮 件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料(包括网上查到的资料) ,必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 基本信息 题目号 (A、B 或 C) 姓名(打印) 李雪勤 B 班级 过控 11-1 评阅编号 (由组委会 统一填写) 电话 18919046185 本人签名 日期: 2012 年 6 月 2 日 第 1 页 共 12 页 赛程安排问题 摘 要:本文针对单循环比赛的赛程安排中每两场比赛间相隔场次数 Q 这一指标, 运用了抽屉原理的方法, 从理论上确定了 Q ? ?n ? 3? 。 而后通过计算机的多次模拟运算, ? 2 ? ? ? 验证出 Q ? ? 一个赛程。 ?n ? 3? ? 的科学性和合理性。本模型的程序是采用回溯搜索法搜索出满足 Q 的 ? 2 ? 然后通过改变搜索顺序分别得出各种不同的赛程,列成表格,对其进行分析,得出衡量 一个赛程优劣的其它指标, 即球队出场顺序和间隔场次的方差, 并分析这些指标从而给出更 公平、合理的赛程安排。 关键词:单循环 抽屉原理 优劣性 方差、 一、问题的重述: 兰州工业学院第一届职工篮球比赛 5 月 15 日落下帷幕。 本届比赛有 11 支男队进行单循 环比赛, 每天同一时间在三块场地各进行一场比赛, 最后两天各安排了两场, 历时一个多月, 赛程见附件。 在本届比赛的赛程中,几乎所有的球队都有“背靠背”比赛,即连续两天天都有比赛, 难免因体力恢复不及而影响了比赛成绩。 现在,请你用数学的方法解决一下问题: 1. 假设有 n 支球队进行单循环比赛, 每天只进行 1 场,则各队每两场比赛中间相隔的场 次数(天)的上限是多少? 2. 在达到问题 1 的上限的条件下, 给出一般的赛程编制算法,并具体给出 n=5,n=6, n=10, n=11 的赛程。 3. 假设 n 支球队单循环比赛,每天比赛 m(m>1)场,则各队每两场比赛中间相隔的场 次数(天)的上限又是多少?并给出当 n=11,m=2 和 n=11,m=3 的满足上限要求的赛程。 4. 如果比赛仅在周内(周 1 至周 5)进行,对于 n=11,m=3 的情况,能否安排某种赛程 以克服“背靠背”问题(注:星期一和星期五的比赛不算“背靠背”。 ) 5. 除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外, 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的 优劣性, 并以此比较附件中的赛程与你所给赛程的优劣. 附件: 兰州工业学院第一届职工篮球赛赛程安排表 第 2 页 共 12 页 比赛 日期 4.17 星 期 二 双方球队 体育部—建筑系 软件系—电信系、基础部联队 机械系—基建处 交通系—后勤处 管理、社科系联队—机关一队 机关二队—电信系、基础部联队 体育部—机关一队 软件系—后勤处 管理、社科系联队—基建处 交通系—机械系 建筑系—机关一队 机关二队—后勤处 体育部—基建处 软件系—机械系 管理、社科系联队—交通系 电信系、基础部联队—后勤处 建筑系—基建处 机关二队—机械系 体育部—交通系 软件系—管理、社科系联队 机关一队—基建处 电信系、基础部联队—机械系 建筑系—交通系 机关二队—管理、社科系联队 体育部—软件系 后勤处—机械系 机关一队—交通系 电信系、基础部联队—管理、社 科系联队 建筑系—软件系 机关二队—体育部 比赛 日期 5.3 星期 双方球队 基建处—交通系 后勤处—管理、社科系联队—交通系 机关一队—软件系 电信系、基础部联队—体育部 建筑系—机关二队 机械系—管理、社科系联队 基建处—软件系 后勤处—体育部 机关一队—机关二队 电信系、基础部联队—建筑系 交通系—软件系 机械系—体育部 基建处—机关二队 后勤处—建筑系 机关一队—电信系、基础部联队 管理、社科系联队—体育部 交通系—机关二队 机械系—筑系 基建处—电信系、基础部联队 后勤处—机关一队 软件系—机关二队 管理、社科系联队—建筑系 交通系—电信系、基础部联队 机械系—机关一队 基建处—后勤处 四 4.18 三 5.4 五 4.19 四 5.7 一 4.20 五 5.8 二 4.23 一 5.9 三 4.24 二 5.10 四 4.25 三 5.11 五 4.26 四 5.14 一 4.27 五 5.15 二 5.2 三 二、模型假设: 1、赛程能够按计划正常地进行(即不考虑比赛期间的天气状况,每场比赛 的裁判安排等因素) 2、每场比赛时间一样长(不考虑加时赛等情况) 第 3 页 共 12 页 三、符号说明: n: 球队的支数 N: n 支球队进行单循环比赛所要进行的场数 Q: 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限 M: 各队每两场比赛中间相隔的场次数理论上的最大值 四、问题的分析: n 支球队在同一场地上进行单循环赛,可以知道总的比赛场数为 N ? n ? ( n ? 1) 2 ,为了使比赛公平,我们应该使每支球队所进行的每两场比赛中 间隔的场次数尽可能地均等。 我们先将问题简化为各队每两场比赛中间至少相隔 的场次数 Q,并找到在满点 Q 的条件下的赛程安排。可以用抽屉原理的方法,确 定 Q 的理论上最大值 M,根据所求的 M,我们采用计算机进行搜索,若能搜索出 满足约束条件的赛程安排,则显然 Q=M,若不能安排,再以 Q=M-1 进行搜索,一 直到找到满足条件为止。 为了得到其它指标,我们先得出不同的赛程,列成表格形式,进行分析。 五、模型的建立与求解: 第二问: 首先确定 n 支球队所进行的赛程中各队每两场比赛中间至少可以相隔的场 次数的最大值,下面我们可以分两种情况来讨论: 1、n 为奇数 当进行到 n?1 2 n?1 2 场比赛时,不管怎样安排赛程,根据抽屉原理,必定至少有 一球队参加了两场比赛,而且只有在该队参加第 1 场比赛和第 第 4 页 共 12 页 场比赛时的 时间间隔最大,为 n?1 2 ? 2 ? n? 3 2 n 2 ,即有 M ? n?3 2 2.当 n 为偶数,进行到 ? 1 场比赛时,也不管怎样安排赛程,根据抽屉原 理,可分两种情况:1)至少有两个球队参加了两场比赛,2)至少有一个队参加 了三场比赛。对于后一种情况,显然要比前一种情况要差;而前一种情况,在这 两个球队中,在其中一个球队参加第 1 场比赛和第 n 2 n 2 n?4 2 n 2 ? 1 场比赛,而另一个球队 参加第 2 场与第 ? 1 场比赛时,其间隔为最大(虽然还有其它几种情况,但其 间隔的最大值相同) ,为 ?1? 3 ? ,即有 M ? n?4 2 。 将其统一起来为 M ? ? ?n ? 3? ? ? 2 ? (注,[X]为取 X 的整数部分) 通过程序验证,M 就是各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限 Q,即 Q ? ?n ? 3? (见附录二中我们由此得出的部分赛程安排) 。 ? 2 ? ? ? 第三问: 当 n=8 时,其各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为 Q ? ? =2 ? ? 2 ? 满足问题 2)中的上限条件的赛程有多种,我们给出其中的一种赛程如下表 所示: ?8 ? 3? 表—: A A B C × 1 23 B 1 × 5 C 23 5 × D 14 11 2 E 26 17 9 F 7 20 12 G 4 8 15 H 10 25 19 每两场比赛间相隔场次数 2,2,2,3,8,2 3,2,2,5,2,4 2,3,2,2,3,3 第 5 页 共 12 页 D E F G H 14 26 7 4 10 11 17 20 8 25 2 9 12 15 19 × 6 27 18 22 6 × 3 21 13 27 3 × 24 16 18 21 24 × 28 22 13 16 28 × 3,4,2,2,3,4 2,2,3,3,3,4 3,4,3,3,3,2 3,6,2,2,2,3 2,2,2,2,2,2 当 n=9 时,其各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为 Q ? ? ? 2 ?9 ? 3? =3 ? ? 满足问题 2)中上限条件的赛程有多种,我们给出其中的一种赛程如下表所 示: 表二: A A B C D E F G H I × 1 10 35 15 30 20 25 5 B 1 × 6 31 11 26 16 21 36 C 10 6 × 2 29 34 24 29 14 D 35 31 2 × 7 22 12 17 27 E 15 11 19 7 × 3 28 33 23 F 30 26 34 22 3 × 8 13 18 G 20 16 24 12 28 8 × 4 32 H 25 21 29 17 33 13 4 × 9 I 5 36 14 27 23 18 32 9 × 每两场比赛间相隔场次数 3,4,4,4,4,4,4 4,4,4,4,4,4,4 3,3,3,4,4,4,4 4,4,4,4,4,3,3 3,3,3,3,3,3,4 4,4,4,3,3,3,3 3,3,3,3,3,3,3 4,3,3,3,3,3,3 3,4,3,4,3,4,3 它们的编制过程如下: 为了便于叙述,对于 8 支球队,分别编号为 A、B、C、D、E、F、G、H, 再把其所有组合按一定的顺序写出来,其所有组合构成数组如下: ABCD[ ] = {AB, AC, AD,AE, AF,AG,AH, BC,BD,BE,BF,BG,BH, CD,CE,CF,CG,CH, DE,DF,DG,DH, EF,EG,EH, FG,FH, GH } 第 6 页 共 12 页 而对于 9 支球队,分别编号为 A、B、C、D、E、F、G、H、I,再把其所有 组合按一定的顺序写出来,其所有组合构成数组如下: ABCD[ ] = {AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI, BC,BD,BE,BF,BG,BH,BI, CD,CE,CF,CG,CH,CI, DE,DF,DG,DH,DI, EF,EG,EH,EI, FG,FH,FI, GH ,GI, HI } 其具体实现过程是编程序采用回溯试探法进行编制的,程序见附录三。 编制思路为:定义一个数组,用来标记其组合是否已经被安排,从左至右依 次判断各组合是否满足约束条件,如果满足,则先将其对应的标记位打上标记, 然后继续向前寻找,否则退到上一步,寻找其它的组合,如此循环下去,直到将 所有组合排完为止。 这时,所要满足约束条件的出场的组合队分别为: (AB、CD、EF、AG、BC、DE、AF、BG、CE、AH、BD、CF、EH、AD、CG、 FH、BE、DG、CH、BF、EG、DH、AC、FG、BH) (AB、CD、EF、GH、AI、BC、DE、FG、HI、AC、BE、DG、FH、CI、AE、 BG、DH、FI、CE、AG、BH、DF、EI、CG、AH、BF、DI、EG、CH、AF、 BD、GI、EH、CF、AD) 第四问: 使用上面的模型已经可以很好的解决满足每两场比赛间隔的场次数这一指 标。但在实际比赛中,科学、合理的衡量一个赛程的优劣还有一些其它指标,我 们通过分析对 n 支球队的不同赛程安排(其具体分析见附录一) ,得出了以下两 个指标: 第 7 页 共 12 页 1、每支球队每两场比赛间隔的场次的分布情况,可以通过比较它们的方差 来衡量优劣,应该说其方差值越小就越好。 2、各球队参加某场比赛时,其对手已经参加了比赛的次数。 对于第 1 个指标(即间隔的场次的方差值),当 n =8 时,表一给出的赛程其 达标程度如下:方差 S=1.1788。当 n=9 时,表二给出的赛程其达标程度如下: 方差 S=0.5030 对于第 2 个指标有如下表格: 表三: (n=8 时,其中第 i 行第 j 列上的数字表示第 i 个球队与第 j 个球队比 赛时,j 已经参加的比赛场数) j I A × 0 5 4 6 2 1 3 B 0 × 1 3 4 5 2 6 C 6 1 × 0 2 3 4 5 D 3 2 0 × 1 6 4 5 E 6 4 2 1 × 0 5 3 F 1 4 2 6 0 × 5 3 G 0 1 2 3 4 5 × 6 H 0 5 3 4 1 2 6 × A B C D E F G H 从以上数据可以看到,A 与对手 B、C、D、E、F、G、H 比赛时,他们已 经参加了的比赛场数分别为 0、6、3、6、1、0、0。而 H 与对手 A、B、C、D、 E、F、G 比赛时,他们已经参加了的比赛场数分别为 3、6、5、5、3、3、6。由 此可看出这种赛程对 H 队有利。 表四: (n=9 时,其中第 i 行第 j 列上的数字表示第 i 个球队与第 j 个球队比 赛时,j 已经参加的比赛场数) j i A B C D E F G A × 0 2 7 3 6 4 B 0 × 1 6 2 6 3 C 2 1 × 0 4 7 5 D 7 6 0 × 1 4 2 E 3 2 4 1 × 0 6 F 6 5 7 4 0 × 1 G 4 3 5 2 6 1 × H 5 4 6 3 7 2 0 I 0 7 2 5 4 3 6 第 8 页 共 12 页 H I 5 1 4 7 6 3 3 5 7 5 2 3 0 7 × 1 1 × 六、模型的评价及改进 本模型理论上可以用于解决任意 n 支队进行单循环赛的赛程编排问题,成 功的运用回溯搜索法,用计算机模拟求出了所需赛程,节约大量人力、物力,值 得进行社会推广。 但由于是采用回溯法进行搜索,其复杂度与 n 及搜索的起点顺序有很大关 系。但考虑到单循环赛在日常生活中的应用范围,本模型确实是可行的。 参考文献: [1] 严蔚敏,吴伟民,数据结构,清华大学出版社,北京 [2] 刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模,北京师范大学出版社,北京,1997 [3] 胡运权,郭耀煌,运筹学教程,清华大学出版社,北京,1998 第 9 页 共 12 页 附录一: 表五: A A B C D E F G H × 14 1 17 23 7 4 10 B 14 × 5 2 11 20 8 25 C 1 5 × 9 26 12 18 22 D 17 2 9 × 6 27 21 13 E 23 11 26 6 × 3 5 19 F 7 20 12 27 3 × 24 16 G 4 8 18 21 5 24 × 18 H 10 25 22 13 19 16 18 × 每两场比赛间相隔场次数 2,2,2,3,2,5 2,2,2,2,5,4 3,3,2,5,3,3 3,2,3,3,3,5 2,4,3,3,3,2 3,4,3,3,3,2 3,6,2,2,2,3 2,2,2,2,2,2 方差:1.0175 表六: A A B C D E F G H × 2 26 11 14 8 5 19 B 2 × 6 15 18 12 9 22 C 26 6 × 3 10 23 17 13 平均值:2.833 D 11 15 3 × 7 20 24 28 E 14 18 10 7 × 4 21 25 F 8 12 23 20 4 × 27 16 G 5 9 17 24 21 27 × 1 H 19 22 13 28 25 16 1 × 每两场比赛间相隔场次数 2,2,2,2,4,6 3,2,2,2,2,3 2,3,2,3,5,2 3,3,3,4,3,3 2,2,3,3,2,3 3,3,3,3,2,3 3,3,7,3,2,2 11,2,2,2,2,2 方差:1.5765 平均值:2.9357 表七: 第 10 页 共 12 页 A A B C D E F G H × 14 2 11 5 26 8 22 B 14 × 17 20 1 7 4 10 C 2 17 × 6 9 12 21 25 D 11 20 6 × 27 3 24 16 E 5 1 9 27 × 23 18 13 F 26 7 12 3 23 × 15 19 G 8 4 21 24 18 15 × 28 H 22 10 25 16 13 19 28 × 每两场比赛间相隔场次数 2,2,2,2,7,3 2,2,2,3,2,3 3,2,2,4,3,3 2,4,4,3,3,2 3,3,3,4,4,3 3,4,2,3,3,2 3,6,2,2,2,3 2,2,2,2,2,2 方差:1.0566 平均值:2.7708 由上面表一、表五、表六、表七的数据分析可很明显地看出每支球队每两 场比赛间隔的场次有较差距,当以 AB,AC,GH,BE 为起点开始搜索出来的赛 程安排中,排出的比赛间隔不同。由各表所求的对应的的方差值可知,在这四个 表中,以 AC 为起点的表相对来说要比其它三个表要好,它的赛程中的间隔场次 分布波动幅度最小,所以这也是一个衡量赛程优劣的指标。 附录二: 1.用计算机编写程序求得部分赛程的安排情况如下: n=6 时: A A B C D E F × 1 14 5 3 7 B 1 × 4 8 6 11 C 14 4 × 2 12 9 D 5 8 2 × 10 13 E 3 6 12 10 × 15 F 7 11 9 13 15 × 每两场比赛间相隔场次数 1,1,1,6 2,1,1,2 1,5,2,1 2,2,1,2 2,3,1,2 1,1,1,1 6? 4 2 由上表可得到各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限 Q 是 1(也即 n=7 时: A A B × 1 B 1 × C 8 5 D 20 17 E 12 9 F 16 13 G 4 21 ) 。 每两场比赛间相隔场次数 2,3,3,3,3 3,3,3,3,3 第 11 页 共 12 页 C D E F G 8 20 12 16 4 5 17 9 13 21 × 2 15 19 11 2 × 6 10 14 15 6 × 3 18 19 10 3 × 7 11 14 18 7 × 2,2,2,3,3 3,3,3,2,2 2,2,2,2,2 3,2,2,2,2 2,3,2,3,2 7? 3 2 由上表可得到各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限 Q 是 2(也即 n=11 时: A A B C D E F G H I J K × 1 12 54 18 48 24 42 30 36 6 B 1 × 7 49 13 43 19 37 25 31 55 C 12 7 × 2 23 53 29 47 35 41 17 D 54 49 2 × 8 38 14 32 20 26 44 E 18 13 23 8 × 3 34 52 40 46 28 F 48 43 53 38 3 × 9 27 15 21 33 G 24 19 29 14 34 9 × 4 45 51 39 H 42 37 47 32 52 27 4 × 10 16 22 I 30 25 35 20 40 15 45 10 × 5 50 J 36 31 41 26 46 21 51 16 5 × 11 K 6 55 17 44 28 33 39 22 50 11 × ) 。 每两场比赛间相隔场次数 4,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5,5,5,5,5,5,5,5 4,4,4,5,5,5,5,5,5 5,5,5,5,5,5,5,4,5 4,4,4,4,4,5,5,5,5 5,5,5,5,5,4,4,4,4 4,4,4,4,4,4,4,5,5 5,5,5,4,4,4,4,4,4 4,4,4,4,4,4,4,4,4 5,4,4,4,4,4,4,4,4 4,5,4,5,4,5,4,5,4 第 12 页 共 12 页