平面问题的极坐标解答 基本方程 厚壁筒问题 锲形体与半无限平面体 圆孔孔边应力集中 1 、 基本方程 直角坐标与极坐标的关系xy sin coso  位移分量的关系Tuu 'cossinsincosorvuuu)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyxyyxxyyx问题: 逆关系? 应力分量的关系T'TTor  平衡微分方程 微元体的取法 应力的正负号 切应力互等02101bbFF 三个几何方程uuuuuu 三个物理方程1)1 ( 20011'''E 应力函数与用应力分量表示的变形协调方程(不计体力时)2)(=-=+=2111222022=12222221++=结论: 不计体力时, 在极坐标中求解平面问题, 就是要找到一个应力函数Φ(ρ , φ ) , 且按它求得的应力分量满足应力边界条件, 对多连体, 还需满足位移单值条件。 2 厚壁筒问题stressplanebutstrainplanewuuuz, 0000)(对受内压和外压的厚壁筒这类轴对称问题, 应力、 应变分布对称于圆筒的中心轴线, 任一点位移只有径向分量和z方向分量, 与角度无关。 且由于垂直于oz轴的平面变形后仍为平面, 固u只与ρ 有关, w只与z有关。 stressplanebutstrainplaneudduzz, 0, 000===应变分量为 应力分量为:0)'('1')'('1')'('1')'('1'2222duEEduudduEE应力分量与角度无关  平衡方程只有一个001222dduduud用位移分量表示112CCu求出 C1 , C2为待定常数, 由边界条件确定, 为此, 先求出应力分量01)'('1'1)'('1'2222duEBAduBAudduE 边界条件21)(0)()(0)(ppbbaa1p2 pab 222122222221)(abppbaBabbpapA22221222222212222122222221)()()()(abppbaabbpapabppbaabbpap 3 半无限平面体问题- 锲形体应力函数A,(sin)0)1(0cos21122222A应力分量XYFOαα 边界条件: 如何写?常数A由脱离体平衡条件确定:FY方向合力自动满足X方向合力:0cos) 1d(F2sin212FA0cos12sin21FXOy 半无限平面体问题yxF2/ 0cos2F 应力分量用直角坐标系表示(2sinF222222223222cossin2cossin)sin(coscossin)cos2sincossincossincos2coscossinsincosFFxyyx用x,y表示为:222222222223)(2)(2)(2yxyxFyxxyFyxxFxyyx 相应的位移按下列步骤求出:。,,( 2) 代入几何方程,( 1) 由物理方程求形变对第一式积分, 求出, 含;ρ u)(1φf对第二式积分, 求出, 含;φ u)(2f 由对称条件,(u. 0, 0)0KH得代入第三式, 分开变量, 求出和, 得)(1φf)(2f,sincossin)1 (lncos2IE2KIFEFuρEEsin)1 (cos)1 (lnsinFFEFuφ( 3) 求刚体位移H , I , K。x 向无约束条件, I 不能确定。.cossinHK 2πE(1)()ln(c)Mφφ π 2Fμ FπEηuρI   。因刚体位移不能确定, 用 相对沉陷表示: ,ln2EI此解答用 于基础梁问题。 地基一般为平面应变问题, 故应取EE1 (。μ)(1μμμ,)2( 4) 半平面体表面的沉陷, M点为)(ρ,π/2为基点 ,s>> 。) 2 /,( πsBρd)(sFBM 2、 试考虑在下图中, 当上有均布压力q作用 时, 如何用 量纲分析方的边界法假设应力的函数形式?1、 试考虑在下图中, o点有外力偶M作用 时, 如何用 量纲分析方法假设应力的函数形式?( 答案:),( ).2MσΦΦ φρ2π( 答案:)2,( ).σq Φρ f φ思考题 0xyM 4 坝体应力xyoM分别写出直角坐标系与极坐标系下的边界条件液体密度:坝体材料密度:21 0)(0)(0)(cos)(010g0)(cos)(010yxyyygxtan,00cossinxyyxyxyx极坐标直角坐标 5 圆孔孔边应力集中xy2aqq 工程结构中常开设孔口 最简单的为圆孔。