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lim ⁡ n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n = lim ⁡ n → + ∞ e ln ⁡ ( 1 + 1 n ) n = lim ⁡ n → + ∞ e n ln ⁡ ( 1 + 1 n ) \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}{e^{n\ln(1+\frac{1}{n})}}n→+∞lim(1+n1)n=n→+∞limeln(1+n1)n=n→+∞limenln(1+n1)
= e K , 其中,K=lim ⁡ n → + ∞ n ln ⁡ ( 1 + 1 n ) =e^K,其中,K=\lim_{n\rightarrow+\infty}{n\ln(1+\frac{1}{n})}=eK,其中,K=n→+∞limnln(1+n1)
令 t = 1 n t=\frac{1}{n}t=n1,则,K可以转化为:
K = lim ⁡ n → + ∞ ln ⁡ ( 1 + 1 n ) 1 n = lim ⁡ t → 0 ln ⁡ ( 1 + t ) t = 1 K=\lim_{n\rightarrow+\infty}{\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}}=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{\ln(1+t)}{t}}=1K=n→+∞limn1ln(1+n1)=t→0limtln(1+t)=1
所以:
lim ⁡ n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n = e K = e 1 = e \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e^K=e^1=en→+∞lim(1+n1)n=eK=e1=e
分析:
以上过程看上去是完美机智的证明,然而经过一番思考,最后发现这样证明实际是很荒谬滑稽的!
关键在于,为什么 lim ⁡ t → 0 ln ⁡ (