定义　 给 定 信 号 x ( t) , 若 存 在 常 数 K > 0 及n = ? α」 阶的多项式 pt0( t) , 使得对任意时刻 t| x( t) - pt0( t) | ≤ K| t - t0|α( 1 )称 x( t) 在 t0处具有李氏指数 α。由 上可知, 如 果 x( t) 在 t0处 n 次可微, 但 n 阶导数不连 续, 那 么 它 是 n + 1 次 不 可 微 的。 此 时,x( t) 在t0处的李氏指数有 n≤ α≤ n + 1 。 显然, 若信号 x( t) 在 t0处是不可微的, 那么其李氏指数必然小于 1 , 这时, 信号将是奇异的。 常见的阶跃函 数的李氏指数 α = 0, 冲击函 数的李氏指数 α = - 1 。2 2　小波变换与信号奇异性如果小波具有 n 阶消 失 矩, 可以 证明 小 波可以写成一个函 数 θ 的 n 阶导数, 小 波变换相 当 于一个n 阶多尺度微分算子。 假定 θ( t) 是一个低通函 数,则信号通过低通滤波器后求一阶导数等效于直接用该平滑函 数的一阶导数来滤 波; 信号平滑后求二阶导数等效于直接用 该平滑函 数的 二阶导数来滤波,以 上等效过程可以 推广到更高阶。信号的特征一般被包含在信号的瞬变点 或瞬变区域中, 信号中 常 见 的 瞬 变 有 两 种, 一 是 边 缘 的 突变, 这相当于在该处叠加了一个阶跃信号;另 一个是峰值的突变, 这相当于在该处叠加了一个冲击信号。在数学上, 这分别相当 于一个函 数的 一阶导数为 零点 和二阶导数为 零点 。 由 此, 这些 特征点 都可通过相应的小波变换被检测 出 来, 它们 或是对应小 波变换的过零点 , 或是对应小波变换的峰值点 。2 3　小波变换与信号李氏指数定理　 设 f∈ L2( R) 在区间[ a, b] 上是一致李氏α≤ n 的, 则存在 A > 0 使得  ( u, s) ∈ [ a, b] × R+( 正实数空间)| Wf( u, s) | ≤ Asα +12( 2)反之, 设 f有界且对某个非整数的 α < n, Wf( u, s) 满足式( 2) , 则对 ε > 0, f在[ a + ε, b - ε] 上是一致李氏 α 的。 式 ( 2 ) 实 际 上 是 当 s 趋 于 零 时, 关 于| Wf( u, s) | 的 渐近 衰减 性的 一 个条件, 对于 大的 尺691农　 业　 机　 械　 学　 报　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　2 0 1 0 年 度, 它 推 不 出 f 的 任 何 性 质 来, 当 尺 度 s 递 减 时,Wf( u, s) 度量了 f在 u 的 邻域内 细 尺度 的 变化。 定理表明, f 在 一 致 李 氏 α 区 间 内 , | Wf( u, s) | 是 与Asα +12同级衰减的。2 4　信号奇异性检验算法算法 1 　 信号特征点 检测算法假设所输入的原始信号为一个有限能量的序列{ d0, d1, …, dn} 。(1 ) 计算 连 续 小 波 变 换 Wf( u, 0) , Wf( u, 1 ) ,…, Wf( u, n) 。(2) 确定阈值 T > 0, 对 m = 0,1, …, n, 如果满足| Wf(u,s) | ≥T 且 | Wf(u,s) | 在 m 点取得模极大值。 则m 点 就是信号在尺度 s 下的一个特征点 。算法 2　 信号奇异性检测算法假设所输入的原始信号为一个有限能量的序列{ d0, d1, …, dn} 。(1 ) 计算 连 续 小 波 变 换 Wf( u, 0) , Wf( u, 1 ) ,…, Wf( u, n) , 通常选用高斯小波。(2) 计算小波变换模极大值曲 线。(3) 沿着个极大值曲 线确定奇异点 。(4) 对于奇异点 ν, 求出 lb | Wf( u, s) | 作 为 lbs的函 数沿着收敛于 ν 的 极大值曲 线的 最大斜率, 该斜率为 α +12, 从而求出 α。2 5　叶片截面数据特征识别实例叶片 截面一 般可 以 分为 4 个区 域, 即 叶 背、 叶盆、前缘和尾缘, 有效识别出 各区域间的过渡点 对叶片的分块 及 保 特 征 重 构 均 有 重 要 意 义 ( 尤 其 前 缘点 ) 。 而这些过渡点 即 本文识别的特征点 多为 曲 率不连续的切点 , 因 此采用 离散曲 率作为 信号进行小波模极大值的特征识别。 对于某型号叶片 1 用高斯小波进行分解, 分解尺度 s 最大为 32, 最小为 1 /16,得到 4 条模极大值曲 线, 追踪这 4 条曲 线至最小 尺度, 模极大值所对应的 特征点 应该是信号中 的 奇异点 或非奇异的峰值点 , 此时, 需根据模极大值曲 线的衰减情况来确定, 即 求出 模极大值曲 线的 斜率所对应的李氏指数 α。 通过计算, 这 4 条模极大值曲 线的李氏指 数 分别 为: - 0 282、 - 0 063 3、 - 0 104、- 0 300 6, 它们均小于 1 , 可 知, 这 4 个特征点 都是奇异的。 叶片 1 的截面数据、离散曲 率、模极大值曲线、模极大值曲 线的斜率如图 2 所示。图 2　 叶片 1 特征检测Fig. 2　 Feature detection of blade 1　3　基于特征尺度因子的特征识别3 1　特征尺度因子的提出叶片 2 的截面数据、离散曲 率、整体模极大值曲线及分段模极大值曲 线如 图 3 所示, 分解采用 的 小波及分解尺度与上例相同。 从整体模极大值曲 线图中可以 看出 , 在细尺度 下对应前缘部分的 特征点 消失了, 而单独对该部分进行模极大值检测, 从大尺度到细尺度有两条未间 断的 模极大值点 列 , 细 尺度 下属于这两条模极 大值点 列 的 信号 点 即 为 所 求 特征点 , 其他模极大值对应的 信号点 为 噪声。 由 此可以看出 , 对截面数据整体用小波模极大值检测, 某些特征点 的模极大值曲 线或点 列 并不能达到最小尺度就会中断, 导致截面特征不能完整识别; 如果为保证特征个数完整, 减小分解尺度数, 则噪声对应的模极大值不能足够衰减, 使信号和噪声难以 区分, 很难选择一个适当的分解尺度 数, 有时甚至无法达到。 可见对于某些截面数据或信号, 由 于特征间 存在较大差异, 需要分段进行特征识别, 以 保证特征个数完整。3 2　特征尺度因子计算对于给出 的原始 数据, 在本文是指各种形状的叶片数据, 无论采用 其何种 形式的 信号进行模极大值检测都是为了 得到 叶片 数据上的 特征点 , 所以 从原始数据入手, 分析其截面上可能存在的 特征点 的差异性。 通常情况下, 信号的 奇异性可分为 两种 情况: 一是信号在某一时刻起幅值发生突变, 引 起信号不连续, 称为第 1 类间断点 ;另 一种是信号外观上平滑, 但其一阶微分上 有 突 变, 且 一 阶微分是 不 连 续的, 称为第 2 类间 断点 。 借鉴信号奇异点 的 定义方法, 定义两类截面数据的 特征点 。 第 1 类特征点 即791第 1 期　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 曲 巍崴 等: 叶片类截面数据特征点 精确识别方法 图 3　 叶片 2 特征检测Fig. 3　 Feature detection of blade 2　为截面上的尖点 、跳跃点 等截面形状发生突变的点 ;第 2 类特征点 即 为 截面上的 切 点 、拐点 等内 在性质不连续点 。对于第 1 类特征点 检测, 定义一阶特征尺度因子描述截面形状突变的程度C( Pi) =1 - cosγili(3)式中 γi为线段 pi - 1pi延长线与线段 pipi + 1之间 的夹角 , li为 pi - 1和 pi + 1之间 的弦长, 如 图 4 所示。 截面特征尺度因子越大, 特征越明显, 同时也意味着可分解尺度越多;相 反则 代表着可分解尺度 越少。 若截面数据的特征尺度 因 子差异较大, 为 保证特征点 数的完整, 可分段进行特征检测。图 4　 特征尺度因 子估计Fig. 4　 Estimation of feature scale factor　图 6　 叶片 3 特征检测Fig. 6　 Feature detection of blade 3对于第 2 类特征点 检测, 此处定义二阶特征尺度因子为一阶特征尺度 因 子的 差分, 若截面数据的二阶特征尺度因 子差异较大, 同 样需分段进行特征检测。C2( Pi) = ΔC( Pi)(4)对叶片 2 分 别 计 算 一 阶 和 二 阶 形 状 特 征 因 子, 如图 5 所示, 可见无论对第 1 类特征点 或第 2 类 特征点 的检测, 前缘部分的 尺寸特征因 子都远小 于尾缘部分, 导致在对整体进行模极大值检测时, 前缘区域特征点 消失, 所以 将尾缘区 域和 其余区 域分开进行检测。图 5　 一阶、二阶特征尺度因 子Fig. 5　 Firstorder and secondorder feature scale factors　4　特征识别实例采用叶片 3 的截面数据进行特征识别, 其截面形状、二阶形 状特征 因 子 ( 本文所求 特征 点 主要 与二阶特征尺度因 子有关) 及分段的 模极大值曲 线如图 6 所示。 从图 6b 可以 看出 , 尾缘区域二阶形状特征因子高于其他区域, 为准确进行特征识别, 需分段进行。 仍然将尾缘部分数据与其他部分分别进行检测, 尾缘区域的模极大值曲 线如图 6c、6e 所示, 而其他区域的特征都集中 在前缘, 所以 只 显示了 前缘区域的特征检测如 图 6d 所示。 通过跟踪各模极大值点 列 找到其在细尺度上的对应点 即为特征点 。 本例891农　 业　 机　 械　 学　 报　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　2 0 1 0 年 虽没有显示整体分解的 模极大值曲 线图, 但事实上前缘区域特征仍然如预先估计的一样在细尺度上消失了。 而且仔细观察各例的二阶尺度因子是可以 有效地体现特征的, 基本上在二阶尺度因 子变化 剧 烈的地方, 特征 会在其附近点 出 现。 3 个叶 片 的 特征点 位置如图 7 所示。图 7　 叶片特征点 位置Fig. 7　 Feature point position in the blade( a) 叶片 1 　 ( b) 叶片 2　 ( c) 叶片 3　　 　 对于以 上实验数据, 叶片 1 经过了去噪处理, 叶片 2 是含有噪声的, 而通过小 波模极大值检测 均可以 准确地识别 出 特征点 。 为 验证本算 法的 优越性,分析另 一种特征识别 方法— — —曲 率突 变法, 对比 两个叶片特征 识别 的 效 果。 两 叶 片 截面 的 曲 率线 见图 2、图 3, 对于不含噪声的截面数据, 通过计算其曲率值寻找曲 率突变点 , 基本上可以 确 定为 叶片 的 切点 , 但对于一个突变位置其左右两个数据点 均有可能为特征点 , 需要人工确 定存在一定不确 定性。 而对于叶片 2 由 于含有噪声, 其曲 率线上包含丰富的突变信息, 真正的特征点 有可能被污染甚至被淹没,依据曲 率信息对其进行特征识别非常困难。5　结论(1 ) 利用小波模极大值算法可以 准确 地进行特征识别, 由 于信号和 噪声在小 波变换的 各尺度 上模极大值具有截然不同 的 传播特性, 该方法对噪声的影响有很好的抑制作用。(2) 对截面数据, 尤其看似平滑的数据, 可以 通过计算其一阶、二阶特征尺度因 子来初 步判 断所包含的特征及特征间的差异性, 由 此将信号分为几段,分别进行模极大值检测, 可以 避免对数据整体进行检测导致信号的重要特征点 丢失。参考文献1　 Varady T, Martin P R, Cox J. 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