引子:三阶幻方是小学三、四年级奥数中重要的知识点和基础题型。本文讨论如何利用其性质巧解和速解。
概念:所谓三阶幻方,是指排成三行和三列的9个数字,每行、每列和每条对角线上的数字和都相等。
图1
其中最简单的三阶幻方是使用数字1-9,排成的图形被称为九宫格,如图1所示。我国古代对此就有研究,并总结有口诀为:“二四为肩、六八为足,左七又三,戴九履一,五居中央”。
通常把幻方每条线(横、直、斜)的数字和称为幻和。九宫格的幻和和为15。奥数题目中的幻和通常不是15,而且不知道是多少。
性质:设幻和为S,三阶幻方有下列一些性质。
图2-1三阶幻方性质1
性质1:中心数的3倍等于幻和。
证明:通过中心数有四条线,四条线的和为4倍幻和。而四条线恰好等于全部的数,加上3倍的中心数。即有
全部数相加等于3倍幻和(或者三条横线,或者三条竖线)。因此有,
性质2:过中心数的三个数,成等差关系。
证明:不失一般性,以g、e和c为例。由于它们在一条线上,所以
由性质1可知,e为3倍幻和。于是有,
这表明e是g、c的等差中项,它们三个构成等差数列。
图2-2三阶幻方性质3
性质3:边角关系:2倍角格数等于不相邻两个边格数之和。
证明:过角格数a的三条线,等于三倍幻和。它等于全体数字和,加上2倍的a,并去掉f和h。如图2-3所示:
图2-3三阶幻方性质3
即有
全体数字和等于幻和的3倍,于是,
应用:下面利用上述性质进行解题。
例子1,已知三阶幻方中给出了如图3-1所示的三个数,求其他数。
图3-1例1题图
解:由性质3边角关系可知,右上角的数为:(7+15)÷2=11。
再由性质2可知,11与21构成等差数列,于是中心数为:(11+21)÷2=16。
图3-2例1图解
由性质1可知,幻和为中心数16的3倍,即48。于是依次填出其他的数,如图所示。
图3-3例1答案
例2、已知三阶幻方中给出了如图4-1所示的三个数,求其他数。
图4-1例2题图
解:如图4-2所示,根据主对角线和第一列的竖线,有
图4-2例2图解1
等式两边消去i,解得e=5+15-9=11。
由于e是中心数,因此幻和为33。则i=33-5-15=13。
图4-3例2图解2
然后依次填出其他数,如图4-4所示。
图4-4例2答案
例3、已知三阶幻方中给出了如图5-1所示的三个数,求?处的数。
图5-1例3题图
解:如图5-2所示,根据第一列的竖线和第三行的横线可知
图5-2例3图解
即有,h=8+11-12=7。
根据边角关系,有?=(11+7)÷2=9。
图5-3例3答案
例4、已知三阶幻方中给出了如图6-1所示的三个数,求?处的数。
图6-1例4题图
解:根据边角关系,可知右上角的数为:(16+4)÷2=10。
图6-2例4图解1
再根据第一列的竖线和副对角线可知,中心数为:20+16-10=26。
图6-3例4图解2
?与26和10构成等差数列,因此?=2×26-10=42。如图6-4所示。
图6-4例4答案
例5、将9个不同的自然数填入下图的9个空格内,使每行、每列、每对角线上3个数的和都相等。已知A和B的差为14,B和C的差也为14,那么D和E的差是多少?
图7-1例5题图
解:不失一般性,设A>B,则A=B+14。如果B