理解1
就是有的时候直接积分积不出来,然后利用积法则
即
d(uv)=u'v+uv'
两边积分就有
uv=∫ u'vdx+∫uv'dx
例如积∫lnxdx
不是很好直接积,但是利用分部积分就很容易
令u'=1,v=lnx
我们就有u=x
所以
xlnx=∫lnx dx+∫x*(lnx)'dx
xlnx=∫lnx dx+∫1dx
∫lnx dx=xlnx-x+C
此即为分部积分
通常写成
∫ u'vdx=uv-∫uv'dx
理解2
设函数f(x)、g(x)连续可导,对其乘积求导,有:
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
上式两边求不定积分,得:
∫[f(x)g(x)]'dx=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx
得:
f(x)g(x)=∫g(x)df(x)+∫f(x)dg(x)
得:
∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)-∫g(x)df(x)
写的更通俗些
令u=f(x),v=g(x),则微分du = f'(x)dx、dv = g'(x)dx
那么∫udv=uv-∫vdu
分部积分法通常用于被积函数为幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的乘积的形式;u=f(x)、v=g(x)的选择也是容易积分的那个.
分部积分的本质
原本的函数是 udv,可能积分及不出来,但是变成 vdu 之后,
有可能积出来,也有可能被积函数变得简单了。最常见的变得
简单,有两个特色:对数函数消失了,或者幂次降低了。
分部积分的局限
绝大多数的积分,是无法通过分部积分积出来的。有很多定积
分是不定积分无论如何都积不出来的,一定要在特殊的定积分
的条件下才能积分,而且必须使用复变函数、积分变换之类的
特别方法才能解决。
分部积分仅仅只能解决很少的积分,积不出来,有一些可能是分部积分的技巧不到家,更大的可能性是分部积分根本无能为力的。