3-2 解:设 1,2 两点煤气管的压强为 p1 , p2 其中 p1 ? ?水 gh1 +pa1 , p2 ? ?水 gh2 +pa 2 则有 p1 ? p2 ? ?煤气 gH ? ?水 g (h1 ? h2 ) ? pa1 ? pa 2 =?水 g (h1 ? h2 )+?空气 gH h1 ? h2 0.1-0.115 +?空气 =1000 ? +1.28=0.53kg / m 3 H 20 得: ?煤气 ? ?水 3-4 解:对 1-1,2-2 两个等压面进行分析 其中 p2? 2 ? pa , p1?1 ? p2? 2 ? ?水银 g (h2 ? h3 ) p1?1 ? pA -?水 g (h2 ? h1 ) 得: pA ? pa ? ?水银 g (h2 ? h3 )+?水 g (h2 ? h1 ) ? 101325 ? 13.6e3 ? 9.8 ? (1.61 ? 1) ? 1000 ? 9.8 ? (1.61 ? 0.25) ? 33352Pa 真空度: pv ? pa ? pA ? 101325 ? 33352 ? 67973Pa 3-5 解:由力 F 作用在油面的压强为 pF ? F 5788 ? 4 ? ? 46059.4Pa 2 ?d ? (0.4)2 4 1-1 面为等压面,由于两侧都通大气,可以计算计示压强。 得: pF ? ? oi gh1 ? ? w gh2 ? ? Hg gH ?H ? pF ? ? oi gh1 ? ? w gh2 46059.4 / 9.8 ? 800 ? 0.3 ? 1000 ? 0.5 ? ? 0.4 m ? Hg g 13600 3-6 解:对 1-1,2-2 两个等压面进行分析 1-1 面: p0 ? ? w gh1 ? ?Hg gh2 ? pa 2-2 面: p0 ? ? w gh4 ? ?Hg gh3 ? pa 上两式相减得: ? w gh4 ? ? w gh1 ? ? Hg gh3 ? ? Hg gh2 h4 ? ?Hg h3 ? ?Hg h2 ? ? w h1 13600 ? 0.3 ? 13600 ? 0.25 ? 1000 ? 0.6 ? ? 1.28m ?w 1000 3-11 解:对于管内液体为酒精, ?1 ? 45o 时 ? A ? ?p ? p A ? pB ? ?酒精 g ? s i n ?1 ? 1 ? l 1 ? ?酒精 g s ? in l1 A2 ? ? = 8 1? 0 9? . 8 0? .707 0.2=1122.6Pa 1 对于管内为水, ? 2 ? 30o 时 ? A ? ?p ? p A ? pB ? ?水 g ? sin ? 2 ? 1 ? l2 ? ?水 g sin ? 2l2 A2 ? ? ?p 1122.6 ? l2 = = =0.2296m ?水 g sin ? 2 998 ? 9.8 ? 0.5 3-12 A B 解:A,B 两点为自由液面 如图取坐标,坐标原点取在左侧液柱的自由表面上(即 A 点) 利用等压面方程: f x dx+ f y dy + f z dz ? 0 将各方向单位质量质量力: f x = -a,f y = 0,f z = -g 代入等压面方程,并积分 得: ax + gz = C 对于自由面,x=0,z=0 得 C=0 对于 x=0.5m 处, z ? ? ax 0.5 ? 0.5 ?? ? ?2.55cm g 9.8 即两侧液位差为 2.55cm 3-14 解:计算在载荷作用下容器和水的加速度 水的质量为: mw ? ? wVw ? ? w hb 2 ? 1000 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.15 ? 6kg 容器底面摩擦力为: F f ? C f ? mw ? m1 ? g ? 0.3 ? ? 6 ? 4 ? ? 9.8 ? 29.4N 加速度为: a ? FT ? Ff mw ? m1 ? m2 ? m2 g ? Ff mw ? m1 ? m2 ? 25 ? 9.8 ? 29.4 ? 6.16m/s 2 35 为了保证水不溢出,需要液面(斜面)后部高度刚好为 H,并设斜面与水平 向前 x 轴夹角为 ? ,斜面前部高度为 h1 则根据水平直线等加速运动时液体的等压面特点: tan ? ? H ? h1 a ? b g 再利用液体体积不变: hb 2 ? ? H ? h1 ? b2 2 a 6.16 b ? 0.15 ? 0.5 ? ? 0.2 ? 0.213m g 9.8 联立以上二式得: H ? h ? 0.5 ? s 6.16 ? 0.2 ? 0.15 ? 0.213 m 2 ? 9.8 3-15 ?h? ? 1.5m ,加速度 加速度为何值时 底部的绝对压强 Pa 解:将参照系取在容器上,坐标如图所取,将坐标原点设置在自由液面上。 单位质量的质量力在各坐标轴分量为: f x = 0,f y = 0,f z = a - g 5 ? 77.35 m s 2 代入压强差公式 dp ? ? ? f x dx+ f y dy + f z dz ? ,并积分得: p ? ? ?a ? g ? z ? C 确定积分常数 C,当 x=0,z=0, p ? pa ,得 C ? pa 则有: p ? ? ? a ? g ? z ? pa (1) 当 a ? 4.9m/s 2 ,z=-2m 时 p ? ? ? a ? g ? z ? pa ? 101325 ? 1000 ? (4.9 ? 9.8) ? ( ?2) ? 111125Pa (2) ? ? a ? g ? ? (?2) ? pa ? pa ,得 a=g (3) ? ? a ? g ? ? (?2) ? pa ? 0 ,得 a ? pa 101325 ?g? ? 9.8 ? 60.4625m/s 2 2? 2 ?1000 3-16 解:将参照系取在容器上,坐标如图所取。 (1) 水刚好不溢出时,旋转抛物面刚好达到容器的上沿 将坐标原点设置在旋转抛物面的顶点上,则有: 等压面方程为: ? 2r 2 2 ? gx ? C 自由液面方程为: ? 2r 2 2 ? gx ? 0 利用水体积不变,并利用高为 h,半径为 r 的旋转抛物体体积,等于半径为 r,高为 h 的圆柱体积的一半,这一结论。 假设旋转抛物面的顶点距离容器底面高度为 h0 则有: ?d2 4 ? h1 ? h0 ? ? 1 ?d2 ? H ? h0 ? 2 4 得: h0 ? 2h1 ? H ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.1 则自由液面上沿点为 x ? H ? h0 , r ? d / 2 代入自由液面方程得: ? ? 2 gx / r ? 2 ? 9.8 ? ? 0.5 ? 0.1? / 0.15 ? 18.667rad/s 转速 n ? 60? / 2? ? 178.25r/min (2) 刚好露出容器底面时,以旋转抛物面的顶点为原点建立坐标,x 轴竖直向 上 则有自由液面上两点为(0,0)和(H,d/2)代入自由液面方程得, ? 2r 2 2 ? gH ? 0 ? ? ? 2 gH ? r 2 ? 9.8 ? 0.5 ? 20.87rad/s 0.15 转速 n ? 60? / 2? ? 199.29r/min 旋转抛物面体积为同高同半径圆柱体积的一半, 即等于同半径, 高为一半 的圆柱体积,因此静止后水的深度为 h2 ? 0.5H ? 0.25m 3-17 z 轮。已知铁水的密 x 箱高 h ? 200mm , 速 n ? 600 r min 时, 的总拉力。 d s) 解:参照系取在离心铸造机上,如图选取坐标,则根据等速旋转液体压强分布规 律,得: ? ? 2r 2 ? pe ? ?铁水 g ? ? z? ? 2g ? ? 20 2 ? 2 0.45 2 ? ? 8? ? 0 . 2 2867kPa r=d/2=0.45m,z=-h=-0.2m,代入上式得: ? 2 ? 9. 8 ? ?车轮边缘坐标为 ? ? 2 2 2 2 ? =2? n/60=20? ? rad/s ? ? ? 20? ? ? ? 0.45 ? ? ?? r ? pe ? ?铁水 g ? ? z ? =7138 ? 9.8 ? ? ? 0.2 ? ? 2867kPa ? ? 2 ? 9.8 ? 2g ? ? ? 铁水给螺栓群 A-A 向上的压力 Fp 为: Fp ? ? pe 2? rdr ? ? 0 r r 0 ? ? 2r 2 ? ? ? 2r 4 1 2 ? ?铁水 g ? ? h ?2? rdr ? 2??铁水 g ? ? hr ? 2 ? 2g ? ? 8g ?0 d /2 ? ? ? ? 10000 ? ? ? 20? ?2 ? 0.45 ?4 1 ? 2 ? 2? ? 7138 ? 9.8 ? ? ? ? 0.2 ? ? 0.45 ? ? ? 916kN ? ? 8 ? 9.8 2 ? ? 螺栓 A-A 受到的合力 F 为: F ? Fp ? G ? 916 ? 10 ? 906kN 3-18 m ,绕中心轴等 水位 h ? 0.5m 。 通用公式为 式,可得 解:参照系取在旋转圆柱形容器上上,如图选取坐标,则根据等速旋转液体压强 分布规律,得: ? ? 2r 2 ? pe ? ? g ? ? z??C ? 2g ? 计算积分常数 C,当 r ? r0 , z ? 0 时, pe ? ? gh ?r 2 d 2 ? C ? ? gh ? ? 0 2 2 ? r0 解得: ? ? d ?? ? 2 ? 2 ? 16 ? 4 ? ? ? 2 2 当 z=0 时, pe ? ? ?2 2 ?r 2 ? r02 ? ? ? gh 60? 60 ? 44.7 ? ? 427 r min 作用在顶盖上的总压力 Fp 为: 2? 2? Fp ? ? d /2 0 2 ? 2 ? r4 ? ? ?2 2 2 ? 2 r ? 2 ? r ? r ? ? gh 2 ? rdr ? ?? ? ? r ? ? ? ? ? ? ?? ghr ? 0 0 ? ? 2? ? 2 ? ? 4 ? ?0 d /2 ? d4 d2 ? d2 ? ?? 2? ? ? r02 ? ?? gh ? 8 ? 4 ? 64 ? d4 d2 ? d2 16 gh ? ?? gh ? 0 ? ?2 ? 2 由 Fp ? 0 得: ?? 2? ? ? r02 ? 8 ? 4 8r0 ? d 2 ? 64 ?? n? 16 gh 16 ? 9.8 ? 0.5 ? ? 44.7rad/s 2 2 2 8r0 ? d 8 ? ? 0.43? ? 1.22 60? 60 ? 44.7 ? ? 427r/min 2? 2? 3-19 解:参照系取在旋转圆柱形容器上上,如图选取坐标 (1)设顶盖上水于油交界处半径为 r1 ,由油的体积关系 1 2 ?d2 H ?h 0.5 ? 0.4 ? r1 H ? ? 0.6 ? 0.1897m ? H - h ? ? r1 ? d 2 4 2H 2 ? 0.5 对于油部分,列油水交界面等压面方程 由 z j ? 0, r ? 0 得:C=0, ? 2r 2 2g ? z j =C , 再由 z j ? H , r ? r1 得: ? ? 2 gH / r1 ? 2 ? 9.8 ? 0.5 / 0.1897 ? 16.5rad/s , n ? 60? / 2? ? 30 ?16.5/ ? ? 157.56r/min (2)油内部压力分布: ?1 ? pe ? ?油 ? ? 2 r 2 ? gz ? ? C , ?2 ? (1) 确定积分常数 C: z ? H , r ? 0时, pe =0 ,得 C ? ?油 gH 顶盖最小计示压强在 z ? H , r ? 0 处, pe ? 0 底板最小计示压强在 z ? 0, r ? 0 处, pe ? ?油 gH ? 800 ? 9.8 ? 0.5 ? 3920Pa 水内部压强分布: ?1 ? pe ? ?水 ? ? 2 r 2 ? gz ? ? C ? 2 ? ? (2) 为了确定积分常数 C? 需要通过水油分界面上压强确定。 在水油分界面 z ? 0, r ? 0 处, pe ? ?油 gH 代入(2)得到 C? ? ?油 gH ?1 ? 得到水内部压强分布 pe ? ?水 ? ? 2 r 2 ? gz ? ? ?油 gH ?2 ? (3) 顶盖最大计示压强在 z ? H , r ? r0 处,代入(3)得: ?1 ? ?1 ? pe ? ?水 ? ? 2 r 2 ? gz ? ? ?油 gH ? 1000 ? ? ? 16.52 ? 0.32 ? 9.8 ? 0.5 ? ? 800 ? 9.8 ? 0.5 ? 11271Pa ?2 ? ?2 ? 底板最大计示压强在 z ? 0, r ? r0 处,代入(3)得: 1 ?1 ? pe ? ?水 ? ? 2 r 2 ? gz ? ? ?油 gH ? 1000 ? ? 16.52 ? 0.32 ? 800 ? 9.8 ? 0.5 ? 16171Pa 2 ?2 ? 3-21 启式倾斜闸门, m ,另一侧水位 距离 x 。 N 解:假设水闸宽为 b,水闸与底面接触点为 N 点 上面水深为 H 的水给水闸的总压力 Fp1 为: Fp1 ? ? ghc 1A 1 ? ?g H H b o 2 sin 6 0 1 H 3 sin 60o 77 H Fp1 作用点(压心)距离 N 点距离 x1 ? 下面水深为 h 的水给水闸的总压力为 Fp 2 为: Fp 2 ? ? ghc 2 A2 ? ? g h h b 2 sin 60o 1 h 3 sin 60o 77 h Fp 2 作用点(压心)距离 N 点距离 x2 ? 当闸门自动开启时, Fp1 、 Fp 2 对 O 点得和力矩为 0。 Fp1 ? ( x ? x1 ) ? Fp 2 ? ( x ? x2 ) ? 0 h ?? ? x D 2 ?? sin 60 ? ?? 则有: ? ? g H H h h b( x ? x1 ) ? ? g b ( x ? x2 ) o 2 sin 60 2 sin 60 o 1 2 1 0.4 2? 2? ? 0.4 ? 0.4 ? 2 2 o H x1 ? h x2 3 sin 60 3 sin 60 o ? 0.796m ?x? ? H 2 ? h2 2 ? 2 ? 0.4 ? 0.4 3-22 提示: 请注意测压管液面和容器的相对位置,判断容器内水的相对压力是正还是 负。 (1) 面 AB 压力体 面 BC 压力体 面 CD 压力体 3/4 球面压力体 (2)液体内部有一部分相对压力为真空 面 AE、面 EF 和面 FC 压力体 面 CD 压力体 3/4 球面压力体 (3) 球体内液体相对压力均为真空 球面 AB 球面 BC 球面 CD 3/4 球面 3-23 球固定,上半 10.26kN Pa , h ? 1m , 解:液体对上球面总压力的水平分力为 的分力即为球面对螺栓上的力。 0,液体对上球面总压力 Fpz 的竖直方向 ? ?d2 d ?d3 ? ? ?? 3 3? Fpz ? ? gV p ? ? g ? ? ? ? 1000 ? 9.8 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 10263N 12 ?8 ? ? 4 2 12 ? 3-24 为 解:此题的关键在于首先找到计示压强为 0 的位置,即液面的位置。 设液面的位置距 C 点竖直方向高度为 H,则: pc ? pa ? ? gH ? H ? pc ? pa 196120 ? 101325 ? ? 9.673m ?g 1000 ? 9.8 液体给 AB 面的总压力的竖直方向分力 Fpz 即为半球 AB 的总压力(水平方 向分力为 0) , Fpz 方向竖直向上 ? h? 2 ? 2 ? ? ? Fpz ? ? gVp ? ? g ? ? R 2 ? H ? ? ? ? R3 ? ? 1000 ? 9.8 ? ?? ?12 ? ? 9.673 ? 1? ? ? ?13 ? ? 246.5kN 2? 3 3 ? ? ? ? ? 3-25 ,闸门右侧水深 。 ? 44.1kN 解: r ? H / sin ? ? 3/ sin 45o ? 3 2m 水平方向上分力: Fpx ? ? ghc Ax ? ? g Fpx 方向水平向右 H 3 HB ? 1000 ? 9.8 ? ? 3 ? 1 ? 44.1kN 2 2 ? ?r 2 ? ? 1 ? 2? 3 2 ? ?1 ? ? 竖直方向上分力: 45 ? ? Fpz ? ? gVp ? ? g ?0.5 ? H ? ? r ? r ? r cos ? ? ? ? r2 ? B 360 ? ? ? 2? ? 2 ? 45 ? 1000 ? 9.8 ? ?0.5 ? 3 ? ? 3 2 ? 3 2 ? 3 2 ? ? ? 3 2 ? ?1=11.36kN ? ? 2 ? ? ? ? ? 360 ? ? ? ? 2 2 ? Fpz 合力的大小: Fp ? ? Fpx ? 1/ 2 ? ? 44.12 ? 11.36 2 ? 1/ 2 ? 45.54kN 该力与竖直方向的夹角 ? 为: ? ? arc tan Fpx Fpz ? arc tan 44.1 ? 75.5o 11.36