第10卷 第 2 期 19 9 0 齐 齐 哈 尔 师 范 学 院 学 报 ( 自然 科 学 版 ) J o u r n a r 、o l I o . No 1990 年 6 月 . l o f Q i q ih a r T ea e h e r ‘, C o ll g e e (N a tu r a l S e ie n e e ) Ju t c z 偶数 阶反 对 称 行 列 式 的 一 种 计 算 法 张 (数 慧 学 敏 系 ) 摘要 本 文藉 助 反 对 称 拒 阵的 合 同标 准形 及 化 合 同 标 准形 的 方 法 , , 给 出 了 偶 数 阶反 对 称 矩 阵 的 行 列 式 ( 即 反 对 称 行 列 式 ) 值 的 一 种规 律 性 计 算 法 从 而 得 出一 些 特殊 反 对 称拒 阵 的 行 列 式 的 值 关键 词 反 付称 拒 阵 , . 反 对称 行 列 式 初等 变换 , 合同 我 们 已 经 知道 奇 数 阶 反 对 称行 列 式 的值 恒 等 于 零 , 那 么 偶 数 阶 反 对 称 矩 阵行 列 式 的值 , 及 其计 算 有无 规 律 ? 本 文 藉助 反 对 称 矩 阵 的 合 同 标 准 形 及 化 合 同 标 准 形 的方 法 提 供一 种反 对 称 矩 阵行 列 式 的 计 算 法 定义 1 2 使奇 数 阶 反 对 称 行 列 式 的 值 为 其 特 例 . 从 而 得 出 偶 数 阶反 对 称 行 列 式 值 的一 般 计 算 法 及 求 出一 些 特 殊 反 对 称 矩 阵 的 行 列 式 的 值 设 A 是一 个 n : 阶反对 称 矩阵 , ( 或对 称 矩阵 ) 对 月 施行一 个 合 同变换 指 的是对 A 施 行 下 列 三 种 变换 之 一 ) ) ) 对 矩 阵 刀 任 意 两 列 ( 或 行 ) 及 相 l 两 行 ( 或 列 ) 同 时 施 行第 一 种初 等 变换 ; J a 对 矩 阵 刃 的 任 一 列 ( 或 行 ) 及 相 同 的 行 ( 或 列 ) 同 时 施行 第 二 种 初 等 变 换 ; 对 矩 阵 月 的任 意 两 列 ( 或 两行 ) 及 相 同 两 行 ( 或 列 ) 同 时 施 行 第 三 种初 等 变 换 的 定 义 见 张 禾 瑞 《 高 等 代 数 》第 王 版 第 1 3 页 定 义 9 I 上 , 。 3 一 三种 初 等 变换 2 。 以上 三种 合 同 变 换 可施行 到 行 列式 {A 称 为对 行 列式 . }A l 行 合同变 换 施 ; J , . 三 种 初 等变 换 对 应 的 初 等 矩 阵 分 别 用 尸 《 高 等代 数 》均 指 张 禾 瑞 一 书 D i (k ) , T ; ; (k 表 示 ) . 本文 以 下 所 提 到 的 搜 , 记 文 〔1 〕 n 。 命题 1 令 月 是 数域 F L一 个 1 门 生 _ 阶反 对 称 矩 阵 , 即满 足 月 ‘ = 一 则 刀 必 与如 下 形 式 的反 对称 矩 阵 1 口 C 1 讨 1 八 ,l 曰 八 合同 ( 见 文 〔1 〕 3 5 页 习 题 5 ) 本 文 称 B 为 月 的 合 同 标 准 形 1 本文 19 8 9 . 证 明略 . 年1 月1 [ 收到 5 l . 齐 齐 哈 尔 师 范 学 院 学报 ( 自然 科 学 版 ) 第1 0 卷 、 命题 2 证 阵 故 , 奇 数 阶反 对 称 矩 阵 的行 列 式 的值 等 犷零 ( 或 奇数 阶 反 对 称 行 列 式 的值 等 于零 . 由命 题 1 , A / 与B 合同 , 即 存在 即 n 阶 可逆 矩 阵 P 尸 { 产 , 使尸 月 尸 ‘ 二 方 , 尸 ‘ 表 示尸 的转 找 取 行列式 刀 {尸 刀 尸 卜 】 { 尸 日月 1{ 卜 }B { ’ }座 当 月 是 奇数 阶 时 , i 异 , , 尸 午 ’ ‘ 。 召 奇数 阶 则 1 川 = 0 故 1月 卜 0 , 证毕 当 A 是偶 数 阶 时 A 故 】 } = 若 B } 对 角线上 除形 如 「J 一 、 ‘ 甘 天的 、 一 _ 阶 块 外还 有 零 , 则 {B 卜 。 , 工 V / O 。 若 矩 阵 B 中 对 角线 J: 只 有 形 如 一 ! ‘ 份 天钩 、 _ 、 1 、 J 阶块时 ‘ ? , }: 卜 / ! 尸 l 一 { - 厂 = . l ( , 是 二 阶块 的 个数 ( { ;) 一 . , 列 、、 式 ,“ ,恒 为 J是 卜 之 立 一 ’ z l }〔 {刀 1的 了 由 ; , 」 侧 逆 ‘ ’ , 阵 尸 的 行 列 式 {尸 {的 位 决 定 于是 有 证 : P 的 但 实 际 上 { l 值 可 体 现 在 对 行 列 式 }引 施 行 此 介 同变换 卜 _ . 命题 使尸 等 产 3 偶数 阶反 对 称矩 阵 的行列式 的位 可经一 系 列 合同变 换求 得 知且 与B 合 同 , , . l 命题 1 朴 = 即指 月 可 经 一 系 列 介 同 变 换 得 到 B : , 、 . 即 存 在 可逆 矩 阵 尸 、 , 月尸 B , 山 定义 合同 变换 有三类 , 第一 类 合 同 变 换 一 . 即 交 换 月 的 第 i j两 列 同 时 交 换 卫 的 第 i j两 行 即p ‘ 、, , 相 当对 且 右乘 , 左乘 一 类 初 等矩 阵 尸 J , 月尸 * : 二 刀 l , 其 中尸 ‘ t , = 尸 ; J , 月 i 与刀 合 同 . 刀 仍 是反 对称 1 矩阵 A 这 种 合1 司变 换 施 行 到 行 列 式 } }上 , 不 改变其 值 3 . } _ 了 望卜 1刃 { : 一 ( 相 当 对 } J }的 行 、 列 同时 应 用 行 列 式 性 质 司变 换 第二类合1 , 3 , , _ 见 〔1 〕 IH 页 命题 ; ) . 即 刀 的 第 i列 , 乘 以 k 后 加 到 第了 L 列 j , 1 司时 再 将 尺 的 第 i 行 乘 以 九 后 加 (的 , 到 第] 丁 上 相 当 对 月 右 乘 第三 类 初 等 矩 阵 犷 f ’ 「 其 }丁 , 、 (左) 左 乘 T . 。 i 即T i j‘ ( 的 月T 一 , ; 3 (/ ) z 二 刀 . , , : ‘ (凡) 二 7 ’ J 、 (k ) 月 ‘ ; 二 一 , 月 , . 这 种 合 同 变 换 施 行 到 行 列 式 !月 } [ ) 。 也不 改 变 其 位 ( 相 当 对 }A } 用 行 列 式 性 质 1 0 应 见 〔1 〕 命 题 1 0 第 二类 合同 变 换 一 , 即 将 月 的 第 i列 乘 以 左 寺 ; , c } ( ) 同 时 将 月 的 第 讨 丁也 乘 以 k 二 , 相 当对 D ; 月 刀 右 , ‘ 、 左 分 别 乘 以 第二 类 初 等 矩 阵 D 月 5 , 即D ; ‘ c j ( )刀 刀 ( ) k _ 月 , , 其中D ‘ i c } ( ) 二 e / ( ) 、 二- ; . 将 这 种 合 同 变 换 施 行 到 行 列 式 }A }上 见 文 〔1 〕 命 题 二 , Z 行 列 式 扩 大 k 倍 ( 相 当 对 ! 理 }应 川 行 列 式 性 质 5 ) 。 故尸 等 犷对 月 施 行 的 一 些 列 的 初 等 变 换 所 对 应 的初 等 矩 阶 之 积 即尸 则 ( !P E I . E , : … 百5 , 百 、表 示 三 种 初 等 矩 阵 s , }p l一 1百 ; 2 二 E 1 {百 卜 I D {一 I , ; , (k ) 卜 {刀 , ; : (k ) 1… } {l) Z 。 , l 2 (态 ) 1 = k 左 … h , (t ‘ S ) ? s {= , 1 , 7 { ’ ; J (k ) 1 = 1 D } 、 (k ) 1 = k ) , , 因此 求 一 刀 个 偶 数 阶 反 对 称行 列 式 的值 可 按 上 述 方 法 对 } }作 合 同 变 换 使 之 化 为 {B { 1 ) , 即 对 月 作 合 同 变 换 化 为 B ( 其 B 同 命题 只须 注 意 , 刀 如 对 } {施 行 第 二 类 合 同 变 换 时 , 第 2 期 “ , 张 慧教 : 偶 数 阶 反 对称 行 列 式 的 一 种 计 算 法 “, 其值 扩 大 左 倍 例 1 求 这 时及 时乘 以 0 l / 一 k 即 使行 列 式 值 不 变 . 见下例 . 2 0 1段 3 4 一 { 2 , 一 1 0 { , 解 且 施 对 1 l 行 第一 种 合 同 变 换 0 1 即 交换 第 一 2 , 3 列 、 接着 交换 2 , 3 行得 : 2 3 l只 1 2 一 l , 4 一 0 一 2 0 , , 3 1 2 施 行 第 三 种 合 同变 换 将 第 2 列 乘 以 2 加 到 第 3 列 上 同 时 将 第 二 行 乘 以 2 加 到 第 3 行 上 得 0 1 0 3 : 1A I 0 3 一 4 1 一 0 0 再将 第 2 列 的 一 3 倍 , 第 2 行的 3 0 倍 分别 加 到第 0 4 列第 4 行上 得 : !月 { + 0 4 1 一 4 12 12 O 一 0 将第 到第 3 , 1 4 列的一 4 倍 行 仁得 _ , 1 倍 分 别 加 到第 3 4 . 列 上 , 同 时 将第 1 行的一 4 倍 , 倍 分别 加 : 0 l刀 } 0 一 0 0 0 , 0 一 0 12 0 12 0 、 最 后 施 行 第二 种 合 同 变 换 “ 二 将第 一 4 歹 J 第 4 行 同 时乘 以 k 。 二 弃 1 乙 , 这 时 行 列 式 }A } 大 扩 又 击仇 此 时及 时乘 以 一 协 0 1 0 一 = 144, 左 不 } } 变 0 0 0 即相 当提公 因子 1 2 22 , 得 一 1且 卜 144 ’ 「 = 144 X l = 144 } } ! O 8 : 齐 齐哈 尔 师 范 学 院 学报 ( 自然 科 学 版 ) 第1 0 卷 : 注 此 例应 用命 题 3 给 出 了一 般 偶 数 阶反 对 称行 列 式 的计 算规 律 1 ? 曰 n 1 叹 U n 土 1 ) 用 合 同 变 换 将 1 l 为 IB { 月 化 = 1 村 n‘ 1 U n 1 2 ) 只 须 注 意 使 用 第二 种 合 同 变 换 的 次 数 , , 每 次 乘 以 早二 “j , 如 计 算 过 程没 使 用 第 二 种 合 同 变换 B ( 则 1月 】 } 】 等 于 = 。或 1 ) . 以 下 利 用 命 题 3 讨 论 一 些 特 殊 反 对 称 矩 阵 的性 质 |l 尸 厂 l |一 . 0 i二 1 0 1 一 1 命题 4 形如A = 的 。 1 一 n 阶 ( n 为 偶数 ) 反 对 称 矩 阵 的 行 1 ) 列式 值 等 于 证 1 1 。 ) 验证 n 二 2 时 , 结 论成 立 n J. 土 , 即 月 一 一 ,卫 土 1 2 0 , 2 ) 归 纳 假设 。 n 一 阶形 如 上 述 反 对 称 矩 阵 的 行 列 式 结论 成 立 往证 n 阶 ( n 是偶 数 ) 结 论成 立 由 命题 l1 e r 1 . 3 , 令 二 0 o 1 二 0 o 2 |/ 了 ! 1 一 1 一 s e l || 1 、 l 1 l . | . 又 1 1\ ( 一 一块 分一 1 1 0 尸 一 1 1 0 0 … 1 1 一 0 1 1 J U. 八 上 土 1 。 l | | 、 || | 0 一 1 0 二 1 一 } \ 1 一 1 一 1 { … 1 |了 | \1 || 才 . s e l 第 2 期 张 慧敏 : 偶 数 阶 反 对 称 行 列 式 的 一 种 计 算法 / o 1 / 矛 . 尸 ‘ I A n 尸 , = … 一 一 1 … 1 1 一 l 1 e l| 1 ! 、/ ! . . 一| 1 0 1 到 一 l ,1 一 . ! 、 ! . 1 一 l 一 1 l l 1 … A 一 n 一 2 口 ~ 2 l 一 l !/ !l rI 、 L L J J … U n 土 . l J 一 1 一 1 : … {, 0 、厂 0 1 1 / I n 0 O 一 1 0 |、 | . … 」 n ; l ! l / l e r J | a r l、 一 ? 1 口 O l 尸 ! {( l ) A 一 n 一 2 O 夕 ! 一 2 1 一 1 1 由归 纳假 设 , 存在 0 1 一 2 阶可 逆 矩 阵 1 1 一 1 一 l 一 1 1 ? ? ? l 一 1 一 1 一 1 1 T , 一 2 0 1 一 1 1 一 1 一 1 一 1 IT / 。 一 : l = 1 / 0 0 0 0 | | \ 。 , 一 0 0 0 1 1 1 5 . . 使T 产 。 一 2 通 。 一 Z T 。 一 : 二 B 。 一 2 一 七 |1 !/ 1 ‘ 上 l U 八 土 一 一 0 . 月 且l 。 一 2 . ’ 一 卜 IB n 一 : 卜 1 。 1 1 一 0 0 一 1 } 1 1 0 … , / 由( 或令 1 ) : A } = 。 l 1 U 八 1 = 月 l 1 n 一 : 1 = 尸 产 取尸 T O 一 = 尸 尸 1 : , 2 。 有 尸 月 尸 。 二 尸 2 ( P 土 1 n ? : I A P , ) P 、 : | l e r l 、 l !/ | ‘ 尸 一 O | … 一 / l s e l | 八 日 1 、 O A 。 一 { 2 / , 八 l O T 。 一 2 … {{ 竺 上 一 ‘ 、 , o 一 { 「 } } O 了 ’ 。 一 2 火 10 齐 齐 哈 尔 师 范 学 院 学报 ( 自然 科 学 版 ) /一 、 1 卜 ! . 第1 0 卷 l = 曰 八 I L 土 ” n , 一 } U n 山 1. : 。 一 : : 。 一 2 , 工 n 一 : 少 ] , 。 一 1 U ? . 1 e | / J 1L , U n 1 B 。 , 于是 “ 二 尸 尸 } 月尸 卜 } l IA 】 !B } 而 }B I = ‘ , 了 l |/ 尸 又 】 1= J 故 IA I 二 a a a o ? 了 s e / l |1 、l | 1 , 1 证毕 。 O 口 J a | 命题 5 形如 月 = 口 0 口 的 偶 数 阶反 对 称 矩 阵 的 行 列 式 的值 等于 a ” . 0 ] ,. . 几 1 0 1 1 … 1 = a ” 事实 1 二 , 刀 = } 】 a ” 一 。 . x ] = a 一 1 一 1 命题 6 形如刀 二 一 1 0 1 的 偶数 阶 反 对 称 矩 阵 传 可 逆 O , 一 1 一 1 一 1 … r ) 一 1 1 1 一 l ? ? ? 一 I J 其 刀 - 1 1 O 1 一 I 1 一 刀 一 ’ 仍 是 反 对 称矩 洲 0 一 1 1 1 1 , : 一 1 1 一 1 1 土 1 0 / 产 ( 其 F主 对 角 线 上 方 与 主 对 角 线 相邻 且 平 行 线 上 的 元 索 都 是 。 一 1 , 下 一 条 平 行 线上 的 元 索都是 上述A 一 ] ’ , 以 后 的 平 行 线 同 前 两 条 交错 出 现 ) 可 用数 学 归 纳 法 按 定 义 证 之 形 如 上述刀 一 证 明略 . 推论 1 ‘ 的反对 称 矩阵 的行 列式 的值 等 犷 1 0 a . 推论 2 形如 堂 、 l 二 一 。 0 ( a 今 O 的 偶 数 阶 反 对 称 知 阵 l叮逆 第 2 期 ‘ 张 慧敏 : 偶数 阶 反 对称 行 列式 的 一 种 计 算 法 6 1 其逆 A l 一 = G k A n - , A 一 ’ 形 如 命题 所述 。 以 上 提供 的 反 对 称 行 列 式 的 合 同 变 换 式 计算 法 A 当 对 行列 式 I , 可 施 行 到 任 意 阶反 对 称行 列 式 上 . , 即相 、 }的 行 及 列 同 时 应 用行 列 式 某 种 性 质 , , , 在 变 换 过 程 中保证 每 一 合 同 变 换 不 改 变 这样 , 行 列 式 的反 对称 性 易于掌 握 , 直 到 最 后 变 成最 简 单 的 反 对称 行 列 式 }B } : 计 算 目标 明确 方法 , 且便 于 检 验 每 一 步 骤 是 否 有错 误 同 时得 到 比 只 对 行 或 列 单 独 使 用 某 种 性 质 有规 律性 , 且 , 行 之 有效 . 奇 数 阶 反对 称 行 列 式 的 值 恒 为 零 。 . 偶 数 阶 反 对 称 行 列 式 的值 或 为 零 一 n 或 完 全 由 对 }A I 施 行 的 第 二 类 合 同 变 换 决定 所 这 种 方 法 也 可 用 来 计 算对 称 行 列 式 的 值 其根 据 是 数 域 F 上 任 2 阶 对 称 矩 阵 都能 与 一 个 对 角 形 矩 阵合 同 ( 见 文 〔1 〕 定理 参 张朱瑞等 . 9 . 1 . ) . 考 北京 . 文 献 , 高等代数 , 第 . 3 版 , : 商 等 教育 出 版 比 L 高 等 教 育 出版 矛 19 3 3 , 北 京 大 学 数 学 力学 系 高 等 代 数 北 京 : 19 7 8 A Co m p D e u t a t io a n n a l M e th o d E v e n o f A n t i 一sy m m r e t r ie t e r m in t w it h Z ha n N u m be O rd e r g t o 1 1 u im i n f 卜a t }e m l i a (D e pa r to e: I t ic s ) A b s tr a a n e t e In t r ie e a t h is p a p , e r w it h the e a id o f th e e o n g r u e n t e a n a n ie t a l fo l 一 m ie e o f t is y m m r e m a t r ix a n d th th o m o n e th o d d n e ha te r n g in g a n th t r e c o n g o r u e n e a n o n a l fo m s r 一 m , a g u la 一 r le u la t i n g m be m r o r m d e r e d th . e e m in v a lu e f v a a n t is y m m e s o t r ie a t r ix w it h a n e 、e n n u 15 o g iv e n A d 。 d th e d e te m in a n t lu f so m e p e e i a li t is y 订l m e t r ie a t r ix a r e b t a in e Key W tr a n s o rd s r A t io n n t is y m m g e t r ie m t t a t r ix 八 n t is y m m r c t r ie d e te r m in a n t E le m o n ta r 3 ? fo m a C o n r u e n r a n s fo m a t io n