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概要
这一章,主要是讲如何用上一章的一些定理来求解微积分问题。
使用定义求导
假设要对
求导,从上一章中可知,导数的定义是:
因此可得:
将h换成 0 ,就会得到一个 0/0 的不定式,所以需要转化成别的形式才可以消去 h。这个式子可以通过通分来进行转化:
分子分母消去 h,再将 h 设成 0,即可求的极限为:
也就是说:
再来看一个例子,对
求导,其中 n 是某个正整数。设
,则有:
这个分子看起来不是很好处理,但是我们在这里可以尝试最直接的方式,那就是把
展开。虽然这个方法看上去很麻烦,但实际上我们不用真的一个个去写。可以这样考虑,如果这 n 个因子中每一个都提取出 x,那么可以写出这样的等式:
要是从第一个因子中提取出 h,其余的提取出 x 呢,那么就会有一个 h 和(n - 1)个x,最后得到的就是
。但还有只从第二个因子里提取 h 的情况,也可以只从第三个里提取 h,实际上共有 n 个这种情况,最后加一起,得到的就是
。除了没有 h 和 只有一个 h 的情况,其余就是有两个或两个以上 h 的情况了,也就是说必有
,所以这个 n 次幂的式子可以转化为:
导数的式子最后就转化为:
被消去了,分子分母也可以消去一个 h,最后结果是:
因此得出结论,当n是一个正整数时:
实际上,当a是任意实数时:
这个很重要,建议你先记住他。
用更好的办法求导
当求解一些非常复杂的式子的导数时,使用定义求解就非常难了,比如这个式子:
这个式子过于复杂,直接用定义去求只会让式子更复杂,但是我们可以将其拆分成一个个简单的部分,再对其单独求导,最后再合成一个。所以在正式解决这个问题之前,先来记住几个非常常用的结论。
函数的常数倍
函数的常数倍的导数就是函数的导数的常数倍,例如
的导数是
,因为
的导数是
,这个结论应该都知道,就不再讲了。
函数和与函数差
函数和与差的导数就是各个函数的导数的和与差,这个结论也应该都知道,就不再赘述了。
通过乘积法则求积函数的导数
这个就稍微复杂一些了,不能直接将两个函数的导数直接乘在一起,这是不对的。正确的公式是:
例如