1 二次函数的实际应用——最大(小) 值问题 知识要点: 二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式abacabxay44)2(22,如果自变量的取值范围是全体实数, 那么函数在顶点处取得最大值(或最小值). 即当0a时, 函数有最小值, 并且当abx2,abacy4242最小值; 当0a时, 函数有最大值, 并且当abx2, 如果顶点在自变量的取值范围,abacy44最大值. 如果自变量的取值范围是21xxx21xxx内,则当abx2,abacy442最值, 如果顶点不在此范围内, 则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性; 如果在此范围内 y 随 x 的增大而增大, 则当22最大, 当x 2xx 时, cbxaxy21x时,cbxaxy121最小; 如果在此范围内 y 随 x 的增大而减小, 则当1xx 时,cbxaxy121最大, 当2xx 时,cbxaxy222最小. [例 1]: 求下列二次函数的最值: (1) 求函数. [例 2]: 某商品现在的售价为每件 60 元, 每星期可卖出 300 件, 市场调查反映: 每涨价 1元, 每星期少卖出 10 件; 每降价 1 元, 每星期可多卖出 20 件, 已知商品的进价为每件 40元, 如何定价才能使利润最大? 322xxy的最值. [练习]: 1. 某商店购进一批单价为 20 元的日用品, 如果以单价 30 元销售, 那么半个月内可以售出 400 件. 根据销售经验, 提高单价会导致销售量的减少, 即销售单价每提高 1 元,销售量相应减少 20 件. 如何提高售价, 才能在半个月内获得最大利润? 2. 某旅行社组团去外地旅游, 30 人起组团, 每人单价 800 元. 旅行社对超过 30 人的团给予优惠, 即旅行团每增加一人, 每人的单价就降低 10 元. 你能帮助分析一下, 当旅行团的人数是多少时, 旅行社可以获得最大营业额? [例 3]: 某产品每件成本 10 元, 试销阶段每件产品的销售价 x (元)与产品的日销售量 y (件)之间的关系如下表: 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. ⑴求出日销售量 y (件)与销售价 x (元)的函数关系式; ⑵要使每日的销售利润最大, 每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日销售利润是多少元? x(元)y(件)15 20 30 … 25 20 10 … 月 日 2 3.(2006 十堰市) 市“健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品, 如果以那么每天可售出 400 千克. 由销售经验知, 每天销售量 y (千克) 与销售单价 x (元) 30x) 存在如下图所示的一次函数关系式. ⑴试求出 y 与 x 的函数关系式; 30 元/千克销售,( ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元, 当销售单价为何值时, 每天可获得最大利润? 最大利润是多少? ⑶根据市场调查, 该绿色食品每天可获利润不超过 4480元,  现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元, 请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 x 的范围( 直接写出答案). 作业布置: 1. 二次函数1212xxy, 当 x=__时, y 有最__值, 这个值是 . 2. 某一抛物线开口向下, 且与 x 轴无交点, 则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个), 此类函数都有__值(填“最大”“最小”). 3. 不论自变量 x 取什么实数, 二次函数 y=2x2-6x+m 的函数值总是正值, 你认为 m 的取9m, 此时关于一元二次方程 2x2-6x+m=0 的解的情况是__(填“有解”或“无值范围是2解”) 4. 小明在某次投篮中, 球的运动路线是抛物线213.55yx 的一部分, 如图所示, 若命中篮圈中心, 则他与篮底的距离 L 是 . 5. 在距离地面 2m 高的某处把一物体以初速度 V0(m/s) 竖直向上抛出,  在不计空气阻力的情况下, 其上升高度 s(m) 与抛出时间 t(s) 满足: S=V0t-12gt2(其中 g 是常数,通常取 10m/s2), 若 V0=10m/s, 则该物体在运动过程中最高点距离地面___m. 6. 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数. 有研究表明, 晴天 在某段公路上行驶上, 速度为 V(km/h) 的汽车的刹车距离 S(m) 可由公式 S=1100V2 确定; 雨天行驶时, 这一公式为 S=150V2. 如果车行驶的速度是 60km/h,  那么在雨天 行驶和晴天行驶相比, 刹车距离相差_ 米. 7. 将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时, 每天能卖出 20 个. 若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元, 其日销售量就增加了 1 个, 为了获得最大利润, 则 3 应降价__元, 最大利润为__元. 8. 如图, 一小孩将一只皮球从 A 处抛出去, 它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分, 如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m, 球路的最高点 B(8, 9), 则这个二次函数的表达式为______, 小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m) . x y A B O 9.(2006 年青岛市) 在 2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕,  某果品批发公司为指导今年的樱桃销售, 对往年的市场销售情况进行了调查统计, 得到如下数据: 销售价 x(元/千克) … 25 24 23 22 … 销售量 y(千克) … 2000 (1) 在如图的直角坐标系内, 作出各组有序数对(x, y) 所对应的点. 连接各点并观察所得的图形, 判断 y 与 x 之间的函数关系, 并求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 若樱桃进价为 13 元/千克, 试求销售利润 P(元) 与销售价 x(元/千克) 之间的函数关系式, 并求出当 x 取何值时, P 的值最大? 250030003500…  10. 有一种螃蟹, 从海上捕获后不放养, 最多只能存活两天. 如果放养在塘内, 可以延长存活时间, 但每天也有一定数量的蟹死去. 假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商, 按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内, 此时市场价为每千克 30 元,据测算, 此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元, 但是, 放养一天需支出各种费用为400 元, 且平均每天还有 10 kg 蟹死去, 假定死蟹均于当天全部销售出, 售价都是每千克 20 元. (1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元, 写出 p 关于 x 的函数关系式; (2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售, 并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元, 写出 Q 关 月 日 4 于 x 的函数关系式. (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售, 可获最大利润(利润=Q-收购总额)? 11. (2008 湖北恩施)