3. 幂级数与Taylor级数展开

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn

定义1.
幂级数,即通项为幂函数$a_n(x-x_0)^n$的函数项级数:
\[\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots \\ +a_n(x-x_0)^n+\cdots \end{aligned} \]
其中实常数$a_0$,$a_1$,$\cdots$称为幂级数的系数,点$x_0$称为幂级数的中心。
令$y=x-x_0$,则级数变为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n y^n$,这样,只需要考察$x_0=0$就可以了$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$

幂级数的收敛半径

定理1.(Abel定理)
如果幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在点$x_1$处收敛,则它在区间$(-|x_1|,|x_1|)$内绝对收敛;反之,若幂级数在$x_2$处发散, 则它在所有满足$|x|>|x_2|$的点$x$处发散。
由Abel定理知,任何一个幂级数的收敛区域一定是一个区间。
幂级数仅在$x=0$处收敛,在任何非$0$处都发散,此时收敛区域就是$x=0$幂级数在任意一点都收敛,它的收敛区域是整个实轴$(-\infty,+\infty)$幂级数具有不为$0$的收敛点与发散点。记
\[R=\sup\left\{|x|\left|\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \ \mbox{convergence}\right.\right\}>0 \]
则幂级数在区间$(-R,R)$上收敛,对所有$|x|>R$的$x$都发散。称$R$为收敛半径,区间$(-R,R)$为收敛区间。
定理2.(收敛半径)
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的所有系数$a_n\neq 0$。
若极限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|=L$,或$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L$,则
(1) 当$L>0$时,幂级数的收敛半径为$R=\frac1L$;
(2) 当$L=0$时,幂级数的收敛半径为$R=+\infty$;
(3) 当$L=\infty$时,幂级数的收敛半径为$R=0$
证明.
例1.求收敛半径
(1)$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^p}$
(2)$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$
(3)$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{2n}$

幂级数及其和函数的性质

定理3.(内闭一致收敛)
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$,则该幂级数在收敛区间$(-R,R)$内的任何有界闭区间$[-r,r]$上一致收敛($0