当然,数学家们为了发现自己的定理和方法也常常利用模型,物理的类比。牛顿和莱布尼茨就从不同的角度阐述了微积分。所有这些都是理论的现实来源,有助于发现理论的定理,但是每个定理最终地在数学中成立只有当它已从逻辑的推论上严格地被证明了的时候。如果一个几何学家报告一条他所发现的新定理时,只限于在模型上把它表示出来,那么任何一个数学家都不会承认这条定理是被证明了。对于证明一个定理的要求从中学的几何课程中就可以很好地了解到了。这种要求贯穿在全部数学中,我们可以极精确地测量成千个等腰三角形的底角,但这并不能给我们以关于等腰三角形两底角相等的定理的数学证明。数学要求从几何的基本概念推导出这个结果:证明一个定理对于数学家来说就是要从这个定理中引用的那些概念所固有的原始性质出发,用推理的方法导出这个定理。这样看来,不仅数学的概念是抽象的,思辨的,而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
数学结论本身的特点具有很大的逻辑严格性。数学推理的进行具有这样的精密性,这种推理对于每个只要懂得它的人来说,都是无可争辩和确定无疑的。数学证明的这种精密性和确定性人们从中等学校的课程中就已很好地懂得了。数学真理本身也是完全不容争辩的,难怪人们常说:“像二乘二等于四那样的证明”。这里,数学关系式2x2=4正是取作不可反驳,无可争辩的范例。
但是数学的严格性不是绝对的,它在发展着;数学的原则不是一劳永逸地僵立不动了,而是变化着的并且也可能成为甚至已经成为科学争论的对象。
归根到底,数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象,但却如我们所坚信的那样,它们是从现实中来的,并且在其他科学中,在技术中,在全部生活实践中都有广泛的应用,这一点,对于了解数学是最主要的。
应用的广泛性