在(a,b)上f'(x)>0说明了两个问题
1 f(x)在(a,b)上处处可导。
2 f(x)在(a,b)上斜率大于0
但这并不说明f(x)在(a,b)上是连续的,f(x)有间断点的话,他就称不上是单调函数了。
如果你好好看看书的话,书上的定义是f(x)[a,b]上连续,在(a,b)上可导。f’(x)>=0且在(a,b)的任一子区间内不恒为0。这个函数就是单调增。
同样的 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,函数单调增。也可以推出来f'(x)大于0.
你写的那个,既不是充分条件也不是必要条件,我都可以举出反例。
f(x)=x 规定定义域x不等于1 这个函数在负无穷到正无穷上都可导,且大于0(在x=1时左导=右导),但它不连续。所以不能说他是单调函数。
而一个分段函数,当x<0时,f(x)=x+1 x>=0时f(x)=x+2.这个函数是单调增的,但是在x=0点处不可导,那么你就不能说它在负无穷到正无穷上导数大于0了。