淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 摘要:首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质 讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题. 关键词:矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵 1 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) Abstract:Firstly,it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving. Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix 2 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 目录 1 前言…………………………………………………………………… 4 2 矩阵的特征值和特征向量的求法………………………………………4 2.1 矩阵的初等变换法 ……………………………………………… 4 2.2 矩阵的行列互逆变换法 ……………………………………………6 3 矩阵特征值的一些性质及应用…………………………………………7 3.1 矩阵之间的关系………………………………………………………7 3.1.1 矩阵的相似…………………………………………………………7 3.1.2 矩阵的合同…………………………………………………………7 3.2 逆矩阵的求解…………………………………………………………8 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件……………………………………8 3.4 矩阵的求解……………………………………………………………9 3.5 矩阵特征值的简单应用………………………………………………10 结论 ……………………………………………………………………… 11 参考文献……………………………………………………………………12 致谢 ……………………………………………………………………… 13 3 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 1 前言 矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而 且在自然科学(如物理学、控制论、弹性力学、图论等)和工程应用(如结构设计、振 动系统、矩阵对策)的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的 理论和应用价值. 2 特征值和特征向量的求解方法 求 n 阶矩阵 A 的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵 A 的特征多项式 f ??? ? ?E ? A 的全部特征根,然后对每个特征根 ?i ?i ? 1,2,?, n? 求解齐次线性方程组 ??i E ? A?X ? 0 的一个基础解系,即为 A 的属于特征根 ?i 的线性无关的特征向量.现再此基 础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法. 2.1 矩阵的初等变换法 这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量. 定理1?1? 设齐次线性方程组 Am?n X ? 0 的系数矩阵 A 的秩数 r ? n , PAQ ? ? ? ? Er 0 0? 0 ? ? 的非奇异矩阵 Qn?n 的后 n ? r 列便构成线性方程组的一个基础解系. 在运用传统方法求解矩阵 A 的特征值时,我们求 f ??? ? ?E ? A 的全部特征根时是通 过将矩阵 ??E ? A?经过一系列的初等变换化成三角矩阵,这里我们可以受此启发,将它变 换成下三角矩阵 G?? ? .由定理 1 知,当矩阵 ???? ?E ? E A???? 经过一系列的初等列变换变换成 ????GQ?????????? 时,求 G??? ? 0 得的 ?i 就是矩阵 A 的特征值,然后将 ?i 代入 ???? G?? Q?? ?????? , G??i ?中的 0 列所对应的列就是所对应 ?i 的特征向量 Q??i ?. ? 2 ?1 1 ? 例1 已知矩阵 A ? ? ? ?? 0 2 3 1 ?1?? 3 ?? ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. 4 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 解 ??E ? A? ? ? E ? ? ? ? ? 2 1 ?1 ? ? ? ? 2 0 ?1 ? ? ? 0 ? ?3 1 ? ? ? ? 0 ??2 1 ? ? ? ?2 ?? ? 1 ?1 ? ? 3? ? ?2 ? ? 4 ? ? 3? 0 0 ??? ?? 1 0 0 ? ? ?0 1 0? ?0 1 0? ??? 0 0 1 ??? ??? 0 1 1 ??? ?0 ? ? ??2 ? ? 2 ? 5? ? 4 ?? ?1 ?0 ??? ? ? 2 0 ??2 ??4 0 1 1 ?1 ? ? ?1 1 ? ? ? ? 1 ? ?3? ?? ?3 0 ??? ?? 0 0? ?0 1 ??? ??? 1 0 ??2 ??4 0 1 1 0? ??2 ? ? ? 2 ? 5? ? 4 ? 1 ? ? 0? ? ? 2 ??? ? ?1 ? ? 1 ?? ?3 ?? ? 0 ?0 ??? 1 0 ??2 ??4 0 1 1 0? 0 ? ? ? 2 ? 6? ? 8? 1 ? ? ?1 ? ? ? 3 ??? ?G???? ? ? ? Q ? ? ? ?. ? 由 ?? ? 2?2 ?? ? 4? ? 0 知 A 的特征根 ?1 ? ?2 ? 2 , ?3 ? 4 . ? ?1 0 0 ? ? ? 1 当 ?1 ? ?2 ? 2 时, ?G ? ? Q ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 ?0 0 ?2 0 1 0 ? ? 0? 1 ? ? ?1? ,特征向量 ?1 ? ? ? ? ?? 1? ?1?? ?1?? . ??? 1 1 ?1??? ? ?1 0 0 ? ? ? 1 当 ?3 ? 4 时, ? ? ? G Q ? ? 4? 4? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ?0 2 0 0 1 0 ? ? 0? 1 ? ? ?1? ,特征向量 ?3 ? ?1? ? ? ?1?? ?? 1 ?? . ??? 1 1 1 ??? 5 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 2.2 矩阵的行列互逆变换法 定理 2?2? 对于任意的矩阵 A ,矩阵 ???? A E ???? 都能经过一系列的行列互逆变换变成 ???? JT P ???? .其 ? ? ? ? 中 J ? Jk1 ??1?, Jk2 ??2 ?,?, Jkr ??r ? , P ? ?P1, P2,?, Pr ?, Pi ? ?i1 , ?i2 ,?, ?iki T , ?i ? 1,2,?, r?.因为若 尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全 部根(重根按重数计算).因此在求解矩阵 A 的特征值时我们又可以通过将矩阵 ???? A E ???? 进行 行列互逆变换,从而得到 A 特征值 ?i ,以及它对应的特征向量?i ? ?iki . ? 2 ?1 1 ? 例2 求矩阵 A ? ? ? 0 3 ?1?? 的特征值与特征向量. ?? 2 1 3 ?? 解 ?? 2 ?1 1 ?? ?? 1 ?1 1 ?? ? 0 3 ?1? ? 1 3 ?1? ???? A E ???? ? ? ? ? 2 1 1 0 3 ? ? c1 ?c3 ? ??r3??r1 ?? 0 0? ?1 0 0 4 ? ? 0? ? ? 0 1 0 ? ? ? ? 0 1 0 ? ? ?? 0 0 1 ?? ?? ?1 0 1 ?? ?2 0 0? ?2 0 0 ? ? ?1 2 ? ? 1? 1 c3 ? 2 c2 ? ?1 2 ? 0? ? c2 ?c1 ??r1??r2 ?? 0 0 4 ? ? ??r2 ?12?r3 ??? 0 0 4 ? ? ? 1 ?1 0 ? ? 1 ?1 1 2 ? ? ??? 0 ?1 1 1 0 1 ? ??? ? ??? 0 ?1 1 1 ?1 2 12 ? ??? ?? 2 0 0 ?? ??212cr33 ???? 1 0 2 0 0? 4 ? ?. ? 1 ?1 1 ? ? ??? 0 ?1 1 1 ?11???? 6 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 所以特征值 ?1 ? ?2 ? 2, ?3 ? 4 , 对应特征值 ?3 ? 4 的特征向量 ? 3 ? ?? 1 ?? ? ?1? , ?? 1 ?? ? ?1? ?? 对应的特征值 ?1 ? ?2 ? 2 的特征向量?1 ? ? 1 ? . ?? 1 ?? 3 矩阵特征值的一些性质及应用 3.1 矩阵之间的关系 3.1.1 矩阵的相似 性质 1 如果存在 n 阶可逆矩阵 X ,使得 n 阶矩阵 A 和 B 满足 B ? X ?1AX ,即矩阵 A 与矩阵 B 相似, ?i 为矩阵 A 的特征值,?i 为 ?i 所对应的特征向量,则 ?i 也为矩阵 B 的特征 值,且 B 对应于 ?i 的特征向量为 X ??1 i . 注 反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似. 性质 2 矩阵 A 与 B 都是 n 阶矩阵,乘积矩阵 BA 与 AB 不一定相似,但却有相同的特 征值. 证明 若 0 是 AB 的特征值,则 AB? ? 0 ??,? ? 0 故 AB 不可逆,于是 A 与 B 中至少有 一个不可逆,从而 BA 不可逆,故有非零向量? 使 BA? ? 0 ,即 0 是 BA 的特征值. 设 ??? ? 0? 是 AB 的特征值,即存在? ?? ? 0?使得 AB? ? ?? .令? ? B? ,则 A? ? AB? ? ?? ? 0 ,因此? ? 0 于是 BA? ? BAB? ? B ??? ? ?B? ? ?? ,即? 是属于 BA 的特 征向量, ? 是 BA 的特征值,同理可证 BA 的任何特征值也是 AB 的特征值. 例如矩阵 A ? ???? 1 0 0 1 ???? 和矩阵 B ? ???? 1 2 10???? , BA 与 AB 不相似却有相同的特征值 ? ? 1. 例 3 设 n 阶矩阵 A, B ,则矩阵 BA ? A 与 AB ? A , BA ? B 与 AB ? B 分别都有相同的特 征值. 证明 由于 BA ? A ? ?B ? E?A, AB ? A ? A?B ? E?,由性质 2 知 BA? A, AB ? B 有相同的 特征值,同理 BA? B, AB ? B 也有相同的特征值.得证. 3.1.2 矩阵的合同 性质 3 n 阶对称矩阵 A 与 B 合同,即存在 n 阶可逆矩阵 C ,使得 B ? CT AC ,其充要条 7 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 件是 A 与 B 的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等. 这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径. ??1 1 1 1?? ?? 4 0 0 0?? 例4 判断矩阵 A ? ?1 ????11 1 1 1 1 1 1 1? 11???? 与矩阵 B ? ? ? ??? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0? 00???? 是否合同. 解 因为矩阵 A 是实对称矩阵,可以求得 det?A ? ?E? ? ??? ? 4??3 ,即 A 的特征值为 ?1 ? ?2 ? ?3 ? 0 , ?4 ? 4 ,矩阵 B 的特征值为 ?1 ? 4 , ?2 ? ?3 ? ?4 ? 0 ,由性质知矩阵 A 和矩 阵 B 合同. 3.2 逆矩阵的求解 性 质 4?3? 对 于 n 阶 矩 阵 A , 由 哈 密 顿 ― 凯 莱 定 理 可 以 知 道 f ?A? ? 0 , 即 an An ? an?1An?1 ?? ? a1 A ? a0E ? 0 . ? ? ? ? 所以 A ? ? ?? ? 1 a0 an An?1 ??? a1E ? ? ? ? E ,从而 A?1 ? ? 1 a0 an An?1 ?? ? a1E . 故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到 A?1 . ? 1 0 0? 例5 已知矩阵 A ? ? ? b1 1 ? 0? ,的特征多项式是 f ??? ? ?? ?1?3 ,求 A?1 . ??b2 b3 1?? 解 因为 f ?? ? ? ?? ?1?3 ? ?3 ? 3?2 ? 3? ?1,所以 A?1 ? A2 ? 3A ? 3E , 即 ?? 1 0 0?? ?? ? 3 0 0 ?? ?? 3 0 0?? ?? 1 0 0?? A?1 ? ? 2b1 1 0? ? ? ? 3b1 ? 3 0 ? ? ? 0 3 0? ? ? ? b1 1 0? . ?? 2b2 ? b1 ? b3 2b3 1?? ?? ? 3b2 ? 3b3 ? 3?? ?? 0 0 3?? ??b1 ?b3 ? b2 ? b3 1?? 由本例可见,任何一个可逆矩阵 A 的逆矩阵必是 A 的一个多项式,这样又多了一种求 逆矩阵的方法. 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 性质 5?3? n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值 ?0 在 ?E ? A 中的 重数等于 A 的属于 ?0 的线性无关的特征向量的个数. 由此可见例 1 和例 2 中的矩阵不能相似于对角矩阵. 8 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 例 6 矩阵 ?? ?0 A?? 1 0 ?0 0 0 ?? ? 能否与对角矩阵相似?为什么? ?? 0 1 ?0 ?? 解 不能. 因为 ?0 是 ?E ? A ? ?? ? ?0 ?3 ? 0 的三重根,且秩 ??E ? A? ? 2 ,于是 A 的属于 ?0 的线性 无关向量的个数为 3 ? 2 ? 1,由性质 8 知, A 不能相似于对角矩阵. 3.4 矩阵的求解 我们知道如果设 ?1 和 ?2 是 2 阶实对称矩阵 A 的两个不同的特征值, ?1 和?2 是对应于 它们的特征向量,则 ?1 和?2 正交.且设 ?i ?i ? 1,2,?, n? 是 n 阶实对称矩阵 A 的互不相同的特 征值,? i ?i ? 1,2,?, n? 是对应于特征值的特征向量,则? i ?i ? 1,2,?, n? 两两正交. 这样,如果对于 n 阶实对称矩阵 A ,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值 所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应 的特征向量,也能求解出矩阵 A . ?1? 例7 设 3 阶对称矩阵 A 的特征多项式是 ?? ? 5??? ?1?2 ,且 ?1 ? ?? ?1? 是对应于 ? ? 5 的特 ??1?? 征向量,求矩阵 A . 解 由上面的性质我们知道 ? ? ?1 对应的特征向量和?1 正交, 因此设 ? ? ? ?1 所对应的特征向量为 ? ? x1 x2 ?? ? , ?? x3 ?? 对应于 ? ? ?1 的两个线性无关的向量可取 x1 ? x2 ? x3 ? 0 的基础解系, ?1? ?1? ?? ?? ?2 ? ? 0 ? ,?3 ? ? ?1? , ?? ?1?? ?? 0 ?? 将正交向量组?1,?2 ,?3 单位化得到正交矩阵 ??1 3 1 2 1 2 ?? Q ? ?1 3 0 ?1 2 ? , ???1 3 ?1 2 0 ??? ?5 0 0 ? 正交矩阵 Q 满足 QT AQ ? ? ? ? ? 0 ?1 ? 0 ?, ??0 0 ?1?? 9 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) ?3 6 6? 所以 A ? Q?QT ? ? ?6 4 ? 5? . ??6 5 4?? 补充:同时还能求出 Ak ?k ? 1,2,??的值, ? ? Ak ? Q?QT k ? Q?(QT ? Q)?QT ?Q?QT ? Q?kQT . 3.5 矩阵特征值的简单应用 性质 6?4? n 阶实对称矩阵的特征值都是实数. 性质 7 ?5? n 阶矩阵 A 与其转置矩阵 AT 有相同的特征值. 性质 8 已知 n 阶矩阵 A 的特征值为 ?1, ?2 ,?, ?n ,则 A ? ?1 ??2 ??n . 例 8 设 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值1,2,?, n ,且矩阵 B 与 A 相似,求 E ? B 的值. 解 因为 A 的特征值为1,2,?, n ,矩阵 B 与 A 相似. 所以 B 的特征值也为1,2,?, n , 令 f ??? ? ? ?1,则 f ?B?的 n 个特征值为 f ?1? ? 2, f ?2? ? 3,?, f ?n? ? n ?1, 因为 A ?1? 2??? n ? n!, 所以 E ? B ? f ?1?? f ?2???? f ?n? ? ?n ?1?!. 10 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 总结 矩阵是线性代数中的一个重要部分,特征值与特征向量问题是矩阵理 论的重要组成部分。特征值与特征向量有着许多具体的应用,本文通过查 阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行 了归纳总结。首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质,探究 了特征值与特征向量的几种解法,在此基础上重点介绍了特征值与特征向 量的应用问题。矩阵的高次幂的求解是有技巧的,当矩阵可对角化时,利 用特征值与特征向量把矩阵对角化,可以简便的解出矩阵高次幂的值。给 出了特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质,并且举例说明了特征值 与特征向量在矩阵运算中的应用。运用一些特征值与特征向量的性质和方 法,可以使问题更简单,运算上更方便,是简化有关复杂问题的一种有效 途径。特征值与特征向量理论的应用是多方面的,不仅在数学领域,而且 在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用,值得我们深入探究。 11 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 参考文献 [1] 何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院学报,2009,11(3):139-140. [2] 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J].福建信息技术教育,2006,33. [3] 王向东、王士藩.高等代数常用方法[M].科学出版社,1989:224. [4] 马忠军、刘翠玉.矩阵特征值问题探讨[J].博士专家论坛,6. [5] 邵逸民.矩阵的公共特征值和特征向量研究[J].太原师范学院学报,2008,7(3):40. 12 淮阴师范学院毕业论 文 (设 计 ) 致谢 大学生活一晃而过,回首走过的岁月,心中倍感充实,当我写完这篇毕业论文的时候, 有一种如释重负的感觉,感慨良多. 首先诚挚的感谢我的论文指导老师雷雪萍老师.她在忙碌的教学工作中挤出时间来 审查、修改我的论文.还有教过我的所有老师们,你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是 我工作、学习中的榜样;他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.感谢 培养教育我的淮阴师范学院,浓浓的学术氛围,舒适的学习环境我将终身难忘! 最后祝母校蒸蒸日上,勇创辉煌!祝各位恩师身体健康,家庭幸福! 13