1.6 矢量场的散度 1. 矢量场的矢线(场线) 2. 矢量场的通量 3. 散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理 1. 矢量场的矢线(场线): 在矢量场中,若一条曲线上每 一点的切线方向与场矢量在该点的 + - 方向重合,则该曲线称为矢线。 2. 通量: 定义:如果在该矢量场中取一曲面S, 通过该曲面的矢线量称为通量。 ?? 表达式: ? ?? v ? dS S ?? 若曲面为闭合曲面: ? ?? v ?dS S 讨论: a. 如果闭合曲面上的总通量 ? ? 0 说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量,意味着闭合面内存在正 的通量源。 b. 如果闭合曲面上的总通量 ? ? 0 说明穿入的通量大于穿出的通 量,那么必然有一些矢线在曲面内 终止了,意味着闭合面内存 在负源或称沟。 c. 如果闭合曲面上的总通量 ? ? 0 说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。 3. 散度的定义: 定义:矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 ? F ?dS 表达式: divF ? lim S ?V?0 ?V 4.散度的计算: 在直角坐标系中,如图做一封闭 曲面,该封闭曲面由六个平面组成。 ? ? ? ? ? ? ? F?dS ? S S1 F ?dS1 ? S2 F ?dS2 ? S3 F ?dS3 ? S4 F ?dS4 ? S5 F ?dS5 ? S6 F ?dS6 4.散度的计算: 在直角坐标系中,如图做一封闭 曲面,该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为: F ? Fxa?x ? Fya?y ? Fza?z z S6 S1 S3 S4 S2 S5 y x ? ? ? ? ? ? ? F??dS? S S1 F ?dS1 ? S2 F ?dS2 ? S3 F ?dS3 ? S4 F ?dS4 ? S5 F ?dS5 ? S6 F ?dS6 在 x方向上:计算穿过 S 1和 S 2 面的通量 z F ? Fxa?x ? Fya?y ? Fza?z dS1 ??dydz(?a?x) S6 S1 S3 S4 ?S1 F ? dS1 ??Fx (x1)a?x ? ?y?z(?a?x ) ? ?Fx (x1)?y?z S2 S5 y x dS2 ? dydza?x ?S2 F ? dS2 ? Fx(x2 )a?x ? ?y?za?x ??F ( x ? ?x)?y?z x1 其中: x2 ??x1 ? ?x 因为: Fx ( x1 ? ?x) ? Fx ( x1) ? ?Fx ?x ?x ? 则: S 2 F ? dS2 ? Fx ( x1)?y?z ? ?Fx ?x ?x?y?z ? 已知: S1 F ? dS1 ? ?Fx (x1)?y?z z S3 S2 x S6 S1 S4 S5 y 在 x 方向上的总通量: ? ? S1 F ? dS1 ? S2 F ? dS2 ? ?Fx ?x ?x?y?z 同理:在 y方向上,穿过 S3 和 S4面的总通量 ? ? S3 F ? dS3 ? S4 F ? dS4 ? ?Fy ?y ?x?y?z 在 z 方向上,穿过 S5 和 S6面的总通量: ? ? F ?dS5 S5 ? F ?dS6 S6 ? ?FZ ?z ?x?y?z 整个封闭曲面的总通量: ? ? S F ? dS ? ??F ? ? x ?x ? ?F y ?y ?Fz ?z ? ? ? ?x?y?z z S3 S2 x S6 S1 S4 S5 y 该闭合曲面所包围的体积: ?V ? ?x?y?z ? 散度: divF ? F ?dS S ? ?Fx ? ?Fy ? ?Fz lim ?V?0 ?V ?x ?y ?z 通常散度表示为: divF ????F 5.散度定理: ?S F ?dS ? ?V ? ? F dV 物理含义:穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。 常用坐标系中,散度的计算公式 直角坐标系中: 圆柱坐标系中: ???F ? ?Fx ? ?F y ? ?Fz ?x ?y ?z ???F ? 1 ?(Frr) ? 1 ?F? ? ?Fz r ?r r ?? ?z 球坐标系中: ???F? 1 R2 ?(R2 FR ) ?R ? 1 Rsin? ?(F?sin? ?? ) ? 1 Rsin? ?F? ?? ? ? 正交曲线坐标系中:???F? 1 ?? ? Fu1 h 2 h 3 ? ?(Fu2 h1h3 ) ? ?(Fu3 h1h2 ) ? ? h1h2h3 ?? ?u1 ?u2 ?u3 ?? 常用坐标系中,坐标变量和拉梅系数 直角坐标系中:坐标变量 (x, y, z) 拉梅系数(1,1,1) 圆柱坐标系中:坐标变量 (r,?,z) 拉梅系数 (1, r,1) 球坐标系中: 坐标变量 (R,?,?) 拉梅系数 (1,R, Rsin?) 正交曲线坐标系中:坐标变量 (u1,u2,u3 ) 拉梅系数 (h1,h2,h3) 小结: 1. 矢量场的矢线(场线) 2. 矢量场的通量 3. 散度的定义 4.散度的计算 ? ???S?v ? dS divF ? lim ?S F ?dS ?V?0 ?V ? ? ???F? 1 ?? ? Fu h2h3 1 ? ?(Fu 2 h1h3) ? ?(Fu 3 h1h2) ? ? h1h2h3 ?? ?u1 ?u2 ?u3 ?? 5.散度定理 ?S F ?dS ? ?V ? ? F dV