关于【介值定理】到底用在开区间还是闭区间?此题目是别人写在网上的,不过恰好和我的问题一样,故借用.
同济的教材上,定理表述为闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在端点处具有不同的函数值f(a)=A,f(b)=B,A不等于B.C是A与B之间任意一个数,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f(ξ)=C问题1:C是A与B之间任意一个数,这句话的意思是C∈闭区间[A,B],还是C∈开区间(A,B)?为什么定理表述中ξ在开区间(a,b)内存在而不是在闭区间?是因为端点函数值A≠B吗?但是同济的教材上在证明闭区间上连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的一切值时,设m=f(x1),M=f(x2),标注了m≠M,然后却说,在闭区间[x1,x2]上应用介值定理得上述推论,这不矛盾么?上一段中,介于最大值M与最小值m之间,意味着是开区间还是闭区间?陈文灯的指南里对于介值定理的描述是,μ是介于两个端点值之间的一切实数,则在【闭区间】上存在一点ξ,使得μ等于f(ξ).这个描述和教材上的区别是没有指出端点值相等于否,那么在考试的时候,应用介值定理ξ到底是在开区间还是闭区间存在?