条件(　1　)要求在闭区间上连续,是因为如果函数在端点上不连续,那么条件(　3　)就变成没有意义的了,也就是说,条件(　3　)不能反映任何函数在这个区间上的性质了。　条件(　2　)要求函数在开区间上可导,而不一定要求在两个端点上可导,是因为结论中的　c　点必定是内点,因此并不要求函数在端点上存在导数。　拉格朗日中值定理。　可以把上面的定理进行一般的推广,即前面两个条件保持不变,而作为特殊条件的条件(　3　)可以去掉,从而得到:　(　1　)函数　y=f　(　x　)在闭区间　[a　,　b]　上连续;　(　2　)在开区间(　a　,　b　)上可导;　则在开区间(　a　,　b　)上必定存在一点　c　,使得函数在这点的导数为:　显然罗尔定理是这个定理的特殊情形。　这个定理的几何意义同样是相当鲜明的,就是对于在一个闭区间上连续的函数,也就是一段连续闭曲线,无论其端点的位置位置如何,曲线内部总是存在一点,这点的切线与两个端点的连线平行。直观地推导,就是取两个端点的连线,作平行的移动,则必定至少会存在一个时刻,这时平行移动的直线与曲线相切。　严谨的证明可以有多种方法,例如可以通过应用罗尔定理。　同样必须注意这里和上面的定理具有同样的条件。　柯西中值定理。　如果是两个函数在同一个闭区间上同时满足上面的两个条件,那么就有下面的定理:　设函数　y=f　(　x　)和y=g　(　x　)同时满足下面的条件:　(　1　)在闭区间　[a　,　b]　上连续;　(　2　)在开区间(　a　,　b　)上可导;　(　3　)两个函数在开区间上不同时为　0　;　则在开区间(　a　,　b　)上必定存在一点　c　,使得两个函数在这点的导数满足:　显然这个表达式还要求　。　注意这个定理里的条件(　3　)。　这个定理同样可以应用罗尔定理,通过构造辅助函数来证明。而如果取　g　(　x　)　=x　,则这个定理就是拉格朗日中值定理。因此这个中值定理可以看成是这三个中值定理当中最一般的定理。　罗必达法则。　柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式,可以看到两个函数式的比值,在移动条件下可以化成者两个函数的导数的比值,这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数,通过求导,而得到非未定型。