引 例 甲、乙两地相距30公里,某人以10公里/小时的速 度从甲地到乙地, 1、将路程 y(公里)表示成时间 x(小时)的函数; y=10x 2、将时间 x(小时)表示成路程 y(公里)的函数。 x=y/10 定 义 反函数的概念: 一般地,对于函数 y=f (x) ,设它的定义域为D,值域为A, 如果对A中任意一个值 y , y 在D中总有唯一确定的 x 值和它对应,且满足 y=f (x) , 这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y=f (x) 的反函数, 记作:x = f -1 (y) 在习惯上,自变量用 x 表示,而函数用 y 表示,所以把它 改写为: y = f -1 ( x ),(x∈A) 例 题 例1:求下列函数的反函数: ( 1) y ? 2 x ; 2 ( 2) y ? ; x 探究 1)反函数的反函数是什么? 原函数 即原函数与反函数互为反函数 2)反函数的定义域、值域与原函数有什么关 系? 从反函数的定义可知,反函数的定义域是原函 数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。 3)任意一个函数都有反函数吗? 反函数存在的条件是什么? 探求反函数成立的条件 例1 求下列函数的反函数 2 (1) y ? x 2( x ? R) (2 ) y ? x2( x ? 0 ) (3 ) y ? x ( x ? 0) 反函数成立条件:x与y必须一一对应 在定义域上单调的函数是否一定有反函数? 具有反函数的函数是否一定是单调函数? 单调函数 ? 有反函数 ? 已知函数 y ? f ( x) 有反函数,则方程 B ) f ( x) ? a (a 为常数)………………( (A)有且只有一个实根 (B)至多有一个实根 (C)至少有一个实根 (D)不同于以上结论 探究 1)一次函数 y=ax+b(a≠0)是否有反函数? a 2)反比例函数 y ? (a≠0)是否有反函数? x 2 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 是否有反函数? 3)二次函数 什么情况下具有反函数? 例1.判断下列函数是否存在反函数. 2 (2) y ? x ? 1, x ? R y ? 4 x ? 2, x ? R (1) 存在 3 (3) y ? , x ? 0 x 存在 (5) y 不存在 x (4) y ? , x ? ?1 x ?1 存在 (6) x y O O x 存在 不存在 求下列函数的反函数. (1) y ? 4 x ? 2, x ? R (2) y ? x2 ? 1, x ? 0 y ? 2 解: (1) y ? R 解得:x ? 4 x 1 因此反函数为 y ? ? , x ? R 4 2 (2) y ? [1, ??) 解得:x ? y ?1 因此反函数为 y ? x ?1, x ? 1 归纳小结 求反函数的步骤: 1)通过解方程的方法变形,把 x 用 y 表示出来; 2)对字母 x 、 y 进行互换; 3)写出反函数的定义域,即原函数的值域。 例.求下列函数的反函数: (1) y ? 4 x ? 2 (2) y ? x ? 1 3 (3) y ? x ? 1( x ? 0) 2 注意: (1)求反函数一定要写反函数的定义域(原函数值域)。 (2)当原函数是自然定义域时,反函数的定义域可以直接 由反函数解析式求得。 3x ? 1 1 (4) y ? ( x ? R, x ? ? ) 4x ? 2 2 例1、求函数 y ? x3 的反函数,并且在同一坐标内画出原函数和 y 其反函数的图象。 解: 由 y ? x3 得: y ? R, x ? 3 y y?x 3 y?x x与 y 互换, y ? 3 x 3 所求反函数为 y ? x, x ? R 。 y?3 x x 从函数图像看: 原函数和反函数图像关于y=x对称。 探讨函数及其反函数的关系 从函数角度看: 若函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f ?1 ( x) , ?1 则 y ? f ( x) 的反函数是 y ? f ( x),即 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 互为反函数。反函数的定义域与值域恰好是原函数 的值域与定义域。 从函数图像看: 原函数和反函数图像关于y=x对称。 点 (a, b) 在原函数图象上 图象上. 点 (b, a ) 在反函数 单调函数的反函数的单调性: 单调函数的反函数也是单调函数 且两个函数具有相同的单调性. y y ? f ( x) y?x y ? f ( x) ?1 y y ? f ( x) y?x y ? f ?1 ( x) O x O x 反函数的概念小结 (1) y ? f ( x),( x ? D, y ? A) 存在反函数的 充要条件是: x 与 y 是一一对应的 (2) 函数 y ? f ( x), x ? D 与函数 x ? f ?1 ( y), y ? A 互为反函数. 对应法则互逆,定义域、值域互反. (3)求反函数的步骤: 1)通过解方程的方法变形,把 x 用 y 表示出来; 2)对字母 x 、 y 进行互换; 3)写出反函数的定义域,即原函数的值域。 2 ?1 f ( x ) ? x ? 1, x ? ? 2 例 .已知 ,求 f (4) 解:f ?1 ( x) ? ? x ?1, x ? 3 因此 f ?1 (4) ? ? 4 ?1 ? ? 5 解法二:设 f (4) ? a 即点 (4, a ) 在 f ( x) 图像上 因此 f (a) ? 4 即点 (a, 4) 在 f ( x) 图像上 解毕 a2 ?1 ? 4, a ? ?2 解得 a ? ? 5 ?1 ?1 f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a 例2. 若点(1,2)既在函数 y ? ax ? b 图象上,又在它反函数的图象上,求实数 a ,b 的值。 a=-1,b=5 例3. 已知 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 , x ? 0 ,求 f ?1 (3) x=1 例3:已知函数f ?x ? ? log2 x ? 1 的反函数为y ? f f ?1 ?1 ?x ?, 则 4 ?3? ? 。 例4. 若两条直线 y ? 2 x ? m 和 y ? nx ? 3 关于直线 y ? x 对称, 求 m ? n 的值. n=0.5,m=-6, m+n=-5.5 原函数与反函数的交点一定在直线 y?x 上吗? 1 1 ?1 不一定。如f ?x ? ? , 其反函数f ?x ? ? , 图像重合, x x 图像上所有的点都是它 们的交点。 举出一些函数,使它的反函数是其本身,说 明他们的图象有什么特征? 函数 y ? f ( x)的反函数是其本身 函数 y ? f ( x) 图象关于直线 y ? x 对称 . 2x ?1 例 .求证:函数 f ( x) ? 的图像关于直线 y ? x x?2 2x ?1 分析:由于 f ( x) ? 存在反函数,且 x?2 f ( x) 与 f ?1 ( x) 的图像关于 y ? x 对称, 对称. 因此,即证 f ( x) ? f ( x) 2 y ?1 2x ?1 ? yx ? 2 y ? 2 x ? 1 ? x ? 证:y ? y?2 x?2 2x ?1 ?1 f ( x) ? ? f ( x) x?2 ?1 因此 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称. 证毕 ax ? 2 例 . 若函数 f ( x ) ? 的图象关于直线 x ?1 y ? x 对称, 求实数 a 的值. a=1 反函数与原函数的奇偶性是否一致? 答:偶函数没有反函数; 奇函数不一定有反函数,若有,仍是奇函数。 ? x, y ? 证明:若y ? f ?x ?为奇函数,则y ? f ?x ?图像上任意一点 ?? x,? y ?也在y ? f ?x ?图像上。 关于原点的对称点 也在y ? f ?1 ?x ?图像上。 ? y ? f ?1 ?x ?图像也关于原点对称。 ? y, x ?关于原点的对称点 ?? y,? x ? ? y ? f ?1 ?x ?图像上图像上任意一点 思考 一个函数是否具有反函数与它的奇偶性有关吗? 与单调性有关吗? 请同学们研究如下问题: 1、如果一个函数是奇函数,是否一定存在反函数? 2、如果一个函数是偶函数,是否一定没有反函数? 3、如果一个函数是单调函数,是否一定有反函数? 4、如果一个函数不是单调函数,是否一定没有反函数? y ? f ?x ? a ?与y ? f ?1 ?x ? a ?互为反函数吗? 答:不是。 f ?1 ?x ? a ?的反函数是y ? f ?x ? ? a。 1 ? 2 x ,函数 y ? g ( x) 例:设函数 f ( x) ? x ?1 的图像与 f ?1 ( x ? 1) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (2) ? ………………( B) 2 ( D) ? 5 ( A) ? 1 ( B) ? 2 4 (C ) ? 5 小结: (1) 只有一一对应的函数才 有反函数。 (3)求反函数一定要写定义 域(原函数的值域)。 那么点 (y ,x )就在y ? f ? 1 ?x ? 图像上。 (2)单调函数一定有反函 数,有反函数的函数未 必单调。 (4)原函数与反函数图像 关于直线y ? x对称 ; 若点 (x , y )在y ? f ?x ? 图像上, 1 (5)原函数与反函数图像 的交点不一定在直线 y ? x上,例如:y ? (6)y ? f ? 1 ?x ? a ?的反函数不是y ? f ?x ? a ?. x 。 (7)偶函数没有反函数, 奇函数存在的反函数的 话,它的反函数也是奇 函数。 (9)解x涉及到开偶次根时,一 定要考虑取正根还是取 负根。 (10)求受限二次函数的反函 数需配方解出x。 (8)原函数与反函数单调 性一致。