如果说TREE函数是因为有限树之间的嵌入关系是well-quasi-ordering而成为有限值,那么SCG函数则是因为有限图之间的嵌入关系是well-quasi-ordering而成为有限值——前者是后者的一种特殊情况。SCG是subcubic graph的缩写,这个函数的完整定义如下:
在所有满足下面的三个条件的“图列”中,“图列”的最大长度记作SCG(n)。
所有图的所有顶点的度都不超过3任意正整数i,“图列”的第i项只有不超过i+n个顶点任意正整数i<j,“图列”的第i项不能嵌入第j项
图的嵌入关系又可以这么定义。如果图A通过有限次“把一条边分成两段,中间添加一个顶点”的操作,图B通过有限次“去掉一个度为0的顶点”和“去掉一条边”的操作,成为相同的图,那么图A就能嵌入图B。
因为有限图之间的嵌入关系是well-quasi-ordering,所以我们也可以作一个从有限图(每个顶点的度不超过3)到序数的对应,像前面tree函数中所作的那样。只不过复杂得多,所需的序数也大得多——大得连φ函数都无法表示(可以用ordinal collapsing function表示)。然后把这些大得连φ函数都无法表示的序数放到Hardy hierarchy里面,那就是SCG函数的增长率。
作为对比,SCG(3)>TREE(TREE(…TREE(TREE(3))…)),其中有TREE(3)个TREE。
(不写SCG(3)的近似表达式了,太复杂)
六、燃烧数(fusible number)
给你们足够过的能够燃烧的绳子,已知每根绳子烧完需要1分钟,但是绳子不均匀,所以你没有办法在绳子燃烧的中途判断时间。那么你将如何测量出45秒?
这个问题看似简单,其中蕴含的模型可不简单。把这个模型中的数学关系提炼出来,可以得到这样一个关系。假设S是用这些绳子能够测量的所有时间(分钟)组成的集合,那么
这样,开头的问题就很明显啦。S中先有0,然后取a=0、b=0就有1/2,最后取a=0、b=1/2就有3/4。
但是,其中蕴含的模型可不简单。你会发现,在0~1/2之间有一段空白,这段空白的时间用这些绳子是烧不出来的。换句话说,超过0的能烧出的最小数是1/2分钟。于是定义
也就是说,m(x)是超过x的能烧出的最小数与x的差