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什么是单位矩阵

在线性代数中,n阶单位矩阵,是一个
的方形矩阵,其主对角线元素为1,其余元素为0。单位矩阵以In表示;如果阶数可忽略,或可由前后文确定的话,也可简记为I。(在部分领域中,如量子力学,单位矩阵是以粗体字的1表示,否则无法与I作区别。)
一些数学书籍使用U和E(分别意为单位矩阵和基本矩阵),不过I更加普遍。

单位矩阵的性质

根据矩阵乘法的定义,单位矩阵In的重要性质为:
AIn=A且InB=B
特别是单位矩阵作为所有n阶矩阵的环的单位,以及作为由所有n阶可逆矩阵构成的一般线性群GL(n)的单位元(单位矩阵明显可逆,单位矩阵乘自己,仍是单位矩阵)。
这些n阶矩阵经常表示来自n维矢量空间自己的线性变换,In表示恒等函数,而不理会基。
单位矩阵中的第i列即为单位矢量ei。单位矢量同时也是单位矩阵的特征矢量,特征值皆为1,因此这是唯一的特征值,且具有重数n。由此可见,单位矩阵的行列式为1,且迹数为n。
有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵,写作:
In= diag(1,1,...,1)
也可以克罗内克尔δ记法写作:
(In)ij= δij

单位矩阵的证明[1]

单位矩阵E具有与数1类似的性质。
容易证明:
(3)AnEn=EnAn=An
(4)EE=E

参考文献

↑ 侯谦民,董汉芬.高职高专教材 高等数学 (下册)[M].湖北科学技术出版社,2006年01月第1版.
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