第十节 闭区间上连续函数的性质 数开启科学大门的钥匙学重点: 重点: 介值定理 一、最大值和最小值定理 定义: 定义: 对于在区间I上有定义的函数 f ( x), 如果有x0 ∈ I , 使得对于任一x ∈ I 都有 f ( x) ≤ f ( x0 ) ( f ( x) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间I上的最大(小)值. y = x2 例1 在(0,1)上, ymax = 1, ymin = 0; 例2 y = 1 + sin x , 在[0,2π]上, ymax = 2, ymin = 0; y = 2,在( ?∞ ,+∞ )上, ymax = ymin = 2. y = sgn x , 在( ?∞ ,+∞ )上, ymax = 1, ymin = ?1; 定理1( 有界性与最大值和最小值定理) 在闭区间上 定理1 有界性与最大值和最小值定理) 连续的函数一定界性且有最大值和最小值. 连续的函数一定界性且有最大值和最小值. y 若f(x)∈C[a , b], 则f(x)在[a , b]上有界; 且在[a , b]上存在 最大值与最小值 . o a y = f (x) ξ2 ξ1 b x 即?ξ1 ,ξ 2 ∈ [a , b], 对?x ∈ [a , b], 有f(ξ1 ) ≥ f ( x ), f (ξ 2 ) ≤ f ( x ). 注意: 若区间是开区间 定理不一定成立; 若区间是开区间, 注意:1.若区间是开区间 定理不一定成立 y y = f (x) o π 2 x 2.若区间内有间断点 定理不一定成立 若区间内有间断点, 定理不一定成立. 若区间内有间断点 y y = f (x) 1 o 1 2 x 二、介值定理 定义: 定义: 若f ( x0 ) = 0, 则x0称为函数 f ( x )的零点. 定理2 零点定理) 定理2(零点定理)设f (x) ∈ C[a, b], 且f (a ) ? f (b )