计算连续自然的乘积末尾连续0的个数,这种题型是小学奥数里很常见的,主要考察的是分解质因数。它有一个比较简便的计算公式,先简单分析一下,然后介绍一下它的变型题。
例题:计算210!的末尾连续0的个数(210!=210×209×...×2×1)。
它的公式是:5的倍数个数+25的倍数个数+125的倍数个数
5的倍数个数:210÷5=42
25的倍数个数:210÷25=8 (余数不考虑)
125的倍数个数:210÷125=1 (余数不考虑)
所以答案是42+8+1=51(个)
理解这个计算方法,需要弄清楚末尾的0是如何产生的。
分解质因数10=2×5可知末尾每个0至少需要一个2和一个5。这样问题转化成210!可以分解出多少个2和5。
明显2比5的个数要多很多,所以只需要看能分解出多少个5。只要是5的倍数都可以至少分解出一个5,即42个。由于25可以分解出两个5(其中一个5在上面计算过了),所以再加上8个。125能分解出三个5(其中两个5在上面计算过了),所以再加上1个。
这个问题的本质就是210!能分解出多少个5。那么会有一些类似的题,比如分解出多少个3,7等等。
例如:210! ÷ 6ⁿ的值是整数,那么n(正整数)的最大值可以取多少。
分解质因数6=2×3,易知如果结果是整数,那么210!至少要分解出n个2和n个3。
由于2明显比3多,问题的本质是210!可以分解出多少个3。根据上面的公式:
3的倍数个数:210÷3=70
9的倍数个数:210÷9=23(余数不考虑)
27的倍数个数:210÷27=7 (余数不考虑)
81的倍数个数:210÷81=2 (余数不考虑)
所以答案是70+23+7+2=102
上面的题都是明显能看出2比5,3个数多,但是如果不明显,就需要自己判断,例如:
A=5×10×15×20×...×45×50
B=7×14×21×28×...×42×49
问A×B的末尾有多少个连续的0。
A中5的个数:12个;2的个数:8个
B中5的个数:1个;2的个数:4个
由于2的个数少,根据2来判断:8+4=12,所以A×B的末尾有12个连续的0。
这个知识点的变化很多,有兴趣的可以试试下面的题:
①1×2×3×4...×(n-1)×n,这连续n个自然数的乘积末尾有50个连续的0,那么n最大是多少。
②设1×2×3×4...×1990×1991=21ⁿ×A,其中n和A都是正整数,那么n最大是多少。