第三节 格林公式及其应用 (Application of Green formula) 一 问题的提出 二 区域的连通性及分类 格林(Green) 三 格林(Green)公式 格林(Green) 四 格林(Green)公式的简单应用 五 曲线积分与路径的无关 六 二元函数的全微分求积 七 小结与思考判断题 一 问题的提出 在一元函数的微积分中我们通过 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 函数联系起来.在曲线积分中, 函数联系起来.在曲线积分中,我们是否 有相似的联系呢?下面的Green Green公式告诉 有相似的联系呢?下面的Green公式告诉 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 即二重积分与曲线积分的联系, 即二重积分与曲线积分的联系,这就是 我们所要讲授的Green公式. Green公式 我们所要讲授的Green公式. 二 区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲 为平面区域, 如果D 线所围成的部分都属于D, 则称D 线所围成的部分都属于D, 则称D为平面 单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域, 否则称为复连通区域. D D 单连通区域 复连通区域 设空间区域G, 如果G 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通 域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全 如果G 属于G的曲面, 则称G 属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区 域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 曲线L 曲线L的正向 L1 L1 D L2 D L2 L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边. 区域D总在他的左边. 三 格林公式) 定理1 定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围 成,函数 P ( x , y )及Q ( x , y ) 在 D 上具有一阶连 续偏导数, 续偏导数, 则有 Q P ∫∫ ( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D 的取正向的边界曲线, 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 公式(1)叫做格林公式. Green formula) (1)叫做格林公式 ( (1) 证明(1) 证明(1) y E y = 2 ( x) 若区域 D 既是 X 型 d 又是Y 型,即平行于 x = ψ 1 ( y ) 即平行于 坐标轴的直线和 L 至 A 多交于两点. 多交于两点. c o a D B x = ψ 2 ( y) Cy = 1 ( x ) x b D = {( x , y ) 1 ( x ) ≤ y ≤ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d } d ψ ( y ) Q Q ∫∫ x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) x dx D 2 1 = ∫c Q (ψ 2 ( y ), y )dy ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy y d d = ∫CBE Q( x , y )dy ∫CAE Q ( x , y )dy d = ∫CBE Q( x , y )dy + ∫EAC Q ( x , y )dy x =ψ1( y) E D x =ψ2 ( y) = ∫L Q ( x , y )dy c o C x 同理可证 P ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D y 两式相加得 Q P ∫∫ ( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D D2 L2 L D 证明(2) 证明(2) 若区域 D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是 X 型又是 L Y 型的区域 D1 , D2 , D3 . 3 3 D 1 L Q P Q P ∫∫ ( x y )dxdy = D +∫∫+ D ( x y )dxdy D D 1 2 3 Q P Q P Q P ∫∫ ( x y )dxdy + ∫∫ ( x y )dxdy + ∫∫ ( x y )dxdy D D D 1 2 3 = ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy 1 2 3 = ∫L Pdx + Qdy ( L1, L2 , L3对D来说为正方向 ) L3 D3 D2 L2 D1 L1 L 证明(3) 证明(3) 若区域不止由一条闭曲 线所围成. 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 构成. 由(2)知 知 Q P ∫∫ ( x y )dxdy D 2 G L3 E L2 B A L1 C F + = { ∫AB ∫L+ ∫BA ∫AFC ∫CE ∫L+ ∫EC ∫CGA } ( Pdx + Qdy ) + + + + 3 = ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy ) 2 3 1 = ∫L Pdx + Qdy 格林公式的实质: ( L1, L2 , L3对D来说为正方向 ) 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系 . 于 忆 式: 便 记 形 式 ∫∫ x ydxdy = ∫L Pdx + Qdy. D P Q 四 应用 1) 简化曲线积分 例 1 计算 ∫ AB y A D xdy ,其中曲 其中曲 o L B 线 AB 是半径为r 的圆在 第一象限部分. 第一象限部分 x 解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO 应用格林公式, 应用格林公式 P = 0, Q = x 有 ∫∫ dxdy = ∫ xdy L D = ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0, ∫BO xdy = 0, 1 2 ∴ ∫ xdy = ∫∫ dxdy = πr . AB 4 D 2)简化二重积分 y 例 2 计算 ∫∫ e D y2 dxdy ,其中 D 是 其中 1 B D A 以O ( 0,0), A(1,1), B ( 0,1) 为顶点 的三角形闭区域. 的三角形闭区域 o 1 x 解 令 P = 0, Q = xe y2 , Q P y2 =e , 则 x y 应用格林公式, 应用格林公式,有 ∫∫ e D y2 dxdy = y2 xe ∫ + BO OA + AB 1 0 y2 dy = ∫ xe OA dy = ∫ xe x2 dx 1 1 = (1 e ). 2 xdy ydx 为一条无重点, 例 3 计算 ∫ ,其中 L 为一条无重点, 2 2 L x + y 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方 向为逆时针方向. 向为逆时针方向. 解 记 L 所围成的闭区域为 D , x y , , Q= 2 令P = 2 2 2 x +y x +y y2 x2 Q P 2 2 . 则当 x + y ≠ 0 时, 有 = 2 = 2 2 x ( x + y ) y y (1) 当( 0, 0) D 时, L D xdy ydx =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y (2) 当( 0,0) ∈ D 时, o x 作位于 D 内圆周 l : x + y = r , 2 2 2 y L D1 所围成, 记 D1 由 L 和 l 所围成 应用格林公式,得 应用格林公式 得 o l r x xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 ∫l x 2 + y 2 = 0 xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2 =∫ 2π 2 0 y L D1 l o r x r cos 2 θ + r 2 sin 2 θ dθ 2 r = 2π . (其 中 l 的 方 向 取逆时针方向) (注意格林公式的条件) 注意格林公式的条件) 3)计算平面面积 Q P 格林公式: 格林公式 ∫∫ ( )dxdy = ∫L Pdx + Qdy y D x 取 P = y , Q = x , 得 2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy ydx D 闭区域 D 的面积 1 A = ∫L xdy ydx . 2 取 P = 0, Q = x , 得 取 P = y , Q = 0, 得 A = ∫L xdy A = ∫L ydx 例 4 计算抛物线( x + y ) 2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积. 围成的面积. 解 ONA 为直线 y = 0 . 曲线 AMO 由函数 M A(a,0) N y = ax x , x ∈ [0, a ]表示, 表示, 1 ∴ A = ∫ xdy ydx 2 L 1 1 = ∫ONA xdy ydx + ∫AMO xdy ydx 2 2 1 = ∫AMO xdy ydx 2 M A(a,0) N 1 0 a = ∫a x ( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4 五 曲线积分与路径的无关 如果在区域G内有 如果在区域 内有 y L 1 ∫L Pdx + Qdy 1 B L2 G = ∫ Pdx + Qdy L2 A o x G 与 径 关 称 线 分 则 曲 积 ∫L Pdx + Qdy在 内 路 无 , 否则与路径有关. 否则与路径有关. 曲线积分与路径无关的条件 定理2 定理2 是一个单连通域, 设开区域 G 是一个单连通域 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数, 内具有一阶连续偏导数, 则 曲 线 积 分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内 与 路 径 无 关 L 内任意闭曲线的曲线积分为零) (或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 P Q = 内恒成立. 要条件是 在G 内恒成立. y x 有关定理的说明: (1) (2) 是一个单连通域. 开区域G 是一个单连通域 函数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在G 内具 有一阶连续偏导数. 两条件缺一不可 六 二元函数的全微分求积 是一个单连通域, 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 G 内具有一阶连续偏导 数 , 则 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy 在 G 内为某一 函数 u( x , y ) 的全微分的充要条件是等式 定理3 定理3 P Q = y x 内恒成立. 在G 内恒成立. P Q 若 ≡ y x 则 y A( x0 , y0 ) B( x1 , y1 ) C ( x1 , y0 ) ∫ B ( x1 , y1 ) A ( x0 , y0 x1 0 Pdx + Qdy ) y1 0 o x = ∫x P ( x , y0 )dx + ∫y Q ( x1 , y )dy 或= ∫y Q( x0 , y)dy + ∫x P( x, y1 )dx 0 0 y1 x1 例 1 计算 ∫ ( x 2 + 2 xy )dx + ( x 2 + y 4 )dy . 其中 πx L 为由点O ( 0, 0) 到点 B (1, 1) 的曲线弧 y = sin . 2 L 解 P 2 = ( x + 2 xy ) = 2 x y y P Q = , Q 2 y x = ( x + y4 ) = 2 x x x 原积分与路径无关 故原式 = ∫ 1 0 23 x dx + ∫0 (1 + y )dy = . 15 2 1 4 例 2 设曲线积分 ∫ xy 2dx + y( x )dy 与路径无 具有连续的导数, 关, 其中 具有连续的导数 且( 0) = 0 , 计算 ∫ ( 1 ,1 ) ( 0,0) L xy 2dx + y( x )dy . 解 P ( x , y ) = xy 2 , Q ( x , y ) = y( x ), P = ( xy 2 ) = 2 xy , Q = [ y( x )] = y′( x ), y y x x P Q , 积分与路径无关 = y x 由 y′( x ) = 2 xy ( x ) = x 2 + c ( x ) = x 2 . 由(0) = 0 ,知c = 0 故 ∫( 0,0 ) 1 ( 1 ,1 ) xy 2dx + y( x )dy 1 1 = ∫0 0dx + ∫0 ydy = . 2 七 小结 1)连通区域的概念; 连通区域的概念; 2)二重积分与曲线积分的关系 Q P 格林公式; 格林公式 ∫∫ ( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy——格林公式; D 格林公式的应用. 3) 格林公式的应用. 4)与路径无关的四个等价命题 ) 在单连通开区域 D 上 P ( x , y ), Q ( x , y ) 具有 连续的一阶偏导数, 则以下四个命题成立. 连续的一阶偏导数 , 则以下四个命题成立 . (1) 在D内 L Pdx + Qdy与路径无关 ∫ (2) ∫ Pdx + Qdy = 0,闭曲线C D C (3) 在D内存在U( x, y)使du = Pdx + Qdy P Q (4) 在D内 , = y x