全是与坡度有关!
坡度 =Y 的改变X 的改变
我们可以求两点之间的平均坡度.
但我们怎样求在一点的坡度?
没有什么可以测量的!
但是,在导数里,我们可以用一个很小的差……
……然后把它缩小到零。
求个导数!
求函数y = f(x) 的导数,我们用坡度的公式:
坡度 =Y 的改变X 的改变=ΔyΔx
我们看到(如图):
x 从x变到x+Δx
y 从f(x)变到f(x+Δx)
按照这步骤去做:
代入这个坡度公式:ΔyΔx=f(x+Δx) − f(x)Δx尽量简化把Δx缩小到零。
像这样:
例子:函数f(x) = x2
我们知道f(x) = x2,也可以计算f(x+Δx):
开始:f(x+Δx) = (x+Δx)2
展开 (x + Δx)2:f(x+Δx) = x2+ 2x Δx + (Δx)2
坡度公式是:f(x+Δx) − f(x)Δx
代入f(x+Δx)和f(x):x2+ 2x Δx + (Δx)2− x2Δx
简化 (x2and −x2约去):2x Δx + (Δx)2Δx
再简化(除以Δx):= 2x + Δx
当Δx趋近 0时,我们得到:= 2x
结果:x2的导数是2x
我们写dx,而不写"Δx趋近 0",所以 "的导数" 通常是写成
x2= 2x
"x2的导数等于2x"
或"x2的ddx 等于2x"
x2= 2x的意思是什么?
意思是,对于函数 x2,在任何一点的坡度或 "变化率" 是2x。
所以当x=2,坡度是2x = 4,如图所示:
或当x=5,坡度是2x = 10,以此类推。
注意:f’(x) 也是 "的导数" 的另一个写法:
f’(x) = 2x
"f(x) 的导数等于 2x"
再来看一个例子。
例子:
x3是什么?
我们知道f(x) = x3,也可以计算f(x+Δx):
开始:f(x+Δx) = (x+Δx)3
展开 (x + Δx)3:f(x+Δx) = x3+ 3x2Δx + 3x (Δx)2+ (Δx)3
坡度公式:f(x+Δx) − f(x)Δx
代入f(x+Δx)和df(x):