第二章平面基本力系 平面汇交力系和平面力偶系是两种最简单、最基本的力系,是研究一切 复杂力系的基础。本章研究平面基本力系的合成与平衡问题。 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面力系中,各力作用于同一点的力系称为平面共点力系,共点力系是 汇交力系的特殊情形。设某刚体受一平面汇交力系作用,如图 2.1a 所示。 根据力的可传性定理,可将各力沿其作用线移至汇交点A,形成一等效的共 点力系,如图2.1b 所示。 为合成此力系,可根据力的平行四边形法则,逐步两两合成各力,最后 得到一个通过汇交点 。用此方法可求平面汇交力系的合力,但求解过程比较繁琐。 用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。任取一点a R1,再作力三角形合成 R2,最后合成F R2 ,如图2.1c 所示。多边形 abcde 称为 此平面汇交力系的力多边形,矢量 ae 称为力多边形的封闭边。封闭边矢量 ae 即表示此汇交力系的合力 ,合力的作用线仍通过原汇交点A,如图 2.1b 。以上求汇交力系合力的方法,称为力多边形法则。若任意改变各分力矢的作图顺序,可得到形状不同的力多边形,但其合 力矢的大小、指向均不变,如图2.1d 所示。 2.1结论:平面汇交力系可合成为一合力,合力的大小、方向由各分力矢的 矢量和所决定,合力的作用线通过汇交点。即有 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系的作用效果可以用其合力来代替,所以平面汇交力系平衡 的充分必要条件是:该力系的合力为零,即(2.2)从几何角度看,汇交力系平衡时力多边形中最后一力的终点应与第一力 的起点重合,此时力多边形自行封闭。所以,平面汇交力系平衡的充分必要 条件是:该力系的力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何条件。 用几何法求解平面汇交力系平衡问题举例如下。 例2.1 支架的横梁AB 与斜杆CD 彼此以铰链联接,并以铰链联接在铅 直墙壁上,如图2.2a 所示。已知AD=DB;杆DC 与水平线成45角,载荷 F=10kN,作用于B 处。设梁和杆的自重忽略不计,求铰链 处的约束反力和杆DC 所受的力。 解:选取横梁AB 为研究对象。横梁在 处受载荷F作用。结构中DC 为二力杆,它对横梁 ,其作用线平行于DC。铰链 ,其作用线可根据三力平衡汇交定理确定,即通过另两个力的交点E,如图2.2b 所示。 AB处于平衡状态,根据平面汇交力系平衡的几何条件,作用在AB 上的三个力应构成一个自行封闭的力三角形。先按照一定比例画出力矢ab 代表F,再由点b 作直线平行于F ,这两直线相交于点c,如图2.2c 所示。由力三角形abc 即可确定出F 在力三角形中,线段ac和bc 的长度分别表示力F 的大小,量出它们的长度,按比例换算可得:F =28.3kN。或者通过三角函数关系求得F 的大小。根据作用与反作用关系,作用于杆DC 互为反作用力。由此可知,杆DC 受压力作用,压力大小为F =28.3kN。由上例可以看出,用几何法求解平面汇交力系的合成与平衡问题简单明 了,对于三力平衡问题还可用三角函数关系求出其精确解。而对于多力平衡 问题,用几何法难以求出其精确解,累积误差较大;对空间问题,更是难以 作出力多边形。所以,在实际应用中多用解析法求解平面汇交力系的合成与 平衡问题。 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 力的投影及其求法若已知力F 的大小为F,它与x、y 轴的夹角分别为α (2.3)由上式可以看出,力在坐标轴上的投影是代数量。当力F 与坐标轴平行 (或重合)时,力在坐标轴上投影的绝对值等于力的大小,力的指向与坐标 轴正向一致时,投影为正,反之为负;当力与坐标轴垂直时,力在坐标轴上 的投影为零。力在坐标轴上的投影与力的大小和方向有关,而与力作用点或 作用线的位置无关。 若已知力 轴的夹角。必须指出,投影和分力是两个不同的概念。分力是矢量,投影是代数量; 分力与作用点的位置有关,而投影与作用点的位置无关;它们与原力的关系 分别遵循不同的规则,只有在直角坐标系中,分力的大小才与在同一坐标轴 上投影的绝对值相等。 合力投影定理设刚体受 两个汇交力的作用,用力的平行四边形法则可求出其合力F ,如图2.4a所示。在其作用面内任取直角坐标系Oxy,并将力F 分别向x轴投影,根据合矢量投影定理可得 构成的汇交力系的作用,由汇交力系的合成结果有 将上式分别向两个坐标轴上投影,可得图2.3 图2.4 iyny Ryix nx (2.5)上式说明,合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数 和,此即合力投影定理。 既然合力投影与分力投影之间的关系对于任意轴都成立,那么,在应用 合力投影定理时,应注意坐标轴的选择,尽可能使运算简便。也就是说,选 择投影轴时,应使尽可能多的力与投影轴垂直或平行。 平面汇交力系合成的解析法根据合力投影定理,分别求出合力在x、y 轴的投影F Rx Ry,由投影 与分力的关系可确定出合力沿x、y 轴方向的分力分别为F Rx Ry,由图2.5 可知,合力F iyix Ry Rx (2.6)合力的方向可由合力矢与x 轴的夹角α决定 ixiy Rx Ry tg(2.7) 平面汇交力系的平衡方程由上一节可知,平面汇交力系平衡的充分必要条件是:该力系的合力为 零。由式(2.6)可得 iyix iyix (2.8)即刚体在平面汇交力系作用下处于平衡状态时,各力在两个坐标轴上投 图2.5 影的代数和同时为零。这就是平面汇交力系平衡的解析条件,式(2.8)称 为平面汇交力系的平衡方程。 平面汇交力系有两个独立的平衡方程,能求解而且只能求解两个未知 量,它们可以是力的大小,也可以是力的方位,但一般不以力的指向作为未 知量,在力的指向不能预先判明时,可先任意假定,根据平衡方程进行计算, 若求出的力为正值,则表示所假定的指向与实际方向一致;若求出的力为负 值,则表示力的假定方向与实际指向相反。 例2.2 水平托架支承重量为W小型化工容器,如图2.6a 所示。已知托 架AD 处的约束反力。解:(1)取研究对象 为了求托架D、B 两处的约束反力,将容器与托 架一起取作研究对象,如图2.6b 所示。 (2)画出受力图 由于杆BC 为二力杆,它对托架的约束反力F 点,根据三力平衡汇交定理,D处的约束反力F 必通过O点。作出受力图如图2.6b 所示。由几何关系很容 易得到 (3)列平衡方程三力作用线汇交于 点,建立直角坐标系Dxy。根 据平衡条件有 sinsin coscos (4)解方程组求解以上方程组,并考虑到几何关系可得 图2.6 2.7a所示的压榨机构中,杆AB BC的长度相等,自重忽 略不计。A、B、C 处均为光滑铰链连接。已知活塞 上受到油缸内的总压力为F=3kN,h=200mm,l=1500mm。试求压块C 对工件与地面的压力,以 及杆AB 所受的压力。 解:分析 根据作用与反作用关系,压块对工件的压力与工件对压块的 约束反力F Cx 等值、反向。已知油缸的总压力作用在活塞上,因此要分别研 究活塞杆DB 和压块C,才能解决问题。 (1)选择活塞杆 DB 为研究对象 AB、BC均受压力。活塞 杆的受力如图2.7b 所示。按图示坐标系列出平衡方程如下 sinsin coscos BCBA BCBA kN35 11sin BCBA (2)再选压块 为研究对象其受力如图 2.7c 所示。由二力杆 BC 平衡可知BC CB CyCB CBCx kNkN ctg sin25 CBCy CB Cx 对工件和地面的压力与FCx Cy等值、反向。 所以,压块对工件和地面的压力分别为11.25kN、1.5kN,杆AB 所受压 力为11.35 kN。 例2.4 如图2.8a 所示,重为W=20kN 的物体,用钢丝绳挂在支架上, 钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上,杆AB BC铰接,并用铰链A、C 连接。如两杆和滑轮的自重不计,并忽略摩擦与滑轮的大小,试求平衡时杆AB BC所受的力。 解:(1)取研究对象 由于忽略各杆的自重,AB、BC 两杆均为二力杆。 假设杆 AB 受拉力,杆BC 承受压力,如图 2.8b 所示。为了求这两个未 知力,可通过求两杆对滑轮的约束反力来求解。因此,选择滑轮 (2)画受力图滑轮受到钢丝绳的拉力F =W)。此外杆AB BC对滑轮的约束反力为F BA BC。由于滑轮的大小可以忽略不计, 作用于滑轮上的力构成平面汇交力系,如图2.8c 所示。 (3)列平衡方程 选取坐标系Bxy 如图2.8c 所示。为避免解联立方程 组,坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向,这样,一个平衡方程 中只有一个未知量,即30sin 60 sin 30cos 60 cos 图2.8(4)解方程得 kNkN 32 27366 BCBA 所求结果中,F BC 为正值,表示力的实际方向与假设方向相同,即杆BC 受压。F BA 为负值,表示该力的实际方向与假设方向相反,即杆AB 也受压 力作用。 2.3 力对刚体的效应除移动效应外还有转动效应。力对刚体的移动效应可用力在坐标轴上的投影来度量。那么,力对刚体的转动效应与那些因素有关, 又如何度量呢? 如图2.9 所示,当用扳手拧紧螺母时,力 点的转动效应不仅与力 的增大而增强,可用Fh来度量。 此外,转动方向不同效应也不同。为了表示不同的转动方向,还应在乘积前 冠以适当的正负号。 在平面问题中,为了度量力使刚体绕某点(矩心O)的转动效应,将Fh 冠以适当正负号所得的物理量称为力F (2.9)力对点之矩是一个代数量,其正负规定为:力使物体绕矩心逆时针转向 时为正;反之为负。在国际单位制中,力矩的常用单位为牛顿米(Nm)、 牛顿毫米(Nmm)或千牛顿米(kNm)。 必须指出,求力矩时,矩心的位置可以任意选定。但对绕支点转动的物 图2.9 体,一般选择支点为矩心。 由力对点之矩的定义可知,力矩具有以下性质: 力作用点沿其作用线滑移时,力对点之矩不变。因为此时力的大小、方向未变,力臂长度也未变。 合力矩定理合力矩定理:平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩,等于所有 分力对同一点之矩的代数和。即 该定理不仅适用于平面汇交力系,而且对任何有合力的力系均成立。按合力的概念,合力矩定理不难理解。 1)直接根据定义式(2.9)求力矩。这种方法的关键是求力臂h的长度, 需要特别注意的是:力臂是矩心到力作用线之间的垂直距离。 2)应用合力矩定理求力矩。用定义计算力矩时,有时力臂长度的计算 比较繁琐,此时可将力分解为两个相互垂直的分力,分别求分力对矩心之矩, 然后利用合力矩定理求原力对矩心之矩。采用这种方法时,应选择力臂长度 容易确定的方向对原力进行分解,只有这样才能简化计算过程。 2.5如图 2.10a 所示,直齿圆柱齿轮的压力角α =20,法向压力 2.10解法一:用力对点之矩的定义求解 由图2.10a 可得 2820 cos 1060 cos 3910 281400 解法二:根据合力矩定理求解先将力F 如图2.10b所示。由于径向力F 由此可见,以上两种方法所得计算结果相同。2.4 平面力偶理论 力偶与力偶矩所谓力偶就是作用在同一物体上大小相等、方向相反、不共线的两个力 组成的特殊力系,记作(F,F´)。力偶中两个力作用线之间的垂直距离h 为力偶臂。构成力偶的两个力所在的平面称为力偶作用面。工程实际和日常生活中,司机用双手转动方向盘、钳工用双手转动丝锥 攻螺纹时,双手所施加的都是力偶。如图2.11 所示。 由于构成力偶的两个力不共线,所以不满足二力平衡条件。又构成力偶 的两个力在任意轴上投影的代数和为零,所以力偶也不能对物体产生移动效 应,只能对物体产生转动效应。而且力偶对物体的转动效应随力F 的大小和 力偶臂的增大而增强,因此,可用二者的乘积 冠以适当的正负号所得的物理量来度量力偶对物体的转动效应,称之为力偶矩,记作 (2.10)在平面力系中,力偶矩与力矩一样,也是代数量,用正负号表示力偶的 转向,其正负规定与力对点之矩的正负规定相同,即使物体逆时针转动规定 为正,顺时针转动规定为负。力偶矩单位与力矩单位相同,亦为牛顿米 (Nm)、牛顿毫米(Nmm)或千牛顿米(kNm)。 力偶对刚体的转动效应完全取决于力偶矩的大小和转向,而与力偶作用 位置无关。 力偶的性质根据力偶的概念可以证明力偶具有如下性质: 1)构成力偶的两个力在任意轴上投影的代数和为零,即力偶无合力。 也就是说:力偶既不能与一个力等效,也不能用一个力来平衡,力 偶只能用力偶来平衡。力和力偶是组成力系的两个基本要素。 2)力偶对作用面内任意一点之矩恒等于该力偶的力偶矩,而与矩心的 位置无关。 证明:如图2.12 所示。(F,F´)是一个力偶,其力偶臂为h,在其作用 面内任意取一点 作用线之间的距离为x。显然,力偶使物体绕 点的转动效应,可以用力偶中的两个力使物体绕O点转动效应 之和来度量,即 这表明,力偶对其作用面内任意一点之矩均等于其力偶矩,而与矩心的位置无关。 3)力偶对刚体的效应完全取决于力偶矩的大小和转向。所以力偶在其作 2.12图2.13 用面内可以任意搬移、旋转,不会改变它对刚体的效应。 4)在保持力偶矩大小和转向不变的情况下,可同时改变力偶中力的大小 和力偶臂的长短,不会改变它对刚体的效应。 以上力偶的性质仅适用于刚体,而不适用于变形体。 在平面力系中,由于力偶对刚体的转动效应完全取决于力偶矩的大小和 转向,所以,只有力偶矩才是力偶作用效应的唯一度量。因此,在表示力偶 时,没有必要表明力偶的具体位置以及组成力偶的力的大小、方向和力偶臂 的值,仅用一个带箭头的弧线来表示转向,并标出力偶矩的数值即可,如图 2.13 所示。 平面力偶系的合成与平衡条件设在同一个平面内有两个力偶(F ),它们的力偶臂分别为 ,如图2.14 所示。这两个力偶的矩分别为 ,现将它们进行合成。为此,在保持力偶矩不变的情况下,同时改变两个力偶中力的 大小和力偶臂的长短,使它们具有相同的臂长h,并将它们在其作用面内转 动、移动,使力的作用线重合,如图2.14b 所示。于是得到与原力偶等效的 两个新力偶(F 分别将作用在A、B两点的力合成得: 。于是F,F´构成了一个与原力偶系等效的合力偶(F,F´),如图2.14c 所示。