本文所论级数　⋅　⋅　⋅　+　+　⋅　⋅　⋅　+　+　=　∑　∞　−　n　n　n　u　u　u　u　2　1　1　(　0　>　n　u　)　(1)　均为正项级数。　1　19　世纪以前的有关工作　无穷级数的工作可以上溯到遥远的古希腊时代。公元前　5　世纪哲学家芝诺(Zeno)所提出　的四个悖论之一———阿基里斯追龟问题所带来的困惑说明,　希腊的哲学家们无法将无穷多个　线段之和与有限长度的线段联系起来,尽管后来亚里士多德(Aristotle,　前384-322)曾意识到　公比小于　1　的几何级数有和,阿基米德(Archimedes,　前287-212)在求抛物线弓形面积时利用　双归谬法证明了几何级数　⋅　⋅　⋅　+　+　+　+　3　2　4　1　4　1　4　1　1　∗　上海市重点学科建设项目　[作者简介]　汪晓勤,理学博士,华东师范大学数学系副教授。主要从事数学史研究。　1　的和为　3　4　,中世纪法国数学家奥雷姆(N.　Oresme,　1323~1382)以几何直观方法证明了级数　1+　⋅　⋅　⋅　+　+　+　4　3　2　2　4　2　3　2　2　的和为　2　以及调和级数的发散性,但只有到了　17、18　世纪,才产生了真正的无穷级数理论。　在这两个世纪,比利时数学家圣文森特(G.　W.　Leibniz,　1646~1716)利用无穷级数解决了芝诺　悖论,并指出一个无穷级数可以表示一个数;英国数学家格雷戈里(J.　Gregory,　1638~1675)　给出了“收敛”和“发散”两个术语;德国数学家莱布尼茨(G.　W.　Leibniz,　1646~1716)利　用无穷级数展开式研究了许多代数和超越函数;　雅各·　伯努利　(Jacob　Bernoulli,　1654~1705)　、　欧拉(L.　Euler,　1707~1783)等大数学家都在不考虑收敛性的情况下大量使用无穷级数。在　发表于　1689　年的关于无穷级数的一篇论文中,雅各·伯努利以一首诗表达他对无穷级数有和　的惊叹[3][4]　:　区区一个有限数,无穷级数囊中收。　巨大之魂何处寻?细小之中长居留。　有限不是等闲物,狭小范围岂可囿。　无穷大中识微细,人生快乐复何求。　广袤无边管中窥,物外神奇任我游!　尽管这个时期的数学家们不太关心级数的收敛性,但有关敛散性的判别法已经出现。英　国数学家马克劳林(C.　Maclaurin,