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初等数学O 集合论基础 第一节 集合及其基本运算、de Moivre公式

写在前面
初等数学这个系列是为高中升理工科的学生以及低年级新生准备的衔接内容,主要的目的是对进入大学前12年学过的数学知识(初等数学只涉及代数方面的)做一个系统性的抽象与公理化,使阅读者能够摆脱高中所习惯的比较具体的思维方式中拜托出来,逐步适应更加系统化、公理化的数学叙述模式,或者说,高等数学的叙述模式。当然,对竞赛感兴趣或者对更严谨的叙述方式感兴趣的高中生也可以阅读这个系列。
初等数学这个系列文章的逻辑顺序是第O部分介绍集合论基础、然后按照自然数、整数、有理数、实数、复数的顺序介绍进入大学前12年学过的“数”,但这个系列会从公理化的角度对这些数系进行严谨地定义。介绍完数之后会介绍一些高中阶段学过地基本结构,主要是多项式、数列、函数、不等式这四种。目标是希望在阅读完这个系列的文章后,读者可以更容易理解高等数学、线性代数、离散数学等理工科基础数学。
这一讲我们简单回顾一下集合及其基本运算。集合就是由一个或多个确定的元素所构成的整体,这些元素满足确定性、互异性、无序性。下面列出这个系列文章将使用的元素与集合、集合与集合的关系、逻辑关系符号:
∈ \in∈:属于∉ \notin∈/:不属于⊆ \subseteq⊆:包含于⫋ \varsubsetneqq:前者是后者的真子集= ==:相等∀ \forall∀:任意∃ \exists∃:存在∃ ! \exists !∃!:存在唯一⇒ \Rightarrow⇒:前者推出后者⇔ \Leftrightarrow⇔:前者与后者等价
评注0.1大写字母表示集合,小写字母表示元素