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感谢@汤家凤 老师,给我上了一堂生动的课,特此总结一下,怕自己忘了。总共有四大工具:
1.不定积分的两大基本性质(加减、提取常数)
2. 不定积分基本公式
2.1基本公式
2.2第一类换元积分法公式,主要是平方和、平方差形式的公式
=
2.3第二类换元积分法公式,主要解决平方和、平方差公式以及根号
(直角三角形斜边最大,所以不用加绝对值)
(直角三角形两直角边不确定谁大,要加绝对值)
3. 积分方法:
3.1 换元法
3.1.1 第一类换元积分法(凑微分)
裂项法快速求解建议看这个:
例题:
=
3.1.2 第二类换元法(带根号无理变有理、平方和、平方差带根号,三角换元)
第二类换元积分法令
,积分完成后,
代回去
例题:
,令
,
,令
第二类换元积分法在遇到平方和差时候换元(替换的时候,遇到
的情况记得画辅助三角形,
里去不去绝对值要看两边哪个大)
例题:尝试推导2.3的公式。
3.1.3第一、二类换元方法结合
例题:
解答:
设
则
则原式
设
3.2 分部法
分布积分法的本质其实是乘法的反求导,大约有六种形式。
(1)
(
到后面)
例题:
(2)
(
到后面)
例题:
(3)
(三角函数到后面去)
(如遇二次,半角公式化为一次。如果遇到三次,则先凑微分再用分部积分。)
(必须为偶次)
例题:
(4)
(幂函数到后面去,n可以等于0)
例题:
(5)
,设
例题:
注意这里的
千万不能漏了
当n=1时
例题:
3.3构造结合法
对某些积分
难以处理时,有时构造
然后把二者相加相减得到等式
和
,如果这两个积分容易求出结果,则可以列方程组解决。
例:
构造一个函数
则
以上两式相加得到:
对某些积分
难以处理时,有时通过变形将
变为另一种形式
然后把二者结合到一起
如果