【北师大教材选修4-4\(P_{_{25}}\) 复习题一\(A\) 组第7题】求曲线\(\rho=\sin\theta\) 和\(\rho\sin\theta=\cfrac{1}{4}\) 的交点坐标。
法1:将两个曲线转化为直角坐标方程,再求解直角坐标系下的交点坐标,最后转化为极坐标。\((\cfrac{1}{2},\cfrac{\pi}{6})\),\((\cfrac{1}{2},\cfrac{5\pi}{6})\);
法2:联立两个曲线,得到\(\left\{\begin{array}{l}{\rho=\sin\theta\quad ①}\\{\rho\sin\theta=\cfrac{1}{4}\quad ②}\end{array}\right.\)
① 代入 ② ,得到\(\sin^2\theta=\cfrac{1}{4}\),故\(\sin\theta=\pm\cfrac{1}{2}\), 由于\(\theta\in [0,\pi)\),
故得到 $\sin\theta=\cfrac{1}{2}$,解得\(\theta=\cfrac{\pi}{6}\) , 或\(\theta=\cfrac{5\pi}{6}\) ,
代入 ① 式得到,\(\rho=\cfrac{1}{2}\),
故交点为\((\cfrac{1}{2},\cfrac{\pi}{6})\),\((\cfrac{1}{2},\cfrac{5\pi}{6})\);

求公共弦困惑

圆\(\rho=r\) 与圆\(\rho=-2r\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})(r>0)\) 的公共弦所在直线的方程为 【$\quad $】
$A.2\rho(\sin\theta+\cos\theta)=r$
$B.2\rho(\sin\theta+\cos\theta)=-r$
$C.\sqrt{2}\rho(\sin\theta+\cos\theta)=r$
$D.\sqrt{2}\rho(\sin\theta+\cos\theta)=-r$
思路一:将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程,在直角坐标系下思考运算;
给\(\rho=r\)两边同时平方,得到圆\(\rho=r\)的直角坐标方程为:\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)①,
给\(\rho=-2r\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\)的两边同时乘以\(\rho\),
整理得到圆\(\rho=-2r\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\)的直角坐标方程为\(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(+\)\(\sqrt{2}rx\)\(+\)\(\sqrt{2}ry\)\(=0\)②,
由于\(r>0\),两边同时除以\(r\),得到\(\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=-r\),
转化为极坐标方程即\(\sqrt{2}\rho(\sin\theta+\cos\theta)=-r\),故选\(D\).
思路二[困惑]:在极坐标下思考运算,却感觉出现了很大的问题;
\(\rho=r\)①,\(\rho=-2r\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\)②,
两式相减,得到\(r=-2r\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\),
由于\(r>0\),两边同除以\(r\),得到\(1=-2\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\),
即\(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})=-\cfrac{1}{2}\),
解得,\(\theta=\cfrac{11\pi}{12}\),
解惑反思:反观整个求解过程中使用的变形正确,运算正确,而结果离题太远,这说明我们在极坐标系下,不能进行这样的运算,其算理是错误的;也再次说明,许多涉及到极坐标的问题,转化为直角坐标系下进行运算的思路是正确的。