第十二讲向量组的最大线性无关组 一、考试内容与考试要求 考试内容 向量组的最大线性无关组;等价向量组;向量组的秩;向量组的秩与矩阵的秩之间的关 系;向量的内积;向量空间及其相关概念;n 维向量空间的基变换和坐标变换;过渡矩阵; 规范正交基. 考试要求 (1)理解向量组的最大线性无关组的概念,会求向量组的最大线性无关组; (2)理解向量组的秩的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系,会 求向量组的秩; (3)理解向量组等价的概念; (4)了解内积的概念,了解规范正交基; (5)了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念; (6)了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵. 二、知识要点引入 当方程组Ax )有无穷解时,可以用有限个解表示出来,这有限个解就是解集的基础解系,一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组. 向量组的秩:是这有限个解的个数,也就是最大无关组中向量的个数,或基础解系中解 向量的个数. 复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。 线性表示: 不全为零;线性无关: 线性相关:Ax=o有非零解1.定义 定义1 设有向量组(I): 线性无关;(2)向量组(I)中任意 个向量(若有的话)都线性相关.称向量组T 是向量组(I)的一个最大线性无关向量组(也称最大无关组或极大线性无关向 量组).最大无关组所含向量的个数r 称为向量组的秩,记作R或 定义1有等价的描述形式如下: 定义1 设有向量组(I): 线性无关;(2)向量组(I)中任一向量都能由向量组T 线性表示; 称向量组T 是向量组(I)的一个最大线性无关向量组. 证明 由定义1 证明定义1 可由所在的向量组线性表示,如 的线性无关性及向量组(I)中任意 都线性相关性,知可由 线性表示.由定义1 证明定义1 自己证明. 2.注意 (1)向量组最大无关组一般不惟一;(2)最大无关组中所含向量个数相同,即向量组的秩惟一; (3)若向量组线性无关,它的最大无关组是惟一的,就是它本身; (4)判断向量组的线性相关与线性无关性的方法: 线性无关:Ax=o有唯一零解线性相关:Ax=o有非零解 (5)矩阵的等价与向量组的等价有区别:两个矩阵的等价是它们同型且秩相等.而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示.但应注意,若矩阵 的行(或列)向量组等价。3.性质 (1)单位坐标向量组 的一个最大无关组;证明 的最大无关组.(2)向量组(I)与它的最大无关组T 是等价的; 证明 由定义知向量组(I)中每个向量可由T线性表示. 再证明向量组T 中每个向量可由(I)线性表示.由于T 中每个向量可由T 线性表示, ,向量组T中每个向量可由(I)线性表示. (3)同一向量组的任意两个最大无关组是等价的; 是向量组T的两个最大无关组, ,故由等价的对称性和传递性,有(4)两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同;证明 设向量组(I): (5)等价的向量组具有相同的秩;证明 设向量组(I)有一最大无关组 (II).由性质(2)知(I) (传递性).由性质(3)知 ,所以R(I)=R(II)(最大无关组定义). (6)矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩. 证明 中有一r阶子式 式均为零.由本节的复习知, 所在的r列线性无关(添分量仍无关); 再证明A 的任意 列向量线性相关.反证法,假使A中有 阶子式不为零(见复习),又由A中所有 阶子式均为零,矛盾,假使不成立.三、基础及综合训练 例12.1 判断向量组 组线性相关.例12.2 线性无关.例12. (0,0,0);(B)(b,1,1), (1,1,1,a),(2,2,2,b),(0,0,0,c).解(C)正确。因为(A)中有零向量,必线性相关;(B)中有4 维向量,必线性相关;对(C)中向量,有 中有一个3阶子式 ,从而向量组线性无关;对(D)中向量,有 ,从而向量组线性相关.例12.4 求向量组 12.5设向量组(II): 线性表示,且它们的秩相等,求证向量组(I)与向量组(II)等价. 由第十讲的注意2中的(2),知向量组(I)与向量组(II)等价. 线性无关,则n维列向量 线性表示(B)向量组 线性表示(C)向量组 等价(D)矩阵 等价(D)正确。(A),(B),(C)均不是 线性无关,但(A),(B),(C)均不成立.例12.7 (数二,00,7 分)已知向量组 的对应坐标不成比例,故线性无关,是向量组 的一个最大无关组;由于 线性表示,所以 (12.2)联立(12.1)、(12.2)式得 例12.8(数三,97,3分)设向量组 两种技巧相结合来求解. 对于(A), 所以(A)、(B)均线性相关.对于(C)简单加减得不到0 ,没法直接观察.而 所以(C)组线性无关.12.9 为满足的任意两个非零矩阵则必有 的列向量组线性相关 的行向量组线性相关 的列向量组线性相关 的列向量组线性相关 的行向量组线性相关 的行向量组线性相关 的行向量组线性相关 的列向量组线性相关 的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.例12.10(数三,99,3 分)设向量 可由向量组 ,否则与不能由 可由(I)线性表示,即存在 线性表示,矛盾,可排除(C).例12.11 (数二,02,3 分)设向量组 线性表示,而向量 线性表示,则对于任意常数k必有( 线性相关解(A)正确.由题意, 即对于任意常数k都有 线性无关.对于向量组 时,可证明它是线性无关的. 例12.12 已知向量组 的秩序为3,向量组 (III) 方法1只要证明向量组 线性无关.由于 (12.3)又设有一组数 线性无关,即它的秩为4.方法2 利用初等变换不改变矩阵的秩,直接计算. 由方法1 例12.13已知线性空间 APxAx 因为A为可逆矩阵,得( 已知向量11 例12.15(数三,02年,13分)设4维向量组 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 由于向量组所含向量的个数等于向量的维数,故可以各向量为列构成矩阵,然后通过矩阵的行列式为零时向量组线性相关求出常数a 线性相关.12 1010 方法2将构成的矩阵作初等交换化成阶梯形矩阵后求解。记 如果10, 线性无关.如果a= 10, 线性相关.由于