本文对二项式定理常见的六种应用进行总结,希望对同学们的学习有所帮助.
一、求展开式中指定项
例1 (x-1x)8的展开式中,常数项为 .(用数字作答)
解:Tr+1=Cr8x8-r(-1x)r=(-1)rCr8x8-2r,
由题意知,8-2r=0,r=4,
即展开式的第5项为常数项,T5=C48=70.
评析:直接利用通项公式进行求解,令x的幂指数等于0即可.
例2 (|x|2+1|x|+2)5的展开式中整理后的常数项为 .
解:(|x|2+1|x|+2)5=(|x2|+|1x|)10
Tr+1=Cr10(|x2|)10-r(|1x|)r
=Cr10(12)10-r(|x|)10-2r
由题意知,(|x|2+1|x|)=0,r=5,
即展开式的第6项为常数项,
T6=C510(12)5=6322.
评析:多项展开式往往化归为二项展开式,再利用通项公式去求解.本题亦可把(|x|2+1|x|)看作一个整体,再利用二项式定理展开.
例3 (x+3x)12的展开式中,含x的正整数幂的项数共有 .
解:设展开式中第r+1项的幂为正整数,则
Tr+1=Cr12(x)12-r(3x)r=Cr12x12-r2+r3=Cr12x6-r6.
依题意,r是6的倍数,且0≤r≤12,所以r共有3个值.
即(x+3x)12的展开式中,含x的正整数幂的项数共有3个.
小结:在求展开式中某个指定项时,利用二项展开式的通项公式求解是常规办法.首先要知道指定项都有哪些特点,再根据题意具体求解.例如常数项就是x的指数为0,而有理项就是x的指数为整数.
二、求展开式中的系数或系数和
例4 (x-2y)10的展开式中x6y4项的系数是 .
解:Tr+1=Cr10x10-r(-2y)r
由题意知,10-r=6,r=4,
即展开式中x6y4项的系数为C410(2)4=840.
评析:注意区别某一项的系数和它的二项式系数.
例5 在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是 .
法一:由等比数列求和公式得:
原式=(1-x)5[1-(1-x)4]1-(1-x)
=(1-x)5-(1-x)9x.