曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 (1) 选择积分变量用直角坐标方程 用极坐标方程 ?转化 定积分 (2) 确定积分上下限定理 设 f(x,y)在曲线弧 L 的参数方程为?x??(t), ??y??(t), ?第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 L上有定义且连续(??t??)其中,且,?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数?Lf(x,y)ds???22f[?(t),?(t)]?(t)???(t)dt (???) 注意: 1.定积分的下限?一定要小于上限?; .2.f(x,y)中 x,y 不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y??(x)a?x?b. b2f[x,?(x)]???(x)dx.?Lf(x,y)ds?? ?a(2)L:x??(y)c?y?d.d?Lf(x,y)ds?cf[?(y),y]???(y)dy.2 例 1 解 求 I???L?x?acost,xyds,L:椭圆?(第?象限).?y?bsint, 22I??20acost?bsint(?asint)?(bcost)dt??ab?2sintcostasint?bcostdt02222?aba?b222?abudu22(令 u?.asint?bcost)2222?ab(a?ab?b)3(a?b) y?4x2 例 2 解 I?求 I??Lyds,2 其中 L:y?4x,从(1,2)到(1,?2)一段.2??2y2y1?()dy?0.2 例 3 解 求 I???xyzds,其中?:x?acos?,y?asin?,(0???2?)z?k?的一段.I? ??12??2?acos?sin??k?2a?kd?2202?kaa?k.22 例 4 求I??xds,2?x2?y2?z2?a2,其中?为圆周??x?y?z?0.解 由对称性, 知 ?x?2ds???yds?2??zds.2 故 I?1?3?(x?y?z)ds222 ?a2 3?ds??2?a33.(2?a??ds,球面大圆周长?) 对坐标的曲线积分的计算 设 P(x,y),Q(x,y)在曲线弧 L 上有定义且连 续,L 的参数方程为?x??(t),当参数 t 单调地由?变??y??(t), B, 一阶连到?时,点 M(x,y)从 L 的起点 A 沿 L 运动到终点?(t),?(t)在以?及?为端点的闭区间上具有 22 续导数,且??(t)???(t)?0,则曲线积分 ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy 存在, 且?P(x,y)dx?Q(x,y)dyL ???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt? 特殊情形 (1)L:y?y(x)x 起点为 a,终点为 b. 则? ?LPdx?Qdy???ba{P[x,y(x)]?Q[x,y(x)]y?(x)}dx.y 起点为 c,终点为d.(2)L:x?x(y)则 LPdx?Qdy?dc{P[x(y),y]x?(y)?Q[x(y),y]}dy. 例 5 计算 ?(2a?y)dx?xdy,其中 L 为摆线 x?a(t?sint), L y?a(1?cost)上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. ?a(t?sint)?asintdt 提示: (2a?y)dx?xdy?a(1?cost)?a(1?cost)dt ?atsintdt2 ?原式?a2?02πtsintdt ?a2??tcos 2t?sin2π?t0??2πa 例 6 计算 ??xyzdz,其中? 由平面 y = z 截球面 x?y?z?1 所得,222 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 提示: 因在 ? 上有 x2?2y2?1,故 x?cost ?:y?1 2sint(0?t?2π) z?1 2sint 原式 = 22?2π 0cos2tsin2tdt ??4?22?cos2220cost(1t)dt ?2??1?π?3?1?π???2π?22422?16 曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分 ??第一类( 对面积 ) ?第二类( 对坐标 ) ?转化 (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 ?第一类: 始终非负 ??第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 二重积分 对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面 ?:z?z(x,y),(x,y)?Dxy f (x, y, z) 在 ? 上连续, 则曲面积分 ??? 存在, 且有 ???f(x,y,z)dS 22?f(x,y,z)dS??Dxyf(x,y,z(x,y))1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy 例 7 计算??(x?y?z)ds ? 平面, 其中?为 y?z?5 被柱面 x 积分曲面 2?y2?25 所截得的部分. 解 ?:z?5?y , xy 投影域 :D?{(x,y)|x 22?y2?25} dS??z?x?z?ydxdy ? 故 2?0?(?1)dxdy?2dxdy,2??(x?y?z)ds ?2??(x?y?5?y)dxdy Dxy?2??(5?x)dxdyDxy ?2?2? 0d??(5?rcos?)rdr05?1252?. 对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号 例 8. 计算曲面积分 ???y?z?1 222?xyzdxdy,其中 ? 为球面 外侧在第一和第五卦限部分. 解: 把 ? 分为上下两部分 x??y?z?122 ?1:z??1?x2?y2 ?2:z?1?x?y22 (x,y)?Dxy ? ??x2?y2?1:??x?0,y?0 ???xyzdxdy???1xyzdxdy? ???2xyzdxdy 22 ?2xy?x?y dxdy??D xy ?2??D ? ?rsin?cos?xy21?r2rdrd??2 0sin2?d??10r31?rdr2 ?2 例 9 计算???(z2?x)dydz?zdxdyz?12(x22,其中Σ是旋转抛物面?y)介于平面z?0 及 z?2 之间的部分的下侧. ?? ?解 (z?x)dydz? 22???(z?x)cos?ds2??? ?(z?x)cos?cos? x 2dxdy 在曲面?上,有 cos?? ? ???? ??x?y(z?x)dydz?zdxdy22,cos???1?x?y22.??[(z?x)(?x)?z]dxdy1(x?y)?x]?(?x)?22421222???[x?(x?y)]dxdy2Dxy 2?21222??d??(rcos??r)rdr?8?.002Dxy????{[1(x?y)}dxdy22