(归纳假设),由此 推演出取时,此不等式成立。 例 求证: 证:(1)当时,左边=1,右边=2不等式显然成立。 (2)假设时,.则时, 左边 =. =. 时不等式也成立. 故原不等式成立。 2.10判别式法。 判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程,一元二次不等式,二次函数的根,函数解集的性质等特征来确定判别式所应满足的不等式,从而推出欲证的不等式的方程。 例设,求证:. 证:. . 因为 的系数为 , . 故原不等式成立。 2.11导数法 当属于某个区间,有,则单调递增;若,则单调递减.推广之,若证,只须证及即可. 例 证明不等 , 证明 设则故当时,递增;当递减. 则当时, 从而证得 故原不等式成立。 2.12利用幂级数展开式证明不等式 例当,证明. 证明:因,分别可写成幂级数展开式: = =,; =,. 则要证不等式左边的一般项为,右边的一般项为,因此当,.所以,. 故原不等式成立。 2.13向量法 利用向量的数量积及不等式关系 例 已知a、b、c 证明:设,,则.	. 故原不等式成立。 2.14利用定积分性质证明不等式 对可积函数,,若,则. 例 证明:. 证明 当时,,,则,因在(1,2)上均为连续函数。则在(1,2)均可导,由定积分性质可知 . 故原不等式成立。 3 利用函数的性质证明不等式 设,和为增函数,满足,,证明:,利用复合函数及其单调性质。 证明:因对于任意的,有,且,和均为增函数,所以有 . 即. 故原不等式成立。 4 利用柯西不等式证明 设均为实数,则,当且仅当时成立. 例15 若,求证. 证明: = 当时等号成立。 故原不等式成立。 5 利用均值不等式证明 均值不等式公式:①,(当且仅当时取“”); ②,(当且仅当时取“”)。 均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“(一正、二定,三相等)。 例已知a,b,c为不全相等的正数,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 分析:观察要证不等式的两端都是关于a,b,c的3次多项式,左侧6项,右侧6项,左和右积,具备均值不等式的特征证明 b2+c2≥2bc, a>0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 同理,b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又a,b,c不全相等, 上述三个不等式中等号不能同时成立,因此. 故原不等式成立。 例若,求证:. 证明: .又. . 当且仅当,即时等号成立. 故原不等式成立。 6 利用施瓦茨不等式证明 施瓦茨不等式:若和在上可积,则.例证明:若在上可积,则. 证明:根据施瓦茨不等式有: . 所以. 故原不等式成立。 7 利用中值定理法证明不等式 7.1 拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件: 在闭区间上连续(2)在开区间()内可导,则在()内至少存在一点,使得. 例 证明:,其中. 证明:设,显然在上满足拉格朗日中值定理的条件,且,故,使. 即而,故有. 即. 故原不等式成立。 7.2积分第一中值定理 若在上连续,则至少存在一点,使得 . 例 证明:. 证明:在上,,且函数不恒等于1和,所以有 . 故原不等式成立。 8 利用詹森不等式证明 詹森不等式:若为上凸函数,则对任意,有. 例 证明:不等式,其中,,,,由的一阶和二阶导数,可见,在时为严格凸函数,依詹森不等式有: . 从而 . . 即,又因,再两边同乘以次方得 . 所以. 故原不等式成立。 总之,不等式的证明方法有很多,我们应该在教学和学习中努力将这些好的方法发扬光大,使我们的教学和学习更加轻松。 致谢 踉踉跄跄地忙碌了两个多月,我的毕业设计课题将告一段落了。我从中明白了做每一件事,不必过于在乎最终的结果,可贵的是在做事过程中的收获。 毕业设计,也许是我大学生涯交上的最后一个作业。我想借此机会感谢四年来给我帮助的所有老师、同学、家人、亲戚,和你们之间的友谊是我人生的财富,是我生命中不可或缺的一部分。我的毕业指导老师莎仁格日勒老师,她以一位长辈的风范来容谅我的无知和冲动,给我不厌其烦的指导。在此,要特别向她道声谢谢。 大学生活即将过去,但我却能无悔地说:“我曾经来过。”大学四年,但它给我的影响却不能用时间来衡量,这四年来,我经历过的所有事,结交的所有人,都将是我以后生活中回味一辈子的宝贵精神财富,也是日后我为人处事的指南针。就要离开学校,走上工作岗位了,这将是我人生历程的又一个起点,在这里深深祝福大学里跟我风雨同舟的朋友们,祝你们幸福。也祝愿学校的每一位师长都幸福快乐。 参考文献 [1] 段志强. 一个不等式的妙用[J]. 数学通讯, 2004,(17). [2] 佟成军. 一个不等式的加强及证明[J]. 数学通讯, 2006,(07). [3] 曾峰. 一个不等式的证明及应用[J]. 中学课程辅导(初二版), 2005,(02). [4] 黄长风. 联想证明不等式[J]. 数学教学研究, 2005,(03). [5] 李歆. 不等式的几个推论及应用[J]. 中学生数学, 2005,(05). [6] 方辉. 浅谈哥西不等式的应用[J]. 黄山学院学报, 1997,(01). [7]高尚华.数学分析[J].高等教育出版社.2001,(6). 1