王戎七岁,尝与诸小儿游,看道边李子树多子折枝,诸儿竞走取之,唯戎不动。人问之,答说曰:“树在道边而多子,此必苦李。”取之信然。
——南朝·宋·刘义庆《世说新语·雅量》
这个王戎,就是大名鼎鼎的竹林七贤之一,就像人们常认为的那样,成功的人总是能发现其在幼小时所展示出的过人之处。王戎和他的小伙伴们都是利用了反证法,但其假设却相反。王戎的原假设是李子苦,而小伙伴们假设李子甜。王戎先反向假设李子是甜的,然后推理出李树在路边但却有很多的果子与常理不符,因此李子是苦的。而小伙伴们则是尝了以后发现李子是苦的,从而推翻原假设。两方的判断都有判断错误的可能,王戎可能出错的地方是那些李子确实是甜的,但那时的人都道德高尚,不吃嗟来之食;小伙伴们出错之处可能是恰巧摘了一颗苦李,而其它的李子都是甜的。因此这个故事也属于运用了带有概率的反证法。
运用反证法进行假设检验有一个重要的特征,即拒绝是有说服力的,这种说服力来自于上述的抽样结果不合理。如果结果不合理,则说明有足够的证据说明原假设是错误的,可以拒绝原假设,而接受备择假设;如果看不到明显的不合理,则表明没有足够的证据证明原假设是错误的,但也不能说原假设就一定成立,因为没有能够证明原假设成立的证据。因此费歇尔说:永远不要说接受原假设。
小概率事件原理
如何判断抽样结果是不是不合理呢?费歇尔老先生提出了p值这个概念,用来表示在原假设成立的条件下,抽样结果的不合理和更不合理的概率。他还给出了一个判决点,即0.05,费歇尔p值小于1/20就足以拒绝原假设了。
0.05是足够小的概率,一般认为,在一次抽样(试验)中,小概率事件几乎不可能发生,如果出现发生了,则说明事先的假设是错误的。但小概率事件并不是一定不会发生,当抽样次数足够多时,小概率事件是一定会发生的。这说明即使是一次抽样,小概率事件仍有可能发生,也就是说存在判断错误的可能性。
在标准的假设检验中,对判错的概率进行了定义,这就是α和β风险,后面详细介绍。
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