1 第三章 微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数. 但每一点 的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态, 要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新 的“桥梁” ”. 中值定理(mean value theorem) 化率, 指导数在某个区间内所具有的一些重要性质, 它们都与自变量区间内部的某个中间值有关. 2 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 小结 思考题 作业 Chauchy 中值定理 § §3.1 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 推广 \uf0ef \uf0ef\uf0ef \uf0ef\uf0fe \uf0fe\uf0ef \uf0ef\uf0ef \uf0ef\uf0fd \uf0fd\uf0fc \uf0fc泰勒公式(第三节) 3 本节的几个定理都来源于下面的明显的 AB在一条光滑的平面曲线段AB 上, ⌒ ⌒ 至少有 与连接此曲线两端点的弦 平行. 几何事实 : 一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于 于x 轴的切线 . 有水平的切线 0 ) ( \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 \uf078 \uf078 fABxyO) (x f y \uf03d \uf03d2\uf078 \uf0781\uf078 \uf078A BabC) ( ) ( b f a f \uf03d \uf03d微分中值定理 4 点击图片任意处播放\ 暂停 物理解释: : 变速直线运动在折返点处, 瞬时速度等于零. 几何解释: : a b1\uf078 \uf0782\uf078 \uf078 xyo) (x f y \uf03d \uf03d.,水平的在该点处的切线是 点上至少有一 在曲线弧CABC微分中值定理 5 Rolle 定理 : ) ( 满足 数 若函数 x f; ] , [ 上连续 间 在闭区间 b a (1) (2) ; ) , ( 内可导 间 在开区间 b a(3) ), ( ) ( b f a f \uf03d \uf03d罗尔 Rolle,( 法)1652-1719 , ) , ( \uf078 \uf078 内至少存在一点 间 则在开区间 b a 使得 . 0 ) ( \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 \uf078 \uf078 f如 如, 3 2 ) (2\uf02d \uf02d \uf02d \uf02d \uf03d \uf03d x x x f ). 1 )( 3 ( \uf02b \uf02b \uf02d \uf02d \uf03d \uf03d x x, ] 3 , 1 [ 上连续 在 在 \uf02d \uf02d , ) 3 , 1 ( 内可导 在 在 \uf02d \uf02d , 0 ) 3 ( ) 1 ( \uf03d \uf03d \uf03d \uf03d \uf02d \uf02d f f 且)) 3 , 1 ( 1 ( , 1 \uf02d \uf02d \uf0ce \uf0ce \uf03d \uf03d \uf078 \uf078 取 . 0 ) ( \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 \uf078 \uf078 f ), 1 ( 2 ) ( \uf02d \uf02d \uf03d \uf03d\uf0a2 \uf0a2 x x f一、罗尔(Rolle) 定理 微分中值定理 6 Fermat 引理 费马 Fermat,( 法) 1601-1665 有定义, 如果对 ), (0x U x\uf0ce \uf0ce \uf022 \uf022 有 有 ) ( ) (0x f x f \uf0a3 \uf0a3 )), ( ) ( (0x f x f \uf0b3 \uf0b3 或. 0 ) (0\uf03d \uf03d\uf0a2 \uf0a2 xf 那么 证 证 对于 ), (0 0x U x x \uf0ce \uf0ce \uf044 \uf044 \uf02b \uf02b 有 有 ) ( ) (0 0x f x x f \uf0a3 \uf0a3 \uf044 \uf044 \uf02b \uf02b0 \uf0a3 \uf0a3, 0 \uf03e \uf03e \uf044 \uf044x 若xx f x x f\uf044 \uf044\uf02d \uf02d \uf044 \uf044 \uf02b \uf02b ) ( ) (0 0, 0 \uf03c \uf03c \uf044 \uf044x 若; 0 \uf0a3 \uf0a3; 0 \uf0b3 \uf0b3) ( ) (0 0x f x x f \uf02d \uf02d \uf044 \uf044 \uf02b \uf02b \uf0dexx f x x f\uf044 \uf044\uf02d \uf02d \uf044 \uf044 \uf02b \uf02b ) ( ) (0 0内 内 的某邻域 在点 设函数 ) ( ) ( 0 0 x U x x f , ) ( 0 存在 且 且 x f \uf0a2 \uf0a2 微分中值定理 7 费马引理 有定义, 如果对 ), (0x U x\uf0ce \uf0ce \uf022 \uf022 有 有 ) ( ) (0x f x f \uf0a3 \uf0a3 )), ( ) ( (0x f x f \uf0b3 \uf0b3 或. 0 ) (0\uf03d \uf03d\uf0a2 \uf0a2 xf 那么 \uf02b \uf02b\uf0ae \uf044 \uf044 0limx\uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2\uf02b \uf02b) (0x f) ( ) (0 0x f x f\uf02b \uf02b \uf02d \uf02d\uf0a2 \uf0a2 \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2\uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 ) (0x f 由极限的保号性 , 0 \uf03e \uf03e \uf044 \uf044x 若xx f x x f\uf044 \uf044\uf02d \uf02d \uf044 \uf044 \uf02b \uf02b ) ( ) (0 0, 0 \uf0a3 \uf0a3, 0 \uf03c \uf03c \uf044 \uf044x 若. 0 \uf0b3 \uf0b3xx f x x f\uf044 \uf044\uf02d \uf02d \uf044 \uf044 \uf02b \uf02b ) ( ) (0 0\uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2\uf02d \uf02d) (0x f\uf02d \uf02d\uf0ae \uf044 \uf044 0limx\uf0de 函数的 驻点(Stationary point), 稳定点, 临界点(Critical point). . 0内 内 的某邻域 在点 设函数 ) ( ) ( 0 0 x U x x f , ) ( 0 存在 且 且 x f \uf0a2 \uf0a2 微分中值定理 8 证 证 . ) ( m M a \uf03d \uf03d 若. ] , [ ) ( m M b a x f 和最小值 有最大值 在. ) ( M x f \uf03d \uf03d 则 . 0 ) ( \uf03d \uf03d\uf0a2 \uf0a2 xf 得), , ( b a \uf0ce \uf0ce \uf078 \uf078 \uf022 \uf022 \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 ) ( \uf078 \uf078 f 都有Rolle 定理 : ) ( 满足 数 若函数 x f; ] , [ 上连续 间 在闭区间 b a (1) (2) ; ) , ( 内可导 间 在开区间 b a(3) ), ( ) ( b f a f \uf03d \uf03d , ) , ( \uf078 \uf078 内至少存在一点 间 则在开区间 b a使得 . 0 ) ( \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 \uf078 \uf078 f. 0微分中值定理 9 . ) ( m M b \uf0b9 \uf0b9 若), (a f M \uf0b9 \uf0b9 设, ) , ( \uf078 \uf078 内至少存在一点 则在 b a. ) ( M f \uf03d \uf03d \uf078 \uf078证 证 Rolle 定理 : ) ( 满足 数 若函数 x f; ] , [ 上连续 间 在闭区间 b a (1) (2) ; ) , ( 内可导 间 在开区间 b a(3) ), ( ) ( b f a f \uf03d \uf03d , ) , ( \uf078 \uf078 内至少存在一点 间 则在开区间 b a使得 . 0 ) ( \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 \uf078 \uf078 f所以最值不可能同时在端点取得. 使 使 ], , [ b a \uf0ce \uf0ce \uf022 \uf022 \uf078 \uf078 有 有 ), ( ) ( \uf078 \uf078 f x f \uf0a3 \uf0a3由 由Fermat 引理, . 0 ) ( \uf03d \uf03d\uf0a2 \uf0a2 \uf078 \uf078 f微分中值定理 xyoab) (x f y \uf03d. ] , [ ) ( m M b a x f 和最小值 有最大值 在 10 (1) 定理条件不全具备 , \uf0ee \uf0ee\uf0ed \uf0ed\uf0ec \uf0ec\uf03d \uf03d\uf03c \uf03c \uf0a3 \uf0a3\uf03d \uf03d1 , 01 0 ,) (xx xx f] 1 , 1 [ , | | ) ( \uf02d \uf02d \uf0ce \uf0ce \uf03d \uf03d x x x f注 注 微分中值定理 结论不一定成立 . Rolle 定理 : ) ( 满足 数 若函数 x f; ] , [ 上连续 间 在闭区间 b a (1) (2) ; ) , ( 内可导 间 在开区间 b a(3) ), ( ) ( b f a f \uf03d \uf03d , ) , ( \uf078 \uf078 内至少存在一点 间 则在开区间 b a使得 . 0 ) ( \uf03d \uf03d \uf0a2 \uf0a2 \uf078 \uf078 f1 xyO11 \uf02d \uf02dyx O1yx O] 1 , 0 [ , ) ( \uf0ce \uf0ce \uf03d \uf03d x x x f 11 (2) 定理条件只是充分的. . 本定理可推广为: : 在 在( a , b ) 内可导, , 且 \uf03d \uf03d\uf02b \uf02b \uf0ae) ( lim0x fa x) ( lim0x fb x \uf02d \uf02d \uf0ae则在( a , b ) 内至少存在一点 使 提示 \uf0ef \uf0ef\uf0ee \uf0ee\uf0ef \uf0ef\uf0ed \uf0ed\uf0ec \uf0ec\uf03d \uf03d ) (x F 设a x a f \uf03d \uf03d \uf02b \uf02b , ) 0 (b x a x f \uf03c \uf03c \uf03c \uf03c , ) (b x b f \uf03d \uf03d \uf02d \uf02d , ) 0 (证 F(x) 在[a,b]