谱论通过分析线性算子谱的性质来研究该算子的结构。例如,用简单算子重新构造该算子、研究算子不变子空间的性质、算子在一定范围的函数演算等。谱论是泛函分析的一个极为重要分支。对于有限维空间上的算子,其谱论就是研究对应矩阵的本征值、本征空间以及若尔当分解等性质。无限维空间上紧线性算子的谱理论有些类似于有限维情况。例如,紧算子的谱集是至多可数的且 0 是唯一可能的聚点。希尔伯特空间上的正规算子都有谱分解。微分算子的谱理论是谱理论的重要方面,在微分方程、量子力学等理论中有着广泛的应用。