根据求“单一量”的步骤的多少,归一问题可以分为一次归一问题,两次归一问题。根据球痴单一量之后,解题采用乘法还是除法,归一问题可以分为正归一问题,反归一问题。一次归一问题,用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”两次归一问题,用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”正归一问题:用等分除法求出“单一量”之后,再用乘法计算结果的归一问题。反归一问题:用等分除法求出“单一量”之后,再用除法计算结果的归一问题。解题关键:从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量),然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。
数量关系式:单一量×份数=总数量(正归一)总数量÷单一量=份数(反归一)
例一个织布工人,在七月份织布4774米,照这样计算,织布6930米,需要多少天?分析:必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量。6930÷(4774÷31)=45(天)
(3)归总问题:是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量(或单位数量的个数),通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。特点:两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着变化,不过变化的规律相反,和反比例算法彼此相通。
数量关系式:单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量单位数量×单位个数
÷另一个单位数量=另一个单位数量。
例修一条水渠,原计划每天修800米,6天修完。实际4天修完,每天修了多少米?
分析:因为要求出每天修的长度,就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量,再求总量,归总问题是先求出总量,再求单一量。800×6÷4=1200
(米)
(4)和差问题:已知大小两个数的和,以及他们的差,求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。解题关键:是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和),然后再求另一个数。解题规律:(和+差)÷2=大数大数-差=小数
(和-差)÷2=小数和-小数=大数
例某加工厂甲班和乙班共有工人94人,因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作,这时乙班比甲
班人数少12人,求原来甲班和乙班各有多少人?
分析:从乙班调46人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成2个乙班,即94-12,由
此得到现在的乙班是(94-12)÷2=41(人),乙班在调出46人之前应该为41+46=87(人),
甲班为94-87=7(人)
(5)和倍问题:已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。解题关键:找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数。求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少。根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。
解题规律:和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
分析:大货车比小货车的5倍还多7辆,这7辆也在总数115辆内,为了使总数与(5+1)倍对应,总车辆数应(115-7)辆。
列式为(115-7)÷(5+1)=18(辆),18×5+7=97(辆)
(6)差倍问题:已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。解题规律:两个数的差÷(倍数-1)=标准数标准数×倍数=另一个数。
例甲乙两根绳子,甲绳长63米,乙绳长29米,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?各减去多少米?分析:两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的3倍,实比乙绳多(3-1)
倍,以乙绳的长度为标准数。列式(63-29)÷(3-1)=17(米)乙绳剩下的长度,17×3=51
(米)甲绳剩下的长度,29-17=12(米)剪去的长度。
(7)行程问题:关于走路、行车等问题,一般都是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念,了解他们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律:同时同地相背而行:路程=速度和×时间。同时相向而行:相遇时间=速度和×时间
同时同向而行(速度慢的在前,快的在后):追及时间=路程速度差。同时同地同向而行(速度慢的在后,快的在前):路程=速度差×时间。
例甲在乙的后面28千米,两人同时同向而行,甲每小时行16千米,乙每小时行9千米,甲几小时追上乙?
分析:甲每小时比乙多行(16-9)千米,也就是甲每小时可以追近乙(16-9)千米,这是速度差。
已知甲在乙的后面28千米(追击路程),28千米里包含着几个(16-9)千米,也就是追击所需
要的时间。列式28÷(16-9)=4(小时)
(8)流水问题:一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型,它也
是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速:船在静水中航行的速度。水速:水流动的速度。顺水速度:船顺流航行的速度。逆水速度:船逆流航行的速度。顺速=船速+水速逆速=船速-水速
解题关键:因为顺流速度是船速与水速的和,逆流速度是船速与水速的差,所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。
解题规律:船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2流水速度=(顺流速度逆流速度)÷2路程=顺流速度×顺流航行所需时间路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行28千米,到乙地后,又逆水航行,回到甲地。逆水比顺水多行2小时,已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米?分析:此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间,或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度,因此不难算出逆水的速度,但顺水所用的时间,逆水所用的时间不知道,只知道顺水比逆水少用2小时,抓住这一点,就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间,这样就能算出甲乙两地
的路程。列式为284×2=20(千米)20×2=40(千米)40÷(4×2)=5(小时)28
×5=140(千米)。
(9)还原问题:已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。
解题关键:要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律:从最后结果出发,采用与原题中相反的运算(逆运算)方法,逐步推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算推导出原数。解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法,后算乘除法时别忘记写括号。
例某小学三年级四个班共有学生168人,如果四班调3人到三班,三班调6人到二班,二班调6人
到一班,一班调2人到四班,则四个班的人数相等,四个班原有学生多少人?
分析:当四个班人数相等时,应为168÷4,以四班为例,它调给三班3人,又从一班调入2人,
所以四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。四班原有人数列式为168÷4-2+3=43(人)
一班原有人数列式为168÷4-6+2=38(人);二班原有人数列式为168÷4-6+6=42(人)三班原
有人数列式为168÷4-3+6=45(人)。
(10)植树问题:这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题。
解题关键:解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。
解题规律:沿线段植树
棵树=段数+1棵树=总路程÷株距+1株距=总路程÷(棵树-1)总路程=株距×(棵树-1)沿周长植树
棵树=总路程÷株距株距=总路程÷棵树总路程=株距×棵树
例沿公路一旁埋电线杆301根,每相邻的两根的间距是50米。后来全部改装,只埋了201根。求改装后每相邻两根的间距。
分析:本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉一。列式为50×(301-1)÷(201-1)=75(米)
(11)盈亏问题:是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品,平均分配给一定数量的人,在两次分配中,一次有余,一次不足(或两次都有余),或两次都不足),已知所余和不足的数量,求物品适量和参加分配人数的问题,叫做盈亏问题。解题关键:盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差,再求两次分配中各次共分物品的差(也称总差额),用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而再求得物品数。解题规律:总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况:第一次多余,第二次不足,总差额=多余+不足第一次正好,第二次多余或不足,总差额=多余或不足第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余第一次不足,第二次也不足,总差额=大不足-小不足
例参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组10人,则多25支,如果小组有12人,色笔多余5支。求每人分得几支?共有多少支色铅笔?分析:每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人,比10人多2人,而色笔多出了(25-5)
=20支,2个人多出20支,一个人分得10支。列式为(25-5)÷(12-10)=10(支)10×
12+5=125(支)。