赵春雷常国庆让我们首先来回顾一下20 13年江苏高考第17 题:如图1, 在平面直角坐标系x O y 中, 点A ( 0 ,3), 直线Z : Y 一2x 一4 , 设圆C 的半径为1, 圆心在Z 上.( 1)若圆心C 也在直线了一z 一1上, 过点A作圆C 的切线, 求切线的方程;‘y皤r/。?7图1( 2)若圆C 上存在点M , 使M A = 2M O ,求圆心C 的横坐标盘的取值范围.解答省略.此题第( 2)小题中点M 的轨迹为圆, 并且此圆有一个名称, 叫做阿波罗尼斯圆. 如果能清楚这个阿波罗尼斯圆的概念, 此题就很容易转化为两个圆之间的位置关系: 两圆有公共点, 即两圆相交或相切( 包括内切和外切).但是阿波罗尼斯圆在课本上并没有给出明确的定义, 只有这样一道习题: 已知点M ( x , y )与两定点O ( 0 , o ), A ( 3, 0 )的距离之1比为÷, 那么点M 的坐标应满足什么关系?厶事实上, 阿波罗尼斯圆的定义如下: 在平面上给定两点A , B , 设点P 在同一平面上D ^且满足嚣一A , 当A > o且A ≠1时, 点P 的轨迹是一个圆.课本上虽然没有阿波罗尼斯圆的定义,但在高考中的考查却并非第一次. 如:1. ( 20 0 6 年四川卷)已知两定点A ( 一2,●_ 。 、i瞄险、 目_ - m !腑州。 U ilif. ,er酊ty‘L : lttnlnce匹《。 ?m n￡幻n万方数据O ), B ( 1, O ), 如果动点P 满足】 P A l= 2IP B l,则点P 的轨迹所包围的面积等于()A . 7 cB . 4 7 cC . 8 nD . 9 n2 . ( 2 0 0 8 年江苏卷)若A B = 2 , A C =√2B C , 则S △A B c的最大值是.既然阿波罗尼斯圆经常会在高考中考查到, 那么我们有必要对阿波罗尼斯圆的理解与解题运用再作一次深入的探究. 先仿照课本习题做一个练习:矽例1 已知点P ( z, y)与两定点A ( 一导,0 ), B ( 一5, 0 )的距离之比为导, 那么点P 的坐标应满足什么关系?解由题意侍两P A = 了3, 即嚣一吴,. 9 、 2,。l z 十i J十y 。所以专j矗衙一旦25, 整理得25T2+81+ 9 0 x + 2 5y 2 = 9 x 2 + 9 y 2 + 2 5× 9 + 9 0 x , 所以16 x 2+ 16 y 2= 16 × 9 , 即z 2+ ∥ 2= 9 .o这道题本质上就是阿波罗尼斯圆定义的一个直接运用. 反过来, 我们知晓了阿波罗尼斯圆的定义之后, 可以很方便地找到一些题目的解题方法.t例2 已知两定点A ( 一詈, o), B ( 一5,o ), 点P 在圆z2+ y2= 9上, 求嚣.解略.此题不过是已知阿波罗尼斯圆和两个定点, 然后求这个比值而已. 我们事先就应该知道这个比值是一个定值, 且是不为1的正数. 事实上, 只要给出其中一个定点的坐誓 标, 另一个定点的坐标就已经确足J.眵例3O ), 在直线O B 上, 存在定点A ( 不同于点已知圆O : x 2 + 2 2 = 9 , 点B ( 一5,B ), 满足对于圆0上任意一点P , 都有万P A —i3, 试求所有满足条件的点A 的坐标.