余数指整数除法中被除数未被除尽部分,且余数的取值范围为0到除数之间(不包括除数)的整数。例如:27除以6,商数为4,余数为3。一个数除以另一个数,要是比另一个数小的话,商为0,余数就是它自己。例如:1除以2,商数为0,余数为1;2除以3,商数为0,余数为2。在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。取余数运算:a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c。余数的计算公式:c = a -⌊ a/b⌋ * b其中,⌊ ⌋为向下取整运算符,向下取整运算称为Floor,用数学符号⌊ ⌋表示例:⌊ 3.476 ⌋=3,⌊6.7546⌋=6,⌊-3.14159⌋= -4如 7 mod 3 = 7-⌊7/3⌋*3=7-2*3=1余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):(1)余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值(适用于实数域);(2)被除数=除数×商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数;余数=被除数-除数×商。(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。(4)a与b的和除以c的余数(a、b两数除以c在没有余数的情况下除外),等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。例1:5120除以一个两位数得到的余数是64,求这个两位数。分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。5120-64=5056,5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到5056=64×79。由性质(1)知,除数应大于64,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。例2:被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。解:因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52,被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数,所以 除数×33+52=2058-除数,所以 除数=(2058-52)÷34=59,被除数=2058-59=1999。