版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。
版权
数学专栏收录该内容
2 篇文章0 订阅
订阅专栏
一、定义
设函数 f ( x ) f(x)f(x)在区间 [ a , b ] [a,b][a,b]上连续,设 x xx为区间 [ a , b ] [a,b][a,b]上的一点,考察定积分
∫ a x f ( x ) d x = ∫ a x f ( t ) d t \int _a^xf(x)dx=\int _a^xf(t)dt∫axf(x)dx=∫axf(t)dt
如果上限 x xx在区间 [ a , b ] [a,b][a,b]上任意变动,则对于每一个取定的 x xx值,定积分 ∫ a x f ( t ) d t \int _a^xf(t)dt∫axf(t)dt都有一个对应值,所以它在区间 [ a , b ] [a,b][a,b]上定义了一个函数,记为
Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \Phi(x)=\int _a^xf(t)dtΦ(x)=∫axf(t)dt
该函数就是积分上限函数。
二、变限积分函数求导公式
如果函数 f ( x ) f(x)f(x)连续, ϕ ( x ) \phi(x)ϕ(x) 和 φ ( x ) \varphi(x)φ(x)可导,那么变限积分函数的求导公式可表示为
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) − f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x ) \Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x)Φ′(x)=dxd∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)−f[ϕ(x)]ϕ′(x)
[推导过程]
记函数 f ( x ) f(x)f(x)的原函数为 F ( x ) F(x)F(x),则有
F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)
或
∫ f ( x