为了说明NPC问题,我们先引入一个概念——约化(Reducibility,有的资料上叫“归约”)。
简单地说,一个问题A可以约化为问题B的含义即是,可以用问题B的解法解决问题A,或者说,问题A可以“变成”问题B。《算法导论》上举了这么一个例子。比如说,现在有两个问题:求解一个一元一次方程和求解一个一元二次方程。那么我们说,前者可以约化为后者,意即知道如何解一个一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我们可以写出两个程序分别对应两个问题,那么我们能找到一个“规则”,按照这个规则把解一元一次方程程序的输入数据变一下,用在解一元二次方程的程序上,两个程序总能得到一样的结果。这个规则即是:两个方程的对应项系数不变,一元二次方程的二次项系数为0。按照这个规则把前一个问题转换成后一个问题,两个问题就等价了。同样地,我们可以说,Hamilton回路可以约化为TSP问题(TravellingSalesmanProblem,旅行商问题):在Hamilton回路问题中,两点相连即这两点距离为0,两点不直接相连则令其距离为1,于是问题转化为在TSP问题中,是否存在一条长为0的路径。Hamilton回路存在当且仅当TSP问题中存在长为0的回路。