设 D ⊂ R 2 D \subset R^2D⊂R2为一区域,函数 f ( x , y ) ∈ C 2 ( D ) f(x,y)\in C^{2}(D)f(x,y)∈C2(D),且 ( x 0 , y 0 ) ∈ D , ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ D (x_0,y_0)\in D,(x_0+h,y_0+k) \in D(x0,y0)∈D,(x0+h,y0+k)∈D,则有二元函数带皮亚诺余项的泰勒公式
f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 + o ( ρ 2 ) f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2}+o(\rho^2)f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)+o(ρ2)
其中, ρ = h 2 + k 2 \rho=\sqrt{h^2+k^2}ρ=h2+k2

引理三:

(一元函数带拉格朗日余项的泰勒公式)设函数f(x)在包含点 x 0 x_0x0的区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则对任意 x ∈ ( a , b ) x\in(a,b)x∈(a,b)都有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + . . . + 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{''}(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!1f′′(x0)(x−x0)2+...+n!1f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中, R n ( x ) = 1 ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − x 0 ) ( n + 1 ) R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{(n+1)}Rn(x)=(n+1)!1f(n+1)(ξ)(x−x0)(n+1), ξ \xiξ在 x 0 x_0x0与 x xx之间

引理四:

(二元函数带拉格朗日余项的泰勒公式)设 D ⊂ R 3 D \subset R^3D⊂R3为一区域,函数 f ( x , y ) ∈ C 3 ( D ) f(x,y)\in C^{3}(D)f(x,y)∈C3(D),且 ( x 0 , y 0 ) ∈ D , ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ D (x_0,y_0)\in D,(x_0+h,y_0+k) \in D(x0,y0)∈D,(x0+h,y0+k)∈D,则有
f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!}f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)
+ h 3 f x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) 3 ! , θ ∈ ( 0 , 1 ) +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}{3!},\theta \in (0,1)+3!h3fxxx(x0+θh,y0+θk)+3h2kfxxy(x0+θh,y0+θk)+3hk2fxyy(x0+θh,y0+θk)+k3fyyy(x0+θh,y0+θk),θ∈(0,1)

命题

f x y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k f_{xy}(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0-h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk}fxy(x0,y0)=4hkf(x0+h,y0+k)−f(x0−h,y0+k)−f(x0+h,y0−k)+f(x0−h,y0−k)
证明:
由引理四得到
f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!}f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)
+ h 3 f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) 3 ! +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)}{3!}+3!h3fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+3h2kfxxy(x0+θ1h,y0+θ1k)+3hk2fxyy(x0+θ1h,y0+θ1k)+k3fyyy(x0+θ1h,y0+θ1k)
f ( x 0 − h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) − h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) − 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0-h,y_0+k)=f(x_0,y_0)-hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)-2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!}f(x0−h,y0+k)=f(x0,y0)−hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)−2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)
+ − h 3 f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + k 3 f y y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) 3 ! +\frac{-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+k^3f_{yyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)}{3!}+3!−h3fxxx(x0−θ2h,y0+θ2k)+3h2kfxxy(x0−θ2h,y0+θ2k)−3hk2fxyy(x0−θ2h,y0+θ2k)+k3fyyy(x0−θ2h,y0+θ2k)
f ( x 0 + h , y 0 − k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) − k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) − 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0-k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)-kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)-2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!}f(x0+h,y0−k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)−kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)−2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)
+ h 3 f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − k 3 f y y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) 3 ! +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-k^3f_{yyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)}{3!}+3!h3fxxx(x0+θ3h,y0−θ3k)−3h2kfxxy(x0+θ3h,y0−θ3k)+3hk2fxyy(x0+θ3h,y0−θ3k)−k3fyyy(x0+θ3h,y0−θ3k)
f ( x 0 − h , y 0 − k ) = f ( x 0 , y 0 ) − h f x ( x 0 , y 0 ) − k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0-h,y_0-k)=f(x_0,y_0)-hf_x(x_0,y_0)-kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!}f(x0−h,y0−k)=f(x0,y0)−hfx(x0,y0)−kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)
+ − h 3 f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − k 3 f y y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) 3 ! +\frac{-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-k^3f_{yyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)}{3!}+3!−h3fxxx(x0−θ4h,y0−θ4k)−3h2kfxxy(x0−θ4h,y0−θ4k)−3hk2fxyy(x0−θ4h,y0−θ4k)−k3fyyy(x0−θ4h,y0−θ4k)
所以,误差等于
f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k − f y x ( x 0 , y 0 ) \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)-f(x_0-h,y_0+k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk}-f_{yx}(x_0,y_0)4hkf(x0+h,y0+k)−f(x0+h,y0−k)−f(x0−h,y0+k)+f(x0−h,y0−k)−fyx(x0,y0)
= 1 24 h k ( ( h 3 f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) ) =\frac{1}{24hk}((h^3f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k))=24hk1((h3fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+3h2kfxxy(x0+θ1h,y0+θ1k)+3hk2fxyy(x0+θ1h,y0+θ1k)+k3fyyy(x0+θ1h,y0+θ1k))
− ( − h 3 f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + k 3 f y y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) ) -(-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+k^3f_{yyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k))−(−h3fxxx(x0−θ2h,y0+θ2k)+3h2kfxxy(x0−θ2h,y0+θ2k)−3hk2fxyy(x0−θ2h,y0+θ2k)+k3fyyy(x0−θ2h,y0+θ2k))
− ( h 3 f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − k 3 f y y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) ) -(h^3f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-k^3f_{yyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k))−(h3fxxx(x0+θ3h,y0−θ3k)−3h2kfxxy(x0+θ3h,y0−θ3k)+3hk2fxyy(x0+θ3h,y0−θ3k)−k3fyyy(x0+θ3h,y0−θ3k))
+ ( − h 3 f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − k 3 f y y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) ) ) +(-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-k^3f_{yyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)))+(−h3fxxx(x0−θ4h,y0−θ4k)−3h2kfxxy(x0−θ4h,y0−θ4k)−3hk2fxyy(x0−θ4h,y0−θ4k)−k3fyyy(x0−θ4h,y0−θ4k)))
将等式右边合并同类项按照 h 3 , h 2 k , h k 2 , k 3 h^3,h^2k,hk^2,k^3h3,h2k,hk2,k3分成四类考虑
含 h 3 h^3h3的几项为
h 3 24 h k ( f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) ) \frac{h^3}{24hk}(f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k))24hkh3(fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+fxxx(x0−θ2h,y0+θ2k)−fxxx(x0+θ3h,y0−θ3k)−fxxx(x0−θ4h,y0−θ4k))
设 G ( θ ) = f x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) , H ( θ ) = f x x x ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) G(\theta)=f_{xxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k),H(\theta)=f_{xxx}(x_0-\theta h,y_0+\theta k)G(θ)=fxxx(x0+θh,y0+θk),H(θ)=fxxx(x0−θh,y0+θk)
则上面几项可以化为 h 2 24 k ( ( G ( θ 1 ) − G ( − θ 4 ) + ( H ( θ 2 ) − H ( − θ 3 ) ) ) \frac{h^2}{24k}((G(\theta_1)-G(-\theta_4)+(H(\theta_2)-H(-\theta_3)))24kh2((G(θ1)−G(−θ4)+(H(θ2)−H(−θ3)))
= h 2 24 k ( ( θ 1 + θ 4 ) G ′ ( ξ 1 ) + ( θ 2 + θ 3 ) H ′ ( ξ 2 ) ) =\frac{h^2}{24k}((\theta_1+\theta_4)G^{'}(\xi_1)+(\theta_2+\theta_3)H^{'}(\xi_2))=24kh2((θ1+θ4)G′(ξ1)+(θ2+θ3)H′(ξ2))
而用链式法则对 G , H G,HG,H求导,得到
G ′ ( θ ) = h f x x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + k f x x x y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) G^{'}(\theta)=hf_{xxxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+kf_{xxxy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)G′(θ)=hfxxxx(x0+θh,y0+θk)+kfxxxy(x0+θh,y0+θk)
H ′ ( θ ) = − h f x x x x ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) + k f x x x y ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) H^{'}(\theta)=-hf_{xxxx}(x_0-\theta h,y_0+\theta k)+kf_{xxxy}(x_0-\theta h,y_0+\theta k)H′(θ)=−hfxxxx(x0−θh,y0+θk)+kfxxxy(x0−θh,y0+θk)
因此,原来几项可以化为
h 2 24 k ( ( θ 1 + θ 4 ) ( h f x x x x ( x 0 + ξ 1 h , y 0 + ξ 1 k ) + k f x x x y ( x 0 + ξ 1 h , y 0 + ξ 1 k ) ) \frac{h^2}{24k}((\theta_1+\theta_4)(hf_{xxxx}(x_0+\xi_1 h,y_0+\xi_1 k)+kf_{xxxy}(x_0+\xi_1 h,y_0+\xi_1 k))24kh2((θ1+θ4)(hfxxxx(x0+ξ1h,y0+ξ1k)+kfxxxy(x0+ξ1h,y0+ξ1k))
+ ( θ 2 + θ 3 ) ( − h f x x x x ( x 0 − ξ 2 h , y 0 + ξ 2 k ) + k f x x x y ( x 0 − ξ 2 h , y 0 + ξ 2 k ) ) ) +(\theta_2+\theta_3)(-hf_{xxxx}(x_0-\xi_2 h,y_0+\xi_2 k)+kf_{xxxy}(x_0-\xi_2 h,y_0+\xi_2 k)))+(θ2+θ3)(−hfxxxx(x0−ξ2h,y0+ξ2k)+kfxxxy(x0−ξ2h,y0+ξ2k)))
由于 θ 1 + θ 4 \theta_1+\theta_4θ1+θ4与 θ 2 + θ 3 \theta_2+\theta_3θ2+θ3一般不相等,所以无法用拉格朗日中值定理进一步化简
因此当 h , k h,kh,k大小接近的时候,若假设上面的四阶偏导数均有界,则有误差阶数为 O ( h 2 ) O(h^2)O(h2)
类似地对 h 2 k , h k 2 , k 3 h^2k,hk^2,k^3h2k,hk2,k3讨论,得到在h与k同阶的时候,误差阶数为 O ( h 2 ) O(h^2)O(h2)

数值实验

函数一

f ( x , y ) = x 2 s i n ( y ) + e x y 2 f(x,y)=x^2sin(y)+e^{xy^2}f(x,y)=x2sin(y)+exy2
f x ( x , y ) = 2 x s i n ( y ) + y 2 e x y 2 f_{x}(x,y)=2xsin(y)+y^2e^{xy^2}fx(x,y)=2xsin(y)+y2exy2
f y ( x , y ) = x 2 c o s ( y ) + 2 x y e x y 2 f_{y}(x,y)=x^2cos(y)+2xye^{xy^2}fy(x,y)=x2cos(y)+2xyexy2
f x y ( x , y ) = 2 x c o s ( y ) + 2 y e x y 2 + 2 x y 3 e x y 2 f_{xy}(x,y)=2xcos(y)+2ye^{xy^2}+2xy^3e^{xy^2}fxy(x,y)=2xcos(y)+2yexy2+2xy3exy2
import numpyas npdeff1(x,y):return x*x*np.sin(y)+np.exp(x*y*y)deff1xy(x,y):return2*x*np.cos(y)+2*y*np.exp(x*y*y)+2*x*y*y*y*np.exp(x*y*y) x=2.5 y=1.8 h=0.1 k=0.1print("(%.4f,%.4f)二阶混合偏导数真实值:%.10f"%(x,y,f2xy(x,y)))print("序号\th,k\t\t近似公式计算值\t\t误差\t\t误差衰减倍数")for iinrange(20): now=(f1(x+h,y+k)-f1(x-h,y+k)-f1(x+h,y-k)+f1(x-h,y-k))*0.25/h/kprint("%d\t%.7f\t%.10f\t%.10f"%(i+1,h,now,now-f1xy(x,y)),end='')if i>0:print("\t%.6f"%(las/(now-f1xy(x,y))))else:print() las=now-f1xy(x,y) h*=0.5 k*=0.5
(2.5000,1.8000)二阶混合偏导数真实值:2.6708851424
序号 h,k 近似公式计算值 误差 误差衰减倍数

函数二

f ( x , y ) = x 3 2 s i n ( x + y ) f(x,y)=x^{\frac{3}{2}}sin(x+y)f(x,y)=x23sin(x+y)
f x ( x , y ) = x 3 2 c o s ( x + y ) + 3 2 x 1 2 s i n ( x + y ) f_{x}(x,y)=x^{\frac{3}{2}}cos(x+y)+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}sin(x+y)fx(x,y)=x23cos(x+y)+23x21sin(x+y)
f y ( x , y ) = x 3 2 c o s ( x + y ) f_{y}(x,y)=x^{\frac{3}{2}}cos(x+y)fy(x,y)=x23cos(x+y)
f x y ( x , y ) = − x 3 2 s i n ( x + y ) + 3 2 x 1 2 c o s ( x + y ) f_{xy}(x,y)=-x^{\frac{3}{2}}sin(x+y)+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}cos(x+y)fxy(x,y)=−x23sin(x+y)+23x21cos(x+y)
import numpyas npdeff2(x,y):return x**1.5*np.sin(x+y)deff2xy(x,y):return1.5*(x**0.5)*np.cos(x+y)-x**1.5*np.sin(x+y) x=5 y=5 h=0.1 k=0.1print("(%.4f,%.4f)二阶混合偏导数真实值:%.10f"%(x,y,f2xy(x,y)))print("序号\th,k\t\t近似公式计算值\t\t误差\t\t误差衰减倍数")for iinrange(15): now=(f2(x+h,y+k)-f2(x-h,y+k)-f2(x+h,y-k)+f2(x-h,y-k))*0.25/h/kprint("%d\t%.7f\t%.10f\t%.10f"%(i+1,h,now,now-f2xy(x,y)),end='')if i>0:print("\t%.6f"%(las/(now-f2xy(x,y))))else:print() las=now-f2xy(x,y) h*=0.5 k*=0.5
(5.0000,5.0000)二阶混合偏导数真实值:3.2680094602
序号 h,k 近似公式计算值 误差 误差衰减倍数
由上面几个函数的例子可以看出,h和k减小为原来一半时,误差减小为原来的四分之一,因此验证了误差的阶数为平方级别

结论

对于足够光滑的函数 f ( x , y ) f(x,y)f(x,y),有二阶混合偏导数计算式:
f x y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k f_{xy}(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0-h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk}fxy(x0,y0)=4hkf(x0+h,y0+k)−f(x0−h,y0+k)−f(x0+h,y0−k)+f(x0−h,y0−k)
该计算式的误差阶上界数为二阶
由于作者水平有限,如果推导过程中有错误或考虑不周之处,还望不吝指正。
二阶混合偏导 文章目录二阶混合偏导wiki武汉大学同济大学总结偏导数是多元函数求导过程中的一个概念。 这里主要阐明一个事实:中国教材和外国教材在二阶混合偏导的记法上是有差别的。 外国: 先求导的变量写...
二阶混合偏导

文章目录

偏导数是多元函数求导过程中的一个概念。
这里主要阐明一个事实:中国教材和外国教材在二阶混合偏导的记法上是有差别的。
外国:
先求导的变量写在后面。
这种记法是国际上公认的记法,包括wiki.

wiki

wiki上关于二阶混合偏导的记法如下:
然而,我在同济大学《高等数学》第七版下册和武汉大学《高等数学》下册上看到的记法是相反的。

武汉大学

可见,先求导的变量写在前面。

同济大学

可见,先求导的变量写在前面。

总结

国际(wiki)上的二阶混合偏导,先求导的变量写在后面。
国内(至少是武大和同济),先求导的变量写在前面。
所以,对于这一点,我们一定要做到心里有数。
好在还有一个定理,让我们不必总是很忧虑。
即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
http://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368 ... 1. 一阶差分: ...2.二阶偏导数的推导和近似: 3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,
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zx2=diff(zx1,x) % 传说中的二阶偏导,连续两次对x result z = x^3*y^2 - 3*x*y^3 - x*y + 1 zx2 = 6*x*y^2 >> resource [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab [文档] ww2....
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