对于m个方程、n个未知数的齐次线性方程组,系数矩阵记为A,其秩记为r(A),齐次线性方程组总有零解,不存在无解的情况,且其有非零解的等价条件为,即系数矩阵中的列向量线性相关。而且齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是该线性方程组的解。证明如下:设是的两个不相等的解向量,即有:令,其中为任意实数,即称为的线性组合,且有:即可得,也是的解。把由齐次线性方程组的解所构成的集合称为解空间,它的维数为。 该解空间中的一组基就成为该线性方程组的一组基础解系。换句话说,基础解系是由个线性无关的解向量构成的,基础解系的解向量个数是确定的,但解向量是不确定的,只要两两之间线性无关即可。