1 初等理论推导法假定让一直流和一交流分别通过相同阻值的电阻 R ,经过相同的时间 T ( T 是这一交流的周期),直流所产生的热量为 Q 1 = I2 RT ,设在周期 T 内交流的平均功率为 P-,那么交流所产生的热量为 Q 2 = P-T .如果 Q 1 = Q 2 ,即I2 RT= P-T那么 I 就是交变电流的有效值,则有 I =P-R(1 )设交变电流 i = I m sin ωt 在周期 T 内的瞬时功率为P ,则P = i2 RT= I2m R sin2 ωt而sin2 ωt = 12-12cos2 ωt所以 P = 12I2m R -12I2m R cos2 ωt(2 )由式(2 )可知:交变电流的瞬时功率等于两项的和,第一项是不随时间变化的常量,第二项是按余弦规律变化的变量,第一项的平均值就是它本身,而第二项是一个余弦量,有时为正,有时为负,在一个周期内的平均值等于零 . 因此交变电流在一个周期内的平均功率是 P-= 12I2m R(3 )将式(3 )代入式( 1 ),得I =I m2再结合欧姆定律,就可以得到U = Um22 图像面积割补法当交变电压 u = U m sin ωt 对电阻 R 供电时,通过电阻 R 的电流为i = UmR sin ωt该交流电压做功的瞬时功率为P = ui = U2mRsin2 ωt而sin2 ωt = 121-cos2 ω ( ) t所以 P = U2m2 R1-cos2 ω ( ) t(4 )根据式(4 )可画出瞬时功率 P 与时间 t 的关系图线如图 1 所示 .图 1 瞬时功率 P 与时间 t 的关系曲线因为电功 W = Pt ,所以交变电流 i 在一个周期内对 R 所做的功为 P t 图线中曲线与 t 轴所围的面积W = U2m2 RT当直流电压 U 对电阻 R 供电时,在一个周期内对 R所做的功为W = U2R T则有U 2 m2 RT = U2R T即得U = Um2再结合欧姆定律,就可以得到I =I m2上述两种推导方法简单明了,帮助学生搞清了正弦交变电流有效值与最大值关系式的来源,进一步深化了有效值概念的理解 .—9 2 1—2018 年第 5 期 物理通报 短文荟萃