《黎曼猜想》系列旨在通过介绍理解黎曼猜想所需要的数学知识,来帮助广大读者最终理解黎曼猜想的意义和重要性。
我在上一期的黎曼猜想中,很不负责任地丢下了一个问题:
黎曼ζ函数实际的定义域有没有可能比“大于1的所有数”更大?
肯定的。要不然我花一期来举例子是为了什么。
话不多说,我们马上开始今天的探索。
首先呢,我们来定义一个新的函数,它与黎曼ζ函数有一点点不同:
式1
或者:
式2
它看起来比黎曼ζ函数更有希望能收敛,毕竟它一加一减的,奇数项和偶数项相互都抵消了一些。
事实上,我可以很负责任地告诉你,这个级数在s大于零的时候是收敛的。这比黎曼ζ函数看起来会好一些。也就是,如果我们能将这个函数和黎曼ζ函数联系起来,我们就有希望将黎曼ζ函数的定义域扩大到“大于0的所有数”。
怎么联系起来呢?
我们知道一个基本事实:
A-B+C-D+E-F+···=(A+B+C+D+E+F+···)-2(B+D+F+···)
因此我们可以将函数F(s)进行转化:
式3
发现没有?等号右边第一个括号里的不就是我们的黎曼ζ函数吗?
于是有:
式4
还剩下一个括号。注意到没有,括号里的项如果只看分母的底数,那么它们都是偶数。
偶数可以干什么?可以提一个2出来。
再根据我们的幂运算规则7——(ab)^n=a^n×b^n,于是有:
式5
每一项都有一个相同的乘数1/(2^s),把它提出来:
式6
诶,你看,这个括号里的不还是黎曼ζ函数吗?
于是有:
式7
再化简一下:
式8
把黎曼ζ函数单独提出来:
式9
把黎曼ζ函数单独放在等号右边:
式10
你看,我们把F(s)和黎曼ζ函数就这么神奇地给联系起来了。
有了式10,F(s)的定义域是“大于0的所有数”,那么我们把它和黎曼ζ函数联系起来,我们也就能求出黎曼ζ函数在0