这里的k不是算出来的啊!因为原式里面有一项是根号下(x-1),而1/(x+1)很容易就可以判别出他的收敛性.所以取了一个k=1/2,这里的k需要根据具体的题目具体来取的.至于你说的k的意义,这里可以看做是运用了比较审敛法,f(x)/[1/(x-a)^k],在k>=1,x无限趋近于a的时候,1/(x-a)^k的极限实际上是无穷的.所以f(x)是发散的,而k
1年前追问
ethan_gong
还是不太懂,要是k可以自己看着取,那这题如果我取k=1,极限=0,这时候k>=1了,我能就说这个积分发散了?这好像有点荒唐了,那岂不成了我想让他收敛就收敛,让他发散就发现了,题目不就没意义了
xianhaiping
首先我想问问你,你看的这部分是在哪一章出现的。是无穷积分还是瑕积分?
如果这本书只有广义积分,然后给你一个判别法,我只能说,这本书的严谨性缺失很大。
就这个题目来说,它是瑕积分,在x=1的这个点,f(x)存在断点。这本书只告诉你判别方法,但是没告诉你,对于M0,瑕积分判别法其实是有要求的。
这是瑕积分判别法的具体内容。
无论你取什么k值,M0=0的时候,说明的是f(x)与(x-a)^k是同敛态。就是说,M0=0的时候,(x-a)^k收敛,f(x)就收敛;(x-a)^k发散,f(x)就发散。
你举得例子,k=1,M0=0,这时候很明显x-1是收敛的,所以f(x)就是收敛的。
我的截图节选自华东师范大学的《数学分析》第三版瑕积分那一章,M0=0的情况证明比较复杂,我就不打上来了,如果你想知道原因,可以看看上面那本书。