首先由牛顿力学,首先我们可以得到,其中m为质量,g是重力加速度,l是摆长,θ是单摆与竖直方向的夹角,注意,θ是矢量,这里取它在正方向上的投影。我们希望得到摆角θ的关于时间的函数,来描述单摆运动。由角动量定理我们知道,其中 是单摆的转动惯量, 是角加速度。于是化简得到(1)我们知道(1)式是一个非线性微分方程。所以严格地说上面的(1)式描述的单摆的运动并不是简谐运动。不过,在θ比较小时,近似地有sin θ ≈ θ。(即 。)因而此时(1)式就变为 ,这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,其通解为 ,式中A. 为任意常数,由初值条件给定。于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动一般在高考之类的考试中,认为10°以下可以这样近似。事实上5°≈0.087266弧度,Sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一点几,是十分接近的。在低精度的实验中,这种系统误差可以忽略不计(因为实验操作中的偶然误差就比它大)。但如果换成25°,误差高达百分之三,就不宜再看成是简谐振动了。由于正弦函数的性质,这个近似是角度越小,越精确,角度越大越不精确。如果角度很大(比如60度处,误差高达17%),就完全不能说它是简谐振动了。伽利略第一个发现摆的振动的等时性,并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。惠更斯制成了第一个摆钟。单摆不仅是准确测定时间的仪器,也可用来测量重力加速度的变化。惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那,发现每天慢 2.5分钟,经过校准,回巴黎时又快 2.5分钟。惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。直到20世纪中叶,摆依然是重力测量的主要仪器。上面提到是角度比较小的时候单摆的近似公式,但科学是严谨的,在此补充在任意角度下单摆的周期公式。在此之前先提出两个概念(我用mathematica的定义):第一类不完全椭圆积分:第一类完全椭圆积分:下面我用微分方程进行讨论,读者可以尝试用动能定理进行计算,可以更简洁地得到其特解。设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,令 ,这是一个可分离变量的微分方程!分离变量:其通解为给定初始条件 (0≤α≤π), ,所以考虑t(t是四分之一周期):设 ,又考虑到便可以化简得到按照前面的定义,此处的α就是常说的摆角。直观差别图如右:利用电脑软件,我们列出近