一、实二次型的定义
先看一个实例:
例1:设有三维列向量
及三阶实对称矩阵
,计算
。
解:
结果是一个由未知量
组成的二次齐次多项式(因为每一项都是二次式),记成
,即
这样的三元二次齐次多项式,称为一个三元实二次型,引进更一般的n元实三次型的定义。
定义1.1:把含有n个未知量
的实系数二次齐次多项式。
称为一个n元实二次型(或n元二次型)。
令
,又
,
为n阶实对称矩阵。
则n元实二次型
由矩阵A的对称性可知:A中的对角元
恰是二次型
的平方项
的系数,而A中其它位置的元素
,恰是
中的交叉项
的系数的一半,于是n元实二次型
与n阶实对称矩阵A是一一对应的,即互相唯一确定,称A为二次型
的矩阵,称
是以A为矩阵的二次型,把A的秩也称为二次型
的秩。
由此可见,n元实二次型与n阶实对称矩阵之间有密切关系,于是可以用第五章中关于实对称矩阵的结论来讨论二次型。
例2:设二次型
,写出
的矩阵A。
解:由二次型各项系数直接写出对应的对称矩阵
例3:写出由对称矩阵
,确定的二次型
。
解:由A为4阶对称矩阵,对应4元二次型为:
二、二次型的标准形
为了对二次型进行深入的研究,需引入可逆线性变换的概念。
定义:把两组未知量
与
之间的关系式
,即
,即
,其中
称为由变量
到变量
的一个线性变换,矩阵C称为该线性变换的矩阵。当C为可逆矩阵时,称
为可逆线性变换;当C为正交矩阵时,称
为正交变换,显然正交变换必是可逆线性变换。
如果对二次型
进行可逆线性变换
,则
其中
,B仍为对称矩阵,从而
是以B为矩阵的二次型,又因为C可逆,则
。
上述讨论说明:二次型
经过可逆线性变换
,就得到以
为矩阵的二次型,并且两个二次型的秩相等。
先后这两个二次型的矩阵A与B的关系
,称为合同关系。一般地,有
定义1.2:设A、B为两个n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P,使得
,则称A与B合同,记为