解质点的径向速度为
,
横向速度为
.
质点的径向加速度为
,
横向加速度为
.
(在计算过程中用到了
为常量的条件。)
1-18质点沿任意曲线运动,t时刻质点的极坐标为
,
,试求此时刻质点的速度、加速度,并写出质点运动的轨道方程,式中a、b和c都是常量。
解t时刻质点的速度为
,
此时刻质点的加速度为
.
题目给出了轨道的参量方程,由参量方程消去参变量t,就可以得到质点运动的轨道方程。由轨道的参量方程的第二式得
,
将上式代入轨道的参量方程的第一式,得
,
这就是质点运动的轨道方程。
1-19质点沿半径为R的圆周运动,角速度为w=ct,其中c是常量。试在直角坐标系和平面极坐标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度的表达式。
解建立如图1-11所示的坐标系,直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合,并且就是质点运动所沿的圆周的圆心。显然直角坐标与极坐标有如下关系:
, (1)
图1-11
式中r=R,就是圆周的半径。相反的关系可以表示为
. (2)
设t= 0时,质点处于圆周与x轴的交点上。由题已知
,
所以
. (3)
将式(3)代入式(1),得
,
.
于是质点的位置矢量可以表示为
;
质点的运动速度可以表示为
;
质点的运动加速度可以表示为
在极坐标中质点的位置矢量可以表示为
;
质点的速度为
;
质点的加速度为
.
1-20质点按照s=bt-
的规律沿半径为R的圆周运动,其中s是质点运动的路程,b、c是大于零的常量,并且b2>cR。问当切向加速度与法向加速度大小相等时,质点运动了多少时间?
解质点运动的速率为
,
切向加速度为
,
切向加速度的大小可以写为at=c。法向加速度可以表示为
.
切向加速度与法向加速度大小相等,即
,
由此解得
.
讨论:因为
v=b-ct,
所以,当t= 0时,v=b,当t=b/c时,v= 0。