§10.3 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、格林公式 ?单连通与复连通区域 设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域? ?区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时? 如果左手在区域 D内? 则行走方向是L的正向? 单连通区域 复连通区域 下页 ?定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y) 在D上具有一阶连续偏导数? 则有 ?? (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx? Qdy ? ——格林公式 D 其中L是D的取正向的边界曲线? >>> 应注意的问题: 对复连通区域D? 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的 方向对区域D来说都是正向? 定理证明 下页 格林公式: ?? (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx ?Qdy ? D ?用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L? 则 A ? 1 2 ?L x dy? ydx ? 提示: 在格林公式中? 令P??y? Q?x? 则有 ?L? ydx? xdy? 2??dxdy ? 或 A ? ?? dxdy ? 1 2 ?L xdy? ydx ? D D 下页 格林公式: ?? (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx ?Qdy ? D ?用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L? 则 A ? 1 2 ?L x dy? ydx ? 例1 求椭圆x?acosq? y?bsinq 所围成图形的面积A? 解 设L是由椭圆曲线? 则 ?? ?? AA??11 xxddyy??yyddxx ??11 22??((aabbssinin22qq??aabbccooss22qq))ddqq 22 LL 22 00 ? ? 1 ab 2? dq ? ab? ? 20 下页 格林公式: ?? (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx ?Qdy ? D ?用格林公式计算二重积分 ?? 例 2 计算 e?y2dxdy ? 其中 D 是以 O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1) D 为顶点的三角形闭区域? 解 令 P?0? Q ? xe?y2 ? 则 ?Q ? ?P ?e?y2 ? ?x ?y 因此? 由格林公式有 提示: 要使 ?Q ? ?P ?e?y2 ? ?x ?y 只需 P?0? Q ? xe?y2 ? 下页 格林公式: ?? (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx ?Qdy ? D ?用格林公式计算二重积分 ?? 例 2 计算 e?y2dxdy ? 其中 D 是以 O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1) D 为顶点的三角形闭区域? 解 令 P?0? Q ? xe?y2 ? 则 ?Q ? ?P ?e?y2 ? ?x ?y 因此? 由格林公式有 ?? ? e?y2dxdy? xe?y2 dy D OA? AB?BO ? ? ? xe?y2 dy ? 1xe?x2 dx? 1 (1?e?1) ? 0 2 OA 下页 格林公式: ?? (?Q ?x ? ?P ?y )dxdy ? ?L Pdx ?Qdy ? D ?用格林公式求闭曲线积分 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明 ? 2xydx? x2dy ? 0 ? L 证 令P?2xy? Q?x2? 则 ?Q ?x ? ?P ?y ?2x ? 2x ?0 ? 因此? 由格林公式有 ?L2xydx? x2dy ????0dxdy?0 ? D 下页 ? 例 4 计算 L xdy? x2 ? ydx y2 ? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 解 记L所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得 ?L x dy? x2 ? ydx y2 ? 0 ? 提示: 这里 P ? ?y x2 ? y2 ? Q? x2 x ? y2 ? 当x2?y2?0时? 有 ?Q ?x ? y2 ? x2 (x2 ? y2)2 ? ?P ?y ? 下页 ? 例 4 计算 L xdy? x2 ? ydx y2 ? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 解 记L所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 在D内取一圆周l: x2?y2?r2(r>0)? 记L及l所围成的复连通区域为D1? 应用格林公式得 ? ?? L?l xdy? x2 ? ydx y2 ? (?Q ? ?P)dxdy ? 0 ? ?x ?y D1 其中l的方向取顺时针方向? 于是 ? ? ? L x dy? x2 ? ydx y2 ? l? xdy? ydx x2 ? y2 ? 2? 0 r2 cos2q ? r2 sin 2q r2 dq ?2?? ? dy? ydx x2 ? y2 ? 2? 0 r2 cos2q ? r2 sin 2q r2 dq ?2?? 二、平面上曲线积分与路径无关 ?曲线积分与路径无关 的条件 设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G内具有一阶 连续偏导数? 如果对于