按类型、方法、依据、步骤和例子的顺序总结) 一、 极限的求法 (按类型、方法、依据、步骤和例子的顺序总结) 1. 初等函数 (1)定式 ① 在有定义的点处 代入法 初等函数在定义区间上连续 观察和分析法 lim x →0 ex =1 x +1 ② 虽然无定义但可以判断出趋势的 x →1+ 图像或无穷小和无穷大的性质 lim ln(1 + x) = ∞ lim x sin x →0 0 ∞ (2)未定式 无定义又无法直接判断趋势的(一般表现为 型、 型、 0 ∞ 型、 0 ∞ ∞ ∞ 型、 1∞ 型、 ∞ 0 型、 00 型七种之一) ① 1 =0 x 0 型 有理分式或类似情况 0 初等方法 多项式因式分解理论 Ⅰ、因式分解 Ⅱ、 约去零因子 Ⅲ、 定式代数 x2 6 x + 8 ( x 2)( x 4) ( x 2) 2 lim 2 = lim = lim = x→4 x 5 x + 4 x → 4 ( x 1)( x 4) x → 4 ( x 1) 3 共轭因子理论 Ⅰ、分子(分母)有理化 Ⅱ、上面有 ② 0 型 无理分式 0 初等方法 理分式的方法 lim x →1 5x 4 x 4( x 1) 4 = lim = lim =2 x →1 ( x 1)( 5 x 4 + x 1 x ) x →1 5 x 4 + x 无穷大量分除法 无穷大和无穷小的关系 Ⅰ、分子 ③ ∞ 型 有理分式或类似情况 ∞ 分母同时除以最高次项 Ⅱ、定式观察结果 0 P ( x) a x + a x + + an a0 = lim 0 m 1 m 1 = (或者直接利用公式 lim n x →∞ Q ( x ) x →∞ b x + b x + + bm b0 m 0 1 ∞ n n 1 nm 2 1 3+ 2 + 3 3x3 + 2 x + 1 3 x x lim 3 = lim = 2 x →∞ 4 x + 5 x + 3 x + 7 x →∞ 5 3 7 4+ + 2 + 3 4 x x x 0 ④ 型 三角函数反三角函数 第一个重要极限或等价无穷小替换 0 1 lim x →0 sin x = 1 特征 x 0 sin[] 型 2 0 [] Ⅰ、等价无穷小替换 Ⅱ、转化为其他可求问题 1 (2 x) 2 1 cos 2 x lim = lim 2 2 = 2 x →0 x →0 x sin x x ⑤幂指函数(1 型) 指数、对数的未定式 、 ∞ 凑指数幂法或等价无穷小替换法 Ⅱ、转 1 1 lim(1 + ) x = e 特征 1 1∞ 型 2 (1 + )[] x →∞ x [] 化为其他可求问题 Ⅰ、凑指数幂或等价无穷小替换 lim (1 x→ ∞ sin x 1 sin x 1 ) = lim [(1 ) x ] x = e 1 x→ ∞ x x e2x 1 2x2 li m = li m = 2 x→ 0 x sin x x→ 0 x2 2 ⑥ 0∞ 型 0 ∞ 取倒数转化为 型或 型 0 ∞ 通分或有理化转化为 1 lim x ln(1 + ) = lim x →+∞ x x →+∞ 1 ln(1 + ) x =1 1 x ⑦ ∞∞型 0 型 0 lim( x 2 + x x 2 x ) = lim x →∞ 2x x2 + x + x2 x x →∞ =1 2. 分段函数在分段点的极限 左右极限方法 判断 lim x → x0 左右极限和极限的关系定理 Ⅰ、分别求出 lim f ( x) 和 lim f ( x) + x→x0 x→x0 Ⅱ、 f ( x ) = lim+ f ( x ) 是否成立? x → x0 e x a f ( x) = sin x x →0 x<0 a = ? 时 lim f ( x) 存在 x→0 x≥0 x x →0 解: lim f ( x) = lim (e a) = 1 a x → 0+ lim f ( x) = lim sin x = 0 + x →0 a =1 3. 其他情况 (1)以递推式给出的数列求极限 Ⅱ、证有界 数学归纳法 单调有界判别准则 Ⅰ、证单调 求数列 2, 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , (即 un +1 = (2)无穷和或无穷积的极限 证明 lim n( n →∞ 2 2 + un )的极限 通项归一 现成公式或夹逼定理 1 1 1 + 2 + + 2 ) =1 n + π n + 2π n + nπ 证:由于 1 ← n2 1 1 1 n2 < n( 2 + 2 + + 2 )< 2 → 1, n → ∞ n 2 + nπ n + π n + 2π n + nπ n +π n →∞ 根据夹逼定理得 lim n( 1 1 1 + 2 + + 2 ) =1 n + π n + 2π n + nπ 2 附表 等价无穷小替换表 x→0时 1. 幂 2. 指数 3. 对数 4. 三角 反三角 (1 + x)α 1 ~ α x a x 1 ~ x ln a ln(1 + x) ~ x ex 1 ~ x sin x ~ x ~ arcsin x ~ tan x ~ arctan x 1 cos x ~ 1 2 x 2 tan x sin x ~ 1 3 x 2