第 1 3卷 第 4期 杨淑荣 一 多元 函数连 续性 的判定 2 01 6年 1 2月 多元 函数连续性 的判定 杨 淑 荣 ( 烟 台 南 山学院 ,山东 烟 台 ,2 6 5 7 0 6 ) 摘要 :从 多 元 函 数 的 连 续性 定 义 出发 , 给 出判 断 多元 函 数 连 续 的一 些 命题 。 这 对在 校 大 学 生尤其对 立志 考, e t - ￣学生来说 , 学 习多元函数连续这一 内容有着重要 实际意 义。 关键词 :多元 函 数 ; 连续; 一致连 续。 中图分类号 :0 1 9 3 文献标识码 :A 一 、 引 言 证 明 :任 取 。 , Y 。 ) ∈ D, 因, , Y 。 ) 对 连 续 , 所 以 当 一 多元 函数 的 自变 量多于一 个 ,相应 地连续情 况也 就不 像一元 函数那 么简单 ,且教材 中对 多元 函数 连续 的情况 讨论较 少。正 因为多元 函数极 限 与连 续 的复杂性 ,导 致初 学者只停 留在 定义的表 面形式 ,不能深入挖 掘。以二元 函数为例 ,若 厂 , ) 在点 M( x 。 , Y 。 ) 连续 ,那 么一元 函数S ( x , Y 。 ) 和 / ( g o , ) 也分别在 o 和 。点连续 。反之 ,由于二 元 函数的极限 中 o 的方式是任意的 ,而不是 以特殊的方式 ,因此 ,由这 两个一 元 函数厂 , Y 。 ) 和 f ( x ) 分 别在 0 和 o 点连续 ,并不能断定厂 , y ) 在 , l < 时, l , , y 。 ) - f ( X o , Y 。 】 < , 又因 , , y ) ￣ - Y - x f I y 一 致 连续。 所以, 当I y - Y 。 I 时, ￣ i l f ( x , ) 一 , , Y 。 】 < 。于 是取 = m i n , ) ,当 一 。 l < 5, l y - y 。 l < 时 I S ( x , ) 一 f ( x o , Y o 】 = I f ( x , y ) 一 s ( x , Y o ) + f ( x , y o ) 一 f ( x o , Y o l l , , ) , ) 一 s ( x 】 + l i ( x , y o ) 一 , , 。 】 + 要 = ’ 即已证出/ ( x , Y ) 在点 。 , 。 ) 连续。 命题 2 设f ( x , y ) 在区域 D内对 X 连续, 对y 满足李普希兹条件 ,即对任何 x , Y ) D ,x , Y ) D有 Y 。 ) 点连续 。而初学者往往最容易将厂 , ) ’ ) 对 及 f , , I f ( x , Y ) 一 f ( x , y - < L l y 一 Y I ,L为正常数。则 f ( x , . y ) 在区 域 D 内连续 。 证明:任取 X o , Y 。 ) e D,￣ J f ( x , y ) 对 满足李普 希兹 条件, 所以 当 ’ 别连续误认为 / ( x , Y ) 也连续 , 导致错误 。 例 如f ( x , y ) : { , ’ ‘ s O , 因 _ 厂 , 0 ) 兰 0 【0 , = = 0 / ( o , ) ; 0 所以/ , Y ) 是在 =0和 =0分别 连续的,但由于l , , ) 并不存在。因此, 厂 , ) y - ￣ - O ] Y - Y o [ < 时 , I / ( x , ) 一 s ( x , l c 上 l 一 I < 疋= , 又 因 , , 。 ) X C x 连 续 , 所 以 当 一 x o l < 时 , I / ( x , 。 ) 一 _ 厂 , 】 < ; 。 于 是 由 命 题 1 ￣l s ( x , ) 一 f ( x o , Y 。 】 < s 。 即S ( x , y ) 在区 域D内连 续。 在【 0 , 0 ) 点不连续 。 以下给出几个命题 ,从不同角度给 出多元函数 连续性的判断 ,使学习者对此有一更深入的认识 。 命题 3 设 / ( , Y ) 在 区域 D内对 x和 y分别 连续,且对其中一个变量单调,则 S ( x , Y ) 在 D内 连续 。 证明:不妨设/ , Y )对x 单调递增 ( 单调减的情形证法类似)。 设X o , Y 。 ) ∈ D,由己知,存在 5 1 > 0 ,当l X - X o l < 时, 二 、命题 命题 1 设 r ( x , Y ) 在区 域 D内对x 连续, 而关于 x 对y 是一致连续, 则r ( x , Y 1 在D内 连续。 , l , ) 一 厂 。 , 。 】 < 。又 存在 > o ,当 l y — 。 I < 时, l / ( x 。 , ) 一 f ( x o , 】 作者 简介 :杨淑荣 ( 1 9 6 3 - ) ,女 ,汉族 ,天津河东人 ,烟台南 山学院工学院 ,副教授 。 。取定 X o , 但使 — x 。 l ≤ , 2 9 第 1 3卷 第 4期 烟 台 南 山 学 院 学 报 一 2 01 6年 1 2月 则存 在 ) , 0 , 当I 一 I 时, I s ( x , ) 一 _ 厂 (