用形心公式妙解一类积分2011 年第23 期SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATIONo 本刊重稿.科技 信J_L 用形心公式妙解一类积分 张小华张平 (三峡大学理学院湖北宜昌443002) 【摘要】积分的计算是高等数学的重要内容之一,在解题中适当使用形心公式.能 达到?事半功倍,,的效果 【关键词】二重积分;三重积分;曲线积分;曲面积分;形心公式 引言在进行某些特殊积分时,形心公式运用得好,可促使问题得以尽 快解决.但是一般教材对此方法提及较少,关于其应用更是很少涉及. 下面就形心公式在积分中的运用给以系统归纳.并举例说明其在积分 计算过程中的简化作用. 形心的概念和计算公式所谓形心,是指均匀的平面薄片,空间立体,曲线段或曲面块等物 体的质心.对平面薄片.其形心或质心公式为[1-31 其中A为区域D 的面积,(;,)为区域D 的面密度,质量m=ju(,,,).D对空间立体的形心或质心公式【L 其中为闭区域Q的体积,(,,,,=)为闭区域n 的形心坐标," 的体密度,质量m=4(x,y,z).n类似.可写出曲线段和曲面块的形心公式. 形心公式在积分中的应用2.1 形心公式在二重积分中的应用 若平面薄片的形心坐标和积分区域的面积易求.则可利用它求二 重积分.即』;Jydo-=,其中J4 成的平面闭区域.解法一,化为累次积分 :f-2+o+f汀vT~-x 的图形可知,D的形心坐标中的;=0,故由平面薄片的形心坐 标知4xdxdy=O.占 从上面两种解法可以看出,如果平面区域的形心(二,)容易求出, 的线性组合形式,则利用形心公式求解该类型的积分可达到事半功倍的效果. 求二重积分f,jydxdy,其中D是以点A(1,0),B (3,1),c(2,2)为顶点的三角形区域. 的图形可知,D的形心坐标为(2,1),D 的面积为3,故2.2形心公式在三重积分中的应用 若空间区域Q 的形心坐标和体积易求.则可利用它求三重积分. 即Ixdv=;l,;4ydv=yV;j:dv=z—V,其中为区域n 的体积,(;,,;) 是区域n 的形心坐标. 2.3形心公式在曲线积分中的应用 若平面曲线L 的形心坐标和曲线JL 的弧长易求.则可利用它求对 弧长的曲线积分.即fxds=xs;Iyds=ys;fzds=zs,其中5 计算,_f,()出,其中L为曲线{.Ix+y+zfO 解法一,化为定积分 先对I,出化为定积分,曲线{的参数方程为 (一:in0.-:co8+(—_sinO一I_c.s+(—竺o8dO26266 科技信息0本刊重稿OSCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2011 再利用对称性,有=』出=』Lz2ds=y´~I=2』()出=争n2J 出=T4…3 解法二,利用形心公式 显然此曲线的形心为(0,0,o),利用对称性,有』ds:JyZds= 』出.利用形心公式知,f=y』=o.故,_争(x2+y2+z)ds=争n2』=}. 从上面两种解法可明显看出.在求解某些特殊积分过程中.如果 利用常规计算方法来求解可能非常繁琐.但利用形心公式来求解则简 单方便得多. 2.4 形心公式在曲面积分中的应用 若曲面的形心坐标和积分曲面的面积易求.则可利用它求曲面积 分.即I=xA;』yes=;』ds=IA,其中A 为曲面的面积,(;,y ;)是曲面的形心坐标. 计算,_f(x~+y2)dS,其中是球面+y22=2(+y).解:显然曲面的形心为(1,1,1),半径为,/丁,利用对称性可知, fds=』=fds,j=4=』zd5,所以￡ZZZ ,=2J(+y)as=争』(x+y+z)dS=4』-4;Jd5=414*rZZ (,/)=48~r. 以上主要从四个方面讨论了形心公式在高等数学积分学中的应 用,从所举的典型例题中可以看出,当被积函数含有,Y,z 的线性组 合形式,且积分区域,曲线段或曲面块规则,形心比较容易计算时,如 能在解题中巧妙运用形心公式,则可大大的简化积分计算. (参考文献J [1]同济大学数学系.高等数学:下册[M】.6 版.北京:高等教育出版社,2007. [2]华东师范大学数学系.数学分析:下册[M】.3 版.北京:高等教育出版社,2001. [3]杨振,窦龚伟.讨论平面图形的形心与其绕坐标轴旋转的旋转体体积的关系 fJ】.科技信息,2010(28):127—128. 作者简介:张小华(198o_I),男,博士,讲师,研究方向为复杂流动问题的 多尺度计算方法研究. 基金项目:三峡大学教学研究项目(No.J2011086). [责任编辑:王静] (上接第5 页)授装配图时,由于条件所限,只能"纸上谈兵".以图论 图,老师教得吃力,学生学得辛苦,还难以理解.图7 装配图运用Pro/E 软件的三维建模功能,直观,生动,形象展示机器的三维图形.图8 示.使学生更容易掌握零件间的装配关系,理解什么是装配图,装配图的内容,装配图的表达方案等. 随着三维软件的广泛应用和多媒体技术的快速发展.将打破机械制图的传统教学方法.基于三维实体造型技术的机械制图教学改革与 实践,已经在o9,10 级的部分班级进行了尝试.实践表明:它能大大激 发学生的学习兴趣,提高学习的主动性,通过强化体的教学,直观,形象,易于被学生接纳.并在培养和提高学生空间想象能力方面取得很 好的效果.彝 【参考文献】 京:北京理工大学出版社,2009.[2]高葛.ProfEWildfire4.0 项目化教程【M].北京:北京理工大学出版社,2010 基金项目:新世纪广西高等教育教学改革工程项目 2010dGA177. [责任编辑:曹明明] (上接第27 页)无私,无条件的真情付出才能成为一个"家"同时.开 展了交巡民警子女夏令营,评选"十佳民警","十佳警嫂","为民服务 之星"等活动,增进了家属理解,极大地鼓舞了民警士气 重庆市公安局用厚重的文化和高品质的生活为公安民警打造品 位不凡的全新人文环境,还将廉政文化建设和从优待警有机结合.建 设公安特色的廉政文化,树立人民警察核心价值观,塑造了一支忠诚, 廉洁,高效,人文的高素质公安队伍.l 【参考文献】 [1]重庆公安信息网. [2]周海彪.对构建和谐警营的思辨【J】.上海公安高等专科学校.2008,2:44— 48. [3]张世平.对加强新时期警营文化建设的几点认识叨.铁道警官高等专科学校 ,2008,6:95—96. [4]左锁粉.关于推动警营文化建设的措施探讨fJ1.公安研究,2009,9:78—81. [5]艾晓丽.基层警营文化建设存在的问题及对策叫.武警学院,2007,11:87— 89. 作者简介:陈新平(1979.2 一),男,河南南阳人,博士,管理学讲师.研究方向 为交通管理,警营文化. 重庆警官职业学院科研资助项目.项目编号2011002. 【责任编辑:王静]