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如果你问苹果手机上的Siri,“零除以零等于多少”,它会显示:
但是,英文版的Siri还会用语音说这一段话:
“假如你有0块饼干,要分给0个朋友,每个人能分到几块?你看,这个问题没有任何意义吧?甜饼怪会难过,因为没有饼干吃,而你也会难过,因为你一个朋友都没有。”
(中文版也会,但言辞就没那么伤人了……)
抛开这个伤人的回答不论(有朋友谁特么会跟你聊天啊喂!),除以零确实是个困扰很多人的问题。十除以二等于五,六除以三等于二,一除以零是多少?小学数学就会告诉你,答案是不能除。但是为什么?零也是个数字,它到底哪里特殊了?
小学篇
小学算术里,这个问题很简单。那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”,分成一二三四五六七份都很容易想象,但是你要怎么把10个饼干分给0个人呢?想象不出来嘛!所以不能除。
敏锐的同学可能会想到,要是0个饼干分给0个人的话,本来无一物,好像就没关系了。但既然无物也无人,每个人分得多少都是可能的呀,根本无法给出一个单一确定的数值。
这结论没错,但这都是凭直觉而得到的东西。你想象不出来,不一定意味着它没有。远古时代的数学是建立在直觉上的,买菜是够用了,但要进一步发展,就必须要有定义和证明——所以,我们上了中学。
初中篇
现在我们开始接触最最基本的代数学——也就是解方程。我们发现,除法和乘法互为逆运算,所以问
1 / 0 = ?
就等于是解方程
0 * x = 1
好了,按照定义,0乘以任何数都是0,不可能等于1,所以满足x的数字不存在,所以不能除。
同样,如果问
0 / 0 = ?
就等于是解方程
0 * x = 0
同理,任何数字都可以满足x,所以也不能除——无法确定一个单一的答案。
高中篇
等到接触了基本的形式逻辑,我们又会发现另一种证明方式:反证法。
一堆真的表述,不能推出一个假的表述,所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述,最后推出假的来,那只能说明“除以零”这件事情不成立了。
所以,已知
0 * 1 = 0
0 * 2 = 0
推出 0 * 1 = 0 * 2
两边同时除以零,得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2