例1.若$F'(x)=f(x)$,且在$[a,A]$中无瑕点,则
\[\int_a^A f(x)=F(A)-F(a) \]
若同时$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$存在有限,则
\[\int_a^{+\infty} f(x)=F(+\infty)-F(a) \]
例2.
\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin(bx)dx, a>0 \]
例3.
\[\int_0^{+\infty}\sin(x)dx \]
\[F(x)=-\dfrac{a\sin(bx)+b\cos(bx)}{a^2+b^2}e^{-ax} \]
由$F(+\infty)=0, F(0)=-\dfrac{b}{a^2+b^2}$,可得
\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin(bx)dx=\dfrac{b}{a^2+b^2} \]
类似有
\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{a}{a^2+b^2} \]
\[=\cos(x)|_0^{+\infty} \]
$\cos(x)$在$+\infty$处无极限

无穷积分收敛性的判别

无穷积分定义:
\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx \]
定理1.(Cauchy收敛准则)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续,则无穷积分$\int_a^{\infty}f(x)dx$收敛的充要条件为,对$\forall \epsilon>0$,$\exists B=B(\epsilon)>a$,使得
\[\left|\int_{b_1}^{b_2}f(x)dx\right|B \]
定理2.(绝对收敛则收敛)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续,且无穷积分$\displaystyle\int_a^{\infty}|f(x)|dx$收敛,则积分$\displaystyle\int_a^{\infty} f(x) dx$收敛
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例4.(非Cauchy收敛)判定无穷积分的敛散性
\[\int_0^{\infty} x^p\sin(x) dx, p>0 \]
定理3.(有界判别法)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上非负连续,则无穷积分$\int_a^{\infty}f(x)dx$收敛的充要条件为,存在$M>0$,使得对$\forall b\geq a$,都有
\[\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq M \]
定理4.(比较判别法)
设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上连续,且对充分大的$x$,满足$0\leq g(x)\leq f(x)$,那么:
(1)若$\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx$收敛,则$\displaystyle\int_a^{\infty}g(x)dx$也收敛;
(2)若$\displaystyle\int_a^{\infty}g(x)dx$发散,则$\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx$也发散;
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定理5.(比较判别法的极限形式)
设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上非负连续,且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=k$ ,那么:
(1)若$0