二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标展示: 1、理解二倍角公式的推导; 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式; 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及 证明。 一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式: sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 若上述公式中 , ? ? ? 你能否对它进行变形? sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ?R 二 倍 ? ?R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 角 公 2 tan? ? k? ? ?k ? Z ? tan 2 ? ? ?? ? ,且? ? k? ? , 2 式: 2 2 4 1 ? tan ? 对于C 2? 能否有其它表示形式? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 2 cos 2? ? 1 ? 2 sin ? 2 公式中的角是否为任意角? 注意: ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角 的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互 化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如4α是 2α的两倍,α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍,α/3是α/6 的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式。因此,要理 解“二倍角”的含义,即当α=2β时,α就是β的二倍角。 凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等 时推导出来,记忆时可联想相应角公式。 例1 12 ? ? 已知 cos ? ? , ? ( , ? ),求 sin ?, 2 13 2 2 cos ?, tan ?的值。 ? 5 ? ? 已知 sin 2? ? , ? ? ( , ),求 sin 4?, 13 4 2 cos 4?, tan 4?的值。 例2 求下列各式的值: 0 0 2 (1) sin 22.5 cos 22.5 ; (2) cos 2 tan150 (3) ; 2 0 1 ? tan 15 (5)8sin ? 8 ? sin 2 0 2 ? 8 ; (4)1 ? 2sin 75 . cos ? 48 cos ? 48 ? 24 cos ? 12 4 练习 ? ? (1)sin cos 4 4 3 1 ? tan 2 (3) 3 tan ? 2 2 ? ? 4? (2)sin ? cos 2 2 5? (4) cos cos 12 12 ? 引申:公式变形: 1 ? sin2? ? (sin ? ? cos? ) 1 ? cos2? ? 2 cos ? 2 2 1 ? cos 2? ? 2 si n ? 2 ? ? 升幂降角公式 1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2 2 降幂升角公式 例3 (1) 1 ? sin 40? ; (2) 1 ? sin 40? ; (3) 1 ? cos 20? ; (4) 1 ? cos 20? 化简 1 ? sin 2? ? cos 2? 求证: ? tan? 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 1 ? 2 sin? cos? ? (1 ? 2 sin ? ) 证明:左边 ? 2 1 ? 2 sin? cos? ? ( 2 cos ? ? 1) 例4 2 sin? (cos? ? sin? ) ? 2 cos? (cos? ? sin? ) ? tan? ? 右边 sin? ? cos? ? 原式成立 . 例5. 证明恒等式: sin 2? ? sin ? ? tan ? . 2 2 cos 2? ? 2 sin ? ? cos ? 2sin ? cos ? ? sin ? 证明: 左式= 2 2 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 2sin ? ? cos ? sin ? (2 cos ? ? 1) ? cos ? (2 cos ? ? 1) ? tan ? =右式 总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ? R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ?R 2 tan? k? ? ,且? ? k? ? ? , tan 2? ? ?k ? Z ? ?? ? 2 1 ? tan ? 2 2 4 2、注意正 用 、逆用、变形用 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?