非平面电路: 在平面上无论将电路怎样画, 总有支路相互交叉。 支路法的一般步骤: (1) 标定各支路电流(电压) 的参考方向;(2) 选定(n–1)个独立节点, 列写KCL方程;(3) 选定b–(n–1)个独立回路, 列写KVL方程;(4) 求解上述方程, 得到b个支路电流。 如何减少方程的数量?支路电流法需要(b-n+1) 个KVL方程, (n-1) 个KCL方程。如果能确定(n–1)个独立节点的电压, 就可以确定电路中所有支路的电压、 电流。以(n–1)个独立节点的电压为变量列写方程方程个数?方程形式?n–1KCL为什么不用列写KVL方程?选择参考节点, 设所有其它节点的电压为未知变量。 由于电位的单值性, 节点电压自 动满足KVL方程。(UA-UB)+UB-UA=0UA-UBUAUBABo任意选择参考点, 节点电压就是节点与参考点的电压(降) , 也即是节点电位, 方向为(独立) 节点指向参考节点。以节点电压为变量KVL自动满足只需列写以节点电压为变量的KCL方程。 节点电压法: 以节点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。3. 2 节点电压法( Node Voltage Method)举例说明(2) 列KCL方程\uf0e5 iR出=\uf0e5 iS入i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3 -i3-i4+i5=-iS3 un1un22iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R401(1) 选定参考节点, 标明其余n-1个独立节点的电压。(1) 将支路电流用节点电压表出1n11Ruui \uf03d2n12Rui \uf03d3n2n13R-ui-\uf03d4n2n14Ruui\uf03d5n25Rui \uf03dS3S2S14n2n13n2n12n11n1iiiRuuRuuRuRu\uf02b-\uf03d-\uf02b-\uf02b\uf02bS35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu-\uf03d\uf02b----将支路电流表达式代入(1) 式un1un22iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R401 整理, 得S3S2S1n243n14321)11( )u1111(iiiuRRRRRR\uf02b-\uf03d\uf02b-\uf02b\uf02b\uf02bS32n543n143 )u111()11(iRRRuRR-\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b-(3) 求解上述方程得节点电压。(2)式(2) 简记为G11un1+G12un2= isn1 G21un1+G22un2= isn2 标准形式的节点电压方程 G11=G1+G2+G3+G4—节点1的自 电导, 等于接在节点1上所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5— 节点2的自电导, 等于接在节点2上所有支路的电导之和。G12= G21=-(G3+G4) — 节点1与节点2之间的互电导, 等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和, 并冠以负号。令 Gk=1/Rk,k=1, 2, 3, 4, 5 un1un22iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R401 iSn1= iS1-iS2+iS3— 流入节点1的电流源电流的代数和。iSn2= -iS3—流入节点2的电流源电流的代数和。* 电流源电流流入节点取正号, 流出取负号。un1un22iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R401 将上述结论推广到有n-1个独立节点的仅含电阻、 电流源的电路G11un1+G12un2+…+G1nunn=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2nunn=iSn2 \uf04c \uf04c \uf04c \uf04cGn1un1+Gn2un2+…+Gnnunn=iSnn 其中Gii—自电导, 等于接在节点i上所有支路的电导之和, 总为正。* 当电路含受控源时, 系数矩阵一般不再为对称阵。iSni— 流入节点i的所有电流源电流的代数和。Gij= Gji—互电导, 等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和, 并冠以负号。 节点法的一般步骤:(1) 选定参考节点, 标定n-1个独立节点;(2) 对n-1个独立节点, 以节点电压为未知量, 列写其KCL方程;(3) 求解上述方程, 得到n-1个节点电压;(4) 求各支路电流。 R111SRuun1un22uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R401+-可 将该支路进行电源等效变换后, 再列方程。记Gk=1/Rk, 得(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2= G1 uS1-iS2+iS3 -(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3 等效电流源特殊情况1: 电路中含电压源与电阻串联的支路 用节点法求各支路电流。例20k\uf05710k\uf05740k\uf05720k\uf05740k\uf057+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5120V240V++--20k\uf05710k\uf05740k\uf05720k\uf05740k\uf057UAUBI4I2I1I3I5 I1=(120-UA)/20= 4.91mA I2= (UA- UB)/10= 4.36mA I3=(UB +240)/40= 5.46mA I4= UA/40=0.546mA 各支路电流:解201201011)10114012011(BA\uf03d-\uf02b\uf02bUU40240)4020110(10BA-\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b-UUUA=21.8VUB=-21.82V I5= UB/20=-1.09mA 120V240V++--20k\uf05710k\uf05740k\uf05720k\uf05740k\uf057UAUBI4I2I1I3I5 例 列写图示电路的节点电压方程。方法1: 先假设电压源支路的电流为I,列方程如下:(G1+G2)U1-G1U2+I =0 -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3=0 -G4U2+(G4+G5)U3-I =0 U1-U3 = US G3G1G4G5G2+_US231I再增加一个节点电压与电压源间的关系:特殊情况2: 两个独立节点之间连接有理想电压源 方法2:选择合适的参考点(如图所示)G3G1G4G5G2+_US231U1= US -G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3=0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 (1) 先把受控源当作独立源看待, 列方程:11(uRR例 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。S12n11n211)iuR\uf03d-\uf02b1Sm2n311n12)11(1iuguRRuRR--\uf03d\uf02b\uf02b-解iS1R1R3R2gmuR2+ uR2_n1un2u特殊情况3: 电路中含有受控电流源 (2)用节点电压表示控制量。S12n11n211)11(iuRuRR\uf03d-\uf02b1S2n311nm1)11()1(iuRRugR-\uf03d\uf02b\uf02b--uR2= un1整理思考: 当电路中含有受控电压源时该如何列写节点电压方程? 练习二: 用节点电压法求解下图电路中的电压U。I50V10 Ω+–15I+–U–+20 Ω4 Ω5 ΩU=32V