一、分部积分公式设函数 uvvdu 分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分,分部积分法是乘积微分公式的逆运算。 xedx xedx 第三步:算积分。分部积分的关键是正确选取 要比udv lnln (ln arcsinarcsin (arcsin lnxdx 以上两例的特点在于设法使第二个被积函数中,不含反三角函数或对数函数等超越函数。 coscos 此例的特点在于需要连续用两次分部积分公式,关键 在于降幂。 ——代分部积分公式;——微出来; ——算积分。 xdxxd cos(cos cossi sinsin cos 也可以选择xdx dv 部积分后又回到了原积分,但系数不同,这时可以移项,像解方程那样解出所求的积分。 小结:以下类型的不定积分常可用分部积分 bxbx dv cos sin 为多项式。有时在 dxxf 二、有理函数的不定积分1、有理函数 叫有理函数,它是两个实系数多项式之商所表示的函数。其中m 互质。例如: 都是有理函数。有理函数的分类: 是假分式,可把它化为多项式与真分式之和。例如 为真分式。多项式在实数范围内可以分解为若干个一次因式和二次因式的乘积。 个部分分式之和:特别地,当 则分解后有下列k个部分分式之和: 其中 都是常数。例如真分式 的分母中含有 前面三种积分都比较容易,可以求得;最后一种积分方法较繁,可对照书P179 例4.5 得到递推公式。故:所有有理函数 的不定积分都可以求出,即有理函数的原函数都是初等函数。 例11.求 化为多项式与真分式之和,否则可省去这一步。 求多项式和各部分分式的积分,再相加即得所求之有理函数的积分。 有理函数的积分是积分学中解决得最完善、最彻底的部分。 上面介绍的是有理函数积分的常规方法,在具体解题时, 应优先考虑其他简便方法。 tansec tan (tan 对初等函数来说,在其定义区间上它的原函数一定存在,但有些原函数不一定是初等函数,例如: 我们称这些积分是“积不出来的”。