但是,为什么只有凸多面体才适用这条公式?这就要从拓扑学(topology)谈起了。「topology」一词中的「topo-」意为位置,「拓扑」则是对应的音译。拓扑学主要研究不同空间在连续变换下不变的量,属于几何学,但又与一般的几何学有着根本性的不同。如果说一般的几何学研究的对象都是形状固定的刚体,拓扑学研究的则是可以随意改变形状的弹性橡皮膜。它只关注空间的结构,而并不在乎具体的形式。有这样一个经典的笑话:「拓扑学家是那些分不清甜甜圈与咖啡杯的人。」原因在于,这两者的表面是同胚的——也就是在拓扑意义上具有一种等价。[1]直观上,两者的共同点在于它们都有且只有一个「孔」,即杯柄中间的洞与甜甜圈中间的洞;用数学语言来讲,这两者的表面是同胚的,它们的亏格(genus)都是1。[2]同胚意味着,可以由其中一个经过拉伸(一种连续变换)得到另一者。欧拉示性数是一个拓扑不变量,这意味着一个曲面在经过连续变换后,其欧拉示性数保持不变。由于所有凸多面体均同胚,它们的欧拉示性数$\chi$自然是一个常数。而在上文甜甜圈与马克杯的例子中,两者的欧拉示性数都为0。这个数由以下公式[3]给出:$$ \chi = 2 - 2g $$其中$g$为曲面的亏格。