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矩阵等价

定义:对同型矩阵A、B,存在可逆阵P和Q,使得B=PAQ充要条件:A和B的秩相等

矩阵合同

定义:对同型方阵A、B,存在可逆阵P使得B=PTAP

矩阵相似

比等价严苛定义:对同型方阵A、B,存在可逆阵P,使得B=P−1AP

三者关系:

等价(只有秩相同)–>合同(秩和正负惯性指数相同)–>相似(秩,正负惯性指数,特征值均相同),矩阵亲密关系的一步步深化。相似矩阵必为等价矩阵,但等价矩阵未必为相似矩阵
PQ=E 的等价矩阵是相似矩阵合同矩阵必为等价矩阵,等价矩阵未必为合同矩阵
正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵合同矩阵未必是相似矩阵相似矩阵未必合同正交相似矩阵必为合同矩阵,正交合同矩阵必为相似矩阵如果A与B都是n阶实对称矩阵,且有相同的特征根.则A与B既相似又合同
参考:
http://wenku.baidu.com/link?url=D0X0pu8GbPo75YrRU1CjumM5rSw1mLS9XidhkKYFs8QTzTb55DZ5Rp0q4EQR3TRYdVqGNUP2QA-WaOWWFre2l24rG-51UeZmoI9fdHTmG-i
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