牛顿内摩擦定律:
其中
是切应力,
是粘度系数,单位是
,以符号
表示。速度的梯度表征切向速度的变化率。
流体静力学基本方程:
由于流体力学中,一个很微小的力有两种微分表述方式:
其中
是质量力,表示的是加速度矢量。将上式写成分量式(以
为例),并且两边同时除以体积微元
有:
于是,我们又可以根据
,将两种表述的关系写为:
这就是所谓的流体静力学基本方程,流体所受压强的梯度等于流体密度乘以加速度。既然有了这一层关系,将压强视为一个势函数,类比于静电场,则压强
就像电势, 质量力乘以密度
就像场强
,又因为静流体
是个常量,所以
一定垂直于“等
面”,即等压面。
现在对它进行应用。对于只受重力的自由流体:
有:
对其积分得压强分布:
这里的
由边界条件决定,
是流体的重度。
还可以再改成能量守恒的形式:
其中
也叫位置头,表征重力势能(位能);
也叫压力头,表征的是压力势能(压能)。由于流体处于静止状态,所以位能与压能相互转化、总量守恒。
液体对器壁压力:
平壁:
其中
是总压力,
是平面形心
点的压强,
是平壁的面积。
曲壁:
其中,
是曲壁投影面形心
点的压强,
是曲壁投影在平面上的面积。
对于水平分力有:
,
是压力体水平投影铅垂面。
对于竖直分力有:
,
是压力体体积。——阿基米德浮力定律
压力体是指曲壁向自由液面做垂线而得的体积。
杂例:
有一以角速度
旋转的圆柱体,求自由液面方程。
根据圆周运动
,以液面中心建立极坐标系,写出质量力:
根据边界条件,并取相对压强,
时,
,得
。又因为在自由液面上,压强处处为
: