为常数) 2引力中重积分的计算 由于d,:尝眠咄 L戈2一菇1, 对于万有引力计算中出现的重积分,以下定理 给出了其计算方法. 则F钷等帆咄= 富比尼(G.Fubini)定理: 设x×y是Rp+9中的区间,它是区间XcⅣ与y GA-,:d戈-,:i::兰三了d茁:= cR4的直积.如果函数,:x×y—R在x×y上可积, 则有: \ftx,,f)如a了=\如\ftⅥ1dy= (d一6)ln(d一6)+(口一c)ln(c一口)+ 弛鼍_cln堕1 C—d n—CJ \d,\ftx,了、ax 3.2 求均质薄圆盘和在其对称轴上的细杆间的引力 上式中的l以戈,,,)以以表示关于茹Ex,,,Ey的函 如图3所示,半径为尺的均匀薄圆盘,占据空间 五r 为D,其密度为p.过圆心且与圆面垂直的直线上有 数/在区间x×y上的积分.对于固定的菇∈X,计算 一密度为A的均匀细棒,占据空间为￡,棒长为Z,靠 近圆盘的一端与圆心相距为m求圆盘对细棒的引 区间y上的积分为F(戈)=I八菇,,,)d,,.再将该式在 々 力.设力=Dx￡,为D,￡的直积空间. 名——尺区间x积分就是上式的J.以J.八髫,,,)d,,.同i理有积分_fdy_f八菇,,,)d鼽这时,如果对于有有限个 间断点的情况,不影响积分结果.因为那些所组成的 集合是零测度集. 3质点系间万有引力计算实例 3.1 求在一直线上的两根细棒的引力 如图2所示,有均质细棒A和B,其占据的空间 分别为厶,工:.线密度分别为A。(菇。),A:(菇:)(其中 图3 茗。,茗:分别为细棒A、B上点的横坐标).它们左端距 原点的距离分别为口、c,右端距原点的距离分别为 由对称性易知:F。=F,=0.在圆盘上任取一点 6、d.(o