1、平面向量基本定理
如果
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量
,有且只有一对实数
使
.
我们把不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
知识拓展
①
是同一平面内的两个不共线向量,即
为非零不共线向量.
②在同一平面内任意向量
都可用
线性表示,且
前的系数唯一,也就是说,这种表示形式是唯一的.
③对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.
2、平面向量的正交分解和坐标表示
(1)向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)平而向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与轴、
轴方向相同的两个单位向量
作为基底任作一个向量
,如图,由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数
、
,使
叫做向量
的(直角)坐标,记作
,
叫做
在
轴上的坐标,
叫做
在
轴上的坐标,
叫做向量的坐标表示.
其中
称为标准基底,也叫基本向量.
显然
.
温馨提示
(1)向量的坐标表示与点的坐标的区别:
①写法区别:向量的坐标表示
,点的坐标写作
.
②说法区别:
中
叫做
在
轴上的坐标,
叫做
在
轴上的坐标;
中
叫做横坐标,
叫做纵坐标.
③在干面直角坐标系中,位置不同的点对应的坐标不同;但位置不同的向量,只要是相等向量,它们的坐标表示就相同;向量的坐标表示与向量的起点、终点的位置无关,只与起点、终点的横、纵坐标的差值有关.
(2)如图,在直角坐标平面中,以原点
为起点作
,设
,则向量
的坐标
就是终点
的坐标;反过来,终点
的坐标
也就是向量
的坐标,即当向量
的起点在坐标原点时,终点坐标就是对应向量的坐标表示.
3、平面向量的坐标运算
(1)加法运算
若
,则
.
即两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
(2)减法运算
若
,则
.
即两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差.
(3)数乘运算
若
,则
.
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
(4)向量坐标的求法
若
,则
.
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
知识拓展
(1)要清楚向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.
(2)通过建立直角坐标系,可以将平而内任一向量用一个有序实数对来表示:反过来,任一有序实数对就表示一个向量,这样就引入了向量的坐标表示,使向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算,使得向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来,这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的代数运算.
(3)相等向量的坐标是相同的,但是起点和终点的坐标却不一定相同.
4、平面向量共线的坐标表示
设
,其中
,当且仅当
时,向量
、
共线.对条件的理解有两方面的含义:由
可判定
,
(
)共线;反之,若
,
(
)共线,则
.
温馨提示
(1)
包括三种情况:
①
,由
与
共线,得
,所以
.
与
同号时,
与
方向相同;
与
异号时,
与
方向相反.
②
,由
与
共线,得
,所以
.
与
同号时,
与
方向相同;
与
异号时,
与
方向相反.
③
,由
得
.当
时,
与
方向相同;当
时,
;当
时,
与
方向相反.
(2)凡遇到与平行有关的问题时,一般要考虑向量平行的充要条件.
知识拓展
三点共线的充要条件
(1)若
为原点,
为平面内三点,则
三点在一条直线上的充要条件是
,且
.
证明:必要性:
若
三点共线,则
与
共线.于是存在实数
,使
.
∵
,
∴
,
∴
.
令
,得
,
∴
,得
.
充分性:
若
,且
,
则
,
∴
,
∴
∴
与
共线.而A是
与
的公共端点,
∴
三点在一条直线上.
(2)
三点共线的充要条件为
精准教学方法
1、利用平面向量基本定理解题
(1)若
是同一平面内的两个不共线向量,
为这一个平面内的任意向量,则向量
可用
表示为
,且表示方式是唯一的(有唯一的一对
),但未给出寻找
的方法,这需要结合具体问题,通过向量的线性运算来完成.
(2)基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的一种重要方法,关键在于选取的基底是否合适,注意与已知条件联系.
如图,
是圆O上的三点
的延长线与线段
的延长线交于圆O外一点
,若
,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由点
是圆O外一点,可设
,则
.又
三点共线,令
,
则
,
又
,
所以
,
则
.
答案D
2、向量的坐标运算
向量的坐标运算主要是利用加减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
例2 已知
,若将向量
绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量
,则
的坐标为( )
A.
B.
C.
D、
解析∵
,
,易知向量
与
轴正半轴的夹角
(如图)向量
绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量
,在第四象限,与
轴正半轴的夹角
,∴
,故选B.
答案B
3、向量共线坐标表示的应用
向量共线的坐标表示实质是把向量问题转化为实数的运算问题,通过坐标表示建立参数的方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用.
例3 已知,在
中,
分别是
,
的中点,求证:
交于一点.
证明 如图,设
,
则
.
设
与
交于点
,并设
,则
,
又
,
∴
解得
,
∴
,即点
与点G重合.
再设
与
交于点
,
同理可得:
.
故点
与点G重合,
即
交于一点.
4、利用向量的坐标运算判定直线平行、三点共线的方法
(1)三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.
(2)若
三点共线,则由这三个点组成的任意两个向量共线.
例4 已知
是坐标原点,且
,当
为何值时,
三点共线?
解析 若
三点共线,则
故存在实数
,使得
.
因为
,
,
所以
,
所以
解得
或
.