第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 1.高斯消元法 引例:求解线性方程组 ? x1 ? 4 x2 ? 3 x3 ? 2, ? ? 2 x1 ? 5 x2 ? x3 ? 11, ? x ? 6 x ? x ? 12. 2 3 ? 1 解: ? x1 ? 4 x2 ? 3 x3 ? 2, (1) ? x1 ? 4 x2 ? 3 x3 ? 2, (1) ? (2)? 2?(1) ? ???? ? 2 x1 ? 5 x2 ? x3 ? 11, (2) (3)?(1) ? ? ? 3 x2 ? 5 x3 ? 7, (2) ? ? x ? 6 x ? x ? 12. (3) 2 x2 ? 4 x3 ? 10. (3) ? 2 3 ? 1 ? x1 ? 4 x2 ? 3 x3 ? 2, (1) ? ???? ? x2 ? 2 x3 ? 5, (2) ? ? 3 x ? 5 x ? 7. (3) 2 3 ? 1 ?(3) 2 (3)? (2) ? x1 ? 4, ? x1 ? 4 x2 ? 3 x3 ? 2, (1) ? 反向代入得 ? x ? 1, ( 3)? 3?( 2) ? 2 ???? ? ? x2 ? 2 x3 ? 5, (2) ? x ? 2. ? 11 x3 ? 22. (3) ? 3 ? (1)互换两行的位置; (2)用非零的常数乘某一行; (3)某行所有元素的K倍加到另一行对应元素上去. 2.初等变换 初等行变换: (1) 对调两行 ; ( ri ? rj ) (2) 以数 k ? 0乘某一行中所有元素; ( ri ? kr j ) ( ri ? k ) (3) 某 行 所 有 元 素 k 倍 加 到 另 一 行 对 应 元 素 上 去 。 初等列变换: (1)对调两列; ( ci ? c j ) ( ci ? k ) (2)以数 k ? 0乘某列; ( ci ? kc j ) (3) 某 列 所 有 元 素 k 的 倍 加 到 另 一 列 的 对 应 元 素 上 去 。 行阶梯形矩阵 (经过初等行变换) (1)零行在下方; (2)每个非零行的首非零元素的左下方元素全为零。 行最简形矩阵 在行阶梯形中,经过初等行变换化为 (1)每个非零行的首非零元素全为1, (2)每个非零行的首非零元素所在列的其他元素为0。 标准形 在行最简形矩阵中,再经过有限次初等列变换可变成 ? Er 0 ? F ?? 0 0 ? m?n ? ? 对于任意一个矩阵, 其行阶梯形矩阵不唯一; 其行最简形矩阵唯一; 其标准形唯一。 3、 矩阵的等价关系。 若矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B ,则称 A 与 B 行等 r 价,记为 A ~ c B; 若矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B ,则称 A 与 B 列等 价,记为 A ~ B; 若矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B ,则称 A 与 B 等价, 记为 A ~ B . 等价关系具有下列性质: (1)反身性 A ~ A ; (2)对称性 A ~ B ,则 B ~ A (3)传递性 A ~ B , B ~ C ,则 A ~ C 。 二、初等矩阵 定义:由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等矩阵。 定理1 对 Am?n 施行一次初等行(列)变换就相当于在 A 的 左(右)边乘以一个相应的 m ( n )阶初等矩阵。 例 1.计算 ?0 1 0? ? ? ?1 0 0? ?0 0 1? ? ? 2011 ? 1 2 3 ?? 0 0 1 ? ? ?? ? ? 4 5 6 ?? 0 1 0 ? ? 7 8 9 ?? 1 0 0 ? ? ?? ? 2012 ? 例 2. 设 ? a11 ? A ? ? a21 ?a ? 31 a12 a22 a32 a13 ? ? a11 ? ? a23 ? , B ? ? a21 ? a ? 2a a33 ? 11 ? ? 31 a13 a23 a33 ? 2a13 ? ? a22 ? a 32 ? 2a12 ? ? a12 ?0 0 1? ?1 0 0? ?1 0 0? ? ? ? ? P1 ? ? 0 0 1 ? , P2 ? ? 0 1 0 ? , P3 ? ? 0 1 0 ? ? ? ?1 0 0? ?0 1 0? ? 2 0 1 ? ,问 B ? ? ? ? ? ? =() ( A) P3 AP2 ( B) P2 AP3 (C ) P3 AP1 ( D) P1 P2 A 三种初等变换都是可逆的,且逆变换是 同一类型的初等变换。 定理2 初等矩阵均可逆,且其逆仍然是 同类型的初等矩阵.且 ( E ( i , j ))?1 ? E ( i , j ), 【? E ( i , j ) E ( i , j ) ? E 】 1 1 ?1 ( E ( i ( k ))) ? E ( i ( )), 【? E ( i ( )) E ( i ( k )) ? E 】 k k ( E ( ij ( k )))?1 ? E ( ij ( ? k ))。 【? E ( ij ( ? k )) E ( ij ( k )) ? E 】 ? 0 1 0? ? 0 1 0? ? 1 0 0? ? 1 0 0? ? ? ? ? ? 0 0 1? ? ? 0 0 1? ? ? ? ? E ?1 (1, 2) E (1, 2) ?1 ?1 0 0 ? ?0 1 0 ? ? ? ? 0 0 ?2 ? ? ? E ?1 (3( ?2)) ?1 ? ?1 ? ?0 ?? ?0 ? ? 1 0 0? ? 1 0 0? ? 3 1 0? ? ?3 1 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 1? ? ? 0 0 1? ? ? ? ? E ?1 (21(3)) E (21( ?3)) ?1 ? 0 0 ? ? 1 0 ? 1? 0 ? ? 2? 1 E (3( ? )) 2 ? a11 a12 a13 ? ? a13 ? a11 ? a12 a11 ? ? ? ? ? 例 3. A ? ? a21 a22 a23 ? , C ? ? a23 ? a21 ? a22 a21 ? ?a ?a a32 a33 ? ? a31 ? a32 a31 ? ? 31 ? ? 33 ? ? 0 0 1? ? 1 1 0? ? 1 ?1 0 ? ? 0 1 0 ? , P ? ? 0 1 0 ? , P ? ? 0 1 0 ?, P1 ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 1 0 0? ? 0 0 1? ? 0 0 1? ? ? ? ? ? ? 其中 A可逆,则C ?1 ? ?提示:C ? AP3 P1, ? ? ? ?1 ?1 ( A) A P1 P2 ( B ) P1 P2 A ? ?1 ?1 ?1 ?1 ? ?C ? P1 P3 A ,? ?1 ?1 ? ? (C ) P1 P3 A ( D ) P3 P1 A ? ?1 ? ?1 ? P1 ? P1 , P3 ? P2 ? ? ? 推论 1 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 , P2 ,?, Pl ,使得 A ? P1 P2 ? Pl 。 推论 2 (1)Am?n 通过有限次初等行变换得到 Bm?n 的充分必 要条件是存在可逆阵 Pm?m ,使得 PA ? B . (2) Am?n 通过有限次初等列变换得到 件是存在可逆阵 Qn?n 使得 AQ ? B . Bm?n 的充分必要条 (3) Am?n 通过有限次初等变换得到 Bm?n 的充分必要条件是 存在可逆阵 Pm?m , Qn?n ,使得 PAQ ? B . 推论 3 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 通过初等行变换 得到 E ,即 A ? E 。 利用初等行变换求逆矩阵的方法: ? A E? ?1 初等行变换 ? ?E A ? ?1 1 * 注:利用 A ? A 求逆矩阵适合于二阶和三阶方阵; A 利用初等行变换求逆矩阵适合三阶及三阶以上方阵。 ? 2 2 3? 例 4.利用初等行变换,求 A ? ? 1 ?1 0 ? 的逆矩阵. ? ? ? ?1 2 1 ? ? ? ? 2 2 3 1 0 0 ? ? 1 ?1 0 0 1 ? ?r? 解: A E)? ? 1 ?1 0 0 1 0 ? ? ? 2 2 3 1 0 ( ? ? 1 2 1 0 0 1 ? ? ?1 2 1 0 0 ? ? ? ? 1 ? 1 0 0 1 0 ? ? 1 ?1 0 0 1 0? r ? ?r? ? ? ? 0 4 3 1 ?2 0 ? ? ? 0 1 1 0 1 1 ? ? 0 1 1 0 1 1 ? ? 0 0 ?1 1 ?6 ?4 ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 ? 4 ? 3 ? ? 1 0 0 1 ?4 ?3 ? r ? ?r? ? ? ? 0 1 0 1 ?5 ?3 ? ? ? 0 1 0 1 ?5 ?3 ? ?(E ? 0 0 ? 1 1 ?6 ?4 ? ? 0 0 1 ?1 6 ? 4 ? ? ? ? ? 1 ?4 ?3 ? 所以 A?1 ? ? 1 ?5 ?3 ? 。 ? ? ? ?1 6 4? ? ? 0? ? 0? 1? ? A ?1 ) 例 5. ? 4 1 ?2 ? ? 1 ?3 ? 设 A ? ? 2 2 1 ? , B ? ? 2 2 ? , AX ? ? ? ? ? 3 1 ?1 ? ? 3 ?1 ? ? ? ? ? ? B ,求 X . A 可逆时,其解为 X ? A?1 B ,初等行变换解法 当 ? A B? 初等行变换 ? ? E A B? ? ? E X ? 。 ?1 ? 4 1 ? 2 1 ?3 ? ? 1 0 0 10 2? ? ? r ? ? 解:? A B ? ? ? 2 2 1 2 2 ? ? ? ? ? 0 1 0 ?15 ?3 ? ? 3 1 ? 1 3 ?1 ? ? 0 0 1 12 4? ? ? ? ? 2? ? 10 所以矩阵方程 AX ? B 的解为 X = ? ?15 ?3 ? 。 ? ? ? 12 4? ? ? ? E A?1 B ? ? E X ?, ? ? §2 矩阵的秩 一、子式 定义 1 在 Am?n 中, 任取 k 行与 k 列( k ? m, k ? n ),位于 这些行列交叉处的 k 2 个元素,不改变它们在 A 中所处的位 置次序而得的 k 阶行列式称为矩阵 A的一个 k 阶子式。 k k ( k 阶子式共有C m ? C n 个) 【注1】 Am?n 的每一个元素为 Am?n 的一阶子式,共 m ? n个; 【注2】 若 A 为 n 阶方阵, A 为 A 的唯一的 n 阶子式, A 中 每个元素的余子式为 A的 n ? 1阶子式,共 n 2 个。 【注3】 若矩阵 A中所有 k 阶子式都为零,则高于 k 阶 的子式(若有)都为零。 二、矩阵的秩 定义 2 如果矩阵 A中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D,且 所有 r ? 1阶子式全等于 0, 则称 D 为 A的最高阶非零子式, 数 r 称为 A的秩, 记作 R( A) 或者 r ( A) 。 规定零矩阵的秩为零。 R( A) 即为 A的最高阶非零子式的阶数。 【注 1】 R( A) ? r ? A中至少有一个 r 阶子式不为零; R( A) ? r ? 1 ? A中所有 r ? 1阶子式等于零。 【注 2】若 R( A) ? r , (1)有没有等于 0 的 r ? 1阶子式? (2)有没有等于 0 的 r 阶子式? 【注 3】对于阶方阵 A, A ? 0 ? R( A) ? n ,称 A 是满秩的; A ? 0 ? R( A) ? n ,称 A 是降秩的。 ?1 ?0 A?? ?0 ? ?0 2 3 2 4? 2 ?8 3 7 ? ? , R( A) ? ? 0 0 1 7? ? 0 0 0 0? 注:行阶梯型矩阵的秩等于非零行的行数 定理 3 初等变换(既可以是行也可以是列变换) 不改变矩阵的秩;从而等价矩阵有相同的秩。 求矩阵秩 R( A) 的方法 ⑴利用初等(行)变换将矩阵 A化为阶梯形; ⑵此阶梯形矩阵中非零行的行数即为矩阵的秩 R( A) 。 1 ? 1 ? ?1 a ? 1 例 7 求A?? ? 1 1 ? 解 1 ? 1 1 a ? 1 ? 0 a 1 ? A? ? 0 0 a2 ? a ? 0 a ?1 ? 0 1 1 a ? ? 0 a 1 ? ? ? 0 0 ? 2a ? 0 1 ? 0 ? ? ? 的秩 R( A) 。 2 ? a ? 2a ? 1 ? 1 a ? ? 1 ? ? ? 0 ? a 1 ??? ? ? ? 0 0 ? 2a ? ? ? ? 0 0 a ?1 ? ? ? a ? ? ?1 1 ? ?0 a 1 ? ???? ? ?, ? ?0 0 1 ? ? ? ? 0 0 0 ? ? ? 所以当 a ? 0时, R( A) ? 3 ;当 a ? 0时, R( A) ? 2 。 a 1? a 三.秩的性质与结论(部分) ① 0 ? R( Am?n ) ? min{m, n}; R( kA) ? R( A), k ? 0 ; ② R( AT ) ? R( A) ? R( AAT ) ? R( AT A) ; ③ 若 A ~ B ,则 R( A) ? R( B ); 反之,如果 A, B 同型,且 R( A) ? R( B ) ,则 A, B 等价; P , Q 可逆,则 R( PAQ ) ? R( A) ; ④ ⑤ R( A, B ) ? R( A); R( A, B ) ? R( B ) ; ⑥ R( A ? B ) ? R( A ? B , B ) ? R( A, B ) ? R( A) ? R( B ) ; ⑦ R( AB ) ? R( A), R( AB ) ? R( B ) ; ⑧ 若 Am?n Bn?s ? O ,则 R( A) ? R( B ) ? n ( n为 A的列数) 。 例 8 (1)设 A 为 n 阶矩阵,证明 R( A ? E ) ? R( A ? E ) ? n 。 ?t 2 3 ? ? ? A ? ? 2 1 ?1? , B 为三阶非零矩阵,且 AB ? O , (2)设 ?0 0 5 ? ? ? 求常数 t 。 §3 线性方程组的解 一、非齐次线性方程组 ? Am?n x ? b 常数项向量 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 , 未知数向量 ? a x ? a x ??? a x ? b , ? x1 ? ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ? x?? ? ? ?1 ? ?x ? ? am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm . ? n? ? 增广矩阵 系数矩阵 ? a11 a12 ? ? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? a21 a22 ? A?? ? ? ? ? ? ? ( A, b ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? am 1 am 2 ? amn ? ? am 1 am 2 ? ? b1 ? ? ? b?? ? ? ?b ? ? m? a1n b1 ? ? a2 n b2 ? ? ? ? ? amn bm ? 定理 3 对于线性方程组 Am?n x ? b (1)无解 ? R( A) ? R( A, b) ; (2)有唯一解 ? R( A) ? R( A, b) ? n ; (3)有无穷多解 ? R( A) ? R( A, b) ? n . 推论: 线性方程组 Am?n x ? b 有解 ? R( A) ? R( A, b) 。 当线性方程组 Am?n x ? b 有无穷多解时,其所有解的共同表 达式称为线性方程组 Am?n x ? b 的通解或一般解。 特别的,对于方阵 An , An x ? b 有唯一解 ? An ? 0 。 (参见克莱姆法则) 求解 Ax ? b 的方法 (1)写出增广矩阵 ( A, b) , (2)利用初等行变换将其化为行阶梯形,判断 R( A)?R( A, b) , 从而确定线性方程组是否有解, (3)如果线性方程组有解,就继续将 ( A, b) 化为行最简形, (4)从行最简形写回线性方程组,并将每个首非零元素对应的 变量放在等号的左边,其余变量(称为自由未知量)移到 等号的右边, (5)添加方程 xi ? xi ,其中 xi 为每个自由未知量, (6)将自由未知量 xi 换成 c1 , c2 ,? 等,写出线性方程组的解或 通解。 ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 4 x4 ? 1, ? 例 9 问线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 3, 是否有解? ? 3x ? x ? 5x ? 2x ? 2 2 3 4 ? 1 解 其增广矩阵为 ?1 2 ? 2 ?1 ? ?3 1 ? ?1 ? ?0 ? ? 0 ? 3 2 5 2 ?5 0 1 ? ?1 ?2 3 ? ? ? 0 ? ? 2 2 ? ?0 ? ? 3 4 ?4 ? 10 0 0 4 2 3 4 ? 10 ? 10 ?5 ?4 ?5 ?4 1 1 ?2 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? 由于 R( A) ? 2 ? R( A, b) ? 3 ,所以此线性方程组无解。 ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 4 x4 ? 1, ? 例 10 求线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 3,的通解。 ? 3x ? x ? 5x ? 2x ? 4 2 3 4 ? 1 解 其增广矩阵为 3 4 1 ? ? 1 2 3 4 1 ? ?1 2 (A b = ? 2 ?1 2 ?2 3 ? ? ? 0 ?5 ?4 ) ? 10 1 ? ? ? ? ? ? 3 1 5 2 4 ? ? 0 ?5 ?4 ? 10 1 ? ? ? ? ? 3 4 1 ? ?1 2 ? ? 0 ?5 ? 4 ? 10 1 ? (行阶梯型, 并判断出有解) ? ? ?0 0 0 0 0 ? ? ? 7 7 ? ? ? 8 ?1 0 3 4 1 ? ?1 2 5 5 ? ? ? ? ? 4 1 4 1 ? ?0 1 ??? 0 1 ? ?2 ? ?2 ? ? 5 5 ? 5 5 ? ? ?0 0 0 0 0? ? 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (行最简形) 7 7 7 7 ? ? ? x1 ? 5 x3 ? 8 x4 ? 5 , ? x1 ? 5 ? 5 x3 ? 8 x4 , ? ? 所以 ? ?? 4 1 ? ? x ? ? 1 ? 4 x ? 2x , x 2 ? x 3 ? 2 x4 ? ? 4 ? ? 2 5 5 5 5 3 ? ? (写回线性方程组) ( x3 , x4 称为自由未知量) 7 7 ? ? 7 ? ? 7 ? x1 ? ? x3 ? 8 x4 , ? ? 5 ? ? x1 ? ? 5 ? ? ?8 ? 5 5 ? ? ? ? x ? ? 1? ? 2? 1 4 4? ? x ? ? ? x ? 2x , 故通解为? 2 ? ? ? ? ? ? c1 ? ? ? c2 ? ? 。 4 ? 2 ? 5? 5 5 3 ? x3 ? ? 5 ? ? 0? ? ? 1 ? ? ? ? 0 ? ? ? x3 ? x3 , ? x4 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ?x ? x4 , ? ? ? ? ? 4 (添加自由未知量 xi ? xi ) (写出通解,其中 c1 ? x3 , c2 ? x4 ) 若 A为 n 阶方阵且含参数时,求出 A ? 0 的条件,即唯一解的 条件。再将 A ? 0 中的参数带入对( A, b) ,做初等行变换化为行阶 梯型;判断 R( A)?R( A, b) ,从而确定无解,还是无穷多解。 ? (1 ? ? ) x1 ? x2 ? x3 ? 0, ? 例 11 设有方程组 ? x1 ? (1 ? ? ) x2 ? x3 ? 3, ? x ? x ? (1 ? ? ) x ? ? . 2 3 ? 1 问 ? 取何值时 (1)方程组有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解?并求其通解。 1? ? 解 系数行列式 A ? 1 1? ? 1 1 1 1? ? ? ( ? ? 3)? 2 。 1 1 当 ? ? ?3且? ? 0时, A ? 0 ,方程组有唯一解。 当 ? ? 0时 ?1 1 1 0 ? ? 1 1 1 0? ? A b ? ? ? 1 1 1 3 ? ? ? 0 0 0 3 ? , R ? A? ? 1 ? R ? A b ? ? 2 , ? ? ? ? ?1 1 1 0? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? 所以方程组无解。 当 ? ? ?3时, 1 0 ? ? 1 0 ?1 ? 1 ? ? ?2 1 ? A b ? ? ? 1 ? 2 1 3 ? ? ? 0 1 ?1 ? 2 ? , R ? A ? ? R ? A b ? ? 2 ? 3 , ? ? ? ? ? 1 ? ?0 0 0 1 ?2 ? 3 ? ? 0 ? ? ? ? x1 ? ? ?1 ? ? 1? ? ? 所以方程组有无穷多解,且其通解为? x2 ? ? ? ?2 ? ? c ? 1 ? 。 ? ? ? ? ? 0? ? 1? ?x ? ? ? ? 3? ? ? 二.齐次线性方程组 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0, ? a x ? a x ? ? ? a x ? 0, ? 21 1 22 2 2n n ? ??? ? ? am 1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0. ? 系数矩阵 ? a11 ? ? a21 A? ? ? ? ? am 1 a12 a22 ? am 2 ? a1n ? ? ? a2 n ? ? ? ? ? ? amn ? 未知数向量 ? x1 ? ? ? x?? ? ? ?x ? ? n? Am?n x ? 0 定理 3 对于线性方程组 Am?n x ? b (1)无解 ? R( A) ? R( A, b) ; (2)有唯一解 ? R( A) ? R( A, b) ? n ; (3)有无穷多解 ? R( A) ? R( A, b) ? n . (在前面已经介绍,此处用作对比) 定理 4 Am?n x ? 0只有零解(唯一解) ? 秩 R( A) ? n ; Am?n x ? 0有非零解(无穷多解) ? R( A) ? n 。 推论 1 (方阵情况) An x ? 0 只有零解 ? A ? 0 ; An x ? 0 有非零解 ? A ? 0 。 推论 2 方程的个数小于未知数个数,则一定有非零解。 求 Ax ? 0 通解的方法 (1)利用初等行变换将系数矩阵 A 其化行最简形, (2)从行最简形写回线性方程组,并将每个首非零元素对应的 变量放在等号的左边,其余变量(称为自由未知量)移到 等号的右边, (3)添加方程 xi ? xi ,其中 xi 为每个自由未知量, (4)将自由未知量 xi 换成 c1 , c2 ,? 等,写出线性方程组的解或 通解。 ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 4 x4 ? 0 , ? 例 10 求线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 0 ,的通解。 ? 3x ? x ? 5x ? 2x ? 0 2 3 4 ? 1 解题主要步骤: 其系数矩阵为 ? ?1 0 ? 1 2 3 4 ? ? A= ? 2 ?1 2 ?2 ? ? ? 0 1 ? ? ? ? 3 1 5 2 ? ? ? ? 0 0 ? ? ? 7 ? ? ? 5 ? x1 ? ? ? ?8 ? ? ? ?x ? ? 2? 4? 故通解为 ? 2 ? ? c1 ? ? ? c2 ? ? 。 ? 5? ? x3 ? ? 0? ? 1 ? ? ? ? ? x4 ? ? 1? ? ? ? ? 0 ? ? ? 7 ? 5 4 5 0 ? 8 ? ? ?2 ? , ? 0 ? ? ? ? 例 12 a 为何值时,方程组 ? x2 ? ax3 ? 0, ? x1 ? ? x ? (a ? 1) x ? (1 ? a ) x ? 0, ? 1 2 3 ? x1 ? x2 ? a 2 x3 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? (2a ? 1) x3 ? 0 ? 有非零解? 1 ? 1 ? ?1 a ? 1 提示: A ? ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ?0 ??? a2 ? ? 0 ? ? 2a ? 1 ? ? 0 a 1? a 1 a 0 0 a 1 1 0 ? ? ? ? ? ? 推论: 线性方程组 Am?n x ? b 有解 ? R( A) ? R( A, b) 。 (在前面已经介绍,此处作对比) 定理 5 矩阵方程组 AX ? B 有解的充分必要条件是 R( A) ? R( A, B) .