运 输 问 题 (Transportation Problem) 运输问题及其数学模型 表上作业法 应用问题举例 ? 本章讨论一类重要的线性规划问题 ——运输问题 研究单一物资的调运问题:将某种物资 从若干个产地调运到若干个销地,在每个产 地的供应量和销地的需求量已知的前提下, 如何在多个可行的调运方案中,确定一个使 总的运输费用最少的方案。 ? 重点内容:产销平衡运输问题 ? 数学模型 ? 表上作业法 一、运输问题及其数学模型 例:某运输问题的资料如下: 单位 销地 运价 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 2 1 8 3 9 3 4 8 10 4 2 4 2 2 5 6 9 5 7 如何调运物品,使总的运输费用最小? 设 x ij 为运量 目标函数: min Z ? 2 x 11 ? 9 x 12 ? 10 x 13 ? 2 x 14 ? x 21 ? 3 x 22 ? 4 x 23 ? 2 x 24 ? 8 x 31 ? 4 x 32 ? 2 x 33 ? 5 x 34 ? x 11 ? ? x 21 ? ? ? x 31 ? ? ? x 11 ? 约束条件: ? x ? ? 12 ?x ? 13 ? ? x 14 ? ?x ? ? ij x 12 ? x 13 ? x 14 ? 9 x 22 ? x 23 ? x 24 ? 5 x 32 ? x 33 ? x 34 ? 7 x 21 ? x 31 ? 3 x 22 ? x 32 ? 8 x 23 ? x 33 ? 4 x 24 ? x 34 ? 6 0 ( i ? 1 .2 .3 , j ? 1 .2 .3 .4 ) 数学模型的一般形式 已知资料如下: 销 产 地 地 c ij 为 A ij 到 B ij 的单位运价 B1 c11 ? c m1 ? ? Bn c1 n ? c mn 产 量 A1 ? Am 销 量 运价 ? a1 ? am ?a i ?1 m i b1 ? bn ? ? j? i n bj 供需平衡 当产销平衡时,其模型如下: min Z ? ??c i ?1 j ?1 m n ij x ij ? n x ij ? a i,( i ? 1, 2 , ? , m ) ? ? j ?1 ? m ? s .t .? x ij ? b j,( j ? 1, 2 , ? , n ) ? i ?1 ? x ij ? 0 ,( i ? 1, 2 , ? , m ; j ? 1, 2 , ? n ) ? ? ? ? ? ?a i ?1 m i ? ?b j ?1 n j 当产大于销时,模型 min Z ? 当产小于销时,模型 ??c i ?1 j ?1 m n ij x ij min Z ? ??c i ?1 j ?1 m n ij x ij ? x ij ? a i ? ? x ij ? b j ( ? ? x ? 0 ? ij ? ? ? ? ai ? ? bj) ? x ij ? a i ? ? x ij ? b j ? ? ? x ij ? 0 ? ? ? ( ?a i ? ?b j ) 假设: a ij ? 0 , b j ? 0 , c ij ? 0 特征: 1、平衡运输问题必有可行解,也 必有最优解; 2、运输问题的基本可行解中应包 括 m+n-1 个基变量。 运输问题约束条件的系数矩阵 x 11 x 12 ? x 1 n x 21 ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 1 1 ? 1 ? 1 1 1 ? 1 1 ? 1 1 1 ? 1 1 ? 1 x 22 ? x 2n ? x m1 x m2 ? x mn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m n 系数列向量的结构: A ij ? ( 0, 0, 0 ? ,, 0, 0 ) ? 1, 0 1, ? 第 i个 第 ( m ? j )个 T 运输问题具有的特点: (1)约束条件系数矩阵的元素等于0或1; (2)约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元 素,这对应于每一个变量在前m个约束方程 中出现一次,在后n个方程中也出现一次。 对产销平衡运输问题,还有以下特点: (1)所有结构约束条件都是等式约束; (2)各产地产量之和等于各销地销量之和。 平衡表、运价表合二为一: 销 产 A1 A2 ┇ B1 c11 x11 c21 x21 ┇ cm1 Am 销量 xm1 b1 B2 c12 x12 c22 x22 ┇ cm2 xm2 b1 … … … ┇ x2n ┇ cmn xmn bn am … x1n c2n a2 ┇ … Bn c1n a1 产量 二、表上作业法 计算步骤: (1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法) 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。(闭回路法或位势法) 判别是 否达到最优解。如已是最优解,则停止计算,否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善,找出新的调运方案。 (表上闭回路法调整) (4) 重复(2)、(3),直到求得最优调运方案。 1、求初始方案 例一、某运输资料如下表所示: 单位 销地 运价 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 3 1 7 3 11 9 4 6 3 2 10 5 10 8 5 6 7 4 9 (1)最小元素法: 基本思想是就近供应,即从运价最小的地方开始供 应(调运),然后次小,直到最后供完为止。 B1 A1 A2 3 1 11 B2 3 B3 4 B4 10 产量 73 3 8 9 2 41 3 1 4 10 5 A3 销量 7 93 3 6 3 6 3 6 5 4 总的运输费用=(3×1)+(6×4) +(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元 (2)西北角法(或左上角法): 此法是纯粹的人为的规定,没有理论依据和实际背 景,但它易操作,特别适合在计算机上编程计算,因 而受欢迎。方法如下: 3 4 2 6 6 2 0 0 0 2 3 5 5 5 5 3 0 7 4 0 0 0 0 4 4 4 2 0 0 6 9 9 9 9 9 0 6 6 3 4 0 0 6 0 2 2 0 6 0 0 3 6 6 总的运费=(3×3)+(4×11)+(2×9) 0 +(2×2)+(3×10)+(6×5)=135元 3 0 0 0 0 0 (3)沃格尔法 . 销地 分别计算各行、各列次小、最小运价的差额, B1 B2 B3 B4 行差额 优先在最大差额处进行供需搭配。 产地 A1 A2 A3 列差额 3 1 7 2 11 9 4 5 3 2 10 1 10 8 5 3 0 1 1 步骤: 10 计算未划去行、列的差额; 20 找出最大差额对应的最小元素cij进行供需分配; 30 在未被划去的行、列重新计算差额。 A1 A2 A3 列差额 B1 3 1 7 2 B2 11 9 4 5 B3 3 2 10 1 B4 10 8 5 3 行差额 0 1 1 产 A1 A2 销 B1 B2 B3 B4 供量 7 4 A3 销量 3 6 6 5 6 9 B1 A1 A2 A3 列差额 B2 11 9 4 B3 3 2 10 1 B3 B4 10 8 5 3 B4 行差额 3 1 7 2 B1 0 1 2 产 A1 A2 销 B2 供量 7 4 A3 销量 3 6 6 5 3 6 9 A1 A2 A3 列差额 B1 3 1 7 2 B1 3 B2 11 9 4 B3 3 2 10 1 B3 B4 10 8 5 2 B4 行差额 0 1 产 A1 A2 销 B2 供量 7 4 A3 销量 3 6 6 5 3 6 9 A1 A2 A3 差额 B1 3 1 B2 11 9 B3 3 2 B4 10 8 差额 7 6 7 销 4 10 1 B3 5 2 B4 供量 7 4 9 产 A1 A2 A3 B1 3 B2 5 6 3 6 5 2 1 3 6 销量 2、解的最优性检验(检验数的求法) 两种常用方法:闭回路法、对偶变量法 (1)闭合回路法: σij≥0 (因为目标函数要求最小化) 表格中有调运量的地方为基变量,空格处为非基变 量。基变量的检验数σij=0,非基变量的检验数 σij≥0。 σij< 0 表示运费减少, σij> 0 表示运费增加。 闭回路:从空格出发顺时针(或逆时针) 画水平(或垂直)直线,遇到填有运量的方格 可转90°,然后继续前进,直到到达出发的 空格所形成的闭合回路。 ?调运方案的任意空格存在惟一闭回路。 最 小 元 素 法 B1 A1 A2 A3 销量 3 1 (+1) (-1) 3 ① ③ B2 B3 ③ B4 3 产量 7 4 (-1) 4 ② (+1) 1 6 6 5 3 6 9 X11(空格处( A1 B1 ))为换入变量,x11增加1,运 费的变化为:c11 ? c13 ? c 23 ? c 21 ? 3 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 。 这个变化就是x11的检验数,故 σ11=1 B1 A1 A2 A3 销量 3 1 B2 2 B3 4 B4 3 产量 7 4 3 6 6 1 3 5 6 9 B1 A1 A2 A3 销量 3 1 B2 2 B3 4 B4 3 产量 7 4 9 3 6 6 1 -1 3 5 6 B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3 B2 2 1 6 6 B3 4 1 B4 3 -1 3 产量 7 4 9 5 6 B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3 B2 2 1 6 6 B3 4 1 12 5 B4 3 -1 3 6 产量 7 4 9 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 1 3 10 3 2 1 6 6 4 1 12 5 3 -1 3 6 7 4 9 检验数中有负数,说明原方案不是最优解。 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 1 0 10 3 2 1 0 6 0 0 12 5 0 -1 0 6 7 4 9 (2)对偶变量法(位势法) min z ? ? ? c ij x ij i?1 j?1 m n ui vj ? x ? ai ( i ? 1 ,? , m ) ? ?1 ij ? j? ? m ?? x ? b ( j ? 1 ,? , n ) j ? i ? 1 ij ? x ij ? 0 ( i ? 1 ,? , m ; j ? 1 ,? , n ) n m个 n个 设ui,vj为对偶变量,标准型运输问题的对偶问题模型 m n max w ? ∑a i u i ? ∑b j v j ? u i ? v j ? c ij ? ? ? i ? 1, , m s .t .? j ? 1, , n ? ? ? u i , v j 无约束 ? i?1 j?1 m n i i max w = ∑a u i =1 + ∑b j =1 j vj ? u i ? v j ? c ij ? s .t .? ? u i , v j 无约束 ? ( i ? 1, ? , m ; j ? 1, ? , n ) 基变量的检验数: ? ij ? c ij ? ( u i ? v j ) ? 0 i, j ? B 得m+n-1个方程,令某个ui ( 或vj)=0,可解 出m+n个ui 和vj;由此得非基变量的检验数。 非基变量的检验数: ? ij ? c ij ? ( u i ? v j ) i, j ? N 接上例: Cij(成本表) B1 B2 B3 B4 B1 (ui+vj) B2 B3 B4 A1 A2 A3 1 4 3 2 v2 v3 10 5 u1 u2 u3 v1 v4 A1 2 A2 1 A3 -3 2 9 8 4 9 10 0 9 -1 -2 5 -5 3 10 3 2 u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令: u1=0 u1=0 u2 =-1 u3 =-5 v1=2 v2 =9 v3 =3 v4 =10 按σij=cij-(ui+vj) 计算检验数,并以σij≥0 检验。 cij A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 10 8 5 A1 A2 B1 2 1 (ui+vj) - B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5 A3 -3 σij B1 = A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 -1 12 0 表中还有负数,说明 还未得到最优解,应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数? 相同 3、解的改进 ——闭合回路调整法(原理同单纯形法一样) 上例: min( σ ij ? 0 ) ? ? pq i ,j xpq为换入变量 x 24 产量 B1 B2 B3 (+1) B4 A1 A2 3 4 (-1) 3 7 4 (-1) 1 (+1) -1 A3 销量 3 6 6 5 换出变量 3 6 9 ? = m in { 1 , 3 } = 1 x 23 B1 A1 B2 B3 B4 产量 7 (+1) 4 (-1) 3 A2 A3 3 6 (-1) 1 (+1) 4 9 3 销量 3 B1 A1 A2 A3 销量 3 3 6 B2 5 B3 5 B4 2 1 3 6 6 产量 7 4 9 6 6 5 Cij(成本表) A1 A2 A3 B1 3 1 7 v1 B2 11 9 4 v2 B3 3 2 10 v3 B1 B4 10 8 5 v4 B2 u1 u2 u3 A1 A2 A3 B1 3 1 (ui+vj) B2 B3 B4 9 3 10 0 7 1 8 -2 -2 4 -2 5 -5 3 9 3 10 所有σij≥0 得到最优解, 最小运费为85元。 (Z1=z0+σ24θ =86-1×1=85) B3 B4 A1 A2 A3 0 0 9 2 2 0 0 1 12 0 0 0 4、几点说明 (1)min (σij<0)= xpq对应的变量为换入变量 (2)无穷多最优解:产销平衡的运输问题必定存最优 解。如果非基变量的σij=0,则该问题有无穷多最 优解。如上例: σ11的检验数是 0,经过调整,可 得到另一个最优解。 (3)退化:表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时, 在分配运量时则需要同时划去一行和一列,这时需要 补一个0,以保证有(m+n-1)个数字格。一般可在划去 的行和列的任意空格处加一个 0 即可。 例1: A1 B1 7 B2 8 B3 1 B4 4 3 2 1 3 5 0 5 2 6 8 2 1 7 6 A2 A3 2 1 2 6 4 1 3 2 7 5 7 6 5 8 例2: B1 A1 A2 A3 1 3 2 B2 2 1 3 B3 2 3 1 1 2 4 B1 B2 2 0 B3 A1 A2 A3 1 0 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 三、产销不平衡的运输问题及其求解方法 1、产大于销:模型 min Z ? ??c i?1 j?1 m n ij x ij ? ? x ij ? a i ? ? ? x ij ? b j ? x ? 0 ? ij ( ?a i ? ?b j ) 方法是先将原问题变成平衡问题,需假设一个销地 (Bn+1 )(实际上考虑产地的存量), 模型为: min Z ? ?? c ij x ij ? n?1 ? ? x ij ? a i ? j?1 ? m ? ? ? x ij ? b j ? i?1 ?x ? 0 ij ? ? ? (? a i ? i ?1 m ? j?1 n b j ? bn?1 ? ? n?1 bj) j?1 例题: P68 单位运价表中的单位运价为 c i?, n ? 1 ? 0 2、销大于产:同样假设一个产地即可,变化同上。 四、应用问题举例 由于在变量相等的情况下,表上作业法 的计算远比单纯形法简单得多。所以在解决 实际问题时,人们常常尽可能把某些线性规 划的问题化为运输问题的数学模型。 例、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、 15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度 的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果 生产出来的柴油机当季不交货,每台每积压一个季 度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同 的情况下,使该厂全年生产总费用为最小的决策方 案。 一季度 二季度 三季度 四季度 生产能力(台) 25 35 30 10 单位成本(万元) 10.8 11.1 11.0 11.3 解:由于每个季度生产出的柴油机不一定当季交货,所以设 xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数。那么应满足 交货:x11 = 10 生产:x11+x12 +x13 +x14 ≤ 25 x12 +x22 = 15 x22+x23 +x24 ≤ 35 x13 +x23 +x33 = 25 x33 +x34 ≤ 30 x14 +x24 +x34 +x44= 20 x44 ≤ 10 第i季度生产的用于第j季度交货的每台柴油机的实际成本 cij应该是该季度单位成本加上储存、维护等费用。cij的具体 数值见下表: j i 1 10.80 2 10.95 11.10 3 11.10 11.25 11.00 4 11.25 11.40 11.15 11.30 1 2 3 4 ?把第i季度生产的柴油机数目看作第i个生产厂的产 量—ai;把第j季度交货的柴油机数目看作第j个销售点 的销量——bj;单位成本加储存、维护等费用cij看作运 费。可构造下列产销平衡问题: min z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? i ?1 j ?1 4 4 4 c ij x ij ? j ?1 x ij ? a i s .t . ? i ?1 4 x ij ? b j x ij ? 0 目标函数: Min z= 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44 交货季 生产季 1 10.80 M M M 10 2 10.95 11.10 M M 15 3 11.10 11.25 11.00 M 25 4 11.25 11.40 11.15 11.30 20 D 0 0 0 0 30 产 量 1 2 3 4 销 量 25 35 30 10 最优方案之一: 交货季 生产季 1 10 2 15 3 0 5 20 4 D 产 量 1 2 3 4 销 量 25 30 10 10 35 30 10 30 10 15 25 20 该厂总的生产(包括储存、维护)的费用为773万元。 例:某一实际的运输问题可以叙述如下:由 n个地区需要某种物资,需要量分别不少于 bj(j=1,…,n)。这些物资均由某公司分设 在m个地区的工厂供应,各工厂的产量分别 不大于ai(i=1,…,m),已知从i地区工厂至 第j个需求地区单位物资的运价为cij, 又 ? a ? ? b ,试写出其对偶问题,并解释 对偶变量的经济意义。 m n i j i ?1 j ?1 由题给出的条件, 数学模型可写为 min z ? 对偶问题可写为 : max z ? ? ??c i ?1 j ?1 m n ij x ij ?b j ?1 n j vj ? ? i ?1 m a iu i ? n ? ? x ij ? a i ? ? jm 1 ? st .? ? x ij ? b j ? i ?1 ? x ij ? 0 ? ? ( i ? 1 ,? , m ) ( j ? 1 ,? , n ) ? v j ? u i ? c ij st .? ? ui ,v j ? 0 ( i ? 1 ,? , m j ? 1 ,? , n ) max z ? ? ?b j ?1 n j vj ? ? i ?1 m a iu i 对偶变量的经济意义: ui为在i产地单位物资的价格 vj为在j销地单位物资的价格 ? v j ? u i ? c ij st .? ? ui ,v j ? 0 ( i ? 1 ,? , m j ? 1 ,? , n ) 对偶问题的经济意义: 如该公司欲自己将该种物资运 至各地销售,其差价不能超过两 地之间的运价(否则买主将在i 地购买自己运至j地),在此条 件下,希望获利为最大。 练习: 已知某运输问题的资料如下表所示 B1 A1 A2 A3 收量 B2 B3 B4 发量 2 1 3 10 6 3 2 13 5 2 7 12 3 1 4 5 15 12 13 1、表中的发量、收量单位为:吨,运价单位为:元/吨 试求出最优运输方案. 2、如将A2的发量改为17,其它资料不变,试求最优调 运方案。 解:1、用最小元素法求初始方案 B1 A1 A2 A3 收量 B2 B3 B4 发量 2 1 3 10 B1 6 3 2 13 B2 5 2 7 12 B3 12 3 1 4 5 B4 3 15 12 13 发量 15 A1 A2 A3 收量 10 13 10 13 12 2 0 5 12 13 解:1、用最小元素法求初始方案 B1 B2 B3 B4 发量 15 12 13 A1 A2 A3 收量 12 10 13 10 13 12 3 2 0 5 运费为107元 2、用位势法判断: 成本表 B1 B2 B3 A1 A2 5 1 B4 3 1 A1 A2 B1 1 v1 B2 B3 5 B4 3 1 ui u1 u2 A3 2 4 A3 vj 2 v2 v3 4 v4 u3 B1 A1 A2 A3 vj 1 v1 B2 B3 5 B4 3 1 4 v4 ui u1 u2 u3 2 v2 v3 u1+v3=5 u2+v4 =1 u1+v4 =3 u3+v2=2 u2+v1=1 u3+v4 =4 令: u1=0 u1=0 u2=-2 u3 =1 v1=3 v2 =1 v3 =5 v4 =3 B1 A1 A2 1 3 B2 B3 5 A3 vj 2 1 5 B4 ui 3 0 1 -2 4 1 3 (ui+vj) B1 B2 B3 B4 ui A1 A2 A3 vj 3 1 4 3 1 -1 2 1 5 3 6 5 3 1 4 3 0 -2 1 cij A1 B1 2 B2 6 B3 5 B4 3 - A1 A2 A3 (ui+vj) B1 B2 B3 3 1 5 1 -1 3 4 2 6 B4 3 1 4 = A2 A3 1 3 3 2 2 7 1 4 σij B1 B2 B3 B4 A1 -1 A2 0 A3 -1 5 4 0 0 -1 1 0 0 0 表中还有负数,说明 没有得到最优解,调 整运输方案。 新的运送方案 B1 B2 B3 B4 +2 A1 A2 A3 10 13 12 -2 B1 B2 3 2 +2 -2 A1 A2 A3 10 13 B3 10 2 105元 B4 5 0 0 总的运费 (ui+vj) A1 A2 A3 vj B1 4 1 5 4 1 新的成本表 B4 3 0 4 3 ui 0 -3 1 B1 B2 B3 B4 B2 1 B3 5 2 6 5 -2 2 1 A1 A2 A3 1 2 5 2 3 4 cij A1 B1 2 B2 6 B3 5 B4 3 - A1 (ui+vj) B11 B2 4 1 B3 5 B4 3 = A2 A3 1 3 3 2 2 7 1 4 A2 A3 1 5 -2 2 2 6 0 4 (σij)1 B1 B2 B3 B4 A1 -2 A2 0 A3 -2 5 5 0 0 0 1 0 1 0 表中还有负数,说 明没有得到最优解, 继续调整运输方案。 新的运送方案 B1 A1 B2 B3 10 B4 5 0 A1 B1 10 13 总的运费 85元 B2 B3 0 B4 5 0 A2 A3 10 13 2 A2 A3 12 (ui+vj)2 A1 A2 A3 vj B3 5 -1 -2 2 3 2 6 2 1 5 B1 2 B2 1 B4 ui 3 0 0 -3 4 1 3 新的成本表 B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3 2 2 5 2 3 4 cij A1 B1 2 B2 6 B3 5 B4 3 - A1 (ui+vj)2 B1 2 B2 1 B3 5 B4 3 = A2 A3 1 3 3 2 2 7 1 4 A2 -1 -2 A3 3 2 2 6 0 4 (σij)2 B1 A1 A2 A3 0 2 0 0 B2 5 5 0 B3 0 0 1 B4 0 1 0 表中没有负数,说 明已经得到最优解。 但有无穷多最优解。 最终的运送方案 B1 B2 B3 12 13 总的运费 85元 B4 A1 A2 A3 10 5 B1 B2 B3 B4 发量 A1 A2 A3 收量 2 1 3 10 B1 6 3 2 13 B2 5 2 7 12 B3 12 3 1 4 5 B4 15 12 13 发量 15 A1 3 A2 A3 收量 7 13 10 13 0 12 5 12 13 5 A1 A2 A3 成本表 B1 B2 B3 2 5 1 2 7 B4 A1 B1 2 B2 B3 5 7 v3 B4 ui u1 1 A2 A3 vj 1 v1 2 v2 1 v4 u2 u3 u1+v1=2 u2+v4 =1 u1+v3 =5 u3+v2 =2 u2+v1=1 u3+v3 =7 令: u1=0 u1=0 u2=-1 u3 =2 v1=2 v2 =0 v3 =5 v4 =2 cij A1 A2 A3 B1 2 1 3 B2 6 3 2 B3 5 2 7 B4 3 1 4 (ui+vj) - A1 A2 A3 vj B1 2 1 4 2 B2 0 -1 2 0 B3 5 4 7 5 B4 2 1 4 2 ui 0 -1 2 σij B1 B2 B3 B4 ui = A1 A2 A3 vj 0 0 -1 6 4 0 0 -2 0 1 0 0 B1 A1 A2 A3 收量 10 B1 A1 A2 10 3 7 B2 B3 12 B4 发量 15 5 13 13 B2 0 12 B3 5 7 5 5 B4 12 13 发量 15 12 A3 收量 10 13 13 0 12 5 13 成本表 B1 B2 B3 A1 A2 A3 2 2 5 2 7 B4 1 A1 A2 A3 vj B1 2 B2 B3 5 2 7 5 B4 1 4 ui 0 -3 2 2 2 0 u1+v1=2 u2+v4 =1 u1+v3 =5 u3+v2 =2 u2+v3=2 u3+v3 =7 令: u1=0 u1=0 u2=-3 u3 =2 v1=2 v2 =0 v3 =5 v4=4 cij A1 A2 A3 B1 2 1 3 B2 6 3 2 B3 5 2 7 B4 3 1 4 (ui+vj) - A1 A2 A3 vj B1 2 -1 4 2 B2 0 -3 2 0 B3 5 2 7 5 B4 4 1 6 2 ui 0 -1 2 σij A1 A2 A3 vj B1 0 2 -1 B2 6 6 0 B3 0 0 0 B4 -1 0 -2 ui = B1 A1 A2 10 B2 B3 5 7 B4 发量 15 5 12 A3 收量 10 B1 A1 A2 A3 收量 10 10 13 13 B2 0 12 B3 5 7 5 0 12 5 5 B4 13 发量 15 12 13 13 13 B1 B2 B3 B4 B5 发量 A1 A2 A3 收量 2 1 3 10 B1 6 3 2 13 B2 5 2 7 12 B3 10 3 1 4 5 B4 0 0 0 5 B5 5 15 17 13 发量 15 A1 A2 A3 收量 10 13 10 13 2 5 0 17 13 5 12 5 成本表 B1 A1 B2 B3 5 B4 B5 0 B1 A1 B2 B3 5 B4 B5 0 ui u1 A2 A3 1 2 2 1 4 A2 A3 vj 1 v1 2 v2 2 v3 1 4 v4 u2 u3 v5 u1+v3=5 u2+v3 =2 u1+v5 =0 u2+v4 =1 u2+v1=1 u3+v2=2 u3+v4=4 令: u1=0 u1=0 u2=-3 u3 =0 v1=4 v2 =2 v3 =5 v4 =4 v5=0 (ui+vj) A1 B1 4 B2 2 B3 5 B4 4 B5 0 ui 0 B1 A1 A2 A3 2 1 3 6 3 2 cij B2 B3 5 2 7 B4 3 1 4 B5 0 0 0 A2 A3 vj 1 4 4 -1 2 2 2 5 5 1 4 4 -3 0 0 -3 0 σij B1 B2 B3 B4 B5 A1 A2 A3 -2 0 -1 4 4 0 0 0 2 -1 0 0 0 4 0 B1 A1 A2 A3 10 B2 B3 10 2 B4 B5 5 发量 15 17 13 5 0 13 收量 10 B1 13 B2 12 B3 0 12 5 B4 5 B5 5 发量 15 17 A1 A2 10 5 A3 收量 10 13 13 12 0 5 5 13 A1 B1 2 A2 A3 成本表 B2 B3 5 2 2 B4 B5 0 A1 B1 2 B2 B3 5 B4 B5 0 ui u1 1 4 A2 A3 vj 2 v1 2 v2 v3 1 4 v4 u2 u3 v5 u1+v1=2 u2+v4 =1 u1+v3 =5 u3+v2 =2 u1+v5=0 u3+v4=4 u2+v3=2 令: u1=0 u1=0 u2=-3 u3 =0 v1=2 v2 =2 v3 =5 v4 =4 v5=0 (ui+vj) A1 B1 2 B2 2 B3 5 B4 4 B5 0 ui 0 B1 A1 A2 A3 2 1 3 6 3 2 cij B2 B3 5 2 7 B4 3 1 4 B5 0 0 0 A2 A3 vj -1 2 2 -1 2 2 2 5 5 1 4 4 -3 0 0 -3 0 σij B1 B2 B3 B4 B5 A1 A2 A3 0 2 1 4 4 0 0 0 2 -1 0 0 0 4 0 B1 A1 A2 A3 收量 10 B1 A1 A2 10 B2 B3 0 12 B4 B5 5 发量 15 17 13 10 5 0 13 13 B2 12 B3 5 B4 0 5 B5 5 发量 15 17 12 5 A3 收量 10 13 13 12 0 5 5 13 B1 A1 A2 A3 收量 10 10 B2 B3 B4 B5 5 发量 15 17 13 12 13 13 12 5 5 5 C =75 练习: 已知资料如下表所示,问如何供电能使总的输电费 用为最小? 电力供需表 发电厂 发电量 单位输电费用 需电量 500 250 100 B1 B2 B3 B4 A1 A2 700 200 城市 B1 B2 B3 A1 A2 10 4 5 3 2 1 3 2 A3 100 B4 150 A3 5 6 3 4 初始方案 B1 A1 A2 A3 100 400 B2 250 100 B3 B4 50 100 电力供需表 发电厂 发电量 A1 A2 700 200 城市 B1 B2 B3 需电量 500 250 100 A1 A2 单位输电费用 B1 10 4 B2 5 3 B3 2 1 B4 3 2 A3 100 B4 150 A3 5 6 3 4 初始方案 B1 A1 A2 A3 100 400 B2 250 100 B3 B4 50 100 A1 A2 A3 5 B1 10 成本表 B2 5 1 B3 B4 3 2 σij = cij - (ui+vj) B1 B2 B3 B4 ui A1 A2 A3 (ui+vj) B1 10 9 5 B2 5 4 0 B3 2 1 -3 B4 3 2 -2 ui 0 -1 -5 A1 A2 A3 vj 0 -5 0 0 -1 6 0 0 6 0 0 6 vj 10 5 2 3 调运方案 B1 A1 A2 A3 100 400 B2 250 100 B3 B4 50 100 A1 A2 A3 B1 300 100 100 成本表 B4 ui B1 B2 B3 B4 B2 250 100 B3 B4 150 (ui+vj) B1 B2 B3 A1 A2 A3 vj 10 4 5 10 5 -1 0 5 7 1 2 7 3 -3 -2 3 0 -6 -5 A1 A2 A3 10 4 5 5 1 3 σij = cij - (ui+vj) A1 B1 0 B2 0 B3 -5 B4 0 ui A1 A2 A3 B1 300 100 100 调运方案 B3 B4 B1 B2 B3 B4 B2 250 100 B3 B4 150 A2 A3 vj 0 0 4 6 0 1 5 6 成本表 B1 B2 A1 A2 10 4 5 2 3 A1 A2 200 200 250 100 150 A3 5 A3 100 (ui+vj) A1 B1 10 B2 5 B3 2 B4 3 ui 0 A1 σij = cij - (ui+vj) B1 0 B2 0 B3 0 B4 0 ui A2 A3 vj 4 5 10 -1 0 5 -4 -3 2 -3 -2 3 -6 -5 A2 A3 vj 0 0 4 6 5 6 5 6 B1 B2 B3 B4 A1 A2 200 200 250 100 150 C=5200 A3 100 试用表上作业法求最优解 销地 产地 B1 3 5 9 40 B2 6 3 7 45 B3 2 6 7 55 B4 6 4 8 60 产量 55 70 75 200 A1 A2 A3 销量 B1 A1 A2 40 B2 45 B3 15 B4 25 产量 55 70 A3 销量 40 45 40 55 35 60 75 200 最小总费用为945。