⑧硕士学位论文MASTER’ S THESIS§ 1.1 无吸收介质中电磁场的正则量子化这里我们着重考虑无源场的量子化,介质中的电磁场满足Maxwel l 方程组口· B=0v× E:一色口· D=0V父H=D(1.2)其中电磁场矢量满足B=#oH,D=EoE( r) E,E( r) 是随空间位置变化的介电常数,在本节我们假定它为实数,即不考虑介质的色散与吸收,并且我们仅考虑非磁性介质(芦o=1)。引入矢势A与标势妒为E2一A—V妒(1.3)B 2V× A(1.4)由于规范不变性,我们可以选取电磁场满足介广义Coul omb规范条件甲’ (‘ (r)A)=0,妒=0(1.5)在此规范条件下Maxwel l 方程(1.2)的前三个自动得到满足,矢势A满足HeImh。Itz力V× 审× A+;A=0C‘电磁场的能量为日=;/IEo+H· B)dr=j1,/铀1[(e。A)。+譬(v× A)。】d3,(e其中d3r(‘ )兰dare(r1对矢势A(r,t)分离变量,令A(rI∞2去。车“ 屯(r)州￡) V‘、2(1.6)(1,7)(1.8) ⑧硕士学位论文MASTER’ S THESIS将此式代入方程(1.6),得V× V× A^一E警AA=0甄+u;帆=0其中u;是分离常数。(1.9)式两边乘以Ar,得(V× V× A。).Ar一若A。.Ar:。交换A与× ,得(V× V× A^,).A^一E萼A一.A^:o(1.11)一(1.12),得(1.9)(1.10)(1.11)(1.12)(口× V× A^)‘ A¨ 一(V× V× A^,)‘ A^=刍(u;一u;,)A^· A¨(1.13)将( 1.13) 两边对全空间积分,先看左边/州(VxV xA:, ) · AV-( Vx V xA,, , )A刈=/dr{[V(V· Aa)]· A。一一V2(A。.A√)一[V(V.Ar)].AA+V2(Ar.A。))=/dr{V· 【(V· A· )A州一V-[(V.A。,)A。])(1.14)其中利用了公式V‘ (妒f)=(V妒)· f+妒V· f,再利用积分变换式正fds=上V· fdV,可见(1.14)其值为o。则当u^≠ “ r时,-厂d3r(e)A^.Ar=0。选择适当的参数“ ,使得,d3r(‘ ’ [c^A^(r)].[。rA^,(r)】=民^,3 ⑧硕士学位论文MA5TER’ S THESIS将(1.8)代入(1.7),得日=;萎n扯r甄,/舟(E)Aa蛳+芸罴甄以c棚r/d3r(VxAa№× A如=互1年卧"2+萼∑c。弧c√“ ,厂d。r(v× A。)(v× Ag)“^.Ⅳ”=三2∑颤+萼∑c。蚴” d3rV.[A× (审。Ar)]+札(v。v× Ar)^.^’。=12军蠢+等∑cAqAcA'qA'd3Aa.e警A^,^A, A’。=;车(蠢州2纵2)=∑地(115)可见风是频率为u^的一个谐振子的能量,所以场的能量和一组无耦合辐射振子的无穷集合的能量相等。第A个谐振子的Hami l ton运动方程为豢一虻‰豢=甄确(116)面2一m2“ 舭赢2甄2m(1.16)这里以和肌分别是正则坐标和正则动量。根据我们熟悉的对谐振子进行量子化的过程,定义两复变量o^和。}如下aa=~/去∽帆),m=i~/竽(。j飞)(117)则日=;莩鼬· (nh+。anj)。按照标准的正则量子化流程,把力学量换成算符,并插入相应的对易关[n,庐^,J -i hSj , r从而有[舐,6支J2民门膏2莩舰^(aj舐十l/2),矢势A(r,t)可表示为A=萎低b州¨ c鼬埘】4(1.18)(1.19) 为了方便起见,可以把矢势算符A分解成A( r) =A( 十) ( r) +A( 一) ( r) ,其中A(+1(r)=∑Ar’ (r),Ar’ (r)=、/j啬以A^(r)以,A}’ (r)=【Ar’ (r)】+,通常将A(+)和A(一)称为算符A的正频分量和负频分量。从( 1.19) 出发,可推出电磁场的其它各力学量,到此基本完成了介质中电磁场的正则量子化,我们可以看出其要点在于求解给定边界条件和规范条件下的Hel mhol tz方程,得到模函数。§ 1.2 有吸收介质中电磁场的量子化方案在这一节以及下一节中我们将介绍有吸收介质中电磁场的量子化方案以及介质中原子自发发射的量子理论,其中主要参考了下列文献『2,3,4,51。从上一节中我们知道,矢势A(r,t)满足Hel mhol tz方程V× V× A(r,t)十云A(r,t)=0(1.20)作Fouri er变换po。A(r,t)=/ d∽e-i wtA(r,u)+c.c. (1.21)J 0将(1.21)代ft.(1.20),得,,2V× V× A(r,u)一≥E(r,u)A(r,u)=0(1_22)由于E( r,“ ) =妞+畸为复数,从量子理论的意义上而言这个方程作为算符A(r,u)的运动方程是不对的,并且此时A(r,u)是空间耗散的,这样对于任意的空间位置r和r’ ,对易关系[Ai (r,t),宜J (r 7,t)】不能保持不变。从阻尼系统的量子理论我们知道,只有在方程中加入一个额外的噪音算符,我们才能把阻尼系统的经典运动方程重新解释为量子算符的运动方程。审× V× A(r,。)一万W2e(r,u)A(叫)=j。(r,u) (1.23)其中j 。(r,∽)是与吸收相关的噪音流密度,当e,-+o时,j 。_÷ 0。A(r,u)=dYo(r,r’ ,u)j 。(r’ ,u) (1,24)5 其中v× v× a(r,r’ ,u)+岳E(r,u)G(r,r’ ,u)=a(r—rt),a(r,rtu)即介质中电磁场的Green函数。这样电矢势A( r) 可以表示为A(r)=/o。砌叫⋯.c=Z。础/删嘶’ 以rI,02⋯.c(1.25)由E(r,t)=-A(r,￡),可知E(r,“ ,)=i uA(r,“ )宅(r)=i/ u山/dar’ G(r,r’ ,∞)j。r’ ,u)+^.c(1.26)为了保证场算符的正则对易关系[五t(r),岛(r’ )1=一等瞄(r—r’ ),可选喇n(r,u)=羞√去e,∞)f(r,u),其中}(rlu)满足如下对易关系【五(r,u),对r,u)】=d(“ 一u’ )%d(r—r’ ),[^(r,叫),,j (r,u)】=[矿r,u),"(r,u)1=0 (1.27)经过复杂的计算后可发现,介质中电磁场f5勺Hami l toni vm算符宜可以写成如下形式矗=/dar/凼鼬pr,u).}(r,u) (1.2s)可以证明,Maxwel l 方程组可由相应电磁场矢量如电场强度丘,磁场强度B的Hei senberg运动方程推导而得。这样就基本完成了有吸收介质中电磁场的量子化。现在让我们来考虑电场E( r,u) 的真空起伏宣(r,u)=i~/-。K。。-w。)2/d3r’ 、/;j啊G(r,r’ ,u)}(rlcd) (1.29)(oI鼠(r,u)茸r‘ ,u‘ )Io)=等箬/d3r” /办” 佩巧丽研“ ¨ “ 川喇,r⋯,u,)× 最,d(r” 一r” ’ )d(u—u’ )=筹d s(蛰小,邶一郴,郴扣’ ,sfⅢ(。√)=筹,碱tr,r' ,ca以u√)(13。)6 其中利用了格林函数的性质,护s(:)2e,(s,w)Ck|f(r,s,。)Gi (r7,s,u)=ImGkf(r,r’ ,u)可见电磁场的真空起伏由其Green函数的虚部所决定。§ 1.3介质中原子自发发射的量子理论自发发射是电磁场真空起伏的一个量度。众所周知,自由空间中二能级原子的自发发射速率为Fo=j ;i 羔,其中d=(fl aAl 牡)是原子偶极算子aA在激发态l 乱) 和基态l f) 之间的矩阵元,u_是原子跃迁频率。现在的问题是,如果原子处于介质中,那么原子所感受到的真空就发生了改变,此时原子的自发发射速率会受到什么样的影响呢?原子与场耦合系统的Hami l toni an量宵为叠=京A+螽M+矗m=/卉Z。。嘶,蛳㈦卅莓去‰乳A。)2+;/d3rpn(r)9n(r)+j1/d3rp“ (r)9” (r)(1.31)其中只4=∑菸+{f d3r以(r)山(r)是原子的Hami l toni an量。以(r)=∑%6(r—i a),扎(r)=,d3r’ i :黧毒南。宜” =,d3r伊du^up r,甜)}(r,u)是电磁场及介质的Hami l toni an量。宜。t=一∑象氲A(屯)+,d3r加(r)pM(r)是相互作用Hami l t彻i an量a在这里我们忽略了小量∑熹A2(f。)。假定原子核位于r^,由偶极近似,忘。。的第一项可变为一;老乱矗(蚝)。一∑n襄‰岛】.▲ (r一)-一纛‰矾J.A(r一)(1_32)其中利用了氐=等[虹,窟乩胁=∑%}。。n现在我们只考虑一个由激发态;u)和基态}! )组成的两能级原子系统矾=鼬。㈤(“ I+鼬tIO<tl=;“ ,肮+c洲t.(133)7 ⑧硕士学位论文MASTER’ S TtIESl S令亏2 l t)(ul ,a+2f“ )(ff,03A=uu一劬,盯z=fⅡ)(“ J —J z)(f J ,贝U有声A=d( 疗+占+) ,又在库仑规范下可-A=0,故与A有关的是横向场E-,即A( rA) :伊du占亩1(rA,u)+^.c,此时有一莩老虹㈨=(方∥ )【Z。扎詈虮‰小胁Ⅲ=一p+宜1‘ +’ (r^)· d+^.c](1.34)上式利用了旋波近似,略去了能量不守恒的项。加(r)=∑qag(r一}。)≈∑qJ(r—r一)一V· [5(r-rA)∑%(i 。一“ )]2一V’ fd(r—r^)应^】f1.35)则/‘ d3r以(啦(r)。一fd3r7,陋r-rA)训沁)2./d3r[5(r-rA)应一‘ 甲p(r)卜/dsS(r-rA)应。p(r)=一D^‘ 啻/7(rA)=一p+亩//(+’ (r^).d+^c.](1.36)综合得相互作用Hami l toni an为宜nc=一p+· 电+(r^)· d+^c.]f1.37)则系统的总Hami l toni an为疗=;勘一a:+/卉/o” 幽勘,+(r,u),(r,u)一矿驴(叫.d十肌]0.3s)由此我们可推导出原子赝自旋算符和场算符的Hei senberg运动方程为占:=百2i 子+宅(+’ (rH).d+^。 (1.39)孔=iu^虬+i宜‘ 一’ (r^)’ d子:(1.40);(r}小吨婚,卅苦\it/掣G№¨ ,州占(141)C‘ 冗丌En、‘ “ ’’、⋯‘ 7 根据f1.41)有酏u)e-iuJ(t-t' )地u,¨ 万022/E,(r,叫)V而将【1.42)代八(1.29),得,OO叠(+’ (r,￡)=/t山杰(r’ u,t)J 0=宜龇卅嘉Z” 山警/西’ 警e,rs,(d腓r’ 川-G+(rA,r’ ,u)d/.dre一“ (“ 7)子(r)=宜龇卅志Z。扎苦M r,rA,w)d/:。一” %㈩(1t。)在Markov近似下弘e却卜%㈩z￡机⋯。一%㈩州t)￡机叫⋯删一,=占(t)fdre2‘ ⋯4一“ 卜dT=寺(t)((u^一u)(1.44)J O其中( 兰” J ( z) +i Pz~。于是有妒)(r,垆宜斌小,¨ 去Z。。du警M r, rA, W)蜊@。刊=观∽¨ 尝Mcr,rA,idA黼卜熹Z。。山箬ImG(r,rA,w)dS(t)uA—b3(1.45)将(1.45)代入(1.39)和(1.40),则原子赝自旋算符的Hej senberg运动方程可简化为以=芸占+亩镜小^)d—r(1+bz)鼽c“ =№A一扎)一r/21亏++id喇。(r^溉9(1.46)(1.47)2 ㈤M^口(1 u咒 dr厶d u rAr{G 其中r=垒i i 竽』mG巧(rA,rA,u^)是原子的自发发射速率。而du=糕P∥ du荸里%!;::趔是真空Lamb移位。G,j是Green函数张量G的分量。对tt(i .30)可以看出r=筹d西/dw(0}Ei(ra,u)骘(rA舢)10)(1.48)’ ”JU与Fermi 黄金规则相稳合。必须指出的是,在推导上述公式时我们采用了Markov近似,这只有在电磁场与原子之间是弱耦合时才近似得到满足。如果原子与电磁场之间是强耦合,我们就必须采用其它的方法来进行处理。§ 1.4本论文的主要工作在对介质中电磁场进行量子化的基础上,在第二章中我们计算了一维光子晶体中电磁场的Green函数,并考察了一维光子晶体中原子自发发射的寿命分布,发现光子晶体效应能导致原子自发发射过程的同时加快和减慢。在第三章中我们研究了一个置于两介质平板之间的v型三能级原子的量子干涉性质,发现由于介质所诱导的真空各向异性,即使此v型三能级原子的两电偶极矩互相垂直,量子干涉依然能够出现。最后一章我们应用共振荧光理论,研究了一个置于腔中的V型三能纽原子的共振荧光的压缩谱,探讨了腔诱导量子干涉对原子共振荧光相振幅的压缩谱的影响。结果表明,原子与腔之间的耦合能够导致压缩增强。适当调节腔的共振频率,可以使压缩效应增强或减弱。10 第二章 光子晶体及其对原予自发发射的影响§ 2.1光子晶体光子晶体被定义为介电常数在三维方向上周期性变化的介质结构,每个周期的大小接近于光学波长【6】。一维和二维的光子晶体也能表现出有意思的性质。周期性变化的介质结构对电磁波的影响类似于周期性的晶格势对电子波函数的影响。对于特定方向和特定频率范围,晶体是不能给出传播解的。这样的方向和频率范围被称为禁带f71。如果存在这样一个频率范围,对于任意方向它都是一个禁带,类似于半导体中的电子带隙,这样一个频率范围就被称为光子带隙( PBG) 。从晶体外面看来,对于以任意方向入射的电磁波,如果它的频率处于光子带隙内,晶体表现出全反射性质。这种现象被称为全向内反射.光子晶体的这种性质可以用来制备超低耗镜和波导。在晶体中,禁带频率附近的电磁模密度与均匀介质中大不相同,此时自发发射可能被完全抑制。要实现这一点就要求PBG是三维的,于是所有方向的传播都能被抑制,这只能在三维光子晶体中得到实现。由于这些内在和外在的有意思的性质,光子晶体是目前研究的热点之-Is]。Li [12]珂t:究了一维光子晶体中V型三能级原子的自发发射性质,发现即使原子的两偶极矩互相垂直,由于介质结构的非均匀性所诱导的真空各向异性,从两个高能级到低能级的跃迁通道之问的量子干涉依然能够产生。这个现象与自由空间中的V型三能级原子完全不同,在那种情况下量子干涉只有在两个原子偶极矩不正交时才有可能出现。最近,Petrov[24】从试验上研究了三维光子晶体中原子核的自发发射性质,发现自发发射会被同时加速和减慢。然而。在一个类似的试验中『251,并没有观察到同样的现象。这就引起了激烈的争论【26,27,11】,其中wangf261用数值计算的方法研究了三维光子晶体中一簇原子的衰变寿命分布,他们发现光子晶体效应能够同时导致衰变过程的加速和减慢。接着他们研究了原子处于一个介质板中的情形,得到了类似的结果/27]。然而这个模型并不能构成一个真正的光子晶体,并且他们没有考虑由于介质的吸收所带来的影响。 § 2.2 一维光子晶体中原子自发发射的衰变分布原子的自发发射已经成为量子光学中许多新发现的最为严格的限制条件之一,例如高频激光、高精度测量以及量子信息的储存和传送等等。于是找出控制自发发射的方案成为量子光学感兴趣的课题。其中一个方案就是改变原子所处的环境,即改变与原子相互作用的真空模的密度分布。