李善兰,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔。出生于1811年 1月22日,逝世于1882年12月9日,浙江海宁人,是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家,创立了二次平方根的幂级数展开式,研究各种三角函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式(现称“自然数幂求和公式”),这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。求的最大值解:设则由辅助角公式易得:整理,得:令则故又有易知:化简5sina-12cosa解:5sina-12cosa=13(5/13*sina-12/13*cosa)=13(cosbsina-sinbcosa)=13sin(a-b)其中,cosb=5/13,sinb=12/13π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值解:令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a=1+sin2a+2cos²a=1+sin2a+(1+cos2a)(降幂公式)=2+(sin2a+cos2a)=2+(√2)sin(2a+π/4)(辅助角公式)因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3