光波场的脉冲响应函数为
在直角坐标系下
,z为孔和观察屏的距离。当z很大时(傍轴条件),z可以取泰勒展开的前两项:
(式1)
可以看出菲涅尔近似的实质是用二次曲面来代替球面的惠更斯子波。泰勒展开第三项带来的相位变化远小于
,可以推导出,菲涅尔衍射区为
(式2)
进一步的式1可以写为
式中最后一项引起的相位变化小于
,即孔位置不同引起的相位变化可以忽略不计
,此时就满足了夫琅禾费衍射条件。
那么这个与第一部分中的菲涅耳数有什么关系?
其中
(正方形面积),带入上式可得
(式3)与第一部分相吻合
(3)实验现象的区别
菲涅尔衍射图样的复振幅正比于
的傅里叶变化,
因此在菲涅尔衍射区,随着观察屏距离的变化,仅考察轴上衍射图样,会出现明暗交替的情况。
夫琅禾费衍射图样的复振幅正比于
的傅里叶变化,
因此在夫琅禾费衍射区,随着观察屏距离的变化,衍射图样会在轴上不会出现明暗交替的情况,衍射斑的大小会变化,但形状一直不变,而强度与观察角度有关。
(4)举个栗子
波长为600nm的激光,在直径为2mm的孔上想产生菲涅尔衍射,根据 公式2 ,观察屏距离应大于37.6mm。若发生夫琅禾费衍射,根据公式3,观察屏距离应大于6.66米。因此夫琅禾费衍射的观察,通常将观察屏放到一个透镜的焦平面上来简单获得远场条件。