鸽巢原理(Pigeonhole Principle)
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什么是鸽巢原理
鸽巢原理又名抽屉原理或狄利克雷原理,它由德国数学家狄利克雷(Divichlet,1805—1855)首先发现。鸽巢原理在组合学中占据着非常重要的地位,它常被用来证明一些关于存在性的数学问题,并且在数论和密码学中也有着广泛的应用。使用鸽巢原理解题的关键是巧妙构造鸽巢或抽屉,即如何找出合乎问题条件的分类原则。[1]
鸽巢原理的形式[1]
鸽巢原理的简单形式:如果n+1个物体被放进n个盒子,那么至少有一个盒子包含两个或者更多的物体。
证明:如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体,那么物体的总数最多是n。既然我们有n+1个物体,于是某个盒子就必然包含至少两个物体。
鸽巢原理的加强形式:令Q1,Q2,……,Qn为正整数,如果将Q1+Q2+…+Qn-n+1个物体放入n个盒子内,那么,或者第一个盒子至少含有Q1个物体,或者第二个盒子至少含有Q2个物体,……,或者第n个盒子至少含有Qn个物体。
证明:设将Q1+Q2+…+Qn-n+1个物体分放到n个盒子中,如果对于每个i=1,2,…,n,第i个盒子含有少于Qi个物体,那么所有盒子中的物体总数不超过(Q1-1)+(Q2-1)+…+(Qn-1)=Q1+Q2+…+Qn-n,该数比所分发的物体总数少1,所以我们断定,对于某一个i=1,2,…,n,第i个盒子至少包含Qi个物体。
由上面的原理可得如下推论:推论1:m双鞋放入n个鞋盒中,则至少有一个盒子中有不少于[
]双鞋。
推论2:n(m-1)+1只鸽子放入n个鸽笼,则至少有一个鸽笼中有m只鸽子。
推论3:设m1,m2,…,mn均为正整数,且满足
>r-1,则m1,m2,…,mn申至少有一个数不小于r。
鸽巢原理的应用[1]
1.用于几何图形
(1)在边长为1的等边三角形内任意选择5个点,存在2个点,其间距离至多为1/2。
证明:由题意,可以构造出4个抽屉,每个抽屉满足在其问的距离至多为1/2(见图1)。根据鸽巢原理,在4个抽屉里分别放置4个点,不论第5个点如何放置,都满足两点之间的距离最多为1/2。
(2)证明在边长为1的等边三角形内任意选择10个点,存在两个点,其间距离至多为1/3。
证明:按照图2