是判别式的意思
一、定义
任意一个一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)均可配成(x+(b/2a))^2=b^2-4ac,因为a≠0,由平方根的意义可知,b^2-4ac的符号可决定一元二次方程根的情况.
b^2-4ac叫做一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,用“△”表示(读做delta),即△=b^2-4ac.
1
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的情况判别
(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当△<0时,方程没有实数根.
(1)和(2)合起来:当△≥0时,方程有两实数根.
上面结论反过来也成立.可以具体表示为:
在一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)中,
①当方程有两个不相等的实数根时,△>0;
②当方程有两个相等的实数根时,△=0;
③当方程没有实数根时,△<0。
注意
根的判别式是△=b^2-4ac,而不是△=sqrt(b^2-4ac)
。(sqrt指根号)
2
一元二次方程的判别式的应用
(1)不解方程,判别一元二次方程根的情况.
它有三种不同层次的类型:
①系数都为数字;
②系数中含有字母;
③系数中的字母人为地给出了一定的条件.
(2)根据一元二次方程根的情况,确定方程中字母的取值范围或字母间关系.
(3)应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根)
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二、应用
①
不解一元二次方程,判断根的情况。
②
根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③
证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④
应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤
判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式
⑥
可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
⑦
可以判断抛物线与x轴有几个交点
抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点
(1)当y=0时,即有ax^2+bx+c=0,要求x的值,需解一元二次方程ax^2+bx+c=0。可见,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况确定的,而决定一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形:
①
当Δ>0时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)。
②当Δ=0时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是(-b/2a)。
③当
Δ<0时,抛物线与x轴没有交点。
⑧
利用根的判别式解有关抛物线(Δ>0)与x轴两交点间的距离的问题