实变函数与泛函分析 基础 王 琼 wangqiong@cczu.edu.cn 实变函数 ? 第一章 集合 ? 第二章 点集 泛函分析 ? 第七章 度量空间和赋 范线性空间 ? 第三章 测度论 ? 第四章 可测函数 ? 第八章 有界线性算子 和连续线性泛函 ? 第五章 积分论 第一篇 实变函数 实变函数论是19世纪末、20世纪初,主要由法国数学家勒 贝格(Lebesgue,1875-1941)创立的。 作用: 是普通微积分学的继续,其目的是想克服牛顿-莱布尼兹 所建立的微积分学存在的缺点,使得微分和积分的运算更 加完美对称。 缺点:黎曼意义下可积的函数类太少。 ?1 例如: D( x) ? ? ?0 x为有理数 x为无理数 在黎曼意义下不可积。 黎曼积分的缺陷(内填外包法) ? m ?X ? ? f (? )?X ? ? M ?X i i i i i i i i i L 集合 测度(集合的长度) L积分 第一章 集合 §1. 集合概念 ? §2. 集合的运算 §3. 对等与基数 §4. 可数集合 §5. 不可数集合 §1. 集合概念 ? 集合 集合是指在一定范围内可以相互区别的事物的汇集,将 它们看作一个整体时,就称这个整体为一个集合,用大写 字母A、B、C…表示。其中每个个体事物称为该集合的元 素或点,用小写字母a、b、c…表示。 相等:两个集合有完全一致的元素时称为相等,记 为A=B。 空集:不含任何元素的集合,记为 ? 子集:A的每一个元素都是B的元素,则称A是B的子集, 记为A ? B 真子集:若A是B的子集但不等于B,则称A为B的真子集。 注意 ?和 ? 的区别: ? :表示集合和它的元素之间的关系。 ? :表示集合与集合之间的关系。 集合表示方法: 列举法:将其元素一一列举出来。 特征描述法:将元素所具有的特征以命题的形式描述出来。 p Q ? {x | x ? q , p ? Z , q ? Z , q ? 0} 定理1:对任何集合A、B、C,均有 (1)A ? A (2)A ? B,B ? A,则A = B (3)A ? B,B ? C,则A ? C 其中(2)是经常用于证明两个集合相等。 §2 集合的运算 1、和集或并集 A ? B ? ?x | x ? A 或 x ? B? ??? A? ? ?x | 存在某个? ??使x ? A? ? 2、交集 A ? B ? ?x | x ? A 且 x ? B? ??? A? ? ?x | 对一切? ??有x ? A? ? 显然有(1) (A ? B) ? A ? (A ? B) ? ?? 则 A? ? B? (2)若 A? ? B? , , ??? ??? ??? A? ? ??? B? 定理1 (1)交换律 A ? B ? B ? A, (2)结合律 A? B ? B ? A A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) (3)分配律 A?( ??? B? ) ? ??? ( A ? B? ) (4) A ? A ? A, A? A ? A 掌握两个集合相等的证明 1? ? 例题 1:设(1)Ai ? ? x | 0 ? x ? 1 ? ? , i ? 1, 2,... i? ? 则 1? Ai ? ? ?x | 0 ? x ? 1? ? i ?1 n? ? n n i ?1 ? i ?1 Ai ? ?x | 0 ? x ? 1 ? Ai ? ?x | 0 ? x ? 2? 1 1? ? A ? x | ? ? x ? (2)设 i ? ? , i ? 1, 2,.... i i? ? 则 1 1? ? Ai ? ? x | ? ? x ? ? , n n? i ?1 ? n ? i ?1 Ai ? {0}, n i ?1 Ai ? {?1 ? x ? 1} 3、差集 C ? A ? B ? A \ B ? ?x | x ? A 但 x ? B? 注意:这里并不要求 A ? B ( A \ B) ? B ? ?A 4、余集 设 S ? A ,则 S \ A 表示A关于S的余集,记为 Ac 定理3:(1) S c ? ?, ?c ? S (2) A ? Ac ? S , A ? Ac ? ? (3) ( Ac )c ? A (4) A \ B ? A ? Bc (5) 若 A ? B, 则 Ac ? Bc (6) ( A ? B)c ? Ac ? Bc , ( A ? B)c ? Ac ? Bc 5、上限集、下限集 上限集:设A1 ,A2 ,…An,…是任意列集,由属于上述 集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一 集列的上限集或上极限,记为 limAn 或 lim sup An n ?? n ?? limAn ? ? x | 存在无穷多个An , 使x ? An ? n ?? 下限集:设A1 ,A2 ,…An,…那种除有限个下标外,属 于集列中每个集的元素的全体所组成的集称为这一集列的 下限集或下极限,记为 lim An 或 lim inf An lim An ? ? x | 当n充分大以后都有x ? An ? n ?? n ?? n ?? 显然有 lim An n ?? ? limAn n ?? An ,则称集列{An}收敛,将这称 极限:如果 lim An ? lim n ?? n ?? 为集列 {An}的极限,记为 6、单调集列 lim An n ?? 若An ? An?1, 则称? An ? 为单增集列. ? ? 若An ? An?1, 则称? An ? 为单减集列. ? 例题 2 1? ? An ? ?0,1 ? ? , n ? 1, 2,3,... n? ? 单调集列是收敛的。 试确定An的上极限和下极限。 性质: (1) lim A ? n n ?? n ?? ? ? Am n ?1 m ? n 利用limAn ? ? x | 对于任意的N>0, 存在着n ? N, 使得x ? An ? 来证明。 (2) lim An ? n ?? ? ? Am n ?1 m ? n ? ? 若? An ? 为增加集列,则 lim An ? n ?? An n ?1 ? 若? An ? 为减少集列,则 lim An ? n ?? An n ?1 例题 3 设An如下一列点集: 1 ? ? A 2 m?1 ? ?0, 2 ? , m ? 0,1, 2,... ? 2m ? 1 ? ? 1 ? ? A 2 m ? ?0,1 ? , m ? 1, 2,... ? 2 m ? ? 试确定An的上极限和下极限。 §3 对等与基数 1、A到B内的映射 设A、B为两个非空集合,如果有某一法则 ? ,使每个x ? A 有唯一确定的 y ? B 和它对应,则称 ? 为A到B内的映射, 记为 ?: A?B y ? ? ( x) ? ? : x |? y 集合A称为映射? 的定义域,设C是A的子集,C中所有 元素的像的全体,记为 ? (C ),称它是集C在? 之下的像? ( A) 称为映射? 的值域. 2、A到B上的映射 如果 ? ? A? ? B ,就称 ? 是A到B上的映射,也称映射? 是 “到上”的(满射). 注意两者的关系: ? 是A到B上的映射 3、一一对应 →? 是A到B内的映射 设 ? 为A到B上的一个映射.如果对每一个 y ? B ,只有唯 一的 x 满足 ? ( x) ? y,则称 ? 为A到B上的一一映射,也 1?1 ?B 称一一对应,写作1—1对应,也记为 A ?? ? 若 ? 为 A ? B 的一个满射且为单射,则称 ? 为 A ? B 的一个一一映射。 4、逆映射 设 ? 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 ? : x |? y 令 ? : y |? x , ? 确实使唯一的 1?1 ?1 ? ? ? : B ?? ?A 则称 是 的逆映射,也记为 x 与 y 相对应,即 ? 是映射, 注:逆映射是反函数概念的推广。例如,任何一个严格单调的函数都可 以看成它的定义域到值域中的一一对应,其反函数就是一个逆映射。 5、对等(针对集合的概念) ? B ,则 设A、B是两个非空集合,如果存在某 ? : A ?? 1?1 称A和B对等,记为 A ~ B 有 A~ B 1?1 规定? ~? 1?1 A ? {1, 2,3,...} B ? {2, 4, 6,...} 例题 5 设(1) ? : A ?? ? B ,? : x , 2x A ? {1,3,5, 7,...} B ? {2, 4,6,8,...} (2) ?:x 1?1 x ?1 1?1 (3)区间(0,1)和全体实数对等 ?x ? (0,1) ?:x tan(? x ? ? ) 2 注:① 如果一个集合能和它的真子集对等,则这个集合就是无限集。 ②如果A是空集或者A和正整数的某截段 {1, 2,...n} 对等,则称集 合A为有限集,这是有限集合不依赖于元素个数的概念。 集合对等的意义: 集合中元素的多少是一个基本的概念。对有限集来说,元素的多 少就是集合中元素的个数;对于无限集来说,没有元素个数这样一 个概念,但有时也需要比较元素的多少,比如:全体自然数集与全 体正偶数集那个集的元素多?映射可以解决这样一个问题。 引入对等的概念,用一一映射去比较两个无限集元素的多少。 例如:任何两个开区间(a,b)与(c,d)间存在一一对应 1?1 ?:x d ?c ( x ? a) ? c b ?a 故(a,b)与(c,d)对等。 定理 1 对任何集合A、B、C均有 (1) ? ~ ? (3) A ~ B ? B ~ A 若 (2) A ~ A (4) A ~ B, B ~ C ? A ~ C ? ? 定理 2 设{An}和{Bn}是两列分别彼此互不相交的集列, An ~ Bn , n ? 1,2,... , 则 An ~ n ?1 n ?1 Bn 6、集合的基数 基数:把所有的集合进行分类,两个集合当且仅当它们对等 时属于同一类,每一类给于一个特定的记号,称这个记号是 该类中每一个集合的基数,又称势。集合E的基数记为 E 注:①对任何集合A,B,A ? B 当且仅当 A ~ B ? ②若存在 B? ? B, A ~ B,则称 A的基数不大于B的基 数,记为 A ? B ③若存在 A ? B , A ? B ,则称A的基数小于B的基 数,记为 A ? B ④ A ? B, A ? B , A ? B 必有一个且仅有一个成立。 定理 3 (Bernstein Theorem) 设A、B是两个非空集合, 如果A对等于B的一个子集,B又对等于A的一个子集,那么 A对等于B。 按照基数的说法就是:A ? B, B ? A ,则 A ? B 该定理提供了判断两个集合对等的方法。 设A ? B ? C, 且A ~ C, 则A ~ B ~ C 说明:对有限集来讲,基数就是集合所含元素的个数。基数是一切彼此 对等的集合之间的某种共同属性,是有限集的元素个数概念的推广。 例如:自然数集与正偶数集对等,虽然正偶数集是自然数集的真子 集,但是它们的基数相等,认为他们的元素是“一样多“的。 §4 可数集合 1、可数集合(可列集合) 凡是和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数 集合或可列集合。 一个集合A为可数集的充要条件是A的一切元素可以用自然 数加以编号,使之成为无穷序列的形式,即 A ? ?a1, a2 ,..., an ,...? 通常记为可列集的基数为 a或?0 。 ?1 ? 例如: ? ? , ?cos nx? 都是可数集,因为它们的元素可以排成如下的无限序列 ?n? 1 ? ?1 ? ? 1 1 ? 1, , ,..., ,...? , ?cos nx? ? ?cos x, cos 2 x,..., cos nx,...? ? ? ? n ? ?n? ? 2 3 定理 1:任何无限集合都至少包含一个可数子集。 注:此定理说明,任意无限集总存在一个子集与N对等,于是由基数大小关系 的定义,可知任意无限集的基数都大于或等于N的基数a,也就是说,可数集的 基数a是所有无限集基数中最小的一个。 定理 2:可数集合的任何无限子集必为可数集合,从而可数 集合的任何子集或者是有限集或者是可数集。 注:我们有时把有限集与可列集统称为至多可列集。 定理 3:设A为可数集,B为有限或可数集,则A ? B为可数集。 定理 4:设 Ai (i ? 1, 2,...) 都是可数集,则 ? i ?1 Ai 也是可数集。 n 推论:设 Ai (i ? 1, 2,..., n) 是有限集或是可数集,则 Ai 也是有 i ?1 n 限集或是可数集,但如果至少有一个Ai 是可数集,则 Ai 必 i ?1 为可数集。 定理 5:有理数全体成一可数集合。 Proof: m 注意到每个有理数都可以写成既约分数 n 的形式,其中 m ? Z , n ? N 设 A? ? 1 i 3 ,2 , , ... , i ? 1, 2,3,... ,则每个 A i 都是可数集。由定理结论可 i i ? 知,正有理数集与自然数集对等,所以正有理数集是可数集。同理所 有负有理数集也是可数集。 因此,有理数集 Q ? Q? ? Q? ?{0} 为可列集。 定理 6:若A中每一个元素可由n个相互独立的记号一对一的加 A ? {ax , x ,..., x }, 以决定,各记号跑遍一个可数集, 1 2 n (1) (2) ( xk ? xk , xk ,...; k ? 1, 2,..., n) ,则A为可数集。 例题 6 (1)平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集。 (2)元素 (n1 , n2 ,..., nk ) 是由k个正整数所组成的,其全体成一可数集。 (3)整系数多项式全体是可数集。 n n?1 Proof: n次整系数多项式 a0 x ? a1 x ? ... ? an?1 x ? an 的全体An. 实际上An是由n+1个独立记号 a0 , a1 ,..., an 所决定,而每个记号各自跑 遍可列集Z的那些元素所组成,所以An为可数集。让n分别取0,1,2,…, 得一列可数集A0,A1,…,于是整系数多项式的全体就是可列个可数集之 并,也为可数集。 (4)整系数多项式的根称为代数数,代数数的全体是一个可数集。 Proof: 由于整系数多项式的全体为可数集,而每一个整系数多项式 又只能有有限个实根,故代数数全体可看成可列个有限集之并,也为 可数集。 (5)设A是一个无穷集合,则必有A? ? A ,使A? ~ A ,而 A ? A? 可数。 §5 不可数集 不是可数集合的无限集称为不可数集。 ?有限集 ? 集合 ? ?可数集 ?无限集 ?不可数集 ? ? 引理 1 :区间(0,1)是不可数集。 区间[0,1]与(0,1)具有相同的基数。称0与1之间的 实数全体所成之集合的基数记为 c ,又称为连续基数。 a 是无限集基数中最小的一个,显然,a ? c 定理 1 :全体实数所成之集合R是不可数集,基数为 c 。 Proof: 只要证明(0,1)和实数全体对等即可。 作(0,1)到 (??, ??) 的映射 ? : x |? tan(? x ? ? ) 2 定理 2:任意区间(a,b), [a,b], [a,b),(a,b], [0, ∞),(0, ∞)均具有连续基数 c 定理 3 :设 A1,A2,…,An,…是一列互不相交的集合,它们 的基数都是 c ,则 ? n ?1 An 的基数也是 c。 定理 4 :实数列全体 E?的基数为 c 。 推论:设有 c 个集的并集,若每个集的基数都是 c ,则其和 集的基数 也是 c 。 n维欧几里德空间R n 定义:设n为一个正整数,称由n个实 数 x1 , x2 ,..., xn ,按确定的次序排成的数组( x1 , x2 ,..., xn ) 全体 称为n维欧几里德空间,记为 R n ,每个组 ( x1 , x2 ,..., xn ) 称为 欧几里德空间的点,又称 xi 为点 ( x1 , x2 ,..., xn ) 的第 i 个坐标。 定理 5 :n维欧几里德空间 R n 基数为 c。 定理 6 :设M是任意的一个集合,它的所有子集做成新的 集合? ,则 ? ? M 。 例题 7:证明 2a ? c 例题 8:设A,B为两个集合,如果 A ? B ? c ,则 A ? c 或 B ? c 说明:(1)对任一基数来说,必存在比它更大的基数。因此最大的 基数是不存在的。无限基数必有无穷多个。 (2)在a与c之间是否还有其他基数,这个问题称“康托连续统 假设”,至今尚未完全解决。 (3)有关可列集的证明方法,通常有以下几种: 1°证明它能与某一已知可数集对等。 2°证明它的元素能排成一个无限序列。 3°证明它是某一可数集的无限子集。 4°证明它是至多可列个可数集之并。 5°证明它的元素能由n个相互独立而各自取遍一个可数集的 下标所表示。 补充: 序 半序集或偏序集:设A为一个集,在其中规定了某些元素之 间的一个关系,记为 ,若满足 (1) ?a ? A ? a (2) ?a, b ? A, a (3) ?a, b, c ? A, a 则称关系 a b, b b, b a?a ?b c?a c 成一 为A中的一个半序关系,并说A按关系 半序集或偏序集 例如:设F为[a,b]上实函数全体所成之集,当 f1 , f 2 ? F ,且对每一 x ? ? a, b? 都有 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? 时,规定 f1 f 2 ,这个关系是F中的半序关系。 注:一个集有了序库以后,并不一定该集中任何两个元素都可以比较先后 次序。 全序集 如果半序集A还满足(4) ?a, b ? A, a 则称关系 b, b a二者必居其一, 成一全序集。 是A中的一个全序关系,A按关系 注:在全序集中,任意两个元素都能比较前后。 例如:全体实数按照≤关系成一全序集。若令规定当a≥b时,a在b 前,实数集也是一个全序集。 整数集按照0,1,-1,2,-2,…,n,-n,…的序也成一个全序集。 字典序 A为实数对 ( x, y ) 的全体,规定序关系 如下: ( x , y ) ( x2 , y2 ) ? ? x1 ? x2 ? ? ? ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? 1 1 此时A按关系 成一全序集,这个序的关系称为字典序。 全序集性质: 对于按关系 的全序集A,必成立三岐性,即: ?a, b ? A,[a b] ? [a ? b], [b a] ? [a ? b], a ? b 三者有一个且仅有一个成立。 最小元:设 a ? A .若 ?x ? A,皆有 a ? x , 是集A上的一个序关系, 则称 a 为A的最小元。 良序集:若全序集A的任一子集都有最小元,则称集A为良 序集。 自然数集N按自然次序构成一良序集。 良序集 ? 全序集 ? 半序集 1 不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集) [ 0 ][ 1/3 ][ 2/3 ] 1 证明:假设[0,1]是可数集,则 [0,1] 可以写成一个无穷 } 序列的形式 {x1 , x2 ,?, xn ,? 将[0, 1]三等分,取其中一个不 含点x1的闭区间,记为 I1 , 再将I1三等分,取其中一个不 含点x2的闭区间,记为 I2 , 这样继续下去得到一个 闭区间套: [0,1] ? I1 ? I 2 ? ? ? I n ? ? 1 | I n |? n , xn ? I n , (n ? 1,2,?) 3 由区间套定理,存在唯 一点x0 ? ? I n ? [0,1], n ?1 ? 根据假设,应存在 n0 , 使得xn0 ? x0 , 因此有xn0 ? ? I n , 而这与xn0 ? I n0 相矛盾。 n ?1 ? 所以 [0,1]不是可数集 . [ 0 ][ 1/3 ][ 2/3 ] 1