虽然数学史真实地反映了一些数学对象被发现的过程,但是作为现代人,不仅不要太推崇,反而应该去回避它。这是因为数学史是有缺陷的、是走了弯路的,别人走过的弯路,我们不应该重新走一遍。所以说除了专门的研究者,我不建议遇事不决就去翻看数学史。
自然数是非常朴素的事物,利用集合论(也可以采取其他办法,这是个人喜好问题)可以定义出自然数集和自然数的加法、乘法运算。但是这样做还不能使自然数集成为一个理想的代数系统,也就是环。什么是环呢?
设
是一个非空集合,构造两个
的映射是加法和乘法,存在
使得对于任意
成立
存在
使得
则称
是一个环。
自然数集并不是一个环,因为不满足上面的第四条要求。包含自然数集的最小的环就是整数集。
另外,比环更加理想的代数系统是域。
设
是一个环,存在
对于任意
成立
若
则
且存在
使得
则称
是一个域。
包含整数集的最小的域是有理数集。
但是实数集的构建就不得而不依赖分析性质了,所以不展开说了。