谢@wyyvid邀。原问题如下:
如何证明等高线一定是闭合的?
就地图上那个等高线
这个命题不完全准确。例如下图:
图中等高线不闭合。解决方法有二:
1)把地图补全。
2)将地图边界被大括号括住的部分当作等高线的一部分。
其中,1)在二位欧式空间中有可能做不到,因为等高线可以向无穷远处延伸。为方便起见我们暂时不考虑此种情况,并采取方法2)。
设地图作为一个平面上的点集M,则有函数 f:M----> R,对M上任意一点取高度。其中R为实数集。则f为连续函数。
设一条等高线C标定的高度为h,则f在点集M-C 的取值一定在 R-h上。后者为非连通空间。于是由f 的连续性,M-C为非连通空间。由Jordan曲线定理,C为闭合曲线。
如果牺牲一点严格性,则有以下较为初等的解释:
如果h等高线C不闭合,则有经过 C的“缺口”的一条曲线,既经过高度大于h的点,又经过高度小于h的点,但不经过高度恰好为h的点。这与连续函数的介值定理相矛盾。