第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念 一、矩阵的定义 二、相关概念 一、矩阵的定义 a11 x1 + a12 x 2 + + a1 n x n = b1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 1. 线性方程组 a n1 x1 + a n 2 x 2 + + a nn x n = bn 系数 aij (i, j = 1,2,, n), 的解取决于 常数项 bi (i = 1,2,,n) a11 a21 a n1 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 a12 a22 an2 a1n a2n ann b1 b2 bn 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 这张表的研究 2. 某航空公司在 某航空公司在A,B,C,D四 四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从 如果从A到 有航班 有航班, 航班图 如果从 到B有航班 则用带箭头的线连接 A 与B. B A C D 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 四城市间的航班图情况常用表格来表示 到站 B D A C A B C D 发站 为了便于观察,把表中的 为了便于观察 把表中的 0,就得到一个数表 就得到一个数表: 就得到一个数表 0 改成1,空白地方填上 改成 空白地方填上 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况 还可以把这张表表达的更简洁一些: 还可以把这张表表达的更简洁一些: 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3.矩阵的定义 3.矩阵的定义 由m × n个数 a ij (i = 1,2, , m; j = 1,2, , n )排列成的 列的矩形数表, 一个 m 行 n 列的矩形数表,称为一个 m × n矩阵 . a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 = (a ) Am×n = × ij m×n a m 1 am 2 amn 常用大写字母 A、 B、 C等来表示矩阵 . 二、相关概念 1.元素全为零的矩阵称为零矩阵 1.元素全为零的矩阵称为零矩阵 元素全为零的矩阵称为 0 0 02×2= × 0 0 0 0 0 02×3= × 0 0 0 2、将矩阵 A = ( a ij ) m×n 中各元素变号得到的矩阵称为 负矩阵, A的负矩阵,记作 A a11 a 21 A = ( a ij ) m×n = ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn 3.只有一行的矩阵称为行矩阵,如A = (a1 a 2 a n ) 只有一行的矩阵称为行矩阵, 只有一行的矩阵称为行矩阵 4.只有一列的矩阵称为列矩阵,如 只有一列的矩阵称为列矩阵, 只有一列的矩阵称为列矩阵 a1 a2 B= a n 5.行数与列数相等的矩阵称为方阵,例如 行数与列数相等的矩阵称为方阵 行数与列数相等的矩阵称为 1 2 , 3 4 1 6 2 分别是2阶和 阶方阵. 阶和3 7 2 1 分别是 阶和 阶方阵 9 5 4 6.如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数,并 如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数, 如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数 且对应位置上的元素均相等, 且对应位置上的元素均相等,则称这两个矩阵相 等. 2 0 b11 b12 设 A= B= 5 1 b21 b22 若 A = B,则 b11 = 2, b12 = 0, b21 = 5, b22 = 1 注意 1.矩阵相等与行列式相等是两个不同的概念。 矩阵相等与行列式相等是两个不同的概念。 矩阵相等与行列式相等是两个不同的概念 两个行列式相等: 值相等 两个行列式相等: 两个矩阵相等: 相等、 行数相等 两个矩阵相等: 相等、列数相等 行数 对应位置上元素相等 2.矩阵与行列式是两个不同的概念 矩阵与行列式是两个不同的概念 行列式 行数=列数 行数 列数 代表数值、 代表数值、代数式 可以展开 矩阵 行数、列数可以不等 行数、 仅是一张矩形数表 不能展开 例1 线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ... ... ... ... ... a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm 系数矩阵 a11 a 21 A= ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn 增广矩阵 a11 a 21 A= ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn b1 b2 ... bm b1 b2 常数项矩阵 B = b m x1 x2 未知量矩阵 X = x n a1 j a2 j x j的系数矩阵 A j = ( j = 1,2,..., n ) a mj 三、小结 1.矩阵的概念 1.矩阵的概念 m行n列的一个矩形数表 a11 a 21 A= a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n a mn 2. 相关概念 负矩阵 行矩阵与列矩阵 方阵 矩阵的相等 零矩阵 思考题 1.如果两个矩阵的行数不相等(列数不相等),这 1.如果两个矩阵的行数不相等(列数不相等),这 如果两个矩阵的行数不相等 ), 两个矩阵有可能相等吗? 两个矩阵有可能相等吗? 2.如果两个行列式不是同阶行列式,这两个行列式 2.如果两个行列式不是同阶行列式, 如果两个行列式不是同阶行列式 有可能相等吗? 有可能相等吗? 1、不可能 2、有可能 、 1 0 0 2 0 = 0 2 0 5 1 0 5 1