题目

如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕,将ADE向上折起,使D到P,且PC=PB。
(1)求证:PO⊥面ABCE;(2)求AC与面PAB所成角θ的正弦值。

初中数学
解答

解:(1)PA=PE,OA=OE,∴PO⊥AE ①取BC的中点F,连OF,PF,如图∴OF∥AB,∴OF⊥BC∵PB=PC∴BC⊥PF∴BC⊥面POF从而BC⊥PO ②由①②可得PO⊥面ABCE。(2)作OG∥BC交AB于G,则OG⊥OF如图建立直角坐标系
则A(1,-1,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则
∴AC与面PAB所成角θ的正弦值
。