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设f(x)在点x0的某去心邻域中有定义,
在这个前提下,如果f(x)有一下三种情形之一:
1、在x=x0处没有定义;
2、虽在x=x0处有定义,但limx→x0f(x)不存在;
3、虽在x=x0处有定义,且limx→x0f(x)存在,但limx→x0f(x)≠f(x0),
那么f(x)在点x0处为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。
函数间断点通常分为两大类:第一类间断点和第二类间断点,左右极限都存在的间断点称为第一类间断点,其它的则都是第二类间断点。
函数间断点通常有以下几种常见类型:
1、无穷间断点;
2、震荡间断点;
3、可去间断点;
4、跳跃间断点,
下面对几种间断点进行详解:
1、无穷间断点
定义:函数f(x)在x0处没有定义,且在x0处的左右极限至少有一个不存在,则x0为f(x)的无穷间断点。
例:f(x)=tanx在x=π2处没有定义,所以x=π2为f(x)=tanx的间断点。
f(x)=tanx在x=π2处既没有左极限也没有右极限,所以x=π2为f(x)=tanx的无穷间断点。
2、震荡间断点
定义:函数f(x)在x0处没有定义,且在x趋近于x0时其函数值在某个范围内无限次变动,则x0为f(x)的震荡间断点。
例:f(x)=sin1x在x=0处没有定义,所以x=0为f(x)=sin1x的间断点。
f(x)=sin1x在x→x0时,函数值在-1到+1之间变动无限多次,所以x=0为f(x)=sin1x的震荡间断点。
3、可去间断点
定义:函数f(x)在x0处没有定义或定义点的函数值不能使f(x)成为一个连续函数,且若在x0处能通过补充定义使f(x)成为连续,则x0为f(x)的可去间断点。
例:f(x)=x2−1x−1在x=1处没有定义,所以x=1为f(x)=x2−1x−1的间断点。
但如果补充定义:令x=1时f(x)=2,那么f(x)即成为了连续函数,所以x=1为f(x)=x2−1x−1的可去间断点。
4、跳跃间断点
定义:f(x)在x0处有定义,且limx→x0f(x)存在,但左右极限