是tanx = x+ (1/3)x^3 +....
不同,sinx是:sinx = x-(1/6)x^3+.....
常用泰勒展开式
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k + ……(|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
独缺tanx 泰勒展开式。有好事者用sinx/cosx算出 tanx 泰勒展开式的前五项。
tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11
最后一项是余项,(|x|<π/2).
方法就是多项式的 竖式除法 ,只不过是把低次幂排在前面。
由于这个多项式的竖式除法很繁琐,我只弄了四项,足可帮助理解。
当|x|<π/4时,舍弃余项,误差较小。
当x=π/4时, tanx=1,无须tanx 泰勒展开式。
当π/41,误差很大。
这种情况要转换思路,令y=π/2-x,用10阶泰勒展开式算出tany,然后 tanx=1/tany
同理,当-π/2,然后 tanx=1/tany
所以, 当x=π/4时, tanx泰勒展开式误差最大。
10阶五项 tan(π/4)=0.99917,误差8.3/10000
6阶三项 tan(π/4)=0.9867,误差 >1%
直接用sinx,cosx的泰勒展开式相除,分别取前三项
sin(π/4)=0.707143, cos(π/4)=0.7074