前面几期,小编已经详细讲述了函数极限、无穷小阶、洛必达法则,本期将重点介绍函数连续和间断点类型。 大家是否还记得函数极限和函数左、右极限的含义呢?如不清楚,可参考小编撰写的考研数学第2、3期。 函数f(x)在x=a处连续必须同时满足下述三个条件: 对于没有同时满足上述三个条件的函数,x=a点就是函数的间断点。在x=a是间断点的前提下,若左、右极限都存在,则为第一类间断点;若左、右极限至少有一个不存在,则为第二类间断点。 第一类间断点又分为可去间断点和跳跃间断点。顾名思义,可去间断点就是左、右极限存在且相等;跳跃间断点就是左、右极存在但不相等。 第二类间断点包含无穷间断点,即左、右极限至少有一个是无穷大。大家一定要切记,第二类间断点不只有无穷间断点。 请大家思考下面三个函数在x=0点处的间断点类型。 对于函数f1来说,显然x=0是第一类间断点,且为可去间断点。 对于函数f2来说,左、右极限都是+∞,那么有没有学子感觉x=a即是第一类间断点又是第二类间断点呢?小编告诉大家,不是第一类间断点而是第二类间断点。如果你感觉是第一类间断点,那么你肯定把+∞当做一个数了,在这小编再次强调,∞不是一个数,而只是一个符号象征,所以凡是极限为∞的都表示极限不存在。 对于函数f3,相信肯定有不少学子会误以为x=0是跳跃间断点,但是千万要记住哦,跳跃间断点是左右极限都存在只是不相等,而函数f3在x=0点左右是上下波动,极限不存在。所以x=0是函数f3的第二类间断点,但不是无穷间断点哦! 接下来小编来解答上期留下来的一个小题目,即: 小编不会直接告诉大家所谓的正确求解过程,因为这对大家来说并没多大用处,小编会将自己的解题思路告诉大家。 首先,小编看到这题目时,第一反应是凑等价无穷小,具体过程见下: 小编到这里就不继续进行下去了,因为小编发现照这个思路进行下去毫无用处,得不到答案。为什么呢?因为小编这样化简的目的是通过凑等价无穷小最后得到一个关于x的关系式,但是上面通过等价无穷小替换后的结果显然为0,无法判断是x的几阶无穷小。 在未复习到泰勒公示前,小编就想能不能通过有理化进行化简,具体过程见下: 显然上式只有k=2时,极限存在且不为0,即上题的答案是x的二阶无穷小,至于为什么刚刚解题时,小编引入了一个x的k次幂,这是为了方便用洛必达法则。可能细心的同学已经发现了,那最开始小编凑等价无穷小的那