这篇文章是对Meowth:卡尔纳普逻辑哲学笔记1––数学是先验综合判断吗?的后续讨论。在接下来的文章中,我将首先批判卡尔纳普理论中的不合理之处,其次,辩护我提出的分析/综合判断的论断,其中包括@Meowth 与@oldgoat 的评价。由于讨论的特性,所以此文将随着讨论的进行而进行增补和修正。
首先给出Meowth的卡尔纳普关于分析命题的定义。
定义:语义学体系S中的某语句是分析的(即L-真)=df 完全只依据S的语义学规则(即不需要任何经验手段)可得此语句为真。(见链接)
在我看来,卡尔纳普理论之所以无法被认可,是因为它必然会处于下面两个困境之一。
哥德尔不完备定理困境:
(0):卡氏数学体系中不存在综合命题。
(1):哥德尔第一定理:给定一个足够强的数学体系(数学体系蕴含兼容),且其axioms是递归可枚举的(不严格简单地说,有限的),并假定对任意命题y,要么y真,要么非y为真,那么存在一个真的命题P,这个体系既证明不了P,也证明不了非P。
(2):任何命题要么是分析的,要么是综合的。
(G-3):假设卡氏数学体系的axioms是有限的。
那么根据卡尔纳普定义,可以从(1)(G-3)得到(4):在数学体系中存在着一个命题P,它是真的,但它不能被系统证明,所以它不是分析命题。
(4)数学体系中存在着一个命题P,它不是分析命题。
根据(2),有(5)
(5)P是一个综合命题,等于卡氏数学体系中存在综合命题。
于是,(5)和(0)矛盾。
先验意义困境:
在这里,我们不假设(G-3),而是
(A-3):卡氏数学体系的axioms不是递归可枚举的(或说无限的)。
于是,(1)并不适用于卡氏数学体系,我们就得不到矛盾。然而
(A-4):一个无限axioms的数学体系不存在认识论意义。
关于(A-4)论断的辩护:
试想一个数学体系,这个数学体系的axioms包含一切真命题,并且把这些真命题加入它的axioms集合,那么显然这个数学体系是完备的。同时,根据卡氏的定义,这里面所有的命题都可以正确无误地被认作是分析命题。然而,这个数学体系是认识论无意义的。如此一来,关于先天分析,后天综合的两个世界划分也就变的没有意义。
还可以有另一个相似的论断,可以称之为全