题 得 号 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 评阅人 一、填空题(共 9 个小题 10 个空,每空 3 分,共 30 分) 1. 设 ?1 ,? 2 ,? 3 线性相关, ? 2 ,? 3 ,? 4 线性无关, 则 ? 1 能 2. 已知 A2 ? 3A ? E ? 0 , E 是 n 阶单位阵, 则 ( A ? E )?1 3. 设 A 是 n 阶正交矩阵, 由 ? 2 ,? 3 线性表示。 A ? 2E ? 3 A ? ?1 , 则 A? ? ? T ? ?A 4. 设 n 元非齐次线性方程组 AX ? b 的两个解为 ?1 , ? 2 ,(?1 ? ? 2 ), A 的秩为 n ? 1 , 则 AX ? b 的通解 ? ? ?1 ? k ??2 ? ?1 ? 2 2 2 ? x2 ? x3 ? 2 x1 x2 ? 2tx2 x3 是正定二次型 , 5. 设 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x1 ? 1 1 ? 则 t 的取值区间为 ? ? , ? 2 2? ? 6. 设 A 为 n 阶实对称矩阵,且 A3 ? 3A2 ? 5A ? 3E=0 ,则: A ? 1 ,且 A 是 正定矩阵。 得分 评阅人 二、单项选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 设 A 是 n 阶矩阵, 且秩 r ? A? ? r ? n , 则在 A 的 n 个行向量中, (A). (B). (C). (D). 必存在 r 个行向量线性无关。 任意 r 个行向量线性无关。 任意 r 个行向量都构成极大无关组。 任意一个行向量都可由其它行向量线性表示。 【 A 】 . 6. 下列命题中,错误的是: 第 1 页 共 4 页 【 B 】. (A). (B). (C). (D). 初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵。 初等矩阵的和是初等矩阵。 初等矩阵都是可逆的。 初等矩阵的转置矩阵是初等矩阵。 ? 1 0 1? ? ? 7. 若 A ? ? 2 2 3 ? , 且 r ? A? ? 3 ,则 t 满足的条件是: ?1 3 t ? ? ? 【 A 】. 3 2 (A). t? 5 ; 2 (B). t? 5 ; 2 (C). t ? 3 ; 2 (D). t ? 8. 设 A, B 都是 n 阶矩阵,则: (A). (C). 【 D 】. (B). (D). A? B ? A ? B ; 0 B A 0 ? A B; A - B? A 0 0 B A ? ; B ? A B 1 1 1 ... 1 1 2 x+1 2 ... 2 2 3 3 ... 3 3 ... n ? 1 ... n ? 1 ... ... ... x+1 n n n ... n x+1 ? 0 的根是: 9. 方程 x+1 ... n ? 1 【 D 】. ... n ? 1 ,n ? 2; ,n ? 1; (A). x ? 0, 1, 2, (B). x ? 1, 2, (D). x ? 1, 2, , n ? 1,n ; ,n ? 1 (C). x ? 0, 1, 2, 10. 向 量 组 ?1 ? ?1, ?1, 2, 4?? , ? 2 ? ? 0, 3,1, 2?? , ? 3 ? ? 3, 0, 7,14 ?? , 【 C 】. ? 4 ? ?1, ?1, 2,0?? , ? 5 ? ? 2,1,5,6?? . 的一个极大无关组是: (A). ?1 , ? 2 . (C). ?1 , ? 2 , ? 4 . (B). ?1 , ? 2 , ? 3 . . (D). ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 第 2 页 共 4 页 得分 评阅人 三、解答题(共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 1. 常数 k 取何值时, 方程组 ? x1 ? ? ? x1 ? x ? 1 ? x2 ? kx3 ? 4 ? kx2 ? x2 ? x3 ? 2 x3 ? k2 , ? ?4 无解, 有唯一解, 有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其通解. 解: A ? ? ? k ? 1?? k ? 4? A ? 0, 即 k ? ?1且k ? 4, 有唯一解 . ? 1 1 ?1 4 ? ? 1 1 ?1 4 ? ? ? ? k ? ?1, ? ?1 ?1 1 1 ? ?? ?? ?0 0 0 5 ? . ? ? ? 1 ?1 2 ?4 ? ? ? 0 ? 2 3 ?8 ? ? 无解。 ……..4 分 ?1 1 4 4? ?1 1 4 4 ? ?1 0 3 0 ? ? ? ? ? ? k ? 4 , ? ?1 4 1 16 ? ?? ? ?0 1 1 4? ? ? ?0 1 1 4 ? , ? ? ? ? 1 ?1 2 ?4 ? ? ?0 0 0 0? ? ?0 0 0 0 ? ? 有无穷多解。 非齐次特解 ? 0 , 4 , 0 ? ; 齐次通解 : k ? ?3 , ?1,1? T T ……..8 分 非齐次通解 x ? ? 0 , 4 , 0 ? ? k ? ?3 , ?1,1? T T …..12 分 得分 评阅人 四、证明题(共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 1. 设 向 量 组 ?1 ,?2 , ,? s , ? s ? 1? 线 性 无 关 , 求 证 : 向 量 组 : ? ? s 线性无关。 ? ks (?1 ? ? 2 ? +ks )? 2 ? ? ?s ) ? 0 …..4 分 ? 1 ,? 1 ? ? 2 , ,? 1 ? ? 2 ? 证明:设 k1?1 ? k2 (?1 ? ? 2 ) ? 即 (k1 ? k2 + +ks )?1 ? (k2 + ? ks? s ? 0 第 3 页 共 4 页 故 k1 ? k2 + 故 k1 =k2 = +ks =k2 + ? ks ? 0 +ks ? ? ks ? 0 …..8 分 2. 设 A 为 m ? n 矩阵,且秩 r ? A? ? n ,又 B 为 n 阶矩阵,求证:如果 AB ? 0 , 则B ? 0 。 证明:设 B ? ? ?1 , ? 2 , 则 AB ? ? A?1 , A? 2 , , ?n ? , , A?n ? ? 0 ? A?i ? 0 ? i ? 1, 2, , n? …..4 分 …..8 分 而 AX ? 0 , 只有零解,故 ?i ? 0 ? i ? 1, 2, , n? , ? B ? 0 第 4 页 共 4 页