第 1 5卷第 1期 V0L 15.No.1 镀 毒、 劫 点,童 轨遮 四 川 师 范 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 ) Journal 0f Sichuan Teachers College(Natural Sci ence) 1994年 3月 M ar.1994 A S0LU T10N T0 THE L0CUS EQUAT10N 0F THE PARTICLE’S M 0VEM ENT 旦Zhong盟Zhengzhao / L/ )f (四 川师范学 院物理 系 .南 充 637002) (Dept of Physics.Siehaan Teachers Co]l g ,Nanchong 637002) 摘要 利用牛顿力学的横向研究一丈中的切线坐标变换式 tga— r/r ,推论得出求解质点运动轨迹 的 1种 新方 法 ,与 习惯 上 从 已知运 动学方 程 r—r(t),0一 f l(t)中消 去 ,从 而得 到轨 迹方 程相 较 .在 某些情 况 下 ,物理 意义 清楚 ,计 算变 得更 为 简便 . 在质 点运 动学中 ,已知极坐标方程 r— r(r), 一 O(t)就能详尽地描述质点相对 于参 考系 中的运 动情况.实际上它亦是 以时问 t为参变数的轨道 参数方程 ,要求随 着时问的流逝反 映出 质点 如何在轨道上运 动(轨道方程 ).从 已知上述 的运 动学方程 中 .消去时 间 t就可得到轨 迹方 程 f(r.口)一 0.但是 ,在很多问题 中 .特 别是 在 已知速度表 达式 ,而又不可能直接简 单地 通过 积分 求得 r(t)和 O(t)的情况下 ,如何求得 轨道方 程 ,在教学 中成 为一个难 点.本文将从 另一角 度 ,利用文 献[1]之结果 ,建立 1种解法 以解决上述 问题 . 1 切线坐标 变换式与质 点运动轨道 方程 曲线 上 任 一 点 的 切线 .不 仅 具 有 几 何意 义 .而 且 还 具 有 物理 意义.切线坐 标系就是利用矢径 ,与 ,和切线 MM 之 间的 夹角 这两 个变量来描述质点 的运 动,如图 1所示 .在 文献J -1]中 .作者利 用非标 准分 析方法 .证 明了切 线坐 标变 换式 o r r 、 tga— — dr/d —O。 ‘¨ 图 1 直 角坐标, 极 坐 应用 (1)式可将报 坐标变换 为切 线坐 标·从而 建立起 l 标与 切线 坐标 种新 的 圆 锥 曲 线理 论 . 笔者发现利 用(1)式还可 建立 1种求解质点运动轨迹 方程的方法. 将 (I)式 改写为 屯 日期 1 993 11 13 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 l5巷第 l朝 钟正昭 :求解 质点 运动轨迹方程 的一种方 法 95 一 生. (2) 从 (2)式可知 ,当质点在任意位置 ,矢 径 r的方 向和切线坐标 a已知时 ,即当 与 口之问的 函效关系 已知时 .求解 质点运动轨道方程 r; r( )就 归结 为解 算所 表示 的一 阶微分方 程 』__ dr一』 或 r—c exp c tga . ㈣ 求 解这个微分方 程 ,关键是推求 与 目的函效关 系.由于在极坐标 中,径向速度 与横 向速 度 互 相垂直 ,而速度 总是沿着切线方 向 ,故很容 易利用 和 求得 g4的表达式 ,由图 1, 有 tga一 一 . (4) t- 另外 ,在一 些具体 问题中 ,a还 可以利用 几何关 系求得 . 2 示 例 例 1 河中水流各处流速认 为均为 ,某 人划船 ,以一定划速 “,朝 向岸边 1个固定点划来 , 求船的轨 迹. 解 建立如图 2坐标系可得 由(4)式可得 一 r: 一 “ 1_ G cos-怛 一 tO= 一 t~oSin c p. tga M 十 s1n妒 (5) (6) 一 / / }一 围 2 船与 固定点相 对位 置 将 上式代 入(2)式得 譬一 专 c 一 仁 两边 积分 得 In r—In 一 (In tR号一In tg里2)一(In sin9一In sin~o). 式 中 rn与 为小船的l 丰JJ始坐标.上式 整理 后即为 r 一 {}t g詈/Ig si n~ p}l 这就是 小船的轨迹方 程. 注 比较毒闽文献E2J.本题的 解法 诈求涉及消去时间 f,所 以消 除了初学者对文献E2J中 利用 (5)式除 (6)就能淌除【fl f问 f的钲惑. 例 2 已知 口一 .,速孛 — p .. r . .一 0.求轨迹¨. 解 利用关系式 u 一 + 一 r + r 可求得 r的 丧达 式. 维普资讯 http://www.cqvip.com 96 ‘ 四川师范学院学报 (自然科学版) 1 994年 所 以 厂_l— r一 、, 一 r‘ r 、 tg 一 — — -== 叫。~( — 一 — — 一 n √ √ 1‘ % / √ “_一 代入 (2)式 并积 分得 r一 sj" . % 显然 .质点的运动轨迹是一个 圆. 由上示倒可知 ,切线坐标变换式 (2),可 姒用来求解 质点运 动轨迹方 程. 如 果 n为定值时 .这种解法更为 简单. (1) 一 0时 .由(2)式积分可 得 口一 c(常量 )说 日H质点作直线运 动 .这一点不难 由岍线 坐标 的定义直接得到 , 为这 时质点的速度 (沿切线 方向)与矢径 r终始重 台. (2) 一 ÷ 时,积分(2)式可得 r— ,质点沿对数螺线轨迹运动. - (3) n一芸 时.由(2)式积舒可得r==c’(常量),质 作圆周运动.径向速度为零,由干速 度 始终 与矢径 r垂直 .切线坐标 保持 不变 ,质 点作 圆周运动. ● 参 考 文 献 1 查 有粱 .牛 顿力学 的横 向研 究.四 川教 育 出版 社 ,1 987 2 粱 昆淼.力 学 (上册 )北 京 ^民教 育 出版 仕 .1 978. 科学家首 次拍 出人脑 工作照片 美国华盛顿大学雷奇 尔博士 为首 的研 究人员 ,用特制的 x光 扫描 器把 ^脑在进 行 回忆 活 动时的照 片拍摄 了下来. 这是科学家拍摄的世界上 第 1张 人脑在进行工作 时的照片. 他们在拍摄过程 中 ,对人类的记忆功能 有重大发现. 科学家早就知道 .^ 的记忆 是在大脑中央的 海马匡中形成 的.但 这一次他们却发现 .人脑 的 另 外两个部位 —— 视觉和感觉的部位 ,也参 与了回忆 活动. 雷奇尔博±的这项研究是从 1990年开 始的.他们把 1种氧分子 已稍作改变的 1种特殊 的 物 质 .注 入 18名受试者的脑 内 ,使它进 入脑部 血蔽循 环时 ,成 为 1种记号 方便 x光 扫描器 对 它 进 行 跟 踪 . 结果 ,在最 后拍 出的照片上 .这 一记号呈“红点”. (周全 摘 ) 维普资讯 http://www.cqvip.com