几何画板 ( 4. 07版 )是一个适用于数学教学的软件, 为我们探索几何图形的内在关系、 从事数学操作活动提供了一个平台. 它以点、 线、 圆为基本元素, 通过对这些基本元素的变换、 构造、 测算、 计算、 动画、 跟踪轨迹等, 能显示或构造出其它较为复杂的图形. 借助几何画板强大的绘图功能, 能绘制出任何一个已知解析式的初等函数的图象, 能帮助我们制作出精美的、 动态的、 直观的、 高效的数学课件, 能很好地渗透 /数形结合 0思想, 提高教学质量, 激发学生学习兴趣.利用几何画板准确画出函数图象, 就是将信息技术与数学课程整合的一个绝好案例. 现举两类 (三例 )说明如何绘制函数的图象 11 分段函数图象的绘制例 1 利 用几何 画板软 件绘制 出分 段函数 y =x2- 6x+ 7(x[ 4),x2- 3(x> 4)分析 可以先绘制 x轴上以点 A (4, 0)为端点的分别指向右、 左方向的两条射线, 然后在这两条射线上分别取点 D, F作为此题构造轨迹的主动点, 进而将此分段函数的图象画出.解 (1)建系: 先执行 /图表 0 // 定义坐标系 0命令,再执行 /图表 0 //隐藏网格 0命令.(2)绘制射线 j和 k: 执行 /图表 0 // 绘制点 0命令,依次绘制点 A ( 4, 0), B ( 3, 0), C ( 5, 0). 依次选中 A, B点, 然后执行 /构造 0 //射线 0命令, 画出 x轴上以点 A 为端点指向左方向的射线 j; 依次选中 A, C 点, 然后执行/构造 0 //射线 0命令, 画出 x 轴上以点 A 为端点指向右方向的射线 k.的图象.(3)绘制 y= x2- 6x+ 7(x £ 4)的图象上动点 E及 y=x2- 3(x> 4)上的动点 G: 在射线 k上画一点 D (主动点 ), 执行 /度量 0 // 横坐标 0命令, 则在工作区出现 / xD=某数 0字样, 再执行 /度量 0 //计算 0命令, 在出现的对话框中输入 / xD^2- 6* xD+ 70, 则在工作区出现 / (xD6* xD) + 7= 某数 0字样; 依次选中工作区 / xD= 某数 0字样和 / (xD(x, y)0命令, 绘制出 y= x2-2- 6xD) + 7= 某数 0字样, 执行 /图表 0 //绘制2- 6x+ 7(x[ 4)的图象上动点E(被动点 ); 同理绘制出 y=x2- 3(x> 4)的图象上动点G(G为被动点 F为射线 j上相应的主动点 ).(4)绘制 y=x2- 6x+ 7(x[ 4),x2- 3(x> 4)的图象: 依次选中点 D, E, 执行/构造 0 //轨迹0命令, 得轨迹 L1,即 y= x+ 7(x[ 4)的图象;再依次选中点 F, G, 执行 /构造 0 //轨迹 02- 6x命令, 得轨迹 L2, 即 y=x2- 3(x> 4)的图象.(5)制作 /隐藏 /显示 0按钮: 依次选中轨迹 L1和 L2,再执行 /编辑 0 //操作类按钮 0 //隐藏 /显示 0命令, 则在工作区出现 /隐藏 /显示 0按钮.(6)制作动画点按钮: 选中点 D, 执行 /编辑 0 //操作类按钮 0 //动画 0命令, 在出现的对话框中, 选 / 标签 0项, 将标签改为 /动画点 D 0, 则在工作区出现 /动画点D 0按钮; 选中点 F, 执行 /编辑 0 //操作类按钮 0 //动画 0命令, 在出现的对话框中, 选 / 标签 0项, 将标签改为 /动画点 F0, 则在工作区出现 /动画点 F0按钮.(7)设定动画痕迹: 依次选中点 E, G, 执行 /显示 0 //追踪绘制的点 0命令.由上述几步制作的几何画板课件复制到 word文档中后, 如图 1.图 157#数学教育技术# ( 2010年第 10期# 高中版 ) 说明 (1)上述制作课件的过程中, 点 D, F 为主动点, 点 E, G为被动点.(2)单击 /动画点 D 0按钮, 可观察出点 E的运动轨迹; 单击 /动画点 E0按钮, 可观察出点 G的运动轨迹.2 含有参数系数的函数的图象的绘制例 2 利用几何画板软件绘制出含参数系数的函数y= ax2+ bx+ c(xÎ R)的图象.分析 为画出此函数图象, 可通过度量三个与 x轴垂直的起点在 x 轴上的有向线段的终点的纵坐标来控制系数 a, b , c的值.解 (1)建系: 先执行 /图表 0 // 定义坐标系 0命令,再执行 /图表 0 //隐藏网格 0命令.(2)绘制直线 j, k, l: 在 x轴上任画三点 A, B, C, 选中点 A, B, C和 x 轴, 执行 /构造 0 // 垂线 0命令, 画得垂线j, k, l.(3)构造滑动器 a, b, c: 在直线 j , k, l上画点 D, E, F,隐藏直线 j, k, l,用 /画线段 0工具画线段 AD, BE, CF, 选择点 D, E, F, 执行 /度量 0 //纵坐标 0命令, 则在工作区出现 / yD=某数 0、 / yE=某数 0、 / yF= 某数 0字样, 用 /文本 0工具双击这些字样, 将标签改为 a, b, c, 则字样变为/ a=某数 0, / b= 某数 0, / c=某数 0, 用 /文本 0工具分别双击线段 AD, BE, CF, 将标签改为 a, b, c.(4)绘制函数 y= ax/绘制新函数 0命令, 在出现的对话框中, 输入 / a * x ^2+b* x+ c0, 点击对话框中 /确定 /按钮, 则在工作区出现/ f (x) = a# x2+ bx+ c的图象: 执行 /图表 0 /2+ b× x+ c0字样, 同时在坐标系中绘制出f (x) = ax2+ bx+ c的图象.(5)制作 / 动画点 0按钮: 选择点 D, 执行 /编辑 0 //操作类按钮 0 //动画 0命令, 则在工作区出现 /动画点 0按钮, 同时出现一个对话框, 在此对话框中, 选 /标签 0项, 将标签改为 /动画点 D ))) 参数 a0. 同理制作出 /动画点 E))) 参数 b0, /动画点 F))) 参数 c0.由上述几步制作的几何画板课件复制到 word文档中后, 如图 2.图 2说明 ( 1)当仅点击 / 动画点 D))) 参数 a0按钮时, 可发现参数 a的变化, 同时还可以看到抛物线 (a ¹0)开口大小和方向的变化. 特殊地, 当 a = 0时, 图象变为一条直线; 当仅点击 /动画点 E))) 参数 b0按钮时, 可发现参数 b的变化, 同时还可以看到抛物线 (a¹ 0)对称轴位置和顶点位置的变化; 当仅点击 /动画点 F))) 参数 c0按钮时, 可发现参数 c的变化, 同时还可以看到抛物线 (a¹ 0)与 y轴交点位置的变化.(2)我们也可通过拖拽点 D, E, F来控制数 a, b, c的变化.例 3 利用几何画板软件制作出讨论方程 a(其中 a> 0且 aX 1)的解的情况的课件.分析 先在同一坐标系中, 画出函数 y= alogax(其中 a> 0且 aX 1)的图象, 再根据图象讨论方程x= logaxx和 y =a构造滑动器来控制参数 a的值, 但因本题参数 a > 0, 故构造滑动器时应在射线上而不是直线上.解 (1)建系: 先执行 /图表 0 // 定义坐标系 0命令,再执行 /图表 0 //隐藏网格 0命令.(2)绘制射线 k: 在 x轴上任画一点 A, 选中点 A和 x轴, 执行 /构造 0 //垂线 0命令, 画得垂线 j , 在垂线 j上任画一点 B(B在 x轴上方 ), 隐藏垂线 j , 用 /画射线 0工具画出以 A 为端点过 B的射线 k.(3)构造滑动器 a: 在射线 k上画点 C, 隐藏射线 k和点 B, 用 /画线段 0工具画线段 AC, 选择点 C, 执行 /度量 0 //纵坐标 0命令, 则在工作区出现 / yC= 某数 0字样,用 /文本 0工具双击此字样, 将标签改为 a, 则字样变为/ a=某数 0, 用 /文本 0工具双击线段 AC, 将标签改为 a.(4)绘制函数 y= a行 /图表 0 //绘制新函数 0命令, 在出现的对话框中, 输入 / a ^x0, 点击对话框中 /确定 /按钮, 则在工作区出现/ f (x) = a中 a> 0且 aX 1)的图象.(5)绘制函数 y= logax(其中 a > 0且 aX 1)的图象:执行 /图表 0 //绘制新函数 0命令, 在出现的对话框中, 输x= logax(其中 a> 0且 aX 1)的解的情况. 仿例 2, 通过x(其中 a> 0且 aX 1)的图象: 执x0字样, 同时在坐标系中绘制出 f (x) = ax(其入 /log xlog a0, 点击对话框中 /确定 /按钮, 则在工作区出现/ g(x)=log (x)log (a )0字样 (相当于 /g (x)= logax0), 同时在坐标系中绘制出 g (x)= logax(其中 a> 0且 aX 1)的图象.(6)制作 /动画点 0按钮: 选择点 C, 执行 /编辑 0 //操作类按钮 0中 /动画 0命令, 则在工作区出现 / 动画点 0按钮.58 ( 2010年第 10期# 高中版 ) #数学教育技术# 两个几何不等式简证350015 福建省福州第二十四中学 杨学枝 文 [ 1]证明了以下两个几何不等式:( 1) (mb- mc)2+ (mc- ma)2+ (ma-mb)2\14[ (b- c)2+ (c- a)2+ (a- b)2];(2) (hb- hc)2+ (hc- ha)2+ (ha- hb)2[ (b- c)2+ (c- a)以上 a, b , c为 vABC三边长, ma, mb, mc和 ha, hb, hc分别为上述三边所对应的中线和角平分线.本文给出以上两个不等式的简捷证明.2+ (a- b)2.(1)式证明显然只要证 (mb-mc)2\14(b- c)2即可. 即证(4mb4 (mb+ mc)应用三角形中线公式易知要证上式只要证2- 4mc2)22\ (b- c)2,(b+ c)2\ (23mb+23mc)2,此式易证, 事实上, 由于 b+c2\mc, c+b2\mb, 将上述两式相加即得.(2)式证明 显然只要证 (hb- hc)可, 即证 12[ (b- c)2即(2$)2[ ( bc)2,上式显然成立.最后顺便指出, 若利用 [ 1]中的结论:mb- mc [32b- c , 则有(mb- mc)2+(mc- ma)2+(ma- mb)2[94[ (b- c)2+ (c- a)2+ (a- b)2].参考文献1 侯典锋. 两个优美的几何不等式. 湖北, 中学数学, 2010 , 62 杨学枝. 数学奥林匹克不等式研究. 哈尔滨工业大学出版社, 2009年 8月出版, P58(收稿日期: 20100619) 由上述几步制作的几何画板课件复制到 word文档中后, 如图 3.图 3说明 (1)构造滑动器 a的另法: 在射线 k上画点C,依次选择点 A, B, C, 执行 /度量 0 //比 0命令, 则在工作区出现 /ACAB= 某数 0字样, 用 /文本 0工具双击此字样,将标签改为 a, 则字样变为 / a= 某数 0, 隐藏射线 k和点B,再用 /画线段 0工具画线段 AC, 用 /文本 0工具双击线段 AC, 将标签改为 a.(2)点击此 /动画点 0按钮可发现数 a 的变化, 当然也可通过拖拽点 C来控制数 a的变化.(3)把坐标系单位长度适当放大, 可以发现随着数a由 a> 1逐渐缩小到 a < 1时, 两图象从没有公共点到公共点有 1个, 2个等, a 大约在 0. 02左右时, 出现 3个公共点. 故方程 a数与 a有关, 解可能有 0个, 1个, 2个, 3个.随着现代信息技术的发展, 电脑已逐渐进入人们的生活, 广泛地影响着人们的观念、 生活方式, 而制作优美的课件采用多媒体教学也已作为一种新的教学方式. 教师的课件制作好坏将直接影响到教学质量和效果, 影响到学生创造力的培养和发展.x= logax(其中 a > 0且 aX 1)的解的个(收稿日期: 20100406)59#短论荟萃# ( 2010年第 10期# 高中版 )