一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例 1.在空间四边形 ABCD 中,AB=CB,AD=CD,E、F、G 分别是 AD、DC、CA 的中点。 求证: 平面BEF ^ 平面BDG 。 A E A F E B G D F D B C C 例 2. AB ^ 平面BCD,BC = CD , ? BCD 求证: 平面BEF ^ 平面ABC 。 90° ,E、F 分别是 AC、AD 的中点。 D1 C1 A1 B1 2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。 例 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.。 D A D1 A1 B1 C B C1 二、二面角的基本求法 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求(1)二面角 A - B1C - A1 的大小; (2)平面 A1 DC1 与平面 ADD1 A1 所成角的正切值。 D A P C B 练习:过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ,设 PA=AB= a , 求二面角 B - PC - D 的大小。 A D 2.三垂线法 例 5 . 平面ABCD ^ 平面ABEF,ABCD 是 正 方 形 , ABEF 是 矩 形 且 AF= 1 AD= a ,G 是 EF 的中点, 2 B C D C (1)求证: 平面AGC ^ 平面BGC ; (2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值; (3)求二面角 B - AC - G 的大小。 A B G E 1 例 6. P 在平面 ABC 外, ABC 是等腰直角三角形,? ABC 点 (1)求证: 平面PA B ^ 平面A B C ; (2)求二面角 P - AC - B 的大小。 90° , PAB 是正三角形,PA ^ BC 。 P A B C 练习:正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是 AD 的中点,求二面角 A - BD1 - P 的大小。 C1 B1 D1 A1 C D P A B S 3.垂面法 例 7. SA ^ 平面ABC,AB ^ BC,SA = AB = BC , (1)求证: SB ^ BC ; (2)求二面角 C - SA - B 的大小; (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。 A C 4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱 B 例 8.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ,设 PA=AB= a , 求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。 P A D (2)射影面积法( cos q = s射影 S B C ) 例 9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是棱 AA1 的中点, 求平面 PB1C1 与平面 ABCD 所成二面角的大小。 2