我们说边界曲线
的正向是指这样的方向,使得沿这个方向前进时区域总落在左侧。规定了正向的边界曲线
记作
.
区域
的边界是一条还是多条简单曲线取决于该区域是单连通区域还是多连通区域,单连通区域根据定义显然其边界只有一条简单闭曲线。而多连通区域可看成单连通区域被挖了许多“孔洞”,这些“孔洞”的边界显然也是该多连通区域的边界。再根据定义可知,多连通区域边界的正向在最外层表现为逆时针,而在内层表现为顺时针。
(这里讨论的都是平面曲线,因此没有所谓“从下向上看”还是“从上向下看”的问题。)

格林公式

设函数
在有界闭区域
上有连续的一阶偏导数,
的边界
是逐段光滑的,则有格林公式:
注意这里的积分曲线是有界闭区域的边界,方向为正向。简单描述就是,矢量函数绕一闭合曲线的第二型曲线积分可以转化为相关二元标量函数在该闭合曲线包围的区域中的二重积分。
说到底格林公式的本质是利用旋度计算环路积分:
(
即称为矢量函数
的旋度)

用格林公式求积分区域面积

我们也可以将格林公式反过来使用,也即将二重积分转化为第二型曲线积分。比如当
时,二重积分的积分值等于积分区域的面积,那么当我们试图计算某个区域的面积时,可以将其转化为对边界的第二型曲线积分(假如边界形式合适)。
满足条件的
有很多,通常取该形式:
即为目标区域,
为其正向边界。

奇点的处理(这里奇点指没有定义的点)

注意到格林公式的条件要求函数在曲线围成的闭区域上有连续的一阶偏导数,而我们通常处理的是初等函数,这一点往往变成对函数在区域上的每个点是否都有定义的考察。
例:求曲线积分
,其中
为光滑的闭曲线.
这道题目甚至没有给出
的形状,这是因为我们可以注意到该题目中
此时直接套用格林公式貌似可以得到无论曲线是什么形状该积分均等于零这样的结论,但其实我们同样可以发现,
在点
上都没有定义。这意味着当闭曲线所包围的区域包含
时我们便不可以直接使用格林公式。
具体方法是在该奇点
的周围再画一条闭曲线
,将积分区域从单连通区域变成多连通区域。(注意:格林公式在单连通区域和多连通区域中都满足!)
那么此时对该新的积分区域(外边界和内边界所包围的区域)便可以使用格林公式了,并且积分值等于零。也即:
进而题目要求的积分为:
至于这里内边界
的形状,除了包围奇点和在外边界以内,没有其他的规定。因此我们通常是选尽可能方便计算的内边界形状,往往是一个以奇点为圆心的圆。比如这道例题,积分曲线是一个圆便可以用极坐标转换。

一点延伸

假设平面中存在一个矢量场
,前面提到过对于矢量场给定一点会对应一个矢量。根据这个定义,矢量场有一个可以被描述的特征叫散度。
粗糙理解可以认为散度描述的是该矢量场中各点“对外扩散的趋势”。举个栗子,一个泛起涟漪的湖面上各点可以有不同的速度,不管是方向还是大小。但对于该湖面上的每一点,总是对应一个速度矢量,于是我们可以称其为速度矢量场。当我们对其中的每一点求散度时,得到的就是湖水从该点向外扩散的趋势。
直角坐标系中散度的计算式为:
(具体见附录矢量分析)
(其实从该表达式也可以大致品出上面所说的散度含义)
根据格林公式不难证明:
这
指的是该闭合曲线
的外法线方向的单位矢量。等式左边
和
的点积,给出了矢量场在闭合曲线上每一点的矢量沿外法线的分量,描述了该矢量场通过该闭曲线的流量。也即上式说的其实是:稳定流体通过某一闭曲线的流量,等于其散度在该闭曲线所包围的区域上的二重积分之值。
类似地还可以利用格林公式得到另一个式子:
拉普拉斯算符
这个式子和上面那个式子本质是一样的,只需把上面的矢量场
看成是下面的标量场
的梯度,即:
这里用温度来描述更直观,假如
描述了每一点热量传递方向和速率大小,则
描述了每一点的温度。而拉普拉斯算符作用到
上后给出了每一点扩散的热量值,因此对区域做积分可以得到总的热量扩散值,并且等于其沿边界外法线方向传递的热量。