不过,虽然导函数不一定连续,但是我们可以肯定的是,导函数不存在第一类间断点。这是一个很有意思的结果,它表明导函数不连续的情况,它只会出现第二类间断点。上文所举的例子中,\(x=0\)就是\(f'(x)\)的第二间断点中的震荡间断点。关于此定理的证明可查阅相关文献。
什么时候我们可以说导数连续呢?这里我们有导数极限定理:
设函数\(f(x)\)在\(U(x_0)\)上连续,在\(U^0(x)\)上可导,极限\(\lim\limits_{x\to {x_0}}f'(x)\)存在,则函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导,且\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)\).
这也就表明了导函数在\(x=x_0\)处连续。这需要先保证导函数的极限在该点处存在。上面所举的例子,导函数在该处极限不存在。这个结论的证明并不复杂,只需要简单使用中值定理,因此不予赘述。这个定理也是判断分段函数在“分界点”导数连续性的依据。
例1:设\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{1 - \sqrt {1 - x} }}{x},x