下面是2015年上海交大附属中学的一道自主招生题:
问题:设
,
是平面直角坐标系中的两点,
是线段
垂直平分线上的点,如果点
与点
的距离等于
,则点P的坐标为?
这道题如果知道中垂线方程,那么是很简单的。根据上述推导我们可以知道线段AB的中垂线为
。于是,可设点P的坐标为
,根据
,很容易得到关于t的方程
,解得
。因此点P坐标为
。
有的题目可能不是求中垂线,但是利用了中垂线的性质,下面也是2015年上海交大附属中学的另一道自主招生题(这一套卷子里竟然考了2题中垂线。)
问题:坐标原点
关于直线
翻折后的点的坐标为?
这里我们可以设翻折后的点坐标为
,那么直线
就是翻折后点与原点组成的线段的中垂线,于是可以得到下面关系式:
(垂直)
(中点在中垂线上)
所以可以很快求得
。因此,原点翻折后点的坐标为
。
中垂线的知识是初中解析几何的重点,我们不需要背公式,只需要理解其背后原理就可以了。
最后再插一句,在解析几何中,向量是一个非常好的工具,比如下文
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