第三节 对坐标的曲线积分(第二类 曲线积分) 一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算 四、小结 1 一、问题的提出 L : A ? B, y B 实例: 变力沿曲线所作的功 L ? ? A F ( x , y) ? P ( x , y)i ? Q( x , y) j o 常力所作的功 W ? F ? AB. M2 M1 ?yi M i ?1 ?x i M i M n ?1 x 分割 A ? M 0 , M1 ( x1 , y1 ),?, M n?1 ( xn?1 , yn?1 ), M n ? B. ? ? M i ? 1 M i ? ( ?x i )i ? ( ?y i ) j . 2 ? ?y 取 F (? i ,?i ) ? P (? i ,?i )i ? Q(? i ,?i ) j , ?Wi ? F (? i ,? i ) ? M i ? 1 M i , L A F (? i ,?i ) B M2 M1 ? Mi? 1 xi ?yi M i M n ?1 即 ?Wi ? P (? i ,?i )?xi ? Q(? i ,?i )?yi . o x 求和 W ? ? ?Wi i ?1 n i ?1 n 近似值 ? ? [ P (? i ,? i ) ? ?xi ? Q(? i ,? i ) ? ?yi ]. 取极限 W ? lim ? [ P (? i ,? i ) ? ?xi ? Q(? i ,? i ) ? ?yi ]. ? ?0 i ?1 n 精确值 3 二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有 向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q( x , y )在 L 上有界. 用 L上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), ?, M n?1 ( xn?1 , yn?1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i ?1 M i ( i ? 1,2,?, n; M 0 ? A, M n ? B ). 设?xi ? xi ? xi ?1 , ?yi ? yi ? yi ?1 , 点(? i , ?i )为 M i ?1 M i 上任意取定的点. 如果当各小弧段 长度的最大值 ? ? 0时 , 4 ? P (? i ,? i )?xi的极限存在, i ?1 n 则称此极限为函 数 P ( x , y )在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线 积分(或称第二类曲线积分) , 记作 P (? i ,? i ) ?xi . ? ?L P ( x, y)dx ? lim ? ?0 i ?1 类似地定义 n Q(? ,? )?y . ? ? Q( x, y )dy ? lim ? L ?0 i ?1 i i i n 其中P ( x , y ), Q( x , y )叫做被积函数 , L叫积分弧段. 5 2.存在条件: 当P ( x , y ), Q( x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在. 3.组合形式 ?L P ( x, y )dx ? ?L Q( x, y )dy ? ? ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy ? ? F ? ds. L L ? ? ? 其中 F ? Pi ? Qj , ? ? ds ? dxi ? dyj . 6 4.推广 空间有向曲线弧? ? ? Pdx ? Qdy ? Rdz . ? ? P ( x , y , z )dx ? lim ? P (? i ,?i ,? i )?xi . ? ?0 i ?1 n n Q ( ? i , ? i , ? i )?yi . ? ?? Q( x, y, z )dy ? lim ? ?0 i ?1 R(? i , ?i , ? i )?zi . ? ?? R( x, y, z )dz ? lim ? ?0 i ?1 7 n 5.性质 (1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则 ? L Pdx ? Qdy ? ?L Pdx ? Qdy ? ?L Pdx ? Qdy. 1 2 ( 2) 设 L是有向曲线弧, L?是与L方向相反的 有向曲线弧, 则 ?L ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy ? ? ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 8 三、对坐标的曲线积分的计算 定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连 ? x ? ? ( t ), 续, L的参数方程为? 当参数t单调地由?变 ? y ? ? ( t ), 到?时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B, ? ( t ),? ( t )在以?及?为端点的闭区间上具有一阶连 续导数, 且? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t ) ? 0, 则曲线积分 ?L P ( x, y)dx ? Q( x, y)dy存在, 9 且 ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L ? ? { P[? ( t ),? ( t )]? ?( t ) ? Q[? ( t ),? ( t )]? ?( t )}dt ? ? 特殊情形 (1) L : y ? y( x ) b L a x起点为a,终点为b. 则 ? Pdx ? Qdy ? ? { P[ x , y( x )] ? Q[ x , y( x )] y?( x )}dx. ( 2) L : x ? x ( y ) d L c y起点为c,终点为d . 10 则 ? Pdx ? Qdy ? ? { P[ x ( y), y]x ?( y) ? Q[ x ( y), y]}dy. ? x ? ? (t ) ? ( 3) 推广 ? : ? y ? ? ( t ), t起点? , 终点? . ? z ? ? (t ) ? ? ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ?? { P[? ( t ),? ( t ), ? ( t )]? ?( t ) ? Q[? ( t ),? ( t ), ? ( t )]? ?( t ) ? R[? ( t ),? ( t ), ? ( t )]? ?( t )}dt 11 例1 计算? xydx, 其中L为抛物线 y 2 ? x上从 L A(1,?1)到B(1,1)的一段弧. B(1,1) y ? ? x. 解 (1) 化为对x的定积分, y2 ? x ? L xydx ? ? AO xydx ? ? xydx OB ? ? x( ? x )dx ? ? x xdx 1 0 0 1 A(1,?1) 4 ? 2 ? x dx ? . 0 5 1 12 3 2 ( 2) 化为对y的定积分, x? y , 2 y从 ? 1到1. B(1,1) ?L xydx ? ?AB xydx ? ? y 2 y( y 2 )?dy ?1 1 y2 ? x A(1,?1) 4 ? 2? y dy ? . ?1 5 1 4 13 例2 计算? y 2 dx, 其中L为 L (1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时 针方向绕行 的上半圆周 ; ( 2) 从点 A( a,0) 沿 x 轴到点 B( ? a,0) 的直线段. ? x ? a cos ? , 解 (1) ? L : ? ? y ? a sin? ? 从 0 变到 ?, 原式 ? ? a 2 sin2 ? ( ?a sin? )d? 0 ? B( ?a,0) A( a,0) 14 ?a 3 ?0 ? 4 3 (1 ? cos ? )d (cos ? ) ? ? a . 3 2 ( 2) ? L : y ? 0, x 从 a 变到 ? a, 原式 ? ? 0dx ? 0. a ?a B( ?a,0) A( a,0) 注:被积函数相同,起点和终点也相同,但路 径不同积分结果不同. 15 例3 计算? 2 xydx ? x 2dy, 其中L为 L (1) 抛物线 y ? x 2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; ( 2) 抛物线 x ? y 2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; ( 3) 有向折线OAB,这里O , A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1). 解 (1) 化为对 x 的积分. B(1,1) L : y ? x , x从0变到1, 2 y ? x2 原式 ? ? ( 2 x ? x 2 ? x 2 ? 2 x )dx 0 1 ? 4? x 3 dx ? 1. 0 1 A(1,0) 16 ( 2) 化为对 y 的积分. x ? y2 B(1,1) L : x ? y 2 , y从 0 变到 1 , 原式 ? ? ( 2 y 2 ? y ? 2 y ? y 4 )dy 0 1 A(1,0) ? 5? y 4 dx ? 1. 0 1 ( 3 ) 原式 ? ?OA 2 xydx ? x dy 2 B(1,1) ? ?AB 2 xydx ? x 2 dy A(1,0) 17 在 OA 上, y ? 0, x从 0 变到 1 , ? OA 2 xydx ? x dy ? ? ( 2 x ? 0 ? x 2 ? 0)dx 2 0 1 B(1,1) ? 0. 在 AB 上, x ? 1, y 从 0 变到 1 , A(1,0) ?AB 2 xydx ? x dy ? ?0 ( 2 y ? 0 ? 1)dy ? 1. 2 1 ? 原式 ? 0 ? 1 ? 1. 注:被积函数相同,起点和终点也相同,但路 径不同而积分结果相同. 18 例4、计算 (y ? ? 2 ? z )dx ? 2 yzdy ? x dz 2 2 ? 为:x ? t ,y ? t 2 ,z ?t 3 t从0变到1的一段弧。 19 例5、计算? y dx ? z dy ? x dz 2 2 2 ? ? 为:x ? y ? z ? a 2 2 2 2 z?0 与 x ? y ? ax 2 2 的交线。 20 四、 两类曲线积分之间的联系: ? x ? ? (t ) 设有向平面曲线弧为 L: ? , ? y ? ? (t ) L上点( x , y )处的切线向量的方向角 为? , ? , 则? Pdx ? Qdy ? ? ( P cos ? ? Q cos ? )ds L L (可以推广到空间曲线上 ?) 21 ?上点( x , y, z )处的切线向量的方向角 为?, ?, ? , 则? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ( P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? )ds ? ? ? ? ? ? 可用向量表示 ? ? A ? t ds ? ? A ? dr ? ? ? ? 其中 A ? { P , Q, R}, t ? {cos ?, cos ?, cos ? }, ? ? dr ? t ds ? {dx, dy, dz} 有向曲线元; ?上点( x , y , z )处的单位切向量 22 例6、把 ? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy L 化为对弧长的曲线积分,其中 L 为沿抛物线 y ? x (1,1) 的一段弧。 2 从 (0,0) 到 23 例、计算 2 xy ? dx ? ( x ? y)dy ,其中 L 为 L 2 y ? x 从 (0,0) 到 (1,1) 的一段弧。 1)沿曲线 2)沿从 (0,0) 经 (0,1) 到 (1,1) 的折线段。 24 例、计算 ? ( x 2 ? y 2 )dx ? ( x 2 ? y 2 )dy ,其中 L L 为:从 A(2,0) 沿曲线 y ? 1? | 1 ? x | 到 (0,0) 。 25 四、小结 1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 26 思考题 当曲线L 的参数方程与参数的变化范围给定 之后(例如L : x ? a cos t , y ? a sin t , a 是正常数),试问如何表示 t ? [0, 2 ?], L 的方 向(如L 表示为顺时针方向、逆时针方向)? 27 思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定. 例如 L : x ? a cos t , y ? a sin t ,t ? [0,2? ]中 L 取逆时针方向; 当t 从 0 变到2? 时, L 取顺时针方向. 反之当t 从2 ? 变到 0 时, 28 练 习 题 一、填空题: 1 、对______________的曲线积分与曲线的方向有关; 2 、设 ? P ( x , y )dx ? Q ( x , y )dy ? 0 ,则 ? ? L L? L P ( x , y )dx ? Q ( x , y )dy P ( x , y )dx ? Q ( x , y )dy L ? ____________; 3 、在公式 ? P ( x , y )dx ? Q ( x , y )dy ? L L 限 ? 对应于 ? 对应于 的____点,上限 的____点; 4、两类曲线积分的联系是_______________________ _______________________________. 29 ?? { P[? ( t ) , ? ( t )]? ?( t ) ? Q[? ( t ) , ? ( t )]? ?( t )}dt 中,下 ? 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、 ?L xydx ,其中 L 为圆周( x ? a ) 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( 按 逆时针方向绕行); ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy 2、 ?L ,其中 L 为圆周 2 2 x ?y x 2 ? y 2 ? a 2 (按逆时针方向饶行); 3、? dx ? dy ? ydz ,其中为有向闭折线ABCD ,这里 ? 的 A , B , C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1); dx ? dy 4、 ? ,其中ABCDA 是以 A(1,0) ,B ( 0,1) , x? y ABCDA C ( ?1,0) , D ( 0,?1) 为顶点的正方形正向边界线 . 30 m 的质点从位 三、设z 轴与重力的方向一致, 求质量为 置( x 1 , y1 , z 1 ) 沿直线移到( x 2 , y 2 , z 2 ) 时重力所作 的功. 四、把对坐标的曲线积分 ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy 化成 L 对弧长的积分, 其中 L 为: 1 、在 xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1); 2 2 、沿抛物线 y ? x 从点(0,0)到点(1,1); 2 2 x ? y ? 2 x 从点(0,0)到点(1,1). 3 、沿上半圆周 31 练习题答案 一、1、坐标; 2、-1; 4、 ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? 3、起,点; ? 3 二、1、? a ; 2 ? ? ( P cos? ? Q cos ? ? R cos? )ds . ? 2、? 2? ; 1 3、 ; 4、0. 2 三、 F ? ? 0,0, mg ?, W ? mg ( z 2 ? z1 ) . 32 四、1、 ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L P ( x , y ) ? Q( x , y ) ?? ds ; L 2 2、 ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L P ( x , y ) ? 2 xQ( x , y ) ?? ds ; 2 L 1 ? 4x 3、 ? P ( x , y )dx ? Q( x , y )dy L L ? ? [ 2 x ? x 2 P ( x , y ) ? (1 ? x )Q( x , y )]ds . 33