第二节函数的求导法则
教学目的:掌握导数的四则运算法则,掌握基本初等函数的求导公式,会求反函数的导数
教学重点:导数的四则运算法则,反函数求导方法
教学难点:反函数求导
教学内容:
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理函数
在点
处可导,则
(1)
在点
处可导,且
(2)
在点
处可导,且
为常数
(3)
在点
处可导,且
(4)
在点
处可导,且
证(1)略.
(3)设
例 1
解:
例 2
解
例 3
,求
.
解:
即
这就是正切函数的导数公式.
例 4
,求
.
解:
,
即
这就是正割函数的导数公式.
用类似方法,还可求得余切函数及余割函数的导数公式:
二、反函数的求导法则
定理
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证:
于是有
因为
所以
即
例 5
解:
同理可得
例 6
解:
特别地
三、复合函数的导数
定理如果
在点
可导,而
在点
可导,则复合函数
在点
可导,且其导数为
证 由于
在点
可导,因此
存在,于是根据极限与无穷小的关系有
其中
是
时的无穷小.上式中
,用
乘上式两边,得
当
时,规定
,这时因
,
而
右端亦为零,故
对
也成立.用
除
两边,得
于是
根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道,当
时,
,从而可以推知
又因
在点
可导,有
故
即
证毕.
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.我们以两个中间变量为例,设
,
,
,则
,而
故复合函数
的导数为
当然,这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在.
例 7
,求
.
解:
.
例 8
,求
.
解: