将军饮马问题例题及应用 一, 简介 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一 个有趣的 数学问题. 诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后,再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短? 这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专 程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:“将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开 会,应该怎样走才能使路程最短?” 从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传. 二,例题 1, 基本类型问题 问题:有一位将军骑着马要从A地走到B地,但途中要到水边喂马喝一次水,则将军怎样走最近? 解答:作B点与河面的对称点B′,连接AB′,可得到马喝水的地方C,如图所示,由对称的性质可知AB′=AC+BC,根据两 点之间线段最短的性质可知,C点即为所求. 2, 与其他类型问题相结合 问题:某 课 题 组 在 探 究 “ 将 军 饮 马 问 题 ” 时 抽 象 出 数 学 模 型 : 直 线 l 同 旁 有 两 个 定 点 A 、 B , 在 直 线 l 上 存 在 点 P , 使 得 PA + P B 的 值 最 小 . 解 法 : 作 点 A 关 于 直 线 l 的 对 称 点 A ′ , 连 接 A ′ B , 则 A ′ B 与 直 线 l 的 交 点 即 为 P , 且 PA+ P B 的 最 小 值 为 A ′ B . 请 利 用 上 述 模 型 解 决 问 题 如 图 1 , 等 腰 直 角 三 角 形 A B C 的 直 角 边 长 为 2 , E 是 斜 边 AB 的 中 点 , P 是 AC 边 上 的 一 动 点 , 则 PB+PE 的 最 小 值 为 ( ) ; 解 答 : 作 点 B 关 于 AC 的 对 称 点 B ′ , 连 接 B ′ E 交 AC 于 P , 此 时 P B + P E 的 值 最 小 . 连 接 AB ′ . AB ′ = AB = √ A C 2 + B C 2 = √ 2 2 + 2 2 = 2 √ 2 AB = √ 2 ∵ ∠ B ′ AC = ∠ B AC = 4 5 ° ∴ ∠ B ′ AB = 9 0 ° ∴ P B + P E 的 最 小 值 = B ′ E = √ B ′ A 2 + AE 2 = √ ( 2 √ 2 ) 2 + ( √ 2 ) 2 = √ 1 0