第 19 讲 空间向量及运算 1 1.已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= x-2a,则 x 等于( ) 2 A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 2.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是( ) 1 3 7 A.1 B. C. D. 5 5 5 3.与向量 a=(6,7,-6)平行的单位向量是( ) 6 7 6 ? 6 7 6? ? 6 7 6? A.? B.? ?121,121,-121? ?11,11,-11?或?-11,-11,11? 6 7 6 ? 6 , 7 ,- 6 ?或?- 6 ,- 7 , 6 ? , ,- ? C.? D. 11? 121? ? 121 121 121? ?11 11 ?121 121 4.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是( ) 5 55 3 5 11 A. B. C. D. 5 5 5 5 1 5.如图 K41-1,在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,B1E= A1B1, 4 → 则BE等于( ) 图 K41-1 1 ?0,-1,1? ?1,0,-1? - ,0,1? B.? C. D. 4 ? ? 4 ? ? ?4 ? π π 6.已知 a⊥b, 〈a,c〉= , 〈b,c〉= ,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|=( ) 3 6 A.17+6 3 B.17-6 3 1 0, ,-1? A.? ? 4 ? C. 17+6 3 D. 17-6 3 7. 如图 K41-2, 在大小为 45° 的二面角 A-EF-D 中, 四边形 ABFE, CDEF 都是边长为 1 的正方形,则 B,D 两点间的距离是( ) A. 3 B. 2 C.1 D. 3- 2 8. 到点 A(-1,-1,-1)和点 B(1,1,1)的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足( ) A.x+y+z+1=0 B.x+y+z-1=0 C.x+y+z=0 D.x+y-z=0 9.若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b 10.已知|a|=3,|b|=5,且 a· b=12,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为________. → → 11. 已知空间三点 A(1,1,1), B(-1,0,4), C(2, -2,3), 则AB与CA的夹角 θ 的大小是________. x y 12.在平面直角坐标系中,由点 A(a,0),B(0,b)(ab≠0)确定的直线的方程为 + =1,类比到 a b 空间直角坐标系中,由 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(abc≠0)确定的平面的方程可以写成 ________. 13.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中,AB=1, AD=2,AA′=3,∠BAD=90° ,∠BAA′=∠DAA′=60° ,则 AC′的长为________. 14.若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求 cos〈a,b〉 . 15.把边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角,点 E、F 分别是 AD、BC 的 中点,点 O 是原正方形的中心,求: (1)EF 的长; (2)折起后∠EOF 的大小. → → 16.已知 A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点 Q 在直线 OP 上运动,当QA· QB取最小 值时,求点 Q 的坐标. 第 19 讲 空间向量及运算 1 1.B [解析] 由于 b= x-2a,则 x=2b+4a=2(-4,-3,-2)+4(2,3,-4)=(0,6, 2 -20). 2.D [解析] 由于 ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2) 7 =(3,2,-2),而两向量互相垂直,则有(k-1)×3+k×2+2×(-2)=0,解得 k= . 5 3.B [解析] 设与 a 平行的单位向量为 b=(x,y,z),则 x2+y2+z2=1,且 x=6λ,y 6 7 6? ? 6 7 6? 1 =7λ,z=-6λ,所以 λ=± ,则 b=? ?11,11,-11?或?-11,-11,11?. 11 4.C [解析] 由于 b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0), 1 9 3 5 t- ?2+ ≥ 则|b-a|= ?1+t?2+?2t-1?2= 5t2-2t+2= 5? ? 5? 5 5 . 3 ? 3 → ? ? 5.C [解析] B 点坐标为(1,1,0),E 点坐标为? ?1,4,1?,则BE=?1-1,4-1,1-0?= ?0,-1,1?. 4 ? ? 6.C [解析] 由|a+b+c|= ?a+b+c?2求得正确选项为 C. → → → → → → → → → → → → =BF 7. D [解析] ∵BD +FE+ED, ∴|BD|2=|BF|2+|FE|2+|ED|2+2BF· FE+2FE· ED+ → → → 2BF· ED=1+1+1- 2=3- 2,故|BD|= 3- 2. 8.C [解析] 由空间两点间距离公式可得 x+y+z=0. 9.C [解析] 对于实数 λ、μ,形如 λa+μb 的向量都与向量 a,b 是共面向量.因为 a 1 1 1 1 = (a+b)+ (a-b),故选项 A 中的三个向量共面;因为 b= (a+b)- (a-b),故选项 B 中 2 2 2 2 3 1 的三个向量共面;因为 a+2b= (a+b)- (a-b),故选项 D 中的三个向量共面.对选项 C, 2 2 我们设 c=λ(a+b)+μ(a-b),则(λ+μ)a+(λ-μ)b-c=0,由于{a,b,c}为空间的一个基底, 故 a,b,c 不共面,所以(λ+μ)a+(λ-μ)b-c=0?λ+μ=0,λ-μ=0,-1=0,这显然是不 可能成立的,故选项 C 中的三个向量是不共面的,正确选项为 C. 12 a· b a· b 12 10. [解析] 向量 a 在向量 b 的方向上的投影等于|a|· cos〈a,b〉=|a| = = . 5 |a||b| |b| 5 → → → → 11.120° [解析] 由于AB=(-2,-1,3),CA=(-1,3,-2),则 cosθ=cos〈AB,CA〉 ?-2?×?-1?+?-1?×3+3×?-2? 1 = =- , 2 14× 14 则 θ=120° . x y z 12. + + =1 a b c [解析] 根据平面上点的坐标、距离公式、中点坐标公式到空间的情况 x y z 进行类比.通过直线方程的结构形式,可以类比得出平面的方程为 + + =1. a b c → → → → → → 13. 23 [解析] 如图,AC′=AB+BC+CC′=AB+AD → → → → → +AA′,所以|AC′|=|AC′|=|AB+AD+AA′| = → → → → → → → → → AB2+AD2+AA′2+2?AB· AD+AB· AA′+AD· AA′? = 1+4+9+2?1×3×cos60° +2×3×cos60° ?= 23. 14.[解答] 由于(a+b)⊥(2a-b), 则(a+b)· (2a-b)=2a2-b2+a· b 2 2 =2|a| -|b| +|a|· |b|cos〈a,b〉 |b|2-2|a|2 =0,即 cos〈a,b〉= , |a|· |b| 又(a-2b)⊥(2a+b),则 (a-2b)· (2a+b)=2a2-2b2-3a· b 2 2 =2|a| -2|b| -3|a|· |b|cos〈a,b〉 =0, 2|a|2-2|b|2 即 cos〈a,b〉= , 3|a|· |b| |b|2-2|a|2 2|a|2-2|b|2 2 10 所以 = ,即 5|b|2=8|a|2,即|b|= |a|, |a|· |b| 3|a|· |b| 5 8 2 |a| -2|a|2 2 2 |b| -2|a| 5 10 所以 cos〈a,b〉= = =- . |a|· |b| 10 2 10 |a|· |a| 5 15. [解答] 如图, 以 O 点为原点建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 A0, - C0, 2 2 2 2 2 2 a,0,D0,0, a,E0,- a, a,F a, a,0. 2 2 4 4 4 4 2 2 a,0, B a,0,0, 2 2 3 2 2 2 2 → (1)|EF|2=? a-0?2+? a+ a?2+?0- a?2= a2,∴ 4 ? ? 4 ? 4 ?4 ? ?4 3 |EF|= a. 2 2 2 2 2 → → (2)OE=?0,- a, a?,OF=? a, a,0?, 4 4 ? 4 ? ?4 ? 2 ? 2 a2 2 ? ? 2 ? → → OE· OF=0× a+ - a × + a×0=- , a 4 8 ? 4 ? ?4 ? 4 → → OE· OF 1 → a → a → → |OE|= ,|OF|= ,cos〈OE,OF〉= =- , 2 2 2 → → |OE||OF| ∴∠EOF=120° . → → 16.[解答] 设OQ=λOP=(λ,λ,2λ), → 则QA=(1-λ,2-λ,3-2λ), → QB=(2-λ,1-λ,2-2λ), 4 2 → → λ- ?2- , ∴QA· QB=(1-λ)· (2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)· (2-2λ)=6λ2-16λ+10=6? ? 3? 3 4 2 → → ∴当 λ= 时,QA· QB取得最小值- , 3 3 4 4 8? → ?4 4 8? 此时OQ=?3,3,3?,即 Q? ?3,3,3?.