本週我们又遇到了calculus问题:
我们怎样才能找\(\cot^{3}x\)的积分?
开始吧!
\[\int \cot^{3}x \, dx\]
使用Pythagorean恆等式:\(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\)。
\[\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx\]
扩展。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx\]
使用求和法则:\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx\]
简化三角函数。
\[\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx\]
在\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)上使用换元积分法。
Let \(u=\sin{x}\), \(du=\cos{x} \, dx\)
使用上面的\(u\)和\(du\),重写\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)。
\[\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du\]
使用指数法则:\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[-\frac{1}{2{u}^{2}}\]
将\(u=\sin{x}\)代回原本的积分。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}\]
用完成的代回重写积分。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx\]
使用三角积分法: \(\cot{x}\)的积分是\(\ln{(\sin{x})}\)。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}\]
添加常量。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C\]
完成