非闭区域及奇点条件下格林公式的应用摘要:平面区域上的二重积分可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表 示,正是由于这个性质使得格林公式尤为重要。本文主要介绍在不满足公式使用 条件的前提下,如何间接使用格林公式. 关键词:格林公式 非闭区域 奇点 预备知识格林公式建立了闭区域D 上的二重积分与 上第二型曲线积分之间的联系。 定理:设闭区域D 由分段光滑的曲线围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在 D上具有一阶连续偏导数,则-dxdy=Pdx+Qdy 其中L 的取正向的边界曲线。注意:若平面闭区域D 由分段光滑 曲线C 和C0 围成(如图1), 其中C C0均取逆时针方向,运用格林公式可得 Pdx+Qdy=Pdx+Qdy+-dxdy 非闭区域格林公式的应用2.1 引例 为由点M(-R,0)依逆时针方向到点 N(R,0)的半圆周(如图2),ɑ>0 为常数; 分析:如果先求出 的参数方程再用代公式直接计算将会非常复杂,计算量大、过程繁琐。一个有效的方法是利用格林公式,但曲线 不是封闭曲线,所以要添加辅助线NM使之构成封闭的曲线,以便使用格林公式化为二重积分, 再减去辅助线上的曲线积分(要确保它容易计算)即得结果。 方法:连接NM:y=0 曲线L与直线NM,围成一个闭区域记作 D,它是半径为R, 圆心为原点O 三、四象限的部分。