例10
(2015山东理20)平面直角坐标系
中,已知椭圆
的离心率为
,左、右焦点分别是
,以
为圆心以3为半径的圆与以
为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆
上。(I)求椭圆
的方程(II)设椭圆
,
为椭圆
上任意一点,过点P的直线
交椭圆
于
两点,射线
交椭圆
于点
(i)求
的值(ii)求
面积的最大值。
(I)由题可知
,
,解得
,椭圆C的方程为
。
(II)(i)设
。
,
,所以
。 因为
在椭圆
上,代入椭圆
的方程,解得
,即
。(ii)设
,
,
连线
,所以
,
。
联立
与椭圆
的方程,得
,根据韦达定理,有
,
。联立
与椭圆
的方程,得
,
,
,设
,则
。
。所以
面积的最大值为
。
在写
与椭圆
联立的方程组时,其实不必再重新联立,只需将
与椭圆
联立的结果中的16替换为4即可。
例11
(2015陕西理20)已知椭圆
的半焦距为
,原点
到经过两点
的直线的距离为
。(I)求椭圆E的离心率;(II)如图,
是圆
的一条直径,若椭圆
经过
两点,求椭圆
的方程。
(I)过
两点的直线为
,即
,原点到直线的距离
,离心率为
。
(II)将
代入椭圆方程,可化简为
。设
,则有
。两式相减,得
,
,于是有
,即
,代入上式,整理得
。
,于是有
。将上面两式联立,解得
。由此可以求出
两点坐标:
。任选一个坐标代入化简后的椭圆方程,即可求出
,椭圆
的方程为
。