第六章 单变量微分学 郇中丹 2006-2007学年第一学期 1 基本内容 ? ? ? ? ? ? ? ? ? §0 微积分的创立 §1 导数和微分的定义 §2 求导规则 §3 函数一点行为的导数刻划 §4 区间上的可导函数(中值定理) §5 不定式 §6 Taylor公式 §7 用导数研究函数 §8 割线法和切线法(Newton方法) 2 §0 微积分的创立 ? Isaac Newton (1642-1727) ? Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) 3 Isaac Newton (1642-1727) ? 1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆 人挣钱缴交学费的)学生), 数学指导教师Isaac Barrow (1630-1677),1664.1(康熙3年)获学士学位. ? 1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛 顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion) 法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力 定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. ? 1665年11月发明“正流数法”(微分法),1666 年5月发明“反流数法”(积分法),1666年10月 总结文稿“流数简论”,建立了微积分基本定 4 理。 Isaac Newton (II) ? 1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出 版Mathematical Principles of Natural Philosophy. ? Newton有关流数的著作到他身后才发表(1736). 5 Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) ? 1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具 备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝 授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他 拒绝了后者). ? 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车 中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点 和任何条件下工作的能力,他不停地读着、写 着和思考着,他的手稿至今还成捆地放在图书 馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅 比一般人的都小。 6 Leibniz (II) ? 1666其称作“中学生随笔”的《组合艺术》中 立志要创造出“一般方法和普适语言,其中所 有推理都简化为计算,除了可能的事实错误外 ,只会有计算错误”,为此他创立了符号逻辑 但未能完成, 发明了能做四则运算和开方的计 算机。由于其才能而被种种琐事困扰。 ? 1672-1673请求Huygens教授了他现代数学; 在英 国了解到了无穷级数方法。 ? 1675年发现了微积分基本定理,1677年7月11 日将其发表,其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容 易运用的工具。 7 Leibniz (III) ? Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积 分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数), 微分(原 意是差的, Differential),微分,求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则. ? 1673年引入函数的术语。 ? 提出:不能像卫道士那样:只有知识而没有判 断。 8 §1.导数和微分的定义 ? 微分和导数概念的意义 ? 函数增量与微分和导数 ? 连续与导数和导数的解释 9 微分和导数概念的意义 (I) ? 微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间 隔或空间上的变化量。 ? 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位 置的变化率,典型的例子有:在一个时刻的速 度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等 等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 ? 微分与导数的概念是密切联系着的,所涉及的 范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间 到空间,由一维到高维,由有限维到无穷维。 由近似到线性映射。 10 微分和导数概念的意义 (II) ? 导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓 度或强度等等。 ? 导数的几何背景:切线的斜率、曲线的曲率、 曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 ? 引入导数的简单模型:由路程函数确定速度函 数和由函数图像确定图像切线。 ? 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。 11 函数增量与微分和导数 ? 设?在a的一个邻域上有定义. ? 增量定义: 称?x=x?a为自变量x在a处的增量, ??(x)=?(x)??(a)为?在a处的增量. ? 微分定义: 若?c∈R使得??(x)~c?x (?x→0),就称 线性函数g(?x)=c?x为??(x)(也叫?在a处)的微分, 记做d?(x)或d?. ?x也记做dx.此时称?在a处可微. ? 导数定义: 若?c∈R使得??(x)/?x→c (?x→0), 称c 为?在a处的导数,记做c=?′(a)或d?/dx(a)=D?(a). ? 小结: 若?在a处可微, ??(x)=d?(x)+γ(?x)?x (α(0)=0), d?(x) ?′(a)dx. d?(x)也叫做函数增量 ??(x)的线性部分. 12 连续与导数和导数的解释 ? 可微与连续: 若?在a处可微,则?在a处连续. ? 左导数和右导数: 右导数?′(a+),左导数?′(a-). ? 导数与左右导数: ?在a处有导数当且仅当?在a 处左右导数存在且相等. ? 切线定义: 曲线y=?(x)在(a,?(a))的切线定义为直 线: y=?(a)+?′(a)(x-a). ? 导数?′(a)的几何解释: 曲线y=?(x)在(a,?(a))的切 线的斜率. ? 导数?′(a)的物理解释: 若?(x)为物体在时间间隔 [t0,a]内运动的路程, ?′(a)为在时刻a的瞬时速度. 13 习题十八 (I) ? 1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) ?(0)=0, 若x≠0, ?(x)=x^2 sin 1/x; (2) ?(0)=0, 若 x≠0, ?(x)=exp(-1/x^2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) x?D(x); (5) x^2?D(x). ? 2. 证明: 若?′(0)存在, 则n(?(1/n)- ?(0))→?′(0) (n→∞). 反过来成立吗? ? 3. 设?(0)=0且?′(0)存在.计算数列: xn=?(1/n^2)+ ?(2/n^2)+…+?(n/n^2)的极限.计算数列极限: – (1) xn=sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2); – (2) yn=(1+1/n^2)?(1+2/n^2)? …?(1+n/n^2). 14 习题十八 (II) ? 4. 设函数?在x=0的一个邻域上有定义并且满足: ?x∈I, ?(x)≤?(0). 证明: 如果 ?′(0)存在, 则?′(0)=0. ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 15 §2 求导规则 ? ? ? ? ? ? 复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数及其求导公式 16 复合函数求导的链式法则 ? 定理 设?在a点可微,g在?(a)点可微,则h=g°?在a 定理: 点可微, 并且h′(a)= g′(?(a))??′(a). ? 证明 记α=?′(a), β= g′(?(a)). 则 证明: ? 因此, ?h(x)= β???(x)+β1(??(x))???(x)=β?α?x + β?α1(?x)??x + β1(α ?x+α1(?x)??x)?(α?x+α1(?x) ? ?x)= β?α?x + γ(?x)??x, 其中γ(?x)=β?α1(?x)+ β1(α ?x+α1(?x)??x)?(α+α1(?x))满足γ(0)=0. ? 所以, h′(a)= β?α = g′(?(a))??′(a). # 17 – (1) ??(x)=α ?x + α1(?x) ? ?x (α1(0)=0), – (2) ?g(y)=β ?y + β1(?y) ? ?y (β1(0)=0). 反函数求导公式 ? 定理 设?∈C(I), g是?在?(I)上的反函数,这里I是 定理: 区间. 若?在a点可微且?′(a)≠0, 则g在b=?(a)可微, 并且g′(b)=1/?′(a)=1/?′(g(b)). ? 证明 由?在?(I)上有反函数,?在I上严格单调,因 证明: 此, g∈C(?(I)). 只要证明g′(b)存在就够了.而这由 (g(y)-g(b))/(y-b)= (g(y)-g(b))/(?(g(y))-?(g(b)))和 复合函数的极限性质就得到结论.# 18 一阶微分形式的不变性 ? 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设?的微分是d?(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则 d?((g(t))=?′(g(t))?dg(t)=?′(x)?dx=d?(x). ? 这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用, 同类的公式在高阶导数时不再成立. 19 求导运算的算术性质 ? 设?何g在a点可微, c∈R. 则?+g, c?, ??g在a点可 微, 若g(a)≠0, ?/g在a点也可微. 并且 – – – – (?+g)′(a)= ?′(a)+g′(a); (c?)′(a)= c ?′(a); (??g)′(a)= ?′(a)?g(a)+?(a)?g′(a); (?/g)′(a)= (?′(a)?g(a)??(a)?g′(a))/g(a)^2. ? 证明: 极限性质和导数定义的应用.# 20 初等函数求导公式 ? 基本初等函数求导公式: – (c)′=0; – (x)′=1; 由归纳法: (x^n)′=nx^{n-1}; – (exp x)′=exp x;由链式法则,(a^x)′= a^x ln a;反函数求 导规则:(ln x)′=1/x;(loga x)′=(ln a)/x;(x^α)′=αx^{α-1}; 以及(u^v)′=u^v (v′ln u +vu′/u). – (sin x)′=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)′= -sin x; (tan x)′=sec^2 x; (cot x)′=-csc^2 x; (sec x)′=tan x ? sec x; (csc x)′=-cot x ? csc x. 由反函数求导规则: (arcsin x)′=1/sqrt{1- x^2}; (arccos x)′=-1/sqrt{1- x^2}; (arctan x)′=1/(1+x^2);(arccot x)′=-1/(1+x^2);(arcsec x)′ =1/(|x|sqrt{x^2-1}); (arccsc x)′=-1/(|x|sqrt{x^2-1}). 21 双曲函数及其求导公式 ? 双曲函数定义: sinh x,cosh x,tanh x,coth x,sech x, csch x. ? 双曲函数求导公式: (sinh x)′=cosh x; (cosh x)′= sinh x; (tanh x)′=sech^2 x; (coth x)′=-csch^2 x; (sec x)′=-tanh x ? sech x; (csch x)′=-coth x ? csch x. ? 反双曲函数求导公式: – – – – (arcsinh x)′=1/sqrt{1+x^2}; (arccosh x)′=1/sqrt{x^2-1}; (arctanh x)′=1/(1?x^2); (arccoth x)′=1/(1-x^2); (arcsech x)′ =1/(x?sqrt{1-x^2}); (arccsch x)′= -1/(|x|sqrt{x^2+1}). 22 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 23 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 24 §3 函数一点行为的导数刻划 25 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 26 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 27 §4 区间上的可导函数(中值定理) 28 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 29 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 30 §5 不定式 31 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 32 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 33 §6 Taylor公式 34 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 35 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 36 §7 用导数研究函数 37 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 38 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 39 §8 割线法和切线法(Newton方法) 40 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 41 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 42 习题十八 ? 1. 计算下列极限 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? → ∞ ? ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 43 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 44 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 45 ? ?≠? ?若?∈ ? ≤≥ × ± ? ? → ∞ ′ ↓↑ ? ∩∪ ? 46