本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.
一. 域F上线性空间的定义及其简单性质
定义1. 一个非空集合V,如果它有加法运算(即V×V到V的一个映射),其元素与域F的元素之间的纯量乘法运算(即F×V到V的一个映射),并满足下述8条运算法则
1.
2.
3.V中有一个元素,记作0,它使得
具有该性质的元素0称为V的零元;
4.对于
,存在
,使得
具有该性质的元素
称为 V 的零元.
5.
其中 1 是F的单位元.
6.
7.
8.
那么称V是域F上的一个线性空间.
从域F上的线性空间V满足的8条运算法则可以推导出线性空间V的一些简单性质:
性质1. V中的零元是唯一的.
性质2. V中每个元素
的负元是唯一的.
性质3.
性贾 4.
性质 5.
性质 6.
二.向量集的线性相关与线性无关
命题1. 在域F上的线性空间V中,如果向量组的一个部分组线性相关,那么这个向量组线性相关.
命题2. 在域F上的线性空间V中,包含零向量的向量集是线性相关的.
命题3. 在域F上的线性空间V中,元素个数大于1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出.
命题4. 在域F上的线性空间V中,设非零向量
可以由向量集W线性表出,则表法唯一的充分必要条件为向量集W线性无关.
命题 5. 在域 F 上的线性空间 V 中, 设向量组
线性无关, 则向量
可以由向量
线性表出的充分必要条件为
线性相关.
三.基和维数
定义2.设V是域F上的线性空间,V中的向量集S如果满足下述两个条件:
1.向量集S是线性无关的;
2.V中每一个向量可以由向量集S中有限多个向量线性表出, 那么称S是V的一个基.
定义3. 设V是域F上的线性空间,如果V有一个基是由有限多个向量组成,那么称V是有限维的;如果V有一个基含有无穷多个向量,那么称V是无限维的.
定理1.如果域F上的线性空间V是有限