根据矩阵的性质,矩阵代数式的使用范围不同。例如相似矩阵代数式只能在相似矩阵之间使用。对等价,相似,合同矩阵代数式,加单位矩阵(或者常量矩阵),不改变矩阵性质,等式仍然成立。矩阵等式“除法”用两端乘以逆矩阵实现,要求矩阵(因式)可逆。 矩阵的相似变换(两端)定义式: 若A ~ B,则(P^-1)AP=B 推理:矩阵A的复合表示形式的相似变换: .1线性计算式:(P^-1)AP=P^(-1)(lB+kC)P=l(P^-1)BP+k(P^-1)CP .2矩阵乘法式:(P^-1)AP=(P^-1)BCP=((P^-1)BP)((P^-1)CP) 说明:相似变换符合对矩阵线性计算与乘法的分配律 定理 相似矩阵的性质 .1数量性:①det(P^-1)AP=det(P^-1)*detP*detA=detB∴detA=detB ② |λE-A|=|λE-B| ③ 相似矩阵的特征值相同 ④相似矩阵的迹相同(=∑λi用在对角矩阵的全部特征值) .2秩:⑤相似矩阵(等价)的秩相同。 .3伴随矩阵集:⑥A^-1 ~ B^-1 ⑦A^T ~ B^T .4矩阵计算 ⑧与常量矩阵加法运算的相似不变性 任给实数t, tE-A ~ tE-B ⑨幂的相似不变性 A^k ~ B^k .5构造分块矩阵 ⑩两对相似矩阵可分别构造两个对角线分块矩阵,保持相似不变性。 说明:①|λE-A|=|λE-B| ,但是λE-A=λE-B(-A=-B)不成立。 ②相似矩阵的特征值相同,但是特征向量不同。 实际上,矩阵的相似变换是通过特征向量之间的可逆变换实现的。 ③不一定每一个划分相似集合中都有对角矩阵。因此A ~ B不一定能都相似一个对角矩阵。 定义式:①A=A^T,A是实对称矩阵。 定理 实对称矩阵的性质 .1②(A^-1)= (A^-1)^T, A^T, A^*同理。 .2③kA=k(A^T),A+B=(A+B)^T .3④矩阵 与转置矩阵的相乘得对称矩阵: A(A^T)= (A(A^T))^T,同理:(A^T)A。 所以,对称矩阵都是方阵。 定理 实对称矩阵的正交相似性 任意一个实对称矩阵,一定相似正交与一个实对角矩阵。即存在一个正交矩阵Q,使得 ⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ 说明: 是T的特征值构成的对角形矩阵。 定理 实对称矩阵的正定性 实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵C,使 ⑥(C^T)AC=E 定理 实对称矩阵正定的充要条件 .1 ⑦全部特征值>0 ⑧|A|>0 ⑨各阶顺序主子式>0 .2构造(分解表示形式) ⑩A=(P^T)P,P可逆(根据⑥)。 存在正交矩阵Q,与对角矩阵合同且相似. ⑤ (Q^T)AQ= (Q^-1)AQ= Λ .3 A的正惯性指数为n 说明:正定矩阵一定是对称矩阵. 定理 正定矩阵(实对称矩阵类)的性质 .1计算特性 kA,A^T,A^-1,A^*都是实对称正定矩阵. 说明:这四个矩阵都可写出⑤,⑦~⑩. 参考文献: 1陆剑虹,线性代数,南京航空航天大学,1987. 2黄先开等,考研数学参考书,人民大学出版社,2008.