1构造函数法例11:证明不等式:x1-2x 0时,1-2x<0 ,故f(x)<0∴当x<0时,据图像的对称性知f(x)<0∴当x≠0时,恒有f(x)<0 即x1-2xb,2b>a+c,求证:b- b2-ab某些不等式的证明若能优先考虑"添项"技巧,能得到快速求解的效果。1倍数添项若不等式中含有奇数项的和,可通过对不等式乘以2变成偶数项的和,然后分组利用已知不等式进行放缩。例13:已知a、b、c∈R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时等号成立)证明:∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 [(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)]≥12 [(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)]=12[a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)]≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc当且仅当a=b,b=c,c=a即a=b=c时,等号成立。2平方添项运用此法必须注意原不等号的方向例14 :对于一切大于1的自然数n,求证:(1+13 )(1+15 )…(1+12n-1> 2n+1 2)证明:∵b > a> 0,m> 0时ba> b+ma+m∵ [(1+13 )(1+15 )…(1+12n-1)]2=(43、65…2n2n-1)(43、65…2n2n-1)> (54、76…2n+12n)(43、65…2n2n-1)=2n+13> 2n+14>∴(1+13 )(1+15 )…(1+12n-1)>2n+1 2)3平均值添项例15:在△ABC中,求证sinA+sinB+sinC≤332分析:∵A+B+C=π,可按A、B、C的算术平均值添项sin π3证明:先证命题:若x>0,y<π,则sinx+siny≤2sin x+y2(当且仅当x=y时等号成立)∵0 18分析:若取消a≠b的限制则a=b= 12时,等号成立证明:∵a、b∈R+ ∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 [(12)4]3=12a①同理 b4+3(12)4 ≥b②∴ a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等号不成立 ∴③中等号不成立 ∴ 原不等式成立1.是否存在常数c,使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立?错解:证明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立,故说明c存在。正解:x=y得23 ≤c≤23,故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要证不等式xx+2y+xx+2y≤23 ,因为x,y是正数,即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2 x+y)(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2 ,而此不等式恒成立,同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立,故存在c=23 使原不等式恒成立。6.2已知x,y,z∈R+ ,求证:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz错解:∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴ x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz错因:根据不等式的性质:若a >b> 0,c >d >0,则ac bd,但 ac >bd却不一定成立正解: x2y2+y2z2≥ 2x y2z,y2z2+z2x2≥ 2x yz2,x2y2+z2x2≥ 2x 2yz,以上三式相加,化简得:x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z),两边同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz6.3 设x+y>0, n为偶数,求证 yn-1xn+xn-1yn≥1x 1y错证:∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnynn为偶数,∴ xnyn >0,又xn-yn 和xn-1-yn-1同号,∴ yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y错因:在x+y>0的条件下,n为偶数时, xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同号,应分x、y同号和异号两种情况讨论。