第七章无穷级数高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 常数项级数概念及性质高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 1、定义P264 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 项部分和高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数 概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 3、几个重要极限高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 发散;高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 发散;高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 又称调和级数。高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 4、级数性质P266 高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 性质5是级数收敛的必要条件高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 又称调和级数。瘁羽桐闺祝虫娄堡盏要蒜 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 正项级数判别法高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 单调递增高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 正项级数收敛 部分和数列有上界高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 1、比较判别法高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 发散高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 例、判别下列级数敛散性高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, sin高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 发散,原级数发散高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛,原级数收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 又称调和级数。瘁 比较判别法的极限形式高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 则有高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, ,同时收敛,同时发散高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 判别下列级数敛散性高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, ln高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, lnlim 发散,原级数发散高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, lnn高等数学无穷级数第七章 无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛原级数收敛高等数学无穷级数第七章 无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 发散,高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, lnn发散高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 例、P271例7.7 7.8 高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 2、比判别法高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 的一般项满足高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 不定高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 3、根值法高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, lim高等数学无穷级数第七章 无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 不定高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 正项级数判别其敛散性的步骤:高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 的乘积通常选用比值法;高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 是以n为指数幂的因子,通常用根值法,也可用比值法;高等数学无穷级数第七章 穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 可以不是整数)因子,通常用比较法;高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 利用级数性质判别其敛散性;高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 是否有上界。高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 例、判别下列级数的敛散性高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、 定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, ncos高等数学无穷级数第七章 无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 2nlim 发散需进一步判别 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 原级数收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 级数收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, lnlim lnlim 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 发散高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 发散高等数学无穷级数第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 收敛高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当, 高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264 称为一般项或通项 称为前n项部分和例1、2、定义 如收敛,则收敛3、几个重要极限等比级数(几何) 收敛,发散;P级数 收敛, 发散;当,