第二章 矩阵及其运算 第三讲 一、矩阵的转置 二、方阵的行列式 1 一、转置矩阵 定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT. 例 ?1 A? ? ?4 B ? ?18 2 5 6 ?, 2? ?, 8? A T ?1 ? ? ?2 ? ?2 T 4? ? 5 ?; ? 8? ? 18 ? B ? ? ?. ? 6 ? 2 转置矩阵的运算性质 ?1 ? ? A T ? T ? A; T ?2 ? ? A ? B ? ? AT ? B T ; ? 3 ? ? ? A ?T ? ? A T ; ? 4 ? ? AB ?T ? B T A T . 3 例1 已知 0 3 ? 1? ?, 2 ? ?1 ? B ? ?4 ? ?2 7 2 0 7 2 0 ? 1? ? 3 ?, 求 ? 1 ? ?2 A ? ? ?1 ? AB ? . T 解法1 ?2 ? AB ? ? ?1 0 3 ?1 ? 1 ?? ?? 4 2 ?? ?2 ? 1? ? 3 ? ? ? AB ? 1 ? ? T ? 0 ? ? ? 14 ? ?? 3 17 ? ? 13 ? . ? 10 ? ? 0 ? ? ? 17 14 13 ? 3? ?, 10 ? 4 解法2 ? AB ? ? B T A T T ? 1 ? ? ? 7 ? ??1 4 2 3 2 ?? 2 ?? 0 ?? 0 ?? 1 ?? ? 1 1? ? 0 ? ? 3 ? ? ? 14 ? ?? 3 2? ? 17 ? ? 13 ? . ? 10 ? 5 对称矩阵和反对称矩阵: 定义 设A为 n 阶方阵,如果满足A= AT ,即 a ij ? a ji ? i , j ? 1 ,2 ,? , n ? 那末A称为对称阵. 例如 ? 12 ? A ? ? 6 ? ? 1 6 8 0 1? ? 0 ? 为对称阵 . ? 6? 对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴,对应相等. 6 说明: 如果 A T ? ? A 则矩阵 A 称为反对称的 . 若A为反对称矩阵,则 反对称阵的特点是:它的主对角线上的元素全为零,其它 的元素以对角线为对称轴,对应互为相反数. 7 例2 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 则C T 设C ? A ? A T ? ?A ? A T ? T ? A ? A ? C, T 所以C为对称矩阵. 设B ? A ? A , T 则B T ? ?A ? A T ? T ? A T ? A ? ?B, 所以B为反对称矩阵. A? A? A 2 T ? A? A 2 T ? C 2 ? B 2 , 命题得证. 8 二、方阵的行列式 定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做方阵 A 的行列式,记作|A| 或detA 如 A ? ? 2 6 3 8 ? 则 A ? 2 6 3 8 ? ?2. 特别注意 方阵与行列式是两个不同的概念,方阵是一个数 表,而行列式则是一个数. 9 例3 设A ? ? 2 6 3 , 8 ? B ? ? 1 ?1 0 ,计 算 A ? B , ?3 ? A? B . 解: 2 A ? 6 3 ? ?2, 8 1 B ? ?1 0 ? ?3, ?3 A ? B ? ?2 ? 3 ? ?5 2 A?B ? 6 ? ? ? 3 1 ? 8 ?1 3 ? 0. 5 0 3 ? ?3 5 ? ? ? 3 5 3 A? B ? 5 可见 A? B ? A ? B . 10 由A确定detA -运算规则: 设A、B均为 n 阶方阵,则 A T ? A; n ?A ? ? A , AB ? A B , ? 为数 ; A 与 B 同阶方阵 . 注意: 但 但 3? ? 2 2 3? ? ? A ? ? ? A ? ?? 3 4? ?? 3 4? ? ? ? ?2 ? 3? T A ? ?? ? ? 2 3 ?? ? ? 3 4 ?? ?A ? ? ? ? ? ? 3? 4? ? ? 2 3 A ? 2? 3? ?A ? ? 3 4 ? 3? 4? 23 ? 3 T2 2 2 ? ?A ? ? ? A ? 3 34 4 11 例4 设 A为 4 阶 方 阵 , 且 A ? ? 3 , 求 2 A 解: 2A ? 2 4 A ? 2 ? ? ?3? ? ?48. 4 矩阵运算与行列式运算比较: A? B ? A ? B ; AB ? A B . 12 伴随矩阵: 定义 方阵A行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成的如下矩阵 ? ? ? ? A ? ? ? ? ? A 11 A 12 ? A1 n A 21 A 22 ? A2n ? ? ? ? An1 ? ? An2 ? ? ? ? ? A nn ? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 13 如: A ? 2 ?1 ? 3 , 4 2 A ? 1 3 =8 ? 3 ? 5 4 A1 1 ? 4, A1 2 ? ? 1, A 2 1 ? ? 3, A 2 2 ? 2 . A ? ? ? ? A1 1 A1 2 A21 4 ? A22 ?1 ? ? ?3 2 ? 0 ? A E 5 AA ? ? 2 1 3 4 ?? 4 ?1 ? ?3 5 ? 2 0 ? ? ? 可以验证: 性质 AA ? A A ? A E ? A A ? A E. ? 14 小结: 矩阵的转置 对称阵与反对称阵 方阵的行列式的性质 ? ? 伴随矩阵: AA ? A A ? A E . 15