间断点是指在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点(或间断点)。设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:
(1)在x=x0没有定义;
(2)虽在x=x0有定义,但x→x0,limf(x)不存在;
(3)虽在x=x0有定义,且x→x0,limf(x)存在,但x→x0,limf(x)≠f(x0),(不相等)
则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。
间断点的几种常见类型
可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=(x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
无穷间断点:函数在该点可以无定义,且左极限、右极限至少有一个不存在,且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
振荡间断点:函数在该点可以无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点,也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
由上述对各种间断点的描述可知,函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在,而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在,这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。
本文转载自:https://www.jianshu.com/p/a5b81ada71bf