1 初等变换的定义 对调矩阵的两行列), 记作 r i ? r j (c i ? c j ); ( 换法变换 倍法变换 以数k ? 0乘某一行(列)中的所有元素 记作 , r i ? k (c i ? k ); 消法变换 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列) 对应的元素上去 记作 r i ? k r j (c i ? k c j ). , 三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是 同一类型的初等变换. 初 等 变 换 逆 变 换 r i ? r j (c i ? c j ) r i ? r j (c i ? c j ) 1 1 r i ? (c i ? ) k k r i ? ( ? k ) r j (c i ? ( ? k ) c j ) r i ? k (c i ? k ) r i ? k r j (c i ? k c j ) 2 矩阵的等价 如果矩阵A经有限次初等变换变成 矩阵B , 就 称矩阵A与B等价, 记作A ~ B . 反身性 对称性 A ~ A; 若A ~ B, 则B ~ A; 若A ~ B, B ~ C , 则A ~ C . 传递性 3 初等矩阵 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. (1)换法变换:对调两行(列),得初等 矩阵 E ( i , j ) . 用m阶初等矩阵E m ( i , j )左乘A ? (a ij )m ? n , 相 当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i 行与第j行对调( r i ? r j ). 类似地, 用n阶初等矩阵E n ( i , j )右乘矩阵A, 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的 第i列与第j列对调(c i ? c j ). (2)倍法变换:以数 k (非零)乘某行( 列),得初等矩阵E ( i ( k )). 以 E m ( i ( k ))左乘矩阵A, 相当于以数k乘A的 第i行( r i ? k ); 以 E n ( i ( k ))右乘矩阵A, 相当于以数k乘A的 第i列(c i ? k ). (3)消法变换:以数 k 乘某行(列)加到另 一行(列)上去,得初等矩阵 E ( ij ( k )) . 以 E m ( ij ( k ))左乘矩阵A, 相当于把A的第j行乘 以k加到第i行上( r i ? k r j ); 以 E n ( ij ( k ))右乘矩阵A, 相当于把A的第i列乘 以k加到第j列上(c j ? k c i ). 4 行阶梯形矩阵 经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩 阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全 为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的 行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行) 后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第 一个非零元. ?1 1 ? 2 1 4 ? 例如 ? ? ?0 1 ? 1 1 0 ? ? 0 0 0 1 ? 3? ? ?0 0 0 0 0 ? ? ? ? 5 行最简形矩阵 经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第一 个非零元为1,且这些非零元所在列的其它元素都 为0. 例如 ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ? 4 ? ? 1 ?1 0 3 ? 0 0 1 ? 3? ? ? 0 0 0 0 ? 0 ?1 0 6 矩阵的标准形 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到 矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩 阵,其余元素都为0. 例如 ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ? 4 ? ?1 ?c 4 c3 ? ? 1 ? 1 0 3 ? c 4 ? c 1? c 2 ? 0 0 0 1 ? 3 ? ?4 ?3 ? 3 ? 0 ?c 5 c 1 c 2 c 3? ?0 ? 0 0 0 0 ? ? 0 ?1 0 ~ 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 0 0? ? 任何一个m ? n矩阵, 总可以经过初等变换行变 ( 换和列变换), 化为标准形 ? Er O? F ?? ? ? O O ? m?n 此标准形由m , n, r三个数完全确定 其中r就是行阶 , 梯形矩阵中非零行的行 . 数 所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一 个等价类,标准形 F 是这个等价类中形状最简单的 矩阵. 7 矩阵的秩 定义 在m ? n矩阵A中, 任取k行和k列, 位于这些 行列交叉处的k 2 个元素, 不改变它们在A中所处 的位置次序而得到的 阶行列式, 称为矩阵A的 k k阶子式. 定义 设在矩阵A中有一个不等于 的r阶子式D, 0 且所有r ? 1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A , 的秩, 记作R( A).并规定零矩阵的秩等于 . 0 8 矩阵秩的性质及定理 如果A中有一个非零的 阶子式, 则R( A) ? r; r 如果A中所有r ? 1阶子式都为零, 则R( A) ? r; R( AT ) ? R( A); 定理 若A ~ B, 则R( A) ? R( B ); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数. 若A为n阶可逆矩阵, 则 (1) ( 2) ( 3) ( 4) A的最高阶非零子式为A ; R( A) ? n; A的标准形为单位矩阵 ; E A ~ E. 9 线性方程组有解判别定理 定理 n元齐次线性方程组Am ? n x ? 0有非零解的 充分必要条件是系数矩 阵的秩R( A) ? n. 定理 n元非齐次线性方程组Am ? n x ? b有解的充 分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 ? A B ( A, b )的秩. 10 线性方程组的解法 齐次线性方程组:把系数矩阵化成行最简形 矩阵,写出通解. 非齐次线性方程组:把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵,根据有解判别定理判断是否有解,若有 解,把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵,写出 通解. 11 初等矩阵与初等变换的关系 定理 设 A是一个 m ? n矩阵, 对A施行一次初等行 变换, 相当于在A左边乘以相应的 阶初等矩阵; m 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以 , 相应的n阶初等矩阵. 定理 设A为可逆矩阵, 则存在有限个初等矩阵P 1 , P 2 , ? , P l , 使A ? P 1 P 2 ? P l . 推论 m ? n矩阵A ~ B的充分必要条件是: 存在m 阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q , 使得PAQ ? B . 典 型 例 题 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法 一、求矩阵的秩 求矩阵的秩有下列基本方法 (1)计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的 子式开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩. (2)用初等变换.即用矩阵的初等行(或 列)变换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行(或列)的个数,而 初等变换不改变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩 阵中非零行(或列)的个数就是原矩阵的秩. 第一种方法当矩阵的行数与列数较高时,计 算量很大,第二种方法则较为简单实用. 例1 求下列矩阵的秩 2 0 0 1 ? ?1 ? ? 6 2 4 10 ? ?0 A?? . 1 11 3 6 16 ? ? ? 1 ? 19 ? 7 ? 14 ? 34 ? ? ? ? 解 对 A 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 2 0 0 1 ? ?1 ? ? 6 2 4 10 ? ?0 A?? 1 11 3 6 16 ? ? ? 1 ? 19 ? 7 ? 14 ? 34 ? ? ? ? ?1 ?0 ~? 0 ? ?0 2 6 0 2 0 4 9 3 6 ? 21 ? 7 ? 14 ? 10 ? 15 ? ? ? 35 ? 1 ?1 ? ?0 ~? 0 ? ?0 ? 2 0 0 1? ? 3 1 2 5? ? B, 0 0 0 0? ? 0 0 0 0? ? 因此, R( A) ? R( B ) ? 2. 注意 在求矩阵的秩时,初等行、列变换可 以同时兼用,但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形. 二、求解线性方程组 当方程的个数与未知数的个数不相同时,一 般用初等行变换求方程的解. 当方程的个数与未知数的个数相同时,求线 性方程组的解,一般都有两种方法:初等行变换 法和克莱姆法则. 例2 求非齐次线性方程组的通解. ? x1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? x 4 ? 1, ? 3 ? 2 ? ? ? 1, x2 x 3 x4 ? x1 ? ? 2 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? x 4 ? 1, ? 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 x 3 ? x 4 ? 1, ? ? 2. ? 5 x1 ? 5 x 2 ? 2 x 3 ? (1) 解 对方程组的增广矩阵 B 进行初等行变换,使 其成为行最简单形. ?1 ? ?3 B ? ?2 ? ?2 ?5 ? ?? 2 ? 5 ?r2 ? r1 ~ ?2 r4?r2 ? ? ?1 ? 0 ? 2 3 ? 1 1? ?3 ? ? ? 2 1 ? 1 1 ? r1 r 3 ? 5 r2? r3 3 1 1 1? ~ ? 2 ? r 4? r 3 ? 2 2 ? 1 1 ? r5?r2 ? 4 ?0 5 2 0 2? ? ? 0 2 0 0? ??1 ? ?2 ? 5 2 0 2 ? r1 ? 1 r 2 ? 2r 3 3 1 1 1? ~ ? 2 ? ? ? 0 1 0 0 ? r 4 r1 ? 0 ? 0 0 0 0 0? ? ? 5 4 0 2? ? 5 2 0 2? 3 1 1 1? ? 5 3 0 2? 0 0 0 0? ? 0 1 0 ?1 0 ? 2 3 0 0 1 0 0 1 0 0 0? ? 0? 1? ? 0? 0? ? ??1 ? ? 0 r 2 ? r1 ~? 3 ? 0 r 3 ? 2r1 r 2 ? ? 0 ? 0 ? 0 ? ( ? 1 )? r 3 ? 1 r1 6 ? r 1 ? ( ?1 ) ? 3 ? 0 r2 6 ~6 ? 0 0 r3? ? ?0 0 ?0 0 ? 0 1 0 0? ? ? 1 1 ? 2 0? 0 6 ? 5 1? ? 0 0 0 0? 0 0 0 0? ? 0 ? 5 6 1 6? ? 0 7 6 1 6? 1 ? 5 6 1 6? ? 0 0 0 ? 0 0 0 ? ? 由此可知 R( A) ? R( B ) ? 3 ,而方程组(1)中未知 量的个数是 n ? 4,故有一个自由未知量. 令自由未知量 x 4 ? k , 可得方程组(1)的通解是 ? x1 ? ? 1 6 ? ? 56 ? ? ? ? ? ? ? ? x2? ?1 6? ? ? 7 6? x ? ? ? ? ? ? ? k? ?, 16 56 x3 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? x4 ? ? ? ? ? k取任意常数. 例3 当 a 取何值时,下述齐次线性方程组有非 零解,并且求出它的通解. ? x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0, ? ? x 1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 2 x 4 ? 0, ? ? x 1 ? x 2 ? a x 3 ? x 4 ? 0, ? ? 3 x1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? a x 4 ? 0. ? 解法一 系数矩阵 A 的行列式为 1 1 ?1 1 1 1 ?1 1 1 2 ?1 2 0 1 0 1 A? ? 1 ?1 a ?1 0 ? 2 a ?1 ? 2 ?3 2 3 a 0 5 0 a?3 1 1 ?1 1 0 1 0 1 ? (a ? 1)( a ? 2) ? 0 0 a?1 0 0 0 0 a?2 当a ? ?1或者a ? 2时, A ? 0, 方程组有非零解 . 当a ? ?1时, 把系数矩阵A化成最简形 : 1 ? 1 1 ? ? 1 0 ? 1 0? ? 1 ? ? ? ? 2 ? 1 2 ? ? 0 1 0 0? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1? ~ ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ?? 3 2 ? ? 0 0 0 1? ? 3 ? 1? ? ? ? ? x1 ? ? 1? ? ? ? ? 从而得到方 ? x2 ? ? 0? x ? ? ? ? k ? ? , k为任意常数. 程组的通解 1 x3 ? ? ? ? ? ? ? 0? ? x4 ? ? ? 当a ? 2时,由计算 A 之变换可把A化为 1 ?1 1 ? ? 1 ? ? 2 ?1 2 ? ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1? ? ? ?? 3 2 ? 3 2 ? ? ?1 ? ?0 ~? 0 ? ?0 ? 1 ? 1 1? ? 1 0 1? 0 3 0? ? ? 0 0 0? ? ?0 ~ ?0 ? ?0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ? 1? 0? ? 0? 从而得到方程组的通解 为 ? x1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? x2? ? ? 1? x ? ? ? ? k ? ?, 0 x3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? x4 ? ? ? k为任意常数. 解法二 用初等行变换把系数矩阵 A 化为阶梯形 1 ?1 1 ? ? 1 ? ? 2 ?1 2 ? ? 1 A?? 1 ? 1 a ? 1? ? ? ?? 3 2 ? 3 a ? ? ?1 1 ? ?1 1 ? ? 0 1 ? ?0 1 ~? 0 ?2 a?1 ?2 ? ? ? ?0 5 0 a ? 3? ? ? ?1 ? ?0 ~? 0 ? ?0 ? 1 ? ? 1 0 1 ? 0 a?1 0 ? ? 0 0 a ? 2? ? 1 ?1 当a ? ?1或者a ? 2时, R( A) ? 4, 此时方程组有 非零解, 可仿照解法一求出它的 . 解 三、求逆矩阵的初等变换法 要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵 ( A E )施行初等行变换 当把A变成E时, 原来的E就 , 变成了 A? 1 . ? A? 或者对分块矩阵 ?施行初等列变换 当把A , ? ?E? 变成E时, 原来的E就变成了A? 1 . 例4 求下述矩阵的逆矩阵. 2 ? 1? ? 0 ? ? A?? 1 1 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 1? ? ? 解 作分块矩阵( A E ), 施行初等行变换 . 2 ? 1 1 0 0? ? ? 1 1 2 0 1 0? ? 0 ? ? ? r1 r 2 ? 1 2 0 1 0? ~ ? 0 2 ? 1 1 0 0? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 0 0 1? ? ? 1 ? 1 ? 1 0 0 1? ? ? ? ? 1 1 2 0 1 0? ? ? 1 1 2 0 1 0? r 3? r 1 ? ? ? r2 r3? ? ~ ? 0 2 ? 1 1 0 0? ~ ? 0 2 0 1 1 1? ? 0 0 1 0 1 1? ? 0 0 1 0 1 1? ? ? ? ? 1 1 0 0 ? 1 ? 2? ? ( ?2 )?r 3 ? r1 ? ? ~ ?0 2 0 1 1 1 ? ?0 0 1 0 1 1 ? ? ? 1 0 ? 1 ? 2? ? ?1 1 0 r2 2 ? ? ~ ? 0 1 0 1 2 1 2 1 2? ?0 0 1 0 1 1 ? ? ? ? 1 0 0 ? 1 2 ? 3 2 ? 5 2? r r2? ? ~ ?0 1 0 1 2 1 2 1 2 ? ?0 0 1 0 1 1 ? ? ? ? ? 1 2 ? 3 2 ? 5 2? ? ? ?1 ?A ?? 1 2 12 1 2 ?. ? 0 1 1 ? ? ? 注意 用初等行变换求逆矩阵时,必须始终 用行变换,其间不能作任何列变换.同样地,用 初等列变换求逆矩阵时,必须始终用列变换,其 间不能作任何行变换. ? ( ?1)? 1 四、解矩阵方程的初等变换法 (1) AX ? B 初等行变换 ( A B) ~ ( E A ? 1 B ) ? X ? A? 1 B ( 2) XA ? B ?1 ? A ? 初等列变换? E ? ? X ? 或者 BA ? ? ~ ? B ?1 ? ? A ? ? B? (A B ) T T 初等行变换 ~ T (E ( A ) B ) ? X ? ( A ) B T ?1 T T T ?1 ? X ? B A? 1 ? 3 0 1? ? ? 例5 设 A ? ? 1 1 0 ? , 且AX ? A ? 2 X , 求矩阵X . ? 0 1 4? ? ? 解 ? AX ? A ? 2X , ? ( A ? 2 E ) X ? A, 又 ? 1 0 1? ? ? A ? 2 E ? ? 1 ? 1 0 ?, ? 0 1 2? ? ? 由于? A ? 2 E ? 1 0 1 1 0 0? ? ? A? ? ? 1 ? 1 0 0 1 0 ? ? 0 1 2 0 0 1? ? ? 0 0 1 0 0 1 ?2 ?3 2 ? 2 ? 2? ? 4 ? 3 ? 2 ?, ? ?2 2 3 ? ? 2? ? ? 2 ?. 3 ? ? 5 ?1 ? ~ ?0 ?0 ? ? 5 ? ?X ?? 4 ?? 2 ? 初等行变换 第三章 测试题 一、填空题(每小题4分,共24分). 1.若 n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为 r ,则当 时,方程组有唯一解;当 时,方 程组有无穷多解. 2.齐次线性方程组 ? x1 ? kx2 ? x3 ? 0 ? ? 2 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? kx ? 3 x ? 0 ? 2 3 只有零解,则 k 应满足的条件是 . 1 ? ?1 1 ? ? 3. 设A ? ? 1 ? 1 1 ? , 则AX ? 0的通解为 ? 1 1 ? 1? ? ? 4.线性方程组 ? x1 ? x 2 ? a1 ?x ? x ? a 3 2 ? 2 ? ? x 3 ? x4 ? a 3 ?x ? x ? a 5 4 ? 4 ? x5 ? x1 ? a5 ? 有解的充要条件是 ? A? ? 3, 则R?A? ? ? 5. 设A为4阶方阵, 且秩R ?0 ? ?1 6. 矩阵A ? ? 2 ? ?1 ? 0 0 1? ? 1 0 1? ?的秩是 2 0 1 ? 1 0 0? ? 二、计算题(第1题每小题8分,共16分;第2题每 小题9分,共18分;第3题12分). 1.讨论?值的范围, 确定矩阵的秩. ? 1 ? ? 1 2? ? ? ?1? ? 2 ? 1 ? 5 ? ? 1 10 ? 6 1 ? ? ? 2.求解下列线性方程组 ? 3 1 1 4? ? ? ? ? 4 10 1 ? ?2 ? ? 1 7 17 3 ? ? ? 2 2 4 3? ? ? ? ? 3 x1 ? x2 ? 6 x3 ? 4 x4 ? 2 x5 ? 0 ? ?1? ?2 x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 5 x4 ? 3 x5 ? 0 ? x ? 5x ? 6x ? 8x ? 6x ? 0 ? 1 2 3 4 5 ? x1 ? 3 x2 ? 3 x3 ? 2 x4 ? x5 ? 3 ? 2x ? 6x ? x ? 3x ? 2 ? 1 2 3 4 ?2 ? ? ? x1 ? 3 x2 ? 2 x3 ? x4 ? x5 ? ?1 ? 3 x1 ? 9 x2 ? 4 x3 ? 5 x4 ? x5 ? 5 ? 3. a , b取何值时, 线性方程组 ? x1 ? ax2 ? x3 ? 3 ? ? x1 ? 2ax2 ? x3 ? 4 ? x ? x ? bx ? 4 ? 1 2 3 有唯一解、无解或有无穷多解?在有无穷多解时, 求其通解. 三、利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵 (每小题7分,共14分). 1 1 ? ?1 1 ? 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 ? 1? 1. ? 2 1 0 ?, 2. ? 1 ? 1 1 ? 1? ?1 ?1 0 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? 1 1 ? ? ? ? 四、证明题(每小题8分,共16分) 1. A, B为两个n阶方阵, 且 ABA ? B ? 1 , 证明: 2. 设A为m ? n实矩阵, 证明: 秩?AT A? ? 秩? A?. 秩? E ? AB ? ? 秩? E ? AB ? ? n. 测试题答案 3 一、 1.r ? n, r ? n; 2.k ? ; 3.零解; 5 4.a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 0; 5.1; 6.2. 二、 1. (1)当? ? 3时, 秩为3;当? ? 3时, 秩为2; ( 2)当? ? 0时, 秩为4;当? ? 0时, 秩为2. ? 94 ? ? 3 4? ? ?1 4? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4? ? 7 4? ? ? 5 4? 2. (1) X ? k1 ? 1 ? ? k 2 ? 0 ? ? k 3 ? 0 ?; ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5? ? ? 3? ? 7 5? ? 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ( 2) X ? ? 4 5 ? ? k1 ? 0 ? ? k 2 ? 1 5 ? ? k 3 ? ? 2 5 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.当 a ? 0且b ? 1时, 方程组有唯一解 ; 1 当a ? 且b ? 1时, 方程组有无穷多解 ; 2 其余情形, 方程组无解. ? 2? ? ? 1? ? ? ? ? 通解为x ? ? 2 ? ? k ? 0 ? , k ? R. ? 2? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0 1 1 ? ? 1? ?1 三、 1. A ? ? 0 1 ? 2 ?; 3? ? ? ? 3 2 ? 1? 1 1 ? ?1 1 ? ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1? ?1 2. A ? ? ?. 4 1 ?1 1 ?1 ? ?1 ? 1 ? 1 1 ? ? ? ?