微分方程是形容宇宙里很多事物的正常并合理的方法。
怎样应用微分方程?
微分方程是表达事物的好方法,但用起来并不容易。
所以我们在解微分方程时,尝试把微分方程转变为比较简单的代数式方程(没有微分)。这样我们便可以计算、画图、预测、等等。
例子:复利
钱赚利息。利息可以在固定时间计算,例如每年、每月等等,然后加在余额上。
但若复利是连续计算的,在每一刻利息都会按比例加在当时的余额上。
余额越大,利息越多。
以t为时间、r为利率、V为当前的余额:
dV= rV
dt
有趣的是,这和上面兔子的数量是同一个方程!只不过字母不同。数学告诉我们这两个现象的特性是一样的。
解
微分方程是形容事物的好方法,但用起来就不太容易。
但这个微分方程是可以解的,(例如用分离变量法),结果是:
V = Pert
在这里,P是本金(原来的投资或贷款)。
所以一个连续复利,年期 2 年,年利率 10% 的￥1,000 贷款在两年后的余额是:
V = 1000 × e(2×0.1)
V = 1000 × 1.22140...
= $1,221.40 (精确至最接近的一分)
所以虽然微分方程是表达事物的好方法,我们仍需要解了方程才有用。
更多微分方程的例子
费尔哈斯公式
例子:又是兔子!
上面的增长微分方程是:
dN= rN
dt
增长不能无穷延续下去,食物始终都会被吃光。
我们加入以下来改良方程:
食物可以维持最大的兔子数量k
数学家费尔哈斯发表了这个方程:
dN= rN(1-N/k)
dt
费尔哈斯公式
简谐运动
在物理学中,简谐运动是一种周期运动。在简谐运动中,物体所受的回复力跟位移成正比。简谐运动的一个例子是悬挂在弹簧上的重物。
例子:弹簧和重物
有一个重物悬挂在弹簧上:
引力把重物向下拉,弹簧被拉长,张力也跟着增大,然后弹簧弹起,再掉下、弹起、掉下……不断地重复.
有数学来形容这现象!
重物被引力向下拉,而牛顿第二定律 表明:力等于质量乘以加速度:
F= ma
F= md2xdt2
弹簧把重物向上拉是与弹簧本身被拉长的程度有关(k是