在以前的学习中,教师的做法主要的是通过概率来体会事件发生的可能性,而现在希望引导学生运用数据来体验随机性。这一角度的变化带来的好处在于:它是数据分析过程中自然发生的,符合学生的认知规律,也能使学生更好地体会“随机”的含义;它能在对数据收集、处理的过程中集中显示数据的随机所具有的两层涵义:一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的;另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
比如《标准(2011年版)》附录2中的例40:袋中装有若干个红球和白球,一方面,每次摸出的球的颜色可能是不一样的,事先无法确定,这能使学生初步感受数据的随机性;另一方面,有放回重复摸多次(摸完后将球放回袋中,摇晃均匀后再摸),从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律,比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。又如《标准(2011年版)》附录2中的例22:让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间,并从这些数据中发现有用的信息。如果把记录时间精确到分,可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的,可以让学生感悟数据的随机性;更进一步,让学生感悟虽然数据是随机的,但数据较多时具有某种稳定性,可以从中得到很多信息,比如,通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。
从上述讨论可知,数据分析观念的培养要从学生感兴趣的现实问题出发,使学生经历数据分析活动过程,掌握一定的数据处理方法,体验数据的随机性。总之,要围绕“数据”做文章,使“数据”成为学生发现、提出、分析、解决问题的好伙伴。
六、运算能力
运算是义务教育阶段一、二学段学生在数学学习中接触最多的内容。作为数学课程的一条主线.它不仅贯穿于“数与代数”的所有重要知识点,也和“图形与几何”,“统计与概率”,“综合与实践”的内容交融在一起。运算不仅是学习的重要内容,也是解决数学问题的基本方式,在这一点上,它和推理共同构成了数学的重要基础.也必然成为学生应该培养的最基本的数学素养。这或许是l0个核心概念中运算与推理皆以“能力”指称的原因之一。
1.如何正确认识运算能力?运算能力的基本特征有哪些?
在数学中,根据一定的数学概念、公式、定理等,依据一定的法则,由给出的已知条件通过“算”得出确定结果的过程,称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算,是运算的技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算,而且理解运算的算理,能够根据题目条件寻求正确的运算途径,学生在这一过程中表现出来的个性心理特征即为运算能力。
《标准(201 1年版)》指出:“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。”我们可据此概括出运算能力的几个基本特征,即:正确、有据、合理、简洁。这也可视为培养运算能力所要达到的几个要求。其中,正确是运算的基本要求,有据是正确运算的前提,合理是运算得以进行的条件,简洁是运算的质量刻画。上述要求表明,运算不等同于计算,运算能力也并非一种单纯的、孤立的数学能力。它需要正确理解相关知识,辨识分清运算条件,合理选择运算方法,有效设计运算步骤,还要使运算符合算律、算理,最终尽可能简洁地获得运算结果。它是“算”与“思”的结合、操作与思辨的融合。
2.培养运算能力应注意哪些方面的问题?
运算能力的培养是一个长期的任务,从义务教育阶段第一、二学段数学课程的特点出发,它需要经历一个从简单到复杂、从具体到抽象、从单一到综合的反复训练、循环上升的活动过程。在这一过程中,应重点关注如下方面的问题:
(1)注意强化与运算有关的概念、公式、命题的理解,夯实运算的知识基础。实践证明,第一、二学段的运算问题皆与相关的数学知识意义的理解紧密关联,学生在运算中表现出来的水平高低往往受其对基层知识掌握的程度的制约(如关于“平均数”的计算问题)。那种不求概念意义理解,急于进行运算技能操练的做法是舍本求末、不足以取的。
(2)注重通过各部分知识的关联、贯通、整合来培养学生的运算能力。运算固然是“数与代数”的主线,但它同样是解决其他领域内容问题的重要手段和工具。教学中,要注意处理好主线与辅线的关系,一方面充分利用好各部分的知识点以形成运算能力培养的有效支撑;另一方面也通过各部分知识的融会贯通来提高运
算的综合性和灵活性。
(3)循序渐进,逐步培养学生在运算中进行数学思考的意识和能力。事实上,运算能力作为课程的目标是在“数学思考”栏目下提出来的,它表明运算能力是数学思考的重要内涵。在第一、二学段的教学中,应通过恰当的教学手段,处理好具体与抽象、算法与算理、运算的正向思维与逆向思维、常规算法与多样性算法的关系,逐步提高运算活动中数学思维的含量,促进学生运算思维素养的提升。
(4)通过“四基”的协调发展,培养学生的数学运算能力。在第一、二学段,运算内容的学习最能反映集“四基”于一身的特征:运算本身就体现为基础知识和基本技能,这是很明显的特点;很多运算问题的解决本质上归结为数学基本思想的感悟、体会和思想方法的选择(如分类、归纳、转化、数形结合等);而大量的、多样化的运算活动逐步积累起来的数学经验,又是运算能力得以持续发展的基础。教学中,尤其要重视数学基本思想和基本活动经验要求的落实,改变过去对这两者比较忽视的状况。
(5)运算能力的培养还需要处理好教学中的一些具体问题,例如:教师如何适时地为学生提供足量而适度的习题训练以及形式多样的数学活动?如何通过估算发展学生的运算能力?在运算活动中如何合理地使用计算器?等等。
七、推理能力
数学推理是由一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形式。这样的思维形式在数学中可以说无处不在,故《标准(2011年版)》指出:“推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”从数学本身看,数学推理反映的是一种基本的数学思想,也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联,共同构成了数学最重要的基础。所以在数学学习中,培养学生的数学推理能力至为重要。
1.《标准(2011年版)》中推理能力的核心要求是什么?
依据推理的功能不同,我们可将数学推理分为合情推理和演绎推理。对这两种推理能力的培养即构成《标准(2011年版)》对推理能力培养的核心要求。
合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。归纳推理(这里指不完全归纳)是特殊到一般的推理。而类比推理则是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似,推出它在另一属性上也相同或相似的一种推理。比如,类比整数乘法得到小数乘法运算定律、类比二维空间图形性质得到三维空间图形性质等等。而演绎推理则是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)确定的规则出发,得到某个具体结论的推理,它是必然性推理(即只要推理前提真,得到的结论一定真)。它的思维进程是从一般到特殊,其基本形式是三段论,只不过在实际运用中,三段论的格式被简化成了“因为……所以……”的“连锁式”形式。
上述两种推理在数学中都重要。《标准(2011年版)》强调:“在解决问题的过程中,两种推理功能不同,相辅相成:合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。”在传统数学教学中,往往把推理看成是一种严格的、通过充足的理由去证明和计算的逻辑思维形式,学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程。经过多年的课改这种情况有所改变,但也出现了另一方面的担忧,即在有些教师的课堂上将合情推理得到的结论不加说明地作为普遍性结论使用,对学生产生了一定误导,这种情况应该引起重视。
2.增养学生数学推理能力应注意的问题。
对学生推理能力的培养在整个义务教育阶段都是内容学习和目标达成的一条主线,也是一个逐渐提升的长期过程。就第一、二学段来说应该注意这样几个方面:
推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。这是《标准(2011年版)》提出的非常明确的要求。它应该有这样几层含义:(1)它应贯穿于整个数学课程的学习内容中,即不仅图形与几何、数与代数、统计与概率及综合实践等所有内容,都是培养推理能力的载体。比如,在数与代数中大量的计算需要依据特定的公式、法则、算律,这种对运算算理的要求就是推理能力的表现。而在用符号、代数式、方程、图形、图表表达数量关系或构建数学模型时,也必须借助正确的分析和推理。(2)它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。如在概念教学中,让学生经历从特定对象的本质属性入乎,抽象、概括形成概念的过程,并引导学生有条理地表述概念定义;在命题教学中,引导学生分清条件、结论,把握条件、结论间的逻辑关系;在解决问题教学中,要让学生经历发现、提出、分析、解决问题的活动过程,在问题解决的逻辑序中感悟推理的力量和魅力。(3)它也应贯穿于整个数学学习的环节,如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试……在所有的这些学习环节,逐步要求学生做到言必有据,合乎逻辑。当然,“贯穿整个数学学习过程”也应包括推理能力的培养应贯穿于整个小学阶段,做到合理安排,循序渐进,协调发展。
推理能力的培养要注意为学生提供多样化的学习活动方式。反思传统教学,对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑推理的训练,主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然,这样的认识是带有局限性的。《标准(2011年版)》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如《标准(2011年版)》提出:“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”(基本理念),“在观察、操作等活动中,能提出一些简单猜想”(第一学段),“在观察、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力”,“能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”(第二学段)。教师要认真体会《标准(2011年版)》所提出的这些要求,针对小学生推理能力的特点,在课堂教学中开拓出更加有效的、多样化的活动形式。
最后需指出的是,要注意小学阶段对学生推理能力培养的适度性。尽管《标准(201 1年版)》提倡让学生多经历“以合情推理作出猜想,以演绎推理作出证明”的过程,但结合第一、二学段的课程目标要求,所做的主要是通过合情推理去作出猜想,在一些内容学习中,适度地涉及对结论的某种验证,教师对上述要求要正确理解。
八、模型思想
模型思想是此次《标准(2011年版)》修订新增的核心概念之一。
所谓数学模型,就是根据特定的研究目的,采用形式化的数学语言,去抽象、概括地表征所研究对象(中小学主要指现实问题)的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中,为表征特定的现实问题,用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式,及各种图表、图形等都是数学模型。
1.为何要在义务教育阶段提出模型思想? 主要有如下原因:
(1)模型思想是一种基本的数学思想。此次标准修订,由数学“双基”发展成数学“四基”,“模型思想”作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念,这实际上是对“四基”之一的“数学基本思想”作出的回应,也体现出它应有的重要意义;
(2)模型思想与很多课程目标点密切相关。如数感、符号意识、几何直观、发现、提出问题能力、数学的联系、数学应用意识、改善数学学习方式等等,提出模型思想能很好地支撑这些课程目标的实现;
(3)模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中,突出模型思想有利于更好理解、掌握所学内容。如数与代数中的代数式及方程、几何中的图形、统计中的统计图或表格、综合实践活动中表示问题的数量关系式等等,都可以结合具体实际问题从模型的角度去阐释其特定的意义;
(4)数学建模已是高中数学课程的学习内容,提出模型思想能更好与高中课程衔接;
(5)培养学生的模型思想对义务教育阶段学生来说是可行的。尽管思想的渗透、感悟、培养不像某些知识的掌握那样可以立竿见影,但通过建立数学模型解决现实问题的活动过程步骤性强,且问题的难易、要求的高低完全可以根据内容和学生实际情况来确定。
2.认清模型思想的本质要求。
作为中小学课程中的模型思想应该在数学本质意义上给学生以感悟,以形成正确的数学态度。正因为如此,《标准(201 1年版)》指出:“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”它鲜明地表达了这样的意义:模型思想的本质要求就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系,而且它也是实现上述目的的基本途径。说形象点,我们就是希望在学生头脑中建立起这样的认识:数学与外部世界不是分离的而是紧密联系的,连接它们之间的“桥梁”就是数学模型。对模型思想的这一本质要求教师要注意通过教学予以落实。
3.模型思想的建立要蕴涵于数学建模之中。
模型思想的建立离不开数学建模活动,《标准(2011年版)》从义务教育数学课程的实际情况出发,将数学建模活动过程简化为这样三个环节:
首先是“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”。这表明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中,学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动,完成模式抽象,得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后,通过模型去“求出结果并讨论结果的意义”。
显然,数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能,更有思想、方法,也有经验积累,其情感态度(如兴趣、自信心、科学态度等)也会得到提高。
4.关于模型思想的培养。
模型思想作为一种思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程,在这一过程中,学生总是从相对简单到相对复杂,相对具体到相对抽象,逐步积累经验,初步掌握一些建模方法,逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求,循序渐进,逐步渗透。比如,在一学段,可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、简单几何体和平面图形的过程和简单数据收集、整理的过程,使学生能学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象,提出一些力所能及的数学问题;在二学段,通过一些具体问题,引导学生通过观察分析抽象出更为一般的模式表达,比如,用字母表示有关问题的运算律和运算性质,根据具体的行程问题、购物问题总结出路程、速度、时间,单价、数量、总价等关系式。以后逐步过渡到能主动地运用数学模型去观察、分析、解决一些力所能及的现实问题。
教师在教学中还可利用数学建模所具有的问题性、活动性、过程性、探索性等特点,在学生学习方式的改革上做一些探索。比如,小课题学习方式(学生根据自己的生活经验和对现实情境的观察,提出研究的小课题)、协作式学习方式(依据数学建模的不同要求和步骤,充分发挥小组各成员的长处实行小组内的分工与合作方式)、开放式学习方式(如打破课内课外界限,走人社会,进行数学调查,或充分利用网络资源,收集建模有用信息等)、信息技术支撑的学习方式(充分利用计算机的计算、图形功能及特有软件的应用功能等,构建模型),这些新的学习方式都可以根据学生的年龄特征在不同层次、水平上采用。
九、应用意识

数学应用意识是一种用数学的眼光、从数学的角度观察、分析、解决现实世界中问题的积极的心理倾向和思维反应。它的本质要求是如何积极、主动地“用”数学。
1.应进一步强化数学应用。
加强数学应用,培养学生的数学应用意识是数学课程改革的重要价值取向。长期以来,数学应用意识的失落是教学中普遍存在的现象。尽管课改以来数学教学已在关注数学的应用,但真正落实到目标上还有较大差距,这是课改应该进一步强化的方面。加强数学应用,不是简单地增加几个应用题,也不仅仅是追求实际问题得以解决的数学工具价值,它事实上体现了数学中更加本质的东西:数学应用是认识数学、体验数学的过程,学生通过这一过程能学会数学地思考,掌握数学思想方法,感悟数学的精神并形成正确的数学态度。从根本上看,它追求的是学生数学素养的提升和创新精神、实践能力的培养、发展。
2.如何理解数学应用意识的两个方面的含义?
《标准(2011年版)》从两个方面表述了数学应用意识的含义:
一方面“有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题。”这里实际指的是主动“用”数学知识的意识,这种意识的指向是“数学知识现实化”。仔细分析一下,这里有两层要求:其一,要有意识地利用数学的知识去解释现实世界中的诸多现象。学生面对日常生活中的一些现象,应该其有一定的数学敏感性,要善于从数学的角度去解释这些现象。例如,电视台播放某大奖赛实况,总要去掉一个最高分,一个最低分,然后求其他评分的平均数,这是为什么呢?学生面对这个问题应该运用所学的统计中的知识去作出解释。其二,有意识地运用数学知识去解决现实生活中的问题。例如,在学习了“两点之间线段最短”后,善于思考的同学就会发现,我能解决“在两个汽车站之间,怎样设加油站的位置,使得到两个汽车站的距离最小”这一实际问题。学数学的目的就是用数学,这一意识需要在教学中强化。
另一方面“认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决。”这里指的是对现实生活主动进行数学“抽象”的一种意识,它的目标指向是“现实问题数学化”。这里也有两点要求:一是要让学生认识到现实生活中处处有数学,数学就在我们的身边。例如与家庭日常生活有关的就可以举出许多:水电气费统计、商店购物、旅游线路、购房户型图、储蓄、保险、股票等等;二是要使学生认识到现实生活中的大量问题都可以转变威数学问题,并用数学方法予以解决。即从解决现实问题方法的角度去体会数学应用的广泛性,从而增强数学应用的意识。 对学生应用意识的培养,要注重在教学中联系学生的生活实际,讲清知识的来龙去脉,加强学生“由数学看现实,由现实想数学”的意识和习惯,特别注意通过综合实践活动,来培养学生运用数学解决实际问题的能力。

十、创新意识
1.将创新意识作为核心概念提出的意义何在?
在新的时代背景下,如何使教育更好地适应国家对人才培养的要求,如何探索创新人才的培养模式,已成为继续深化基础教育课程改革的重要任务。创新人才培养是一项系统工程,它需要统筹小学、中学、大学直至就业等各个环节,形成一个良性的、可持续发展的人才培养机制。研究表明,创新意识的培养应该从儿童抓起,基础教育阶段是培养学生创新意识、能力的重要阶段。而这一阶段中的数学课程应该在培养学生创新意识上发挥它特有的功能。正如《标准(2011年版)》所指出的:“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能,更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”
应该指出,这一核心概念强调的是培养“创新”的意识,即表现为一种主动去探索、发现的心理倾向、一种积极的态度,培养这种意识在小学数学课堂教学中不仅是完全可行的,而且它对学生的知识、技能的学习也会起到良好的促进作用。
2.在课堂教学中培养学生创新意识的三个切入点。
《标准(2011年版)》指出:“学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律,并加以验证,是创新的重要方法。”从基础、核心、方法三个方面指明了创新意识的要素。这既为我们培养学生创新意识提出TJL个基本的切入点和路径,又使创新意识这种比较“虚”的东西落在了比较实在的载体上,即围绕这三个要素,教师应紧紧抓住“数学问题”、“学会思考”、“猜想、验证”这几个点,做足教学中的“文章”,创新意识培养的目标就有可能得到落实。
在具体的课堂教学中,有这样几点值得注意:应该鼓励学生质疑、不盲从,勇于发表自己的观点,课堂上有了思维的火花与碰撞,就会产生新的想法和观点;要善于营造一个以问题驱动的学习环境,让学生在这样的环境中活跃思维,开阔思路,并能自主地发现、提出问题;要善于在具体“做”的过程中根据学生的实际情况教给学生一些探究的方法,逐步使学生学会数学的思考,并积累数学话动经验;要重视综合与实践课程的教学,充分发挥其“以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动”的特点和功能,让学生经历观察、实验、归纳、抽象、概括、猜想等多样性的活动,经历发现问题、提出问题、进而分析、解决问题的全过程,使综合与实践真正成为培养学生创新意识和实践能力的有效载体.