构造轴对称图形解题 我们在解(证)几何问题时,常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形,这样能使解 题过程更加简捷.下面举例说明. 例1 如图1, 中, , , 是 内一点,满足 VABC BAC 60= AB 2AC D VABC AD 3 ,BD 5 ,CD 2 ,求VABC 的面积.[来源:学+科+ 网Z+X+X+K] 分析 把、、分别 、 、 作轴对称变换,把分散的线 VACD VCDB VADB AC CB AB 段,集中在VEGF 中,以找到求面积的思路. 解把以为对称轴往外翻折得到 ,把以为对称轴往外 VACD AC VACE VCDB CB 翻折得到VCFB ,把以为对称轴往外翻折得到VAGB .则有 VADB AB AE AG 3 , EAG 2=CAB 120=, 3 3 3 ∴VEAG 是一个边长为 ,顶角为120的等腰三角形,SVEAG . 4 25 3 同理,VGBF 是一个边长为5 的等边三角形,SVBGF . 4 ∵ECF 2=ACB 180=, ∴ 、 、 三点共线.[来源:Zxxk.Com] E C F ∴VEGF 是一个边长为3,4 ,5 的的直角三角形,SVEGF 6 . ∴S S =+S +S 五边形AEFBG VAEG VGEF VGBF 6 =+7 3 . 2S 6 =+7 3 VABC 7 ∴S 3 =+ 3 . VABC 2 说明 遇到正方形中分散的线段,构造轴对称图形,集中到同一个图形,利用勾股定理, 方程等方面解决问题. RtVBAC BAC 90= P BC M N AB AC 例2在中, , 是 的中点, 、 在、上, PN ⊥ PM ,求证:MN 2 BM 2 =+CN 2 . 分析 要证MN 2 BM 2 =+CN 2 ,联想到勾股定理,作VMPN 以MP 为对称轴的 ,将分散线段 , , 转移同一个直角三角形来解决. VMPN ' MN MB CN 证明 如图2 ,延长 至点 ,使 ,连结 , NP N ' N 'P NP BN ' MN ' ∵VMPN ' 与VMPN 是关于以MP 为轴的对称图形,∴VMPN ' VPMN . MN ' MN ,PN ' NP . 又∵PB PC ,BPN ' =NPC , ∴VBPN ' VCPN . BN ' CN ,N 'BP =C . AC // BN ' .