由于变力所作的功等于沿o )处所作的功为dy 移动到B所作的功,记为 dy 代入得到,dy 坐标x(或对坐标y )的曲线积分. 或称为第二型曲线积分. ,其中L为抛物线 ABOA 牛顿—莱布尼兹公式将定积分运算化为被积函数的原函数的端点值之差.相仿地,在平面区域 上的曲线积分之间也有类似的关系.下面介绍格林公式.规定一个区域D 的边界曲线L 为正向:我们沿曲线L 某个方向行走时,区域D总在它的左边. 格林公式:设D 是以分段光滑曲线L 为边界曲线的平面有界闭区域,函数 上有一阶连续的偏导数,则Qdy Pdx dxdy 其中L是正向的. 由格林公式,dxdy AOCA OC 曲面的质量与第一型曲面积分问题 设定义在区域 ,求该金属曲面的质量M.如图 代表小曲面的平均面密度,则小曲面的质量约等于ds 点跑遍整个金属曲面,把得到的所有小曲面质量累加即得金属曲面Σ的质量M,记作 ,所以dxdy 叫做曲面的面积元素,如果曲面是封闭的,则曲面积分记为 dS 的质量m.其中球面上各点的密度等于这点到o 由对称性,只需要计算上半球面的质量.