可以考虑一般情况,在正交曲线坐标系中的散度公式。
正交曲线坐标系
首先,我们考虑是三维欧几里得空间
。一个点
可以使用笛卡尔坐标
来描述,也可以使用曲线坐标
来描述。这里这两个坐标之间的关系通过可逆的变换方程给出:
以及
曲面
叫做坐标曲面,它们两两相交所得到的曲线叫做坐标曲线,坐标轴是由这里坐标曲线的切向量决定的,切向量
可以通过计算偏导数得到:
注意这些向量与点
的位置有关,并不是不变的。如果
是相互正交的,那么就称曲线坐标系为正交曲线坐标系,在此情形,我们定义Lame系数为
,将
单位化得到一组标准正交的向量
,也就是在点
处的局部单位基向量。
在
坐标曲线上,
与
为常数,只有
变化,设
到
之间的弧长为
,类似的,设在
坐标曲线上从
到
之间的弧长为
,设
坐标曲线上从
到
之间的弧长为
。如下图所示
下面求
的表达式,我们注意到
因此