一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项.
(1)C (2)B (3)D (4)C (5)B (6)B
(7)A (8)C (9)B (10)D (11)A (12)B
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 答案填在题中横线上.
13. 如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直,则这两个二面角相等或互补 假
三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)
………2分
………4分
………6分
(II)
………8分
的图象与x轴正半轴的第一个交点为
………10分
所以
的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
=
…12分
18.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为
.
则其概率分别为
……3分
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为
,则的分布列为:
.………6分
若捐款10元者达到1500人次,那么购买学习用品的款项为
(元),
除去购买学习用品的款项后,剩余款项为
(元),
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗. ………8分
(II)记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为
,则
.
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为
………12分
19.(本小题满分12分)
以D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴,z轴建立空间直角坐标系D―xyz如图,则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2). … 3分
(Ⅰ)证明:设
则有
所以
,
,∴
平面
;………6分
(II)解:
设
为平面
的法向量,
于是
………8分
同理可以求得平面
的一个法向量
,………10分
∴二面角
的余弦值为
. ………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)对
求导数,得
,切点是
的切线方程是
.…2分
当
时,切线过点
,即
,得
;
当
时,切线过点
,即
,得
.
所以数列
是首项
,公比为
的等比数列,
所以数列
的通项公式为
.………4分(文………6分)
(II)应用二项式定理,得
………8分
(III)
当
时,
数列
的前
项和
=
同乘以
,得
=
两式相减,………10分(文………8分)
得
=
,
所以
=
.………12分
21.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)由于
所以
………2分
令
,
当a=2时,
所以2-a≠0.
① 当2-a>0,即a