(接上一期“简单模型引出的重要公式”)
在“简单模型引出的重要公式”中,我们已经推导出了斯特瓦尔特定理,接下来我们来推导三角形中的高线,角平分线,中线长度公式。
一、高线长公式
如图所示,AD⊥BC且D在BC上。
根据广勾股定理有:
a²=b²+c²-2CD·c
CD=(b²+c²-a²)/2c
在RtADC中应用勾股定理有:
hc²=b²-CD²
代入CD:
hc²=b²-((b²+c²-a²)/2c)²
=(b+((b²+c²-a²)/2c))(b-((b²+c²-a²)/2c))
=1/(4c²) · (b²+c²-a²+2bc)(a²-b²-c²+2bc)
=1/(4c²) · [(b+c)²-a²][a²-(b-c)²]
=1/(4c²)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
令p=(a+b+c)/2(半周长C/2)
则原式可化为:
hc=(2/c)·√(p(p-a)(p-b)(p-c))
这就是三角形的高线长公式。(高在三角形外时的公式依然如此,不再论证)
而因为hc=2S/c,那么可以得到三角形面积公式:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) (p=C/2)(海伦公式)
二、中线长公式
如图所示,tc为c边上的中线
用斯特瓦尔特定理可得:
tc²=((c/2)/c)a^2+((c/2)/c)b^2-(c/2)^2
=1/4 ·(2a²+2b²-c²)
tc=1/2√(2a²+2b²-c²)
三、角平分线长公式
如图所示,l平分∠BAC且把BC分为两段线段x和y。
根据角平分线性质可得:
a/b=x/y(证明略)
而x=c-y,y=c-x:
x=ac/(a+b),y=bc/(a+b)
根据斯特瓦尔特定理:
l²=((a²bc/(a+b)+ab²c/a+b)/c)-(abc²/(a+b)²)
=ab-(abc²/(a+b)²)
=ab/(a+b)² ·((a+b)²-c²)
l=(1/(a+b))√(ab(a+b+c)(a+b-c))
继续化简也是可以的,不过没必要(况且也没几个人看)
四、其他的歪门邪道路线
1.斯特瓦尔特定理强行计算高线长公式
还是这个图。
在两个直角三角形中运用勾股定理有:
h²=a²-BD²=b²-CD²
而BD=c-CD,CD=c-BD:
BD=(a²-b²+c²)/2c,CD=(-a²+b²+c²)/2c
根据斯特瓦尔特定理:
h²=(a²·CD+b²·BD)/c-BD·CD
=...
=1/(4c²)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
(不想算了咕一下,你们也可以想象这个计算量是比上面的大得多的)
2.平行四边形四边对角线平方和定理推出中线长公式
中线长公式是这三个里面最好推也是方法最多的,而我们在初中经常用的倍长中线法这时也会派上用场。
引理:平行四边形四边对角线平方和定理
如图所示平行四边形ABCD,那么有它四边的平方和等于两条对角线的平方和,即:
AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²
或2AB²+2BC²=AC²+BD²
证明:
当这个平行四边形是矩形时,易证;
当这个平行四边形是一般的平行四边形时:
分别过点A,D作底边的垂线交底边或其延长线于E,F。
容易知道ABC和BCD中必有一个为锐角三角形,一个为钝角三角形。
在ABC和BCD中应用广勾股定理:
AC²=AB²+BC²-2BC·BE
AD²=CD²+BC²+2BC·CF
易证ABE≌DCF(HL)
那么BE=CF
易证AB=CD
那么2AB²+2BC²=AC²+BD²。
Q.E.D
在ABC中,AD是BC边上的中线。
那么倍长AD至点E,连接BE,CE.
容易证明四边形ABEC是平行四边形,那么有:
2a²+2b²=c²+(2t)²
tc=1/2√(2a²+2b²-c²)
实际上我是很喜欢这种方法的。
3.让角平分线长公式更加简洁一点
根据a/b=x/y可得:
x=ay/b,y=bx/a
根据斯特瓦尔特定理:
l²=(abx+aby)/c-xy
=ab(x+y)/c-xy
x+y=c:
l=√(ab-xy)
原来角平分线公式还有这么简单的形式。
(其实把x=ac/(a+b),y=bc/(a+b)代入就得到那个又恶心又长的公式了)