不是三角换元,但是类似,使用一种叫做双曲正弦/余弦的函数,一般记作sinh,cosh,公式是:
它有很多类似三角函数的性质,比如说:
注意是减而不是加。
另外
即互为导数。
这里就是使用双曲函数进行换元,对于
,令
;对于
,令
所以
而
是有解析表达式的,由于
所以
(cosh是偶函数,所以反函数的定义域是x>=1,值域是[0, +∞))
所以
注意到我们前面换元的时候令
,这个不一定能成立,因为这个不定积分还有(-∞,-1]这一段有效的区间,在这个区间上,我们应该令
,积分结果应该是
而当x<0时,有
所以可以用绝对值的形式统一写成
顺便说一下cosh(x)和sinh(x)与真正的三角函数,在复数域上是有联系的:
他们实际上是三角函数在虚轴上的模样。从复数域上就很容易看出来前面几条性质为什么成立了:它们只是复数情况下的三角函数性质。