由于正六边形 的对称性,三种不同方向的平行四边形的个数相等。因此, 我们只要数出水平左斜方向上平行四边形的个数,再乘3 细看图中在水平左斜方向上既有斜边长为1,(图中小正三角形的边长规定为 的平行四边形,又有斜边长为2,底长为1~2 的平行四边形,还有斜边 下面我们从上到下逐行数出水平左斜方向上平行四边形的个数。 第一行有斜边长为1,底长为 的平行四边形,共有2+1=3 的平行四边形,共有3+2+1=6 为便于归纳分析,我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形,以下各行类同 第二行。因此第二行还包括斜边长为2,底长为1~2 的平行 四边形,共有2+1=3 个。所以第二行共有6+3=9 个平行四边 的平行四边形,共有3+2+1=6 个。还有斜边长为2,底长为1~2 的平行四边形, 共有2+1=3 个。还有1 个斜边长为3,底长为1 的平行四边 形,所以第三行共有6+3+1=10 个平行四边形。 的平行四边形,共有2+1=3 个。还有斜边长为2,底长为1~2 的平行四边形,共有2+1=3 个,还有1 个斜边长为3,底长为1 的平行四边形。 所以第三行共有3+3+1=7 个平行四边形。 293=87,所以图中一共有87个大小不同的平行四边形。 通过分析可以发现,第一行到最后一行(第2n [(n-1+i)+(n-2+ i)+…+1]+[(n-2+i)+(n-3+ 别为1~n-1+ 的平行四边形的个数,第二个中括号内的各项是斜边长为 2,底长分别为 1~n-2+i 的平行四边形的个 数,……,最后一个中括号内的各项是斜边长为i 别为1~n的平行四边形的个数。 2n-1行是一种情况,每行平行四边形的个数的表达式(第n+j [(2n-j)+(2n-1-j )+…+1]j+[(2n-1-j )+(2n-2-j +…+1]+[(2n-2-j)+(2n-3-j )+…+1]+…+[(n-j +(n-1-j)+…+1] 别为1~2n-j的平行四边形的个数,由于在第n+j ,底长分别为1~2n-j 的平行四边形的个数是 相等的,所以斜边长为 ,底长分别为1~2n-j 的平行 四边形的个数和是[(2n-j )+(2n-1-j )+…+1]j 二个中括号内的各项是斜边长为j+1,底长分别为1~2n-1-j的平行四边形的个数,……,最后一个中括号内的各项是斜 边长为n+j,底长分别为1~n-j 的平行四边形的个数。 第2n行是一种情况, 平行四边形的个数的表达式是: [n+(n-1)+…+1]n+[(n-1)+(n-2)…+1]+[(n-2)+(n-3)…+1]+…+1 ,底长分别为1~n的平行四边形的个数是相等的,所 以斜边长为 的平行四边形的个数和是[n+(n-1)+…+1]n 。第二个中括号内的各项是斜 边长为n +1,底长分别为1~n-1 的平行四边形的个数,……, 最后的1 是斜边长为2n-1,底长为1 的平行四边形的个数。 =[n+(n-1)+…+1]i+(n+1)(i-1)+(n+2)(i-2)+…+(n-1+ (n+1)+[ni+(i-n)r-r2]2r (n+1)+ni(i-1)+(i-n)[1+2+…+(i-1)]-[12+22+…+ (i-1)2] (n+1)+ni(i-1)+i(i-1)(i-n)- 2i+ni+ni2-ni+ni-ni2-i 2+ni 3-i 2、[(2n-j)+(2n-1-j )+…+1]j+[(2n-1-j )+(2n-2-j +…+1]+[(2n-2-j)+(2n-3-j )+…+1]+…+[(n-j +(n-1-j)+…+1] (2n-j)(2n+1-j)+[(n-j )+(n-1-j )+…+1]n+ (n+1-j)(n-1)+(n+2-j)(n-2)+…+(2n-1-j -111=j(2n-j )(2n+1-j)+n (n-j )(n+1-j)+[(n+s-j) (n-s )]22s 11=j(2n-j )(2n+1-j)+n (n-j )(n+1-j)+(n 2-nj+js- (2n-j)(2n+1-j)+n (n-j )(n+1-j)+(n 2-nj )(n-1) +j[1+2+…+(n-1)]-[12+22+…+(n-1)2] (2n-j)(2n+1-j)+n (n-j )(n+1-j)+(n 2-nj )(n-1) +jn (n-1)-n (n-1)(2n-1) =2n2j-2nj2+nj-j 2-n2j-nj+nj 2+n3-n 2j+nj+n2j-nj-n 3-n+n2j+nj-nj 2-j 3、[n+(n-1)+…+1]n+[(n-1)+(n-2)…+1]+[(n-2)+(n-3)…+1]+…+1 (n+1)+[t(n-t n-1)2t (n+1)+(nt-t2)2t 2(n+1)+n(n-1)n-n (n-1)(2n-1) 2261111111=n 3-n2-n 2-n2222326211=n 2-n326 由此可得,第一行到第n行水平左斜方向上的平行四边形 的个数是: 2-)(1+2+…+n)+n(12+22+…+n2)+(13+23+…+n3) (n+1)(2n+1)+[n (n+1)] 2-n24122412 第n+1行到第2n-1 行水平左斜方向上的平行四边形的个数 3-n+n2j+nj-nj 2-j 731131n-n)(n-1)+(n 2+n)[1+2+…+(n-1)]-(n+) 66222 [12+22+…+(n-1)2]+[13+23+…+(n-13) 3-n)(n-1)+n(n-1)(n2+n)-n(n-1)(2n-1) 66226 (n-1)]22222 4-n3-n 3-n2-n 257131=n4-n 3-n 4-n3-n 有了公式,正六边形中平行四边形的个数就不需要再费心费力地去数了,只要用公式进行简单的计算就行了。 注:在以上整理化简和求和过程中,多次用到了以下三个求和公式: 1、1+2+…+n=n(n+1)/211 、13+23+ …+n3= 时正六边形中大小不同的平行四边形的个数: 2、两条直线相交成()度时,这两条直线互相垂直。 4、长方形相邻的两条边互相()。相对的两条边互相( 5、以平行四边形的一条边为底,能作出()条高,这些 高的长度都( 6、在同一平面内,()的两条直线叫做平行线。 8、等腰梯形()一组对边平行。 12 4、右图中有()个梯形。 虽然此题有特别简单的方法(会在春季行课时教给大家),但是掌握最基本的方法是相当必要的,在此苏老师会给大家 简略得解析如何通过有规则的计数结合找规律的方式比较 快速可行的得出答案。 通过大致观察,不难发现:所有的三角形只长了两个模样(先不管大小),要么这样 ,要么这样 ,主要的区别在于 大小不等。