第三章 3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构 设有非齐次线性方程组 若记 (1) 一. 非齐次线性方程组有解的条件 则上述方程组(1)可写成矩阵形式 ( 2 ) 若令 则有 (3) 非齐次组的向量形式 (1)(2)(3)为非齐次组的三种表示形式 非齐次组的一般形式 非齐次组的矩阵形式 . 定理3.15 非齐次线性方程组(2)有解 非齐次线性方程组有解 线性表示 于是有下面的定理 因此 可由 以下讨论 非齐次线性方程组(1)解的情况. . 最后得到如下阶梯形矩阵,不妨设 对增广矩阵 做初等行变换 . 其相应的同解的阶梯形方程组为 (2) r —— 初等变换后阶梯形方程组的非0方程的个数. . 讨论方程组(1)的解的情况: 则方程组(1)无解. 则方程组(1)有唯一解. 则方程组(1)有无穷多解. 推论 . 矩阵形式 二、非齐次线性方程组解的结构 取b = 0,得到的齐次线性方程组 称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组. . 方程组(1)与其导出组(2)的解有下列关系: 这是因为 若 的两个解,但 的解. 这是因为 定理3.16 若 的两个解,则 的解. 这是因为 若 的一个解, 的解. 定理3.17 则 的解. 注意 . 求解关键: 1、方程组(1)的一个特解; 2、导出组(2)的一个基础解系. (也称 有解, 的一个特解(某一个解);而 定理3.17-2 其中 进一步地有: 的导出组) 若 则其一般解为 的一般解. . 求非齐次线性方程组的步骤: 2、写出与原方程组同解的非齐次方程组,用零代替自由未知量,求出一个特解 3、写出与原方程组的导出组同解的方程组,求出一个 基础解系: 4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解(通解)为: 数. . 试求 例1 设非齐次线性方程组 的一般解. 解 的增广矩阵 变换 . 取自由未知量 并取值 代入 求得 的一个特解. (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 取自由未知量 的3组值 代入 求得 的基础解系. (不要代入 . 的一般解为 于是 为任意常数 .