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第2章2.2 椭圆 1.掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决实际问题. 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题. 学习目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目索引 知识梳理 自主学习 知识点一 椭圆的定义 答案 平面内到两个定点F1,F2的	的点的轨迹叫做 .这两个定点F1,F2叫做椭圆的	,两焦点间的距离叫做椭圆的	. 距离的和等于常数(大于F1F2) 椭圆 焦距 焦点 答案 知识点二 椭圆的标准方程 ? 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 =1 (a>b>0) =1 (a>b>0) 焦点	a、b、c 的关系	(-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) c2=a2-b2 c2=a2-b2 答案 返回 思考 (1)椭圆定义中,将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么? 答案 当距离之和等于F1F2时,动点的轨迹就是线段F1F2; 当距离之和小于F1F2时,动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量? 答案 a,b的值及焦点所在的位置. 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10; 题型探究 重点突破 题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 解 因为椭圆的焦点在x轴上, 解析答案 因为2a=10,所以a=5. 又因为c=4,所以b2=a2-c2=52-42=9. (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0). 解 因为椭圆的焦点在y轴上, 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0), 解析答案 反思与感悟 求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程,最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的坐标轴,从而简化求解过程. 反思与感悟 解析答案 解析答案 解 方法一 (1)当焦点在x轴上时, 解析答案 (2)当焦点在y轴上时, 此时不符合a>b>0,所以方程组无解. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B), 例2 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足PF1+PF2=2F1F2. (1)求点P的轨迹方程; 题型二 椭圆定义的应用 解析答案 解 依题意知F1F2=2, PF1+PF2=2F1F2=4>2=F1F2, ∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆, (2)若∠F1PF2=120°,求PF1F2的面积. 解析答案 反思与感悟 解设m=PF1,n=PF2,则m+n=2a=4. ∴4=(m+n)2-2mn(1+cos 120°),解得mn=12. 在椭圆中,由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目,我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,这就需要我们在解题时,要充分理解题意,分析条件,利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中,经常把PF1·PF2看作一个整体来处理. 反思与感悟 解析答案 所以a=5, 故有AF1+AF2=2a=10,BF1+BF2=2a=10, AF2+BF2=AB, 所以AF1B的周长为AF1+BF1+AB =AF1+BF1+AF2+BF2 =(AF1+AF2)+(BF1+BF2) =2a+2a=20. 例3 已知B、C是两个定点,BC=8,且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 题型三 与椭圆有关的轨迹问题 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 由BC=8可知点B(-4,0),C(4,0). 由AB+AC+BC=18得AB+AC=10>8=BC, 因此,点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上. 由a=5,c=4, 得b2=a2-c2=25-16=9. 解 以过B、C两点的直线为x轴,线段BC的垂直 平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示. 利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由题意找到动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定椭圆的方程. 反思与感悟 跟踪训练3 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. 解析答案 返回 解 如图, 返回 设圆P的半径为r,又圆P过点B,∴PB=r. 又∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10, ∴两圆的圆心距PA=10-r, 即PA+PB=10(大于AB=6). ∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. ∴2a=10,2c=AB=6. ∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.