直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:元法,配方法,待定系数法)。一元三次方程就是关于立方的方程一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:⑴将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到⑵x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))⑶由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以⑵可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得⑷x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知⑸-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得⑹A+B=-q,AB=-(p/3)^3⑺这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而⑹则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即⑻y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a⑼对比⑹和⑻,可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a⑽由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)可化为⑾y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将⑼中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入⑾可得⑿A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)⒀将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得⒁x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)式 ⒁只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。x^y就是x的y次方好复杂的说塔塔利亚发现的一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3,那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是待定的参数。代入方程,我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知,一定可以适当选取a和b,使得在x=a-b的同时,3ab+p=0。这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3,就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p3 = 27qa3这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得a。进而可解出b和根x。一元四次方程费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样,可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程:x4=px2+qx+r关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数a,我们有(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0,即q2 = 4(p+2a)(r+a2)这是一个关于a的三次方程,利用上面一元三次方程的解法,我们可以解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式,开方后就是一个关于x的一元二次方程,于是就可以解出原方程的根x。最后,对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算),这称为阿贝耳定理。⒈根据问题变未知数⒉围绕未知数,寻找问题中的等量关系⒊利用等量关系列方程⒋解方程,并作答