学了两三学期的微积分以后就要利用导数来完整地练习解微分方程了。导数是一种数据相对于另一种的变化速率。例如,速度随着时间的变化率就是速度关于时间的导数(和斜率相比较一下)。每天这种变化率都会出现很多次,例如,复利定律中,利息增加的速度和账户金额成比例,用dV(t)/dt=rV(t) 和V(0)=P 可以表示出来(P就是初始金额),V(t)是时间的函数,表示目前的账户金额数(用以不断评估利息),r是目前利率(dt是极短的时间间隔,dV(t)是无穷小金额,是V(t)在这个时间的变化,他们的商是增加速率)。虽然信用卡利息通常是每日累积计算,以APR(年度增加率)来表示,这个微分方程还是可以可以解出一个方程,得到连续解V(t)= Pe ^(rt)。本文将教你如何解决最常见类型的微分方程,尤其是力学和物理方程。
步骤
方法1 的4:
基本方法
定义导数。当变量倾向于0的时候,函数(一般是y)增量和变量(一般是x)增量的比值会取得一个极限值,这就是导数(也称为微分系数,特别在英国)。或者说在一瞬间,变量的微小变化造成的函数的微小变化。以速度距离,速度就是距离对时间的瞬时变化。下面比较一阶导数和二阶导数:一阶导数即原导数的函数。例如:“速度是距离关于时间的一阶导数。”二阶导数即函数导数的导数。例:“加速度是距离对时间的二阶导数。”
不要混淆阶数(最高导数阶数)和次数(导数的最高次数)。最高导数次数是由最高阶导数的阶数决定的。导数的最高次数则是导数中的项的最高次数。比如图一的微分方程是二阶、三次导数。
了解如何区别通解、完全解和特解。完整解包含一些任意常数,任意常数的数目和导数的最高阶数相等(要解开n阶微分方程,需要进行n次积分,每次积分都需要加入一项任意常数)。例如在复利定律里,微分方程dy/dt=ky是一阶导数,完整解y = ce^(kt) 正好有一个任意常数。特解是用特定数字带入通解来获得的。方法2 的4:
解一阶微分方程
一个一阶一级的微分方程可以表达为M dx + N dy = 0,M和N分别是x和y的函数。为了解决这个微分方程,按如下步骤来做:
看看这个变量是否可分离。一个微分方程若可以表达为f(x)dx + g(y)dy = 0,则其变量可分离。f(x)是只关于x的函数,g(y)是只关于y的函数。这些都是最容易解的微分方程。他们可以积分为∫f(x)dx +∫g(y)dy = c,c是一个任意常数。下面是一个通用的方法,参见图2为例。去掉分式部分。如果等式含有微分,用独立变量的微分相乘。把所有具有相同微分的项集合成一项分别积分不同微分的部分。简化表达式。可以通过合并同类项,把对数转化为指数,用最简单的符号来表达任意常数,以下为例
如果变量是不可分离的,检查该微分方程是否是齐次的。如果把x和y替换为λx和λy,会导致整个函数的值为原函数乘以λ的n次方,那么λ的次数n就是原函数的次数。这样微分方程M dx + N dy = 0就是均匀的。如果出现这种情况,请用以下步骤来解。图3是一个示例。让y=vx, 得出dy/dx = x(dv/dx) + v.从Mdx + N dy = 0可得到dy/dx = -M/N = f(v)。因为 y 是v的函数。得出 f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v 。 现在变量x 和v可以分离了: dx/x = dv/(f(v)-v))用可分离的变量解新得出的微分方程,然后用y替代vx 得出y
如果不能用以上方法得出结果,试试可不可以用dy/dx + Py = Q形式的线性方程解出来(P Q 都是只关于x的方程或常数)。记住这里x、y可以交替使用。图4为例:设y=uv,u 和v是x的函数。两边微分,得到 dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)代入dy/dx + Py = Q 得到 u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q,或u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q通过积分可以分离变量的等式du/dx + Pu = 0得到u。然后用u的值,通过u(dv/dx) = Q得出 v ,这里的变量仍然可以分离最后用y=uv 得出y
解伯努利方程:dy/dx + p(x) y = q(x) yn。通过以下方法来解:设u=y1-n,这样 du/dx = (1-n) y-n (dy/dx).因此得出 y = u1/(1-n)、 dy/dx = (du/dx) yn / (1-n)和yn = un/(1-n)代入Bernoulli Equation, 同乘(1-n) / u1/(1-n)得出 du/dx + (1-n) p(x) u = (1-n) q(x)注意这只是关于u的一阶线性方程,可以用上述方法来解(步骤3)。解出之后代入y = u1/(1-n) 得到完整解。方法3 的4:
解二阶微分方程
看看微分方程是否符合图5的等式(1),f(y)是只关于y的函数,或者是一个常数。如果是,就只要用图5标出的方法来做就好。
用常系数求解二阶线性微分方程:看看这个微分方程满足不满足图6中的等式(1)。如果满足,这个微分方程可以简单用下列步骤当作一个二次方程来解。
要解个一般的二阶线性微分方程,要看看该微分方程是否满足图7所示的方程(1)。如果是这样,可以用下列的步骤解决微分方程。以图7的步骤为例。把图6方程(1)(f(x)=0)以上面说过的方法解出来。 解出来是y = u的形式,u是图7方程 (1) 的余函数。按以下步骤代入试出一个图7方程(1)的特解y = v。若f(x) 不是方程(1)的特解,则:若f(x) 形式为f(x) = a + bx,则假设y = v = A + Bx;若f(x) 形式为f(x) = aebx,则假设y = v = Aebx;若f(x) 形式为f(x) = a1 cos bx + a2 sin bx,则假设y = v = A1 cos bx + A2 sin bx.若f(x)是(1)的特解则按以上形式各种情况再乘一个x方程 (1)的完整解则是通过 y = u + v得出方法4 的4:
解高次微分方程
高阶微分方程更难解,除了以下某些特殊情况:
看看该微分方程是否满足图5中方程(1)形式,f(x)是一个只关于x的函数或一个常数。如果是,则按照图8步骤解。
看看该微分方程满足不满足图9方程(1)的形式。如果是,可如下解决微分方程:
要解更一般的“n”阶线性微分方程,要看看该微分方程是否满足图10方程(1)形式。如果是这样,此微分方程和二阶线性微分方程解决方法类似。如下所示求解:现实中的应用
复利法:利息率的增加是和初始金额成正比的。更一般地说,一个独立变量的利率变化是和对应值的函数成正比的。也就是说,如果y = f(t),则dy / dt =ky。可以用可分离变量解这个函数,会得到y = ce ^(kt),y是一笔金额的的累积复利,c是任意常数,k是利率,例如,美元方面的利率是一年一美元,t是时间。这里看来,时间就是金钱。注意,复利法适用于日常生活的许多方面。比如,假设你正用往盐溶液里倒水来淡化盐浓度,需要添加多少水?水流速度是怎样影响浓度变化的? 设s=一定时间盐溶液中的盐量,x =已流过的水量,v =溶液体积。盐浓度=s/v。现在假设Δx体积的水溢出了,这样盐的流失量是(s / v)Δx,因此改变盐的摄入量Δs可以由Δs = -(s / v)Δx得出。两边同除以Δx,得Δs /Δx = -(s / v)。取极限Δx——> 0,然后就有ds / dx = - s / v。这是一种复利定律形式的微分方程。其中y是现在的s,t是现在的x,k现在是1/v。牛顿冷却定律是另一种复利定律的变体。它表示在低温环境中,体温降低,和身体温度与周围空气的温度差是成正比的。设x =身体的过高温度,t =时间,得出dx / dt =kx。k是一个常数。解得x = ce ^(kt),c如上,是一个任意常数。假设过高温度x最初在80华氏度(26摄氏度),一分钟后降到70华氏度(21度),2分钟后是什么情况? 让t =时间(分钟为单位),x =过高的温度。得到80= ce ^(k * 0)= c。同时,70 = ce ^(k * 1)= 80 e ^ k,这样k = ln(7/8)。所以x = 70 e ^(ln(7/8)t)是这个函数的一个特解。现在设t = 2,得x = 70 e ^(ln(7/8)* 2)= 53.59华氏度。
在大气热力学里,高于海平面的大气压力p的变化率,和海拔高度h成比例。这是另一种复利定律的变式。这里的微分方程是dp / dh = kh,k是常数。
化学中化学反应的速率,是在时间t内反应量x关于t的变化率。让a=开始反应时的浓度,那么就有dx / dt = k(a - x),k是速率常数。这是另一种复利定律变体。(a - x)现在是因变量。可以发现d(a - x)/ dt = - k(a - x),所以d(a - x)/(a - x)= -kdt。积分,得到ln(a - x)= kt+a。因为t = 0时a - x =a。整理一下等式,会得到速率常数k =(1 / t)ln(/(a - x))。
在电磁学中,给定一个电路,电压是V,当前电流是i(安培)。电压V克服电路中的电阻R(欧姆)和电路的电感L时会产生消耗。L由方程V =iR+ L(di / dt)或di / dt =(V - iR)/ L决定。这是另一种复利定律的变式,V - iR现在是因变量。
声学上,简单的谐波振动具有和负距离成正比的加速度。回想一下,加速度是距离的二阶导数,所以d2s / dt2 + k2s = 0, s =距离,t =时间,和k2的是在单位距离的加速度大小。这是一个简单的谐波方程,也是一个二阶常系数线性微分方程,和图6中解的方程(9)和(10)类似。得出的解是s = c1cos kt + c2sin kt。 这个方程可以进一步简化。设c1 = b sin A,c2 = b cos A 。代入得到b sin A cos kt + b cos A sin kt。回想一下三角函数中,sin(x + y)=sin x cos y + cos x sin y,所以表达式可以简化为s = b sin (kt + A)。波形遵循简单的谐波方程,以2π/ k为周期在- b和b之间摆动。
弹簧振动:把一个质量m的物体放在振动的弹簧上。根据胡克定律,当弹簧从自然长度(或在平衡位置)拉伸或压缩s单位时,产生的回复力F与s成正比,或F = -k2s。由牛顿第二定律(力等于质量乘以加速度),得到 m d2s / dt2 = -k2s 或md2s / dt2 + k2s = 0。这是一个简单谐波方程的表达式。
阻尼振动:如上述情况,考虑一个带阻尼力的振动弹簧。阻尼力,如摩擦力,是任何能减少振荡器振荡幅度的效应力。例如,根据阻尼力原理可以制造汽车减震器。在大多数情况下,阻尼力Fd,大概和对象速度成正比,或Fd = c2 ds / dt,c2是一个常数。结合阻尼力和恢复力的公式,我们由牛顿第二定律得到-k2s - c2 ds / dt = m d2s / dt2 ,或者 m d2s / dt2 + c2 ds / dt + k2s = 0。这个微分方程是一个二阶线性方程,可以通过s= e ^(rt)解出辅助方程mr2 + c2r + k2 = 0 来解。用二次公式解这个方程,得到r1 =(c2 + sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2 m,r2 =(c2 - sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2m。
过阻尼情况:如果c4 - 4 mk2 > 0,r1和r2是相异的实数。可以用s = c1e ^(r1t)+ c2e ^(r2t)来解。因c2、m、k2都是正数,sqrt(c4 - 4 mk2)必须小于c2,这意味着两根r1和r2是负数,函数是指数衰减形式。在这种情况下弹簧振动不会发生。阻尼力强的材料可以用来制造高粘油或润滑脂。临界阻尼情况:如果c4 - 4 mk2 = 0,r1 = r2 = c2 / 2m,得出的解是s =(c1 + c2t)e ^((-c2/2m)t)。这仍然是指数衰减,弹簧不会振动。然而假使阻尼力稍微下降一点,将导致物体振动经过平衡点。欠阻尼情况:若c4 - 4 mk2