证明 A ⊆ B A \subseteq BA⊆B的方法是说明 ∀ a ∈ A \forall a \in A∀a∈A, a ∈ B a \in Ba∈B (子集的定义)证明 A = B A=BA=B的方法是说明 A ⊆ B A \subseteq BA⊆B以及 B ⊆ A B \subseteq AB⊆A
接下来我们介绍一些集合的基本运算及其性质,这个系列的文章使用的交并补的符号如下:对 A , B A,BA,B两个集合
A ∪ B A \cup BA∪B: A AA与 B BB的并集A ∩ B A \cap BA∩B: A AA与 B BB的交集A C A^CAC: A AA的补集
对一系列集合,如例1中的 A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1,A_2,\cdots,A_nA1,A2,⋯,An
⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^n A_i⋃i=1nAi: A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1,A_2,\cdots,A_nA1,A2,⋯,An的并集⋂ i = 1 n A i \bigcap_{i=1}^n A_i⋂i=1nAi: A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1,A_2,\cdots,A_nA1,A2,⋯,An的交集
交并补是大家非常熟悉的,这里就不赘述了。我们来介绍一些高中阶段见得不多的集合运算。
定义0.1 差集记 A ∖ B A \setminus BA∖B表示 A AA减去 B BB的差集,它满足
A ∖ B = { a : a ∈ A , a ∉ B } A \setminus B = \{a:a \in A,a \notin B\}A∖B={a:a∈A,a∈/B}
这里的冒号后面写集合中的元素应该满足的条件。如果用 X XX表示全集,显然
A C = X ∖ A A^C = X \setminus AAC=X∖A
定义0.2 无交并记 A ⊔ B A \sqcup BA⊔B表示 A AA与 B BB的无交并,它就是 A AA与 B BB的并集,只是 A AA与 B BB没有交集。
定义0.3 对称差记 A Δ B A \Delta BAΔB表示 A AA与 B BB的对称差,它满足
A Δ B = ( A ∖ B ) ⊔ ( B ∖ A ) = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B ) A \Delta B = (A \setminus B) \sqcup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)AΔB=(A∖B)⊔(B∖A)=(A∪B)∖(A∩B)
我们可以用下面的Venn图展示一下这几种集合运算:
红色圆是 A AA,蓝色圆是 B BB,重叠部分(浅紫色)就是 A ∩ B A \cap BA∩B,有色区域就是 A ∪ B A \cup BA∪B,只有红色的部分就是 A ∖ B A \setminus BA∖B,只有蓝色的部分就是 B ∖ A B \setminus AB∖A,只有一种颜色的部分就是 A Δ B A \Delta BAΔB。
例0.1证明下面的命题
∀ i ∈ { 1 , ⋯ , n } , A i ⊆ B ⇒ ⋃ i = 1 n A i ⊆ B \forall i \in \{1,\cdots,n\},A_i \subseteq B \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n A_i \subseteq B∀i∈{1,⋯,n},Ai⊆B⇒i=1⋃nAi⊆B
这个命题的逆命题成立吗?
证
我们先分析一下,这个命题的逆命题显然是成立的,因为 ∀ i ∈ { 1 , ⋯ , n } \forall i \in \{1,\cdots,n\}∀i∈{1,⋯,n}, A i ⊆ ⋃ i = 1 n A i A_i \subseteq \bigcup_{i=1}^n A_iAi⊆⋃i=1nAi,所以 ⋃ i = 1 n A i ⊆ B ⇒ ∀ i ∈ { 1 , ⋯ , n } , A i ⊆ B \bigcup_{i=1}^n A_i \subseteq B \Rightarrow\forall i \in \{1,\cdots,n\},A_i \subseteq B⋃i=1nAi⊆B⇒∀i∈{1,⋯,n},Ai⊆B。接下来我们证明一下原命题,
∀ a ∈ ⋃ i = 1 n A i \forall a \in \bigcup_{i=1}^n A_i∀a∈⋃i=1nAi, ∃ j ∈ { 1 , ⋯ , n } \exists j \in\{1,\cdots,n\}∃j∈{1,⋯,n}, a ∈ A j a \in A_ja∈Aj,因为 ∀ i ∈ { 1 , ⋯ , n } , A i ⊆ B \forall i \in \{1,\cdots,n\},A_i \subseteq B∀i∈{1,⋯,n},Ai⊆B,所以 a ∈ B a \in Ba∈B。这样我们就证明了 ⋃ i = 1 n A i ⊆ B \bigcup_{i=1}^n A_i \subseteq B⋃i=1nAi⊆B。
总结读者需要了解的是数学教材撰写的逻辑是从基本结构导出一些使用的结论,并例子说明这些结论如何解决问题;第一个阶段相当于证明题,第二个阶段相当于计算题。例0.1就是很典型的证明题,这个题目中的基本结构有两个,包含于以及并集,要证明的结论也是一个集合是另一个集合的子集,所以这个证明评述0.1第一条的框架,说明 ⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^n A_i⋃i=1nAi中的任一元素也在 B BB中即可,这是一个经典的三段式演绎推理的框架,大前提是 ∀ i ∈ { 1 , ⋯ , n } , A i ⊆ B \forall i \in \{1,\cdots,n\},A_i \subseteq B∀i∈{1,⋯,n},Ai⊆B,即每一个 A i A_iAi都是 B BB的子集(,因此每一个 A i A_iAi中的任一元素都属于 B BB),小前提是 ∃ j ∈ { 1 , ⋯ , n } \exists j \in\{1,\cdots,n\}∃j∈{1,⋯,n}, a ∈ A j a \in A_ja∈Aj,也就是 ⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^n A_i⋃i=1nAi中的元素一定在某一个 A i A_iAi中,这就可以推出 a aa属于 B BB。其中大前提是假设,小前提是并集这个基本结构的结果。
从这个例子总结出的关于演绎推理证明问题的思路如下:先找到结论涉及的基本结构,根据结论涉及的基本结构确定证明的框架,然后用条件涉及的基本结构及其相关结果完成这个证明框架。
集合运算的简单性质,我们不加证明地给出下面的性质
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A ∖ B = A ∩ B C A \setminus B=A \cap B^CA∖B=A∩BC( A ∩ B ) C = A C ∪ B C (A \cap B)^C=A^C \cup B^C(A∩B)C=AC∪BC( A ∪ B ) C = A C ∩ B C (A \cup B)^C = A^C \cap B^C(A∪B)C=AC∩BC
读者可以尝试画出Venn图自行验证这五个等式。
例0.2证明下面的等式
A ∖ ( B ∖ C ) = ( A ∖ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \setminus (B \setminus C)=(A \setminus B) \cup (A \cap C)A∖(B∖C)=(A∖B)∪(A∩C)
证
A ∖ ( B ∖ C ) = A ∖ ( B ∩ C C ) = A ∩ ( B ∩ C C ) C = A ∩ ( B C ∪ C ) = ( A ∩ B C ) ∪ ( A ∩ C ) = ( A ∖ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \setminus (B \setminus C)=A \setminus (B \cap C^C) = A \cap (B \cap C^C)^C \\ = A \cap (B^C \cup C) = (A \cap B^C) \cup (A \cap C)=(A \setminus B) \cup (A \cap C)A∖(B∖C)=A∖(B∩CC)=A∩(B∩CC)C=A∩(BC∪C)=(A∩BC)∪(A∩C)=(A∖B)∪(A∩C)
接下来我们介绍一个非常有用的结论,de Moivre公式,它就是上面简单性质4、5的推广。
定理0.1 de Moivre公式(有限个集合交与并的补集)
假设 { A i } i = 1 n = { A 1 , A 2 , ⋯ , A n } \{A_i\}_{i=1}^n=\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}{Ai}i=1n={A1,A2,⋯,An}表示一系列有限个集合,它们交与并的补集满足下面的性质:
( ⋃ i = 1 n A i ) C = ⋂ i = 1 n A i C (\bigcup_{i=1}^n A_i)^C = \bigcap_{i=1}^nA_i^C(⋃i=1nAi)C=⋂i=1nAiC( ⋂ i = 1 n A i ) C = ⋃ i = 1 n A i C (\bigcap_{i=1}^n A_i)^C = \bigcup_{i=1}^nA_i^C(⋂i=1nAi)C=⋃i=1nAiC
证明
后续我们会介绍这个公式对无限个集合也成立,但现在我们先证明这个最简单的情况,思路就是将 n nn个集合的交或并通过换元化归为两个集合的交与并,然后用集合运算的简单性质。