作用 下,21,σσ 例题1 试考察应力函数Φ能解决图中所示弹性体的何种受力问题?,3cos63φρaqyxaao30o300 解: 本题应按逆解法求解。首先校核相容方程,然后, 代入应力公式, 求出应力分量:是满足的。04 Φ,3cos φaqρσρ,3cos φaqρqρσφ。 φ3aτρφsin 再求出边界上的面力:读者可由此画出边界上的面力分布。300;,cos3 ,sin3 .qaaqq   面上,,面上 半平面体表面受有均布水平力q, 试用 应力函数2sin(CφφBρΦ求解应力分量。)2例题2 解: 首先检验, 已满足Φ。 由0求应力, 代入应力公式得4 Φ,22sin2CB,22sin2CB。CB2cos2Φ 再考察边界条件。 注意本题有两个面,即, 分别为面。 在面上, 应力符号以正面正向、 负 面负 向为正。 因此, 有代入公式, 得应力解答,q2, 0)((2 ; 0C得,)2q 。得2qB,2sin cosq,2sin q。 2 设半平面体在直边界上受有集中力偶, 单位宽度上的力矩为M, 试求应力分量。例题3 ( 2) 将代入相容方程, 得d4dφ( 1)应比应力的长度量纲高2次幂, 可假设(φΦΦΦ。Φ)。 0)dd(1ρ22444φΦΦ删去因子程。 令其解为个关于 的特征方程,, 得一个关于λφeΦ的常微分方, 代入上式, 可得到一41)(φΦ, 0) 4(22 其解为be于是得 的四个解; 前两项又可以组合为正弦、余弦函数。 由此得本题中结构对称于反对称荷载, 因此, 应力应反对称于 轴,为的奇函数, 从而得x DAB2sin的 轴, 而x是。 0 , 0 ,i2,2i ,cdi,2,2  iae。DCφφBφAΦ2sin2cos0M, 0。 Cx ( 5) 考察边界条件。 由于原点o有集中力偶作用 , 应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。在的边界上, 有2, 0πφρ,2sin41ρ1(2ρ2φBσρ, 0σ2cos 2).ρ τBφC, 0)(2π0,φρφ σ()0.ρφρ 0,φπ 2τ( 4) 由求得应力分量,Φ 为了 考虑原点o附近有集中力偶的作用 , 取出以o为中心,为半径的一小部分脱离体, 并列出其平衡条件,前一式自 然满足, 而第二式成为2B.C22222220,[()cos()sin]0,0,[()sin()cos]0,0,()0.xyoFddFddMdM       (a) 上式中前两式自 然满足, 而第三式成为。MMB2再由式( a) 得出,22sinM2M, 0。