一、对向量模几何意义的认识根据向量减法的三角形法则可得如下结论.结论 1:由 O? ?A - O? ?B=B? ?A,可知 O? ?A - O? ?B的几何意义为 A,B 两点间的距离.结论 2:由 O? ?A + O? ?B=O? ?A -(-O? ?B) ,可知O? ?A + O? ?B的几何意义为点 B 关于原点的对称点 B′到点 A 的距离.结论 1 的推论如下.推论 1:若向量 a 与向量 b 共起点,则 a - b 的几何意义为向量 a 与向量 b 的终点间的距离.结论 2 的推论如下.推论 2:若向量 a 与向量 b 共起点,则 a + b =a -(-b) 的几何意义为向量 b 的终点关于起点的对称点与向量 a 的终点间的距离.这些结论或推论,其本质还在于向量加减法的集合意义,但是换一种形式表达,让我们更深刻地理解了向量加、减法的几何意义. 因此,在解题的过程中就有可能灵活地应用.二、运用向量模的几何意义巧解最值问题下面我们将通过应用,具体地感受上述结论和推论在解决问题中的巧妙之处.例 1 (2014 年湖南卷·理 16) 在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3 姨 ),C(3,0),动点D 满足 C? ?D= 1,则 O? ?A + O? ?B + O? ?D的最大值是.解:如图 1,由 C? ?D= 1,得动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆.yxOA(-1,0)E′ (1,- 3 姨 )C(3,0)B(0, 3 姨 )E(-1, 3 姨 )图 1解 题 研 究JIETIYANJIU105 2016 年第 1—2 期设OP PE = OP PA + OP PB =(-1, 3 姨 ),由结论 2 可知, OP PA + OP PB + OP PD=OP PE + OP PD的几何意义为点 E 关于原点的对称点 E′ (-1, 3 姨 )到以点 C 为圆心的单位圆上的动点的距离.显 然OP PA + OP PB + OP PD最 大 值 为CEP P′+ 1 =7 姨 + 1.【评析】 此题为 2014 年湖南卷客观题的压轴题,这道题目的解决方案有很多,如三角换元、利用绝对值不等式的向量形式等. 但根据结论 2,巧妙地运用了向量的几何意义,使得解题思路优化,计算环节减少,达到了多思少算的效果.例 2 (2015 年湖南卷·理 8) 已知点 A,B,C 在圆 x 2 + y 2 = 1 上运动,且 AB⊥BC,若点 P 的坐标为(2,0),则 PP PA + PP PB + PP PC的最大值为( ).(A) 6 (B) 7(C) 8 (D) 9解:如图 2,AC 为圆 O直径,圆心 O 为 AC 的中点.设点 D 的坐标为(-2,0),则 PP PA + PP PC = 2 PP PO = PP PD ,PP PA + PP PB + PP PC=PP PD + PP PB.设点 D 关于点 P 的对称点为 E(6,0).由推论 2,得 PP PD + PP PB=PP PB - PP PE的几何意义为 B,E 两点间的距离,显然 B,E 两点间的距离的最大值为 7.【评析】 推论 2 给予此题的求解思路如下:将向量PP PD 转化为向量PP PE ,这是解决此题的突破口,之后利用数形结合,问题迎刃而解.例 3 (2013 年湖南卷·理 6) 已知 a,b 是单位向量,a·b = 0. 若向量 c 满足 c - a - b = 1,则 c 的取值范围是 ( ).(A)[ 2 姨 - 1, 2 姨 + 1](B)[ 2 姨 - 1, 2 姨 + 2](C)[1, 2 姨 + 1](D)[1, 2 姨 + 2]解:如图 3,不妨设 a =(1,0),b =(0,1),d = a + b =(1,1).xyOa =(1,0)d =(1,1)b =(0,1)图 3则 c - a - b = c - d = 1.由推论 1,得向量 c 的终点 C 的轨迹是以向量 d的终点为圆心,半径为 1 的圆.c 的几何意义是点 C 到原点的距离.故选 A.【评析】 此题逆用推论 1,求得了向量对应的点的轨迹,使得问题容易求解.例 4 已知点 P 为锐角△ABC 的 AB 边上一点,∠A = 60°,AC = 4,则 PP PA + 3PP PC的最小值为 .解:如图4,由于PP PA +3PP PC =PP PA + 3PP PA + 3AP PC = 4PP PA +3AP PC =434AP PC -AP PP∠ ∠ .取 AC 的靠近点 C 的四等分点 D,则 PP PA + 3PP PC= 4 AP PD - AP PP= 4 PP PD的几何意义为 P,D 两点间的距离的 4 倍.当 DP 与 AB 垂直时,此时 PP PA + 3PP PC= 4 DP PP=4 ×3 3 姨2= 6 3 姨 即为所求的最小值.【评析】 此题通常的解法是建系,将问题转化为坐标运算,进而转化为二次函数的最值问题. 而该解法把PP PA +3PP PC巧妙地转化为两个差向量的模,根据结论 1求解,避免了烦琐的计算.例 5 (2011 年全国卷·理 12) 设向量 a,b,c 满足 a = b = 1,a·b = -12,〈a - c,b - c〉= 60°,则 c 的最大值等于( ).(A) 2 (B) 3 姨(C) 2 姨 (D) 1CDA P B图 4图 2BACOP xy(下转第 119 页)解 题 研 究JIETIYANJIU106 2016 年第 1—2 期解:如图 5,不妨设向量 a,b,c 的起点为坐标原点 O,终点分别为点 A,B,C,且O? ?A = a =(1,0).x OyBCAb - ca - c图 5由 a·b = -12,可得〈a,b〉= ∠AOB = 120°,且〈a-c,b-c〉=∠ACB=60°.所以 O,A,B,C 四点共圆.因为 c 的几何意义是点 C 到原点的距离,所以 c 最大值为该圆的直径. 故选 A.【评析】 此题逆用了推论 1,很容易地找到了所给向量的几何意义,数形结合地解决了问题.通过对于上述例题的分析,我们发现在解决涉及模长的最值问题时,巧妙地使用向量加减法模的几何意义可以做到直观、简洁、形象,充分体现了平面向量的“数”和“形”的双重性,体现了数形结合的数学思想,同时可以起到化繁为简、化难为易的作用,给解题带来很大的方便. 这就是深度挖掘教材,深刻理解法则给解题带来的极大帮助.参考文献:[1]姜忠杰. 探究向量模的求法[J]. 中学生数学(高中版),2013(13):15.[2]冯克永. 深化向量模的教学点滴[J]. 中学数学教育,2014(9):29-31.(上接第 106 页)解析:此题关键在于求解点 P 的纵坐标,若还是用代数法,设点 P 坐标,将其代入椭圆方程和已知条件运算,对公式性质要求较高,且运算过程相当复杂.如果抓住问题中涉及到的核心几何量—— — 焦半径,以它为突破口则问题要简单许多,原题中只需要设两条焦半径 PF 1 = r 1 ,PF 2 = r 2 ,又可得 r 1 + r 2 = 2a = 2 2 姨 和(2c)2 = 4 = r 21 + r22 - 2r 1 r 2 cos 60°,化简即可得到 r 1 r 2 = 4,从而求得 S △F 1 PF 2 =3 姨3,焦半径在此问题中的作用表现得淋漓尽致.例 8 已知抛物线 y 2 = 2px(p > 0),过抛物线焦点 F,且斜率为 3 姨 的直线交抛物线于 A,B 两点,求AFBF的值.解析:此题可以设直线 AB 方程 y = 3 姨x -p2△ △ ,联立 y 2 = 2px(p > 0),求得点 A,B 的横坐标,再分别求 FA,FB 的长度,得到比值. 我们可以发现,因为直线和抛物线方程均含参,所以解题过程会相当烦琐.而如果我们抓住抛物线中的焦半径这个核心几何量,设 AF = r 1 ,BF = r 2 ,接着采用图 5 的作图方法,分别从点 A,B 作抛物线准线的垂线,交抛物线的准线于点 C,D,同时作 BE⊥AD,则根据抛物线定义,很容易得到AE = AD - BC = AF - BF = r 1 - r 2 ,而 AB = r 1 + r 2 ,由斜率为 3 姨 ,得到∠BAE = 60°,很快得到等式ABAE=r 1 + r 2r 1 - r 2= 2,即可求得AFBF=r 1r 2= 3,利用焦半径,巧用辅助线,合理转化条件,最终能快速找到准确答案,解题占得先机.例 9 如图 6,过抛物线y 2 = 2px(p > 0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,自点 M,N 向准线 l 作垂线,垂足分别为点 M 1 ,N 1 . 求证:FM 1 ⊥FN 1 .解析:此题若仍旧抓牢核心几何量—— — 焦半径,易得 MF = MM 1 , NF = NN 1 . 从而得到角度关系:∠MFM 1 = ∠MM 1 F,∠NFN 1 = ∠NN 1 F,∠M 1 MF =π - 2∠MFM 1 ,∠N 1 NF = π - 2∠NFN 1 . 又由题目条件MM 1 ∥NN 1 ,可得∠M 1 MF + ∠N 1 NF = π,即∠MFM 1 +∠NFN 1 =π2. 所以∠M 1 FN 1 =π2,即证得 FM 1 ⊥FN 1 .利用焦半径规避了复杂的代数运算,效果甚佳.解析几何中所蕴含的核心几何量正是布鲁纳所关注的学科基本结构的体现. 所以在平时的学习中,若能做个有心人,从题型中进行及时的反思、总结、提炼,最终达到灵活应用的目的,则必然能有效提升学生的综合思维品质,大大提高解题效率.参考文献:[1]章建跃. 中学解析几何的核心结构[J]. 中学数学教学参考,2007(13):12-13.O图 5xyEFADC BO图 6xyFN 1 NM 1MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM解 题 研 究JIETIYANJIU119