§4泰勒级数·罗朗级数·留数定理
一、泰勒级数与罗朗级数
1.泰勒级数
[泰勒级数展开定理]设函数
在圆
(
)内解析,那末
在圆内可以展成泰勒级数
式中
其中
是以
为圆心,以
(
)为半径的圆周.这个展开式是唯一的.
复变函数的泰勒级数展开式表与实变函数的幂级数展开式表(第五章§3,九)相类似,只要把实变量
换成复变量
就可以了.
[复平面内的幂级数的收敛性]如果幂级数
在圆
内绝对收敛,而在圆外发散,那末称
为级数的收敛圆,
为收敛半径,并且
或者
[阿贝耳定理]对于每个幂级数
存在一个收敛半径
(
)具有下列性质:
1o对于
内每点
,级数绝对收敛.在每一闭圆
(
)上,级数一致收敛.
2o
,级数发散.
3o在
内,级数的和是一解析函数.
由性质3o和泰勒级数展开定理可知,复变函数在一点
解析和在点
的邻域内可以展开为幂级数是等价的.
[运算规则]在公共的收敛圆
内,有下列运算规则:
(
是任意复数)
2.罗朗级数展开定理
如果函数
在环形区域
(
,
)内解析,那末
在环形区域内可展开为罗朗级数
式中
是任一圆周
(
),函数的罗朗级数在环形区域
内的任意一个闭区域上一致收敛.
级数
称为罗朗展开的正则部分,
级数
称为罗朗展开的主要部分.
如果级数
在环形区域
内收敛,那末级数的和
在这个区域内解析,并且这个级数就是
的罗朗级数.因此圆环上解析函数的罗朗展开式是唯一的.
3.解析函数的局部性质
[解析函数的零点]设
在
解析,并且
,则称
为
的零点.若
而
,则称
为
的
阶零点.
解析函数
的零点是孤立的,也就是说,如果
是
的零点,并且不是
,那末一定有一正数
,使得
在圆
内除
外无其他零点.
[解析函数的唯一性定理]设函数
和
在