谢邀。
推导方法有很多。
我个人觉得最简单的就是直接对圆的周长进行积分。如下:
如此简单,以至于我不得不加上这句话,显得比较好看。哈哈哈
事实上,你对三维球的表面积进行积分也会得到三维球的体积。扩展到n维也是一样的。
同理,你对圆的面积求导,即可得到圆的周长。
对球的体积求导,即可得到球的面积。
原理:无限微分,对周长在半径上进行积累自然得到面积。
更多关于积分推导n维球体积公式的详情可以看这篇文章。在文章最后得到了通项公式和递推公式。