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亘古真理: 刚体对固定点有一个惯量张量, 刚体对固定轴有一个转动惯量.
两个重要结论:
✦无论作何运动的刚体上任意基点到另一个点的位矢的角速度都是同一个值.
当然这个位矢不要跟角速度方向平行了, 意思就是说刚体某一时刻的角速度与参考点无关.
✦总可以把刚体的运动分解为随基点的平动和刚体以角速度
绕着基点做定点转动.
所以我们会去研究刚体的平动与刚体的转动.
现在研究这个以角速度
绕着基点做的定点转动:
刚体对基点的角动量为:
上式也说明了
与
不必要共线
质量是连续分布的, 所以改写为:
上式与下面所有积分的积分区域都是整个物体.
先在刚体上固定一个笛卡尔坐标系,原点为基点, 然后分量式如下:
可以更简洁的表达为:
注意上式
是个张量,称作惯量张量.
展开来看即是
其中
惯量张量
的对角元素称作对坐标轴转动惯量, 非对角元称作惯量积. 二者统称惯量系数.
刚体的转动动能:
下面的式子可以类比线量的
及
第一式中展开
得到 :
第二式中
显然是对
作用线(即转动瞬轴)的转动惯量.
关于定轴转动惯量下面将给出定义.
对固定轴的转动惯量:
定义:
其中
为
到转轴的距离.
回转半径:
转动惯量可以等效于质量集中在距离转轴为R的一点上的转动惯量.
即令
则
就称作回转半径.
平行轴定理:
其中
的轴过质心,
轴相互平行,
为两轴间距.
简证:
随手画的示意图
顺带一提
想不通就
请在心里建立笛卡尔坐标系,
轴是转轴方向.
惯量椭球与惯量主轴:
先建立笛卡尔坐标系, 和前面一样也是固定在刚体上随刚体转动, 且原点为基点.
假如建立的是静止的坐标系那么惯量张量中的每一个惯量系数都随时间改变, 难以研究.
分量式:
其中
等分别是三个方向余弦.
由关系
可以得到:
化简得到:
----[i]
可以简写为:
这也解释了最最开始说的 "刚体对固定点