由于q的量纲是[力][长度]-2 ,故从量 纲分析和应力函数与应力分量关系可知,应力和 应力函数有如下形式: 应力分量: 应力函数: 可设 (11) 位移分量: 3 . 弹性接触问题 设一圆筒,其内径为a,外径为b,埋在无限大弹 性体中,内部受均压q,求应力分量. 设圆筒上的应力分量: 解: 位移分量: 弹性常数: 无限大弹性体中的应力分量: 图4-9 位移分量: 弹性常数: 对两个结构,应力和位移均为轴对称,于是可 采用公式(4-13)和(4-14)。但由于弹性常 数不同,上式中,两个结构对应的待定系数也 不同,对于圆筒设其为A、C;对于无限大弹性 体,设其为 。 圆筒应力: 无限大弹性体应力: 现在利用边界条件和接触条件来确定这4个待定未知数。 (4) (5) (ⅰ) 圆筒: => 对于无限大体,按照圣维南原理,圆孔内壁 (r=b)所受的内压是平衡力系,在 应力应为零,即 由此得 (ⅱ)对于无限大体 边界条件和接触条件: (6) (7) (ⅲ) 接触条件: 将式(4)和(5)代入上式,得(8) 由(4-14)的第1式,并注意到(7)式,圆筒和 无限大弹性体的径向位移为 代入连续条件,经整理得 (9) 由方程(6)(8)(9)可求出A、C、A?, 圆筒及无限大弹性体的应力分量和位移分量: 无限大弹性体: 式中 当时,应力分布大致如图4-9所示。 这个问题是一个最简单的弹性接触问题。在接触 问题中,通常都假定各弹性体在接触面上保持“完 全接触”,即,既不互相脱离也不互相滑动。 应力方面的接触条件是: 两弹性体在接触面上的正应力相等,剪应力也相等; 位移方向的接触条件是: 两弹性体在接触面上的法向位移相等,切向位移也 相等。 §4-5 曲梁的纯弯曲 狭长矩形截面的圆弧形曲梁,内半径为a,外半径 为b,两端受有大小相同,方向相反的力矩M作用, 如图4-10所示。 力的平衡条件可知,梁的所有各径向截面上的 弯矩相同,因而可认为各截面上的应力分布也 相同,即曲梁的纯弯曲是一个应力轴对称问题。 解: 由于其几何结构不满足轴对称条件,故应力分 量和位移分量应采用关系式(4-9)和(4-11)。其中待定常数A、B、C通过边界条件来确定,在曲线边 显然 条件能自然满足。 将式(4-9(a))代入其余两个条件,得(ⅰ)上端面 边界条件: (3) (2) 注意到该面为负面,其应力边界条件为: 由于 故(4(a))式自然满足。下面讨论边界条件(4(b))。 (4) 在轴对称应力问题中,应力分量: 由此,(4(b))式左边积分可以改写为 (5) 显然,如果(2)、(3)式能够满足,则上式为 零,即边界条件(4(b))也得到满足,故下面不 必考虑。 将(5(b))式代入边界条件(4(c))积分后,得(6) 由式(2)、(3)、(6)式解得 (7) 其中 应力沿径向截面的分布规律大致如图4-11所示。 将所得到的A、B、C代入式(4-11)中,即可求得 曲梁受纯弯曲时的位移分量,其中待定系数H、K、 I由约束条件来确定。 假设梁在上端面的中点,即在 应用式(4-11)可定出积分常数 将(7)和(8)式代入(4-11),即可得到位移分量。 其中环向位移 (8) (4-20 下面考察一个例子: 设开口圆环, 其开口为?的微小角度,如图4-12 所示。现将两端用焊接方法接合起来,试求焊接后 圆环内的应力。 图4-12 此结构的的受力情况,相当于在某外力作用 下产生的位移使其刚好闭合,即应满足位移连 续条件: 解: (9) 条件自动满足,而由式(4-20)可得 解得 将B代回(7(b))式得到将缺口用焊接方式 强行焊合时在环内引起的内力矩M,进一步代 入式(4-19)就求得其中的应力分量,即圆环 的装配应力。 §4-6 含小圆孔平板的拉伸 考虑一个内部有一圆孔的平板,圆孔的半径为a,相 比较于平板的长和宽是一个小量,即相对于圆孔, 平板可看作无限大,平板两端受有均匀拉力q,如图 4-13所示。 图4-13 解:在该问题中,外边界是直线边界,内边界为 圆曲线边界,这样直接求解,有一定困难。通过 下述分析,我们可以将其转换为圆环问题,在极 坐标下求解。 与无孔板比较,由于圆曲线内边界仅是该问题的 很小一部分边界,由圣维南原理可知,在离边界 足够远的地方,应力将不受该段边界条件的影响。 由此,可在平板上取一与圆孔同心半径为b的大 圆,b>>a。这时,大圆上每一点应力分量由受单 向均匀拉伸的无孔板应力场确定,即大圆边界上有 由应力坐标变换公式: 可得到用极坐标表示的形式 将外载荷分为如下两组: (1) (2) 原问题转化为如下新问题,在外边界上: 显然,第一组面力所对应的问题是圆环外边界 受均匀拉力的问题,由(4-15)式,该问题的 解答是。 将和相加得: 代入在常体力下的相容方程,于是得极坐标中的 应力函数表示的相容方程 : 式中 ,为应力函数。 应力函数与应力分量之间的关系,可按下述方法导出。 我们注意到,当时,x、y 轴分别与r、? 轴重 合,此时应力分量 分别与应力分量 对应 用极坐标按应力函数法求解常体力平面问题, 就是寻求满足边界条件的微分方程(4-7)的解。 求出应力函数以后,代入(4-8)式可得问题的应 力解,在多连体中,这些应力分量还要满足位移 单值的附加条件。 §4-3 应力轴对称问题及其相应的位移 在工程中,常常会遇到结构的形状和所承受的外力 不随极角?变化的问题。例如火炮炮筒、高压容器、 气缸、旋转圆盘等。在这类问题中,由于结构及受 力均对称于它的中心轴(z),故其应力只与r有关, 与极角?无关,由于对称性,只有正应力,而剪应 力为零,称此类问题为平面轴对称问题。对于象曲 杆纯弯曲这类问题,其应力也具有这种特点(与θ 无关),但结构不具有对称性,称为应力轴对称问题。 由应力分布的上述特点,可假设应力函数形式为: 相容方程: 展开上式得: 这是一个变系数欧拉方程,其通解为 式中,A、B、C、D是待定系数。