彩票怎样才能中奖?
理论上,只能靠运气。但是,如果规则设计得不好,就可以钻漏洞。
2005年2月,美国的一个彩票品种,就出现了漏洞,被麻省理工学院的学生发现了。随后的七年,这个学生反复购买这个品种,一共赚到了300万美元。
本文介绍他怎么做的,以及其中的数学原理。我依据的材料,主要来自数学教授 Jordan Ellenberg 在斯坦福大学的一次演讲(Youtube)。
一、期望值
彩票最重要的数学概念,叫做"期望值"(expected value),即同一种行为多次重复以后,所能得到的平均收益。
举例来说,如果每次抽奖需要2元,假设200次抽奖可以中奖一次,奖金为300元。那么,你花了2000元,一共抽奖1000次,中奖了5次,奖金为1500元。
也就是说,1000次抽奖的总收益是1500元,每次的平均收益是1.5元,这就是期望值。它的计算公式如下。
期望值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5
期望值是1.5元,但是每次抽奖成本2元,于是净亏损0.5元。
一看就知道,这个事情是不划算的,做得越多,越不划算。偶尔买一次彩票,倒也算了;如果你一天到晚不断买彩票,就肯定会亏很多钱(上例是每200次亏100元)。
总之,期望值是衡量彩票收益的一个关键指标。
二、马萨诸塞州的 WinFall 彩票
美国马萨诸塞州有一个彩票品种,叫做 WinFall。它的规则很简单:1到48里面,你猜6个数字,猜中就有奖。
四等奖(6个猜中2个):奖金2元三等奖(6个猜中3个):奖金5元二等奖(6个猜中4个):奖金150元一等奖(6个猜中5个):奖金4000元特等奖(6个猜中6个):奖金池剩余的全部奖金
有一期,一共卖出了930万张彩票,其中特等奖一个,奖金100万美元,一等奖238个,二等奖11625个,三等奖19.8万个,四等奖136.8万个。
计算可知,这种彩票的期望值是0.798元。
期望值 =
100万*(1/930万) +
4000 * ( 238 / 930万) +
150 * (11625 / 930万) +
5 * (19.8万/930万) +
2 * (136.8万/930万)
= 0.7