(简称等腰三角形三线合一) 性质2可分解成下面三个方面来理解: 1、等腰三角形的顶角的平分线,既是底边上的中线,又是底边上的高. 应用格式:∵AB=AC ,∠1=∠2(已知) ∴BD=DC ,AD⊥BC(等腰三角形三线合一) 2、等腰三角形的底边上中线,既是底边上的高,又是顶角平分线. 应用格式:∵AB=AC,BD=DC (已知) ∴AD⊥BC ,∠1=∠2 (等腰三角形三线合一) 3、等腰三角形的底边上的高,既是底边上的中线,又是顶角平分线. 应用格式:∵AB=AC ,AD⊥BC (已知) ∴BD=DC ,∠1=∠2 (等腰三角形三线合一) A B C D 2 1 判断题: 1、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。 2、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。 3、等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数一共能画出9条。 4、等腰三角形底边上的中线一定垂直于底边。 (X) (√) (X) (√) 如图,在ABC中,BC=AC. (1) 若点D是AB的中点,∠BCA=110°, 则∠BCD= °; (2)若∠BCD=∠ACD,BD=5,CD=4, 则ABC的面积= ; (3)若CD⊥AB,AD=5,AC=6, 则ABC的周长= . 55 22 20 例1.已知:如图,AD平分∠BAC,∠ABD=∠ACD. (1)求证:AB=AC; (2)连接BC,猜想AD与BC的位置关系?并说明理由. 解:(1)证明:∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD(角平分线的定义) 在ABD和ACD中∠ABD=∠ACD(已知) ∠BAD=∠CAD(已证) AD=AD(公共边) ∴ABD≌ACD(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) (2) AD⊥BC 理由:连接BC,延长AD,交BC于点E ∵AB=AC ∴ABC是等腰三角形(等腰三角形的定义) ∵AE是等腰三角形ABC顶角平分线 ∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一) 即AD⊥BC 1、已知:如图,在ABC,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AD上,EF⊥AB,EG⊥AC,F,G分别为垂足.求证:EF=EG. 等腰三角形的性质 文字叙述 几何语言 等腰三角形的两底角相等 (同一个三角形中,等边对等角) ∵AB=AC ∴∠B=∠C 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线互相重合 (简称等腰三角形三线合一) ∵AB=AC,∠1=∠2 ∴AD⊥BC,BD=CD ∵AB=AC, BD=CD ∴ ∠1=∠2 ,AD⊥BC ∵AB=AC,AD⊥BC ∴ ∠1=∠2 ,BD=CD D 作ABC的中线AD, 交底边BC于D. D 作ABC的高AD,垂直底边BC于D. D 作顶角的平分线AD. A B C A B C A B C 等腰三角形中常用辅助线: 1 2 拓展提高 已知:如图,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于O点,求证:AB⊥CD 已知:如图,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于O点,求证:AB⊥CD 证明: 在ABC和ABD中AC=AD(已知) BC=BD(已知) AB=AB(公共边) ∴ ABC≌ ABD (SSS) ∴∠CAB=∠DAB (全等三角形对应角相等) 又∵AC=AD ∴ ADO为等腰三角形 (等腰三角形的定义) ∴AO是ABO的顶角平分线 ∴AO⊥CD (等腰三角形三线合一) ∴AB⊥CD 例2.已知线段a,h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC, 使底边BC=a,底边BC边上的高线长为h. 作法: 1.作线段BC= a. 2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D. 3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC. ∴ABC就是所求作的等腰三角形. 2.已知∠α和线段 a(如图),用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使顶角∠BAC=∠α,角平分线AD=a. 5.已知:如图,在ABC中,AB=AC,D为CA延长线上一点, DE⊥BC于点E,交AB于点F上. 求证:∠D=∠AFD. H 2、如图,点D,E在BC上,AB=AC,AD=AE,则BD与CE相等吗? H 2、如图,点D,E在BC上,AB=AC,AD=AE,则BD与CE相等吗? 将一把等腰三角尺和一个重锤如图1放置,就能检查一根讲台边沿是否水平,你知道为什么吗? 能,当重锤经过三角尺斜边的中点时,重锤 线与斜边上的高线叠合,即斜边与重锤线垂 直,所以斜边与梁是水平的。 1. 作业本2.3(2)节和每课必练2.3(2)节; 3. 预习2.4, 必带直尺、圆规等. 2. 书上作业题;