本文的介绍分数微积分而不是定义引理定理的方法我们一个想法分数导数首先熟悉的n阶导数的例子。然后代数字这种方式,像侦探,我们将构思数学结构。我们探讨了各种的概念对分数导数正式定义(快速浏览正式定义米勒[8]。)随着,我们读者去思考一些问题。对这些问题的答案在本文的最后一节。到底什么是一个分数?让我们来看看我们将首先研究指数函数的导数因为他们容易。我们熟悉表达式。在一般情况下,当n为整数。我们能不能取代呢?我们何不尝试一下?为什么不更进一步,让n是无理数或复数我们大胆地写 (1) 对任意一个,整数,,,。当是负整数考虑意义是有趣的。我们然希望成立。因为,所以我们有。当是负整数看作是n次迭代积分是合理。是正实数,代表导数,当是负实数,代表积分。 请注意,我们还没一般分数导数的定义。但是,如果这一定义被发现,我们期望指数函数遵循关系(1)。我们注意到,刘维在他的论文[5]和[6]采用这种方法。在情况下成立吗? 问题2:在情况下成立吗? 问题3:上述,真的遗漏?的想法我们正弦函数的导数很熟悉:这,并没有明显的但图形。每我们,的左。求n次微分,那么得到的图像就是向左,。如前,我们替换正整数n。所以,我们正弦次导数的表达式,余弦 (2) 在(2),自然,猜测与指数结果一致。,我们可以使用欧拉。利用表达式(1),我们可以计算,这与(2)式是吻合的。 问题 问题5是什么我们现在看看我们为例有 表达式(3)的分子分母结果 上式就是的一般表达式我们函数替换正整数n。当(4)p和n是不是自然数函数。伽马函数欧拉18世纪的概念,当z不是整数它,它具有性质我们可以(4)这使得当n不是整数有意义的所以,我们 利用(5),我们分数导数。级数展开假设我们进行任意次微分,那么我们得到 最终表达式作为我们很快会它。 问题6是否有几何?我们的分数导数为 现在让我们(6)看看他们是否。从级数结合(6) 但是,(7)及(8)不,除非是当是整数,(8)右侧是不是我们发现历史上的矛盾。看来好像我们指数的分数导数表达(1)公式(6)。在传统的微积分,,函数是初等函数。不幸的是,分数微积分。一个初等函数的分数导数较超越函数。分数阶导数表,请参阅[3]。此时,您可能会问怎么?这个谜团将在的部分解决。敬请关注我们一直在谈论。积分也。我们可以写,但右边是的。我们写。第二积分。积分区域是图1的三角形。如果我们交换的顺序,图1右侧。 因为不是的函数,所以可以积分外面 或者。 使用相同的过程,我们可以 在一般情况下, 现在,我们先前做,任意替换函数阶乘得到这的表达式(使用积分)的分数,有定义。但是一个问题。如果该。因为对任意,积分发散当反常积分收敛是负。是负(9)它是一个分数次积分。在我们这部分,要提,零是的。下。但是会造成最后结果表达式不同。正因为如此,符号从到我们 问题 问题7:如下分数阶微分的下极限是什么? 7解秘 现在你可以开始地方出错了。我们并不感到惊讶积分。普通不涉及,没有人希望分数导数。我们认为,。分数阶导数符号既包含(正)积分(负)。积分之的。事实证明,分数阶导数之的。该对矛盾的原因是,两不同的。现在,我们可以解决这个谜团。是什么?让我们停下来。指数我们要写 b取什么值将这个答案?由于在(11)积分是得到我们想要的形式时如果a是,。这类型下限的积分Weyl分数导数。从(10)符号,我们可以(1)写 极限在公式(5)什么?我们有同样,我们希望当我们5)的符号更准确因此,表达式(5)的下极限为0。,表达式(1)的下极限为。这差异是(7)(8)为什么不。在(7)我们计算。 如果读者希望继续这一研究,我们Miller的一篇很好的论文[8],和由OldhamSpanie合著的优秀图书[11]Miller和Ross的优秀图书[9]。两本书都包含了分数历史由MillerRoss合著的图书[9]很好讨论分数阶微分方程。Wheeler的[14]是另一个一流的介绍普及。Wheeler了几个应用,阅读有趣。参考[1,2,4,5,6,10,13]。以下是文问题的简短回答。,这个。,这关系(2.2)很容易证。。是积分常数。应该 问题4:将展开成傅立叶级数。假设我们可以,我们得。 问题5 。 问题6我们知道的曲线斜率表示曲线。但和更高几何很少或根本没有。这些特殊,分数阶导数没有简单的几何意义对我们并不感到惊讶。 。 1] A. K. Grunwald, Uber begrenzte Derivationen und deren Anwendung, Z. Angew.Math. Phys., 12 (1867), 441–480. [2]O. Heaviside, Electromagnetic Theory, vol. 2, Dover, 1950, Chap. 7, 8. [3]J. L. Lavoie, T. J. Osler and R. Trembley, Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., 18 (1976), 240–268. [4]A. V. Letnikov, Theory of differentiation of fractional order, Mat. Sb., 3 (1868),1–68. [5]J. Liouville, Memoire sur quelques questions de géometrie et de mécanique, et su run noveau gentre pour resoudre ces questions, J. école Polytech., 13(1832), 1–69. [6]J. Liouville, Memoire: sur le calcul des differentielles á indices quelconques, J.école Polytech., 13(1832), 71–162. [7]A. C. McBride and G. F. Roach, Fractional Calculus, Pitman, 1985. [8]K. S. Miller Derivatives of noninteger order, Math. Mag., 68 (1995), 183–192. [9]K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, 1993. [10]P. A. Nekrassov, General differentiation, Mat. Sb., 14 (1888), 45–168. [11]K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, 1974. [12]T. J. Osler, Fractional derivatives and the Leibniz rule, Amer. Math. Monthly, 78 (1971), 645–649. [13]E. L. Post, Generalized differentiation, Trans. Amer. Math. Soc., 32 (1930) 723–781. [14]B. Ross, editor, Proceedings of the International Conference on Fractional Calculusand its applications, Springer-Verlag, 1975. [15]N. Wheeler, Construction and Physical Application of the fractional Calculus, notes for a Reed College Physics Seminar, 1997. 班级:0911062 学号:091106208 姓名:靳亚洲 手机