线段的垂直平分线的性质(第一课时) 一、内容和内容解析 1、内容 线段的垂直平分线的性质与判定。 2、内容解析 线段的垂直平分线的性质是在学生学习了线段的垂直平分线的概念和轴对称的性质 的基础上进行的,线段的垂直平分线的性质在计算、证明和作图中有着广泛的应用,可以 简化证明,方便计算。 本节教材首先安排了一个“探究”栏目,让学生自己进行测量和猜想,然后利用轴对 称图形的对折得到了这个性质,并应用三角形全等的方法作了证明。对于线段垂直平分线 性质定理的逆定理,则让学生自己给出证明。接下来,教材安排了例 1 尺规作图:经过已 知直线外一点作这条直线的垂线。让学生明确尺规作图的步骤,了解作图的道理。 基于以上分析,本节课的教学重点是:探索并证明线段的垂直平分线的性质。 二、目标和目标解析 1、教学目标 (1)探索并证明线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 (2)能运用线段垂直平分线的两个性质解决问题。 (3)会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线并理解作图的道理。 2、教学目标解析 (1)学生能在教师的引导下,通过测量、折叠等方法,发现线段垂直平分线的性质, 能准确表述性质的内容,能正确地写出已知、求证,能运用三角形全等的判定方法证明线 段垂直平分线的性质。 (2)能运用线段垂直平分线的两个性质进行简单的计算和证明,达到方便计算,简 化证明的目的。 (3)明确尺规作图的基本要求,知道用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线 的方法与道理,能在教师的引导下用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 三、教学问题诊断分析 对于线段的垂直平分线的性质定理的逆定理:“与一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上”。教材要求学生自己证明,这对于学生来说有一定的难度。 一是证明以文字命题的结论,需要事先写出已知、求证,并画出相应的图形,学生对这类 证明接触不多,会感到一定的困难;二是在证明中需要添加辅助线,这对于学生来说是另 一难点,需要教师的正确引导和点拨。 本节课的教学重点:线段的垂直平分线的性质和判定,能灵活运用线段的垂直平分线的性 质和判定解题。 难点:明确线段垂直平分线的性质和判定定理的区别并会将其灵活应用。 四、教学过程设计 1、创设情境,引入新知 问题 1 如图,小聪在 A 处,小明在 B 处,他们两人做抢礼物的游戏,问:礼物放在 何处游戏才公平? 师生活动:学生思考并猜想,学生可能会说放在线段 AB 的中点处,教师指出:还能 放在别的地方吗?我们学习了线段的垂直平分线的性质后,就能解决这个问题,适时板书 课题。 追问:什么叫线段的垂直平分线? 【设计意图】通过游戏导入新课,激发学生的学习兴趣,引发学生探究线段的垂直平 分线性质的欲望。 2、猜想验证,探索性质 问题 2 如图,直线 l 垂直平分线段 AB,P1,P2,P3 是 l 上的点,分别量一量点 P1,P2, P3?到点 A 与点 B 的距离,你有什么发现? 师生活动:学生独立思考,全班交流,得出结论:点 P1,P2,P3,到点 A 与点 B 之间 的距离相等。 【设计意图】学生通过观察,初步感知线段的垂直平分线的性质,培养学生的猜想能 力。 追问:你能用不同的方法验证这一结论吗? 师生活动:引导学生动手操作,用“折一折”来验证这一结论。 【设计意图】让学生用不同的方法来验证这一结论,培养学生发散思维的能力,懂得 用验证的方法来说明猜想的正确性。 问题 3 如图,若在直线 l 上任取一点 P,那么这一点 P 与线段 AB 两个端点的距离相 等吗?由此你能得出线段的垂直平分线有什么性质? 师生活动:师生共同得出线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等。 【设计意图】让学生经历由特殊到一般地得出线段垂直平分线的性质的过程。 问题 4:你能证明线段的垂直平分线的性质吗? 师生活动:教师引导学生写出已知,求证,画出相应的图形,学生先独立完成证明过 程,再有学生代表黑板展示。 已知:如图,直线 l⊥AB,垂足为 C,AC=CB,点 P 在 l 上。 求证:PA=PB。 【设计意图】让学生经历观察、猜想、验证、证明线段垂直平分线的性质的完整过程, 积累探索图形性质的活动经验。 问题 5 “线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的题设和结论分别 是什么?交换题设和结论,你又能得到一个怎样的命题? 师生活动:学生思考、讨论、交流,得出上述定理的逆命题:与一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上。 追问 1:这个命题是真命题吗?怎样证明?写出逆命题后,就想到判断它的真假.如 果真,则需证明它;如果假,则需用反例说明.请同学们自行在练习册上完成。 师生活动:学生思考、讨论、交流,在讨论交流的过程中,明确证明的思路,并独立 完成证明,教师对有困难的学生个别指导,最后归纳证明的方法:①作垂直,证平分;② 作平分,证垂直。 已知:如图,PA=PB。 求证:点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 【设计意图】让学生体验由原命题得到它的逆命题的过程,体会研究几何命题的基本 思路,进一步学习证明几何命题的一般步骤,发展他们的归纳概括能力。 追问 2:从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,我 们把它称为线段的垂直平分线的判定. 那么与一条线段两个端点距离相等的点有多少个?这 些点组成了什么图形? 师生活动: 学生独立思考,充分发表自己的见解。 【设计意图】让学生体会线段的垂直平分线是到两个端点距离相等的点的集合,为今 后进一步学习打下基础。 3、运用性质,尺规作图 例 1 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 师生活动:教师引导学生写出已知,求作,作法,师生共同作图并体会每一步作图的 依据。 已知:直线 AB 和 AB 外一点 C