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你能想到的最大的数是多少?我电脑里A片的字节数?人体的细胞个数?整个地球的质量?宇宙间所有原子的个数?当然,在数学研究中,数学家们很可能会创造出一些比这些数都大的数。
1938年,数学家Edward Kasner的外甥发明了一个表示10^100的单词googol,这个数已经超过了宇宙中所有原子的个数。Pólya曾经猜想,小于等于n的正整数中,质因子个数为奇数的数不少于质因子个数为偶的数;1958年数学家C. B. Haselgrove首先给出了一个长达361位的反例。上个月,人们找到了一个新的Mersenne素数2^43112609-1,它一共有12978189位。1955年,数学家Stanley Skewes证明在不超过10^(10^(10^963))的范围内存在x满足π(x) > li(x),其中π(x)表示不超过x的素数有多少个,而li(x)则是dt/ln(t)从0到x的定积分。
根据一项吉尼斯世界纪录,目前人类所创造的具有实际意义的最大的数是Graham数。
考虑这样一个问题:给定一个n维超立方体,连接这2^n个顶点所产生的所有点对,得到一个顶点数为2^n的完全图。对所有边进行红蓝二染色。是否可能找到某个n,使得在任意染色方案中总存在一个完全子图K_4,它的所有边都是一种颜色,并且四个顶点共面?我们通常把满足要求的最小的n记为N*。1971年,Graham和Rothschild证明了满足要求的n是存在的,并且给出N*的一个上界:N*