23 用有理分式表示的传递函数(2-4) 上述4个公式只适用于自衡过程。对于非自衡过 程,其传递函数应含有一个积分环节,即(2-5) (2-6)24 2.1.3 建立过程数学模型的基本方法 建立过程数学模型的基本方法有两个,即机理法和 测试法。 1.机理法建模 用机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变化 机理,写出各种有关的平衡方程如:物质平衡方程; 能量平衡方程;动量平衡方程;相平衡方程以及反映 流体流动、传热、传质、化学反应等基本规律的运动 方程;物性参数方程和某些设备的特性方程等,从中 获得所需的数学模型。 由此可见,用机理法建模的首要条件是生产过程的 机理必须已经为人们充分掌握,并且可以比较确切地 加以数学描述。其次,很显然,除非是非常简单的被 控对象,否则很难得到紧凑的数学形式表达的模型 25 因此,在计算机未普及应用之前,几乎无法用机理 法建立实际工业生产过程的数学模型。 近20年来,随着电子计算机的普及,工业过 程的数学模型的研究有了迅速的发展,可以说,只 要机理清楚,就可以利用计算机求解几乎任何复杂 系统的数学模型。根据对模型的要求,合理的近似 假定总是必不可少的。模型应尽量简单,同时保证 达到合理的精度。有时还需要考虑实时性的问题。 用机理法建模,有时也会出现模型中某些参数 难以确定的情况。这时可以用过程辨识的方法把这 些参数估计出来。 26 2.测试法建模 测试法一般只用于建立输入输出模型。它是根据 工业过程的输入和输出的实测数据进行某种数学处理 后得到的模型。它的主要特点是把被研究的工业过程 视为一个黑匣子,完全从外特性上测试和描述它的动 态性质,因此不需要深入掌握其内部机理。然而,这 并不意味着可以对内部机理毫无所知。为了有效地进 行这种动态特性测试,仍然有必要对过程内部的机理 有明确的定性了解,例如究竟有哪些主要因素在起作 用,它们之间的因果关系如何等等。 用测试法建模一般比用机理法建模要简单和省力, 尤其是对于那些复杂的工业过程更为明显。如果机理 法和测试法两者都能达到同样的目的,一般采用测试 法建模。 27 2.2 以上对被控对象的动态特性进行了简要的定性分 析。下面将通过机理法建模对几个简单的例子进行具 体分析,以便使一些概念进一步明确。 2.2.1 单容对象的传递函数 在不同的生产部门中被控对象千差万别,但最终 都是可以由微分方程来表示的。微分方程阶次的高低 是由被控对象中储能部件的多少决定的。最简单的一 种形式,是仅有一个储能部件的单容对象。 28 1.单容水槽 单容水槽如图2-5所示。不断有水流入槽内,同时 也有水不断由槽中流出。水流入量 由调节阀开度 加以控制,流出量 则由用户根据需要通过负载阀 来改变。被控变量为水位H,它反映水的流入量与流 出量之间的平衡关系。现在分析水位在调节阀开度扰 动下的动态特性。 图2-5单容水槽 29 对于上述水槽而言,在起始稳定平衡工况下, 。在流出侧负载阀开度不变的情况下,当进水阀开度发生阶跃变化 时,若进水流量 和出水流量的变化量分别为 则在任何时刻液位的变化 均满足下述物 料平衡方程: (2-7) 30当进水阀前后压差不变时, (2-8)对于流出侧的负载阀,其流量与水槽的水位高度有 (2-9)式(2-9)是一个非线性方程。这个非线性给下一步的 分析带来很大的困难,应该在条件允许的情况下尽量避 免。如果水位始终保持在其稳态值附近很小的范围内变 化,那就可以将上式加以线性化。 31如考虑水位只在其稳态值附近的小范围内变化,故 由式(2-9)可以近似认为 (2-10)将式(2-8)和式(2-10)代入式(2-7)中得 出水阀门的阻力系数 32 如果假设系统的稳定平衡工况在原点,即各变量都 以自己的零值( )为平衡点,则可去掉上 式中的增量符号,直接写成 (2-12) 根据式(2-12)可得水位变化与阀门开度变化之间的 传递函数为 (2-13) 其中 阻力系数33 式(2-13)是最常见的一阶惯性系统,它的阶跃响应 是指数曲线,如图2-6所示。 图2-6单容水槽水位的阶跃响应 34 因为工艺过程就是能量或物质的交换过程,在 此过程中,肯定存在能量的储存和阻力。 (1)容量系数C——反映对象存储物质或能量 的能力。定义为被控变量改变一个单位量时,所需 对象物质或能量存储量的该变量。 对于水槽,dV=Fdh, 所以 C=dV/dh=F. 它影响时间常数 FR对象的特性参数K、T反映了对象的物理本质。 35 (2)阻力系数R——反映对象对物料或能量传 递的阻力。 如阀门阻力系数 凡是具有一个储蓄容积,同时还有阻力的被控对象都具有相似的动态特性,单容水槽只是一个典 型的代表。 36 具有纯迟延的单容水槽对于如图2-9所示的单容水槽,它与图2-5不同是 进水调节阀距入槽有一段较长的距离。因此该调节 变化所引起的流入量变化,需要经过 一段传输时间 才能对水槽液位产生影响。 图2-9具有纯迟延的单容水槽 37 参照式(2-11)的推导关系式,可得具有纯迟延 的单容水槽的微分方程为 (2-16) 其中, 为纯迟延时间;其它参数定义同上。 对应式(2-16)的传递函数为 (2-17) 与式(2-13)相比多了一个纯迟延环节 383.单容积分水槽 单容积分水槽如图2-10 所示,它与图2-5中的单容水 槽只有一个区别。在它的流 出侧装有一只排水泵。 在图2-10中,水泵的排水量仍然可以用负载阀R 来改变,但排水量并不随水位高低而变化。这样, 当负载阀开度固定不变时,水槽的流出量也不变, 因而在式(2-11)中有ΔQ。=0。由此可以得到水位在 调节阀开度扰动下的变化规律为 图2-10单容积分水槽 39 根据上式可得水位变化与阀门开度变化之间的传 递函数为 (2-18) 式(2-18)代表一个积分环节,它的阶跃响应 (2-19) 为一条直线,如图2-11所示。 图2-11 单容积分水槽水位的阶跃响应 Fs 飞升速度,单位阶跃扰动下的被 控量变化速度 40 2.2.2 多容对象的传递函数 以上讨论的是只有一个储能部件的对象,实际对 控过程往往要复杂一些,即具有一个以上的储能部 1.双容水槽对于如图2-12 所示的双容水槽。 图2-12 双容水槽 41 根据图2-12可知,水槽1和水槽2的物料平衡方程分 别为 水槽1: (2-20) 水槽2: (2-21) 假设调节阀均采用线性阀,则有 43对应的传递函数为 (2-23) 其微分方程为: (2-24) 由式(2-24)可知,双容水槽为一个 二阶系统,其阶跃响应如图2-13所示。 图2-13双容水槽 的阶跃响应 44由此可见,由于增加了一个容积,就使被控变量的 响应在时间上落后一些。这个时间上的落后称之为 容积延迟。当然,系统中增加的容积越多,被控变 量的响应在时间上的落后也越多,这往往是有些工 业过程难以控制的原因。 45 若双容水槽的进水调节阀距入槽也有一段较长的 距离。也就是说该调节阀开度 变化所引起的流入 量变化 也需要经过一段传输时间 才能对水槽液 位产生影响。则其对应的传递函数为 (2-25) 462.无自平衡能力的双容水槽 无自平衡能力的双容水槽如图2-14所示,它与图2- 12中的有自平衡能力的双容水槽只有一个区别。在水 槽2的流出侧装有一只排水泵。此时水槽1和水槽2的 物料平衡方程分别为 水槽1 (2-26)水槽2: (2-27) 其中, 47将式(2-28) 代入式(2-26)和式(2-27)中,整理后可得 (2-29) 其中, 对应式(2-29)的传递函数为(2-30) 式(2-30)对应的阶跃响应如 图2-15所示。 图2-15