【考试要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
【知识梳理】
1.平面向量数量积的有关概念
【考点聚焦】
考点一 平面向量数量积的运算
【规律方法】 1.数量积公式a·b=|a||b|cos θ在解题中的运用,解题过程具有一定的技巧性,需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形;也可建立平面直角坐标系,借助数量积的坐标运算公式a·b=x1x2+y1y2求解,较为简捷、明了.
2.在分析两向量的夹角时,必须使两个向量的起点重合,如果起点不重合,可通过“平移”实现.
考点二 平面向量数量积的应用
角度1 平面向量的垂直
【规律方法】
1.当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行运算.
2.数量积的运算a·b=0⇔a⊥b中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.
角度2 平面向量的模
【规律方法】
1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
角度3 平面向量的夹角
【规律方法】
1.研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角可能是0或π;注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接套用公式cos θ=求解.
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
考点三 平面向量与三角函数
【规律方法】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
【反思与感悟】
1.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活运用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
2.求向量模的常用方法
利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
【易错防范】
数量积运算律要准确理解、应用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律,(a·b)·c不一定等于a·(b·c).
【核心素养提升】
【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”
1.数学运算是指在明晰运算的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”,学生能进一步发展数学运算能力,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
2.数学建模要求在熟悉的情境中,发现问题并转化为数学问题,能够在关联的情境中,经历数学建模的过程,理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型,能够培养学生用模型的思想解决相关问题.