逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆 矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主 要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为 可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K1 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2 +…+ A K1 )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)(E+A+A 2 +…+A K1 )=E, 同理可得(E + A + A 2 +…+A K1 )(E-A)=E, 因此E-A是可逆矩阵,且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K1 . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A) 1 = E -A + A 2 +…+(-1) K1 A K1 . 由此可知, 只要满足A K =0,就可以利用此题求出一类矩阵E A的逆矩阵. 0 1 0 0 例2 设A=0200,求 E-A的逆矩阵. 0 0 0 3 0 0 0 0 分析 由于A中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以 采用例2 的方法求E-A的逆矩阵. 解 容易验证 0 0 2 0 A 2 = 0 0 0 6 , 0 0 0 0 0 0 0 0 而(E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E,所以 0 0 0 6 A 3 = 0 0 0 0 , A 4 =0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.初等变换法 1 1 2 6 (E-A) 1 = E+A+ A 2 + A 3 = 0 1 2 6 . 0 0 1 3 0 0 0 1 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法.如果A可逆,则A可通过初 等变换,化为单位矩阵I,即存在初等矩阵 P1, P2 , PS 使(1) p1 p2 ps A=I,用A 1 右乘上式两端,得: (2) p1 p2 ps I= A 1 比较(1)(2)两式,可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时,对单位 矩阵I作同样的