矩阵的秩的结论有很多,一些基本的纯粹的矩阵秩的结论有
①设A是mxn的矩阵,则r(A)≤min(m,n)
【注】 若一个矩阵的秩为0,那么这个矩阵一定是0矩阵,反过来亦然。
②r(A)=r(A′)=r(AA′)=r(A′A)
【注】A表示任意矩阵,也就是m行n列,最简单的就是向量。A′表示A的转置。这是一个很好用的结论。这个结论的证明。
证明:(可能不是最好的方法)
第一个等号显然,下面来说明r(A)=r(A′A)
看两个线性方程组
①AX=0 ,②A′AX=0,
①的解必然是②的解,设α是①的解(这里指的是同解,即所有解),有Aα=0,对于②,A′Aα=A′0=0,所以α也是,②的解。
反过来设β是②的解,A′Aβ=0,便要证明恒有Aβ=0,两边同左乘β′,β′A′Aβ=(Aβ)′(Aβ)=0而Aβ是一个列向量,那么(Aβ)′(Aβ)是一个数,也叫做Aβ的内积(或者是模)可知其值是大于等于0,即(Aβ)′(Aβ)≥0,等号成立的条件是Aβ=0,到此说明了β也是AX=0的解。
由于两个线性方组同解,那么其系数矩阵的秩是相等的,即r(A)=r(A′A)
用同样的方法也可以说明r(A′)=r(AA′),这样就把这个连等式给连起来了。
等会继续。