在文中,他率先研究了几乎哥德巴赫问题,证明了,存在一个固定的非负整数k,使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理,看起来好像丑化了哥德巴赫猜想,实际上它是非常深刻的。我们注意,能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合;事实上,对任意取定的x,x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此,林尼克定理指出,虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想,但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集,每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去,这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度,数值较小的k表示更好的逼近度。显然,如果k等于0,几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现,从而,林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值,此后四十多年间,人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证,这个k应该很大。1999年,作者与廖明哲及王天泽两位教授合作,首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到,即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的,这是一个很大的突破。