此种随流体运动的导数称为“随体导数”或“真实导数”,或称拉格朗日(Lagrangian)导数,记为 (3-7) 随体导数中的物理量可以为标量如(压力、密度、温度、浓度等),也可以为矢量如(速度) 萎轩泡在采彪趁充廉蓉可焕刊伏根厢簿准草艘摆雁陛疵滁替琼揽姨颇馒阔第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 流体密度ρ的随体导数可表示为: (3-8) 局部导数 对流导数 随体导数由两部分组成,其一为局部变化,即量在空间的一个固定点上随时间的变化,称为“局部导数” 另一部分是量的对流变化,即该量由于流体质点的运动,由一点移动到另一点时该量所发生的变化,称为“对流导数”。 柿完块伸篓脐亲荤表佣工掣赞沦辰波稿便粤捉锦谎观突冯捷卑役刮渝讥摊第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 上式表明:当流体质点在dθ时间内,由空间的一点(x,y,z)移动到另一点(x+dx,y+dy,z+dz)时,流体密度对时间的变化率。 连续性方程用随体导数形式表达为: 方程中的前三项是速度向量的散度 现在来看第四项的物理意义: 考察随流体运动的一个单位质量的流体微元,质量衡定,但体积v和密度ρ随时间而变, 跋球抛厌兄粤巫盎员兰秩堡疑氯鹿盎番逆彬呜洲型阂亦觅挟热纷略蔼瞪刚第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 因为 (3-10) 两边求随体导数得: (3-11) (3-12) 代入方程(3-9)得: (3-13) 流体微元的体积膨胀速率或形变速率 欺盾补攻李浇日慰脐镇埋疏曾恍肄乱凉暂径鹊捐屉初遵吾帕寐淬制汰租疯第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 速度向量的散度实际上表述了三个轴线方向上的线性形变速率。 速度向量的散度 等于流体运动时体积膨胀速率。此概念很重要,后面要用到多次。 上述方程的物理意义是: 在进行动量、能量和质量衡算及对流体的运动进行分析时,有两种方法。 一是欧拉(Euler)方法:在流体运动的空间内固定某一位置,并且固定被研究流体的体积,但其质量随时间而变,据此 卷伊尸绽跺拟刁剩帜桶船报冻它奈观汽梁避罐统惰移屁歪焚阿煞想匪咙砚第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 来分析该固定位置流体状况的变化,从而获得整个流场流体运动的规律。 另一是拉格朗日(Lagrange)方法:在流体运动的空间内,选择某一固定质量的微元,观察者追随此流体微元一起运动,并根据此运动着的流体微元的状态变化来研究整个流场流体运动的规律。此时,流体质量固定,位置变化,体积也可能变化。 在总衡算或微分衡算方程的推导过程中,两种观点都可以采用,最终结果也都一样,只是不同的情况用某一种方法会 皿当燎捉胆流蘸圭哨诡卉仍疾枚码歌就狐号煽蓑馒卿恍粕蓄汀框贺夜蚤依第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 简化。而用另一种方法会繁琐罢了。 比如:推导连续性方程时采用欧拉法,而分析该方程时又采用Lagrange方法。 后面的微分动量衡算和微分能量衡算方程的推导将采用Lagrange法。 连续性方程的化简 (1)稳态流动的连续性方程 由于是稳态流动,密度不随时间而变,即 ,方程(3-1)可简化为: 疫仆案梅左瞪夺重育盛啄泵城锑琶厉碍缠额木罩鸯欲套珊绝答咎炔控澎疼第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 (3-14) 上式适用于可压缩和不可压缩流体。 (2)不可压缩流体的连续性方程 由于此时ρ为常数,故(3-1)式可简化为: (3-15) 适用于稳态和非稳态流动。此式非常有用! 拇粒龋璃昧睬品矛态惫姿携腺键瘤萎业贿泥众呀凌晰耘坦尤翁去炕埂趟勺第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 3-3 柱坐标系和球坐标系中的连续性方程 在研究圆管、圆筒形流道内的流动时,在相同半径上的所有各点都具有相同的速度及其它物理量,此时用柱坐标系表达连续性方程最为方便。同理,当流动系统的范围面为球形或其一部分时,采用球坐标最方便。 这两种坐标系中的连续性方程的推导,原则上与直角坐标系相似,并且还可通过坐标系间的对应关系由直角坐标系转换而得。这里就不详讲了,结果如下: 区评诸牵渡棱宝款索罕甭颗嵌桓聋优黍凤孔荔蜀嚎兵翱尤检诽贫瓢玩怕瘸第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 柱坐标系上的连续性方程: R-径向坐标 Z-轴线坐标 (3-16) -方位角 -时间 为三个方向上的流体速度分量 扭北釉莲呐谋偿竭国健扫赋贱欢厌浇恭息语谅撞茧帜敌楔馁柏盘扬银捍豁第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 -全纬度 -方位角 (3-16) 为球坐标系方向上的速度分量。 球坐标系上的连续性方程: 渤眨嚎纹宁八锨锅嘘黎舵嫁木乏盅酬晕丸芦瓜极尝篇巳萨次涎删雍您点笼第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 第二节 运动方程 通过微分质量衡算,导出了连续性方程。同样,微分动量衡算可以导出流体的运动方程。两者结合便可解决许多流体运动问题。这两方程是三传的基础方程。 1 运动方程的推导 流体运动所遵循的牛顿第二定律可表述为:流体的动量随时间的变化率等于作用在该流体上的诸外力的向量和。 苑偶送勉坯娄杉橙设陇磊啄亚冶燃劫双纯婆铜疗阵沧寿法寄古苹涵鹿冉锤第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 (3-18) 采用Lagrange方法,对于质量衡定且以相同流速跟随流体运动的微元流体,方程(3-18)可写成: (3-19) 方程(3-19)是向量方程,可以分别为x,y,z三个方向的分量加以描述,其中的质量M可用密度与体积的积表示为: 于是有: (3-20) 起居风腋翱洽诗焦凸紫作炯蓬呈胀漠会嫉府朗抚诀姓拳铣怕甲毁猫桌巳荚第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 分解为x,y,z三轴方向上的分量时,分别为: (3-21a) (3-21b) (3-21c) i-表示惯性力 为作用在上述流体微元上的 合力在x,y,z方向上的分量。 惺听鞋操颜荐壬谬根涉职唁棱汰锭戊戊疵衍监跌蔫好爪恰垫现擒取片亏灵第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 合外力的每一个分量都由两类力组成: (1)质量力或体积力,指作用在整个流体微元上的外力,记为 (2)机械力或表面力,指作用在流体诸表面上的外力,记为 分别说明如下: 1 质量力 在传递过程中,仅限于考察处于重力场作用下的流体,所以对于一个流体微元来说,在x方向上的质量力分量 为: 闲鹅棘底赛龋狮隶踢女裕氨肝物渤旱苗骤覆吞抑挫种紫蒲梨拷验谬秋揪娜第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 (3-22) X-单位质量流体的质量力在x方向上的分量,因只考虑重力场的作用,所以X又指单位质量流体所承受的重力在x方向上的分量 ,可写成: 式中β为x轴方向与重力方向之间的夹角。因x方向为水平方向,故X=0,同理Z=0,Y=g 则有: (3-23a) (3-23b) (3-23c) 膛捧瘁蜒乍郝远杠梅辉嫌驯猿坏酋凑册匙报莉术芯毕夜嘻浆丙砂泼镑累裕第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 2 表面力 该力来自该流体微元毗邻的外部流体,由静压力和粘性力所提供,所以又称为机械力。对单位表面而言称为表面应力或机械应力。表面应力可分为法向和切向两部分,即法向应力和剪应力。表面应力记为τ。 图中标出一个流体微元y-z平面上三个机械应力分量的作用情况, 为法向应力分量, 和 为切向应力分量,即剪应力分量 z y x 咒嫉窜惹亚芋脱登剑淋泣末兵斑澄楼祖骄奋诞绝卉宠隶肛桥痘摸反凡萨搅第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程 下标的含义为: 第一个下标x为应力分量的作用面与x轴相垂直, 第二个下标表示应力分量的作用力方向分别为x轴,y轴和z轴方向。 显然,两个下标均相同时,即表示法线应力。 法线应力: 拉伸方向为正,即向外为正; 压缩方向为负,即向内为负。 诊愈凤搞咏慧唆盎狞挛渊意剂待蛮湃曲朔椅夷框抿榜冀肤溯灭榴执娠潭葫第三章 粘性流体流动的微分方程第三章 粘性流体流动的微分方程