前言
经常碰到, 将对泛的一些认识整理在这里, 以便查找.
Definition
通俗地讲, function 的输入是一个数, 输出也是一个数. functional 输入的是一个 function, 输出是一个数
\begin{align} \mathrm{Function:}&\quad\quad \mathrm{number: 3} \Rightarrow \mathrm{number: 27} \\ \mathrm{Functional:}&\quad\quad \mathrm{function:} \frac{e^xx^2}{3} \Rightarrow \mathrm{number: 29} \end{align}
更加形象的是 Blundell 书上的漫画.
Example
functional \(G[f]\) 做用到一个 funciton \(f\) 上的结果如下
\begin{align} G[f] = \int_{-a}^a 5[f(x)]^2 \mathrm{d}x \end{align}
那么如果给定一个 function \(f(x) = x^2\) , 那么 functional 将会返回下面的 number
\begin{align} G[f] = \int_{-a}^a 5x^4 \mathrm{d}x = 2a^5 \end{align}
Functional Derivative
类似 function 的导数的定义, functional 的导数的定义如下
\begin{align} \frac{\delta F}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{F[f(x') + \epsilon \delta(x - x')] - F[f(x')]}{\epsilon} \end{align}
Example:
对于 functional \(J[f] = \int [f(y)]^p\varphi(y) \mathrm{d}y\) ,它的泛函导数为
\begin{align} \frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\to 0}\fra