直观来讲,欧氏几何就是平面上的几何,平面上两条直线是不会相交的。而球面几何中,两条直线,类比于地球仪上的经线与纬线,任何两条平行直线必定相交。我们说平面几何中两条直线在无穷远处相交,这也是一个模糊的概念。如果只是普通的平面,直线也是不会相交的,即使在多远都不会。而在平面上添加一个——无穷远点∞——时,平面则发生了变化,它使得四四方方的平面变成了像橘子皮一样的形状。由于我们要求任何一条直线在向外延伸时都能到达无穷远点,所以,无穷远,是所有直线的交点。
可以这么说:在非欧几何中,能够真正理解“两条平行线相交于无穷远处”的人,是数学能力很强的人。否则,就难说了。用很多人的话来说,就是“两平行线会相交?胡说!”
再打个比方:一条长为1米的线段AB跟一条长为99999999999999999999999米的线段CD,用严格的数学可以证明:线段AB与CD上面的点是“一样多的”。这是99.9%的常人所不能理解和容忍的!
平行线相交。最简单的例子是地球上的每个子午线(直线)都与赤道线垂直,因此它们彼此平行,但是由于空间曲率,这些子午线再次在极点相交。
这就可归结于球面理论,可以理解为,现在赤道上由东向西一直飞,最后回到了初点。一条想象中的直线和自己相交了,这个现象放在理论中,就是三维空间里的两条直线,在四维空间下是相交的,就仿佛你在纸面上划两条平行线,然后卷起来成一个蛋卷,他们必然相交。
还有个例子:比如你站在两条铁轨之间,无论你沿着铁轨走多远,铁轨都是不相交的,但还是可以认为铁轨在无穷远处有一个交点(因为无穷远的定义就是你永远达不到的那个点)。在思考这类问题时,基本定义很重要,比如这里提及的直线,即平面上两点间最短连线,即便你以三维生物的视角观察到的经线是曲线,但按照定义,经线就是(二维球面中的)直线,而那个无穷远的交点就是极点了。
既然是射影几何,那无穷远就是真实的概念。没道理说“并不是真正意义上的相交”,顶多说“不是欧氏几何意义上的相交”。
比如二维(resp.d-维)射影几何可以定价地用三维(resp. (d+1)-维)欧氏几何表示。点过原点的直线;线过原点的平面;两直线相交与一点两过原点的平面相交与一条过原点的直线;无穷远线一个平淡无奇的过原点的平面;无穷远点上述平淡无奇的过原点的平面中的过原点的直线。
不要以“观测条件”去