《高等数学基础》 第一章 函 数 内容导航 ? 前言 ? 基本初等函数 ? 来自原来函数的新函数 ? 初等函数 第一章 函 数 前言 ? 微积分是现代数学和许多科学技术的 基础和工具。微积分的研究对象是函 数,因为函数是数学最基本的概念和 数学模型——万事万物都可以用函数 来刻划表示,然后微积分研究其规律。 ? 本章将复习函数知识,为微积分的学 习打下基础。 1-1 基本初等函数 函数基础知识 1-1 基本初等函数 什么是函数?如果变量x的每一个值都有变量y的唯一一个值与之对应,称 y是自变量x的函数,记为y=f(x),其中f为对应法则、y为函数名。x的变化范 围为的定义域(D),相应y的变化范围为的值域(R)。也可以说x是输入量, y是输出量。 函数的表示有表格法、图象法及公式法,这三种表示都同样适用。如经济 生中有许多数量关系表格为函数的表格法表示,而如雷达散点图、人的心电 图等为函数的图像表示法表示。 值得注意,函数表现事物相互关系的规律,也表达了这样一种思想:通过 某一事实的信息去推知另一事实。例如,我们知道了一个圆的半径则可推知 它的面积,由一物体的运动性质和运动规律得知它的运动路程。 函数有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。 基本初等函数 我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和 反三角函数统称为基本初等函数,现将其总结如下: 1-1 基本初等函数 函数 图 像 a=1 1 0.5 -1 -0.5 -0.5 -1 0.5 1 定义域 (-∞,+∞) a=2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -1 -0.5 0.5 1 (-∞,+∞) a=1/2 a=-1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 75 50 25 -1 -0.5 -25 -50 -75 -100 0.5 1 [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞) 值域 (-∞,+∞) [0,+∞) [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞) 奇偶性 单调性 奇函数 单调增 偶函数 (-∞,0]内递减 [0,+∞)内递增 非奇非偶 单调增 奇函数 (-∞,0) 和 (0,+∞)内分 别递减 1-1 基本初等函数 表1.2 指数函数与对数函数 函 1-1 基本初等函数 y=ax (a>0,a≠1) y=logax (a>0,a≠1) a>1 数 01 00) 解 我们可先画出 x y? x 2和y ? 1 的图像,再对 应同个x将 x2与x-1相迭加。