仿射变换 一、将坐标进行伸缩变换,实现化椭为圆 仿射变换定理一:若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形,则两条弦的斜率乘积22abk kBC AC   . 仿射变换定理二:baSS'(拉伸短轴);abSS'(压缩长轴). 拉伸短轴后点的坐标变化: ) , ( ) , (0 0'0 0ybax A y x A  ,横坐标不变,纵坐标拉伸ba倍. 斜率的变化:如图纵坐标拉伸了ba倍,故 kbak ',由于 1' ' ' '  C B C Ak k . 22' ' ' 'abkabkabk kC B C ABC AC     ,' ' 'C B AABCSabS (水平宽不变,铅垂高缩小). 压缩长轴后点的坐标变化: ) , ( ) , (0 0'0 0y xabA y x A  ,纵坐标不变,横坐标缩小ab倍. 斜率的变化:如图横坐标缩小了ab倍,故 kbak ',由于 1' ' ' '  C B C Ak k . 22' ' ' 'abkabkabk kC B C ABC AC     ,' ' 'C B AABCSbaS (水平宽扩大,铅垂高不变). 例 1(2013·新课标)椭圆 13 4:2 2 y xC 的左、右顶点分别为2 1A A、 ,点 P 在 C 上且直线2PA 斜率的取值范围是   1 , 2   ,那么直线1PA 斜率的取值范围是( ) A. 43,21; B. 43,83; C. 1 ,21; D. 1 ,43. 例 2(2016·北京)已知椭圆 1 :2222 byaxC 过点 ) 1 , 0 ( ), 0 , 2 ( B A 两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N ,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 例 3(2014·新课标Ⅰ)已知点 ) 2 , 0 (  A ,椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxE 离心率为23, F 是椭圆的右焦点,直线 AF 的斜率为33 2, O 为坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 Q P、 两点,当 OPQ  的面积最大时,求 l 的方程. 二、椭圆的角平分线定理 仿射变换定理三:若点 B A, 是椭圆 ) 0 ( 12222    b abyax上的点, AB 与椭圆长轴交点为 N ,在长轴上一定存在一个点 M ,当且仅当2a x xN M  时, BMN AMN    ,即长轴为角平分线. 若点 B A, 是椭圆 ) 0 ( 12222    b abyax上的点, AB 与椭圆短轴交点为 N ,在短轴上一定存在一个点 M ,当且仅当2b y yN M  时, BMN AMN    ,即短轴为角平分线. 例 4(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆 12:22  yxC 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于 B A, 两点,点 M 的坐标为 ) 0 , 2 ( . (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明: OMB OMA    . 三、放射变换后圆心角为直角问题 仿射变换定理四:若以椭圆 12222 byax的对称中心引出两条直线交椭圆于 B A, 两点,且22abk kOB OA   ,则经过仿射变换后 1' '  OB OAk k ,所以AOBS  为定值. 仿射变换定理五:若椭圆 12222 byax上三点 M B A , , ,满足①22abk kOB OA   ;②2abSAOB  ;③))2, 0 ( ( , cos sin        OB OA OM ,三者等价. 例 5(2011·山东)已知直线 l 与椭圆 12 3:2 2 y xC 交于 ) , ( ), , (2 2 1 1y x Q y x P 两不同点,且 OPQ  的面积26OPQS ,其中 O 为坐标原点. (1)证明2221x x  和2221y y  均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M ,求 PQ OM  的最大值; (3)椭圆 C 上是否存在点 G E D , , ,使得26     OEG ODG ODES S S ?若存在,判断 DEG  的形状;若不存在,请说明理由. 例 6(2016·浙江二模)已知椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC 经过点 )54,56( ,其离心率为23,设 M B A , ,是椭圆 C 上的三点,且满足 ))2, 0 ( ( , sin cos        OB OA OM ,其中 O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)证明: OAB  的面积是一个常数. 四、中点弦与中垂线问题(无需点差法也可证明) 仿射变换定理六:中点弦问题,22abk kAB OP   ;中垂线问题,22abkkMPOP ,且202202,by cyax cxN M  . 拓展 1:椭圆内接 ABC  中,若原点 O 为重心,则仿射后一定得到' ' COB  为120 的等腰三角形;' ' 'C B A 为等边三角形. 拓展 2:椭圆内接的平行四边形 OAPB , B P A , , 在椭圆上,则仿射后一定得到菱形' ' 'B P OA . 例 7(2015·新课标Ⅱ)已知椭圆 ) 0 ( 9 :2 2 2   m m y x C ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C有两个交点 B A, ,线段 AB 的中点为 M . (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点 ) ,3( mm,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l的斜率;若不能,请说明理由. 例 8(2015·浙江)已知椭圆 1222  yx上两个不同的点 B A, 关于直线21  mx y 对称. (1)求实数 m 的取值范围; (2)求 AOB  面积的最大值( O 为坐标原点). 五、利用仿射变换解决椭圆与圆结合的面积问题 若椭圆内含有圆与直线相切,如图直线 AB 与圆相切于 P ,交椭圆 12222 byax于点 B A, ,求OABS  的最大值. 首先进行仿射变换:  2 2 222221r y xbyax,令  222' 22'22'2'''ray bxa y xybayx x,拉伸后可知,' ' OBAAOBSabS ,故当' ' 2sin21' 'OB A a SOB A 最大时,90' '  OB A ,关键在于看' ' OBA  的取值范围; 根据几何性质,' ' BA 平行于 x 轴时,   ' ' OBA 最小,' ' BA 平行于 y 轴时,   ' ' OBA 最大. 例 9(2018·武汉模拟)已知椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的右焦点为 ) 0 , 2 ( ,离心率为36. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 相交于 B A, 两点,且以 AB 为直径的圆经过原点 O ,求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值; (3)在(2)的条件下,求 OAB  面积的最大值. 例 10(2018·江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点 )21, 3 ( ,焦点 ) 0 , 3 ( ), 0 , 3 (2 1F F  ,圆的直径为2 1 FF . (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P . ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; ②直线 l 与椭圆 C 交于 B A, 两点,若 OAB  的面积为76 2,求直线 l 的方程. 六、定比分点和弦长公式 仿射变换定理七:定比分点的比值不变性原理,C BA CC BA Cy yy yx xx xB CC AB CC ACBAC   ' '' '' '' ' . 仿射变换定理八:弦长公式的转化,纵向拉伸并不改变横向的性质,设 ) , ( ), , (2 2 1 1y x B y x A ,则2 12 22 12 ' '2 12) ( 1 1 1 x x kbax x k B A x x k AB           ,即2 22' ') ( 11kbakB AAB . 例 11(2011·重庆)如图,椭圆 O 的中心为原点,离心率22 e ,一条准线的方程是 2 2  x . (1)求椭圆的标准方程; (2)设动点 P 满足 ON OM OP 2   ,其中 N M、 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为21 ,问:是否存在定点,使得 PF 与点 P 到直线 10 2 :  x l 的距离之比为定值;若存在,求点 F 的坐标,若不存在,说明理由. 例 12(2016·四川)已知椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxE 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线 3 :    x y l 与椭圆有且只有一个公共点 T . (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (2)设 O 是坐标原点,直线'l 平行于 OT ,与椭圆 E 交于不同的两点 B A、 ,且与直线 l 交于点 P . 求证:存在常数  ,使得 PB PA PT   2,并求  的值. 例 13(2016·重庆模拟)椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC ,作直线 l 交椭圆于 Q P, 两点, M 为线段 PQ 的中点, O 为坐标原点,设直线 l 的斜率为1k ,直线 OM 的斜率为2k ,322 1  k k . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设直线 l 与 x 轴交于点 ) 0 , 5 ( D ,且满足 DQ DP 2  ,当 OPQ  的面积最大时,求椭圆 C 的方程. 达标训练 1(2018·三明期末)设椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxM 的离心率为22,且内切于圆 42 2  y x . (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 m x y   2 交椭圆于两点,椭圆上一点 ) 2 , 1 ( P ,求 PAB  面积的最大值. 2(2018·龙海期末)已知点 ) 2 , 0 ( A ,椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxE 的离心率为23, F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为33 2, O 是坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 Q P, 两点,当 OPQ  的面积最大时,求直线 l 的方程. 3. 如图,已知 C B A 、 、 是长轴为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的右顶点, BC 过椭圆中心 O ,且 0  BC AC , AC BC 2  . (1)求椭圆的标准方程; (2)若过 C 关于 y 轴对称的点 D 作椭圆的切线 DE ,则 AB 与 DE 有什么位置关系?证明你的结论. 4(2016·佛山二模)已知点 M 是圆 4 :2 2  y x C 上一动点,点 D 是 M 在 x 轴上的投影, P 为线段 MD上一点,且与点 Q 关于原点 O 对称,满足 OD OM QP   . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 P 做 E 的切线 l 与圆 C 相交于 B A, 两点,当 QAB  面积取最大值时,求 l 的方程. 5(2018·株洲期末)椭圆 14 162 2 y x上的两点 B A、 关于直线 0 3 2 2    y x 对称,则弦 AB 的中点坐标为( ) A. )21, 1 ( ; B. ) 1 ,21(  ; C. ) 2 ,21( ; D. )21, 2 ( . 6(2016·兰州模拟)已知椭圆 C 的焦点坐标是 ) 0 , 1 ( ) 0 , 1 (2 1F F 、  ,过点2F 垂直于长轴的直线 l 交椭圆 C于 D B、 两点,且 3  BD . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过定点 ) 2 , 0 ( P 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 N M、 ,试判断:在 x 轴上是否存在点) 0 , (m A ,使得以 AN AM, 为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由. 7(2018·抚顺模拟)已知离心率为21的椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC ,右焦点在椭圆上的点的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 B A, 是椭圆 C 上的两个动点,直线 OB OA, 与椭圆的另一个交点分别为1 1 ,BA ,且直线 OB OA,的斜率之积等于43 ,问四边形1 1 BABA 的面积 S 是否为定值?请说明理由. 8(2017·淮北一模)已知椭圆 14 16:2 21 y xC ,直线 ) 0 ( :1   m m kx y l 与圆 1 ) 1 ( :2 22   y x C 相切且与椭圆1C 交于 B A, 两点. (1)若线段 AB 中点的横坐标为34,求 m 的值; (2)过原点 O 作1l 的平行线2l 交椭圆于 D C, 两点,设 CD AB   ,求  的最小值. 9(2012·山东)如图,椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxM 的离心率为23,直线 a x   和 b y   所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设直线 ) ( : R m m x y l    与椭圆 M 有两个不同的交点 Q P, , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点T S, ,求STPQ的最大值及取得最大值时 m 的值. 10(2019·成都模拟)已知椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的离心率为23,且以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 0 2    y x 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若一条不过原点的直线 l 与椭圆相交于 B A, 两点,设直线 OB l OA , , 的斜率分别为2 1, , k k k ,且2 1, , k k k恰好构成等比数列,求2 2OB OA  的值. 11. 如图,已知椭圆 C 的中心在原点 O ,左焦点为 ) 0 , 1 (1 F ,左顶点为 A ,且1F 为 AO 的中点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆1C 的方程为 ) 0 ( 12222    n mnymx,椭圆2C 的方程为 ) 1 , 0 (2222       且nymx,则称椭圆2C 是椭圆1C 的  倍相似椭圆,已知2C 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆,若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆2C 于两点 N M, ,试求弦长 MN 的最大值. 12(2016·宁波二模)已知 ) 0 , 3 ( ), 0 , 3 (2 1F F  为椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的左右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且2 1 FPF  面积的最大值为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 B A, 两点, OAB  的面积为 1, ) , ( R t s OB t OA s OG    ,当点 G 在椭圆C 上运动时,试问2 2t s  是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是定值,求出2 2t s  的取值范围.