“负负本得正,此理无须论。” ——威斯坦·休·奥登
一、司汤达的疑惑
对乘法“负负得正”这条规则,多数人都是一开始觉得这规则有点奇特,日久天长便觉得理所当然,再也不去追究其中的原因。但也有人一直对此耿耿于怀,总想要个说法。其中最著名的,大概要算法国著名作家司汤达。
司汤达算得上是一位数学爱好者,至少在他的青少年时代如此。他在格勒诺布尔中学学习时就非常喜欢数学,并在最后的毕业考试中得了数学第一名,压过后来进了巴黎综合理工学院,号称“八学霸”的那些同学们一头。他也因此能够逃离令他厌恶的家乡,来到巴黎。在他的自传《亨利·勃吕拉传》中,他用不少篇幅描述了自己十四岁时对“负负得正”规则的疑惑:
“在我的少年时代,我认为在数学中不可能有虚伪,而且所有那些据知应用了数学的学科也同样如此。于是当我发现没有人能跟我解释负负为何得正 (- × - = +)时,我无所适从了。(这是称为代数的学科的基本规则之一。)比解释不了这个难点(我想它大概还是应该可以被解释的,毕竟它引出正确结果)还糟的是,更有人拿他们自己都搞不清楚的理由来向我解释。”
他的老师Chabert先生要么重复课上的话,而司汤达恰恰是对那些话有疑问,要么搬出权威欧拉和拉格朗日来——“他们应该不比你差吧,也接受这规则的……”;另一位老师Dupuy先生则从不回答问题,只报以莫测高深的微笑;当司汤达向学霸之一提出这个疑问,得到的则是当面的嘲笑。无可奈何,司汤达只好安慰自己:
“我于是得出结论,而且如今还这样认为:负负必须得正,因为显而易见,每次运用这个计算规则,我们总能得到真确无可质疑的结果。”
两百多年后的今天,我们能不能回应一下司汤达的疑惑?
二、作为规定的乘法
从现在起我们考虑整数乘法的“负负得正”,对于有理数或实数乘法的“负负得正”的解释是类似的。本文中所说的自然数包括零。
首先我们要澄清“-”号的几种用法:
它被用于表示减法,此时它被称作“减号”。在“-5”这样场合中,它被称作“负号”,负号和后面的(正)数形成一个整体,是表示负数的方式,比如“-5”表示的是负五这个数字。负五,或者说“-5”,是怎么定义的?它被定义为“0减去5的结果”,或者说是“那个和5相加等于0的数”;当我们允许把“那个和a相加等于0的数”中的a取作负数时,“-”就成为了整数集上的一个一