★ 【速算技巧一:估算法】 简称约分法 ★【速算技巧二:直除法】 “直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时,通过“直接相除”的方式得到商的首位(首一位 或首两位) ,从而得出正确答案的速算方式。“直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的 用途,并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。 “直除法”从题型上一般包括两种形式: 一、比较多个分数时,在量级相当的情况下,首位最大/小的数为最大/小数; 二、计算一个分数时,在选项首位不同的情况下,通过计算首位便可选出正确答案。 “直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度: 一、简单直接能看出商的首位; 二、通过动手计算能看出商的首位; 三、某些比较复杂的分数,需要计算分数的第二位是否进位答案。 【例 1】32409/4103、32895/4701、23955/3413、12894/1831 中最小的数是( ) 。 【解析】 32409/4103、23955/3413、12894/1831 都比 7 大,而 32895/4701 比 7 小, 因此四个数当中最小的数是 32895/4701。 【例 2】 6874.32/760.31、 3052.18/341.02、 4013.98/447.13、 2304.83/259.74 中最大的数是 ( ) 。 在本节及以后的计算当中由于涉及到大量的估算,因此我们用 a+表示一个比 a 大的数,用 a-表示一个比 a 小的数。 【解析】 只有 6874.32/760.31 比 9 大,所以四个数当中最大的数是 6874.32/760.31。 【例 4】5794.1/27591.43、3482.2/15130.87、4988.7/20788.33、6881.3/26458.46 中最大的数 是( ) 。 【解析】本题直接用“直除法”很难直接看出结果,我们考虑这四个数的倒数: 27591.43/5794.1、15130.87/3482.2、20788.33/4988.7、26458.46/6881.3, 利用直除法,它们的首位分别为“4”、“4”、“4”、“3”, 所以四个倒数当中 26458.46/6881.3 最小,因此原来四个数当中 6881.3/26458.46 最大。 【例 5】阅读下面饼状图,请问该季度第一车间比第二车间多生产多少?( ) A.38.5% B.42.8% C.50.1% D.63.4% 【解析】5632-3945/3945=1687/3945=0.4+=40%+,所以选 B。 【例 6】某地区去年外贸出口额各季度统计如下,请问第二季度出口额占全年的比例为多 少?( ) 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 全年 出口额(亿元) 4573 5698 3495 3842 17608 A.29.5% B.32.4% C.33.7% D.34.6% 【解析】5698/17608=0.3+=30%+,其倒数 17608/5698=3+,所以 5698/17608=(1/3)-,所 以选 B。 【例 7】根据下图资料,己村的粮食总产量为戊村粮食总产量的多少倍?( ) A.2.34 B.1.76 C.1.57 D.1.32 【解析】直接通过直除法计算 516.1÷ 328.7: 根据首两位为 1.5*得到正确答案为 C。 ★【速算技巧三:截位法】 所谓“截位法”,是指“在精度允许的范围内,将计算过程当中的数字截位(即只看或者只 取前几位) ,从而得到精度足够的计算结果”的速算方式。在加法或者减法中使用“截位法” 时,直接从左边高位开始相加或者相减(同时注意下一位是否需要进位与错位) ,知道得到 选项要求精度的答案为止。 在乘法或者除法中使用“截位法”时, 为了使所得结果尽可能精确, 需要注意截位近似的方向: 一、扩大(或缩小)一个乘数因子,则需缩小(或扩大)另一个乘数因子; 二、扩大(或缩小)被除数,则需扩大(或缩小)除数。 如果是求“两个乘积的和或者差(即 a*b+/-c*d) ,应该注意: 三、扩大(或缩小)加号的一侧,则需缩小(或扩大)加号的另一侧; 四、扩大(或缩小)减号的一侧,则需扩大(或缩小)减号的另一侧。 到底采取哪个近似方向由相近程度和截位后计算难度决定。 一般说来,在乘法或者除法中使用”截位法“时,若答案需要有 N 位精度,则计算过程的 数据需要有 N+1 位的精度,但具体情况还得由截位时误差的大小以及误差的抵消情况来决 定;在误差较小的情况下,计算过程中的数据甚至可以不满足上述截位方向的要求。所以应 用这种方法时, 需要考生在做题当中多加熟悉与训练误差的把握, 在可以使用其它方式得到 答案并且截位误差可能很大时,尽量避免使用乘法与除法的截位法。 ★【速算技巧四:化同法】 所谓”化同法”,是指“在比较两个分数大小时,将这两个分数的分子或分母化为相同或相 近,从而达到简化计算”的速算方式。一般包括三个层次: 一、将分子(分母)化为完全相同,从而只需要再看分母(或分子)即可; 二、将分子(或分母)化为相近之后,出现“某一个分数的分母较大而分子较小”或“某一 个分数的分母较小而分子较大”的情况,则可直接判断两个分数的大小。 ★【速算技巧五:差分法】 李委明提示: “差分法”是在比较两个分数大小时,用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可 以采取的一种速算方式。 适用形式: 两个分数作比较时, 若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅 大一点,这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系,而使用“差分法”却可以 很好地解决这样的问题。 基础定义: 在满足“适用形式”的两个分数中,我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”,分子与 分母都比较小的分数叫“小分数”,而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们 定义为“差分数”。 例如: 324/53.1 与 313/51.7 比较大小, 其中 324/53.1 就是“大分数”, 313/51.7 就是“小分数”,而 324-313/53.1-51.7=11/1.4 就是“差分数”。 “差分法”使用基本准则—— “差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较: 1、若差分数比小分数大,则大分数比小分数大; 2、若差分数比小分数小,则大分数比小分数小; 3、若差分数与小分数相等,则大分数与小分数相等。 比如上文中就是“11/1.4 代替 324/53.1 与 313/51.7 作比较”, 因为 11/1.4>313/51.7 (可以通过 “直除法”或者“化同法”简单得到) ,所以 324/53.1>313/51.7。 特别注意: 一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”,得出来的大小关系是精确的关系而非粗略 的关系; 二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用,“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法” 是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。 三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候,还经常需要用到“直除法”。 四、如果两个分数相隔非常近,我们甚至需要反复运用两次“差分法”,这种情况相对比较复 杂,但如果运用熟练,同样可以大幅度简化计算。 【例 1】比较 7/4 和 9/5 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系: 大分数 小分数 9/5 7/4 9-7/5-1=2/1(差分数) 根据:差分数=2/1>7/4=小分数 因此:大分数=9/5>7/4=小分数 李委明提示: 使用“差分法”的时候,牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧,因为它代替的是“大分数”,然 后再跟“小分数”做比较。 【例 2】比较 32.3/101 和 32.6/103 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系: 小分数 大分数 32.3/101 32.6/103 32.6-32.3/103-101=0.3/2(差分数) 根据:差分数=0.3/2=30/200<32.3/101=小分数(此处运用了“化同法”) 因此:大分数=32.6/103<32.3/101=小分数 [注释] 本题比较差分数和小分数大小时,还可采用直除法,读者不妨自己试试。 【例 3】比较 29320.04/4126.37 和 29318.59/4125.16 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系: 29320.04/4126.37 29318.59/4125.16 1.45/1.21 根据:很明显,差分数=1.45/1.21<2<29318.59/4125.16=小分数 因此:大分数=29320.04/4126.37<29318.59/4125.16=小分数 [注释] 本题比较差分数和小分数大小时,还可以采用“直除法”(本质上与插一个“2”是等 价的) 。 【例 4】下表显示了三个省份的省会城市(分别为 A、B、C 城)2006 年 GDP 及其增长情 况,请根据表中所提供的数据回答: 1.B、C 两城 2005 年 GDP 哪个更高? 2.A、C 两城所在的省份 2006 年 GDP 量哪个更高? GDP(亿元) GDP 增长率 占全省的比例 A 城 873.2 12.50% 23.9% B 城 984.3 7.8% 35.9% C 城 1093.4 17.9% 31.2% 【解析】一、B、C 两城 2005 年的 GDP 分别为:984.3/1+7.8%、1093.4/1+17.9%;观察特 征(分子与分母都相差一点点)我们使用“差分法”: 984.3/1+7.8% 1093.4/1+17.9% 109.1/10.1% 运用直除法,很明显:差分数=109.1/10.1%>1000>984.3/1+7.8%=小分数,故大分数> 小分数 所以 B、C 两城 2005 年 GDP 量 C 城更高。 二、A、C 两城所在的省份 2006 年 GDP 量分别为:873.2/23.9%、1093.4/31.2%;同样我们 使用“差分法”进行比较: 873.2/23.9% 1093.4/31.2% 220.2/7.3%=660.6/21.9% 212.6/2%=2126/20% 上述过程我们运用了两次“差分法”,很明显:2126/20%>660.6/21.9%,所以 873.2/23.9%> 1093.4/31.2%; 因此 2006 年 A 城所在的省份 GDP 量更高。 【例 5】比较 32053.3× 23487.1 和 32048.2× 23489.1 的大小 【解析】32053.3 与 32048.2 很相近,23487.1 与 23489.1 也很相近,因此使用估算法或者截 位法进行比较的时候,误差可能会比较大,因此我们可以考虑先变形,再使用“差分法”,即 要比较 32053.3× 23487.1 和 32048.2× 23489.1 的大小,我们首先比较 32053.3/23489.1 和 32048.2/23487.1 的大小关系: 32053.3/23489.1 32048.2/23487.1 5.1/2 根据:差分数=5.1/2>2>32048.2/23487.1=小分数 因此:大分数=32053.3/23489.1>32048.2/23487.1=小分数 变型:32053.3× 23487.1>32048.2× 23489.1 “化除为乘”原则:相乘即交叉。 ★【速算技巧六:插值法】 “插值法”是指在计算数值或者比较数大小的时候,运用一个中间值进行“参照比较”的速 算方式,一般情况下包括两种基本形式: 一、在比较两个数大小时,直接比较相对困难,但这两个数中间明显插了一个可以进行 参照比较并且易于计算的数, 由此中间数可以迅速得出这两个数的大小关系。 比如说 A 与 B 的比较,如果可以找到一个数 C,并且容易得到 A>C,而 BB。 二、在计算一个数值 F 的时候,选项给出两个较近的数 A 与 B 难以判断,但我们可以容 易的找到 A 与 B 之间的一个数 C,比如说 AC,则我们知道 F=B(另外一种情况类比可得) 。 ★【速算技巧七:凑整法】 “凑整法”是指在计算过程当中,将中间结果凑成一个“整数”(整百、整千等其它方便计 算形式的数) ,从而简化计算的速算方式。“凑整法”包括加/减法的凑整,也包括乘/除法的凑 整。 在资料分析的计算当中,真正意义上的完全凑成“整数”基本上是不可能的,但由于资料 分析不要求绝对的精度, 所以凑成与“整数”相近的数是资料分析“凑整法”所真正包括的主要 内容。 ★【速算技巧八:放缩法】 “放缩法”是指在数字的比较计算当中,如果精度要求并不高,我们可以将中间结果进行 大胆的“放”(扩大)或者“缩”(缩小) ,从而迅速得到待比较数字大小关系的速算方式。 若 A>B>0,且 C>D>0,则有: 1)A+C>B+D 2)A-D>B-C 3)A*C>B*D 4)A/D>B/C 这四个关系式即上述四个例子所想要阐述的四个数学不等关系,是我们在做题当中经常 需要用到的非常简单、非常基础的不等关系,但确实考生容易忽略,或者在考场之上容易漏 掉的数学关系,其本质可以用“放缩法”来解释。 ★【速算技巧九:增长率相关速算法】 两年混合增长率公式: 如果第二期与第三期增长率分别为 r1 与 r2,那么第三期相对于第一期的增长率为: r1+r2+r1× r2 增长率化除为乘近似公式: 如果第二期的值为 A,增长率为 r,则第一期的值 A′: A′=A/1+r≈A×(1-r) (实际上左式略大于右式,r 越小,则误差越小) 平均增长率近似公式: 如果 N 年间的增长率分别为 r1、r2、r3……rn,则平均增长率: r≈r1+r2+r3+……rn/n (实际上左式略小于右式,增长率越接近,误差越小) 求平均增长率时特别注意问题的表述方式,例如: 1.“从 2004 年到 2007 年的平均增长率”一般表示不包括 2004 年的增长率; 2.“2004、2005、2006、2007 年的平均增长率”一般表示包括 2004年的增长率。(注意) “分子分母同时扩大/缩小型分数”变化趋势判定: 1.A/B 中若 A 与 B 同时扩大,则①若 A 增长率大,则 A/B 扩大②若 B 增长率大,则 A/B 缩 小;A/B 中若 A 与 B 同时缩小,则①若 A 减少得快,则 A/B 缩小②若 B 减少得快,则 A/B 扩大。 2.A/(A+B)中若 A 与 B 同时扩大,则①若 A 增长率大,则 A/(A+B)扩大②若 B 增长率大, 则 A/(A+B)缩小;A/(A+B)中若 A 与 B 同时缩小,则①若 A 减少得快,则 A/(A+B)缩小 ②若 B 减少得快,则 A/(A+B)扩大。 多部分平均增长率: 如果量 A 与量 B 构成总量“A+B”,量 A 增长率为 a,量 B 增长率为 b,量“A+B”的增长率 为 r,则 A/B=r-b/a-r,一般用“十字交叉法”来简单计算: A:a r-b A r = B:b a-r B 注意几点问题: 1.r 一定是介于 a、b 之间的,“十字交叉”相减的时候,一个 r 在前,另一个 r 在后; 2.算出来的 A/B=r-b/a-r 是未增长之前的比例, 如果要计算增长之后的比例, 应该在这个比例 上再乘以各自的增长率,即 A′/B′=(r-b)× (1+a)/(a-r)× (1+b) 。 等速率增长结论: 如果某一个量按照一个固定的速率增长, 那么其增长量将越来越大, 并且这个量的数值成“等 比数列”,中间一项的平方等于两边两项的乘积。 【例 1】2005 年某市房价上涨 16.8%,2006 年房价上涨了 6.2%,则 2006 年的房价比 2004 年上涨了( ) 。 A.23% B.24% C.25% D.26% 【解析】16.8%+6.2%+16.8%×6.2%≈16.8%+6.2%+16.7%×6%≈24%,选择 B。 原始原式=A*(1+r1)*(1+r2)+A*(1+r1)=A*(1+r) 【例 2】2007 年第一季度,某市汽车销量为 10000 台,第二季度比第一季度增长了 12%, 第三季度比第二季度增长了 17%,则第三季度汽车的销售量为( ) 。 A.12900 B.13000 C.13100 D.13200 【解析】12%+17%+12%×17%≈12%+17%+12%× 1/6=31%,10000× (1+31%)=13100, 选择 C。 【例 3】设 2005 年某市经济增长率为 6%,2006 年经济增长率为 10%。则 2005、2006 年, 该市的平均经济增长率为多少?( ) A.7.0% B.8.0% C.8.3% D.9.0% 【解析】r≈r1+r2/2=6%+10%/2=8%,选择 B。 【例 4】假设 A 国经济增长率维持在 2.45%的水平上,要想 GDP 明年达到 200 亿美元的水 平,则今年至少需要达到约多少亿美元?( ) A.184 B.191 C.195 D.197 【解析】200/(1+2.45%)≈200×(1-2.45%)=200-4.9=195.1,所以选 C。 [注释] 本题速算误差量级在 r2=(2.45%)2≈6/10000,200 亿的 6/10000 大约为 0.12 亿元。 【例 5】 如果某国外汇储备先增长 10%, 后减少 10%, 请问最后是增长了还是减少了? ( A.增长了 B.减少了 C.不变 D.不确定 【解析】A× (1+10%)× (1-10%)=0.99A,所以选 B。 ) 例 5 中增加和减少了一个相同的比率, 但最后结果却是减少了, 我们一般把这种现象总结叫 做“同增同减,最后降低”。即使我们把增减调换一个顺序,最后结果仍然是下降了。 ★【速算技巧十:综合速算法】 李委明提示: “综合速算法”包含了我们资料分析试题当中众多体系性不如前面九大速算技巧的速算方式, 但这些速算方式仍然是提高计算速度的有效手段。 平方数速算: 牢记常用平方数,特别是 11~30 以内数的平方,可以很好地提高计算速度: 121、144、169、196、225、256、289、324、361、400 441、484、529、576、625、676、729、784、841、900 尾数法速算: 因为资料分析试题当中牵涉到的数据几乎都是通过近似后得到的结果, 所以一般我们计算的 时候多强调首位估算, 而尾数往往是微不足道的。 因此资料分析当中的尾数法只适用于未经 近似或者不需要近似的计算之中。 历史数据证明, 国考试题资料分析基本上不能用到尾数法, 但在地方考题的资料分析当中,尾数法仍然可以有效地简化计算。 错位相加/减: A× 型速算技巧:A× 9 9=A× 10-A;如:743× 9=7430-743=6687 A× 型速算技巧:A× 9.9 9.9=A× 10+A÷ 10;如:743× 9.9=7430-74.3=7355.7 A× 型速算技巧:A× 11 11=A× 10+A;如:743× 11=7430+743=8173 A× 101 型速算技巧:A× 101=A× 100+A; 如:743× 101=74300+743=75043 乘/除以 5、25、125 的速算技巧: A× 型速算技巧:A× 5 5=10A÷ 2;A÷ 型速算技巧:A÷ 5 5=0.1A× 2 例 8739.45× 5=87394.5÷ 2=43697.25 36.843÷ 5=3.6843× 2=7.3686 A×25 型速算技巧:A× 25=100A÷ 4;A÷25 型速算技巧:A÷ 25=0.01A× 4 例 7234× 25=723400÷ 4=180850 3714÷ 25=37.14× 4=148.56 A× 125 型速算技巧:A× 125=1000A÷ 8;A÷ 型速算技巧:A÷ 125 125=0.001A× 8 例 8736× 125=8736000÷ 8=1092000 4115÷ 125=4.115× 8=32.92 减半相加: A× 型速算技巧:A× 1.5 1.5=A+A÷ 2; 例 3406× 1.5=3406+3406÷ 2=3406+1703=5109 “首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧: 积的头=头× (头+1) ;积的尾=尾× 尾 例:“23×27”,首数均为“2”,尾数“3”与“7”的和是“10”,互补 所以乘积的首数为 2× (2+1)=6,尾数为 3× 7=21,即 23× 27=621 【例 1】假设某国外汇汇率以 30.5%的平均速度增长,预计 8 年之后的外汇汇率大约为现在 的多少倍?( ) A.3.4 B.4.5 C.6.8 D.8.4 【解析】 (1+30.5%)8=1.3058≈1.38=(1.32)4=1.694≈1.74=2.892≈2.92=8.41,选择 D [注释] 本题速算反复运用了常用平方数,并且中间进行了多次近似,这些近似各自只忽 略了非常小的量,并且三次近似方向也不相同,因此可以有效的抵消误差,达到选项所要求 的精度。 【例 2】根据材料,9~10 月的销售额为( )万元。 A.42.01 B.42.54 C.43.54 D.41.89 【解析】257.28-43.52-40.27-41.38-43.26-46.31 的尾数为“4”,排除 A、D,又从图像 上明显得到,9-10 月份的销售额低于 7-8 月份,选择 B。 [注释] 这是地方考题经常出现的考查类型,即使存在近似的误差,本题当中的简单减法 得出的尾数仍然是非常接近真实值的尾数的,至少不会离“4”很远。