预备知识平面波
多普勒效应(Doppler effect)是讨论, 当机械波的波源和(或)接收者相对于波的介质运动时, 发射的频率和接收到的频率之间有何关联. 本文不讨论相对论效应, 即假设波速远小于真空中的光速, 另外本文只讨论波源和接收者沿同一直线匀速运动的情况.
图1:多普勒效应
例1
生活中一种常见的多普勒效应是, 一辆疾驰的车一边鸣笛一边驶过行人, 人听到的音调就会先高后低. 这是因为, 车经过人之前不断靠近人, 经过人后再不断远离人. 可见多普勒效应和运动的速度有关.
在分析多普勒效应时, 一种方便的做法是选取介质为参考系, 例如有均匀的风时, 参考系随风运动. 假设介质处处均匀且静止, 波在介质中传播的速度(波速)
处处相等, 且与方向无关(各向同性).
令图 1 中波源甲运动方程, 即位置关于时间的函数为
, 对时间求导得到速度
. 同理, 接收者乙位置和速度分别为
和
. 注意两个点的速度都是向右运动为正, 向左运动为负. 令波源的频率为
, 接收者收到的频率为
. 当两点分别以小于波速的速度(
)匀速运动时, 有
该式推导见下文, 当
时上式取负号, 当
时上式取正号.
习题1
在一条长直马路上, 风速为
, 一个单车以
向顺风而行, 迎面驶来一辆摩托车, 速度为
. 若摩托车一直以
的频率鸣喇叭, 声速为
, 求摩托车经过单车前后骑单车的人听到的频率.
令风马路为
轴, 风向为正方向, 在风的参考系中, 摩托车速度为
单车速度为
另外
, 相遇以前
, 所以
相遇以后
, 所以
注意我们必须在风的参考系中计算, 否则得不到正确的结果(除非
).
反射的多普勒效应
当我们考虑波从一个运动的点上反射时, 当它每接收一个周期的波,就同时反射一个周期的波. 所以我们可以把这个点作为一个新的波源, 发射的频率与接收的频率相同. 这样我们就可以重复使用式 1 得到最终接收者的频率.
例2
假设