平面上,给定不同的的三个点,求作一点到这三个点的距离之和最小。这个点,我们称之为费马点。
本文给出费马点的一些讨论,包括构造方法、理论证明。第一部分利用物理知识来讨论,第二部分是纯数学讨论,两部分内容互相独立,读者可以根据喜好来阅读。
一、利用物理知识的讨论
假设这个平面是一个水平的板子,在给定的三个点的位置钻小孔,取三条足够长的绳子,它们的其中一端绑在一起,另一端分别穿过三个小孔,并且各自连接上一块等质量的物体。忽略一切摩擦力。示意图如下,其中
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、
是给定的三点。
另外,为了不使点
滑出平面,这里的绳子绑住一个直径大于小孔直径的物体。
我们先暂时忽略原问题,只考虑系统的平衡问题。要想悬挂的物体稳定平衡,整个体系必须处于能量极小态,此时在点
的受力是平衡的。我们分几个情况来讨论。
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三点在同一直线上,此时要想平衡,点
必须卡在处于另两点之间的点上。
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、
三点连线构成一个三角形,并且这个三角形的三个角都小于
。由于三个物体质量一样,那么要想系统平衡,在点
处三条绳子必须互相以
为夹角。三角形三个角都小于
的话,就可以确保这样的点
存在,这是因为根据三角形几何性质,必有
。
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、
三点连线构成一个三角形,并且存在一个大于或等于
的内角。易知点
不会平衡于三角形外面。又因为存在一个内角大于
,那么点
也不可能平衡于三角形内部,甚至不能平衡于三角形的边(非端点)上,所以,点
必定卡在三角形的某个顶点上。两个大小相等的力,如果夹角小于
,其合力必定大于原来的力,这样就可以知道,点
不会卡在内角小于
的顶点上。最后可知,点
卡在角度大于或等于
的顶点上。
通过这三种情况的分析,我们可以看到,平衡状态只能有一个,这就意味着这个状态不仅是能量极小态,还是能量最小态。考虑此处的重力势能,易知能量最小态对应于
取最小值的状态,于是,平衡时点
就是所求的费马点。
但是,这里只是告诉了我们费马点的性质,比如第
种情况上,只是说了费马点连接三角形三点的三条连线互相夹
,但是并没有告诉我们该怎么构造这个点出来。
再者,物理方