一、概念
我们把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类,记作[a].并把a叫做剩余类[a]的一个代表元.
二、与同余的关系
证明:对任意c∈[a],a≡c(mod n),又因为a≡b(mod n),所以b≡c(mod n),从而c∈[b].
同理,对任意c∈[b],也可得出c∈[a].所以[a] = [b].
另一方面,又剩余类的定义可知,如果[a] = [b],则a≡b(mod n).
三、剩余类的运算
剩余类加法:[a] + [b] = [a + b]
剩余类乘法:[a][b] = [ab]
剩余类环:如果模n的剩余类集合中定义了剩余类加法和剩余类乘法运算,就把它叫做模n的剩余类环,
记作:{[0],[1],[2]...[n-1];+,.}.
我们已经知道整数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律,剩余类的加法、乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。
另外,在模n的剩余类环中,对任意的剩余类[a],恒有
[a] + [0] = [0] + [a] = [a]
[a][1] = [1][a] = [a]
[a][0] = [0][a] = [0]
这样,我们可以发现,[0]、[1]与整数集中的0、1有着相同的运算性质,我们分别把[0]和[1]叫做模n的剩余类环的零元和单位元。
同时,类比整数集中的相反数和倒数,我们引入模n的剩余类环的负元和逆元的概念。
四、负元和逆元
负元:
如果存在模n的剩余类[b],使得
[a] +[b] = [b] + [a] = [0]
那么称[b]为[a]的负元.
逆元:
如果存在模n的剩余类[b],使得
[a][b] = [b][a] = [1]
那么称剩余类[a]可逆,并把[b]称为[a]的逆元
五、逆元存在的条件
我们发现,并不是所有的剩余类都可逆,例如,模6的剩余类环中,[2]、[3]、[4]就不存在逆元。
什么情况下,一个模n的剩余类中的非零元[a]都有逆元?
非零元[a]有逆元的充要条件是(a,n) = 1
证明:
假设[b]为[a]的逆元
[a][b]=[b][a]=[1][ab]=[1]ab≡1(mod n)存在整数t,使得ab + nt = 1
必要性:[a]有逆元[b],由上面的推论知,存在整数t,使得ab + nt = 1。而(a,n)|a、(a,n)|n(a,n)|ab、(a,n)|nt(a,n)|(ab + nt)
即(a,n) | 1,所以(a,n) = 1.
充分性:(a,n) = 1存在一对正整数b、t,使得ab + nt = 1
于是ab≡1(mod n)[ab]=[1][a][b]=[b][a]=[1]
进一步探究,可知在模n的剩余类环中,若[a]存在逆元,则它的逆元有且仅有一个
证明:
[a]有两个逆元,分别是[b]、[c],则
[a][b]=[1]、[a][c]=[1]ab≡1(mod n)、ac≡1(mod n)n|ab -1、n|ac-1n|a(b-c)
[a]存在逆元(a,n) = 1
n|a(b-c)n|(b-c)b≡c(mod n)
由剩余类的定义可知,[b] = [c]
所以,若逆元存在,逆元有且仅有一个。