第三章 方位投影 学习目标与要求 1.掌握方位投影的一般公式及其分类 2.掌握等角、等面积、等距离方位投影的坐标与 变形公式 3.掌握透视方位投影的特点 4.掌握方位投影的变形规律及应用 ? 学习重点 1.掌握方位投影的基本概念以及公式 2.掌握方位投影的变形分析 3.掌握方位投影的应用 ? 学习难点 1. 方位投影概念及公式意义 2. 方位投影的变形规律 ? 方位投影: 以平面作投影面, 方位投影 以平面作投影面,使平面与球 面相切或相割, 面相切或相割,将球面上的经纬线投影到平 面上而成。 面上而成。 根据球面与投影面的相对部位不同,分为正轴投 影,横轴投影,斜轴投影: 正轴方位投影,投影面与地轴相垂直; 横轴方位投影,投影面与地轴相平行; 斜轴方位投影,投影面与地轴斜交。 一、方位投影的投影表象及其一般公式 ? 1.投影表象 在正轴方位投影中 a、纬线投影后成为同心圆, b b、经线投影后成为交于一点的直线束(同心圆的 ( 半径), ) c、两经线间的夹角与实地经度差相等。 对于横轴或斜轴方位投影,则等高圈投影后为同 心圆,垂直圈投影后为同心圆的半径,两垂直 圈之间的交角与实地方位角相等。 根据这个关系,我们来确定方位投影的一般公式。 Q′ δ ρ E y Q 方 位 投 影 示 意 图 x y A′ P′ α A Z P P Q Q d α Z C B 2.一般公式 Q′ d δ ρ Rdz D A B′ d ρ A′ 图04-08 C′ D′ (9—6) ? 各种方位投影具有一个共同的特点,就是 它们的差别仅在于ρ的函数形式,而且ρ仅 是极距z的函数(在正轴时为纬度φ的函数), 所以基本问题是决定ρ的函数形式。 ? 在方位投影投影中,极点(或天顶)为投 影为点(投影中心点),投影中心点至任 意点的方位角无变形。 3.方位投影的计算步骤 (1) 确定球面极坐标原点Q的经纬度φ0,λ0; (2) 由地理坐标φ和λ推算球面极坐标z和α; (3) 计算投影极坐标ρ,δ和平面直角坐标x,y; (4) 计算长度比、面积比和角度变形。 ? 关于z和α,可由地理坐标变换为球面极坐标的方 法来求定。 cos z = sin ? sin ? 0 + cos ? cos ? 0 cos(λ ? λ0 ) sin z cos a = sin ? cos ? 0 ? cos ? sin ? 0 cos(λ ? λ0 ) sin z sin a = cos ? sin ? 0 sin(λ ? λ0 ) ? 方位投影可以划分为: A、透视投影:正射、外心、球面(平射)、球心 (日晷)等投影(视点位置不同) B、非透视投影:等角、等面积、任意(包括等距 离)投影(投影性质) ? 按投影面与地球相对位置的不同,可分为:? 正轴方位投影,此时Q与P重合,又称为极方位投影 ( ? 0 = 90o); 横轴方位投影,此时Q点在赤道上,又称赤道方位 投影(? = 0o ); 斜轴方位投影,此时Q点位于上述两种情况以外的 任何位置,又称水平方位投影( 0o < ? < 90o)。 ? 根据投影面与地球相切或相割的关系又可分为切 方位投影与割方位投影。 0 0 正轴投影的经纬线形状 正轴方位:经线为放射状直线,纬线为同心圆, 两经线夹角投影后不变。 正轴投影的变形特点 方位投影变形特点: 等变形线与纬圈一致; ① 等变形线与纬圈一致; 在切方位投影中,切点上无变形,随着远离切点, ②在切方位投影中,切点上无变形,随着远离切点, 变形增大; 变形增大; 在割方位投影中, ③ 在割方位投影中,在所割小圆上 ?2 = 1 ,角度变 形与“ 的情况一样,其他变形( 形与“切”的情况一样,其他变形(长度变形与面 积变形)则自所割小圆向内与向外增大。 积变形)则自所割小圆向内与向外增大。 (a)切方位 (b)割方位 图04-14 方位投影等变形线 二、等角、等积和等距方位投影 等角、 (一)等角方位投影 ρ = 2RCos2 ZK Z tan 2 2 ρ 等角方位投影,就是使它符合等角条件, 等角方位投影,就是使它符合等角条件,并由此决定 =f(z)的函数形式 的函数形式 的一种方位投影。该投影保持微分面积形状相似, 的一种方位投影。该投影保持微分面积形状相似,即微分圆投影后仍为一 个圆,也就是一点上的长度比与方位无关,没有角度变形。 个圆,也就是一点上的长度比与方位无关,没有角度变形。 由此可写出投影条件 ?1=?2 或 ω=0 dρ ρ 有 Rdz = R sin z 将上式移项后积分: 将上式移项后积分: 积分后得 ∫ dρ ρ =∫ dz sin z ln ρ = ln tg z + ln K 2 或 ρ = Ktg z 2 式中K为积分常数。 式中 为积分常数。 为积分常数 这样,等角方位投影的公式可汇集如下: (9-8) 180 90 60 90 30 0 图04-09 正轴等角方位投影 90 90 60 30 0 30 60 90 90 图04-10 横轴等角方位投影 150 120 180 150 120 60 90 30 90 0 60 30 60 30 0 30 图04-11 斜轴等角方位投影 等角方位投影相当于透视投影中的球面投影。 等角方位投影相当于透视投影中的球面投影。 (二)等面积方位投影 ρ = 2 RSin Z 2 ? 在等面积方位投影中,保持面积没有变形,所以在决定 ρ=f(z)的函数形式时,必须使其适合等面积条件,即面积 比P=1,为此有 dρ ρ P = ?1 ? ? 2 = ? =1 Rdz R sin z ρ d ρ = R 2 sin zdz ? 由此有 ρ2 ? 将上式积分后得 2 = C ? R 2 cos z 本投影亦称为兰勃脱等面积方位投影。 (三)等距离方位投影 ρ = RZ ? 等距离方位投影通常是指沿垂直圈长度比等于1的一种方 位投影。因此需使函数ρ=f(z)满足等距离条件,也就是 ?1=1,根据公式(9—6)有 dρ ?1 = =1 Rdz 以上式代入(9-6)式,可得垂直圈和等高圈长度比和面积比: 对于正轴等距离方位投影,把(90°-φ)=z,λ=δ代入以上公式即得: 本投影又称为波斯托投影 与等面积方位投影一样,广义上等距方位 投影开始条件也可以设?1=K,K为小于1的 常数(决定方法与等面积方位投影一样),从 而可缩小等高圈长度变形的绝对值,但在 此情况下,并不能改善角度变形,而且沿 垂直圈也不能保持真正等距离而是缩小了 一个常数。所以实践中也应用得不多。 三、透视方位投影 (一).透视方位投影 一 透视方位投影 利用透视法把地球表 面投影到平面上的方法 称为透视投影。 称为透视投影。 透视方位投影的点光 源或视点位于垂直于投 影面的地球直径及其延 长线上, 长线上,由于视点位置 不同, 不同,因而有不同的透 视方位投影。 ? 透视方位投影的一般公 式推导 由相似三角形Q’A’O及qAO 有(图3-12,46) Q ' A' Q 'O = qA qO 1.正射投影 正射投影 2.球面投影(平射投影或等角方位投影) 球面投影(平射投影或等角方位投影) 球面投影 3.球心投影(日晷投影) 球心投影(日晷投影) 球心投影 4.内心投影 内心投影 5.外心投影 5.外心投影 (二).非透视方位投影 二 非透视方位投影 非透视方位投影是借 助于透视投影的方式, 助于透视投影的方式, 而附加上一定的条件, 而附加上一定的条件, 如加上等角、等积、 如加上等角、等积、等 距等条件所构成的投影。 距等条件所构成的投影。 在这类投影中有等角方 位投影、 位投影、等距方位投影 和等积方位投影。 和等积方位投影。 四、方位投影的概括公式 五、双重方位投影 Z KR ( D + KR ) Sin K ρ= Z D + KRCos K Z? ? (1 + β )?1 + βCos ? K? ? ?1 = Z ( β + Cos ) SinZ K Z (1 + β ) Sin K ?2 = z ( β + Cos ) SinZ k 六、方位投影变形分析及其应用 在方位投影投影中,极点(或天顶)均投 影为点(投影中心点),投影中心点至任 意点的方位角无变形。 1.等变形线——与等高圈一致为同心圆 ? 切方位 割方位 图04-14 2.等高圈长度比μ2 的变化规律 3.方位投影的应用 (1)等角方位投影, (2)各大洲图常采用斜轴等面积方位投影。其投影中心常 取以下位置: 本章结束 (一)正轴方位投影 投影中心为极点, 投影中心为极点,纬线为同 心圆,经线为同心圆的半径, 心圆,经线为同心圆的半径,两 条经线间的夹角与实地相等。 条经线间的夹角与实地相等。等 变形线都是以投影中心为圆心的 同心圆。 包括等角、等积、 同心圆。 包括等角、等积、等 距三种变形性质, 距三种变形性质,主要用于制作 两极地区图。 两极地区图。 1. 等角正轴方位投影 Ψ0=90? ①投影条件:投影面---平面 投影条件:投影面---平面 --w=0 投影公式: z/2) ②投影公式:μ1=sec2(z/2) μ2= sec2(z/2 ) 经纬线形式:纬线是以极点为圆心的同心圆, ③经纬线形式:纬线是以极点为圆心的同心圆,经线是同心圆 的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 经线夹角等于相应的经差. 经线夹角等于相应的经差. 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 ⅰ 投影中心无变形,离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 ⅱ w=0 w=0 ⅲ μ1=μ2 μ1 1→2 μ2 1→2 p 1→4 没有角度变形,但面积变形较大。 ⅳ没有角度变形,但面积变形较大。 角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 ⅴ角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 2.等积正轴方位投影 2.等积正轴方位投影 投影条件:投影面-----平面 ①投影条件:投影面---平面 p=1 Ψ0=90? 投影公式: =cos( sec( ②投影公式:μ1=cos(z/2 ) μ2= sec(z/2 ) ③经纬线形式:纬线是以极点为圆心的同心圆,经线是同心 经纬线形式:纬线是以极点为圆心的同心圆, 圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅰ投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 p=1 ⅱ p=1 ⅲ μ1 < 1 μ1 1→0.707 μ2 >1 μ2 1→1.414 没有面积变形,但角度变形较大。 ⅳ没有面积变形,但角度变形较大。 角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 ⅴ角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 3.等距正轴方位投影 3.等距正轴方位投影 ①投影条件:投影面---平面 μ1= 1 Ψ0=90? 投影条件:投影面---平面 --投影公式: ②投影公式:μ1=1 μ2= z/sinz 经纬线形式:纬线是以极点为圆心的同心圆, ③经纬线形式:纬线是以极点为圆心的同心圆,经线是同心 圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外不变即相 圆的半径。 等。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅰ 投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅱ μ1 = 1 μ2 >1 μ2 1→1.57 角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 ⅲ角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 面积变形、角度变形都不大。 ⅳ面积变形、角度变形都不大。 (二)横轴方位投影 平面与球面相切,其切点位于赤道上。 平面与球面相切,其切点位于赤道上。 特点:通过投影中心的中央经线和赤道为直线, 特点:通过投影中心的中央经线和赤道为直线,其他经 纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。 纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。 1. 等角横轴方位投影 投影条件:投影面-----平面 ①投影条件:投影面---平面 w=0 Ψ0=0? 投影公式: z/2) z/2) ②投影公式:μ1=sec2(z/2) μ2= sec2(z/2) 经纬线形式:中央经线为直线, ③经纬线形式:中央经线为直线,其它经线是对称于中央经 线的曲线。中央纬线为直线,其它纬线是对称于中央纬线的曲 线的曲线。中央纬线为直线, 在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。在中央 纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。 纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 ⅰ投影中心无变形,离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 w=0 ⅱ w=0 ⅲ μ1=μ2 μ1 1→2 μ2 1→2 p 1→4 没有角度变形,但面积变形较大。 ⅳ没有角度变形,但面积变形较大。 面积等变形线与纬圈一致。 ⅴ面积等变形线与纬圈一致。 2. 等积横轴方位投影 投影条件:投影面-----平面 ①投影条件:投影面---平面 p=1 Ψ0=0? 投影公式: =cos(z/2) sec( ②投影公式:μ1=cos(z/2) μ2= sec(z/2 ) 经纬线形式:中央经线为直线, ③经纬线形式:中央经线为直线,其它经线是对称于中央经 线的曲线。中央纬线为直线, 线的曲线。中央纬线为直线,其它纬线是对称于中央纬线的曲 在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。在中央 纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。 纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅰ投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 p=1 ⅱ p=1 ⅲ μ1 < 1 μ1 1→0.707 μ2 >1 μ2 1→1.414 没有面积变形,但角度变形较大。 ⅳ没有面积变形,但角度变形较大。 角度等变形线与等高圈一致。 ⅴ角度等变形线与等高圈一致。 3.等距横轴方位投影 3.等距横轴方位投影 ①投影条件:投影面---平面 μ1= 1 Ψ0=0? 投影条件:投影面---平面 --投影公式: ②投影公式:μ1=1 μ2= z/sinz 经纬线形式:中央经线为直线, ③经纬线形式:中央经线为直线,其它经线是对称于中央经 线的曲线。中央纬线为直线, 线的曲线。中央纬线为直线,其它纬线是对称于中央纬线的曲 在中央经线上纬线间隔相等。 线。在中央经线上纬线间隔相等。在中央纬线上经线间隔自投 影中心向东、向西方向逐渐增大。 影中心向东、向西方向逐渐增大。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅰ投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅱ μ1 = 1 μ2 >1 μ2 1→1.57 角度、面积等变形线与等高圈一致。 ⅲ角度、面积等变形线与等高圈一致。 面积变形、角度变形都不大。 ⅳ面积变形、角度变形都不大。 (三) 斜轴方位投影 投影面切于两极和赤道间的任意一点上。 投影面切于两极和赤道间的任意一点上。在这种投影 中央经线投影为直线, 中,中央经线投影为直线,其他经线投影为对称于中央经 线的曲线,纬线投影为曲线。 线的曲线,纬线投影为曲线。 1.等角斜轴方位投影 1.等角斜轴方位投影 投影条件:投影面-----平面 w=0 0?< Ψ0 < 90? ①投影条件:投影面---平面 投影公式: z/2) ②投影公式:μ1=sec2(z/2) μ2= sec2(z/2 ) 经纬线形式:中央经线为直线,其它经纬线均是曲线。 ③经纬线形式:中央经线为直线,其它经纬线均是曲线。在中 央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 ⅰ 投影中心无变形,离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 w=0 ⅱ w=0 ⅲ μ1=μ2 μ1 1→2 μ2 1→2 p 1→4 没有角度变形,但面积变形较大。 ⅳ 没有角度变形,但面积变形较大。 ⅴ 面积等变形线与等高圈一致。 面积等变形线与等高圈一致。 2.等积斜轴方位投影 2.等积斜轴方位投影 投影条件:投影面-----平面 p=1 0?< Ψ0 < 90? ①投影条件:投影面---平面 投影公式: =cos( sec(z/2) ②投影公式:μ1=cos(z/2 ) μ2= sec(z/2) 经纬线形式:中央经线为直线,其它经纬线均是曲线。 ③经纬线形式:中央经线为直线,其它经纬线均是曲线。在 中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、 ⅰ 投影中心无变形 , 离开投影中心愈远角度 、 长度变形增 大。 p=1 ⅱ p=1 ⅲ μ1 < 1 μ1 1→0.707 μ2 >1 μ2 1→1.414 ⅳ 没有面积变形,但角度变形较大。 没有面积变形,但角度变形较大。 角度等变形线与等高圈一致。 ⅴ 角度等变形线与等高圈一致。 3.等距斜轴方位投影 3.等距斜轴方位投影 等距方位投影属于任意投影,它既不等积也不等角。 等距方位投影属于任意投影,它既不等积也不等角。 投影条件:投影面-----平面 0?< Ψ0 < 90? ①投影条件:投影面---平面 μ1= 1 投影公式: ②投影公式:μ1=1 μ2= z/sinz 经纬线形式:中央经线为直线,其它经纬线均是曲线。 ③经纬线形式:中央经线为直线,其它经纬线均是曲线。在 中央经线上纬线间隔相等。 中央经线上纬线间隔相等。 变形分布规律: ④变形分布规律: 投影中心无变形,离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅰ 投影中心无变形 , 离开投影中心愈远角度 、 长度变形增大 。 ⅱ μ1 = 1 μ2 >1 μ2 1→1.57 角度、面积等变形线与等高圈一致。 ⅲ 角度、面积等变形线与等高圈一致。 面积变形、角度变形都不大。 ⅳ 面积变形、角度变形都不大。