直角三角形定义:
直角三角形满足毕氏定理(勾股定理),即两直角边边长的平方和等于斜边长的平方。直角三角形各边和角之间的关系也是三角学的基础。
直角三角形的外心是斜边中点;其垂心是直角顶点。
若直角三角形的三边均为整数,称为毕氏三角形,其边长称为勾股数。
直角三角形的面积:
和其他三角形相同,直角三角形的面积等于任一边(底边)乘以对应高的一半。在直角三角形中.若以一股(直角边)为底边,另一股即为对应的高,因此面积为二股直角边乘积的一半,面积T的公式为
其中a和b是直角三角形的二股。
若内切圆和斜边AB相切于P点,令半周长(a + b + c) / 2为s,则PA = s − a且PB = s − b,面积可表示为
此公式只适用在直角三角形
直角三角形的三边关系:
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图,RtABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)×2=BD·DC,
(2)(AB)×2=BD·BC , 射影定理图
(3)(AC)×2=CD·BC 。 等积式
(4)ABXAC=ADXBC (可用面积来证明)
(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,
(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一);r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)
直角三角形的判定方法:
判定1:定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)