1 (1286) 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 制作:石永锋 制作:石永锋 11 、 真 空 中 有 一 高 h = 20cm 、 底 面 半 径 R = 10cm的圆锥体.在其顶点与底面中心连线的中点 上置q=10–6C的点电荷,如图所示. 求通过该圆锥 体侧面的电场强度通量.(真空介电常量?0= 8.85×10-12 C2· -1· -2 ) N m 解: 以顶点与底面中心连线的中点为球心, 2 r ? R 2 ? ?h / 2? 为半径作一球面. q R h 通过圆锥侧面的电通量等于通过整个 球面的电通量减去通过以圆锥底面为 h/2 r R 底的球冠面的电通量. 2.电场强度通量 高斯定理 2 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 q 制作:石永锋 制作:石永锋 通过整个球面的电通量 Φ0 ? ?0 r h/2 R 通过球冠面的电通量 Φ ? S Φ 1 0 S0 式中S为球冠面积S =2?r(r-h/2),S0为整球面积. q h/ 2 q 2?r ( r ? h / 2) ? [1 ? ] Φ1 ? ? 2 2? 0 ?0 4?r R 2 ? ( h / 2) 2 通过圆锥侧面的电通量为?2, q qh Φ2 ? Φ0 ? Φ1 ? ? ? ? 0 2? 0 4? 0 R 2 ? ( h / 2)2 q h/ 2 ? [1 ? ] ? 9.6 ? 104 (N ? m 2 / C) 2? 0 R 2 ? ( h / 2) 2 2.电场强度通量 高斯定理 q 3 (1374) 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 制作:石永锋 制作:石永锋 12、一半径为R的带电球体,其电荷体密度分布为 qr (r≤R) (q为一正的常量) ?? 4 πR ? ? 0 ( r ? R) 试求:(1) 带电球体的总电荷;(2) 球内、外各点的电场强度; (3) 球内、外各点的电势. 解:(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳,其所包含的电荷为 4q 3 qr 2 dQ ? ?dV ? ? 4πr dr ? 4 ? r dr 4 R πR 则球体所带的总电荷为 4q Q ? ? ?dV ? 4 V R ? R 0 r 3dr ? q 2.电场强度通量 高斯定理 4 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 制作:石永锋 制作:石永锋 (2) 在球内作一半径为r的高斯球面,按高斯定理有 4πr 2 E ? 得 1 ?0 ? r 0 qr 4 4qr 3 dr ? 4 R ? 0 R4 4 E? qr 2 4π? 0 R ( r ? R) 方向沿半径向外. 在球体外作半径为r的高斯球面,按高斯定理有 4πr E ? 2 q ?0 ( r ? R) 方向沿半径向外. 得 E? q 4π? 0 r 2 2.电场强度通量 高斯定理 5 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 ? qr 2 q U?? dr ? ? dr 4 2 r 4?? R R 4?? r 0 0 3 3 q R r q ? ( ? )? 4 4?? 0 R 3 3 4?? 0 R R 制作:石永锋 制作:石永锋 (3) 球内电势 得 球外电势 q r13 U? (4 ? 3 ) ( r ? R) 12?? 0 R R U?? ? q 4?? 0 r 2 r dr 得 q U? 4?? 0 r ( r ? R) 2.电场强度通量 高斯定理 6 (1376) 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 制作:石永锋 制作:石永锋 13、设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律? =?0cosx 分布在整 个空间,式中 ? 为电荷体密度、?0 为其幅值.试求空间的场强 分布. 解: 由题意知,电荷沿 x 轴方向按余弦规律变化.可以判断场强的 方向必沿 x 轴方向,且相对 yOz 平面对称分布. 在±x处作与x轴垂直的两个相同的 平面S,用与x轴平行的侧面将其封 闭为高斯面,如图所示. 由高斯定理 yOz 平面 侧面 E S E S O +x x -x ? S ? ? E ? dS ? ? V ? dV ?0 2.电场强度通量 高斯定理 7 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 ? ? ? E ? dS ? 2 SE S 制作:石永锋 制作:石永锋 而 ? ∴ V ? dV ? S? 0 ? cos x d x ?x ?x yOz 平面 侧面 E S E S O +x x ? 2 S? 0 sin x 2 SE ? 2 S? 0 sin x -x ?0 得 ? 0 sin x E? ?0 方向由E值正、负确定,E>0沿x轴正向,E<0则沿x轴负向. 2.电场强度通量 高斯定理 8 (1503) 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 制作:石永锋 制作:石永锋 14、如图所示,一厚为b的“无限大”带电平板 , 其电荷体密 度分布为?=kx (0≤x≤b ),式中k为一正的常量.求: (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小; (2) 平板内任一点P处的电场强度; (3) 场强为零的点在何处? 解: 由对称分析知,平板外两侧场 (1) 强大小处处相等、方向垂直于平 ? E 面且背离平面.设场强大小为E. 作一柱形高斯面垂直于平面.其 底面大小为S,如图所示. 2.电场强度通量 高斯定理 P1 P O x b S ? P2 E S x 9 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 按高斯定理得 制作:石永锋 制作:石永锋 2 ES ? ? ∴ 1 ?0 kS ? b 0 b ?S d x kSb xd x ? 2? 0 2 ? E P1 P O x dx S ? P2 E S x ?0 ? 0 b kb 2 E? 4? 0 ( x ? 0, x ? b) ? E P1 P O x b (2) 过P点垂直平板作一柱形高 斯面,底面为S.设该处场强为E', 如图所示. 按高斯定理得 ( E ? ? E ) S ? S S ?P2 E? x kS ?0 ? x 0 kSx 2 xdx ? 2? 0 2.电场强度通量 高斯定理 10 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 ∴ 制作:石永锋 制作:石永锋 kx 2 E? ? ?E 2? 0 kx 2 kb 2 ? ? 2? 0 4? 0 ? E P1 P O x b S ?P2 E? x S 得 k b2 E? ? ( x 2 ? ) (0 ? x ? b) 2? 0 2 (3) E' =0,必须有 可得 b2 2 x ? ?0 2 2 x? b 2 2.电场强度通量 高斯定理 11 (5095) 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 制作:石永锋 制作:石永锋 15、有一带电球壳,内、外半径分别为a和b,电荷体密度? = A/r,在球心处有一点电荷Q,证明当A = Q / ( 2?a2 )时,球壳区 ? 域内的场强 E 的大小与r无关. 证:用高斯定理求球壳内场强: ? ? 1 2 ? E ? d S ? E ? 4?r ? (Q ? ? ? dV ) S ? r Q a b ?0 V 而 ? V ? dV ? ? r a A ? 4?r 2 d r r r a ? 4?A? r d r ? 2?A( r 2 ? a 2 ) Q A Aa 2 Q 1 ∴E? ? ? ? ? 2?A( r 2 ? a 2 )? 2 2 2 4?? 0 r 2? 0 2? 0 r 2 4?? 0 r 4?? 0 r 2.电场强度通量 高斯定理 12 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 Q Aa 2 ? ?0 2 2 4?? 0 r 2? 0 r 制作:石永锋 制作:石永锋 ? 要使 E 的大小与r无关,则应有 即 Q A? 2?a 2 2.电场强度通量 高斯定理 13 (5096) 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 制作:石永锋 制作:石永锋 16、如图,在一电荷体密度为?的均匀带电 球体中,挖出一个以O′ 为球心的球状小空腔, 空腔的球心相对带电球体中心O的位置矢量用 ? 表示.试证球形空腔内的电场是均匀 b 电场,其表达式为 ? ? ? E? b 3? 0 空腔内任一点P的场强,等于 证: ? 不挖去小球时的场强 E1 与在 小球处单放一体密度为-? 的 ? 小球产生的场强 E 2的叠加. S1 ? E1 ? r1 O ? b ? E r2 O'2 ? ? E S2 分别以O、O′为中心,过P点 作球面S1和S2为高斯面 . 2.电场强度通量 高斯定理 14 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系 2 1 制作:石永锋 制作:石永锋 ? E1 ? ? E r2 O'2 ? b 1 4 3 E1 ? 4?r ? ? ?r1 ? S1 ?0 3 ? r1 ? ? ? 得 E1 ? r1 O 3? 0 ? ? ? 同理得: E2 ? ? r2 3? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? P点的场强 ( r1 ? r2 ) ? b E ? E1 ? E2 ? 3? 0 3? 0 因此,球形空腔内的电场是均匀电场。 则 ? E S2 2.电场强度通量 高斯定理