高一数学专题讲解 集合问题中求参数的取值范围(一) 主编:宁永辉老师 主编单位:永辉中学生教育学习中心 高考数学研究中心 一、第一种题型: 【题型】: 已知集合 A {x | a x b} (其中 a , b 为实数,在具体题目中 a , b 两个实数的值是已知的),集合 B {x | f (m) x g(m)}(其中 m 为参数,在具体的题目中参数 m 是未知的, f (m) 、 g(m) 都是关于 参数 m 的代数式),且满足 A B 。 求:参数 m 的取值范围。 【解法】: 第一步:画出数轴,在数轴上标出集合 A 的区间,如下图所示: 第二步:解析: A B : (1)、 A B ,表示集合 A 中的所有元素都在集合 B 中; (2)、 A B ,表示在数轴上集合 B 的区间包含集合 A 的区间,如下图所示: 第三步:根据条件: A B 在数轴上画出集合 B 的区间,如下图所示: 第四步:初步确定关于参数 m 的不等式组。 根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式: f (m) a (1) g(m) b (2) 第五步:确定两个不等式是否可以取等号。 (1)、当 f (m) a 时:在数轴上画出集合 A 和集合 B 的区间,如下图所示: 第 1 页 共 23 页 如上图可以知道: A B 成立,所以: f (m) a 成立。 (2)、当 g(m) b 时:在数轴上画出集合 A 和集合 B 的区间,如下图所示: 如上图可以知道: A B 成立,所以: g(m) b 成立。 第六步:最终确定关于参数 m 的两个不等式。 因为:题目已知 B {x | f (m) x g(m)}; 所以:得到第三个不等式: f (m) g(m) 。 根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式: f (m) a (1) g(m) b (2) f (m) g(m) (3) 第七步:解不等式组,得到参数 m 的取值范围。 首先解每一个不等式,然后对三个不等式的解在数轴上求交集。 【经典例题】: 【例题一】:已知集合 A {x | 1 x 2} ,集合 B {1 2m x 3m 2},且满足 A B 。 求:参数 m 的取值范围。 【解析】: (1)、初步确定关于参数 m 的两个不等式:数轴如下图所示: 由图可以知道: 1 2m 1 (1) 3m 2 2 (2) (2)、确定两个不等式是否可以取等号: 分类讨论: 当1 2m 1 时:数轴如下图所示: 第 2 页 共 23 页 因为:满足 A B ;所以:1 2m 1 成立。 当 3m 2 2 时:数轴如下图所示: 因为:满足 A B ;所以: 3m 2 2 成立。 (3)、最终确定关于参数 m 的三个不等式: 因为:集合 B {1 2m x 3m 2}; 所以:1 2m 3m 2 (3)。 1 2m 1 (1) 3m 2 2 (2) 1 2m 3m 2 (3) (4)、解不等式组求参数 m 的取值范围: 解不等式:1 2m 1。 1 2m 1 2m 11 2m 2 m 2 m 1 。 2 所以:不等式:1 2m 1的解为: m [1,) 。 解不等式: 3m 2 2。 3m 2 2 3m 2 2 3m 0 m 0 。 所以:不等式: 3m 2 2的解为: m[0,) 。 解不等式:1 2m 3m 2 1 2m 3m 2 2m 3m 2 1 5m 1 m 1 。 5 所以:不等式:1 2m 3m 2 的解为: m [ 1 ,) 。 5 画出数轴,求三个不等式解的交集,如下图所示: 第 3 页 共 23 页 所以:参数 m 的取值范围: m [1,) 。 【例题二】:已知集合 A {x | x2 3x 4 0},集合 B {x | 2m m2 x m2 2m},且满足 A B 。 求:参数 m 的取值范围。 【解析】: (1)、计算集合 A 的取值范围。 解不等式: x2 3x 4 0 。 计算判别式 (3)2 41 (4) 25 52 0 。 解一元二次方程: x2 3x 4 0 的两个解分别为: x1 4 , x2 1。 二次函数: y x2 3x 4 的图像如下图所示: 所以:不等式: x2 3x 4 0 的解为: x [1,4] 。 (2)、初步确定关于参数 m 的两个不等式:如下图所示: 由图可以知道: 2m m2 1 (1) m2 2m 4 (2) (3)、确定两个不等式是否可以取等号: 当 2m m2 1时:数轴如下图所示: 第 4 页 共 23 页 因为:满足: A B ;所以: 2m m2 1成立。 当 m2 2m 4 时:数轴如下图所示: 因为:满足: A B ;所以: m2 2m 4 成立。 (4)、最终确定关于参数 m 的三个不等式。 因为: B {x | 2m m2 x m2 2m}; 所以: 2m m2 m2 2m (3)。 最终的三个不等式如下: 2m m2 1 (1) m2 2m 4 (2) 2m m2 m2 2m (3) (5)、解不等式组得到参数 m 的取值范围。 解不等式: 2m m2 1 m2 2m 1 0。 计算判别式 22 4 (1) 1 8 0 。 解一元二次方程: m2 2m 1 0 的两个解分别为: m1 1 2 , m2 1 2 。 二次函数: y m2 2m 1的图像如下图所示: 所以:不等式: 2m m2 1 m2 2m 1 0 的解为: m [1 2,1 2] 。 解不等式: m2 2m 4 m2 2m 4 0 。 计算判别式