类型1 作三角形外接圆,求含有乘积式问题例1.已知AD是ABC的角平分线,求证:AB•AC=AD²+BD•CD.【分析】作辅助圆,根据同弧所对的...
在解证几何题时,四点共圆已经被一些学生所了解或重视,然而作三角形的外接圆还没有被学生重视,使对许多几何题的证明难于入手.下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法,以期待对你的学习有所帮助。
类型1 作三角形外接圆,求含有乘积式问题
例1.已知AD是ABC的角平分线,求证:AB•AC=AD²+BD•CD.
【分析】作辅助圆,根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式,再证BAD∽ECD,根据相似三角形的性质得出AD•ED=BD•DC,即可得出答案.
【解答】证明:作ABC的外接圆O,延长AD交⊙O于E,连接CE,
∵AE平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC,
∵∠B=∠E,∴ABD∽AEC,∴AB/AE=AD/AC,
∴AB•AC=AD•AE=AD(AD+DE)=AD²+AD•ED,
∵∠B=∠E,∠BAD=∠DCE,∴BAD∽ECD,
∴AD/CD=BD/ED,∴AD•ED=BD•DC,∴AB•AC=AD•AE=AD²+BD•DC.
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,圆周角定理的应用,解此题的关键是推出ABD∽AEC和BAD∽ECD,主要考查学生的推理能力.
例2.如图,ABCD是圆内接四边形,AB、DC的延长线交于E,AD、BC的延长线交于F,EP、FQ切圆于P、Q两点,求证:EP²+FQ²=EF².
【分析】作辅助圆,构建四点共圆的四边形,利用切割线定理列式:EP2=EC•ED,FQ2=FC•FB,得出结论.
【解答】证明:作BCE的外接圆,交EF于G,连接CG,
∵A、B、C、D四点共圆,∴∠FDC=∠ABC,
∵B、C、G、E四点共圆,∴∠ABC=∠CGE,
∴∠FDC=∠ABC=∠CGE,∴F、D、C、G四点共圆,
由切割线定理得:EP²=EC•ED,FQ²=FC•FB,
EF2=(EG+GF)•EF=EG•EF+GF•EF=EC•ED+FC•FB,
∴EP²+FQ²=EF².
【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质,本题运用了圆内接四边形的任意一个外角