一、非齐次线性方程组解的结构
对于n元非齐次线性方程组
,当
时,方程组有解,又当
时,方程组有无穷多解,这时,我们又如何来表示这全部解呢?
要特别注意到:由于非齐次性,即
,则方程组
的两个解的和不再是它的解,即说明方程组
的解集合不构成向量空间,因而对于非齐次线性方程组
根本不存在解空间与基础解系的概念。
对任一个非齐次线性方程组
,一定对应一个齐次线性方程组
,称
为
的导出组,它们的系数矩阵是相同的A,我们首先来讨论它们的解之间的性质:
性质1:如果
是非齐次线性方程组
的解,则
是它的导出组
的解。
因为
性质2:如果
是非齐次线性方程组
的解,
是它的导出组
的解,则
总是
的解。
因为
由性质1和性质2可知:
的任意一个解
一定可以写成
的任意一个取定的解
(称为特解)与导出组
的任意一个解
之和,于是得到定理:
定理2.1:设n元非齐次线性方程组
满足
,并设
为其一个特解,又
为导出组
的一个基础解系,则
的通解为
(
为任意常数)
例1:设
为4元非齐次线性方程组,
,设
为
的三个解,已知
,求
的通解。
解:由定理2。1,非齐次线性方程组的通解由两部分相加组成,一部分是本身方程组的一个特解,另一部分是对应导出组的通解,即对应导出组的基础解系的任意线性组合对本题可取
为一个特解,因而关键找导出组的一个基础解系,它含有
个解,即任意一个非零解
都是导出组的基础解系。
因为
都是
的解,所以
和
都是
的解,它们的和
就是
的一个非零解,也就是
的一个基础解系,因而
的通解为
,
为任意实数。
二、非齐次线性方程组的通解的求法
在非齐次线性方程组
有无穷多解时,首先求出方程组的一般解,即约束未知量由自由未知量所表示的表达式,然后把一般解改写为列向量的形式,即可得到方程组的通解。
例2:求
的通解。
解:
因此,<