巧用补形法解决立体几何问题 【典例】(2015·唐山模拟)如图:△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.则(2015·唐山模拟)如图:△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.则此几何体的体积为 . . 【常规解法】如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V 几何体 =V 三棱柱 +V . . 几何体 三棱柱 四棱锥由题知三棱柱ABC-NDM的体积为V由题知三棱柱ABC-NDM的体积为V 1 1 = ×8×6×3=72.12 四棱锥D-MNEF的体积为:则几何体的体积为V :V=V V +V =72+24=96. 2 MNEF1 1 1V S DN 1 2 6 8 24,3 3 2        梯形则几何体的体积为 :V=V 1 1 +V 2 2 =72+24=96.答案: 96 【巧妙解法】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,1 1 1所以V 几何体 = V 三棱柱 = ×S △ABC · AA′= ×24×8=96.答案: 96121212 【方法指导】(1)补形法的应用思路:“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问(1)补形法的应用思路:“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题 形 形 题, , 常见的补形法有对称补形 、 联系补形与还原补形, , 对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥”.(2)补形法的应用条件:当某些空间几何体是某一个几何体的一部分,且求解的问题直接求解较难入手时,常用该法.,主要涉及台体中“还台为锥”.(2)补形法的应用条件:当某些空间几何体是某一个几何体的一部分,且求解的问题直接求解较难入手时,常用该法. 【类题试解】如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合,则形成的三棱锥的外接球的表面积为如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合,则形成的三棱锥的外接球的表面积为 . . 【常规解法】由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.作AF⊥平面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中心.由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.作AF⊥平面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中心. 取EC的中点G,连接DG,AG,过球心O作OH⊥平面AEC,则垂足H为△AEC的中心.所以外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.因为AG= ,AF=AH= ,在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知取EC的中点G,连接DG,AG,过球心O作OH⊥平面AEC,则垂足H为△AEC的中心.所以外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.因为AG= ,AF=AH= ,在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知3223 61 ( ) ,3 3 -33外接球的表面积S 球 = 答案:3 3AG AH 62 3OA .AF 4 63  26 34 ( ) .4 2  32 【巧妙解法】由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.如图所示,把正四面体放在正方体中,显然,正四面体的外接球就是正方体的外接由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.如图所示,把正四面体放在正方体中,显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球.因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为 ,所以外接球直径2R= 所以R= ,所以外接球的表面积S球.因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为 ,所以外接球直径2R= 所以R= ,所以外接球的表面积S 球 = 答案:2223 ,26426 34 ( ) .4 2  32