指数函数的性质
先来复习一下中学的课程:
指数函数的导数
对f(x) = ax求导:
ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):
函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。
如果y=2x,则
,我们仍不知道M(a)是什么,暂且作为悬念。
e
我们知道e表示自然对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在。e有两个性质:
1) (ex)’ = ex
2) ex在x=0的导数是1
当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2),
,这并没有解决问题,看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数,就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数,2kx仅仅是2x的压缩或伸展,在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜:
当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在。
对数的性质
自然对数的导数
自然对数是以e为底的对数,简写做ln
y=lne和y=ex互为反函数:
lnx求导
对于函数y = lnx,其反函数是ey= x,根据反函数微分法:
M(a)的真相
已经做了足够多的准备工作,是时候揭开M(a)的真相了。
在对指数函数y=ax求导时,我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质,elna= a,原函数需要使用对数进行一次变换:
根据链式求导法则,
所以,M(a) = ln(a)
指数函数的求导公式
由于已经知道了M(a),所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。
对数函数求导公式:(ax)’ = axlna
示例:
(10x)’ = 10xln10, (2x)’ = 2xln2
对数微分法
自然对数求导公式:(lnu)’ = u’/u,u是x的函数
根据该公式,(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例1:(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例2:(lnax)’ = (ax)’/ ax= (axlna) / ax= l