இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை

இயற்கணிதத்தில், குறிப்பற்ற களத்திலமைந்த கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை:
 எனில், இதன் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது எதிரொளிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை (reciprocal polynomial, Palindromic polynomial, reflected polynomial) கீழ்வரும் அமைப்புள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்:

தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு:  அல்லது ,

 இன் கெழுக்கள், எதிர்வரிசையில் அமையும்  இன் கெழுக்களாக இருக்கும். நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகத் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் நேரியல் இயற்கணிதத்தில் தோன்றுகின்றன.

கெழுக்களமையும் களமானது  சிக்கலெண்களாக இருந்தால் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை:
 ஆக இருக்கும்.

இதன் இணையிய தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை (conjugate reciprocal polynomial) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

இதில் வரும்  ஆனது,  இன் இணைச் சிக்கலெண் ஆகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கமாக தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

பல்லுறுப்புக்கோவை  ஆனது தன்-தலைகீழி (self-reciprocal) அல்லது "இருவழியொத்தது" (palindromic) எனில்:
 .
மேலும் தன்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் பின்வருமாறிருக்கும்: 
 (அனைத்து ).

பண்புகள் 
தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் அதன் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் பல தொடர்புகள் உள்ளன:
 
 .
 தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை  இன் மூலமாக  "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை  இன் மூலமாக  இருக்கும்.
  எனில், தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை  குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை  ஆனது குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
 தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை  தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை  ஆனது தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
 ஒற்றைப் படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை x+1 ஆல் வகுபடும். எனவே ஒன்றுக்கு அதிகமான படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் குறைக்கவியலாதவை.

எதிர்-தலைகீழ் அல்லது எதிர் இருவழியொத்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

 என்ற  படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழானது எனில்:
  (). 

இதேபோல  என்ற  படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை எதிர்-இருவழியொத்தது எனில்:
 (). அதாவது
.

எடுத்துக்காட்டு:

ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் பண்புகளின்படி,
 நேர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது,  ஒரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை. 
-இரட்டை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது  தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், -ஒற்றை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும் இருக்கும்.

பண்புகள்
 தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒன்றின் மூலம்  என்றால்,   யும் அதே மடங்கெண்கொண்ட மற்றொரு மூலமாக இருக்கும்.
 இதன் மறுதலையும் உண்மை:  மூலம் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு  யும் அதே மடங்கெண்ணுடைய மற்றொரு மூலமாக இருந்தால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது, தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழானது.
 , ஏதாவதொரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனில்:
 தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை;
 எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
 இதிலிருந்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் () பின்வருமாறு எழுதலாம்:
.
 இரு தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனான பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
 தலைகீழ் மற்றும் எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரண்டின் பெருக்கற்பலன் ஒரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
 ஒற்றைப் படிகொண்ட எந்தவொரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும்  ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலம் –1). மேலும் அக்கோவையை   ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையும் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
 இரட்டைப் படியுடைய எந்தவொரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும்  ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலங்கள் −1, 1). மேலும் அதனை  ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
  ஆனது இரட்டையெண் படி 2 கொண்ட தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையெனில்,  என்பதை நிறைவு செய்யும்  படியுள்ள மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை  இருக்கும்

மெய்யெண் கெழுக்கள்
கெழுக்களை மெய்யெண்களாகக் கொண்டதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலெண் மூலங்கள் எல்லாம் சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த ஓரலகு வட்டத்தின் மீதமையுமானால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள் 
 
 Reciprocal Polynomial (on MathWorld)

பல்லுறுப்புக் கோவைகள்