கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி

கணிதத்தில், இரு நேர்ம மெய்யெண்களின்  கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி (arithmetic–geometric mean -AGM அல்லது agM) என்பது கூட்டுச் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்கும், பெருக்கல் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்குமான இணை எல்லையைக் குறிக்கும். கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது,  அடுக்குக்குறிச் சார்புகள், முக்கோணவியல் சார்புகள், மற்ற சிறப்பு சார்புகள் ஆகியவற்றுக்கான விரைவு படிமுறைத் தீர்வுகளிலும்,   போன்ற சில கணித மாறிலிகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் பயன்படுகிறது.

  ஆகிய இரு ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த தொடர்வரிசைகளின் எல்லையாக கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி வரையறுக்கப்படுகிறது:

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளும்  ,  இரண்டின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரிக்குச் சமமாக இருக்கும். இது  ,  ,  எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். வர்க்க மூலத்தின் இரு கிளைகளையும் முரண்பட்டு எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, பொதுவாகக் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு
,   இன் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி காணும் தொடர்படிகள்:

முதல் ஐந்து தொடர்முறையால் கிடைக்கும் மதிப்புகள்:

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் பொது எல்லையே 24, 6 ஆகிய இரு எண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியாகும். அதன் தோராய மதிப்பு: .

வரலாறு 
இந்த சோடி தொடர்வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதல் படிமுறைத்தீர்வு, கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சியின் ஆய்வுகளில் காணப்பட்டது. மேற்கொண்டு, அதன் பண்புகள் கணிதவியலாளர் காஸால் பகுத்தாய்வு செய்யப்பட்டன.

பண்புகள்
 இரு நேர்ம எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, ஒருபோதும் கூட்டுச் சராசரியைவிடப் பெரியதாக இருக்காது. எனவே பெருக்கல் சராசரிகள் , கூடும் தொடர்வரிசையாகவும், கூட்டுச் சராசரிகள் , குறையும் தொடர்வரிசையாகவும் இருக்கும். மேலும்  ஆகவும் இருக்கும்.  எனில் இவை கண்டிப்பான சமனிலிகளாக இருக்கும்.

 இன் மதிப்பு, ,  இரண்டின் பெருக்குச் சராசரிக்கும் கூட்டுச் சராசரிக்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணாக இருப்பதோடு, ,  இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதாகவும் இருக்கும்.

  எனில், .

   இன் தொகையீட்டு-வடிவம்:

இதில்  என்பது, முதல்வகை முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு:

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, விரைவாக ஒருங்குவதால், நீள்வட்ட தொகையீடுகளைக் கணிப்பதற்குத் திறனுள்ள வழியைத் தருகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது ஜேக்கோபி தீட்டா சார்புடன் ( ) கீழுள்ளவாறு இணைக்கப்படுகிறது:

இதில்   எனக் கொள்ள கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கும்:

தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள் 
1, 2 இன் வர்க்கமூலம் ஆகியவற்றின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தலைகீழி காஸின் மாறியாகும்:

1799 இல், காஸ் பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்.
  என்பது கிடையெட்டுவடிவ மாறிலி.   

1941 இல்,  (and hence ) ஆனது விஞ்சிய எண் எனச் செருமானியக் கணிதவியலாளர் தியோடர் சினைடெரால் நிறுவப்பட்டது. 

 என்ற கணம்,  இன் மீது  இயற்கணித சார்பற்றது ஆனால்  (இதிலுள்ள மேற்சுட்டு ' என்பது இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்கிறது) என்ற கணம்  இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது அல்ல. மேலும்,

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியைப் போலவே, பெருக்குச் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் தொடர்வரிசைகளின் மூலம் பெருக்கு-இசைச் சராசரியை (GH), பெறலாம்:
.

கூட்டு-இசைச் சராசரியானது, பெருக்கல் சராசரிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும்.

மடக்கைகள், முழுமையான முதல், இரண்டாம் வகை நீள்வட்டத் தொகையீடுகள், முழுமையற்ற முதல், இரண்டாம் வகைநீள்வட்டத் தொகையீடுகளின் முதல், இரண்டாம் வகைத் தொகையீடுகள், ஜேக்கோபி நீள்வட்டச் சார்புகள்ஆகியவற்றைக் கணிப்பதற்குக்,  கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி பயன்படுகிறது.

இருத்தலுக்கான நிறுவல்
கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் விளைவாக என்ற முடிவு கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து எனப் பெறலாம். அதாவது   என்ற தொடர்வரிசையானது குறையாத் தொடர்வரிசையாகவும் ,   ஆகிய இரண்டில் பெரியதைவிட அதிகவளவு வரம்புடையதாகவும் இருக்கும்.

மேலும், ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றத்தின்படி,  இத்தொடர்வரிசை, ஒருங்குமென்பதால், 
 என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் ஒரு   இருக்கும்.

மேலும்,  என்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது:

தொகையீட்டு வடிவின் நிறுவல்
கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தொகையீட்டு வடிவம், காஸால் நிறுவப்பட்டது.

 என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

 என்றமையும்  வுக்கு தொகையீட்டின் மாறியை மாற்ற:

 

எனவே கிடைப்பது,

 என்பதிலிருந்து மேலுள்ள கூற்றிலுள்ள இறுதிச் சமன் கிடைக்கிறது.

,

பயன்பாடுகள்

π என்ற எண்
காஸ்-இலெஜன்ட்ரே படிமுறைத்தீர்வின்படி:

இதில்,
 , , 
 என்பதைப் பயன்படுத்தி நுட்பமாகக் கணிக்கலாம்.

முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு, K(sinα)

  என எடுத்துக்கொள்ளக் கிடைக்கும் கூட்டு-பெருக்குச் சரசரி:

இதிலுள்ள  ஆனது, முழுமையான முதல்வகை நீள்வட்டத் தொகையீடு,  ஆகும்.

மேற்கோள்கள்

குறிப்புகள்

சான்றுகள்

ஆதாரங்கள்

 
 
 

சராசரிகள்
சிறப்புச் சார்பியங்கள்