வகுபடும் தன்மை விதி

வகுபடும் தன்மை விதி (Divisibility rule) என்பது ஒரு முழுஎண்ணின் வகுபடுதன்மையை அறிந்துகொள்ள எளிமையான வழியாகவும் பயனுள்ள வழியாகவும் உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணை எடுத்துக்கொண்டு வகுத்தல் முழுமையும் செய்து பாராமல் ஒரு நிலையான வகுஎண்ணால் வகுபடுகிறதா இல்லையா என்பதை முடிவு செய்திட இந்த விதிகள் பயன்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களை ஆராய்வதன் மூலம் எளிதாகக் கண்டறியலாம். இக் கட்டுரையானது தசம, அல்லது பத்தடிமான  எண்களுக்கு மட்டுமே விதிகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. மார்ட்டின் கார்ட்னர் இந்த விதிகளை செப்டம்பர் 1962 'சயின்டிபிக் அமெரிக்கன்' இதழில் இடம்பெற்ற "கணித விளையாட்டுகள்" பகுதியில் விளக்கியுள்ளார்.

1 முதல் 30 வரையிலான எண்களின் வகுபடும் தன்மை விதிகள்
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள விதிகள், ஓர் எண்ணை   சிறிய எண்ணாக மாற்றி, அச்சிறிய எண் அதே வகு எண்ணால்  வகுபடுமா என்பதை அறிந்து கொள்ள உதவுகின்றன. எனவே தெளிவாகத் தெரியும் வரை இதே செயல்முறையை மீண்டும் மீண்டும் செய்து பார்த்தல் வேண்டும். கடைசி n இலக்கங்கள் வரை ஆராய்வது போன்று மாற்று வழிகளிலும் வகுபடுதன்மையை ஆய்வு செய்யலாம்.

பல விதிகளைக் கொண்ட வகு எண்களுக்கு, விதிகள் பொதுவாக பல இலக்கங்களைக் கொண்ட எண்களுக்குப் பொருத்தமானவைகளுக்கு முதலில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. பின்னர் அந்த விதியானது  குறைவான இலக்கங்களைக் கொண்ட எண்களுக்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

ஓர்  எண்ணை 2 இன் அடுக்கு அல்லது 5 இன் அடுக்குகளால் (2n அல்லது 5n, n என்பது மிகை முழு எண்) வகுபடுமா என்று சோதிப்பதற்கு கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி n இலக்கங்களை மட்டுமே பார்க்க வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட எந்த ஒரு எண்ணுக்கும் வகுபடும் தன்மையை கண்டறிய அந்த எண்ணை பகா காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாக, அதாவது  ஆக எழுதவேண்டும். இதனைக்கொண்டு ஒவ்வொரு பாகாஎண்ணிற்கும் பொருத்தமான அடுக்கிற்கு ஏற்றாற் போல் வகுபடுவதை நாம் அறிய முடியும். எடுத்துக்காட்டாக 24 ன் வகுபடும்தன்மை அறிந்து கொள்ள 24 = 8×3 = 23×3 என எழுதுவதன் மூலம் 24 என்பது ஒரே நேரத்தில் 3 ஆலும் 8 ஆலும் வகுபடும் என்பதை அறியலாம். எனவே ஒரு எண் 24 ஆல் வகுபடுமா என்பதை அறிய அது 8 மற்றும் 3 ஆல் வகுபடுமா என்பதைச் சோதித்தால் போதும்.

1 முதல் 10 வரை

11 முதல் 20 வரை

21 முதல் 30 வரை

எடுத்துக்காட்டுகளைப் படிப்படியாக செய்தல்

2 ஆல் வகுபடும்தன்மை
 முதலில் ஓர் எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
 இந்த எண்ணில் ஒன்றாம் இலக்கத்தை மட்டும் குறிக்க வேண்டும்.
 மற்ற இலக்கங்களை நீக்கிவிடவேண்டும்.
 ஒன்றாம் இலக்கம் 2 ஆல் வகுபடுமா என முடிவு செய்ய வேண்டும்.
 அவ்வாறு 2 ஆல் வகுபடும் எனில் நாம் எடுத்துக் கொண்ட எண்ணனது 2 ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு
 376 (கொடுக்கப்பட்ட எண் )
 37 6 ( ஒன்றாம் இலக்கத்தை குறிப்போம் )
 6 ÷ 2 = 3 ( ஒன்றாம் இலக்கம் 2 ஆல் வகுபடுகிறதா என சரிபார்)
 376 ÷ 2 = 188 (  ஒன்றாம் இலக்கம் 2 ஆல் வகுபடும்  எனில் அந்த முழு எண்ணும் 2 ஆல் வகுபடும்)

3 அல்லது 9 ஆல் வகுபடும் தன்மை 
 ஓர்  எண்ணை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
 அந்த எண்ணில் உள்ள ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் கூட்டவும்.
 அவ்வாறு கூட்டக் கிடைக்கும் எண்ணானது 3 அல்லது 9 ஆல் வகுபடுமா என முடிவு செய்ய வேண்டும்.
 எண்ணின்  இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3 (அல்லது 9) ஆல் வகுபட்டால் மட்டுமே அந்த எண்ணை 3 அல்லது 9 ஆல் வகுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு
 492 (கொடுக்கபட்ட எண்)
 4 + 9 + 2 = 15 (ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் கூட்ட வேண்டும்)
 15 ஆனது  3 ஆல் வகுபடும். எனவே 492 இம் 3 ஆல் வகுபடும்.
கூட்டுத்தொகை எண் பெரியதாக இருந்தால் இதே முறையை நாம் தொடர்ந்து பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்.
 1 + 5 = 6 (15ல் உள்ள இலக்கங்களின் கூடுதல்)
 6 ÷ 3 = 2, 3 ஆல் வகுபடுகிறது. 
 492 ÷ 3 = 164

4 ஆல் வகுபடும்தன்மை
4 ஆல் வகுபடுவதற்கான  அடிப்படை விதியானது,
ஒரு எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களான ஒன்றாம், பத்தாம் இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட எண்ணானது  4 ஆல் வகுபட்டால், கொடுக்கப்பட்ட  எண் 4 ஆல் வகுபடும்.  100 என்பது 4 ஆல் வகுபடும். எனவே ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்திலும் பத்தாம் இலக்கத்திலும் பூச்சியம் இருந்தாலும் அந்த எண் 4 ஆல் வகுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு
பொதுவான  விதி
2092 (கொடுக்கப்பட்ட எண்)
 20 92 
(எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்களை மட்டும்  எடுத்து கொள்வோம். மற்ற  இலக்கங்களை நீக்கவும் )
92 ÷ 4 = 23 (92 என்ற எண் 4 ஆல் வகுபடும்)
2092 ÷ 4 = 523 (எனவே 2092 உம் 4 ஆல் வகுபடும்.

இரண்டாவது வகை 

6174 (கொடுக்கப்பட்ட  எண்) 
கடைசி இலக்கம் இரட்டை எண்ணாக  உள்ளதா என சரிபார்க்க,  
 61 7 4 (கடைசி 2 இலக்கங்களை மீதமுள்ள எண்ணிலிருந்து பிரிக்கவும்) 
 4 ÷ 2 = 2 (கடைசி இலக்கத்தை 2 ஆல் வகுத்தல்) 
 7 + 2 = 9 (கடைசி இலக்கத்தின் பாதியை இறுதி இலக்கத்துடன் சேர்க்கவும்)
 9 இரட்டை எண்ணாக  இல்லை. ஆக 6174 ஐ 4 ஆல் வகுக்க முடியாது.

மூன்றாவது வகை

1720 (கொடுக்கப்பட்ட  எண்)
1720 ÷ 2 = 860 (கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை 2 ஆல் வகுக்கவும்)
860 ÷ 2 = 430 (கிடைக்கும் எண் 2 ஆல் வகுபடுமா என பார்க்க வேண்டும்)
1720 ÷ 4 = 430 (ஆகவே 2 ஆல் வகுபடுமானால், கொடுக்கப்பட்ட எண் 4 ஆல் வகுபடும்)

5 ஆல் வகுபடும்தன்மை
ஓர் எண்ணில் உள்ள ஒன்றாம்  இலக்கம்  0 அல்லது 5  என முடிந்தால் அந்த எண் 5 ஆல் வகுபடும்  என்பதை எளிதில் அறியலாம்.
ஓர்   எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கமானது 0 ஆக இருந்தால், 5 ஆல் வகுக்கும்ப்போது கிடைக்கக்கூடிய ஈவானது மீதமுள்ள இலக்கங்களை 2 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் கிடைக்கும். 
எடுத்துக்காட்டாக, 40  என்ற எண் பூஜ்ஜியத்தில் முடிவடைகிறது, எனவே மீதமுள்ள இலக்கங்களை (4) எடுத்து அதை இரண்டால் பெருக்கக் கிடைப்பது 8 (4 × 2 = 8 ); இது 40 என்ற எண்ணை 5 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவாகும் (40/5 = 8).
ஓர் எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கம் 5 ஆக இருந்தால், அந்த எண்ணை 5 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவைக் காண, மீதமுள்ள இலக்கங்களைக் 2 ஆல்  பெருக்கி கிடைக்கும் எண்ணுடன் ஒன்றை கூட்ட வேண்டும். 
எடுத்துக்காட்டாக, எண் 125 என்ற எண்  5 இல் முடிவடைகிறது, எனவே மீதமுள்ள இலக்கங்களை (12) எடுத்து, அவற்றை இரண்டால் பெருக்க வேண்டும். (12 × 2 = 24) கிடைக்கும் எண்ணுடன் 1 ஐ கூட்ட வேண்டும்  (24 + 1 = 25). ஆக  125 என்ற எண்ணை  5 ஆல் வகுக்க   (125/5=25) 25 என்ற விடையானது கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு
ஒன்றாம்  இலக்கம் 0 ஆக  
110 (கொடுக்கப்பட்ட  எண் )
11 0 (ஒன்றாம் இலக்கத்தை எடுக்க எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கத்தை  0 அல்லது 5 என்பதை  சரிபார்
11 0  ( மீதமுள்ள இலக்கங்களை மட்டும் எடுத்துக் கொண்டு ஒன்றாம் இலக்கத்தை  நீக்கவும்)
 11 × 2 = 22 (கிடைத்த எண்ணை  2 ஆல் பெருக்கவும்)
 110 ÷ 5 = 22 (கொடுக்கப்பட்ட  எண்ணை 5 ஆல் வகுத்த விடை  கிடைக்கும்)

ஒன்றாம் இலக்கம் 5 ஆக 
 85 (கொடுக்கப்பட் எண்)
 8 5  (எண்ணின் ஒன்றாம்  இலக்கத்தில்  0 அல்லது 5 என்பதைச் சரிபார்)
8 5 (இது 5 ஆக இருந்தால், மீதமுள்ள இலக்கங்களை எடுத்துக்கொண்டு ஒன்றாம் இலக்கத்தை  நீக்க வேண்டும்) 
8 × 2 = 16 (கிடைத்த எண் 8 ஐ 2 ஆல் பெருக்கவும்) 
16 + 1 = 17 (கிடைத்த எண் 16 உடன்  1 ஐச கூட்ட வேண்டும்) 
85 ÷ 5 = 17 (கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை 5 ஆல் வகுத்த விடை  ஆகும் )

6 ஆல் வகுபடும் தன்மை
6 ஆல் வகுபடும்தன்மை  என்பது ஓர் எண் 2 ஆலும் 3 ஆலும் வகுபடுமா என  கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் எளிதாக அறிந்து கொள்ளலாம்.
இது பயன்படுத்த மிகவும் எளிதானது. ஆக கொடுக்கட்ட  எண்ணை (246) ஐ 2 ஆல்  வகுக்கவும் (246 ÷ 2 = 123). பின்னர், கிடைத்த எண் 123 ஐ  மூன்றால் வகுக்கவும்.
(123 ÷ 3 = 41).  ஆக  கொடுக்கப்பட்ட எண் (246 ÷ 6 = 41). ஆறால் வகுத்த விடை  ஆகும்

எடுத்துக்காட்டு

பொது விதி 
324 (கொடுக்கப்பட்ட எண்) 
324 ÷ 3 = 108 (கொடுக்கப்பட்ட எண் 3 ஆல் வகுபடுமா எனத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் )
324 ÷ 2 = 162 அல்லது
108 ÷ 2 = 54 (கொடுக்கப்பட்ட  எண் அல்லது முதல் எண் 324 ஆனது  2 ஆல் வகுபடுமா என்பதைப் சரிபார்)
324 ÷ 6 = 54 ( ஆக கொடுக்கப்பட்ட எண் 6 ஆல் வகுபடும்.

மேற்கோள்கள்

வகுத்தல் (கணிதம்)
முழு எண்கள்