நிலைமத் திருப்புத்திறன்

இந்தக் கட்டுரை ஒரு சுழலும் பொருளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் பற்றியதாகும்.  சமதளத்தின் வளைவுடன் தொடர்புடையதான நிலைமத் திருப்புத்திறனுக்கு பரப்பின் இரண்டாம் நிலைமம் என்பதைக் காண்க.
நிறை நிலைமத் திருப்புத்திறன் அல்லது கோண நிறை எனவும் அழைக்கப்படும் நிலைமத் திருப்புத்திறன் அல்லது சடத்துவத் திருப்பம் (SI அலகுகள்: கிகி·மீ2) என்பது ஒரு பொருளின் சுழற்சி வீதத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கு எதிரான அதன் எதிர்ப்புப்பண்பின் அளவீடாகும். இது நிறையின் சுழற்சி சார்ந்த ஒப்புமைப் பண்பாகும், அதாவது சுழலும் ஒரு திடப்பொருளின் அதன் சுழற்சியைப் பொறுத்த நிலைமம் ஆகும். நிறையானது நேரியல் இயக்கவிசையியலில் முக்கியமாக இருப்பதைப் போலவே சுழல் இயக்கவிசையியலில் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது, இது கோண உந்தம் மற்றும் கோணத் திசைவேகம், திருப்புவிசை மற்றும் கோண முடுக்கம் மற்றும் பல பிற அளவுகளுக்கிடையே உள்ள தொடர்பை வரையறுக்கிறது. I என்ற குறியீடும் சில நேரம் J என்ற குறியீடும் நிலைமத் திருப்புத்திறனைக் குறிப்பிடப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நிலைமத் திருப்புத்திறனின் ஒரு எளிய ஸ்கேலார் ரீதியிலான வடிவமே பல சூழ்நிலைகளுக்குப் போதுமானதாக உள்ளது, மேலும் மேம்பட்ட பண்புருவியல் புரிதலானது சுழலும் உச்சிகள் மற்றும் கைரோஸ்கோப் சுழற்சி போன்ற சிக்கலான அமைப்புகளைப் பற்றிய பகுப்பாய்வுக்கு உதவுகிறது.

இந்தக் கருத்து முதன் முதலில் 1730 ஆம் ஆண்டில் ஆய்லர் என்பவரால் அவரது அ தியாரியா மோட்டஸ் கார்ப்போரம் சாலிடோரியம் சியூ ரிஜிடோரியம் என்ற புத்தகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அவரது புத்தகத்தில், நிலைமத்திருப்புத்திறன் மற்றும் நிலைமத்திருப்புத்திறனின் முதன்மை அச்சு போன்ற அதனுடன் தொடர்புடைய பல கருத்துக்களைப் பற்றி அவர் விவாதித்துள்ளார்.

மேலோட்டப் பார்வை 
கொடுக்கப்பட்ட ஒரு அச்சைப் பொறுத்த ஒரு பொருளின் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது அந்த அச்சைப் பொறுத்த அந்தப் பொருளின் கோண இயக்கத்தை மாற்றுவது எவ்வளவு சிரமம் என விவரிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டுக்கு, ஒரே பொருளால் செய்யப்பட்ட ஒரே நிறையுள்ள A மற்றும் B என்ற இரண்டு வளையங்களைக் கருதுக. வளையம் A ஆனது வளையம் B ஐ விட அதிக விட்டத்தையும் குறைந்த தடிமனையும் கொண்டது. வளையம் A இன் நிறையானது அதன் சுழலும் அச்சிலிருந்து வெகு தொலைவிற்கு பரவியுள்ளதால் அதனை முடுக்குவதற்கு (அதன் திசைவேகத்தை மாற்றுவதற்கு) அதிக முயற்சி தேவைப்படும்: ஓர் அச்சிற்கு அருகில் உள்ள நிறையை விட தொலைவில் வெளியில் இருக்கும் நிறையானது கொடுக்கப்பட்ட திசைவேகத்திற்கு அதிக வேகத்தில் நகர வேண்டும். இந்த நிகழ்வில் வளையம் A ஆனது வளையம் B ஐ விட அதிக நிலைமத் திருப்புத்திறனைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு பொருளின் வடிவம் மாறினால் அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது மாறலாம். தனது கைகளை விரித்து நீட்டியபடி தொடங்கி, ஃபிகர் ஸ்கேட்டிங் செய்யும் ஒருவர் இதற்கான சிறந்த எடுத்துக்காட்டாவார். அவரது கைகளை உள்நோக்கி இழுப்பதன் மூலம் அவரது நிலைமத் திருப்புத்திறனை அவர் குறைக்கிறார், இதனால் அவர் வேகமாக சுழல முடிகிறது (இதற்கு நிலைமத் திருப்புத்திறனின் சேமிப்பே காரணமாகும்).

நிலைமத் திருப்புத்திறனுக்கு இரண்டு வடிவங்கள் உள்ளன ஒன்று ஸ்கேலார் வடிவம்  (அதன் சுழற்சி அச்சு அறியப்படாததாக இருக்கும் போது) மேலும் மிகவும் பொதுவாக பண்புருவியல் வடிவம் ஆகும், இவ்வடிவத்தில் அதன் சுழற்சி அச்சு அறியப்படாமல் இருக்கலாம். ஸ்கேலார் நிலைமத் திருப்புத்திறன்  (பெரும்பாலும் எளிமையாக "நிலைமத் திருப்புத்திறன்" என மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது) சாய்வுப் பாதையில் உருண்டு வரும் பொருட்கள் மற்றும் இருசு(இராட்டினம்) போன்ற சுழற்சியியல் இயக்கிவிசையியலில் உள்ளது போன்ற பல எளிய சிக்கல்களுக்கான சுருக்கமான பகுப்பாய்வுக்கு உதவுகிறது. எடுத்துக்காட்டுக்கு, எந்த ஒரு வடிவத்தின் ஒரு பகுதியும் உராய்வற்ற சாய்வுப் பாதையில் ஒரே வேகத்தில் உருண்டு வரும்போது உருண்டு வரும் பொருள்கள் வெவ்வேறு வேகத்தில் கீழே வரலாம், அது அவற்றின் நிலைமத் திருப்புத்திறன்களைச் சார்ந்ததாகும். ஒரு வளையமானது அதற்கு சமமான நிறை மற்றும் ஆரம் கொண்ட ஒரு திட வட்டைக் காட்டிலும் மிகவும் மெதுவாக உருண்டு வரும், அதன் நிறையின் பெரும்பகுதியானது அதன் சுழல் அச்சிலிருந்து வெகு தொலைவில் அமைந்திருப்பதே இதற்குக் காரணமாகும், ஆகவே அந்த வளையமானது ஒரே கோணத் திசைவேகத்தில் உருண்டு சென்றால் அது வேகமாக நகர வேண்டியிருக்கும். இருப்பினும், சுழற்சி அச்சானது மாறக்கூடிய (மிகவும் சிக்கலான) பிரச்சனைகளுக்கு ஸ்கேலார் அணுகுமுறையானது போதுமானதாக இருப்பதில்லை, பண்புருவியல் அணுகுமுறை தேவையாகிறது (சில சிறப்பான சந்தர்ப்பங்களில் குறுக்கு வழிகளும் சாத்தியமானவையாக உள்ளன). கைரோஸ்கோப்புகள், உச்சிகள் மற்றும் செயற்கைக்கோள்கள் போன்ற நிலைச் சீரமைப்புகள் மாறக்கூடிய அனைத்து பொருள்களும் இது போன்ற அணுகுமுறைகள் அவசியப்படுபவைக்கான எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

நிலைமத் திருப்புத்திறனானது(), சில நேரங்களில் நிலைமத் திருப்புத்திறன் எனவும் அழைக்கப்படும் பரப்பின் இரண்டாம் திருப்புத்திறனுடன் ஏற்படக்கூடிய குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக (குறிப்பாக இயந்திரப் பொறியாளர்களால்) நிறை நிலைமத் திருப்புத்திறன் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இரு அளவுகளையும் வேறுபடுத்தியறிவதற்கான எளிய வழி, அவற்றின் அலகுகளைப் ( vs ) பயன்படுத்துவதே ஆகும். மேலும், ஒரு பொருளின் முறுக்குவிசையை (முறுக்கம்) மட்டும் எதிர்க்கும் திறனின் அளவான போலார் நிலைமத் திருப்புத்திறனுடன் நிலைமத் திருப்புத்திறனைக் குழப்பிக்கொள்ளக்கூடாது.

ஸ்கேலார் நிலைமத் திருப்புத்திறன்

வரையறை 
ஒரு பொருளின் (கொடுக்கப்பட்ட ஒரு சுழற்சி அச்சைப் பொறுத்த) அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறனின் எளிய வரையறை, ஒரு புள்ளி நிறை அல்லது ஒரு 3D கட்டமைப்பாக இருக்கும்பட்சத்தில் பின்வருவதாகும்:

இங்கு m என்பது நிறை மற்றும் r என்பது சுழற்சி அச்சிற்கு செங்குத்தாக உள்ள தொலைவாகும்.

விவரமான பகுப்பாய்வு 
ஓர் அறியப்பட்ட அச்சைப் பற்றிச் சுழலும் ஒரு புள்ளி நிறையின் (ஸ்கேலார்) நிலைமத் திருப்புத்திறன் இவ்வாறு வரையறுக்கப்படலாம்

நிலைமத் திருப்புத்திறனானது சேர்க்கைத் தன்மை கொண்டதாகும். இவ்வாறு, சுழற்சி அச்சிலிருந்து ri தொலைவுகளில் இருக்கும் N எண்ணிக்கையிலான mi புள்ளி நிறைகளைக் கொண்டுள்ள ஒரு திடப் பொருளுக்கு மொத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன், அதன் புள்ளி நிறைகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன்கள் அனைத்தின் கூடுதலுக்கு சமமாக இருக்கும்:

சுழற்சி அச்சில் காணப்படும் நிறை விரவலானது நிலைமத் திருப்புத்திறனை பாதிப்பதில்லை.

ρ (r ) என்ற நிறை அடர்த்தி சார்பால் விவரிக்கப்படும் திடப் பொருள் ஒன்றுக்கு, ஓர் அறியப்பட்ட அச்சைப் பொறுத்த அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறனை, பொருளின் ஒரு புள்ளியிலிருந்து அதன் சுழற்சி அச்சிற்கு உள்ள தொலைவின் (நிறை அடர்த்தியின் மூலம் கணக்கிடப்படுவது) இருமடியை தொகைகெழு காண்பதன் மூலம் கணக்கிடலாம்:

இங்கு,

V என்பது பொருளால் அடைத்துக்கொள்ளப்படும் பருமனாகும்.
ρ என்பது பொருளின் வெளி சார்ந்த அடர்த்தி சார்பாகும் மற்றும்
r = (r ,θ ,φ ), (x ,y ,z ) அல்லது (r ,θ ,z ) என்பது சுழற்சி அச்சுக்கும் பொருளின் ஒரு புள்ளிக்கும் இடையேயுள்ள (சுழற்சி அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ள) வெக்டராகும்.

பரிமாணவியல் பகுப்பாய்வினை மட்டும் அடிப்படையாகக் கொண்டபட்சத்தில் புள்ளி-அல்லாத நிறையின் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது, இவ்வடிவத்தில் இருக்கும்:

இங்கு,

M என்பது நிறையாகும்
L என்பது நிறையின் மையத்திலிருந்து அளவிடப்பட்ட நீளப் பரிமாணமாகும் (சில நேரங்களில் அதற்குப் பதிலாக பொருளின் நீளம் பயன்படுத்தப்படுவதுண்டு).
c என்பது, பொருளைப் பொறுத்து குறிப்பிடுமளவு மாறுபடக்கூடிய நிலைம மாறிலி எனப்படும் பரிமாணமற்ற மாறிலியாகும்.

சுழற்சி மையத்திலிருந்து நிறை வைக்கப்படும் நிலையைக் கருத்தில் கொள்வதற்காக இந்த நிலைம மாறிலிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பின்வருவன இதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளில் அடங்கும்:

 c = 1, மெல்லிய வளையம் அல்லது தனது மையத்தைச் சுற்றிலும் மெல்லிய சுவர் கொண்ட உருளை,
 c = 2/5, தனது மையத்தைச் சுற்றிலும் அமைந்துள்ள திடக் கோளம்
 c = 1/2, தனது மையத்தைச் சுற்றி அமைந்துள்ள திட உருளை அல்லது வட்டு.

c என்பது 1 எனும் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளபட்சத்தில், நீளம் (L ) ஆனது சுழற்சி ஆரம் எனப்படுகிறது.

மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு, நிலைமத் திருப்புத்திறன்களின் பட்டியல் என்பதைக் காண்க.

இணை அச்சுத் தேற்றம் 

திடப்பொருளின் நிறை மையத்தைப் பொறுத்த சுழற்சிக்காக அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது கணக்கிடப்பட்டதும், அதைக் கொண்டு ஒருவர் வழக்கமான வரையறையை மீண்டும் பின்பற்ற வேண்டிய அவசியமின்றி அனைத்து இணையான அச்சுக்களுக்கான நிலைமத் திருப்புத்திறன்களையும் கணக்கிட முடியும். சுழற்சியின் நிறை அச்சின் மையத்திலிருந்து சுழற்சி அச்சானது  தொலைவிற்கு இடம்பெயர்ந்தால், (எ.கா., ஒரு வட்டை அதன் மையத்தைக் கொண்டல்லாமல், அதன் விளிம்பில் உள்ள ஒரு புள்ளியினை மையமாகக் கொண்டு சுழற்றுதல்) இடம்பெயர்ந்த மற்றும் மைய-நிலைமத் திருப்புத்திறன் ஆகியவை பின்வருமாறு தொடர்புபடுத்தப்படலாம்:

இந்தத் தேற்றமானது இணை அச்சு விதி என்றும் அறியப்படுகிறது, மேலும் இது ஸ்டெயினரின் இணை அச்சுத் தேற்றத்தின் சிறப்பு நிலைப் பொருத்தமாகும்.

தொகுப்பு நிலைப் பொருள்கள் 
ஒரு பொருளை (பௌதிக ரீதியாக அல்லது கருத்தியல் ரீதியாக) பல கூறுகளாகப் பகுக்க முடியுமெனில், கொடுக்கப்பட்ட அச்சைப் பொறுத்த அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது கொடுக்கப்பட்ட அதே அச்சைப் பொறுத்த அந்த பங்களிக்கும் கூறுகளின் தனித்தனி நிலைமத்திருப்புத்திறன்களின் கூடுதலுக்கு சமமானதாகும்.

நிலைமத் திருப்புத்திறன் தொடர்பான சமன்பாடுகள் 

ஒரு திடப்பொருளின் சுழற்சி சார்ந்த இயக்க ஆற்றலை அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறனைக் கொண்டு விவரிக்கலாம்.  எண்ணிக்கையிலான  புள்ளி நிறைகளைக் கொண்டதும்,  வேகத்தில் நகரக்கூடியதுமான ஓர் அமைப்புக்கு சுழற்சி சார்ந்த இயக்க ஆற்றலானது  பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது,

இதில்  என்பது பொது கோணத் திசைவேகம் (ரேடியன்கள்/நொடியில்) ஆகும். I ω2 / 2 என்ற இறுதிக் கோர்வையானது, தனிப்பட்ட கூடுதல் முதல் தொகையீடு வரையிலான மேலே விவரிக்கப்பட்ட கணக்கீட்டின் பொதுமையுடன் கூடிய நிறை அடர்த்தி சார்பாகவும் இருக்கிறது.

கோண உந்த வெக்டரானது கோணத் திசைவேக வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பத்தில், அவற்றைப் பின்வரும் சமன்பாடுகளினால் தொடர்புபடுத்தலாம்

இங்கு, L என்பது கோண உந்தமாகும்  என்பது கோணத் திசைவேகமாகும். இருப்பினும், ஒரு சுழலும் பொருளின் முறுக்கு விசையற்ற முன்னியக்கம் போன்ற வித்தியாசமான சந்தர்ப்பங்களில் இந்தச் சமன்பாடு பொருந்துவதில்லை, இருப்பினும் இதன் மிகப் பொதுவான பண்புரு வடிவமானது எப்போதும் சரியாக உள்ளது.

நிலைமத் திருப்புத்திறனானது மாறிலியாக இருக்கும்பட்சத்தில், ஒரு பொருளின் மீதான முறுக்கு விசையையும் அதன் கோண முடுக்கத்தையும் இதே போன்ற சமன்பாட்டினால் தொடர்புபடுத்த முடியும்:

இதில்,  என்பது முறுக்கு விசையும்  என்பது கோண முடுக்கமும் ஆகும்.

நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புரு 

ஒரே பொருளுக்கு, வெவ்வேறு சுழற்சி அச்சுக்களைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன்களின் மதிப்பு வெவ்வேறு சுழற்சி அச்சுக்களுக்கு வெவ்வேறாக இருக்கும். பொதுவாக, ஒரு பொருளானது அதன் எல்லா அச்சுக்களைப் பொறுத்தும் சமச்சீரானதாக இல்லாத வரை அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறன்கள் சமமாக இருக்காது. நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புரு என்பது ஒரு பொருளின் அனைத்து நிலைமத் திருப்புத்திறன்களையும் ஒரே அளவாக சேர்த்து குறிப்பிடுவதற்கான ஒரு வசதியான வழியாகும். இதனை வெளியின் எந்த ஒரு புள்ளியினைப் பொறுத்தும் கணக்கிட முடியும், இருப்பினும் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளுக்கு பொதுவாக நிறை மையமே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை 

 எண்ணிக்கையிலான  புள்ளி நிறைகளைக் கொண்டுள்ள ஒரு திடப் பொருளுக்கு, நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புருவானது பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது:

,

இதில்,

மற்றும் ,  மற்றும்  ஆகும்.
(ஆகவே  என்பது சமச்சீர் பண்புருவாகும்.)

, இன் மூலைவிட்டக் கூறுகள் முதன்மை நிலைமத் திருப்புத்திறன்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன;
 மதிப்பு கொண்ட ஸ்கேலார்கள் , திருப்புத்திறன்களின் விளைவுகள் எனப்படுகின்றன.

இங்கு, பொருள்கள் x-அச்சைப் பொறுத்து சுழலும் நிலையில்,  என்பது -அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறனையும், -அச்சைப் பொறுத்து சுழலும் நிலையில்,  என்பது -அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறனையும், அதே போல் அடுத்தடுத்தாற்போன்ற முறையில் குறிக்கின்றன.

நிறை அடர்த்தி சார்பினால் விவரிக்கப்படக்கூடிய விரவப்பட்ட நிறையைக் கொண்டுள்ள ஒரு பொருளுக்கு, ஸ்கேலார் நிலைமத் திருப்புத்திறனில் செய்வதைப் போலவே இந்த அளவுகளைப் பொதுமைப்படுத்த முடியும். அப்போது

இதில்,  என்பது அதன் வெளிப் விளைவு, E 3 என்பது 3 × 3 ஒத்த அணி மற்றும் V என்பது பொருளை முழுமையாகக் கொண்டுள்ள வெளியின் ஒரு பகுதி ஆகும்.

பண்புருக் கூறுகளின் வருவிப்பு 

 திசையில் ஆதிப்புள்ளியின் வழியே கடந்து செல்லும் சுழற்சி அச்சிலிருந்து  இல் அமைந்துள்ள ஒரு துகளின் தொலைவு  ஆனது, 
 ஆகும். என்ற சூத்திரத்தைப் (மற்றும் சில எளிய வெக்டர் இயற்கணிதத்தையும்) பயன்படுத்துவதன் மூலம், ( திசையில் ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும் சுழற்சி அச்சைப் பொறுத்த) இந்தத் துகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது, 

எனக் காணலாம். இது  இல் ஓர் இருமடி வடிவமாகும். ஒரு படி மேலாக இயற்கணிதமும் சேரும் போது இது நிலைமத் திருப்புத்திறனுக்கான பண்புரு சூத்திரத்தைக் கொடுக்கிறது, (கீழ்க்காணும்படி)

.

இது ஒற்றைத் துகளைப் பொறுத்த வரையில், சரியாக கீழே நிலைமத் திருப்புத்திறனுக்காகக் கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரமே ஆகும். பல துகள்களுக்கு இந்த சூத்திரம் சரியா எனக் காண, நிலைமத் திருப்புத்திறனானது சேர்க்கைத் தன்மை கொண்டது என்பதை நினைவுகூர்வது மட்டுமே போதுமானதாகும்.

ஸ்கேலாராகக் குறைத்தல் 

 எனும் ஏதேனும் ஓர் அச்சிற்கு, n i ஆகிய கூறுகளைக் கொண்டுள்ள செங்குத்து வெக்டராக விவரிக்கப்படுகிற பண்புரு அளவான I இலிருந்து குறைக்கப்பட்ட ஸ்கேலார் வடிவமான I ஐ இவ்வாறு பெறலாம்:

இரண்டு கூடுதல்களின் வரம்பும் மூன்று கார்ட்டீஷியன் ஆயங்களைப் பொறுத்தன.

பின்வரும் சமமான கோர்வையானது கணித நூலகங்களால் ஆதரிக்கப்படாத வரிசைமாற்றம் செய்யப்பட்ட வெக்டர்களைத் தவிர்க்கிறது, ஏனெனில் வெக்டர்களும் அவற்றின் வரிசை மாற்ற வெக்டர்களும் ஒரே நேர்க்கோட்டு வரிசையாகவே அகத்தே சேமிக்கப்படுகின்றன (பின்வருமாறு):

இந்தச் சமன்பாடானது கணிதவியல் ரீதியாக மேலே உள்ள எந்த ஓர் அணிக்கான சமன்பாட்டிற்கும் சமமானது எனினும் நிலைமப் பண்புருக்கள் சமச்சீரானவை என்பதை கவனத்திற்கொள்ள வேண்டும். அதாவது, இதனை மேலும் பின்வருமாறு எளிதாக்க முடியாது என்பது இதன் பொருளாகும்:

முதன்மை நிலைமத் திருப்புத்திறன் 

ஸ்பெக்ட்ரல் கொள்கையின்படி, நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புருவானது மெய்யானதும் சமச்சீரானதுமாக இருப்பதால், அது பின்வரும் வடிவம் கொண்டிருக்கும் மூலைவிட்டமாக இருக்கக்கூடிய ஒரு கார்ட்டீஷியன் ஆய அச்சைக் கண்டறிவது சாத்தியமே ஆகும்:

இங்கு, ஆய அச்சுகள் முதன்மை அச்சுகள் எனவும் 
,  மற்றும்  ஆகிய மாறிலிகள் முதன்மை நிலைமத் திருப்புத்திறன்கள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. முதன்மை அச்சின் வழியே செல்லும் அலகு வெக்டர்கள் வழக்கமாக (e 1, e 2, e 3) எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த முடிவானது முதன் முதலில்  என்பவரால் காண்பிக்கப்பட்டது, மேலும் அது சில்வெஸ்டெரின் நிலைம விதியின் வடிவத்தில் இருந்தது.

அனைத்து முதன்மை நிலைமத் திருப்புத்திறன்களும் தனித்தன்மை கொண்டவையாக இருக்கும்பட்சத்தில், முதன்மை அச்சுகள் தனித்தனியாகக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டு முதன்மை திருப்புத் திறன்களும் ஒன்றேயாக இருக்கும்பட்சத்தில், திடப்பொருளானது சமச்சீர் உச்சி என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அவற்றுக்கான முதன்மை அச்சுகளுக்கென தனித்த தேர்வு எதுவும் இருப்பதில்லை. அனைத்து முதன்மை திருப்புத்திறன்களும் ஒன்றேயாக இருக்கும்பட்சத்தில், திடப்பொருளானது கோள உச்சி என அழைக்கப்படுகிறது (இருப்பினும் அது கோள வடிவில் இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை) மேலும் எந்த அச்சையும் முதன்மை அச்சாகக் கருதலாம், அதாவது எந்த அச்சைப் பொறுத்தும் நிலைமத் திருப்புத்திறன் மதிப்பு ஒன்றேயாகும் என்பதே இதற்குப் பொருளாகும்.

முதன்மை அச்சுகளானது பெரும்பாலும் பொருள்களின் சமச்சீர் அச்சுகளுடன் சீரமைந்தே இருக்கின்றன. ஒரு திடப்பொருளின் அச்சானது சமச்சீர் வரிசை  ஐக் கொண்டிருந்தால், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட அச்சைப் பொறுத்து 360°/m சுழற்சிகளுக்கு சமச்சீரானதாக இருந்தால், சமச்சீர் அச்சே முதன்மை அச்சாகும்.  என்ற நிலையில், திடப்பொருளானது சமச்சீர் உச்சியாகும். ஒரு திடப்பொருளானது, ஒன்றுக்கொன்று இணையாகவோ அல்லது செங்குத்தாகவோ இல்லாத குறைந்தபட்சம் இரண்டு சமச்சீர் அச்சுகளைக் கொண்டிருந்தால், அது கோள வடிவ உச்சியாகும், அதாவது கன சதுரம் அல்லது ஏதேனும் ஒரு பிளேட்டானிக் திடப்பொருளாக இருக்கும். தொடர்ந்து நிகழும் தானாக நிகழ்த்தப்படும் ஒரு டயரின் சமநிலைப்படுத்தல் செயலானது இந்தக் கணிதவியல் நிகழ்விற்கான ஒரு நடைமுறை எடுத்துக்காட்டாகும். இது அடிப்படையில் ஒரு காரின் சக்கரத்தின் முதன்மை நிலைம அச்சை அதன் அச்சாணியின் நிலைக்கு சீராக அமையுமாறு சக்கரத்தின் நிறை முழுவதையும் பரவியிருக்கும் முறையில் பகிர்ந்தளிக்கும் செயலே ஆகும், இந்த செயலினால் சக்கரமானது நிலை குலையாமல் காக்கப்படுகிறது.

இணை அச்சுத் தேற்றம் 

ஒரு திடப்பொருளின் நிறை மையத்தைப் பொறுத்த அதன் சுழற்சிகளுக்கான நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புருவைக் கணக்கிட்ட பின்னர், நிறை மையத்திலிருந்து விலகியமைந்துள்ள புள்ளிகளுக்கான சுழற்சிகளுக்கான பண்புருவைக் கணக்கிடுவதற்கு சிரமம் குறைந்த வழி ஒன்று உள்ளது.

சுழற்சி அச்சானது நிறை மையத்திலிருந்து R என்ற வெக்டர் மதிப்பின் தொலைவிற்கு விலகியமைந்தால், அதன் புதிய நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புருவானது பின்வருமாறு கொடுக்கப்படும்:

இங்கு m என்பது திடப்பொருளின் மொத்த நிறை, E 3 என்பது 3 × 3 ஒத்த அணி மற்றும்  என்பது வெளி விளைவாகும் ஆகும்.

சுழற்சி சமச்சீர்மை 
சமச்சீர் அச்சிற்கு செங்குத்தாக அல்லது அதன் வழியே மாறிகளின் தொகைகளினைக் கொண்டு, அனைத்து நிலைமத் திருப்புத்திறன்களையும் விளக்கக்கூடிய மேலே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, 
வழக்கமாக, இந்தத் திருப்புத்திறன்களைக் கணக்கிடும் வேலை குறிப்பிடத்தக்க அளவு எளிதாக்கப்படுகிறது.

இணைமாற்று அணியுடன் ஒப்பீடு 

ஒரு 3 பரிமாண திடப்பொருளின் நிறை மையத்தைப் பொறுத்த அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புருவானது மும்மை மாறியான சீரற்ற வெக்டரின் இணைமாற்று அணியுடன் தொடர்புடையதாக உள்ளது, இங்கு அந்த வெக்டரின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பானது பின்வருமாறு, திடப்பொருளின் புள்ளி ரீதியான அடர்த்திக்கு நேர்த்தகவில் உள்ளது:

இங்கு, n என்பது புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும்.

நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புருக்களின் கட்டமைப்பானது, அது சுழற்சி வெக்டர்களில் பின்வரும் வடிவத்தில் இருபடி நேரியல் வடிவமாக பயன்படுத்தப்படக்கூடும் என்ற உண்மையில் இருந்து தருவிக்கப்படுகிறது:

நிறையின் ஒவ்வொரு கூறும் பின்வரும் மதிப்பிலான இயக்க ஆற்றலைக் கொண்டுள்ளது

நிறையின் ஒவ்வொரு கூறின் திசைவேகமும்  ஆக உள்ளது, இங்கு r என்பது அந்த கூறு நிறைக்கான சுழற்சி மையத்திலிருந்து வரும் வெக்டராகும். குறுக்குப் பெருக்கற்பலனை அணிப் பெருக்கலாக மாற்றக்கூடும் என்பதால்,

மேலும் இதே போல

ஆகவே

 இன் வரையறையைப் பயன்படுத்தினால்,  பகுதியானது நேரடியாக திருப்புத்திறன் கட்டமைப்பைக் கொடுக்கிறது.

மேலும் காண்க 

 நிலைமத் திருப்புத்திறன்களின் பட்டியல்
 நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புருக்களின் பட்டியல்
 சுழற்சி ஆற்றல்
 இணை அச்சுத் தேற்றம்
 செங்குத்து அச்சுத் தேற்றம்
 நீட்சி விதி
 டயர் சமநிலைப்படுத்தல்
 பாயின்சட் நீள்வட்டக் கோளம்

குறிப்புகள்

குறிப்புதவிகள் 

 
 ;  (மென் அட்டைப் புத்தகம்).
 .
 
 .

புற இணைப்புகள் 
 கோண உந்தமும் இரண்டு மற்றும் மூன்று பரிமாணங்களில் திடப்பொருளின் சுழற்சியும் 
 திடப்பொருளின் சுழற்சி மற்றும் நிலைமத் திருப்புத்திறன் பற்றிய விரிவுரைக் குறிப்புகள்
 நிலைமத் திருப்புத்திறன் பண்புரு
 நிலைமத் திருப்புத்திறன் பற்றிய ஓர் அறிமுகப் பாடம்: செங்குத்து தடியை விழாமல் வைத்திருத்தல் (ஜாவாவில் உருவாக்கப்பட்டது)
 நிலைமத் திருப்புத்திறன்களைக் கண்டறிவதற்கான பாடம், பல்வேறு அடிப்படை வடிவங்களுக்கான சிக்கல்களும் தீர்வுகளும் அடங்கியது
 நிலைமத் திருப்புத்திறனை அளவிடல் 

விசையியல்
கூகுள் தமிழாக்கம்-இயற்பியல்