ஆரியபட்டர்

ஆரியபட்டர் அல்லது முதலாம் ஆரியபட்டர் ('Aryabhata, Aryabhata I) (ISO: ) (பொ.ஊ. 476–550) பண்டைக்கால இந்தியக் கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமாவார். குப்த காலத்தில் வாழ்ந்த இவர் எழுதிய நூல்கள் ஆரியபட்டியம், ஆரிய சித்தாந்தம் ஆகியவையாகும்.

இந்தியக் கணிதவியல் வரலாற்றில் இரண்டு ஆரியபட்டர்கள் புகழ் பெற்றுள்ளார்கள். இவர்களுள் பொ.ஊ. ஐந்தாம் நூற்றாண்டின் இறுதிப்பகுதியிலும், ஆறாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்திலும் வாழ்ந்த ஆரியபட்டரைப் பற்றியது இந்தக் கட்டுரை. பிற்காலத்தில் வாழ்ந்த இரண்டாம் ஆரியபட்டா என்பவரிடம் இருந்து வேறுபடுத்துவதற்காக இவரை முதலாம் ஆரியபட்டர் அல்லது மூத்த ஆரியபட்டர் எனவும் அழைப்பது உண்டு. இவரது பிறப்பிடத்தைச் சரியாகத் தீர்மானிக்கத்தக்க வகையில் சான்றுகள் எதுவும் அகப்படவில்லை. எனினும் இவர் குசுமபுரா என்னும் இடத்துக்குச் சென்று அங்கே உயர்கல்வி கற்றதாகவும், அங்கே வாழ்ந்ததாகவும் அறியப்படுகின்றது. இவருடைய நூலுக்கு உரையெழுதிய பாஸ்கரர், இவ்விடம், இன்றைய பாட்னாவான பாடலிபுத்திரமே என்கிறார்.

இயற்கணிதத்தைச் சார்ந்து முதன்முதலில் எழுதப்பட்ட நூல் இந்தியாவில் ஆரியபட்டரால் பொ.ஊ. 5ம் நூற்றாண்டில் எழுதப்பட்டது. இது பீசகணிதம் என்று பெயர்கொண்டது. பாடல் வடிவில் அமைந்துள்ள ஆரியபட்டீயம், கணிதவியல், வானியல் தொடர்பான கண்டுபிடிப்புக்கள் பலவற்றைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்ந்த பல நூற்றாண்டுகளிலும் இந்தியக் கணிதவியலில் இந்நூல் செல்வாக்குச் செலுத்தியது. மிகச் சுருக்க வடிவில் இருந்த இந்நூலுக்கு, விரிவான உரைகளை இவரது மாணவரான முதலாம் பாஸ்கரரும்; பொ.ஊ. 15 ஆம் நூற்றாண்டில், ஆரியபட்டீய பாஷ்யம் என்ற பெயரில் நீலகண்ட சோமயாசி என்பவரும் எழுதியுள்ளனர்.

ஆரியபட்டர் ஒலியன் எண் குறியீட்டு முறையை உருவாக்கினார். இதில், எண்கள் ஓரசை கொண்ட உயிர்மெய்யெழுத்துக்களால் குறிக்கப்பட்டன. பின்வந்த பிரம்மகுப்தர் போன்ற அறிஞர்கள் அவரது படைப்புகளை கணிதம், காலக்கிரியம், கோளப்பதம் ("கோள வானியல்") எனப் பிரித்தனர். இவரது தூய கணிதமானது வர்க்கமூலம் மற்றும் கனமூலம் கணக்கிடல், வடிவவியல் வடிவங்களும் அவற்றின் பண்புகளும், அளவியல், சூரியக் கடிகாரக் கோலின் நிழலைக் கணக்கிடும் கூட்டுத் தொடர் கணக்குகள், இருபடிச் சமன்பாடுகள், நேரியல் சமன்பாடுகள் தேரவியலா சமன்பாடுகள் ஆகியவற்றைப் பற்றிய விளக்கங்களைக் கொண்டிருந்தது. பை (கணித மாறிலி) (π) இன் மதிப்பை நான்கு தசமதிருத்தமாகக் கணக்கிட்டார். மேலும்  யோகான் என்றிச் இலாம்பெர்ட் பை (கணித மாறிலி) (π) ஒரு விகிதமுறா எண் என நிறுவியதற்கு சுமார் 1300 ஆண்டுகளுக்கு முன்னரே ஆரியபட்டர் அவ்வுண்மையை அறிந்திருந்தார். ஆரியபட்டரின் முக்கோணவியலின் சைன் அட்டவணையும் முக்கோணவியல் குறித்த இவரது கருத்துக்களும் இசுலாமியப் பொற்காலத்தில் மிகவதிகத் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தின. இவரது நூல்கள் அரபு மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு இசுலாமிய அறிஞர்கள் முகம்மது இப்னு மூசா அல்-குவாரிஸ்மி, அபு இசாக் இப்ராகிம் அல்-சர்க்காலி ஆகிய இருவருக்கும் முன்னோடியாக இருந்தன.

கோள வானியலில் தள முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்தி சூரிய, நிலவு மறைப்புகளைக் கணக்கிட்டார். விண்மீன்கள் மேற்கே நகர்வதுபோலத் தோன்றுவதற்குக் காரணம் புவி தன் அச்சில் சுழல்வதே காரணம் என்பதையும் நிலவும் பிற கோள்களும் ஒளிர்வதற்கு சூரிய ஒளியின் எதிரொளிப்பே காரணம் என்பதையும் கண்டுபிடித்தார்.

வாழ்க்கை வரலாறு

பிறந்த காலமும் இடமும் 

ஆரியபட்டீய நூலில், கலி யுகம் 3600 ஆண்டில் தனது வயது 23 என அவரே குறிப்பிட்டுள்ளார். இது பொ.ஊ. 499 ஆண்டைக் குறிக்கும். எனவே அவர் பிறந்தது பொ.ஊ. 476 ஆம் ஆண்டென அறியலாம். தான் குசும்புரா அல்லது பாடலிபுத்திரம் (தற்போது பட்னா, பீகார்) என்ற இடத்தைச் சேர்ந்தவர் எனவும் அவர் குறிப்பிட்டுள்ளார்.

மாறுபட்ட கருத்துகள் 
ஆரியபட்டர் பிறந்த ஆண்டு குறித்து தெளிவாக ஆரியபட்டியத்தில் கூறி இருந்தாலும், அவர் எந்த இடத்தில் பிறந்தார் என்பது அறிஞர்களுக்கு இடையே ஒரு புரியாத புதிராக இருந்து வருகிறது. சிலர் இவர் நர்மதை மற்றும் கோதாவரி ஆறுகளுக்கிடையே இருந்த அஸ்மகம் என்ற ஆந்திரப் பிரதேசத்தில் உள்ள தெலுங்கானா வட்டாரத்தில் பிறந்ததாகவும், ஆனால் முந்திய புத்தமத உரைகள் அஸ்மகத்தை இன்னும் தெற்கு வசமாக தக்ஷிணபதத்தில் அதாவது தக்காணப் பீடபூமியிலும், மற்றும் இதர உரைகள் அஸ்மகத்தில் அலெக்சாந்தர் போர் புரிந்ததாகவும் விளக்கி உள்ளன, அப்படி இருந்தால் அது இன்னும் வடக்கில் இருந்து இருக்கும்.

ஒரு ஆய்வு ஆர்யபட்டா கேரளாவைச் சார்ந்தவர் என்கிறது. கேரளாவில் தற்போதுள்ள கொடுங்கல்லூர் என்ற ஊர்தான் அஸ்மகம் என்றும் இன்றைய கொடுங்கல்லூர் பண்டைய கேரளத்தின் திருவாஞ்சிக்குளத்தின் தலைநகர் என்றும் கருத்துள்ளது. ஆரியபட்டர் வாழ்ந்த இடமாகக் கேரளத்தைக் கூறும் கருத்துகளுக்கு எதிராக அவருக்கும் கேரளத்திற்கும் எந்தவொரு தொடர்பும் இல்லை என்ற கூற்றும் உள்ளது.

ஆரியபட்டியத்தில் ஆரியபட்டர் "லங்கா" என்று பல முறை குறிப்பிட்டுள்ளார், அவருடைய "லங்கா" என்பது ஒரு கற்பனை வாதமாகும், அது நிலநடுக்கோட்டில் உஜ்ஜையனி நாட்டின் நிலநிரைக்கோடிற்கு சமமாக உள்ள ஒரு புள்ளியிடத்தை குறிப்பது ஆகும்.

படைப்புகள் 
ஆரியபட்டர் கணிதம் மற்றும் வானவியல் சார்ந்த பல ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை எழுதியுள்ளார். அவற்றில் சில தொலைந்து போயின. இவர் எழுதிய ஆரியபட்டியம்
தற்காலத்திற்கு கிடைக்கப்பெற்ற 5 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த ஒரே இந்தியக் கணிதவியல் நூலாகும். மற்றொரு நூலான ஆரிய சித்தாந்தம் கிடைக்கப்பெறவில்லை. அரபு மொழி பெயர்ப்பின் காரணமாக மூன்றாவதான ஒரு ஆர்யபட்டரின் உரையும் கிடைத்துள்ளது. ஆனால் அதன் சமஸ்கிருத மூலப் பெயர் தெரிய வரவில்லை. இதைப் பற்றி பெர்சியன் நாட்டு அறிஞர் மற்றும் இந்தியத் தொடர்வரலாறுகளை எழுதிய அறிஞர் அபூ ரெஹான் அல்-பிரூனி குறிப்பிட்டு இருக்கிறார்.

ஆரியபட்டியம் 
 
செங்கிருத நூலான இது நான்கு பகுதிகளும், 121 பாடல்களும் கொண்டுள்ளது.
 தச கீதிகபாதம் (13 பாடல்கள்): கல-கல்ப, மன்வந்தர, யுகா போன்ற பெரிய பகுதிகள் இதற்கு முன் இருந்த லகாதாவின் வேதாங்க ஜ்யோதிச (பொ.ஊ.மு. 1 நூ) நூலைவிட வேறுபடுத்தி அண்டவியலைப் பற்றிக் கூறுகின்றன. மேலும் சைன் பற்றியும் ஒரு பாடல் உள்ளது. மற்றும் மகயுகத்தில் கோள்களின் சுழற்சிக் காலம் 4.32 மில்லியன் ஆண்டுகள் என்றும் கூறுகிறது.
கணிதபாதம் (33 பாடல்கள்): அளவையியல் (க்ஷேத்திர வ்யவஹாரா), கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் தொடரியல், சூரிய மணிக்காட்டியிலுள்ள கோல்/நிழல் முறை, ஒருபடி, இருபடி, ஒருங்கமை மற்றும் தேரப்பெறாத (குட்டக) சமன்பாடுகள் பற்றிக் கூறுகிறது.
காலக்ரியாப்பாதம் (25 பாடல்கள்): காலத்தின் வெவ்வேறு அளவுகோல்கள், குறிப்பிட்ட நாளில் கோள்களின் இருப்பிட நிலை, இடைச்சேர்வுகள் கொள்ளும் மிகை மாதங்களைக் கணிக்கும் முறைகள், க்ஷய-திதி மற்றும் வாரத்தின் ஏழு கிழமைகளின் பெயர்கள் பற்றி விவரிக்கிறது.
கோலபாதம் (50 பாடல்கள் ): விண்வெளிக் கோள்களின் வடிவ/முக்கோணகணித இயல்புகள், நீள்வட்டப் பாதை, வானநடுவரை, கணு, புவியின் வடிவம், பகல் மற்றும் இரவின் காரணங்கள், கீழ்வானத்தில் தோன்றும் ராசி நட்சத்திரங்கள் போன்றவைகளை விவரிக்கிறது. மேலும் படைப்பின் மேற்கோள்கள் மேலும் வலு சேர்க்கும் விதமாகவுள்ளன.

மிக சுருக்கமாக இருக்கும் இதன் பாக்களுக்கு இவரது சீடரான முதலாம் பாஸ்கரர் தனது தொடர்விளக்க விளக்க உரையாடல்களிலும், (பாஷயா, பா. 600) மேலும் நீலகந்த சோமையாஜி தனது உரையான ஆர்யபட்டீய பாஷ்யாவிலும், விவரமாக விளக்கம் உரைத்துள்ளனர் (1465).

ஆரிய சித்தாந்தம்  
தொலைந்து போன இந்நூல் வானியல் கணிதம் கொண்ட படைப்பு. ஆரியபட்டருடன் வாழ்ந்தவரான அறிவியல் அறிஞர் வராகமிகிரர் என்பவரின் படைப்புக்களில் இருந்தும், அதற்குப் பின்னால் வந்த கணிதயியலாளர்கள் மற்றும் தொடர்விளக்க உரையாளர்களின் படைப்புகளில் இருந்தும் (பிரம்மகுப்தர், முதலாம் பாஸ்கரர்) இந்நூலைப் பற்றித் தெரிய வருகிறது. கணிதம் 
 இடப்பெறுமான முறையும் சுழியமும். 
மூன்றாம் நூற்றாண்டின் கண்டுபிடிப்பான இடப்பெறுமான முறை ஆரியபட்டரின் படைப்புகளில் இடம்பெற்றுள்ளது. சுழியத்தின் குறியீடு வெளிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படாவிட்டாலும் ஆரியபட்டரின் படைப்புகளில் சுழியம் குறித்த விவரங்கள் பத்தின் அடுக்குகளின் இடப் பிடிப்பான்களாக மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளதாகப் பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் ஜார்சஸ் இல்பிரா கூறுகிரார்.

வேத காலத்தின் சமசுகிருத முறைப்படி எண்களையும் அளவுகளையும் குறிப்பதற்கு அட்சரங்களைப் (எழுத்துக்கள்) பயன்படுத்தினார். நினைவி வடிவிலமைந்த அவரது சைன் அட்டவணையில் இதனைக் காணலாம்.

 பை இன் தோராய மதிப்பு 
ஆரியபட்டர் பை () இன் மதிப்பைத் தோராயமாகக் கணக்கிட்டார்.  மேலும் பை () ஒரு விகிதமுறா எண் என்ற முடிவிற்கு வந்தார். ஆரியபட்டியத்தின் ( 10) இரண்டாம் பாகத்தில் காணப்படும் குறிப்புகள்: 
 

"நூறோடு நாலைக் கூட்டி, அதை எட்டால் பெருக்கி, அதனுடன் 62000 கூட்டி, 20000 விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியலாம்."

இதன்படி, ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் அதன் விட்டத்தின் விகிதாச்சாரம்: ((4+100)×8+62000)/20000 = 62832/20000= 3.1416.

அதாவது,
 
இந்த விடையானது மூன்று தசம இலக்கங்களுக்குத் துல்லியமானது

இந்த மதிப்பு தோராயமானதும் கணக்கிடமுடியாதும் (விகிதமுறா எண்) என்ற பொருள்தரும் "ஆசன்ன" (நெருங்குகிறது) என்ற வார்த்தையை ஆரியபட்டர் பயன்படுத்தியதாக ஊகிக்கப்படுகிறது. இந்த ஊகம் உண்மையெனில் இம்மதிப்பின் விகிதமுறாத்தன்மையை பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னரே ஆரியபட்டர் அறிந்திருந்ததார் என்பது அவர் நுண்ணறிவுக்குச் சான்றாக அமைகிறது. ஏனெனில் பிற்காலத்தில் "பை" இன் விகிதமுறாத்தன்மை 1761 ஆம் ஆண்டில்தான் ஐரோப்பாவில் கணிதவியலாளர் யோகான் என்றிச் இலாம்பெர்ட்டால் நிறுவப்பட்டது.

அரபு மொழியில் ஆரியபட்டியம் மொழிபெயர்க்கப்பட்ட பின்னர் (c. 820 CE) முகம்மது இப்னு மூசா அல்-குவாரிஸ்மியின் இயற்கணித நூலில் இத்தோராயம் குறித்து பேசப்பட்டுள்ளது.

 முக்கோணவியல் 
கணிதபாதம் 6 இல், ஆர்யபட்டா ஒரு முக்கோணத்தின்  பரப்பளவை இவ்வாறு அளக்கிறார்

 த்ரிபுஜாச்ய பலஷரிரம் சமதளகோடி புஜர்தசம்வர்க அதன் பொருளானது : ஒரு முக்கோணத்திற்கு, அதன் செங்குத்துடன் அரைப் பக்கத்தை பெருக்கினால் அதன் பரப்பளவு கிட்டும்.

ஆரியபட்டர் தனது படைப்பான "அர்த-ஜியாவில் சைன் பற்றி விவாதித்திருக்கிறார். "அர்த-ஜியா" என்பது "அரை-நாண்" எனப் பொருள்படும். அர்த-ஜியா என்பது சுருக்கமாக "ஜியா" எனப்பட்டது. சமசிகிருதத்திலிருந்து அரபு மொழிபெயர்ப்பில் "ஜியா" என்பது "ஜிபா" என்றானது. பின்னர், அரபு மொழியில் உயிரெழுத்துக்கள் விட்டுவிடப்படுவதால் "ஜிப்" என மாறியது. பின்னர் வந்த நூலாசிரியர்களால் "ஜெய்ப்" என எழுதப்பட்டது. அதன் பின்னர் 12 ஆம் நூற்றாண்டில் கிரிமோனாவின் கெரார்டு என்ற இத்தாலிய மொழிபெயர்ப்பாளர் ஆரியபட்டரின் படைப்புகளை அரபுமொழியிலிருந்து இலத்தீன் மொழியில் மொழிபெயர்த்தபோது "ஜெய்ப்" என்பதை அதே பொருள்கொண்ட இலத்தீன் வார்த்தையான "சைனசு" (sinus) ஆக மாற்றி எழுதினார். அதிலிருந்து ஆங்கில வார்த்தையான "சைன்" என மாறியது.

 தேறப்பெறாத சமன்பாடுகள் 
பண்டைய காலத்தில் இருந்தே இந்திய கணிதயியலாளர்களுக்கு அதிக ஆர்வத்தைத் தூண்டியது ax + b =cy போன்ற சமன்பாடுகளுக்கு முழுஎண் விடைகளைக் கண்டுபிடிப்பது ஆகும். இதனை தயபனதன் சமன்பாடுகள் என்று கூறுவர்.

முதலாம் பாஸ்கரரின் ஆரியபட்டியத்தின் விளக்க உரையிலுள்ள ஒரு எடுத்துக்காட்டு: 
எட்டால் வகுத்தால் மீதி 5 வரக்கூடியதும்; ஒன்பதால் வகுத்தால் 4 வரக்கூடியதும்; மற்றும் ஏழால் வகுத்தால் மீதி 1 வரக்கூடியதுமான எண்ணைக் கண்டுபிடித்தல்.

அதாவது N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1 என்று வரும் எண்ணைக் கண்டு பிடித்தல். N என்பதற்கு மிகக் குறைவான மதிப்பீடு 85 ஆகும். பொதுவாக, தயபனதன் சமன்பாடுகள் கடினமானதாகக் காணப்படும். இது போன்ற சமன்பாடுகள் பண்டைய வேத இலக்கிய உரையான சுலப சூத்திரங்களில் (பொ.ஊ.மு. 800) விரிவாக உரைக்கப்பட்டுள்ளது.
    
இதற்கு விடை காணும் ஆரியபட்டரின் வழிமுறையானது  (कुट्टक) "குட்டக முறை" என்று அழைக்கப்பெற்றது. இது பாஸ்கரரின் உரையில் விரிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளது. "குட்டக்" என்றால் பொடியாக்குவது, அதாவது சிறு துண்டுகளாக அதை உடைப்பது மேலும் அதற்கான அசல் காரணிகளை சிறு எண்களாக எழுதுவதற்கு ஒரு மீள்சுருள் நெறி முறை தேவைப்பட்டது. இந்த மீள்சுருள் நெறிமுறை, இந்தியக் கணிதவியலில் முதல்வரிசை தயபனதன் சமன்பாடுகளின் விடையைக் கண்டுபிடிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்ட செந்தர நியம முறையாக உள்ளது. துவக்க காலத்தில் இயற்கணிதம் முழுவதுமே "குட்டக-கணிதம்" என அழைக்கப்பட்டது.

 இயற்கணிதம் 
ஆரியபட்டியத்தில் வர்க்க எண்கள் மற்றும் கனசதுர எண்களின் கூட்டுத்தொடரின் கூட்டுதொகை காணும் வாய்பாடுகளை ஆரியபட்டர் வடிவமைத்தார்:

 வானியல் 
ஆரியபட்டரின் வானியல் முறையானது அவுதயகா முறை என அழைக்கப்பெற்றது. இம்முறைப்படி, லங்காவில், நிலநடுக்கோட்டில் உதயம் (விடியல்) ஏற்படும் போதிலிருந்து நாட்களின் துவக்கம் கணக்கிடப்பட்டது. அவர் வானவியல் பற்றி பின்னர் எழுதிய நூல்கள், வானியலுக்கு இரண்டாவதான ஒரு மாதிரியையும் முன்வைத்ததாகவும் ஆனால் அது குறித்த நூல் (அர்த்த-ராத்திரிகா) தொலைந்து போனதாகவும் கருத்து நிலவுகிறது. எனினும் பிரம்மகுப்தரின் கண்டகதயகத்திலுள்ள விவரங்களைக் கொண்டு ஆரியபட்டரின் இரண்டாவது வானியல் மாதிரியின் ஒரு பகுதியை மீளமைக்கலாம்.  சில பதிவேடுகளில் அவர் வானுலக நகர்வினைப் புவியின் சுழற்சியின் காரணமாக ஏற்படுவதாக குறித்துக் காட்டுகிறார். மேலும் இவர் கோள்களின் சுற்றுப்பாதையை நீள்வட்ட வடிவம் என்றும் கணித்தார்.Hayashi (2008), Aryabhata I

 சூரிய மண்டல இயக்கம். 
ஆரியபட்டர் புவி தன் அச்சில் ஒரு நாளில் ஒரு சுற்று சுழன்று வருவதாக உறுதியாகத் அறிவித்தார். மேலும் அன்றைய நம்பிக்கையான வான் சுழல்கிறது என்பற்கு எதிராக, விண்மீன்களின் நகர்வுக்குக் காரணம் புவி தன் அச்சில் சுழல்வதே என்பதையும் முன்வைத்தார். இக்கருத்து ஆரியபட்டியத்தின் முதல் அத்தியாயத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. அதில் அவர் புவி ஒரு "யுக"காலத்தில் மேற்கொள்ளும் சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட்டுத் தந்துள்ளார். ' அவரது கோலபாதத்தில் மேலதிக விவவரங்களைத் அளித்திருக்கிறார்.
 (லங்கா என்பது நிலநடுக்கோட்டிலுள்ள ஒரு அடையாள புள்ளி ஆகும்.)

ஆரியபட்டர் சூரிய மண்டலத்தின் புவிமைய மாதிரியை விளக்கி உள்ளார். இதன்படி சூரியனும் நிலவும் எபிவட்டங்களால் செலுத்தப்படுகின்றன. மேலும் அவையிரண்டும் புவியைச் சுற்றுகின்றன. இதேபோன்ற மாதிரி "பைத்தமகாசித்தாந்தத்திலும்" (சு. பொ.ஊ. 425) காணப்படுகிறது. இக்கருத்தின்படி எல்லாக் கோள்களின் நகர்வும் "மந்த" (மெதுவான), "சிகர" (வேகமான) என்ற இரு எபி வட்டங்களால் நிர்வகிக்கப்படுகின்றன. புவியில் இருந்து தூரத்தை வைத்து கோள்களை வரிசைப் படுத்தினால், அவை:"நிலா, புதன், வெள்ளி, ஞாயிறு (விண்மீன்), செவ்வாய் (கோள்), வியாழன் (கோள்), சனி (கோள்), விண்மீன் குழுக்கள்"

 இவற்றையும் பார்க்கவும் 
 ஆரியபட்டா (செய்மதி)

 மேற்கோள்கள் 

 இதர குறிப்புகள் 
 
 
 Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.
 

 வெளி இணைப்புகள் 

 1930 English translation of The Aryabhatiya'' in various formats at the Internet Archive.
 
  (PDF version)
 "Aryabhata and Diophantus' son", ஹிந்துஸ்தான் டைம்ஸ் Storytelling Science column, November 2004
 Surya Siddhanta translations

476 பிறப்புகள்
550 இறப்புகள்
இந்தியக் கணிதவியலாளர்கள்
இந்திய வானியலாளர்கள்
இந்திய அண்டவியலாளர்கள்