போதாயனர்

போதாயனர் என்பவர் கி. மு. எட்டாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ஒரு இந்திய கணித மேதை ஆவார். இவர் பையின் மதிப்பையும் செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கத்தை வர்க்கம் வர்க்கமூலம் இல்லாமல் கண்டறியும் முறையையும் அறிந்தவர் என்றும் கூறப்படுகிறார். மேலும் இவர் பௌதாயன தர்ம சூத்திரம் எனும் நூலை இயற்றியுள்ளார்.

போதாயனர் கோட்பாடுகள்

போதாயனர் தர்ம சூத்திரம்
கல்ப சாத்திரத்தின் ஒரு பகுதியான தர்ம சாத்திர நூல்களான ஆபஸ்தம்ப தர்மசூத்திரம் போன்ற போதாயனர் இயற்றிய பௌதாயன தர்ம சூத்திர நூல் உள்ளது. பௌதாயண சூத்திரம் வாழ்க்கை நெறிமுறைகளை விளக்குவதுடன், பிரஷ்ணங்கள் சிரௌத சூத்திரம் மற்றும் சடங்குகள் செய்முறை, வேத வடிவவியலைக் கையாளும் சுல்பசூத்திரம் மற்றும் வீட்டுச் சடங்குகளைக் கையாளும் கிரஹ சூத்திரம் (Grhyasutra]] ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

பௌதயான தர்ம சூத்திரத்திற்கு கோவிந்தசுவாமியின் "விவாரணம்" தவிர வேறு எந்த விளக்கங்களும் இல்லை. இதன் விளக்க உரையின் காலம் நிச்சயமற்றது. ஆனால் அறிஞர் ஒலிவெல்லின் கூற்றுப்படி இது மிகவும் பழமையானது அல்ல.  ஆபஸ்தம்ப தர்மசூத்திரம் மற்றும் கௌதம சூத்திரம் பற்றிய ஹலாயுதரின் விளக்க உரையுடன் ஒப்பிடும் போது, இதன் விளக்கம் மிகவும் குறைவானதாகும். 

இந்த தர்மசூத்திரம் நான்கு புத்தகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. புத்தகம் ஒன்று மற்றும் புத்தகம் இரண்டின் முதல் பதினாறு அத்தியாயங்கள் மிகவும் பழமையானது என  ஆலிவெல் கூறுகிறார். புக்லர் மற்றும் கனே போன்ற அறிஞர்கள் தர்மசூத்திரத்தின் கடைசி இரண்டு புத்தகங்களும் பின்னர் சேர்க்கப்பட்டவை என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். புத்தகம் இரண்டில் உள்ள அத்தியாயம் 17 மற்றும் 18 பல்வேறு வகையான துறவிகள் மற்றும் துறவறத்தின் நடைமுறைகளை வலியுறுத்துகிறது.

முதல் புத்தகம் முதன்மையாக மாணவருக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் மாணவர் தொடர்பான தலைப்புகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது சமூக வகுப்புகள், அரசனின் பங்கு, திருமணம் மற்றும் வேத பாராயணத்தை நிறுத்துதல் ஆகியவற்றையும் குறிக்கிறது. புத்தகம் இரண்டு தவங்கள், வாரிசு, பெண்கள், இல்லறத்தார், வாழ்க்கை முறை, மூதாதையருக்கான படையல் ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. புத்தகம் மூன்று  இல்லத்தரசிகள், வன துறவி மற்றும் தவம் ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. புத்தகம் நான்கு  திருமணம் தொடர்பான குற்றங்களும், யோகப் பயிற்சிகள் மற்றும் தவம் ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது.

போதாயனர் சுல்பசூத்திரம்

பித்தேகோரசு தேற்றம் 
கணிதத்தில் இப்போது பித்தேகோரசு தேற்றம் என அறியப்படும் தேற்றத்துக்குச் சமானமாக விதிமுறையை போதாயனரின் சுல்வ சூத்திரம் கூறுகிறது. இவ்விதிமுறை, கிரேக்க, சீன, மெசப்பட்டோமிய ஆகிய  பண்டைய நாகரிக காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.   சூத்திரம் மட்டுமே உள்ளது அதற்கான நிறுவல் இல்லை.

சூத்திரம்

दीर्घचतुरस्रस्याक्ष्णया रज्जुः पार्श्वमानी तिर्यग् मानी च यत् पृथग् भूते कुरूतस्तदुभयं करोति ॥
dīrghachatursrasyākṣaṇayā rajjuḥ pārśvamānī, tiryagmānī,

தமிழில்:
"ஓடும் நீளம் தனை ஒரேஎட்டுக்
கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்
தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்
வருவது கர்ணம் தானே"

பாடல் விளக்கம் 
இவற்றின் பொருள் செங்கோண முக்கோணத்தின், நீளத்தில் (அடிப்பாகம்) 8 பங்கில் ஒன்றைக் கழித்துவிட்டு உயரத்தில் பாதியை எடுத்து கூட்டினால் வரும் நீள அளவே கர்ணம் என்பதாகும். இவ்வளவு எளிமையாக கர்ணத்தின் நீளம் காணும் இக்கணித முறையைக் கொண்டுதான், அக்காலத்தில் குன்றுகளின் உயரம் மற்றும் உயரமான இடத்தை அடைய நாம் நடந்து செல்லவேண்டிய தூரம் போன்றவைகள் கணக்கிடப்பட்டுள்ளன. பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் போல் அல்லாது, வர்க்கமூலம் (Square root) இல்லாமலேயே, கர்ணத்தின் அளவைக் கணக்கிட முடிவதே, போதையனார் கோட்பாட்டின் சிறப்பம்சமாகும்

எடுத்துக்காட்டுகள்

 நீளம் = 4 மீ, உயரம் = 3 மீ எனில் கர்ணம்:

பிதாகரஸ் தேற்றம்: கர்ணம் = √(4^2 + 3^2) = 5

போதையனார் கோட்பாடு: கர்ணம் = (4-(4÷8)) + (3÷2) = 5

 நீளம் = 8 மீ, உயரம் = 6 மீ  எனில் கர்ணம்:

பிதாகரஸ் தேற்றம்: கர்ணம் = √6^2+ 8^2=√36+64=10

போதையனார் கோட்பாடு: கர்ணம்  = (8-(8÷8))+(6÷2)=10

மேற்கோள்கள்

கணிதவியலாளர்கள்
இந்தியக் கணிதவியல்
சமசுகிருத அறிஞர்கள்