வகுஎண்

கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்வகுஎண் அல்லது வகுத்தி (divisor) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும்.  ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
......
10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}

வரையறை
பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

  ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு, 
. என்றவாறு  என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்: 
 ஆனது ஐ வகுக்கும் என்றும்; 
 இன் வகுஎண்  என்றும்; 
 ஆனது  இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
இக்கூற்றின் குறியீடு:

இந்த வரையறையின்படி  என்பது உண்மையாகும்.

 மேற்காணும் வரையறையில், . என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால்  என்பது உண்மையாகாது.

பொதுவானவை
ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது  குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய  மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.
ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.
1, −1, n , −n ஆகியவை n இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்”  (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்
 என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, . 
42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.
எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
 என்பதால் .
எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:

மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்

சில அடிப்படை விதிகள்  
  மற்றும்  எனில், , அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
  மற்றும்  எனில்,   அல்லது .
  மற்றும்  எனில்  மற்றும் .

எனினும்  மற்றும்  எனில்,  என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு: 
 and  ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.

 மற்றும் மீபொவ எனில், . இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
 ஒரு பகா எண் மற்றும்  எனில்,  அல்லது .

தகு வகுஎண்கள்
 இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது  அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும்.  ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண்  இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’  (aliquant part) எனப்படும்.
 மற்றும்  இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில்,  ஒரு பகாஎண்ணாகும்.  .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)

வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை
 ஆனது  இன் பகாக் காரணியாக்கம்
எனில், 
 இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ():

ஒவ்வொரு இயல் எண்  க்கும், .
 இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது  மற்றும்  இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:
. 
எடுத்துக்காட்டு: 
; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது  மற்றும்  ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால்  என்பது உண்மையாகாது. 
 இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: 

எடுத்துக்காட்டு:

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள் 

Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ; section B.

Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).

வகுத்தல் (கணிதம்)