ශ්‍රිතයක සීමාව

ගණිතයේ දී , ශ්‍රිතයක සීමාව යනු එම ශ්‍රිතයේ විශේෂිත ආදානයක් අසල හැසිරීම සැලකිල්ලට ගන්නා කලනයේ හා විශ්ලේෂණයේ මූලික සංකල්පයකි. විධිගත නොවූ ආකාරයට පැවසුව හොත්, ශ්‍රිතයක් සියලු ආදාන x සඳහා ප්‍රතිදාන f(x) ඇත. x,p ‍ට ආසන්න ඕනෑම විටෙක f(x) , L ට ආසන්න නම් , p ආදානයේ දී ශ්‍රිතයේ දී සීමාව L වේ. වෙනත් ආකාරයකට , x,p ට ආසන්න වත්ම f(x) ද L ට ආසන්න වේ. වඩා විශේෂිතව , එක් එක් ආදානයට p ‍ට ප්‍රමාණවත් තරම් ආසන්න වන පරිදි f  යෙදූ විට ප්‍රතිඵලය  L ට ඉතාමත් ආසන්න ප්‍රතිදාන අගයකි. p ‍ට ආසන්න ආදාන , අතිශයින් වෙනස් ප්‍රතිදාන ඇති කරයි නම් සීමාවක් නොපවතින ලෙස කියවේ. 19 වන සියවසේ මුල් භාගයේ දී මුලින්ම ප්‍රකාශයට පත් වූ විධිමත් අර්ථ දැක්වීම් පහත දැක්වේ.

ඉතිහාසය

අභිප්‍රේරණය
y = f(x) ප්‍රස්ථාරයේ දැක්වෙන ආකාරයට භූමිය මතින් පියාසර කරන ගුවන් යානයක් ගැන සිතන්න. එහි තිරස් පිහිටීම x හි අගය ඇසුරින් මිනුම් කෙරේ. මෙය භූමි සිතියම් හෝ GPS උපකරණයක් මඟින් ලබාදෙන පිහිටුමට සම වේ. ගුවන් යානයේ උන්නතාංශය y ඛණ්ඩාංකය මඟින් දෙනු ලැබේ එය  x = p මගින් දෙනු ලබන තිරස් පිහිටුම වෙත පියාසර කරයි.එසේ වන විට ගුවන්යානයේ උන්නතාංශය L වෙත ආසන්න වන බව පෙනේ.ගුවන් යානය x = p හි දී උන්නතාංශය අනුමාන කරන්නට කිවහොත් ගුවන් යානය p කරා ළඟා නොවුව ද පිළිතුර L ලෙස සැලකිය හැකි වේ.
උන්නතාංශය L කරා ළඟා වේ යැයි කීමෙන් අදහස් වන්නේ උන්නතංශය ක්‍රම ක්‍රමයෙන් වඩ වඩාත් L ට සමීප වන බවය. (මෙහි දී නිරවද්‍යභාවයේ කුඩා දෝෂයක් තිබිය හැකි අතර එය නොසලකා හැරිය යුතුය). උදාහරණයක් ලෙස ගුවන් යානය සඳහා අප කිසියම් නිරවද්‍යතා ඉලක්කයක් ලබා දුන්නේ යැයි සිතන්න. ගුවන් යානය L ට මීටර 10 ක් දක්වාවත් ආසන්න විය යුතු යැයි අප නියම කලේ යැයි, සිතන්න p තිරසට මීටර 50 ක පරාසයේදී ගුවන් යානයේ පථය L ට මීටර 10ක් හෝ අඩු ප්‍රමාණයක් දුරින් පිහිටන බැවින්, නියමය පිලිපැදිය හැකි බව ගුවන් යානයෙන් පිළිතුරු ලැබෙනු ඇත.
දැන් අප නිරවද්‍යතා ඉලක්කය වෙනස් කර බලමු. ගුවන් යානය L ට මීටර 1ක් දක්වාවත් ආසන්න විය යුතු යැයි කිවහොත් එය කළ හැකි ද? මේ සඳහා ලැබෙන පිළිතුරු “ඔව්” යන්නයි. ගුවන් යානය p ට මීටර 2ක් දක්වා පරාසයේදී ගුවන් යානයේ සිට L ඉලක්කයට ඇති දුර මීටර් 1ක් හෝ ඊට අඩු අගයක් වීම මීට හේතුවයි. සාරාංශගතව කිවහොත් ගුවන් යානයේ තිරස් පිහිටුම p ට ළඟා වන විට එහි උන්නතාංශය L  කරා ළඟා වේ යැයි කීමෙන් අදහස්වන්නේ අප සලකන ඕනෑම නිරවද්‍යතා ඉලක්කයක් සඳහා එය සපුරාලන යම් නිශ්චිත ප්‍රදේශයක් p ට ආසන්නව පිහිටන බවයි.
දැන් අපට මුල් අවිධිමත් ප්‍රකාශය නිශ්චිත ලෙස පහත ලෙසට දැක්විය හැක.
x , p කරා ළඟා වන විට f(x) ශ්‍රිතයක සීමාව පහත ගුණ දරන L නම් සංඛ්‍යාවක් වේ. දෙන ලද ඕනෑම ඉලක්ක දුර ප්‍රමාණයක් සැලකූ කළ L ට ඇති දුර ප්‍රමාණය ඉලක්ක අගයට අනුකූල වන පරිදි p සිට යම් දුර පරාසයක් සඳහා අගයක් ලබා ගත හැක.ස්ථල විද්‍යාත්මක අගයයන් ගන්නා ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ විධිමත් අර්ථ දැක්වීමට ඉහත විස්තරාත්මක ප්‍රකාශය බොහෝ දුරට සමාන වේ.

අර්ථදැක්වීම්

තාත්වික රේඛාවක් මත ශ්‍රිත

ඒකාංශ සීමා

ප්‍රමිතික අවකාශයන්හී ශ්‍රිත

අනන්තය සම්බන්ධ වන සීමා

විකල්ප අංකනය

සංකීර්ණ-අගයැති ශ්‍රිත

විචල්‍යයන් ඒකකට වඩා වැඩි ශ්‍රිතයන්හී සීමා

අනුක්‍රමික සීමා

ගුණාංග
f ශ්‍රිතයක  p හි දී සීමාව L  යැයි පැවසීම.
සීමාව p ට සම වන M හි ඕනෑම අභිසාරී (xn) අනුක්‍රමයක් සඳහා (f(xn)) අනුක්‍රමය L සීමාව සහිතව ආභිසාරී වේ යැයි කීමට සම වේ.

A,B….කුලක මගින්   නම් ශ්‍රිත වසමේ පරිමිත විභාගයක් සාදයි නම් ද මෙම එක් එක් කුලකය සඳහා සාපේක්ෂ සීමාව පවතී නම් ද එය L  ට සමාන වේ නම් ද x ලක්ෂය සඳහා සීමාවක් පවතින අතර එය L  ට සමාන‍ වේ.p හිදී f ශ්‍රිතය සන්තතික වන්නේ x , p ට ළඟා වන විට f(x) හි සීමාව පවතී නම් සහ එය f(p) ට සම වේ නම් පමණි.  සමාන වශයෙන්  p දෙසට අභිසාරී වන M හි ඕනෑම අනුක්‍රමයක් f මඟින් f(p)  දෙසට අභිසරණය වන N හි අනුක්‍රමයක් බවට පරිණාමය කරයි.
N ප්‍රමිතික දෛශික අවකාශයක් වේ නම් සීමා කර්මය පහත දැක්වෙන අර්ථයෙන් රේඛීය වේ. x , p ට ළඟා වන විට f(x) හි සීමාව  L  නම් හා x , p ට ළඟා වන විට g(x) හි සීමාව  p නම් ද, x , p ට ළඟා වන විට f(x) + g(x) හි සීමාව L + P වේ. තව ද a පාදීය ක්ෂේත්‍රයේ අදිශයක් වේ නම් x , p ට ළඟා වන විට af(x) හි සීමාව aL වේ.
පහත සර්ව සාම්‍යයන්ට දකුණු පසින් ඇති සීමාවන් පවතී නම් ශ්‍රිතයක සීමාව ගැනීම වීජ ගණිත කර්ම සමඟ ද එකඟ වේ.

(මින් අවසාන එක සත්‍ය වන්නේ හරය ශුන්‍ය නොවූ විටයි)
ඉහත එක් එක් අවස්ථාවේ දී දකුණු පස ඇති සීමාවන් නොපවතින අවස්ථාවේ දී හෝ අවසාන අවස්ථාවේ මෙන් ලවයේ හා හරයේ සීමාවන් ශුන්‍ය වන විට පවා වම් පස පවතින සීමාව පැවතිය හැකි වන අතර මෙය f හා g කවර ශ්‍රිත වේද යන්න මත තීරණය වේ.
මෙම නීති ඒක දිග සීමාවන්ට p = ±∞ වන අවස්ථාවේ හා අපරිමිත සීමා සඳහාත් වලංගු වේ.

q + ∞ = ∞ for q ≠ -∞

q × ∞ = ∞ if q > 0

q × ∞ = −∞ if q < 0

q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

(දීර්ඝ කරන ලද තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව බලන්න)
q / 0 යන අවස්ථාව සඳහා පොදු නීතියක් නොමැති බව සලකන්න. මෙම අවස්ථාව ශුන්‍යයට ළඟා වන ආකාරය මත තීරණය වේ. අනීර්ණ ආකාර උදාහරණ වශයෙන් 0/0, 0×∞, ∞−∞, සහ ∞/∞ සඳහා  මෙම නීති යෙදිය නොහැකි නමුත් මේවාට අනුරූප සීමා බොහෝ විට ලොස්පිටාල් නීතිය හෝ ස්ක්වීස් ප්‍රමේය මඟින් නිර්ණය කළ හැක.

ප්‍රයෝජනවත් සර්වසාම්‍යය

අමතර ප්‍රයෝජනැති සීමා

ලොස්පිටල් නීතිය

සමාකලන සහ අනුකලන

මෙයද බලන්න
සීමා ලැයිස්තුව
ඒකාංශ සීමා
Limit of a sequence
Net (topology)
Big O notation
Limit superior and limit inferior
l'Hôpital's rule
Squeeze theorem

ආශ්‍රිත

සීමා
කලනය
ගණිතය