ගණිතමය විශ්ලේෂණය

විශ්ලේෂණය ඇරඹුණේ කලනයේ බරපතල සූත්‍ර‍යන් වලින්ය. අනුක්‍රමයක සීමාවක් ද නැත්නම්  ශ්‍රීතයක සීමාවක් ද නැත්නම් ශ්‍රීතයක සීමාවක් ද යන සීමාව පිලිබද සංකල්පය ඉතා සවිස්තරව සලක‍ා බැලෙන ගණිතයේ අංශයකි. එයට අවකලනය, අනුකලනය හා මිනුම, අපරිමිත ශ්‍රේණී හා විශ්ලේෂණික ශ්‍රීත පිලිබද සිද්ධාන්ත ද ඇතුලත් වේ. මෙම සිද්ධාන්ත තාත්වික සංඛ්‍යා, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා හා තාත්වික හා සංකිර්ණ ශ්‍රීත යන අන්තර්ගතවලදී අධ්‍යයනයට ලක්වේ. කෙසේ නමුත් මෙම සිද්ධාන්ත “ආසන්න බව” (සුපිරි තාර්කික අවකාශ) හෝ වඩා විශේෂිතව “දුර” (මෙට්‍රික් අවකාශ) වල අර්ථ දැක්වීම් වලින් සමන්විත වු ගණිතමය වස්තු පිලිබද අවකාශයකදී ද අධ්‍යයනය හා අර්ථ දැක්වීම් සිදු කළ හැක.

ඉතිහාසය
විශ්ලේශණයේ මුල් කාලීන ප්‍රතිඵල පැරණි ග්‍රීක ගණිතයේ මුල් යුගයේදී නිසැකව දක්නට ලැබිණි. උදාහරණයක් ලෙස අපරිමිත ජ්‍යාමිතික එකතුව සෙ(z)නෝගේ ද්විධාකරණය පිලිබඳ විරුද්ධාභාසයෙහි ඇතුලත් වේ. පසුව ඉයුඩොක්සස් හා ආකිමිඩිස් වැනි ග්‍රීක ගණිතඥයන් සිමාවේ හා අභිසාරිතාවයේ සංකල්ප වඩාත් පැහැදිලිව නමුත් අනියම් ආකාරයට භාවිතා කළහ. ඔවුන් මෙය සිදු කළේ ප්‍රදේශ හා ඝන වස්තු වල වර්ග ඵලය හා පරිමාව නිරවශේෂණ ක්‍රමය භාවිතයෙන් ගණනය කිරීමේදීය. ඉන්දියාවේ 12 වන සියවසේ ගණිතඥයෙකු වු භාස්කාර අවකලන කලනය පරිකල්පනය කළ අතර දැනට රෝලේගේ සිද්ධාන්තය ලෙස හදුන්වන වාක්‍යය සමග ව්‍යුත්පන්නය හා‍ අවකලන සංගුණකය සදහා උදාහරණද සැපයීය.

14 වන සියවසේ දී සංගමග්‍රාමයේ මාධව විසින් සිදුකල කාර්යයන් ගණිතමය විශ්ලේශණයට මූලික අඩිතාලම දමනු ලැබීය. “ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ නිර්මාතෘ” ලෙස සැල‍ෙකන මොහු බල ශ්‍රේණි හා ටේලර් ශ්‍රේණි වැනි අපරිමිත ශ්‍රේණි වල සයින්, කෝසයින්, ටැංජන හා චාප ටැංජන වැනි ශ්‍රීත වල  ව්‍යාප්තියද දියුණු කළේය. ඔහු ඔහුගේ ත්‍රිකෝණම්තික ශ්‍රිත පිළිඳව ටෙලර් ශ්‍රේණියේ දියුණු කිරීම හා සමගාමීව මෙම ශ්‍රේණි වල  අවසාන භාගය කපා දැමීම නිසා ඇතිවන දෝශ වල විශාලත්වය තක්සේරු කළ අතර අපරිමිත ‍ශ්‍රේණි සඳහා තාර්කික සන්නිකර්ෂණයක් ඉදිරිපත් කළේය. කේරල විදුහලේ වු ඔහුගේ අනුගාමිකයන් ඔහුගේ ක්‍රියාකාරකම් 16 වන සියවස දක්වා ව්‍යාප්ත කරන ලදී. 17 වන සියවසේ අවසාන භාගයේදී යුරෝපයේ නිව්ටන් හා ලෙයිබ් නිස් (z) වෙන වෙනම කලනය දියුණු කරන ලදී. එම කලනය 18 වන සියවස පුරා අඛණ්ඩව සිදුවු ව්‍යවහාරික (ප්‍රායෝගික) කාර්යයන්ගේ පිබිදීම සමඟ විචලනය පිළිබද කලනය, සමාන්‍ය හා ආංශික අවකලනය සමීකරණ, ෆවුරියර් විහ්ලේෂණය හා ජනන ශ්‍රීත වැනි විශ්ලේෂණික මාතෘකා දක්වා වර්ධනය විය. මෙම කාලය තුලදී දල විටික්ත ගැටලු සදහා කලනය යොදා ගැණුනි.

18 වන සියවසේදී ඉයුලර් ගණිතමය ශ්‍රීත පිලිබද මතයක් ඉදිරිපත් කරන ලදී. ස්වාධීන විෂයක් ලෙස තාත්වික විහ්ලේෂණය කරළියට පැමිණීම ඇරඹුණේ 1816 දී බර්නාර්ඩ් බොල්සා(z)නේ, සාන්තත්‍යය පිලිබද නූතන අර්ථ දැක්වීම ඉදිරිපත් කිරීමත් සමගය. 19 වන සියවසේදී කෝෂි වසින්, කෝෂි අනුක්‍රමය පිළිබද සංකල්ප හදුන්වා දීම කලනය ස්ථිර තාර්කික පදනමක් මත පිහිටුවීමට බෙහෙවින් මහෝපකාරී විය. ඔහු විසින් සංකිර්ණ විශ්ලේෂණයේ විධිමත් සිද්ධාන්තයද හදුන්වා දෙන ලදී. පොයිසන්, ලියුවිල් ෆවුරියර් හා අනෙක් අය ආංශික අවකලන සමීකරණ හා අනුවර්තී විශ්ලේෂණය අධ්‍යයනය කරන ලදී. මෙම ගණිතඥයන්ගේ හා වෙයර්ට්‍රැස් වැනි අනෙක් අයගේ දායකත්වය ගණිතමය .............. පිලිබඳ නූතන මතය ඇති වීමට බෙහෙවින් ඉවහල් විය. ගණිතමය විශ්ලේෂණය ක්ෂේත්‍රය ද ඇති විය.

සියවසේ මැද භාගයේදී රීමන් ඔහුගේ අනුකලනය පිළිබඳ සිද්ධාන්ත ඉදිරිපත් කරන ලදී. 19 වන සියවසේ අවසාන කොටසේදී වෙයර්ස්ට්‍රැස් විසින් විශ්ලේෂණයේ අංක ගණිතමය මුහුණුවර පෙන්වා දෙන ලදී. ජ්‍යාමිතික හේතු දැක්වීමක් සහජයෙන්ම වැරදි වැටහීමක් ලබාදෙන බව සිතු ඔහු සිමාවේ “එජසයිලන්-ඩෙල්ටා” අර්ථ දැක්වීම හදුන්වා දෙන ලදී. ඉන්පසු ගණිතඥයන් ඔවුන් විසින් සාක්ෂි වලින් තෙ‍ාරව තාත්වික සංඛ්‍යා වල සන්තානයක් උපකල්පනය කරනවායැයි අසහනයට පත් වුහ. ඉන්පසු ඩෙඩෙකයින්ඩ්, ඩෙඩෙකයින්ඩ් කැපුම් යොදා ගෙන තාත්වික සංඛ්‍යා  ගොඩ නංවන ලදී. මෙහිදී ගණිතඥයන් විසින් අපරිමේය සංඛ්‍යා නිර්මාණය කරන ලද අතර ඒවා පරිමේය සංඛ්‍යා අතර  වු හිස්තැන් පිරවීමටද දායකත්වය ලබා දුනි. එමගින් තාත්වික සංඛ්‍යාවල සන්නායන ලෙස නව සම්පුර්ණ කුලකයක් නිර්මාණය විය. එම කාලයේදී රීමන් අනුකලනයේ සිද්ධාන්ත වඩාත් දියුණු කිරීමට ගන්නා ලද ප්‍රයත්න තාත්වික සංඛ්‍යා වල  ආසන්න න්‍යායන් පිළිබඳ  කුලකයේ ප්‍රමාණය පිලිබඳ අධ්‍යයන සිදුකිරීමට හේතු පාදක විය.

විකෘති දෑ (කිසිසේත්ම සන්තනික නොවන ශ්‍රිත, සන්තතික නමුත් අවකලනය කළ නොහැකි ශ්‍රීත, අකාශ පුරවන වක්‍ර) ද නිර්මාණය වීමට පටන් ගැණුනි. මෙම සන්දර්භයේදී ජෝර්ඩන් මැනීම පිලිබද ඔහුගේ සිද්ධාන්ත දියුණු කරන ලදී. කැන්ටර් වර්තමානයේ සරල කුලක සිද්ධාන්ත ලෙස වර්තමානයේ හදුන්වන දෙන නිර්මාණය කරන ලද අතර බෙයිර් ප‍්‍රවර්ග සිද්ධාන්තය ඔප්පු කරන ලදී. 20 වන සියවසේ මුල් භාගයේදී ස්වයං ප්‍රත්‍යක්ෂ කුලක සිද්ධාන්ත යෙ‍ාදා ගෙන විධිමත් කරන ලදී. ලෙබස්ගියු මැනීමේ ගැටව විසදන ලද අතර හිල් බර්ට් විසින් අනුකලන සමීකරණ විසදීම සඳහා හිල්බට් අවකාශය හදුන්වා දෙන ලදී. ප්‍රමතිත දෛහික අවකාශය පිලිබඳ අදහස ද මතුවෙමින් පැවති අතර 1920 දී බනාශ් ශ්‍රීතය විශ්ලේෂණය නිර්මාණය කරන ලදී.

ගණිතය