ගුණ

ගුණ

e−1/x²  යන ශ්‍රිතය x = 0 දී විශ්ලේෂී නොවේ. ටේලර් ශ්‍රේණිය අනන්යව ශ්‍රන්‍ය වන නමුත්, ශ්‍රිතය ශුන්‍ය නොවේ.
සියලුම x අගයයන් සඳහා මෙම ශ්‍රේණිය අන්තරවල දී (a − r, a + r) අභිසාරී වේ නම් සහ ඓක්‍යය f(x) ට සමාන වේ නම්, එම f(x) ශ්‍රිතය අන්තරවලදී (a − r, a + r) විශ්ලේෂී වේ යැයි කියනු ලැබේ. මෙය ඕනෑම r  අගයක් සඳහා සත්‍ය වේ නම් එම ශ්‍රිතයට අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් යැයි කියනු ලැබේ. එම ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ දැයි පරීක්ෂා කිරීමට, ඇතැමෙක් සාමාන්‍යයෙන් ටේලර්ගේ නියමයේ ඉතිරි පද වෙනුවෙන් තක්සේරු කිරීම් භාවිතා කරයි. ශ්‍රිතයක් අර්ථ දැක්වෙන්නේ (විශ්ලේෂී වන්නේ) එය බල ශ්‍රේණියක් ලෙස ඉදිරිපත් කළ හැකි නම් සහ එනම් පමණි. එම බල ශ්‍රේණියේසංගුණක, ඉහත දක්වා ඇති ටේලර් සූත්‍රයේ දී ඇති ඒවා වීම අනිවාර්ය වේ.

එවැනි බල  ශ්‍රේණියක නිරූපණයේ වැදගත්කම අඩු තරමින් සිව් ආකාර වේ. පළමු වැන්න, බල ශ්‍රේණියක  අවකලනය හා අනුකලනය පදයෙන් පදය ඉදිරිපත් කළ හැකි වන අතර මෙතැන් පටන් එය විශේෂයෙන් පහසු වේ. දෙවැන්න, පවතින සංකීර්ණ විශ්ලේෂණයේ සම්පූර්ණ යාන්ත්‍රණය නිර්මාණය කළ හැකි, සංකීර්ණ මට්ටමක් තුළ දී විවෘත ප්‍රාන්තයක අර්ථ දක්වා ඇති , පූර්ණරූපී ශ්‍රිතයක් බවට , විශ්ලේෂී ශ්‍රිතයක් අද්විතීය ලෙස විහිදුවාලිය හැක. තෙවැන්න, සම්පූර්ණ වශයෙන්ම වාගේ ශ්‍රිත අගයයන් ගණනය කිරීමට (ලුප්ත) ශ්‍රේණිය භාවිතා කළ හැක. (බොහෝ විට, බහු පදය චෙබයිෂි ආකෘතිය බවට අලුතෙන් සකස් කර එය ක්ලෙන්ෂෝ ගණිත ක්‍රමය භාවිතයෙන් ගණනය කිරීම මගිනි)
සිව්වැන්න , බොහෝ විට බල ශ්‍රේණි නිරූපණයක දී වීජ ගණිතමය ක්‍රියාවලින් වඩාත් පහසුවෙන් සිදු කරගත හැක. උදාහරණයක් ලෙස, ඉයුලර් සමීකරණයේ සරලතම සාධනය, සයින්, කොස් හා ඝාකීය ශ්‍රිතවලට ටේලර් ශ්‍රේණි ව්‍යාප්ත වීම භාවිතා කරයි. මෙය හරාත්මක විශ්ලේෂණය වැනි ක්ෂේත්‍රවල මූලික වැදගත්කමේ ප්‍රතිඵලයකි.
ටේලර් ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන නමුත්, f(x) ට සමාන නොවන, අපරිමිත ලෙස අවකලනය කළ හැකි f(x)  ශ්‍රිතවලට උදාහරණ ඇති බව සලකන්න. උදාහරණයක් ලෙස   මගින් සවිස්තරාත්මකව අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතය, x ≠ 0  සහ f(0) = 0 නම් විශ්ලේෂී නොවන සරල ශ්‍රිතයකට උදාහරණයකි. x = 0  දී එහි සියලුම ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍ය වේ. x ≠ 0  වන සෑම අගයකටම ශ්‍රිතය ශූන්‍ය නොවුවත්, f(x)   හි ටේලර් ශ්‍රේණිය , ශුන්‍යයේදී  සෑම තැනකම ශුන්‍ය වේ. මෙම විශේෂ ව්යාධි විද්‍යාව, සංකීර්ණ විශ්ලේෂණයේ දී ටේලර් ශ්‍රේණිය හිංසාවට ලක් කරන්නේ නැත. එහි දී ටේලර් ශ්‍රේණියක අභිසාරී වන ප්‍රදේශය සෑම විටම සංකීර්ණ මට්ටමක ඇති තැටියකි.( හැකිනම්, ශුන්‍ය අරයක් ඇති) තව ද ටේලර් ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන තැන දී එය ශ්‍රිතයේ අගයට අභිසාරී වේ. තාත්වික සංඛ්‍යා (z)  , අතාත්වික අක්ෂයක් ඔස්සේ ශුන්‍ය කරා ළඟා වෙන්නාක් මෙන් e−1/z² ශුන්‍ය කරා ළඟා නොවන බව සලකන්න. මේ නිසා, මෙම ශ්‍රිතය සංකීර්ණ මට්ටමේ ඇති ශ්‍රිතයක් මෙන් සන්තතික නොවේ.
තාත්වික සීමාවක දී අර්ථ දක්වා ඇති, අපරිමිත ලෙස අවකලනය කළ හැකි, ශ්‍රිතයක ටේලර් ශ්‍රේණිය තුළ , තාත්වික සහ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල සෑම අනුත්‍රමයකටම සංගුණක ලෙස පෙනී සිටීමට හැකි වූ තැන් පටන්, ටේලර් ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාවයේ අරය ශුන්‍ය විය හැක. එහි ටේලර් ශ්‍රේණියක සෑම තැනකදීම ශුන්‍ය අභිසාරීතාවයේ අරයක් ඇති, තාත්වික සීමාවක දී අර්ථ දක්වා ඇති අපරිමිත ලෙස අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිත පවා ඇත.

ඇතැම් ශ්‍රිත, ඒවාට අපරිමිත අගයක් ඇති ස්ථානයක් පවතින නිසා ටේලර් ශ්‍රේණි ලෙස ලිවිය නොහැක. මෙවැනි තත්ත්වවලදී, විවිධ  x අගයයන්වල සෘණ බලයන්ට ද අයෙක් ඉඩ ලබා දේ නම්, යමෙකුට බොහෝ විට තවමත් ශ්‍රේණි ව්‍යාප්තිය සම්පූර්ණ කරගත හැක. ලෝරන්ට් ශ්‍රේණිය බලන්න. උදාහරණයක් ලෙස   ලෝරන්ට් ශ්‍රේණියක් ලෙස ලිවිය හැක.
අවකල සමීකරණවලට විසඳුම් වන ටේලර් ශ්‍රේණි සොයා ගැනීමේ දී , පාර්කර් සොචෙයිල්ඩ් ක්‍රමය නූතන දියුණුවකි. මෙම ගණිත ක්‍රමය පිකාඩ් පුනඃකරණයේ විහිදුවීමකි.

References 
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#Properties