球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為
；

其中，是普朗克常數，是粒子的質量，是粒子的波函數，是位勢，是徑向距離，是能量。

由於球對稱位勢只與徑向距離有關，與天頂角、方位角無關，為了便利分析，可以採用球坐標來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。

薛丁格方程式
採用球坐標，將拉普拉斯算子展開：
。

滿足薛丁格方程式的本徵函數的形式為：
，

其中，，，，都是函數。與時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，。這樣，本徵函數的形式變為：
。

角部分解答
參數為天頂角、方位角的球諧函數，滿足角部分方程式 
；

其中，非負整數是角動量的角量子數。（滿足）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的與給予不同的球諧函數解答：
；

其中，是虛數單位，是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為
；

而是階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為
。

徑向部分解答
將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：
。(1)

設定函數。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到
。(2)

徑向方程式變為
；(3)

其中，有效位勢。

這正是函數為，有效位勢為的薛丁格方程式。徑向距離的定義域是從到。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

實例
在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：
：原方程變為亥姆霍兹方程，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
當時，；否則，：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。

真空狀況實例
思考的狀況，設定，在設定無因次的變數 
。
 
代入方程式(2)，定義，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式： 
。

貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數；而是第一類球貝塞爾函數（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）：
。(4)

在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程（即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：
；

其中，歸一常數，是非負整數，是整數，，是實數，。

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

波函數歸一化導引
波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為
。

根據球貝塞爾函數的封閉方程式，
；

其中，，为克罗内克δ。

所以，。取平方根，歸一常數。

球對稱的三維無限深方形位勢阱 

思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：
。

其中，是球對稱阱的半徑。

立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標之處必須等於0：
。

設定為階球貝塞爾函數的第個0點，則。

那麼，離散的能級為
。

薛丁格方程式的整個解答是
；

其中，歸一常數。

波函數歸一化導引
波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為
；

將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分：
。

設定變數，代入積分：
。

根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，
；

其中，，为克罗内克δ，表示的第個0點。

注意到的第個0點也是的第個0點。所以，
。

取平方根，歸一常數。

三維均向諧振子 

三維均向諧振子的位勢為
；

其中，是角頻率。

用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是
。

所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是
。(5)

設定常數，
。

回想，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：
；

其中，函數是广义拉盖尔多项式，是歸一化常數：
。

本徵能級的本徵函數，乘以球諧函數，就是薛丁格方程式的整個解答：
；

其中。假若是偶數，設定；否則，設定。

導引
在這導引裏，徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後，就是所要的答案。

首先，將徑向坐標無因次化，設定變數；其中，。則方程式(5)變為
；(6)
其中，是新的函數。

當接近0時，方程式(6)最顯著的項目是
。

所以，與成正比。

又當無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是
。

因此，與成正比。

為了除去在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用的替換方程式：
。

經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為
。(7)

轉換為广义拉盖尔方程式
設定變數，則微分算子為
，
。

代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：
；

其中，函數。

假若，是一個非負整數，則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：
。

因為是非負整數，要求
。
與同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述必須遵守的條件。

波函數歸一化
回憶到，徑向函數可以表達為
；
其中，是歸一常數。

的歸一條件是
。
設定。將與代入積分方程式：
。

應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性，這方程式簡化為
。

因此，歸一常數可以表達為
。

應用伽瑪函數的數學特性，同時注意與的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

。

在這裏用到了雙階乘 ()的定義。

所以，歸一常數等於

。

類氫原子

類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：
；

其中，是真空電容率，是原子序，是單位電荷量，是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式(1)，
。

這方程式的解答是
；

其中，。近似於波耳半徑。假若，原子核的質量是無限大的，則，並且，約化質量等於電子的質量，。是广义拉盖尔多项式，定義為

；

其中，是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

。

為了滿足的邊界條件，必須是正值整數，能量也離散為能級。隨著量子數的不同，函數與都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求。

知道徑向函數與球諧函數的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：
。

導引
為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 ()
，
。

將變數與代入徑向薛丁格方程式(2)：
。(8)

這方程式有兩類解答：
：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的造成了離散的能量譜。
：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第(1)類解答。設定正實數與。代入方程式(8)：
。(9)

當接近0時，方程式(9)最顯著的項目是
。

所以，與成正比。

又當無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是
。

因此，與成正比。

為了除去在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用的替換方程式：
。

經過一番運算，得到的方程式：
；

其中，。

假若，是個非負整數  ，則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式
。

採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是
；

其中，主量子數滿足，或。

由於，徑向波函數是
。

能量是 
。

參閱
自由粒子
無限深方形阱
有限深方形阱
有限位勢壘
Delta位勢阱
Delta位勢壘
連心力
量子穿隧效應
 盒中氣體

參考文獻

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