在量子力學裏，量子諧振子（）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。

一維諧振子

哈密頓算符與能量本徵態 

在一維諧振子問題中，一個質量為m的粒子，受到一位勢。此粒子的哈密頓算符為

其中x為位置算符，而p為動量算符。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定态薛丁格方程式」：
.

在座標基底下可以解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：

前8个解（n = 0到7）如右圖。函數為埃爾米特多項式：

注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為
。

值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有離散的值——即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當n = 0）不為零，而是，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由為能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

階梯算符方法 
前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符a與其伴隨算符（adjoint）a†：

算符a並非厄米算符（Hermitian），因其與伴隨算符a†並不相同。

算符a與a†有如下性質：

在推導a†形式的過程中，已用到算符x與p（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：

x與p算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：
.

方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為交換子、交換算符或對易算符，其定義為
.

利用上面關係，可以證明如下等式：

.

現在，讓代表帶有能量E的能量本徵態。任何右括向量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此
。

將a†a以哈密頓算符表示：
，

因此。注意到當（）為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（n = 0）。

利用上面等式，可以指出a及a†與H的對易關係：
.

因此要是（）並非零右括向量，
.

類似地，也可以指出
.

換句話說，a作用在能量為E的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 
的本徵態，而a†作用在能量為E的本徵態，產生出另一個能量為的本徵態。因為這樣，a稱作降算符而a†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，a與a†也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。

給定任何能量本徵態，可以拿降算符a作用在其上，產生了另一個能量少了的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到E = −∞。不過這樣就就與早先的要求相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作（勿與零右括向量混淆），使得
（即a對作用後產生零右括向量（zero ket））。

在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了
。

最後，透過將升算符作用在上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合使得
，這與前段所給的能譜相符合。

這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態，變為
。

所以，
。

這個方程式的解為，經過歸一化，
。

自然長度與能量尺度 
量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以為單位來測量能量，以及為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：
，

且能量本徵態與本徵值變成

.

為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。

案例：雙原子分子 

在雙原子分子中，自然頻率可以發現為 ：

其中
為角頻率，
k是共價鍵勁度係數
是約化質量。

N維諧振子 
一維諧振子很容易地推廣到維。在一維中，粒子的位置是由單一座標x來指定的。在維中，這由個位置座標所取代，以標示。對應每個位置座標有個動量，標示為p1, ..., pN。這些算符之間的正則對易關係為
.

系統的哈密頓算符為
。

從這個哈密頓量的形式，可以發覺，維諧振子明確地可比擬為個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數是個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。

這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數，一個維諧振子的能量本徵函數等於個一維本徵函數的乘積：
。

採用階梯算符方法，定義組階梯算符，
，
。

類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個與算符將能量分別降低或升高。哈密頓量是
。

這量子系統的能階是
；

其中，正整數是的量子數。

如同一維案例，能量是量子化的。維基態能階是一維基態能階的倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。

簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定。每一個相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予，首先選擇一個。那麼，，有個值，從到，可以選擇為的值。的值自動的設定為。因此，簡併度是
。

對於維案例，
。

案例：三維均向諧振子 
參閱三維均向諧振子

球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法，只有球對稱位勢不一樣：
；

其中，是這問題的質量。由於會被用來標記磁量子數，所以，用來標記質量。

這問題的薛丁格方程式為
。

薛丁格方程式的全部解答寫為
；
其中，
是歸一常數，

是階广义拉盖尔多项式 ()，是個正整數，
是球諧函數，
是約化普朗克常數。

能量本徵值是
。

能量通常可以用一個量子數來描述：
。

由於是個正整數，假若是偶數，那麼，角量子數也是偶數：
；

假若是奇數，那麼，角量子數也是奇數：
。

磁量子數滿足不等式
。

對於每一個與，存在個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數。因此，的兼併度是
；

其中，總和的指數的初始值是。

這結果與先前的方程式相同。

耦合諧振子 

設想個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為（也就是說，假若一個質點位於其平衡點，則）。整個系統的哈密頓量是
；

其中，。

這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

參閱 
 自由粒子
 無限深方形阱
 有限深方形阱
 有限位勢壘
 球對稱位勢
 Delta位勢壘
 真空災變
 盎魯效應

參考文獻

外部連結 
 國立交通大學物理系視聽教學：量子諧振子
 喬治亞州州立大學（）線上物理網頁：量子諧振子 

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