微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由引入，以用於的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年， 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

定义

向量叢聯絡的和樂 
設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量丛，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 Pγ : Ex → Ex. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

以 x 為基點的限制和樂群是由環圈 γ 給出的子群.

若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

選取 Ex 的另一組基（即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：
  是 GL(k, R) 的連通李子群。
  是  的。 
 存在自然的滿群同態  其中  是 M 的基本群。該同態將同倫類  映到陪集 
 若 M 單連通，則 
 ∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当  為平凡群。

在物理学中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂
主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M,  以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升  使得  水平提升的終點  未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。

ω 以 p 為基點的和樂群定義為

若在定義中僅允許環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 . 其為和樂群 的子群。

若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是，

特別地，

再者，若 p ~ q, 則  因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

 是 G 的連通李子群。
 是  的。
存在自然的滿群同態
 若 M 單連通，則 
ω 為平（即曲率恆零）当且仅当  為平凡群。

和樂叢
同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 （即 H (p) 是主  叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群
和樂叢 H (p) 是主  叢，因此受限和樂群 （作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群  稱為聯絡的群。其作用在商叢  上。存在滿同態 使得  作用在  上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。

局域及無窮小和樂
若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為  而受限和樂群則記為  其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

p 點的局域和樂群定義為

其中 Uk 為任意一族滿足  的遞降（即  ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

 其為受限和樂群  的連通李子群。
 每點 p 都有鄰域 V 使得  局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。
 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, （注意由性質 1,  局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即

詞源
英文與「全純」（）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生（1817–1882）和（1819–1895）引入，來自希臘文（holos）和（morphē），意思分別是「全」、「形態」。

""與""的前半（holos）一樣。至於後半：
非常難在網絡上找出（或）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （""）系統，所以它的意思「整體法則」（""）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（）。它與我們的詞數字""來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala
參見νόμος（nomos）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理 
安布羅斯－辛格定理（得名自）描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若是中某曲面的坐標表示，則向量可以沿的邊界平行移動，由原點出發，先沿，再沿，再（反方向，即由遞減至），最後，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量沿該圈平行移動的結果，相當於邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應坐標中的區域，而趨向於），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於處的導數：

其中為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，是的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為的主叢某聯絡的和樂。以表示的李代數，則聯絡的曲率形式是上的值2-形式。安布羅斯－辛格定理斷言：

的李代數，是由中所有形如的元素線性張成，其中取遍所有可以用水平曲線與連接的點，而皆是處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：

的李代數，是中形如的元素張成的線性子空間，其中取遍的元素，而取遍處的水平向量。

黎曼和樂

可約和樂與德拉姆分解
設為任意一點，則和樂群作用在切空間上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將分解成正交子空間的直和

而兩個子空間皆在作用下不變。此時亦稱可約。

設為可約流形。上式說明，在每一點處，切空間可以約化分解成和，所以當變動時，就定義出向量叢和，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的皆為子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察，是笛卡爾積。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：

設為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，為切叢的完全約化分解，而和樂群在上的作用平凡（恆等映射），則局部等距同構於乘積

其中是歐氏開集，而每個是的積分流形。更甚者，是的直積（是過某點的極大積分流形）。

若同時假設（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各本身也是測地完備流形。

伯格分类 
1955年，將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

1965年，及同時研究和樂群為的流形，構造出其平行4形式。

於1966年最早引入和樂群為或的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除（作為的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（）一人，與布朗（）、格雷（）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見和。

注意，故必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是（作用於），以及（作用於）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

但是，標的兩種和樂群（分裂及複化），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為子群的流形，R. McLean證明其為局部平。 

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間同構，其局部和樂群同構於，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。

特殊和樂及旋量
一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：
 ，當且僅當上存在平行的射影純旋量場。
 若為，則，當且僅當具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到的典範歸約。
 若是七維旋量流形，則具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是的子群。
 若為八維旋量流形，則具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论、殆复流形一同研究。

應用

弦論
具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具或和樂的卡拉比–丘流形上，以及上。

機器學習
在机器学习，尤其方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（，簡寫「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。

仿射和樂
仿射和樂群（），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和、之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設為有限維複向量空間，為不可約半單複連通李子群，又設為極大緊子群。
 若有不可約埃爾米特對稱空間形如，則和兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中為的切表示。
 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如，則為非對稱不可約仿射和樂群，而當時，亦然。此時，的複化切表示是，而保上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

其中可取平凡群，亦可取為。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

（第二行中，必須取為平凡群，除非，此時可取為。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

参见 
 A-B效应

脚注

参考文献 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 及其補遺 
 
 
 
 
 
 

曲率
联络
微分几何