レヴィ-チヴィタ接続（レヴィ-チヴィタせつぞく、）とは、リーマン多様体上に共変微分という概念を定める微分演算子で、がユークリッド空間の部分多様体の場合は、における（通常の意味の）微分をに射影したものが共変微分に一致する。

レヴィ-チヴィタ接続は擬リーマン多様体においても定義でき、一般相対性理論に応用を持つ。

レヴィ-チヴィタ「接続」という名称はより一般的なファイバーバンドルの接続概念の特殊な場合になっている事により、接続概念から定義される「平行移動」（後述）を用いる事で、上の相異なる2点を「接続」してこれら2点における接ベクトルを比較可能になる。

レヴィ-チヴィタ接続において定義される概念の多くは一般のファイバーバンドルの接続に対しても定義できる。

レヴィ-チヴィタ接続の名称はイタリア出身の数学者トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによる。

モチベーション 
をの部分多様体とし、を上の曲線とし、さらにを上定義されたのベクトル場とし（すなわち各時刻に対し、はを満たすとし）、

 

と定義する。ここではの点における内の接平面（と自然に同一視可能な）への射影である。また、を上のベクトル場とするとき、

 

と定義する。ここでは時刻に点を通るの積分曲線である。実はこれらの量はの内在的な量である事、すなわちからに誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから計算できる事が知られている。具体的には以下の通りである：ここでであり、はの逆行列である。すなわちをクロネッカーのデルタとするとき、である。

同様に、とすると、以下が成立する：

定義と特徴づけ 
前節で述べたようにやはに内在的な量なので、一般のリーマン多様体に対しても、()、()、()式をもってこれらの量を定義できる：レヴィ-チヴィタ接続の定義は()、()、()式に登場する局所座標に依存しているが、局所座標によらずwell-definedである事を証明できる。

レヴィ-チヴィタ接続を局所座標で表したとき、(2)式で定義されるを局所座標に関するクリストッフェル記号という。

リーマン幾何学の基本定理
レヴィ-チヴィタ接続は以下の性質により特徴づけられる：ここで、、は上の任意の可微分なベクトル場であり、、は上定義された任意の実数値級関数であり、、は任意の実数であり、は点においてとなるベクトル場であり、はの方向微分であり、はである。すなわち、
 

条件1のように、任意の級関数に対して線形性が成り立つことを-線形であるという。一般に-線形な汎関数は、一点の値のみでその値が決まる事が知られている。例えばレヴィ-チヴィタ接続の場合、点におけるの値はのみに依存し以外の点におけるの値には依存しない。

なお、5番目の条件は後述するテンソル積の共変微分を用いると、

 

とも書ける。

Koszulの公式

上述した特徴づけを使うと、レヴィ-チヴィタ接続の成分によらない具体的な表記を得る事ができる。

略記法 

文章の前後関係から局所座標が分かるときはベクトル場の事を単に
 
と略記する。さらにの事をと略記し、の事を
 、、

等と略記する。なお関数の偏微分はと「,」をつけて略記する。したがって

 

が成立する。

なお、
 
はではなく後述する二階共変微分を意味するので注意されたい。

平行移動

定義 
リーマン多様体上の曲線上定義された上のベクトル場が

 

を恒等的に満たすとき、は上平行であるという。また、上の接ベクトルと上の接ベクトルに対し、、を満たす上の平行なベクトル場が存在するとき、はをに沿って平行移動（ ）した接ベクトルであるという。

ユークリッド空間の平行移動と異なる点として、どの経路に沿って平行移動したかによって結果が異なる事があげられる。この現象を（）という。

右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。

性質 
に沿ってをまで平行移動したベクトルをとするとは線形変換であり、しかも計量を保つ。すなわち以下が成立する：

実は平行移動の概念によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事ができる：

ホロノミー群 
とくに点から自身までの上の閉曲線に沿って一周する場合、接ベクトルを平行移動した元をと書くことにすると、
 はから自身までの区分的になめらかな閉曲線
は（合成関数で積を定義するとき）上の回転群の（閉とは限らない）部分リー群になる。をレヴィ-チヴィタ接続に関する（）という。が弧状連結であればは点によらず同型である。

接続形式 
を接バンドルの局所的な基底とし、、を上のベクトル場とし、とすると、レヴィ-チヴィタ接続の定義から

  

である。この式は、共変微分にライプニッツ則を適用して成分部分の微分と基底部分の微分の和として表現したものと解釈できる。

そこで以下のような定義をする：

定義から明らかに

  

が成立する。さらに以下が成立する：実際、に沿った平行移動をとするとき、平行移動は計量を保つ変換、すなわち、回転変換であったので、基底の微分である接続形式は、共変微分の平行移動による特徴づけより、
 

となり、回転変換の微分として書ける。よってよって接続形式は回転群のリー代数の元、すなわち交代行列である。

測地線

定義 
リーマン多様体上の曲線で測地線方程式

 

を恒等的に満たすものを測地線という。2階微分は物理的には加速度であるので、測地線とは加速度が恒等的にである曲線、すなわちユークリッド空間における直線を一般化した概念であるとみなせる。

存在性と一意性 
常微分方程式の局所的な解の存在一意性から、点における接ベクトルに対し、あるが存在し、
 、

を満たす測地線が上で一意に存在する。この測地線を

 

と書く。

しかし測地線は任意の長さに延長できるとは限らない。たとえば（に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間）において、測地線はまでしか延長できない。任意の測地線がいくらでも延長できるとき、リーマン多様体は測地線完備であるという。

測地線が全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。

特徴づけ 
測地線方程式は曲線の長さを端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式に等しい。ここでである。すなわち、測地線は長さに関する停留曲線（≒端点を固定した曲線のなす空間において「微分」がゼロのなる曲線）である。

また測地線方程式は曲線の「エネルギー」を端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式にもなっている。

リーマン多様体上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ

 

をにおけるの測地線曲率（）、あるいは単に曲率（）という。よって測地線は、曲率がの曲線と言い換える事ができる。

測地線の局所的存在性から、点における接ベクトル空間の原点の近傍の任意の元に対し、測地線が存在する。必要ならを小さく取り直す事で写像

 

が中への同型になるようにする事ができる。ベクトル空間の開集合からへの中への同型なので、をの点の周りの局所座標と見なす事ができる。この局所座標をの点における（）という。

曲率

動機 
レヴィ-チヴィタ接続を成分で書いた

 

より、であれば、すなわちMが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号は全て0になる。よって

この「平たい」空間とのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」空間とのズレを測る。

ズレを測るため、クリストッフェル記号が全てであれば、

 

となる事に着目する。この事実から「平たい」空間では、

 

が常に成立する事を示せる。そこで

 

と定義すると、はが「平たい」ときには恒等的にゼロになり、この意味においてはの「曲がり具合」を表している考えられる。

定義と性質

定義 
上のベクトル場、、に対し、

 

と定義し、をに関する曲率（）もしくは曲率テンソル（）という。ここではである。
は、、のいずれに関しても-線形である事が知られており、したがって、各に対し、

 

というテンソルとみなせる。

規約 
一部の文献では符号を反転したを曲率と呼んでいるので注意されたい。

本項の規約では後述する断面曲率の定義において分子をとせねばならずマイナスが出てしまうが、文献の規約であればマイナスが出ない点で有利である。

性質 

次の事実が知られている：

ここではが3つの接ベクトル、、を引数にとって1つの接ベクトルを返す事から、をテンソル積の元とみなしたときの共変微分である。テンソル積に対する共変微分の定義は後述する。

成分表示 
曲率はクリストッフェル記号を用いて以下のように表すことができる：
以下のようにも成分表示できる：

ここでは下記のKulkarni–Nomizu積である：

特徴づけ 
点を原点とする正規座標を使うと曲率は以下のように特徴づけられる：ここでである。

また、

 

を任意のなめらかな関数とし、

 、

とし、、に沿った平行移動を

 、

とすると、曲率を以下のように特徴づけられる：この定理はKoszul接続においても成立する。

断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率 
をリーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続とし、をの点とし、とし、さらにをの基底とする。なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ倍、倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもあるので注意されたい。 また断面曲率はという記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿ではという表記を採用した。

定義から明らかなように、以下が成立する：

さらに次元リーマン多様体が別のリーマン多様体の余次元の部分リーマン多様体、すなわち、の場合は、以下が成立する：ここでは点における主方向でを対応する主曲率であり、はのにおける断面曲率であり、はのにおける断面曲率である。

よって特にが2次元リーマン多様体でがの場合はの断面曲率はガウス曲率に一致する（Theorema Egregium）。

テンソルの共変微分 
本節ではテンソルに対する共変微分を定義する。

1-形式の共変微分 
はリーマン多様体なので、の接ベクトル空間と余接ベクトル空間は自然に同一視できる。この同型写像を
 

 
と書くことにする（Musical isomorphism）。そして上の1-形式に対し、の共変微分を
 
により定義する。ここでは上のベクトル場である。すると上のベクトル場に対しライプニッツ則
 
が成り立つ。

-テンソル場の共変微分

定義 
より一般に、を上の-テンソル場の共変微分はライプニッツ則により定義する。任意に上の1-形式と上のベクトル場を選んで-テンソル場を写像
 
とみなして、の共変微分をライプニッツ則を満たすよう
 
と定義する。この定義は, の取り方によらずwell-definedである。

また微分形式に関しては
 
と見なすことによりテンソル積の共変微分を用いて微分形式の共変微分を定義できる。

具体例 
上の関数の共変微分は
 
を満たす。

またを-形式とし、をを満たす曲線とすると、は通常に微分
 
にほかならない。

二階共変微分

定義 
を上の-テンソル場とし、ベクトル場にの-テンソル場としての共変微分を対応させる写像を
 
と書くと、は-テンソル場とみなせる。同様にを-テンソル場とし、ベクトル場にの-テンソル場としての共変微分を対応させる写像をとする。-テンソル場全体の集合をと書き、合成
 
により定義される写像を
 
と書き、をの二階共変微分（）という。三階以上の共変微分も同様に定義できる。

二階共変微分で増えた２つの引数にベクトル場、を代入した-テンソル場を
 
と書く。

規約 
の２つの微分で増えた２つの引数のうちどちらにを入れ、どちらにを入れるかは文献によって異なる。本項では文献に従い、先に増えた引数に、後から増えた引数にを入れたが、文献では逆に先に増えた引数にを入れている。

また、我々は文献に従い、「」という記号を使ったが、文献によっては「」の事をと書くものもある。この値はに、を順に作用させたとは異なるので注意されたい。

性質 
とは
 
という関係を満たす。

リッチの公式 

なお、と定義すれば、最後の式は
 
と書ける。

一般の-テンソルの場合の公式は上記の公式にライプニッツ則を適用する事で得られる。例えば-テンソルに対しては、
 
であるし、-テンソルに対しては、下記のとおりである：

リーマン多様体上のベクトル解析 
本節では勾配、発散、ラプラシアンという、ユークリッド空間におけるベクトル解析の演算子をリーマン多様体上で定義する。

ホッジ作用素、余微分 

リーマン多様体上のベクトル解析を展開するための準備としてホッジ作用素と余微分を定義する。をの次元とする。が向き付け可能なとき、上にリーマン計量から定まる体積形式をとする。を微分形式とするとき
 
が任意のに対して成立するようなが存在する。をのホッジ双対といい、にを対応させる作用素「」をホッジ作用素という。

さらにの余微分を
 
により定義する。

勾配 
上の関数に対し、fの勾配を
 
により定義する。ここではの外微分であり、「」は計量によるとの同型写像である。

発散 
リーマン多様体上には2種類のダイバージェンスが定義できる。を上のベクトル場とするとき、の発散をのトレースとして定義する。局所座標では以下のように書ける：
 
ここで添字は上下に登場するのでアインシュタインの縮約により和を取っている。発散のマイナスの符号は規約の問題で、ここに述べたものからマイナスの符号を取ったものを発散と呼ぶこともある。

次が成立する：
 
ここでは余微分であり、「」は計量によるとの同型写像である。この事実を使うと、発散は局所座標では以下のようにも書ける：

ヘッシアン 
上の関数に対し、前節のようにを定義すると、である。前節同様2階共変微分
 
を定義し、をのヘッシアン（）という。具体的には
 
である。ヘッシアンは
 
を満たすことを証明できるので、ヘッシアンは対称2次形式である。局所座標で書くと、以下の通りである：

ラプラシアン 

上の関数に対し、
 
と定義し、をラプラス・ベルトラミ作用素（）、あるいは単にラプラシアンという。

発散の定義でマイナスの符号がつく規約を採用した関係で、通常のラプラシアンとは符号が反対になっている事に注意されたい（この章で後述する他のラプラシアンも同様）。

上述したラプラシアンの定義を微分形式に拡張する事ができるが、拡張方法は（同値ではない）２通りの方法がある。

ホッジ・ラプラシアン 
関数に対するラプラシアンがとの合成と書けていた事に着目し、微分形式に対し、
 
と定義し、をホッジ・ラプラシアン（）という。なお、２つ目の等号はを使った。関数の場合はなので、関数の場合に対するホッジ・ラプラシアンはラプラス・ベルトラミ作用素に一致する。

ボホナー・ラプラシアン 

テンソル場の共変微分の定義からであり、がのトレースであったことから、関数に対するラプラシアンが二階共変微分のトレースとして書けることに着目し、微分形式に対し、の二階共変微分のトレースをマイナスした
 
をボホナー・ラプラシアン()、もしくはラフ・ラプラシアン（）という。

ここでは接ベクトル空間の局所的な正規直交基底である。とするとき、余ベクトル空間の内積が誘導する写像を考え、合成
 
と書く。ここではに値を取るテンソル場の集合である。すると
 
が成立する。

Weitzenböck–Bochnerの公式 
が1-形式の場合は２つのラプラシアンは以下の関係（Weitzenböck–Bochnerの公式）を満たす：
 
ここではリッチ曲率を使って
 
により定義される1-形式であり、「」は計量によるとの同型写像である。

擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続 
最後に一般相対性理論で重要な擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続について述べる。ここで擬リーマン多様体とはリーマン多様体と同様、各点に対してに関してなめらかで非退化な二次形式を対応させるが、に正定値性を要求しないものである。このようなを擬リーマン計量という。

擬リーマン多様体の場合もが正定値とは限らないだけで、リーマン多様体の場合と同じ式でレヴィ-チヴィタ接続を定義できる。またリーマン多様体の場合と同じ公理によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事も可能である。

平行移動、共変微分、測地線、正規座標、曲率といった概念も同様に定義でき、平行移動はを保つ線形写像となる。

一方、リーマン多様体のものとの違いとしては、Hopf-Rinowの定理が成り立たない事が挙げられる。リーマン多様体の場合、がコンパクトであればは距離空間として完備なのでHopf-Rinowの定理からは測地線完備になる。しかしがコンパクトであっても、上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず、反例としてが知られている。

また擬リーマン多様体ではが定義できるとは限らないので、測地線を長さの停留場曲線として特徴づける事はできない。しかしエネルギーは擬リーマン多様体でも定義でき、測地線をエネルギーの停留曲線として特徴づけられる。一般相対性理論においては、これはエネルギーを極小にする曲線が自由落下の軌道である事を意味する。

歴史 
レヴィ・チヴィタ接続は、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ(Tullio Levi-Civita)の名前に因んでいるが、エルヴィン・クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)によりそれ以前に"発見"されていた。レヴィ・チヴィタは、 (Gregorio Ricci-Curbastro)とともに、クリストッフェルの記号 を用いて平行移動の概念を定義し、平行移動と曲率との関係を研究した。それによっての現代的概念を開発した。

レヴィ・チヴィタによる曲線に沿ったベクトルの平行移動や内在的微分という概念は、元々 という特別な埋め込みに対して考えられた。しかし、実際にはそれらは抽象的なリーマン多様体にたいしても意味をなす概念である。何故ならば、クリストッフェルの記号は任意のリーマン多様体上で意味を持つからである。

1869年、クリストッフェルは、ベクトルの内在的微分の各成分は反変ベクトルと同様な変換にしたがうことを発見した。この発見はテンソル解析の真の始まりである。1917年になって初めて、レヴィ・チヴィタによって、アフィン空間に埋め込まれた曲面の内在的微分が、周囲のアフィン空間での通常の微分の接方向成分として解釈された。

注

出典

注釈

文献

参考文献

歴史的な文献

関連項目 

 (Weitzenböck connection)

外部リンク 

 
 MathWorld: Levi-Civita Connection
 PlanetMath: Levi-Civita Connection
 Levi-Civita connection at the Manifold Atlas

リーマン幾何学
接続 (数学)
トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ
数学のエポニム
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