素数が無数に存在することの証明（そすうがむすうにそんざいすることのしょうめい）は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理（ユークリッドのていり、）と呼ばれる。

ユークリッド 
『原論』第9巻命題20で、素数が無数に存在することが示されている。その証明は、次の通りである。

この証明は、しばしば次のような背理法の形で表現される。
素数の個数が有限と仮定し、 が素数の全てとする。その積  に  を加えた数  は、 のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは  が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無限に存在する。
この形の証明のために、「ユークリッドは、背理法で素数が無数にあることを証明した」「ユークリッドの証明は、存在のみを示しており、具体的な構成の手続きを示していない」「ユークリッドは、最初のいくつかの素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、いずれも正しくない。『原論』の証明は背理法ではなく、であるによるものである。また、最後の主張は「 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 = 30,031 」という反例により、歴史的にのみならず数学的にも誤りである。

1878年、クンマーは、 の代わりに  を考えても、同様に証明できることを注意した。

ゴールドバッハ 
ゴールドバッハは、1730年7月にオイラーに宛てた手紙の中で、フェルマー数

を利用して、素数が無数にあることを証明している。

フェルマー数たちが互いに素であることが示されれば、無数にあるフェルマー数の素因子を考えることにより、無数に素数を得る。実際、 に関する数学的帰納法により、簡単に

が得られるので、ある素数  が2つのフェルマー数を割り切るとすると、 は  も割り切ることになって不合理である。

オイラー 
オイラーによる証明は、リーマンゼータ関数のオイラー積表示を用いたものである。

素数は有限個の  からなると仮定する。各素数  に対し、等比級数の公式により

が成り立つ。 における両辺の総乗を取ると、任意の自然数は素数の積として一意に表せる（算術の基本定理）ことより、

を得る。左辺は有限値であるのに対し、右辺は調和級数であり、発散するので、矛盾する。

エルデシュ 
素数の逆数和は（無限大に）発散することが示されば、素数は無数に存在することが直ちに従う。素数の逆数和が発散することは、オイラーが初めて証明したが、以下はエルデシュが1938年に発表した、より簡潔な証明である。

素数の逆数和は収束すると仮定する。 番目の素数を  で表すことにすると、ある番号  が存在して

である。素数全体を2つのグループに分け、 を「小さい」素数、 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を 、後者の個数を  とおく。当然  である。

以下、 と  の大きさを見積もる。 以下の  の倍数の個数は、床関数を用いて

と表せるから、

を得る。ここに、最後の不等号は上記の仮定から従う。次に、 を小さい素数でしか割れない  以下の自然数とし、（ は平方因子を含まない） と表す。 の可能性は高々 2 通りであり、 であるから、

を得る。よって、

となる。しかし、この式は  に対して成り立たない。

フュルステンベルグ 
フュルステンベルグの証明は、トポロジーを用いたものである。彼は、まだ学部生であった1955年に、証明を発表した。

整数全体からなる集合  に、両方向への無限等差数列

（ただし、 は整数で、）全体を開基とする位相を定める。換言すれば、この位相における開集合は、（空集合であるか）任意個の無限等差数列の和集合である。このとき、空でない有限集合は開集合ではないことに注意する。

任意の無限等差数列は、開集合であると同時に、

という表示により、閉集合でもある。 が素数全体と仮定すると、

は有限個の閉集合の和集合であるから閉集合である。したがって閉集合  の補集合  は開集合である。ところが  以外の任意の整数は何らかの素数で割り切れるから、 である。これは空でない有限集合であるため開集合ではなく、矛盾が生じる。

が無理数であることを使った証明 

ライプニッツの公式をオイラー積の形で表すと

この積の分子は奇素数であり、分母はそれぞれに対応する分子に一番近い  の倍数である。もし素数が有限個ならば  は有理数として表すことができる。しかし  は無理数なので、背理法より素数は無限に存在する。

サイダック 
現代においても、新たな証明が次々に提案されている。その中でも、2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明は非常に簡潔である。

 は以上の整数とする。 と  は互いに素 なので、 は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、 と  は互いに素なので、 は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。

脚注

参考文献 
 中村幸四郎他訳『ユークリッド原論』共立出版、1996年 ISBN 978-4320015135
 M. Aigner and G. M. Ziegler, Proofs from the Book, 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 978-3540404606
 蟹江幸博訳『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年（2nd edition の訳）ISBN 978-4431709862
 Paulo Ribenboim, The Book of Prime Number Records, Springer, 1988 ISBN 978-0387965734
 吾郷孝視訳『素数の世界』共立出版、1995年 ISBN 978-4320014848
 G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition, Oxford University Press, 1980 ISBN 978-0198531715
 示野信一、矢神毅訳『数論入門Ⅰ』シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年 ISBN 978-4431708483
 M. Hardy and C. Woodgold, Prime Simplicity, Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, 2009, 44-52.

関連項目 
 素数階乗素数
 素数定理

外部リンク 
 
  C. K. Caldwell Proofs that there are infinitely many primes - Prime Pages.
 R. Mestrovic, Euclid's theorem on the infinitude of primes: a historical survey of its proofs (300 B.C.-2012) and another new proof, Arxiv preprint arXiv:1202.3670, 2012

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