$$
\begin{array}{l} L _ {V L B} ^ {C} = - \mathbb {E} _ {q} \left[ \log \frac {p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {0} , \dots \mathbf {x} _ {T} , \mathbf {c})}{q (\mathbf {x} _ {1} , \dots , \mathbf {x} _ {T} | \mathbf {x} _ {0})} \right] = \mathbb {E} _ {q} \left[ \log \frac {q (\mathbf {x} _ {1} , \dots , \mathbf {x} _ {T} | \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {0} , \dots , \mathbf {x} _ {T} \mathbf {c})} \right] \\ = \mathbb {E} _ {q} \big [ \log \frac {\prod_ {t = 1} ^ {T} q (\mathbf {x} _ {t} | \mathbf {x} _ {t - 1})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {T} , \mathbf {c}) \prod_ {t = 1} ^ {T} p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {c})} \big ] \\ = \mathbb {E} _ {q} \left[ - \log p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {T}, \mathbf {c}) + \sum_ {t = 1} ^ {T} \log \frac {q (\mathbf {x} _ {t} | \mathbf {x} _ {t - 1})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {c})} \right] \\ = \mathbb {E} _ {q} \left[ - \log p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {T}, \mathbf {c}) + \sum_ {t = 2} ^ {T} \log \frac {q \left(\mathbf {x} _ {t} \mid \mathbf {x} _ {t - 1}\right)}{p _ {\theta} \left(\mathbf {x} _ {t - 1} \mid \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {c}\right)} + \log \frac {q \left(\mathbf {x} _ {1} \mid \mathbf {x} _ {0}\right)}{p _ {\theta} \left(\mathbf {x} _ {0} \mid \mathbf {x} _ {1} , \mathbf {c}\right)} \right] \\ = \mathbb {E} _ {q} \left[ - \log p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {T}, \mathbf {c}) + \sum_ {t = 2} ^ {T} \log \left(\frac {q (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {c})} \cdot \frac {q (\mathbf {x} _ {t} | \mathbf {x} _ {0})}{q (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {0})}\right) + \log \frac {q (\mathbf {x} _ {1} | \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {0} | \mathbf {x} _ {1} , \mathbf {c})} \right] \\ = \mathbb {E} _ {q} \left[ - \log p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {T}, \mathbf {c}) + \sum_ {t = 2} ^ {T} \log \frac {q (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {c})} + \sum_ {t = 2} ^ {T} \log \frac {q (\mathbf {x} _ {t} | \mathbf {x} _ {0})}{q (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {0})} + \log \frac {q (\mathbf {x} _ {1} | \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {0} | \mathbf {x} _ {1} , \mathbf {c})} \right] \\ = \mathbb {E} _ {q} \big [ - \log p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {T}, \mathbf {c}) + \sum_ {t = 2} ^ {T} \log \frac {q (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {c})} + \log \frac {q (\mathbf {x} _ {T} | \mathbf {x} _ {0})}{q (\mathbf {x} _ {1} | \mathbf {x} _ {0})} + \log \frac {q (\mathbf {x} _ {1} | \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {0} | \mathbf {x} _ {1} , \mathbf {c})} \big ] \\ = \mathbb {E} _ {q} \big [ \log \frac {q (\mathbf {x} _ {T} | \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {T} , \mathbf {c})} + \sum_ {t = 2} ^ {T} \log \frac {q (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {x} _ {0})}{p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {t - 1} | \mathbf {x} _ {t} , \mathbf {c})} - \log p _ {\theta} (\mathbf {x} _ {0} | \mathbf {x} _ {1}, \mathbf {c}) \big ] \\ = \mathbb {E} _ {q} \left[ D _ {K L} \left(q \left(\mathbf {x} _ {T} \mid \mathbf {x} _ {0}\right) \| p _ {\theta} \left(\mathbf {x} _ {T}, \mathbf {c}\right)\right) + \sum_ {t = 2} ^ {T} D _ {K L} \left(q \left(\mathbf {x} _ {t - 1} \mid \mathbf {x} _ {t}, \mathbf {x} _ {0}\right) \| p _ {\theta} \left(\mathbf {x} _ {t - 1} \mid \mathbf {x} _ {t}, \mathbf {c}\right)\right) - \log p _ {\theta} \left(\mathbf {x} _ {0} \mid \mathbf {x} _ {1}, \mathbf {c}\right) \right] \\ = \mathbb {E} _ {q} \left[ \mathcal {L} _ {T} ^ {C} \left(\mathbf {x} _ {T}, \mathbf {x} _ {0}, \mathbf {c}\right) + \sum_ {t = 2} ^ {T} \mathcal {L} _ {t} ^ {C} \left(\mathbf {x} _ {t}, \mathbf {x} _ {t - 1}, \mathbf {x} _ {0}, \mathbf {c}\right) - \mathcal {L} _ {0} ^ {C} \left(\mathbf {x} _ {1}, \mathbf {x} _ {0}, \mathbf {c}\right) \right] \tag {43} \\ \end{array}
$$