$$
\begin{array}{l} \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} (t) = \sum_ {j} \sum_ {r = 1} ^ {m} \left\langle \frac {\partial C _ {\mathrm {I R M v l}} ^ {e} (\mathbf {W} , t)}{\partial \mathbf {w} _ {j , r} (t)}, \frac {\partial C _ {\mathrm {I R M v l}} ^ {e ^ {\prime}} (\mathbf {W} , t)}{\partial \mathbf {w} _ {j , r} (t)} \right\rangle \\ = \sum_ {j} \sum_ {r = 1} ^ {m} \left(\frac {1}{n _ {e} m}\right) \left(\frac {1}{n _ {e ^ {\prime}} m}\right) \left[ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \psi^ {\prime} j \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \psi^ {\prime} j \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} + \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} \ell_ {i} ^ {\prime \prime} (t) \hat {y} _ {i} ^ {e} (t) j y _ {i} ^ {e} \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime \prime} (t) \hat {y} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} (t) j y _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\top}} \right] \\ + \sum_ {j} \sum_ {r = 1} ^ {m} \left(\frac {1}{n _ {e} m}\right) \left(\frac {1}{n _ {e ^ {\prime}} m}\right) \left[ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} \ell_ {i} ^ {\prime \prime} (t) \hat {y} _ {i} ^ {e} (t) j y _ {i} ^ {e} \mathbf {v} _ {i} ^ {e \top} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) j \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} + \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} \ell_ {i} ^ {\prime} (t) j \mathbf {v} _ {i} ^ {e \top} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime \prime} (t) \hat {y} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} (t) j \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right] \\ + \sum_ {j} \sum_ {r = 1} ^ {m} \left(\frac {1}{n _ {e} m}\right) \left(\frac {1}{n _ {e ^ {\prime}} m}\right) \left[ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} \ell_ {i} ^ {\prime} (t) j y _ {i} ^ {e} \pmb {\xi} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) j y _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \pmb {\xi} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} + \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} \ell_ {i} ^ {\prime \prime} (t) \hat {y} _ {i} ^ {e} (t) j \pmb {\xi} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime \prime} (t) \hat {y} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} (t) j \pmb {\xi} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right] \\ + \sum_ {j} \sum_ {r = 1} ^ {m} \left(\frac {1}{n _ {e} m}\right) \left(\frac {1}{n _ {e ^ {\prime}} m}\right) \left[ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} \ell_ {i} ^ {\prime \prime} (t) \hat {y} _ {i} ^ {e} j \pmb {\xi} _ {i} ^ {e \top} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) j y _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \pmb {\xi} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} + \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} y _ {i} ^ {e} \ell_ {i} ^ {\prime} (t) j \pmb {\xi} _ {i} ^ {e \top} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime \prime} (t) j \pmb {\xi} _ {i ^ {\prime}} ^ {e} \hat {y} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} (t) \right] \\ \triangleq \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {1} (t) + \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {2} (t) + \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {3} (t) + \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {4} (t) + \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {5} (t) + \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {6} (t) + \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {7} (t) + \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {8} (t). \\ \end{array}
$$