$$
\begin{array}{l} \left| \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {1} (t) - \mathbf {H} _ {e, e ^ {\prime}} ^ {1, \infty} \right| \\ = \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} - \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \frac {1}{2} \psi^ {\prime} (0) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \frac {1}{2} \psi^ {\prime} (0) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| \\ = \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} - \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right. \\ + \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} - \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \frac {1}{2} \psi^ {\prime} (0) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \frac {1}{2} \psi^ {\prime} (0) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \Bigg | \\ \leq \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} - \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| \\ + \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} - \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| \\ + \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} - \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \frac {1}{2} \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| \\ + \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \frac {1}{2} \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} - \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \frac {1}{2} \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \frac {1}{2} \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| \\ \leq \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} (\psi^ {\prime} (t) - \psi^ {\prime} (0)) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) \psi^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| + \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (t) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} (\psi^ {\prime} (t) - \psi^ {\prime} (0)) \frac {1}{2} \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| \\ + \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \ell_ {i} ^ {\prime} (t) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \left(\ell_ {i ^ {\prime}} ^ {\prime} (t) + \frac {1}{2}\right) \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| + \frac {2}{m n _ {e} n _ {e ^ {\prime}}} \left| \sum_ {i = 1} ^ {n _ {e}} \psi^ {\prime} (0) \left(\ell_ {i} ^ {\prime} (t) + \frac {1}{2}\right) \mathbf {v} _ {i} ^ {e ^ {\top}} \sum_ {i ^ {\prime} = 1} ^ {n _ {e ^ {\prime}}} \psi^ {\prime} (0) \frac {1}{2} \mathbf {v} _ {i ^ {\prime}} ^ {e ^ {\prime}} \right| \\ \triangleq I _ {1} + I _ {2} + I _ {3} + I _ {4} \\ \end{array}
$$