$$
\begin{array}{l} \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}, \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {h} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\tilde {v} _ {m}} ^ {h} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]} <   \beta^ {\prime} \right] \\ \leq \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}, \eta_ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \geq \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}), \sum_ {h = 1} ^ {H} w _ {h} \left[ \tilde {\eta} _ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) - \epsilon^ {\prime} \right] <   \beta^ {\prime} \sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \bar {f} _ {v _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right] \right] \\ = \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}, \eta_ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \geq \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}), \tilde {\eta} _ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) <   \beta^ {\prime} \sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {v _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right] + \epsilon^ {\prime} \right] \\ = \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}, \eta_ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \geq \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}), \sum_ {v _ {j} \in \mathcal {V}} \tau_ {v _ {j} \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} \eta_ {v _ {j}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) <   \beta^ {\prime} \sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \overleftarrow {f} _ {v _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right] + \epsilon^ {\prime} \right] \\ \leq \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}, \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \eta_ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) <   \frac {\beta^ {\prime} \sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {v _ {m}} ^ {h} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right] + \epsilon^ {\prime} - \sum_ {v _ {j} \neq \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} \left[ \tau_ {v _ {j} , \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} \eta_ {v _ {j}} ^ {\prime} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\tau_ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u} \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u})} \right] \\ \leq \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}, \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \eta_ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} (\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) <   \frac {\left(\beta_ {1} ^ {\prime} + \xi_ {1} ^ {\prime}\right) \sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {v _ {m}} ^ {h} \left(\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right] + \epsilon^ {\prime} - \sum_ {v _ {j} \neq \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} \left[ \tau_ {v _ {j} \tilde {v} _ {t - l}} ^ {\prime} \eta_ {v _ {j}} ^ {\prime} \left(\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right]}{\tau_ {\tilde {v} _ {t - l} ^ {u} \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}} ^ {\prime} \left(\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right)} \right]. \tag {15} \\ \end{array}
$$