$$
\begin{array}{l} \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} \neq \tilde {v} _ {t - l} ^ {u}, p _ {1} ^ {\prime} = \bar {v} _ {m}, \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\bar {v} _ {t - l}} ^ {h} \left(\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right]}{\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {h} \left(\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right]} \geq \beta^ {\prime} \right] \\ \leq \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \bar {v} _ {m}, \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\bar {v} _ {t - l}} ^ {h} \left(\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right]}{\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {h} \left(\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right]} \geq \beta^ {\prime} \right] \\ \leq \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \bar {v} _ {m}, \eta_ {\bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \geq \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}), \sum_ {h = 1} ^ {H} w _ {h} \left[ \tilde {\eta} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) - \epsilon^ {\prime} \right] \leq \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \bar {f} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\beta^ {\prime}} \right] \\ = \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \tilde {v} _ {m}, \eta_ {\vec {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \geq \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}), \tilde {\eta} _ {\vec {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\vec {v} _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\beta^ {\prime}} + \epsilon^ {\prime} \right] \\ = \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \bar {v} _ {m}, \eta_ {\bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \geq \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}), \sum_ {v _ {j} \in \mathcal {V}} \tau_ {v _ {j} v _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \eta_ {v _ {j}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\tilde {v} _ {m}} ^ {h} \left(\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right]}{\beta^ {\prime}} + \epsilon^ {\prime} \right] \\ \leq \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \bar {v} _ {m}, \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \eta_ {\bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \frac {\frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} [ w _ {h} \bar {f} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) ]}{\beta^ {\prime}} - \sum_ {v _ {j} \neq v _ {m}} \left[ \tau_ {v _ {j} v _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \eta_ {v _ {j}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\tau_ {\bar {v} _ {m} \bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u})} + \frac {\epsilon^ {\prime}}{\tau_ {\bar {v} _ {m} \bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u})} \right] \\ \leq \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \bar {v} _ {m}, \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \eta_ {\bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \frac {\frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} [ w _ {h} \bar {f} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) ]}{\beta_ {2} ^ {\prime} - \xi_ {2} ^ {\prime}} - \sum_ {v _ {j} \neq v _ {m}} \left[ \tau_ {v _ {j} v _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \eta_ {v _ {j}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\tau_ {\bar {v} _ {m} \bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u})} + \frac {\epsilon^ {\prime}}{\tau_ {\bar {v} _ {m} \bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u})} \right] \\ = \mathbb {P} \left[ p _ {1} ^ {\prime} = \bar {v} _ {m}, \eta_ {p _ {2} ^ {\prime}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \eta_ {\bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \leq \frac {\frac {\sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \bar {f} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {h} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\beta_ {2} ^ {\prime}} - \sum_ {v _ {j} \neq v _ {m}} \left[ \tau_ {v _ {j} v _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \eta_ {v _ {j}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}) \right]}{\tau_ {\bar {v} _ {m} \bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u})} + \frac {\epsilon^ {\prime}}{\tau_ {\bar {v} _ {m} \bar {v} _ {m}} ^ {\prime} (\bar {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u})} \right. \\ \left. + \frac {\xi_ {2} ^ {\prime} \sum_ {h = 1} ^ {H} \left[ w _ {h} \tilde {f} _ {\bar {v} _ {m}} ^ {h} \left(\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right) \right]}{\beta_ {2} ^ {\prime} \left(\beta_ {2} ^ {\prime} - \xi_ {2} ^ {\prime}\right) \tau_ {\bar {v} _ {m} \bar {v} _ {m}} ^ {\prime} \left(\tilde {\mathbf {x}} _ {t} ^ {u}\right)} \right] \tag {18} \\ \end{array}
$$