SlowGuess/NeurIPS_2023_OCR huggingface dataset:
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\begin{array}{l} \Delta_ {\max } = \max  _ {i, j \in [ K ]} \left| \mathcal {E} ^ {i} (\mathbf {U}, \mathbf {V}) - \mathcal {E} ^ {j} (\mathbf {U}, \mathbf {V}) \right| \\ = \max  _ {i, j \in [ K ]} \left| \left(\operatorname {t r a c e} \left(\mathbf {U} ^ {i, \star} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {V} ^ {i, \star}\right) - \operatorname {t r a c e} \left(\mathbf {U} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {V}\right)\right) \right. \\ \left. - \left(\operatorname {t r a c e} \left(\mathbf {U} ^ {j, \star} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {V} ^ {j, \star}\right) - \operatorname {t r a c e} \left(\mathbf {U} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {V}\right)\right) \right| \\ = \max  _ {i, j \in [ K ]} \left| \left(\sum_ {r = 1} ^ {R} \mathbf {u} _ {r} ^ {i, *} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i ^ {\top}} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {v} _ {r} ^ {i, *} - \sum_ {r = 1} ^ {R} \mathbf {u} _ {r} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i ^ {\top}} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {v} _ {r}\right) \right. \\ \left. - \left(\sum_ {r = 1} ^ {R} \mathbf {u} _ {r} ^ {j, *} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {v} _ {r} ^ {j, *} - \sum_ {r = 1} ^ {R} \mathbf {u} _ {r} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {v} _ {r}\right) \right| \\ = \max  _ {i, j \in [ K ]} \left| \sum_ {r = 1} ^ {R} \left(\left(\mathbf {u} _ {r} ^ {i, *} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {v} _ {r} ^ {i, *} - \mathbf {u} _ {r} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {v} _ {r}\right) \right. \right. \tag {25} \\ \left. - \left(\mathbf {u} _ {r} ^ {j, *} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j ^ {\top}} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {v} _ {r} ^ {j, *} - \mathbf {u} _ {r} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j ^ {\top}} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {v} _ {r}\right)\right) \Bigg | \\ \leq \sum_ {r = 1} ^ {R} \max  _ {i, j \in [ K ]} \left| \left(\mathbf {u} _ {r} ^ {i, *} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {v} _ {r} ^ {i, *} - \mathbf {u} _ {r} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {i} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {i} \mathbf {v} _ {r}\right) \right. \\ \left. - \left(\mathbf {u} _ {r} ^ {j, *} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {v} _ {r} ^ {j, *} - \mathbf {u} _ {r} ^ {\top} \mathbf {X} ^ {j} ^ {\top} \mathbf {Y} ^ {j} \mathbf {v} _ {r}\right) \right| \\ = \sum_ {r = 1} ^ {R} \max  _ {i, j \in [ K ]} \left| \mathcal {E} ^ {i} \left(\mathbf {u} _ {r}, \mathbf {v} _ {r}\right) - \mathcal {E} ^ {j} \left(\mathbf {u} _ {r}, \mathbf {v} _ {r}\right) \right| \\ = \sum_ {r = 1} ^ {R} \Delta_ {\max , r}. \\ \end{array}
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Similarly, for  $\Delta_{\mathrm{sum},r}$  and  $\Delta_{\mathrm{sum}}$  , we have  $\Delta_{\mathrm{sum}}\leq \sum_{r = 1}^{R}\Delta_{\mathrm{sum},r}$