$$
\begin{array}{l} \Delta = \frac{1}{2}\sum_{(i,j)\in \mathcal{S}_{\mathrm{cal}}\cup \{(i_{*},j_{*})\}}|w_{ij} - w^{\prime}_{ij}| \\ = \frac {1}{2} \sum_ {(i, j) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*}, j _ {*}) \}} \frac {\left| h _ {i j} \sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}} - \widehat {h} _ {i j} \sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} h _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}} \right|}{\left(\sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right) \left(\sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} h _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right)} \\ \leq \frac {1}{2} \sum_ {(i, j) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*}, j _ {*}) \}} \left\{\frac {h _ {i j} \left| \sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}} - \sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} h _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}} \right|}{\left(\sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right) \left(\sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} h _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right)} \right. \\ + \left. \frac {\left| \widehat {h} _ {i j} - h _ {i j} \right| \sum_ {\left(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}\right) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \left\{\left(i _ {*}, j _ {*}\right) \right\}} h _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}}{\left(\sum_ {\left(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}\right) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \left\{\left(i _ {*}, j _ {*}\right) \right\}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right) \left(\sum_ {\left(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}\right) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \left\{\left(i _ {*}, j _ {*}\right) \right\}} h _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right)} \right\} \\ = \frac {1}{2} \frac {\left| \sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}} - \sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} h _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}} \right|}{\left(\sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right)} + \frac {1}{2} \frac {\sum_ {(i , j) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} | \widehat {h} _ {i j} - h _ {i j} |}{\left(\sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}\right)} \\ \leq \frac {\sum_ {(i , j) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \left| \widehat {h} _ {i j} - h _ {i j} \right|}{\sum_ {(i ^ {\prime} , j ^ {\prime}) \in \mathcal {S} _ {\mathrm {c a l}} \cup \{(i _ {*} , j _ {*}) \}} \widehat {h} _ {i ^ {\prime} j ^ {\prime}}}. \tag {18} \\ \end{array}
$$