$$
\begin{array}{l} \mathbb {E} _ {\mathbf {z}, \omega} \left[ \| \hat {D} (T (G (\mathbf {z}); \omega), G (\mathbf {z})) - \omega^ {+} \| _ {2} ^ {2} \right] - \mathbb {E} _ {\mathbf {z}, \omega} \left[ \| \hat {D} (T (G (\mathbf {z}); \omega), G (\mathbf {z})) - \omega^ {-} \| _ {2} ^ {2} \right] \\ = \iiint p _ {G} (\mathbf {x}, \boldsymbol {\omega}, \hat {\mathbf {x}}) \left[ \| \hat {D} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) - \boldsymbol {\omega} ^ {+} \| _ {2} ^ {2} - \| \hat {D} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) - \boldsymbol {\omega} ^ {-} \| _ {2} ^ {2} \right] d \mathbf {x} d \boldsymbol {\omega} d \hat {\mathbf {x}} \\ = \iint p _ {G} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) \left[ \| \frac {\pmb {c} (p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) - p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}))}{p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})} - \pmb {c} \| _ {2} ^ {2} - \| \frac {\pmb {c} (p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) - p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}))}{p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \widehat {\mathbf {x}})} + \pmb {c} \| _ {2} ^ {2} \right] \mathrm {d} \mathbf {x} \mathrm {d} \hat {\mathbf {x}} \\ = c \cdot \iint p _ {G} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) \left[ \| \frac {p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) - p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})}{p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})} - 1 \| _ {2} ^ {2} - \| \frac {p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) - p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})}{p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}} + 1 \| _ {2} ^ {2} \right] \mathrm {d} \mathbf {x} \mathrm {d} \hat {\mathbf {x}} \\ = c \cdot \iint p _ {G} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) \left[ \| \frac {2 p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})}{p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})} \| _ {2} ^ {2} - \| \frac {2 p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})}{p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})} \| _ {2} ^ {2} \right] \mathrm {d} \mathbf {x} \mathrm {d} \hat {\mathbf {x}} \\ = 4 c \cdot \iint p _ {G} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) \left[ \frac {p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) ^ {2} - p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) ^ {2}}{(p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})) ^ {2}} \right] \mathrm {d} \mathbf {x} \mathrm {d} \hat {\mathbf {x}} \\ = 4 c \cdot \iint p _ {G} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) \left[ \frac {p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) - p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})}{p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}}) + p _ {G} (\mathbf {x} , \hat {\mathbf {x}})} \right] \mathrm {d} \mathbf {x} \mathrm {d} \hat {\mathbf {x}} \\ = 4 c \cdot M _ {\mathrm {A H}} \left(p _ {\mathrm {d a t a}} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}}) \| p _ {G} (\mathbf {x}, \hat {\mathbf {x}})\right), \\ \end{array}
$$