0.999...

context: 数学における循環十進小数0.999⋯は、"1"と同じ数。
実数として"0.999⋯"と「1」は同じ数であると示すことができる。
これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階の数学的厳密性が相応に考慮された、多様な定式化がある。
0.999⋯は、省略記号の前の9の個数を多少増減させて0.99999⋯のようにも書くこともある。
一般に、任意の0でない有限小数(を末尾に無限個の0を付けて無限小数と見たもの)は、末尾に無限個の9が連なる値の等しい双子の表示(例えば8.32と8.31999⋯)を持つ。
ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。
同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。
qas: question: 実数の"0.999⋯"と等しい数は何?
answers: text: 「1」

question: 0.999⋯の⋯は何と呼ばれていますか?
answers: text: 省略記号

context: 0.999⋯と1の等価性は、実数の体系(これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である)に0でない無限小が存在しないことと深く関係している。
一方、超実数の体系のように0でない無限小を含む別の数体系もある。
そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式0.999⋯の値は1に等しくなるが、一部の体系においては記号"0.999⋯"に別の解釈を与えて1よりも無限小だけ小さいようにすることができる。
等式0.999⋯=1は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反するものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。
このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。
qas: question: 0.999⋯と1の等価性を等式で表すとどうなりますか?
answers: text: 0.999⋯=1

context: 日本の数学教育においては、高校数学の数学Iで循環小数の足し算・引き算・10倍が公理として採用されているため、上記の代数的な操作は高校数学の範囲内では正しい証明とされる。
qas: question: 循環小数の足し算・引き算・10倍が公理として採用されている教科は何ですか?
answers: text: 数学I

context: 0.999⋯という小数点以下の位に無数の9を加えていくという定義自体が解析的である。
これが1に等しいことを厳密に証明するには、実解析の手法を必要とする。
0.999⋯という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを明確に定義し直すことが必要となる。
0.999⋯が1に等しいことを証明するには、それらの差が0であることを証明すればよい。
その分、無数に並ぶ9についての定義はぼやけるが、初等的かつ解析的に導くことができる。
qas: question: 0.999⋯が1と等しいことを厳密に証明するために必要とする方法は何ですか?
answers: text: 実解析の手法

context: この証明は早くて1770年のレオンハルト・オイラーによるElementsofAlgebraにおいて(実際には9.999⋯=10の証明として)見られる。
等比級数の公式自体はオイラー以前の成果であるが、18世紀まではその導出がいずれも項別演算を証明なしで行われていた。
1811年になってやっと、Bonnycastleの教科書AnIntroductiontoAlgebraで等比級数に関する議論を行うことで0.999⋯に関する項別操作を正当化している。
19世紀には、それまでの自由すぎる無限和の計算に対する反動として、「級数はその部分和の極限として定義される」という、現在の数学でも用いられている定義が生み出された。
このころの証明に基づいた微積分学や解析学の入門書においては、関連する定理を証明することによりこの等比級数もはっきりと計算されている。
qas: question: 「級数はその部分和の極限として定義される」の定義が生まれたのはいつ?
answers: text: 19世紀

question: AnIntroductiontoAlgebraで等比級数に関する議論を行ったのはいつですか?
answers: text: 1811年

context: 公理的集合論を用いて、実数の集合を有理数の集合上で組み立てられたある種の構造として明示的に定義する方法はいくつか存在する。
まず、自然数とは、ものを数えるときに用いる番号のことであり、0から始めて0,1,2,...と、+1ずつ添加していくことにより得られる。
自然数を拡張して整数全体を得るには、各自然数の反数を添加すればよい。
さらにそれらの商を添加すると、有理数全体が得られる。
これらの数体系には、加減乗除という四則演算が付随しており、さらに、任意の2数を比較しての大小関係(どちらが大きいか、小さいか、等しいか)という順序をも備えている。
qas: question: ものを数えるときに用いる番号のことを何と言いますか?
answers: text: 自然数

question: 各自然数の反数を添加すると、何が得られますか?
answers: text: 整数全体

context: 有理数から実数への拡張は(自然数から整数や有理数への拡張と比べて)大きな飛躍である。
この拡張の方法は、少なくとも2つの手法がよく知られている。
ともに1872年に発表された有理数の切断によるものとコーシー列によるものである。
これらの実数の構成法により0.999⋯=1を証明している実解析の教科書は見られない。
現代数学では、解析学的に実数を構成し、それが数の公理を満たすかどうかに注意が払われる。
公理による解析的手法により0.999⋯=1を証明することになるからである。
しかしながら、実数の構成をより適切に、論理的に行うことにより、0.999⋯=1の証明はもっと直接的になされる(self-contained)と主張する人もいる。
qas: question: 1872年に発表された有理数から実数への拡張方法は、有理数の切断によるものと何によるものですか?
answers: text: コーシー列

question: 1872年に発表された有理数から実数への拡張方法は、コーシー列によるものと何によるものですか?
answers: text: 有理数の切断

context: デデキント切断による実数の定義は、1872年にリヒャルト・デーデキントによって初めて発表された。
上記の、実数をそれぞれの小数展開に帰着させる方法は、フレッド・リッチマン(FredRichman)によって雑誌MathematicsMagazineに投稿された"Is0.999⋯=1?"という解説論文による説明である。
この論文は大学の数学教師とその生徒向けに書かれている。
リッチマンは、有理数の任意の稠密な部分集合における切断を考えても同様な結果をもたらすことを指摘している。
その中で彼は、分母が10の冪である分数全体の成す稠密部分集合を用いて、0.999⋯=1の証明をより直接的に与えている。
また、x<1となるxは切断を有するが、x≤1となるxは切断をもたないことも指摘し、「これは0.999⋯と1が異なってしまうことを排除するものである。......実数の伝統的な定義の中に、等式0.999⋯=1は最初から組み込まれている」と評した。
リッチマンは、この手順に修正を加えることで、0.999⋯≠1となる別の構造を導いている。
qas: question: デデキント切断による実数の定義を初めて公にした人は誰ですか?
answers: text: リヒャルト・デーデキント

question: 0.999⋯≠1となる別の構造を導いた人物のフルネームは何ですか?
answers: text: フレッド・リッチマン

question: フレッド・リッチマンが大学の数学教師とその生徒向けに書いた解説論文のタイトルは何?
answers: text: "Is0.999⋯=1?"

context: コーシー列による実数の定義は、最初に(いずれも)1872年にエドゥアルト・ハイネとゲオルク・カントールにより独立に発表された。
0.999⋯=1の証明を含む、小数展開による上記のアプローチは1970年にグリフィス(Griffiths)とヒルトン(Hilton)の書いた教科書Acomprehensivetextbookofclassicalmathematics:Acontemporaryinterpretation(「古典数学に関する総合教科書:現代的解釈」)に従っている。
この教科書は、よく知られた概念について、現代の観点から再検討することを主眼に書かれている。
qas: question: コーシー列による実数の定義が初めて発表された年は?
answers: text: 1872年

question: Acomprehensivetextbookofclassicalmathematics:Acontemporaryinterpretationを書いたのはヒルトンと誰ですか?
answers: text: グリフィス

question: コーシー列による実数の定義を発表した人物はゲオルク・カントールともう1人は誰ですか?
answers: text: エドゥアルト・ハイネ

context: 実数は標準的な数体系であるが、"0.999⋯"という無数桁の表記がある実数を表すだろうと、我々は自然に考えている。
ウィリアム・ティモシー・ガワーズはMathematics:AVeryShortIntroductionで、等式0.999⋯=1を結論することも同様に『慣習』であると述べている。
qas: question: 等式0.999⋯=1を結論することも同様に『慣習』であると述べた人物は誰ですか?
answers: text: ウィリアム・ティモシー・ガワーズ

context: 等式0.999⋯=1の証明は直ちに2つの方法で一般化される。
最初に、まさにその特別な場合において考えられたように、すべての0でない有限小数(すなわち、後に0が限りなく続く)は9が後ろにずっと続く別表現をもっている。
例えば、0.24999⋯は0.25に等しい。
これらは等しい。
次に、0.999⋯=1に相当する結果を他の基数にも適用することができる。
例えば二進法では0.111⋯=1であり、三進法では0.222⋯=1である。
一般に、基数をbとするとき、小数点以下にはb-1が繰り返し並ぶ。
実解析の教科書は0.999⋯=1の例を飛ばして、これらの一般化のうちの一つか両方を最初から紹介する傾向がある。
qas: question: 0.999⋯=1に相当する結果を二進法ではどう表せられますか?
answers: text: 0.111⋯=1

question: 0.999⋯=1に相当する結果を三進法ではどのように表記されますか?
answers: text: 0.222⋯=1

context: マルコ・ペトカイゼク(MarkoPetkovšek)は、そのように一つの数が複数の方法で表せるということは位取り記数法を用いることの必然的な結果であると述べ、すべての実数を扱う任意の位取り記数法において複数の表現をもつ実数の集合はつねに稠密であることを証明した。
彼はこの証明を「一般位相空間に関する初級の教育的な練習問題」と呼んだ。
それは、位取り記数法の値の集合をStone空間と見ること、その実数表現が連続関数によって与えられることに気づくことを、その証明が含んでいるからである。
qas: question: 「一般位相空間に関する初級の教育的な練習問題」と呼んだ人は誰?
answers: text: マルコ・ペトカイゼク

context: ミディ(E.Midy)は1836年にこのような分数に関する一般的な結果を証明して、現在はミディの定理と呼ばれている。
その論文は曖昧であり、彼の証明が直接0.999⋯を含むかどうか定かではない。
しかし、レーヴィット(W.G.Leavitt)による少なくとも一つの現代的な証明ではそれが含まれている。
もし、0.b1b2b3⋯という形の小数が正の整数であることを証明できれば、それは0.999⋯に他ならず、それがこの定理において9たちが出現する原因となる。
この方向への研究は最大公約数、剰余計算、フェルマー素数、群の元の位数、平方剰余の相互法則などの概念に動機付けを与える。
qas: question: 1836年に発表されたミディの証明は、現在何と呼ばれていますか?
answers: text: ミディの定理

context: TheStraightDopeは「他の掲示板...ほとんどがビデオゲーム」から独立した専用の掲示板で議論を載せている。
同様の調子で、0.999⋯の問題は、アメリカのゲーム開発会社ブリザード・エンターテイメントのBattle.netフォーラムで最初の7年間にとても一般的な話題であることが分かったため、社長のMikeMorhaimeは2004年4月1日の記者会見で0.999⋯=1であると発表した。
「我々はこの問題に対しきっぱりと決着をつけることに大変興奮しています。我々は0.999⋯が1に等しいのか等しくないのかについての、心痛や心配に立ち会ってきました。ここに次の証明を提示し、我々の顧客に対して、最終的に断固としてこの問題に対処できることを嬉しく思います。」
続くプレスリリースで、極限に基づくものと10を掛けるものの2つの証明を提供している。
qas: question: MikeMorhaimeはどこの会社の社長ですか?
answers: text: ブリザード・エンターテイメント