Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
このことで想像されるように，製品価格に影響を与えると予測される変数は多く説明変数として加え，それらの影響をコントロールすることが望ましい。そうした変数が n 個 $ (x_{1},\cdots,x_{n}) $ あれば，

$$ p_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}D_{t}+\sum_{m=1}^{n}\gamma_{m}x_{m}+u_{t} $$

となる。ただし最小二乘法は説明変数間の統計的独立性を要求するから，説明変数間に相関があれば推定結果にバイアス（偏り）が生まれる可能性がある。よって，相関しやすい複数の説明変数を同一の式に含むことは原則として避けるべきである。例えば，原材料価格の変動の説明変数として電力価格と原油価格を用いれば，原油価格が上がれば電力価格も上がるという正の相関関係が容易に想像されるから，これら両価格変数を同時に用いることは避けるべきである。

## (4) ダミー変数の使い方

ダミー変数以外の説明変数を省略して (1.7) 式に戻ろう。この式での $ \beta_{0} $ を定数項と呼ぶ。全ての説明変数（この式では $ D_{t}, x_{t} $ ）の値がゼロの時の従属変数 $ p_{t} $ の値を示し，図では $ p_{t} $ 軸における切片を表す。(1.8) 式の変形として

$$ p_{t}=\alpha_{0}d_{t}+\alpha_{1}D_{t}+u_{t} $$

を考えよう。

この式では定数項が無く，その代わりにもう一つのダミー変数 $ d_{t} $ がある。このダミー変数は $ D_{t} $ の逆で，カルテル期間に0，それ以外の期間で1の値をとる変数として定義される。すると，カルテル期間では $ p_{t}=\hat{\alpha}_{1} $ ，その他期間では $ p_{t}=\hat{\alpha}_{0} $ と予測されることになる。これと（1.7）式の後の説明を比較すれば， $ \alpha_{0}=\beta_{0},\quad\alpha_{1}=\beta_{0}+\beta_{1} $ であり

$ \hat{\beta}_{1} $ が有意に正 $ \rightarrow $ カルテル期間の価格はその他期間より有意に高い

$ \hat{\alpha}_{1} $ が有意に正 → カルテル期間の価格は有意に正

をそれぞれ意味することが理解されよう。言い換えれば，(1.10)式では，カルテル期間の価格がその他期間より有意に高いとするためには，$\hat{\alpha}_{1}$ が有意に $\hat{\alpha}_{0}$ より大きいことを示さなければならない。よって，現在の例のようにカルテル期間中と期間外での従属変数の値の差に関心がある場合には(1.7)式のような定式化が便利である。一方，ダミー変数が1の値をとる時の，すなわち今の例ではカルテル期間中の従属変数の値そのものに関心がある場合には，(1.10)式のような定式化が便利だということになる。
ダミー変数を用いその他変数との交叉項を作る，すなわち他変数と掛け合わせた変数を作ることもできる。例えば（1.8）式を変形して

$$ p_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}D_{t}+\gamma_{1}x_{t}+\gamma_{2}D_{t}\times x_{t}+u_{t} $$

としよう。すると,

$$ \begin{aligned}D_{t}&=0\quad\rightarrow\quad p_{t}=\beta_{0}+\gamma_{1}x_{t}+u_{t}\\D_{t}&=1\quad\rightarrow\quad p_{t}=(\beta_{0}+\beta_{1})+(\gamma_{1}+\gamma_{2})x_{t}+u_{t}\end{aligned} $$

となる。ダミー変数により，定数項すなわち切片のみではなく， $ x_{t} $ の係数も変わることが分かる。すなわち， $ x_{t} $ の $ p_{t} $ への効果は，

$$ \frac{\partial p_{t}}{\partial x_{t}}=\left\{\begin{aligned}\gamma_{1}&\quad\Leftrightarrow\quad D_{t}=0\\ \gamma_{1}+\gamma_{2}&\quad\Leftrightarrow\quad D_{t}=1\end{aligned}\right. $$

である。 $ \beta_{0},\beta_{1},\gamma_{1} $ 及び $ \gamma_{2} $ いずれもプラスの時の $ x_{t} $ と $ p_{t} $ の関係を図示すれば次ページのとおりである。

このように，ダミー変数は単に切片を変えるだけではなく，直線の傾き，すなわち説明変数の従属変数への効果を変える目的でも用いることができる。

$$ 図 \;3\quad ダミー変数 \begin{aligned} 効果 \end{aligned}\;(\beta_{0}>0,\beta_{1}>0,\gamma_{1}>0,\gamma_{2}>0\begin{aligned} ケース \end{aligned}) $$

このように，ダミー変数は単に切片を変えるだけではなく，直線の傾き，すなわち説明
変数の従属変数への効果を変える目的でも用いることができる。

## (5) 非連続変数を従属変数とするモデル

ダミー変数を従属変数として用いる手法も利用される。例えば，集中度の高い産業ほどカルテルが起きる確率が高いという仮説を考えよう。この仮説は次の式で表される。

$$ \mathrm{P r o b}(D_{t}=1)=f(\beta_{0}+\beta_{1}x_{t}+u_{t})=f(\beta^{\prime}\mathbf{x}_{t}+u_{t}) $$

ただし $ \beta^{\prime}x_{t} $ はベクトル表現である。 $ \operatorname{Prob}(D_{t}=1) $ は $ D_{t}=1 $ である確率，すなわちカルテルが起きている確率を表す。確率であるから，これは 0 と 1 の間の値をとる。一方，右辺かっこ内の $ \beta_{0}+\beta_{1}x_{t}+u_{t} $ には 0 と 1 の間の値をとるという保証がない。そこで，何らかの関数型を用いて変換し 0 と 1 の間をとるようにする必要がある。この関数型が $ f(\beta^{\prime}\mathbf{x}_{t}+u_{t}) $ である。一般的に使われている関数型は 2 種類あり，それによりプロビット（probit）モデル，ロジット（logit）モデルという $ ^{10} $ 。ほとんどの場合，いずれのモデルを用いても結果の違いは小さい。もちろん，これらモデルにおいても係数の有意性を検定できる。例えば（13）式での $ \beta_{1} $ の推定値 $ (\hat{\beta}_{1}) $ が有意に正であるなら，変数 $ x_{t} $ は $ D_{t}=1 $ の確率を高める，すなわち今の例ではカルテルを起こす確率を高めると結論することができる。ただし f 関数により変換しているから， $ \hat{\beta}_{1} $ の値そのものに意味を持たせることはできない。例えば $ \hat{\beta}_{1}=0.1 $ が得られたとしても， $ x_{t} $ の 1 単位増が $ D_{t}=1 $ の確率を 0.1（10%）高めると解釈することはできない。

(1.13) 式を推定するに当たり従属変数のデータとしてはダミー変数を用いる。すなわち 0 か 1 の値をとる。この選択肢が 3 以上になるモデルもある。例えば東京から大阪に行くには飛行機、新幹線、高速バス、自家用車と少なくとも 4 つの選択肢がある。このような場合に使われるモデルとして、多選択ロジット・モデル（multinomial logit model）や多選択プロビット・モデル（multinomial probit model）がある。

これらモデルのように限られた数の中からの選択ではないが，従属変数の取り得る値に制限がある場合もある。一つは，従属変数が一定の範囲の値しかとれない場合である。最も多いのは，従属変数が正の値しかとれない場合で，例えば価格はマイナス値をとり得ない。販売量や企業数もそうである。こうした場合でも，価格や販売量であれば実際にはデータは正の値しかないのが普通であるから，通常の最小二乘法で問題はない。しかし，例えば企業別のデータで研究開発費を従属変数にする分析を考えてみよう。総務省「科学技術研究調査」によれば，研究開発を行っている企業は3％しかない $ ^{11} $ 。このため，従属変数
は多くのサンプルについて 0 の値をとり，これらはマイナス値をとり得ないために 0 に制約されていると考えるべきである。このとき，マイナス値もとり得ることを前提とする推定方法では偏りが生じやすい。従属変数が 0 以上の値しかとり得ないという制約を加えた上での推定がなされなければならない。このために広く使われているのがトービット (Tobit) モデルである。

また，従属変数が正の整数に限定される場合もある。このときも通常の企業・産業における販売個数のように，正の整数でなければならないにしても，一般に数値が十分に大きいなら，連続的な変数で近似して問題は少ない。ところが，例えば中小企業の特許出願数のように，0個の企業も多く，またほとんどの企業で1個，2個など限られた数であるとすれば，最小二乘法では偏りが生じやすい。この場合に使われるのがポアソン・モデル (Poisson model) やネガティブ・バイノミアル・モデル（Negative binomial model）である。

これら様々なモデルについて，詳しくは計量経済学の教科書を参考にしてほしい。TSP, STATA, EViews など現在広く使われている計量分析用パッケージソフトではいずれもこれらの機能が組み込まれている。

## (6) パネル分析

既に５の（１）で述べたように，２次元あるいはそれ以上の次元を持つデータをパネルデータと呼ぶ。以下，２次元として， $ x_{it} $ はi産業（あるいはi企業）のt年（あるいはt日，t月）の変数xであるとする。（１.８）式を少し変形して，次の式を考えよう。

$$ p_{it}=\alpha_{i}+\beta_{0}+\beta_{1}D_{it}+\gamma x_{it}+u_{it} $$

全ての変数に添字i, tが付されていることに加え, $ \alpha_{i} $ という項が加わったことに気が付くであろう。これは従属変数 $ (p_{it}) $ に影響を与える要因のうちi産業に固有の要因であり，他の説明変数 $ (D_{it}, x_{it}) $ では説明されず，また時間とともには変化しないものを表す $ ^{12} $ 。

この式で, $ \alpha_{i} $ を定数項の一部として考えるとき固定効果(fixed effect) モデル, 攪乱項 $ (u_{it}) $ の一部である確率変数として考えるときランダム効果（random effect）モデルと呼ぶ。

固定効果への対応として，三つの方法がある。一つは，iごとにダミー変数を作り，(1.14)式に加えることである。産業ダミーが加えられる分析は多いが，この例である。この場合，産業ごとのダミー変数の係数を推定するので，係数推定値を比較することで産業間の従属変数への影響の大きさの違いを見ることができるというメリットがあるが，推定すべき係数が増えることにより自由度が失われるというデメリットがある。

もう一つは差分をとることである。(1.14) 式での t の代わりに t-1 とした式を作り，それを (1.14) 式から引くと，
$$ \Delta p_{it}=\beta_{1}\Delta D_{it}+\gamma\Delta x_{it}+\Delta u_{it} $$

となる。 $ \Delta p_{it}=p_{it}-p_{i,t-1} $ など， $ \Delta $ は差分（前年からの増分）を表す。差分をとったことにより $ \alpha_{i} $ 及び $ \beta_{0} $ が式から消えるから，元のデータから差分を計算し，それを利用しても（15）式を推定することにより $ \beta_{1} $ 及び $ \gamma $ の推定値を得る。このように差をとり，その差のカルテル開始期（t でカルテルが始まったとすると $ D_{i,t-1}=0 $ 及び $ D_{i,t}=1 $ より $ \Delta D_{it}=1 $ ），カルテル期間中（ $ D_{i,t-1}=D_{it}=1 $ より $ \Delta D_{it}=0 $ ），カルテル終了期（ $ D_{i,t-1}=1 $ 及び $ D_{i,t}=0 $ より $ \Delta D_{it}=-1 $ ）の差を利用して推定することから，差の差モデル（DID (difference in difference) モデル）と呼ばれることがある。

同様に，前年からの差分をとるのではなく，期間を通しての平均値からの差分（偏差）をとることによっても同一のことができる。パネル分析の固定効果モデルでは一般にこの方法を用いる。固定効果モデルとランダム効果モデルの詳細，いずれを使うべきかに関する検定方法などについては計量経済学の教科書を参照されたい。

## (7) 計量分析の有用性と限界

以上，計量分析の代表的な使い方について概要を述べた。繰り返すが，これらは極めて単純化した概要にすぎず，また筆者は計量経済学の専門家でもないので，より詳しくは計量経済学の教科書を参照してほしい。いずれにせよ，これら計量分析は，現実データを用いて仮説を統計的に検定したり（仮説検定），データから一定の法則，傾向，事実を見付け出そう（ファクト・ファインディング）とするものであるから，単なる印象や裏付けのない結論とは異なり，信頼性が高い。それだけに競争政策においても有用な分析手法であり，実際にも利用が増えてきていることは1節で述べたとおりである。

それとともに計量分析の限界も知っておく必要がある。第1は因果関係に関するものである。(1.8)式や(1.14)式では，右辺の変数が左辺の変数を決定するものと前提している。右辺の変数を独立変数や説明変数と呼び，左辺の変数を従属変数と呼ぶことにもそれが現れている。両変数間の関係式を推定することで相関関係の有無を確認できるものの，両変数間に因果関係が成立しているかどうかこれらの式を推定するだけで確認できるわけではない。例えば $ x_{t} $ が気温であり， $ p_{t} $ が灯油価格であるとすれば， $ x_{t}\rightarrow p_{t} $ の因果関係であると考えてよい。気温が灯油価格に影響されることはあり得ないからである。また気温が低いほど灯油への需要が高いであろうと予測することは論理的だからである。しかし $ x_{t} $ が自動車台数であり， $ p_{t} $ がガソリン価格であるとすれば，確かに自動車が多いほどガソリンへの需要は増えそうだから $ x_{t}\rightarrow p_{t} $ の因果関係が考えられるが，ガソリンが高ければ長期的には自動車から鉄道に切り替える人がいるだろうという意味では， $ x_{t}\leftarrow p_{t} $ の因果関係も考えられる。

よって，推定結果から， $ x_{t} \rightarrow p_{t} $ という因果関係があると断定するのは危険である。時系
列データの場合には，説明変数に1期のラグ（遅れ）をつけ，例えば右辺の変数を $ x_{t-1} $ とすれば，過去の変数が今日の変数に影響をすることはあっても，今日の変数が過去の変数に影響することはあり得ないので，因果関係の問題を緩和することができる。このような時系列の関係を生かし， $ x_{t} $ の過去の変数が今日の $ p_{t} $ に与える効果と $ p_{t} $ の過去の変数が今日の $ x_{t} $ に与える効果を比較して， $ x_{t}\rightarrow p_{t} $ 又は $ x_{t}\leftarrow p_{t} $ のいずれの因果関係が統計学的にはよりあり得るかを検定する手法（Granger causality test）を使うことがある。

第2は同時性である。 $ p_{t} $ と $ x_{t} $ は，一方が他方を決めるというのではなく，その他の変数の結果として，これらが同時に決定される場合がある。代表的には需要曲線と供給曲線に基づく市場均衡の決定で， $ x_{t} $ が生産量・販売量だとすると，観察されるデータは均衡値，すなわち需要曲線と供給曲線の交点の軌跡であり，これらは需要量に影響する変数（例えば灯油の例での天候）や供給量に影響する変数（例えば原油価格）に依存して決まることになる。これを同時性といい， $ p_{t} $ と $ x_{t} $ をともに従属変数とみなし，需要関数と供給関数という2つの式を連立して推定すべきことを示す。こうした同時方程式体系の推定方法も2段階最小二乘法などいくつかのものが使われる。

第3は説明変数間の相関で，これがあると推定結果が偏りを持ったり不安定になったりすることが知られている。多重共線性（multicollinearity）と呼ばれる問題である。多重共線性は変数を工夫すれば解決できる場合もある。例えば企業データを用いた分析で，説明変数に売上高と従業員数を含めると，大企業ほど売上高も従業員数も大きいのは当たり前だから，これら両変数に強い相関がある。このときは，従業員数の代わりに従業員数の対売上高比率を用いれば，この比率が大企業ほど大きいとは一般にはいえないから，相関は解消する。しかもその係数は，売上高が一定のまま従業員数を増やしたときの効果を現すことになるから，元の定式化とほぼ同じ仮説を検定できる。こうした簡便な方法が使えない場合には，操作変数法（instrumental variable, IV）が用いられることが多い。

第4は構造変化である。時系列やパネルのデータを用いるとき，データ期間内では(1.8)式等での$\beta_{1}$などの係数は変化しないとの前提で推定を行う。しかし，経済や産業の構造が変化すれば，こうした係数も変化する可能性がある。例えば，再びカルテルの例でも，カルテルにより価格が上げられる程度は，カルテルへの監視が厳しくなれば，価格上昇から発覚することを恐れて小さくなるかも知れない。すなわち，カルテルへの監視が厳しくなれば$\beta_{1}$は小さくなるだろう。このような可能性がある場合には，構造変化が起きたと思われる時点の前と後とで推定式を分けたり，構造変化の前後を区別するダミー変数を作り，それと問題とする変数（今の例ではカルテル期間を表すダミー変数）との交叉項を作ることによって，構造変化前後でカルテル・ダミーの係数が変わる程度をみることができる。この交叉項が統計的に有意と推定されれば，構造変化は実際に起きていたと解釈されることになる。複数の変数の効果について構造変化が影響すると考えられる場合には，それを検定する方法（Chow test）が広く使われる。

こうした構造変化の可能性は，推定結果を用いて将来を予測するときに慎重であるべき
ことを示唆する。バブル期のモデルで現在の日本の経済予測ができないのと同じである。したがって，推定モデルを予測やシミュレーションに用いるときには，構造変化が起きていないか，起きた可能性があるのであれば，それは推定モデルにどう影響すると予想できるか，慎重な検討が必要である。

このように，計量分析は極めて有用であると同時に，多くの限界もある。そのことを十分に認識した上で分析結果を解釈し応用することを忘れてはならない。
## 参考文献

岡田羊祐・林秀弥編（2009）『独占禁止法の経済学』，東京大学出版会。

小田切宏之（2001）『新しい産業組織論』，有斐閣。

小田切宏之（2008）『競争政策論』，日本評論社。

小田切宏之（2011）「進化する経済学の競争政策への活用」，『公正取引』12月号。

クーン（1971）『科学革命の構造』，中山茂訳，みすず書房（原著は Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions, The University of Chicago Press, 1962）。

American Bar Association (2005) ABA Section of Antitrust Law, Econometrics, Chicago: American Bar Association.

Armstrong, Mark and Robert H. Porter (2007) Handbook of Industrial Organization, Volume 3, North-Holland.

Bishop, Simon and Mike Walker (2010) The Economics of EC Competition Law, Third edition, London: Sweet & Maxwell.

Buccirossi, Paolo [ed.] (2008) Handbook of Antitrust Economics, Cambridge: MIT Press.

Davis, Peter and Eliana Garcés (2010) Quantitative Techniques for Competition and Antitrust Analysis, Princeton: Princeton University Press.

Farrell, Joseph and Carl Shapiro (1990) "Horizontal Mergers: An Equilibrium Analysis," American Economic Review, Vol. 80, No. 1, March, pp. 107-126.

Kreps, David M. and José A. Scheinkman (1983) "Quantity Precommitment and Bertrand Competition Yield Cournot Outcomes," Bell Journal of Economics, Vol. 14, No. 2, Autumn, pp. 326-337.

Kwoka, John E., Jr. and Lawrence J. White (eds.) (2004) The Antitrust Revolution, Fourth edition, New York: Oxford University Press.

Kwoka, John E., Jr. and Lawrence J. White (eds.) (2008) The Antitrust Revolution, Fifth edition, New York: Oxford University Press.

Lyons, Bruce [ed.] (2009) Cases in European Competition Policy, Cambridge: Cambridge University Press.

Scherer, Frederic M. (1970) Industrial Market Structure and Economic Performance, Boston: Houghton Mifflin (Second edition, 1980; Third edition (with David Ross), 1990).
第2章 談合の経済分析 $ ^{13} $

## 1 調達における競争入札の意義と問題点

入札（オークション）とは，財・サービスの配分を競争を通じて行わせるメカニズムの一形態である。入札は，財やサービス等を購入（調達）しようとする発注者にとっては，供給者間の競争を通じて調達価格を抑え，更には契約の相手方を公平に選ぶことができることから，公共調達を初めとして幅広い分野で使われている。

入札において価格はどのように決定され，また競争はどのように価格を低減させるのか？単純なケースとして，個々の供給業者の生産費用が発注者にも明らかなケースを考えてみよう $ ^{14} $ 。このとき発注者は生産費用が最も低い者を契約の相手方の候補と考えて価格交渉をしていくであろう。そのときの契約金額は，その企業の生産費用より高く，次に低い生産費用の供給業者の生産費用より低い金額になるはずである。理由は，その範囲よりも低ければ生産業者は赤字になるので契約には絶対サインしないであろうし，その範囲より高い価格は，次に生産費用の低い業者が代わりに契約の締結を希望するであろうから，みすみす契約を他の業者に奪われないために，最低費用の業者はそこまで契約価格をつり上げようとはしないからである。調達価格の期待値（平均値）は，市場に生産業者の数が増える，すなわち競争が激しくなるにつれて，生産費用が1番目と2番目に低い企業の生産費用の期待値はそれぞれ低くなる。したがって，調達契約の費用が下がるのである。

このことは，個々の供給業者の生産費用を発注者が知らなくても，大きくは変わらない。発注者が供給業者の生産費用を知らなければ，契約金額は2番目に低い企業の生産費用額に等しくなるが $ ^{15} $ ，ただしこれも，競争が激しくなるとその期待値は減少していくから，やはり生産費用が知られているときと同様に，競争は調達価格の期待値を下げていくことになる $ ^{16} $ 。

落札者 (契約の相手方) が最も生産費用の低い供給業者となっていることも重要である。すなわち発注者は，個々の入札参加者の生産費用を知らなくても，最も生産効率の高い者を，競争を通じて選りすぐることができる。このような資源配分の効率性を高めること（最もふさわしい生産業者と契約を結ぶ）ことができることも，入札というメカニズムの特色
である。

以上のように入札は，参加業者間の競争を通じて調達する財又はサービスの価格を抑制しつつ，最も生産効率の高い供給業者を公平に契約の相手方として決定することができる点で，発注者にとっては強力なツールとなる。しかしながらそうしたメカニズムの長所も，参加者間による談合（共謀）によって完全に失われる危険性を常にはらんでいる。

実際, 調達の入札において談合はしばしば明るみにされている。例えばアメリカでは1980年代のニューヨーク州におけるセメント産業の談合や, 1990年代の学校給食用の牛乳の納入を巡る談合, 日本でも1990年代に, 公共工事で大手建設会社による大規模な談合が摘発されるなど, 事例を挙げれば枚挙に暇はない。こうした入札における談合行為は, 落札価格を高止まりさせる。これは複数の供給主体がいるにもかかわらず価格が独占価格に近い状態となってしまうという意味で, カルテルと同様の結果をもたらす。

本章では，入札における談合についての理論及び実証分析を紹介する。理論及び実証分析のベースとなるオークションの理論についても簡単に紹介しながら，論を進めることとする。

## 2 理論分析

入札（オークション）の理論は，その多くが入札の参加業者が競争状態にあることを仮定しており，談合している状態を扱うものは比較的少ない。これは，談合は個々の事例ごとにそれぞれ特色があり，統一的な理論を構築しにくいことによる。

入札において談合組織が維持されていくには，各メンバーにとって，談合組織に属しているほうが談合破りを行うよりもうまみがあることが必要である。また，メンバーのうちの誰が実際に受注を行うか，そして談合の利益をメンバー間でどのように割り振るかということについて，メンバー間に不公平がないようなルールがなければならない。さらに，入札には価格を封筒などに入れて入札する封印形式のほかにも，競り下げ入札（リバースオークション）といって，他者の価格を見ながらそれよりも低い価格を各自が入札し，下げ止まったところで落札者を決定する方式もあるが，そうした入札形式の違いによっても談合のしやすさに違いが生じる可能性がある。

入札形式と談合のしやすさとの関係性について，Robinson（1985）は，封印入札に比べて競り下げ入札のほうが談合はやりやすいことを指摘している。仮に入札の参加業者が全て談合組織に属しているとしよう。談合組織が最も大きな利益を得るためには，落札価格が限りなく大きくなればよい。これを達成するには競り下げ入札においては談合メンバーが，「1）勝利予定者はどこまでも競り下げていく。2）敗北予定者は限りなく高い価格（例えば予定価格）で競り下げを止める。」と合意すればよい。他方，封印入札の場合は，「1）敗北予定者は競り下げ入札と同様に限りなく高い価格（例えば予定価格）を入札する。2）勝利予定者は，それよりもほんの少しだけ低い価格で入札する。」と合意すればよい。このと
き，競り下げ入札では，敗北予定者が談合破りをするには，限りなく競り下げていくことを決めている勝利予定者よりも低い価格を入札しなければならず，そこまで競り下げて勝ったところで落札価格は非常に低くなるわけだから，談合破りのメリットはほとんどない。それに対して封印入札では，敗北予定者がほんの少しだけ低い価格を入札してしまえば勝利予定者を簡単に打ち破って勝者となることができ，さらにはその時の落札価格は比較的高い額になるから，談合を破ったときの利益が大きくなる。このように封印入札は制度上，談合メンバーに対して談合破りの強いインセンティブを与えることとなる。このように，未然に談合を防ぐという観点からも，特に公共調達においては封印形式の入札が世界各国で使われるのは，一定の合理性がある $ ^{17} $ 。

それでは入札制度が所与の時に，談合組織はどのように談合を維持しているのであろうか？これは，個々の業者にとって，談合メンバーとして談合を維持する利益が，談合破りをしたときの利益下回らなければよい。最も単純な方法は，談合破りをした者にペナルティーとして談合の利益を配分しないことであろう。

こうしたペナルティーは，それが長期間にわたるほど，それを受ける者の損害額の総和を大きくすることができるから，効果が高くなる。従って談合は，一回限りの入札に比べて，長期的に同一メンバーで繰り返し行われる入札のほうが起こりやすい（フォーク定理）。

さらに McAfee and Mcmillan (1992) は，たった一回の入札でも，入札の参加業者全てが談合メンバーである場合には，各メンバーは談合破りをしようとせずに談合が維持されることを示した。McAfee and Mcmillan によれば，そのために談合メンバーに必要なことは事前に単純な入札をメンバー内で行うことだけであり，その事前入札の結果を通じて談合の勝利予定者を決め，さらにはメンバー間での談合の利益分配をある特定のルールに従って決めることによって，全てのメンバーが納得する結果を得ることができることが示された。

なお，このとき談合組織が決める勝利予定者は費用の最も安い入札の参加業者となる。すなわち，実際に財・サービスを提供する者は談合でも競争状態でも変わらない。このような最も費用の低い者が落札予定者となる談合は「効率的な談合」と呼ばれる。談合組織が，談合によってその利益を最大化するには，談合が効率的に行われることも重要である。入札は，談合組織が効率的な談合を実現するために談合組織内の利益分配メカニズムとして使われる可能性があるということは，興味深い事実であろう。

発注者としてはどうすれば談合を防ぐことができるのであろうか？公開形式に比べて封印形式のほうが談合を予防するのに優れていることは上記のとおりである。また，談合組織が談合から得られる利潤を下げればよいわけだから，課徴金の算定率を高めることは談合の期待利益を減じるという観点から有効である。談合は，入札の参加業者にとっては談
合の利得が談合を破る利得を上回ると維持されるから，談合を密告した者の課徴金を減免するリーニエンシー制度は，談合破りの利得を高めることにつながるから，談合を防ぐ役割を果たすことになる。

もう一つの手段は，もし談合メンバーが効率的な談合を行ったとしても大した利益が得られないよう入札制度を設計することである。たとえば入札者すべてが談合メンバーとなる場合を考えてみよう。入札談合を防ぐには，全メンバーが得ることのできる利潤合計の期待値よりも，談合をせずに競争的な入札を行った時に落札者が得ることができる利潤の期待値が大きくなるよう入札制度を設計すればよい。このことは翻って，談合が行われた時の全入札参加者の利潤合計の期待値と，競争的な入札が行われたときの落札者の利潤の期待値が同一であり，最も低い費用の者が落札をしているのであれば，発注コストは平均的には同一となることをも意味する。Che and Kim (2006) は，そのような入札制度は，発注者が入札の参加業者の生産費用構造についてある程度の情報を持ち $ ^{18} $ ，落札できなかった者も時に発注者との間で資金の支払や受け取りを行うなど $ ^{19} $ ，支払のルールが通常の封印入札と比べてやや複雑なものとなることが許されれば，制度自体の設計は可能であることを示した。

Che and Kim は一回限りの入札を前提とした分析だが，これが繰り返しの入札であり，入札の各参加業者が短期的な赤字受注を受け入れるならば，これは予定価格の運用で簡単に実現できる。すなわち，予定価格を競争が行われたときの平均落札価格に設定するというものである。談合メンバーが効率的に談合をすれば，各メンバーの利潤は短期的には赤字となることがあっても，長期的な平均利潤は競争の時のそれに等しくなる。最も低い生産費用の者が契約の相手方となっている点で競争的なケースと同一の結果であり，さらに契約価格が常に予定価格と等しいというのは，競争的なケースよりも発注者としては予算管理の面で優れている。しかしながら，Che and Kim (2006) と同様に，発注者が入札の参加業者の生産費用構造，具体的には生産費用の分布についての正確な情報を持っていることが必要となる。そのような事態が現実的でない場合には，予定価格の運用による価格高騰の抑制は，談合の抑止にも，予算の節約にもつながらないことは言うまでもないであろう。この点については Bulow and Klemperer (1996) が，どのように賢く設定された予定価格よりも，もう一人の健全な入札の参加者を加えた入札のほうが，落札価格の平均額はかならず低くなる，ということを示していることからも明らかである。

## 3 実証研究

談合の有無をデータから完全に証明することの難しさの原因の一つに，従前のデータから談合メンバーの入札パターンを基に談合を識別する手法を用いたとすると，談合する側
がそれを見越してそのパターンをとらないような談合の手法を変え，データ上は談合には見えないように行動しようとすることが常に可能となることが挙げられる。

しかしながら現実的には，談合を行う側が常に完全なやり方で談合ができるとは限らない。特に上記の例は，全ての入札の参加業者が談合メンバーとなっていなければならないが，そのような状況は，例えば一般競争入札においてはメンバー以外の者の入札参加の可能性が高まるため，起こりにくいかもしれない。また，当局の目を恐れるために，あまりに精巧な談合は事前の打合せなどの証拠を基に検挙される可能性も高まるために，実行は難しいかもしれない。

したがって，現実に起こる談合には不完全な点があるのが通常である。その不完全さを基に談合を識別するのが，現存する実証研究における談合検知の手法で提案されているものである。分析は大きく分けて誘導型モデルに基づくものと構造型モデルに基づくものの2種類があり，前者は入札額データあるいはその順位を用いるのに対して，後者は入札額データを基に推計された費用情報を用いて分析を行う。

## (1) 誘導型を用いた実証分析

入札の参加業者の生産費用は，工場の規模や現在の製造余力，また契約履行現場までの輸送コスト等の要因に多大な影響を受けることが予想される。したがって，もし例えば以下のようなデータ（1）入札の参加業者の地理的条件（例えば工事の場合は，供給業者の住所と工事場所との距離），2）仕掛品の量（例えば工事の場合は手持ちの工事量），3）過去の供給実績など）が観察可能であるならば，ある程度企業の生産費用をデータ（以下「費用パラメータ」という。）から予測することは可能である。また，もし入札額と生産費用との間に正の相関関係があり，かつ，入札が競争状態であるならば，入札額はそのような生産費用の多寡の要因となる費用パラメータとの相関がみられるはずである。

誘導型モデルを用いた実証研究は，そうした観察された入札額データを基に，それと費用パラメータとの関係などを分析していくものである。

Porter and Zona (1993) では，道路庁の入札データを用いて，入札の参加業者の入札順位に着目した。その結果，談合メンバー以外の入札順位は，費用パラメーターと有意な相関がみられたのに対し，談合メンバーの入札順位にはそういった関係がみられなかった。すなわち談合メンバーは，勝利予定者以外はあたかも競争が行われているかのように入札を行ったが，その入札額が必ずしも入札の各参加業者の生産費用とは一致していなかったということである。

さらに，入札に参加するか否か，また参加者の入札額が費用パラメータ一と関連しているか否かについても，談合の識別には重要なポイントとなる。すなわち，談合メンバーは競争が起こっているように見せかけるために，本来は利益が見込めないので参加しないような遠くの地で行われる入札にも参加するなどの行動がみられる可能性がある。また，メンバーによって入札された価格は，必ずしも費用パラメータ一とは相関がみられない可能
性がある。

また，Porter and Zona (1999) では，Porter and Zona (1993) の分析をより一歩進め，入札価格と費用パラメータ一の関係を米国オハイオ州の学校給食用牛乳の入札データを用いて分析を行った。その結果，談合メンバー以外の入札価格及び入札参加行動には，費用パラメータ一との相関がみられたのに対して，メンバーの入札価格及び入札参加行動には，費用パラメータ一との相関が低いことが観察された。特に，入札の参加業者の住所と契約上の納入場所との距離については，談合メンバーでない入札の参加業者の入札価格は，距離に応じて高くなっていたのに対して，談合メンバーの入札額は，距離とは無相関だったことが観察された。

## (2) 構造型を用いた実証分析

入札が競争的であり，入札の参加業者が入札における利潤を最大化する行動をとるならば，入札価格は入札の参加者が推定する費用との間に一定の正の相関関係がみられることとなる。さらにこの関係は入札が競争的な時には，数学的には増加関数という形で表現することが可能である $ ^{20} $ 。この差額（マージン）はしばしば「情報レント」と呼ばれ，落札者の獲得する利潤 $ ^{21} $ と等しくなる。

構造推定とは，この増加関数を逆に利用し，競争的な入札の参加業者が戦略的に決定した入札額から，入札の参加業者の生産費用 $ ^{22} $ を推定することを一義的な目的としている。都合の良いことに，入札の参加者の情報レントは入札額の分布のハザード関数 $ ^{23} $ の逆数に一致することが知られている。入札額は観察できるから，入札額に関する十分な数のデータがあれば，その分布は簡単に求めることが可能である $ ^{24} $ 。オークションの構造推定とは，そうして求めた入札額のハザード関数を入札の各参加業者の入札額から差し引くことで生産費用の推定値を求め，それを基に生産費用の分布を推定するという手順で行われる。

入札の参加業者の生産費用の分布は，前述の「費用パラメーター」に依存すると考えられる。また談合が効率的に行われているならば，談合メンバーの入札額は，メンバーの中で最も低い価格で入札をした者が勝利予定者となっていたはずだから，少なくともその者の生産費用はその者の費用パラメーターに依存しているはずである。もし入札の参加業者
が談合メンバーの存在を知っているならば，談合メンバーの最低価格の入札と，談合メンバー以外の全ての入札額については，それはそれぞれの入札の参加業者の費用パラメーターに依存しているはずであり，構造推定によって推定された費用は，真の値に近いはずである。

Bajari and Ye (2003) では，上記を前提に，まず誘導型の推計を用いて，費用パラメータと一致しない入札を行っている者を識別し，談合を行っている可能性のある者を絞り込んだ。その上で，1）データ上の全ての入札の参加者が競争的に入札した，2）誘導型で識別された一部の業者が談合組織を作り，その業者達はあたかも一つの主体であるかのように行動した，という二つのケースに分けて構造推定を用い，生産費用を推定するとともに，その分布を推定した。真の費用については，その業界で長く入札業務に携わる者へのインタビューを通じて一般的なマージン率を聞き出し，それを元に推計された値を用いた。

検定結果は，1）の競争が行われていたとするケースのほうが，2）の談合が行われていたとされるケースよりも，真の費用の分布に近い，というものであった。すなわち，誘導型とは異なる結果が構造型の推計では得られたということである。このことは，このような構造型，誘導型の様々な談合検知モデルはあくまでも談合の可能性を示し，捜査当局等の活動の効率性を上げる手段にすぎず，さらにはどのような検知モデルを用いるかの選択が非常に重要になることを示している。

以上，代表的な実証分析を紹介したが，こうした手法が常に談合を検知できるとは限らない。例えば，入札の参加者が全て談合している場合，全ての入札の参加業者が共謀し，もし談合がなかったならば入札したであろう価格に例えば1.5をかけた数値を入札価格とすることを合意したとすれば，入札価格が1.5倍になった理由が，入札の参加業者のコストがそもそも1.5倍高かったからなのか，それとも談合したからなのか，上記の手法では識別できない。

また，上記の手法は全て，入札の各参加業者の入札額を費用パラメータ一で回帰した際の誤差項が独立であるという仮定に基づいている。多くの業種では労働力及び資材に関する費用は企業それぞれ独自であり，さらに他者にとっては観察不可能であるから，入札の参加業者にとって周知の情報となる他者の「費用パラメータ一」の要素を抜き取った後の生産費用（誤差項）については，その確率分布を独立と考えることが妥当であると思われるが，中にはそうではない業種も存在する $ ^{25} $ 。その場合には，上記の識別法では，入札額あるいは生産費用にみられる相関関係が，談合によるものなのか，それともその産業特有の生産構造によるものなのかを識別することはできない。
## (3) 日本のデータを用いた実証分析

Ohashi (2009) では、三重県のデータを使い、指名競争入札から一般競争入札若しくはそれに準ずるような透明性・客観性の高い入札参加条件の下で行われる入札制度へと改革が行われた結果、落札率がどのように変化したかを実証分析した。

2001年から2004年までの三重県が発注した公共工事の入札データを誘導型のモデルを用いて分析した。1）入札が競争的に行われているのか否か。そして，透明性そして客観性の高い制度が導入された後には，競争性及び落札率にどのような変化が生じたのかを分析した。

制度の変更は2002年に行われたが，2002年を境にみられる落札率の低下は，例えば経済情勢の変化などにも影響を受けている可能性がある。Ohashi（2009）では制度の変更が落札率に与える純粋な影響のみを推定するためにDifference in Difference分析を用いた。その結果，透明性の高い制度の導入は，経済情勢の変化などにかかわらず，有意に落札価格を下げていることが明らかになった。

Ohashi (2009) では，落札価格が下がった理由を探求するために，さらにPorter and Zona (1999) 等が用いた特定の入札の参加業者の入札額の相関関係を検定した。具体的には売上げ上位30社を取り上げ，その社の入札額の相関係数を測定した。その結果，制度改革以前は非常に高かった相関係数が，制度改革後は大きく下落したことが明らかになった。すなわち，制度の変更前は，入札が競争的に行われていなかった可能性があるものが，制度変更によってより競争的な入札が行われるようになったことを示している $ ^{26} $ 。三重県では2001年から2004年にかけては，談合が摘発されたことはなかったが，それでも入札が特に制度変更以前は非競争的になっていた可能性がある。制度の透明性及び客観性の向上が，より競争的な入札を促進したことが示された。

談合の検知に関する実証研究については，Ishii (2008)が沖縄県那覇市の役務契約（コンサルタント業務）の入札データを基に，談合メンバー間で白星（勝利予定者となる権利）の交換が行われた可能性について，実証分析を行っている。その結果，メンバー間では今回勝利した者は次回の入札では敗北予定者となる確率が高いなど，談合がメンバー間の平等な受注を目指す方式で行われていたことが明らかとなった。丹野ら（2008）では，地方公共団体のデータを中心に，石橋ら（2009）は，審決集のデータを基に，我が国の談合がどのような方法で行われたのかについて，様々な分析を行っている。

## 4 まとめ

本章では、談合についての理論及び実証分析について解説をした。入札に関する理論分析は入札が競争的に行われていることが前提となっていることが多い中で、談合を分析する理論分析は比較的限られており、分かっていないことも多い。本章では、その中でも特
に政策的なインプリケーションの高い結果を導き出している理論分析について，直感的な説明を加えつつ解説を行った。

他方，実証分析については，誘導型モデル及び構造推定モデルの双方について，代表的な研究を紹介しつつ，分析手法についての解説を行い，さらに日本のデータを用いた分析について，言及した。また，談合に関する実証分析の限界についても言及しつつ，既存の研究がそれをいかに克服してきたかについても説明を加えた。

以上は全て，価格競争に関する理論及び実証研究である。近年，世界の先進国では政府調達の目標が従来の費用最小化から，価値を最大化（value for money）にシフトしつつあり，政府調達も，大型案件を中心に，従前の価格のみの競争入札から，価格と品質を総合的に勘案して契約の相手方を決定する総合評価落札方式の採用が増加する方向へとシフトしつつある。実務的には，価格のみの競争に比べて談合がしにくくなると言われる総合評価落札方式であるが，理論的にも，実証的にも，そうした入札における談合の可能性についてはまだ分析された事例はない。今後の更なる研究が求められている。

## 補論

## (1) オークションの理論

入札が競争的であるときに，入札の参加業者はどのように自らの入札額を決定するのであろうか？自分のコストギリギリで入札すれば勝つ確率は高くなるものの，落札した際の利潤は低くなる。逆に高い価格を入札すれば勝ったときの利潤は高まるが，勝つチャンスは低くなる。このような入札の参加業者の直面する問題を定量的に分析する手法がVickrey(1961）より始まったオークションの理論である。これらの理論は，後にゲーム理論の中の不完備情報ゲームという分野に一般化され，より多面的な分析が行われるようになった。

オークションの理論では，入札の参加業者は自らがその契約を遂行するための費用は分かる，少なくとも入札の時点で一意に推定ができているが $ ^{27} $ ，他の入札の参加業者の生産費用はあくまでも確率変数であり，その確率分布は分かっているものの，その実現値は知らない，と仮定するところから全ての議論が始まる（不完備情報ゲーム）。

入札の参加業者は，自らの生産費用に応じて入札額を決定するから，ある価格を入札するという意思決定は，自らの生産費用に依存することになる。オークションの理論では，これを入札戦略（bidding strategy）と呼び，最適な入札額は生産費用の関数で表現される。

ここでは分析を単純化するために，全ての入札の参加業者が同じような意思決定をする，すなわち同一の入札戦略をとっていると仮定しよう。これは例えば二者の入札の参加業者がたまたま費用が同額であるならば $ ^{28} $ ，入札額は同一となるというものである。
ベイジアン・ナッシュ（Bayesian Nash） 均衡とは，全ての入札の参加業者が，自らの費用額そのものは知っているが，相手の費用についてはその分布のみしか知らないという状態で，自らの期待利潤を最大化することができる入札戦略に従って入札している状態をいう。全ての入札の参加業者が合理的に入札しているというのは，言い換えれば，個々の入札の参加業者はその結果に全く後悔をする余地が残っていないということでもある。どの入札の参加業者も，この戦略を離れた入札行動をしようとは思わないわけだから，この状態は安定的であり，すなわち，入札行動及び結果を予測することが可能になる。

ベイジアン・ナッシュ均衡における入札の参加業者の戦略（ベイジアン・ナッシュ均衡戦略）を導出してみよう。簡単化のために，例えばn人全ての入札の参加業者の費用cが同一の分布を持ち，その累積分布関数 $ F(c) $ : $ F(\underline{c}) = 0 $ , $ F(\overline{c}) = 1 $ を皆が知っているとしよう。このとき，全ての入札の参加業者が同一の入札戦略をとるような均衡を考える。その同一の戦略を，費用cの増加関数 $ B(c) $ と表現すると，一入札の参加業者の目的関数は

$$ \left(b-c\right)[1-F(B^{-1}(b)]^{n-1} $$

となる。この一階条件は

$$ c=b-\frac{[1-F(B^{-1}(b)]}{(n-1)f(B^{-1}(b)B^{\prime}(B^{-1}(b))} $$

となり，微分方程式を解くことにより，

$$ B(c)=c+\int_{c}^{\bar{c}}\frac{[1-F(\hat{c})]^{n-1}}{[1-F(c)]^{n-1}}d\hat{c} $$

という入札戦略関数を導出することが可能となる。

被験者実験等では，経験を重ねた入札の参加業者はこのベイジアン・ナッシュ均衡に極めて近い入札行動をとっていることが確認されている。となれば，解釈はどのようにしても，上記の情報レント分が戦略的に決められる入札額Ｂと，そして入札の参加業者固有の情報であるｃとの差となると考えることは，合理的な方法であろう。

## (2) 一位価格封印入札の構造推定

(2.2) 式の右辺の第二項は, Bが単調増加であることから, $ G(b) = F(B^{-1}(b)) $ ， g は G を b について微分したものと変数変換することが可能となり, それにより $ (1 - G(b)) / (n - b) $

である。
1) g(b) と 書き換えることができる。ここで G は，定義より他の入札の参加業者の入札額の累積分布関数となる。したがって，入札データを持っている者としては，データより G 及び g を求めることで $ {}^{29} $ ，もし $ (1 - G(b)) / g(b) $ が b の増加関数であるならば，入札の参加業者の $ (1 - G(b)) / g(b) $ を推定することが可能となり，すなわち，c を推定することが可能となる $ {}^{30} $ 。

このようにして推定された c を基にその確率分布を求め，第 (2.3) 式に代入することにより，入札戦略を推定することが可能となる。G や，推定された c を基に推定される F の推定にはノンパラメトリック推定や最尤法といった一般的な統計的手法が使われる。

以上は全ての入札の参加業者がその費用の分布が同一であるという仮定の下での議論である。実際の入札では，明らかに強者と弱者（例えば大手と中小）といったように，費用条件が異なる入札の参加業者同士が競争をするのが通常であろう。上記の推定法の優れているところの一つは，そうした不均一な入札参加者の下で行われた入札データからも，それぞれの入札の参加業者の費用を識別できることである。

談合の検知にも関連があるので，少しだけ解説をしてみると，具体的には

$$ (b-c)\prod_{j\neq i}(1-F_{j}(B_{j}^{-1}(b)) $$

となり，1階条件は，

$$ c_{i}=b_{i}-\frac{1}{\sum_{j\neq i}\frac{1-G_{j}(b)}{g_{j}(b)}} $$

となる。

入札データより入札の参加業者jの入札額の累積分布関数 $ G_{j} $ 及びその密度関数 $ g_{j} $ は推計可能であるから，cの推定が可能である。この推定されたcを基に，cの分布を推定することによって，個々の入札の参加業者の費用分布を入札データのみから推計することが可能となる。詳しくはBajari and Ye (2003)や，Paarsch and Hong (2006)を参照のこと。