Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$$ (p_{1}-c_{1})\frac{\partial q_{1}}{\partial p_{1}}+q_{1}+(p_{2}-c_{2})\frac{\partial q_{2}}{\partial p_{1}}=0 $$

$$ (p_{1}-c_{1})\frac{\partial q_{1}}{\partial p_{2}}+(p_{2}-c_{2})\frac{\partial q_{2}}{\partial p_{2}}+q_{2}=0 $$

これらの条件式は，ブランド1とブランド2の価格設定は，それぞれ他方のブランドに対する一方の価格の変更の影響を考慮に入れながら，決定されることを意味している。これらの条件は，例えば，ブランド1の価格を1単位上昇させると，そのままブランド1を購入しつづける消費者から得られる利益の増加分 $ q_{1} $ がある一方で他のブランドに消費者が代替することによって生じる利益の変化 $ (p_{1}-c_{1})\partial q_{1}/\partial p_{1} $ が生じるが，合併前とは異なり，ブランド2に代替される利益 $ (p_{2}-c_{2})\partial q_{2}/\partial p_{1} $ が発生する。したがって，合併前と比べ，ブランド1の価格を引き上げる誘因があることが分かる。同様のことは，ブランド2の価格設定についても当てはまる。

合併後の市場均衡の条件を行列の形で表すためにブランド1の価格に対する一階の条件式を書き直すと次のように表せる。

$$ \frac{p_{1}-c_{1}}{p_{1}}\frac{\partial q_{1}}{\partial p_{1}}\frac{p_{1}}{q_{1}}q_{1}+q_{1}+\frac{p_{2}-c_{2}}{p_{2}}\frac{\partial q_{2}}{\partial p_{1}}\frac{p_{1}}{q_{2}}\frac{p_{2}}{p_{1}}q_{2}=m_{1}\mathcal{E}_{11}q_{1}+q_{1}+m_{2}\mathcal{E}_{21}\frac{p_{2}}{p_{1}}q_{2}=0 $$

同様に，ブランド2の価格に対する一階の条件式も次のように表すことができる。

$$ m_{1}\boldsymbol{\varepsilon}_{12}\frac{p_{1}}{p_{2}}q_{1}+q_{2}+m_{2}\boldsymbol{\varepsilon}_{22}q_{2}=0 $$

企業 3 の利潤最大化の一階の条件は合併前後において変化しないことから，合併後の市場均衡は次の形で表すことができる。

$$ \begin{bmatrix}{{{q_{1}}}} \\{{{q_{2}}}} \\{{{q_{3}}}}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{{{\varepsilon_{11}}}}&{{{(p_{2}\mid p_{1})\varepsilon_{21}}}}&{{{0}}} \\{{{(p_{1}\mid p_{2})\varepsilon_{12}}}}&{{{\varepsilon_{22}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\varepsilon_{33}}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{q_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{q_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{q_{3}}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{m_{1}}}} \\{{{m_{2}}}} \\{{{m_{3}}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{0}}} \\{{{0}}} \\{{{0}}}\end{bmatrix} $$

この式を $ m_{1} $ ， $ m_{2} $ について解くと，

$$ m_{_{1}}=\frac{\varepsilon_{_{22}}p_{_{1}}q_{_{1}}-\varepsilon_{_{21}}p_{_{2}}q_{_{2}}}{p_{_{1}}q_{_{1}}(\varepsilon_{_{12}}\varepsilon_{_{21}}-\varepsilon_{_{11}}\varepsilon_{_{22}})},m_{_{2}}=\frac{\varepsilon_{_{11}}p_{_{2}}q_{_{2}}-\varepsilon_{_{12}}p_{_{1}}q_{_{1}}}{p_{_{2}}q_{_{3}}(\varepsilon_{_{12}}\varepsilon_{_{21}}-\varepsilon_{_{11}}\varepsilon_{_{22}})} $$

となり， $ m_{3} $ については，

$$ m_{_{3}}=-\frac{1}{\varepsilon_{_{33}}} $$

の条件のままである。これらの条件を合併後の価格について連立方程式を解き，合併前の価格と合併後の価格の大きさを比較することによって合併の効果を比較することができる。
## (2) 需要関数の推定

## ア ALMモデル

## (ア) 考え方

ALM( Antitrust Logit Model )は，製品差別化された市場における合併の効果を，経済理論モデルを用いたシミュレーションによって簡単に予測することを目的として，司法省のエコノミスト Gregory Warden を中心として開発された単純化されたロジット需要関数モデルである。

ALM モデルは，一般的なロジットモデルと同様に，消費者は消費する財の数量ではなく，どの財を選択するかという離散的な意思決定を行う離散選択モデル（Discret e Choice Model）に従っている。これは特定の商品のカテゴリーの中から効用を最大化する一つの商品を確率的に選択するということを仮定したモデルである。

ALM モデルとは，具体的には，次のようなものである。消費者 k がブランド i を選択することによる効用は，

$$ U_{_{ik}}=\alpha_{_{i}}-\beta p_{_{i}}+e_{_{ik}} $$

と表される。ここで，$\alpha_{i}$ はブランドiと他のブランドとの一般的な商品特性の違いを示すパラメータであり，βは価格に対する価値判断を示すパラメータであり，全ての消費者と全てのブランドに対して一定であると仮定される。$e_{ik}$ は，観察者からは見えない消費者個人特殊的な確率的な要素を示しており，$p_{i}$ とは相関せず独立で同一のロジスティック分布関数(logistic distribution)に従っている$^{32}$。消費者は最も効用が高いと感じるブランドを選択し，$e_{ik}$ が上記のような分布に従うのであれば，ブランドiを選択する確率は次のように表すことができる。

$$ \pi_{_{i}}=\frac{\exp(\alpha_{_{i}}-\beta p_{_{i}})}{\sum_{_{j=1}}^{_{n}}\exp(\alpha_{_{j}}-\beta p_{_{j}})};\text{i}=1,\cdots,\text{n} $$

この ALM モデルは，関係のない選択肢からの独立性（IIA；Independence of Irrelevant Alternatives）（「比例性（Proportionality）」ともいう。）という性質を持っている。この性質は，ある選択肢を選ぶことをやめたときに，他の選択肢を選択することによってその選択の代替を行うが，そのときに，代替的な選択肢をそれぞれのシェアに応じた割合で選択するというものである。例えば，ブランド1のシェアが10%，ブランド2のシェアが30%，ブランド3のシェアが60%の時には，ブランド1の1％の価格上昇に対してブランド1の需要が60単位減少したときに，ブランド3のシェアはブランド2のシェアの2倍あることから，ブランド3のシェアはブランド2のシェアの2倍あることから，ブランド3のシェアはブランド2のシェアの2倍あることから。
ランド2の増加量は20単位，ブランド3のシェアの増加量は40単位となることを意味している。また，このIIAの性質が満たされていれば，特定のブランドiの価格上昇に対する他の商品の交差弾力性は全て同じ値となる $ ^{33} $ 。

以下において，分析の対象となる市場内のブランドは1,…,N1によって示し，これらのブランドを内部財(inside goods)と呼ぶ。N番目の財については，内部財以外の財を選択することを意味している外部財(Outside good)と定義する。例えば，ミネラルウォーターのブランドがN1個あり，その他の選択肢を総括してNと呼ぶことに対応している。

(イ) 需要システムの推計：Werden and Froeb (1996)

Werden and Froeb (1996, p. 95) に従えば，ALMモデルによる合併シミュレーションは次の三段階の手順によって実施することができる。ここでは，価格，数量の市場シェアのクロスセクション・データが一組，そして可能であれば，市場の需要の弾力性（ε）が既知であることが前提とされている。

まず, $ \beta $ と $ \varepsilon $ を既知でなければ推定する。その上で, 外部財の選択確率 $ \pi_{N} $ を計算し, 内部財の選択確率 $ \pi_{i} $ ( $ i \neq N $ を算出する。そして, それぞれの財の自己弾力性と交差弾力性を算出する。次に, 合併前の均衡における企業の利潤最大化の一階の条件から, 限界費用 $ c_{i} $ を導く。そして, $ \alpha_{i} $ の値を需要関数から算出することになる。

第一段階においては，βとεの値に関して先行研究などの推定値があれば，それを利用する。しかし，既知ではないときには，何らかの手段によってこれらの値を推計することが必要となる。例えば，εに関しては次のような方法で推定することができる。

販売量によって加重平均した価格指数 $ \overline{p}=\sum_{j=1}^{N-1}s_{j}p_{j} $ を市場価格とし，市場の販売量を $ Q=\left(\sum_{j=1}^{N-1}p_{j}q_{j}\right)/\overline{p} $ と定義することによって，市場の需要関数を推定する $ ^{34} $ 。

β の推定に関しては様々な方法がある $ ^{35} $ 。

まず，二組の内部財（例えば，ブランド1とブランド2）の数量（もしくは，
数量シェア）と価格の時系列データがあれば， $ \ln(s_{1t}/s_{2t})=a+\beta(p_{1t}-p_{2t}) $ といった推定式を用いることによって，βの推定をすることができる $ ^{36} $ 。ここで，価格とブランドのリストを作り，消費者がどのブランドを選択するのかということについてアンケートを通じた実験を行うことによって，そのサーベイデータを実験データとして直接的にロジット関数を最尤法によって推定してβを計算することができる。

また，他の方法として，どれか一つの内部財の限界費用が分かるのであれば，最適化の一階の条件， $ \left(p_{i}-c_{i}\right)/p_{i}=1/\varepsilon_{ii}=\bar{p}/[\left\{\beta\bar{p}(1-s_{i})+\varepsilon s_{i}\right\}p_{i}] $ を使ってβの値を算出することができる。

次に，$\varepsilon=-\beta\bar{p}\pi_{n}^{37}$ の関係を用いて，内部財を買わない確率，$\pi_{n}$ の値を計算する。ここで，$\bar{p}$ には前述の市場シェアによる加重平均価格 $\sum_{j=1}^{N-1}s_{j}p_{j}$ を用いている。

内部財の選択確率 $\pi_{i}\left(i\neq\mathbb{N}\right)$ は，$\pi_{i}=s_{i}\left(1-\pi_{N}\right)$ の関係を用いて計算することができる。この関係式から ALM ではブランド i の選択確率は，財の市場シェアに外部の財を選択しない確率を掛けたものと等しくなっていることが分かる。

最後に，弾力性の値を計算する。自己弾力性は $ \varepsilon_{ii} = \beta p_i (1 - \pi_i) $ の関係式を用いて計算し $ ^{38} $ ，交差弾力性は $ \varepsilon_{ij} = p_j \beta \pi_j (i \neq j) $ の関係式を用いて計算する。

第二段階においては，合併前の利潤最大化の一階の条件を用いて各ブランドの限界費用を算出する $ ^{39} $ 。

各企業が1ブランドしか販売していないようなときには，限界費用は次のように計算することができる。企業1を例に取り上げると，企業1の目的関数は利潤の大きさとなる $ (p_{1}-c_{1})q_{1} $ である。ただし，離散選択モデルを前提として，消費者の総数が定数I>0であれば，ブランド1の販売量は $ q_{1}=I\pi_{1} $ と表すことができることから，ALMでは企業1の目的関数を $ (p_{1}-c_{1})\pi_{1} $ とみなして分析することができる。

そのため，利潤最大化の一階の条件は， $ m_{1}\varepsilon_{11}\pi_{1}+\pi_{1}=0 $ となるが，これは通常の一階の条件 $ m_{1}\varepsilon_{11}q_{1}+q_{1}=0 $ の $ q_{1} $ を $ \pi_{1} $ に置き換えたものと同じである。したがって

$ ^{36} $ ここでは， $ s_{i}=\exp(\alpha_{i}-\beta p_{i})/\sum_{j=1}^{N-1}\exp(\alpha_{j}-\beta p_{j}) $ という，内部財全体を選ぶという選択をしたことを条
て，企業1（ブランド1）の限界費用は，一階の条件に $ m_{1}=(p_{1}-c_{1})/p_{1} $ を代入して变形した， $ c_{1}=p_{1}(1+\varepsilon_{11}) $ を用いて計算することができる。

(ウ) 需要システムの推計：Epstein and Rubinfeld (2004)

Epstein and Rubinfeld (2004, VI Technical Appendix x B) に従えば, ALMによる合併シミュレーションを行うには, 以下の2段階の手順に従ってなされる。この方法においては, 価格とシェアのパネルデータ, そして, 市場の需要弾力性εが入手可能であることが前提とされている $ ^{40} $ 。

第一段階として，ε（市場の需要弾力性）が分かっていなければ推定を行う。また，パネルデータを用いて $ \alpha_{i} $ と $ \beta $ を推定する。これらからそれぞれの財の自己弾力性と交差弾力性を算出する。第二段階として，合併前の一階の条件から限界費用 $ c_{i} $ を計算する。

第一段階については，内部財を選択するという条件付きの確率に注目すれば，

$$ s_{i c t}=\exp(\alpha_{i}-\beta p_{i c t})/\sum_{j=1}^{N-1}\exp(\alpha_{j}-\beta p_{j c t});\text{i}=1,2,3,\cdots,\text{N}\text{l}1 $$

となることから，両辺の自然対数を取ると，

$$ \ln s_{_{i c t}}=\alpha_{_{i}}-\beta p_{_{i c t}}-\ln\Biggl[\sum_{j=1}^{N-1}\exp(\alpha_{_{j}}-\beta p_{_{j c t}})\Biggr];\ \mathsf{i}=1,2,\ 3,\cdots,\mathsf{n}-1 $$

となる。N1 財を価値尺度財（貨幣のような他の財の価値を測る尺度となる財）のように想定し， $ i \neq 1, \cdots, N1 $ の式から N1 財の式を両辺それぞれ引くと，

$$ \ln s_{_{i,ct}}-\ln s_{_{N-1,ct}}=\ln(s_{_{i,ct}}/s_{_{N-1,ct}})=\alpha_{_{i}}-a_{_{N-1}}-\beta(p_{_{i,ct}}-p_{_{N-1,ct}}) $$

$$ i=1,2,3,\cdots,\ N-2 $$

と書ける。したがって，最も単純なケースでは，次のシステムをパネルデータによって推定し， $ a_{i} $ （厳密にはN1財とαの差）とβを推定する。

$$ \ln(s_{1c t}/s_{N-1,c t})=\gamma_{1}+\beta(p_{1c t}-p_{N-1,c t})+\nu_{1} $$

$$ \ln(s_{2c t}/s_{N-1,c t})=\gamma_{2}+\beta(p_{2c t}-p_{N-1,c t})+\nu_{2} $$
$$ \ln(s_{N-2,c t}/s_{N-1,c t})=\gamma_{N-2}+\beta(p_{N-2,c t}-p_{N-1,c t})+v_{N-2} $$

ここで，$\gamma_{i}=\gamma_{i}-\gamma_{N-1}$ である。

このモデルは，様々な拡張を行うことができる。例えば，各地域の特殊性を表す固定効果（fixed effect）をδと表し，この影響を考慮すると，ブランドのシェア関数は次のようにすることができる。

$$ \begin{aligned}&\ln(s_{1ct}/s_{N-1,ct})=\gamma_{1}+\beta(p_{1ct}-p_{N-1,ct})+\sum_{k=1}^{C-1}\delta_{1k}+u_{1ct}\\&\ln(s_{2ct}/s_{N-1,ct})=\gamma_{2}+\beta(p_{2ct}-p_{N-1,ct})+\sum_{k=1}^{C-1}\delta_{2k}+u_{2ct}\\&\quad\cdots\\&\ln(s_{N-2ct}/s_{N-1,ct})=\gamma_{N-2}+\beta(p_{N-2,ct}-p_{N-1,ct})+\sum_{k=1}^{C-1}\delta_{N-2,k}+u_{N-2,ct}\\ \end{aligned} $$

δが1～C-1までなのは，多重共線性を防ぐためである。なお，他にデータが存在すれば，価格以外のスーパーマーケットの情報，例えばセールの有無に関する変数を加えることもできる。

βとεが分かれば，前記(1)と同様に，外部確率$\pi_{N}$の導出は$\varepsilon=-\beta\bar{p}\pi_{n}$を用いることで簡単に計算することができる$^{41}$。また，内部財のブランドの選択確率も$\pi_{i}=s_{i}(1-\pi_{N})$によって計算することができることから，弾力性についても同様

に，自己弾力性には $ \varepsilon_{ii} = \beta p_i (1 - \pi_i) $ ，交差弾力性には $ \varepsilon_{ij} = p_j \beta \pi_j (i \neq j) $ の関係を用いて計算することができる。

限界費用の推定については前記（イ）と同様に行うことができる。

## イ AIDS モデル

前節(7)で紹介した AIDS モデルに基づいた合併シミュレーションを行った研究としては，Hausman, Leonard, and Zona (1994), Hausman and Leonard (1997)などが代表的であり，ここでは主に Hausman, Leonard, and Zona (1994)とサーベイ論文である Epstein and Rubinfeld (2004)に従って説明をする。

AIDS モデルの推定にはパネルデータが用いられる。つまり，ブランド，市場（地域），測定期間毎の市場価格 $ p_{ict} $ （同一ブランドにおけるバリエーションが多く存在する場合には，何らかの基準に基づいた加重平均価格）及びブランド，市場，測定期間毎の販
売額における市場シェア $ \omega_{ict} $ （販売量 $ q_{ict} $ のデータであったとしても，価格のデータがあれば市場シェアを計算することは可能である）が，最低限必要なデータとなる $ ^{42} $ 。

以下，説明の便宜上，分析の対象となる市場におけるブランドは，1,…,Nまでが存在し，それらは全て内部財とする。

需要の推定式は一般的には，

$$ \begin{aligned}\omega_{ict}=a_{i}+\sum_{j=1}^{N}b_{ij}\ln p_{jct}+h_{j}\ln(Y_{ct}/P_{ct})&=a_{i}+\sum_{j=1}^{N}b_{ij}\ln p_{jct}+h_{j}(\ln Y_{ct}-\ln P_{ct})\\ \text{i}\text{}=1,\cdots,\text{N}\text{}\text{c}=1,\cdots,\text{C;}\text{t}=1,\cdots,\text{T}\end{aligned} $$

となる。この式は，特定のブランドの需要量（購入額）は，全てのブランドの価格と実質所得(Y/P)に依存していることを意味するものである。ここでの価格指数 $ P_{ct} $ はストーンインデックス指数，つまり，

$$ \ln P_{ct}=\sum_{j}^{N}\omega_{jc}\ln p_{jct} $$

を用いている $ ^{43} $ 。ここで，ウェイトは $ \omega_{jc} = \sum_{t=1}^{T} \omega_{jct} $ であり，市場 c におけるブランド j のデータ期間 $ (1, \cdots, T) $ における収入シェアの平均を用いる。 $ Y_{ct} $ は，c 市場の t 期における i ブランドが属するブランドカテゴリへの支出の総額を表している。つまり， $ Y_{ct} = \sum_{j=1}^{N} p_{jct} q_{jct} $ となる。

結果として，

$$ \begin{aligned}\omega_{1ct}&=a_{1}+\sum_{j=1}^{N}b_{1j}\ln p_{jct}+h_{1}\ln(Y_{ct}/P_{ct})+u_{1ct}\\\omega_{2ct}&=a_{2}+\sum_{j=1}^{N}b_{2j}\ln p_{jct}+h_{2}\ln(Y_{ct}/P_{ct})+u_{2ct}\\&\cdots\\\omega_{N-1ct}&=a_{N-1}+\sum_{j=1}^{N}b_{N-1j}\ln p_{jct}+h_{N-1}\ln(Y_{ct}/P_{ct})+u_{N-1ct}\end{aligned} $$

を推定することになる。
特に制約を加えずに，この需要システムの推計を行うと， $ a_{i} $ ， $ b_{ij} $ ， $ h_{i} $ のすべてについての推計値を得ることになる。しかし，経済理論から導かれる帰結を考慮に入れると，推定しなければならない係数の数を減らすことができ，統計上の優位性が高い推定が可能となる。

まず, 交差弾力性が対称的になるというスルツキーの対称性を要求すれば, $ b_{ij} = b_{ji} $ となることから, 推計しなければならないパラメータの数を大幅に減らすことができる。

次に，全ての価格を同率で変化させた場合にはブランドの市場シェアは変化しないという性質である，需要の同次性からは， $ d\omega_{i}/\omega_{i}=0=\sum_{j=1}^{N}b_{ij}(dp_{j}/p_{j}) $ ；i=1,2,3,…,Nであることから， $ \sum_{j=1}^{N}b_{ij}=0 $ ；i=1,2,3,…,Nを意味しており，これを制約として課すことができる。

最後に, シェアという数字の性質から, どのような価格, 販売量であったとしても, ブランド支出額のシェアの合計は必ず 1 でなければならないという総和性の制約を課すことができる。つまり, $ \sum_{j=1}^{N} \omega_{j} = 1 $ である。したがって, この制約は, すべての i について, $ \sum_{j=1}^{N} a_{j} = 1 $ , $ \sum_{j=1}^{N} h_{j} = 0 $ , $ \sum_{j=1}^{N} b_{ji} = 0 $ であることを意味している。

これらの制約を課すことによって，推定しなければならない係数の数は大幅に低下し，通常はより統計的有意性の高い推定を行うことができる。しかし，経験上，そのような制約を課したとしてもAIDSモデルの推定においては，経済理論的な整合性を保った上で統計的有意性の高い推計の結果を得ることは必ずしも容易ではない $ ^{44} $ 。

なお，ALMと同様に，他の説明変数を加えることによって推定を行うこともあり，例えば，各地域の特殊性を表す固定効果をδとして含めて推定することもできる。

また，これは AIDS モデルに限ったことではないが，需要関数の推定を行う場合，価格と販売量は需要と供給の両方の要因から決定されるため，取引される価格と数量は外生的に決定されるものではなく，需要と供給の両方によって内生的に決定されることに注意が必要である。一般的には，供給側の要因を無視して需要関数の推定を行えば，内生変数である価格と攪乱項に相関関係が生じ，最小二乘法による通常の推定を行えば，推定値の不偏性と効率性が達成されなくなってしまう。

この識別性の問題は，通常，主要な投入物の価格を操作変数として用いて，二段階の推定を行うことによって解決することができる。しかし，例えば，週次のスキャナーデータと整合的な週次の投入物価格の入手は困難であることから，この方法を使うことができないことが多い。

上記の推定式から得られたパラメータを用い，次の式を用いて自己価格弾力性と交
差価格弾力性を計算することができる $ ^{45} $ 。

$$ \varepsilon_{i i}=-1+\frac{b_{i i}+h_{i}\varepsilon\omega_{i}}{\omega_{i}}+\omega_{i}\left(1+\varepsilon\right) $$

$$ \varepsilon_{i k}=\frac{b_{i k}+h_{i}\varepsilon\omega_{k}}{\omega_{i}}+\omega_{k}\left(1+\varepsilon\right) $$

限界費用の導出に関しては，原則的には，ALMと同じように一階の条件を用いることによって計算することができるが，AIDSモデルはALMモデルとは異なり，販売量の市場シェアを用いていることから，多少変形した式を用いる方が計算をしやすい $ ^{46} $ 。

企業 1 の均衡における最適化の一階の条件は， $ m_{1}\varepsilon_{11}q_{1}+q_{1}=0 $ ， $ \omega_{2}+m_{2}\varepsilon_{22}\omega_{2}=0 $ であり，これに $ p_{1}/Y $ ， $ p_{2}/Y $ をそれぞれ掛ければ， $ m_{1}\varepsilon_{11}p_{1}q_{1}/Y+p_{1}q_{1}/Y=m_{1}\varepsilon_{11}\omega_{1}+\omega_{1}=0 $ ， $ \omega_{2}+m_{2}\varepsilon_{22}\omega_{2}=0 $ のように表すことができる。したがって，これら

の式を解くことによって，ブランド1とブランド2の限界費用を $ c_{1}=p_{1}\left(1+\frac{1}{\varepsilon_{11}}\right) $

$ c_{2}=p_{2}\left(1+\frac{1}{\varepsilon_{22}}\right) $ と計算することができる。

## ウ PCAIS モデル

AIDS モデルに基づく合併シミュレーションは，パネルデータを必要とし，需要関数の推定にも手間がかかるという実務上の難しさがある。このような実務上の問題点を解決することを目的として，パネルデータの代わりにクロスセクション・データのみを用いて AIDS モデルに近い合併シミュレーションを行う方法が，Epstein and Rubin field (2001) によって考案された PCAI DS (Proportional y- Calibrated AIDS) モデルである。

PCAI DS モデルの特徴は，AI DS モデルに，ALM モデルが有する性質である関係のない選択肢からの独立性（IIA）もしくは比例性（Proportionality）の仮定(p.50)が加えられていることである。つまり，ブランド1のシェアが20%，ブランド2のシェアが30%，ブランド3のシェアが50%である場合には，ブランド1の価格上昇の結果としてシェアの減少分が16%とすると，ブランド2のシェアは6%=(16×30)/(30+50))，ブランド3のシェアは10%=(16×50)/(30+50))，それぞれ増加することを仮定している。

PCAI DS モデルにおいて必要となるデータは，ブランドの売上高シェア $ \omega_{i} $ ，需要の総

弾力性ε，市場内の任意の一つのブランド(これをブランド1とする)の価格弾力性ε $ _{11} $ である。必ずしもパネルデータを必要とするわけではない。

合併シミュレーションを行うための準備として次の二つの手順を行う。最初に，ε

と$\varepsilon_{11}$が既知でなければ，推定を行う。そして，需要関数の$b_{ij}(i,j=1,\cdots,N-1)$を計算
し，財の自己弾力性と交差弾力性を求める。第二に，合併前の一階の条件から，価格費用マージン $ m_{i} $ を算出する。

PCAI DS モデルでは，AI DS モデルとほとんど同じく，

$$ \begin{aligned}&\omega_{1}=\alpha_{1}+b_{11}\ln(p_{1})+b_{12}\ln(p_{2})+...+b_{1N-1}\ln(p_{N-1})\\ &\\ &\omega_{2}=\alpha_{2}+b_{21}\ln(p_{1})+b_{22}\ln(p_{2})+...+b_{2N-1}\ln(p_{N-1})\\ &\\ &\quad\cdots\quad\\ &\omega_{N-1}=\alpha_{N-1}+b_{N-11}\ln(p_{1})+b_{N-12}\ln(p_{2})+...+b_{N-1N-1}\ln(p_{N-1})\\ \end{aligned} $$

という需要システムを仮定する。AIDS モデルと異なる点は，所得による需要への影響を無視しているところにある $ ^{47} $ 。

第一段階において，εが未知である場合には，前記アのALMの項で説明したような方法によってεを推定する。また，$\varepsilon_{11}$が未知であるときには，少なくとも一つのブランドの需要関数を推定することができなければならず，そのためには時系列データが必要となる。

簡単に説明するために，ここでは3つのブランドが販売されている状況を考える。PCAI DS モデルは，あくまで AIDS モデルに IIA の仮定を加えたものであることから，$\varepsilon_{ii}=-1+\frac{b_{ii}}{\omega_i}+\omega_i(\varepsilon+1)$ の関係も成立している。この式を変形することによって，$b_{11}=\omega_1(\varepsilon_{11}+1-\omega_1(1+\varepsilon))$ が得られる。つまり，市場全体の価格弾力性とブランド1の自己弾力性が分かっていれば，支出によって測った市場シェアの値から$b_{11}$ の値を求めることができる。

そして，IIAの仮定から， $ p_{1} $ の価格が1単位上昇すると，ブランド2のシェアは， $ b_{21}=-b_{11}\omega_{2}/(\omega_{2}+\omega_{3}) $ だけ増加し，ブランド3のシェアは $ b_{31}=-b_{11}\omega_{3}/(\omega_{2}+\omega_{3}) $ だけ増加することが分かる。したがって，ここで計算された $ b_{11} $ を代入することによって $ b_{12} $ と $ b_{13} $ を計算することができる。つまり，既知のデータのみを使って表現すると，

$$ b_{_{21}}=-\omega_{_{1}}(\varepsilon_{_{11}}+1-\omega_{_{1}}(1+\varepsilon)\{\omega_{_{2}}/(\omega_{_{2}}+\omega_{_{3}})\} $$

$$ b_{_{31}}=-\omega_{_{1}}(\varepsilon_{_{11}}+1-\omega_{_{1}}(1+\varepsilon))\{\omega_{_{3}}/(\omega_{_{2}}+\omega_{_{3}})\} $$

と全ての$b_{j1}$を計算することができる。したがって，$p_{2}$や$p_{3}$の価格が上昇したときに
は，IIA の仮定から $ \varepsilon_{22} $ や $ \varepsilon_{33} $ の値が既知であれば，全ての $ b_{j2} $ や $ b_{j3} $ を次のように計算することができる。

$$ b_{12}=-b_{22}\omega_{1}/(\omega_{1}+\omega_{3});\ b_{32}=-b_{22}\omega_{3}/(\omega_{1}+\omega_{3}) $$

$$ b_{13}=-b_{33}\omega_{1}/(\omega_{1}+\omega_{2});\ b_{23}=-b_{33}\omega_{2}/(\omega_{1}+\omega_{2}) $$

次に，AI DS モデルの同次性から

$$ b_{11}+b_{12}+b_{13}=0\ ,b_{21}+b_{22}+b_{23}=0\ ,b_{31}+b_{32}+b_{33}=0 $$

が成立している。初めの二つの式を $ b_{11} $ によって割り，上記の $ b_{ij} $ に関する式を代入すると次のようになる。

$$ \begin{aligned}&1-\frac{\omega_{1}}{1-\omega_{2}}\frac{b_{22}}{b_{11}}-\frac{\omega_{1}}{1-\omega_{3}}\frac{b_{33}}{b_{11}}=0\\&-\frac{\omega_{2}}{1-\omega_{2}}+\frac{b_{22}}{b_{11}}-\frac{\omega_{2}}{1-\omega_{3}}\frac{b_{33}}{b_{11}}=0\end{aligned} $$

この式を行列表現に書き換えると，次のようになる。

$$ \begin{pmatrix}-\frac{\omega_{1}}{1-\omega_{2}}&-\frac{\omega_{1}}{1-\omega_{3}}\\1&-\frac{\omega_{2}}{1-\omega_{3}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{b_{22}}{b_{11}}\\\frac{b_{33}}{b_{11}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\frac{\omega_{2}}{1-\omega_{1}}\end{pmatrix} $$

これを解くことによって，$\frac{b_{ii}}{b_{11}}=\frac{\omega_{i}}{1-\omega_{1}}\frac{1-\omega_{i}}{\omega_{1}}$ ，つまり$b_{ii}=\frac{\omega_{i}}{1-\omega_{1}}\frac{1-\omega_{i}}{\omega_{1}}b_{11}$ という関係式を導くことができる。これは，例えば，$b_{11}$ を導出することによって，他の$b_{ii}$ を支出による市場シェアを用いることによって求めることができ，それらの値を用いることによって全ての$b_{j2}$ や$b_{j3}$ を求めることができることを意味している。

弾力性の計算については，PCAI DS モデルは AIDS モデルに制約を課した特殊モデルであることから，AI DS モデルと同様に $ \varepsilon_{ii} = -1 + \frac{b_{ii}}{\omega_i} + \omega_i (\varepsilon + 1) $ と $ \varepsilon_{ik} = \frac{b_{ik}}{\omega_i} + (1 + \varepsilon) \omega_k $ を用いて計算することができるが，この式を直接使うことなく，上記において導出した $ b_{ij} $ の公式に数値を代入することによる次の弾力性の公式を利用することもできる。

$$ \varepsilon_{_{jj}}=\frac{(1-\omega_{_{j}})\varepsilon_{_{11}}+(\omega_{_{j}}-\omega_{_{1}})\varepsilon_{}}{1-\omega_{_{1}}};\ \mathrm{j}\neq\mathrm{~1~} $$

$$ \varepsilon_{i k}=\frac{\omega_{k}\left(\varepsilon-\varepsilon_{11}\right)}{1-\omega_{1}};\text{i,}k=1,2,3,\cdots,\mathbb{N}\text{j}\neq\text{k} $$
PCAI DS モデルでも，企業の最適化の一階の条件は，原則的には AIS と同じ一階の条件になるため，価格情報が既知であるならば，AIS モデルと同様に限界費用を計算することができる。しかし，PCAI DS モデルにおいては価格情報が入手可能であることは前提とされていないことから，限界費用の計算は原則的には不可能である。

しかし，限界費用の代わりにプライス・コスト・マージン $ m_{i} $ が計算できれば，合併

シミュレーションを実施することは可能であり，合併前後の価格の比較をすることはできる。

合併前に，企業1がブランド1，企業2がブランド2を販売していたならば，それぞれの企業の均衡における一階の条件は $ m_{1}\varepsilon_{11}\omega_{1}+\omega_{1}=0,\omega_{2}+m_{2}\varepsilon_{22}\omega_{2}=0 $ となり，これらを解くことによって $ m_{1}=-\frac{1}{\varepsilon_{11}},m_{2}=-\frac{1}{\varepsilon_{22}} $ となる。そして，合併後に，企業1がブランド1とブランド2を販売すれば，二つの一階の条件式 $ m_{1}\varepsilon_{11}\omega_{1}+\omega_{1}+m_{2}\varepsilon_{21}\omega_{2}=0,m_{1}\varepsilon_{12}\omega_{1}+\omega_{2}+m_{2}\varepsilon_{22}\omega_{2}=0 $ が満たされる必要がある。そのため，これらの式を連立方程式として解くことによって $ m_{1}=\frac{\varepsilon_{22}\omega_{1}-\varepsilon_{21}\omega_{2}}{\omega_{1}(\varepsilon_{12}\varepsilon_{21}-\varepsilon_{11}\varepsilon_{22})} $ と計算することができる。これらの式を比較することによって，合併前と後の合併による価格・費用マージンへの影響を見ることができる。

## (3) 合併シミュレーション

ALM を提唱した Werden et al. (1994, 1996) と PCAI DS を提唱した Epstein and Rubin feld (2001, 2004) においては，入手可能なデータの前提が多少異なることもあり，合併シミュレーションの定式化が若干異なる。そこで，まず，両モデルの定式化を説明し，Epstein and Rubin feld の提案した定式化によれば，AI DS, PCAI DS, さらに ALM においても合併シミュレーションを行うことができることを示す。

次のような状況によって説明をする。①企業数は3，②企業1はブランド1，企業2はブランド2，企業3はブランド3を販売しており，③企業1と企業2が合併をする。

合併前と合併後の均衡条件を示すと次のようになる。

合併前

$$ ブランド 1:q_{1}+m_{1}\varepsilon_{11}q_{1}=0 $$

$$ ブランド 2:q_{2}+m_{2}\varepsilon_{22}q_{2}=0 $$

$$ ブランド 3:q_{3}+m_{3}\varepsilon_{33}q_{3}=0 $$

合併後
$$ ブランド 1:m_{1}\varepsilon_{11}q_{1}+q_{1}+m_{2}\varepsilon_{21}\frac{p_{2}}{p_{1}}q_{2}=0 $$

$$ ブランド 2:m_{1}\varepsilon_{12}\frac{p_{1}}{p_{2}}q_{1}+q_{2}+m_{2}\varepsilon_{22}q_{2}=0 $$

$$ ブランド 3:q_{3}+m_{3}\varepsilon_{33}q_{3}=0 $$

ア ALMモデル

ALMモデルを前提とすると，合併後の市場の均衡条件は次のようなものになる。

$$ 合併企業 1\&2\cdot ブランド 1:\pi_{1}+m_{1}\varepsilon_{11}\pi_{1}+m_{2}\varepsilon_{21}\frac{p_{2}}{p_{1}}\pi_{2}=0 $$

$$ 合併企業 1\&2\cdot ブランド 2:m_{1}\varepsilon_{12}\frac{p_{1}}{p_{2}}\pi_{1}+\pi_{2}+m_{2}\varepsilon_{22}\pi_{2}=0 $$

$$ 企 \qquad 業 \qquad3\cdot ブランド 3:\pi_{3}+m_{3}\varepsilon_{33}\pi_{3}=0 $$

ブランド i の一階の条件を $ \pi_{i}\varepsilon_{ii} $ によって割ることでこれらの式を整理し直すと,

$$ 合併企業 1\&2\cdot ブランド 1:\frac{1}{\varepsilon_{11}}+m_{1}+\left(\frac{\varepsilon_{21}}{\varepsilon_{11}}\frac{\pi_{2}}{\pi_{1}}\right)\frac{p_{2}}{p_{1}}m_{2}=0 $$

$$ 合併企業 1\&2\cdot ブランド 2:\left(\frac{\varepsilon_{12}}{\varepsilon_{22}}\frac{\pi_{1}}{\pi_{2}}\right)\frac{p_{1}}{p_{2}}m_{1}+\frac{1}{\varepsilon_{22}}+m_{2}=0 $$

$$ 企業 \;3\cdot ブランド \;3:\frac{1}{\varepsilon_{33}}+m_{3}=0 $$

となる。ここで，$(\varepsilon_{ij}/\varepsilon_{ii})(\pi_j/\pi_i)$ はブランド i の価格が上昇したときにブランド i

の需要量の減少に対してブランド j の需要量の増加がどれぐらいであるかを測っている，転換率(Diversion Rate)である $ ^{48} $ 。

これらを行列によって示すと次のようになる。

$$ \begin{bmatrix}{{{1/\varepsilon_{11}}}} \\{{{1/\varepsilon_{22}}}} \\{{{1/\varepsilon_{33}}}}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{-(p_{2}/p_{1})\theta_{21}}}}&{{{0}}} \\{{{-(p_{1}/p_{2})\theta_{12}}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{m_{1}}}} \\{{{m_{2}}}} \\{{{m_{3}}}}\end{bmatrix}=0 $$

ここで $\theta_{ji}=-(\varepsilon_{ij}/\varepsilon_{ii})(\pi_{j}/\pi_{i})$ であり, ブランド i から j への転換率を表している。
合併後の価格の算出においては，市場シェア $ \pi_{i} $ ，弾力性 $ \varepsilon_{ii} $ ，変換率 $ \theta_{ij} $ が全て価格の関数であることに注意しなければならない。つまり，

$$ \pi_{i}=\frac{\exp(\alpha_{i}-\beta p_{i})}{\sum_{j=1}^{N}(\alpha_{j}-\beta p_{j})} $$

$$ \varepsilon_{i i}=-\beta p_{i}(1-\pi_{i}(p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{N}))=-\beta p_{i}\left(1-\frac{\exp(\alpha_{i}-\beta p_{i})}{\sum_{j=1}^{N}\exp(\alpha_{j}-\beta p_{j})}\right) $$

$$ \varepsilon_{ij}=\beta p_{j}\pi_{j}(p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{N})=\beta p_{j}\frac{\exp(\alpha_{j}-\beta p_{j})}{\sum_{k=1}^{N}\exp(\alpha_{k}-\beta p_{k})}; $$

であることから，自己・交差弾力性は全商品の価格の関数であり，自己・交差弾力性と選択確率からなる転換率$\theta_{ji}=-(\varepsilon_{ij}/\varepsilon_{ii})(\pi_j/\pi_i)$ も全商品の価格の関数となる。また，価格・費用マージンは，$m_{i}=(p_{i}-c_{i}^{post})/p_{i}$ であり，もし合併による効率性向上が認められず，合併によって限界費用が変化しないのであれば，$c_{i}^{post}=c_{i}^{pre}$ とする。

上記の連立方程式は明示的に解くことができないことから，合併後の価格 $ p_{i}^{post} $ については，Mathematica などの数式処理ソフトを使って数値的に計算することになる。合併後の市場シェアについては $ \alpha_{i} $ ， $ \beta $ ， $ p_{i}^{post} $ を需要関数に代入することによって計算することができる。

## イ AI DS モデル

AI DS, PCAI DS を前提として合併前の均衡条件を示すと次のようになる。

$$ 企業 1\cdot ブランド 1:\omega_{1}+\omega_{1}\varepsilon_{11}m_{1}=0 $$

$$ 企業 2\cdot ブランド 2:\omega_{2}+\omega_{1}\varepsilon_{12}m_{1}=0 $$

$$ 企業 \;3\cdot ブランド \;3\;\colon\;\omega_{3}+\omega_{3}\varepsilon_{33}m_{3}=0 $$

これを行列の表現によって示せば次のようになる。

$$ \begin{pmatrix}{{{\omega_{1}}}} \\{{{\omega_{2}}}} \\{{{\omega_{3}}}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{{{\varepsilon_{11}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\varepsilon_{22}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\varepsilon_{33}}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{\omega_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\omega_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\omega_{3}}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{m_{1}}}} \\{{{m_{2}}}} \\{{{m_{3}}}}\end{pmatrix}=0 $$
もしも AIDS モデルによって分析が行われているのであれば,価格は分かっていることから,限界費用の計算を上記の式を用いて簡単に行うことができる。その一方でPCAIDS モデルの場合であれば価格データの入手は前提としていないことから,限界費用の算出はできないということになる。

企業1と企業2が合併することによって,市場均衡の条件式は次のように変わる。

$$ ブランド 1:\omega_{1}+\omega_{1}\varepsilon_{11}m_{1}+\omega_{2}\varepsilon_{21}m_{2}=0 $$

$$ ブランド 2:\omega_{2}+\omega_{1}\varepsilon_{12}m_{1}+\omega_{2}\varepsilon_{22}m_{2}=0 $$

$$ ブランド 3:\omega_{3}+\omega_{3}\varepsilon_{33}m_{3}=0 $$

これを行列の形で示せば，

$$ \begin{pmatrix}{{{\omega_{1}}}} \\{{{\omega_{2}}}} \\{{{\omega_{3}}}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{{{\varepsilon_{11}}}}&{{{\varepsilon_{21}}}}&{{{0}}} \\{{{\varepsilon_{12}}}}&{{{\varepsilon_{22}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\varepsilon_{33}}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{\omega_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\omega_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\omega_{3}}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{m_{1}}}} \\{{{m_{2}}}} \\{{{m_{3}}}}\end{pmatrix}=0 $$

となる。

ここで合併後の価格算出において注意すべきことは，販売量の市場シェア $ \omega_{i} $ ，弾力性 $ \varepsilon_{ii} $ は全て商品の価格の関数になっているということである。つまり，AI DS モデルの場合には次のようにこれらの値が計算されている。

$$ \varepsilon_{i i}=-1+\frac{b_{i i}+h_{i}\varepsilon\omega_{i}}{\omega_{i}}+\omega_{i}\left(1+\varepsilon\right) $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon}_{i k}=\frac{b_{i k}+h_{i}\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\omega}_{k}}{\boldsymbol{\omega}_{i}}+\boldsymbol{\omega}_{k}\left(1+\boldsymbol{\varepsilon}\right) $$

$$ \omega_{i}=a_{i}+\sum_{j=1}^{N}b_{ij}\ln p_{j}+h_{j}\ln(Y/P) $$

ここで， $ b_{ij} $ ， $ h_{i} $ ， $ \varepsilon $ ， $ \omega_{i} $ は既知であるか，データから推計された値となっている $ ^{49} $ 。また， $ \gamma $ と P は価格の関数になっていることに注意する必要がある。また，価格費用マージンは $ m_{i} = (p_{i} - c_{i}^{post}) / p_{i} $ であり，合併による効率性向上が特に認められ

$ ^{49} $ ポ門用費用が合併による価格の関数になっていることに注意する必要がある。また，価格費用マージンは $ m_{i} = (p_{i} - c_{i}^{post}) / p_{i} $ であり，合併による効率性向上が特に認められ

ず限界費用が合併によって変化しなければ $ c_{i}^{post} = c_{i}^{pre} $ となる。

上記の連立方程式も，ALMと同様に非線形の関数の連立方程式となることから，代数的に各価格について式として解くことができないため，やはりMathematicaなどの数式処理ソフトを用いて数値的に解くことになる。また，市場シェアは算出された価格を代入することによって計算することができる。