Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$ \gamma = 0.5 $	$ \gamma = 3.0 $
推計值	S.E.	推計值	S.E.
$ \alpha $	0.312	0.092	0.280	0.094
$ \sigma $	0.341	0.240	0.304	0.240

α と σ の推計結果では，α は正であり，価格が上昇すれば需要が減少することが示されている。また，σ は 1 より有意に小さいという結果が出ているので，グループ内（T 又は R）の商品が完全な代替品であるという仮説は棄却された。一方，グループ内の商品同士の競争と，異なるグループ間（T と R）の商品同士の競争は対称的であるという仮説も棄却されないものの，T と R のグループ間で若干のセグメンテーションがあるということも示唆された。

この結果を用いて，需要弾力性が計算された。その結果，$\gamma=0.5$ の場合には，各国市場の需要弾力性は-0.5~-0.6前後であり，$\gamma=3.0$ の場合には，需要弾力性は，-1.0~-1.5前後と計算された。しかし，弾力性の大きさは，潜在的市場規模，すなわち$\gamma$ に依存する。$\gamma$ が大きいと，外部財との代替性が高いことを示唆し，需要弾力性は大きくなるが，$\gamma$ が小さいと，需要弾力性は小さくなる。データが2年分しかなかったため，$\gamma$ の正確な推定は難しいと考えられた。Ival di and Verboven(2000，2005)によれば，16t以上の重量トラックの弾力性は-0.9前後であり，24t以上の重量トラックの弾力性は-0.4前後であるという過去の分析があったため，その結果との整合性を考えて，$\gamma=3.0$ という結果を分析に採用したとしている。

$ γ = 3.0 $ の場合の各国の市場の需要弾力性を用いて，2つの分析が行われた。まず，潜在的な市場支配力テスト（Potential Market Power Test）として，当事会社が価格を5％，10％，25%上げた場合に利益が増えるか減るかが計算された。

需要弾力性	価格上昇率別の当事会社の利益変化率(%)
5%	10%	25%
オ-ストリア	-1.53	-0.70	-5.96	-35.09
ヘ'ルキ' -	-1.11	1.05	0.49	-8.63
デ'ス-ク	-1.02	1.63	2.09	-2.25
フィンランド	-0.98	2.51	2.98	-4.89
フランス	-1.17	0.18	-1.40	-13.86
ド'イツ	-1.52	-0.23	-2.79	-19.70
キ'リシャ	-0.63	1.39	-0.02	-14.49
アイリランド	-1.05	2.12	1.70	-10.02
イタリア	-1.63	-1.14	-7.63	-41.79
ルクセンブルグ	-0.94	-0.07	-1.51	-11.86
オランダ	-1.54	0.77	-2.47	-26.70
ノルウェ-	-1.14	2.74	3.58	-2.37
ポルトガル	-1.21	1.16	-0.12	-13.37
スペイン	-1.22	0.23	-2.05	-18.65
スウェーデン	-0.96	2.95	4.91	5.67
イギリス	-1.27	1.28	0.49	-11.04
E U 平均	-----	1.00	-0.49	-14.32

計算結果によれば，5％の値上げの場合には，オーストリア，ドイツ，イタリア，ルクセンブルグの4カ国以外のすべての国で値上げは利益になり，特に，スウェーデン，ノルウェー，アイルランド，デンマークでの利益増加が大きい。他方，10％の値上げの場合は，9カ国で利益が減少することになる一方，スウェーデン，ノルウェー，フィンランド，デンマークでは5％の値上げの場合よりも利益が増加すると計算された。しかし，25％の値上げの場合には，スウェーデンを除くすべての国で利益が減少することが示された。Ival di and Ver boven(2000，2005)は，この結果を市場画定（SS NIPテスト）に応用すれば，5％の値上げでは，ほとんどの国で当事会社の商品が市場を構成し，10％の場合でもなお多くの国で当事会社の商品が市場を構成することになるとしている。このことは，各国別の市場が成立することを裏付けていると考えられる。

もう一つの分析として，現実の市場支配力テスト（Actual Market Power Test）が実施された。すなわち，合併後，競争企業は，非協力的な価格設定を行うという前提のもとで，ナッシュ均衡価格が求められた。

価格上昇率(%)	Volvo/Scania	競争業者
Rigid	Tractor	Rigid	Tractor
オ-ストリア	1.69	2.15	0.05	0.08
ヘルキ-	6.75	5.41	0.14	0.16
デンマ-ク	11.55	8.17	0.26	0.19
フィランド	10.03	7.83	0.39	0.24
フランス	2.97	2.97	0.09	0.08
ドイツ	1.65	2.19	0.04	0.06
ギリシャ	4.98	5.39	0.25	0.26
アイラント	10.87	7.36	0.21	0.30
イタリア	2.02	1.49	0.07	0.07
ルクセンブルグ	3.33	1.65	0.05	0.05
オランダ	3.56	3.47	0.21	0.16
ルウエ-	13.17	8.63	0.32	0.28
ホルトガル	6.67	5.06	0.19	0.12
スペイン	3.65	2.98	0.06	0.08
スウェ-デン	22.34	12.64	0.47	0.32
イッリス	7.15	4.79	0.27	0.12
シミュレーションの結果では，Volvo / Scania は，いくつかの国，特に北欧とアイルランドで10％以上の価格引上げを行うことが予測されている。これに対して，競争業者も価格を引き上げるが，その価格上昇率は1％以下と非常に小さいという結果が出ている。

Ival di and Verboven は，さらに消費者余剰についても計算し，ノルウェーとスウェーデンでは10%以上，また，デンマーク，フィンランド，アイルランドの3カ国では5％以上の消費者余剰が減少すると予測している。また，5％の効率性が見込まれたとしても，この5カ国では，消費者余剰の減少が大きいとしている。

前記のように Ival di と Verboven の分析は，信頼性の低いデータに基づいて行われたため，欧州委員会は，これらの分析を決定文には用いず，伝統的な市場シェアと参入障壁や顧客の価格交渉力といった要素に基づいて分析を行ったが，結果的には，欧州委員会は，重量トラック市場において，スウェーデン，ノルウェー，フィンランド，アイルランドにおいて市場支配的地位が形成されると認定し，また，デンマークについても市場支配的地位が形成される可能性があるとしており，Ival di and Verboven の分析結果と類似の結論となっている。
## 第2 合併シミュレーションの経済理論・実証分析手法

第2章では，第1章で紹介した，製品差別化された財の合併が競争に与える効果に関するガイドラインや事例の背景となる経済理論と実証分析手法の紹介を行う。続く第3章では，第2章で紹介される実証分析手法の一部を用い，バター・マーガリン類のスキャナーデータによる市場画定・合併シミュレーションの実証分析が行われる。

第2章ではまず，第3章において実施される，市場画定のためのクリティカル・ロス分析及び競争制限効果の測定のための合併シミュレーションに用いられる需要関数の推計方法を紹介する（第2-1）。需要関数の理論的な枠組みから導かれる帰結と，データの制約の中でそれらと整合性を持たせながら推計を行っていく試みとして様々な方法が紹介される。具体的には，両対数形の需要関数，ストーンによる方法，ロッテルダムモデル，AIDシステム，残余需要関数による方法について順に解説する。

次に,製品差別化がある下での水平合併のシミュレーションの枠組みについて説明する(第2-2)。製品差別化がある状況で寡占的な価格競争が行われている場合における水平的合併の効果について簡単な理論的説明を行った後に，現在，合併シミュレーションの主要な方法として知られているALM, AIDSモデル，PCAIDSモデルについて解説をする。

最後に，近年，特に消費財や小売業の合併の経済分析において利用されるようになっており，次章の実証分析でも用いられるスキャナーデータの性質についての簡単な解説を行う（第2－3）。

## 1 需要関数の推定方法

第 1 - 2 でみたように，市場支配力の直接的な推定には，需要関数の推定の信頼性が重要であり，需要関数の推定の信頼性が高ければ，市場支配力の推定の信頼性も高くなると考えられる。本節では，需要関数の主要な推定方法について解説する。

## (1) 需要関数の性質

ミクロ経済学の消費者行動理論では，選好に関する標準的な仮定の下で，予算制約下の効用最大化問題の解として，マーシャル型需要関数(2.1)式が導出される。

## マーシャル型需要関数

$$ q_{k}=g_{k}(x,p)\ ,(k=1,\cdots,n) $$

$ q_{k} $ ；需要量，x ；所得，p ；価格ベクトル $ p=(p_{1},\cdots,p_{n}) $

n ; 財の数

すなわち，マーシャル型需要関数とは，価格と所得の関数として需要量が決定される需要関数のことである。

選好に関する仮定によって，マーシャル型需要関数が満たしていると予想されるいくつかの性質が存在している。需要分析において重要な性質としては，総和条件と同時性制約の二つの条件が重要である。総和条件とは，総支出が所得と等しくなってい
ることを表しており，予算制約が等号で満たされていることを意味している。同時性制約とは，需要関数が0次同次関数であり，価格と所得が同じ比率で増加したときに，需要量が変化しないことを表している。同時性制約が成立するのは消費需要行動に貨幣錯覚が存在しないときである。総和条件と同時性制約を数式で表せば，以下のようになる。

総和条件： $ x=\sum_{k}p_{k}q_{k}=\sum_{k}p_{k}q_{k}(x,p) $

同次性制約：需要関数は 0 次同次関数

$$ g_{k}\left(\theta x,\theta p\right)=g_{k}\left(x,p\right),\left(k=1,\cdots,n\right) $$

需要分析では，貨幣単位や測定単位の違いによる影響を取り除き，国際間比較を可能にするために，弾力性概念が用いられる。マーシャルの弾力性（粗弾力性）として，支出弾力性（ $ e_{i} $ ），価格弾力性（自己弾力性） $ (e_{ii}) $ ，交差弾力性 $ (e_{ij}) $ は以下のように定義される。

$$ 支出弹力性 \quad e_{i}=\frac{\partial\log g_{i}(x,p)}{\partial\log x} $$

$$ 俪格弹力性 ^{17}( 自己弹力性 )e_{ii}=\frac{\partial\log g_{i}(x,p)}{\partial\log p_{i}} $$

$$ 交差弹力性 \quad e_{ij}=\frac{\partial\log g_{i}(x,p)}{\partial\log p_{j}}\ ,(i,j=1,\cdot\cdot\cdot,n,i\neq j) $$

ここで支出弾力性とは，総支出が1%変化したときに需要量が何%変化するのかを表した値であり，価格弾力性（自己弾力性）とは，i財の価格が1%変化したときにi財の需要量が何%変化するのかを表した値，交差弾力性とは，j財の価格が1%変化したときにi財の需要量が何%変化するのかを表した値である。

推定された需要関数が総和条件と同時性制約を満たしているかどうかを検定する方法として，支出シェア $ w_{k} $

$$ w_{k}=\frac{p_{k}q_{k}}{x} $$

と弾力性を用いて，総和条件と同時性制約より導出される関係を検定することが可能である。すなわち，総和条件より，
$$ \sum_{k}w_{k}e_{k}=1 $$

$$ \sum_{k}w_{k}e_{ki}+w_{i}=0 $$

同次性制約より，

$$ \sum_{k}e_{ik}+e_{i}=0 $$

の関係が成立するので，この関係を利用すればよい。

一方，予算制約下の効用最大化問題の双対問題として，所与の効用水準の下での支出最小化問題を考えると，ヒックス型需要関数(2.11)式が導出される。

ヒックス型需要関数

$$ q_{k}=h_{k}(u,p)\ ,(k=1,\cdot\cdot\cdot,n) $$

$ q_{k} $ ；需要量，u ；効用水準，p ；価格ベクトル $ p=(p_{1},\cdots,p_{n}) $

n ; 財の数

ヒックス型需要関数はuを一定水準に補償された場合の価格と需要量の関係を表した関数であり，補償需要関数と呼ばれる。

最適点では2つの問題の解は一致しているので，

$$ q_{k}=g_{k}(x,p)=h_{k}(u,p)\ ,\ (k=1,\cdots,n) $$

が成立している。

ヒックスの需要関数に関しては，総和条件，同時性制約に加えて，対称性と負値性という2つの理論的な制約が存在している。

総和条件は，マーシャルの需要関数と同じく総支出が所得と等しくなるというもので，(2.13)式で表される。

総和条件： $ x=\sum_{k}p_{k}h_{k}(u,p)=\sum_{k}p_{k}q_{k}(x,p) $

同時性制約は需要関数が価格に関して 0 次同次関数になるというもので，(2.14)式で表される。

同次性制约： $ h_{k}(u,\theta p)=h_{k}(u,p) $ ， $ (k=1,\cdots,n) $

ヒックス型の需要に対する価格の偏微分係数を，
$$ s_{i i}=\frac{\partial h_{i}(u,p)}{\partial p_{i}} $$

$$ s_{i j}=\frac{\partial h_{i}(u,p)}{\partial p_{j}}\ ,\ (i,j=1,\bullet\bullet\ ,n\ ,i\neq j) $$

と定義すると，対称性と負値性の制約は次のように表される。

対称性制約：任意のiとjに対して， $ s_{ij}=s_{ji} $ $ (i\neq j) $

負值性制約： $ s_{ii} $ 要素の $ (n \times n) $ 行列は負值半定符号行列である。

すなわち，対称性と負値性の制約は， $ s_{ij} $ 要素の $ (n\times n) $ 行列であるスルツキ一行列が対称行列で負値半定符号行列であることを求めている。実証的には，ヒックス型需要関数は直接測定することが不可能な関数なので，マーシャル型の需要関数を推定し，

$$ s_{_{ij}}=\frac{\partial h_{_{i}}(u,p)}{\partial p_{_{j}}}=\frac{\partial g_{_{i}}}{\partial x}p_{_{j}}+\frac{\partial g_{_{i}}}{\partial p_{_{j}}} $$

(2.17) 式を利用して，スルツキ一行列に変換すればよい。この変換の結果，スルツキ一行列は具体的に計算され，同時性，対称性，負値性の制約は実証的にテストすることが可能となる。

ヒックスの弾力性(補償された弾力性)として，支出弾力性 $ (e_{i}^{*}) $ ，価格弾力性（自己弾力性） $ (e_{ii}^{*}) $ ，交差弾力性 $ (e_{ij}^{*}) $ は以下のように定義される。

$$ 支出弹力性 \quad e_{i}^{*}=\frac{\partial\log h_{i}(u,p)}{\partial\log x} $$

$$ 俪格弹力性（自己弹力性 ）e_{ii}^{*}=\frac{\partial\log h_{i}(u,p)}{\partial\log p_{i}} $$

$$ 交差弹力性 \quad e_{ij}^{*}=\frac{\partial\log h_{i}(u,p)}{\partial\log p_{j}}\ ,(i,j=1,\cdot\cdot\cdot,n,i\neq j) $$

マーシャルの弾力性（粗弾力性）は代替効果と所得効果の2つの効果を含んだ概念であるため，実証的に複数の財の代替・補完関係を検証しようとするときには，ヒックスの弾力性(補償された弾力性)の値を推定する必要がある。

## (2) 両対数形の需要関数

需要関数を推定する際には，推定可能な関数形に推定モデルを特定化する必要がある。1950年代以前の初期の需要分析においては，マーシャル型需要関数(2.1)式を理論的な制約を考慮することなくさまざまに特定化する方法が用いられた。
多くの場合，推定モデルの定式化は一般的な関数形を線形近似することによって行われた。1950年代以前の初期の需要分析において用いられた代表的な関数形は，両対数形の需要関数である。

両対数形の需要関数

$$ \log q_{i}=\alpha_{i}+e_{i}\log x+\sum_{k}e_{i k}\log p_{k} $$

$$ q_{i}: 需要量 ,x= 所得 ,p_{k}= 佃格 $$

両対数形の需要関数(2.21)式は，(2.1)式の1次のログ線形近似である。(2.21)式を，最小2乗法を用いて推定すれば，推定パラメータは$\alpha_{i},e_{i},e_{ik}$であり，マーシャルの弾力性を直接推定することになるため，解釈も容易である。

その一方で，両対数形の需要関数の特定化では，総和性条件が自動的に満足されないという難点がある。1950年代以前の消費需要分析では，理論的整合性を重視しなかったため両対数形の需要関数を用いて時系列データによる需要関数の推定が行われたが，理論的な整合性を満足していないため，推定値の信頼性には疑問が生じることとなる。

## (3) ワーキング・レッサー型エンゲル関数

時系列データによる分析同様に，クロスセクション・データを用いた消費需要分析も可能である。しかしながら，クロスセクション・データでは，すべての経済主体は同一の価格体系に直面することになるので，消費需要行動の差は所得水準と家計特性，特に家計構成員の差で表されることになる。

家計特性の差を無視すれば，需要関数はエンゲル関数(2.22)式で表されることになる。

$$ q_{i}=g_{i}(x) $$

エンゲル関数の関数形としてどの関数形がふさわしいのかについて多くの実証研究が行われた。代表的な研究として，プレイス・ハウタッカー $ ^{18} $ はさまざまな関数形のもとで，エンゲル関数の測定を行った。しかしながら，エンゲル関数の特定化に関して，決定的な関数形は出てこなかった。

逆に，理論的な制約を課す関数形として，総和条件を満たすエンゲル関数がワーキング $ ^{19} $ によって考案され，レッサー $ ^{20} $ によって採用された。その関数形はワーキング・レッサー型エンゲル関数と呼ばれている。
ワーキング・レッサー型エンゲル関数

$$ w_{k}=\alpha_{k}+\beta_{k}\log x $$

ワーキング・レッサー型エンゲル関数は支出シェアが$\log x$ の線形関数となっている。ここで推定されるパラメータは$\alpha_{k}$ と$\beta_{k}$ であり，総和条件は$\sum_{k}w_{k}=1$ となる。この条件は，

$$ \sum_{k}\alpha_{k}=1\quad,\quad\sum_{k}\beta_{k}=0 $$

と同一であるが，ワーキング・レッサー型エンゲル関数(2.23)式を個別に最小2乗法を用いて推定すると，総和条件を満たした定式化であるため，(2.24)式は自動的に満足することになる。また，このワーキング・レッサーモデルでは$\beta_{k}$の推定値に対して，

$$ \beta_{k}>0\Rightarrow ぜいたく品 $$

$$ \beta_{k}<0\Rightarrow 必需品 $$

と解釈することが可能である。

(4) ストーンの分析

初期の実証的な需要分析では理論的な制約にはあまりこだわらずに，さまざまな財貨・サービスの需要の弾力性を測定することに分析の目的があった。手法的には個別財の需要関数のパラメータが単一方程式によって推定された $ ^{21} $ 。すなわち，両対数型の需要関数に対する単一方程式の推定を行うことによって，弾力性の値をパラメータとして推定していた。

対数需要関数が総和性の条件を満たしていないことは知られていたが，当時はそれほど気にされていなかった。いうまでもなく，理論的な制約を考慮せずに関数形を特定化し，推定上のバイアスを考慮せずに計量モデルの推定を行うのであれば，その結果得られたパラメータの推定値の信頼性は高くはならない。

そうした状況の中で，ストーン $ ^{22} $ は，需要関数の推定モデルに対して，対称性，同時性などの理論的制約を考慮した特定化を行うことでその後の分析に強い影響を与えた。両対数型の需要関数

$$ \log q_{i}=\alpha_{i}+e_{i}\log x+\sum_{k}e_{i k}\log p_{k} $$
（ $ q_{i} $ ; i 財の需要量，x ; 所得， $ p_{k} $ ; k 財の価格， $ e_{i} $ ; 所得弾力性， $ e_{ik} $ ; i 財需要に対する k 財価格の交差弾力性）

を用いて，スルツキー方程式によって交差弾力性を分解すると(2.26)式の関係が導出される。

$$ e_{i k}=e_{i k}^{*}-e_{i}w_{k} $$

$ e_{ik}^{*} $ ；補償された交差弾力性， $ w_{k} $ ；支出シェア）

この(2.26)式を(2.25)式に代入すると，(2.27)式が導出される。

$$ \log q_{i}=\alpha_{i}+e_{i}\left\{\log x-\sum_{k}w_{k}\log p_{k}\right\}+\sum_{k}e_{i k}^{*}\log p_{k} $$

ここで，

$$ \sum_{k}w_{k}\log p_{k}=\log P $$

とおけば， $ \log P $ は一般物価指数の対数値と考えることができる。(2.28)式はストーン価格指数と呼ばれる。このとき， $ (x/P) $ は実質所得と考えることができる。

ストーン価格指数(2.28)式を代入すると，(2.27)式は

$$ \log q_{i}=\alpha_{i}+e_{i}\log(x/P)+\sum_{k}e_{i k}^{*}\log p_{k} $$

に変形される。また，(2.10)式と(2.26)式より同次性制約は

$$ \sum_{k}e_{ik}^{*}=0 $$

となる。このとき，

$$ \sum_{k}e_{ik}^{*}\log(p_{k}/P)=\sum_{k}e_{ik}^{*}\log p_{k}-P\sum_{k}e_{ik}^{*}=\sum_{k}e_{ik}^{*}\log p_{k} $$

となるので，(2.29)式は，(2.32)式に変形される。

$$ \log q_{i}=\alpha_{i}+e_{i}\log(x/P)+\sum e_{ik}^{*}\log(p_{k}/P) $$

この(2.32)式がストーンの分析の基礎となる需要関数の定式化である。(2.32)式の推定パラメータは$\alpha_{i},e_{i},e_{ik}^{*}$であり，補償された価格弾力性$e_{ik}^{*}$の値を直接推定できる定式化になっている。

ストーンは(2.32)式を基礎にして，さらにいくつかの変更を行った。第1に，先見的に代替・補完関係が存在しないと考えられる財に関しては $ e_{ik}^{*}=0 $ と考え，無関係だ
と考えられる財の価格の項をあらかじめ除外した $ ^{23} $ 。第2に，クロスセクション・データを使って支出弾力性 $ e_{i} $ の推定値 $ e_{i}^{**} $ を推定し，前もって実質所得の項を左辺に移動した。第3に，残差の系列相関を小さくするため，1階の階差を取った $ ^{24} $ 。第4に，嗜好の変化が起こっている可能性を考慮して，タイムトレンドの項 $ \theta_{i} $ を追加した $ ^{25} $ 。これらの変更を行った結果，最終的な推定式は，次の(2.33)式となった。

$$ \Delta\big[\log q_{i}-e_{i}^{**}\log(x/p)\big]=\theta_{i}+\sum_{k\in K}e_{ik}^{*}\Delta\log(p_{k}/p) $$

$e_{i}^{**}$ ; クロスセクション・データから得られた支出弾力性

K ; 代替財が補完財かが先験的に考えられ仮定できる財

θₐ；タイムトレンド項

△ ; 1階の階差オペレータ

ストーンの定式化は，経済理論の制約と推定上の問題点の両方に対応したものであり，両対数型の需要関数よりは明らかに優れた定式化であるといえる。

(5) 線形支出体系

St one(1954b)では，別の需要関数の定式化が提案されている。そこでは，需要関数を一般的な線形に特定化した(2.34)式から出発している。

$$ p_{i}q_{i}=\beta_{i}x+\sum_{k}\beta_{ik}p_{k}\quad(i=1,2,\cdots,n) $$

x；総支出，p；価格，q；需要量

(2.34)式に総和条件，同次性，対称性の理論制約を課したとき，これらの制約を同時に満足する特定化が線形支出体系の特定化(2.35)式である。
$$ p_{i}q_{i}=p_{i}\gamma_{i}+\beta_{i}(x-\sum_{k}p_{k}\gamma_{k}) $$

$$ \sum_{k}\beta_{k}=1 $$

双対性を利用すると，線形支出体系(2.35)式の支出関数は(2.36)式となる。

$$ C(u,p)=\sum_{k}p_{k}\gamma_{k}+u\prod_{k}p_{k}^{\beta k} $$

支出関数に対する理論的な制約として，支出関数は凹関数でなければならない。 $ \beta_{i}\geq0 $ ， $ x\geq\sum_{k}p_{k}\gamma_{k} $ ， $ q_{i}>\gamma_{i} $ ならば $ C(u,p) $ は凹関数となるが，これらの制約が保証されなければ $ C(u,p) $ は凹関数ではなく，(2.35)式は制約付効用最大化行動からは導出できないという理論的な問題が発生してしまう。

これらの制約は，必要以上に強い制約である。劣等財の場合，線形支出体系(2.35)式において$\beta_{i}<0$となるが，前述したように$\beta_{i}<0$だと凹性を満たさないという問題

が発生する。また，$\beta_{i}\geq0$ とすると，どの財も補完財とはならず，すべての財が代替財となってしまう。

したがって,すべての財が劣等財ではなく,代替財と仮定される分類のもとでしか,線形支出体系の推定を行うことはできない。これらの制約は需要関数の推定にとって必要以上に厳しい制約である。また,線形支出体系で需要関数の推定を行うと,価格と支出弾力性の推定結果の間に近似的な比例関係が発生してしまうことが報告されている。

需要関数の推定モデルの定式化において，総和条件，同次性，対称性などの理論的な制約を満たしている方が望ましいことはいうまでもない。しかしながら，特定の線形関数に数学的な理論制約を課して導出された定式化が，きわめて制約の強い状況においてしか用いることができないとすれば，一般的な需要分析の推定モデルの定式化としては不十分である。線形関数に総和条件，同次性，対称性の3つの性質を同時に満たすことを制約として課した定式化で，すべての財に関して適用可能という意味で一般性をもった需要関数の定式化は，筆者の知る限りまだ成功していないようである。

## (6) ロッテルダムモデル

特定の線形関数に総和条件，同次性，対称性などの理論的な制約を課して導出された需要関数の定式化は一般性を持たないことが明らかになると，果たしてこれらの制約が一般的な状況で成立する制約であるのか，が問題とされるようになった。すなわち，できるだけ一般的な関数形で特定化された需要関数を用いて，理論的な制約を課した場合と課さない場合で推定し，尤度比検定などでそのような制約が統計的に妥当であるかどうかをテストする分析が行われた。
そのような目的の需要関数として,タイル $ ^{26} $ によって提案されたモデルがロッテルダムモデルである。ロッテルダムモデルは,ストーンの分析を基礎として,理論制約のテストを可能とする定式化を行っている。

両対数型の需要関数

$$ \log q_{i}=\alpha_{i}+e_{i}\log x+\sum_{k}e_{i k}\log p_{k} $$

を微分すると，(2.38)式が導出される。

$$ d\log q_{i}=e_{i}d\log x+\sum_{k}e_{i k}d\log p_{k} $$

ストーンの分析より, スルツキー分解によって $ e_{ik} = e_{ik}^{*} - e_{i}w_{k} $ となるので, 次のように書き直すことができる。

$$ d\log q_{i}=e_{i}(d\log x-\sum_{k}w_{k}d\log p_{k})+\sum_{k}e_{i k}^{*}d\log p_{k} $$

(2.39)式は，ストーンの分析での(2.27)式の微分形である。この定式化で，対称性を制約として課そうとすると，制約式に変動する支出シェアが含まれることになるので，理論制約のテストが容易ではない。この問題は，支出シェア $ w_{i} $ を(2.39)式の両辺に掛けることによって解決する。

その結果，ロッテルダムモデルは(2.40)式で表される。

$$ w_{i}d\log q_{i}=b_{i}d\log x^{*}+\sum_{k}c_{ik}d\log p_{k} $$

ただし，

$$ d\log x^{*}=d\log x-\sum_{k}w_{k}d\log p_{k}=\sum_{k}w_{k}d\log q_{k} $$

$$ b_{i}=w_{i}e_{i}=p_{i}\partial q_{i}/\partial x $$

$$ c_{ij}=w_{i}e_{ij}^{*}=p_{i}p_{j}s_{ij}/x $$

## $ s_{ij} $ はスルツキー代替行列の $ (i,j) $ 要素

である。(2.41)式の第3項は予算制約式から導出される。

ロッテルダムモデル(2.40)式の総和条件は，

$$ \sum_{k}b_{k}=1\ ,\ \sum_{k}c_{k j}=0 $$

であるが，最小２乗法による推定は総和条件を自動的に満足するので，このモデルにおいて総和条件はテストすべき制約とはならない。
同次性制約は，

$$ \sum_{k}c_{jk}=0 $$

対称性制約は，

$$ c_{ij}=c_{ji} $$

で表現され，これらの制約がテストの対象となる制約である。ロッテルダムモデルも一見すると特殊な関数形の定式化のように見えるが，理論制約を簡単な形でパラメータに課すことを目的で導出された定式化であり，その意味でのメリットは非常に大きい。

実証分析では，(2.40)式に離散近似を行い，動学的なシフト項 $ a_{i} $ を切片に含んだ(2.47)式に対する推定を行う $ ^{27} $ 。tは時点を表している。

$$ w_{i t}\Delta\log q_{i t}=a_{i}+b_{i}\sum_{k}w_{k t}^{*}\Delta\log q_{k t}+\sum_{k}c_{i k t}\Delta\log p_{k t} $$

$$ (i=1,\cdots,n) $$

$$ \Delta\log q_{it}=\log q_{it}-\log q_{it-1} $$

$$ \Delta\log p_{it}=\log p_{it}-\log p_{it-1} $$

$$ w_{it}^{*}=\frac{1}{2}(w_{it}+w_{it-1}) $$

ロッテルダムモデルに対する同次性制約と対称性制約のテストは，バーテン $ ^{28} $ やディートン $ ^{29} $ によって行われた。ともに最尤法でロッテルダムモデルを推定し，制約を置く場合と無制約の場合の最尤値を用いて尤度比検定を行った。その結果，いずれの場合も同次性の仮定ははっきりと棄却された。ディートンの分析では対称性制約と矛盾しない分析結果を得たが，バーテンの分析では対称性制約は否定されており，その後のロッテルダムモデルの分析でも安定した結果は得られていない。

ロッテルダムモデルの定式化によって，同時性制約や対称性制約を直接テストすることが可能になったが，その結果，はっきりと同時性制約が棄却される結果となった。この分析結果は，同次性の棄却が現実の正しい描写であるのか，それともロッテルダムモデルの関数形の近似が良くない近似であるのか，という議論を生み出すことになった。

その結果，需要関数の推定には，少なくとも２つの問題が内在していることが明ら
かにされた。第1はデータ集計の問題であり，分析の基礎となる消費者行動理論はあくまで1人の消費者の行動に対してのみあてはまるものであり，集計された需要と集計された支出の間に消費者行動理論に基づく安定的な関係が維持される保証はないという問題である。より粗いレベルでのデータの集計が行われれば，この問題はより深刻なものとなるであろう。この問題に対処するためには，より細かいデータの利用が必要不可欠になる。

第2の問題は近似の問題である。どのような推定モデルの定式化であれ，それは真の関数の近似に過ぎない。たとえ局所的には当てはまりの良い近似であっても大域的には近似の当てはまりは悪くなる。ロッテルダムモデルもあくまで1つの近似に過ぎず，同次性を満たす真の需要関数を不適切な観測期間で近似させたために，同次性を満足しない推定結果が得られたのかもしれない。消費者の嗜好は長期的には変化すると考えられるから，長期間の時系列データを用いて推定を行えば，需要関数の推定としては好ましくない推定結果が得られる可能性が高い。この問題に対する対処としては，より一般的な近似を工夫することと，観測期間を適切に設定することで改善は可能であろう。

## (7) AIDシステム（Al most Ideal Demand System, AIDS モデル）

需要関数の推定モデルにおいて,現在最も受け入れられている定式化が,Deaton and Muell bauer(1980a, b)のAIDシステム(Al most Ideal Demand System)あるいはAIDSモデルである。モデルの名称になっているように,“ほとんど理想的な需要システム(Al most Ideal Demand System)”であると考えられている。

AI DS モデルは，(3)節のワーキング・レッサー型エンゲル関数（ワーキング・レッサーモデル）

$$ w_{i}=\alpha_{i}+\beta_{i}\log x $$

$$ w_{i};i 財の支出シェア ,x; 総支出額 $$

の拡張形である。すなわち，クロスセクション分析のためのモデルであるワーキング・レッサーモデルを時系列分析に応用するために，価格効果を含む形に拡張したモデルが AIDS モデルである。

AIDS モデルは次のように導出される。双対性により支出関数 $ C(u,p) $ と，マーシャル型需要関数は同じ情報を与えており，支出関数は需要関数に変換可能という性質を利用する。

まず，支出関数を，

$$ \log C(u,p)=a(p)+ub(p) $$

$$ a(p)=\alpha_{0}+\sum_{k}\alpha_{k}\log p_{k}+\left(\frac{1}{2}\right)\sum_{k}\sum_{j}\gamma_{kj}^{*}\log p_{k}\log p_{j} $$

$$ b(p)=\beta_{0}\prod_{k}p_{k}^{\beta_{k}} $$
$ \alpha_{k} $ , $ \beta_{k} $ , $ \gamma_{kj}^{*} $ は定数。

と定義する。

このとき， $ C(u,p) $ は，p について 1 次同次関数なので，同次性条件は，

$$ \sum_{k}\alpha_{k}=1,\qquad\sum_{k}\gamma_{kj}^{*}=\sum_{k}\beta_{k}=0 $$

である。(2.54)，(2.53)式を(2.52)式に代入し，シェパードの補題から，

$$ \frac{\partial\log C(u,p)}{\partial\log p_{i}}=\frac{\partial C(u,p)}{\partial p_{i}}\cdot\frac{p_{i}}{C}=q_{i}\cdot\frac{p_{i}}{C}=w_{i} $$

という性質を利用してuを消去すれば，次のAIDシステムが導出される。

AIDシステム（AIDS モデル）

$$ w_{i}=\alpha_{i}+\sum_{j}\gamma_{ij}\log p_{j}+\beta_{i}\log(x/P) $$

$$ \log P=\alpha_{0}+\sum_{k}\alpha_{k}\log p_{k}+\left(\frac{1}{2}\right)\sum_{k}\sum_{j}\gamma_{k j}\log p_{k}\log p_{j} $$

$$ \gamma_{ij}=\frac{1}{2}(\gamma_{ij}^{*}+\gamma_{ji}^{*})=\gamma_{ji} $$

(2.56)式から(2.58)式で定義されるモデルがAIDシステムと呼ばれる。AIDシステムはロッテルダムモデルやトランスログモデルなどの，先行する需要関数の定式化モデルの一般形となっていると同時に， $ w_{i} $ と $ \log x $ の間の未知の真の関係の第一次近似と考えられる。

(2.56) 式に対する理論的制約は，次のように表される。

総和条件：すべての j について

$$ \sum_{k}\alpha_{k}=1,\quad\sum_{k}\beta_{k}=0,\quad\sum_{k}\gamma_{kj}=0 $$

$$ 同次性制約 : すべての j について ,\quad\sum_{k}\gamma_{jk}=0 $$

对称性制约： $ \gamma_{ij}=\gamma_{ji} $

负值制约： $ C_{ij}=\gamma_{ij}+\beta_{i}\beta_{j}\log(x/p)-w_{i}\delta_{ij}+w_{i}w_{j} $

$$ \begin{aligned}\delta_{ij}&=1\quad&(i=j\ のとき )\\ &=0\quad&(i\neq j\ のとき )\quad&( クロネッカーデルタ )\end{aligned} $$

によって定義される C 行列が負値判定符号行列

実際には，(2.56)式に制約をかけないで推定すれば，自動的に総和条件は満足され
るので，AI DS モデルにおいても総和条件はテストすべき制約とはならない。

(2.56)式の特徴は，関数の特定化自体が線形に近いことである。Pはストーン価格指数

$$ \log P=\sum_{k}w_{k}\log p_{k} $$

に置き換えてあらかじめ計算することができ，ストーン価格指数による定式化を行えば，最小2乗法によって1本ずつ推定することが可能である。

AIDシステムのパラメータ $ \beta_{i} $ の値によって，その財がぜいたく品か必需品か区別されることになる。すなわち，

$$ \beta_{i}>0\quad\Rightarrow\quad i\ 財はぜいた < 品 $$

$$ \beta_{i}<0\quad\Rightarrow\quad i 財は必需品 $$

と解釈することができる。また，$\gamma_{ij}$ は $(x/P)$ が一定の下での，$j$ 財の価格 $p_{j}$ の支出

シェア $ w_{i} $ に対する弾力性の大きさを表している。

理論制約に対するテストという点では，AIDSモデルの同次性テストについて，これまでさまざまな近似式，データセットの下で行われてきたが，集計された時系列データにフィットした需要関数は同次性を満足せず，また恐らく対称性も満足しないという結論が繰り返し現れている。そうした意味ではAIDSモデルの定式化も，需要分析の最終的な目的が需要関数の真の特定化を発見することだと考えればまだ不十分なものだと考えることもできるであろう。しかしながら，AIDSモデル以上に一般性を持った定式化のモデルが今のところ存在しないこともまた事実なのである。

## (8) 残余需要閲数（Residual Demand Function）

AIDS モデルは現在のところ最も一般性を持った需要関数の定式化であると考えられているが，一般性を持っているがゆえに次数問題(dimensionality problem)と呼ばれる問題を避けることができない。すなわち，ストーンの分析以来 AIDS モデルに至る一連の需要分析は，基本的に市場全体の需要関数を推定しようとするものである。説明変数には n 種類の財の価格が含まれるが，分析を細かくしようとすればするほど n は大きな値となってしまう。とりわけ，細かく差別化された市場の需要分析をしようとすると，n の値は非常に大きな値となってしまう。モデル全体としてみると，価格の係数だけで $ n^{2} $ のパラメータの推定をすることになるので，n の値が大きすぎることはそれ自体が問題である。すなわち，需要関数の推定に用いるデータの数が十分に大きなものでない限り，十分な自由度を確保することができず，信頼性の高いパラメータ推定をすることが不可能となるからである。

我々はいつでも標本数の多い分析データを入手できるとは限らない。その一方で，分析の目的によっては，必ずしもすべての財の自己弾力性や交差弾力性の値を知る必
要があるわけではない。そのような状況では，需要システム全体を推定するには不十分な数のデータであっても，特定の財の自己弾力性や交差弾力性を推定できるような，部分的な需要システムの特定化がなされていればよい。

そのような推定方法として，Baker and Bresnahan（1985，1988）の残余需要関数（Residual Demand Function）の推定モデルがある。Baker and Bresnahan（1985，1988）は，市場全体の需要関数を推定するのではなく，寡占市場の均衡条件を利用して，個別企業が直面する残余需要関数を特定化し，推定することで自己弾力性や交差弾力性を推定する方法を提案している。

企業数はnであり，各企業がそれぞれ1種類ずつの差別化された財を生産している寡占市場を考える。各企業が直面する需要関数（マーシャル型需要関数）を以下のように定義する $ ^{30} $ 。

$$ q_{i}=D_{i}(p_{i},p_{-i},y)\quad(i=1,\cdots,n) $$

$ q_{i} $ ；企業iの需要量， $ p_{i} $ ；企業iの価格

$ p_{-i} $ ；企業iを除いた価格ベクトル $ p_{-i}=(p_{1},\ldots,p_{i-1},p_{i+1},\ldots,p_{n}) $

y ; 需要に影響を与える外性変数のベクトル

n ; 企業数 (= 財の数 )

差別化された財の寡占市場であるので，戦略変数は価格であり，利潤最大化の1階の条件から導き出される最適反応関数は次のように定義される。

$$ p_{i}=R_{i}(p_{-i},y,w,c_{i}) $$

$$ (i=1,\cdots,n) $$

w ; 産業特有のコスト変数のベクトル

$ c_{i} $ ; 企業i特有のコスト変数

(2.64) 式から , 企業 i を除いたすべての企業の最適反応関数のベクトル (2.65) 式を導出することができる。

$$ p_{-i}=R_{-i}(p_{i},y,w,c_{-i}) $$

$ c_{-i} $ ；企業iを除いたすべての企業の，企業特有のコスト変数のベクトル
(2.65)式を(2.63)式に代入すると，企業iの残余需要関数(2.66)式となる。

$$ q_{i}=D_{i}^{r}(p_{i},w,c_{-i},y) $$

$$ (i=1,\cdot\cdot\cdot,n) $$

残余需要関数(2.66)式の推定モデルは，(2.67)式で表される。

$$ \begin{aligned}\log q_{i}=\alpha_{i}+\beta_{i}\log p_{i}+\sum_{s}\gamma_{is}y_{s}+\sum_{l}\mu_{il}w_{l}+\sum_{k\neq i}\delta_{ik}c_{k}+\nu_{i}\ $ i=1,\bullet\bullet,n)\end{aligned} $$

$ \alpha_{i} $ ；定数項

$ \beta_{i} $ ；残余需要の自己価格弾力性

$$ \beta_{i}=\frac{d\log q_{i}}{d\log p_{i}}=\varepsilon_{ii}^{r} $$

$ v_{i} $ ；誤差項

(2.67) 式の推定では，内生性の問題が発生する。すなわち， $ p_{i} $ と $ q_{i} $ は同次決定される内生変数であるため，通常の最小2乗法では同次方程式バイアスが発生する。そのため，2段階最小2乗法か操作変数法を用いて推定を行うことになる。

2企業（企業1と企業2）の自己価格弾力性と交差弾力性を知りたいときには，部分残余需要関数を(2.68)式で定義し，

$$ q_{i}=D_{i}^{pr}(p_{1},p_{2},w,c_{-1\&2},y) $$

$$ (i=1,2) $$

(2.69) 式の推定モデルを 2 段階最小 2 乗法か操作変数法を用いて推定すればよい。

$$ \begin{aligned}\log q_{i}=\alpha_{i}+\beta_{ii}\log p_{i}+\beta_{ij}\log p_{j}+\sum_{s}\gamma_{is}y_{s}+\sum_{l}\mu_{il}w_{l}+\sum_{k\neq i}\delta_{ik}c_{k}+v_{i}\ $ i,j=1,2;i\neq j)\end{aligned} $$

$\beta_{ii}$ ; 部分残余需要の自己価格弾力性

$$ \beta_{i i}=\frac{d\log q_{i}}{d\log p_{i}}=\varepsilon_{i i}^{p r} $$

$ \beta_{ij} $ ；部分残余需要の交差弾力性

$$ \beta_{ij}=\frac{d\log q_{i}}{d\log p_{j}}=\varepsilon_{ij}^{pr} $$

AIDS モデルでは分析の対象となっている市場のすべての財の価格と販売量のデータが必要であるのに対して，残余需要関数は1組の価格と生産量のデータがあれば推定可
能である。その代わり，信頼性の高い費用に関するデータが必要とされる。AIDSモデルと残余需要関数のどちらのモデルを用いるのかは，入手可能なデータの性質によって決定されるであろう。
2 合併シミュレーションの経済理論・実証方法

(1) 製品差別化のある市場での合併の基本モデル

製品差別化のある市場を記述するモデルとして，一般的には，差別化がなされている製品に関する価格競争が行われるベルトランモデルが用いられる。企業が合併する前の均衡条件と合併した後の均衡条件を比較することにより，合併の効果が価格水準に与える影響を見ることができる。次のような仮定を置くことによって議論を進めていく。

① 商品差別化が存在している。

②ブランドごとに限界費用は一定，同一である。

③一回のベルトラン競争が行われている。つまり，企業は価格を設定することによって利潤最大化を達成しようとする競争を行っている。各企業の価格を戦略変数としたナッシュ均衡が成立するような結果が市場において実現する。

④次のような記号を用いる。

ブランド i の価格: $ p_{i} $

ブランド i の販売量: $ q_{i} $

ブランド i の市場シェア: $ s_{i}=\frac{q_{i}}{\sum_{j}q_{j}}=\frac{q_{i}}{Q} $

ブランド i の販売額シェア: $\omega_{i}=\frac{p_{i}q_{i}}{\sum_{j}p_{j}q_{j}}=\frac{p_{i}q_{i}}{Y}$

ブランド i の限界費用: $ c_{i} $

ブランド i の価格費用マージン: $ (p_{i} - c_{i}) / p_{i} = m_{i} $

ブランド i の需要のブランド i の価格に対する（自己）需要弾力性 $ ^{31} $ ：\varepsilon_{ii}=\frac{\partial q_{i}}{\partial p_{i}}\frac{p_{i}}{q_{i}}

ブランド i の需要のブランド j (j ≠ i) の価格に対する（交差）需要弾力性:

$$ \varepsilon_{ij}=\frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{p_{j}}{q_{j}} $$
市場全体の需要弾力性: $ \varepsilon=\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q} $

ここでは，一つの企業が一つのブランドだけの生産を行っているケースの合併の効果の理論的説明を，企業が3社存在するときのケースを用いて説明する。企業1，2，3が存在し，それぞれの企業がブランド1，ブランド2，ブランド3を販売しており，企業1と企業2が合併する場合について考える。

まず，合併前の市場の均衡条件の導出を行う。企業１の目的関数は，

$$ (p_{1}-c_{1})q_{1} $$

と表されることから，この企業の利潤最大化の一階の条件は，

$$ (p_{1}-c_{1})\frac{\partial q_{1}}{\partial p_{1}}+q_{1}=0 $$

となる。この式は，ブランド1の価格を1単位上昇させると，ブランド1を購入しつづける消費者から得られる利益の増加分が $ q_{1} $ である一方で，消費者が価格の上昇から他のブランドに代替することによりブランド1の需要を減少させることから生じる利益の変化が $ (p_{1}-c_{1})\partial q_{1}/\partial p_{1} $ だけあることから，これらの変化分を等しくすることによって利潤が最大化されるということを意味している。

この一階の条件を変形することによって次の関係式を導くことができる。

$$ \frac{p_{1}-c_{1}}{p_{1}}\frac{\partial q_{1}}{\partial p_{1}}\frac{p_{1}}{q_{1}}q_{1}+q_{1}=m_{1}\mathcal{E}_{11}q_{1}+q_{1}=0 $$

同様の利潤最大化条件は企業2と3についても導くことができ，ベルトラン・ナッシュ均衡として記述される市場の均衡は次の行列形式によって表現することができる。

$$ \begin{bmatrix}{{{q_{1}}}} \\{{{q_{2}}}} \\{{{q_{3}}}}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{{{\varepsilon_{11}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\varepsilon_{22}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\varepsilon_{33}}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{q_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{q_{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{q_{3}}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{{m_{1}}}} \\{{{m_{2}}}} \\{{{m_{3}}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{0}}} \\{{{0}}} \\{{{0}}}\end{bmatrix} $$

上記の一階の条件式から，各企業の価格・限界費用のマークアップ率 $ m_{i} $ は次のような大きさになる。

$$ m_{i}=-\frac{1}{\varepsilon_{ii}}\qquad i=1,2,3 $$

次に，合併後の市場均衡について考える。企業1と企業2が合併すると，この合併企業の目的関数は $ (p_{1}-c_{1})q_{1}+(p_{2}-c_{2})q_{2} $ となる。つまり，合併することによって，合併前には企業1と企業2はそれぞれ独自に各ブランドの価格を設定することによって自らの利潤を最大化していたのに対し，合併した企業は自らの持つブランド1とブランド2について，両方の価格を同時にコントロールすることによって利潤最大化することが可能になる。そこで，この合併企業の利潤最大化の一階の条件は次のようになる。