$$ h_{i}\left(\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{i}}-\frac{Y}{P}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}\right) \text{を得ることができる。したがって，自己弾力性は，} \\

\varepsilon_{ii}=\frac{\partial q_{i}}{\partial p_{i}}\frac{p_{i}}{q_{i}}=\left(-\frac{q_{i}}{p_{i}}+\frac{b_{ii}}{p_{i}}\frac{Y}{p_{i}}+\frac{\omega_{i}}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{i}}+h_{i}\left\{\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{i}}-\frac{Y}{P}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}\right\}\right)\frac{p_{i}}{q_{i}} \\

=-1+\frac{b_{ii}}{\omega_{i}}+\frac{\omega_{i}}{q_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{i}}+h_{i}\left(\frac{1}{q_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{i}}-\frac{Y}{P}\frac{1}{q_{i}}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}\right)=-1+\frac{b_{ii}}{\omega_{i}}+\frac{p_{i}}{Y}\frac{\partial Y}{\partial P}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}+h_{i}\left(\frac{1}{q_{i}}\frac{\partial Y}{\partial P}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}-\frac{Y}{P}\frac{1}{q_{i}}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}\right) \\

=-1+\frac{b_{ii}}{\omega_{i}}+\left(\frac{P}{Y}\frac{\partial Y}{\partial P}\right)\left(\frac{p_{i}}{P}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}\right)+h_{i}\left(\frac{Y}{p_{i}q_{i}}\left\{\frac{P}{Y}\frac{\partial Y}{\partial P}\right\}\frac{p_{i}}{P}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}-\frac{Y}{p_{i}q_{i}}\frac{p_{i}}{P}\frac{\partial P}{\partial p_{i}}\right) \\

=-1+\frac{b_{ii}}{\omega_{i}}+w_{i}(1+\varepsilon)+h_{i}\left(\frac{(1+\varepsilon)w_{i}}{\omega_{i}}-\frac{w_{i}}{\omega_{i}}\right) \\

=-1+\frac{b_{ii}+h_{i}\varepsilon w_{i}}{\omega_{i}}+w_{i}(1+\varepsilon) $$

と表すことができる。ここで，市場の価格弾力性（の絶対値）をεとすれば，価格に関する総支出の弾力性は， $ \frac{\partial Y}{\partial P}\frac{P}{Y}=\left(P\frac{\partial Q}{\partial P}+Q\right)\frac{P}{PQ}=\frac{P}{Q}\frac{\partial Q}{\partial P}+1=1+\varepsilon $ と計算できることを使っている。また，ブランドiの価格に関する平均価格の弾力性は，Stone indexより，

$ \frac{\partial P}{\partial p_{i}}\frac{p_{i}}{P}=\frac{d\ln P}{d\ln p_{i}}=w_{i} $ と計算できることを使っている。

なお，PCAI DS では，所得効果を無視していることから，ブランド i の自己弾力性は上記の式において $ h_{i}=0 $ という制約を置いた式になる。すなわち， $ \varepsilon_{ii}=-1+\frac{b_{ii}}{\omega_{i}}+w_{i}(1+\varepsilon) $ 。

## (2) ブランド i のブランド j の価格に関する交差弾力性の導出

自己弾力性と同様に， $ \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}=\frac{b_{ij}}{p_{j}}\frac{Y}{p_{i}}+\frac{\omega_{i}}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{j}}+h_{i}\left(\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{j}}-\frac{Y}{P}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial P}{\partial p_{j}}\right) $ であることを使うと，交差弾力性は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned}&\mathcal{E}_{ij}=\frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{p_{j}}{q_{i}}=\left(\frac{b_{ij}}{p_{j}}\frac{Y}{p_{i}}+\frac{\omega_{i}}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{j}}+h_{i}\left(\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{j}}-\frac{Y}{P}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial P}{\partial p_{j}}\right)\right)\frac{p_{j}}{q_{i}}\\ &=\frac{b_{ij}}{\omega_{i}}+\frac{p_{i}q_{i}}{Y}\frac{1}{p_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{j}}\frac{p_{j}}{q_{i}}+h_{i}\left(\frac{p_{j}}{p_{i}q_{i}}\frac{\partial Y}{\partial p_{j}}-\frac{Y}{P}\frac{p_{j}}{p_{i}q_{i}}\frac{\partial P}{\partial p_{j}}\right)\\ &=\frac{b_{ij}}{\omega_{i}}+\left(\frac{P}{Y}\frac{\partial Y}{\partial P}\right)\left(\frac{p_{j}}{P}\frac{\partial P}{\partial p_{j}}\right)+h_{i}\left(\frac{Y}{p_{i}q_{i}}\left(\frac{P}{Y}\frac{\partial Y}{\partial P}\right)\left(\frac{p_{j}}{P}\frac{\partial P}{\partial p_{j}}\right)-\frac{Y}{p_{i}q_{i}}\left(\frac{p_{j}}{P}\frac{\partial P}{\partial p_{j}}\right)\right)\\ &=\frac{b_{ij}}{\omega_{i}}+w_{j}(1+\mathcal{E})+h_{i}\left(\frac{(1+\mathcal{E})w_{j}}{\omega_{i}}-\frac{w_{j}}{\omega_{i}}\right)=\frac{b_{ij}+h_{i}\mathcal{E}w_{j}}{\omega_{i}}+w_{j}(1+\mathcal{E})\\ \end{aligned} $$