Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
ベクトル $ \mathbf{f}^{JPX}=\left(\mathbf{f}^{JDX}\quad\mathbf{0}\quad\mathbf{0}\right)^{\prime} $ を定義する。先と同様に、 $ \mathbf{f}^{JPX} $ を用いて式(26)を求めると、式(27)のプロック行列が得られる。それを式(28)のように集約すると行列 $ \mathbf{T}^{JPX}=\left(t_{ij}^{JPX}\right) $ を導くことができる。

$$ \mathbf{N}^{JPX}=\hat{\mathbf{d}}\mathbf{A}\Big(\mathrm{diag}\big(\mathbf{I}\cdot\mathbf{A}\big)^{-1}\mathbf{f}^{JPX}\Big) $$

$$ \mathbf{N}^{JPX}=\left(\begin{aligned}\mathbf{N}_{11}^{JPX}&\quad0\quad\mathbf{N}_{13}^{JPX}\\ 0&\quad0\quad0\\ \mathbf{N}_{31}^{JPX}&\quad\mathbf{N}_{32}^{JPX}\quad\mathbf{N}_{33}^{JPX}\end{aligned}\right) $$

$$ \mathbf{T}^{JPX}=\left(\begin{aligned}\mathbf{N}_{33}^{JPX}&\quad\left(\mathbf{N}_{31}^{JPX}\mathbf{i}^{JD}+\mathbf{N}_{32}^{JPX}\mathbf{i}^{JI}\right)\\ \left(\mathbf{i}^{JD}\right)^{\prime}\mathbf{N}_{13}^{JPX}&\quad0\end{aligned}\right) $$

この時、MRIO（Multiregional input-output model）の特性から、式(28)のブロック行列$\mathbf{N}_{13}^{JPX}$ は日本の輸出需要$\mathbf{f}^{JPX}$ によって誘引された日本の輸出に伴うレアメタル移動量を示す。つまり、$\mathbf{f}^{JPX}$ により追加的な輸出を計算する。この追加的な輸出量の総量を$\boldsymbol{\alpha}=\left(\mathbf{i}^{JD}\right)^{\prime}\mathbf{N}_{13}^{JPX}\mathbf{i}^{G}$ とする。一方、既に式(25)から国内最終需要$\mathbf{f}^{JPD}$ により誘発される日本の輸出量$\left(\mathbf{i}^{JD}\right)^{\prime}\mathbf{N}_{13}$ が求められている。いま、この輸出量を$\boldsymbol{\beta}=\left(\mathbf{i}^{JD}\right)^{\prime}\mathbf{N}_{13}\mathbf{i}^{G}$ とする。しかし、実際には日本の輸出に伴うレアメタルの移動量は$\sum_{k}\sum_{j}\overline{{t}}_{231,j}^{(k)}=\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}$ であり、この量には原理的に$\boldsymbol{\beta}=\left(\mathbf{i}^{JD}\right)^{\prime}\mathbf{N}_{13}\mathbf{i}^{G}$ が含まれている。そのため、$\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}-\boldsymbol{\beta}$ が実際の輸出需要に伴う日本からのレアメタル移動量となる。式(28)による日本の輸出需要に伴う国際的なレアメタルフロー $\mathbf{T}^{JPX}$ は、日本から移動量が$\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}$ に加えて$\boldsymbol{\alpha}=\left(\mathbf{i}^{JD}\right)^{\prime}\mathbf{N}_{13}^{JPX}\mathbf{i}^{G}$ も含めた量に基づいている。そのため、$\mathbf{T}^{JPX}$ を式(29)のように移動量を$\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}-\boldsymbol{\beta}$ に基づくように補正を行った。

$$ \overline{\mathbf{T}}^{JPX}=\mathbf{T}^{JPX}\times\frac{\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}-\boldsymbol{\beta}}{\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}+\boldsymbol{\alpha}} $$

この $ \overline{T}^{JPX} $ と $ \mathbf{T}^{JPD} $ の和を $ \mathbf{T}^{JP}=\left(t_{ij}^{JP}\right)=\mathbf{T}^{JPD}+\overline{\mathbf{T}}^{JPX} $ とすると、 $ t_{ij}^{JP} $ は世界全体のレアメタルフロー $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ から抽出された日本の最終需要に起因するレアメタルフローを示し、日本経済が直接間接的に依存するレアメタルの国際フローと理解することができる。なお、 $ t_{ij}^{JP} $ による日本へのレアメタル輸入量 $ \sum_{i}t_{i,231}^{JP} $ と先に推計した国際マテリアルフロー分析による日本へのレアメタル輸入量との
$ \sum_{k}\sum_{i}\overline{t}_{i,231}^{(k)} $ との差は約±2％と小さく、国際マテリアルフロー分析の結果との整合性は担保されていることを確認している。

#### 3.2.2 GLIO を用いた日本の最終需要が誘引するレアメタル採掘量の算定

日本の国内最終需要が誘発するレアメタルの国 $p$ の採掘量 $g_{p}^{JPD}$ を求めるには、まず式(30)により各国のレアメタル生産量 $\tilde{\mathbf{X}}^{G(JPD)}$ を算定する。次に、国 $q$ の生産量に対する採掘量の割合を要素とする行ベクトル $\mathbf{r}^{G}=\left(r_{q}\right)$ を式(31)のように得られた生産量に乗じることで、$g_{q}^{JPD}$ を要素とするベクトルを $\mathbf{g}^{JPD}=\left(\mathbf{g}_{q}^{JPD}\right)$ 算定する。

$$ \begin{pmatrix}\mathbf{x}^{JD\left(JPD\right)}\\\mathbf{x}^{JI\left(JPD\right)}\\\tilde{\mathbf{x}}^{G\left(JPD\right)}\end{pmatrix}=\left(\mathbf{I}\cdot\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{f}^{JPD} $$

$$ \mathbf{g}^{J P D}=\hat{\mathbf{r}}^{G}\tilde{\mathbf{x}}^{G\left(J P D\right)} $$

一方、輸出需要に伴う採掘量を算定する場合は、式(29)と同様に生産量を調整する必要がある。そのため、まず、式(32)により輸出需要による生産額を求め、それを式(33)による補正を行って採掘量を決定する必要がある。

$$ \begin{pmatrix}\mathbf{x}^{JD\left(JPX\right)}\\\mathbf{x}^{JI\left(JPX\right)}\\\tilde{\mathbf{x}}^{G\left(JPX\right)}\end{pmatrix}=\left(\mathbf{I}\cdot\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{f}^{JPX} $$

$$ \mathbf{g}^{JPX}=\hat{\mathbf{r}}^{G}\tilde{\mathbf{x}}^{G\left(JPX\right)}\times\frac{\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}-\boldsymbol{\beta}}{\mathbf{d}^{JD}\mathbf{f}^{JPX}+\boldsymbol{\alpha}} $$

### 3.3 各国の特性に着目した国際レアメタルフローの構造評価

3.2 で求めた日本の最終需要が誘引するレアメタルのフローや採掘量に対して、各国の特性を考慮して評価する方法論の開発を行った。

#### 3.3.1 各国の経済的・政治的リスクに着目した国際レアメタルフローの特性評価

式(25)により日本の国内最終需要が誘引する国際レアメタルフローが$\mathbf{T}^{JPD}=\left(t_{ij}^{JPD}\right)$として得られ
れる。本研究では、この移動量 $ t_{ij}^{JPD} $ に対して輸出国iに関するリスク指標 $ \eta_{i} $ （リスクが高いほど数値が大きい）を用いてフローを重み付けすることで、リスクを加味したフローの特性を評価した。特に、貿易に関わるリスクに着目し、Fraser InstituteによるEconomic freedom of the worldの値の逆数を偏差値に換算した値を $ \eta_{i} $ に適用した。

重みづけは、式(34)のようにフローの大きさとリスクが1対1の重みとなるように、国ij間の移動量を世界全体のフローに占める割合（%）に変換し、各国のリスク指標も世界全体に対する割合（%）に変換して乗じることで、リスクを加味したフロー$\rho_{ij}^{JPD}$を計算した。更に、式(35)のように$\rho_{ij}^{JPD}$を世界全体のリスク換算されたフロー量で除することで、世界全体のリスクに対する$\rho_{ij}^{JPD}$の割合$\rho_{ij}^{JPD}\left(-\right)$を求め、異なるレアメタル間でのリスクの比較を可能にした。$\rho_{ij}^{JPD}\left(-\right)$を国ijについて集計することで、日本の国内最終需要が誘引するレアメタルのフローに関するリスクが世界の何%に相当するかを知ることができる。

$$ \rho_{ij}^{JPD}=\frac{100\times t_{ij}^{JPD}}{\sum_{j}\sum_{i}\sum_{k}\overline{t}_{ij}^{(k)}}\times\frac{100\times\eta_{i}}{\sum_{i}\eta_{i}} $$

$$ \rho_{ij}^{JPD}\left(-\right)=\rho_{ij}^{JPD}\left/\sum_{j}\sum_{i}\sum_{k}\left(\frac{100\times\overline{t}_{ij}^{(k)}}{\sum_{j}\sum_{i}\sum_{k}\overline{t}_{ij}^{(k)}}\times\frac{100\times\eta_{i}}{\sum_{i}\eta_{i}}\right.\right. $$

一方、式(31)より求められる日本の最終需要が誘引するレアメタル採掘量 $ g_{p}^{JPD} $ についても、採掘国のリスクを加味した評価を行った。採掘国pのリスク指標 $ \eta_{p} $ と採掘量の重みを1対1とするため、式(36)のように世界全体に対する割合（%）に換算して $ g_{p}^{JPD} $ と $ \eta_{p} $ を乗じて、リスクを加味した採掘量 $ u_{p}^{JPD} $ を算定した。また、式(37)より $ u_{p}^{JPD} $ を世界全体に対する割合 $ u_{p}^{JPD}\left(-\right) $ に換算した。 $ \upsilon_{p}^{JPD}\left(-\right) $ を国pについて集計することで、日本の国内最終需要が誘引するレアメタル採掘に関わるリスクが世界の何%に相当するかを知ることができる。

$$ v_{_{p}}^{^{JPD}}=\frac{100\times g_{_{p}}^{^{JPD}}}{\sum_{_{p}}g_{_{p}}}\times\frac{100\times\eta_{_{p}}}{\sum_{_{i}}\eta_{_{p}}} $$
$$ \nu_{p}^{J P D}\left(-\right)=\nu_{p}^{J P D}/\sum_{p}\left(\frac{100\times g_{p}}{\sum_{p}g_{p}}\times\frac{100\times\eta_{p}}{\sum_{i}\eta_{p}}\right) $$

#### 3.3.2 各国の科学技術・社会システムレベルに着目した国際レアメタルフローの特性評価

商品 k に含まれたレアメタル $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ は、i 国で生産されて j 国へ移動し、j 国内で消費されるか、または更に加工され他国へ輸出される。本研究では、この 2 国間における商品 k に関するレアメタルの物質利用効率（Material Use Efficiency）に焦点を当てた特性評価を行った。物質利用効率とは、原材料の消費量に対する原材料の有効利用量であり、副産物の再生利用と廃棄物の発生抑制の高さを示す。物質利用効率が低い場合は、製品にならず、再利用もされずに経済社会に埋もれるレアメタルが増え、採掘量の増大を招き、レアメタル利用の持続可能性を著しく低下させる。

いま、商品 k を輸出する i 国は、生産技術レベルが高く、使用したレアメタルと無駄なく製品に利用することができる世界の中でも物質利用効率の高い国と仮定する。一方、商品 k を輸入する j 国も、生産技術レベルが高く、レアメタルを含む商品 k を無駄なく、利用することができると仮定する。また j 国は、商品 k を消費する場合でも、携帯電話のような使用済み製品から資源を回収する高い技術レベルを有することに加え、社会から回収することができる高度な社会システムの構築と実装が可能な国であり、総じて高い物質利用効率を実現できる国とする。この場合、国 i と j を移動するレアメタルは高い物質利用効率に基づき生産され、高い物質利用効率で消費されるため、その移動量 $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ の 2 国間を通じた物質利用効率は最も高く、レアメタルの持続可能性を高めると考えられる。

では、輸出国 i または輸入国 j のどちらかが、高い技術・社会システムレベルを持たない場合、すなわち低い技術・社会レベルである場合を考える。輸出国 i が低い技術レベルである場合、レアメタルの移動量 $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ は低い物質利用効率で生産されてしまう。その後、高い技術レベルを持つ輸入国 j において高い物質利用効率で適切に利用されたとしても、移動量 $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ の 2 国間を通じた物質利用効率は中程度となり、両国共が高い技術・社会レベルである場合に比べて劣る。

逆の場合も同様である。輸出国iが高い技術を持ち、高い物質利用効率で商品kを生産する。それを技術レベルの低い輸入国jで利用する場合は、効率が悪い、または使用した後の製品の回収や資源の再生が出来ず、物質利用効率が低い。したがって、移動量 $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ の2国間を通じた物質利用効率は、両国共が高い技術・社会レベルである場合に比べて劣る。しかし、先の輸入国が低い技術レ
ベルである場合との一般的な優劣を付けることは困難であり、本研究では同等と見なす。

最後のパターンは、輸出国 i、輸入国 j の共に生産技術・社会システムレベルが低い場合であり、移動量 $ \overline{{t}}_{ij}^{(k)} $ の 2 国間を通じた物質利用効率は最も低くなる。これは、採掘量の増大を誘引し、資源利用の持続可能性を著しく低下させることが懸念され、早急に輸出国 i、輸入国 j の商品 k を扱うための生産技術・社会システムレベルを上げることが必要とされる。

本研究では、上述のような2国間を通じた物質利用効率の潜在的な違い（高、中、低）に着目し、国際的移動する商品kの特性化を行い、優先的に生産技術・社会システムレベルの改善を国際的に協働して進めていくべき貿易商品を同定した。

特性化は次のように行う。レアメタル移動が生産技術・社会システムレベルの共に高い国（H）i、j間で生じる場合（ $ i \in H, j \in H $ ）、その移動量 $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ をGreen flowと称する。一方、輸出国または輸入国の何れかの生産技術・社会システムレベルが低い（L）場合は（ $ i \in H, j \in L $ or $ i \in L, j \in H $ ）、その移動量 $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ をYellow flowと呼ぶ。最後に、生産技術・社会システムレベルが低い国i、j（ $ i \in L, j \in L $ ）間の移動量 $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ をRed flowと定義する。式(38)-(40)により、商品kに全ての国i、j間を対象に $ \overline{t}_{ij}^{(k)} $ を集計し、Green flow、yellow flowおよびred flowの各合計量を算出する。そして、Green flowの最大の場合は、商品kをGreen-flow commodity、yellow flowが最大の場合は、Yellow-flow commodity、Red flowが最大の場合は、Red-flow commodityと分類した。同値の場合は、安全側を取り低い方の物質利用効率を示す色を付与した。

$$ greenFlow^{(k)}=\sum_{i\in H}^{n}\sum_{j\in H}^{n}\overline{t}_{ij}^{(k)} $$

$$ yellowFlow^{(k)}=\sum_{i\in H}^{n}\sum_{j\in L}^{n}\overline{t}_{ij}^{(k)}+\sum_{i\in L}^{n}\sum_{j\in H}^{n}\overline{t}_{ij}^{(k)} $$

$$ redFlow^{(k)}=\sum_{i\in L}^{n}\sum_{j\in L}^{n}\overline{t}_{ij}^{(k)} $$

各国や地域をレアメタルの利用に関する生産技術・社会システムレベルの高い国または低い国に分類するには、国iにおける商品k中のレアメタルのライフサイクルを通じた物質利用効率を算定し、国iの全世界における相対的な位置付けから判別することが基本である。しかしながら、そうしたレアメタルに特化した技術情報を定量的に評価した入手可能な資料や統計は存在せず、各国の
技術を個別に調査するには多大な人的かつ時間的コストを要する。また、レアメタルを利用・再生する技術は日進月歩であり、技術の潜在的向上を加味して各国を評価することが望ましい。

本研究では、各国の技術レベルを判断する指標として、Klaus Schwab らによる Global Competitiveness Report $ ^{6} $ で主要 144 ケ国について評価されている 100 を超える指標の中から、科学技術に関連する次の 7 つ指標を代用した。 $ ^{[1]} $ Availability of latest technologies、 $ ^{[2]} $ Firm-level technology absorption、 $ ^{[3]} $ Capacity for innovation、 $ ^{[4]} $ Quality of scientific research institutions、 $ ^{[5]} $ Company spending on R&D、 $ ^{[6]} $ University-industry collaboration in R&D、 $ ^{[7]} $ Governmental procurement of advanced tech products. これらの 7 指標の値が全て平均値より高い国を生産技術・社会システムレベルの高い国 (地域) として定義した。定義した 29 の国や地域は次の通りである。Australia、Austria、Belgium、Brazil、Canada、Denmark、Estonia、Finland、France、Germany、Hong Kong、Iceland、Israel、Japan、South Korea、Luxembourg、Malaysia、Netherlands、New Zealand、Norway、Portugal、Puerto Rico、Qatar、Saudi Arabia、Singapore、Switzerland、Taiwan、United Kingdom、United States.

上述の Red flow、Yellow flow、Green flow の区分を日本の国内最終需要が誘引する国際レアメタルフロー $ t_{ij}^{JPD} $ に対して適用することで、日本が依存するレアメタルフローの中から物質利用効率性の低いフローと高いフローを検出することができる。

### 3.4 国際レアメタルフローにおける Hotspot（レアメタル利用が集約的な貿易国群）の検出手法

#### 3.4.1 スペクトラルグラフ理論を利用した国際レアメタルフローのクラスタリング手法

ここでは、Kagawa et al.(2013) $ ^{7} $ で開発したスペクトラルグラフ理論を利用した国際レアメタルフローにおけるクラスタリング手法について述べる。クラスタリングの手法については、Shi and Malik(2000) $ ^{8} $ の手法を応用する。まず、i国からj国へのレアメタルの国際貿易ネットワーク（有向グラフ）を示す行列 $ \mathbf{Q}=\left(Q_{ij}\right)(i,j=1,\ldots,n) $ をi国とj国間のレアメタル貿易の関係度（無向グラフ）を示す隣接行列 $ \mathbf{Q}^{*}=\left(Q_{ij}^{*}\right) $ に変換する。
$$ Q_{ij}^{*}=Q_{ij}+Q_{ji} $$

このとき、国際貿易ネットワークにおける各国（すなわち、ネットワークにおける頂点）の重み付き次数は $ d_{i}=\sum_{j}Q_{ij}^{*} $ として計算できる。本節では、説明の都合上、式(41)で示される無向グラフを繰り返し二分割していくことを考える。ネットワークにおける辺の重みを頂点間（国間）の関係の強さと解釈すれば、ネットワークをAとBという2つのグループに分割する評価基準としては、例えば、グループ間の関係の強さを最小にすることが考えられる。これは切断辺の重みの合計値、つまり同一グループに属さない頂点間の重みの合計値、

$$ Cut(A,B)\nvdash Cut B\ A,=)\sum_{i\in A,j\in B}Q_{ij}^{*}+\sum_{j\in A,i\in B}Q_{ij}^{*} $$

が最小になるような基準である。しかし、式(42)の評価基準を用いると、孤立した1つの頂点がクラスターとして検出されることがよく知られている。そこで上記(21)式の評価基準に加えて、集合Aと集合Bに属するクラスターサイズ $ \sum_{i\in A}d_i $ と $ \sum_{i\in B}d_i $ が最大になる、つまりグループ内の関係の深さが最大になるような条件を与える。すなわち、「グループ間の関係の強さが最小」かつ「グループ内の関係の強さが最大」になるように2つのグループに分割する方法である。この2つの評価基準を満たす指標として、下式(43)に示す基準化切断値を定義し、この値が最小になるような分割問題を考える。

$$ Min.\frac{\sum_{i\in A,j\in B}-q_{ij}^{*}x_{i}x_{j}}{\sum_{i\in A}d_{i}}+\frac{\sum_{j\in A,i\in B}-q_{ij}^{*}x_{i}x_{j}}{\sum_{i\in B}d_{i}}\qquad x_{i}=1\big(i\in A\big),x_{i}=-1\big(i\in B\big) $$

しかしこの問題は NP 困難な問題である。上式(43)の $ \mathbf{x}=(x_{i}) $ を $ \mathbf{y}=\left\{(\mathbf{i}+\mathbf{x})-b(\mathbf{i}-\mathbf{x})\right\} $ と変数変換すると、以下のような式を得られる。ここで i は全ての要素が 1 である単位ベクトルであり、また $ b=\sum_{i\in A}d_{i}/\sum_{i\in B}d_{i} $ である。このとき下式(44)を得ることができる。

$$ \underset{y_{i}=\left\{1,-b\right\}}{\operatorname{Min}}.\frac{\mathbf{y}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{D}-\mathbf{Q}^{*}\right)\mathbf{y}}{\mathbf{y}^{\mathrm{T}}\mathbf{D}\mathbf{y}}=\frac{\sum_{i\sim j}q_{ij}^{*}\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}}{\sum_{i}d_{i}y_{i}^{2}} $$

ここで、Dは重み付き次数 $ d_{i} $ を対角成分に持つ対角行列であり、 $ D-Q^{*} $ はラプラシアン行列と呼ばれている。 $ y_{i} $ を実数値空間上の値と見なすと、式(44)は一般化固有値問題 $ \left(\mathbf{D}-\mathbf{Q}^{*}\right)\mathbf{y}=\lambda\mathbf{D}\mathbf{y} $ のRayleigh商になる。このとき、ラプラシアン行列Lの最も小さな固有値0に対応する固有ベクトルはiであ
るので、(44)式の変数変換の際得られる $ y^{T}Di=0 $ という制約式を満たしつつ、実数値空間上に拡張された式(44)の最小化問題を解くということは、前述の一般化固有値問題から得られる2番目に小さな固有値に対応する固有ベクトル $ \mathbf{y}=(y_{i}) $ を求めることに等しい。つまり、 $ y_{i}\leq0 $ のとき部門 i は集合 A に属し、 $ y_{i}\geq0 $ のとき、部門 i は集合 B に属す。

#### 3.4.2 非負行列因子分解手法を利用したクラスタリング手法

(43)式で示される離散組み合わせ問題を(44)式に示される一般化固有値問題に緩和するときの問題点は、離散的な空間で解をもつはずの $ y_{i} $ を実数値空間上の値と見なすことである。そのため、一般化固有値問題の解を利用したグラフ分割法の精度はあまりよくない。こうした問題を重要視し、Ding et al. (2005) $ ^{9} $ は、(43)式で示される離散組み合わせ問題を下式(45)に示される非負行列因子分解問題へと導いている。

$$ \underset{\mathbf{H}\geq\mathbf{0}}{\mathrm{M i n.}}\quad\left\|\mathbf{D}^{-1/2}\mathbf{G}^{*}\mathbf{D}^{-1/2}-\mathbf{H}\mathbf{H}^{\prime}\right\|_{F}^{2} $$

ここで、$\left\|\bullet\right\|^{2}$ はフロベニウスノルムを示しており、H は内生的に決定される非負行列を氏示している。プライム記号は行列の転置をしめす。非負行列 H は、ネットワーク構成する頂点の数×ネットワークに存在するクラスターの数の次元を持つ。(45)式に示される最小化問題は、

$$ h_{ij}\leftarrow h_{ij}\left(1-\beta+\beta\left(\mathbf{D}^{-1/2}\mathbf{G}^{*}\mathbf{D}^{-1/2}\mathbf{H}\right)_{ij}\Big/\left(\mathbf{H}\mathbf{H}^{\prime}\mathbf{H}\right)_{ij}\right) $$

という繰り返し計算をすることによって求めることができる。 $ ^{10} $ ここで、 $ \beta $ は任意のパラメータであり、 $ 0<\beta\leq1 $ の値ととる。(46)式で得られた行列

$$ \hat{\mathbf{H}}=n\left\{\begin{pmatrix}\hat{\mathbf{h}}_{1}\\ \hat{\mathbf{h}}_{2}\\ \vdots\\ \hat{\mathbf{h}}_{n}\end{pmatrix}\right. $$

の第i行目の $ (K\times1) $ の横ベクトル $ \hat{\mathbf{h}}_{i}(1,\ldots,n) $ は、頂点iの特徴ベクトルと呼ばれており、この特徴ベクトルが類似している頂点の集合がクラスターとなる。本研究では、この類似度を利用したクラス
タリング手法として、K-means 法を利用する。

#### 3.4.3 最適なクラスター数の選定

3.4.1 で定式化された一般化固有値問題の解を利用したクラスタリング法と 3.4.2 で定式化された非負行列因子分解問題の解を利用したクラスタリング法とも基準化切断値が最も小さくなるようなネットワーク分割を求める手法であった。しかしながら、両手法とも最適問題を解く前に、事前にクラスターの数を決めておかなければいけない。つまり、ネットワークを“与えられたクラスターの数”だけ分割するときに基準化切断値が最小となるネットワーク分割を求めるものである。さらには、両問題とも事前に与えられたクラスターの数が大きくなるにつれて基準化切断値の近似解が大きくなるという性質を持っている。両手法とも最適なクラスターを決めるための手法ではないということを注意しなければいけない。そこで本研究では、両手法で得られたクラスター分割の情報を利用して、Newman and Girvan (2004) $ ^{11} $ で提案されているモジュラリティ指標、

$$ Q\big(K\big)=\sum_{i=1}^{K}\big(p_{ii}-q_{i}^{2}\big) $$

を計算し、その値が最大となるクラスターの数を最適なクラスター数とした。ここで、 $ p_{ii} $ は i 番目のクラスターの級内比率（i 番目のクラスターに関する級内合計÷隣接行列の全ての要素の総計）、 $ q_{i} $ は i 番目のクラスターの級間比率（i 番目のクラスターに関する級間合計÷隣接行列の全ての要素の総計）を示す（詳細は Newman and Girvan (2004)）。

### 3.5 国際レアメタルフローの経路解析と視認性の高い可視化手法

構造経路解析 $ ^{12} $ （structural path analysis、SPA）は、近年において産業エコロジー分野において広く用いられている $ ^{13} $ 。SPAを用いることにより、最終需要から環境影響の発生に至る個々の構造経路（例えば、最終需要→乗用車→車体→鋼板→粗鋼→銑鉄、のようにサプライチェーンの一部を遡
及して得られる産業部門の列）を識別することができる。また、SPA をライフサイクルアセスメント（LCA）に適用することにより、1つの数値で表されるライフサイクル全体での環境影響を、それに対する個々の構造経路の寄与へと分解し、より詳細な解釈を与えることができる $ ^{14} $ 。さらに、LCA における環境影響だけでなく、エネルギーや物質の産業間フローの分析を行うためにも、SPA は適用可能である $ ^{15} $ 。

典型的なSPAの応用研究においては、繰返し算法によって多数の構造経路が計算・抽出されるが、少数の構造経路のみについて詳細な解釈が与えられる。その一方で、ほとんどの構造経路は、計算・抽出されるだけで解釈が与えられることはない。しかしながらSPAは、レオンチェフ逆行列（産業連関分析における遡及計算（あるいは、波及効果の計算）のための最も基礎的かつ重要な手法である。サプライチェーン全体を考慮した分析に用いられる）を、サプライチェーンの段階を追って遡及計算を行う手法と見なすことができる。したがって、典型的なSPAの応用研究では利用されないすべての構造経路を系統的に利用することができれば、生産ネットワーク構造を理解するために役立つと考えられる。このような背景から、構造経路に基づく行列分解法（Path-based Matrix Decomposition Analysis、PMDA）と名付けた新しい分析手法を開発した。PMDAにより、複雑な生産ネットワークから重要な部分のみを抽出して簡略化し、図のかたちで可視化することが可能となる。

#### 3.5.1 レオンチェフモデルと誘発された産業連関表

部門数が n の産業連関表データが得られているとする。レアメタルフローをあらわす GLIO の勘定体系においては、部門はわが国における産業部門、および海外の国々に相当する。

$$ \mathbf{T}=\begin{pmatrix}\mathbf{T}_{11}&\mathbf{t}_{12}\\ \mathbf{t}_{21}&t_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{Z}^{0}&\mathbf{y}^{0}\\ \mathbf{v}^{0}&0\end{pmatrix} $$

ここで、$\mathbf{Z}^{0}=\left(Z_{ij}^{0}\right)$ は $n\times n$ の部門間フローをあらわす行列、$\mathbf{y}^{0}=(y_{i}^{0})$ は $n\times1$ の最終需要ベクトル、$\mathbf{v}^{0}=\left(v_{j}^{0}\right)$ は $1\times n$ の天然資源投入ベクトルである。上付き添字「o」は、データとして与
えられたもの（観察されたデータ、observed data）であることをあらわす。また、右下端のゼロは、その位置にはデータがないために長方形の配列ではない産業連関表を、数学的に取り扱いやすい行列にするために追加したものである。ゼロを追加したため、行和・列和の値に影響を与えない点に注意していただきたい。

観察された総供給量・総生産量は $ \mathbf{x}^{0}=(x_{i}^{0})=\mathbf{Z}^{0}\mathbf{i}_{n}+\mathbf{y}^{0} $ により求められる（ここで $ t_{n} $ は、すべての要素が 1 の $ n\times1 $ ベクトルである）。これらのデータを用いて、産業技術をあらわす投入係数行列 $ \mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)=\left(Z_{ij}^{0}/x_{j}^{0}\right) $ と単位直接天然資源投入ベクトル $ \mathbf{d}=\left(d_{j}\right)=\left(v_{j}^{0}/x_{j}^{0}\right) $ を定義する。標準的な産業連関モデルにおいては、1 単位の（最終）需要が直接間接に誘発する天然資源投入量を次のようにして求めることができる。

$$ \mathbf{e}=(e_{j})=\mathbf{d L}=\mathbf{d}(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{A})^{-1} $$

ここで、 $ I_{n} $ は n 次の単位行列であり、 $ \mathbf{L}=(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{A})^{-1} $ はレオンチェフ逆行列である。

最終需要ベクトル $ \mathbf{y}=(y_{i}) $ によって誘発される天然資源の総投入量 $ \varepsilon $ は、次式により求められる。

$$ \varepsilon=\mathbf{e}\mathbf{y}=\mathbf{d}\mathbf{L}\mathbf{y}. $$

また、最終需要ベクトル y によって誘発される生産量ベクトル、部門間フロー行列、直接天然資源投入量ベクトルは、それぞれ x = Ly、Z = A $ \hat{x} $ 、v = d $ \hat{x} $ のように求められる（ここで $ \hat{x} $ は、その第 i 対角要素が $ x_{i} $ であるような $ n \times n $ の対角行列である）。なお、これらはデータとして観察されたものではなく、最終需要ベクトル y によって誘発されたものとしてモデルにより算出されたものであるから、上付き添字「o」を付けていない。以上のように求められた行列・ベクトルを並べて、最終需要ベクトル y によって誘発された産業連関表を次のように定義する。

$$ \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}\mathbf{Q}_{11}&\mathbf{q}_{12}\\ \mathbf{q}_{21}&q_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat{\mathbf{e}}\mathbf{Z}&\hat{\mathbf{e}}\mathbf{y}\\ \mathbf{v}&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat{\mathbf{e}}\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}&\hat{\mathbf{e}}\mathbf{y}\\ \mathbf{d}\hat{\mathbf{x}}&0\end{pmatrix}, $$

ここで $ \hat{e} $ は $ \hat{x} $ と同様にして定義された対角行列である。行列 Q の各要素は、部門間フローを内包されたレアメタル量であらわしたものである。「内包された」量とは、製品を構成している素材としてのレアメタル量だけでなく、その製品のサプライチェーンの川上で使用されたレアメタルの総量をも含む量である。GLIO の勘定体系では国内の産業間フローは政府統計である産業連関表をそのまま用いているため、フロー量は金額で計上されている。それに対して、ここで定義した最終需要ベクトル y によって誘発された産業連関表 Q においては、すべてのフロー量がレアメタルの質量として計上されている。したがって、例えば部門数が十分に小さいなど、行列の非零要素が少
なければ、この行列の要素をそのまま用いて、ネットワーク図やサンキー図 $ ^{16} $ としての可視化に用いることができる。最終需要ベクトルｙによって誘発された産業連関表Ｑは、産業構造分析のための単位構造系 $ ^{17} $ 、物質フロー解析のためのUPIOM $ ^{18} $ と類似の数学的構造を持っている。また、誘発された産業連関表Ｑにおいて、対応する行和と列和の値が等しいこと、すなわち $ u_{n+1}^{T}Q=(Q_{n+1})^{T} $ の成り立つことが、次のようにして確かめられる。

$$ \begin{aligned}&(\mathbf{Q}\mathbf{i}_{n+1})^{\mathrm{T}}=\binom{\hat{\mathbf{e}}\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}\mathbf{i}_{n}+\hat{\mathbf{e}}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\hat{\mathbf{x}}\mathbf{i}_{n}}{}^{\mathrm{T}}=\binom{\hat{\mathbf{e}}(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{y})}{\mathbf{d}\mathbf{x}}{}^{\mathrm{T}}=\binom{\hat{\mathbf{e}}\mathbf{x}}{\varepsilon}{}^{\mathrm{T}}=(({\hat{\mathbf{e}}\mathbf{x})}^{\mathrm{T}}\quad\varepsilon)\text{、}\\&\mathbf{i}_{n+1}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=(\mathbf{i}_{n}^{\mathrm{T}}\hat{\mathbf{e}}\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{d}\hat{\mathbf{x}}\quad\mathbf{i}_{n}^{\mathrm{T}}\hat{\mathbf{e}}\mathbf{y})=(((\mathbf{e}\mathbf{A}+\mathbf{d})\hat{\mathbf{x}}\quad\mathbf{e}\mathbf{y})=(({\hat{\mathbf{e}}\mathbf{x})}^{\mathrm{T}}\quad\varepsilon)\text{、}\\ \end{aligned} $$

ここで、上付き添字 T は行列・ベクトルの転置をあらわす。

#### 3.5.2 構造経路解析

式(51)で与えられる誘発された天然資源の総投入量 $ \varepsilon $ は、サプライチェーンにおける階層ごとに分解して次のようにあらわすことができる。

$$ \begin{align*}\varepsilon&=\mathbf{d}(\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1}\mathbf{y}=\mathbf{d}\mathbf{y}+\mathbf{d}\mathbf{A}\mathbf{y}+\mathbf{d}\mathbf{A}^{2}\mathbf{y}+\mathbf{d}\mathbf{A}^{3}\mathbf{y}+\cdots\\&=\sum_{h\in N}d_{h} y_{h}+\sum_{h、i\in N}d_{i} a_{ih}y_{h}+\sum_{h、i、j\in N}d_{j} a_{ji}a_{ih}y_{h}+\sum_{h、i、j、k\in N}d_{k} a_{kj}a_{ji}a_{ih}y_{h}+\cdots,\end{align*} $$

ただし $ N = \{1, 2, \ldots, n\} $ である。構造経路解析は、この式(54)の分解に基づいて行われる。n 個ある階層 0 の項 $ d_{h}y_{h}\ (h \in N) $ は、最終需要部門による直接天然資源投入量の総投入量への寄与をあらわす。 $ n^{2} $ 個ある階層 1 の項 $ d_{i}a_{ih}y_{h}\ (h, i \in N) $ は、構造経路 $ h \to i $ による天然資源投入量の総投入量への寄与をあらわす。構造経路 $ h \to i $ は、より簡潔に $ \langle h, i \rangle $ と書くこととする。 $ n^{3} $ 個ある階層 2 の項 $ d_{j}a_{ji}a_{ih}y_{h}\ (h, i, j \in N) $ は、同様に、構造経路 $ \langle h, i, j \rangle $ による寄与をあらわす。一般に、階層 r の構造経路 $ p = \langle p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{r} \rangle $ の寄与 $ c_{p} $ は次式で与えられる。

$$ c_{p}=\left\{\begin{aligned}&d(p_{0})y(p_{0})&(r=0)\\ &d(p_{r})a\big(p_{r}、p_{r-1}\big)\cdots a\big(p_{2}、p_{1}\big)a\big(p_{1}、p_{0}\big)y(p_{0})&(r\geq1)\end{aligned}\right. $$
ここで $ d(i)=d_{i} $ 、 $ a(i,j)=a_{ij} $ and $ y(i)=y_{i} $ （ $ i,j\in N $ ）のような記号法を、添字が入れ子になることを避けるために用いている。このようにあらわされた寄与を用いると、式(54)は、

$$ \varepsilon=\sum_{r=0}^{\infty}\sum_{p\in P^{r}}c_{p}=\sum_{p\in P}c_{p}\text{、} $$

のように書き換えられる。ここで $ P^{r}=N^{r+1}=N\times\cdots\times N $ は階層 r のすべての構造経路からなる集合、 $ P=\bigcup_{r=0}^{\infty}P^{r}=\bigcup_{r=0}^{\infty}N^{r+1} $ はすべての階層のすべての構造経路からなる集合をあらわす。

#### 3.5.3 構造経路に基づく行列分解法（Path-based Matrix Decomposition Analysis、PMDA）

式(55)で与えられる寄与 $ c_{p} $ を持つ階層 r の構造経路 $ p=\langle p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{r} \rangle $ に対して、経路行列 $ C_{p} $ を次のように定義する。

● 経路行列 $ C_{p} $ の $ (p_{0}, n+1) $ 要素は寄与 $ c_{p} $ に等しい。

● 経路行列 $ C_{p} $ の $ (j, i) $ 要素は、部門間フロー $ (j, i) $ が構造経路 p の中に t 回あらわれるとき、 $ tc_{p} $ に等しい。

● 経路行列 $ C_{p} $ のその他の要素はゼロ。

このように定義された経路行列について、次式が成り立つ。

$$ \mathbf{Q}=\sum_{p\in P}\mathbf{C}_{p}. $$

左辺の行列 Q （最終需要ベクトル y によって誘発された産業連関表）を経路行列 $ C_{p} $ の和に分解する式(57)(33)は、構造経路に基づく行列分解法 (Path-based Matrix Decomposition Analysis、PMDA)の根幹をなすものである。式(57)(33)の左辺 Q は、その定義式(52)(28)にそって算出することができる。右辺の値は、繰返し算法に基づくSPAを行い、そのうえで経路行列 $ C_{p} $ を定義し、それらの合計として求められる。明らかに、左辺の定義式(28)に基づいて算出する方が計算に係る負荷は小さい。右辺に沿ってPMDAを適用することの利点は、一部の経路のみを抽出することによって発揮される。例えば、分析目的に照らして特定の部門（産業、国や地域など）を経由する構造経路のみを抽出する、ネットワークを簡略化して図のかたちで可視化するために寄与の大きい構造経路のみを抽出する、などである。

式(53)(29)で示した通り、誘発された産業連関表 Q の行和と列和は等しい。この産業間フロー分析における基礎的性質は、PMDA によって一部の経路のみを抽出して経路行列の和を求める場合に
ついても成り立つ。それは、個々の経路行列が、行和と列和が等しいという性質を持つからである。すなわち、可視化などを目的として分析対象システム（部門間ネットワーク）を簡略化して抽出した場合でも、そのシステムは行和と列和が等しいという、産業間フロー分析における基礎的性質を保持している。

個々の経路行列 $ C_{p} $ は、構造経路 p に基づいて定義されており、天然資源の総投入量に対する構造経路の寄与 $ c_{p} $ と関連付けられている。この寄与の合計は総投入量に等しいから、PMDA による部門間ネットワークの簡略化に対して、そのカバー率の指標を抽出された経路の寄与の総和として自然に定義することができる。部門間ネットワークをあらわす産業連関表の要素の和を算出すると、多数の二重計算（ダブルカウント）を含むため、PMDA に基づかない簡略化では、同様のカバー率を定量化することが困難である。カバー率の指標についての PMDA の特徴は、部門間ネットワークのシステム分析に適用する際の、大きな利点と言えよう。

#### 3.5.4 構造経路に基づく国際レアメタルフロー特性の可視化手法

式(52)および(57)であらわされる産業連関表 Q をサンキー図としての可視化する場合には、産業部門や国を、レアメタルフローをあらわす矢印で結び、個々の矢印の太さが産業連関表 Q の要素 $ q_{ij} $ に比例するように作図する。産業連関表 Q の要素 $ q_{ij} $ がゼロのときは矢印を描かない。例えば、式(49)における天然資源投入ベクトル $ \mathbf{v}^{\circ} = \left( v_{j}^{\circ} \right) $ を、産業部門別・国別のレアメタル採掘量とすれば、行列 Q の各要素 $ q_{ij} $ は、部門間・国間フローに内包されたレアメタル採掘量をあらわす。フローの大きさを矢印の太さであらわすことに加えて、各国の特性を考慮した国際レアメタルフローの特性評価の結果を可視化する手法として、矢印の色を活用することができる。例えば、世界の国々を技術水準の高い国々 H と技術水準の低い国々 L に分割する。また、簡単化のため、産業連関表 Q の行および列は国をあらわすものとする。すなわち、 $ H \cup L = N $ 、 $ H \cap L = \emptyset $ である。式(55)で与えられる寄与 $ c_{p} $ を持つ階層 r の構造経路 $ p = \langle p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{r} \rangle $ （ただし $ r \geq 1 $ ）に対して、p が経由する技術水準の低い国の数 $ \ell_{p} $ を次のように定義する。

$$ \ell_{p}=\sum_{i=0}^{r}1\{p_{i}\in L\} $$

ここで、1{A} は定義関数であり、命題 A が真のとき 1、偽のとき 0 である。すなわち、構造経路 $ p = \langle p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{r} \rangle $ の第 i 番目の国 $ p_{i} $ が技術水準の低い国である場合に $ 1\{ p_{i} \in L \} = 1 $ であり、技術水準の高い国である場合に $ 1\{ p_{i} \in L \} = 0 $ である。さらに、二国間レアメタルフロー（国
i から国 j への輸出に内包されたレアメタル採掘量）に関連付けられた、技術水準の低い国の数の平均 $ s_{ij} $ を $ (i, j) $ 要素とする行列 S を次のように定義する。

$$ \mathbf{S}=\left(\sum_{p\in P}\ell_{p}\mathbf{C}_{p}\right)\oslash\left(\sum_{p\in P}\mathbf{C}_{p}\right)=\left(\sum_{p\in P}\ell_{p}\mathbf{C}_{p}\right)\oslash\mathbf{Q} $$

ここで、$\varnothing$ は要素ごとの商をあらわす二項演算子であり、同じサイズの行列 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$、$\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)$ に対して、$\mathbf{A}\oslash\mathbf{B}=\left(a_{ij}/b_{ij}\right)$ をあらわす。すなわち、$s_{ij}$ は、2 か国 $i$、$j$ をこの順で経由する構造経路 $p$ の寄与 $c_{p}$ をウェイトとした、技術水準の低い国の数 $\ell_{p}$ の加重平均をあらわす。例えば、図 10 に示す通り 2 つの構造経路のみがあり、2 つの経路が経由する 4 か国（A、B、C、D）のうち、B と C が技術水準の低い国であり、A と D が技術水準の高い国であるような、仮想的数値例を考える。全体のフローに含まれる二国間レアメタルフローは、

· C→D 経路 1（寄与 50 kg）

· B→D 経路 2（寄与 150 kg）

· B→C 経路 1（寄与 50 kg）

A→B 経路 1（寄与 50 kg）、経路 2（寄与 150 kg）

の４通りである。

図 10 二国間レアメタルフローに関連付けられた技術水準の低い国の数の平均を算出するための仮想的数値例

したがって、行列 S の要素は次のように求められる。

$$ \begin{aligned}&s_{CD}=2\\&s_{BD}=1\\&s_{BC}=2\\&s_{AB}=\frac{2\times50+1\times150}{50+150}=1.25\\ \end{aligned} $$

B から D への（直接の）レアメタルフローは、経路 2 のみによって生じており、その経路は技術水準の低い国を 1 か国しか経由していない。C から D へのレアメタルフローは技術水準の低い国を
2 か国経由する経路 1 のみによって生じている。いずれの場合も、それぞれの経路が経由する低技術水準の国の数が、そのまま二国間フローに関連付けられた低技術水準の国の数となる。それに対して、A から B へのレアメタルフローは、経路 1 および 2 によって生じているため、それぞれの経路が経由する低技術水準の国の数の加重平均として行列 S の要素が定義される。

技術水準の低い国を多く経由する構造経路は、相対的に改善の余地が大きいと解釈できるから、ここで導入した行列Ｓの要素は、各二国間レアメタルフローのあいだの「技術水準の観点から見た優劣」をあらわすと言える。極めて単純化した手法であるため、誤解を招かないようにするための十分な説明が必要ではあるが、改善の余地のある、あるいは改善の余地の大きいフローを同定するために有用と考えられる。特に、二国間レアメタルフローをサンキー図としての可視化する際に、図11のようにフローの大きさ（行列Ｑの要素）を矢印の太さとして、フローに関連する技術水準の低い国の数の平均（行列Ｓの要素）を矢印の色として作図することが可能である。直感的に分かりやすいかたちで結果を示しやすいため、重要なフローに関する気付きを与えることに加えて、専門家でない人々を含めた意見交換の際に有用なツールとなることが期待できる。

ここで導入した手法は、技術水準の低い国の数をあらわす指標としてだけでなく、各国の特性をあらわす様々な指標にも適用可能である。

図 11 二国間レアメタルフローに関連付けられた技術水準の低い国の数の平均（仮想的数値例）を矢印の色により図示した例