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earn either wM or $ \pi_{N}(z_{1}) = (\gamma_{1} + z_{1} - \gamma_{2} - z_{2})M - r(z_{1}) $ depending on whether $ z_{2} \geq z_{1} + \gamma_{1} - \gamma_{2} $ or not. In either case, Firm 1's profit is lower than $ \pi_{T}(z^{M}) $ . Therefore, $ z^{M} $ and technological tying is Firm 1's unrestricted best response to any $ z_{2} $ .

Alternatively, suppose $ \gamma_{2}\leq w<\gamma_{1}+z_{1} $ . Firm 2 would be foreclosed by the component price for $ z_{2}
## 第2章 土地利用の調整の処理状況

## 1 鉱業等に係る行政処分に対する不服の裁定

平成28年度に委員会に係属した不服の裁定事件は、前年度から繰り越された1件と28年度に新たに受け付けた6件の計7件であり、うち4件が28年度中に終結し、3件が29年度に繰り越された（表9）。

表 9 平成28年度に公害等調整委員会に係属した鉱業等に係る土地利用の調整関係事件一覧

事 件 名	受付年月日	終結年月日
鉱業等に係る行政処分に対する不服裁定事件	福岡県筑紫郡那珂川町地内の岩石採取計画不認可処分に対する取消裁定申請事件	H27.11.24	H28.8.30 認容
滋賀県甲賀市信楽町地内の岩石採取計画変更認可処分に対する取消裁定申請事件	28.4.19 28.6.30 28.7.4	29.3.6 取下げ
三重県尾鷲市大字南浦地内の岩石採取計画不認可処分に対する取消裁定申請事件	28.10.27 29.3.30
山形県飽海郡遊佐町吉出字臂曲地内の岩石採取計画不認可処分等に対する取消裁定申請事件	29.2.20
合計	7件	4件

## 2 土地収用法に基づく審査請求に関する意見照会への回答等

平成28年度に委員会に係属した事案は、前年度から繰り越された14件と28年度に新たに受け付けた27件の計41件である。このうち、14件が28年度中に処理され、残りの27件は29年度に繰り越された。なお、28年度に係属した41件は、全て土地収用法（昭和26年法律第219号）に基づく審査請求に関する国土交通大臣からの意見照会への回答事案となっている。

また、平成28年度に新たに受け付けた事案の内訳は、事業認定に関する処分を不服とするものが21件、収用委員会の裁決を不服とするものが6件である。
【2E–1201】気候変動問題に関する合意可能かつ実効性をもつ国際的枠組みに関する研究（H24～H26；累計予算額 67,555 千円）

亀山 康子（独）国立環境研究所）

### 1. 研究实施体制

(1)気候変動問題における国際的合意可能性及び実効性に関する調査研究（(独）国立環境研究所）

(2)気候変動に関する国際枠組みオプションの国際法的研究（名古屋大学）

(3)炭素市場メカニズムの枠組みオプションに関する経済学的研究（兵庫県立大学）

(4) 炭素変動に関する国際交渉過程を踏まえた枠組みオプションに関する研究（(公財）地球環境戦略研究機関）

### 2. 研究開発目的

本研究では、ダーバン・プラットフォームで合意されるべき新たな国際枠組みについて、具体的な枠組みのオプションを提示することを最終的な目的とする。この目的を達成するために、本研究では、特に、交渉に直接的・間接的に携わる国内外の利害関係者（ステークホールダー）の意見を収集し、また、収集した意見を踏まえてステークホールダーと情報共有していく双方向の情報交換のプロセスを重視する。

ダーバン・プラットフォームで目指されている国際枠組みに関しては、「すべての国の参加」と「法的拘束力を伴う」枠組みであること、の2つだけが前提条件として決まっており、それ以外の枠組みの法形式や構造等の具体的なイメージは、交渉会議を経て少しずつ固まっていくことが想定されていた。また、その制度は、長期目標として気候変動影響を最低限度に抑えるに十分な排出削減を実現するだけの実効性が必然的に求められる。既往研究では、トップダウン（厳格な国際法を定めて各国が遵守する）かボトムアップ（各国の自主性を尊重し、それを足し合わせたものが国際的な対応となる）かという二択の議論が主流だったが、両者に長所短所があり、第3の道への工夫が求められている。

この第3の道を模索するために、新しい枠組みの骨格としての法形式を中心にアンケート調査を実施し、この結果を踏まえて、複数のオプション案を作成する。また、オプション案作成の際に重要な構成要素となる排出削減目標、事前協議プロセス、MRV（測定、報告、検証手続き）、資金メカニズム、炭素メカニズム、差異化方法等について、実際の交渉における国の意見の整理や文献調査等によって包括的に検討した。

### 3. 本研究により得られた主な成果

## (1) 科学的意義

今回実施したウェブアンケート調査では、回答者が少ないという点で課題が残るものの、多数の回答が得られることが調査開始当初から期待できないため、国際的に見ても類似の調査は皆無であり、得られた知見には高い関心が寄せられた。また、アンケート調査で得られた知見を専門家に見せて意見を問うという手法を用いたインタビュー調査により、調査で得られた結果に対する信用性が高まった。このようなアンケートとインタビューを組み合わせた手法は、本課題のように、複雑で回答者が得られにくい定性的な結果を求める調査に有用と考えられる。

国際法の観点からは、気候変動対策に関連して生じている、同一主題が複数の国際条約で規律される場合の法的問題について検討し、いわゆる「国際法の断片化」と呼ばれる問題を実証的、理論的に検討し、一つの具体的な事例研究の成果を提供することができた。また、多数国間環境条約や他の分野の国際条約に見られるMRVの制度（報告・審査制度、遵守制度）について検討し、条約義務の実効的な遵守確保を可能にする要因を検討し、条約の履行確保に関する研究成果を提供することができた。経済学的な観点からは、炭素市場メカニズムの制度設計に関して、従来型の理論研究と実践現場とのかい離の縮小を目指し、一部これを達成できた。
さらに、国際交渉において長年、根深い対立点となっている、衡平性あるいは差異化のあり方について、これまでの議論をレビューすると共に最新の動向をとりまとめ、主要交渉グループの交渉ポジションをまとめることができた。また、2020年以降の枠組み構築に向けた2015年合意の位置づけに関するオプションをまとめ、それぞれにおける差異化のあり方についての検討を行うことができた。

## (2) 環境政策への貢献（研究者による記載）

＜行政が既に活用した成果＞

中央環境審議会（環境省）、環境省「気候変動「2020年以降の国際枠組み」に関する検討会」、環境省「気候変動次期枠組みに関するIGES（地球環境戦略研究機関）ワーキンググループ」、産業構造審議会（経済産業省）、総合資源エネルギー調査会（経済産業省）長期需給見通し小委員会、交通政策審議会（国土交通省）、科学技術・学術審議会（文部科学省）、食料・農業・農村政策審議会企画部会地球環境小委員会（農林水産省）等、政府内の各種審議会、委員会等の委員として議論に参画し、本研究成果を基に、気候変動政策の立案に貢献した。

地方自治体においても、兵庫県や神戸市、神奈川県、鎌倉市等の環境審議会において、本研究の成果を踏まえて温暖化防止計画の改定作業に携わった。特に平成26年度には、神戸市の改定部会の委員長、兵庫県のエネルギー政策有識者会議の委員長をそれぞれ務めるなど、自治体レベルでの温暖化対策の審議進展に寄与した。

政策立案に関与する各種ステークホールダーへのインプットという観点からは、自由民主党、民主党、業界団体等を対象として、本研究成果に基づき、気候変動交渉の動向と約束草案について講演を行った。環境省主催「地球温暖化アジア太平洋地域セミナー」などにおいて、本研究成果に基づくプレゼンを行う等、途上国の政策担当者の能力構築に貢献した。

また、「気候変動次期枠組みに関する IGES（地球環境戦略研究機関）ワーキンググループまた、外務省「21世紀東アジア青少年大交流計画（JENESYS）」やJICAトレーニングワークショップにおいて、本研究成果に基づくプレゼンを行う等、途上国の政策担当者の能力構築に貢献した。COP期間中にはサイドイベントを複数主催し、あるいは国際エネルギー機関（IEA）等の国際機関や海外の研究機関が開催するサイドイベント等において発表を行うことを通じ、本研究成果の国際的な発信を行うとともに、日本の気候変動政策研究のプレゼンスを高めることができた。

## ＜行政が活用することが見込まれる成果＞

2015 年 3 月現在、行政の関心事は専ら 2030 年の排出削減目標の水準であるが、いったん水準が決まった後は、全体の国際枠組みの中における排出削減目標の位置付けが ADP 会議での交渉の焦点となることから、COP21 に至る半年余りの間、外務省や環境省の交渉担当官のポジションを議論する際に参照してもらうことが期待される。特に、多数国間環境条約や他の分野の国際条約に見られる MRV の制度（報告・審査制度、遵守制度）について検討し、条約義務の実効的な遵守確保を可能にする要因を検討した、条約の履行確保に関する成果は、気候変動の国際枠組みの強化のみならず他の環境条約の制度構築にも資することが見込まれる。

また、アンケート調査報告書は英文にて公開していること、本研究成果に基づき、各国の INDC の事前協議及び野心度引き上げのプロセス、及びアジアにおける気候資金の現状について、それぞれダーバン・プラットフォーム作業部会（ADP）や資金に関する常設委員会（SCF）に対する意見提出を行ったことから、COP21 以降も引き続き国外のステークホールダーにも本研究成果の影響がインプットされることが期待できる。

京都議定書に続く枠組みがどのようになるかは、国だけでなく自治体の政策にも影響する。たとえば、兵庫県内でも石炭火力の増設が計画されているが、それを国内でオフセットするのは量的に不可能と考えられ、国際的な市場メカニズムの利用が不可避であろう。
### 4. 委員の指摘及び提言概要

政策の形成に直結する研究であり、国際的規模での関係者へのアンケート調査を科学的視点から準備し、実施したことが高く評価できる。COP会議の進行そのものにも貢献しうるのではないかと期待される。ただし、サブテーマ3はより平明な説明による一般への成果の公表を望む。サブテーマ4の分析は交渉動向の取りまとめに終わっている。

### 5. 評点

総合評点：A
# CPRC Discussion Paper Series

# Competition Policy Research Center Japan Fair Trade Commission

需要関数の推定

- C P R C ハンドブックシリーズ No. 3-

北野泰樹

政策研究大学院大学助教授

CPDP-58-J November 2012

1-1-1, Kasumigaseki, Chiyoda-ku, TOKYO 100-8987 JAPAN

Phone:+81-3-3581-1848 Fax:+81-3-3581-1945

URL:http://www.jftc.go.jp/cprc/index.html

E-mail:cprcsec@jftc.go.jp
# 需要関数の推定 $ ^{*} $

北野泰樹

## 1 はじめに

カルテルなどを含む競争状況の評価，合併が市場価格や社会厚生に与える影響の評価など，競争政策の分析を行う場合，対象とする市場の需要動向を知ることが不可欠である。例えば，ある市場で高価格が付いている場合，その原因は，その市場においてカルテルが形成されているためであるかもしれないし，あるいは需要が非弾力的であることが理由である可能性もあるだろう。また，ある市場において合併を認めるか否かを判断する場合，合併に伴う競争の緩和が市場価格に与える影響を評価する必要がある。その場合，需要関数によって特徴付けられる財間の交差弾力性に注目し，両企業の生産する財の市場の範囲を画定した上で，市場価格，さらには社会厚生に与える影響を考察しなければならない。このように，競争政策の評価を行う場合にはまず，需要動向を把握することが必要となる。そして，需要動向を把握するための手段として需要関数の推定を行う方法がある。

ところで，競争政策の分析では，企業行動を分析することが目的であるものの，企業行動に係る情報を十分に収集することは困難である場合が多い。こうした場合でも，企業行動の重要な決定要因の一つである需要動向を需要関数によって明らかにすることが分析の第一歩となり得る。例えば，企業が財を生産する際に要する限界費用は企業行動を理解する上では必要であるが，観察可能なデータから各企業の生産する各財の限界費用を直接観察することは難しいだろう。このような場合，企業行動を定式化し，需要関数の推定結果を用いると，利潤最大化の1階の条件から得られる「価格＝限界費用＋マークアップ」という関係から，観察できない限界費用を導出できる。すなわち，各企業の設定するマークアップはその企業が直面する需要の形状，特に需要の価格弾力性に依存して定まるため，価格から需要関数の推定結果を用いて計算されたマークアップを差し引くことで，観察されていない限界費用を計算できる。ただし，企業行動の定式化を行う上では，企業間の競争形態を仮定する必要がある。ここでいう競争形態とは，完全競争，各企業が生産する財の価格で競争するベルトラン競争，価格ではなく生産量で競争するクールノー競争，また，一部，あるいは全ての企業が価格あるいは生産量を結託して決定するカルテルなどを指している $ ^{1} $ 。

このように，計算された限界費用と推定された需要関数があれば，合併が市場価格に与える影響を定量的に評価できるし，そのほか税や補助金，規制などの政策介入が市場に与える
える影響も評価できる $ ^{2} $ 。ここでは一例として,水平的合併を評価する状況を考えてみよう。合併はこれまで競争相手であった企業が一つの企業となることを意味しているので,合併は市場における競争形態を変化させる。つまり,合併する前の2企業はそれぞれの利潤の最大化を行うと考えられるが,合併後は2企業の共同利潤を最大化する,すなわち結託した行動を可能とするものと考えられる。したがって,事後的に合併の評価を行う場合には,合併がない場合,つまり合併前の各企業がそれぞれの利潤の最大化のみを追求した場合にどのような均衡価格,数量が実現するかを分析すればよい。同様に,事前に合併の評価を行う場合には,これら企業が結託し,共同利潤の最大化を図った場合,どのような均衡価格,数量が実現するかを評価すればよいのである。ここで述べた合併に伴う競争形態の変化に係る影響は競争制限効果と呼ばれるが,合併の評価を行う場合には,競争制限効果だけでなく,合併に伴って生じると考えられるシナジー効果の評価も併せて行う必要がある。シナジー効果の発生する経路の一つは限界費用の減少効果が考えられるので,シナジー効果の評価は導出された限界費用を用いて合併前後でどれだけ限界費用が減少したかを評価すればよい。もちろん,合併前後のシナジー効果の評価を行うことが可能なのは事後評価の場合である。事前評価の場合,どの程度シナジー効果,つまり限界費用の減少効果があれば合併による厚生の改善が認められるかを示すことで,合併の是非を判断するための指標を提供することができる。

また，もし限界費用が観察可能である場合には，競争形態を前提として置くのではなく，需要関数の推定結果を用いてその市場がどのような競争形態かを識別することができる。先ほど説明したように，各企業のマークアップは需要関数の推定結果と競争形態の仮定に依存して定まる。したがって，ベルトラン競争，カルテルなど様々な競争形態の下でのマークアップを計算し，それぞれの限界費用を導出した上で，それらを観察された限界費用と比較を行うことで，市場においてどのような競争形態が実現しているのかを評価することができる。例えば，ベルトラン競争の下で計算された限界費用が観察された限界費用と乖離している一方で，カルテルの下で計算された限界費用が観察された限界費用と近い値を取っていれば，その市場においてはカルテルが形成されている可能性が高いことを意味する。このように，カルテルの発見といった競争政策上の最重要課題の一つである分析においても需要関数の推定は有用なのである³。

さらに，需要関数の推定を行うことで，競争政策を含む様々な政策評価を行う上で欠かせない要素の一つである，消費者余剰の評価を行うことができる。したがって，税や補助金の評価を行う場合，政策導入に伴う消費者余剰の変化を定量的に把握することができる
し，合併やカルテルに伴う競争制限効果が消費者余剰に与える影響について定量的に計算することが可能となる。また，企業の合併の影響を評価する場合には，競争制限効果に加え，合併の結果として生じるシナジー効果として，品質の改善，新製品の導入などのプロダクトイノベーションが伴うこともあるだろう。新製品の導入がどれだけ消費者余剰を改善させたのかを評価することは，競争政策の評価を行う上でも欠かせない。このようなイノベーションの評価を行う場合にも需要関数の分析が適用できる $ ^{4} $ 。

以上のように，需要関数の推定は実証産業組織論の分野で基礎をなす分析ツールとなっており，競争政策を分析する上で欠かせない。本章ではごく初步的な需要関数に係る問題から，幾つかの政策分析で用いられる multi-stage budgeting model，離散選択モデルといった代表的な需要のモデルを説明する。

なお，需要関数の推定については，実証産業組織論の分析手法のサーベイであるAckerberg, Benkard, Berry, and Pakes (2007)，また，競争政策の分析ツールをまとめているDavis and Garces (2009)においても説明がなされている。その他，より最近のサーベイとしてはNevo (2011)が挙げられる。これらのサーベイではある程度の前提知識が要求されているが，本章ではごく基礎的な計量経済分析の方法などの内容も含めて需要関数の推定について説明を行うこととしたい。

次節ではまず，同質財の需要関数のモデルを紹介し，需要関数の推定の際に内生性の問題として知られる計量経済学上の問題を説明し，その解決方法である操作変数を用いた推定方法について説明する。また，多くの産業では同質財ではなく，差別化された財が供給されていることから，第3節では，差別化された財の需要関数の推定とそれに係る問題として知られる $ J^{2} $ 問題を紹介し，第4,5節でそれぞれの問題を解決する代表的な需要モデルとして知られるmulti-stage budgeting model，離散選択モデルについて紹介する。第6節では差別化された財の市場における計量経済分析について，操作変数の選定の問題を中心に説明する。さらに，第7節では，離散選択モデルの拡張について述べ，第8節では離散選択モデルを用いた日本の応用事例として自動車市場における需要関数の推定について説明する。第9節では本章のまとめを述べ，その後に付論が続いている。

## 2 同質財の需要関数

需要関数の推定における最も基礎的なモデルとして，同質財の市場，すなわち消費者が市場の供給者が生産する財には差異がなく，全て共通の品質を持つと認識しているような財を考える。つまり，消費者はどの生産者から財を購入するかは問題とならず，各生産者の生産する財が完全代替となる状況である。

ここではコーヒー豆を同質財と想定した上で，以下のような対数線形のコーヒー豆に対する需要関数を考える。
$$ \ln(Q_{D})=\alpha_{0}+\alpha_{1}\ln(P)+u_{D} $$

上式における $ Q_{D} $ はコーヒー豆の需要量, P はコーヒー豆の価格で, $ u_{D} $ は(研究者にとって)観察できない需要をシフトさせる要素を表し, しばしば需要のショックと呼ばれる。また, $ \alpha_{0}, \alpha_{1} $ は需要関数の形状を決めるパラメータで, $ \alpha_{0} > 0, \alpha_{1} < 0 $ となると考えられる。この需要関数の下で, 1% の価格変化に対する需要量の変化率を表す需要の自己価格弾力性 (own price elasticity) $ \eta_{D} $ は,

$$ \eta_{D}=-\frac{\partial\ln(Q_{D})}{\partial\ln(P)}=-\alpha_{1} $$

となる。よって，(1) 式の推定を行うことができれば，価格の係数として需要の価格弾力性が得られることが分かる。

### 2.1 需要関数の推定に係る問題点

図1は日本における2009年から2010年のコーヒー豆の輸入数量と輸入価格を表している。通常の計量分析の考え方に基づくと，図1において示されている時間を通じて変化している数量，価格のデータを用い，（1）式に最小二乘法を用いて推定を行えばよいと考えられるかもしれない。しかしながら，こうしたデータの下では，特殊なケースを除き，最小二乘法を用いて需要関数の推定を行うことはできない。言い換えると，最小二乘法によって得られる価格の係数は需要の価格弾力性とは乖離してしまうのである。

この点については図2から推察することができる。図2は図1において示されているデータを用いて縦軸に輸入価格，横軸に輸入量をとってプロットし，回帰直線を付したグラフである。この回帰直線の傾きは(1)式を最小二乘法により推定した場合の価格の係数の推定値であり，もし図で示されているデータが需要曲線上の任意の価格と数量の組合せを表しているのであれば，価格の上昇（下落）に対して，輸入量（上昇）は減少するという負の相関を示すはずである。しかしながら，価格の変化と輸入量の変化は負の相関を示しておらず，むしろ右上がり，すなわち価格と数量は正の相関を示している。
図1: コーヒー豆の輸入量, 輸入価格の推移 (2009年-2011年)

（出所）財務省貿易統計から筆者作成。

（注）統計品目番号（HSコード）の最初4ケタが0901となるものの合計。輸入価格は輸入金額を輸入量で除したものである。

図2: コーヒー豆の輸入量, 輸入価格の関係 (2009年－2011年)

（出所）財務省貿易統計から筆者作成。
なぜ，観測されている数量，価格のデータが需要曲線の関係から予測される変動を示していないのだろうか。その理由を理解するために，観察されたデータがどのように発生しているのかを考えてみることとしよう。図3のグラフは通常の需要と供給の関係を表している。当初需要関数はDD，供給関数はSSによって表されているものとしよう。このとき，市場均衡における数量と価格はE点となる。市場で実現する価格と数量は市場均衡におけるものと考えられるので，E点における価格と数量の組合せは図1における一つの観測値となっているはずである。需要曲線や供給曲線は様々な理由でシフトし，その結果新たな価格と数量の均衡に移動する。つまり，図1に示されているような時間を通じた数量，価格が変化は図3のE1，E2，E3，E4のような時間を通じた需要曲線，供給曲線のシフトに伴う均衡の変化を反映しているものと考えられる。

それではなぜ，均衡点の変化として観察されるデータでは最小二乘法により需要関数の推定を行うと問題生じるのだろうか。ここではまず，供給曲線のシフトと需要曲線のシフトがそれぞれ均衡における数量，価格に与える影響を説明し，最小二乗推定量が示す $ \ln(P) $ の係数の推定値が何を示すかを考察しよう。

#### 2.1.1 供給曲線のシフト

供給曲線のシフトは，天候などの供給のショックにより起こり得る。例えば，悪天候などの供給のショックであれば，供給曲線がS'S'にシフトし，均衡点はE1点に変化する。一方，好天候などの供給のショックであれば，供給曲線はS''S''にシフトし，均衡点はE2点に変化するだろう。

図 3: 需要と供給
図3から明らかなように，もし需要曲線が時間を通じてシフトせず，供給曲線のみが時間を通じてシフトし，その結果として数量と価格の変化が観測されている場合，E，E1，E2に代表される観察される価格と数量の組合せは需要曲線上の各点に対応する。したがって，最小二乘法により，需要曲線の形状を識別することができる。つまり最小二乗推定量として得られる価格の係数の推定値$\hat{\alpha}_{1}$は需要の価格弾力性に一致する。

#### 2.1.2 需要曲線のシフト

通常の市場では，数量と価格の変化は供給曲線のシフトだけでなく，需要曲線のシフトによっても生じているものと考えられる。正の需要のショック（ $ u_{D}>0 $ ）がある場合，需要曲線はD'D'にシフトし，その結果均衡はE4点に変化する。同様に負の需要のショック（ $ u_{D}<0 $ ）がある場合，需要曲線はD"D"にシフトし，均衡はE3に変化する。このとき，観察されるデータは供給曲線上のE，E3，E4点における数量，価格であるので，最小二乘法による推定から得られるのは，需要関数ではなく，供給関数の形状である。

なお，このとき最小二乗法によって得られる価格の係数は明らかに右上がり，すなわち$\hat{\alpha}_{1}>0$ と推定されるだろう。言い換えると，需要曲線のシフトがある場合には，推定される需要の価格弾力性にプラス方向のバイアスが掛かることになる。

また，ここでは供給曲線が変化せず，需要曲線のみがシフトするという状況を考えたが，現実のデータは需要曲線，供給曲線の双方が様々な要因からシフトし，均衡における数量，価格が変化したものが観測されていると考えられる。いずれにせよ，需要曲線のシフトの結果として起こる均衡価格，数量の変化がある場合，最小二乘法によって得られる価格の係数は需要の価格弾力性に正のバイアスが生じることになる。図2で記されているような右上がりの回帰直線は，日本におけるコーヒー豆の輸入需要曲線のシフトによるプラス方向のバイアスの結果と考えることができるだろう。

#### 2.1.3 数式による表現

最小二乘推定量により，需要関数の推定が可能となるための条件の一つとして，誤差項と説明変数の相関がない，つまり $ Cov(\ln(P), u_{D}) = 0 $ という条件が挙げられる。 $ Cov(\ln(P), u_{D}) \neq 0 $ である場合，最小二乘推定量 $ \hat{\alpha} $ は $ \frac{Cov(\ln(P), u_{D})}{Var(\ln(P))} $ だけ真の値 $ \alpha $ から乖離することが知られている $ ^{5} $ 。2.1.2 節で示したように，正の需要のショック $ (u_{D} > 0) $ は均衡価格
を上昇させるため，通常だと誤差項と価格は正の相関を持つ，つまり $ Cov(\ln(P),u_{D})>0 $ となるため，価格弾力性の推定値 $ \hat{\alpha} $ は過大に推定されてしまうことになる。

この点についてもう少し詳しくみるために，需要関数同様，以下のような対数線形の供給関数を考えてみよう。

$$ \ln(Q_{S})=\beta_{0}+\beta_{1}\ln(P)+\beta_{2}z_{S}+u_{S} $$

$ Q_{S} $ は数量，P は価格， $ z_{S} $ は供給をシフトさせる要因となる変数，例えば地域 i の天候（降雨量）などで， $ u_{S} $ は誤差項で， $ \beta_{0} $ ， $ \beta_{1} $ ， $ \beta_{2} $ はパラメーターである。特に， $ \beta_{1} $ は供給の価格弾力性を表している。

図２で示されているような完全競争市場においては需要と供給は均衡する，つまり

$$ Q_{D}=Q_{S}=Q $$

となると考えられる。したがって，需要関数と供給関数に係る連立方程式を解くと，

$$ \ln(P)=\frac{\alpha_{0}-\beta_{0}}{\alpha_{1}+\beta_{1}}-\frac{\beta_{2}z_{S}}{\alpha_{1}+\beta_{1}}+\frac{u_{D}-u_{S}}{\alpha_{1}+\beta_{1}} $$

が得られる。

ここで，価格と誤差項の共分散について，(2)式を用いて計算すると，

$$ Cov(\ln(P),u_{D})=-\delta_{2}\frac{Cov(z_{S},u_{D})}{\beta_{1}-\alpha_{1}}+\frac{Var(u_{D})}{\beta_{1}-\alpha_{1}}-\frac{Cov(u_{D},u_{S})}{\beta_{1}-\alpha_{1}} $$

なお，天候などの気象条件は需要や供給のショックとは独立であると考えられるため，

$$ Cov(z_{S},u_{D})=Cov(z_{S},u_{S})=0 $$

とすることができる。よって，(3)式は，

$$ Cov(\ln(P),u_{D})=\frac{Var(u_{D})}{\beta_{1}-\alpha_{1}}>0 $$
となることが分かる。したがって， $ \ln(P) $ の係数の推定量 $ \hat{\alpha}_{1} $ には上方のバイアスが掛かることになる。このようなバイアスを同時性バイアス（Simultaneity Bias）という。

なお， $ \ln(P) $ は需要と供給のモデルにおける同時方程式の解として内生的に定まるので，内生変数(endogenous variable)と呼ばれ，それに対し， $ z_{S} $ は外生変数(exogenous variable)と呼ばれる。

### 2.2 推定方法

以上で示したように，需要関数の推定を通常の最小二乘法を用いて行うことはできない。本節では，内生性の問題に対処する代表的な推定方法である操作変数法，2段階最小二乘法及び一般化最小二乘法を紹介する。

#### 2.2.1 操作变数法（Instrumental Variable Method）

内生性の問題がある場合, 以下の二つの性質を満たす操作変数 (Instrumental Variable) z を用いることで, 需要の価格弾力性を表す $ \alpha_{1} $ の推定値を得ることができる。

1. Instrument exogeneity : 誤差項との相関が無い $ (Cov(z, u) = 0) $

2. Instrument relevance : 内生変数xとの相関が非ゼロ $ (Cov(z,x) \neq 0) $

・ Corr(z,x)⁶はなるべく大きい方が望ましい。Corr(z,x)が小さい場合，Weak Instrument の問題が生じ，内生性の問題によって生じるバイアスが増幅してしまう可能性があることが知られている。(付論参照)

コーヒー豆の需要の例で考えると操作変数の候補としては，天候（降雨量）といった供給曲線をシフトさせる変数 $ z_{S} $ が挙げられる。 $ z_{S} $ は供給曲線をシフトさせる変数であるため，明らかに価格と相関がある $ \left(\mathrm{Cov}(z_{S},\ln(P))>0\right) $ と考えられる一方，コーヒー豆産地の降雨量は我が国におけるコーヒーの需要とは相関しない $ \left(\mathrm{Cov}(z_{S},u_{D})=0\right) $ と考えられるからである。

操作変数 $ z_{S} $ と (1) 式における被説明変数である $ \ln(Q) $ との共分散をとると,

$$ Cov(z_{S},\ln(Q))=\alpha_{1}Cov(z_{S},\ln(P))+Cov(z_{S},u_{D}) $$

が得られる。操作変数の満たす二つの性質より，需要の価格弾力性は，以下のように導くことができる。

$$ \alpha_{1}=\frac{Cov(z_{S},\ln(Q))}{Cov(z_{S},\ln(P))} $$

このとき，モーメント法を用いて $ Cov(z,y) $ ， $ Cov(z,x) $ を標本共分散に置き換えると，以下の操作変数推定量（IV Estimator, IVE）を得ることができる。
$$ \hat{\alpha}_{1}=\frac{\sum_{t}(z_{St}-\bar{z}_{S})\left(\ln(Q_{t})-\overline{\ln(Q)}\right)/T}{\sum_{t}(z_{St}-\bar{z}_{S})\left(\ln(P_{t})-\overline{\ln(P)}\right)/T} $$

ここで，t は市場（あるいは時間）を表すインデックスで，T は観測数を表す。また， $ \bar{a}=\sum_{t}a_{t}/T $ ，つまりサンプルの平均を表している。このように，操作変数を用いて推定を行う方法を操作変数法と呼ぶ $ ^{7} $ 。

#### 2.2.2 2 段階最小二乘法 (Two-stage Least Squares, 2SLS)

上記の操作変数法では，操作変数が一つのケースを扱ったが，場合によっては操作変数を複数得られる可能性がある。コーヒー豆の例で考えると，コーヒー豆の産地の天候に加えて，各地の賃金水準なども供給曲線をシフトさせる要因として考えられるだろう。これら供給曲線をシフトさせる変数を $ z_{S1} $ ， $ z_{S2} $ とする。先ほどの説明同様， $ z_{S1} $ ， $ z_{S2} $ は操作変数としての条件を満たすものとする。このように，（一つの内生変数に対して）操作変数が二つ以上あるケースでは，2段階最小二乘法（Two-stage Least Squares，以下2SLS）を用いた推定により， $ \alpha_{1} $ の一致推定量を得る。

2SLS による推定のプロセスは以下のとおりである。

1. First Stage Regression: まず，内生変数を外生変数（操作変数を含む）について回帰し，

$$ \ln(P)=\pi_{0}+\pi_{1}z_{S1}+\pi_{2}z_{S2}+\nu $$

推定結果を用いて $ \ln(P) $ の当てはめ値（fitted value）

$$ \widehat{\ln(P)}=\widehat{\pi}_{0}+\widehat{\pi}_{1}z_{S1}+\widehat{\pi}_{2}z_{S2} $$

を計算する。

2. Second Stage Regression: (1) 式における内生変数 $ \ln(P) $ を $ \widehat{\ln(P)} $ に置き換えて最小二乘法を行う。

$$ \ln(Q)=\alpha_{0}+\alpha_{1}\ln(P)+\alpha_{2}z_{D}+u_{D} $$
$$ \ln(Q)=\alpha_{0}+\alpha_{1}\widehat{\ln(P)}+u_{D} $$

このとき，$\widehat{\ln(P)}$ は外生変数 $z_{S1}, z_{S2}$ の線形結合として表されているため，誤差項 $u_{D}$ との相関はゼロとなる。よって，この回帰分析で得られる $\alpha_{1}$ においてはバイアスは生じず，需要の価格弾力性を識別することができる。

なお，ここでは内生変数が価格のみである状況を考えたが，場合によっては内生変数が二つ以上あることもあり，以下で紹介する多数財の需要モデルの分析では，実際に内生変数は二つ以上となる事例がある。しかし，内生変数が二つ以上ある場合でも2SLSは適用可能であり，また2段階最小二乘法を実行する手続も大きく変わらない。内生変数が二つある場合には，第1段階で二つの内生変数をそれぞれ被説明変数として，まず外生変数について回帰分析を行う。そして，それらの当てはめ値をそれぞれ計算し，第2段階の推定においてそれらの当てはめ値を説明変数として推定を行えばよい。

また，内生変数が複数ある場合には，少なくとも内生変数の数以上の操作変数を見付ける必要がある⁹。特に以下の差別化された財の推定では場合によっては財の種類以上の操作変数を見付け，また財間の価格の違いを説明できるような操作変数でなければならない¹⁰。したがって，需要関数を推定する際に最も重要なデータ上の問題は，いかに望ましい操作変数を見付けるかといってもよいだろう。第6節でも説明するが，需要関数を推定する際に用いる操作変数は幾つか先行研究によって提示されてはいるものの，どのような操作変数が適当かは対象とする市場の性質によって大きく異なる。よって，需要関数を推定する場合には推定に用いる変数が操作変数としての性質を満たしているか否かについても丁寧に議論しなければならない。

#### 2.2.3 一般化積率法（Generalized Method of Moment, GMM）

需要関数の推定を行っている研究では，多くの場合，2SLSを特殊ケースとして包含する一般化積率法（Generalized Method of Moment。以下「GMM」という。）を用いて推定されることが多い。ここではGMMを用いた推定についての詳細は省略するが，GMMにおいても操作変数を用いた推定を行う必要があるという点においては変わりはない。つまり，いかに適当な操作変数を見付けて分析を行うかが，需要関数の識別において重要な役割を果たす。

なお，第7節の事例分析では，GMMによる需要関数の推定結果を報告する。GMMの詳
細については，Hayashi (2000)，Wooldridge (2010)，Greene (2011) などの計量経済学のテキストを参照。

## 3 差別化された財の需要関数の推定

前節では，財の数が一つのケースを考察したが，現実の市場には全く同じではないが似通った性質を持つ財が複数存在する。先ほどのコーヒー豆の例で考えると，コーヒー豆にはキリマンジャロ，ブルーマウンテンなど，様々な品種が存在する。消費者の多くは，これら品種を全く同じ品質を持つ同質財（homogenous products）ではなく，異なる品質を持つ差別化された財（differentiated products）であると考えているだろう。なぜなら，同質財の場合，それら品種の中でより安い価格のものに需要が全てシフトする，つまり一方の財が他方の財を完全に代替する関係があるのに対し，差別化された財の場合，一方の財の価格の上昇はその財の需要を減少させ，他の財への需要のシフトを起こしはするが，全ての消費者がより安い方の財を選択するわけではないからである。消費者の一部は価格が上昇したとしてもその財を選択し続けることがあり，それら財の間には不完全代替の関係があることになる。

差別化された市場の例は枚挙にいとまがない。第7節で紹介する自動車市場はトヨタのプリウス，日産のマーチ，ホンダのフィットなど，様々なモデルが存在し，もちろん差別化された財の市場を構成しているものと考えられる。むしろ，各社の提供する財・サービスが同質であるような市場は稀なものといってよいだろう。したがって，需要関数の分析を行う場合には，差別化された財の市場の分析を理解することが重要となる。

差別化された財の需要関数の推定では，それぞれの財の価格とそれぞれの財の需要量の関係，さらに，任意の財の価格と他の財の需要量の関係に注目する。つまり，需要の自己価格弾力性（own price elasticity），需要の交差価格弾力性（cross price elasticity）を明らかにすることが需要関数の推定の一つの目的となる。

ここで，市場にはJ種類の差別化された財によって構成されているものと考えよう。このとき，単一財の需要のケース同様，以下の対数線形型の需要関数を考える。

$$ \begin{aligned}\ln(q_{1})&=\alpha_{1}+\beta_{11}\ln(p_{1})+\beta_{12}\ln(p_{2})+\cdots+\beta_{1J}\ln\left(p_{J}\right)+u_{1}\\\ln(q_{2})&=\alpha_{2}+\beta_{21}\ln(p_{1})+\beta_{22}\ln(p_{2})+\cdots+\beta_{2J}\ln\left(p_{J}\right)+u_{2}\\&\vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\\\ln\left(q_{J}\right)&=\alpha_{J}+\beta_{J1}\ln(p_{1})+\beta_{J2}\ln(p_{2})+\cdots+\beta_{JJ}\ln\left(p_{J}\right)+u_{J}\end{aligned} $$

ここで， $ q_{i} $ ， $ p_{i} $ はそれぞれ財iの需要量と価格を表し， $ u_{i} $ は財iに対する需要のシヨックを表す。また， $ \alpha $ ， $ \beta $ は推定するパラメータ一である。特に，
$$ \beta_{ii}=\frac{\partial\ln(q_{i})}{\partial\ln(p_{i})},\beta_{ij}=\frac{\partial\ln(q_{i})}{\partial\ln\left(p_{j}\right)} $$

であり, 財iの需要の自己弾力性, 財jの価格に対する財iの需要の交差弾力性を表している。

### 3.1 差別化された財の需要関数の推定に係る問題点

単一財の需要関数と比較して，差別化された財の需要では財iの需要に対しては財i自身の価格のみに影響を受けるのではなく，財i以外の財の価格にも影響を受けるという点で異なる。そのため，それぞれの財の需要関数の推定についてはJ-1個の交差弾力性を示すパラメーターを追加的に推定する必要が生じる。このとき，自己価格弾力性と交差弾力性を併せて各財についてJ個，つまり全ての財について弾力性の推定を行う場合， $ J^{2} $ 個のパラメーターを推定する必要がある。例えば，財の数が100種ある場合には，10,000個ものパラメーターを推定しなければならない。通常の計量分析においては，サンプルサイズと比して膨大な数のパラメーターがある場合，自由度の問題が生じるため，(4)式のような単純な対数線形型の需要関数の推定を行うことは難しい。このような差別化された財の需要関数の推定における自由度の問題は $ J^{2} $ 問題（ $ J^{2} $ problem）と呼ばれる。

$ J^{2} $ 問題への処置として，差別化された財の需要関数の分析では，財の代替関係に制約を置き，推定の必要のあるパラメータ一の数を減らす方法が採られる。通常，このような代替関係の制約は，需要関数の背後にある効用関数に制約を置くことで対処する。また，幾つかの制約は経済モデルの理論的な帰結として導くことができる。

また，差別化された財の市場では，プロダクトイノベーション，つまり新製品の導入が頻繁に起こる。このような新製品の導入が社会厚生に与える影響は，イノベーション政策の評価などを行う際には重要なトピックである（Trajtenberg (1989), Petrin (2002), Nevo (2003)）ものの，（4）式を用いる需要関数の推定では，新製品導入が市場に与える影響を評価することはできない。ここでも，需要関数の背後にある消費者行動を明らかにし，それを規定する効用関数を推定することで，新製品導入の効果，例えば消費者余剰に与える影響などを定量的に評価することが可能となる。

### 3.2 代表的な需要モデル

これまでの経済学における研究では，以上のような問題を解決する様々な需要モデルが開発されている。代表的な需要モデルとして，標準的な効用最大化の理論に基づいて，財間に直接制約を課す方法と，多数ある財を幾つかの特性あるいは品質（characteristics）の束として，消費者の効用を各財の特性上に定義し，財間の代替関係を特性に依存させる方法がある。本章では，前者の代表的なモデルである AIDS (Almost Ideal Demand System) モデル $ ^{11} $ を伴う Multi-stage Budgeting モデルと，後者の代表的なモデルである離散選択モ
デルを紹介する。

### 3.3 想定するデータ

モデルの説明の前に，本章で想定する利用可能なデータについて述べることとしたい。需要関数の推定する上では,集計データ（aggregate data），あるいは個人データ（individual data）が用いられる。集計データとは，差別化された財の市場においては，各財の販売数量，価格，そして（利用可能であれば）それらの財の特性を表す変数についてのデータを指す。我が国の自動車市場の例で考えると，我が国におけるプリウスなどの各モデルの販売台数，価格，排気量などの特性を表す変数などが集計データとなる。それに対し，個人データとは，ある個人がどの財を選択したかについての情報を含むデータを指す。個人データの場合，その個人が男性か女性か，あるいは所得が幾らかなど，個人の属性についても情報として含まれる。自動車の例で考えると，所得が500万円の男性の消費者がプリウスを購入したといった情報を一つの観測値として含むものが個人データとなる。

集計データを用いた需要関数の分析，個人データを用いた需要関数の分析についてはそれぞれメリットとデメリットがある。個人データの場合，（国勢調査などの全数調査に基づくものでない限り）市場に存在する全ての消費者の情報を収集することは困難であるため，通常，抽出調査となる。したがって，個人データでは市場全体の需要を捉える上では問題が生じることがある。その点，集計データは市場レベルでのデータであるため，市場全体の需要の状況を把握する上では優れている。しかしもちろん，消費者の選択行動は当然個人属性ごとに異なると考えられる。例えば，ある家計がどの車を選ぶかはその家計の所得水準や家族の構成員数といった個人属性の影響を受けるだろう。個人データがある場合，個人属性ごとの選択行動のモデルを定式化し，個人属性ごとの違いを考慮した需要関数の推定が可能である。一方，個人属性について十分に考慮することのできない集計データに基づいて得られる需要関数にはバイアスが生じている可能性がある。このように，どちらのデータが需要関数の推定上，望ましいかは一概には言えないが，データの収集の面から考えると，個人データの収集は通常難しい。よって以降では，比較的データ収集が容易な集計データを用いた需要関数の推定を念頭に置き，説明を行うこととする。

なお，集計データを用いる場合でも人口属性の分布を組み合わせて用いることで，個人属性ごとの選択行動の違いを捉える方法は存在する。例えば，Berry, Levinsohn, and Pakes (1995) は所得分布を用いて所得の違いに応じて価格の感応度（price sensitivity）が異なることを考慮した自動車の選択モデルを定式化している $ ^{12} $ 。また，Nevo (2001) は所得，年齢，（16 歳未満の）子供の有無についての人口属性の分布を用いることで，それら属性ごとに
異なるシリアルの選択行動を定式化している $ ^{13} $ 。以上のような集計データを用いた上で，個人属性ごとの違いを考慮に入れた選択行動の分析は，付論のランダム係数ロジットモデルにおいて説明する。

集計データを用いて個人属性の影響をコントロールする方法を更に追求する研究としては，Petrin (2002)，Berry, Levinsohn, and Pakes (2004) が挙げられる。Petrin (2002) では，これら個人属性の分布の情報に加えて，個人の属性ごとの集計された選択行動に係る情報，例えば，ある所得階層の人が財を購入した割合といった情報を追加的なデータとして用いている。Petrin (2002) はモデルから予想される個人属性ごとの選択行動とこれらデータについての積率条件を推定に追加することで，個人属性ごとに異なる選択行動をより正確に識別することを試みている。Berry, Levinsohn, and Pakes (2004) では，そもそも個人データ，集計データの双方があるケースについて，それら両方を利用して需要関数の推定を行う手法を開発している。

## 4 Multi-stage Budgeting Model

消費者は（可処分）所得の中から様々な財を購入する。そして消費者がどの財を購入するかはそれぞれの財の価格の変化に応じて変動するだろう。先ほど説明したように消費者が選択可能な財の種類は多数存在するため、それぞれの財間の代替の弾力性を制約無しに推定することは困難である。本節ではこうした問題を解消するモデルの一つであるmulti-stage budgeting modelを紹介する。

Multi-stage budgeting model では, 消費者の選択行動を幾つかの段階に分けて記述する。例えば, 第1段階で各消費者は所得の中から食費, 住居費, 衣料費などに予算を割り振り, 第2段階で, 食費の予算の中で米, パン, 醤油などへの予算を割り振る。そして第3段階で, 米の予算の中でササニシキ, コシヒカリなどのブランドへの予算の割り振りを考えるという段階的な構造が考えられる。

このような段階的な構造を表す需要構造は以下に示す分離可能（separable）な効用関数によって表現できる。まず，市場にはJ種類の財が存在し，それぞれの財はG個のグループに分けられ，任意のグループgに所属する財の種類は $ J_{g} $ 個であるとしよう。このとき，効用関数（utility function）は

$$ U=f\left(v_{1}\big(q_{11},\cdots,q_{1J_{1}}\big),v_{2}\big(q_{21},\cdots,q_{2J_{2}}\big),\cdots,v_{G}\big(q_{G1},\cdots,\mathrm{q}_{G J_{G}}\big)\right) $$

と書ける。ここで，$f$ は $v_{1},\ldots,v_{G}$ に関する増加関数であり，$v_{g}$ はグループ $g$ に含まれる財の消費に関する部分効用関数（subutility function）である。なお，$v_{g}$ は $q_{g1},\ldots,q_{gJ_{g}}$ の増
加関数となっている。

以上のような分離可能な効用関数を想定する場合，消費者の直面する問題は，第1段階として所得yの下で各グループにどれだけの予算を割り振るかという問題と，第2段階として第1段階で決まった各グループごとの予算 $ y_{g} $ の下で，グループ内の各財の消費にどれだけ予算を割り振るかという2段階の問題に帰着する。

なお，ここで示した効用関数は2段階の消費構造を表しているが，3段階以上の消費構造も同様に構築することができる。

このような効用関数から導出される需要関数では，各グループ間に所属する財の代替関係はグループごとに定義される集計された価格指数を通じて影響するという構造を持つ。このとき，グループ間の代替関係とグループ内の代替関係のみを明らかにすればよいので，制約のない，全ての財の代替関係を推定するケースと比較して，推定するパラメーターの数を抑えることができる。加えて，以下で説明する差別化された財の推定における代表的な需要モデルの一つである Deaton and Muellbauer（1980a）による Almost Ideal Demand System（AIDS）モデルを用いる場合，各段階で推定する必要のあるパラメーターの数は代替関係に制約を置かないモデルと比較して，約半分程度に抑えることが可能である。

図 4: Multi-stage Budgeting Model

なお，ある特定の差別化された財が存在する市場，例えば家庭用コーヒーの市場を分析することが目的であれば，図４で記されているような段階構造を考えることが多い。図４で記されている構造では，各財をインスタントコーヒー，ドリップコーヒーにグループ分けをした上で，第３段階で各グループに割り振られた予算の中で各グループのどの銘柄の