Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
財をどれだけ消費するかを決定する。そして，第2段階でコーヒーに割り振られた予算の中で，インスタントコーヒーとドリップコーヒーに対する予算を決定し，第1段階で可処分所得の中からどれだけコーヒーに支出するかを決定するという構造となっている $ ^{14} $ 。

### 4.1 第 3 段階

それではまず, 最終段階である3段階目の需要関数の推定から説明しよう。市場tにおけるグループgに所属する財jへの需要を以下のように定式化する。

$$ s_{j t}=\alpha_{j}+\beta_{j}\ln\big(y_{g t}/P_{g t}\big)+\sum_{k=1}^{J_{g}}\gamma_{j k}\ln(\mathsf{p}_{\mathrm{k t}})+\xi_{j t} $$

ここで，$s_{jt}$ はセグメント内総支出 $y_{gt}$ に占める財 $j \sim$ の支出額（支出シェア），つまり，

$$ s_{jt}=\frac{p_{jt}q_{jt}}{\sum_{k=1}^{J_{g}}p_{kt}q_{kt}} $$

であり， $ p_{jt} $ は財 j の価格， $ q_{jt} $ は財 j の販売数量である。また，(6) 式の右辺の変数， $ y_{gt} $ はグループ g への総支出， $ P_{gt} $ はセグメントレベルの価格指数， $ p_{kt} $ は財 k の価格を表している。また， $ (\alpha_{j},\beta_{j},\gamma_{j1},\cdots,\gamma_{jJ_{g}}) $ は推定されるパラメータ一で，γ は特に自己・交差価格弾力性を表している。 $ \xi_{jt} $ は市場 t における財 j 固有の需要のショックなどを表す誤差項である。なお，ここでいう市場とは異なる地域，あるいは異なる時点の市場を指す。

分離可能な効用関数を用いる場合，Deaton and Muellbauer（1980b）が示すように，各セグメントの価格指数は，

$$ \ln\big(P_{gt}\big)=\alpha_{0}+\sum_{k=1}^{J_{g}}\alpha_{k}p_{kt}+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{J_{g}}\sum_{k=1}^{J_{g}}\gamma_{kj}\ln(p_{kt})\ln\big(p_{jt}\big) $$

となる。よって，上式を代入することで，(6)式の推定を実行することができる。しかし，上記の（正確な）価格指数を推定に用いる場合，(6)式はパラメータ一（ $ \alpha_{k} $ ， $ \gamma_{kj} $ ）についての複雑な非線形の回帰式となるため，推定を実行することのコストは大きくなる。よって，実際の分析では，上記の正確な価格指数ではなく，より簡便に分析を行うことを可能とする以下のStone指数（Stone Index）を用いた分析が行われることが多い。
$$ \ln\big(P_{gt}\big)=\sum_{k=1}^{J_{g}}s_{kt}\ln(p_{kt}) $$

Stone 指数は正確な価格指数ではないが，（パラメータ一に依存せずに）観察されているデータから計算できるので，(6)式にStone指数を代入することで線形の回帰式を得ることができる。もちろん，Stone指数は正確な指数とは異なるので，パラメータ一の推定値にバイアスが生じることが懸念されるが，Deaton and Muellbauer（1980a）によると，Stone指数と正確な指数を用いたケース間の推定値の差は小さい。

第3段階の需要モデルでは, $ J_{gt} $ 個の財が存在するため,制約なしに推定を行う場合, $ J_{gt}^{2} $ 個の自己価格弾力性,交差価格弾力性についてのパラメーターが存在することになる。ただし,AIDSモデルでは,標準的な効用最大化の理論から導かれる性質により,以下の三つの条件が成立する $ ^{15} $ 。

• 加法性 (Adding up) : $ \sum_{k=1}^{J_{gt}}\alpha_{k}=1,\sum_{k=1}^{J_{gt}}\beta_{k}=0,\sum_{k=1}^{J_{gt}}\tilde{Y}_{kj}=0,\forall j $

• 同時性 (Homogeneity) : $ \sum_{k=1}^{J_{gt}} \tilde{Y}_{jk} = 0, \forall j $

• 对称性（Symmetry）: $ \gamma_{ij} = \frac{1}{2} (\tilde{\gamma}_{ij} + \tilde{\gamma}_{ji}) = \gamma_{ji}, \forall i, j $

このとき，推定するパラメーターは条件の数だけ減少する。特に，最後の対称性の条件により，推定する自己価格弾力性，交差価格弾力性の数，つまり $ \gamma $ の数は $ \frac{J_{gt}(J_{gt}-1)}{2} $ 個減少することになる。これらのパラメーターに関する制約が効用最大化問題のどのような性質から導出されているかについての詳細は，Deaton and Muellbauer（1980b）を参照。

### 4.2 第2段階

次に，上位のセグメント間（米，パンなど）の需要を決定する第2段階の分析に移る。第3段階と同様に，第2段階でもAIDS型の需要関数を想定することもできるが，ここではHasuman, Leonard, and Zona (1994), Hausman (1996)に倣い，以下の対数線形型の需要関数を想定する。

$$ \ln\big(q_{g t}\big)=\alpha_{g}+\beta_{g}\ln(Y_{R t})+\sum_{k=1}^{G}\delta_{g k}\ln\big(P_{g t}\big)+\xi_{g t} $$
ここで， $ q_{gt} $ は市場 t で販売されたセグメント g に属する財の数量である。また， $ P_{gt} $ は第3段階で定義されたセグメント g に属する財の集合に対応する価格指数で，(8) 式で示される正確な指数，若しくは (9) 式の Stone 指数を用いればよい。 $ Y_{Rt} $ は全てのセグメントでの支出の合計（つまり，J 種類の財に対する支出の合計）である。また， $ (\alpha_{g}, \beta_{g}, \delta_{g1}, \cdots, \delta_{gG}) $ は推定するパラメータ一で， $ \beta_{g} $ はセグメント g 全体の需要に対する所得弾力性， $ (\delta_{g1}, \cdots, \delta_{gG}) $ はセグメント間の自己・及び交差価格弾力性を表している。最後に， $ \xi_{gt} $ はセグメント g に固有の需要のショックなどを表す誤差項である。

### 4.3 第1段階

最後に，第1段階の需要構造は以下のように定式化する。

$$ \ln(Q_{t})=\beta_{0}+\beta_{1}\ln(Y_{t})+\beta_{2}\ln(P_{t})+Z_{t}\delta+\xi_{t} $$

ここで， $ Q_{t} $ は，対象とする J 種類の財の総販売数量で， $ Y_{t} $ は実質所得である。 $ Z_{t} $ は需要関数をシフトさせる変数である。また， $ \beta_{0} $ ， $ \beta_{1} $ ， $ \delta $ は推定されるパラメータ一である。 $ \xi_{t} $ は需要のショックなどを表す誤差項である。

### 4.4 推定について

Multi-stage budgeting model では，各段階で導出された需要関数，(6)，(10)，(11) 式についてそれぞれ推定を行う。推定の際の誤差項はそれぞれ需要のショックなどを表すξであるため，2.1 節での議論と同様に，価格と正の相関を持つものと考えられる。したがって，通常の最小二乘法ではなく，操作変数を用いた推定を行う必要がある。このような差別化された財の需要を推定する場合，複数の内生変数が存在するため，複数の操作変数を選定しなければならない。Multi-stage budgeting model を含め，こうした差別化された財の推定に係る操作変数の選定については第6節で説明する。

## 5 離散選択モデル（Discrete Choice Model）

市場 t には $ J_{t} $ 種類の差別化された財が供給されているものとしよう。

離散選択モデルにおいては，各消費者は自らが直面する選択肢（財）の中から最も高い効用を実現するものを選択する状況を考える。つまり，市場 t において消費者 i が財 j を選んだときの効用を $ u_{ijt} $ とすると，

$$ u_{i j t}\geq u_{i j\prime t},\forall j^{^{\prime}}=0,1,\ldots,J $$

である場合，この消費者は財jを選択することになる。ここで，選択肢0は財を購入しないという選択肢を表しており，アウトサイドオプション（outside option）と呼ばれる。なお，ここでの選択肢とは，各差別化された財であり，第8節で紹介する自動車市場における分
析の場合，プリウスやヴィッツなどの車種を想定している。以下でも，自動車市場における分析を想定して説明を行うこととしたい。

ここで,

$$ u_{ijt}=v_{ijt}+\epsilon_{ijt} $$

としよう。 $ v_{ijt} $ は消費者 i の属性と財 j の品質によって定まる確定項(deterministic term)， $ \epsilon_{ijt} $ は消費者ごと，財ごとにランダムに定まる確率項（random term）と呼ばれる。McFadden（1981）に従うと，確率項は消費者の嗜好の異質性（taste heterogeneity）を表していると解釈できる $ ^{16} $ 。

なお，このような効用関数上に確率項を含むモデルは確率効用モデル（random utility model）と呼ばれる。

特性アプローチでは，効用関数をその財の価格や品質などの関数として捉える。本節で紹介するロジットモデル，入れ子ロジットモデルでは，効用関数上の確定項は以下のように定式化される。

$$ v_{ijt}=\alpha\big(y_{it}-p_{jt}\big)+\sum_{k=1}^{K}\beta_{k}x_{jkt}+\xi_{jt} $$

ここで， $ y_{i} $ は消費者 i の所得， $ p_{jt} $ は財 j の価格で， $ \left(y_{i}-p_{jt}\right) $ は自動車以外の財への支出を表している。したがって， $ \alpha(y_{i}-p_{jt}) $ は自動車以外の財の消費から得られる効用を表している。

なお，αは推定するパラメータで，自動車以外の財の消費から得られる限界効用，あるいは所得の限界効用と呼ぶ。また，ここで導入した効用関数は所得の限界効用が一定，つまり所得効果がない準線形の効用関数を想定している $ ^{17} $ 。所得効果がないクラスの効用関数を用いる場合，所得の違いが財の選択に影響を与えることはない。しかしながら，例として挙げている自動車市場では，所得の違いが車種の選択に大きく影響するため，ここでの定式化は問題があるだろう。例えば，トヨタのレクサスのような高級車は所得の高い人ほど選択する傾向がある財だと考えられるが，この定式化では所得の違いによって選択行動が異なる可能性は捨象されてしまっている。本章の付論では，このような問題を解決する所得効果の存在する効用関数を定式化し，所得の違いが車種の選択に影響を与えることを許容するモデルを紹介する。

また， $ x_{jkt} $ は財 j の馬力や燃費など，品質を表す変数である。ただし，消費者は車のデザ
イン，カラーリングなど，変数として定量的に把握することが困難なもの，あるいは消費者には観察できるが研究者には観察できない品質も勘案した上で車種の選択を行っているだろう。また，その他の（車種ごとに異なる）広告宣伝活動によって生じる需要のショックも消費者の選択に影響を与えると考えられる。 $ \xi_{jt} $ はこのような（研究者にとって）観察できない品質（unobserved characteristics），そして需要のショックを捉える項である。 $ \beta_{1},\cdots,\beta_{K} $ は推定するパラメータ一で， $ \beta_{k} $ は k 番目の品質から得られる限界効用を表している。

ここで, 全ての消費者に共通の財jを選んだときに得られる効用, つまり平均効用 (mean utility) を $ \delta_{jt} $ として, 以下のように定式化する。

$$ \delta_{j t}=-\alpha p_{j t}+\sum_{k}x_{j k t}\beta_{k}+\xi_{j t} $$

離散選択モデルにおいては財間の効用の差に注目しているので，いずれかの財の平均効用を基準化する必要がある。通常，アウトサイドオプションを選んだときに得られる平均効用をゼロ，つまり $ \delta_{0t}=0 $ と基準化する。

### 5.1 ロジットモデル (Logit Model)

ロジットモデルにおいては，$\epsilon_{ijt}$ は独立に同一の第1種極値分布（independently and identically distributed (i.i.d.) type I extreme value distribution）に従うと仮定する。このとき，消費者$i$が財$j$を選択する確率は，

$$ Prob\big(u_{ijt}\geq u_{ij^{\prime}t},\forall j^{\prime}=1,\cdot\cdot\cdot,J_{t}\big)=\frac{e^{\delta_{jt}}}{1+\sum_{l}e^{\delta_{lt}}} $$

と導くことができる。ここで，上式の左辺に注目すると，選択確率は平均効用のみの関数として表現されているため，全ての消費者の選択確率は共通となる。したがって，個人の選択確率は市場全体で財jが選択されている割合，すなわちシェア $ s_{jt} $ と一致するものと考えられる。つまり，

$$ s_{jt}=\frac{e^{\delta_{jt}}}{1+\sum_{l}e^{\delta_{lt}}} $$

となる。このとき，財jに対する需要関数は，

$$ q_{jt}=M_{t}\cdot s_{jt} $$
と書くことができる。ここで， $ M_{t} $ は市場 t に存在する消費者の総数で，市場規模（market size）と呼ばれる。

なお，ここで定義される消費者は潜在的な消費者，つまり財を購入しない（アウトサイドオプション）を選択した者も含まれる。したがって，ここで財jのシェアという場合，通常の総販売数量に対する財jの販売数量ではなく，潜在的なものも含む消費者の総数に対するシェアとなることは留意しておく必要がある。市場規模をどのように定義するかは対象とする産業によって異なる。Berry, Levinsohn, and Pakes (1995)など，自動車市場を分析する場合には家計数を市場規模としている。一方，Nevo (2001)はシリアル市場の分析において，各消費者は最大で1日1杯のシリアルを食べるものと仮定し，期間中の日数と各市場の人口の積を市場規模と定義している。

(17) 式より，ロジットモデルにおける需要の自己価格弾力性，交差価格弾力性は，

$$ \frac{\partial s_{jt}}{\partial p_{rt}}\frac{p_{rt}}{s_{jt}}=\left\{\begin{matrix}-\alpha p_{jt}\big(1-s_{jt}\big)&\text{if}j=r\\\alpha p_{rt}s_{rt}&\text{otherwise}\end{matrix}\right. $$

となる $ ^{18} $ 。

以上で示されているように，ロジットモデルにおいては自己価格弾力性，交差弾力性を導出するのに必要なパラメータ一はαのみとなる。これは，当初 $ J^{2} $ 問題を定義した際には財の数の2乗個ものパラメータ一が存在したことに鑑みると，ロジットモデルでは財の数の多さによらず，わずか一つのパラメータ一を推定すれば価格弾力性を全て導出できるという点は注目すべき結果である。しかし，パラメータ一の数が減るということは，それだけ財の代替関係について強い制約を課していることにほかならない。以下でロジットモデルにおいて生じる問題について説明することとしたい。

#### 5.1.1 ロジットモデルの問題点：無関係な選択肢からの独立性（Independence of Irrespective Alternatives, IIA）

先ほどの価格弾力性の計算式が示すように，ロジットモデルでは財の代替関係について非常に強い制約がかかっている。したがって，対象とする産業によっては，ロジットモデルを用いた需要関数の定式化には問題がある。この点を理解するために，まず適当な2財，例えば財jと財lのシェアの比率を考えてみよう。(16)式を用いると，これら財のシェアの比率は，
$$ \frac{s_{jt}}{s_{lt}}=\frac{e^{\delta_{jt}}}{e^{\delta_{lt}}} $$

となる。この式は，財jとlのシェアの比はこの二つの財の平均効用，つまり品質，価格に依存して定まるということを意味している。したがって，財j，l以外の財rの価格や品質が変化したとしても，これら二つの財のシェアの比は変化しない。このようなロジットモデルの性質は，無関係な選択肢からの独立性(Independence of Irrespective Alternatives, IIA)として知られる。

IIA という性質は, ロジットモデルが財間の代替関係に非常に強い制約を課していることを示している。この点を理解するために, 自動車の例として, 財 j をトヨタのミニバンの代表的なモデルであるエスティマ, 財 l をコンパクトカーの代表的なモデルであるヴィッツであるとしよう。そして, 財 r をホンダの代表的なコンパクトカーであるフィットとして, その価格の上昇するケースを考えよう。フィットの価格の上昇は, 近い品質を持つヴィッツの需要を大きく変化させる一方, 異なる品質を持つエスティマの需要にはあまり影響が与えないと予想できるだろう。しかしながら, IIA という性質, つまり(20) 式で示されているように, エスティマとヴィッツのシェアの比率はそれら財の平均効用の比のみによって表されているため, フィットの価格の上昇はエスティマとヴィッツのシェアの比率には影響しない。フィットの価格の上昇はエスティマとヴィッツの需要を上昇させるが, (19) 式で示されているように, エスティマとヴィッツの需要は同じ比率, $ \alpha p_{r}s_{r} $ だけ変化させるためである。したがって, 対象とする市場によってはロジットモデルを用いる場合, 非現実的な需要構造を表現してしまう可能性があるのである。5.2 節では, こうした IIA の問題を緩和する, つまり, この例で示したようなフィットの価格の変化に対し, ヴィッツとエスティマに対して異なる交差弾力性を持つことを許容する入れ子ロジットモデルを紹介する。

なお，しばしば IIA の問題はロジットモデル固有の問題と解釈されることがあるが，それは正しくない。IIA の問題は $ \epsilon_{ijt} $ が独立に同一の分布（identically and independently distributed。以下「i.i.d.」という。）に従うということに起因している。したがって，ロジットモデル以外，例えば $ \epsilon_{ijt} $ が正規分布に従うとするプロビットモデルにおいても，それが i.i.d. であれば IIA の問題は生じることになる。

#### 5.1.2 推定式

Berry（1994）で示されているように，推定式はそれぞれの財とアウトサイドオプションのシェアの比を対数変換することで導出できる。つまり，（17）式より，

$$ \ln\big(s_{j t}\big)-\ln(s_{0t})=\delta_{j t}=-\alpha p_{j t}+\sum_{k}\beta_{k}x_{j k t}+\xi_{j t} $$
となる。

ここで，被説明変数である $ \ln(s_{jt}) - \ln(s_{0t}) $ は観察されるデータから計算可能であるので，観察できない品質，需要のショックを示す $ \xi_{jt} $ を差項とすれば，(21) 式は通常の線形の回帰式の構造を持つことが分かる。ただし，(21) 式を最小二乘法で推定することはできない。なぜなら，観察できない品質，あるいは需要のショックは価格と相関をもつと考えられるため，内生性の問題が生じていると考えられるからである。よって操作変数を用いた推定を行う必要がある。需要関数の推定の際に用いる操作変数の候補については第6節で詳しく説明することとする。

### 5.2 入れ子ロジットモデル (Nested Logit Model)

前節で示したように，ロジットモデルでは IIA の問題があるため，対象とする市場の需要関数を適切に表現できない可能性がある。そこで本節では，IIA の問題を緩和する方法である入れ子ロジットモデル（Nested Logit Model）を紹介する。入れ子ロジットモデルを用いる場合，まず財を幾つかのグループ（あるいは，入れ子（nest））に分割する。自動車の例で考えると，各モデルをコンパクトカー，ミニバンなどに分けることと対応する。入れ子ロジットモデルでは，財間の交差価格弾力性は，それら財が所属しているグループに依存して定まる構造を持つ。つまり，先ほどの例で考えると，ロジットモデルの帰結とは異なり，フィットの価格が上昇するときに起こるエスティマとヴィッツの需要の変化に違いが生じることを許容するのである。

入れ子ロジットモデルでは，（14）式において $ \epsilon_{ijt} $ が一般化極値分布（Generalized Extreme Value, GEV）に従うと仮定する。GEV は様々なクラスが存在する $ ^{19} $ が，ここでは自動車を例として，図 5 に示されているような，2 段階の選択を表すような需要のモデルを考える。

このとき，財jの選択確率は以下のように導出される。

$$ s_{j t}=s_{j t/g(j)}s_{g(j)t} $$

ここで, $ s_{j/g(j)} $ はグループ $ g(j) $ を選んだときの財 j の条件付き選択確率, すなわちグループ $ g(j) $ 内での財 j のシェアを表す。また, $ s_{g(j)} $ はグループ $ g(j) $ が選択される確率, すなわちグループ $ g(j) $ に所属する財全てのシェアの合計を表している。これらはそれぞれ,
図 5: 選択構造 (Choice Structure)

$$ s_{j t/g(j)}=\frac{e^{\delta_{j t}/\lambda}}{\sum_{l\in g(j)}e^{\delta_{j t}/\lambda}}=\frac{e^{\delta_{j t}/\lambda}}{e^{I_{g(j)t}}}, $$

$$ s_{g(j)t}=\frac{e^{\lambda I_{g(j)t}}}{1+\sum_{g\in G}e^{\lambda I_{gt}}} $$

となる。なお,

$$ I_{g t}=\ln\left(\sum_{l\in g}e^{\delta_{l t}/\lambda}\right) $$

であり，これはグループ g を選んだときに得られる平均効用に対応し，Inclusive value と呼ばれる。

また，McFadden（1978）に示されているように，入れ子ロジットモデルが効用最大化問題と整合的となるにはλは0から1の間を取る必要がある。特に，λ=1の場合には入れ子ロジットモデルは通常のロジットモデルに一致し，所属するグループの違いが代替関係に影響を及ぼすことはなくなる。一方，0＜λ＜1のとき，財の代替関係は所属するグループに依存する。特に，λ→1のとき，グループ間の財の代替は行われない一方，グループ内の財の代替関係は完全代替に近づく。
この点については，価格弾力性の性質から理解できる。入れ子ロジットモデルにおける価格弾力性は，

$$ \frac{\partial s_{jt}}{\partial p_{rt}}\frac{p_{rt}}{s_{jt}}=\left\{\begin{aligned}&-\alpha p_{jt}\left[\frac{1}{\lambda}-\left(\frac{1-\lambda}{\lambda}\right)s_{it/g(j)}-s_{jt}\right]&\text{if}j=r\\ &\alpha p_{rt}\left[\left(\frac{1-\lambda}{\lambda}\right)s_{rt/g(r)}+s_{rt}\right]&\text{if}j\neq r,j\in g(r)\\ &\alpha p_{rt}s_{rt}&\text{otherwise}\end{aligned}\right. $$

と導出できる。右辺第1式は自己価格弾力性，第2式は2財が同じグループに所属している場合，第3式は2財が異なるグループに所属している交差弾力性を表している。よって，2財が同じグループに所属しているか否かで交差価格弾力性の構造が異なることが分かる。また，$\lambda\rightarrow1$ のとき，自己価格弾力性は$-\infty$，同じグループに所属する財間の交差価格弾力性は$\infty$に近づくことも確認できる。

#### 5.2.1 入れ子ロジットモデルの問題点

入れ子ロジットモデルは異なるグループ間に所属する財間については IIA の問題が生じない一方，(23) 式から明らかなように，同じグループに所属する財の間では依然として IIA の問題が生じる。加えて，(24) 式から明らかなように，異なる二つのグループのシェア $ s_{g} $ ， $ s_{g'} $ の比は同様に，その二つのグループに所属する財の品質のみに依存して定まる。このような入れ子ロジットモデルにおける性質は，IIA に関連し，無関係な入れ子からの独立性（Independence of Irrespective Nests, IIN）として知られる。IIN がもし非現実的な需要構造を予測すると考えられる場合には，IIA の問題の解決法と同様に，より多段階の入れ子の構造を考えればよい。

このように，入れ子ロジットモデルにおいてはグループ内のIIA，グループ間のIINの問題は依然として残るものの，適当なグループ分けを行うことができれば入れ子ロジットモデルにおけるIIA，IINは大きな問題とはならないだろう。しかしながら，各財の持つ品質の違いに応じてグループ分けを行うことは必ずしも容易ではない。自動車の例で挙げたような車種のクラスを表すCompactなどの離散的な品質に基づくと容易にグループ分けを行うことができるものの，もし財間の交差弾力性が例えば排気量のような連続的な変数に依存する場合，適当なグループ分けを行うことは困難である。このような問題を解決するモデルとして，本章の付論では，財間の品質の近接性に代替関係が依存する構造を持つランダム係数ロジットモデルを紹介する。なお，ランダム係数ロジットモデルでは，事前にグループ分けを行う必要はない。

#### 5.2.2 推定式

ロジットモデル同様、入れ子ロジットモデルにおける推定式は、各財のシェアとアウト
サイドオプションのシェアの比から導出することができる。アウトサイドオプションは単独でグループを構成しているため,

$$ s_{0t}=\frac{1}{1+\sum_{g\in G}e^{\lambda I_{gt}}} $$

となることを用いると，(22)，(23)，(24)式より，

$$ \begin{align*}\ln\big(s_{jt}\big)-\ln(s_{0t})&=\delta_{jt}+\big(1-\lambda\big)\ln\big(s_{jt/g(j)}\big)\\&=-\alpha p_{jt}+\sum_{k}\beta_{k}x_{jt}+(1-\lambda)\ln(s_{jt/g(j)})+\xi_{jt}\end{align*} $$

が得られる。ロジットモデル同様，$\ln(s_{jt})-\ln(s_{0t})$ はデータから計算できるので，$\xi_{jt}$ を誤差項とする推定式が得られる。ロジットモデルとの違いは右辺に $(1-\lambda)\ln(s_{jt/g(j)})$ が含まれている点である$^{20}$。推定では $\ln(s_{jt/g(j)})$ の係数として $1-\lambda$ の推定を行うことが可能であり，効用最大化問題と整合的であるか否かについては，その係数が 0 から 1 の間を取っているかを検定することで可能となる。ただし，グループ $g(j)$ 内の財 $j$ のシェアを表す $s_{jt/g(j)}$ と全体のシェアを表す $s_{jt}$ とは互いに相関し合っているため，$\ln(s_{jt/g(j}})$ は内生変数となる。よって入れ子ロジットモデルでは価格 $p_{jt}$ に加えて $\ln(s_{jt/g(j}})$ を内生変数として操作変数を用いた推定を行う必要がある。推定についての詳細は第 6 節で述べる。

### 5.3 消費者余剩の分析

競争政策の評価を行う場合，例えばカルテルや合併に伴う価格の変化がどの程度社会厚生に影響を与えるかを明らかにする必要が生じることがある。また，例えば合併に伴うシナジー効果により，新製品が開発されるということもあり得るだろう。ここで導入されたクラスの離散選択モデルを用いる場合，Small and Rosen（1981）で示されているように，簡便に消費者余剰（Consumer Surplus, CS）に与える影響の評価を行うことができる。

なお，ここで紹介する消費者余剰の計算方法は，準線形の効用関数，所得効果がない（所得の限界効用が一定）クラスのモデルにおいてのみ適用が可能であるという点には注意されたい $ ^{21} $ 。本章の付論で紹介するようなコブダグラス型の効用関数の定式化を行う場合，所得の限界効用が一定でない（所得効果の存在する）ため，同様の計算を適用することはで
きない。所得の限界効用が一定でないモデルの場合，解析的に消費者余剰を計算することはできないため，シミュレーションにより，消費者余剰に対応する概念として知られる補償変分（Compensating Variation, CV），等価変分（Equivalent Variation, EV）を計算する必要がある。所得効果のあるモデルにおける CV，EV の計算方法については Berry, Levinsohn, and Pakes (1993), McFadden (1999), Herriges and Kling (1999) を参照せよ。

#### 5.3.1 価格，品質の変化

まず，財の価格の変化，あるいは財の品質の変化が消費者余剰に与える影響について考える。離散選択モデルにおいては品質や価格の変化は平均効用の変化として捉えることができるので，変化前を$\delta_{t}\equiv(\delta_{1t},\ldots,\delta_{Jt})$，変化後を$\delta_{t}^{'}\equiv\left(\delta_{1t}^{'},\ldots,\delta_{Jt}^{'}\right)$とすると，入れ子ロジットモデルにおける前後の消費者余剰の変化は以下のように計算できる。

$$ \Delta C S_{t}=\frac{\ln\Big(1+\sum_{g\in G}\big(\sum_{l\in g}e^{\delta_{l t}/\lambda}\big)^{\lambda}\Big)-\ln\Big(1+\sum_{g\in G}\Big(\sum_{l\in g}e^{\delta_{l t}^{^{\prime}}/\lambda}\Big)^{\lambda}\Big)}{\alpha}, $$

なお，入れ子ロジットモデルは $ \lambda = 1 $ のとき，ロジットモデルと一致するので，ロジットモデルにおける消費者余剰の評価は，(28) 式において， $ \lambda = 1 $ と設定したときの消費者余剰の変化として計算できる。つまり，前後の消費者余剰の変化は，

$$ \Delta C S_{t}=\frac{\ln\left(1+\sum_{j\in J_{t}}e^{\delta_{j t}}\right)-\ln\left(1+\sum_{j\in J_{t}}e^{\delta_{j t}^{^{\prime}}}\right)}{\alpha}, $$

となる。

#### 5.3.2 財のバラエティの変化

新製品の導入などにより，市場に存在する財のバラエティはしばしば変化する。離散選択モデルに基づく需要関数の推定を行う場合，このような財のバラエティの変化に伴う消費者余剰の変化についても評価が可能である。財のバラエティの変化は市場に存在する財の集合の変化に対応するので， $ J_{t} $ を変化前， $ J_{t}^{\prime} $ を変化後の財の集合とする $ ^{22} $ 。入れ子ロジットモデルの場合，財のバラエティの変化は各グループに属する財のバラエティの変化に対応するので，g， $ g^{\prime} $ 変化前後の各グループ内の財の集合とする。また財のバラエティの変化はグループの数そのものを変化させることもあり得るので，G， $ G^{\prime} $ を変化前後のグループの集合とする $ ^{23} $ 。このとき，財のバラエティの変化に伴う消費者余剰の変化は，
$$ \Delta C S_{t}=\frac{\ln\Big(1+\sum_{g\in G}\big(\sum_{l\in g}e^{\delta_{l t}/\lambda}\big)^{\lambda}\Big)-\ln\Big(1+\sum_{g^{\prime}\in G}\big(\sum_{l\in g^{\prime}}e^{\delta_{l t}/\lambda}\big)^{\lambda}\Big)}{\alpha} $$

と計算できる。先ほど同様，ロジットモデルの場合には $ \lambda = 1 $ とすればよいので，消費者余剩の変化は以下のようになる。

$$ \Delta C S_{t}=\frac{\ln\left(1+\sum_{j\in J_{t}}e^{\delta_{j t}}\right)-\ln\left(1+\sum_{j\in J_{t}^{^{\prime}}}e^{\delta_{j t}}\right)}{\alpha} $$

なお，市場全体で生じる消費者余剰の水準は，上の2式において，財が市場に存在しない状況（アウトサイドオプションしか選択肢がない状況）との対比で考えればよい。これはJ'が空集合である状況を意味しているので，入れ子ロジットモデル，ロジットモデルにおける消費者余剰はそれぞれ，

$$ C S_{t}=\frac{\ln\Big(1+\sum_{g\in G}\big(\sum_{l\in g}e^{\delta_{l t}/\lambda}\big)^{\lambda}\Big)}{\alpha},C S_{t}=\frac{\ln\big(1+\sum_{j\in J_{t}}e^{\delta_{j t}}\big)}{\alpha} $$

となる $ ^{24} $ 。
## 6 計量分析

これら離散選択モデルの分析では，$\xi_{jt}$ を誤差項とした線形の回帰式として表現することができることを示した。しかし，観察できない品質，あるいは観察できない需要のショックを表す$\xi_{jt}$ は単一財の需要関数の推定における問題同様，価格と正の相関を持つと考えられるため，最小二乘法を用いた推定を行うことはできない。よって，内生変数である価格に対する操作変数を用い，推定を行う必要がある。2.2節で説明したように，操作変数$z_{jt}$ は，

1. 価格と相関を持ち $ \left(\mathrm{Cov}\left(p_{jt},z_{jt}\right)\neq0\right) $ ,

2. 観察できない品質，あるいは観察できない需要のシヨックと相関を持たない $ (Cov(\xi_{jt}, z_{jt}) = 0) $

の二つの性質を満たす必要がある。加えて，入れ子ロジットモデルの場合， $ s_{j/g(j)} $ も内生変数となる。観察不可能な品質 $ \xi_{jt} $ が正であれば，当然 $ s_{jt/g(j)} $ も高くなる，つまり $ Cov(s_{jt/g(j)}, \xi_{jt}) > 0 $ となるからである。

価格の操作変数の候補としてまず考えられるのは，単一財の需要同様，費用関数に影響を与える変数が考えられる。例えば，労働者の賃金や燃料価格などの生産要素価格が候補として挙げられるだろう。しかしながら，このような生産要素価格を用いる分析は差別化された財の需要の分析を行う際の操作変数としては望ましくないことが多い。なぜなら，賃金などの生産要素価格は時間あるいは地域を通じた変動はあるが，財ごとには共通の値をとる。よって，財間の価格差は生産要素価格で説明することはできないため，生産要素価格と価格の相関は小さくなり，付論で説明するように，Weak Instrument の問題が生じる可能性があるからである。よって，差別化された財の需要関数の推定を行う場合には生産要素以外の財ごとの変動がある操作変数を見付ける必要がある。

なお，直接財ごとの費用に関連する変数を用いて推定を行っているものが全くないわけではない。例外として，Nevo（2001）は財ごとの限界費用に係る変数，またVillas-Boas(2007）は生産要素価格とモデルダミーの交差項といった形で財ごとに異なる費用変数を操作変数として，差別化された財の需要関数の推定を行っている。また，Nakamura and Zerom（2010）はコーヒー豆の需要の推定において，費用の決定要因であるコーヒー豆の産地の気象状況を表す変数を操作変数として用いている。

以下では需要関数の推定の文献でしばしば用いられる需要関数を識別するための仮定と，その仮定から導かれる操作変数を説明する。ただし，どのような操作変数が望ましいかは，対象とする産業と利用可能なデータに依存するので，一様な方法があるわけではないことには注意されたい。場合によっては以下の操作変数が望ましくないこともあり得る。あくまで，対象とする産業で以下のような仮定が妥当であるかどうかを注意深く検討し，もし，その仮定が妥当でなければその他の操作変数を考える必要がある。したがって，操作変数の選定においては分析者の産業に対する知識も重要な役割を果たすことが多い。
### 6.1 Hausman(1996), Nevo(2001) による方法

直接費用に関連する変数が利用可能でない場合において, Hausman (1996), Nevo (2001) は Hasuman and Taylor (1981) によるパネルデータの構造に基づく操作変数を提示している。これらの研究では, 需要関数の推定式において, 各財の固定効果を導入した上で, 利用可能な操作変数を導いている。

これまでに説明したように, 誤差項 $ \xi_{jt} $ は市場 t における財 j の観察できないあるいは測定することのできない品質, また需要のショックを表している。ここで, $ \xi_{jt} $ を固定効果を含まない推定式における誤差項, そして固定効果を $ \xi_{j} $ と表記すると, 固定効果をコントロールした上での誤差項は,

$$ \Delta\xi_{j t}\equiv\xi_{j t}-\xi_{j} $$

となる $ ^{25} $ 。ここで，固定効果は市場間で共通の財j固有の効果を捉えるので，通常観察できない品質，あるいは測定することのできない品質は市場ごとには異ならないと考えられるので， $ \Delta\xi_{jt} $ は各市場ごとに異なる需要のショックを捉えていると考えられる。よって，需要関数の推定に用いる操作変数は各市場ごとに異なる各財の需要のショックと相関を持たず内生変数である各財の価格と相関を持つものである必要がある。

Hausman (1996), Nevo (2001) による，需要関数を識別するための仮定は，これら市場の需要のショック $ \Delta\xi_{jt} $ が地域間で相関しないというものである。この仮定の下では，他地域 $ t^{\prime} \neq t $ の価格 $ p_{jt^{\prime}} $ は内生変数 $ p_{jt} $ に対する操作変数としての性質を満たすと考えられる。なぜなら，仮定により，他地域の価格 $ p_{jt^{\prime}} $ は内生変数である地域 t の価格 $ \Delta\xi_{jt} $ とは相関を持たず $ ^{26} $ ，一方で財 j の生産に要する限界費用は地域間で共通の要素を数多く含むと考えられるため，地域間で価格は相関するものと考えられるからである $ ^{27} $ 。

この仮定の下では全ての他地域の価格 $ p_{jt'} $ が $ p_{jt} $ の操作変数となり得る。Hausman (1996), Nevo (2001) では，他地域の平均価格 $ \frac{1}{T-1}\sum_{t'\neq t}p_{jt'} $ を操作変数として推定を行っている。

なお，この仮定は必ずしも満たされるとは限らないだろう。なぜなら，各地域の需要のショックが地域間で相関することも十分に考えられるからである。例えば，ロコミなどで財の評判が高まる場合には，地域をまたいでその効果を発揮することも考えられる。また，
幾つかの地域でのみテレビコマーシャルが放送されていれば，その放送されている地域間で需要のショックは相関するだろう $ ^{28} $ 。限られた地域間での相関が疑われる場合，一つの検証の方法としては，幾つか影響が及ぶ範囲についてグループ化し，各グループごとの財ダミーの交差項を含める方法がある。このとき，グループ内の需要のショックは新たに導入されたダミー変数によって説明されることになる $ ^{29} $ 。

なお, t が時間である場合には, Arellano and Bond (1991) や Blundell and Bond (1998) による動学パネルの分析方法を用いた推定を行うことも可能である。

### 6.2 Berry, Levinsohn and Pakes (1995) による方法

差別化された財の市場において，地域ごとに投入されている財の種類が異なったり，また新製品の導入や旧製品の製造中止など，財の入れ替わりが生じる場合，データセットはパネルの構造を持たない。その場合，固定効果を考慮した推定を行うことができないことがある。

Berry, Levinsohn, and Pakes (1995) では，以下のように，観察されない品質，あるいは財j固有の需要のショックを表す $ \xi_{jt} $ は観察可能な品質 $ x_{jt} = (x_{j1t}, \cdots, x_{jKt}) $ と相関を持たない，つまり

$$ \mathrm{E}\big[\xi_{j}\big|x_{1t},\cdot\cdot\cdot,x_{J_{t}t}\big]=0 $$

を仮定し，需要関数の識別を試みている $ ^{30} $ 。(34)式の下では，適当に財の品質に係る変数を組み合わせることで，様々な形で財jの価格の操作変数を構築することができる。可能な操作変数の中で，Berry, Levinsohn, and Pakes（1995）は，(i)財jを生産する企業fの生産するその他の財の品質の合計， $ \sum_{i\in\{J_{t}\backslash j\}}x_{ikt} $ ，また，(ii)その企業以外の企業が生産する財の品質の合計， $ \sum_{i\notin J_{f}}x_{ikt} $ が(34)式の仮定の下で望ましい操作変数となることを示している。これら操作変数を構築する上では，推定に用いるデータセットはパネルの構造を持つ必要はない。

ここでは，これらの変数が操作変数としての性質を満たすことを直感的に説明しよう。まず，(34)式の仮定より，これらの変数は操作変数の2番目の条件 $ Cov(\xi_{jt},z_{jt})=0 $ を満たしている。次に，これら変数が1番目の条件，内生変数である価格と相関を持つかどうかについて考えてみよう。企業fの価格の設定はその企業が生産しているその他の財に与える影響を考慮してなされる。したがって，その企業が財jと競合する財を多く生産している場合には他の財に与える影響を考慮した価格を設定することになるだろう。よって，各企業はその企業が生産している財の数に依存した価格設定をするため，企業が生産する財の
数に依存する (i) の操作変数は，内生変数である価格と相関することになる。一方で，f 以外の企業が財 j と競合する財を余り生産していなければ，企業 f は財 j については独占的な価格を設定することが可能となる一方，他社が競合財を多く生産していればそのような価格設定は行わないだろう。よって，各企業はその他の企業が生産している財の数に依存した価格設定となるため，他企業の生産する財の数に依存して定まる (ii) の操作変数も，内生変数である価格と相関することになる。

なお，入れ子ロジットモデルを含む GEV モデルにおいては，内生変数は価格に加えてグループ内シェア $ \ln(s_{jt/g}) $ も内生変数となる。Bresnahan, Stern, and Trajtenberg (1997) において議論されているように，(34) の仮定の下で同様に，これら内生変数と相関を持つと考えられる操作変数を構築できる。ただし，入れ子ロジットモデルの場合，それぞれの財が所属するグループに依存した形で操作変数を定義される。詳しくは Bresnahan, Stern, and Trajtenberg (1997) を参照。

以上では（34）式の仮定が満たされるものとして議論したが，そもそもこの仮定は妥当といえるのだろうか。ここではこの点について考察することとしよう。まず，$\xi_{jt}$ を需要のショックとみなす場合，（34）式が満たされない状況とは，その時期に生じた需要のショックによって即座に企業が品質を変更できる状況を意味することになる。しかしながら，通常企業は需要のショックが生じたとしても財の品質の変更には時間が掛かると考えられるため，この仮定はそれほど問題ではないように思われる。しかし，$\xi_{jt}$ を観察できない品質とみなす場合には観察可能な品質$x_{j}$ との間に相関がないという仮定は問題がある。企業は観察可能な品質，観察不可能な品質を併せてモデルのスペックを決定していると考えられるので，これら品質に相関がないとする妥当な理由付けを行うことは困難だろう。しかしながら，このような品質に基づく操作変数は，財ごとに異なるその他の操作変数を見付けることが困難であるため，多くの研究で用いられている。

なお，パネルデータが利用可能な場合でも固定効果を導入せずに（34）式を仮定し，品質に基づく操作変数を作成することは可能である。しかしながら，パネルデータの場合，品質に基づく操作変数を用いて推定を行うことは通常望ましくない。なぜなら，パネルデータに基づく場合，品質に基づく操作変数は財ごとの変動はあるものの市場間では共通の値をとるため，市場間の各財の価格の違いを説明することはできないからである。このような場合，品質に基づく操作変数と内生変数の相関は通常小さい。すなわち Weak Instrument の問題が生じてしまう可能性が高いと考えられる。

## 7 離散選択モデルの拡張

本章で紹介した離散選択モデルでは，各消費者は財を一つ選択するという仮定が置かれていた。しかしながら，場合によっては消費者は複数の財を選択することもあるだろう。また，ここでは静学的な意思決定を想定していたが，洗剤などの貯蔵が可能な財については洗剤の残量を勘案してどのタイミングで買うかが重要であるし，また自動車などの耐久
消費財についてもいつ買い替えるか，といった動学的な意思決定が重要な意味を持つ。本節では，複数財の選択と動学的意思決定に焦点を当て，近年の離散選択モデルに基づく需要関数の推定方法の発展について紹介する。

### 7.1 複数財の選択

離散選択モデルでは，消費者は選択肢の中から一つの財を選択するとの仮定が置かれている。しかし，場合によっては消費者は二つ以上の財を選択することもあり得るため，一見すると離散選択モデルは制約の大きいモデルと映るかもしれない。ただし，一般に離散選択モデルはこうした二つ以上の財の選択を排除するモデルではない。離散選択モデルにおいては選択肢が離散であればよいので，複数財の可能性がある場合には，例えば，A財とB財の二つを選択する，という選択肢をモデルに含めればよいからである。関連する研究として，Hendel（1999）は各企業のパソコンの銘柄別の保有台数のデータから，企業のパソコン購入の意思決定において，複数のブランドの選択，複数台数の選択を考慮した需要モデルを構築している。Hendel（1999）は企業の意思決定を業務レベルに分割し，各業務においてどのブランドのパソコンを選択するか，何台のパソコンを購入するかを定式化し，各企業のパソコンの購買行動の定式化を行っている。

Hendel（1999）のモデルでは，各業務ごとに独立にパソコンの購買行動が決定されると仮定されているが，先ほど説明したように，必ずしも各選択が独立になされるとは限らない。Nevo, Rubinfeld, and McCabe（2005）は図書館の学術雑誌の購読において各学術雑誌から得られる効用は独立と仮定されている $ ^{31} $ ものの，図書館の予算制約の存在により，各学術雑誌の選択に相関が生じていることを許容している。また，Gentzkow（2007）では紙媒体での新聞購読とオンラインでの新聞購読の選択について，両財を選んだときに得られる効用に相関がある状況を許容している $ ^{32} $ 。これまでに紹介した離散選択モデルでは，(19)，(25)式から明らかなように，価格の係数が負であるため，市場に存在する差別化された財間の交差弾力性は全て負となることを前提としていた。これは市場に存在する全ての財は代替財であることを意味している。しかし，通常のミクロ経済学のテキストで説明されるように，例えばコーヒーとミルク，スーツとネクタイなど，財によっては一方の価格の上昇が他方の財の需要を上昇させるような補完財の関係を持つこともあり得るだろう。Gentzkow（2007）の定式化では，二つの財が補完関係を持つことを許容している。

なお，Hendel (1999)，Nevo, Rubinfeld, and McCabe (2005)，Gentzkow (2007) は個人データに基づく分析であるが，Fan (2011) は集計データに基づいて財間の選択に相関があることを許容するモデルを提示している。さらに，Wakamori (2011) は集計データと個人データを組み合わせた推定方法を提示している $ ^{33} $ 。
### 7.2 動学的意思決定

これまでに紹介したモデルでは，各消費者は静学的な意思決定を行うとの前提で分析がなされていた。しかし，自動車などの財は耐久消費財であり，どのモデルを買うか，という意思決定だけでなく，いつ自動車を買うか，という動学的な意思決定も重要な役割を果たしていると考えられる。また，例えば洗剤などの財は貯蔵が可能であり，価格の安い時にまとめ買いをし，それが無くなったら次の購買行動に移るという性質を持つため，消費者の将来の価格に対する期待や今手元に残っている洗剤の残量などが消費者の意思決定に影響をもたらすことになる。よって貯蔵が可能な財の場合には消費者は各時点の最適化を行うだけでなく，いつ，どれだけ買うかといった動学的な意思決定を行っているものと想定する必要があるだろう。

なお，本節で紹介したモデルは静学的なモデルと位置付けられるものの，動学的な意思決定の要素が全く考慮に入れられていないわけではない。モデルにおいて，消費者はアウトサイドオプション，つまり財を購入しないという選択肢を持ち，一つの解釈として，アウトサイドオプションを選択するかインサイドオプションを選択するかは現在財を購入するか，将来財を購入するかの意思決定と解釈することもできるからである $ ^{34} $ 。

しかしながら，静学的なモデルではシミュレーション分析，例えば政策変化の長期的な影響など，消費者の長期的な意思決定の変化を捉えることはできないため，やはり動学的意思決定を考慮した分析手法の開発は不可欠である。こうした点に関連し，Hendel and Nevo（2006）は洗剤といった貯蔵可能かつ，特売などによる価格変動がある財の市場において，消費者の差別化された財の選択，財の貯蔵量及び動学的な価格変動を考慮した消費者の動学モデルを提示している。一方，Melnikov（2001）は新製品など，時間を通じて品質が向上していくような耐久消費財の市場において，このような財の動学的な品質の変化を考慮した上で，消費者がどのタイミングで財を購入するか，動学的な意思決定を伴う差別化された耐久消費財の需要の推定モデルを提示している。Melnikov（2001）では，消費者はある一定期間内に財を1回限り購入すると想定している一方，Gowrisankaran and Rysman（2009）は期間内に複数回財を購入することを許容している。さらに，Melnikov（2001）では入れ子ロジットモデルなどを含むGEVモデルに基づく動学モデルへの拡張であるのに対し，Gowrisankaran and Rysman（2009）はランダム係数ロジットモデルの拡張となっている。Schiraldi（2011）はGowrisankaran and Rysman（2009）を応用し，イタリアの自動車市場を対象として，消費者が新車だけでなく中古車を選択することを許容し，さらに中古自動車の売買に係る取引費用を考慮に入れたモデルを構築している。