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## 8 事例分析：日本の自動車市場

本節では，日本の自動車市場を事例に，差別化された財の需要関数の推定結果を報告する。ここで，前節で説明したロジットモデルと入れ子ロジットモデルを中心に分析を行い，ロジットモデルの推定結果，入れ子ロジットモデルの推定結果とモデルから得られる交差弾力性を示す。

なお，需要関数の推定では，操作変数を用いる方法と通常の最小二乘法を用いる方法を示し，価格の係数に内生性の問題によってバイアスが生じていると考えられるのか，また入れ子ロジットモデルによって得られる交差弾力性がIIAの問題が生じるロジットモデルと比較してより現実的な値を示しているかどうかを検討したい。

なお，本節で用いられているデータは Kitano（2011）における 2005-2009 年の日本の自動車市場における普通自動車の各車種の新車販売台数（新規登録台数），価格，品質などの集計データである。データの出所などの詳細は Kitano（2011）を参照されたい。

### 8.1 需要関数の推定結果

表1：需要関数の推定結果

Variables	Logit Model	Nested Logit Model
(i) OLS	(ii) GMM	(iii) OLS	(iv) GMM
Price ( $ -\alpha $ )	0.0028***	0.0049***	0.0010**	0.0047***
[0.0007]	[0.0017]	[0.0004]	[0.0015]
Car Size	0.3592***	0.3156***	0.3770***	0.2994***
[0.0668]	[0.0653]	[0.0429]	[0.0584]
HP/Weight	0.0585*	0.0947**	-0.0086	0.0848**
[0.0311]	[0.0398]	[0.0201]	[0.0357]
Engine Displacement (CC)	0.0624	0.2228	0.2045***	0.2658
[0.1101]	[0.1763]	[0.0708]	[0.1625]
Wheelbase	0.3095	0.6972*	0.5982**	0.8193**
[0.3782]	[0.4007]	[0.2430]	[0.3487]
Fuel Cost	-0.1935***	-0.1867***	-0.2198***	-0.1914***
[0.0276]	[0.0264]	[0.0177]	[0.0238]
Eco-car	0.7788***	0.8653***	0.2539***	0.7620***
[0.1041]	[0.1056]	[0.0693]	[0.1066]
Constant	-7.5803***	-11.4359***	-7.5803***	-11.0513***
[0.5528]	[0.9845]	[0.5484]	[0.8912]

$ \lambda $	-	-	0.5969***	0.1079***
$ R^{2}/J $ - stat (dof)	0.54	51.12 (17)	0.81	57.85 (16)

表 1 にはロジットモデル，入れ子ロジットモデルの推定結果が示されている。ここでは，それぞれのモデルの推定について，OLS，GMM による推定を行っており，その結果が (i) - (iv) にまとめられている。まず，表 1 の推定結果から明らかなように，価格（Price）の係数はいずれの特定化においても有意に負となっている。これは通常予測されるように，需要関数は右下がりとなっていることを示している。さらに，価格の係数についてはロジッ
ト，入れ子ロジットモデルともに GMM で推定を行った場合においてより小さい係数を示していることが分かる。これは観察されない品質と価格が正の相関を持ち，その結果価格の係数に正のバイアスが生じているという内生性の議論と整合的な結果を示していることが分かる。

また，グループ内シェアの係数から計算できるλの推定値は0から1の間をとっているため，McFadden（1978）で示されているように，入れ子ロジットモデルの推定結果は効用最大化問題と整合的な結果を示していることが分かる。加えて，λが1をとる場合，入れ子ロジットモデルは通常のロジットモデルに一致するが，本推定結果におけるλは統計的に有意に1と異なるので，自動車市場における需要の構造はロジットモデルとは異なり，グループ間でのIIAは成立しない。

自動車の品質を表す変数についてみてみると，車体のサイズ（Car size），車重当りの馬力（HP/Weight）の係数は統計的に有意に正であり，消費者はより車体の大きい，またより馬力の大きい自動車ほど高い効用が得られていることが分かる。排気量（Engine Displacement），ホイールベース（Wheelbase）は統計的に有意に正あるいは負ではない。これは消費者の自動車購入の意思決定において，排気量が大きい，ホイールベースが長いといった要因は消費者の効用を直接高めるとはいえないことを示している。一方，1km 当たりの走行費用（Fuel Cost） $ ^{35} $ は統計的に有意に負であり，消費者は走行費用の高い，つまり燃費の低い自動車を好んでいないことが分かる。関連し，エコカー減税・補助金の対象となる車種について1をとるダミー変数（Eco-car）の係数については統計的に有意に正であり，消費者が得られる効用はエコカーの方が大きくなっている。これはエコカー減税，補助金などによるメリットを反映しているものと解釈できる。

### 8.2 自己·交差価格弹性

表 2, 3 では, 表 1 の推定結果を元に, ロジットモデル ((19) 式を参照), 入れ子ロジットモデル ((25) 式を参照) に基づく自己・交差価格弾力性の推定結果を, 幾つかの車種について記してある。

なお，これら表における $ (i,j) $ 要素はモデルiの1%価格上昇についてモデルjの需要の増加率を表している。

まず，表２のロジットモデルの結果から明らかなように，各車種の交差弾力性は全て共通の値をとる。例えば，フィット（FIT）の1％の価格上昇はそのほかの財の需要を全て0.00024％引き上げる。しかしながら，このような交差弾力性は現実的な値とは考えられないだろう。なぜなら，フィット（FIT）のようなコンパクトカーの価格の上昇はヴィッツ（VITZ）などのコンパクトカーの需要は大きく変化させる一方，エスティマ（ESTIMA）などのミニバンの需要にはあまり影響を与えられないと考えられるからである。ロジットモデルでは，IIAの問題により，交差価格弾力性は全て共通となることがモデルの性質上，
定まってしまっているのである。

表 3 に示される入れ子ロジットモデルの結果は, 上で述べた IIA の問題を解決している。つまり, フィット（FIT）の 1% の価格の上昇はヴィッツ（VITZ）の需要を 0.00167% 引き上げる一方で, エスティマ（ESTIMA）の需要増は 0.00024% と同じコンパクトカー間の交差価格弾力性と比較して, 異なるグループに属する交差弾力性はかなり大きくなっていることが分かる。

なお，入れ子ロジットモデルで示された推定結果は依然として妥当な結果とは考えられないかもしれない。例えば，各財の交差弾力性はコンパクトカーなどのグループの違いだけではなく，モデルを販売している企業ごとにも異なってくる可能性がある。このような場合には，本章で説明した2段階の入れ子ロジットモデルではなく，Goldberg（1995）などの多段階の入れ子ロジットモデルを用いる方法がある。多段階の入れ子ロジットモデルでは，例えば各消費者は最初にどの企業から購入するかを選び，その次にその企業の中からどのクラス（コンパクトカーなど）を選択し，最後にその中からモデルを選択するという選択構造が考えられるだろう。あるいは，最初にクラスの選択を行い，その後企業の選択し，その中のモデルの選択を行うという構造も考えられる。いずれの場合でも，交差弾力性は財が属するクラスだけでなく，その財が属する企業に応じて異なることを許容する。ただし，このような多段階の入れ子ロジットモデルでは，事前にどのような選択構造になるかを定めなければならない。もちろん，どちらの構造が望ましいかについてはGEVモデルに係るλの制約が満たされているかなどから判定することもできるが，望ましいモデル選択の基準がはっきりと提示されているわけではない。選択順序の構造が通常は事前には分からない場合，Bresnahan, Stern, and Trajtenberg（1997）による事前に選択の順序を特定しないGEVモデル，あるいはより一般的なランダム係数ロジットモデルを用いる方法がある。ランダム係数ロジットモデルについては以下の付論を参照。
表2: 自己・交差価格弾力性: ロジットモデル

CIVIC SEDAN	FIT	ODYSSEY	STEP WGN	CEDRIC	MARCH	SERENA W	SKYLINE	COROLLA	ESTIMA	PRIUS	VITZ
CIVIC SEDAN	-0.81518	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013	0.00013
FIT	0.00024	-0.58576	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024
ODYSSEY	0.00140	0.00140	-1.17060	0.00140	0.00140	0.00140	0.00140	0.00140	0.00140	0.00140	0.00140	0.00140
STEP WGN	0.00177	0.00177	0.00177	-1.07341	0.00177	0.00177	0.00177	0.00177	0.00177	0.00177	0.00177	0.00177
CEDRIC	0.00205	0.00205	0.00205	0.00205	-1.52155	0.00205	0.00205	0.00205	0.00205	0.00205	0.00205	0.00205
MARCH	0.00017	0.00017	0.00017	0.00017	0.00017	-0.55780	0.00017	0.00017	0.00017	0.00017	0.00017	0.00017
SERENA W	0.00117	0.00117	0.00117	0.00117	0.00117	0.00117	-1.01286	0.00117	0.00117	0.00117	0.00117	0.00117
SKYLINE	0.00031	0.00031	0.00031	0.00031	0.00031	0.00031	0.00031	-1.35004	0.00031	0.00031	0.00031	0.00031
COROLLA	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	-0.70316	0.00004	0.00004	0.00004
ESTIMA	0.00076	0.00076	0.00076	0.00076	0.00076	0.00076	0.00076	0.00076	0.00076	-1.37252	0.00076	0.00076
PRIUS	0.00030	0.00030	0.00030	0.00030	0.00030	0.00030	0.00030	0.00030	0.00030	0.00030	-1.09526	0.00030
VITZ	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	0.00068	-0.55984

表 3: 自己・交差価格弾力性：入れ子ロジットモデル

CIVIC SEDAN	FIT	ODYSSEY	STEP WGN	CEDRIC	MARCH	SERENA W	SKYLINE	COROLLA	ESTIMA	PRIUS	VITZ
CIVIC SEDAN	-0.85915	0.00012	0.00012	0.00012	0.02844	0.00012	0.00012	0.02844	0.02844	0.00012	0.02844	0.00012
FIT	0.00024	-0.63628	0.00024	0.00024	0.00024	0.00167	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00024	0.00167
ODYSSEY	0.00136	0.00136	-1.26607	0.00983	0.00136	0.00136	0.00983	0.00136	0.00136	0.00983	0.00136	0.00136
STEP WGN	0.00172	0.00172	0.01213	-1.15837	0.00172	0.00172	0.01213	0.00172	0.00172	0.01213	0.00172	0.00172
CEDRIC	0.01618	0.00199	0.00199	0.00199	-1.64250	0.00199	0.00199	0.01618	0.01618	0.00199	0.01618	0.00199
MARCH	0.00017	0.00470	0.00017	0.00017	0.00017	-0.60274	0.00017	0.00017	0.00017	0.00017	0.00017	0.00470
SERENA W	0.00114	0.00114	0.00968	0.00968	0.00114	0.00114	-1.09426	0.00114	0.00114	0.00968	0.00114	0.00114
SKYLINE	0.00241	0.00030	0.00030	0.00030	0.00241	0.00030	0.00030	-1.46766	0.00241	0.00030	0.00241	0.00030
COROLLA	0.00040	0.00004	0.00004	0.00004	0.00040	0.00004	0.00004	0.00040	-0.76515	0.00004	0.00040	0.00004
ESTIMA	0.00074	0.00074	0.02527	0.02527	0.00074	0.00074	0.02527	0.00074	0.00074	-1.46976	0.00074	0.00074
PRIUS	0.00220	0.00029	0.00029	0.00029	0.00220	0.00029	0.00029	0.00220	0.00220	0.00029	-1.19050	0.00029
VITZ	0.00066	0.00560	0.00066	0.00066	0.00066	0.00560	0.00066	0.00066	0.00066	0.00066	0.00066	-0.60461
### 8.3 需要関数の推定手法を用いた政策分析

それでは，ここで，需要関数を用いた政策分析を紹介しよう。近年，日本の自動車市場において，景気対策及び環境政策の一環として，低燃費，低排出ガス車普及のためのいわゆるエコカー減税 $ ^{36} $ ，エコカー補助金 $ ^{37} $ が導入されている。本節では，エコカー減税・補助金が国内の自動車の販売台数に与えた影響を定量的に評価する $ ^{38} $ 。

分析では，2005-2009年に注目し，政策の導入が自動車の販売台数に与えた影響について考察する。2000年代以降でみると，エコカー購入に対しては，認定基準や減税額，補助金額の変更を伴い，何らかの優遇措置が利用可能であった。分析対象期間でみると，2009年はエコカー補助金の導入，さらにエコカー減税の対象にこれまでの自動車取得税，自動車税だけでなく，自動車重量税が加わり，なおかつ減税額が大きくなるなど，特に大きな変更があった時期である。制度や対象車種などの詳細については国土交通省ホームページ，またKitano(2012）を参照されたい。

これら政策はエコカーの購入を有利にする政策であるので，政策の導入はエコカーに対する需要を上方にシフトさせるだろう。よって，政策分析を行う場合，まず政策に伴う需要のシフトを定量的に評価する必要がある。ただし，エコカー政策が直接作用するのは消費者行動であるが，もちろん需要関数のシフトは企業行動を変化させる。したがって，政策分析を行う場合には，需要の変化に伴う企業行動の変化まで勘案した分析を行う必要がある。以下ではまず，各企業が多数の財を供給する寡占市場における企業行動モデルを導入する。

#### 8.3.1 企業行動の定式化

企業行動の定式化は政策に伴う企業行動の変化を分析するのに必要であるとともに，通常観察が困難である各企業が生産する各財の限界費用を導出する上でも有用である。限界費用が導出できれば，例えばプロセスイノベーションに伴う限界費用の減少効果がどの程度であったかなど，様々な政策の評価が可能となるからである。

限界費用は企業行動モデルの帰結として得られる「価格＝マークアップ＋限界費用」という関係から導出することができる。以下で説明するように，マークアップは需要関数の推定結果から計算可能であり，また価格は観察可能であるからである。ただし，寡占競争市場において，マークアップを計算する場合，ベルトラン，クールノーあるいはカルテルなど，市場における競争形態を事前に定める必要がある。導出されるマークアップはもちろん競争形態の仮定によって異なるので，この仮定が妥当であるか，あるいは異なる仮定で分析を行った場合にどのように分析結果が異なるか，十分に考察する必要がある。もし限界費用の情報が利用可能であれば，ある競争形態を仮定して導出した限界費用がその情報と整合的であるかを検証することで分析の妥当性を示す一つの証左となる。もしそのよ
うな情報が利用可能でない場合には，異なる競争形態の仮定ごとの分析結果を示すことが望ましいだろう。

ここでは，多数財のベルトラン競争が行われている状況を仮定し，分析を行う。多数財のベルトラン競争では，各企業は他企業が生産する財の価格を所与とした上で，利潤を最大化するように自らが生産する各財の価格を設定する。つまり，t期における企業fの利潤を

$$ \pi_{f t}=\sum_{j\in J_{f t}}\left[p_{j t}q_{j t}-c_{j t}\big(q_{j t}\big)\right]-F, $$

とすると，この企業は $ \max_{\{p_{jt}\}} j \in J_{ft} \pi_{ft} $ となるように，価格を設定する。なお，上式における F は固定費用を表しているが，以下の利潤最大化の 1 階条件からも明らかなように，固定費用は各企業の価格設定に依存せず必要となる費用であるので，ここでの分析では固定費用は無視して問題ない $ ^{39} $ 。

各企業がベルトラン競争を行っていると仮定する場合,利潤最大化の1階の条件, $ \frac{\partial\pi_{ft}}{\partial p_{jt}}=0 $ より,

$$ s_{j t}+\sum_{l\in J_{f t}}(p_{l t}-m c_{l t})\frac{\partial s_{l t}}{\partial p_{j t}}=0,j\in J_{f t} $$

が得られる。ここで， $ mc_{jt} \equiv \frac{dc_{jt}}{dq_{jt}} $ であり，財 j の生産に係る限界費用を表している。

(36) 式において，数量， $ \mathbf{s}_{t}=\left(s_{1},\cdots,s_{J t}\right)^{\prime} $ ，及び価格， $ \mathbf{p}_{t}=\left(p_{1},\cdots,p_{j t}\right)^{\prime} $ は観察可能であり，なおかつ需要関数の推定結果を用いることで，任意の財jの価格に対する任意の財1の需要関数の傾き $ \frac{\partial q_{l t}}{\partial p_{j t}} $ も計算が可能である。よって，全ての企業の利潤最大化の1階の条件を導くと， $ J_{t} $ 本の方程式が得られるので，（研究者が）観察できない限界費用， $ m c_{t}=\left(m c_{1},\cdots,m c_{J t}\right)^{\prime} $ は連立方程式の解として計算できる。つまり，(36)式を行列表記すると，

$$ \mathbf{s}_{t}-\mathbf{\Delta}_{t}(\mathbf{p}_{t}-\mathbf{m}\mathbf{c}_{t})=\mathbf{0} $$
となるので，$\Delta_{t}$ についての逆行列をとると，以下のように限界費用ベクトルを計算することができる。

$$ \mathbf{m}\mathbf{c}_{t}=\mathbf{p}_{t}-\mathbf{\Delta}_{t}^{-1}\mathbf{s}_{t}. $$

なお， $ \Delta_{t} $ は $ J_{t} \times J_{t} $ 行列で， $ (j,r) $ 要素は

$$ \Delta_{j r t}=H_{j r t}\times\left(-\frac{\partial s_{r t}}{\partial p_{j t}}\right) $$

となる。 $ H_{jrt} $ は財の所有構造を表す $ J_{t} \times J_{t} $ 行列 $ H_{t} $ の $ (j,r) $ 要素であり，財 j と財 r が同じ企業によって生産されている場合には 1，そうでなければ 0 をとる。また，(38) 式の右辺第 2 項は各企業が設定する各財のマークアップである。

なお， $ H_{t} $ は競争形態の仮定により定まる行列である。多数財のベルトラン競争の場合にはここで述べたように，財 j と r が同じ企業によって生産されている場合には $ H_{jr} $ は 1 をとるが，例えば全企業がカルテルを結んでいる場合，共同利潤を最大化するように価格設定行動を行うため，この行列の全ての要素は 1 をとる。また，一部企業がカルテルを結んでいる場合には，カルテルを結んでいる企業が生産している財の組合せでは 1，そうでなければ 0 をとることになる。

#### 8.3.2 エコカー減税・補助金下の需要関数

エコカー減税・補助金の効果は需要曲線をシフトさせるものと考えられる。よって，これら政策の評価を行う場合には，需要曲線の背後にある効用関数上でどのように政策が機能するかを考える必要がある。エコカー減税，補助金は自動車を購入する際の（価格を含む）支出に影響する。よって，ここでは以下のように平均効用δjtを修正する。

$$ \delta_{j t}=-\alpha\big[\big(1.05+T_{1j t}\big)p_{j t}-S_{j t}+T_{2j t}\big]+\sum_{k}x_{j k t}\beta_{k}+\xi_{j t} $$

上式において， $ T_{1jt} $ は自動車取得税， $ T_{2jt} $ は自動車税，自動車重量税で，これらはエコカー減税の存在に影響を受ける変数である。なお，自動車税，自動車重量税は購入時点のみではなく，保有段階で生じる費用，つまり毎年生じる費用である。本節の分析では，自動車税は減税対象が新車登録翌年1年分の減税なので，1年分の税額，また自動車重量税の場合，次回の車検までの3年間分の税金が減税対象となるので，3年分の税額として $ T_{2j} $ を計算した。
推定は，ロジットモデルであれば（21）式，入れ子ロジットモデルであれば（27）式をそれぞれ（40）式を用いて修正することで実行することができる。政策分析は前節で説明したように，需要関数の推定結果を用いて限界費用を導出した上で，これら減税や補助金がなかった場合にどのような均衡が実現するかを前節の企業行動モデルに基づいて計算すればよい。

以上の特定化は解析的に分析が容易であるという側面がある一方，実際の消費者行動を記述する上では以下の二つの問題がある。まず，実際のエコカー補助金は車種ごとの燃費基準，排出ガス基準のみに依存して決定しているのではなく，スクラップインセンティブを伴うものであり，各消費者のモデルの選択において，各消費者の保有する自動車の車齢を考慮しなければならない点が挙げられる。この事例におけるスクラップインセンティブは，消費者が自動車を購入する際に車齢13年以上の自動車を廃車とする場合，補助金額が25万円と廃車をしない場合における補助金額10万円よりも大きいことに加え，燃費基準・排出ガス基準が緩く，対象となる自動車のモデルの数も廃車にしない場合よりも大きかった。つまり，補助金額は各消費者の保有する自動車の車齢の関数となるため，各消費者の保有する自動車の車齢に依存した効用関数を考える必要がある。次に，自動車のような高額の財の場合には，所得効果が存在するものと考えられるため，各消費者のモデルの選択には各消費者の所得水準を考慮しなければならない点が挙げられる。通常，消費者がどのモデルを選択するかはその消費者の所得水準に依存するものと考えられるが，前節までに紹介した離散選択モデルでは，消費者の所得水準がモデルの選択に影響を与えない。つまり，例えばトヨタのレクサスのような高級車は所得の大きい消費者ほど選択する確率が高いと考えられるが，これまでのモデルでは，所得の大小に依存せず，同じ選択確率となる構造となっているのである。よって，効用関数は，各消費者の所得に応じて異なるものとする必要がある。

以上の２点を踏まえ，（40）式の右辺第１項を次のように修正する。

$$ -\alpha_{i t}\big[\big(1.05+T_{1j t}\big)p_{j t}-S_{j t}(a_{i t})+T_{2j t}\big], $$

ただし，$\alpha_{it}=\alpha/y_{it}$ であり，$y_{it}$ は消費者 $i$ の $t$ 市場（時点）における所得である。この特定化の下では，所得の高い消費者ほど，購入費用から生じる不効用は小さくなるため，高所得者ほど高いモデルを選択する確率が高くなる。$a_{it}$ は $t$ 市場（時点）の消費者 $i$ が保有する自動車の車齢であり，$S_{jt}(a_{it})$ は先ほど述べたように，$a_{it}\geq13,t\geq2009$ かつモデル $j$ が所定の燃費基準，排出ガス基準を満たせば $25$ 万円，$a_{it}<13,t\geq2009$ かつモデル $j$ が所定の燃費基準（ただし，$a_{it}\geq13$ のときよりも高い基準$^{40}$），排出ガス基準を満たせば $10$ 万円，そうでなければ $0$ 円となる。

このような修正を行う場合，各モデルのシェアはこれまでに説明したモデルのように解
析的に導出することはできない。各消費者の選択確率は所得，車齢に応じて異なるため，例えばロジットモデルの選択確率（16）式のように，全ての消費者にとって共通とはならないからである。こうした場合，所得，車齢といった個人属性に依存して定まる個人のモデルの選択確率を，観察可能な個人属性の分布（この場合，所得分布，車齢分布）を用いて積分することで，市場全体でモデルが選択される確率，つまりシェアを導出することができる。また，このように個人属性に依存する選択確率を考える場合，(21)，(27)式のように，解析的に平均効用$\delta_{jt}$を計算し，推定式を導くことはできない。以上の点については付論のランダム係数ロジットモデルを参照されたい。

#### 8.3.3 エコカー減税・補助金の政策分析

ここでは，これら減税・補助金が行われなかった場合におけるカウンターファクチュアルにおける均衡での販売量と価格をシミュレーション分析により導出する。分析結果は以下の表4にまとめられる。表には，2005-2009年の実際の販売量，つまり政策があるときの販売量とシミュレーション分析によって導出した政策がないときの販売量が示されている。表から明らかなように，2005-2008年に導入されていたエコカー減税は販売台数を約14%程度増加させていたのに対し，減税対象及び減税幅が拡大し，なおかつエコカー補助金が導入された2009年においては，30％以上も販売台数を押し上げたことが分かる。

表 4: エコカー減税・補助金の評価：販売台数への影響

FY	(i) Actual Sales	(ii) Counter-factual Sales	(iii) Effects on Sales	(iv) Rate of Change (%)
2005	3055793	2693330	362463	13.46
2006	2761394	2413549	347845	14.41
2007	2689401	2360502	328899	13.93
2008	2325228	2033103	292125	14.37
2009	2716434	2083563	632871	30.37

出典：筆者作成

注：厳密には販売台数ではなく，新規登録台数である。また，数量は年度ベース(各年4月-翌年3月)の集計である。

## 9 まとめ

需要関数の推定は，近年の産業組織論の実証分析において基礎的な分析手法となっている。本章で紹介した減税や補助金の政策評価に加え，合併の評価，カルテルの発見などの競争政策上の分析を行う上でも需要関数の推定は不可欠である。ただし，需要関数の推定結果は政策評価に大きい影響を与えるため，需要関数の推定が適切に行われているのかを確認することが重要である。特に，多くの市場では差別化された財が供給されており，また財の種類が多い場合には各財の代替関係に妥当であると考えられる制約を置き分析を行う必要があるが，それら仮定が妥当であるか否かは十分に検討しなければならない。

本章で扱った需要関数の推定モデルは基礎的なものである。より発展的なトピックと需
要関数の推定方法を用いた政策分析の方法については Ackerberg et al. (2007), Nevo (2011) などのサーベイも参照されたい。

付論

## A Weak Instrument

需要関数を推定する際に必要となる操作変数 z は，Instrument Exogeneity（誤差項との相関が無い $ \left(\operatorname{Cov}(z,u)=0\right) $ ，Instrument Relevance（内生変数 x との相関が非ゼロ $ \left(\operatorname{Cov}(z,x)\neq0\right) $ を満たす必要がある。本節では，2 番目の操作変数の条件である Instrument Relevance に係る問題として知られる weak instrument の問題について説明する。まず，y を被説明変数，x を説明変数とする以下の推定式を考える。

$$ y=\alpha+\beta x+u $$

$$ (\alpha,\beta) $$

$$ メーターで $$

$$ (Corr(x,u)=\frac{Cov(x,u)}{\sqrt{V\operatorname{ar}(x)V\operatorname{ar}(u)}}\neq0) $$

操作変数法を用いる場合と最小二乘法を用いて（42）式を推定する場合，パラメーターの推定量はそれぞれ以下のようになる。

$$ \hat{\beta}_{1,I V}\rightarrow_{p}\beta_{1}+\frac{C o r r(z,u)}{C o r r(z,x)}\frac{\sigma_{u}}{\sigma_{x}} $$

$$ \hat{\beta}_{1,OLS}\rightarrow_{p}\beta_{1}+Corr(x,u)\frac{\sigma_{u}}{\sigma_{x}} $$

ここで, $ \hat{\beta}_{1,IV} $ は操作変数推定量, $ \hat{\beta}_{1,OLS} $ は最小二乗推定量を表す。上式から明らかなように, 操作変数推定量では $ \frac{\mathrm{Corr}(z,u)}{\mathrm{Corr}(z,x)}\frac{\sigma_{u}}{\sigma_{x}} $ , 最小二乗法推定量では $ \mathrm{Corr}(x,u)\frac{\sigma_{u}}{\sigma_{x}} $ だけ, 真の値 $ \beta_{1} $ から乖離することを意味している。

なお，操作変数は本来 z と u の相関がゼロであるものと定義されるので，$\hat{\beta}_{1,IV}$ がバイアスを持つことはない。しかしながら，実際に推定で用いる操作変数で誤差項との相関が完全にゼロとなることは保証できない。そこで，z と u の相関は小さいがゼロではないケースを考えよう。このとき，

• Corr(z,x) が 1 に近ければ, $\hat{\beta}_{1,IV}$ は $\hat{\beta}_{1,OLS}$ よりもバイアスは小さくなる。

• Corr(z,x) がゼロに近い場合，たとえ Corr(z,u) が小さくてもその影響は非常に大きくなり，場合によっては $ \hat{\beta}_{1,IV} $ は $ \hat{\beta}_{1,OLS} $ よりも深刻なバイアスの問題を生じさせてしまう可能性がある。
以上のように，内生変数との相関が小さい操作変数を Weak Instrument といい，そして操作変数と内生変数の相関が小さい場合には Weak Instrument の問題が生じているといわれる。

第 6 節において説明したように，需要関数の推定を行う上では，需要関数上の誤差項と相関しない一方で，価格と相関する操作変数を見付ける必要がある。供給サイドにのみ影響を与える変数は操作変数の候補となるが，例えば賃金などの時間を通じてのみ変化する変数は，差別化された財の需要の推定における操作変数としては望ましくない。なぜなら，こうした変数は時間を通じて全ての財に共通の価格のトレンドはコントロールできるかもしれないが，差別化された財間の価格の違いは説明できないからである。したがって，時間を通じてのみ変化する変数だけを操作変数として用いると，内生変数である価格と操作変数の相関は小さくなり，weak instrument の問題が生じやすいと考えられる。

## B ランダム係数ロジットモデル (Random Coefficient Logit Model)

本章で紹介した入れ子ロジットモデルは，ロジットモデルによって生じるIIAの問題を緩和するモデルであるものの，事前にどのような形でグループ分けを行うかの情報が必要である。しかしながら，対象とする市場によっては適当なグループ分けを行うことが出来ないため，分析の結果得られる需要関数が適当な需要構造を反映していない可能性がある。ランダム係数ロジットモデルでは，事前にどのようなグループ分けが適当であるかの情報を必要とせず，観察された品質 $ x_{jk} $ の車種間の近さに応じて代替関係が異なることを許容したモデルである $ ^{41} $ 。また，Cardell（1997）が示したように，入れ子ロジットモデルはランダム係数ロジットモデルの特殊ケースを表現することができるため，より一般性の高いモデルであることが知られている。

ここでは，所得に対する限界効用が一定，つまり所得効果のない準線形の効用関数ではなく，Berry, Levinsohn, and Pakes（1995）による所得効果を伴う効用関数 $ ^{42} $ を想定する。このとき，効用関数は以下のように定式化される。

$$ u_{i j}=\alpha\ln\big(y_{i}-p_{j}\big)+\sum_{k=1}^{K}\beta_{i k}x_{j k}+\xi_{j}+\epsilon_{i j} $$

まず，右辺の第1項の $ y_{i}-p_{j} $ は自動車以外の財への支出であり，効用関数上に対数線形で入るものとする。よって，(14)式においては所得の限界効用はαで一定であるのに対し，上式では，所得の限界効用は所得水準に応じて変化する $ ^{43} $ 。

なお，実際の推定では，以下のような一次のマクローリン近似を用いた定式化がしばし
ばなされる。

$$ \alpha\ln\big(y_{i}-p_{j}\big)\approx-\alpha_{i}p_{j},\alpha_{i}\equiv\frac{\alpha}{y_{i}} $$

上式から明らかなように，所得の低い消費者は価格に対する限界不効用が大きい，つまり価格の高い財を好まない傾向がある一方，所得の高い消費者は価格の限界不効用が小さく，高価格の財を選びやすい傾向があることが分かる。以降では，(45)式の効用関数の右辺第1項は(46)式として説明をする。

続いて（45）式の右辺の第2項に注目しよう。各財の品質に係る係数は，（14）式と異なり，インデックスiが付いている。消費者ごとに品質に対する係数が異なることは，消費者の品質に対する嗜好の異質性が存在することを許容する特定化であることを意味している。ここで，この係数を以下のように特定化しよう。

$$ \beta_{i k}=\beta_{k}+\sigma\nu_{i k} $$

$ \beta_{k} $ は消費者ごとに共通の品質 $ x_{k} $ に対する係数で， $ \nu_{ik} $ は消費者ごとに異なる品質 $ x_{k} $ に対する嗜好を表す。 $ \nu_{ik} $ は（独立に同一の）標準正規分布に従うと仮定することが多い。この仮定の下では， $ \beta_{ik} $ は平均 $ \beta_{k} $ ，分散 $ \sigma_{k}^{2} $ の正規分布に従うことになる。ここで，推定するパラメーターは $ \beta_{k} $ 及び $ \sigma_{k} $ となる。なお， $ \sigma_{k} $ がゼロをとる場合，ランダム係数ロジットモデルは全ての消費者について共通の係数を持つ通常のロジットモデルに一致することになる。

なお，$\sigma_{k}$ がゼロをとる場合，ランダム係数ロジットモデルは全ての消費者について共通の係数を持つ通常のロジットモデルに一致することになる。

ランダム係数を理解するために，例えば， $ x_{k} $ が自動車の室内の広さを表す変数だとしたとき，その係数 $ \beta_{ik} $ がどのような意味を持つのかを考察する。通常，平均的に消費者はより広い室内を持つ自動車を好むと考えられるので，全ての消費者について共通である $ \beta_{k} $ は正の値をとることが予想される。ただし，室内の広さに関する好みは消費者ごとに異なると考えられる。まず， $ \sigma_{k}>0 $ としよう。このとき，消費者によっては家族が多く，より広い室内の自動車を好む，つまり $ \nu_{ik}>0 $ となるだろう。一方，一人暮らしの消費者にとっては室内の広さはそれほど重要ではないかもしれない。そのような属性を持つ消費者は $ \nu_{ik}<0 $ であるだろう。このように，ランダム係数ロジットモデルでは，消費者ごとに品質に対する係数が異なることで，異なるタイプの消費者間の選択行動の違いを捉えることができるのである。

なお，ここでの例で挙げたように，消費者の世帯員数といった属性の違いが係数に違いをもたらすと予想される場合，係数に直接家族の世帯員数といった変数を加えることも可能である。消費者iの家族の世帯員数を $ D_{i} $ とすると， $ \beta_{ik} $ は以下のように書き換えられる。
$$ \beta_{i k}=\beta_{k}+\pi_{k}D_{i}+\sigma_{k}\nu_{i k} $$

ここで，$\pi_{k}$ は世帯員数に係るパラメーターであり，世帯員数が多い消費者ほど室内の広い自動車を好む場合には $\pi_{k} > 0$ となる。

(48) 式を（45）式に代入すると，効用関数は以下のように書き換えることができる。

$$ \begin{aligned}u_{ij}&=\sum_{k}\beta_{k}x_{jk}+\xi_{j}-\alpha_{i}p_{j}+\sum_{\mathrm{k}}(\pi_{k}D_{i}+\sigma_{k}\nu_{ik})x_{jk}+\epsilon_{ij}\\&=\delta_{j}+\mu_{ij}+\epsilon_{ij}\end{aligned} $$

ここで,

$$ \sigma_{j}=\sum_{k}\beta_{k}x_{j k}+\xi_{j},\mu_{i j}=-\alpha_{i}p_{j}+\sum_{k}(\pi_{k}D_{i}+\sigma_{k}\nu_{i k})x_{j k} $$

となる。 $ \sigma_{j} $ はこれまでとおり，財 j の消費から得られる全ての消費者について共通である平均効用を表し， $ \mu_{ij} $ は消費者ごとに異なる財 j に対する嗜好を表している。

$ \epsilon_{ij} $ を独立に同一の第Ⅰ種極値分布に従うと仮定すると, 消費者 i が財 j を選択する確率は,

$$ s_{ij}=\frac{e^{\delta_{j}+\mu_{ij}}}{1+\sum_{l}e^{\delta_{l}+\mu_{il}}} $$

となる。

なお，集計データでは，あくまで各財の販売台数や価格，品質に関する情報のみが利用可能であり，どの属性の消費者がどの財を選んだかという個人の選択行動が観察できているわけではない $ ^{44} $ 。そこで，ランダム係数モデルにおいては，市場において存在する消費者の世帯員数の分布，所得の分布などの人口動態に係る分布の情報などを用いて以下のように各財のシェアの計算を行う。

$$ s_{j}=\int_{y}\mathrm{~}\int_{D}\mathrm{~}\int_{\nu}\mathrm{~}s_{i j}d P_{\nu}(\nu)d P_{D}(D)d P y(y) $$

ここで， $ P_{y}(\cdot) $ は消費者（家計）の所得の累積分布関数， $ P_{D}(\cdot) $ は消費者の属性の累積分布
関数， $ P_{v}(\cdot) $ は標準正規分布の累積分布関数を表している。これら人口属性の分布は，たとえば国勢調査などの集計結果から得ることが可能である。ランダム係数ロジットモデルによって得られた需要関数の下での自己・交差価格弾力性は以下のように導出できる。

$$ \begin{aligned}\frac{\partial s_{j}}{\partial p_{r}}\frac{p_{r}}{s_{j}}\begin{cases}-\frac{p_{j}}{s_{j}}\int_{y}\int_{D}\int_{\nu}\alpha_{i}s_{ij}\big(1-s_{ij}\big)dP_{\nu}(\nu)dP_{D}(D)dP_{y}(y)&if j=r\\\frac{p_{j}}{s_{j}}\int_{y}\int_{D}\int_{\nu}\alpha_{i}s_{ir}s_{ij}dP_{\nu}(\nu)dP_{D}(D)dP_{y}(y)&otherwise\end{cases}\end{aligned} $$

ランダム係数ロジットモデルでは，自己弾力性・交差弾力性は関連する財の品質の近さに応じて異なる。特に，二つの財の品質が近ければ近いほど交差弾力性は大きくなる一方，小さければ交差弾力性は小さくなる。この点を理解するために，選択確率に係るウェイト $ w_{ij} \equiv \frac{s_{ij}}{s_j} $ を導入しよう。ここで， $ x_{jk}, x_{rk} $ がともに大きい値をとる財である場合， $ \nu_{ik} > (<) 0 $ である消費者は， $ s_{ij}, s_{ir} $ ともに大きい（小さい）値をとるだろう。このとき，平均的な消費者よりも高い（低い）確率で財 j を選択することになるので， $ w_{ij} > (<) 1 $ となる。したがって，ランダム係数ロジットモデルにおける交差弾力性は， $ \nu_{ik} > 0 $ で $ s_{ir} $ が大きい消費者については 1 より大きいウェイトで，一方 $ \nu_{ik} < 0 $ で $ s_{ir} $ の小さい消費者については 1 より小さいウェイトで計算がなされることになる。一方で，通常のロジットモデルの場合には，消費者ごとに財の選択確率が異ならないため，全ての消費者について $ w_{ij} = 1 $ が成立する。よって，異なるウェイトを持つランダム係数モデルは，すべてウェイトが 1 をとる通常のロジットモデルと比較して，財 j と財 r の交差弾力性は大きくなるのである。

### B.1 推定式

Berry（1994）が示すように，一般的な離散選択モデルのクラスにおいて，任意の非ゼロのシェアベクトル $ \mathbf{s} = (s_{1}, \ldots, s_{J})' $ を再現する平均効用ベクトル $ \boldsymbol{\delta} = (\delta_{1}, \ldots, \delta_{J})' $ が一意に存在することが知られている。したがって，ランダム係数ロジットモデルでもロジットモデル，入れ子とロジットモデルと同様に， $ \delta_{j} $ に含まれる $ \xi_{j} $ を誤差項とする推定式を考えることをできる。よって，第6節で説明したように，観察不可能な品質 $ \xi_{j} $ に関する積率条件を用いて推定を行うことができる。

ただし，ロジットモデル，入れ子ロジットモデルでは，(21)式，(27)式に示されている通り，平均効用$\delta_{j}$は解析的に導出できたのに対し，ランダム係数ロジットモデルでは，解析的に推定式を導出することはできない。そこで，Berry, Levinsohn, and Pakes（1995）は$\mu_{ij}$上のパラメータ一$\boldsymbol{\theta}\equiv(\alpha,\pi,\sigma)$が与えられた下で，観察されたシェア$\pmb{s}$と対応する$\pmb{\delta}$を縮小写像（contraction mapping）法により，計算する方法を提示した。つまり，平均効用$\pmb{\delta}$をパラメータ一$\pmb{\theta}$の関数$\pmb{\delta}(\pmb{\theta})$と表現できるので，推定式は，
$$ \xi_{j}(\pmb{\theta},\pmb{\beta})=\delta_{j}(\pmb{\theta})-\mathbf{x}_{j}^{\prime}\pmb{\beta} $$

とできる。なお，$\boldsymbol{\beta}=(\beta_{1},\ldots,\beta_{K})^{\prime},\quad\mathbf{x}_{j}=(x_{j1},\ldots,x_{jK})^{\prime}$ である$^{45}$。

### B.2 推定方法

それでは次に，集計データを用いたランダム係数ロジットモデルの推定方法について説明する $ ^{46} $ 。

このとき，第6節で議論したように， $ E[z\xi]=0 $ を満たすような操作変数zを用いることで，一般化最小二乘法により，パラメーター $ (\theta,\beta) $ の推定値を得ることができる。ここではL個の操作変数が利用可能であるとしよう。推定に用いる操作変数の候補は第6節と同様にみつければよい。

操作变数行列 $ \mathbf{Z}=(\mathbf{z}_{1},\ldots,\mathbf{z}_{L}) $ ， $ \mathbf{z}_{l}=(z_{1l},\ldots,z_{Jl})' $ とすると，GMM 推定量は，

$$ \left(\widehat{\boldsymbol{\theta}},\widehat{\boldsymbol{\beta}}\right)=\arg\min_{\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\beta}}\boldsymbol{\xi}(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\beta})^{\prime}\mathbf{Z}\mathbf{W}\mathbf{Z}^{\prime}\boldsymbol{\xi}(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\beta}) $$

となる。ただし，Wはweighting matrix $ (L \times L) $ である $ ^{47} $ 。また，上記の最適化問題から，

$$ \widehat{\boldsymbol{\beta}}\big(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\big)=(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{Z}\mathbf{W}\mathbf{Z}^{\prime}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{Z}\mathbf{W}\mathbf{Z}^{\prime}\delta\big(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\big) $$

が得られる。ここで，$\mathbf{X}=(\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}_{K})$ である。上式は$\widehat{\beta}$ は$\widehat{\theta}$ の関数となることを示しているので，実際に分析を行う場合には，$\theta$ のみについての非線形の最適化問題を解けばよいことになる。

ここでまでの推定方法の説明では，$\delta(\boldsymbol{\theta})$ があるものとして推定量を記述したが，前節で言及したように，ランダム係数ロジットモデルでは，解析的に$\delta_{j}$ を導出することはできない。以下ではBerry, Levinsohn, and Pakes（1995）が提示した$\delta_{j}$ の計算方法を説明した上で，モデルの推定の手順をまとめる。
#### B.2.1 BLP's contraction mapping

Berry, Levinsohn, and Pakes (1995) は任意の $ \mu_{ij} $ のパラメータ一 $ \theta $ について，観測されたシェア s と一致する $ \delta $ を縮小写像（contraction mapping）法により計算できることを示した。

$$ \pmb{\delta}^{h+1}=\pmb{\delta}^{h}+\ln\pmb{s}-\ln\pmb{s}(\pmb{\delta}^{h};\pmb{\theta}) $$

上記ではまず，適当に平均効用の初期値 $ \boldsymbol{\delta}^{0}=(\delta_{1}^{0},\ldots,\delta_{J}^{0})^{\prime} $ を定めて， $ \boldsymbol{s}(\boldsymbol{\delta}^{h};\boldsymbol{\Theta}) $ を（52）式を用いて計算し， $ \delta^{1} $ を計算する。もし $ \delta^{0} $ と $ \delta^{1} $ の差が許容水準である（ごく小さい値をとる） $ \epsilon $ よりも大きい場合には $ \delta^{1} $ を $ \delta^{2} $ を用いて計算する。上記のプロセスを繰り返し， $ \delta^{h+1} $ と $ \delta^{h} $ の差が $ \epsilon $ よりも小さくなるときの $ \delta^{h} $ を所与のパラメーター $ \theta $ における平均効用，つまり $ \boldsymbol{\delta}(\boldsymbol{\Theta}) $ とすることができる。繰り返し計算の初期値はロジットモデルにおける平均効用，つまり $ \delta_{j}^{0}=\ln(s_{j})-\ln(s_{0}) $ を用いることが多い。

なお，ここでは Berry, Levinsohn, and Pakes (1995) に基づく平均効用の計算方法を紹介したが，近年こうした繰り返し計算を伴わずに推定を行う，MPEC（mathematical program with equilibrium constraints）と呼ばれるアルゴリズムを適用する方法も開発されている。詳しくは，Dube, Fox, and Su (2012) を参照せよ。

以上の繰り返し計算を行うには，各財のシェアを計算する必要があるが，(52)式から明らかなように，シェアの計算を行う場合，y，D，νについての積分を計算しなければならない。こうした積分は解析的に計算することはできないため，通常シミュレーションを用いて近似を行う方法が用いられる。シミュレーションのプロセスは以下のとおりである。まず，y，D，νに関する（既知の）分布から $ (y,D,\nu_{1},\ldots,\nu_{K}) $ をR回抽出する。次に，抽出した $ \{y^{r},D^{r},\nu_{1}^{r},\ldots,\nu_{K}^{r}\}_{r=1}^{R} $ を用いて，各財のシェアを以下のように近似する。

$$ \tilde{s}_{j}(\boldsymbol{\delta}^{h};\boldsymbol{\theta})=\frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R}\frac{\exp\left(\delta_{j}^{h}-\frac{\alpha}{y^{r}}p_{j}+\sum_{k}(\pi_{k}D^{r}+\sigma\nu_{k}^{r})x_{jk}\right)}{1+\sum_{l=1}^{J}\exp\left(\delta_{l}^{h}-\frac{\alpha}{y^{r}}p_{l}+\sum_{k}(\pi_{k}D^{r}+\sigma\nu_{k}^{r})x_{lk}\right)} $$

縮小写像を適用する場合，このようにして得られた $ \tilde{\mathbf{s}}(\mathbf{\delta}^{h};\mathbf{\Theta}) $ を（52）式における $ \mathbf{s}(\mathbf{\delta}^{h};\mathbf{\Theta}) $ に置き換えて計算を行えばよい。

#### B.2.2 推定手順のまとめ

まず，パラメーターの初期値 $ \theta^{0} $ を設定し，以下のステップで推定を行えばよい。

1. 所与の $ \theta^{m} $ のもとで，BLP's contraction mapping より $ \delta(\boldsymbol{\theta}^{m}) $ を計算し，

2. $ \delta(\theta^{m}) $ を用いて，GMM 目的関数

$$ \xi\big(\boldsymbol{\theta}^{m},\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{\theta}^{m})\big)^{\prime}\mathbf{Z}\mathbf{W}\mathbf{Z}^{\prime}\xi\big(\boldsymbol{\theta}^{m},\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{\theta}^{m})\big)=\big(\boldsymbol{\delta}(\boldsymbol{\theta}^{m})-\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{\theta}^{m})\big)^{\prime}\mathbf{Z}\mathbf{W}\mathbf{Z}^{\prime}\big(\boldsymbol{\delta}(\boldsymbol{\theta}^{m})-\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{\theta}^{m})\big) $$