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## 2 均衡解

以下では上記の基本モデルを後方から解く。

## (1) 第三段階

第三段階で両企業が $ (S, b) $ を所与として，応用技術の開発投資 $ D_{1}, D_{2} $ を選択し，その場合の企業1の期待利潤は以下のとおりである。

$$ \begin{aligned}\Pi_{1}&=P_{D}(D_{1},D_{2})(1+f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})+P_{D}(D_{2},D_{1})b\big\{(1+f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})-S\big\}\\&+P_{D}(D_{2},D_{1})(1-b)(1+f_{R}-f_{D})\pi(c_{2},c_{2})\\&+\{1-P_{D}(D_{1},D_{2})-P_{D}(D_{2},D_{1})\}(1+f_{R})\pi(c_{1},c_{1})-D_{1}\end{aligned} $$

したがって，一階の条件は以下のようになる。

$$ \begin{aligned}&(\frac{\partial P_{D}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}})\left\{(1+f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})-(1+f_{R})\pi(c_{1},c_{1})\right\}\\ &\\&+\frac{\partial P_{D}(D_{2},D_{1})}{\partial D_{1}}b\left\{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\right\}\\ &\\&+\frac{\partial P_{D}(D_{2},D_{1})}{\partial D_{1}}\left\{(1+f_{R}-f_{D})\pi(c_{2},c_{2})-\right.\left.(1+f_{R})\pi(c_{1},c_{1})\right\}-1=0\\ \end{aligned} $$

(1)式を $ F(D_{1},D_{2})=0 $ と置き，二階の条件 $ \partial F/\partial D_{1}<0 $ も満たされると仮定する。すなわち，企業1は

① 自分の投資が限界的に増加すると，自分の改良発明に関する成功確率が上昇することによる期待利潤の増分（第一項目）と，

② 自分の投資が限界的に増加すると，相手の改良発明に関する成功確率が下落することによる期待利潤の増分（第二項目，第三項目）と

③ 限界投資費用（第四項目）

を考慮して，投資額 $ D_{1} $ を決定する。

なお，第二項目における $ \{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\} $ は，企業2が改良発明に成功した場合に，その技術がグラントバック条項の範囲内にある場合と，範囲外にある場合との企業1の利潤の差になる。

また，第三項目における $ (1+f_{R}-f_{D})\pi(c_{2},c_{2})-(1+f_{R})\pi(c_{1},c_{1}) $ は，企業2が改良発明に成功し，かつその技術がグラントバック条項の範囲外にある場合と，企業1，2とも改良発明に失敗した場合の利潤の差である。

一方，企業2の期待利潤は以下のとおりである。

$$ \begin{aligned}\Pi_{2}&=P_{D}(D_{1},D_{2})\ (1-f_{R}-f_{D})\pi(c_{2},c_{2})+P_{D}(D_{2},D_{1})b\{(1-f_{R}-f_{D})\pi(c_{2},c_{2})+S\}\\&\quad+P_{D}(D_{2},D_{1})(1-b)\ (1-f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})\\&\quad+\{1-P_{D}(D_{1},D_{2})-P_{D}(D_{2},D_{1})\}\ (1-f_{R})\pi(c_{1},c_{1})-D_{2}\end{aligned} $$
したがって一階の条件は以下のようになる。

$$ \begin{aligned}&(\frac{\partial P_{D}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}})\left\{(1-f_{R}-f_{D})\pi(c_{2},c_{2})-(1-f_{R})\pi(c_{1},c_{1})\right\}\\ &\\ &-\frac{\partial P_{D}(D_{2},D_{1})}{\partial D_{2}}b\left\{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\right\}\\ &\\ &+\frac{\partial P_{D}(D_{2},D_{1})}{\partial D_{2}}\left\{(1-f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})-(1-f_{R})\pi(c_{1},c_{1})\right\}-1=0\\ \end{aligned} $$

(2)式を $ G(D_{1},D_{2})=0 $ と置き，二階の条件 $ \partial G/\partial D_{2}<0 $ も満たされると仮定する。企業2は，自分が改良発明のための投資を限界的に増大させると，

① 相手の成功確率を減らせること（第一項）

② 自分の成功確率が上昇すること（第二項，第三項）

③ 投資の限界費用（第四項）

を考慮に入れて、自らの投資額を決定する。

その際，第二項目における $ \{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\} $ は，企業2が改良発明に成功した場合に，その技術がグラントバック条項の範囲内にある場合と，範囲外にある場合の企業2の利潤の差になる。

また，第三項目における $ (1-f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})-(1-f_{R})\pi(c_{1},c_{1}) $ は，企業2が改良発明に成功し，かつその技術がグラントバック条項の範囲外にある場合と，企業1，2ともに改良発明に失敗した場合の利潤の差である。

## 補題 1

$\partial F/\partial D_{2}>(<)0$ かつ$\partial G/\partial D_{1}>(<)0$ であるとき，企業1，2の応用技術の開発のための投資$D_{1},D_{2}$ は戦略的補完（代替）の関係にあり，そのナッシュ均衡の安定性条件は以下のとおりである。

$$ \frac{\partial F/\partial D_{1}}{\partial F/\partial D_{2}}>\frac{\partial G/\partial D_{1}}{\partial G/\partial D_{2}} $$

(証明)

(1)式を $ F(D_{1},D_{2})=0 $ とおくと，反応関数の傾きは

$$ \frac{dD_{2}}{dD_{1}}=-\frac{\partial F/\partial D_{1}}{\partial F/\partial D_{2}} $$

分子は二階の条件より負であるから, $ \partial F/\partial D_{2}>(<)0 $ のとき,

$$ \frac{dD_{2}}{dD_{1}}>(<)0 $$

同様に, $ \partial G/\partial D_{1}>(<)0 $ のとき,
$$ \frac{dD_{2}}{dD_{1}}>(<)0 $$

また，均衡の安定性の条件は，

$$ \frac{\partial F/\partial D_{1}}{\partial F/\partial D_{2}}>\frac{\partial G/\partial D_{1}}{\partial G/\partial D_{2}} $$

企業1，2の改良技術開発投資 $ D_{1},D_{2} $ が戦略的補完（代替）の関係にあるとき，反応関数を図に示すと図1-1のように右上がりとなり，均衡の投資Dは，S及びbに依存し

$$ D_{1}^{*}(S,b)\quad D_{2}^{*}(S,b) $$

となる。

補題 2

$\{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<(>0$ のとき$b$ の上昇により$D_{1}$ の反応関数は右に，$D_{2}$ の反応関数は上方にシフトする。また$S$ の上昇により常に右あるいは上方にシフトする。

(証明)

(1)式を b で偏微分すると

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial P_{D}(D_{2},D_{1})}{\partial D_{1}}\left\{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\right\}\\ &\\ ここで \\ &\\&\frac{\partial P_{D}(D_{2},D_{1})}{\partial D_{1}}<0\\ \end{aligned} $$

したがって $ \{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<0 $ のとき企業1の改良技術開発投資 $ D_{1} $ の反応関数は右にシフトする。

(2)式についても同様。

$ \{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\} $ は，企業2が開発した応用技術がグラントバック条項の範囲内にあったときと範囲外にあったときの企業1の利潤の差である。これが負であるとき，範囲内にある方が企業1の利得は低くなることから，グラントバック条項の範囲bの上昇は企業2が応用技術開発に成功した場合の企業1の期待利潤を引き下げる。したがって，企業2の成功確率を減らそうとする誘因が上昇し $ D_{1} $ は上昇する。

また，買取り価格 S の上昇により，企業 2 が応用技術の開発に成功し，かつグラントバック条項の範囲内にあったときの企業 1 の利得は減少する。このことから，一般にグラントバック条項の範囲が広がれば，企業 2 の投資誘因が阻害されるのは買取り価格 S が小さい場合で，S が十分に大きい場合には，企業 2 の投資誘因はむしろ増大することが分かる。
さらに，(1)式を S で微分することにより，命題 1 が得られる。

命题 1

$$ \begin{aligned}D_{1},\quad&D_{2} が戦略的補完であるとする。\{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<(>)0\quad のとき \\&\frac{\partial D_{1}*(b,S)}{\partial b}>(<)0,\quad\frac{\partial D_{2}*(b,S)}{\partial b}>(<)0\end{aligned} $$

また，常に

$$ \frac{\partial D_{1}*(b,S)}{\partial S}>0,\quad\frac{\partial D_{2}*(b,S)}{\partial S}>0 $$

(証明)

$$ \frac{\partial D_{1}*(b,S)}{\partial b}=\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial D_{2}}\frac{\partial G}{\partial b}-\frac{\partial G}{\partial D_{2}}\frac{\partial F}{\partial b}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial D_{1}}\frac{\partial G}{\partial D_{2}}-\frac{\partial F}{\partial D_{2}}\frac{\partial G}{\partial D_{1}}} $$

上式の分母は正，分子は，$\left\{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<(>)0$ のとき，

$$ \frac{\partial G}{\partial b}>(<)\frac{\partial F}{\partial b}>(<)0 $$

また， $ \frac{\partial F}{\partial D_{2}}>0\frac{\partial G}{\partial D_{2}}<0 $ より

$$ \frac{\partial D_{1}*(b,S)}{\partial b}>(<)0 $$

同様に,

$$ \frac{\partial D_{2}*(b,S)}{\partial b}=\frac{\displaystyle\frac{\partial G}{\partial D_{1}}\frac{\partial F}{\partial b}-\frac{\partial F}{\partial D_{1}}\frac{\partial G}{\partial b}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial D_{1}}\frac{\partial G}{\partial D_{2}}-\frac{\partial F}{\partial D_{2}}\frac{\partial G}{\partial D_{1}}}>(<)0 $$

また， $ \frac{\partial G}{\partial S}>\frac{\partial F}{\partial S}>0 $ より

$$ \begin{aligned}\frac{\partial D_{1}*(b,S)}{\partial S}&=\frac{\frac{\partial F}{\partial D_{2}}\frac{\partial G}{\partial S}-\frac{\partial G}{\partial D_{2}}\frac{\partial F}{\partial S}}{\frac{\partial F}{\partial D_{1}}\frac{\partial G}{\partial D_{2}}-\frac{\partial F}{\partial D_{2}}\frac{\partial G}{\partial D_{1}}}>0\\\frac{\partial D_{2}*(b,S)}{\partial S}&=\frac{\frac{\partial G}{\partial D_{1}}\frac{\partial F}{\partial S}-\frac{\partial F}{\partial D_{1}}\frac{\partial G}{\partial S}}{\frac{\partial F}{\partial D_{1}}\frac{\partial G}{\partial D_{2}}-\frac{\partial F}{\partial D_{2}}\frac{\partial G}{\partial D_{1}}}>0\end{aligned} $$

(証明終)

$ \{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<0 $ である場合，前述のようにグラントバック条項の範囲 b の拡大によって両企業の反応関数は上方又は右方にシフトする。また，両社の改良技
術 D に対する投資が戦略的補完である場合，他社の投資が増えたときは自分の投資を増やすのが最適な戦略となる。したがって $ \{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<0 $ の場合，グラントバック条項の範囲 b の拡大により両企業の投資誘因は高まる。

ところが，両社の改良技術 D に対する投資が戦略的代替である場合，他社の投資が増加したとき，自分の投資は減らした方がよい。したがって，最終的に均衡の投資量が増大するか否かは，反応関数の形状，シフトの大きさに依存することになる。

$$ 図 2\quad 圓閣 \quad\{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<0 図の場合 $$

戦略的補完のケース

## (2) 第二段階

企業1はグラントバックの範囲bと買取り価格Sを決定する。その際，企業1が非常に低いSを提示し，企業2のグラントバック条項下での期待利潤がライセンスを受けない場合の利潤$\pi(c_{0},c_{1})$を下回る場合は，企業2はライセンスを受けない。

また，企業1は，単独で改良技術Dの開発を行う場合の期待利潤が，グラントバック条項を付したライセンスをした場合の期待利潤より大きい場合はライセンスしないため，企業1がライセンスするのは以下の条件を満たす場合である。

$$ \begin{aligned}&\Pi_{_{1}}(D_{_{1}}(S(b),b),D_{_{2}}(S(b),b),S(b),b)>P_{_{D}}(D_{_{1}},0)(1+f_{_{R}}+f_{_{D}})\pi(c_{_{2}},c_{_{2}})\\&+(1-P_{_{D}}(D_{_{1}},0))\pi(c_{_{1}},c_{_{0}})-D_{_{1}}\\ \end{aligned} $$

したがって，企業１は以下の最大化問題を解くことになる。
$$ MAX_{S,b}\quad\Pi_{1}(D_{1}(S,b),D_{2}(S,b),S,b)\\
s.t.\quad\Pi_{2}(D_{2}(S,b),D_{1}(S,b),S,b)=\pi(c_{0},c_{1})\quad\textcircled{1}0\leq b\leq1\\
\Pi_{1}(D_{1}(S,b),D_{2}(S,b),S,b)>P_{D}(D_{1},0)(1+f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})\\
+(1-P_{D}(D_{1},0))\pi(c_{1},c_{0})-D_{1} $$

条件①が常に等式で成立している場合 S は b の関数 $ S(b) $ として表せる。

条件 $ ^{①} $ より

$$ [\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{1}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial S}]d S+[\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{1}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial b}]d b=0 $$

また， $ \frac{\partial\Pi_{2}}{\partial D_{2}}=0 $ より以下を得る。

$$ \frac{dS}{db}=-\frac{[\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{1}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial b}]}{[\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{1}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial S}]} $$

分母は S を限界的に増やすことによる企業 2 の利潤の変化分を示し，分子は b を限界的に増加させたことによる企業 2 の利潤の変化分を示す。

(4)式が負となるのは，bを増大させたときの企業2の利潤への影響と，Sを上げたときの企業2の利潤への影響が同じ方向である場合である。このときbを限界的に上昇させると，企業2の利潤が上昇(下落)する場合，企業2に同じ利潤をもたらすためには，買取り価格Sを下げなければいけない。

逆に，(4)式が正となるのは，bを増大させたときの企業2の利潤への影響と，Sを上げたときの企業2の利潤への影響が違う方向である場合である。このときbを限界的に上昇させると，企業2の利潤が上昇(下落)する場合，企業2に同じ利潤をもたらすためには，買取り価格Sを上げなければいけない。

以下，簡単化のため，企業1が単独で改良技術Dの開発に取り組んだ場合の期待利潤が十分に小さいと仮定する。

$$ P_{D}(D_{1},0)(1+f_{R}+f_{D})\pi(c_{2},c_{2})+(1-P_{D}(D_{1},0))\pi(c_{1},c_{0})-D_{1}\cong0 $$

この場合，企業１の最大化問題を以下のように書き換えることができる。

$$ \begin{aligned}MAX_{b}\quad&\Pi_{1}(D_{1}(S(b),b),D_{2}(S(b),b),S(b),b)\\&\text{s.t.}\quad0\leq b\leq1\end{aligned} $$

以下で，この問題を解く。
$$ \begin{aligned}&L=\Pi_{1}(D_{1}(S(b),b),D_{2}(S(b),b),S(b),b)+\lambda_{1}b+\lambda_{2}(1-b)\\ &\\ &\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}}(\frac{\partial D_{1}}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial b}+\frac{\partial D_{1}}{\partial b})+\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}}(\frac{\partial D_{2}}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial b}+\frac{\partial D_{2}}{\partial b})\\ &\\ &\quad+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial b}+\lambda_{1}-\lambda_{2}=0\\ \end{aligned} $$

(5)式の第一項目は0であり(4)式を代入し以下の三つの均衡解が存在し得る。

ケース1

$ 0 < b^{*} < 1 $ のとき $ b^{*} $ は以下の解

$$ \begin{aligned}\frac{\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial b}}{\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial S}}&=\frac{\frac{\partial\Pi_{2}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{2}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial b}}{\frac{\partial\Pi_{2}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{2}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial S}}\end{aligned} $$

ケース 2

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial b}-\\ &\begin{aligned}\\ &\frac{(\frac{\partial\Pi_{2}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{2}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial b})(\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial S}}{\frac{\partial\Pi_{2}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{2}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial S}}<0\\ &\end{aligned}\\ \end{aligned} $$

のとき $ b^{*}=0 $

ケース3

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial b}-&\\&\frac{(\frac{\partial\Pi_{2}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{2}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial b})(\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{2}}\frac{\partial D_{2}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial S}}{\frac{\partial\Pi_{2}(D_{1},D_{2})}{\partial D_{1}}\frac{\partial D_{2}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{2}}{\partial S}}>0\end{aligned} $$

のとき $ b^{*}=1 $

上記の最大化問題の解を図示すると以下のとおりである。

企業1は，グラントバック条項を付すためには，企業2がライセンスを断った場合の利潤を保障する必要がある。このため，企業1は，企業2の利潤が$\pi(c_{0},c_{1})$の等利潤線上で企業1の利潤を最大になる$(S,\ b)$を選択する。
図 3-1 ケース 1 $ 0 < b^{*} < 1 $

図 3-2 ケース 2 $ b^{*}=0 $

$ b^{*} $ が 0 と 1 の間に存在するとき，企業 2 の等利潤線と企業 1 の等利潤線は図 2-1 のように $ b^{*} $ で接している。

## (3) 第一段 階

企業 i の期待利潤 Ω は以下のとおりである。

$$ \Omega=P_{_{R}}(R_{_{i}},R_{_{j}})\Pi_{_{1}}+P_{_{R}}(R_{_{j}},R_{_{i}})\Pi_{_{2}}+\{1-P_{_{R}}(R_{_{i}},R_{_{j}})-P_{_{R}}(R_{_{j}},R_{_{i}})\}\pi(c_{_{0}},c_{_{0}})-R i $$

一階の条件から，以下の関係が成立する。

$$ \frac{\partial P_{R}(R_{i},R_{j})}{\partial R_{i}}(\Pi_{1}-\pi(c_{0},c_{0}))+\frac{\partial P_{R}(R_{j},R_{i})}{\partial R_{i}}(\Pi_{2}-\pi(c_{0},c_{0}))-1=0 $$

したがって，自ら R の開発に成功した場合の期待利潤 $ \Pi_{1} $ が大きく，失敗した場合の期待利潤 $ \Pi_{2} $ が小さいほど，R の開発投資の規模は大きくなる。

ここで，第二段階より，失敗した場合の期待利潤 $ \Pi_{2} $ は，企業2の参加制約より $ \pi(c_{0},c_{1}) $ に等しいことから，R の開発投資規模は，R の開発が成功した場合の期待利潤 $ \Pi_{1} $ のみに依存する。

## 3 規制への示唆

グラントバック条項が画一的に規制され, ライセンサーが同条項を課すことに慎重になる $ (b=0) $ 場合と, 適切な規制の下で, ライセンサーは最適なグラントバック条項の範囲 b を選択できる場合とで期待利潤 $ \Pi_{1} $ を比較すると, ライセンサーは最適な b を選択できる場合の方が $ \Pi_{1} $ が大きい。したがって, 以下の命題が得られる。
## 命题 2

ライセンシー及びライセンサーが1社ずつ存在している場合, グラントバック条項が形式的・画一的に規制されると, 基礎技術 R の開発のための投資水準は常に減少する。

また, 企業1と企業2が, 改良発明 D の開発のために行う研究開発投資が戦略的補完であり, $ 2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S*(b^{*})<0 $ であるとき, グラントバック条項を適切に規制し, 最適なグラントバックの範囲 b が選択される場合, 基礎技術 R の開発のための投資水準のみならず, 改良発明 D の開発のための投資水準も増大する。

命題２の直観的理由を述べると以下のようになる。

$ \{2f_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\} $ は，企業2が開発した応用技術がグラントバック条項の範囲内にあったときと範囲外にあったときの企業1の利潤の差である。これが負であるとき，改良技術がグラントバック条項の範囲内にある方が企業1の利潤は低くなることから，グラントバック条項の範囲bの拡大は，企業2が応用技術開発に成功した場合の企業1の期待利潤を引き下げる。したがって，企業2の成功確率を減らそうとする誘因が上昇し $ D_{1} $ は上昇する。逆に，このとき，企業2の利潤は改良技術がグラントバック条項の範囲内にある方が企業2の利潤は高くなることから，グラントバック条項の範囲の拡大は，企業2が成功した場合の企業2の期待利潤を引き上げ，企業2の改良技術開発投資を高めるのである。

また，グラントバック条項が禁止された場合よりも自由に範囲を選択できた方が，ライセンサーの利潤は高まり，言い換えると，基礎技術に成功することによる果実が増大する。したがって，グラントバック条項の禁止により，基礎的技術開発投資は減少する。

さらに，もし，買取り価格 S の水準が低くて，改良技術の権利を譲渡せずロイヤリティをライセンサーから受け取る場合よりも，改良技術をライセンサーに譲渡しロイヤリティをライセンサーに支払う場合の方がライセンシーの利得が低い場合，グラントバック条項の対象となる改良発明の範囲 b を拡大すると，ライセンサーとライセンシーともに，改良発明の投資のインセンティブが低くなる。なぜなら，ライセンサーは，自分が成功できず相手が成功したときに低い価格で買い取れるのなら，投資をするインセンティブが減少する。ライセンシーについては，たとえ改良発明に成功しても，得られる便益は小さいことから，改良発明 D の開発のために研究開発投資を行おうとするインセンティブが低くなる。

以上の分析は，ライセンシーが1社のみのケースであるが，現実には，多数のライセンシーがおり，改良技術開発競争を行っている。そこで，次章で，基本モデルをライセンシーが多数存在するケースに拡張を行う。
## 第2章 ライセンサーに権利が譲渡されるグラントバック（タイプ1）

## 1 モデル

第1章のモデルを，ライセンシーがn社存在するケースに拡張する。D技術，R技術の性質，企業の選択変数，ゲームの構造などは，第1章のモデルと全て同じものを想定する。また，全ての企業の1単位当たりの生産費用が $ c_{i}(i=0,1,2) $ であるときの各社の利潤を $ \pi(c_{i}) $ と示すことにする。さらに，n社あるので，成功確率は以下のように定義をし直す。

## (成功確率の定義)

企業 $i$ による技術 $\mathbb{R}$ に対する投資額を $R_{i}$ で示し，技術 $\mathbb{R}$ に関する企業 $i$ の成功確率を $P_{R}(R_{i};R_{1},R_{2},..,R_{j}..R_{n})\quad i\neq j$ とする。

全ての企業が失敗する場合もあるので,

$$ \sum_{i=1}^{i=n}P_{_{R}}(R_{_{1}},...R_{_{n}})<1 $$

であり，自社の投資額により自社の成功確率は上昇するが，他社の投資額は自社の成功確率を下落させる。すなわち，

$$ \frac{\partial P_{R}(R_{i},R_{j})}{\partial R_{i}}>0\quad\frac{\partial P_{R}(R_{i},R_{j})}{\partial R_{j}}<0\quad(i=1,2i\neq j,) $$

である。

また，同様に改良技術 $D \sim$ の企業 $i$ による投資額を $D_{i}$ で示し，技術 $D$ に関する企業 $i$ の成功確率を，$P_{D}(D_{i}, D_{i})$ とし，

$$ \begin{aligned}\sum\ P_{D}(D_{i},D_{j},D\ldots)<1\quad\frac{\partial\ P_{D}(D_{i},D_{j})}{\partial D_{i}}>0\quad\frac{\partial\ P_{D}(D_{i},D_{j})}{\partial D_{j}}<0\ $ i=1,2,\ldots n\ i\neq\ j,\ )\end{aligned} $$

であるものとする。

さらに，企業 i の投資の増額により全企業の成功確率の和は上昇するものとすると，

$$ \sum_{i\neq j}\frac{\partial P_{D}(D_{j},D_{1},...D_{j}...D_{n})}{\partial D_{i}}+\frac{\partial P_{D}(D_{i},D_{1},...D_{j}...D_{n})}{\partial D_{i}}>0 $$

である。
以上から，展開型ゲームは図４のようになる。

図4

## 2 均衡解

第2節で紹介したゲームを後方から解く。第三段階では, 全企業が $ (S, b) $ を所与として, 応用技術の開発投資 $ D_{1}, D_{i} $ を選択する。

企業１の期待利潤は,

$$ \begin{aligned}&\Pi_{1}=P_{D}(D_{1},D_{2},D_{i},....D_{n})\left\{1+(n-1)(f_{R}+f_{D})\right\}\pi(c_{2})\\ &\\&+\sum_{i\neq1,j\neq i}\left[P_{D}(D_{i},D_{1},..D_{j},...D_{n})b\left\{1+(n-1)(f_{R}+f_{D})\right\}\pi(c_{2})-S\right\}\\ &\\&+P_{D}(D_{i},D_{1},D_{3},....D_{n})(1-b)\left(1+(n-1)f_{R}-f_{D}\right)\pi(c_{2})]\\ &\\&+\left\{1-\sum_{i=1}^{n}P_{D}(D_{i:},D_{1},D_{2},...D_{n})\right\}(1+(n-1)f_{R})\pi(c_{1})-D_{1}\\ \end{aligned} $$

となるので，一階の条件は

$$ (\frac{\partial P_{_{D}}(D_{_{1}},D_{_{2}},...D_{_{n}})}{\partial D_{_{1}}})[\{1+(n-1)(f_{_{R}}+f_{_{D}})\}\pi(c_{_{2}})-\{1+(n-1)(1+f_{_{R}})\}\pi(c_{_{1}})\}] $$
$$ \begin{aligned}&+\sum_{i=2,i\neq j}\frac{\partial P_{_{D}}(D_{_{i}},D_{_{1}},...D_{_{j}}...D_{_{n}})}{\partial D_{_{1}}}b\left\{nf_{_{D}}\pi(c_{_{2}})-S\right\}\\ &\\&+\sum_{i=2,i\neq j}\left[\frac{\partial P_{_{D}}(D_{_{i}},D_{_{1}},,,,D_{_{j}},D_{_{n}})}{\partial D_{_{1}}}\left\{(1+(n-1)f_{_{R}}-f_{_{D}})\pi(c_{_{2}})\right.\right.\\ &\\&\left.\left.-(1+(n-1)f_{_{R}})\pi(c_{_{1}})\right\}-1=0\right.\\ \end{aligned} $$

である。

(7)式を $ F(D_{1},D_{2},\ldots,D_{n})=0 $ と置き，二階の条件 $ \partial F/\partial D_{1}<0 $ も満たされると仮定する。すなわち，企業1は，

① 自分の投資が限界的に増加すると，自分の改良発明に関する成功確率が上昇することによる期待利潤の増分（第一項目）と，

② 自分の投資が限界的に増加すると，他社の改良発明に関する成功確率が下落することによる期待利潤の変化（ただし，Sが（第二項目，第三項目）と

③ 限界投資費用（第四項目）

を考慮して，投資額 $ D_{1} $ を決定する。

なお，第二項目における $ \{nf_{D}\pi(c_{2})-S\} $ は，企業 i が改良発明に成功したとき，その技術がグラントバックの範囲内にある場合とない場合の企業 1 の利潤の差になる。また，第三項目における $ \{1+(n-1)f_{R}-f_{D})\pi(c_{2})-(1+(n-1)f_{R})\pi(c_{1})\} $ は，企業 i が改良発明に成功しかつその技術がグラントバック条項の範囲外である場合と全ての企業が失敗した場合の利潤の差である。

一方，企業 i の期待利潤は

$$ \begin{aligned}\Pi_{i}&=P_{D}(D_{1},D_{2},...D_{n})\ (1-f_{R}-f_{D})\pi(c_{2})\\&\quad+P_{D}(D_{i},D_{1},..D_{j},..D_{n})b\ \{(1-f_{R}-f_{D})\pi(c_{2})+S\}\\&\quad+P_{D}(D_{i},D_{1},..D_{j},..D_{n})\ (1-b)\ \{1-f_{R}+(n-1)f_{D}\}\pi(c_{2})\\&\quad+\sum_{j\neq2,j\neq i}\ [P_{D}(D_{j},D_{1},..D_{i},...D_{n})(1-f_{R}-f_{D})\pi(c_{2})\\&\quad+\{1-\sum_{i=1}^{n}\ P_{D}(D_{i},D_{1},D_{2},...D_{n})\}\ (1-f_{R})\pi(c_{1})-D_{i}\end{aligned} $$

となるので，一階の条件は

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial P_{_{D}}(D_{_{1}},D_{_{2}},....D_{_{i}}...D_{_{n}})}{\partial D_{_{i}}}\left\{(1-f_{_{R}}-f_{_{D}})\pi(c_{_{2}})-(1-f_{_{R}})\pi(c_{_{1}})\right\}\\ &\\&-\frac{\partial P_{_{D}}(D_{_{i}},D_{_{1}},....D_{_{j}}...D_{_{n}})}{\partial D_{_{i}}}b\left\{nf_{_{D}}\pi(c_{_{2}})-S\right\}\\ \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}&+\frac{\partial P_{D}(D_{i},D_{1},...D_{j},..D_{n})}{\partial D_{i}}\left(1-f_{R}+(n-1)f_{D}\right)\pi(c_{2})-\quad(1-f_{R})\pi(c_{1})\}\\ &\\&+\sum_{j=2,i\neq j}\left[\frac{\partial P_{D}(D_{j},D_{1},.,.,,D_{n})}{\partial D_{i}}\left\{(1-f_{R}-f_{D})\pi(c_{2})-(1-f_{R})\pi(c_{1})\right\}\right.\\ &\\&\left.-1=0\quad(10)\right.\\ \end{aligned} $$

である。

(10)式を $ G_{i}(D_{1},D_{2},\ldots,D_{n})=0 $ と置き, 二階の条件 $ \partial G_{i}/\partial D_{i}<0 $ も満たされると仮定する。

企業 i は，自分が改良発明のための投資を限界的に増大させると，

① 企業 1 の成功確率を減らせることによる企業 $ i \sim $ の利潤への影響（第一項）,

② 自分の成功確率が上昇すること（第二項，第三項），

③ 投資の限界費用（第四項）

を考慮に入れて投資額を決定する。

なお，第二項目における $ \{nf_{D}\pi(c_{2})-S\} $ は，企業 i が改良発明に成功したとき，その技術がグラントバック条項の範囲内にある場合とない場合の企業 i の利潤の差になる。また，第三項目における $ (1-f_{R}+f_{D})\pi(c_{2})-(1-f_{R})\pi(c_{1})\} $ は，企業 i が改良発明に成功しかつその技術がグラントバック条項の範囲外である場合と全企業が失敗した場合の利潤の差である。

補題 3

$$ \partial F/\partial D_{i}>(<)0 かつ \quad\partial G_{i}/\partial D_{1}>(<)0\quad\partial G_{i}/\partial D_{j}>(<)0 $$

術開発投資は戦略的補完（代替）の関係にある。またナッシュ均衡の安定性の条件は,

$$ \frac{\partial F/\partial D_{i}}{\partial F/\partial D_{1}}\frac{\partial G_{i}/\partial D_{1}}{\partial G_{i}/\partial D_{i}}<1,\quad\frac{\partial G_{i}/\partial D_{j}}{\partial G_{i}/\partial D_{i}}\frac{\partial G_{j}/\partial D_{i}}{\partial G_{j}/\partial D_{j}}\quad<1\quad(i\neq j) $$

である。

証明

企業1の改良発明 $ D_{1} $ に関する反応関数の傾きは

$$ \frac{\partial D_{1}}{\partial D_{i}}=-\frac{\partial F/\partial D_{i}}{\partial F/\partial D_{1}} $$

となる。

分子は二階の条件より負であるから, $\partial F/\partial D_{i}>(<)0$ のとき

$$ \frac{\partial D_{1}}{\partial D_{i}}>(<)0 $$

同様に, $ \partial G_{i}/\partial D_{1}>(<)0 $ のとき,
$$ \frac{\partial D_{i}}{\partial D_{1}}>(<)0 $$

また均衡の安定性の条件は，全ての反応関数の傾きの積が1未満であることから，

$$ \frac{\partial F/\partial D_{i}}{\partial F/\partial D_{1}}\frac{\partial G_{i}/\partial D_{1}}{\partial G_{i}/\partial D_{i}}<1,\quad\frac{\partial G_{i}/\partial D_{j}}{\partial G_{i}/\partial D_{i}}\frac{\partial G_{j}/\partial D_{i}}{\partial G_{j}/\partial D_{j}}\quad<1\quad(i\neq j) $$

(証明終)

企業1，企業iの改良技術開発投資 $ D_{1},D_{i} $ はS,bに依存し $ D_{1}^{*}(S,b) $ ， $ D_{i}^{*}(S,b) $ と示すことができる。

## 補題 4

$$ \{nf_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<(>)0\quad のとき , $$

$$ D_{1}\not\mathcal{O} $$

$$ D_{i} $$

$$ S\mathcal{O} $$

$$ にシフ $$

証明

(2)式を b で偏微分すると

$$ \frac{\partial F}{\partial b}=\sum_{i=2,i\neq j}\ \frac{\partial P_{D}(D_{i},D_{1},....D_{j}...D_{n})}{\partial D_{1}}\ \{nf_{D}\pi(c_{2})-S\} $$

が得られる。

$$ \frac{\partial P_{_{D}}(D_{_{i}},D_{_{1}},...D_{_{j}}...D_{_{n}})}{\partial D_{_{1}}}<0 $$

より，$\{nf_{D}\pi(c_{2})-S\}<0$ のとき

$$ \frac{\partial F}{\partial b}>0 $$

となり $ D_{1} $ の反応関数は右にシフトする。

(4)式についても同様に

$$ \frac{\partial G}{\partial b}=-\frac{\partial P_{_{D}}(D_{_{i}},D_{_{1}},...D_{_{j}}...D_{_{n}})}{\partial D_{_{i}}}\{nf_{_{D}}\pi(c_{_{2}})-S\}>0 $$

となる。

$ \{nf_{D}\pi(c_{2})-S\} $ は，企業 i が開発した応用技術がグラントバック条項の範囲内にあったときと範囲外であったときの企業 1 の利潤の差である。これが負であるときは，グラントバック条項の範囲内にあった方が企業 1 の利得は低くなるため，グラントバック条項の範囲 b の上昇は，企業 i が応用技術の開発に成功した場合の企業 1 の期待利潤を下げる。したがって企業 i の成功確率を減らそうとするインセン
ティブが上昇し， $ D_{1} $ は上昇する。

また，買取り価格 S の上昇により，企業 i が応用技術の開発に成功し，かつグラントバック条項の範囲にあったときの企業 1 の利得は減少する。

なお，グラントバック条項の範囲を広げることは企業 i のインセンティブを大きく阻害すると考えられがちであるが，S が十分に高い場合，企業 i の投資インセンティブは増大する。

## 命题 3

全ての改良技術投資がお互いに戦略的補完であるとする。

その場合に，$\{nf_{D}\pi(c_{2},c_{2})-S\}<0$ のとき

$$ \frac{\partial D_{1}*(b,S)}{\partial b}>(<)0,\ \frac{\partial D_{i}*(b,S)}{\partial b}>(<)0 $$

また，常に

$$ \frac{\partial D_{1}*(b,S)}{\partial S}>0,\quad\frac{\partial D_{i}*(b,S)}{\partial S}>0 $$

証明

補論 A 参照。

$ \{nf_{D}\pi(c_{2})-S\}<0 $ である場合，前述のように，グラントバック条項の範囲 b の拡大により，各企業の反応関数は上方，あるいは右にシフトする。また，企業 1 と他企業との改良技術 D に対する投資が戦略的補完である場合は，他企業の投資が増えたとき，自分の投資を増やすのが最適な戦略となる。したがって， $ \{nf_{D}\pi(c_{2})-S\}<0 $ である場合，グラントバック条項の範囲 b の拡大により両企業の投資は高まる。

第二段階で，企業1はグラントバック条項の範囲bと買取り価格Sを決定する。

その際，企業1が非常に低い買取り価格を提示し，企業iのグラントバック条項下での期待利潤が，ライセンス契約非締結時の利潤$\pi(c_{0},c_{1},\ldots,c_{1})$ 以下である場合，企業iはグラントバック条項・ライセンス契約を締結しない。

さらに，企業1は，単独で改良技術Dの開発も取り組んだ場合の期待利潤の方が，グラントバック条項を付けたライセンス契約下での期待利潤よりも大きい場合，ライセンス契約を結ばない。したがって，

$$ \begin{align*}\Pi_{1}(D_{1}(S(b),b),...D_{i}(S(b),b),D_{n}(S(b),b),S(b),b)\\>P_{D}(D_{1},0)\{1+(n-1)(f_{R}+f_{D})\}\pi(c_{2})\\+(1-P_{D}(D_{1},0))\pi(c_{1},c_{0},....c_{0})-D_{1}\end{align*} $$

であるとき企業1はライセンス契約を結ぶ。したがって，企業1の最大化問題は以下のようになる。
$$ \begin{aligned}MAX_{S,b}\quad\Pi_{1}(D_{1}(S,b),D_{2}(S,b),\ldots D_{n}(S,b),S,b)\\ s.t.\\ \Pi_{i}(D_{i}(S,b),D_{1}(S,b),\ldots D_{j}(S,b),\ldots D_{n}(S,b),S,b)=\pi(c_{0},c_{1},c_{1,\ldots\ldots}c_{1})\quad j\neq i\\ 0\leq b\leq1\\ \Pi_{1}(D_{1}(S(b),b),\ldots D_{i}(S(b),b),D_{n}(S(b),b),S(b),b)\\ >P_{D}(D_{1},0)\{1+(n-1)(f_{R}+f_{D})\}\pi(c_{2})\\ +(1-P_{D}(D_{1},0))\pi(c_{1},c_{0},\ldots c_{0})-D_{1}\end{aligned} $$

条件①が常に等式で成立しているとすると，買取り価格 S をグラントバック条項の範囲 b の関数 $ S(b) $ として表すことができる。

条件①より

$$ [\sum_{j=1}^{j=n}\ \frac{\partial\Pi_{i}}{\partial D_{j}}\frac{\partial D_{j}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial S}]dS+[\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}\ \frac{\partial\Pi_{i}}{\partial D_{j}}\frac{\partial D_{j}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial b}]db=0 $$

と， $ \frac{\partial\Pi_{i}}{\partial D_{i}}=0 $ より，

$$ \frac{dS}{db}=-\frac{[\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial D_{j}}\frac{\partial D_{j}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial b}]}{[\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial D_{j}}\frac{\partial D_{j}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial S}]} $$

となる。

分母は S を限界的に増やすことによる企業 i の利潤の変化分を示し，分子は b を限界的に増加させたことによる企業 i の利潤の変化分を示す。

$$ \frac{dS}{db}<0 $$

となるのは，bを拡大させたときの企業iの利潤への影響と，Sを上げたときの企業iの利潤への影響が同じ方向である場合である。

このとき，bを限界的に拡大させると，企業iの利潤が上昇(下落)する場合，企業iに同じ利潤をもたらすためには，買取り価格Sを下げ（上げ）なければいけない。逆に，

$$ \frac{dS}{db}>0 $$

となるのは，bを拡大させたときの企業iの利潤への影響と，Sを上げたときの企業iの利潤への影響が違う方向である場合である。このとき，bを限界的に拡大させると，企業iの利潤が上昇（下落）する場合，企業iに同じ利潤をもたらすため
には，買取り価格 S を上げ（下げ）なければならない。

簡単化のために，企業1が単独で改良技術Rの開発に取り組んだ時の期待利潤

$$ P_{D}(D_{1},0)\{1+(n-1)(f_{R}+f_{D})\}\pi(c_{2})+(1-P_{D}(D_{1},0))\pi(c_{1},c_{0},....c_{0})-D_{1} $$

が十分に小さいと仮定すると, 企業1の最大化問題を以下のように書き換えることができる。

$$ \begin{aligned}M\ A\ \lambda&\quad\Pi_{1}(D_{1}(S(b),b),D_{2}(S(b),b),...D_{n}(,S(b),b),S(b),b)\\ s.t.\\&0\leq b\leq1\\&L=\Pi_{1}(D_{1}(S(b),b),D_{2}(S(b),b),...D_{n}(S(b),b),S(b),b)+\lambda_{1}b+\lambda_{2}(1-b)\\\frac{\partial L}{\partial b}=&\\&\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{i})}{\partial D_{1}}(\frac{\partial D_{1}}{\partial S}\frac{dS}{db}+\frac{\partial D_{1}}{\partial b})\\&+\sum_{i=2}^{i=n}\frac{\partial\Pi_{1}(D_{1},D_{i})}{\partial D_{i}}(\frac{\partial D_{i}}{\partial S}\frac{dS}{db}+\frac{\partial D_{i}}{\partial b})+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial S}\frac{dS}{db}+\frac{\partial\Pi_{1}}{\partial b}+\lambda_{1}-\lambda_{2}=0\end{aligned} $$

(7)式の第一項目は 0 であり，(6)式を代入することにより，以下の 3 種類の均衡解が存在し得る。

$ ^{*} $ $ b^{*}(0\frac{[\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial D_{j}}\frac{\partial D_{j}}{\partial b}+\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial b}]}{[\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial D_{j}}\frac{\partial D_{j}}{\partial S}+\frac{\partial\Pi_{i}}{\partial S}]}\end{aligned} $$

のとき $ b^{*}=1 $ が解となる。