最終期（T 期）における最小期待損失 $ \hat{V}_{T} $ が次の式で与えられる。

$$ \begin{aligned}\hat{\mathbf{V}}_{\mathrm{T}}=&\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}\left\{(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}})\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+\mathbf{b}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{g}_{\mathrm{T}}\right\}^{\prime}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\\&\left\{(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1})+\mathbf{b}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{g}_{\mathrm{T}}\right\}\text{·}-2\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}\\=&\mathbf{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}})\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+\\&2\mathbf{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}(\mathbf{G}_{\mathrm{T}}\mathbf{b}_{\mathrm{T}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T}})+\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}\\&+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{g}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{g}_{\mathrm{T}})\text{·}-2\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{g}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathbf{h}_{\mathrm{T}}\\&+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\quad(4\text{·}4\text{·}16)\end{aligned} $$

$ ^{\hat{V}}_{T} $ はモデルの線形近似式（4 - 4 - 8）が正確な場合、すなわち $ y_{T-1}=y_{T-1}^{0} $ のときのみ T 期における最小期待損失を正確に表わすことに注意せよ。最小期待損失を（4 - 4 - 16）で近似する場合、T - 1 期の終わりまでは $ y_{T-1}^{0} $ の値は未知なので、 $ y_{T-1}^{0} $ の値としては何らかの方法で得られた推定値を用い、その値のまわりで（4 - 4 - 8）と同様の線形化を行なうことになる。このとき、 $ y_{T-1}^{0} $ の推定値が $ A_{T} $ 、 $ C_{T} $ の計算に影響することに留意する必要がある。

次に、T-1期の最適化問題については、動的計画法の「最適性原理」より、XT-1について、

$$ \begin{aligned}\mathrm{V}_{\mathrm{T}-1}=&\mathrm{E}_{\mathrm{T}-2}(\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}-2\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{T}-1}+\\&\mathrm{a}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{T}-1}+\hat{\mathrm{V}}_{\mathrm{T}})\quad(4-4-17)\end{aligned} $$

を最小化すればよい。なぜならば、最終期の最適政策 $ x_{T} $ はすでに $ \hat{V}_{T} $ に含まれているからである。(4 - 4 - 16) を (4 - 4 - 17) に代入すれば、

$$ \begin{aligned}\mathrm{V}_{\mathrm{T}-1}=\mathrm{E}_{\mathrm{T}-2}(\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{H}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}-2\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{h}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}-1})\ $ 4-4-18)\end{aligned} $$

となる。ただしここで、

$$ \begin{aligned}\mathrm{H}_{\mathrm{T}-1}=&\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})\\=&\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{T}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{A}_{\mathrm{T}})+\mathrm{G}^{\prime}_{\mathrm{T}}(\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{A}_{\mathrm{T}})\\&\quad(4-4-19)\\\mathrm{h}_{\mathrm{T}-1}=&\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}(\mathrm{h}_{\mathrm{T}}-\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{b}_{\mathrm{T}})\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}=&\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})\mathrm{h}_{\mathrm{T}}-\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}\\&(\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{T}\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{b}_{\mathrm{T}})-\mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{T}\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{b}_{\mathrm{T}}))\\&(\text{4-4-20})\\\mathrm{C}_{\mathrm{T}-1}=&\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{b}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{b}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})\\-&2\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{b}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{h}_{\mathrm{T}}+\mathrm{a}^{\prime}\mathrm{t}-1\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\\&(\text{4-4-21})\end{aligned} $$

である。

（4 - 4 - 18）は添字 T - 1 を T に換えると（4 - 4 - 4）と同じである。つまり（4 - 4 - 4）以下の手続きは、添字 T を T - 1 に換えた（4 - 4 - 13）による最適解 $ x_{T-1} $ を求める手続きを繰り返すことにより、最後の2期（T 期、T - 1 期）の最小期待損失 $ \hat{V}_{T} $ は添字 T を T - 1 で置き換えた（4 - 4 - 16）により得られることがわかる。以上の手続きを t = T から t = 1 まで行なうことにより多期間の最適制御解の列 $ \{x_{1}, \ldots, x_{T}\} $ が得られる（開ループ解）。

いままでに述べた動的計画法による計量経済モデルの最適制御問題を得るアルゴリズム（最適制御シミュレーションのためのアルゴリズム）をまとめると以下のようになる。

ステップ 1 T 期にわたり制御変数ベクトル $ \tilde{x}_{1} $ 、…、 $ \tilde{x}_{T} $ の初期値を与える。未知パラメータおよび誤差項 $ \eta_{t} $ をそれぞれの期間ごとに期待値を置き換えた上で、計量経済モデルをガウス・ザイデル法によって解いて、内生変数の初期値 $ y_{1}^{0} $ 、…、 $ y_{T-1}^{0} $ を求める。

ステップ 2 それぞれの期 t (t = 1、…、T) においてモデルを (4 - 4 - 8) のように $ y_{t-1}^{0} $ 、 $ \tilde{x}_{t} $ のまわりでテイラー展開して、非線形モデルを線形近似する。

$$ \begin{aligned}\widetilde{\mathbf{y}}\mathbf{t}=&\widetilde{\mathbf{y}}\mathbf{t}+\mathbf{B}_{1\mathbf{t}}(\widetilde{\mathbf{y}}\mathbf{t}-\mathbf{y}\mathbf{t})+\mathbf{B}_{2\mathbf{t}}(\mathbf{y}\mathbf{t}-{\mathbf{\gamma}}\mathbf{y}^{0}\mathbf{t}-1)\\&+\mathbf{B}_{3\mathbf{t}}(\mathbf{x}\mathbf{t}-{\widetilde{\mathbf{\gamma}}}\mathbf{x}\mathbf{t})\quad(4-4-22)\end{aligned} $$

ここで $ \tilde{y}_{t} $ は、 $ y_{t-1}=y^{0}_{t-1} $ 、 $ \tilde{x}_{t}=x_{t} $ としたときの方程式