ない。攪乱項 u の分散共分散行例が(2.10)式で表わされる時，線形不偏推定量のクラスのなかで最も効率的な推定量は一般化最小二乗推定量となることが知られている。

(2.12) $ \hat{\beta}_{GLS} = [X'(\Sigma - 1 \otimes I)X] - 1X' $

$ (\Sigma^{-1} \otimes I)y $

ここで $ \sigma_{ij}=0(i\neq j) $ であれば, すなわちモデルに含まれる各方程式の攪乱項が互いに相関しないのであれば, 換言すると $ \Sigma $ が単位行列ならば、 $ \hat{\beta}_{GLS} $ は $ \hat{\beta}_{OLS} $ と一致する。 $ \Sigma $ が単位行列かどうかは尤度比を用いて検定することができる 3)。

Zellner and Huang (1962)は, $\hat{\beta}_{GLS}$ についていくつかの性質を明らかにしている。まず $\hat{\beta}_{GLS}$ が線形不偏推定量のクラスのなかで最も効率的な推定量であることが, 次のように証明される。いま $\beta$ の任意の線形不偏推定量を,

(2.13) $\tilde{\beta} = \left[ \left( X' \Sigma^{-1} X \right)^{-1} X' \Sigma^{-1} + C \right] y$

$= \beta + \left[ \left( X' \Sigma^{-1} X \right)^{-1} X' \Sigma^{-1} + C \right] u$

3) 帰無仮説 $ H_{0} : \Sigma $ は対角行列
となる。攪乱項 $ (\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \ldots, \boldsymbol{u}_{\mathrm{m}}) $ の各行が独立に平均 0 の正規分布に従うと仮定すると，帰無仮説 $ H_{0} $ は尤度比によって検定することができる。構造係数 $ \beta $ の最尤推定量を $ \beta_{ML} $ ，最小二乗推定量を $ \beta_{LOS} $ ，Z を先決変数の観測値行列とすると， $ \Sigma $ が対角行列でない場合の対数最大尤度は

$$
-\frac{T}{2} \log \left| \hat{\Sigma} a \right|, \text{ただし } \hat{\Sigma}_{a} = \left\{ \frac{1}{T} (y_{i} - \hat{\boldsymbol{u}}_{i}) \right\}
$$

$$
Z_{i} \hat{\beta}_{i \cdot ML}' (y_{j} - Z_{j} \hat{\beta}_{j \cdot ML}) \left\{
\begin{array}{ll}
i, & j = 1, 2, \cdots, m \\
\end{array}
\right.
$$

である。他方 $ \Sigma $ が対角行列である場合の対数最大尤度は，

$$
-\frac{T}{2} \log \left| \hat{\Sigma}_{0} \right|, \text{ただし } \hat{\Sigma}_{0} = \left\{ \frac{1}{T} (y_{i} - Z_{i}) \right\}
$$

$$
\hat{\beta}_{i \cdot LOS}' (y_{i} - Z_{i} \hat{\beta}_{i \cdot OLS}) \left\{
\begin{array}{ll}
i = 1, 2, \cdots, m \\
\end{array}
\right.
$$

である。 $ H_{0} $ より $ \hat{\Sigma}_{0} $ の非対角要素をゼロとすると，尤度比は

$$
\varphi = \operatorname{Tlog} \left\{ \frac{\left| \hat{\Sigma}_{0} \right|}{\left| \hat{\Sigma}_{a} \right|} \right\}
$$

で求まる。 $ \phi $ は $ H_{0} $ のもとで自由度が $ \Sigma $ の非対角要素の 1/2 の $ x^{2} $ 分布に従う。

とする。ここで C は，$CX \equiv 0$ となる $(K \times T)$ 行列である。(2.13) 式で表わされる線形不偏推定量の分散共分散行列は，

(2.14) $V(\tilde{\beta})$

$=E[(\tilde{\beta}-\beta)(\tilde{\beta}-\beta)^{\prime}]$

$=[(X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}+C]E(uu^{\prime})$

$=[(X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}+C]^{\prime}$

$=[(X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}+C]\Sigma$

$=[(X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}+C]^{\prime}$

$= (X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}+C\Sigma C^{\prime}$

となる。一方 $\hat{\beta}_{GLS}$ の分散共分散行列は，

(2.15) $V(\hat{\beta}_{GLS})$

$=E[(\hat{\beta}_{GLS}-\beta)(\hat{\beta}_{GLS}-\beta)^{\prime}]$

$= (X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}Euu\Sigma^{-1}X$

$= (X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}$

$= (X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}$

となる。ここで，$C\Sigma C^{\prime}$ は正值準定符号行列であるため，任意の $(mK \times 1)$ ベクトル $P$ について，

(2.16) $V(P^{\prime}\hat{\beta}_{GLS}) \leq V(P^{\prime}\tilde{\beta})$

が成立する。等号は $C=0$ の時に成立する。すなわち，$\hat{\beta}_{GLS}$ は任意の線形不偏推定量のクラスのなかで最も効率的な推定量となる。さらに，$\hat{\beta}_{GLS}$ を用いて予測する場合，この予測量は任意の線形不偏予測量のなかで予測誤差の分散共分散行列を最小にするという意味で最適な予測量となる。まず予測誤差 $e_{F}$ を次のように定義する。ただし添字 $F$ は予測であることを示す。

(2.17) $e_{F}=\tilde{y}_{F}-y_{F}$

ここで $\tilde{y}_{F}$ は，任意の線形不偏予測量による予測値とし，$y_{F}$ は実績値とする。$y_{F}$ は，

(2.18) $y_{F}=X_{F}\beta+u_{F}$

となる。いま任意の線形不偏予測量を，

(2.19) $\tilde{y}_{F}=X_{F}[X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}+C]y$

$=X_{F}\beta+X_{F}[(X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}+C]u$

とすれば，予測誤差 $e_{F}$ の分散共分散行列は，

$V(e_{F})=E(e_{F}e_{F}^{\prime})$

(2.20) $E[(\tilde{y}_{F}-y_{F})(\tilde{y}_{F}-y_{F})^{\prime}]$

$=E[X_{F}\{X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}$