式的には $ x_{T} $ について条件付き期待値(つまり、T-1期終わりまでの情報を条件とした条件付き期待値) $ V_{T} $ を最小にすることである。ここでは

$$ \begin{aligned}\mathrm{V}_{\mathrm{T}=}\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\mathrm{y}_{\mathrm{T}}-2\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\mathrm{a}_{\mathrm{T}}+\mathrm{a}_{\mathrm{T}}^{\prime}\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\mathrm{a}_{\mathrm{T}})\\ =\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{y}_{\mathrm{T}}-2\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{h}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}})\\ (4-4-4)\end{aligned} $$

の存在を仮定する。ただし簡単化のために

$$ \begin{aligned}H_{T}=K_{T},h_{T}=K_{T a T},C_{T}=a^{\prime}T K_{T a T}\ $ 4-4-5)\end{aligned} $$

とおいた。

計量経済モデルの1期のみに関する最適化問題は理論的には正確に解くことができる。つまり任意の$\mathrm{x}_{\mathrm{T}}$ に対して$\mathrm{y}_{\mathrm{T}}$ の確率分布は$\eta_{\mathrm{T}}$ の確率分布が与えられれば（4-4-2）より導くことができる。$\Phi$ が非線形ベクトル値関数のときには$\mathrm{y}_{\mathrm{T}}$ の分布を明示的に示すことは困難であるにしても、少なくとも数値的にはモンテカルロ法により計算できる。したがって$\mathrm{y}_{\mathrm{T}}$ に関する目的関数（4-4-4）の期待値も計算できるはずである。（4-4-4）式の期待値はいずれかの数値解析法により$\mathrm{x}_{\mathrm{T}}$ について最小にすることができる。その解$\mathrm{x}_{\mathrm{T}}$ は$\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}$ に依存することになるが、この依存関係を（制御理論にいうフィードバック則）が明示できれば、最後の2期（T期、T-1期）の最適制御問題において$\mathrm{x}_{\mathrm{T}}$ を除くことができる。その結果、2期間の最適制御問題を制御変数$\mathrm{x}_{\mathrm{T}-1}$ のみを含む1期の最適制御問題に帰着させることができる。したがって、多期間の最適制御問題を解くためには、フィードバック解の形の解で$\mathrm{x}_{\mathrm{T}}$ を$\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}$ の関数として表わすことが必要となる。しかしそのためには、線形近似を行なうことが必要となる。またモンテカルロ法を用いて$\eta_{\mathrm{T}}$ の分布から$\mathrm{y}_{\mathrm{T}}$ の分布を導出するためには多くの乱数を発生させなければならない。そして、$\eta_{\mathrm{T}}$ を発生させるたびに、ガウス・ザイデル法のような反復的数値解法を適用して$\mathrm{y}_{\mathrm{T}}$ を求めることが必要となる。

（4 - 4 - 4）式を最小とする解を求めるために（4 - 4 - 4）式を $ x_{T} $ で微分して 0 とおくと、

$$ \begin{aligned}\frac{\partial}{\partial\mathbf{X}_{\mathrm{T}}}&\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{y}^{\prime}\mathbf{T}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}}-2\mathbf{y}^{\prime}\mathbf{h}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}})\\=&\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}\left\{\frac{\partial}{\partial\mathbf{x}_{\mathrm{T}}}\right.\left.(\mathbf{y}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}}-2\mathbf{y}_{\mathrm{T}}\mathbf{h}_{\mathrm{T}})\right\}\\=&2\mathbf{E}_{\mathrm{T}-1}\frac{\partial}{\partial\mathbf{x}_{\mathrm{T}}}\left.(\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T}})=0\right.\end{aligned} $$

となる。ここで$\frac{\partial y^{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}}{\partial X_{\mathrm{T}}}$ はp次元ベクトル$y_{\mathrm{T}}$ のq次元ベクトル$x_{\mathrm{T}}$ による微分（ヤコビアン）を表わす$q\times p$ 行列である。いま、$y^{0_{\mathrm{T-1}}}$ を（暫定的に）与えた上で$\tilde{y}_{\mathrm{T}}$ を

$$ \begin{aligned}\widetilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{T}}=\Phi\left(\begin{array}{lll}\widetilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{T}}&\mathrm{y}_{\mathrm{0T}-1}&\widetilde{\mathrm{x}}_{\mathrm{T}}\end{array}\right)+\eta_{\mathrm{T}}\ $ 凍 \end{aligned} $$

の解とする。Φを$\tilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{T}}$、$\mathrm{y}^{0}_{\mathrm{T}-1}$、$\tilde{\mathrm{x}}_{\mathrm{T}}$のまわりでテイラー展開すれば、

$$ \begin{aligned}\widetilde{\mathrm{y}}\mathrm{~t=}\mathrm{y}_{\mathrm{T}}+\mathbf{B}_{1\mathrm{T}}(\mathrm{y}_{\mathrm{T}}-\mathrm{y}_{\mathrm{T}})+\mathbf{B}_{2\mathrm{T}}(\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}-\mathrm{y}^{0}_{\mathrm{T}-1})\\+\mathbf{B}_{3\mathrm{T}}(\mathrm{x}_{\mathrm{T}}-\widetilde{\mathrm{x}}_{\mathrm{T}})&(4-4-8)\end{aligned} $$

となる。ただし、

$$ \begin{aligned}&\mathrm{B}^{\prime}_{\mathrm{1T}}=\frac{\partial\Phi^{\prime}}{\partial\overline{\mathrm{y}_{\mathrm{T}}}}=\left(\begin{array}{ccc}\partial\Phi_{\mathrm{1}}&&\\ \partial\overline{\mathrm{y}_{\mathrm{T}}}&&\ldots&\\ \end{array}\right.\left.\begin{array}{c}\partial\Phi\mathrm{p}\\ \partial\overline{\mathrm{y}_{\mathrm{T}}}\end{array}\right)\\&\mathrm{B}^{\prime}_{\mathrm{2T}}=\frac{\partial\Phi^{\prime}}{\partial\overline{\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}}}\text{、}\mathrm{B}^{\prime}_{\mathrm{3T}}=\frac{\partial\Phi^{\prime}}{\partial\overline{\mathrm{x}_{\mathrm{T}}}}\quad(4-4-9)\end{aligned} $$

とし、すべての微分係数は$\widetilde{\mathbf{y}}_{\mathrm{T}}$、$\mathbf{y}_{\mathrm{T-1}}^{0}$、$\widetilde{\mathbf{x}}_{\mathrm{T}}$における値で計算されているとする。そうすると線形近似モデル（4-4-8）の誘導型は

$$ \begin{aligned}&y_{T}=A_{T}y_{T-1}+C_{T}x_{T}+b_{T}\quad&(4-4-10)\\& となる。ここで \end{aligned} $$