いて順次、 $ x_{t} $ と $ y_{t-1} $ のみたすべき関係式（フィードバック解）を定めていくところにある。このとき（4 - 2 - 12）の条件より各変数は線形モデル（4 - 2 - 7）にしたがっていることに注意せよ。解法としては t=T から（逆に）解いていくことになる。その手順としては、第 1 に、（4 - 2 - 10）を解いて $ \lambda_{t} $ を $ y_{t} $ の関数（1 次式）として表す。第 2 に、その式と（4 - 2 - 11）（4 - 2 - 12）を用いて $ x_{t} $ を求める。第 3 にそれらの結果を使って、 $ y_{t} $ と $ \lambda_{t} $ を $ y_{t-1} $ の関数として表す。すると、（4 - 2 - 10）で t を t - 1 とした形の関係式が得られる。以上の手続きを繰り返すことにより、順次 $ x_{t} $ と $ y_{t-1} $ の関係を決めてゆくことができる。具体的に式の形で示してみよう。まず最終段階 t=T では $ \lambda_{T+1}=0 $ に注意すれば、（4 - 2 - 10）より

$ \lambda_{T}=K_{T}\gamma_{T}-K_{T}\gamma_{T}=H_{T}\gamma_{T}-h_{T} $ （4 - 2 - 13）となる。ここで簡単化のために、 $ K_{T}=H_{T} $ 、 $ K_{T}\gamma_{T}=h_{T} $ とおいた。

これを（4 - 2 - 11）に代入して（4 - 2 - 12）を整理すれば、

$$ \begin{aligned}\mathbf{C}^{\prime}\mathrm{t}\lambda_{\mathrm{T}}=&\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}(\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T}})\\=&\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{x}_{\mathrm{T}}+\mathbf{b}_{\mathrm{T}})-\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{h}_{\mathrm{T}}\\=&(\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{A}_{\mathrm{T}})\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+(\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{C}_{\mathrm{T}})\mathbf{x}_{\mathrm{T}}\\&+\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{b}_{\mathrm{T}}-\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{h}\quad(4-2-14)\end{aligned} $$

したがって、

$$ \mathbf{x}_{\mathrm{T}}=\mathbf{G}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+\mathbf{g}_{\mathrm{T}} $$

となる。ただし、ここで

$$ \begin{aligned}&\mathrm{G}_{\mathrm{T}}{=}\;-\;(\mathrm{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{C}_{\mathrm{T}})^{-1}\mathrm{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{A}_{\mathrm{T}}\qquad(4\;-\;2\;-\;16)\\&\mathrm{g}_{\mathrm{T}}{=}\;-\;(\mathrm{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{C}_{\mathrm{T}})^{-1}\mathrm{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}(\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{b}_{\mathrm{T}}\;-\;\mathrm{h}_{\mathrm{T}})\\ \end{aligned} $$

とおいた(行列 C'THTCTは逆行列をもつものとする)。最終段階 T において (4 - 2 - 15) が yT-1 に基づいて xT を決める制御規則を与える。次に今の (4 - 2 - 15) を (4 - 2 - 12) またはもとのモデル (4 - 2 - 7) に代入すれば yT を yT-1 の関数として表すことができる。

$$ \begin{aligned}y_{T}=&(A_{T}+C_{T}G_{T})y_{T-1}+b_{T}+C_{T}g_{T}\\&(4-2-18)\end{aligned} $$

これを（4 - 2 - 13）に代入すれば $ \lambda_{t} $ も $ y_{T-1} $ の関数として書けて、

$$ \lambda_{\mathrm{T=H_{T}(A_{T}+C_{T}G_{T})y_{T-1}+H_{T}(b_{T}+C_{T}g_{T})-h_{T}}} $$

となる。

（4 - 2 - 10）でも t=T - 1 とした式は $ y_{T-1} $ 、 $ \lambda_{T-1} $ 、 $ \lambda_{T} $ の関係を与えるが、（4 - 2 - 19）により $ \lambda_{T} $ は $ y_{T-1} $ の関数（1 次式）で表せるので、これを代入して整理すれば、結局、 $ \lambda_{T-1} $ と $ y_{T-1} $ の関係が得られる。

$$ \begin{aligned}\lambda_{\mathrm{T-1}}=&\mathbf{K}_{\mathrm{T-1}}\mathbf{y}_{\mathrm{T-1}}-\mathbf{K}_{\mathrm{T-1}}\mathbf{a}_{\mathrm{T-1}}+\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{\tau}\lambda_{\mathrm{T}}\\=&\mathbf{H}_{\mathrm{T-1}}\mathbf{y}_{\mathrm{T-1}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T-1}}\end{aligned} $$

ただし、ここで簡単化のために、

$$ \mathbf{H}_{\mathrm{T}-1}=\mathbf{K}_{\mathrm{T}-1}+\mathbf{A}^{\prime}\mathrm{T}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}}) $$

$$ \mathbf{h}_{\mathrm{T}-1}=\mathbf{K}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{a}_{\mathrm{T}-1}-\mathbf{A}^{\prime}\mathrm{T}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}})+\mathbf{A}^{\prime}\mathrm{T}\mathbf{h}_{\mathrm{T}} $$

とした。

（4 - 2 - 20）は（4 - 2 - 13）で T を T - 1 にした形なので、（4 - 2 - 20）について今の手順を繰り返せば、 $ x_{T-1} $ と $ y_{T-2} $ の関係（つまり T - 1 期における制御規則）が得られる。以下同様にして $ x_{1} $ の得られるまで、これを繰り返せばよい。

#### 4.2.3 線形確率動学モデルの取扱い

次に、線形確率動学モデルの解法について考えよう。この場合は、次のようにして、問題を確定的な部分と確率的な部分との2つに分解することができる。取り扱うモデルを

$$ \mathbf{y_{t}=A_{t}y_{t-1}+C_{t}x_{t}+b_{t}+u_{t}} $$

とする。右辺の $ u_{t} $ 確率的な変動を表わす項であり、その期待値は 0 であるとすると、まず $ (4 - 2 - 23) $ を $ u_{t} $ について期待値をとって（別のいい方をすると、期待値は 0 なので、これを無視して）確定的なモデル

$$ \overline{\mathbf{y}}_{\mathrm{t}}=\mathbf{A}_{\mathrm{t}}\overline{\mathbf{y}}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{c}_{\mathrm{t}}\overline{\mathbf{x}}_{\mathrm{t}}+\mathbf{b}_{\mathrm{t}}\quad(\overline{\mathbf{y}}_{0}=\mathbf{y}_{0}) $$

が得られる。 $ y_{t} $ 、 $ x_{t} $ と各変数に をつけたのは、これらが上の確定モデルにしたがう変数であることを示すためである。次にもとの $ y_{t} $ とこ