Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
さが被説明変数の標本期間における最初の時点の大きさに比例するというものである。しかしながらこの仮定の根拠は明らかでない。推定に際して攪乱項の分散の大きさに関する仮定が誤まっている場合には，その推定量は不偏推定量であるが効率性の観点からすれば問題のあることが知られている。

最後に指摘する必要のある統計上の問題点は，いわゆる連立方程式モデルにおける同時性のバイアスについてのものである。貿易連関モデルの各方程式は輸出量あるいは輸入量を被説明変数とし，相対価格と所得要因を説明変数とする方程式であるが，各方程式の攪乱項がその方程式に含まれる説明変数と独立であると仮定することには問題がある。少なくとも，世界経済モデルのように同時性の高いモデルを推定する際には無視することのできない問題となる。このような同時性の生ずるモデルにおいては，一般に不偏推定量は存在せず，さらに最小二乗法や一般化最小二乗法では説明変数と攪乱項間の共分散が極限においてもゼロにならないことから一致推定量ですらないことが知られている。

本論文の目的は，Hickman－Lau 接近法とSamuelson－Kurihara 接近法の貿易連関モデルをとり上げ，上述した貿易連関モデルの推定の際に生ずるいくつかの統計的問題を考慮して再推定を行い，推定量相互の差異を明らかにすることである。

このために本分析においては，単純最小二乘法，三段階最小二乘法の特殊型である SUR 法および完全情報操作変数法の三推定法によりSamuelson－Kurihara 接近法および Hickman－Lau 接近法により定式化された貿易連関モデルを再推定し，推定法相互の予測パフォーマンスを比較する。ただし，ここでとりあげた両接近法に対して，比較は先決変数の完全な情報とモデルの構造が正しく設定されているという仮定のもとで係数の推定に使われた期間内と期間外の両期間のケースについて行う。なお両接近法間の予測パフォーマンスの比較については，天野・栗原・Samuelson（1980）を参照されたい。

2 章においては本論文で使われている貿易連関モデルおよび推定法について述べる。3章では，Samuelson－Kurihara 接近法および Hickman－Lau 接近法による貿易連関モデルを推定し，内挿期間と外挿期間によりテストするとともに推定法間の相対的予測パフォーマンスを比較評価する。ただし Hickman－Lau 接近法による貿易連関モデルについては現行の世界経済モデルでは採用されていない関係上詳細な分析には立ち入らず結果を示すにとどめる。最後の4章では Samuelson－Kurihara 接近法および Hickman－Lau 接近法の問題点も含め，予測精度の改善という観点から三推定法の比較結果について結論を与える。

## 第 2 章 貿易連関モデルおよび推定法

### 2.1 貿易連関モデル

Hickman－Lau 接近法による貿易連関モデルの各方程式は次のように表わすことができる。

$$ \begin{aligned}(2.1)\quad&X_{ij}-\alpha^{0}_{ij}M_{j}=-(\sigma_{j}\beta_{ij}X^{0}_{ij})\\&-\sigma_{j}(1-\delta_{j})\left\langle X^{0}_{ij}\left(PX_{ij}-PM_{j}\right)\right\rangle\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&-\sigma_{j}\left(\gamma_{ij}X^{0}_{ij}\right)\left\langle\begin{aligned}TIME\end{aligned}\right\rangle\\ &+\delta_{j}\left\langle X_{ij}-\alpha^{0}_{ij}M_{j}\right\rangle_{-1}+u_{ij}\\ &\quad i=1,2,\cdots,N\\ &\quad\left(\begin{aligned}j=1,2,\cdots,N\end{aligned}\right)\end{aligned} $$

$ X_{ij} $ ：第 i 国から第 j 国への実質輸出 $ (T \times 1 \text{ ベクトル}) $

$ M_{j} $ ：第j国の実質総輸入（ $ T \times 1 $ ベク
$$ \begin{aligned}& 卜儿 )\\\alpha_{ij}(=X_{ij}/M_{j}):& 第 j 輸入市場におけ \\& る第 i 国の実質輸出 \\& エア (T\times1 ベクト儿 )\\\alpha^{0}_{ij}:\alpha_{ij} の初期値 (T\times1 ベクト儿 )\\PX_{ij}:& 第 i 国から第 j 国への輸出価格 \\&(T\times1 ベクト儿 )\\PM_{j}:& 第 j 国の輸入価格 (T\times1 ベク \\& 卜儿 )\\u_{ij}\quad&: 攪乱項 \end{aligned} $$

本論文では，攪乱項 $ u_{ij} $ について，次のような仮定を置く。

$$ \begin{aligned}(2.2)\quad&E(u_{ij}u^{\prime}t s)=\left\{\begin{aligned}\sigma_{it}\cdot_{j}I_{T}(j=S)\\ 0\quad(j\neq S)\end{aligned}\right.\\&I_{T} は T\times T の単位行列 \end{aligned} $$

すなわち，第j国の輸入市場における各国からの輸入関数の攪乱項 $ u_{ij}\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ N) $ は同時点については相互に相関するが，異時点間については無相関とする。さらに，第j国の輸入市場における攪乱項は第S国の輸入市場におけるそれと同時点・異時点いずれについても互いに無相関であると仮定する。

従来用いられている Hickman—Lau 接近法の貿易連関モデルの推定に際しては,

$$ \sigma_{i t}\cdot_{j}=\left\{\begin{aligned}\sigma^{2}X^{0}_{i j}(i=t)\\ 0\quad(i\neq t)\end{aligned}\right. $$

との仮定に基づいていた。本論文の目的の一つは，方程式間の攪乱項の仮定について，仮定(2.3)を一般化した仮定(2.2)のもとで貿易連関モデルを再推定することである。

仮定(2. 2)にしたがえば，貿易連関モデルにおける方程式の全体系は各輸入市場ごとにN本の方程式群を一つのグループとするN個のグループに分割して推定することができる。

Hickman−Lau 接近法の貿易連関モデルにおいては，各国の輸入市場ごとに整合性を満たすための条件，すなわち $ \sum_{i=1}^{N}X_{ij}=M_{j} $ が仮定されている。この条件は，N 本の方程式が互いに独立した方程式でないことを意味している。それを第 j 国の輸入市場の各方程式を用いて説明すると次のようになる。

すなわち，(2.1) 式を $ i=1,2,\cdots,N $ について総計すれば，

$$ \begin{aligned}\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{X}_{ij}-\boldsymbol{M}_{j}\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{\alpha}^{0}_{ij}\\=&-\sigma_{j}\sum_{i=1}^{N}(\beta_{ij}\boldsymbol{X}^{0}_{ij})-\sigma_{j}(1-\delta_{j})\\\left[\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{X}^{0}_{ij}(\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}_{ij}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{M}_{j})\right]\\&-\sigma_{j}\sum_{i=1}^{N}(\gamma_{ij}\boldsymbol{X}^{0}_{ij})\left[\begin{array}{l}TIME\end{array}\right]\\&+\delta_{j}\left[\sum_{j=1}^{N}(\boldsymbol{X}_{ij}-\boldsymbol{\alpha}^{0}_{ij}\boldsymbol{M}_{j})_{-1}\right]+\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{u}_{ij}\end{aligned} $$

となるが, $\sum_{i=1}^{N}X_{ij}-M_{j}\sum_{i=1}^{N}\alpha_{ij}^{0}$ が恒等的にゼロとなるためには,

$$ \begin{aligned}&\sum_{i=1}^{N}\beta_{ij}\boldsymbol{X}^{0}{}_{ij}=0,\quad\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{X}^{0}{}_{ij}(\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}{}_{ij}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{M}{}_{j})=0\\&\sum_{i=1}^{N}\gamma_{ij}\boldsymbol{X}^{0}{}_{ij}=0,\quad\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{u}_{ij}=0\\ \end{aligned} $$

となることが必要である。このような制約条件が付加されるモデルを推定する場合は，N本の方程式のうち1本の方程式を除外し，残りの $ (N-1) $ 本の方程式について推定する方法が一般的である。この時，除外されたN番目の方程式の係数は，推定に用いられた $ (N-1) $ 本の方程式の係数から計算することができる。

Hickman－Lau 接近法の貿易連関モデル(2.1)を，整理して表わせば以下のようになる。

$$ \begin{aligned}&\tilde{X}_{ij}=\alpha_{ij}+b_{j}\big[\tilde{P}_{ij}\big]+c_{j}\big[TIME\big]\\ &+d_{j}\big[\tilde{X}_{ij-1}\big]+u_{ij}\\ &i\quad=1,2,\cdots,N\\ &\tilde{X}_{ij}=X_{ij}-\alpha^{0}_{ij}M_{j}\\ &\tilde{P}_{ij}=\big[\boldsymbol{X}^{0}_{ij}\left(\boldsymbol{P}\boldsymbol{X}_{ij}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{M}_{j}\right)\big]\\ &\boldsymbol{a}_{ij}&=-\sigma_{j}\beta_{ij}\boldsymbol{X}^{0}_{ij}\\ &\boldsymbol{b}_{j}&=-\sigma_{j}\left(1-\delta_{j}\right)\\ &\boldsymbol{c}_{ij}&=-\sigma_{j}\left(\gamma_{ij}\boldsymbol{X}^{0}_{ij}\right)\\ &\boldsymbol{d}_{j}&=\delta_{j}\\ \end{aligned} $$

を推定することと同値である。係数推定値を

$ \hat{a}_{ij}, \hat{b}_{j}, \hat{c}_{ij}, \hat{d}_{j} $ ，とすれば，
$$ \left\{\begin{array}{l}\hat{\alpha}_{N j}=-\sum_{i=1}^{N-1}\hat{\alpha}_{i j}\\ \hat{c}_{N j}=-\sum_{i=1}^{N-1}\hat{c}_{i j}\end{array}\right. $$

となる。(2.4)式は，係数に線形制約を課した多方程式線形回帰モデルとなっている。

一方 Samuelson - Kurihara 接近法による貿易連関モデルは，整合性を保ちながら二国間貿易を推定する Hickman - Lau 接近法と異なり，基本的には各国の実質輸出関数

$$ \begin{aligned}&\ln X_{i}=\beta_{0i}+\beta_{1i}\ln\sum_{j=1}^{n}\alpha^{0}_{ij}M_{j}\\ &+\beta_{2i}\ln(PX_{i}/PXC_{i})+\sum_{\ell=1}^{3}\beta_{(2+\ell)i}Q_{\ell}+u_{i}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&X_{i}\quad&: 第 i 国の実質輸出 \\&PX_{i}\quad&: 第 i 国の輸出価格 \\&PXC_{i}\quad&: 第 i 国の競争国輸出価格 \\&Q_{i}\quad&: 季節ダミー \\&u_{i}\quad&: 攪乱項 \\ \end{aligned} $$

を推定する。各国の輸出額の総計が各国の輸入額の総計に等しいという整合性の条件は RAS 法により満たされる。本論文では攪乱項 $ u_{i} $ について,

$$ E(u_{i}u^{\prime}{}_{j})=\sigma_{ij}I_{T} $$

と仮定する。すなわち，各国の輸出関数における攪乱項が互いに相関するとの仮定を置く。

### 2.2 Seemingly Unrelated Method

いま m 本の方程式からなる多方程式線形回帰モデルを次のように表わす。

$$ \begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}y_{1}=&X_{1}\beta_{1}+u_{1}\\y_{2}=&X_{2}\beta_{2}+u_{2}\\&\vdots\\y_{m}=&X_{m}\beta_{m}+u_{m}\\ ここに各 i=&1,2,\cdots,m に対し \end{aligned}\right.\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}y_{i}\quad&: 第 i 回帰式 \mathcal{O} 被說明变数 (T\times1\\&\mathcal{A} 応卜儿 )\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}X_{i}\quad&: 第 i 回帰式 \mathcal{O} 說明変数 (T\times K 行 \\&\quad 列 )\end{aligned} $$

$u_{i}$ : 第 $i$ 回帰式の攪乱項 ($T \times 1$ ベクトル)

$$ \begin{aligned}\beta_{i}\quad&: 第 i 回帰式 \mathcal{O} 係数 \mathcal{A} ラメ一夕 (K\\&\times1 ベクトル )\end{aligned} $$

とする。

(2.7)式は，次のようにひとまとめにして表わすこともできる。

$$ \begin{bmatrix}\boldsymbol{y}_{1}\\ \boldsymbol{y}_{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{y}_{m}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{X}_{1}&\boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{X}_{2}\\ &\ddots\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{X}_{m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_{1}\\ \boldsymbol{\beta}_{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{\beta}_{m}\end{pmatrix}+\begin{bmatrix}\boldsymbol{u}_{1}\\ \boldsymbol{u}_{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{u}_{m}\end{bmatrix} $$

ここで攪乱項 $ u_{i} $ について次の仮定を置く。

$$ \begin{aligned}\left\{\begin{array}{l}E(u_{i})=0\\E(X_{i}^{\prime}u_{j})=0\\E(u_{i}u_{j}^{\prime})=\sigma_{ij}I\\\quad i,j=1,2,\cdots,m\\ I\colon T\times T 処单位行列 \end{array}\right.\end{aligned} $$

(2.7) $ ^{\prime} $ 式を簡単に

$$ \begin{aligned}(2.9)\quad y=&X\beta+u\\&y:mT\times1 ベクトル \\&X:mT\times mK 行列 \\&u:mT\times1 ベクトル \end{aligned} $$

と表わせば，定義から攪乱項 u の分散共分散行列は，

$$ \mathrm{E}(uu^{\prime})=\left(\begin{aligned}&\mathfrak{o}_{11}I\mathfrak{o}_{12}I...\mathfrak{o}_{1m}I\\&\mathfrak{o}_{21}I\mathfrak{o}_{22}I...\mathfrak{o}_{2m}I\\&\cdots\\&\mathfrak{o}_{m1}I\mathfrak{o}_{m2}I...\mathfrak{o}_{mm}I\end{aligned}\right) $$

$$ \begin{aligned} ただし \Sigma=\left(\begin{aligned}&\mathfrak{O}_{11}\setminus\mathfrak{O}_{12}\ldots\mathfrak{O}_{1m}\\&\mathfrak{O}_{21}\setminus\mathfrak{O}_{22}\ldots\mathfrak{O}_{2m}\\&\ldots\\&\mathfrak{O}_{m1}\setminus\mathfrak{O}_{m2}\ldots\mathfrak{O}_{mm}\end{aligned}\right)\\&\otimes はクロネッカー積 \end{aligned} $$

となる。(2.10)式は，各方程式の攪乱項間に相関があることを示している $ ^{2} $ 。

ここで(2.9)式のパラメータ $ \beta $ の最小二乗推定量

$$ \hat{\beta}_{O L S}=(X^{\prime}X)^{-1}X^{\prime}y $$

は不偏推定量であるが，効率的な推定量となら
### 2.4 線形制約付推定法

Hickman - Lau 接近法による貿易連関モデルはモデルに含まれる各方程式の係数について線形制約を課して推定する必要がある。本節では, 一般的な線形モデルについて線形制約を課して推定する方法について述べる。この方法は, 経済企画庁経済研究所で開発され世界経済モデルの作成のために用いられているソフトウェアシステムである SIGMA (System for the Integrated Modeling and Analysis of Economics)をはじめ, 計量経済学的分析のための多くのソフトウェアシステムで採用されている。次の一般的な線形モデルについて考える。

(2.37) $ y = X\beta + u $

y: 被説明変数(T×1ベクトル)

X: 說明変数 $ T \times K $ 行列

u: 攪乱項(T×1ベクトル)

β：係数パラメータ(K×1ベクトル)

係数パラメータ $ \beta $ についての制約条件を次のように表わすことにする。

(2.38) $ A\beta=a $

A: $ \gamma \times K $ 行列

a : $ \gamma \times 1 $ ベクトル

A および a は制約を表わす既知係数行列である。ここでは簡単化のために A の階数を $ \gamma $ とする。

線形制約条件(2.38)に従って，線形モデル(2.37)式を推定する方法は次のとおりである。

まず$\gamma\times(K+1)$行列[A,a]をQR法で分解すれば次のようになる。

(2.39) $ Q[A, a]=[R_{1}, R_{2}, R_{3}] $

ここでQは\gamma\times\gammaの直交行列,

$ R_{1} $ は， $ \gamma\times\gamma $ の上三角行列， $ R_{2} $ は， $ \gamma\times(\mathbf{K}-\gamma) $ 行列であり， $ R_{3} $ は $ \gamma\times1 $ ベクトルである。

行列 Q を (2.38) 式の両辺にかけると,

(2.40) $ QA\beta=Qa $

となるが，(2.39)式のQR分解によれば，

(2.38)式は,

(2.41) $ R_{1}\beta_{1}+R_{2}\beta_{2}=R_{3} $

となる。ここで $ \beta' = [\beta'_{1}, \beta'_{2}] $ であり， $ \beta_{1} $ は，

$ \gamma \times 1 $ ベクトル， $ \beta_{2} $ は $ (\mathbf{K} - \gamma) \times 1 $ ベクトルである。

(2.41)式を $ \beta_{1} $ について解けば,

(2.42) $ \beta_{1} = -R_{1}^{-1} R_{2} \beta_{2} + R_{1}^{-1} R_{3} $

となる。いま， $ X=[X_{1},X_{2}] $ とし， $ X_{1} $ を $ T\times $ と $ \gamma $ 行列， $ X_{2} $ を $ T\times(K-\gamma) $ 行列とすれば，

(2.37)式は,

(2.43) $ y = X_{1}\beta_{1} + X_{2}\beta_{2} + u $

となるが, (2.43)式に(2.42)式で得られる$\beta_{1}$を代入し整理すれば,

$$ Y-X_{1}R_{1}^{-1}R_{3} $$

$$ =[X_{1},X_{2}]\begin{bmatrix}-R_{1}^{-1}R_{2}\\ I_{K}-\gamma\end{bmatrix}\beta_{2}+u $$

とすることができる。 $ I_{K}-\gamma $ は， $ (K-\gamma)\times(K-\gamma) $ の単位行列である。ここで

(2.45) $ \left\{\begin{aligned}f&=R_{1}^{-1}R_{3}\\ F&=\begin{bmatrix}-R_{1}^{-1}R_{2}\\ I_{K}-\gamma\end{bmatrix}\\ f&:\gamma\times1 ベク トル \\ F&:K\times(K-\gamma) 行列\end{aligned}\right. $

とし，さらに

(2.46) $ \left\{\begin{aligned}\tilde{Y}&=Y-X_{1}f\\ \tilde{X}&=XF\end{aligned}\right. $

$ \tilde{Y}:T\times1 $ ベクトル

$ \tilde{X}:T\times(K-\gamma) $ 行列

とすれば, (2.44)式は,

(2.47) $\widetilde{Y}=\widetilde{X}\beta_{2}+u$

となる。(2.47)式の$\widetilde{Y}$と$\widetilde{X}$は，観測されたデータ$Y$，$X$と制約行列$A$，$a$に依存し攪乱項$u$には依存しない。(2.38)式の線形制約条件のもとで，線形モデル(2.37)式を推定することは制約条件のない線形モデル(2.47)式を推定することと同値である。すなわち，$\gamma$個の独立した制約条件のもとでの線形モデルの推定は，$(K-\gamma)$個のパラメータ$\beta_{2}$を推定し(2.42)式で$\beta_{1}$を計算することと同じである。

線形制約 $ A\beta=a $ を仮説検定する場合は，統計量 F

$$ \begin{aligned}F=&\frac{(A\hat{\beta}-a)[A(X^{\prime}S^{-1}X)^{-1}A]^{-1}}{\hat{u}^{\prime}S^{-1}\hat{u}}\\&\underline{(A\hat{\beta}-a)}.\frac{mK-m}{\gamma}\end{aligned} $$

は，帰無仮説を $ A\beta = a $ とする時，自由度 $ (\gamma, $
$ mK-m) $ の F 分布にしたがう。ここで $ S=(\hat{\Sigma}\otimes I) $ である。

# 第 3 章 Samuelson-Kurihara 接近法および Hickman-Lau 接近法による貿易連関モデルの推定

### 3.1 Samuelson- Kurihara モデル

### 2.1 節で述べたように Samuelson-Kurihara

接近法による貿易連関モデル (Samuelson-Kurihara モデル) は 9 カ国・6 地域について次のよりな総輸出基本方程式で定式化が行われている（天野・栗原・Samuelson, 1980）。

$$ \begin{aligned}(3.1)\quad&\ln X_{i}^{t}=\alpha_{0i}+\alpha_{1i}\cdot\ln YV_{i}\\&+\alpha_{2i}\cdot\ln(\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}PX_{i}^{t-k}\left.\Big/PXC_{i}^{t-k}\right)\\&+\sum_{t=1}^{3}\alpha_{(2+\ell)i}\cdot Q_{\ell}^{t}\\&+u_{i}^{t}\end{aligned} $$

ただし

$$ (3,2)\quad YV_i = \sum_{j=1}^{15} a_{ij}^0 \cdot M_\ell^t \quad (i=1, 2, \ldots, 15) $$

である。(3.1)式および(3.2)式の主要変数記号は次のとおりである。

$X_{i}$ : 実質輸出

$a_{ij}^{0}$ : 第 $j$ 輸入市場における第 $i$ 国の実質輸出シェア（基準時）

$M_{j}$ : 実質輸入

$PX_{i}$ : 輸出価格

$PXC_{i}$ : 競争国輸出価格

$Q_{\ell}$ : 四半期ダミー変数

$u_{i}$ : 攪乱項

$i,j$ : 国および地域のインデックス

Samuelson-Kurihara 接近法の基本的な考え方は，9 カ国・6 地域の各輸出関数を実質輸入と相対価格によって推定し，世界輸出合計が世界輸入合計に一致するような調整を行なった上で，RAS 法を用いた機械的な変換により，二国間の実質輸出シェアを決定しようとするものである。その際,現行の Samuelson - Kurihara モデルでは，各輸出関数はシラー分布ラグ推定法により推定が行われている。しかし本分析にあたって，シラー分布ラグ推定量に関する同時推定理論が未研究であり推定手段が使えないため，各輸出関数は経験的なラグウェイトを与えることにより定式化を行っている。さらに本分析では，代替的推定法による予測パフォーマンスの比較評価に主眼を置いているので，世界輸入との調整および RAS 法による二国間輸出シェアの計算手続きは除き，15 本の輸出関数だけを考察の対象にしている。

本節で用いた Samuelson - Kurihara モデルを構成する 9 カ国・6 地域の各輸出関数を(3.3) - (3.17)式に示す。なお式の中で用いられる国・地域の略称は次のとおりである。

US (アメリカ)

UK (イギリス)

FR (フランス)

GE (西ドイツ)

IT (イタリア)

CA (カナダ)

JA (日本)

AL (オーストラリア)

KR (韓国)

AS (日本・韓国を除く東南アジア)

LA (中南米)

ME (中近東)

SC (社会主義国)

WE (その他の西欧)

RW (残余の世界)
1. アメリカ

$$ \begin{aligned}(3.3)\quad\ln X\textcircled{3}US&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\textcircled{3}US\\&+\alpha_{2}\cdot\ln\Biggl(\frac{1}{7}\sum_{i=0}^{6}PX\textcircled{3}US_{-i}\cdot w_{1i}\Biggr)+\alpha_{3}\cdot\ln\Biggl(\frac{1}{7}\sum_{i=0}^{6}PXC\textcircled{3}US_{-i}\cdot w_{2i}\Biggr)\\&+\alpha_{4}\cdot D743+\alpha_{5}\cdot D774\\&\begin{pmatrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{7}}}&{{{6}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{w_{2i}}}}&{{{7}}}&{{{6}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

2. イギリス

$$ \begin{aligned}(3.4)\quad\ln X\not\sim UK&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln\left(\frac{1}{7}\sum_{i=0}^{6}YV\not\sim UK_{-i}\cdot w_{1i}\right)\\&\quad+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{2}PX\not\sim UK_{-i}/PXC\not\sim UK_{-i}\cdot w_{2i}\right)\\&\quad\left(\begin{array}{ccccc}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{7}}}&{{{6}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{w_{2i}}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\\end{array}\right)\end{aligned} $$

3. フランス

$$ \begin{aligned}(3.5)\quad\ln X\textcircled{3}FR&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\textcircled{3}FR\\&\quad+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}PX\textcircled{3}FR_{-1}/PXC\textcircled{3}FP_{-i}\cdot w_{1i}\right)\\&\quad\left(\begin{array}{ccccc}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{array}\right)\end{aligned} $$

4. 西ドイツ

(3.6)

$$ \begin{aligned}\ln X\not\cong G E=&\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln\Biggl(\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{2}Y V\not\cong G E_{-i}\cdot w_{1i}\Biggr)\\&+\alpha_{2}\cdot\ln\Biggl(\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{2}P X\not\cong G E_{-i}\big/P X I N D_{-i}\cdot w_{2i}\Biggr)\\&+\alpha_{3}\cdot D773+\alpha_{4}\cdot D811+\alpha_{5}\cdot D801\end{aligned} $$

$$ \begin{pmatrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{w_{2i}}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix} $$

5. イタリア

$$ \begin{aligned}(3.5)\quad\ln X\not\sim IT=&\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\not\sim IT\\&+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{6}\sum_{i=0}^{5}PX\not\sim IT_{-i}/PXC\not\sim IT_{-i}\cdot w_{1i}\right)+\alpha_{3}\cdot D784+\alpha_{4}\cdot D791\\&\left(\begin{array}{ccccc}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{6}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\\end{array}\right)\end{aligned} $$

6. カナダ

$$ \begin{aligned}(3.5)\quad\ln X\textcircled{3}CA&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\textcircled{3}CA\\&\quad+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}PX\textcircled{3}CA_{-i}/PXC\textcircled{3}CA_{-i}\cdot w_{1i}\right)+\alpha_{3}\cdot TIME\\&\quad\left(\begin{array}{cccc}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}} \\\end{array}\right.\left.\begin{array}{cccc}{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{2}}}&{{{1}}} \\\end{array}\right)\end{aligned} $$
7. 日本

(3.9) $ \ln X \& JA = \alpha_{0} + \alpha_{1} \cdot \ln XGBP + \alpha_{2} \cdot D741 $

ただし XGBPは,

$$ \begin{aligned}1XGP&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\text{∵}JA+\alpha_{2}\cdot GFKIP\\&\quad+\alpha_{3}\cdot\ln\left(\frac{1}{6}\sum_{i=0}^{5}PXGBP_{-i}\big/\ PWMU_{-i}\cdot w_{1i}\right)\\&\quad+\alpha_{4}\cdot D733+\alpha_{5}\cdot D762+\alpha_{6}\cdot D763+\alpha_{7}\cdot D764\\&\quad\left(\begin{array}{ccccc}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{6}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\\end{array}\right)\end{aligned} $$

8. オーストラリア

$$ \begin{aligned}(3.10)\quad\ln X\textcircled{3}AL/YV\textcircled{3}AL)=&\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln P\textcircled{3}AL+\alpha_{2}\cdot\ln PXC\textcircled{3}AL+\alpha_{3}\cdot\ln(X\textcircled{3}AL_{-1}\\&YV\textcircled{3}AL_{-1})+\alpha_{4}\cdot D751+\alpha_{5}\cdot D752+\alpha_{6}\cdot D763+\alpha_{7}\cdot D783\\&+\alpha_{8}\cdot D794+\alpha_{9}\cdot D814\end{aligned} $$

9. 韓 国

$$ \begin{aligned}(3.11)\quad\ln X\textcircled{3}K R&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln Y V\textcircled{3}K R\\&+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}P X\textcircled{3}K R_{-\mathrm{i}}\cdot w_{\mathrm{1i}}\right)+\alpha_{3}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}P X I N D_{-\mathrm{i}}\cdot w_{2i}\right)\\&\quad\left(\begin{matrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{w_{2i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right)\end{aligned} $$

10. 日本・韓国を除く東南アジア

$$ \begin{aligned}(3.12)\quad\ln X\textcircled{3}A S&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln Y V\textcircled{3}A S\\&\quad+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}P X\textcircled{3}A S_{-i}/P X C\textcircled{3}A S_{-i}\cdot w_{1i}\right)+\alpha_{3}\cdot D813+\alpha_{4}\cdot D814\\&\quad\left(\begin{matrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right)\end{aligned} $$

11. 中南米

$$ \begin{aligned}(3.13)\quad\ln X\textcircled{3}LA=&\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\textcircled{3}LA\\&+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}PX\textcircled{3}LA_{-i}/PXC\textcircled{3}LA_{-i}\cdot w_{1i}\right)+\alpha_{3}\cdot D754+\alpha_{4}\cdot D784\\&\begin{pmatrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

12. 中 近 東

$$ \begin{aligned}(3.14)\quad\ln X\not\sim ME-\ln X\not\sim ME_{-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot(\ln YV\not\sim ME-\ln YV\not\sim ME_{-1})\\+\alpha_{2}\cdot\{D791\cdot(\ln YV\not\sim ME-\ln YV\not\sim ME_{-1})\}+\alpha_{3}\cdot\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{2}\{(\ln PX\not\sim ME_{-i}\\-\ln PX\not\sim ME_{-i-1})-(\ln PXC\not\sim ME_{-i}-\ln PXC\not\sim ME_{-i-1})\}\cdot w_{1i}\\+\alpha_{4}\cdot\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{2}\{D791\cdot(\ln PX\not\sim ME_{-i}-\ln PX\not\sim ME_{-i-1})\\-\ln PXC\not\sim ME_{-i}-\ln PXC\not\sim ME_{-i-1})\}\cdot w_{2i}\\\begin{pmatrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{w_{2i}}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\end{aligned} $$
13. 社会主義国

$$ \begin{aligned}(3.15)\quad\ln X\textcircled{3}SC&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\textcircled{3}SC\\&\quad+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}PX\textcircled{3}SC_{-i}/PXC\textcircled{3}SC_{-I}\cdot w_{1i}\right)+\alpha_{3}\cdot D724+\alpha_{4}\cdot D741\\&\quad\left(\begin{matrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\\end{matrix}\right)\end{aligned} $$

14. その他の西欧

$$ \begin{aligned}(3.16)\quad\ln X\textcircled{G}WE=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln YV\textcircled{G}WE+\alpha_{2}\cdot\ln\left[\frac{1}{9}\sum_{i=0}^{8}PX\textcircled{G}WE_{-i}/PXC\textcircled{G}WE_{-i}\cdot w_{1i}\right]\\\left(\begin{array}{ccccc}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}}&{{{6}}}&{{{7}}}&{{{8}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{9}}}&{{{8}}}&{{{7}}}&{{{6}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{array}\right)\end{aligned} $$

15. 残余の世界

(3.17)

$$ \begin{aligned}\ln X\textcircled{3} R W&=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot\ln Y V\textcircled{3} R W\\&+\alpha_{2}\cdot\ln\left(\frac{1}{5}\sum_{i=0}^{4}P X\textcircled{3}R W_{-i}/P X C\textcircled{3}R W_{-i}\cdot w_{1i}\right)+\alpha_{3}\cdot D733+\alpha_{4}\cdot D841\\&\quad\left(\begin{matrix}{{{i}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}} \\{{{w_{1i}}}}&{{{5}}}&{{{4}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right)\end{aligned} $$

Samuelson - Kurihara モデルでは, AL と ME の二構造方程式がラグ付内生変数を説明変数に含んでいる。したがって構造方程式が自己回帰式の性質をもち時系列モデルの特質が付くが, 時系列性質をもつ同時方程式モデルの理論的研究はほとんどされていないので, 以下の分析においても時系列構造をも含めた分析はしない。

#### 3.1.1 推定結果の比較

時系列データ特に貿易連関のようなデータを対象とする回帰分析においては，攪乱項 u が相互に無相関とする仮定を置くことには疑問がある。そこで貿易連関モデルを構成する各構造方程式の攪乱項 u に相関があるか否かを Samuelson - Kurihara モデルにより検証する。一般的に，線形回帰モデルにおいて攪乱項 u の測定は不可能であるが，計算可能な単純最小二乗残差 ε を攪乱項 u の推定値として攪乱項間の相関の有無をみる(表3.1参照)。

表 3.1 より 105 個の相関係数のうち 23 個に有意な相関が認められ攪乱項間 $ (\mathbf{u}_{\mathrm{i}} \perp \mathbf{u}_{\mathrm{j}} \quad [\mathrm{i} \neq \mathrm{j}]) $ との間)に相関があることが観測できる。なお，表中の数字の右肩に付けた $ ^{*} $ 印は，標本相関係数が自由度 $ n-2 $ の t 分布をすることから，有意水準 1% (2 つの*印)および 5%(1 つの*印)の t 検定で有意な相関係数であることを示している。

この結果は，単純最小二乗推定量が最小分散不偏推定量でありえるための攪乱項の確率分布に関する仮定——攪乱項 u の分散共分散行列は単位行列の定数倍すなわち $ \mathbf{E}(uu')=\sigma^{2}I $ ——がくずれ，攪乱項間には同時点において相関が存在し攪乱項の分散も一定ではないことを意味している。

攪乱項の同時点分散共分散行列をΣ, εをuの推定値とすると,

$$ V(\varepsilon)=E(u u^{\prime})=\sigma^{2}\Sigma $$

である。Σ=Iであるかぎり，上記仮定は満たされている。しかしΣの非対角要素が非零であるならば，攪乱項間に相関が存在し，またΣの対角要素が一定でないとすると攪乱項の分散は不均一となる。結局，Σ≠IのときΣを無視した線形回帰モデルの単純最小二乗推定量はもはや最小分散不偏推定量とはなりえず，その信頼性は大幅に低下することになる。Σの情報が利用可能な場合，それを利用したSUR推定量がより良い最小分散不偏推定量となる。

そこで3.1節に示したSamuelson—Kurihara
表 3.1 最小二乗残差の標本相関係数行列

推定・シュミレーション期間:1972QI-1982QIV
国・地域	US	UK	FR	GE	IT	CA	JA	AL	KR	AS	LA	ME	SC	WE	RW
US	1.00	0.19	0.03	0.04	0.05	0.34*	-0.09	0.31*	-0.05	0.05	-0.06	-0.04	0.12	0.07	0.14
UK	1.00	-0.17	0.12	0.13	-0.06	-0.09	0.07	0.04	-0.16	-0.39**	-0.18	0.27	-0.08	-0.09
FR	1.00	-0.03	0.35*	0.08	-0.33*	-0.05	-0.06	0.24	-0.03	-0.13	-0.22	0.61**	-0.06
GE	1.00	-0.03	-0.12	0.21	-0.09	0.57**	0.19	-0.03	0.02	0.36*	0.38*	-0.40**
IT	1.00	0.06	0.03	0.18	0.04	0.11	-0.20	-0.20	0.21	0.13	-0.31*
CA	1.00	0.05	0.50**	-0.04	-0.26	0.08	-0.33**	-0.09	0.03	0.04
JA	1.00	0.33*	0.56**	0.36*	0.26	-0.10	0.59**	-0.09	-0.46**
AL	1.00	0.23	0.10	0.21	-0.23	0.24	-0.05	-0.19
KR	1.00	0.38*	-0.03	-0.09	0.58**	0.23	-0.66**
AS	1.00	0.39**	-0.04	0.20	0.24	-0.16
LA	1.00	0.03	0.09	0.10	0.03
ME	1.00	0.10	-0.21	0.04
SC	1.00	0.11	-0.50**
WE	1.00	-0.20
RW	1.00

(注) $ ^{**} $ 1% で有意 $ ^{*} $ 5% で有意

表3.2 パラメータの推定結果（推定期間:1972 Q I-1982QIV）

方程式	パラメータ	OLS	SUR	FIIV	方程式	パラメータ	OLS	SUR	FIIV
US	$ \hat{\alpha}_{0} $	-1.0750 (-0.67)	-0.54234 (-0.37)	-0.60105 (-0.45)	$ R^{2} $	0.973	0.973	0.973
$ \hat{\alpha}_{1} $	1.0936 (8.27)	1.0489 (8.79)	1.0540 (9.51)	SE	0.029	0.029	0.029
$ \hat{\alpha}_{2} $	-0.81638 (-5.43)	-0.81454 (-6.20)	-0.82025 (-6.72)	DW	1.32	1.25	1.25
$ \hat{\alpha}_{3} $	0.76918 (5.71)	0.78081 (6.59)	0.78395 (7.12)	$ \hat{\alpha}_{0} $	1.1393 (1.95)	0.7706 (1.35)	0.7673 (1.39)
$ \hat{\alpha}_{4} $	-0.052956 (-1.75)	-0.057261 (-2.33)	-0.057676 (-2.53)	$ \hat{\alpha}_{1} $	0.82161 (17.50)	0.8433 (18.72)	0.84353 (19.40)
$ \hat{\alpha}_{5} $	-0.081821 (-2.77)	-0.070288 (-2.95)	-0.070253 (-3.18)	$ \hat{\alpha}_{2} $	-0.19019 (-2.70)	-0.16781 (-3.01)	-0.16722 (-3.11)
UK	R²	0.884	0.884
SE	0.038	0.038
DW	2.02	2.00