対応する Lagrange 乗数 Ht も行列の形で、

$$ \begin{aligned}L=&\Sigma_{\mathrm{\boldmath~t r}}(\mathrm{K t}\Gamma_{\mathrm{\boldmath~t~}})\mathrm{\boldmath~\cdot~}\Sigma_{\mathrm{\boldmath~t r~}}\{\mathrm{H t}\left(\Gamma_{\mathrm{\boldmath~t~}}-\mathrm{V}-\mathrm{R t}_{\mathrm{\boldmath~t~}}\right.\\&\left.\Gamma_{\mathrm{\boldmath~t~}}-1\mathrm{R}^{\prime}_{\mathrm{\boldmath~t~}}\right)\}\quad(4-2-42)\end{aligned} $$

となる。ここで（4-2-41）が対称行列なので H_{t} も対称行列と考えてよい。一般に、行列の微分については

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}G}\mathrm{tr}(\mathrm{BG})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}G}\mathrm{tr}(\mathrm{GB})=\mathrm{B}, $$

が成り立つことに注意すれば、Lを $ G_{t} $ 、「 $ t_{t} $ 、 $ H_{t} $ で微分して0とおいて、

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\mathrm{G}_{\mathrm{t}}}&=2\mathrm{C}^{\prime}_{\mathrm{t}}\mathrm{H}_{\mathrm{t}}\mathrm{A}_{\mathrm{t}}\Gamma_{\mathrm{t}-1}+2\mathrm{C}^{\prime}_{\mathrm{t}}\mathrm{H}_{\mathrm{t}}\mathrm{C}_{\mathrm{t}}\mathrm{G}_{\mathrm{t}}\Gamma_{\mathrm{t}-1}\\&=0\quad(4-2-44)\end{aligned} $$

$$ \frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\Gamma_{\mathrm{t}}}=\mathrm{K}_{\mathrm{t}}-\mathrm{H}_{\mathrm{t}}+(\mathrm{A}_{\mathrm{t}+1}+\mathrm{C}_{\mathrm{t}+1}\mathrm{G}_{\mathrm{t}+1})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{t}+1} $$

$$ \left(\mathbf{A}\mathbf{t}+1+\mathbf{C}\mathbf{t}+1\mathbf{G}\mathbf{t}+1\right)=0 $$

$$ \frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\Gamma_{\mathrm{t}}}=\mathrm{K}_{\mathrm{T}}-\mathrm{H}_{\mathrm{T}}=0 $$

$$ \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\mathrm{H}_{\mathrm{t}}}&=-\quad[\Gamma_{\mathrm{~t~}}-\mathrm{V}-(\mathrm{A}_{\mathrm{t}}+\mathrm{C}_{\mathrm{t}}\mathrm{G}_{\mathrm{t}})\Gamma_{\mathrm{~t}-1}\\&\quad(\mathrm{A}_{\mathrm{t}}+\mathrm{C}_{\mathrm{t}}\mathrm{G}_{\mathrm{t}})^{\prime}]=0\qquad(4-2-47)\end{aligned} $$

$$ \left(\mathbf{t}=1,\ldots,\mathrm{T}\right) $$

を得る。ただし（4 - 2 - 42）の R_{t} はもとの形

$ A_{t} + C_{t} G_{t} $ にもどしてある。

さて、後はこれらの式を（t=T から逆に）解いて、前と同じように求める制御規則（今度の場合は G_{t}）を順に決めていけばよい。まず（4 - 2 - 46）より H_{T}=K_{T} とすると、（4 - 2 - 44）から

$$ \mathbf{G_{t}=-(C^{\prime}_{t}H_{t}C_{t})^{-1}C^{\prime}_{t}H_{t}A_{t}} $$

だから、t=T として $ H_{T}=K_{T} $ を代入すれば $ G_{T} $ がられる。ところで $ (4-2-25) $ は、整理すると、

$$ \begin{aligned}\mathrm{H}_{\mathrm{t}=}\mathrm{K}_{\mathrm{t}+}(\mathrm{A}_{\mathrm{t}+1}+\mathrm{C}_{\mathrm{t}+1}\mathrm{G}_{\mathrm{t}+1})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{t}+1}(\mathrm{A}_{\mathrm{t}+1}+\mathrm{C}_{\mathrm{t}+1}\mathrm{G}_{\mathrm{t}+1})\ $ 4-2-49)\end{aligned} $$

と書けるので、$t=T-1$ として、$H_{t}$、$G_{t}$ を代入すれば $H_{T-1}$ が得られる。よって、$(4-2-48)$ で $t=T-1$ として $G_{T-1}$ が得られることになる。以下この手順を繰り返せばよい。

すべての$\mathrm{G}_{\mathrm{t}}$が求まれば$\left(\mathrm{R}_{\mathrm{t}}=\mathrm{A}_{\mathrm{t}}+\mathrm{C}_{\mathrm{t}}\mathrm{G}_{\mathrm{t}}\right)$がわかるので）これを$(4-2-41)$に適用すれば、初期条件$\mathrm{E}_{\mathrm{o}}=\mathrm{Ey}^{*}\mathrm{y}^{*}\mathrm{y}^{0^{\prime}}=0$（実際、$\bar{y}_{0}=\mathrm{y}_{0}$なので$\mathrm{y}^{*0}=0$）から始めて、「$\Gamma_{1},\ldots,\Gamma_{\mathrm{T}}$を順に計算することができる。これは最適政策の下でのシミュレーションに他ならない。

(4 - 2 - 16) で T を t としたものと、(4 - 2 - 48) が同じ式であることに注意すれば $ \left(\mathrm{C}_{\mathrm{t}}\mathrm{G}_{\mathrm{t}}'\mathrm{H}_{\mathrm{t}}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{t}}+\mathrm{C}_{\mathrm{t}}\mathrm{G}_{\mathrm{t}}\right)=0\right. $ に注意 ) もとの問題の最適解（フィードバック解）は

$$ \begin{aligned}&\mathbf{x}_{\mathrm{t}}=\overline{\mathbf{x}}_{\mathrm{t}}+\mathbf{x}^{*}_{\mathrm{t}}=\mathbf{G}_{\mathrm{t}}\overline{\mathbf{y}}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{g}_{\mathrm{t}}+\mathbf{G}_{\mathrm{t}}\mathbf{y}^{*}_{\mathrm{t}-1}\\&\quad=\mathbf{G}_{\mathrm{t}}\mathbf{y}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{g}_{\mathrm{t}}\quad(4-2-50)\\ \end{aligned} $$

で与えられることになる。 $ G_{t} $ 、 $ g_{t} $ はともに、すべて予め第1期の開始以前に、ということは $ y_{1},\ldots,y_{t} $ の値によらずに、計算できる。

ここで、確率モデルの最適フィードバック解（4 - 2 - 50）が確定モデルのそれと全く同じ形に書けることに注意せよ。一般に、線形の動学モデルにおいて確率的に変動する項を確定的モデルに加法的に付け加えた場合に、その確率的な変動項を無視した確定問題の最適解を、確率モデルの最適解とするという考え方がある。このような考え方は確実性等価（certainty equivalence）の原理と呼ばれる。これは1期間のみの制御については、常に正しい。実際、

$$ \mathbf{y}_{1}=\mathbf{A}\mathbf{y}_{0}+\mathbf{C}\mathbf{x}_{1}+\mathbf{u}_{1} $$

というモデルにおいて $ Ey^{1}y_{1} $ を最小にするような $ x_{1} $ を決定するには

$$ \begin{aligned}\mathrm{Ey}^{\prime}\mathrm{y}_{1}=&\mathrm{E}(\mathrm{y}^{\prime}_{0}\mathrm{A}^{\prime}+\mathrm{x}^{\prime}_{1}\mathrm{C}^{\prime}+\mathbf{u}^{\prime}_{1})(\mathrm{Ay}_{0}+\mathrm{Cx}_{1}+\mathbf{u}_{1})\\=&\mathbf{y}^{\prime}_{0}\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{Ay}_{0}+\mathbf{x}^{\prime}_{1}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{Cx}_{1}+2\mathbf{x}^{\prime}_{1}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{Ay}_{0}+\mathrm{Eu}^{\prime}_{1}\mathbf{u}_{1}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} を x_{1} で微分して 0 とおいた式を解いて \\ x_{1}=-(C^{\prime}C)^{-1}C^{\prime}Ay_{0}\end{aligned} $$

とすればよい。これは上のモデルで $ u_{t} $ を期待値 0 に置き換えた確定モデルの最適解に等しい。実は、解を開ループ政策の形、すなわち $ x_{1}, \ldots, x_{t} $ を数値の列で示す場合には、 $ x_{1} $ についてのみ確実性等価の原理を適用することができるのであって、第 2 期以降については改めて解を求め直さなければならない。したがって、上の議論は、解を閉ループ政策すなわちフィードバック制御規則の範囲に限れば、多期間の最適制御問題の解についても確実性等価の原理が成