$$ \begin{aligned}&+C\}u-u_{_{F}}]\\&[X_{_{F}}\{X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X^{\prime}\Sigma^{-1}\\&+C\}u-u_{_{F}}]^{\prime}\\&=X_{_{F}}(X^{\prime}\Sigma^{-1}X)^{-1}X_{_{F}}^{\prime}\\&+X_{_{F}}C\Sigma C^{\prime}X_{_{F}}^{\prime}+\Sigma_{_{C}}\end{aligned} $$

ここで $ \Sigma_{C}=E(u_{F}u_{F}') $ は正値定符号行列である。

一方，$\hat{\beta}_{GLS}$ による予測誤差の分散共分散行列は，

(2.21) $V(e_{F})_{GLS}=X_{F}(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X_{F}'+\Sigma_{C}$ となる。ここで $X_{F}C\Sigma C'X_{F}'$ は少なくとも正值準定符号行列であるため，任意の $(mT\times1)$ ベクトル $q$ について

$$ V(q^{\prime}e_{F})_{GLS}\leqq V(q^{\prime}e_{F}) $$

となる。等号は C=0 のときに成立する。すなわち，$\hat{\beta}_{GLS}$ による予測は，予測誤差の分散共分散行列を小さくするという意味で最も効率的な予測量となる。

(2.12)式で表わせられる一般化最小二乗推定量 $ \hat{\beta}_{GLS} $ は線形不偏推定量と線形不偏予測量のクラスのなかで最も望ましい推定量であることが示されたが。実際の適用に際しては攪乱項の分散共分散行列Σが既知であることが必要である。しかし，多くの場合は未知であり，Σ自身を推定する必要が生ずる。Zellner (1962)は，Σの推定量として，

$$ \begin{aligned}&\hat{\Sigma}=\frac{1}{T-\ell}\{(y_{i}-Xi\hat{\beta}_{i\cdot OLS})^{\prime}(y_{j}-\\&X_{j}\hat{\beta}_{j\cdot OLS})\}\\& ただし \hat{\beta}_{i}=(X_{i}^{\prime}X_{i})^{-1}X_{i}^{\prime}y_{i}\\ \end{aligned} $$

とする方法を提案した。 $ y_{i}-X_{i}\hat{\beta}_{i.OLS} $ は，第 i 番目の方程式を最小二乘法で推定した時の残差ベクトルであり， $ \ell $ は各方程式に含まれる係数パラメータの数である。Zellner and Huang (1962)は， $ \Sigma $ の不偏推定量が残差ベクトルの内積を $ T-2\ell+\ell\rho^{2} $ で除したものとなることを示した。 $ \rho $ は Hooper (1959) のトレース相関係数と呼ばれるものである。一般に $ T-2\ell\leqq T-2\ell+\ell\rho^{2}\leqq T-\ell $ となることが知られている。推定された $ \hat{\Sigma} $ を用いて係数パラメタ $ \hat{\beta} $ を推定する。

(2.24) $ \hat{\beta}_{SUR} = (X' \Sigma^{-1} X)^{-1} X' \Sigma^{-1} y $

を Zellner の Seemingly Unrelated Estimator とよぶ。

(2.9)式で表わされる方程式体系の適合度を測る方法は，一般化決定係数とよばれるが，ここでは McElroy (1977)の提案する尺度について説明する。まず(2.9)式におけるパラメータの推定量を$\hat{\beta}$，その残差$\hat{u}$とすれば

$$ y=X\stackrel{\wedge}{\beta}+u $$

次に(2.25)式の両辺に $ I_{m}\otimes A $ で表わされる $ mT\times mT $ 行列をかける。ここで, $ I_{m} $ は $ m\times m $ の単位行列である。一方Aは

$$ \begin{aligned}\mathbf{A}&=\mathbf{I}_{\mathrm{T}}-\frac{1}{\mathbf{T}}\boldsymbol{\tau}^{\mathrm{r}}\\&\mathbf{I}_{\mathrm{T}}:\mathbf{T}\times\mathbf{T} 的单位行列 \\\boldsymbol{\tau}&=\left(\begin{array}{c}1\\1\\\vdots\\1\end{array}\right)\\&\vdots\mathbf{T}\times1 ベクトル \end{aligned} $$

である。行列 A は各変数をその変数の平均からの乖離で表わすためのものであり， $ A\tau=0 $ となる。さらにモデルに定数項が含まれておれば $ (I\otimes\tau\tau^{\prime})\hat{u}=0 $ となる。これは各方程式の残差を標本期間内で総計すればゼロとなることを意味する。したがって，

$$ \begin{aligned}(2.26)\quad&(I\otimes A)y\\=&(I\otimes A)X\stackrel{\wedge}{\beta}+(I\otimes A)\stackrel{\wedge}{}\bar{u}\\=&(I\otimes A)X\stackrel{\wedge}{\beta}+(I_{mT}-\frac{1}{T}\tau^{\prime})\stackrel{\wedge}{}\bar{u}\\=&(I\otimes A)X\stackrel{\wedge}{\beta}+\stackrel{\wedge}{}\bar{u}\end{aligned} $$

となる。ここで，(2.26)式の両辺に $ P\otimes I $ をかけてモデル体系全体の全変動を計算することができ，

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{y}^{\prime}(\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1}\otimes\boldsymbol{A})\boldsymbol{y}=\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{\beta}}^{\prime}\boldsymbol{X}^{\prime}(\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1}\otimes\boldsymbol{A})\boldsymbol{X}\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{\beta}}\\+\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{u}}^{\prime}(\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1}\otimes\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{I}})\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{u}}\end{aligned} $$

となる。ここで行列 P は, $ P'P = \Sigma^{-1} $ となる $ m \times m $ 行列である。(2.27)式は, 各方程式の残差の分散共分散行列の逆行列で体系全体の変動を加重和したものであると言える。したがって,

$$ R^{2}=1-\frac{\hat{u^{\prime}}(\hat{\Sigma}^{-1}\otimes I)\hat{u}}{\hat{y^{\prime}}(\hat{\Sigma}^{-1}\otimes A)\hat{y}} $$