になる。したがってその結果得られる将来の最適フィードバック解も近似的なものでしかない。このような事情によって、確率的外乱が非線形モデルに付加された場合には、確実性等価の原理は成立しなくなる。つまり確実性等価の原理に基づく解法によっては、真の最適解が得られない。

最後に、より一般的な（4 - 3 - 34）の形の方程式の解法について考えよう。このモデルに関して確実性等価の原理が正しいとすると、確率パラメータη_{t}を、その期待値 $ E\eta_{t} $ （この値はわかっているものとする）で置き換えた確定非線形動学モデルを解くことになる。こうして得られた解は第1期の政策決定に関しては線形フィードバック制御方程式に関する確実性等価の原理に基づいて、次の3通りの解法を考えることができる。

第1の解法（今これを解法Aと呼ぶ）は、（4-3-20）の形の線形フィードバック制御方程式（制御規則）を、期間tにおいて実際に観測されたデータ $ y_{t-1} $ に対して、そのまま単純に適用するものである。これらの制御規則は確定モデルの解として、つまりすべての $ y_{t-1} $ は確定していると仮定して得られたものであるが、それを、確率的な $ y_{t-1} $ に対しても使うという考え方である。この解法で（真の）最適解が得られるのは再び、（4-3-20）で $ G_{t} $ や $ g_{t} $ を導くときに前提となっているの線形化が行なわれた後の $ x_{t} $ 、 $ y_{t-1} $ の値と実際の $ x_{t} $ 、 $ y_{t-1} $ の値が一致しているときに限られる。もし $ \Phi $ の線形化が正しい点で行なわれていないときには（線形化が正しく行なわれるためには $ y_{t-1} $ 、 $ x_{t} $ の確定した情報が必要である）線形化された近似モデル（4-3-17）に現われる係数 $ A_{t} $ 、 $ C_{t} $ 、 $ b_{t} $ は正しくなく、したがって得られるフィードバック解も真に最適なものではない。しかし線形化して方程式がもとの式をよく近似していれば、これらの解は真の最適解に十分近いと考えられる。

第2の解法（これを解法Bとする）は、解法Aと同様に、まず $ \eta_{t} $ を期待値 $ E\eta_{t} $ で置き換えて確定問題を解いてしまう。その解を $ \tilde{x}_{t} $ 、対応する内生変数（の列）を $ \tilde{y}_{t} $ とする。次に、今度は確率モデル（4-3-34）を（ $ z_{t} $ は固定しておいて） $ \tilde{x}_{t},\tilde{y}_{t},\tilde{y}_{t-1} $ ，および $ E\eta_{t} $ のまわりで展開する。すると（4-3-34）の（列ベクトルの）各成分 $ y_{it} $ は、方程式

$$ y_{it} = \Phi \left( y_{t}, y_{t-1}, x_{t}, z_{t}, \eta_{t} \right) \quad (4-3-35) $$

を満足し、 $ y_{t} $ の第i成分 $ y_{it} $ は、

$$ \tilde{y}_{it} = \Phi \left( \tilde{y}_{t}, \tilde{y}_{t-1}, \tilde{x}_{t}, z_{t}, E\eta_{t} \right) \quad (4-3-36) $$

をみたす。したがって、

$$ \begin{aligned}\mathrm{y}_{\mathrm{it}}=\widetilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{it}+}(\begin{array}{c}\partial\Phi_{\mathrm{i}}\\\partial\widetilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{t}}’(\mathrm{y}_{\mathrm{t}}-\widetilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{t}})+(\partial\Phi_{\mathrm{i}}\\\partial\widetilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{t-1}}’(\mathrm{y}_{\mathrm{t-1}}-\widetilde{\mathrm{y}}_{\mathrm{t-1}})\end{array}\\+(\partial\Phi_{\mathrm{i}}^{-}\widetilde{\mathrm{x}}_{\mathrm{t}}’(\mathrm{x}_{\mathrm{t}}-\widetilde{\mathrm{x}}_{\mathrm{t}})+(\begin{array}{c}\partial\Phi_{\mathrm{i}}\\\partial\overline{\mathrm{E}}\eta_{\mathrm{t}}\end{array}’(\eta_{\mathrm{t}}-\mathrm{E}\eta_{\mathrm{t}})\end{aligned} $$

となる。(4 - 3 - 5)、(4 - 3 - 7) および

$ B_{4}^{'}t=\left(\begin{array}{ccc}\partial\Phi_{i} & \partial\Phi_{p} \\ -\ldots & -\end{array}\right) $ (4 - 3 - 38)

を用いれば、線形化された確率モデルは

$ (\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1\mathrm{t}})(\mathbf{y}_{\mathrm{t}}-\tilde{\mathbf{y}}_{\mathrm{t}})=\mathbf{B}_{2\mathrm{t}}(\mathbf{y}_{\mathrm{t}-1}-\tilde{\mathbf{y}}_{\mathrm{t}-1})+\mathbf{B}_{3\mathrm{t}}(\mathbf{x}_{\mathrm{t}}-\tilde{\mathbf{x}}_{\mathrm{t}}) $

$ +B_{4t}(\eta_{t}-E\eta_{t}) $

$ (4-3-39) $

と書ける。(4 - 3 - 39) を解いて

$ y_{t}=A_{t}y_{t-1}+C_{t}x_{t}+b_{t}+v_{t} $ (4 - 3 - 40)

が得られる。ここで、 $ A_{t} $ 、 $ C_{t} $ 、 $ b_{t} $ は、(4 - 3 - 15)と同様に、それぞれ(4 - 3 - 16)(4 - 3 - 17)(4 - 3 - 18)で与えられ、 $ v_{t} $ は

$ v_{t}=(I - B_{1t})^{-1}B_{4t} $ ( $ \eta_{t} - E\eta_{t} $ )

で定められる確率ベクトルである。(4 - 3 - 40) と (4 - 3 - 15) を比較して、係数行列 $ A_{t} $ 、 $ C_{t} $ および $ b_{t} $ が一致することに注意せよ。

解法 B の次の段階は、線形化した（4 - 3 - 40）を用いて $ \tilde{y}_{t} $ を $ y_{t} $ に置き換える、すなわち $ \Delta y_{t} = y_{t} - \tilde{y}_{t} $ を 0 にするような制御規則を求めることである。 $ \Delta x_{t} = x_{t} - \tilde{x}_{t} $ として、（4 - 3 - 39）（4 - 3 - 41）より

$ \Delta y_{t}=A_{t}\Delta y_{t-1}+C_{t}\Delta x_{t}+v_{t} $ $ (4-3-42) $ となるから、目的関数として、行列 $ K_{t} $ が与えられたものとして $ \Sigma_{t}\Delta y_{t}k_{t}\Delta y_{t} $ をとれば、最適線形フィードバック制御は