$$ \begin{aligned}&\hat{\mathrm{V}}_{\mathrm{T}=\mathrm{y}^{\prime}\mathrm{T}-1}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}+2\mathrm{y}^{\prime}\mathrm{T}-1\\&(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}(\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{b}_{\mathrm{T}}-\mathrm{h}_{\mathrm{T}})+(\mathrm{b}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{b}_{\mathrm{T}}+\\&\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})-2(\mathrm{b}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{h}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}+\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathrm{u}^{\prime}\mathrm{T}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathrm{u}_{\mathrm{T}})\end{aligned} $$

を得る。式の形は複雑であるが、 $ V_{T} $ が $ y_{T-1} $ の2次形式になっていることが議論の要点である。

次に、T-1期、T期の2期間にわたる問題を考えよう。決定すべき制御変数は $ x_{T-1} $ 、 $ x_{T} $ の2つであるが、すでに $ x_{T} $ は（4-2-56）により $ y_{T-1} $ の関数として与えられているので、 $ x_{T-1} $ のみを決めればよい。この段階で最小にすべき関数は

$$ \begin{aligned}\mathbf{V}_{\mathrm{T}-1}=&\mathbf{E}_{\mathrm{T}-2}((\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}\cdot\mathbf{a}_{\mathrm{T}-1})^{\prime}\mathbf{K}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}\cdot\mathbf{a}_{\mathrm{T}-1})+\hat{\mathbf{V}}_{\mathrm{T}})\\=&\mathbf{E}_{\mathrm{T}-2}(\mathbf{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{K}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}\cdot2\mathbf{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{K}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{a}_{\mathrm{T}-1}\\&+\mathbf{a}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{K}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{a}_{\mathrm{T}-1}+\hat{\mathbf{V}}_{\mathrm{T}})\qquad(4-2-60)\end{aligned} $$

である。(4 - 2 - 60) に (4 - 2 - 59) を代入すれば $ V_{T-1} $ は次の形に整理することができる。

$$ \begin{aligned}\mathrm{V}_{\mathrm{T}-1}=\mathrm{E}_{\mathrm{T}-2}(\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{H}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}-2\mathrm{y}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{h}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}-1})\ $ 4-2-61)\end{aligned} $$

ただし、ここで

$$ \begin{aligned}\mathrm{H}_{\mathrm{T}-1}=&\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}+(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})\\&\left(4-2-62\right)\end{aligned} $$

$$ \mathbf{h}_{\mathrm{T}-1}=\mathbf{K}_{\mathrm{T}-1}\mathbf{a}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}})^{\prime}(\mathbf{h}_{\mathrm{T}}-\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{b}_{\mathrm{T}}) $$

$$ \begin{aligned}\mathrm{C}_{\mathrm{T}-1}=&\mathrm{a}^{\prime}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{T}-1}+(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}-\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}-\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})\\&-2(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}-\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}})^{\prime}\mathbf{h}_{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}+\mathrm{E}_{\mathrm{T}-1}(\mathbf{u}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{u}_{\mathrm{T}})\end{aligned} $$

である。

（4 - 2 - 61）が（4 - 2 - 53）と同じ形であることに注意せよ。（4 - 2 - 53）について最適な $ x_{T} $ を（4 - 2 - 56）の形で求めたのと同様にして、（4 - 2 - 64）について最適な $ x_{T-1} $ を定めることができる。以下、この議論を繰り返せば求める結果が得られることになる。このようにして求めた解が前にLagrange乗数法で求めたものと一致することは容易に確かめることができる。実際、（4 - 2 - 57）（4 - 2 - 58）を（4 - 2 - 16）（4 - 2 - 17）と比べれば明らかである。モデルが確率項 $ u_{t} $ を含まない場合や、係数行列 $ A_{t} $ 、 $ C_{t} $ などが時間によらない場合などの説明は省略する。先にふれた多期間の最適制御問題についての確実性等価の原理は、動的計画法においても最適解はフィードバック制御規則の形で与えられているので、再び成立することになる。

## ４．３　非線形動学モデルの解法

#### 4.3.1 非線形動学モデル

これまでは線形の動学モデルについて考察してきた。この小節では以上の議論を非線形動学モデルに拡張する。非線形動学モデルについても、線形の場合と同様に、確定モデルと確率モデルを区別する事が可能であるが、基本となるのは確定モデルの取扱いである。

実際の政策分析に用いられる計量経済モデルは、ほとんどの場合、確率モデルである。しかし確率モデルであっても、確実性等価の原理によってモデルに付加されている確率的な外乱を無視できれば、2次形式の目的関数をもつ既知の線形確率動学システムに関する最適制御問題の解は、1期間の最適解を与えるばかりではなくて、将来の期間についても最適なフィードバック制御規則を（すなわち閉ループ政策を）与える。もしモデルが線形動学モデルからそれほどかけ離れたものでなければ、確実性等価の原理に基づく解は、最適解にかなり近いと考えてよいであろう。

そこで、以下ではまず確定非線形動学モデルの解法について述べる。ここで説明する解法は大きく3つに分けられる。第1はLagrange乗数による解法、第2は条件付き最適化問題を条件無しの最適化問題に帰着させる解法、さらに第3は、これら2つの中間的な場合であって、モデルを線形化した上で最適化の手法（勾配法など）を適用する解法である。

確率非線形動学モデルに関する議論では、確率項が外乱項として、確定モデルに加法的に付加されている場合と、モデルが直接確率パラメータを含む場合とに区別される。前者については一般に確実性等価の原理が成立しない理由