を考察し、後者については、その最適制御問題としての解法の一端を紹介する。

#### 4.3.2 Lagrange 乗数法による閉ループ解（フィードバック解）

確定非線形動学モデルの解法として、まず最初に、Lagrange乗数による解法を取り上げる。前にも述べた通り、制御問題の解として、問題にしている期間を通じて各制御変数の数値を具体的に与える形と、フィードバック制御方程式として、つまり特定の期における「状態」に対してしかるべき「制御入力」を与える制御規則として与える形の2つがある。計量経済モデルから導かれる経済政策としては、前者は開ループ政策、後者は閉ループ政策と呼ばれる。以下では確定非線形動学モデルのフィードバック型の解をLagrange乗数法によって求める。これは先に4.2節で説明した内容の非線形計量経済モデルの場合への一般化である。

前と同様に第 t 期における非線形構造方程式の i 番目の式を

$$ \begin{aligned}\mathbf{y}_{\mathrm{it}}-\boldsymbol{\Phi}\mathbf{i}(\mathbf{y}_{\mathrm{t}}、\mathbf{y}_{\mathrm{t}-1}、\mathbf{x}_{\mathrm{t}}、\mathbf{z}_{\mathrm{t}})&=0(\mathbf{i}=1、\ldots\mathbf{p})\\&\quad(4-3-1)\end{aligned} $$

と書く。

前と同様に、 $ y_{t} $ は p 次元内生変数ベクトル、 $ x_{t} $ は q 次元制御変数ベクトル、 $ z_{t} $ は制御不可能な外生変数ベクトルであってこの値は予め与えられているものとする。ここではまず確定モデルを扱うので、確率的な外乱項は考えない。1 よりも高階のラグをもつ先決内生変数や制御変数でラグをもつものは、上の t 期における方程式では省かれている。上の p 個の $ \Phi_{i} $ を縦に並べて、p 次元列ベクトル $ \Phi $ とすれば p 個の方程式をまとめて

$$ \begin{array}{r l}{\mathbf{y_{t}}-\boldsymbol{\Phi}\left(\mathbf{y_{t}}、\mathbf{y_{t-1}}、\mathbf{x_{t}}、\mathbf{z_{t}}\right)}&{=0\quad\left(4-3-2\right)}\end{array} $$

の形に書くことができる。これが変数間の非線形な制約条件を与えている。

この場合も、目的関数は必ずしも2次形式に限る必要はないが、ここでは前の議論との比較も考えて、2次形式のものを用いることにする。問題は $ y_{t} $ の加法的な2次目的関数を（4-3-2）の条件の下で、t=1、2、…、Tにわたって最小にすることである。

Lagrange 乗数として p 次元列ベクトル $ \lambda $ t を導入すれば、 $ y_{t} $ 、 $ x_{t} $ 、 $ \lambda_{t} $ に関する Lagrange 関数は次の形に書ける。

$$ \begin{aligned}\mathrm{L}=&\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{t}=1}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{y}_{\mathrm{t}}\cdot\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\right)\mathrm{K}_{\mathrm{t}}(\mathbf{y}_{\mathrm{t}}\cdot\mathbf{a}_{\mathrm{t}})\\ &\\&+\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{t}=1}^{\mathrm{T}}\lambda_{\mathrm{t}}[\mathbf{y}_{\mathrm{t}}\cdot\boldsymbol{\Phi}_{\mathrm{f}}\quad(\mathbf{y}_{\mathrm{t}}、\mathbf{y}_{\mathrm{t}-1}、\mathbf{x}_{\mathrm{t}}、\mathbf{z}_{\mathrm{t}})]\\ &\\&\quad(4-3-3)\end{aligned} $$

ここで、L の $ y_{t} $ 、 $ x_{t} $ 、 $ \lambda_{t} $ それぞれに関する微分を 0 とおいた式を導いて、それらを連立方程式として解くことにより、t = 1 から t = T にわたる未知数 $ y_{t} $ 、 $ x_{t} $ 、 $ \lambda_{t} $ を求めることが議論の要点である。具体的に書けば、

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\mathrm{L}}{\partial\mathrm{y}_{\mathrm{t}}}=&\mathrm{K}_{\mathrm{t}}(\mathrm{y}_{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{a}_{\mathrm{t}})\quad-\lambda_{\mathrm{t}}+\mathrm{B}_{1}\mathrm{^{\prime}}\mathrm{t}\lambda_{\mathrm{t}}+\mathrm{B}_{2}\mathrm{^{\prime}}\mathrm{t}+1\lambda_{\mathrm{t}+1}\\=&0\left(\mathrm{~t}=1\quad,\ldots\quad,\mathrm{~T~};\lambda_{\mathrm{T}+1}=0\right)\\&\left(4-3-4\right)\end{aligned} $$

ただし

$$ \begin{aligned}&\mathbf{B}_{1}\mathrm{`}=(\frac{\partial\Phi_{\mathrm{~1~}}}{\partial\mathrm{y}_{\mathrm{~t~}}}\ ,\ldots\frac{\partial\Phi_{\mathrm{~p~}}}{\partial\mathrm{y}_{\mathrm{~t~}}}),\\&\mathbf{B}_{2}\mathrm{`}=(\frac{\partial\Phi_{\mathrm{~1~}}}{\partial\mathrm{y}_{\mathrm{~t}-1}}\ ,\ldots\ ,\frac{\partial\Phi_{\mathrm{~p~}}}{\partial\mathrm{y}_{\mathrm{~t}-1}})\qquad(4-3-5)\\&\frac{\partial\mathrm{L}}{\partial\mathrm{x}_{\mathrm{~t~}}}=\mathrm{B}_{3}\mathrm{`}\lambda\mathrm{~t}=0\quad(\mathrm{t}=1\mathrm{~},\ldots\mathrm{~,~T)}\end{aligned} $$

ただし

$$ \begin{aligned}&\mathbf{B}_{3^{\prime}\mathrm{t}}=(\frac{\partial\Phi_{\mathrm{~1~}}}{\partial\mathbf{x}_{\mathrm{~t~}}},\ldots\frac{\partial\Phi_{\mathrm{~p~}}}{\partial\mathbf{x}_{\mathrm{~t~}}})\qquad(\quad\\ &\frac{\partial\mathrm{L}}{\partial\lambda_{\mathrm{~t~}}}=[\mathrm{y}_{\mathrm{t}}-\Phi\quad(\mathrm{y}_{\mathrm{t}},\mathrm{y}_{\mathrm{t}-1},\mathrm{x}_{\mathrm{t}},\mathrm{Z}_{\mathrm{t}})]=0\\&\quad(\mathrm{~t}=1\quad,\ldots\quad,\mathrm{T})\quad(\end{aligned} $$

を解くことである。

（4 - 3 - 4）で $ y_{t} $ は t 期だけではなくて、 $ t+1 $ 期においてもラグ付き変数として現われるので、微分を行なったとき $ \lambda_{t} $ と $ \lambda_{t+1} $ の項が現われることに注意せよ。（4 - 3 - 8）式は制約条件そのものを示す。

t = T とおくと（4 - 3 - 4）式はλ T + 1 =