の $ y_{t} $ との差を $ y^{*} $ とする $ (y^{*}_{t}=y_{t}-\bar{y}_{t}) $ 今、モデルが線形なので $ (4-2-23) $ から $ (4-2-24) $ を引くと、 $ y^{*} $ のみたすべき方程式として確率モデル

$$ \mathbf{y_{t}}^{*}\mathbf{=}\mathbf{A_{t}}\mathbf{y}_{t-1}^{*}+\mathbf{C_{t}}\mathbf{x_{t}}^{*}+\mathbf{u_{t}}\quad\left(\mathbf{\bar{y}}^{*}0=0\right) $$

が得られることになる。ただし $ x^{*}_{t}=x_{t}-\bar{x}_{t} $ である。改めて

$$ \mathbf{y}_{t}=\overline{\mathbf{y}}_{t}+\mathbf{y}_{t}^{*} $$

と書き直すと、今の操作は内生変数$\bar{y}_{t}$を、確定的な（つまり確定モデルにしたがう）部分$y_{t}$と確率的な（つまり確率モデルにしたがう）部分$y_{t}^{*}$との2つに分解することであると解釈できる。実際、もとのモデルが確率項を含まなければ、すべての期間tにおいて$y_{t}=\bar{y}_{t}$、$y_{t}^{*}=0$である。確率項$u_{t}$の介入によって、$y_{t}$は確定的な場合の$\bar{y}_{t}$から$y_{t}^{*}$だけ「ずれる」わけである。それに対応して制御$x_{t}$も、確定的な場合の$\bar{x}_{t}$（これは予めすべての期間にわたって計算できる）を「偏差」$y^{*}_{t}=yt-\bar{y}_{t}$が0になるように$x_{t}^{*}$だけ変更しなければならない。このとき目的関数

$$ \mathbf{E}\mathbf{W}=\mathbf{E}\sum_{t=1}^{\mathrm{T}}(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{a}_{t})^{\prime}\mathbf{K}\mathbf{t}(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{a}_{t}) $$

は

$$ \begin{aligned}\mathbf{E}\mathbf{W}=&\sum_{t=1}^{\mathrm{T}}(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{a}_{t})^{\prime}\mathbf{K}_{t}(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{a}_{t})+\mathbf{E}\sum\mathbf{y}^{*}{}^{\prime}{}_{t}\mathbf{K}_{t}\mathbf{y}^{*}{}_{t}\\=&\mathbf{W}_{1}+\mathbf{E}\mathbf{W}_{2}\quad(4-2-\end{aligned} $$

の形に分割されることになる。したがって、確率モデル（4 - 2 - 23）の最適制御問題は、確定モデル（4 - 2 - 24）の下で $ x_{t} $ によって $ W_{1} $ を最適化する問題と、確率モデル（4 - 2 - 25）の下で $ x_{t}^{*} $ によって $ EW_{2} $ を最適化する問題との2つの部分に分解されることになる。前半の確定部分については、すでに述べた（4 - 2 - 7）から（4 - 2 - 22）までの議論を $ y_{t} $ 、 $ x_{t} $ を $ \bar{y}_{t} $ 、 $ \bar{x}_{t} $ に置き換えて繰り返せばよい。後半の確率的部分については、最適フィードバック解が線形方程式

$$ \mathbf{x_{t}}^{*}{=}\mathbf{G_{t}}\mathbf{y}^{*}{_{t-1}} $$

の形で得られることを認めた上で、行列 Gt を求める手順を考えよう。そのために、まず目的関数 EW2 を共分散行列 $ Ey^{*} $ $ ty^{*} $ $ t $ の形に書き直す。行列の対角成分の和（トレース）を tr で示すことにして、 $ y^{*} $ $ t $ $ K_{t}y_{t}^{*} $ がスカラー（実際、これは縦ベクトル $ y_{t}^{*} $ と $ K_{t}y_{t}^{*} $ の内積）であることに注意すると、

$$ \begin{aligned}\mathrm{EW}_{2}=&\mathrm{E}\sum_{\mathrm{t}=1}^{\mathrm{T}}\mathrm{tr}(\mathrm{y}^{*},\mathrm{t}\mathrm{k}_{\mathrm{t}}\mathrm{y}^{*})=\mathrm{E}\sum_{\mathrm{t}=1}^{\mathrm{T}}\mathrm{tr}(\mathrm{K}_{\mathrm{t}}\mathrm{y}^{*}\mathrm{y}^{*},\mathrm{t})\\=&\sum_{\mathrm{t}=1}^{\mathrm{T}}\mathrm{tr}\mathrm{K}_{\mathrm{t}}(\mathrm{E}\mathrm{y}^{*}\mathrm{y}^{*},\mathrm{t})\quad(4-2-29)\end{aligned} $$

となる。

次に、共分散行列 $ Ey^{*_{ty}*'_{t}} $ のみたすべき関係式（制約条件）を求めよう。

（4 - 2 - 28）を（4 - 2 - 25）に代入すると、

$$ \begin{aligned}&y^{*}{}_{\mathrm{t}}=(A_{\mathrm{t}}+C_{\mathrm{t}}G_{\mathrm{t}})y^{*}{}_{\mathrm{t}-1}+u_{\mathrm{t}}=R_{\mathrm{t}}y^{*}{}_{\mathrm{t}-1}+u_{\mathrm{t}}\\&(y^{*}{}_{0}=0)\\ \end{aligned} $$

となる。ここで、簡単化のために、 $ A_{t}+C_{t}G_{t} $ を $ R_{t} $ とおいた。(4-2-37) に右から $ y^{*} $ をかけて期待値をとると、

$$ \begin{aligned}\mathrm{Ey^{*}_{t}y^{*}_{t}=R_{t}Ey^{*}_{t-1}y^{*}_{t}+Eu_{t}y^{*}_{t}}\\ =\mathrm{R_{t}Ey^{*}_{t-1}y^{*}_{t}+V}\end{aligned} $$

となる。最後の部分は（4 - 2 - 30）より$\mathrm{Eu_{t}y^{*}_{t}=\mathrm{Eu_{t}u_{t}=V}}$ による。同様に、（4 - 2 - 30）の転置をとって、左から$\mathrm{y^{*}_{t-1}}$ をかけて期待値をとれば、

$$ \mathbf{E}\mathbf{y}^{*_{\mathbf{t}-1}}\mathbf{y}^{*^{\prime}}_{\mathbf{t}}=(E\mathbf{y}^{*_{\mathbf{t}-1}}\mathbf{y}^{*^{\prime}}_{\mathbf{t}-1})\mathbf{R}^{\prime}\mathbf{t} $$

が得られる。これを(4-2-31)に代入すれば、求める関係式

$$ \mathbf{E}\mathbf{y}^{*}\mathbf{t}\mathbf{y}^{*}\mathbf{}^{\prime}\mathbf{t}=\mathbf{V}+\mathbf{R}\mathbf{t}(\mathbf{E}\mathbf{y}^{*}\mathbf{t}^{-1}\mathbf{y}^{*}\mathbf{}^{\prime}\mathbf{t}^{-1})\mathbf{R}\mathbf{t} $$

または $ Ey^{*}ty^{*} $ を簡単に $ \Gamma_{t} $ と書いて

$$ \Gamma_{\mathrm{t=V+R_{t}\Gamma_{\mathrm{t-1}}R^{\prime}_{t}}} $$

を得る。最小にすべき目的関数は（4 - 2 - 29）より $ \sum_{t=1}^{T} \mathrm{tr}(\mathrm{K}_{\mathrm{t}} \Gamma_{\mathrm{t}}) $ の形に書けるので、これと今の（4 - 2 - 41）の制約条件から、再び（4 - 2 - 8）に相当する Lagrange 関数を定義することができる。ただし今の場合は制約条件（4 - 2 - 41）が $ p \times p $ 行列（ここで p は内生変数 $ y_{t} $ 、したがって $ y^{*}_{t} $ の次元）になるために、