として，一般化決定係数を定義することができる。

SUR モデルの有意性の統計的仮説検定は

$$ F=\frac{R^{2}}{1-R^{2}}\cdot\frac{mT-mK}{mK-m} $$

とすれば，定数項以外の全ての係数がゼロであるとする帰無仮説のもとで，F値は自由度 $ (mK-m,mT-mK) $ のF分布にしたがう。

### 2.3 完全情報操作変数法

前節の線形回帰モデルにおける仮定のなかで， $ E(X_{i}'u_{i})=0 $ すなわち説明変数 $ X_{i} $ と攪乱項 $ u_{i} $ が相関しないとする仮定は常に満足されるとはかぎらない。貿易連関モデルにおいては被説明変数が輸入量または輸出量，説明変数が輸入価格または輸出価格である。このようなモデルの場合，説明変数と攪乱項の無相関を仮定することは問題である。これは同時性の問題として知られているが，そのようなモデルの係数パラメータの最小二乗推定量や前節で説明したSeemingly Unrelated推定量は，不偏推定量でもまた一致推定量でもない。本節では，同時方程式モデルを指定するために一般に用いられる操作変数法を多方程式線形回帰モデルへ拡張した推定方法について説明する。

前節と同様に m 本の方程式からなる多方程式線形回帰モデルについて考える。

$$ y_{i}=X_{i}\beta_{i}+u_{i} $$

$$ i=1,2,\cdots,m $$

この時 $ E(Z'u)=0 $ となる操作変数 Z が存在するものとする。説明変数 $ X_{i} $ に含まれ $ u_{i} $ と独立な変数も当然 Z に含まれる。ここで Z は $ N \times T $ 行列とする。ただし N は操作変数の個数である。いま操作変数 Z を転置して (2.7) 式の両辺にかけると,

$$ \begin{aligned}Z^{\prime}y_{i}=Z^{\prime}X_{i}\beta_{i}+Z^{\prime}u_{i}\\i=1,2,\cdots,m\end{aligned} $$

となる。この時， $ Z'u_{i} $ を一つの攪乱項と考えると，その分散共分散行列は，

$$ \begin{aligned}E(Z^{\prime}u_{_{i}}u^{\prime}{}_{_{j}}Z)&=Z^{\prime}E(u_{_{i}}u^{\prime}{}_{_{j}})Z\\&=\sigma_{_{ij}}Z^{\prime}Z\end{aligned} $$

となる。前節と同じように

$$ \begin{aligned}\begin{pmatrix}\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{y}_{1}\\\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{y}_{2}\\\cdot\\\cdot\\\cdot\\\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{y}_{\mathrm{m}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{X}_{1}&\mathrm{O}\\\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{X}_{2}\\\cdot\\\cdot\\\cdot\\\mathrm{O}&\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{X}_{\mathrm{m}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta_{1}\\\beta_{2}\\\cdot\\\cdot\\\cdot\\\beta_{\mathrm{m}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{u}_{1}\\\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{u}_{2}\\\cdot\\\cdot\\\cdot\\\mathrm{Z}^{\prime}\mathrm{u}_{\mathrm{m}}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

(2.31)’式を簡単に

$$ \begin{aligned}(2.32)\quad&\mathbf{q}=P\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\varepsilon}\\&\mathbf{q}:\mathbf{mT}\times1 ベクトル \\&\mathbf{P}:\mathbf{mT}\times\mathbf{mK} 行列 \\&\boldsymbol{\varepsilon}:\mathbf{mT}\times1 ベクトル \end{aligned} $$

と表わせば，攪乱項εの分散共分散行列は

$$ \begin{aligned}E(\varepsilon\varepsilon^{\prime})=&\left\{\begin{aligned}\sigma_{11}Z^{\prime}Z\sigma_{12}Z^{\prime}Z\cdots\sigma_{1m}Z^{\prime}Z\\ \sigma_{21}Z^{\prime}Z\sigma_{22}Z^{\prime}Z\cdots\sigma_{2m}Z^{\prime}Z\\ \cdots\\ \sigma_{m1}Z^{\prime}Z\sigma_{m2}Z^{\prime}Z\cdots\sigma_{mm}Z^{\prime}Z\end{aligned}\right.\\ =&\Sigma\otimes Z^{\prime}Z\end{aligned} $$

となる。この時βの一般化最小二乗推定量

$$ \begin{aligned}\hat{\beta}=&[P^{\prime}\{\varSigma^{-1}\otimes(Z^{\prime}Z)^{-1}\}P]^{-1}P^{\prime}\\&\{\varSigma^{-1}\otimes(Z^{\prime}Z)^{-1}\}q\end{aligned} $$

は一致推定量となる。この推定量はZがモデルに含まれる全ての先決変数からなる時，三段階最小二乗推定量と一致する。前節と同様にΣが未知の場合には推定することが必要であり，一般に次の方法による。

$$ \begin{aligned}\stackrel{\wedge}{\Sigma}=&\frac{1}{T-\ell}\{(Z^{\prime}y_{i}-Z^{\prime}X_{i}\stackrel{\wedge}{\beta}_{i\cdot INS})^{\prime}\\ &(Z^{\prime}y_{i}-Z^{\prime}x_{j}\stackrel{\wedge}{\beta}_{j\cdot INS})\}\end{aligned} $$

ここで, $ \hat{\beta}_{i\cdot INS} $ は単一方程式モデルでの操作変数推定量である。すなわち

$$ \begin{aligned}\stackrel{\wedge}{\boldsymbol{\beta}}_{i\cdot INS}=&[\boldsymbol{X}_{i}^{\prime}\boldsymbol{Z}(\boldsymbol{Z}^{\prime}\boldsymbol{Z})^{-1}\boldsymbol{Z}^{\prime}\boldsymbol{X}_{i}]^{-1}\\&\boldsymbol{X}_{i}^{\prime}\boldsymbol{Z}(\boldsymbol{Z}^{\prime}\boldsymbol{Z})^{-1}\boldsymbol{Z}^{\prime}\boldsymbol{y}_{i}\end{aligned} $$

である。(2.36)で表わされる推定量は一致推定量であることが知られている。

(2.34)式の推定量βの場合，(2.27)式の関係は成立しない。したがって適合度の尺度としての一般化決定係数を定義することができない。多くの場合(2.28)式で定義されるR²が便宜的に用いられるが，この場合のR²は負になったり1を越えたりする可能性がある。