0 より

$$ \begin{aligned}\lambda_{\mathrm{\boldmath~t}=}&(\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1}\mathrm{\boldmath~\prime~}_{\mathrm{T}})^{-1}[(\mathbf{K}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}}-\mathbf{a}_{\mathrm{T}})+\mathbf{B}_{2}\mathrm{\boldmath~\prime~}_{\mathrm{T}+1}\lambda_{\mathrm{\boldmath~T}+1}]\\ &=(\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1}\mathrm{\boldmath~\prime~}_{\mathrm{T}})^{-1}(\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T}})\quad(4-3-9)\end{aligned} $$

と書ける。ただしここで、

$$ \mathrm{H}_{\mathrm{T}=\mathrm{K}_{\mathrm{T}}、\mathrm{~h}_{\mathrm{T}=\mathrm{K}_{\mathrm{T}}\mathrm{a}_{\mathrm{T}}}\qquad(4-3-10) $$

である。そうすると（4-3-6）と（4-3-9）より

$$ \begin{aligned}\mathbf{B}_{3}\text{’τλ}_{\mathrm{T}=\mathbf{B}_{3}\text{’τ}(\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1}\text{’τ})^{-1}}(\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T}})&=0\ $ 4-3-11)\end{aligned} $$

である。線形モデルの場合には、ここで yT を $ A_{T}y_{T-1} + C_{T}x_{T} + b_{T} $ と置き換えて、その式を xT について解けばよい（そうすれば yT-1 に対して xT を与える関係式が得られる）。すると（4-3-9）より $ \lambda_{T} $ が yT-1 の 1 次式に書けるので、（4-3-4）でも t=T-1 とすれば、 $ \lambda_{T-1} $ を yT-1 の 1 次式で表わすことができる。この事情は最初と同じ ( $ \lambda_{T} $ が yT の 1 次式で表わされていた) なので、結局、線形モデルの場合には、上の手続きを繰り返し適用して順に解が、各段階での制御規則として得られる。

ここでのモデルは非線形なので、これを線形化したものに今の手続きを適用することが妥当であろう。そのために、次のように考える。まずモデル（4-3-1）または（4-3-2）の線形化を行なうために、制御変数の暫定的な経路 $ x_{0t}(t=1,\ldots,T) $ が与えられており、この経路と初期条件 $ y_{0} $ および制御できない外生変数 $ Z_{t} $ の経路の下で、（4-3-2）は一意な解（内生変数の経路） $ y_{0t} $ をもつものとする。したがって各tについて $ y_{0t-1} $ 、 $ x_{0t} $ 、 $ Z_{0t} $ が与えられれば、ベクトル $ y_{0t} $ は

$ y_{0t} - \Phi(y_{0t}, y_{0t-1}, x_{0t}, Z_{0t}) = 0 (4 - 3 - 12) $ をみたすことになる。ここで、左辺の非線形関数 $ \Phi $ を $ x_{0t} $ 、 $ y_{0t} $ のまわりでテイラー展開すれば、第 i 番目の成分について、

$$ \begin{aligned}&y_{it}-y_{i0t}-\left(\frac{\partial\Phi_{_{i}}}{\partial y_{t}}\right)\left(y_{t}-y_{0t}\right)-\left(\frac{\partial\Phi_{_{i}}}{\partial y_{t-1}}\right)\\&\left(y_{t-1}-y_{0t-1}\right)-\left(\frac{\partial\Phi_{_{i}}}{\partial x_{t}}\right)\left(x_{t}-\widetilde{x}_{0t}\right)=0\\&\left(i=1、\ldots、p\right)\quad\left(4-3-13\right)\\& となる。\end{aligned} $$

再びp個の関係式を縦に並べて列ベクトルの形に書けば、（4 - 3 - 5）（4 - 3 - 7）の定義を用いて、

$$ \begin{aligned}&(\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1t})(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{y}_{0t})-\mathbf{B}_{2t}(\mathbf{y}_{t-1}-\mathbf{y}_{0t-1})-\mathbf{B}_{3t}(\mathbf{x}_{t}-\mathbf{x}_{0t})\\&=0\quad(4-3-14)\end{aligned} $$

となる、これを $ y_{t} $ について解けば、次の形の解を得る。

$$ \mathbf{y_{t}=A_{t}y_{t-1}+C_{t}x_{t}+b_{t}} $$

$$ \begin{aligned} ここで、\end{aligned} $$

$$ \mathbf{A}\mathbf{t}{=}(\mathbf{I}\cdot\mathbf{B}_{1}\mathbf{t})^{-1}\mathbf{B}_{2}\mathbf{t} $$

$$ \mathbf{C_{t}=(I\cdot B_{1t})^{-1}B_{3t}} $$

$$ \mathbf{b}_{\mathrm{t}}=\mathbf{y}_{\mathrm{t}}^{0}-\mathbf{A}_{\mathrm{t}}\mathbf{y}^{0}_{\mathrm{t}-1}-\mathbf{C}_{\mathrm{t}}\mathbf{x}^{0}_{\mathrm{t}} $$

である。

$ y_{t} $ についてのモデルが線形化されたので、後は上に述べた手続きを、この（4 - 3 - 15）について実行すればよい。具体的に書くと、（4 - 3 - 15）を（4 - 3 - 11）に代入して、（4 - 3 - 17）の定義を用いれば、 $ Y_{T-1} $ と $ x_{T} $ の関係式として

$$ \mathbf{C}^{\prime}\mathrm{T}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{A}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{x}_{\mathrm{T}}+\mathbf{b}_{\mathrm{T}})-\mathbf{C}^{\prime}\mathrm{T}\mathbf{h}_{\mathrm{T}}=0 $$

を得る。これを $ x_{T} $ について解けば

$$ \mathbf{x}_{\mathrm{T}}=\mathbf{G}_{\mathrm{T}}\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+\mathbf{g}_{\mathrm{T}} $$

となる。ここで

$$ \begin{aligned}&\mathbf{G}_{\mathrm{T}}=-(\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{C}_{\mathrm{T}})^{-1}(\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{A}_{\mathrm{T}})\quad(4-3-21)\\&\mathbf{g}_{\mathrm{T}}=-(\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{C}_{\mathrm{T}})^{-1}(\mathbf{C}^{\prime}_{\mathrm{T}}\mathbf{H}_{\mathrm{T}}\mathbf{b}_{\mathrm{T}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T}})\\ \end{aligned} $$

である。式（4-3-20）が第T期における、 $ y_{T-1} $ に基づいて $ x_{T} $ を決定するフィードバック制御方程式である。（4-3-20）と（4-3-15）から

$$ \mathbf{y}_{\mathrm{T}}=(A_{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{T}}G_{\mathrm{T}})\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}+\mathbf{b}_{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{T}}\mathbf{g}_{\mathrm{T}} $$

となり、 $ y_{T} $ が $ y_{T-1} $ の1次式で表わされるので、これを（4-3-9）に代入した結果は

$$ \begin{aligned}\lambda_{\mathrm{T}=}&(\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1}\mathbf{^{\prime}}_{T})^{-1}[\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{A}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{G}_{\mathrm{T}})\mathbf{y}_{\mathrm{T}-1}\\&+\mathbf{H}_{\mathrm{T}}(\mathbf{b}_{\mathrm{T}}+\mathbf{C}_{\mathrm{T}}\mathbf{g}_{\mathrm{T}})-\mathbf{h}_{\mathrm{T}}]\qquad(4-3-24)\end{aligned} $$

となり、$\lambda_{\mathrm{T}}$ は $\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}$ の 1 次式となる。(4 - 3 - 9) で $\mathbf{t} = \mathbf{T} - 1$ とした式を考えると、$\lambda_{\mathrm{T}-1}$ と $\lambda_{\mathrm{T}}$ が現われるが、$\lambda_{\mathrm{T}}$ についてはいまの (4 - 3 - 24) から $\mathrm{y}_{\mathrm{T}-1}$ の 1 次式で書けるので、$\lambda_{\mathrm{T}-1}$