Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
想されたので、モデル推定の際に用いられた実績値 $ x_{\mathrm{ACT}}(t)[t=1,\cdots,T] $ と $ u_{ACT} $ を採用した。また、モデルの初期条件としての $ x(0) $ および $ x(-1),\cdots,x(-LAG) $ は推定したモデルによって計算した値（推定値）を用いた。

単一主体の場合のアルゴリズムをまとめると次のようになる。

ステップ1 シミュレーション条件を与える。

ステップ2 $ u=[u_{i}(t)][i=1,\cdots,m][t=0,\cdots, $

T - 1]を初期値 $ u_{ACT} $ に設定する。

ステップ 3 u において G を u_{i}(t) の各 i、t 方向に関して数値的に偏微分し、最大傾斜方向ベクトル grad G を求める。

ステップ 4 最大傾斜方向ベクトル grad G のすべての要素が収束判定基準を満たしていればステップ 7 へ。満たさない要素があればステップ 6 へ。

ステップ5 uをgrad G の方向に変化させて、Gが極小値となるようなu₀を求め（線形探索）これを新たにuとしステップ3へ。

ステップ6 u および u における G の値を結果として終了。

## 《ステップ 3 の詳細》

イ）u において要素 $ u_{i}(t) $ だけを $ u_{i}(t)+\delta u_{i}(t) $ で置き換えたものを $ u^{+} $ とし、モデルにおける制御変数ベクトルの値とする。

☐ ) x(t)[t=1, · · · ,T]の初期値を x_{ACT}(t) としモデルを解き、目的関数値を計算して G^{+}とする。

ハ) u において要素 $ u_{i}(t) $ だけを $ u_{i}(t) - \delta u_{i}(t) $ で置き換えたものを $ u^{-} $ とし、モデルにおける制御変数ベクトルの値とする。

二） $ x(t)[t=1,\cdots,T] $ の初期値を $ x_{\mathrm{ACT}}(t) $ としモデルを解き、目的関数値を計

算して G とする。

ホ） $ \left(\mathrm{G}^{+}-\mathrm{G}^{-}\right)/2\delta\mathrm{u}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t}) $ を計算し偏微分値とする。

へ)すべてのiおよびtについてイ)からホ)を繰り返して終了。

## 《ステップ5 詳細》

## イ）探索幅 L を初期値にする

☐ )u₀=u+L× grad G としてモデルを解き（上記口）および二）と同様）目的関数値を計算して G₀ とする。

ハ) u^{+}=u+(L+\delta L)\times grad G としてモデルを解き、目的関数値を計算して G^{+} とする。

二) u⁻ = u + (L - δ L) × grad G としてモデルを解き、目的関数値を計算して G とする。

ホ) $ (G^{+}-G^{-})/2\delta $ L により 1 次微分値 $ dG_{1} $ を計算する。

☑ (G^{+}+G^{-}-2G_{0})/δ L^{2} により 2 次微分値 dG_{2} を計算する。

ト）$\mathrm{dG_{1}/dG_{2}}$ が収束判定条件を満たしていれば $u=u_{0}$ としてステップ 3 へ。そうでなければ $\mathrm{L}=\mathrm{L}-\mathrm{dG_{1}}/\mathrm{dG_{2}}$ として口）へ。

#### 3. 5. 3 複数主体 CASE 2)、CASE 3)、CASE 4)

複数主体の場合モデルは各主体毎に与えられる。もちろん、各主体が操作可能な制御変数は各主体に付随するモデル中の外生変数の1部となる。また、外生変数の別の1部分は他の主体に付随するモデルによって決定される内生変数の関数となっており、これが干涉変数となる。したがって、ある主体に付随するモデルを与えるには

1)そのモデルに影響を及ぼす他のモデルの内生変数を干渉変数とみなし、干渉変数か

らの影響の仕方をモデルに含める

2)そのモデルにおいて他のモデルから影響を
受けている外生変数を干渉変数とみなし、他のモデルの内生変数による干渉変数の決定方程式は各主体に付随するモデルとは独立に与える

の2通りの方法がある。これは、シミュレーション中の干渉変数の決定を、各主体に付随するモデルの形で与えるのか、干渉を規定するだけの特別なモデルを用いるのかということのみの違いであり、本質的なものではない。そこで、アルゴリズムは1)の形で与える。

CASE 2)

この場合のシミュレーションは、前節で述べたように複数の主体それぞれが交互に単一主体の場合の最適制御を行い、すべての主体の決定を収束させることによって実現できる。この際、ある主体の最適制御においてはこの主体に付随するモデルの干涉変数に影響を及ぼすすべての他の主体の内生変数値を与えておく必要がある。これには、すべてのモデルの干涉変数に適当な初期値を与え任意の主体から最適制御を行い、その結果に基づいて干渉変数を変化させて次の主体の最適制御を行うということを、すべての主体について順に実行する方法をとる。干渉変数の初期値はモデル推定の際の実績値 $ m_{ACT} $ を用い、干渉変数が与えられたもとでのある主体の最適制御のアルゴリズムは CASE 1) のものを用いる。

ステップ 1 シミュレーション条件を与える。

ステップ 2 すべての主体の干渉変数 $ m_{k}(t)[k=1,\cdots,NC] $ を初期値 $ m_{kACT}(t)[t=0,\cdots,T] $ に設定する。

ステップ 3 すべての主体の制御変数 $ \mathbf{u}_{\mathrm{k}}(\mathbf{t})[\mathrm{k}] $

$$ =1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{NC} $$ を初期値 $ \mathbf{u}_{\mathrm{kACT}}(\mathbf{t})[\mathrm{t}] $$

$$ =0,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T}-1 $$ に設定する。

ステップ 4 k=1 として第 1 主体の最適制御を行う。

ステップ5 第1主体の制御変数 u_{1}(t) の値を最適制御の結果の値で置き換える。

ステップ6 第1主体の最適制御の結果計算される内生変数の値に基づいて、

$ m_{k}(t)[k \neq 1] $ の値を更新する。

ステップ7 ステップ4からステップ6を

K=2 から k=NC まで繰り返す。

ステップ 8 ステップ 4 からステップ 7 までの間で制御変数 $ \mathbf{u}_{\mathrm{k}}(t) $ の中に更新された（収束判定条件を満たさない）ものがあればステップ 4 へ。すべての制御変数が収束したならステップ 9 へ。

ステップ9 すべての主体 k について $ u_{k}(t) $ および $ G_{k} $ の値を結果として与え終了。

CASE 3)

この場合は、各主体の目的関数に対して全体の目的関数を設定しておかなければならない。すなわち、各主体は各々の目的関数を独自に最小化するのではなく、全体の目的関数を協調して最小化する。ただし、全体の目的関数は各主体の目的関数を反映しているものを設定する。5 章のシミュレーションで採用したものは、CASE 2) における各主体の目的関数の重み付き和である。

この場合のシミュレーションは、すべてのモデルを統合したものをモデルとして与え、全体の目的関数を目的関数として与えた場合の単一主体のアルゴリズムによって実現される。この際、すべての干涉変数はモデル内で決定されるので問題はなく、また制御変数はすべての主体の制御変数を同時に考えたものになる。

CASE 4)

相互作用均衡原理に基づく階層制御による協調のシミュレーションを行うには、全体の目的関数を CASE 3) のように重み付き和で与えた場合、前節で述べたように各主体の目的関数 $ G_{k} $ が $ G'_{k} $ に修正される。すなわち、目的関数は各主体の内生変数、制御変数、干涉変数の関数であり、統合変数 $ \pi_{k}(t)[k=1,\cdots,NC][t=0,\cdots,T] $ をパラメータとして持つ。
レーションはすべての $ \pi_{k}(t) $ に適当な初期値を与え、各主体が制御変数 $ u_{k}(t) $ と干渉変数 $ m_{k}(t) $ を共に制御変数とみなして $ G'_{k} $ を最小化し、制御変数として決定された $ m_{k}(t) $ の値と他のモデルから実際に計算される干渉変数の値とが一致するように $ \pi_{k}(t) $ を更新してゆく繰り返しによって実現される。

ステップ 1 シミュレーション条件を与える。

ステップ 2 $ \pi_{k}(t)[k=1,\cdots,NC][t=0,\cdots,T] $ を適当な初期値に設定する。

ステップ 3 すべての k に対して $ u_{k}(t) $ と $ m_{k}(t) $ に $ u_{kACT}(t) $ と $ m_{kACT}(t) $ を初期値として与える。

ステップ4 すべての k に対して $ u_{k}(t) $ と $ m_{k}(t) $ を制御変数とみなし、単一主体のアルゴリズムを適用してそれぞれ $ G_{k}^{\prime} $ の最小化を行う（順不同）。

ステップ 5 最小化の結果決定された内生変数に基づいてすべての干涉変数の実際の値 $ m^{*}_{\mathrm{k}}(t) $ を求める。

ステップ6 $ \mathrm{D_{k}(t)=(m_{k}(t)-m^{*}_{k}(t))} $ がすべて

収束判定条件を満たしていれば

ステップ7へ。そうでなければ

$ \pi_{k}(t)=\pi_{k}(t)-\lambda $ $ \mathrm{D_{k}(t)} $ (λは正の

適当な値)として更新しステップ

4へ。

ステップ 7 すべての $ \mathbf{u}_{\mathbf{k}}(\mathbf{t}) $ 、 $ \mathbf{G}_{\mathbf{k}}(\mathbf{t}) $ および全体の目的関数値を結果として終了。
# 4 章 経済動学モデルの最適制御

- Chow の理論の要約と実証分析例 -

本章では経済動学モデルの分析に最適制御理論を適用するための基本的な枠組について紹介するとともに、その実証分析例を示す。

まず最初に、準備として、本章の議論で必要となる概念を説明した上で、基本的な枠組について概観する。一般に経済動学モデルは、その形から線形モデルと非線形モデルの2つに区別することができる。それぞれのモデルはさらに確率的なパラメータを含まない場合（確定モデル）と含む場合（確率モデル）に分けられる。4.2 節では、そのうち線形動学モデルについて、確定モデルおよび確率モデルに関する最適制御問題の解法を述べる。そこでは1つの最適制御問題を2種類の解法（Lagrange乗数法と動的計画法）で解くことを試みる。4.3 節では、4.2 節での線形モデルの議論を延長する形で、非線形動学モデルに関する最適制御問題のいくつかの解法を紹介し、あわせて線形近似の際の問題点（特に確率的な場合の問題点）にふれる。というのは非線形動学モデルについては、基本的にモデルに適切な線形化を施した上で解くことになるからである。最後に、4.4 節において、1つの具体的な実証分析例として日本経済に関するミニモデルを用いた最適制御問題のシュミレーション結果を報告する。

本章の最初の3節は経済動学モデルに関する最適制御問題についての入門的な一般論であり、議論の内容は、この分野の標準的な教科書と見なされる[CHOW 1975]によって（4-1節は主として同書第1章、4.2節は7.1～7.4、7.6、7.9、8.1、および8.2節、4.3節は12.1～12.4節に基づく）。

本章の目的は、経済動学モデルに関する最適制御問題を解くための基本的な枠組を提供することであって、Chow の議論を完全な形で紹介することでも、またその議論に厳密な証明を与えることでもない。したがってこの分野に関係する文献的なサーベイや解法の技術的細部には立ち入らない。また4.3節の最後に、経済動学モデルとその解法についてまとめた一覧表を付しておく。

### 4.1 経済動学モデルの導入

#### 4.1.1 静学モデルと動学モデル

多くの経済理論（モデル）は静的である。静学モデルではいくつかの内生変数を、その時間的な変化を扱うのではなくて、同時的な連立方程式によって説明する。基本的な例として次の国民所得を決定する簡単なモデルを考える。

$$ \begin{aligned}&\mathbf{Y}=\mathbf{C}+\mathbf{I}+\mathbf{G}\quad(4-1-1)\\&\mathbf{C}=\mathfrak{a}_{0}+\mathfrak{a}_{1}\mathbf{Y}(4-1-2)\\ \end{aligned} $$

ここで Y は国民所得、C は消費支出、I は投資支出、G は政府支出である。第 1 の式は定義式であり、第 2 の式は消費関数である。I と G は、さしあたりこの理論で説明することを目的としない外生変数であるとする。この 2 つの式からなるモデルは、(システムの外側で決定される)I と G が与えられたときに内生変数 Y と C を決定する構造を示している。Y、C の解を具体的に求めるために、まず、内生変数を外生変数の関数として表わす。

$$ \begin{aligned}\mathbf{Y}=&\frac{\boldsymbol{\alpha}_{0}}{1-\boldsymbol{\alpha}_{1}}+\frac{1}{1-\boldsymbol{\alpha}_{1}}\mathbf{I}+\frac{1}{1-\boldsymbol{\alpha}_{1}}\mathbf{G}\\&\left(4-1-3\right)\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\mathbf{C}=\frac{\boldsymbol{\alpha}_{0}}{1-\boldsymbol{\alpha}_{1}}+\frac{\boldsymbol{\alpha}_{1}}{1-\boldsymbol{\alpha}_{1}}\mathbf{I}+\frac{\boldsymbol{\alpha}_{1}}{1-\boldsymbol{\alpha}_{1}}\mathbf{G}\ $ 4-1-4)\end{aligned} $$

方程式 $ (4-1-3) $ と $ (4-1-4) $ を構
造方程式（4 - 1 - 1）（4 - 1 - 2）の誘導型と呼ぶ。I、G の値およびパラメータα₀、α₁を定めれば、上の方程式の解として Y、C が得られることになる。ここでは時間は考えていない。

動学モデルでは異なる時刻（期間）における諸変数間の関係が、上のようないくつかの方程式に表わされ、その解として内生変数の各時刻（期間）における値の列すなわち経路が定められる。以下では議論を差分方程式に限定して、期間を表わす変数 t は整数値のみをとるものとする。上の（4-1-1）（4-1-2）を変形すれば、簡単な動学モデルとして

$$ Yt=Ct+It+Gt $$

$$ \mathbf{C}\mathbf{t}{=}\boldsymbol{\beta}_{0}{+}\boldsymbol{\beta}_{1}\mathbf{Y}\mathbf{t}{-}1 $$

が得られる。またこの動学モデルに対応する誘導型として、次式を得る。

$$ \begin{aligned}Yt=&\beta_{0}+\beta_{1}Yt_{-1}-It-Gt\\&(4-1-7)\end{aligned} $$

$$ \mathbf{C}\mathbf{t}{=}\boldsymbol{\beta}_{0}{+}\boldsymbol{\beta}_{1}\mathbf{Y}_{t-1} $$

$ Y_{t-1} $ のようなラグをもつ内生変数が現われたときには、それらは外生変数とともに（外生変数はラグをもつもたないにかかわらず）説明変数として用いられていることに注意せよ。右辺の説明変数は（その期間 t までに）決定されていた変数であり、これらの値を誘導型方程式に与えることによって、（期間 t における）内生変数の値が得られる。たとえば第1期においては $ Y_{0} $ と、 $ I_{1} $ 、 $ G_{1} $ から $ Y_{1} $ 、 $ C_{1} $ が決定され、第2期では $ Y_{1} $ はすでに決まっているので $ I_{2} $ と $ G_{2} $ が与えられれば $ Y_{2} $ 、 $ C_{2} $ が決まることになる。

動学モデルの解は、一般には一連の数値としてではなくて期間 t の関数の形で与えられることが多い。そのような解に関しては、それが t とともに増加するのか、減少するのか、振動するのか、あるいは定常状態ないし均衡点に達するのかといった性質を調べることになる。均衡解は、もし存在するならば、方程式体系の中ですべての期間における内生変数の値を同一視して（つまり $ Y_{t}=Y_{t-1} $ として）得られる。たとえば、さきの動学モデルの均衡解は次式によって求めることができる。

$$ Yt=\beta_{0}+\beta_{1}Yt+It+Gt\quad(4-1-9) $$

この場合、動学モデルの解は静学モデルのそれと同じ形になる。すなわち動学モデルにおける定常状態は、静学モデルの解で表わされることになる。

通常、経済理論では、変数が均衡値をとるかどうかのみに注目しており、ときには均衡値をもたないという理由だけから理論が捨てられることさえある。静学的な立場からは、解であるような内生変数の組が存在し均衡値が得られることが重要な前提であるが、動学的な立場からは変数が均衡点をもつという前提は必ずしも必要ではない。むしろ動学理論で扱う問題には経済変数の成長や変動に係わるものが多く、解が周期的に振動を繰り返すこともある。静学の方法はしばしば有効であるが、結局は一つの抽象化にすぎず、静学理論の目的を動学理論の枠組にまで持ち込むことは必ずしも望ましいことではない。

以下で、動学モデルの解はどのように特徴づけられ、捉えられるかを見ることにする。

#### 4.1.2 動学モデルの乗数

一般に、経済理論は、静学、動学どちらの立場に立つにしても、内生変数の値を解として求めるだけでなくて、前提条件が変わったときにその解がどう変化するかといったことについても情報を与えてくれる。異なる条件の下で静学モデルの解を比較するのが比較静学である。動学モデルについてこれを行なうのが比較動学である。
他の外生変数とパラメータをすべて固定して特定の外生変数を1つ動かした場合に、内生変数がどう変わるかを表わすのが乗数である。 $ (4-1-3) $ $ (4-1-4) $ で投資Ⅰあるいは政府支出Gが1単位変化すると、国民所得Yは $ \frac{1}{1-\alpha_{1}} $ 単位分変化する。消費CもI、Gのどちらかを1単位動かしても $ \frac{\alpha_{1}}{1-\alpha_{1}} $ 単位分だけ変わる。これらの微係数がマクロ経済モデル（静学モデルの乗数である。 $ (4-1-7) $ $ (4-1-8) $ のような動学モデルについては、このような乗数は時間の関数であるようなすべての内生変数と外生変数の対に関して定義できる。そしてYtのItに関する微係数はインパクト乗数とよばれる。またYtのIt-k $ (k>0) $ に関する微係数を定めることもできる。これらの微係数（乗数）は $ (4-1-7) $ 右辺のラグ付き変数に再帰的にこの式を代入してYtをIt-kの関数として表わせば、求めることができる。

$$ \begin{aligned}\mathbf{Y}\mathbf{t}&=\boldsymbol{\beta}_{0}+\mathbf{I}\mathbf{t}+\mathbf{G}\mathbf{t}+\boldsymbol{\beta}_{1}(\boldsymbol{\beta}_{0}+\mathbf{I}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{G}_{\mathrm{t}-1}\\&\quad+\boldsymbol{\beta}_{1}\mathbf{Y}_{\mathrm{t}-2})\\&=(\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{1}\boldsymbol{\beta}_{0})+\mathbf{I}\mathbf{t}+\mathbf{G}\mathbf{t}+\\&\quad\boldsymbol{\beta}_{1}(\mathbf{I}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{G}_{\mathrm{t}-1})+\boldsymbol{\beta}_{1}^{2}\mathbf{Y}_{\mathrm{t}-2}\\&=\boldsymbol{\bullet}\quad\boldsymbol{\bullet}\quad\boldsymbol{\bullet}\quad\boldsymbol{\bullet}\\&=\boldsymbol{\beta}_{0}(1+\boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\bullet}\quad\boldsymbol{\bullet}\quad\boldsymbol{\bullet}+\boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{K}})+\\&\quad\mathbf{I}\mathbf{t}+\mathbf{G}\mathbf{t}+\boldsymbol{\beta}_{1}(\mathbf{I}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{G}_{\mathrm{t}-1})+\boldsymbol{\bullet}\quad\boldsymbol{\bullet}\\&\quad\boldsymbol{\bullet}\quad\boldsymbol{\bullet}\quad+\boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{K}}(\mathbf{I}_{\mathrm{t}-\mathrm{k}}+\mathbf{G}_{\mathrm{t}-\mathrm{k}})+\\&\quad\boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{K}+1}\mathbf{Y}_{\mathrm{t}-\mathrm{k}-1}\end{aligned} $$

したがってYtのIt-kに関する微係数はβ_{1}Kである。これは期間sにおいてIsが1単位変化すると、k期間後のYs+k(k=0、1、2、⋅⋅)はすべて、それぞれβ_{1}K単位だけ変化することを意味する。これらの係数を遅れ乗数（delayed multipliers）とよぶ。

問題によってはある期間、たとえば t、t-1、・・・、t-k の期間にわたる投資支出の変化が Yt に及ぼす総合的な効果に興味がある場合もある。この効果は Yt の It、 $ I_{t-1} $ 、・・・、 $ I_{t-k} $ それぞれに関する微係数の和として表わすことができる（4-1-10）を用いれば、It、 $ I_{t-1} $ 、・・・、 $ I_{t-k} $ のそれぞれが 1 単位ずつ変化したとき、Yt の変化分は

$$ \begin{aligned}1+\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\beta}_{1}^{2}+\bullet\quad\bullet+\boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{k}}=&\frac{1-\boldsymbol{\beta}_{1}^{\mathrm{k}+1}}{1-\boldsymbol{\beta}_{1}}\\&\left(4-1-11\right)\end{aligned} $$

と評価することができる。(4 - 1 - 11) は中期乗数 (intermediate - run multiplier) とよばれる。この乗数は外生変数が連続する k+1 期間に 1 単位ずつ変化したときの内生変数の変化分の和を示している。変化がすべての期間において継続的に起こる場合の $ Y_{t} $ の変化は長期乗数 (long - run multiplier) によって与えられる。上の例では投資の国民所得に対する長期乗数は $ \frac{1}{1-\beta_{1}} $ となる (ただし $ 0 < \beta_{1} < 1 $ とする)。これは (4 - 1 - 11) で k→∞ としたものに他ならない。これはまた (4 - 1 - 7) の定常解 (4 - 1 - 9) を代数的に解くことによっても得られる。

#### 4.1.3 確率動学モデル

動学理論が動学モデルによって決まる経路を問題にするように、確率動学理論では確率変数を含む動学モデルによって与えられる確率的な経路、すなわち時系列を扱うことになる。この小節ではモデルに確率的な要素を導入する。単純で有効な方法は非確率構造方程式（確定モデル）に確率的な変動を表わす項を付加的に、つまり加法的に加えることである。たとえば構造方程式（4-1-6）右辺に平均0、分散をVとする確率変数 $ u_{t} $ を加えればよい。どのようなデータも（4-1-6）のような線形関数を完全にみたすとは考えられないので、確率項を付加したモデルはそれだけ現実に近いと考えられる。 $ C_{t} $ に実際に影響を与える変数は $ Y_{t-1} $ の他に
もさまざまなものが考えられるが、それらの変数をすべてモデルにとり込むことは不可能である。モデルで省略されたこうした変数全体の消費 $ C_{t} $ に及ぼす効果が確率変数 $ u_{t} $ によって表わされていると考えてもよい。かなり一般的な仮定の下で、多くの確率変数の線形結合の分布は正規分布に近いとみなすことができる（中心極限定理）。したがって $ u_{t} $ はしばしば正規分布にしたがうことが仮定される。結果として得られる $ Y_{t} $ についての誘導型方程式は

$$ \mathbf{Y}_{\mathrm{t}}=\beta_{0}+\beta_{1}\mathbf{Y}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{I}_{\mathrm{t}}+\mathbf{G}_{\mathrm{t}}+\mathbf{u}_{\mathrm{t}}\quad(4-1-12) $$

となる i これは確率差分方程式の一例である。 $ (4-1-12) $ を使えば、 $ Y_{0} $ 、 $ I_{1} $ および $ G_{1} $ の値が決まり、かつ $ u_{1} $ にしたがう分布から 1 つの値が実現すれば、 $ Y_{1} $ が決まる。次に $ Y_{1} $ と $ I_{2} $ 、 $ G_{2} $ 、および $ u_{2} $ の実現値から $ Y_{2} $ が決まる。以下このようにして $ Y_{1} $ 、 $ Y_{2} $ 、・・・、 $ Y_{t} $ 、の実現値が決まる。このような意味で、各期間 t において $ Y_{t} $ は確率変数である。確率変数とその分布は時間の関数なので、その実現値の系列は時系列とよばれる。確率差分方程式によって生成される時系列の性質を調べることが、確率動学モデルの議論の中心である。このような時系列の挙動を検討することによって、確率動学モデルを用いた予測や政策評価のためのシミュレーションを行なうことができる。時系列 $ Y_{t} $ （ $ t=1,\cdots,T $ ）は結合（同時）確率分布（ $ Y_{1},\cdots,Y_{t} $ ）によって定められる。通常は、このような結合確率分布の特定のパラメータに関心がある。

いま $ Y_{t} $ の期待値 $ EY_{t} $ を $ \overline{Y}_{t} $ と書くことにして、期待値ベクトル ( $ \overline{Y}_{1} $ 、 $ \cdot\cdot\cdot $ 、 $ \overline{Y}_{t} $ ) ≡ E( $ Y_{1} $ ， $ \cdot\cdot\cdot $ , $ Y_{T} $ ) を考える。そして (4 - 1 - 12) の両辺の期待値をとれば、 $ Eu_{t} $ は 0 であるので、

$$ \overline{\mathbf{Y}}\mathbf{t}=\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{1}\overline{\mathbf{Y}}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{I}\mathbf{t}+\mathbf{G}\mathbf{t} $$

となり、したがって期待値 $ \overline{Y}_{t} $ は（4-1-7）と同じ確定モデルにしたがうことがわかる。

#### 4.1.4 モデルに影響を及ぼす要因

ここで、最適制御の議論に進む前にマクロ計量経済モデル（これは上で説明した動学モデルの一種である）に影響を及ぼす要因の種類について整理しておこう。（4－1－12）を一般化して、次の形の誘導方程式を考える。

$$ \mathbf{y_{t}=A y_{t}+C x_{t}+B z_{t}+u_{t}} $$

$ y_{t} $ は p 次元の内生変数(従属変数)ベクトル、xt は (4 - 1 - 12) の政府支出のように政策決定者によってコントロールされる制御変数を表す q 次元の外生変数ベクトル、 $ z_{t} $ は (4 - 1 - 12) の独立投資支出のように制御不可能な r 次元の外生変数ベクトル、 $ u_{t} $ は確率的外乱(誤差)を表す p 次元の確率ベクトルであり、期待値 0 共分散行列 V をもつとする(ベクトルはいずれも列ベクトルである)。A、C、B は与えられたパラメータ行列である。

初期値 $ y_{0} $ を与えれば、時系列 $ y_{t} $ はラグ付き変数に $ (4 - 1 - 14) $ の形の式を再帰的に代入していくことによって得られる。その結果（AA を $ A^{2} $ などと書くと） $ y_{t} $ は次のように書ける。

$$ \begin{aligned}\mathbf{y}_{\mathrm{t}}&=\mathbf{A}^{\mathrm{t}}\mathbf{y}_{0}+\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{t}}\mathbf{A}\mathbf{t}-\mathbf{k}\mathbf{u}_{\mathrm{k}}+\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{t}}\mathbf{A}\mathbf{t}-\mathrm{k}\mathrm{C}\mathrm{x}\mathbf{k}\\&\quad+\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{t}}\mathbf{A}^{\mathrm{t}-\mathrm{k}}\mathbf{B}\mathbf{z}_{\mathrm{k}}\quad(4-1-15)\end{aligned} $$

（4 - 1 - 15）は $ y_{t} $ に 4 種類の要因が影響を与えていることを示している。まず第 1 に、右辺の第 1 項は $ y_{t} $ が自分自身のラグ付き変数から受ける影響、いい換えれば内生変数自身の（異なる期間どうしの）相互作用を表す項である。第 2 項はこのシステムに作用する外乱の効果の全体を表す。第 3 項は政府の政策の効果を反映する。第 4 項は制御不可能な外生変数による干渉項である。結局、動学モデルには以上の 4 種類の要因が影響を及ぼしていると考えられる。政府の政策決定に際してはこれらの要因の関係を考慮した上で、経済全体の動きを改善するように制御変数 $ x_{t} $ を選ぶことが重要な目的となる。
#### 4.1.5 経済動学モデルと最適制御問題

（4－1－14）のような動学モデルが、ひとたび導出されれば、制御不可能な外生変数の経路を与えた上で、経済がより望ましい状態、たとえば特定の成長率をもち、価格水準は安定しており失業率も低いといった状態を実現するように、制御変数をコントロールすることが必要となる。確率動学モデルという分析道具は、政府のとり得る政策の可能な代替案の結果を比較し、分析するために有効な道具である。しかしそれは決して完全に満足できるものではない。というのは多変数の動学モデルの挙動は非常に複雑であり、1つの望ましい経済状態を達成するための制御変数の取り方は何通りも可能だからである。あまりにも多くの可能性がある場合には、限られた時間と資源の下でその中から最適な政策を選び出すために、組織的な方法が必要となる。最適制御理論は、そのような最適な政策を選び出すための実質的で有効な方法を与えるものである。

最適制御理論あるいはその基礎にある最適化の考え方の本質的な点は、それに基づいて選択の結果を評価判定できるような目的関数が設定できるということである。可能な設定の1つは、ある特定の（一般には複数個の）経済変数 $ y_{t} $ を予め定められた目標ベクトル $ a_{t} $ に近づけるというものである。ベクトル $ a_{t} $ の成分としては、たとえば年5%で成長する実質GNPとか、2%の失業率などといったものが考えられる。ここで経済状態が $ y_{t} $ であるような社会の社会的厚生の損失（the welfare loss）の程度は、 $ y_{t} $ の各成分の $ a_{t} $ の各成分からのずれを2乗したものの加重和で近似できるものとしよう。すなわち、目的関数（この場合は社会的厚生の損失関数）は、

$$ \sum_{\mathrm{t}=1}^{\mathrm{T}}(\mathbf{y}_{\mathrm{t}}-\mathbf{a}_{\mathrm{t}})^{\prime}\mathbf{K}_{\mathrm{t}}(\mathbf{y}_{\mathrm{t}}-\mathbf{a}_{\mathrm{t}}) $$

と書けるものとする。ここに Kt は重みを表す対角行列である。このような目的関数と（4-1-14）の確率動学モデルが与えられれば、期間1から期間Tにわたる社会的厚生の損失の期待値を最小化するような政策の系列 $ x_{t}(t=1,\cdot\cdot\cdot,T) $ を求めることが興味の中心となる。以下に見る通り、この問題に対する解はフィードバック制御規則 $ x_{t}=G_{t}y_{t-1}+g_{t} $ の形で、すなわち各観測値 $ y_{t-1} $ に基づいて最適な $ x_{t}=x_{t} $ を決定する関係式の形で与えられる（これを最適フィードバック解という）。

最適解が得られれば、それを適用したときの社会的厚生の損失と他の政策をとった場合のそれとを比較することができる。たとえば、通貨供給量の伸び率を一定に維持するという政策の効果を評価することができる。経済動学モデルと社会的厚生の損失を用いて最適な政策を選択するという方法はきわめて有効である。政策決定者は最適な政策の選択の他に、最適解の下での他の重要な経済変数の挙動を検討する必要があることもある。そのような場合には最適解を（4-1-14）に代入して

$$ \begin{aligned}\mathbf{y_{t}}=&(\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{G}\mathbf{t})\mathbf{y_{t-1}}+(\mathbf{C}\mathbf{g}\mathbf{t}+\mathbf{B}\mathbf{z_{t}})+\mathbf{u_{t}}\\=&\mathbf{R}\mathbf{t}\mathbf{y_{t-1}}+\mathbf{b_{t}}+\mathbf{u_{t}}\end{aligned} $$

と書き直せば $ y_{t} $ に作用する要因ごとにその効果を知ることができる。ここで A+CGt を Rt、 $ C_{g_{t}}+B_{z_{t}} $ を $ b_{t} $ と書いている。(4 - 1 - 16) には 3 種類の要因が現われている。すなわち $ y_{t-1} $ の項が表すラグ効果、確率的な外乱、および外生変数に由来するものの 3 つである。こうした構造を明らかにすることによって、さまざまな要因による経済動学モデルの動学的特性を調べることが可能となる。

### 4.2 線形動学モデルの解法

#### 4.2.1 線形動学モデル

ここでは線形動学モデルを用いた最適制御問題の解法について説明する。線形動学モデルは、形式的に、少なくとも次の4種類に分類することが可能である。第1に、確定モデルでその係数（パラメータ）が固定されているもの、第2に、確定モデルでその係数が時間の関数である
もの、第3に確率モデルでその係数が固定されているもの、第4に確率モデルで係数が時間の関数であるものの4つである。式の形で書けば、順に

$$ \mathbf{y_{t}=A y_{t-1}+B z_{t}+C x_{t}} $$

$$ \mathbf{y_{t}=A_{t}y_{t-1}+B_{t}z_{t}+C_{t}x_{t}} $$

$$ \mathbf{y_{t}=A y_{t-1}+B z_{t}+C x_{t}+u_{t}} $$

$$ \mathbf{y_{t}=A_{t}y_{t-1}+B_{t}z_{t}+C_{t}x_{t}+u_{t}} $$

となる。

変数 $ y_{t} $ 、 $ z_{t} $ 、 $ x_{t} $ 、 $ u_{t} $ の意味はすべて 4 - 1 節と同じである。確率モデルについては、さらに $ A_{t} $ 、 $ B_{t} $ 、 $ C_{t} $ が確率パラメータを合む場合（すなわち係数行列が確率変数である場合）も考えられるが、ここでは扱わない。右辺のラグ付き内生変数が $ y_{t-1} $ のみで、それ以上高階のラグを伴うものが入っていない理由は、すぐ後で述べる。

さて、以上の 4 種類のうち（4 - 2 - 1）は（4 - 2 - 2）に、（4 - 2 - 3）は（4 - 2 - 4）に基本的には帰着されると考えてよい。したがって、線形動学モデルとしては（4 - 2 - 2）（4 - 2 - 4）について考えておけば十分である。方程式（4 - 2 - 2）の解法として、ここでは Lagrange 乗数法によるものと動的計画法によるものの 2 つを紹介する。（4 - 2 - 4）については、変数を確定的な部分と確率的な部分に分解することで、Lagrange 乗数法を用いることができる。また、確率項 ut をその期待値 Eut に置き換えて確定モデルに帰着させてしまう方法もある（これらの扱いではモデルが線形であることが基本的な役割を果たしていることに注意せよ）。以下の議論の前半は Lagrange 乗数法による解法にあて、後半を動的計画法による解法の検討にあてる。

具体的な議論に入る前に、いくつかの注意を与えておく。第1に、最適解の形についてである。最適制御問題の解は（したがって解によって表される政策も）2つの形に区別することができる。第1の解の形は、問題にしている期間全体にわたる制御変数（政策） $ x_{1} $ ， $ \cdot\cdot\cdot $ ，xTを、政策決定の第1期の最初の時点において、具体的に数値として与えるものである。これらの値の列（経路）は、未来に何か起ころとも（少なくとも建前としては）政策決定者によって各期間で実行されるものとしている。第2の解の形は各期間で行なうべき政策を、前段階の内生変数の関数として決定する式を与えるものである。これはシステムの状態に基づいて制御入力を決定する方法（フィードバック制御規則）を与えるという意味で、フィードバック解と呼ぶ。一般に制御変数として選べるのは（制御可能な）外生変数であり、このフィードバック解によって、t-1期における内生変数の値からt期における制御変数の値を決定する方法をモデルに組み込めば、外生変数は、いわば内生変数化されることになる。その意味で、フィードバック解はまた閉ループ解（または閉ループ政策）と呼ばれることがある。これに対して、第1の一連の数値を具体的に与える形の解は開ループ解（または開ループ政策）と呼ばれる。動学モデル（非線形の場合も含めて）に関する最適制御問題を考えるときには、どちらの形の解を議論しているのかをはっきり区別することが重要である。

第2に、社会的厚生の損失関数すなわち目的関数の設定についてである。ここでは形式的な理由から目的関数としては2次形式のものを採る。このとき、次の2点を注意しておく必要がある。第1は目的関数は、結局のところ、計量モデルが実際の世界の抽象化にすぎないのと同様に、政策決定者の選好または価値観の1つの近似にすぎないという点である。したがって2次形式よりも複雑な目的関数を導入すれば、問題の設定はより現実的なものになるであろうが解を求めることは技術的に難しくなる（場合によっては不可能にさえなる）。そこで、単純化した近似的な問題を正確に解くか、より複雑な、しかし現実に近い問題を解くかという選択を迫られることになる。どちらが望ましいかは扱う問題の性質による。いずれにしても目的関数の適切さは、政策決定に関してそれがもつ有効性によって判定されるべきである。第2の点は、第1の点にも関係するが、最適制御問題を（形
式的に)解くことが経済分析の目的ではないということである。最適解が得られたならば、その解をもとの方程式に代入して、その経済動学モデルの挙動の経済的な意味を検討することが大切である。

第3の注意はラグ付き変数の扱いである。一般に、政策分析のための線形動学モデルとしては

$$ \begin{aligned}\mathbf{y}_{\mathrm{t}}=&\mathbf{A}_{1\mathrm{t}}\mathbf{y}_{\mathrm{t}-1}+\ldots+\mathbf{A}_{\mathrm{mt}}\mathbf{y}_{\mathrm{t}-\mathrm{m}}+\mathbf{c}_{0\mathrm{t}}\mathbf{x}_{\mathrm{t}}+\ldots+\\&\mathbf{c}_{\mathrm{nt}}\mathbf{x}_{\mathrm{t}-\mathrm{n}}+\mathbf{b}_{\mathrm{t}}+\mathbf{u}_{\mathrm{t}}\end{aligned} $$

というように、内生変数について m 階、制御変数について n 階のラグをもつものが考えられる。しかし、この方程式は、

$$ +\begin{pmatrix}C_{ot}\\0\\\vdots\\0\\I\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}x_{t}+\begin{pmatrix}b_{t}\\0\\\vdots\\0\\\vdots\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n_{t}\\0\\\vdots\\0\\\vdots\\0\\0\end{pmatrix} $$

と書き直した上で、改めて縦ベクトル（ $ y_{t} $ ， $ y_{t-1} $ ，…， $ y_{t-m+1} $ ， $ x_{t} $ ，…， $ x_{t-1} $ ，…， $ x_{t-n+1} $ ）を $ y_{t} $ と見なせば、これは前の（4-2-4）の形に等しくなる。したがって線形動学モデルは（その経済的な意味についてはともかく、少なくとも）問題を解く上での形式的、技術的な設定に関する限り、（4-2-4）のような1階の差分方程式の形に書いても、一般性を失わない。（4-2-6）の式では同時に、新しく定義された縦ベクトル $ y_{t} $ の中に制御変数が「埋め込まれている」ことに注意せよ。このとき目的関数は形式的には（新しい） $ y_{t} $ のみの関数と考えることができる。

#### 4.2.2 Lagrange 乗数法による閉ループ解（フィードバック解）

確定的な経済動学モデルの最適制御問題を解く手法のうち、もっとも基本的なものの1つがLagrange乗数による解法である。この解法では、まず、目的関数と変数の満たすべき制約条件の式からLagrange関数と呼ばれる関数Lを定義する。われわれの問題の場合、これは目的関数を $ \sum_{t=1}^{T}(y_{t}-a_{t})^{\prime} $ Kt(y_{t}-a_{t})，制約条件を線形モデル

$$ \mathbf{y_{t}=A_{t}y_{t-1}+C_{t}x_{t}+b_{t}} $$

として（ $ b_{t} $ が制御不可能な外生変数の項）

$$ \begin{aligned}\mathbf{L}=&-\sum_{t=1}^{\mathrm{T}}(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{a}_{t})^{\prime}\mathbf{K}\mathbf{t}(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{a}_{t})\\&-\sum_{t=1}^{\mathrm{T}}\lambda^{\prime}_{t}\left(\mathbf{y}_{t}-\mathbf{A}_{t}\mathbf{y}_{t-1}-\mathbf{C}_{t}\mathbf{x}_{t}-\mathbf{b}_{t}\right)\end{aligned} $$

と定義される。ここで制約条件の部分に係数として現われる（縦）ベクトル $ \lambda $ tがLagrange乗数と呼ばれるものである。一般にaを定数ベクトル、Aを対称な定数行列、xを変数ベクトルとして

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\mathrm{x}^{\prime}\mathrm{a}\right)=\mathrm{a}、\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{2}\mathrm{x}^{\prime}\mathrm{A}\mathrm{x})=\mathrm{A}\mathrm{x} $$

などの成り立つことに注意して、上のLagrange関数Lを $ y_{t} $ 、 $ x_{t} $ 、 $ \lambda t $ で偏微分したものを0とおけば、次の3式を得る。

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial\mathrm{L}}{\partial\mathrm{y t}}=\mathrm{K t}(\mathrm{y}_{\mathrm{t}}-\mathrm{a}_{\mathrm{t}})-\lambda\mathrm{t}+\mathrm{A}_{\mathrm{t}+1}\lambda_{\mathrm{t}+1}=0\\&\begin{aligned}\\ &(4-2-10)\\&\frac{\partial\mathrm{L}}{\partial\mathrm{x t}}=\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{t}\lambda\mathrm{t}=0&(4-2-11)\\&\frac{\partial\mathrm{L}}{\partial\lambda\mathrm{t}}=-(\mathrm{y}_{\mathrm{t}}-\mathrm{A}_{\mathrm{t}}\mathrm{y}_{\mathrm{t}-1}\mathrm{C}_{\mathrm{t}}\mathrm{x}_{\mathrm{t}}-\mathrm{b}_{\mathrm{t}})=0\\&\quad&(4-2-12)\\&(\mathrm{t}=1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T};\lambda_{\mathrm{T}+1}=0)\\ &\end{aligned}\\ \end{aligned} $$

Lagrange 乗数法の要点はこれらの 3 式を解
は yT-1 の 1 次式として表わされて

$$ \begin{aligned}\lambda_{\mathrm{T-1}}=&(\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1}\mathrm{^{\prime}T})^{-1}[\mathbf{K}_{\mathrm{T-1}}(\mathbf{y}_{\mathrm{T-1}}-\mathbf{a}_{\mathrm{T-1}})+\mathbf{B}_{2\mathrm{T}}\lambda_{\mathrm{T}}]\\=&\quad(\mathbf{I}-\mathbf{B}_{1}\mathrm{^{\prime}T})^{-1}(\mathbf{H}_{\mathrm{T-1}}\mathbf{y}_{\mathrm{T-1}}-\mathbf{h}_{\mathrm{T-1}})\\&\quad(4-3-25)\end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \begin{aligned}&\mathrm{H}_{\mathrm{T}-1}{=}\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}{+}\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{T}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{a}_{\mathrm{T}}{+}\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{G}_{\mathrm{T}})\\ &\quad(4-3-26)\\ &\mathrm{h}_{\mathrm{T}-1}{=}\mathrm{K}_{\mathrm{T}-1}\mathrm{a}_{\mathrm{T}-1}\cdot\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{T}\mathrm{H}_{\mathrm{T}}(\mathrm{b}_{\mathrm{T}}{+}\mathrm{C}_{\mathrm{T}}\mathrm{g}_{\mathrm{T}}){+}\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\mathrm{T}}\\ \end{aligned} $$

である。(4 - 3 - 25) は (4 - 3 - 9) で T を T - 1 に置き換えた形になっているので、以上の手続きを繰り返せば、順次 XT-1, XT-2, ..., X1 が、フィードバック制御方程式の形で得られることになる。

#### 4.3.3 条件なしの最適化問題の開 ループ解

確定線形動学モデルを解く2番目の方法は、条件つき最適化問題を、条件なしの最適化問題に帰着させるという方法である。目的関数W（ $ y_{1},\ldots,y_{t} $ ）が与えられているとして（今度は必ずしも2次形式である必要も、加法的である必要もない）さらに確定モデルが $ y_{t-1} $ と $ x_{t} $ を与えたときに（ $ Z_{t} $ の値は固定しておく） $ y_{t} $ について数値的に解けるものとしよう。このような場合には $ y_{1} $ から $ y_{T} $ までを $ x_{1} $ から $ x_{T} $ までの制御変数の関数と見なすことができるので、目的関数Wは制御変数の関数 $ W^{*}(x_{1},\ldots,x_{T}) $ と考えてよい。あるいは別の表現をすると、Wの中の $ y_{1},\ldots,y_{T} $ を $ x_{1},\ldots,x_{T} $ の式で書き直せばよい。すると、 $ y_{t} $ のみたすべき制約条件の情報はいわば $ W^{*} $ の中に組み込まれた形となるので、Wについての条件つき最適化問題を $ W^{*} $ についての条件なしの最適化問題と考えることが可能となる。すると、後は通常の最適化の手法を適用して解を求めればよい。これらの数値解法の具体的な内容を紹介することは、ここでの議論の目的ではないが、種々の計算法についてさまざまな評価が報告されていることを付け加えておく。

#### 4.3.4 線形近似モデルの勾配法による解法

以上の2つの解法によって得られる解は、非線形動学モデルに関する最適制御問題の2つの対照的な解を与える。というのはLagrange乗数によれば、解は閉ループ制御規則（閉ループ政策）の形で得られ、条件なしの最適化問題に帰着させた解は、関ループの制御入力の一連の数値（開ループ政策） $ x_{1},\ldots,x_{T} $ を与えるからである。前者は、制御規則という形で解の詳しい構造を与えるのに対して、後者はそのような情報を提供しない。この場合、政策決定者は単に関数 $ W^{*} $ を評価するプログラムを与えられて、 $ W^{*} $ の最適化にそれを応用するだけに過ぎない。また前者では制御変数を期間tに分割して、異なる期間における最適制御の問題を解くことになるが、後者では逐次代入（繰り返し）の各段階で、すべての期間にわたる一連の未知数 $ x_{1},\ldots,x_{T} $ を同時に解くことになる。

これら２つの対照的な解法の中間として、非線形動学モデルをまず線形化（１次近似）して、その上で最適化の手法（勾配法など）を適用するという第３の解法がある。この解法では線形化したモデルを用いるものの、 $ x_{1},\ldots,x_{T} $ を多段階に分解せずに同時に扱う点がLagrange乗数法による解法と異なっている。

T 期間にわたる従属変数の列 $ y_{1}, \ldots, y_{T} $ を縦に並べて列ベクトル y とし、T 期間にわたる制御変数の列 $ x_{1}, \ldots, x_{T} $ を縦に並べて列ベクトル x とする。x が与えられれば、T 期間にわたって非線形モデルを解くことによって y を求めることができる。このように考えると、y は x の非線形なベクトル値をとる関数と見なすことができる。つまり

$$ \mathbf{y}=\mathbf{g}(\mathbf{x}) $$

とする。さらに2次形式の目的関数として、x、yを与えられた目標値からの乖離で（必要であればモデル（4-3-28）を定義し直した上で）側ることにして、

$$ W=(y^{\prime}、x^{\prime})H(\begin{array}{c}y\\ x\end{array})\quad(4-3-29) $$