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## 第 3 章 最適制御の経済分析への応用

この章では、経済政策の決定問題を最適制御問題として扱うための概念的枠組を用意するとともに、その解法として非線形計画法を適用する方法を検討する。

### 3.1 経済システムの分析と最適制御理論

経済システムと、これに経済政策という操作を行うことのできる意思決定主体を考える。経済システムの分析に制御理論を適用する場合に、まず初めに考慮しておかなければならない問題は、意思決定主体と制御の目的をどのように扱うかということである。2章で述べたように、制御理論は基本的に設計の理論であり、制御対象も工学的なシステムを想定している。そこで、制御理論においては「誰がどの入力の制御を行うのか」という問題や「誰が制御の目的を与えるのか」という問題は考慮されていない。さらに制御の目的も、制御系の安定化、応答速度の改善や使用エネルギーの最小化というように、ある意味で工学的なシステムに関する普遍的な目的を考えている。しかし経済システムの分析においては、例えば多国間の経済プロセスを考えても明らかなように、複数の意思決定主体（制御入力の決定者）が存在し、多くの場合それぞれが独自の制御目的をもっている。もちろんこの目的も、工学的システムのように普遍的なものではない。したがって、経済システムの分析に制御理論を適用する場合には、意思決定主体と制御の目的を扱うための枠組を設定しておかなければならない。

初めに、制御の目的の扱いについて考える。分析対象となる経済システムは、そもそも経済プロセスに対する人為的な操作や経済行動の集積として与えられるものである。そして経済プロセスにおいては、なんらかの財の生産・流通（移動）・消費の流れ（流列）の変化が問題とされ、意思決定主体は自らの経済活動の結果として、この財の流れの変化に影響与えている。このようなシステムにおいては、経済プロセスに影響を及ぼす意思決定主体がどのようなものであっても、人為的な操作や経済行動の目的は人間と財との関係によって決まるものでなければならない。このような枠組みのもとでは、意思決定主体にとっての第1義的な目的は、やはり財の流れに対して設定した目標を達成するということである。これに対して、財の生産・流通・消費の流れの変化を望ましいものにするということは、第2義的な目的であろう。しかし、意思決定主体にとって経済対象がマクロになればなる程、第2義的な目的が大きな問題となってくる。この第2義的な制御の目的は、経済プロセスの特性を望ましいものにするということに対応し、制御理論における望ましい特性をもつ制御系の設計という問題設定に相当する。一方、第1義的な制御の目的は財の流れに関して設定された目的関数を最適化するということに対応し、制御理論における最適制御理論の問題設定に相当する。本研究では経済システムの分析に最適制御理論を適用することを考えその適用方法を検討しており、第2の立場に立っている。もちろん望ましい特性をもつ制御系の設計という立場を適用することも、応用段階では考えられる。

ところで、最適制御を適用するにしても特性の設計という立場に立つにしても、事前に制御目的を設定しておかなければならないことには変わりない。しかし、制御理論は制御目的を設定すること自体を問題としているわけではないので、最適制御理論を適用するときには、目的関数の決め方に関して最適制御理論とは別の考察が必要となる。

次に、意思決定主体の扱いについて考える。
経済システムにおいて、意思決定主体としてどのようなレベルのものをとるにしても、それが唯1つ（単一主体）であり、設定された制御目的が唯1つで矛盾を持たない場合には、意思決定主体を明示的に扱う必要はなくなる。したがって、制御理論を適用する際に意思決定主体の問題は考える必要がない。ただし、複数の制御目的が存在するときには、制御理論を適用する前に、なんらかの形で制御目的間のトレードオフを考えておく必要がある。

これに対して、複数の意思決定主体（複数主体）が存在するときには、制御理論自体とは別に意思決定主体どうしの関係を扱う枠組が必要になる。このような経済システムとは、例えば複数の意思決定主体が同一の経済プロセスに対してそれぞれ制御を加えるような場合である。このとき、各々の意思決定主体の制御の結果は、他の意思決定主体が経済プロセスに対して設定した制御目的の達成に影響を与える。これは、各意思決定主体にとって制御対象である経済プロセスの中に、他の意思決定主体の行う制御という未知の要因が関係しているという状況に他ならない。このような状況下で制御理論を適用するには、未知の要因をどのような形で規定するか、あるいは期待するのかを決めなければならない。これは、各意思決定主体にとっての制御対象を明確にすることである。また、各意思決定主体にとって未知の要因が規定され制御問題が確定したとしても、それによって定まる制御を各意思決定主体が実際にプロセスに加えた結果は、必ずしも各制御問題で予想されたものにはならない。それは、各意思決定主体の制御問題には相互関係が存在し、制御の結果は他の意思決定主体の制御の決果によって影響を受けるからである。

このように、複数主体の経済システムの分析に制御理論を適用するには、複数の制御問題の相互関係を扱う高次の理論が必要であるが、本研究ではこの枠組としてゲーム理論および階層システムの理論を採用する。

ゲーム理論は、複数の意思決定主体の決定が互いに影響を及ぼすプロセスにおいて、それぞれの意思決定主体が自らの目的のためにとる戦略と、決定の結果として生じるプロセスの状態との関係を分析する理論である。ここでいう戦略とは、他の意思決定主体の決定に対応して自らの意思決定を行う方法ないしはルールのことである。すなわち戦略を決めるということは、前述のような枠組のもとで未知の要因を規定し、各意思決定主体の制御問題を決めることに対応する。また、ゲーム理論では決定の結果として生じるプロセスの状態をゲームの解と呼び、これによって各意思決定主体の戦略の相互関係を評価する。これは、各意思決定主体の制御問題の相互関係を、実際に生じる状態によって評価する方法を与える。

一方、階層システムの理論は2章に述べたように、複数の意思決定主体とそれを統合する高次の意思決定主体の関係に関する理論である。そこでは、各意思決定の相互作用をどのように取り扱うのかが規定され、また全体の意思決定問題や上位ユニットの意思決定問題との関係で、下位ユニットの意思決定問題相互の関係が分析される。したがって、意思決定主体間の関係の問題はそのまま階層システムの理論の枠組みで扱うことができる。特に、階層制御理論は各意思決定主体の制御問題が、高次の目的に対して協調的である場合を扱うものと考えられる。

以上のことから、ここでは経済システムを最適制御の理論を用いて分析する場合、

1）単一主体の最適制御問題

2）ゲーム理論を用いた複数主体の最適制御問題

3）階層制御理論を用いた複数主体の最適制御問題

という３つの定式化が可能である。

ここでの主たる目的が、経済分析における最適制御理論の適用方法についての検討であるので、ここでは目的関数の特定化に関して深く立
ち入った議論は行なわない。つまり以下の検討では、目的関散はなんらかの方法によって与えられているものとする。

また、政策決定問題を最適制御問題として分析するにしても、最適制御すなわち最適政策の与え方は、開ループ制御と閉ループ制御の2通りある。現実の経済政策の決定を行う立場で考えるならば、経済プロセスの多少の変動に対しても政策の最適性が保証される閉ループ制御が有利である。しかし、現実に実施された政策のシミュレーションに最適制御理論を適用するという立場からは、開ループ制御の方が扱いやすい。これは、閉ループ制御によって政策が決定されていると仮定した場合には、閉ループ系を含むような複雑なシステムの同定問題を解かなければならないからである。また、この場合必ずしも解釈の容易な最適制御規則が与えられるとは限らない。最適制御理論の適用に当たってはこのような点を考慮して制御方式を選択する必要がある。

### 3.2 最適制御問題としての政策決定問題

#### 3.2.1 経済モデルと制御モデル

経済システムを制御理論におけるシステムとして扱うには、システムの表現方法や変数の間の対応関係を明確にしておかなければならない。制御理論には、システムの外部記述と内部記述という基本的に異なったシステムの表現法があることはすでに述べた。経済システムにおいても、この2つの表現方法を考えることができる。しかし、経済システムは基本的に多变数系であり、また外部記述に基づく制御では最適制御問題の定式化ができないこと、また経済システムの分析においては多くの場合、すべての変数の挙動が問題にされることなどの理由から、ここでは経済システムのモデルとして状態変数による内部記述を採用する。さらに、一般に計量経済モデルではモデルに用いられる変数は直接に観測できるものとして扱われているので、出力および観測方程式は考慮する必要はない。結局、制御モデルとしての経済モデルは状態方程式体系または階差方程式体系と境界条件としての初期あるいは終端条件から構成されていると考えられる。

計量経済モデルには、内生変数および外生変数という2種類の変数が存在し、モデルそのものは内生変数の決定方程式である。状態方程式がシステムの内部状態の決定方程式であることを考えれば、明らかに内生変数を状態変数として扱うことができる。もちろん、政策決定問題においては制御入力は指定された経済政策ということになるが、これ以外の外生変数はモデル外で決定されるので、時間とともに変化するがその値が既知であるような定数として扱りことができる。

このようにして、計量経済モデルを制御モデルに変換し得るが、計量経済モデルは多くの場合離散時間モデルであり、これに対応する制御モデルも離散時間システムとなる。また、モデル推定における推定誤差などを考慮すれば、確率システムとしてモデル化することも可能である。もちろん、モデルの線形性などの構造は、もとになる計量経済モデルの構造に規定される。

計量経済モデルを離散システムとして状態方程式によって表現する際の問題として、ラグの扱いがある。計量経済モデルにおいては2期、3期あるいはそれ以上の長期のラグが現れるのに対して、後者の一般形は1階の階差方程式である。しかし、この問題は後者の状態変数の中に仮想的な変数を設けることによって解消することができる（4.2.1参照）。

さて、最適制御問題においてシステムを状態変数表示しておくことは、最適解の必要条件（最大原理）を解析的に求める上で重要である。しかし、最適制御問題を現実に解く際に単純な数値計算を用いるならば、制御対象システムのモデルは状態変数を決定するために用いられるに過ぎない。したがって、状態変数表示をして
おく意義は、

1）解析的に解が求められる

2）解を数値計算によって求める上で計算が簡略化できる

ことにあるということになる。したがって解析的に解を求めるのではなくて、数値計算によって解く場合には決定方程式によるモデルをそのまま使うこともできる。

本章ではこれらを区別せずに、単にモデルと呼ぶ。

#### 3.2.2 目的関数

政策決定問題を最適制御問題として扱うには政策目標を目的関数の形で表現しておかなければならない。目的関数はシステムの制御入力と内部状態の関数として与えられるものでなければならないが、2章で述べたようにそれが表わす現実的な意味はさまざまである。

一般に、経済政策の政策目標としては、

1）ある目標期における内生変数の値を目標の値にする

2）政策実施期間内におけるある内生変数の変化を目標とする変化に近くなるようにする

3）ある内生変数に関する目標を最短時間で達成する

などが考えられる。これらはいずれも簡単に目的関数として表現できるものである。

目的関数に関して、最も大きな問題は政策に関してトレードオフがあるような目標を同時に考えなければならないときである。このような目標を目的関数として表す最も簡単な方法は、複数の目標にそれぞれ重みを付けてその総和をとったものを用いることである。

ここでは、目的関数は与えられたものとしているのでこれ以上の議論はしないが、最適制御問題をある政策決定主体の政策決定のシミュレーションに適用するには、その政策目標を推定するという作業が必要になることは注意しておく必要がある。

#### 3.2.3 制约条件

現実の経済政策の決定に当たっては、さまざまな制約条件を考慮しなければならない。例えば、

1）政策実施期間では経済成長はマイナスになってはいけない

2）政策の実施にコストがかかりすぎてはいけない

3）現実に起こりえない状態（金利がマイナスになる等）になってはいけない

などが制約条件として考えられる。一般に、最適制御理論の適用に当たって制約条件を明示的に扱うと、解析や数値計算が非常に複雑になる。2章の非線形計画法の理論的説明のところで述べたように条件付き最適化問題は、Lagrange関数を用いて制約条件のない最適化問題に変換できる。そこで、目的関数値の変化そのものに興味がある場合や制約条件の扱いが簡単に済む場合などを除いて、制約条件なしの問題として扱う方が、数値計算上は簡単である。

### 3.3 単一主体の政策決定問題

単一主体の政策決定問題は、意思決定主体が唯1つであり、したがって最適制御の目的関数も唯1つであるような問題である。現実の経済システムにおける政策決定問題を、このような問題として捉えることはできない。それは、経済プロセスには必ず他の意思決定主体の意思決定が影響を及ぼしているからである。しかし、経済システムをモデル化する際に、他の意思決定主体の影響を既知のものと仮定することに
よってこの問題が得られる。このような問題設定は、例えば他国の経済（政策）の影響を既知と仮定した場合の国内経済政策の決定問題に当てはまる。

単一主体の政策決定問題は、以下の複数主体の政策決定問題においても個々の政策決定主体の問題であり、経済システムの分析に最適制御理論を適用する場合の基礎となる問題である。

この政策決定問題では、先に述べたように最適制御理論の定式化にとって必要な材料はすべて与えられているので、最適制御の手法がそのまま適用できる。4章ではこの問題を取り上げ動的な最適制御問題として定式化し、その動的計画法による解法を検討している。そこで、ここでは実際に数値計算によって最適制御を求めることに主眼をおき、静的な最適制御問題として定式化した場合の非線形計画法における最適探索手法の適用法を述べる。

まず、先に述べたように制約条件は明示的には考慮しないことにする。実際の適用に当たって数値計算上それを考慮する必要があるときには、最適探索手法のうち制約条件を考慮した場合の手法（ペナルティ関数法など）を利用すればよい。また、この最適政策決定問題は離散時間最適制御問題であるので、静的な最適化問題として定式化できることは2章で述べた。そこで、制御変数（政策変数）をu、状態変数（内生変数）をxのように静的な変数として表し、時間は明示化しないことにする。このときモデルも $ x=f(u) $ のように簡単に表現でき、目的関数の一般形も $ J(x,u) $ となる。

この場合、制約条件は考慮されていないので最適制御（最適化問題の最適解）u*の必要条件は

$$ \left[\frac{\partial\mathbf{J}(\mathbf{x},\mathbf{u})}{\partial\mathbf{u}}\right]_{\mathbf{u}^{*}}=0 $$

である。したがって、数値計算によって解を求めるにはuを変化させてJ(x,u)を計算し、数値微分によって求めた $ \frac{\partial J(x,u)}{\partial u} $ が0になるように、繰り返し計算を行えばよい。ただし、J(x,u)はuだけからは直接計算ができないのでx=f(u)となるxを計算しておく必要がある。しかし、計量経済モデルは一般に

$$ \begin{aligned}&x(t)=f(x(t),\cdot\cdot\cdot,x(t-L),u(t),\cdot\cdot\cdot,u(t-L))\\ &\quad( ただし L は最大ラグの長さ )\\ \end{aligned} $$

のような同次方程式で与えられるので、あるuからそれに対応するxを計算するにも繰り返し計算が必要になる。また、数値計算においてこのようにすべての状態変数の値を求めておくことは、モデルの挙動を調べる上で有利である。したがって、この場合の政策決定問題の数値解法は、

(1) 与えられた制御変数によってモデルを解き、状態変数の値を求めて目的関数を計算する

(2) 目的関数の値によって、次に調べるべき制御変数の値を計算する

という2つの段階から構成される。実際の計算では(1)にはGauss-Seidel法、Newton法、(2)には最急降下法や共役勾配法などの手法を利用する。

また、政策決定のシミュレーションにおいては、現実に実施された政策（制御）の値や現実の内生変数の値が既知であるので、これを繰り返し計算の初期値に採用すれば、多くの場合収束が速まる。

数値計算上注意しなければならないのは、最適解の存在や繰り返し計算の収束性、解の精度などであるが、これらは具体的なモデルや目的関数に依存する問題であるので、ここでは一般的な考察は行わない。ただし、一般に計量経済モデルに用いられる変数のオーダーは非常に広い範囲にわたっており、そのまま数値計算に用いた場合に、解の精度や計算の収束性が悪いな
どの問題が生じ易い。そこで、変数はなんらかの方法で規格化しておくことが、数値計算において有利である。

### 3.4 複数主体の政策決定問題

#### 3.4.1 ゲーム理論を用いた複数主体の最適制御問題

3・1 節で述べたように、複数主体の政策決定問題における意思決定主体どうしの関係は、ゲーム理論を用いて設定することができる。ゲーム理論の中で経済分析を行う際に興味深い概念として、各意思決定主体の非協調的な戦略とこれによって得られる均衡解（Nash 均衡解）および協調的な戦略とこれによって得られる解（協調解）というものがある。ここでは、複数主体の政策決定問題においてこれらの戦略のシミュレーションを行う方法を述べ、解を求める手段として最適制御の理論を適用する。なお、説明を簡単にするために意思決定主体は2つであるとする。また、変数の意味は前節に従う。

まず、同一の経済プロセスに対して制御を行うことができる2つの意思決定主体が存在している状況を定式化する。ここで、添字1,2は意思決定主体を表す番号とする。

各意思決定主体は、それぞれ自分が直接関与する経済プロセスをもっており、それぞれの政策の目的は自分の経済プロセスの内生変数だけの関数であるとする。ただし個々の意思決定主体の政策は、例えば第1の経済プロセスの内生変数が第2の経済プロセスの外生変数を決定するという形で、間接的に相互に影響（干渉）を及ばしているとする。これは、例えば個々の経済プロセスを個々の国の計量経済モデルとしたときに、各国のモデルが貿易に関する変数によって相互に結合されているような状況に相当する。

この状況は、

第1主体の経済モデル : $ x_{1}=f_{1}(x_{1},u_{1},m_{1}) $

第 1 主体の目的関数 : $ \mathbf{J}_{1}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{u}_{1}) $

$$ 第 2 主体の経済モデル \quad:\mathrm{x}_{2}=\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x}_{2},\mathrm{u}_{2},\mathrm{m}_{2}) $$

第 2 主体の目的関数 : $ \mathbf{J}_{2}(\mathbf{x}_{2}, \mathbf{u}_{2}) $

相互干涉 : $ m_{1}=h_{2}(u_{2}) $ ,

$ m_{2}=h_{1}(u_{1}) $

という形で表現できる。ここで、相互干涉の方程式はそれぞれの経済モデルに組み込まれる場合もあるし、相互干涉を決定する方程式だけを取り出してリンクモデルという結合のためだけのモデルとして独立している場合もある。

このとき、第1主体にとっては $ m_{1} $ は未知であり、第2主体にとっては $ m_{2} $ は未知である。それぞれの政策決定問題が最適制御問題になるためには、この未知の変数をなんらかの方法で規定あるいは予測する必要がある。

第1に考えられる問題設定は、ゲームの理論における非協調的な戦略のシミュレーションである。非協調的な戦略とは、他の意思決定主体の政策が任意に与えられたと仮定したときに、これに対して自らの目的関数を最適化するというものである。そして、すべての意思決定主体がこの戦略を採用したときに均衡した状態がNash均衡解である。Nash均衡解においては

$$ \frac{\partial\mathrm{J}_{1}(\mathrm{x}_{1},\mathrm{u}_{1})}{\partial\mathrm{u}_{1}}=\begin{array}{l l}0 かつ \frac{\partial\mathrm{J}_{2}(\mathrm{x}_{2},\mathrm{u}_{2})}{\partial\mathrm{u}_{2}}=\end{array}=0 $$

が成立している。

この非協調的な意思決定のシミュレーションを行いNash均衡解を得るには、次のような設定にすればよい。

【第1主体の政策決定問題】

$$ モデル \quad:\mathrm{x}_{1}=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}_{1},\mathrm{u}_{1},\mathrm{h}_{2}(\mathrm{u}_{2})) $$
目的関数： $ \mathbf{J}_{1}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{u}_{1}) $

$$ \begin{aligned}&【第 2 主体の政策決定問題】\\&\quad モデル \quad:\mathrm{x}_{2}=\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x}_{2},\mathrm{u}_{2},\mathrm{h}_{1}(\mathrm{u}_{1}))\\&\quad 目的関数 :\mathrm{J}_{2}(\mathrm{x}_{2},\mathrm{u}_{2})\end{aligned} $$

として、交互に政策決定を行う。

この場合、いずれの政策決定問題も相手の政策が与えられれば単一主体の政策決定問題になる。すなわち、各々の意思決定主体が交互に単独に最適制御問題を解くような問題設定がなされている。

具体的な数値計算によるこの問題のシミュレーションは、次のように行う。

(1) 第 1 意思決定主体の政策 $ u_{1} $ を任意の初期値に設定する

(2) この u₁ を与えられたものとして、第 2 意思決定主体の政策決定問題（最適制御問題）を解き、得られた最適政策を u₂ とする

(3) この $ u_{2} $ を与えられたものとして、第1意思決定主体の政策決定問題を解き、得られた最適政策を新たな $ u_{1} $ とする

（４）以下この操作を交互に繰り返し、それぞれの政策が更新されなくなるまで続ける

このとき、最終的に得られた各々の政策の収束値が、Nash 均衡解における最適政策である。

この手順において、各々の意思決定主体の政策決定問題を解くには、前節の単一主体の政策決定問題の解法を利用する。

第2の問題設定は、協調的な戦略のシミュレーションである。協調的な戦略とは、それぞれの意思決定主体が自分の政策を決定するに際して、すべての意思決定主体の目的関数がより改善されるように、他の意思決定主体の政策との協調を図るというものである。つまり、2つの意思決定主体が相談しながら同時に政策決定を行って、2つの目的関数をより改善しようというものである。そして、このときに得られる解が協調解である。一般に、協調解ではNash均衡解の場合よりも各政策決定問題の目的関数値は改善される。それは、Nash均衡解では、それぞれの政策が他の主体の政策を固定して考えたときに、それぞれの目的関数に対する最適政策でなければならないという条件があるのに対して、協調解は他の主体の政策を固定して考える必要がないので、決定の自由度が増えるからである。つまり、複数主体とはいってもそれぞれが独立に政策決定を行うのではなくて、個々の目的関数が改善されるような全体的な最適政策決定問題を解くことに相当する。したがって、この問題は単一主体の政策決定問題としてシミュレーションを行うことができる。

ただし、全体の目的関数はそれを最適化することによって、個々の意思決定主体の最適政策決定問題では達成し得ないような目的関数値を得られるものでなければならない。一般にこのような目的関数は複数存在して、それぞれ得られる協調解は異なってくる。たとえば、

$$ \begin{aligned}&\mathbf{J}=w_{1}\mathbf{J}_{1}(x_{1},u_{1})+w_{2}\mathbf{J}_{2}(x_{2},u_{2})\\ &\quad( ただし、w_{1}+w_{2}=1)\\ \end{aligned} $$

なる目的関数を用いて協調解を求める場合、 $ w_{1}, w_{2} $ を変えることによって異なった協調解が得られる。

ここでは、複数主体の政策決定問題における協調的な戦略のシミュレーションを、次のような単一主体の政策決定問題とみなした場合について考えてみよう。

制御変数： $ u_{1}, u_{2} $

$$ \begin{aligned} モデル &:\mathrm{x}_{1}=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}_{1},\mathrm{u}_{1},\mathrm{m}_{1})\\\ &\mathrm{x}_{2}=\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x}_{2},\mathrm{u}_{2},\mathrm{m}_{2})\\\ &\mathrm{m}_{1}=\mathrm{h}_{2}(\mathrm{u}_{2})\\\ &\mathrm{m}_{2}=\mathrm{h}_{1}(\mathrm{u}_{1})\end{aligned} $$

目的関数： $ \mathbf{J} = \mathbf{w}_1 \mathbf{J}_1(\mathbf{x}_1, \mathbf{u}_1) + \mathbf{w}_2 \mathbf{J}_2(\mathbf{x}_2, \mathbf{u}_2) $
$$ \begin{aligned}\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial\mathbf{u}_{1}}&=\mathbf{w}_{1}\quad\frac{\partial\mathbf{J}_{1}}{\partial\mathbf{u}_{1}}+\mathbf{w}_{2}\quad\frac{\partial\mathbf{J}_{2}}{\partial\mathbf{u}_{1}}&=0\end{aligned} $$

$$ かつ $$

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial\mathbf{u}_{2}}&=\mathbf{w}_{1}\quad\frac{\partial\mathbf{J}_{1}}{\partial\mathbf{u}_{2}}+\mathbf{w}_{2}\quad\frac{\partial\mathbf{J}_{2}}{\partial\mathbf{u}_{2}}&=0\end{aligned} $$

が成立している。

数値計算の方法については、前節に準じるのでここでは述べないことにする。

#### 3.4.2 階層制御理論を用いた複数主体の最適制御問題

階層制御理論を用いると、個々の政策決定問題を解くことによって全体として個々の目的関数が改善されるような状況のシミュレーションを行うことができる。3.4.1で扱った協調的な戦略のシミュレーションでは、すべての政策は単一の意思決定主体によって決定されているものと考えた。階層制御理論における統合の手法は、意思決定主体は複数のままで独自に政策決定問題を解きながら、結果として協調解を得る手法である。そのため行われるのは、各意思決定主体の政策決定問題を、全体の目的関数の最適化に統合できるように変えることである。

協調戦略のシミュレーションの場合と同様に、目的関数

$$ \mathbf{J}{=}\mathbf{w}_{1}\mathbf{J}_{1}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{u}_{1})+\mathbf{w}_{2}\mathbf{J}_{2}(\mathbf{x}_{2},\mathbf{u}_{2}) $$

を全体の目的関数として導入する。この目的関数を最適化するためには、相互作用均衡原理が適用でき、かつ全体の問題に対して各意思決定主体の政策決定問題が統合できるように、各意思決定主体の政策決定問題を次のように変える。

## 【第1主体の政策決定問題】

制御変数： $ u_{1}, m_{1} $

モデル： $ x_{1} = f_{1}(x_{1}, u_{1}, m_{1}) $

目的関数： $ w_{1} J_{1}(x_{1}, u_{1}) $

$$

+\left\{\pi_{2} h_{1}(u_{1}) - \pi_{1} m_{1}\right\}

$$

$$ \begin{aligned}【第 2 主体の政策決定問題】\\ 制御変数 &:u_{2},m_{2}\\ モデル &\quad:x_{2}=f_{2}(x_{2},u_{2},m_{2})\\ 目的関数 &:w_{2}\mathbf{J}_{2}(x_{2},u_{2})\\&+\{\pi_{1}h_{2}(u_{2})-\pi_{2}m_{2}\}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}& このとき、各政策決定問題の解にもとづき \\ &\begin{aligned}\\ &h_{2}(u_{2})&=m_{1}\\ &\end{aligned}\\ &\quad かつ \quad\\ &h_{1}(u_{1})&=m_{2}\\ \end{aligned} $$

が成り立つようにπ $ _{1} $ ,π $ _{2} $ を調整し、各意思決定主体の政策決定問題に与えるのが、統合者の役割である。この等式が成立したときには、Jが最適化されていることになる。

この設定においては、各意思決定主体の政策決定問題は単一主体の政策決定問題であり、その解法は3.2節の通りである。ここで問題となるのは統合者が行う決定であるが、これは結局次のような政策決定問題となる。

【統合者の政策決定問題】

$$ \begin{aligned}& 制御变数 :\pi_{1},\pi_{2}\\& モデル : 第 1 主体の政策決定問題 \\&\quad および \\&\quad 第 2 主体の政策決定問題 \end{aligned} $$

目的関数：例えば

$$ \begin{aligned}\left\{\mathbf{m}_{1}-\mathbf{h}_{2}(\mathbf{u}_{2})\right\}^{2}+\left\{\mathbf{m}_{2}-\mathbf{h}_{1}(\mathbf{u}_{1})\right\}^{2}\\ の最小化 \end{aligned} $$

いわばこれも単一主体の政策決定問題であるが、

モデルが各意思決定主体の政策決定問題そのものであるので、3.2節の数値計算の方法で述
ベたモデルを解くという段階が最適制御問題を解くという作業になっている。したがって、統合者の政策決定問題は単一主体の政策決定問題として扱うのではなくて、 $ π_{1} $ と $ π_{2} $ の調整のみをなんらかの方法で行うようにすればよい。

このようにして得られた解は、結局 J を最適化するものになっているので、この階層制御理論による複数主体の政策決定問題のシミュレーションでは、協調解が得られることになる。

数値計算の手順は次のようになる。

(1) $ \pi_{1},\pi_{2} $ に適当な初期値を与える

（２）第１主体の政策決定問題を単一主体の政策決定問題として解く

（３）第２主体の政策決定問題を単一主体の政策決定問題として解く

(4)(2),(3)で得られた解に基づき

$ E_{1}=abs\ \{m_{1}-h_{2}(u_{2})\} $ および $ E_{2}=abs $

$ \{m_{2}-h_{1}(u_{1})\} $ の両方が減少するように $ \pi_{1} $

と $ \pi_{2} $ を更新させ(2)に戻って繰り返し

計算を行う(abs(·)は絶対値関数)

(5) $ E_{1}=0 $ , $ E_{2}=0 $ が同時に成立したときに計算を終了する

このとき得られる解は、協調解となるので

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial\mathbf{u}_{1}}&=\mathbf{w}_{1}\ \frac{\partial\mathbf{J}_{1}}{\partial\mathbf{u}_{1}}+\mathbf{w}_{2}\ \frac{\partial\mathbf{J}_{2}}{\partial\mathbf{u}_{1}}&=0\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial\mathbf{u}_{2}}&=\mathbf{w}_{1}\ \frac{\partial\mathbf{J}_{1}}{\partial\mathbf{u}_{2}}+\mathbf{w}_{2}\ \frac{\partial\mathbf{J}_{2}}{\partial\mathbf{u}_{2}}&=0\end{aligned} $$

が成立している。

3.5 シミュレーション・アルゴリズム

#### 3.5.1 はじめに

本研究では、最適制御理論の経済政策決定問題への適用例として、5章において政策協調問題のシミュレーションを行っている。本節では、このシミュレーションに用いたアルゴリズムを解説する。

先に述べたように、経済政策決定問題を最適制御問題として数値解法によってシミュレートするには、単一主体、複数主体いずれの場合も

・経済プロセスを表すモデル

・意志決定主体の目的関数

・制御変数（および複数主体の場合干渉変数）の指定

・(複数主体の場合)各主体間の相互関係

を与えておく必要がある。ただし、本研究においては不等式制約条件は明示的には考慮しておらず、したがってアルゴリズムにも現れない。

本研究ではアルゴリズムをフォートランプログラムとして実現しているので、モデルおよび目的関数はサブルーチンとして与える。本研究では、モデルと目的関数は別途推定されたものを用いる。目的関数は内生変数と制御変数（および複数主体の場合干渉変数）の陽関数として与えるが、モデルは解法によっては内生変数の陰関数で与える場合もある。

また、本研究では

CASE 1) 单一主体

の場合の他、複数主体間の関係として

CASE 2) 非協調的な関係

CASE 3）協調的な関係

CASE 4）上位の意志決定機構を想定した階層的な協調関係
の３つの場合を扱うが、それぞれ各モデルにおける干渉変数の与え方が異なっている。これらは同一のアルゴリズム内での条件分岐として表現することもできるが、ここでは別々のアルゴリズムとして解説する。

すべての場合について共通に与えなければならないシミュレーション条件としては、

・シミュレーション開始期と終了期（シミュレーション期間）

・モデルにおける最大ラグ（LAG）

・シミュレーションのすべての期間における、制御変数および干渉変数以外の外生変数の値

・モデルの初期条件

・各収束計算における収束判定条件

があり、これらはシミュレーション開始時に指定する。

以下、単一主体 CASE 1)、複数主体の CASE 2)、CASE 3)、CASE 4) についてそれぞれのアルゴリズムを説明する。アルゴリズム中の変数は

t : 时刻（期）

ただし t = 0 ; シミュレーション開始期 t = T ; シミュレーション終了期

$ x_{k}(t) $ ：第 k 主体 $ [k=1,\cdots,NC] $ の内生変数（ $ n_{k} $ 次元ベクトル）

$ u_{k}(t) $ ：第 k 主体の制御変数（ $ m_{k} $ 次元ベクトル）

$ m_{k}(t) $ ：第 k 主体の干涉変数（ $ q_{k} $ 次元ベクトル）

$ z_{k}(t) $ ：制御変数および干涉変数以外の第 k 主体の外生変数（ベクトル）

$ G_{k} $ ：第 k 主体の目的関数（およびそのスカラー値）

(単一主体の場合 k は省略する)

#### 3.5.2 单一主体 CASE 1)

## 数値計算は基本的に

1）モデルを解いて x(t)[t=1, · · · , T]を求める

2) x(t)[t=0, · · · , T], u(t)[t=0, · · · , T -

1]から G を計算する

3) G を最小にするような u(t)[t=0, · · · , T - 1]を求める

の3つの段階からなる。ここで、2)はGがx(t)とu(t)の陽関数の形で与えられているので単純な代入計算である。

1) はモデルが一般に非線形の階差方程式系となるため、さまざまな解法の適用が考えられる。本アルゴリズムでは x(t) の値を各期毎に計算することとし、一般形としては解が必ず得られるニュートン法を採用した。ただし、実用上この手法は非常に時間がかかるため、線形で性質の良いモデルの場合にはこれを高速に解くためには別の手法の適用が考えられる。本研究 5 章に示したシミュレーションでは、ガウス - ザイデル法によってモデルを解き、ニュートン法による場合の数百倍の計算速度が得られている。

3) は数値計算上は必要条件としての G の極値探索を行うことになる。本アルゴリズムでは u(t) を時間軸上に展開することによって

$$ \mathbf{u}_{1}(0), \cdot \cdot \cdot, \mathbf{u}_{m}(0), \cdot \cdot \cdot, \mathbf{u}_{1}(T-1), \cdot \cdot \cdot, \mathbf{u}_{m}(T-1) $$

なる $ m \times T $ 次元の静的な制御変数ベクトル u とみなし、この静的な極値探索に最適傾斜法を採用した。すなわちある $ u = [\mathbf{u}_{i}(t)] $ の値において、目的関数 G を u の i および t の各方向について数値的に偏微分して G が最も減少する方向を定め、この方向について線形探索を行って G が最小になるような u の値を次の探索点とするものである。

なお、解の探索のための初期値として、1)では$\mathrm{x}(\mathrm{t})[\mathrm{t}=1,\cdots,\mathrm{T}]$が、3)ではuを与えておく必要があるが、本研究で行うシミュレーションでの解は現実の経済に近いものとなることが予