Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
他のモデルでは内生変数となるようなものが数多く存在する（例えば，アメリカの短期金利は日本モデルでは外生であるが，アメリカ・モデルでは内生である）。また，場合によっては，ある個別モデルで内生変数となっているものが他のモデルでも内生変数となるようなものが若干存在する（例えば，国別モデルの輸出量が内生扱いされる場合があるが，それは貿易連関モデルの内生変数でもある）。したがって，（4）式の $ X_{t}^{*} $ から内生変数を取り除き， $ Y_{t}^{*} $ から取り除かれる外生変数を加えたK次元ベクトルを $ X_{t} $ と定義しよう。同様に， $ Y_{t}^{*} $ から外生変数を取り除き， $ X_{t}^{*} $ から取り除かれる内生変数を加えたG次元ベクトルを $ X_{t} $ と定義しよう。それに適合する誤差項ベクトルU，係数行列B，Γを定義して，結合されたモデルを

$$ B Y_{t}+\varGamma X_{t}=U_{t} $$

$ D_{t}^{\prime} + \Gamma_{t}^{\prime} \quad \sigma_{t}^{\prime} $

と表わそう。ただし，Bは $ (G\times G) $ 次元，Γは $ (G\times K) $ 次元である。一般に， $ G\leq\sum_{i=0}^{15}G^{i} $ かつ $ K<\sum_{i=0}^{15}K^{i} $ であるが，世界経済モデルの特色は $ \sum_{i=0}^{15}K^{i} $ に比べてKが格段に小さくなることである。

世界経済モデルにおける統計的推測は，上に定義された（5）式に基づいて一般的には行われるべきである。まず注目されるのは，外生変数の数が少なくなっても識別可能であるか否かということである。各方程式の識別可能のための必要条件が満たされるためには，当該方程式に含まれない外生変数の数が含まれる内生変数（マイナス1）より多く存在しなければならない。しかし，EPA世界経済モデルではこの条件はつねに満たされている。なぜならば，10カ国の財政・金融政策の手段がほとんどの国で外生扱いされており，各方程式の内生変数の数がこれら世界全体の政策変数の数より多いということは有り得ないからである。したがって，（5）式の各方程式は一般に過剰識別となっており，多くの同次

方程式推定法が適用可能である。

以下では，具体的な同次推定の方法は通常の教科書に譲り，EPA世界経済モデルの現在までの統計的推測の経験で生じた若干の具体的問題に焦点を絞ることにする。すなわち，まず第1節では，予測の際の定数項修正の統計的問題とその解決策を論じる。第2節では，貿易連関モデルの推定上の問題点と解決策を論じる。

## 第1節 予測における定数項修正

### 1. 1 はじめに

いま，計量経済モデルの推定された構造型を$\hat{B}Y_{t}+\hat{I}X_{t}=e_{t}$ ;$t=1,2,\cdots,T$ (6)と表わそう。$\hat{B}$ は内生変数の係数の推定値行列であり，$\hat{I}$ は先決変数の係数の推定値行列であるとする。誘導型は

$$ Y_{t}=\hat{\varPi}X_{t}+\hat{B}^{-1}e_{t},\hat{\varPi}=-\hat{}^{-}\hat{B}^{-1}\hat{\varGamma} $$

で与えられる。そして，残差に何らかの仮定をおき，先決変数の値が与えられると，内生変数 $ Y_{t} $ の値を予測することができる。いま，簡単な想定として，残差=0と想定すれば，

$ Y_{t}=\hat{\Pi}X_{t} $

で予測値が与えられる。

予測誤差の源泉を調べるために，いま現実の内生変数を生成する正しいモデルの誘導型が

$ Y_{t}=\varPi X_{t}+V_{t} $ ;t=1, 2, $ \cdots\cdots $ , T (8)で表わされるとしよう。

$ t=1,\ 2,\ \cdots,\ T $ の期間に対する事後予測においては，先決変数には実現値が利用可能であるから，予測値は

$$ \hat{Y}_{t}=\hat{\varPi}X_{t}\qquad;t=1,2,\cdots\cdots,T $$

で与えられる。したがって，予測誤差は

$$ \hat{Y}_{t}-Y_{t}=(\hat{\Pi}_{(a)}-\Pi)X_{t}-V_{t}_{(b)} $$

で与えられる。ここで，（a）の部分はパラメータの推定や不安定性による誤差であり，（b）の部分は残差の想定上の誤差である。

標本期間を超えた $ t=T+1 $ ， $ T+2 $ ，……の期間に対する事前予測においては，将来時点の外生変数の実現値は利用できないので何らかの事前確定をしなければならない。先決変数の事前
確定値を $ \hat{X}_{t} $ で表わせば，内生変数の事前予測値は

$$ \tilde{Y}_{T+j}=\hat{I}\hat{X}_{T+j}\qquad:j=1,2,\cdots\cdots $$

で与えられる。したがって，予測誤差は

$$ \begin{aligned}&\tilde{Y}_{T+j}-Y_{T+j}=(\hat{\varPi}_{(a)}-\varPi)X_{T+j}-V_{T+j\atop(b)}\\ &\\&\quad+\hat{\varPi}(\hat{X}_{T+j}-X_{T+j\atop(c)})\\ \end{aligned} $$

で与えられる。ここで，（a）（b）は既述した通りの誤差であり，（c）の部分は外生変数の想定の誤りに基づく情報上の誤差である。

実際の予測をする場合には, これら3種類の誤差を最小限にする努力がいろいろなされる。世界経済モデルを用いて予測するということは, (c) の部分の誤差を成るべく小さくしようとする試みの1つであると解釈できる。すなわち国際的相互依存関係を内生化して, 従来は外生扱いになっていた多くの変数を内生変数のベクトルに含め, (c) の部分を小さくしているといえる。もちろん, 各国の財政・金融政策などは依然として外生変数として残されるので (c) の部分はゼロにはなり得ないが, 為替レートなどの国際的諸変数の内生化による予測誤差の縮減は十分に期待されるといえる。しかし, (a) と (b) の誤差については, 世界経済モデルについても回避できず, むしろ分析視野を拡大してモデルのサイズが大きなるだけ, こららの誤差が大きくなる可能性すらある。特に, 1国のマクロ・モデルのときには現われない貿易連関モデルを経由する予測を行うので, そのときの予測誤差の取扱いという新しい問題も生じる。

### 1. 2 定数項修正の実際

計量経済モデルで予測するときにはいわゆる定数項修正（constant adjustment）によって，このような予測誤差を小さくすることが試みられる。もし，予測誤差が（b）の部分の誤差，すなわち正しい確率的攪乱項を想定しなかった誤差であれば，定数項修正はむしろその攪乱項の推定であり，十分にその存在理由をもっているといえよう。しかし，予測誤差は（a）の部分，すなわち構造パラメーターの推定および不安定性に基づく誤差も同時に含んでいる。例え推定期間内では基準を満たす推定値が得られていたとしても，外挿期間でそれが通用する保証はなく，国際経済が激動する時には世界経済モデルの構造パラメーターの不安定性も増大する。このように，本来の定数項修正は（b）の部分の誤差修正を意図するものであるが，（a）の部分を厳密に区別しては行われていない。場合によっては，任意のパラメーターの値が修正されたり，最新時点の標本を用いたモデルの再推定をしたりして，（a）の部分の誤差は取り扱われている。

実際に定数項修正をする場合には，まず最近時までの数期間にわたる残差のパターンを調べる必要がある。その際，イ）ゼロとは有意に異なる平均値，ロ）ランダムでない誤差パターン，ハ）異常値，等があるか否かを調べ，それらに対して適切な付加項（ad factor）の値を決める必要がある。その場合，なるべく系統的に決めようとするならば，次のような方法を機械的に適用することが考えられる。

a. 誤差項はすべてゼロと仮定する（非確率的ケース）。

b. 誤差項は最近時点（例えば6期間）の平均値に等しいと仮定する。

c. 残差から推定される自己回帰過程に従うものと仮定し，自己回帰式を求めるときの初期値は予測期間のすぐ前の期の残差とする。

d. 上のa, b, cの混合。すなわち，自己回帰による修正は，2，3期間を過ぎると外挿結果をかえって悪くする傾向があるので，例えば初めの2期間はcの方法を，それ以後はaの方法をとる。

このような機械的方法は系統的ではあるが，予測精度という観点からは極めて不十分であり，多くの実際の予測では，現実経済に関する判断や情報の活用がなされている。世界経済モデルによる予測の場合には，日本のみならず諸外国に関する情報の収集と活用が必要となるので，上に述べた総合的判断の重要性は1国のモデルの場合よりも増すのである。
### 1.3 ラグ付従属変数を説明変数に含み, かつ, 誤差項が自己回帰過程に従うときの定数項修正

いま，適当な定数項修正値の系列$\hat{e}_{t}$が見出せたとしても，説明変数にラグ付従属変数が含まれ，誤差項が1階自己回帰過程に従う場合には，修正項が数期間にわたって効果をもつので，一定値を付加するだけでは正しい修正はできない。EPA世界経済モデルにおける各国モデルでもこのタイプの推定式は多いので，それらの定数項修正をするときには次のような配慮が必要である（Klein-Young [13] 参照）。

いま， $ Y_{t} $ の予測期間 $ (t=1, 2, \cdots, T) $ における径路が，外生変数 $ X_{t} $ の他に，n 期までのラグ付従属変数と1階自己回帰過程に従う誤差項の和として次のように与えられると仮定する。

$$ \begin{aligned}&Y_{t}{=}\beta_{0}X_{t}{+}\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}Y_{t-i}{+}U_{t}\\&U_{t}{=}\rho U_{t-1}\quad;\quad|\rho|<1\\ \end{aligned} $$

これを書き換えれば

$$ Y_{t}=\beta_{0}X_{t}+\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}Y_{t-i}+\rho(Y_{t-1}-\beta_{0}X_{t-1}-\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}Y_{t-1-i}) $$

$ Y_{t} $ に対する実際の予測値を $ \widetilde{Y}_{t} $ とし，理論的な予測誤差を $ \Delta_{t} $ で表わせば，

$$ \tilde{Y}_{t}=Y_{t}+\Delta_{t}\qquad;t=1,2,\cdots,T $$

と定義される。そのとき，$\widetilde{Y}_{t}$ を達成するために必要な定数項修正値を $C_{t}$ とすれば，$\widetilde{Y}_{1}=Y_{1}+\Delta_{1}=Y_{1}+C_{1}$

$$ \widetilde{Y}_{2}=Y_{2}+\varDelta_{2}=\beta_{0}X_{2}+\beta_{1}\widetilde{Y}_{1}+\sum_{i=2}^{n}\beta_{i}Y_{2-i}+\rho[\widetilde{Y}_{1}-\beta_{0}X_{1}-\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}Y_{1-i}]+C_{2} $$

一般には,

$$ \begin{aligned}\widetilde{Y}_{t}=Y_{t}+\varDelta_{t}=&\beta_{0}X_{t}+\sum_{i=1}^{t-1}\beta_{i}\widetilde{Y}_{t-i}+\rho[\widetilde{Y}_{t-1}-\beta_{0}X_{t-1}-\sum_{i=1}^{t-2}\beta_{i}\widetilde{Y}_{t-1-i}-\sum_{i=t-1}^{n}\beta_{i}Y_{t-1-i}]+C_{t}\\=&\beta_{0}X_{t}+\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}Y_{t-i}+\rho[Y_{t-1}-\beta_{0}X_{t-1}-\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}Y_{t-1-i}]+\\&+\rho[\varDelta_{t-1}-\sum_{i=1}^{t-2}\beta_{i}Y_{t-1-i}]+C_{t}\end{aligned} $$

$$ \textcircled{k}Y_{t}+\sum_{i=1}^{t-1}\beta_{i}\varDelta_{t-i}+\rho[\varDelta_{t-1}-\sum_{i=1}^{t-2}\beta_{i}\varDelta_{t-1-i}]+C_{t} $$

両辺から $ Y_{t} $ を減じると,

$$ \varDelta_{t}{=}\sum_{i=1}^{t-1}\beta_{i}\varDelta_{t-1}{+}\rho[\varDelta_{t-1}{-}\sum_{i=1}^{t-2}\beta_{i}\varDelta_{t-1-i}]{+}C_{t} $$

よって

$$ C_{t}=\varDelta_{t}-\sum_{i=1}^{t-1}\beta_{i}\varDelta_{t-1}-\rho[\varDelta_{t-1}-\sum_{i=1}^{t-2}\beta_{i}\varDelta_{t-1-i}] $$

となる。実際の付加項 $ C_{t} $ の値を計算するときには， $ \Delta_{t} $ の代りに上で説明された $ \hat{e}_{t} $ の値を用いる。

### 1.4 ラグ付内生変数を説明変数に含みか

つ，誤差項が自己回帰過程に従うときの質

## 易連関モデルにおける定数項修正

EPA世界経済モデルにおける貿易連関モデルは，2国間貿易の決定式として，基本的には次のHickman and Lau〔12〕による決定式が採用されている。
を得る。

ここで注意すべきことは，$\Delta_{ijt}$ は誤差項の推定値でもって置き換える訳であるが，予測期間では $\tilde{X}_{ijt}$ は未知であるのでその推定を直接に得ることは不可能であり，かつ，その推定に際しては輸出・入の整合性の条件を満たすように決定されなければならないということである。

次に，この $ \Delta_{ijt} $ の推定法について述べよう。

ここでは，予測期間における $ X_{ijt} $ の実績値

$ (\tilde{X}_{ijt}) $ は存在しないが, Hickman-Lau推定によ

る第i国の輸出の予測値，\hat{\widetilde{X}}_{i\cdot\cdot\cdot}(=\sum_{j=0}^{u}\hat{\widetilde{X}}_{ijt})，とは

異なった値 $ X_{i\cdot\cdot\cdot}^{*} $ の方がより plausible である

という何らかの情報があるものとする。また，国別モデルによって与えられる第j図の輸入の予測値（ $ M_{jt} $ ）には問題はないものとする。この時，修正のための定数項は次の手順によって求められる。

まず，Hickman-Lau推定法による予測値を$\hat{\widetilde{X}}_{ij1},\ldots,\hat{\widetilde{X}}_{ijT}$ とし，ラグ付内生変数の値として定数項修正を施したものを使用した時の予測値を$\hat{X}_{ijt}(=EX_{ijt-1}+\delta_j\tilde{X}_{ijt-1}+\rho[\tilde{X}_{ijt-1}-EX_{ijt-1}-\delta_j\tilde{X}_{ijt-2}])$ とおく。ここで，実際のdynamic simulationにおいては，この$\hat{X}_{ijt}$ を予測値とするものとする。

この時，各期の残差項

$ \varDelta_{ijt}=\tilde{X}_{ijt}-\tilde{X}_{ijt} $

は，\tilde{X}_{ijt} が未知であるため直接には求められない。そこで，\tilde{\bar{X}}_{ijt} を輸出・入のタームにプールして，\varDelta_{ijt} を推定する。すなわち，

$$ \hat{\widetilde{X}}_{i\cdot\text{}\text{}_{t}}=\sum_{j=1}^{n}\hat{\widetilde{X}}_{i j t} $$

とし,

$$ \hat{\gamma}_{i\cdot\ t}=\tilde{X}_{i\cdot\ t}-\hat{\tilde{X}}_{i\cdot\ t} $$

とおき，$\hat{\gamma}_{i\cdot\cdot\cdot}$ をRAS法によって各要素に配分する。ここで，配分された$\hat{\gamma}_{i\cdot\cdot\cdot}$ は

$$ \hat{\gamma}_{ijt}=\hat{X}_{ijt}-\hat{\widetilde{X}}_{ijt} $$

として求められる。ただし，\hat{X}_{ijt} は \sum_{i=1}^{n}\hat{X}_{ijt}^{}

$ M_{jt},\sum_{j=1}^{n}\hat{X}_{ijt}=X_{i\cdot t}^{*} $ となるように，RAS法によって得られた貿易連関行列の新しい要素である。ここで，この $ \hat{\gamma}_{ijt} $ を $ \Delta_{ijt} $ の推定値とみなすと，修正のための定数項は，（28）式から，

$ C_{ijt} = \hat{\gamma}_{ijt} - \delta_j \hat{\gamma}_{ijt-1} - \rho (\gamma_{ijt-1} \delta_j \hat{\gamma}_{ijt-2}) $

として表わされる。ここで， $ C_{ijt} $ が整合性の条件を満たすことは次のことから分かる。

まず，\hat{X}_{ijt} + C_{ijt} を計算すると，

$$ \begin{array}{r}{\hat{X}_{i j t}+\stackrel{i j t}{C_{i j t}}=\stackrel{i j t}{E X_{i j t}}+\delta_{j}\tilde{X}_{i j t-1}+\rho[\tilde{X}_{i j t-1}-E X_{i j t-1}-\delta_{j}\tilde{X}_{i j t-2}]}\\ {+\stackrel{i j t}{}\hat{\gamma}_{i j t}-\delta_{j}\hat{\gamma}_{i j t-1}\rho[\hat{\gamma}_{i j t-1}-\rho\hat{\gamma}_{i j t-2}]}\end{array} $$

となり，$\tilde{X}_{ijt-1}=\tilde{X}_{ijt-1}+\hat{\gamma}_{ijt-1}$ であることに注意すると，(33)式は

$$ \begin{array}{l}\hat{X}_{i j t}+C_{i j t}=E X_{i j t}+\delta_{j}\tilde{X}_{i j t-1}+\rho[\tilde{X}_{i j t-1}-E X_{i j t-1}-\delta_{j}\tilde{X}_{i j t-2}]+\\ \quad=\hat{X}_{i j t}+\hat{\gamma}_{i j t}\\ \quad=\hat{X}_{i j t}+X_{i j t}-\hat{X}_{i j t}\\ \quad=\hat{X}_{\cdots}\end{array} $$

と書かれる。したがって

$$ \sum_{i=1}^{n}(\hat{X}_{ijt}+C_{ijt}){=}\sum_{i=1}^{n}\hat{\vec{X}}_{ijt}{=}M_{jt} $$

および

$$ \sum_{j=1}^{n}(\hat{X}_{ijt}+C_{ijt}){=}\sum_{j=1}^{n}\hat{\vec{X}}_{ijt}{=}\hat{X}_{i\cdot t} $$

であり，整合性の条件は満たされている。

最後に，誤差項に自己相関がなく（すなわち，$\rho=0$），$\Delta_{ijt}$の一部がすでに何らかの生成メカニズムによって与えられている場合を考えよう。この生成メカニズムによる修正部分を$\hat{e}_{ijt}$とし，前述の$\hat{\gamma}_{ijt}$から$\hat{e}_{ijt}$の部分を除いたものを改めて$\hat{\gamma}_{ijt}$と書くと，修正のための定数項は

$$ C_{ijt}=\hat{\gamma}_{ijt}+\hat{e}_{ijt}-\delta_{j}(\hat{\gamma}_{ijt-1}+\hat{e}_{ijt-1}) $$

として表わされる。
## 第2節 貿易連関モデルにおけるGLS推定

### 2.1 GLS推定の必要性

EPA世界経済モデルのサブ・モデルの1つである貿易連関モデルにおいては,2国間の貿易決定式として，前節で述べたように，次のHickman-Lau〔12〕による方程式が基本的には採用されている。

$$ \begin{array}{r}{X_{i j t}-a_{i j}^{0}M_{j}=-\sigma_{j}\beta_{i j}X_{i j}^{0}-\sigma_{j}(1-\delta_{j})[X_{i j}^{0}(P X_{i j t}-P M_{j t})]-\sigma_{j}\gamma_{i j}X_{i j}^{0}[\mathrm{T i m e}]}\\ {+\delta_{j}[X_{i j t-1}-a_{i j}^{0}M_{j t-1}]+U_{i j t}\quad;=\quad0,1,\cdots\cdots,\quad T}\end{array} $$

(記号の定義については前節参照)。

記号を簡単にするために,

$$ \begin{aligned}X_{ijt}^{*}=&X_{ijt}-a_{ij}^{0}M_{\sim jt}\\P_{ijt}^{*}=&PX_{ijt}-PM_{jt}\\ とおくと ,&(38) 式は次のように書ける。\\X_{ijt}^{*}=&-\sigma_{j}\beta_{ij}X_{ij}^{0}-\sigma_{j}(1-\delta_{j})P_{ijt}^{*}-\sigma_{j}\gamma_{ij}X_{ij}^{0}[Time]+\delta_{j}X_{ijt-1}^{*}+U_{ijt}\end{aligned} $$

貿易連関モデルの現行ヴァージョンでは，誤差項の間（ $ U_{ijt} $ と $ U_{kjt} $ ， $ i \neq k $ ，との間）に相関は無いものと仮定されて各パラメーターの推定が行われているが，それらの間に相関があることも十分に考えられる。実際，第 j 国の輸入を考える場合，第 i 国からの輸入と第 k 国からの輸入とが独立であるとは考え難い。

Filatov [9] は，EPA世界経済モデルにおける貿易連関モデルのdynamic simulationから得られる残差 $ e_{ijt} $ を用いて，第j国の第i国からの輸入と第k国からの輸入の相関係数の推定値を算出した。それによれば，相関係数が0.5以上のケースが数多く存在する。付録には，日本の輸入における第i国と第k国の相関係数がその例として示されている。それによれば，相関係数は全部で196（= $ 14\times14 $ ）個あるが，実に69個の絶対値の大きさが0.5を上回まわっている。なかんずく，日本の輸入の場合には，欧州各国が高い正の相関をもっていることや，韓国からの輸入が他のアジア諸国やオーストラリアと高い正の相関をもつものの，社会主義圏とは高い負の相関をもっていること，等が観察される。いずれにしても， $ U_{ijt} $ と $ U_{kjt} $ （ $ i\neq k $ ）とが無相関ではないことは十分に実証されているといえよう。

（39）式の推定に際して, 誤差額の相関（したがって, その分散一共分散行列）を考慮して, 係数パラメーターの最良線型不偏推定量を得る方法は一般化最小二乘法（GLS）である。以下では, $ U_{ijt} $ と $ U_{kjt} $ との間に相関がある場合の Hickman-Lau 方程式（39）の GLS 推定について考察する。

### 2. 2 Hickman-Lau方程式の制約付推定

(39)式の各パラメータ一の推定においては,

$ \sigma_{j} $ と $ \delta_{j} $ がすべての $ X_{ijt}^{*} $ の決定式に含まれているので, n（=15）個のデータを i に関してプールして, 各 j について推定を行わなければならない。また, 整合性の条件 $ \sum_{i=1}^{n}X_{ijt}=M_{jt} $ が満たされているために,

$$ \sum_{i=1}^{n}\beta_{ij}X_{ij}^{0}{=}\sum_{i=1}^{n}\gamma_{ij}X_{ij}^{0}{=}0 $$

という条件を課して推定を行わなければならない。したがって，GLSを適用する前に，データをプールして制約付推定する1つのヴァージョンを整理しておこう。

まず，(39) 式を i に関してプールした方程式を以下に記す。
$$ \begin{pmatrix}X_{1j1}^{*}\\\vdots\\\vdots\\X_{1jT}^{*}\\\cdots\cdots\\X_{2j1}^{*}\\\vdots\\\vdots\\X_{2jT}^{*}\\\cdots\cdots\\\vdots\\\vdots\\\cdots\cdots\\X_{njt}^{*}\\\vdots\\\vdots\\X_{njT}^{*}\\\end{pmatrix}=-\sigma_{j}\begin{pmatrix}\beta_{1j}X_{1j}^{0}\\\vdots\\\vdots\\\beta_{1j}X_{1j}^{0}\\\cdots\cdots\\\beta_{2j}X_{2j}^{0}\\\vdots\\\vdots\\\beta_{2j}X_{2j}^{0}\\\cdots\cdots\\\vdots\\\vdots\\\cdots\cdots\\\beta_{nj}X_{nj}^{0}\\\vdots\\\vdots\\\beta_{nj}X_{nj}^{0}\\\end{pmatrix}-\sigma_{j}(1-\delta_{j})\begin{pmatrix}P_{1j1}^{*}\\\vdots\\\vdots\\P_{1jT}^{*}\\\cdots\cdots\\P_{2j1}^{*}\\\vdots\\\vdots\\P_{2jT}^{*}\\\cdots\cdots\\\vdots\\\vdots\\\cdots\cdots\\P_{nj1}^{*}\\P_{njT}^{*}\\\end{pmatrix}-\sigma_{j}\begin{pmatrix}\gamma_{1j}X_{1j}^{0}1\\\vdots\\\vdots\\\gamma_{1j}X_{1j}^{0}T\\\cdots\cdots\\\gamma_{2j}X_{2j}^{0}1\\\vdots\\\vdots\\\gamma_{2j}X_{2j}^{0}T\\\cdots\cdots\\\vdots\\\vdots\\\cdots\cdots\\\gamma_{nj}X_{nj}^{0}1\\\vdots\\\vdots\\\gamma_{nj}X_{nj}^{0}T\\\end{pmatrix}+\delta_{j}\begin{pmatrix}X_{1j0}^{*}\\\vdots\\\vdots\\X_{1jT-1}^{*}\\\cdots\cdots\\X_{2j0}^{*}\\\vdots\\\vdots\\X_{2jT}^{*}\\\cdots\cdots\\\vdots\\\vdots\\X_{nj0}^{*}\\\vdots\\\vdots\\X_{njT-1}^{*}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}U_{1j1}\\\vdots\\\vdots\\U_{1jT}\\\vdots\\\vdots\\U_{2j1}\\\vdots\\\vdots\\U_{2jT}\\\vdots\\\vdots\\U_{nj1}\\\vdots\\\vdots\\U_{njT}\\\end{pmatrix} $$

ここで

$$ \underline{X}_{ij}^{*}=\begin{pmatrix}X_{ij1}^{*}\\\vdots\\\vdots\\X_{ijT}^{*}\end{pmatrix},\quad\underline{1}=\begin{pmatrix}1\\\vdots\\\vdots\\\vdots\\1\end{pmatrix},\quad\underline{P}_{ij}^{*}=\begin{pmatrix}P_{ij1}^{*}\\\vdots\\\vdots\\\underline{P}_{ijT}^{*}\end{pmatrix} $$

$$ \underline{t}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ \vdots\\ \vdots\\ T\end{array}\right),\quad\underline{X}_{ij(-1)}^{*}=\left(\begin{aligned}&X_{ij0}^{*}\\ &\vdots\\ &\vdots\\ &X_{ijT-1}^{*}\end{aligned}\right),\quad\underline{U}_{ij}=\left(\begin{aligned}&U_{ij1}\\ &\vdots\\ &\vdots\\ &\vdots\\ &U_{ijT}\end{aligned}\right) $$

とおくと，（40）は次のように書ける。

$$ \begin{pmatrix}\underline{X}_{1j}^{*}\\\underline{X}_{2j}^{*}\\\vdots\\\vdots\\\underline{X}_{nj}^{*}\end{pmatrix}=-\sigma_{j}\begin{pmatrix}\beta_{1j}X_{1j}^{0}\underline{1}\\\beta_{2j}X_{2j}^{0}\underline{1}\\\vdots\\\vdots\\\beta_{nj}X_{nj}^{0}\underline{1}\end{pmatrix}-\sigma_{j}(-\delta_{j})\begin{pmatrix}\underline{P}_{1j}^{*}\\\underline{P}_{2j}^{*}\\\vdots\\\vdots\\\underline{P}_{nj}^{*}\end{pmatrix}-\sigma_{j}\begin{pmatrix}\gamma_{1j}X_{1j}^{0}\underline{t}\\\gamma_{2j}^{j}X_{2j}^{0}\underline{t}\\\vdots\\\vdots\\\gamma_{nj}X_{nj}^{0}\underline{t}\end{pmatrix} $$

$$ \begin{aligned}+\quad&\delta_{j}\begin{pmatrix}\underline{X}_{1j}^{*}(-1)\\\underline{X}_{2j}^{*}(-1)\\\vdots\\\vdots\\\underline{X}_{nj}^{*}(-1)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\underline{U}_{1j}\\\underline{U}_{2j}\\\vdots\\\vdots\\\underline{U}_{nj}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

ここで，係数に関する制約を導入するために，（41）式の右辺の第1項と第3項を次のように書き換える。
(第1項)

$$ \sigma_{j}\begin{pmatrix}\beta_{1j}X_{1j}^{0}\cdot\underline{1}\\\beta_{2j}X_{2j}^{0}\cdot\underline{1}\\\beta_{nj}X_{nj}^{0}\cdot\underline{1}\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}\sigma_{j}\beta_{1j}X_{1j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{1}\\\underline{0}\end{pmatrix}+\sigma_{j}\beta_{2j}X_{2j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{0}\\\underline{1}\\\underline{0}\end{pmatrix}+\cdots+\sigma_{j}\beta_{nj}X_{nj}\begin{pmatrix}\underline{0}\\\underline{0}\\\underline{1}\\\underline{1}\end{pmatrix}\end{pmatrix} $$

ただし， $ 0=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix} $ 。そして， $ \sum_{i=1}^{n}\beta_{ij}X_{ij}^{0}=0 $ から，

$ \beta_{nj}X_{nj}^{0}=-\left(\beta_{1j}X_{1j}^{0}+\cdots+\beta_{n-1j}X_{n-1j}^{0}\right) $ となり，これを上式に代入すると，

$$ \begin{aligned}-\left\{\sigma_{j}\beta_{1j}X_{ij}^{0}\left(\begin{array}{c}\underline{1}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \vdots\\ \underline{0}\end{array}\right)+\sigma_{j}\beta_{2j}X_{2j}^{0}\left(\begin{array}{c}\underline{0}\\ \\ \underline{1}\\ \vdots\\ \vdots\\ \underline{0}\end{array}\right)+\cdots\cdots\right.\end{aligned} $$

$$ +\sigma_{j}\beta_{n-\mathfrak{r}j}X_{n-\mathfrak{r}j}^{0}\left(\begin{aligned}\underline{0}\\ \vdots\\ \underline{1}\\ \underline{0}\end{aligned}\right)-\sigma_{j}(\beta_{1\mathfrak{j}}X_{1\mathfrak{j}}^{0}+\beta_{2\mathfrak{j}}X_{2\mathfrak{j}}^{0}+\cdots\cdots+\beta_{n-\mathfrak{r}j}X_{n-\mathfrak{r}j}^{0}\left(\begin{aligned}\underline{0}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \vdots\\ \underline{1}\end{aligned}\right) $$

$$ \begin{aligned}&=-\left\{\sigma_{j}\beta_{1j}X_{1j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{1}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ -\underline{1}\end{pmatrix}+\sigma_{j}X_{2j}^{0}\beta_{2j}\begin{pmatrix}\underline{0}\\ \underline{1}\\ \vdots\\ -\underline{1}\end{pmatrix}+\cdots\cdots+\sigma_{j}\beta_{n-\mathbb{1}j}X_{n-\mathbb{1}j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{0}\\ \vdots\\ \underline{1}\\ -\underline{1}\end{pmatrix}\right\}\\ &\\ &=-\{\sigma_{j}\beta_{1j}X_{1j}^{0}\underline{D}_{1}+\cdots\cdots+\sigma_{j}\beta_{n-1}X_{n-\mathbb{1}j}^{0}\underline{D}_{n-1}\}\\ \end{aligned} $$

を得る。ここで,

$$ D_{i}=\begin{pmatrix}\underline{0}\\\vdots\\\underline{1}\\\vdots\\\underline{0}\\-\underline{1}\end{pmatrix} $$

(第i行)

である。
(第3项)

$$ \begin{aligned}&-\sigma_{j}\begin{pmatrix}\gamma_{1j}X_{1j}^{0}&\bullet\underline{t}\\ \gamma_{2j}X_{2j}^{0}&\bullet\underline{t}\\ \vdots&\\\gamma_{nj}X_{nj}^{0}&\bullet\underline{t}\end{pmatrix}\\ &=-\left\{\sigma_{j}\gamma_{1j}X_{1j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{t}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \underline{0}\end{pmatrix}+\sigma_{j}\gamma_{2j}X_{2j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{0}\\ \underline{t}\\ \vdots\\ \underline{0}\end{pmatrix}+\cdots\cdots+\sigma_{j}\gamma_{nj}X_{nj}^{0}\begin{pmatrix}\underline{0}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \underline{t}\end{pmatrix}\right\}\\ &\sum_{\substack{\gamma_{i}\\ X_{i}^{0}=0 办勻 \gamma_{j}\\ X_{i}^{0}=-(\gamma_{i}\\ X_{i}^{0}+\cdots+\gamma_{i}\\ \cdots X_{i}^{0},\text{)}}\\ \end{aligned} $$

$$ \sum\gamma_{ij}X_{ij}^{0}=0 から \gamma_{nj}X_{nj}^{0}=-(\gamma_{1j}X_{1j}^{0}+\cdots\cdots+\gamma_{n-1j}X_{n-1j}^{0}) $$

となり，これを上式に代入すると，

$$ \left\{-\left\{\sigma_{j}\gamma_{1j}X_{1j}^{0}\left(\begin{array}{c}\underline{t}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \vdots\\ \underline{0}\end{array}\right)+\sigma_{j}\gamma_{2j}X_{2j}^{0}\left(\begin{array}{c}\underline{0}\\ \underline{t}\\ \vdots\\ \vdots\\ \underline{0}\end{array}\right)+\cdots\cdots+\sigma_{j}\gamma_{n-\mathbf{k}j}X_{n-\mathbf{k}j}\left(\begin{array}{c}\underline{0}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \vdots\\ \underline{t}\\ \underline{0}\end{array}\right)\right.\right. $$

$$ \sigma_{j}(\gamma_{1j}X_{1j}^{0}+\cdots+\gamma_{n-1j}X_{n-1j}^{0})\begin{pmatrix}\frac{0}{0}\\\vdots\\\vdots\\\frac{0}{t}\end{pmatrix} $$

$$ \begin{aligned}=&-\left\{\sigma_{j}\gamma_{1j}X_{1j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{t}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \vdots\\ -\underline{t}\end{pmatrix}+\sigma_{j}\gamma_{2j}X_{2j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{0}\\ \underline{t}\\ \vdots\\ \vdots\\ -\underline{t}\end{pmatrix}+\cdots\cdots+\sigma_{j}\gamma_{n-\mathbb{k}j}X_{n-\mathbb{k}j}^{0}\begin{pmatrix}\underline{0}\\ \vdots\\ \vdots\\ \underline{t}\\ -\underline{t}\end{pmatrix}\right\}\\ &=-\{\sigma_{j}\gamma_{1j}X_{1j}^{0}D T_{1}+\cdots\cdots+\sigma_{j}\gamma_{n-\mathbb{k}j}X_{n-\mathbb{k}j}^{0}D T_{n-1}\}\end{aligned} $$

を得る。ただし,

$$ \begin{aligned}DT_{i}=&\begin{pmatrix}\frac{0}{\vdots}\\\frac{t}{\vdots}\\\frac{0}{-t}\end{pmatrix}\quad( 第 i 行 )\end{aligned} $$

である。

（43）式および（42）式を，（41）式に代入すると，
第A1表 日本の輸入方程式に関する残差相関係数行列

名	US	UK	FR	GE	IT	CA	JA	AL	KR	AS	LA	ME	SC	WE	RW
US	1.00	0.42	0.43	0.37	0.22	0.17	0.0	-0.19	-0.45	-0.30	0.56	0.41	0.46	0.39	0.76
UK	0.42	1.00	0.81	0.62	0.65	0.36	0.0	-0.23	-0.05	-0.62	0.71	-0.31	-0.18	0.77	0.65
FR	0.43	0.81	1.00	0.78	0.74	0.41	0.0	-0.09	0.05	-0.47	0.77	-0.46	-0.35	0.89	0.50
GE	0.37	0.62	0.78	1.00	0.65	0.12	0.0	-0.23	0.06	-0.38	0.44	-0.51	-0.33	0.72	0.23
IT	0.22	0.65	0.74	0.65	1.00	0.71	0.0	0.39	0.55	-0.16	0.66	-0.42	-0.61	0.83	0.22
CA	0.17	0.36	0.41	0.12	0.71	1.00	0.0	0.63	0.47	0.10	0.56	-0.01	-0.29	0.52	0.26
JA	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
AL	-0.19	-0.23	-0.09	-0.23	0.39	0.63	0.0	1.00	0.76	0.68	0.09	0.06	-0.46	0.10	-0.29
KR	-0.45	-0.05	0.05	0.06	0.55	0.47	0.0	0.76	1.00	0.52	-0.02	-0.37	-0.73	0.31	-0.50
AS	-0.30	-0.62	-0.47	-0.38	-0.16	0.10	0.0	0.68	0.52	1.00	-0.49	0.26	-0.16	-0.29	-0.53
LA	0.56	0.71	0.77	0.44	0.66	0.56	0.0	0.09	-0.02	-0.49	1.00	-0.18	-0.17	0.73	0.62
ME	0.41	-0.31	-0.46	-0.51	-0.42	-0.01	0.0	0.06	-0.37	0.26	-0.18	1.00	0.70	-0.40	0.24
SC	0.46	-0.18	-0.35	-0.33	-0.51	-0.29	0.0	-0.46	-0.73	-0.16	-0.17	0.70	1.00	-0.46	0.44
WE	0.39	0.77	0.89	0.72	0.83	0.52	0.0	0.10	0.31	-0.29	0.73	-0.40	-0.46	1.00	0.41
RW	0.76	0.65	0.50	0.23	0.22	0.26	0.0	-0.29	-0.50	-0.53	0.62	0.24	0.44	0.41	1.00

(出所) Filatov [9] より抜粋。
第A2表 日本の輸入方程式に関する残差ベータ係数行列

名	US	UK	FR	GE	IT	CA	JA	AL	KR	AS	LA	ME	SC	WE	RW
US	1.00	3.27	5.09	1.93	3.03	0.47	0.0	-0.25	-1.21	-0.24	1.35	0.22	0.91	1.61	1.81
UK	0.05	1.00	1.26	0.42	1.16	0.13	0.0	-0.04	-0.02	-0.06	0.22	-0.02	-0.05	0.41	0.20
FR	0.04	0.52	1.00	0.35	0.65	0.10	0.0	-0.01	0.01	-0.03	0.15	-0.02	-0.06	0.31	0.10
GE	0.07	0.91	1.77	1.00	1.70	0.07	0.0	-0.05	0.03	-0.06	0.20	-0.05	-0.12	0.56	0.11
IT	0.02	0.37	0.64	0.25	1.00	0.15	0.0	0.04	0.11	-0.01	0.11	-0.02	-0.09	0.25	0.04
CA	0.06	0.96	1.69	0.22	3.43	1.00	0.0	0.29	0.45	0.03	0.47	-0.00	-0.20	0.75	0.22
JA	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
AL	-0.14	-1.35	-0.85	-0.90	4.00	1.37	0.0	1.00	1.55	0.41	0.17	0.03	-0.70	0.32	-0.53
KR	-0.17	-0.14	0.22	0.11	2.81	0.50	0.0	0.37	1.00	0.15	-0.02	-0.07	-0.54	0.47	-0.44
AS	-0.37	-5.99	-6.97	-2.48	-2.76	0.35	0.0	1.13	1.76	1.00	-1.47	0.17	-0.40	-1.47	-1.58
LA	0.24	2.28	3.84	0.97	3.78	0.67	0.0	0.05	-0.02	-0.16	1.00	-0.04	-0.14	1.26	0.62
ME	0.78	-4.58	-10.32	-5.11	-10.97	-0.03	0.0	0.16	-1.89	0.39	-0.82	1.00	2.65	-3.08	1.07
SC	0.23	-0.69	-2.12	-0.86	-4.20	-0.42	0.0	-0.31	-0.99	-0.06	-0.20	0.19	1.00	-0.94	0.53
WE	0.10	1.44	2.60	0.93	2.77	0.36	0.0	0.03	0.20	-0.06	0.43	-0.05	-0.22	1.00	0.24
RW	0.32	2.11	2.50	0.51	1.27	0.31	0.0	0.16	-0.56	-0.18	0.62	0.05	0.37	0.71	1.00

(出所) Filatov [9] より抜粋
$$ Z=[-X_{1j}^{0}D_{1},\cdots,\;-\;X_{n-\mathbb{k}\;j}^{0}D_{n-1},\;-\;P,\;-\;X_{1j}^{0}D T_{1},\cdots\cdots,\;-\;X_{n-\mathbb{k}\;j}^{0}D T_{n-1},\;Y_{j(-1)}] $$

$$ \eta^{\prime}=[\alpha_{1j}\cdots\cdots\alpha_{n-\sharp j}\quad\sigma_{j}(1-\delta_{j}),\quad\theta_{1j}\cdots\cdots\theta_{n-\sharp j}\quad\delta_{j}] $$

とおくと, $ \eta $ のGLS推定量は

$$ \stackrel{\wedge}{\eta}{=}[Z^{\prime}(\stackrel{\wedge}{\sum}^{-1}\otimes I_{T})Z]^{-1}[Z^{\prime}(\stackrel{\wedge}{\sum}^{-1}\otimes I_{T})Y] $$

から得られる。さらに，$\hat{\eta}$ の要素および（46）式から，$\sigma_{j}$，$\delta_{i}$，$\beta_{ij}$ および $\gamma_{ij}$ のGLS推定値が計算可能であることが分かる。

## 第1章第2節への付録：貿易連関 モデルにおける系列相関

Hickman-Lau方程式のdynamic simulationによって求められる $ U_{ijt} $ の推定値である残差を $ e_{ijt} $ としよう。そして，この残差を用いて次のような回帰方程式を考える。

$$ e_{k j t}=\alpha_{k j}^{i}+\beta_{k j}^{i}e_{i j t}+v_{k t}^{i};i,k,j=1,2,\cdots\cdots,n $$

そうすれば， $ e_{kj} $ と $ e_{ij} $ との間の相関係数 $ r_{ik}^{j} $ および回帰のベータ係数 $ (\beta_{kj}^{i}) $ の推定値は，そ

れぞれ次のように求められる。

$$ \hat{\boldsymbol{\beta}}_{k j}^{i}=\stackrel{\wedge}{r_{i k}^{j}}\sqrt{\frac{\sum\limits_{t}e_{k j t}^{2}}{\sum\limits_{t}e_{i j t}^{2}}} $$

$$ \stackrel{\wedge}{r}_{ik}^{j}=\frac{\sum\limits_{t}e_{ijt}e_{kjt}}{\sqrt{(\sum\limits_{t}e_{ijt}^{2})(\sum\limits_{t}e_{kjt}^{2})}} $$

以下に示された推定値は，EPA世界経済モデルにおける貿易連関モデルの1974：II~1977：IVの期間に対するdynamic simulationの残差を用いて求められたものである。なお，表における国名の記名の定義は第3章の冒頭で与えられている。

## 第2章 為替レート決定モデルの統計的分析

## 序

ここ数年来，予測や政策シュレーション等を目的として政府や各研究機関で作られるマクロ計量モデルは，増々大型化し複雑になってきたため，その経済メカニズムの構造がわかりにくくなってきている。特定の経済変数同志がどのように関連しているのか，また因果関係はどうなっているのかを，モデル自体から見極めることはほとんど不可能に近い。しかしながら，その基本となっているのは市場の考え方であることは言うまでもない。ところがモデルを大型化し予測力を高めるためには，市場に参加する経済主体の細分化を行ない，各主体の行動の違いを明示的にモデルに取り入れなければならない。そこに需給均衡型モデルが必要となる第1の理由がある。EPA世界経済モデルにおいても，為替レート内生化に際し多くの国別モデルでFLEX方式が採られているが，様々なレジームを同一のモデルで表現できるというその意義を除いたとしても，大型マクロ計量モデルの1つの方向を示唆するものとして意味深いものがある。そこで本章では，需給均衡型モデルの性格と推定上の問題を述べ，さらにこれを用いて簡単な日本の為替レート決定モデルを作り，種々の推定方法がモデルのパーフォーマンスにどのような影響を及ぼすか，その統計的側面を明らかにしてゆきたい。

## 第1節 需給均衡型モデルの推定問題

### 1. 1 需給均衡型モデル

まず簡単な需要供給モデルを考えよう。

$$ \begin{cases}y^{d}=x^{d}\alpha^{d}+\beta^{d}P\\y^{s}=x^{s}\alpha^{s}+\beta^{s}P\\y^{d}=y^{s}\end{cases} $$

$ y^{d} $ : 需要量, $ y^{s} $ : 供给量
# 平 成 26 年 度 特 别 会 计 辅 正 予 算(特第 1 号)

(平成26年度特別会計補正予算参照書添付)

第 189 回 国 会 (常 会) 提 出
## 総目録

## 平成26年度特別会計補正予算(特第1号)

予算総則補正

甲号歲入歲出予算補正

丙号繰越明許費補正

丁号国庫債務負担行為補正

(添付)

平成26年度特別会計補正予算（特第1号）参照書

平成26年度特別会計歳入歳出予算補正予定計算書等

財政融資資金の長期運用に対する特別措置に関する法律の規定による平成26年度財政投融資計画補正
## 平成 26 年度特別会計補正予算(特第 1 号)目録

予算総則補正
1

甲号歳入歳出予算補正
5

内閣府、総務省及び財務省所管
5

交付税及び議与税配付金
5

財務省所管
5

国債整理基金
5

財務省及び国土交通省所管
6

財政投融資
6

内閣府、文部科学省、経済産業省及び環境省所管
7

エネルギー対策
7

厚生労働省所管
8

年金
8

農林水産省所管
9

食料安定供給
9

国有林野事業債務管理
10

国土交通省所管
11

自動車安全
11

17
## 丁号国庫債務負担行為補正

農 林 水 産 省 所 管 18

食 料 安 定 供 給 18

国 土 交 通 省 所 管 18

自 動 車 安 全 18
## (添 付)

## 平成 26 年度特別会計補正予算(特第 1 号)参照書目録

49
漁船再保險勘定82漁業共済保險勘定85国営土地改良事業勘定88丁号国庫債務負担行為補正要求書92国有林野事業債務管理101甲号歲入歲出予算補正予定計算書101国土交通省所管105自動車安全105甲号歲入歲出予算補正予定計算書105自動車檢查登錄勘定105空港整備勘定109丁号国庫債務負担行為補正要求書115国会、裁判所、会计檢查院、內閣、內閣府、復興庁、総務省、法務省、外務省、財務省、文部科学省、厚生労働省、農林水産省、経済産業省、国土交通省、環境省及び防衛省所管119東日本大震災復興119甲号歲入歲出予算補正予定計算書119丙号線越明許費補正要求書147
平 成 26 年 度 特 别 会 計 補 正 予 算(特第 1 号)