$$ \begin{pmatrix}\underline{X}_{1j}^{*}\\\frac{X_{2j}^{*}}{\vdots}\\\vdots\\\underline{X}_{nj}^{*}\end{pmatrix}=-\sigma_{j}\beta_{1j}[X_{1j}^{0}D_{1}]\cdots\cdots-\sigma_{j}\beta_{n-\mathbf{j}}\begin{bmatrix}X_{n-\mathbf{j}}^{0}\end{bmatrix}D_{n-1}]-\sigma_{j}(1-\sigma_{j})\begin{pmatrix}\underline{P}_{1j}^{*}\\\underline{P}_{2j}^{*}\\\vdots\\\underline{P}_{nj}^{*}\end{pmatrix} $$

$$ -\sigma_{j}\gamma_{1j}[X_{1j}^{0}D T_{1}]-\cdots\cdots-\sigma_{j}\gamma_{n-\uparrow j}[X_{n-\uparrow j}^{0}D T_{n-1}]+\delta_{j}\begin{pmatrix}\underline{X}_{1j(-1)}^{*}\\ \underline{X}_{2j(-1)}^{*}\\ \vdots\\ \underline{X}_{nj(-1)}^{*}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\underline{U}_{1j}\\ \underline{U}_{2j}\\ \vdots\\ \underline{U}_{nj}\end{pmatrix} $$

を得る。ここで,

$$ Y_{j}=\begin{pmatrix}\underline{X}_{1j}^{*}\\\vdots\\\vdots\\\underline{X}_{nj}^{*}\end{pmatrix},\quad P_{j}=\begin{pmatrix}\underline{P}_{1j}^{*}\\\vdots\\\vdots\\\underline{P}_{nj}^{*}\end{pmatrix},\quad Y_{j(-1)}=\begin{pmatrix}\underline{X}_{1j(-1)}^{*}\\\vdots\\\end{pmatrix},\quad\varepsilon=\begin{pmatrix}\underline{U}_{1j}\\\vdots\\\vdots\\\underline{U}_{nj}\end{pmatrix},\quad\alpha_{ij}=\sigma_{j}\beta_{ij},\quad\theta_{ij}=\sigma_{j}\gamma_{ij} $$

とおくと，Hickman-Lau方程式は，最終的に

$$ \begin{aligned}Y_{j}=&\alpha_{1j}(-X_{1j}^{0}D_{1})+.....+\alpha_{n-\mathbb{k}j}(-X_{n-\mathbb{k}j}^{0}D_{n-1})+\sigma_{j}(1-\delta_{j})(-P)\\&+\theta_{1j}(-X_{1j}^{0}DT_{1})+.....+\theta_{n-\mathbb{k}j}(-X_{n-\mathbb{k}j}^{0}DT_{n-1})+\delta_{j}Y_{j(-1)}+\varepsilon\end{aligned} $$

となり， $ \varepsilon $ に相関がないならば，（45）式は最小二乘法によって推定可能である。すなわち，（45）式に最小二乘法を適用すると， $ \alpha_{ij} $ ， $ \sigma_{j}(1-\delta_{j}) $ ， $ \theta_{ij} $ および $ \delta_{j} $ の最良線型不偏推定量が得られ，これらの推定量から，

$$ \begin{aligned}\sigma_{j}=\frac{\sigma_{j}(1-\delta_{j})}{1-\delta_{j}},\beta_{ij}=\frac{\alpha_{ij}}{\sigma_{j}},\gamma_{ij}=\frac{\theta_{ij}}{\sigma_{j}}\ $ i=1,2,\cdots\cdots,\ n-1)\end{aligned} $$

という関係を通して，すべてのパラメータを推定することができる。また，$\beta_{nj}$ および $\gamma_{nj}$ は制約式から計算可能である。

### 2.3 制約付GLS推定

ここでは， $ U_{ij} $ と $ U_{kj} $ との間に相関があり，それらが次の分散—共分散行列で表わされるときの，各パラメータ一の推定について考える。

$$ \begin{aligned}&E[\varepsilon\varepsilon^{\prime}]\\ &(nT\times nT)\\ &\\ &=E\begin{pmatrix}\underline{U}_{1j}\\\vdots\\\vdots\\\underline{U}_{nj}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\underline{U}_{1j}^{^{\prime}}\\\vdots\\\vdots\\\underline{U}_{nj}^{^{\prime}}\end{bmatrix}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}=&E\begin{pmatrix}\underline{U}_{1j}\underline{U}_{1j}^{^{\prime}}\cdots\cdots\cdots\underline{U}_{1j}\underline{U}_{nj}^{^{\prime}}\\\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\\\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\\\underline{U}_{nj}\underline{U}_{1j}^{^{\prime}}\cdots\cdots\cdots\underline{U}_{nj}\underline{U}_{nj}^{^{\prime}}\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}\sigma_{11}I_{T}\cdots\cdots\cdots\sigma_{1n}I_{T}\\\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\\\sigma_{n1}I_{T}\cdots\cdots\cdots\sigma_{nn}I_{T}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

$ =\Sigma\otimes I_{T} $ (47)

ただし， $ \sum $ は $ n\times n $ の正值定符号行列であると

する。

(45) 式に最小二乘法を適用して得られた $ U_{ij} $ の

推定値を $ e_{ij} $ とおき， $ \hat{\sigma}_{ik} $ を

$$ \hat{\sigma}_{ik}=\frac{1}{T}\underline{e}_{ij}^{^{\prime}}\underline{e}_{kj} $$

とおくと, $\hat{\sigma}_{ik}$ が $\sum \theta(i,k)$ 要素の推定値を与える。これらの推定値を代入して得られる $\sum \theta$ の推定値を $\hat{\Sigma}$ とおき, (45) 式をさらに $Y=Z\eta+\varepsilon$ (48) とおく。ただし,