$ -\int_{L_{m}}^{L_{m}^{0}}F_{s}(L_{m})dL_{m} $ ……(3)

である。この(3)式においても、ΔCS を計算したときと同様に、関数 $ F_{s}(L_{m}) $ や関数 $ G_{s}(L_{p}) $ の局所的情報しか必要としていないのである。

上述のように余剰の変化分の計算に際して、関数の具体的な形状に関する情報が必要なのは$\mathrm{G}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)\mathrm{G}_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)$ に関しては$\left[\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}},\mathrm{L}_{\mathrm{p}^{0}}\right]$ 関数$\mathrm{F}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)\mathrm{F}_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)$ に関しては$\left[\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{m}},\mathrm{L}_{\mathrm{m}^{0}}\right]$ の範囲に関するものである。これらの領域に関しては関数の形状の情報まで必要であるから、より具体的な関数型で近似することになる。

以下ではΔCS の導出に関して、線型近似と対数線型近似の2つの方法を検討するとしよう。なおΔSS の導出に関しても同様に行うことができる。

まず最初に、線型関数による局所的近似方法について検討しよう。それぞれの関数を、

$$

\begin{cases}

\mathrm{F}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)=\alpha_{1}\mathrm{L}_{\mathrm{m}}, \\

\mathrm{F}_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)=\beta_{1}\mathrm{L}_{\mathrm{m}}, \\

\mathrm{G}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{2}\mathrm{L}_{\mathrm{p}}, \\

\mathrm{G}_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)=\beta_{0}+\beta_{2}\mathrm{L}_{\mathrm{p}},

\end{cases}

$$

と特定化しよう。ここにα₁、β₁などは定数で

ある。このとき逆需要関数は、

r=α₀+α₁Lₘ+α₂Lₚ

であり、限界費用関数は、

MC=β₀+β₁Lₘ+β₂Lₚ

となる。また需要関数は、

Lₘ=-α₀/α₁+1/α₁r-α₂Lₚ

であり、供給関数は、

Lₘ=-β₀/β₁+1/β₁r-β₂Lₚ

となる。

さて、$\hat{\mathrm{L}}$、$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}$、そしてLₚ⁰が与えられたとし

よう。そのとき、

$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}=-\frac{\alpha_{0}}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{1}}\hat{\mathrm{r}}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}$

である。また、

$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{s}}=-\frac{\beta_{0}}{\beta_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}\hat{\mathrm{r}}-\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}$

と書くことにすれば、

$ \hat{L}_{m}=\min\left[\hat{L}_{d},\hat{L}_{s}\right] $

となる。次に $ r^{0} $ は不均衡の程度が変化しないように決まると想定しているので、

$ \left(-\frac{\alpha_{0}}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{1}}\mathrm{r}^{0}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\mathrm{L}_{\mathrm{p}}^{0}\right) $

$ \div\left(-\frac{\beta_{0}}{\beta_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}\mathrm{r}^{0}-\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\mathrm{L}_{\mathrm{p}}^{0}\right) $

$ =\hat{L}_{d}/\hat{L}_{s} $

より求められることになる。また、

$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{G}_{\mathrm{d}}\left(\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{2}\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}\\\mathrm{G}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}^{0}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{2}\mathrm{L}_{\mathrm{p}}^{0}\end{array}\right. $

である。さらに、

$ \int_{\hat{\mathrm{L}}_{d}}^{\mathrm{L}_{\mathrm{d}}^{0}}\mathrm{F}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)\mathrm{dL}_{\mathrm{m}}=\frac{\alpha_{1}}{2}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{d}}^{02}-\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}^{2}\right) $

となる。ここに、

$ \hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}^{0}=-\frac{\alpha_{0}}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{1}}\mathrm{r}^{0}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\mathrm{L}_{\mathrm{p}}^{0} $

である。以上より(2)式を用いれば $ \Delta $ CSが具体的に求められることになる。

次に、対数線型関数による局所的近似について説明しよう。それぞれの関数を、

$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{F}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)=\alpha_{1}\cdot\ln\mathrm{L}_{\mathrm{m}},\\\mathrm{F}_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)=\beta_{1}\cdot\ln\mathrm{L}_{\mathrm{m}},\\\mathrm{G}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{2}\cdot\ln\mathrm{L}_{\mathrm{p}},\\\mathrm{G}_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)=\beta_{0}+\beta_{2}\cdot\ln\mathrm{L}_{\mathrm{p}},\\\end{array}\right. $

とする。このとき需要関数は、

$ \mathrm{L}_{\mathrm{m}}=\exp\left(-\frac{\alpha_{0}}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{1}}\mathrm{r}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\ln\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right) $

であり、供給関数は、

$ \mathrm{L}_{\mathrm{m}}=\exp\left(-\frac{\beta_{0}}{\beta_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}\mathrm{r}-\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\ln\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right) $

となる。

さて、 $ \hat{r},\hat{L}_{p} $ 、そして $ \mathrm{L}_{p}^{0} $ が与えられたとしよう。そのとき、

$ \hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}=\exp\left(-\frac{\alpha_{0}}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{1}}\hat{\mathrm{r}}-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\ln\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}\right) $

である。また、

$ \hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{s}}=\exp\left(-\frac{\beta_{0}}{\beta_{1}}+\frac{1}{\beta_{1}}\hat{\mathrm{r}}-\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\ln\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}\right) $

と書くことにすれば、