図4-1-3 借手の余剰（超過供給のケース）

ΔCS を実証結果を用いて計算する際にその推計式の近似度が高いことが要請されるのは局所的な部分についてだけであるということである。すなわち、関数 F_{d}(·) に関しては L_{m} が $ \hat{L}_{m} < L_{m} < L_{m}^{0} $ の範囲でその関数の近似度が高いことを、また関数 G_{d}(·) に関しては L_{p} が $ \hat{L}_{p} $ および L_{p}^{0} の点において近似度が高いことを必要とすることになる。そして、以上のような範囲は実証する際にサンプルが存在した領域に近い範囲であり、それらの関数の推計結果は信頼性が高いと言えよう。

次に、貸出市場が超過需要局面にある場合についての借手の余剰の変化分について検討しよう。この場合には上述のように、借手がどのような形で信用割当を受けることになるかに関する想定が問題になる。信用割当をする際には、借手のなかから質の良い借手を選別して貸出を行うということも考えらえよう。しかしながら、以上の分析において借手の貸倒れ確率といった質を表す観点は明示的に考慮してこなかった。したがって、単純ではあるが信用割当の方法としては、ランダムに貸し出す相手を選択するという想定を採用するとしよう。このように信用割当が行われるとすれば、そのときの借手の余剰（より正確には借手の余剰の期待値）は次のように計算されると想定できよう。

まず、公的貸出$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}$の下での需要量を$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}$、公的貸出$\mathrm{L}_{\mathrm{p}^{0}}$の下での需要量を$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}^{0}$と書くことにしよう。すなわち、

$$ \left\{\begin{aligned}\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}=&\mathcal{F}_{\mathrm{d}}\left(\stackrel{\wedge}{\mathrm{r}},\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}\right),\\ \mathrm{L}_{\mathrm{d}}0=&\mathcal{F}_{\mathrm{d}}\left(\stackrel{\wedge}{\mathrm{r}},\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}^{0}\right)\end{aligned}\right. $$

である。さて、上述のように信用割当はランダムに行われると想定しているので、借手の余剰の大きさも平均的になると想定することができる。すなわち、公的貸出が$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}$ および$\mathrm{L}_{\mathrm{p}^{0}}$ の下での借手の余剰$\mathrm{C}^{\mathrm{~S}}$ 、$\mathrm{C S}^{0}$ はそれぞれ、

$$ \begin{aligned}\mathbf{C}^{\wedge}\mathbf{S}=&\frac{\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{m}}}{\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{d}}}\cdot\int_{\mathrm{o}}^{\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{d}}}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{F}_{\mathrm{d}}(\mathbf{L}_{\mathrm{m}})+\mathbf{G}_{\mathrm{d}}(\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}})\\\end{array}\right.\\&-\hat{\mathbf{r}}\}\mathrm{d}\mathbf{L}_{\mathrm{m}}\\\mathbf{C}\mathbf{S}^{0}=&\frac{\mathbf{L}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{~0}}}{\mathbf{L}_{\mathrm{d}}^{\mathrm{~0}}}\cdot\int_{\mathrm{o}}^{\mathbf{L}_{\mathrm{d}}^{\mathrm{~0}}}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{F}_{\mathrm{d}}(\mathbf{L}_{\mathrm{m}})+\mathbf{G}_{\mathrm{d}}(\mathbf{L}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{~0}})\\\end{array}\right.\\&-\mathbf{r}^{0}\}\quad\mathrm{d}\mathbf{L}_{\mathrm{m}}\end{aligned} $$

となる。たとえば、公的貸出が$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}$の下で超過需要局面にあるとした場合の、借手の余剰は図4-1-4の斜線の部分の面積である。これらの借手の余剰の変化分$\Delta\mathrm{CS}$は、公的貸出が$\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}$から$\mathrm{L}_{\mathrm{p}^{0}}$に変化したときに、超過需要比率が変化しないように金利が決まると想定していることから、

$$ \hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{m}}/\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}=\mathrm{L}_{\mathrm{m}}^{0}/\mathrm{L}_{\mathrm{d}}^{0} $$

であることに注意すれば、次のように計算されることになる。

$$ \begin{aligned}\Delta\mathrm{CS}=\frac{\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{m}}}{\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}}\cdot\left[\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}\{\hat{\mathrm{r}}-\mathrm{G}_{\mathrm{d}}\left(\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}\right)\}\right.\\ \left.+\int_{\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}}^{\mathrm{~L}_{\mathrm{d}}^{0}}\mathrm{F}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right)\mathrm{d}\mathrm{L}_{\mathrm{m}}\right.\\ \left.+\mathrm{L}_{\mathrm{d}}^{\mathrm{~0}}\{\mathrm{G}_{\mathrm{d}}\left(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{~0}}\right)-\mathrm{r}^{0}\right]\end{aligned} $$

この(2)の式は超過供給局面にあって借手が信用割当を受けていない場合の(1)式を特殊なケースとして含んだ表現になっている。したがって、超過需要か超過供給かに係わりなく(2)式を用いて借手の余剩の変化分ΔCSを計算すればよい

図4-1-4 借手の余剰（超過需要のケース）