は、入力の平均的な変化に対する内部状態と出力の挙動は、確定線形システムとまったく同一のものになることを意味する。したがって、確率線形システムの挙動を考えるときに、確率線形システムの固有の問題としては、入力の確率的な変動に対する内部状態と出力の変動のみを考えればよい。

そこで以下では、入力 w(t) をその確率的な構造が

$$ \begin{aligned}E\left\{w(\mathbf{t})\right\}&=m_{w}(\mathbf{t})=0\\ E\left\{w(\mathbf{t})w^{\mathrm{T}}\left(\tau\quad\right)\right\}&=W(\mathbf{t})\delta\left(\mathbf{t}-\tau\quad\right)\ $ ただし \delta\quad(\cdot))& はデルタ関数 )\end{aligned} $$

で与えられるような白色雑音と仮定する。

またシステムの初期状態は

$$ \begin{aligned}&\mathrm{E}\ \{\mathrm{x}(\mathbf{t}_{0})\}=\mathrm{E}\ \{\mathrm{x}_{0}\}=\mathbf{m}_{0}\\&\mathrm{E}\ \{\mathrm{x}_{0}\mathbf{w}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})\}=0\\&\mathrm{E}\ \{(\mathrm{x}_{0}\cdot\mathbf{m}_{0})(\mathrm{x}_{0}\cdot\mathbf{m}_{0})^{\mathrm{T}}\}=\mathbf{M}_{0}\\&\mathrm{E}\ \{\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{o}7\}=\mathrm{x}\mathrm{o}\\ \end{aligned} $$

で与えられており、既知であるとする。

このとき、状態変数の期待値の挙動は

$$ \begin{aligned}&\dot{\mathbf{m}}_{\mathrm{x}}(\mathbf{t})=\mathbf{A}(\mathbf{t})\mathbf{m}_{\mathrm{x}}(\mathbf{t})\\&\mathbf{m}_{\mathrm{x}}(\mathbf{t}_{0})=\mathbf{m}_{0}\\ \end{aligned} $$

にしたがう。そして2次の積率

$$ \mathbf{X}(\mathbf{t})=\mathbf{E}\ \{\mathbf{x}(\mathbf{t})\mathbf{x}(\mathbf{t})^{\mathrm{T}}\} $$

および共分散

$$ \mathbf{M}(\mathbf{t})=\mathbf{E}\left\{(\mathbf{x}(\mathbf{t})-\mathbf{m}_{\mathbf{x}}(\mathbf{t}))(\mathbf{x}(\mathbf{t})-\mathbf{m}_{\mathbf{x}}(\mathbf{t}))^{\mathrm{T}}\right\} $$

は次のような同形の微分方程式にしたがう。

$$ \begin{aligned}&\dot{\mathbf{X}}(\mathbf{t})=\mathbf{A}(\mathbf{t})\mathbf{X}(\mathbf{t})+\mathbf{X}(\mathbf{t})\mathbf{A}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})+\mathbf{B}(\mathbf{t})\mathbf{W}(\mathbf{t})\mathbf{B}(\mathbf{t})^{\mathrm{T}}\\&\mathbf{X}(\mathbf{t}_{0})=\mathbf{X}_{0}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&\bullet\\&\mathbf{M}(\mathbf{t})=\mathbf{A}(\mathbf{t})\mathbf{M}(\mathbf{t})+\mathbf{M}(\mathbf{t})\mathbf{A}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})+\mathbf{B}(\mathbf{t})\mathbf{W}(\mathbf{t})\mathbf{B}(\mathbf{t})^{\mathrm{T}}\\&\mathbf{M}(\mathbf{t}_{0})=\mathbf{M}_{0}\end{aligned} $$

これらは積率微分方程式、共分散方程式とよばれる。また出力 y(t) の 2 次の積率は

$$ \begin{array}{r l}{\mathbf{Y}(\mathbf{t})=\mathbf{E}}&{{}\left\{\mathbf{y}(\mathbf{t})\mathbf{y}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})\right\}}&{=\mathbf{C}(\mathbf{t})\mathbf{X}(\mathbf{t})\mathbf{C}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})}\end{array} $$

で与えられる。

この2次の積率や共分散によって、内部状態や出力の確率的な変動の大きさ、および各成分どうしの確率的な相互依存関係が時間とともにどのように変わって行くかを評価できる。

次に、状態変数の時間に関する相関、すなわち自己相関関数

$$ \mathbf{R}\mathbf{x}\mathbf{x}(\mathbf{t}_{1},\mathbf{t}_{2})=\mathbf{E}\left\{\mathbf{x}(\mathbf{t}_{1})\mathbf{x}(\mathbf{t}_{2})^{\mathrm{T}}\right\} $$

を考える。

$$ \mathbf{t}_{1}=\mathbf{t}_{2}=\mathbf{t} のときは明らかに $$

$$ \mathbf{R}\mathbf{x}\mathbf{x}(\mathbf{t},\mathbf{t})=\mathbf{E}\left\{\mathbf{x}(\mathbf{t})\mathbf{x}(\mathbf{t})^{\mathrm{T}}\right\}=\mathbf{X}(\mathbf{t}) $$

である。 $ \mathrm{Rxx}(t_{1},t_{2}) $ は、一般に

$$ \begin{aligned}Rxx(\mathbf{t}_{1},\mathbf{t}_{2})=&\Phi\left(\mathbf{t}_{1},\mathbf{t}_{2}\right)X(\mathbf{t}_{2})\mathbf{1}\left(\mathbf{t}_{1}-\mathbf{t}_{2}\right)\\&+X(\mathbf{t}_{2})\Phi^{\mathrm{T}}(\mathbf{t}_{2},\mathbf{t}_{1})\mathbf{1}\left(\mathbf{t}_{2}-\mathbf{t}_{1}\right)\end{aligned} $$

(ただしΦ(t₀,t)は

$$ \begin{aligned}\dot{x(t)}&=A(t)x(t)x(t_{0})=x_{0}\\& の解において \\ x(t)&=\Phi(t_{0},t)x_{0}\end{aligned} $$

を満たす関数であり、A(t)の遷移行列とよばれるものである。また1(t)は時刻tにおける単位ステップ関数である。)

と表わせる。このとき、出力 y(t) の自己相関関数は

$$ \begin{aligned}\mathrm{Ryy}(\mathbf{t}_{1},\mathbf{t}_{2})=&\mathbf{E}\left\{\mathrm{y}(\mathbf{t}_{1})\mathrm{y}(\mathbf{t}_{2})^{\mathrm{T}}\right\}\\=&\mathbf{C}(\mathbf{t}_{1})\mathrm{Rxx}(\mathbf{t}_{1},\mathbf{t}_{2})\mathbf{C}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t}_{2})\end{aligned} $$