$$ \begin{aligned}&\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\mathbf{p}^{*\mathrm{T}}(\mathbf{t})\boldsymbol{\delta}\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})\mathbf{d}\mathbf{t}\\ &=[\mathbf{p}^{*\mathrm{T}}(\mathbf{t})\boldsymbol{\delta}\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}(\mathbf{t})]\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\mathbf{\Sigma}-\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\mathbf{p}^{*\mathrm{T}}(\mathbf{t})\boldsymbol{\delta}\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})\mathbf{d}\mathbf{t}\\ &=-\mathbf{K}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\delta}\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}(\mathbf{t})+\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\mathbf{p}^{*\mathrm{T}}(\mathbf{t})\left[\frac{\partial\mathbf{\Sigma}\mathbf{f}}{\partial\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}}\right]\boldsymbol{\delta}\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}(\mathbf{t})\mathbf{d}\mathbf{t}\\ &=-\boldsymbol{\delta}\mathbf{J}+\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\left[\frac{\partial\mathbf{\Sigma}\mathbf{H}}{\partial\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}}\right]\boldsymbol{\delta}\mathbf{\Sigma}\mathbf{x}(\mathbf{t})\mathbf{d}\mathbf{t}\\ \end{aligned} $$

ここでδ x(t) は、定義から

$$ \begin{aligned}\dot{\delta\mathbf{x}}(\mathbf{t})=&\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\boldsymbol{\delta\mathbf{x}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\boldsymbol{\delta\mathbf{u}}(\mathbf{t}))\\&-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}))\end{aligned} $$

であるから、これを代入すると

$$ \begin{aligned}&\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\mathbf{p}^{*\mathrm{T}}(\mathbf{t})\delta\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})\mathbf{d}\mathbf{t}\\=&\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\{\mathbf{p}^{*\mathrm{T}}(\mathbf{t})\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t}))\\&\quad-\mathbf{p}^{*\mathrm{T}}(\mathbf{t})\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}))\}\mathbf{d}\mathbf{t}\\=&\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\{\mathbf{H}(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t}))\\&\quad-\mathbf{H}(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}))\}\mathbf{d}\mathbf{t}\\=&\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\{\mathbf{H}(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t}))\\&\quad+\Big[\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial\mathbf{x}}\Big]_{\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t})}\delta\mathbf{x}(\mathbf{t})\\-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\delta\mathbf{x}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})\Big[\frac{\partial^{2}\mathbf{H}}{\partial\mathbf{x}_{\mathrm{i}}\partial\mathbf{x}_{\mathrm{j}}}\Big]_{\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}),\begin{array}{c}\delta\mathbf{x}(\mathbf{t})\\\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\xi\end{array}^{\mathrm{T}}\delta\mathbf{x}(\mathbf{t}),\\&\quad\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t})}\\&\\&-\mathbf{H}(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}))\}\mathbf{d}\mathbf{t}\end{aligned} $$

となる。ここで、$\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t})\in\Omega_{\mathbf{u}}$ なるすべての$\delta\mathbf{u}(\mathbf{t})$ に対して、$\delta\mathbf{J}\leqq0$ である。$0\leqq\mathbf{t}_{1}\leqq\mathbf{t}_{2}\leqq\mathbf{t}_{\mathrm{f}}$ なる$\mathbf{t}_{1}\perp\mathbf{t}_{2}$ をとり、$\delta\mathbf{u}(\mathbf{t})$ は区間$[\mathbf{t}_{1},\mathbf{t}_{2}]$ 以外では0とする。$\delta\mathbf{t}=\mathbf{t}_{1}-\mathbf{t}_{2}\rightarrow0$ とすれば

$$ \begin{aligned}\delta\mathbf{J}\ddots&\{\mathbf{-H}(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}_{1})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t}_{1}))\\&+\mathbf{H}(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}_{1}))\}\delta\mathbf{t}\\ &\\&+\xi\Big[\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial\mathbf{x}}\Big]_{\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}_{1})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t}_{1})}\\ &\\&+\Big[\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial\mathbf{x}}\Big]_{\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}_{1})}\}\delta\mathbf{x}(\mathbf{t}_{1})\delta\mathbf{t}\\ &\\&-\frac{1}{2}\int_{\mathbf{t}_{1}}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\delta\mathbf{x}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})\Big[\frac{\partial^{2}\mathbf{H}}{\partial\mathbf{x}_{\mathrm{i}}\partial\mathbf{x}_{\mathrm{j}}}\Big]_{\begin{array}{c}\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}),\\\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\xi\\\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{u}(\mathbf{t})\end{array}}\delta\mathbf{x}(\mathbf{t})\mathbf{d}\mathbf{t}\\ \end{aligned} $$

ここで、$\delta\mathrm{x}(\mathrm{t}_{1})$、$\delta\mathrm{x}(\mathrm{t})$ は $\delta\mathrm{t}$ のオーダーの微小量である。よって $\delta\mathrm{J}$ の右辺の第1項は $\delta\mathrm{t}$ のオーダー、第2項および第3項は $(\delta\mathrm{t})^{2}$ のオーダーの微小量となる。したがって、$\delta\mathrm{J}$ は第1項で決まり、$\delta\mathrm{J}\geq0$ および $\delta\mathrm{t}>0$ であるから、すべての $\mathrm{u}(\mathrm{t}_{1})\in\Omega\mathrm{u}(0\leq\mathrm{t}_{1}<\mathrm{t}_{\mathrm{f}})$ に対して次の関係が成り立つ。

$$ \begin{aligned}&H(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}_{1}))\geqq H(\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}_{1}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}_{1})+\delta\\&\mathbf{u}(\mathbf{t}_{1}))\\ \end{aligned} $$

あるいは、 $ t_{1} $ をtと置き換えることによって

$ \mathrm{H}(\mathrm{p}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{x}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{u}^{*}(\mathrm{t})) \geq \mathrm{H}(\mathrm{p}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{x}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{u}^{*}(\mathrm{t})) $

がすべての $ \mathrm{u}(\mathrm{t}) \in \Omega_{\mathrm{u}}(0 \leq \mathrm{t} < \mathrm{t}_{\mathrm{f}}) $ に対して成り立つ。

以上のことから、基本問題に対する最適制御の必要条件は

$$ \begin{aligned}\mathrm{H}(\mathrm{p}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{x}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{u}^{*}(\mathrm{t}))\geqq\mathrm{H}(\mathrm{p}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{x}^{*}(\mathrm{t}),\mathrm{u}^{*}(\mathrm{t}))\\\mathrm{u}(\mathrm{t})\in\Omega_{\mathrm{u}}(0\leqq\mathrm{t}<\mathrm{t}_{\mathrm{f}})\end{aligned} $$

となるような