Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
図4-2 補正後予算歳出合計の GNP 比（ファイナル・テスト結果）

(iii) シミュレーション・モデルを構築する際に，われわれが一つの大きな目的としたものは，予算総額から「当然分」を控除した「裁量分」の動向を支配する second order rule をモデルによって明示的に表現し（第1章§1参照），かつ予算編成の意思決定に関して認められる長期的サイクル（第2章§10参照）をモデルによって再現することであった。そのためにモデル・ビルディングにあたり，サイアート・マーチのフレームに従って，いくつかの key となる概念を導入することを試みた。それらの key 概念は組織スラック，目標収支率，国債許容限度といった形で定式化されている。

したがって，モデルの全体としてのパフォーマンスを考える場合，これらの key となる概念がシミュレーションの結果いかなる推移を示しているか，また，その結果としての裁量分をどの程度説明し，かつ長期的サイクルの再現にどの程度成功しているかをみなければならない。

以下，これをファイナル・テスト結果に則してみよう。

図4－3は裁量分トータルの歳出トータルに対する比率の推移をみたものである。36, 39, 41年度が過大推定, 45年度がやや過小推定のきらいはあるが，全体としては，予算総額の限界的な部分である裁量分の推移をきわめて良好に再現している（過大推定ないし過小推定の年度はいずれも残差として決定される所得減税裁量分
図4-3 裁量分計の歳出計に締める割合の推移（ファイナル・テスト結果）

図4-4 各経費裁量分の推移（ファイナル・テスト結果）

(i) 人件費 YPED/YPE の推移

(ii) 地方交付税 YLTD/YLT の推移
(iii) 公共事業費 YIGD/YIG の推移

(iv) 物 件 費 YMED/YME の推移

(v) その他 経費 YOED/YOE の推移
(vi) 所得税减税 $ YTPD/\widetilde{YTP} $ の推移

に誤差がでる結果となっている。

図 4−5(iv)はファイナル・テストの結果ジェネレートされた余裕財源比率 YDF/Œ（当）初予算フローチャート BLOCK I によって算出されるもの）と目標収支率の推移を示している。余裕財源比率は 35, 41, 47, 51 年度に低くなる一方，目標収支率は 30 年代について前年度における余裕財源との関係で目標水準が次第

図4-5 ファイナル・テスト結果

(ii) 社会保障費 YSED/YSE の推移
(iv) 余裕时源比率 $ Y_{DF}/\widetilde{Y_{E}} $ 目標収支率 PDFS

にゆるみ，40年代については公債許容限度との関連でほぼ一3%程度に推移している。目標水準に断絶が生じているのは42年度（これは前年度から公債発行下になったため）と52年度（これは前年度から公債許容限度が30%になったため）である。以上の結果，余裕財源比率が目標収支率を下回っている年度は35，41，47，51年度となっており，この年度にスラックがしまる結果となっている（41，51年度は公債許容基準の改定も行われている）。

一定のタイムラグを持ったものとして導出されたスラックは（iii）のような形で推移している。第2章§10で描いたスラック概念図（図2－10）と比較すると，これは，ほぼわれわれが想定したサイクルを描いていることがわかる。

このスラックに規定されて長期的な循環を示すと推定されたものは社会保障費と国債の減額についてであった。ファイナル・テストの結果得られた社会保障費の裁量分の推移は（ii）に示したとおり，かなり実績の推移を追っており，かつスラックの推移に対応していることがわかる。

（i）ではファイナル・テストの結果得られた公債依存度と公債許容限度の推移および実績の公債依存度の推移が描かれている。 $ ^{注2} $ 図より明らかなように，40年代前半の国債減額がスラックのしまっている段階にほぼ対応している。また，図は公債依存度の側面からみたものであるが，これによって，第2章§10で明らかにしたような予算編成における長期的サイクルを再現することに成功している（図2－9参
照。)

以上、，われわれはファイナル・テストの結果，second order rule の定式化による裁量分の推移の説明，および予算編成の意思決定において認められる長期的サイクルの再現に成功しているわけで，モデル全体のパフォーマンスはきわめて良好であるといってよいであろう。

## § 3 代替シミュレーション

### (1) 景気中立シミュレーション (No.1)

まず，景気変動を除去したケースについて考察を行う。

前提として，物価，賃金，国民総生産および個人所得の実績ならびに伸び率見通しを一定とし，人事院勧告率，鉱工業生産指数およびIG デフレーターについても一定とし，伸び率は35～52年の平均を用いた。歳入については，当初予算での法人税，間接税を35年度から52年度まで平均的に伸ばし，補正後予算での法人税，間接税は，当初予算の一定倍とした。また，前年度剩余金受入れについても普通歳入の一定割合とした。

以上の仮定に立ってシミュレーションを行った場合の歳出合計および公債依存度の推移は図4－6と図4－7のとおりである。

このケースでは, スラック変数がベーシック・シミュレーションに比べ 46 年度まで大きく, その後小さくなるために, 社会保障費の裁量分は

図4-6 歳出合計の推移（景気中立シミュレーション(1))
図4-7 公債依存度の推移（景気中立シミュレーション(1))

46 年度まで実績およびベーシック・シミュレーションに比べ大幅に大きく，47 年度以降小さくなるために，歳出合計でみた場合には，40～47 年度が大きく，48 年度以降小さくなっている。52 年度の推計値は，表 4−3 で示すように，ほとんど全ての経費が実績およびベーシック・シミュレーションに比べ小さくなっている。

歳入についてみると，所得税減税が少ないために，所得税がやや大きくなり，同時に歳出合計が大幅に小さくなることから，52年度当初での公債発行額は極端に小さくなっている。公債は42年度から発行されており，公債依存度の推移をみると，44～46年度が実績およびベーシック・シミュレーションに比べ大きいが，その他の年は小さくなっており，44年度に建設公債限度を超えるが，47年度以降は公債発行額は建設公債限度内におさまっている。

### (2) 景気中立シミュレーション (No.2)

前提は(1)と同じにし, それぞれの伸び率を35～40年度平均, 41～52年度平均にわけたものを使ってシミュレーションを行った。

この場合の歳出計の GNP 比および公債依存度の推移は, 図 4−8 および図 4−9 のとおりである。

歳出の推移をみると，40年代に入りベーシック・シミュレーションに比べて大きくなっており，とくに42～49年度が大幅に大きくなる。その最も大きな理由は，No.1のケースとほぼ同じように，スラック変数との関連から，社会保障費裁量分が47年度まで大幅に大きく，48年度以降は逆に大幅に小さくなることである。また公共事業費裁量分が大きく，国債費も大きい。それらを除く経費は，実績およびベーシック・シミュレーションに比べ小さくなっており，表4－3で示すとおり，52年度当初予算での歳出合計は，実績およびベーシック・シミュレーションに比べやや小さくなっている。

歳入は，所得税減税が小さいために所得税が大きく，その結果52年度の公債発行額はやや小さくなっている。

公債発行は41年度補正からになっており,当初でみると42年度当初から本格的に発行され,44年度には歳出が大きいことから,建設公債限度を超えて赤字公債発行に至っている。その後公債依存度はゆるやかに上昇していく形となっており,51,52年度には,社会保障費が大幅に小さくなることおよび所得税減税が小さいことから公債依存度は,実績およびベーシック・シミュレーションに比べ低くなっている。

## (3) インフレ除去シミュレーション

つぎに, 48, 49 年のインフレーションがなかったケースを想定してシミュレーションを行った。

前提は，景気中立シミュレーションと同じであるが，平均値は41～47年の平均を使い，シミュレーションの開始は，誤差が累積するのを避
図4-8 歳出合計の推移（景気中立シミュレーション(2))

図4-9 公債依存度の推移（景気中立シミュレーション(2))
けるために 45 年度からとした。

歳入については，法人税，間接税の伸びを41～47年度平均値で延ばしたため大幅に小さくなっており，所得税も個人所得の伸びが低いため大幅に小さく，普通歳入は，表4－3のとおり52年度で実績に比べ4兆2千億円，ベーシック・シミュレーションに比べ3兆6千億円小さくなっている。

歳出合計は図4－10のとおり全ての年度で小さくなっている。各経費の推移をみると，公共事業費が49,50年のインフレ抑制のための裁量減がないためやや大きくなっているが，それ以外の経費は全て実績およびベーシック・シミュレーションに比べ小さくなっている。52年度では実績に比べ4兆8千億円，ベーシック・シミュレーションに比べ4兆1千億円小さくなっており，その結果公債発行額は小さくなっている。

公債依存度の推移は図4－11のとおりであり,47および50年度に実績に比べ低くなっている他は，全て高いが，実数でみた場合には45,46,50年度が大きくその他の年度は小さくなっている。

## (4) インフレーター一定ケース

次に，当然分の算出に用いたすべてのインフレーター等を一定と仮定したシミュレーションを行う。具体的には，賃金，消費者物価，国民

図4-10 歳出合計の推移（インフレ除去シミュレーション）
図4-11 公債依存度の推移（インフレ除去シミュレーション）

図4-12 歳出合計の推移（インフレーター一定シミュレーション）
総生産，個人所得の伸び率および伸び率見込みを一定とし，さらに人事院勧告率，IG デフレーター，鉱工業生産指数伸び率，就業者伸び率および65 オ以上人口伸び率を一定とする（ここでは35～52年度の平均値またはその間の平均伸び率を使っている）。

このシミュレーションを行う目的は，当然分の算出においてインフレーター等を明示的にとり入れることがモデルの説明力をどの程度向上させるかをテストすることにある。クリサイン等のモデルでは，自己回帰的決定式において年度ごとのインフレーターの変動の影響は考えられていないが，これは対象期間におけるインフレーターが比較的安定的な推移を示していたためと考えられる。しかし，わが国の場合は，昭和40年代後半のインフレーションの他にも，インフレーター等は景気動向等によってかなり変動している。したがって，それを一定と与えた場合には，モデルの説明力はかなり低下するものと予想される。

結果を蔵出合計および公債依存度の推移で示すと，図4-12および図4-13のとおりである。

ベーシック・シミュレーションに比べ，歳出合計は，39～47年度が大きく，それ以外の年は小さくなっている。これは主として社会保障費の推移に起因している。つまり，社会保障費の裁量分に影響を与えるスラック変数の値がベーシック・シミュレーションに比し，41年度までは大きく，42年度以降は小さくなるがインフレーターを一定としたため，当然分がかなり大きくなることによる。48年度以降は社会保障費，人件費等が小さく，公共事業費が大きくなるが，全期間を通じて物件費，その他経費が大幅に小さくなっているために，全体でも下回っている。

公債発行の推移をみると，公債が発行されるのは39年度補正からであり，当初予算では40年度から発行され，41年度には建設公債限度を超えることとなる。その後，スラック変数の値が低下するため国債減額が行われ，43年度に建設公債限度内の発行に戻り，その後47年度に赤字公債発行，48～50年度建設公債限度内発行，51年度赤字公債発行，52年度建設公債限度内発行と不規則な動きをとることとなる。なお，依存度でみれば，歳出の動きに準じて39～47年度では大きく，48年度以降は小さくなっている。

以上のことから，インフレーター等の年度ごとの変動を明示的にとりれることがモデルの説明力をかなり向上させていることがわかる。

## (5) スラック一定モデル

基本モデルでは，予算編成における政府（財政当局）の主観的余裕度を示す変数として組織スラック（SLK）なるものを設定し，これが国債の減額および社会保障費の裁量分決定に影響するように定式化されている。このようなスラック変数を導入することによりモデルのパフォー

図4-13 公債依存度の推移（インフレーター一定シミュレーション）
表 4-3 代替シミュレーション結果（52 年度当初予算）

(单位：億円)

景気中立シミュレーション(No.1)推定値	景気中立シミュレーション(No.2)推定値	インフレータ—定シミュレーション推定値	インフレ除去シミュレーション推定値	実績	ベーシック・シミュレーション(35年度スタート)推定値	ベーシック・シミュレーション(45年度スタート)推定値
社会保障費	49,084	57,558	57,066	49,773	68,539	75,298	72,817
公共事業費	35,417	74,241	51,651	47,522	42,810	43,581	39,051
人件費	40,069	39,847	40,069	33,147	41,556	40,711	42,205
地方交付税交付金	37,530	42,501	42,072	39,912	49,326	45,311	44,279
国债費	12,650	29,877	18,511	21,981	23,487	25,741	23,493
物件費	7,038	6,887	9,101	10,205	15,984	9,670	12,766
その他経費	27,262	22,736	32,787	30,864	40,575	43,298	39,102
予備費	3,239	4,240	3,777	3,363	2,866	4,254	4,106
歳出計	212,290	277,887	255,034	236,767	285,143	287,864	277,818
所得稅	81,004	87,412	85,627	61,736	77,140	80,586	70,500
法人税	58,130	58,130	58,130	46,494	58,130	58,130	58,130
間接税	61,373	61,373	61,373	49,201	61,373	61,373	61,373
普通歳入	200,507	206,915	205,130	157,431	199,644	200,089	193,043
公債金収入	9,345	70,892	49,325	78,885	84,800	87,076	84,076

マンスがどの程度改善されているかをみるために，モデル全体の構造はそのままにしてスラック変数だけを一定値に固定してシミュレーションを行った。その際，スラック変数の値としては，基本モデルによるファイナル・テストの結果得られたスラックの系列の平均値をとることとした。

ファイナル・テストの結果を得られた歳出トータルの対 GNP 比の推移をみると（図 4−14），40 年代について，基本モデルに比べパフォーマ

図4-14 歳出合計の GNP 比（スラック一定モデル）
図4-15 公債依存度の推移（スラック一定モデル）

ンスがおちており, 特に40年代中頃における過大推定が顕著になっている。公債依存度についてみても（図4－15），40年代中頃における依存度が過大推定になっている。(注1) これは，スラックを一定にすることにより（i）国債の減額が説明できなくなったこと，（ii）その結果として国債の減額とリンクして行われる地方交付税の裁量減がなくなったこと，（iii）スラックを一定にしたことにより社会保障費の裁量分のサイクルが説明できなくなり，社会保障費が全体的にやや過大推定になったこと，（iv）その結果，残差として決定される所得税減税があまり行われず，歳入が過大になっていること等の理由によると思われる。

以上の結果から，スラック変数を導入することによりモデルのパフォーマンスはかなり向上しているということができる。

## (6) 一律配分モデル

基本モデルでは，各経費の裁量分の動向を支配するルールを明示的に表現するため，裁量分の決定についてかなり複雑な定式化を行っている。しかし，この裁量分は何れも額的には予算全体の数%程度であり，この部分については何らかの形で余裕財源を各経費に一律に配分するという簡単な定式化も可能である。(注2)そのためここでは次のような形で代替的なシミュレーションを行ってみた。すなわち，基本的には，歳入見積りから各経費の当然分（公共事業費の景気調整を含む）を控除した後の余裕財源は，各経費当然分の当然分トータルに対する構成比によって機械的に配分される（余裕財源がマイナスの場合には，この構成比にしたがって機械的に各経費の削減が行われる）。ただし，われわれが歳出の一項目として扱った国債の減額についてはこのような定式化が困難であるため，余裕財源がプラスの場合について，各経費に対する配分が行われる前に，公債依存度が2%(注3)下がるよう減額を行うという方式をとった。この結果モデルは図4－16に示すようにきわめて簡単な構造となる。(注4)
図4-16 一律配分モデルの構造

テストの結果得られた歳出トータルの対 GN P 比の推移をみると（図 4−17），基本モデルに

比べ全体的に過大推定が顕著となっているが，これは30年代後半における人件費，地方交付税の裁量分の過大推定，およびその結果残差として決定される所得税の減税の過小推定が大きな原因になっていると考えられる（基本モデルでは30年代後半における人件費，地方交付税の裁量分についてはゼロとしていた）。これは，各経費の裁量分は単年度でみれば予算全体の数%程度でしかないが，増分主義を基幹的ルールとしている予算編成では，その後年度に与える影響は無視できないものがあることを間接的に示しているということができる。

公債依存度の推移をみると（図4－18），全体的に過小になっていることがわかる。これは30年代後半における公共事業費の裁量増が一律配分ではだせないため，公共事業費が全体として過小になり，その結果建設公債限度がかなり低くなったためである。ただし，均衡財政→建設公債原則→建設公債原則の破綻というサイクルは基本モデルと同様に生じている。

図4-17 歳出合計の GNP 比（一律配分モデル）
## 2 章 最適制御の理論

この章では、制御理論一般について概説するとともに、最適制御理論において用いられる基本的な概念を解説し、最適制御理論の主な成果を紹介する。さらに、複数のサブシステムからなる大規模システムの最適制御問題を扱う階層制御理論の考え方も解説する。

### 2.1 制御理論とは

#### 2.1.1 制御の考え方

ある対象を制御するということは、所定の目的に適合するようにその対象に操作を加えることである。したがって、対象の構造そのものを変化させてしまうような操作は制御理論では扱わない。一般に制御の対象（制御対象controlled object）となるのは入-出力システムであり、制御理論でいう操作とはこの入-出力システムに対する入力の操作を意味する。そして、目的に合うように対象に操作を加える仕組を制御系と呼ぶ。

一般に、制御理論で扱う制御対象や制御系全体のシステムは動的な入－出力システムであり、入力や出力は明示的に時間の関数として表現される。したがって、制御理論における制御の目的もシステムの動的な特性、すなわち時間とともに変化するシステムの挙動に関して設定される。つまり制御理論とは、

1）与えられた動的システムの特性を解析すること

2）システムが目的通りの挙動をするように制御系を設計すること

を目標とする理論である。また設計されるべき制御系も動的なシステムであるときは、制御対象や制御系といった区別をせずに、制御理論を動的なシステムの特性に関する一般的な理論であるとみなして、システム理論と呼ぶこともある。

通常、システムの動的な特性は時間を独立変数とする微分方程式で記述され、実際の挙動はこの微分方程式の解で与えられるので、システムの特性を解析するということは微分方程式（系）の解の性質を調べることに他ならない。そうすると、制御系の設計とは目的の挙動、すなわち所望の解が得られるようなシステムを、設計条件という制約のもとに構成することである。

ある動的な制御対象の入力を操作して、制御系に目的通りの挙動を行わせるためには、2つの基本的に異なる入力方式がある。まず第1に、開ループ制御（open-loop control）と呼ばれる方式は、事前に目的通りの挙動を行わせるための入力を算出しておき、時刻の進行にしたがってこれを制御対象に入力して行くというものである。これに対して、第2の閉ループ制御（closed-loop control）あるいはフィードバック制御（feedback control）と呼ばれる方式では、制御対象への入力は制御対象の各時刻での出力および状態変数と呼ばれる変数によって記述される内部状態と、制御系の外部から与えられる目標値と呼ばれる基準入力の関数（制御規則 control rule）として決定される。そして、このような制御系を閉ループ系または制御則とよぶ。また、閉ループ制御では、制御規則を実現し制御対象への入力を決定する部分を1つの動的なシステムと考え、これを制御装置（調節計 controller）とよぶこともある。いずれの手法においても、制御対象の特性が特に悪い場合には、補償要素（compensating element）とよばれる特別な動的システムを組み込んで、制御系を設計することもある。

開ループ制御では、事前にすべての入力の時系列（時間の関数）が与えられ、また制御対象の状態を観測する必要がないというメリットが
Fig.2.1 開ループ系と閉ループ系

開ループ制御系

閉ループ制御系

あるものの、実際の制御においては、制御対象のあらゆる初期状態に対して入力の時系列を求めておかねばならないという問題がある。さらにこの手法のもっとも大きな問題点は、制御対象の出力に影響を及ぼし、しかも人為的に操作できないような付随的な入力（外乱 disturbance）が存在するときには、事前にこれを予測して入力を決定することができないという点である。すなわち、外乱がないものとして決定した入力を制御対象に加えている途中で、制御対象に外乱が加わると、目的としていた挙動とはまったく異なる挙動を示す可能性がある。

これに対して後者の閉ループ制御では、制御対象に外乱が加わっても、入力はその時点での制御対象の出力や内部状態に基づいて目的に合うように決定されるので、閉ループ制御は外乱の影響を受けにくい制御方式といえる。しかし、不用意に閉ループ系を構成すると、制御系全体の挙動に不安定性が生じることがある。もともと、制御理論はこのような閉ループ制御系の安定性に関する理論として出発したものであり、現在の制御理論も、閉ループ制御系の特性に関する議論が中心となっている。特に、外乱の存在する状況下で目標として与えられた一定（定常）の基準入力と制御対象の出力をできるだけ一致させるように制御を行う定值制御系（レギュレータ regulator）や、外乱があまりない状況で基準入力の変化に対して制御対象の出力をできるだけ忠実に追従させるような追従制御系（サーボ系 servo system）は、古典制御理論、現代制御理論を問わず重要な問題として議論されてきた。

一方、このように制御系の安定性や応答の速さ、目標値からのずれ（偏差）など、「閉ループ系の応答特性を制御の目的とする」ような設計思想に基づいた制御理論に対して、異なる設計思想に基づく制御理論もある。その代表的なものが最適制御（optimal control）という考え方である。そこで次に最適制御について説明する。

制御対象として多变数系や非線形系を扱うようになると、必ずしも安定性や応答の速さなど、制御系の応答特性という形で制御の目的が設定できないことがある。そのような場合には、制御系の挙動そのものの悪さ（あるいは良さ）に対するなんらかの目的関数を設定し、それを最適化（すなわち、最小化または最大化）するような入力によって制御を行うことが考えられる。これが、最適制御における設計思想である。このような場合、目的関数を決めて最適化を行えば、制御系の特性がどうであろうとも求められ
た最適入力による制御が良い制御ということになる。したがって、最適制御において制御の良否を決めるもっとも重要な要因は、目的関数をどのように設定するかということである。

最適制御においても、最適な入力を事前に時系列として求めた上でそれを制御対象に加える開ループ制御方式と、目的関数を最適化するような制御規則を求める閉ループ制御が考えられる。最適制御の場合も外乱の影響を受けにくく、制御対象のあらゆる初期状態に対応できる閉ループ制御の方が、開ループ制御よりも実用的な制御方式である。

またこれらの制御以外に、多变数系の制御における設計思想としては、閉ループ制御や補償要素を利用することによって、相互干涉の存在する多数の入－出力関係を、それぞれが単純で制御し易い1入力1出力のスカラシステムの集まりに変換（非干涉化）して扱おうとするものもある。このような制御は非干涉化制御（decoupling control）として研究されている。

以上のように、制御理論は制御対象や制御系の特性の解析とその設計のための理論である。このような議論が行えるためには、まず対象となるシステムが解析できるような形式で与えられていなければならない。しかし、制御対象のほとんどは、未知パラメータを含まない微分方程式のように明確に与えられるものではなくて、外乱（雑音）などによる誤差を含んだ入力データとして与えられる。したがって、解析や設計を行う以前に、制御対象のモデルの構造を決定したりモデル内の未知パラメータを同定しなければならない。これを制御対象の同定問題（identification problem）という。

また、閉ループ制御においては、制御対象の出力や内部状態に基づいて制御規則が決定される(状態フィードバック state feedback)が、実際の制御系では内部状態が直接に観測できるとは限らない。そこで、観測可能な入力や出力から内部状態を推定しなければならない。これを制御対象の状態推定問題（state estimation problem）という。制御理論では、一般にこのような推定を行うためのシステムを状態観測器（オブザーバ state observer）とよび、特に対象となるシステムが確率的な外乱の影響を受ける確率システムとしてモデル化されている場合の状態観測器をフィルタ（filter）という。

制御系の解析や設計は、このような同定、推定結果に基づいて行われるので、制御そのものの理論と同定、推定の理論は切り離すことができない。つまり、広い意味での制御理論はシステムの同定、推定の理論を含んでいる。

この他にも制御理論では、サンプリングによって離散化されたシステムの制御を扱うサンプル値制御（sampled-data control）や、制御対象の特性に関する情報が不十分であったり特性が変動してしまうような場合に、制御装置を自動的に調節して常に最良の制御性能を保持するような適応制御（adaptive control）などに関する議論も展開されている。

#### 2.1.2 システムの表現と特性

システムの特性を解析するためには、システムが解析できるような形式でモデル化されていなければならない。いわゆる古典制御理論（フィードバック制御理論）では、システムの入力と出力の関係だけに着目して、そのようなモデルの具体的な形としては線形定係数の微分方程式を採用している。この微分方程式をラプラス変換によって複素領域の代数方程式に変換することによって、システムは伝達関数という形式で表現される。伝達関数は、システムの入力と出力の関係を直接に表現しているので、システムの外部記述ともよばれる。古典制御理論では、この伝達関数表現によってシステムの特性が解析され、それに基づいて制御系が設計されている。

多くの実用的なシステムがこのようなモデル化によって解析、設計できるので、現在でも制御の技術としては古典制御理論が重要な位置を占めている。しかし、このようなモデル化には、
線形定係数近似ができ、しかも1入力1出力をもつスカラーシステムにしか適用できないという大きな制約があるために、より広い適用範囲をもつモデルとその解析のための理論が発展してきた。これが現代制御理論である。

現代制御理論では、状態空間という概念を導入して、システムの入力と内部状態の間の動的な関係を表す状態方程式と、内部状態と出力の間の動的な関係を表す観測方程式を用いて、システムを表現する。これをシステムの状態変数表示という。伝達関数によるシステムの表現が外部記述とよばれるのに対して、このような状態変数表示によるシステムの表現を内部記述ともいう。状態方程式は多くの動的なシステムを表現しうる汎用的なモデルであるので、現代制御理論において、はじめて多入力多出力システムや非線形システムなどの一般的なシステムに関する議論が展開できるようになった。しかし、数学的には線形の場合が扱いやすいことや、多くの工学的システムが実用的な範囲内で線形システムとして扱えることなどから、現代制御理論においても、線形システムに関する理論の発展が主である。

Fig.2.2 システムの内部記述と外部記述の例

一般に、m 個の独立な入力と p 個の出力をもつ線形システムは、

$$ \begin{aligned}&\text{Ⅰ }x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t): 状態方程式 \\&y(t)=C(t)x(t): 観測方程式 \end{aligned} $$

によって表現される。ここで $ u(t) \in R^{m} $ を入力変数、 $ y(t) \in R^{p} $ を出力変数と呼び、 $ x(t) \in R^{n} $ を状態変数とよぶ。また A(t)、B(t)、C(t) は、大きさがそれぞれ $ n \times n $ 、 $ n \times m $ 、 $ p \times n $ であるような時間の関数の行列である。

このように、各変数の係数行列を時間の関数として与えるのが線形システムのもっとも一般的な状態変数表示であり、これらの行列はシステムの構造を表すものである。しかし通常、工学的な制御の対象となるほとんどの物理システムでは構造が変化しない。そこで、係数行列が明示的に時間の関数であるシステムを線形時変（パラメータ）システムとよぶのに対して、係数行列が時間的に変化しない線形システムを

$$ \begin{aligned}&\mathbf{x}(\mathbf{t})=\mathbf{A}\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathbf{B}\mathbf{u}(\mathbf{t})\\&\mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathbf{C}\mathbf{x}(\mathbf{t})\\ \end{aligned} $$

と表示して、線形時不变（パラメータ）システム（線形定係数システム）とよぶ。線形定係数システムは、もっとも扱いやすいシステムであること、さらにこのシステムに関する制御の理論は係数行列が既知であるような線形時変システムにもほとんどそのまま適用できることから、現代制御理論の基礎となっている。

線形定係数システムでは、その内部記述と外部記述はラプラス変換によって直接に関係付けられる。実際、システムの状態方程式および観測方程式をラプラス変換して状態変数を消去すれば、
$$ \mathbf{Y}(\mathrm{s})=\mathbf{C}(\mathrm{s}\mathbf{I}\cdot\mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}_{0}+\mathbf{C}(\mathrm{s}\mathbf{I}\cdot\mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(\mathrm{s}) $$

ただし Y(s)、U(s)はそれぞれ y(t)、u(t)のラプラス変換、x₀は x(t)の初期条件

という関係が得られる。ここで上式において初期条件を x₀=0 とおいた

$$ \mathbf{Y}(\mathrm{s})=\mathbf{C}(\mathrm{s}\mathbf{I}\cdot\mathbf{A})^{\cdot1}\mathbf{B}\mathbf{U}(\mathrm{s}) $$

という関係における行列 C (sI - A)⁻¹B は、このシステムの入 - 出力の動的な挙動を明示的に表現しているので、このシステムの外部記述（伝達関数行列）である。もちろん、制御理論にとって重要であるシステムの安定性や応答の速さといった特性もこの行列に依存している。特にこのシステムの挙動がどのような初期値に対しても安定的であるためには、det(sI - A)=0、すなわちこのシステムの特性多項式=0 の解つまり特性方程式の根（伝達関数の極）がすべて負の実数部をもたなければならない。このように、複素平面における特性方程式の根の配置は、システムの制御において重要な役割をもつ。

さて、システムの内部記述（すなわち状態変数表示）においては、状態変数はシステムの物理的な状態を特徴付けるように選ぶのが一般的である。しかし入－出力関係だけに着目すれば、同一の関係を表すような状態変数の選び方は無数に存在する。これは逆に考えれば、異なる状態変数表示すなわち異なるシステムであっても、同一の入－出力関係をもつものが無数に存在することを意味している。そこで、制御理論においては、異なるシステムの間に等価性という概念を定義して、同一の入－出力関係をもつシステムを分類している。

[定義] システムの等価性

2つのシステム

$$ \begin{aligned}&\bullet\\&\mathbf{x}(\mathbf{t})=\mathbf{A}\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathbf{B}\mathbf{u}(\mathbf{t})\\&\mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathbf{C}\mathbf{x}(\mathbf{t})\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&\dot{\mathbf{x}}^{\prime}(\mathbf{t})=\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{x}^{\prime}(\mathbf{t})+\mathbf{B}^{\prime}\mathbf{u}(\mathbf{t})\\&\mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathbf{C}^{\prime}\mathbf{x}^{\prime}(\mathbf{t})\\ \end{aligned} $$

は、ある正則行列 Q が存在して

$$ \begin{aligned}&\mathbf{x}^{\prime}(\mathbf{t})=Q\mathbf{x}(\mathbf{t})\\&\mathbf{A}^{\prime}=Q\mathbf{A}\mathbf{Q}^{\cdot1}\\&\mathbf{B}^{\prime}=Q\mathbf{B}\\&\mathbf{C}^{\prime}=C\mathbf{Q}^{\cdot1}\\ \end{aligned} $$

なる関係が存在するとき、等価なシステム（equivalent system）であるという。

このとき、行列 Q は方程式に現れる変数に関する座標変換を定めるものであり、あるシステムを等価なシステムに変換するための変換行列と呼ばれる。この等価変換によってシステムの入 - 出力関係は保存されるので、等価なシステムの伝達関数行列は等しくなることが容易に証明される。

ところで、システムを状態変数表示を用いてモデル化すれば、システムの動的な特性を、入 - 出力関係だけではなくて、内部状態の変化を規定する構造にも立ち入ってより詳細に議論することが可能になる。このようなシステムの構造に関する性質のうちもっとも重要なものが、可制御性と可観測性である。そして、この可制御性と可観測性は現代制御理論のもっとも重要な概念である。

システムの可制御性とは、システムの入力と内部状態の間の関係に関する性質であり、状態方程式だけによって決まる性質である。すなわち

[定義] システムの可制御性 (controlability)

システムの状態方程式において、任意の初期条件 $ x(t_{0})=x_{0} $ 、および任意の終端条件 $ x(t_{f})=x_{f} $ を満たすような入力の時系列 $ u(t), t_{0} \leq t < t_{f} $
tf が存在するとき、このシステムは可制御であるという。

一方、可観測性はシステムの内部状態と出力の間の関係に関する性質であって、出力の観測値から内部状態を決定できるかという問題に関わっている。

[定義] システムの可観測性 (observability)

状態変数表示されたシステムにおいて、 $ t_{0} \leq t \leq t_{1} $ なる時間区間での入力 u(t) と出力 y(t) を観測することによって、システムのすべての内部状態 x(t) が決定できるとき、このシステムは可観測であるという。

可制御や可観測という性質は、そのシステムのメカニズムの特徴を表すものであり、制御理論において、特に次節に述べる状態フィードバックによる閉ループ制御系の構成に関する理論において、重要な役割を果たす。そこでは、

『可制御なシステムに状態フィードバックを施した閉ループシステムの特性方程式の根は任意に配置できる』

という性質や、

『可観測なシステムでは状態フィードバックを施すための状態推定を行う観測器を構成できる』

という性質を説明したうえで、希望通りの根の配置をもつようなフィードバック制御系を構成できることを示す。

一般に、あるシステムの外部記述が与えられたとき、そのシステムを内部記述によって表現する問題を実現問題（realization problem）とよぶ。そして上記のような理由から、システムは（可能な限り）可制御かつ可観測な内部記述によって表現するのが望ましい。

#### 2.1.3 状態フィードバック

線形定係数システム

$$ \begin{aligned}&\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=A\mathbf{x}(\mathbf{t})+B\mathbf{u}(\mathbf{t})\\&\mathbf{y}(\mathbf{t})=C\mathbf{x}(\mathbf{t})\\ \end{aligned} $$

において、状態フィードバックを施すということは、システムの入力 u(t) を

$$ \mathbf{u}(\mathbf{t}){=}\boldsymbol{\varphi}\mathbf{\Omega}(\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{r}(\mathbf{t})\mathbf{\Omega}) $$

のように状態変数の関数として与えることである。ここで r(t) は基準入力とよばれ、このシステムの出力 y(t) に関して事前に設定された目標である。入力をこのようなフィードバック形式で与えることは、システムに外乱が加わるような場合に大きな力を発揮する。

たとえば、特定の初期状態から制御を開始して、出力をある一定の値になるように制御したい場合、その入力を開ループ制御の形式で与えると、システムに外乱が加わって状態が変化しても、もとの状態のときの入力を加え続けるために、出力が目標の値にならないことがある。これに対して、入力をフィードバック形式で与えておけば、外乱が加わってもそのときの状態に対応して適切に変更された入力が行われるので、目標の出力を維持することができる。さらに、古典制御理論においては、一般にスカラーシステムに対して出力のみを用いたフィードバックを考えて閉ループ制御を行う。これに対して状態変数表示による状態フィードバックは、内部状態というより多くの情報を用いて閉ループ制御を行うので、制御系の設計においてより詳細な議論ができることになる。

一般に、状態変数の値から入力を決定するような関数のことを制御規則と呼ぶ。この制御規則の関数形は必ずしも線形でなくともよい。しかし、一般に線形システムの制御には

$$ \mathbf{u}(\mathbf{t})=\mathbf{F}\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathbf{G}\mathbf{r}(\mathbf{t}) $$

という形の線形状態フィードバックを用いる。

システムの制御系設計において状態フィードバックを用いることのもっとも大きな利点は、制御系の安定化ないしは特性方程式の根を任意に配置できることであろう。先に述べたように、システムの特性はその特性方程式の根の配置に大きく左右される。そこで、特性方程式の根が
希望通りの配置となるような制御系を構成することが、制御系の設計においてもっとも重要である。すなわち、制御系の特性多項式が任意の多項式となるような状態フィードバックが構成できるか否かが問題となる。このとき、次の定理が任意に根を配置できるための必要十分条件を与える。

Fig.2.3 状態フィードバック系

$$ \begin{aligned}&\left[ 定理 \right] あるシステム \\&\quad\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=\mathrm{A}\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathbf{Bu}(\mathbf{t})\\&\quad\mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathbf{C}\mathbf{x}(\mathbf{t})\end{aligned} $$

に、状態フィードバック

$$ \mathbf{u}(\mathbf{t})=\mathbf{F}\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathbf{G}\mathbf{r}(\mathbf{t}) $$

$$ \begin{aligned} を施すことによって、閉ループ系 \\\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=&(\mathrm{A}+\mathrm{BF})\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathrm{BGr}(\mathbf{t})\\\mathbf{y}(\mathbf{t})=&\mathrm{Cx}(\mathbf{t})\end{aligned} $$

の特性多項式を、任意の多項式と一致させることができるような F（フィードバックゲイン）が存在するための必要十分条件は、もとのシステムが可制御であることである。

この定理から、状態フィードバックを用いた制御系の構成においては、制御対象となるシステムの可制御性という性質が重要であることがわかる。

与えられた可制御な制御対象に対して、閉ループ系によって希望通りの根配置を与えるような状態フィードバックすなわち制御規則を具体的に構成するためには、事前に制御対象のシステムに等価な変換を施して、可制御正準形（controllable canonical form）とよばれる等価なシステムに変換しておくと、計算するうえで有効である。

ところで、状態フィードバックによる制御系を具体的に構成するには、状態変数が観測されていなければならない。しかし、一般に状態変数は直接観測できるとは限らない。そこで、観測可能なシステムの入力と出力から状態変数（つまりシステムの内部状態）を推定する必要が生じる。このように、システムの入力と出力から、状態変数の推定値を得るシステムのことを観測器（オブザーバ）とよび、特に推定値と真の内部状態の差として定義される状態推定誤差が、時刻の進展とともに指数関数的に0に収束するような観測器を指数関数オブザーバと呼ぶ。ある意味で指数関数オブザーバは安定的なシステムといえる。一般に制御系の設計においてはこのような性質をもつ観測器を構成することが望ましい。

観測器も一つの動的システムである。そのうち特に観測器の状態変数の次元が制御対象システムの状態変数の次元と等しいものを、完全次元オブザーバ(full order observer)という。

$$ \begin{aligned} システム \\\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=&\mathbf{A}\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathbf{B}\mathbf{u}(\mathbf{t})\\\mathbf{y}(\mathbf{t})=&\mathbf{C}\mathbf{x}(\mathbf{t})\end{aligned} $$
の完全次元オブザーバの状態変数表示は

$$ \dot{z}(t)=Az(t)+Bu(t)+K(Cz(t)-y(t)) $$

態変数 x(t) の推定値である。

で与えられる。ただし $ z(t) $ は上のシステムの状完全次元オブザーバの構成に関しては、次の定理が成り立つことがわかっている。

Fig.2.4 完全次元オブザーバ

[定理] システム

$ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) $

$ y(t)=Cx(t) $

の完全次元オブザーバ

の特性多項式を、任意の多項式と一致させることができるような K が存在するための必要十分条件は、このシステムが可観測であることである。このとき、この完全次元オブザーバとしては指数関数オブザーバを取ることができる。

$$ \dot{\mathbf{z}}(\mathbf{t})=\mathbf{A}\mathbf{z}(\mathbf{t})+\mathbf{B}\mathbf{u}(\mathbf{t})+\mathbf{K}(\mathbf{C}\mathbf{z}(\mathbf{t})-\mathbf{y}(\mathbf{t})) $$

Fig.2.5 オブザーバを用いた状態フィードバック系

この定理によって、システムのオブザーバを構成するには可観測性が重要な条件であること
がわかる。

実際には、システムの状態変数の中にはすでに出力 y(t) に変換されている間接的に観測可能なものも存在するので、観測器の次元は制御対象システムの次元よりも小さくすることが可能である。そのうちもっとも次元の小さい観測器を最小次元オブザーバ（minimum order observer）と呼んで、観測器としてはこの最小次元オブザーバを構成することの方が多い。また、具体的に観測器の特性多項式を希望通りの多項式と一致させるには、事前に制御対象システムを可観測正準形（observable canonical form）とよばれる等価なシステムに変換しておくと便利である。

一般に、完全次元オブザーバや最小次元オブザーバなどの線形な観測器を用いた線形状態フィードバック制御系では、制御系の伝達関数行列は、真の状態変数を用いた状態フィードバック制御系の伝達関数行列と等しくなるので、可制御な線形システムに線形オブザーバを用いて状態フィードバックを施した制御系の特性多項式は、任意の多項式と一致させることができる。

#### 2.1.4 確率線形システム

2.1.2 や 2.1.3 での議論は、主にシステムの入力、内部状態、出力の関係に関するものであり、外乱という不規則な挙動を示す変数は暗に考慮されているに過ぎない。つまり、入力や内部状態、出力は確定的な値をとるものとして扱われている。このようなシステムを確定システムという。しかし、現実のシステムでは外乱や入力信号そのものに内在する不規則性のために、システムの内部状態の変化に攪乱が起きる。確率システムの理論は、入力自身の不規則性、システムの外乱、出力の観測誤差、内部状態の変化における攪乱を確率変数とみなすことによって、これらの不規則性を明示的に取り扱う理論である。そして、このように入力や内部状態、出力が確率変数として扱われるシステムを確率システムとよぶ。

確率システムもシステムの構造自体は確定システムであって、確率システムの制御理論の基本的な展開は、確定システムの制御理論と同じである。しかし、確率システムでは各変数が確率的に変動をするため、変数の値そのものが意味をもたなくなる。確率システム理論のもっとも大きな特徴は、各変数を値そのものではなくて、その期待値や分散などの確率的な量によって表現し、これを評価することである。ここでは、システムの構造が線形であるような、確率線形システムの制御理論についてその主な成果を述べる。

次のような確定線形システムを考える。

$$ \begin{aligned}&\bullet\\&\mathbf{x}(\mathbf{t})=\mathbf{A}(\mathbf{t})\mathbf{x}(\mathbf{t})+\mathbf{B}(\mathbf{t})\mathbf{w}(\mathbf{t})\\&\mathbf{y}(\mathbf{t})=\mathbf{C}(\mathbf{t})\mathbf{x}(\mathbf{t})\\&\mathbf{x}(\mathbf{t}_{0})=\mathbf{x}_{0}\end{aligned} $$

ここで $ w(t) \in R^{m} $ 、 $ x(t) \in R^{n} $ 、 $ y(t) \in R^{p} $ とし、A(t)、B(t)、C(t)を、それぞれ $ n \times n $ 、 $ n \times m $ 、 $ p \times n $ の大きさをもち t に関して連続な関数の行列とする。

このシステムに対する入力 w(t) が確率変数であるとき、状態変数 x(t) と出力 y(t) も確率変数となり、このシステムは確率線形システムとなる。

ここで、ある時刻 t における w(t) の期待値を

$$ \int\mathrm{~w}(\mathbf{t})\mathbf{p}(\mathrm{w}(\mathbf{t}))\mathrm{d}\mathbf{w}(\mathbf{t})=\mathrm{E}\left\{\mathrm{w}(\mathbf{t})\right\}=\mathrm{m}_{\mathrm{w}}(\mathbf{t}) $$

(ただし p(w(t)) は w(t) の確率密度関数)

とすると、状態変数 x(t) の期待値 E {x(t)} = m_{x}(t) と出力 y(t) の期待値 E {y(t)} = m_{y}(t) は

$$ \begin{aligned}\bullet_{\begin{array}{l}\mathbf{m}_{\mathrm{x}}(\mathbf{t})=\mathbf{A}(\mathbf{t})\mathbf{m}_{\mathrm{x}}(\mathbf{t})+\mathbf{B}(\mathbf{t})\mathbf{m}_{\mathrm{w}}(\mathbf{t})\\\mathbf{m}_{\mathrm{y}}(\mathbf{t})=\mathbf{C}(\mathbf{t})\mathbf{m}_{\mathrm{x}}(\mathbf{t})\end{array}}\end{aligned} $$

によって決定されることが簡単に示せる。これ
て得られる。

#### 2.1.5 離散時間システム

本節で述べてきた線形システムの制御理論は、システムを連続的な時間のシステム（連続時間システム continuous time system）として扱ってきたが、そのほとんどの成果は離散的な時間のシステム（離散時間システム descrete time system）の制御にも適用できる。

一般に、制御理論において離散時間システムを扱う場合、これをディジタル制御という。ディジタル制御においては、対象となる離散時間システムのとらえ方が2通りある。第1のとらえ方は、離散時間システムを連続時間システムの情報が離散的にサンプリングされた結果であると解釈することである。この場合には、もとの連続時間システムとサンプリングによって構成された離散時間システムとの関係がもっとも重要な問題になる。すなわち、離散時間システムはサンプル値というもとのシステムの情報の1部分を記述するモデルであって、このモデルによってもとの連続時間システムを制御しなければならないときに生じる問題である。この問題について議論し制御を考える理論を、特にサンプル値制御とよんでいる。

これに対して第2のとらえ方は、状態が離散時間毎にしか変わらない、あるいはそう考えてかまわないようなシステムとして離散時間システムを解釈することである。このような場合には、連続時間システムとの関係は問題とならないので、いままで扱ってきた連続時間システムに関する議論を、システムの状態変数表示の形式を離数時間型に換えるだけで適用することができる。

離散時間の線形システムの状態変数表示は、一般に

$$ \begin{aligned}&x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\&y(t)=C(t)x(t)\\&(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T\cdot1)\\&x(0)=x_{0}\end{aligned} $$

で与えられる。

一般に、連続時間システムは解析的な取り扱いには便利であるが、具体的なシステムの制御の場面では、実際には離散化して数値計算を行うことがほとんどである。そしてこの場合には、陰に陽に離散時間システムが登場する。そこで、次節以降では実際の計算方法などをわかりやすくする意味も含めて、連続時間システムと離散時間システムの両者を用いて解説する。また、サンプル値制御の理論そのものについては、本研究の流れと異なると思われるので、省略する。

### 2.2 最適制御理論

#### 2.2.1 最適制御問題の定式化

これまでに述べてきたように、線形システムの安定性や応答の速さなどの特性はシステムの特性方程式の根の配置によって決まる。したがって制御系の設計も、根を希望通りの位置に配置する（あるいは、より直接的には希望通りの伝達関数を得る）という方針で行われている。しかし非線形なシステムでは、その挙動が特性多項式や伝達関数という形式で表現できないので、線形システムのような設計方針が適用できない。そこで、非線形システムでは特性の良さ（悪さ）を違う形式で表現し、これに基づいて制御系を設計する必要がある。最適制御とは、システムの特性をシステムの動的な挙動に関して、それを事前に設定した目的関数によって評価し、もっとも評価の良い挙動を示す制御系を求めるという設計手法である。最適制御の考え方にもとづくと、事前に設定された目的関数にもとづく最適化問題（optimization problem）を解くということが設計そのものになっている。したがって、最適制御によって設計された制御系の性能は、どのような目的関数を用いるかに依存している。

最適制御の設計手法は、もちろん線形システムにも適用できるので、線形システムの制御問題を扱う場合はどのような制御系を構成するのかという目的によって、設計手法を適切に使い