Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
Kuhn-Tucker の定理と鞍点との関係によって、次の双対定理が成立することが、簡単に示せる。

[双対定理]

x* が上述の最小化問題の解であるときには、(x*,λ*)がその双対問題の解となるようなλ*≧0が存在し、両問題の最小値と最大値は等しい。

この双対定理は、最適化問題を数値計算で解く場合に、解の存在範囲の限定、計算の打ち切りの判定などに利用することができる。

以下に、等式制約条件を明示的に扱った場合の Kuhn-Tucker 条件を記しておく。この場合の Kuhn-Tucker 条件は、Lagrange 関数を

$$ \mathbf{L}(\mathrm{x},\lambda\mathrm{\boldmath~\eta~})=\mathrm{v}(\mathrm{x})+\lambda\mathrm{\boldmath~\tau~}\mathbf{g}(\mathrm{x})+\mathrm{\boldmath~\pi~}\mathrm{\boldmath~\tau~}\mathbf{h}(\mathrm{x}) $$

として

$$ \left[\frac{-\partial L(\mathbf{x},\lambda,\pi)}{\partial\mathbf{x}}\right]_{\mathbf{x}^{*},\lambda^{*},\pi^{*}}=0 $$

$$ \left[\frac{-\partial L(\mathbf{x},\lambda,\pi)}{\partial\pi}\right]_{\mathbf{x}^{*},\lambda^{*},\pi^{*}}=0 $$

$$ \left[\frac{\partial L(\mathbf{x},\lambda,\pi)}{\partial\lambda}\right]_{\mathbf{x}^{*},\lambda^{*},\pi^{*}}\leq0 $$

$$ \left[\frac{\partial L(x,\lambda,\pi)}{\partial\lambda}\right]_{x^{*},\lambda^{*},\pi^{*}}\lambda^{*}=0 $$

$$ \lambda*\geqq0 $$

となるような $ \pi^{*} $ と $ \lambda^{*} $ が存在することである。

ここで、先に述べた離散時間システムの最適制御問題に対して、最適制御の必要条件を求めてみる。これは、

【離散時間最適制御問題】

$$ \mathbf{u}(\mathbf{t})\in\mathbf{R}^{\mathrm{m}}(\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T}\cdot\mathbf{\Lambda}1), $$

$$ x(t)\in R^{n}(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1,T)\ として $$

《制約条件》

$ x(t+1)=f(x(t),u(t),t) $ ：状態方程式

$$ (\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T}\cdot1) $$

$$ \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0} $$

: 初期条件

：终端期間（指定）

$$ \mathbf{u}(\mathbf{t})\in\Omega_{\mathbf{u}}(\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathbf{T}-1): 制御の許 $$

容可能性条件

を満たし

《目的関数》

$$ \mathbf{J}=\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf{v}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),\mathbf{t})+\mathbf{v}^{T}(\mathbf{x}(T)) $$

を最小にする $ \mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}), (\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathbf{T}-1) $

を求める

であった。

まず、この問題を非線形計画問題として定式化するために、制御の許容可能性のΩ_{u}が

$$ \mathbf{g}(\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}(\mathbf{t}))\geqq0 $$

のような不等式制約条件の形で与えられると仮定する。

次に、システムの動的な挙動を静的な変数として記述するために、各期間 $ t(t=0,1,\cdot\cdot\cdot R,T-1) $ における制御 u(t) と状態 x(t) をすべて独立な変数と考え、静的な入力ベクトル u と状態 x を

$$ \begin{aligned}\mathbf{u}=&(\mathbf{u}(0)^{\mathrm{T}},\mathbf{u}(1)^{\mathrm{T}},\cdot\cdot\cdot,\mathbf{u}(\mathrm{T}-1)^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\quad\in\mathbb{R}^{\mathrm{m}\times\mathrm{T}}\\\mathbf{x}=&(\mathbf{x}(0)^{\mathrm{T}},\mathbf{x}(1)^{\mathrm{T}},\cdot\cdot\cdot,\mathbf{x}(\mathrm{T}-1)^{\mathrm{T}},\mathbf{x}(\mathrm{T})^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}\\&\in\mathbb{R}^{\mathrm{n}\times(\mathrm{T}+1)}\end{aligned} $$

と定義しなおす。すると、状態方程式は、これらの変数の間の次のような連立代数方程式とな
り、

$$ \mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{u})=\left[\begin{array}{c}\mathbf{x}_{0}-\mathbf{x}(0)\\ \vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\\ \mathbf{f}(\mathbf{x}(0),\mathbf{u}(0),0)-\mathbf{x}(1)\\ \mathbf{f}(\mathbf{x}(T-1),\mathbf{u}(T-1),\mathbf{T}-1)-\mathbf{x}(T)\end{array}\right]=0 $$

制約条件も

$$ \mathbf{G}(\mathbf{x},\mathbf{u})=\left\lfloor\begin{array}{c}\vdots\\ \mathbf{g}(\mathbf{x}(0),\mathbf{u}(0))\\ \vdots\\ \mathbf{g}(\mathbf{x}(T-1),\mathbf{u}(T-1))\end{array}\right\rfloor\geqq0 $$

と再定義される。したがって、上の動的なシステムの最適制御問題は、静的な最小化問題

$$ \mathbf{u}\in\mathbb{R}^{\mathrm{m}\times\mathrm{T}},\mathrm{x}\in\mathbb{R}^{\mathrm{n}\times(\mathrm{T}+1)},\mathrm{G}\in\mathbb{R}^{\mathrm{ng}}\ として $$

《制約条件》

$$ \begin{aligned}&\mathrm{F}(\mathrm{x},\mathrm{u})=0: 等式制约 \\&\mathrm{G}(\mathrm{x},\mathrm{u})\geqq0: 不等式制约 \end{aligned} $$

を満たし

《目的関数》

$$ \mathbf{J}(\mathbf{x},\mathbf{u})=\sum_{\mathrm{t}=0}^{\mathrm{T}-1}\mathbf{v}(\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}(\mathbf{t}),\mathbf{t})+\mathbf{v}^{\mathrm{T}}(\mathbf{x}(\mathrm{T})) $$

を最小にする u $ ^{*} $ を求める

として定式化される。

不等式および等式制約のある最適化問題に関する非線形計画法のアプローチにしたがい、Lagrange関数を

$$ \begin{aligned}\mathrm{L}(\mathrm{x},\mathrm{u},\boldsymbol{\pi}\setminus\lambda\setminus)=&\mathbf{J}(\mathrm{x},\mathrm{u})\\&+\boldsymbol{\pi}^{\mathrm{T}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{u})+\lambda^{\mathrm{T}}\mathbf{G}(\mathrm{x},\mathrm{u})\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} ただし \pi=(\pi(0),\pi(1),\cdot\cdot\cdot,\pi(T-1),\pi(T))^{\mathrm{T}}\\\in\mathbb{R}^{\mathrm{T}+1}\end{aligned} $$

$$ \begin{array}{r}{\lambda=(\lambda^{\mathrm{~T}}(1),\lambda^{\mathrm{~T}}(2),\cdot\cdot\cdot,\lambda^{\mathrm{~T}}(\mathrm{T}-1),}\\ {\lambda^{\mathrm{~T}}(\mathrm{T}))^{\mathrm{T}}\in\mathbf{R}^{\mathrm{T}\times\mathrm{n g}}}\end{array} $$

と定義する。

ここでさらに、Hamilton関数を

$$ \begin{aligned}&H(x(t),u(t),\pi(t+1),\lambda(t+1))\\ &\\&\quad=V(x(t),u(t)))+\pi^{T}(t+1)f(x(t),\\&\quad u(t),t)+\lambda^{T}(t+1)g(x(t),u(t))\\&\quad(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1)\end{aligned} $$

と定義すれば、最適解の必要条件（Kuhn-Tucker 条件）は、Hamilton 関数を用いて、

$$ \mathrm{x}(\mathbf{t}+1)=\frac{\partial\mathrm{~H}^{\mathrm{T}}(\mathrm{t})}{\partial\mathrm{~\pi}(\mathrm{t}+1)}\mathrm{~(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1)} $$

$$ \pi\ (\mathbf{t})=\frac{\partial\ \mathrm{H}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})}{\partial\ \mathrm{x}(\mathrm{t})}\ (\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T}\cdot1) $$

$$ \pi\ (\mathrm{T})=\frac{\partial\ \mathrm{V}_{\mathrm{T}}(\mathrm{x}(\mathrm{T}))^{\mathrm{T}}}{\partial\ \mathrm{x}(\mathrm{T})} $$

$$ \begin{aligned}\frac{\partial H(t)}{\partial u(t)}\quad&=0\quad(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1)\end{aligned} $$

$$ \lambda\ \left(\mathbf{t}+1\right)\geqq0\quad\left(\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot\cdot,\mathbf{T}\cdot\mathbf{\Lambda}-1\right) $$

$$ \lambda\ (\mathbf{t}+1)\frac{\partial\ \mathrm{HT}(\mathrm{t})}{\partial\ \lambda(\mathrm{t}+1)}=0\ (\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T}\cdot1) $$

$$ \frac{\partial H(t)}{\partial\lambda(t+1)}\quad\leqq0\quad(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1) $$

で与えられる。

以上のように非線形計画法を用いて最適制御問題を解く場合には、解の必要条件としてのKuhn-Tucker条件を利用する。しかし、実際の数値計算においては、結局、極値探索を行なうことになるので、通常は、問題の種類、構造に応じて、さまざまな探策法を利用する。
### 2.3 階層制御理論

#### 2.3.1 階層システムの理論

階層システムの理論（hierarchical system theory）は、自然界のシステムや工学的、社会的なシステムに存在する階層性を扱うための理論的枠組であり、一般システム理論（general system theory）における分析手法の1つと考えることができる。この階層システム理論においては、大規模で複雑なシステムが、階層性を持った複数のサブシステムを統合（coordination）するシステムという形式で記述される。そして、議論の中心は矛盾のない統合が可能であるための条件を明らかにすることである。

階層システムの理論では、1つの階層システムは相互に影響を及ぼし合うようないくつかのサブシステム（subsystem）を構成要素とし、これらのサブシステムが互いに影響を及ぼすその及ぼし方に関して階層構造を仮定している。サブシステムは、さまざまな物理的現象や社会的現象等を表すプロセス（process）と呼ばれる受動的なサブシステムと、他のサブシステムへの影響を独自の目標達成行動によって決定することのできる、能動的サブシステムとに大別される。そして個々のサブシステムは、他のサブシステムからの影響を条件とするような意思決定問題（decision problem）を解く意思決定ユニット（decision unit）として定式化される。

Fig.2.7 階層システム

意思決定ユニットの階層とプロセスからなる断層システム

上図に示すように、ある階層の1つのサブシステムにおいて、その上位のサブシステムからの影響、すなわち上位のサブシステムの意思決定が規定されるならば、そのサブシステムの意思決定問題は明確に規定され、目標達成の可能性は下位の階層のすべてのサブシステムがどのような意思決定を行うかに依存している。一方、下位のすべてのサブシステムの意思決定問題は上位のサブシステムの意思決定によって規定される。したがって、上位のサブシステムが自らの目標を達成しようとすると、下位のサブシステムに、上位のサブシステムが目標を達成できるような、調和のとれた意思決定を行うように影響を与える必要がある。これがサブシステムの統合という概念である。

一般に階層システム全体の意思決定問題は、システム全体による目標の達成という1つの意思決定問題形で定式化される。しかし、階層システム全体として目標を達成するには、サブシステムの統合を考えなければならない。このとき、そのような統合が可能であるかどうかは、各々の意思決定問題および解の間の相互関係に
よって決まる。階層システム理論では、これを意思決定問題の可統合性（coordinability）として議論する。

可統合性の概念をよりわかりやすく説明するために、階層システムを2レベルシステム（2-level system）に限定する。2レベルシステムは階層システムの中でももっとも単純なシステムであるが、2レベルシステムに関する議論を多階層システムに拡張するのは比較的容易であることから、基本的な階層システムであるといえる。

2 レベルシステムは下図に示すように、プロセスおよびプロセスと直接に係わりをもつサブシステムである複数の下位ユニット（infimal unit）さらにその下位ユニットの意思決定問題を規定することのできる 1 つの上位ユニット（supremal unit）からなる。

2 レベルシステムでは、全体の目標すなわちシステム全体の意思決定問題は、プロセスの状態に対して設定される。しかし、プロセスの状態を直接に変えることができるのは下位ユニットであるとされており、全体の意思決定問題における意思決定と下位ユニットの意思決定は同一の変数（プロセスに対する制御）にもとづいて行われる。すなわち、2 レベルシステムでは、上位ユニットの意思決定問題の解（統合入力）が下位ユニットの意思決定問題を規定し、上位ユニットが目標を達成できるか否かは、下位ユニットの意思決定に依存している。また、下位ユニットの意思決定問題の解（制御）はプロセ

Fig.2.8 2 レベルシステム

スに影響を及ぼし、下位ユニットが目標を達成できるか否かはプロセスの応答によって決まる。

2 レベルシステムにおける第1の統合は、全体の目標を達成するするように、下位ユニットに意思決定を行わせることである。下位ユニットの意思決定はそのユニットの意思決定問題に基づいているので、結局、この第1の統合が可能かどうかは、全体の意思決定問題とその解および下位ユニットの意思決定問題とその解の関係によって決まる。このような状況において、下位ユニットの意思決定問題の解が存在し、これがシステム全体の意思決定問題の解にもなっているような上位ユニットの統合入力が存在するとき、そしてそのときに限って、「下位ユニットの意思決定問題は全体の意思決定問題に関して可統合である」という。

一方、上位ユニットが自分の目標を達成するには、下位ユニットの意思決定問題の解が自分の目標を達成させることができるように、下位ユニットの意思決定問題に統合入力、すなわち自分自身の意思決定問題の解を与えなければならない。これが、2レベルシステムにおける第2の統合である。そして、上位ユニットの意思決定問題と下位ユニットの意思決定問題それぞ
れに、上のような相互関係を持つ解が存在するとき、そのときに限って「下位ユニットの意思決定問題は上位ユニットの意思決定問題に関して可統合である」という。

次に、これら2つの統合の概念の間の関係を考える。2レベルシステムがシステム全体の目標を達成できるには、第1の可統合性が成立していなければならないが、下位ユニットの意思決定問題は上位ユニットの統合入力によって規定される。これに対して、第2の可統合性は下位ユニットの意思決定が、上位ユニットの目標を達成するように統合できることを意味している。したがって、2レベルシステムがシステム全体の目標を達成しようとするときに、2つの統合の間に要求される適切な関係は、「下位ユニットの意思決定問題が上位ユニットの意思決定問題に関して統合されているときには、常に下位ユニットの意思決定問題は全体の意思決定問題に関して統合されている」ようになっていることである。これを2レベルシステムにおける一貫性の公理（consistency axiom）という。これは、それぞれの意思決定ユニットが自分の目標を達成するように意思決定を行うことと、システム全体の目標を達成することが矛盾しないための要請である。

以上のことから、第1、第2の可統合性が成立し、しかも一貫性の公理が成り立つような2レベルシステムであることが、全体の目標を達成しうる2レベルシステムであるための必要条件であることがわかる。しかし、この条件は全体の目標を達成するための具体的な2レベルシステムの構成法を与えるものではない。このような2レベルシステム、特に下位ユニットの意思決定問題を統合できるような上位ユニットの意思決定問題を実際に構成するには、どのような変数を統合入力として選ぶのかということや下位システムからどんな情報を取り入れるのかといった、意思決定問題の構造自体を決めなければならない。例えば、あるシステムを制御するという目標を考えるならば、意志決定問題の構造を決めるということは、制御方式として開ループ制御方式と閉ループ制御方式のどちらを採用するかを決定するようなものであり、2レベルシステムにおいても、システムの設計者がなんらかの基準によって問題の構造を設定しておかなければならない。

一般に、上位ユニットが下位ユニットの意思決定問題を統合しなければならないのは、下位ユニットどうしがプロセスを通して互いに影響（相互作用 interaction）を及ぼし合うにもかかわらず、それぞれの下位ユニットが自分の意思決定問題を解くにあたって他の下位ユニットの決定を無視することに起因する。したがって、下位ユニットの意思決定問題を統合するための、上位ユニットの意思決定問題を構成するには、この相互作用を統合入力によってどのように扱うかということが問題になる。それについては次の3つの方式が考えられている。

(1) 相互作用予測（interaction prediction）

下位ユニット間に生じるであろう相互作用の予測値を統合入力とする

(2) 相互作用概算(interaction approximation)

下位ユニット間に生じるであろう相互作用の値の大まかな範囲を統合入力とする

(3) 相互作用分離（interaction decoupling）

各下位ユニットは他の下位ユニットからの影響を自分で自由に想定できるものとして意思決定を行うものとする。

そして、2 レベルシステムにおいて、これらの統合方式を用いてシステム全体の目標が達成できるということを主張する命題は統合原理（coordination principle）とよばれる。統合原理には、以下の3つがある。

(1) 相互作用予測原理 (interaction prediction principle)

「統合方式として相互作用予測を用いた
ときに、相互作用の予測値が正しければ、下位ユニットの意思決定問題の解がシステム全体の意思決定問題の解となっている」

(2) 相互作用概算原理 (interaction approximation principle)

「統合方式として相互作用概算を用いたときに、実際の相互作用が相互作用の概算範囲に入っていれば、下位ユニットの意思決定問題の解はシステム全体の意思決定問題の解となっている」

(3) 相互作用均衡原理 (interaction balance principle)

「統合方式として相互作用分離を用いたときに、各下位ユニットが決定した相互作用の値と実際の相互作用の値が均衡しているならば下位ユニットの意思決定問題の解は全体の意思決定問題の解となっている」

したがって、2レベルシステム全体の目標を下位ユニットの意思決定問題の統合によって達成しようとする場合、各統合方式に対応してそれぞれの統合原理が成立していることが必要条件となる。このとき、統合原理が可適用（applicable）であるという。

以上のことから、与えられた統合方式によって2レベルシステムが可統合である（実際に全体の目標が達成できる）ためには、その方式に関する統合原理が可適用であり、上位ユニットの意思決定問題がそのときの統合入力を解とするような意思決定問題になっていることが必要であることがわかる。

階層システムの理論は、これら「可統合性」、「一貫性」、「統合原理の可適用性」という概念を基礎として、階層システムにおけるさまざまな問題設定（上位ユニットの意思決定問題の構成や、大規模な意思決定問題の可統合な2レベルシステムへの分解など）を行った上で理論を展開している。詳しくは例を参照されたい。

#### 2.3.2 レベル制御

階層制御理論（hierarchical control theory）は、上で説明した階層システムの理論を大規模なシステムの最適制御問題にインプリメントしたものと考えることができる。したがって階層制御理論は、全体の最適制御問題が与えられているときに、これを階層システムにおける統合によって解く手法に関する理論である。

与えられたシステム全体の最適制御問題を階層システムにおける統合によって解くということは、これをいくつかの部分最適制御問題に分けて解くということである。歴史的には、大規模な最適化問題を相互に関連をもつような、いくつかの比較的小規模な最適化問題に分割して（decomposition）解く方法は、分割法とよばれて研究されてきた。そこでは、ある最適化問題が分割によって解くことができるための分割原理（decomposition principle）と呼ばれる条件が求められ、分割によって解を得るための具体的解法が考案されてきた。階層システム理論はこのような問題を一般化した理論であるともいえる。

一般に階層制御理論においても、2 レベルシステムを基本的な階層システムとして用いている。2 レベルシステムにおける最適制御問題を考えるときには、これを2 レベル制御（2-level control）という。

2 レベル制御におけるプロセスとは制御対象そのものである。下位ユニットはプロセスに制御を加えることができるので、これを制御主体（controller）とよび、上位ユニットはそれらの制御機を統合する役割をもつので統合者（coordinator）とよぶことにする。制御主体および統合者の意思決定問題は最適制御問題であるとしておく。

2 レベル制御の問題とは、与えられた制御対象システムに関し全体の最適制御が得られるよ
うに２レベルシステムを構成し、統合によって実際に解を求めことである。すなわち、全体の最適制御問題に関して一貫性の公理が成立するような、制御主体および統合者の最適制御問題を見いだし、可適用であるような原理を用いて統合を行うことである。しかし、全体の問題をどのように分割するかということと、どのような統合方式を採用するかということは互いに関係しているし、分割の方法もさまざまなものがある。したがって、ここでは一般的な議論は行わず、以下に述べるような特別の２レベル制御問題に関して、特にその統合方式を中心に説明する。ここで取り上げたもの以外の２レベル制御については、例を参照されたい。

また連続時間システム、離散時間システムおよび静的な最適化問題のいずれの場合にも階層制御理論が適用できるが、ここでは制御対象は離散時間システムであるとしておく。

N 個の部分からなる次のような離散時間システムを考える。このような部分は、通常、サブシステムとよばれる。

$ x_{i}(t+1)=f_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t)) $ ：状態方程式

$ m_{i}(t)=\sum_{j=1}^{N}h_{j,i}(x_{j}(t),u_{j}(t)),h_{i,i}(\cdot)\equiv0 $ ：相互作用

$ g_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t))\leqq0 $ ：制御および状態の許

容可能性の条件

$$ \left(\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T}-1,\mathrm{i}=1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{N}\right) $$

ここで、i はサブシステムの番号を表し、 $ u_{i}(t) $ 、 $ x_{i}(t) $ はそれぞれ i 番目のサブシステムの t 期間での入力と内部状態を表す。また、 $ m_{i}(t) $ は i 番目のシステムが他のシステムの内部状態によって受ける影響を表す変数であり、干涉変数（interaction variable）とよばれる。 $ g_{i} $ は i 番目のシステムの制御と状態の許容可能性の条件を表す関数である。それぞれの変数は一般的にはベクトル変数であり、 $ f_{i} $ 、 $ h_{j,i} $ 、 $ g_{i} $ もそれに対応したベクトル値関数となるが、表現の煩雑さを避けるため、それぞれの次元は明確には指定しない。

したがって、サブシステムとは全体のプロセス（状態変数および制御入力）を重複のないように分割したものである。一般にはプロセスに存在する制約条件はサブシステムごとに分割できるとは限らないが、このシステムでは制約条件も分割できるような特殊なシステムであるとしておく。

このシステムにおいて、システム全体の最適制御問題は以下のようなものであるとする。た

Fig.2.9 相互作用をもつサブシステムからなる全体システム
だし、初期条件は最適化にとっては等式制約の1種であるので、これを陽には考慮しないことにする。

【全体の最適制御問題】

$$ \begin{aligned}&《制約条件》\\&x_{i}(t+1)=f_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t))\\&\begin{aligned}\\ &m_{i}(t)=\sum_{j=1}^{N}h_{j,i}(x_{j}(t),u_{j}(t)),h_{i,i}(\cdot)\equiv0\\&g_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t))\leqq0\\&(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1,i=1,\cdot\cdot\cdot,N)\\ &\end{aligned}\\ \end{aligned} $$

のもとで

《目的関数》

$$ \mathbf{J}{=}\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}\{\mathrm{G}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}(\mathrm{T})){+}\sum_{\mathrm{t}=0}^{\mathrm{T}-1}\mathrm{V}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t}))\} $$

$$ \begin{aligned}& を最小にする \mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})=(u_{1}(\mathbf{t}),\cdot\cdot\cdot,u_{n}(\mathbf{t}))^{\mathrm{T}},\\&(\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1) を求める \end{aligned} $$

この全体の最適制御問題の目的関数は、N 個のサブシステムそれぞれに与えられる目的関数の和という形式になっている。このときは明らかに、各サブシステムの目的関数が最小になれば（目標が達成できれば）全体の目的関数も最小になる（目標が達成される）。したがって、個々のサブシステムの最適制御の決定を下位ユニットの意思決定問題とみなし、それぞれが自分の目的関数を最小にする制御を行うとすれば、明らかに下位ユニットの最適制御問題は全体の最適制御問題に関して可統合である。つまり、この最適制御問題は問題自体に2レベルシステムへの変換の方法を含んでいる。

そこで、これを2レベル制御問題として書き直せば、第i下位ユニットすなわち第i制御主体の最適制御問題は

【第i制御主体の最適制御問題】《制約条件》

$$ \begin{aligned}&\mathrm{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}+1)=\mathrm{f}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathrm{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathrm{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))\\&\mathrm{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t})=\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{h}_{\mathrm{j},\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{j}}(\mathbf{t}),\mathrm{u}_{\mathrm{j}}(\mathbf{t})),\mathrm{h}_{\mathrm{i},\mathrm{i}}(\mathbf{\alpha})\equiv0\\&\mathrm{g}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathrm{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathrm{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))\leqq0\\&(\mathbf{t}=0,1,\cdot\cdot\cdot,\mathrm{T}\cdot1)\\ \end{aligned} $$

$$ のもとで $$

《目的関数》

$$ \begin{aligned}&\mathbf{J}_{i}=G_{i}(\mathbf{x}_{i}(T))+\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf{V}_{i}(\mathbf{x}_{i}(t),\mathbf{u}_{i}(t),\mathbf{m}_{i}(t))\\& を最小にする \mathbf{u}_{i}^{*}(t),(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1)\\& を求める \end{aligned} $$

となる。

ただし、このままでは各制御主体は独自に最適制御を行うことができないので、完全な2レベル制御問題にはなっていない。問題となるのは、これらの制御主体の最適制御問題を独立した最適制御問題に変換し、これを統合して全体の最適制御が得られるような上位ユニットすなわち統合者を構成することである。

一方、この最適制御問題のような目的関数のもとで、制御主体の相互作用が上の式のような形で与えられている問題に対しては、相互作用均衡原理が可適用であることが知られている。すなわち、個々の制御主体は干涉変数 $ \mathrm{m_{i}(t)} $ ， $ (t=0,1,\cdots,T-1) $ の値を自分で自由に設定して最適制御問題を解くものとすれば、他の制御主体の最適制御問題の解から計算される実際の干涉変数の値と設定した値が均衡したときに、個々の制御主体の最適制御問題の解は全体の最適制御問題の解になっている。そこで、この2レベル制御問題では干涉変数の均衡化を行うような統合者を構成すればよいことがわかる。

このような統合者の構成法の1つとして、以下に非線形計画法におけるLagrange関数を利用する方法を述べる。

まず、全体の最適制御問題では等式制約としての状態方程式と相互干涉、不等式制約として
の制御および状態の許容可能性の条件があるので、これを次のような Lagrange 関数を用いて、制約のない最適化問題に変換する。

$$ \begin{aligned}\mathbf{L}=&\sum_{i=1}^{\mathrm{N}}\quad\{\mathbf{G}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{T}))\\&+\sum_{\mathrm{t}=0}^{\mathrm{T}-1}[\mathbf{V}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))\\&+\boldsymbol{\uppsi}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t}+1)(\mathbf{f}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))-\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}+1))\\&+\boldsymbol{\uppi}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t}+1)(\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{N}}\mathbf{h}_{\mathrm{j},\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{j}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{j}}(\mathbf{t}))-\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))\\&+\lambda_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t}+1)\mathbf{g}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))]\}\end{aligned} $$

この関数は、相互干涉の制約の部分以外は制御主体ごとに分割が可能であるので、 $ \pi_{i}(t+1),(i=1,\cdots,N,t=0,\cdots,T-1) $ を定数と考えて変数を各制御主体ごとに分割すれば、各制御機に対する次のような最適制御問題が構成できる。

【第i制御主体の最適制御問題（可統合）】

$$ \begin{aligned}&《制約条件》\\&\begin{aligned}&x_{i}(t+1)=f_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t))\\&g_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t))\leqq0\\&(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1)\end{aligned}\\ &\\ & のもとで \\ &\\ &\begin{aligned}&《目的関数》\\&L_{i}=L_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t);\pi)\\&\quad=G_{i}(x_{i}(T))+\sum_{t=0}^{T-1}[V_{i}(x_{i}(t),u_{i}(t),m_{i}(t))\\&\quad\\&\quad+\sum_{i=1}^{N}\pi_{j^{T}}(t+1)h_{i,j}(x_{i}(t),u_{i}(t))\\&\quad-\pi_{i^{T}}(t+1)m_{i}(t))\end{aligned}\\ &\\ & を最小にする u_{i}^{*}(t),(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1)\\ & を求める \\ \end{aligned} $$

これは、第i制御主体が$\pi_{i}(t+1)$, $(i=1,\cdots,N$, $t=0,\cdots,T-1)$が与えられたという条件のもとで、$\mathrm{Li}$を目的関数とするような最適制御問題を解くということである。一方、このLagrange関数Lに関しても、前節で述べた鞍点定理（Kuhn-Tucker条件）が成り立つので、Lすなわち$\sum_{i=1}^{N}\mathrm{Li}$を最大にするような$\pi_{i}(t+1)$, $(i=1,\cdots,N$, $t=0,\cdots,T-1)$は全体の問題の最適解にもなっている。これは, $\pi_{i}(t+1)$, $(i=1,\cdots,N$, $t=0,\cdots,T-1)$によってLが最適化されたときには、相互干涉の均衡が成立していること示しており、相互作用均衡原理が可適用であることおよび統合者の意思決定問題として$\pi_{i}(t+1)$, $(i=1,\cdots,N$, $t=0,\cdots,T-1)$の関数Lの最適化問題を採用すればよいことを意味している。

したがって、各制御主体の最適制御問題の解を$\mathrm{u_{i}^{*}(t)},\mathrm{m_{i}^{*}(t)},\mathrm{x_{i}^{*}(t)}$、そのときの目的関数の値を$\mathrm{L_{i}(u_{i}^{*}(t),m_{i}^{*}(t),x_{i}^{*}(t);\pi)}$とすれば、統合者の最適化問題は

《目的関数》

$$ \mathrm{L}_{0}{=}\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}\mathrm{L}_{\mathrm{i}}\left(\mathbf{u}_{\mathrm{i}}{*}(\mathbf{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}{*}(\mathbf{t}),\mathbf{x}_{\mathrm{i}}{*}(\mathbf{t});\boldsymbol{\pi}\right) $$

$$ \begin{aligned}& を最大にするような \pi=(\pi_{1}(t+1),\cdot\cdot\cdot,\\&\pi_{N}(t+1))^{T}(t=0,\cdot\cdot\cdot,T-1) を求める \end{aligned} $$

という双対問題となる。

また、全体の最適制御問題が解をもつならば、明らかに制御主体の最小化問題は統合者の最大化問題に関して可統合であり、一貫性の公理も成立している。

このように、全体の最適制御問題は、システム全体の Lagrange 関数が個々の制御主体に分割できることによって、2 レベル制御問題に変換できることが示された。ただし、2 レベル制御を用いて具体的に解を求めるには個々の制御主体や統合者は Lagrange 関数の最適化という形式の意思決定問題を明示的に扱う必要はない。なぜならば、このとき個々の制御主体は統合者から $ \pi_{1}(t+1), \cdot \cdot \cdot, \pi_{N}(t+1) (t=0,1, \cdot \cdot \cdot T-1) $ が
Fig.2.10 相互作用均衡原理による2レベル制御

すべて与えられたという条件のもとで、 $ u_{i}(t) $ と $ m_{i}(t)(t=0,1,\cdots,T-1) $ を制御入力として、制御対象

$$ \mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}+1)\mathbf{=}\mathbf{f}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t})) $$

を、制約条件

$$ \mathbf{g}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))\leqq0 $$

のもとで、目的関数

$$ \begin{aligned}\mathbf{J}_{\mathrm{i}}=&\mathbf{G}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathrm{T}))\\&+\sum_{\mathrm{t}=0}^{\mathrm{T}-1}\{\mathrm{V}_{\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))\\&+\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}\boldsymbol{\pi}_{\mathrm{j}}(\mathbf{t}+1)^{\mathrm{T}}\mathbf{h}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}))\\&-\boldsymbol{\pi}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t}+1)^{\mathrm{T}}\mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t})\end{aligned} $$

を最小にするような最適制御 $ \mathbf{u_{i}}^{*}(\mathbf{t}) $ と $ \mathbf{m_{i}}^{*}(\mathbf{t}) $ ， $ (t=0,1,\cdots,T-1) $ を求めるという最適制御問題を解けばよいからである。そして、統合者はすべての制御主体の $ \mathbf{u_{i}}^{*}(\mathbf{t}) $ と $ \mathbf{m_{i}}^{*}(\mathbf{t}) $ および $ \mathbf{x_{i}}^{*}(\mathbf{t}) $ $ (i=1,\cdots,N,t=0,1,\cdots,T-1) $ を情報として受け取り、すべての i に対して

$$ \mathbf{m}_{\mathrm{i}}(\mathbf{t})-\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{N}}\mathbf{h}_{\mathrm{j},\mathrm{i}}(\mathbf{x}_{\mathrm{j}}(\mathbf{t}),\mathbf{u}_{\mathrm{j}}(\mathbf{t}))=0 $$

が成り立つように、すなわち各サブシステムの相互作用が均衡するように$\pi_{1}(t+1),\cdot\cdot\cdot,\pi_{N}(t+1)(t=0,1,\cdot\cdot\cdot,T-1)$を調整するという最適化問題を解くことにすれば、このシステムの統合が行われることになる。

また、このようなシステムの最適制御問題に対しては、相互作用予測原理も可適用であることが知られている。詳細は例を参照されたい。

以上のように、大規模な最適制御問題、特に相互干渉をもつような多くのサブシステムから構成されるシステムの最適制御問題に、2レベル制御が適用できることが示される。
Japan: Fiscal year-end data China, France, U.S., Germany: Year-end data

# Building a Competitive Economic Society

## Section 1 Constructing Traffic Networks

## Constructing Highways

Since the First Five-Year Road Construction Plan formulated in 1954, Japanese highways have been constructed steadily to date. For example, the construction of national networks of highways, including expressways, has not only provided a major impetus in the rejuvenation of regional economies, as by encouraging plant location in the vicinity of expressway interchanges, but helped enhance the quality and safety of national life by making broad-area medical services accessible to rural areas, and allowing broad rerouting to avert highways disrupted by natural disasters.

In the meantime, the speed of interurban transportation, an indicator of the speediness of interurban travel, tends to lag in the areas in which expressways are underdeveloped. The speediness of interurban travel remains lower as a whole than in foreign nations. Since China opened its first expressway back in 1988, 26 years later than Japan, the nation has already laid 84,946 km of expressways, at a pace 62 times higher than Japan. While European and U.S. freeways have at least four lanes each on the average, freeways having only one lane in either direction account for 30% or more of all freeways in Japan.

Fatal and injury accident ratio on expressways is one-tenth of those on general roads. $ CO_{2} $ emission from travel on expressways are two-thirds of that on general roads, while there are 7 times more traffic per lane on expressways than on general roads. Expressways are not only “safe and clean” but serve as “lifelines” in times of disasters. The MLIT is committed to completing expressway networks and promoting “Smart Use of Roads”.

Figure II-6-1-1

Speeds of Interurban Transportation

## Speed of interurban transportation: The shortest distance of the road between cities divided by the shortest time required

Target cities: Core cities, and cities housing a population of 50,000 or more remote from a core city by a certain distance or more and key ports.

Japan: Prefectural capital (former subprefectural office in Hokkaido)

Germany: Provincial capital France: Regional capital U.K: Regional Development Authority (RDA)

China: Provincial capital, municipality Korea: Special City, Metropolitan City

Required time: Based on the required time path finding system (Google Maps) (for Japan and Korea, based on real speeds, such as private probe data).

Source: MLIT

Figure II-6-1-2

Changes in Developments of Expressway Extensions in Other Countries

(Note) Comparisons of expressways built by nations after 1987 as a reference year (zero)

Sources) U.S.: Highway Statistics, France: Memento de transport, Germany: Verkehr in Zahlen, Japan: Ministry of Land, Infrastructure, Transport and Tourism literature (National Expressways), China: China Statistical Yearbook, Korea: Statistical Yearbook of MLTM

Source) MLIT