になるという性質がある。最適制御問題における最大原理は、通常この随伴システムを利用して導出される。

さて、上述の基本問題において最適制御が存在するものとして、これを $ \mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}) \in \Omega^{\mathfrak{u}}(0 \leq \mathbf{t} < \mathbf{t}_{\mathrm{f}}) $ 、最適経路を $ \mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}) $ 、このときの目的関数の値を $ \mathbf{J}^{*} = \mathbf{K}^{\mathrm{T}} \mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}_{\mathrm{f}}) $ とする。いま、状態方程式において $ \mathbf{u}(\mathbf{t}) = \mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}) $ 、 $ \mathbf{x}(\mathbf{t}) = \mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}) $ 付近での許容可能な制御の微小変化を考えて

$$ \mathbf{u}(\mathbf{t})=\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{\alpha}\mathbf{\alpha}\mathbf{u}(\mathbf{t}),\mathbf{u}(\mathbf{t})\in\Omega^{\mathbf{\alpha}}\mathbf{\alpha}(0\leq\mathbf{t}<\mathbf{t}_{\mathrm{f}}) $$

とおく。また初期条件 $ x(0)=x_{0} $ に $ u(t) $ を加えたときの内部状態の変化を

$$ \mathbf{x}(\mathbf{t})=\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\mathbf{\delta}\mathbf{x}(\mathbf{t}) $$

そのときの目的関数の値を

$$ \mathbf{J}=\mathbf{J}^{*}+\delta\mathbf{\Lambda}\mathbf{\Lambda}\mathbf{J} $$

とする。明らかに、δ J ≧ 0 である。

$ x^{*}(t) $ および $ x(t) $ は状態方程式の解であるから

$$ \begin{aligned}\dot{\mathbf{x}}^{*}(\mathbf{t})=&\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}))\\\dot{\mathbf{x}}^{*}(\mathbf{t})+\delta\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=&\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\delta\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\\&\delta\mathbf{u}(\mathbf{t}))\end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned}\delta\ \dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=&\mathrm{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t})+\delta\ \mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})+\delta\ \mathbf{u}(\mathbf{t}))\\&-\mathrm{f}(\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t}))\\\delta\ \mathbf{x}(0)=&0\end{aligned} $$

である。

ところで、システムの任意の許容可能な入力u(t)と、これによる内部状態の変化x(t)の付近では、内部状態の微小な変化Δx(t)に対して

$$ \dot{\Delta\mathbf{x}}(\mathbf{t})=-\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial\mathbf{f}}{\partial\mathbf{x}}\end{array}\right]_{\begin{array}{c}\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}(\mathbf{t})\\\end{array}}\Delta\mathbf{x}(\mathbf{t}) $$

が成立しており、これは線形システムである。

そこで、このシステムの随伴システムを、Δ

x(t) の随伴ベクトルを p(t) として

$$ \dot{\mathbf{p}}(\mathbf{t})=-\left[\frac{\partial\mathbf{f}}{\partial\mathbf{x}}\right]_{\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}(\mathbf{t})}^{\mathbf{T}}\mathbf{p}(\mathbf{t}) $$

のように定義する。すると最適制御と最適経路付近では

$$ \delta\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=-\Big[\frac{\partial\mathbf{f}}{\partial\mathbf{x}}\Big]_{\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})}\delta\mathbf{x}(\mathbf{t}) $$

$$ \mathbf{K}^{\mathrm{T}}\delta\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}\mathbf{x}(\mathbf{t}_{\mathrm{f}}){=}\delta\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}\mathbf{J} $$

であり、随伴システムは

$$ \begin{aligned}&\dot{\mathbf{p}}^{*}(\mathbf{t})=-\left[\frac{\partial\mathbf{f}}{\partial\mathbf{x}}\right]^{\mathrm{T}}\mathbf{x}^{*}(\mathbf{t}),\mathbf{u}^{*}(\mathbf{t})\mathbf{p}^{*}(\mathbf{t})\\ &\\&\mathbf{P}^{*}(\mathbf{t}\mathbf{f})=-\mathbf{K}\\ \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \mathbf{H}(\mathbf{p}(\mathbf{t}),\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}(\mathbf{t}))=\mathbf{p}^{\mathrm{T}}(\mathbf{t})\mathbf{f}(\mathbf{x}(\mathbf{t}),\mathbf{u}(\mathbf{t})) $$

という関数 H を定義する。これは、通常 Hamilton 関数（ハミルトニアン Hamiltonian）と呼ばれる。

いま

$$ \int\limits_{0}^{\mathbf{t}_{\mathrm{f}}}\mathbf{p}^{\ast\mathrm{T}}(\mathbf{t})\delta\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})\mathbf{d}\mathbf{t} $$

という積分を計算すると、次のようになる。