Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
### 7.5 「調整のずれ」と予備的貯蓄

現実の家計は，予備的貯蓄の誘因のほか，消費の持続性や習慣性の問題にも同時に直面している可能性がある．ところが，予備的貯蓄と消費の非加法性を同時に考慮した上で，合理的な個人の最大化問題を解いて，解析的に厳密な解を求めることはきわめて困難である．直感的には，消費に持続性がある場合，各時点での消費支出は，実際の消費の一部にすぎないことから，恒常所得の予期せぬ減少に応じて実際の消費を減らす際に，直前の，現在から見ると過大であった消費支出の過剰分を差し引くため，今期の消費支出は将来の期待支出額よりもさらに少なくなる必要がある．これは，一種の過剰反応，あるいは「調整の行きすぎ」として近似することが可能である．消費に習慣性がある場合には，持続性とは逆に，前期の大きな消費に引きずられて，今期の消費は将来の期待消費ほどには減少しないため，一種の過小反応，あるいは「調整の遅れ」として近似することが可能である．

そこで本節では，近似的な方法として，家計の行動が，過去の行動に引きずられて，本来の最適な消費計画を完全には実現できない，あるいは，調整を「やりすぎてしまう」という仮定を導入して，そのような「調整のずれ」がある場合の恒常所得および消費の時系列的な振る舞いを分析する $ ^{44} $ .

具体的には，(68)式で得られる最適な消費計画の下での消費量を $ c_{t}^{*} $ とおき，

$$ \begin{aligned}c_{t}^{*}&=y_{pt}-\frac{1}{r}\Big[\frac{\alpha\sigma_{\mathfrak{v}t+1}^{2}}{2}+\frac{1}{\alpha}\mathrm{ln}\delta\left(1+r\right)\Big]\\&\quad-\frac{\alpha r}{2}\sum_{s=1}^{\infty}\Big(\frac{1}{1+r}\Big)^{s+1}\sum_{j=1}^{s}\sum_{h=0}^{t}(\varphi_{h+j-1}-\varphi_{h})\lambda_{t-h}\end{aligned} $$

これに対して実際の消費量 $ c_{t} $ が,

$$ c_{t}-c_{t-1}=k(c_{t}^{*}-c_{t-1})\qquad k>0 $$

を満たすように決定されるとする.ここでkは調整速度のパラメータで,k<1の場合は「過小調整」,k>1の場合は「過剰調整」ということになる.t-1期における最適消費量 $ c_{t-1}^{*} $ を用いると,(73)式は
$$ c_{t}-c_{t-1}=k(c_{t}^{*}-c_{t-1}^{*})+k(c_{t-1}^{*}-c_{t-1}) $$

と変形できる。

これに対して，(73)式を $ c_{t}^{*} $ と $ c_{t} $ との関係で考えると

$$ \stackrel{*}{c_{t}}-c_{t-}=\frac{1-k}{k}(c_{t}-c_{t-1}) $$

という式が得られる．さらに，t-1期に $ c_{t-1}=c_{t-1}^{*} $ が成り立っていた場合に実現したであろうt期の恒常所得を $ y_{pt}^{*} $ とおいて，恒常所得が $ y_{pt}^{*} $ である場合のt期の最適消費計画を $ c_{t}^{**} $ とおけば，資産蓄積の遷移式(5)および恒常所得の定義式(6)より，

$$ \begin{aligned}&y_{pt}-\overset{*}{y_{pt}}=r(-c_{t-1}+\overset{*}{c_{t-1}})=r(\overset{*}{c_{t-1}}-c_{t-1})\\&\overset{*}{c_{t}}-\overset{**}{c_{t}}=y_{pt}-\overset{*}{y_{pt}}=r(\overset{*}{c_{t-1}}-c_{t-1})\\ \end{aligned} $$

となることから，(73')式を $ c_{t}^{**} $ を用いてさらに変形した

$$ c_{t}-c_{t-1}=k(c_{t}^{**}-c_{t-1}^{*})+k(c_{t}^{*}-c_{t}^{**})+k(c_{t-1}^{*}-c_{t-1}) $$

に(74)(75)両式を代入すると，

$$ \begin{aligned}c_{t}-c_{t-1}&=k(c_{t}^{**}-c_{t-1}^{*})+k(1+r)(c_{t-1}^{*}-c_{t-1})\\&=k(c_{t}^{**}-c_{t-1}^{*})+(1-k)(1+r)(c_{t-1}-c_{t-2})\\&=k\Bigg(\frac{\alpha\sigma_{v t}^{2}}{2}+\frac{1}{\alpha}\mathrm{ln}\delta\left(1+r\right)+\mathfrak{v}_{t}\Bigg)+(1-k)(1+r)(c_{t-1}-c_{t-2})\\ \end{aligned} $$

となり，消費の1階階差$\Delta c_{t}$は，不確実性$\alpha\sigma_{vt}^{2}/2$に対して正の相関を持つと同時に，$k<1$の場合には正の自己相関を，$k>1$の場合には負の自己相関を持つことがわかる．

前節でも議論したように，消費の増分$\Delta c_{t}$が正（負）の自己相関を持つ場合，$\Delta c_{t}$と所得のイノヴェーション$\xi_{t+1}$との間には正（負）の相関が生じる．よって所得が定常な確率過程に従う場合には，所得の予期された変化$E_{t}[\Delta x_{t}]$と過去の所得のイノヴェーション$\xi_{t-s}$との間に負の相関が成り立つことから，$k>1$，すなわち消費の「過剰調整」が生じるとき「過剰感応」が観察される．これは，6.1節の消費に持続性のある場合の議論と整合的である．所得の確率過程が単位根を持つ場合には，$E_{t}[\Delta x_{t}]$と$\xi_{t-s}$との間に正の相関が成り立つことから，$k<1$，すなわち消費の「過小調整」が生じるとき「過剰感応」が観察される．これは，
6.2 節の消費に習慣性のある場合の議論と整合的である.

自己相関の存在と所得の不確実性の影響を正しく考慮した上で計測された，消費のイノヴェーションの分散 $ \operatorname{Var}(\zeta_{t+1}) $ は，

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=k^{2}\mathrm{Var}(\mathfrak{v}_{t+1})=k^{2}\bigg[\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\frac{\alpha^{2}\vartheta^{2}\mathrm{Var}(\lambda_{t+1})}{4}-\alpha\vartheta\mathrm{Cov}(\xi_{t+1},\lambda_{t+1})\bigg] $$

となることから，kが十分に小さい，すなわち消費の習慣性が強く，「過小調整」の度合いがはなはだしい場合，$\xi_{t+1}\perp\lambda_{t+1}$ が互いに無相関であっても，所得のイノヴェーションの分散$\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})$ より小さくなる，いわゆる「ディートンの逆説」が観察されることになる．

以上の結果は 6.1，6.2 節の議論と全く整合的であるため，過剰感応および過剰平滑に関しては，CARA 型瞬時効用関数の下での予備的貯蓄の導入は，確実性等価モデルを拡張した場合の議論を覆すようなものではないことが明らかとなった．

(73'')式を AR 表現から MA 表現に書き換えると,

$$ \begin{aligned}c_{t}-c_{t-1}&=k\sum_{s=0}^{\infty}\{(1-k)(1+r)\}^{s}\Biggl(\frac{\alpha\sigma_{\mathfrak{v}t-s}^{2}}{2}+\frac{1}{\alpha}\mathrm{ln}\delta\left(1+r\right)+\mathfrak{v}_{t-s}\Biggr)\quad&(76)\\&=k\sum_{s=0}^{\infty}\{(1-k)(1+r)\}^{s}\xi_{t-s}+\frac{k\ln\delta\left(1+r\right)}{\alpha(k-r+kr)}\\&-\frac{\alpha\vartheta\lambda_{t}}{2}+\frac{\alpha k}{2}\sum_{s=1}^{\infty}\{(1-k)(1+r)\}^{s}\left\{\sum_{j=1}^{s}(1-k)(1+r)^{j-2}\varphi_{s-j}-\vartheta\right\}\lambda_{t-s}\\ \end{aligned} $$

となる．(76)式より，k < 1 なら消費の増分 $ \Delta c_{t} $ と過去（t - s 期）の所得の不確実性 $ \sigma_{\xi t-s+1}^{2} $ との間には正の相関関係が成り立つことがわかる．また，十分小さな k と s について

$$ \sum_{j=1}^{s}(1-k)(1+r)^{j-2}\varphi_{s-j}<\vartheta $$

が成り立つことから，過去（t-s期）に生じた不確実性$\sigma_{\xi t-s+1}^{2}$のイノヴェーション$\lambda_{t-s}$は，今期（t期）の消費の増分$\Delta c_{t-1}=c_{t}-c_{t-1}$と負の相関を持つ可能性がある．

以上の議論より，消費の調整に遅れがあったとしても，消費の増分$\Delta c_{t}$ と所得の不確実性のレベル$\sigma_{\xi_{t+1}}^{2}$ との間に正の相関関係の成り立つことは変わらないこ
と，しかし，消費の増分$\Delta c_{t}$と過去の不確実性のイノヴェーション$\lambda_{t-s}$との間には負の相関の生じる可能性のあることが示された．

7.6 相対的危険回避度一定(CRRA)型効用関数と「緩衝在庫」(buffer stock)モデル

瞬時効用関数が2次関数や絶対的危険回避度一定(CARA)型でない場合，動学的な最大化問題の解を解析的に解くことはできないが，そのような効用関数の下では，家計の貯蓄＝消費行動が確実性等価モデルやCARA型のモデルと著しく異なる可能性がある．本節では，Zeldes(1989)，Carroll(1992,1997)，Carroll and Kimball(1996)の議論を元に，絶対的危険回避度(absolute risk aversion)が消費の増大と共に遞減するような効用関数の下で，最適消費水準が非人的資産，人的資産，将来所得の不確実性の変化に応じてどのように変化するのかを考察する．

議論の単純化のために，効用関数については，相対的危険回避度一定(CRRA)型効用関数

$$ \begin{aligned}u(c_{t})=&\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{1-\alpha}c_{t}^{1-\alpha}\quad&where\quad\alpha>0,\alpha\neq1\\ &&\quad\alpha=1\end{aligned}\right.\\ &\ln(c_{t}),\end{aligned} $$

を仮定する $ ^{45} $ ．この仮定の下では，限界効用 $ u^{\prime}(c_{t}) $ に関して，一般に稲田条件と呼ばれる次の2つの性質 $ \lim_{ct\to0}u^{\prime}(c_{t})=\infty $ および $ \lim_{ct\to\infty}u^{\prime}(c_{t})=0 $ が成り立つ．このうち特に重要なのは，前者の，消費量が限りなくゼロに近づくとき，その限界効用が無限大に近づく，という性質である．この性質のために，この個人は消費が非正となる確率をゼロにしようとする強い誘因を持つ．この結果，後に見るようにこの個人は実質的に流動性制約を課されているのと同じように振る舞うことになる．

労働所得の確率過程$\{x_{t}\}_{t=0}^{\infty}$ については,この段階では単に非負の領域で定義され,トレンドを持たない確率過程とだけ定義し,より詳細な定式化は後で行うこととする.

家計の計画期間は，今までのように無限期間を仮定するのではなく，長期で
はあるが有限の期間（ $ T+1 $ 期）を仮定する．よって安全利子率一定（ $ r_{t}=r $ for all t）の仮定の下で，家計の効用最大化問題は，

$$ \begin{aligned}&V_{t}=\max\ \left[\sum_{s=0}^{T}\boldsymbol{\delta}^{s}E_{t}[u(c_{t+s})]\right]\\ &\quad s.t.\quad\sum_{s=0}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[c_{t+s}]\leq w_{t}+\sum_{s=0}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[x_{t+s}]\\ \end{aligned} $$

となる．ここで来期以降の将来所得の確率分布を所与とすると，今期の最適消費量 $ c^{*}_{t} $ はその時点で保有する非人的資産の合計 $ W_{t}\equiv(1+r)w_{t}+x_{t} $ の関数 $ c^{*}_{t}(W_{t}) $ となる．この最適消費関数 $ c^{*}_{t}(W_{t}) $ はどのような形状をしているのだろうか？はじめに非人的資産がきわめて少ないときの最適消費量を考える．

$t=T-1$ ，すなわち最終期の1期前の時点で，手持ちの非人的資産$W_{T-1}$ がきわめて少ない状況を仮定する．家計の消費量$c^{*}_{T-1}$ が手持ちの非人的資産の量$W_{T-1}$ を超えた場合，次期（T期）の期初における非人的資産の保有量$w_{T}$ は必ず負の値をとること，そしてその時点での労働所得$x_{T}$ は，小さな確率とはいえ，非常に小さな値をとる可能性があることから，次期の消費時点における非人的資産の保有量$W_{T}$ は厳密に正の確率で負の値を可能性がある．T期における予算制約式は，単純に$c_{T}\leq W_{T}$ となるが，対数効用関数は正の消費についてのみ定義されるので，$W_{T}$ が負となるため$c_{T}$ も負にならざるを得ない状況では，効用水準を決定することができない．そこで$W_{T}$ が負の場合，消費量$c_{T}$ はゼロ，そして消費の限界効用は無限大になると仮定する．

T−1 期におけるオイラー方程式

$$ u^{\prime}(c_{T-1}^{*})=\delta E_{T-1}[(1+r)u^{\prime}(c_{T})] $$

を考えると，T-1期における消費 $ c_{T-1}^{*} $ が $ W_{T-1}(>0) $ より大きく $ W_{T} $ が負となる確率が正である場合，同じ確率で $ c_{T} $ がゼロとなり，T期における消費の限界効用が無限大となってしまうことから，オイラー方程式の右辺であるT期の消費の期待限界効用は無限大となってしまう．これは $ c_{T-1}^{*} $ が正，すなわちオイラー方程式の左辺が有限であることと矛盾する．よって，T-1期における最適消費量 $ c_{T-1}^{*}(W_{T-1}) $ は

$$ c_{T-1}^{*}(W_{T-1})
すなわちその時点で保有する非人的資産 $ W_{T-1} $ より小さくなることがわかる。

T−1期における最適消費関数 $ c_{T-1}^{*}(W_{T-1}) $ について(77)式が成り立つことを前提として, T−2期における最適消費関数 $ c_{T-2}^{*}(W_{T-2}) $ を考えれば, T−1期の議論がそのまま成り立つため, $ c_{T-2}^{*}(W_{T-2}) $ についても

$$ c_{T-2}^{*}(W_{T-2})0 $ および(77')式が $ W_{t}>0 $ であるすべての $ W_{t} $ について成り立つことから， $ W_{t}\rightarrow0 $ の極限で

$$ \begin{aligned}&\lim_{Wt\rightarrow0}c_{t}^{*}(W_{t})=0\\&\lim_{Wt\rightarrow0}c_{t}^{*^{\prime}}(W_{t})\in(0,1)\end{aligned} $$

となることがわかる。

(77'')式は，t期の最適消費量 $ c_{t}^{*} $ が手持ちの非人的資産額 $ W_{t} $ を上回らないことを意味する．このとき， $ W_{t} $ は消費のための購入資金として用いることのできる最大額，つまりこの家計の流動性保有額を意味しており，(77'')式は，家計が自発的に設定した流動性制約と考えることができる．よって，消費量がゼロに漸近するにしたがって限界効用もまた無限大に漸近するような瞬時効用関数を仮定することは，家計が流動性制約に直面することを，暗黙に仮定することになる．よって本節の議論は，流動性制約に関するものとも解釈できる．

次に非人的資産が非常に多いときの最適消費量を考える．

来期（ $ t+1 $ 期）の期待限界効用を，点 $ c_{t+1}=E_{t}[c_{t+1}] $ でテーラー展開して

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=u^{\prime}(E_{t}[c_{t+1}])+\frac{1}{2}u^{\prime\prime\prime}(E_{t}[c_{t+1}])\boldsymbol{\sigma}_{c}+o(\boldsymbol{\sigma}_{c}) $$

と近似する．ただし $ \sigma_{c} \equiv \operatorname{Var}(c_{t+1}) $ は来期の消費 $ c_{t+1} $ の分散であり， $ o(\sigma_{c}) $ は $ \sigma_{c} $ がゼロに収束するとき， $ \sigma_{c} $ より早くゼロに収束する値であるとする．ここで， $ u'''/u' = \alpha(\alpha + 1)c^{-2} $ は消費量 $ c_{t} $ が無限大に発散するとともにゼロに収束することから，(78)式の右辺第2項および第3項は， $ E_{t}[c_{t+1}] $ が無限大に発散するにつれて，右辺第1項の $ u'(E_{t}[c_{t+1}]) $ よりも早くゼロへと収束していくことがわかる．そのため，
オイラー方程式(9')は，非人的資産の増加にともなって $ c_{t} $ および $ E_{t}[c_{t+1}] $ が無限大に発散するにつれて，将来消費が確実な場合のオイラー方程式

$$ \beta E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=\beta u^{\prime}(E_{t}[c_{t+1}])=u^{\prime}(c_{t}) $$

に限りなく近づくことになる（ただし$\beta\equiv\delta(1+r)$ である）.

今期（t期）の非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，予算制約式より少なくともある1時点での期待消費量が無限大に発散する必要がある．ところが，今期以降最終期までのすべての連続する2期間の消費量 $ (c_{t+s}, c_{t+s+1}) $ について，オイラー方程式(9)が今期の期待値の意味で成り立つためには，ある1時点 $ t + s' $ における消費量 $ c_{t+s'} $ の期待値が無限大に発散していくとき，他のすべての時点における消費量の期待値も無限大に発散する必要がある．そのため，今期（t期）の非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，今期以降最終期までのすべての時点 $ t + s $ の消費の期待値 $ E_{t}[c_{t+s}] $ も互いに同じスピードで無限大に発散していくことになる．よって今期の非人的資産 $ W_{t} $ がきわめて大きくなると，オイラー方程式は

$$ u^{\prime}(c_{t})=\delta\left(1+r\right)u^{\prime}(E_{t}[c_{t+1}]) $$

に近づき，労働所得の不確実性が存在しない場合の貯蓄＝消費行動である「確実性等価」行動に近づくことになる．

以上の「非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ が『確実性等価』行動のそれに収束する」という命題を，より扱いやすい形にするために，ここで，「確実性等価」行動をより厳密に定義する．上記の家計モデルに対応する「確実性等価」行動は，以下の最大化問題

$$ \begin{aligned}&V_{t}=\max\ \left[\sum_{s=0}^{T}\boldsymbol{\delta}^{s}u(E_{t}c_{t+s})\right]\\ &\quad s.t.\quad\sum_{s=0}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[c_{t+s}]\leq w_{t}+\sum_{s=0}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[x_{t+s}]\\ \end{aligned} $$

の解であると定義する．瞬時効用関数が CRRA 型であることから，オイラー方程式(9'')は

$$ E_{t}[c_{t+s}]=\delta^{s/\alpha}\left(1+r\right)^{s/\alpha}c_{t} $$

と書き換えられる．(79)式を予算制約式に代入すると，「確実性等価」行動の下
での消費量 $ c_{t}^{CEQ} $ は，

$$ \begin{aligned}c_{t}^{CEQ}&=\frac{(1-\beta^{*})(W_{t}+H_{t})}{1-\beta^{*T+1}}\\&\quad where\quad H_{t}\equiv\sum_{s=1}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}E_{t}[x_{t+s}],\quad\beta^{*}\equiv\delta^{1/\alpha}\left(1+r\right)^{(1-\alpha)/\alpha}\end{aligned} $$

と表される.ここで右辺内の $ H_{t} $ は人的資産の割引現在価値をあらわすため, $ W_{t}+H_{t} $ はこの家計の,人的資産 $ H_{t} $ と非人的資産 $ W_{t} $ との合計としての総資産を表す.また総資産 $ W_{t}+H_{t} $ にかかる係数 $ \frac{1-\beta^{*}}{1-\beta^{*T+1}} $ は,この家計の総資産に対する(一定の)限界消費性向をあらわす.

ヒックス＝フリードマン的に，恒常所得を「保有資産額を（期待値の意味で）減少させない最大の消費額」として定義すれば，この家計の恒常所得 $ y_{pt} $ は

$$ y_{pt}=\frac{r(W_{t}+H_{t})}{1+r} $$

となり，「確実性等価」行動における消費 $ c_{t}^{CEQ} $ の恒常所得 $ y_{pt} $ に対する限界消費性向 $ \gamma^{CEQ} $ は

$$ \gamma^{C E Q}=\frac{(1-\beta^{*})(1+r)}{(1-\beta^{*T+1})r} $$

となる $ ^{46} $ . 以下では計画期間 T がきわめて長期の場合のみを考察し, すべての値は $ T \rightarrow \infty $ の極限をとったものを考察の対象とする. この場合, 人的資産 $ H_{t} $ , 恒常所得 $ y_{pt} $ , 「確実性等価」行動における人的資産と非人的資産に共通の限界消費性向 $ \gamma^{CEQ} $ は, それぞれ

$$ \begin{aligned}&H_{t}=\sum_{s=1}^{\infty}\binom{\frac{1}{1+r}}{}^{s}E_{t}[x_{t+s}]\\ &\\&y_{pt}=\frac{r(W_{t}+H_{t})}{1+r}\\ &\\&\gamma^{CEQ}=\frac{(1-\beta^{*})(1+r)}{r}>1\quad(\leftarrow\quad r<\frac{1}{\delta}-1)\\ \end{aligned} $$

と表される．「確実性等価」行動を以上のように定義すれば，「非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ が『確実性等価』行動のそれに収束
する」という命題は，

$$ \lim_{Wt\to\infty}c_{t}^{*}(W_{t})=c_{t}^{CEQ}(W_{t})=(1-\beta^{*})(W_{t}+H_{t})=\gamma^{CEQ}y_{pt} $$

とあらわすことができる。

以上の分析より，最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ について，その両端，すなわち $ W_{t} \rightarrow 0 $ と $ W_{t} \rightarrow \infty $ における形状はわかった．それでは， $ W_{t} $ が中間の領域にある場合には， $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ はどのような形状をしているのだろうか？

中間の形状については，Carroll and Kimball (1996)において詳しい議論がなされている．彼らは，次の定理（Carroll and Kimball (1996), Theorem 1）

「HARA（Hyperbolic Absolute Risk Aversion，双曲型絶対的危険回避）型の効用関数と，許容可能なすべての所得過程について，もし $ u^{\prime}>0 $ ， $ u^{\prime\prime}<0 $ および $ u^{\prime\prime\prime}\geq0 $ が成り立つなら，最適消費関数は凹関数，すなわち $ c_{t}^{\prime\prime}(W_{t})\leq0 $ となる」

および HARA 型効用関数のパラメータを k として ,その補題(ibid., Corollary 1)「 HARA 型の効用関数と，許容可能なすべての所得過程について，k > 0 ，k ≠ 1 および将来の労働所得が不確実かつ将来の利子率と完全には相関していないなら，最適消費関数は厳密な凹関数，すなわち $ c_{t}^{'}(W_{t}) < 0 $ となる」

が成り立つことを，将来の利子率 $ r_{t+s} $ に不確実性が存在する場合も含めて証明している $ ^{47} $ . 我々が考察の対象としている CRRA 型効用関数は， $ k=1+\alpha $ の HARA 型効用関数なので，Carroll-Kimball の補題より，最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ は厳密な凹関数となることがわかる．

以上の議論より，人的資産 $ H_{t} $ および将来所得の不確実性を所与とおいた場合の最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ が，利子率 r が時間選好率 $ 1/\delta - 1 $ より小さいとの仮定の下で，図 1.3 のように図示できる．

図 1.3 の直線 $ c^{CEQ} $ は「確実性等価」行動における非人的資産 $ W_{t} $ と消費 $ c_{t}^{CEQ}(W_{t}) $ との関係をあらわし，限界消費性向をあらわすその傾きは $ 1-\delta $ ，非人的資産がゼロのときの消費量をあらわす縦軸の切片の大きさは $ (1-\delta)H_{t} $ となる．直線 $ y_{pt} $ は非人的資産 $ W_{t} $ と，総資産を減少させない最大消費量としての恒常所得 $ y_{pt}(W_{t}) $ との関係をあらわし，その傾きは $ r/(1+r) $ ，縦軸の切片の大きさは $ rH_{t}/(1+r) $ と
なる．直線 $ y_{pt} $ 上では「消費 $ c_{t}= $ 恒常所得 $ y_{pt} $ 」が成り立っているため，直線 $ y_{pt} $ は，利子率 r と時間選好率 $ 1/\delta-1 $ が等しい，一般的な確実性等価モデルにおける家計の行動を表していると解釈できる $ ^{48} $ ．

図 1.3 の前提として将来の人的資産 $ H_{t} $ を所与の定数とおいているため，直線 $ y_{pt} $ 上にある非人的資産 $ W_{t} $ と消費 $ c_{t} $ の組み合わせの下では，次期の非人的資産額の期待値 $ E_{t}[W_{t+1}] $ は今期の非人的資産額 $ W_{t} $ と等しくなる．また，図上で直線 $ y_{t}^{p} $ の下に位置する非人的資産 $ W_{t} $ と消費 $ c_{t} $ の組み合わせの下では，次期の非人的資産額の期待値 $ E_{t}[W_{t+1}] $ は今期の非人的資産額 $ W_{t} $ より大きくなり，上に位置する組み合わせの下では， $ E_{t}[W_{t+1}] < W_{t} $ となる． $ r < 1/\delta - 1 $ の仮定の下では，「確実性等価」行動に従う家計の消費量 $ c_{t}^{CEQ}(W_{t}) $ は恒常所得水準 $ y_{pt}(W_{t}) $ を上回ることから，次期の非人的資産額の期待値 $ E_{t}W_{t+1} $ は今期の非人的資産額 $ W_{t} $ より少なくなる，すなわち非人的資産を「食いつぶしていく」ことになる．

以上を踏まえて,最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ およびその下での非人的資産の時系列の性質を見ていくと, $ W_{t} < W_{t}^{*} $ の領域では, $ c_{t}^{*}(W_{t}) < y_{pt}(W_{t}) $ となって消費水準は恒常所得水準を下回るため,非人的資産は期待値の意味で増加していくことになる

図 1.3: 最適消費関数 $ c^{*}_{t}(W_{t}) $
のに対して， $ W_{t}>W_{t}^{*} $ の領域では， $ c_{t}^{*}(W_{t})>y_{pt}(W_{t}) $ となって消費水準は恒常所得水準を上回るため，非人的資産は期待値の意味で減少していくことになる．つまり非人的資産の時系列は，常にその「適正水準」 $ W_{t}^{*} $ に向かって収束していく傾向を持つことになる．ただし $ W_{t}^{*} $ は，

$$ c_{t}^{*}(W_{t}^{*})=y_{p t}(W_{t}^{*}) $$

を満たす値と定義される．そして $ W_{t}=W_{t}^{*} $ における消費 $ c_{t} $ の非人的資産 $ W_{t} $ に対する限界消費性向 $ c_{t}^{*}'(W_{t}) $ は，図1.3より明らかに「確実性等価」行動下の限界消費性向 $ 1-\beta^{*} $ ，あるいは確実性等価モデルの下の限界消費性向 $ r/(1+r) $ よりも厳密に大きくなる．個人が非人的資産 $ W_{t} $ を労働所得 $ x_{t} $ の不確実性の「緩衝材」として，その「適正在庫水準」を維持するように消費＝貯蓄行動を決定することから，以上のモデルは「緩衝在庫」モデルと呼ばれる．

非人的資産 $ W_{t} $ の大きさによって,消費 = 貯蓄行動が変化するというのは,「確実性等価」モデルや CARA 型効用関数の下では決して生じない性質であるが,その直感的メカニズムはどうなっているのであろうか?予備的貯蓄が生じる理由は,不確実性の結果貯蓄の期待収益率がかさ上げされることで生じるが,その期待収益率増加の程度は,直面する不確実性の大きさと,人々の「絶対的慎重度」に応じて変化することになる.既存の確実性等価モデルや CARA 型効用関数のモデルでは,この「絶対的慎重度」が消費の大きさに関わらず一定であるため,所得や期待消費の水準に関わらず貯蓄の誘因が一定となり,非人的資産の大きさは消費 = 貯蓄行動に影響を及ぼさない.これに対して CRRA 型の効用関数では,消費量が増加するにつれて「絶対的慎重度」が低下していく.つまり,経済的に豊かになるにつれて,人々はリスクを恐れないようになる.そのため貯蓄の期待収益に含まれる「予備的貯蓄」要因が縮小し,貯蓄の誘因が低下する.安全な非人的資産の蓄積によって,総資産額が労働所得の不確実性に対して相対的に大きくなると,期待消費の水準が大きくなり,「絶対的慎重度」が低下して,予備的貯蓄の大きさが減少するのである.オイラー方程式が,今期と来期の消費の相対的な大きさだけでなく,予備的貯蓄の誘引を通じて来期の消費の絶対的なレベルにも依存していることが,「緩衝在庫」的行動を生み
出す最大の要因である。

今までは非人的資産 $ W_{t} $ の消費 = 貯蓄行動に与える影響を見てきたが，人的資産 $ H_{t} $ の変化や所得の不確実性の変化は最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ および「適正」資産水準 $ W_{t}^{*} $ にどのような影響をおよぼすだろうか？以下では，「確実性等価」行動あるいは確実性等価モデルにおいてそれぞれの変化が最適消費量におよぼす影響と比較しながら考えてみる．

まず，人的資産 $ H_{t} $ の変化が「確実性等価」行動および確実性等価モデル下の行動に与える影響を考えると，両行動の下では，人的資産に対する限界消費性向と非人的資産に対する限界消費性向が常に一致することから， $ \partial c_{t}^{CEQ}(W_{t})/\partial H_{t}=1-\beta^{*} $ および $ \partial y_{pt}(W_{t})/\partial H_{t}=r/(1+r) $ が成り立つ．これに対して， $ H_{t} $ の変化が「緩衝在庫」モデルの下での最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ に与える影響については，それほどはっきりとしたことはいえない．まず $ \lim_{W_{t}\to0}c_{t}^{*}(W_{t})=0 $ であることから明らかに $ \lim_{W_{t}\to0}(\partial c_{t}^{*}(W_{t})/\partial H_{t})=0 $ である，すなわち，非人的資産の保有額 $ W_{t} $ がゼロの場合には，人的資産の増加 $ H_{t} $ は消費 $ c_{t}^{*} $ に何の影響も与えない（⇔ゼロのままである）．よって，非人的資産 $ W_{t} $ が非常に小さい場合には，人的資産 $ H_{t} $ が増加したとしても消費 $ c_{t}^{*} $ はほとんど増加しないと予想される．しかし， $ W_{t} $ がより大きい場合については，厳密な議論抜きに明言できることはない．強いて挙げれば，限界消費性向が「確実性等価」行動下のそれを超えて大きくなる必然性がないため， $ \partial c_{t}^{*}(W_{t})/\partial H_{t}\leq1-\beta^{*} $ が成り立つ，すなわち人的資産 $ H_{t} $ の限界消費性向は，常に「確実性等価」行動の限界消費性向以下であると予想できる．しかしながら，代表的な確実性等価モデルの下での限界消費性向 $ r/(1+r) $ と比べて小さいかどうかについては，以上の分析からは判断できない．

$ H_{t} $ の変化が「適正」資産水準 $ W_{t}^{*} $ に対して与える影響は以下の通りである .(80)

式を $ W_{t}^{*} $ および $ H_{t} $ に関して微分すると,

$$ \begin{aligned}\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial W_{t}^{*}dW_{t}^{*}}+\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial H_{t}}dH_{t}&=\frac{\partial y_{pt}}{\partial W_{t}^{*}dW_{t}^{*}}+\frac{\partial y_{pt}}{\partial H_{t}}dH_{t}\\&=\frac{r}{1+r}(dW_{t}^{*}+dH_{t})\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}\rightarrow\quad&\frac{dW_{t}^{*}}{dH_{t}}=\left(\frac{r}{1+r}-\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial H_{t}}\right)\left(\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial W_{t}^{*}}-\frac{r}{1+r}\right)^{-1}>(<)0\quad if\quad\frac{r}{1+r}>(<)\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial H_{t}}\end{aligned} $$

となる．よって，最適消費 $ c_{t}^{*} $ の人的資産 $ H_{t} $ に関する限界消費性向 $ \partial c_{t}^{*}/\partial H_{t} $ が，確実性等価モデルの下での資産に対する限界消費性向 $ r/(1+r) $ よりも小さいとき，人的資産 $ H_{t} $ の増加は，非人的資産の「適正在庫」水準 $ W_{t}^{*} $ を増加させる．

次に，将来（ $ t+1 $ 期）の労働所得 $ x_{t+1} $ の，現時点 t における不確実性をあらわすパラメータを $ \sigma_{t+1}^{2} $ とおき， $ \sigma_{t+1}^{2} $ の変化が最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ および「適正」資産水準 $ W_{t}^{*} $ におよばす影響を $ \sigma_{t+1}^{2} $ の変化が確実性等価モデルの下での行動におよばす影響との比較で考察する．7.4 節の議論および(68)式より，現在から将来にかけてのすべての所得の不確実性を，1 時点後の労働所得 $ x_{t+1} $ の不確実性の指標である $ \sigma_{\xi_{t+1}}^{2} $ ただ 1 つで完全にあらわすことができるのは， $ \sigma_{\xi_{t+1}}^{2} $ を変化させるどのような要因も，将来の不確実性 $ \sigma_{\xi_{t+k+1}}^{2} $ を同じように変化させる場合に限られる．そのような条件が満たされる場合として， $ \sigma_{\xi_{t+1}}^{2} $ に対する過去の各時点における不確実性に関するイノヴェーション $ \lambda_{t-s} $ の影響の相対的な大きさが，将来のすべての不確実性 $ \sigma_{\xi_{t+k+1}}^{2} $ に対して保持される，すなわち

$$ \frac{\partial\sigma_{\xi_{t+k+1}}^{2}}{\partial\lambda_{t-i}}/\frac{\partial\sigma_{\xi_{t+k+1}}^{2}}{\partial\lambda_{t-j}}=\frac{\partial\sigma_{\xi_{t+1}}^{2}}{\partial\lambda_{t-i}}/\frac{\partial\sigma_{\xi_{t+1}}^{2}}{\partial\lambda_{t-j}}\quad\text{for}\text{all}\text{i,j,k}=0,1,2,\ldots $$

となるケースが考えられる．(81)式が成り立つ例として，(57)式における\varphi_{s}がsに関する等比数列になっている場合，すなわち不確実性\sigma_{\xi_{t+1}}^{2}の確率過程が定常なAR(1)過程に従う場合が考えられる $ ^{49} $ ．

確実性等価モデルでは，不確実性の程度$\sigma_{t+1}^{2}$が貯蓄＝消費行動に全く影響をおよぼさないため，$\sigma_{t+1}^{2}$の変化もまた消費行動に何の影響もおよぼさない，すなわち$\partial y_{pt}(W_{t})/\partial\sigma_{t+1}^{2}=0$が成り立つ．これに対して，「絶対的慎重度」が正であるような瞬時効用関数の下での最適消費量は，他の条件を一定とすれば，労働所得の不確実性$\sigma_{t+1}^{2}$が高まると減少する，すなわち$\partial c_{t}^{*}(W_{t})/\partial\sigma_{t+1}^{2}<0$となる．その大きさについては，$\lim_{W_{t}\to0}c_{t}^{*}(W_{t})=0$であることから$\lim_{W_{t}\to0}(\partial c_{t}^{*}(W_{t})/\partial\sigma_{t+1}^{2})=0$となること以外，具体的にいえることはない．ただし，予備的貯蓄は，将来所得の不
確実性がオイラー方程式(9)において将来消費の期待効用を上昇させる結果生じることから，予備的貯蓄はかならず将来（ $ t + 1 $ 期）の期待消費を増加させる方向に働く．

労働所得 $ x_{t+1} $ の不確実性 $ \sigma_{t+1}^{2} $ の変化が非人的資産の「適正在庫」水準 $ W_{t}^{*} $ におよぼす効果は，次のようになる．(80)式を $ W_{t}^{*} $ および $ \sigma_{t+1}^{2} $ に関して微分すると， $ \partial y_{pt}(W_{t})/\partial\sigma_{t+1}^{2}=0 $ および $ \partial c_{t}^{*}(W_{t})/\partial\sigma_{t+1}^{2}<0 $ となることがわかる．このため，労働所得の不確実性 $ \sigma_{t+1}^{2} $ の増加は非人的資産の「適正在庫」水準 $ W_{t}^{*} $ を増加させる，すなわち $ dW_{t}/d\sigma_{t+1}^{2}>0 $ となることがわかる．

このような最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ の性質は，消費の時系列 $ \{c_{t}\}_{t=0}^{\infty} $ に対してどのような影響をおよばすだろうか？以下では，定常な消費関数

$$ c_{t}=c^{*}(W_{t};H_{t},\sigma_{t+1}^{2}) $$

を想定し，次のような線形近似によるモデルの動学的な体系を考える．はじめに，初期時点での労働所得 $ x_{0} $ と不確実性 $ \sigma_{1}^{2} $ を，それぞれ $ x_{0}=x^{*}, \sigma_{1}^{2}=\sigma^{2*} $ とおく．次に初期時点での人的資産額 $ H_{0}=H^{*} $ を，

$$ \boldsymbol{H}^{*}=\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\boldsymbol{x}^{*} $$

とおく．さらに $ (x_{0},\sigma_{1}^{2},H_{0})=(x^{*},\sigma^{2*},H^{*}) $ が与えられたときに，ちょうど消費の期待増分がゼロとなるような消費と非人的資産の「適正在庫」水準の組み合わせ $ (c^{*},W^{*}) $ を，次の2つの方程式を同時に満たす値として定義する．

$$ \begin{aligned}&c^{*}=c^{*}(W^{*};H^{*},\sigma^{2*})\\&rW^{*}=(1+r)c^{*}-x^{*}\\ \end{aligned} $$

以上の準備の下で，消費関数 $ c_{t}=c^{*}(W_{t};H_{t},\sigma_{t+1}^{2}) $ を $ x_{t}=x^{*} $ ， $ \sigma_{t+1}^{2}=\sigma^{2*} $ ， $ H_{t}=H^{*} $ ， $ W_{t}=W^{*} $ ，および $ c_{t}=c^{*} $ の近傍で線形近似したものを，次のノーテーション， $ \hat{x}_{t}\equiv x_{t}-x^{*} $ ， $ \hat{\sigma}_{t+1}^{2}\equiv\sigma_{t+1}^{2}-\sigma^{*2} $ ， $ H_{t}\equiv H_{t}-H^{*} $ ， $ W_{t}\equiv W_{t}-W^{*} $ ，および $ c_{t}\equiv c_{t}-c^{*} $ を用いて，

$ c_{t}=\beta_{W}W_{t}+\beta_{H}H_{t}+\beta_{\sigma}\hat{\sigma}_{t+1}^{2} $ (82)

とする．ただし(82)式右辺のパラメータ一 $ \beta_{W} $ ， $ \beta_{H} $ ， $ \beta_{\sigma} $ は， $ \beta_{W} $ および $ \beta_{H} $ が非人的資産 $ W_{t} $ および人的資産 $ H_{t} $ の限界消費性向 $ \beta_{\sigma} $ は不確実性の程度を示す変数 $ \hat{\sigma}_{t+1}^{2} $ の変化が消費にもたらす影響をあらわす．上述の議論より， $ \beta_{W} $ ， $ \beta_{H} $ ， $ \beta_{\sigma} $ の符号条件はそれぞれ
$$ \beta_{w}=\frac{\partial c^{*}(W^{*};H^{*},\sigma^{*2})}{\partial W_{t}}\in(1-\beta^{*},1) $$

$$ \beta_{H}=\frac{\partial c^{*}(W^{*};H^{*},\sigma^{*2})}{\partial H_{t}}\in(0,1-\beta^{*}) $$

$$ \beta_{\sigma}=\frac{\partial c^{*}(W^{*};H^{*},\sigma^{*2})}{\partial\sigma_{t+1}^{2}}<0 $$

を満たすと想定できる．労働所得 $ \hat{x}_{t} $ とその不確実性 $ \hat{\sigma}_{t+1}^{2} $ の確率過程，人的資産 $ H_{t} $ の定義，非人的資産 $ W_{t} $ の遷移式についても同様に

$$ E_{t+1}[\hat{x}_{t+s+1}]-E_{t}[\hat{x}_{t+s+1}]=\psi_{s}\varepsilon_{t+1},\qquad\psi_{0}=1,\quad\sum_{s=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{1+r}\Bigr)^{s}\psi_{s}<\infty $$

$$ \hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t+2}^{2}=\boldsymbol{\rho}\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t+1}^{2}+\lambda_{t+1},\quad\boldsymbol{\rho}\in[0,1] $$

$$ H_{t}=\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}E_{t}[\stackrel{\wedge}{x}_{t+s}] $$

$$ W_{t+1}=(1+r)(W_{t}-c_{t})+\stackrel{\wedge}{x_{t+1}} $$

と書き換える $ ^{50} $ .以上の(82)～(86)式からなる動学体系は「緩衝在庫」モデルの，初期の定常状態 $ c^{*} $ ， $ W^{*} $ の近傍における消費の時系列 $ \{c_{t}\}_{t=0}^{\infty} $ の振る舞いを描写している．その特徴は以下の通りである．

(82)式を一期ずらして引くと，消費の1階階差$\Delta c_{t}\equiv c_{t+1}-c_{t}=c_{t+1}-c_{t}$が

$$ \Delta c_{t}=\beta_{W}(W_{t+1}-W_{t})+\beta_{H}(H_{t+1}-H_{t})+\beta_{\sigma}(\hat{\sigma}_{t+2}^{2}-\hat{\sigma}_{t+1}^{2}) $$

となる．ここで(82)式および(86)式より非人的資産の遷移式が

$$ W_{t+1}=(1+r)(1-\beta_{W})W_{t}-(1+r)(\beta_{H}H_{t}+\beta_{\sigma}\hat{\sigma}_{t+1}^{2})+\hat{x}_{t+1} $$

(83)(85)両式より人的資産の遷移式が

$$ H_{t+1}=(1+r)H_{t}-E_{t}[\stackrel{\wedge}{x}_{t+1}]+\sum_{s=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{1+r}\Bigr)^{s}\Psi_{s}\pounds_{t+1} $$

となることから，結局消費の1階階差$\Delta c_{t}$は

$$ \begin{aligned}\Delta c_{t}=&\beta_{W}\{r-(1+r)\beta_{W}\}W_{t}+\beta_{H}\{r-(1+r)\beta_{W}\}H_{t}+(\beta_{W}-\beta_{H})E_{t}[\hat{x}_{t+1}]\\&-\beta_{\sigma}\{1-\mathsf{\rho}+\beta_{W}(1+r)\}\hat{\sigma}_{t+1}^{2}+\left\{\beta_{W}+\beta_{H}\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\psi_{s}\right\}\varepsilon_{t+1}+\beta_{\sigma}\lambda_{t+1}\end{aligned} $$

となる．ここで t 期における労働所得 $ \hat{x}_{t} $ のイノヴェーション $ \varepsilon_{t} $ が非人的資産 $ W_{t} $
人的資産 $ H_{t} $ ，所得の予測された変化 $ E_{t}[\hat{x}_{t+1}] $ におよぼす影響が，それぞれ

$$ \frac{\partial W_{t}}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}_{t}}=1,\quad\frac{\partial H_{t}}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}_{t}}=\sum_{s=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{1+r}\Bigr)^{s}\boldsymbol{\psi}_{s},\quad\frac{\partial E_{t}[\hat{\boldsymbol{x}}_{t+1}]}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}_{t}}=\boldsymbol{\psi}_{1} $$

であることから，$\varepsilon_{t}$ が消費の増分$\Delta c_{t}$ におよぼす影響は，

$$ \frac{d\Delta c_{t}}{d\boldsymbol{\varepsilon}_{t}}=(\boldsymbol{\beta}_{W}-\boldsymbol{\beta}_{H})\{\boldsymbol{\psi}_{1}+r-(1+r)\boldsymbol{\beta}_{W}\}+\boldsymbol{\beta}_{H}\{r-(1+r)\boldsymbol{\beta}_{W}\}\sum_{s=0}^{\infty}\binom{1}{1+r}^{s}\boldsymbol{\psi}_{s} $$

となる．また$\Delta c_{t}$ の予期されない変動の大きさ$\operatorname{Var}(\zeta_{t+1})$ は

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=\left\{\beta_{W}+\beta_{H}\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\psi_{s}\right\}^{2}\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})+\beta_{\sigma}^{2}\mathrm{Var}(\lambda_{t+1}) $$

となる．この(91)(92)式が意味することは以下の通りである．

まず(91)式については，次のことが示される．確実性等価モデルでは$\beta_{W}=\beta_{H}=r/(1+r)$となることから，(91)式の右辺はゼロ，すなわち消費の増分$\Delta c_{t}$は過去の所得のイノヴェーション$\varepsilon_{t}$に依存せず，消費はランダムウォークすることになる6節で取り上げたさまざまなモデルも$\beta_{W}=\beta_{H}$が満たされているため，(91)式の右辺第1項はゼロとなる．そのため$\beta_{W}=\beta_{H}>r/(1+r)$，すなわち消費が7.5節の意味で「過剰調整」される場合には，$\Delta c_{t}$は$\varepsilon_{t}$と負の相関を持ち，逆に$\beta_{W}=\beta_{H}
たらすことがわかる。

(92)式については，次のことが示される．確実性等価モデルおよび6節で取り上げたさまざまなモデルでは，$\beta_{\sigma}=0$，すなわち所得の不確実性の変動は消費に対して何の影響ももたらさず，また$\beta_{W}=\beta_{H}$が満たされていたことから，これらを代入すると，(92)式は

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=\left(\frac{(1+r)\beta_{W}}{r}\right)^{2}\mathrm{Var}(\xi_{t+1})>(<)\mathrm{Var}(\xi_{t+1})\quad if\quad\beta_{W}>(<)\frac{r}{1+r} $$

となる．そのため$\beta_{W}(=\beta_{H})