Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$ \beta_{W}(1+r) $ が正となることから，t期における将来所得の不確実性の増加は，t期から $ t+1 $ 期にかけての消費の成長率を必ず上昇させる．この係数 $ -\beta_{\sigma}\{1-\rho+\beta_{W}(1+r)\} $ は次の2つの部分 $ -\beta_{W}\beta_{\sigma}(1+r) $ と $ -\beta_{\sigma}(1-\rho) $ に分けることができる．このうち $ -\beta_{W}\beta_{\sigma}(1+r) $ は，予備的貯蓄が非人的資産の増加を通じて将来消費を増加させる効果を示しており， $ -\beta_{\sigma}(1-\rho) $ は，不確実性の程度が一時的なショックから平均へ回帰していくことによって予備的貯蓄の水準が平均へ回帰していく効果を示している．不確実性が定常な確率過程に従う場合には，両者の効果がともにt期における不確実性のレベル $ \hat{\sigma}_{t+1}^{2} $ のみで表され，ともに同じ方向へ働くため，現時点での不確実性のレベルの上昇が将来消費の増加をもたらすことになる．ある時点での将来所得の不確実性の予期せぬ増加は，同時点での貯蓄を増やし消費を減らすが，そのことは，必ずしも過去に明らかになった不確実性の増加が将来にわたって消費の成長率を抑制することにはつながらず，むしろ逆の効果を持つ可能性があることには，特に注意が必要である．

不確実性$\hat{\sigma}_{t+1}^{2}$が非定常な確率過程に従う場合には，定常な場合の結論が必ずしもそのままは成り立たない.(82)式で表される消費関数自体は成り立つと仮定して51，不確実性$\hat{\sigma}_{t+1}^{2}$の確率過程だけが階差定常な確率過程

$$ \hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t+2}^{2}-\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t+1}^{2}=\boldsymbol{\rho}(\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t+1}^{2}-\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t}^{2})+\lambda_{t+1},\quad\boldsymbol{\rho}\in[0,1] $$

に従うとすると，消費の1階階差$\Delta c_{t}$を表す(90)式は，次の

$$ \begin{aligned}\Delta c_{t}&=\beta_{W}\{r-(1+r)\beta_{W}\}W_{t}+\beta_{H}\{r-(1+r)\beta_{W}\}H_{t}+(\beta_{W}-\beta_{H})E_{t}[\hat{x}_{t+1}]\\&\quad-\beta_{W}\beta_{\sigma}(1+r)\hat{\sigma}_{t+1}^{2}+\beta_{\sigma}\rho(\hat{\sigma}_{t+1}^{2}-\hat{\sigma}_{t}^{2})\\&\quad+\left\{\beta_{W}+\beta_{H}\sum_{s=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{1+r}\Bigr)^{s}\psi_{s}\right\}\varepsilon_{t+1}+\beta_{\sigma}\lambda_{t+1}\end{aligned} $$

のように書き換えられる．このうち，右辺第3項の $ B_{W}\beta_{\sigma}(1+r)\hat{\sigma}_{t+1}^{2} $ は予備的貯蓄が非人的資産の増加を通じて将来消費を増加させる効果を示しており，第4項の $ \beta_{\sigma}\rho(\hat{\sigma}_{t+1}^{2}-\hat{\sigma}_{t}^{2}) $ は不確実性の予期された変化が消費に及ぼす影響を示している．とはいえ，(90')式，ないしその元となった消費関数(82)式は家計の効用最大化問題から直接求められたものではないため特にこの(90')式右辺第4項のような効果が存在するかどうかについては疑問の余地がある．7.4.節の議論，特にそ
の(69)式を見ると,消費の階差には不確実性のレベルだけが影響をおよぼし,予期された変化の影響は存在しない.これに対して7.5.節の議論,特にその(76)式を見ると,現時点での不確実性だけでなく,過去の水準も含まれており,これらは不確実性の変化が消費におよぼす効果を表していると考えられることから(90')式右辺第4項のような効果の存在する可能性は無視できない.

以上より，絶対的危険回避度が消費量とともに遞減するような瞬時効用関数を仮定した，いわゆる「緩衝在庫」モデルの下では，さまざまな所得の確率過程の下で，過剰感応と過剰平滑が同時におこる状況を説明できる可能性が示された．また，不確実性に対する性質は，CARA型の効用関数を仮定した場合と基本的に変わらず消費の増分 $ \Delta c_{t} $ と所得の不確実性のレベル $ \hat{\sigma}_{t+1}^{2} $ との間には正の相関関係が成立することが示された $ ^{5253} $ ．とはいえ，以上の結論は，現段階では可能性のレベルにとどまっている．「緩衝在庫」モデルは解析的に解くことができないため，数値計算によってパラメータ $ \beta_{W}, \beta_{H}, \beta_{\sigma} $ の具体的な値を導出し，以上の議論が実際に成り立つかどうか確かめることが今後の重要な研究課題である．

### 7.7 予備的貯蓄に関する実証研究

本稿は，ライフサイクル／恒常所得仮説の下で成り立つ消費関数について，

$$ 向のことで $$

$$ から $$

$$ c^{*}(W_{t};H_{t},\sigma_{t+1}^{2}) が 1 $$

$$ \text{∠}< $$
予備的貯蓄を中心とした理論研究のサーヴェイを主な目的としているため，実証研究については，予備的貯蓄に限ってごく簡単に，上記の理論と整合的，あるいは非整合的な結果を示している2,3の研究を紹介するにとどめたい．

失業率と消費=貯蓄行動との関係について，マクロの集計データを用いて，消費の階差ではなく消費関数そのものを推計した研究としては，例えば Boskin (1979)が挙げられる．彼の研究は，貯蓄の利子弾力性をめぐる議論に触発されたものであり，考察の中心は消費＝貯蓄行動と利子率との関係である．しかし，その推計式（Boskin (1979), equation (2)）は，前節までの表記法に従えば

$$ \begin{aligned}\mathrm{Log}(c_{t})=&-3.8+0.56\mathrm{Log}(x_{t}+r_{t}w_{t})+0.18\mathrm{Log}(x_{t-1}+r_{t-1}w_{t-1})\\&+0.28\mathrm{Log}(w_{t})-0.003\mathrm{Log}(\mathrm{UNEM}_{t})-1.07r_{t+1}\end{aligned} $$

と表され, 説明変数の中に失業率(UNEM_{t})の対数値が含まれている. この失業率を将来所得の不確実性を表す変数と解釈すれば, 予備的貯蓄に関する実証研究として解釈することが可能である.

Boskin (1979)の推計では，失業率の係数は負となり，予備的貯蓄の存在が示されている．ただし，その推計式はライフサイクル／恒常所得仮説に基づいておらず説明変数として用いられているのは労働所得 $ x_{t} $ と資産からの所得 $ r_{t}w_{t} $ を合わせた民間可処分所得，およびその1期ラグであって，「恒常所得の予期せぬ変化」と予期された変化との違いは区別されていない．また，同時点での所得と消費の間に存在しうる攪乱項の相関の可能性も考慮されていない．

マクロの集計データを用いたより新しい研究に Carroll (1992)がある．彼はミシガン大学の Surveys of Consumers でのアンケート調査より，次の3つの変数を作成した．1つは「あなたが欲しいと思っている大きな買い物があったとして，今が，貯蓄の一部を使っても良い時期だと思いますか，それとも，今は貯蓄を使うのは控えるべき時期だと思いますか？」という問いに，「控えるべきだ」と答えた人の割合（SAV）であり，もう1つは，失業率が上昇すると予想している人の割合（MU），そして最後の1つは所得が増加すると予想している人の割合（MY）である．これらの3変数について，次の推計式（Carroll (1992), Equation 9）
$$ \mathrm{SAV}_{\mathrm{t}}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\mathrm{MY}_{\mathrm{t}}+\alpha_{2}\mathrm{MU}_{\mathrm{t}}+\mathbf{v}_{\mathrm{t}} $$

を推定した結果，失業率の予想に関する係数 $ \alpha_{2} $ は有意に正となった（Carroll(1992) Table 5）。この推定結果は，失業率に関する予想が，将来所得の不確実性に関する予想を示しているとの想定に立つならば，予備的貯蓄の存在を示したことになる。

ところが, Carroll (1992)で同時に行われたもう1つの推計は, 予備的貯蓄に関する理論的な予想に反する結果であった. 彼は, 可処分所得の対数値の1階階差 $ \Delta\ln Y $ と前の推計でも用いた失業率に関する予想MUを説明変数, 近似的に消費の増加率と考えられる, 消費の対数値の1階階差 $ \Delta\ln C $ を非説明変数とする推計式を, いくつかの異なる消費のデータを用いて推定したが, いずれのデータにおいても, 失業率に関する予想MUの係数は負, すなわち, 失業率が上昇すると消費の成長率が低下するという結果になった. この結果は, 一見予備的貯蓄と整合的にみえるかもしれないが, 前節で議論したように, 不確実性の増加がその期の予備的貯蓄を増加させた場合, 貯蓄の増加は次の期の資産保有額, すなわち次の期の恒常所得額を増加させ, その結果消費を増加させることになるため, (69)式や(90)式に示されるように, 将来所得の不確実性のレベル $ \sigma_{t+1}^{2} $ は, 理論的には消費の増加 $ \Delta c_{t} $ と正の相関を持たなければならない.

実証結果が理論と逆になった原因について,Carroll (1992)では消費の調整に時間のかかる可能性を指摘している.7.5節で見たように,消費の調整に遅れがある場合には,(76)式で示されるように,オイラー方程式の中に現在の不確実性のレベルだけでなく,過去の不確実性のイノヴェーションが加わることとなる.このとき,不確実性のレベルそのものと消費の増加との間には正の相関が成り立ったとしても,レベルと正の相関を持つ直近のイノヴェーションと消費の増加との間には負の相関の生じる可能性がある.そのため,本来は(90')式のような構造であるにもかかわらず,(90)式のような構想を想定して,不確実性に関して直近のレベルだけを説明変数に加えた場合には,非人的資産に関する限界消費性向βwが十分小さく,階差におけるショックの持続性ρが十分に大きいと,データ上で不確実性のレベルと消費の階差との間の負の相関が観察される可能性が
ある。

とはいえ，消費のレベル（貯蓄率なども含む）に関する消費関数の推計では，(68)式からもわかるように，不確実性に関する過去のイノヴェーションが，現在の不確実性のレベルと独立に影響をおよぼすことから，さまざまな困難が生じる．説明変数の中に過去の不確実性のイノヴェーションが正しく含まれていない場合，誤差項が系列相関を持つことになるとともに，不確実性のレベルとの間に，例えば不確実性の確率過程が定常で$\varphi_{h+j-1}<\varphi_h$が成り立つ場合には正の相関が，確率過程が非定常で$\varphi_{h+j-1}>\varphi_h$が成り立つ場合には負の相関が生じるため，推定されたレベルの係数が過小または過大になる可能性がある．さらに，現在および過去の不確実性$\hat{\sigma}_{t-s}^2$のイノヴェーション$\lambda_{t-h}$が，現在または過去の労働所得$\hat{x}_{t-s}$のイノヴェーション$\varepsilon_{t-s}$や非人的資産$W_t$に関する独立のショックとの間に負の相関を持っていれば，それらのショックが恒常所得に影響をおよばすことで，本当は予備的貯蓄が存在しない場合にも不確実性と消費との間に見せかけの相関が観察される可能性がある．もちろん，説明変数間のこのような相関関係は，レベルを推計する場合だけでなく，階差をとった場合にも推計に大きな影響をおよばす．その結果，不確実性増加の直接効果よりも，それと同時に生じた非人的資産の予期されない損失や，不確実性増加が示唆する将来所得の減少が消費の増加にもたらす負の効果が大きくなり，あたかも不確実性$\hat{\sigma}_{t+1}^2$の予期されない増加が将来の消費成長率を低下させているかのような実証結果を得る可能性がある．また，本節では利子率$r$が時間を通じて一定であることを仮定して議論してきたが，実際には利子率は時間を通じて変化しており，そのような利子率の変動は理論的には(14')式で示されるように消費の成長率に関して正の相関をもつことから，所得の不確実性と利子率との間の相関関係が働いている可能性もある．いずれにしろ，家計の消費=貯蓄行動が「緩衝在庫」モデルに従っている場合には，オイラー方程式を推計する際に，非人的資産を説明変数に加えない限り，正しい結果を得られないため，その点で過去の研究は不十分であったと思われる．

近年の予備的貯蓄に関する実証研究の多くは，クロスセクションに関してマ
イクロ・データを使って行われている．この場合，失業率などマクロの変数を不確実性の指標として用いることができないため，各家計の所得や消費のデータより，その家計が直面する不確実性を推定することになる．Dynan (1993)では，家計iのオイラー方程式について2階のテーラー展開による近似を行うことで，消費の増加率GCに関して

$$ \mathrm{avg}(\mathrm{GC})_{i}=\frac{1}{\xi}\bigg(\frac{r_{i}-\delta}{1+r_{i}}\bigg)+\frac{\rho}{2}\mathrm{avg}(\mathrm{GC}^{2})_{i}+\varepsilon_{I} $$

という推計式を導いている（Dynan (1993), Equation 6，ただし，上での記法とは異なり，(94)式では，δはすべての家計に共通の時間選好率を， $ r_{i} $ は家計iに固有の非人的資産の収益率を， $ \mathrm{avg}(\mathrm{x})_{i} $ は変数xの家計iについての平均値を表している).(94)式において，ξは相対的危険回避度を，ρはKinball(1990)で定義された「相対的慎重度」(relative prudence measure)を表している.Dynan(1993)は，この推計式(94)を，1985年のConsumer Expenditure Survey (CEX)のデータを用い， $ \mathrm{avg}(\mathrm{GC}^{2})_{i} $ と $ \varepsilon_{i} $ との間の相関の存在を考慮して，職種，産業，教育，就労者数，そして配当および利子所得を操作変数とする2段階最小2乘法を用いて推計されている．その結果，相対的慎重度にあたるρの推定値は，最も大きなケースで0.314，他のケースでは0.1以下となり，また $ \rho=0 $ という期無仮説，つまり確実性等価モデルを，5%の有意水準で棄却できないことがわかった $ ^{54} $ ．この結果は，予備的貯蓄の実際の大きさが，仮にあったとしてもきわめて小さく，現実の消費=貯蓄行動にはほとんど影響をおよばしていないことを意味することになる．

危険回避に関する多くの研究は，相対的危険回避度に関して，ほぼゼロという結果からいわゆる「エクイティ・プレミアム・パズル」とされる10以上の値まで，さまざまな結果を得ているが，大まかなコンセンサスとして1～2前後という値が尤もらしいと考えられている．さらに，絶対的危険回避度が遅減するようなHARA型効用関数では，相対的慎重度は必ず相対的危険回避度を上回ることが知られている．これら既存の諸研究とDynan(1993)の推計結果との間には大きな矛盾があり，一種の「パズル」となっている．
このような Dynan (1993) の結果について, Carroll (1992) では理論上と実証上の要因を 1 つずつ挙げている．理論上の問題は，各家計の行動が「緩衝在庫」モデルに従っている可能性を考慮していないことである．各家計が「緩衝在庫」モデルに従って行動している場合，中長期的な消費の増加率は所得の増加率に等しくなり，不確実性の違いは消費の増加率の違いにではなく，保有資産と恒常所得との比率の違いに現れる．その結果，消費の不確実性を表す消費成長率の分散は，消費成長率の期待値と必ずしも相関を持たない．実証上の要因は，説明変数が必ずしも消費の不確実性を正しく表していない可能性である．4 半期データにおける消費の変動は，必ずしも消費の不確実性を反映せず，むしろ家計の選好などに起因する予期された変化を反映する可能性が高い．そのため職種などの操作変数が，消費の不確実性ではなく，消費の予期された変動を生み出す選好ショックと相関を持つことで選ばれた場合，それらが消費の成長率と無相関になる可能性は大きいのである．

以上の２要因のうち，理論上の問題について，予備的貯蓄に関する既存の実証研究を「緩衝在庫」モデルに従って解釈する場合の問題点という形で，もう少し細かく議論してみよう．既存の実証研究では，Hall流の「確実性等価」モデルやCaballero(1990)のCARA型効用関数のケースを念頭においているため，不確実性$\sigma_{t+1}^{2}$に対応する変数のみを説明変数とし非人的資産保有額$W_{t}$や人的資産額$H_{t}$の水準が消費の増分$\Delta c_{t}$におよぼす影響を無視して推計を行っているものが多い．このような誤った定式化によって推計結果に生じるゆがみは，次のようなものである．

簡単化のために，すべての家計iが同じ消費関数

$$ c_{i t}=\beta_{W}W_{i t}+\beta_{H}H_{i t}+\beta_{\sigma}\hat{\sigma}_{i}^{2} $$

に従うとする．ただし， $ c_{it} $ ， $ W_{it} $ ， $ H_{it} $ はそれぞれ時点 t における家計 i の消費額，日人的資産額，人的資産額を表し， $ \hat{\sigma}_{i}^{2} $ は家計 i の労働所得 $ \hat{x}_{it} $ の，時間を通じて一定な不確実性の程度を表すものとする．(82')式について両辺の階差をとれば，

$$ \Delta c_{it}=\beta_{W}\{r-(1+r)\beta_{W}\}W_{it}+\beta_{H}\{r-(1+r)\beta_{W}\}H_{it}+(\beta_{W}-\beta_{H})E_{t}[\hat{x}_{it+1}] $$
$$ -\beta_{\sigma}\beta_{W}(1+r)\hat{\sigma}_{i}^{2}+\left\{\beta_{W}+\beta_{H}\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\Psi_{s}\right\}\varepsilon_{it+1} $$

となることから，「緩衝在庫」モデルでは，$\beta_{\sigma}<0$ および(93)式より，$W_{it},H_{it},E_{t}[\hat{x}_{it+1}]$ がすべて等しければ，所得の不確実性$\hat{\sigma}_{i}^{2}$ が大きい家計ほど消費の増分$\Delta c_{it}$ も大きくなる，すなわち予備的貯蓄が存在することがわかる．

しかし，Dynan (1993)をはじめとする既存の諸研究では，推計式の説明変数中に個々の家計iの非人的資産保有額 $ W_{it} $ は含まれていない．簡単化のために，人的資産 $ H_{it} $ と将来所得の期待値 $ E_{t}[\hat{x}_{it+1}] $ が，ともに現在の労働所得の定数倍になる，すなわち

$$ H_{it}=\Phi\hat{x}_{it},\quad E_{t}[\hat{x}_{it+1}]=\lambda\hat{x}_{it} $$

を仮定し，次のノーテーション

$$ \begin{aligned}&\alpha_{W}\equiv-\beta_{W}\{r-(1+r)\beta_{W}\}\quad>0\\&\alpha_{x}\equiv\Phi\beta_{H}\{r-(1+r)\beta_{W}\}+\lambda(\beta_{W}-\beta_{H})\quad>0\\&\alpha_{\sigma}\equiv-\beta_{\sigma}\beta_{W}(1+r)\quad>0\\ \end{aligned} $$

を用いると，(90')式は

$$ \Delta c_{i t}=-\alpha_{W}W_{i t}+\alpha_{x}\hat{x}_{i t}+\alpha_{\sigma}\hat{\sigma}_{i}^{2}+\zeta_{i t+1} $$

となる $ ^{55} $ . このとき, 消費の増分 $ \Delta c_{it} $ の期待値がゼロとなる「適正在庫」水準 $ W_{it}^{*} $ は,

$$ W_{i t}^{*}=\gamma_{x}\hat{x}_{i t}+\gamma_{\sigma}\hat{\sigma}_{i}^{2}\quad\mathrm{w h e r e}\quad\gamma_{x}\equiv\frac{\alpha_{x}}{\alpha_{W}},>0,\quad\gamma_{\sigma}\equiv\frac{\alpha_{\sigma}}{\alpha_{W}}>0 $$

と，過去の所得 $ \hat{x}_{it} $ および不確実性の水準 $ \hat{\sigma}_{i}^{2} $ の増加関数となる．「緩衝在庫」モデルでは，各家計の非人的資産額 $ W_{it} $ はその適正水準に $ W_{it}^{*} $ に近づくように調整されることから $ \hat{x}_{it} $ および $ \hat{\sigma}_{i}^{2} $ を所与としたときの $ W_{it} $ の平均値 $ E[W_{it}|\hat{x}_{it},\hat{\sigma}_{i}^{2}] $ もまた， $ \hat{x}_{it} $ および $ \hat{\sigma}_{i}^{2} $ の増加関数

$$ \frac{\partial E[W_{it}\left|\hat{x}_{it}\right.,\hat{\sigma}_{i}^{2}]}{\partial\hat{x}_{it}}\equiv\hat{\gamma}_{x}>0,\quad\frac{\partial E[W_{it}\left|\hat{x}_{it}\right.,\hat{\sigma}_{i}^{2}]}{\partial\hat{\sigma}_{i}^{2}}\equiv\hat{\gamma}_{\sigma}>0 $$

になると考えられる。
以上の(96)(97)式より，非人的資産額 $ W_{it} $ を加えずに推計した場合の消費の増分の期待値 $ E_{t}[\Delta c_{it}|\hat{x}_{it},\hat{\sigma}_{i}^{2}] $ は，

$$ \begin{array}{r l}{E_{t}[\Delta c_{i t}\left|\stackrel{\wedge}{x}_{i t},\right.\hat{\sigma}_{i}^{2}]=}&{{}-\alpha_{W}(E[W_{i t}\left|\stackrel{\wedge}{x}_{i t},\right.\hat{\sigma}_{i}^{2}])+\alpha_{x}\stackrel{\wedge}{x}_{i t}+\alpha_{\sigma}\hat{\sigma}_{i}^{2}}\end{array} $$

となり，次の2式

$$ \frac{\partial E[\Delta c_{i t}\left|\hat{x}_{i t}\right.,\hat{\mathbf{\sigma}}_{i}^{2}]}{\partial\hat{x}_{i t}}=\alpha_{W}(\gamma_{x}-\hat{\gamma}_{x}), $$

$$ \frac{\partial E[\Delta c_{i t}\left|\hat{x}_{i t}\right.,\hat{\sigma}_{i}^{2}]}{\partial\hat{\sigma}_{i}^{2}}=\alpha_{W}(\gamma_{\sigma}-\hat{\gamma}_{\sigma}) $$

が成り立つ．もし任意の $ (\hat{x}_{it}, \hat{\sigma}_{i}^{2}) $ について

$$ E[W_{it}\left|\stackrel{\wedge}{x}_{it},\ \stackrel{\wedge}{\pmb{\sigma}}_{i}^{2}\right]=W_{it}^{*} $$

が成り立つなら，$\gamma_{x}=\hat{\gamma}_{x}$ および$\gamma_{\sigma}=\hat{\gamma}_{\sigma}$ となることから，消費の増分$\Delta c_{it}$ は，推計上は過去の所得$\hat{x}_{it}$ とも不確実性$\hat{\sigma}_{i}^{2}$ とも無相関となる，この場合，過剰感応と予備的貯蓄のいずれも観察されず，あたかも確実性等価モデルが成り立つかのようにみえる．より一般的なケースにおいても，「緩衝在庫」モデルでは，労働所得の不確実性$\sigma_{t+1}^{2}$ の増加は必ず非人的資産の「適正在庫」水準$W_{t}^{*}$ を増加させることから，推計された不確実性$\hat{\sigma}_{i}^{2}$ の係数$\alpha_{W}(\gamma_{\sigma}-\hat{\gamma}_{\sigma})$ は真の値$\alpha_{\sigma}$ よりも常に小さくなることがわかる．

これは，推計上は考慮されていないが実際には消費に影響を与える非人的資産 $ W_{t} $ が，不確実性の変数 $ \hat{\sigma}_{i}^{2} $ と相関を持つことで生じる推計のゆがみの問題である．「緩衝在庫」モデルでは，人々の保有する非人的資産はその「適正水準」の近傍に分布することになるため，消費の長期的な平均成長率は非人的資産の「適正水準」の平均成長率にほぼ等しくなる．この「適正水準」の成長率は，労働所得およびその不確実性の大きさの成長率に応じて変化すると考えられるので後の2つの長期的な平均成長率がほぼ等しい場合，「適正水準」の長期平均成長率は，労働所得の長期平均成長率にほぼ等しく，よって，消費の長期平均成長率もまた労働所得のそれに等しくなる．よって，人々が「緩衝在庫」モデルに従って行動している限り，労働所得の成長率と無相関である不確実性の大きさは，消費の成長率とも無相関になる．
だからといって，人々は所得の不確実性に無反応な訳でも，「予備的貯蓄」を行っていない訳でもない．非人的資産の保有額など，他の条件を一定とすれば，労働所得の不確実性の大きな人ほど，貯蓄額は大きくなる．所得の不確実性の大きな人にとって，不確実性の小さな人と同じ額の非人的資産ではリスクに耐えることができないため，予備的貯蓄をより多く行う誘因が働き，その結果消費の期待成長率が大きくなる．ところが，予備的貯蓄をより多く行った結果，不確実性の小さな人よりも多くの非人的資産を保有するようになると，期待消費額の増加によって「絶対的慎重度」が低下し，予備的貯蓄の誘因は小さくなる．多額の非人的資産の保有で「豊か」になると，リスクに対してより「寛容」になり，予備的貯蓄の欲求が小さくなるのである．長期的な平均値，あるいは多くの人々の平均値をとれば，各個人の保有する非人的資産額は，ほぼその「適正水準」にあると考えられるので，不確実性の大きな人はより多くの資産を，小さな人はより少ない資産を持ち，消費の成長率は不確実性の大きさとは無関係に，所得の成長率によって決定される．その結果，本当は「他の条件を一定とした場合の，不確実性の違いが貯蓄に与える効果」を調べようとしても，不確実性の違いのほとんどが，考慮されていない非人的資産の保有額の違いに吸収されてしまい，推計上不確実性の効果がほとんど検出できないのである．

以上の推論より，非人的資産を考慮しない誤った定式化の下では，たとえ所得の不確実性に関する適切な変数を説明変数に用いたとしても，予備的貯蓄をオイラー方程式の推計によって検証することはできないことが明らかになったよって，オイラー方程式に関する既存の実証研究で有意な予備的貯蓄が観察されなかったとしても，実際に予備的貯蓄が行われていなかったと結論づけることはできない．

Carroll and Samwick (1997)では「緩衝在庫」モデルにおける目標資産額 $ W^{*} $ が，不確実性の程度 $ \sigma_{i}^{2} $ の増加関数になることを，様々な特定化の下でより厳密な「目標資産額は相対的等価予備的プレミアム(relative equivalent precautionary premium: REPP)の線形関数となる」

という形で定式化し，平均および実際の消費の代わりに，恒常所得および実際
の所得に置き換えて計算した REPP や ,推計上ほぼ同様の結果を示した所得の対数値の分散 $ \operatorname{Var}(\ln(Y)) $ を不確実性の指標として ,保有資産額との関係を推計した .そして ,予備的貯蓄の重要性を示す結果を得ている .

### 8. おわりに

本章では，所得変動と消費との関係の理論的考察において，特に(1)ライフサイクル／恒常所得仮説（および合理的期待仮説）および(2）「予備的貯蓄」の2つの仮説から導かれる，消費の時系列に関するいくつかの理論的含意と，それらを実証する際に考慮すべき主な問題点について，その概略を紹介した．ライフサイクル／恒常所得仮説は厳密なミクロ経済学的基礎付けを持ち，理論的にはそれまでのケインズ型消費関数の議論よりも優れたものであったが，実証研究上は，現在所得の影響を除いて恒常所得の影響だけを取り出すことが，両者の間に高い相関があるために非常に困難であった．その問題を解決したのが，Hall(1978)の「消費のランダム・ウォーク」仮説に関する消費の時系列の分析である．

しかし，「消費のランダム・ウォーク」仮説を導く「確実性等価」モデルに対しては，「過剰感応」と「過剰平滑」という，実証上の2つの問題点が指摘された．これに対して，理論モデルに対する様々な拡張が試みられたが，6節で取り上げた，瞬時効用関数が消費の二次関数である（すなわち予備的貯蓄がない）と仮定し，人的資産に関する限界消費性向と非人的資産に関するそれとが等しくなるような一連のモデルにおいて，選好の変化や耐久財，消費の習慣性や集計の問題など，いくつかの重要と思われる可能性を検討した．その結果，所得の時系列が単位根を持つような非定常な確率過程に従う場合にのみ「過剰感応」と「過剰平滑」の両方を同時に説明できること，その場合，実際に生じているのは「（確実性等価モデルに比べて）所得に対する反応が小さい」ことであり，「過剰感応」という用語は不適当であることが示された．また，「過剰感応」と「過剰平滑」の両者について，既存の実証研究で得られたような推計値を正当化するには，モデルのパラメータ一にかなり厳しい条件が必要となる．
他方，1時点における消費の限界効用が消費量の厳密な凸関数となる場合には，将来所得の不確実性の増大が現在の貯蓄を増加させる「予備的貯蓄」が生じるが，この「予備的貯蓄」が存在する場合の消費の時系列の振る舞いについて，瞬時効用関数が絶対的危険回避度一定(CARA)型の場合と相対的危険回避度一定(CRRA)型の2つのケースでは異なる結果が得られた．オイラー方程式が消費に関して線形となるCARA型効用関数の場合には，所得と消費との関係に関しては確実性等価モデルと同じ結論が得られた．これに対してCRRA型効用関数の下では，人的資産に関する限界消費性向と非人的資産に関するそれとが互いに異なることが示され，消費関数が非人的資産保有額の増加凹関数となり，非人的資産額を常にその「適正水準」に維持しようとする，いわゆる「緩衝在庫」モデルが得られた．この「緩衝在庫」モデルの下では，労働所得の確率過程が定常な場合でも「過剰感応」と「過剰平滑」の両方を同時に説明できる可能性が示された．

他方，「予備的貯蓄」の理論から得られる，「不確実性のレベルと消費の階差が正の相関を持つ」という仮説については，これを否定する実証研究が存在する．そのため「緩衝在庫」モデルが正しいと結論づけるのは時期尚早である．ただし，既存の多くの実証研究では，不確実性を表す変数の時系列的な振る舞いに対する考慮が不足していたり，家計の非人的資産保有額を説明変数に加えていないなど，「緩衝在庫」モデルの立場から見ると様々な問題がある．このため，「予備的貯蓄」に関しては，その有無自体も含めて，さらなる実証研究の積み重ねが必要であることが明らかとなった．

これらの結果をふまえると，現実の消費の動向を理解する上では，もちろん「複数世代の重複」といった集計の問題にも十分な注意を払う必要があるが，やはり「予備的貯蓄」と「消費の習慣性」の問題が重要であることがわかる $ ^{56} $ ．このうち，予備的貯蓄の問題に関しては，理論的には存在するのが当たり前のように思われるが，実証研究は，どのような変数で不確実性を捉えることがで
きるのかも含めて，まだまだ不十分であることから，現時点で，現実の消費変動に対して予備的貯蓄が果たした役割を議論することには慎重にならざるを得ない．これに対して，消費の「過剰感応」や「過剰平滑」，および所得の時系列における単位根の存在などは，多くの実証研究で示された結果であり，消費の時系列に一種の習慣性と解釈される傾向があることは，それがどのようなメカニズムで生じているかについては議論の余地はあるものの，認められるべきである $ ^{57} $ ．

消費に一種の「習慣性」が生じているとは，消費の調整がゆっくりと時間をかけて行われることを意味するため，所得や将来の不確実性など外部環境の変化に対する反応も遅くなる．そのため，消費の変動は景気に遅行することになり，経済政策の効果も徐々に現れることとなる．よって，「消費に習慣性がある」ことの政策的なインプリケーションとして，「消費の変動をコントロールする必要がある場合には，効果が現れるまでに時間がかかることを見越して，問題が表面化する前から行動を起こす必要がある」ことがわかる．もし現在の日本の経済低迷が消費の低迷によるものであるなら，その原因は以前から存在していたはずであり，今すぐ何らかの対策をとったとしても，その効果が現れるにはある程度の時間がかかる．消費の低迷に対する「特効薬」はないのである．
### 補論 A 「5.1 過剰感応」における(18)式の導出

定常な ARMA 過程

$$ x_{t}=\mathsf{\rho}_{1}x_{t-1}+\mathsf{\rho}_{2}x_{t-2}+\ldots+\mathsf{\rho}_{p}x_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_{t}+\phi_{1}\boldsymbol{\varepsilon}_{t-1}+\phi_{2}\boldsymbol{\varepsilon}_{t-2}+\ldots+\phi_{q}\boldsymbol{\varepsilon}_{t-q} $$

$$ x_{t}=[1+M(L)]/[1-A(L)]\pmb{\varepsilon}_{t} $$

を考える（ただし L はラグオペレーター，

$$ A(L)=\mathsf{\uprho}_{1}L+\mathsf{\uprho}_{2}L^{2}+\ldots+\mathsf{\uprho}_{p}L^{p}\quad,\;M(L)=\mathsf{\upphi}_{1}L+\mathsf{\upphi}_{2}L^{2}+\ldots+\mathsf{\upphi}_{q}L^{q} $$

である).

定常な ARMA(p,q)過程は MA(∞)表現ができるので，(17)式で表される ARMA 過程の MA(∞)表現を

$$ x_{t}=\pmb{\varepsilon}_{t}+\pmb{\psi}_{1}\pmb{\varepsilon}_{t-1}+\pmb{\psi}_{2}\pmb{\varepsilon}_{t-2}+\pmb{\psi}_{3}\pmb{\varepsilon}_{t-3}+\ldots. $$

とする．ただし$\psi_{s}\equiv\phi_{s}+\sum_{j=1}^{s}\rho_{j}\psi_{s-j}$ である．

s 期前に実現した誤差項が今期の所得に与える影響は，

$$ \frac{dx_{t+s}}{d\boldsymbol{\varepsilon}_{t}}=\frac{dx_{t}}{d\boldsymbol{\varepsilon}_{t-s}}=\boldsymbol{\Psi}_{s} $$

となることから,将来所得の予測値の改定分は,今期の実現した誤差$\varepsilon_{t}$の定数倍となる.

$$ E_{t}x_{t+s}-E_{t-1}x_{t+s}=\boldsymbol{\Psi}_{s}\boldsymbol{\varepsilon}_{t} $$

よって明らかに

$$ \sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t}x_{t+s}-E_{t-1}x_{t+s})=\left[\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\Psi_{s}\right]\boldsymbol{\varepsilon}_{t} $$

であり，また，

$$ \sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\Psi_{s}=\frac{1+\sum_{s=0}^{q}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\phi_{s}}{1+\sum_{j=0}^{p}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{j}\mathsf{p}_{j}} $$

が得られる。

以上より，恒常所得の予測の修正分ξは，

$$ \xi_{t}=r\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\boldsymbol{\psi}_{s}\boldsymbol{\varepsilon}_{t}=r\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\varepsilon}_{t} $$

と今期の所得のイノヴェーションの定数倍となり，消費の系列は，

$$ c_{t}=c_{t-1}+r\Phi\varepsilon_{t} $$
### 補論 B 「6.1 持続的な消費」における(26)(27)式の導出

このとき，支出 $ c_{t} $ に関する 1 階の条件

$$ E_{t}\left[\sum_{k=0}^{\infty}\delta^{k}\mathsf{p}^{k}u^{\prime}(\boldsymbol{c}_{t+k})\right]=E_{t}\left[(1+r)\delta\sum_{k=0}^{\infty}\delta^{k}\mathsf{p}^{k}u^{\prime}(\boldsymbol{c}_{t+k+1})\right] $$

より，消費に関して通常のオイラー方程式

$$ u^{\prime}(\boldsymbol{c}_{t})=E_{t}[(1+r)\delta u^{\prime}(\boldsymbol{c}_{t+1})] $$

が成り立つ。

効用関数が2次であり $ (1+r)\delta=1 $ が成り立っているとき，上式は

$$ \boldsymbol{c}_{t+1}-\boldsymbol{c}_{t}=\boldsymbol{\uprho}(L)(c_{t+1}-c_{t})=e_{t+1} $$

と変形でき，さらに

$$ c_{t+1}-c_{t}=e_{t+1}-\mathsf{\rho}e_{t} $$

が得られる．ただし $ e_{t+1} $ は $ t+1 $ 期における消費 $ c_{t+1} $ のイノヴェーションである．ここから，

$$ E_{t}[c_{t+s}]=c_{t}-\rho e_{t}\quad for all s=1,2,3,\ldots $$

が得られ，これを予算制約式に代入すると，恒常所得に関する消費関数が

$$ \begin{aligned}c_{t}&=y_{pt}+\frac{\rho}{1+r}e_{t}\\&=y_{pt}+\frac{\rho}{1+r}(\boldsymbol{c}_{t}-\boldsymbol{c}_{t-1})=y_{pt}+\frac{\rho}{1+r}\{c_{t}-(1-\rho)\sum_{k=1}^{\infty}\boldsymbol{\rho}^{k-1}c_{t-k}\}\end{aligned} $$

$$ c_{t}=\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}y_{p t}-\frac{\mathsf{\rho}(1-\mathsf{\rho})}{1+r-\mathsf{\rho}}\sum_{k=1}^{\infty}\mathsf{\rho}^{k-1}c_{t-k} $$

となる．(a1)式を資産蓄積の遷移式(5)に代入し，さらに恒常所得の定義式(6')に代入すると，恒常所得$y_{pt}$ および支出$c_{t}$ の時系列に関して

$$ \begin{aligned}&y_{pt+1}=y_{pt}+\xi_{t+1}-\frac{r}{1+r}\mathfrak{p}e_{t}\\ &\\ \rightarrow\quad&c_{t+1}=y_{pt+1}+\frac{\mathfrak{p}}{1+r}e_{t+1}=y_{pt}+\xi_{t+1}-\frac{r}{1+r}\mathfrak{p}e_{t}+\frac{\mathfrak{p}}{1+r}e_{t+1}\\ &\\ &\quad=c_{t}+\xi_{t+1}-\mathfrak{p}e_{t}+\frac{\mathfrak{p}}{1+r}e_{t+1}\\ \end{aligned} $$
が得られる。

よって消費のイノヴェーション $ e_{t} $ と人的資産のイノヴェーション $ \xi_{t} $ との間には

$$ e_{t}=\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t} $$

という関係が成り立つ。

以上より，恒常所得 $ y_{pt} $ および支出 $ c_{t} $ の時系列は

$$ y_{p t+1}-y_{p t}=\xi_{t+1}-\frac{\uprho r}{1+r-\uprho}\xi_{t} $$

$$ c_{t+1}-c_{t}=\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t+1}-\frac{\mathsf{\rho}(1+r)}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t} $$

となる。

### 補論 C 「6.2 消費の習慣性」における(29)(30)式の導出

このとき，消費 $ c_{t+s} $ （ $ s=0,1,2,\ldots $ ）に関する1階の条件

$$ \begin{aligned}E&\Big[a-b(c_{t+s}-\bar{c}_{t+s})-\sum_{k=1}^{\infty}\delta^{k}\mathfrak{u}^{k}\{a-b(c_{t+s+k}-\bar{c}_{t+s+k})\}\Big]&=\\&E_{t}\Big[(1+r)\delta\left\{a-b(c_{t+s+1}-\bar{c}_{t+s+1})-\sum_{k=1}^{\infty}\delta^{k}\mathfrak{u}^{k}\{a-b(c_{t+s+k+1}-\bar{c}_{t+s+k+1})\}\right\}\Big]\end{aligned} $$

より，次の条件

$$ \begin{aligned}\rightarrow\quad E_{t}[(c_{t+s+1}-\bar{c}_{t+s+1})-(c_{t+s}-\bar{c}_{t+s})&=E_{t}\sum_{k=1}^{\infty}\delta^{k}\mu^{k}\{(c_{t+s+k+1}-\bar{c}_{t+s+k+1})-(c_{t+s+k}-\bar{c}_{t+s+k})\}\\&=2\delta\mu E_{t}\left\{(c_{t+s+2}-\bar{c}_{t+s+2})-(c_{t+s+1}-\bar{c}_{t+s+1})\right\}\quad(a2)\end{aligned} $$

が得られる． $ c_{t+s}^{*}\equiv c_{t+s}-\bar{c}_{t+s} $ と定義される変数 $ c_{t+s}^{*} $ を用いれば，(a2)式は

$$ E_{t}[c_{t+s}^{*}-c_{t+s-1}^{*}]=2\delta\upmu E_{t}\left[c_{t+s+1}^{*}-c_{t+s}^{*}\right] $$

と書き換えられる。

ここで，

$$ E_{t}c_{t+1}^{*}=c_{t}^{*} $$

が成り立つかどうかについて考察する．もし(a3)式が成り立たないとすれば，

$$ E_{t}c_{t+1}^{*}-c_{t}^{*}=\pi\neq0 $$
とおくことができる．このとき(a2')式より

$$ E_{t}[c_{t+s}^{*}-c_{t+s-1}]=\left(\frac{1}{2\delta\upmu}\right)^{s}\pi $$

となることから

$$ \begin{aligned}E_{t}[c_{t+s+1}-c_{t+s}]&=2\upmu E_{t}[\bar{c}_{t+s+1}-\bar{c}_{t+s}]+\left(\frac{1}{2\updelta\upmu}\right)^{s}\pi\\&=E_{t}\big[\sum_{k=1}^{s-1}\upmu^{s-k}(c_{t+k+1}-c_{t+k})+\upmu^{s}\pi\big]+\left(\frac{1}{2\updelta\upmu}\right)^{s}\pi\\&=2\upmu E_{t}[c_{t+s}-c_{t+s-1}]+\left(\frac{1}{2\updelta\upmu}-\upmu\right)\frac{1}{2\updelta\upmu}\Big)^{s}\pi\\&=(2\upmu)^{s}\{\upmu c_{t}-(1-\upmu)\bar{c}_{t}\}+\left[\frac{(1-2\updelta\upmu^{2})(2\updelta\upmu)^{-s}-2\updelta\upmu\left(2\upmu\right)^{s}}{1-4\updelta\upmu^{2}}\right]\pi\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\Rightarrow\quad E_{t}c_{t+s+1}&=\left[\frac{\mu\{1+\mu(2\mu)^{s+1}\}-1}{2\mu-1}\right]c_{t}-\left[\frac{(1-\mu)\{(2\mu)^{s+1}-1\}}{2\mu-1}\right]\bar{c}_{t}\\&\quad+\left[\frac{2\delta\mu(1-\mu)}{(2\mu-1)(1-2\delta\mu)}+\frac{(1-2\delta\mu^{2})(2\delta\mu)^{-s}}{(1-2\delta\mu)(1-4\delta\mu^{2})}-\frac{2\delta\mu^{2}(2\mu)^{s+1}}{(2\mu-1)(1-4\delta\mu^{2})}\right]\pi\end{aligned} $$

が得られる．ただし$\mu c_{t}-(1-\mu)\bar{c}_{t}=E_{t}c_{t+1}-c_{t}$ である．この(a4)式を，$r=1/\delta-1$ とともに予算制約式(8)に代入すると

$$ \begin{aligned}\frac{\delta y_{pt}}{1-\delta}&=\sum_{s=0}^{\infty}\delta^{s+1}E_{t}c_{t+s}=\delta\left[c_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}\delta^{s+1}E_{t}c_{t+s+1}\right]\\\rightarrow\quad\frac{y_{pt}}{1-\delta}&=c_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}\Big[\frac{\mu(2\delta\mu)^{s+1}}{2\mu-1}-\frac{\delta^{s+1}(1-\mu)}{2\mu-1}\Big]c_{t}-\sum_{s=0}^{\infty}\Big[\frac{(1-\mu)\{(2\delta\mu)^{s+1}-\delta^{s+1}\}}{2\mu-1}\Big]\bar{c}_{t}\\&\quad+\sum_{s=0}^{\infty}\Big[\frac{2\delta^{s+2}\mu(1-\mu)}{(2\mu-1)(1-2\delta\mu)}+\frac{\delta\left(1-2\delta\mu^{2}\right)(2\mu)^{-s}}{(1-2\delta\mu)(1-4\delta\mu^{2})}-\frac{2\delta\mu^{2}(2\delta\mu)^{s+1}}{(2\mu-1)(1-4\delta\mu^{2})}\Big]\pi\end{aligned} $$

となる．$\pi\neq0$ かつ$\mu\leq1/2$ または$\mu\geq1/(2\delta)$ の場合，(a5)式の右辺は正または負の無限大に発散してしまうが，これはそのような消費計画が横断性条件を満たしていないことを意味する．よって$\mu\leq1/2$ または$\mu\geq1/(2\delta)$ ならば，$\pi=0$ とならなければならない．

$ \pi=E_{t}c_{t+1}^{*}-c_{t}^{*}=0 $ のとき，この条件から

$$ c_{t+1}-c_{t}=e_{t+1}+\upmu e_{t} $$
$$ E_{t}c_{t+s}=c_{t}+\upmu e_{t} $$

$$ for all s=1,2,3,\ldots $$

が得られる．これを予算制約式に代入すると，恒常所得に関する消費関数が

$$ \begin{aligned}&c_{t}=y_{pt}-\frac{\mu}{1+r}e_{t}=y_{pt}-\frac{\mu}{1+r}\{c_{t}-c_{t-1}-(\bar{c}_{t}-\bar{c}_{t-1})\}\\ &\\&\quad=y_{pt}-\frac{\mu}{1+r}\Big\{c_{t}-c_{t-1}-\sum_{k=1}^{\infty}\mu^{k}(c_{t-k}-c_{t-k-1})\Big\}\\ &\\&\quad\rightarrow\qquad c_{t}=\frac{1+r}{1+r+\mu}y_{pt}+\frac{\mu(1+\mu)}{1+r+\mu}c_{t-1}-\frac{\mu(1-\mu)}{1+r+\mu}\sum_{k=1}^{\infty}\mu^{k}c_{t-k-1}\\ \end{aligned} $$

となる．(a6)式を資産蓄積の遷移式(5)に代入し，さらに恒常所得の定義式(6')に代入すると，恒常所得 $ y_{pt} $ および支出 $ c_{t} $ の時系列に関して

$$ y_{p t+1}=y_{p t}+\xi_{t+1}+\frac{\mu r}{1+r}e_{t} $$

→

$$ \begin{aligned}c_{t+1}&=y_{pt+1}+\frac{\mu}{1+r}e_{t+1}=y_{t}^{p}+\xi_{t+1}+\frac{\mu r}{1+r}e_{t}+\frac{\mu}{1+r}e_{t+1}\\&=c_{t}+\xi_{t+1}-\mu e_{t}+\frac{\mu}{1+r}e_{t+1}\end{aligned} $$

が得られ ,消費のイノヴェーション $e_{t}$ と人的資産のイノヴェーション $\xi_{t}$ との間に

$$ e_{t}=\frac{1+r}{1+r+\upmu}\xi_{t} $$

という関係が成り立つことがわかる。

以上より，恒常所得 $ y_{pt} $ および支出 $ c_{t} $ の時系列は

$$ y_{p t+1}-y_{p t}=\xi_{t+1}+\frac{\mu r}{1+r+\mu}\xi_{t} $$

$$ c_{t+1}-c_{t}=\frac{1+r}{1+r+\upmu}\xi_{t+1}+\frac{\upmu(1+r)}{1+r+\upmu}\xi_{t} $$

となる。

補論 D 「6.6 世代重複モデル」におけるψs > 0 の証明

パラメーター$\phi_{n}$ について，その階差$\Delta\phi_{N-s}\equiv\phi_{N-s+1}-\phi_{N-s}$ は

$$ \Delta\phi_{N-s}=\frac{r[r(1+r)^{s}-\lambda^{s}\{(1+r)^{s+1}-1\}+\lambda^{s+1}\{(1+r)^{s}-1\}]}{(1+r-\lambda)\{(1+r)^{s}-1\}\{(1+r)^{s+1}-1\}} $$

であることから，